/
Author: Иванов Ю.П. Синяков А.Н. Филатов И.В.
Tags: автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика воздушный транспорт авиация и воздушные соединения воздушные линии и аэропорты машиностроение летательные аппараты измерительные устройства учебное пособие издательство машиностроение
Year: 1984
Text
Ю.П.ИВАНОВ
А.Н.СИНЯКОВ. И.В.ФИЛАТОВ
информационно -
измерительных
= устройств —
летательных
аппаратов
* -- - *
ч
KOMILHKCHPDHA НИЕ
Ю. П. Иванов,
А. Н. Синяков, И, В. Филатов
КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ
информационно-измерительных
устройств
летательных аппаратов
Под редакцией заслуженною деятеля науки
и техники РСФСР доктора технических наук
профессора В А Боднера
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «Авиаприборостроение»
Ленинград «Машиностроение»
Ленинградское отделение
1984
ББК 39.56
И20
УДК 681.578.2 : 629.73.05 (075.8)
Рецензенты:
Кафедра информационно-измерительных устройств
Московского авиационного института им. Серго Орджоникидзе
и докт. техн, наук проф. ЛМИ А. С. Шалыгин
Иванов Ю. П. и др.
И20 Комплексирование информационно-измерительных уст-
ройств летательных аппаратов: Учеб, пособие для вузов
Ю. П. Иванов, А. Н. Синяков, И. В. Филатов; Под ред.
В. А. Боднера. — Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние.
1984. — 207 с., ил.
45 к.
3606030000-050 ББК 39 56
038(01)-84
© Издательство «Машиностроение», 1984 г.
Предисловие
В состав приборного оборудования в последние годы все
шире внедряются комплексные системы (КС), в основу кото-
рых положен принцип рациональной совместной обработки ин-
формации разнородных датчиков на базе бортового вычисли-
тельного устройства. Оптимальные комплексные системы
позволяют значительно повысить точность оценки параметров
полета, помехозащищеность измерительных систем, досто-
верность обнаружения аварийных состояний бортовых систем.
Проектирование КС требует, помимо владения методами рас-
чета отдельных приборов и датчиков, знания методов построе-
ния алгоритмов обработки информации.
Настоящее учебное пособие написано на основе курса
«Комплексные приборы и системы», читаемого в Ленин-
1радском институте авиационного приборостроения, главной
целью которого является изложение инженерных методов
проектирования устройств непрерывной обработки измери-
тельной информации в КС.
Учебное пособие делится на шесть глав. В гл. 1 на основе
анализа развития приборного оборудования ЛА и современ-
ного его уровня обосновывается необходимость совместного
использования различных измерителей для повышения точности
и надежности измерений. Определяется понятие комплексных
информационно-измерительных систем, принципы их синтеза,
приводится классификация КС, отражающая основные их
особенности и позволяющая методически целесообразно по-
строить изложение последующего материала.
В связи с тем что основной задачей комплексирования из-
мерительных устройств является повышение точности измере-
ния, анализируются статистические характеристики основных
авиационных приборов, входящих в КС. Приводятся мате-
матические модели измерений во временной н частотной об-
ластях, а также в пространстве состояний в соответствии со
спецификой процесса измерения на подвижном объекте — ле-
тательном аппарате (ЛА).
В гл. 2 описываются основные свойства оценок. Дается
сравнительный анализ и показывается логическая связь
критериев оптимизации оценок и принимаемых решений с
1* з
позиций теории статистических решений. Обосновывается при-
менимость в качестве основного гаокавателя оптимальности
обработки измерительной информации минимума среднего
квадрата ошибки оценки. Приводятся формулировки и дока-
зательства теорем об оптимальной оценке, принадлежащей
классу всевозможных функций, линейному классу функций и
при условии инвариантности.
Рассматривается постановка задачи оптимальной филь-
трации стационарных сигналов комплексной инвариантной
системой. Приводится вывод векторного уравнения Винера.
Дается постановка задачи фильтрации нестационарных сигна-
лов комплексной измерительной системой с позиций теории
Калмана.
В гл. 3 приводится общая структурная схема многока-
нальной КС. Определяются условия инвариантности системы
и ограничения на характеристики каналов, позволяющие реа-
лизовать это условие. Рассматриваются типовые комплексные
системы, включающие в свой состав два измерителя, с па-
раллельной фильтрацией, с фильтром разностного сигнала,
с обратной связью, с перекрестными связями. Показывается
их эквивалентность по потенциальной точности. Даются по-
нятие и условие астатизма комплексной измерительной
системы. Изложена методика анализа точности комплекс-
ных измерительных систем во временной и частотной об-
ластях.
Формализуется задача параметрического синтеза комплек-
сной измерительной системы и приводится методика ее реше-
ния, когда структура устройства обработки определена, на-
пример, из условия астатизма, а критерий оптимизации удов-
летворяется путем выбора параметров элементов системы.
Гл. 4 посвящена синтезу линейных оптимальных компле-
ксных измерительных систем. Оптимальный синтез стационар-
ной КС дается на основе решения уравнения Винера в частот-
ной области при дробно-рациональных спектральных плот-
ностях погрешностей измерителей, а нестационарной комплек-
сной измерительной системы — на основе изложенной ранее
методики построения фильтра Калмана.
В гл. 5 рассматриваются безынерционные нелинейные оп-
тимальные комплексные измерительные системы. Приводятся
выражения для оптимальных и оптимально-инвариантных оце-
нок в нелинейных безынерционных системах. Показывается, что
при нормальных законах распределения самого параметра и
погрешностей оптимальная по минимуму среднего квадрата
ошибки оценка является линейной. Оценивается влияние
контроля на точность измерения оптимальной КС. В качестве
примера непараметрических оценок при отсутствии априорной
информации о характеристиках ошибок рассматриваются
оценки на основе упорядоченного выбора и, в первую очередь,
мажоритарная оценка.
4
Гл. 6 посвящена комплексной обработке информации в
системах управления упругими ЛА Анализируются методы
математического описания движения упругого ЛА. Обосновыва-
ется переход от математической модели в форме -уравнений в
частных производных к математической модели в форме обык-
новенных дифференциальных уравнений, позволяющей исполь-
зовать известные информационно-измерительные устройства.
Рассматриваются принципы построения оптимальных наблю-
дающих устройств с учетом особенностей размещения измери-
телей на объекте. Исследуются субоптимальные КС, позволя-
ющие выделять информацию о движении объекта как твердого
тела и его упругих колебаниях.
Учебное пособие предназначено для студентов приборо-
строительных специальностей высших учебных заведений.
Структура и содержание учебного пособия рассчитано на его
использование и студентами, обучающимися по программам це-
левой интенсивной подготовки.
Ю. П. Ивановым написана гл. 2, за исключением п. 2.4, а
также пп. 4.1 и 5.2; А. Н. Синяковым — гл. 6, пп. 1.2, 2.4, 4.2;
И. В. Филатовым — гл. 3, пп. 1.1, 5.1, 5.3.
Авторы считают своим долгом отметить важную роль в
постановке курса д-ров техн, наук профессоров С. П. Дмитри-
ева, В. С. Зарицкого.
Все замечания и пожелания по учебному пособию просьба
направлять по адресу: 191065. Ленинград, ул Дзержинско-
го, 10, ЛО изд-ва «Машиностроение».
Глава 1
Комплексирование как метод повышения
точности информационно-измерительных
устройств ЛА
1.1. Информационно-измерительные устройства ЛА
и их комплексирование
Научно-технический прогресс в воздушном транспорте,
предъявляющий высокие требования по точности, надежно-
сти, регулярности и безопасности полетов, приводит ко все
большему оснащению летательных аппаратов различными ин-
формационно-измерительными приборами. Уже первый в ми-
ре самолет А. Ф. Можайского был оснащен необходимым
минимумом навигационных приборов: магнитным компасом,
указателем скорости, высотомером, часами и планшетом для
карты. Однако в первоначальный период развития авиации
решение навигационных задач осуществлялось способом ви-
зуальной ориентировки практически без использования при-
боров, а о состоянии двигателя летчик судил при помощи
собственных органов чувств. Это объяснялось, с одной сто-
роны, ненадежностью измерителей, например магнитных ком-
пасов, которые не всегда и ставили на самолеты. С другой сто-
роны, еще не существовало научных методов решения на-
вигационных задач по приборам.
Метод вождения самолетов с помощью компаса был раз-
работан и проверен на практике в годы первой мировой войны.
В тот же период стали применять астрономические методы
навигации, были разработаны специальные астрономические
таблицы. Это послужило основой для перехода к простой ин-
струментальной навигации, когда началось освоение многочис-
ленных типов приборов, работающих на различных физичес-
ких принципах. Характерным для этого периода является не-
)6ч<> iiimocti. обработки экипажем все возрастающего объема
информации для определения местоположения летательного
iiiii.ipin.i п управления им. В этот период решается задача
Ирин н пн» самолетом вне видимости Земли и естественного
Kpiiiuiii i lioii.nioii niai н развитии приборного оборудования
<>| || । к мн при со ijiaiiii.ii радиотехнических измерителей.
В 30 < io n.! появились ( ргдпеиолпопые радиомаяки, наземные
и елмолг।цис рлдпемн-леш a iopi.i В 1936 г. были разработаны
приборы для псгроорпепгаипп (пол руководством проф.
В. II. Ветчинкнна), в 1938 г. — авиагоризонт (под руковод-
ством Е. Ф. Антипова).
6
Появление измерителей, определяющих один и тот же па-
раметр, но работающих на различных физических принципах,
повысило надежность измерений, но не решило задач; повы-
шения точности измерений, правда, и не относящуюся к ос-
новной в период ручного управления летательным аппаратом.
Однако уже в середине 30-х годов советскими инженерами
М. М. Качкачьяном, Д. А. Браславским и М. Г. Элькиндом
разрабатывается первая в мире самолетная комплексная
курсовая система, включающая в свой состав магнитный
компас и гирополукомпас. При этом помимо того, что облег-
чался отсчет показаний, так как курсовая система имела
один индикатор, автоматизировался процесс коррекции погреш-
ностей компасов и достигалась точность более высокая, чем
у каждого измерителя в отдельности. С этого момента, можно
считать, начался новый период развития информационно-из-
мерительных устройств, характеризующийся комплексной ав-
томатизацией обработки сигналов.
Вначале автоматизация носила локальный характер. Поя-
вились отдельные вычислительные устройства, обрабатываю-
щие информацию, поступающую от датчиков, и выдающие ее
на индикацию в частично обобщенной форме для экипажа или
в автоматические системы, решающие частные задачи, напри-
'мер подачу топлива в двигатель. В 40—50-х гг. были созданы
курсовые системы КС и ТКС (С. В. Зеленков и др.). Для
современного этапа развития приборного оборудования лета-
тельных аппаратов характерно, наряду с совершенствованием
датчиков, их комплексирование в целях объединения информа-
ционно-измерительных устройств с автоматическими система-
ми в единый пилотажно-навигационный комплекс. При этом
существенно повышаются требования к точности измерения
физических параметров, определяющих успешное выполнение
полетных задач.
В метрологии известны способы повышения точности изме-
рений путем совместной обработки ряда последовательных из-
мерений одной и той же физической величины одним измери-
телем со случайной погрешностью. Для измерения быстро-
меняющихся процессов, характерных для авиации, этот путь
практически непригоден. Однако можно использовать для этой
цели структурную избыточность, т. е. наличие на борту лета-
тельного аппарата ряда измерителей одного и того же пара-
метра (или связанных между собой параметров). Например,
на самолете АН-24 измерение высоты полета может быть
произведено как радиовысотомером РВ-5 или РВ-УМ, так и
баровысотомером УВИД. Для определения запаса топлива
могут быть использованы топливомер, расходомер, индикато-
ры уровня, для измерения скорости—система воздушных сиг-
налов, допплеровский измеритель скорости, инерциальная
система. Одновременное измерение одной и той же физичес-
кой величины несколькими измерителями с практически не-
7
зависимыми погрешностями позволяет путем оптимальной об-
работки сигналов улучшить характеристики информационно-
измерительных систем. В этом случае измерители совместно
с устройством обработки информации образуют комплексную
измерительную систему.
Комплексной измерительной системой называется система,
использующая для повышения точности оценки физической
величины совместную обработку информации от нескольких
измерительных устройств, определяющих либо эту же вели-
чину, либо величины, связанные с ней функциональными
и операторными зависимостями. Комплекснрование авиацион-
ных измерительных устройств позволяет повысить точность,
надежность и помехозащищенность измерения параметров
сигналов, а также улучшить динамические характеристики
системы.
Возможны два направления построения комплексных изме-
рительных систем (9] В первом случае измерители соединяются
в соответствии с определенными структурами, учитываю-
щими свойства компонентов. В большинство таких комп-
лексных измерительных систем входят два измерителя,
и комплекснрование основывается на следующих их осо-
бенностях.
1. Изменение окружающих условий оказывает на характе-
ристики измерителей противоположное воздействие.
2. Один измеритель имеет большой диапазон измерения
при невысокой точности, а второй — малый диапазон при
более высокой точности. Точный прибор непрерывно корректи-
рует показания грубого в диапазоне его погрешностей, на
пример дрейф стабилизированной платформы корректируется
с помощью точных двухстепенных гироскопов, установлен-
ных на ней.
3. Один измеритель осуществляет непрерывное измерение с
невысокой точностью, а второй измеритель производит точные
измерения в дискретные моменты времени или в определен-
ных точках диапазона Например, в комплексной топливо-
измерительной системе показания топливомера (или расходо-
мера) могут корректироваться в дискретных точках сигнали-
затором уровня, неограниченно растущие погрешности систе-
мы инерциального счисления в вертикальной плоскости могут
периодически компенсироваться сигналами радиовысото-
мера.
4. Оба измерителя имеют периодически изменяющиеся па-
раметры, например, при отключении измерителя, подаче эта-
лонных сигналов для контроля или автоподстройки пара-
метров.
5. Один измеритель обладает высокой статической точ-
ностью при плохих динамических характеристиках, а второй,
наоборот, имеет хорошие динамические характеристики при
низкой статической точности.
8
Структурные связи между измерителями выбираются таким
образом, чтобы положительные свойства измерителей допол-
няли друг друга, а отрицательные компенсировались [9].
Во втором случае комплексирования обработка сигналов
измерителей осуществляется по определенному алгоритму, реа-
лизуемому устройством обработки информации. При этом
комплексные измерительные системы можно разделить на
следующие подклассы.
Безынерционные и инерционные. Безынерционными называ-
ются системы, использующие метод обработки, при котором
ие учитываются прошлые показания измерителен к моменту
выработки оценки. Предположим, что измерение сигнала —
вещественный скалярный процесс. Пусть х — оценка измеряе-
мого сигнала комплексной системой, состоящей из N нзмери
телей, выходные сигналы которых yt образуют вектор изме
рения Y.
Для безынерционной системы справедливо следующее со-
отношение:
x(O='W)], (11)
где ф — оператор преобразования вектора измерений в оцен-
л
ку X.
Для инерционных систем оценка сигнала производится в
соответствии со следующим выражением:
*(О = Ф[У1('1). Уг^г)--. Ул(-д')|- (1.2)
Здесь r( (=[i—/0(], «=1, 2, ..., N, где tOi —начало измерения
i-м измерителем; т( — интервал измерения, принимающий ли-
бо конечное число, либо континиум значений в интер-
вале [/—<„•].
В простейшем случае безынерционная комплексная систе-
ма состоит из N одинаковых измерителей, и одним из мето-
дов обработки показаний измерителей является определение
их среднеарифметического значения. Различие в численных
характеристиках погрешностей измерителей приводит к опре-
делению средневзвешенного арифметического значения, при-
чем коэффициенты веса зависят от дисперсий погрешностей.
В инерционных комплексных системах, реализующих алго-
ритм (1.2), помимо структурной избыточности используется
избыточность во времени, так как обрабатываются измерения,
полученные не только в момент выработки оценки, но и хра-
нящиеся в памяти системы результаты измерений на предыду-
щем интервале времени.
Эффективность инерционных комплексных систем тем вы-
ше, чем больше различие в динамических характеристиках
измерителей, в спектрах их погрешностей. Для решения
задачи комплексирования инерционных систем широко ис-
9
пользуется теория линейной и нелинейной фильтрации. Су-
щественным отличием фильтрации в комплексных систе-
мах от фильтрации в одноканальных схемах является выде-
ление погрешности одного из измерителей из погрешностей
других измерителей, а не из измеряемого сигнала. Это опре-
деляет возможность исключения динамических погрешно-
стей измерения. В принципе при полностью идентичных ха-
рактеристиках измерителей инерционная обработка инфор-
мации эквивалентна безынерционной.
Линейные и нелинейные. По алгоритму обработки пока-
заний измерителей безынерционные и инерционные ком-
плексные измерительные системы могут подразделяться на
линейные и нелинейные.
Линейным преобразованием ф называется преобразование,
определенное на линейном пространстве Y и обладающее
следующим свойством:
ф|«¥1(0+?¥2(0]=аф1¥1(0] +₽ф[У2(0], (1 -3)
где Yi (/) и Y2 (/) — произвольные векторы показаний измери-
телей; а, р — произвольные скалярные величины. Отсюда сле-
дует, что ф(0)=0 и ф[— ¥(0] = —ф[¥(01, т. е. множество
линейно-преобразованных векторов есть линейное простран-
ство. Все другие преобразования, не удовлетворяющие (1.3),
являются нелинейными и определяют нелинейные комплекс-
ные системы.
Инвариантные и неинвариантные. Инвариантными называ-
ются комплексные системы, ошибки оценки в которых не за-
висят от измеряемой величины.
Инвариантные комплексные измерительные системы по-
лечили более широкое применение вследствие того, что
чаще всего заранее при синтезе систем неизвестны стати-
стические характеристики измеряемых величин или они мо-
гут меняться в широких пределах.
Оптимальные и субоптимальные. Все рассмотренные выше
подклассы могут быть оптимальными и субоптимальнымп
по выбранному критерию. Использование субоптимальных
комплексных систем вызвано тем, что построение оптималь-
ных (особенно нелинейных) систем требует применения
сложных вычислительных устройств, имеющих относительно
невысокую надежность, значительные габаритные размеры и
стоимость. В этом случае иногда целесообразно упростить
алгоритм обработки, отступив от условия оптимальности.
Причем снижение эффективности системы из-за потери в точ-
ности обработки информации может быть скомпенсировано
за счет повышения надежности, уменьшения габаритных раз-
меров и стоимости.
Системы, построенные с учетом полной априорной опре-
деленности, неполной априорной определенности и априорной
неопределенности. Классификация систем по этому признаку
10
зависит от объема н характера априорной информации о
свойствах измеряемой величины и погрешностей измерения
Если заданы плотности вероятности измеряемой величины и
погрешностей измерения, а также известен закон их компо-
зиции, то синтез системы происходит в условиях полной
априорной определенности. Если известны только законы ком-
позиции оцениваемой величины и погрешностей измерения и
законы их распределения или несколько первых их моментов,
то в этом случае синтез систем происходит в условиях не-
полной априорной определенности. Если априорная информа-
ция о характеристиках измерений отсутствует или является
малодостоверной, то строится класс так называемых непара-
метрических оценок и синтез системы осуществляется в усло-
виях полной априорной неопределенности.
Адаптивные и неадаптивные. Адаптивные комплексные из-
мерительные системы изменяют, приспосабливают алгоритмы
обработки сигналов в зависимости от вида и характеристик
входной информации.
1.2. Математические модели погрешностей измерителей
Проектирование комплексных приборных систем требует
шания математических моделей погрешностей отдельных из-
мерителей. Как известно, можно выделить следующие основ-
ные составляющие общей погрешности измерителя: 1) дина-
мическую погрешность, обусловленную динамическими свой-
ствами измерителя и частотными свойствами входного сигна-
ia; 2) погрешность, обусловленную шумами в различных эле-
ментах измерителя или внешними помехами, воздействующими
на измеритель, носящую случайный характер и не зависящую
от входного сигнала; 3) погрешность, обусловленную измене-
нием параметров измерителя и зависящую от величины вход-
ного сигнала. Методическая погрешность, как правило, может
быть также отнесена к одной из перечисленных составля-
ющих.
В общем случае измерительное устройство осуществляет
преобразование векторного входного сигнала Х(/) в векторный
выходной сигнал Y(/). Преобразование может быть безынерци-
онным или инерционным, линейным или нелинейным, непре-
рывным или дискретным. Применяются различные формы ма-
тематического описания информационно-измерительных уст-
ройств, зависящие от вида преобразования.
Для скалярного измерения [один вход x(t) и один выход
//(/)] и линейного непрерывного вида преобразования удобной
формой математического описания служит передаточная функ-
ция W'(s) =y(s)/x(s), хорошо пригодная для описания информа-
ционно-измерительных устройств с постоянными во времени па-
раметрами.
11
Весьма полной математической характеристикой измери-
тельного устройства являются дифференциальные уравнения,
применимые для линейных и нелинейных преобразователей с
постоянными и переменными во времени параметрами. Матема-
тическая модель может быть представлена в виде одного
дифференциального уравнения /i-го порядка
п т
(1л)
I 0 7=0
с начальными условиями
rf'v(/) | -in 1
-^-2- =у.о, z = l, 2,... , /г-1
|/=/0
пли в виде системы п уравнений первого порядка.
Прн исследовании сложных динамических систем, в част-
ности комплексных информационно-измерительных устройств,
удобнее пользоваться не одним дифференциальным уравнени-
ем /г-го порядка (1.4), а эквивалентной ему системой п диффе-
ренциальных уравнений первого порядка. Это позволяет при
анализе и синтезе сложных систем обработки информации и
управления применять современный математический аппарат
метода пространства состояний.
Однако при использовании метода пространства состоя-
нии необходимо ввести такие переменные yk(t), чтобы система
дифференциальных уравнений первого порядка относительно
dyft(/)/d/ не имела в правых частях производных входного
сигнала x(t). Если исходное уравнение (1.4) не содержит в пра-
вой части производных входного сигнала т(0
(1,5)
1=о
то переход к форме уравнений в пространстве состояний осу-
ществляется достаточно просто. Вводятся обозначения:
у(0=У1(0;
dy'dt=dyv’dt=yz, q
dn^y ':dtn~i =dy„_i dt—yn.
С учетом (1.6) уравнение (1.5) примет вид
y.w-—£у.(/)+(1.7)
Система уравнений (1.6), (1.7) может быть компактно
представлена в векторной форме*:
¥=А¥ + Вл-, (1.8)
* В формуле (1.8) и далее для простоты записи аргумент t в величи-
нах Y и -V опущен.
12
где Y— /г-мерный вектор-столбец, Y={t/lt у2, —, //п]т; А — матри-
ца размерности пХп,
г 0 1 0 ... 01
А= 0 0 1.-0.
_ 6' О 0 ... 1.
В — «-мерный вектор-столбец, В=[0, 0, ..., Ь0/ап]г.
Компоненты z/i(O, У2 (t), • вектора Y (/) образу-
ют пространство состояний процесса и называются фазовыми
координатами. В данном случае вектор Y(t) формиру-
ется лишь одним входным возмущением x(t). В более общем
случае комплексной измерительной системы компоненты
у. (0 представляют собой выходные сигналы от разных изме-
рителей и формируются совокупностью г^/г разных входных
возмущений х((0- Тогда вектор ¥(/) в матричной форме
имеет вид:
Y-AY+BX,
1де X(f) =[a'i (/), x2(f), х„(01 — вектор-столбец, причем при
г <п часть компонент равна нулю; В—матрица размернос-
ти п Х'П-
Переход к уравнениям в пространстве состояний оказыва-
ется непростым, когда исходное уравнение (1.4) содержит в
правой части производные от входного сигнала:
2 «л»
1=0
dt‘
(1.9)
1=0
Существует ряд способов преобразования уравнения (1.9)
к форме уравнений относительно фазовых координат векто-
ра состояний Y =[z/i, 1/2, ..., t/„]T. Рассмотрим здесь более
простой случай, который часто встречается на практике:
уравнение линейно, на систему действует лишь одно входное
возмущение x(t).
Согласно первому способу, компоненты вводятся соотноше-
ниями:
У1(0=У(О:
dyi dt=y2(t)+clx(t)-,
dy2iidt—y3(t)+c2x(t)-,
(1.10)
dyn^dt = yn(t)+cn^x(t).
где Ci, cn_i —постоянные коэффициенты, удовлетворяющие
условию, чтобы после подстановки новых переменных в исход-
ное уравнение (1.9) в нем отсутствовали бы производные
процесса x{t).
13
Пусть, например, исходное уравнение, описывающее Дина-
мику измерителя, задано в виде
+ <1Л1>
В соответствии с изложенным выше правилом (1.10) вве-
дем компоненты двумерного вектора состояний:
У1(0=У(0; I
dy1ldt’=y2(t)+cx(t). J
(1.12)
Отсюда
dy dt=y2(i) j-cx(f); d^yldP —dy2idt-\-cdxidt.
Подставив эти два соотношения в исходное уравнение
(1.11), получим:
^+с7т+"‘У^+а1сх(^+аоУ1 = ^1'-^+Л(О-
Выбирая значение произвольной постоянной с = blt получим
уравнение, не содержащее производной от входного сигнала,
dy2 dt -= — а^—а1у2-|-(1 — axbx)x. (1-13)
Уравнения (1.12), (1.13) описывают процесс в простран-
стве состояний. Для изложения второго способа введения
компонент вектора состояний представим исходное уравнение
(1.11) в операторной форме:
An(s)y(t)^Bm(s)x(t),
где Л„(«) и Bm(s) —полиномы степеней п и т соответственно,
причем т^.п; s—d/dt—оператор. При этом
^„(s)=a„sn+a„_1s"-14-...+a1s+aC);
5ffl(s)=femS-+dm_Is^+...+*1s+fe0.
Введем новую переменную z(t) таким образом, чтобы
y(t)=Bm(s)z(t).
Тогда исходное уравнение примет вид
An(s)z(t)=x(t), (1.14)
где отсутствуют производные процесса x(t).
Уравнению (1.14) соответствует система уравнений отно-
сительно фазовых координат zf:
Zi=z(Q;
dzl/dt~z2(t)-l
dz2/dt=z3(t);
dzn_.ldt=zn(tY
(1.15)
14
Однако в данном случае исходный процесс выражается
через компоненты пространства состояний более сложным
образом:
У (0=*о+Mi+• • •+Mm-
Преимущество второго способа заключается в том, что
входное воздействие x(t) присутствует, в отличие от первого
способа, лишь в одном уравнении системы (1.15).
Рассмотренные выше методы описания динамических
свойств измерителей пригодны для непрерывного процесса из-
мерений. В случае дискретных измерений используется мате-
матический аппарат теории разностных уравнений.
Знание динамических характеристик измерителей позво-
ляет оценить ошибку, вносимую при измерении изменяющего-
ся во времени сигнала, или составляющую ошибку на вы-
ходе от помехи на входе измерителя. Однако в ряде случаев
погрешность измерителя не зависит от величины и частотных
свойств полезного сигнала. Она может быть обусловлена
внешними электрическими и магнитными полями, воздейству-
ющими на элементы измерителя и дистанционной передачи,
шумом внутренних электронных и электромеханических цепей,
отказами элементов в процессе эксплуатации, влиянием окру-
жающей температуры, влажности, давления, колебаниями пи-
тающих напряжения и многими другими факторами. В та-
ких случаях при составлении математических моделей изме-
рителей вводят отдельный канал, учитывающий формирова-
ние случайных погрешностей.
Применяется несколько способов описания и задания слу-
чайных процессов. Как известно, исчерпывающей характеристи-
кой как непрерывного, так и дискретного случайных сигналов
являются n-мерные функции распределения Fn(xi, х2, ..., хп;
Л> 4. • • •. которые зависят от п переменных Xi, х2, ...,хлп
п значений A, t2, ..., tn, а также плотности распределения ве-
роятностей fn(xi, х2....х„; t\, t2, ..., tn). По известной
/г-мерной функции распределения всегда можно найти функ-
ции распределения меньшей размерности. Однако практически
удается задаться только двумерной функцией или плотностью
распределения вероятностей. При этом легко вычисляются та-
кие важные характеристики, как моменты случайной функции,
с точностью до второго порядка включительно:
математическое ожидание
xft(x, t)dx\
— сс
дисперсия
D[x(£)]=Da = J [x—mv(^)]2/j(x, t)dx,
15
корреляционный момент (корреляционная функция)
t2)= М [х(Л)х(Л)] = f f lx1-mjr(^1)}{xJ-mx(i2)l/2(x1,
— СЮ —оо
-Х2, Л*
где x(f)=x(t)—М[х(^)] — центрированная случайная функция.
В теории случайных функций важную роль играет случай-
ная функция, называемая белым шумом, математическое ожи-
дание которой равно нулю, а корреляционная функция—дель-
та-функции:
М[л-(01=0; МЛ,
где G(t) —интенсивность белого шума.
Значение такой корреляционной функции при аргументе
Л—отличном от нуля, равно нулю, поэтому для белого
шума случайные значения, соответствующие двум сколь угод-
но близким временным сечениям, будут некоррелированными.
Большой класс процессов описывается стационарными слу-
чайными функциями. Случайная функция, для которой все
н-мерные функции распределения вероятностей не изменяются
с изменением начала отсчета времени, называется стационар-
ной в узком смысле. Случайная функция с постоянным матема-
тическим ожиданием mx(t) — const и корреляционной функци-
ей t2)=Kx{ti—12) = Кх(т), зависящей только от разнос-
ти аргументов, называется стационарной в широком смысле.
При этом корреляционная функция случайного процесса
может быть представлена в виде
т
АГх(т)=Нт-у^л(<)х(^-рт)г//.
Для характеристики статистической связи между двумя
сигналами x(t) и y{t) вводится понятие взаимной корреляци-
онной функции
7
о
Теория описания случайных процессов, в частности погреш-
ностей информационно-измерительных устройств, основанная
на использовании понятий математического ожидания и корре-
ляционной функции, называется корреляционной.
Другой подход для описания погрешностей измерителей ос-
нован на спектральной теории представления сигналов. Функ-
ция спектральной плотности 5х(ы) и корреляционная функция
Кv(r) связаны интегральным преобразованием Фурье:
•5Д“)= J АГг(т)е_у“гг/т;
—со
16
/<л(г)= 97 $л(0,)е7’ Y‘ o)-
Аналогичным преобразованием связаны функция взаимной
спектральной плотности и взаимная корреляционная функция
тух процессов:
си
-Мо,)= j A\y(*R
—со
ио
siy(^)e^.
— оо
Описание погрешностей на основе корреляционной и спект-
ральной теорий оказывается чрезвычайно удобным как с
1ОЧКН зрения возможности получения всех числовых значений
ио экспериментальным данным, так и с точки зрения удобст-
ва использования этого математического аппарата при апали-
le п синтезе комплексных информационно измерительных уст-
ройств.
В последние годы в связи с развитием теории анализа и
синтеза систем обработки информации и управления в прост-
ранстве состояний широкое использование находит представ-
ление случайных процессов в виде стохастического дифферен-
циального уравнения.
В векторно-матричной форме уравнение погрешностей из-
мерителя, обусловленных случайными факторами, может быть
представлено как
АХ=С(/)ДХ(/)
где ДХ=[Дхь Дх2,......Ахп]т—вектор погрешностей измере-
ния компонент хь х2, .... хп: С(/) матрица размерности яХя;
V(/)—вектор-столбец белых шумов возбуждения. Например,
для случайных погрешностей с корреляционными функциями
/<Лл(^)=4.ге-з<-’
описание в форме стохастического дифференциального уравне-
ния будет иметь вид
Дл-=-?Дх(0+Щ^);
где (t)—белый шум, интенсивность которого зависит
от пДх.
Математическая модель может быть получена на основе
теоретического анализа протекающих в измерителе процессов.
Однако полученная таким путем модель часто на практике
используется лишь для прикидочных расчетов. Дальнейшее раз-
витие ее производится на основе экспериментальных данных
по результатам лабораторных или натурных испытаний. Эф-
2 Заказ № 571 17
фективность комплексирования информационно-измерительных
устройств в первую очередь зависит от достоверности матема-
тических моделей, принятых при исходных расчетах.
Рассмотрим в качестве примеров основные источники по-
грешностей ряда информационно-измерительных устройств на
борту ЛА. Численные значения приводимых ниже характерис-
тик могут быть приняты как ориентировочные для использо-
вания их в учебных расчетах.
Барометрические измерители высоты. Баровысотомер осно-
ван на использовании функциональной зависимости давления
и температуры воздушного столба от высоты полета ЛА.
Простой и надежный в конструктивном и схемном плане
прибор обладает, однако, существенными составляющими ме-
тодической и инструментальной погрешностей. Барометричес-
кий метод позволяет измерять лишь высоту относительно
уровня моря или другого места с заданным уровнем давле-
ния. Он не позволяет определять текущую (истинную) высоту
относительно подстилающей поверхности, так как изобары
(линии равных давлений) не эквипотенциальны земной поверх-
ности. Это следует учитывать при комплексировании баромет-
рических измерителей с измерителями высоты, основанными на
других физических принципах.
Динамические свойства барометрических измерителей могут
быть описаны передаточной функцией [7]
IVzbb(s)= (1+7'1s)(i+2$7'2s-|-7'?s2) ’
где Абв — размерный коэффициент передачи, в общем случае
зависящий от высоты (в простейших расчетах можно прини-
мать /гвв= 1 В/м); х=1/а — запаздывание давления по трубо-
проводу от приемника статического давления до чувствитель-
ного элемента; I — длина трубопровода; а — скорость звука;
Т\ — постоянная времени, зависящая от объема измерительной
камеры; g, Т2 — параметры механической (или электромехани-
ческой) подвижной части измерительного устройства.
Ориентировочно значения параметров могут быть взяты
равными: т=0,01-^0,05 с, Ti—0,05^-0,1 с, g=0,7, Т2—0,2-±0,5 с.
Часто динамикой барометрического измерителя при расчетах
комплексных измерительных систем пренебрегают, считая его
инерционность малой по сравнению с инерционностью объекта.
Основную долю в общую погрешность вносит шумовая соста-
вляющая, обусловленная множеством разнородных причин:
случайными изменениями давления и температуры воздуха на
высоте полета, колебаниями давления на выходе приемника
статического давления за счет возмущенного движения ЛА и
другие.
Эту погрешность ДЯбв часто описывают стационарным нор-
мальным случайным процессом типа белого шума с корреляци-
18
высоты. Радиовысотомер пз-
над -пролетаемой местностью,
находится в сильной зависи-
поверхности, что приводит к
блоки радио-
определяют динамику
онной функцией Лбв (т) = <т2бв 6 (т) или случайным экспоненци-
ально-коррелированным процессом:
/<Бв('с)=°вве “1'1;
с / \ °Ьв ’
^Бв(ш) к 024-0,2’
Параметры <уБв (среднеквадратическая погрешность) и а (ве-
личина, обратная времени корреляции) зависят от высоты,
скорости полета, метеоусловий и других причин. Ориентиро-
вочно оБВ= ± (20 :-40) м на высоте 1000 м, обе— ± (300 500) м
па высоте 30 000 м, а=10~ь2.
Радиотехнический измеритель
меряет истинною высоту полета
Характер отраженного сигнала
мости от свойств подстилающей
необходимости введения фильтров в выходные
высотомера. Эти фильтры в основном
измерителя по полезному сигналу [7]:
1^pb(s)= ^pb/U + ^phs),
где &рв—размерный коэффициент; Трв— постоянная времени;
7'рв~(0,1±0,5) с.
Шумовая (флюктуационная) составляющая погрешности
обычно описывается стационарным случайным процессом ти-
па белого шума с корреляционной функцией Лрв = о2рв б(т),
Значение среднеквадратической погрешности ш-в зависит от
высоты и характера подстилающей поверхности.
Для радиовысотомера малых высот (диапазон 0—15 00 м)
ориентировочные значения серб составляют: ± (0,2н-1) м па
высотах 0—10 м и ±(2з З)% на высотах более 10 м.
Измеритель воздушной скорости. Обычно в комплексных
системах используется измеритель истинной воздушной ско-
рости в сочетании с допплеровским измерителем скорости и
угла сноса. Однако измеритель дает информацию о скорости
летательного аппарата v относительно воздушной среды, в то
время как желательно иметь сигналы путевой скорости щ, от-
личающейся от воздушной скорости на величину вектора ско-
рости ветра и. Неучет этой составляющей приводит к методи-
ческой погрешности.
Динамика измерителя воздушной скорости приближенно
описывается передаточной функцией [7]
1V/hbc(s)= ЛивсС "/(l + T^s),
где кццс—размерный коэффициент передачи; т — запаздывание
при передаче динамического давления по трубопроводу;
/в1 — инерционность измерительной камеры.
Значения т и Тв) того же порядка, что и в баровысотоме-
ре. Поэтому часто динамикой измерителя воздушной скорости
2* ]9
пренебрегают п считают его безынерционным. Однако П7цвс ($)
обладает фильтрующими свойствами по отношению к входным
возмущениям. Таких основных входных возмущений, носящих
случайный характер, можно выделить два. Первое возмущение
обусловлено тангенциальной составляющей турбулентности
(вдоль осн приемника динамического давления), описываемой
стационарным случайным процессом с корреляционной функ-
цией
/Сг(т)=а|е-Мб (1.16)
и функцией спектральной плотности
к ^iby+fo3.
Здесь в?—среднеквадратическое значение скорости турбулент-
ности, находящееся в диапазоне от 0,4 м/с (полет в спокой-
ной атмосфере) до 2,7 м/с (сильная болтанка); b=L)v — время
корреляции; L—масштаб турбулентности (зависит от состоя-
ния атмосферы), изменяющийся в пределах 200—1000 м;
v — скорость полета.
Второе возмущение, действующее на входе, обусловлено из-
менением углов атаки и скольжения при колебаниях ЛА во-
круг центра масс из-за нормальной и боковой составляющих
турбулентности, что приводит к флюктуациям проекции векто-
ра скорости на ось приемника динамического давления. Это воз-
мущение описывается корреляционной функцией вида (1.16) с
величиной о г =4-ь5 м/с (для £ = 300 м, о=300 м/с).
Радиотехнический измеритель скорости. Основным изме-
рителем горизонтальной составляющей путевой скорости
wrop ЛА служит допплеровский измеритель скорости и угла
сноса (ДИСС). Рассмотрим основные факторы, влияющие на
точность работы ДИСС [7].
1. Крен летательного аппарата. В сильной степени (ошиб-
ка 5% а^гор на градус крена) сказывается в однолучевых си-
стемах и незначительно в симметричных двухлучевых системах
(0,015% а>гор на градус крена).
2. Вертикальные ветровые возмущения. Степень их влияния
зависит от величины
t£Pl = WBepT нетра ®\х>р. ЛА*
Для высокоскоростных летательных аппаратов эта погреш-
ность в процентах составляет доли измеряемой величины, для
низкоскоростных (вертолеты) —единицы.
3. Отражения сигнала от вибрирующей обшивки летатель-
ного аппарата имеют место в тех системах, где не приняты
специальные меры. В системах импульсного действия или с
дополнительной частотой модуляцией эта погрешность сведена
до минимума.
20
1. Факторы, носящие случайный характер (старение эле-
ментов, влияние температуры, вибрации, влажности, про-
п изодственные разбросы) обусловливают нестабильность схем.
Их воздействие может быть оценено для конкретной схемы
ДИСС некоторыми числовыми характеристиками.
5. Высота применения ДИСС. Ограничивается уровнем
мощности отраженного сигнала при полете на максимальной
высоте и работоспособностью аппаратуры в условиях разре-
женной атмосферы. Явление «мертвой высоты» проявляется на
кратных высотах, когда отраженный импульс приходит в мо-
мент, близкий к моменту излучения следующего импульса пе-
редатчика, и может быть подавлен.
6. Структура отраженного сигнала, определяемая конечной
шириной диаграммы направленности и видом подстилающей
поверхности (море, лес, пустыня и т. п.), а также нестабиль-
ность частоты излучения.
Современные ДИСС позволяют измерять скорости в различ-
ных диапазонах; для самолетов в диапазоне 126—1800 км/ч;
для вертолетов — 180—540 км/ч. Вертикальные скорости са-
молетов измеряются до ±300 м/с, вертолетов —до ±15 м/с.
В общем случае погрешности ДИСС по скорости и углу
сноса представляют собой случайные процессы, которые при-
ближенно могут быть описаны корреляционной функцией вида
^(т)=а2е-а1-1
и тп
Л^(т)=а2е_к|4со8).т-)-т2,
где т — регулярная составляющая, постоянная для каждого
полета и путевой скорости w=const, возникающая вследствие
нестабильности несущей частоты f0, изменений характеристик
измерителей и др.
Параметры Д(т) лежат в диапазоне [7]:
для скорости w
3и = (1,0-1,37>%, aw=(0,03-0,045) сЛ \и=(0,5ч-0,7) с"1;
для угла сноса |3
о₽ =(40—50)'; = (0,016-0,02) с"1; )р =(0,03-0,05) с"1.
Гироскопические измерители. Гироскопы и гироскопические
системы служат для измерения углов отклонения объекта (и
их производных) относительно заданного направления. По-
грешности гироскопических устройств зависят как от кон-
структивного выполнения, так и от условий работы. Их оцен-
ка представляет собой сложную задачу.
Рассмотрим основные составляющие погрешности, исполь-
зуя работу [38].
Общая погрешность позиционного или интегрирующего ги-
роскопа, представляющая разность угловых положений выход-
21
пой оси и заданного направления в инерциальном про-
странстве, может быть представлена в виде суммы
ДФг=Лд04-Дйу4-4-Д'Ьс,
где \i|0 — погрешность начальной установки; Дф.у — погреш-
ность, обусловленная уходом гироскопа; Дф? — погрешность
от перемещения ЛА и вращения Земли; Дфс — погрешность
системы съема и передачи показании гироскопа.
Погрешность Дф0 является случайной величиной и остается
постоянной в процессе работы. Статистика Д<р0 зависит от
средств начальной выставки. В качестве характеристики
можно взять среднеквадратическую погрешность о0 выставки.
Основным параметром, характеризующим качество гироско-
па, является погрешность ухода. Главной причиной ухода явля-
ется наличие моментов трепня М, (/) на осях подвеса, со-
держащих постоянную составляющую 7ИтС и флюктуацион-
ную Мг ф.
Составляющая Мт(| является случайной величиной для
данного гироскопа, а Мт,ф описывается стационарным случай-
ным процессом с корреляционной функцией
/<лт(т)= 02ие-^'Ь1. ‘
Уход гироскопа от постоянной составляющей Л1тП равен
Дфто(О-(А1т0///)Л
где Н— кинетический момент гироскопа.
Дисперсия ухода при этом равна
где от0 — средпеквадратическое значение составляющей А1тР.
Дисперсия случайной составляющей угла Афу также зави-
сит от времени;
Для оценки погрешностей гироскопа, вызванных перемеще-
нием ЛА и вращением Земли, следует учитывать, что при
полете с курсом ф3 (/) отклонение оси гироскопа в плоскости,
проходящей через продольную ось ЛА, происходит с угловой
скоростью
МО = w3cos<p(/)sin63(/)+w(z1)'[/?3+//(.(/)],
а в плоскости, проходящей через поперечную ось ЛА, с угло-
вой скоростью
w»n(0 = W3COS<p(/)COS 63(/),
где со3 — угловая скорость вращения Земли (15°/ч или
0,25о/м); — широта места; и.' — скорость движения ЛА;
— высота полета ЛА; R3—радиус Земли (6371 км).
Погрешности съема и передачи данных определяются ха-
рактеристиками дистанционной передачи (инерционностью,
трением, люфтами и др.).
22
Глава 2
Основы теории оптимального оценивания
параметров сигналов
2 1. Критерии оптимизации и свойства оценок сигналов
Работа систем оценок сигналов на борту летательного ап
п.грата происходит в условиях воздействия случайных сигналов
и помех. Поэтому оптимальный синтез комплексной системы
базируется на общих методах теории статистических реше-
ний. В связи с этим рассмотрим основные критерии и методы
оптимизации комплексных систем оценок параметров сигнала
и свойства оценок с позиций теории статистических решений.
Обычно содержание синтеза оптимальной комплексной си-
стемы включает в себя следующие основные этапы [14]: 1) оп-
ределение вида и областей задания полезного сигнала и по-
мех, закона их композиции и вероятностных характеристик;
2) определение функционального назначения комплексной си-
стемы; 3) выбор показателя качества системы; 4) нахожде-
ние оптимального правила решения комплексной системы по
выбранному критерию качества; 5) определение качества опти-
мальной системы.
Методы представления случайных сигналов и помех. Полез-
ные сигналы Х(/), которые являются /«-мерными вектор-
фупкциями, представим s-мерным вектором. Пусть все мно-
жество сигналов Х(/) принадлежит пространству полезных
fin палов £2:Х(П £ £2. Предположим, что наблюдаемые сигналы
па выходе комплексной системы Y(Z) образуют M-мерную век-
юр-функцию, которую можно представить р-мерным вектором.
Наблюдаемый сигнал Y(/) определяется некоторой композици-
ей полезного сигнала и погрешности измерений Н(/):
Y(O = G'[X(x), Н(г)], хе 10, Г],
где G'v—произвольный оператор. Множество наблюдаемых си-
гналов Y(Z) принадлежит пространству сигналов O:Y(Z) е ф.
Допустим, что М-мерную вектор-функцию, определяющую
помеху Н(0, можно представить r-мерным вектором в про-
( гранстве Ф. Представление сигналов в виде конечных векто-
ров является адекватным в случае структурно-детерминирован-
ного сигнала, т. е. сигнала с известной формой и зависящего
<»г вектора случайных параметров U. Например, полезный си-
нгал в этом случае имеет вид X(U, /). Если полезный сигнал
является случайным процессом, то полное вероятностное опи-
i .типе сигнала определяется функционалом распределения ве-
роятности Е[Х(/)]. Часто полезный случайный сигнал при-
ближенно представляют также конечномерным вектором слу-
чайных величин. Это можно сделать двумя способами.
23
В первом из них фиксируются значения аргумента /т,
/2, • • , Тогда совокупность значении /л-мериого вектора но
лезпого сигнала в этих точках Xf/J, Х(;2), X(Zz) обра
зует конечномерный вектор размерностью s где s — tn^l.
Во втором случае полезный сигнал представляется капо
нпчсским разложением, в результате чего случайная функция
времени приближенно описывается конечным числом некорре-
лированных случайных величин и известных функций времени.
Вероятностное описание случайного полезного сигнала, пред-
ставляемого конечномерным вектором X, определяется плот-
ностью вероятности й(х).
Вероятностное описание наблюдаемого сигнала Y(/) в слу-
чае представления сигналов н погрешности измерения конечно
мерными векторами случайных величии удобно определить
условной плотностью вероятности наблюдаемого сигнала при
фиксированном значении полезного сигнала f(y/x).
При синтезе комплексной системы необходимо исходить из
обеспечения требуемого выходного сигнала пли требуемого
решения. Это решение должно быть идеальным, т. е. безоши-
бочным. Для комплексных систем оценки параметров сигнала
ZT(Z) =qT[X (/)! где <гт—оператор требуемого преобразования.
Предположим, что ZT (!) можно представить s-мерным векто-
ром ZT.
Множество требуемых решений ZT принадлежит пространст-
ву требуемых решений WT:ZT£Wr. Наличие погрешности из-
мерения в наблюдаемом сигнале Y(Z) и ограниченное время
измерения пли число отсчетов в случае дискретного наблюде
пня приводит к тому, что фактическое решение или выходной
сигнал системы отличается от требуемого.
Для комплексных систем оценки параметров сигналов
фактическое решение Z(Z) q[Y(zj] есть результат преобразо-
вания наблюдаемого сигнала некоторым оператором q, отли-
чающимся от требуемого оператора <(т. Пусть сигнал Z(/) также
можно представить « мерным вектором Z. Множество факти-
ческих решении Z принадлежит пространству решений W : Z £ W.
Синтез оптимальных комплексных систем сводится к опре
делению наилучших по какому-либо критерию правил получе-
ния фактических решений, определяющих оптимальную оценку.
Критерий оптимальности. Выбор критерия производится ис-
ходя из анализа условий работы системы и ее назначения.
Качество решения задачи в каждом конкретном случае оце-
нивается некоторой функцией потерь или функцией цены ошнб
кп /(Z, ZT) = /(Е), значение которой определяется конкретными
реализациями фактических и идеальных решений. Величина
Е ='Z — ZT представляет собой «-мерный ьектор ошибок ре
шенпй.
В общем случае необходимо учесть кроме потерь, связан-
ных с ошибками решений, еще и потерн, связанные с расходо-
ванием ресурсов па наблюдение, т. е. так называемую функцию
24
СТОИМОСТИ /1 (Z, ZT). Функция стоимости зависит от стоимости
и времени эксперимента.
Учитывая, что в рассматриваемых ниже алгоритмах время
наблюдения фиксировано заранее, будем полагать в даль-
нейшем, что функция стоимости равна нулю: Л (Z, Zr) =0
Пусть функция ЦЕ) обладает следующими свойствами
1. /(E)- скалярная функция вектора Е.
2. /(0) =0, где нуль в скобках означает нулевой вектор
3. /(EJ^/fEz) всегда, если rf(Ei)^rf(E3), где d— скалярная
неотрицательная выпуклая функция от вектора Е, т. е.
</[ЛЕ| + (1—A)E2]<7.d(Ei) + (1—Х)с/(Ег) для любых «-мерных
векторов Е| п Е2 при О^Х^Е
4. /(Е)=/(-Е).
Первое свойство выбрано из-за аналитической простоты
такого описания. Второе свойство утверждает, что в случае
точной оценки штраф не накладывается. В третьем свойстве
d является мерой расстояния ошибки решений от начала ко
ординат «-мерного евклидова пространства, а ЦЕ) определяет-
ся как неубывающая функция этого расстояния. Четвертое
свойство означает, что функция ЦЕ) симметрична относительно
пуля. Функция потерь, обладающая всеми этими четырьмя
свойствами, называется допустимой функцией потерь [25].
Будем в дальнейшем рассматривать случай простой до-
пустимой функции потерь, когда Z(Z, Z,) не зависит от прави-
ла решений. Под правилом решения будем понимать характе-
ристику преобразования точек пространства сигналов в точки
пространства решений. При этом будем различать идеальное
правило решения qt(z.,/x) и фактическое правило решения
q(z/y), которые характеризуют отображения полезного сигнала
в идеальное решение и наблюдаемого сигнала в фактическое
решение. Правило решения является математическим описани-
ем системы принятия решений.
В общем случае правила решения характеризуются много-
мерными условными плотностями вероятности p(zT/x) и
p(z/y), которые в теории вероятности называют статистически-
ми решающими функциями. В частном случае правила реше-
ния являются детерминированными. При этом условные плот-
ности вероятности qt(zt/x) и p(z/y) превращаются в 6-функции
o[zT—®т(х)] и 8[z — <р(У)1- Функция потерь /(Z, ZT) является
случайной величиной в силу случайности величин Z и ZT.
Показатель качества должен быть усреднен по всем реали-
зациям случайных величин потерь Z и ZT. Примем за показа-
тель оптимальности комплексной системы критерий среднего
риска, определяемый для простой функции потерь в виде без-
условного математического ожидания
/? = M[/(Z,ZT)]. (2.1)
При этом оптимальной системе соответствует нижняя граница
25
или при условии существования — минимум среднего риска
M[/(Z*,ZT)]=minR.
В зависимости от конкретного выбора функции потерь сред-
ние потери принимают различную форму. Все критерии мини-
мума среднего риска называют байесовыми критериями
Правило решения у*, соответствующее нижней границе или
минимуму среднего риска, называется байесовым В этом слу-
чае выполняется следующее соотношение:
R*(h, P*) = lnfR(h, р),
р
где Л = /г(х). Средний риск в отличие от простой функции по-
терь зависит от идеального и фактического правил решений
В случае, когда Y, х, ZT, Z являются конечномерными векто
рами, формулу (2.1) можно представить в развернутой форме
R= [ J ( f 1(г, zT )v(y, х, zT, z^ydxdz.dz,
Ф e w w
T
где v(y, x, zT,z) — совместная плотность вероятности векторов
Y, X, ZT, Z. На основании теоремы умножения совместную плот-
ность вероятности можно записать через условные плотности
вероятности
v(y, х, zf; z) = у(у)<7 (х y)p(zT/y, x)a)(z/y, х, z,),
где у(у), <7(х/у), p(zT/y, х), co(z/y, х, zT) — безусловная и ус-
ловные плотности вероятности векторов Y; X; ZT, Z при фикси-
рованных значениях векторов Y; Y, X; Y, X, Z соответственно.
