УДК 517.923
ББК 22.161.6
Д50
Дифференциальные уравнения на геометрических графах /
Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лаза-
Лазарев, С. А. Шабров. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 272 с. - ISBN 5-9221-0425-Х.
В книге изучаются качественные свойства дифференциальных уравне-
уравнений на многообразиях типа сети. Излагаемая теория является новой —
первые результаты в этом направлении появились лишь около 20 лет назад
и систематическим образом ранее не описывались. Приводятся основные
постановки задач, строится аналог теории неосцилляции и изучаются функ-
функция Грина, дифференциальные неравенства, осцилляционные спектральные
свойства. Излагается теория эллиптических уравнений на стратифицирован-
стратифицированных (ветвящихся) многообразиях.
Для математиков, механиков, физиков, изучающих сетеподобные систе-
системы; студентов и аспирантов физико-математических специальностей.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2005
© Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин,
В. Л. Прядиев, А. В. Боровских,
К. П. Лазарев, С. А. Шабров, 2004,
ISBN 5-9221-0425-Х	2005

Оглавление
Предисловие	 6
Введение	 7
Глава 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических
графах	 15
1.1.	Типичные постановки задач на сетях	 15
1.1.1. Модели физического происхождения A5). 1.1.2. Модели
математического происхождения A7). 1.1.3. Различные расши-
расширения постановок A8).
1.2.	Математическая формализация	 19
1.2.1. Скалярный подход B0). 1.2.2. Векторный подход B1).
1.2.3. Синтетический подход B2). 1.2.4. Интегральный под-
подход B3).
1.3.	Основные понятия	 24
1.4.	Краткий обзор результатов	 28
Глава 2. Странности задач на графах		33
2.1.	Задача Штурма—Лиувилля		33
2.2.	«Струнный крест»		34
2.3.	Пучок из трех струн		36
2.4.	«Тканая мембрана»		38
2.5.	Банальная стыковка		43
2.6.	Комментарии		47
Глава 3. Общая теория уравнений второго порядка на гео-
геометрических графах	 49
3.1.	Обыкновенное дифференциальное уравнение на пространст-
пространственной сети	 49
3.1.1. Функции на сетях D9). 3.1.2. Вариационная мотива-
мотивация E2). 3.1.3. Естественные условия E5). 3.1.4. Замечание
о «физической границе» E7). 3.1.5. Однородное уравнение на
сети E8).
3.2.	Краевая задача на сети	 61
3.2.1. Разные версии задачи C.16)-C.18) F2). 3.2.2. Некоторые
общие факты F4). 3.2.3. Функция Грина F8). 3.2.4. s-расши-
рение задачи на сети G1).

Оглавление
Глава 4. Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
второго порядка на сети	 73
4.1.	Неосцилляция уравнений второго порядка		73
4.2.	Дифференциальные неравенства		76
4.3.	Неравенство Харнака. Шатры на сетях		79
4.4.	О локализации носителя		83
4.5.	Критическая неосцилляция		86
Глава 5. Спектральная теория Штурма—Лиувилля на гео-
геометрических графах	 89
5.1.	Спектр задачи на графе	 89
5.1.1. Неосцилляция пучка L — Ар/ (89). 5.1.2. Корневая прос-
простота (92). 5.1.3. Локальная вырожденность (96). 5.1.4. Ос-
Осцилляция на дереве (98). 5.1.5. Спектральная задача в общем
положении A01).
5.2.	Осцилляционная спектральная теория	 103
5.2.1. Осцилляционная теорема A03). 5.2.2. Метод «накач-
«накачки нулей» A04). 5.2.3. Доказательство пункта (а) теоремы
5.11 A06). 5.2.4. Свойства нулей функции wx A07). 5.2.5. Пре-
Предельные положения нулей A12). 5.2.6. Доказательство пунк-
пункта (б) теоремы 5.11 A14). 5.2.7. Доказательство теоремы
5.10 A17). 5.2.8. Перемежаемость спектров A18).
Глава 6. Функция Грина и функция влияния	 120
6.1.	Функция Грина задачи на отрезке	 120
6.1.1. Аксиоматический подход A20). 6.1.2. Аксиомы или ин-
интеграл? A22). 6.1.3. Скалярная задача: классические факты
в неклассическом изложении A28). 6.1.4. Комментарий A33).
6.1.5. Предельные срезки функции Грина A35).
6.2.	Функция Грина векторной, разрывной и многоточечной задачи 137
6.2.1. Векторные задачи A39). 6.2.2. Функция Грина разрыв-
разрывной задачи A41). 6.2.3. Функция Грина общей задачи на [а, Ь]
с дискретной компонентой A45).
6.3.	Функция Грина задачи на графе	 147
6.3.1. Общая схема A47). 6.3.2. Функция Грина задачи
Штурма-Лиувилля на сети A52). 6.3.3. Функция Грина как
функция влияния A54).
Глава 7. К теории Штурма—Лиувилля для уравнений с
обобщенными коэффициентами	 160
7.1.	Общая теория	 160
7.1.1. Вариационная мотивация A60). 7.1.2. Уравнение с диф-
дифференцированием по мере A62). 7.1.3. Определитель Вронско-
Вронского A65). 7.1.4. Непрерывная зависимость от параметра A67).
7.2.	Качественная теория задачи Штурма-Лиувилля	 169

Оглавление
7.2.1. Теоремы сравнения A69). 7.2.2. Неосцилляция A71).
7.2.3.	Дифференциальные неравенства A72).
7.3.	Краевые задачи и функция Грина	 174
7.4.	Осцилляционные свойства спектра	 179
Глава 8. Уравнения четвертого порядка		186
8.1.	Основные понятия и постановки задач		187
8.2.	Разрешимость краевой задачи и функция Грина		190
8.3.	Принцип максимума		196
8.4.	Метод редукции		203
8.5.	Факторизация дифференциального оператора, неосцилляция и
знакорегулярность	 207
Глава 9. Эллиптические уравнения второго порядка на
стратифицированном множестве	 216
9.1.	Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	 216
9.1.1.	Предварительные определения и комментарии B16).
9.1.2.	Дивергенция и оператор Лапласа-Бельтрами на страти-
стратифицированном множестве B20). 9.1.3. Формулы Грина B24).
9.1.4.	Лемма Бохнера и несовместные неравенства B27).
9.1.5.	Неравенство Пуанкаре на стратифицированном множе-
множестве B30). 9.1.6. Слабая разрешимость задачи Дирихле на
стратифицированном множестве B37). 9.1.7. Самосопряжен-
Самосопряженное расширение оператора L B38). 9.1.8. Слабый принцип
максимума B41). 9.1.9. Сильный принцип максимума B44).
9.2.	Уравнения и неравенства с мягким лапласианом	 250
9.2.1. Определения B50). 9.2.2. Теорема о среднем и некоторые
ее следствия B52). 9.2.3. Формула Пуассона для стратифици-
стратифицированного шара B54). 9.2.4. Метод Перрона для уравнения на
стратифицированном множестве B56).
Список литературы	 260

Предисловие
Дифференциальные уравнения на сетях — один из относительно
новых (он существует около 20 лет) разделов теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Настоящая монография — итог работ в этом направ-
направлении, выполненных Ю.В. Покорным и его учениками (г. Воронеж).
В центре внимания исследований стояли модели, связанные с колеба-
колебаниями различных систем, составленных из упругих элементов.
Главы 1 и 6 написаны Ю.В. Покорным и А.В. Боровских, глава 2 —
Ю.В. Покорным, главы 3-5 — Ю.В. Покорным и В.Л. Прядиевым,
глава 8 — А.В. Боровских и К.П. Лазаревым, глава 7 — Ю.В. Покор-
Покорным и С. А. Шабровым, глава 9 — О.М. Пенкиным.
Результаты, изложенные в этой книге, получены при поддержке
грантов МНФ и Правительства России №JE7100 A995 г.), грантов
РФФИ №96-01-00355 A996-1998 гг.), №01-01-00417 и №01-01-00418
B001-2003 гг.), грантов Госкомвуза в области фундаментального ес-
естествознания №95-0-1.8-97 A996-1997 гг.) и №97-0-1.8-100 A998-
2000 гг.) и в области математики № 11 A998-2000 гг.), гранта Миноб-
Минобразования РФ № Е00-1.0-154 B001-2002 гг.).
Издание книги осуществлено при поддержке гранта Российского
фонда фундаментальных исследований № 03-01-14027 B003 г.).
Авторы выражают свою благодарность за многочисленные
обсуждения полученных результатов В. А. Ильину, В. А. Кондратье-
Кондратьеву, В.В. Жикову, Н.Х. Розову, СМ. Никольскому, П.Л. Ульянову,
Н.В. Азбелеву, А.Г. Костюченко, A.M. Седлецкому, А.А. Шкаликову.
Авторы считают своим долгом почтить светлую память О. А. Олейник,
поддержавшей их первые шаги в этом направлении, и СБ. Стечкина,
инициировавшего несколько лет назад начало работы над этой книгой.

Введение
Обыкновенное дифференциальное уравнение на отрезке
-(ри'У + qu = f ( = \ри)	A)
является основополагающим понятием при анализе моделей самых
разных задач естествознания. Возникает оно и при анализе процессов
в сложных системах, допускающих представление в виде набора од-
одномерных континуумов, взаимодействующих только через концы (см.,
например, [49, 90, 111, 134, 140]). Ассоциируя подобную систему в виде
пространственной сети (геометрического графа) Г, исследователь по-
получает на каждом ребре такой сети уравнение вида A), а в узлах сети,
где ребра смыкаются, решения смежных уравнений связаны условия-
условиями взаимодействия (трансмиссии) вида
^а7(а)М;(а) = 0,	B)
7
где суммирование ведется по ребрам 7? примыкающим к узлу а. Со-
Соотношение B) является выражением и закона Кирхгофа для элек-
электрических цепей, и баланса натяжений в упругих струнных сетках.
В граничных (тупиковых) узлах — их множество всюду обозначается
через дТ — обычны условия типа
«|вг=°-	C)
Серьезное внимание математиков к таким задачам было при-
привлечено совсем недавно (см., например, [11, 42, 56, 114, 136, 149, 150],
более полные библиографические комментарии см. в гл. 1). Коррект-
Корректная математическая постановка задачи A)-C) для разных прото-
прототипов изначально сопровождалась общим подходом — взглядом на
задачу A)-C) как на краевую для системы (по ребрам) обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений при краевых условиях B),
C) (см. [1, 35,44]). Такой подход, применявшийся на первых порах
(как, например, в [23, 56, 57, 83, 87, 137]), оказался эффективным лишь
в том круге вопросов, где структура сети Г особой роли не играет
(например, при анализе асимптотики спектра). Однако при таком
декомпозиционном (пореберном) подходе главенствующую роль среди
краевых условий начинают играть условия трансмиссии B), и всякий
достаточно глубокий разговор о решениях задачи невозможен без
существенного использования матрицы инциденций Г.
Исходя из нашего интереса к упругим колебаниям струнных сеток
в проблему условий B) пришлось «упереться» почти сразу. Физически

Введение
наглядное свойство — положительность функции влияния — оказалось
изнурительным по доказательству уже в простейшем случае, когда A)
принимает вид —и" = /. Более того, в рамках декомпозиционного под-
подхода оказалось уже невозможным внятно описать такие, казалось бы,
простейшие свойства, как выпуклость нагруженной сетки, принцип
максимума, число перемен знака и пр. Эта беспомощность в физически
очевидных ситуациях послужила толчком к пересмотру стандартного
подхода. Форма нагруженной плоской сетки, напоминая форму анало-
аналогичной упругой пленки, должна быть графиком решения. Тем самым
решения задачи A)-C) должны искаться среди скалярных функций,
определенных и непрерывных сразу на всей сети Г, т. е. заведомо
склеенных в узлах. А это привело к мысли о «погружении» условий
трансмиссии B) в само уравнение A). Такое изменение оказалось весь-
весьма продуктивным, хотя и потребовало разработки новых технологий
анализа на сетях (см., например, [67-70, 81, 82]).
Эволюция наших взглядов и серия достаточно глубоких результа-
результатов отражались хотя и в многочисленных, но в достаточно фрагмен-
фрагментарных работах (в этой связи стоит отметить работы [23, 24, 34, 57—59,
66,75,76,81,82,85,89,92]).
Подготовка этой книги заставила заново переработать имевший-
имевшийся материал и пересмотреть всю понятийную систему новой теории,
подчеркнув существо нового взгляда и наиболее продвинутые ре-
результаты, среди которых — теория неосцилляции дифференциальных
неравенств (включая аналоги теорем сравнения Штурма, теоремы
Балле—Пуссена и пр.), достаточно полный аналог осцилляционных
спектральных теорем Штурма—Лиувилля вплоть до оценки числа ну-
нулей собственных функций и их перемежаемости (и это — на сети,
где уже понятие «между нулями» требует естественного толко-
толкования), концепция функции Грина, развитие идеологии дифференци-
дифференцирования по мере в приложении к качественному анализу дифферен-
дифференциальных уравнений и ряд обобщений (теория уравнений четвертого
порядка и теория дифференциальных уравнений на стратифицирован-
стратифицированных множествах). Все более ранние результаты, касавшиеся задачи
Штурма-Лиувилля, продвинуты здесь на случай, когда условия транс-
трансмиссии вместо B) принимают вид
k(a)u{a) = F(a) (= \m(a)u(a)), D)
допуская в реальных системах сосредоточенные в узлах внешние на-
нагрузки, массы, стоки и пр.).
Структура дальнейшего изложения такова.
Глава 1 имеет обзорный характер и содержит типичные постановки
задач на сетях, список наиболее употребительных понятий и обозна-
обозначений, обзор работ, посвященных данной тематике.

Введение
Глава 2 содержит подробный анализ цикла задач, приведших к раз-
разработке теории уравнений на геометрических графах. Здесь, пользу-
пользуясь элементарными средствами анализа, мы показываем все основ-
основные особенности и парадоксы, связанные с уравнениями на сетях.
Глава 3 содержит изложение теории обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений на пространственной сети. В параграфе 3.1 дается
точная постановка и первичный анализ уравнения на сети Г в форме
-^(pu') + qu = f,	E)
где подразумевается
на каждом ребре сети и —— (ри'){х) определяется левой частью B)
в каждой «внутренней» вершине Г. В п. 3.1.1 вводятся основные тер-
термины на пространственной сети, реализуемой в виде геометрического
графа. В п. 3.1.2 объясняется корректность постановки задачи A),
C), D) вследствие вариационного принципа: реальное состояние си-
системы приводит к минимуму полный потенциал энергии. В п. 3.1.3
комментируются естественные корни условий D) и показывается, что
они имеют дивергентную природу. Введение на сети меры с атомами
во внутренних узлах обнаруживает возможность трактовать главный
член в условиях D) (или левую часть в B)) как производную по мере
от иг(х). В п. 3.1.4 обсуждается смысл понятия «физическая граница»
для исходной задачи. Начальный анализ однородного уравнения
-± (pu') + qu = 0	F)
проводится в п. 3.1.5, где получены первые содержательные результа-
результаты, устанавливающие эллиптический характер его свойств (включая
аналог принципа максимума). Существенным оказывается вводимое
понятие #-зоны — аналога «промежутка между соседними нулями» из
скалярной теории осцилляции.
Параграф 3.2 главы 2 посвящен краевым задачам на сети. В п. 3.2.1
излагаются разные версии (подходы к трактовке) краевой задачи на
сети для уравнения E) с условиями и = 0. Общий взгляд (п. 3.2.2)
позволяет установить нелокальную разрешимость уравнения на сети,
выяснить зависимость решений от параметра, установить дискрет-
дискретность спектра и пр.; п. 3.2.3 посвящен функции Грина и ее представ-
представлениям, соответствующим разным версиям. В п. 3.2.4 вводится поня-
понятие 5-расширения задачи, позволяющего считать функцию Грина на
s-расширенной сети решением однородного уравнения с неоднородным
условием в «вершине 5».
Глава 4 посвящена неосцилляции на пространственной сети. В па-
параграфе 4.1 вводится понятие неосцилляции однородного уравнения,
когда любое решение «меняет знак не более одного раза». Устанавлива-

10	Введение
ется цикл эквивалентных свойств, в том числе существование знакопо-
знакопостоянного решения (^ 0) и возможность единой на сети факторизации
уравнения в виде
— — (/ш) = 0.
d(f di/>
В параграфе 4.2 более полно выявляется эллиптический характер за-
задачи: на решения неравенства
переносятся свойства решений однородного уравнения. Изучаются
«граничные неравенства», заменяющие предположение о знаке реше-
решения внутри Г условием на его знак на дГ. Здесь же устанавливает-
устанавливается эквивалентность неосцилляции знакопостоянству функции Грина.
В параграфе 4.3 устанавливаются априорные оценки типа классиче-
классического неравенства Харнака, для чего строится теория «шатров» на Г.
В параграфе 4.4 анализируется функция Грина задачи E), C) для
случая supp/ = ft ф Г, и этот анализ позволяет эффективно описать
эквивалентную E), C) задачу на ft.
В параграфе 4.5 углубляется анализ распределения нулей реше-
решений уравнения в связи с размерностью пространства решений задачи
Дирихле (и\дг — 0) Для него. Здесь изучается свойство критической
неосцилляции — аналога неосцилляции на интервале между соседними
нулями в скалярной теории. Устанавливаются условия, при которых
неравенства
Lu ^ 0, и\дТ ^ 0	G)
превращаются в равенства. Соответствующий факт способен удивить
даже в случае, когда Г есть всего лишь отрезок: любое решение на [0, тг]
неравенства и" + и ^ 0 при условиях u(fi) ^ 0, и(к) ^ 0 имеет вид
и(х) = С sin х (при некотором С = const). Как следствие, устанавли-
устанавливаются аналоги теорем сравнения Штурма и теорем Балле—Пуссена
(критерий неосцилляции).
Глава 5 посвящена спектральной теории задачи Штурма—Лиувилля
на геометрическом графе. В параграфе 5.1 обсуждается структура
спектра, наличие геометрической и алгебраической простоты собствен-
собственных значений. Основным инструментом здесь оказывается именно
свойство критической неосцилляции, изученное в главе 4. В п. 5.1.1
изучается неосцилляция пучка
Lx = L- Xpl
в связи со спектром задачи
устанавливаются условия геометрической простоты ведущего соб-
собственного значения, оценивается спектральный радиус; п. 5.1.2 по-
посвящен условиям корневой (алгебраической) простоты, что приводит

Введение	11
к выделению класса простых задач (например, когда Г является де-
деревом и некоторые решения не имеют нулей во внутренних верши-
вершинах). Для простых задач справедливы свойства краевых неравенств. В
п. 5.1.3 вводится понятие локальной вырожденности задачи, связыва-
связываемое с оценкой размерности собственного подпространства. В п. 5.1.4
построенная в параграфе 5.1 теория позволяет достаточно полно обсу-
обсудить осцилляцию на дереве. В п. 5.1.5 изучается спектральная задача
в общем положении, показывается вещественность и простота всех
точек спектра.
Параграф 5.2 посвящен осевому вопросу осцилляционной спек-
спектральной теории — распределению нулей в задаче Штурма—Лиувилля.
В п. 5.2.1 приводится точная формулировка осцилляционной спек-
спектральной теоремы для задачи Штурма—Лиувилля на геометрическом
графе. В п. 5.2.2 описывается метод «накачки нулей» с помощью ре-
решения и\(х) уравнения
- ^р (ри') + qu = А/ш,
обнуляющегося во всех точках <9Г, кроме одной. В пп. 5.2.3-5.2.7 об-
обсуждается эволюция этих нулей внутри графа и соответствующие
бифуркации при прохождении внутренних узлов. В п. 5.2.8 устанавли-
устанавливается точная перемежаемость спектра задачи на графе со спектрами
задач на подграфах.
Глава 6 посвящена изложению проблем и концепций, связанных
с построением функции Грина на геометрическом графе. В п. 6.1.1
излагается принятый многими авторами аксиоматический подход, а в
п. 6.1.2 обсуждаются дефекты этого подхода, как чисто математиче-
математические, так и смысловые, связанные с утерей в рамках этого подхода
физического смысла функции Грина как функции влияния. В п. 6.1.3
изложена методология, которая, на взгляд авторов, избавлена от всех
этих дефектов и не теряет при этом ничего в содержательном плане:
свойства функции Грина возникают здесь не как аксиомы, а как
следствия основных теорем. Сравнение ее с аксиоматическим подхо-
подходом осуществляется в п. 6.1.4, а эффективность предложенного под-
подхода иллюстрируется далее в п. 6.1.5, где осуществляется предельный
переход и получаются свойства для предельных срезок функции Грина
в концах отрезка, и в параграфе 6.2, где применение этого подхода
к векторным, разрывным задачам и задачам с дискретными компо-
компонентами дает как уже известные, так и новые результаты.
В параграфе 6.3 строится уже функция Грина задачи на геомет-
геометрическом графе; п. 6.3.1 посвящен общей конструкции (для произ-
произвольного уравнения и произвольных условий в вершинах), а п. 6.3.2
посвящен построению функции Грина задачи Штурма—Лиувилля. Для
иллюстрации возможности использовать в качестве фундаментально-
фундаментального решения не только функцию Коши здесь в качестве такого ре-
решения берется функция, составленная из функций Грина двухточеч-

12	Введение
ных задач, заданных на каждом ребре. Обсуждению тождественности
построенной функции Грина и функции влияния посвящен п. 6.3.3.
Именно здесь на почве соотнесения полученных результатов с физикой
возникает явная необходимость перехода на язык меры.
Глава 7, по-видимому, содержит первое изложение систематическо-
систематического применения поточечного дифференцирования по мере на отрезке
в спектральной теории дифференциальных уравнений. Эта глава со-
содержит теорию уравнения Штурма—Лиувилля с производными по ме-
мерам, являющуюся параллелью классической. Параграф 7.1 содержит
общую теорию таких уравнений: вариационный вывод (п. 7.1.1), точное
описание объекта — уравнения с производной по мере (п. 7.1.2), свой-
свойства определителя Вронского (п. 7.1.3), теорему о непрерывной (точ-
(точнее, Сг1-непрерывной) зависимости решения от параметра (п. 7.1.4).
Параграф 7.2 посвящен изложению качественной теории уравнения
Штурма-Лиувилля с производными по мерам. Сюда вошли аналоги
теорем сравнения Штурма (п. 7.2.1), теории неосцилляции (п. 7.2.2)
и теоремы о дифференциальных неравенствах (п. 7.2.3). Реализация
концепции функции Грина для уравнений с производными по мерам
приведена в параграфе 7.3. Параграф 7.4 посвящен осцилляционным
теоремам; здесь изложена модификация на случай уравнения с про-
производными по мере метода «накачки нулей», позволяющего отследить
эволюцию нулей у семейства решений, зависящего от спектрального
параметра и благодаря этому отождествить собственные значения как
моменты «прохода» очередного нуля через концевую точку отрезка.
По существу эта глава является «трамплином» для реализации кон-
концепции уравнений с производными по мере на геометрических графах.
Глава 8 посвящена распространению теории уравнения Штурма-
Лиувилля на уравнения четвертого порядка на сетях. Ключевым здесь,
как ни удивительно, оказалось то же самое соображение, что и в теории
уравнений второго порядка, — считать все условия, кроме условий
Дирихле, «реализацией» дифференциального уравнения в вершинах
графа. Даже в случае, когда граф тривиален и является отрезком,
это дает совершенно новый взгляд: считать условия шарнирного за-
закрепления балки «уравнением» — довольно неожиданная мысль, од-
однако этот взгляд позволил вскрыть целый пласт свойств, в других
постановках просто нереализуемых. Например, принцип максимума,
которого в классической постановке не существует — четырехмер-
четырехмерное пространство функций не может состоять только из монотонных
функций. Серия последовавших за обоснованием принципа максимума
результатов показала, что уравнение четвертого порядка в описанный
выше трактовке обладает практически тем же комплектом свойств,
что и уравнение второго порядка.
Параграф 8.1 содержит точное формальное описание изучаемого
класса задач, параграф 8.2 уточняет в случае задач описанного класса
реализацию изложенной в главе 6 концепции функции Грина. В па-

Введение	13
раграфе 8.3 изложен принцип максимума для уравнения четвертого
порядка (в описанном выше смысле) на отрезке и для уравнения
на геометрическом графе. Параграф 8.4 посвящен методу редукции,
означающему по существу замену «ненагруженной» массами (силами)
части сети условиями «пружин», о которой говорилось (для уравнений
второго порядка) в параграфе 4.4. Параграф 8.5 посвящен исследова-
исследованию той задачи, которая получается благодаря методу редукции; она
оказывается, вообще говоря, нераспадающейся многоточечной (если
«нагруженным» является только одной ребро, то двухточечной) крае-
краевой задачей, которая, тем не менее, обладает рядом знакорегулярных
свойств (из которых важнейшее — положительность функции Грина),
характерных для двухточечных задач с распадающимися условиями.
Наконец, глава 9 посвящена теории дифференциальных уравнений
на стратифицированных множествах. Простейшим стратифицирован-
стратифицированным множеством, по-видимому, является многогранник: его внутрен-
внутренность — страт размерности 3, а граница, состоит из граней (стратов
размерности 2), стыкующихся по ребрам (стратам размерности 1), ко-
которые в свою очередь смыкаются в вершинах (стратах размерности 0).
В чуть более сложных конструкциях многогранник может иметь внут-
внутренние перегородки (также стратифицированные), «отростки» и т.д.
В обычных, классических постановках дифференциальное уравнение
(например, уравнение Лапласа) задается внутри многогранника, а вся
граница считается «пассивной» — она не обладает собственной реак-
реакцией (например, на деформацию, если речь идет об упругой системе).
Для уравнения на стратифицированном множестве — это, хотя и важ-
важный, но частный случай. Здесь предполагается, что собственными
реакциями обладают страты всех размерностей (что, кстати, нередко
соответствует физике: так, для жидкостей поверхностные эффекты яв-
являются достаточно «самостоятельными» относительно «внутренней»
гидродинамики). Случай же, когда реакции сосредоточены только на
стратах максимальной размерности, называется «мягким».
Оказывается, что как в «мягком», так и в «жестком» случае уда-
удается построить в том или ином варианте практически полную парал-
параллель классической теории эллиптических уравнений. Правда, при этом
в привычных свойствах, которые раньше считались понятными до
очевидности, обнаруживаются совершенно новые, необычные стороны.
Так, граничная производная оказывается естественной компонентой
оператора Лапласа, условие Неймана и Вентцеля оказывается диф-
дифференциальным уравнением, а границей оказывается не геометриче-
геометрическая граница описываемого объекта, а то множество точек, где задано
условие Дирихле (впрочем, этот эффект уже ранее возник в теории
уравнений на геометрических графах).
Параграф 9.1 посвящен уравнениям с «жестким» лапласианом на
стратифицированных множествах. В п. 9.1.1 детально обсуждается
понятие стратифицированного множества и естественные постановки

14	Введение
задач на таком множестве, описываемые совокупностью уравнений на
стратах различной размерности; п. 9.1.2 вводит в основной формализм
теории уравнений на стратифицированных множествах, позволяющий
записать описанную выше систему уравнений как единый оператор ди-
дивергентного типа, который естественно назвать оператором Лапласа-
Бельтрами на стратифицированном множестве. Ключом для такого
описания оказывается стратифицированная мера, относительно кото-
которой и вычисляется дивергенция. В п. 9.1.3 на основе введенного форма-
формализма стратифицированной дивергенции выводятся аналоги основных
формул многомерного анализа — формул Грина. Один из первых
содержательных результатов, получаемых благодаря введенному фор-
формализму — аналог леммы Бохнера, — излагается в п. 9.1.4. Отметим,
что аналогом «замкнутого многообразия» оказывается стратифициро-
стратифицированное множество, на котором не задано условие Дирихле. Область,
на границе которой задано условие Неймана, в этом смысле ничем не
отличается от сферы. Здесь же доказываются теоремы о несовместных
дифференциальных неравенствах.
Неравенству Пуанкаре посвящен п. 9.1.5. Именно здесь возника-
возникает новое, специфическое для стратифицированных множеств понятие
прочности, ассоциируемое обычно с «принципом прокола»: иголкой
невозможно удержать мембрану — она проколется. Прочность состоит,
грубо говоря, в том, что смежные страты должны иметь размерность,
отличающуюся только на единицу.
Неравенство Пуанкаре оказывается ключевым для целого цик-
цикла результатов: обоснования слабой разрешимости задачи Дирихле
(п. 9.1.6), существование сильно непрерывной полугруппы (п. 9.1.7) для
параболического уравнения, слабый (п. 9.1.8) и сильный (п. 9.1.9) прин-
принципы максимума. Следует отметить, что сильный принцип максиму-
максимума потребовал специфических формулировок, существенно отличаю-
отличающихся от классических. Здесь обосновывается и аналог леммы Олей-
ник-Хопфа о нормальной производной; он оказывается эффективным
средством для доказательства принципа максимума.
Параграф 9.2 посвящен теории «мягкого лапласиана». Сюда вошли
как результаты, специфичные для таких уравнений, так и результаты,
которые для уравнения с общим, жестким лапласианом пока остаются
открытыми. В п. 9.2.1 содержатся необходимые для дальнейшего из-
изложения определения и указываются изменения, которые необходимы
для переноса результатов параграфа 9.1 на мягкий лапласиан; п. 9.2.2
посвящен теореме о среднем значении и получаемым на ее основе
сильному принципу максимума и неравенству Харнака, являющему-
являющемуся в свою очередь основой метода Пуанкаре-Перрона доказательства
уже сильной разрешимости задачи. Это доказательство приводится
в п. 9.2.4 на основе аналога формулы Пуассона (для стратифицирован-
стратифицированного шара), который выводится в п. 9.2.3.

Глава 1
ЗАДАЧИ НА СЕТЯХ И УРАВНЕНИЯ
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФАХ
В этой главе, имеющей обзорный характер, описываются основные
постановки задач, особенности, связанные с их анализом, основные
подходы и методы исследования соответствующих дифференциальных
уравнений.
1.1. Типичные постановки задач на сетях
1.1.1. Модели физического происхождения.
1. Малые поперечные колебания сетки из струн. Каждый одно-
одномерный фрагмент сетки (т. е. каждая струна) описывается обычным
уравнением колебаний
/ ч д и д , ч ди	/1 i\
^	{)	AЛ)
(u(t,x) — деформация), в узлах сетки заданы условия связи — непре-
непрерывности деформации и баланса сил, действующих на узел со сто-
стороны каждой из примыкающих к узлу струн (аналитически каждая
из этих сил выражается через первую одностороннюю производную).
На границе сетка закреплена, что выражается условиями Дирихле.
Примеры таких постановок см. в [56, 81, 108]. Мы придаем струнной
модели большое значение в силу ее «геометричности»: решение есть
просто форма, которую принимает сетка.
2. Колебания решетки из стержней. Здесь поперечная деформа-
деформация каждого фрагмента также описывается скалярным дифференци-
дифференциальным уравнением, но уже четвертого порядка
, х д2и д2 , ,д2и , д , ч ди
а[х) —тг =	ту р(х) —т> + -тг- rlx) -г—:
V ; dt2	дх2 V J дх2 дх у } дх'
в узлах заданы условия сочленения. В отличие от сетки из струн со-
сочленения стержней даже в физически характерных ситуациях значи-
значительно более разнообразны: помимо условий непрерывности и баланса

16	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
внешних сил, равного сумме односторонних третьих квазипроизвод-
квазипроизводных
д / ч д и , ч ди
()()
здесь должен быть учтен тип скрепления стержней в узле, который
может варьироваться от шарнирного (все односторонние вторые про-
производные равны нулю) до жесткой спайки (условия компланарности
всех троек касательных векторов и два условия баланса проекций
вращающих моментов на плоскость решетки). На границе (в гранич-
граничных вершинах) задаются условия закрепления решетки, традиционные
для стержней (жесткое или шарнирное). Примеры таких постановок
см. в [9, 132].
3.	Гидросеть. Здесь на каждом линейном фрагменте сети возникает
одномерное уравнением Навье—Стокса для сжимаемой жидкости
ди ди д2и
(где u(t,x) — скорость течения), в узлах задано условие непрерывно-
непрерывности давлений (производных от u(t, х) по х) и условие баланса общего
расхода — сумма расходов по всем примыкающим ребрам равна нулю
(расход равен скорости и, умноженной на площадь поперечного сече-
сечения трубы). Постановки задач для гидросетей см., например, в [18].
Аналогичные модели возникают при моделировании акустических се-
сетей и волноводов.
4.	Электрическая сеть. Здесь на каждом линейном фрагменте сети
задается уравнение электрических колебаний в проводнике с распре-
распределенными емкостью, индуктивностью и сопротивлением, что описы-
описывается уравнением в частных производных второго порядка, отличаю-
отличающимся от A.1) наличием диссипативного члена. В узлах сети задаются
условие непрерывности потенциала и условие баланса токов, известные
как законы Кирхгофа. Аналогичные модели широко используются
и для описания нейронных сетей (см., например, [90, 136])
5.	Уравнение теплопроводности и уравнение диффузии. Здесь на
каждом ребре (теплопроводящем элементе) задано классическое урав-
уравнение теплопроводности
„, ч ди д , ч. ди
В узлах сети заданы естественные условия непрерывности темпе-
температуры и баланса тепловых потоков. Такие модели исследовались
в [32,115,117, 118,124,135,138,140].
Все перечисленные задачи являются динамическими и описывают-
описываются уравнениями в частных производных. При отыскании стационарных
решений уравнения в частных производных заменяются обыкновен-

1.1. Типичные постановки задач на сетях	17
ными дифференциальными уравнениями. Применение метода Фурье,
как и в задаче о собственных колебаниях, приводят к спектральной
задаче на графе ([23, 56, 66, 89, 114, 116, 119, 120, 136, 137] и др.).
6.	Стационарные состояния электронов в молекуле [16, 49] описы-
описываются спектральной задачей с уравнениями
—и"{х) + q(x)u = k2u
на ребрах, с условиями непрерывности и с условиями баланса пото-
потоков (выражаемых через сумму односторонних первых производных)
в узлах. В отличие от моделей струнной и стержневой системы на
границе задаются не условия типа Дирихле, а условия типа Неймана —
равенство нулю первой производной.
Взаимодействие молекулы с «внешним пространством» [49] описы-
описывается в терминах совместного самосопряженного расширения двух
операторов: оператора —и" + q(x)u на сети и обычного оператора
Лапласа в трехмерном пространстве. По существу это — взаимодей-
взаимодействие молекулы с внешним пространством «через узлы» сети, при этом
особенности потенциала в окружающем пространстве (описываемые
через два коэффициента — при минус первой и нулевой степенях) свя-
связываются («отождествляются») с особенностями потенциала (функ-
(функции влияния, функции Грина) на сети (тоже описываемыми через два
коэффициента — значение в узле и сумма производных в этом узле).
Аналогично ставится задача взаимодействия молекулы с «внешним
миром», но в случае, когда «внешний мир» состоит из набора бесконеч-
бесконечных лучей, выходящих из узлов сети [16]. Дискретный аналог такой
модели рассмотрен в [45, 46].
1.1.2. Модели математического происхождения.
7.	«Тканая мембрана». Двумерный оператор Лапласа на области
заменяется на локально одномерный на достаточно густой сетке, при-
приближающей эту область. В отличие от обычной дискретизации такая
аппроксимация дает более полную картину спектра мембраны, кото-
который аппроксимируется «по всей ширине», т. е. не «снизу» (только ча-
частично), а «сверху» — по вложению (весь спектр плюс некая «паразит-
«паразитная» часть, которая при измельчении сетки «уходит в бесконечность»);
см. [36,50,149,150].
Отметим, что предельный переход в таких моделях родствен пре-
предельному переходу в моделях перфорированных областей [21], отличие
по существу только в том, что в моделях перфорированных областей
линейные фрагменты решетки считаются все-таки имеющими ненуле-
ненулевую толщину (хотя и малую, порядка малой величины е, по которой
осуществляется усреднение).

18	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
8.	Диаграмма бифуркаций. Если f(x): М2 —>• R — достаточно глад-
гладкая, растущая на бесконечности функция, то для каждого С G М линия
уровня (а точнее, каждое множество {х: f(x) = С}) представляет
собой объединение конечного или бесконечного числа замкнутых неса-
мопересекающихся кривых (циклов). Вне критических значений при
изменении С кривые деформируются непрерывно, и каждое непрерыв-
непрерывно деформирующееся семейство циклов можно сопоставить некоторо-
некоторому линейному отрезку, каждая точка которого соответствует своему
циклу. При прохождении С через критическое значение циклы мо-
могут сливаться (или разъединяться), что в терминах соответствующих
линейных фрагментов можно интерпретировать как «стыковку» двух
разных фрагментов и дальнейшее продолжение одним (либо, наоборот,
разветвление одного на два или более). В целом в качестве параметри-
параметризующего множества получается некоторый граф. Если каждой точке
этого графа поставить те или иные характеристики соответствующего
цикла (площадь охватываемой поверхности или длину кривой), то
динамику изменения этих параметров можно описывать дифференци-
дифференциальными уравнениями, причем в точках стыка опять появляются усло-
условия типа баланса (при слиянии циклов их площади складываются).
Подобная модель появляется и при исследовании бифуркаций вих-
вихревых течений в жидкости [105].
1.1.3. Различные расширения постановок.
9.	Нелинейные модификации: нелинейные волны на сетях [109],
спектральные задачи для нелинейных уравнений [93], краевые задачи
для нелинейных уравнений [84] и пр.
10.	Векторные задачи. В качестве примера приведем модель
сот [154]: гексагональная решетка, на каждом ребре которой задана
система из двух уравнений четвертого порядка (описывающих попе-
поперечные колебания) и одного уравнения второго порядка (описываю-
(описывающего продольные колебания). В узлах задаются условия непрерывно-
непрерывности и баланса сил. Специфика задачи состоит в том, что в проекциях
на оси координат продольные силы, действующие на одних ребрах,
уравновешиваются с поперечными, действующими на других, и тем
самым задача оказывается «сильно перевязанной» краевыми усло-
условиями.
11.	Обратные задачи для уравнений на графах могут возникать
не только в традиционной постановке — восстановление потенциала
для задачи Штурма-Лиувилля по спектру (здесь, в отличие от от-
отрезка, необходимы не две, а существенно большее количество задач).
Содержательной на графе оказывается и «задача Каца» — о вос-
восстановлении по спектру формы (структуры) графа. Правда, первые

1.2. Математическая формализация	19
результаты в этом направлении имели отрицательный характер (см.,
например, [155]).
12.	Задача граничной управляемости [121, 130, 132, 133, 151]. Эво-
Эволюционная система вида 1-5 п. 1.1.1 из начального состояния перево-
переводится в заданное за счет воздействия на граничные вершины сети. От-
Отметим, что сейчас в теории граничной управляемости появились новые
направления, открытые работами В. А. Ильина [26—30], — конструк-
конструктивная управляемость (когда не просто обосновывается существование
управления, а предъявляется его явная формула) и относительная
управляемость (когда полной управляемости нет, но она появляется
при выполнении некоторых выписываемых явно соотношений меж-
между параметрами задачи). Подобные постановки естественны и для
управления на сетях, где они, по-видимому, получат соответствующее
развитие.
13.	Уравнение на стратифицированном многообразии [52-54]. Это
одно из наиболее естественных обобщений уравнения на сети: вме-
вместо множества, составленного из одномерных фрагментов, рассмат-
рассматривается множество, сконструированное из многомерных фрагментов.
Такие множества и называются стратифицированными (в зарубеж-
зарубежных источниках часто используют термин ветвящееся пространство
[111, 112, 142]). Так, обычный куб является стратифицированным мно-
многообразием, состоящим из одного трехмерного страта (внутренность
куба), шести двумерных стратов (грани, точнее, их внутренности),
двенадцати одномерных стратов (ребра) и восьми нульмерных стратов
(вершины). Такого типа модели возникают, например, в упругих за-
задачах, когда грани и ребра обладают своими собственными упругими
свойствами, не сводимыми к упругости внутренности куба. Яркий
пример такого множества — струнная сетка с ячейками, затянутыми
мембраной. Здесь на струне, к которой приклеен край мембраны, «гра-
«граничное условие» мембраны склеивается с дифференциальным уравне-
уравнением на струне в одно соотношение; получается условие типа баланса
второй производной по касательному направлению (вдоль струны)
и первой нормальной производной (перпендикулярно струне внутрь
мембраны). Аналогично в терминах дифференциального уравнения на
стратифицированном множестве описывается пластинчатая конструк-
конструкция с ребрами жесткости и пр.
1.2. Математическая формализация
Основной проблемой, связанной с математической формализацией
задач на сетях, является по существу проблема синтеза: обычно описа-
описание процесса на каждом ребре — хорошо изученная задача на отрезке.
А вот объединение процессов на ребрах в единое целое оказывается

20	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
связанным с существенными трудностями: наиболее очевидные под-
подходы оказываются слишком поверхностными и недостаточными для
серьезного, глубокого анализа. Ниже изложены наиболее типичные из
используемых подходов.
1.2.1. Скалярный подход. Это один из самых простых под-
подходов, соответствующий представлению о расчленении сети в узлах
и «выкладыванию» ее ребер в одну линию. Каждое ребро парамет-
параметризуется своим отрезком [a^c^+i] вещественной оси (ад < а\ < ...
... < аг, г — число ребер). В результате получается внешне обычное
дифференциальное уравнение на отрезке [ад,аг]. Оно задано во всех
точках отрезка, кроме точек бц, в которых уравнение заменено кра-
краевыми условиями (вообще говоря, нераспадающимися, рассматривае-
рассматриваемыми как краевые). Тем самым математической моделью оказывается
многоточечная негладкая краевая задача. Такой подход эффективен
в ситуациях, когда структура сети не имеет принципиального значе-
значения, например, при получении асимптотики типа
\п = ^ + О(п)	A.2)
как для спектральной задачи Штурма—Лиувилля (здесь / — суммарная
длина всех ребер, если имеется в виду задача с уравнением —у" = Ху).
Наверное, ни один из специалистов, занимавшихся дифференциальны-
дифференциальными уравнениями на сетях, не прошел мимо асимптотики A.2).
Отметим, что приведенная асимптотика является достаточно гру-
грубой. Она позволяет обосновать, например, метод Фурье и управляе-
управляемость, но не позволяет описать картину локализации собственных
значений, из-за чего в задачах на графах почти неизбежно появляется
проблема кратных собственных значений. Так, для простейшей задачи,
описывающей набор из трех одинаковых струн (единичной длины),
связанных в одной точке, асимптотика будет иметь вид
2 2
7Г П
в то время как «настоящий» спектр состоит из двух серий собственных
значений — простой
. _ тг2Bп + 1J
к- -4
и двухкратной
Лп = 7Г2П2.
Нетрудно проверить, что асимптотическое соответствие здесь есть.
Дело в том, что погрешность асимптотики имеет тот же порядок, что
и разность между соседними значениями главной части, а константа,
фигурирующая в погрешности, оказывается в несколько раз больше
соответствующего коэффициента (в нашем случае равного 2тг2/9).

1.2. Математическая формализация	21
Вычисление же следующего члена асимптотики уже требует учета
структуры сети, и, насколько нам известно, эта задача пока в общем
случае не решена.
Скалярный подход делает достаточно прозрачным ряд общих
свойств краевых задач на сетях (связь однозначной разрешимости и су-
существование функции Грина). Однако поиск в рамках этого подхода
условий разрешимости оказывается уже весьма нетривиальным заня-
занятием: краевые условия имеют весьма сложную природу (их описание
требует использования матрицы смежности графа сети), и аналитиче-
аналитическое исследование оказывается уже практически невозможным. В са-
самосопряженном случае отчасти помогает метод квадратичных форм,
но в несамосопряженном случае задача достаточно сложная.
1.2.2. Векторный подход. Каждое ребро сети параметризуется
одним и тем же отрезком (например, [0,1]), а решения нумеруются
в соответствии с какой-либо предварительной нумерацией ребер. На-
Набор этих решений образует вектор-функцию, которая удовлетворяет
векторному дифференциальному уравнению (с диагональным потен-
потенциалом в случае задачи Штурма-Лиувилля), а условия согласования
оказываются двухточечными (как правило, нераспадающимися) крае-
краевыми условиями.
Этот подход по существу является чисто внешним «заменителем»
предыдущего скалярного, использование его зависит от вкуса. Он име-
имеет небольшое преимущество: с точки зрения этого подхода становится
очевидным не только существование функции Грина, но и ее непре-
непрерывность всюду, кроме вершин графа, и непрерывная дифференци-
руемость (со стандартной оговоркой о наличии скачка предпоследней
производной на диагонали).
Векторный подход, наряду со скалярным, используется и в кон-
конструкциях, опирающихся на абстрактные функционально-аналитичес-
функционально-аналитические результаты: порождающий задачу оператор оказывается заданным
либо в прямом произведении пространств, каждое из которых соответ-
соответствует «своему» ребру, либо в пространстве вектор-функций. Напри-
Например, для задачи Штурма—Лиувилля берется произведение Соболевских
пространств W\.
Правда, для Соболевских пространств условие, связывающее в вер-
вершине производные решений, оказывается уже несколько условным:
для его корректной формулировки необходимо привлекать термины
следов. В самосопряженном случае этих проблем удается избежать,
применяя формализм самосопряженных расширений минимального
оператора. В несамосопряженном случае ситуация оказывается уже
гораздо сложнее. Ниже мы опишем другой подход («интегральный»),
который позволяет обойти эти проблемы, но требует уже несколько
другой модели.

22	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
1.2.3. Синтетический подход. Этот подход связан с рассмот-
рассмотрением сети как цельного геометрического объекта. Более того, как
единое целое рассматривается вся система дифференциальных соот-
соотношений. Подсказку для такого рассмотрения дает, в первую очередь,
физика. Дело в том, что те условия баланса, которые возникают в вер-
вершинах графа, имеют ту же физическую природу, что и уравнения на
ребрах. Так, в случае сетки из струн уравнение на отрезке есть уравне-
уравнение баланса внешней силы и равнодействующей сил натяжения, прило-
приложенных к бесконечно малому участку струны. И та, и другая являются
бесконечно малыми, и потому при их сравнении и появляется лишняя,
вторая производная. В вершине же все приложенные силы являются,
вообще говоря, конечными, и поэтому условие баланса оказывается
конечным соотношением между первыми производными. Аналогично
обстоит дело и в моделях электрических сетей, гидравлических и др.
Поэтому оказывается естественным и дифференциальные уравнения
на ребрах, и условия согласования в вершинах считать реализациями
одного и того же дифференциального уравнения.
Но где задано это дифференциальное уравнение? Оказалось, что
для анализа удобно ввести «новый» объект, называемый геометри-
геометрическим графом (термин «геометрический» подчеркивает, что ребра
являются не символами связей, а геометрическими объектами — отрез-
отрезками). Он представляет собой структуру, состоящую из «абстрактных»
отрезков и вершин, примыкание которых друг к другу описывается
некоторым отношением. «Абстрактность» отрезков означает, что их не
обязательно вкладывать в какое-то пространство W1, а скорее следует
считать многообразиями, допуская при необходимости их перепара-
перепараметризацию. Такой взгляд оказывается естественным и с физической
точки зрения: в задаче 4 п. 1.1.1 электрические свойства контура с то-
током не зависят (если пренебречь явлениями самоиндукции) от того,
прямой проводник, изогнутый или вообще сложен «змейкой». Точно
так же теплопроводящие свойства линейного фрагмента сети (задача 5
п. 1.1.1) не зависят от его внешней геометрии, а зависят только от
распределения внутренних характеристик.
Описанная нами конструкция оказывается, вообще говоря, част-
частным случаем стратифицированного множества, однако по ряду при-
причин оказывается естественным оставить за ней название «геометриче-
«геометрический граф», а под стратифицированным множеством понимать объект
более высокой размерности (когда характерные для стратифицирован-
стратифицированных множеств проблемы примыкания многообразий становятся нетри-
нетривиальными).
Таким образом, в синтетическом подходе мы будем говорить
о дифференциальном уравнении, например, об уравнении Штурма-
Лиувилля
-(р(х)и')' + Xq(x)u = f(x)	A.3)

1.2. Математическая формализация	23
на геометрическом графе Г, которое на ребре 7г ПРИ фиксированной
параметризации реализуется в виде дифференциального уравнения
-(р7(жУ7)' + А<77(ж)г*7 = /7(ж),	A.4)
а в вершине а — в виде условия
(а)К(а) + Я(а)и(а) = /(о).	A.5)
Здесь Uj(-) означает сужение и: Г —> Ж на ребро 7> а ^7(а) —
«крайнюю» производную и1 в конце а ребра 7 п0 направлению
«внутрь 7»- При этом, как видно, условие A.5) может оказаться неод-
неоднородным, в нем может присутствовать «потенциал», причем q(a)
и f(a) никак не связаны с предельными значениями q-y(x) и /7(ж);
в случае, например, сетки из струн коэффициент q(a) есть жесткость
пружинной опоры в вершине a, a f(a) — приложенная к этой вер-
вершине сосредоточенная сила. Суммирование ведется по всем ребрам 7?
примыкающим к вершине а, что мы будем в дальнейшем обозначать
записью 7 ? Г (а) под знаком суммирования.
1.2.4. Интегральный подход. Синтетический подход, являясь
весьма удобным, позволяет получать существенно более глубокие и яр-
яркие результаты, чем скалярный или векторный подход, но и он имеет
изъяны. Дело здесь в интерпретации уравнений на ребрах как диффе-
дифференциальных уравнений на многообразиях. Это означает по существу,
что мы каждое ребро должны снабдить параметризацией с правила-
правилами пересчета при переходе из одной параметризации в другую как
коэффициентов дифференциальных уравнений, так и условий согла-
согласования. Обычно этих сложностей избегают введением некоторой фик-
фиксированной более или менее естественной параметризации, например,
через длину ребра в смысле метрики объемлющего пространства или
просто отрезком [0,1].
Однако оказывается, что в физических задачах такой подход не
вполне адекватен. Реальные физические системы (например, сетка из
струн) обладают параметризациями физического свойства, игнориро-
игнорирование которых приводит к существенным формальным трудностям.
Так, естественная параметризация задается распределениями массы,
внешней силы, силы упругой реакции струны и силы упругой реакции
внешней среды. Правда, эти параметризации друг с другом, вообще
говоря, не согласованы; например, может быть сосредоточненная ре-
реакция внешней среды в одной точке, а в другой — сосредоточенная
масса, так что говорить об одной универсальной параметризации тут
не удается.
Решение этой проблемы лежит на пути введения терминов меры
и дифференцирования по мере.

24	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
Действительно, если обозначить l/p(x)dx через da, q(x)dx че-
через d/jt, a f(x)dx через dF, то дифференциальное уравнение A.3)
запишется в виде
d (du\ Л dF	( х
Ы+Ам = ^Г	(L6)
Преимущества такой формы записи очевидны: мера уже не зависит
от выбора параметризации, да и вообще параметризация оказывается
излишней. Кроме того, введение в рассмотрение не только распреде-
распределенных, но и сосредоточенных мер (например, в узлах графа) позволя-
позволяет вписать условия баланса в вершинах в формализм самого обычного
дифференцирования по атомарной мере.
Последний подход, являясь по существу самым естественным, име-
имеет тем не менее свои «недостатки». Во-первых, в общих рассмотрениях
фигурирующие в уравнении меры могут быть взаимно сингулярны,
и это создает некоторые аналитические трудности. Во-вторых, аппа-
аппарат дифференцирования и интегрирования по мерам сейчас довольно
хорошо разработан для производных порядка не выше второго (этому
вопросу посвящена гл. 7). Для производных более высоких порядков
приходится (см. [71]) производить дробление атомарных мер (это дроб-
дробление существенно и физично, но выходит за рамки классического
исчисления мер). В-третьих, это требует взгляда на уравнение на сети
с достаточно абстрактной точки зрения, которая в конкретных задачах
может оказаться неуместной (понятно, что для простой квадратной
сетки из однородных струн формализм мер не нужен). Поэтому мы
в зависимости от задач и целей будем комбинировать все перечислен-
перечисленные подходы. Как правило, основным является синтетический под-
подход — он позволяет детально описать и уравнение, и условия согласо-
согласования, а с другой стороны — формулировки результатов получаются
краткими.
1.3. Основные понятия
Здесь мы приведем «базовый», типовой набор понятий, характер-
характерный для задач на геометрических графах. В различных главах этой
книги эти определения будут уточняться или модифицироваться в за-
зависимости от нужд исследования.
1. Под геометрическим графом понимается одномерное страти-
стратифицированное многообразие. Ребро графа — это одномерное гладкое
регулярное многообразие (кривая). Вершина графа — точка. Удобно
считать, что ребра графа и вершины заданы независимо друг от друга
и, кроме того, задано отношение: какие концы каких ребер отождеств-
отождествляются с данной вершиной. При этом в принципе не исключаются
и петли (два конца одного ребра отождествляются с одной и той
же вершиной), и кратные ребра (несколько ребер имеют в качестве

1.3. Основные понятия	25
своих концов одни и те же вершины). Хотя, согласно общепринято-
общепринятому определению, граф считается абстрактным множеством, удобно
предполагать, что он вложен в М2 или М3, считая ребра обычны-
обычными пространственными кривыми, соединяющими точки-вершины и не
имеющими самопересечений; во многих задачах эти кривые являются
просто прямолинейными отрезками.
Ребра обозначаются через 7 или (если они занумерованы индек-
индексом г) через 7г> вершины — через а (или а^ при этом нумерация
вершин предполагается независимой от нумерации ребер), граф обо-
обозначается через Г.
2.	Индекс вершины — количество примыкающих к ней ребер с уче-
учетом кратности примыкания (в случае петель). Индекс может прини-
принимать значение 1 (концевое ребро), 2 (вырожденная внутренняя вер-
вершина), 3 и более (невырожденная внутренняя вершина). Через Г(а)
обозначается совокупность ребер, примыкающих к вершине а. При
постановке краевых задач полезным оказывается следующее свойство:
сумма индексов всех вершин графа равна удвоенному количеству
ребер.
3.	Скалярная функция и(х) на графе — обычное отображение и:
Г —> R. Сужение функции и(х) на ребро j обозначается через и1(х).
При обсуждении свойства непрерывности функции, заданной на
графе, удобно различать три случая. Первый — обычная непрерыв-
непрерывность (непрерывность на каждом ребре как на интервале, вплоть до
его концов; все пределы функции по ребрам, примыкающим к дан-
данной вершине, совпадают и их общее значение есть значение функции
в этой вершине). Множество непрерывных на Г функций обозначается
через С (Г). Второй случай — кусочная непрерывность (непрерывность
на ребрах, но пределы в одной и той же вершине по разным ребрам
различные, функции не приписывается никакого значения в вершине).
Множество кусочно непрерывных функций обозначается через С [Г]
(иногда С[Я(Г)], где под Я(Г) понимается несвязное формальное объ-
объединение ребер — замкнутых отрезков). Третий случай — дискретная
непрерывность: (непрерывность на каждом ребре как на интервале,
наличие значений в вершинах, однако значения в вершинах никак не
связаны с пределами по ребрам, примыкающим к этим вершинам).
Множество таких функций обозначается через С{Г}. Первый тип
непрерывности обычно используется для решений дифференциальных
уравнений, второй — для их производных, а третий — для коэффици-
коэффициентов уравнения и правых частей (в п. 1.2.4 мы обозначали естествен-
естественность и необходимость постановок задач с такими коэффициентами
и правыми частями).
4.	Через СП[Г] (или СП[Я(Г)]) обозначается пространство функ-
функций, на каждом ребре п раз непрерывно дифференцируемых вплоть до

26	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
границы (т.е. все производные принадлежат С [Г]). В этом простран-
пространстве, собственно говоря, и задается дифференциальный оператор. Что-
Чтобы не выписывать отдельно условия непрерывности в вершинах графа,
удобно ставить задачу в пространстве СП(Г) = СП[Г] П С (Г). Как по-
показывают примеры, предполагать непрерывность производных в вер-
вершинах графа нефизично, поэтому в определение СП(Г) включается
только непрерывность самой функции.
Для функции из СП[Г] вводятся в рассмотрение крайние производ-
производные
этой функции в вершине а графа по направлению «внутрь» ребра 7
G ? Г (а)); к — порядок производной @ ^ к $J n). Это обычные про-
производные функции и1(х), заданной на ребре 7> вычисленные в кон-
концевой точке ребра (где применяется одностороннее дифференцирова-
дифференцирование) и умноженные, если ребро параметризовано в направлении к а,
на (—1)^, чтобы интерпретировать их как производные по направле-
направлению от концевой точки внутрь ребра.
5. Линейное дифференциальное уравнение на ребре — это обычное
дифференциальное уравнение на кривой. Считается, что при некото-
некоторой фиксированной параметризации x(s) оно описывается уравнением
Po(s)u^ + Pl(s)u^-^ + ...+ Pn(s)u = f(s),	A.7)
а при смене параметризации коэффициенты пересчитываются по со-
соответствующим формулам (при этом, естественно, предполагается до-
достаточная гладкость замены параметра).
Условие согласования в вершине — это любая комбинация значений
функции и ее граничных производных в этой вершине. Формально это
записывается как
п-1
Ца)+ Y, Е^<}Н = /Н-	A.8)
7ЕГ(а) к = 1
Левую часть этого равенства удобно обозначать через 1{у) — это
общий вид функционала, «сосредоточенного» в вершине а. Обычно
предполагается, что н + ^2 а^к ^ 0> если же все а7& равны нулю, то
такие условия выделяются особо как краевые (или условия Дирихле,
по аналогии с уравнениями в частных производных).
Причина такого особого отношения к условиям Дирихле состоит
в том, что в физически интерпретируемых задачах оказывается, что
любые условия согласования, кроме условий Дирихле, играют по су-
существу ту же роль, что и дифференциальные уравнения на ребрах, они
порождаются теми же физическими законами, и поэтому естественно
считать их «дифференциальным уравнением в точке». Выше мы уже
говорили о такой интерпретации: уравнение A.3) на ребре реализуется

1.3. Основные понятия	27
в виде A.4), а в вершине — в виде A.5). При этом если индекс вершины
равен 1 (к ней примыкает только одно ребро), то A.5) превращается
в условие
— аи (а) + q(a)u(a) = /(a),
т.е. в условие типа Штурма—Лиувилля, а если q(a) = О — в условие
Неймана.
Условие же Дирихле играет особую роль: в нем значение решения
в точке определяется не «через уравнение», а «напрямую», вопреки
уравнению, действие на эту точку близлежащих элементов исходной
физической системы игнорируется. По существу условие нетривиаль-
нетривиальности набора d1k — эт0 условие регулярности дифференциального
уравнения в вершине. Если же набор тривиален, уравнение в вершине
«теряет» порядок и превращается в условие Дирихле.
6.	Краевая задача на графе в пространстве СП[Г] — это набор диф-
дифференциальных уравнений A.7) на ребрах и условий согласования A.8)
в вершинах графа (в том числе условий Дирихле). Задача считается
«нормальной», если суммарное число условий согласования (включая
условия непрерывности, если они есть) и условий Дирихле равно чис-
числу ребер, умноженному на порядок дифференциального уравнения.
В случае четного порядка п это выполняется, например, если в каждой
вершине а задается (га/2) • |Г(а)| условий.
Обыкновенным линейным дифференциальным уравнением на гра-
графе Г в Сп[Г]
Lu = /	A.9)
называется любая совокупность дифференциальных уравнений A.7)
на ребрах и регулярных условий согласования A.8) в вершинах графа
(без условий Дирихле, если они есть).
Совокупность вершин, в которых задано условие Дирихле, назы-
называется границей графа и обозначается дГ. Вершины графа, не являю-
являющиеся граничными, называются внутренними.
7.	Пример. Задача Дирихле для уравнения Штурма—Лиувилля
-(р(х)и'У + q(x)u = /(ж), жеГ,	A.10)
— это набор уравнений
-(Рч(х)и'7У + <77(ж)г*7 = /7(ж), х е 7,
на ребрах, набор условий согласования
в С\Т)
7ЕГ(а)
в вершинах с индексами больше 1 и условия Дирихле
и{Ь) = 0

28	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
в вершинах с индексами 1. Условия непрерывности в вершинах «за-
«зашиты» (как было обещано) в пространство С2(Г).
Если подсчитать, что в каждой вершине задано |Г(а)| — 1 условий
непрерывности и либо одно условие согласования, либо одно условие
Дирихле, то суммарное количество условий оказывается равным сумме
индексов всех вершин, т. е. удвоенному числу ребер. Именно такую раз-
размерность имеет прямая сумма пространств решений однородных урав-
уравнений на ребрах графа, так что задача действительно «нормальная»
в традиционном понимании — количество условий равно размерности
ядра дифференциального оператора.
1.4. Краткий обзор результатов
Первые работы по теории дифференциальных уравнений на гра-
графах появились в 80-х годах XX века и были связаны с различны-
различными моделями: диффузии [135], распространения нервного импуль-
импульса [116, 136], упругих сеток [56, 66], распределения электронов в мо-
молекуле [16, 49]. В работах [114, 137, 149, 150] обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка на графе рассматривалось как
аналог уравнения Лапласа.
В работах [56, 66, 86] был исследован спектр простейшей задачи,
когда граф является пучком (набор из к ребер, примыкающих к одной
вершине) с условиями Дирихле на границе. Был обнаружен эффект
кратности (причем по всей ширине спектра) собственных значений,
описаны собственные функции. Работа [49] тоже была посвящена
структуре спектра, однако там рассматривалась задача Неймана и,
кроме того, основную часть работы занимала задача взаимодействия
молекулы со средой: рассматривалось совместное самосопряженное
расширение операторов — и" на графе и оператора Лапласа в М3,
заданных в подпространстве функций, аннулирующихся в вершинах
графа. Базис дефектного пространства такого сдвоенного операто-
оператора составляют функции влияния (функции Грина) задачи на графе
с особенностями в узлах графа и потенциалы, тоже с особенностями
в вершинах графа, для оператора в М3. Самосопряженное расширение
определяется теми или иными условиями связи между коэффициен-
коэффициентами, определяющими дефектную функцию. Доказано, что у такой
задачи спектр распадается на две части — «внешнюю» и «внутрен-
«внутреннюю»; «внешняя» асимптотически стремится к спектру задачи в М3
без учета графа, а «внутренняя», наоборот, к спектру задачи на гра-
графе, изолированном от окружающего пространства. Изучена матрица
рассеяния, отвечающая этой задаче.
Результаты зарубежных математиков посвящены главным об-
образом обоснованию разрешимости «эллиптической» (фактически —
для уравнения Штурма-Лиувилля) задачи, исследованию струк-

1.4- Краткий обзор результатов	29
туры и асимптотики ее спектра и получению оценок резольвенты
(см. [107, 116, 134-136, 139, 141]), что позволило обосновать с по-
помощью общих методов функционального анализа в гильбертовых
пространствах существование и единственность решения эволюцион-
эволюционного уравнения, существование соответствующей полугруппы и т. п.
[115, 135, 140]. Практически все исследователи использовали либо
скалярный, либо векторный подход, в их результатах структурные
особенности сети не играли принципиального значения. Более того,
в подавляющем большинстве случаев изучалось уравнение с посто-
постоянными на ребрах коэффициентами, так что основные сложности,
которые приходилось преодолевать, были «формально-структурного»
характера — как «сконструировать» характеристический определи-
определитель спектральной задачи.
К этому же периоду относятся и первые результаты по более «тон-
«тонкому» исследованию спектра: в [139] получены оценки отношений со-
соседних собственных значений, а в [138] было обнаружено, что спектр
линейного графа (ребра соединены последовательно) может быть вы-
вычислен через нули полиномов Чебышева.
Отметим особо постановку задачи для волнового уравнения [108]
и работы [149, 150], в которых, по-видимому, впервые (правда, неза-
независимо этот результат был получен и в [50]) было обнаружено свой-
свойство близости спектра сетки из струн и спектра мембраны. В [36]
эта близость была квалифицирована как «склеивание» спектральных
последовательностей, когда спектр одной отличается от спектра дру-
другой только при достаточно больших значениях спектрального пара-
параметра.
Конец 80-х — начало 90-х годов были связаны с довольно бур-
бурным развитием теории дифференциальных уравнений на сетях. Наи-
Наиболее крупные циклы работ принадлежат G. Lumer (Mons, Belgium),
S. Nicaise и его научной группе, из членов которой особо отметим F. Ali-
Mehmeti; J. von Below (Calais, France); J.-P. Roth (France); J.E. Lagnese,
G. Leugering и E.J.P.G. Schmidt (США, Германия, Канада). В нашей
стране основные исследования уравнений на сетях проводятся творче-
творческой группой Ю.В. Покорного, которую представляют авторы настоя-
настоящей монографии.
Исследования группы S.Nicaise были связаны с использованием
методов абстрактного функционального анализа для разрешения эво-
эволюционных задач. Поэтому основной акцент в исследовании здесь
сосредоточен, с одной стороны, на исследовании функционально-ана-
функционально-аналитических свойств уравнений с переменными коэффициентами [116],
а с другой — на переходе к рассмотрению «ветвящихся пространств» —
аналогов сети, но имеющих более высокую размерность [118]. Значи-
Значительные результаты здесь достигнуты в анализе особенностей опера-
оператора Лапласа в полигональных областях, как выпуклых, так и невы-
невыпуклых [143].

30	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
В работах [130-133, 144, 145, 151] изучалась задача управляемости
(главным образом граничной управляемости) системой из стержней.
Основой являлись спектральные асимптотики, оценки резольвенты
и абстрактные функционально-аналитические теоремы теории гранич-
граничного управления.
Остановимся более подробно на работах авторов настоящей мо-
монографии. В [57, 81, 82] на основе синтетического взгляда на уравне-
уравнение удалось получить ряд результатов, оказавшихся основой дальней-
дальнейших исследований. Это, прежде всего, принцип максимума в слабой
(максимум/минимум решения на всем графе совпадает с максиму-
максимумом/минимумом на границе) и сильной (отсутствие нетривиальных
внутренних максимумов/минимумов) форме для уравнения
-(р(х)и'У = 0
с положительной функцией р(х). Будучи распространенным на реше-
решения дифференциальных неравенств
-(р(х)и'У > 0,
он стал основой для обоснования однозначной разрешимости задачи
Дирихле для уравнения
-(р(х)и'У + q(x)u = f(x)
с положительной функцией р(х) и неотрицательной функцией q(x).
Основным инструментом для анализа здесь стало понятие S-зоны —
связного подмножества в графе, внутри которого решение не имеет
нулей, а на границе обращается в нуль. #-зона оказалась естественным
аналогом промежутка «между соседними нулями» для одномерных
задач; в терминах #-зоны удалось описать аналоги теоремы Штурма
о перемежаемости нулей и доказать соответствующие теоремы срав-
сравнения.
Более глубокий анализ распределения нулей решений однородных
уравнений позволил построить для уравнения второго порядка аналог
теории неосцилляции [58, 59, 67, 73] (напомним, что в случае отрезка
неосцилляция означает отсутствие других нулей у решения, аннули-
аннулирующегося в граничной точке отрезка). Это дало возможность точно
описать деформацию S-зон при изменении спектрального параметра
и ассоциировать ведущее собственное значение спектральной задачи
с верхней границей тех значений, при которых дифференциальное
уравнение не осциллирует (т.е. решения не имеют S-зоп). Отсюда сле-
следуют, в частности, простота ведущего собственного значения и строгая
положительность ведущей собственной функции. Современное состо-
состояние теории неосцилляции на графах изложено в гл. 4.
Следующий цикл результатов — теория функции Грина для урав-
уравнений второго порядка [34, 75—77]. Здесь существенную сложность
представлял анализ функции Грина G(x, s) при значениях аргумента,

1.4- Краткий обзор результатов	31
близких к вершинам графа. Было доказано существование пределов
(предельных срезок)
Gi(x,a)= lim G(x,s)
и обнаружено, что эти пределы, вообще говоря, различны (в зависи-
зависимости от ребра). При этом выявился нетривиальный факт: для непре-
непрерывности функции Грина по второй переменной в вершине графа
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты OLi{a) в условиях со-
согласования
^ оц(а)и'{(а) + q(a)u(a) = f(a)
совпадали с пределами Pi(a) коэффициентов в дифференциальных
уравнениях на ребрах. Последнее в свою очередь эквивалентно самосо-
самосопряженности задачи, так что непрерывность функции Грина оказалась
напрямую связана с самосопряженностью.
Конструктивное построение функции Грина на геометрическом
графе тоже имеет специфические особенности. Естественно, что она
строится путем комбинации некоторого фундаментального решения
и решений однородного уравнения, однако на графе, в отличие от
отрезка, нет достаточно «естественного», гладкого фундаментального
решения. Такое фундаментальное решение приходится «склеивать» из
фундаментальных решений на ребрах. При этом в качестве фунда-
фундаментальных решений на ребрах можно брать как функции Коши, так
и функции Грина элементарных двухточечных задач. Последний при-
прием имеет дополнительное преимущество — он не выводит за пределы
пространства С (Г), что избавляет от работы с условиями непрерывно-
непрерывности и резко сокращает выкладочную рутину. Общие вопросы теории
функции Грина для уравнений на графах изложены в гл. 6.
Продолжалось исследование спектральной асимптотики краевой
задачи для уравнения Штурма-Лиувилля с переменными коэффици-
коэффициентами, где обоснована спектральная полнота (в смысле М.В. Келды-
Келдыша) системы корневых функций [23-25]. Были получены оценки крат-
кратности собственного значения задачи Дирихле для уравнения Штурма—
Лиувилля (к сожалению, эти результаты в центральной печати пока и
не опубликованы): для графа-дерева кратность не превосходит числа
граничных вершин минус единица, для графа с циклами эта оценка
увеличивается на цикломатическое число. В дополнительных предпо-
предположениях эту оценку можно уточнять, чему был посвящен целый ряд
тезисов докладов на конференциях.
Еще одно направление, появившееся в 90-е годы, — исследование
обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка на
сетях [9]. Здесь также следует отметить полезность синтетического
подхода: рассмотрение условий согласования как реализации диффе-
дифференциального уравнения позволило для решений такого уравнения

32	Гл. 1. Задачи на сетях и уравнения на геометрических графах
обосновать такой же принцип максимума, что и для уравнений вто-
второго порядка, и на основе его произвести обоснование разрешимости
краевых задач, изучить ряд свойств функции Грина (непрерывность
и положительность), доказать простоту и положительность ведущего
собственного значения. Современное состояние теории уравнений чет-
четвертого порядка представлено в гл. 8.
В 90-х годах был получен также ряд новых качественных результа-
результатов в спектральной теории задачи Штурма—Лиувилля для уравнений
на графах: аналоги осцилляционных теорем Штурма (вещественность
и простота собственных значений, перемежаемость нулей собственных
функций) на графе-дереве [88, 89] (здесь оказалось существенным, яв-
являются ребра графа соизмеримыми или нет: наличие соизмеримых
ребер вызывает появление кратных точек спектра) и теоремы о пе-
перемежаемости спектров (тоже для графа-дерева). Последний резуль-
результат интересен тем, что позволяет хотя бы частично «локализовать»
распределение собственных значений. Перемежаемость состоит в том,
что спектр задачи на графе оказывается перемежающимся с совокуп-
совокупностью всех спектров частных задач на подграфах, на которые распа-
распадается исходный граф при удалении из него любой (одной) внутренней
вершины. Если какое-то значение в совокупном спектре частных задач
встречается т раз, то для исходной задачи это значение является точ-
точно (га — 1)-кратной точкой спектра. Подробно этот результат изложен
в гл. 5.
Текущий период (с середины 90-х годов XX века) характеризуется
как изобилием новых постановок и направлений, так и существенным
расширением круга математиков, занимающихся такими вопросами.
Помимо уже упомянутой выше теории уравнений четвертого по-
порядка [80, 119—121], активно начали исследоваться векторные зада-
задачи [110] (особенно модели сот [154]), нелинейные уравнения [84, 93],
обратные задачи (отметим работу [155], посвященную вопросу о том,
можно ли по спектру восстановить структуру графа, и содержащую
довольно тонкий анализ структуры спектра уравнения на сети), пре-
предельные переходы в спектре от тканой мембраны к области и от
решетки к пластине [36, 146]. Начали интенсивно изучаться волновые
процессы на сетях [7, 109, 113]
Теория дифференциальных уравнений на сетях обнаружила род-
родственные связи с теорией усреднения в моделях перфорированных
сред [21] и с теорией бифуркаций в вихревых потоках [105].
Получила распространение теория дифференциальных уравнений
на стратифицированных множествах (второй и выше размерности) —
многомерном аналоге геометрического графа (им посвящена гл. 9).
Широкий круг результатов представлен в сборнике трудов прошед-
прошедшей в 1999 г. конференции в г. Люмини (Франция) [156].

