Л. В. КРОТКОВА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
Допущено Ассоциацией строительных высших учебных заведений в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Водоснабжение и водоотведение»
Издательство Ассоциации строительных высших учебных заведений
Москва 1994 г.
ББК К12
УДК 624.04 (075.8)
Кроткова Л. В.
Учебное пособие к практическим занятиям по строительной механике — Москва: Изд-во АСВ, 1994. — 178 с.
ISBN 5-87829-007-3
Учебное пособие составлено для студентов специальности 2908 «Водоснабжение и водоотведение» в качестве основного материала при изучении практического курса и приобретении основных навыков решения задач по строительной механике.
Пособие регламентирует методику, содержание и последовательность проведения практических занятий, а также дает краткое, изложение теоретического курса по строительной механике по темам, указанным в содержании, и может быть полезно для студентов других строительных специальностей.
При подготовке учебного пособия учтен опыт других строительных вузов страны, в частности Московского государственного строительного университета.
Данное пособие составлено при участии Капитонова С. М.
Ил. 216, Табл. 15 Библиогр. 15 назв.
Рецензент: кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского архитектурно-строительного института; зав. кафедрой д. т. н., профессор Ю. Э. Сеницкий.
3301000000—008
К 009(03)—94
без объявл.
ISBN 5-87829-007-3
© Издательство АСВ, 1994 г.
(s) BRacus
ВВЕДЕНИЕ
Строительная механика — это наука, изучающая принципы и методы расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость в условиях действия постоянных и переменных нагрузок. Она является той теоретической базой, без которой невозможно стать квалифицированным проектировщиком, создавать смелые экономичные и надежные конструкции, грамотно вести монтаж на строительной площадке.
При изучении курса строительной механики студентами специальности «Водоснабжение и4ЬЙ№гввАдо» особый упор делается на те вопросы и методы расчета, которые наиболее часто встречаются в повседневной работе инженеров этой специальности.
Настоящее пособие регламентирует методику, содержание и последовательность проведения практических занятий по следующим темам курса.
1.	Кинематический анализ сооружений.
2.	Расчет многопролетных статически определимых балок.
3.	Расчет статически определимых рам.
4.	Расчет простых статйчески определимых ферм.
5.	Расчет статически неопределимых рам методом сил на внешнее силовое воздействие.
6.	Расчет статически неопределимых рам методом сил на внешнее температурное воздействие и осадку опор.
7.	Расчет неразрезных, балок методом трех моментов.
8.	Расчет неразрезных, балок методом моментных фокусных отношений.
9.	Расчет балок на упругом основании.
10.	Расчет цилиндрического резервуара на осесимметричную нагрузку.
11.	Расчет стержневых систем методом конечного элемента на ПЭВМ типа IBM PC.
Практическим занятиям предшествует краткое изложение основных положений и окончательных результатов теории.
Каждое практическое занятие следует начинать с контрольного опроса студентов по теоретическому (лекционному) курсу, а затем переходить к разбору примеров расчета.
На каждом практическом занятии, исключая последнее, когда студенты выполняют самостоятельную работу в течение всего занятия, либо на основе контрольного опроса, л'ибо на основе проведения по карточкам небольшой самостоятельной работы на 5—10 минут, каждый студент получает оценку. По результатам этих оценок в конце семестра выводится средняя оценка, которая обязательно принимается во внимание при проведении заключительного экзамена по курсу.
Для подготовки к каждому практическому занятию указана литература (с указанием страниц учебного пособия) из списка, приведенного ниже в последовательности, рекомендуемой для полноценного изучения материала.
&
СПИСОК РЕКОМЕДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
по теоретическом курсу:
1. Строительная механика. Под ред. А, В. Даркова. — М.: Высшая школа, 1976— 597 с.
ч 2. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. — М.: Высшая школа, 1986, — 606 с.
3. Рабинович И. М. Основы строительной механики стержневых систем. — М.: Изд-во лит-ры по стр-ву и арх., 1956, — 454 с.
3. Снитко Н. К. Строительная механика. — М.: Высшая школа, 1980, 413 с.
5.	Киселев В. А. Строительная механика. — М.: Стройиздат, 1986, — 520 с.
64	Никифоров С. Н. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 1966, —586 с.
7.	Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. — М.: Высшая школа, 1987. —256 с.
по практическому курсу:
8.	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статика стержневых систем) / Под редакцией Г. К. Клейна. — М.: Высшая? школа, 1980,-384 с.
9.	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. / Под ред. Г. К. Клейна. — М.: Высшая школа, 1973, — 360 с.
10.	Парфенов В. И. Кинематический анализ сооружений (методическое руководство) Уфа: Изд-во Уфим. нефт. ин-та, 1975.—30 с.
11.	Кроткова Л. В., Капитонов С. М., Филипович С. В. Методические указания по выполнению расчетно-графических заданий по строительной механике для студентов специальности 1209 «Водоснабжение и канализация». — Уфа: Изд-во Уфим. нефт. ин-та, 1981. — 52 с.
12.	Ванюшенков М. Г., Синицын С. Б. Матричный метод перемещений и метод конечных элементов решения задач строительной механики. — М.: МИСИ, 1984 — 124 с.
13.	Расчет стержневых систем методом конечных элементов и использованием ЕС ЭВМ. —Киев: КИСИ, 1983 — 68 с.
14.	Ржаницын А. Р. Строительная механика.—М.: Высшая школа, 1982 — 400 с.
15.	Шмелътер Я. и др. Метод конечного элемента в статике сооружений. — Стройиздат, 1986. — 220 с.
4
РАЗДЕЛ I
§ 1.	КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ
1.	Цель кинематического анализа —установить является ли система геометрически изменяемой или геометрически неизменяемой.
Кинематический анализ имеет особо важное значение при создании новых оригинальных конструкций.
Геометрически неизменяемой называется такая система, которая не допускает относительных перемещений ее отдельных частей без их деформации.
Отдельные части (звенья, диски) системы считаются при этом абсолютно жесткими.
2.	Степенью свободы системы твердых тел называется число независимых геометрических параметров полностью определяющих положение системы.
3.	Основные типы опор плоских систем
Название опоры
Схема конструкции и опорные реакции
Условные изображения
Подвижная цилиндрическая
Неподвижная цилиндрическая
Неподвижная защемляющая
Подвижная защемляющая
5
Могут быть еще и другие типы опор плоских систем, например, упруго-оседающие, упруго-вращающиеся и т. п. Кинематический анализ такие опоры не рассматривает.
4.	Расчетная схема сооружения
Стремясь дать простые, практически удобные и достоверные решения, строительная механика вынуждена упрощать условия задачи, отказываясь от учета целого ряда второстепенных факторов и, учитывая лишь основные факторы, оперировать с расчетными схемами—упрощенными изображениями действительных сооружений. При выборе расчетной схемы сооружения следует руководствоваться двумя требованиями:
1)	эта схема должна возможно ближе отвечать действительным условиям работы сооружения;
2)	она должна быть возможно более простой, чтобы избежать излишней сложности при расчете.
Примеры расчетных схем: балка, ферма.
5.	Классификация расчетных схем сооружений
а)	по геометрическим признакам
Пластины ' assb'^h Оболочки а«₽»Л
Тонкостенные стержневые
Тонкостенные системы
6
Мы, главным образом, будем изучать системы из стержней.
б)	по типу соединений элементов (стержней)
с жесткими узлами—«рамы»
ггт
Имеются оба типа узлов—«комбинированные системы»
в)	по направлению опорных реакций (от вертикальной нагрузки)
Система называется распорной, если от вертикальной нагрузки возникают не только вертикальные составляющие опорных реакций.
г)	по степени свободы сооружения.
6.	Формула степени свободы плоской системы
Диском называется плоская геометрически неизменяемая фигура. Введем обозначения:
D — число дисков системы;
П — число припаек;
7
Ш — число простых шарниров, соединяющих между собой диски;
Со — число опорных стержней.
Тогда
W = 3D~ ЗП — 2Ш —Со	(1)
Если шарнир соединяет несколько дисков, то он эквивалентен нескольким простым шарнирам и называется „крат-ным“. Если он соединяет „пи дисков, то он эквивалентен „и-1“-му простому шарниру. Шарнир может быть „полным** или „неполным**. В последнем случае некоторые стержни связаны жестко.
Примеры:
«Полный»
«Неполные»
7.	Формула степени свободы плоской шарниро-стержневой системы (плоской фермы)
Обозначим: Y — число узлов фермы;
С — число ее стержней;
Со—число опорных стержней.
Тогда
№ = 2У—С—Со	(2)
Формула (2) пригодна лишь для систем, каждое звено которых соприкасается лишь с двумя шарнирами.
8.	Классификация систем по их степени свободы
а)	Если №>0 — система геометрически изменяема.
б)	Если И7<0 — система имеет лишние связи и, обычно, геометрически неизменяема.
в)	Система не имеет лишних связей и, обычно, геометрически неизменяема и статически определима, если
W = 0
(3)
Условие (3) геометрической неизменяемости и статической определимости является необходимым, но недостаточным, так как связи могуг быть расположены неудачно.
8
В схемах ,а“ и „в“ связи расположены правильно, а в схемах „6“ и „г“—неправильно.
Операция подсчета W недостаточна, необходимо провести анализ геометрической структуры. Анализ состоит в рассмотрении расположения связей системы, в установлении закона или порядка сочетания элементов.
9.	Некоторые принципы образования плоских геометрически неизменяемых систем
В основе этих принципов лежит общеизвестный факт, что треугольник—неизменяемая фигура. Три диска соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой. Два стержня кинематически (при малых перемещениях) эквивалентны простому шарниру, расположенному в точке их пересечения.
Итак, если „шарниры“ (1—2), (2—3) и (1—3) не лежат на одной прямой, то система геометрически неизменяема.
Остальные „принципы1*, указанные в учебной литературе вытекают'из указанного:
9
2.	Два диска соединяются шарниром и стержнем, ось которого не проходит через этот шарнир.
(1-3)
(1-2)
3.	К диску присоединяется новый узел с помощью двух стержней (диады), не лежащих на одной прямой.
4.	Два диска соединяются тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке (и не параллельными).
Если сделанные оговорки нарушены (и в некоторых более сложных случаях), то система приобретает свойство „мгновенной изменяемости".
10.	Понятие о мгновенноизменяемых системах
Рассмотрим балку с наклонным опорным стержнем. Эта система неизменяема. Однако, при 0=0 становятся возможными бесконечно малые перемещения.
4 Определение: Мгновенно изменяемые системы — это системы, допускающие бесконечно малые перемещения без деформации их элементов.
Это определение подчеркивает, что после бесконечно малого перемещения система перестает быть изменяемой, в чем
состоит коренное отличие от геометрически изменяемых систем.
10
11.	Усилия в мгновенноизменяемых системах
р = ——— 8	2 sin £
Если 0=0, то 7?в=оо.
Следовательно, в мгновенно изменяемых системах нагрузка вызывает бесконечно большие усилия, а в системах, близких к мгновенно изменяемым, весьма большие усилия.
Поэтому мгновенно изменяемые и близкие к ним системы нецелесообразно применять в строительстве.
12.	Статический критерий мгновенной изменяемости — метод «нулевой нагрузки»
Если Р—0 при ₽=0, то RB— -у—неопределенность!
Следовательно, в мгновенно изменяемой системе возможны усилия при отсутствии нагрузки.
Этот факт лежит в основе метода „нулевой нагрузки11: „Если при отсутствии нагрузки в системе возможны усилия, то эта система мгновенно изменяема",
Пример № 1.
Зададим в одном из стержней (условно отброшенном) усилие So.
Расчет показал, что в системе возможны усилия при отсутствии нагрузки. Она мгновен но изменяема.
11
Пример №2
Опять задаем усилие So однако из 2Л4в₽ =0 получаем тождественно
So=0.
Система геометрически неизменяема.
В итоге студент должен знать:
1. Какова цель кинематического анализа?
2. Кинематический анализ состоит из двух этапов—определения степени свободы сооружения и анализа его геометрической структуры.
§ 2. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Статически определимые системы характеризуются вели, чиной №=0 и геометрической неизменяемостью.
1.	Основные положения строительной механики
Основные исходные положения строительной механики при решении задач упругого расчета сооружения те же, что и сопротивления материалов:
1)	материал, из которого состоит сооружение,является идеально упругим и непрерывным.
Заметим, что в настоящее время существуют методы расчета сооружений с учетом развивающихся пластических деформаций, например: метод предельных состояний при расчете железобетонных конструкций.
12
2)	между напряжениями а и деформациями е существует строгая линейная связь, то есть справедлив закон Гука: а=Ее.
Очевидно, что при расчете сооружений с учетом развивающихся пластических деформаций связь о—е будет нелинейная.
3)	справедлйвость применения принципа независимости действия, согласно которому результат действия системы сил равен сумме результатов действия отдельных сил.
2.	Определение опорных реакций
Реакции связей и внутренние усилия в с. о. с. можно определить с помощью уравнений статики. Расчет таких систем ведется в следующей последовательности:
а)	определение опорных реакций;
б)	построение эпюр внутренних усилий;
в)	проверка расчета.
Приведем возможные варианты статически определимых систем и соответствующие уравнения для определения опорных реакций.
Название	Расчетная схема			Уравнения статики для опорных реакций
Балка на двух опорах				о	° II	И ° < ’	*	5
Консольная балка	—			о ° ° II 11 II 5 W Н W
Ломаные балки	А .	L	4	?	 V, С ‘ ►Z- №		1 МММ * to Ь* II II II О о о i
13
Название
Расчетная схема
Уравнения статики для опорных реакций
Трехшарнир-ные системы
2Х=0
2Л1а=0 SAfB=O SAlJe»=O (SM"C₽)=O
Трехшарнирные системы с затяжкой
SX=0 2Л4а=0 2ЛГв=0
SMgeB = 0 ) из этих ГЕм"Р-оНуравиений ^Л1СН—U]| определяется усилие в затяжке
Многопролет-ные системы
Для определения опорных реакций и внутренних усилий требуется построение поэтажной схемы.
14
3.	Правила знаков для внутренних усилий
Из курса „Сопромата“ известны некоторые способы определения внутренних усилий М и Q, возникающих в поперечных сечениях однопролетных статически . определимых балок, а также методы построения эпюр этих усилий от действия на балки неподвижной нагрузки. Эти способы используются и в курсе „Строительной механики“
Если мы мысленно отсечем часть некоторой произвольной балки, загруженной произвольной нагрузкой, то в сечении в общем случае возникает гамма внутренних усилий:
Сформулируем определения внутренних усилий и правила знаков для них.
ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ М в данном сечении 1—1 представляет собой сумму моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки относительно оси OZ. Момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон рассматриваемой отсеченной части.
ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА Q — внутреннее усилие, равное по величине сумме проекций всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки на ось OY. Поперечная сила считается положительной, если она вызывает вращение рассматриваемой отсеченной части по часовой стрелке.
ПРОДОЛЬНАЯ СИЛА N — внутреннее усилие, равное по величине сумме проекций всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки, на ось ОХ. Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение рассматриваемой отсеченной части.
Между значениями внутренних усилий М и Q существует строго конкретная дифференциальная зависимость Журавского, выведенная им на основе рассмотрения бесконечно малого вырезанного элемента
Q=d~, dx
Это выражение означает, что поперечная сила Q равна первой производной от изгибающего момента М или тангенсу угла наклона касательной эпюры моментов в данном сечении.
15
4.	Порядок построения эпюр внутреннних усилий М, Q, N
При построении эпюр внутренних усилий в многопролетных балках, рамах и других конструкциях используются эпюры М и Q в простых однопролетных и консольных балках, которые чаще всего называют табличными эпюрами моментов и поперечных сил (см. Приложение 1).
Запишем последовательность построения эпюр внутренних усилий М, Q, N в статически определимых системах:
1)	проводится кинематический и структурный анализ сооружений;
2)	при необходимости строится «поэтажная схема», то есть в сооружении выделяются основные (несущие) элементы и вспомогательные, располагающиеся выше основных;
3)	для конструкций самого верхнего этажа из уравнений статики определяются опорные реакции и с использованием простейших балочных эпюр строится эпюра М;
4)	с вышележащих конструкций на нижележащие с обратным знаком передаются опорные реакции и определяются опорные реакции в нижележащих конструкциях и также строится эпюра М;
5)	по полученной эпюре М строится эпюра поперечных сил Q, используя дифференциальную зависимость Журавского:
Q=^=ff+— dx	dx
где Q° — поперечная сила от внешней нагрузки, действующей на рассматриваемый прямолинейный участок, определенная как для пролетной балки с величиной пролета, равного длине участка.
<Ш0П
—----тангенс угла наклона касательной к эпюре опорных
моментов на рассматриваемом участке.
6)	на основе эпюры Q, рассматривая равновесие узлов конструкции по поперечным и продольным силам#строится эпюра N:
7)	проводится статическая проверка правильности построения эпюр.
Порядок расчета статически определимой системы рассмотрим на следующем примере:
1.	Анализ структуры и «поэтажная схема»
W=3D—ЗП—2Ш—Св—3 • 2—3 • 0—2 • 1—4=0
Система может оказаться статически определимой и геометрически неизменяемой.
Если разрезать систему по шарниру С, видно, что левая часть сохранит неподвижность, а правая часть не будет неподвижной.
Принято все элементы делить на:
16
Поэтажная схема
1) основные элементы, которые после разреза по соединительным шарнирам сохраняют неподвижность;
2) вспомогательные элементы, которые после разреза по соединительным шарнирам не сохраняют неподвижность.
Чтобы лучше видеть роль отдельных элементов и организовать расчет f вычерчивают „поэтажную* схему.
Каждый „этаж“ может быть образован не одним жестким диском, а более сложной системой, например
2.	Определение опорных реакций
а)	изображаем каждый „этаж“ вместе со всеми действующими на него силами.
б)	рассчитываем систему, начиная с верхнего „этажа1*, то есть
„сверху-вниз1*	|	|
в)	для расчета „верхнего эта- |~ жа“ удобны уравнения равновесия ЕУ=0, ЕЛ1с=0, 2Ме=0.
г)	к нижнему „этажу прикладываются с обратным знаком опорные реакции Нс, Vc и заданная нагрузка, после чего используются условия равновесия £Х=0, 2Ма=0; 2Мв=0.
3.	Построение эпюры изгибающих моментов
17
4. Проверка правильности эпюры изгибающих моментов
Эта проверка не дает полной-'гарантии правильности эпю ры /И.
5. Построение эпюры поперечных сил
Из сопротивления материалов известно, что Q= dx
Поэтому величину поперечной силы определяем как тангенс угла наклона эпюры М к стержню: |Q| = tgp.
Знак Q определяется правилом;
Поперечная сила положитель-
на, если для совмещения с эпюрой М надо стержень повернуть по часовой стрелке.
Для построения эпюры Q при наличии распределенной нагрузки (криволинейная эпюра М) надо стержень рассмотреть как балку, загруженную распределенной нагрузкой и спорными моментами.
6. Построение эпюры продольных сил
Последовательно вырезаются узлы в таком порядке, чтобы в каждом узле было не более двух неизвестных продольных сил.
Положительная поперечная сила направляется так, чтобы она вращала узел по часовой стрелке.
Искомые продольные силы считаются положительными при растяжении и направляются от узла.
18
7. Проверка правильности эпюр Q, N (и Jf)
Рама (или любая ее часть) пол-
IP	костью отделяется от землц. По-
j	|	Pf I' J	скольку она (и любая ее часть}
fT	1д5р гч^*'р	должна находиться в равнове-
4,зР ’	сии, то должны удовлетворяться
условия равновесия 2Х=0; 2У= =0; 2А4о=О.
В итоге студент должен знать:
1.	Порядок расчета статически определимых систем.
2.	Уметь определять реакции в опорных связях.
3.	Знать взаимосвязь эпюр М и Q и их зависимость от внешней нагрузки.
Для эпюры изгибающих моментов:
1.	На участках, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратной параболой. Выпуклость параболы направлена в сторону действия нагрузки.
2.	На участках, нагруженных сосредоточенными силами, эпюра моментов изображается ломаной линией с вершинами под точками приложения сосредоточенных сил (излом в сторону действия силы).