Заметим, что выходной сигнал ZT идеальной системы зави-
сит только от полезного сигнала X, а выходной сигнал реальной
системы Z —-только от наблюдаемого сигнала. Поэтому услов-
ные плотности вероятности p(zT/y, х), co(z/y, х, zT) можно вы
разить через правила решения
P-(zT у, х) = Рт (z/x), <o(z/y, х, zT)=p(z.y). (2.2)
Учитывая равенство у(у)<?(х/у) =. /г(х)/(у/х) и соотношения
(2.2), формулу для среднего риска можно представить в еле
дующем виде:
R = СУ у У Z(z, zT)A(x)/(y'x)pT(zT/x)p(z/y)6/xrfy4Zzi/zT.
s ф w wt
(2.3)
Вычисление среднего риска возможно при условии, что из-
вестно априорное распределение плотности вероятности полез-
ного сигнала /г(х).
При выбранной функции потерь /(Z, ZT), известных харак
теристиках Л(х), f(y/x) сигналов X и Y и при заданном идеаль-
ном правиле решения задача синтеза оптимальной комплекс-
ной системы по критерию среднего риска сводится к определе-
нию вида реального правила решения p(z/y), минимизирующего
выражения (2.3).
26
Если предположить, что правило решения d[z- q(y)] явля-
< ия детерминированным, то задача оптимизации комплексной
i ш темы сводится к нахождению оператора <р, миннмпзирующе-
111 средний риск (2.3).
Когда априорное распределение Л(х) неизвестно, то для
синтеза инвариантных комплексных систем и для оценки каче-
। та решений можно использовать априорный условный риск
/|(х), представляющий собой условное математическое ожида-
ние функции потерь при фиксированном значении полезного
।hi пала
G(x) —Zt),x)].
В развернутом виде формула априорного условного риска
имеет вид
r,(x)= f [ С /(z, zT)/(y/x)pT(zT.'x)p(z/yKyt/zdzr.
Ф W WT
Правило решения называется минимаксным, если
sup гДх, р*) = inf sup Tj(X, р).
X р X
Минимаксное правило решения используется при неизвест-
ной априорной информации о вероятностном распределении
полезного сигнала и поэтому рассчитывается на наихудшим
случай.
Средний риск есть математическое ожидание априорного
условного риска
/?=Mx[r1(x)] = Jr1(x)A(x)c/x.
s
Часто при синтезе априорных систем используют апостери-
орный условный риск, определяемый условным математическим
ожиданием функции потерь при фиксированном значении на-
блюдаемого сигнала Y,
r2(y)=Mx[/(Z, ZT) у]. (2.4)
Развернутая формула апостериорного условного риска име-
ем вид
гг(У)=Г f f /(z, zT) <7(х y)pT(zT x)P(z y)<7xcfz <7zT) (2.5)
a w wT
i le <y(x/y) — условная апостериорная плотность вероятности
вектора X при фиксированном значении вектора Y.
Средний риск есть математическое ожидание апостернорпо-
IU условного риска
₽=Му [г2(у)] = J Г2(у)у(у)с?у.
ф
1 ели для каждой реализации вектора Y существует единст-
венное значение Z, обеспечивающее минимум условного апо-
27
стериорного риска г2(у), то правила решений, минимизирую-
щие выражение (2.5) и средний риск (2.3), совпадают.
Если правило решения n(z/y)=6[z—<р(у)] представляет
собой 6-функцию, а <р(у) — однозначную зависимость (функ-
цию, оператор или функционал), то это условие выполняется.
Условия существования и единственности оптимальных пра-
вил оценок. Важным для практики является вопрос о сущест-
вовании и единственности оптимальных правил оценки и реше-
ния. Ответ на этот вопрос дается рядом утверждений, которые
справедливы при следующих допущениях.
1. Пространство входных сигналов Ф содержит только дис-
кретные или абсолютно непрерывные случайные последователь-
ности.
Будем считать, что стохастический процесс [YJ абсолютно
непрерывен, если для всякой функции распределения Е е V,
где V — заданный класс функций распределений, и любого п
совместное распределение случайных величин Yb Y2,.... Y„ оп-
ределяется плотностью распределения.
2. Функция потерь 1(г, zT) является ограниченной функцией
своих аргументов.
3. Пространство решений W компактно при использовании
метрики
rffZj, z2)=sup I Z(z,, zT)—Z(z2, zr) I.
2t
4. Потери на наблюдение равны нулю.
5. Класс правил решений — выпуклый и замкнутый. Класс
правил решений называется выпуклым, если для любых пра-
вил решений Q] и р2, принадлежащих данному классу S, пра-
вило решения ра=Р1 + а(р2—Qi). O^a^l также принадлежит
классу S. При практической реализации эти допущения не
являются особенно затруднительными.
При сформулированных выше условиях справедливы сле-
дующие утверждения.
1. Задача выбора решения, если ее рассматривать как игру
двух участников с нулевой суммой, является строго определен-
ной:
slip inf R(h, p)=lnf sup R(h, p),
h p p h
где R (/г, q) — средний риск как функция правила решения и
априорной плотности распределения Zi(x).
2. Для любого априорного распределения вероятности /г(х)
существует байесово правило решения р* такое, что
/?*(Л, p*)=inf/?(A,P).
р
3. Существует минимаксное правило решения такое, чтс
sup гДх, рЦ)= Inf sup Г1(Х, р).
X Р х
28
I, Любое минимаксное правило решения является байесо-
вым для наименее благоприятного распределения вероятности
полезного сигнала.
5 Существует наименее благоприятное априорное распре-
щлеиие вероятности полезного сигнала.
С>. Класс всех байесовых правил решения полон. Класс пра-
вил решения D называется полным, если для любого не при-
п । (.лежащего D правила q в D найдется равномерно лучшее
правило Qp. Правило решения qp равномерно лучше правила
решения q, если rt(x, Qp)^r1(x, q) для всех хей и r,(x, qp) <
rjx,q) хотя бы для одного xjefi.
7. Байесово правило решений, которому соответствует по-
1 шинное значение априорного условного риска, как функция
полезного сигнала является минимаксным правилом решения.
8. Если байесово правило решения единственно, то оно
приемлемо.
Правило решения щ называется приемлемым или допусти-
мым, если не существует другого правила q2, которое равномер-
но лучше правила qi, т. е. если не существует q2, удовлетворяю-
щего условиям r,(x, q2) ^r,(x,g[) для всех хей, и fi(x,q2) <
Г| (х, у,) хотя бы для одного xgQ.
9. Наряду с перечисленными утверждениями важное значе-
ние имеет теорема Ходжеса—Лемана об устранении рандоми-
|.щпп [29].
Если пространство решений W есть действительное прост-
рапство и функция потерь /(zb zT ) выпукла по z при любом zT,
ю для любого правила решения q существует нерандомизиро-
ваииое (детерминированное) правило решения qh, которому
(оответствует средний риск /?(х,qh) ^Я(х,q).
Утверждение п. 9 показывает, что при сформулированных
условиях всегда существует детерминированное правило реше-
ния, поэтому Q(z/y) можно представить в виде 6-функций.
Характеристики и методы оптимизации оценок. Рассмотрим
характеристики и методы оптимизации оценок сигналов, ис-
пользуемые при синтезе комплексных систем. Под оценкой X
будем понимать результаты вычислений значений s-мерного
вектора параметров полезного сигнала X, соответствующие
частным значениям наблюдаемого вектора Y.
Оценки характеризуются следующими основными свойства-
ми [46]: 1) несмещенностью; 2) состоятельностью или сходимо-
<I ыо оценки; 3) достаточностью; 4) эффективностью.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое
ожидание равно математическому ожиданию оцениваемой
величины. Пусть оценивается полезный сигнал X. Если
М[Х] = М[Х], то считают, что оценка X безусловно несмещена.
Математические ожидания определяются следующим об-
|>а юм.
29
M[X] = j xft(x)dx:
OO co r^J SQ
M[X]= j f X(y)₽(y, x)dydx = j x(y)7(y)dy,
— co — ею —OO
|3(y, x) — совместная плотность вероятности векторов X и Y.
Если математическое ожидание оценки вычисляется при ус-
ловии, что значение оцениваемого вектора параметров фикси-
ровано, то условно несмещенная оценка определяется равенст-
вом
MfX(Y) х] = х,
где М[Х(Y)/х] =5 j x(y)f(y/x)dy. В обозначении X(Y) — под-
— QO
черкивается зависимость оценки X от наблюдаемого вектора
сигналов Y.
Для любой оценки можно вычислить матрицу среднеквад-
ратических ошибок оценивания
M[(X-X)(X-Xr]-M|E]+(M[X]-M[XJ)(M[X]-M[X])T, (2.6)
гдеЁ=;[,(Х — М{Х]) — (X — М[Х])] — центрированная ошибка
оценки. Эта матрица равна сумме корреляционной матрицы
вектора ошибок оценки и матрицы, обусловленной смещением
оценки. Аналогичное представление для матрицы среднеквад-
ратических ошибок можно получить при фиксированном зна-
чении вектора X.
Считают, что оценка сходится к оцениваемой величине, ес-
ли ее точность возрастает с увеличением объема выборок.
Введем обозначение X/’ для оценки t-й составляющей век-
тора параметров сигнала по выборке объема k, i=l,s. Оценка
называется состоятельной, если для любого е>0
ИтР(хг—е <хг*<хг-|-е) = 1,
А—~
где Р — вероятность нахождения оценки Xt в заданных пре-
делах.
Считают, что оценка состоятельна в среднем квадратичном
или сходится в среднем квадратичном, если
Jim Л) [(Х*-Х)(Х*-Х)Т] -=0.
k
Из соотношения (2.6) следует, что корреляционная матрица
вектора ошибок и смещение этой оценки сходятся к нулю.
30
Аналогичным образом определяется состоятельность, когда
используется условное математическое ожидание и усреднение
осуществляется при фиксированном значении вектора X.
Рассмотрим свойство достаточности оценки [37]. Существу-
ют такие преобразования Ф (Y) вектора Y, которые содержат
нею необходимую для оценки информацию, получаемую при
наблюдении, и обладают свойством, состоящим в том, что оп-
гпмальные .правила оценки, зависящие от Ч;, дают тот же уро-
вень ошибок, что и оптимальные оценки при использовании
исходной информации в виде вектора Y. Такие преобразования
называются достаточными статистиками. Напомним, что ста-
шстикой называется любая величина, полученная путем преоб-
разования случайного вектора Y.
Статистика Ф (X) является достаточной, когда информация,
содержащаяся в ней относительно измеряемого вектора X,
равна информации, содержащейся в векторе Y относительно X.
Достаточная статистика тем более интересна, чем большее
сжатие входных данных Y она обеспечивает, т. е. чем меньше
ее размерность. Достаточное преобразование минимальной
размерности называется минимальной достаточной статистикой
для данной задачи или для данного класса задач.
Наибольшую ценность представляют достаточные статисти-
ки, минимальные для целого класса задач.
Найти минимальную достаточную статистику — значит
практически решить задачу синтеза оптимальной информаци-
онной системы; найти достаточную статистику малой размер-
ности — значит максимально приблизиться к ее решению.
Наиболее универсальный способ отыскания достаточных
статистик малой размерности заключается в анализе функции
правдоподобия /(у/х), которая отличается от условной плотно-
сти распределения только тем, что в функции правдоподобия
шаченпе Y известно, а вектор х является переменной величи-
ной.
Допустим, что можно ввести некоторое взаимооднозначное
преобразование
S=3(Y) = (^(Y),Z(Y)},
где размерность ’F(Y) меньше размерности Y, а функция Z(Y)
дополняет преобразование 'Ir(Y) до взаимооднозначного. В си-
лу взаимной однозначности Y и S можно использовать для
i«писания полной совокупности данных наблюдения только
E=;E(Y). При этом решение q будет функцией S(4J',Z), и
вместо функции правдоподобия f(y/x) необходимо рассматри-
вать
Ж*)=Ж £/'х)=/1(?/Ф, х)/а(ф/х).
Если Чг и Z выбраны так, что распределение вероятности
Z не зависит от X, т. е. /1(£;ф, х) = /(£/ф), то преобразование
4.r=5r(Y) является достаточной статистикой, а преобразование
31
Z(Y) описывает ту часть сведений, содержащихся в совокупно-
сти входных данных Y, которая не несет никакой информации
об X и, естественно, не участвует при формировании решения.
Если преобразование 4T=4f(Y), удовлетворяя приведенным
выше условиям, имеет наименьшую возможную размерность,
то оно является минимальной достаточной статистикой для
всего класса задач, связанных с принятием любых решений,
результаты которых зависят от Y.
Для достаточной статистики справедливо следующее соот-
ношение:
Ш У)=/з(Ф У> х), (2.7)
т. е. Ф, как и любое правило решения, алгебраически не зави-
сит от X. В этом случае некоторая статистика ч'(У) может
быть достаточной только тогда, когда
Л(У Ф)=Л(У Ф, х). (2-8)
Используя формулу Байеса и соотношения (2.7) и (2.8),
получим;
f (X * VA - /з(»/У, X) д (X/у) __ /з(Ф/У) q (* у) _ , у
Л(Х,Ч,У)_ /з(ку) - Шу) -?(ху),
f Гх'Л vl - Л(у/»)Л(х/ф) . - ч
Л(х Ф>У) - —/ |V Л(Х Ф),
т. е. q(x у)=/6(х,'ф). (2.9)
где /3(Ф У), Л(У/Ф). Л(х Ф, У), /0(х Ф) — условные плотности
вероятности соответствующих величин. Соотношение (2.9) так-
же является определением достаточной статистики [42].
Если Ф является достаточной статистикой, то значение Y в
дополнение к Ф ни в какой степени не улучшает значения X.
Оценка Хк, состоятельная в среднем квадратичном, называ-
ется эффективной, если для любой другой оценки Хк справед-
ливы:
неравенство
ЛЧ(Е*)(Е*)Ч<М[(Е/)(Е/Л (2.10)
при использовании оператора безусловного математического
ожидания и неравенство
Л1 [(Е*)(Е*Г, х] <М [ (Е/) (Е/у/х] (2.11)
при использовании оператора условного математического ожи-
дания. Другими словами, разности матриц в соотношениях
(2.10) п (2.11) являются неотрицательно определенными.
Здесь Е4—Xй—X; Е*=Х/-Х.
Очень важное неравенство для корреляционной матрицы
ошибки оценки установлено Крамером и Рао (неравенство
32
Крамера—Рао). Они показали, что для любой несмещенной
оценки ошибки справедливо неравенство
K[X(Y)-X/x]>M([wln/(y/x)]T[Vxln/(y/x)]}-\ (2.12)
Для смещенной оценки неравенство Крамера—Рао прини-
мает вид
M|[X(Y) - X][X(Y)—Х]7х}>114-ухЬ(х)]М{[ух*;1п/(у/х)]тХ
X[Vxln Лу/хИГЧНУхЬСх)^,
где I — единичная матрица размерности sXs; b(x)—смеще-
пп< оценки (вектор размерности sXl). Градиент vx lnf(y/x)—
матричная функция размерности iXs; ухЬ(х) — матричная
функция размерности sXs.
Если ух1п/(у/х) = Г(х)[х(у)—х], где Т(х) — матричная
функция размерности sXs, зависящая только от вектора х, то
в выражении (2.12) можно достичь равенства. А это возможно,
если выполняются два условия [46].
I. Функция f(y/x) представлена в виде произведения
/(У/х) =£(Ф/х)?(у),
где. £(ф/х) — величина, зависящая только от 'Г'(У) и X, а
«/(у) — только от Y.
2. Функция £(ф/х) имеет вид
^(ф/х)=еа(х)<1'+с(х),
где а(х), с(х) — функции х.
При этом дисперсии составляющих вектора оценки могут
достичь минимального значения. Если выполняются оба эти
условия и оптимальная оценка является несмещенной, то она
называется эффективной оценкой. Если выполнено первое ус-
ловие, а второе — не обязательно, то оценка 4f=4f(Y) назы-
вается достаточной.
Если же применить оператор безусловного математического
ожидания, то для смещенной оценки получаем
M[(X-X)(X-X)Tl>M[[H-wЬ(х)]М[[ух 1п/(у, х)рХ
X[Vxln/(y, х)]}-‘[1+ухЬ(х)]т|.
Таким образом, если для некоторой оценки неравенство
Крамера—Рао переходит в равенство, то эта оценка является
аффективной. В общем случае эффективная оценка может не
(уществовать. Если плотность вероятности f(y/x) или <?(х/у)
является нормальной, то эффективные оценки существуют.
Рассмотрим способ получения байесовой процедуры оценок
in налов для широкого класса функций потерь [14]. Используем
выражение для среднего риска, определяемого соотношением
(2.3) Будем полагать, что требуемое преобразование носит
з Заказ № 571 33
детерминированный характер q(zt /х) = fi[zT — <р.г (х)], где
<рт(х) — требуемое преобразование полезного сигнала. Тогда
средний риск равен
Я(Лр) = И f ZIz’ ?T(x)]A(x)/(y/x)5(z/y)rfxcfyrfz. (2.13)
2 Ф W
Пусть функция' потерь /(х, zT) выпукла и дифференцируема
по z и zT. На основании теории Ходжеса—Лемана для рассмат-
риваемых условий существует пераидомизированное правило
решения рн, такое, что Д(Л, g„) ^/?(7z, р) следовательно
Pn(z/y)=8(z— х),
(2Л4)
где x=<p(Y) — оценка требуемого преобразования <рг (х). Под-
ставляя (2.14) в формулу (2.13), получим
x)=j (7[x,q>T(x)]/i(x)/(y/x)dxcfy.
2 Ф
(2.15)
Оптимальная оценка, осуществляемая комплексной систе-
мой, соответствует минимуму среднего риска, который на осно-
вании допущений относительно функций потерь существует.
Вариация среднего риска по х равна
8Я= J <₽т(х)]А(х)/(у/х)б/х rfy 8х,
2 Ф X
где у~ — операция градиента по х.
X
Приравнивая значение вариации нулю и применяя основ-
ную лемму вариационного исчисления, получаем
f I [х, <pT(x)]A(x)/(y/x)rfx=O. (2.16)
S X
Данное соотношение определяет оптимальный алгоритм
оценки требуемого сигнала. Средний риск байесовой системы
оценки параметров сигнала равен
/?*=М[/[Х, <р.г(Х)]}, (2.17)
А
где X — оценка байесовой комплексной системы.
Байесова процедура оценок сигналов обладает рядом об-
щих для них свойств, которые позволяют упростить определе-
ние оптимальных алгоритмов и установить соответствие меж-
ду алгоритмами оптимальной обработки, полученными по
различным критериям оптимальности [35].
1. Если функция потерь 1(E) — четная и дифференцируе-
мая функция ошибки Е = Х—X при <рт[Х]=Х, а условная апо-
34
< гериорная плотность вероятности имеет вид q (х/у) = ^{х—
К (У)] и является четной функцией аргумента s=x—g(y), то
л
оптимальная оценка требуемого сигнала равна X = g(Y).
Для доказательства этого утверждения заменим произведе-
ние плотностей в выражении (2.16), пользуясь формулой
А(х)/(у/х)=Ду)^(х/у),
где у(у) — плотность вероятности вектора Y.
Тогда
J'vA/(x-xh(y)7[x-g(y)]rfx=0. (2.18)
й s
Сократим выражение (2.18) на у(у). Предположим, что
л
выполняется равенство X = g(Y) и произведем замену перемен-
ных g(y)—х == s. Тогда, учитывая, что dx=—ds-, ул= у55
X
получим
J VsZ(s)<?(s)rfs=O,
ss
।де Qs — область значений вектора S(Qs =— 004-00).
Данное соотношение тождественно выполняется, поскольку
функция /(s) является нечетной, a q(s) — четной и их
произведение дает нечетную функцию. Как известно, интеграл
or нечетной функции в симметричных пределах равен нулю,
чю подтверждает рассматриваемое утверждение.
2. При функции потерь Z[X, <рт(Х)]=[Х—<рт-(Х)]т[Х—<рт (X)]
критерий (2.16) соответствует условию минимума среднего
квадрата ошибки оценки (для несмещенных оценок — усло-
вию минимума дисперсии ошибки оценки). Широкое примене-
ние этого показателя оптимальности в практических задачах
вызвано, с одной стороны, возможностью получения явной
1.ПШСИМ0СТИ выходного сигнала X от входного Y, с другой сто-
роны, — непосредственной связью его с точностью работы
iпстем.
Во многих случаях оптимальность байесовой оценки, по-
( троенной для функции потерь в виде квадрата ошибки
/|Х,Фт (X)] = [Х-Ф1(Х)]Т[X-.<рт(X)], сохраняется и при других
видах функций потерь [42]. Рассмотрим класс часто встречаю-
щихся функций потерь, которые удовлетворяют легко выполни-
мым требованиям.
Л. /(Е) — неотрицательная выпуклая вниз функция отно-
чиельно точки Е=0, где Е=Х—<рт (X), а X — оценка при ис-
пользовании функции потерь данного класса. Напомним, что
функция /(Е) называется выпуклой вниз, если для нее в обла-
i гп определения справедливо следующее соотношение:
а* 35
/[XE1 + (1-X)E2]<X/(E1)+(1-X)Z(E2),;OCX<1. (2.19)
Б. Функция Z(E) четная или симметричная относительно
точки Е=0, т. е.
Z(E) = Z(—Е). (2.20)
В. Апостериорная плотность вероятности q(x/y) симметрич-
Л
на относительно значения оптимальной байесовой оценки X,
обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки, т. е.
q, (e*/y)=qB (—е*/у), (2.21)
л л
где Е* = Х—<рт(Х),Х — оптимальная байесова оценка при ис-
пользовании функции потерь в виде квадрата ошибки;
(е*/у) — условная плотность распределения ошибок оценок
е* относительно вектора результатов измерения Y.
Г. Для любой рассматриваемой функции потерь и апосте-
риорной плотности вероятности <7(х/у) справедливо следующее
соотношение:
lim(Z[X, <pT(X)J ?(<рт(х)/у}=0.
(2.22)
Примеры функции потерь и апостериорных плотностей ве-
роятности, которые удовлетворяют перечисленным требованиям,
приведены на рис. 2.1. В этих случаях оптимальная оценка
Рис. 2.1. Примеры функций по-
терь и апостериорных плотностей
л
вероятности, при которых х яв-
ляется оптимальной
величины X, соответствующая минимуму среднего риска (2.15)
для любой из указанного класса функций потерь, совпадает с
оптимальной оценкой по минимуму среднего квадрата ошибок.
Действительно, рассмотрим способ нахождения оптимальной
оценки X, минимизируя условный байесов риск (2.4) при огра-
ничениях (2.19) — (2.22) и используя правило решения в виде
(2-14),
r2(y)=Mx[Z(X,<₽T(X))/y]=MxfZ(E)/y]= J Z(E)9(q>r(x)/yX<pT(x)).
36
Применяя соотношения (2.20) и (2.21) и учитывая, что
К Х-фДХ), получим
Mx[Z(E)]=Mx[Z(X-<pT(X))] = Mx[Z(X+E* -Х)] =
J Z(X4-8*—x)<7(8*/y)ds*= J Z( —X—8*+х)<7(—Е*/у)С?Е*.
- CO - OO
Введем замену переменных е*'= —е*:
MX[Z(E)] = J /(-х+Е*Ч-х)<7(е*7у)^*’.
-----------со
Тогда, возвращаясь к старым обозначениям, получим
MX[Z(E)]= J Z(—х+8*+x)^(E*/y)«Ze*.
—СО
Так как рассматриваемые функции потерь выпуклы, то для
них справедливо неравенство 0,5[/(Е|) + Z(E;2)]^S= /[0,5(Е, 4-
1 Е2)]- Следовательно, для условного риска имеем
MxIZ(E)]=0,5Mx[Z(X+E* - Х)+ Z(-~X+E*+X)] >Mx[Z(E*)].
Чтобы в этом неравенстве поставить знак равенства, т. е.
обеспечить минимально возможное значение условного риска,
~ Л
необходимо положить Е = Е*, т. е. Х=Х.
В работе [10] показано, что ограничение (2.22) достаточно
пл я того, чтобы включить простую функцию потерь в рассмат-
риваемый класс, и в том случае, когда функция /(Е) является
i пмметрпчной и неубывающей. Таким образом, байесова оцен-
ка, оптимальная при квадратичной фукиции потерь, остается
оптимальной даже при изменении условий задачи оценивания.
Известны [36] также следующие утверждения, позволяющие
устанавливать условия эквивалентности оптимальных систем,
I. пптезироваипых по критерию среднеквадратической ошибки
и но другим различным показателям.
3. Если функция потерь удовлетворяет условиям А и Б ут-
верждения 2, а плотность вероятности 7[<рт (х) /у] является четной
и унимодальной, то оптимальный оператор оценки в классе
i еех возможных операторов по различным критериям является
ищейным и эквивалентен оператору, полученному из условия
иипимума среднего квадрата ошибок. В частности, это ут-
верждение справедливо, когда плотность вероятности ^[<рт X
(х)/у] является нормальной.
4. Байесова оценка сигнала по критерию минимума средне-
го квадрата ошибки инвариантна относительно группы линей-
ных: преобразований сигнала.
Пусть задана группа линейных преобразований сигнала X
Xj=AX+B,
37
где А — матрица; В — вектор коэффициентов преобразований.
Оптимальная по критерию минимума среднего квадрата
ошибки оценка сигнала есть условное среднее*:
X^Mxf^/Y^MxtAX+B/YHAMxIX/YHB,
л
где Mx[X/Y] = X — оптимальная оценка по критерию среднего
Л Л
квадрата ошибки оценки, следовательно, Х1 — АХ + В. Таким
образом, байесова оценка линейного преобразования есть ли-
нейное преобразование байесовой оценки.
5. Если функция потерь квадратичная 1(\ Х)=[(Х —
— Х)ТС(Х — X)], где С — матрица весовых коэффициентов,
плотность вероятности представлена в виде f(y/x) = f(y— *).
где f(y — х) — плотность вероятности помехи, и априорная
плотность вероятности сигнала равномерна, то байесова оцен-
ка является минимаксной, а равномерное распределение по-
лезного сигнала — наиболее неблагоприятным.
Отметим, что выше было сформулировано утверждение, что
при минимаксной оценке сигнала условный риск ri(x) не за-
висит от полезного сигнала.
При квадратичной функции потерь условный риск равен
О(х)= f [x(yj—х]тС[х(у)—x]/(y/x)tZx.
ф
Учитывая, что /(у/х) =/(у — х), и вводя новую перемен-
ную s = у — х, получаем
ri(x)= f [x(s+x)-x]TC[x(s4-x)-x]/(s)^s,
ф,
где Ф] — пространство значений вектора S. Но оптимальная
оценка при квадратичной функции потерь, как это следует из
утверждения 4, инвариантна относительно операции сдвига
Л Л
X(S + X) =X(S) + X, поэтому условный риск равен
П(х) = f xT(s)Cx(s)/(s)rfs.
ф,
Как следует из полученного выражения, условный риск не
Л
зависит от X, и поэтому оценка X сигнала является минимакс-
ной.
Рассмотренные утверждения позволяют еще до решения
задачи определить, будет ли оптимальная система линейной
или нелинейной, а также существенно упростить вычисления,
* См. п. 2.2, соотношение (2.28).
38
in пользовав показатель оптимальности в виде минимума сред-
IH го квадрата ошибки в случае заданных функций потерь,
удовлетворяющих вышеприведенным условиям.
Наряду с критериями вида (2.3), (2.5) для построения оп-
шмальных оценок используется критерий максимума апостери-
л
орпой вероятности оцениваемой величины <?(х/у) =дпах<7(х/у).
X
л
Значение Х = X(Y), удовлетворяющее этому условию, является
некоторой оптимальной оценкой.
При построении оптимальных оценок и решений по крите-
риям (2.3) и (2.5) необходимо, чтобы априорная информация
об оцениваемой величине и погрешностях измерений была из-
вестна в наиболее полном объеме, т. е. определен закон компо-
пщпи сигнала X и погрешностей измерения Н, заданы плот-
ность вероятности А(х) случайной величины X и плотность
вероятности вектора погрешностей измерения Дц). Иногда
hi коп распределения оцениваемой величины или погрешности
тмсрения определяется из условия обеспечения наибольшей
неопределенности измерений.
Если известны лишь первые два момента (математическое
ожидание и дисперсия) распределения оцениваемой величины
или погрешностей измерения, то наибольшей неопределенно-
стью будут обладать измерения, соответствующие нормальным
«акопам распределения оцениваемой величины или погрешно-
стей измерения.
Если отсутствуют априорные сведения об оцениваемой вели-
чине X, но известны законы распределений погрешностей, то
для построения оценки принимаемых решений используется
метод максимального правдоподобия. Строится так называе-
мая функция правдоподобия Л(х) =/(у/х), которая по форме
(овпадает с условной плотностью распределения результатов
и нмерений при фиксированном значении величины X, но в от-
личие от последней является функцией только вектора X, a Y —
случайный р-мерпый вектор, принимающий конкретное значе-
ние при каждом измерении комплексной системой. В качестве
оценки величины X берется такое Хп комплексной системы, при
котором
/(у/хп)=тах/(у/х). (2.23)
I ели максимум аналитический, то Хп является решением
системы уравнений
-^“[Лу/х)]=0, i=T7s.
Как известно [23], метод максимального правдоподобия при
нормальном распределении погрешностей приводит к задаче
нахождения оценок по методу наименьших квадратов.
39
Если о погрешностях измерений неизвестно ничего, кроме!
среднего значения дисперсии о,^р , i=l,p, и отсутствия в hhxi
систематических составляющих, то следствием метода макси-
мального правдоподобия является метод наименьших модулей.
Пусть составляющие вектора V равны
У>Х+НП
где X — скалярная случайная величина. Погрешности измере-1
ния Н; взаимно независимы. В этом случае совместная плот-
ность распределения погрешностей измерения определяется
следующим выражением:
Л
/Ы=ГШ
м
где ft (tjz), i=l,N — погрешность i-ro измерителя.
В работе [33] показано, что если о погрешностях измерений
неизвестно ничего, кроме среднего значения дисперсии сг?ср,
i=l,N, и отсутствия в них систематических составляющих, то
наиболее естественно предположить, что погрешности распре-
делены по закону Лапласа
ехр(—^7—I’Jill i=TT~N.
*ср I *ср )
Условие (2.23) в данном случае принимает вид
(n 1
— 2 ai I У[—х I [ = шах,
i=i J
где at = 1 / а/ср-, yz — показание i-ro измерителя. Отсюда еле-1
дует
Л
i=l
При равноточных измерениях, когда at — a, i=l,N, методу
наименьших модулей соответствует условие
л
2 |У1-^1=тШ.
i=i
Когда неизвестны законы распределения оцениваемой вели-
чины и погрешностей измерений, однако известны несколько их
первых моментов, то вид оценок часто задается и определяют-
ся только коэффициенты преобразования.
Если известны только дисперсии оцениваемой величины ах!
и погрешностей сг^ ,, то оценка скалярной величины х по резуль-
татам измерений ylt i=l,N, строится на классе линейных пре-
образований [11]
40
~ N
*=2 °/У*+ао,
i=i
1 де. л,, i=O,N, — коэффициенты линейного преобразования.
Для определения этих коэффициентов используется также ме-
тл, наименьших квадратов. Линейные оценки, найденные по
методу наименьших квадратов, являются несмещенными и об-
i.iдают наименьшей дисперсией среди всех линейных несме-
щенных оценок [23].
Более высокое качество по сравнению с линейными оценка-
ми могут обеспечить нелинейные оценки, построенные на осно-
ве использования моментов распределений погрешностей более
высокого порядка. Если известны 2 k первых моментов pz,
/ I, 2k, причем эти моменты конечны, то оценка строится в
виде полинома Л-й степени, а коэффициенты полинома опреде-
ляются из условия оптимальности и несмещенности оценки [47].
Гак, оценка х скалярной величины х может строится в
форме [47]
Л N Л
' УсР+а0+2ау(У;-У1)+2 2 «л«л(Ул-У1)(Ул-У1) + - +
У=2 Л=2 ]=2
+ 2 2-2 ..jk (Ул-У1)-(У^-У1). (2.24)
j\=2jr=1
N
где. УсР=~77^ У,- — выборочное среднее V. Здесь определению
i = l
подлежат коэффициенты а0, ctj, Щл,,— • Коэффици-
енты, обеспечивающие несмещенность и оптимальность оценки
ш> критерию минимума дисперсии ошибки Е = X— X, находят
в результате решения системы уравнений:
М[Е]=0;
М[Е(К7-К1)]=О, j^2JV\
м[Е(гл-у1)(Кл-у1)...(г/й-у1)]=о,
В работе [24] доказано, что если при ЛС>3 моменты не
• овпадают с моментами некоторого нормального распределе-
ния, то оптимальная нелинейная оценка (2.24) имеет меньшую
ов персию по сравнению с линейной (в частности, с выбороч-
ным средним при равноточных данных).
Если априорная информация о результатах наблюдений от-
угствует или является малодостоверной, то используется
класс так называемых непараметрических оценок [11]. Законы
формирования таких оценок могут быть заданы либо в анали-
1 пиеской, либо в логической форме.
41
В этом случае преобразования не зависят ни от законов
распределений, ни от параметров распределений обрабатывае-
мых данных. Точность этих оценок будет ниже по сравнению
с оптимальными параметрическими оценками, однако проиг-
рыш в точности может быть компенсирован простотой реа-
лизации и высокой надежностью непараметрических оце-
нок.
Непараметрическими могут быть как точечные, так и ин-
тервальные оценки параметров, например выборочное среднее,
выборочная медиана, размах и подразмах выборки, непара-
метрические доверительные интервалы и т. д.
При точечных оценках производятся различные операции
над порядковыми статистиками, получаемыми из набора ре-
зультатов измерения yt, составляющих // мерною вектора Y.
Порядковые статистики формируются следующим образом.
Величины у;, i=\,N выстраиваются в порядке возрастания;
в образованной таким образом ранжированной последователь-
ности (вариационном ряду) величины обозначаются у >, при-
чем ^<1)^У(2) .... <У<лд Величина у^ называется i-й по-
рядковой статистикой и является i-й в порядке возрастания
величиной среди набора у,, i=\,N. Например, ущ и y(7V) —
минимальное и максимальное значения в выборке г/(1), у(2>.
У(лч- Оценка скалярной величины х, построенная на основе
порядковых статистик, в общем случае представляет собой не-
линейную функцию величин у^ [11]
*=Ф(У(1), У(2). У(л^-
Оценки скалярных величин, представленныё в виде линей-
ных преобразований над порядковыми статистиками, определя-
ются следующим образом:
~ л
(2.25)
л
где — коэффициенты, удовлетворяющие условию У, lt = 1.
Отметим, что оценки, линейные относительно порядковых ста-
тистик (/(<) , i=l,//, являются нелинейными функциями резуль-
татов их измерений, так как уже сама процедура упорядочи-
вания результатов измерений осуществляется нелинейным пре-
образованием.
В непараметрических оценках вида (2.25), как правило,
некоторые коэффициенты равны нулю, а отличные от нуля
равны друг другу.
42
?.'2. Оптимальная оценка сигналов
по критерию минимума среднего квадрата
обобщенной ошибки оценки
Теорема об оптимальной оценке сигналов, принадлежащей
классу всех возможных оценок. Пусть полезный сигнал (/)
нпляется m-мерной действительной вектор-функцией времени,
а сигнал на выходе измерителей комплексной системы Y(/) —
<V мерной действительной вектор-функцией, определяемой co-
ni потением
Y(/) = G[X(O, Н(/)], (2.26)
те Н(0 — TV-мерная действительная вектор-функция, опре-
деляющая погрешности измерения; G — произвольный дейст-
пнтельный оператор.
Блок обработки информации комплексной системы в мо-
мент времени t наблюдаемому в течение интервала времени Т
। ш палу ¥(т) должен поставить в однозначное соответствие
л ~
оценку полезного сигнала Х(Т), т. е. связь между Х(/) и Y(t)
должна определяться в виде
Х(/)=В'4¥(т)], /], (2.27)
I де — произвольный оператор.
При проектировании обычно требуется, чтобы производимая
оценка Х(/) сигнала Х(/) или, другими словами, алгоритм
работы комплексной системы были оптимальными по выбран-
ному критерию. В качестве критерия оптимальности целесооб-
|ы ню принять точность оценки сигнала Х(/), определяемую
для фиксированного момента времени t средним квадратом
нюбщениой ошибки оценки М(ЕтоС (/)Еов (0] вектора Х(/):
M[ETo6(/)Eo6(/)]^M[ET(/)CE(f)],
л
। не Е(/) = Х(/)—Х(/) — /n-мерный вектор ошибок оценки;
( действительная симметричная неотрицательно-определен-
ная матрица размерности mXm.
Положительное значение квадратного корня среднего квад-
ра га обобщенной ошибки оценки будем называть среднеква-
|рагнчсской обобщенной ошибкой оценки сигнала Х(0 в
фиксированный момент времени t. В этом случае вид опти-
1 i'ii.iioh оценки определяется следующей теоремой [35].
Теорема 1. Оптимальная по критерию среднего квадра-
А
tn обобщенной ошибки оценка X(t) сигнала X(t), принадлежа-
I 1ич классу всех возможных оценок, равна условному матема-
нщескому ожиданию оцениваемого сигнала X(t) относительно
pin шзации наблюдаемого сигнала \(х), те{/—Т, t], т. е.
X(0=M[X(/)/Y(x)]. (2.28)
43
Доказательство. Требуется доказать, что не сущест-
вует такого оператора, при использовании которого относитель-
но реализации наблюдаемого сигнала У(т) оценка Х(/) полез-
ного сигнала Х(/) имеет средний квадрат обобщенной ошибки
меньше, чем при использовании условного математического
ожидания.
При каждом данном значении времени t сигнал Х(/) и его
оценка Х(/) являются m-мериыми случайными векторами. По-
этому доказательство теоремы 1 (и последующих теорем) бу-
дем приводить при фиксированном моменте t относительно
случайных векторов, а затем полученный результат распростра-
ним на случай, когда Х(/) рассматривается как функция вре-
мени t.
Для упрощения записи будем в дальнейшем опускать аргу-
мент t при доказательстве теорем и лемм, при этом, когда
необходимо, будем указывать, к чему относится результат — к
вектору или вектор-функции аргумента t. С этой же целью
опускаем индексы у оператора ВС.
Используя произвольный действительный оператор В, обра-
зуем произвольную действительную m-мерную функцию B(Y)
случайного сигнала Y и вычислим математическое ожидание
произведения XTCB(Y).
Учитывая, что при фиксированной возможной реализации
случайного сигнала Y, произведение CB(Y) является неслучай-
ным вектором, а для любого случайного m-мерного вектора К
и произвольного неслучайного m-мерного вектора S справедли-
во соотношение MIR’S] = M[RT]S, получим
M[XtCB(Y)]=My {Mx[XtCB(Y)/Y]}=My ]Мх[Xt/Y]CB(Y)|,
где Му и Мх — математические ожидания по случайным век-
торам Y и X соответственно. Откуда
M{(Mx[X/Y]-X)TCB(Y)}=0. (2.29)
Заметим теперь, что для любых случайных /zi-мерных век-
торов X, X, Z и симметрической неотрицательно-определенной
матрицы С размерности mXm справедливо равенство
M[(Z-X)TC(Z-X)]=M[(Z-X)+(X-X)]TC[(Z-X)+(X-X)] =
=M[(Z-X)TC(Z-X)]+M[(X-X)TC(X-X)] +
4-M[(Z-X)TC(X-X)] +М[(Х-Х)ТС (Z -Х)|. (2.30)
Если в соотношении (2.30) положить величину X, равной
Л
X=Mx[X/Y], Z—L(Y), где L — произвольный действительный
оператор, а L(Y) — произвольная действительная т-мерная
вектор-функция сигнала Y, то Z = X также будет некоторой
44
произвольной m-мерной вектор-функцией, и на основании ра-
венства (2.29), доказанного для любых вектор-функций B(Y),
нудем иметь
M[[L(Y)-X]TC[L(V)-X]}=M[(L(Y)-Mx[X/Y])TC(L(V)-
-Mx[X/Y])| +M{(Mx[X/Y]-X)TC(Mx[X/YJ-X)}. (2.31)
Принимая во внимание, что каждый член в (2.31) — неот-
рпп. । гсльно-определениая величина, можно утверждать, что
uni любых оператора L и вектор-функции L(Y) справедливо
следующее неравенство:
M|(Mx[X/Y]-Х)тС(Мх[Х, Y]— X)KM{[L(Y)-X]TC[L(Y)-X]}.
(2.32)
Это неравенство доказывает справедливость утверждения
ппюсптельно случайных m-мерных векторов X и с учетом вы-
шеизложенного также относительно случайных m-мерных век-
|ор-функций Х(/).
Из доказанного выше видно, что оптимальная по критерию
। реднего квадрата обобщенной ошибки оценка не зависит от
выбора матрицы весовых коэффициентов С, и оптимизация
оценки векторного сигнала X(t) в классе любых операторов
оценки сводится к определению условных математических
ожиданий компонент вектор-функции ^i(t) относительно на-
ii иодаемого сигнала V(t). Это утверждение объясняется тем,
'по матрицу С можно брать произвольно, в частности тогда,
когда элемент си — 1, а остальные равны нулю:
Л(О=М[Лг(О/¥(т)],
В каждый фиксированный момент времени t множество
। чучапных векторов оценки является m-мерным векторным
пространством. Квадрат расстояния между случайными векто-
рами X и X равен сумме средних квадратов ошибок оценок
। калярных величин, которую будем называть средним квадра-
|ом ошибки оценки
//2(Х, Х)=М[ЕТЕ]=М[(Х—Х)т(х—х)]=ТгМ[(Х—Х)(Х—Х)т],
। и ТгМ[ ] — след матрицы. Матрица весовых коэффици-
Iп гон С в этом случае является единичной матрицей.
Зпак равенства в (2.32) имеет место тогда, когда вектор-
функция L(Y) с вероятностью, равной единице, совпадает с
условным математическим ожиданием полезного сигнала X
(ипосительно Y.
Таким образом, условное математическое ожидание полез-
ши о сигнала Х(/) относительно реализации наблюдаемого
> ш пала Y(/) является единственным решением задачи наилуч-
н'его среднеквадратического приближения полезного сигнала
45
X(Z) в классе всех возможных операторов случайного наблю-
даемого сигнала Y(r).
Теоремы об оптимальной оценке сигнала, принадлежащей
данному классу оценок. Часто оказывается целесообразным ис-
кать оператор, обеспечивающий минимум среднего обобщенного
квадрата ошибки оценки, в ограниченном классе операторов S,
например в линейном классе операторов, в классе линейных
операторов, в выпуклом множестве операторов и т. д.
Если условное математическое ожидание случайного полез-
ного сигнала X(t) относительно наблюдаемого сигнала Y(Z)
принадлежит классу операторов S, то оно является наилучшим
обобщенным среднеквадратическим приближением к вектор-
функции Х(/) в этом классе операторов, так как неравенство
(2.32) справедливо для любых операторов L.
В общем случае, когда условное математическое ожидание
полезного сигнала Х(/) может не принадлежать классу опера-
торов S, оптимальный оператор из класса S определяется тео-
ремами, которые приведены ниже. При этом примем во внима-
ние, что каждому рассматриваемому классу операторов S па
основании равенства (2.27) соответствует такой же класс оце-
нок сигналов.
Рассмотрим этот случай на примере класса операторов, об-
разующего выпуклое множество S. Это значит, что если опера-
торы Si и S2 принадлежат выпуклому множеству, то оператор
So =Sj + a(S2—SJ, 0<a<l,
также принадлежит выпуклому множеству. Тогда множество
оценок, образованных операторами, принадлежащими классу S,
при условии, что входным сигналом является Y(t), представ-
ляет собой выпуклое множество.
Действительно, если Х](/) и Х2(/) являются оценками сиг-
нала Х(^), соответствующими операторам S, и S2, то
Xa=X1+a(X2-X1)=SI[Y]+a(S2[Y]-S1[Y])=[S1+a(S2-
-S1)][Y]=SO [Y]
тоже является оценкой, принадлежащей выпуклому множеству.
Как было показано в п. 2.1, оптимальная по критерию сред-
него квадрата обобщенной ошибки оценка в классе любых
операторов не зависит от весовой матрицы С. Это же утверж-
дение справедливо и для оптимальной оценки, принадлежащей
данному классу S [2].
Действительно, средний квадрат обобщенной ошибки оцен-
ки можно представить в следующем виде:
М[ЕТСЕ]=М[(Х-Х)ТС(Х-Х)]=МГ([ХТСХ]-
-2mTx/YCX) +Мх [ХТСХ],
46
। iv ihx,y Mx [X/Y] — вектор средних условных значений X
при реализации сигнала Y. Отсюда ясно, что для минимизации
ошибки необходимо минимизировать форму ХТСХ — 2mTX;Y СХ
Л
п\ н м отыскания X в заданном классе оценок.
'Норму, подлежащую минимизации, прибавляя и отнимая,
ш'ч можно представить в виде
|| C'(X-mx,Y)]T[Kc’(X-mx/Y)]-mTx/YCmx/Y, (2.33)
где | С — положительное значение квадратного корня от сим-
(рпческой матрицы С размерности mXm.
111 формулы (2.33) получаем, что минимум (2.33) достига-
Л
< н и для векторов X независимо от матрицы весовых коэффи-
Л
шиитов и определяется принадлежностью X к заданному клас-
су оценок. Поэтому матрица С при отыскании оптимального
Р ин ния может выбираться произвольно.
В дальнейшем доказательство теорем проводится относи-
|( Л1>по оценок, принадлежащих заданным классам S, а выбор
матрицы С осуществляется с точки зрения упрощения доказа-
нльсгва теорем.
1 с о р е м а 2. Необходимыми и достаточными условиями
нии лучшего обобщенного среднеквадратического приближения
л
I н/чайного полезного сигнала X(t) оценкой \(t), принадлежа-
щей выпуклому множеству оценок S, является выполнение
। 1сдующих неравенств [1]:
м[[ед-^(/)]1^(О-ад])>о, (2.34)
л
где Xi (/), Zt (t), Xt (/) — компоненты m-мерных вектор-функ-
Л
uni оптимальной Х(/) и произвольной Z(Q оценок, принадле-
жи пцпх выпуклому множеству S, и полезного сигнала Х(/) со-
нпцтетвенно.
Доказательство. Так же как в случае теоремы 1, до-
л
। ысем теорему 2 для случайных m-мерных векторов X, X, Z
при фиксированных значениях времени t, а затем будем рас-
( М.прнвать полученные результаты как m-мерные случайные
ш н гор функции от t.
Рассмотрим следующее неравенство для векторных величин
М [(X-X)TC(Z-X)>0, (2.35)
। и- С — неотрицательно-определенная весовая матрица раз-
л
ерпости mXm. Учитывая, что оптимальная оценка X не зави-
• и г от весовой матрицы С, выберем матрицу С так, чтобы эле-
47
мент Czz =1, а остальные элементы Су =0, i=Z=j, Тог-
да получим
M[(Xz-Xz)(Zz-Xz)]>0,
л
где X;, Xb Zt — случайные величины, соответствующие слу-
чайным функциям Xt (t), Xt(l), Zt{t) при фиксированном
моменте времени t.
Теперь очевидно, что для того чтобы соотношение (2.35)
было больше или равно пулю для любых оценок Zt,
принадлежащих выпуклому множеству S, необходимо выполне-
л , л
ние следующих неравенств: M[(XZ — Xt) (Z't—Xz)]^0. Поэто-
му, если доказать теорему 2 относительно неравенства (2.35),
то тем самым будет доказана справедливость неравенства
(2.34).
Докажем сначала, что соотношение (2.35) является доста-
точным условием минимума обобщенной среднеквадратической
ошибки. Для этого преобразуем выражение (2.30), полагая
~ л
матрицу С единичной (С=1), Х = Х и учитывая, что все слагае-
мые являются скалярными величинами,
M[(Z-X)TI(Z-X)]=M[(Z-X)T(Z-X)] =
=M((Z -X)T(Z-X)]-|-Ml(X - X)T(X-X)j +
+2M[(X-X)T(Z-X)]. (2.36)
Л
Пусть для оценки X выполняется неравенство (2.35). Тогда,
подставляя соотношение (2.35) в (2.36), получим следующие
неравенства:
M|(Z-X)T(Z-X)]>M [(Z— X)T(Z-X)]+M[(X-X)T(X-X)].
Л Л
Вследствие того, что M[(Z—Х)т (Z—Х)]^ 0, имеем
M[(Z-X)T(Z-X)]>M[(X-X)T(X-X)]. (2.37)
Таким образом, выполнение неравенства (2.37) означает,
что условие (2.35), а следовательно, выполнение неравенств
(2.34) является достаточным условием для того, чтобы оценка
Л
X была оптимальной по критерию минимума среднего обобщен-
ного квадрата ошибки оценки.
Теперь докажем, что соотношение (2.35) необходимо. Будем
л
считать, что найдена оценка X, при которой выполняется ус-
ловие
48
M[(Z-X)T(Z-X)]>M[(X-X)T(X- X)].
Iребуется доказать, что в этом случае обязательно имеет
мг( io условие (2.35). Для этого предположим, что условие
("35) по выполнено для некоторой оценки Z', принадлежащей
выпуклому множеству S, т. е.
М [(X-X)T(Z'-X)] = -A2<0,
। к1 k — некоторое число. Рассмотрим множество оценок, за-
||||( >11цпх от параметра ..
Ztt =X+<x(Z'-X), 0<а<1.
>гп оценки Za принадлежат множеству S. Подставим Zo в
("36) вместо Z и получим
A4[(Za -X)T(Za -Х)]= a2M[(Za -X)T(Za -Х)] +
+M[(X-X)T(X-X)H-2aM[(X-X)(Za -Х)т]. (2.38)
11рн достаточно малом значении а первое слагаемое в пра-
iidii части (2.38) по абсолютной величине меньше третьего сла-
гаемого. Следовательно, при достаточно малом (отличном от
нуля) значении а
M[(Z„ -X)T(ZO -Х)]<М[(Х-Х)Т(Х-Х)].
Это противоречие доказывает необходимость условия (2.35),
и следовательно, неравенств (2.34).
Итак, неравенства (2.34) являются необходимым и доста-
л
ючпым условием для того, чтобы оценка Х(/) сигнала Х(/)
была оптимальной по критерию среднего квадрата обобщенной
ошибки оценки, если множество оценок S выпукло.
Выпуклый функционал на выпуклом множестве имеет един-
ственный минимум. Обобщенная среднеквадратическая ошиб-
ка — выпуклый функционал. Следовательно, она имеет единст-
венный минимум (относительный минимум является и абсо-
лютным минимумом).
Если выпуклый функционал определен на замкнутом мно-
жестве, то он достигает минимума на некотором элементе (на
некоторых элементах) этого множества. Покажем, что оценки
полезного сигнала, на которых достигается минимум обобщен-
ной среднеквадратической ошибки, эквивалентны (второй на-
чальный момент разности любых двух подобных сигналов
Л Л
равен нулю). Для этого рассмотрим две оценки Xj и Х2.
Л Л
В формуле (2.35) в качестве X примем Хь а в качестве
л
произвольной оценки Z примем Х2:
4 Заказ № 571 4g
MKXi-xy^-x,)] 0.
л л
Затем поменяем местами Х| и Х2, при этом формула (2.35)
примет вид
М[(Х2-Х)т(Х1-Х2)]>0.
Сложим эти два неравенства и получим
-м^-хда-х^о.
Отсюда следует, что
М[(Х1-Х2)т(Х1-Х2)]=0.
Эквивалентность в среднеквадратическом и, следовательно,
Л Л
с вероятностью единицы оценок X] и Х2 доказана.
Теорема 3. Необходимым и достаточным условием наи-
лучшего обобщенного среднеквадратического приближения
л
случайного полезного сигнала X(t) оценкой X(t), принадлежа-
щей линейному пространству L, является выполнение следую-
щего равенства:
М ([X(/)-X(/)J [Z(0-X(0H =0, (2.39)
л
где Х(/), Z(/), Х(/) — m-мерные случайные вектор-функции,
определяющие оптимальную и произвольную оценки, принад-
лежащие линейному пространству, и полезный сигнал соответ-
ственно.
Используем при доказательстве теоремы тот же прием, что
при доказательстве теорем 1 и 2. Доказательство проведем
относительно векторов, а затем распространим полученный
результат на векторные функции от времени.