Глава 2
СТРАННОСТИ ЗАДАЧ НА ГРАФАХ
Ниже приводится несколько весьма простых примеров, позволяю-
позволяющих наблюдать своеобразие качественных свойств задач на графах, их
несколько неожиданный характер на фоне классических задач.
2.1. Задача Штурма—Л иу вил ля
Классическая задача Штурма—Лиувилля
-(ри'У+ qu = \ти (О^ж^/),	B.1)
и@) = и{1) = 0	B.2)
с достаточно регулярными вещественными коэффициентами при р > О
и q ^ 0, т ^ 0 (^ 0) обладает следующими свойствами.
1.	Ее спектр состоит из неограниченной последовательности поло-
положительных простых собственных значений Aq < Ai < A2 < ... < An <
< ... (простота А/г алгебраическая, означающая как одномерность
множества отвечающих А& собственных функций, так и отсутствие
присоединенных элементов).
2.	Если через (рь обозначить как-либо нормированные собственные
функции, отвечающие А&, то у?о не имеет нулей внутри @, /), a ipk (к ^
^ 1) имеет точно к нулей; все эти нули простые.
3.	При каждом к нули функций ip^ и (pk+i перемежаются, т. е.
между любыми соседними нулями </?/, есть точно один нуль ipk+i,
и наоборот.
Эти свойства, наглядные и легко интерпретируемые физически,
чрезвычайно важны для приложений. Эти свойства, называемые гар-
гармоническими, характерны и для собственных колебаний обычной стру-
струны (в качественном описании они были известны еще древним грекам).
Распространению этих свойств на более широкие классы краевых за-
задач, начатому работами О.Келлога и М.Крейна, посвящена обширная
литература. В частности, они справедливы для задачи вида B.1), B.2),
2 Ю. В. Покорный и др.

34
Гл. 2. Странности задач на графах
в которой уравнение B.1) в конечном наборе ?i < ?2 < • • • < Cm точек
из @, /) заменяется связями вида
для непрерывных в точке ^ решений либо связями вида
«%¦ - о) = u'iij + о) = ь[и(ь + о) - «(& - о)] (kj > 0),
где для случая струны первые связи соответствуют сосредоточенным
упругим опорам (типа пружин), а вторые — упругим сочленениям
в точках ?j разрыва. После этого результата для явно нестандартной
задачи естественно ожидать, что для сетки из простых струн подобные
свойства в той или иной форме должны сохраниться. Однако ожида-
ожидания эти терпят крах уже в совершенно тривиальных ситуациях.
и2(х2)
2.2. «Струнный крест»
Рассмотрим пару одинаковых однородных натянутых струн, распо-
расположенных в одной плоскости перпендикулярно друг другу и имеющих
общую середину, где они связаны (рис. 2.1). Будем считать, что этот
узел помещен в начало коорди-
координат xiOx2, оси которых направ-
направлены вдоль струн. Считая длины
струн равными 2тг (для удобства
вычислений), предположим еди-
единичными натяжение и плотность
распределения масс. Тогда откло-
отклонения (деформации) этих струн
в ортогональном к xiOx2 направ-
направлении определяются парой функ-
функций ui(xi) и 1^2(^2), заданных
При —7Г ^ Ж]_, Х2 ^ 7Г. ЕСЛИ СОб-
ственные колебания возможны, то
соответствующие амплитудные функции должны быть собственными
функциями для следующей задачи:
„/' 	 \„.	„,ff 	 Л,,,	/О Я"\
Рис. 2.1. «Струнный крест»
B.4)
при условиях закрепления концов, аналогичных B.2),
ui(±tt) = 0, г?2(±тг) = 0
и условии связи в узле (a?i, x2 = 0)
U!@) = «2@).	B.5)
Условие баланса натяжений в общем узле означает дополнительно
«i(-0) + u'2(+0) - u'2(-0) = 0.	B.6)

2.2. «Струнный крест»
35
Взаимодействуя друг с другом в нуле, u\(xi) и 1^2(^2) могут иметь
при Х{ = 0 изломы, что означает правомерность B.3) лишь при х\ ф
ф О, Х2 ф 0. Тем самым мы имеем в B.3) фактически не два, а четыре
уравнения — по числу сторон нашего «струнного креста».
Несложно показывается, что спектр описанной задачи веществен
и лежит на положительной полуоси. Положим в B.3) Л = со2. В силу
симметрии «креста» и условий B.4)-B.6) собственные функции ipk(x)
должны на каждой стороне «креста» иметь (с точностью до множите-
множителя) вид
ipl(x) = Sin
гъ ~~г~ -L
+ 7Г), (р$(х) = Sin
гъ ~~г~ -L
B.7)
и спектр состоит из последовательности uik = (k + 1)/2 (/с = 0,1, ...).
При этом каждому четному к (=0,2,4,...) соответствует простое
собственное значение, которому соответствует собственное колебание
в точности вида B.7) как по a?i, так
и по ^2: обе струны колеблются с оди-
одинаковой собственной частотой, совпа-
совпадая по амплитуде в общей точке без
изломов в ней (график (р° приведен
на рис. 2.2). Каждому нечетному к
соответствует трехмерное собственное
пространство, причем соответствую-
соответствующие линейно независимые собствен-
собственные функции могут быть выбраны
так: две из них соответствуют собст-
собственному колебанию, при котором од-
одна из поперечных струн неподвижна,
а другая колеблется, имея в нуле нулевую амплитуду (рис. 2.3). Третья
собственная функция соответствует колебанию, при котором звучат
лишь две накрест лежащие половинки струн, тогда как другие две
Рис. 2.2. Простое собственное
значение
Рис. 2.3. Кратное собственное значение
половинки молчат, как если бы в нуле система была закреплена. По-
Последняя форма собственного колебания подсказывает, что на однород-
однородной сетке из струн любая квадратная ячейка может являться носите-
носителем стоячей волны, для которой все струны вне ячейки неподвижны,
стороны ячейки колеблются с одинаковой частотой, причем противо-

36	Гл. 2. Странности задач на графах
положные стороны синхронизированы одинаковыми по направлению
колебаниями, а соседние — противоположными (рис. 2.4).
Таким образом, для рассмотренной системы («струнного креста»)
за счет взаимодействия пары обычных струн всего лишь в одной точке
нарушается свойство 1 — теряется простота точек спектра. Аналоги
же свойств 2 и 3 для собственных частот о;& с нечетными к просто
отсутствуют, так как у собствен-
ных функций появляются неизо-
неизолированные нули и как понимать
«перемежаемость» нулей (глядя,
например, на рис. 2.2 и рис. 2.3) —
не ясно.
В чем причина столь грубого
Рис. 2.4. Стоячая волна	нарушения природных гармони-
гармонических свойств, характерных для
одной струны (ведь каждое плечо нашего «креста» — обычная стру-
струна)?
Первая гипотеза: обе поперечные струны идентичны, и описанные
нарушения гармоничности колебаний — следствие симметрии системы.
Однако если одну из струн удлинить вдвое, потеря простоты у некото-
некоторых собственных частот сохранится. Эта аномалия сохранится и если
исходные струны пересечь (перевязывая) не серединами, а третями
(чтобы каждая делилась в отношении 1:2).
Вторая гипотеза: дело не в симметрии системы и не в идентичности
исходных двух струн, а в их соразмерности. Проверка этой гипотезы
и явилась изначальным направлением наших интересов. О том, что
при внешней физической простоте объекта в задаче имеется весьма
непростая математическая «подкладка», свидетельствует следующий
далее пример.
2.3. Пучок из трех струн
Упростим предыдущую ситуацию, отбросив одно из четырех ребер
«креста», т. е. рассмотрев систему из трех струн, натянутую в форме
рогатки (или буквы Y) с одним общим концом. На каждом ребре
уравнение для собственных функций и частот примет вид
-и" = Хиг @ ^ хг ^ /i),
-u'i = \u2 @^ж2^/2),	B-8)
Здесь мы через и\(х), г?2(ж), и^(х) обозначаем деформации (от-
(отклонения от состояния равновесия) каждой из трех струн, считая
их длины соответственно равными /1? /2, /з и используя в качестве

2.3. Пучок из трех струн	37
аргумента натуральный параметр, т. е. расстояние точки от общего
узла. Условия в общей точке примут вид
Ul@) = и2@) = и3{0) и[(р) + 4@) + и'3{0) = 0. B.9)
При /i = /2 = /3 спектр собственных частот этой задачи будет таким
же, что и в предыдущей: свойство простоты отсутствует у каждой
нечетной собственной частоты (кратности равны 2).
Сделаем еще одно упрощение в данной задаче, чтобы заведомо
исключить симметрию и одновременно допустить переформулировку
задачи в стандартных одномерных терминах. Для этого мы предпо-
предположим, что третья струна не загружена массами. Это означает, что
третье уравнение в B.8) будет иметь вид —и$ = 0 и решения его —
просто линейные функции с нулем в точке х% = /з- Для каждой из
них ur3 = const, и поэтому и'3(хз) = 4@) = — us@)/ls- Отсюда в си-
силу B.9) следует
«i@) + 4@) = 1 Ul@) = f u2@).	B.10)
*з	ьз
Теперь мы можем «скаляризовать» задачу: изменив знак аргумента
в первом уравнении B.8) для первой струны, мы будем приписывать
его отрезку [—/i,0], оставив второе на отрезке [0,/2]. Тем самым мы
получаем единое уравнение
-и" = \и (-h ^ х ^ /2)	B.11)
сразу на отрезке [—/i, /2], причем слева от нуля и(-) описывает дефор-
деформации первой струны, а справа — второй. Правда, есть одна непри-
неприятность: можно говорить лишь об односторонних производных uf(—0)
и иг(+0) при х = 0, а потому уравнение B.11) при х = 0 лишено
смысла. Зато в этой точке х = 0 имеются условия
«(-0) = «(+0) = h[u'(+0) - и'(-0)],	B.12)
адекватные B.10). Полученная задача имеет две интерпретации.
Уравнение B.11) описывает
(при х ф 0) вместе с условия-
ми B.12) и условиями закрепле- ~h/	\ ^
ния u(-li) = u(l2) = 0 упругие	X_J!	7
колебания обычной струны, на-	Щ\	/
тянутой вдоль отрезка [—Zi, /2]?	гу^77 \	/
у которой в точке х = 0 име-	\ /
ется упругая опора (пружина)
с жесткостью к = 1//3. Тради-	рис. 2.5. Струна с пружинкой
ционная математическая интер-
интерпретация уравнения B.11) (при х ф 0) с условиями B.12) в точке х = 0
имеет вид уравнения
-и" + к5(х)и = \щ	B.13)

38	Гл. 2. Странности задач на графах
где 5(х) — обычная дельта-функция Дирака и к = 1//з- Однако фор-
формальная простота уравнения B.13) обманчива: для случая обобщенных
коэффициентов аналогов осцилляционных теорем Штурма—Лиувилля
пока нет. Теория обобщенных функций (распределений) не располага-
располагает средствами, позволяющими устанавливать свойства простоты нулей
собственных функций, числа этих нулей, их перемежаемости и пр.
Последний пример с его физической наглядностью (струна с пру-
пружинкой) и формальной простотой B.13) обнажил в свое время глав-
главную проблему — непригодность стандартных математических методов
для качественного анализа деформаций струнных сеток и их упругих
колебаний.
2.4. «Тканая мембрана»
Ниже изучается связь спектров квадратной мембраны и аппрок-
аппроксимирующей ее достаточно густой равномерной сетки из струн. По-
Показывается, что главные части обоих спектров совпадают вплоть до
кратностей собственных значений.
1.	Плоская сетка из струн, очевидно, не является одномерным
объектом и при достаточно мелких ячейках должна обнаруживать
родственность с мембраной. Вопрос о сходстве их спектров, возникший
более десяти лет назад, уже при постановке сопровождался серьез-
серьезными сомнениями физической природы: реакции мембраны и прямо-
прямоугольной сетки на точечное воздействие качественно различны. Ведь
мембрана противодействует по континууму направлений, а сетка —
всего лишь по четырем (если усилие сосредоточено в узле) или даже
по двум направлениям.
На примере квадратной однородной мембраны ниже показывается,
что переход к достаточно густой сетке из струн («тканой мембране»)
не меняет спектра в главном (см. [36]).
2.	Спектр Л однородной мембраны, натянутой на квадрат Q =
= [0, /] х [0, /], определяется задачей
а Аи + Хри = 0,	B.14)
u\dQ=0,	B-15)
где р ( = const) — плотность распределения масс и а ( = const) —
внутреннее напряжение мембраны, обеспечиваемое равномерным ее
натяжением. Спектр Л, вещественный, положительный. Собственны-
Собственными значениями являются числа
Хк = ^ к	B.16)

2.4- «Тканая мембрана»
39
при таких натуральных /с, которые допускают представление к =
= п2 + т2 с целыми п, т. Количество таких представлений при каж-
каждом к определяет кратность А/~.
Рассмотрим на том же квадрате Q = [0; /]х[0; /] сетку Г\ из
струн с квадратными ячейками h x /г, закрепленную в узлах, лежащих
в 8Q (их совокупность обозначим <9Г\). Обозначим через ph плотность
струн, а через а^ — их натяжение. Будем считать, что в узлах 1\,
не лежащих на границе 8Q, т.е. не попавших в <91\ (их совокупность
обозначим через /(Г^)), помещены грузы с массами т^. Если значе-
значения т^, а^ и рь связать с параметрами а,р мембраны равенствами
p	^ a^	BЛ7)
h	h
то такую сетку можно считать физической дискретизацией исходной
мембраны, и наоборот, мембрану можно считать осреднением такой
сетки. Назовем такую сетку из струн «тканой мембраной». Оказы-
Оказывается, ее спектр при малых h адекватен «началу» Ао, Ai, A2,... , Ап
спектра Л со сколь угодно большим п. Точнее говоря, верна
Теорема 2.1. Для того чтобы положительное число А было
точкой спектра описанной «тканой мембраны» Г\, необходимо и до-
достаточно, чтобы А удовлетворяло одному из уравнений
1 cos —— г + 2 cos —— j = 4 cos h
= 0,
B.18)
B.19)
где обозначено N = l/h.
Равенства B.18), B.19) дают точное описание спектра Г^ и опреде-
определяет кратность каждой точки спектра. Так, решения уравнения B.19)
имеют кратность N2 — 1. Решения уравнений B.18) при фиксирован-
фиксированной сумме г2 + j2 сливаются при h —> 0, что опять же определяет
кратность общего решения как точки спектра. Из B.19) видно, что
решения А этого уравнения при малых h сколь угодно далеки от нуля.
Поэтому «начало спектра» Л^ мембраны 1\ определяется уравнения-
уравнениями B.18), из которых следует, что
\b = \k + O(h),	B.20)
где Aq, Ai, ... — спектр мембраны, т. е. последовательность B.16), a Aq ,
Af, ... — спектр сетки Г\, упорядоченный по возрастанию.
3. Для доказательства теоремы 2.1 опишем вначале соответству-
соответствующую «тканой мембране» Г\ математическую модель колебаний. На-

40	Гл. 2. Странности задач на графах
помним, что h = I/N определяет размер квадратной ячейки. На каж-
каждом ребре этой ячейки (если оно не лежит на границе 8Q) для струны
справедливо обычное соотношение
<rhu" + Xphu = 0,	B.21)
где производные берутся вдоль ребра ячейки. Обозначим через а^-
узел сетки Г\ с координатами (г/г, jh) при г, j = 0, N. Горизонтальное
ребро сетки, соединяющее соседние вершины а^- и a^+ij, обозначим
через 7ij> а вертикальное ребро между a^j и G4,j+i — через jfj. Для
функции и(х), заданной на Г\, сужения на ребра j^ будем обозначать
через и\-. Любое из этих сужений удовлетворяет уравнению B.21).
Рассматриваемые функции и(х): 1\ —>• Ш. непрерывны во всех внут-
внутренних узлах, и, кроме того, в этих узлах должны удовлетворять
условию баланса натяжений, что означает
-\-XnthUijiaij) = 0. B.22)
Закрепление сетки на границе квадрата Q приводит к аналогич-
аналогичным B.15) условиям
«i0@) = uiN(N) = uoi@) = uNi(N) = 0.	B.23)
Нам удобно далее каждое ребро j^ (к = 1,2) параметризовать в на-
направлении от dij скаляром ?, меняющимся от 0 до h. Вид уравне-
уравнения B.21) для функций u![j(i) сохранится.
Решение u^(t) уравнения B.21) представимо в виде
)B.24)
где Afj, B^j — некоторые постоянные. В силу непрерывности решений
в целом на сетке для каждого из внутренних узлов Ojj значения Uij
вдоль примыкающих ребер должны быть одинаковы. Обозначая это
значение через uij, имеем
«ч = ««@) = ul-ijW = ufj.^h),
или, с учетом B.24),
щ3 = А}_г. s^)	(^)
B.25)

2.4- «Тканая мембрана»
41
Условия на границе B.23) дополняют B.25) соотношениями
uij =0 (при aij e drh).
Подстановка B.24) в B.22) приводит к соотношениям
B.26)
|
U
или, если для упрощения обозначить
sin[ h
cos
^) ] + XmhUij = 0,
B.27)
к соотношениям
^ = 0,
что преобразуется к виду
+
+
- [Ac- smh
V
Таким образом, для каждого А мы имеем систему уравнений B.25),
B.26), B.28), линейных относительно А\^ В\^ uij. Нули по А опреде-
определителя этой системы дают искомый спектр. Этот определитель с уче-
учетом специфики системы допускает представление в виде
0
B.29)
где строки фрагмента (Di D2) составлены из коэффициентов уравне-
уравнений B.25), B.26), причем
4N(N-1)
s
0
0
0
с
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
... 0
... 0
... s
... 0
0
с
\
где также использованы обозначения B.27). Блок D3 в B.29) составлен
из коэффициентов соотношений B.28), а определитель D3 допускает

42	Гл. 2. Странности задач на графах
представление (s)~(N~1' \Ds\, где D% составлен из коэффициентов
системы уравнений
(щ-ij + ui+lij + Uij-i + Ui,j+i) ~ OLUij = 0, a = 4c - smhJ —— .
Таким образом определитель B.29) обращается в нуль лишь при
sN -1 = 0, что приводит к B.19), или при \Йз\ = 0. _
Следующий наш шаг обусловлен представлением |.Оз| = \G ~ аЦ->
где G — матрица смежности графа, полученного из Г^ выбрасыванием
граничных вершин aij (Е дГ^) и ребер, к ним примыкающих. Тем
самым нули |D3| = 0 совпадают со спектром алгебраического графа
с матрицей смежности G. Этот спектр состоит из чисел вида
а = 2 cos -^ + 2 cos -^-
при г, j = 1, N — 1, т. е.
4с — srrih \ /	 = 1 cos —	h 2 cos -^—,
V PCT	I	I
что с учетом B.27) приводит к B.18).
4. Формулы B.18), B.19) позволяют изучить спектр «тканой мем-
мембраны» достаточно подробно. Вполне очевидный уход в бесконечность
при h —>• 0 решений уравнения B.19) отмечался выше. Зависимость
решений B.18) от h достаточно нетривиальна, так как множество
этих решений для каждой пары г, j образует неограниченную после-
последовательность, число таких пар г, j, конечное при фиксированном /г,
неограниченно возрастает при h —>• 0. Рассмотрим вначале поведение
решений B.18) при фиксированных z,j. Оно особенно просто, если
все т^ = 0, т. е. загрузка массами в узлах сетки отсутствует. Тогда
уравнения B.18) принимают вид
Л тгг/i Л njh . , Хин
2cos—— + 2cos^— = 4cos/iW^
что дает явное представление для собственных значений
2
Г,	1 / тггЛ.	Kjh\	7]2 ст/г	7 „
= iarccos - I cos —	h cos —-— I + 2тт/с —^—, к G Z.
L	^\	t	/ /	J h ph
Рассмотрим теперь общий случай ненулевых т^. Положим
1 / irih ,
+
2^h B-30)
Для /i эквивалентное B.18) уравнение имеет вид
7ij — cos/i + g'/isin/i = 0.	B.31)

2.5. Банальная стыковка	43
Это уравнение при фиксированных z,j имеет лишь простые корни.
Для его левой части /(/i) = jij — cos \i + g\i sin \i соседние экстремумы
имеют противоположные знаки (проверяется непосредственно). Поэто-
Поэтому нули / перемежаются экстремумами, что позволяет давать оценки
нулям /. Значения г, j мы по-прежнему фиксируем.
Эквивалентное /7(/л) = 0 уравнение имеет вид tgr =	т,
и его решения оцениваются так:
| {2k - 1) ^ тк <: тгк,	B.32)
причем го = 0. Здесь то < т\ < t<i < ... — последовательность корней
уравнения /'(/i) = 0. Если через /i0,/^1,//2, ... обозначить последова-
последовательность корней уравнения B.31) при фиксированных г, j, то из B.32)
сразу следует, например, что 0 ^ tq ^ /i° ^ т\ ^ тт
— Bк — 1) ^ ^~к ^ 1^к ^ ^~к-\-1 ^ тгук -\- lj.
Особенно важно здесь, что эти оценки не зависят от г, j. Отсюда
с учетом связи B.30) fik(h) с Хк (h) легко увидеть, что Ai(/i), A2(/i), ...
при h —t 0 уходят в бесконечность равномерно по г, j. Для оценки
поведения наименьшего (при фиксированных г, j) корня Xo(h) урав-
уравнения B.18) представим B.18) с помощью разложения Тейлора по
степеням h. С учетом равенств B.17) получим
что означает
Сопоставление этого равенства с B.16) приводит к следующему основ-
основному результату этого пункта.
Теорема 2.2. При каком угодно большом М спектр «тканой
мембраны» Г\ при достаточно малых h отличается (в пределах
|Л| < М) от спектра непрерывной мембраны лишь на O(h2).
2.5. Банальная стыковка
Простейшее уравнение
-и"{х) = f(x) ((К ж О)	B-33)
возникает для малых деформаций и(х) натянутой струны с закреп-
закрепленными концами
и@) = иA) = 0.	B.34)

44	Гл. 2. Странности задач на графах
Представим себе, что струна разрезана на два куска в точке х = ?
(О < ? < 1), а затем обратно «спаяна» в один. Для каждого из кусков
справедливо аналогичное B.33) уравнение
-и"(х) = f{x) @ < х < О, -и"(х) = f{x) Ц<х^ 1). B.35)
Решения B.33) удовлетворяют в точке ? очевидным условиям:
(Yi) условию непрерывности
u(?-0) = <i(? + 0);	B.36)
(У2) условию гладкости
и'(?-0) = </(? + 0).	B.37)
Если теперь забыть об исходном уравнении B.33) и попытаться из
двух кусков B.35) с помощью (Yi), (У2) связать единое на [0,1] уравне-
уравнение, нам еще необходимо вспомнить об отсутствующей в B.35)-B.37)
точке х = ? и доопределить в ней решения общим в силу B.36) значе-
значением, т. е. выполнить условие:
(Уз) значение и(?) удовлетворяет равенству
u@ = «(?-0) ( = «(€ + 0)).	B.38)
Условия (Yi), (У2) стандартны при склейке двух соседних уравне-
уравнений в единое. При этом (Уг) является частным случаем условий глад-
гладкости (трансмиссии), используемых в задачах на сетях при сшивании
во внутренних узлах решений уравнений на смыкающихся ребрах.
Назовем пару уравнений вместе с условиями (Yi)—(Уз) сшитым
уравнением, а при дополнительных условиях B.34) — сшитой задачей.
Рассматривая эту задачу в классе непрерывных решений, мы можем
ее считать краевой для B.35) при условиях (У2) и B.34). Обычно так
и делается.
Адекватна ли «сшитая задача» исходной B.33), B.34)?
Предложение 2.1. Функция Грина G^(х, s) сшитой задачи не
совпадает с функцией Грина G(x, s) исходной задачи.
Доказательство заключается в прямой проверке. Исходя из стан-
стандартных аксиом имеем
{
{), ^	^ ,
B.39)
«A-ж), 0^ s < х ^ 1,
и G^(x, s) = G(x, s) при s/$. Если же s = ?, то G^(x, 5), удовле-
удовлетворяя уравнениям B.35) при / = 0 (т. е. и" = 0) и условиям B.34) и
B.37), ничем иным, кроме тождественного нуля, быть не может. Итак,
O = 0 (<Кя^1),	B.40)
в то время как G(x, ?) > 0 при х Е @,1).

2.5. Банальная стыковка	45
На первый взгляд отличие G^(x, s) от G(x, s) всего лишь на одной
прямой s = ? из квадрата [0,1] х [0,1], т.е. на множестве меры нуль,
несущественно, и формула
1
u(x)=\Gt(x,s)f(s)ds= I G{x,s)f(s)ds + I G{x,s)f(s)ds
0	[o,0	(?,i]
для, например, непрерывных правых частей, ничего другого, кроме
решений исходной задачи, дать не может. И все же эта разница G и G%
настораживает, привлекая дополнительное внимание к точке х = ?.
Суждение 1. Нулевое значение G(x,s) при s = ? делает несу-
несущественным значение /(•) в точке х = ?, «убивает /(?)¦», вынимая
точку ? из области интегрирования. Тем самым B.40) театс бы спасает
задачу от оплошности исследователя.
Какие же здесь могут быть оплошности? А хотя бы уже те, кото-
которые сделаны нами в предыдущих совсем элементарных, казалось бы,
рассуждениях.
Предположим, как нам и хотелось, что «сшитая задача» соот-
соответствует струне, склеенной в точке ? из двух кусков. Пусть F{x) —
внешняя нагрузка, приложенная на промежутке [0, ж]. Тогда F имеет
ограниченное изменение, и соответствующая деформация и(х) выра-
выразится в виде
и(х) =
о
где интеграл понимается по Лебегу-Стилтьесу. Равенство B.40) озна-
означает, что скачок F(? + 0) — F(? — 0) будем в этом интеграле «вы-
«вырублен», т. е. никакого значения для решения задачи не будет иметь.
Но этот скачок — сосредоточенная сила. Почему струна (хотя и свя-
связанная) на нее не реагирует?
С другой стороны, решение и(х) сшитой задачи с нагрузкой F(x)
должно удовлетворять равенству и'{х) = F{x). Но тогда условие B.37)
означает, что у F(x) скачка в точке х = ? и быть не должно. С чем
же тогда борется «защитное» свойство B.40), само порожденное усло-
условием B.37)?
Функция Грина G^(x,s) должна быть функцией влияния связан-
связанной пары струн, т. е. определять форму отклонения системы под вли-
влиянием единичной силы, сосредоточенной в точке s. Равенство B.40)
означает, что при воздействии на систему только лишь в точке х = ?
система не изменяет состояния. Но это возможно лишь в случае, если
струна в точке х = ? закреплена, т. е. при условии
и(С) = 0.	B.41)
Но такого условия у нас не было, да и не могло быть.

46	Гл. 2. Странности задач на графах
К условию B.41) нас неизбежно приводит другое соображение.
Отвечающая связанной паре струн (как любой физической системе)
краевая задача должна быть самосопряженной, а ее функция Гри-
Грина — симметричной. Поэтому из B.40) должно следовать G$(?, s) = 0
при 0 ^ s ^ 1, что приводит к B.41).
Суждение 2. Сшитая задача B.34)-B.38) не отвечает паре
связанных струн. При этом условие B.37) нельзя считать краевым,
поскольку оно зависит от поведения правой части f в точке х = ?.
Следствие. Условия B.36)-B.38) не решают задачу объедине-
объединения пары B.35) в единое на [0,1] уравнение B.33).
В чем наш главный промах? В точке х = ? так и остались не
расшифрованными ни объединяющее уравнение, ни его правая часть.
Поэтому доопределение B.38) в точке х = ? хоть и физично, но мате-
математически не подкреплено ни уравнением в этой точке, ни значением
/(?). Эта точка, бывшая граничной для двух многообразий, так и оста-
осталась граничной в их объединении. Поэтому и функцию Грина G(x, s)
объединенной задачи нельзя определить ни при х = ?, ни при s = ?.
Предложение 2.2. Функция Грина G(х, s) задачи B.33), B.34)
совпадает с функцией Грина для уравнения
-u"(x) = f(x) (хф?), «'(? + 0)-«'(?-0) = /(?) B.42)
при условиях
и@) = иA) = 0, и(? + 0) = и(?-0).	B.43)
Сразу обратим внимание на то, что в постановке B.42) объединен-
объединенное уравнение мы задали и в точке х = ?. То есть прежнее условие
гладкости B.37) вынули из перечня краевых и, превратив его в неодно-
неоднородное, отнесли к толкованию объединенного уравнения в точке х = ?.
Что нам дает право такого толкования?
Введем функцию
/jl(x) = х + #(ж - ?),
где $(ж) — функция Хевисайда, т.е.
при ж/0. Так как dji{x) = dx (по Стилтьесу) при х ф
du x=

2.6. Комментарии	47
(по Радону—Никодиму), то равенства B.42) оказываются реализацией
одного и того же равенства
-^u'(x) = f(x),	B.44)
не содержащего оговорок о точке ?. Включение производных по мере
в последнем уравнении не меняет при условиях B.43) аксиом функции
Грина, что позволяет убедиться в совпадении функций Грина непо-
непосредственной проверкой. Последний взгляд B.44) на объединяющее
дифференциальное уравнение уже допускает включение ? в область
определения решений, превращая и ее в связанное множество.
2.6. Комментарии
Знаменитые теоремы Штурма об осцилляционных гармонических
свойствах спектра были установлены в связи с задачей диффузии [152,
153]. Более столетия они поражали не только глубиной результатов,
но и физичностью терминов: узлы и пучности, их перемежаемость
легко наблюдаемы, а их количество существенно. Общая природа этих
теорем была установлена Келлогом [127—129], объяснившим осцилля-
ционные свойства спектра специальными свойствами функции Грина.
Тем самым была открыта дорога для переноса теорем Штурма на
более широкие классы краевых задач, в том числе на упругие коле-
колебания стержней (см. библиографию в [15, 41]). Переход от двухточеч-
двухточечных задач к многоточечным был осуществлен Ю.В. Покорным [63, 64]
и расширен В. Я. Дерром [20]. Общая схема исследования, характерная
для всего этого направления — построение функции Грина и доказа-
доказательство того, что она порождает некое ядро Келлога. Это требовало
совершенствования знакорегулярных чисто скалярных методов (см.,
например, [8, 74, 78]).
В описанном круге проблем до обращения к упругим сеткам
Ю.В. Покорный и его ученики изучили ряд нестандартных задач для
систем типа цепочки шарнирно-сочлененных стержней и даже для
натянутой цепочки из перемежающихся стержней и струн (см. [65, 78]).
В последнем случае соответствующее спектральное уравнение
(рои")" - (ри'У = Хти
оказывалось на отрезке непостоянным по порядку: коэффициент р$ от-
отличен от нуля лишь на участках, соответствующих стержням. Успеш-
Успешное преодоление возникающих трудностей приводило к выводу: если
задача физична и соответствует упругой системе, то ее спектр на-
наверняка гармоничен; обоснование этого факта — «дело техники». Эта
уверенность была поколеблена уже начальным анализом простейшей
упругой сетки — «струнного креста». Обнаруженные странности не

48	Гл. 2. Странности задач на графах
поддавались объяснению прежним подходом. Началась разработка но-
новых методов.
Крест из неоднородных струн был изучен в [56]. Далее удалось изу-
изучить спектр произвольного пучка из одинаковых струн [66] и системы
из двух упруго связанных пучков [86], а также пучка стержней с общим
шарнирным сочленением. Переход от пучков к более сложным сеткам
оказался чрезвычайно трудным [57] даже при анализе знакопостоян-
ства функции Грина — совершенно очевидного физически свойства.
Вопрос о сходстве спектров тканой мембраны и классической воз-
возник у нас уже давно как вопрос о формах описания физического
сходства объектов. Описанный в параграфе 2.4 результат приведен
в [36]. Этот результат сохраняется, если квадратную границу области
заменить более общей, равно как и сетку квадратную — сеткой пря-
прямоугольной, треугольной и т. д. Степень общности результата в этом
плане авторам в настоящий момент не ясна.
Склейка решений во внутренних узлах графа — постоянный источ-
источник проблем, возникающих как бы «из ниоткуда», что наглядно иллю-
иллюстрирует простейшая задача, приведенная в параграфе 2.4. Поэтому
отнесение условий трансмиссии к граничным (стандартный взгляд
зарубежных исследователей) вынуждает преодолевать трудности, не
связанные с природой задачи. До обращения к синтетическому подхо-
подходу, аналогичному изложенному в п. 1.2.3, немало трудностей возникало
и у нас, особенно при описании и анализе функции Грина. Ниже
внесение атомов меры во внутренние узлы — систематический прием,
применяемый при интегрировании по графу.
Разобранный в параграфе 2.5 пример означает, что, даже мысленно
порвав задачу в точке ?, связать ее воедино мы можем лишь: либо
восстановив в точке ? исходное уравнение — /м//(?) = /(?)> ли^° (если
этого сделать нельзя, как при стыковке разных уравнений) представив
в качестве уравнения в этой точке условие трансмиссии, поместив для
этого в точку х = ? атом меры.

Глава 3
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФАХ
3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение
на пространственной сети
Ниже дается точная постановка и начальный анализ главного объ-
объекта исследований — уравнения вида
-±(p(x)u') + q(x)u = f(x)	C.1)
на геометрической сети Г. Это уравнение подразумевает стандартную
форму
-(p(x)u'y + q(x)u = f(x)	(ЗЛО
на всех ребрах сети, а в ее внутренних узлах означает, что
где суммирование проводится по всем ребрам 7? примыкающим к ж,
а под —-и(х) подразумевается производная и( •) внутрь ребра 7- На-
Начав с необходимых понятий и договоренностей, мы приводим физи-
физическую мотивацию (с помощью вариационного принципа) рассматри-
d
ваемого класса уравнении, показываем дивергентную природу ——,
устанавливаем, что (ЗЛ2) является «слабой реализацией C.1i)» в уз-
узлах. В п. 3.1.5 доказываются два качественных результата, важных
для дальнейшего.
3.1.1. Функции на сетях. Пусть Г — геометрическая сеть
из Rn, реализованная в виде открытого связного геометрического гра-
графа. Если ребра сети допускают достаточно гладкую параметризацию
и не имеют самопересечений, мы можем считать их прямолинейными
интервалами (не включая в них внутренние узлы). Тем самым нам

50	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
удобно считать, что Г состоит из некоторого набора непересекающихся
интервалов
7. = (аи Ьг) = {х = а{ + \{Ь{ - а{): 0 < Л < 1} (г = 1, т), C.2)
называемых ребрами, и некоторой совокупности их концов. Множество
этих концов обозначается далее через «/(Г), каждая точка из него
называется внутренней вершиной (узлом) графа Г. Концы интерва-
интервалов C.2), не включенных в «/(Г), называются граничными или тупико-
тупиковыми вершинами Г, их множество обозначается через дГ. Объединение
всех ребер обозначается через Я(Г). Таким образом, Г = Я(Г) U «/(Г).
На Г индуцируется топология из Rn. Всюду далее, когда речь будет
идти об открытых и замкнутых подмножествах Г, будет иметься в виду
именно эта топология.
Такого рода сети (графы) возникают при описании самых разных
технологических систем. Применяемая при этом стандартная теория
графов (далее — алгебраическая теория, см., например, [4, 5, 48, 101,
102]) удобна лишь тогда, когда ребра являются только символами
связи между разными объектами, когда сами связи достаточно прос-
просты, и важно только знать, есть связь между данной парой объектов
или ее нет. Интересующие нас системы в корне другие. В них ребра
отвечают реальным одномерным континуумам, на которых возмож-
возможна своя достаточно нетривиальная динамика, как в упругих сетях,
в электрических цепях, в системах волноводов и в нейронных сетях.
Такие системы в определенном смысле двойственны к предыдущим:
в них именно узлы связывают процессы на ребрах, причем связи эти
достаточно просты. Чтобы подчеркнуть значимость ребер графа, мы
далее постоянно употребляем слова сеть и граф как синонимы.
Изложенные выше термины — граф (сеть), ребро, вершина (узел) —
традиционны для алгебраической теории графов [4, 5, 48, 101, 102]. Ни-
Ниже вводятся понятия, контрастирующие по терминам с упомянутыми
работами. Например, подграф. Мы называем так любое связное откры-
открытое подмножество из Г. Ведущая роль топологии на Г, ее постоянное
использование при анализе непрерывных на Г функций делают откры-
открытые (в относительной топологии Г) множества рабочим инструментом.
Например, для непрерывной на Г функции множество решений нера-
неравенства и(х) > 0 открыто, и любая его компонента связности формаль-
формально имеет описание, идентичное исходному для Г, т. е. тоже является
графом. Именно поэтому мы остановились на термине подграф. Термин
подсеть нам представляется менее благозвучным. Итак,
Определение 3.1. Любое связное открытое подмножество Г
называется подграфом Г.
Подграф Го С Г имеет внутренние вершины только из «/(Г), т.е.
любая внутренняя вершина подграфа является внутренней и для Г.
Более того, всегда будет считаться, что «/(Го) = «/(Г) П Го- С гранич-

3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение	51
ными для Го вершинами ситуация другая. Их множество 8Tq может
содержать точки, не входящие ни в <9Г, ни в «/(Г) (когда точка а Е
Е дГо оказывается внутренней для одного из ребер Г). Если j —
содержащее а Е <9Г0 ребро Г, то в подграф Го оно входит не все, а лишь
одним куском, отсекаемым а. Именно в этом — главное отличие нашего
термина подграф от используемого в алгебраической теории, где куски
ребер — бессмысленное понятие и где вершинами подграфа могут быть
лишь вершины исходного графа.
Мы рассматриваем далее скалярнозначные функции, определен-
определенные и равномерно непрерывные на Г. Последнее адекватно тому, что
они допускают непрерывное доопределение на дГ. Множество таких
функций обозначается далее через С (Г).
Нам придется дифференцировать заданные на Г функции. Естест-
Естественно, говорить о производных во внутренних вершинах трудно, так
как к ним примыкают по нескольку ребер (как правило, не менее трех).
Дифференцирование функции и(х): Г —> R внутри любого ребра 7
осуществляется по натуральному параметру, причем предполагается,
что для этого на ребре выбрана ориентация — одно из двух возможных
направлений. Например, на ребре 7 = («, 6) при ориентации «от b к а»
du
производная —— [хо) определяется как
ах
d\ \	\\a-b\\
в точке Ао = ||жо — Ь\\. При изменении ориентации знак и' меняется
на противоположный. Однако знак второй производной и" (или ква-
квазипроизводной (puf)f) уже не зависит от ориентации ребра.
С производными первого порядка нам почти не придется иметь
дела. Встречаться они будут в основном в крайних точках ребер.
Не желая обременять себя оговорками о временной (на несколько
фраз) локальной параметризации, мы раз и навсегда введем понятие
крайней производной. Так мы называем производную и'{х) в точке х =
= а — конце интервала 7 = {а, Ь) — при его параметризации «от а»,
т. е. внутрь интервала. Обозначать крайнюю производную мы будем
аи , ч
через ——(а).
Крайние производные удобны уже симметричностью равенства
Г / /у	Г du
J	|_	^7
(а,Ъ)
относительно концов a, b интервала 7 = (a^b).
Ребра графа Г предполагаются занумерованными произвольно, их
набор {7г}^1 вместе с «/(Г) определяет Г, их объединение мы догово-
договорились обозначать через Я(Г). Чтобы выделить из {7i}?Li те ребра,
которые примыкают к данной вершине а, мы вводим множество Г (а),

52	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
обозначая так подграф, состоящий из а и примыкающих к а ребер. Тем
самым высказывание «7г примыкает к а» адекватно записи 7г С Г(а).
Говоря о непрерывности на R(T) какой-либо функции, мы подра-
подразумеваем ее равномерную непрерывность на каждом ребре Г. Множе-
Множество таких функций обозначается далее через C[R(F)]. Во внутренних
узлах Г каждая из таких функций может иметь различные пределы
вдоль различных ребер, примыкающих к одному узлу. Естественно
считать, что С (Г) С C[R(F)]. При этом [Я(Г)] может признаваться
формальным объединением замыканий [7г] всех ребер Г.
Заданная на Г функция z(x), лежащая в С[Я(Г)], может иметь
в точках J(F) (т. е. во внутренних узлах) значения, никак не связанные
с ее пределами вдоль примыкающих ребер. Поэтому для а Е «/(Г) мы
будем различать обозначения z(a) и z7(a), где
z~(a) = lim z(x).
Всюду далее для заданной на Я(Г) функции z(x) ее сужение на
ребро 7 обозначается через ?7(ж), a Z{(x) означает zli(ж), т.е. суже-
сужение z(x) на 7г-
3.1.2. Вариационная мотивация. Пусть Г — геометрическая
сеть, расположенная вдоль некоторого физического объекта, откло-
отклонение элементов которого от состояния равновесия одномерно. Обо-
Обозначим через и{х) такое отклонение (деформацию). Пусть f(x) —
плотность распределения внешней силы, вызвавшей отклонение и{х).
Через f(a) обозначается сосредоточенная сила, приложенная к точкам
а Е «/(Г). Тогда энергия воздействия этих сил на систему выразится
затраченной работой, т. е. величиной
fudu+
т р
Если отклонению системы упруго препятствует внешняя среда,
то накапливаемая энергия определяется работой, затрачиваемой на
преодоление сопротивления среды, т. е. величиной
тп	2	2
— dx+ >^ q{a)—^-,
где q(x) — плотность распределения упругости среды и q(a) — коэф-
коэффициент упругости опоры (типа пружины), сосредоточенной в узле а.

3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение	53
Мы предполагаем, что за счет внутреннего сопротивления система
накапливает энергию, определяемую выражением
как, например, в упругих деформациях (поперечных для струн, про-
продольных для стержней и пр.). Производные и'(х) входят здесь во вто-
вторых степенях, что снимает необходимость фиксированной ориентации
ребер.
Мы считаем, что в граничных точках (из дТ) положение системы
фиксировано, т. е. деформации ее нулевые:
и\дг = 0.	C.3)
Общая потенциальная энергия системы V{u), соответствующая воз-
возможной (виртуальной) деформации и(х), определяется равенством
или
*=1 L^!. V	/J	L а6./(Г)	J
C.4)
Реальная деформация системы, отвечающая устойчивому равно-
равновесию, должна давать минимум V(u). Именно это положение служит
(со времен Гильберта) фундаментом математического описания физи-
физического объекта. В физике обычно говорят о принципе стационарного
(т. е. экстремального для V) положения.
Мы всюду предполагаем неразрывность системы, что означает
непрерывность и(х) на Г, и достаточную гладкость деформации на
ребрах.
Классическая схема Лагранжа отыскания первой вариации
5Ф(и)Н=
d\
л=о
приводит к выражению
- ри' hf — fh) dx + У (q(a)u(a)h(a) — f(a)h(a)).
Интегрируя по частям каждый из интегралов по ребру 7г:
puh! dx = - \ (puf)'h dx - (р(а) ^ {a)h(a) + р{Ь) ^ {b)h{b)\ ,
7г
C.5)

54	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
и обозначая через Ui(x) сужение и(х) на 7ь мы можем предста-
представить 5Ф(и)Н в виде 5Ф(и)Н = ^2 (ui ^) + ^2 (^' ^) ПРИ
га p
(u, A) = J2 I (
где a^, 6г означают концы ребра 7г- Так как /г|^г = 0, то в первой сумме
присутствуют лишь слагаемые с ai и Ъ{ из J(F). Перегруппировав всю
первую группу (собирая подгруппы вокруг вершин из «/(Г)), мы можем
представить ^ в виде
h(a)\q(a)u(a)-f(a)- J^ p»(a) ^ (a)
L	7гСГ(а)	%
где, напомним, 7^ С Г (a) означает, что 7г примыкает к а.
Из равенства 6Ф(и)Н = 0 (V/г), следующего из принципа Фер-
Ферма, мы в силу произвола h должны естественным образом получить
^2i(u,h) = 0 (V/i) и ^2(i?,/i) = 0 (V/г), откуда долж:но следовать
-(р(х)и\х)У + q(x)u(x) = f(x) (x e Д(Г)),	C.6)
" Е Pi(a)^(a) + G(a)u(a) = /(a) (aGJ(r)).	C.7)
7гСГ(а)
Избегая рутинных обсуждений тонкостей обоснования C.6), C.7),
мы предполагаем выполненными условия, обеспечивающие правомоч-
правомочность проведенных рассуждений, по сути стандартных (см., напри-
например, [2]). Достаточно, например, чтобы pf и q были равномерно непре-
непрерывны на каждом ребре, а / суммируема. Обычно из физических
соображений бывает ясно, что р > 0 равномерно на Г и q ^ 0.
Итак, реальная деформация и(х) исходного объекта должна, по-
помимо C.3), удовлетворять равенствам C.6) и C.7). Является ли эта
система равенств полной, т. е. совпадает ли количество равенств с ко-
количеством подлежащих определению параметров?
Равенства C.6), реализуемые на каждом ребре, — обыкновенные
дифференциальные уравнения второго порядка. Семейство всех ре-
решений каждого уравнения зависит от двух параметров, а на всех
ребрах в целом число этих неизвестных параметров 2т. Количество
условий C.3) совпадает с числом \дГ\ граничных вершин (здесь и далее
через \Х\ обозначается число элементов в X). Число условий C.7)

3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение	55
равно |J(F)|. Кроме того, мы не должны забывать предположение
о непрерывности и(х) во всех внутренних вершинах, что означает
Ui(a) = Uj(a)	C.8)
для любых 7г> 7j из Г (а). Таких условий (линейно независимых)
в каждой точке а Е J(a) будет (ind(a) — 1), где через ind(a) обозначено
количество примыкающих к а ребер. Всего этих последних условий
будет
J2 (ind(a)-l)= ? md(a)-|J(r)|.
Складывая количества условий трех типов, имеем
|0Г| + |.7(Г)|+( ? ind(o) - |./(Г)|) = |0Г| + 53 ind(o).
Последняя сумма равна удвоенному числу ребер (проверяется триви-
тривиально: мы имеем число примыканий ребер — их т штук — к их концам,
которых 2т штук).
Таким образом, задача C.3), C.6), C.7) в классе непрерывных
в целом на Г и непрерывно дифференцируемых на каждом ребре
функций поставлена вполне разумно. Если изначально речь вести не
о статической деформации, а о собственных колебаниях, то / должна
быть заменена силой инерции, что, по принципу Даламбера, приводит
к замене в правых частях C.6) и C.7) / на и:2ри, где со — собственная
частота, р(х) — плотность распределения масс на Я(Г) и р{а) —
сосредоточенные массы во внутренних узлах а Е «/(Г).
3.1.3. Естественные условия. Каждое из условий C.7) лока-
локализовано в одной точке, как и в C.3). Обычно такие условия принято
считать краевыми, в отличие от равенств C.6), являющихся обык-
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Однако условия C.3)
отличаются от C.7) тем, что первые были даны изначально, а вторые
получены при вариационном обосновании. Подобные условия, не ого-
оговоренные заранее, обычно называют естественными. Мы показываем
далее, что эти условия не просто естественны, но могут считаться
реализацией C.6) во внутренних узлах.
Во-первых, условия C.7) получены совершенно однотипно с C.6)
из условия 8<P(u)h = 0 (V/i), т.е. имеют идентичное происхождение.
Во-вторых, они имеют дивергентную природу. В самом деле,
пусть и — достаточно гладкая на Я(Г) функция, Vu(x) = gra,du(x) —
задаваемое на Я(Г) векторное поле. Воспользуемся гидродинами-
гидродинамической интерпретацией и подсчитаем поток поля p(Vu(x)) через
поверхность малой окрестности внутреннего узла а Е «/(Г).
Такая окрестность имеет вид «?-ежика» — пучка с узлом в точке а
и достаточно малыми кусками (а, а + €{) интервалов 7г> примыкаю-

56	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
щих к а. Граница этой окрестности совпадает с набором точек а +
+ ?i из 7г С Г (а). В каждой такой точке проекция Vu'(a + ei) на
внешнюю к окрестности нормаль совпадает с производной uf(a + б{),
вычисленной при ориентации 7г в направлении «от а». Поэтому поток
поля p^Vuf) через рассматриваемую поверхность равен
ЦСГ(а)
что при стягивании этой окрестности к точке а (т. е. при Si 4- 0) при-
приводит к
(Lou)(a)= Yl Pi(a)^-u\a).	C.9)
7гСГ(а)
Если при этом точке а приписать единичный объем, то (Lou)(a) =
= dw(pVu)(a).
В-третьих, возможен взгляд на выражение C.9) как на «слабую
производную по Г» от (puf) в точке а.
Введем на Г меру /i, полагая ее линейной (и единичной плотно-
плотности) на каждом ребре 7г и атомарной (сосредоточенной) в каждой
из внутренних вершин а Е «/(Г), считая, что в каждой из вершин
соответствующий дифференциал Стилтьеса (dfi)(a) равен единице.
Введение такой меры позволяет, например, свернуть выражение C.4)
для энергии V(u) в виде
У(и) = | (р \- + 9у - /u) dfi,	C.10)
Г
если положить
(pu')(o) = 0 (aeJ(r)).	C.11)
Последнее допущение в рамках п. 3.1.2 вполне физично, так как
функция р(ж), определяющая линейную упругость системы в точке ж,
сама в свою очередь определяется двусторонними окрестностями точ-
точки ж, а в крайних точках каждого ребра линейная упругость отсут-
отсутствует.
Введем в рассмотрение достаточное множество Ф бесконечно диф-
дифференцируемых на R(T) и непрерывных на Г (т.е. в точках из </(Г))
финитных функций с компактными относительно Г носителями. Для
любой функции ф Е Ф, носитель которой Uф содержит лишь одну
внутреннюю вершину а (е«/(Г)), имеем
jipu'W'dn = J (pu')<p'dfi = J (p«V
г	гпиф
г
/ p

3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение	57
где (a, xi) — минимальный по включению интервал, содержащий
7г П Uф. Отсюда в силу C.11) и равенства
(учитываем, что ф(х{) = 0) следует
7гСГ(а)
Г\{а}
Здесь для определенности на каждом 7г можно считать фиксиро-
фиксированной какую-либо из двух ориентации, знак и'ф' и и"ф от этого не
зависит. Через pi обозначается сужение р на 7г> так чт0 Рг(а) есть
предельное в точке а значение р(х) вдоль ребра 7г- Напомним, что,
вообще говоря, Pi(a) ф р(а). С учетом того, что (d/ji)(x) = dx при
х G Л(Г) и (dfi)(a) = 1 при а Е «^(Г), мы, пользуясь C.11), можем
переписать C.12) в виде
(ри)фв.^	C.13)
г	г
где обозначено
(*),	a; G Д(Г),
— (ри')(х)=
Ucr(«)
Поскольку любая 99 E Ф может быть представлена в виде конечной
суммы функций, носитель каждой из которых содержит ровно одну
внутреннюю вершину, то можно считать, что C.13) выполняется при
всех if E Ф. А выполнение равенства C.13) при всех if E Ф означает,
что функция —— (puf) реализует слабую /i-производную от функции
(ри')(х), доопределяемой в «/(Г) нулями согласно C.11). Таким обра-
образом, C.6) и C.7) могут считаться реализациями на Г одного уравне-
уравнения — —- (ри1) + qu = / вида C.1).
ai
3.1.4. Замечание о «физической границе». Как уже отме-
отмечалось, граничные вершины сети Г отличаются от внутренних совсем
не тем, что к внутренним вершинам примыкает по нескольку ребер,
а к граничным — лишь по одному. Для нас разница определяется
задачей, которая ставится на графе, и граничными являются лишь те
вершины, где система изначально закреплена. Тем самым мы допус-

58	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
каем в </(Г) точки, к которым примыкает всего лишь по одному ребру.
В таких вершинах равенства C.7) принимают вид
-р(а)и'(а) + q(a)u(a) = /(a),
где и'{а) означает крайнюю производную (при дифференцировании
«от а»). Если q(a) и f(a) равны нулю, то мы имеем uf(a) = О — типич-
типичное условие свободного (незакрепленного) конца в задаче о струне. При
/(а) = 0 и q(a) ф 0 получается хорошо известное из скалярной теории
условие Штурма-Лиувилля. Предлагаемый нами взгляд на подобные
(естественные) условия как на реализацию уравнения в точке приво-
приводит к неожиданному даже для обычных одномерных задач наблюде-
наблюдению: уже в задаче об одной струне с упругими креплениями концов при
нашем подходе оказывается, что дТ = 0, а концы составляют «/(Г).
3.1.5. Однородное уравнение на сети. Мы начинаем здесь
анализ соответствующего C.1) однородного уравнения
^	+ qu = 0,	C.14)
где полагается
(puj(x),	х е д(г),
ау(х)—и(х), xeJ(T).	v ;
«7
Заданные на Г функции р(х) и q(x) предполагаются лежащими
в С[Я(Г)], т.е. равномерно непрерывными на каждом ребре. Для р
предполагается дополнительно сильная положительность на Д(Г), т. е.
что inf р > 0. Числа а1(х) предполагаются положительными. Реше-
Я(Г)
ния C.14) будем искать лишь среди заданных на всем Г функций и(х)
из С (Г), для которых (ри'У G C[R(T)]. Множество таких функций
обозначается далее через С2(Г).
Являясь промежуточным объектом между скалярным и многомер-
многомерным уравнениями, C.14) несет в себе заряд свойств эллиптического
типа.
Теорема 3.1. Любое знакопостоянное решение и(х) однородного
уравнения C.14) либо тривиально (= 0), либо не имеет нулей в Г.
В последнем случае из равенства и(а) = 0 при каком-то а Е дГ сле-
следует и'{а) ф 0.
Доказательство. Пусть и(х) ^ 0 и Q — множество нулей и(х)
в Г. Если Q не пусто, то оно относительно замкнуто в Г. Покажем,
что если Q не пусто, то оно и открыто в Г, откуда будет следовать,
что Q = Г.
Пусть х — некоторая точка из Q. Если х есть внутренняя точка
какого-то ребра 7го> т0 ^ есть точка минимума для Uio(x) на 7го>

3.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение	59
вследствие чего не только Uio(x) = 0, но и u'io(x) = 0. Поэтому и(х) =
е 0 на 7го> т-е- 7г0 ^ Qi а значит, точка х является внутренней
в Q. Пусть теперь х совпадает с одной из внутренних вершин. Тогда
в силу неотрицательности (вследствие и(х) ^ и(х) = 0) всех —- и(х)
(для 7 С Г (ж)) должно быть
4- и(х) = 0
(для тех же 7M т-е- на каждом примыкающем к х ребре 7 функция
и(х) удовлетворяет нулевым начальным (в точке х = х) условиям и од-
однородному линейному дифференциальному уравнению, т. е. должна
быть тождественным нулем. Значит, и(х) = 0 на всех примыкающих
к х ребрах, т. е. х — опять внутренняя точка для Q. Таким образом, Q
открыто в Г. Если и(а) = 0 при а Е <9Г, причем и'{а) = 0, то на примы-
примыкающем к а ребре складывается предыдущая ситуация, т.е. и(х) = 0
на этом ребре, что по доказанному возможно лишь в случае и(х) = 0
на Г. Теорема доказана.
Для любой непрерывной на отрезке М1 функции и(х) множество
точек, где и(х) > 0 (или и(х) < 0), есть объединение непересекающих-
непересекающихся интервалов, расположенных между нулями и. Для случая функ-
функций, заданных на графе (сети), такое множество имеет подобную же
структуру, но с более сложно устроенными компонентами связности.
Эти компоненты, в скалярном случае адекватные интервалам между
соседними нулями и, в случае общего графа (общей сети) могут со-
содержать внутренние узлы и не только ребра Г (целиком), но и куски
ребер. В любом случае такие компоненты связности имеют локально
идентичную Г структуру. Мы их договорились называть подграфамиГ'.
Подграф Го С Г сам является графом в смысле определения
из п. 3.1.1, для него определены J(Fq) и <9(Го), однако если «/(Го) С
С </(Г), т.е. внутренние вершины Го есть внутренние узлы Г, то 8Tq
может содержать точки Г, не лежащие в <9Г, и граничными для Го
могут оказаться точки, лежащие внутри каких-то ребер Г. Этим наш
термин подграф отличается от принятого в алгебраической теории,
где подграф должен иметь граничные (тупиковые) вершины только
из множества всех вершин (J(T) U дГ) исходного графа. Любой соб-
собственный подграф Го С Г должен иметь непустую границу <9Г0, даже
если дГ = 0.
Определение 3.2. Для непрерывной на Г функции и: Г —>•
—>• R мы под S-зоной функции и(-) понимаем любой подграф Го С
С Г, на котором и не имеет нулей и в граничных точках которого она
обнуляется.
Теорема 3.2 (принцип сравнения). Пусть и(х) — нетривиаль-
нетривиальное решение уравнения C.14) и Го — какая-либо из его S-зон. Тогда

60	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
любое знакопостоянное на Го решение v(x) уравнения C.14) коллине-
арно и(х) на Го-
Доказательство. Сужая рассмотрения на Го, можно считать,
что Го = Г, и(х) > 0 на Г и v(x) ^ 0 на Г. Если v(x) ф 0 на Г, то
в силу теоремы 3.1 v(x) > 0 на Г, причем v'(a) > 0 во всех точках
a G <9Г, в которых v(a) = 0 (здесь и далее zf(a) при а Е дГ означает
крайнюю производную dz(a)/d/y вдоль единственного ребра 7> при-
примыкающего к а). А так как и (а) = 0 и и'{а) > 0 всюду на <9Г, то
отношение h(x) = u(x)/v(x) может быть доопределено на дГ до непре-
непрерывной на Г = Г U дГ функции. Поэтому число Aq = sup h(x) конечно,
г
причем, очевидно, Aq > 0. Предположим, что h(x) ф Ао, и рассмотрим
максимизирующую h(x) последовательность {жп}. Пусть х — одна из
ее предельных точек. Рассмотрим функцию
z(x) = \qv(x) — и(х).
Она неотрицательна в Г, является решением уравнения C.14) и, со-
согласно теореме 3.1, не имеет нулей в Г. Поэтому если х Е Г, то z(x) > 0,
и, значит, Xqv(x) — и(х) ^ еи(х) при некотором е > 0. Но это означает
v J v(x) 1 + e
что противоречит определению Ао- Следовательно, х $. Г. Поэтому х Е
Е дГ и и(х) = 0 (так как и\дг — 0)- Если v(x) > 0, то
и(х)
Ло = —т^г = U,
v(x)
что невозмож;но. Поэтому v(x) = 0 и, в силу теоремы 3.1, v'(x) > 0.
Но тогда
Л	и(х) !• и(х) и(х)
Ао = sup -)-? = hm -^ = -^з(.
Г V(X)	x^x V(X)	V (Х)
Отсюда следует, что z'(x) = \qv'(x) — и'(х) = 0. Таким образом, для
нетривиального (по предположению h ф Aq) неотрицательного реше-
решения z = Ао^ — и уравнения C.14) мы имеем z(x) = z'(x) = 0, что
противоречит теореме 3.1. Значит, h(x) = Aq. Теорема доказана.
Теоремы 3.1 и 3.2 позволят далее построить теорию неосцилляции
на сети. Содержательность этих теорем можно пояснить и сейчас
сравнением с соответствующими им классическими (одномерными)
аналогами.
Следствие 1 (перемежаемость нулей). Пусть и(х) — нетри-
нетривиальное решение C.14) и Го — какая-либо его S-зона. Тогда любое
решение v(x) уравнения C.14), не коллинеарное и(х) в Го, меняет
знак в Го и в <9Го (а потому значения u/v на Го заполняют сплошь
(-оо,+оо)).

3.2. Краевая задача на сети	61
Скалярный аналог известен — между нулями одного решения лю-
любое другое, неколлинеарное ему, меняет знак. Доказательство напря-
напрямую следует из теоремы 3.2: если v неколлинеарно и на Го, то и не
может сохранять знак в Го- Если бы v сохраняло знак на <9Го, меняя
его в Го, то внутри Го существовала бы #-зона v, на которой и было
бы знакопостоянным, что тоже невозможно.
Следствие 2 (аналог принципа максимума). Если и(х) — ре-
решение уравнения C.14) без нулей в Г, то для любого решения v того
же уравнения, неколлинеарного с и, отношение v/u не может иметь
внутри Г ни глобальных максимумов, ни глобальных минимумов.
Действительно, если Aq — экстремальное значение v/u, то функция
h = v — Xqu должна быть знакопостоянной на Г, имея внутри нулевое
значение, что влечет, по теореме 3.1, h = 0, т.е. коллинеарность v и и.
Следствие 3. Если и — решение C.14) без нулей в Г, a v —
решение того же уравнения, то отношение v/u не может иметь
в Г нетривиальных локальных экстремумов.
Экстремум функции в некоторой точке мы называем нетривиаль-
нетривиальным, если в любой ее окрестности функция отлична от тождественной
постоянной.
Действительно, если Aq — значение локального экстремума v/u,
достигаемое в точке xq, то функция h = v — Xqu в некоторой окрест-
окрестности точки хо знакопостоянна и равна 0 в точке хо, и, значит, по
теореме 3.1, h = 0 в этой окрестности, т.е. хо — точка тривиального
экстремума v/u.
3.2. Краевая задача на сети
В математических работах задачи на сетях (с той или иной сте-
степенью общности) появились в форме вопроса о непрерывных решениях
системы
-(pUy + qu = f (яЕЯ(Г)),	C.16)
«7(а)^(а) + 9(а)«(а) = /(а) (а е ./(Г)),	C.17)
7СГ(а)
и(а) = 0 (аедГ),	C.18)
где C.16) — обыкновенные дифференциальные уравнения, заданные
порознь на ребрах 7ь а C-17) и C.18) — линейные связи, задан-
заданные локально в конечном числе точек — во внутренних и граничных
вершинах Г. В настоящей работе мы в основном рассматриваем эту

62	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
систему как краевую задачу
относя равенства C.18) к краевым условиям, а C.16), C.17) — к реали-
реализациям на Г = R(T) U J(r) единого уравнения на целом связном мно-
множестве Г. Однако такой взгляд не единственно возможный и даже не
первый. Более того, такой взгляд, открывая дорогу для качественных
результатов (типа рассмотренных в п. 3.1.5), оставляет в стороне такие
важнейшие и традиционные для ОДУ вопросы, как разрешимость
нашего обыкновенного дифференциального уравнения C.16), C.17) на
всем Г, продолжимость решений, заданных на части Г (например,
на ребре), размерность пространства решений, условия однозначной
дефиниции решений и пр. Ответы на подобные вопросы возможны
на основе общей теории краевых задач, если на систему C.16)—C.18)
посмотреть по-другому.
3.2.1. Разные версии задачи C.16)-C.18). При традицион-
традиционном взгляде ситуация вроде бы банальна: обычная краевая задача для
системы C.16) дифференциальных уравнений с краевыми условиями.
Однако:
—	уравнения C.16), хоть и совсем простые, и даже скалярные,
заданы каждое на своем носителе — ребре сети Г. У решений разных
уравнений разные аргументы, что не позволяет считать систему C.16)
единым уравнением для вектор-функции от скалярного аргумента;
—	если на систему C.16) смотреть как на набор не связанных друг
с другом уравнений, то необходимо вспомнить про условие непрерыв-
непрерывности интересующих нас решений во внутренних узлах
щ(а) = Uj{a) G», 7j С Г (а)).	C.19)
Здесь, напомним, 7г С Г(а) означает примыкание 7г к а, а через Ui(x)
обозначено сужение функции и(х): Г —у R на ребро 7г5
—	если мы захотим забыть о графе Г, переформулировав задачу
в независимых от Г терминах как бы на некоторой системе интерва-
интервалов, объявив их концы граничными точками, то условия C.17), C.19)
придется оснастить дополнительной фиксированной матрицей, опре-
определяющей связь между индексами согласуемых решений U{ с номера-
номерами концов соответствующих интервалов. В качестве такой матрицы
может браться либо матрица графа, либо матрица инциденций этого
графа.
Введение матриц, описывающих структуру графа, особенно ослож-
осложняет существо картины.
Сведение поставленной задачи к стандартной с последующим ис-
использованием результатов общей теории краевых задач [1, 35, 44] мо-

3.2. Краевая задача на сети	63
жет осуществляться одним из перечисленных ниже способов; каждый
подход дает соответствующую версию задачи.
(а)	Декомпозиционный подход. Пусть [7] обозначает замыкание
интервала j = (а, Ь) из Яп, т.е. [7] = [а, 6]. Обозначим через C2[j]
множество определенных на 7 функций и(х), которые вместе с про-
производными до второго порядка (puf)(x), (puf)f(x) допускают доопре-
доопределение до непрерывных на [7]. Для данного набора {ji}™ ребер Г
обозначим через C2[R(T)] произведение таких пространств С2[7г]-
Система C.16) может теперь рассматриваться как единое уравнение
в C2[R(F)]. Условия C.17)-C.19) порождаются системой линейных
и непрерывных в С2[Я(Г)] функционалов, определяемых с участием
матрицы инциденций.
(б)	Скаляризующий подход. Задача сводится к одному скалярно-
скалярному уравнению на отрезке. Обозначим через ol{ длину интервала 7г-
Очевидный линейный изоморфизм позволяет отождествить 71 c ин-
интервалом @,ai), ребро 72 — с интервалом {ol\,ol\ + «2), ребро 7г —
с интервалом (&-i> ?i)i ГДе d = ai + * * * + ai и i — 1? т- Тогда каждое
из уравнений системы C.14) превращается в уравнение на соответ-
соответствующем интервале (?г-ъ?г)> чт0 приводит к единому уравнению
второго порядка на @,?т), правда, с оговоркой: оно нарушается во
всех точках ^ (г = 1,га — 1). Условия C.17)-C.19), сопровождаемые
матрицей инциденций, превращаются в многоточечные краевые усло-
условия нелокального типа — они связывают значения и производные
решений в разных точках ?^.
(в)	Векторный подход. Задача сводится к стандартной (см., на-
например, [1, 35, 44]) постановке в классе вектор-функций. На каждом
ребре 7г вместо натуральной вводится каноническая параметризация
отрезком [0,1] по типу {х = а + t(b — а), 0 < t < 1}, после чего все
уравнения могут считаться заданными на одном отрезке [0,1], а ре-
решения ui(t) на разных ребрах 7г оказываются координатами одной
вектор-функции г^(^) = (i^i(t), ... ,um(t)). Синхронизация аргументов
не портит дела, так как решения C.16) во внутренних точках раз-
разных ребер никак не взаимосвязаны. Условия C.17)—C.19) оказываются
двухточечными. Естественно, без матрицы графа (или инциденций)
здесь не обойтись. Получаемая двухточечная задача не является, вооб-
вообще говоря, распадающейся, так как некоторые краевые условия могут
связывать решение обоими концами. Для того чтобы за счет перену-
перенумерации и переориентации ребер система краевых условий оказалась
распадающейся, когда каждое условие локализовано в одном конце
отрезка [0,1], необходимо, чтобы граф был двудольным, т.е. чтобы
его вершины можно было разбить на два класса так, чтобы любые
две смежные вершины (являющиеся концами одного ребра) оказались
в разных классах. Двудольным является любой граф, имеющий струк-
структуру дерева, т. е. не обладающий циклами.

64	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
(г)	Связный подход. Этот подход предполагает однородность усло-
условий C.17). Граф Г из рассмотрений не выбрасывается, а служит но-
носителем аргументов искомых функций. Решение системы C.16)—C.18)
ищется в классе функций, определенных и непрерывных на едином
множестве Г. Отпадает необходимость помнить об условиях C.19) так
же, как и о матрице инциденций. Условия C.17), будучи однородными
(называемые условиями гладкости или условиями трансмиссии), вно-
вносятся в определение решения уравнений C.16). Сами эти уравнения
рассматриваются уже скорее не как система, а как комплект уравнений
на Г, что приближает этот подход к декомпозиционному. Краевыми
признаются здесь лишь условия C.18), задаваемые на границе: u\qy =
= 0. Связный подход позволяет взглянуть на решения как на формы
деформированной сетки, как на определенные на всей сети Г функции,
графиками которых являются «паутинки над Г».
(д)	Синтетический подход. Условия C.17) считаются реализацией
исходного уравнения во внутренних вершинах, а C.16) — реализацией
того же уравнения на ребрах. Таким образом, одно уравнение второ-
второго порядка задано сразу на всем графе, включая вершины из «/(Г).
Краевые условия ставятся только на границе: и\дг = 0. В отличие от
предыдущего подхода, здесь снимаются возможные особенности реше-
решений во внутренних узлах, устраняемые дополнительными условиями
гладкости (трансмиссии). Функцию последних выполняет само уравне-
уравнение в точке а Е «/(Г)? допускающее, в отличие от условий трансмиссии,
ненулевые правые части /(а).
Последний подход используется в дальнейшем как основной при
исследовании задачи C.16)—C.18), позволяя даже внешне отразить
эллиптическую природу устанавливаемых качественных свойств.
Остальные подходы оказываются полезными при использовании
отдельных результатов классической теории.
3.2.2. Некоторые общие факты. Всюду далее мы будем пред-
предполагать выполненными «естественные» (с точки зрения упругих за-
задач) условия, когда в C.16) функции р(ж), q(x) и f(x) равномерно
непрерывны на каждом ребре Г, причем inf р > 0 и а1(а) > 0 для всех
а Е /(Г) и 7 С Г (а).
В «естественных» условиях для каждого ребра 7 соответствую-
соответствующее ему уравнение C.16) однозначно разрешимо на всем 7 (на замы-
замыкании [7] этого ребра) для любой начальной задачи, в том числе и для
крайних задач вида
и{а) = 0, -?-и(а) = 1,	C.20)
а 7
и{а) = 1, -?-и(а) = 0,	C.21)
а 7

3.2. Краевая задача на сети
65
где а — один из концов 7 (узлов Г), и(а) — предельное (вдоль 7)
значение и( •) в точке х = а и du(a)/'dj — соответствующая крайняя
производная. Недифференцируемость р для однозначной разрешимо-
разрешимости C.20) и C.21) здесь не помеха, достаточно заметить, что, например,
в случае 7СМ1 можно перейти к другой независимой переменной
У =
ds
p(s)'
Разрешимость в целом на Г или на Я(Г) = U 7г зада-
г=1
чи C.16)—C.19) будет определяться взаимодействием всех отдельных
связей этой задачи.
1. Пусть L — аддитивное однородное отображение из Е\ в Е2,
где Е\ и Е2 — линейные пространства. Пусть L «накрывает» Е2,
т.е. Е2 С LE\. Пусть L имеет конечномерное ядро N(L) = {i? G
G Ei: Lu = 0}. Пусть /1? ... , /& — линейные на Ei функционалы, где
к = dim N(L).
Лемма 3.1. Для однозначной разрешимости в Ei общей краевой
задачи
Lu = /, k(u) = Ci (/ е Е2,
г = 1, к)
C.22)
при любой f ? Е2 и любых Ci G
чтобы однородная задача
г = 1, к) необходимо и достаточно,
Ци) = О (г = ТД)	C.23)
имела в Ei только нулевое решение.
Общую задачу C.22) мы называем невырожденной, если для нее ис-
истинны высказывания, образующие двойную импликацию в лемме 3.1,
т. е. если однородная задача C.23), кроме тривиального и = 0, никаких
других решений в Ei не имеет. Для невырожденности необходимо и до-
достаточно, чтобы был отличен от нуля детерминант det ||/^(^-)||^-=1,
где {^j}jf=i ~~ произвольный базис из N(L) (пространства решений
уравнения Lu = 0).
2. Пусть {ipj} — какой-либо базис из N(L). Введем форму (пред-
(предполагая невырожденность задачи)
У Ф\ ••• Фк
; Ль..., Ап) =
1
Лк 1к
(у
3 Ю. В. Покорный и др.