3.	Под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, в эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил, прямые примыкающие к скачку идут параллельно друг к другу.
4.	Изгибающий момент в концевых сечениях балок всегда равен нулю, если в сечениях не приложены сосредосточенные пары сил. Если в концевых сечениях приложены внешние (активные или реактивные) пары сил, то изгибающий момент в этих сечениях равен по величине моменту приложенных пар.
5.	Сопряжение параболической части эпюры с прямолинейной происходит плавно, если в месте, где начинается или кончается распределенная нагрузка, к балке не приложено сосредоточенной силы (на эпюре Q нет скачка).
6.	В шарнирах момент равен нулю.
Для эпюры поперечных сил:
1.	На участках нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки.
2.	На участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямыми, параллельными оси балки.
3.	Под сечениями балки, где приложены сосредоточение силы,, в эпюре поперечных сил, имеются скачки, равные величинам приложенных сил.
19»
4.	В сечениях, где приложены' сосредоточенные пары сил, поперечная сила не изменяет своего значения.
5.	В концевых сечениях балки поперечная сила численно равна величине сосредоточенных сил (активных и реактивных), приложенных-в этих сечениях. Если в концевых сечениях не приложены сосредоточенные силы, то поперечная сила в них равна нулю.
С помощью выше приведенных правил можно построить эпюры по характерным точкам. Это места приложения сосредоточенных сил, моментов, а также сечения, ограничивающие участки с равномерно-распределенной нагрузкой. Зная ординаты в характерных сечениях их соединяют линиями в соответствии с вышеизложенными правилами.
§ 3. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ
Трехшарнирными системами называются статически определимые (№=0) распорные конструкции, состоящие из двух дисков, соединенных между собой и с поверхностью земли шарнирами. Опорные шарниры А и В обычно называют пятовыми, а средний С—ключевым или зам-
ковым.
Основные геометрические характеристики трехшарнирных
систем:
—стрела подъема (арки, рамы)—/;
—пролет I.
При расчете некоторых конструкций, когда возникает необходимость построения „поэтажных схем", следует иметь в виду, что трехшарнирные системы являются основными (несущими.)
1. Классификация трехшарнирных систем
а) По форме двух соединяемы-х дисков:
1) в виде криволинейного бруса—арки. Заметим, что арки по геометрическому очертанию оси криволинейного бруса могут быть в осях XoY— параболическими, круговыми, эллиптическими и других более сложных очертаний.
20
2),состоящих из прямолинейных стержней—рамы.
3) представляющих собой шарнирно-стержневые конструкции—арочные фермы.
б)	По симметрии относительно вертикальной оси, проходящей через замковый шарнир:
1) симметричные	2) несимметричные
в)	По расположению опорных (пятовых) шарниров:
1)	в одном уровне	2) в разных уровнях
В трехшарнирных арках и рамах, один из опорных шарниров может быть заменен шарнирно-подвижной опорой. В этом случае для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции вводится затяжка, которая воспринимает горизонтальную составляющую опорной реакции — распор.
В таких конструкциях с затяжкой отпадает необходимость в устройстве массивного фундамента в опорах.
г)	По виду затяжки:
1\) с обычной затяжкой
2) с повышенной затяжкой
21
2. Определение опорных реакций в трехшарнирных системах
При действии внешней нагрузки (Pt, qt) на трехшарнирные системы, в каждой их опоре возникает по две реакции—вертикальные VfC, Vb и горизонтальные (рас-пор) НА и Нв-
Определение опорных реакций в таких системах возможно с помощью составления уравнений статики. Для этого необходимо наряду с тремя основными уравнениями статики для всей системы:
1)	LMai= 0 или ЕЛ1в< = 0;
2)	2Уг =0;
3)	SXj = 0
записать четвертое уравнение, выражающее условие равенства нулю изгибающего момента М в замковом шарнире С. То есть, другими словами, равна нулю алгебраическая сумма моментов сил, действующих на левой или правой частях трехшарнирной системы относительно шарнира С.
4)	SAfci = 0 или EAfcj = 0. лев	пр
2.1.	Арка с опорными шарнирами, расположенными в одном уровне
Покажем такую систему, попутно приведя для сравнения балку с пролетом равным пролету арки Z, но не имеющей замкового шарнира С.
Будем считать, что произвольная нагрузка Pt для арки и балки действует по одной вертикальной линии.
Для определения опорных реакций в арке Уд; Тв; На', Нв составим упомянутые выше уравнения равновесия:
22
1)	SAfAi = 0; LPidi — VBl = 0 VB -	= V°B	(1)
Получаем, что выражение для опорной реакции Ув в арке совпадает с аналогичным выражением определения опорной реакции в балке Уб. Нулевым индексом будем обозначать величины, соответствующие простой балке.
2)	Опорную реакцию УА можно определить либо из условия £/,= 0; либо EAfBj=O,
ЕМв<=0; УА/-ЕРД=0 Уа=^-=У°а	(2)
Делаем вывод: определение УА аналогично определению УА.
3)	ЕХ,=0; Нк— Яв=0;	ЯА = Нв = Н (3)
При действии внешней вертикальной нагрузки Ри горизонтальные опорные реакции (распор) равны, между собой.
4)	Для определения величины распора Н от действия внешней нагрузки составим четвертое уравнение:
SMc/=0; • VA Z/2 — ЕР, (Z/2 — aj — Hf=0 лев.
Построим для приведенной схемы простой балки эпюру М9, на которой величина момента под шарниром С равна:
М°с =УА //2-ЕР, (//2 —а,)
Следовательно, последнее уравнение равновесия, выраженное через момент Мс будет иметь вид:
Mc—Hf=0; Н=^	(4)
Таким образом, величина распора арки (рамы) при действии вертикальной нагрузки равна балочному моменту в сечении под замковым шарниром С, уменьшенному в f раз.
'Полученные формулы справедливы для действия верти-
кальных сосредоточенных и распределенных нагрузок, как
в арках, так и в трехшарнирных Аналогично, легко получить, что если трехшарнирная система имеет приподнятую затяжку, то претерпевает изменения только последняя из приведенных формул:
рамах.
23
где t — расстояние от оси затяжки до линии, соединяющей опорные шарниры.
2.2.	Арка с шарнирами, расположенными в разных уровнях
Для этого случая, рассматривая его аналогично случаю трехшарнирной арки с опорами в одном уровне, будем иметь:
ризонту а, получим их в
lvA
Vi =	; Ув =У°В
НА=НВ = Н’ =^L Г
где f'—длина перпендикуляра, опущенного из замкового шарнира С, на линию, соединяющую опорные шарниры.
Если же опорные реакции Я'; УА; Ув разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие в системе координат XYr то для заданного угла наклона линий, соединяющей опоры к го-
виде:
УА = v'A+H' sin а
Ув = Ув —Н' sin а
ДА==ЯВ =я =Н' cos а
,	Л1£
где Н'= —
3.	Определение в трехшарнирных арках внутренних усилий М, Q, N при действии вертикальной нагрузки
Для определения выражений внутренних усилий в трехшарнирной арке, рассмотрим равновесие ее части, рассеченной в произвольном сечении К,
3.1.	Выражение Для изгибающего момента Л(к:
ЭД Pi
На-
х —ось, касательная к очертанию арки в точке К
Л — ось, перпендикулярная к оси т в точке К.
Внутренние усилия направлены -__»»£ согласно правилу знаков.
Составим уравнение равновесия для отсеченной части относительно точки К.
24
EAIkj = 0; VaXk — ЕРг (xk — ty) — Нук — AfK=0
Выделяя из этого уравнения Мк и учитывая что:
УАхк— ЕР, (*к—a.i)= Мк, получим
Л/к=М°к-Я^	(5)
Анализируя это выражение можно заметить, что арочные системы рациональнее балочных, вследствие некоторого уменьшения величины балочного момента за счет возникающего распора Н. Это свойство используется в мостостроении.
3.2.	Выражение для поперечной силы Qi<:
Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось Л:
ЕЛ| = 0;	— Qk + (VA — EPj) cos <рк — H sin <рк = 0.
Выделяя QK, с учетом того, что УА— ЕР,- — Q° окончательно получим
Qk — Qk cos <рк — Н sin <рк	(6)
3.3.	Выражение для продольной силы Як
Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось т:
= 0; Як + Н cos <рк + (Уд — ЕР,)81П<рк = 0
Выделяя Як, с учетом того, что VA — EPf=QK, окончательно получим
Як = — Q®sin ?к — Я cos <рк	(7)
4.	Рациональное очертание оси трехшарнирной арки
Рациональным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом ее сечении равен нулю.
Так в предыдущем пункте, для действия вертикальной нагрузки, нами было получено следующее выражение для момента
Мк s Мк — Нук
Положив это выражение равным нулю и выделяя выражение для ординаты ук с учетбм формулы (4), будем иметь:
25
ук==Мк-~^ — пМк	(8)
Я Л4С
где n = f!Mc — некоторая постоянная величина для арки с заданной нагрузкой.
Анализ полученной формулы (8) показывает:
1) уравнение рациональной оси арки зависит от вида нагрузки;
2) при вертикальной нагрузке ось арки будет рациональней, если ее очертания меняется по закону изменения балочного момента.
В итоге студент должен знать:
1. Принципиальное отличие трехшарнирных систем от балок.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ ФЕРМ
Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условий замены ее жестких узлов шарнирными.
Фермы применяются для перекрытия значительных пролетов там, где применение обычных балок становится экономически невыгодным.
Кроме плоских ферм, у которых оси всех стержней расположены в одной плоскости, применяются также пространственные фермы, оси элементов которых не лежат в одной плоскости. Расчет пространственной фермы во многих случаях удается свести к расчету нескольких плоских ферм.
26
d — длина панели, то есть расстояние между соседними узлами;
L — пролет фермы, то есть расстояние между опорами.
Степень свободы (подвижности) ферм определяется по приведенной нами ранее формуле: м7 = 2У— С — Со. Здесь мы будем рассматривать статически определимые, геометрически неизменяемые фермы (W=Q).
1.	Классификация ферм
Фермы классифицируются по нескольким признакам:
1)	по характеру очертания внешного контура: с параллельными поясами, полигональные фермы, с параболическим очертанием верхнего пояса, треугольного очертания.
2)	по типу решетки: с ромбической, с треугольной, с раскосной, с полураскосной.
3)	по типу опирания фермы: балочные, консольные, консольнобалочные.
4)	по величине степени свободы (подвижности): W =0, V=0— статически определимые; W<0,V — 0 — внешние статически неопределимые.
5)	по назначению: стропильные, крановые, башенные, мостовые.
2.	Основные допущения, принимаемые при расчете ферм
Расчет ферм производится по узловой передаче нагрузки. Любая нагрузка может быть приведена к узловой либо посредством устройства перераспределяющего нагрузку
27
покрытия, либо введением в конструкцию ферм специальных элементов — шпренгелей.
Применительно к рассмотренной выше схеме фермы: q — распределенная снеговая нагрузка,
Приведение нагрузки q к узловой сосредоточенной производится так, как показано на схеме, то есть
При узловой передаче нагрузки в стержнях фермы возникают только продольные усилия сжатия или растяжения. А подбор сечений элементов фермы производится по известной формуле:
о = 4 </?
А
где R— предельная прочность материала на растяжение (сжатие), приведенной в СНиП („Строительные нормы и правила).
Для сжатых элементов проводится дополнительный расчет на устойчивость.
На основе изложенного, возникает необходимость принятия следующих допущений:
1)	связи ферм считаются идеальными, то есть в шарнирах узлов фермы отсутствует трение;
2)	оси сходящихся стержней центрированы в узлах.
3.	Аналитические способы определения усилий в стержнях ферм
При аналитическом определении усилий в простых фермах применяются следующие основные методы:
1)	метод вырезания узлов;
2)	метод сквозных сечений;
а)	способ моментной точки (способ Риттера);
б)	способ проекций;
а для расчета более сложных ферм:
3)	способ совместных сечений;
4)	способ замкнутых сечений;
5)	метод замены стержней.
Вспомним правила знаков для продольной силы АГ:
—усилие растяжений имеет знак (ЛГ>0);
—усилие сжатия имеет знак „—“
Расчет любой фермы всегда следует начинать с определения опорных реакций, даже если можно сразу определить усилия в некоторых стержнях. Опорные реакции ферм определяются на основе составления уравнений статики, как в простых балках.
Последовательно рассмотрим основные методы определения усилий в простых фермах.
28
3.1. Метод вырезания узлов
В основу этого метода положено следующее —так как все узлы фермы при действии заданной нагрузки находятся в равновесии, то^следовательно*для них должны выполняться уравнения статики:
УЗЕЛ 3:
Ejfj = О
SXj = О
Но так как из двух уравнений статики мы можем найти только два неизвестных усилия, то расчет этим методом обычно начинается с узла, содержащего не более двух неизвестных, и далее, последовательно вырезая узлы, определяют усилия во всех остальных стержнях.
Стержни, в которых усилие равно нулю, будем называть нулевыми.
Недостатком способа вырезания узлов является зависимость последующих вычислений от.предыдущих и постепенное накопление погрешностей при достаточно большой цепи вычислений.
Поэтому при расчете ферм необходимо стремиться к тому, чтобы каждое усилие определилось однозначно.
При использовании способа вырезания узлов необходимо запомнить некоторые частные случаи (леммы) равновесия узлов:
Лемма 1: в ненагруженном двухстержневом узле оба стержня являются нулевыми; Например узел 11.
Мц—» — N ц-io — 0
Лемма 2: в ненагруженном трех стержневом узле, усилия в стержнях; имеющих общую ось равны между собой, а в одиночном стержне усилие равно нулю; например узел 8.
JV8—в = ^8—1в»	9 — 0.
f Nfr-g
. — I-----1---f—-
Na-e в Ng,-#

29
Лемма 3: в нагруженном трех^стержневом узле, усилие в одиночном стержне равно величине нагрузки, а усилие в стержнях, лежащих на одной прямой равиф/ между собой:
^7“ 6 = ^3> N 7—5 — 2V 7—9
Узел 7
ps	х"
Ji	Ji
Т w?-e
Лемма 4: в ненагруженном четырех^-стержневом узле, в котором оси стержней направлены по двум прямым, усилия в стержнях попарно равны между собой:
У,»#,;	=
В рассматриваемой ферме такого узла нет.
3.2. Метод сквозных сечений
Этот метод применяется в тех случаях, когда определение усилий в фермах методом вырезания узлов невозможно или достаточно трудоемко.
Сущность метода заключается в следующем:
—	• ферма рассекается на две части таким образом, чтобы в сечение попало не более трех стержней с неизвестными усилиями;
—	одну из частей мысленно отбрасывают, а ее действие заменяют неизвестными усилиями;
—	для рассматриваемой части фермы составляют уравнения статики: EAfCi = O; Ех* = 0; Еуг = 0,из которых определяют неизвестные усилия.
При этом^если мы составляем уравнение ЕЛ4с< = 0, то метод приобретает название „способ моментной точки** (Риттера), а если мы составляем уравнение равновесия. Exj = 0 или E^jS=0, то метод называется „способ проекций**.
У ферм с параллельными поясами, величины усилий в раскосах (решетке) целесообразно определять именно этим способом.
Отметим, что в обыкновенных балочных фермах при действии, вертикальной нагрузки, в элементах верхнего пояса обычно возникают усилия сжатия, а в нижнем поясе — растяжения. Это свойство является простейшей проверкой правильности определения усилия в фермах.
4.	Расчет ферм на внеузловую нагрузку
При возведении шатра покрытия, иногда на практике невозможно избежать внеузлового нагружения фермы (например, при недостатке плит с шириной, равной длине панели фермы й т. п.). При этом, в элемешах фермы, непосредственно подверженных 30
действию этой нагрузки, помимо продольных сил N, возникают изгибающий момент М и поперечная сила Q. Рассмотрим такой случай.

В стержнях верхнего пояса CD и DB возникают внутренние усилия М° и Q0, соответствующие обыкновенным пролетным балкам. В таких случаях расчет следует вести в следующей последовательности:
1)	производится расчет каждого элемента, загруженного вне-узловой нагрузкой, как. простой пролетной балки, то есть строятся эпюры М° и Q°, а также определяются опорные реакции (Vc...Vb);
2)	заданная ферма загружается узловой нагрузкой, по величине равной полученным значениям опорных реакций от внеузловой нагрузки в простых балках, и производится обычный расчет фермы (определяются усилия N).
31
3)	в стержнях, подверженных действию внеузловой нагрузки, сечение подбирается по известной формуле:
— А
Л и/
Во всех других элементах фермы, подбор сечений производится по упомянутой нами выше формуле:
N п
Заметим, что для сжатых и сжато-изогнутых элементов фермы необходимо провести дополнительный расчет на устойчивость.
Внеузловая передача нагрузки на фермы, с точки зрения значительного перерасхода материала является экономически невыгодной, поэтому на практике для уменьшения длины панели применяют либо составные фермы, либо шпренгельные фермы.
5.	Графические способы расчета ферм
К таким способам относится: определение усилий с помощью диаграммы Максвелла-Кремоны.
Из курса теоретической механики Вам известно, что силы, •сходящиеся в узле, находящимся в равновесии, при графическом построении в масштабе, образуют замкнутый многоугольник.
Используя это свойство, графическое построение начинают с силового многоугольника для узла фермы, где сходятся два стержня с неизвестными усилиями, а затем переходят к последующим узлам.- В выбранном масштабе сил определяют величину и знак известных усилий.
32
Графическое построение начинают только после аналитического определения опорных реакций.
В итоге студент должен знать:
1. Способы определения усилий в стержнях ферм.
§ 5. РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕНОК
1. Понятие о подпорных стенках; основные силы, действующие на подпорные стенки
Подпорной стенкой называется сооружение, назначение которого состоит в удержании земляного откоса от обрушения. Обычно, подпорные стенки классифицируют по размерам поперечного сечения и способу изготовления на:
а)	массивные;
б)	тонкие;
в)	шпунтовые.
Мы же будем рассматривать только массивные сооружения этого вида.
Поперечные размеры сечения таких подпорных стенок как было указано ранее, имеют величины одного порядка:
b ~ h.
А так как протяженность таких конструкций I имеет значительную величину (по направлению перпендикулярному к плоскости сече-
2 Заказ 1452
33
ния), то из удобства расчетй, последний производится для подпорных стенок метровой длины (/=1 м).
Рассмотрим основные силы, действующие на подпорные стенки:
Gx и Gt — силы собственного веса отдельных характерных, элементов подпорной стенки;
Egt’t EgS— силы давления грунта на каждую грань под-
порной стенки;
Eg — вес грунта, действующего на выступающую-полку фундаментной плиты;
q —„пригруз“ на поверхности грунта, прикладываемый во избежание осыпания последнего;.
а — напряжения в грунте под подошвой фундамента, возникающие от всей гаммы вышеперечисленных силовых воздействий.
Все остальные возможные силовые воздействия, действующие на подпорную стенку являются производными от указанных.
Основные расчеты подпорных стенок на прочность, устойчивость против опрокидывания п сдвига определяются величиной, направлением и точками приложения сил давления грунта Е^. Последние в свою очередь, определяются некоторыми физическими свойствами сыпучего тела (грунта). Рассмотрим их.
2.	Физические свойства сыпучего тела (грунта)
Сыпучим телом называется тело, состоящее из мельчайших (по сравнению е общим объемом тела) твердых частиц округлой формы, взаимодействующих между собой силами сжатия и трения.
В практических задачах расчета подпорных стен,. приходится встречаться с грунтами, между частицами которых, кроме сил трения, действуют и силы сцепления. Такие грунты часто рассматриваются как сыпучее тело
Для определения сил давления сыпучего тела на грани подпорной стенки необходимо знать следующие физические характеристики сыпучего тела.
1)	объемный вес, 7 [тс/м3], то есть вес 1 м3 грунта в тоннах; обычно грунты имеют величину у = 16...20 тс/м3;
2)	пористость 1] [%], то есть объем пустот по отношения? к всему объему, занимаемому сыпучим телом в %;
3)	угол естественного откоса <р [град]. Этот угол харак-
теризует трение между частицами сыпучего тела на его поверхности, причем силы- сцепления не учитываются.