Пусть для рассматриваемых векторов выполняется следую-
щее соотношение:
М [(X-X)T(Z-X)]= Tr(M[(X-X)(Z-X)T]|=0, (2.40)
где Тг[ ] —• след квадратной матрицы размерности mXm,
т. е. сумма ее диагональных элементов.
Так как Z — произвольная оценка, принадлежащая линей-
ному пространству L, то равенство (2.40) справедливо, если
каждый элемент следа будет равен нулю:
М[&-^)(^-Х()]=0, (2.41)
л
где Xt, Zit Хг — компоненты векторов X, Z, X.
50
Рассмотрим разность произвольного i-ro диагонального
Л Л
момента и любого элемента i-строки M[(XZ—XJ (Zj—JQ)]
Л Л
матрицы М[(Х—X) (Z—Х)т]. Учитывая соотношение (2.41), по-
лучим
М1(А-Хг)(^-А)1-М[(Л-^)(7у-Ху)] =
^(X^X^Z-Zj+Xj-X^^X.-X^R^X,)]^,
л
1де Rt = Zt — Zj—Xj — произвольный элемент, принадлежа-
щий линейному пространству L. Отсюда
М [(Azz—Xi)(ZJ— А'у)] =0, i=\, tn, j—\, m .
Таким образом, любой элемент матрицы равен нулю, т. е.
M[(X-X)(Z-XT)]=0.
Поэтому, если доказать, что соотношение (2.40) является
л
необходимым и достаточным условием оптимальности оценки X,
принадлежащей линейному пространству L, то тем самым бу-
дет доказана справедливость соотношения (2.39).
Доказательство. Для доказательства достаточности
условия (2.40) минимума обобщенной среднеквадратической
л
ошибки приближения X к X предположим, что нам удалось
найти такую m-мерную оптимальную оценку полезного сигнала
Л
XeL, что для любой /n-мерной оценки ZeL выполняется соот-
ношение
М [(X-X)TC(Z-X)]=0.
Учитывая, что матрица С весовых коэффициентов не влияет
па оператор оптимальной оценки, в качестве матрицы выберем
единичную матрицу I.
Л
Тогда для случайных сигналов X и Z и матрицы C=J ра-
венство (2.30) примет вид
M[(Z-X)T(Z-X)] = M[(Z-X)T(Z-X)] + M[(X-X)T(X-X)].
л
Отсюда следует, что если XgL удовлетворяет (2.40), то
л
X удовлетворяет условию
М |(X-X)T(X-X)]<M[(Z-X)T(Z-X)|.
Таким образом, выполнение равенства (2.40) для всех слу-
чайных оценок ZeL является достаточным условием миниму-
4* , 51
ма обобщенной среднеквадратичсской ошибки приближения
л
сигнала X оценкой X.
Если множество L — линейное пространство, то условие
(2.40) является также необходимым условием минимума
среднеквадратической ошибки. Заметим, что множество всех
возможных оценок X представляет собой линейное пространст-
во, так как любая линейная комбинация оценок есть оценка X
полезного сигнала X. Пространство линейных оценок будет
частным случаем линейного пространства L.
Докажем теперь, что соотношение (2.40) является необхо-
димым условием минимума среднеквадратической ошибки при-
л
ближения X, принадлежащей линейному пространству L, к
случайному сигналу X. Предположим, что найдена такая оцеп-
л
ка X, при которой выполняется условие
M[(Z-X)T(Z-X)] >М[(Х-Х)Т(Х-Х)]. (2-42)
Требуется доказать, что в этом случае обязательно имеет
место условие (2.40). Рассмотрим выражение (2.36).
Если предположить, что имеет место условие (2.42) и С=1,
то из (2.36) получим
M[(Z-X)T(Z-X)]+2M[(X-X)T(Z-X)] 0. (2.43)
Возьмем в качестве
Z = a(R-X)+X, (2.44)
где R — случайный вектор, принадлежащий линейному про-
странству; а -— некоторое вещественное число. Учитывая (2.44),
можно утверждать, что ZgL
Подставляя (2.44) в (2.43), получим
a2M[(R-X)T(R-X)]-f- 2аМ[(Х—X)T(R -Х)]>0
или
а(а+2Т)>0, (2-45)
где
т= М[(Х—X)T(R—X)]
M[(R-X)T(R—X])
Из (2.45) видно, что если Т=^=0, т. е. если условие (2.40) не
имеет места, то всегда можно подобрать такое а, при котором
а(а+27’)<0, чего из-за условия (2.45) не должно быть. Так,
если Т>0, а<0 и |а| <27, то а(а+27) <0; если 7<0, а>0 и
а<2|7|, то а(а+27)<0, т. е. в обоих случаях неравенство
опровергается. Очевидно, что соотношение (2.40) является не-
52
обходимым для выполнения неравенства (2.42) при условии,
Л
что оценка Х(/) принадлежит линейному пространству L. Та-
ким образом, условие (2.39) удовлетворяет требованиям тео-
ремы.
Полученные условия минимума среднего квадрата ошибки
оценки можно представить в другой форме, выразив оценки
Х(/) через соответствующие операторы. Пусть оценки, принад-
лежащие данному классу L, выражаются через наблюдаемый
сигнал Y(/) формулами:
Х(/)=А*¥(т); Z(0=AY(t),
те^-7’,/]; X£L, Z£L, A*£Q, A£Q, (2.46)
где Q — класс операторов, соответствующий линейному классу
оценок; А* и А — оптимальный и произвольный операторы
оценок.
Подставив (2.46) в (2.39), получим необходимое и доста-
точное условие, которому удовлетворяет оператор А* опти-
мальной системы,
M([A*Y(t)—X(/)][AY(-t)—А*¥(т)]т}==0. (2.47)
Точно таким же образом можно представить соотношение
(2.34)
M|[Af ¥(г) -Л2(О][А/¥(т)_ A*’Y(t)])>0,
где А* е0, А/ е 0, 0— выпуклое множество операторов, со-
ответствующее выпуклому множеству оценок; А* и А/ — оп-
тимальный и произвольный операторы оценки г-й составляю-
щей вектора X, принадлежащие выпуклому множеству опера-
торов 0.
Следствия теоремы 3.
А. Оптимальный по критерию среднего квадрата ошибки
оценки оператор А*, принадлежащий к конечномерному прост-
ранству линейных операторов, определяется из следующего
соотношения:
A*=M[XYT]M[YYT]-’, (2.48)
где M[XYT] и M[YYT] — смешанный и взаимный начальные
моменты векторов X и Y, определяющие сигналы Х(/) в момент
времени t и Y (/) в интервале времени t—Т, t.
Так как пространство линейных операторов будет частным
случаем линейного пространства операторов, то для линейных
оптимальных оценок справедливо соотношение (2.47):
M[(A*Y—X)(AY—А*¥)т]=0,
где А*, А — оптимальный и произвольный линейные операто-
ры, определяемые матрицами размерности тХр.
53
Рассмотрим произведение матриц и учтем свойство линей-
ных операторов. В результате получим
M[(A*Y-X)(AY-A*Y)T] =M[(A*Y-X)YT(A-A*)T] =
=M[A*YYTPT]—M.[XYTPT]=A*M[YYT]PT—M[XYT]PT=0, (2.49)
где Р= (А — А*). Представим (2.49) в виде
A*M[YYT]PT=M[XYT] Рт.
Учитывая, что Рт 0, имеем
A*M[YYT]=M[XYTJ. (2.50)
Предполагая, что матрица M[YYT] невырожденная, умно-
жим слева выражение (2.50) на обратную матрицу M(YYT ]-1
и получим соотношение (2.48):
A*=M[XYt]M[YYt]-*,
л
где А* — оптимальная матрица линейной оценки X размерно-
сти шхр. Если используются несмещенные оценки, то справед-
ливо следующее соотношение:
A*=K[XYT]K[YYT]-1, (2.51)
где K[XYT], K[YYT] — смешанная и взаимная корреляцион-
ные матрицы векторов X и Y.
Б. Вектор ошибки оптимальной несмещенной принадле-
л
жащей линейному пространству L оценки \(t) не коррелиро-
ван с любой, принадлежащей тому же пространству L, оценкой
S(t) вектора X(t):
K[E*ST]=0 (2.52)
л
при М[Е*] = 0, где Е* = X — X — вектор ошибки оптимальной
л
оценки; М[Е*] — математическое ожидание Е*; ST=Z — X —
произвольный вектор, принадлежащий линейному пространст-
ву L; K[E*ST] — смешанная корреляционная матрица векто-
ров Е* и S. В частном случае, если Z = 0, то справедливо сле-
дующее соотношение:
К[Е*Хт]=0. (2.53)
Пусть произвольная оценка S равна S=VY, где SeL; V —
матрица преобразования размерности тхр, элементами v ijt
i= l,m, j = 1, р которой являются постоянные коэффициенты.
Тогда K{E*YT]VT=0. Последнее соотношение, как и выраже-
ния (2.52), (2.53), непосредственно вытекает из (2.39). Аргу-
мент времени t для простоты записи в указанных выражениях
опущен.
В. Оптимизация оценки X, принадлежащей линейному клас-
су оценок L, по критерию среднего квадрата обобщенной ошиб-
54
ки оценки эквивалентна оптимизации оценки отдельно каждой
компоненты сигнала X.
Это утверждение является следствием соотношения (2.39)
л
и независимости оптимальной оценки X, принадлежащей дан-
ному классу оценок L, от выбора матрицы весовых коэффици-
ентов С. Поэтому, выбирая матрицы коэффициентов соответст-
вующим образом, можно свести оптимизацию векторной оценки
X к оптимизации отдельно каждой компоненты.
Г. Для получения оптимальной несмещенной оценки необ-
ходимо наличие неоднородных операторов в заданном линей-
ном классе операторов [40].
Действительно, соотношение (2.39), опуская аргумент t,
можно представить в следующем виде:
М [(X-X)(Z-X)T]=M[E*(G[Y])T] =0, (2.54)
Л Л
где Е* = Х—X; G'Y]=.Z X; G — произвольный неоднородный
оператор из линейного класса операторов.
Пусть G[Y]=Gc[Y]-|-x11, где Go — произвольный однород-
ный оператор; х„ — заданный неслучайный ненулевой s-мер-
ный вектор.
Тогда (2.54) можно представить в виде
M[E*(G[Y])T)=M[E*(G0[Y]-|-xH)T] — M[E*(G0[Y])T-T
-|-М1Е*хг|1] =М[Е*]хтн=0.
~ л
Так как то М[Е*]=0 или М(Х]—М[Х], т. е. выпол-
Л
няется условие несмещенности оценки X.
Д. Минимальное значение среднего квадрата ошибки не-
смещенной оценки определяется следующим выражением:
М[Е»тЁ*]=Тг[К[ХХт]-К[ХХт]}, (2.55)
л
где К[ХХТ], К[ХХТ] — корреляционные матрицы сигналов X
и X; Ё* = X — X; М[Ё] = 0, т. е. Ё*— ошибка несмещенной
оптимальной оценки.
Действительно, представим средний квадрат ошибки
М[Ё*ТЁ*] в следующем виде:
М[Е*ТЁ*] = Тг(М[Ё*Е*т]} =Тг{К[Ё*Е°*т]}= Тг{К[ХХт]-
—К[ХХТ1—К[ХХТ]4-К(ХХТ]} =Тг(К[ХХт]—К[ХХТ]}-
Здесь учтено, что
55
К[ХХТ]=К[ХХТ]. (2.56)
Это соотношение можно получить, рассмотрев соотношение
(2.53)
К[Е*ХТ] = К[ХХТ]-К[ХХТ]=О,
а также учтя, что Тг {К [X Хт]} = Тг (К {X Хт]} .
Часто математическая модель наблюдаемых сигналов Y в
любой момент времени t представляется в следующем виде:
Y-RX|H, (2.57)
где V — TV-мерный вектор с компонентами Y,, R —
матрица постоянных масштабных коэффициентов измерителей
размерности NXm с элементами rjy-, i= 1, N, j= 1, m; X — т-мер-
ный вектор, определяющий полезный сигнал, составляющими ко-
торого являются элементы Xlt i= 1, т\ Н—TV-мерный вектор
погрешностей измерителей, приведенных к выходу измерителей
комплексной системы с элементами Н/, i=l,TV.
Предположим, что X и Н независимы и имеют следующие
средние значения и корреляционные матрицы М[Х], М[Н]=0:
Кх=М[[(Х—М[Х])(Х—М[Х])Т); Ен=М[ННт],
т. е. предполагается наличие априорной информации о полез-
ном сигнале и погрешностях измерения в виде корреляционных
матриц и средних значений.
Рассмотрим класс линейных неоднородных оценок, которые
в данном случае имеют вид
Х=А0¥+хн, (2.58)
где X — m-мерный вектор оценки с компонентами Xi,
Ао — матрица размерности mXTV с постоянными элементами
a.j , определяющая линейное однородное преобразование при
оценке сигнала X; хн — m-мсрный вектор с элементами
> 1=1, т.
Значение хн определим из условия несмещенности оцен-
л
нок X
М[Х]=М[Х], (2.59)
где М.[Х] — математическое ожидание случайного вектора не-
смещенной оценки X.
Подставим (2.57) в (2.58) и определим математическое
ожидание
56
M[X] =A0RM[X]+AoM[H] +ХН.
Учитывая (2.59) .и то, что М[Н] = 0, определим
xH=M[X]-A0RM[X] = [I-A0R]M[X], (2-60)
где I — единичная матрица.
Подставляя (2.60) в (2.58), имеем:
х„ =A0Y+[I-A0R]M[X]; (2.61)
E=X-X=[A0R-I](X-M[X])4-A0H.
Учитывая (2.59), средний квадрат обобщенной ошибки,
(оответствующий оценке (2.61), можно представить в следую-
щем виде:
М[ЕТСЕ]=М[(Х—Х)ТС(Х—X)] = М[[|КС (Х-Х)|[2] =
о о
=М[ II | С X- X—М[Х] +М[Х]) II2} =М[ икс-(X—X) ||2] =
о о
= М[(Х-Х)ТС(Х-Х)] = К[(Х-Х)ТС(Х-Х)|, (2.62)
где С — симметрическая неотрицательно-определенная матри-
о
ца размерности тХА; М || УС (X — X) || — норма т-мерного
о
векторного пространства; X, X — центрированные случайные
векторы.
Следовательно, при нахождении однородного оператора Ао,
определяющего оптимальную несмещенную оценку (2.61) по
критерию среднего квадрата обобщенной ошибки оценки без
потери общности, можно предположить, что средние значения
векторов X и X равны пулю. Тогда оптимальная матрица Ао
линейной оценки представляется следующим следствием тео-
ремы 3 [2].
Е. Оптимальная по критерию среднего квадрата ошибки
л
матрица Ао линейной несмещенной оценки X вектора X по
наблюдаемому сигналу вида Y=RX+H определяется следую-
щим соотношением [2]:
AS = [Kx+RtKh'R]_1RtKh . (2.63)
Здесь предполагается, что обозначения соответствуют поста-
новке задачи, определяемой формулами (2.57) — (2.61), а мат-
рицы Кх и Дн не вырождены.
На основании следствия А теоремы 3 оптимальная матри-
ца линейной оценки определяется соотношением (2.50)
57
A*M[YYT]=M[XYT],
а в случае несмещенных оценок соотношением (2.51)
A*K[YYT] = К[ X YT1-
Учитывая (2.51) и независимость X и Н, имеем:
K[YYt]-K[R'<XtRt] + K[HHt]=RKxRt+Kh5
K[XYT] = K[XXTRT] = KxRT.
Тогда
A*(RKxRt+Kh) = KxRT. (2.64)
Решение (2.64) будет единственным, если считать, что
матрица RKxRT-J Кн пе вырождена. Так как матрицы Км и
RKxRT неотрицательно определены, их сумма является вырож-
денной только в том случае, если каждая матрица вырождена.
Будем считать, что Кн является невырожденной матрицей.
Раскрывая скобки, получим выражение (2.64) в следующем
виде:
A(;RKxRT + А*Кн = KxRT. (2.65)
Матрицу А* размерности mXN можно представить в виде
А* = BRtKh’, (2.66)
где В — неизвестная матрица размерности тУ,т.
Подставляя (2.66) в (2.65), находим
BRTK-’RKxRT+BRT=KxRT,
или В (RTK„’RKx+ •) = Кх, где I — единичная матрица раз-
мерности шут. Откуда
B=Kx[RfKii1RKx+I]-1, (2.67)
так как матрица РЖ”1 RKx неотрицательно определена, а
матрица RTKH’RKx + I является невырожденной.
Подставляя (2.67) в (2.66), окончательно имеем
А* = КхдетК„^Кх+ Ij^R’Kg’- (2.68)
Если теперь учесть, что Кх не вырождена, то соотношение
(2.68) можно представить в виде
А> [RTKh'R+Kx’I-’R^h1. (2.69)
Заметим, что оптимальная по критерию минимума среднего
квадрата обобщенной ошибки оценка X, определяемая соотно-
шениями (2.57), (2.58), (2.60) и (2.63), в случае нормальных
58
i.ikohob распределения векторов X и Н эквивалентна опти-
мальным оценкам по различным критериям оптимальности в
< илу утверждения 3 (см. п. 2.1).
Используя соотношение (2.62), минимальный средний квад-
рат обобщенной ошибки несмещенной оценки можно предста-
IUI п> в следующем виде:
ЛА[Е*ТСЕ*] = К[(Х—Х)ТС(Х—Х)]=Тг(К[(Х —Х)(Х —Х)ТС]} =
«=Тг(К[(Х-Х)Х*ТС-(Х-Х)ХтС])=Тг(К[(Х-Х)ХтС|), (2.70)
। ie Тг { ) — след матрицы; X — оптимальная оценка.
1десь использовано следствие Б теоремы 3, определяемое фор-
мулой (2.52).
Учитывая, что оптимальную оценку можно найти из соот-
ношения (2.58) X = A’Y+Xj„ где матрицы А* и Хн определя-
ются выражениями (2.68) и (2.60), соотношение (2.70) пред-
< |авим в следующем виде:
М[Е‘ТСЕ*|=Тг {К [ (ХХТ-Х ХТ)С]) =Тг {К [ ХХТ—
- Ao(RX +Н)ХТ - хнХт]С) =Тг[(Кх -АМх)С] =
=Тт ([ Kx(RTK~ ’RKx 4-1ГЧ«тКн‘RKx+1)-
- Kx(RTKH1RKx+l)-,RTKii1RKx]C)=Tr(Kx[RTKH,RKx+I]-,X
X(RtKS,RKx+I-RtKhIRKx)C’ = Tr[Kx(RTK-,RKx+I)~,C].
Если Кх не вырождена, имеем
М[ЕЛСЕ*] = ^[(R^H’R-f-Kx’r’C]. (2.71)
Минимальный средний квадрат ошибки можно получить из
соотношения (2.71), положив С = I.
M[E*TE*]=D^=Tr[(RTKS1R+Kx,)*1]> (2-72)
где De дисперсия ошибки оптимальной оценки.
Если определить в классе матриц Кх размерности mXtn
скалярное произведение
(К^Кх)=Тг[(КхКх)] = || Кх ||2,
ю из формулы (2.72) следует, что ошибка увеличивается, если
норма ЦК*1!! убывает, т. е.
M[E‘TE*]<Tr[(RTKji,R)-1b когда ||Кх’||~0.
Если считать, что при неизвестной матрице Кх имеет место
неопределенность, которой соответствует неограниченно боль-
шая норма ||Кх II, то из формулы (2.69) получим
А*=(RTK^’R)-1 RtK -i. (2.73)
59
Соответствующая ошибка определяется формулой
M[E*TE*]II=DE1I=Tr[(RTKH1R)-1], (2.74
где D* — дисперсия ошибки оптимально-инвариантной оценки
Для нахождения матрицы (2.63) оптимального линейного
преобразования Ао и вектора хн необходимо иметь информа
цию о вероятностных характеристиках измеряемого вектора X
математическое ожидание М[Х] для определения х„ и корреля
ционную матрицу Кх для определения А*. Эти характеристики
часто бывают неизвестны к началу проектирования комплекс
ной системы. В этом случае ограничиваются проектированием
инвариантной комплексной измерительной системы, которая
может быть использована для измерения случайных векторов >
с различными вероятностными характеристиками М[Х] и Кх
Рассмотрим метод оценки неизвестного случайного векто
pa X. Пусть наблюдаемый вектор Y определяется соотноше
нием (2.57). Предположим также, что X и Н независимы i
имеется априорная информация только относительно вектора
помех Н:
М[Н]=О; Кн=М[ННт].
Будем считать, что X принадлежит классу линейных од
породных преобразований наблюдаемого вектора Y, опреде
ляющих оценку вектора X,
X=A0Y, (2.75
где Ао — матрица размерности tny.N. В данном случае можн<
ограничиться однородным преобразованием (хн=0), так Kai
несмещенность оценки будет обеспечена специальным выбором
матрицы Ао.
В качестве меры отклонения оценки от истинного значенш
вектора X используем средний квадрат ошибки оценки
MfEF Е]=М[( X—Х)Т(Х—X)] - М[ || Х-Х ||2].
В данном случае рассматривается математическое ожида
ние относительно вектора X при фиксированном значении век
тора X. Если оценка X не смещена, то M.[ETE] = D[|| X-
— X || 2] и средний квадрат будет равен сумме условных дис
персий составляющих вектора Е.
Требуется найти несмещенную инвариантную линейную
оценку с минимальной условной дисперсией. Заметим, что ма
тематическое ожидание оценки X равно
М[Х] = М[ A0Y] = A0RM[X] +А(,М[Н] = A„RM[X].
60
Условие несмещенности оценки в этом случае будет равно
Л„1< I, где I — единичная матрица размерности тХт. Ошиб-
। । оценки равна
E=X-X=A0Y-X=(AoR-l)X+AoH.
Условие инвариантности определяется равенством состав-
шницсй ошибки оценки, зависящей от вектора X, нулю, т. е.
A0R=I. (2.76)
I акпм образом, условие несовмещенности и инвариантности
опенки для данной модели сигнала (2.58) и оценки (2.75) сов-
п.| 1.;нот. При этом предполагается, что матрица R является не-
вырожденным линейным преобразованием, определенным на
иск горном пространстве Ет размерности т.
Ото означает, что векторы гу (столбцы матрицы R) линей-
но независимы.
/(ля инвариантных оценок, используя соотношение (2.74),
имеем
М[ЕТЕ]И= М[ || X—X ||2]=М[(Х-Х)Т(Х-Х)] =
=К[(Х-Х)Т(Х-Х)]= ТгК[(Х— X) (Х-Х)т] =
=ТгК[А0ННтА’] = Тг[А0КнА;|. (2.77)
В этом случае линейную оптимально-инвариантную оценку
можно определить с помощью следующей леммы [2].
Лемма. Оптимальная по критерию среднего квадрата
ошибки матрица А* линейной однородной инвариантной оцен-
л
к и Хи вектора X по наблюдаемому сигналу вида Y=RX-|-H
определяется следующим соотношением:
AXR^’RrRTKs’. (2.78)
Задача состоит в том, чтобы минимизировать ошибку (2.77)
при условии (2.76).
Класс всех матриц Ао размерности mxN, удовлетворяю-
щих условию (2.76), образует выпуклое множество S. Кроме
того, минимизируемый функционал (2.77) является однород-
ным полиномом второго порядка относительно Ао, который
непрерывен. Следовательно, минимум этого функционала до-
стигается в некоторой точке А* или нескольких точках в S.
Из выпуклости функционала вытекает, что существует единст-
венный минимум.
Решение поставленной задачи сводится к нахождению ус-
ловного минимума функционала (2.77) при наличии tri2 допол-
нительных условий в виде линейных равенств, определяемых
соотношением (2.76). Оптимальное решение А* определяется
в этом случае с помощью функционалов и неопределенных
множителей Лагранжа.
61
Определим функционал Лагранжа в следующем виде:
ДАО)=Tr(AoKHAj-2AAoR),
где А — матрица неопределенных множителей Лагранжа раз-
мерности тХт. Здесь предполагается, что функционал f(A„)
дифференцируем. Тогда градиент по А„ функционала /(А„)
будет равен нулю при Ао= А*.
Рассмотрим матричный оператор АО) полученный путем
придания матрице А* малой вариации, А0=А* + цАь где
А] — произвольная матрица размерности m\N; ц — малый
скалярный параметр.
Определим вариацию критерия f(A0), обусловленную ва-
риацией матрицы А*,
¥(ао)=/(а;+1хА1)-/(а,1)=тг[(аг1+11А1)Кн(а*+|лА1)т-
-2A(A:+(xA1)R]-Tr[A1’,,KHA^-2AA,1R]=Tr[Al*KnrAl+
+1хА1КнА:+1хА1Кп|хА’-2A1xA1R]=2Tr[pAriKHAl-pATRTA{+
-Ь^а.КнА}]. (2.79)
Здесь учтены следующие свойства для следа квадратных
матриц Р, Q и скаляра ц:
Tr[QP]=Tr[PQ]; Tr[Q+P]=Tr[Q]4-Tr[PJ; Тг[иРт] =иТг[Р].
Дифференцируя (2.79) по ц и приравнивая скаляр ц и про-
изводную нулю, найдем необходимое условие оптимальности
^-8/(А0) |и=о=Тг[А1ЖнА]-ЛтРтА{] = (АЖн-ЛтРт, А,)=0.
(2.80)
При определении выражения (2.80) использована связь
скалярного произведения со следом произведения матриц
Tr(P QT) = (Р, Q). Так как функционал (2.79) квадратичный,
соотношение (2.80) является достаточным условием оптималь-
ности.
Оптимальное решение вследствие произвольности Ai удов-
летворяет уравнению А*Кн—ArRT = 0. Если матрица Кн не-
вырождена, то
A*=ATRTK;V (2.81)
и матрица А* единственна. Из условия инвариантности (2.76)
получаем:
A*R=AtRtKh,R=V AT=(RTK„,R)-1. (2.82)
Подставляя (2.82) в (2.81), окончательно получаем выра-
жение (2.73).
Из формулы (2.73) и (2.83) следует, что при невырожден-
ной матрице Кн линейная однородная инвариантно-оптимальная
оценка совпадает с предельной формой линейной несмещенной
62
оптимальной оценки, если дисперсии оцениваемых параметров
nt ограниченно возрастают.
Таким образом, в случае использования линейных несме-
щенных оценок инвариантно-оптимальную оценку можно полу-
чить из оптимальной, если найти ее предельную форму, когда
дисперсии оцениваемых параметров неограниченно возрастают.
Когда используется инвариантно-оптимальная оценка, пред-
полагают, что оцениваемые параметры неизвестны; в действи-
1ГЛЫ10СТИ это означает, что оцениваемые параметры являются
случайными величинами с бесконечными дисперсиями.
Учитывая, что класс всех матриц Аи размерности тХй,
удовлетворяющих условию (2.76), образует выпуклое множе-
ство S, для нахождения оптимальной оценки можно использо-
вать при условии Аи R = I, утверждение теоремы 2, определяе-
мое соотношением
M[(X/-X/)(Z/-X,)]>0, i=TTm.
ho соотношение с учетом (2.57) и (2.75) можно представить
в следующем виде:
М[(А:Д-Л) (AMiY-A5I.Y)]=M[(A;/RX+Al1zH-Xz) (А„ RX +
| Аи/Н—A^RX —A„;H)]=M[(A„ZH) (Аи.-А,уН]>0, A*.R=TT,
i=l, m,
где Аи/ — i строка матрицы Аи; Tz — вектор размерности m
с цементами tk=0, k^i, = i, k=l,m.
Условие (2.34) можно также представить в другой форме
minM[AH.HHXT]=M[AS.HH4VTb A*.R=TT (2.83)
Аи. 1 1
I
ИЛИ
min А^-КнА^А^КиА^. A,*.R=T], i= l,m.
S
Тогда задача нахождения оптимального матричного опера-
тора Аи* определяется формулировкой леммы. При этом вместо
оператора А* рассматривается оператор А*; , который опреде-
ляется следующим соотношением:
A^T^RK^R)'^-1, 4=ТГгё.
2.3. Оптимальная линейная фильтрация сигналов
Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть полезный
сигнал Х(/) — m-мерный непрерывный случайный процесс;
m(t) — математическое ожидание полезного сигнала Х(/);
Кх(4,4) — матрица корреляционных функций полезного сиг-
нала размерности mXm; Y(Z) — N-мерный непрерывный слу-
63
чайный процесс, определяющий наблюдаемый сигнал; mY (t) —
математическое ожидание сигнала Y(Z); Ку (Л, h) — матрица
корреляционных функций наблюдаемого сигнала Y(Z) размер-
ности NxN.
Предположим, что корреляционная функция Ку (Л, tz) не-
прерывна по обеим переменным, что эквивалентно предполо-
жению о непрерывности в среднем квадратическом процес-
са Y(/).
Пусть соотношение (2.26) определяется следующим выра-
жением:
Y(/)=R(0X(/)+H(Z), (2.84)
где R(Z) — известная непрерывная матричная функция раз-
мерности Nxm\ H(Z) — A-мерный вектор погрешностей из-
мерения [гпц (0 — математическое ожидание помехи; Кк(Л,
/2) — матрица корреляционных функций помехи размерности
АхА; Кхн(Л, 4), Кнх(Л. ^2) — матрицы взаимно-корреляци
онных функций полезного сигнала и помехи размерности mXN
и Мхт].
При этом
mY(/)=R(/)mx(0+mH(0;
Ку(Л, /2)=Ж)Кх(Л, W(*2)+Kh(/i, /2)+7?(Л)Кхн(Л, /2)+
+Кнх(Л, *2)ЯТ(^
а взаимно-корреляционная функция сигналов X п Y размерно-
сти mxN
Кху(Л, /2)=Кх(Л, *2) Rt&) + Kxh(^ t2),
[/, t—7] — интервал наблюдения.
Будем искать оптимальный оператор оценки А* по крите-
рию минимума среднего квадрата ошибки оценки среди линей-
ного класса физически возможных в общем случае нестаци-
онарных операторов.
л
Оптимальную оценку Х(/) представим в виде
X(Z)=A*{Y(T)} = [ O^tOY^Tj+x^), (2.85)
t-т
где G* (/, Ti) — матрица оптимальных однородных весовых
функций размерности tn~XN, причем G*(/, Ti)=0 при /<Т1
(условие физической реализуемости); uxH(Z) — m-мерный век-
тор, обеспечивающий несмещенность оценки.
Пусть рассматриваемые весовые функции принадлежат гиль-
бертову пространству Н интегрируемых в квадрате на интер-
вале [t, t—Г] матричных функций размерности mXN со ска-
лярным произведением
64
(U, V)=Tr [ [u(s)uT(s)ds.
t-T
Требуется найти функции G* (t, т) и хи (/), определяющие
линейное оптимальное физически реализуемое несмещенное
преобразование сигнала Y(/), производимое в целях оценки
< шпала X(Z).
Произвольный оператор А, относящийся к тому же линей-
ному классу, которому принадлежит оптимальный оператор А*,
должен иметь аналогичный вид:
Х(О=А{¥(т)}= [ 0о(/, t2)Y(t2)Jx2+ (2-86)
t-т
где Go(/, тг) — матрица произвольных весовых однородных
функций размерности тХМ причем GU(Z, т2)=0 при /<т;
Х„. (0 — т-мерный произвольный вектор.
Определение оптимальных весовых функций G* (/, и
х„ (/) дается следующей теоремой [40].
Теорема 4. Для того чтобы линейная несмещенная оцен-
/\
на X(t) была оптимальной по критерию среднего обобщенного
квадрата ошибки, необходимо и достаточно, чтобы весовая
матрица G* (t, tJ удовлетворяла уравнению Винера—Хопфа
J О: (^Ку^.^^Кху^),
t-T
а векторная функция х„ (t) для обеспечения условия несмещен-
ности удовлетворяла уравнению
xB(/)=mx(0- f О^.фхЬ)^.
t-T
Доказательство.
Для получения оптимальных по критерию среднего квадра-
та обобщенной ошибки функций Go (t, Ti) и хи воспользуемся
соотношением (2.52), определяющим необходимое и достаточ-
ное условие оптимальности
M[E*ST]=0, (2.87)
л
где Е*=Х(/)—Х(/) — вектор ошибки оптимальной оценки;
л
Х(/) — оптимальная оценка сигнала Х(/), принадлежащая ли-
нейному классу оценок L; S — произвольная оценка, принад-
лежащая пространству L.
Подставим (2.85) и (2.86) в соотношение (2.87) и выполним
допустимые преобразования
5 Заказ Гё 571 65
+ xn,(/) ]
xi) Y (ti)^ + хн(/) —X(/)
C Go(/,t2)Y(t2)(Zt2+
t-т
= f I i O:(^^)M[Y(t1)Yt(x2)]Jt1+^(/)M[Yt(x2)]-
t-r {t-T
-м[Х(0Г(г2)1|о;(^2)Л2+( f O:(/,t1)M[Y(t1)J^1 +
1 u-r
+ xH(O~M[ X (/)]|xTH1(0=0. (2.88)
При произвольных Go (t, т2) и xHi (t) равенство нулю в со-
отношении (2.88) возможно при равенстве нулю выражений в
каждой из фигурных скобок:
f с: (/, Tj) М[Y(Tt)Yt(t2)] + хн(0 rnY (т2) -
t-т
-M[X(0Yt(t2)]=0, t-T^2^t; (2.89)
f GO*(Z, т1)ту(^1)^1+\1(0-тх(0=0. (2.90)
t-i
Учитывая связь между центральными и начальными момен-
тами для векторных случайных функций Р(^7), R(/") [41]
M[P(f)RT(n] = KpR(/', Г)+ гпр(/')т£(Г),
где М.[ ] — начальный смешанный момент второго по-
рядка; Kpr [ ] — матрица взаимных корреляционных
функций; т[ ] — математическое ожидание, преобразуем
(2.89) к виду
f G* (/, tJKy (ti, т2)с?т2 + J G* (/, tJihy (^i)mTY (t2)dti+
t-T t-T
+ xH(/)mTY (t2)-Kxy(^ ^)-mx(0mTvh) = 0,
t—T<x2<T; t—T<^T. (2.91)
Умножим (2.90) справа на (т2) и вычтем его из (2.91).
В результате получим
t
<]гС:(^Лт1)Ку(^,т2)Л1=Кху(^,^), t-T^t2<t. (2.92)
Соотношение (2.92) называют интегральным уравнением
Винера—Хопфа. Из соотношений (2.92) и (2.90) можно найти
искомые характеристики оптимального линейного преобразо-
вания G:(/,T1) и хн(/).
Необходимо отметить, что определение оптимального линей-
ного преобразования по критерию среднего квадрата обобщен-
66
поп ошибки не зависит от математических ожиданий полезного
inх (0 и наблюдаемого tny(/) сигналов. Поэтому можно ре-
шать задачу оптимизации для центрированных составляющих,
п затем учесть влияние неслучайных составляющих введением
неоднородной составляющей хн (/) оптимального преобразова-
ния.
Если учесть (2.85), интегральное уравнение Винера—Хопфа
можно представить в следующей форме:
К (/,t2)=Kxy(^2). (2-93)
XV
Соотношение (2.93) устанавливает факт одинаковой корре-
л
лированности оптимальной оценки Х(7) и полезного сигнала
X(t) с наблюдаемым сигналом N(t) на всем интервале его
наблюдения.
Аналитическое решение уравнения (2.92) в общем случае
1атруднительно. Для дальнейшего его упрощения предполо-
жим, что X — случайный m-мерный вектор, не зависящий от
времени, и векторы X и Н (/), не коррелированы. В этом случае
Ky(^, x2)=M{[R(T1)X+H('C1)-R(T1)mx-mH(t1)][R(T2)X4-H(T2)-
—R(x2)mx—ГПн(хг)]Т) =R(xi)KxRt(x2)“I_Kh(xi, ^2)-
Уравнение Винера—Хопфа (2.92) принимает в этом случае
и ид
J 0*о V, xi) [R (^KxR^O+Kh^, т2)]^1= KxRT(x2). (2.94)
t-т
Предположим, что существует матричная функция Q(f)
размерности mxAf, при которой
J Q(s)Kh(s, t2)Js==Rt(t2). (2.95)
Тогда, подставляя (2.95) в (2.94), получим
С G*(/, Tt) R(t,)Kx J Q(s)KH(s, xjdsd^ +
t-T t-T
4- [ Go* (t, 'z2)dtl= Kx J Q(s)Kh(s, x2)rfs.
t-T t-т
Произведя замену переменных (ti=s) во втором интеграле
левой части уравнения и меняя порядок интегрирования, по-
лучим
f f O:(/,t1)R(t1)^1KxQ(s) + G^,s)
t-T U-T
KH(s, T2)ds =
= f KxQ(s)Kh(s, ^ds.
t-T
5*
67
Учитывая, что равенство двух интегралов будет при равен-
стве подынтегральных выражений и предполагая, что матрица
Кн(«, Т2) не вырождена, получим
[ O:(^^)R^t)^iKxQ(s)+o:(/,s) = KxQ(s),
t-T
t
Полагая В = J О* (f,Ti) R (ti)dTi, вместо (2.94) имеем
/-г
О*(Л s) =(I-B)KxQ(s), (2.96)
где I — единичная матрица, матрица В должна удовлетворять
уравнению
B=(I-B)Kxq, (2.97)
которое получено умножением соотношения (2.96) на R(s) и
интегрированием в интервале (/, t—Т), где
q= f Q(s)R(s)Js. (2-98)
t-т
предста-
(2.99)
Таким образом, решение уравнения (2.94) можно
вить в виде
О; (Л s)= [I+Kxq]-1KxQ(s)=[Kx1+q]-’Q(s).
Здесь учтено, что —В = —Kxq(Kx q + I]-1, как следует из
(2.97), и при условии, что матрица I + Kxq является невырож-
денной. Возвращаясь к ранее введенному обозначению аргумен-
та Xi—s, получим
О*(Л *t) = [I+Kxq]-1KxQ(T1) = [Kx1+q]-1Q(^i)- (2.100)
Соответствующая минимальная ошибка несмещенной оцен-
ки на основании 72.55), (2.56), (2.84), (2.98), (2.100) и с уче-
том условий, введенных в п. 2.2, определяется выражением
М[Ё* Е*] = К;=Тг(Кх- К[ХХТ]} = Тг|кх-
=Тг Кх-Кх f RT(xi)QT(Ti)X
I t-T
-к X с од/,
\t-T
X + qTKxP j=Tr[Kx-KxqTKx[H-qTKx]-1}-
Предполагая, что матрица Кх не вырождена, получаем
М[Е*Т Е*]=Тг{Кх [l+qTKx ] [I+qTKx ]'J-KxqTKx [I+qTK х]"1} =
=Tr[Kx1+qTP1- (2.Ю1)
Матрица q является самосопряженной и неотрицательной,
так как, учитывая (2.95), соотношение (2.98) можно предста-
вить в виде
68
q= } f Q(OKH(Z, s)Qt(s)^ds.
t-T t-T
Оптимально-инвариантную несмещенную оценку можно по-
лучить путем предельного перехода, полагая, что матрица Кх
неограниченно возрастает (в том смысле, что неограниченно
возрастает ее наименьшее собственное значение). Поэтому оп-
тимально-инвариантная матричная весовая функция размерно-
сти mXN определяется из формулы (2.99) следующим обра-
зом:
О: (Л s) = q-’Q(s). (2.102)
Дисперсия оптимально-инвариантной несмещенной оценки
определяется из формулы (2.101)
M[E*T^)E*(0]=Tr[q-’]. (2.103)
Если ввести следующий ряд упрощений, то можно получить
более простое и наглядное аналитическое решение уравнения
Винера—Хопфа: 1) полезный Х(/) и наблюдаемый Y(Z) сигна-
лы и оценка Х(/) являются стационарными и стационарно свя-
занными; 2) рассматриваемый режим стационарный (t —
— Т^оо).
Это означает, что оптимальная комплексная система оцен-
ки сигнала стационарна, т. е. параметры не изменяются во вре-
мени. В этом случае уравнение (2.92) можно представить в
виде
/ =KxyU-*2), -со<г2</ (2.104)
—со
пли с учетом подстановки t\ = t— Xi,t2 = t— т2
jo; ^1)Ky(^2-/1^1=Kxy(^).
о
Указанные допущения о стационарности (2.104) могут от-
носиться только к центрированным составляющим сигналов
Y(/), X(Z), в то время как неслучайные составляющие могут
зависеть от времени, так как определение хн(/) из уравнения
(2.90) при известной матрице G* (/, Ti) не вызывает затрудне-
ний.
В простейшем случае, когда mx(/)=nix5 гл у (/)=шу, урав-
нение (2.90) можно представить в следующем виде:
JG* (и^^ту+хи=1Пх.
6
Пусть наблюдаемый сигнал Y(Q определен соотношением
(2.84)
69
Y(0=RX4-H(0,
где X — m-мерпый вектор параметров; R — известная матри-
ца размерности Nxtn, не зависящая от времени t. Оптималь-
ную оценку на основании выражения (2.85) и условий стацио-
нарности можно представить в виде
х(0-= J +хн(0,
—ос
где оптимальная весовая матричная функция определяется из
соотношения (2.99)
OeV-sMKx’+qrQGO;
минимальная ошибка оценки равна на основании (2.101)
М[Е*тЕ*]=Тг[Кх1+Чт]~*.
Оптимально-инвариантную весовую матричную функцию в
этом случае можно получить из соотношения (2.102)
O^-sHq-^s).
Дисперсия оптимально-инвариантной несмещенной оценки
определяется формулой (2.103), т. е. не зависит от времени
M[E*TE*]=Tr[q-’].
Здесь q определяется из выражения (2.98)
q= [ Q(/)R^= J Q(/)c#R,
где Q(Z) можно найти из соотношения (2.95)
j Q(s)Kh(s-/)Js=Rt.
— ОО
Уравнение Винера—Хопфа (2.104) для стационарного ре-
жима можно получить в спектральном представлении.
Известно [50], что спектральную плотность стационарного
процесса Y(t) и взаимную спектральную плотность стационар-
ных и стационарно связанных случайных процессов Х(/) и
Y(t) можно представить соответственно в виде следующих
соотношений:
sy(<u)=-^J Кх(^)е~/ю/-й^;
SXY(«o)=ij KxY(^)e-^dZ2,
где SY и Sxy — матрицы спектральных плотностей размерно-
сти NXN и mxN соответственно.
70
Применяя к уравнению (2.104) преобразование Фурье, по-
лучаем
f [G(/<d)Sy («>)—Sxy(<“)H<d=0.
Здесь Ci(jco) — матрица передаточных функций оптимальных
фильтров размерности mX/V. Из последнего выражения сле-
дует [50]
O(yto)SY (to)-SxY(to)=Z(/to), (2.105)
где Z(jw) — неизвестная функция, не имеющая особенностей
(корней и полюсов) в верхней полуплоскости комплексной
плоскости (0.
Искомая передаточная функция G(/co) не может иметь осо-
бенностей в нижней полуплоскости, что является следствием
гак называемого условия физической осуществимости [G(/ —
/') =0 при т. е. фильтр может использовать только
прошлые значения входного сигнала Y(0 и не может использо-
вать будущих значений.
2.4. Оптимальная фильтрация нестационарных сигналов
Решение системы интегральных уравнений Випера—Хопфа
позволяет определить матрицу весовых функций оптимальной
линейной системы, на основании которой можно построить ал-
горитм обработки измерительной информации. Однако реали-
пщия этих двух этапов (решение системы уравнений и переход
к алгоритму обработки) для входного векторного сигнала
большой размерности сопряжена со значительными трудностя-
ми. С точки зрения практической реализации более простой
и удобный алгоритм линейной обработки получается, если по-
лезная составляющая Х(/) входного векторного сигнала Y(/)
представлена как решение дифференциального уравнения /г-го
порядка
X(0=A(0X(0+V(0, Х(/0) = Х0, (2-106)
где V(/) — так называемый порождающий векторный гауссов
шум; А(/) — матрица коэффициентов; Х(/о) — начальные ус-
ловия.
Случайные возмущения и погрешности измерения также
считаются белыми гауссовыми шумами. Такой подход особен-
но удобен в современной постановке, когда анализ и синтез
систем производится на основе уравнений в пространстве со-
стояний. При этом алгоритм оптимальной линейной обработки
получается также в форме дифференциальных уравнений. Он
носит название фильтра Калмана—Бьюси. Для его обоснова-
ния сначала было использовано уравнение Винера—Хопфа, в
дальнейшем для этой цели были применены и другие подходы.
Как и фильтр Винера, фильтр Калмана—Бьюси основан на
71
критерии минимума среднеквадратической ошибки оценки.
Рассмотрим основные особенности построения и применения
фильтра Калмана (в дальнейшем будем называть его так).
Сначала будем считать, что V(Z) — белый векторный шум
с характеристиками
M[V(/)]=0, M[V(0VT(x)] = G(08(^-t), (2.107)
где G(/) — симметричная положительно-определенная матри-
ца интенсивностей вектора V(/).
Как правило, в реальном случае выходной сигнал информа-
ционно-измерительного устройства содержит лишь часть из М
компонент вектора Х(/) или их некоторые совокупности, что
можно выразить линейным матричным уравнением
Y(0=C(0X(£)+N(0, (2.108)
где Y(Z) — вектор измерений размерности т, где C(t)
заданная матрица измерений размерности mXN; N(t) — гаус-
сов векторный белый шум, характеризующий погрешности из-
мерений. Измерение производится на конечном интервале
[/о, fl.
Для начала будем считать, что
MiN(fl]=0, M[N(/)Nt(t)]=Q(^(Z-t),
где Q(fl — симметричная матрица интенсивностей, а также
примем, что Хо, V(fl, N(/) не коррелироваиы между собой. Та-
кое описание справедливо для многих случаев, встречающихся
в практике измерений.
В дальнейшем рассмотрим и другие случаи представления
входного сигнала, требующие более сложного подхода.
Задача состоит в построении фильтра, обеспечивающего по-
л
лучение оценки Х(/) вектора полезного сигнала Х(/) при на-
блюдении Y(Z) в интервале [/о, fl из условия минимума средне-
квадратической погрешности
М[ДТ(£) A(0]=min,
л
где A(fl — X(fl X(fl — вектор ошибки оценки.
Методика определения оптимального фильтра изложена в
широко известных работах, например в [4, 18, 19]. Здесь мы
приведем лишь основные конечные результаты, которые в даль-
нейшем будут использованы при построении комплексных си-
стем обработки информации [18].
Оптимальный фильтр описывается векторно-матричным
дифференциальным уравнением для оценки Х(/)
X(f)=A(OX(fl+B(O[Y(f)-C(OX(f)], X(fl,)=0. (2.109)
На основании уравнения (2.109) можно представить опти-
мальный фильтр в виде некоторой динамической системы с от-
72
рпцателыюй обратной связью, на вход которой подаются сиг-
налы с измерителей Y(Z), а на выходе получается оптимальная
но среднеквадратической погрешности оценка полезного сигна-
л
ла Х(/) (рис. 2.2). Матрица В(/), как видно из структурной
(хсмы, является матрицей переменных (в общем случае) ко-
эффициентов усиления.
Рис. 2.2. Структурная схема
оптимального фильтра Калмана
Поскольку матрица А(/) задана при описании полезного
< шпала, то для полного определения фильтра необходимо со-
( гавить лишь матрицу B(Q. Искомая матрица определяется
пыражением
B(0=K(0CT(0Q-1(0. (2.И0)
। де К(/) = М[А(/) Ат (/)] — симметричная корреляционная мат-
рица вектора ошибки оценки, удовлетворяющая нелинейному
дифференциальному уравнению Риккати
K AK+KA'-KC'Q'CK-I-О, K(Z0)=ey„. (2.111)
Из (2.109) — (2.111) следует, что параметры оптимального
фильтра не зависят от текущих значений наблюдаемого процес-
са, а определяются заранее заданными характеристиками А(/)>
V(/), G(Z), C(Z), N(Z) полезного X(/) и измеренного Y(/) сиг-
налов. Поэтому оптимальный фильтр может быть рассчитан
ьтранее по заданным характеристикам процесса.
Возникает, на первый взгляд, парадоксальная ситуация:
строя оптимальный фильтр, мы должны точно знать будущие
характеристики измеряемого процесса, т. е. располагать зна-
чительной априорной информацией. Возможность этого в дей-
ствительности подтверждается следующими соображениями.
Во-первых, создавая систему обработки измерительной инфор-
мации, разработчик на основе теоретических, эксперименталь-
ных исследований или из практических соображений всегда в
тех или иных пределах знает основные характеристики полез-
ных сигналов и ошибок информационно-измерительных уст-
ройств. Во-вторых, как показывают исследования, фильтр Кал-
мана слабо чувствителен к неточному заданию параметров по-
лезного сигнала и помех в пределах (10±20) %- В-третьих, как
будет показано ниже, при необходимости с помощью фильтра
можно одновременно производить идентификацию параметров
полезного сигнала и возмущений.
Одним из главных достоинств фильтра Калмана является
простота его технической реализации с применением современ-
73
ных бортовых цифровых ЭВМ..
Продолжим рассмотрение особенностей построения опти
мального фильтра. Практический интерес представляет слу
чай, когда матрица А не зависит от времени, V(Z) и N(/) -I
стационарные белые шумы, а работа фильтра рассматриваете^
в установившемся режиме при t0=—оо, т. е. с момента вклю)
чения фильтра прошло достаточно времени, и переходные про-
цессы успели затухнуть. При этом матрица ошибок К(0 до-
стигла предельного установившегося значения К* и К* = 0<
Следовательно, уравнение (2.111), из которого определяете^
матрица К, перейдет в алгебраическое уравнение
АК*+К*АТ-K*CTQ~1CK*+G=0.
В дальнейшем звездочку у К в уравнении для стационар
него случая будем опускать. Структура оптимального фильтра,
описываемая уравнением (2.109), останется неизменной, но
здесь уже В — матрица постоянных коэффициентов усиления!
определяемая по формуле
B=K*CTQ-1. (2.112)
Пример 1. Пусть полезный измеряемый (скалярный) сигнал Х(/) опи-
сывается стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка
х=— ax+v, х(/0)=х0, а>0,
где v(t) —порождающий белый шум с характеристиками (2.107):
М [ v(/)J =0; М [v(/)ut(t)]=G6(/—т);
Хо — случайные начальные условия: М[хо]=О; M[xg] = 0Хо-
Уравнение измерителя имеет вид у=х+п, причем
M[n(/)]=0; M[«(Z)/((-c)]=QB(Z—-с).
Решим задачу построения оптимального фильтра для получения оценки
л
x(t) полезного сигнала x(t). Учитывая общую процедуру, изложенную
выше, уравнение фильтра представим в виде
А Л АЛ
х=—ах-{-В[у—л:], х(/0)—0.
Коэффициент усиления C(t)=где К — дисперсия ошибки фильт-
рации для скалярного процесса, определяемая в данном случае из скаляр-
ного уравнения Риккати;
к= -ZaK—Q-W+G, /<(/0)=еУо=е0.
Решение уравнения имеет внд [25]
[(%—01)/(еоч-в1)1 e2/c’+G/Q-1
где e=Q(/a2+G/Q_c; Gl=Q(^ra^+G/Q+a').
В установившемся состоянии при Z^co дисперсия стремится к посто-
янному значению К* =6, а коэффициент усиления равен [см. форму-
лу (2.112)]
B=0Q-i==/cS+G/Q—а.
71
Описанный выше линейный фильтр Калмана строился при
ограничениях, из которых выделим наиболее существенные:
I) начальные условия полезного сигнала предполагались нуле-
л
ними Хо=О; 2) не учитывались детерминированные функции,
участвующие в формировании полезного сигнала; 3) белые
шумы измерений и порождающий шум полезного сигнала син-
ились не коррелированными между собой; 4) не учитывалась
возможность небелых шумов измерений и порождающего шу-
ма; 5) не учитывался случай, когда часть координат измеряет-
ся точно, а другая часть — с погрешностью; 6) предполага-
лось, что измерения производятся непрерывно, т. е. не учиты-
валась возможность дискретных измерений.
Оказывается, что все перечисленные ограничения могут
быть сняты при выборе соответствующего подхода. Рассмот-
рим кратко полученные результаты [18].
1. Начальные условия полезного сигнала ненулевые. Если
in учитывать не равные нулю начальные условия Х(/о), то это
приводит к тому, что линейный оптимальный фильтр дает
паплучшую в смысле минимума дисперсии ошибки оценку, но
л
ла оценка является смещенной, т. е. М[Х(0]У=М[Х(0].