66	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
удобную для явного представления различных решений задачи C.22).
Так, если у — какое-либо решение уравнения Lu = /, то реше-
решение z задачи C.22) дается выражением z = Э(у; h{y) — ci,l2(y) —
— С2, ... , h(y) — с/с). Решение полуоднородной задачи Lu = /, h(u) =
= 0 (г = 1, к) дается выражением Э(у; h(y), h{y), • • • , h{y))- Ес-
Если К: E<i —» Е\ есть какое-либо правое обратное к L отображение,
т.е. LKf = / при / G Е2, то равенство
определяет оператор Грина, позволяющий формулой и = Gf выразить
решение полуоднородной задачи Lu = /, U{u) = 0 (г = 1, к).
При нулевом функциональном аргументе 0@; Лх, Л2, ... , А^) дает
решения однородного уравнения Lu = 0 с условиями Ц(и) = — А{.
В частности, формула
/г,=Э@; 0,...,0,-1,0,...,0) (j = I, fe)
i-i
определяет базис в N(L), биортогональный к {/г}х> т- е. h(hj) = Eij
(г, j = 1, /и), где J^j — символ Кронекера. Этот базис позволяет, напри-
например, представить оператор Грина в виде
к
3. Как уже говорилось, каждый из пяти приведенных в п. 3.2.1
взглядов на задачу C.16)—C.19) мы будем называть версией этой за-
задачи. К любой версии применима лемма 3.1, причем
в первых четырех версиях и
В ПЯТОЙ.
Пространство Е\ везде состоит из функций, заданных и достаточно
гладких на множестве Л, где Л = Я(Г) в декомпозиционной версии,
О = @,6) U (?1,62) U ... U (?т-ъ?т) в скаляризующей версии, п =
= @,1) при векторном подходе и О = Г в последних двух версиях,
где вдобавок Е\ сужено условиями непрерывности C.19). Для всех
версий однородные задачи C.23), соответствующие C.16)—C.19), экви-
эквивалентны.
Лемма 3.2. Для невырожденности задачи C.16)-C.19) необхо-
необходимо и достаточно невырожденности любой из ее версий.
4. Внешне наиболее простой для задачи C.16)—C.19) является де-
декомпозиционная версия. Скаляризующая и векторная версии, сводя

3.2. Краевая задача на сети	67
функцию на графе к функциям скалярного аргумента, превращают
исходную задачу в объект стандартной теории, из которой следует,
например,
Лемма 3.3. Пусть р(х) Е C[R(F)]. Тогда при каждом X суще-
существуют линейно независимые на [Я(Г)] решения ф\(х), ф^(х),...
..., ф\ш (х) уравнения
-(р(х)иУ + q(x)u = Хр(х)и (х Е Я(Г)),	C.24)
каждое из которых аналитично по А (в смысле метрики Сг1[Я(Г)]).
Для доказательства достаточно выбрать на каждом ребре 7г один
из концов а, с помощью которого при фиксированном Л определить
условиями C.20) и C.21) два линейно независимых на 7г решения
h\(ж), hf(x). Продолжая h\ и К\ на остальные ребра 7/с (& Ф *) тож-
тождественным нулем и сохраняя обозначения, получим линейно незави-
независимую в целом на Я(Г) систему {hj.hf}^. Так как условия C.20)
и C.21) в векторной версии определяют обычную задачу Коши, то
из общей теории следует аналитическая зависимость от Л каждой
из функций h\, /i|, построенных указанным способом, при каждом
фиксированном Л.
5. Рассмотрим для уравнения C.24) однородные условия
а7(а)-^ и(а) + q(a)u(a) = 0 (а Е </(Г)),	C.25)
7
7СГ(а)	7
соответствующие C.17), вместе с однородными условиями C.18),
C.19).
Число Л назовем точкой спектра этой задачи, если она при этом
значении Л вырождена, т. е. имеет нетривиальное решение.
Теорема 3.3. Спектр задачи C.24) с условиями C.25), C.18),
C.19), дискретен и образует неограниченную последовательность.
Доказательство основано на стандартном соображении. Ес-
Если {^л(ж)}1=1 ~~ построенный в лемме 3.3 базис решений урав-
уравнения C.24), и через /i,...,/2m обозначены порождающие C.18),
C.19), C.25) функционалы, то невырожденность рассматриваемой
спектральной задачи означает отличие от нуля определителя
||/i(VJ[)ll?,T=i.	C-26)
который оказывается аналитической по Л функцией.
6. В синтетической версии, в отличие от остальных, спектральная
задача определяется более сильным уравнением
{f) + qu = Xpu,

68	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
которое дополняет C.24) вместо C.25) условиями типа C.17) при
f(a) = Хр(а)и(а). Однородные условия C.18), C.19) сохраняются.
Спектр этой задачи отличен, вообще говоря, от предыдущего, хотя его
структура аналогична.
В самом деле, по сравнению с C.26) характеристический детер-
детерминант Аг(А) для синтетической версии будет отличаться от C.26)
заменой строки вида
^(а)-^фк(а) + д(а)фк(а) (к = 1, ... ,2т),
7СГ(а)	7
соответствующей условию C.17) в каждой точке а Е </(Г), на строку
" Е ^(а)^-фк(а) + д(а)фк(а)-Хр(а)фк(а) (fc = 1, ... ,2т),
7СГ(а)
что сохранит для Ар (Л) аналитичность по Л.
Теорема 3.4. Пусть т Е дГ и и^(х) — решение уравнения
при условиях
ит(т) = 1, ит(х) = О (х Е 9Г, х ф г).
Тогда функция Аг(Х)и^(х) аналитична по X в метрике G1[Я(Г)].
Доказательство. Достаточно воспользоваться явным пред-
представлением (см. п. 2) с помощью формы 0 и учесть аналитичность
исходной системы {^дИ=1-
3.2.3. Функция Грина. Исходной задаче в каждой из версий
может быть придан общий вид C.22).
Определение 3.3. Функцией Грина для какой-то версии мы
называем функцию G(x, s) такую, что решение соответствующей по-
полуоднородной задачи
Lu = f, h(u) = 0 (г = ТД)	C.27)
при любой функции / может быть представлено в виде
и(х) = \G(x,s)f(s)ds,	C.28)
п
где ?1 — область аргументов и( •).
Во всех подходах, кроме векторного (где ft = @,1) и где функ-
функция G(ж, s) является матрицей для каждой пары ж, s E @,1)), функ-
функция G(x, s) скалярнозначна, а интеграл в C.28) берется либо по Я(Г),

3.2. Краевая задача на сети	69
либо по объединению интервалов (^, ?i+i)? либо по Г; в синтетической
версии интеграл берется по мере //(ж), введенной в п. 3.1.3.
Теорема 3.5. Для невырожденной задачи каждая ее версия име-
имеет функцию Грина, единственную в классе непрерывных по х на ft.
Доказательство проведем единообразно для всех версий (кро-
(кроме синтетической) в терминах задачи C.27). Пусть //(ж, s) — какое-
либо фундаментальное решение уравнения Lu = /. Это значит, что
z(x) = Н(х, s)h(s) ds
п
есть решение Lu = / при любой f(x) непрерывной на ft.
Пусть {^j}i — фундаментальная система решений уравнения Lu =
= 0 такая, что li(i/>j) = Sij (j = 1, к). Здесь Sij — символ Кронекера.
Тогда равенство
к
G(x, s) = Н{х, a)-Y, li(H( •, 8))ф4(х)	C.29)
г = 1
определяет функцию Грина, что проверяется либо прямой проверкой,
либо согласно п. 2. При этом операция вычисления функционала \{
«по х» коммутирует с интегрированием вдоль ft «no s» ввиду специ-
специфики всех условий C.17)—C.19), локализованных в узлах Г, т.е. в гра-
граничных для ft точках. Единственность функции Грина — тривиальное
следствие невырожденности.
Остается показать существование фундаментального решения. Мы
его просто предъявим. Сначала — для уравнения C.16) на произволь-
произвольном интервале 7 = (а> &)> гДе можно взять функцию Грина любой
краевой задачи на 7 или, например, функцию
( ,_ 1 + sign(? - s)
7[х, s) -	—-—
-2P(S)
Здесь ребро 7 = (а? &) параметризовано в любом из двух направле-
направлений отрезком [0, /] (/ — длина 7) ПРИ отождествлении точек ж, s G 7
с числами из (О,/). В качестве 0i(-), </>2(#) взята какая-либо фунда-
фундаментальная на 7 система решений уравнения Lu = 0. В любом из этих
двух вариантов фундаментальное решение Я7(ж, s) удовлетворяет по
первой переменной при фиксированном s G 7 условию
C.30)
где в символах крайних производных участвуют два примыкающих к
s куска 7s и Is интервала 7, образуемых выбрасыванием из 7 точки s.

70	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
Выбрав на каждом ребре 7г аналогичную функцию Н{{х, s), мож-
можно построить «диагональное» фундаментальное решение //(ж, s) на
всем R(Г), полагая
Н(х, s) = <
[ 0,	(x,s) еъх 1з {гФз)-
Использование такого фундаментального решения в формуле C.29)
переносит на функцию Грина свойство C.30) скачка производной на
«диагонали» х = s в Я(Г) х Я(Г).
Для синтетической версии формула C.28) должна быть уточнена
необходимостью учета значений f(x) в узлах из «/(Г), что вынужда-
вынуждает брать интеграл по Стилтьесу с мерой /л(ж), линейной на всех 7г
и единичной (атомарной) в точках из «/(Г). Поэтому функция Грина
должна быть доопределена при s E «/(Г).
Обозначим через G(x, b) (b E «/(Г)) решение однородного уравне-
уравнения
удовлетворяющего всем условиям C.18), C.19), а также условиям
A, о = 6,
(L^i)(a) = <^
[0, aeJ(r), a ^6,
где через (Lu)(a) обозначается левая часть уравнения C.17). В силу
невырожденности задачи такие функции определяются однозначно.
Тогда формула C.28) уточняется равенством
и{х)= \G^(x,s)f(s)dfi(s)= G^(x,s)f(s)ds+ ^ G{x,a)f{a),
Г	Я(Г)	aGJ(r)
причем на R(T) x R(T) функция G^(ж, s) совпадает с функцией Гри-
Грина G-z(x,s) связной версии, а на каждом 7 х 7 ~~ с функцией Гри-
Грина Go (ж, s) декомпозиционной версии. Теорема доказана.
Использованное при построении функции Грина представле-
представление C.29) удобно тем, что дает возможность выбирать различные
фундаментальные решения. Непосредственно из представления C.29)
следует
Теорема 3.6. Если задача C.16)—C.19) невырождена, то функ-
функция Грина Go (ж, s) ее декомпозиционной версии обладает следующими
свойствами:
(а)	при каждом s E Д(Г) функция gs(x) = Go (ж, s) удовлетворяет
однородному уравнению Lu(x) = 0 при х ф s\
(б)	gs(x) удовлетворяет C.30);

3.2. Краевая задача на сети	71
(в)	gs(x) удовлетворяет всем однородным условиям C.18), C.19),
C.25);
(г)	Go(x, s) равномерно непрерывна на каждом из прямоугольни-
прямоугольников >ji х 7j5
(д)	при параметризации в любом из двух направлений каждого
ребра 7г функция —— Go (ж, s) равномерно непрерывна на 7г х 7? (* Ф j)
ах
и на треугольниках Tf1 = {(ж, s) G 7г х 7г: =Ь (s — ж) > 0} (с^ = 1, га)
{знак «больше» здесь соответствует выбранной параметризации 7г) •
Следствие. Функция Грина G^(x,s) связной версии обладает
следующими свойствами:
(а^-) при каждом s G Я(Г) она является по х непрерывным на Г
решением уравнения Lu{x) = 0 (га/ш ж ф s)\
(бег) удовлетворяет условиям C.30);
(ва) удовлетворяет по х условиям и\дг = 0;
(га) равномерно непрерывна на каждой из компонент связности
множества Г х Я(Г);
(до-) обладает свойством (д).
Замечание. Все свойства (асг)-(до-) сохраняются и для функции
Грина 6гд(ж, s) синтетической версии. При этом свойство (а^) верно
и при s G «/(Г), а в (бег) свойство C.30) меняется при s G «/(Г) на
равенство (Lu)(s) = 1 (где (Lu)(s) при s G «/(Г) определяется левой
частью C.17) при а = s).
3.2.4. s-расширение задачи на сети. Если для данной невы-
невырожденной задачи фиксировать точку s G ^(Г) и объявить ее но-
новым узлом, обозначив новообразованный граф через Г • s, то равен-
равенство C.30) мы можем рассматривать как условие трансмиссии ти-
типа C.17) (полагая a7's(s) = p(s) = a7^/(s), q(s) = 0, f(s) = —1) в ново-
новоявленном узле s G J(F • s). Перенося наГ-s исходное уравнение C.16)
при х ф s и все условия C.17)—C.19) с дополнительным предположе-
предположением о непрерывности решений в дополнительном (новообретенном)
внутреннем узле s, мы получим для Gs(#, s) задачу по ж, аналогич-
аналогичную исходной. Решение соответствующей однородной задачи совпада-
совпадает с решением однородной задачи, отвечающей C.16)-C.19), поэтому
невырожденность новой задачи обеспечена невырожденностью исход-
исходной. Тем самым установлена
Теорема 3.7. Свойства (асг)-(до-) не только необходимы для
функции Ge(^, s), но и достаточны для ее однозначного определения.
Метод s-расширения оказывается продуктивным и для главной
в настоящей работе синтетической версии. Пусть s — произвольная
точка из Я(Г). Сохраним все связи C.17)-C.19), а также уравне-
уравнения C.16) при х ф s, дополнив их в точке ж = s условием непрерыв-

72	Гл. 3. Общая теория уравнений второго порядка
ности и уравнением
-p(s) — u(s) + -fj u(s) = /(«),
|_7s	7s	J
аналогичным C.30). При s G «/(Г) мы задачу C.16)—C.19) не меня-
меняем. Новообразованную задачу на Г • s мы называем s-расширением
исходной. Невырожденность s-расширения, очевидно, эквивалентна
невырожденности исходной задачи.
Проведенный выше анализ функции Грина резюмирует
Теорема 3.8. Функция Грина G/d(x^s) при каждом s G Г
есть решение s-расширения исходной задачи при f(x) = 0HaT\{s}
и при f(s) = 1.
Рассмотрение функции Грина как обычного решения (по х) чуть
измененной задачи резко упрощает анализ важных качественных
свойств, избавляя от необходимости отдельно обсуждать поведение
функции Грина на «диагонали» х = s, которая, в отличие от скаляр-
скалярного случая, не диагональ обычного квадрата a $J ж, s ^ 6, а граф,
расположенный в Г х Г (об упорядоченности на котором, как и об
аналогах левого и правого треугольников a^x^s^bma^s^x^
^ b скалярного квадрата, говорить трудно, в особенности, если Г имеет
циклы).
Всюду далее задачу на сети мы будем изучать в синтетической
версии. Поэтому, говоря о функции Грина, мы будем применять стан-
стандартное обозначение G(x, 5), опуская символ версии \±.

Глава 4
ТЕОРИЯ НЕОСЦИЛЛЯЦИИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА НА СЕТИ
Свойство неосцилляции для обыкновенного дифференциального
уравнения (или оператора L)
Lu = - (ри)' + qu = 0	D.1)
на отрезке [a, b] CM означает, что любое нетривиальное решение D.1)
имеет в [а, Ь] не более одного нуля. В вариационном исчислении это
свойство адекватно так называемому условию Якоби. Свойство неос-
неосцилляции играет ключевую роль в теории дифференциальных нера-
неравенств вида Lu ^ 0, где оно в силу теоремы Валле-Пуссена эквива-
эквивалентно наличию у такого неравенства строго положительного на [а, Ь]
решения. Последнее свойство имеет самые разнообразные приложения
в теории краевых задач для уравнения D.1). Естественно, что ана-
аналогичные свойства играют решающую роль и для краевых задач на
пространственных сетях, где на каждой дуге сети задано уравнение
вида D.1), а в узлах, где дуги смыкаются, решения смежных урав-
уравнений удовлетворяют условиям смычки (или, как говорят, условиям
согласования или условиям трансмиссии).
4.1. Неосцилляция уравнений второго порядка
Неосцилляция уравнения D.1) на отрезке означает, что нетривиаль-
нетривиальное решение не может иметь два различных нуля. Для непрерывной на
сети Г функции и(х) аналогом промежутка между соседними нулями
является 5-зона и, т.е. такой подграф Го С Г (Го Ф 0), что и(х) ф О
на Го и и\дг0 — 0- Далее рассматривается оператор
Lu = - — (puf) + qu
и порождаемое им уравнение
^	+ qu = 0	D.2)

74	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
в предположениях п. 3.1.5: р и q лежат в С[Я(Г)], т.е. равномерно
непрерывны на каждом ребре, причем коэффициент р(х) в целом на Г
равномерно положителен. Напомним, что
4f (?«')(*) = { ^ nrf n	p „n	D-3)
7сг(ж)
при а7(х) > 0. Решения D.2) ищутся в пространстве С2(Г) функ-
функций и(-) из С(Г), для которых (ргл')' Е С[Д(Г)].
Определение 4.1. Уравнение D.2) и порождающий его опера-
оператор
г def d / /ч ,
/ж = -— (ри ) + qu
называются неосциллирующими на графе Г, если любое нетривиаль-
нетривиальное решение D.2) не может иметь 5-зоны в Г (не допускается, в част-
частности, чтобы весь граф Г был #-зоной, когда и{х) ^0 в Г и м|^г = 0).
Если L не осциллирует на Г, то задача
Ьи = /, и\дг = 0	D.4)
невырождена. В самом деле, для нетривиального решения и(х) зада-
задачи D.4) (при / = 0) любая компонента связности непустого множества
из Г, где и(х) > 0 или и(х) < 0, оказывается подграфом, в граничных
точках которого и{х) = 0, что делает этот подграф 5-зоной и.
Пусть задача D.4) невырождена. Введем в рассмотрение для каж-
каждой граничной вершины т Е дТ задачу
Ьи = 0, и(т) = 1, и(х) = 0 (х Е <9Г, х ф т),	D-5)
обозначив ее решение через через ит.
Теорема 4.1. Если дГ ф 0, то следующие свойства эквива-
эквивалентны:
(а)	каждая из задач D.5) имеет неотрицательное на Г решение;
(б)	существует решение w уравнения D.2), положительное на Г,
т. е. такое, что miw > 0;
г
(в)	существует неотрицательное на Г решение, ненулевое хотя
бы в одной из точек <9Г;
(г)	уравнение D.2) не осциллирует на Г;
(д)	существует функция h(x) такая, что inf h > 0, и при всех и

4-1. Неосцилляция уравнений второго порядка	75
Последнее, с учетом D.3), означает, что
ВД I?(*№*) @)) (* * *(П), D.7)
(Lu)(x) = - ? /г(Ж)а7(Ж) (± ]Л (х) (х е J(T)).	D.8)
7СГ(Ж)	W /
Доказательство. При условии (а) каждое решение иТ, по тео-
теореме 3.1, строго положительно на Г. Поэтому их сумма по всем г Е дГ
не имеет нулей и в дГ. Значит, (а)=>(б).
Импликация (б)=^(в) очевидна, а (в)=^>(г) легко следует из теоре-
теоремы 3.2. При условии (г) каждая ит(х) существует в силу невырожден-
невырожденности задачи D.4) и не может иметь отрицательных S-зон, а потому
и отрицательных значений. Поэтому из (г) следует (а). Представле-
Представление D.6) справедливо, если положить h = w, где w взято из (б). По-
Поэтому (б) => (д). Наоборот, если L можно представить в виде D.6) при
некоторой h{x) E С2(Г), равномерно положительной на Г, то из D.6)
сразу следует, что (Lh)(x) = 0. А это есть условие (б). Таким образом,
(б) и (д) эквивалентны, что и доказывает теорему.
Следствие 1. При q = 0 уравнение D.2) не осциллирует на Г,
если дГ ф 0. В этом случае решением D.2) является функция и(х) =
= 1, удовлетворяющая (б).
Следствие 2 (краевые неравенства). Если L не осциллирует
на Г, то для любого нетривиального решения D.2) из неотрицатель-
неотрицательности на дГ ( ф 0) следует, строгая положительность на Г.
Например, решение иТ любой из задач D.5) строго положитель-
положительно в Г.
Доказательство. Пусть и — решение D.2). Если и(х) < 0
в какой-то точке х Е Г, то из неравенств u\qy ^ 0 следует существо-
существование в Г отрицательной $-зоны, что противоречит неосцилляции L.
Поэтому и(х) ^ 0 на Г, и если и ф 0, то в силу теоремы 3.1 и{х) > 0
при жЕГ.
Следствие 3. Пусть E(L) — множество решений неосцилли-
рующего на Г уравнения Lu = 0. Поставим в соответствие каждому
решению и(х) Е E(L) набор {и(т)}тедг- Это соответствие — изо-
изоморфизм не только линейный, но и порядковый, причем структурной
единицей оказывается функция v E E(L) такая, что v = 1 на дГ.
Действительно, каждую функцию z(x) из E(L) можно единствен-
единственным образом представить в виде z(x) = J^ z(t)ut(x), где {^т
решения задач D.5), образующие базис в E(L).

76	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
Следствие 4. Пусть w(x) — сильно положительное на Г ре-
решение уравнения Lu = 0. Тогда для решения иТ любой из задач D.5)
выполнено
V W ) х=т
Доказательство. Согласно следствию 2 к теореме 3.2 г есть
точка максимума (uT/w) на Г = Г U дГ. Поэтому функция h{x) =
= uT(r)w(x) — w(t)ut(x) неотрицательна на Г, причем h{r) = 0.
Если бы было
?)'«-•>¦
то получили бы N(т) = 0. Неравенство h(x) ^ 0 (^ 0) в сочетании
с /г(т) = h'(r) = 0 при г Е дГ противоречит теореме 3.2.
4.2. Дифференциальные неравенства
Под решением дифференциального неравенства
(Ьи)(х)^0 (хеГ)	D.9)
мы понимаем решение уравнения Lu = / при какой-либо неотрица-
неотрицательной функции / Е С[Л(Г)]. Аналогично эллиптическим задачам
на дифференциальные неравенства переносится ряд важных свойств
уравнений.
Ослабляя предположение о неосцилляции L шГ, скажем, что L не
осциллирует внутри Г, если L не осциллирует на любом собственном
(т. е. отличном от Г) подграфе Го С Г. Другими словами, для любого
нетривиального решения уравнения Lu = 0 в Г не может быть 5-зон,
отличных от Г. Ясно, что из неосцилляции «на Г» следует неосцилля-
неосцилляция «внутри Г».
Теорема 4.2. Пусть L не осциллирует внутри Г. Пусть для
и Е С2 (Г) (и ф 0) справедливы неравенства
(Lu)(x)^0, u(x)^0 (хеГ).	D.10)
Тогда и{х) > 0 в Г.
Если при этом и (а) = 0 для какой-либо а Е <9Г, то и'(а) ф 0.
Доказательство. Предположим, что в условиях теоремы неко-
некоторое неотрицательное на Г решение и{х) (^ 0) не всюду на Г строго
положительно. Тогда множество ft = {х: и(х) > 0} не совпадает с Г.
Пусть Q,q — какая-либо компонента связности П. Так как ?1$ — под-
подграф Г, не совпадающий с Г, то в д?1о существует точка ж, не лежащая
в <9Г, т.е. принадлежащая Г. В ней, очевидно, и(х) = 0.
Так как х оказывается точкой минимума и в Г, то в случае, когда х
лежит внутри какого-либо ребра Г, получаем и'(х) = 0 (независимо от

4-2. Дифференциальные неравенства	77
выбранной в окрестности х ориентации). Если же х Е «/(Г), т.е. явля-
является внутренним узлом, то
для любого 7 ? Г(ж). Поэтому в силу D.3)
d
А так как и(х) = 0, то
Но, с другой стороны, (Lu)(x) ^ 0 при всех ж, откуда (Lu)(x) = 0, т.е.
аТ
что в силу неотрицательности всех слагаемых в D.3) влечет — и(х) =
^	""У
= 0 при всех 7 ^ Г (ж). Таким образом, для любого ребра 7о подгра-
подграфа ^о С Г, примыкающего к ж (е 9^оM верны равенства
-?-и(х) = 0, %о(х)=0.	D.11)
Так как Г^о не совпадает с Г, то L не осциллирует на По и (соглас-
(согласно (б) из теоремы 4.2) существует решение ги(ж) уравнения Lu = 0,
равномерно положительное на По. Очевидно, гу(ж) > 0. Зададим на 7о
ориентацию в направлении от ж и воспользуемся представлением
Т	1 d ( 2 d (u\\
w ax \ dx \w ) )
Неравенство Lu ^ 0 означает здесь, что для функции
на 7о имеет место (f'(x) ^ 0, т.е. <р(х) не возрастает на 7о- Соглас-
Согласно D.11) должно быть (р{х) = 0. Поэтому (р(х) ^ 0 на 7о- Но тогда
и f —^-) (х) не возрастает на 7(ь чт0 в силу и(х) = 0 означает —^- ^ 0
на 7о5 а эт0 противоречит неравенству и{х) > 0 на По. Поэтому По не
мож;ет отличаться от Г. Значит, и > 0 на Г. Если при этом окажется,
что u(z) = 0 для некоторой z Е дГ и i^7(z) = 0, то в окрестности z
(на примыкающем к z ребре) справедливы предыдущие рассуждения,
приводящие к противоречию с неравенством Lu ^ 0.
Теорема полностью доказана.
Являясь для неравенства с неосциллирующим оператором точным
аналогом теоремы 3.1, предыдущее утверждение допускает эффектное

78	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
уточнение: свойство и(х) ^ 0 достаточно проверять лишь на грани-
границе <9Г, о чем говорит следующая
Теорема 4.3. Пусть L не осциллирует внутри Г. Тогда любое
нетривиальное решение и(х) неравенства Lu ^ 0, неотрицательное
на границе дГ, т. е. такое, что и\ог ^ 0, строго положительно внут-
внутри Г.
Доказательство. Покажем вначале, что и(х) неотрицательно
в Г. Предполагая противное, рассмотрим какую-либо его отрицатель-
отрицательную $-зону Гд.
Положим Ао = inf <р, где (р = u/w и w — строго положительное
Го
на Го решение уравнения Lu = 0.
Очевидно, Ло < 0 и Ло = <р(х) при некотором ж G Fq. Поэтому
функция h = и — Xqw удовлетворяет на Го неравенству Lh ^ 0, неот-
неотрицательна на Го и имеет нулевое значение в Го, что противоречит тео-
теореме 4.2. Поэтому и(х) ^ 0 на Г. Но теперь мы оказываемся в условиях
теоремы 4.2, применение которой к и(х) завершает доказательство.
Следствие 1. Если L не осциллирует на Г, то для любых двух
решений v и w неравенства D.9) при условиях и\дг = 0 существу-
существуют а > 0 и C > 0 такие, что av(x) $J w(x) ^ /3v(x) на Г.
Доказательство. Обе функции v и w строго положительны в Г,
имея ненулевые производные в дТ. Поэтому отношение v/w допускает
доопределение до непрерывной на Г U дГ функции, не имеющей нуле-
нулевых значений.
Следствие 2 (обобщенная выпуклость). Пусть L не осциллиру-
осциллирует внутри Г. Пусть и(х) — произвольное решение неравенства Lu ^
^0 ( ф 0). Тогда для любого подграфа Го С Г справедливо неравенство
и(х) > h{x) (х е Го),
где h — решение задачи
L/i = 0, (h-u)\dFo=0.	D.12)
В самом деле, функция (г^ — h) удовлетворяет условиям теоре-
теоремы 4.3. Условие D.12) в скалярном случае Lu = —и" на отрезке опре-
определяет обычную секущую (h" = 0), проходящую через точки и{^\),
и{^2) при (?1? ?2) = Го, так что описанное свойство адекватно строгой
выпуклости вверх скалярной функции. Это свойство является доста-
достаточно глубоким обобщением обычной выпуклости даже для скалярно-
скалярного оператора Lu = —(puf)f + qu при q ^ 0.
Следствие 3. Для неосцилляции L на Г необходимо и доста-
достаточно, чтобы функция Грина G(x, s) задачи D.4) была строго поло-
положительной па Г х Г.

4-3. Неравенство Харнака. Шатры на сетях	79
Действительно, из неосцилляции L следует невырожденность зада-
задачи D.4). Соответствующая функция Грина G(x, s) при х ф s удовле-
удовлетворяет однородному уравнению Lu = 0. Сохраняя это свойство для
s-расширения исходной задачи (см. п. 3.2.4), функция g(x) = G(x, s),
согласно теореме 3.8, удовлетворяет на Г • s уравнению Lu = / при
f(x) = 0 на Г \ {s} и f(s) = 1. Поэтому Lg ^ 0 на (Г • s) и g\d{r.s) = 0.
А так как, очевидно, расширенное на Г • s уравнение не осциллирует,
то в силу теоремы 4.3 g(x) > 0.
Пусть теперь задача D.4) невырождена и G(x, s) — ее функция
Грина, неотрицательная на Г х Г. Покажем вначале ее строгую поло-
положительность. Функция g(x) = G(x, s) при s ЕГ является решением
s-расширения задачи D.4), а значит, решением неоднородной задачи,
и поэтому g(x) ф 0. А так как (Lg)(x) = 0 при х ф s, то на любой
компоненте связности множества Г \ {s} функция g(x) оказывается
в условиях теоремы 3.1, и потому g(x) > 0.
Покажем теперь, что L не осциллирует на Г. Предполагая про-
противное, будем иметь нетривиальное решение uq(x) уравнения Lu = 0
и некоторую его #-зону Го С Г. Из невырожденности задачи D.4) сле-
следует, что Го Ф Г. Поэтому существует точка sq Е Г, не лежащая в Гд.
Возьмем функцию g(x) = С(ж, so). Она строго положительна на Го
и отлична от нуля хотя бы в одной точке <9Г0 — той, которая не входит
в дГ (<9Гд (jL дГ). Отсюда в силу теоремы 4.1 (равносильность (в) и (г))
следует неосцилляция L на Го, что противоречит определению Го как
$-зоны нетривиального решения.
4.3. Неравенство Харнака. Шатры на сетях
Пусть L не осциллирует на Г. Ниже показывается, что для любого
неотрицательного на Г решения и(х) неравенства Lu ^ 0 на каждом
локально компактном (относительно Г) подмножестве ft С Г справед-
справедлива оценка
тахад(ж) $J ктти(х),	D-13)
где константа и зависит лишь от ft. Неравенство D.13) — точный
аналог классического неравенства Харнака для эллиптических задач
на многообразиях.
Определение 4.2. Шатром с вершиной в точке ? Е Г = Г U дГ
называется функция Ш^(ж) из С (Г), удовлетворяющая уравнению
Lu = 0 при х ф ? и условиям и(х) = 0 при х Е <9Г, х ф ?. Высотой
шатра Ш^(ж) называется число Ш^(?). При единичной высоте шатер
называется единичным.
Достаточно наглядная интерпретация шатра — форма упруго на-
натянутой плоской сетки, если ее оттянуть в одной точке на единичное
расстояние. Для невырожденной задачи D.4) функция Грина G(x, s)

80	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
при каждом ? Е Г дает математически содержательный пример шатра
Ш^(ж) = С(ж, ?). Для любого шатра из его неотрицательности следует
в силу теоремы 3.1 его строгая положительность на Г. Аналогично
следствию 3 теоремы 4.2 можно показать, что неосцилляция L на Г
достаточна для неотрицательности (и даже строгой положительности)
любого единичного шатра.
Пусть w(x) — равномерно положительное на Г решение уравнения
Lu = 0, существующее в случае неосцилляции L согласно теореме 4.2
(эквивалентность (б) и (г)).
Лемма 4.1. Для любой точки ? Е Г U дГ и соответствующего
единичного шатра Ш^(ж) функция — Ш^ имеет максимум только
в точке х = ?.
Доказательство. Для каждой компоненты связности Го мно-
множества Г \ {?} точка ? оказывается граничной, т. е. ? Е <9Г0. Согласно
следствию 2 теоремы 3.2 функция Ш^/lo не может иметь экстремумов
внутри Го- А так как Ш^(ж) = 0 при всех х Е <9Го, кроме х = ?, то ? —
единственная точка экстремума Ш^/ги на Го U <9Го-
Лемма 4.2. Если L не осциллирует на Г, то для того, чтобы
шатер Ш^ был мажорантой ПЦ, т.е. чтобы Ul^(x) ^ Ulr](x) при
всех х Е Г, необходимо и достаточно, чтобы второй шатер ИЦ не
превосходил в своей вершине Ш^, т. е. чтобы ШТ7(г/) $J I1I^(?7).
Доказательство. Необходимость очевидна. Покажем достаточ-
достаточность, предполагая Ш^т/) ^ ЦЦ^). Пусть вначале Ш^т/) = ЦЦ^).
Рассмотрим функцию /г(ж) = Ш^(ж) — Ulrf(x). На любой компоненте
связности множ;ества Г \ {rj}, которая не содержит в своем замыка-
замыкании ?, функция h(x) оказывается решением неосциллирующего на
этой компоненте уравнения Lu = 0, причем решением с нулями на
границе этой компоненты. Значит, h = 0 на каждой такой компоненте.
Пусть теперь Го — компонента Г \ {77}, содержащая в своем замыка-
замыкании ?. Согласно предыдущей лемме ? является единственной точкой
максимума Ul^/w, a rj — единственной точкой максимума Ul^/w.
Поэтому
при х Е Г, в том числе и при ж G Fq.
При х = ? имеем отсюда
С?) «»(
т.е. Ш^(?) > Шг/(?). Поэтому /i(?) > 0. В целом функция h{x) =
= Ш^(ж) — ШГ](х) удовлетворяет однородному уравнению Lu = 0 при
х ф ? Е Го, имеет положительное значение в точке ж = ? и нулевые
значения на границе 9Го \ {?}, т.е. является шатром на Го- Но тогда
ввиду неосцилляции L на Г (а значит, и на Го) /г > 0 на Го.

4-3. Неравенство Харнака. Шатры на сетях	81
Если Ul^(rj) > ШуД^), то вместо Ш^(ж) предыдущие рассуж-
рассуждения можно провести для функции Ш^(ж) = 7ШГ7(ж) при 7 =
= Ш^ G7)/111^G/), также являющейся шатром на Г с вершиной в точ-
точке х = rj и совпадающей по значению в этой точке с Ul^(x). Из не-
неравенства 7 > 1 тогда будет следовать требуемое.
Лемма 4.3. Пусть L не осциллирует на Г и j = (а,Ь) — про-
произвольное ребро Г. Тогда для любой точки ? Е 7 единичный шатер
Ul^(x) связан с единичными шатрами Ша и Ш^, (с вершинами в точ-
точках а и b соответственно) неравенствами
1U.(i) > Ш„(ОШ4(х) ^ Ша(Ъ)Шь(х) (же Г).	D.14)
Доказательство. Первое из требуемых неравенств следует
из леммы 4.2 — достаточно сравнить значения шатров Ша(«)
и ШО(^)Ш^(-) в точке ?. Для доказательства второго в силу той же
леммы достаточно показать, что
= (ШОF)ШЬ)F).
Это будет доказано (так как Ш^F) = 1), если мы покажем, что
= Ша(х)
при х Е (?, Ь).
Рассмотрим множество Г \ {^} и его компоненту связности Го,
содержащую (^, Ь). На Го разность (Шо(^)Ш^)(ж) — Ша(ж) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Ьи = 0 (без купюр), имея нулевые значения на 9Гд,
включая точку ?. Поэтому она должна быть тождественным нулем.
Лемма доказана.
Лемма 4.4. Пусть L не осциллирует на Г. Тогда существует
строго положительная на Г функция g$(x) E С (Г), ограничивающая
снизу все единичные шатры на Г.
Доказательство. Если 7 — произвольное ребро Ги7 = (а,6),
то, согласно D.14), любой единичный шатер с вершиной в точке ? Е 7
оценивается снизу неравенством
где в качестве b берется точка из «/(Г). Такой выбор обеспечивает от-
деленность от нуля Шо(?) при ? Е 7- (Если граф Г совпадает с ребром
(а, 6), то мы можем добавить в (а, Ь) фиктивную внутренюю вершину
и провести рассуждения в терминах s-расширений.)
Таким образом, для любого ребра 7 из Г существует единичный
шатер Ulb(x) с вершиной b E «/(Г) такой, что при некотором К =
верно
^ А-G)Ш6(х).

82	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
А так как число ребер и число вершин у Г конечны, то лемма верна
при некотором Kq > 0 и
go(x) = min Ulb(x).	D.15)
beJ(r)
Лемма 4.5. Пусть L не осциллирует на Г. Тогда для любого
неотрицательного на Г решения и(х) (^ 0) неравенства Lu ^ 0 спра-
справедлива оценка
и(х) 2
где Ш^ — единичный шатер с вершиной в точке ?.
Доказательство. На каждой компоненте связности Го множе-
множества Г \ {?} функция h(x) = и(х) — и(?>)Ш^(х) оказывается решением
неравенства Lu ^ 0 и имеет неотрицательные на <9Го значения. Оста-
Остается сослаться на теорему 4.3.
Теорема 4.4. Если L не осциллирует на сети Г, то любое
неотрицательное на дГ решение неравенства Lu ^ 0 удовлетворяет
оценке
и{х) > \\u\\go(x) (хеГ),	D.16)
где, как обычно, \\u\\ = sup u(x), a go — положительная на Г функция,
г
определяемая равенством D.15).
Доказательство. В условиях теоремы и(х) > 0 на Г (по теоре-
теореме 4.3). Пусть s — точка максимума и(х) на Г U дГ, т.е. ||г^(ж)|| = u(s).
Тогда в силу леммы 4.5
и(х) ^ u(s) Uls(x) = \\u\\ Uls(x),
после чего остается воспользоваться равенством D.15).
Следствие 1. В условиях теоремы для любого локально ком-
компактного в Г множества Л существует константа к = м(?1, L) та-
такая, что для каждого неотрицательного на дГ решения неравенства
Lu ^ 0 верно неравенство Харнака D.13), достаточно положить в
D.16) х = хо, где хо — точка минимума функции и на ?1.
Следствие 2. Если L не осциллирует на Г, то функция Гри-
Грина G(x, s) задачи D.4) удовлетворяет аналогичному D.16) неравен-
неравенству
G(x, s) ^ go{x) sup G(t, s) (x, яеГ).	D.17)
т<ЕГ
Доказательство. Для любой неотрицательной на Г функ-
функции / решение задачи D.4), удовлетворяя D.16), должно удовлетво-
удовлетворять неравенству
G(x, s)f(s) dn > go(x)\ j G(x, s)f(s) d J ^ j\go(x)G(T, s)f(s
г	г	г

4-4- О локализации носителя	83
при всех ж, т G Г. Но тогда
\[G(x, s) - go(x)G(r, s)]f(s) dfi^O (ж, г е Г),
г
что в силу произвола неотрицательной /(•) означает
G{x, 5) - #0(ж)С(т, «) ^ 0 (ж, r,sG Г).
Последнее, как легко видеть, эквивалентно D.17).
Замечание. Аналогично, из D.17) следует D.16) для любого
решения задачи D.4) с неотрицательной /. Поэтому утверждение тео-
теоремы 4.4 просто эквивалентно D.17).
4.4. О локализации носителя
Заданная на сети Г задача
Lu = /, и\дг = 0	D.4)
может быть редуцирована к задаче на более узком подмножестве, если
/ = 0 на некоторой существенной части Г. Физически задача вполне
естественна, так как относится к случаю, когда экспериментировать
с системой, т. е. воздействовать на нее и наблюдать за ней, мы можем
только на некоторой ее части. Аналогичная ситуация возникает в за-
задаче о собственных колебаниях (описываемой спектральной задачей
Lu = А/ш, и\$г = 0), когда массы распределены лишь на части систе-
системы, т. е. р(х) = 0 на другой части.
Ниже в этом параграфе предполагается неосцилляция L.
Пусть ft — подмножество Г такое, что f(x) = 0 вне Л, т.е. на
Го = Г \ П. Нас интересует вопрос о возможности переопределения
исходной задачи на Л так, чтобы решение новой задачи совпадало на ft
с решением исходной (т. е. чтобы о прежней «составляющей» задачи
на Го = Г \ ft можно было полностью забыть). Если G(x, s) — функция
Грина задачи D.4), то ее решение при / = 0 на Го имеет вид
и(х) = I G{x, s)f(s) d\i (x e Г),	D.18)
п
где суммирование происходит уже по ft.
Подчеркнем, что в D.18) х Е Г, так как сужая интегрирование
на ft, т.е. пользуясь значениями G(x, s) лишь при sGfi, мы тем не
менее пользуемся 6г(ж, s) как функцией по ж, определенной на всем Г.
Сужение D.18) по х на ft означает тем самым переход к задаче на ft
такой, что ее функция Грина при ж, s E ft совпадает с G(x, s).

84	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
Назовем ребро 7 перемычкой в Г, если выбрасывание любой его
точки из Г приводит к потере связности. Если Г имеет структуру дере-
дерева, т. е. не содержит циклов, то все его ребра являются перемычками.
Пусть xq — какой-либо внутренний узел Г и Го — одна из ком-
компонент связности Г \ {жо}, образующаяся при выбрасывании xq из Г.
Компоненту Го, если к xq из Го примыкает всего лишь одно ребро,
оказывающееся перемычкой, мы назовем ветвью (веткой) исходной
сети Г. Очевидно, <9Го \ {xq} С дТ. Точку xq назовем основанием
ветви Го-
Пусть f(x) = 0 на ветви Го- Нас интересует далее вопрос о сужении
задачи D.4) и формулы D.18) на ft = Г \ Го. Функция Грина G(x, s)
при s GO есть шатер с вершиной в ft, определенный, однако, и на Го,
причем с помощью условий на 8Tq \ {xq}. Чтобы переопределить зада-
задачу нужным образом, необходимо для всех шатров Ш^(ж) с вершинами
в ft отбросить их куски над Го, сохранив их в целости над ft. Согласно
лемме 4.2 шатер Ш^(ж) = G(x^) при ? ? ft будет мажорантой для
шатра
так как значения их в точке х = xq совпадают. Рассуждениями, анало-
аналогичными рассуждениям в доказательстве леммы 4.3, можно показать,
что обе эти функции на Го совпадают. Таким образом, переход к новой
задаче на ft означает утрату G(x,xq) на Го, компенсируемую каким-
либо условием в точке xq.
Взяв G(x,X()) изолированно на Го, мы имеем шатер, однозначно
определяемый своим значением в вершине хо (в остальных точках
<9Го его значения нулевые). Множество шатров на Го с вершиной
в точке хо одномерно. Обозначим через ^о(^) единичный из них по
высоте. Пусть 7о — ребро из Го, примыкающее к х$. Из сказанного
ранее следует, что 7о — перемычка, соединяющая Го \ 7о с ft = Г \ Го-
Любой шатер с вершиной в точке хо определяется его высотой:
UlXo(x) = UlXo(xo)go(x).
Поэтому и
d
djo
и UI^ (? G ft) совпадают, имеем
Полагая здесь ——go(xo) = xq, и учитывая, что на 7о шатры ШЖо

4-4- О локализации носителя	85
Но тогда и для любого решения задачи D.4) в точке х = xq должно
выполняться равенство
d
—	 u(xq) = XqU(Xq),	D.18i)
что означает возможность представления в точке xq исходного урав-
уравнения Lu = /, т. е.
— —- (puf) + qu = /,	D.19)
в виде
У ск-у(жо) —— и(х$) I + ((/(а?о) — (х,^0(xq)kq)u(xo) = f{xo)-
7СГ(жо)\7о
D.20)
Таким образом, при f(x) = 0 на Го мы, интересуясь решениями
задачи D.4) только на ft = Г \ Го, можем полностью исключить Го
из рассмотрения, заменив уравнение D.19) в точке х = xq на D.20)
и пользуясь прежним уравнением в остальных точках ft. Посколь-
Поскольку ft — связное множество (точку хо мы из него не удаляли), получаем
на ft типичное уравнение на сети с краевыми условиями и\дп = 0.
Проведенные выше рассуждения резюмирует
Теорема 4.5. Пусть L не осциллирует на Г и Го — некоторая
ветвь Г с основанием х$.
Тогда для любой /, тождественно равной нулю на Го, при неко-
некотором хо решение задачи D.4) совпадает на ft = Г \ Го с решением
суженной задачи
(Lnu)(x) = -— (ри)(х) + qn(x)u(x) = f(x) (x e ft), и\дп = 0,
идентичной исходной задаче во всех точках ft U dft, кроме точки х =
= xq. Точнее,
~dft ^PU ^Х* ~ ~аТ
при всех х Е ft\ {xq}, равно как и qn(x) = q(x) при тех же х.
Если же х = хо, то
Qn(xo) = я(хо) ~ ^70(^0)^0'
а для —— (ри')(хо) в соответствующей сумме по 7 ? П(%о) от-
сутствует слагаемое а7о(хо) ——и(хо). Суженный таким образом
на ft оператор
Т	_	d
Lnu~~dn
не осциллирует на ft.

86	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
Что касается неосцилляции L^, то здесь достаточно заметить
лишь, что если решение v уравнения L^u = 0 (х Е ft) имеет #-зону Oq,
то в случае xq 0 ft$ множество ft$ будет $-зоной расширения v на Г
(т.е. того решения w уравнения Lu = О (х Е Г), сужением которого
на ft является v); в случае же xq Е fto множество fto U Fq будет
5-зоной к;, так как ввиду неосцилляции L на Г (а значит, и на Го)
w(x)w(xq) > 0 для всех х Е Го. Таким образом, осцилляция L^ на Л
повлечет осцилляцию L на Г, что противоречит условию теоремы.
В порядке физической интерпретации на упругой сети Г рассмот-
рассмотрим точку xq E </(Г), являющуюся основанием некоторой ветви Гд.
Предположим, что q(xo) = 0, т.е. в точке xq отсутствует внешняя
упругая опора (типа пружины). Тогда для любой внешней нагрузки
f(x) с носителем вне Го (т.е. при / = 0 на Го) реакция системы
на (Г \ Го) за счет D.18i) такова, как будто влияние Го на систему
заменено влиянием подставляемой (вместо всего Го) упругой опоры
в точке xq.
Описанный прием может быть обращен «обнулением q(x) во внут-
внутренних вершинах». К точкам а Е «/(Г), для которых q(a) ф 0, мы
можем «прирастить» дополнительное ребро, на котором связь ти-
типа D.18i) обеспечивается элементарным уравнением — и" = 0 (пружи-
(пружины меняются на элементарные струны).
В рамках описанного подхода Го и ft = Г \ Го можно поменять
ролями: если к ft добавить 7о, т0 (^ U 7о) окажется такой же вет-
ветвью, что и Го- Поэтому проделанная процедура может озвучиваться,
как сужение задачи на ветвь. Аналогично описывается процедура
сужения задачи на пару не смежных ветвей (с разными основани-
основаниями) fto и fti. В этом случае множество fto U fti = ft оказывается
несвязным, в отличие от выбрасываемого множества Г \ (Oq U ^i),
являющегося подграфом Г. Суженная на ft0 U fti задача, сохраняя
взаимодействие ^о с fti в рамках исходного уравнения (с помощью ис-
исходной функции Грина), может быть определена на некотором связном
графе ft, изоморфном объединению fti, ft2 и некоторой добавленной
точки, в которой решение суженной задачи будет разрывным (разные
пределы вдоль fti и вдоль ft2), что накладывает отпечаток на ана-
аналогичные D.20) условия. Подробнее на этом мы здесь не останавли-
останавливаемся.
4.5. Критическая неосцилляция
Ниже проводится более детальный анализ распределения нулей
решений однородного уравнения в связи с размерностью пространства
решений соответствующей однородной задачи Lu = 0, г^г = 0.
Для более детального анализа неравенства Lu ^ 0 нам потребует-
потребуется выделение из введенного в параграфе 4.2 свойства неосцилляции

4-5. Критическая неосцилляция	87
внутри Г более тонкого свойства критической неосцилляции в Г.
Для случая скалярного уравнения Lu = 0 на интервале (а, Ь) С R
неосцилляция на (а, Ь) означает отсутствие у любого нетривиального
решения двух разных нулей в замкнутом промежутке [а, Ь]. Таким
образом, если ?i < ?2 — Дв& различных соседних нуля решения и(х) ф
= 0 уравнения Lu = 0, то свойства неосцилляции на (?i, ?2) наверняка
нет, а свойство неосцилляции внутри Го = (?1,^2) наверняка есть,
как и неосцилляция на любом подынтервале G71,772), лежащем строго
внутри (?i, ?2)- Вычленяя критический, предельный характер свойства
неосцилляции внутри $-зоны относительно неосцилляции на любом ее
собственном подграфе, введем
Определение 4.3. Уравнение Lu = 0 (и оператор L) назовем
критически неосциллирующим на Г, если оно не осциллирует на лю-
любом отличном от Г подграфе Го С Г, но на самом Г неосциллирующим
не является.
Согласно свойству (в) теоремы 4.1 уравнение Lu = 0 критически
не осциллирует на Г, если Г есть #-зона одного из его решений.
Теорема 4.6. Пусть L критически не осциллирует на Г. Тогда
любое решение неравенств
Lu ^ 0, и\дГ ^ 0	D.21)
превращает их в равенства, т. е. оказывается решением задачи
Lu = 0, и\дГ = 0.	D.22)
Доказательство. По условию Г является 5-зоной некоторого
решения v(x) (> 0) уравнения Lu = 0, т.е. решения задачи D.22).
Пусть и(х) — нетривиальное решение D.21). В силу теоремы 4.3
и(х) > 0 на Г. Рассмотрим функцию (р = u/v. Пусть Aq = inf tp дости-
достигается в точке хо G Г. Тогда функция h = и — Xov в силу теоремы 4.3
есть тождественный нуль, что влечет утверждение теоремы. Пусть
теперь Ло = inf (р достигается в одной из граничных точек а Е дГ. Так
как Ло ^ 0 и, очевидно, Ло < +оо, то из равенства v(a) = 0 следует,
что и(а) = 0. Но тогда Ло = uf(a)/vf(a), и неотрицательная на Г
функция h = и — \qv, удовлетворяя неравенству Lh ^ 0 на Г, имеет
в точке х = а нулевое значение и нулевую производную, что, в силу
теоремы 4.2, влечет h = 0. Теорема доказана.
Доказанное свойство оказывается удивительным даже в скалярном
случае: если и(х) — любое решение неравенства
и"{х) + и(х) ^ 0,
на [О,тг], неотрицательное в точках х = 0 и х = тг, то и(х) = С sin x
при некотором С = const.

88	Гл. 4- Теория неосцилляции для уравнений и неравенств
Следствие 1 (аналог теоремы сравнения Штурма). Рассмот-
Рассмотрим на Г два уравнения
(ри')' + qu = 0,	D.23)
{pv'Y + Qv = 0.	D.24)
Пусть Q ^ q на Г.
Тогда для каждой S-зоны решения и(х) первого уравнения любое
решение v(x) второго уравнения, неколлинеарное и(х) ш Го, не мо-
может быть знакопостоянным в Го, т. е. наверняка меняет в Го знак.
Доказательство. Предполагая противное, будем считать
v(x) ^ О на Гд. Тогда функция h = v — и будет удовлетворять
на Го равенству —(phf)f — qh = (Q — q)v, т.е. неравенству Lh ^ 0,
удовлетворяя на Го условиям теоремы 4.6. Значит, Lh = 0, и остается
применить следствие 1 теоремы 3.2.
Классическую теорему Штурма мы получаем, меняя слова «для
каждой #-зоны» на адекватное для Г С R выражение «между сосед-
соседними нулями».
Следствие 2. Если Ьи = 0 критически не осциллирует на Г,
то пространство решений задачи D.22) одномерно.
Следствие 3 (критерий неосцилляции). Для неосцилляции L
на Г необходимо и достаточно существование строго положитель-
положительного на Г = Г U дГ решения неравенства Lu ^ 0.
Доказательство. Необходимость тривиально следует из тео-
теоремы 4.1 (эквивалентность (г) и (б)). Пусть теперь и(х) — строго
положительное на Г решение неравенства Ьи ^ 0. Если v — какое-
либо решение уравнения Ьи = 0 и Го — его #-зона, то на Го уравне-
уравнение критически неосциллирует и функция и удовлетворяет условиям
теоремы 4.6. Следовательно, ^|^г =0, что противоречит предположе-
предположению и(х) > 0 на Г.
Приведенный результат является точным аналогом теоремы Валле-
Пуссена для скалярных уравнений второго порядка на отрезке из R.
Если взять и{х) = 1, то получим пример достаточного условия неос-
неосцилляции — неравенство q(x) ^ 0.

Глава 5
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФАХ
5.1. Спектр задачи на графе
Изложенные в предыдущих главах результаты (особенно в пара-
параграфе 4.5) позволяют изучать на графе Г спектр задачи Штурма-
Лиувилля
= — (puf) + qu = А/ж, и\дг = 0.	E-1)
Предполагая уравнение Lu = 0 неосциллирующим на Г, мы будем
получать спектральные теоремы, анализируя свойства решений пучка
уравнений
L\u = Lqu — Хри = — (puf) + (q — Хр)и = 0
или пучка операторов Lo — Xpl. Напомним, что знаковых ограничений
на q мы выше не налагали. Далее предполагается, что р(х) ^ 0 (^ 0)
на Г и р е С[Я(Г)].
5.1.1. Неосцилляция пучка L — Xpl. Изученные выше осцил-
ляционные факты позволяют сравнивать собственные функции и\(х)
и и^(х), соответствующие разным собственным значениям Л и /i >
> Л: нули г?д и Пц перемежаются в том смысле, что в любой $-зоне
г^л заведомо и^ меняет знак (теорема сравнения). Однако в целом мы
имеем пока лишь базу для более глубокого анализа.
Теорема 5.1. Множество М вещественных Л, при которых
уравнение E.2) не осциллирует на Г, ограничено сверху и не пересека-
пересекается со спектром Л задачи E.1). При этом:
(а)	точка Aq = sup M принадлежит Л;
(б)	М = (-оо,А0).
Доказательство. Пустота пересечения М П Л очевидна. Пред-
Предположение о неограниченности М сверху означает, что при каких
угодно больших значениях Л уравнение E.2) не осциллирует на отрезке

90	Гл. 5. Спектральная теория
строгой положительности р; а это противоречит классической теореме
сравнения Штурма на этом отрезке. Из теоремы сравнения следует,
что если Л G М, то (—оо, Л) С М, т.е. М связно. Покажем, что Ао =
= sup М не принадлежит М.
Обозначим через w(x, А) сумму по s G дТ решений us(x, А) задач
Lxu = 0, u(s) = l, u(b) = 0 (bedT\{s}).	E.3)
Согласно теореме 3.4 каждая из функций us(x, А) мероморфна по Л,
а ее полюсы содержатся в Л. При каждом Л G М функция w(x, А)
строго положительна не только на Г, но и на дТ. Если Aq G М, то
функция w(x, Ло + е) при достаточно малых е > 0 строго положи-
положительна на компакте Г U дТ. Но тогда в силу теоремы 4.1 в М входят
и значения Л = Ло + е при е > 0, что противоречит определению Aq.
Этим доказано в силу связности М свойство (б).
Покажем теперь, что Ло = sup M принадлежит спектру Л. Если бы
Ло 0 Л, то при стремлении Л —>• Ло при Л < Ло функция w(x. Л) имела
бы в пределе w(x, Ло) ^ 0 на Г и сохраняла бы значения wF, Ло) = 1
во всех граничных вершинах b G <9Г. Наличие у уравнения E.2) при
Л = Ло неотрицательного решения без нулей в дГ означает неосцил-
неосцилляцию E.2) (теорема 4.1, эквивалентность (в) и (г)), т.е. включение
Ло G М, что противоречит доказанному выше. Таким образом, Ло =
= sup M есть вещественное собственное значение задачи E.1).
Теорема 5.2. Соответствующая Ло собственная функция за-
задачи E.1) не имеет нулей в Г. Алгебраическая кратность Ло равна
единице.
Доказательство. Фиксируем какую-либо вершину 6о G дГ.
Обозначим соответствующее ей при s = bo решение задачи E.3) через
ио(х. Л). Пусть Цк — некоторая сходящаяся к Ло последовательность,
причем /i/g < Ло- Соответствующая ей последовательность и^(х) =
= ио(х, ilk) не ограничена (так как Ло — полюс). Нормируем ее с по-
помощью нормы С (Г). Функции
удовлетворяют уравнению E.2) при Л = /i/,, и Vk(a) = 0 при всех a G
G <9Г, отличных от выбранной выше вершины 6q. В самой этой вершине
Vk{bo) = и и = п—и,
\\ик\\	\\Uk\\
т.е. Vk{bo) -> 0.
Если подставить Vk(x) в E.2) (при Л = //&), то из ограниченно-
ограниченности \\vk\\ можно сделать вывод об относительной компактности после-
последовательности {vk} в Сг1[Я(Г)]. Пусть vq(x) — ее предельная точка.
Можно считать, что Vf~ =^> vq. Из интегральной обратимости опера-
оператора L следует его естественная замкнутость, что позволяет считать

5.1. Спектр задачи на графе	91
предельную функцию vq(x) решением задачи E.1) при Л = Ао- Неот-
Неотрицательность vq(x) и отличие от тождественного нуля следуют из
неравенств Vk(x) > 0 на Г и ||г;&|| = 1 при всех к. Последнее свой-
свойство v$ в силу теоремы 3.1 означает vq(x) > 0 на Г. Отсюда в свою
очередь следует, что соответствующее Ао инвариантное пространство
имеет единичную размерность (см. следствие 2 из теоремы 4.6). Если
бы vo имела присоединенный элемент, то он был бы нетривиальным
решением уравнения
Lou - Хори = pv0
при условиях и\дГ = 0. Но это невозможно, так как pvo ^ 0 (но не
равно нулю тождественно) и Lo — Аор критически не осциллирует на Г
(см. теорему 4.6).
Следствие 1. Если Lq не осциллирует на Г, то все комплексные
точки A G Л удовлетворяют неравенству |А| > Ао-
Для доказательства остается рассмотреть невещественные точки
спектра Л. Пусть А = |А|(а + г/3) — одна из таких точек, причем а
и /3 вещественны и а2 + /З2 = 1. Из вещественности коэффициентов
уравнения следует, что для А существует пара вещественных функ-
функций и(х), v(x) (из С2(Г)) с нулями на дТ и таких, что
Lqu = |А|/?(сш — /3v), Lqv = \\\p(f3u + av).
Последнее означает, что в линейной оболочке Е2 элементов и и v
оператор L0/(|A|p) осуществляет поворот.
Пусть ио(х) — соответствующая Ао собственная функция зада-
задачи E.1). Рассмотрим на Е2 множество функций вида vu + \iv таких,
что
щ ^ vu + \iv,
и максимизируем на нем и2 + /i2, полагая sup (у2 + /i2) = То. Пусть г/0
и /i0 — соответствующая максимизирующая пара, т. е. v^ + /ig = То
и vqu(x) + /jLov(x) ^ ио(х) на Г. Для неотрицательной функции
/ = (щ - 1УОи - /J,ov)p
решение z{x) задачи Lqz = /, z|^r = 0 должно удовлетворять, соглас-
согласно теореме 4.3 (следствие 1), при некотором е Е @; 1/Aq) неравен-
неравенству z(x) ^ suq(x) на Г. Но тогда из равенств
ри0 = — Lo^o, ри = —- L0(au + /3v), pv = — L0(av - (Зи)
Ао	|Л|	|А|
долж:но следовать
Loz = / = Lo\—- — (au + /3v)- fr- (av - (Зи)
I Ao |A|	|A|

92	Гл. 5. Спектральная теория
что ввиду неосцилляции Lq дает
Таким образом,
; Ао ~и
откуда
1 А
Но тогда
.. ^ Ло/1Л1
откуда по определению числа То должно следовать
,2
|А|A-еА0),
Ао
JA|(l-eAo)
т. е.
\|Л|A ?Л)у
что ввиду е G @; 1/Aq) влечет |Л| > Aq.
Следствие 2. Любое нетривиальное решение неравенства
Lqu $J Аорг^ (или Lqu ^ Хори) при условиях и\дг = 0 пропорциональ-
пропорционально ио(х).
Очевидно ввиду теоремы 4.6.
Таким образом, ведущее собственное значение задачи E.1) на про-
произвольном графе Г обладает всеми основными свойствами, присущими
аналогичной задаче на отрезке. С остальными точками спектра дело
обстоит гораздо сложнее, о чем свидетельствуют самые разные при-
примеры.
5.1.2. Корневая простота. Мы продолжаем далее интересо-
интересоваться вопросом об условиях, при которых вещественные точки спек-
спектра задачи E.1) имеют единичную алгебраическую кратность (явля-
(являются простыми), т.е. соответствующие корневые пространства одно-
одномерны. Для этого мы пользуемся развитой в гл. 4 теорией, усиливая
теорему 4.6.

5.1. Спектр задачи на графе	93
Вопрос о кратности точки спектра удобно обсуждать в форме
вопроса о размерности пространства всех решений системы
Lu = 0, и\дГ = 0.	E.4)
Обозначая это пространство через E(L), мы интересуемся в конечном
счете условиями, обеспечивающими равенство
dim#(L) = l,	E.5)
что означает геометрическую простоту соответствующей точки спек-
спектра. Нас будет интересовать также вопрос об алгебраической простоте,
означающей при условии E.5) отсутствие решений у задачи
Lz = рщ z = 0,	E.6)
дГ
где и(х) — нетривиальное решение E.4). Знаковых ограничений на
коэффициент q оператора
Lu = - — (ри) + qu
мы здесь не налагаем, поскольку вместо L в E.4) мы допускаем Ь\ =
= Lq — Ар; в частности, мы допускаем далее и осцилляцию L на Г.
Необходимое условие равенства E.5) дает
Теорема 5.3. Если dim E(L) ^ 2, то для каждой граничной вер-
вершины a G дГ существует нетривиальное решение w(x) задачи E.4),
равное тождественному нулю на примыкающем к а ребре.
Доказательство почти очевидно. Пусть а — какая-то вершина
из 9Г и 7 - примыкающее к ней ребро. Пусть и(х), v{x) — линейно
независимые нетривиальные решения E.4), ненулевые на 7- Каждое
из них должно иметь в точке х = а ненулевую производную (иначе,
имея нулевые начальные данные в точке х = а, оно должно быть
тождественным нулем на 7)- Функция w(x) = uf(a)v(x) — vf(a)u(x)
в точке х = а удовлетворяет равенствам w(a) = wf(a) = 0 (напомним:
если a G <9Г, то zf(a) — крайняя производная), и потому w(x) = 0 на 7-
Здесь нам помогло то обстоятельство, что на каждом ребре уравне-
уравнение Lu = 0 адекватно обычному однородному уравнению на отрезке.
Следствие. Если каждое нетривиальное решение E.4) имеет
в Г только изолированные нули, то справедливо E.5).
Полученное условие, будучи достаточно простым и понятным по
формулировке, малоэффективно из-за необходимости анализа струк-
структуры множества нулей у каждого решения. Заменить «каждое реше-
решение» на, скажем, «хотя бы одно решение» нельзя. Сказанное означа-
означает необходимость учета связи между структурой множества нулей у
функций из E(L) и структурой графа.
Обозначим через У (Г) множество {a G «/(Г): ind(a) ^ 3}.

94	Гл. 5. Спектральная теория
Определение 5.1. Назовем точку х Е Г простой, если с 0 У (Г)
и Г \ {ж} несвязно.
Если Г является деревом, т. е. не содержит циклов (подмножеств,
гомеоморфных окружности), то простыми у него оказываются точ-
точки из любого ребра. В общем же случае простые точки — это точ-
точки Г \ У (Г), не лежащие в циклах.
Определение 5.2. Назовем задачу E.4) простой, если у неко-
некоторого ее решения все нули в Г являются простыми точками.
Теорема 5.4. Если задача E.4) простая, то верно E.5).
Доказательство. Пусть vq(x) — какая-либо функция из E(L),
имеющая в Г лишь простые нули. Число нулей у vq(x) конечно, так как
в противном случае vq(x) e 0 на некотором ребре с одним из концов
в У(Г).
Дальнейшие рассуждения мы проведем индукцией по числу S-зон
функции vq(x). Если vq имеет только одну 5-зону, то требуемое вы-
вытекает из следствия 2 теоремы 4.6. Пусть теперь теорема верна для
любой простой задачи в случае, когда некоторое ее решение имеет
нули только в простых точках, имея в Г число S-зон, не превосходя-
превосходящее к. Пусть для некоторой простой задачи имеется функция vq(x) E
Е E(L) с числом S-зон к + 1 и только с простыми нулями. Обозна-
Обозначим через {I\}i+1 совокупность этих S-зон. Назовем 5-зоны Г^, Tj
смежными, если dTi П dTj ф 0. Каждая нулевая точка vq, будучи
простой в Г, является граничной точкой для двух (и только двух)
смежных S-зон. И наоборот, если 1\ и Tj смежны, то \dTi П dTj\ = 1,
и единственная точка дТ{ П дТ j является простым нулем г?о- Поэтому
отношение смежности на множестве {r^}^+1 позволяет рассматривать
эти #-зоны как вершины дискретного (алгебраического) графа, ребра
которого определяются указанным отношением смежности и могут
считаться реализованными в виде простых нулей г;0. Этот «надграф»
назовем его S-графом (является деревом). В самом деле, наличие цик-
цикла (Г^, Ti2, ... , Г{а, Г{г) в 5-графе повлекло бы существование цикла
а
графа Г, содержащегося в (J Г^. и содержащего в себе простой нуль vq
i=i
(например, определяющий смежность Г^ и Г^2), а это невозможно.
Итак, построенный #-граф из S-зон является деревом, а потому
имеет хотя бы один крайний элемент. Обозначим его через 1\0. К S-
зоне Г^о может примыкать только один элемент #-графа. Обозначим
его через ГJo. Обозначим через b общую точку для дГ^ и dTjQ (такая
точка единственна).
Пусть и(х) — произвольная функция из E(L). Так как, кроме Ь,
в dFi0 входят лишь точки из дГ, то и(х) = 0 при всех х Е дГ^, х ф Ъ.
Отсюда в силу следствия 1 теоремы 3.2 следует, что и(х) = Cvo(x)
на 1\0 (так как и не меняет знак в <91\0). Но тогда функция ио =

5.1. Спектр задачи на графе	95
= и — Cv обращается в нуль и в точке х = 6, причем uj'(b ± 0) = 0.
Поэтому ш(х) должна быть тождественным нулем и на ребре Fj0,
примыкающем к 6, т.е. ш(х) имеет в Fj0, а значит, и в Г \ (Г^о U {6}),
неизолированные нули. А на графе Г \ Г^о, для которого теорема верна
по предположению индукции, oj(x) удовлетворяет уравнению и имеет
нули во всех граничных вершинах. Поэтому и = C\v$ на Г \ (Г^о U
U {&}), что ввиду конечности числа нулей vq и бесконечности числа
нулей (в Г \ Г^о) функции со возможно, лишь если ш(х) = 0 на Г \ Г^о.
Значит, и(х) = Cvo(x) на Г. Теорема доказана.
Замечание. По своему смыслу условие простоты задачи допус-
допускает проверку редукцией к менее сложным задачам. Например, если Г
является пучком, т. е. имеет единственную внутреннюю вершину, то
простота исходной задачи обеспечивается невырожденностью анало-
аналогичных (двухточечных) задач на каждом ребре.
Рассуждения, проведенные выше, сохраняют справедливость для
более общей ситуации краевых неравенств, развивая теорему 4.6.
Пусть задача E.4) простая, и vq(x) — какое-либо ее нетривиальное
решение. Пусть и(х) — нетривиальное решение неравенств
vo{x)Lu ^ 0 {х е Г), v'0{s0)u{s0) ^ 0,	E.7)
причем и(х) = 0 во всех точках из 9Г, отличных от sq. Как и ранее,
через Vq(so) мы обозначили крайнюю производную.
Теорема 5.5. В перечисленных условиях и(х) Е E(L), т. е. и(х)
обращает оба неравенства в E.7) в равенства, ии'{х) не имеет нулей
в дТ.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.4
и проводится по числу $-зон функции vq(x). В случае одной
5-зоны утверждение теоремы идентично утверждению теоремы 4.6.
В условиях перехода от к к к + 1 (по числу S-зон) выберем
произвольно Xq Е Г, являющуюся простым нулем г;0. Обозначим
через Pi и Г2 компоненты связности множества Г \ {хо}. Пусть У
и гу" — ребра подграфов Fi и Г2 соответственно, примыкающие к xq.
Тогда верно хотя бы одно из неравенств
—- vo{xo)u(xo) ^ 0, —-fj vv(xQ)u(xv) ^ 0.
Поэтому хотя бы на одном из подграфов (можно считать, что на Fi)
утверждение доказываемой теоремы верно (в силу предположения ин-
индукции). Но тогда Lu = 0 на Fi и ^|^г =0, откуда, во-первых, в силу
теоремы 5.4 следует и = C\v на Fi, во-вторых, и(хо) = 0. Последнее
влечет, в частности, что сужение и на Г2 тоже удовлетворяет условиям
доказываемой теоремы, и, значит (опять-таки в силу предположения
индукции), Lu = 0 на Г2 и ?i|^r = 0. По теореме 5.4 получаем отсю-

96	Гл. 5. Спектральная теория
да и = C2V0 на Г2- Но тогда независимо от того, является ж о верши-
вершиной Г или нет,
Cl=
—-и(х0) —-^и
44
4
d
и, значит, г*- = C\v на всем Г. Этим теорема и доказана.
В следующем пункте при анализе распределения нулей собствен-
собственных функций нам понадобится следующее обобщение только что до-
доказанной теоремы.
Теорема 5.6. Пусть vq — нетривиальное решение задачи E.4)
без нулей в циклах Г. Пусть и(х) — решение неравенств v$Lu ^
H(жЕ Г), (vfou)\dr ^ 0. Тогда на любой S-зоне vq функция и кол-
линеарна vo, причем, если какие-то две S-зоны г?о имеют общую гра-
граничную вершину хо и при этом хо не является граничной вершиной
для других S-зон г>о, то коэффициенты коллинеарности на этих двух
S-зонах совпадают.
Доказательство практически повторяет предыдущее после
перехода к графу Г \ Z, где Z — множество тривиальных нулей vo
(нуль функции мы называем тривиальным, если в некоторой его
окрестности эта функция тождественно равна нулю).
Для спектральной задачи E.1) свойство простоты нуждается в про-
проверке всего лишь на одной из собственных функций соответствующего
собственного значения Л Е Л. Выполнение этого свойства влечет про-
простоту не только геометрическую, но и алгебраическую. В самом деле,
если и(х) Е E(L), то умножение E.6) на и(х) приводит к неравенству
u(x)(Lz)(x) = р(х)и2(х) ^ 0,
которое в силу теоремы 5.5 влечет противоречие: ри2 = 0.
Если Г является деревом, то простота задачи E.4) обеспечивается
условием отсутствия у нетривиального решения и(х) Е E(L) нулей
в вершинах графа.
5.1.3. Локальная вырожденность. Через Е(Ь), как и ранее,
мы обозначаем пространство решений задачи Lu = 0, и\дг — 0 для
данного графа Г. В условиях п. 5.1.2 dim E(L) = 1, если нетривиальные
элементы и Е E(L) принимают нулевые значения лишь в конечном
фиксированном наборе простых точек из Г.
Скажем, что E(L) вырождено в точке xq E Г, если некоторая
нетривиальная функция и(х) Е E(L) обращается в этой точке в нуль.
Дефектом вырождения Е(Ь) в точке xq мы будем называть чис-
число dE(L,xo), равное размерности пространства H(xq) функций из

5.1. Спектр задачи на графе	97
E(L), обращающихся в нуль в точке х$. Короче говоря, dE(L, хо) =
= dim Н(хо) при Я(ж0) = {и ? E(L): и(х0) = 0}.
Дефект dE(L, xq) назовем полным, если dE(L, xq) = dim E'(L), т. е.
если u(xq) = 0 для любой и(х) из E(L).
Если dimE'(L) ^ 2, то i?(L) вырождено в каждой точке х Е Г,
так как для любой линейно независимой пары и, г; Е E(L) функция
h(x) = и(жо)^(ж) — v(xq)u(x) обращается в нуль в точке xq, причем
хотя бы одна из функций и, v, h нетривиальна, обнуляясь в точке xq.
Более того, согласно теореме 5.3 в этом случае каждое тупиковое ребро
(примыкающее к одной из граничных вершин) является сплошным
нулем одной из нетривиальных функций и Е E(L).
Лемма 5.1. Пусть xq Е Г и Н{х$) ф E{L\ т. е. u(xq) = 0 не для
всех и(х) Е E(L) (xq не есть точка полного вырождения). Тогда
dim#(?0) = dim E(L) - 1.
Для доказательства достаточно отметить, что функционал 1(и) =
= u(xq) линеен на конечномерном E(L) и его гиперплоскость совпа-
совпадает с Я(жо), отличаясь от E(L).
Эта лемма позволяет оценивать dim E(L) редукцией по размер-
размерности.
Обозначим через Z(Y) множество точек, каждая из которых при-
принадлежит хотя бы одному циклу Г. Пусть N — количество простых
циклов в Г, т. е. минимальное количество ребер, которые необходимо
удалить, чтобы получилось дерево.
Теорема 5.7. Пусть некоторое решение vo E E(L) имеет вне
множества Z(T) нули лишь в простых точках Г. Тогда
dim E(L) ^ TV + 1.
Точность (неулучшаемость по N) полученной оценки подтвержда-
подтверждается теоремой 5.4 и простыми примерами при N ^ 1.
Доказательство проводится индукцией по N. При N = 0 ис-
исходный граф Г является деревом, и требуемое следует из теоремы 5.4.
Пусть утверждение верно при N ^ к. Предположим противное при
N = к + 1. Если г^о не имеет нулей в Z[Y), то задача простая и dim E =
= 1. Пусть у vq найдется нулевая точка xq E Z(T). Выбрасывая xq
из Г, мы превращаем ее в граничную для оставшегося графа, для
которого число простых циклов не превосходит к. Это означает по
предположению индукции, что dim//(:Eo) ^ к + 1. Но тогда в силу
леммы 5.1
dim E(L) ^ dim H(x0) + 1О + 2 = ЛГ + 1,
что и требовалось доказать.
4 Ю. В. Покорный и др.