V'.
////7///77Z777
34
4)	угол внутреннего трения р [град], то есть угол трения между частицами внутри массы грунта. Определяется он следующим образом:
штамп
=const ПРОиуНАЯ ОБОЙ МА
НЕП0&ьитнм ОБОЙМА 11ССЛЕ.&У6МЫЙ ГРУНТ
N А т А
Определяются в момент начала подвижной обоймы
движения
tg Р = — = а
Для песчаных грунтов и в приближенных расчетах можно принимать р«ср.
5)	угол трения между грунтом и гранью стены 3 [град], характеризует шероховатость поверхности соприкосновения стены с грунтом. Величина этого угла меняется от 8=0 (для гладких стен) до 8 = р, соответствующей грубой шероховатой поверхности.
3.	Активное давление сыпучего тела (грунта)
Активным давлением сыпучего тела называется сила его воздействия на удерживающую грань АВ при незначительном ее
смещении по направлению давления (от положения АВ до А'В').
Вследствие перемещения грани, часть сыпучей среды в объеме призмы сползания АВС приходит в движение. Поверхность, •отделяющая движущуюся часть ют неподвижной, называется поверхность сползания, а ее след на плоскости чертежа—линией спол-
зания.
Gg—сила веса призмы сползания грунта, которая в свою очередь оказывает давление на грань стенки Ее и на неподвижную часть грунта R. Частицы грунта в объеме призм ы
2*
35
сползания имеют разнообразные перемещения, а направление сил давления призмы грунта на грань стенки и на неподвижную часть грунта в каждой точке различны.
Задача определения давления на грань с учетом указанных особенностей является очень сложной и до настоящего времени не имеет исчерпывающего решения. Применительно к решению этой задачи, Кулоном были введены следующие допущения:
1)	криволинейная поверхность сползания заменяется плоскостью, а кривая линия ВС — прямой ВС;
2)	сыпучее тело в объеме призмы сползания рассматривается как твердое тело;
3)	призма сползания находится в предельном состоянии, то есть состоянии, близком к скольжению.
Последнее допущение позволяет установить направление: сил Eg и R. В момент начала скольжения прйзмы грунта, на грани АВ подпорной стенки и на линии сползания ВС неподвижной части грунта возникают касательные напряжения (направление их показано на рисунке). Поэтому в предельном состоянии, сила давления £g будет отклонена от нормали к грани на угол о, а сила R от нормали к линии сползания ВС
на угол р.
Зная силу веса призмы грунта Gg = F^abc Т 11 направления сил Eg и R, можно построить силовой треугольник.
	По теореме синусов имеем - 90*-£- S=y	Ei	Gg	. Sin (0—?)	Sin[ 180° —(0 — p-H)f
	5	Откуда получаем р 	Q Sin (0 — p) °	8	* Sin (0	—₽)’ ( '
Это выражение носит название формулы КУЛОНА.
По этой формуле пока нельзя определить давление грунта на стенку Egi, так как неизвестен угол наклона, плоскости сползания 0.
Построим график зависимости £g —0:
При 0 = р; Sin(0 — р)=0-> Eg -> =0;
при 0=90° е: линия ВС совмещается с линией АВ, следовательно: Gg=0->£g=0.
При некотором значении 0 = = 0О, величина силы давления грунта на стенку имеет максимальное значение £gmax.
36
То есть при расчете подпорных стенок определяется максимально возможное давление сыпучего тела. Если при таких (наихудших) условиях устойчивость и прочность их будет обеспечены, то они будут обеспечены и при любом направлении плоскости сползания. А величина угла 0О определяется из условия:
dEJdQ = 0;
d2E
Исследование знака второй производной —? показывает, d®2
что давление определяемое по формуле Кулона (*), отвечает математическому максимуму.
При произвольном очертании поверхности сыпучего тела АС, уравнение dEg/dQ=0 решается графическим путем, а в случае, когда поверхность сыпучего тела ограничена плоскостью, уравнение можно решить и аналитически.
4.	Построение Понселе
В случаях, когда поверхность сыпучего тела — плоскость, давление на грань АВ можно определить при помощи графического построения Понселе, основанного на двух теоремах Ребхана, со-ответсвующих графическому рассмотрению уравнения dEg/d©=0,
Выполним без доказательства это построение для случая загружения наклонной поверхности сыпучего тела (а)—„при-грузом1* —равномернораспределенной нагрузкой д. Грань
стенки АВ наклонена к вертикали роховатую поверхность (8=/=0).
Последовательность построения Понселе заключается в следующем;
1)	действие распределенной нагрузки д- заменяется весом слоя грунта толщиной: h0—ql^ ' .
2)	грань АВ продолжается К г до пересечения с поверхностью ! слоя л0 в точке А';	\ ’
3)	из точки В проводим пря-( 1_ мую BL' под углом р к горизонтали до пересечения в точке L' с поверхностью слоя Л;
под
углом
и имеет ше-
е
3 L
А
4)	из точки А' проводим прямую А'М иод углом р+8 к грани А'В до пересечения с прямой BL' в точке М;
5)	на прямой BL' как на диаметре строим полуокружность;
6)	из точки Л4 проводим прямую MN перпендикулярную BL' до пересечения с полуокружностью в точке W;
7)	из точки В как из центра, делаем засечку радиусом BN на прямую BL' в точке О (BN=BO)‘,
37
8)	из точки О проводим прямую ОС' параллельную прямой А'М до пересечения в точке С' с прямой A'L';
9)	проводим прямую ВС', которая и является следом плоскости сползания;
10)	из точки О, как из центра радиусом' ОС' делаем засечку на прямую BL' в точке Р;
11)	проводим прямую PC' и строим треугольник Ребхана ОС'Р-,
12)	из точки С проводим прямую CRS параллельную прямой BL и получаем трапецию бокового давления PRSO для грани АВ.
Давление Eg сыпучего тела на грань АВ равно площади трапеции PRSO, умноженной на объемный вес сыпучего тела (при единичной длине рассматриваемой стенки):
Eg =‘( /'PRSO
Заметим, что при проведении графических построений/ с небольшой погрешностью можно принимать р=<р,.
5.	Аналитическое определение давления грунта
Алгоритм аналитического определения давления сыпучей среды на грань подпорной стенки, как было установлено нами ранее, заключается в следующем:
1)	формула Кулона (*) преобразуется к виду: Eg = с/(0), где с — некоторая постоянная, не зависящая от О;
2)	затем из условия максимума давления Eg: dEg/dQ — 0; определяется положение плоскости сползания, то есть величина угла Оо;
3)	для получения окончательной максимальной величины силы давления грунта, в найденное значение 0=0О подставляется формула Кулона (*)
Egmrn — cf(®o)»
Из-за математических трудностей, аналитическое решение выполнимо лишь в некоторых частных случаях. Применительно к рассмотренной нами при выполнении построения Пон-селе наклонной подпорной стенке (а), загруженной нагрузкой q при е =# 0, р =й= 0, выражение для силы давления будет иметь вид:
Eg = -±- -[h (h+2hokg) К-*- формула Синельникова
где =
/f = £oseCosa ♦ к— -\ Г Sin (р+8) Cos (в—а) .
s Cos (e—a)	• f Cos (s-j-8) Sin (p—a) ’
38
K _ Sin (р—я), 1	COS(e—я)’
Г Cos (р — е) па 1 [l+K,K1)Cose J Cos (e-j-8)’
Из выражения для /Со следует, что р>а, так как Sin (р—а) не может быть отрицательным. Это очевидно, так как в случае а>рж<р неизбежно бы произошло обрушение поверхности сыпучего тела от угла а до угла р«<р.
Нам необходимо определить координаты точки приложения силы Eg. Для этого, установим как эта -сила распределяется по грани АВ, то есть установим форму эпюры интенсивности давлений (эпюра Pg). Для построения этой эпюры определим давление сыпучего тела на часть АВ' грани АВ. Вертикальная проекция отрезка АВ', равна у. Заменив в вышеприведенной формуле Синельникова величину Л на параметр у будем иметь
Eg= у VJky+Zh^kgjK-,
Построенная для этой функции эпюра Eg очерчена по параболе второй степени (см. рисунок). При увеличении параметра у на dy, представляющего собой площадь вырезанного элемента эпюры давления Eg, последнее увеличивается на dEg, следовательно;
Так как полученная функция—линейная, то для построения эпюры боковых давлений Pg достаточно вычислить напряжения в точках А и В.
39
PA = lh0 Kg К;	Рв i( ft + ftoKg) K;
Расстояние от центра тяжести эпюры напряжений до ее нижнего основания можно определить по формуле, применяемой для трапеции:
V h 2Ра + Рв. Уо==Т Ра + Рв’
В случае, если определяется сила давления от веса грунта на выступающую горизонтальную полку фундаментной плиты Е% , то из соображений создания наиболее неблагоприятного сочетания нагрузок при расчете подпорной стенки на прочность, устойчивость и сдвиг, величина ее принимается равной весу вертикального столба грунта, имеющего нижнее основание, равное ши- у рине полки: £Ф 7 Fbkln-
6.	Расчет подпорных стенок против опрокидывания
Силы действующие на подпорную стенку можно разделись на две группы:
а)	силы собственного веса Gj и G2;
б)	силы давления грунта Egl, Eg2-
Силы давления грунта стремятся опрокинуть стенку, а силы собственного веса удерживают ее от опрокидывания.
Принято считать, что при опро
ак-
кидывании стена вращается относительно наружного ребра С фундаментной плиты.
Заметим, что силу Е& следует определять как силу
тивного давления, а не как силу отпора, что идет в запас устойчивости и прочности стены.
Момент сил Gx и G2 относительно точки С удерживает
стенку от опрокидывания и называется удерживающим моментом:
40
ЛТу = Gx XG1 4- G2 Xq2 = SG;X ог;
Момент силы Egl и Eg2 относительно точки С опрокидывает стену и поэтому называется опрокидывающим:
Мо = Egl f^—E^ = 'LEgTir,
Моменты сил Egl и Egi можно заменить моментами их составляющих:
Мо = Egti^y^gi —EgHy)X^gi — Eg^y^ + Eg2(y) 0 =
S£gi(x) Уе81 + %EgHy) ^Egr
Отношение величины момента, удерживающего стенку от опрокидывания Му к моменту опрокидывающего ее Мо, называется коэффициентом устойчивости стены против опрокидывания:
Ко = М51М0;
По СНИП П-15-74 должно выполняться условие:	1,5;
в противном случае необходимо перекомпоновать сечение подпорной стенки. Наиболее целесообразно в случае перекомпоновки сечения для повышения коэффициента Ко — увеличить размер подошвы фундамента, хотя возможно применение и некоторых других способов.
7.	Расчет подпорных стенок против сдвига
При этом виде расчета, также существует две группы силг а) силы собственного веса Gx и Gs способствуют удержанию подпорной стенки от сдвига;
б)	силы давления грунта Egl и Egi, сдвигающие стенку;
Сила, удерживающая стенку от сдвига, равна:
Py = (G1 + G2)/ = /SGz;
где: f—коэффициент трения подошвы фундамента по грунту: — для глинистых грунтов /=0,25;
—для песчаных грунтов /=0,40.
Сила, сдвигающая стенку, равна горизонтальной проекции сил активного давления грунта, уменьшенной на величину сил трения, развивающихся за счет вертикальных составляющих давления грунта:
Рс'= Egi(x) — Egzw f [£gi (у) + Egi (у)] = E Eg^ f% Egi <y >;
Отношение величины силы, удерживающей стенку от сдвига Ру, к величине силы, - сдвигающей стенку Рс; называется коэффициентом устойчивости стены против сдвига:
41
kc — Py/Pc,
По СНИП П-15-74 также должно выполняться условие: 6с>1>5; хотя СНИП трактует его несколько в другой форме, то есть коэффициент перегрузки к величине удерживающей силы принимается равным 0,8)у а к величине сдвигающей нагрузки—1,2. При этом должно выполняться условие: 0,8 Ру> > 1,2 Рс.
При невыполнении требуемого условия, необходимо предусмотреть мероприятия по увеличению коэффициента устойчивости подпорной стенки против сдвига kc.
8.	Расчет подпорной стенки на прочность
Расчет подпорной стены на прочность сводится к определению напряжений в ее характерных сечениях, а также в грунте под подошвой фундаментной плиты.
Очевидно, что подпорная стенка рассматриваемой конфигурации имеет два характерных сечения: I—I; II—II.
Определение напряжений в любом сечении осуществляется по известной формуле внецентренного сжатия
а = А (1 + М.
А \ ~ b )
где N ’— продольная сила в сечении, равная проекции всех сил на нормаль к плоскости сечения.
Для сечения 1—1:

42
A — площадь поперечного сечения стенки метровой длины;
b — ширина рассматриваемого сечения;
е — эксцентриситет приложения продольной силы относительно
центра тяжести сечения.
о	ь
Заметим, что при величине эксцентриситета е> —,
напряже-
ния, вычисленные по приведенной формуле будут иметь разные знаки. Поэтому при величине С>—, указанную формулу нельзя $
применять для определения напряжений в грунте под подошвой фундамента, так как грунт не воспринимает растягивающих напряжений.
Если же растягивающие напряжения ар возникают при расчете других характерных сечений подпорной стенки, то в растянутой области .стенки следует запроектировать установку арматуры для восприятия этих напряжений. (Расчетное сопротивление бетона растяжению Rp примерно в <10 раз ниже расчетного сопротивления при сжатии R).
Величина эксцентриситета продольной силы может быть определена аналитически по следующей формуле:
„-Му-М,,	ь.
N	2 ’
где УИу, Мо — соответственно удерживающий и опрокидывающий моменты относительно йевой грани рассматриваемого сечения (для сечений I—I и II—II соответственно точки D и С);
Заметим, что выражение --у-—— = С, представляет собой N
расстояние от левой грани продольной силы.
В случае, если величина
сечения до места приложения
эксцентриситета ,
напря-
жения в грунте под подошвой фундаментной плиты можно
определить из уравнений равновесия:
2У = —	= о
2
= v	Сп-п =0	2 _
2 о
Решив уравнения совместно, найдем:
х = ЗСп-п;
_ 2 ЛГп-« .
а~ 3	с11-п ’
9.	Графический способ определения эксцентриситетов
При расчете , на прочность сложной по конфигурации подпорной стенки, определение эксцентриситетов продольной силы в каж-
43
дом характерном сечении довольно затруднительно. Поэтому, с достаточной для расчетов степенью точности, величины эксцентриситетов можно определить графически путем построения много
угольника сил.
Рассмотрим графический способ определения эксцентриситетов в сечениях I—I и II—II приведенной схемы подпорной стенки. Определение эксцентриситетов et ведется последовательно для всех характерных сечений подпорной стенки сверху вниз (то есть
от наименее нагруженных сечений).
Определение е^:
1)	продолжаем линии действия сил Gx и Egl до пересечения в точке 0;
2)	откладываем из точки 0 по линиям действия силы Gx и Egl и определяем их равнодействующую
3)	расстояние между точкой
пересечения линией равнодействующей Pi-i плоскости сечения I—I и его центром тяжести (ЦТ1-1) и будет представлять собой эксентриситет ei-i.
— определение эксцентриситета еп-п производится аналогично, в следующей последовательности сложения сил:
1) Ri-i + Gi= Z?n-iG 2) /?п-п Eg2 =/?ц-п*, 3)расстояние между топкой пересечения линией равнодействующей /?п-п сечения II—II и его центром тяжести (ЦТп-п) и будет представлять собой искомый эксцентриситет ец-ш
В итоге студент должен знать:
1. Расчет подпорной стенки на прочность, устойчивость против опрокидывания и сдвига.
§ 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ
системах
1.	Определение. Система называется линейно деформируемой, если ее перемещения являются однородными линейными функциями внешних сил:

р„.1
Д1Р =	+ s12P2 +	> (1)
Хгде о/к— проекция перемещения точки приложения силы Рх на ее направление, вызванного силой
44
2.	Условия линейной деформируемости системы
1)	материал следует закону Гука;
2)	перемещения малы по сравнению со всеми размерами сооружения;
3)	шарниры и прочие связи — идеальные (без трения)
3.	Свойства линейно-деформируемых систем
1)	для них справедлив принцип независимости действия сил: «Результат совместного действия нескольких сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности»;
2)	в них не бывает остаточных деформаций, то есть системы после разгрузки полностью восстанавливают первоначальную форму;
3)	при пропорциональном возрастании всей нагрузки любая точка системы перемещается по прямой линии.
4.	Теорема Клайперона (Clapeyron В. Р. Е., 1^52)
„При статическом действии силы на линейно деформируемую систему работа этой силы равна половине произведения окончательного значения этой
силы на окончательное значение	р
перемещения"	/_____________’’______„
Г = — РД	(2) J' f----------------
2	д
Процесс считается статическим, если силы инерции малы по сравнению с прочими силами. В этом случае в любое мгновение внешние силы почти уравновешиваются внутренними.
Доказательство:
Вместе с ростом силы S растут и перемещения, то есть X = 8nS, что показано на графике. Заштрихованная площадь представляет собой работу, то есть
V = — Р Д 2
что и требовалось доказать.
В случае действия нескольких сил:
Г=^-(Р1Д1+Р2Д2+РзДз+-) =
= — s Pi Др
2	1 1
45
где AjK— перемещение, вызванное всей системой сил.
Для нелинейно деформируемых систем
V= аРД,
где а = а (А) = а (Р) -i- (3)
5.	Работа внутренних сил плоской стержневой системы
1.	Работа продольных сил (положительных при растяжении)
Nds.
ЕА ’
2	2ЕА
Работа внутренних сил отрицательна, так как внутренние силы препятствуют^деформации.
2.	Работа изгибающих моментов
= — уАМ <р
AWs
2EJ
3. Работа поперечных сил (касательных напряжений^
46
где
(3)
Для
I* = 1,2;
|i = 32/37;
Просуммировав элементарные работы (1)... (3) в пределах каждого стержня, а затем по всем стержням, получим работу внутренних сил всей системы:
f M*ds v f „ Q2ds r f №>ds
V 2^4 ]2ЪГ
(4)
6.	Принцип возможных перемещений и упругие системы
«Для того, чтобы линейно-деформируемая система находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы работа всех внешних и внутренних сил на любом возможном перемещении была равна нулю».
Под возможными перемещениями понимают бесконечно малые перемещения, вызванные силами, изменением температуры, смещением опор...
В качестве возможного перемещения можно брать действительные перемещения, так как линейная деформируемость устраняет различие бесконечно малых и конечных перемещений. И в том и в другом случае перемещения происходят по прямым, одинаково направленны и имеют одинаковые относительные величины.
Когда система совершает возможное перемещение действительные внешние и внутренние силы остаются неизменными, поэтому
V = РЬ.
(5)
7.	Зависимость между работой внешних и внутренних сил
Составим выражения работы внешних и внутренних сил состояния (1) на перемещениях состояния (2). Согласно принципу Лагранжа Ки4-К12=0, откуда
(6)
„Работа внутренних сил состояния (1) на любом возможном перемещении равна работе внешних сил состояния (1) с обратным знаком на том же перемещении".
47
8.	Теорема о взаимности работ (Betti, Е., 1872)
«Работа внешних (или внутренних) сил состояния (1) на перемещениях состояния (2) равна работе внешних (или внутренних) сил состояния (2) на перемещениях состояния (1)»
, ftp-		£1
» , ft ft Л -	з 1% & Р
(i> (4)+(а) Доказательство:	(2)* (4)
Загружая систему сначала силами (1), а затем силами (2), получим
V-Vn + V2! + V12	(8)
Меняя порядок загружения, найдем
V = r22 + V11 + V21	(9)
Приравнивая V—V, получим (7), что и требовалось доказать.
9.	Теорема о взаимности перемещений (Maxwell, I. С., 1864)
„Проекция перемещения точки приложения силы на ее направление, вызванного силой Р2 = = 1, равна проекции перемещения точки приложения силы Р2 на ее направление, вызванного силой Рх=1:
®12 = ^21	(10)
48
Доказательство: По теореме Бетти 1 • 81а= 1 -ок1, что и требовалось доказать.