л
Только в пределе при t0=-+eo оценка Х(0 становится несме-
щенной. Нетрудно показать, что оптимальный линейный
л
фильтр, дающий несмещенную оценку Х(0, описывается уже
приведенными уравнениями (2.109) — (2.111), но начальное ус-
л
ливне в фильтре следует задавать равным Х(/о) =Шх0 , где
/w,„= М[Х„].
2. Полезный сигнал Х(0 содержит детерминированную со-
। i являющую и(0. Например, такая составляющая будет при-
сутствовать в выходном сигнале измерителя высоты полета,
когда летательный аппарат набирает высоту по заданной про-
। рамме.
Описать полезный сигнал Х(£) на интервале [/n, t\ можно с
помощью векторно-матричного дифференциального уравнения
вида
X=A(0X+u(0+V(0, у(£0)=Х0, (2.113)
где Хо имеет гауссово распределение с математическим ожи-
данием тХв и корреляционной матрицей 6Хо. Уравнение на-
блюдения, как и прежде, определяется формулой (2.108).
Тогда векторно-матричное уравнение оптимального линей-
ного фильтра с учетом ненулевого начального условия и детер-
минированной функции в дифференциальном уравнении полез-
ного сигнала будет иметь вид
Х= AX-|-B(Y-CX)-[-u, X(4)=mXo, (2.114)
75
Матрица В по-прежнему определяется формулой В =
л
= KCTQ-1 . Оценка X(Z), получаемая с помощью фильтра,
описываемого уравнением (2.114), является несмещенной. Для
реализации такого фильтра необходимо кроме входного сигна-
ла от измерителя Y (/) подать на вход интегратора, охваченно-
го матричной обратной связью, еще детерминированный сиг-]
нал u(f).
3. Гауссовы белые шумы измерений N(Z) и порождающий
шум V(Z) полезного сигнала коррелированы между собой, т. е.
M[V(^)Nt(t)] =П( w-^)>
где П (/) — симметричная матрица взаимных интенсивностей!
белых шумов V(Z) и N(Z).
Пусть полезный сигнал описывается векторно-матричным
уравнением общего вида (2.113)
X=A(OX+u(O+V(O, X(Q=X0,
учитывающим наличие детерминированной составляющей u(Z)
и ненулевого начального условия Х(/о).
Уравнение измерений при этом будет
Y(O=C(OX(O+N(f).
В работе [18] показано, что для данного случая векторно-
матричное уравнение линейного оптимального фильтра, обес-
печивающего несмещенную оценку, имеет тот же вид
X=A(^)X+B(0(Y-C(0X)4-u. (2.115)
Но матрица коэффициентов В здесь определяется уже бо-
лее сложно:
B=(KCT+n)Q-\ (2.116)
где корреляционную матрицу К ошибок фильтрации находят
из следующего матричного уравнения Риккати:
k = (A-HQ'C)K+K(AT CQ41) KC'Q’CK+G-IIQ-’Il,
К(/о) = ^„- (2.117)
Алгоритмы (2.115) — (2.117) по существу являются дальней-
шим обобщением фильтра Калмана, откуда уравнения фильтра
для некоррелированных шумов (2.109) — (2.111) получают как
частный случай при П = 0.
Пример 2. Полезный измеряемый (скалярный) сигнал x(t) описывается
стохастическим дифференциальным уравнением
х—— ax-j-ii-j-v, x(tn)=xn, а>0,
а уравнение измерений имеет вид у=х+п, где v(t), n(t) — белые гауссовы
шумы, коррелированные между собой, имеющие нулевые математические
ожидания М[о(/)]=М[п(^)]=0, интенсивности G, Q и взаимную интенсивность
Л, H=tzo=const — детерминированный сигнал; х0 — случайное начальное
76
условие, характеризующееся математическим ожиданием тХо и дисперси-
ей ox=e0.
Решим задачу построения оптимального линейного фильтра, обеспечи-
Л
илющего получение несмещенной оценки х. На основании формул (2.115),
('2.116) получим уравнение оптимального фильтра
Л Л Л Л
х^—ах + В(у—х)-\-и, x(t0)=my^
1др 13= (К+П) Q-'. Дисперсия ошибки оценки К определяется из скалярно-
11> дифференциального уравнения Риккати
К=-2(a+niQ)K-K*IQ+G-n4Q, =е0.
Так как фильтр несмещенный, то и изменение во времени
математического ожидания mx(t) можно определить из решения исходного
дифференциального уравнения первого порядка
mx(t)=- тХо е~а/+-^(1-e~at).
Решение уравнения для K(t), соответствующего дисперсии скалярного
процесса, имеет вид [25]
Кг/\ _ р* I(0*4~01)(6р+0*)
где e»=Q(₽-a-Z7/Q); 0]=Q(p-|-a-/7/Q): p^/(«-|-n/Q)2+G/Q.
При t-^-oo дисперсия /<(Т)-> /(* = О*.
4. Погрешность измерения не является гауссовым вектор-
ным белым шумом, как это было сделано сначала при выводе
фильтра Калмана. Интерес представляет обобщение задачи
построения линейного оптимального фильтра для коррелиро-
ванных во времени погрешностей измерений [18].
Задача имеет следующую постановку. Полезный сигнал —
п мерный векторный случайный процесс Х(/) — описывается
пскторно-матричным дифференциальным уравнением (2.106),
а измерения — вектором У (Г) размерности т, где т^.п,
Y(^) = C(Z)X(O+Z(Z),
где С(/) — как и прежде заданная матрица измерений размер-
ности шХп; Z(Z) — гауссов векторный марковский процесс, ко-
торый с помощью дифференциального уравнения, т. е. уравне-
ния формирующего фильтра,
Z=L(0Z+N(Z), Z(/0)=Z0
связан с вектором белого шума N(/) размерности т.
Процесс N(Z) и начальное условие Zo имеют следующие ха-
рактеристики:
M[N(Z)]=0; M[N(0Nt(t)] = Q8(Z-t); M[Zo]=O; 'M[ZoZ^] = Po,
где Po — симметричная корреляционная матрица начальных
77
условий; Q — симметричная положительно определенная мат-
рица интенсивностей белого шума.
Белый шум N(Z) считается не коррелированным с порож-
дающим шумом V(i) в уравнении полезного сигнала (2.106) и
с начальными условиями Хо, Zo.
Для данного случая линейный оптимальный фильтр описы-
вается уравнениями:
X* = (A-BC*)X*+(AB-BC*B-B-BL)Y+(l-BC)u,
X=X*4-BV, В=(КС*т4-ОСт)(СОСт+О)-1, (2.118)
а корреляционная матрица К находится из дифференциального
уравнения
К=АК+КАТ- КСтСта1С*К-0ота0->С*К-КС*т0->0^+
+G- G^G-'G^.
Здесь С* = С + СА — LC — известная матрица; Gw(/) =
= C(Z) G(t) Ст (t) + Q(Z) — симметричная положительно опре-
деленная матрица интенсивностей некоторого белого шума
W(Z), определяемого через заданные параметры шумов V(Z) и
N(/); G(Z) — симметричная положительно определенная мат-
рица интенсивностей белого шума V(Z); Gvw (t) = G(Z)CT (Z) —
симметричная матрица взаимных интенсивностей шумов V(Z)
и W(Z).
Начальные условия для уравнений (2.118) следует выби-
рать в виде:
X; = Хо—В0¥0;
Хо=^+ ec;(co0q + P0)-‘Y0;
к0= eo-eocj(coec;+ рорсобо;
во=(Кос*т +g№)g-i,
где е0=М[(Х0—/Пх„)(Х0 — /пХо)т];' Со, С£, Yo — начальные зна-
чения матриц С и С* и вектора Y.
5. Одна часть компонент вектора X измеряется с погреш-
ностью, а другая часть — точно (т. е. погрешность измерений
другой части компонент пренебрежимо мала).
Уравнения измерений имеют вид:
Y^QX+ад); У2=с2х, (2.119)
где вектор помех Nj(Z) — белый гауссов шум; Yj и У2 — век-
торы измерений размерностей mt и т2 соответственно, причем
mH-m2^/i; С] и С2 — матрицы измерений размерностей т^Хп
и т2Хп соответственно.
Нетрудно убедиться, что для данного случая часть компо-
нент матрицы интенсивностей Q вектора погрешностей измере-
ний N равна нулю, т. е. нарушается сформулированное внача-
78
ле требование положительной определенности матрицы Q. По-
казано, например в работе {18], что данная задача сводится к
рассмотренной выше задаче фильтрации с белым шумом в из-
мерениях, коррелированных с полезным сигналом. Окончатель-
ная формулировка постановки задачи следующая: полезный
сигнал описывается, как и прежде, уравнением (2.106), урав-
нения измерений (2.119) преобразуются к виду
Y=CX+N,
где
Y=Y,+Y3; YS = C3X+N3; C^C^C,; Ы=^+Ы3; С3=
= С2-|-С2А; N3=C2V.
Тогда линейный оптимальный фильтр описывается уравне-
нием
X=A(f)X+B(0 [Y - C(/)X]+u, X(^)=//Ч,
где матрица В=(КСТП)О-1; К определяются из уравнения
Рпккати,
K=(A-nQ-’ C)K+K(AT+CTQ~1 П) - KCQ1 СК + О - HQ"1 П,
K(Q = 0.ro;
П — как и прежде, матрица взаимных интенсивностей шумов
V и N, M[V(t)Nt(0]= П6(т—t).
6. Обработка информации осуществляется с применением
цифровых вычислительных машин, т. е. дискретно. Непрерыв-
ный алгоритм линейной фильтрации преобразуется в дискрет-
ный. В этом случае математическая модель полезного вектор-
ного дискретного сигнала ХА представляется в форме линейно-
го разностного уравнения
Х(/А=О)=Хо, k=0, 1, 2, ...
Здесь ХА — п-мерный вектор состояния в момент времени tk‘
Ф*. fe-i — матрица размерности п X n; uA_! — двухмерный
вектор детерминированной последовательности, содержащейся
в полезном сигнале; Vft_( — n-мерный вектор гауссовой слу-
чайной некоррелированной последовательности с заданной
статистикой (дискретный белый шум) с характеристиками
M[VA]=0; M[VftV/]=0As,
s _ ( 1, S=k,
ks t o, s^k,
где Gft — неотрицательно определенная матрица.
Вектор дискретных измерений Y* в моменты времени tk
линейно связан с вектором измерений Xt:
Yft=CfeXft+Nft, A=l,2,...
79
Здесь Ck — заданная матрица размерности тХп; Nft — век-
тор дискретных погрешностей измерений, причем M[Nfc] = 0;
М [Nft N4.t] = Qa8Aj, где Qa — неотрицательно определенная
матрица с характеристиками
м[х0]=/«Хо; M[(x0-znj(x0-/n]-ех„.
Задача состоит в определении наилучшей оценки вектора
Л
состояния Xft в смысле минимума математического ожидания
квадрата ошибки оценки
М[(ХА-Хй)т(ХА-ХА)]=ш,п.
Опуская промежуточные выкладки, приведем лишь оконча-
тельные результаты. Линейный оптимальный фильтр Калмана
при белых шумах измерений Nft, некоррелированных с порож-
дающим шумом V, описывается линейными разностными
уравнениями:
XA=X*+BA(Yft— СЙХА);
л, л
X* =ФА1
ВА= KaC^C^q+QJ-1;
к* =ф*. л-i Kft_! фа,
КА = (1-ВА Сл)Кл(1—Вл CJt+BaQa BJ.
Начальные условия для этих уравнений следующие:
Х0=М[Х0] =тх- K0=M[(X0-mx„)(X0-mJT].
Для случая коррелированной во времени дискретной после-
довательности погрешностей измерений (небелого дискретного
шума измерений) вектор измерений Yft имеет вид
YA=CftXA+ZA, £=1,2,...,
где Zft— m-мерный вектор гауссовой случайной коррелиро-
ванной во времени последовательности с заданными вероят-
ностными характеристиками:
M[ZA]=0, M[ZAZJ] =Lfti, £,3=1,2,...
Случайная последовательность Tk описывается линейным
разностным уравнением (формирующим фильтром) связи с
дискретным гауссовым белым шумом N/;
Z*=Lfti ft-iZ^+N^, k— 1, 2, ...,
где Na_! '— m-'мерный дискретный гауссов белый шум, имею-
щий следующие характеристики:
M[Nfc]=0; M[NaN^]=I8As,
80
Вектор начального состояния Хо имеет вероятностные ха-
рактеристики M[Zo]=O; M[Z0Zj] = Ро, где Ро — симметричная
неотрицательно определенная матрица.
Считаем Хо и Zo не коррелированными с VA и NA при лю-
бом /?:
М[Х0| =тХв.; М| (Xo-Mvu)T(Xn-/rtv„)]=O.
Обобщенный линейный дискретный фильтр Калмана для
случая коррелированных во времени погрешностей- измерений
описывается уравнениями:
Xa=X',+ BaIY:-C^XJ;
Хл = Фл л-i ^л + ил-1:
ВА=(КлЦЧ GftC^)(CftOAC;-: I)-1;
Yft=Yft —ЬЛ] ft-i Y*_, Cftufc_/,
к*=(1-в*с;ж;(1-вЛ qy+вЛ. (q ck q+i)B-
к;=фй. ft-i K^^ + G^, * = 1.2, ... ;
Y^qx^+W,-.:
= Ф/г, Л-1 q. Л-1 1’
wft-i-c/ivft-i+Nft-1,
где
М [ WA WJ] = (q Gk C^+I)3fo: Ml V, Wj] = Gft C^ks.
Техническая реализация фильтра Калмана в бортовых си
стемах комплексной обработки измерительной информации
осуществляется с помощью быстродействующих вычислитель-
ных машин.
Глава 3
Принципы построения
комплексных измерительных систем
3.1. Общая структурная схема комплексной системы
с памятью на основе схем фильтрации
Инерционные системы используют для повышения точности
измерения временную избыточность информации. В ряде слу-
чаев временная избыточность информации позволяет решить
задачу повышения точности без использования структурной
6 Заказ Н 571
ii им ni'iiiix । и, i < txt >м пл riven poii.ni и» Предположим, что нам
n i in niiiiiiiii. u.ip.iMeip V, который измеряется с аддитивной
uni pi iiiiioi 11 in , приведенной ко входу, т. е. сигнал измерп-
। in / окре Ц'лжчся выражением
/(О-ад+s.
Пропустив сигнал Z(t) через фильтр с весовой функцией
Л
й'(т), получим оценку сигнала X(t)
Л СО
*(0= Г £(-) Z{t-x)dz.
(I
так, чтобы фильтр нан-
сигнал X, выделив при
Весовая функция g(r) выбирается
лучшим образом пропустил полезный
Рис. 3.1. Соотношение
спектральных плотностей
сигнала и погрешностей
этом погрешность S. Наглядно этот процесс и возможности его
осуществления представляются в частотной области. На рис. 3.1
приведены различные варианты соотношения спектральных
плотностей полезного сигнала Sx (ы) и погрешности (ы).
Если полезный сигнал и погрешность существенно разнесены
по частоте (рис. 3.1,а), то можно выбрать фильтр низких, час-
тот, амплитудно-частотная характеристика которого /11(си)
Рис. 3.2. Схема
фильтрации
с фильтром высокой
частоты
Естественно, что
позволяет почти без искажений про-
пустить полезный сигнал и почти пол-
ностью подавить погрешность. В дан-
ном случае задачу фильтрации можно
решить и с помощью фильтра высоких
частот, используя его для выделения
погрешности с последующим вычитанием
ее из сигнала измерителя (рис. 3.2).
л
получить ошибку оценки Е=Х—X, равной
нулю даже теоретически, а тем более при практической реали-
зации, невозможно. Это объясняется хотя бы тем, что согласно
критерию Пейли—Винера, амплитудно-частотная характери-
стика не может быть равна нулю ни на каком интервале час-
тот и, следовательно, какая-то часть высокочастотной помехи
пройдет на выход фильтра. Кроме того, трудно реализовать
условие у41 (со) = 1 во всем частотном диапазоне полезного сиг-
нала, что приводит к появлению динамических погрешностей.
Если же спектры полезного сигнала и погрешности лежат
в одном частотном диапазоне (рис. 3.1,6), то использование
только временной избыточности не позволяет повысить точ-
<S2
ипсть измерения путем фильтрации. Попытка выделения по-
। ровности на фоне полезного сигнала приведет к существенно-
му возрастанию динамической погрешности. В этом случае
оказывается полезным комплексирование ряда измерителей,
имеющих погрешности в различных частотных диапазонах, в
общем случае перекрываемых диапазоном частот полезного
сигнала. Повышение эффективности комплексной измеритель-
ной системы достигается за счет выделения погрешностей од-
ного измерителя на фоне погрешности другого измерителя, что
при условии их разноса по частоте легко реализуется. Выде-
1сппая погрешность вычитается из выходного сигнала соответ-
ствующего измерителя, тем самым компенсируя его погреш-
ность.
Рис. 3.3 Общая структурная
схема линейной комплексной
измерительной системы с памятью
Рассмотрим общую структурную схему линейной стационар-
ной комплексной измерительной системы с памятью. Исходя из
условия линейности, ее можно представить в виде У параллель-
ных каналов фильтрации с последующим суммированием вы-
ходных сигналов всех каналов. Каждый капал i (рис. 3.3) со-
стоит пз измерителя и фильтра Ф„ i— 1,2,
В выходном сигнале измерителей учтена аддитивная по
грешность в физической размерности выходного сигнала изме-
рителя Hz(s)
вд =/?,(х) ад+вд, (3.D
где Kj(s) — передаточная функция измерителя. Передаточ-
ную функцию фильтра обозначим через Fz(s). Устройство об-
работки информации (УОН), таким образом, состоит пз фильт-
ров и суммирующего устройства.
Учитывая стационарность рассматриваемой системы, пере-
даточную функцию фильтра можно представить дробно-ра-
циональной функцией с постоянными коэффициентами, степень
числителя которой меньше пли равна степени знаменателя. Это
условие определяется тем, что невозможно осуществить идеаль-
ное безынерционное дифференцирование сигнала. Передаточ-
ные функции измерителей Rt (s) также являются дробно-рацио-
нальными, в общем случае с тем же соотношением между сте-
пенью числителя и знаменателя.
Иногда кажется, что степень числителя передаточной функции измери-
теля может быть больше степени знаменателя при ее определении ие по вы-
ходному сигналу измерителя, а по измеряемому параметру. Например, если
передаточная функция акселерометра по ускорению равна /?я(х), то при
6* 83
использовании акселерометра для определения расстояния его передаточная
функция /?D(s) будет иметь порядок числителя на две единицы выше
•A?o(s) = S?a(s)s2 . И можно предположить, что при этом степень числителя
станет выше степени знаменателя. Однако надо учесть, что реально можно
измерить и имеет физический смысл параметр, являющийся не выше второй
производной от другого измеряемого параметра. Так, в механике — это уже
упомянутая выше связь между ускорением и перемещением. В то же время
любая механическая система, в частности и акселерометр, связанная с пе-
ремещением массы, описывается дифференциальным уравнением второго
порядка, т. е передаточная функция акселерометра по ускорению
Яд(5) = 7-2A-2J 2аП + 1 »
а по перемещению
R o(s)—
ks*
T2s2+2aTs+l '
где степень числителя не выше степени знаменателя. То же самое наблю-
дается и в устройствах, работающих на других физических принципах
(электрических, термодинамических и т. д.).
Конечно, в ряде случаев, когда инерционность измерителей существенно
меньше инерционности последовательно включенных с ними устройств, ею
можно пренебречь и принять, например, передаточную функцию акселеро-
метра по перемещению RD(s)xks2 . Можно пренебречь инерционностью н
фильтра, получив «чистое» дифференцирование. Например, передаточная
функция резисторно-емкостной дифференцирующей цепочки г С
=гС$1(14- rCs)
может быть принята равной W^s^rCs, если спектр входного сигнала зна-
чительно ниже частоты <ас=(гС)~1.
Уравнение комплексной измерительной системы (рис. 3.3)
можно представить в виде
i=i
(3-2)
Погрешность комплексной системы
Е(5)=Х(5)-ВД=- Г£ иэд -1 k(s)-
_ /=1
^)ВД = Ед(з)-Еф(з),
(3-3)
где W^R^F^)- Ед(з)=
1-£ ^(s)
i=l
X(S)
дина-
мическая составляющая погрешности, зависящая только
Л'
от измеряемого параметра; Еф($)= 2 Л(5) Н, (s) — флюк-
;=1
туационная составляющая погрешности, определяемая погреш-
ностями измерителей и передаточной функцией системы.
Задача синтеза оптимальной комплексной системы состоит
в определении передаточных функций F^s), минимизирующих
средний квадрат ошибки оценки:
84
minAl[E2], F=(F„F2, ..., Лу).
f
В случае некоррелированности оцениваемого параметра и
погрешностей измерителей П, минимизируется сумма средних
квадратов обеих составляющих ошибки оценки
ш1п{Л/[Ея]+Л1[Е^]1,
F
При отсутствии информации о статистических характери
стиках оцениваемого параметра X или изменении их в широ-
ких пределах при эксплуатации комплексной системы можно
построить систему, погрешность которой не зависит от оцени-
ваемого параметра, т. е. инвариантную систему. В соответствии
с (3.3) условие инвариантности Ед= 0 можно представить в
виде
^^(х)=1. (3.4)
1=1
Задача оптимизации инвариантной комплексной системы
сводится к минимизации только флюктуационной составляю-
щей погрешности
пйи/И[Еф]
при ограничении выбора передаточных функций в виде
N
(3.5)
i- 1
Очевидно, в силу ограничения возможности выбора переда-
точных функции погрешность оптимально-инвариантной комп-
лексной системы будет не меньше погрешности оптимальной
системы.
На практике более широко используются оптимально-инва-
риантные системы, так как они технически проще реализуются
Ji не зависят от статистических характеристик измеряемого па-
раметра. Однако, условие инвариантности (3 4) не всегда
строго может выполняться в реальных системах.
Условие инвариантности (3.4) ограничивает возможный
выбор вида передаточной функции Й7;(я). Для дробно-рацпо-
нальных передаточных функций можно получить условие реа-
лизуемости инвариантности [30], предъявив определенные тре-
бования к передаточным функциям измерителей /?,• (s) и фильт-
ров Fi(s). Представив передаточную функцию Wt ($)= /?; Г,-
в виде отношения двух полиномов (s) и /1; (s) степеней гпг
и пг-(//гг-Сл;) соответственно
, ^(5) = Д(^)/А(5) (3.6)
п разложив числитель и знаменатель выражения (3.6) по кор-
ням, получим
85
'"I "i
и<(5)=С;П (S~',7) П (S-V,7),
J 1 i=l
(3-7)
где cf — отношения коэффициентов при старших степенях по-
линомов Bt (s) и А, is); и -i/j — j-ii нуль и полюс переда-
точной функции Wi (s) соответственно. Имея в виду (3.4), сум-
ма всех передаточных функции (s), должна
равняться единице:
v с, П (Л—>о)/п' (5-\у) -1. (3.8)
'=! Z-I У-1
Приведя выражение (3.8) к общему знаменателю, получим
тождество
.V mi Л "i Л' «,
('• '/,) П П (S \7)= П П (s v,7). (3.9)
(1 у=1 i-ij 1 <=1 y=i
i I
Необходимым условием выполнения тождества (3.9) явля-
ется равенство наивысших степеней переменной х в левой и
правой его частях. Наивысшая степень переменной $ в правой
Д'
части выражения (3.9) равна У /г,-. В левой части того же
i I
выражения стоит сумма полиномов, имеющих различную сте-
пень. Предположим, что при /=d полипом имеет наивысшую
степень, определяющую наивысшую степень переменной s в
Л'
левой части тождества (3.9) и равную ,lt Приравнивая
i=l
i d
наивысшие степени переменной s в левой и правой частях тож-
(ества (3.9), получаем
\ Д’
'»«+ Z
<•- I >=1
i+rf
откуда следует
md=nd. (3 10)
Равенство (3.10) означает, что для реализации условия ин-
вариантности (3.4) передаточная функция хотя бы одного из
каналов комплексной системы должна иметь одинаковое число
нулей и полюсов, т. е. степень числителя должна быть" равна
степени знаменателя. С учетом равенства (s) = Rt (s)4\(s)
это условие можно сформулировать как равенство суммы ну-
лей и суммы полюсов передаточных функции измерителя и
фильтра устройства обработки информации хотя бы в одном
пз каналов.
В передаточных функциях фильтров число нулей не может
превышать числа полюсов, поэтому инвариантность может
86
быть реализована, если хотя бы у одного измерителя степень
числителя передаточной функции равна степени знаменателя.
Из выражения (3.9) легко получается еще одно условие
реализации инвариантности комплексной системы [30]. Подста-
вим в (3.9) значение переменной s, равное одному из полюсов
передаточной функции 1Гг(з): /е(1,Л9, ge(l, пг). Тог-
да правая часть выражения (3.9) обращается в нуль, а от
левой части остается только слагаемое с номером г, среди со-
множителей которого отсутствует разность s — х rg , т. е.
"7 л «<
fjl (5-/гУ)П П (s-\y)-0.
/=1
i г
тг
Так как сг^= 0 и П (s—ХЛ;-) =/= 0 [иначе бы Krg — •> и соответ
7=1
ствующие одинаковые множители (s—krg) = (s—vrg ) сокра
тплись в выражении (3.7) для передаточной функции U^r(s)],
можно утверждать, что
flri‘(s-M=0. (3.11)
1=17=1
1-.-Г
Пз (3.11) следует, что среди полюсов передаточных функ-
ций Ц7г(«) остальных каналов (г#=г) содержится хотя бы один
полюс Vij, равный vrg. II так как при подстановке был выбран
произвольный полюс vTg, то можно утверждать, что полюсы
передаточной функции любого канала содержатся среди полю
сов передаточных функций остальных каналов. Добавление но-
вого канала в комплексной системе при сохранении условия
инвариантности не увеличивает множества полюсов, уже имею-
щихся у передаточных функций каналов системы.
В двухкомпонентных системах (N=2) полюса передаточной
функции одного из каналов должны совпадать с полюсами пе-
редаточной функции другого канала, т. е. знаменатели переда-
точных функций двух каналов тождественно равны. В общем
случае равенства знаменателей передаточных функций всех
каналов комплексной системы можно показать, что суммы ко-
эффициентов при степенях переменной s числителей передаточ-
ных функций всех каналов равны коэффициентам при соответ
ствующих степенях переменной знаменателя передаточной
функции канала Wt [8].
Это условие удобно использовать для проверки коэффициентов числи-
телей передаточных функций каналов IV'i(s) с точки зрения реализации ус-
ловия инвариантности. Например, если в двухкомпонентной системе:
Ts2+c
W^s) - T?s2+2aTs+\ •'
d
^(•S) = ’
87
то несмотря на совпадение степеней числителя и знаменателя в одном из
каналов и равенство знаменателей передаточных функций (необходимо ус-
ловие) комплексная система неинвариантна, так как сумма коэффициен-
тов при первой степени переменной s числителя равна пулю, в то время
как в знаменателе соответствующий коэффициент равен 2аТ (и не может
быть равен пулю из условия устойчивости фильтра). Инвариантность мо-
жет быть обеспечена, сели в числителе хотя бы одной передаточной функ-
ции, например H7B(s), будет член 2iTs и сумма коэффициентов c+rf равна
единице.
3.2, Двухкомпонентные комплексные системы с памятью
Схема параллельной фильтрации. Получена из общей струк-
турной схемы комплексной системы (рис. 3.4) путем ограниче-
ния числа измерителей. Кроме того, фильтры с передаточной
функцией (s) в каждом из каналов представлены в виде по-
следовательного соединения преобразователя с передаточной
функцией Pt (s) п фильтра с передаточной функцией W, (s),
т. е. F, (s) = Р, (s)Wi (s)
Рис 3.4 Схема параллельной
фильтрации
Учитывая динамические характеристики измерителей, сиг-
налы па их выходе можно представить в виде (3.1), а сигналы
на выхо щ преобразователей как
Z,-(s) =P,(s) Г(х)=Р2(х) адХ(х)+Л(5) H2(s).
Принимая Pi (s)P, (s) = 1 и обозначая Р, (s) H,-(s)=E; (s),
получаем Z, (s) =X (s) + E;(s), т e. при условии Pi (s) = /?f1(s)
преобразователь приводит сигналы измерителей, в общем слу-
чае измеряющих различные физические параметры, к единой
размерности оцениваемого сигнала Л’ Например, в комплекс-
ной системе измерения дальности одним из измерителей может
быть радиодальномер, а вторым •— измеритель скорости, и для
приведения сигнала измерителя скорости к размерности даль-
ности он должен быть проинтегрирован.
Следует отметить, что с точки зрения описания сигналов в
реальных системах вместо промежуточных сигналов Z( =Х + Е2
и выходного сигнала X надо было бы использовать Zt =
Л
= kc (X 4- Е,) и kcX соответственно. Масштабный коэффициент
/гс учитывает переход от размерности измеряемого параметрах
(например, скорости, дальности и т. д.) к размерности пере-
менной, используемой в вычислительном устройстве (напряже-
ние, ток), п допустимый диапазон изменения этой переменной.
Однако, учитывая линейность рассматриваемых систем, в це-
лях упрощения их исследования можно положить kc = 1.
88
Условие инвариантности (3.5) для рассматриваемой схемы
можно представить в виде
/?,(«) /?1(х)+ /?2(s) F,(s) = lV\(s) + П72(х)— 1.
Уравнение системы (3.2) в данном случае принимает вид
\-(Л)=[ U71(S) 4-IF2(s)] X(s)4-P,(5) 117,(5) НДх)+^(5)^(5) H,(s).
С учетом условия инвариантности
ад=ед+ IF,(s)3I(s)+[l-lF1(s)] ЭД=
=А'(х)+ед+1вд[ад- з,(5) ],
н ошибка оценки определяется выражением
(3.12)
(3.13)
В соответствии с (3.12) схему параллельной
можно представить в виде эквивалент-
ной схемы (рис. 3.5), где оцениваемый
параметр X проходит на выход систе-
мы без искажений, а погрешности изме-
рителей Ei и Е2 проходят через фильтры
с передаточными функциями W| (s) и
I—Wi(s) соответственно.
При стационарных и статистически
фильтрации
Рис. 3.5. Эквива-
лентная схема парал-
лельной фильтрации
независимых приведенных погрешностях измерителей Е,- дис-
персия погрешности комплексной системы определяется выра-
жением
D[E] = f [S3i(«>)| ^.(/^P+SsX^ll-^OoOi2]^,
— ею
где S3/ (со) — спектральные плотности приведенных погреш-
ностей измерителей.
Предположим, что погрешность S2 — низкочастотная, а
Е]— высокочастотная. Тогда для уменьшения погрешности си-
стемы необходимо в качестве фильтра с передаточной функцией
W/1 (s) выбрать фильтр низких частот (ФНЧ), задерживающий
погрешность первого измерителя. В этом случае фильтр с пе-
редаточной функцией U72(s) = l—IV'i(-s) будет фильтром высо-
ких частот и выделит низкочастотную погрешность второго из-
мерителя. При значительном разносе спектров погрешностей
дисперсия суммарной погрешности D [Е] будет существенно
меньше дисперсии погрешностей каждого из измерителен
D[EJ.
Необходимо подчеркнуть, что имеются в виду различия
спектральных характеристик приведенных погрешностей Е,-
измерителей, которые могут существенно отличаться от харак-
теристик погрешностей измерителей Ц:
89
(Ш)=5Н/ (U>) | Л(/Ш) I2-
Достоинством схемы является возможность реализации
преобразователя и фильтра каждого капала в одном устройст-
ве, передаточная функция которого может быть всегда полу-
чена при любом соотношении между числом нулей уг и полю-
сов q, передаточных функций измерителен путем такого выбо-
ра степени числителя /и,- и знаменателя и передаточных функ-
ций фильтров, при котором
шах («>/«!+?, — /!, п>т2-\-р2—/2).
Недостаток схемы параллельной фильтрации — относитель-
ная сложность из-за наличия двух фильтров, что также может
привести к нарушению инвариантности в период эксплуатации
вследствие некоррелированного изменения параметров фильт-
ров.
Пример. Рассмотрим радионнерциальную систему определения скорости
движения ЛА. Радиотехнический измеритель определяет непосредственно
скорость ЛА, а инерциальный — ускорение. Передаточные функции измери-
телей (без учета инерционности) Rp(s) — Лр; Rm(s) — kHs. Соответствую-
щие им передаточные функции преобразователей Рр(х)=/?р-1; PH(s)=(AHs)_|.
Так как спектр погрешностей раднонзмерителя значительно шире спектра
погрешности инерциального устройства, фильтр в канале раднонзмерителя
должен быть фильтром низких частот, например, с передаточной функцией
V7p(s)=(l L7S)-1 „ли lFp(s)=(l+2ars)/(l+2«7s4-7-2s2),
а в другом канале — фильтром высоких частот с передаточной функцией
при условии инвариантности системы
W„=Tsj(l Ts) или №и(х) = TWj(\ +2аТхд-Т252).
Схема с фильтром разностного сигнала. При выполнении
условия инвариантности, как следует из (3.12) и (3.13), оцен-
ка параметра X и погрешность комплексной системы Е опреде-
ляются только одним фильтром с передаточной функцией
11/] (s). Поэтому в соответствии с уравнением системы (3.12)
можно построить структурную схему (рис. 3.6) с одним фильт-
ром.
Рис. 3.6 Схема с фильтром
разностного сигнала
В схеме на рис. 3.6 на вхоце фильтра Ф1 действует сигнал,
равный разности приведенных погрешностей измерителен
-1 — “2- При низкочастотном характере погрешности Е2 и вы
сокочастотном — погрешности Ei, передаточная функция Wt (s)
должна соответствовать фильтру низких частот, не пропускаю-
щему погрешность Е,.
Условие инвариантности (3.4) выполняется в данной схеме
за счет структурных связей. Действительно, в соответствии со
90
схемой имеем W2(s) = 1 — IP'ifs), т. e. W2(s) + W'j(s) = 1, что
и является условием инвариантности. Уравнения системы и ее
погрешности по принципу построения системы полностью сов-
падают с уравнениями для схемы с параллельной фильтра-
цией;
E(s)=E2(5)+lF1(5)[Zl(s)-S2(i)J. (3.14)
Таким образом, с точки зрения точности схема с фильтром
разностного сигнала эквивалентна схеме с параллельной фильт-
рацией.
К достоинству схем с фильтром разностного сигнала сле-
дует отнести относительную простоту и независимость условия
инвариантности системы от изменения параметров фильтра.
11о в данной схеме необходимо реализовать в отдельности пре-
образователи в каждом из каналов, что возможно лишь в слу-
чае, когда степени числителя передаточных функций обоих
измерителей не ниже степени их знаменателя о,, т. е. у,-^7,-
На степень числителя /и, и знаменателя передаточной функ-
ции UM5) при этом накладываются только условия реализуе-
мости самого фильтра (mj^ni).
Обычно схему с фильтром разностного сигнала используют,
когда инерционностью измерителей можно пренебречь из-за их
малости по сравнению с инерционностью фильтра.
Схема со следящей системой. Рассмотрим схему, совмещаю-
щую операции преобразования и фильтрации в единой следя-
щей системе (рис. 3.7).
Обычно в первый канал включается более точный измери-
тель, во второй — более грубый. В вычитающем устройстве
сравниваются сигналы обоих каналов, и их разность через
корректирующий фильтр Ф с передаточной функцией )F*(s) ис-
пользуется для коррекции второго, менее точного измерителя.
Рис. 3.7. Схема со
системой
следящей
Корректирующий фильтр и два преобразователя представляют
собой систему с обратной связью. Преобразователи /7/ п П2 с
передаточными функциями 7?i(s) и P2(s) = R-,~* (s) соответст
венпо служат для согласования размерностей и выполнения
условия инвариантности.
Покажем, что в рассматриваемой схеме действительно вы-
полняется условие инвариантности. В соответствии со схемой
имеем
91
Г,(5)= U7K(s) P2(s)/[1+1Fk(s) P2(s) P,(s)];
P2(S)=P2(s) [ 1 U7K(S)P2(s) P.(S)]
(3.15)
(3.16)
и
n /.Л p (c\ , rj (c\p /.Д_ 47K(s) P?(s) Rt(i) Е2(б’) E2(d) |
/vjls) Aj(s)T^(SRdi)- -----1 + «"к(б) ЛД)/?J(S)—
что и требовалось доказать.
Из выражений (3.15) и (3.16) определяется передаточная
функция корректирующего фильтра
и" /,л F,(s) _ RAs) IVj(s)
FAs) ~ RAs) W3(s)
или с учетом условия инвариантности
(3.17)
Погрешность оценки параметра X данной схемой будет
E(s) = Pi(x) ll1(s)+P2(s) ll2(s)
, (&) P2(s) 11ЯН + A(s) H3(s)
l + WK(s) PAs) RAs)
и с учетом равенства S( (s) = РгЫ;(5) и выражения (3.17)
E(s)_ -E2(s)+ U71(s)[E2(s)-E1(s) |. (3 18)
Сравнение выражений (3.13), (3.14) и (3.18) показывает,
что при оптимальном выборе передаточной функции Wt (s) точ-
ность оценки измеряемого параметра данной схемой такая же,
как и точность схем, рассмотренных выше.
Из выражения (3.17) следует, что соотношение между чис-
лом нулей т и полюсов п передаточной функции W7i(s), ис-
пользуемой для синтеза схемы со следящей системой из усло-
вия реализуемости корректирующего фильтра (степень знаме-
нателя передаточной функции должна быть не меньше степени
числителя), определяется выражением
x2)+(pr-p2h
где — число полюсов Его измерителя; х/ — число нулей
/ го измерителя, с учетом неравенств хг^Рг. Xi^Qi> опреде-
ляющих условия реализуемости передаточных функций РДх)
и P2(s) преобразователей П1 и П2.
Достоинством схемы со следящей системой является отно-
сительная простота перевода схемы в одноканальный режим
без использования для этого дополнительной контрольной ап-
паратуры. Модуль сигнала на выходе вычитающего устройства
дает информацию о сумме погрешностей обоих измерителей.
Превышение этим сигналом заданного порога свидетельствует
об отказе одного из измерителей. Вероятность отказа более
точного (и соответственно менее надежного) измерителя в
первом канале обычно значительно выше вероятности отказа
92
измерителя во втором канале. И поэтому при превышении сиг-
нала можно разомкнуть цепь после вычитающего устройства,
отключив тем самым отказавший измеритель. Когда в коррек-
тирующий фильтр входит интегратор, при отключении первого
измерителя будет продолжаться введение в канал второго из-
мерителя поправки, соответствующей моменту отключения. Со
временем эта поправка стареет, но в режиме кратковременных
отказов измерителя, например радиодальномера под действием
помех, точность комплексной системы в одноканальном режиме
существенно не снизится.
К недостатку схемы со следящей системой можно отнести
необходимость обеспечения ее устойчивости, что потребует вве-
дения в систему дополнительных корректирующих фильтров,
которые могут привести, в частности, к нарушению условия
инвариантности.
При построении комплексного радиониерциальиого измерителя скорости
по схеме со следящей системой целесообразно в первый канал включить
радиотехнический измеритель, а во второй — инерциальный Передаточные
функции преобразователей тогда должны быть:
/?1=Лр; Pi(s)=(*„s)-i.
При выборе передаточной функции фильтра низких частот в виде
W71(s)=(l+2«7’s)/(l ^TsJf-T^)
передаточная функция корректирующего фильтра в соответствии с выраже-
нием (3 17) будет
wr, i k" 1 '2aTs
kfT^ s
Схемы с использованием для фильтрации функциональных
возможностей измерителей. В рассмотренных выше схемах для
обработки информации измерителей разрабатывалось специ-
альное вычислительное устройство. В некоторых случаях уда-
ется частично совместить устройство обработки информации с
Рис. 3.8. Схема
с перекрестными
связями
устройствами, входящими в состав самих измерителей. Такие
схемы проще, более экономичны, что особенно важно в авиа
ционной технике. Кроме того, при взаимной коррекции можно
обеспечить устойчивость работы измерителей, например инер-
циальных, без нарушений условия инвариантности. Рассмотрим
в общем виде [8] уравнения комплексной системы со взаимной
коррекцией (рис. 3.8), включающей в себя радиотехнический
измеритель расстояния, состоящий из элементов с передаточ-
ными функциями R\i (s) и ₽i2(s), и инерциальный автономный
93
счислитель пути, состоящий из элементов с передаточными
функциями T?2l(s) И /?22(s).
Взаимная коррекция осуществляется через фильтры 7Л(х) и
Погрешности измерителей приведены ко входу (5а, Нр).
11з анализа схемы (рис. 3.8) имеем:
Д=(£Н-ь₽) +A^i(s) (3 1J
A=(»+=Jt^+4".W
где J?i(s) =7?n(s) /?12(з), /?2(«) =/?2i(s) R22 (s) — передаточ-
ные функции разомкнутых радиотехнического и автономного
измерителей соответственно.
Разрешая систему уравнений (3.19) относительно оценки
расстояния на выходе автономного измерителя, получим
А 1(1+K2(s)) /?i(g)+7?l3(s) НА*) RAs)]P
₽ (1 + /?,(«)) (I + /?.(«)) - #22(*) Has) H2(s)
(1+#2(S)J RAS) ^n+RA.s) HAS) Rlt(s) на
+ (1 + Rd*)) (1 R?(s))-RrAs)RzAs)HAs)HAs) ' (3‘2U)
Из выражения (3.20) можно получить условие инвариантно-
сти оценки как равенство коэффициента при измеряемом пара
метре D единице
(1 +ад) ад+я12(*) ад =(i +/?,(х))(1 + ед)-
-^?i2(s) R22(s)RR(S)- (3.21)
Равенство (3.21) может выполняться при
^^)/?12(s)-l; M(s)/?22(s)=l, (3.22)
что и является условием инвариантности. С учетом (3.22) вы-
ражение (3.20) может быть представлено в виде
^р=^+ ltzp(s) ip4~(l— Wp(s))i3,
где
117 (<;!= (l~r^?2(-^))/?i(^)__
pV 7 vRAs) RAs) '
Погрешность системы равна
Ep=n-Dp=-Sa+ irp(s)(Sa-Ep). (3.23)
Полученное выражение (3.23) для погрешности совпадает с
соответствующими выражениями рассмотренных ранее схем.
Однако вид передаточной функции 1FP(s) ограничивается тре-
бованием устойчивости комплексной системы. Характеристиче-
ское уравнение комплексной системы, по которому определяется
94
ее устойчивость при представлении передаточных функций в
виде отношений полиномов
Q,(s); /?,(s)-A(s) Qa($),
имеет вид
Pi(s) Q2(^+A0) Qi(s)+Pi(s) Л0) = 0. (3.24)
Следовательно, далее задача заключается в минимизации
среднего квадрата ошибки путем выбора параметров переда-
точной функции при условии, что расположение корней урав-
нения (3.24) удовлетворяет заданному запасу устойчивости.
Пример. Рассмотрим комплексный дальномер, включающий в себя ра-
диодальномер и измеритель скорости (рис. 3.9)
Рис. 3.9. Структурная схема
комплексного дальномера
Радиодальномер определяет расстояние путем измерения временного
интервала между запросным и ответным импульсами компенсационным ме-
тодом. Временной интервал ~ связан с расстоянием D соотношением
т=2О/с=ЛлО, (3.‘?5)
где с — скорость распространения электромагнитного поля.
Временной интервал т сравнивается в дискриминаторе с временным
интервалом тс, вырабатываемым в схеме формирования стробов (СФС).
Сигнал погрешности, пропорциональный разности временных интервалов
ис=Л1о(^— тс), поступает на интегратор, обеспечивающий астатизм первого
порядка схемы измерения Напряжение с выхода интегратора управляет че-
рез схему формирования стробов временным интервалом тс. На выходе
дискриминатора учитывается флюктуационная помеха ND, определяемая
флюктуациями момента прихода ответного импульса, его формы и внутрен-
ними шумами радиоустройств. На вход интегратора поступает также сиг-
нал, пропорциональный скорости перемещения самолета, uv с погрешностью
lf.P. Пренебрегая инерционностью элементов системы и считая их линейны-
ми, исследуем точность измерения расстояния такой системой. Покажем
вначале, что напряжение на выходе интегратора является оценкой измеряе-
мого расстояния. Представив помимо (3.25), остальные уравнения элемен-
тов в комплексной области:
«о=ЛХ-~tc) тс=йси; 5и=Л11(тт0+Л,о+«г,+Н.;.1), kvsD (3.26)
и исключив из пнх внутренние переменные системы т, тс, и0, и?, получим
уравнение
kn 1 р
Tsu «=^+XSr(H.o+/V„) (3.27)
гле Т = (kukokQ)~l — постоянная времени, обратная добротности систе-
мы Q.
Из (3 27) получаем при £>=const, t^-co
D = (kclkn)u
95
Уравнение ошибки оценки имеет вид
E^b-£>=(*c/feo)tz-D. (3.28)
Выразив из (3.28) и и подставив в (3.27), получаем
I k..
TsЕ+ Е= ^7 sD- (3-29)
Рассмотрим сначала погрешности радиодальномера Е„, положив в
(3.29) 0 и Но- О,
TsEp+l'p—NDI(khk^)—TsD
или
-р TsD
КР~1-гТя ~~ l+Ts ’ <3’30)
где ^р=ol(k0kD) — погрешность радиодальномера, приведенная к раз-
мерности и масштабу измеряемого расстояния.
Из выражения для погрешности (3.30) следует, что она состоит из двух
составляющих: флюктуационной Ерф = ^р(1 Ts)-* н динамической Ерд
— TsD (1-р Ts)~'. Флюктуационная составляющая уменьшается при уве-
личении постоянной Т, ио при этом увеличивается динамическая составляю-
щая. При Г -* со Ерф -> 0, но при этом система практически размыкается
(У = Т~' -+ 0) и Ерд_ -»• D. При Т 0 уменьшается динамическая состав-
ляющая, но Ерф -> -р н, кроме того, нарушается устойчивость системы
( Q -» оо ) за счет неучтенных в рассматриваемой модели системы (3.26), но
реально существующих постоянных времени. Так что приходится выбирать Г
из условия минимума суммарной погрешности.
Однако трудно получить малое значение погрешности, используя только
один измеритель. Возвращаясь к уравнению (3.29), видим, что комплекс-
ную систему можно сделать полностью инвариантной, если наложить ус-
ловие
или с учетом ранее введенного обозначения Т — (^0^цАс)-1
kz,—k^i(kK kf.)- (3.31)
Далее, приводя флюктуационную погрешность измерителя Щ, к размер-
ности н масштабу расстояния, имеем
и с учетом (3.31) получаем
Ек= l + Ts 1-, 7s ’ (А32>
Погрешность комплексной системы ноент только флюктуационный ха-
рактер, и если первый член в (3.32) совпадает с выражением флюктуацион-
ной погрешности радиодальномера, то второй на два порядка меньше ди-
намической погрешности в выражении (3.30), так как в его числителе стоит
погрешность в определении скорости ( sE.p), а в выражении (3.30) — само
значение скорости (sD). Флюктуационная составляющая может быть су-
щественно уменьшена путем увеличения постоянной Т.
Выражение для погрешности комплексной системы можно представить
в виде, полученном при анализе предыдущих схем,
-р । 7sEo
Ьк= I -f- Ts 1 ф Ts " вг1(5)(-р-йо)>
где \Fi(s)=l/(l-{-7s).
96
Астатизм комплексных измерительных систем. Как извест-
но, погрешности измерителей являются случайными функция-
ми времени. До сих пор рассматривались только стационарные
флюктуационные ошибки. В общем случае погрешности изме-
рителей включают в себя стационарную и нестационарные со-
ставляющие. Например, погрешность допплеровского измери-
теля скорости состоит из флюктуационной стационарной со-
ставляющей, определяемой структурой отраженного сигнала,
внутренними шумами и т. п., и регулярной, нестационарной
составляющей, меняющейся от полета к полету и зависящей от
нестабильности несущей частоты, изменения характеристик из-
мерителей и т. п. Если одна из составляющих погрешности су-
щественно меньше другой, то ею обычно пренебрегают и опи-
сывают погрешность измерителя как стационарную или как
нестационарную. Анализ влияния нестационарных процессов
на комплексную измерительную систему представляет доста-
точно сложную математическую задачу, аналитическое реше-
ние которой в большинстве случаев найти не удается. Однако
для определенного класса нестационарных погрешностей одно-
го из измерителей, называемых регулярными и описываемых
полиномом вида
E(0=WMW2-b-.W*. (3.33)
где 2^, i = 0, 1,2,— случайные величины, можно построить
комплексную измерительную систему, на выходе которой от-
сутствует нестационарная составляющая погрешности. Такая
система называется астатической комплексной системой k-го
порядка.
Рассмотрим схему комплексной системы с фильтром раз-
ностного сигнала (рис. 3.6) и предположим, что приведенная
погрешность первого измерителя ЕД^) — стационарная флюк-
туационная, а второго измерителя Н2(/) •— нестационарная ре-
гулярная, описываемая полиномом (3.33). Очевидно, чтобы не
пропустить регулярную погрешность второго .измерителя на
выход комплексной системы, достаточно продифференцировать
ее &+1 раз, т. е. передаточная функция фильтра во втором ка-
нале должна содержать в числителе переменную s в степе-
ни k+1,
UZ2(s)=sft+1 UZ2*(s), (3.34)
где (s) — передаточная функция, не содержащая множи-
телей s\
Учитывая соотношение №2(s) = 1— ^(s) и представив
№1(5) в виде отношения двух полиномов, получим
у/ ____1__ |—-|-6ц _
2k J flnsn+«n_1s«-i+...+Оо
— gn^n + gn-lSn-1+ - +(Дт—b,n)^m+ - + (Д1—г>1)5-Кй0-Ь0) /о Ort
ansn+«„_1s«-’+...+e0 •
7 Заказ № 571
97
При условии n^k+\, m^k можно приравнять первые
k + 1 коэффициентов числителя и знаменателя передаточной
функции \V'\ (s)
at=bn /=(), 1, 2, ..., А, (3.36)
в результате чего из (3.35) получим
Ц7. (s) ("ts” * 1 I an-|Sn~*~1!+ - +flfcn)s*+1 — ofe-n U7*(s)
4„.s" h«n_rs"-i+...+«0 A h
что совпадает с требуемой передаточной функцией (3.34). Та-
ким образом, условием реализации астатизма в схеме с фильт-
ром разностного сигнала является выполнение равенств (3.36).
Определив структуру и параметры передаточной функции
фильтра разностного сигнала, по полученным ранее соотноше-
ниям можно определить передаточные функции фильтров для
других типовых схем комплексирования.
Условием астатизма является равенство соответствующих
коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функ-
ции. Абсолютное же значение коэффициентов можно найти из
условия фильтрации флюктуационной стационарной погрешно-
сти Ei при ограничении длительности переходного процесса.
Полное исключение нестационарной погрешности второго изме-
рителя из выходного сигнала комплексной системы осущест-
виться только после окончания переходного процесса в фильт-
ре. Длительность же переходного процесса определяется коэф-
фициентами знаменателя передаточной функции: чем больше
коэффициент, тем дольше длится переходный процесс. В то же
время увеличение этих коэффициентов увеличивает эффектив-
ность фильтрации стационарной составляющей погрешности.
Поэтому очевидно, что необходимо ограничивать сверху значе-
ния этих коэффициентов длительностью переходных процессов.
При технической реализации высокоэффективных астатиче-
ских комплексных систем с существенным превышением регу-
лярной погрешности одного измерителя над стационарной по-
грешностью другого следует учитывать, что разброс парамет-
ров ab bt не позволяет абсолютно точно реализовать условия
(3.36), и на выходе системы будет присутствовать нестационар-
ная составляющая погрешности, значение которой необходимо
оценить в зависимости от конкретных параметров схемы
фильтра.
3.3. Анализ комплексных измерительных систем
Задачей анализа комплексной измерительной системы явля-
ется оценка эффективности данной схемы комплексирования.
Погрешности отдельных измерителей в большинстве случаев
описываются нормальным законом распределения в силу боль-
шого числа факторов, их определяющих. При линейной обра-
ботке результатов измерений в комплексной измерительной
98
системе вид закона распределения не меняется, т. е. закон рас-
пределения погрешности комплексной системы также является
нормальным. Нормальный закон распределения полностью опи-
сывается первыми двумя моментами. Одним из основных тре-
бований к реализуемой в комплексной системе оценке является
ее несмещенность, т. е. равенство математического ожидания
ошибки оценки нулю. Поэтому численно эффективность комп-
лексной обработки показаний ряда измерителей целесообразно
оценивать по отношению минимальной дисперсии погрешности
одного из измерителей, входящих в комплексную систему, к
дисперсии погрешности комплексной системы:
minlDISJ, D[3a]....,D[E7V]]
Т =--------«-------------’ (3'37)
где D [Ек] — дисперсия погрешности комплексной системы;
D[3Z] — дисперсия погрешности i-ro измерителя.