98	Гл. 5. Спектральная теория
Определение 5.3. Скажем, что Г ветвится в точке xq из «/(Г),
а хо назовем точкой ветвления Г, если при выбрасывании xq из Г
каждая из компонент связности оставшегося множества Г \ {xq} явля-
является ветвью, т. е. примыкает к xq лишь одним ребром. Для ветвления Г
в xq достаточно, чтобы xq не принадлежала ни одному циклу из Г.
Пусть xq — одна из ветвящихся вершин Г. Обозначим через Г^
(г = 1, к) все компоненты связности множества Г \ {жо}- Каждая из
них — ветвь с основанием xq. Очевидно,
Рассмотрим на ветви 1\ соответствующее сужениеЕ'(Ь), определяемое
задачей
Lu = 0, и\дГ =0 (г=ТД).	E.8)
Множество решений такой задачи обозначим через Н(Т{).
Скажем, что функция и(х) Е H(Ti) гладко примыкает к жо, ес-
если u\xq) = 0. Очевидно, это возможно лишь, если и(х) = 0 на ребре
из Г^, примыкающем к xq. Если этим свойством обладают все функции
из Я(Г^), то пространство H(Fi) назовем гладко примыкающим к xq.
Положим di = dim Н(Г{) (г = 1, к).
Лемма 5.2. dim H(xq) = di + ... + dk в том и только том слу-
случае, когда все пространства Н(Г{) гладко примыкают к xq. В про-
противном случае dim H(xq) = (J2 di) — 1.
г
Доказательство. Обозначим через Н° прямую сумму всех про-
пространств Н(Г{). Если функции из каждого //(Г^), определенные лишь
на 1\, считать продолженными на остальную часть Г тождественным
нулем, то //° оказывается и алгебраической суммой //(Г^) (г = 1, /с).
Пусть и(х) — произвольная функция из H(xq). Обозначим че-
через иг(х) ее сужение на Г^, т.е. положим иг(х) = и(х) при х Е Г^
и иг(х) = 0 при х 0 IV Очевидно, иг(х) Е Я(Г^), причем и1 + ...
... + ик = и. Поэтому H(xq) С Н°. Если все Я(Г^) гладко примы-
примыкают к жо, то для любой и(х) Е H(xq) соответствующие ей иг(х)
удовлетворяют в точке xq условиям гладкости и, значит, иг(х) также
принадлежат H(xq), откуда следует равенство H(xq) = HQ. Если же
хотя бы одно из H(Ti) не примыкает гладко к жо, то H(xq) есть
правильная часть //°. При этом H(xq) есть гиперплоскость в //°,
порождаемая условием гладкости, что означает dim H(xq) = dim H° —
— 1. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться ра-
равенством dim Н° = d\ + ... + dk-
5.1.4. Осцилляция на дереве. Структура дерева позволяет
превратить полученные условия (типа гладкого примыкания) в эф-
эффективные признаки. Ниже всюду Г предполагается деревом.

5.1. Спектр задачи на графе	99
Приводимое ниже свойство (предложение 5.1), полезное в первую
очередь для компонент типа ветвей, небезынтересно и с общих по-
позиций.
Предложение 5.1. Пусть b — некоторая граничная вершина Г.
Пусть существует решение vq уравнения Lu = 0, нулевое во всех
точках <9Г, кроме Ь. Тогда E(L) гладко примыкает к 6, т.е. любое
решение из E(L) имеет в точке b не только нулевое значение, но
и нулевую производную.
Доказательство. В предположении противного существует
функция z(x) G E(L), для которой z'(b) ф 0. Будем считать, что
vo(b) > 0 и z'(b) > 0. Из множества решений (точек из Г) неравен-
неравенства vo(x) > 0 выберем компоненту связности, примыкающую к Ь.
Обозначим ее через Го(г?о). Очевидно, L не осциллирует на Го(г^о).
Поэтому 5-зона z(ж), примыкающая к b и обозначаемая через Го (г),
не содержится в Го(^о). Значит, некоторая граничная для Го(г?о) точ-
точка Ь\ лежит внутри Fq(z). Поэтому ^o(^i) = 0 и z(b\) > 0, причем,
очевидно, v'0(bi + 0) > 0 (при дифференцировании по направлению
внутрь Го(г>о)). Из уравнения в точке &i, имеющего для и = vq (в силу
равенства vo(bi) = 0) вид
получаем, что vq(x) не есть тождественный нуль в одном из подгра-
подграфов Г, примыкающих к Ъ\ «извне Го(г>о)». Удаляя из Г точку Ь\ и вы-
выбирая из образовавшихся компонент связности отличную от Го(г>о), на
которой vo не есть тождественный нуль вблизи &i, мы оказываемся
на этой компоненте (обозначим ее Г1) в той же ситуации, что и в начале
рассуждений. Только решения vq и z поменялись ролями: z имеет нули
на дГ1 /6, a v — на всем дГ1. Поскольку, за счет перехода от Г к Г1
число s-зон одной из функций (уо) уменьшилось на единицу, через
конечное число аналогичных шагов мы получим подграф, являющийся
s-зоной одной функции, на которой другая будет строго положительна,
не будучи пропорциональной первой, так как имеет нули не во всех
граничных точках этой ^-зоны.
Замечание. Проведенные рассуждения показывают фактически,
что любая функция и(х) из E(L) есть тождественный нуль на всем
примыкающем к b подграфе Го(^о), на котором vq(x) > 0. В самом де-
деле, эти рассуждения верны для любой точки хо Е Го(г>о) и компоненты
связности множества Г \ {жо}, не содержащей b в качестве граничной
вершины.
Следствие. В условиях последнего предложения пространст-
пространство E(L) совпадает с H(xq) при некотором xq E

100	Гл. 5. Спектральная теория
В силу предыдущего замечания и = 0 на Го(г?о), чт0 ВВИДУ условия
гладкости (трансмиссии) влечет 9Го(г?о) С дТ U ^(Г). И утвержде-
утверждение следствия получим, взяв xq Е ^(Г) П <9Го(г>о). Если же К(Г) П
П <9Го(г>о) = 0, то <9Го(г?о) = <9Г, т.е. и = 0 на Г, что тоже влечет
требуемое.
Определение 5.4. Точку жо Е «/(Г), будем называть полным ну-
нулем для и(х) Е Е(Ь), если -— г^(жо) = 0 для всех 7 С Г(жо). Очевидно,
в этом случае и(х) = 0 на всех ребрах 7 С Г(жо).
Предложение 5.2. Пусть жо Е «/(Г) гл Н(хо) ф E(L), т.е.
существует хотя бы одно решение и(х) Е E(L), отличное от нуля
в точке хо. Тогда xq есть полный нуль для всех функций из H(xq).
Действительно, пусть vq(x) Е Е и vq(xq) > 0. Выбрасывая xq из Г,
обозначим через Fi, ... , Г& компоненты связности оставшегося множе-
множества. На каждой из них для vq выполняются все условия предложе-
предложения 5.1. Поэтому любая функция из H{xq) есть тождественный нуль
на каждом ребре, примыкающем к xq.
Следствие. Если вершина хо Е «/(Г) не является полным нулем
хотя бы для одной функции и(х) Е Е(Ь), то E(L) = H(xq), т.е.
точка хо является нулем для всех функций из E(L).
Мы сохраним далее обозначения Г^жо)? ••• ^к(хо) за полным на-
набором компонент связности множества Г \ {жо}- Скаж:ем, что компо-
компонента ГДжо) тривиальна для Е(Ь), если размерность соответствую-
соответствующего пространства Я(ГДжо)) нулевая, т.е. Я(ГДжо)) = {0}. Для три-
тривиальности компоненты достаточно, чтобы на ней L не осциллировал.
Определение 5.5. Назовем вершину xq E «/(Г) регулярной, если
тривиальными являются все примыкающие к ней ветви, исключая,
может быть, одну. Скажем, что E(L) находится в общем положении
для Г, если все внутренние вершины регулярны.
Теорема 5.8. Если E(L) находится в общем положении для Г,
то dim E(L) ^ 1. При этом dim E(L) = 1, если E(L) ф H{xq) при
всех хо Е «/(Г), и dim E(L) = 0 в противном случае.
Доказательство проведем по числу | «/(Г) | внутренних вершин.
Если такая вершина одна, обозначим ее через 6, и если при хо = b
соответствующее пространство H(xq) отлично от E(L), to xq есть
полный нуль для всех и{х) Е //(жо), вследствие чего на каждом Г^,
совпадающем с одним из ребер, и(х) = 0. Поэтому dim H(xq) = 0
и dim E(L) = 1. Если же H(xq) = E(L), то в силу тривиальности для
E'(L) всех компонент-ребер, кроме одного (обозначим его через j),
имеем и(х) = 0 на Г \ 7 Для любой и(х) Е Е. Но тогда вдобавок
к нулям на концах 7 функция и(х) в силу уравнения в точке xq имеет

5.1. Спектр задачи на графе	101
в ней и нулевую производную, а потому и(х) е 0 и на 7, т. е. на всем Г.
Таким образом, в этом случае dim E(L) = 0.
Предположим справедливость теоремы для любой задачи при
| J(F)| Ои рассмотрим случай, когда граф имеет к + 1 внутренних
вершин. Пусть хо — произвольная вершина из «/(Г). Если H(xq) не
совпадает с E(L), то xq является полным нулем в H(xq) и, в частности,
в каждой из компонент Г^ для функций из соответствующего ей анало-
аналогичного пространства. Среди этих компонент нетривиальная лишь од-
одна. Пусть это будет Fj0. При г ф jo должно быть dim Н(Г{) = 0. На Fj0
любая функция из H(Tj0) обращается в нуль на ребре, примыкающем
к жо- Поэтому она обращается в нуль и на другом конце х\ этого ребра.
Но это значит, что пространство H(Tj0) является пространством типа
H(xi), причем определено оно на графе Tj0 с числом внутренних вер-
вершин, заведомо меньшим к. Это значит по предположению индукции,
что dim//(Tj0) = 0. Но тогда в силу лемм 5.1 и 5.2 dim E = 1. Если
же Н(хо) = E(L), то E(L) является суммой пространств Я(Г^), из
которых по условию теоремы нульмерны все, кроме, возможно, одного.
Если ненулевую размерность имеет //(Г^), и если 7 ~~ ребро Гг0,
примыкающее к жо, то любая функция и(х) G Я(Г^0) имеет в точке xq
нулевое значение и нулевую производную, а потому и{х) = 0 на всем 7-
Но тогда нулем для и(х) является и другой конец 7, являющийся в Г^о
внутренней вершиной. Мы снова редуцировали задачу к задаче на Г^о,
имеющем меньшее число внутренних вершин, и в силу предположения
индукции, E(L) = Н(Г{0) = {0}. Теорема доказана.
5.1.5. Спектральная задача в общем положении. Нами раз-
разработаны уже достаточно мощные средства для анализа всех точек
спектра задачи E.1)
Lqu = А/ж, и\дг = 0	E-1)
в предположении, что Г является деревом.
Общность положения спектральной задачи E.1) в случае, когда Г
есть дерево, мы понимаем в соответствии с определением 5.5. В пере-
переводе на спектральный язык это означает следующее.
Пусть хо G Y(F) и Fi(^o), ••• ,Г/г(жо) — полный набор компонент
связности множества Г \ {xq}. Обозначим через Лх(жо)? Л2(жо), •••
..., Л&(жо) спектры соответствующих краевых задач на
Lou = \рщ u\dFi(X0) =0-
Точка хо G ^(Г) находится в общем положении для задачи E.1),
если
Ai(x0) nAj(xo) = 0
при г ф j, т.е. спектры Ai(^o), • • •, Л/,(жо) попарно не пересекаются.

102	Гл. 5. Спектральная теория
Задача E.1) на графе-дереве Г удовлетворяет условию общности
положения, если в общем положении находятся все вершины У (Г).
Теорема 5.9. Пусть Г является деревом, и пусть задача E.1)
находится в общем положении. Тогда все ее точки спектра вещест-
вещественны и имеют единичные как геометрическую, так и алгебраическую
кратности, а соответствующие собственные функции не имеют ну-
нулей в У (Г).
Доказательство. Вещественность спектра следует из возмож-
возможности преобразовать исходную задачу к эквивалентной самосопряжен-
самосопряженной. Так как Г является деревом, то, взяв любую из его граничных
вершин и упорядочив Г иерархически, с направлением убывания от
этой вершины (как от корня), мы можем поочередно преобразовать
каждое из уравнений на ребрах домножением его на константу так,
что для новообразованных коэффициентов р^(х) (пропорциональных
исходным р1(х)) в точках а Е «/(Г) будет справедливо а7(а) = р1(а),
что придает уравнениям в этих точках самосопряженную форму
()j -\-q(a)u = Хр(а)и.
7СГ(а)
Самосопряженность полученной задачи достаточно очевидна (она
видна из интегральных преобразований п. 3.1.2). Спектр при таком
подходе не меняется.
Пусть Л/е — какая-то точка спектра из Л. Положим
Ьи = -(ри'У + (q - Xkp)u,
а через Е обозначим соответствующее пространство решений задачи
Ьи = 0, и\дГ = 0.
Так как A/~ Е Л, то dim Е ^ 1. Пусть xq — произвольная вершина
из ^(Г). Точка А& может по условию входить лишь в один из соот-
соответствующих спектров Ai(xo), а потому нетривиальной может быть
только одна из соответствующих компонент 1\(жо)- Поэтому xq —
регулярная вершина. То же и для других точек из ^(Г). Поэтому Е
находится в общем положении для Г. Отсюда согласно теореме 5.8
вытекает dim Е = 1, причем u(xq) ф 0 для любой и{х) Е Е. В силу
произвольности хо Е У (Г) любая и{х) Е Е (и(х) ф 0) не имеет нулей во
всех точках из «/(Г). Если h(x) — присоединенная для и(х) функция,
то для нее должно быть верно тождество
и(х) (Lh) (х) = р(х)и2(х) ^ 0,
и на каждой ветви, примыкающей к любой а Е ^(Г), выполнены
условия теоремы 5.5, в силу чего и{х) = 0 — противоречие. Теорема
полностью доказана.

5.2. Осцилляционная спектральная теория	103
5.2. Осцилляционная спектральная теория
Вещественность и простота всех точек спектра задачи E.1), уста-
установленные в теореме 5.9, дополняются в случае неотрицательности q
положительностью спектра (см. следствие 1 из теоремы 5.2). Если пе-
перенумеровать точки спектра в порядке возрастания Aq < Ai < Л2 < ...
и через ipo,ipi, ... обозначить соответствующие им собственные функ-
функции, то в силу теоремы сравнения (следствие 1 теоремы 4.6) нули
(fk+i расположены гуще, чем <р&, в том смысле, что (fk+i меняет
знак в любой S-зоне у?&. Обратное заключение, позволяющее доказать,
что ifk имеет точно к нулей, весьма нетривиально и в скалярной
теории Штурма-Лиувилля. Для графа типа дерева этому свойству
и посвящен настоящий параграф.
В основе лежит анализ распределения нулей и S-зоя собственных
функций основной задачи
Ьои = ——- (ри) + qu = А/ж, и\дг = 0	E.9)
и их зависимости от соответствующих точек Л. Мы предполагаем
всюду, что Lq не осциллирует на Г, а Г является деревом, причем дГ ф
Ф 0, а индексы всех внутренних вершин больше 1 (ind(a) > 1 для всех
a G «/(Г)). Кроме того, ниже предполагается, что р на Я(Г) отделена
от нуля.
5.2.1. Осцилляционная теорема. Основной результат настоя-
настоящего параграфа дает
Теорема 5.10. Пусть Г является деревом и Lo не осциллиру-
осциллирует на Г. Пусть выполняется условие общности положения. Тогда
спектр Л задачи E.9) состоит из неограниченной последовательно-
последовательности вещественных и строго положительных простых собственных
значений Ао < Ai < А2 < ... При этом соответствующая А& соб-
собственная функция (fk(x) имеет в Г точно к нулей, в каждом из
которых она меняет знак, и к + 1 S-зощ в каждой S-зоне функции
(fk(x) содержится ровно один нуль функции ipk+i{x).
Доказательство вещественности, строгой положительности и прос-
простоты всех точек спектра Л осуществлено выше (см. теорему 5.9).
Отсутствие нулей у tpo(x) тоже уже доказано (см. теорему 5.2). На-
Наличие нулей ipk+i в каждой из 5-зон ipk вытекает из теоремы сравне-
сравнения (следствие 1 теоремы 4.6); единственность же нуля (pk+i B каж-
каждой из S-зон (fk наверняка будет иметь место, если (р^ имеет в Г
ровно к нулей (при любом к). Таким образом, для доказательст-
доказательства теоремы 5.10 достаточно установить, что <р& имеет ровно к ну-
нулей в Г.

104	Гл. 5. Спектральная теория
Пока не ясный вопрос о числе нулей и S-зоп собственных функ-
функций будет изучен отслеживанием эволюции нулей по Л в процеду-
процедуре, которая получила название метод накачки нулей. Резюмирующая
теорема, описывающая связь этой непрерывной процедуры с дискрет-
дискретным результатом (расположением нулей </?/,), приводится в следующем
пункте.
5.2.2. Метод «накачки нулей». Взяв произвольную вершину
b G дГ и обозначив через xq другой конец примыкающего к b ребра,
продолжим интервал (xq; b) за пределы Г («вправо» от точки Ь) до
бесконечности, обозначив это продолжение через [6; оо). Добавим это
продолжение [6; оо) к Г и обозначим новый граф через (Г + [6,оо)).
Продолжим на [6; оо) коэффициенты р, g, r уравнения
L\u = Lqu — Хри = 0	E.10)
по непрерывности так, чтобы при положительных Л, достаточно близ-
близких к нулю, новое уравнение, не осциллируя на Г, осциллировало бы
на [Ь; оо), причем каждое нетривиальное решение имело бы бесконеч-
бесконечное число нулей. Обозначим через и(х, А) решение E.10) с нулями
во всех точках дГ \ {6}. Будем считать и(х, А) как-либо нормирован-
нормированной. Для положительных Л, достаточно близких к нулю, обозначим
нулевые точки и(х. А) на [Ь; оо) в порядке их возрастания (имеется
в виду, что на [6; оо) введен порядок «от Ь») через zq(A), zi(A),...
..., г/г(Л), ... Все они — простые нули и(х, А), непрерывно зависящие
от Л. В силу теоремы сравнения (следствие 1 теоремы 4.6) каждая из
функций Zk(X) строго убывает по Л, пока ее значения принадлежат
лучу (ж0; оо).
Если Ло — ведущее собственное значение, то ^о(Ао) = b. При даль-
дальнейшем увеличении Л (^ Ло) все нулевые точки Zi(X) сместятся влево.
Когда очередная из них z/c(A) совпадет с 6, соответствующее реше-
решение и(х, Л), обнулившись в точке х = 6, окажется собственной функ-
функцией E.9), а значение Л, для которого Zk(X) = 6, — собственным значе-
значением. Поскольку попаданию Zk(X) в точку b должно было предшество-
предшествовать прохождение через эту точку предыдущих нулей ^о(Л), ^i(A), ...
..., z/g_i(A), то равенство Zk(X) = b определяет А&, т.е. к-е собственное
значение. Все предыдущие нули и(х. А), оказавшиеся (за счет увели-
увеличения А) внутри Г, должны проследовать влево от 6, к внутренней
вершине xq и далее, на смежные с (жо; Ь) ребра Г. На какие именно
ребра каждый нуль проскальзывает, а на какие нет? И как дальше
эти нули распределяются, формируя соответствующие $-зоны соб-
собственных функций? Будут нули и(х. А) множиться при прохождении
через внутренние вершины или нет? Зависят ли эти бифуркации от
количества примыкающих к вершине ребер? И не исчезнут ли при этом
некоторые из нулей и(х. А)? Эти и смежные вопросы в эквивалентной
форме обсуждаются ниже.

5.2. Осцилляционная спектральная теория	105
Характер предстоящих трудностей легко предвидеть с помощью
той же функции и(х. А). Связь нулей этой функции с параметром Л
и их эволюцией при изменении Л определяется уравнением и(х. А) =
= 0 в виде неявной функции х(Х). Эта функция заведомо многознач-
многозначна (при каждом Л функция и(х, А) может иметь по х много нулей,
и количество их возрастает с возрастанием Л). В этой многозначности
удобно разобраться, выделяя непрерывные ветви. Для каждой такой
ветви необходимо отследить, куда при возрастании Л она сворачивает
во внутренних вершинах. Вдобавок к этому оказывается, что основной
инструмент анализа — теорема о неявной функции — неприменима,
если нормировка и(х. А) осуществлена в целом на Г нормой одного
из функциональных пространств; такая нормировка резко ухудшает
регулярные свойства и(х, А).
Для формулировки основного результата о зависимости сопря-
сопряженных точек от А зафиксируем произвольную b Е дГ и рассмотрим
функцию
wx(x) = Д?
где г^ — решение E.10), обнуляющееся в дГ \ {Ь} и равное 1 в точке Ь.
При Л Е Л определим w\(x) как lim wjd(x). В силу теоремы 3.4 w\
аналитична в метрике С
Для описания зависимости от Л нулей функции w\ введем на Г
частичный порядок «к Ь». А именно, будем говорить, что для х\, х<± Е
Е Г точка х\ меньше Х2, и писать х\ < Х2-, если непрерывная кривая
с концами в точках х\ и 6, лежащая в Г U {6}, содержит x<i- Следует
отметить, что при такой упорядоченности сравнимы не всякие точки Г,
т.е. из Х\ ^ Х2 (для a?i, X2 Е Г) не всегда следует х\ > x<i (например,
если с Е ^(Г), a Pi и Г2 — различные компоненты связности Г \ {с},
не содержащие Ъ в качестве граничной вершины, то точки х\ Е Г\
и Х2 Е Г2 несравнимы).
Наконец, введем в рассмотрение множество
м= U U Л;(с),
где У (Г) — множество внутренних вершин индекса не ниже 3. При
этом, не ограничивая общности, можно считать нумерацию ГДс)
выбранной так, что b E <9Fi(c), так что можно будет писать
м= U U л;(с)-
Теорема 5.11. Пусть Г является деревом, a Lq не осциллирует
на Г. Пусть
> 1), V(t>j) [Л<(с)ПЛл-(с) = 0]. E.11)

106	Гл. 5. Спектральная теория
Тогда:
(а)	при каждом А Е Л функция w\ является собственной функ-
функцией задачи E.9);
(б)	существует счетный набор непрерывных и строго убывающих
функций
zk: (Xk- +оо)^Г, zk(\k + 0) = b, zk(+oc) e дГ
обладающих тем свойством, что если А Е (Xk; \k+i] \ M, то мно-
множество нулей функции w\ совпадает с {zo(A), ••• , ^(А)}, причем
графики zk (k = 0, оо) попарно не пересекаются.
Замечание. Из пункта (б) теоремы 5.11 следует, что очередной
нуль zk(X), во-первых, «стартует» из точки b «позже» предыдущих,
а во-вторых, никогда их не «догоняет». Таким образом, можно утвер-
утверждать, что Zi(X) ^ Zj(X) при г > j.
5.2.3. Доказательство пункта (а) теоремы 5.11.
Лемма 5.3. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Тогда ни-
никакая собственная функция задачи E.9) не может иметь нулевую
производную в точке Ь.
Доказательство. Пусть (р — собственная функция задачи E.9)
и (р'(Ь) = 0. Тогда <р = 0 на ребре, примыкающем к Ь. Пусть Го — макси-
максимальный по включению подграф Г, содержащий ребро, примыкающее
к 6, такой, что (р = 0 на Го- Тогда <9Го С дГ U ^(Г) (иначе Го не макси-
максимален), причем <9Го Ф 9Г, иначе Го = Г. Значит, существует с Е ^(Г)
такая, что (р = 0 на примыкающем к с ребре компоненты Ti(c), со-
содержащей Го (и точку 6), и не все производные (р в точке с равны
нулю. Но тогда в силу уравнения E.10) в точке с получим, что (р ф
= 0, как минимум, на двух компонентах из набора {Tj(c)}j>i, что
противоречит E.11). Лемма доказана.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Тогда для
любого с Е ^(Г) и любого j > 1 собственная функция задачи
|=0	E.12)
не может иметь нулевой производной в точке с.
Доказательство. Пусть у — собственная функция зада-
задачи E.12), причем у'{с) = 0. Тогда, доопределяя у на Г \ Г^-(с)
тождественным нулем, получим собственную функцию задачи E.9)
с нулевой производной в точке 6, что противоречит лемме 5.3.
Следствие доказано.
Доказательство теоремы 5.11 начнем с (а).
Пусть Л Е Л. Тогда
wx(b)= lim

5.2. Осцилляционная спектральная теория
107
Остается показать, что w\ ф 0. Функцию w\ можно переписать в виде
wx(x) =
/, 2ml
E.13)
def
здесь предполагается, что 1\(и) = и(Ь). Если w\ = 0, то
= w\(xo) =
где хо — любая точка Г, в которой собственная функция (р, отвеча-
отвечающая Л, отлична от нуля. Но равенство нулю последнего определи-
определителя означает существование нетривиального решения v уравнения
L\u = 0, обнуляющегося как на дГ \ {6}, так и в точке xq. В силу пред-
предложения 5.1, если v(b) ф 0, то (ff(b) = 0, что противоречит лемме 5.3.
Значит, v(b) = 0, т.е. v — собственная функция E.9), отвечающая Л.
При этом (р и v линейно независимы, так как если C\ip + C^v = 0,
то 0 = Ci(p(xo) + C2V(хо) = Ci(p(xo), т.е. С\ = 0 (последнее тут же
влечет и С2 = 0). Но в таком случае функция vf(b)(p — (p'(b)v (она
нетривиальна, поскольку ip'{b) ф 0 будет собственной функцией E.9),
обладающей нулевой производной в точке 6, что противоречит лем-
лемме 5.3. Это противоречие означает, что w\ ф 0. Пункт (а) теоремы 5.11
доказан.
5.2.4. Свойства нулей функции г^л- Для доказательства
пункта (б) теоремы 5.11 нам понадобится ряд вспомогательных
утверждений, позволяющих понять некоторые детали поведения нулей
функции w\ при изменении Л.
Ниже Z(X) — множество нулей функции w\(x).
Лемма 5.4. В условиях теоремы 5.11 следующие три условия
эквивалентны:
(I) множество Z(X) конечно;
(II)
(III) A 0 М.
Доказательство. Пусть Z(X) П У (Г) ф 0, т. е. существует с Е
Е ^(Г) такая, что w\(c) = 0. Тогда в силу E.11) w\ тривиальна
на Г2(с) или на Гз(с) (иначе Л2(с) П Л3(с) Э А), что влечет бесконеч-
бесконечность Z(X). Импликация A)=>(П) доказана.

108	Гл. 5. Спектральная теория
Пусть теперь Z(X) не содержит точек ^(Г). Выберем произвольно
с G У(Г) и j > 1 и допустим, что Л Е Л^-(с), т.е. существует решение
у ^ 0 задачи E.12). Сужение г; функции w\ на Fj(c) не имеет ну-
нулей в Y(Yj{c)) U {с}, но обращается в нуль на dTj(c) \ {с}. Значит,
в силу предложения 5.1 у'(с) = 0, а это противоречит следствию из
леммы 5.3. Импликация (П)=>*(Ш) доказана.
Допустим, наконец, что Л 0 М, но Z(X) бесконечно. Тогда w\ имеет
бесконечно много нулей на некотором из ребер Г, откуда следует, что
w\ е 0 на этом ребре. Обозначим через Rq объединение тех ребер,
на которых w\ = 0, и рассмотрим с = sup Rq. Пусть 7 — ребро, при-
примыкающее к с, все точки которого больше с. В силу определения с
получаем w\ ^ 0 на 7, что в силу уравнения E.10) в точке с влечет
нетривиальность w\ на одном из Fj(c) (j > 1). Последнее противо-
противоречит тому, что Л 0 М. Значит, j не существует, т. е. с = Ь. Но тогда
w\ есть собственная функция E.9) с нулевой производной в 6, что
противоречит лемме 5.3, и, значит, Z(X) конечно. Лемма доказана.
Далее U?(x) означает ^-окрестность точки х.
Лемма 5.5. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Пусть ( —
изолированный нуль w\^.
Тогда найдутся е > 0 и 8 > 0 такие, что существует единствен-
единственная функция z: Us(\*) —>• U?((), удовлетворяющая условиям z(\*) =
= С и w\(z(X)) = 0; при этом z убывает и непрерывна на Us(\*).
Если к тому же Л* Е Л, то е и 6 можно считать такими, что
существует единственная функция Zb'. (А*; Л* + 5) —> U?(b), удов-
удовлетворяющая условиям Zb(\* + 0) = b и w\(zb(\)) = 0; при этом Zb
убывает и непрерывна на (Л*; Л* + 6).
Доказательство. Заметим сначала, что ( 0 Y (Г). Действитель-
Действительно, в противном случае в силу E.11) w\^ = 0 на Г2(С) или на Гз(С)?
откуда следует, что ( — неизолированный нуль w\^. Ниже наряду
с обозначением w\(x) мы будем использовать альтернативное: w(x, A).
Если
, / ч def д / \ \
h(x) = — гу(ж,А*),
то L\^h = pwx^, и, значит, w\^L\^h ^ 0, причем h\Qr, rfc, = 0. Считая,
что производная
/( ^ л ч def d , л \I
взята в отрицательном (в смысле ориентации Г) направлении, получим
теперь, что неравенство /i??)ii/(?,j\*) ^0 в силу теоремы 5.5 повлек-
повлекло бы, что L\^h = 0 на Г, где Г — множество точек, меньших ?,
в которых г^д^ Ф 0. Последнее в сочетании с L\^h = pw\^ ^эзначает
тривиальность w\^ на Г, что противоречит определению Г. Стало
быть, h(()wf((, A*) < 0, что после применения теоремы о неявной

5.2. Осцилляционная спектральная теория	109
функции (например, в форме, приведенной в [37]) и влечет первую
часть утверждения леммы.
Вторая часть леммы, касающаяся случая Л* Е Л, устанавливается
такими же рассуждениями с той лишь разницей, что теорема о неявной
функции «односторонняя». Лемма доказана.
Лемма 5.6. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Пусть ( —
нетривиальный и неизолированный нуль w\^.
Тогда ( Е У(Г) и найдутся е > 0 и 5 > 0 такие, что существу-
существует единственная функция z: Us(\*) —> U?(() такая, что z(A*) = (
и w\(z(\)) = 0; при этом z убывает и непрерывна на Us(\*), при
А Е (А* — ё] А*) ее значения принадлежат Fi(^), а при А Е (А*; А* +
+ ё) — подграфу Г^-о(?), где jo больше 1 и определяется (единствен-
(единственным образом) из включения А* Е AJO(?).
Доказательство. Нетривиальность ? как нуля w\# означает,
что в любой окрестности ( существуют точки, в которых w\^ ф 0.
Если ( Е Я(Г) или ( Е «/(Г) \ ^(Г), то неизолированность ? сразу же
повлечет г^д (?) = 0 (по всем допустимым направлениям), а значит,
и тривиальность ?. Поэтому ? Е ^(Г). Неизолированность ? тогда вле-
влечет отличие от нуля ровно двух производных w\^ в точке ? (отличие от
нуля более чем двух таких производных противоречит условию E.11)).
Без ограничения общности можно считать, что w\^ = 0 на (J Fj(c),
поскольку в силу E.11) включение А* Е Aj(^) имеет единственное
решение среди j > 1.
Рассмотрим функцию г^2(ж,А), которая определяется по графу
Гг(С) и ег0 граничной вершине ? так же, как к;(ж, А) определяется
по Г и Ь. Включение А* Е А2(С) влечет, во-первых, что W2(x, А*) есть
собственная функция задачи E.12) для с = ? (в силу п. (а) теоре-
теоремы 5.11, который уже доказан выше), во-вторых, что (w2)f(C-> ^*) Ф 0
(по лемме 5.3).
Предположение о линейной независимости W2(-,\*) и ги(-,А*)
(на Г2(С)) повлекло бы наличие нулевой производной у функции
«(•) = Ю'(С, А.)и;(-, А*) - W'(C, \.)w2(; A,)
в точке ( (при нетривиальности г; в целом на Г2(С)M что противоречило
бы лемме 5.3.
Значит, W2(-, А*) и ги(-, А*) линейно зависимы, что влечет совпаде-
совпадение их нулей на Г2(С)- Применяя теперь к w2(-, А) вторую часть лем-
леммы 5.5, придем к существованию положительных ё и е и единственной
функции
z: [Л,; А* + ?)^[/?(С)ПГ2(С)
таких, что z(A*) = ? и k;2(z(A), А) = 0; при этом z убывает и непре-
непрерывна на [А*; А* + ё). При этом ё можно считать настолько малым,

110	Гл. 5. Спектральная теория
что w2((, А) ф 0 и w((, А) ф 0 при Л G [Л*; Л* + 6), что влечет ли-
линейную зависимость г^-, Л) и w(-, А), так как иначе ^(С, A)w(-, Л) —
— w(C, Л)к;2(*, А) есть нетривиальное решение задачи E.12) (для с = ?)
при всех Л G [Л*; Л* + E), а это невозможно хотя бы в силу дискрет-
дискретности Л2(С)- Но тогда нули к;(-,А) и гУ2(ш,А) совпадают (на Г2(С))
при Л* $J Л < Л* + E, что влечет те же свойства z(X) по отношению
к w(-. А), что и по отношению к W2(-, А).
Вводя для j > 2 функции Wj, аналогичные функции W2, и проводя
для Wj те же рассуждения, что и выше, придем к совпадению нулей w
и Wj при Л G (Л*; Л* + E). При этом ни один из нулей функций Wj
не может стремиться при А | А* к ?, так как иначе Л* G Aj(?) не
только при j = 2, но и при некотором j > 2 — противоречие с условием
общности положения E.11).
Тем самым обосновано, что е можно считать малым настолько, что
при Л больших Л* и близких к Л* нулей в U?(() П Г^(?) при j > 2
у функции w\ нет. Не может их быть и в С/е(С) П Ti(?) (это уже следует
из леммы 5.5).
Наконец, так же, как и в доказательстве леммы 5.5, устанавливает-
устанавливается неравенство h(()w'((, Л*) < 0 (для краевой по отношению к графу
Г2(С) производной), откуда в силу уравнения E.10) в точке ( для крае-
краевой по отношению уже к Гх(?) производной выполнено h(()w'((, Л*) >
> 0. Применение теперь левосторонней теоремы о неявной функции
влечет возможность доопределения z на (Л* — 5; Л* + 5) с удовлетво-
удовлетворением всех свойств, заявленных в утверждении леммы. Лемма дока-
доказана.
Лемма 5.7. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Пусть
(щ I/) П М = 0.
Тогда множество Z(X) на (/i; и) квалифицировано отделено от
дТ\{Ъ}, т.е.
(M; i/))
(Z(A) не пересекается с е-раздутием дТ \ {Ь}).
Доказательство. Рассмотрим дифференциальный оператор
L^+i и какие-либо его интервалы неосцилляции, примыкающие к точ-
точкам из дГ \ {Ь}. В силу леммы 5.4 множество Z(X) конечно; при этом
Поэтому в силу теоремы сравнения (следствие 1 из теоремы 4.6), так
как А < v + I, w\ не имеет нулей в интервалах неосцилляции Ьи+\.
Осталось положить е равным минимуму длин этих интервалов. Лемма
доказана.
Лемма 5.8. Пусть выполнены условия леммы 5.7.
Тогда расстояния между различными точками Z(\), лежащими
на одном ребре, не могут быть сколь угодно малыми, т. е. существу-

5.2. Осцилляционная спектральная теория	111
era е > 0 такое, что для любого ребра j графа Г из х\,Х2 G ^ Г\ Z{\)
{при х\ ф х%) следует
\\х\ ~ х2\\ > е.
Доказательство. В предположении противного найдутся реб-
ребро 7 и последовательности
такие, что х'п — ж" —>• 0. Последовательности х'п и ж" можно считать
сходящимися к некоторой жо Е 7-
Выберем е > 0 так, чтобы 7 П f/e(a?o) являлся промежутком неос-
неосцилляции оператора L^+i. Ввиду сходимости ж^ и ж^ к жо найдется
номер, начиная с которого х'п и ж^ окажутся в 7 П С/е(жо), что вслед-
вследствие конечности Z(Xn) (это вытекает из леммы 5.4) противоречит
теореме сравнения (следствие 1 из теоремы 4.6), так как Лп < v + 1.
Лемма доказана.
Лемма 5.9. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Пусть ин-
интервал (/i; и) не пересекается ни с М, ни с Л.
Тогда \Z{X)\ = const на (/i; и).
Доказательство. Из равномерной непрерывности w\ по Л вы-
вытекает замкнутость множества
Gz = {(Л; х) Е R х Г: гиА(ж) = 0}.
Действительно, если (//&; Ж&) Е Cz и (/х^; ж^) —>- (/io; жо), то
еГи
остается воспользоваться равномерной сходимостью wjJbk к w^0
и непрерывностью w^0.
Пусть а Е (/х; ^). В силу леммы 5.4 Z(<r) конечно, а в силу
леммы 5.5 |Z(A)| ^ |Z(a)| в некоторой окрестности а; поэтому если
|Z(A)| ф const в любой окрестности а, то существует последователь-
последовательность а к —>• а такая, что |^(а^)| > |Z(a)|.
Стало быть, существует, как минимум, |^(<т)| + 1 почленно различ-
различных последовательностей
таких, что ^(jfc(Cfc) = 0 Для всех ink. Никакие две из этих после-
последовательностей не могут, в силу леммы 5.5, сходиться к одной точке
из Z(a) U {Ь} (последовательности {Cl}T=i можно считать сходящи-
сходящимися ввиду компактности Г). Как следствие, ввиду замкнутости Gz
существует io такое, что ?^° сходится к некоторой 6q E дТ \ {&}. Но этот

112	Гл. 5. Спектральная теория
факт с учетом конечности Z(<Jk) противоречит тому, что wak в силу
теоремы сравнения (следствие 1 теоремы 4.6) не может иметь нулей
в интервале неосцилляции, например, уравнения Ьа+\и = 0 (а такой
интервал, примыкающий к 6q, конечно, существует).
Тем самым установлено, что |^(Л)| = |^(<т)| в некоторой окрест-
окрестности точки а. Ввиду произвольности а отсюда следует, что сущест-
существует покрытие интервала (/i; и) интервалами постоянства |Z(A)|.
По лемме Гейне-Бореля для всякого отрезка, содержащегося в (//; г/),
существует конечное подпокрытие этого покрытия, что влечет посто-
постоянство |^(А)| на любом отрезке из (//; и). Лемма доказана.
Замечание. Совершенно аналогично доказывается, что если
в условиях леммы 5.9 v Е Л и Z(v) конечно, то |Z(A)| = \Z(i/)\ для
всех А Е (/i; v\\ разница лишь в том, что в случае а = v нужно
рассматривать только левостороннюю окрестность точки и.
5.2.5. Предельные положения нулей. Ниже через |Z(A±0)|
обозначается lim
Лемма 5.10. Пусть выполнены условия теоремы 5.11.
Если А* Е Л и Z(\*) конечно, то
\Z(K + 0)| = |Z(A.)| + 1 = \Z(\, -0I + 1,
т. е. при переходе А через точку спектра задачи E.9) количество
нулей w\ увеличивается ровно на 1.
Доказательство. Равенство |Z(A* — 0)| = |Z(A*)| следует из
последнего замечания. В силу второй части леммы 5.5 |Z(A* + 0)| >
> |Z(A*) U {Ь}|, поэтому если |Z(A* + 0)| ф |Z(A*)| + 1, то
Но тогда, как и при доказательстве леммы 5.15, мы придем сначала
к существованию последовательности а& ^ А* и почленно различных
последовательностей
таких, что wak((l) = 0. Последнее в силу леммы 5.5 с учетом замкну-
замкнутости Gz повлечет сходимость одной из {A} к некоторой точке bo E
Е дГ \ {6}, а значит, и противоречие с неосцилляцией L\^+i на доста-
достаточно малом интервале, примыкающем к bo. Лемма доказана.
Пусть / = (/i, и) не пересекается ни с М, ни с Л, a /i, v E M U Л.
По лемме 5.9, если выполнены условия теоремы 5.11, то |Z(A)| = const
на /. Договоримся в этом случае значение этой константы обозначать
через /(/), а / называть нерасширяемым интервалом постоянства
функции \Z(X)\ или, короче, нерасширяемым интервалом.

5.2. Осцилляционная спектральная теория	113
Лемма 5.11. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Пусть I —
нерасширяемый интервал.
Тогда существуют непрерывные и убывающие на I функции z\,
z2, • • • , zin\ такие, что
V(A е I) [Z(X) = {Zl(X), z2(\),..., zl()
При этом графики функций z\, 22, ... , zin\ попарно не пересекаются,
а среди значений этих функций нет точек ^(Г).
Доказательство. Пусть a G / и Z(a) = {?i, B, ••• , С/(/)}-
В силу первой части леммы 5.5 найдутся е > 0 и 8 > 0 такие, что
для любого г = 1,/(/) найдется единственная функция Z{\ Us(cr) —)¦
—>• С/е(Сг) такая, что Zi(cr) = Q и гуд(^г(^)) = 0> причем функция z^
убывает и непрерывна. Каждую из этих Z{ можно продолжить по
непрерывности с сохранением убывания на весь /. Действительно,
пусть, например, z\ не продолжаема так за (а; /3), и /3 не совпадает
с правым концом /. При этом в силу леммы 5.7
Но Ci(/3 — 0) не принадлежит и У (Г), так как иначе в силу замкнутости
множества
Gz = {(Л, х) е R х Г: wx(x) = 0},
и тогда было бы ?i(/3 - 0) G Z(fi), т.е. Z(/3) П У (Г) ф 0.
Последнее в силу леммы 5.4 влечет j3 E М, что противоречит усло-
условию.
Таким образом, d(/3 — 0) — изолированный нуль множ:ества Z(/3),
что, по лемме 5.5, влечет непрерывную продолжаемость z\ вправо
за /3 с сохранением убывания. Полученное противоречие доказывает
непрерывную продолжаемость z\ с сохранением убывания вплоть до
правого конца интервала /.
Аналогично доказывается непрерывная продолжаемость с сохране-
сохранением убывания и вплоть до левого конца /.
Пересечение графиков функций Z{ и Zj (г ф j) противоречит лем-
лемме 5.5, ибо влечет неединственность неявной функции, определяемой
уравнением w(x, Л) = 0, график которой проходит через общую точку
графиков Zi и Zj.
Наконец, выше, доказывая, что Ci(/3 — 0) 0 ^(Г), мы фактически
уже установили, что среди значений функций Zj не может быть точек
множества ^(Г). Лемма доказана.
Лемма 5.12. Пусть выполнены условия леммы 5.11, a z\,z^,...
•••>%/) ~~ Функции, определяемые утверждением леммы 5.11.
Пусть v — правый конец интервала I.

114	Гл. 5. Спектральная теория
Тогда при г ф j выполняется
Доказательство. Допустим, что Zi{y — 0) = Zj(y — 0), где i ф j.
Обозначим это общее предельное значение функций Z{ и Zj через xq.
Если хо — точка некоторого ребра 7, то для Л, достаточно близких к и,
точки Zi(X) и Zj(\), не совпадая друг с другом (см. лемму 5.11), будут
лежать на 75 ПРИ этом в силу стремления Л к v — 0 расстояние между
ними может быть сколь угодно малым, что противоречит лемме 5.8.
Если же xq G «/(Г), то точки всех ребер, примыкающих к xq, кроме
одного (обозначим его снова через 7M меньше х$.
Значит, поскольку ж0 меньше как ^(А), так и Zj(X), то, начиная
с некоторого А, как Zi(X), так и Zj(X) окажутся на 7, что при А —>• и — 0
снова приведет к противоречию с леммой 5.8. Лемма доказана.
Лемма 5.13. Пусть выполнены условия леммы 5.11, a z\,z^,...
•••>%/) ~~ функции, определяемые этой леммой. Пусть I = (//; и).
Тогда для любого i = 1, /(/) существуют Zi(ji + 0) и Z{{y — 0). При
этом, если cq = max У (Г) и v ? Ajo(co) при некотором jo > 1, то
существует единственное г о такое, что
Zio(v-0) = со.
Доказательство. Существование пределов z\ в точках \± и v
следует из убывания этих функций. Далее, wv{x) ф 0 на Fi(co) в силу
леммы 5.3. Поэтому если wv{c^) = 0, то со — нетривиальный нуль wu,
причем неизолированный (иначе нарушается условие E.11)). Но тогда
в силу леммы 5.6 существует единственная функция z: {у — E; и) —ь
—> Гх(со) (здесь 5 — некоторое положительное число) такая, что z(A) E
Е Z(X) и z(A) | со, откуда сразу следует утверждение леммы.
Если же kv(co) ^ 0, то, выбирая нетривиальное решение if задачи
Lvu = 0 (хе rio(co)), и(х) = 0 (^G »rio(co))
так, чтобы (pf(co)wly(co) ^ 0, увидим, что для (р и wv на Г^0(со) вы-
выполнены условия теоремы 5.6, в силу которой kv(cq) = 0. Получили
противоречие с предположением wv{c§) ф 0. Лемма доказана.
5.2.6. Доказательство пункта (б) теоремы 5.11. Доказа-
Доказательство теоремы 5.11 завершает следующее утверждение.
Лемма 5.14. Пусть выполнены условия теоремы 5.11. Пусть для
некоторого к Е {0} U N существует набор непрерывных и убывающих
функций Zj : (Aj; А&] —» Г (где j = 0, к — 1) таких, что Zj(Xj + 0) = 6,
графики Zj (j = 0, к — 1) попарно не пересекаются и
V(Ae(Aj; AJ+1]\M)

5.2. Осцилляционная спектральная теория	115
Тогда существует непрерывная и убывающая функция Z&:
(A/g,A/g+i] —>• Г и существуют непрерывные и убывающие продолже-
продолжения функций Zj (j = 0, к — 1) на (A/,, \k+i] такие, что:
1)	**(А*+О) = 6;
2)	графики Zj (j = 0, /г) попарно не пересекаются;
3)	V(A G (Afe; Afe+1] \ M) [Z(A) = {г,-(А): j = ОД}].
Доказательство проведем индукцией по числу ребер графа.
Поскольку в случае, когда Г имеет ровно одно ребро, утверждение
леммы верно, можно считать, что Г имеет более чем одно ребро,
а для графов с количеством ребер меньшим, чем у Г, утверждение
леммы 5.14 верно. Пусть cq — вершина, соседняя с 6, и предположим
сначала, что cq Е Y(T). Пусть Mj — множество, определяемое по
графу Tj(co) (j > 1) и его граничной вершине cq так же, как М
определяется по Г и Ь. Тогда Mj С М для любого j > 1. Более того,
М = и(М,-и
Введем в рассмотрение функции Wj(x,\), которые определяются
по графу Fj(co) и его граничной вершине со так же, как w(x. A)
определяется по Г и Ь. В силу E.14), если А 0 М, то А 0 Mj, и, значит,
множество нулей каждой из функций Wj(x, А) при А 0 М конечно.
Кроме того, при А 0 М для любого j > 1 функции Wj и к; не могут
быть линейно независимыми на Fj(co), иначе функция
Wj(c0, X)w(x, A) - w(c0, X)wj(x, A),
будучи нетривиальной (ибо в силу леммы 5.4 w(co,\) ф 0, ес-
если А 0 М), обнуляется в со, а это влечет А Е Aj(co) С М, что
противоречит исходному предположению А 0 М.
Значит, при А 0 М для любого j > 1 найдется Cj Ф 0 такое, что
k;(-,A) = CjWj(-,\) на Fj(co). Последнее в сочетании с конечностью
нулей Wj(-, А) при А 0 М влечет, во-первых, совпадение нулей к;(«, А)
и k;j(-,A) на Tj(c), во-вторых, совпадение количества нулей к;(-,А)
на (J Fj(co) с суммой (по j > 1) количеств нулей функций Wj(-,A),
i>i
если только А 0 М.
Рассмотрим теперь zo(A/g), г1(А/г), ... , z/c_i(A/e). Допустим, что
A/g 0 М. По только что доказанному часть из этих нулей совпадает
со всеми нулями функций Wj(-,\k) (j > 1). Пусть количество
нулей Wj(-, А/г) равно kj (j > 1).
Из предположения индукции (учитываем, что количество ребер
у Fj(co) меньше, чем у Г) следует, в частности, что А^._х < А& <
< А^. (где А^ — собственные значения, образующие спектр
и, значит, первые к = ^2 kj нулей функции ги(-, А) (т. е. ^о(А
i

116	Гл. 5. Спектральная теория
/ei продолжаемы с выполнением всех свойств, оговоренных
в утверждении леммы, на [А&; +оо). (То, что именно первые к нулей
zo(A),zi(A), ••• 5^^_1(А) лежат в [J Г^(со), следует из условия
zj(\j + O) = b (j = 0, fe - 1)
и попарного непересечения графиков Zj).
Остальные нули функции гу(*,А^) (их (/с — /с) штук) лежат
в (со; 6). Из условий леммы вытекает, что
с0 < z^(Xk) < г^+1(А/с) < ... < 2;fc_i(Afc) < b
(здесь мы опять учитываем равенства Zj(\j + 0) = b и попарное непе-
непересечение графиков Zj). Возможны три варианта:
Afc+i < v = minAji ,	E.15)
= i/,	E.16)
> i/.	E.17)
В случае E.15) из предположения индукции вытекает, что коли-
количество нулей в [J Fj(co) при изменении А в промежутке (А&; Afc+i]
j>i
сохраняется, т.е. останется равным к. Количество же нулей ги(-,А)
при А, достаточно близких к А^ справа в силу леммы 5.5 будет рав-
равно (к — к) + 1, причем, существует непрерывная и убывающая функ-
функция (обозначим ее через Zk) такая, что г&(А& + 0) = Ь. Функции z^,
zk+ii • • • izh продолж:аемы на (А^; Afc+i] в соответствии с утверж:дении
леммы 5.11, причем будет выполнено
с0 < 2j(Afc+i) < ^+i(Afc+i) < ... < ^+i(A/e+i) < b
(первое неравенство — в силу леммы 5.11, остальные, кроме последне-
последнего, — в силу леммы 5.12).
В случае E.16) та же аргументация приводит к выводу о существо-
существовании Zk и о продолжаемости функций z^, ??.1? • • •? Zk—\ на (А&; A&_|_i)
с выполнением всех утверждений леммы 5.11. Остается лишь, поль-
пользуясь их непрерывностью, доопределить их в точке А&+1 пределами
слева. При этом условие попарного непересечения графиков в точке
Ajfe+i будет обеспечиваться леммой 5.12.
Допустим теперь, что выполнено E.17). Являясь минимумом, v
достигается при единственном значении j, которое мы без ограничения
общности можем считать равным 2. Тогда v = \\2. Так же, как и в слу-
случае E.16), показывается, что существует функция Zk, определенная
на (А&; 1у], и существуют продолжения z-^, ^+1, ••• , Zk-i на (A/,; v\,

5.2. Осцилляционная спектральная теория	117
удовлетворяющие требуемым свойствам на этом промежутке. При
этом в силу леммы 5.13
Z^(v) = Со < 2?+1М < ^+2(Z/) < ••• < zk(") < b
(строгие неравенства, кроме последнего выполняются с учетом лем-
леммы 5.12). Но тогда со является неизолированным и нетривиальным
нулем функции ги (•,*/) (ибо, к примеру, w(-,i/) = 0 на Гз(со), так
как v 0 Лз(со)). Значит, в силу леммы 5.6, функция z^ единственным
образом непрерывно продолжаема в некоторую правую окрестность г/,
причем это продолжение является убывающей функцией, а образ его
лежит в Г2(со).
Таким образом, количество нулей функции ги(-, А) в (J Г^(со) при
i>i
переходе А через v увеличивается ровно на 1. При этом для А, дсь
статочно близких к v справа, (со; Ь) будет содержать ровно к — к
нулей ги(-, А): ^+1(А), ??+2(А), ..., 2&(А). Покажем теперь, что строго
между v и Afe_|_i нет точек из (J Aj(cq). Это повлечет сразу, в силу
i>i
леммы 5.11, что количество нулей у w(-. А) в [cq; 6) останется рав-
равным к — к при всех А Е (г/; Afc+i]. Поскольку ж:е в силу предположения
индукции при тех же А количество нулей ги(-,А) и в [J Fj(co) не
j>i
меняется (оно равно к + 1), мы получим утверждение леммы.
Допустим, что в (г/; A&+i) все-таки есть точки из (J Aj(cq). Тогда,
i>i
обозначая наименьшую из этих точек через v\, те ж:е рассуж;дения, что
и в случае E.17), приводят к заключению, что w{c§,v\) = 0, причем
w( -, v\) имеет^в (со; 6) к — к — 1 нулей. Но функция w( •, А^) имеет
в (cq; 6) к — к нулей, обнуляясь еще и в точке Ь. Значит, она имеет
к — к #-зон, и по теореме сравнения (следствие 1 из теоремы 4.6)
w( •, vi) должна иметь в каждой из этих 5-зон нули, а значит, как ми-
минимум, к — к нулей. Полученным противоречием требуемое доказано.
Если соседняя с b вершина не содержится в ^(Г), то приведен-
приведенные выше рассуждения остаются верными, если в качестве с$ взять
max Г (Г).
Если же У (Г) = 0, то, во-первых, \дГ\ = 2, а во-вторых, М = 0;
в силу этого предыдущие рассуждения, не теряя своей справедливости,
резко упростятся, если со положить совпадающей со второй граничной
вершиной Г (отличной от Ь). Лемма доказана.
5.2.7. Доказательство теоремы 5.10.
Лемма 5.15. Если выполнено условие общности положения,
то М ПЛ = 0.

118	Гл. 5. Спектральная теория
Доказательство. В предположении противного придем к су-
существованию к = О, оо, с G У{Г) и j > 1 таких, что А& G Aj(c). Можно
сразу считать, что с является одним из инфимумов множества
{deY(F):3(i>l) [Xk€Ai(d)}}
(ввиду частичности порядка на Г таких инфимумов может быть
несколько). Но тогда, взяв нетривиальное решение у(х) задачи
LXku = 0 (хеГ^(с)), и\вгЛс)=0,	E.18)
получим, что у не имеет нулей в У(Г^-(с)), т.е. задача E.18) простая.
Можно считать, что собственная функция <р& задачи E.9), отвеча-
отвечающая Л/г, такова, что yf(c)(pk(c) ^ 0, где производная крайняя по
отношению к Fj(c). Применяя теперь теорему 5.5, получаем ipk{c) = О,
что противоречит теореме 5.9. Лемма доказана.
Теорема 5.10 теперь следует из теоремы 5.11 и леммы 5.15, по-
поскольку в силу леммы 5.15 из условия общности положения вытекает,
что w(-,Ajfe), являясь собственными функциями задачи E.9), имеют
конечное число нулей, а значит (см. теорему 5.11), ровно к нулей.
5.2.8. Перемежаемость спектров. При условии общности по-
положения из доказательства леммы 5.14 можно усмотреть, что точки
спектра Л строго перемежаются с точками (JAj(co), где объединение
j
берется по всем j. Точнее говоря, имеет место цепочка неравенств
Ло < щ < Ai < i/i < ... < Хк < "к < ••• ,	E.19)
где z/q, i/i, ... , j/fc, ... — точки (JAj(co), перенумерованные в порядке
з
возрастания.
Действительно, при доказательстве леммы 5.14 показано, что стро-
строго между А/, и А&_|_1 не может лежать более чем одна точка множе-
множества (J Aj(co). Но можно установить и большее: если в (А&; \k+i)
i>
лежит точка и из (J Aj(cq), то в этом интервале нет точек из
В самом деле, при A G (А/,; и) функция w\ имеет в (со; Ь) ровно к — к
нулей, а при A G (i/; A&+i) — ровно к — к — 1 нулей. И, значит, если
некоторое А^ G (Afc; A^+i), то, рассматривая A G (Afc; min{z/; A^}),
получим (применяя теорему сравнения из параграфа 4.5^, что к\ ^ к —
— к — 1, а рассматривая A G (max{г/; Aj^ }; А), что /г — к — 1^ к\ — 1,
что противоречит предыдущему неравенству.
Если же в (A/g; \k+i) нет точек из (J Aj(cq), to из доказательства
j>i
леммы 5.14 вытекает, что w\k+1 имеет в (со; 6) ровно /с — & + 1 нулей,

5.2. Осцилляционная спектральная теория	119
a w\k — ровно к — к нулей при обнулении обеих в точке Ь. Но	тогда,
рассматривая на (со; Ь) задачу Коши
Lxu = О (хе (с0; &)), и(Ь) = 0, и'[Ь) = 1,	E.20)
w( • , Afc) /	Л л ч
придем к тому, что решения этой задачи —^	 (при	X = Хк)
w {ЬХ)
w
fc+1 (при Л = Afe+i) принимают в точке со значения строго
разных знаков, откуда и следует существование А Е (А&; A^+i) такого,
что решение E.20) при А = А обнуляется в точке со, т.е. А Е Ai(co).
Наконец, покажем, что ЛП (IJAj(co)) = 0. Действительно, пред-
положение противного ввиду непересечения Л и М (см. лемму 5.15)
влечет Л П Ai(co) ф 0, и, стало быть, некоторая собственная функция
задачи E.9) обнуляется в точке со, а это противоречит отсутствию
нулей в V(F) у собственных функций E.9) (теорема 5.9).

Глава 6
ФУНКЦИЯ ГРИНА
И ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ
Эта глава посвящена методам анализа функции Грина, адаптиро-
адаптированным к неклассическим задачам для обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений (в том числе на пространственных сетях). Вопросы,
связанные с функцией Грина на графах, уже отчасти комментирова-
комментировались в гл. 2 и кратко обсуждались в гл. 3, а в настоящей главе ана-
анализируется весь спектр взглядов на функцию Грина (от гильбертовой
системы аксиом до прямого аналога функции влияния) и в системати-
систематической форме излагается теория функции Грина для неклассических
задач и задач на графах.
6.1. Функция Грина задачи на отрезке
6.1.1. Аксиоматический подход. Уже с начала XX века (по-
(после знаменитых теорем Фредгольма) переход от дифференциальных
уравнений к интегральным считается одним из авангардных методов
анализа краевых задач. В отличие от дифференциальных операторов
интегральные операторы являются «улучшающими»: они обычно по-
повышают гладкость, являются вполне непрерывными в естественной
топологии, допускают хорошие конечномерные (т. е. матричные) ап-
аппроксимации и т. д. Уже в 30-е годы работами Рисса был заложен
фундамент общей теории интегральных (а по существу — вполне
непрерывных) операторов в функциональных пространствах.
Возможность перехода от задач математической физики к интег-
интегральным уравнениям базируется на фундаментальном понятии функ-
функции Грина. Если состояние некоего протяженного объекта описывается
функцией и(х) (где х — точка занимаемой этим объектом части ft
пространства) и если и(х) подчиняется (в силу каких-либо физических
законов) линейным связям в форме дифференциального уравнения
Lu(x) = f(x) (х е П)	F.1)
при некоторых дополнительных условиях
1{и) = 0,	F.2)

6.1. Функция Грина задачи на отрезке	121
то в естественных предположениях и(х) может быть выражено в виде
и(х) = \G{x,s)f{s)ds,	F.3)
п
где С(ж, s) — функция Грина задачи F.1), F.2). Дифференциальное
выражение Lu в F.1) порождается физической природой изучаемой
системы, а функция f(x) — внешним воздействием на нее.
Интегральная форма F.3) обращения дифференциального опера-
оператора L является основополагающим свойством функции Грина 6г(ж, s).
Именно представление F.3) позволяет исследовать задачи математи-
математической физики средствами современного анализа. Однако это требу-
требует от функции Грина не просто самого факта ее существования, но
и наличия тех или иных ее свойств как функции двух переменных (ка-
(какой-либо регулярности, симметричности, знакоопределенности, оценок
и пр.). Но как получить эти свойства?
Оказывается, анализ различных свойств функции Грина наталки-
наталкивается на странную для математики проблему — крайне неудачное
определение основополагающего понятия. Со времен Гильберта функ-
функция Грина понимается как объект, определяемый некоторым набором
аксиом. При внешней элегантности такое определение годится лишь
для простейших задач. И даже для них извлечь непосредственно из
аксиом функции Грина какие-либо достаточно элементарные свойства
(типа непрерывности по совокупности переменных ее производных)
оказывается неразрешимой задачей. Далее, при расширении классов
изучаемых задач сохранение аксиоматического подхода требует мо-
модификации аксиом, но как именно модифицировать аксиомы, не яс-
ясно: этот вопрос оказывается за рамками аксиоматического подхода.
И даже при удачном расширении набора аксиом «утяжеленная» ими
функция Грина оказывается закрытой для анализа. Если же говорить
о построении и анализе функции Грина для существенных расширений
классических задач — от уравнений с обобщенными коэффициентами
до нестандартных задач (как на сетях), то аксиоматический подход
оказывается если не тупиковым, то предельно неэффективным. Ни-
Ниже иллюстрируется порочность такого подхода даже для достаточно
несложных задач, когда явно представленной системе вида F.1), F.2)
соответствуют традиционно определяемые аксиомы, очевидным обра-
образом противоречащие физическому смыслу.
Возникающие при применении аксиоматического подхода пробле-
проблемы решает другое, давно назревшее определение. А именно: функцией
Грина предлагается называть функцию С(ж, s), для которой любое ре-
решение задачи F.1), F.2) представимо в форме F.3). Здесь сохраняется
исходный физический смысл функции Грина как функции влияния,
перечень аксиом превращается в набор свойств, справедливых в той
или иной мере, и, главное, открывается возможность варьирования
способов «явного» представления функции Грина, обеспечивающего

122	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
достаточную гибкость при анализе ее локальных свойств в различных
нестандартных задачах.
6.1.2. Аксиомы или интеграл? Широкой математической об-
общественности понятие функции Грина хорошо известно из курса
«Дифференциальные уравнения» в связи с задачей Штурма—Лиу-
вилля
Ьхи = -(ри)' + (д - \)и = 0 @ ^ х ^ 1),	F.4)
<	!	F-5)
1) = 0.
Соответствующее определение функции Грина (см. [38, с. 332-334]),
восходящее ко временам Гильберта — эпохе повальной аксиоматиза-
аксиоматизации оснований математики, — звучит так (для случая непрерывных
коэффициентов при р > 0).
Определение 6.1. Функцией Грина задачи F.4), F.5) называет-
называется функция G(x, s), определенная при ж, s из [0,1], которая обладает
следующими свойствами. При каждом фиксированном s:
1)	G(x, s) непрерывна по х\
2)	при х ф s производная —— С(ж, s) непрерывна, а при х = s имеет
скачок j_ G{8 + 0, *) - A G{8 - 0, 8) = -^;
3)	при х ф s функция С(ж, s) дважды дифференцируема по х
и удовлетворяет по х дифференциальному уравнению F.4);
4)	при х ф s функция G(ж, s) удовлетворяет по х каждому из
условий F.5).
На основании этих аксиом достаточно простыми рассуждениями
показывается, что (если А не принадлежит спектру) для любой / ?
G С[0,1] решение уравнения L\u = / при условиях F.5) задается
формулой F.3).
Приведенное определение канонизировано не только в учебной
литературе, но и в серьезных монографиях (см., например, [35, 44,
96, 103]), где для уравнений старших порядков определение функции
Грина претерпевает чисто «косметические» изменения, связанные с
заменой второго порядка на п-й: непрерывность производных по х
до порядка п — 2 вместо 1), непрерывность ——^ G(x, s) при х ф s
дх
и аналогичный скачок при х = s вместо 2) и аналоги свойств 3), 4).
При этом рассматриваются обычно двухточечные условия.
Что дает приведенное определение?
Во-первых, при каждом s для функции Грина как функции пере-
переменной х аксиомы дают набор условий, обеспечивающий (для невы-
невырожденных задач) однозначную разрешимость.

6.1. Функция Грина задачи на отрезке	123
Во-вторых, существующая в силу однозначной разрешимости 1)—4),
функция Грина G(x, s) в силу самих изначальных аксиом обеспечива-
обеспечивает интегральное представление F.3).
Оба эти обстоятельства, подчеркивая двойственную роль аксиом,
в своем единстве способны произвести впечатление глубиной описания
и красотой объекта. По-видимому, именно такое чисто эмоциональное
впечатление заслоняло от аудитории и авторов весьма деликатный
дефект, транслируемый во всех изданиях. Однако при ближайшем рас-
рассмотрении этот дефект оказывается не таким уже деликатным, а при
некритическом использовании описанного определения — способным
привести к фатальным последствиям.
Мы здесь имеем в виду аксиому о скачке ——^ G{x,s) на диагона-
дх
ли х = s. Дело в том, что при доказательстве интегрального обраще-
обращения в форме F.3) у этой производной требуется скачок не по первой,
а по второй переменной.
оп-1
Итак, скачок на диагонали у G^n~1\x^ s) = —-—т С(ж, s) постули-
д х
руется не по той переменной.
Можно ли это поправить, изменив в соответствующей аксиоме
скачок по первой переменной на скачок по второй? Ответ однознач-
однозначный — нет, так как тогда система аксиом перестанет однозначно опре-
определять С(ж, s).
Можно ли считать, что все авторы серьезных книг не обращают
внимания на этот момент? Опять же — нет, так как на соответству-
соответствующем этапе подмена одного скачка другим сопровождалась словами
типа «как легко видеть», «несложно показать» и пр. Однако эти слова
скрывают рассуждения, которые совсем не так тривиальны даже для
уравнений второго порядка.
Совпадение на диагонали х = s скачков G^n~1^{x^s) как по ж,
так ипо s вытекало бы из возможности доопределения G^n~1\x^s)
на каждом из замкнутых треугольников 0 ^ ж ^ s ^ 1 иО^5^
^ х ^ 1 до непрерывной по совокупности переменных функции. Тем
самым G^n~1\x^s) на диагонали х = s доопределяется двояко, т.е.
со стороны каждого из двух треугольников, обеспечивая в нем сово-
совокупную непрерывность. А из традиционных формулировок аксиом не
ясно даже, гарантирована ли равномерная совокупная непрерывность
G^n~1\x, s) даже и вне диагонали.
И еще об одном явном дефекте аксиоматического определения:
невозможно судить о поведении функции Грина в окрестности сто-
сторон s = 0 и s = 1 квадрата О $J ж, s ^ 1, на котором она должна
быть определена. А для приводимого ниже элементарного примера
невозможно судить даже о непрерывности.
Рассмотрим задачу
и" = /, и@) = 0, «'A) = 0.