10.	Теорема о взаимности реакций (Raijleigh I. W., 1873)
Реакция в связи (1),возникающая от единичного перемещения связи (2) Но своему направлению равна реакции в связи (2), возникающей от единичного перемещения связи (1) по своему направлению:
Иг = гг1	(11)
Доказательство: Согласно теореме о взаимности работ внешних сил (Betti) ru-0 -f-r21-l = r12-l+r22-0, что и требовалось доказать.
11.	Теорема о взаимности реакций и (Maxwell I. С., 1864)
„Проекция перемещения точки приложения -силы Pi на ее направление от перемещения Z2=l второй связи равна с обратным» знаком реакции во второй связи от силы Р1=1, то есть
^12 = — ^21	(12)
перемещений
Доказательство: По теореме о взаимности работ внешних сил (Betti):
1 • §12 -J- Г21 • 1 = 0 • 8ц + Г22 • 0,
что и доказывает (12).
12.	Потенциальная энергия и различные ее выражения
Потенциальной энергией деформации называется работа внутренних сил на перемещениях системы из деформируемого состояния в первоначальное, недеформированное.
Для плоской стержневой системы:
"=-^2f^+2f<s+2J^>o да
49*
Через работу внешних сил (согласно теореме Клайперона)
Л=±(Р1Д1+Р2Да + ...),	(14)
причем
Д1 = 8„Л + 8„Р2+...	(15)
вызвано всеми силами.
В случае заданных сил и смещений имеем:
^1 = 911 Р1 +812Р2 +813 Дз + 814^4 ^a=82iP i+SjgPjj + §23^3+824^4 Р#=/'31Р д+гзгРа+ГззДз+^зз^ Р 4 = ,-41Р1 + ^42Р2 + Г43^з+г44^4
(16)
Подставляя (16) в (14), получим смешанную формулу П
Л = Л(Р1) + Л(Д1) = Лр + Лд,	(17)
где Лр=^-(811Р?+§а2Р!+...)+(812Р1Р2+...)	(18)
Лд — — (Г33Д3 + Г44 Д4 + • ••) + (Г34Д3Д4 +•••)	(1®)
Здесь использованы взаимности: 812=821; rsi=rt3\ 813 — —r'3l
Если отсутствуют смещения опор или внешние силы, то остаются в (17) квадратичная форма (18) от Рг или (19) от Д;.
13.	Теорема Кастилиано (Castigliano А., 1873)
„Частная производная от потенциальной энергии по одной из сил равна перемещению точки приложения этой силы по ее направлению"
Доказательство:
— =	=811Р1 + 512Р2+... = Д1,
дРг дРг 11 1 ' 12	'	*’
что и требовалось доказать.
14.	Теорема Лагранжа (Lagrange los. lonis, между 1766 и 1788)
„Частная производная от потенциальной энергии по перемещению равна соответствующей силе (реакции связи)»
50
Доказательство:
=	= Г33^8 + Гм ^4 + ••• = ^*3 = ^3	(21)
Ой Ой$
В случае теоремы Кастилиано считаются отсутствующими смещения опор, а в случае теоремы Лагранжа — внешние силы.
15.	Вторые производные от потенциальной энергии
&п _ д*п0 .
дР* дР] 11 ’
__
АД?	<ЗД?	Гз3’
О	о
дЧ1 _ &ПР дР>дРа дРгдР2 д*П = д»/7д _ дД3<ЭД4 “ <ЗДз<ЭД4 ~Га
Из того, что Sn>0 (а г83>>0) следует, что если потенциальная энергия принимает экстремальное значение, то это-минимум.
16.	Общая формула перемещений плоской стержневой системы
Пусть в состоянии па“ рама находится под действием нагрузки, изменения температуры, осадки опор.
Требуется найти проекцию перемещения точки D на направление i—i, то есть Aia.
Приложим в точке D по направлению i—i силу = I-Реакции в сместившихся опорах положительны, если направлены в сторону смещения. Приравняем нулю работу всех, сил состояния Bi“ на перемещениях состояния „а“:
1Д1а + 2 /?'*> С<а,+ Vla = 0.	(1)
Пусть температура по толщине изменяется по линейному закону
51
«со = -	(А/
₽ Йх + Йг
/'=G-4	(3)
Деформация удлинения элемента ds оси:
A=Sds + aMs	<4>
ЕА	F
Взаимный угол поворота поперечных сечений элемента ds:
d? ds + — ds-,	(5)
r El h	v
Взаимное смещение точек поперечных сечений элемента ds:
A,a= — ds == ^-ds	(6)
а G Gib	V
Работа Л|а внутренних сил состояния „i“ на перемещениях состояния „а“ равна:
А1а = - .2 $ Mtd<pS J - 2 И Да dA 1	1	1A
или с учетом (4) — (6):
+ 2 J ^j^ds + 2	“Ms) (7)
Используя (7) п (1), получим общую формулу перемещений:
+ 2 jWi atcpds — Е/?<0 C<a>;	(8)
При расчете только на нагрузку в (8) надо отбросить последние три числа.
Допуская малую количественная погрешность, для расчета рам (балок) и ферм на нагрузку соответственно получим:
Aip = 2 J	d& —Для Рам и балок	(8а)
Ajp =2	—Для ферм	(86)
52
17.	Вычисление перемещений
в) Выбор единичного силового воздействия
Состояние под заданной нагрузкой
Вертикальное перемещение точки „К“
Г оризонталь-ное перемещение точки „В*
Изменение расстояния .C-D“
Угол поворо-	Взаимный угол
та сечения „К“	поворота сече-
ния „с“ и „D“
Заданное состояние
Угол поворота стержня „а—Ь“
Изменение угла между стержнями „а—Ь“ и „Ь—с“
б) Правило «.перемножения эпюр Верещагина (1925 г.)
ъ	ь	ь
dx= JМрх tg pdx	= tg р J	Мрх dx
а	а	а
53
Но последний интеграл есть-статический момент площади, эпюры Мр относительно оси ОМ
| Мр Mt dx = tg р<ОрХ цт =<оруцт (1)
Искомый интеграл равен произведению площади криволинейной, (или прямолинейной) эпюры на расположенную под ее центром тяжести ординату другой прямолинейной эпюры.
Это правило применимо и для стержней переменной жесткости,, но вместо Мр следует построить, эпюру Мр Л,
в) Пример. Вычислить угол поворота на правой опоре от равномерно распределенной нагрузки.
Решение: на правой опоре приложим Мх=1 и построим эпюры q	Мр и Mi:
а! М х -1 I i и	Затем вычислим
2	ql3 .	ql3
Д-	р	3	8	12
/г	lp	J	El	Е1 12	2
___ql3 —__24£/'
В итоге студент должен знать:
1.	Какие существуют теоремы линейно-деформируемых систем.
2.	Как определяется работа внутренних сил?
3.	Формулу определения перемещений.
§ 7.	РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫМИ называются такие сис-темы, которые нельзя рассчитать с использованием одних только 54
уравнений статики. При рассмотрении кинематического анализа сооружений нами отмечалось, что для таких систем величина степени свободы (подвижности) W<0 (V<0).
Г. Основные свойства статически неопределимых систем
1)	В таких системах величины внутренних усилий зависят от количества внешних связей, а также от соотношения жесткостей самих элементов системы.
2)	Усилия и перемещения в таких системах по величине меньше, чем в соответствующих им статически определимых системах.
3)	В статически неопределимых системах появляются дополнительные температурные напряжения, а также напряжения, вызванные осадкой опор, или начальными несовершенствами.
4)	Статически неопределимые системы более жизнеспособны, чем статически определимые.
Указанные свойства статически-неопределимых систем и определяют их достоинства и недостатки.
2.	Основные методы расчета статически неопределимых систем
Различают следующие классические методы расчета статически неопределимых систем:
1)	метод сил, в котором за неизвестные принимаются усилия, возникающие в лишних связях;
2)	метод перемещений, в котором неизвестными являются перемещения, вызванные деформацией системы;
3)	метод конечных элементов, при котором конструкция разбивается на ряд отдельных элементов, в которых исследуется напряженно-деформированное состояние, а также условия их сопряжения;
4)	смешанный метод;
5)	комбинированный метод.
Вышеперечисленные методы являются точными, и помимо их существует целая гамма.приближенных методов:
1)	метод уравновешивания узловых моментов (метод Бернад-ского-Кросса);
2)	приближенные способы расчета на вертикальную и горизонтальную нагрузку;
3)	разного рода методы последовательных приближений и другие.
Из вышеперечисленных методов расчета статически неопределимых систем в настоящем курсе «Строительной механики», применительно к расчету рам нами будет рассмотрен только метод сил, а применительно к расчету неразрезных балок — метод трех моментов и метод моментных фокусных отношений.
55
3.	Определение числа неизвестных в методе сил.
Выбор основной системы
Расчет статически неопределимой системы начинается с анализа ее схемы. Анализ необходим прежде всего для того, чтобы установить степень статической неопределимости конструкции.
Степень статической неопределимости равна числу так называемых лишних связей Л, удаление которых превращает статически неопределимую систему в определимую, геометрически неизменяемую (основную) систему.
Очевидно, что величина статической неопределимости: Л= — W; где W — степень свободы (подвижности) системы, выражения для которой нами были получены при рассмотрении кинематического анализа сооружений.
Следовательно, имеем следующие формулы для определения: степени статической неопределимости:
Л =—№=2Ш-1-ЗП — ЗО4-С0->для произвольной системы
Л —— W—C — 2У-}-С0	-> для шарнирно-стержневых
систем (ферм)
Использование приведенных формул при определении степени статической неопределимости рам несколько трудоемко, поэтому для этих конструкций существует более простая формула:
Л = ЗК — Ссн;
где К—число замкнутых контуров в системе;
Ссн — число снятых связей, то есть, общее число простых шарниров; и ползунов в системе.
После определения количества лишних связей в системе «Л», последние отбрасывают, а их действие заменяют неизвестными усилиями. Полученная в результате этого система называется основной. Основная система принимается в основу расчета данной статически неопределимой конструкции.
При выборе основной системы, последняя должна удовлетворять следующим условиям:
56
1)	являться геометрически неизменяемой, что проверяется проведением структурного анализа;
2)	являться статически определимой;
3)	являться простой и удобной для расчета и построения эпюр внутренних усилий.
Рассмотрим пример по. определению степени статической неопределимости систем и выбору для них основной системы:
а) Рама.
Л=^ 2Ш + 377 -3D + Со = 2-0+3-0 — — 3-1 + 6 = 3.
Л=37<-Ссн = 3-1 — 0 = 3
здесь П — число припаек (жесткое соединение элементов между собой)
Основные системы:
Если конструкция симметричная, то наиболее целесообразно из соображений дальнейшего упрощения расчета, неизвестные усилия располагать на оси симметрии (последняя основная система).
4.	Канонические уравнения метода сил
В результате отбрасывания лишних связей и замены их действия неизвестными усилиями (Хх...Хл), система обращается в статически определимую. В этой основной системе помимо внешнего силового воздействия (внешняя нагрузка, действие температуры, осадка опор) на конструкцию будут действовать также неизвестные усилия, возникающие в отброшенных связях.
Так как основная система является статически определимой, то для нее возможно построение эпюр внутренних усилий от внешнего воздействия (Pi, gi, mi) на основе составления уравнений статики. Возможно построение эпюр внутренних усилий и от действия сил Xi и Хг, но величины последних необходимо определить. При правильном определении усилий Xi и Хг основная система будет эквивалентна заданной. Составление дополнитель
57
ных, так называемых канонических уравнений для определения неизвестных Xi и Ха производится исходя из следующих соображений:
ЗАДАННАЯ СИСТЕМА	ОСНОВНАЯ СИСТЕМА
Л = ЗХ —Ссн = 3-1 — 1 = 2
— в заданной системе по направлению имеющихся связей (в том числе и отбрасываемых) перемещений быть не может. Поэтому в основной системе перемещения по направлению отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлению равнялись бы нулю.
Условие равенства нулю перемещения по направлению первой отброшенной связи на основании принципа, независимости действия сил может быть представлено в следующем виде:
Дх = Ди -|- Д13 Д1р 4- &lt + Д1с = 0;
где Дц— перемещение точки, где приложена сила Xj по ее направлению от самой силы Хх;
Д12 — перемещение точки, где приложена сила Хх по ее направлению от действия силы Х2;
Д1р, Дп, Д1с — соответственно перемещения точки, где приложена сила Хх от действия внешней нагрузки,, изменения температуры и осадки опор.
Перемещения считаются положительными, если они совпадают с направлением действия сил Хь
Для второй отброшенной свйзи можем аналогично записать:
Д2 = Д21 4- Д22 4- Дгр + ^2/ + ^2с = о»
Выражая указанные перемещения через единичные, получаем систему канонических уравнений в следующем виде:
8ц Хл 4- 812Х2 4- Д1р 4~ Дл< 4- Д1с — 0
^21-^1 + ^22 Xj -f-	4" ^2t 4" ^2с — 0
где 8лл, 81к— коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений;
58
В17—	главные перемещения: оп всегда больше 0; огк — побочные перемещения: B/K=BKi->- по теореме
Максвелла о взаимности перемещений;
Д,р, Д/о Д;с — свободные члены системы канонических уравнений.
Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений производится по обобщенной формуле Мора.
В результате решения системы канонических уравнений, полученные. значения неизвестных прикладываются с учетом знака к основной системе. Окончательные эпюры внутренних усилий М, Q и N получаются как результат совместного действия внешних факторов и найденных реакций в отброшенных связях Xi и Хг-
5.	Порядок расчета статически неопределимых систем методом сил на силовое воздействие
(рь 4i, гщ)
На основе изложенного, расчет статически неопределимых систем методом сил (то есть построение для них эпюр М, Q, N) на силовое воздействие обычно производится в следующей последовательности:
1)	определяется количество лишних связей: Л=ЗК—Ссн;
2)	выбирается основная система и для нее записывается система канонических уравнений:
+ ^12^2 + • • • + Alp = 0
+ 8„2^2 + ••• + Апр =0
3)	к основной системе по месту отброшенных связей прикладываются единичные усилия Хх = 1...Х„=1 и строятся единичные эпюры моментов:
4)	в основной системе строится грузовая эпюра моментов от внешней нагрузки Л4Р;
5)	методом Верещагина определяются коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений;
= 2 ds-, згк~ 2	Дгр = 2 J ^reds-,
6)	строится суммарная единичная эпюра от действия всех единичных сил М,;
7)	производится универсальная проверка правильности определения коэффициентов при- неизвестных:
25 = S5f/ + 225/K=5ea = J -^-ds;
59
а при необходимости и строчная проверка:
28г = 8д + 8«+-.+8/я=8/в=
8)	производится проверка правильности определения свободных членов:
2Д/р = А1р 4- Д2р + ... + Длр = 2 J ~JTds>
9)	решаем систему канонических уравнений и определяем значения неизвестных
10)	строим окончательную эпюру изгибающих моментов:
М = MjX} + М2Х2 4~	4~ Л4ПХЛ 4-
11)	производим кинематическую (деформационную) проверку правильности построения эпюры М:
д. „ 2 К * = 0; „„„ д, = 2 (44* " 0;
12)	по эпюре М, используя дифференциальную зависимость Q—dMdx строим эпюру Q;
13)	по эпюре Q, рассматривая равновесие узлов t строим эпюру АГ;
14)	проводим статическую проверку правильности построения эпюр М, Q, N.
В случае расчета статически неопределимой фермы, загруженной узловой нагрузкой порядок расчета остается тот же, вместо построения эпюры М, необходимо определять продольные усилия в стержнях фермы (эпюра N). Расчет производится обычно в табличной форме.
Пример. расчета статически неопределимой рамы на силовое воздействие будет подробно разобран далее.
6.	Расчет статически неопределимых систем методом сил на температурное воздействие
При расчета рам на температурное воздействие, переход к основной системе осуществляется так же, как и при расчете на силовое воздействие. Аналогично вычисляют и проверяют коэффициенты при неизвестных в канонических уравнениях.
Система канонических уравнений подобна записанной нами ранее для расчета на силовое воздействие, с той лишь разницей, что в качестве свободных членов должны быть представлены температурные перемещения:
8ц^1,+ 8j2X4-|- ... 4-Дх< — 0
8ni^i + 8п2Х2 4- ... 4- Дп/ = 0
60
Определение температурных перемещений производится на основе полученной нами выше, обобщенной формулы Мора:
Дн = S .pds+S J r И
где Nit Mt — в отличие от обобщенной формулы Мора — это внутренние усилия рамы от действия единичной силы Х,=1;
Заметим, что J A/’jrfs = wN/ — площади эпюры нормальных СИЛ Wf,
а у Mtds = <i>mz — площади эпюры изгибающих моментов Mt на данном участке.
Следовательно формулу для определения температурных перемещений можем переписать в виде:
— Еа/Ср wNi “Ь Sa—о>дц; r	h
Сформулируем правило знаков для величины Дп
— компонент температурного перемещения, определяемый по эпюре продольных сил Nt считается положительным, если на рассматриваемом участке и от действия температуры /ср= и от действия силыХ|=1 наблюдается одновременное удлинение (сжатие) элемента;
— компонент температурного перемещения, определяемый по эпюре изгибающих моментов Mt считается положительным, если на рассматриваемом участке и от действия— температуры t' = | ti — rf2| и от действия силы Х1=1 наблюдается растяжение (сжатие) одноименных волокон элемента;
Проверка правильности определения свободных членов заключается в проверке выполнения условия:
2Д// = Sa Zcn<UKa -f-Sa - OlMaj
r	h
Окончательную эпюру изгибающих моментов строим путем суммирования единичных эпюр, умноженных на соответствующие значения неизвестных, то есть
М = Л11х1 + М2Х2 + ... + МЯХЯ;
Кинематическая проверка окончательной эпюры изгибающих моментов состоит в том, что полные перемещения основной системы по направлению отброшенных связей от совместного действия неизвестных и температурного воздействия должны быть равны нулю:
М М?
j El ds + 2Д// = 0.
6)
7.	Расчет статически неопределимых систем методом сил на осадку (смещение) опор
При расчете статически неопределимых систем на осадку (смещение) опор система канонических уравнений будет иметь вид:
^11^1 + &12 -^2 + ••• + Ajc = О
+ &л2^2 + ••• + Аде — О
Свободные члены системы канонических уравнений Ajc... Аде также как и в предыдущем случае можно определить из полученной нами ранее обобщенной формулы Мора
Д/с = — ZRC,
где С — величины смещений (осадок) опор в заданной системе;
R—величины реакций, возникающих в смещаемых опорах от действия единичной силы Xf=l.
Сформулируем правило знаков для вычисления перемещения А1с:
а)	Если основная система выбрана так, что смещаемая опора отброшена, тогда величина перемещения Дгс будет равна величине этого смещения. Знак перемещения будет положительным в том случае, если направление неизвестного приложенного к отбрасываемой опоре совпадает с направлением смещения:
+ Ахс = О,
НЕИ5ВЕСТН96, ПРИЛ ЖЕННОе К ОТБРОШЕН ной опоре
Заданная система
Основная система
б)	Во всех других случаях, величина реакции R считается положительной, если ее направление в смещаемых опорах совпадает с направлением смещения.
Условие проверки правильности определения свободных членов, имеет вид:
где R,—условная опорная реакция от всех единичных сил в смещаемой опоре.
Окончательная эпюра изгибающих моментов строится также, как и при расчете на температурное воздействие:
€2
М. = AfjXi + Л12Х2 -J-... + МпХп, Кинематическая проверка этой эпюры заключается в проверке условия:
Л.= 2^*-2А,. = О.
8.	Определение перемещений в статически неопределимых системах
Перемещение в произвольной статически неопределимой системе можно определить по обобщенной формуле Мора.
При определении перемещений в статически неопределимых рамах формула Мора существенно упрощается:
— при силовом воздействии:
— при температурном воздействии
= 2 Г тг ds+2 а <Р «*+ 2а Г “м-’
— при смещении (осадке) опор:
где Mi—эпюра единичного состояния, соответствующего искомому перемещению.