Можно оценивать эффективность комплексной инерционной
системы по отношению к линейному оптимально-инвариантно-
му безынерционному преобразованию
To=D[E„]/D[Ek],
где D[E„] — дисперсия погрешности линейной безынерционной
оптимально-инвариантной системы. При показателе эффектив-
ности -у или у01 близком к единице, комплексирование неэффек-
тивно.
Таким образом, для оценки эффективности необходимо най-
ти дисперсию погрешности комплексной системы. Исходными
данными являются структурная схема системы, динамические
модели ее элементов и математические модели погрешностей
измерителей. Рассматриваемые схемы комплексирования удов-
летворяют условию инвариантности, и при анализе установив-
шихся процессов характеристики полезного сигнала не требу-
ются. При наличии у одного пз измерителей нестационарной
регулярной погрешности предполагается, что структурная схе-
ма и передаточные функции фильтров выбраны из условия
обеспечения астатизма определенного порядка. Поэтому необ-
ходимо рассмотреть только стационарные флюктуационные
погрешности, описываемые корреляционными функциями. По-
грешности измерителей центрированы и независимы между
собой.
Наиболее общей математической моделью фильтра является
дифференциальное уравнение
апх^+ап_лх<п~^+...+а1х'-1-аох=Ьтг<-^-]-
+bm^m~^+...+biz'+boz (3.38)
с заданными начальными условиями
x(t0)=x0-, x'(Q=*o;...; x^-l\t0)=xS~l.
Коэффициенты ah bt для нестационарных фильтров зави-
сят от времени и постоянны для стационарных. Начальные зна-
7* 99
'цини выходной случайной величины х и ее производных зада-
ны и виде закона их распределения (или числовых характерис-
тик этих законов). Методы решений уравнения (3.38) глубоко
разработаны. Наиболее общий подход к решению уравнения
(3.38) использует матрично-векторное представление. Если
ввести новые переменные, то уравнение (3.38) примет вид си-
стемы уравнений первого порядка:
x<fc>=xft+1, k=Q, 1, .... л—1;
z<9=zz+1, Z=0, 1, ..., т— 1;
x't=a1IxJ~l-ai2x2-j-... -^alnxn-\-bllz}-\-... -\-blmzm".
(3.39)
x’n=anlxl+an2x2+ ... +аппхп+Ьп^+ ... +bnmzm.
Используя векторно-матричную форму, получим систему
уравнений (3.39) в виде
X=AX + BZ при X(f0)=X0, (3.40), (3.41)
где X — матрица-столбец с составляющими xit х2, ...,хп\ Z —
матрица-столбец с составляющими zb z2,..., zm', А — матрица
коэффициентов размерностью пХ«; В — матрица коэффициен-
тов by размерностью тХп.
Решение уравнения (3.40) при начальных условиях (3.41)
описывается формулой
Х(0=Ф(Л QXo+ ]• Ф(£, т) В(т) Z(x)tft, (3.42)
А)
где Ф (/,4) — фундаментальная матрица, определяемая мат-
ричным дифференциальным уравнением Ф(6 t0) — А(/)Ф(£, t0)
при начальном условии Ф(^о, Zo)~Е. Для частного случая ска-
лярного уравнения фундаментальная матрица вырождается в
скалярную функцию
t г
— ( o(v)rf» J«(X)c/X
<p(Z, т)=е b(x)e tn
Решение состоит из двух слагаемых, одно из которых линей-
но зависит от начальных условий и характеризует собственное
свободное движение, а второе определяется правой частью
дифференциального уравнения (3.38) и описывает вынужден-
ное движение системы. В физически реализуемых устойчивых
фильтрах при /->оо первое слагаемое стремится к нулю. В ус-
тановившемся режиме составляющая погрешности комплекс-
ной системы за счет погрешности г-го измерителя определяется
вторым слагаемым выражения (3.42) при t-+co. Для состав-
ления ее корреляционной матрицы в общем случае необходимо
решить уравнение в частных производных, представляющее до-
статочно сложную задачу. Поэтому для расчета статистических
характеристик случайных сигналов во временной области чаще
используется весовая функция g(t, т), определяемая как реак-
100
ция линейной системы на единичный импульс 6(/—т), прило-
женный к системе в момент времени t—x, в предположении,
что начальные значения выходной величины и ее производных
равны нулю. Выходной сигнал X(t) получаем через входной
Z(t) при помощи весовой функции следующим образом:
X(t) = \g(t,x)Z(x)dx. (3.43)
В частном случае неравенства нулю начального значения
самой выходной величины (и при равенстве нулю всех ее про-
изводных) реакция системы определяется выражением
t
хЮ=-$$ух»+ .fё<Л т) Z(t) t>to- (ЗЛ4)
Формулы (3.43), (3.44) справедливы как для скалярных,
так и для векторных случайных сигналов Х(/), Z(Z), Хо. Для
векторных величин g(t, т) означает матрицу весовых функций
Sij (^>т)> связывающих i-ю составляющую вектора Z с /-Й со-
ставляющей вектора X. Для стационарной системы весовая
функция g зависит от разности аргументов g{i,t) = g(t—т).
Корреляционная функция центрированного скалярного сиг-
нала на выходе фильтра X с учетом некоррелированности Хо и
Z имеет вид
рта+
+ M[J f g(l„ т)g(f„ >.) Z(>.) ЛЛ). (3.45)
U
Воспользовавшись свойством переместительности операций
математического ожидания и интегрирования, представим
(3.45) как
*х(Л, /2)= д(/^1г?)р[х°]+
+ У J К(Л. *) gtf2, X) Kz (Т, X) dk dx. (3.46)
Выражение для дисперсии D[X] получается из (3.46) при
Л ~ ^2 = t
t t
Dfx]= D ™ + П
^0 *0
Для стационарной системы в установившемся режиме при
g(^,t)=g(£—т), произведя замену переменных t — т=6],
t — X = 62 > получим
D[*] = D[X0]+ J J g(61)g(02)Kz^-^d^de,.
101
Дисперсия погрешности комплексной системы при некорре-
лированности погрешностей измерителей между собой опреде-
ляется суммой (/->оо)
/V со оо
IW-S f J gt^)g^2)KH^2-^)M2dev
1-1 о О
Существенно упрощается задача анализа линейных стацио-
нарных систем в частотной области. Спектральная плотность
сигнала на выходе Sx (го) линейной динамической системы,
описываемой передаточной функцией F((s), в этом случае оп-
ределяется через спектральную плотность ЗДго) сигнала на
входе следующим выражением:
5.x(‘»)=|/7,(/V«)l25z(U>).
Спектральные плотности и корреляционные функции сигна-
лов связаны преобразованием Фурье (формулы Хинчина):
Sx (®)=^ J Л’х(т) e-j^dx;
— оо
/<x(t)=Y 5л-(ш)е>ю^ш. (3.47)
— во
Для несмещенной оценки из (3.47) при т = 0 получаем
D[zV]= +f Sx(u)d<».
Таким образом, с учетом частотных характеристик выраже-
ние для дисперсии погрешности комплексной системы примет
вид
/V Й4-оо
Df Ек] =21 ’ SH; (ш) | FJJu) p Л». (3-48)
/=! —oo
Подынтегральная функция в выражении (3.48) является
дробно-рациональной функцией аргумента го, причем у реаль-
ных систем степень числителя меньше степени знаменателя.
Обозначив степень знаменателя через 2п и учитывая, что сте-
пень числителя т^.2п— 2, представим подынтегральную функ-
цию в виде
г„е (3.49)
^я(/“)=«о(7‘»)"+Л1(/‘в)^1+ - +««;
адс»)=^(7<о)2я-2+^(»2«-4+...
и все корни полинома Л (/го) расположены в верхней полупло-
скости аргумента го. Таким образом, вычисление интегралов в
выражении (3.48) сводится к вычислению интегралов типа
+оо
j — _L f_____
Jn 2п З/ЛАМЛ-/®)
102
решение которого может быть представлено в виде [6, 13]
(3-50)
где
«1 а3 . 0
«п «2 ... 0
0 а3 ... 0
•
0 0 0 . . . ап
^0 ЬА ... bn-x
ап ... 0
0 a-i ... 0
0 0 ...
Определители Дя и Мп вычислены до п = 7, и выражения
для Iп приведены в [6, 13].
Пример. Оценим эффективность комплексирования магнитного компаса
(МК) и гирополукомпаса (ГПК), флюктуационные погрешности которых
описываются спектральными плотностями соответственно:
^мк(т)=о1е-“,|х1 lcos ₽1'с+(а1/₽1) sin ₽11'с11.
^гпк ('с)=а2 е-Оа|т| (1Ч-«31 I)»
где о1=1°; а1=р1=1 с-1; а}=0,5°; а2=10 2 с-1.
Как известно, у ГПК существенной является также регулярная неста-
ционарная составляющая погрешности Ер, определяемая уходом гироско-
па и описываемая полиномом первой степени Хо+М> где M[ao]=M[ai]=O;
Z?[M=(0,3°)2; Л [4-0,25 (град/я)2
При комплексировании по схеме с фильтром разностного сигнала для
обеспечения астатизма второго порядка передаточная функция фильтра
должна быть выбрана в виде
l+2a7s
l^i(s)= l + 2a7s+72s2-
Предположим, что на этапе синтеза системы получено 7=40 с, а=1 с-1.
Определим при этих условиях дисперсию погрешности комплексной систе-
мы. Переходя от описания погрешностей во временной области к описанию
в частотной области, получаем соответствующие спектральные плотности:
V /„ч _ 20^1_________а] + Р1____.
МК< > я (Ы2_о2_р2)2+4а2о>2*
sr к(ш)= —2а'а1------
ГПК ’ Л(ы1+а2)2 •
Определяем по формуле (3.48) дисперсии составляющих погрешности
комплексной системы за счет погрешностей МКДмк[Е] и ГПК Е>ГПК[Е]:
11 + 2a 7у’<а |2 dw
[(о>2_ a2—₽’i)»+ 4а>2] I 1 +2а 7/а>+ 7*(/ш)2 |2 ’
DMK[E] =2zhk (а2+₽2)
103
DrnK [El = f__________________ITWP______________dw
1ПК я JJw4-«?)2|l+2aT/w+rV<0)2l2
Для вычисления представим полученные интегралы в виде (3.50). Знаме-
натель подынтегрального выражения | Q |21 L |2, где через [Q |2 обозначен
знаменатель спектральной плотности, а через L — знаменатель передаточ-
ной функции фильтра, необходимо факторизовать, т. е. представить в виде
произведения двух комплексно-сопряженных функций, одна из которых имеет
все корни в верхней полуплоскости аргумента <о. Квадрат модуля мини-
мально-фазовой функции, которой является знаменатель передаточной функ-
ции L(js>), может быть определен как
|Л,(У<о) |2=Z,+Z.-=(72(y®)24 2aTJa> KI) (7'2(/ш)2-2а7’уИ-1).
Знаменатель спектральной плотности, степень которого не выше четвер-
той, может быть представлен в виде произведения двух комплексно-сопря-
женных квадратных трехчленов с неизвестными коэффициентами с0, сь с2:
[Q|2=Q+Q-=[C2(y<«)2+C1/0>+Co] [Сз(/<0)2_С1(у<0)+Сп1. (3.51)
Положительность коэффициентов с0, ct, сг является необходимым и до-
статочным условием для нахождения корней первого трехчлена в верхней
полуплоскости о>[6]. Раскрывая скобки в (3.51) и приравнивая коэффициенты
прн одинаковых степенях <и в выражении (3.51) и в знаменателе спектраль-
ной плотности |Q|2, получаем три уравнения для определения трех неиз-
вестных Со, Ср с2> откуда для погрешности магнитного компаса с2=1;
с1=2а1, c0=<xj 4- р2, а для погрешности гирополукомпаса с2=1; cx=2a2;
С0=О22-
Перемножая далее Q+ и Z.+, имеем в соответствии с (3.49):
для МК
Л1=27'(а-|-а1Т); Л2=14-(а^4-Р^)7'24-4а4а7'; Л3—2[<ii-|-
+“T(aI+₽21)]; «.-(aHPD2;
для ГПК
Оо=7^; а1 = 2Т(а-^-а2Т); flj —14-п27'2Р4а2а7'; а3=2[а2 + аа27'];
а4=<4.
В выражениях для числителей подынтегральных выражений: для МК
£o=6i=O; 62= —4а27'2; 68=1;. для ГПК &о=^2=^з =0}
В соответствии с (3.50)
для МК
j __ —я1аз) .
2а4(апа|+^а'1—аха2а2) ’
для ГПК
2(а0а2+п^4—аха2аг) *
Подставляя численные значения параметров, имеем:
dmk[e]=5’36-10-3 град2;
DrnK [Е]=0,58-10-2 град2.
С учетом независимости погрешностей измерителей получим дисперсию
флюктуационной составляющей погрешности комплексной системы
D[E]—0мк1ЕИ"Егпк Iе!—5,94-10 2 град2.
104
Эффективность комплексирования по отношению к флюктуационным по-
грешностям измеригелей равна
7=DrnK [EJ/D[E]=4,2, DrrlK [aj=o^.
Эффективность комплексирования в действительности еще выше, если
учесть дисперсию регулярной составляющей погрешности ГПК, например,
через час полета:
7={ Е>гпк И+О[М+ГФ[Х,]}/D[E]-=13,4.
3.4. Параметрический синтез
комплексных измерительных систем
Задачей параметрического синтеза является выбор оп-
тимальных значений параметров комплексной измерительной
системы при заданной ее структуре. Структура системы мо-
жет быть, например, определена заранее исходя из условия
обеспечения астатизма. В общем случае при проектировании
комплексной системы критерий оптимальности должен учи-
тывать множество выходных параметров системы: точность,
быстродействие, себестоимость, технологичность и т. д., т. е.
задача параметрической оптимизации является многокритери-
альной, векторной. На различных этапах возможна оптимиза-
ция по отдельным, частным критериям, и при анализе потен-
циально достижимой точности системы можно ограничиться
критерием минимума среднего квадрата погрешности системы,
сведя задачу к одномерной, скалярной оптимизации.
При оптимизации параметров путем изменения вектора
параметров системы Р= (рь р2, .... рг) требуется выбрать
такое его значение, при котором средний квадрат погреш-
ности системы имеет минимальное значение
min М[Е21.
р
Желательно представить зависимость оптимизируемого по-
казателя качества системы М[Е2] от параметров Р в аналити-
ческом виде
М[Е2]=ф(А,р2,
(3.52)
Функция ф(Р) называется целевой функцией. Условия фи-
зической и технической реализуемости могут наложить на па-
раметры pi, р2, ..., Ргряд ограничений типа равенства или
неравенств:
Рий)=0, 1=1,2,.... k- (3-53)
ФХА, Pz, —.Pl)<0, i=k+\, (3.54)
Функции (3.53) и (3.54) называются функциями связи или
функциями ограничений. К разряду ограничений могут быть
отнесены и дополнительные показатели качества. Например,
при основном критерии (3.52) и оптимизации параметров
фильтра второго порядка
105
U'(.v) /.’/(I | 2aTs 1-7%’)
молчи Gun. учти» критерий колебательное in переходного
процесса а=ио введением ограничения а—«о=0 при целевой
функции вида М|Е2]=ф(а, Т).
Целевая функция может быть получена при использо-
вании математических моделей фильтров и сигналов как во
временной, так и в частотной областях. Предположим, что
фильтр разностного сигнала, предназначенный для выделения
погрешности одного из измерителей Е2 из сигнала Z(t) =
= Е2(7) 4-Е|(7), имеющего еще погрешность другого измерителя,
описывается дифференциальным уравнением первого порядка
V(7) 4-а V(7) = feZ(7),
где У(7) = Е2(7)—оценка погрешности Е2(7). Начальное зна-
чение выходного сигнала Уо (при 7=0) некоррелировано с
Е2(7) и ЕЦ7) и его дисперсия Do-
Необходимо определить значение коэффициентов а, b исхо-
дя из минимума дисперсии погрешности Е=У(7)—Е2(7). Вы-
ходной процесс У(7) определяется выражением
t t X
— aJ <р(т) dx — a f £ a J<p(X)d).
V(7) = I/Oe 0 4-е о j 7ь£(т)е 0 dt.
Дисперсия погрешности в фиксированный момент времени
равна
t t
- 2а | <p(T)dt -2af<p(v)du
D[E] = Doe Ь +e b x
x, т, X.
t t ej tf( X )d
Xfp2e° e «
t t
— a[<p(v)dvj
—2e ° J be 0 Kzs(t, т)б7т4-О[Н2] = ф(а, b)
0
и является целевой функцией, зависящей от параметров а, Ь.
Для получения целевой функции можно воспользоваться и
весовой функцией системы g{t, т, р\, .... pz), выразив через
нее выходной сигнал
t
W)= + Jx*p" p^z^dx-
Дисперсия погрешности, являющаяся целевой функцией,
определяется по формуле
106
D|BJ=«P)= D|K1+D[BI) +
+ f C g(t, Pl....Pl) g(t, К Pv , Pl) Kz(y, dz dk—
0 0
-2J g(t, t, p15..., pt) KZB(t, t)ck.
b
Использование моделей систем и сигналов во временной
области в принципе позволят оптимизировать нестационарные
фильтры. При параметрическом синтезе стационарных линей-
ных комплексных систем с памятью целесообразно для про-
стоты математических выражений пользоваться частотными
характеристиками фильтров и сигналов. В этом случае при
центрированных погрешностях измерителей целевая функция
при оптимизации по критерию минимума среднего квадрата
погрешности определяется выражением (3.48) с учетом зави-
симости передаточной функции фильтров F, (s) от их пара-
метров
М 4-ео Л1
Ф(Р)=П(Е)= 2 f 5hz(«>)|F,(/<«, P)|2cfw, 5 Ff(/4 P)=l.
1=1 — DO Z=1
Основным этапом параметрического синтеза является за-
дача оптимизации параметров Р, которая математически фор-
мулируется как нахождение экстремума (минимума) функ-
ций многих переменных с учетом имеющихся уравнений связи.
Различают локальный и глобальный, безусловный и ус-
ловный минимумы в заданной области изменения парамет-
ров Р. Если в некоторой точке Ро функция имеет наименьшее
значение из всех в малой окрестности этой точки, то в
точке Ро находится локальный минимум данной функции. Гло-
бальным минимумом функции является наименьшее значение
функции в пределах всей области изменения параметров, т. е.
глобальный минимум определяется как наименьшее значение
из всех локальных экстремумов и значений функции на гра-
нице области задания. Если при определении минимума на
параметры Р не накладываются ограничения, то экстремум на-
зывается безусловным, в противном случае — условным. Оче-
видно, что при параметрическом синтезе должен искаться гло-
бальный условный минимум.
Однако часто бывает проще сначала найти безусловные ло-
кальные минимумы или вообще свести задачу на условный ми-
нимум к эквивалентной задаче на безусловный минимум.
Необходимым условием безусловного экстремума (максимума
или минимума) непрерывной функции ф(рь ..., pz) является
равенство нулю всех I первых частных ее производных либо
отсутствие некоторых из них.
Следовательно, если в какой-то точке Ро частные произ-
водные существуют и
107
d'P/^-O, 2, (3.55)
или grad ф(Р) =0, то в точке Po возможен экстремум функции
ф(Р). В общем случае стационарные точки, т. е. точки, удов-
летворяющие условию (3.55), могут определять не экстремумы,
а седловые точки. Достаточным условием минимума при нали-
чии непрерывных вторых частных производных является по-
ложительная определенность второго дифференциала
i
^Ф=2 (3'56)
z,/?—i
Условие достаточности (3.56) можно использовать для от-
носительно простых целевых функций из-за его сложности.
Задача отыскания условного экстремума с ограничениями в
виде равенств легко сводится к поиску безусловного экстрему-
ма. Предположим, что надо найти минимум дисперсии
О[Е] = ф(А,р,,...,Л) (3.57)
при ограничениях
ФА/’р Рг, Pi)=0’,
^^Р\->Р2, -,Pi)=0-
(3.58)
Ограничения (3.58) уменьшают число независимых пара-
метров, т. е. понижают размерность задачи. Следовательно,
число ограничений не может быть больше числа параметров I,
а при их равенстве система (3.58) определяет единственную
точку, и поиск экстремума теряет смысл.
Если можно решить систему уравнений (3.58) относитель-
но т из I параметров, то подстановкой их в функцию (3.57)
сведем задачу к поиску безусловного экстремума функции
(/—т) переменных. Второй путь решения поставленной за-
дачи — использование метода неопределенных множителей
Лагранжа, который заключается в построении по исходной
функции ф(Р) и уравнениям ограничений функции Лагранжа
Т(Р, Xi, Аг, ..., Л,„), безусловный экстремум которой опреде-
ляет условный экстремум исходной функции. Функция Ла-
гранжа равна сумме
чдр, Х„ К, ..., Хт)=ф(Р)+£ ХгФг(Р),
z=i
где 'к1 —дополнительные переменные, так называемые множи-
тели Лагранжа. Для отыскания безусловного экстремума
функции 1+т переменных можно воспользоваться необходи-
мым условием (3.55):
= дФ‘ /_1 о /•
dpj dpj'ju'ldpj’
2,..., tn.
10S
Физический смысл множителей Лагранжа состоит в том,
что они определяют скорость изменения условного экстре-
мального значения функции фэ (Р) при изменении положения
линии Ф((Р1, Р2, •••, Pt) = Ci функций ограничений Фг:лг=
= д’^/дс^ Поиск экстремума при наличии ограничений в
виде неравенств, т. е. решение задачи
1шпф(р„/?2. Pi)
р
при условиях
А. •••> PzKO;
(3-59)
фт(л.р2« > Pl<^r
может быть сведен к решению задачи поиска экстремума с
ограничениями в виде равенств. Для этого каждое из нера-
венств (3.59) дополняется введением дополнительной неотри-
цательной переменной до равенства
фг(А> Р2> Pi)+Pi+t=°i Рш>®, 2,...» т.
Целевая функция ф(Р) при этом не изменяется, так как
переменные рм можно ввести в нее с нулевыми коэффици-
ентами. Ограничения в виде неотрицательности дополнитель-
ных переменных р[+1 , как и для основных переменных
pk, k—l, 2, I, во многих случаях существенно не усло-
жняют решения задачи, потому что сокращают область до-
пустимых изменений параметров. Однако увеличение числа
переменных затрудняет отыскание экстремума. Поэтому при
большом числе переменных для поиска экстремума исполь-
зуются численные методы, реализуемые на ЭВМ. Большое
распространение для решения сложных задач получили гра-
диентные методы, использующие в своей основе движение
по градиентному направлению функции цели от произвольной
точки пространства параметров к экстремальной. Градиент-
ный алгоритм поиска безусловного минимума функции ф(Р)
можно представить в виде
P[i] =P[z—1 ] — Г[г] grad ф(Р[г—1]),
где Р[«—1] и P[z]—значения вектора параметров
— 1)-м и z’-м шаге (1 = 1, 2, 3, ...) соответственно;
тональная матрица размерности I XI вида
(3.60)
[Р] на (t—
1'И — диа-
О
ТгИ
О
функции yfc[z], А=1, 2, ..., I выбираются из условия наи-
более быстрой сходимости исходного вектора параметров Ро
109
к его стационарному значению, определяющему минимум
функции ф(Р). Различным функциям yfc[i] соответствуют раз-
личные варианты градиентных методов, которые в настоя-
щее время исчисляются десятками.
Вычисления по алгоритму (3.60) удобно производить на
цифровой ЭВМ. Для реализации градиентного метода на
аналоговой ЭВМ выражение (3.60) можно представить в виде
rfP/dZ=-H(Ograd<p(P),
где Н (/) — аналоговый эквивалент дискретной весовой функ-
ции Г.
Общим недостатком детерминированных градиентных ме-
тодов является их применимость только к унимодальным
функциям цели, т. е. к функциям, обладающим одним эк-
стремумом. При многомодальных оптимизируемых функциях в
зависимости от выбора начальной точки в пространстве пара-
метров мы будем попадать в ту или иную стационарную точку
и при определении глобального экстремума возникают допол-
нительные трудности. Кроме того, эффективность градиентных
методов значительно снижается при непосредственном учете
ограничений — неравенств.
Для поиска глобального экстремума используются стати-
стические алгоритмы [38], в которых направление движения
точки в пространстве параметров на каждом шаге зависит от
случайных причин. Статистические методы могут быть при-
менены и при поиске локальных экстремумов, так как являют-
ся даже более быстродействующими по сравнению с гради-
ентными при большом числе параметров.
Пример. Рассмотрим параметрический синтез комплексного высотомера,
использующего сигналы от радиовысотомера и баровысотомера. Радиовы-
сотомер обладает стационарной центрированной погрешностью Еь описы-
ваемой корреляционной функцией
Баровысотомер помимо стационарной флюктуационной составляющей
погрешности Н-2ф, описываемой аналогичной корреляционной функцией
К3а(т)=а22е-^1,
имеет регулярную нестационарную составляющую Егр=Х0, где Хо — центри-
рованная случайная величина с заданной дисперсией .
Спектр флюктуационной погрешности радиовысотомера значительно ши-
ре спектра аналогичной погрешности баровысотомера (“i>«a)i поэтому,
выбрав для реализации схему с фильтром разностного сигнала (рис. 3.6)
низкой частоты, радиовысотомер необходимо включить в первый канал И1,
а баровысотомер — во второй И2. Вид передаточной функции фильтра раз-
ностного сигнала определяется условием обеспечения астатизма первого
порядка в целях исключения регулярной составляющей погрешности баро-
высотомера UZi (s) = 1/(1 + Ts), параметр которой (постоянную време-
ни Т) необходимо определить исходя из минимума среднеквадратической
погрешности комплексной системы. Наиболее удобно параметрическую оп-
110
тимизацию в данном случае проводить в частотной области. Переходя К
спектральным характеристикам погрешностей, имеем
+оо
S (ы)=-1_ С aje-a-^e-yiaTrfT= ____________
Е‘ ‘2п •' п(а?-|"*»2)
—оо 1
и аналогично
SSi(<o)=O3a2/[n(aH«>2)]
С учетом «1 > а2 спектр погрешности радиовысотомера в полосе про-
пускания фильтра низких частот практически постоянен и равен значению
спектральной плотности при ш = О
5Е1(<»)^5Е1(0)=а1а1/я.
Другими словами, в условиях данной задачи погрешность радиовысото-
мера можно считать белым шумом.
Составляющие погрешности комплексной системы D/[E] за счет по-
грешностей отдельных измерителей будут
4-со
D,[E]= f 5г(<о)1и7г(/ш)|ЗДш. (3.61)
— CJO *
Передаточная функция фильтра по второму каналу U7j(s) для схемы
с фильтром разностного канала U^2(s)= I — UZJs), и при этом автомати-
чески выполняется условие инвариантности при любых параметрах фильтра
W i(s). В соответствии с (3.61) имеем:
01[Е|Л“^1 1 1^=4-
J к «1Т ’
— «о
D2[Kj— V -7-?? 21 I FT 12 •
J л(а|+<о2) | 1+/<оГ I aj^-r-l
--- CO
Дисперсия погрешности комплексной системы с учетом независимости
погрешностей измерителей равна
2
D[Е]= V Df [Е) = + --->"7- (3.62)
XJ at! а2/4-1
fc=l
и является целевой функцией, которую следует минимизировать по парамет-
ру Т. Ограничением на параметр Т является только его положительность.
Для удобства вычисления обозначим а2Т=г и (<$/<& )Г(а1/“з) = т2 и
перепишем (3.62) в виде
D(E1 = + г>°- С3-63)
Условие минимума ф(г) будет
dty/dz=O при da|/rfz2>0.
Дифференцируя (3.63) и приравнивая производную нулю, находим
Zt(nfl-l)—2z—1=0,
откуда Zx—ХЦт— 1): z2= —1/(т4-1). Значение z2 не удовлетворяет ус-
ловию положительности Z. Второе значение положительно при условии
т> 1, что обычно выполняется, так как о, и о2 имеют один порядок, а
111
Вторая производная имеет вйд
<РФ| 2о2 / 1 \
(1-7г)>0’
т. е. 2opt = а2 7'opt=l/(wi—1) действительно определяет минимум D[E].
Оптимальное значение постоянной времени определяется выражением
Т 1 J
°Pt а2(™—1) “1“2~а2
Дисперсия погрешности системы в соответствии с (3.63) при z=zopt равна
а2 г_ а2
Dopt[El=^T (2т—1)=а1(а2Уа1аа — at —).
Эффективность комплексирования (3.37)
7=min(a12, a22)/Dopt[E]
при близких значениях с^2 и о22 возрастает при увеличении соотношения
а1/а2-
Глава 4
Линейные оптимальные
комплексные измерительные системы
4.1. Безынерционная линейная оценка параметров сигналов
комплексной системой
Пусть комплексная система, содержащая N измерителей,
производит в момент времени t одновременное измерение
m-мерного вектора параметров X.
Рассмотрим случай, когда наблюдаемый сигнал Y линейно
зависит от вектора параметров X, а погрешности измерения
Н аддитивны [15]. Тогда A-мерный вектор наблюдаемых сигна-
лов Y определяется следующим выражением:
Y=RX+H,
(4.1)
где R— матрица весовых или масштабных коэффициентов из-
мерения размерности А'Хт с элементами Гц, i— 1, N, j=l, т.
Оценка вектора параметров X при линейном алгоритме об-
работки показаний измерителей Y может быть определена в
виде соотношения
X=AOY +хн,
где X — m-мерный вектор оценки; Ао—- матрица
112
(4-2)
весовых ко-
лрфпцнентов линейного однородного преобразования вектора
Y, имеющая размерность с элементами а,у , i=l, /Щ
j=l, N; хн —m-мериый вектор с элементами х„; , i=l, т.
Пусть векторы X и Н пекоррелпрованы и математическое
ожидание вектора Н М[Н]=0. Определим вектор х„ из условия
несмещенности оценки X, т. е. из условия М[Х] = М[Х], где
М[Х] и М[Х] — математическое ожидание случайных векто-
ров X и X соответственно. На основании соотношения (2.60)
получим
хн=[1—A0R]M[X], (4.3)
где I — единичная матрица.
Определим матрицу Ао из условия оптимальности оценки
по критерию среднего квадрата ошибки ее М[ КТЕ] = М[(Х—
—Х)т (X—X)] при наблюдении сигнала Y. На основании вы-
ражения (2.63) матрица оптимального преобразования оценки
А* будет равна
A^Kx'+R^R] ЧГКн1, (4.4)
где Кхи Кн— матрица корреляционного момента вектора X
размерности тХпг и II размерности NXN соответственно.
В этом случае дисперсия ошибки оптимальной оценки X на
основании формулы (2.72) равна
DE=Tr[RTKS1R-hKxir, (4.5)
где Тг[ ] — след матрицы. Здесь учтено, что оценка являет-
ся несмещенной.
Оптимально-инвариантные матрица преобразования сигна-
ла Y и дисперсия ошибки оценки определяются в этом случае
на основании соотношений (2.73) и (2.74):
A;=(RTKIIlR)-IRlK-’; (4.6)
DL^TrKR^n’R)-]. (4.7)
Рассмотрим следующие частные случаи определения опти-
мальной и оптимально-инвариантной оценок.
Случай J. Погрешности измерений Hz некоррелпрованы,
т. е. /Снгну =0, «=7^/; i, j—1, N, а X — скалярная случайная
величина, дисперсия которой равна D.v. При этом R—IV-мер-
ный вектор, компонентами которого являются rt, i=I, N-
л
Ао — (V-мерный вектор-строка; х„—скалярная величина.
Обратная корреляционная матрица Кн1 равна
8 Заказ №571 113
где D;I/, i=l, N —дисперсия ошибок i-го измерителя.
л
Оптимальная оценка X, компоненты оптимального преоб-
разования а* , начальное значение хн и дисперсия ошибки
оценки Dg на основании формул (4.2) — (4.5) соответственно
Учитывая (4.9) и (4.10), коэффициенты безынерционного
оптимального линейного преобразования а\, i=l, N, можно
определить с помощью соотношения а. = r; Dg Dhz . Таким
образом, значения коэффициентов безынерционного оптималь-
ного линейного преобразования показаний N измерителей с
корреляционной матрицей погрешностей измерения (4.8) обрат-
но пропорциональны дисперсиям погрешностей измерения.
В качестве оценки эффективности комплексирования можно
принять отношение дисперсии погрешностей однокомпонентного
измерительного устройства без комплексирования Dez к опти-
мальной дисперсии погрешностей комплексной измерительной
системы D*:
}7=DEzD*. (4-11)
Если сравнение происходит относительно измерительного
прибора с номером I, то, учитывая (4.10) и (4.11), получим
Л' 9
, Z=l, М (4.12)
1 ri 1
Dnz Вл.
114
Если используются однотипные измерители Dh^Dh, /*,
=r, i=l, N, то выражение (4.12) можно представить в сле-
гующем виде:
ДГ/-2/Рп+1/Рх
Т2/Рц + 1,'Рх
Оптимально-инвариантная оценка Х», коэффициенты a jh
и дисперсия ошибки De„ оценки на основании соотношений
(4.6) и (4.7) соответственно равны:
Используя соотношение (4.14), выражение (4.13) предста-
вим в следующем виде:
а* =гДХ Du,.,
41 ьи 1
Таким образом, оптимальные значения коэффициентов
безынерционного линейного оптимально-инвариантного преоб-
разования обратно пропорциональны дисперсиям погрешно-
стей соответствующих измерителей.
Если в формуле (4.9) Dx-> <, го выражения для определе-
ния коэффициентов безынерционной линейной оптимальной
оценки (4.9) н безынерционной линейной оптимально-инвари-
антной оценки (4.13) параметров сигналов комплексной систе-
мой совпадут. Поэтому оптималыю-инвариаптпую оценку па-
раметров сигналов можно трактовать как оптимальное преоб-
разование параметров сигналов при бесконечно большой дис-
персии измеряемого сигнала.
Безынерционная линейная оптимальная оценка точное
безынерционной линейной оптимально-инвариантной оценки па-
раметров сигнала. Если дисперсия измеряемого сигнала D.v
известна, то целесообразно проектировать безынерционною ли-
нейную оптимальную комплексную систему.
Предположим, что все измерители равноточны:
Dii;=Dn, Г/=1; i=\,N,
тогда D*h =Dn / N. При безынерционном линейном оптималь-
но-инвариантном преобразовании сигналов равноточных изме-
рителей дисперсия ошибки оценки комплексной системы в Л'
раз меньше дисперсии погрешностей одного измерителя, где
N— число измерителей.
в* 115
При сравнении дисперсий ошибок оценок, определяемых
соотношениями (4.10) и (4.14), можно заметить, что если
Dh;/Dx<^ 1, i==l, N, то точности линейных оптимально-инвари-
антной и оптимальной комплексных систем практически совпа-
дут. Эффективность оптпмально-пнвариантной комплексной си-
стемы можно оценить в соответствии с (4.11):
" Г2
i=i
>1“ ~ ri/Dn[
В случае равноточных измерителей эффективность исполь-
зования безынерционной оптимально-инвариантной линейной
комплексной системы равна 'kH=N.
На практике чаще строят безынерционные линейные опти-
мально-инвариантные комплексные системы, так как в реаль-
ных условиях выигрыш по точности, который дает безынерци-
онная линейная оптимальная система, незначителен, а струк-
тура первой системы проще и ошибка ее не будет зависеть
от вида распределения измеряемого сигнала.
Случай 2. Дисперсии погрешностей всех измерителей равны
Dn;=Dn, i—1, N, и равны корреляционные моменты =
= /<н, i=l, М i^=j, т. е. комплексируются W однотипных из-
мерительных устройств. При этом X— скалярная случайная
величина; Dx —дисперсия X; R—./V-мерный вектор; rz —со-
ставляющие вектора R, г= 1, N, причем rz =г; а =а.
Обратная корреляционная матрица Кд1 равна [17]
Кй‘= (DH-KH)[DH+/<n(Ar-1)] Х
Dn+/Gi(/V-2) . . .
—Ati
-Кн ’ ' .' .Dh-№GV-2) ' '-кн
-кн’ ’ ’-кн’ Dii+кн(к-2)
(4-15)
пр и Пн =£Кн; On ^Кн (1 —AQ - л
В этом случае оптимальная оценка X, коэффициент опти-
мального преобразования а*, начальное значение Хи и диспер-
сия ошибки De оценки на основании формул (4.1), (4.3) —
(4.5), (4.15) соответственно равны:
N
г У Yt
£1 М[.¥] М[Х](АГ— 1)/<п
DH + D.x + DxDh
rW 1 (JV-l)KIt
DH Dx DXD„
116
ПР» .
r№ l________________’
ЩГ Dx + DAD„
MR'| ЖК'У-ПКп
Dx DxDn
*H~ r*N 1 (/V-1)/<h ’
DIT Dx 4 DXDH
ДГ-1
1 + о
__________ull____________
г2ДГ I .
D„ Dx DxDn
(4-16)
Обозначая Qh=Kh/Dhh a=Dn/Dx, представим соотноше-
ние (4.16) в виде
«П+^-1)Рн1 п
Используя соотношение (4.11), определим эффективность
комплексирования в этом случае следующим выражением:
a[l + (W-l)pH] + M-2
~ [1+(ЛГ-1)Рн1 (гЧ-и) ’
Если qh = 1, т. е. все показания измерителен функцио-
нально связаны, то Л=1. При функционально связанных изме-
рителях комплексирование измерителей нецелесообразно. Если
рн =0, то
a + M-S , , (2У-1)г2
--а..1 г2 а_|_г2 •
В этом случае получаем максимальное значение эффектив-
ности комплексирования. Таким образом, для повышения эф-
фективности комплексирования целесообразно выбирать изме-
рители с некоррелированными погрешностями измерения.
Если рн = 0, а~0, т. е. можно пренебречь величиной Dx по
сравнению с величиной Dh, то эффективность комплексирова-
ния равна Хтах=Л^. При увеличении а и при ри<1 А. стремит-
ся к единице сверху, т. е. даже при значительных погрешностях
измерителей по отношению к дисперсии измеряемой величины
комплексирование эффективно. При N ->оо
>-=(/'2+«Ри)/[(г24-а) рп],
где бн=0; Х=оо. При неограниченном увеличении числа из-
мерителей с независимыми погрешностями измерений эффек-
тивность комплексирования неограниченно возрастает.
Оптимально-инвариантная оценка Хи, коэффициент а* и
117
дисперсия ошибки DE оценки на основании соотношений
(2.75). М.6). (4.7) соответственно равны:
Д'
' Г1’г. 1 , 1)П4(Л'_1)^Н
ли /W ’ а11 ДД ; П1\
Эффективность комплексироваппя в этом случае можно
определить следующим выражением:
>. /V[l-b(/V 1)рц]. (1.17)
где 0)г==Лн/Оп. Если рц = 1, т. с. если показания измерителей
функционально связаны, то л=1. В этом случае комплексиро-
вание измерителен нецелесообразно. Если N->oo, то значение
Х=1/рц. Для повышения эффективности безынерционной ли-
нейной оптимально-инвариантной оценки параметров сигнала
комплексной системы (4.17) целесообразно использовать изме-
рители с некоррелированными погрешностями и при этом уве-
личить их число.
4.2. Оптимальный синтез
стационарной комплексной измерительной системы
Под оптимальным синтезом комплексной измерительной
системы понимается определение как структуры, так и парамет-
ров фильтров в отдельных каналах исходя из условия мини-
мума среднего квадрата ошибки оценки.
Решение задачи оптимальной оценки одномерного слу-
чайного процесса по критерию минимума среднего квадрата
ошибки сначала для последовательностей А. Н. Колмогоро-
вым, а позднее для непрерывных процессов Н. Винером по-
служило основой для ряда работ в этом направлении. В клас-
сической постановке Колмогорова - Винера рассматривались
стационарные случайные взаимонезавнепмые процессы па вхо-
де стационарного линейного фильтра при неограниченном
времени наблюдения. В последующих работах было получе-
но решение для систем с конечной памятью, для линейных
фильтров с переменными параметрами при нестационарных
сигналах, для многомерных фильтров. Однако результаты
этих работ нс нашли широкого применения в инженерной
практике в связи с появлением алгоритмов фильтрации Кал-
мана-Быоси, обладающих существенными преимуществами при
реализации многомерных нестационарных фильтров. Вместе с
тем многие практически важные задачи оценивания можно
отнести к стационарным, и использование фильтра Винера
в этом случае уже нашло успешное применение в инженер-
ной практике. Физически нереализуемое условие бесконечно-
го времени наблюдения может считаться практически выпол-
118
ленным при времени наблюдения, большем длительности пе-
реходных процессов в фильтре.
Как уже отмечалось, при анализе наиболее распространен-
ных двухкомпонентных систем, если выполняется условие
инвариантности, необходимо синтезировать только один
фильтр, так как второй полностью определяется первым. Рас-
смотрим схему с фильтром разностного сигнала (рис. 3.6),
где задачей фильтра является паилучшее выделение погреш-
ности второго измерителя ZE2(^) па фоне погрешности первого
измерителя ЕНО- Отвлекаясь теперь от физической природы
сигналов Е| и Е2, с точки зрения фильтрации будем считать
погрешность Е2 полезным сигналом, а погрешность 5, — помехой.
Обозначая —Е2(/)=А4(/); —Е[(/)=Л7(/); M(t) + #(/) —Z(t],
приходим к классической постановке задачи выделения по-
лезного сигнала M(t) на фоне помехи N (I). В этом случае урав-
нение Винера—Хопфа (2.94), определяющее весовую функцию
оптимального фильтра gi (т), имеет вид
f g^Kzp- т)с1т-Кмг().) 0. (4.18)
о
В уравнении Винера (4.18) корреляционная /</(К—т) и
взаимная корреляционная Kuz[Z) функции считаются заданны-
ми, а его решение относительно gt (т) определяет оптимальную
весовую функцию фильтра, т. е. как структуру, так и пара-
метры этого фильтра. Возвращаясь к обозначениям, принятым
нами при анализе комплексных измерительных систем с уче-
том независимости погрешностей измерителей между собой,
имеем:
Kz(v)=M(Z(/)Z(/-x)]=/<4v)+/<s./^);
/<Mz(v)=M[Af(/)Z(/-v)] = /G.Xv). (4.19)
Решение интегрального уравнения, каковым является у рав-
нение Винера, представляет в общем случае достаточно
сложную задачу. Рассмотрим его решение для частного слу-
чая дробно-рациональных спектральных плотностей погрешнос-
тей измерителей (входных сигналов фильтра).
Заметим, что уравнение (4.18) легко решается при корре-
ляционной функции входного сигнала Z в виде
Kz(-)=AZ(t). (4.20)
Подставляя (4.20) в (4.18), имеем
Tgi(^)^a().-T)dT-A'4IZ(/.)^o,
о
и с учетом свойств дельта-функции получаем
ё^-)=Кмг^);А. (4.21)
119
Данный случай практического значения не имеет, так как
в реальных системах входной сигнал отличается от белого
шума, корреляционной функцией которого явтяется б-функ-
цпя. Но его можно использовать следующим образом.
Представим искомый фильтр с весовой функцией g’i('t')
последовательное соединение двух фильтров с весовыми
Рис. 4.1. Эквивалентная схема
фильтра
го фильтра gi2 (т) определим
как
функ-
циями £ц (т) и g12(r) (рис. 4.1).
На первый фильтр возложим
задачу преобразования входного
сигнала Z(t) с произвольной
дробно-рациональной спект-
ральной плотностью в белый
шум а с интенсивностью S, (со) =
= 1. а весовую функцию второ-
из условия оптимального преоб-
разования полученного белого шума в требуемую оценку пу-
тем решения уравнения Винера.
Динамические характеристики первого фильтра легко
находятся в частотной области из соотношения, связывающего
спектральные плотности сигналов на выходе и входе фильтра,
5о(ш)=| ^.(y^pSzCai),
(4.22)
где П7п (ую) = (т)е л-"dr — частотная передаточная функ-
ция первого фильтра.
Так как спектральная плотность Sz (со)—четная положи-
тельная функция Sz(co)=Sz(—со)>О, то ее можно факторизо-
вать, т. е. представить в виде произведения комплексно-сопря-
женных функций:
57(о>) = Ф(уси)Ф(—уга) |Ф(усо) |2, (4.23)
где Ф(/<и)—минимально-фазовая функция, т. е. все ее нули и
полюса лежат в верхней полуплоскости переменной со (или в ле-
вой полуплоскости комплексной переменной /ы). Из свойств мн-
нимально-фазовой функции Ф(/со) следует, что фильтр с амплн-
гудно-фазовоп характеристикой 1/Ф(/и) будет устойчивым.
Подставляя в (4.22) выражение (4.23) и 53(ы) = 1, получаем
U711(y<u)=l/®(y<o). (4.24)
Весовую функцию £ц(т) находим как обратное преобразо-
вание Фурье от (/со):
Д-oo
— со
Таким образом, фильтр с частотной передаточной функци-
ей U'ij(jco) преобразует входной сигнал в белый шум, корреля-
ционная функция которою к, (г) =2лб(т).
1-20
Используя (4.21), получаем, что импульсная весовая функ-
ция второго фильтра, осуществляющего оптимальное преобра-
зование белого шума, должна иметь вид
£12Н = /<лы(т) (2т:). (4.25)
Остается определить/<ль (т) через известные статистичес-
кие характеристики сигналов. По определению взаимной кор-
реляционной функции с учетом известной весовой функции
g’ii(r) имеем
оо
/<.и,(т)=М(Л1(ф(/-^)]=М[Л1(0 f gHpw-T-X)^].
b
сю
= f gnO)KMz(-+>)d).. (4.26)
О
Взаимная спектральная плотность
4- оо
5ль(<и)=-^г J /<иа(т)е
— оо
или согласно (4.26)
ОО 4-00
f K.^-A-^^dtd).. (4.27)
О —оо
Введя новую переменную т=-г+Л, получим вместо (4.27)
ОО 4“ 00
SAl3(0))- J gn(')eJ'^ d).-^ J /GjzC*)
О — оо
или
S.Ma(o))= --JoOSaJZ^)-
В соответствии с (4.19) /Cmz(t) =К.м(т), следовательно,
•S’hz(w) =\и(от). Учитывая (4.24), имеем 5д|,(о)) =5.ц (от)"
:Ф (—/оз).
Выразим взаимную корреляционную функцию К.ио(т) че-
рез S и, (со)
+<»
Г S м(о>)
= .1 Ф(-/5)-e7^w-
— оо
(4.28)
Подставляя (4.28) в (4.25), получаем выражение для оп-
тимальной весовой функции второго фильтра
4-00
Т-S»
5.и(“)
ф(—. /ш)
&'"~d<u.
121
Определив оптимальную частотную передаточную функцию
второго фильтра
OJ оо
11 Г* «S'
lVzn(yM =-57 | е
О оо
получаем искомое решение уравнения Винера в комплексной
области в виде
£Л 4- со
’КО»)- ’К,'/») Т,а(/»)=-И^7д-р .(-4=йгх
У е-'1'7" d& dx. (4.29)
Обозначим 5и(ы)/Ф(—/со) = Ч;(/ы), и, заменив /ш на s,
рассмотрим дробно-рациональную (по условию) функцию
’F(s) как сумму элементарных дробен
’I(s) = [ir(s)|++|'F(s)]_,
где |'lr(s)]k— сумма дробей с полюсами в левой полуплоскости
комплексного переменного s; [Т(х)] —сумма дробей с полю-
сами в правой полуплоскости s. Как известно из теории функ-
ций комплексного переменного, интеграл
+/“>
[ ’Г(х) e'^rfs, s— j<o,
равен сумме вычетов функции Y(/v)eJ'* по всем особым точ
кам функции W(/v), расположенным в верхней полуплоскости
комплексного переменного v, т. е. представляет оригинал F(t),
изображением которого является функция [4r(s)]h, т. е.
J /?(Oe-fZrf/ = [4'(sj]+.
о
Таким образом, выражение (4.29) принимает вид
Г 3Л1(ш) 1
L <!>(—/“) J+ ’
(4.30)
где [ ]4 означает, чго выражение, стоящее в скобках, сле-
дует разложить па сумму простых дробей и затем оставить
только те слагаемые, у которых полюса расположены в левой
полуплоскости комплексной переменной /<о.
Для еще более частного, но весьма важного п распростра-
ненного на практике случая, когда спектральная плотность
погрешности Е2 является дробно-рациональной функцией, а
погрешность Hi — белым шумом со спектральной плотностью
с2, разложение на простые дроби и исключение дробен с 'по-
люсами в правой полуплоскости можно сделать в общем виде
122
и получить следующую формулу для оптимальной частотной
передаточной функции [34]:
Ц71(уи)) = 1—г Ф(у«>). (4-31)
Покажем справедливость выражения (4.31), исходя пз
(1.30) и положив S.ii= P(o)2)/D(со2) и S.v = c2, где Р(ю2) и
D(w2) — полиномы от о»2 степени k и I (I > I’) соответственно.
Спектральная плотность входного сигнала Sz(io), которую
необходимо факторизовать, чтобы найти Ф(/ю), равна Sz(w) =
= S.ii(<o2)+с2. Представим (4.30) в виде
I Г6'и с2~с’] I Г с'1 "I
11 l(./°) — [ Ф( /«.) I Ф(_Л») L ' ф(—/<..) J+’
и так как функция Ф(/'ю) не содержит полюсов в нижней по-
луплоскости, то она может быть вынесена пз квадратных ско
бок:
IV", (/0)) = 1-_-£—
1X7 ' Ф(/(о)
64.32)
I Ф(—уо>) '+*
(4.33)
(4.34)
Сравнивая (4.31) с (4.32), видим, что необходимо доказать
равенство
[г Ф(-»]+=1.
Рассмотрим равенство
I с I’________ с г D(w’)
I Ф(/о>) I 4'(/<.>) Ф(—/со) D(u-) Р(аЯ)'с '
степени переменной со2 в числителе и знаменателе правой
части которого равны между собой и определяются степенью
/ полинома П(ю2), так же как равны коэффициенты при
старших степенях со2 (так как />/г). Следовательно, (4.34)
можно представить в виде
I £_|2==П_1С_“_ =
I <1 (У<о) I 1 I 3]т®‘2 I 1 V ! J"' * /<о
i=l < I 11
откуда получаем
ф(Чл1) =1 ”’ (4’35)
Разлагая (4.35) на простые дроби и подставляя в (4.33),
имеем
1=1
123
что и требовалось доказать. Действительно, из (4.32) и (4.36)
следует, что при дробно-рациональной спектральной плотнос-
ти полезного сигнала и помехе в виде белого шума частотная
передаточная функция оптимального фильтра определяется
выражением (4.31).
Вид передаточных функций и их параметры для некоторых
типовых спектральных плотностей полезного сигнала и помехи
приведены в табл. 1 [38].
Найдем дисперсию погрешности Е выделения полезного
сигнала фильтром с оптимальной весовой функцией gi(t).
При центрированных погрешностях измерителей, т. е. при
M[S1(/)] = 0, М[22(/)] = 0, имеем
D[E] М[(Л1-Л4)2]. (4-37)
Оценка полезного сигнала М определяется прохождением
входного сигнала Z(t) —M(t) +N(t) через фильтр с весовой
функцией (т):
/\ оо
W)= (4.38)
О
Подставляя (4.38) в (4.37) и возводя в квадрат, получаем
ОО ОО СО
D[E]=D[W]-2 f £1(т)/<Л1г(г)^+ f gl(r) Jgl(v)/<z(v-T)rfvrfT.
b bo
(4.39)
Группируем два последних члена выражения (4.39) таким
образом
се со Г" оо
D[E]=D[Af]= i'g1(T)/<,11zW^+ (£,(,) J gl(v)/<z(v-
o b Lo
——Kmz(S) dx,
чтобы выражение в квадратных скобках при условии оптималь-
ности весовой функции gi (v) равнялось пулю в соответствии
с уравнением Винера, т. е.
D[E] =D[A1]- f gjW/r.Mzfx) dx. (4.40)
6
Заменим в (4.40) временные характеристики сигналов и
фильтра частотными. Для этого найдем Кчг(т) из уравнения
Винера (4.18) и подставим в (4.40):
оо оо
D[E] = D[Af]- Cg,(T) f g^K^-^dldx.
b b
124
Передаточная функция Параметры передаточной функции
125
126
Учитывая связь между корреляционной функцией и спек-
тральной плотностью
- - оо
получим
D| Е] = D[М] — f S/(w) j gt(x) |' g!().) е 7<“"du.