124	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
На прямой s = 1 функция Грина G(x, 1) = g(x) должна удовлетворять
однородному уравнению и" = 0 и условию и@) = 0. Поэтому g(x) = kx
при некотором к и при х < 1. А что в точке х = 1? Поскольку #(ж)
должна быть непрерывной, то соответствующее значение g(x) в точке
х = 1 должно быть g(l) = g*(l — 0) = к. Но при х = 1 мы имеем второе
краевое условие г^A) = 0, откуда г^A) = (kx)\x=i = к = 0 и, сле-
следовательно, С(ж, 1) = 0. Однако прямой подсчет G(x, s) показывает,
что С(ж, s) = х при ж < s. Налицо очевидная потеря непрерывнос-
непрерывности 6г(ж, s) на стороне 5 = 1, что противоречит физическому смыслу
задачи (струна с закрепленным левым и свободным правым концом).
При этом оказывается, что GA, s) = s; это означает несимметричность
функции Грина для самосопряженной задачи.
В чем здесь дело? Опять же — в скачке G^n~^ на диагонали,
где в концевых точках этот скачок способен прийти в противоречие
с краевыми условиями.
Разобраться с подобными ситуациями аксиомы не только не по-
помогают, но и мешают. Уточнять картину если и удается, то только
строя интегральное обращение совершенно из других соображений
и убеждаясь затем (чтобы получить право пользоваться термином
«функция Грина») в справедливости псевдогильбертовых аксиом для
ядра построенного интегрального оператора.
Уже в 20-е годы XX века после теории Фредгольма и теории Гиль-
Гильберта—Шмидта для интегральных уравнений начали появляться доста-
достаточно глубокие результаты, чрезвычайно привлекательные для анали-
анализа краевых задач «через функцию Грина». Так, Келлогом [127-129]
было показано, что замечательные осцилляционные свойства спектра
(число нулей собственных функций, их перемежаемость и пр.) объяс-
объясняются следующими условиями на функцию Грина G(x, s): ассоции-
ассоциированные ядра, возникающие в теории Фредгольма,
/Ж1 ... Х
щ
неотрицательны при любых
< S2 < • • • < sn < 1 и строго положительны на диагонали х\ = s\
(г = 1, гг) этих симплексов. Именно эти свойства ядер Келлога послу-
послужили основой для доказательства [15] осциляционных свойств соб-
собственных колебаний балки (стержня). Другой пример — удивительный
результат Урысона [97], согласно которому для нелинейного уравнения
Lu = f(x,u) с вогнутой по и функцией f(x,u) (типа f(x,u) = ха
при 0 < а < 1) и равномерно положительной функцией Грина (для L)
в М+ существует некоторый интервал (Aq, Ai), для которого каждому
A G (Ao, Ai) соответствует единственная собственная функция и\(х)
такая, что:
а) и\(х) строго положительна;

6.1. Функция Грина задачи на отрезке	125
б)	и\(х) строго возрастает по Л;
в)	и\(х) равномерно стремится к нулю при Л —>• Ai и неограниченно
возрастает при Л —> Ai.
Уже эти два результата (теорема Келлога и Урысона) для прило-
приложений к краевым задачам требуют проверки для функции Грина либо
свойств Келлога, либо строгой положительности. Но как извлечь эти
свойства из аксиом? М.Г. Крейн перешагнул эту проблему в задаче
о стержне, прибегнув к анализу совершенно ясной функции влияния.
Дальнейшее использование ядер Келлога для уравнений старших по-
порядков, равно как и результатов Урысона, было осуществлено много
позднее за счет изменения взглядов на функцию Грина.
Такое изменение происходило неизбежно, если функция Грина ис-
использовалась по существу — как средство интегрального обращения
и последующего анализа задачи, а не как иллюстрация торжества
аксиоматического подхода.
Рассмотрим теперь парадоксы, возникающие при применении стан-
стандартного «метода функции Грина» (так обычно называют построение
ее определяющей системы аксиом) для неклассических задач. Мы
ограничимся достаточно простым примером математической модели
системы, состоящей из двух шарнирно-сочлененных стержней. Если
система расположена вдоль отрезка [0, /] оси Ох и если и(х) — дефор-
деформация (отклонение в точке х упругой линии от положения равнове-
равновесия — тождественного нуля), то связь и(х) с внешней силой определя-
определяется равенством
(ри")" = /(я) (р > 0),	F.6)
краевыми условиями закрепления концов
и@) = и'@) = иA) = и'A) = 0
и условиями шарнира во внутренней точке х = ? из @, /)
и"(О = 0.	F.7)
Но здесь мы должны вспомнить, что стержень у нас не один, а точ-
точка х = ? есть точка сочленения левого и правого стержней. Поэтому
в F.6) у нас не одно, а два уравнения: левое при х Е [0, ?) и правое
при х Е (?,/]• Поэтому должны быть свои решения F.6) как слева
от ?, так и справа. Эти решения должны непрерывно сопрягаться
в точке ?. Считая любую пару таких решений единой функцией и(х),
определенной на [0, ?) U (?, /) = [0, /] \ ?, мы лишаемся права говорить
о ее производных в самой точке ?. Тем более, что система наверняка
в шарнире имеет излом, т. е. разные производные и'(? — 0) и и'(? + 0).
Но тогда символ и"^), строго говоря, бессмыслен. На самом деле
вместо F.7) должны фигурировать два условия
м"(?-0) = м"(? + 0)=0,	F.8)

126	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
к которым обычно добавляется условие непрерывности в точке х = ?
перерезывающей силы
(р«")'«-0) = (р«")'« + 0).	F.9)
Функция влияния данной системы интуитивно совершенно ясна.
Напомним, что под функцией влияния распространенной вдоль [0, /]
системы понимается функция К(х, s), описывающая (по х) форму,
которую принимает система под воздействием единичной силы, при-
приложенной в точке s. Тогда для произвольной силы, приложенной на
всем протяжении, соответствующая форма системы определяется ра-
равенством
= \
где dF(s) — сила, приложенная к элементарному участку [ж, х + dx].
В целом F(x) определяется силой, действующей на участок [0, ж].
Если F(x) гладкая, то dF(x) = f(x)dx. Таким образом, если функция
Грина G(x, s) рассматриваемой задачи существует, то она ничем
иным, кроме как функцией влияния, быть не может.
Но как на рассматриваемую задачу перенести стандартное опреде-
определение функции Грина? Как описать весь перечень аксиом, однозначно
ее определяющий? И даже зная заранее, что эта функция существует,
ведь функция влияния здесь есть.
Вообще говоря, функция G(x, s) определена на квадрате О $J x, s ^
^ /. Мы можем формально рассмотреть задачу в классе решений и{х)
из С4[0,/] (предполагая f(x) непрерывной). Тогда можно говорить
о непрерывности функций G(x, s), G^(x,s), G^2\x,s) при всех х
и третьей «производной» (pGff)fx при х ф s. И тогда можно требовать
у последней наличия нужного скачка при х = s. Но какие условия нам
задавать для С(ж,?)?
Ясно, что эта функция должна удовлетворять по х уравнению
(ри")" = 0 при х ф ?. Здесь проблем нет. Ясно также, что должны
удовлетворяться две пары условий на концах. Для однозначного опре-
определения G(x,?) остается найти еще четыре условия-аксиомы. Непре-
Непрерывность решений вместе с производными до третьего порядка дает
четыре условия плюс равенство F.8) — всего пять условий. Какие из
этих условий следует включить в аксиомы, а какое из них лишнее?
Еще менее приятное обстоятельство — условие скачка в точке х = ?
третьей производной (G")' оказывается уже шестым. И это условие
явно противоречит условию F.9). Может быть, это условие следует
исключить из перечня аксиом вместе с противоречащим ему услови-
условием F.9)?
С другой стороны, поскольку G(x, s) — функция влияния, то
С(ж, ?) есть форма нашей системы, соответствующая единичной силе,

6.1. Функция Грина задачи на отрезке	127
приложенной в точке х = ? шарнирного сочленения. Но физически
совершенно ясно, что контур G(x,?) нашей системы в точке ? будет
иметь излом, что означает скачок 6г'(ж, ?) при х = ?. Значит, условие
непрерывности первых производных С(ж,?) тоже лишнее. Получа-
Получается, что для определения С(ж,?) у нас остается всего лишь три
условия, не вызывающих сомнения. Но нужно-то четыре! Где взять
недостающее?
В случае рассмотренного нами примера верный ответ известен:
недостающим условием является уже рассматривавшееся равенство
Тем самым, с одной стороны, обеспечивается непрерывность С(ж, s)
по совокупности переменных во всем [0,/] х [0,/], а с другой — так
определенная функция Грина действительно описывает реакцию фи-
физической системы на единичное воздействие в точке s как для s ф ?,
так и для s = ?.
Можно было бы вообще не задаваться таким «мелким» вопросом,
как: чему равна G(x, s) при s = ?? Действительно, ведь решение гх(ж)
описывается формулой
ь
и(х) = [с(ж, «)/(«) ds,	F.10)
а
и изменение 6г(ж, s) при каком-то отдельном значении s совершенно
не влияет на ответ. Пренебрежение значениями С(ж,?) было бы ре-
резонно, если бы формула F.10) была «конечной инстанцией». Однако
фигурирующая в F.10) и в уравнении F.6) функция f(x) на самом
деле не есть физическая величина: измеряемой физической величиной
является сила, действующая на конечный фрагмент стержня. Фигури-
Фигурирующая же в F.6) и F.10) f(s) — это плотность распределения этой
силы, т. е. физическая величина, продифференцированная относитель-
относительно достаточно «произвольной» параметризации стержня отрезком ве-
вещественной прямой.
Более точно соответствует физике замена f(s)ds в F.10) на dF —
дифференциал меры, описывающей реальную физическую величи-
величину F как функцию сегмента. Величина F может быть как сосредото-
сосредоточенной в отдельных точках, так и распределенной, но формула
ъ
у(Х) = lG{x,8)dF	F.11)
а
остается справедливой независимо от характера этого распределения.
Отметим еще один любопытный момент: в отличие от /(ж), мера,
порождающая dF, уже не зависит от параметризации, равно как

128	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
и G(x, s), и поэтому F.11) является уже, стало быть, свойством ис-
исходной физической системы, а не свойством описания ее в терминах
математики.
Формула F.11), по существу содержащая интеграл Стилтьеса, по-
показывает, что значения G(x, s) для отдельных s нельзя игнорировать:
в интеграле Стилтьеса F.11) важно каждое значение интегрируемой
функции, поскольку при разных внешних воздействиях в любой без
исключения точке может оказаться сосредоточенная сила (атом меры).
6.1.3. Скалярная задача: классические факты в некласси-
неклассическом изложении. Имея целью снятие перечисленных выше тра-
традиционных неточностей и неясностей в определении функции Грина,
мы сначала для простоты обсудим классический случай двухточечной
задачи, изложив схему построения и анализа функции Грина. Далее
отметим естественные обобщения, а потом уже перейдем к задачам на
графах.
Итак, пусть на [а, Ь] С R1 задана двухточечная краевая задача,
определяемая линейным уравнением
Ро(х)у{п) +Pi{x)y(n~1) + ...+Pn(x)y = f{x)	F.12)
с непрерывными коэффициентами и п краевыми условиями
Ш = Ъ,	FЛЗ)
с функционалами lj(y) вида
г=1	г=1
Теорема 6.1. Для того чтобы краевая задача F.12), F.13) была
однозначно разрешимой для любой правой части f(x) и любого набора
значений Rj, необходимо и достаточно, чтобы однородная задача
(f(x) = 0, Rj = 0) имела только тривиальное решение.
Доказательство основывается на представлении общего реше-
решения F.12) в виде
п
у(х) = уО(х) + ^ ciVi(x)i	F-15)
1=1
где (fi(x) — фундаментальная система решений однородного уравне-
уравнения, а уо(х) — произвольное частное решение неоднородного урав-
уравнения. Подстановка F.15) в условия F.13) дает систему линейных
алгебраических уравнений с матрицей ||/j(<?i)||j так чт0 утверждение
теоремы сводится к элементарной теореме из линейной алгебры.
Эта теорема делает полезным следующее определение.
Определение 6.2. Задачу F.12), F.13) назовем невырожденной,
если соответствующая однородная задача имеет только тривиальное
решение.

6.1. Функция Грина задачи на отрезке
129
Изучение критериев невырожденности составляет отдельную про-
проблему (в теории уравнений на геометрических графах она решается,
например, с помощью принципа максимума или на основе свойства
неосцилляции; см. гл. 3 и 4). Мы ее касаться не будем, предполагая
всюду далее невырожденность рассматриваемой задачи (или, что то
же самое, отличие от нуля детерминанта det ||/j(^i)||)-
Для простоты фундаментальную систему решений мы будем вы-
выбирать так, чтобы она оказалась биортогональной набору функцио-
функционалов /j (•) (это по существу просто смена базиса в конечномерном
пространстве). Эта система будет ниже обозначаться через {^(ж)},
так что lj(zi) = 5ij Eij — символ Кронекера). Тогда решение краевой
задачи выписывается явно:
у(х)=
F.16)
Эта формула представляет решение в виде суммы решений по-
полуоднородных задач: одной с Rj = 0 при f(x) из F.4), и другой —
с f(x) = 0 при ненулевых Rj. Что касается второй группы слагаемых
в F.16), то мы к ней далее возвращаться не будем (отметим только,
что она содержит столько членов, сколько условий F.13) являются
неоднородными). В центре нашего внимания будет первое слагаемое.
Поэтому далее мы будем рассматривать только однородные условия
lj(y) = O.	F.17)
Определение 6.3. Функцией Грина задачи F.12), F.13) будем
называть любую функцию G(x, s), позволяющую получить решение
задачи F.12), F.17) в виде
ь
с
у(х) = G(x,s)f(s)ds.
j
F.18)
Теорема 6.2. Для любой невырожденной задачи F.12), F.17)
функция Грина существует.
Доказательство состоит попросту в выражении уо в фор-
формуле F.16) через f(x). Это можно сделать, например, с помощью
функции Коши
K(x,s) =
1
W(s)po(s)
F.19)
5 Ю. В. Покорный и др.

130	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
(W(x) — определитель Вронского функций z-\_(x), ... , zn(x)) в виде
X
yo(x)=lK(x,a)f(8)d8.	F.20)
а
Желая привести фигурирующий здесь интеграл с переменным
верхним пределом к интегралу с постоянными пределами вида F.18),
представим F.20) в виде
ь
j
а
где обозначено
{К(х, s), а $J s ^ х $J 6,
F.22)
0, а $J х ^ s ^ Ь.
На диагонали ж = s, очевидно, K{s, s) = 0, поэтому включение
значения х = s ив ту, и в другую строку не приводит к противоречиям.
Подставляя F.21) в F.16), получаем
Ъ	п	/ Ъ
у(х)= \Go(x,s)f(s)ds-^2zj(x)lj( \Go(x,s)f(s)dsY F.23)
а	J — i	а
так что вопрос о представимости у(х) в форме F.18) упирается только
в возможность перестановки функционалов lj под знак интеграла.
Вообще говоря, такая перестановочность имеет место в силу извест-
известных свойств функции Коши: так как К^г> (s, s) = 0 при г = 0, ... , п — 2,
то из F.20) следует
х
7/(г)/^\_ K^(-r <i\f(<i\rl<i (i — С\	п Л\
i/q I Jb \ — I iv \Jb^b\j\b\Llb It — U, . . . , /6 — ) 1
а
и потому для функционала 1(у) вида F.14)
Обозначая здесь сумму в квадратных скобках через ip(s) (для lj(y)
соответственно через ^j(s)), получаем из F.23)

6.1. Функция Грина задачи на отрезке
131
что не только доказывает теорему, но и предъявляет G(x, s) явно:
п
G(x, s) = G0(x, s) - Y, *i(x)M*),	F-24)
i=l
или, в более «классической» форме,
К{х, s)-
G(x,s) =
s ^ x
а ^ х ^ s ^ Ь.
F.25)
1=1
Следствие 1. i/)i(s) непрерывны на [а, Ь].
Действительно, если обозначить через
составляющую функционала F.14), сосредоточенную в точке 6, то
получим
z1(s) ... zn(s)
Po{s)W{s)
(m-2)
у
z
/ ч	(n —2)/ ч
iel	"у	lei
\s) ••• zn	\S)
F.26)
Следствие 2. G(x,s) непрерывна вместе со своими производ-
производными по х до порядка п в каждом треугольнике a^x^s^bua^
^ s $J х ^ b вплоть до границы.
Действительно, этим свойством обладает как сумма
так и (см. F.19)) функция К(х, s).
Следствие 3. Непрерывная функция G(х, s), дающая представ-
представление решения в виде F.18) единственна.
Это следствие требует особого комментария. Обычно доказывают
единственность не для функции, дающей решение, а для функции,
удовлетворяющей условиям... Как показано в предыдущем пункте,
это, вообще говоря, не одно и то же — все зависит от того, наличие
каких условий мы предполагаем у функции Грина.
Следствие 4. Для любого фиксированного s G (а, Ь)
О,
п- 2,
i = n-2.
F.27)

132	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
В самом деле, из F.26) следует, что разность F.27) совпадает
с K(l\s,s), которая (в чем нетрудно убедиться, глядя на F.19)) как
раз равна правой части F.27).
Следствие 5. Для любого фиксированного s E (а, Ь) и любо-
любого lj(y) из условий F.14), lj(G(x, s)) = 0.
Действительно, lj(G(x, s)) = lj(Go(x, s)) — if>j(s), a
n	n
Следствие 6. Для любого фиксированного s E (а, Ь) функция
G(x, s) является решением однородного уравнения F.12) на [а, s]
и на [s,b].
Теорема 6.3. Если двухточечная задача F.12), F.13) невырож-
невырождена, то функция G(ж, s), определяемая для каждого фиксированно-
фиксированного s E (а, Ь) условиями:
(а)	она является решением однородного уравнения на [a, s]
и на [s,6];
(б)	при х = s она удовлетворяет условиям
0, (К.Кп-2,
1
r^i з = п~2;
(в) она удовлетворяет краевым условиям ljG( • , s) = 0;
существует и единственна.
Доказательство по существу алгебраическое: из условия (а) следует
Г z1(x)xi(s) + ... + zn(x)xn{s), a^ s ^x ^6,
G(x, s) = <
y-(zi(x)i/>i(s) + ... + zn(x)il>n(s)), a ^ x ^ s ^b.
Из условия (б) следует, что Xi(s) + ^г(^) удовлетворяют системе
z[J\s)[Xi(s)	4Я
F-28)
откуда немедленно следует, что

6.1. Функция Грина задачи на отрезке	133
и поэтому
G(x,s) = G0{x,s) -
г=1
И, наконец, условие (в) (в предположении, что изначально была выбра-
выбрана такая фундаментальная система решений, что lj(zi) = 5ij) немед-
немедленно дает
Теорема доказана.
6.1.4. Комментарий. Приведенное выше определение функции
Грина внешне достаточно сильно отличается от аксиоматического
определения, ставшего хрестоматийным. Предлагаемый ответ на во-
вопрос, что есть функция Грина, на фоне гильбертовых аксиом может
показаться даже примитивным — вполне аналогично тому, что в ответ
на классический вопрос, что есть число, можно ответить: то, что отве-
отвечает на вопрос сколько, или можно привести соответствующую систему
аксиом (по Кантору или Пеано).
Однако уметь считать гораздо важнее, чем знать строго формали-
формализованное определение числа. Точно так же переход от дифференци-
дифференциальных уравнений к интегральным не самоцель, как полагают обычно
авторы расширений понятия функции Грина на различные классы
краевых задач.
Смысл описанного нами подхода не столько в попытке дать ори-
оригинальное определение функции G(x, s), порождающей интегральное
обращение дифференциального оператора L (хотя здесь мы возвраща-
возвращаемся к исходному смыслу функции Грина, к ее физическим корням,
к пониманию функции Грина как функции влияния), сколько в изло-
изложении схемы явного построения этой функции.
Что дает приведенная нами схема?
а)	Становится ясно, что формула F.24) есть «прямой потомок»
формулы F.15) общего решения неоднородного уравнения.
б)	Видно, что функция Грина есть по существу конечномерное
возмущение «фундаментального решения» Gq(x, s), от которого она
и наследует не совсем обычные свойства на диагонали х = s.
в)	Достигнута значительная степень общности определения.
г)	Становится понятно, что в рамках схемы (в частности, в фор-
формуле F.24)) можно функцию Go(x, s), определяемую согласно F.22) и
F.19), заменить на любую функцию //(ж, s), обладающую следующим
свойством: для любой / Е С [а, Ь] формула

134
Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
дает решение неоднородного уравнения F.12). Такую функцию мы
будем называть, как в [33], фундаментальным решением. В качестве
такой функции можно брать, например,
Я(ж, s) = - sign(:z — s)K(x, s),
где /С(ж, s) определяется из F.19), или, при прежних /С(ж, s)
и Go (ж, s) взять
Я(ж, s) = Go(ж, s) — К(х, s),
что приводит к представлению
{О,	а ^ s ^ ж ^ 6,
—/С(ж, s), а ^ ж ^ s ^ 6.
Последнее, в силу единственности функции Грина, позволяет придать
ей следующий вид, отличный от F.25):
— К(х, s) +
b.
д)	Оказывается, в качестве фундаментального решения, т. е. вме-
вместо Go (ж, s), можно брать и любую известную функцию Грина для
уравнения F.12) при каких-либо других краевых условиях. Эти усло-
условия могут быть самыми простыми, лишь бы они обеспечивали невы-
невырожденность задачи.
е)	Схема позволяет дать явное представление функции Грина
и для произвольной фундаментальной системы {^г}? однородного
уравнения
Я(ж,5) <Р!(х) ." (fn{x)
i/)i(s) h(<pi) ••• li(<pn)
Фп{8) ln{<Pl) ••• ln{<Pn)
где Н(х, s) — какое-либо фундаментальное решение, An = det ||/г(^А;)||
и, аналогично предыдущему, обозначено фк($) — lk{H( • , s)).
ж) Согласно изложенным соображениям, мы не обязаны использо-
использовать только одно фиксированное явное представление функции Грина
на всем квадрате а ^ ж, s ^ 6, а можем пользоваться на любом его
участке наиболее полезным для анализа вариантом.
Что мы теряем, отказываясь от аксиоматического подхода к опре-
определению функции Грина? Только внешний эффект чудесного по-

6.1. Функция Грина задачи на отрезке	135
явления фукнции, дающей решение краевой задачи, из изначально
не очевидного набора аксиом; эффект, способный лишь поразить
воображение вновь посвящаемого, но не дающий возможности более
глубокого анализа.
6.1.5. Предельные срезки функции Грина. Вернемся к на-
нашей задаче F.12), F.13). Как было показано в теореме 6.2, функция
Грина непрерывна на [a, b] x [а, Ь]. Поэтому, даже будучи заданной
условиями, перечисленными в теореме 6.3 при а < s < 6, она по непре-
непрерывности продолжается на весь квадрат. Пределы G(x, s) при s —>• а
и s —>• b мы будем называть предельными срезками функции Грина
С(ж, s) и обозначать соответственно С(ж, а + 0) и С(ж, b — 0). Точно
так же в более сложных задачах, когда G(ж, s) при некотором s = ? Е
Е (а, 6) имеет разрыв, мы будет вводить соответствующие предельные
срезки, которые будут обозначаться С(ж, ? ± 0).
Что за функция G(ж, а + 0)? Из формулы F.25) следует, что она
является решением однородного уравнения на всем [а, Ь]. Каким усло-
условиям удовлетворяет эта функция? Понятно, что условия склейки
F.29)
при 5 = а просто неприменимы, ибо левее точки а у нас ниче-
ничего нет — ни уравнения, ни функции Грина. Очевидно также, что
С(ж,а + 0) не может удовлетворять однородным краевым условиям;
иначе, в силу невырожденности задачи, С(ж, а + 0) = 0, что противоре-
противоречит уже простейшим примерам. По существу при s —> а условия склей-
склейки F.29) вступают в некое взаимодействие с краевыми условиями:
G(s — 0, s) сближается с G(a, 5), в то время как G(s + 0, s) сближается
с G(s, a + 0). Но каков результат этого взаимодействия? Ответ дается
следующей теоремой.
Теорема 6.4 (о предельной срезке). Пусть функция G(x, s) оп-
определена в [а, Ь] х [а, Ь] формулами
{V()Xi(s) + ... + <pn{x)Xn(s), a^ s ^х О,
F.30)
()^i(s) + ... + (рп(х)фп(з), а ^ s ^х ^ Ь,
где функции (fi(x) Е Сп[а,6], Хг(^M ^i(s) ? С[а,6], гл пусть G(x,s)
удовлетворяет при а < х = s < b условиям склейки:
0, s) - G^(s -0,8) = <	F.31)
[ /()	1

136	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
Тогда для любого краевого функционала 1(у) вида
(иМ	F.32)
г=1
имеет место формула
/(?(-, а + 0)) = lim l(G( •, s)) + anh(a + 0).	F.33)
Доказательство. Из формулы F.30), гладкости (fi(x) и непре-
непрерывности Xi{s)i ^i{s) следует непрерывность G(x, s) по совокупности
переменных вместе с производными в каждом треугольнике а ^ s ^
^x^bma^x^s^b. Поэтому для функции g(x) = С(ж, а + 0)
имеем
(<0 = Jim ^ ^j)(s)XiE) = lim G^\s + 0,
(поскольку <§г(ж) определяется верхней из формул F.30), мы берем
предел по соответствующему треугольнику а ^ s ^ х ^ Ь). С другой
стороны,
Г 0, 0^j^n-2,
o) ^(j)(o)
lim GC>(s - 0, a) = lim > ^'(sUAs) = > <р\а)х1>Ла) =
n
= lim V (p{.j)(a)ifii(s) = lim GU\a, s). F.35)
Значит, при 0 ^ j ^ n — 2
o-U)(n) — lim nU)(n a) n < i* < r? — 2
F.36)
^(n-i)/a\ = Hm Q{n-i)u s) + fo(a + 0).
Остается умножить F.36) на aj и сложить; получаем
•, а + 0)) = /(g*) = lim /(G( • , s)) + anh(a + 0).
Теорема доказана.
Замечание 1. Нетрудно проверить, что для предельной срез-
срезки G(ж, а + 0) и любого функционала вида
п
F-37)

6.2. Векторная, разрывная и многоточечная задачи	137
для любого rj > а выполнено
l(G(-,a + 0))= lim l(G(-,s)).
Замечание 2. Аналогичный факт имеет место для второй пре-
предельной срезки: для функционала вида
выполнено
Z(G(-,6-O))= lim l(G{-,s))-/3nh{b-0),	F.38)
а для любого функционала вида F.37) с rj < b
b-0))= lim
Следствие 1. Предельная срезка С(ж,а + 0) функции Грина
краевой задачи F.12), F.13) является решением однородного уравне-
уравнения F.12), удовлетворяющим неоднородным краевым условиям
Предельная срезка G(ж, b — 0) тоже удовлетворяет однородному диф-
дифференциальному уравнению и условиям
1>М = j^o)-	F-39)
Следствие 2.
6.2. Функция Грина векторной, разрывной
и многоточечной задачи
Соображения, использованные в параграфе 6.1, можно резюмиро-
резюмировать в достаточно общем виде.
Пусть Ei и E<i — линейные пространства, L — действующий из Е\
в E<i линейный (аддитивный однородный) оператор. Назовем А обык-
обыкновенным оператором, а уравнение вида Ьи = h (h G Е2) обыкновен-

138
Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
ним уравнением, если:
(а)	Ь действует из Е\ на Е2, т.е. ЬЕ\ D Е2\
(б)	корневое пространство N(L) = {и: Ьи = 0} конечномерно.
Свойство (а) означает, что при любом h Е Е2 уравнение Ьи =
= h имеет хотя бы одно решение. Согласно (б) произвольное решение
этого уравнения можно представить через фиксированное частное г^о
в виде
и =
где {ipi}™ — какой-либо базис в N(L).
Если обыкновенное уравнение Lu = h сопровождается набором
линейных условий 1{(и) = С{ (г = 1, п), где \{ Е Е* и d — некоторые
числа, то эту пару (уравнение плюс условия) мы называем (L, ^-зада-
^-задачей. Эту задачу мы называем невырожденной, если соответствующая
ей однородная задача
Ьи = 0, 1{(и) = 0 (г=Т~п)
имеет только тривиальное решение.
Совершенно аналогично схеме из параграфа 6.1 показывается, что
при п = dim N(L) (L, /)-задача однозначно разрешима для любого h E
Е Е2 и для любых чисел С{ Е R в том и только том случае, когда она
невырождена. Последнее эквивалентно отличию от нуля определите-
ляAе1;||^*I1Г = Д-
Если ио — частное решение уравнения Ьи = /г, то соответствующее
однородным условиям li(u) = 0 решение (L,/)-задачи может быть
выражено формулой
h
h{h)
(<fn)
ln(h)
ln(<fn)
где определитель с первой строчкой из элементов абстрактного про-
пространства Ei понимается, как линейная комбинация элементов этой
строки с коэффициентами, определяемыми обычными минорами из
остальных (числовых) строк.
Приведенную формулу можно сделать единообразной для всех пра-
правых частей h E Е2, если каким-либо образом определена операция
К: Е2 —>• Е2, ставящая каждому h E Е2 в соответствие решение и =
= Kh уравнения Ьи = h. Единая формула, интерпретирующая все

6.2. Векторная, разрывная и многоточечная задачи
139
правые части, принимает вид и = Gh при
Kh (pi
i(Kh) h(<pi) ••
h{<Pn)
ln(Kh) ln((pi) ••• <рп(<Рп]
Оператор G естественно называть оператором Грина. Его представ-
представление особенно упрощается, если функционалы {h}™ биортогональны
базису {(fi}i из NA), т.е. li((fk) — $ik- Тогда
В конкретных приложениях эта схема эффективна уже в случае,
когда для заданного в каком-либо пространстве дифференциального
уравнения оказывается однозначно разрешимой хоть какая-нибудь за-
задача Коши. И тогда в качестве К можно брать интегральный опера-
оператор, порождаемый соответствующей функцией Коши. В рамках опи-
описанной схемы можно существенно изменять выбор оператора К. В то
же время эта схема допускает трансформацию, если исходную задачу
Lu = /г,
li(u) = Ci (i = l,n)
преобразовать в урезанную по количеству условий задачу
L\u = /г,
1 .(п,\ — Г]. (А — U _|_ 1 U _|_ О	п\
и ¦? I СХ/ I 	 \^У 7,	\ и 	 fv I -L Ч "^ I	} ••• щ I и )
с дополнением оператора L до оператора L\: Ei ^ E2 x Rk, опреде-
определяемого, как
Lu \
\ 1к(ц)
Последнее соображение часто оказывается полезным при анализе
нестандартных задач.
6.2.1. Векторные задачи. Приведем реализацию описанной об-
общей схемы для векторного дифференциального уравнения вида
Pn(x)y = f(x)
F.40)

140
Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
(где у: [а, Ь] —>• Мт, у Е Gп[а,6], Рг(#) — т х га-матрицы, f(x) —
непрерывная га-мерная вектор-функция) с краевыми условиями
, j = l, ..., п)
с «вектор-функционалами» вида
F.41)
F-42)
k=l	k=l
где Л/g, Bf~ — т х 7тг-матрицы (систему условий F.41) можно считать
также системой из п • га скалярных условий). Мы будем обсуждать
только простейший случай, когда матрицы Р{(х) диагональные (каж-
(каждая компонента yi{x) удовлетворяет своему уравнению.
Теорема 6.5. Пусть задача F.40), F.41) невырождена.
Тогда ее решение для любой правой части существует, единствен-
единственно и выражается формулой
у(х
= G(x, s)f(s)
i
Zj{x)Rj,
F.43)
где Zj(x) — m x т-матричные функции, биортогональные к Ij(-):
lj(Zk) = ImSjk,	F.44)
a G(x, s) — непрерывная матричная функция, определяемая формулой
G(x, s) = G0(x, s)-
F.45)
где
G0(x,s) =
0, a $J x ^ s $J 6,
/С(ж, s), a ^ s ^ х ^ b^
?, s) — матричная функция Коши,
К(х, s) = diag (Ki(x, s)),
ill),
(
Po(«)W(«)

6.2. Векторная, разрывная и многоточечная задачи	141
Следствие 1. ^i(s) непрерывны на [а, 6], G(x, s) непрерывна
вместе с производными до порядка п на каждом треугольнике а ^
Следствие 2. G(x,s) определяется следующими свойствами:
1)	каждый ее столбец является решением однородного уравне-
уравнения F.40), за исключением «диагональных» компонент Gu(x,s), для
которых уравнение нарушается при х = s;
2)	каждый ее столбец удовлетворяет (при а < s < b) краевым
условиям F.41);
3)	при х = s функции Gu(x, s) удовлетворяют условиям склейки:
G^is + 0, s) - G^\s - 0, s) = 0 @^j^n-2),
„ ^	1
(Po(s) — компоненты диагональной матрицы Po(s) из F.40)).
6.2.2. Функция Грина разрывной задачи. Пусть на [а, Ь] за-
задано дифференциальное уравнение
ро{х)у{п) + Pi2/(n-1} + ... + Рп(х)у = f{x),	F.46)
выполненное всюду, кроме конечного числа точек (а =) ?о < ?i < • • •
••• < Cm < ?m+i (= b), в которых допускаются разрывы первого рода
как у производных, так и у решения, и пусть в каждой точке ^ заданы
условия
lij(y) = Rij (i = T~^,j = T~^)	F.47)
с функционалами вида
J2	0) + ^ИкУ(к-1]а - 0).	F.48)
к=1	к=1
Кроме того, будем предполагать, что в точках а и b заданы условия
lj(y) = Rj (j = l, ...,n)	F.49)
с функционалами вида
Коэффициенты в каждом условии свои, так что реально нам придется
иметь дело с коэффициентами, снабженными тремя индексами: аг^
(г — номер точки ^, в которой задан функционал, j — номер этого
функционала, к — номер производной, при которой стоит коэффи-
коэффициент).
В принципе к этой задаче можно подойти двояко: можно просто
повторить для нее общую схему, взяв в качестве Е\ множество функ-

142	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
ций, определенных и достаточно гладких на [а, Ь] всюду, кроме точек
?i,...,?nj a можно свести задачу к векторной: решение на [?ij?i+i]
обозначить через у^ каждый отрезок [^, ?i+i] параметризовать отрез-
отрезком [0,1] и, сделав замену переменных в уравнении, получить зада-
задачу F.40), F.41) (как условия F.47), F.48), так и условия F.49), F.50)
приобретают вид F.41), F.42)).
Конечно, второй способ проще в формальном плане: не нужно ни-
ничего доказывать, только сослаться на теорему 6.1. Однако в контексте
дальнейшего исследования он имеет существенный недостаток: пере-
перепараметризация и замена переменных требуют перерасчета коэффици-
коэффициентов, условий и т. п. в терминах нового параметра, а затем результаты
нужно «вернуть» в термины исходной задачи, произведя обратный
пересчет. Понятно, что от такого оперирования параметризациями по
существу ничего не меняется, но прозрачность, ясность рассуждений
(которая будет крайне необходима для анализа более сложных задач —
на графах) несколько теряется. Поэтому мы изложим здесь схематич-
схематично результаты, получаемые проведением рассуждений в пространст-
пространстве Е\ кусочно гладких функций.
Прежде всего отметим, что размерность пространства решений
однородного уравнения F.46) на [а, &]\{?г} равна п(т + 1) (порядок
уравнения, умноженный на число промежутков), что соответствует
количеству условий F.47)—F.50). Как и ранее, мы будем выбирать
(в предположении невырожденности задачи) фундаментальную систе-
систему решений, биортогональную к системе краевых условий. Систему
решений мы будем нумеровать так же, как и систему краевых усло-
условий: пт решений Zij(x) и еще п решений zi{x). При этом предпола-
предполагается, что hj{zi'j>) = Su'Sjj', h{zi') = 8ц>, hj(zi') = h{zi'j>) = 0.
Далее, фундаментальное решение для выражения уо через правую
часть можно выбирать «покусочно». Например, положив для (ж, s) E
{0, г ф J,
К(х, s), i = j, d^s^x^ &+1,	F.51)
0, г = h ii ^ х ^ s ^ &+i,
где К(х, s) — функция Коши уравнения F.46), определяемая форму-
формулой типа F.19). Впрочем, возможен и другой вариант, когда на каж-
каждом квадрате [?i,?i+i] мы задаем не функцию Коши, продолженную
нулем, а функцию Грина какой-нибудь простой двухточечной задачи
(например, с г нулями в ^ и п — г нулями в ?i+i)-
Последний прием весьма эффективен, когда в условия F.47), F.48)
входит достаточное число условий гладкости; в этом случае, «скле-
«склеив» Go(x, s) так, чтобы она имела требуемую гладкость, можно и воз-
возмущения ее Zi(x) брать из класса гладких функций, сильно снизив

6.2. Векторная, разрывная и многоточечная задачи	143
размерность этого возмущения. Ниже мы покажем, как этот прием
работает в уравнениях второго порядка на графах.
Выбор фундаментальной системы решений Zj(x) и фундаменталь-
фундаментального решения Go(x,s) — по существу единственная проблема. Все
остальное — уже «накатанная дорога».
Теорема 6.6. Решение невырожденной задачи F.46), F.47),
F.49), может быть представлено формулой
ь
П	П
г.
у(х) = \G(x,s)f(s)ds
где
Go(x, s) определяется формулой F.51), a
o, *t[U,b]
f через /г. и l\ обозначены соответственно
W = EftV*-1^- -о), 1ьЛу) =
k=l	k=l
Следствие 1. ^j(s), i/>i(s) непрерывны на каждом [^,^i+i];
функция G(x, s) непрерывна вместе с производными до порядка п на
каждом прямоугольнике [^, ?i+i] x [€j, €j+i] nPu i Ф 3 и на треуголь-
треугольниках & ^ S ^ X ^ ^г + 15 Сг ^ х ^ s ^ ?г+1-
Следствие 2. G(x,s) может быть определена из следующих
условий. Для каждого s (& < s < ?i+i):
1)	G(x, s) является решением однородного уравнения F.46) на
[f j> Cj+i] пРи ЬФЗ, а также на [^, s] u[s, ^г+i];
2)	G(x, s) удовлетворяет однородным условиям F.47), F.49);
Г 0, 0^j^n-2,
3)	GW) E + 0,5)- GU) (8-0,8)={ i	F.52)
I 	Г^ 5 j = П — 1.
Замечание. Условие F.52), как нетрудно заметить, практически
ничем не отличается от условий F.47), F.48), так что G(x, s) при фик-
фиксированном s есть по существу решение такой же «разрывной» задачи,
что и исходная, отличающейся добавлением к набору точек ?ь ... , ?т

144	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
еще одной — точки s. Причем для «расширенной» задачи соответству-
соответствующая однородная эквивалентна исходной: условия F.52) в однород-
однородном варианте означают просто гладкость G(x, s) при х = s. Поэтому
«расширенная» и исходная задачи невырождены одновременно. Этим
и объясняется столь тесная связь между невырожденностью задачи
и существованием функции Грина. Взгляд на функцию Грина как на
решение расширенной задачи впервые появился в [64] и был эффек-
эффективно использован в теории многоточечных обобщенных задач Валле-
Пуссена В.Я. Дерром (см., например, [20]).
Перейдем теперь к анализу предельных срезок G(x,?j ± 0). По-
Поскольку на каждом прямоугольнике [?i??i+i] x [?j??j+i] функция
G(x, s) является линейной комбинацией (с непрерывно зависящими
от s коэффициентами) фундаментальной системы решений, то
lim l(G( -,*)) = Z(G(-,&+0))	F.53)
для любого / вида F.48), заданного в точке, отличной от ?j. А для
функционала, заданного в той же самой точке ? (далее вместо ?j мы
будем писать просто ?), т.е. для
о)+^ИкУ(к-1]а - о),
к=1	к=1
пользуясь представлением его в виде суммы двух слагаемых
1+{у) = J2 <xky(k-1]{Z + о), г (у) = J2Pky(k-1)(t - о),
к=1	к=1
для которых при s —>• ? + 0 справедливо
(для /+ мы попадаем в условия теоремы 6.4 о предельной срезке;
в роли [о, Ь] выступает [?j, ?j+i]), мы получаем
.}pJ	l^y F-54)
Аналогично,
l(G(; € - 0)) = s lim Q l(G(.,.))- JJ?Ty	F.55)
Из F.53)-F.55) следует
Теорема 6.7. Предельные срезки G(ж,^±0) удовлетворяют
следующим условиям:
1) они являются решениями однородного уравнения F.46);

6.2. Векторная, разрывная и многоточечная задачи	145
2) они удовлетворяют однородным условиям F.47) -F.50), задан-
заданным в точках, отличных от ?j;
3)
l+oy	F-56)
Следствие 1.
Следствие 2. Функция G(x, s) непрерывна по s в точке ?j тогда
и только тогда, когда
т.е. когда во всех условиях F.47)-F.50) фигурируют только скачки
функции ро(х)у^п~1\х) в точках ?j.
6.2.3. Функция Грина общей задачи на [а, Ь] с дискретной
компонентой. Как известно, аксиоматика функции Грина без осо-
особых проблем переносится на краевые задачи общего вида
Ро(х)у(п) + ...+ Рп(х)у = f(x),	F.58)
ij{y) = Ri	(б-59)
с любыми функционалами lj E (Cfn~1[a, 6])*, не содержащими дис-
дискретной компоненты, т. е. функционалами, для которых в канониче-
каноническом представлении
F.60)
мера dji^x) непрерывна. Случая наличия дискретной компоненты
обычно избегают по понятным причинам: не ясно, как задать аксиома-
аксиоматику. Ниже мы на основе схемы теорем 6.1—6.3 получим соответству-
соответствующий результат для функционалов с мерами, имеющими дискретную
компоненту

146	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
Пусть задана задача F.58), F.59) с функционалами lj(y) вида
п — 1
r=l	k=l
а) + у(п-1](х) dp(x), F.61)
где а ^ ?i < ... < ?m $J b — конечный набор точек, a dfi(x) — непре-
непрерывная мера. Второе и третье слагаемые обозначим через /'(у), так
чт0
ад = Е^/(п-1)(ы+ад-	(б-62)
г=1
Пусть задача невырождена и Zj(x) — биортогональная к Ij(-) фунда-
фундаментальная система решений однородного уравнения F.58).
Теорема 6.8. Решение невырожденной задачи F.58), F.59),
F.61) с непрерывной f(x) представляется в виде
ь
у(х) = G(x,y)f(s)ds,
где
G(x, s) = Go (ж, s) -
{0, a ^ x ^ s ^ 6,
K(x, 5), a ^ s ^ x ^ 6,
(первое слагаемое есть по существу «главная часть» функциона-
функционала F.62), примененная к Gq(x, s)). При этом rfi(s) кусочно непрерыв-
непрерывны на [a, b] с разрывами 1-го рода в точках ?г.
Следствие 1. При фиксированном s ф ?г функция G(x,s) мо-
может быть найдена из следующих условий:
1)	G(ж, s) является решением однородного уравнения F.58)
на [a, s] и на [s, 6];
2)	G(x, s) удовлетворяет всем условиям F.59);
0, 0 ^ г ^ п-2,
3)	G«(s + 0,s)-G«(s-0,s)= <( 1 ._
Po(s)

6.3. Функция Грина задачи на графе	147
Следствие 2. Предельные срезки С+(ж,^) = lim G(x,s)
и G-(x,?k) = 1™ G(x,s) удовлетворяют следующим условиям:
1) G±(x,s) являются решениями однородного уравнения F.58)
на [a,?k] и па [ffc,6];
{О, 0 ^ г ^ п- 2,
1	,-_„_-,.
МЫ	'
3)
5] HG^itr, tk) + tficf-ц(а - о, а) + /;-(с?+(-, а)) = о,
гфк
Следствие 3. G_|_(#, ?&) ^ G_(#, ?&).
Таким образом, G(x, s) разрывна по s в точке ?& и имеет в этой
точке соответствующие односторонние пределы. По аналогии с функ-
функциями одной переменной этот разрыв можно называть разрывом пер-
первого рода на прямой s = ?&.
6.3. Функция Грина задачи на графе
По существу все проблемы аналитического характера, связанные
с функцией Грина уравнения на графе, нами уже решены: разрывная
задача из п. 6.2.2 есть фактически задача на простейшем — линей-
линейном — графе, когда последовательность вершин ?& соединена ребрами
[Скч ?k+i]- Отличие состоит только в том, что в случае задачи на графе
общего типа к одной вершине примыкают не одно или два, а именно
несколько ребер.
6.3.1. Общая схема. Пусть Г — связный геометрический граф,
V(F) = {ctj} — набор его вершин, [Г] = {7i}^Li — объединение его
ребер. В пространстве СП[Г] функций, п раз непрерывно дифферен-
дифференцируемых на каждом ребре вплоть до концов, рассматривается кра-
краевая задача, определяемая уравнениями п-го порядка на ребрах (мы
будем предполагать, что они снабжены фиксированной параметриза-
параметризацией)
и условиями в вершинах
|А/(Г)|
F.64)

148	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
при
КУ)= Е Е^Г1^)-	F-65)
tG/(a)r=l
Здесь I(cl) — множество номеров ребер, примыкающих к а, индекс v
означает, что производные считаются в направлении «от вершины»;
в случаях, исключающих двусмысленность, этот индекс мы будем
опускать. В нумерации l^j индекс j указывает номер вершины aj, k —
номер условия в этой вершине, так что для l^j надо в F.65) читать
а = CLj, ari = arf. В случае когда п четное, в каждой вершине обычно
задается — |/(«j)| условий.
Для изучения функции Грина задачи F.63)-F.65) можно приме-
применить один из трех методов:
—	метод векторизации, состоящий в том, что каждое ребро па-
параметризуется отрезком [0,1], функции yi(x) объявляются компонен-
компонентами вектор-функции у(х), а условия F.64), F.65) оказываются кра-
краевыми двухточечными условиями (достоинство — простота и быст-
быстрота; недостаток — необходимость перепараметризации и пересчета
всех коэффициентов, краевых условий и т.д., что создает трудности
в последующем исследовании);
—	метод скаляризации, когда каждое ребро 7г параметризиру-
ется своим отрезком [?i,?i+i] числовой прямой (т.е. ребра «выкла-
«выкладываются в линию»), при этом, естественно, смежные ребра оказы-
оказываются, как правило, достаточно далекими друг от друга, но, тем
не менее, мы получаем аналог уже исследованной нами разорванной
задачи F.46)—F.50). Правда, условия в ней не локализованы (каждое
в своей точке), а связывают значения решения и его производных во
многих точках, распределенных по всему отрезку (достоинство — мож-
можно избежать существенной перепараметризации и обойтись простыми
сдвигами параметра, сохраняющими все коэффициенты; недостаток —
«разбросанность» смежных ребер по отрезку [?i,?jv+i]> в результате
чего простой предельный переход х —>• ctj или s —> dj на графе необ-
необходимо «отслеживать» на геометрически несмежных друг с другом
интервалах [?i,?i+i], что несколько снижает прозрачность рассужде-
рассуждений);
—	метод синтетический, когда граф не «режется» на куски, ничем
не перепараметризуется, а рассматривается как единое множество, на
котором просто реализуется уже знакомая схема.
Последним путем мы и пойдем.
В предположении невырожденности задачи (для задач на графах
она устанавливается исходя, например, из принципа максимума или
теории неосцилляции; см. гл. 3, 4) фундаментальная система решений
Zkj{x) G СП[Г] выбирается биортогональной к lkj{') (число функци-
функционалов F.64), как отмечено, равно Nn — числу ребер, умноженному

6.3. Функция Грина задачи на графе	149
на порядок дифференциального уравнения, что в точности совпадает
с размерностью пространства решений однородного уравнения). Фун-
Фундаментальное решение, дающее выражение частного решения неодно-
неоднородного уравнения через /(ж), проще всего строить «пореберно», взяв
на каждом ребре свое фундаментальное решение — функцию Коши
или функцию Грина. Здесь мы обсудим вариант с функциями Коши,
а в следующем пункте — для уравнения Штурма—Лиувилля с функ-
функциями Грина, где за счет их удачного выбора можно существенно
упростить выкладки.
Итак,
{О,	xG7i, s^7i', ^ г',
О,	7г = [<Л а"], а' ^ х ^ s ^ а",	F.66)
Неравенства на ребре 7г = [а',а"\ понимаются в смысле направ-
направления, определяемого заданной параметризацией ребра, хотя это на
самом деле непринципиально: можно взять фундаментальное решение
равным нулю на треугольнике а' ^ s ^ х ^ а" и (—1)п/^(ж, s) на а' ^
^ х ^ s ^ а"\ в случае отрезка это соответствует замене
X
уо = K(x,s)f(s)ds
на
Уо = (-1)п K(x,s)f(s)ds.
а"
Представим общее решение неоднородного уравнения F.63) в виде
уо= \G0{x,s)f(s)ds + ^2 ^2CkjZkj{x)	F.67)
(интеграл по Г понимается как сумма интегралов по ребрам с фик-
фиксированной параметризацией), и исходя из условия F.64) с учетом
биортогональности Ij^j и Zkj получаем для Ckj выражение
а\
G0(x,s)f(s)ds I +Rkj-
J
г
Поскольку в Ikj вычисляются производные только в вершине aj, имеет
место разложение
G0(x,s)f(s)ds) = V ГкЛ \ G0(x,s)f(s)ds ,

150	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
где через /JL- обозначена часть выражения F.65) для функционала lkj,
в которой вычисляются производные по г-му ребру:
/г	\ Л kj (г — 1) / \	/п г>о\
kj = /_^аг\У\ \аз)-	(d.d8j
г=1
А на ребре 7г мы оказываемся просто в условиях отрезка: необходимо
вычислить краевой функционал от фундаментального решения на 7г х
х 7г- Единственная тонкость здесь связана с параметризацией: если объ-
объявляется «началом» ребра 7г? т0
а если «концом», то
G0(x, s)f(s) ds^J = J 1^(К{(-, s))f(s) ds.
Обозначение
Рк3(8) = 113(К{(-,8)) («6 7i)	F.69)
(это функции непрерывные в силу представления F.19) для К\{х, s))
дает нам формулу
lkj(^Go(x,s)f(s)ds)=
Г
Г
где
F.70)
Окончательно для решения краевой задачи F.63)—F.65) получаем
формулу
у{х) = j G(x, s)f{s) ds + Yl RkjZkj{x),	F.71)
г
где
mm a^-
G(x,8) = Go(x,s)- Y^ ^^kj{s)zkj{x).	F.72)
j=i k=i
Теорема 6.9. Решение невырожденной краевой зада-
задачи F.63)-F.65) определяется формулой F.71), где zkj(x) — биорто-
гональная к lkj(-) фундаментальная система решений однородного
уравнения F.63), функция С(ж, s) определяется формулой F.72),
Go(x, s) — фундаментальное решение вида F.66), ipkj(s) определя-
определяются согласно F.68)-F.70).

6.3. Функция Грина задачи на графе	151
Следствие 1. Функции ^kj(s) непрерывны на каждом ребре ji
вплоть до концов.
Следствие 2. Функция G(x, s) непрерывна по совокупности пе-
переменных вместе с производными по х до порядка п на каждом пря-
прямоугольнике 7г х 7j для г ф j и на каждом треугольнике, на которые
делит квадрат 7г х 7г диагональ х = s.
Теорема 6.10. Функция G(x,s) однозначно определяется сле-
следующими условиями.
При каждом фиксированном s, лежащем внутри ребра 7г:
1)	она является решением однородного уравнения F.63) на всех 7j
(j ф г) и на 7г \ {«};
2)	она удовлетворяет всем условиям F.64), F.65);
3)	при х = s она удовлетворяет условиям склейки
0, 0^j^n-2,
Gu\s + 0, s) - G{j\s - 0, s) = { i .	F.73)
¦ PoW'
J =П
(ориентация предельного перехода s ± 0 и направление дифференциро-
дифференцирования определяется выбранной параметризацией ребра 7г)-
Доказательство. То, что функция F.72) удовлетворяет
свойствам F.63)—F.65), проверяется непосредственно. Единственность
функции, удовлетворяющей 1)-3), следует из того, что условия 1)-3)
фактически определяют задачу вида F.63)—F.65), но на графе Fs,
в котором точка s объявлена внутренней вершиной, и ей приписаны
условия F.73), которые в терминах производных по направлению от
вершины можно переписать в виде, соответствующем F.65):
	, j' = п — 1,
где */]_, U2 — пара противоположно направляющих векторов ребра 7г
в точке s. Однородная задача на Г8 эквивалентна исходной однородной
задаче на Г, поэтому невырожденность задачи F.63)—F.65) влечет
существование и единственность решения задачи на Г5, определяемой
условиями 1)—3) теоремы.
И, наконец, последний результат этого пункта — о предельных
срезках функции Грина G(x, s), когда s —>• uj. Поскольку s может
приближаться к uj по разным ребрам, примыкающим к а^ естественно
рассмотреть отдельно каждый предел
Gi(x,aj)= lim G(x,s).

152	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
Теорема 6.11. Предельные срезки G\{х, aj) удовлетворяют сле-
следующим условиям:
1)	они являются решениями однородного уравнения F.63) на Г;
2)	они удовлетворяют однородным условиям lkj'(y) = 0 для j' ф j;
3)	они удовлетворяют условиям
^f,	F.74)
где $1 = 1, если 7г ориентировано по направлению от uj wdi = (—l)n,
если ребро ориентировано по направлению к a,j.
Доказательство состоит в ссылке на то, что на каждом ребре
7г', отличном от 7г? предельный переход, в силу формулы F.72), со-
совершается в конечномерном пространстве решений однородного урав-
уравнения, и поэтому предельный переход справедлив под знаком любого
краевого функционала /j^,( •) для г' ф г. А на ребре 7г мы находимся
в условиях теоремы 6.4 о предельной срезке, применение которой и да-
дает нам F.74). Коэффициенты fii возникают при замене производной
по направлению ребра (согласно заданной на ребре 7г ориентации) на
граничную производную: если aj является «концом» (а не «началом»)
ребра 7г? т0 необходимо вместо формулы F.33) использовать форму-
формулу F.38) (что дает дополнительный минус) и тем, что у\п (aj) =
^1)
6.3.2. Функция Грина задачи Штурма—Л иу вил ля на сети.
Пусть Г — геометрический граф (мы по-прежнему будем предполагать
его связность), V(F) = {%•} — набор его вершин, [Г] = {/yi}^L1 — набор
его ребер. Рассмотрим задачу
- {Pi{x)y[)f + qi{x)yi = fi(x), x e 7t,	F-75)
yi(a) = yj(a) Vijel(a) (aeV(T)),	F.76)
ai(a)yfi(a) + f3(a)y(a) = F(a) (a e J(T) С У(Г)), F.77)
iei(a)
y(a) = R(a) (аедГ = V(F) \ J(F)).	F.78)
Условия F.77) и F.78) означают, что некоторые вершины снабжены
условиями типа Дирихле (они считаются граничными, их множество
обозначается <9Г), а в остальных задано условие гладкости F.77) — эти
вершины считаются внутренними и их множество обозначается «/(Г).
Вообще говоря, дТ и J(F) не обязательно совпадают соответственно
с множеством концевых вершин (к которым примыкает только одно
ребро) и вершин, к которым примыкает более одного ребра. Для про-
простоты можно предполагать, что такое совпадение есть.

6.3. Функция Грина задачи на графе	153
Хотя в общем случае мы ставили задачу в СП[Г], условия F.76)
показывают, что нас интересуют только непрерывные на всем графе
функции. Множество таких функций мы будем обозначать С (Г) (в от-
отличие от множества С [Г] «пореберно» непрерывных функций). Поэто-
Поэтому далее условия F.76) мы будем включать в определение решения,
рассматривая задачу F.75), F.77)-F.78) в С2(Г) = С(Г) П С2[Г].
Реализацию схемы теорем 6.9-6.11 здесь можно упростить, исполь-
используя специфику задачи. Во-первых, фундаментальное решение Go (ж, s)
естественно строить сразу непрерывным. Для этого вместо функций
Коши удобно использовать функции Грина: обозначив через G{{x, s)
(ж, s G 7г) функцию Грина двухточечной задачи
(для этого нужна невырожденность этой задачи, но в рассматривае-
рассматриваемых далее физически осмысленных предположениях pi (ж) > 0, qi(x) ^
^ 0 невырожденность есть), положим
{
{О,	X G 7г> ^ ? 7?? * Ф
Gi(X, S), Ж, S G 7г-
Такой выбор Go (ж, s) позволяет и возмущающие решения выбирать
непрерывными. Причем в силу специфики задачи удобно разбить эти
решения на две группы: решения уь(х) F G 9Г), удовлетворяющие
однородным условиям F.77) и условиям
vb(a) = Sab {а?дГ),	F.80)
и решения Wb(x) (b G «/(Г)), удовлетворяющие нулевым граничным
условиям и условию
F.81)
где через 1а(у) обозначен функционал из левой части F.77).
Теорема 6.12. Решение задачи F.75), F.77), F.78) в С2(Г) пред-
представляется в виде
Y	E	, F-82)
6GJ(r)
^ь(в),	F-83)
F.84)

154	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
Доказательство повторяет рассуждения теоремы 6.9. При
этом наблюдаются существенные упрощения: в формулу G(ж, s) не во-
вошли слагаемые, содержащие г^(ж), так как Go (ж, s) уже удовлетворяет
нулевым значениям на границе. Из F.83), F.84) следует, что функция
Грина G(x, s) удовлетворяет задаче на Ts (т.е. для у ? С2(Г5))
— (pi(x)y/i)/ + qi(x)yi = 0,	F.85)
- J2 <Хг(а)'Уг(а) + 13(а)у(а) = 0,	F.86)
геЦа)
-Y,P(*)vU*) = l,	F-87)
»|вг=0,	F.88)
которая является задачей вида F.75), F.77), F.78).
Предельный переход при s4aG «^(Г) дает нам следующую тео-
теорему.
Теорема 6.13. Предельные срезки G{(x,b) (г G /(&)) удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям:
1)	ошл являются решениями однородного уравнения F.75) в С2(Г);
2)	они удовлетворяют нулевым граничным условиям F.78);
3)	они удовлетворяют однородным условиям 1а{у) для афЬ\
' 6Vwn ' n~ -Pi(b) ~ piipy
Следствие 1. Gi(x, b) = г;
Следствие 2. Gi(x,b) = Gj(x,b) тогда и только тогда, ког-
. ai(b) = OLjjb)
Pi(b)
Следствие 3. В условиях следствия 2 G(x,b) = Wb(x) тогда
и только тогда, когда ai(b) = Pi(b).
6.3.3. Функция Грина как функция влияния. Следст-
Следствия 1—3 из теоремы 6.13 показывают, что в случае задачи
— (р{(х)у[У + qi(x)y = fi(x),	F.89)
у\дГ = 0	F.91)

6.3. Функция Грина задачи на графе	155
(а именно такого рода задачи возникают в моделях физического про-
происхождения) решение имеет вид
y{x)=[G{x,8)f{s)ds+ J2 G{x,a)F{a).
F.92)
Формула F.92) неизбежно вызывает естественные ассоциации:
функции f(s) и F(a) явно имеют родственную физическую природу,
и поэтому F.92) на самом является деле единым интегралом. «Сво-
«Сворачивание» выражений типа F.92) обычно осуществляется на основе
интеграла Стилтьеса
у(х) = \G(x,s)dF,	F.93)
г
где F — некоторая мера. Осмысленно ли это с математической и, глав-
главное, с физической точки зрения? Оказывается, что да. Действительно,
если вспомнить физический смысл уравнения
-(p(x)y'Y + q(x)y = f(x)	F.94)
(например, как уравнения деформации струны), то окажется, что
функция f(x) не физическая величина, а некоторая ее производная.
Измеряемой физической величиной является сила, действующая на
конечный фрагмент струны. Если фрагмент [ж1? Ж2], то сила F[xi, X2].
Это по-существу мера — конечная сг-аддитивная функция отрезка
(и, по стандартной процедуре продолженная, функция множества).
Функция же /(ж), которая фигурирует в F.94), — плотность этой
меры. Плотность, вычисляемая относительно какой-нибудь другой ме-
меры. Обычно (при заданной параметризации отрезка) «другая» ме-
мера — это разность значений параметра, отвечающая точкам a;i и Ж2.
Поэтому в F.94) следовало бы писать не /(ж), а dF(x)/dl(x), или,
проще, dFIdx.
Некоторой мерой определяется по существу и второе слагаемое
в левой части F.94): q(x) = dQ(x)/dx. Так что уточненное уравне-
уравнение F.94) выглядит как
или (если перейти в термины дифференциалов)
-d(p(x)y') + y{x)dQ = dF.	F.95)
Уравнение F.95) замечательно тем, что в нем уже не фигуриру-
фигурирует параметризация отрезка: меры dQ и dF являются инвариантами.

156	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
Правда, остается еще внутреннее дифференцирование в первом слага-
слагаемом, но и там от него можно избавиться введением функции
, ч [ dx
<т{х) =
что приводит F.95) к виду, уже полностью инвариантному относи-
относительно параметризации (и в котором параметризация уже просто не
требуется)
(S	dF-	F-96)
Таким образом, преобразование уравнения F.94) в F.96) показы-
показывает, что замена
о	о
\G{x,s)f(s)ds= \
более чем естественна и физична. Более того, уравнение F.96) не надо
модифицировать для у(х) = С(ж, s): эта функция при фиксирован-
фиксированном s оказывается как функция от х решением уравнения
dQs,	F.97)
где dSs — мера, имеющая носителем единственную точку s, в которой
сосредоточен единичный атом этой меры.
Вернемся к уравнению на графе. Основная сложность, связанная
с переходом в уравнении на графе к форме F.96), состоит в том, что
граф — уже по существу неодномерное множество. На отрезке мера
всегда ассоциируется с некоторой производящей ее функцией, и поэто-
поэтому дифференцирование по мере и дифференцирование относительно
функции, ее порождающей, — практически одно и то же. Совсем иначе
обстоит дело в многомерном случае, где мера и функция — две вещи
разной природы. Граф тут оказывается таким своеобразным «проме-
«промежуточным» между одномерными и многомерными объектами, что на
нем мера и функция хотя и отличаются, но не настолько, чтобы можно
было «утерять» ту связь между ними, которая была в одномерной
ситуации.
Осталось решить вопрос, можно ли уравнение F.96) распростра-
распространить на внутренние вершины графа. Как формула F.92), так и внеш-
внешний вид условия F.90) показывают, что, по-видимому, именно это
условие выполняет роль уравнения F.96) в вершине: F(a) есть сосре-
сосредоточенная в вершине сила, /3(а) — сосредоточенная в вершине упру-
упругая реакция внешней среды (атом меры dQ), коэффициенты в сумме
совпадают с Pi(a) — аналогия более чем полна. Конечно, можно было
бы просто считать F.90) реализацией F.96) в вершине формально,

6.3. Функция Грина задачи на графе	157
однако такой «математический» прием совершенно неубедителен с фи-
физической точки зрения.
Постараемся понять, почему же
— это «мера», заданная в точке а, и как она соотносится с —d(pyf) на
отрезке.
Наиболее прозрачное соображение, по-видимому, следующее.
В пространстве W1 любое гладкое векторное поле порождает некото-
некоторую меру как функцию множества. Для множества с гладкой грани-
границей это — поток векторного поля через границу множества
*(") =
дП
В случае, когда F = grad <р, скалярное произведение равно dtp/dv, так
что
х(П) = — ds.	F.98)
an
Классическое уравнение Лапласа (например, bR3) получается сравне-
сравнением F.98) с «эталонной» мерой — потоком векторного поля
-г = -grad||r||2
(число 3 в знаменателе — размерность пространства)
дП	дП
так что
Aip = div (grad <p) = ^	F.99)
в смысле обычного относительного дифференцирования мер.
В случае графа Г в роли множества Л выступает подграф (мы
будем предполагать, что он связен); dft — его концевые вершины;
в качестве dip/dv выступает

158	Гл. 6. Функция Грина и функция влияния
где (da, и) = б/<т, если а возрастает в направлении v и —da в противном
случае;
? т^7л=? ?
?
где Ift(x) — множество ребер, содержащих ж, но лежащих вне fi, a ^ —
вектор «внешней нормали» к Г?, т. е. вектор, направленный из х Е сШ
во вне Л вдоль ребра 7г- Если ж — внутренняя точка одного из ребер, то
|^гг(ж)| = 1; если х — внутренняя вершина, то /^(ж) может содержать
и несколько ребер, в этом случае соответствующие выражения F.100)
суммируются по г Е 1п{х).
Если теперь ft «стягивать» к точке s, то для s, леж;ащего внутри
ребра, fi, очевидно, рано или поздно сведется к отрезку [a?i, Ж2] Э 55
а выраж;ение F.101) сведется к выражению
dV	^	F.102)
При х\ —>• 5, X2 —> s выражение F.102) превращается в дифферен-
дифференциал. Чтобы не путать дифференциал меры с дифференциалом функ-
функции, мы будем обозначать его d*. Сравнение полученного дифферен-
дифференциала с дифференциалом другой меры /л(ж), непрерывной в точке s,
дает
d*[
так как на отрезке отношение дифференциалов мер равно отноше-
отношению порождающих их функций. Сравнение б/* ( —— ) с атомарной ме-
рой dSs, имеющей единичный атом в точке s, дает
(rfcr, i/i) (da,iy2)
— в точности условие F.87) для функции Грина. А если х — внутрен-
внутренняя вершина, то сравнение d* ( —— ) с атомарной мерой дает как раз
\а<т )
т.е. выражение из F.90).
Таким образом, в терминах дифференциалов вся система F.89),
F.90) записывается как единое уравнение
yd*Q = d*F,	F.103)

6.3. Функция Грина задачи на графе	159
где d*Q — мера с плотностью q(x) на ребрах и атомами f3(a) во
внутренних вершинах, a d* F — мера с плотностью f(x) на ребрах
и атомами F(a) во внутренних вершинах.
Если d* fi — некоторая мера, относительно которой d*Q и d* F аб-
абсолютно непрерывны, то F.103) можно записать в виде «поточечного»
уравнения
du d и
d
Решение уравнения F.103)-F.104) дается формулой
= lG{x,s)d*F,	F.105)
где G(x, s) — решение F.103) или F.104) с d*F = d*Os.
Последнее означает, что G(x, s) не зависит от параметризации ре-
ребер, является функцией от точки графа и представляет собой функцию
влияния — реакцию системы на единичное воздействие, к которому
применим принцип суперпозиции: для любого воздействия d* F реак-
реакция выражается интегралом F.105).

Глава 7
К ТЕОРИИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этой главе для обобщенного уравнения
-(ри'У + Q'u = XR'u + Ff	G.1)
в классе абсолютно непрерывных на [0,1] функций и(х) и при ограни-
ограниченной вариации р, Q, Я, F строится аналог классической осцилляци-
онной теории при условиях
и@) = и{1) = 0.	G.2)
Основой анализа служит предложенный в [72] подход использова-
использования общей теории интеграла, позволяющий заменять в G.1) обобщен-
обобщенные производные на относительные производные по мере (в смысле
Радона-Никодима), что превращает G.1) в поточечно определенное
уравнение, т. е. обыкновенное, допуская далее применение классиче-
классических методов анализа.
7.1. Общая теория
7.1.1. Вариационная мотивация. Пусть D — стандартное про-
пространство основных функций (бесконечно дифференцируемых финит-
финитных с компактными в @,1) носителями). Для обобщенных функций д,
/ (функционалов из D*) должны существовать порождающие их диф-
дифференциалы Стилтьеса dQ и dF, где Q и F — функции ограниченной
вариации. Обозначим через dg дифференциал, порождающий qu, так
что dg = и dQ, т. е. с точностью до константы
udQ.	G.3)
О
Тогда G.1) как равенство в D* реализуется на D в виде
-\<pd (pu1) +l(pdg=[<pdF,	G.4)

7.1. Общая теория	161
откуда следует —pur + g — F = const или, с учетом G.3),
х
- (ри) +\udQ- F = const.	G.5)
о
Последнее означает, что функция — (puf + F) должна быть Q-абсо-
лютно непрерывной, имея скачки лишь в точках разрыва Q. Если ? —
одна из таких точек, то в ней согласно G.5) должно быть
-А {ри') (О + u(Z)AQ(Z) = AF(O,	G.6)
где Az(?) означает Az = z(? + 0) - z(? — 0). Если /j,(x) — стро-
строго возрастающая функция (через \i мы обозначаем и порождающую
(см. [19, 94, 95]) ее меру, для которой как Q, так и F являются //-аб-
//-абсолютно непрерывными), то, используя дифференцирование d/d/j, по
Радону-Никодиму (относительное дифференцирование по Петровско-
Петровскому), имеем из G.5)
—f(pu') + u-fQ = -fF.	G.7)
dfi	dfi	dfi
Последнее равенство адекватно поточечно задаваемым дифферен-
дифференциальным уравнениям. В точках разрыва \± уравнение G.7) реализу-
реализуется в виде G.6).
Естественность G.7) как интерпретация уравнения G.1) с обоб-
обобщенными коэффициентами может быть подкреплена и физической
мотивацией. Предположим, что задача G.1), G.2) имеет вариационную
природу, определяя минимум энергии одномерной деформируемой сис-
системы
ill
V{u) = | р у du + | у dQ - | и dF,
где, например, р — сила натяжения, Q(x) — распределение упру-
упругой реакции внешней среды и F — распределение внешней нагрузки
(и(х) dF{x) — работа на элементе dx на смещение его на дистанцию и).
Предположение об интегральном представлении энергии вполне фи-
зично. Схема Лагранжа, приводящая к нулю первую вариацию, дает
ill
AV(u)<pd= lpu'd(p+ \<pudQ-l<pdF = O (V<p e D). G.8)
0	0	0
После замены G.3) в силу допустимости интегрирования по частям для
интеграла Римана-Стилтьеса М у? dg* = — g* dy> и \ (р dF = — \ F d(p)
б Ю. В. Покорный и др.

162	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
имеем из G.8)
1
= 0 (<p€D),	G.9)
что приводит к G.5). Последнее соображение, использованное Дю-
буа-Реймоном для негладких экстремалей (и позволившее ему для
гладких Q и F продифференцировать G.5) по ж), послужило в 30-е
годы XX века поводом для толкования уравнений G.4) и G.9) как
обобщения-переноса G.1) на некий более общий класс функций.
7.1.2. Уравнение с дифференцированием по мере. Всюду
далее предполагается, что inf р > 0 и что Q и R не убывают на [0,1]
(это наиболее характерно для приложений). Мы предполагаем также
отсутствие особенностей (непрерывность коэффициентов уравнения)
в концах отрезка.
Пусть Q, R и F являются /i-абсолютно непрерывными относитель-
относительно некоторой возрастающей функции //(ж). В качестве такой функ-
функции \i мы можем взять
ц(х) = х + Q(x) + R(x) + F+(x) + F_(x),
где первое слагаемое взято, чтобы обеспечить строгую монотонность /i,
а через F+ и F- обозначены неубывающие функции из жорданова
представления F = F+ — F_.
Будем обозначать в дальнейшем через Е^ множество абсолютно
непрерывных на [0,1] функций и(х), производные которых имеют
ограниченное изменение на [0,1] и, более того, для которых функция
р(х) du(x)/dx является /i-абсолютно непрерывной. Множество //-аб-
//-абсолютно непрерывных на [0,1] функций будем обозначать через А^.
Каждая функция z{x) из А^ непрерывна во всех тех точках, где
непрерывна ц(х). Очевидно, А^ С BV[0,1].
Использование производных по Радону—Никодиму позволяет обоб-
обобщенное уравнение G.1) записать как поточечное:
d
— —— (ри ) + Q^u = XR и + F .	G-Ю)
Решением G.10) будем называть любую функцию из Е^, которая
удовлетворяет G.10) почти всюду (по /i-мере).
Обозначим через S(/jl) множество точек ? разрыва функции \±. Их
счетное множество, каждая из них имеет /i-меру, равную
В каждой точке ? Е $(аО квазипроизводная (ри')(х) может иметь
скачок, что дает тройное значение для d(puf)(?)/dfi. Непосредственно

7.1. Общая теория	163
в самой точке ? мы имеем отношение скачков
Наряду с этим в точке ? с помощью соответствующих одно-
односторонних предельных переходов определены еще две производные,
-— (ри')(? — 0) и —-(ри')^ + 0). Эта тройственность разрыва следует
из представления
о
эквивалентного определению /i-производной по Радону-Никодиму.
Отмеченная многозначность толкования уравнения G.10) в точ-
точках множества $(/i), а следовательно, неоднозначность его в целом
на [0,1], снимается следующим образом.
Обозначим через JM отрезок [0,1], из которого выброшено множе-
множество S(fi) всех точек разрыва /i, т.е. JM = [0,1] \ S(fi). Введем на JM
метрику равенством д(х, у) = /i(y + 0) — /jl(x — 0) для х < у. Попол-
Пополнение Jц по этой метрике обозначим через [0,1] .В этом множестве
вместо прежних (выброшенных из [0,1]) точек ? ? S(fi) появляются
пары ? — 0 и ? + 0. Индуцируя на [0,1]^ исходную упорядоченность,
имеем ? — 0 < ? + 0. Формальное объединение [0,1]^ с #(/i), при ко-
котором ? — 0<?<? + 0 для каждой ? ? #(м), обозначим через R^.
В этом множестве точки из S(ii) как бы вставлены на прежние места,
но теперь они обрамлены с боков уже собственными в R^ элемента-
элементами ? — 0, ? + 0, а не символами предельных переходов в этих точках,
как было ранее.
Напомним, что BV$ означает подпространство таких функций
ограниченной вариации, у которых значения в точках разрыва не
определены (в отличие от 5К, где в точках разрыва функции обязаны
иметь значения). Если функция /л(х) задает дифференциал Стилтье-
са (i/i, т. е. определяет меру Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, то соб-
собственные значения \± в ее точках разрыва никакой роли не играют.
Поэтому \i в подобном случае обычно полагается непрерывной справа.
Однако такое предположение при работе с /i-производными оказы-
оказывается некорректным, приводя к ошибкам (см. комментарии в [71]).
Поэтому определяющую дифференциал Стилтьеса d\i функцию \±{х)
мы будем считать определенной лишь на J^ и на [0,1] . В то же время
для любой /i-интегрируемой функции f(x) ее промежуточное (меж-
ДУ?~0и? + 0 пРи С ? S(/jl)) значение /(?) существенно и функцию
необходимо считать определенной на R^.
Согласно сказанному уравнение G.10) задается как поточечное
на Яд. Непрерывность на [0,1] решения и(х) позволяет в силу ра-

164	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
венств
считать его заданным и на R^. В то же время производная uf(x), ко-
которая предполагается /i-абсолютно непрерывной, должна быть из BVo
и не иметь собственных значений в точках ? Е S(/jl). Последнее озна-
означает, что при постановке задачи Коши для уравнения G.10) мы долж-
должны различать в точках разрыва \i левую (с uf(? + 0)) и правую
(с и' (? — 0)) задачи. Поскольку постановка задачи Коши «раздваи-
«раздваивается» в точках из #(/i), мы будем задавать ее на «расширенном»
отрезке [0,1] .
Теорема 7.1. Для любых чисел ио, vo и точки хо Е [0,1] уравне-
уравнение G.10) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
которое при каждом А принадлежит Е^ и является целой по А
функцией.
Доказательство. Фиксируя А и полагая Q\ = Q — AM, для
решения и(х) имеем
X
а / \ 	 J- I / \ 1 у^\ / \ .^ / \	/iy -I с\\
&х	р[х) I
Хо
где обозначено
v(x) = —j-^r [p(xo)vo - F(x) + F(xo)] .
pyx)
Заметим, что в силу непрерывности и{х) интегрирование в G.12)
производится по Риману—Стилтьесу. Последующее обычное интегри-
интегрирование в пределах от xq до х после изменения в двойном интеграле
порядка интегрирования приводит к равенству
х
и(х)= lg(x,T)u(T)dQx(T) + z(x),	G.13)
Хо
где положено g(x,r) = —^-, а через z(x) обозначены не зависящие
j pysj
г
х
от и(х) члены: z(x) = г^о + v(r)dr. Ввиду непрерывности z(x) и со-
Хо
вокупной непрерывности g(x, г) мы имеем в G.13) интегральное урав-
уравнение (типа Вольтерра) в С[0,1]. Легко проверяется, что спектральный

7.1. Общая теория	165
радиус оператора
X
(Кхи)(х) = | g(x, t)u{t) dQx(r)	G.14)
XQ
равен нулю, откуда следует однозначная разрешимость G.13) и равно-
равномерная сходимость к решению соответствующего ряда Неймана
оо
n=0
Если в последнем представлении заменить согласно G.14) Q\ на
Q — AM, то для решения и\(х) уравнения G.13) мы получим сте-
степенной по А ряд, равномерно по х сходящийся при любом А, что
и означает требуемую регулярность и\ по А. Принадлежность и\(х)
пространству Е^ следует из представления G.13) и вытекающего из
него тождества G.12). Теорема доказана.
Следствие 1. При F^ = 0 (т.е. F = const) соответствую-
соответствующее однородное уравнение G.10) с нулевыми начальными условиями,
заданными в любой точке [0,1], имеет только тривиальное реше-
решение и(х) = 0.
Следствие 2. Многообразие решений уравнения G.10) двумерно.
7.1.3. Определитель Вронского. Для пары функций ф\, ф2
из Ец рассмотрим обычный определитель Вронского
\?(фиф2)(х) = .,,,.,,,
ф[(х) ф'2(х)
Лемма 7.1. Для любых двух решений ф\, ф2 уравнения
-(ри'У + Q'^u = XR'^u	G.15)
следующие свойства эквивалентны:
(а)	VK@i, ф2)(х) = 0 хотя бы при некотором х Е [0,1] ;
(б)	\У(ф1,ф2)(х) = 0;
(в)	ф\ и ф2 линейно зависимы.
Доказательство на основе теоремы 7.1 проводится элементарно —
алгебраическими рассуждениями. Прямой проверкой устанавливает-
устанавливается и
Лемма 7.2. Для любых двух решений ф\, ф2 из Е^ уравне-
уравнения G.15) функция р(х)\?(ф\,ф2)(х) непрерывна.
Теорема 7.2. Для любой пары решений ф\, ф2 уравнения G.15)
р(х)\У(фъ ф2)(х) = const (x e [0,11 ).