Отметим, что раскрывать дважды статическую неопределимость системы при построении эпюр М и Mi нет необходимости. Достаточно,. если построена с раскрытием статической неопределимости хотя бы одна из этих эпюр (обычно строится эпюра моментов от внешнего воздействия — эпюра М).
В итоге студент должен знать:
1)	методы расчета статически неопределимых систем;
2)	уметь выбрать основную систему метода сил,
3)	порядок расчета системы методом сил.
§ 8. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
1. Понятие о неразрезных балках. Преимущества неразрезных балок, методы расчета и выбор основной системы
Неразрезной называется статически неопределимая балка, опирающаяся на шарнирные опоры (мосты, наземные и подземные трубопроводы, подкрановые балки в промышленных зданиях и т. п.)
63
Крайние сечения неразрезной балки могут быть:
а) свободные
б) жестко заделаны
в) оперты на шарнирные опоры
~7%?
Одна из опор неразрезной балки имеет связь, препятствующую смещению балки вдоль ее оси.
Неразрезные балки обладают рядом преимуществ по сравнению с разрезными конструкциями:
1)	лучшее распределение внутренних усилий: М max	-Мтах»
2)	имеют меньшую величину максимального прогиба:/тах</тах;
3)	более экономичны с точки зрения снижения расхода материала;
4)	так как конструкция неразрезной балки является укрупненной, то при ее возведении снижаются трудоемкость и затраты на монтаж.
Недостатком неразрезных балок, как и всякой статически неопределимой системы является большая чувствительность их к неравномерной осадке опор, а также появление дополнительных напряжений при неравномерном изменении температуры. Это было оговорено нами ранее.
Расчет неразрезных балок может проводиться по любому из способов расчета статически неопределимых систем, упомянутых нами выше. Но наиболее удобно расчет таких конструкций проводить используя метод трех моментов или метод моментных фокусных отношений.
При рассмотрении выбора основной системы метода сцл для расчета неразрезной балки нами было оговорено, что наиболее рациональной основной системой в этом случае является такая конструкция, в которой шарниры лишних промежуточных опор врезаны в конструкцию несущей балки.
Расчет неразрезных балок по методу сил в этой основной системе позволяет существенно упростить систему канонических уравнений.
64
Л=ЗК— Ссн=3-2—4=2	Наиболее рациональная основная система
Рассматривая расчет неразрезных балок в указанной основной системе ^французские инженеры Берто и Клайперон предложили так называемый метод трех моментов,' а французский академик Бресс на основе метода трех моментов получил другой, названный им методом расчета неразрезных балок с использованием моментных фокусных отношений.
Рассмотрим, последовательно расчет неразрезных балок:
а)	методом трех моментов;
б)	методом моментных фокусных отношений.
2.	Уравнение трех моментов как частный случай канонического уравнения
Из многопролетной неразрезной балки выделим участок, находящийся под действием некоторой произвольной нагрузки.
— Опоры балки принято нумеровать слева направо начиная с нуля: 0, 1,2,..., п—1, и, п+1,...;
— Длины пролетов также нумеруются слева направо:
ln-i, ln, In*!--., причем данному пролету присваивается номер правой опоры;
— Моменты инерции поперечных сечений балки постоянны по длине каждого пролета, а в разных пролетах моменты инерции могут иметь различные значения: /п 1п-ъ Ai+iv Основную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, то есть поставив шарниры над опорами балки. Неизвестными являются опорные моменты, возникающие в сечениях неразрезной балки над опорами: М19 М2, ... Мп-и М„, мл+1>...
Составим каноническое уравнение, выражающее условие того, что перемещение по направлению неизвестного момента А4„ равно, нулю, то есть равен нулю взаимный угол поворота двух смежных сечений над опорой п:
...	2оп,п_2 + Л4П_18Я,П_1 + Af„onn Мп4-1Зя,я+14~Л1п+#8л,я+а4-
+ ...+А,Р = 0;
Для вычисления коэффициентов и грузового члена этого канонического уравнения построим единичные эпюры моментов ...Afrt_1( М„, Мп+1;... и грузовую эпюру Л!®.
Методом Верещагина определяем коэффициенты при неизвестных канонического уравнения:
3 Заказ 1452
65
^л>л—2 — О»
X = -1- . — . 1 ./ . -1_ . 1 — 1п •
пт 1 Е1п 2 п 3 6Е/Я ’
8„,„=---------- •	1 +-f)— • — -l-L+r — • 1 =
" EIn 2	3 EIn+1 2	"	3
и \*-/л	^*п~г1/
s _	1	1 .1.7, . 1 — * . 1 ____	*л+1
Wl- £fn+i‘ 2	1 Z„+X 1 - 3 I 6£/л41
Таким образом, в каноническом уравнении все коэффициенты при неизвестных, за исключением ^n,n-i> ^п.п> ^л.п+i равны нулю. Умножением по методу Верещагина единичной эпюры Мп на грузовую эпюру Доопределим значение грузового члена Д|,р канонического уравнения:
Дкр= ~рТ~ ' шп "Уп +	' шп+1 ’ Уп+1>
F £fn	Е Гп+1
где: <о„; “n+i ~ площади эпюры Мр соответственно для пролетов 1п и /л+1;	_
Уп> У п+1 — ординаты единичной эпюры Ма в сечениях со-
ответствующих положениям центров тяжести площадей <«я и «„-ц;
Из рассмотрения эпюры Мп легко установить что уп= —;
In
Уп+i — Следовательно
ln+1
— ,1вл+—----
1п £/л+1
fr/i+t ^л+1
%+!•
А”Р- и.
Но это выражение можно переписать иначе, если обратить, внимание на то, что произведе-ние • <»п=Вп — *л
правой опорной реакции пролета 1п от фиктивной нагрузки <»„.
Аналогично рассуждая, можно записать, что-^-<1)„Ч1=4л+ь о г	^л+1
то есть левой фиктивной опорной реакции пролета /п+1.
Тогда получим:
А"р—	+ -ту— • A?+i;
£/„	£/л+1
66
3*
67
Значения фиктивных реакций приведены в приложении 3.
Подставим найденные значения коэффициентов при неизвестных и выражение для свободного члена в каноническое уравнение для л-ой опоры:
" x6E/„	6	"
ln+1
6EIn+i
. пф___. 1	. дф
Dn	Лп-
Е 'n+i
1
Ein
Умножим все члены этого уравнения на величину 6/0, где: /0 — некоторый произвольный момент инерции; при расчете за эту величину обычно принимают либо минимальное, либо максимальное значение момента инерции сечения в каком-то пролете неразрезной балки;
и вводя понятие так называемых „приведенных“ длин пролетов:
/>/п. ь.-, гп+1 = 1п+х .Ь--,
‘п	Iп+1
преобразуем каноническое уравнение к следующему виду:
. с + 2м„( /„+/„+, )ч-мп+1./;+1 =-б(Лв*+-^ j ' *П	'п+1	/
Это выражение носит название уравнения 3-ех моментов, т. е. моментов №„—1, Мп; М„+1.
3.	Частные случаи расчета неразрезных балок
а)шарнирнОтОпертный край:
Записывая в этом случае уравнение трех моментов для первой опоры; следует иметь в виду, что: Л10 — 0, то есть момент в шарнире равен нулю. Уравнение обращается таким образом в уравнение двух моментов.
68
б) защемленный край:
В этом случае нумерацию опор следует начинать с единицы. Записывая в этом случае уравнение трех моментов для первой опоры, следует иметь в виду, что: Мо = 0, li =‘0; В*—0, так как в первом фиктивном пролете нагрузка отсутствует. Уравнение также обращается в уравнение двух моментов.
а) свободный (консольный) край:
При составлении уравнения трех моментов для третьей опоры следует иметь в виду, что: М4 — — Pt-a (знак минус указывает на растяжение верхних волокон).
4.	Порядок расчета неразрезных балок методом трех моментов
1)	определяем количество лишних связей;
2)	переходим к основной системе, врезая шарниры в балку над лишними опорами;
3)	определяем приведенные длины пролетов;
4)	для каждого неизвестного записываем уравнение трех моментов;
5)	определяем величины фиктивных реакций;
6)	подставляем найденные величины приведенных длин пролетов и фиктивных реакций в уравнение трех моментов и решаем их совместно;
7)	строим эпюру моментов М путем геометрического сложения эпюры от опорных моментов в основной системе с грузовой эпюрой Мр‘,
8)	по эпюре моментов традиционным способом строим эпю-ру Q;
9)	проводим кинематическую проверку правильности построения эпюры М;
10)	проводим статическую проверку.
5.	Понятие о моментных фокусах и фокусных отношениях
Из многопролетной неразрезной балки выделим участок, в одном из пролетов которого действует внешняя нагрузка.
69
Покажем характер эпюры моментов, соответствующей этому случаю загружения.
Установлено, что в каждом незагруженном пролете слева и справа от загруженного n-го пролета, эпюры моментов имеют нулевую. точку, причем местоположение этой точки постоянно и не зависит от интенсивности и вида нагрузки загруженного пролета. Эта точка называется моментным фокусом.
Нулевые точки эпюры моментов в ненагруженных пролетах, расположенные слева (справа) от загруженного пролета называют левыми (правыми) фокусными точками Fn-2, Гп—1 (^л+V ^л+2 )•
Положение фокусных точек в незагруженных пролетах определяется величиной фокусного отношения. Различают соответственно левое kn и и правое kn фокусные отношения:
k - — «л-i ~	~
Мл-2 ап-г
^Л~~1   ^Л""1 аЛ~1,
an-i
А ___ мп—2
Ля-2~-------
И Т. Д. Мл-э
Ъ	__ an+l
кпл.л = —---------------
Мп+1 ьп+1
^л+1
*я+2 = ~и т. д. Afn+2
В этих формулах перед отношениями моментов берем знак минус, так как на опорах рассматриваемого незагруженного пролета они растягивают разноименные волокна несущей балки.
Зная величины моментов Мп^.1 и Afn в загруженном пролете, а также значения левых и правых фокусных отношений kn и kn в пролетах балки соответственно слева и справа от
70
загруженного пролета мы сможем определитьхзначения моментов над всеми опорами балки и следовательно построить эпюру моментов М.
Получим сначала зависимости для определения левых и правых фокусных отношений.
6.	Рекурентные формулы для определения левых и правых фокусных отношений кп, к'п
А. Левые фокусные отношения кп1
Рассмотрим часть многопролетной неразрезной балки левее загруженного пролета. Для упрощения индексации моментов и приведенных длин пролетов будем считать, что внешняя нагрузка приложена правее (п+1)-го пролета.
l'n, ln+i — приведенные длины пролетов, определяемые по известным формулам:
Для опоры „га*1 составим уравнение трех моментов, в котором учтем, что пролеты и lr,+t незагружены, то есть В? = Д*+1 = 0;
+ 1'п+1) + ^п+1 1п+1 0
Поделим обе части уравнения на величину момента Мп-.
4 + 2 (l'n + l'n+1) + 4tl /;+1 = 0; ма	м„
Введем в это выражение величины левых фокусных отношений.
71
Очевидно:	=----
Л1П kn
^и41 Мп
^л+1»
Получим: — _^+2(/^+/^) — k„+1 /’+1 = 0; ‘
или:	Ля+1 = 2+21- (2	IV ^л+1 '	^nJ
Рекурентная формула для левых фокусных отношений, то есть по этой формуле, зная левое фокусное отношение для n-го пролета kn можно определить левые фокусные отношения для остальных пролетов, расположенных правее n-го (n+1; п+2',...).
Б. Правые фокусные отношения
Рассмотрим часть многопролетной балки правее загруженного пролета. Также для упрощения индексации моментов и приведенных длин пролетов будем считать, что внешняя нагрузка приложена левее n-го.пролета:
Для опоры „п* составим уравнение трех моментов, в котором учтем, что пролеты /« и /л+i незагружены, то есть В? = 4?+i = 0;
1 In + 2МЯ [ln + ^л+1) + Mt+l ln+1 = 0
Также делим обе части уравнения на величину момента Мп:
м * In+ 2 [ltt + /я+1) 4-	/л+1 — 0.
/Ид '
Введем в это выражение величины правых фокусных отношений.
72
Очевидно:
Получим: или
Рекурентная формула для правых фокусных отношений, то есть по этой формуле зная правое фокусное отношение для (п+1)-го пролета /гя+1 можно определить правые фокусные отношения для остальных пролетов, расположенных левее (п+1)-го (п; п—1;...).
7.	Частные случаи определения фокусных отношений в крайних пролетах
1) Шарнирно-опертый край:
В первом пролете: Мо — 0;
Alr 7= 0;
Следовательно, левое фокусное отношение первого пролёта
h = ___М1 —„on
/v-i    	—- — LXJ
Ма
2) Жестко-заделанный край
Для первого (фиктивного) пролета: kt — оо.
По рекурентной формуле для левых фокусных отношений определим величину kg
k2-2 + Л (2------= 2 +
/2 \ kJ
Таким образом, для левого жестко заделанного края неразрез ной балки левое фокусное отношение равно двум.
Аналогично рассуждая^для правого конца балки легко дока зать:
73
— что при шарнирном опираний его _____________
kn = —оо
— а при жестко-заделанном опи рании
^ = 2
8. Определение опорных моментов в загруженном пролете
Из многопролетной неразрезной балки выделим участок, в n-ом пролете которого действует внешняя нагрузка:
Запишем уравнения трех моментов для опор, прилегающих к загруженному пролету:
Для опоры п—1:
Мп-21'n-l + 2/И^ (/;_! + 1’п) + М„1’п = -6Л* А 'п
Для опоры п:
1'я + 2 Мя (l'n+1 +1'„ ) + Mn+Jn-п =-6В^ * п
где Ап, Вп — соответственно левая и правая фиктивные опорные реакции пролета п;
Используя моментные фокусные отношения, выразим моменты М—2 и Мп+1 через опорные моменты загруженного пролета Afn-i и Мп:
74
м„_2 = ^-;
Лд—1
Мпъ=-_Мп-,
^«4-1
Уравнение трех моментов для (п-1)-ой и n-ой опоры
примут вид:
Мп-.
1п—\ kn~l -
+ л4я/; = -бл*
'О In
Я.-1
^п+1 kn • -
= -6В*
L	«л+i J
Поделив оба выражения на 1п получим:
U1 In
1__
kn—l
70
In
+ М„ 2 + -^±1 L in
1 \ ^«+1А
In
In
Мп-г
2 +
Согласно полученным нами ранее рекурентным формулам для левых и правых фокусных отношений имеем:
2+	(2----—
/„ \	*я-1
= k„!
2 4- Z"+i f 9----Д-
ln '	*«+l
Следовательно:
6ДФ
Mn^kn+Mn=----
ln
,	6B*
Mn^ + Mnkn^—4-;
Решая эти уравнения как систему относительно опорных моментов в загруженном пролете Мп—! и Мп, будем иметь:
Очевидно, что если загруженным пролетом является крайний шарнирно-опертый, то один из моментов ,(7Ия=0) будет равен нулю. При определении момента в этом случае возникает неопределенность оо/оо, так как k'n = —оо. Для раскрытия неопределенности в выражении для момента
75
следует и числитель и знаменатель поделить на бесконечность (оо).
9. Порядок расчета неразрезных балок методом фокусов
1)	строим грузовую эпюру моментов Afp для загруженного пролета, как для простой однопролетной балки;
2)	определяем приведенную длину каждого пролета;
3)	по рекурентным формулам определяем левое и правое фокусные отношения;
4)	определяем фиктивные реакций опор загруженного пролета;
5)	определяем опорные моменты в загруженном пролете;
6)	используя фокусные отношения, определяем моменты в опорах незагруженных пролетов;
7)	строим эпюру моментом М путем геометрического сложения эпюры от опорных моментов с грузовой эпюрой Мр‘,
8)	традиционным способом строим эпюру Q;
9)	проводим кинематическую проверку построения эпюры М;
10)	проводим статическую проверку правильности построения эпюры Q.
10. Построение объемлющих эпюр
Иногда кроме постоянной нагрузки, на неразрезную балку в некоторых пролетах действует временная нагрузка (например — снеговая «q»). В этом случае возникает необходимость определения такого сочетания постоянной и временной нагрузок, которые вызывают в различных сечениях наибольшие и наименьшие изгибающие моменты М и поперечные силы Q.
В каждом пролете неразрезной балки выделяется несколько сечений, а определение в каждом сечении экстремальных внутренних усилий производится по следующим формулам:
Л1тах = -Лапост.	AfBp.,	Qrnax = QnocT. Ч~ Qap.i
Afmin — -Л4пост. 4" 2 Л4Вр.,	Qmln — Qnoc-г. 4~ Q^p.,
где Мпост.; QnocT. — соответственно величины изгибающего момента М, поперечной силы .Q в данной точке от постоянной нагрузки;
SAf^p°, S — соответственно положительные величины изгибающего момента М и поперечной силы Q в данной точке от всех видов временной нагрузки;
SQ^P° — то же, но отрицательные величины.
76
Определение ординат Afmax, Afmin и Qmax.Qmin обычно проводится в табличной форме, а построенные по ним эпюры носят название объемлющих. Заметимг что обычно расчет неразрезной балки на постоянную нагрузку проводится методом трех моментов, а расчет на временную нагрузку — методом фокусов.
Витоге студент должен знать:
1.	Методы расчета неразрезных балок.
2.	Преимущества неразрезных балок перед разрезными.
3.	Необходимость построения объемлющих эпюр моментов в балках.
§ 9. РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Если неразрезная балка имеет значительное количество опор и эти опоры являются упруго-податливыми, то такую конструкцию уже нельзя разрешить с использованием нами ранее методов.
/7.	- 0 Совокупность упруго-податли-
I 1 f Т.*г~т.	I вых опор в этом случае рассма-
| Ф Ф Ф у у у—тривается как упругое основа-ню-
Упругим называется такое основание балки, которое деформируется под действием веса балки и расположенной на ней нагрузки и при этом оказывает упругое противодействие прогибу. Таким основанием может являться грунт или нижележащая упруго-податливая конструкция.
Балки, лежащие на таком основании, называют балками на упругом основании. (Например, железодорожные шпалы и рельсы, трубопроводы, ленточные фундаменты зданий и т. п.).
1, Основные допущения расчета балок на упругом основании. Гипотеза Винклера
Балка, лежащая на упругом основании и нагруженная какой-либо нагрузкой £ (х) испытывает со стороны основания реактивное сопротивление р0(х). Но характер распределения реакции по ее длине X неизвестен и не может быть определен из уравнений статики, поэтому задача является статически неопределимой.
77
Относительно характера распределения реактивного сопротивления р0(х) по длине балки существует ряд предположений. Простейшая гипотеза была сформулирована в 1847 году профессором Винклером. Согласно этой гипотезе реакция р0 в каждой точке пропорциональна прогибу у в этой же точке. Таким образом, реакция упругого основания представляет собой изменяющуюся по длине балки нагрузку интенсивности
р0(х) = ky,
где k — погонный коэффициент основания: k = $b;
Р—постоянный коэффициент, характеризующий жесткость основания и называемый коэффциентом постели. Он равен реактивной силе, приходящейся на единицу площади 1 см2 и возникающей со стороны основания при прогибе балки у—\ см. Для разных грунтов Р=0,5... 10кгс/см2;
Ь — ширина сечения балки по подошве;
Но наряду с простотой, модель такого винклеровского основания имеет свои недостатки, в частности:
1) модель не отражает способность упругого основания распределять нагрузку за пределы мест непосредственного опирания балки;
2) гипотеза Винклера предполагает, что реакция основания возникает и на тех участках, где балка поднимается над основанием.
В настоящее время существуют более совершенные модели, однако решение задач для балок лежащих на упругом основании с использованием гипотезы Винклера отличается наибольшей простотой.
2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании
Рассмотрим балку, лежащую на сплошном, однородном упругом основании, относительно которого примем гипотезу Винклера. Для схемы балки, приведенной на рисунке п. 1 запишем диферен-циальное уравнение изогнутой оси балки.
Е1~ = —М;
dx*
EI— = Р-, dxl
где Р — распределенная нагрузка действующая на балку.