— оо о 0
Как известно, частотная передаточная функция является
преобразованием Фурье от весовой функции
Ц 1(/ш) =
О
следовательно,
со
D[E] = D[7I(] - | U.1(/<o)rf<B=
и
оо
= D[Af] —-j S2 (w) | WM |2 du. (4.41)
b
Пример. Рассмотрим синтез оптимального фильтра разностного сигнала
(рис. 3.6) в комплексной системе измерения скорости при комплексировании
допплеровского измерителя скорости (ДИСС) и датчика воздушной скоро-
сти (ДВС). Учитывая, что спектр погрешности радиотехнического измери-
теля значительно шире спектра погрешности аэродинамического датчика
воздушной скорости, можно аппроксимировать погрешность ДИСС белым
шумом со спектральной плотностью с2
s3 (<O)=SH11 Р,(уш) | 2=С2 S Y(w).
Спектральная плотность погрешности ДВС определяется выражением
I ЛО) I 2=з2я/(-(»- -<»-)) = S „(о.)
ПЛИ S(O)/(1 <'>2'2)
где У(0)-а2,(-а); т 1/а.
Для определения оптимальной передаточной функции находим спект-
ральную плотность сигнала на входе фильтра 5д о>) с учетом независимо-
сти погрешностей измерителей между собой
SZ(«)=S.U(») j-SA,(«)= (rt! JV)
где а!=с2+ S(0); b- c2ts, с последующей факторизацией полученного вы-
ражения а-\-jbw а—jbw
1 -ууте» I — /te ’
откуда
а 4- ib& a—jbu>
\j j j _j_» • (4-42)
127
Затем определяем соотношение 5Л(®)/Ф( —/в»), разлагаем его на сум-
му простых дробен и исключаем дроби с полюсами в правой полуплоскости
аргумента
<ц(“) 5(«) 1—/ют 5(0)
Ф(—/••) 1-|-о>2-2 a—jb<-> (1 ytw) (а — jbu>y
_ 1 । bS(O) ____L_
b 1 -| /тго ' b -.a a—jbm ‘
Отбрасывая второе слагаемое, у которого полюс jw—alb находится в
правой полуплоскости аргумента /«>, имеем
• = tS(0) 1
Ф(—/о>) b }-ta 1 , Jwz
Подставляя (4,42) и (4.43) в (4.30), получаем искомую частотную пе-
редаточную функцию
jmT),
где
_____.. /г
а|/~1 /тг2 ’ Ьа--~а‘*
т2—
S(0)
с*
о
zac2
Таким образом, оптимальный фильтр является простым инерционным
звеном первого порядка, у которого коэффициент усиления всегда меньше
единицы н зависит от соотношения спектральных плотностей полезного сиг-
нала при <о = 0 и помехи.
Дисперсия погрешности оптимального фильтра в соответствии с (4 41)
равна
+оо
О[Е]=с2 —
— оо
Д2 ; 6W I k |2 2о*
1 гш2Т2 I 1 + /шГ I rfu) “ ] j/~i ^2
Предположим теперь, что ширина спектра погрешностей обоих измери-
телей одинакова и отличаются они только величиной дисперсии:
Ss,(43)=SA,(<0) = (£>1211/О[Е2))5Л1(<п);
S мН=•^за(“)/ (“)=(1 IЕ11 / ®2)Sjh(«>).
Определим оптимальную передаточную функцию фильтра в этом слу-
чае. В соответствии с алгоритмом (4.30) имеем
W,(7“)= £[3d (D Ч311+-0-Ч321) •
Оптимальная передаточная функция фильтра во втором канале в схеме
с параллельной фильтрацией
»1(Л)- 0(3.,] (О-ЦЗ^+0-1(3.,]) •'
т. е. и7,(/ш)=дг= -------,
D[3JS 0-1(3,)
i=i
(4.44)
128
Выражение (4.44) совпадает с выражением для коэффициентов линей-
ного безынерционного оптимально-инвариантного преобразования при Л/ =2.
Таким образом, при отсутствии различия в спектрах погрешностей измери-
телей оптимальная инерционная обработка показаний измерителей, исполь-
зующая временную и структурную избыточность, вырождается в безынер-
ционную оптимальную обработку, использующую только структурную избы-
точность.
Если число измерителей больше двух, при синтезе ин-
вариантного оптимального многомерного фильтра рациональ-
нее рассматривать общую структурную схему (рис. 3.3), экви-
валентную схеме с параллельной фильтрацией. Приведя по-
грешности на выходе измерителей П, (s)
к их входу Зг(s) = И,(•$)/?“’(s), схему
можно представить в виде, изображен^
ном на рис. 4.2.
Решение уравнения Винера для мно-
юмерного фильтра проще искать в комп-
лексной области [24]. Обозначив через
W — передаточную матрицу оптималь-
ной системы, через Sx (со) — спектраль
ную плотность полезного сигнала, через
S\z(<o) и Sz.y(w) — матрицы взаимной
Рис. 4.2. Многомерный
фильтр Винера
спектральной плотности полезного X и входного Z сигналов
соответственно, представим уравнение Винера в комплексной
области для многомерного фильтра
Sz(<») W( /<b)-Szx(o>)=W( /<U),
(4.45)
где (/со) — неизвестная матрица, аналитическая в левой по-
луплоскости [24]. Вследствие независимости каналов системы
между собой матрица W(/(o)—диагональная, с диагональны-
ми элементами, равными передаточным функциям отдельных
каналов,
W» 0 ... О
о №2(» • • • о
О 0 lVz/v(/cu)
Полезный сигнал X для всех каналов один и тот же, по
этому Sx(w) = S.x(o))E, где Е — единичная матрица. Независи-
мость между собой полезного сигнала X и погрешностей Ег оп-
ределяет диагональный вид матриц Sz(<o), Sxz(<o)> Szx(<o).
Диагональные элементы матрицы Se являются спектраль-
ными плотностями погрешностей на выходе каждого канала,
т. е. Тг5в(след матрицы Se ) равен
TrSE-fs3/(«)| W>)12-
1—1
9 Заказ № 571
129
Покажем, что в соответствии с (4.45) оптимальную переда-
точную матрицу можно определить из выражения
dTrSL(u)
<4-46)
Воспользуемся выражением Винера—Хинчина для спект
ральной плотности погрешности
S Е (и)=S л-( <0)—Szx (О)) w (—j О)) — S х z( <•>) w ( joy)+
-rSz(<o)W(—y<u)W(/o)) (4-47)
и, применяя известные из теории матриц правила
дТг(АВ)т„т дТг (АВС) дТ „т
с учетом диагональности матриц S~(co) и Szx(w), получаем из
(4-47)
Sz(«0 W(/w)-Szx(03) = 4r(/<D),
т. e. что условие (4.46) тождественно условию (4.45). При вы-
числении следа матрицы Se учтем условие инвариантности
i w«>)=i.
(4 48)
которое позволяет уменьшить число искомых передаточных
функций, выразив одну из них через остальные:
N-1
WN(Joy) = ]- 2
Тогда
N-1
TrSB(w)= 2 М<») W“) ^(-/щ)+
Г Л-1
+WO 1-2 W»
N-i
i - 2 wt(-joy) ,
и векторное уравнение (4.46) можно представить в виде
системы уравнений:
[1 - V Г.(»
=Ф,.(/и>), N-1
С учетом условия инвариантности (4.48) получаем систему
из N уравнений с N неизвестными:
Ss» ^(»-S3iV(<u)Wjv(/<»)='lri(/‘o), i=\, 2, JV-1;]
N
(4.49)
130
Решив систему (4.49) методом Крамера, имеем
и7£(/(о)=Д,/Д, Z = l, 2, 3, Л/,
(4.50)
где
<$з, 0 ... О ^E/v
О Sga ... О —SsA,
6 'о .'.’5Bv‘_1‘-sBv
1 1 ... 1 1
а определитель Д; получаем из определителя Д после замены
элементов i-ro столбца столбцом из правых частей уравнений
(4 49). Разлагая определитель Д по последней строке, можно
показать, что
1V n вк (<о!)
д= 2 П 4Й (ш) = —---------------- (4.51)
i=i k=i П А№
h*‘ ,=i
где
fiA («•’)= 2 Л (°’2) п в„^),
k+i
Определитель Л£ представим в виде
Дг=Ф<+Л2 (4-52)
i=i
где
Ф,-= П («);
2 П 5Sm(w), i=i\
k—\ т=1
k-rl m+i.m^k
П 5sm(«)), 1ф1.
m=l
m+l, m.’pfi
Подставив (4.52) в (4.50), получим
9’
W<»)=4-(°i+21
\ J=i
(4.53)
131
Формально найденные частотные передаточные функции
являются физически нереализуемыми, так как имеют полюса
как в левой, так и в правой полуплоскости аргумента /го.
На основе анализа выражения (4.53) с учетом (4.51) можно
представить передаточные функции фильтров в виде
(4.54)
где Mt—некоторые полиномы с неизвестными коэффициента-
ми; А+, В+ —результаты факторизации четных функции час-
тоты О) Лг ((О2), Вд (го2).
Неизвестные коэффициенты полиномов Mt можно опреде-
лить после подстановки (4.54) в систему уравнений (4.49)
Осуществив эту подстановку, получим:
MtA+ В+ Вт MnA+ Bj;B^
R+ А+Ат п+ д+А~
1=1, 2,
После сокращения и приведения к общему знаменателю
имеем:
MtBtAN—MKBh,Ai
", ' 1 -- тг > 4 ~— 1ч £ ч
N
^MtA+
____
Bi
(4.55)
Учитывая, что все полюса функций находятся в правой
полуплоскости, первые N — 1 тождеств выполняются при ус-
ловии
MiBiAn—MNBN А,
А„
(4.56)
где [ ]+ означает, что после разложения выражения в
скобках на сумму простых дробей необходимо оставить толь-
ко дробь с полюсами в левой полуплоскости аргумента /го и
целую часть, если она имеется. Последнее тождество в си-
стеме (4.55) может соблюдаться только при равенстве коэффи-
циентов при одинаковых степенях /и в числителе и знамена-
теле.
Пример. Рассмотрим методику синтеза многомерного оптимального
фильтра двухкомпонентной системы для сравнения с полученными ранее ре-
зультатами. При увеличении размерности фильтра (числа каналов) после-
132
довательиость действий остается та же, только увеличивается объем вы-
числений.
Пусть, так же как и в рассмотренном ранее примере синтеза фильтра,
и комплексном измерителе скорости
Sa (<о)= с2', 52а(о>)=о2л/[л(ч2+ш2)]
пли
5а (ш)=В1(<02)/Л1(Ш2)-, 5зз(ю)=В2(со2)/Л,,(с02)1
где В[ = с2; В2 = а^а/п; А, = 1; Д2 = а2 <о2. В соответствии с (4.51)
ВД=А1В3Ч BtA-.=A2+B^,
где
Д2=02а/Я-|_а2с2; В*=£2. (4.57)
Производя факторизацию, получаем
Д| =Д]~=1; А^~=а— Jw, В^=А у Bj'w, B^—A—Bjm. (4.58)
Согласно (4.54), передаточные функции каналов можно представить в
виде:
1Г2(»=
Л42(а+/т)
А+В /<о
(4.59)
Для определения полиномов Mi и М2, которые в данном случае из ус-
ловия физической реализуемости фильтров должны быть не выше первого
и нулевого порядков соответственно, т. е. М< = £ц /’“+goi и Mz—g^, под-
ставим Mi в (4.56) с учетом (4,58):
[ (gtl/^'rg’OlXzC01—J^y-rgQjBz 1 __
L (A+Bjto) (a—» J+ ’
gol+gll j<»—.gQ2(°—/<") _ ,
A+B jw
Откуда, разложив первое выражение на простые дроби и отбросив дро-
би с полюсами в правой полуплоскости после разделения комплексных тож-
деств на тождества их мнимых и вещественных частей, получим систему
уравнений:
£nc®(a рА/В)=0;
£11 + £о2=Д
£oi4g<2a=A
решение которой
£11=0; £01=4—аВ; gi<2=B.
(4.60)
Подставляя (4.60) в (4.59) с обратной заменой (4.57) после преобразо-
вания, имеем:
А—аВ 1—аТ ki
A+Bjw “ 1+X l+/®7' •
№3(» =
В(а+/ы)
A-pB/<u.
a 7(14-t jw)
\+ja>T
__ l+jwt
\+jwT'
133
где
~7— = . —~ • А,=1— а.Т=----------г —-- •
А а]Л 14-m2 ’ l+m2+y/l+m2’
1 о2 1
й3=а7= —т2= ----------
у 1 + /П2 ’ лаС2 ’ а
4.3. Оптимальный синтез
нестационарной комплексной измерительной системы
Основные принципы построения оптимальной системы
обработки информации на основе филыра Калмана были
изложены в п. 2.4. Существуют разные подходы к использова-
нию фильтра Калмана в комплексной информационно-измери-
тельной системе, где информация об отдельных компонентах
вектора состояния процесса поступает от нескольких разно-
родных датчиков.
Первый подход основан на том, что на вход фильтра
поступают и в дальнейшем оцениваются непосредственно ком-
поненты вектора состояния. При втором подходе на вход
фильтра поступают и в дальнейшем оцениваются погрешности
измерений, причем, оценки используются для коррекции вы-
ходных сигналов комплексной системы.
Рассмотрим особенности оптимального синтеза нестацио-
нарных комплексных измерительных систем на конкретных
примерах.
Синтез непрерывной оптимальной системы измерения
углов атаки, тангажа й угловой скорости ЛА [19].
(Пример 1.) Для построения оптимальной системы стабили-
зации ЛА по тангажу необходимо получать информацию об
углах атаки а, тангажа & и угловой скорости А ЛА по тангажу.
Вектор состояния имеет вид
X=[xt. х3]т=[а, 8, 8] . (4.61)
Уравнение процесса X(f) может быть получено из систе-
мы уравнений, описывающей движение ЛА в продольной плос-
кости:
(4.62)
-|-flgd—
8—a—a4a=d4aw,
где 6В—управление по рулю высоты; aw—приведенное к углу
атаки возмущающее воздействие турбулентной атмосферы;
ab °2, Яз> о4 — постоянные коэффициенты.
Будем считать aw стационарным белым шумом с интенсив-
ностью . С учетом (4.61) система (4.62) сводится к уравне-
ниям относительно фазовых координат:
Xi ——а4Д', ]-л:2—о4аа,;
——я2Л1 ^1Х2-]-Яз5в—
(4.63)
134
Уравнения измерений имеют вид:
У2 = ® + ^2 J
(4.64)
где /Vi и /V2 — белые шумы с интенсивностями о| и с^.
Представим уравнения наблюдаемого процесса (4.63) и из-
мерений (4.64) в векторно-матричной форме:
Х=АХ bDzt+Vn
Y=CX+N. J
где
-а*
~ ^2
О
а=8в; V =
n2
^4
®2 з
О
Белые шумы а,и, Ni, можно выразить в виде следую-
щих соотношений:
ам=а^^у, wt=O2ir2(0;
где Wz(l), W3(t) — белые шумы единичной интенсив-
ности, не коррелированные между собой.
Тогда, учитывая, что характеристики порождающего шума
V(/) и шума измерений заданы,
М[¥(/)] =0; M[V(/)Vr(x)] -О(/)8(^-т);
M[N(/)]-0; M[N(/) Nt(t)]=Q(Z)B(/-t),
найдем матрицы интенсивностей G(/) и Q(t):
atai
0
— а4°15 —а2°1: 0] — Л2б2 0 0
0 0 0
[°23 °з! =
0
о 01
1
1
О
о
о
Q =
D =
О
^3
о
О 1 о
О О 1
N =
Уравнение фильтра Калмана для
представить в матричной форме
данной
задачи можно
X=AX+B[Y-CX]+Db
135
или в форме системы дифференциальных уравнений
где
^21
^31
^12
^22
ь32
=KCTQ1 =
/\ц А12 К is
А^21 А22 А’гз
Аз] Кз2 К33
№ 0] -
о <V2J "
О О
1 о
О 1
/<12а2-2 А13а3'2
^22а22 Агз°32
Аз2 а2 2 Азд °3 *
Величина К — решение матричного алгебраического
нения Риккати:
урав-
AK+KAT-KCTQ 1СКЦ-6=О
или
—ал 1
— 1
О 1
Ап
Кз,
/<31
А"12
/<22
Азз
К\з
/<гз
/<зз
/<12
К12
/<32
А,3
/<23
Адз
- «2 0
—а, 1
О О
А ц А"12 А1з
A2i А22 АГ2з
Аз1 Aj2 К33
аг2 О
0 °з~2
-«4
1
О
/<12
А 22
/<32
Kls
А^23
Кзз
«4 «2 °?
а|°2
О
=0.
о
о
о
+
О О
1 о
О 1
^2 ®4 С1
О
О
О
О
Последняя форма представления уравнения Риккати экви-
валентна шести скалярным алгебраическим уравнениям ввиду
симметричности матрицы К'
Ai2=A2ii ^13 = ^315 А2з = А"з2’
Если решить эти уравнения при следующих конкретных
значениях параметров: а! = 1,76 с-*; 02=4,2 с-2 ; а3=—7,4 с“2;
«4 = 0,77 с-1; 01 = 1,2; О2=Оз=0,85, то получим Кц=0,86;
136
7(22=2,7 с-2; /(3з=0,48: K3I=K13^=0,41; /<21=/<12=0,58 с”1;
/<23=/<з2 = 0,17 с Коэффициенты матрицы В (искомые ко-
эффициенты усиления фильтра) при этом будут: 6ц=0,81 с;
/?21—3,86; 6з| = 0,23 с; 612=0,57; 622=0,24 с 1; =0,67.
Расчеты показывают {26], что переходный процесс в фильтре
заканчивается приблизительно через 2 с.
Из результатов проведенного синтеза видно, что фильтр
обеспечивает выделение информации не только об измеряе-
мых компонентах О и &, но и
посредственно не измерялась.
Рис. 4.3. Структурная схема
комплексной обработки сигналов
гироскопического и магнитного
датчиков курса
о компоненте а, которая не-
Синтез оптимальной комплексной системы измерения кур-
са ЛА [38]. (Пример 2.) На рис. 4.3 изображена функциональ-
ная схема комплексной системы измерения курса, построен-
ной по схеме компенсации. Гироскопический измеритель Г и
магнитный датчик МК измеряют курс ф с погрешностями
Дфг и Дфн соответственно. В вычитающем блоке 1 исключа-
ется полезный сигнал ф: Д=Дфг—Дфм.
Сигнал Д поступает на фильтр Ф, который вычисляет оцен
л
ку погрешности Дфг , которая вычитается из выходного сигна-
ла гироскопического датчика. Выходной сигнал комплексной
системы равен
л л
фз=ф-]-Дфг—Дфг.
Очевидно, что задача фильтра в данной системе состоит
в определении оптимальной оценки погрешности гпроскопи-
А
ческого датчика Дфг. В реальных условиях погрешность Дф„
является случайной функцией времени:
Дфы(/) =Дф'+ДфМ1(0,
где Дфс — систематическая составляющая погрешности, вы-
званная неучтенным магнитным склонением и другими при-
чинами; Дфм1 —случайная составляющая погрешности, свя-
занная с эволюциями ЛА.
Часто погрешность Дфм1 (/) аппроксимируют белым шумом
с интенсивностью o2i- Погрешность гироскопического измери-
теля курса может быть представлена в виде
Дф,.(0=Дф'+ДфГ1(/),
где Дф£ —систематическая составляющая погрешности;
Дфг1 (0—случайная составляющая погрешности с корреляци-
онной функцией
137
Afr(t)=o? e~tt| Tlcos Xt.
Этому выражению соответствует дифференциальное уравне-
ние связи с белым шумом W(/):
Дфг1+2аДфг1 = М fr(b W4 W), (4.65)
где 62=а2 + Х2. Это уравнение приводится к системе двух
уравнений первого порядка. Обозначим
•*4 = ДФг1: л:3 = Дф11-аг]/^ U'(/). (4.66)
Тогда
Дфг1=х3+О1У2^ U7(/). (4.67)
На основании (4.65) — (4.67) получаем:
Xs = — 2ах3—Ь2Ха + аг]/2а(6—2а) U7(/); 1
х4 = Л'з+°1 1 2aW(t). |
Введем вектор состояния
/2аН7(0
Будем считать, что наблюдается процесс
У(О=дфг—— дФм~ д,Кч+дфги
а случайная широкополосная погрешность типа белого шума
Дфг1 является шумом измерения Дфг1=ЛЦ/). Тогда
у(/)=Дф'-<-Дфм1+М/)=х1-(л-2+х4)+М0-
Соответствующая векторно-матричная форма представления
уравнений состояния и наблюдения будет:
- X=AX+V(Z); Y=CX+N(O,
где
0 0 0 0
0 0 0 0
0 О —2а —ь-
0 0 10
С=[1 -1 0 — 1);
V(^)=[0, 0, агУ 2а(&-2а) W(t), аг) 2а«7(^)]г.
Далее уравнения оптимального фильтра Калмана решают-
ся в виде (2.109). Процедура определения матрицы коэффи-
циентов аналогична рассмотренной в примере 1.
138
Глава 5
Нелинейные
комплексные измерительные системы
5.1. Нелинейные оптимальные безынерционные
комплексные измерительные системы
Оптимальная оценка параметра X в произвольном классе
определяется, как показано в гл. 2, условным математическим
ожиданием
Х=М[Х/у], (5-1)
Оптимальная комплексная система должна реализовать
алгоритм вычисления (5.1) при заданных плотностях распреде-
ления параметров сигнала и погрешностей измерения. Примем
модель сигнала на выходе измерителей Yt, i=l, 2, ..., /V в
виде суммы оцениваемого (полезного) сигнала X и аддптив
ной погрешности Н;:
Y,=X+HP (5.2)
Предположим, что погрешности ‘измерителей не зависи-
мы между собой, а также от полезного сигнала X и извест-
ны плотности распределения как погрешностей ful (tj,), так
и измеряемого параметра f(x).
Как известно, условное математическое ожидание равно
+ оо
М[Х/у] = JV(A-y)dx. (5-3)
— оо
Для вычисления условной плотности распределения
f(x, У) = f [Ж1/ь 1/2, /Av)] воспользуемся формулой Байеса
f(x/y) Ду) =ЯУ/х) Дх),
откуда следует
/(^/У)=/(У/х)/(х)//(у). (5.4)
Совместную плотность распределения сигналов измерителей
Ду) можно представить в виде
оо 4-со
Яу)= J /(X. у)б/х= J Яу/х)Ял-)^л-. (5.5)
— оо — оо
Независимость погрешностей измерителей и полезного си-
гнала между собой влечет в соответствии с (5.2) при фикси-
рованном х независимость между собой показаний измерите-
лей У{, вследствие чего
139
A
f(y *)— П АДу/х).
i=l
(5.6)
В выражении условной плотности величина г фиксирована,
и поэтому с учетом (5.2) имеем
ЛДУп'-*) =/нг(^) • (5J)
Подставив (5.4) — (5.7) в (5.3), получим
ОО Л' Г+со Л
У х/(х)П /н,(у;—x)dx [ f(x) п /нг (у,—x)dx
=ЛУ1>Уг,-,Ул)- (5.8)
Таким образом, для определения оптимальной нелиней-
ной оценки X необходимо достаточно сложное вычислитель-
ное устройство, реализующее алгоритм, заданный выраже-
нием (5.8), при известных заранее плотностях распределения
f(x) и /н,(Ч.).
Найдем выражение для среднего квадрата ошибки оценки
+ оо
М[Е^=М[(Х-Х)2]= fj ... у(х-ЛУ!,У2
Ул))2Х
4-00
Х/(х, У1, у2, yN)dxdyxdy2... dyN= J J ... J (x-
— co
A
—ЛУ1,Уг, -,Улг)2П fni(yl~x)f(x')dxdyldy2...dyN.
Во многих случаях известны лишь первые два момента
(математическое ожидание М и дисперсия D) плотностей рас-
пределений X и II,-. Вид функции плотности распределения
можно получить из условия соответствия ее наибольшей сте
пени неопределенности значения случайной величины Z [27].
Степень неопределенности характеризуется энтропией
//=- J /(z) ln/(z)fl!z, (5.9)
и плотность распределения f(z) случайной величины Z может
быть найдена путем решения задачи на максимум энтропии
(5.9) по f(z) при ограничениях:
f(z)>0;
4-оо
У /(z)rfz=l;
— со
J zf(z) dz — М [Z];
7° (z-M[Z])V(z)rfz=D[Z].
(5.10)
140
Условный экстремум (5.9) найдем при помощи метода не-
определенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа
имеет вид
L=— J f(z) ln/(z) dz 4- X, J f(z)dz— 1 +
+X2
J zf(z) dz—h\\Z] -p.s J (z-M[Z])2/(z)dz-D[Z] .
- oo _ co
(5-11)
Представим интегралы в функции Лагранжа в виде сумм
при достаточно больших а и К (К — целое):
а
Г f(z)lnf(z)dz^~ [ /(z*)Ln/(zft) —=
-a fc=-/T
- К
2 ln v*;
4-сю -г и +А
J /(z) dz j /(z) dz 2
* — oo a k=~K
M[Z] = f zf(z)dz^\ zf(z)dz^-^^ z^k:
-oo -° A-=-K
D[Z]= f (z-M\Z])2f(z)dz^ ' f (z-M[Z])2/(z)dz^
— ©о — a
~-K +K
(2/-m[za])4=-£ 2 (2b-MJ|Z]),
k——I< k——K
где zk=ak!K- ^=f(zk).
Тогда поиск экстремума функции (5.11) можно заменить
поиском экстремума выражения
/ +/< +к +к +к \
''k 1° vft+^2 ZlvAr I-
K \ k=-K k=-K k--K k=-K /
-{).l+X2M[Z]+Xa(M2[Z]+D[Zl)j. (5.12)
Необходимым условием экстремума является равенство
нулю всех частных производных функции Лагранжа (5.12):
дк/дч=О-, k е (-Д. (5.13)
dLid\=Q, i=\, 2, 3. (5.14)
Из (5.13) получаем уравнение
141
—ln>ft—1 — 0, (5.15)
которое связывает значения искомой функции vft=f(zft) и аргу-
мента zk, относящиеся к одному и тому же k. Так как вид
выражения (5.15) не зависит от а и К, т. е. от способа разбие-
ния интервала интегрирования на отрезки, то уравнение для
определения функции f(z) можно представить в виде
— \nf(z)= —1 4-Xj -J-XgZ-f-XgZ2,
откуда
/(z) ==е(Л-+>-»*+х»г‘-,>. (5.16)
Для определения множителей Лагранжа воспользуемся ус-
ловиями (5.14), которые являются не чем иным, как уравне-
ниями связи (5.10). Подставляя (5.16) в (5 10), после интегри-
рования получаем
) -1 - J® + in 1/Ж X = в • X =___________________1—
1 1 ~ 2D[Z] ‘ 111 V 2гс ’ 2 D[Z] • « 2D[ZJ ’
откуда
[ (z-M[Z])4
,, ч 1 I 2D[Z] 1
/(z)= —==—— е
|/2*Do=5[Z]
Таким образом, наибольшей неопределенностью при из-
вестных математическом ожидании и дисперсии будут обла-
дать измерения, имеющие нормальный закон распределения.
Найдем теперь оптимальную оценку параметра X в произ-
вольном классе оценок. Представим модель измерения в век-
торной форме Y=RX+H, где X —скаляр;
Предположим, что X и Н статистически независимы и из-
вестны математическое ожидание параметра X М.[А], его дис-
Персия D[A], а также корреляционная матрица вектора по-
грешностей /<[Н] при 7И[Н] = 0. Для нахождения оценки с ми-
нимальной среднеквадратической погрешностью воспользуемся
непосредственно (5.1).
Условную (апостериорную) плотность вероятности f(x/y)
определим по формуле Байеса
/(*/У)/(У) = (5.17)
Все плотности в правой части равенства (5 17) являются
нормальными и их параметры имеют следующие значения:
142
M[y/x]=M[RX+H/x]=R^;
K[YM]=K[RX+H/a-] = K[H];
M[Y]=M[RX+H] = RM[XJ; k J
K[Y] — KtRA'bH] =RD[X]RTbK[H|.
Используя (5.18), можно найти выражения для нормаль-
ных плотностей распределения:
/(у/х) = (2^) °'5Л' det-(l5K[H]e о,5(у-ял-)тк ’[HKy-Rx).
0SD °’5[Х]е o,5(a--m[xj)2d ’[xj.
Г(у)=(2я) °’5Л' det-°-5(RD[X]RT+K[H])X
0,5(y-RM[A|)T(RD[XlRT+K[Hr1(y-RM[Xl). (5.19)
Подставляя (5.19) в (5.17), получаем апостериорную плот-
ность вероятности
/(х/у) = det05(RD[A]RT4-K[H]) (2ttD| X] det-’KfH])-06 X
^zgO,5(x-a)Q *(х -а),
где
Q-|®D'1[X]-|-R'K-1[H]R; a=Q{RTK-1[H|y—О~1[Л’]М[Л']};
det ’{RD[X]RT+K[H]}D[X] detK[H] = Q
Оптимальная оценка в соответствии с (5.1):
Л +“ -1
х= f (*-«)) dx^a.,
— оо
т. е.
х=а = (D-J [X]+RTK-1 [H]R}-1 {R^^y+D ЧА]М[Х]}. (5.20)
На основании (5.20) можно утверждать, что оптимальная
оценка параметра X при нормальных законах распределения
самого параметра и погрешностей измерения является линей-
ной, так как она представляет собой линейную комбинацию
показаний измерителей у[.
Как видно из (5.8), для реализации оптимальных методов
обработки показаний измерителей необходимы статистические
характеристики измеряемых параметров сигналов. Эти характе-
ристики, как правило, отсутствуют па этапе проектирования
системы и, кроме того, могут меняться в период ее эксплуа-
тации. Поэтому целесообразно в ряде случаев использовать
нелинейные оптимально-инвариантные алгоритмы, обеспечива-
ющие минимум среднего квадрата ошибки при условии ее не-
зависимости от оцениваемого параметра. Так как из выраже-
ния для ошибки Е исключаются параметры [E(x)=const] изме
143
ряемого сигнала, то для синтеза такого алгоритма необходимы
лишь характеристики погрешностей измерителей [33].
Условие инвариантности математически можно представить
в виде
de-idx — 0, (5-21)
где
£>=Л—х. (5.22)
В общем случае оценка х параметра г является функцией
показаний N измерителей У(:
* = ^(У1> У2 Ул), У/=хМ-> «=1, 2, Л, (5-23)
которую без потери общности можно представить в виде [20]
х = У1+Ф(у15 у2, ..., уд), (5.24)
где Ф(г/1, i/2..Ух)—произвольная дифференцируемая
функция
Подставляя (5.22) с учетом (5 23) и (5.24) в (5 21), полу-
чаем
dz/dx — —d^dx—d^ldx—Q.
При определении инвариантной оценки предположим неза-
висимость погрешностей измерителей от измеряемого парамет-
ра t/r],/rfx = O, что приводит к равенству d<b(y\, у2, ... , ух)
:dx—0. Дифференцируя ф(#ь у2, , Ух) как сложную функ-
цию аргументов yt(x) и учитывая, что dyjdx = c/(x4-T];)/dx=
— 1, получаем
(5-25>
i=l
Определив из уравнения (5.25) функцию Ф(#ь у2, ... , ух),
тем самым получим инвариантную оценку (5.24). Решением ли-
нейного однородного уравнения в частных производных (5.25)
является произвольная дифференцируемая функция <р аргу-
ментов фь ф2, фл' ь представляющих (при фиксированных yt)
первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
dyx=dy2 — ... =dyN, (5.26)
где любая из у, может быть принята в качестве независимой
переменной.
Выбрав в качестве независимой переменной yit систему
уравнений (5.26) можно представить в виде dyi/dy\ = \,
1=2, 3, ... , N, первые интегралы которой имеют вид ф(==
144
—у.— yi—Ci> 1=%, 3, ... , N. Следовательно, решением урав-
нения (5.25) будет функция разностей показаний измерителей
Ф(У1, Уг» •••> Ул')=ф(У2—У15 У«—У» ••••> Ул'—У1),
и инвариантная оценка может иметь вид
*и=У1+<Р(У2—У1> Уз-Ув УЛГ-У1)- (5.27)
Подставив (5.27) в (5.22) с учетом (5.23), получим
е = —'/]1+?(>]2—TQi. Vt—Vi, > (5.28)
т. е. ошибки оценки действительно зависят только от погреш-
ностей измерителей т)г и не зависят от параметров сигнала.
Инвариантную оценку (5.27) можно привести к виду
~ N _ N _
= 2 аЛд)Уп 2 а№) = Ъ
i=i 1-1
где А= (А2, Аз, ..A,v), Ь]=У/—Уъ /=2, 3......N. С уче-
том зависимости коэффициентов от разностей ^}—yj—у{
получим
_ N _ N _
ф(А)= 2 «1(Д)Д1= 2 Я/(д) (У1-У1) =
1=2 1=2
N _ N
= 2 йг(Д)У,—У12 Мд)- (5.29)
1=2 1=2
Подставляя (5.29) в (5.27), имеем
~ Л’ _ Л‘ _
хи=У1+ 2 а/(д)У1-У12 аЛд);
1=2 1=2
N
и обозначая 1—2 ai(A) = ai(А), окончательно получим
1=2
~ N N _
^и=2аАд)Уп 2 «1(д)=1-
1=1 i=i
Проведем теперь оптимизацию инвариантной оценки по
критерию минимума математического ожидания квадрата ошиб-
ки М[(А'— X)2]->min. Обозначив —Hi = S, представим (5.28) в
виде
Е=5-т(П2+5, 1I8+S, Hiv+S)
и будем рассматривать Е как погрешность оценки <р парамет-
ра S по измерениям А; =S+HZ, 1=2, 3, ... , N с аддитив-
ными помехами Н2. В этом случае для определения <р (А), ми-
нимизирующей математическое ожидание квадрата ошибки,
можно воспользоваться формулой (5.1)
Т(Д)=М[5/Д], А = Д2, Д8, ..., Д„.
Ю Заказ № 571
145
Выражение для условного математического ожидания при
независимых погрешностях измерителей было найдено ранее
(5.8), и в соответствии с новыми обозначениями имеем
+0О Л’
?(д)= У s/(s)n Д (Д,—s)rfsx
—оо 1=2
N
X J /(5)П /нt(bi-s)ds
- « 1=2
Подставляя (5.30) в (5.27) с учетом равенств s=—тц,
^i=yi —У\, находим
(5-30)
N
Х, = У1 + J s/H/(-s)n/Hz(y,—yt~s)ds f /н(-s)x
-OQ 1 /=2 1 L - °°
N
х П /н/у,—У!—s)ds
1=2 1
Переходя к новой переменной интегрирования I = s + уь по-
лучаем
Л 4-°° N 4-оо
Хи=У1+ J (/-у1)/,и1(у1-/)П/н.(у/-/М J /нДУ!-
— оо 1 = 2 —so
N
—I) П fw.(yt—l)dl
1=2 1
(5.31)
После преобразования выражения (5.31) имеем оптимально-
л
инвариантную оценку параметра х в виде
д 4-оо ДГ 4-ос Л
*и= f 'П /H.(yz-/)<// f п fa(yi-l)dl
-оо /=1 1 1-00 Z=1 »
(5.32)
Если на этапе синтеза комплексной системы известен за-
кон распределения погрешностей измерителей, то, несмотря
на сложность общего алгоритма оптимально-инвариантной оцен-
ки (5.32), для некоторых законов распределения могут быть
получены сравнительно простые формулы.
Рассмотрим оптимально-инвариантную оценку при равно-
мерных одинаковых плотностях распределения погрешностей
измерителей в интервале от —а до +а, т. е.
При |У£—уу|<2а.
N
Подынтегральная функция в (5.32) L= П (У i~I) не
равна нулю лишь на отрезке оси I:
146
((2a)~N при _ymax—а</<Упйп4-л;
1 0 При /^Утах ^>Ут1п"1*®1
где i/min и утлх — минимальное и максимальное значения сиг-
налов на выходах N измерителей соответственно. Тогда
Л >пйп+а pmln+a I-1
ли = f l(2a)~Ndl f (2a)~Ndl \ =О,5(уП1И+ут1П). (5.33)
^max a L^max a J
Таким образом, при равномерном законе распределения по-
грешностей измерителей нелинейная оптимально-инвариантная
оценка равна полусумме минимального и максимального из
показаний измерителей.
Вычислим дисперсию ошибки оценки. Возможно k=Nl ва-
риантов соотношений между показаниями N измерителей, оп-
ределяемых числом перестановок из N по N. Для каждого из
этих вариантов а;, i=l, 2, ... , k, может быть определена ус-
ловная дисперсия ошибки D[E/a,], одинаковая для любого I,
так как задача симметричная. Полная дисперсия погрешности
определяется как
k
D[E] = 2 P{a2}D[E/a,.].
i=i
Учитывая, что вероятность каждого варианта Р{а2}=1/Л(!
и D[E/a2]=D(E/a]=const, получаем
D[E] = (l/2V!)7V!D[E/a| —D[E/a].
Приняв для определенности
У1<У2< - <Ул', (5.34)
с учетом (5.22) имеем:
+оо
е=х-л= -(^+^/2; D[E] = D[E/a] = JJ
— co
X/(4i, 4л741<42< — <4л')^41^4л'> (5.35)
где f(rp, T)jv/i]i<iy2< •<»]л )—условная плотность распреде-
ления погрешностей измерителей Hi и На при условии (5.34).
Из известных соотношений теории вероятностей для усе-
ченных законов распределения следует
/(41, W4i<42< — 4лг) =
f J • • • I /(41, 421 ,->4лг)^4лг-1 —^43^421 (5.36)
Ч« * V-2
где масштабирующий коэффициент с определяется соотноше-
нием
10* 147
IIG U li
с = J J • • • J J /hi, ->38, —
“° 711 V-2 ^N-l
...d^d^.
(5.37)
Для независимых погрешностей измерителей с одинаковым
равномерным законом распределения совместная плотность
распределения погрешностей определяется в следующем виде:
Лч„ %. W) = Н/ S М >а! Р-38)
Подставив (5.37) и (5.38) в (5.36), получим
ЧЛ
/hl, W731<712< ••• <>ЗЛг) = J J • • • f dviN-l dvjN-2 ...
T v_2
Последовательным интегрированием с заменой переменной
вида а—=z на каждом у-м шаге интегрирования (на-
чиная с у=2) нетрудно определить, что TV-кратный интеграл
/л в знаменателе выражения (5.39) равен
/v = (WD (a-Tjo)",
(5.40)
где 7]о=Д- Учитывая, что в числителе выражения (5.39) сто-
ит интеграл типа (5.40), только кратности (N—2), с заменой
пределов интегрирования а иа т)# и —a=i]o на tji, имеем
^-2=(^-т31)л/-2/^-2)! (5.41)
Подставив (5.40) и (5.41) в (5.39) и преобразовав, полу-
чим
/hi, ...<^)=(0,5а)-"М^-1) Ьлг-’ЗО^2- (5-42)
Из (5.35) с учетом (5.42) после вычисления интеграла на-
ходим
D[E] = 2а2/[(ЛЧ~1) (TV+2)].
Сравнив дисперсию ошибки D[E] при нелинейном оптималь-
но-инвариантном комплексировании с дисперсией погрешности
одного измерителя Do[H/] = а2/3, получим ее уменьшение в у
раз, где
D[H] (N+ 1)(77Ч 2)
D[E] 6
Линейная оптимально-инвариантная оценка при тех же ус-
ловиях (равномерный закон распределения погрешностей из-
мерителей) дает повышение точности в ул=7У раз. Таким об-
148
разом, нелинейная оптимально-инвариантная оценка эффектив-
нее линейной в y=[(W+ 1) (7V+2)]/6W раз и эффективность рез-
ко возрастает при увеличении числа измерителей N.
В ряде случаев основной причиной погрешностей измерите-
лей является разброс статического коэффициента передачи из-
мерителя. Математической моделью такой погрешности будет
мультипликативная помеха. Тогда выходной сигнал измерителя
yt можно представить в виде
(5.43)
где Nz — не зависящий от измеряемого параметра X случай-
ный коэффициент, математическое ожидание которого равно
номинальному значению коэффициента передачи датчика. При-
ведем (5.43) к виду
rz=X+Si5 (5.44)
где Sz=xzX=(Nz—1)Х можно трактовать как аддитивную
помеху, зависящую от измеряемого параметра X. Следова-
тельно, невозможно создать инвариантную комплексную изме-
рительную систему с ошибкой оценки Е=Х—X, не зависящей
от оцениваемого параметра X. Однако можно построить систе-
му, инвариантную по относительной ошибке оценки [33]
Е0=(Х-Х)/Х. (5.45)
Без ограничения общности здесь предполагается, что мате-
матические ожидания всех коэффициентов передачи измери-
телей равны единице. Для реализации условия оптимальности
необходимо определить X таким образом, чтобы MtEcfl-^niin.
л
Искомую оценку х можно представить в виде [33]
Л
Л=У1Ф(У1, у2, ..., yN), (5.46)
где у\ — показание одного из N измерителей, не равное нулю;
Ф(г/ь .....Ум)—некоторая, пока неизвестная, дифференци-
руемая функция. Так же как и в случае аддитивных помех,
условие инвариантности имеет вид deo/dx=O. С учетом выра-
жений (5.44), (5.45) и (5.46)
N
Умножая (5.47) на х, получим
N
(5-48)
1=1
149
Выражение (5.48) является линейным однородным диф-
ференциальным уравнением в частных производных, решение
которого — произвольная, дифференцируемая функция первых
интегралов эквивалентной системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений
__^У» _N (5 49)
У1 ~ Уа Уз Удг ’ \ >
Для перехода от симметричного представления системы
дифференциальных уравнений (5.49) к обычному необходимо
одну из переменных yt, i=l, 2, ..., N, выбрать в качестве не-
зависимой. Приняв в качестве независимой переменной у\, по-
лучим
^У^У1=У//Ув z=2, 3, N,
откуда система первых интегралов (^—у^ух, i=2, 3,..., N, и,
следовательно, общее решение дифференциального уравнения
является функцией отношений Хг =yjy\
Ф(Уо Уз. УлО = /?(Уз/У1. Уз/У1, Ул/УЧ ) = /?(>-)
Предыдущие рассуждения верны, если показания хотя бы
одного из измерителей у{ не равны нулю. Очевидно, что если
показания всех измерителей у,, 1=1, 2,... , N, равны нулю,
л
то в этом тривиальном случае следует взять оценку х = 0. По-
этому в общем случае
х =[У1ЯГХ) при У/^°> ZeU. М;
I 0 при yz=0, /е{1, 7V].
Относительная ошибка оценки
(5.50)
Так как Х, = у//у1=му/м1, то en= 1 —.... vjv/v,),
т. е. относительная ошибка оценки е0 действительно не зави-
сит от оцениваемого параметра х.
Для получения оптимально-инвариантной оценки функцию
/?(Х) необходимо определить из условия минимума среднего
квадрата ошибки оценки Ео- Так как /?(Х) непосредственно
не зависит от показаний измерителей yt, у2, ..., ум, а является
функцией некоторых аргументов Х(, то минимум среднего квад-
рата ошибки Ео достигается при минимуме условного относи-
тельно Ху, /=2, 3, ... , N, среднего квадрата ошибки Ео и
функцию /?(Х) необходимо находить из решения задачи [33]
М[Ео/Х ]->-min
R
или с учетом (5.50)
150
1—2/?M[Nt/A ] + №M[N?/k]-> mln. (5.51)
R
Продифференцировав (5.51) no R и приравняв результат к
нулю, получим (учитывая, что вторая производная по R
больше нуля) искомую функцию R, минимизирующую средний
квадрат ошибки Ео,
/?(X)=M[N1/X1M-1[N?/Xb
Следовательно, общий вид оптимально-инвариантной безы-
нерционной оценки измеряемого параметра при мультипли-
кативном характере погрешностей измерителей имеет вид
А„ ..., А3, ..., А„]. (5-52)
Для вычисления условных математических ожиданий, вхо-
дящих в выражение (5.49), необходимо задать совместную
плотность распределения f(vi, va, .... vn) ошибок N измери-
телей.
Допустим, что погрешности измерителей не коррелированы
между собой и известны их плотности распределения [я (vz).
Учитывая, что
4-00 —
M[Nj/X2, А3, ..., Ад,] = j ^/Ъ(ъ/А)^1; (5.53)
— оо
M[N?/A2, Ав, ..., Ayv] = +f ^/Jv./A)^,, (5.54)
— оо
найдем условную плотность распределения fN/x (vi/A), вос-
пользовавшись формулой Байеса,
/к,/л(^/А) = f* V1 (A/v,)//-(Х).
Подставляя (5.53) и (5.54) в (5.52), получим
А + °° Г + °° _ I”1
*и = У1 f viA(vi)/xS,^i I Ад,(А)^1 (5-55)
— ОО | —co J
Учитывая независимость погрешностей измерения и извест-
ное соотношение между плотностями распределения при ал-
гебраических действиях над случайными числами /у (у) =
= f х G//«)/|a]~J при У = аХ имеем
N N
Wx)= п п [Д.(А^) Ы] =
j—2 J J—2
N
==1^1^’ П2 /^(АГ1).
(5.56)
151
Окончательно, подставляя (5.56) в (5.55), получим
5.2. Влияние контроля на точность комплексной линейной
безынерционной оптимально-инвариантной оценки
параметров сигнала
В процессе работы и хранения комплексной системы зна-
чения параметров измерителей и блока обработки информации
изменяются, в связи с чем ухудшаются такие характеристики
систем, как точность, надежность, чувствительность и другие.
При проектировании комплексной системы обычно выде-
ляют два множества состояний, определяемых значениями
средних квадратов погрешностей измерений: работоспособное
и неработоспособное. Если учесть возможные постепенные и
внезапные, полные и частичные отказы измерителей, вероят-
ности их появления и соответствующие им вероятностные ха-
рактеристики погрешностей измерения, то для каждого мно-
жества состояний могут быть определены усредненные плот-
ности распределения и дисперсии погрешностей измерения [15].
Предположим, что известны усредненные плотности распре-
деления погрешностей измерителей для работоспособного
А(т]г) и Для неработоспособного ^(г],) состояний i-го измери-
теля, i=l, N, а также вероятности неработоспособного q и
работоспособного 1—q состояний.
Учитывая, что Л(т)/1 и f2(r]/)—условные плотности рас-
пределения относительно состояний i-ro измерителя, опреде-
лим безусловную плотность распределения /(т),) в следующем
виде:
Тогда математическое ожидание и второй начальный мо-
мент погрешностей i-ro измерителя будут соответственно рав-
ны:
М[Н,-]= f ^ЛМ1-7)М1[НЛ+?М2[НИ;
— оо
4-00
М[Н2]= (
— оо
152
где
4- СО 4-00
MiRhH J m2[hj= f Vzh/W,
— co — co
4-00 4- co
MJH2]= f M2[H2]= J
— co — co
дисперсия погрешностей t-го измерителя в этом случае
равна
О[Нг] = М[Ц2]—Ма[иг] = 11-9]М1[Н2]4-
+аМ2[Н2]-(1 -да?[ Пг] -2( 1 -q)qMt [Нг]М2[Нг] -д2М|[ И,].
Когда математические ожидания в каждом состоянии
M1[HJ=M2{HJ = O, то
D[HJ=M[H2]; D[Hi] = (l-^)D1[Hi]+^D2[H,.],
где Di[Hz ] и D2[Hz] — дисперсии ошибок i-ro измерителя в ис-
правном и неисправном состояниях соответственно.
Если каждый из N измерителей с вероятностью Р[т,] мо-
жет находиться в одном из возможных состояний т1г mi =1, sb
i=l, N, то дисперсии погрешностей отдельных измерителей оп-
ределяются в общем случае в соответствии со следующим вы-
ражением:
st
D[HZ] = M[H2]-M2[H.]= 2 P{mt\
1
i= 1, N, st, in/— 1, Sj. (5.57)
где D,„; [HJ — дисперсия погрешностей i-ro измерителя в mt
состоянии; M[HZ] — математическое ожидание погрешности
i-ro измерителя.
Если математические ожидания погрешностей измерения
i-ro измерителя в состояниях mt равны нулю, то дисперсия i-ro
измерителя будет равна
si~ ____
D[Hf] = £ P[/«e]D„Jll,],'i=l, N.
i 1
Безусловную совместную плотность вероятности погрешнос-
тей i-ro и /-го измерителей при усреднении по всем возможным
их состояниям можно определить по формуле
si sj
2 2 (7]Z, Tjy),
mt-l m.*=l 1 ’
153
где (ти, rjy) — условная совместная плотность вероят-
ности погрешностей i-ro и /-го измерителей при нахождении их
соответственно в /и, и ги7- состояниях. Корреляционный мо-
мент погрешностей i-ro и /-го измерителей в этом случае можно
найти с помощью следующих отношений:
оо оо
^[н,, ну] = J J (Vi—MfiiJ) =
— оо —ОО
si si
= 1 S Р[/п;]Р[ш.]^.т, [HJt HJ, (5.58)
z»~l 1 1 1
где Кт1ту [Hf-, IIy]— корреляционный момент погрешностей
i-ro и /-го измерителей при нахождении их в и m.j состоя-
ниях соответственно.
В этом случае весовые коэффициенты хН/ , , i=l,m,
/ = 1, N, и дисперсии ошибок оценок безынерционного линейно-
го оптимального и оптимально-инвариантного преобразований
могут быть определены по формулам (4.3) — (4.7), где диспер-
сия и корреляционные матрицы погрешностей измерителей оп-
ределяются в соответствии с выражениями (5.57), (5.58). При
этом предполагается, что Мт/ [Н;]=0, m( = l, sb i=l, N.
Если при синтезе комплексной системы используются дан-
ные об априорных вероятностях состояний измерителей и ве-
роятностных характеристиках ошибок измерения в каждом из
Рис. 5.1. Функциональная схема комп-
лексной измерительной системы с ап-
паратурой контроля
состояний, то считается, что
синтез ведется по критерию
эффективной точности. При
этом линейная обработка
показаний измерителей Vt
наиболее эффективна в том
случае, когда законы рас-
пределения ошибок измери-
телей с учетом различных
состояний нормальны. В
противном случае при син-
тезе комплексной системы
по критерию эффективной
точности значительно дейст-
веннее оказывается нелинейная обработка информации.
Представляет особый интерес перенос данного подхода к
синтезу безынерционного линейного оптимально-инвариантного
преобразования на случай, когда в комплексной измерительной
системе имеется аппаратура контроля, сигнализирующая с
некоторой достоверностью о состояниях, в которых находятся
измерители [31].
154
Рассмотрим комплекс, состоящий из N измерителей, устрой-
ства обработки и аппаратуры контроля, который представлен
па рис. 5.1. Показания Уг каждого из N измерителей имеют
вид
т
S гЛ+Н/,
А=1
где /г-я составляющая ш-мерного полезного сигнала X;
11г—погрешность /-измерителя, приведенная к его выходу;
rik — масштабный коэффициент /-го измерителя при измерении
/г-й составляющей сигнала X.
Пусть полезный сигнал X и погрешность Нг не коррелиро-
ваны между собой и известны дисперсии D„;/ [HJ, корреляци-
онные моменты Knifi- [И,, Ну], /, /=1, N, mi = 1, s2 , rrij —
== 1, Sj погрешностей измерителей в каждом состоянии и ве-
роятности состояний измерителей Р[т,]. Аппаратура контроля
непрерывно определяет состояние каждого измерителя и сигна-
лизирует о нем. Обозначим сигналы аппаратуры контроля о
состоянии /-го измерителя через /(, /=1, N.
Определим точность безынерционного оптимально-инвари-
антного по критерию минимума среднего квадрата ошибки
оценки преобразования показаний измерителей У2, /=1, N, с
учетом показаний аппаратуры контроля. При этом оценка X
зависит от показаний аппаратуры контроля X = A(T)Y, где
Т — вектор сигналов аппаратуры контроля.
Рассмотрим два случая:
1. Случай идеального контроля. При достоверном контроле
состояние измерителя определяется без ошибок и тогда
, . nr /л f ° ПРИ
Г/—1 \mlltl\ — при rn^ti, /=]1 /V.