166
Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
Доказательство. Обозначим р(х)\?(ф\, ф2)(х) через (pW)(x).
Проверка /i-абсолютной непрерывности осуществляется непосред-
непосредственно. Далее мы будем использовать обозначение
А?ф = ф(х + е)- ф{х + 0).
Пусть Z — множество точек, в которых существует //-производ-
//-производная (pWy^(x). Для произвольной точки х из Z и любого положитель-
положительного е имеем
A?(pW) =
AefJL
±S(P2
A?/j,
(рф'2)(х + е)
\(х)
А?(рф'2)
Первое слагаемое справа равно
рф'2(х
В последнем выражении
Ф'^х + О) ф'2(х +
ф'^х + г) рф'2(х +
[{х + 0) ф'2(х + 0)
[ (х + е) рф'2 (х + е)
(г = 1,2).
В силу определения М всегда A?fi ^ е, так что отношение е/(А?/л)
ограничено. Поэтому
lim
А?ф2
= 0.
Для второго слагаемого имеем (так как ф{(х) — решения однород-
однородного уравнения G.15))
где через Q\, как и выше, обозначена функция Q(x) — \R(x). Поэтому
фАх) ф2(х
А?(рф[) А?(рф'2)
A?fi	A?ji
+
ж+0
Фг{х)
dQx(s).

7.1. Общая теория	167
В силу непрерывности подынтегральной функции найдется такая точ-
точка ж*, что
Покажем, что при е —>• 0 выражение
01(жH2(ж*) - 0i(a?*H2(
ограничено. Имеем
0г(ж*) - <^(ж) = ф\{х + 0)(ж* - X)
откуда следует
это влечет за собой ограниченность указанных выше отношений.
Из ограниченности е/(Дед) следует теперь, что (pW)f^(x + 0) = О,
а это означает, что (pW)^(a?) = 0 почти всюду, т.е. pW = const. Тео-
Теорема доказана.
7.1.4. Непрерывная зависимость от параметра. В интере-
интересах спектральной задачи мы уточним свойство непрерывной (в равно-
равномерной топологии) зависимости решения от спектрального параметра.
Лемма 7.3. Для решения и(х) задачи
-¦^{pu') + Q'flu=F'lt, u(xo) = uo, u'(xo) = vo	G.16)
выполняется неравенство
\\u(x)\\^ec\\z(x)\\,	G.17)
где С = Vq(Q)/cq, Vq — вариация, \\u\\ = тах|и(ж)| и через z обо-
обозначена функция
z(x) = и0 + [ Р(*°>"° - F® + F^ dt.
Для доказательства достаточно воспользоваться представлением
решения в виде ряда Неймана.
Следующая лемма достаточно очевидна.
Лемма 7.4. Для производной ри' решения и(х) задачи G.16) вы-
выполняется неравенство
V01(pu')^\\u\\V01(Q) + V01(F).	G.18)

168	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
Теорема 7.3. Пусть и\ — решение уравнения
-(Р«% + (QJ. - АЛ> = F'^x)	G.19)
при начальных условиях
v0,	G.20)
заданных в точке xq E [0,1]^.
Тогда и\ не только непрерывна по А, но и непрерывно дифференци-
дифференцируема по А.
Доказательство. Пусть и(х) и v(x) — решения задачи G.19),
G.20) при значениях параметра Ло и Л соответственно. Обозначим
через w(x) разность v(x) — u(x). Функция w(x) является решением
задачи
-{pw% + (Q1^ - XR'Jw = (А - \о)и(х)^,
\ •¦)
w(xq) = 0, w'(xq) = 0.
На основании леммы 7.3 имеем оценку для w
|K-,A)|KeCl|K,A)||,	G.22)
где
C1 = V01(Q) + \X\V01(R),
X	t
z{x, A) = (A - Ao) [ -J- [ u(s) dR(s) dt.
xo xo
Оценим максимум функции z. Последовательно имеем
t
1
\u(s)\dR(s)
dt
xo	xo
откуда
\\z(' X)\\ << IЛ	 Л \\u\\ \/i(r)	G 23)
^	со °
Далее, для вариации pw' на основании G.18) имеем
Vo(pwf) $J \\w(-, A)|| Vq(Q) + Vq(F);	G.24)
здесь
X
Q(x, А) = Q(x) - АД(ж), F(a;, А) = (А - Ао) lu(s) dR(s).
о
Для вариаций функций Q(x, А) и F(#, А) имеем оценки
G.25)

7.2. Качественная теория задачи Штурма-Лиувилля	169
G.26)
На основании неравенств G.22), G.23), G.25) и G.26) оценку G.24)
мы можем переписать в виде
Vf(pw') sC |А - XolMV^R) [^ (Vtf(Q) + \\\Vj(R))
Теперь утверждение первой части теоремы следует из неравенства
HU ^ |А - Ао| Ци
где Цг^Цд = max \w\ + Vg^/nt/) — норма в Е^.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Разделив обе части урав-
уравнения G.21) на (Л — Ло) и введя обозначение у = w/(X — Ао), имеем
-(ТО')» + (Q^ - Щ)У = и(х)Н'^х).	G.27)
Таким образом, для определения у мы получили уравнение G.27).
Величина у пока определена только при Л ф Aq. Определим ее при
А = Ао так, чтобы у удовлетворяло уравнению G.27) и при х = xq
обращалась в нуль вместе со своей производной. Так как у и у'х обра-
обращается в нуль при х = хо для всех А и коэффициенты уравнения G.27)
удовлетворяют первой части теоремы, то у непрерывно зависит от
параметра А по норме \\и\\^ при всех А достаточно близких к Ао,
следовательно, у и у'х стремятся к определенным пределам при А —ь
Л	ди д2и
—> Ао, что влечет существование производных —- и ———-, причем
о	ил ох ил
ди
для определения —— мы получаем уравнение
ил
Для завершения доказательства осталось повторить рассуждения пер-
первой части теоремы для ди/дХ, чтобы обосновать ее непрерывность.
7.2. Качественная теория задачи
Штурма—Лиувилля
7.2.1. Теоремы сравнения. Остановимся теперь на качествен-
качественных свойствах исходной задачи описываемых теоремами типа теорем
Штурма. Очевидно, любое нетривиальное решение однородного урав-
уравнения
может иметь лишь конечное число нулей.

170	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
Теорема 7.4. Для любых двух линейно независимых решений ф\,
02 однородного уравнения
нули в [0,1] перемежаются, т. е. для любой пары нулей ?i, ?2 реше-
решения ф\ другое решение меняет между ними знак (и наоборот).
Доказательство. Пусть ?i и ?2 — соседние нули решения ф\.
Мы можем считать, что ф\(х) > 0 на (^i,^)- Если 02(ж) 7^ 0 на
[?ъ ?г] ^ т0 можно считать, что 02 > 0 на этом отрезке. При достаточно
большом к можно считать, что кф2(х) ^ ф\{х) на [?1, ?2]- Беря в этом
неравенстве inf по к, будем иметь при некотором ко > 0 и каком-то т Е
? [?ъ ^2] 5 чт0 функция /г = Ао02 — 01 неотрицательна в окрестности т
и /г(г) = 0. Но тогда одна из производных h'{r ± 0) заведомо равна
нулю, что в силу теоремы 7.1 влечет h = 0. Рассуждения упрощаются,
если 02 обращается в нуль в одной из точек ?i, ?2-
Рассмотрим теперь два уравнения
--^(pu') + Q'lU = 0,	G.28)
—?-(pv') + Q'2v = 0.	G.29)
Теорема 7.5. Пусть Q[ ^ Q'2 в естественном смысле, т.е.
функция Qi — Q2 неубывающая. Пусть и(х) — нетривиальное реше-
решение G.28) и ?i, ^2 — его нулевые точки в [0,1] .
Тогда любое решение v(x) (^ 0) уравнения G.29) меняет в интер-
интервале (?i, ^2) знак.
Доказательство. Из уравнений G.28) и G.29) после подстанов-
подстановки в них решений и(х), v(x), домножения первого на v(x), а второго
на и(х), будем иметь
Ь-о	Ь-о	Ь-о
[ vd(pu')- \ ud(pv')= \ uvd{Q1-Q2).	G.30)
^1+0	^1+0	?1+0
Правая часть в предположении v(x) ^ 0 неотрицательна (если и(х)
была неотрицательной). После интегрирования по частям обоих сла-
слагаемых слева для левой части G.30) мы получим представление (в ре-
результате взаимоликвидации пары интегралов)
где слагаемые с upv' самоликвидировались ввиду ?i(?i + 0) = ^(?2 —
- 0) = 0. Но u\ix + 0) > 0 и и'(?2 ~ 0) < 0. Поэтому выражение G.31),

7.2. Качественная теория задачи Штурма-Лиувилля	171
а значит, и левая часть G.30), строго отрицательно, что противоречит
неотрицательности правой части G.30).
7.2.2. Неосцилляция. Назовем, следуя традиции, однородное
уравнение
±' + Q'ltu = 0	G.32)
неосциллирующим на [0,1], если любое нетривиальное его решение
имеет не более одного нуля. Свойство неосцилляции для обыкновенных
дифференциальных уравнений играет фундаментальную роль в каче-
качественной теории.
Теорема 7.6. Для неосцилляции G.32) достаточно, чтобы Q'^ ^
^ 0, т. е. чтобы функция Q(x) не убывала.
Доказательство. Покажем вначале, что G.32) не осциллирует
при Q'^ = 0. Если и(х) — решение уравнения (и(х) ф 0)
то (puf) = const, откуда следует, что и'{х) (если и'{х) ф 0) не имеет
нулей в [0,1] , т.е. и(х) строго монотонна. Значит, и(х) может иметь
не более одного нуля. Случай и'(х) = 0 тривиален.
Пусть теперь Q'^ ^ 0 (^ 0) и ?i, ?2 — какие-либо нулевые точки
нетривиального решения G.32). Взяв за пределами (?1,^2) любую
точку 77, построим решение v(x) уравнения d(puf)/' d\± = 0, удовлетво-
удовлетворяющее условиям v(rj) = 0, vf(rj + 0) = 1 (или vf(rj — 0) = 1). Тогда по
теореме 7.5 у v(x) должен быть нуль строго между ?1? ?2, что5 как
показано в предыдущем абзаце, невозможно.
Теорема 7.7. Пусть однородное уравнение G.32) не осциллирует
на [0,1]. Тогда существует строго положительная на [0,1] функ-
функция ф(х) G Ер такая, что выражение
имеет вид
1 d ( ,2
ф
Т	1 d ( ,2 d I UW	(Г7 OO\
Lu = -^ ^~ рф 1~ ^	G-33)
ф du \ dx уфJJ
для любой и(х) из Ер.
Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы уравне-
уравнение G.32) имеет положительное на [0,1] решение. Обозначим через
и(х) и v(x) решения начальных задач и@) = 0, 1^@) = 1 и, соот-
соответственно, v(l) = 0, v'(l) = —1. Тогда и(х) > 0 на @,1] и v(x) > 0
на [0,1) и, следовательно, ф(х) = и(х) + v(x) > 0 на всем [0,1]. Для
найденного решения ф равенство G.33) и G.32) проверяется простым
раскрытием скобок в G.33). Теорема доказана.

172	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
7.2.3. Дифференциальные неравенства. Рассмотрим диф-
дифференциальное неравенство
Lu = -(P«% + Q>>0,	G.34)
понимая под ним уравнение Lu = F' с какой-либо неубывающей
/i-абсолютно непрерывной F. Заметим, что решением G.34) является,
например, функция Грина, если она существует, любой краевой задачи
для уравнения Lu = F' так как G(x, s) удовлетворяет уравнению
Lu = тг(х — s) v, где тт(х — s) равна 1, если х = s, и 0 в противном
случае.
Теорема 7.8. Пусть L не осциллирует на [0,1]. Тогда любое
неотрицательное нетривиальное решение неравенства G.34) не име-
имеет нулей в @,1), причем и'@) ф 0, если и@) = 0 (аналогично и'A) ф 0,
если иA) = 0).
Доказательство. Воспользовавшись представлением G.33),
для функции ф(х) = рф2-г- [ — ) имеем тождество
ах \фJ
о
следовательно, функция ф(х) не возрастает на [0,1].
С другой стороны, если u(xq) = 0 в какой-либо точке жо? т0 из нера-
неравенства и{х) ^ 0 следует, что хо реализует минимум функции и(х) и,
очевидно, xq является точкой минимума и/ф. Но тогда содержащий
точку xq максимальный отрезок [a?i, жг]5 на котором и{х)/ф{х) = 0,
реализует в своей окрестности перемену знака с минуса на плюс как
у (и/ФУ, так и у ф(х) = рф2(и/фУ, что противоречит невозраста-
невозрастанию ф(х).
Пусть теперь и@) = 0. Предположим, что г^7@) = 0. Тогда, очевид-
очевидно, имеем
т.е. ф@) = 0, что означает в силу невозрастания ф(х), что ф(х) ^ 0
на [0,1]; то же имеет место и для (u/(p)f(x). Но тогда и/(р не возрастает
на [0,1], и в силу (и/(р)@) = 0 имеем (и/(р)(х) ^ 0, т.е. и(х) ^ 0
на [0,1], что противоречит доказанному ранее неравенству и(х) > 0.
Теорема доказана.
) Здесь следует отметить одно обстоятельство. Мера по которой произ-
производится внешнее дифференцирование другая, а именно, она равна fi(x) +
+ $(х — s), где $(х) равна 0 при х < 0 и 1 при х > 0.

7.2. Качественная теория задачи Штурма-Лиувилля	173
Будем говорить, что L не осциллирует лишь внутри (О,1), если L
не осциллирует на любом замкнутом отрезке [a?i, X2], не совпадающем
с [0,1], и не обладает этим свойством на всем [0,1].
Теорема 7.9. Пусть L не осциллирует лишь внутри (О,1). Тогда
любое решение Lu ^ 0 при условиях
и@) ^ О, иA) ^ 0	G.35)
превращает эти неравенства в равенства.
Доказательство. Так как L не осциллирует лишь в @,1), то
существует положительное на @,1) решение v(x) уравнения Lu = 0,
обращающееся в нуль на границе @,1). Пусть и(х) — нетривиальное
решение Lu ^ 0 при условиях G.35). Рассмотрим функцию ф = u/v.
Если она не константа и если ее нижняя грань Ао = inf ф дости-
@,1)
гается в одной из точек xq Е @,1), то функция h = и — Xqv будет
противоречить теореме 7.8. Пусть Aq = inf ф достигается в одной из
(ОД)
граничных точек @,1). Обозначим ее через а, т.е. а = 0 или а = 1.
Если Ао > — оо, то из конечности Ао (так как, очевидно, Ао < оо)
и равенства v(a) = 0 следует, что и{а) = 0. Но тогда Aq = и'(а)/V(a)
и неотрицательная на @,1) функция h = и — Aqi?, удовлетворяя G.34),
имела бы в точке х = а нулевое значение и нулевую производную,
противореча теореме 7.8.
Предположим теперь, что Ао = inf ф = — оо. Это возможно в силу
(ОД)
неравенства и(а) ^ 0 лишь в случае (так как v(x) ф 0 на @,1)),
когда и{а) = 0. А так как v'(a) > 0 и предел ф = u/v при х —> а равен
и'(а) /v1(а), то равенство Ао = — оо невозможно. Значит, функция ф =
= u/v есть константа на @,1).
Теорема 7.10. Пусть vо(х) — нетривиальное решение системы
Lv = 0, v@) = v(l) = 0	G.36)
и и(х) — решение неравенств
vo(x)Lu^0 (xe @,1)), ^A-0)^A)^0,	G.37)
такое что и@) = 0.
Тогда найдется такая константа G, что и(х) = Cvq(x).
Доказательство проведем индукцией по количеству нулей
vo(x) в @,1). Если vo(x) сохраняет знак в @,1), утверждение следует
из теоремы 7.9.
Предположим, что теорема верна для любого решения зада-
задачи G.36), имеющего к нулей. Пусть vo — решение G.36) с к + 1 нулями.
Если {?i}i+1 — нули этого решения, то на интервале @, ?i) выполнены
все условия теоремы 7.9, что влечет и(х) = CqVo(x) при некоторой
Со ф 0. Теперь на (?i,l) выполняются все предпосылки теоремы

174	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
и у vq(x) к нулей; тогда по предположению индукции существует
С\ ф О, для которой и(х) = CiVq(x) на (?i, 1). Остается доказать, что
Со = С\. Для этого сначала заметим, что pvf0 непрерывна в точках ?&.
Если ?& принадлежат S(/jl), то мы имеем равенство (рто)(?& ~~
— 0) = (pvf0)(^k + 0), которое и означает непрерывность pvo(x).
Если же ?k i S(/jl), то непрерывность pvf0 очевидна. Аналогично
устанавливается непрерывность puf(x). Теперь из непрерывности ри'
и р^п следует, что отношения производных
одинаковы I и равны ^р	^ 1. Поэтому Со = Gi, и и(х) =
на всем @,1). Теорема доказана.
7.3. Краевые задачи и функция Грина
Рассмотрим теперь краевую задачу
Lu = /, hu = u@) = 0, 12и = иA) = 0,	G.38)
где, как и выше, Li? = —(ри1)'^ + дг^; через g и / обозначены соответ-
соответственно q = Q'^ и / = F'p. Задачу G.38) назовем невырожденной, если
однородная задача (при / = 0) имеет только тривиальное решение.
Тривиальным образом устанавливается
Теорема 7.11. Краевая задача G.38) невырождена тогда и толь-
только тогда, когда определитель матрицы ||/i^j||? j=i отличен от нуля,
где {фг}^=1 — произвольная фундаментальная система решений од-
однородного уравнения в G.38).
Определение 7.1. Функция G(x,s) двух переменных ж, s E
Е [0,1] называется функцией Грина краевой задачи G.38), если она
удовлетворяет условиям:
1)	G(x, s) непрерывна по совокупности переменных;
2)	при х ф s она удовлетворяет по х однородному уравнению;
3)	при всех s выполнено G@, s) = G(l, s) = 0;
4)	если х 0 S(n), то
(pG'x)(x + 0,x)- (PG'x)(x - 0,х) = -1,
а при х Е #(/i)
(ж + 0, х) - (рСх)(х - 0, х) - G{x, x)AQ(x) = -1.
Пусть ф\(х) и ф2(х) образуют фундаментальную систему решений
для однородного уравнения, так что 1{ф^ = Д^. Пусть W(x) — вронс-
вронскиан этой системы.
Непосредственной проверкой устанавливаются

7.3. Краевые задачи и функция Грина	175
Утверждение 7.1. Если краевая задача G.38) невырождена, то
функция Грина существует и может быть определена равенством
G(x,s) =	— \	G.39)
pw \ф()ф() o^<:<:i
Утверждение 7.2. У невырожденной краевой задачи функция
Грина единственна.
Наличие функции Грина позволяет установить интегральную об-
обратимость дифференциального оператора, а именно установить следу-
следующую теорему.
Теорема 7.12. Если краевая задача G.38) невырождена, то фор-
формула
и{х) = [ G{x, s)f(s) dfi(s)	G.40)
о
дает ее решение.
Доказательство. Равенство G.40) можно записать в виде
X	1
где х е [0,1]^.
Так как 1{ф^ = А^- и \±(х) — непрерывна в концах [0,1] , то из G.41)
следует 1^и = 0 (г = 1, 2).
Абсолютная непрерывность функции и(х) очевидна. Покажем, что
производная и'(х) функции и(х) определяется равенством
х	1
G.42)
(гдеа;е[0,1]м).
Докажем равенство G.42) для правых производных (для левых
рассуждения аналогичны). Обозначая, как и ранее, А?и = и(х + е) —
— и(х + 0), при е > 0 получаем
х+е	1
bi(s)f(s) dfi(s)	-—	ф2(s)f(s)d|J,(s) —
О	х+е
х+е
g	f(s)dfi(s).
х+0

176	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
Пределы первого и второго слагаемых при е —>• +0 равны
ж+0	1
~ pW	I 0lE)/E)d/iE), ~ pW	I </>2(s)f
О	ж+0
Докаж:ем, что
ж+0
Действительно, в силу непрерывности подынтегральной функции
Х-\-?
ж + 0
G.44)
где
о
Поскольку при доказательстве теоремы 7.2 было установлено, что
отношение
ограничено, формула G.43) является следствием G.44) и равенства
lim V*+q(F) = 0. Кроме того, из G.42) следует, что и'(х) (х е [0,1] )
имеет ограниченное изменение.
Докажем, что
ж+0
о
1
ж+0
х-0
О
ж+°	G.46)
если ж G S(/jl).

7.3. Краевые задачи и функция Грина	177
Заметим, что /i-абсолютная непрерывность (ри')(х) устанавли-
устанавливается стандартным способом, следовательно, /i-производная функ-
функции (puf)(x) существует почти всюду (по /i-мере). Пусть х — одна из
таких точек. Тогда для е > О
А?{ри') _ А?{рф'2)
A?/j,
о
Х-\-Е
ж+0
+
Х+?	Ж+0
G.47)
Пределы первого и третьего слагаемых в правой части G.47) соот-
соответственно равны
ж+0
(Р01)д(Ж + 0) f / / \л/ \ J / \
-"	^	" J (f>2{s)f{s)dfl{s).
ж+0
Остается показать, что
Х-\-?
ж+0
G.48)
Из равенства
¦'2)(х + О)ф1(в) - (рф'^х + 0)ф2(8) = [(рф'2)(х + 0) - (рф'2){8)\ х
X ф1(8) - [(рф[)(х + 0) - (рф[)(8)] ф2(8) + PW
вытекает
ж+е
+
J_ Г (р4>2)(х + o)Ms) - (p^i)(» +
A?/i
ж+0
<-[(рф',)(х+О)-(Рф'1)(8)}ф2(з)
ж+0

178
Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
Первое слагаемое при е —>• 0 стремится к f(x + 0), а для второго имеем
оценку
Х-\-Е _
f~\)\x^-\})-\pq>i)\8)\q>\.\8) - \ypqI)yj:^yj)-yp4I)
dF(s)
ж+0
<
откуда, с учетом Ух+о{рФ{) ~^ 0 (г ^ 1, 2), вытекает G.48), что и до-
доказывает G.45). Остается доказать равенство G.46). Имеем
2)(Х — 0)
ж+0
откуда находим
А(Ри')(Х) = ~
(ж) х
±
ж+0
остается заметить, что /±(рф'2)(х) = 02
венство G.46) доказано.
Для точек х 0 S(/jl), в которых {jpu')' существует, имеем
и тем самым ра-
ра1
q(x)<fJ(x) { , / \ p/ \ i ( \ q(x)(/)i(x) Г ; / \л/
- ^y I Фг{з)/{з) d/j,(s) - ^/ I ф2(s)f(

Ц. Осцилляционные свойства спектра	179
и, замечая, что —{рф[Уи + qфi = 0 (г = 1, 2), получаем
~{Ри'У/л(х) + u{x)q{x) = f(x).
Для точек х G #(аО
„(ж) + u(x)q{x) = f(x)Afi(x) +
ж-0
pW
о
1	ж-0
^(ж)ДО(ж)
ж+0	О
1
ж+0
откуда следует равенство
—А(ри/У1Л(х) + u{x)AQ{x) = AF{x).
Теорема доказана.
7.4. Осцилляционные свойства спектра
Пусть G(x, s) — функция Грина краевой задачи
Lu = /, гх(О) = гхA) = 0.
Тогда задача
Lu = XR'^u, u{0) = иA) = 0	G.49)
эквивалентна уравнению
1
и{х) = Л бг(ж, 5)Я^E)г^(
о
Оператор
1
Г f
J M
о
в силу непрерывности функции Грина является вполне непрерывным
в пространстве С[0,1]. Следовательно, спектр оператора А состоит из
собственных значений, причем единственно возможная точка сгуще-

180	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
ния собственных значений интегрального оператора А есть 0, отку-
откуда вытекает, что оо — единственная предельная точка собственных
значений задачи G.49). Алгебраическими рассуждениями устанавли-
устанавливается вещественность и простота (алгебраическая и геометрическая)
собственных значений.
Ниже (при анализе распределения нулей собственных функций)
нам потребуется аналог теоремы о неявной функции для функций
ограниченной вариации.
Обозначим через ?/д(жо, Aq) множество тех ж и Л, для которых
выполняются неравенства |ж — xq\ <Аи |А — Aq| <A.
Теорема 7.13. Пусть и(хо,Хо) = 0, причем и(х,Х) непрерывна
в некоторой окрестности ?/д(жо,Ао) точки (жо,Ао) и имеет непре-
непрерывную частную производную и'х с конечным изменением при каждом
фиксированном А Е [Ао — А, Ао + А], а производная и'х (которая, во-
вообще говоря, может иметь разрывы) имеет конечное изменение на
отрезке [xq — А, жо + А] при каждом фиксированном А Е [Ао — А, Ао +
+ А].
Если производная и'х(т, А) отлична от нуля и сохраняет знак при
всех г Е [хо — А, хо + А] и А Е [Ао — А, Ао + А], то существует
прямоугольник
{х0 - Ai < х < х0 + Дь Ао - А2 < А < Ао + А2},
внутри которого уравнение и(х, А) = 0 определяет х как однозначную
функцию от А для Aq — А2 < А < Ао + А2, принимающую значе-
значение xq при А = Ао и обладающую производной, определенной на Iд =
= [жо — Ai, жо + Ai]M> которая имеет конечное изменение на I/л.
Доказательство существования и непрерывности неявной функции
проводится теми же рассуждениями, что и в классическом случае.
Покажем справедливость второй части теоремы.
Так как и(х(Х), А) = 0, то предел
и(х(Х + АА), Л + АЛ) - и(х, А)
ал^о	АА
существует и равен нулю. По условию
,. и(х + Ах, А + АЛ) — и(х + Ах, Л) ,, ЛЧ
lim —^	т-f	^	'—!- = их(х,Х),
л^о	АЛ	AV ' ;'
где через Ах обозначено х(Х + А А) — ж (А); следовательно,
,. и(х + Аж, Л) — и(х, Л)
ал^о АЛ
также существует. Поскольку х = ж (А) непрерывна, то Аж стремится
к нулю, когда АА —>• 0.

Ц. Осцилляционные свойства спектра	181
^	,. и(х + Ах, Л) — и(х, Л)	,
Если предел hm —	—	 существует (по условию он
Дж-)>о	АД
отличен от нуля), то существует и предел lim ——. Тогда и'х(х, А) +
АЛ—уО i\\
+ и'х(х, А)ж'(А) = 0. Откуда
//лч _ UX(X,\)
х Ул — —и—rv-
их(х,Х)
Если предел не существует, то существуют по крайней мере две
различные последовательности А^А и А^А для которых А'кх < 0
и А'^х > 0 соответственно. Но по условию левая и правая производные
функции и(х, А) по х существуют. Тогда
и'х(х - 0, А) + и'х(х - 0, \)х'(\) = 0,
и'х(х + 0, А) + и'х(х + 0, \)х'(\) = 0.
Таким образом, мы получаем, что
4&
их(х,\)
где ж G [хо — А, жо + А] . Так как и'х непрерывна и имеет ограничен-
ограниченную вариацию, и'х отлична от нуля, сохраняет знак и имеет конечное
изменение, то х'х является функцией с конечным изменением, на чем
доказательство теоремы завершается.
Рассмотрим теперь вопрос о распределении нулей собственных
функций основной задачи
Lu = -{pu1I + qu = Хри, и{0) = и{1) = 0	G.50)
(здесь q = Q'^ и р = R'^) в зависимости от спектрального параметра А.
Продолжим на [1; оо) коэффициенты р, g, p уравнения
Lu - Хри = 0	G.51)
по непрерывности константами. При А < Aq (Aq — первое собственное
значение) новое уравнение, не осциллируя на [0,1], будет осцилли-
осциллировать на [0; сю), где каждое нетривиальное решение будет иметь
бесконечное число нулей. Обозначим через и(х, А) решение G.51) при
условии и@) = 0. Будем считать и(х, А) как-либо нормированной.
Обозначим нулевые точки и(х, А) на [1; оо) в порядке их возрастания
через zq(A), zi(A),..., z/^A),... Все они — простые нули г^(ж,А),
непрерывно зависящие от А. В силу теоремы Штурма каждая из
функций Zk(X) строго убывает по А, когда ее значение принадлежит
лучу @; оо).
При А, совпадающем с ведущим собственным значением Ао, оче-
очевидно, zo(Ao) = 1. Если А непрерывно увеличивать, то все нулевые
точки Zi(X) сместятся влево. Когда очередная из них ^/.(А) совпадет
с 1, соответствующее решение и(х. А), обнулившись в точке х = 1,

182	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
окажется собственной функцией G.50), а значение Л, для которого
Zk(X) = 1, — собственным значением. Поскольку попаданию ?/е(А)
в точку 1 должно было предшествовать прохождение через эту точку
предыдущих нулей zo(A), 2i(A), ... , Zfc-i(A), то равенство Zk(X) = 1
определяет А&, т.е. к-е собственное значение.
Характер предстоящих трудностей легко предвидеть с помощью
той же функции и(х. А). Связь нулей этой функции с параметром А
и их эволюцией при изменении А определяется уравнением и(х, А) =
= 0 в виде неявной функции х(Х). Эта функция заведомо многознач-
многозначна (при каждом А функция и(х, А) может иметь по х много нулей,
и количество их возрастает с возрастанием А). Однако оказывается,
что поведение такой многозначной функции можно исчерпывающим
образом описать, выделяя непрерывные ветви.
Теорема 7.14. Пусть L не осциллирует на [0,1].
Тогда спектр Л задачи G.50) состоит из неограниченной после-
последовательности вещественных строго положительных простых соб-
собственных значений Aq < Ai < ... При этом соответствующая А&
собственная функция фк{х) имеет в @,1) точно к нулей, в каждом
из которых она меняет знак] нули ф^ и фи+i перемежаются.
Доказательство вещественности, строгой положительности
и простоты всех точек спектра Л осуществлено выше. Наименее ясный
вопрос о числе нулей собственных функций будет изучен отслежива-
отслеживанием движения нулей при изменении А с помощью метода «накачки
нулей» (см. п. 5.2.2).
Рассмотрим зависящее от параметра А семейство w\ решений урав-
уравнения G.51), которое мы определим следующим образом:
0
wx(x) = -
G.52)
где {фг(х, А)}?=1 — фундаментальная система решений уравне-
уравнения G.51). Ниже наряду с обозначением w\(x) мы будем использовать
альтернативное: w(x. А). Непосредственно проверяется, что
wx@)=0, wx{l) = det\\li[tl>j{;\)]\\lj=1.	G.53)
Как функции г/jj, так и их первые две производные (по первому
аргументу) не только непрерывны, но и дифференцируемы по А любое
число раз, a w\ в силу G.52) наследует эти свойства.
Теорема 7.15. Пусть выполнены условия теоремы 7.14.
Тогда:
1)	при A G Л функция w\ есть собственная для задачи G.50);
2)	существует счетный набор непрерывных и строго убывающих
функций {CkW}f=1, U: (A*_i; +оо) -> [0,1], 0fe(A*-i + 0) = 1, об-

Ц. Осцилляционные свойства спектра	183
ладающих тем свойством, что при А Е R множество нулей Z(X)
функции w\ совпадает с {(j(A), ••• ?
Теорема 7.15 влечет утверждение теоремы 7.14 о количестве нулей
собственных функций задачи G.50).
Доказательство теоремы 7.15 начнем со свойства A).
Пусть А* Е Л. Поскольку det ||/г[^'(ф? ^*)]|| = 0> т0 из G.53) сразу
следует, что w\^(l) = 0. Поэтому достаточно показать, что w\^ ф 0.
Представление G.52) при А = А* можно переписать в виде
№) - ¦	G.54)
где ipj{x) := ^-(ж, Л*). Если wx, = 0, то ф*{х) • h^} = hbP*] ' №(x)-
Последнее тождество противоречит линейной независимости Ф1(х)
и ^2(^M стало быть, w\^ ф 0. Пункт A) теоремы 7.15 доказан.
Прежде, чем завершить доказательство теоремы 7.15, докажем ряд
вспомогательных утверждений.
Лемма 7.5. Каково бы ни было число Л*, найдется е > 0 и най-
найдется А > 0 такие, что для любого z E Z(\*) = {xG @,1): w\^ (x) =
= 0} функция (: ?/д(А*) —>• U?(z), удовлетворяющая условиям:
существует и единственна. При этом ( убывает и непрерывна
на С/д(А*).
Если, кроме того, А* Е Л, то и для z = 1 найдутся такие е > 0
и А > 0, -что функция ?1: (A*; A* + A)^L^?A), удовлетворяющая
условиям:
1) Ci(A.+O) = l;
существует и единственна. При этом d убывает и непрерывна
на (А*; А* + А).
Доказательство. Пусть z E Z(A*). Если
Л(ж) = ^гу(ж, А*),
то La^ /г = рг^л* ? причем /г@) = 0. Значит, г^д^ Ьд* /г ^ 0, и на @, z) при-
применима теорема 7.10, согласно которой неравенство h(z)wf(z — 0, А*) ^
^ 0 влечет выполнение на @, z) тож;дества L\^h = 0, которое в сочета-
сочетании с L\^h = pw\^ означает тривиальность w\^ на @, z), противореча-
противоречащую конечности множества нулей w\^. Стало быть, h(z)w'(z, A*) > 0,
что после применения теоремы о неявной функции и влечет (с учетом
конечности Z(A*)) первую часть утверждения леммы.

184	Гл. 7. К теории Штурма-Лиувилля
Вторая часть леммы, касающаяся случая А* Е Л, устанавливается
такими же рассуждениями с той лишь разницей, что теорема о неявной
функции «односторонняя». Лемма доказана.
Лемма 7.6. Пусть (*/]_; и2) П Л = 0. Тогда \Z{X)\ = const
на {у\\ v2).
Доказательство. Из равномерной непрерывности w\ по А вы-
вытекает замкнутость множества
Gz = {(А; х) Е R х [0,1]: w\(x) = О}.
В самом деле, если (Хк; хк) Е Gz и (А&; хк) —>> (Ао; ж0), то
ж0 Е [0, 1] и
^Л0(жо)| = |гилл(жл) - w\0(x0)\ ^
^ |гуАл(жл) - w\0(xk)\ + I^Ao(^fc) - w\0(x0)\.
И остается воспользоваться равномерной сходимостью w\k к г^д0
и непрерывностью w\0.
Пусть а Е (Vi; ^2)- В силу леммы 7.5 |Z(A)| ^ |Z(a)| в некоторой
окрестности <т; поэтому если |^(А)| ф const в любой окрестности а, то
существует последовательность о~к —>• сг такая, что |^(а&)| > |^(сг)|.
Стало быть, существует, как минимум, |^(а)| + 1 почленно различных
последовательностей
(zlk ф z3k при i ф j) таких, что wak(zlk) = 0 для всех ink. При этом
никакие две из них не могут (в силу леммы 7.5) сходиться к одной
точке из Z(a) U {1} ({^j^Li можно считать сходящимися ввиду
компактности [0,1]). Значит, существует г о такое, что zlk сходится
к 0. Но этот факт с учетом конечности Z(ak) противоречит тому,
что при \о~к — а\ < 1 функция wak не может иметь нулей в интервале
неосцилляции уравнения La+iu = 0, примыкающем к х = 0.
Тем самым установлено, что |^(А)| = |^(сг)| в некоторой окрест-
окрестности точки а. Ввиду произвольности а отсюда следует, что суще-
существует покрытие интервала (//; и) интервалами постоянства |Z(A)|.
По лемме Гейне-Бореля для всякого отрезка, содержащегося в (//; г/),
существует конечное подпокрытие этого покрытия, что влечет посто-
постоянство |^(А)| на любом отрезке из (//; и).
Замечание. Совершенно аналогично доказывается, что если
в условиях предыдущей леммы и2 Е Л, то |Z(A)| = \Z{y2j\ для всех
А Е (Vi; v2\\ разница лишь в том, что в случае а = и2 нужно рассмат-
рассматривать левостороннюю окрестность точки v.
Лемма 7.7. Если А* Е Л, то
|Z(A*-0)| =

Ц. Осцилляционные свойства спектра	185
т. е. при переходе Л через точку спектра задачи G.49) количество
нулей w\ увеличивается ровно на 1.
Доказательство. Равенство |Z(A* — 0)| = |^(А*)| следует из
последнего замечания. В силу второй части леммы 7.5
поэтому если |Z(A*)| ф |Z(A* + 0)| - 1, то
что в силу принципа Дирихле приводит вместе с неравенством |Z(A*) U
U {1}| < |Z(A* + 0)| к противоречию с леммой 7.5.
Лемма доказана.
Теперь утверждение теоремы 7.15 следует из приведенных лемм,
а теорема 7.14 оказывается прямым следствием теорем 7.15 и 7.5.

Глава 8
УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Уравнение стержня, выведенное еще в конце XVIII века Эйлером,
играет в дифференциальных уравнениях особую роль. По существу
оно является «стартовым» для обобщений: если какое-то свойство за-
задачи Штурма—Л иу вил ля удается установить и для стержня, это почти
наверняка означает наличие общего результата для уравнений п-го
порядка.
В настоящей работе рассматривается дифференциальное уравне-
уравнение на сети (геометрическом графе), являющееся моделью стержневой
конструкции. Первые работы по дифференциальным уравнениям на
сетях появились в начале 80-х годов XX века и связаны были глав-
главным образом с исследованием задачи Штурма—Лиувилля. Уравнения
четвертого порядка на сетях стали рассматриваться только в 90-х
годах [9, 131]. В них исследовались, как правило, различные систе-
системы стержней, описываемых уравнениями (piy")" = (qiy'i)' на ребрах
и различными условиями шарнирного и упруго-шарнирного закрепле-
закрепления. Несмотря на кажущуюся простоту формулировок, даже модели
физического происхождения оказываются очень трудными для анали-
анализа. Уже простейшие результаты — обоснование разрешимости крае-
краевых задач, асимптотика спектра и т. п. — устанавливаются с трудом
и нередко в предположении постоянства коэффициентов [9, 119]. По-
Получен ряд результатов в задачах граничного управления [132, 133], но
только там, где работают «грубые» методы функционального анализа,
безразличные к структуре и топологии сети. Практически не исследо-
исследована даже такая простая по формулировке задача, как деформация
решетки из жестко спаянных стержней. Ей отвечают условия
yl sin @,- - 0*) + у'., sin @fc - 04) + y'kv sin @, - 0,-) = 0
(i,j,ke I (a)),
J2 Pi(a)y'?(a)8\n0i= J2 Pi(a)Vi (a) cos ^^0, (8.2)
iEl(a)	iel(a)
Уг(а)-у^а) = 0 (i,j?l(a)),	(8.3)

8.1. Основные понятия и постановки задач	187
Y, аг(а)[(Р1у'Х ~ ЯУ-Ла) + р(а)у(а) = 0.	(8.4)
Здесь 'di — углы, образованные направляющими векторами стерж-
стержней с некоторым выбранным направлением, условия (8.1) описывают
компланарность всех троек касательных векторов, два следующих
условия (8.2) определяют баланс вращающих моментов (в проекции
на плоскость решетки), в (8.3) заданы условия непрерывности, а в
(8.4) — условие баланса сил. Учет в такой модели крутильных дефор-
деформаций приводит к векторной задаче с еще более сложными условиями,
аналогичной популярной сейчас модели сот [154]. Интересная модель
стержневой системы изучена в [80]. В данной работе мы обсуждаем мо-
модель упруго-шарнирно сочлененных стержней. В центре внимания —
аналоги монотонных свойств решений, функция Грина и ее свойства,
различные методы редукции задачи к более простым.
8.1. Основные понятия и постановки задач
Пусть Г — геометрический граф в М3, V(F) — множество его
вершин и Е(Т) — множество ребер. Множество вершин разобьем на
два подмножества: дГ — граничные вершины, принадлежащие только
одному ребру, и </(Г) — внутренние вершины, принадлежащие несколь-
нескольким ребрам. Пусть ребра и вершины пронумерованы каким-либо об-
образом; тогда ребра будем обозначать через 7г (^ = 1, &); множество
номеров ребер, содержащих вершину а, обозначим через /(а).
Мы рассматриваем вещественнозначные функции на графе. Суже-
Сужение функции у(х) на ребро 7г будем обозначать yi(x).
Производная функции на ребре определяется как производная
на ориентированном многообразии и обозначается у[{х). Аналогично
определяются производные высших порядков. Каждой вершине а Е
Е V(F) соответствует набор производных у\э (а) вдоль ребер, при-
примыкающих к а. Естественно, производные нечетного порядка зависят
от ориентации ребра, поэтому при записи условий с производными
в вершинах мы будем использовать «универсальные» производные по
направлению «от вершины», которые будем обозначать yfv (а) (од-
(одномерный аналог производных по внутренней нормали). Однако для
четной производной ориентация не важна, и поэтому для краткости
вместо y'lv мы пишем просто у".
Пусть на Г задана топология, индуцированная из М3. Через С (Г)
обозначим пространство непрерывных на Г функций в смысле ука-
указанной топологии. Формальное произведение пространств СGг) (* =
= 1, к) обозначим С [Г]. Удобно считать, что любая функция из С [Г]
задана на графе, непрерывна внутри ребер и в граничных вершинах,
а в каждой внутренней вершине ей приписан набор значений — преде-

188	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
лов в этой вершине вдоль примыкающих ребер. Через СП[Г] обозначим
пространство функций из С [Г], имеющих производные до порядка п,
принадлежащие С [Г]. Через СП(Г) обозначим пространство функций
из С (Г), имеющих производные до порядка п из С [Г].
Под дифференциальным уравнением на графе Г мы будем пони-
понимать, следуя [57] (см. также гл. 3), совокупность дифференциальных
уравнений на ребрах и совокупность условий согласования в вершинах
графа.
Уравнения на ребрах имеют вид
Ых)у"У ~ Ы*ЫУ = Ш (хеъ)-	(8-5)
Формальную совокупность уравнений (8.5) мы будем записывать
единой формулой
(p(x)y")"-(q(x)y')' = f(x) (*е[г]),	(8.6)
считая у(.)е С4 [Г], р(-)е С2 [Г], q( •) G С1 [Г], f(-)? С[Г]. Дополне-
Дополнение (8.6) до «полноценного» уравнения на графе будет осуществляться
условиями согласования следующих типов, характерных для соедине-
соединений стержней (мотивацию см. в [9, 39, 78]).
Непрерывность в вершине а (условие (с)):
Уъ(а) -Уз(°) = ° Vz,j G /(а).
Упругое защемление в вершине а (условие (/З'д)):
/3i(a)y'/(a) - Ma)yl(a) = 0 (i G I(a)).
Упругая опора в вершине а (условие (ар)):
Здесь и далее через D3y обозначена третья квазипроизводная
(р(х)у")' — q(x)y', а под D^yi^a) понимается ее значение в вершине а
вдоль ребра 7г п0 направлению «от вершины».
Отдельно выделим частные случаи, получающиеся при обращении
некоторых коэффициентов в нуль.
Шарнирное соединение (условие (/3)):
Жесткое защемление (условие
уЦа)=0 (iel(a)).
Условие гладкости (баланс сил; условие (а)):
ai{a)Dlyi{a) = F{a).
iel(a)

8.1. Основные понятия и постановки задач	189
Частный случай условия (скр), получающийся при а{(а) = 0, мы
будем выделять особо — это условия Дирихле (условие (/?)):
у (а) = <р(а).
Мы будем предполагать, что условия (/3$) (или (/3), или ($)) заданы
во всех вершинах графа, условия (ар) или (а) — во внутренних вер-
вершинах, а условия Дирихле (р) — в граничных вершинах.
Таким образом, под дифференциальным уравнением на графе Г
мы понимаем совокупность
(р(х)у'У - (q(x)y'y = /(я), у е С4(Г),	(8.7)
Pi{a)y'l{a) - •di{a)y'iM = О, i e /(a), a e V(T),	(8.8)
*i(a)Dlyi(a) + p(a)y(a) = F(a), a e J{T)	(8.9)
iei(a)
(условие непрерывности «спрятано» в требование у Е С4(Г)).
Краевая задача на графе — это система (8.7)-(8.9) вместе с усло-
условиями Дирихле
у(а) = (р{а), аедТ	(8.10)
с заданной «граничной функцией» (р: дТ —>• М.
Совокупность (8.7)—(8.10) мы иногда будем обозначать
Ly = f, У\дг = ^р,
понимая под / совокупность правых частей уравнений (8.7) и усло-
условий (8.9).
При исследовании задачи (8.7)-(8.10) мы будем предполагать вы-
выполнение следующих условий (далее называемых условиями плюс-
регулярности) :
•	р(-)е С2 [Г], q( •) G С1 [Г], /(•) <Е С[Г]; р(х) > 0, q(x) > 0 на [Г];
Pi(a) ^ 0, 1?Да) ^ 0 для всех а Е У(Г) и г Е /(а); аДа) ^ 0, р(а) ^ 0
для всех а Е «/(Г) и г Е /(а);
•	для всех а Е V(F) и г Е /(а) выполнено ^(а) + $i(a) > 0;
•	р(х) > 0 на [Г] и для всех а Е «/(Г), г Е /(а) выполнено аДа) > 0;
•	для любого ребра 7г = [а^ Ч полож:ительна по крайней мере одна
из величин тах|<7(ж)|, ^(а
жЕ7
Первая серия условий определяется физическим смыслом зада-
задачи, вторая есть просто предположение невырожденности самих усло-
условий (/3$), третья означает регулярность дифференциального выраже-
выражения как на ребрах, так и в вершинах. И лишь четвертое условие требует
дополнительного объяснения. Дело в том, что при нарушении этого
условия задача оказывается вырожденной. Это — своего рода «пре-

190	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
дельная» ситуация, когда спектр задачи из строго положительного
становится неотрицательным: первое собственное значение оказывает-
оказывается равным нулю.
8.2. Разрешимость краевой задачи и функция
Грина
Здесь мы следуем общей схеме, заложенной в [34, 76] и подробно
представленной в гл. 6. Она состоит, во-первых, в обосновании общих
результатов (эквивалентности разрешимости неоднородной задачи на
графе и ее невырожденности, т. е. отсутствию у однородной задачи
нетривиальных решений) путем интерпретации уравнения на графе
как векторного дифференциального уравнения. После этого краевая
задача и функция Грина исследуются «синтетическими» методами —
мы возвращаемся к пониманию уравнения на графе как единого объ-
объекта, а функции Грина как обобщенного решения этого уравнения
и анализируем ее свойства «в целом» с учетом структуры графа.
Итак рассмотрим задачу (8.7)-(8.10).
Лемма 8.1. Краевая задача (8.7)-(8.10) па графе Г эквивалентна
некоторой двухточечной краевой задаче для векторного дифференци-
дифференциального уравнения четвертого порядка.
Доказательство сводится к параметризации всех ребер 7г
отрезком [0,1]. Сужения уДт) = yi(x(r)) удовлетворяют уравнениям
и образуют вектор-функцию г/(т) : [0,1] —» Rfe, где к — число ребер
графа. Функция "у(т) оказывается решением векторного дифференци-
дифференциального уравнения
(Р(т)у"У- (Q(r)V'Y =7(r) (P = dia«fo(T)), Q =
а условия непрерывности (с), условия согласования (8.8), (8.9) и Ди-
Дирихле (8.10) преобразуются в краевые для компонент у(т) .
Замечание. Краевые условия в векторной задаче являются, во-
вообще говоря, нераспадающимися. Возможность свести задачу на графе
к задаче с распадающимися условиями эквивалентна свойству двудолъ-
ности графа, когда все его вершины можно разбить на две группы так,
что любые две вершины, соединенные ребром, оказываются в разных
группах.
Лемма 8.2. Неоднородная краевая задача (8.7)-(8.10) имеет
единственное решение для любых правых частей (функций fi на
ребрах, значений F(a) во внутренних вершинах) и любых граничных

8.2. Разрешимость краевой задачи и функция Грина	191
значений (р(а) тогда и только тогда, когда однородная задача имеет
только тривиальное решение.
Доказательство сводится к использованию леммы 8.1 и соот-
соответствующего результата теории краевых задач для дифференциаль-
дифференциальных уравнений на отрезке.
Определение 8.1. Задачу (8.7)-(8.10) будем называть невы-
невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только
тривиальное решение.
Замечание. Лемма 8.2, как нетрудно видеть, не обосновывает
однозначную разрешимость задачи, а лишь сводит ее к невырожден-
невырожденности. Само обоснование невырожденности (кстати, имеющей место
не всегда) является довольно нетривиальным и будет производиться
в следующем параграфе на основе принципа максимума.
Лемма 8.3. Решение невырожденной задачи (8.7)-(8.10) может
быть представлено в виде
y(x)=lG(x,s)f(s)ds+ Yl F(b)wb(x)+Y<v(b)vb(x), (8.11)
г	6eJ(r)	ьедг
где:
1°) Wb(-) G С4(Г) — частные решения задачи (8.7)-(8.10), отве-
отвечающие f(x) = 0, F(a) = 5аь (Sab — символ Кронекера), ip(a) = 0;
2°) Уь(-) G С4(Г) — частные решения задачи (8.7)-(8.10), отве-
отвечающие f(x) = 0, F(a) = 0, ip(a) = 5ab',
3°) функция G(x, s) вместе со своими производными по х до
четвертого порядка непрерывна по совокупности переменных вплоть
до границы на каждом прямоугольнике 7г х 7j (i ф j) и на каж-
каждом из симплексов, на которые диагональю х = s разбивается квад-
квадрат 7г X 7г5
4°) при каждом фиксированном s, являющимся внутренней точ-
точкой некоторого ребра 7*, функция G(x, s) no x удовлетворяет одно-
однородному уравнению
ЫхЫ)"-Ых)уУ = 0	(8-12)
на 7г Ф 7* и на 7г = 7* всюду, кроме точки s;
5°) функция G(x, s) no x удовлетворяет однородным услови-
условиям (8.8)-(8.10);
6°) функция G(x, s) на диагонали х = s удовлетворяет условиям
.	dG(x,s) d2G(x,s)
непрерывности вместе с производными	^	-, 	Ц—- и условию
ох	дх
скачка третьей квазипроизводной, взятой по х,
DlG(s,s) + D3_l/G(s,s) = l	(8.13)

192	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
(г/, —V — пара противоположно ориентированных направляющих век-
векторов ребра 7*, отнесенных к точке s);
7°) функция G(x,s) условиями 4°)-6°) определяется однозначно.
Доказательство так же, как и в случае леммы 8.2, сводится
к ссылке на лемму 8.1 и известные свойства функции Грина двухто-
двухточечной задачи. Для получения интегрального представления (8.11) из
векторного
1
у (г) = \g(t, t)J(t) dt + Y, FjWj{t),	(8.14)
о	i
где G(r,t) = ||Gij(r, t)i,j|| — матричная функция Грина, достаточ-
достаточно увидеть, что после возврата к исходной параметризации функция
Gij(r,t) есть сужение на прямоугольник 7г х 7j некоторой функции
G(x, s), определенной на [Г] х [Г]. Единственным «специфическим»
местом в рассуждениях является переход от условий скачка на диа-
диагонали у D3Ga(r,t) к условию (8.13). Здесь можно просто заме-
заметить, что уже в случае отрезка, если D3G(s + 0, s) = D^G(s, s), то
D3G(s - 0, s) = -D3_uG(s, s), и поэтому
D3G(s + 0, s) - D3G{s - 0, s) = DlG(s, s) + D\G(s, s).
Такая форма удобна для использования в уравнениях на графах,
так как она не зависит от направления параметризации.
Набор условий 4°)—6°), как нетрудно видеть, в точности соответ-
соответствовал бы определению решения задачи Ly = 0, у\эг = 0> если бы не
условия в точке s. Эти условия, с одной стороны, не являются диф-
дифференциальными уравнениями (что мы привыкли иметь на ребрах),
а с другой стороны, — не вполне соответствуют тем типам условий,
которые мы задаем в вершинах (как внутренних, так и граничных).
Тем не менее нам удобно считать, следуя [78], что функция у(х) =
= 6г(ж, s) является обобщенным решением краевой задачи
Ly = 6(x-s), у\вг=0-	(8.15)
Как видно из леммы 8.3, векторный подход гарантирует непрерыв-
непрерывность функции Грина G(x, s) только на прямоугольниках 7г х 7j- Cy~
ществование равномерных пределов на границе этих прямоугольников
и условия непрерывности в вершинах графа а Е «/(Г) дают совпадение
пределов
lim G(x, s) = lim G(x, s)
для всех г, j E /(а), т. е. функция непрерывна по переменной х на всем
графе. А вот с непрерывностью по переменной s дело обстоит сложнее.

8.2. Разрешимость краевой задачи и функция Грина	193
Чтобы точно описать поведение G(x, s) в вершине s = а Е 7j> мы
введем понятие предельной срезки:
Gj(x,a)= lim G(x,s).
Покажем, что каждая предельная срезка является решением не-
некоторой краевой задачи на графе. Воспользуемся тем, что на прямо-
прямоугольниках 7г х 7j (i Ф j) функция Грина представима в виде
4
2_3 Um(x)ll)m(s),
т = 1
где согп(х) — фундаментальная система решений однородного уравне-
уравнения (8.12) на 7г- Поэтому при s —> a (s E 7j) выполнено
4
G(x^s) —у у шш(х)фш(а),
т = 1
т.е. Gj(x,a) тож;е является решением однородного уравнения на 7г
(г ф j). Более того, для любого функционала вида
з
т=0
имеем
Следовательно, Gj(x,a) удовлетворяет: во-первых, условиям (8.8)
при всех b tjL 7j и ПРИ Ь Е 7j> н0 ПРИ Э Ф Ц во-вторых, однородным
условиям (8.10) для всех граничных вершин; в-третьих, однородным
условиям (8.9) при всех b 0 7j-
Более тонкий анализ требуется для предельного перехода на квад-
квадрате 7j х 7j (когда х и s принадлежат одному ребру). Поскольку этот
переход осуществляется только на одном ребре, мы может воспользо-
воспользоваться следующим результатом для отрезка [а, Ь] Е М.
Теорема 8.1 (о предельной срезке функции Грина на отрезке).
Пусть функция G(x, s): [a, b] х [а, Ь] —> Ш имеет вид
G{x,s) =
т=1
4
a ^ x ^ s ^ b,
6,
(8.16)
шт(.)еС74[о,6], фт(-)еС[а,Ь], Xm(-)eC[a,b]
7 Ю. В. Покорный и др.

194	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
Пусть, кроме того, при всех s E (а, Ь) выполнены условия
k
O,s) dkG(s-O,s)
— = ^—
dsG(s-O,s)
1°) lim G(x, s) =
m=l
3
2°) (9лл любого функционала l(y) = ^J г^ту^т-)F) имеет место
т=0
равенство
3
3°) ^л^ любого функционала l(y) = ^"^ vmy^m\a) имеет место
равенство
l(G(; a)) = lim /(Gr( -,«)) + г;3/х(о).	(8.18)
Доказательство. Представление (8.16) функции Грина
и непрерывность всех фигурирующих в нем функций гарантирует,
что как верхняя, так и нижняя формула дают функции равномерно
непрерывные по совокупности переменных. В силу (8.17) равномерные
пределы на диагонали как в верхнем, так и в нижнем треугольнике
совпадают. Поэтому «склеенная» функция также будет равномерно
непрерывной, откуда и следует утверждение 1°) теоремы.
Далее заметим, что для вычисления производных
ОХ
в окрестности точки х = 6, s = а мы пользуемся только нижней фор-
формулой в (8.16). Отсюда получаем утверждение 2°) теоремы.
Для доказательства утверждения 3°) отметим, что основная про-
проблема здесь — «смена формулы»: при s > а производные G^k\a,s)
вычисляются по верхней формуле, а при s = а — по нижней. Мы
осуществим смену формулы, пользуясь (8.17). С одной стороны,
G(k\x,a)\x=a = J2 ^\а)Хт(а) = lim ? Ш^{8)Хт{8) =
т = 1	т = 1
= Vim G{k)(s + 0, s). (8.19)

8.2. Разрешимость краевой задачи и функция Грина	195
С другой
limG{fc)(.
стороны,
a, s) = lim
4
771 = 1
'pm(s) = lim
4
I
771 =
= limG(fc)(s-0,s). (8.20)
Из (8.19), (8.20) следует, что
ГО, при 0 ^ к <: 2,
[Ma)> ПРИ к = 3.
Отсюда получаем формулу (8.18), и теорема доказана.
Теперь воспользуемся доказанной теоремой для предельного пере-
перехода в G(ж, s) при s —> а (когда ж, s принадлежат одному ребру 7j
и 7j 3 а). Нетрудно видеть, что G(x, s) имеет представление (8.16) че-
через фундаментальную систему решений однородного уравнения (8.12)
на 7j> и все остальные условия теоремы 8.1 выполняются в силу
свойств функции Грина. Поэтому Gj(x,a) является решением одно-
однородного уравнения на jj. Далее в силу утверждения 2°) теоремы 8.1
после предельного перехода при s —> а функция Gj(x, а) удовлетворя-
удовлетворяет тем же однородным условиям (8.10) и (8.9) в вершине b E 7j (^ Ф
Ф а), что и С(ж, s) при s ф а. Применяя утверждение 3°) теоремы 8.1,
получаем выполнение для Gj(x,a) однородных условий (8.8) в вер-
вершине а (они не содержат третьих производных). Условие в вершине а,
содержащее третью производную, у нас одно —
J2 а{(а)[(р{у'Х ~ ЯУ'гЖ*) + Р(о)у{а) = 0,
iEl(a)
и предельный переход согласно утверждению 3°) дает для предельной
срезки у(х) = Gj(x, а) выполнение условия
J2 щ(а)[(рМ - qyl](a) + р(а)у(а) = aj(a).	(8.21)
гЕ/(а)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 8.2 (о предельной срезке функции Грина на графе).
Функция Gj(x, а) является решением однородного уравнения на всех
ребрах графа и удовлетворяет всем однородным условиям (8.8)-(8.10),
за исключением условия (8.9) в вершине а, которое имеет вид (8.21).
Следствие 1. Для фиксированной вершины а все предельные
срезки Gj(x, a) (j E 1{а)) пропорциональны между собой и пропорци-
пропорциональны решению wa(x) из формулы (8.11).

196	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
Следствие 2 (критерий непрерывности функции Грина G(x, s)
по s). Для того чтобы G{{x, a) = Gj(x, а), необходимо и достаточно,
чтобы ai(a) = olj{o).
Следствие 3. Если все коэффициенты ai(a) = 1, то G(x,a) =
= wa(x), так что формула (8.11) может быть переписана в виде
у(х)= \G(x,8)dF,	(8.22)
г
где dF — мера на графе, порожденная плотностями распределе-
распределения f(x) на ребрах и сосредоточенными атомами F(a) в точках а Е
G J(T) г) .
Преимущество, которым обладает формула (8.22) по сравнению с
(8.11), состоит в том, что в (8.22) фактически не используется пара-
параметризация: как G(x, s) (функция на Г х Г), так и мера dF является
инвариантами. Формула (8.22) по существу характеризует G(x, s) как
функцию влияния — реакцию системы на единичное сосредоточенное
воздействие в точке s.
8.3. Принцип максимума
Принцип максимума для исследования дифференциальных урав-
уравнений второго порядка на графе впервые использовался в [81, 82]. Он
оказался удобным и надежным инструментом, работающим в таких
условиях, в которых векторный подход оказывался неприменимым
ввиду его трудоемкости. Так, обоснование невырожденности разных
классов краевых задач приводит в случае векторного подхода к до-
достаточно сложной матрице нераспадающихся, вообще говоря, крае-
краевых условий, по структуре аналогичной матрице инциденции графа.
Принцип же максимума, будучи справедлив лишь на одном ребре,
после «склеивания» (с учетом условий согласования) дает принцип
максимума для всего графа, после чего обоснование невырожденности
становится тривиальным. Здесь мы обсудим принцип максимума для
уравнений четвертого порядка.
Сначала рассмотрим принцип максимума на отрезке [a, b] CM для
уравнения
(РУ'Г - (qy'Y = 0.	(8.23)
х) В этом случае понимание функции G(x, s) как обобщенного решения
краевой задачи (8.15) можно распространить и на случай s = а (для внутрен-
внутренних вершин). В противном случае под решением (8.15) для s = а необходимо
считать wa(x), a Gj(x,a) считать решениями уравнения Ly = Sj(x — a),
введя в рассмотрение «краевые» ^-функции Sj(x — а) = lim ё(х — з).
s>asG7

8.3. Принцип максимума	197
Здесь
уеС4[а,Ъ], peC2[a,b], q е С\а,Ь], р(х) > О, q(x) ^ О
на [а, 6].
Конечно, даже на отрезке четырехмерное пространство решений
такого уравнения не может состоять лишь из монотонных (как это
следовало бы из принципа максимума) функций. Однако решения,
удовлетворяющие двум краевым условиям:
Р(а)у"(а) - $(а)у'(а) = О,
(8.24)
6)О
О, /3(а) + 0(а) > О, /3(Ь) + 0F) > 0),
обладают свойством монотонности, и образуют подпространство, раз-
размерность которого оказывается совпадающей с числом граничных
вершин, что и создает основу для его параметризации значениями
функций в граничных вершинах.
Теорема 8.3. 1°). Всякое решение у(х) уравнения (8.23) на от-
отрезке [а, 6], удовлетворяющее условиям (8.24), либо постоянно, либо
строго монотонно.
2°). Если q(x) ф 0 или q(x) = 0, но $(а) + $(Ь) ф 0, то у(х) возрас-
возрастает (постоянно или убывает) на [а, Ь] тогда и только тогда, когда
(ру"У - qyf < 0 (= 0 или > 0).
Доказательство. Пусть у(х) ф const. Предположим противное:
у(х) имеет экстремумы внутри (а, Ь). Так как производная у'(х) ф
ф 0, то в силу уравнения (8.23) она имеет конечное число нулей.
Следовательно, у(х) на (а, Ь) имеет конечное число точек экстремума:
Х\ < Х2 < ••• < Xk (к ^ 1).
Обозначим хо = а и Xk+i = b. Функция у(х) строго монотонна на
каждом отрезке [ж^^г+iL причем промежутки возрастания и убыва-
убывания чередуются, поэтому
(y(xi+i) - y(xi))(y(xi) - y(xi-!)) < 0 (г=ТД).	(8.25)
Умножим (8.23) на у(х) и проинтегрируем полученное равенство
по промежутку [a^^i+i]1
Жг + 1
0= j y(x)[(py")" ~ (ЯУ1)'] dx =
Xi
Xi+1
= J [P(y"f + Ч(У'J} dx + [((ру'У - qy')y - py''y

198	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
Поскольку у(х) — решение (8.23), то (py")r — qyr = const (= с), и по-
получаем равенство
Xi + l
с(у(х4) - y(xi+1)) = J [p(y"f + q(y'J] dx - py"y'?
(8.26)
Здесь интеграл неотрицателен, внеинтегральные члены равны ну-
нулю для внутренних экстремумов и неотрицательны для точек а и b
в силу условий (8.24). Поэтому выполнено неравенство
c(y(xi) -y{xi+1)) ^ О
для всех г.
При этом по крайней мере на одном из промежутков [a^,24+i]
правая часть (8.26) положительна. Действительно, в противном случае
в силу конечности числа нулей у производной у'(х) обязательно q(x) =
= 0, в силу положительности р(х) выполнено у"{х) = 0 и в силу
условий $(а) + ^{Ь) > 0 по крайней мере одно из значений у'(а) и у'(Ь)
равно нулю, а значит функция, у(х) постоянна, что противоречит
нашему предположению у(х) ф const.
Таким образом, среди неравенств c(y(xi) — y(a^+i)) ^ 0 имеется
хотя бы одно строгое. Но тогда с/0 и все неравенства строгие (по-
(поскольку y(xi) — y(xi+i) ф 0). И если к ^ 1, то при каждом 1 ^ г ^ к
выполнено неравенство
{y{xi+1 - у{х{))(у(х{) - yixi^)) > 0,
что противоречит (8.25).
Следовательно, к = 0, и единственный промежуток монотонности
функции у(х) — отрезок [а, Ь]. Утверждение 1 доказано.
При доказательстве утверждения 2°) заметим, что, как было пока-
показано, для непостоянного решения у(х) имеем
ь
b
> 0.
с(у(а) - у(Ь)) = (ру + qy'2) dx - ру"у'
j
Поэтому D3y = с > 0 эквивалентно у (а) > у(Ь) (у(х) убывает),
неравенство D3y < 0 эквивалентно у(а) < у(Ь) (у(х) возрастает), а ра-
равенство D3y = 0 возможно лишь для постоянного решения у(х).
Теорема доказана.
Замечание. Если q(x) = 0, $(а) = $(Ь) = 0, то у" = 0, и реше-
решением будет любая линейная функция, однако уточнить направление
монотонности (как это сделано в 2°) невозможно.
Теперь рассмотрим принцип максимума для однородного уравне-
уравнения на графе Г.

8.3. Принцип максимума	199
Теорема 8.4. Пусть Г — связный граф, уравнение зада-
задачи (8.7)-(8.9) плюс-регулярно и р(а) = 0 на «/(Г).
Тогда:
1°) у(х) = const является решением однородного уравнения;
2°) если дГ = 0, то других решений однородное уравнение не
имеет;
3°) если дГ ф 0, то любое непостоянное решение однородного урав-
уравнения достигает наибольшего и наименьшего значений лишь на дГ;
4°) если а Е дГ — точка глобального максимума (минимума) непо-
непостоянного решения у(х), то D^y(a) > 0 (< 0).
Доказательство. Утверждение 1°) очевидно. Для доказатель-
доказательства утверждений 2°) и 3°) заметим, что из теоремы 8.3 следует, что,
если решение у (х) достигает наибольшего значения во внутренней точ-
точке ребра, то оно постоянно на всем ребре, и это наибольшее значение
достигается и в вершинах, являющихся концами этого ребра. С другой
стороны, если у(х) достигает наибольшего значения во внутренней
вершине а графа, то в силу утверждения 2°) теоремы 8.3 получаем
Dlyi(a) ^ 0 для всех г Е /(а). Но в силу условия ^2 ai(a)Df,yi(a) =
iel(a)
= 0 и положительности коэффициентов аДа) это возможно лишь при
выполнении D^yi(a) = 0, что опять же в силу утверждения 2°) тео-
теоремы 8.3 влечет постоянство решения на всех ребрах, примыкающих
к а. Эти два соображения вместе со связностью графа обеспечивают
постоянство у(х) на всем графе, если только наибольшее значение
достигается не на дГ. В случае дТ = 0 получаем утверждение 2°),
а в случае дГ ф 0 — утверждение 3°). Утверждение 4°) следует из
утверждения 2°) теоремы 8.3 и доказанного утверждения 3°). Теорема
доказана.
Теорема 8.5. Пусть Г — связный граф, уравнение (8.7)-(8.9)
плюс-регулярно и функция р(а) положительна хотя бы в одной внут-
внутренней вершине.
Тогда-.
1°) если дГ = 0, то однородное уравнение не имеет нетривиаль-
нетривиальных решений;
2°) если дГ ф 0, то любое нетривиальное решение однородного
уравнения может достигать положительного глобального максиму-
максимума и отрицательного глобального минимума только на границе графа;
3°) если а Е дГ — точка, в которой нетривиальное решение у(х)
однородного уравнения достигает положительного глобального мак-
максимума (отрицательного глобального минимума), то D^y(a) > 0
(<0).
Доказательство. Пусть у(х) ф 0. Если решение у(х) достига-
достигает положительного глобального максимума М внутри ребра, то, как
и в предыдущей теореме, оно оказывается постоянным на ребре и при-

200	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
нимает то же самое значение в вершинах, являющихся его концами. Ес-
Если значение М достигается в вершине 6, в которой коэффициент р(Ь) =
= 0, то снова, как и в предыдущей теореме, имеем у(х) = М на всех
примыкающих ребрах и во всех смежных вершинах.
В силу связности графа решение у(х) принимает значение М
в некоторой вершине а, для которой р(а) > 0. Так как в этой вершине,
в силу утверждения 2°) теоремы 8.3, должно быть D^yi(a) ^ 0 (i G
G /(«)), а в силу проведенных рассуждений у (а) = М > 0, то получаем
ai(a)Dlyi(a) + р(а)у(а) > 0.
Это противоречие с однородным условием (8.9) показывает, что
предположение о существовании внутри графа положительного гло-
глобального максимума неверно. Для завершения доказательства утвер-
утверждения 2°) остается отметить, что отсутствие отрицательного глобаль-
глобального минимума у функции у(х) равносильно отсутствию положитель-
положительного глобального максимума у функции (—1)у(х).
При дГ = 0 все точки графа являются внутренними, поэтому спра-
справедливо утверждение 1°). Утверждение 3°) следует из утверждения 2°)
теоремы 8.3 и доказанного утверждения 2°). Теорема доказана.
С помощью теорем 8.4 и 8.5 получим условия невырожденности
некоторых краевых задач на графе.
Теорема 8.6. Пусть Г — связный граф. Если р(а) = 0 для а Е
Е «/(Г), то плюс-регулярная задача (8.7)-(8.10) невырождена тогда
и только тогда, когда дГ ф 0.
Доказательство. Рассмотрим однородную задачу. Если дГ =
= 0, то задача имеет очевидное решение у(х) = с ф 0. Если же дТ ф 0,
то в силу теоремы 8.4
тах\у{х)\ = тах|2/(ж)| =0,
жЕ1	?о1
т.е. у(х) = 0. Теорема доказана.
Аналогично получается следующее утверждение.
Теорема 8.7. Пусть Г — связный граф. Если р(а) > 0 хотя
бы в одной вершине а Е «/(Г), то плюс-регулярная задача (8.7)-(8.10)
невырождена.
Из теорем 8.6 и 8.7 следует замечательный факт — возможность па-
параметризации пространства решений однородного уравнения на графе
граничными значениями функций.
Теорема 8.8. Пусть Г — произвольный граф (не обязательно
связный), каждая компонента связности которого имеет непустую
границу.