Очевидно,что для рассматриваемой балки:
Р (х) = q(x) — pg (х) =zq(x) — ky;
78
Зйак минус для величины p9(x) = ky означает, что эта реакция направлена противоположно прогибу у.
С учетом последнего выражения, дифференциальное уравнение изогнутой оси примет вид:
EIT^ = cl(x)~ky‘,
Разделив обе части этого дифференциального уравнения на величину жесткости балки Е1, получим:
d*y .	_g(x).
dx* 4£/ У El ’
4EI	4 /
Введем обозначение: L?= или L = у -%—,
где L — так называемая характеристика балки, учитывающая отношение жесткости балки к жесткости основания, имеет размерность длины.
Уравнение, изогнутой оси принимает вид,
d*y, 4	_ g(x).
dx* L* У ЕГ
Для удобства решения этого уравнения перейдем к безразмерной координате С=х/£; <KJdx=\lL. А чтобы произвести эту замену в дифференциальном уравнении, нужно составить четвертую производную от у:
dy _ dy d' _ I dy dx di dx L dr,
day _ d f dy\	__ d I I	dy \ _	I	d2y	d?
dx»~ dx [dx ) dx \L di} ~	L	dr?	dx
__J_ d?y. l» de8’
dfy_ _1_ d9y,	d*y _ 1 d*y.
dx9 I? dr? '	dx* L* dr*'
Подставив последнее выражение в дифференциальное уравнение получим:
— ^4.	или ^4.40 = 2^ л(С) (*)
L* dr?	ЕГ	d?^ У El4''
Таким образом, дифференциальное уравнение балки на упругом основании в общем случае имеет вид неоднородного линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.
79
3. Решение дифференциального уравнения для бесконечно длинной балки на упругом основании
Очевидно, что решение выведенного нами неоднородного дифференциального уравнения (*) будет слагаться из общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения у0 и некоторого частного у4 решения:
У~У° + уч‘,
Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения
dVdC4 4- 4у = О будем искать в виде:
у° = е*, где '«i — корни характеристического уравнения.
Так как
=п4ет.':,
<**
то подставив полученное выражение в однородное дифференциальное уравнение изогнутой балки на упругом основания
•»4 ет' + 4	= О,
и сокращая на е^, получим характеристическое уравнение:
т]4 + 4 = 0;
Это уравнение имеет 4 корня:	—1-Н	>i2=—1—i;
%=+Ж;	,»i4=+1—
и следовательно, однородное дифференциальное уравнение имеет 4 общих решения:
у^—е^е^; yl = е~'	eli\ у\ — е- е~к;
Известно, что решение линейного однородного дифференциального уравнения можно умножать на произвольные постоянные, складывать и вычитать, после чего опять получаются решения этого уравнения.
Поэтому функции
80
4"Z/2 2 «° — u° О У\ »2 1/2 =
у?=
,-к
— =е~с cos?
Уз=
уЧ=
, g,c4-e
~6	2
-------' =е~< sin ? 2
/с4-е к -
—1----=е: cos?,
2
ft — е~к
:------— е' sin С;
2
Получаем на основе свойств тригонометрических функций комплексных чисел
— е^
— &
— е
2
4 + у”
2
Уз-У” _ ег
2
также будут являться решением однородного дифференциального уравнения. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения можно записать:
у9 =	cos С 4- С2е~' sin С + С3е~ cos' 4- С4е: sin С =
= е~^ (Сх cos4* С2 sin С) 4- (С3 cos ч 4- С4 sin ч),
где С,—постоянные,	определяемые из граничных условий
задачи.
Что касается частного решения у4 неоднородного диференци-ального уравнения (*), то оно определяется видом внешней нагрузки и в общем виде выразить его не представляется возможным. Общая методика определения частного решения разработана академиком А. Н. Крыловым в' 1931 году.
Определим частное решение у4 для характерных случаев приложения внешней нагрузки:
— если на балку, лежащую на упругом основании действует распределенная нагрузка q = dt. или q~c№ (где а—постоянный коэффициент), то частное решение можно определить, из дифференциального уравнения (*).
Принцип независимости действия сил предполагает, что величина прогиба балок на упругом основании у4' пропорциональна величине приложенной нагрузки q и следовательно, координате С или С2 поэтому для частных решений, соответствующих указанным функциям £
££ = о d.‘
Дифференциальное уравнение (*) примет вид 4i/4= -^.q(ty’, откуда El .
« "Й7’М;
Обратная подстановка частного решения в дифференциальное уравнение (*) показывает, что оно найдено верно. Функция прогибов для случая действия распределенной нагрузки имеет вид:
у =	(С\ cos С + Са sfn Q 4- * (С3 cos С+ С4 sin С) 4-	q (С);
ЬЕ1
81
— если на балку, покоящуюся на упругом основании действует внешний изгибающий момент т или сосредоточенная сила Р, то частное решение в этом случае будет равно нулю, так как в дифференциальном уравнении (*) нагрузка <7(У = 0 и оно обращается в однородное. При этом оси координат хоу ((.оу) следует выбрать так, чтобы начало координат совпадало с точкой приложения внешнего изгибающего момента т или сосредоточенной силы Р. Функция прогибов будет иметь вид:
у = е-с (С\ cos»+ С2 sin ”,) + е’ (Са cos С + С4 sin С).
При более сложном внешнем силовом воздействии, частное решение следует определять по общей методике разработанной академиком А. Н. Крыловым.
Общее выражение функции прогибов для полубесконечной балки примет вид:
у = е~< (Сх cos С + С2 sin С) +	q (С);
Для упрощения расчета балок на упругом основании академиком Крыловым предложены следующие табличные функции:
— е~' (cos С + sin С);	(cos С — sin У;
= е-с cos С;	% — sin С;
(см. С. Н. Никифоров „Сопротивление материалов1*. — М.: Высшая школа, 1966).
С учетом этих функций выражения для прогиба у можно переписать в следующем виде:
У = Сх • Tj2 + С2 7]3 +.//(С);
Составим выражения для угла поворота <р, изгибающего момента М и поперечной силы Q в произвольном сечении полубесконечной балки. Для этого первоначально определим:
dy. dy\ dtp. dT, ' dr*' dp ’
Заметим, что функции Крылова обладают следующими свойствами:
*1=_2718; ^=-2т12;	— = —т];
d;	dC ' ’ dC	dC а
Следовательно
82
= 2С1-Пз-2С2.т!2+	.^(0 = 2(C1.7i8-^C2.7i2)+-~
dJ	*EI	4EI
g=2(C1.7!1 + c2.7i) + ^ -Гб);
Искомые выражения будут иметь следующий вид
?=	= j- • • = -L Гс2-т)1 -С^Н-V(С); 1;
dx L dZ L [	4EI	J
Л1=—E/.^= —— . *^ = — £1 . Г2(Сгт;3 —C2-T12)+—<7"(Q1; dx» £» d? £» L	4EI 4 ' ]
Q=— El • — = — — • ^=—— [2(C1.Til+C2-7J)+ -^.gw(C)l; dx» £» d'*	£» L V	4EI v J
Постоянные Q и C2 определяются из граничных условий.
В итоге студент должен знать:
1. Порядок расчета балок на упругом основании.
2. Определение постоянных интегрирования из граничных условий задачи.
§ 10.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О РАСЧЕТЕ ОБОЛОЧЕК
ОБОЛОЧКОЙ называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки h) мало по сравнению с другими размерами тела (покрытия производственных, и гражданских зданий, корпуса подводных лодок, наводных и космических кораблей и т. д.)
Поверхность, равноотстоящая от наружней и внутренней поверхностей оболочек носит название срединной поверхности. Форма оболочки обычно задается уравнением срединной поверхности.. Уравнение срединной поверхности может быть задано:
1) в векторной форме
vj=xi + yj + г-к-,
где: i; /; k — единичные векторы: неподвижной декартовой системы координат xyz\
2) в параметрической форме
Х = А,(«, р); У = /2(а, Р);
Z=f3(a, Р)'
где: а; р— криволинейные оси координат срединной поверхности оболочки;
8%
3) в декартовой системе координат хуг — в неявной форме F(x, у, г) = 0;
— в явной форме z = /(x, у)\
1.	Классификация оболочек, основные гипотезы, принимаемые при расчете оболочек
Криволинейные оси координат аир обычно выбирают так, чтобы они совпадали с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки. Рассмотрим, что же такое линии главных кривизн оболочки.
Если через нормаль п к поверхности оболочки в некоторой точке М провести плоскость, то сечение этой плоскостью поверхности оболочки будет представлять кривую линию (линию кривизны а). Проведем через точку Ми бесконечно близко отстоящую от точки М и лежащую на линии кривизны а еще одну нормаль nv Пересечение нормалей л и п1 дает точку Ог — точку центра кривизны, а расстояние от нее до точки М носит название радиуса кривизны поверхности в точке М вдоль линии кривизны а.
В курсе „Аналитической геометрии1* показано, что в любой точке М любой криволинейной поверхности можно указать два взаимно ортогональных (перпендикулярных) направления а и Р по которым один из радиусов кривизны будет иметь самое максимальное, а другой —самое минимальное из всех возможных значений. Этим направлениям будут соответствовать главные линии кривизны а при главные радиусы кривизны RA и /?2- Величины, обратные главным радиусам кривизны называются главными кривизнами поверхности в дан -ной точке:
Ki =
1
1
к2=
Очевидно, что для сферической и цилиндрической оболочек, криволинейными осями координат аир совпадающими с главными линиями кривизн будут являться соответственно сферические и цилиндрические координаты.
Применяемые в строительной практике оболочки имеют такую форму поверхности, которую можно классифицировать по величине 84
Гауссовой кривизны. Гауссовой кривизной поверхности оболочки называется произведение главных кривизн: К = КгК2.
Различают следующие виды оболочек.
А. Оболочки двоякой кривизны:
1) положительной гауссовой кривизны (/С>0)
2) отрицательной гауссовой кривизны (К<0)
Например*, оболочка в форме Например: оболочка в форме сфероида вращения	гиперболического параболо-
ида
Центры кривизн тт Oj. О2 лежат по одну сторону или по разные стороны от срединной поверхности
Б. Оболочки нулевой гауссовой кривизны К=0.
Например: цилиндрическая	Например: коническая
оболочка	оболочка
В обоих случаях 7?]=со, следовательно =— = — = О,
Ri о°
Так как оболочки являются укрупненными конструкциями с низкой материалоемкостью, то применение таких конструкций в качестве покрытий и других элементов зданий является перспективной областью современного строительства.
В основе теории упругих оболочек лежат те же гипотезы, физический смысл которых показывает общность принципиальной постановки задачи для расчета разного рода конструкций методами
85
сопротивления материалов, строительной механики и теории упру-
гости:
1) гипотеза плоских сечений, то есть прямолинейный элемент, перпендикулярный срединной поверхности до деформации остается прямым и перпендикулярным деформированной срединной поверх-
ности и не изменяет своей длины;
2)	гипотеза о ненадавливании продольных слоев элемента, то есть нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежительно малы по сравнению с прочими напряжениями.
2.	Методы расчета оболочек
Если из некоторой произвольной оболочки загруженной внешней нагрузкой вырезать прямоугольный бесконечно малый элемент, то на его гранях возникает гамма внутренних усилий. Эти усилия можно разделить на две основные группы:
А. Усилия безмоментной группы.
Покажем усилия этой группы без цам элемента.
А\; А’г — погонные продольные усилия, действующие соответственно вдоль осей а и Р;
S—погонные сдвигающие усилия на взаимно перпендикулярных торцах элемента, их направление показано согласно правилу парности;
(*—эти усилия имеют приращения по торцам элемента)
учета их приращений по Top-
В. Усилия моментной группы
Также покажем эти усилия без ний по торцам элемента
ЛГц Л42— погонные изгибающие моменты;
Qi»Q2_— связанные с MnAf2 погонные поперечные силы;
М—погонный крутящий момент на взаимно перпендикулярных торцах элемента, направление показано по правилу парности.
Множество различных методов многообразием их формы, а также
учета приращений их значе-
расчета оболочек связано с видом приложенной внешней
86
нагрузки. При расчете некоторых оболочек, уравнения равновесия записанные для бесконечно малого вырезанного элемента с учетом геометрии самой оболочки, можно существенно упростить. Упрощение этих уравнений равновесия связано с тем, что форма самой оболочки, условия ее опирания и характер внешней нагрузки обуславливают то, что некоторые внутренние усилия по направлению выбранных осей имеют постоянную величину, либо вообще обращаются в нуль.
Исходя из этих соображений, все существующие теоретические воззрения и связанные с ними методы расчета оболочек можно подразделить на три основных вида:
2.1.	Беэмоментная теория оболочек
В инженерной практике встречается ряд задач, когда изгибающие и крутящие моменты и связанные с ними поперечные силы настолько малы, что ими можно пренебречь.
Напряженное состояние, характеризуемое лишь нормальными и сдвигающими погонными силами, действующими в плоскостях касательных к срединной поверхности оболочки, называется безмо-ментным напряженным состоянием. Таким образом, напряженное состояние оболочек в этом случае определяется только усилиями безмоментной группы, рассмотренными нами выше.
Безмом,ентное напряженное состояние является наиболее выгодным, так как даже незначительные изгибающие моменты, вследствие малой толщины оболочек приводят к напряжениям большой величины и соответственно значительному расходу конструкционных материалов.
Сформулируем основные условия существования безмоментного напряженного состояния:
1)	оболочка должна иметь плавно —изменяющуюся непрерывную поверхность;
2)	нагрузка на оболочку также должна быть плавной и непрерывной и не иметь особенностей;
3)	условия закрепления краев оболочки должны быть таковы, чтобы края имели возможность свободно перемещаться в направлении нормали к поверхности;
4)	силы, приложенные к краям оболочки, должны лежать в плоскости, касательной к ее поверхности.
2.2.	Моментная теория оболочек
По этой теории рассматриваются такие оболочки, в которых картина напряженного состояния характеризуется совместным наличием усилий как безмоментной, так и моментной групп. Рассчитывая оболочки по моментной теории, записывают физические и
87
геометрические уравнения ,то есть уравнения связывающие внутренние усилия с линейными и сдвиговыми деформациями бесконечно малого вырезанного элемента в выбранной системе координат, а также статические уравнения его равновесия. Выражения для внутренних усилий получают как результат решения системы указанных уравнений.
Так как напряженное состояние в этом случае является чрезвычайно сложным, то для некоторых оболочек решение в общем виде не получено и до настоящего времени. Поэтому расчет оболочек по моментной теории нами рассматриваться не будет.
2.3.	Полумоментная теория оболочек
Напряженное состояние, которое рассматривается так называемой полумоментной теорией, включает все усилия безмоментной группы и часть усилий моментной группы. Некоторые внутренние усилия (например: Л1, М2, Q2) могут быть равны нулю, а полумоментная теория оболочек занимает таким образом промежуточное положение между моментной и безмоментной теориями.
По этой теории можно рассчитывать и такие оболочки, условия закрепления краев которых не удовлетворяют условиям существования безмоментного напряженного состояния, что является причиной возникновения краевого, эффекта. Краевой эффект —это быстро затухающее моментное напряженное состояние /Икр.
Исследования показывают, что краевой эффект характерен лишь в областях непосредственно при-	_____
мыкающих к опорам (зона 1), а на	"'х.
достаточном удалении от .них (зона II) картина напряжений с большой точностью описывается безмоментными уравнениями.	( М
Общее решение оболочки имеющей краевой эффект получают как сумму индивидуального расчета краевого эффекта и расчета оболочки по безмоментной теории.
3.	Расчет цилиндрической оболочки (резервуара) на осесимметричную нагрузку по безмоментной теории
Цилиндрические оболочки классифицируют следующим образом:
Hid > 4 — длинные цилиндрические оболочки;
1 < #/d<4— цилиндрические оболочки средней длины;
H/d<\ —короткие цилиндрические оболочки, где И — длина цилиндрической оболочки по образующей; d —‘диаметр поперечного сечения перпендикулярного образующей.
88
Расчет цилиндрической оболочки на осесимметричную нагрузку по безмоментной теории рассмотрим на примере. Определим функцию прогибов W и построим эпюры внутренних усилий Ni и Nj в цилиндрическом резервуаре доверху заполненном жидкостью. Будем считать, что условия закрепления резервуара соответствуют возможности образования безмоментного напряженно-
а, р — цилиндрические оси коор-
ного состояния.
динат;
х, у, z— подвижные оси в декартовой системе координат;
Оси ох и оу — касательные к осям аир, проходящим через некоторую точку 0.
Ось oz представляет собой нормаль кповерхности оболочки вточ-ке 0 инаправленавнутрьрезервуара
Определим составляющие внешней нагрузки Pz, Р3, действующие соответственно по осям х; у, г.
P1=—yh.—погонная нагрузка от собственного веса резервуара [ТС/м2];
где .7 — удельный вес материала стенок резервуара;
Р2 — нагрузка по оси оу отсутствует;
Р3=—1Я(Н—х) — гидростатическое давление жидкости на стенки резервуара, [тс/м2];
где 7Ж —удельный вес жидкости, заполняющей резервуар.
Составляющие внешней нагрузки ' Рг и Р3 имек^т отрицательный знак, так как направление их действия противоположено выбранным направлениям координатных осей х и г.
Исходя из соображений симметрии оболочки, выражение
для jVj можно получить из
рассмотрения суммы проекций всех усилий, действующих на часть оболочки выше произвольного сечения х.
2х. = p1.2-.R(H — x)-Ni-2kR = 0
Откуда:
Л/1 = Р1.(Я —х) = —тй(Я-х)
Выражение для погонного продольного усилия Л^2 получим на основе рассмотрения равновесия бесконечно-малого элемента цилиндрической оболочки:
89
Для бесконечно малого угла сВ sin	cos d$^A
Очевидно, что искомое усилие N2 будет входить в уравнения равновесия =0 и 2г,=0. Рассмотрим их:
Е^ = /лг2+ —	• R -d^dx-l— N2dx + (s+~dx\-Rd$ —
\ R д} - J	\ дх )
— S-R -dfi + P2R-d^-dx—0;
или ^+Rj£ + P2R=0;
д) dx
Но так как рассматриваемый резервуар осесимметричен и действующая нагрузка так же осесимметрична, то усилие S=0, а усилие N2 не зависит от угла.р. Следовательно, dW2/dP=0. Кроме того Р2 = 0. Таким образом, уравнение полученное из Ez/j=O образуется в тождество.
2гг = (ЛГ8+-^- •	• R • d^-dp-dx+P8Rd?-dx = 0;
или ЛГ2 +	. «ф + P3R = 0;
^-dp = O по д?
двум причинам:
1) из соображений осесимметричности резервуара
а?
(см 2^ =0);
2) как бесконечно малая величина высшего порядка. Следовательно: N2+P3R—0, откуда
Ns=-P3R = R^(H-x)
90
Качественно' построим эпюры распределения погонных внутренних усилий на высоте резервуара.
Определим функцию прогибов W резервуара, то есть перемещение произвольной его точки вдоль оси Z. Для этого рассмотрим поперечное сечение резервуара.
(знак минус, так как прогиб	деформированное сечение
резервуара направлен против	резервуара от гидростатическ о-
юси Z)	го .давления 7 (H—h)
dl— длина дуги элементарного элемента, соответствующая углу в недеформированном состоянии резервуара;
в2 — деформация оболочки (резервуара) по оси у;
Для определения связи прогиба W и деформации еа через каждую из этих величин составляем выражения для периметра деформированного сечения резервуара й приравняем их друг к другу:
2«(Я — TF) =	(1+еа),
W откуда е2 =-----
Запишем и несколько преобразуем закон Гука для плоского напряженного состояния:
ег= -у («2 — * ®1) =	(«2 — xrj = 7-г N1Y
х-	ЛИ	ЛИ
где v—коэффициент Пуассона материала стенок резервуара;
— для стали v=0,25...0.30;
— для железобетона v=0,15...0,20.