Пусть комплексная система в соответствии с показаниями
аппаратуры контроля находится в состоянии Ту=(/2, t2, ..., /дг),
_____ N
tt—\, s,-, t=l, п st. Тогда на основании результатов п. 4.1 ко-
«=1 _______________________
эффициенты а*. , / =1, mt, j=\, N, безынерционного линей-
ного оптимально-инвариантного преобразования можно опреде-
лить с помощью соотношения (4.6). При этом в формуле (4.6)
используются выражения дисперсий и корреляционных мо-
ментов погрешностей измерителей, находящихся в состоянии
В случае оценки скалярно о полезного сигнала X*/= 1)
и при отсутствии корреляции между ошибками измери-
телей коэффициенты будут определяться в следующем виде:
155
П/1\[Н(]
Tv
i=l, N.
оценки Dl [T ] при безынерционном
изме-
Дисперсия ошибки
оптимально-инвариантном преобразовании показаний У,
рителей, когда комплексная система находится в состоянии Ту,
определяется соотношением (4.7). Если полезный сигнал—ска-
лярная величина X и помехи Н, некоррелированы, то
(5.59)
Дисперсия, усредненная по всем возможным состояниям
комплексной системы, может быть представлена в следующем
виде:
N
D* = 2 П TVJDeJT'1 ,
и т 1=1
«S' яг
где 2= У, 2 • • • 2: Р [£<]— вероятность нахождения
Т А=1 t =1
1 Л
i-ro измерителя в ^=111^ состоянии.
2. Случай недостоверного контроля. Пусть известны веро-
ятности нахождения i-го измерителя в состоянии
nit е 1, хг при условии, что показания аппаратуры контроля
есть /,el, st. В отличие от идеального контроля P[ml
при m^tt. Тогда условные дисперсии погрешностей i-ro изме-
рителя D/z [Нг] и корреляционный момент погрешностей изме-
рения i и / измерителей Kt.t. [Hf, Н7] при условии, что аппа-
ратура контроля выдает сигналы tt и tjt равны:
si
О/ДНг] = 2 (5.60)
si si
^[И(.н/]=2 2 Hy], (5.61)
m,i=l my=’ J
Коэффициенты оптимально-инвариантного преобразования
а* можно определить, подставляя соотношения (5.60) и
(5.61) в выражение (4.6). В случае несмещенной оценки ска-
156
лярного сигнала X и некоррелированности погрешностей изме-
рителей комплексных систем весовые коэффициенты можно най-
ти с помощью следующих соотношений:
Ч(Т>)= ~—--------------------х
1 P[/«i//i]D [HZ]
771. = 1 1
Подставляя (5.60) и (5.61) в (4.7) и усредняя по всем воз-
можным показаниям контрольной аппаратуры, несущим ин-
формацию о состоянии каждого измерителя, получим выраже-
ние для дисперсии ошибки оценки при безынерционной опти-
мально-инвариантной обработке сигналов X
N
d*e = 2 п [Ту], (5.62)
и т /=1 и J
где Dg [Ту] определяется соотношением (4.7) при подста-
новке выражений (5.60) и (5.61); P{ti ] — вероятность того, что
аппаратура контроля сигнализирует о нахождении t-го измери-
теля в состоянии ti = 1, sz • Вероятность Р[Ъ] зависит от
вероятностей ошибок аппаратуры контроля и вероятностей со-
стояний измерителей jP[mt-].
При оценке скалярного сигнала X и некоррелированных по-
грешностях выражение для дисперсии Z)* можно найти в
следующем виде:
N 1
D1 = 2 П Р[/,] ------д,-------------------------. (5.63)
и Т 1=1 г2
Ж Ti
Z j 2 1
т^~1 *
1-1
Весовые коэффициенты зависят от показаний измерителей
и от показаний контрольной аппаратуры. Системы обработки
информации с использованием аппаратуры контроля оказывают-
ся по существу нелинейными и поэтому в общем случае уже
неоптимальными по критерию минимума среднего квадрата
ошибки оценки. Свойство инвариантности преобразования со-
храняется.
157
Пример. Пусть ИЦ, /г£[1, 2] и mi = 1 определяет работоспособное со-
стояние Z-ro измерителя. Тогда
P[/Hi=i/Zi=il=M"i+₽i); P[/Hi=i/Zi=2]=
= Р[»1<=2/ ti = 1 ]=р//(л£ + ₽,);
/>[mi=2/Zi=2]=pi/(pi+ai); Р[/г=1]=п/+₽г; P[Zj=2]= |лг+ао
где лг — вероятность того, что исправный Z -й измеритель аппаратурой
контроля будет признан исправным; Р/— вероятность того, что неисправ-
ный Z -й измеритель аппаратурой контроля будет признан исправным (необ-
наруженный отказ или безусловный риск заказчика); щ — вероятность
того, что неисправный Z -й измеритель аппаратурой контроля будет признан
неисправным; «/ — вероятность того, что исправный Z -й измеритель аппа-
ратурой контроля будет признан неисправным (ложный отказ или безуслов-
ный риск изготовителя). При этом выполняется следующее соотношение
л/+₽/-Нч+сЧ:=1-
Для идентичных измерителей и идентичных каналов аппаратуры конт-
роля дисперсия ошибки оценки комплексной системы, определяемая выра-
жением (5.63), примет вид
N
D* = У С^[л+₽]‘’ [р+а]77-'--------D[Z=1]D[Z=2]-------
Го Л J Г*((ЛГ—Z)D[Z=l]-H"D[f=2]} ’
где
DP=11=^T Е>1[Н]+ ^Tp-D^H];
Di^'2i=y^D>iHi+ ттгрлч-
Если положить ₽=а = 0, приходим к формуле (5.59), справедливой
для случая идеального контроля.
При отсутствии корреляции погрешностей измерителей коэффициенты
безынерционного оптимально-инвариантного преобразования показаний изме-
рителей для идентичных измерителей Z=l, N и каналов аппаратуры контро-
ля равны
<(T7)=(D[Z=l]+D[/=2]}/(r([7V-Z)D[Z=2]+ZDIZ=l]]}.
Если полезный сигнал X есть скалярная величина, число
измерителей комплексной системы равно двум (М=2) при
М.т. [Н; ]=0, а измерители и каналы контроля их состояний
имеют различные вероятностные характеристики, то коэффици-
енты оптимально-инвариантного преобразования и дисперсия
на основании соотношений (4.6), (4.7), (5.60) — (5.62) будут
равны:
а* [Л>
И
2 1-1
2 riRi ;
L <=i J
2 2
О*ЕИ= 2 2
и /1=1 ia=l
2 "1-1
2 riRi ;
158
5 2 2
Л 2 Plmjltj]Dm,\Tlj]-rj 2 2 X
J m,=l m*=\
n 2 2, 2)x
i=l m“l ' \mi=l m.i=\ J
'^P\tnxltx\P\rnilti\Kmim^i, Щ]
i, 7=1, 2, P£J.
Синтез комплексной системы оценки сигналов по критерию
эффективной точности с учетом характеристик системы конт-
роля состояний измерителей позволяет уменьшить ее дисперсию
ошибки оценки.
5.3. Мажоритарная комплексная оценка
параметров сигналов
Часто при синтезе комплексных систем законы распределе-
ния погрешностей измерителей в процессе эксплуатации зара-
нее неизвестны. Единственной исходной информацией являются
л
результаты измерений t/z. Поэтому оценку х целесообразно ис-
кать исходя из условия наилучшего (по выбранному крите-
рию) приближения оценки к результатам всех измерений у,.
В частности, использование квадратического критерия (метода
наименьших квадратов)
W Л
2 (Л—y,)2=min
i=i
приводит к оценке выборочного среднего, для нормального
закона распределения, совпадающего с оптимальным линейным
алгоритмом. При законах распределения, отличных от нор-
мального, погрешность при осреднении может существенно от-
личаться от ошибок оптимальных оценок. Более эффектив-
ными в этом случае являются оценки, основанные на общем ал-
горитме
х= 2 У(2). УшдУь (5.64)
i=l
но с весовыми коэффициентами а,, зависящими не от номеров
датчиков, а от номеров результатов измерений в упорядочен-
ной последовательности
У(1)» У(2). У(3), —> У(ло- (5.65)
Последовательность (5.65) при условии У(1> ^У<2)=^У(3)С
^ ... ^У(К) называется вариационным рядом результатов из-
мерений, и алгоритм оценки будет иметь вид
159
л
х= 2 Ciy^>
i=l
(5.66)
где уцу —порядковые статистики. Возможны различные вари-
анты выбора весовых коэффициентов с, [11].
1. Алгоритм выбора медианы — среднего члена вариацион-
ного ряда
х—med{y(i), ущ, ..., Усл-о, У(лоЬ
(5.67)
т. е. при /\/=2А + 1
(1, I—&+1; - 1 о л/
х=У(*+1); ci — [о, i=f-k+l, 1~11 21 л/’
при N—2k
~ п с. , . (0,5, i=k, /г+1; . , о л,
х=0,5(у(*)+У(*+1)); Ci— | k=£k, /г + 1, t—1’ 2’
Оценка в виде медианы вариационного ряда оптимальна по
минимуму суммы модулей отклонений [26]
w л
2 |x—у,| =min.
i- 1
В теории комплексирования этот алгоритм называется ма-
жоритарным.
2. Алгоритм осреднения (N—2г) средних членов вариацион-
ного ряда (порядковых статистик) с одинаковыми весовыми ко-
эффициентами
N—r
~Х=Т^2Г^ У«>. Л7-24+1.
Отбрасывание по г членов с концов вариационного ряда
повышает надежность преобразования, так как уменьшается ве-
роятность учета показания отказавшего датчика. Повышение
надежности компенсирует снижение точности преобразования
из-за уменьшения числа осредняемых показаний измерителей.
В предельных случаях этот алгоритм соответствует выбороч-
ному среднему при г=0 и мажоритарному при r=k.
3. Алгоритм осреднения порядковых статистик с постоян-
ными, но различными весовыми коэффициентами. В этом слу-
чае необходимо знать характер законов распределения резуль-
татов измерения, что сужает область применения этого алго-
ритма. Для повышения надежности преобразования весовые
коэффициенты при крайних членах вариационного ряда можно
положить равными нулю. В частности, для равномерных зако-
нов распределения решение уже получено в виде (5.33): опти-
160
мальная оценка равна полусумме экстремальных порядковых
статистик.
4. Весовые коэффициенты ct зависят от разностей у(*)—£/(/),
/г,уе(1, У). Алгоритмы с таким формированием весовых коэф-
фициентов носят в основном эвристический характер. Обычно
при увеличении абсолютных значений разностей веса изменя-
ются от значений, соответствующих осреднению, до значений,
близких к алгоритму выбора медианы.
Наиболее широко из рассмотренных выше алгоритмов ис-
пользуется мажоритарный — выбор медианы вариационного ря-
да. Этот алгоритм в общем случае неоптимален по минимуму
дисперсии ошибки оценки Е, безынерционен в соответствии с
(1.1), нелинеен относительно измерений yi, линеен относитель-
но порядковых статистик y(i) и инвариантен. Эти утверждения
следуют из анализа выражений (5.64), (5.65) и условия инва-
риантности
N
2 (5-68)
i=i
Действительно, так как коэффициенты a < (соответственно с<)
пе получены путем минимизации дисперсий погрешности Е,
го мы не можем утверждать, что алгоритм (5.67) оптимален.
Алгоритм (5.67) нелинеен, так как значения коэффициентов
Я; (0 или 1) зависят от положения измерения yi в вариацион-
ном ряду, т. е. от величин уь у2, ..., у к- Выражение (5.66)
является линейным, так как коэффициенты с< постоянны и не
зависят от
Условие инвариантности (5.68) тоже выполняется, так как,
хотя коэффициенты си и меняются в зависимости от значений
у<, в каждый момент времени только при одном измерении
у(й+1), являющемся медианой вариационного ряда, ai=Ck+i,
N
а все остальные коэффициенты равны 0, т. е. У a(- = c*+i = 1.
i=l
Учитывая, что медиана обладает свойствами однородности
и аддитивности по отношению к одинаковому сдвигу аргумен-
тов
med(PZi-]-a, ₽z2+a, [teAf-(-a|=a+Pmed[.z1, z2, zN\,
для модели измерения в виде z/f=x-l-irp получим
x=med{x+7]1, х-Нг, •••» ’l/vl-
Отсюда следует, что по отношению к полезному сигналу
мажоритарное преобразование является строго линейным.
Ошибка оценки
е= х—x=med(v)1, т]2, т^}
И Заказ № 571 1(>1
нс зависит от оцениваемого параметра, что еще раз подтверж-
дает инвариантность мажоритарной оценки.
Мажоритарное преобразование можно выразить через ло-
гические операции дизъюнкции и конъюнкции, которые для
непрерывных величин эквивалентны выбору максимального и
минимального значений соответственно:
x=med(y1, у2, ...» y.vl^minl^, (5.69)
где —число сочетаний из W = 2&4-1 по Л 4-1,
«i=max(yb у2, ул, ..., ук, yft+1);
«2=тах(у2, у3, у4, уЛ+1, yftt2);
ut—max(yftn, Ул,+2, .... у2*, у2л+1)>
или
х=теа(у1Л у2, у8, улг}= тах^, т>2, .... wz), (5.71)
где
®1 = min(y1, у2, уз, ..., yft, уА+1);
-y2=min(y2, уз, у4, yft+1, yft+2)
“К;—min fy*+i, У/.+2, у2*> y2*+i).
Рассмотрим случай, когда большинство (&4-1) измерений
имеют одинаковые значения у0, а остальные — произвольные.
Согласно (5.70) получаем и}~^у0, /=1, 2, ..., и при этом
хотя бы для одного из Uj выполняется равенство tij =Уо- Тог-
да в соответствии с (5.69) находим х=уо. При тех же усло-
виях (5.72) получаем Vj^.0, /=1, 2, ..., C$+'v следовательно,
существует хотя бы одно равенство Vj=yu. Тогда из (5.71)
имеем х=у0-
Таким образом, если большинство измерений имеют одина-
ковое значение, то функции (5.69) и (5.71) принимают его
независимо от значений других измерений, т. е. реализуют
функцию голосования по большинству, чем объясняется ис-
пользование термина «мажоритарное преобразование».
Покажем теперь, что равенства (5.72) и (5.71) действи-
тельно справедливы. Предварительно рассмотрим следующую
теорему [49]. Пусть
x=mcd[y!, у2, ..., уд,], 7V=2A-|-1;
==У(пм+2) = -••==У(пм+п)~Уо-
162
Тогда х—уо, если п>1 + |/гм—п6| , где пи—число измере-
ний, значения которых меньше уо; —число переменных, зна-
чения которых больше у0.
Доказательство. В соответствии с (5.69) х=у0, если,
во-первых, все и^уо, j=l, 2, ..., Co*+i и> во-вторых, хотя
бы для одного из j Uj—yo-
Из (5.70) следует, что первое условие соблюдается при
n + tif^k+l, а второе—при n+n^k+l. Учитывая, что п + лм+
=2^+1, можно представить эти два неравенства в виде;
п>1+/гм—лб; 1
«м- I
(5.73)
Объединяя оба выражения (5.73) для п, получаем п^1 +
+ 1 «б — Лм |, что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что при п—\, т. е. при отсутствии
одинаковых показаний измерителей,
*=У(й+1) =med[yn у2, .... уА+1, ..., y2ft+i(.
Таким образом, функция голосования нечетного числа
непрерывных сигналов равна медиане вариационного ряда.
Ошибка е мажоритарной оценки, как было показано выше,
не зависит от оцениваемого параметра
6 = 016(1(71!, Т]2, ..., 7]lV| =7](fc+l) .
Следовательно, анализ ошибки оценки сводится к опреде-
лению характеристик медианы т)(л+1) вариационного ряда
погрешностей измерителей. Точность оценки можно характери-
зовать дисперсией ошибки
D[E1 = У 7l*+i/(*H) (7l)^+i-M2h(*+i)|.
— оо
для чего необходимо определить плотность вероятности
/(П(*+Г) ) медианы H(*+i) .
Обозначив через Pj вероятность того, что любая из пере-
менных Н, равна т](л+1) [при условии, что Н< находится в
интервале '(т), т]+(/т])], получим выражение для вероятности
dF(т]) попадания величины т](*+1) в интервал (т), т)+(/т])
N
dF{k+M= 2 Pjfj^d-q. (5.74)
y-i
С другой стороны, эта вероятность определяется через
плотность вероятности медианы f(*+i) (т))
dFik+i)(Fi)=f(k+i) (4W (5.75)
Найдем вид выражения для Pj. Предположим, что т)(*+1}=7]1.
т. е. определим Pt. Очевидно, что k величин тр (например,
11* 163
т]2. т)з> • • . T)fe+i ) будут находиться слева от гц в вариацион-
ном ряду т. е. в интервале (—со, тр), вероятность чего для
данного примера равна Г2(т])Гз(11) • • • Сп)- Столько же
элементов (например, в последовательности т)^+2, т]Л+з ..т]2*+1)
будут находиться справа от тр, т. е. в интервале (тр.оо ) с
вероятностью (l-Fk+2h)) ... (1-А2/г+1(т])).
Учитывая, что число п возможных расположений величин
слева и справа от тр равно числу сочетаний из 2fe по k
(ji = C£k= вероятность Pi найдем из соотношения
Р1=Р2Ь)Рз(п) ••• Л.-ыС'»?) (1—/?А+2(7?))Х
Х(1-РА+3(^)) - - х
XPft(>i)Pft+2(7]) (1-PA+1(^)) (1-/7и-']))-(1-^Л+1('1))+...
Аналогично определяем и остальные вероятности Pj,j=2,
3.....N, как сумму вида
Pj=21 H-^-hC'IJIX
а1
(5.76)
где суммирование производится по всем сочетаниям индексов
az, 1=1, 2, 3,..., 2m, удовлетворяющим условиям: at = 1, 2,
3,.... 2k + 1, «,=/=/, ар^=а при p=pq.
Тогда из (5.74) — (5.76) получаем
2k н
/(*+1) Сч) = 2 Л(-'З) 2 /7а1(''])/?«2(4) - X
J=1
(5.77)
В математической статистике подробно исследованы свойст-
ва медианы одной генеральной совокупности, т. е. в случае
равноточных измерений, когда Ft (т]) =Р(т]), i=l, 2........N.
Плотность вероятности медианы при этом имеет вид
Г(*+1) (4)=/vqft/(4)^(4) (1-ВД)"=
= ^5 (1 - P(4))ft- (5.78)
Как видно из (5.78), плотность распределения ошибки ме-
дианы зависит от законов распределения исходной совокуп-
ности погрешностей измерений Р(т]) и объема выборки N.
После упорядочивания результатов измерений у\, у2,..., у^
в виде вариационного ряда у^ , у[2) , —, У(л> образуется набор
новых случайных величин H(t), отличающихся по своим свой-
ствам от погрешностей измерителей Hz. Во-первых, в отличие
от величин Нг, распределенных по одному и тому же закону
f(r])> порядковые статистики Нщ имеют различные законы
164
распределения (tj). Во-вторых, хотя исходные величины
статистически независимы, порядковые статистики образуют
набор взаимно зависимых случайных величин.
При равномерном законе распределения в интервале (—а,
а) имеем:
fM = Н2а)“ при fol
JW' [ 0 при |->] J
F(7i) =
а;
(2а)-1 (т)4-а) при | у | <а;
0 при
1 при
7] <—a\
(5.79)
(5.80)
Подставляя (5.79) и (5.80) в (5.78) с учетом симметричнос-
ти распределения F(—т]) = 1—f(T]), получаем:
/(Л+1) (^) = М(Л!)2Д*(т]) Ffc(-7?)/(7?) =
Nl
~ (Л!)2
=------——— (а2—т]2)А при | т] | <а;
(Л1Г (2а)Л ' 7 1 1 ''
fa+u 01) = 0 при fo | >а.
Функция f (л+1) (т]) является четной, следовательно, распре-
деление выборочной медианы в данном случае симметрично от-
носительно М[Н]=0 и математическое ожидание медианы сов-
падает с М[Н; ]
M[H(ft+1)]=M[H]=0.
Дисперсия D[H(*+i)] выборочной медианы равна дисперсии
ошибки мажоритарной оценки D[E]
0 ,9 аЪ
О|Е1“ J * (»!>. (to)» -NV2.
—а
При нормальном законе распределения погрешностей изме-
рителей (М(Н] = 0) имеем:
/(tj) = - 1 ед(т;) = ’ [1 -f-ф ( *1 ^1
J V2nD [Н] 2 L \/2D[ll] /]
где O(v) = —— le-^. Плотность вероятности (в) меди-
V71 J
о
аны имеет вид [11], отличающийся от нормального закона:
/(*+1) h) в у2лО[Н]2ЛГ-1(Л1)«
165
-Ф2(—=5=—4fte-4’/(2D[HL (5.81)
2D [HJ У] ' '
Аппроксимируя выражение (5.81) более простым [11], мож-
но получить аналитическое выражение для дисперсии медианы
D[M(ft+1) ]^D[HJ/[2(A/-1)-H-
Ошибка аппроксимации не 'превышает 2 % относительной
дисперсии D[H(fc+i)]/D[H]. Сравним точность мажоритарной
оценки с точностью, получаемой при помощи линейного опти-
мально-инвариантного преобразования, дисперсия ошибки ко-
торого в случае равноточных измерений равна ПЛ[Е]=П[Н]/А.
Введя показатель эффективности y = Dn'[E]/D[H(fe+i) ], имеем
при равномерном законе распределения ошибок 7i=(A'+2)/(3Ar),
при нормальном законе — у2 — [2(А—1)-]-тг]/(тг/Х/).
Зависимости yi и у2 от числа измерителей N показывают,
что точность мажоритарной обработки ниже точности линей-
ной оптимально-инвариантной обработки при разных законах
распределения. Однако различия в точности незначительны.
При N = 3 проигрыш в точности будет 15 и 34 % для нормаль-
ного и равномерного законов распределения соответственно.
Рассмотрим более важный для практики случай [11], когда
распределения погрешностей измерителей различны, но зара-
нее не известны и не могут быть использованы для построения
оптимальных преобразований. Для трех измерителей на ос-
новании формулы (5.77) получаем следующее выражение:
з
; 2=1 //^(^(i-F^)).
i'+j, l+j
При нормальном распределении погрешностей с дисперсия-
ми D[Hi], D[H2] и D[Hs] дисперсия медианы D[ll(2)] равна [11]
D[H(2)] = D[Hj] {0,5(1+Х2+Х2)-тг-1 |arctg А~< +
+А -1 (1 + А2)"1 И2+Х|*22)] [arctgX2 Д-< _|_
+A-»(A2+X4)ri (A’+Xf^-X2^ |arctg)|Ai+
+А-1(Д2+Х4)-1(Д2+Х2)Х2]), (5.82)
где X2=D[H2]/D[H,]; Ц = D [Hg]/D[ В,]; А=]А2+М-Х2Х2.
Из предельного перехода, например, при D[H3]->oo, т. е. при
отказе третьего измерителя, можно из (5.82) получить, что
дисперсия ошибки оценки определяется только двумя исправ-
ными измерителями D[H(2)]=0,5(D[Hi]+D[H 2]). Этот резуль-
тат подтверждает, что мажоритарная оценка реализует прин-
цип голосования. При осреднении результатов в этом случае
166
наблюдается неограниченное возрастание дисперсии ошибки
оценки, поэтому мажоритарная оценка является более эффек-
тивной.
На рис. 5.2. отмечена область G параметров Xi и Хг, на ко-
торой среднеарифметическая оценка эффективнее мажоритар-
ной. Вне области G эффективнее мажоритарный алгоритм.
Рис. 5.2. Сравнитель-
ная оценка мажори-
тарного алгоритма и
алгоритма усреднения
Рис. 5.3. Схемы выделения максимального (а) и
минимального (б) сигналов из совокупности N
сигналов
В настоящее время используются два способа выделения
медианы нескольких переменных [48]. Первый способ заключа-
ется в использовании выражений для медианы через элемен-
тарные функции непрерывной логики (5.69) и (5.71). Соот-
ветствующую логическую схему строят из элементов, выполня-
ющих эти функции.
В основе второго способа лежит применение специальных
нелинейных элементов, которые при соблюдении определен-
ных условий осуществляют выделение медианы. Рассмотрим
принципиальные схемы, реализующие эти способы.
Схемы на логических элементах. В электронных системах
для выделения максимального и минимального сигналов широ-
ко используются диодные сборки (рис. 5.3), в дискретной логи-
ке реализующие функции дизъюнкции и конъюнкции.
На рис. 5.4 изображена схема для выделения медианы трех
переменных, построенная на основе схем рис. 5.3. В общем
случае для выделения медианы Л7=2Лг-|-1 переменных требует-
ся C^+]j логических элементов с £+1 входами и один элемент
с СД+11 входами. Таким образом, общее число диодов Q в
схеме равно
q___ ^+3 М N=2k+1
Для N, принимающего значения 3, 5, 7, находим Q, рав-
ное 9, 40, 175 соответственно. Вследствие большого числа эле-
ментов, требуемых для реализации функции медианы по фор-
мулам (5.69) и (5.71), обычно нецелесообразно применять
этот способ при N>3. В частности, для выделения медианы
трех переменных можно построить схему с меньшим числом
диодов, используя следующее очевидное равенство
г 167
med{yny2, Уз)=У1+у2+у3—max{yj, у2, у3]—
—minfyj, у2, у8}. (5.83)
Схема, реализующая (5.83), представлена на рис. 5.5.
Рис. 5.4. Схема реализации мажори- Рис. 5.5. Схема выделения медианы
тарного алгоритма на логических по алгоритму (5.83)
элементах (N =3)
Рис. 5.6. Схема реализации ма-
жоритарного алгоритма с умень-
шенным числом диодов
Схемы с использованием нелинейных элементов. При опре-
деленных условиях можно уменьшить число диодов в схемах,
реализующих функцию медианы. Рассмотрим схему рис. 5.6,
которая получена из схемы
рис. 5.4 путем исключения во
входных логических элементах
части диодов, т. е. на каждом
входе оставлено по одному
диоду.
Допустим, что внутреннее
сопротивление источников сиг-
налов пренебрежимо мало,
а диоды имеют идеальную
вольт-амперную характеристику ил = 0 при i>0 и 1=0 при пд<
<0. Тогда, если оба диода в каком-либо /-м канале одновремен-
но открыты, то падения напряжений на этих диодах равны нулю
(u'nj = Unj =0) и напряжение на выходе схемы и„ равно напря-
жению Uj на входе /-го канала. В рассматриваемой схеме
Лл—^-Нл>0, г’л>0, А=1, 2, N,
и поэтому всегда хотя бы один из диодов канала открыт. При
неравенстве входных сигналов (и7=И=нА, j^k) только для од-
ного из входных сигналов, например iijt будет выполняться ра-
венство = в то время как на пути всех других сигналов
будет один закрытый диод. Действительно, для /г-го входного
сигнала uk= u„-\-u’Rk — Ид* — ин. И поэтому либо и'лк ¥=0,
либо «дй =^=0, и соответствующий диод закрыт.
Если же ограничить максимальный ток, протекающий че-
рез любой диод некоторой величиной /а, которая не зависит от
значения сигнала на входе, то всегда будет открываться тот
163
канал, на входе которого имеется сигнал, соответствующий
медиане. В работе [48] приведены те ограничения, которые при
этом необходимо наложить на величины Еб, R6 и 1а, чтобы
/zH=med[/z1, «2, uN]i
к+ (>+£-)< -та- <*+>- -ж (1+ £)•
-Итпах<Иг<«шах- (5.84)
Условие IaJ=Ia =const означает, что источник напряжения
необходимо заменить источником тока. В реальных схемах это
условие обычно выполняется выбором £а^> |«;|шах’ /=!,..
Покажем, что при соблюдении условия (5.84) на выходе
рассматриваемой схемы не может появиться сигнал, отличаю-
щийся от медианы. Допустим, что «н < тесЦиу], т. е. для п ка-
налов (n^k+Г) входные сигналы больше ин, вследствие чего
правые диоды в этих каналах заперты. Поэтому i6<kla + i„n
u„=E6—iJt6>E6—kIaR6—iiHR6IRa
или
(1+£б//?н)>£б/(/а/?б),
что противоречит условию (5.84). Поэтому tzH^med [Uj]. Ана-
логично можно показать, что uH^rned(Ky|. Таким образом, при
соблюдении условия (5.84) сигнал на выходе ин может быть
только равен медиане.
Рис. 5.7. Схемы реализации нелинейных функций
Рис. 5.8. Схема реализа-
ции мажоритарного ал-
горитма на нелинейных
элементах без обратной
связи
Рис. 5.9. Схема реализа-
ции мажоритарного ал-
горитма с обратной
связью
Диоды в схеме (рис. 5.6) при /а — const выполняют функции
ограничителей максимального значения тока в каждом канале.
169
Ограничители тока могут быть выполнены и по другим схемам,
например, как на рис. 5.7. Так как эти схемы имеют двусто-
роннюю проводимость, то отпадает необходимость в напряже-
нии смещения Еб. Схема для выделения медианы показана на
рис. 5.8 [48], где Rot =rt +r0—сумма внутренних сопротивле-
ний источника сигнала и ограничителя тока. Ток /а в нелиней-
ном элементе должен быть выбран из условия
7а = £^тах/^н>
тогда относительная погрешность определения медианы
I g I _ ци цше<1 _ /?0 сА: |1
umed ЯН ATI
Наименьшая погрешность достигается при выборе мини-
мально допустимого значения с= 1 (/а = итм/А’н)• В этом слу-
чае 6 = R0RH \
Для повышения точности выделения медианы, в частности
за счет уменьшения погрешностей, вносимых внутренним со-
противлением источников сигналов, в схеме используют уси-
литель, на входе которого суммируются все переменные, ана-
логичные переменным в схеме на рис. 5.8, а с выхода усили-
теля на каждый вход (до ограничителя) подается напряже-
ние отрицательной обратной связи (рис. 5.9).
Зависимость выходного сигнала х от входных сигналов
ур Уч, • Уы описывается уравнением
~ n ~ ~
х=к 2 х), у^-х—А;.
При К, стремящемся к бесконечности,
2 *)= О- (5.85)
i=-l
В качестве нелинейной функции (ег) удобно взять функ-
цию вида [9]
1_
?/(ег) = , аг=0, 1, 2, ....
В зависимости от значения параметра а можно рассмотреть
различные варианты устройств.
1. а=0, <р/(в()=5(Е/. (5-86)
Подставляя (5.86) в (5.85), получаем
N ~ К ~ N
У $i(yt—x)=0 или 2 siyi~x 2 Si’
i-1 1=1 i=l
откуда
170
x=2s^/SSi- (5-87)
<=1 i=1
При условии sz =D-1(H,] устройство (рис. 5.9) в соответст-
вии с выражением (5.87) реализует линейный оптимально-ин-
вариантный алгоритм оценки.
2. а = оо, Si=l.
Так как число а стремится к бесконечности, оставаясь не-
четным, то
®<(е£) =
f 1 при е£>0’,
( —1 при е,<0-
Решением уравнения (5.85) в этом случае будет
jc=med|yb у2, ..., ул).
Таким образом, схема с обратной связью позволяет реали-
зовать как линейный, так и мажоритарный алгоритм оценки.
Глава 6
Комплексная обработка информации
в системах управления
упругими летательными аппаратами (УЛ А)
6.1. Особенности построения
комплексных информационно-измерительных устройств
в системах управления УЛА
Практика проектирования и летных испытаний современных
летательных аппаратов показывает, что объект управления в
общем случае нельзя рассматривать как абсолютно твердое
тело. Нежесткость конструкции существенно усложняет зада-
чу построения системы управления объектом и информационно-
измерительного комплекса.
В зависимости от упругих и аэродинамических характерис-
тик объекта, а также требований к качеству процесса управле-
ния возможны два подхода к построению системы управления
и информационно-измерительного комплекса.
В тех случаях, когда параметры упругих деформаций (ам-
плитуда, скорость, ускорение и другие) в различных точках
(сечениях) ЛА в процессе полета не превышают допустимых
значений и не влияют существенно на аэродинамические силы
171
и моменты, специальных мер в системе управления для по-
давления этих колебаний не принимают. Однако информаци-
онно-измерительный комплекс строится таким образом, чтобы
сигналы от упругих колебаний не ухудшали характеристик си-
стемы управления.
Установленные на объекте датчики воспринимают не только
движение объекта в пространстве как твердого тела, но и дви-
жения, связанные с упругими смещениями мест крепления дат-
чиков. Эти дополнительные составляющие в выходных сигналах
датчиков, как правило, носят характер полигармонических ко-
лебаний. Часто преобладают одна-две гармоники колебаний
(тонов). При прохождении сигналов упругих колебаний через
дифференцирующие звенья в контуре управления их амплиту-
ды могут существенно возрасти. Вредное же воздействие сигна-
лов упругих деформаций проявляется в следующем. Во-пер-
вых, составляющие сигналов упругих деформаций осуществля-
ют гармоническую линеаризацию нелинейных звеньев контура
управления, например усилителей и исполнительных элементов
рулевого тракта, обладающих характеристикой типа ограниче-
ния. При этом эквивалентная добротность контура может су-
щественно измениться, а сам контур стать неустойчивым.
Во-вторых, при наличии необходимых фазовых соотношений
на частоте одного из тонов возможно появление резонанса в
контуре управления.
Отсюда следует, что для исключения вредного влияния уп-
ругих деформаций на систему управления необходимо, чтобы
в выходных сигналах информационно-измерительного ком-
плекса отсутствовали составляющие упругих деформаций. При
этом сами упругие деформации объекта не подавляются. Такой
подход к уменьшению вредного влияния упругих свойств объе-
кта называется нейтрализацией сигналов упругих деформаций,
а способ построения контура управления, предотвращающий
появление положительных обратных связей, приводящих к
резонансу, называется амплитудным (иногда его называют спо-
собом амплитудной стабилизации упругих колебаний).
В тех случаях, когда параметры упругих деформаций в
процессе полета могут достичь недопустимых значений, в систе-
ме управления принимают специальные меры для их подав-
ления (предотвращения). При этом выходные сигналы ин-
формационно-измерительного комплекса должны содержать
разделенную информацию о движении объекта как твердо-
го тела и параметрах его упругих деформаций. Подобный спо-
соб подавления (предотвращения) упругих деформаций по-
лучил название фазового (иногда его называют способом фа-
зовой стабилизации упругих колебаний).
Выбор способа борьбы с влиянием упругих деформаций
(фазовый или амплитудный) при проектировании системы уп-
равления определяется упругими свойствами объекта. Для
низких тонов упругих колебаний (доли — единицы герц) при-
172
меняют, как правило, фазовый способ, для высоких (десят-
ки и более герц) —амплитудный. В первом случае информа-
ционно-измерительный комплекс должен вырабатывать ин-
формацию о параметрах движения объекта как твердого те-
ла и его упругих деформациях. Во втором случае составляю-
щие сигналов от упругих деформаций не должны пропускать-
ся в систему управления.
Структура информационно-измерительного комплекса опре-
деляется, в первую очередь, видом математической модели
объекта управления, а качество его работы — степенью адек-
ватности математической модели реальному объекту.
Главной особенностью УЛ А, определяющей вид его мате-
матической модели, является наличие упругой связи между
отдельными точками (элементами) конструкции, которая су-
щественно зависит от расстояния между ними.
Уравнения, описывающие движение подобных объектов, от-
носятся к классу уравнений с распределенными параметрами
математической физики, решение которых (в том числе с при-
менением вычислительной техники) отличается сложностью. В
большинстве случаев с достаточной для практики точностью
возможен приближенный переход к описанию движения УЛА
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Это позво-
ляет использовать при синтезе систем управления и информа-
ционно-измерительных устройств глубоко разработанный ма-
тематический аппарат оптимального управления и обработки
и мерительной информации.
Рассмотрим обобщенный УЛА, находящийся в общем слу-
чае под действием внешних (аэродинамических и управляю-
щих) и инерционных нагрузок. Пусть начало системы коорди-
нат совмещено с центром масс объекта. При малых упругих
деформациях, соответствующих нормальному режиму функци-
онирования объекта, связь между упругими перемещениями
точек конструкции Дг(х, у, z) и возникающими при этом упру-
гими силами Af (х, у, z) выражается линейными соотношения-
ми теории упругости [4]:
Аг(х; у; z) = f f f C(x, у, z‘, x, y, z)Af(x, y, z)dV;
v ______ (6.1)
Af(x, y, z)= fff K(x, y, z; x,-y, z)Ar(x, yp z)dV,
V
г1де C(x, y, z\ x, y, z) и K(x, y, z\ x, y, z) —функции влия-
ния упругости и жесткости соответственно, имеющие матрич-
ную структуру:
С С
^хх ху
с с
ух ^уу
с с
^zx ^zy
СXZ
Cyz ;
К=
Кхх
/<УХ
Кгх
КХу Кх2
Куу Куг
KZy к22
В случае представления объекта совокупностью распреде-
ленных материальных точек векторы деформаций гл и упру-
173
riix сил f„, действующих в отдельных точках, выражаются за-
висимостями:
т
мп= 2 кпт^т,
т
где Спт — коэффициенты влияния упругости: Кпт — коэффи-
циенты влияния жесткости; п, т — номера рассматриваемых
точек.
Общее возмущенное перемещение точек объекта в простран-
стве Др (в системе координат 00x0yoZo> относительно которой
движется связанная с объектом система координат Oxyz) оп-
ределяется его движением как жесткого тела Др0 и упругими
деформациями конструкции ул:
Лр=Др0-ЬДг. (6.2)
В системе координат O0x0y0z0 связанная система координат
Oxyz определяется вектором линейных р0= | p0Jt> Роу, Рог | и Уг'
левых перемещений 0о=|у, ф, (углы крена, рысканья, тан-
гажа).
Тогда, используя правила векторного исчисления, получим
АРо=Ро+еХг;
Дд„=Р„+*г-»у; (6.3)
APoy=Poy+&X-7Z,
ЛРог=Рог~+-ТУ -ФХ.
Общее уравнение движения отдельной материальной точки
объекта на основе принципа механики имеет вид
mjPbpIdt2—Др—Af, (6.4)
где т0—массовая плотность в текущей точке; Др— внешние
возмущающие силы; ДТ — силы упругих связей.
С учетом выражений (6.2) и (6.3) уравнение (6.4) примет
вид
,7г°щ2 ’ Хг+ -]~ДТ—АР- (6-5)
V
Уравнение (6.5) содержит в качестве неизвестных вектор
упругих перемещений Дг и параметры движения объекта как
твердого тела р0 и 60-
Для получения двух дополнительных уравнений используем
условия самоуравновешенности внутренних сил и моментов
(главный вектор и главный момент внутренних сил равны
нулю):
J И 0; Ц f (rXAf)dV=0. (6.6)
174
Выполняя интегрирование уравнения (6.5) по объему V
объекта с учетом условий (6.6), а также учитывая (6.1), по-
лучим полную систему уравнений для определения неизвестных
(>0, 60, Аг:
V
Alf5r + 0оХ/Игц.т+ J J У т0 d^dV=P0-
^ц.тх^+/й-+у у у (rxmo4r)^=M-
(6-7)
где М — масса объекта;/ — тензор инерции; Ро — суммарная
внешняя сила; Мо — суммарный внешний момент; г1ЬТ — коор-
дината центра тяжести;
"= Ш m^V’ J'^ - Ш (rX^»..r)</V;
V V
Л1гц.т = J П mordV- Ро- fj f April/; Мо= JJ f (rxAp)riV.
В случае представления упругой конструкции в виде систе-
мы п дискретных материальных точек с массами тп уравнения
движения упругого летательного аппарата примут вид [4]:
М I ^2в" v Mr I X tn с1*^Гт -Р •
Al Х7Игц-т-|~ /7| тт г0,
т
лл xz^2Po I Л'26о I V х/ на
МгцлХ dt2 dt2 ^°’
т
(яг + «. ) + 2А™4г«-АР”
(6.8)
где АРЛ — возмущающая сосредоточенная внешняя сила, при-
ложенная в точке п.
Исходная математическая модель УЛА (6.7) является весь-
ма сложной не только для расчета динамических характерис-
тик самого объекта, но в еще большей степени для синтеза си-
стемы управления и ее элементов, в частности, информацион-
но-измерительных устройств.
Главная особенность системы уравнений (6.7) состоит в
том, что векторы упругих перемещений Аг являются в общем
случае функциями пространственных координат точек объекта
х, у, z и времени t. Создание пространственно-распределенных
(непрерывно или кусочно-непрерывно) информационно-измери-
тельных устройств представляет серьезную трудность. Поэтому
175
исходную Математическую модель (6.7) стремятся так преоб-
разовать и упростить, чтобы, во-первых, синтез системы управ-
ления производить с помощью глубоко разработанных мате-
матических методов теории оптимального управления, а во-вто-
рых, использовать разработанные информационно-измеритель-
ные устройства, устанавливаемые в отдельных точках или се-
чениях объекта (гироскопические датчики углов, скоростей, ли-
нейные и угловые акселерометры и другие).
Одним из применяемых для этой цели методов является
метод сосредоточенных масс, основанный на приведении ис-
ходной непрерывной системы уравнений (6.7) к системе урав-
нений (6.8) относительно дискретных элементов. Метод явля-
ется достаточно эффективным для оценки динамических
свойств проектируемого объекта и предполагает, как правило,
использование быстродействующих цифровых вычислительных
машин.
С точки зрения синтеза системы управления УЛА и инфор-
мационно-измерительного комплекса наибольший интерес пред-
ставляет достаточно разработанный метод заданных форм.
Этот метод позволяет преобразовать исходную математичес-
кую модель (6.7) к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений относительно реальных параметров движения
объекта как твердого тела (линейные и угловые перемещения,
скорости, ускорения) и некоторых абстрактных параметров, ха-
рактеризующих упругие деформации конструкции. Порядок
системы уравнений ограничивается требуемой степенью при-
ближения. В дальнейшем воспользуемся указанным методом
заданных форм. Однако сначала рассмотрим еще некоторые
возможные подходы к анализу системы (6.7). Для большинст-
ва ЛА пространственное движение может быть разделено
на движение продольное (по тангажу) и боковое (по курсу и
крену). Если скорость ЛА постоянна (d&QOx =0) и осевые уп-
ругие деформации невелики ( d&rx/dt=Q), то система (6.7) рас-
падается на две отдельные группы уравнений. Первая группа,
описывающая движение в продольной плоскости, содержит па-
раметры Деу = Аеоу +АГу и г*}; вторая группа, описывающая
боковое движение, — параметры Дрг=AqOz +A/’z, а также углы
ф и у.
В дальнейшем для упрощения анализа будем рассматри-
вать лишь движение УЛА в продольной плоскости.
Уравнение (6.4) для движения в продольной плоскости при-
мет вид
т0Д2ДРу/Л2=ДРу—ДД, (6.9)
где АРу и —составляющие внешних и внутренних (упругих)
сил соответственно.
Для дальнейшего анализа необходимо иметь зависимость
Д/у в продольной плоскости летательного аппарата. Будем счи-
тать, что ЛА может быть условно схематизирован тонким
176
прямым упругим стержнем длиной L с плотностью распределе-
ния массы т0, изгпбноп жесткостью EJ (х) [здесь Е(х) — мо-
дуль упругости, J (л) — момент инерции стержня], внешней рас-
пределенной нагрузкой АРу(х, t). Предполагаем, что ось л
направлена вдоль нейтральной линии стержня, ось у— перпен-
дикулярно, а один из концов стержня находится в начале ко-
ординат (х=0, у=0).
Такой подход позволяет достаточно полно описать динами-
ку ЛА, имеющих форму тела вращения. Пз теории упругости
известно, что для подобного стержня упругие силы Afу (х, t)
в сечении х определяются приближенной зависимостью
Vy(-V, t)=
EJ{x)
d2A?y(x, t)
Tt2
(6.10)
С учетом (6,9) и (6.10) уравнение движения ЛА в продоль-
ной плоскости преобразуется к виду:
1) d®Ap,,(.v, /)
~ EJ(x) —+/щ,(х)----------= АРу(х, I). (6.11)
Для изучения динамических свойств объекта, выработки
подхода к построению информационно-измерительного комплек-
са и системы управления важную роль играют частные реше-
ния однородного уравнения, получающегося из (6.11), когда
правая часть равна нулю (отсутствуют внешние силы),
д- Г Р?Др.,(л-, 0 1 <i'2Ap,,(x, /)
-^[^А-)- р-л,2 ] : п1о(х)—=0. (6.12)
Решение однородного уравнения в частных производных
(6.12) может быть найдено методом разделения переменных
Фурье. При этом общее решение имеет вид:
Х%,(*: 0= — Л(*)?л(0;
"-;1 (6.13)
Ч(Х, 0 = 2S Уя(*. t),
Л= -I
где y„(.v, t) ~fn(x)qn(t) — подлежащие определению частные
решения. Каждое пз частных решений должно удовлетворять
уравнению (6.12).
Подставив (6.13) в (6.12) и разделив переменные, завися-
щие от л- и t, получим
1£Дх)/;(л)Г
9л(0
Чпб)
=<»я, п— — 1,0, 1,2,
(6-14)
где штрихами обозначены частные производные по х, а точка-
ми — по /; tu„— параметр.
12 Заказ № 571 177
Из (6.14) получаем две совокупности дифференциальных
уравнений:
[£Лл-)Л(л-)]"-и>>о(л-)/п(л)=О, п=-\, 0, 1, 2, (6.15)
^(0+^„(0=0. «= -1, 0, 1, 2, ... . (6-16)
Для решения первой совокупности следует задать краевые
(граничные) условия на концах стержня (летательного аппа-
рата), для второй —начальные условия. Эти условия задают-
ся из следующих физических соображений. Для находящего-
ся в полете ЛА, схематизированного упругим стержнем, изги-
бающие моменты и перерезывающие силы на концах (при
х=0 и х=£), как известно из теории упругости, равны нулю.
Отсюда вытекают четыре условия:
fn(x) | х=ц)=0; [£'/(л)Д(л:)]х=о= 0; |
Ш | =0; [ТЗД/Дл) ]Ui=0.1 >
Величины со,, п функции f„ (х), удовлетворяющие при за-
данных граничных условиях (6.17) уравнению (6.15), называ-
ются собственными частотами и собственными формами коле-
баний. Для каждого конкретного ЛА (или соответствующего
ему эквивалентного упругого стержня) существует бесконечное
дискретное множество собственных частот со„ и форм fn (х)
колебаний.
Собственная форма fn(x) определяет закон, по которому,
как видно из уравнения (6.16), колеблются все точки упругого
стержня с частотой w„. Для решения уравнения (6.16) нуж-
но задать начальные условия:
<7„ (t) I /=о= <?„(()): qn(t) | (=о= q„(0).
Эти условия можно получить, зная в начальный момент
ДоДх, 0) и Лоу(х, 0) и выполнив разложение (6.13) по из-
вестным формам fn(x).
Тогда решение уравнения (6.16) будет иметь вид
</'«(0=£,nsino>„/+F„coso)n/,
где Еп, Fn—постоянные коэффициенты, определяемые из (6 16)
с учетом начальных условий.
Таким образом, собственные колебания ЛА (эквивалентно-
го стержня) описываются бесконечной совокупностью гармоник
(тонов) колебаний, каждой из которых соответствует своя соб-
ственная форма и частота. На практике для удовлетворитель-
ного описания динамических свойств объекта бывает достаточ-
но ограниченного числа тонов (обычно 3—5 тонов).
В общем случае при произвольном законе распределения
массы ш0(х) и жесткости EJ(х) по длине объекта функции
/,,(х) аналитически не выражаются. Их находят путем при-
178
менения специально разраоотаиных методов численного инте-
।рпровання.
Если объект может быть схематизирован однородным стер-
жнем, т. е. EJ = const, = const, то решение уравнения
можно представить в виде
Л(х)=Д„8Ь Л'Н fl„ch | ^-Л- +
+C„sin | л-{-/9„cos | (6.18)
где o = i Я, В, С, D — постоянные коэффициенты, ко-
торые находят из (6.18) с учетом граничных условий (6.17).
Выполнив простые преобразования, получим
(6.19)
Собственные формы трех первых топов упругих колебаний
(л = 1, 2, 3), вычисленные по формулам (6.19), приведены
на рис. 6.1. Эти формы соответствуют
не равным пулю частотам <оп. Однако
для уравнения (6.15) можно получить
еще два решения для случая юя = 0.
Действительно, подставив в (6.15) зна
чение — 0, имеем
[д//;;(л')]"=о.
Этому уравнению при граничных ус
ловлях (6 17) удовлетворяют два реше
1
пня:
/о(л-)-До: AJa)-
Рис. 6.1. Собственные
формы первых трех то-
нов колебаний упругого
стержня
Уравнению (6.16) также соответст-
вуют два решения
<7о(О=tfoO-’V+с/ДО): = Ai(O)^ 4-tf-i (0),
где <?о(О), </о(О), 9-i(0), qx (0) — начальные условия движе-
ния объекта.
12:
179
(6.20)
Собственные формы /0(х) и f_j(x) и координаты q0(t) и q_x (t)
относятся к движению объекта как твердого тела. Решение
Уо(О =fo(x)<7o(^) описывает поступательное движение объекта,
а //-1(0— /-1(х)<?_1 (0 — вращательное (угловое).
Для удобства выполнения расчетов собственные формы нор-
мируют. относя значение f„(x) к некоторому характерному раз-
меру, например максимальному значению на конце (х=0 или
х=£). Так, нормированные формы fo(x),/_] (х) могут быть
представлены в виде:
7oW=4(-O/^>=i;
/_I(x)=/_1(jc)/B0=x+5_1/B0=x-xf.
В дальнейшем будем предполагать, что собственные фор-
мы нормированы, и черту сверху ставить не будем.
Отметим весьма важное свойство собственных форм: формы
собственных колебаний упругого объекта, соответствующие раз-
личным собственным частотам, ортогональны на отрезке
[0, L] с весовой функцией т0(х), т. е.
I.
I /7Z0(A')/,„(x)/„(A')tZx = () при n=f=m^ п, Ш— — 1, 0, 1, 2, ...
6
Указанные условия ортогональности имеют следующий фи-
зический смысл: работа сил инерции, возникающих при ко-
лебаниях упругого объекта по n-му тону, на перемещениях, со-
ответствующих колебаниям по m-му тону, равна нулю. Други-
ми словами, колебания стержня по какому-либо тону не мо-
гут вызвать упругие колебания по другим тонам, а также не
изменяют положения его центра масс.
Разработаны эффективные методы расчета и эксперимен-
тального определения собственных форм и частот колебаний.
Связь между собственными формами и частотами устанавли-
вается формулой Рэлея:
где kn — коэффициент приведенной жесткости; тп— коэффи-
циент приведенной массы. Эти коэффициенты определяют по
формулам:
L
та= J /пД.Г)/Дх')Дх;
о
L L
kn= f [EJ(x)fn(x)]"fn(x)dx= f EJ(x) (f'tfdx.
о 0
Замечательным свойством собственных функций является
то, что любая непрерывная функция F(x) на отрезке [Д L] мо-
жет быть разложена в бесконечный ряд по собственным функ-
циям:
180
ео
F(x)= 1 anfn(x),
n= - I
где коэффициенты an равны
L
an = -^— J F(x)m0(x)fn(x)dx.
rnn J
n
Это свойство широко используется для преобразования ис-
ходного дифференциального уравнения движения упругого
объекта в частных производных (6.11) к системе обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. При этом решения Дру (х. t)
ищутся в виде разложения в ряд по формам собственных ко-
лебаний
Дру(А-, /)= S Л(-*)<7п(0. (6.21)
Л=—1
С учетом (6.20) выражение (6.21) примет вид
ДРу(х, О=Ус(О + »(О (А~*<) + 2 fn(x)qn(t), (6.22)
/11
где Ус(',) = /о(А')'7о(0; »(0=?-1(0-
Подставив (6.22) в (6.11), получим
<7л(0 [£•/(*) V Л(Л)]"+/МА') [Ус(О +
Н=1
+i)(0(A-O+S А(аШ01=^(л-, о. (6.23)
Умножим поочередно уравнение (6.23) на собственные
формы q_t (х) = (х—хс); д0(х) = 1; qit qi, • и проинтегриру-
ем по х в пределах от 0 до L. В результате интегрирования с
учетом свойства ортогональности собственных форм получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений относи-
тельно так называемых обобщенных координат: qn(yc> "6- <7ь
q2, -..,):
/»(0=W);
myc=Py(ty, | (6-24)
mn(qn+<02nqn)=Pltf), (n=\, 2, ...)/
где / — момент инерции; Р&—обобщенный момент; Ру, Рп —
обобщенные силы;
181
I L,
I— I m0(x) (x—xc)dx\ m= I m,.(x)dx:
6 0
mn= \ m0(x)f*dx-. Pv(t) = '' A^(t, f) (л-
0 0
L
—xc)dx\ Pv(f) — I APv(.r, t)dx\ /J„(0 —
б
L
= I -\P.,(x, t)fn{x)dx.
h
Первые два уравнения системы (6.24) соответствуют углово-
му и поступательному движениям объекта как твердого тела,
остальные описывают упругие колебания.