8.3. Принцип максимума	201
Тогда соответствие между решениями однородной плюс-регуляр-
плюс-регулярной задачи (8.7)-(8.9) на Г и наборами их значений на границе явля-
является взаимно однозначным.
Доказательство. В силу доказанной в теоремах 8.6 и 8.7 невы-
невырожденности (для несвязного графа получаемой покомпонентно) одно-
однородная краевая задача (8.7)-(8.9) с граничными условиями у(а) = (р(а)
(a G дГ) имеет единственное решение. Это означает, что соответствие
у -+ {у(а)}аедг
является обратимым и сюръективным, а значит, взаимно однознач-
однозначным. Теорема доказана.
Перейдем теперь к ситуации, в которой задача оказывается вырож-
вырожденной. Как мы уже отмечали, это связано с нарушением последнего
условия плюс-регулярности. Мы рассмотрим задачу (8.7)—(8.10), ког-
да q(x) = 0, р(а) = 0, все ft (а) = 1, #*(а) = 0:
)v")" = 0 (р(-)еС2(Г), р{х)>0, */(•)? С4(П), (8.27)
ai(a)Dlyi(a) = 0, у?(а) = 0 (г G/(а), а е </(Г)), (8.28)
у"(а) = 0, у(а) = 0 (аедГ).	(8.29)
Теорема 8.9. Пусть Г — связный граф. Тогда размерность про-
пространства решений задачи (8.27)-(8.29) равна числу внутренних вер-
вершин графа.
Доказательство. Покажем, что каждому решению у(х) этой
задачи взаимно однозначно соответствует набор значений с\ = у(о>\)
в вершинах a,i G «/(Г). Достаточно показать, что любой набор значений
однозначно определяет решение (обратное очевидно). По заданному
набору y(a,i) = Ci при ai G «/(Г) и у(а,{) = 0 при a,i G дГ определим на Г
функцию у(х) с помощью линейной интерполяции на каждом ребре.
Очевидно, что у(х) непрерывна на Г и yff(x) = 0 на каждом реб-
ребре. Следовательно, (р(х)у")" = 0, выполнены условия (с), (а), (/3), (р)
и у(х) — решение задачи.
Если и{х) — произвольное решение задачи с теми же значениями
в вершинах, то ри" линейна на каждом ребре. В силу условий (8.28),
(8.29) на концах ребер и"{х) = 0, и поэтому и"{х) = 0. Тогда и{х)
линейна на каждом ребре и совпадает с у(х).
Итак, между пространством решений однородной задачи и про-
пространством векторов с компонентами С{ установлен изоморфизм. Зна-
Значит их размерности равны. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь уравнения (8.27) с условиями (8.28) и
0(а)у"(а)-0(а)у'и{а)=О, у(а)=0 (аедГ).	(8.30)

202	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
Для формулировки соответствующего результата введем следую-
следующие определения.
Граничные вершины графа назовем вершинами нулевого порядка.
Вершины из «/(Г), смежные (соединенные ребром) хотя бы с одной
вершиной из <9Г, назовем вершинами первого порядка; оставшиеся
вершины из «/(Г), смежные хотя бы с одной вершиной первого порядка,
назовем вершинами второго порядка и т. д.
Теорема 8.10. Пусть Г — связный граф. Если в условиях (8.30)
$(а) > 0 для каждой вершины а Е <9Г, то размерность пространства
решений задачи (8.27), (8.28), (8.30) равна числу вершин порядка боль-
больше 1.
Доказательство. Рассуждая аналогично доказательству теоре-
теоремы 8.9, покажем, что каждому набору значений у(а,{) = С{ в вершинах
порядка больше 1 взаимно однозначно соответствует решение у(х).
Дополнив этот набор нулями в вершинах порядка меньше 2, построим
функцию у(х) с помощью линейной интерполяции на каждом ребре.
Очевидно, что у(х) является решением задачи. Покажем, что реше-
решение и(х) задачи с тем же набором значений в вершинах порядка
больше 1 совпадает с у(х). На любом ребре, соединяющем вершины
порядка не меньше 1, в силу уравнения и условий (8.28) получаем,
что и" = 0 и и(х) линейно.
Пусть а — вершина порядка 1. Для всех ребер, соединяющих ее
с неграничными вершинами, D^ui(a) = 0 в силу линейности и{х).
Для всех ребер, соединяющих ее с граничными вершинами, мы можем
воспользоваться теоремой 8.3, и поэтому с учетом и(Ь) = 0 (b E дГ)
получаем, что О^щ(а) > 0 ( < 0, =0) тогда и только тогда, когда
и(а) > 0 ( < 0, =0). Но тогда для и (а) ф 0 сумма
имеет тот же знак, что и иуа), а это противоречит первому усло-
условию (8.28).
Значит, и (а) = 0, D^ui(a) = 0 для всех i E /(a), D3u(x) = 0,
и"(х) = 0 на ребрах, соединяющих а с границей, а тогда в силу (8.30)
и{х) = 0 на всех этих ребрах.
Таким образом, и(х) = 0 = у(х) на ребрах, соединяющих гранич-
граничные вершины с вершинами порядка 1; и (а) = у (а) во всех вершинах
порядка 1 и выше; функции гх(ж), у(х) являются линейными на ребрах,
соединяющих такие вершины. Значит, и(х) = у(х) на всем Г. Теорема
доказана.
Следствие. Если в условиях теоремы граф Г не имеет вершин
второго порядка, то краевая задача невырождена.

8.4- Метод редукции	203
8.4. Метод редукции
Этот метод позволяет свести изучение задачи на графе Г для
правой части, отличной от нуля только на подграфе Гх (например,
образованном одним ребром), к задаче на Гх со специальными краевы-
краевыми условиями. При этом решения обеих задач совпадают на Гх- Такое
сведение очень удобно, например, при анализе функции Грина, для
которой правая часть сосредоточена в одной точке.
Идея метода состоит в использовании теоремы 8.8 о параметри-
параметризации множества решений однородного уравнения значениями в вер-
вершинах подграфа. Это позволяет любой функционал (а нас интере-
интересуют функционалы краевых производных в условиях согласования)
на решениях уравнения на подграфе Г \ Гх выразить через линейную
комбинацию значений этих решений в точках примыкания к Гх- Тогда
можно полностью исключить Г \ Гх из рассмотрения, перейдя к много-
многоточечной задаче на Гх с «перевязанными» условиями. Использование
принципа максимума при этом позволяет определить знаки коэффи-
коэффициентов в полученных условиях и соотношения между ними.
Пусть на связном графе Г (с более чем одним ребром) задана плюс-
регулярная задача (8.7)-(8.10), причем F(a) = 0 при всех а Е «/(Г),
ip(а) = 0 для всех а Е <9Г, a f(x) = 0 вне некоторого ребра 7 = [«i, ^2]-
Множество Г\ [«х5^2] распадается, вообще говоря, на набор ком-
компонент связности Fj.
Обозначим уг. — сужение у на Tj, y1 — сужение у на ребро 7 =
= [fll,fl2]-
Хотя каждое Tj формально не содержит вершин а\ и а^ мы
пополним их теми вершинами, к которым они примыкали, но будем
считать их граничными для Г^. Если Tj примыкает к вершине ак по
нескольким ребрам, то пополнять будем каждое ребро.
Рассмотрим сужения на Tj дифференциального уравнения Ly = /:
на ребрах 7г ? ^j заданы уравнения (8.5), во всех вершинах подгра-
подграфа Тj (включая примыкающие к 7) заданы условия (8.8), во внутрен-
внутренних вершинах подграфа Тj — условия (8.9).
Тогда исходное уравнение эквивалентно набору из:
—	уравнений на Г^-;
—	уравнения на 7;
—	условий непрерывности ?/гДах) = 2/7(ai)> Уг^) = ViM'i
—	условий гладкости
a1(ak)Dly1(ak)-\- J^ ^ ai(ak)Dlyi(ak) + p(ak)y(ak) = 0
n«k)	(8.31)
(fe=T72);

204	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
а исходная краевая задача эквивалентна совокупности из краевых
задач на Fj, уравнения на 7? условий непрерывности и гладкости.
Лемма 8.4. Множество решений уравнения на Tj, удовлетво-
удовлетворяющих условию
(гьг2 G 1{ак)\ 7n,7;2?rj> & = М),
является:
1°) одномерным, если Tj примыкает только к одной из вер-
вершин а\, B2; ггргл этом если Tj примыкает к ак (к = 1, 2), то
»(аО=уМг*(а;),	(8.32)
где 2fe(#) — решение уравнения на Tj с нулями на дТ П Fj и единицей
во всех «экземплярах» точки а&;
2°) двумерным, если Fj примыкает к обеим вершинам а\ и a<i\
при этом
у(х) = y(a1)z1(x) + y(a2)z2(x),	(8.33)
где zr(x) — решение уравнения на Fj, удовлетворяющее нулевым усло-
условиям на дГ П Fj и zr(a,k) = Skr (к, г = 1,2).
Доказательство состоит в применении к Гj теоремы 8.8 о па-
параметризации, из которой при условиях у\дг = 0 и ПРИ совпадении
пределов у(х) при х —> а\ (х —> а2) по разным ребрам примыкания
получаются формулы (8.32), (8.33).
Обозначим
Yl <Xi(a>k)Dlyi(ak)	(8.34)
iel(ak)
— вклад подграфа Tj в условие (8.31) в точке а^ (к = 1, 2).
Тогда для решения у(х) на графе Tj, примыкающем к двум вер-
вершинам ai, U2-, получим
o~jk(y) = yMo-jkiz1) + y(a2)o-jk(z2),
а для решения у(х) на графе Tj, примыкающем лишь к одной вер-
вершине а/с получим
<rjk(y) = y(a1)ajk(zk).
Подставляя полученные выражения в условия гладкости (8.31), полу-
получим
l	^	^	o-jk(z2)y(a2)) +
р(ак)у(ак) = 0 (к = Т^) (8.35)

8.4- Метод редукции	205
(если Tj примыкает только к ai, то считаем формально z2 = 0; анало-
аналогично, если Tj примыкает только к а2, то zS = 0).
Если обозначить теперь
р(аг)+ ^2	]	^2	j
^	Г^а1	(8-36)
p(a2)	^ (])	M	22 ()
то условия (8.35) оказываются условиями вида
a1(a1)Dly(a1) + р1(а1)у(а1) - р2(а1)у(а2) = 0,
(8.37)
a1(a2)Dly(a2) - Pi(a2)y(a1) + p2(a2)y(a2) = 0.
Вместе с дифференциальными уравнениями на ребре 7 и условия-
условиями (8.8) в его концах условия (8.37)образуют полноценную, самостоя-
самостоятельную задачу на 7- Тем самым мы получили следующий результат.
Теорема 8.11. Плюс-регулярная задача (8.7)-(8.10) с F(a) = 0,
(р(а) = 0 и f(x) = 0 вне ребра j = [ai, a2] эквивалентна набору задач:
1°) задаче
(p(x)y")"-(q(x)y')' = f(x),	(8.38)
= 0, Р^а2)у"(а2) - $7(а2)у'(а2) = 0,
(8.39)
- р2(а1)у(а2) = 0,	(8.40)
- pi{a2)y{a1) + р2(а2)у(а2) = 0	(8.41)
на ребре j = [ai, а2] (ее решение обозначим у1(х))\
2°) набору задач (8.7)-(8.10) на подграфах Tj с условиями
(для ak e Tj).
Для исследования задачи (8.38)—(8.41) необходимо еще уточнить
знаки коэффициентов. Очевидно, что р(ж), q(x), C1(ак) и гд1(ак) бе-
берутся из исходной задачи и удовлетворяют предположениям плюс-
регулярности. Что же касается коэффициентов р^а/,), то их свойства
получаются с помощью следующего утверждения.
Лемма 8.5. 1°. Если Tj примыкает к обеим точкам а± и а2, то
(Jj^z1) > 0, o-j^z1) < 0, o-j2(z2) > 0, o-j^z2) < 0, (8.42)
o-j^z1) + an(z2) ^ 0, o-j2(zx) + aj2(z2) ^ 0,	(8.43)
причем равенство в (8.43) имеет место тогда и только тогда, ког-
когда Tj ПдТ = 0, р(а) = 0 на Tj.

206	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
2°. Если Fj примыкает только к а\, то aji(z1) ^ 0, причем
°~ji(zl) — 0 тогда и только тогда, когда Tj П дГ = 0, р(а) = 0 на Tj.
3°. Если Tj примыкает только к а^ то aj2(z2) ^ 0, причем
°~j2{z2) — 0 тогда и только тогда, когда Tj П дГ = 0, /?(а) еО на Fj.
Доказательство сводится к применению одного из вариантов
принципа максимума (теорем 8.4 или 8.5). Если Tj примыкает к двум
точкам, а\ и а2ч то z*(x) — решение уравнения, обращающееся в нуль
на всей границе дТj, кроме вершин, совпадающих с а\ (таких гранич-
граничных вершин у Tj может быть несколько, так как Tj может примы-
примыкать к а\ несколькими ребрами). В этих точках z1 имеет максимум,
и поэтому Df,zj(ai) > 0. В граничных вершинах, совпадающих с a<i
решение z1 имеет минимум, и поэтому D^z}(u2) < 0. Суммирование
полученных неравенств дает первые два неравенства (8.42).
Аналогично, рассмотрение функции z2(x) дает вторую пару нера-
неравенств (8.42).
Для доказательства (8.43) заметим, что функция z1 + z2 равна 1
в обеих вершинах ai, «2? а в остальных граничных вершинах (если они
есть) равна нулю.
Если имеются граничные вершины, отличные от ai и а2, то в точ-
точках а\ и п2 достигается глобальный максимум, и в силу последних
утверждений теорем 8.4 или 8.5 получим
Dl(z} + z*)(ai) > о (ie/Ы),
Dl(z} + *?)(a2) > о (te/Ы), 7*егу
Суммирование этих неравенств дает (8.43).
Если же других граничных вершин, кроме а\ иа2, нет, но р(а) ф 0
на Fj, мы можем вновь воспользоваться последним утверждением
теоремы 8.5, а если р(а) = 0, то, очевидно, z1(x) + z2(x) = 1, и поэтому
Утверждения 2°) и 3°) леммы доказываются аналогично.
Следствие 1. Pi(ak) ^ 0 (г, А; = 1,2).
Следствие 2. pi(ai) ^ /^2(^1), ^2(^2) ^ ^1(^2), причем одно из
неравенств строгое.
Следствие 3. р\(а?) и /^2(^1) могут обращаться в нуль толь-
только одновременно, и это имеет место тогда и только тогда, когда
каждый подграф Tj примыкает только к одной из вершин а\, а^
(это означает, что для любой точки ? Е (ai, B2) множество Г \ {?}
несвязно).
Следствие 4. pi(ak) = P2{a<k) тогда и только тогда, когда все
подграфы Tj, примыкающие к вершине а&, не содержат вершин из дТ

8.5. Факторизация дифференциального оператора	207
и для всех вершин а этих подграфов р(а) = 0 (к = 1,2). При этом
оказывается, что pi(ak) = Р2(«/с) = 0.
Введем на множестве Г \ (ai, о^) функции Z1 и Z2, сужения кото-
которых на каждый подграф Fj, примыкающий к вершинам ai, a2, совпа-
совпадают соответственно с функциями z1 и z2, описанными в лемме 8.4.
Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 8.12. Пусть выполнены условия теоремы 8.11
и С(ж, s) — функция Грина задачи (8.7)-(8.10).
Тогда для x,sG) функция G(x, s) совпадает с функцией Грина
G7(x,s) задачи (8.38)-(8.41), а для s G 7, х Е Г\ (ai,a2) выполнено
равенство
G{x, s) = Z1(x)Gy(au s) + Z2(^)Gr7(a2, s);
ггргл этом функции Zx{x\ Z2(x) неотрицательны и одновременно обе
не обращаются в нуль при х 0 дГ.
Доказательство. При s, являющейся внутренней точкой реб-
ребра 7> функция Грина С(ж, s) по ж является обобщенным решением
однородной задачи (8.7)-(8.10). Поэтому для нее повторяются рассуж-
рассуждения в доказательстве теоремы 8.11, редуцирующие задачу на графе
(теперь с обобщенной правой частью f(x) = 5(х — s)) к задаче на от-
отрезке. Это дает равенство G(x, s) = G7(#, s) для s, лежащих внутри 7-
Затем с помощью предельного перехода в полученном равенстве по s
получаем справедливость утверждения при совпадении s с концами
ребра 7- Теорема доказана.
8.5. Факторизация дифференциального оператора,
неосцилляция и знакорегулярность
В этом параграфе мы продолжим исследование качественных
свойств краевых задач, начатых с принципа максимума, и рассмотрим
часть знакорегулярных [41] свойств, основывающихся на понятии неос-
циллирующего [40] (disconjugate [125]) дифференциального оператора.
Здесь мы установим положительную обратимость задач для уравне-
уравнения четвертого порядка на отрезке и на графе и положительность их
функций Грина.
Рассмотрим сначала задачу (8.38)-(8.41), которую для отрезка
[a, b] CM запишем в виде
(p(x)y")"-(Q(x)y'Y = f(x),	(8-44)
/3(а)у"(а) - ${а)у'{а) = 0, Р{Ь)у"(Ь) + 0F)у'F) = 0, (8.45)

208	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
a(a)D3y(a) + р1{а)у{а) - р2(а)у(Ь) = 0,
a(b)D3y(b) + Pl(b)y(a) - р2[Ь)у{Ь) = 0.
Здесь выполнены следующие условия плюс-регулярности:
•	р( ¦) € С2[а, Ь], q{-)€ Сг[а, Ь], /(•) € С[о, 6], р(ж) > 0, q(x) > 0
на [а, 6];
•	коэффициенты /3(а), $(а), /3F), i?F), а(а), pi(a), рг(а), а(Ь),
piF), P2(b) неотрицательны;
•	/3(a) + i?(a) > 0, /3F) + i?F) > 0, a(a) + pi(a) + p2(a) > 0,
aF) + piF) + ргF) > О (условия не вырождаются);
•	Pi(a) ^ Р2(^M Рг(^) ^ Pi F)? причем одно из неравенств строгое,
а другое неравенство может обратиться в равенство только при нуле-
нулевых коэффициентах;
•	по крайней мере одна из величин max |^(ж)|, $(а), $F) положи-
ж?[а,Ь]
тельна.
Обозначив у' = u, D3y = {jpy")' — qy' = g*, получим естественное
разлож:ение (8.44) в суперпозицию трех задач (называемую обычно
факторизацией):
задачу
g' = f(x);	(8.47)
задачу
-qu = g,	(8.48)
Р{а)и'{а) - д(а)и(а) = 0, Р(Ъ)и'(Ъ) + д(Ь)и{Ь) = 0;	(8.49)
и задачу
у' = и,
р1(а)у{а) - p2(a)y(b) = -a(a)g(a),	(8.50)
Pl(b)y(a) - P2(b)y(b) = -a(b)g(b).
Здесь задачи (8.47) и (8.50), (8.50) связаны между собой краевы-
краевыми условиями, а задача (8.48), (8.49) — это самостоятельная задача
Штурма-Лиувилля.
Напомним определения и факты (см. [40, 41, 125, 148]), необходи-
необходимые для дальнейшего изложения.
Пусть задан дифференциальный оператор
(Lu)(x) = ро{х)и{п) +pi(^)^(n} + ... +рп(х)и,
где Pi(x) (г = 0, п) — непрерывные функции и ро(х) ф 0 на [а, Ь].
Оператор L называется неосциллирующим, если любое нетриви-
нетривиальное решение уравнения Lu = 0 имеет на [а, Ь] не более п — 1 нулей
с учетом кратностей.

8.5. Факторизация дифференциального оператора	209
Для неосциллирующего оператора справедливо следующее утвер-
утверждение.
Теорема 8.13 (см. [148]). 1°. Следующие условия эквивалентны:
а)	оператор L неосциллирующищ
б)	L может быть представлен в виде разложения
(Ьи)(х) = hn(x) j- (/>„_!(*) ^ (... ^ (ho(x)u) ...))	(8.51)
(Ы е Сп~1[а, Ь], hi(x) /0, же [а, 6], г = 0~гс);
в) существует фундаментальная система решений и\(х),
и2(х), ... , ип(х) уравнения Lu = 0 такая, что все вронскианы
W0(x) = 1, W±(x) = Ul(x), W2(x) = W(Ul(x),u2(x)), ...
... , Wn(x) = \/У(иг(х),... ,un(x))
отличны от нуля на [а, Ь].
2°. Коэффициенты разложения (8.51) связаны с вронскианами фор-
(8.52)
Для оператора с разложением (8.51) по аналогии с обычными про-
производными введем квазипроизводные
V°u = hou, Viu = hi(x)-^-Vi-1u (г = 1~гс).	(8.53)
При этом Х>пг? = Lu.
В случае дифференциального оператора второго порядка
Ь2и = (ри'У - qu (peC2[a,ft], деС^сцЬ], р(ж) > 0, х е[а,Ь])
неосцилляция эквивалентна существованию строго положительного
решения и\(х) уравнения Ь2и = 0.
Для q(x) ^ 0 неосцилляция оператора L2 обоснована следующим
утверждением.
Лемма 8.6. Пусть р(х) > 0, q(x) ^ 0 на [а, Ь].
Тогда для решения и\(х) задачи Коши
Ь2и = 0, и(а) = 1, и'(а) = 0
выполнены неравенства и\(х) > 0, и[(х) ^ 0 на [а, 6]. Яргл этом, если
q(x) ^0, mo^i(b) > 0.
Напомним, как определяется число перемен знака S(u) для непре-
непрерывной функции и(х) на [а, 6].

210	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
Промежуток [а,/3] называется промежутком знакопостоянства
функции и(х), если она сохраняет на нем знак (вообще говоря, нестро-
нестрогий) и и(х) ф 0 на [а,/3]. Числом перемен знака S(u) называется
минимальное число точек, разбивающих [а, Ь] на промежутки знако-
знакопостоянства и(х). Если такого конечного разбиения не существует, то
считается, что S(u) = оо. Условие минимальности фактически озна-
означает, что на соседних промежутках и(х) имеет разные знаки, и в этом
смысле их граничная точка может считаться точкой перемены знака.
Для функции и(х), сохраняющей знак на [а, 6], естественно полагается
S(u) = 0, а для и(х) = 0 принимается S(u) = —1. При 0 ^ S(u) < оо
через sign-^ обозначается знак функции на первом слева промежутке
знакопостоянства.
Определение 8.2. Краевую задачу
Lu = f(x), li(u) = 0 (i = l,n)
и оператор, порожденный ею, назовем знакорегулярными, если при
любой и(х) из Сп[а, 6], удовлетворяющей краевым условиям, справед-
справедливо неравенство
5(«) ^ S(Lu).
Если, кроме того, из дополнительного условия S(u) = S(Lu) ^ 0
следует, что
я'щщЬи > 0 (< 0),
то задачу назовем позитивно (негативно) знакорегулярной.
Заметим, что из знакорегулярности следует невырожденность за-
задачи. Достаточно глубоко изучены условия знакорегулярности для
краевых задач с неосциллирующим оператором и распадающимися
двухточечными краевыми условиями. Одним из наиболее общих ре-
результатов здесь является теорема Калафати [31, 41]. Нам понадобится
ее частный случай для оператора второго порядка.
Теорема 8.14. Краевая задача
h2(x)± (М*) ^ (Ых)и)) = g(x),	(8.54)
Д(а)Х>Ч(а) - d(a)V°u(a) = 0,
(8-55)
()Ч() ()°(b) = 0,
где hi Е С2~г[а,Ь] и Ы(-) > 0 (г = 0,2), V°u,V1u определены равен-
равенствами (8.53), является негативно знакорегулярной, если /3(а), #(а),
), 'д(Ь) неотрицательны, и
Д(а) + д(а) > 0, Д(Ь) + д(Ь) > 0, д(а) + д(Ь) > 0.
Кроме того, если g(x) ^ 0 и g(x) ф 0, то и(х) < 0 на (а, Ь).

8.5. Факторизация дифференциального оператора	211
Замечание. Здесь наиболее существенным является условие
неотрицательности коэффициентов; неравенства
Д(а) + д(а) > О, Д(Ь) + ё(Ь) > О
означают, что ни одно из условий (8.55) не является вырожденным
@ = 0). При $(а) = $(Ь) = 0 задача вырождена.
С помощью теоремы Калафати докажем следующее утверждение.
Лемма 8.7. Пусть выполнены условия плюс-регулярности. Тог-
Тогда задача (8.48), (8.49) негативно знакорегулярна. Кроме того, ес-
если g(x) H u g(x) ф 0, то и(х) < 0 на (а, Ь).
Доказательство. Покажем, что задача (8.48), (8.49) эквива-
эквивалентна некоторой задаче вида (8.54), (8.55).
Неосцилляция оператора L2 в (8.48) следует из леммы 8.6. По тео-
теореме 8.13 оператор L2 можно представить в виде разложения (8.51)
с положительными /гД •). Построим разложение согласно (8.52). Возь-
Возьмем решения и\, u<i уравнения L^u = 0 с начальными условиями
и\{а) = 1, и[(а) = 0, U2(a) = 0, и'2(а) = 1.
Тогда W\(x) = и\(х) > 0 в силу леммы 8.6. Кроме того, VK2(a) = 1,
и поэтому по формуле Лиувилля VK2(^) > 0 на [а, Ь].
Итак, при
/г0 = —, Aii = —, Ai2 = -Т7Г-
u\	Wi	W\
уравнение (puf)f — qu = g можно представить в виде (8.54).
Согласно (8.53) имеем
= hou = ^, V'u = h^V'uY = М"^-
Отсюда
и = UlV°u, и' = И/2рм + цц1 = W» V'u + «i2>°«.
иг	иг
Тогда
и(а) = V°u(a), и'{а) = 7)ги(а),
и(Ъ) = Ul{b)V°u(b), и'{Ъ) =
Щ V^ib) +
иг(Ь)
Краевые условия (8.49) примут вид
/3(a)?>Va) - •&(a)V*u(a) = 0,
{b) = о, (8'56)

212	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
т. е. имеют вид (8.55) при
Поскольку /3(а), $(а), /3F), $F) неотрицательны, то /3(а), $(а),
), $F) также неотрицательны. Из /3(а) + $(а) > 0 и /3(Ь) + $F) > О
следует
/3(а) + #(а) > О, ДF) + #(&) > 0.
Из i?(a) + i?F) > 0 следует
#(а) + 0F) > 0.
Если же $(а) = ^9F) = 0, то из леммы 8.6 имеем
и[(Ь) > 0,
а из неравенства /3(b) + i9(b) > 0 имеем /3F) > 0, и тогда
Итак, задача (8.48), (8.49), эквивалентна задаче (8.54), (8.55),
и утверждения теоремы следуют из теоремы 8.14.
Применим теперь знакорегулярность задачи (8.48), (8.49) в факто-
факторизации (8.47)—(8.50) для анализа положительной обратимости исход-
исходной задачи (8.44)-(8.46).
Теорема 8.15. 1°. Краевая задача (8.44)-(8.46) с условиями плюс-
регулярности однозначно разрешима.
2°. Из условий f(x) ^ 0, f(x) ф 0 следует у(х) > 0 внутри (а, Ь).
3°. Кроме того, если а(Ь)р2(а) > 0 или а(а) > 0, то у(х) > 0
и для х = а, а выполнение a(a)pi(b) > 0 или а(Ь) > 0 влечет у(Ь) > 0.
Доказательство. Из условий плюс-регулярности имеем
Pi (а) > Р2(а), Р2(Ь) ^ Pi(b).
Рассмотрим случай, когда оба неравенства строгие. Обозначим
г/ = (р1(а)р2(Ь) - p2(a)p1(b))~1.
Решая (8.46) (или, что то же, (8.50)) относительно у (а) и у F), получим
у (а) = rj[a(b)p2(a)g(b) - a(a)p2{b)g(a)],
(8.57)
y(b) = ry[F)()F) ()F)()]
- y(a) = V{ct(a)g(a)[p2(b) - Pl(b)} + a(b)g(b)[Pl(a) - p2(a)}}.
(8.58)

8.5. Факторизация дифференциального оператора	213
Покажем сначала, что однородная задача имеет только тривиаль-
тривиальное решение. Воспользуемся факторизацией (8.47)-(8.50). Из зада-
задачи (8.47) получаем g(x) = const. Если g(x) > 0, то в силу леммы 8.7
получаем и(х) = у'(х) < 0 на (а, Ь). Значит, у(х) убывает и у(а) >
> у(Ь), что в силу g(a) > О, g(b) > 0 противоречит равенству (8.58).
Аналогично получаем, что g(x) не может быть отрицательной. Зна-
Значит, g(x) = 0. Но тогда из знакорегулярности (8.48), (8.49) получаем
и(х) = у'{х) = 0, у(х) = const.
В силу (8.57) из g(x) = 0 следует у (а) = у (Ь) = 0 и у(х) = 0 на [а, Ь].
Покажем теперь положительную обратимость. Пусть f(x) ^ 0,
f(x) ф 0. Тогда g(x) не убывает и g(x) ф 0. Аналогично предыдущему
получаем невозможность неравенств g(x) H и g{x) ^ 0 на [а, Ь].
Следовательно, g(x) меняет знак один раз с минуса на плюс. То есть
S(g) = 1, sign1g' = -1, причем g(a) < 0 и g(b) > 0. Из условий (8.57)
в этом случае получаем у (а) ^ 0, y(b) ^ 0, при этом условия 3°)
теоремы гарантируют у (а) > 0 или у(Ь) > 0.
В силу знакорегулярности (8.48), (8.49) из S(g) = 1 следует S(u) ^
^ 1. Если S(u) = 0, то и(х) ^ 0 или и(х) ^ 0 на [а, 6], что приводит
к нестрогой монотонности у(х) и неравенству у(х) ^ 0.
Если у(х) не убывает, то из у(х) H и y(s) = 0 для а < s ^ b
следует у(х) = 0 на [a, s]. А значит, g(x) = 0 на [a, s], что противо-
противоречит g(a) < 0. Аналогично, если у(х) не возрастает, то из y(s) = 0
при a $J s < b следует g(x) = 0 на [s, 6], что противоречит g(b) < 0.
Следовательно, выполнено неравенство у(х) > 0 в (а, Ь).
Если S(u) = 1, то в силу негативной знакорегулярности при неко-
некотором d G (а, Ь) имеем и(х) ^ 0, и(х) ф 0 на [a, d] и и(х) $J 0, и(х) ф 0
на [с/, Ь]. Поэтому у(х) не убывает на [a, d] и не возрастает на [с/, Ь].
Поскольку у (а) ^ 0, у (Ь) ^ 0, получаем неравенство у(х) ^ 0 на [а, Ь].
Более того, здесь у(х) > 0 на (а, 6), поскольку y(s) = 0 для некоторой
точки s G (а, Ь) приводит к равенству у(х) = 0 на [a, s] при s ^ d или
на [s, b] при s ^ (i, что противоречит g*(a) < 0 или g(b) > 0.
Теперь рассмотрим случай
Pi(a) = р2(а), Р2(^>) > Pi(b).
В силу следствий из леммы 8.5 это возможно только при pi(a) =
= P2(a) = pi(b) = 0. Следовательно, условия (8.46) примут вид
a(a)D3y(a) = 0, a(b)D3y(b) - p2(b)y(b) = 0,
причем а(а) > 0, а(Ь) ^ 0, Р2(Ь) > 0. Отсюда для однородной задачи,
пользуясь факторизацией (8.47)-(8.50), получаем
D3y(x) = g(x) = 0.

214	Гл. 8. Уравнения четвертого порядка
Знакорегулярность задачи (8.48), (8.49) дает
у'(х) = и(х) = 0.
Из второго краевого условия имеем у(Ь) = 0, следовательно, у(х) = 0,
и задача невырождена.
Далее, из f(x) ^ 0, f(x) ф 0 следует, что g(x) не убывает. Посколь-
Поскольку g(a) = 0, отсюда получаем
g{x) > 0, g(x) ф 0, g(b) > 0.
В силу леммы 8.7 и(х) = у'(х) < 0 на (а, Ь) и у(х) убывает. Второе
краевое условие при а(Ь) > 0 дает у(Ь) > 0, а при а(Ь) = 0 получа-
получаем у(Ь) = 0. Отсюда следуют утверждения 2°) и 3°).
Теорема доказана.
Замечание. Знакорегулярность задачи (8.48), (8.49) означает,
в частности, что из {jpy")' — qy' > 0 ( < 0, =0) следует, что у' < 0
( > 0, =0). Это совпадает с формулировкой принципа максимума из
теоремы 8.3.
Теорема 8.16. Функция Грина G(х, s) плюс-регулярной краевой
задачи (8.44)-(8.46) строго положительна внутри [a, b] x [а, 6], а ес-
если а(а) > 0 и а(Ь) > 0, то и на всем квадрате.
Доказательство. Пусть s G (а, Ь). Воспользуемся факториза-
факторизацией задачи (8.47)-(8.50) при f(x) = 5(х — s). Тогда для функции
(х\ = fc + 1 при х > 5,
ё^ ' \с ПРИ х < s
повторяем доказательство утверждений 2°) и 3°) теоремы 8.15 и полу-
получаем, во-первых, с < 0, с + 1 > 0, во-вторых, строгую положительность
функции у(х) = G(x, s) для х G (а, 6), а при а(а) > 0 и а(Ь) > 0 и для
ж = а и ж = 6.
Пусть теперь s = а. Тогда функция у (ж) = G(x, а) удовлетворяет
краевой задаче
(р(х)у")" - (д(х)у'У = 0,	(8.59)
Р{а)у"{а)-д(а)у'(а) = 0, /3(Ь)у"(Ь) + Щ)у'(Ь) = 0,	(8.60)
a(a)D3y(a) + Pi(a)y(a) - р2(а)у(Ь) = а(а),	(8.61)
a(b)D3y(b) + Pl(b)y(a) - p2(b)y{b) = 0.	(8.62)
Из положительности G(x,s) при (x,s) G (a, b) x (а, 6) и непре-
непрерывности на всем квадрате получаем у(х) ^ 0. В силу теоремы 8.3
у(х) монотонна. Случай у(а) — 0 ^ у(р) исключается условием (8.61),
поскольку Т>3у(а) — с < 0. Случай у(а) > 0 — у(Ь) исключается уело-

8.5. Факторизация дифференциального оператора	215
вием (8.62), поскольку V3y(b) = с + 1 > 0. Значит, у (а) > 0, у(Ь) > 0
и у(х) > 0 на [а, 6], что и требовалось доказать.
Отметим, что при этом у (а) > г/F), так как 0 < г/(а) < у F) проти-
противоречит условию (8.62).
Теорема 8.17. Функция Грина плюс-регулярной краевой зада-
задачи (8.7)-(8.10) строго положительна внутри множества Г х Г.
Доказательство. Пусть s ? j = [a,b]. Рассмотрим редукцию
задачи (8.7)-(8.10) к задаче (8.44)-(8.46) на ребре 7- Следствия 1-4
из леммы 8.5 обеспечивают плюс-регулярность задачи (8.44)—(8.46)
и условия а(а) > 0 и а(Ь) > 0 (если ребро 7 не концевое, т.е. 7 П
П дГ = 0). Тогда в силу теоремы 8.16 функция Грина 6г7(ж, s) этой
задачи строго положительна на квадрате 7 x 7 (вплоть до концов
для неконцевого ребра). Из теоремы 8.12 и положительности С7(ж, s)
и Zk(x) (k = 1, 2) получаем утверждение теоремы.
Следствие. Яз условий f(x) ^ 0 на Г и f(x) ф 0 для плюс-регу-
плюс-регулярной краевой задачи (8.7)-(8.10) с однородными условиями следует
неравенство у(х)>0наГ\дГ.

Глава 9
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА НА СТРАТИФИЦИРОВАННОМ
МНОЖЕСТВЕ
Ряд задач математической физики, связанных с поведением слож-
сложных систем, составленных из элементов, имеющих различные раз-
размерности или различные физические характеристики, удобно моде-
моделировать краевыми задачами на стратифицированных множествах ft.
Подходы к уравнениям на сетях, описанные в других главах настоящей
мотографии, допускают развитие и на этот случай.
Геометрия стратифицированного множества значительно сложнее
геометрии графа (ft теперь является связным объединением конечного
числа многообразий различных размерностей), но в целом удается
реализовать методологические принципы, разработанные для уравне-
уравнений на графах.
Основным из этих принципов является интерпретация всех диф-
дифференциальных соотношений, относящихся к составным элементам
множества, в виде единого уравнения на ft дивергентного типа. Дивер-
Дивергенция, как и в классическом случае, оказывается плотностью потока
векторного поля на ft по специальной стратифицированной мере.
Однако чтобы получить содержательные результаты, потребовалось
выделить специальный класс так называемых прочных стратифици-
стратифицированных множеств. Характер получаемых результатов определяется
типом прочности ft. В данной работе описаны два типа прочности ft.
В связи с этим она разбита на два параграфа.
9.1. Уравнения и неравенства с жестким
лапласианом
9.1.1. Предварительные определения и комментарии.
В этом пункте на примере простой механической задачи обсуждаются
основные особенности уравнений на стратифицированных множествах
и дается описание класса стратифицированных множеств, рассматри-
рассматриваемых в этой работе.
Традиционное определение стратифицированных множеств имеет-
имеется, например, в [99]. Здесь мы даем определение, более приспособлен-
приспособленное для изучения дифференциальных уравнений на них.

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	217
Мы называем связное множество ft С MJ1 стратифицированным,
если задана последовательность замкнутых множеств (стратифика-
(стратификация)
0 = ft*-1 СЙ*° С ... Cftk™ = ft
такая, что ftkp \ ?1кр-г [р ^ 0) — гладкое подмногообразие в Мп раз-
размерности кр. Его связные компоненты <Jkpi называются стратами.
Вообще говоря, стратов некоторой размерности, не превосходящей
максимальной d = d(ft), может и не быть в ft.
Предполагаются выполненными следующие два условия.
•	Граница dcrki страта <Jki {к > 0) является объединением стратов
меньшей размерности.
•	Если <Jk-u примыкает к akj (что означает ak-u С dakj и симво-
символически записывается в виде сги-и ^ akj) иУ G cr^j стремится вдоль
некоторой непрерывной кривой (лежащей в akj) к точке X ? cr/c_li, то
касательное пространство Tya^j стремится к некоторому предельному
положению lim Ту akj, содержащему
i —У уС
Второе условие исключает из рассмотрения сингулярные примы-
примыкания, изображенные на рис. 9.1. Всюду далее предполагается, что
число стратов конечно, и все
они имеют компактные замыка-
замыкания. В некоторых случаях допол-
дополнительно предполагается, что за-
замыкания стратов допускают ори-
ориентацию.
Одно и то же множество может aoi
допускать много различных стра-
стратификации. В приложениях стра-
стратификация определяется, как пра- Рис. 9.1. Запрещенные примыкания
вило, исходя из контекста задачи.
К примеру, если рассматривается задача о перемещениях точек меха-
механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел, то
эти отдельные элементы естественно рассматривать как одномерные,
двумерные и трехмерные страты. Участки системы, в которых она
закреплена, естественно рассматривать как границу. В соответствии
с этим ft разбивается на два подмножества:
•	fto — открытое, связное подмножество ft (в топологии, индуциро-
индуцированной на ft из Мп), составленное из его стратов и такое, что ft$ = ft;
•	dfto = ft \ fto — граница fto (в большей части главы предполага-
предполагается dft0 Ф 0).
Особенно простой класс стратифицированных множеств констру-
конструируется следующим образом. На первом шаге выбирается конечный
набор точек в Мп, которые объявляются нульмерными стратами.
На втором шаге некоторые пары точек соединяются гладкими кри-
кривыми так, что в целом получается связное множество. Дуги кривых

218	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
будут служить одномерными стратами. Если в образовавшемся таким
способом геометрическом графе имеются циклы, то образованные ими
ячейки заполняются гладкими двумерными поверхностями — двумер-
двумерными стратами конструируемого стратифицированного множества Л.
Этот процесс повторяется конечное число раз. Образованные таким
способом стратифицированные множества будем называть простыми.
Пример простого стратифициро-
*	ванного множества дает, напри-
например, рис. 9.2.
Дальнейшее изложение нам
V °" И	г
щ	р у	и удобно иллюстрировать с помо-
ctqi	щью следующего простого при-
примера.
Пусть имеется плоская систе-
система, составленная из натянутых
_. Л Л „	.	струн и мембран, как на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Пример стратифицирован- ~г	~	ш
г г г ^ «¦ г	Обозначим через и: ft -> R
ного множества
функцию, описывающую попе-
поперечные перемещения точек системы, вызванные малой нагрузкой /,
ортогональной к ее плоскости. Здесь dfto составлена из одномерного
и четырех нульмерных стратов (на рисунке они выделены жирными
линиями и точками). На dfto зададим условия Дирихле
«U = V-	(9-1)
Перемещения точек стратов из Но описываются следующими диф-
дифференциальными уравнениями, выражающими равновесие внешних
и внутренних сил.
На двумерных стратах это обычное уравнение Пуассона
-p21Au = f21.	(9.2)
На страте ац имеем одномерный вариант того же уравнения
tt = /и-	(9-3)
Здесь иТТ — вторая производная по касательному к сгц направлению.
На o"i2 уравнение выглядит так:
-(р12итт + ^2 Р21Щ) = /i2-	(9.4)
Вектор v направлен внутрь a2i и ортогонален к а\2 (на рис. 9.2 таких
векторов два). Второе слагаемое в скобках обусловлено влиянием мем-
мембран на струну. В страте croi получаем
Puuv = foi-	(9.5)

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	219
Коэффициенты p^i здесь предполагаются постоянными; при к = 1 —
это натяжения струн, а при к = 2 — напряжения в мембранах. Едини-
Единицей измерения их является Н/м^. Нагрузка fki измеряется в Н/м*\
Уже в этом простом примере видны характерные особенности урав-
уравнений на стратифицированных множествах.
•	Множество ft, на котором задаются уравнения, может иметь до-
довольно сложную геометрию. Оно не является многообразием и поэтому
не допускает введения даже локальных координат. Построение пол-
полноценного математического анализа на таком множестве, на первый
взгляд, представляется проблематичным.
•	Дифференциальные уравнения, соответствующие различным
элементам ft, различны по виду. Коэффициенты их имеют разные
размерности, так что нет смысла обсуждать их непрерывность в целом
на ft\ речь может идти только о непрерывности в пределах отдельных
стратов. Если о непрерывности решения в целом на ft еще можно
говорить, то о гладкости — уже нет, поскольку ft не является, вообще
говоря, многообразием. Тем не менее в пределах отдельных стратов
гладкость решения имеет смысл.
Эти особенности порождают существенные трудности уже при
элементарном анализе задач. Достаточно распространенный способ
их преодоления следующий (см., например, [108, 109, 115, 116, 118, 122,
134,135, 138,142,143]).
Заметим, что на стратах, не взаимодействующих своими внутрен-
внутренними точками с другими стратами (назовем их свободными; на рис. 9.2
это (Ji 1 и двумерные страты), уравнения имеют вид уравнения Пуассо-
Пуассона. Поэтому естественно рассмотреть «синтетический» оператор рА,
действующий на произведении пространств C2(<Jki)i соответствую-
соответствующих свободным стратам. Остальные уравнения интерпретируются как
условия «склейки» (трансмиссии) и включаются наряду с условиями
непрерывности в определение решения уравнения — рАи = /.
На основе этого подхода были получены исчерпывающие результа-
результаты о разрешимости краевых задач как в классической, так и в обоб-
обобщенных постановках, асимптотики спектра и др. (см. работы, цити-
цитированные в предыдущем абзаце). Следует заметить, что все это было
сделано при существенных ограничениях на геометрию ft; в основном
рассматривался случай, когда ft — геометрический граф или область
в Мп, перегороженная конечным числом гладких многообразий, на
которых задавались условия трансмиссии.
Однако в этом цикле результатов обращает на себя внимание почти
полное отсутствие результатов качественного типа (каковыми явля-
являются сильный принцип максимума, лемма о нормальной производной
и пр.). Оказалось, что описанный выше подход плохо приспособлен
к получению таких результатов. Дело в том, что свойства устанав-
устанавливаемые, например, в принципе максимума, для решений уравнения

220	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
вида рАи = 0 являются глобальными. Отсутствие максимума внутри
области в применении к стратифицированным множествам должно
означать отсутствие максимума во всех стратах из По, в то время,
как описанный выше подход предполагает отнесение к внутренности ft
объединение только свободных стратов, поскольку условия трансмис-
трансмиссии функционируют как краевые условия, а соответствующие им стра-
страты обретают статус внутренних границ. Очевидно, это затрудняет как
поиск правильных формулировок результатов о качественных свой-
свойствах решений, так и их доказательство.
В следующем пункте мы начинаем систематическое описание иного
подхода. Суть его сводится к следующим двум принципам:
•	хотя уравнения (9.2)—(9.5) различны по форме, они выражают
одно и то же обстоятельство — локальное равновесие системы, поэтому
нужно применять единый формализм к описанию этих уравнений;
•	подмножество ^о, на котором заданы уравнения, следует считать
внутренностью ft, a dft$ его границей. Поэтому при описании каче-
качественных свойств решений, при определении функциональных про-
пространств и т. д. классическую «область в MJ1» необходимо заменять на
По-
Этот подход развит в работах [13, 14, 51, 54, 59-61]. Близкий подход,
связанный с решением краевых задач, описывающих неоднородные
среды с периодической структурой, развит в работах В. В. Жикова
[21, 22].
9.1.2. Дивергенция и оператор Лапласа—Бельтрами на
стратифицированном множестве. Каждый страт как подмного-
подмногообразие в Мп является также и римановым многообразием. С помощью
римановой метрики стандартным образом определяются элемент объ-
объема и мера Лебега /х/. на а^; при к = 0 мера /xq — это единичная
мера, сосредоточенная в точке. Из этих локальных мер можно скон-
сконструировать стратифицированную меру /х на ft. А именно, для ио С ft
полагаем	^
(9.6)
Поскольку меры /х/. имеют разные размерности, то для уравнивания
размерностей слагаемых в формуле (9.6) можно считать, что на каж-
каждом страте распределена масса с единичной плотностью и считать
/х/г(с<; П <Jki) массой. Множества, для которых (9.6) имеет смысл, есте-
естественно называть /х-измеримыми. Понятия измеримой и суммируемой
функций определяются стандартно. Интеграл Лебега суммируемой
функции /: ft —» Ж сводится к сумме интегралов Лебега по отдельным
стратам:
г	.—. г
(9.7)

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом
221
J31
Справа вместо d/ik стоит d\i, поскольку сужение меры \± на a^i совпа-
совпадает с ilk по построению.
В терминах меры /i определим дивергенцию векторного поля на ft
как плотность потока этого поля. Наши рассуждения будут носить
эвристический характер, поскольку итоговая формула будет принята
в качестве определения дивергенции. Впрочем, строгие вычисления
проводятся не намного сложнее.
Пусть F — векторное поле на ^о- Будем называть его касательным
к По, если его сужение на каждый страт a^i принадлежит касатель-
касательному пространству Ta^i-
Будем называть F гладким, если, например, его ковариантные ком-
компоненты гладки в замыкании каждого страта. В определении глад-
гладкости можно пользоваться координатами из Мп вместо локальных
координат на каждом страте. Для
определения дивергенции нам доста-
достаточно принадлежности F классу С1.
Никакого непрерывного согласова-
согласования полей на разных стратах не тре-
требуется.
Пусть страт G21 примыкает
к двум трехмерным стратам, как
показано на рис. 9.3. Выделим
маленький параллелепипед П с цен-
центром в точке X G <721, составленный
из двух кубиков с длиной ребра,
равной А/. Посчитаем поток Фп(Р)
(наружу) векторного поля через
поверхность этого параллелепипеда.
Для наглядности будем интерпре-
интерпретировать F как поток жидкости, имеющий размерность л/м^ на
страте <Jki- Вклад в общий поток жидкости, текущей по oi (это поток
через границу пересечения П П <T2i), вычисляется по классической
формуле. Он приближенно равен V2F(X)As, где As = (A/J, a V2F —
обычная двумерная дивергенция на o<i\-
Поток через любую пару противоположных вертикальных граней
есть o(As). В самом деле, поток через одну из этих граней приближен-
приближенно равен F(K) • vAs, где Y можно взять, например, в центре грани.
Этот поток компенсируется потоком через противоположную грань
(поскольку нормаль к ней имеет противоположное направление), по-
поэтому суммарный эффект имеет вид o(As). Потоки через горизонталь-
горизонтальные противоположные грани не компенсируют друг друга, поскольку
эти грани лежат в различных стратах, а поле F может претерпевать
разрывы при переходе со страта на страт. Сумма этих потоков равна
J32
Рис. 9.3. Поток векторного поля
(F(n)-v1+F(r2)-v2)AS,

222
Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
где Y\ и Y<i — центры верхней и нижней граней. В итоге получаем
<S>n(F) = (V2F(X) + ?(Уг) • vi + F(Y2) • v2)As + o{As).
Дивергенцию VF(X) естественно определить как предел отноше-
отношения Фп(Р) к стратифицированной мере параллелепипеда П при стяги-
стягивании последнего к точке X. Учитывая, что /л(П) = As + Дг>, где Av —
объем параллелепипеда П, получим в пределе
VF(X) =
(9.8)
J21
331
Рис. 9.4. Кратное примыкание
индекс у v опущен, поскольку парой стратов <Jk-iii ^kj и точкой X он
определяется однозначно, по крайней мере в рассматриваемом случае.
Здесь и далее обозначение вида F|^(X) при X ? сгк-и ~< &kj
означает, что вместо F(X) берется предельное значение F(Y), когда У
стремится к X вдоль некоторой кривой, лежащей в сг^-. В иных
терминах F|^j — продолжение по непрерывности на <t&j сужения и
на <Jkj- В рассматриваемых на-
нами ситуациях такое продолже-
продолжение будет существовать всегда.
Однако в случае, когда примы-
примыкание (Jk-u к cr/gj кратное, это
продолжение может оказаться
многозначным. Так будет, на-
например, когда ft выглядит, как
показано на рис. 9.4 слева.
Здесь сгз1 дважды примыка-
примыкает к G21- Поскольку дивергенция
в точке X — понятие локальное, можно разбить страт a^i на два страта
с простым примыканием, как показано на рис. 9.4 справа. Такое вве-
введение искусственных стратов приводит к тому, что в (9.8) слагаемому,
соответствующему страту с кратным примыканием, будет отвечать
несколько однотипных слагаемых.
В общем случае дивергенция на ^о определяется формулой
(9.9)
где X е <гк-ц.
Пусть теперь и: ft0 —» М дважды дифференцируема внутри каждо-
каждого страта a/, j, причем первая дифференцируемость имеет место вплоть
до точек тех граничных стратов <Jk-u ~< ^kj, которые не лежат в <5Ш0;
множество таких функций обозначим через С^(Л0). Полагая в фор-
формуле (9.9) F = Vu (как обычно, действие V на скалярные функции

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом
223
интерпретируется как взятие градиента), получаем аналог оператора
Лапласа-Бельтрами на стратифицированном множестве
Аи(Х) =
(9.10)
где A/c-i — классический оператор Лапласа—Бельтрами на а к-и-
Положим также Ари = V(pVi^), где р имеет производные первого
порядка на каждом страте <Jkj вплоть до точек его граничных стра-
тов <T/g_n, не входящих в <9Л0. Это аналог эллиптического оператора
дивергентного типа. В случае р > 0 будем называть его жестким
лапласианом.
Нам потребуется выражение оператора Ар через риманову мет-
метрику, наследуемую стратами как подмногообразиями Мп. Для этого
определим сначала несколько необычный набор локальных координат
на ?Iq. Напомним, что поскольку само ?Iq многообразием не является,
введение полноценных координат на нем невозможно.
Пусть X G (Jk-ii- Зададим вблизи X на о~к-и локальные координа-
координаты х1, ... , xk-1 и для каждого o~kj дополним их еще одной координа-
координатой хк, положительной на akj и обращающейся в нуль на (Тк-и- Этот
способ введения координат показан на рис. 9.5.
Тот факт, что несколько координатных осей обозначены одинаково,
к недоразумениям не приведет, поскольку из контекста будет ясно,
о какой координате идет речь
в данный момент.	2	2
Так как выражение через
риманову метрику классичес-
классической части оператора Ар хорошо
известно, нам остается только
выразить через нее нормаль v.
Нетрудно проверить, что нор-
нормаль к сгк-и в точке X, направ-
направленная внутрь akj, имеет вид
Здесь г = г(Х) означает ра- Рис. 9.5. Стратифицированные коор-
диус-вектор точки X в Мп,	динаты
a ga@ — контравариантные компоненты римановой метрики на o~kj-
Буква X будет использоваться и для обозначения набора ее координат
X1, ... , Хп в W1; в пределах одного страта вместо г = г(Х) можно
писать г = г (ж), понимая под х локальные координаты точки X.
По повторяющимся индексам, помеченным греческими буквами, пред-
предполагается суммирование.

224	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Выражение для дивергенции в римановой метрике имеет вид
(9.11)
где g — определитель матрицы G, составленной из ковариантных
компонент римановой метрики, aFQ- ковариантные компоненты век-
вектора F. Следует заметить, что в первом слагаемом участвуют только
первые к — 1 компонент метрики (это относится и к определителю g);
а и /3 меняются от 1 до к — 1. Во втором слагаемом а меняется от 1
до к.
Оператор Ар имеет вид
(X). (9.12)
Нетрудно проверить, что уравнения (9.2)—(9.5) могут быть запи-
записаны в виде — Ари = /. Мы будем в основном рассматривать задачу
Дирихле следующего вида:
Lu = Apu -qu = f,	(9.13)
Задача (9.13), (9.14) без ограничений (далеко не очевидных) на
геометрическое устройство Л, вообще говоря, не имеет даже слабого
решения в пространствах типа Соболева. Далее все это будет обсуж-
обсуждено, а сейчас мы переходим к формированию минимального арсенала
технических средств для исследования задачи (9.13), (9.14).
9.1.3. Формулы Грина. Здесь замыкания стратов предполага-
предполагаются ориентируемыми.
Мы начнем со стратифицированного аналога теоремы о диверген-
дивергенции. Множество функций С^.(Л), фигурирующее в следующей теоре-
теореме, определяется так же, как и С^(Ло), но без упоминания сШд, т.е.
мы исключаем «порчу» функции на д?1о. Индекс а в обозначении
функционального пространства означает, что требования к функци-
функциям предъявляются только в пределах отдельных стратов. Например,
функция из Cl(ft) не обязана быть непрерывной в целом на Л; она
может претерпевать разрывы при переходе со страта на страт.

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	225
Теорема 9.1. Пусть F e C*(fi)
[ VFd/x = - [ F^d/x,	(9.15)
F^ при X ? <Jk-i,i определяется так:
суммирование производится по всем a^j У °~k-i,i-> не лежащим в <5Ш0.
При нашем определении дивергенции эта формула почти очевидна.
Тем не менее строгое ее доказательство весьма громоздко. Поэтому мы
приведем лишь схематическое доказательство.
Доказательство. В силу (9.7) интеграл в левой части сводится
к сумме интегралов вида
VFd/i.
В стратах максимальной размерности d = d(ft) дивергенция VF
тождественна ее классической части V^F. Поэтому в силу обычной
теоремы о дивергенции имеем
Знак минус показывает, что мы пользуемся внутренними нормалями.
В правой части интегрирование производится лишь по (d — 1)-мер-
ным стратам, поскольку обычная (d — 1)-мерная мера остальной части
границы дам равна нулю. Не исключено, что dudi вообще не содер-
содержит (d — 1)-мерных стратов. В этом случае пустая сумма в правой
части формулы (9.16) полагается равной нулю, поскольку интеграл
слева, очевидно, равен нулю. Пусть o~d-i,j ^ °~di не принадлежит дПо.
Рассмотрим интеграл от дивергенции по ad-ij- Из формулы (9.9)
получаем
Мы видим, что при сложении равенств (9.16), (9.17) интеграл в правой
части (9.16), отвечающий <Jd-ij, взаимно уничтожается с одним из
интегралов в (9.17) (среди всех <Jdi в (9.17) имеется и сг^)- Обозначим
через ат объединение всех m-мерных стратов из Пд. Из только что
сказанного следует, что суммирование всех равенств (9.16), (9.17) при-
приводит к формуле
VFd/x= | Vd_iFdjx- Yl	j v.F|^-rf/x. (9.18)
i	cTd
8 Ю. В. Покорный и др.

226	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Далее всю предыдущую аргументацию следует применить к пер-
первому интегралу справа в (9.18); в нем снова фигурирует классическая
дивергенция, поэтому снова можно воспользоваться обычной теоремой
о дивергенции. Продолжая эту процедуру вплоть до стратов мини-
минимальной размерности, получим доказываемую формулу.
Положим
где С (ft) — множество непрерывных на ft функций. Аналогично опре-
определяется множество С2(ft).
Пусть v G С1^), ие С2.(ft). Тогда при р <Е С*(ft) имеем F =
= pvWu G C\(ft), и мы можем применить к F формулу (9.15). В ре-
результате получаем
(pvVu)^ d\i = — v
d\i = — (pvVu)^ d\i = — v(pVu)u d\i.
В последнем равенстве мы воспользовались непрерывностью v. Вспо-
Вспоминая выражение (9.9) для дивергенции, имеем в точке X Е <Jk-i,i
Первое слагаемое здесь равно
1 д
напомним, что скалярное произведение ковариантных векторов h1
и h2 (а таковыми как раз и являются градиенты) равно сумме glJ h\h2.
Таким образом, имеем
V(pvVu)(X) =
(vApu)(X).
Отсюда получаем аналог первой формулы Грина. А именно, имеет
место следующая
Теорема 9.2. Пусть и Е СЦп), v E С1 (ft). Тогда
г	г	г
vApud/j, = — pVvVudfi — v(pVu)u dji.	(9.19)
n0	n0	dn0

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	227
Из теоремы 9.2 немедленно следует аналог второй формулы Грина.
Теорема 9.3. Если u,v e С2(п), то
Г	Г
\(vApu - uApv) dp = (u(pVv)u-v(pVu)u)dii.	(9.20)
По	дП0
Вспоминая выражение для оператора L:
Lu = Ари — qu,
в силу равенства vLu — uLv = vApu — uApv получаем, что в услови-
условиях теоремы 9.3 имеет место следующее равенство:
\(vLu-uLv)d/j,= (u(pVv)u-v(pVu)l/)dii.	(9.21)
По	<ЭП0
В частности, если граница дПо пуста, получаем отсюда
Г
(vLu-uLv)dfi = 0.	(9.22)
j
По
Заметим, что, хотя выражение {jpS/v)u определено нами лишь на
границе По, его можно рассматривать и в Ло; в ft0 оно совпадает
с «неклассической» частью оператора Ар, т.е. с последней суммой
в правой части (9.12).
9.1.4. Лемма Бохнера и несовместные неравенства. Здесь
приводятся простые следствия формул Грина. Мы следуем рабо-
работам [54, 60, 61]. Всюду далее коэффициент р ? С* (По) предполагается
положительным. Ограничения на знак коэффициента q E С^-^о) (ес-
(если они будут необходимы) будут всякий раз указываться явно. Мно-
Множество ft предполагается ориентируемым. Следует заметить, однако,
что все утверждения этого пункта справедливы и в общем случае.
К примеру, лемма Бохнера следует и из сильного принципа максимума,
доказываемого в п. 9.1.9 без пред пол ожения об ориентируемости ft.
Теорема 9.4. Пусть и, v E C2(ft), и — положительное в fto
решение неравенства Lu = Ари — qu ^ 0, обращающееся в нуль на
dft0 и удовлетворяющее на dft0 неравенству (pVu)u > 0, a v — поло-
положительное на ft0 решение неравенства Lv ^ 0.
Тогда и и v являются решениями задачи Дирихле
Lw = 0,	(9.23)

228	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Доказательство. Из условий теоремы и формулы (9.21) имеем
0^ vLud/ji= uLvd\i-\- (u(p4v)u — v(pVu)u) d\i =
Г	( Г	А
= uLv d\i + I — v(pVu)l/ d[i I ^ 0,
j	\ j	у
ft0
откуда (в силу неположительности слагаемых) сначала получаем
Г	Г
uLv dfi = v(pVu)l/ dfi = 0,
а затем Lv = 0, у\яп = 0. Из приведенных неравенств следует такж;е
vLu d\i = 0,
I
откуда, ввиду положительности v и неотрицательности Lu имеем Lu =
= 0 на ^о- Теорема доказана.
Замечание 9.1.1. По крайней мере в случае d = d(ft) = 2 усло-
условие {pS/u)u > 0 можно опустить. Это следует из доказываемой далее
леммы о нормальной производной.
Замечание 9.1.2. В случае dft0 = 0 условие (pVu)u > 0 естест-
естественным образом отпадает (как и обращение в нуль на границе),
а утверждение состоит в том, что и и v являются решениями уравне-
уравнения Lw = 0.
В одномерном случае (d = 1) можно доказать, что и с точностью
до множителя совпадает с v (см., например, [59]). В общем случае это
пока не доказано.
Теорема 9.5. Пусть q ^ 0 и д?1о = 0 (т. е. По = П).
Тогда если неравенство Lu ^ 0 имеет решение и Е С2(^о)> поло-
положительное на Л, то и = const на ft и q = 0.
Доказательство. Так как <9Л0 = 0, из (9.22) при г; = 1 полу-
получаем
/ж d/j, = — \ qu d[i.
п	ft
Поскольку правая часть этого равенства неположительна, а по усло-
условию теоремы Lu ^ 0, избежать противоречия возможно только если
Lu = 0.
Заметив теперь, что функция v = 1 удовлетворяет неравенству
Lv ^ 0, на основе замечания к теореме 9.1.2 заключаем, что и и v —
решения уравнения Lw = 0. Но тогда q = 0, а следовательно, L = Ар.
Полагая в (9.19) v = 1 получаем, что для любой функции и Е С2 (ft)

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	229
(в рассматриваемом случае dfto = 0) выполняется равенство
Ари dji = О,
J-
так что из Ари ^ 0 следует Ари = 0. Из того же равенства при v = и
получаем
Г	Г
uApud/j, = —
j	j
п
и в силу доказанного равенства Ари = 0 и неотрицательности подын-
подынтегральной функции справа получаем Vu = 0 на ft. Отсюда следует,
что u\ki = Cki = const (здесь и \ki — сужение и на <т/^)- С учетом
непрерывности и получаем и = const на ft. Теорема доказана.
Следствие. Пусть dft0 = 0 и Ари ^ 0 на ft (и Е C2(ft0)).
Тогда и = const.
Для доказательства достаточно заметить, что при большом С
функция v = и + С будет положительным решением неравенства
Apv ^ 0.
Приведенный результат является точным аналогом известной лем-
леммы Бохнера [106], утверждающей, что если и — решение неравенства
Аи ^ 0 на компактном римановом многообразии, то и = const (ком-
(компактность многообразия подразумевает в том числе отсутствие у него
края).
Таким образом, оператор Ар на стратифицированном множестве
без границы оказывается аналогом оператора Лапласа—Бельтрами, на-
например, на сфере. Отсюда получается довольно любопытный вывод.
А именно, пусть ft — круг на плоскости. Рассмотрим его внутрен-
внутренность как двумерный страт сг21, а границу как одномерный страт сгц.
Нетрудно заметить, что результаты этого пункта справедливы и в слу-
случае, когда р = 0 в стратах а^ с к < d(ft) и р = 1 на стратах старшей
размерности. Однако уравнение Ари = / с таким р сводится к сово-
совокупности уравнений
Аи(х) = f(x) (х ? cr2i),
-j^(x) = f(x) (x E сгц),
т. е. совпадает с классической задачей Неймана. Так что при нашем
подходе задача Неймана не является краевой задачей. Это уравнение
на стратифицированном множестве без границы. Напомним, что у нас
граница dft0 фактически определяется как часть ft, на которой зада-
задается условие Дирихле. Все это было бы лишь курьезным замечанием,
если бы не было набора абсолютно идентичных качественных свойств
решений уравнения Ари = / на сфере и на произвольном стратифи-
стратифицированном множестве без границы. Далее мы проиллюстрируем это
еще раз на примере формулы Пуассона в стратифицированном шаре.

230	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
9.1.5. Неравенство Пуанкаре на стратифицированном
множестве. В этом пункте мы следуем работе [14]. В то время как
предыдущие утверждения имеют место для произвольного страти-
стратифицированного множества, подчиненного требованиям пункта 9.1.1,
неравенство Пуанкаре доказано лишь в предположении так называе-
называемой прочности Л. Это означает, что любой страт из aki С По можно
соединить с каким-нибудь граничным стратом amj цепочкой стратов
°"fciu> ak2i2i • • • •> akpip (назовем ее прочной цепочкой) со следующими
свойствами:
•	crjfeiii = aki, o-kpip = crmj-;
•	для любого 1 ^ q ^ р - 1 либо akqiq -< akq+liq+1, либо akqiq У
У akq+1iq+1]
•	\kq+i — kq\ = 1 для любого 1 $J q ^ p — 1;
•	все (Tkqiq, кроме akpip, лежат в п0.
На рис. 9.6 приведен пример прочного (слева) и непрочного стра-
стратифицированного (справа) множества. В качестве граничного страта
/	2
hi	aH
°01
сти X.
Рис. 9.6. Прочное и непрочное стратифицированные множ:ества
здесь взят страт сгоь Страт g^\ справа не может быть соединен проч-
прочной цепочкой со стратом сгоь
Естественно ожидать, что неравенство Пуанкаре для рассматри-
рассматриваемого нами случая должно иметь вид
lu2dfi^ С [(Vufdii.	(9.25)
Мы покажем, что неравенство (9.25) имеет место для любой функ-
о	о
ции и G //L(^) с независящей от и константой С. Пространство //*(^)
определяется как пополнение пространства С^(?1) (функций из С (Л),
обращающихся в нуль на dtto) по норме, определяемой следующим
скалярным произведением:
(и, v) = VuVv d/л.

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	231
о
Неравенство (9.25) означает, что Я^(^) непрерывно вложено в про-
пространство L2(Q) квадратично суммируемых по мере \± функций. По-
Последнее пространство можно определить и как пополнение Со(?1) по
норме, определяемой скалярным произведением
(и, v) = uv dji.
п
К сожалению, доказательство неравенства (9.25) довольно сложно.
Оно получается комбинированием специальных неравенств на отдель-
отдельных стратах. Эти неравенства составляют предмет следующих трех
лемм. Для простоты мы ограничиваемся двумерным случаем, посколь-
поскольку сможем иллюстрировать доказательства рисунками. В формальной
части изменений при переходе к общему случаю не требуется.
Прежде всего заметим, что отдельный страт может быть устроен
весьма сложно; он может не допускать введения глобальных координат
и иметь «дыры». Обычно трудности, связанные с анализом уравнений
на многообразиях с нетривиальной топологией, преодолевают построе-
построением подходящего разбиения единицы. В нашем случае это сделать
весьма трудно. Следующая лемма позволяет обойтись без построения
разбиения единицы.
о
Лемма 9.1. Пусть и Е //^(П). Пусть, далее, o~ki С По и o~k-ij -<
-< &ki-, cTk-ii -< <Jki- Тогда существует не зависящая от и констан-
константа С такая, что
I u2dfi+ l
(9.26)
Доказательство. Рассмотрим сначала простой случай, ко-
когда o~ki — треугольник, a crk-ij и сти-п — две его стороны (рис. 9.7).
Неравенство (9.26) достаточно доказать для функций из С^(?1); для
о
функций из //^(Л) оно тогда получается предельным переходом.
Имеем
X
и(х, х) = и(х, 0) + — (ж, s) ds.
о
Отсюда получаем
х	2
0
9«42

232	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
где d — диаметр треугольника. Интегрируя это неравенство по ж от О
до а с учетом того, что d[i = у/2 dx на <Jk-ij и I — I (ж, s) ^ (Vi^J,
получим
-j=	u2dfi^2	u2dn + 2d \ (Vufdfi,
откуда и следует требуемое неравенство с константой
С = max
Если страт <Jki является криволинейным треугольником, то нужно
предварительно подвергнуть его диффеоморфизму Ф, в результате
чего может лишь измениться величина константы в доказываемом
неравенстве.
Пусть теперь страт <Jki произволен, т. е. может не допускать гло-
глобальных координат и иметь «дыры». В этом случае нужно подвергнуть
его достаточно мелкой триангуляции, как показано на рис. 9.8. В ре-
результате страт разбивается на страты, подобные уже рассмотренным.
О
Рис. 9.7. К лемме 9.1. Про- Рис. 9.8. Страт аы-> разбитый на треуголь-
стейший случай	ные части
Возьмем какую-нибудь цепочку ak-ij1-, • • • , <Jk—ijm вспомогатель-
вспомогательных стратов в <Jki, обладающую следующими свойствами:
•	<Jk-ijp+1 и &k-ijp являются сторонами треугольника <Jkjp\
•	CTjfe-iji С (Tk-ij и (Tk-ijm c ak-il
К каждому страту <Jkjp уже можно применять неравенство (9.26).
Обозначая соответствующую константу через Cjp, получим
u2dfi ^ Cjp I	u2dfi +
elj'	^ij	akj

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	233
Последовательное применение таких неравенств для р = 1,2, ...,га
приводит к неравенству
I u2dfi + ^2 \
с константой С = max Cj, Cj9 ... Cj .
Поскольку все (Jkjv лежат в исходном страте <т/^, a
в <Jk-ih получаем после очевидного огрубления
Г	2	( Г 2	Г / ч
и d[i $J С [	и d\i + (Vix)
J	V J	J
Вспомогательный страт (jk—ij1 составляет лишь часть страта
<jk-ij- Однако такое же неравенство справедливо и для остальных
частей ak-ij- Суммируя неравенства по всем этим частям, получим
(9.26). Лемма 9.1 доказана.
о
Лемма 9.2. Пусть и Е Я^(^), <уы С Oq и crk-ij ~< &ы- Тогда
существует такая не зависящая от и константа С', что
Г	/"Г	Г
J	V J	J
Доказательство. Как и выше, будем считать, что и Е
Вновь предположим, что <т/^ выглядит, как на рис. 9.7. Имеем
у
и(х, у) = и(х, 0) + — (ж, s) ds,
(9.27)
откуда следует
о
Интегрируя по х от у до а, получаем
а у
л	л	л / л	О
г*2(ж, у) da; ^ 2 г^2(ж, 0) da; + 2d [ ^ (ж, s)
J	J	JKJoy
У	У	У О
<:2 \ u2dfJj + 2d \ f^

234	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Наконец, интегрируя по у, получаем
откуда и следует (9.27).
Как и в предыдущей лемме, случай криволинейного треугольника
сводится к уже рассмотренному применением диффеоморфизма.
Теперь обратимся к общему случаю. Снова воспользуемся описан-
описанной выше триангуляцией. На рис. 9.8 помечены только (к — 1)-мерные
страты. Возьмем такую цепочку <Jkjp, • • • ? °"kjx ^-мерных стратов три-
триангуляции, что страт <7jfe_i}jq располагается между <Jkjq и o~kjq_1 ПРИ
q > 1. Напомним, что (Jk-ij1 С (Tk-i,j- Применив уже доказанный
вариант неравенства (9.27) к паре стратов ak-ijp -< &kjp, получим
f u2dfi+ I
Далее будем использовать только неравенство (9.26). Применив его
сначала к паре стратов ak-ijp и cr/c_i5jp_1, затем к аналогичной паре
0"fc-i,jp_i И Gk-ijp-2 и т-Д-5 придем к неравенству
akjp	crk-l,j1	crkjs
где С = max Cj1Cj2 ---Cj . В правой части мы можем взять <Jk-i,j
вместо ak-ij1 • Суммируя по всем <Jkjs, получим (9.27). Таким образом,
лемма 9.2 доказана.
Лемма 9.3. В условиях леммы 9.2 существует такая не завися-
зависящая от и константа G, что
I u2d[i ^ c( I u2d/j,+ I (VufdfiY	(9.28)
&k-lj	&Ы	&ki
Доказательство. Для случая треугольника, изображенного на
рис. 9.7, имеем
у
и(х, 0) = и(х, у) - \ -^ (ж, s) ds.
Теперь нужно продолжить функцию и нулем в верхний треуголь-
треугольник квадрата [a, b] x [а, 6], чтобы иметь возможность проинтегриро-

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом
235
вать неравенство
У
(х,у)-а\ (
(ж,s) ds
очевидным образом получающееся из предыдущего равенства.
Дальнейшие оценки делаются так же, как в предыдущих леммах,
поэтому мы позволим себе их опустить. Впрочем, можно было бы
с самого начала считать страт
(iki квадратом, а не треугольни-
треугольником; для доказательства нера-
неравенства Пуанкаре это неприн-
непринципиально. Для криволинейных
треугольников предварительно
применяем выпрямляющий диф-
диффеоморфизм.
Теперь предположим, что &ы
произволен. Вдоль страта <Jk-i,j
расположим достаточно мелкие
вспомогательные страты а^г, • • •
..., о~^гт, леж;ащие внутри а к
так, как это показано на рис. 9.9.
Примыкающую к <t/c-i,j часть страта
Используя неравенство 9.28, получим
Рис. 9.9. К лемме 9.3. Разбиение на
части вдоль <Jk-ij
обозначим через ak-iti •
Г	/Г	Г	\
u2dn ^ СЛ u2dn+ {VuJd^\.
J	V J	J	/
0"fe-l,tp
После очевидной оценки правой части будем иметь
Г	/Г	Г
u2d[i ^ СЛ u2d[i+ {yuJd
J	\ J	J
Складывая эти неравенства, приходим к (9.28) с константой, рав-
равной сумме констант Ср. Лемма доказана.
Теперь мы можем сформулировать основной результат этого пунк-
пункта.
Теорема 9.6. Пусть ft — прочное стратифицированное множе-
множество. Тогда существует такая не зависящая от и константа G, что
lu2d/j,^ С I (VuJd/j,
(9.29)
для любой функции и G

236	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Доказательство. Для произвольного страта crki С Qq и неко-
некоторого страта <Jkpmp С д?1о в силу прочности Л существует прочная
цепочка стратов aki = akirni, ak2m2 ... , акрГПр.
Используя либо лемму 9.2, либо лемму 9.3 (в зависимости от того,
что имеет место: /с 2 — к\ = — 1 или /с 2 — к\ = 1), получим
[ u2dfi^Cklill \ (VuJdfi+ Г (VuJdA+Cklil \ u2dfi.
<Укг	°кг	CTki	Crki
Точно таким же образом можно оценить последний интеграл в пра-
правой части получившегося неравенства. После некоторого количества
подобных оценок получим
+ /ПГ	/ИГ
^кгп ••• ^/ср_2гр_2
+ CjMi ' ' ' Ckp_2ip_2	U2dfl.
Так как для последней разности всегда кр — кр-\ = — 1 (поскольку
(Jkpip С <9Л0), мы можем применить лемму 9.2 для завершения оценки.
Принимая во внимание то, что и обращается в нуль на границе, имеем
I u2dii ^Ckil Г (Vufdii + ... + Г (Vufdn J ^
^ Cki
с константой Ск{ = 2 max Cklix ...Ckqiq. Таким образом получено
неравенство (9.29) с константой С = ^2Cki, и теорема 9.6 доказана.
Возникает естественный вопрос: насколько ограничительным яв-
является прочность стратифицированного множества для неравенства
Пуанкаре, а следовательно, и для разрешимости задачи Дирихле?
Оказывается, прочность стратифицированного множества не только
достаточное, но и необходимое условие для выполнения неравенства
Пуанкаре [157].