Таким образом, имеем
W 1 /V к, X
=	= —(N2~^i) или:
R лп

91
С учетом найденных нами ранее выражений для усилий Ni и N2, получим функцию прогибов W. в следующем виде:
w = - £RI-7ж(Я-х)]-Д-4h(H-х)]) =
Lrl
Заметим, что учет собственного веса резервуара (то есть усилие Ni) очень несущественно повышает точность расчетов, но значительно увеличивает их сложность. Поэтому при составлении функции прогибов, величиной собственного веса стенок резервуара пренебрегают. На основе этих соображений искомая функция прогибов будет иметь следующий вид:


Выше нами был рассмотрен расчет цилиндрической оболочки загруженной осесимметричной нагрузкой по безмоментной теории. При этом нами условно считалось, что стенки резервуара прик
реплены К земле при помощи шарнирно-подвижных опор, а узел сопряжения стенок резервуара и днища выполнен так, что они работают независимо друг от друга.
При возведении реальных
резервуаров в узле сопряжения стенок и днища возникает краевой эффект, а так как это сечение является наиболее нагруженным, то учет краевого эффекта является обязательным. Поэтому расчет резервуаров следует проводить по по'лумоментной теории.
Для этого сначала рассмотрим уравнения равновесия для бесконечно малогб элемента цилиндрической оболочки загруженной осесимметричной- нагрузкой при учете краевого эффекта.
4.	Уравнения равновесия бесконечно-малого элемента цилиндрической оболочки, загруженной осесимметричной нагрузкой при учете краевого эффекта
Как отмечалось ранее при расчете данных резервуаров собственным весом стенок обычно пренебрегают, то есть А\« 0. Кроме того, в силу осесимметричности как самого
92
резервуара, так и внешней нагрузки: 3=0; Л4=0. Поэтому при рассмотрении картины напряженного состояния, эти внутренние усилия не показываем.
Последовательно составим суммы проекций и моментов всех сил относительно осей декартовой системы координат хоуг.
Зх4=0; условие выполняется тождественно, так как проектируемые на ось х внутренние усилия отсутствуют;
Е&=(ЛГ2+ Y • /Мр yX-N2dx^Q2 + А- Р -dtyd&fr+
+Р2-R-d$-dx= 0;
^r-(?2-§-dp + P2-₽=0;
dp	dp
В силу осесимметричностп цилиндрической оболочки = dQz_ __0. то есть уСИлия дг2 и q2 не зависят от угловой др др	'	___*
координаты р. Кроме того Р2~0 и следовательно: Q2—0.
Полученное следствие очевидно, так как вследствие осе-симметричности оболочки и нагрузки, величина момента М2 не зависит от угла р, т. е. =0, а определение поперечной силы Q2 можно провести по известной дифференциальной зависимости Журавского: Q2= откуда и следует, что а?
<?2=0.
2Z;
= (Л^2+ у ^•^•^dH^ + (Qi+^1-d-vy/?.^-Q1.Rdp4-
+ P3-R -dbdx=0;
или
АМ-^-ЧЯ+Рз-/?=0;
93
SAfxi=O, рассматривать это условие не имеет смысла, так как выше нами было показано, что погонные изгибающие моменты в сечении оболочки по образующей постоянны {Af2=const) и не зависят от угла р, то есть dAfa/dP—О и следовательно для рассматриваемого элемента, имеющего . две грани рассеченные по образующим, это условие будет выполняться тождественно.
Rd$ — (ЛМ
• dx'j Rd р + (Qx + д-&' • dxlRdp dx-\-дх )	\ дхг /
+ Рз-R-dft-dx- — dx = 0; 2
или
+ Qx +	• dx +	P8.dx=0;
дх	дх	2
Два пбследних члена этого уравнения представляют собой бесконечно малые величины высшего порядка, чем dMjdx и <0х следовательно
дх
+ Qi = 0 или
О -<^1-дх '
Таким образом, при рассмотрении этого условия мы получили известную дифференциальную зависимость Журавского.
SAlz/ =0; это условие выполняется тождественно, так как ни одно из внутренних усилий момента относительно оси Z не дает.
5.	Дифференциальное уравнение прогиба цилиндрической оболочки, загруженной осесимметричной нагрузкой при учете краевого эффекта и его решение
На основании рассмотрения равновесия бесконечно малого элемента нами получены следующие основные уравнения:
Из SZ.= 0; N2+d^i .R+P3.R=Q-, dx
Из SMyJ=0; Qi =
переходим к полным производным, так как выражения определяются одним параметром X;
Подставляя величину Qt из второго уравнения в первое, получим:
Nz+^-R+P^R^O; или: ^-+^+Рз=0; dx2	dx2 R
S4
Выразим искомые усилия Мг и Ni через прогиб W и его производные:
— дифференциальное уравнение изогнутой оси балки при линейном напряженном состоянии известно из курса „Соп-ромата“ и имеет вид:
М = — Ely",
где EJ — жесткость балки;
у — функция прогибов балки.
Применительно к плоскому напряженному состоянию, соответствующего рассматриваемому резервуару, выражение для момента возможно записать в следующем виде:
где Qss	—^—цилиндрическая жесткость элемента обо-
лочки, будем считать, что в рассматриваемом резервуаре величина коэффициента Пуассона материала стенок резервуара v такова, что D»Eh8/12, то есть у2 л; О, где Л — толщина стенок резервуара.
Но вследствие осесимметричности резервуара и внешней нагрузки, величина прогиба W не зависит от угловой координаты р и следовательно d2W7dp2=0. Поэтому выражение для момента Мг несколько упрощается:
1	dx*
— при рассмотрении расчета указанного резервуара по безмоментной теории, для деформации сечения оболочки вдоль оси у, нами было получено следующее выражение:
8а = -т = £<У2-<а)-А
Это выражение справедливо и при расчете резервуара с-учетом краевого эффекта.
Пренебрегая собственным весом стенок резервуара, то есть усилием Nlf выделяем из этого уравнения усилие N?.
N2 = — — .JF.
R
Подставляя полученные выражения для внутренних усилий М] и Ni, а также составляющую внешней нагрузки Рз=> =— Ък(# — х) в преобразованное уравнение равновесия, получим:
D--——	—-^(/7 —х) = 0;
95
или	• W = — тж(Н — х);
(*)
— дифференциальное уравнение прогиба W рассматриваемой цилиндрической оболочки (резервуара).
Общее решение этого неоднородного линейного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами состоит из двух частей:
W = Wo +
где IF0 — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения;
W4—частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения (*);
В качестве частного решения может быть принята функция прогибов, полученная по безмоментной теории
^4=--g -ъДЯ-х);. Ltl
Частное решение можно получить и непосредственно из дифференциального уравнения (*). Очевидно, что величина прогиба W4 будет пропорциональна внешней нагрузке:
(#-*)]
и следовательно-- =0. Тогда дифференциальное уравне-
dx*
ние (ж) примет вид:
А
Откуда выражение для частного решения
^ч=-£-7ж(я-х);
совпадает с решением полученным по безмоментной теории.
Величину общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения W° получим, решая однородное уравнение:
..Ц70= о;
dx* R2
96
Вводя обозначение £ = VIJRh -{^3(1 — >2), однородное дифференциальное уравнение с учетом того, что D — Eft3/12(l—v2) примет вид:
+ 43*. 1Р=0;
dxiJ
Аналогичное уравнение нами рассматривалось при расчете балки на упругом основании. Поэтому решение №’ запи* шем сразу, не составляя характеристическое уравнение:
№°=е^х (Сх cos 0х + С2 sin 0х) + е?х (С3 cos рх + C4-sln fix);
где Ct — постоянные, определяемые из граничных условий задачи.
Построим эпюры прогибов по высоте резервуара, определяемые каждым из четырех слагаемых общего решения однородного уравнения №°:
Анализ показывает, что функции e₽x-C3cospx и e₽xC4sinpx описывают картину напряженно-деформированного состояния у свободного торца резервуара и следовательно не влияют на величину краевого эффекта, возникающего в ограниченной области стыка стенок резервуаров и днища. Таким образом, в общем решении однородного дифференциального уравнения №° следует принять С3=С4=0, а общее решение дифференциального уравнения (*) будет иметь вид:
№=е_|3х (С\ cos fx 4-С2 sin Рх) —	(Н—х)
Eh
Заменяя переменную х на C=jJx и вводя функции Крылова, перепишем решение в следующем виде
№ = C1.712+C2.7i3-^ пп \ р /
4 Заказ 1452
97
6.	Определение постоянных Ct и С2 для некоторых идеальных случаев закрепления стенОк и днища резервуара
Первоначально определим производные функции прогибов, которые понадобятся нам при постановке граничных условий:
— = 8, следовательно: dx
dW =dW dx dZ
=	C1-71 + C2- 7)1 + Д..уж • -M;
dx \	Eh p J
d*W	A/r. ^\_ndaU?
dx*	dx \ dx) dx\ d') d?
-^=^ = 2^(C1.r(8-C27]a);
uX Ut
Функции Крылова обладают следующими свойствами: при х=0 (ч=0): 7)=т)1=7)2= 1;	7)з=0;
Следовательно:
ПР |х-0 w чс-о)
= Ci— — -Тж Я;
1 Eh |ж
dW_ dx
L. (e.+CH-g-ь.-
(С=»0)	\	12,n
? г
77 Uo =-2^.С2; dx2 |(с=0)
Рассмотрим некоторые случаи закрепления стенок и днища резервуара:
1) жесткое закрепление
Граничные условия для этого случая можно сформулировать в виде: при х = 0 (^=0):№=0; ср = ^=о-Рассмотрим их.
Первое граничное условие;
№7=0 =Ci— _L.T я=0;
(С~0)	1 Eh {
р2
Откуда
Второе граничное условие

dx
x=n =Р f—Сг +С2 + *Тж • ---) —0; Откуда (с=о) V	Eh	J
98
Искомые йыраЖёниё для W, М2 и Afx будут иметь вид:
1Г=^'7ж’я’712+£‘Тж(//“т)	'Тж(я—г)=
=¥ ^Ч2 + (я—г) •’-"+fl; -сЛ	\ р /	р
^=-^.г=-^ж- \н.г/2+(я-4-W-я+ 4-1; a	L	\ Р /	Р J
°	L \ Р /
2) шарнирное закрепление
Для этого случая закрепления граничные условия можно сформулировать в виде, при х=0 (;=0):1Г=0;
n d2№ л
Ali= — D —- =0;
</х2
Рассмотрим их:
Первое граничное условие:
№|	=0, аналогично предшествую-
щей) щему случаю, получаем
Второе граничное условие
ЛТ11 о =—П(—2р2-С)=0, откуда
G-0)
сх= • Тж • н; 1 Eh ,ж
С2 = 0
Искомые выражения для W, jV2; Л^1 в этом случае закрепления будут иметь вид:
№= — Дж- Д- 7j2— — • 7ж (я- -М = — -Ъ<рФ12—1)+—1;
Eh 1	£й ж \ р / Eh *ж[	Р J
n2 = - в . w = - R-Тж \н-(т -1) + 41;
А	I	Р J
л*1 = “ DS’= “"т ' 2р Тж’н = Т *(Л^)а Я71’;
Задаваясь величиной х и соответственно С=?х, можно построить эпюры усилий N2 и Мг по высоте резервуара. Пока
4*
99
жем характер этих эпюр, привёдя одновременно для сравнения и эпюры, полученные расчетом по безмоментной теории:
а) безмоментная теория;	б) жесткое закрепление стенок
и днища
в) шарнирное закрепление стенок
а)	&
6)
7. Определение постоянных Ci и С2 для реального случая закрепления стенок резервуара и днища
Узел сопряжения стенок и днища реального резервуара
Если в реальном резервуаре: О ЛстС Лди — имеем случай, близкий к жесткому закреплению;
2) ЛСт>Лд„ — имеем случай, близкий к шарнирному закреплению;
3) ЛСТ«ЛДН — некоторое промежуточное состояние между пер-
вым и вторым случаями.
В последнем случае граничные условия в простом виде поставить невозможно, так как W, ®, Mlt Qx=#0. Для поста-
новки граничных условий рассекают узел сопряжения стенок резервуара и днища. В сечении возникают неизвестные хг и х2 (то есть момент и поперечная сила Qx), распределен-
ные' по периметру сечения. Третьим возможным неизвестным
х3 является продольная сила ЛГг небрегаем.
Система канонических уравнений для определения неизвестных хх и х2 в этом случае имеет вид:
pn,x1H-812X2+^ip=0
i^2iX1-|-822.V2-]-^2p=0
Так как неизвестные хх и х2
величиной которой мы пре-
100
приложены как к стенкам резервуара, так и к днищу, то коэффициенты при неизвестных о/к и свободные члены Д/р системы канонических уравнений будут включать совместные перемещения стенок и днища резервуара. То есть
^/к — °/к "Г	Д/р — Д/р 4“ Д/р’
где В/к; — перемещения точки, где приложена i-тая единичная сила от К-той единичной силы соответственно для стенок и днища резервуара;
Д-р; Д?р — то же самое, но от действия внешней нагрузки (гидростатическое давление).
Для их определения необходимо рассмотреть три состояния конструкции. В каждом состоянии покажем составляющие коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы канонических уравнений, которые возможно определить на основе его рассмотрения.
а) Первое единичное состояние
в) грузовое состояние (Р)
б) второе единичное состояние
Заметим, что при определении перемещений для днища резервуара, последнее следует рассматривать как плиту на упругом основании.
После определения коэффициентов при неизвестных и свободных членах канонических уравнений, в результате ее решения получаем неизвестные внутренние усилия хг и х%. Постоянные Сг и С2 получаем из рассмотрения следующих статических граничных условий:
Первое граничное условие:
Второе граничное условие:
п nd3W\
Qi =	|х=° __Х9.
dx3 I с=о) ~ Л2’
101
Затем традиционно подставляем постоянные Сг и G2 в функциональные зависимости для W, N2 и и получаем искомые зависимости для реального случая закрепления стенок и днища резервуара.
В итоге студент должен знать:
1.	Типы оболочек.
2.	Усилия, возникающие в оболочках.
3.	Три теории расчета оболочек.
§11. КРАТКИЙ АНАЛИЗ ИЗЛОЖЕННОГО КУРСА СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Для анализа в табличной форме приведем основные типы рассмотренных нами конструкций и основные уравнения для их расчета
1) Статически определимые системы (1F=O)	Балки	Рамы, арки	Фермы	Массивы (подпорные стенки
			Ф	Н-1
		/Лг 7777		
			Mr	Jp	
				
2) Г<о (У<0) Статически
неопределимые системы
Статически неопределимые рамы (метод сил)		
Силовое воздействие	Температурное" воздействие	Смещение (осадка,) опор
a v a Jr		If Т-ааг д и 	
Неразрезные балки		
Метод трех моментов		Метод фокусов
л 7 * Ж /Л x4ft xj		
102
Основные уравнения расчета: а) уравнения равновесия
2х, = 0; 2//i = 0; 2Мс/ = 0;
б) канонические уравнения метода сил
рпх1 4- ••• + ^ip + ^it 4- Aic = 0;
l°n»A 4” ••• 4“ ^mn%n 4~ ^mP 4“	4~ ^mc = 0,
или уравнение трех моментов:
Мп-х  4 +2M„(z; 4- U1) 4- 4+1  /«+1 = - 6 (+-£- • Л*+1
\ *п	*п+1
3) Балки на упругом основании
р.ю
4—dx
Основные уравнения расчета
2уг = 0; EMcj = 0;
Расчет сводится к решению дифференциального уравнения d2// . л L4 zr\
* EI
2) гипотеза Винклера: Р0=Ку
4. Оболочки
Основные уравнения расчета:
103
а)	уравнения равновесия для бесконечно-малого вырезанного элемента
2хг = 0;	2^ = 0; 2Zz = 0;
2Afxi = 0; ЕМу< = 0;-	= 0;
б)	геометрические уравнения, связывающие деформации бесконечно малого элемента с его упругими перемещениями;
в)	физические уравнения, связывающие внутренние усилия оболочек с деформациями.
В случае расчета осесимметричного цилиндрического резервуара на осесимметричную нагрузку все вышеперечисленные уравнения сводятся к решению. дифференциального уравнения для функции прогибов W:
Dd^W_ + Eh >w = _	(Ц-x)',
dx* Ri	I» к
РАЗДЕЛ II
Занятие №1
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ
Литература: [10] с. 3—16, [1] с. 9—19 или [2] с. 9—24;
[8]	с. 4—13 или [9] с. 4—11; [3] с. 17—26;
[4]	с. 14—30; [5] с. 20—35,
Контрольный опрос:
1.	Цель и задачи кинематического анализа сооружений.
2.	Степень свободы системы (сооружения):
—	общая W,
—	внутренняя V.
3.	Определение степени свободы (подвижности) W(V):
—	для произвольной системы;
—	для шарнирно-стержневой системы.
4.	Классификация сооружений по величине степени свободы или подвижности.
5.	Принципы (леммы) образования геометрически-неизменяемых систем.
6.	Признаки мгновенно-изменяемых систем.
7.	Сущность структурного анализа, сооружений.
8.	Общая последовательность проведения кинематического анализа.
Примеры расчета:
Рассмотрим несколько примеров для различных конструкций.
Пример 1. Трехпролетная рама (рис. 1.1.)
Поскольку заданная расчетная схема состоит из ломаных элементов, которые нельзя отнести к категории стержней, то , степень свободы (подвижности) системы следует определять по формуле:
W *= 3D — 3/7 - 2Ш — С — Св.
.105
2
Рис. 1.1.
При этом возможны два варианта использования вышеприведенной формулы:
1	) когда все ломаные элемента принимаются за отдельные диски D;
2	) когда за диски принимаются только прямолинейные элементы и необходимо учитывать число припаек „/7“ и стержней С в системе.
Рассмотрим первый случай, как наиболее простой. Имеем:
—	количество дисков „О“=5 (нумерация дисков приведена на рис. 1.1 арабскими цифрами);
—	количество припаек „/7“=0, т. к. все ломаные элементы мы приняли за единые диски;
—	количество шарниров „ZZ/“=4 (нумерация шарниров-при-ведена на рис. 1. 1 римскими цифрами);
—	количество стержней „С“=0, т. к. стержни 4 и 5 мы приняли за диски;
количество опорных стержней „Со“=7, т. к. неподвижная защемляющая опора эквивалентна трем опорным стержням.
С л е до ватёльно: №=3 -5 — 3-0 — 2-4—0—7=0.-
Таким образом, согласно классификации, система обладает достаточным количеством связей, чтобы быть статически определимой и геометрически неизменяемой. Однако связи в системе могут быть расставлены нерационально, что обусловливает необходимость проведения структурного анализа системы.
Рассмотрим последовательно соединение дисков между собой и с диском «Земля» (рис. 1.1.), используя леммы по образованию геометрически неизменяемых систем:
—	диск 2 присоединен к диску «Земля» посредством неподвижной защемляющей опоры, эквивалентной трем опорным стержням, оси которых не пересекаются в одной точке. Следовательно, оба эти диска представляют собой единый геометрически неизменяемый диск;
—	к образованному жесткому диску присоединены диски 1 и 3 при помощи шарнира и стержня каждый, причем в обоих случаях
'106
оси опорных стержней не проходят через шарниры. Это равносильно образованию нового геометрически неизменяемого диска;
—	нижний опорный узел диска 5 прикреплен к диску «Земля» двумя опорными стержнями, не имеющими единой оси, и следовательно, также образует вместе с последним единый жесткий диск;
—	рассмотрим совместно диски 4, 5 и «Земля». Эти диски попарно соединены тремя шарнирами не лежащими на одной прямой, что эквивалентно образованию единой геометрически неизменяемой системы.
Вывод: заданная трехпролетная рама является статически определимой и геометрически неизменяемой.
Пример 2. Консольно-балочная ферма (рис. 1.,2).
Так как фермы являются шар-
ж нирно-стержневыми конструкция-„ ми, то для них наиболее целесо-ц образно степень свободы (подвижности) определять по следу-и ющей формуле:
Рис. 1.2.
Г = 2//-С-Со.
Применительно к данной ферме, имеем:
количество узлов z/=8 (нумерация узлов приведена на рис. 1. 2 римскими цифрами);
—	количество стержней С=12 (нумерация стержней приведена на рис. 1. 2 арабскими цифрами);
—	количество, опорных стержней яС0“=3.