При выводе исходного уравнения движения (6.11) предпо-
лагалось, что рассеяние энергии в упругом объекте (эквива-
лентном стержне) отсутствует. Поэтому в системе (6.24) упру-
гие свойства объекта описываются совокупностью незатухаю-
щих гармонических осцилляторов с частотами ш„. В реальных
условиях всегда существует диссипация энергии при упругих
колебаниях. Теоретически степень демпфирования по каж-
дому тону определить трудно. Обычно это делается на ос-
новании экспериментальных исследований в лабораторных
пли натурных условиях п учитывается введением в уравнение
(6.24) соответствующих демпфирующих членов 2c.nu>nqn. Тогда
система уравнений движения упругого объекта примет вид:
/ »>(/)-Pu(f);
mn(qn + 2'nwliqn+^qn)=:Pn(t), п=1, 2, ....
(6-25)
Эта система может быть представлена в другой форме, если
сделать приближенную замену yc=V(b—а), где V — продоль-
ная скорость летательного аппарата; а — угол атаки. Тогда
niV(i~j.) = Py(ty,
>»п tin + 2in ыП qn -j- ш^я)=P„(/), n 1,2.
(6 26)
Вычисление обобщенного момента Р» (/) и обобщенных сил
Ру ?п (I) (п — В 2> •••) связано со значительными труд-
ностями. В общем случае эти силы и момент зависят от
параметров пзгвбных колебаний, и тогда уравнения системы
(6.25) или (6.26) оказываются взаимосвязанными: правые час-
ти зависят от нормальных координат qri(n=l, 2, ...), а так-
же от и. и 0.
182
Система уравнений (6.25) пли (6.26) может быть представ-
лена в нормальной форме, удобной для ситеза наблюдающих
устройств и системы управления,
i'(O=A(W)+Bu(04 D(Og(O- (6-27)
Здесь х = [я, 8, »!, 7п, q2- q2i, ...]т —вектор координат
объекта, где qi, q2 — нормальные координаты; = q\\ — q\,
721 = 7г- • А(/) — матрица объекта (в общем случае нестаци-
онарная из-за изменения характеристик объекта в полете);
и(/)—управление; В -матрица управления; g(()—вектор
возмущений от нестационарной турбулентности; D(Z)—матри-
ца, учитывающая нестационарность турбулентности.
Анализ систем уравнений (6.25), (6.26), (6.27) показывает,
чю по сравнению с жестким объектом с координатами 0(/),
и(/), (0 математическое описание объекта с учетом упругих
свойств существенно усложнилось. Добавились новые неизвест-
ные координаты q„ (/) и новые уравнения колебательного типа
(обычно лежит в пределах 0,02—0,1). К тому же координа-
1Ы qn (/) непосредственно не могут быть измерены, так как яв-
1яются некоторыми абстрактными математическими функция-
ми, которые рассчитываются на основе косвенных измерений,
вследствие чего задача построения информационно-измеритель-
ного комплекса УЛА оказывается весьма трудной и в ряде
случаев практически не решается без комплексирования ин-
формационно-измерительных устройств разного типа.
6.2. Оптимальные комплексные устройства
оценки параметров движения и идентификации УЛА
Задача наблюдающего устройства, предназначенного для
оценки состояния упругого ЛА, состоит в выделении отдельных
мод (колебательных составляющих). Вполне естественно, что
структура синтезируемого фильтра носит ярко выраженный ре-
зонансный характер. Как правило, частоты упругих колеба-
ний объекта в процессе работы существенно изменяются, в
связи с чем эффективность фильтра, построенного на основе
априорной информации, снижается. Поэтому в общем случае
фильтр должен быть адаптирующимся.
Рассмотрим па примере особенности построения и работы
фильтра Калмана с постоянными параметрами для оценки од-
ного тона упругих колебаний.
Анализируемый сигнал может быть представлен выходным
сигналом формирующего фильтра с передаточной функцией
Фф(«) =“?/($24 S^WjS+cuf),
возбуждаемого стационарным белым шумом с заданной спек-
тральной плотностью Sir. Уравнения состояния и наблюдения
примут вид:
183
x=Ax+DV; y=Cx+N, (6.28)
где x(Z) =[xi, x2]T —вектор состояния; A, D, C — матрицы со-
стояния, управления, наблюдения соответственно; N(/)—шум
наблюдения.
Пусть требуется построить оптимальный фильтр, если наб-
людается только одна компонента л'2. y—x2+N и заданы:
J4|V(/)V'(/)] = Ci3(/-t);
/W[N(ONt(O] = Q^—t), Q=S»a
Матрицы и векторы уравнений (6.28) примут вид:
Г IT л I 0 11
Х=[лр Л-З|г; Л=| _Ю2 _2=(0J;
D=[o «?]; С=|0. II:
V=[0, VI’: [о <,“„]•
Для построения фильтра найдем матрицу В
. B-KCQ ', (6.29)
где матрица К в установившемся состоянии определяется ре-
шением алгебраического уравнения
AK+KA1~KCTQ-'CK+G=O.
Компоненты матрицы К
К =
[ A j 1
/<12
/<32
оказываются равными
/\ и = (2;/«>i)SUa (я— 1);'
/<22 = 2; ш, SoA (’•—!);
=0,
(6.30)
где я — [ 1 + WjSov / (I ;2So,v) 11•
Компоненты матрицы В получают нз (6.29) с учетом (6.30)
r Ри1 ГКп 0 1 ГО] _Д_ _1_ 0 1
1^21 J I 0 /<22_| I 1 I ^O.V ^(>,V ./<22
Отсюда находим ^=0: &з1=/<а/.$олг==2;<1>1 (я—1). Уравнение
оптимального фильтра в векторно-матричной форме имеет вид
x=A%4-B(y—Сх).
(6.31)
184-
Учитывая выражения для х. Л В ( otiiinni п.ный <|>и n.ip
((> 57) можно представить системой шфф( р< nun 1 и пых ур.пнн
iiitii:
Соответствующая структурная схема оптимального наблюда-
ющего устройства приведена на рис. 6.2.
От системы уравнений перейдем к передаточной функции
фи 1ыра
А
___________
Модуль передаточной
|)\ икцип
I | =
__________Ь_ !<О_________
|(UJ2_tu2)2n_(2e»i + fcs1)?<0’|1/2
Рис. 6 2 Структурная схема опти-
мального фитьтра
Пусть 2=0. При точной настройке фильтра (io = coi) полу-
чаем | (/ы )| — 1. Если погрешность настройки составляет
10%, т. е. со = 0,7<oi, то
| №ф( h) I ш—ОЛш, - [ы2_ 0 7^2*^’ ^2]1 2 '
При g=0 значение b2\ -> &2io=(ozi ($ov /5ол’)1/2-
Например, если принять параметры полезного сигнала и
помехи Sin =SOv , оц = 1 с-1, то | (/«) | ш=о,7Ш1 = 0,81.
Таким образом, при выборе параметра оц наблюдающего
устройства с погрешностью 30% выделение этого тона упру-
1 их колебаний производится с погрешностью того же порядка.
С ростом погрешности настройки фильтра погрешность выде-
ления тонов колебаний начинает возрастать в большей сте-
пени, что требует решения задачи синтеза адаптирующихся
наблюдающих устройств. Сложность построения оптимального
фильтра для одновременного выделения нескольких тонов уп-
р\ гих колебаний существенно возрастает. При отсутствии циф-
ровой вычислительной машины в системе управления возмож-
но использование отдельных резонансных фильтров, близких
по структуре к рассмотренному фильтру, но обладающих более
выраженными резонансными свойствами, чтобы исключить
влияние соседних тонов упругих колебаний.
185
Решение задачи построения наблюдающего устройства для
УЛА осложняется тем, что в процессе полета изменяются не
только его выходные координаты, но и параметры математи-
ческой модели. Точное предсказание значений указанных па-
раметров не представляется возможным. Поэтому наблюдающее
устройство в таких случаях должно производить одновремен-
но оценивание координат и параметрическую идентификацию
объекта.
Для динамических систем разработано множество подхо-
дов к решению задачи оценивания и идентификации. Однако,
как указано в работе [4], задачу оценивания и идентификации
аэроупругого ЛА, даже осуществляемую только в рамках ли-
нейной теории, следует отнести к числу особо сложных Это
связано прежде всего с высокой размерностью соответствую-
щих математических моделей. Выполненное авторами работы
[4] исследование показало, что для задачи одновременного
оценивания и идентификации тяжелого упругого самолета при
использовании широкоизвестного нелинейного фильтра Калма-
на и четырехточечном методе численного интегрирования необ-
ходимое число операций на один шаг составляет в общем
случае приблизительно 20/1, где размерность вектора состоя-
ния п порядка 100. Если учесть, что для задач оценивания
аэроупругих колебаний в реальном масштабе времени шаг не
должен превышать 0,01 с, то оказывается, что нелинейный
фильтр Калмана для задач оценивания и идентификации упру-
гого самолета па основе многомерной модели по существу не-
реализуем. Аналогичный вывод можно сделать и для ряда
других упругих летательных аппаратов с большой размер-
ностью модели.
Эффективность решения задачи оценивания и идентифика-
ции упругого объекта зависит от следующих факторов:
1) наличия экономного по вычислительному процессу алгорит-
ма обработки; 2) формы применяемой математической моде-
ли; 3) состава и точности датчиков; 4) характера движения
объекта.
Весьма эффективный алгоритм оценивания и идентифика-
ции предложен А. А. Красовским [4]. Для процесса x=f(x, и,
O+V и условия наблюдения y=h(x, u, /)+N, где V(Z),
N (/)—векторные белые шумы с матрицами интенсивностей G,
Q: f, h — дифференцируемые векторные функции векторных ар-
гументов х, и и времени /; и — точно измеримый (известный)
вектор управления, алгоритм имеет вид:
x=f(x, u. ^) 4-K(<?h/<5x)TQ~1[y—h(x, u)]; (6.32)
ДрК4-К=Ах—Ахт; (6-33)
Ax -(<?f/ax)Ax+R((?h/dx)TQ-1[y-h(x, u)]4-V*. (6-34)
186
Здесь Тср — скалярная постоянная времени; V* — генерируе-
мый в процессе функционирования алгоритма белый шум, ими-
тирующий белый шум V и имеющий ту же матриц}' интен-
сивностей G.
Л
В данном алгоритме оценка ковариационной матрицы К
определяется путем статистической обработки выходных сигна-
лов вспомогательной модели (6.34) для ошибки оценивания
Ах. Вследствие того, что шум V считается недоступным для
измерения, он заменяется в уравнении (6.34) статистически
эквивалентным генерируемым шумом. Общий порядок систе-
мы уравнений (6.32) — (6.34) равен 2/i-pn(/i-|-l)/2 (с учетом
симметрии К), т. е. даже выше, чем в алгоритме Калмана.
Однако ввиду исключительной простоты уравнения (6.33) необ-
ходимое число элементарных операций для численного инте-
грирования системы уравнений (6.32) — (6.34) существенно
меньше. При высоком п число необходимых операций на один
шаг интегрирования составляет около ЗОн2, т. е. при п = 100
почти на два порядка меньше, чем для фильтра Калмана.
Тем не менее, в виде (6.32) — (6.34) реализация алгоритма
в реальном масштабе времени для аэроупругих объектов ока-
зывается практически невозможной. А. А. Красовским предло-
жен упрощенный вариант алгоритма (6.32) — (6.34) при Тср =0:
x=f(x, u, 7) К A.x[(c)h/t)x)Ax]rQ~1[y—h(x, м)1; (6-35)
Ax = (r)f/c>x)Ax-f-Ax[((?li/<?x)Ax]TQ4 [у—h(x, u)]-{-Vv'. (6.36)
Число необходимых элементарных операций на шаг четы-
ре.хточечного численного интегрирования уравнений (6.35) и
(6.36) составляет около 8л(л + т) при и 8/г/п при f=0,
где т — размерность вектора наблюдения (число датчиков).
Так, при п — 100, т = 20, f — 0 необходимое число операций на
один шаг равно 1.6-104, т. е. существенно меньше, чем в других
вариантах. В работе [4] показано, что предложенный алгоритм
обладает необходимой степенью устойчивости.
Как уже указывалось, успешное решение задачи оценива-
ния и идентификации зависит не только от свойств алгорит-
мического обеспечения. Важное место здесь занимает форма
применяемой математической модели. На стадии синтеза сис-
темы управления и натурных испытаний целесообразно иметь
как можно более полную, а следовательно, и более высокой
размерности модель. В штатной системе управления с ЭВМ в
реальном масштабе времени должна использоваться как можно
более простая модель, полученная на основе исследований
полной модели.
Наконец, одним из решающих факторов является состав
установленных на объекте измерителей, который должен обес-
печить достаточную наблюдаемость в рамках выбранной мате-
187
магической модели. Как указано в работе [4], при плохой на
блюдаемостп идентификация и оценивание столь сложных про-
цессов, как движение УЛА, практически невозможны. В этой
связи весьма важно иметь в составе датчики, измеряющие
компоненты вектора состояния непосредственно, а не через реа-
лизацию сложных функциональных и динамических зависи-
мостей. Для упругих подвижных объектов это имеет особое
значение, так как измерение вектора обобщенных координат
тонов упругих колебании связано с необходимостью оценки
форм собственных колебаний в пустоте.
Оптимальное (субоптнмальное) определение всех компо-
нент вектора состояния упругого подвижного объекта позволя
ег оценить непосредственно неизмеримые координаты форми-
рующих фильтров и позволяет использовать число датчиков в
2—2,5 раза меньше размерности вектора состояния. При этом
появляется возможность контроля исправности всех измерите-
лей и сохранения работоспособности системы при внезапных
отказах.
Вместе с тем, при невозможности или трудности реализа-
ции оптимального наблюдающего устройства (отсутствие ЭВМ,
малое быстродействие ЭВМ, высокая размерность модели)
единственным выходом нз положения является получение необ-
ходимых компонент вектора состояния с помощью непосредст-
венных измерителей и соответствующих фильтров. Например,
последовательным интегрированием сигналов линейных аксе-
лерометров с последовательно включенными резонансными (в
общем случае адаптивными) фильтрами можно получить
информацию о движении жесткого объекта и упругих колеба-
ниях. Однако такой подход не всегда обеспечивает решение
задачи. Существенный эффект, как будет показано далее,
приносит использование датчиков другой физической приро-
ды, выдающих информацию непосредственно об упруго-напря-
женном состоянии подвижного объекта.
Теория и практика проектирования наблюдающих устройств
в системах управления показывают, что при введении до-
полнительной информации (дополнительных датчиков) появ-
ляется возможность повысить точность, надежность оценки
состояния, а иногда и существенно снизить требования к коли-
честву и характеристикам основных датчиков информации.
В этой связи рассмотрим эффект, получаемый при введе-
нии в систему управления упругим подвижным объектом дат
чнков упругой деформации. Пусть объект описывается урав-
нением
-^-[^(х) 4-/«oW =SP(x,t).
Граничные условия определяются способом закрепления
соответствующей схематизирующей балки. Выберем решение в
188
виде разложения в ряд по собственным формам колебаний в
пустоте fn(x):
N
= 2 UX)<M. (6.37)
Л =—I
। де qn (t)—нормальные координаты; N— число учитываемых
гонов.
В работе [49] указано, что задача оценки нормальных ко-
ординат qn (/) в общем случае математически некорректна,
однако при ограничении числа N она регуляризуется
При наличии £ + 2 датчиков, измеряющих линейные смеще-
ния Aq(xa, t) в точках xk, получим систему уравнений:
Ар_1(л-_1Д) = /_1(х_1)^_1(21)4-/0(л'_1)90(^)4- ... +f,l(x_i)qn'(ty,
Ар0(х0, f) = f-i(x0)q_1(t) + fu(x0)qu(t)+ ... + fn{x0)qn(t)\
^k(xk, ^i(*ft)?-i(O + /o(**)?oU)+ - +fn(xk)qn(t).
В матричной форме задача имеет вид
Ар= f q,
где Aq=[Aq_1 , Ago, • • . Agft]T—вектор измерений; q =[q_t.
г/о, ..., <7„]т —вектор нормальных координат; f — матрица,
. f-i(xn) fo(xa) ••• fn(xo)
_f-t(Xk) fo(Xk) ••• fn(Xk)
Коэффициенты f определяются расчетным или опытным
путем. Тогда искомые нормальные координаты находят из
уравнения q=f-1Ap, где f~l — матрица, обратная матрице f.
Указанная задача решается, если матрица f квадратная
(/?—/?), а ее определитель отличен от нуля, т. е. число датчи-
ков должно равняться числу учитываемых членов ряда в
разложении по собственным функциям.
Введем теперь в рассмотрение совокупность измерений, по-
лучаемых с помощью датчиков деформации,
а(Х, = =АР"(Л', /)
Продифференцируем дважды по х выражение (6.37)
к
Ар"(л-, ^)==(х,0= 2 fn(x)qn(t).
п = -1
Учитывая, что f-j (х) =/о (х) =0, полученное выражение
примет вид
189
c(x, t)= 2
Л=1
При наличии п датчиков, размещенных но длине объекта
в точках хп, получим систему уравнений:
/)= /;\л,)71(/)+ Л(л'4)72(О+ -
а,(х2, t)=f'l(x2)ql(t)+fi(x3)qz(t)+ ... + fn(x2)qtl(t);
«„(*«, 0 = Л(лп)?1(0+/2(*л)ЫО + ••• + fn(x„)qn(f).
В другой форме
3=f"q,
где а=[оР о2, • • • >ал]т—вектор измерений; q= [<?i, <72, • , <7,JT—
вектор нормальных координат; f" — матрица, получаемая рас-
четным или опытным путем,
ГЛ(^) ГЫ ...Л(Л',)П
Л(*з) Л(Х2) ...fn(X2)
_/Ы ГЫ - Г'Ы _
Отсюда q=(f")-1a.
Таким образом, определение компонент вектора q воз-
можно путем обработки информации как от датчиков ли-
нейных смещений Ар(х, /), так и от датчиков упругой дефор-
мации о(х, t). Однако при использовании датчиков деформа-
ции размерность вектора q становится ниже на 2, т. е. ока-
зывается невозможным определять нормальные координаты
7-1 (/) и qi(t), соответствующие поступательному и вращатель-
ному движениям объекта как жесткого тела.
С одной стороны, это обстоятельство является недостат-
ком применения датчиков упругой деформации, но с другой
стороны, оно может оказаться чрезвычайно важным и полез-
ным, так как позволяет без какой-либо дополнительной обра-
ботки выделить движения объекта, связанные с упругостью
конструкции.
Промежуточная ситуация получается, когда в качестве из-
мерителей нспользу ются датчики углового положения
<f(x, t)=db?(x, tytdx,
например, гироскопического типа.
В этом случае вектор нормальных координат q=[<?o> Я\,
q2, ..., qпУ вычисляется по формуле
где Ф=[<рс, <р„ <р2;..., <р„]т —вектор измерений в точках х0, хь
190
х2,...,хп; (Г)-1— матрица, обратная матрице Г и определяе-
мая расчетным или опытным путем,
f'(x) = /о(хо) /К*о) - Л(*о) /о(АТ) /К*!) .../ДХО
Л(х„) /1(х„)
В этом случае при наличии п+1 датчика рассчитывают
нормальные координаты q0, q\,...,qn, но координата q_, (t) не
вычисляется.
Нетрудно показать, что определение необходимой совокуп-
ности нормальных координат qt (Z) может быть достигнуто
комплексированием датчиков разной физической природы, со-
держащих сигналы от линейных, угловых смещений, упругих
деформаций. Так, при использовании одного датчика линей-
ных смещений До(х. /), установленного в сечении х_}, одного
датчика угловых поворотов <р (х, /), установленного в сечении
х0, и п датчиков упругой деформации, установленных в сече-
ниях Xi, х2,.. ,хп, вектор нормальных координат q=
= [q_\, qo, qi,..., qn]r определяется с помощью алгоритма
q =А ‘L,
где L—вектор измерений,
L=[Ap_](-X_j, t), <p0(x0, t), o1(jc1, t), ..., ол(х„, О] ,
A — матрица, члены которой рассчитываются по исходной ма-
тематической модели,
А= 0 /о(хо) 0 0 /!(*«) /КхО.../^) .
0 0 /Ы... ГЫ
Существенное достоинство рассмотренных выше алгорит-
мов определения нормальных координат q„ (/) заключается в
том, что реализация может быть осуществлена аналоговыми
методами с использованием лишь сумматоров и инверторов.
Коэффициенты сумматоров подсчитываются заранее или мо-
гут изменяться от блока подстройки. В этом случае снима-
ются все ограничения по быстродействию в отличие от ва-
рианта реализации на ЭВМ.
Матрицы f(x), f'(x), f"(x). А(х) конструируются заранее
на основе математической аппроксимации собственных форм.
Основное требование, предъявляемое при этом, — достаточ-
ная обусловленность, достигаемая за счет выбора мест ус-
тановки датчиков: Дд(х, t), <р(х, I), а(х, /). Тогда малые по-
грешности измерителей не будут приводить к большим
191
ошибкам при восстановлении нормальных координат. К хоро-
шо обусловленным матрицам относятся диагональные и орто-
гональные матрицы.
В качестве критериев обусловленности могут быть ис-
пользованы так называемые числа обусловленности Тюрин-
га и Тодда. Числа обусловленности Тюринга ц(А) действи-
тельной квадратной матрицы А вводятся через норму этой
матрицы ||А,| следующим образом:
^(А)==«-1 || А || || А"1 ||,
где п— порядок матрицы. Используя сферическую и кубичес-
кую нормы
llAl|i=(22 II А||ц=я max|fiF4
р. V p.,v
получим первое 1д(А) и второе t]n (А) числа Тюринга.
Первое число обусловленности Тодда т]щ (А) выражается
через собственные значения a|JL матрицы А
тщ 1 (A)=тах [ ct., | 'min |аи |.
Второе число обусловленности Тодда
tji\ (A) =шахл1Х/пппД,
Р- Р-
где Хц—арифметические значения квадратного корня из собст-
венного числа матрицы Ат А. Если матрица А симметрична,
ТО Т] III =T)IV •
Все числа обусловленности больше единицы и связаны не-
равенствами:
^(AXvj.^AX^/i.CA);
'/ii(A)<7]iv(A)<nrn(A);
7iiii(AX'>]iv(A).
Чем лучше обусловлена матрица, тем ближе числа т](А)
к единице. Указанное свойство позволяет формулировать кри-
терии размещения датчиков на корпусе ЛА.
G.3. Субоптимальные комплексные устройства
оценки параметров движения УЛА
Демпфирование высших тонов упругих колебаний объек-
та активными методами, как правило, не удается вследствие
узкой полосы пропускания исполнительных органов системы
управления. Такая задача обычно и не ставится при син-
тезе системы. Вредное воздействие высших тонов заклю-
чается в «забивании» контуров стабилизации и управления, со-
192
держащих звенья с нелинейными характеристиками. Для
борьбы с вредным воздействием такой высокочастотной поме-
хи применяют ряд способов формирования контура стабили-
зации. Один из них, который получил название способа ам-
плитудной стабилизации, заключается в том- что в контур уп-
равления вводится последовательное корректирующее устрой-
ство в виде узкополосного фильтра, за счет чего обеспечива-
ется провал логарифмической амплитудно-частотной характе-
ристики на резонансных частотах. Фактически провал соот-
ветствует размыканию системы ио высшим тонам колебаний.
Принципиально амплитудный способ стабилизации можно
использовать и для нейтрализации помех от низших тонов
колебаний, если собственная частота объекта управления срав-
нительно невелика. Задача разработчика состоит в том, что-
бы каким-либо способом (схемным или конструктивным) ис-
ключить сигналы от упругих колебаний из показаний датчи-
ков. Один из способов заключается в том, что датчики угло-
вых величин устанавливаются в пучностях, а датчики линей-
ных скоростей и ускорений — в узлах волн упругих колеба-
ний. Однако реализация этого основного принципа сопряже-
на со значительными трудностями, так как узлы (или пучнос-
ти) отдельных тонов колебаний не совпадают, и по мере вы-
горания топлива происходит смещение положения узлов упру-
гих тонов по длине конструкции.
Предложено большое число способов (фильтров) нейтра-
лизации упругих тонов в сигнале, поступающем в систему ав-
томатического управления. Рассмотрим некоторые из них под-
робнее.
Нейтрализация помех с помощью антирезонансных фильтров.
Антирезонансные фильтры (так называемые фильтры-проб-
ки) настраиваются па частоты нейтрализуемых тонов коле-
баний и подавляют их в сигна-
лах датчиков, поступающих в
систему управления. Как пра-
вило, антирезонансные фильт-
ры являются узкополосными
адаптирующимися фильтра-
ми, так как частоты отдель-
ных тонов близки друг другу
и существенно изменяются в
процессе полета.
Функциональная схема си-
стемы нейтрализации упругих
колебаний приведена на
рис. 6.3, где 1—сервопривод;
2—летательный аппарат; 3—
датчик угловой скорости г;
4 —датчик угла; 5—самонастраивающийся фильтр; б—ограни-
читель; 7—блок произведения; 8—интегрирующее звено; 9—
13 Заказ М 671
Рис. 6.3. Функциональная схема си-
стемы нейтрализации упругих коле-
баний
193
контур настройки на частоту упругих колебаний; v3—заданное
значение угла тангажа.
Передаточная функция фильтра 5 имеет вид
26,7^
l+2e27’as+7’^2
где Т2=11а„.
Выделяемая фильтром составляющая вычитается из основ-
ного сигнала. В результате передаточная функция антирезо-
нансного фильтра принимает вид
26.7.S 1 г ТЖ
^4>(s) = 1 i-L.2e3T2s + 7|s« фа (6.38)
при условии, что параметры настройки выбраны в виде ра
венства
2ilTl=2kiT.,. (6.39)
Выражения для амплитудных и фазовых частотных характе-
ристик соответственно будут:
А“) = I ВД I =
_____l-Z'W
) Г 4 (2^7\)2 ’
<?(<*>) = — arctg-j-у^ф
( 0 при <и<1/Г2;
( - при «1> 1, Т2.
(6.40)
Однако к выражениям (6.40) при включении фильтра в
систему стабилизации следует относиться с большой осторож-
ностью. Здесь предполагается, что условие (6.39) соблюда-
ется точно. Однако на практике при реализации (6.39) ко-
эффициенты 2gI71 и настраиваются разными элементами
схемы и обеспечить точное их равенство возможно лишь с
точностью до е.
При этом возможны два случая:
\)2^Т1<2ЪТг\\
2) 2^17'|>2^Т2. ] <6’41)
Примем для упрощения Т^Тч—Т. Тогда условия (6.41)
преобразуются к виду:
1) 2) ^>?2.
В первом случае передаточная функция фильтра-пробки
— l+26a7s+7’2s®
где |2—|1>0.
Выражение для фазовой характеристики будет иметь вид
Ti(w)=<pn(w)+<Pi2(u>),
194
где
. . . 2е2Го> , х , 2(6,-6,) а»
<pn(w)=arctg ; ?12(u))=arctg 1У.г-2 >
Ввиду малости &—Eji = 8, второе слагаемое при |2-*gt прини-
мает следующие значения:
V12(w)=f 0при«<1/р
YUV ' ( -|~чг при ш> l/Г,
что совпадает с (6.40).
Однако во втором случае передаточная функций
W (.л- 1-2(6,
— i+2617’s+7’2s« »
где б,—?2>0.
При этом фазовая характеристика имеет вид
ср;>(ш)=<р21(ш)+?<2(ш),
где
, V . i 2(6,— 62)Ты
срЭ1(<и)—arctg । ^_ y2t0« > ?22(ш) arctg ।_72^ •
Ввиду малости —§2=8 при второе слагаемое прини-
мает значения:
, , | 0 при и><1/Г;
?22(‘")— — при 10>1/7'.
Для рассмотренных случаев фазово-частотные характеристи-
ки изображены на рис. 6.4. Анализ характеристик (рис. 6.4)
показывает, что при отсутствии контроля условия (6.39) воз-
можно неожиданное скачкообразное изменение фазовой харак-
теристики до —2л.
Оценим теперь чувствительность амплитудно-частотной ха-
рактеристики (АЧХ) звена (6.38) к неточности компенсации
членов 2gi?'i и 2|27’2-
В общем случае
л: ч |п_. . и И|-Г1<о2)2+4(^7’а-61Г1)«ш8
’ 1 71 }/(1—7>2)S4-45| 7-20,2
Пример. Рассмотрим влияние погрешности настройки, равной 10%.
Пусть б,?, «= 0,9Е27а. Тогда
Имея в виду, что I —7|шг = 0 па подавляемой частоте,
2-0,16, Лл,
Л(щ)=1 ос т =0Л: 20 1g Д(о>)= -20 дБ.
•* 2е0 я
♦
Таким образом, при неточном выполнении условия (6.39) степень ампли-
тудного подавления выбранного тоиа существенно снижается.
13» 195
Нейтрализация помех с использованием модели объекта.
Для нейтрализации упругих колебаний, частоты которых близ-
ки или попадают в полосу пропускания системы автоматическо-
го управления, могут быть применены методы с использова-
нием математической модели жесткого объекта [49].
Функциональная схема реализации метода приведена на
рис. 6.5, где 1 — сервопривод; 2 — летательный аппарат; 3— мо-
дель жесткого летательного аппарата; 4 —фильтр высших час
тот; 5 — фильтр низших частот.
Рис. 6.4. Фазово-частотиые
характеристики фильтра -
пробки
Рис. 6.5. Функциональная ’ схема
нейтрализации упругих колебаний
с использованием модели объекта
Сигнал, пропорциональный отклонению органов управления
1, поступает на модель жесткого объекта 3. Сигналы упругих
колебаний на выходе датчиков угла О и угловой скорости &
нейтрализуются низкочастотными фильтрами 5. Информация,
теряемая за счет сужения полосы пропускания системы авто
матического управления, восполняется информацией, снимае
мой с модели жесткого тела. С этой целью сигналы модели
пропускаются через фильтр высших частот 4. Нижняя частота
полосы пропускания фильтра 4 соответствует верхней частоте
пропускания фильтра 5, а его верхняя частота выбирается из
условия обеспечения заданных динамических характеристик
системы управления. Результирующая полоса пропускания рав-
на сумме полос пропускания фильтров высших и низших час-
тот. В качестве фильтров 4 и 5 могут быть выбраны динами-
ческие звенья:
^)=7Гн.- ^) = ТЙГГ-
Тогда суммарная передаточная функция жесткого объекта
имеет вид
^(s) = TOU74(s)+ 1Г2(х)1Г3(х).
При достаточно близком соответствии модели и объекта
= W,(s)=WM(s}.
196
Тогда
ГжЮ= Йтг + ^т-
Отсюда следует, что информация о Движении объекта как
жесткого тела сохраняется, в то время как сигналы упругих
колебаний нейтрализуются.
Нейтрализация помех при комплексировании датчиков уг-
ловой скорости. Структурная схема контура стабилизации,
Рис. 6.6. Структурная схема систе-
мы стабилизации
Рис. 6.7. Схема нейтрализации
упругих колебаний с использова-
нием двух датчиков угловой
скорости
обеспечивающего решение задачи демпфирования упругих ко-
лебаний, приведена на рис. 6.6. В качестве чувствительного
элемента используется датчик угловой скорости. Передаточные
функции объекта управления как твердого тела (s), упру-
гого объекта №y(s), датчика угловой скорости и7д у с(5) и руле-
вого тракта №р т ($) имеют вид:
1+#уГу(5Нф2 ’ 1+26д7д®+7^а :
^р т(5) — l-ycs+foH-es3
Рассмотрим случай, когда в изгнбных колебаниях преобла-
дает составляющая одного первого тона. Выделение сигнала,
пропорционального первой производной изгиба корпуса •&у, мо-
жет быть реализовано при помощи двух датчиков угловой ско-
рости.
Измерительная часть структурной схемы контура стабили-
зации приведена на рис. 6.7. Предполагается, что датчики
угловой скорости расположены по длине корпуса так, что
первый датчик воспринимает сигналы производных от изгиба
Оу и углового положения 0>к синфазно, а второй — со сдвигом
фаз па 180°.
197
Из структурной схемы следует, что в выходных сигналах
сумматоров 21 и 22 содержится следующая информация:
s
(®5+Му) 1+26д17’д1«+7’1я2 + (’*« Му)Х
__________S____________.
1 + 2^2 ^д2® + ®2
5
Гг= 1+25^7^7^2 +
£
+ (®ж+МУ) 1+2ЕД1Гд15+7’»152<-
При идентичности характеристик датчиков угловой скорости,
когда ^ = ^2=1; ТД1=ГЛ2=7’, имеем:
^1 = ]-]-2575+7252 [2s^A+s^y(^i— Л2)],
2— 'l+2£7’s+7’2s2 ^(^“Не-
соответствующим подбором коэффициентов ki и k2 (т. е.
размещением датчиков по длине корпуса) можно обеспечить
равенство ki=k2. Тогда
О
" 1+257^+7252
2Ai
у________________сЛ
1г~ l+257s+72s2 У
Сигналы У] и У2 содержат разделенную информацию о дви-
жении объекта как твердого тела и об изгибных колебаниях
корпуса.
Рис. 6.8 Схема нейтрализации
упругих колебаний с использова
нием трех датчиков угловой ско-
рости
Теперь рассмотрим задачу выделения сигнала, пропорци-
онального скорости изгиба корпуса, при помощи трех датчи-
ков угловых скоростей. Как следует из структурной схемы
(рис. 6.8), сигнал на входе рулевого тракта имеет вид
198
K(s)=(O»+A,bJ Гц.у.с1(5)-(Н)к-Л21\.)1Гд.у.сг(5)
Ч"(1*ж ^.ч'*у) W^a.y.c:<(s)-
При идентичности характеристик датчиков угловой скорос-
ти получим
Г(5)={>жи7д.у.с(5) + ‘ЦА1-*2-/гз)^.у.с(5)-
При соответствующем выборе коэффициентов можно до-
биться приблизительного равенства k^k.,-[-k3.
Тогда сигнал У(х) на входе рулевого тракта оказывается
практически «очищенным» от составтяющих упругих колебаний.
Нейтрализация помех при комплексировании датчика угло-
вого положения и датчика продольной упругой деформации
корпуса ЛА. Рассмотрим задачу нейтрализации сигналов коле-
баний первого тона. Сигнал гироскопа, установленного в точке
х=хг имеет вид
MO=UO+MO,
где 0ж (/)—угловое смещение жесткого (твердого) объекта;
0у (/) —сигнал от упругих колебаний.
С учетом выводов п. 6.1 имеем
Здесь Ah Bi—коэффициенты; fi(x, mi) — собственная форма
колебаний, первого тона.
/i(.r, w1)=D(sh ]/^*+ sin
+ ch x+cos у/"~^-х, (6.42)
где
L — длина летательного аппарата.
Учитывая (6.42), сигнал Оу (/) можно описать выражением
••y(^)=(AIsinu)1f-|-B1cosw10 -^(ch
c,)S । Z )+ (sh у ^-x-sin у x )] • (6.43)
199
Величина продольной деформации <т в точке х—хг опреде-
ляется формулой
c(t)=d^(t)/dx\ х._Хг. (6.44)
Подставляя (6.43) в (6.44), получим
a(/) = (?l1sin(u1Z+fi1cos<ulOX
X [z)-^(sh 1/-^- х — sin 1/+
L (i \ I a та/
При комплексировании сигналов датчика углового положе-
ния ёг и датчика деформации a(t) получим:
Y(t)=kftr(x, t\ k2a(x, t),
где и /г2 — коэффициенты. Будем считать, что оба датчи-
ка установлены в одном поперечном сечении х=хг. Тогда
Y(t) + (Л а sin<o! / 4- В ,cos«>iO X
X iZ-^-Xr+cos -i/AKxJ+*,1/-^-X
I f L4 \ f U F t*- / f Cl
Очевидно, что нейтрализация сигналов от упругих колеба-
ний в выходном сигнале У(/) возможна при соблюдении усло-
вия
Му(*Г> О+М*г. 0=0,
что соответствует
При заданном месте размещения датчиков х=хг нетрудно
получить требуемое соотношение между kx и k2, обеспечиваю-
щее нейтрализацию сигнала от упругих колебаний,
200
г
Нейтрализация упругих колебаний многомерного объекта.
Пространственное движение достаточно широкого класса
ЛА, содержащих присоединенные элементы с существенно уп-
ругими свойствами, описывается векторно-матричным уравне-
нием вида:
Ах =Bq PCM; 1
q+Dq+Eq=lFx,l
где х==[ф, А, ф]т—вектор угловых координат объекта; q =
=[qn > qzjT— вектор нормальных координат, характери-
зующих колебания упругих элементов; М=[Л1.;, М&, М9]т —
вектор управляющих моментов; А, В, С — матрицы объекта,
влияния упругости и управления соответственно.
А ==
а11 #12 #13
#21 #22 #23
#81 #82 #88
'Ь,
b.
^81
11 "12
'21 &22 •
Ьз2
bll
b2L
• • bs[
сп О О
О с^2 о
О 0 с88
В =
С =
D, Е. F — матрицы, характеризующие упругие свойства кон-
струкции ЛА,
D =
du О О
О 4^23 О
О 0 С?зз
' еи 0 0“
0 е2а 0 ;
О 0 й33
f11 /12 /13
/21 /22 /гв
/si /22 /за
Информация о движении объекта (вектор х) поступает от
датчиков пространственного положения (датчиков углов, уг-
ловых скоростей и ускорений). Сигналы датчиков содержат
составляющие движения объекта как твердого тела хт (соста-
вляющие движения связанной с объектом системы координат)
и движения объекта, вызванного упругими (слабозатухающи-
ми) колебаниями упругих элементов ху,
х—хт+ху.
Часто для режима программного управления или стаби-
лизации требуется непрерывное определение составляющих хт
и ху Знание исходной математической модели движения по-
201
зволяет построить эффективный алгоритм оценки состояния
на основе непрерывной безынерционной обработки сигналов
датчиков пространственного положения х и упругих деформа-
ций элементов конструкции q.
При отсутствии управляющего момента М=0 вектор ху
вызывается консервативными упругими силами и является ин-
вариантным относительно перемещения объекта в пространстве
как твердого тела. Тогда вектор ху можно определить из
однородного уравнения:
Axy=Bq; xy A 'Bq
С учетом консерватизма системы получим:
ху= A~' Bq; ху А ’В<|
Следовательно,
хт= X— Ху= х—A-1 Bq; хт= X—ху =
= х—A ’Bq; хт=х—ху—х- A ’Bq
Отсюда следует вывод' информация о пространственном
движении объекта как твердого тела может выделяться не-
прерывно с помощью безынерционной обработки измерений
от датчиков пространственного положения объекта (компо-
ненты вектора х) и автономных датчиков упругих деформаций
выносных элементов (компоненты вектора q). Это позволя-
ет строить контур стабилизации упругого ЛА, используя вы-
численный вектор хт, хт, хг. Коэффициенты матриц А"' В мо-
гут быть вычислены заранее, что позволяет осуществлять
как цифровую, так и аналоговую реализацию алгоритма. Если
коэффициенты изменяются в процессе полета, то необходимо
предусмотреть их подстройку программным путем или методом
идентификации.
Введение избыточных измерителей для адаптивного оце-
нивания состояния и идентификации параметров деформируе-
мого объекта. Выше дан анализ реализации измерения обоб-
щенных координат на основе безынерционного матричного пре-
образования выходных сигналов измерителей при хорошо обус-
ловленной матрице A: q=A-1 L, где q —вектор обобщенных
координат; L — вектор измерений.
В случае, если собственные формы нестационарны, что
свойственно большинству деформируемых ЛА, то рассчитанные
значения обобщенных координат на основе априорно заданной
матрицы А будут отличаться от действительных значений. Воз-
никает задача текущей идентификации коэффициентов ' форм
(матрицы А).
202
1
Пусть L=[o[(*i)... (х„)]т;
4>W ... ^(х.)
где <Т|(х),..., стл(х„)—выходные сигналы датчиков деформа-
ции; ф|(х),.. -, фп(х)—собственные формы упругих колеба-
ний.
Рассмотрим возможность решения этой задачи при вве-
дении избыточных измерителей. Пусть введен один дополни-
тельный датчик <т„+1(х„+1), расположенный в сечении хя+1 , не
совпадающем ни с одним из мест установки других датчиков
L* = [°i(x1), ..., ап(хп). оп+1(х„+1)]т.
Тогда появляется возможность сформировать /г+1 матриц
АР г=1, 2,..., п+1 и векторов измерений L,, i=l, 2,...,/г+1
Матрицу Az получим, если опустим г-ю строку из расширен-
ной матрицы
ъ(х„) ...
а вектор измерений Lz — если опустим г-й элемент расширенно-
го вектора L*. Посредством матричного преобразования нахо
дим
q(=Az~1Ln г = 1, 2, п, п+1.
При неизменности собственных форм колебаний и соответ-
ствии априорной информации действительному состоянию
q1C=qz= ... =qn =q„+I. При изменении в процессе полета форм
собственных колебаний это равенство не выполняется Мерой
рассогласования служат измеряемые разности:
Дч.+к г=чг+1-чг; Дч=1дМ21. аЧз2 ДЧ1. «+1Г-
В качестве критерия оптимизации выберем критерий ми-
нимума квадрата разностей
J=(Aq)TAq/2.
Следует учесть, что ранг матрицы Aq, как и матрицы А*,
равен /г+1. Поэтому можно составить адаптивный алгоритм
оценивания параметров матрицы А* на основе метода стохас-
тической аппроксимации
Л Л
AU1
где
203
л»
dAk
Wk wk -
Л ’ Л
dAik ^л+i.ft «
Л
Начальные значения матрицы А* выбираются на основе
априорных сведений, что обеспечивает высокую сходимость ме-
тода.
Выше рассмотрены методы получения информации о пара-
метрах состояния объекта управления.
Оптимальный синтез стохастических систем управления де-
формируемыми объектами, как и других систем автоматическо-
го управления, проводится на основе теоремы разделения: оп-
тимальная система состоит из оптимального наблюдателя и
оптимального регулятора, синтезированного в предположении
точного измерения полного вектора состояния. При этом в ка-
честве критерия оценки состояния используется критерий ми-
нимума следа ковариационной матрицы ошибок оценок. Как
правило, наблюдающее устройство выполняет функции одно-
временно оценки в восстановления вектора состояния. Однако
введение его ухудшает динамические свойства контура управ-
ления. Формально наблюдающее устройство добавляет свои
корни к имеющимся корням характеристического уравнения
замкнутого контура, однако фактически могут существенно
ухудшиться условия устойчивости исследуемой многомерной си-
стемы. Введение дополнительных измерителей расширяет мат-
рицу измерений и позволяет свободнее (независимо) управлять
корнями уравнения наблюдающего устройства.
Список литературы
]. Андреев Н. И. Теория статистических оптимальных систем. М.: Наука,
1980. 416 с.
2. Балакришнан А. В. Теория связи/ Под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь,
1972. 392 с.
3 Б.чртлем М. С. Введение в теорию случайных процессов. М.: Изд-во
ипосгр. лиг., 1958. 316 с.
4. Белоцерковский С. М. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980.
383 с.
5. Бендат Д. С. Основы теории случайных шумов и ее применение. М.:
Наука, 1965. 463 с.
6. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регули-
рования. М.: Наука, 1978. 767 с.
7. Боднер В. А. Приборы первичной информации М.; Машиностроение,
1981 344 с.
8. Бобнев М. П., Кривицкий Б. X., Ярлыков М. С. Комплексные системы
радиоавтоматики. М.: Советское радио, 1968. 292 с
9. Браславский Д. А., Петров В. В. Точность измерительных устройств. М.:
Машиностроение, 1976. 312 с.
10. Витерби А. Д. Принципы когерентной связи М.: Советское радио,
1970 498 с.
II. Гильбо С. II., Челпанов И. Б Обработка сигналов на основе упорядо
ченпого выбора. М.: Советское радио, 1976. 344 с.
12. Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств. М Советское
радио, 1975. 367 с.
13. Джеймс X., Ни кольс Н., Филлипс Р. Теория следяших систем. М-
Изд-во иностр, лит., 1953. 464 с.
14. Евланов Л. Г. Контроль динамических систем. М.: Наука, 1979. 432 с.
15. Иванов Ю. П., Филатов И. В., Хлыпало Е. И. Методы комплексирова-
пия приборов и систем летательных аппаратов. Безынерционные комп-
лексные системы. Учеб, пособие. ЛИАП, 1979. 80 с.
16. Иванов Ю. П., Синяков А. Н. Филатов И. В. Комплексные системы с
памятью. Учеб, пособие. ЛИАП, 1979. 108 с.
17. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975. 320 с.
18. Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространст-
ве состояний. М.: Наука, 1975. 432 с.
19. Козлов В. И. Системы автоматического управления летательными аппа-
ратами. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.
20. Колесников К. С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980. 394 с.
21. Крамер Г. Математические методы статистики/ Под ред. А. Н. Кол-
могорова. М.: Изд-во иностр, лит., 1948. 648 с.
22. Лемаи Л. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964. 408 с.
23. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории наблюде-
ний. М.: Физматгиз, 1962. 352 с.
24. Машинное проектирование систем автоматического управления. Л.: Су-
достроение, 1978. 254 с.
25. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.
М. Энергия, 1973. 440 с.
26. Мудров В. И., Кушко В. П. Метод наименьших модулей. М.: Знание,
1971. 36 с.
27. Мудров В. И., Кушко В. П. Методы обработки измерений. М.: Совет-
ское радио, 1976. 192 с.
205
28. Некоторые задачи для стационарных процессов на конечном интервале,
приводящие к интегральным уравнениям Винера—Хопфа./ Писарен-
ко В. Ф., Розанов Ю. А. — В кн.: Проблемы передачи информации.
М.: 1963, вып. 14, с. 40—52.
29. Непрерывная логика и ее применение/ Гинзбург С. А. — Автомати-
ка и телемеханика, 1967, №2, с. 56—61.
30. Об оптимальной фильтрации в инвариантных системах/ Дмитри-
ев С. П. — В кп.: Теория инвариантности в системах автоматического
управления. Труды II Всесоюзного совещания. М.: Наука, 1964,
с. 78—81.
31. Об эффективности контроля в линейных системах обработки информа-
ции/ Дмитриев С. П., Зарицкий В. С., Овчинников Л. А.,
Шулов И М. — В кн.: IV симпозиум по проблеме избыточности в
информационных системах. Л.: АН СССР, 1970, с. 191—200.
32. Оптимально-инвариантное безынерционное преобразование показаний
нескольких измерителей/ Зарицкий В. С. — Тр. ЛИАП, 1973,
вып. 80, с. 21—29.
33. Оптимальио-иивариантное преобразование избыточных измерений/ 3 а-
р и ц к и й В. С. — Приборы и системы управления, № 5, 1972, с. 53—58.
34 Первачев О. В., Валуев А. А., Чиликин В. М. Статистическая динамика
радиотехнических следящих систем. — М.: Советское радио, 1973. 488 с,
35. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
оптимального управления. М.: Физматгиз, 1963. 882 с.
36. Растригин Л. А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. 376 с.
37. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной
неопределенности и адаптация информационных систем. М.; Советское
радио, 1977. 432 с.
38. Ривкин С. С., Ивановский Р. И., Костров А. В. Статистическая опти-
мизация навигационных систем. Л.: Судостроение, 1976. 280 с.
39 Ройтснберг Я Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 551 с.
40. Росии М. Ф., Булыгин В. С, Статистическая динамика и теория эффек-
тивности систем управления. М.: Машиностроение, 1981. 312 с.
41. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М.;
Наука, 1968. 463 с.
42. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и уп-
равлении. М.: Связь, 1976. 496 с.
43. Синяков А. Н. Системы управления упругими подвижными объектами.
ЛГУ, 1981. 200 с.
4 1. Системы с переменной структурой и их применение к задачам автома-
тизации полета/ Под ред. Б. Н. Петрова и С. В. Емельяно-
ва. — М.: Наука, 1974. 322 с.
15. Солодов А. В. Методы теории систем в задаче непрерывной линейной
фильтрации М. Наука, 1976. 263 с.
46. Сысоев Н. Оценки параметров, обнаружение и различение сигналов. М.:
Наука, 1969 230 с.
47. Теория оценивания для семейств с параметрами сдвига, масштаба и
экспонентных/ Каган А. М. — Тр. математического института им.
Стеклова Т 4. М: Наука, 1968, с. 73—11.
48. Розеиблат М. А. Функция «медиана» в непрерывной логике и ее реали-
зация. — Автоматика и телемеханика, Яе1, 1969, с. 111—117.
49. Розенблат М. А. Функция голосования для непрерывных величии. —
ДАН СССР, т. 171, №4, 1966, с. 765—771.
50. Челпанов И. Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных си-
стемах. М.: Наука, 1967. 392 с.
206
Оглавление
Предисловие ..... ............................................... 3
Глава 1. Комплекснрование как метод повышения точности инфор-
мационно-измерительных устройств ЛА . . •.......................... 6
1.1. Информационно-измерительные устройства ЛА и их комп-
лексирование ..........................................
1.2. Математические модели погрешностей измерителей . . 11
Глава 2. Основы теории оптимального оценивания параметров сигна-
лов .............................................................. 23
2.1. Критерии оптимизации и свойства оценок сигналов . . .
2.2. Оптимальная оценка сигналов по критерию минимума
среднего квадрата обобщенной ошибки оценки................ 43
2.3. Оптимальная линейная фильтрация сигналов............ 63
2.4. Оптимальная фильтрация нестационарных сигналов ... 71
Глава 3. Принципы построения комплексных измерительных систем 81
3.1. Общая структурная схема комплексной системы с па-
мятью на основе схем фильтрации............................ —
3.2. Двухкомпонентные комплексные системы с памятью ... 88
3.3. Анализ комплексных измерительных систем............. 98
3.4. Параметрический синтез комплексных измерительных
систем.................................................. Ни
Глава ч Линейные оптимальные комплексные измерительные системы 112
4.1. Безынерционная линейная оценка параметров сигналов
комплексной системой ...........................................
4 2. Оптимальный синтез стационарной комплексной измери-
тельной системы.......................................... 118
4.3. Оптимальный синтез нестационарной комплексной изме-
рительной системы...........................•............ 134
Глава 5. Нелинейные комплексные измерительные системы ... • . 139
5.1 Нелинейные оптимальные безынерционные комплексные
измерительные системы .... ................• ....
5.2. Влияние контроля на точность комплексной линейной
безынерционной оптимально-инвариантной оценки параметров
сигнала.................................................. 152
5.3. Мажоритарная комплексная оценка параметров сигналов 159
Глава 6. Комплексная обработка информации в системах управле-
ния упругими летательными аппаратами (УЛА)....................... 171
6.1. Особенности построения комплексных информационно из-
мерительных устройств в системах управления УЛА.........
6.2. Оптимальные комплексные устройства оценки парамет-
ров движения я идентификации УЛА........................ 183
6.3. Субоптимальные комплексные устройства оценки пара-
метров движения УЛА ..................................... 192
Список литературы................................................ 205
Юрий Павлович Иванов
Александр Назарьевич Синяков
Игорь Владиславович Филатов
КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ
ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕР ИТЕЛЬНЫХ
УСТРОЙСТВ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Редактор Н. А. Жукова
Художественный редактор С. С. Венедиктов
Технический редактор П. В. Шиканова
Корректор Т. Н. Гринчук
Обложка художника А. А. Ларушкина
ИБ №4152
Сдано в набор 06.03.84 г. Подписано в печать 19.12.84 г. М-35000. Фор-
мат 60X90716. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная Печать
высокая. Усл. печ. л. 13,0. Усл. кр.-отт. 13,125. Уч.-изд. л. 13,0. Ти-
раж 3400 экз. Заказ. 571. Цена 45 коп.
Ленинградское отделение ордена Трудового Красного Знамени издательства Машиностроение
191065. Ленинград, ул, Дзержинского, 10
Набрано и отпечатано в типографии ЛЭИС, Ленинград, 198320, Свободы, 31
I
45 коп.
МАШИ ПОСТРОЕНИЕ