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	237
Ранее неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах
доказывалось в [55]. Однако требования к прочности стратифици-
стратифицированного множества были намного более ограничительными (хотя
в явном виде они там не сформулированы), это видно из приведенного
в этой работе доказательства.
Отметим, что в связи с краевыми задачами в перфорированных
областях В. В. Жиков (см. [21]) ввел так называемое условие р-связ-
ности перфорированной области. Наличие этого свойства обеспечивает
эффективность метода усреднения в применении к таким задачам.
В какой-то степени наше условие прочности играет аналогичную роль,
обеспечивая в конечном итоге хорошие свойства краевой задачи на
стратифицированном множестве. Вероятно, в случае, когда Л име-
имеет периодическую структуру, возможно и применение самого метода
усреднения.
9.1.6. Слабая разрешимость задачи Дирихле на страти-
стратифицированном множестве. Как обычно, неравенство Пуанкаре
влечет слабую разрешимость задачи Дирихле. В настоящем пункте
мы приводим доказательство этого утверждения. Сразу заметим, что
при этом классической разрешимости может не быть даже при очень
хороших коэффициентах р и q в правой части. Дело здесь в геомет-
геометрическом устройстве Л; для классической разрешимости прочности
множества оказывается недостаточно. Существует гипотеза, что до-
достаточным условием является усиленная прочность. Она отличается
от обычной прочности тем, что уже любые два страта можно соеди-
соединить прочной цепочкой (Ткгп, сгк2г21 ••• •> akpip, B которой только край-
ние страты могут принадлежать границе д&о. Во всех изученных на
классическую разрешимость задачах (см., например, [143]) это условие
выполняется, даже если оно не оговаривается явно. В общем случае
вопрос пока остается открытым.
Назовем слабым решением задачи Дирихле
Ари -qu = f,	(9.30)
и\дПо = 0	(9.31)
о	о
функцию и из Яд(^,р,д), для любого v G HjtiftiP, q) удовлетворяю-
удовлетворяющую соотношению
Г	Г
(pVuVv + quv) dfjL = - fv dfjL.	(9.32)
j	j
о
Пространство Я^(^,р,^) определяется как пополнение Сц(П) по
норме, порождаемой скалярным произведением левой части (9.32).
Замыкание Gq(^) по норме || • ||[], порожденной этим скалярным про-
произведением, является гильбертовым пространством.

238	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Как обычно, наше определение слабого решения основано на интег-
интегральном тождестве, следующем из формулы Грина.
Пусть F(v) — функционал из правой части (9.32). Введем следую-
следующее обозначение:
Cf = ( J f2d?
о
Для любой функции v G Я^(^,р, q) верно следующее неравенство:
\F(v)\2 <: С) \ v2dfi ^ С}С [ (VvJdfi,
где С — константа из неравенства Пуанкаре. Используя очевидное
неравенство
где а — существенный минимум функции р, и комбинируя последние
два неравенства, можно сделать вывод, что функционал F ограничен.
Так как этот функционал линейный, мы можем применить для него
теорему представления Рисса. По этой теореме существует единствен-
о
ная функция и Е //Д^,р, q) такая, что тождество (9.32) справедливо
о
для всех v E #^(О,р, ?)•
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 9.7. Пусть ft — прочное стратифицированное множе-
множество. Для любого f E L2 (П) задача (9.30), (9.31) имеет единственное
о
слабое решение и Е //Д^,р, д).
Замечание 9.1.3. Если р и g ограничены сверху, то пространство
о	о
Н (?l,p,q) совпадает с пространством }{(??)-> так как в этом случае
норма || • ||[] эквивалентна норме || • ||^. Поэтому в этом случае постро-
о
енное выше решение принадлежит Н (?1)- Если же р имеет интегри-
интегрируемые слабые производные первого порядка на каждом страте, то мы
можем утверждать, что функция и удовлетворяет (9.30) по Фридрихсу.
Более точно, оператор L допускает самосопряженное расширение L
о	~
на #J,(fi,p,g) и Lu = /.
В следующем пункте мы покажем, что такое продолжение возмож-
возможно. В любом случае функция и является решением (9.30) в смысле
теории обобщенных функций.
9.1.7. Самосопряженное расширение оператора L. На
множестве функций из Cq(?1) оператор L удовлетворяет тождеству
(и, Lv) = (Lu,v). Это следствие второй формулы Грина. Поэтому

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	239
если мы покажем, что Cq(^) плотно в L2 (Л), то тем самым покажем
симметричность оператора L в Ь^(?1). Доказательство этого начнем со
следующей леммы. Упоминающаяся в ней регулярность области имеет
обычный «барьерный» смысл (см., например, [17]), обеспечивающий
классическую разрешимость задачи Дирихле в ней.
Лемма 9.4. Пусть и — непрерывная в замыкании регулярной
области GcMfc функция, a if задана и непрерывна на 8G. Пусть,
далее, е — такое положительное число, что
\и\аа{Х)-<р(Х)\ <е
для всех X G 3G.
Тогда найдется такая функция v E C2(G) П C(G), что:
V \dG = Ч>\
\и(Х) - v(X)\ < Зе для всех X ? G.
Доказательство. Пусть Р — полином, приближающий и в G
с точностью до е. Если Р совпадает с (р на границе области G, то
полагаем v = Р. В противном случае полагаем v = Р + h, где h —
решение следующей задачи Дирихле:
h\dG = {<P- P) Не-
Недействительно, очевидно, что v совпадает с <р на границе обла-
области G. Кроме того, так как \<р(Х) — Р(Х)\ < 2е на границе G, то в силу
принципа максимума |/г(Х)| < 2е в замыкании области G. Но тогда
и(Х) - v(X)\ <: \и(Х) - Р(Х)\ + \h(X)\ < Зе.
Лемма доказана.
Замечание 9.1.4. Если область G имеет кусочно гладкую гра-
границу, а функция (р гладкая на каждом гладком участке границы, то
функция v дифференцируема вплоть до тех точек границы, которые
лежат на ее гладких участках.
Замечание 9.1.5. У тверждение леммы легко переносится на слу-
случай, когда G — /и-мерное подмногообразие пространства W1. В качестве
многочлена Р, фигурирующего в доказательстве, нужно взять суже-
сужение на G некоторого многочлена в Мп. В этом варианте утверждение
будет применяться к стратам.
Чтобы упростить наши рассуждения, будем предполагать, что ft —
простое стратифицированное множество (определение простого стра-
стратифицированного множества см. в п. 9.1.1). Заметим, что простое стра-
стратифицированное множество обязательно является прочным. Хотя об-
обратное, вообще говоря, неверно, изменения, которые нужно сделать

240	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
в приводимом далее доказательстве в случае произвольного прочного
множества, достаточно очевидны.
Теорема 9.8. Пространство C$(ft) плотно в Co(ft) по норме
\\u\\ = max |
Доказательство. Пусть и Е С о (ft). Будем строить приближа-
приближающую и функцию v E Cq (ft) последовательно, начиная со стратов
нулевой размерности. А именно положим v = и в нульмерных стратах.
На одномерных стратах из dfto полагаем v = 0 (т.е. вновь v = и).
Если же аи С По, то, применяя лемму 9.4 (в которой в качестве G
нужно взять аи, а в качестве значений функции <р на границе аи —
уже определенные значения v в нульмерных стратах), продолжаем v
в аи так, что v отличается от и в каждой точке аи не более чем
на е. Таким образом, получаем на объединении нульмерных и одно-
одномерных стратов функцию класса С2, (П1), отличающуюся от и не более
чем на е.
Далее переходим к двумерным стратам а^ц. Если a<ii С dfto, то, как
и выше, полагаем v = 0. В противном случае применяем лемму 9.4,
принимая, как и выше, в качестве значений (р на границе a<ii Уж^
определенные значения v. Дальнейшие рассуждения очевидны.
Из определения L2 (ft) и доказанной теоремы получаем следующее
утверждение.
Следствие. Пространство C$(ft) плотно в L^(ft) no норме
последнего.
Отсюда и из равенства (и, Lv) = (Lu, v) получаем, что оператор L
является симметрическим в L^(ft). Кроме того, из неравенства Пуан-
Пуанкаре следует отрицательная определенность этого оператора в L^ft)
при q ^ 0. Последнее неравенство можно даже несколько ослабить.
В самом деле, из первой формулы Грина при и Е Со(^о) имеем
Г	Г
(и, Lu) = u(y(pVu) — qu) dii = — (p{S/uJ + qu2
Однако, с другой стороны,
j (p(VuJ + qu2) d» > | (q + g
где, как и выше, через а обозначен минимум функции р. Отсюда
видно, что при q + а/С ^ /3 >0 (а для этого не обязательно, чтобы
коэффициент q был положительным) выполняется неравенство
(u,Lu) ^ -Р(и,и),
что и означает отрицательную определенность L.

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	241
Из отрицательной определенности и симметричности L следует,
что он допускает самосопряженное расширение в Ь^(?1) (см., напри-
например, [3]), которое мы обозначим через L.
Из_самосопряженности и отрицательной определенности опера-
оператора L получается, как известно, следующая оценка резольвенты
itl A, Lj ) = ч7*-* — ^)
1
А — Сс7
при А > oj; в нашем случае в качестве ио можно взять любое неот-
неотрицательное число. Из данной оценки и теоремы Хилле—Иосиды (см.,
например, [147]) получаем следующее утверждение.
Теорема 9.9. Оператор L является производящим оператором
сильно непрерывной полугруппы операторов в Ь^(П).
9.1.8. Слабый принцип максимума. Здесь нам понадобится
обобщение первой формулы Грина на случай, когда и Е C^(fi), v E
Е С^.(Л), т.е. когда обе функции могут претерпевать разрывы при
переходе со страта на страт.
Отправным моментом является формула (см. п. 9.1.3)
Пусть crk-i,i С Г^о и X Е o~k-i,i- Как и в п. 9.1.3, выражение
V(pvVu) преобразуется к виду
у
\~k~r ) •
Последнее слагаемое является суммой произведений скачков
v \-?j(X) — v(X), умнож;енных на v • (pVix)kr-r(X). Эту сумму условимся
обозначать через {v, (pV^i)^}. Таким образом, получаем следующее
утверждение.

242	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Теорема 9.10. Пусть и Е C^(fi), v E С 1.@.) и ft является
ориентируемым стратифицированным множеством. Тогда имеет
место формула
vApud/j, = -
\{v,
(9.33)
При v E Crl(il) средний интеграл справа обращается в нуль, а вы-
выражение (pvVu)^ преобразуется к виду v(pVu)v, и мы снова приходим
к формуле (9.19).
Слабый принцип максимума, в отличие от сильного, переносится
на уравнения на стратифицированных множествах в неизменном виде.
А именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 9.11. Пусть q E Са(?1о) неотрицательна, а мно-
множество ft ориентируемо. Тогда для решения неравенства Lqu ^ О,
и Е С2(?1о) П С (ft) имеет место соотношение
u(Y) ^ max u+(X),
для любого У Е ^, где и+(Х) = max {0, и(Х)}.
Напомним, что ?1 называется ориентируемым, если замыкания
стратов являются ориентируемыми многообразиями. Данная теоре-
теорема верна и в случае произвольного прочного множества ft. Одна-
Однако ее доказательство довольно громоздко даже в рассматриваемом
здесь случае. Доказательство существенно упростилось бы, если бы на
стратифицированном множестве удалось ввести достаточно простую
конструкцию сглаживания функций. Наиболее простая из таких кон-
конструкций — сглаживание по Фридрихсу—Соболеву — на стратифици-
стратифицированные множества, к сожалению, не переносится.
Доказательство. Прежде всего докажем теорему в случае q =
= 0, т.е. Ь = Ар.
Обозначим через Ф класс неотрицательных функций из C^(fi),
обращающихся в нуль в окрестности д?1о. Для любой функции (р Е Ф
имеем
Г
pU(f d\i ^ 0.
Тогда из формулы (9.33) получаем
Г	Г
{<?, (pVu)v}dii —
По	дП0

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	243
Интеграл по дПо обращается в нуль, поскольку (р обращается в нуль
на границе. Поэтому
- pVuVipdii- {<р,
0.	(9.34)
Предположим, что вопреки утверждению теоремы, существует та-
такая точка Xq e Gki С По, что
и(Х0) > max u+(X).
Выберем такую константу с, что
и(Х0) > с > sup u+(X).
Пусть flf С Qq — какая-нибудь связная компонента множества ре-
решений неравенства и(Х) — с ^ 0. Положим
\ 0,	Х$п'.
Функция v непрерывна и неотрицательна, но не принадлежит про-
пространству С^.(Л), поэтому к ней нельзя применить неравенство (9.34).
Однако ее можно приблизить функцией ve, применив к v операцию
сглаживания в пределах каждого страта. Для этого можно на каждом
страте Gki взять свертку (усреднение) вида
ve(x) = -^ J p(^-j^v(y) dy,
где, как обычно, р — неотрицательная гладкая функция с единичным
интегралом, обращающаяся в нуль в окрестности границы страта.
Здесь мы неявно предположили, что страт допускает введение гло-
глобальных координат х. Если это не так, нужно предварительно взять
конечное разбиение единицы. Последнее возможно, так как мы пред-
предполагаем замыкания стратов компактными. Введение координат на
страте <Jki превращает его в область ljm с кусочно гладкой границей
в пространстве M.k. Перед взятием усреднения функцию v следует про-
продолжить в некоторую область 5^, содержащую ооы- Для продолже-
продолжения через гладкие участки границы uj^i можно, например, применить
конструкцию, описанную в [43, 123], с сохранением гладкости на этих
участках.
К сожалению, продолженная функция может принимать и отри-
отрицательные значения в uj^i \ ^ы^ поэтому функция v? не обязана быть
неотрицательной. Однако при достаточно малых е отрицательные зна-

244	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
чения v? малы по абсолютной величине и сосредоточены на «маломер-
«маломерных» участках. Поэтому для произвольного 5 > 0 будем иметь
Г	Г
- pVuVv?dn- \{v?,(pVu)u}dn ^ -5,	(9.35)
если только е достаточно мало.
Поскольку сглаживания на каждом страте осуществляются авто-
автономно, функция v? может претерпевать разрывы при переходе со
страта на страт. Однако при е —>• 0 величины скачков равномерно
стремятся к нулю. Поэтому, переходя к пределу в неравенстве (9.35),
получим
— pVuVv d/i ^ —S.
Учитывая, что Vu = Vv на ?У, получаем ввиду произвольности 5
невозможное неравенство
— pVuS/v d[i ^ 0.
Изменения в доказательстве, которые нужно сделать для операто-
оператора L в случае q ф 0, незначительны. Формула (9.33) для оператора L,
очевидно, принимает вид
vLu dfi = — (pVuVv + quv) dfi —
По	По	Г	Г
J	J
Поэтому, повторяя приведенные выше рассуждения, получим следую-
следующую формулу:
Г
— (pVuVu + qu(u — с)) d[i ^ 0,
j
откуда получим противоречивое неравенство
— pVuVu d/i ^ qu{u — с) d\i ^ 0.
9.1.9. Сильный принцип максимума. Прежде всего заметим,
что в классической формулировке сильный принцип максимума на
эллиптические уравнения и неравенства на стратифицированных мно-
множествах не распространяется. Чтобы в этом убедиться, достаточно,
например, на множестве, изображенном на рис. 9.5, задать функцию и
следующим образом: и = 0 на одномерном страте и любых двух дву-
двумерных, а на оставшихся двумерных стратах полагаем и равным вто-

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	245
рой координате, т.е. и = х2. Нетрудно убедиться, что функция и
является решением уравнения Аи = 0. Тем не менее два двумерных
страта сплошь состоят из точек локального максимума функции и.
Однако все эти локальные экстремумы тривиальны; для каждого из
них найдется окрестность, в которой функция и постоянна. Оказыва-
Оказывается, иных локальных экстремумов быть не может. В этом и состоит
сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стра-
стратифицированных множествах. Уточним это.
Назовем Xq е ft точкой локального нетривиального максимума
функции и, если и(Х) ^ u(Xq) вблизи Xq и и не является постоянной
ни в какой окрестности точки Xq.
Теорема 9.12. Пусть и Е С2(По) — решение неравенства Lu ^
^ 0. Если q ^ 0, то функция и не может иметь в ft0 точек неотри-
неотрицательного локального нетривиального максимума.
Наше доказательство будет опираться на аналог классической лем-
леммы о нормальной производной. Для обычного эллиптического нера-
неравенства в области G пространства W2 она утверждает, что, если его
решение достигает своего максимума в граничной точке Xq, to при
выполнении некоторых геометрических условий на границе области
вблизи Xq производная и в точке Xq по направлению внутренней нор-
нормали будет отрицательна, если и не является постоянной функцией.
Подробности можно найти в [17] или [6].
На первый взгляд, понятие нормальной производной в точке из
8?Iq бессмысленно. К примеру, на рис. 9.2 в угловых точках 8?Iq нет
нормалей в обычном смысле. Тем не менее, в таких точках аналогом
нормальной производной можно считать выражение (рЧи)и, стоящее
в формуле (9.20) как раз на том месте, где в классической формуле
Грина стоит нормальная производная.
Утверждения этого пункта пока не доказаны для произвольного
стратифицированного множества, поэтому мы приводим доказатель-
доказательства лишь в двумерном случае, т. е. когда размерности стратов не
превосходят 2. Здесь мы следуем идее, изложенной в [47].
Теорема 9.13. Пусть и Е C2(fto) П С1 (ft) — решение неравен-
неравенства Lu ^ 0. Тогда если Xq e сг/с-н С dfto — точка нетривиального
максимума, то в каждом из следующих случаев:
1)	q(X0) = 0;
2)	q > 0, u(Xq) > 0;
имеет место неравенство (pVu)(Xo) < 0.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Xq лежит
в одномерном страте (Xq E сгц С 8?Iq). В каждом из стратов <T2j,
к которым примыкает аи, оператор L является классическим эллип-
эллиптическим оператором, а потому применима классическая лемма о нор-
нормальной производной, в соответствии с которой по меньшей мере одна

246	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
ди
из производных -jr— (Xq) отрицательна. Так будет в каждом страте
а2j, на котором функция и непостоянна. Такие страты имеются в силу
нетривиальности максимума. С учетом очевидной неположительности
аналогичных производных на остальных стратах получаем
поскольку коэффициент р положителен.
Пусть теперь Хо ? <Joi (т.е. {Хо} = его*)- Предположим сначала,
что существует такая окрестность Ux0 точки Xq, что и(Х) ф u(Xq)
при X G Ux0 и в некоторой точке Xi, принадлежащей какому-либо
одномерному страту crij, лежащему в По и примыкающему к сгог,
выполняется неравенство и{Х\) < и(Х0). На каждой паре (<Jii,0fc)j
где аи -< <T2k-> введем систему координат (ж1, ж2), приняв а и за первую
координатную линию, направив вторую внутрь страта <J2k- Находясь
в локальной системе координат, будем рассматривать конусы вида
К2к = {х: 0 ^ х1 ^ 6, 0 ^ х2 ^ Хх1}
и положим К = (J ^2/е- При естественном отож;дествлении то-
чек и их координат множеству К соответствует множество /С, ле-
лежащее в П. Его граница дК является объединением множеств дК\
и dK<i\ дК\ (при упомянутом отождествлении) — образ набора отрез-
отрезков {х: х2 = Аж1, О $J ж1 $J J}, а дК2 — остальная часть дК. Числа А
и 5 можно взять так, что К С U(Xq) и точке Х\ соответствуют коор-
координаты (S, 0).
Ниже будет показано, что при достаточно малом А > 0 существует
такая функция (р: К —} М, что
L^>0, |^.@,0)>0, <р\вК1=0.
Тогда функция v = и — u(Xq) + е(р при е > 0 удовлетворяет неравен-
неравенству Lv > 0. На дК\ функция v совпадает си — u(Xq), а потому непо-
лож:ительна. Если А достаточно мало, то на дК2 функция и — u(Xq)
принимает лишь отрицательные значения, поскольку она отрицатель-
отрицательна в точке Х\. Так как дК2 компактно, то при малых положительных е
функция v также отрицательна на дК2. Тем самым v неположительна
на дК. Из теоремы 9.11 получаем, что v неполож;ительна всюду в К.
Отсюда легко следует неравенство
С учетом ——(^"о) = 0 получаем —^ (Xq) < 0. Наконец, из поло-
ох\	дх
жительности р получаем [pVu)^ < 0.

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	247
Теперь можно освободиться от предположения, что в некоторой
точке Х\ G U(Xq) выполняется строгое неравенство и(Х\) < u(Xq).
В самом деле, уже доказанного варианта леммы о нормальной произ-
производной достаточно для доказательства сильного принципа максимума
для решений неравенства Lu ^ 0, а из него следует, что значение u(Xq)
не может достигаться в По-
Наконец, заметим, что если u(Xq) = 0, то знак q не играет никакой
роли. В самом деле, поскольку и(Х) $J 0 вблизи Xq, to из неравенства
Lu = Ари — qu ^ 0 следует
Ари — q~u^ 0, где q~{X) = max{0, —q(X)}.
Тем самым дело свелось к уже рассмотренному случаю, когда q неот-
неотрицательна. Теорема доказана.
Заметим, что в доказательстве использовался слабый принцип мак-
максимума, а это предполагало ориентируемость Л. Однако ориентируе-
ориентируемость не предполагалась в условиях только что доказанной теоремы.
Дело здесь в том, что наши рассмотрения относились лишь к малой
окрестности точки Хо, а в малом все многообразия (в нашем случае —
это страты) ориентируемы.
Вернемся к вопросу о существовании функции (р с требуемыми
в доказательстве свойствами. Функция ip может быть определена по
отдельности в каждом K%k формулой
B \
х1 — —- ) — 1.
Проверим, что Lip > 0; проверка остальных свойств не представляет
труда.
В точках из о/с дело сводится к проверке неравенства
= JL ^ [p^gg^^j (X) - дц>(Х) > 0,
или, иначе, неравенства
После очевидных преобразований левая часть приводится к виду
где Ф2 — ограниченная на К функция, а Ф1 = g11 — 2g12X~1 + g*22A~2,
т. е. равна значению положительно определенной квадратичной фор-
формы на ненулевом векторе A, —А), и, следовательно, положительна.
Отсюда видно, что доказываемое неравенство будет верно при доста-
достаточно больших положительных $.
То, что неравенство Lip > 0 выполняется на страте <7ц, проверяется
еще проще.

248	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Построение функции (р представляет наибольшую трудность при
переносе данного результата на стратифицированные множества боль-
большей размерности. Остальная часть наших построений от размерности
не зависит.
Теперь переходим к сильному принципу максимума.
Теорема 9.14. Решение и неравенства Lu ^ 0 при q ^ 0 не мо-
может иметь в ft0 точек локального нетривиального неотрицатель-
неотрицательного максимума.
Доказательство. Предположим все же, что указанные мак-
максимумы в ?Iq есть. Прежде всего заметим, что их не может быть
в двумерных стратах. В самом деле, в стратах старшей размерности
оператор L является классическим равномерно эллиптическим опера-
оператором с неотрицательным q. Отсутствие нетривиальных максимумов
в этом случае — хорошо известный факт (см., например, [6, 17]).
Пусть Xq е aik — точка нетривиального максимума. В такой точке
в силу классической леммы о нормальной производной
v(X0) < 0.
Кроме того, классическая часть оператора L, а именно
— qu, неположительна в точке Xq; в противном случае было бы
Vi(pVu)(Xo) — qu(Xo) > 0, что в окрестности максимума невозможно
в силу классического принципа максимума. Следовательно,
Lu(X0) = Vi(pVu)(X0) + (рУм)ДХо) - qu(X0) < 0,
что противоречит условию теоремы.
Предположим теперь, что Xq e o~Qi — точка нетривиального мак-
максимума. Выделим окрестность U(Xq), в которой и(Х) $J u(X0). Здесь
следует рассмотреть два случая: и = u(Xq) на U(Xq) П ( (J <tij)
или и ф г^(^о) на этом же множестве для любой достаточно малой
окрестности U(X0).
Покажем, что оба эти случая невозможны.
В первом случае по крайней мере в одном из одномерных стра-
тов имеется точка максимума (невозможность этого уже обосно-
обоснована выше). Во втором случае, рассматривая Хо как фиктивную
граничную точку, из доказанной части предыдущей теоремы име-
имеем (pVu)v(Xo) < 0. С другой стороны, поскольку в точке Xq клас-
классическая часть оператора L отсутствует, имеем Lu = {jpS/u)u — qu ^
^ 0, откуда (pVu)l/(Xo) ^ 0. Снова получается противоречие. Теорема
доказана.
Заметим, что поскольку сильный принцип максимума влечет вы-
выполнение слабого, то по крайней мере в двумерном случае ориен-
ориентируемость Г?, предполагаемая в теореме 9.11, является избыточным
требованием.

9.1. Уравнения и неравенства с жестким лапласианом	249
В заключение приведем утверждение, из которого, в частности,
следует сильный принцип максимума для решений строгого неравен-
неравенства Lu > 0. Ограничений на размерность ft теперь не требуется.
Классического аналога этого утверждения нет.
Назовем точку Xq ? <т/^ точкой спуска функции и, если и(Х) ^
^ и(Х0) для близких к Xq точек из o~ki и из всех <Jk+i,j >~ °~кг-
Точка максимума, очевидно, является точкой спуска. Обратное,
вообще говоря, неверно. Можно лишь говорить о том, что точка спус-
спуска является точкой максимума сужения и на объединение упомя-
упомянутых стратов, т. е. точкой относительного максимума. Будем гово-
говорить также, что Xq — точка спуска неотрицательной высоты, если
и(Х0) ^ 0.
Теорема 9.15. Пусть q ^ 0 и Lu > 0 на o~ki- Тогда в aki функ-
функция и не имеет точек спуска неотрицательной высоты.
Доказательство. Предположим, что найдется Xq e сг^г-, явля-
являющаяся точкой спуска неотрицательной высоты. По условию
Lu{X0) = Ари{Х0) + (рЧи)„(Х0) - (qu)(X0) > 0,
(Ари)(Х0) > -(pVu)v(X0) + (qu)(X0),	(9.36)
где Ар — классическая часть оператора Ар. Покажем, что выраже-
выражение в правой части (9.36) неотрицательно. Неотрицательность первого
слагаемого легко следует из определения точки спуска. Неотрицатель-
Неотрицательность же второго слагаемого следует из и(Х0) ^ 0. Таким образом,
классическая часть Lu, а именно Ари, строго положительна в точ-
точке Xq. Заметим, что при к = 0 классическая часть L равна нулю,
и противоречие получается уже на этом этапе. Если к > 0, то из
классического принципа максимума следует, что функция и не может
иметь максимума в Xq относительно страта o~ki, а потому Xq не явля-
является точкой спуска. Теорема доказана.
Следующий пример показывает, что на нестрогие неравенства это
утверждение не распространяется.
В качестве ft рассмотрим верхний замкнутый полукруг радиу-
радиуса тг/2, а в качестве dftQ — соответствующую замкнутую полуокруж-
полуокружность. Одномерными стратами из ftQ = ft \ dftQ будем считать интерва-
интервалы (—тг/2; 0), @; тг/2), а точку (тг/2; 0) — нульмерным стратом из ^о-
Внутренность полукруга — двумерный страт множества ftQ. Функция
и(х,у) = ехр у - sin (ж + тг/2), как нетрудно проверить, является реше-
решением уравнения Lu = 0 при р = 1, q = 0. Тем не менее @; 0) является
точкой спуска неотрицательной высоты.
Имея в виду механическую интерпретацию оператора L, нетрудно
объяснить исчезновение точки спуска в этом примере при переходе от
строгого неравенства к равенству. Действительно, строгое неравенство

250	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Lu > 0 означает наличие сосредоточенной нагрузки в точке @; 0),
действующей «вниз», что приводит к «провисанию» графика в этой
точке, поскольку на примыкающих к этой точке стратах нагрузка рас-
распределенная, а следовательно, не могущая нейтрализовать действие
сосредоточенной нагрузки в непосредственной близости к точке @; 0).
9.2. Уравнения и неравенства с мягким
лапласианом
В этом параграфе мы описываем некоторые результаты, относящи-
относящиеся к так называемому мягкому лапласиану. Отличие его от жесткого
состоит в том, что коэффициент р положителен только на стратах
старшей размерности. В остальных стратах р = 0. В силу этого условия
прочности стратифицированного множества ft приходится заменить
на более жесткие. Механическим примером, приводящим к уравнению
с мягким лапласианом, является, например, задача о малых переме-
перемещениях системы, составленной только из мембран. Этот случай ближе
к классическому, поэтому наше изложение здесь менее подробно. До-
Доказательства даются лишь в случаях, когда действительно возникают
трудности.
9.2.1. Определения. Здесь мы сужаем класс стратифицирован-
стратифицированных множеств, но ослабляем требования на коэффициент р. Почти
все утверждения предыдущего параграфа после незначительных из-
изменений в доказательствах переносятся и на этот случай. Поэтому
мы не будем здесь возвращаться к рассмотренному в предыдущем
параграфе кругу вопросов. Мы комментируем лишь случаи, когда тре-
требуются существенные изменения в формулировках и доказательствах.
В следующих пунктах мы приведем результаты, характерные именно
для рассматриваемого в этом параграфе случая.
В оставшейся части главы будем предполагать, что страты множе-
множества ft являются многогранниками в Мп. Точнее, cr^i — относитель-
относительная внутренность ограниченного /г-мерного многогранника при к > 0,
а при к = 0 — точка.
Как и в п. 9.1.1, предполагается, что граница страта <Jki состо-
состоит из стратов меньшей размерности. По-прежнему ft предполагается
связным. Заметим, что условие, касающееся поведения касательных
пространств к стратам, теперь выполняется автоматически.
Множество ft разбивается на два подмножества, ft0 и dft0; первое
используется как аналог области, а второе — граница этой области
в топологии, индуцированной на ft из Мп. В отличие от предыду-
предыдущего параграфа теперь предполагается, что по крайней мере один
(d — 1)-мерный страт входит в dfto. Это условие подсказывается тем
обстоятельством, что мембрану нельзя закрепить в отдельной точке.

9.2. Уравнения и неравенства с мягким лапласианом	251
Будем считать р = 0 на стратах, размерность которых меньше раз-
размерности d = d(?l) множества Л. На каждом из стратов o~di коэффи-
коэффициент р предполагается постоянным; р = pi > 0. При таких условиях
оператор Ар на Gdi сводится к классическому оператору Лапласа,
умноженному на постоянную р{. На стратах <Jd-i,i имеем
(9.37)
т. е. Ар сводится к сумме умноженных на pj производных по внутрен-
внутренним нормалям всех б/-мерных стратов <Тф-, примыкающих к <Jd-i,i-
На остальных стратах оператор Ар вырождается в нуль. Главным
образом мы будем интересоваться разрешимостью следующей краевой
задачи:
Ари = 0,	(9.38)
и\дп0 = V-	(9-39)
Решение ищется в классе С^(^о) П С (ft). Еще раз подчеркнем, что
в действительности дифференциальные соотношения имеются лишь
в стратах размерности d и d — 1.
Множество Л назовем прочным, если каждый (d — 1)-мерный
страт <Jd-i,i С По можно соединить с каким-либо (d — 1)-мерным стра-
том <Td_i5j, принадлежащим <9Л0, связной цепочкой следующего вида:
составленной из стратов Qq. Данное условие прочности обеспечивает
по меньшей мере слабую разрешимость задачи
Ари = /,	(9.40)
= 0.	(9.41)
Построения предыдущего параграфа повторяются здесь с отличием
лишь в неравенстве Пуанкаре, которое приобретает вид
<С \(VuJdu,
где a/, {k = d — l,d) означает объединение fc-мерных стратов ?1$.
В доказательстве используются те же соображения, что и в преды-
предыдущем параграфе. При доказательстве слабой разрешимости страты
не обязательно предполагать плоскими, а коэффициент р постоянным
в пределах каждого d-мерного страта из По-
Прочное множество ft будем называть усиленно прочным, если при
к ^ d — 2 и любом г существует сколь угодно малая окрестность U
страта Gki такая, что множество U \ &ы является связным.

252	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Рис. 9.10 дает пример прочного множества, не являющегося уси-
усиленно прочным: условие усиленной прочности нарушено в страте аоъ
На таком множестве можно гаранти-
гарантировать слабую разрешимость задачи
(9.40), (9.41), но не ее классическую
разрешимость, поскольку задача полу-
получается переопределенная; в точке, со-
соответствующей страту сго1 имеется еще
условие непрерывности.
^	,	9.2.2. Теорема о среднем и
некоторые ее следствия. Следую-
Следующая теорема представляет собой ана-
аналог классической теоремы о среднем.
^	Интересно заметить, что для жестко-
а01	го лапласиана на стратифицированном
множестве с плоскими стратами и с р =
Рис. 9.10. Прочное, но не уси- = 1 аналог теоремы о среднем пока не
ленно прочное множество	найден. Здесь множество Л о предпола-
предполагается лишь прочным.
Пусть О ? <Jki С ^о- Пусть, далее, число г > 0 не превосходит рас-
расстояния го от О до всех (d — 1)-мерных стратов, замыкания которых не
содержат точку О; такие г будем называть допустимыми. В этом слу-
случае множество У$Г(О) = ВГ(О) П Л, где ВГ(О) — обычный шар в Мп,
назовем стратифицированным шаром. Из определения легко следует,
что при всех г Е @; го) куски сфер д$$г(О) П <Тф- подобны между
собой. (Пример стратифицированного шара изображен на рис. 9.5.)
Заметим, что стратифицированные шары обязательно содержат точки
(i-мерных стратов, поскольку ft предполагается прочным. Поэтому
непусто по крайней мере одно множество д*Вэг(О) = дЪг(О) П adj.
Теорема 9.16. Пусть О Е ^о> а и Е С2(По) — решение уравнения
(9.38). Тогда при любом допустимом г
где ^р(дЪг(О)) = J pd/j,.
Доказательство. Покажем сначала, что производная функции
равна нулю. Ввиду того, что р равно нулю на стратах, размерность
которых меньше б/, ненулевой вклад в интегралы дают только d-мер-

9.2. Уравнения и неравенства с мягким лапласианом	253
ные страты. В силу упомянутого выше подобия множеств д*
при допустимых г имеем (считая, что точка О находится в начале
координат пространства Мп)
М(г + Аг) - М(г) =
pu(X)
р [
ulX + Arl-))--
Аг
o(r)]
Из формулы (9.19), в которой в качестве Г^о нуж:но взять Q5r(O),
а в качестве 9П0 — его границу дЪг(О), при г; = 1 получаем
pVu(X)
j
В силу этого имеем
Ar)-M(r) =
Лг^о	Аг
Таким образом, при допустимых г функция М(г) постоянна.
Но М(г) —ь и(О) при г —>• 0, что и приводит к формуле (9.42).
Вместо формулы (9.42) нам будет удобнее пользоваться формулой
получающейся из (9.42) интегрированием по радиусу.
Аналогично теореме 9.16 доказывается
Теорема 9.17. Пусть функция и Е С2(^о) удовлетворяет нера-
неравенству Ари ^ 0. Тогда
и(О) ^ ЯЯ(г)	(9.44)
при всех допустимых г.
Непрерывную на По функцию, удовлетворяющую (9.44), естествен-
естественно назвать р-субгармонической (или просто субгармонической). Есте-
Естественно также называть р-гармонической (или просто гармонической)
функцию, удовлетворяющую уравнению Ари = 0.

254	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
В качестве очевидного следствия теоремы о среднем получаем
сильный принцип максимума.
Теорема 9.18. Решение неравенства Ари ^ 0, принадлежа-
принадлежащее С2 (По), не имеет точек нетривиального локального максиму-
максимума в О0 -
Очевидно также, что принцип максимума выполняется и для р-суб-
гармонических функций.
Если и — гармоническая в О0, a v — субгармоническая функция,
принимающая на границе дПо те же значения, что и и, то и(Х) ^ v(X)
при XgOq. Разумеется, функции и, v предполагаются непрерывными
в ft. Доказательство этого факта также выводится из принципа мак-
максимума.
Аналогично определяется понятие р-супергармонической (проще —
супергармонической) функции. Вообще говоря, от субгармонических
функций принято требовать лишь полунепрерывности сверху, а от
супергармонических — полунепрерывности снизу; см., например, [10,
104]. Для наших целей этого не потребуется.
Следующее утверждение, являющееся аналогом неравенства Хар-
нака, позволяет перенести на стратифицированные множества метод
Пуанкаре-Перрона доказательства классической разрешимости зада-
задачи (9.38), (9.39).
Теорема 9.19. Пусть ft — компактное подмножество По. Тогда
существует такая постоянная С = С(Л, Ло), что для любой неот-
неотрицательной в ft0 гармонической функции и
maxw $J С mm и.
п	п
Доказательство этого факта проводится стандартно. Сначала
требуемое утверждение доказывается для стратифицированных шаров
достаточно малого (или допустимого) радиуса. Делается это на основе
теоремы о среднем. Затем ft покрывается конечном числом шаров,
и нужное неравенство конструируется из неравенств для шаров. По-
Подробности можно найти, например, в [17].
9.2.3. Формула Пуассона для стратифицированного шара.
Мы намерены получить классическое решение задачи (9.38), (9.39)
методом Пуанкаре—Перрона, т. е. как верхнюю огибающую р-субгар-
монических функций, принимающих на dft0 значения, не превосходя-
превосходящие соответствующих значений функции (р. Это так называемое ниж-
нижнее решение и. Множество субгармонических функций с упомянутым
свойством обозначим через S_ . Решение можно также получить как
нижнюю огибающую класса S^ р-супергармонических функций, при-
принимающих на dfto значения, не меньшие соответствующих значений (р.
Это так называемое верхнее решение п.

9.2. Уравнения и неравенства с мягким лапласианом	255
Если бы нам удалось найти формулу Пуассона для стратифици-
стратифицированного шара, то в соответствии со стандартной схемой метода
Перрона (см., например, [17, 62, 126]) нам удалось бы доказать, что
верхнее и нижнее решения являются классическими решениями урав-
уравнения (9.38). К сожалению, общую формулу Пуассона пока не удалось
найти. Однако удалось найти ее для шаров с центрами в (d — 1)-мер-
ных стратах. Для шаров с центрами в d-мерных стратах можно вос-
воспользоваться классической формулой Пуассона. Этого оказывается до-
достаточно, поскольку дифференциальные соотношения имеются лишь
на d- и (d — 1)-мерных стратах. В остальных стратах имеем лишь
условие непрерывности.
Начнем с функции Грина. Ее построение основывается на некото-
некоторых соображениях симметрии.
Функция G(- , •): ИхИ^М называется фундаментальным реше-
решением оператора Ар в ft0, если G(-, У) G C%(ft0 \У)Г\ С (ft \ У) и для
любой финитной функции (р G C%.(fto) П С (ft) выполняется равенство
, У)Ар<р(Х) ^ = V(y)-	(9-45)
Обозначим через К(z; у) функцию Грина задачи Дирихле в d-мер-
ном шаре Вг@) из М? с координатами z1,...,zd. Считая, что yd ^
^ 0, с помощью этой функции мы можем определить в стратифициро-
стратифицированном шаре *ВГ(О) функцию G(X,y), определив ее в каждом «по-
«полушарии» %$i @5г — замыкание множества 03г(О) П о~сц) следующим
образом:
G(X, У) = < Pl	Pl	(9-46)
1 к(х,у), xe<Sj (зф1), res,,
где х получается из х заменой xd на — xd, a P/ — сумма всех pj (j ф /),
соответствующих всем сгф- >> ad-i,i- Мы полагаем Р/ = 0, если к (Td-i,i
примыкает только один (i-мерный страт. Полож;им такж;е Р = Р\ + р\.
Теорема 9.20. G(X, У) = — G(X, У) является фундаменталь-
фундаментальным решением оператора Ар в шаре *ВГ(О) с центром в d- или
(d — 1)-мерном страте.
Доказательство. Поскольку, как нетрудно проверить, в d-мер-
ных стратах функция G(X, У) совпадает с классической функцией
Грина оператора Лапласа, нам достаточно рассмотреть только случай,
когда О принадлежит (d — 1)-мерному страту. Интеграл в левой части
равенства (9.45), как отмечалось выше, сводится к сумме

256	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Однако в силу того, что р обращается в нуль на стратах a^i с k <
получаем применительно к *ВГ(О), что
G(X,Y)Ap<p(X)dn =
\ G(x> Y)Af(x) d» + \
J	J
m ox
*>	ал-иП*>	(9.47)
Здесь мы воспользовались представлением оператора Ар в стратах
размерности d — 1, фигурирующим в (9.37), и тем, что в d-мерных
стратах Ар = piA. Пусть для определенности У ? 53/. В силу (9.46)
G{X, Y) гармонична в 53j при j ф /, поэтому, учитывая, что (р обра-
обращается в нуль на дЪг(О), с помощью классической формулы Грина
получаем
\G(X,E)Atp(X)dn=- \
-^dfi (j ф I).
Аналогичный интеграл по 53/ с учетом того, что К(Х, Y) — фун-
фундаментальное решение оператора Лапласа, приводится к виду
, Y)A<p(X) d\i = P<p(Y) - | G(X, Y)Pl ^ d/x.
Преобразуя первое слагаемое в правой части (9.47) с помощью полу-
полученных соотношений и деля обе части получаемого равенства на Р,
получаем (9.45). Теорема доказана.
Так как G(X, Y) = 0 при X ? <993г(О), то G(-, •) является функ-
функцией Грина оператора Ар в стратифицированном шаре. Обычным
способом отсюда получаем аналог формулы Пуассона для решения и
задачи Дирихле в стратифицированном шаре. А именно
и(Х) = - J <p(Y)dGf;Y)d».	(9.48)
дЪг{О)
Дифференцирование здесь относится к переменной Y. Знак минус
возникает из за того, что мы пользуемся внутренними нормалями.
Проверка формулы (9.48) проводится стандартно, поэтому мы не оста-
останавливаемся на ней.
9.2.4. Метод Перрона для уравнения на стратифициро-
стратифицированном множестве. В отличие от классического случая (см., на-
например, [17, 62, 98, 104, 126]), реализация метода Перрона на страти-
стратифицированном множестве значительно более трудоемка. В силу этого
мы позволим себе основные моменты метода продемонстрировать на
простом примере. В общем случае требуется доказать еще аналог

9.2. Уравнения и неравенства с мягким лапласианом	257
леммы о стирании особенности, что весьма непросто. Этот аналог
о
мы сформулируем в виде следующего утверждения, в котором По —
множество, получающееся из ?1$ после удаления из него стратов a^i
с k < d- 1.
Теорема 9.21. Пусть По — усиленно прочное множество и и —
о
ограниченная р-гармоническая функция в fto- Тогда ее можно доопре-
доопределить до р-гармонической функции на Oq -
Напомним еще раз, что в стратах a^i с k < d — 1 дифференциаль-
дифференциальных соотношений нет, поэтому речь здесь идет лишь о возможности
доопределения и на ft0 по
непрерывности. Заметим также,
что для не прочных множеств
это утверждение, вообще гово-	\^	V*А::
ря, неверно. Но на таких мно-
множествах классического решения
задачи (9.38), (9.39) может и не л	^^ ^
быть.	~»^ / Х^ ^^ X
Итак, рассмотрим задачу
(9.38), (9.39) на стратифициро-
стратифицированном множестве, изображен-	рис g -q
ном на рис. 9.11.
Здесь д?1о изображена тремя жирными линиями. Предполагается,
что двумерные страты являются прямоугольниками.
Теорема 9.22. Функция
и{Х) = sup v(X)
о
является решением уравнения (9.38) на По-
Доказательство. Покажем сначала, что при О G o~ki (к ^
^ d — 1) функция и является р-гармонической в некотором шаре
*ВГ(О) (допустимого радиуса, как обычно). С этой целью возьмем
произвольный шар %$r(O).
Нетрудно показать (см., например, [17, 126]), что максимум конеч-
конечного числа р-субгармонических функций является р-субгармонической
функцией. Пользуясь этим, нетрудно построить монотонно неубыва-
неубывающую последовательность {г>п} р-субгармонических функций, схо-
сходящуюся к и на плотном множестве в шаре *ВГ(О) при некотором
г < R. Очевидно, эту последовательность можно считать равномерно
ограниченной. Ограниченность сверху следует из принципа максимума
для р-субгармонических функций. Ограниченности снизу при необхо-
необходимости можно добиться заменой vn на max (vn, m), где т — минимум
функции (р.
9 Ю. В. Покорный и др.

258	Гл. 9. Эллиптические уравнения второго порядка
Используя формулу Пуассона, по этой последовательности можно
построить последовательность р-гармонических в %$r(O) функций ип,
принимающих на д^8ц(О) те же значения значения, что и vn. Но тогда
из неравенства vn ^ un $J и следует, что {ип} — неубывающая после-
последовательность, также сходящаяся к и на плотном в *ВГ(О) множестве.
Из неравенства Харнака следует, что из последовательности {ип}
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся на *ВГ(О) рав-
равномерно. Предел будет р-гармонической в ЪГ(О) функцией й, совпа-
совпадающей с и на плотном множестве. Отсюда легко следует, что обе эти
функции совпадают на ЪГ(О). Теорема доказана.
Чтобы доказать, что и — решение уравнения (9.38), нам нужно
только показать, что и непрерывна на По- В рассматриваемом на-
нами случае можно обойтись без использования теоремы 9.21. Дело
в том, что наши проблемы связаны теперь только с точками вида 0<i
(см. рис. 9.11). Используя специфику множества Л, в точках такого ти-
типа снова можно выписать формулу Пуассона в шаре 53г(О2) на основе
соображений симметрии. Функция Грина здесь имеет в точности вид
(9.46). Только в качестве К(х,у) теперь нужно использовать функцию
Грина следующей краевой задачи Дирихле-Неймана:
г2
где G — половина круга радиуса г, лежащая слева или справа от
оси х2 в системе координат (ж1, ж2); Fi — соответствующая часть
окружности, а Г2 — отрезок оси х2. Между прочим, эта функция
легко получается из формулы (9.46), когда стратифицированный шар
состоит лишь из одного полушария *Вг и pi = 1.
Теперь покажем, что, помимо (9.38), функция и удовлетворяет
и условию (9.39). Для этого воспользуемся барьерной техникой.
Как обычно, барьером в точке X ? <5Ш0 будем называть р-субгар-
моническую функцию v, положительную в ft \ {X} и обращающуюся
в нуль в точке X. Если таковая существует, то точку X принято
называть регулярной. В случае, когда страты множества ft являются
многогранниками, все точки границы являются регулярными. Мы по-
покажем это на рассматриваемом нами примере.
Итак, пусть X принадлежит одному из отрезков границы, как пока-
показано на рис. 9.11. В координатах, указанных на этом рисунке, положим
v(x) = In [(х1 - х\J + (ж2 -х2- 5J} - In (J2),
где (ж^; Xq) — координаты точки X, а 5 — положительное число.
Теперь положим v(x) = v(x) при (ж1 — х\J + (ж2 — ж2, — 5J ^ г2, где г
меньше расстояния от точки (ж^; ж2, + S) (которая лежит на продол-
продолжении страта, содержащего X) до одномерных стратов, не содержа-

9.2. Уравнения и неравенства с мягким лапласианом	259
щих Х\ ясно, что г > 5. В остальных точках множества ft положим
v{x) = \n(r/5J.
Так определенная на ?1 функция, как нетрудно проверить, удовле-
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к барьерам.
Теперь проверка того, что функция и удовлетворяет в точке X
краевому условию (9.39), стандартна (см., например, [17]). Тем самым
вопрос о разрешимости задачи (9.38), (9.39) выяснен в случае множе-
множества, изображенного на рис. 9.11.
Рассуждения в общем случае отличаются от приведенных нами
незначительно. Построение барьеров проводится так же, как и в рас-
рассмотренном нами случае. Можно также рассмотреть случай, когда
граничные страты не являются плоскими. Здесь доказательство того,
что и удовлетворяет уравнению (9.38), не требует изменений. От гра-
границы естественно потребовать регулярности. Вопрос об условиях ре-
регулярности подробно не изучался.

Список литературы
1.	Лткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир,
1968.
2.	Лхиезер П.И. Лекции по вариационному исчислению. — М.: Гостехиз-
дат, 1955. — 248 с.
3.	Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966. — 544 с.
4.	Басакер P., Caamu Т. Конечные сети и графы. — М.: Наука, 1974. —
368 с.
5.	Белов В. В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. — М.:
1976. - 392 с.
6.	Б ере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производны-
производными. — М.: Мир, 1966. — 352 с.
7.	Боровских А. В., Копытин А. В. О распространении волн по сети //
Сб. статей аспирантов и студентов матем. ф-та ВГУ. — Воронеж:, 1999.
С. 21-25.
8.	Боровских А. В., Покорный Ю.В. Системы Чебышева-Хаара в теории
разрывных ядер Келлога // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, № 3. —
С. 3-42.
9.	Боровских А. В., Мустафокулов Р., Лазарев К. П., Покорный Ю.В. Об
одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на
пространственной сети // Доклады РАН. — 1995. — Т. 345, № 6. —
С. 730-732.
10.	Брело М. Основы классической теории потенциала. — М.: Мир, 1964. —
214 с.
11.	Вольперт А. И. Дифференциальные уравнения на графах // Матем.
сборник. - 1972. - Т. 88, № 4. - С. 578-588.
12.	Гаврилов А. А., Пенкин О.М. Слабый принцип максимума для эл-
эллиптического оператора на стратифицированном множестве // Труды
ВВМШ «Понтрягинские чтения — XI». Часть I. — Воронеж:, 2000. —
С. 48-56.
13.	Гаврилов А. А., Пенкин О. М. Аналог леммы о нормальной производной
для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве //
Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 2. — С. 226-232.
14.	Gavrilov A., Nicaise 5., Penkin О. Poincare's inequality on stratified sets
and applications. Rapport de recherche 01.2, Universite de Valenciennes,
Fevrier 2001. — P. 1-20.
15.	Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и ма-
малые колебания механических систем. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. —
360 с.

Список литературы	261
16.	Герасименко Н.И., Павлов B.C. Задача рассеяния на некомпактных
графах // ТМФ. - 1988. - Т. 74, № 3. - С. 345-359.
17.	Гилбарг Д., Трудингер М.Н. Эллиптические дифференциальные урав-
уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989. —
464 с.
18.	Гудзовский А. В. К расчету гидравлических сетей // Доклады РАН. —
1998. - Т. 358, № 6. - С. 765-767.
19.	Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. —
895 с.
20.	Дерр В. Я. К обобщенной задаче Валле-Пуссена // Дифференц. урав-
уравнения. - 1987. - Т. 23, № 11. - С. 1861-1872.
21.	Жиков В. В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводи-
проводимости // Матем. сборник. — 1996. — Т. 187, № 8. — С. 3-40.
22.	Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштаб-
ной сходимости // Матем. сборник. — 2000. — Т. 191, № 7. — С. 31-72.
23.	Завгородний М.Г., Покорный Ю.В. О спектре краевых задач второго
порядка на пространственных сетях // Успехи мат. наук. — 1989. —
Т. 44, №4. -С. 220-221.
24.	Завгородний М. Г. Об эволюционных задачах на графах // Успехи мат.
наук. - 1991. - Т. 46, № 6. - С. 199-200.
25.	Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой
задачи на графе // Доклады РАН. — 1994. — Т. 335, № 3. — С. 281-283.
26.	Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух
концах за произвольный промежуток времени // Дифференциальные
уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517-1534.
27.	Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном
конце при закрепленном втором конце // Дифференциальные уравне-
уравнения. - 1999. - Т. 35, № 12. - С. 1640-1659.
28.	Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух кон-
концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной
энергией // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 11. —
С. 1513-1528.
29.	Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на
двух концах при условии существования конечной энергии // Доклады
РАН. - 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.
30.	Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управ-
управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного
процесса // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 5. —
С. 692-704.
31.	Калафатпи П. Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных
уравнений // Докл. АН СССР. - 1940. - Т. 26, № 6. - С. 535-539.
32.	Каменский М. И., Пенкин О. М., Покорный Ю. В. О полугруппе в задаче
диффузии на пространственной сети // Доклады РАН. — 1999. — Т. 368,
№ 2. - С. 157-159.
33.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям. — М.: Физматлит, 1961.

262	Список литературы
34.	Карелина И. Г., Покорный Ю.В. О функции Грина краевой задачи на
графе // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 1. — С. 41-47.
35.	Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
36.	Комаров А. В., Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О спектре равномерной
сетки из струн // Известия вузов. — 2000. — Т. 463, № 4. — С. 23-27.
37.	Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука,
1989. - 736 с.
38.	Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. — М.:
Гостехиздат, 1933.
39.	Лазарев К. П. О спектре некоторых негладких многоточечных задач:
Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — Воронеж:, 1988. — 105 с.
40.	Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ + pi(t)x^n~1^ + ...
... + pn(t)x = 0 // Успехи мат. наук. - 1969. - Т. 24, № 2. - С. 43-96.
41.	Левин А.Ю., Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операто-
операторами, не понижающими числа перемен знака // Сиб. мат. журнал. —
1976. - Т. 17, № 3. - С. 606-625; Т. 17, № 4. - С. 813-830.
42.	Мерков А. Б. Эллиптические уравнения второго порядка на графах //
Матем. сборник. — 1985. — Т. 127, № 4. — С. 502-518.
43.	Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения с частными производ-
производными. — М.: Наука, 1976. — 392 с.
44.	Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука,
1969.
45.	Новиков СП. Дискретный оператор Шредингера // Труды Математи-
Математического ин-та им. В.А. Стеклова. — 1999. — Т. 224. — С. 275-290.
46.	Новиков С. П. Уравнение Шредингера и симплектическая геометрия //
Студенческие чтения МК НМУ — С. 210-217.
47.	Олейник О. А. О свойствах решений некоторых краевых задач для
уравнений эллиптического типа // Матем. сборник (новая серия). —
1952. - Т. 30, № 3. - С. 695-702.
48.	Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968. — 352 с.
49.	Павлов Б. С, Фаддеев М.Д. Модель свободных электронов и задача
рассеяния // ТМФ. — 1983. — Т. 55, № 2. — С. 257-269.
50.	Пенкин О. М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач
на графах: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. 01.01.02. — Воронеж:, 1988.
51.	Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения
на двумерном клеточном комплексе // Доклады РАН. — 1997. — Т. 352,
№ 4. - С. 462-465.
52.	Пенкин О. М. О слабом принципе максимума для эллиптического урав-
уравнения на двумерном клеточном комплексе // Дифференц. уравнения. —
1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.
53.	Пенкин О. М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на
стратифицированных множествах // Дифференц. уравнения. — 1998. —
Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.
54.	Penkin О. М. About a geometrical approach to multistructures and some
qualitative properties of solutions // Partial Differential Equations on Mul-

Список литературы	263
tistructures, ed. by F. AH Mehmeti, J. von Below and S.Nicaise / Lect.
Notes Pure Appl. Math. - 2001. - V. 219. - P. 183-192.
55.	Пенкин O.M., Богатое E.M. О слабой разрешимости задачи Дирихле
на стратифицированных множествах // Мат. заметки. — 2000. — № 6. —
С. 874-886.
56.	Пенкин О.М., Покорный Ю.В., Провоторова Е.Н. Об одной векторной
краевой задаче // Краевые задачи. Пермь, 1983. — С. 64-70.
57.	Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе // Диф-
ференц. уравнения. — 1988. — Т. 24, №4. — С. 701-703.
58.	Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах
уравнений на одномерном клеточном комплексе // Известия вузов. Ма-
Математика. — 1996. — №11. — С. 57-64.
59.	Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах
уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем. заметки. —
1996. - Т. 59, № 5. - С. 777-780.
60.	Пенкин О. М., Покорный Ю. В. О дифференциальных неравенствах для
эллиптических операторов на сложных многообразиях // Доклады
РАН. - 1998. - Т. 360, № 4. - С. 456-458.
61.	Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О несовместных неравенствах для эл-
эллиптических операторов на стратифицированных множествах // Диф-
ференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 8. — С. 1107-1113.
62.	Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. —
М.: ГТТИ, 1950. - 304 с.
63.	Покорный Ю. В. О спектре интерполяционной краевой задачи // Успехи
мат. наук. — 1977. — Т. 32, вып. 6. — С. 198-199.
64.	Покорный Ю. В. О неклассической задаче Валле-Пуссена // Диффе-
ренц. уравнения. — 1978. — Т. 14, № 6. — С. 1018-1027.
65.	Покорный Ю.В. О знакорегулярных функциях Грина некоторых
неклассических задач // Успехи мат. наук. — 1981. — Т. 36, вып. 4. —
С. 205-206.
66.	Покорный Ю. В. О спектре некоторых задач на графах // Успехи мат.
наук. - 1987. - Т. 42, № 4. - С. 128-129.
67.	Покорный Ю. В. О неосцилляции на графах // Докл. расшир. засед.
семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н.Векуа. — 1988. — Т. 3, № 3.
С. 139-142.
68.	Покорный Ю. В. О краевых задачах на графах // Численные методы
и оптимизация. АН ЭССР. Таллин, 1988. — С. 158-161.
69.	Покорный Ю. В. О неосцилляции на графах //III Уральская региональ-
региональная конф. «ОДУ и их приложения», тез. докл., Пермь, 1988. — С. 135.
70.	Покорный Ю. В. Некоторые качественные вопросы теории краевых за-
задач на графах // Теория и численные методы решения краевых задач
для дифференциальных уравнений. Тез. докл. республиканской науч-
научной конф. Рига, 1988. — С. 98.
71.	Покорный Ю. В. О квазидифференциальных уравнениях, порожденных
непрерывной системой Чебышева // Доклады РАН. — 1995. — Т. 345,
№ 2. - С. 171-174.

264	Список литературы
72.	Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обык-
обыкновенных дифференциальных уравнениях // Доклады РАН. — 1999. —
Т. 364, № 2. - С. 167-169.
73.	Покорный Ю. В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных
уравнений и неравенств на пространственных сетях // Дифференц.
уравнения. — 2001. — Т. 37, № 5. — С. 661-672.
74.	Покорный Ю.В., Боровских А. В. О теореме Келлога для разрывных
функций Грина // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, вып. 1. — С. 151-153.
75.	Покорный Ю. В., Карелина И. Г. Нелинейные теоремы сравнения на гра-
графах // Матем. заметки. — 1991. — Т. 50, № 2. — С. 149-151.
76.	Покорный Ю.В., Карелина И. Г. О функции Грина задачи Дирихле на
графе // ДАН СССР. - 1991. - Т. 318, № 3. - С. 942-944.
77.	Покорный Ю. В., Карелина И. Г. Нелинейные теоремы сравнения на гра-
графах // Украинский мат. журнал. — 1991. — Т. 43, № 4. — С. 525-529.
78.	Покорный Ю.В., Лазарев К. П. Некоторые осцилляционные теоремы
для многоточечных задач // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23,
№ 4. - С. 658-670.
79.	Покорный Ю.В., Мустафокулов Р. О позитивной обратимости некото-
некоторых краевых задач для уравнения четвертого порядка // Дифференц.
уравнения. — 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1358-1365.
80.	Покорный Ю. В., Мустафокулов Р. О положительности функции Грина
линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе //
Известия вузов. Математика. — 1999. — Т. 441, № 2. — С. 75-82.
81.	Покорный Ю.В., Пенкин О.М. Теоремы Штурма для уравнений на
графах // ДАН СССР. - 1989. - Т. 309, № 6. - С. 1306-1308.
82.	Покорный Ю. В., Пенкин О. М. О теоремах сравнения для уравнений на
графах // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 7. — С. 1141-1150.
83.	Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Провоторова Е. П. О спектре некоторых
векторных краевых задач // VI Всесоюзная конференция «Качествен-
«Качественная теория дифф. уравнений». Тез. докл. Иркутск, 1986. — С. 151-152.
84.	Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. О нелинейной краевой
задаче на графе // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 5. —
С.629-637.
85.	Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. Об уравнениях на про-
пространственных сетях // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 4. —
С. 140.
86.	Покорный Ю. В., Провоторова Е. Н., Пенкин О. М. О спектре некоторых
краевых задач // Вопросы качественной теории дифференциальных
уравнений: Сб. науч. тр. — Новосибирск, 1988. — С. 109-113.
87.	Покорный Ю.В., Провоторова Е.Н., Черкашенко И. Л. О спектре од-
одной «разорванной» краевой задачи // Нелинейные колебания и теория
управления, Устинов, 1985, вып. 5. — С. 49-57.
88.	Покорный Ю.В., Прядиев В. Л. О распределении нулей собственных
функций задачи Штурма-Лиувилля на пространственной сети // Докл.
РАН. - 1999. - Т. 364, № 3. - С. 316-318.

Список литературы	265
89.	Покорный Ю.В., Прядиев В.Л., Алъ-Обейд А. Об осцилляционных
свойствах спектра краевой задачи на графе // Матем. заметки. —
1996.	- Т. 60, вып. 3. - С. 468-469.
90.	Pokornyi Yu.V., Pryadiev V.L., Borovskikh A.V., Pokrovsky A. N. The
problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees //
Proceedings of The 1-st International Symposium «Electrical Activity of
The Brain: Mathematical Models & Analytical Methods». — Pushchino,
1997.	P.
91.	Покорный Ю.В., Шуринов В. А. Осцилляционные свойства растянутой
цепочки стержней // Нелинейные колебания и теория управления.
Устинов. 1985. № 5. - С. 58-63.
92.	Провоторова Е.Н. О векторных краевых задачах, порождаемых ска-
скалярным дифференциальным оператором // Дифференц. уравнения. —
1987. - Т. 23, № 10. - С. 1711-1715.
93.	Прядиев В. Л. О структуре спектра одного класса нелинейных краевых
задач второго порядка // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35,
№11. -С. 1575.
94.	Розенфельд А. С, Яхинсон Б. И. Переходные процессы и обобщенные
функции. — М.: Наука, 1966. — 448 с.
95.	Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949. — 494 с.
96.	Сансоне Дою. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
ИИЛ, 1953.
97.	Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики.
Т. 1. — М.-Л.: Гостехиздат, 1951.
98.	Уэрмер Дою. Теория потенциала. — М.: Мир, 1980. — 136 с.
99.	Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Лан-
Ландау. — М.: Мир, 1970. — 184 с.
100.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.
101.	Харари Ф. Теория графов. — М., 1973. — 304 с.
102.	Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М., 1977. — 328 с.
103.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир,
1970.
104.	Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. —
304 с.
105.	Шафаревич А. И. Дифференциальные уравнения на графах, описыва-
описывающие локализованные асимптотические решения уравнений Навье-
Стокса и вытянутые вихри в несжимаемой жидкости // Препринт
№ 604. Ин-та проблем механики РАН. 1997. — С. 1-41.
106.	Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. — М.: ИЛ, 1957. — 152 с.
107.	Ali-Mehmeti F. A characterization of a generalized C°°-notion on nets //
Integral Equations and Operator Theory. — 1986. — V. 9, № 6. — P. 753-766.
108.	Ali-Mehmeti F. Regular solutions of transmission and interaction prob-
problems for wave equation // Math. Methods Appl. Sci. — 1989. — V. 11. —
P. 665-685.

266	Список литературы
109.	Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks // Mathematical Research. —
1994. - V. 80.
110.	Ali-Mehmeti F., Dekoninck B. Transient vibrations of planar networks of
beams: interaction of flexion, transversal and longitudal waves // Lect. Notes
Pure Appl. Math. V. 219. — Berlin: Springer, 2001. — P. 1-18.
111.	Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Some realizations of interaction problems //
Lecture Notes in Pure and Appl. Math. V. 135. — Berlin: Springer, 1991. —
P. 15-27.
112.	Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Nonlinear interaction problems // Nonlinear
Anal. - 1993. - V. 20, № 1. - P. 27-61.
113.	AH Mehmeti F., Regnier V. Splitting of the energy of dispersive waves in a
star-shaped network // Preprint LMACS 99.7, University of Valenciennes. —
18 p.
114.	von Below J. A characteristic equation associated to an eigenvalue problem
on c°°-network // Linear Algebra and appl. — 1985. — V. 71. — P. 309-325.
115.	von Below J. Classical solvability of linear parabolic equations on net-
networks // J. Differential Equation. — 1988. — V. 72. — P. 316-337.
116.	von Below J. Sturm-Liouville eigenvalue problems on networks // Math.
Meth. Appl. Sc. - 1988. - V. 10. - P. 383-395.
117.	von Below J. Parabolic Network equations // Habilitation Thesis, Eber-
hard-Karls-Universitat Tubingen, 1993.
118.	von Below J., Nicaise S. Dynamical interface transition in ramified media
with diffusion // Comm. in Partial Differential Equations. — 1996. —
V. 21. - P. 255-279.
119.	Dekoninck В., Nicaise S. Spectre des reseaux de poutres // C.R. Acad. Sci.
Paris. Serie 1. - 1998. - T. 326. - P. 1249-1254.
120.	Dekoninck В., Nicaise S. The eigenvalue problem for networks of beams //
Generalized Functions, Operator Theory and Dymnamical Systems, Chap-
Chapman and Hall Research in Math. — 1999. — P. 335-344.
121.	Dekoninck В., Nicaise S. Control of network of Euler-Bernoulli beams //
ESAIM-COCV. - 1999. - V. 4. - P. 57-82.
122.	Dekoninck В., Nicaise S. The eigenvalue problemma for networks of beams,
Linear Algebra and its Applications. — 2000. — V. 314. — P. 165-189.
123.	Friedman A. Partial Differential Equations. — Holt: Rinehart and Winston,
1969. - 262 p.
124.	Gaveau В., Okada M., Okada T. Explicit heat kernels on graphs and spectral
analysis: Several complex variables. Princeton Univ. Press. Math. Notes. —
1993. - V. 38. - P. 360-384.
125.	Hartman P. On disconjugacy criteria // Proc. Amer. Math.Soc. — 1970. —
V. 24, №2. -P. 374-381.
126.	John F. Partial Differential Equations. — Springer Verlag, 1986. — 250 p.
127.	Kellogg O. D. The Oscillation of Functions of an Orthogonal Set // Amer.
J. Math. - 1916. - № 38. - P. 1-5.
128.	Kellogg O. D. Orthogonal Function Sets Arising from Integral Equations //
Amer. J. Math. - 1918. - №40. - P. 145-154.

Список литературы	267
129.	Kellogg О. D. Interpolation Properties of Orthogonal Sets of Solutions of
Differential Equations // Amer. J. Math. — 1918. — №40. — P. 220-234.
130.	Lagnese J.E. Modelling and controlability of Plate-Beam systems // J.
Math. Systems, Estimation and Control. — 1995. — V. 5. — P. 141-187.
131.	Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J. P. G. Modelling of dynamic net-
networks of thin thermoelastic beams // Math. Meth. Appl. Sci. — 1993. —
V. 16. - P. 327-358.
132.	Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J. P. G. Control of planar networks
of Timoshenko beams // SIAM J. Control Optim. — 1993. — V. 31. —
P. 780-811.
133.	Lagnese J. E., Leugering G., Schmidt E. J. P. G. Modelling analysis and con-
control of dynamic elastic multi-link structures. — Boston: Birkhauser, 1994.
134.	Lumer G. Espaces ramifies, et diffusions sur les reseaux topologiques //
C.R.Acad.Sci. Paris. Ser. A-B. - T. 291. - № 12. - P. 627-630.
135.	Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on net-
network // Lect. Notes Math. V. 787. — Berlin: Springer, 1980. — P. 219-234.
136.	Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to
nerve impuls transmission // Lect. Notes Math. № 1771. — Berlin:
Springer-Verlag, 1985. — P. 532-541.
137.	Nicaise S. Estimees du spectre du laplasien sur un reseau topologique fini //
C.R. Acad. Sc. Paris. Serie 1. - 1986. - T. 303, № 8. - P. 343-346.
138.	Nicaise S. Diffusion sur les espaces ramifies // Thesis. Universite de Mons,
1986.	fini // C.R. Acad. Sc. Paris. Serie 1. - 1986. - T. 303, №8. -
P.343-346.
139.	Nicaise S. Spectre des reseaux topologiques finis // Bull.Sci.Math. B). —
1987.	- V. Ill, № 4. - P. 401-413.
140.	Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux //
Lecture Notes in Math. V. 1235. — Berlin: Springer, 1987. — P. 120-140.
141.	Nicaise S. Elliptic operators on elementary ramified spaces //
Integral-Equations-Operator-Theory. - 1988. - V. 11, № 2. - P. 230-257.
142.	Nicaise S. Le laplacien sur les reseaux deux-dimensionnels polygonaux
topologiques // J.-Math.-Pures-Appl. — 1988. — V. 9, № 2. — P. 93-113.
143.	Nicaise S. Polygonal interface problems // Methoden und Verfahren
der mathematischen Physic. V. 39. Peter Lang Verlag, Frankfurt a.M.
1993. - 250 p.
144.	Nicaise S. Controlabilite exacte frontiere des problemes de transmission
avec singularites // C.R.Acad.Sci.Paris Ser. I Math. — 1995. — V. 320,
№ 6. - P. 663-668.
145.	Nicaise S. Controlabilite exacte frontiere de problemes de transmission
par adjonction de controles internes // C.R.Acad.Sci.Paris Ser. I Math. —
1995. - T. 321, № 8. - P. 969-974.
146.	Nicaise S., Penkin O. Relationship between the lower frequency spectrum of
plates and network of beams // Math. Meth. Appl. Sci. — 2000. — V. 23. —
P. 1389-1399.
147.	Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Dif-
Differential Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 1983. — 280 p.

268	Список литературы
148.	Poly a G. On the mean-value theorem corresponding to a given homogeneous
differential equation // Trans. Amer. Math. Soc. — 1922. — V. 24. —
P. 312-324.
149.	Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graph // C.R.Acad.Sc. Paris. —
1983. - V. 296. - P. 783-795.
150.	Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe // Lect. Notes Math.
V. 1096. — Berlin: Springer, 1984. — P. 521-539.
151.	Schmidt E. J. P. G. On the modelling and exact controlability of networks of
vibrating strings // SIAM J. Control Optim. — 1992. — V. 30. — P. 229-245.
152.	Sturm C. Memore sur les equations differentielles lineaires du second or-
dre // J. Math. Pures Appl. - 1836. — V. 1. — P. 106-186.
153.	Sturm C. Sur une class d'equations a differences partielle // J.Math.Pures
Appl. - 1836. — V. 1. — P. 373-444.
154.	Tautz J., Lindauer M., Sandeman D. C. Transmission of vibration accross
honeycombs and its detection by bee leg receptors // J. Experimental
Biology. - 1999. - V. 199. - P. 2585-2594.
155.	von Below J. Can one hear the shape of a network? // Lect. Notes Pure
Appl. Math. V. 219. — Berlin: Springer, 2001. — P. 19-36.
156.	Partial differential equations on multistructures ed. by F. ALi-Mehmeti,
J. von Below, S.Nicaise // Lect. Notes Pure Appl. Math. — 2001. — V. 219.
157.	Куляба В. В., Пенкин О.М. Неравенство Пуанкаре на стратифициро-
стратифицированных множествах // Докл. РАН. — 2002. — Т. 386, № 4. — С. 453-456.

Научное издание
ПОКОРНЫЙ Юлий Витальевич
ПЕНКИН Олег Михайлович
ПРЯДИЕВ Владимир Леонидович
БОРОВСКИХ Алексей Владиславович
ЛАЗАРЕВ Константин Петрович
ШАБРОВ Сергей Александрович
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФАХ
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Т.Ю. Вайсберг
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.05.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 20. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0425-Х
9 785922 104258