Следовательно: №=2-8—12—3=1.
Вывод: заданная ферма представляет собой геометрически изменяемую конструкцию — механизм. Необходи-
мость проведения структурного анализа отпадает.
Заметим, что в данном примере, определение величины W можно производить и по формуле для произвольной системы (пример 1). Однако это нецелесообразно ввиду трудоемкости подсчета количества.шарниров в ферме, так как большинство из которых являются кратными.
Рассмотрим порядок проведения кинематического анализа для более сложной конструкции (комбинированной системы).
Примерз. Комбинированная система—ферма, усиленная балками жесткости (рис. 1. 3),.
Степень свободы (подвижности) комбинированной системы можно определять только по формуле, справедливой для произвольных систем:
W—3D—3IJ—2Ш—С-Со
,107
Для-заданной конструкции} принимая все ее отдельные элементы за диски, будем иметь:
D=ll, П=0, Ш=\5, С=0, С0=4.
Количество шарниров в данном случае /27=15, т. к. в узлах верхнего пояса фермы I—IV (рис. 1. 3), шарниры являются не простыми, а кратными: а именно, каждый из них является двойным.
Следовательно: №=3-11—3-0—2-15—0—4=—!.
Таким образом, заданная комбинированная система имеет одну лишнюю связь и следовательно, является статически неопределимой. А для выяснения вопроса — является ли заданная система геометрически неизменяемой, необходимо провести ее структурный анализ.
Рассмотрим соединение дисков между собой и с диском «Земля»:
—узел I прикреплен к левой балке жесткости (рис. 1. 3) с помощью двух стержней, не имеющих единой оси, и следовательно, образует вместе с ней единый жесткий диск;
—к образованному жестокому диску аналогично прикреплен и узел II.
Рис. 1.4.
Следовательно, левая часть комбинированной системы является геометрически неизменяемой. Такой же вывод, из соображений симметрии системы, можно сделать' и по отношению к ее правой части (рис. 1. 4);
—	обе части комбинированной системы соединены между собой шарниром и стержнем, причем ось последнего не проходит через шарнир, и следовательно, конструкция всей системы является геометрически неизменяемой;
—	вся система прикреплена к диску «Земля» с помощью 4-ех опорных стержней, один из которых является лишним, т. к. согласно принципам (леммам) по образованию геометрически неизменяемых систем достаточно 3-ех стержней, оси которых не пересекаются в одной точке.
Вывод: комбинированная система является однажды статически неопределимой (имеет одну лишнюю связь) и геометрически неизменяемой.
Заметим, что данную систему легко обратить в статически определимую, если удалить рдну из внешних связей, например—опорный стержень 2 в правой опоре (рис. 1.4). Убирать же стержень 1 нельзя, т. к. в этом случае комбинированная система окажется прикрепленной к диску „Земля" посредством 3-ех стержней, оси которых пересекаются в одной точке (т. А., см. рис. 1.4), что является признаком мгновенно-изменяемой системы.
108
Выше нами были рассмотрены примеры на бпредёлёние общей степени свободы (подвижности) сооружений W. Рассмотрим теперь определение внутренней степени свободы отдельных конструкций V.
Пример 4. Сетчатая конструкция (рис. 1.5).
Так как конструкция является шарнирно-стержневой, то наиболее удобно проводить определение внутренней степени свободы по формуле: V=2y—C~3.
В нашем случае: у=6, С=9, и следовательно: У=2-6—9—3= =0, т. е. в этом случае необходимо провести структурный анализ.
Структурный анализ этой конструкции не вызывает затруднений. А именно расчетная схема включает два жестких геометри-
чески неизменяемых диска — внешний и внутренний треугольники, соединенные между собой тремя стержнями, оси которых не пересекаются в одной точке.
Вывод: конструкция является статически определимой и геометрически неизменяемой.
Пример 5. Комбинированная конструкция (рис. 1.6).
Определим внутреннюю степень свободы (подвижности) конструкции: £>=11. /7=0, Ш=16, С=0, и соответственно:
К=3-11— 3-0-2-16—0—3——2,
Р и с. 1.6.
т. е. система имеет две лишние связи и необходимо провести структурный анализ.
По аналогии с примером 3, легко показать, что правая и левая части конструкции представляют собой жесткие геометрически неизменяемые диски (рис. 1. 7), но соединены они между собой тремя параллельными стержнями, что является признаком мгновенно-изменяемой системы.
Вывод: комбинированная конструкция является мгновенно-изменяемой с двумя лишними связями.
109
Примёры, рёкомендуёмые для разбора на практическом занятии!
Рис. 1.8. Расчетные схемы сооружений и конструкций для самостоятельного решения
(См. также [10] с. 18—30)
В конце практического занятия—самостоятельное решение задач по карточкам под контролем преподавателя.
Занятие №2
РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Литература: [1]. с. 49—59 или [2] с. 73—87; [3] с. 32—36;
. [8] с. 25—27 или [9] с. 12—16; [5] с. 98-89.
Контрольный опрос:
1.	Понятие об изгибающем моменте М и поперечной силе Q. Правило знаков,
2.	Эпюры М и Q в простейших балках (см. Приложение 1): — пролетных; —консольных.
3.	Формула проф. Журавского. Порядок построения эпюры Q по эпюре М.
4.	Понятие о многопролетных статически определимых балках. Их преимущества и недостатки. Область применения.
5.	Порядок построения поэтажной схемы для многопролетных статически определимых балок.
но
6.	Последовательность построения эпюр Л4 и Q в многб-пролВтных статически определимых балках.
Примеры расчета:
Правильность расчета мнбгопролетных статически определимых балок определяется правильностью составления для них поэтажной схемы, т. е. схемы с выделенными основными (несущими) и дополнительными (подвесными) элементами. Рассмотрим несколько примеров на составление поэтажных схем.
Пример 1. Для приведенной ниже расчетной схемы многопролетной балки (рис. 2.1) требуется построить поэтажную схему.
А Т
.А
а). Расчетная схема многопролетной балки
б) Поэтажная схема
Рис. 2.1. Построение поэтажной схемы для многопролетной балки
Заданная многопролетная балка состоит из 4-ех отдельных балок соединенных 3-мя шарнирами В, Е й G. Если мы мысленно разрежем ее по шарнирам, то очевидно, что обрушения балки CD не произойдет, а балки АВ, ЕЁ и GK станут геометрически изменяемыми вследствие недостатка необходимых опорных связей.
Следовательно балка CD является основной, а балки АВ, EF, GK — подвесными. Для геометрической неизменяемости всей поэтажной схемы необходимо, чтобы подвесные балки АВ и EF опирались на основную балку CD, а подвесная балка GK на балку EF. т. е., при составлении поэтажной схемы подвесные балки располагаются выше основных (рис. 2. 1-6).
Заметим, что балка EF является подвесной по отношению к балке CD и основной по отношению к балке G7C
Пример 2. Для многопролетной балки с левым жестко-защемленным концом (рис. 2. 2-а) требуется построить поэтажную схему.
а. Расчетная схема многопролетной балки
б). Поэтажная схема
Рис. 2.2. Построение поэтажной схемы для многопролетной балки
111
Построение поэтажной схемы для этой балки аналогично предыдущему случаю (рис. 2. 2-6). При этом балки АВ и ЬЕ являются основными, а балки ВС и FG — подвесными.
Заметим, что при построении поэтажной схемы в этом случае, горизонтальная связь шарнира С переходит В опору £> (рис. 2. 2-6).
Расчет многопролетных балок следует начинать с подвес
ных элементов, которые можно разрешить путем составления уравнений статики, а уже затем переходить к расчету основных. Однако предварительно рассмотрим порядок построения эпюры Q по эпюре М, как это принято в строитель-
ной механике.
Согласно дифференциальной зависимости проф. Журавского: Q—dM/dx—tg а; т. е. поперечная сила есть тангенс угла наклона (а) эпюры изгибающих моментов в данной точке.
Правило знаков для поперечной силы: Q>O(Q<0), если кратчайшее совмещение оси участка с линией эпюрЫ М происходит по (против) часовой стрелке.
Пример 3. Для прямолинейного участка эпюры М (рис. 2. 3-а) незагруженного внешней нагрузкой требуется построить эпюру Q.
—-кратчайшее совмещение происходит по часовой стрелке
В соответствии с вышеприведенным правилом знаков, поперечная сила на рас-
Р и с.
2.3.
Построение эпюры Q для незагруженного внешней нагрузкой прямолинейного участка эпюры М
= (Мпр—Млев)//=(10—2)/4=2 тс.
сматриваемом участке положительна: Q>0.
Определим ее величину: Q=tgа
Заметим, что значения моментов’в это выражение следу-
ет подставлять с учетом их знака по правилу, принятому для обычных балок, т. е. АГ>0 (М<0), если он вызывает растяжение их нижних (верхних) волокон.
Для участков с криволинейным характером эпюры М (т.е. в случае действия на участок внешней нагрузки, в том числе распределенной), последняя формула принимает вид:
Q_QO_|_ Мпр — МЛев
где Q0 —поперечная сила от внешней .нагрузки, действующей на рассматриваемый участок, построенная как для простой пролетной балки с длиной пролета; равного длине участка (см. Приложение 1).
112
Рассмотрим пример построения эпюры в этом случае.
Пример 4. Для участка эпюры М, имеющей криволинейный характер, и загруженного равномерно-распределенной нагрузкой q (рис. 2. 4-а), требуется построить эпюру Q.
а)- Участок эпюры М, загруженный равномерно-распределенной нагрузкой q
б)	. Эквивалентная пролетная балка, загруженная нагрузкой q
в)	. Эпюра поперечных сил Q* для эквивалентной балки
г)	. Эпюра Q от опорных моментов:
Л1Пр- Млев- _ |ga /
д)	. Окончательная эпюра попереч-
_ ЛП । Мпр. Л4лев.
ных сил: Q=Q°-|------------
Рис. 2.4._ Построение эпюры Q для участка эпюры М, загруженного равномерно-распределенной нагрузкой
Рассматриваемый участок заменяем эквивалентной пролетной балкой (рис. 2.4-6) на основе Приложения 1 строим эпюру Q® (см. рис. 2.4-в).
Как и в предыдущем примере 3 строим эпюру Q от опорных моментов:	У»: =	——1 тс (см. рис; 2.4-а и 2.4-г)
Производя геометрическое сложение эпюр Q° (рис. 2.4-в) с эпюрой Q от опорных моментов (рис. 2. 4-г), получаем окончательную эпюру (рис. 2. 4-д).
Перейдем непосредственно к расчету многопролетных балок.
Для таких балок целесообразно использовать принцип суперпозиции нагрузок. Согласно этому принципу, используя Приложение 1, от каждой нагрузки отдельно стрбятся эпюры Mit а окончательную эпюру М получают в результате их геометрического сложения. При этом следует иметь в виду, что с подвесных балок на основные нагрузка передается, а С основных на подвесные—нет.
Пример 5. Для нижеприведенной многопролетной балки (рис. 2.5-а) требуется построить эпюры М и Q.
Расчет ведем в следующей последовательности:
1/4 4 Заказ 1452
113
1) рассмотренными выше способами (см. примеры 1 и 2) строим поэтажную схему (рис. 2.5-6);
2) of каждой нагрузки отдельно строим эпюры моментов для всей балки: М9, Мр и Мт (рис. 2.5-в, г, д);
—при построении эпюры М9 (рис. 2.5-в) расчет начинаем с подвесной балки EF, где непосредственно приложена распределенная нагрузка q. На консольной части FG эпюру М строим сразу (см. Приложение 1)и определяем величину момента в опоре F от нагрузки q: MF=qlV2 = 0,5-42/2=4 тем. Очевидно, что действие нагрузки q будет передаваться йа нижележащие основные балки CD и АВ.
Будем рассуждать следующим образом: так как участки АВ, BD и DF многопролетной балки не загружены внешней нагрузкой (мы строим эпюру только от нагрузки мысленно отбрасываем), то на этих участках эпюра М9 будет иметь прямолинейный характер с обязательными нулевыми значениями в местах шарниров (т. т А, С и £). В местах же возможного действия опорных реакций (опоры В, D и £), эпюра М9 будет иметь точки перелома (рис. 2.5-в).
— при построении эпюры Afp (рис. 2.5-г) расчет начинаем с балки CD, т к. сосредоточенная сила Р воспринимается опорой £ балки ££ (см. рис. 2.5-6) и передается на балку CD. При этом усилий в подвесной балке ££ не возникает.
а.	Расчетная схема многопролетной балки
б.	Поэтажная схема
(П^тгм	ЙЗтс g-Ofivcfa
^7	3 rJrD Е Хг ‘
к	1—-_-£ЗЗЗЗХ£1
|%тг м
в.	Эпюра изгибающих моментов от распределенной нагрузки q
г.	Эпюра изгибающих моментов от сосредоточенной силы р
д.	Эпюра изгибающих моментов от сосредоточенного момента
е.	Суммарная (окончательная) эпюра Изгибающих моментов:
Mq +
ж.	Окончательная эпюра поперечных сил Q
з.	Опорные реакции многопролетной балки
2
ПРЧтсм	.Р’Зтс q»0r5TC/H
----£—т- i рт™
Щ5тс	'^T-C Т4-ТС

Р и с. 2.5. Этапность расчета многопролетной балки методом суперпозиции нагрузок
114
Далее строим эпюру Мр на консоли DE от действия сосредоточенной силы Р и рассуждаем аналогично предыдущему случаю;
— эпюра Мт (рис. 2.5-д) строится наиболее просто, т. к. сосредоточенный момент т приложен в пролете основной балки АВ, то на консоли ВС последней и соответственно в подвесных балках CD и EF усилий не возникает.
Эпюру Мт в пролете АВ строим таким образом, чтобы в опорном шарнире А изгибающий момент был равен нулю, а на опоре В был скачок нд величину и по направлению приложенного сосредоточенного момент т;
3)	окончательную эпюру изгибающих моментов М (рис.2.5-е) получаем как результат геометрического сложения эпюр Mq, Мр и Мт, т. е. М=Мч+Мр+Мт;
4)	по эпюре М традиционным образом строим эпюру поперечных сил (рис. 2. 5-ж). А именно, на участках АВ, BD, DE и EF эпюру Q строим так, как рассмотрено нами в примере 3, а на консольном участке FG так, как рассмотрено в примере 4 (либо по табличной эпюре Приложения 1);
5)	по эпюре Q определяем опорные реакции балки (рис. 2. 5—3), как скачки эпюры в местах опор (направления опорных реакций устанавливаем также из эпюры Q, двигаясь по ней слева направо) и проводим статическую проверку правильности расчетов:
Ег/.= —0,5—0,5+2 —3+4 —0,5-4=0;
Е Л4Аг=0,5-4+4 — 2-8+3-10 — 4-12+0,5-4-14=0.
Условия проверок выполняются.
Пример 6. Для многопролетной балки, имеющей жесткое опирание (рис. 2.6-а) требуется построить эпюры М и Q.

а.	Расчетная схема многопролетной балки
q»o.5r</M Р.2тс ги=4тсм
4н 4- 2м 4- 2м 2м 4м

б.	Эпюра изг. моментов от сосредоточенной силы Р
в.	Эпюра изг. моментов от сосредоточенного момента т
г.	Эпюра изг. моментов от распределений нагрузки q
д.	Суммарная (окончательная) эпюра изг.' моментов:
м = мр + мт + м^
е.	Окончательная эпюра поперечных сил
Рис. 2.6. Этапность расчета многопролетной балки методом суперпозиции нагрузок
1/4 4*
115
Так как.этрт расчет аналогичен предыдущему случаю? то приведем его в краткой форме, брз составления поэтажной схемы.
Проводим статическую проверку правильности построения эпюр М и Q (рис. 2.7):
Рис. 2.7. Опорные реакции многопролетной балки
Ez/;=3 — 0,5 • 4 — 2+2,5 - 1,5=0;
—8+0,5-4-2+2-5—2,5-10+1,5-14—4=0.
Примеры, рекомендуемы^ для разбора на практическом Занятии:
Построить эпюры М и Q при:
^=2 тс/м; Pi=4 тс; тх=Ь тем
<7г=1 тс/м; Р2=2 тс; т2=2 тем
0.,	4 Ф4<
Рис. 2.8. Расчетные сх^мы многопролетных балок для самостоятельного решения
В конце практического занятия — самостоятельное решение задач по карточкам под контролем преподавателя.
116
Занятие №3
Расчет статически определимых рам
Литература: [ti e. 63—66 или [2] с. 92—99; [5] с. 1101—102; [8[ с. 28—29; [91 с. 16—20.
Контрольный опрос:
1.	Внутренние силовые факторы М, Q, N. Правила знаков.
2.	Формула проф. Журавского. Порядок построения эпюры Q для участков:
— с прямолинейным характером эпюры М;
— с криволинейным (параболическим)характером эпюры М.
3.	Порядок построения эпюры N по эпюре Q.
4.	Последовательность построения эпюр М, Q, N в статически определимых рамах.
5.	Проверки правильности построения эпюр М, Q. N.
Примеры расчета:
Рассмотрим расчет простой однопролетной рамы с консолью (рис. 3. 1)
Пример 1. Для нижеприведенной схемы рамы требуется построить эпюры М, Q, N,
q-2TC/M 4,14 U-
d
2тс/м
D Е
+
'h=B=4M
Рис. 3.1. Расчетная схема рамы
2м
-%- 4н
В	4т а
*?т с * +
Рис. 3.2.
Кинематический и структурный анализ рамы проводить не будем, так как очевидно, что рама является статически определимой и геометрически неизменяемой.
Из уравнений статики определим реакции в опорах рамы:
2хг = Р — Нв~0. отсюда: Нв = Р = 4 тс•
£Л4А/ = р. 4+(Z.2_//+ J_.
2	2 \	2	2 )
—Ув •/= 4-2+2.2;5 — Ув.4=0,
5 Заказ 1452
117
ТСН
Рис. 3.3. Эпюра изг. моментов
отсюда: Ув — 7 тс.
E«/i = VA+VB — g-~~ = Va+7—2-2=0, отсюда: VA= —3 тс.
Для построения эпюры М, на расчетной схеме отбрасываем опоры, а их действие заменяем реактивными усилиями с учетом знака (рис. 3. 2).
Так как узлы рамы С и D жесткие, то представляя их мысленно как жестко-защемляющие опоры, на участках AC, BD и DE, эпюру строим как для простых консольных балок (рис. 3.3). .. На ригеле 'CD эпюра М будет представлять собой прямую, так как этот участок рамы незагру-
жен внешней нагрузкой. Для построения эпюры М на этом участке необходимо найти величины изгибающих моментов •по его концам, что удобно сделать на основе рассмотрения равновесия по моментам узлов С и D (см. рис. 3. 4-а, б).
У HcD
Зт-с-м	46 тем
Рис. 3.4. Равновесие узлов по изгибающим моментам
Откладывая на эпюре полученные значения моментов MqD и THDC с учетом их направления и соединяя полученные ординаты, завершаем построение эпюры М (рис. 3. 3).
Далее, по рассмотренной  на .предыдущем занятии методике, используя дифференциальную зависимость проф. Журавского, по эпюре М строим эпюру Q. При этом, по возможности следует придерживаться следующего правила ее расположения, а именно: положительные ординаты эпюры откладываются снаружи, а отрицательные — внутри замкнутого контура, в котором- находится наблюдатель (рис. -3.- 5);
118
По эпюре Q, рассматривая равновесие узлов по продольным и поперечным силам, с учетом возможной узловой нагрузки, строим эпюру ЛЛ При этом в вырезаемых узлах, направления сил Q показываем с учетом их знака на соответствующей эпюре (то есть положительные поперечные силы вращают рассматриваемый узел по часовой стрелке), а направления сил Af условно считаем положительным (то есть, вызывающими растяжение стержней узла)—см. рис. 3. 6-а, б.
5 Узел В
Рис. 3.6. Равновесие узлов по продольным и поперечным силам
Из EXj=O, имеем: Ncd~—4 тс; |Из Sx,=0, имеем: Ncd=—4тс
Из Е«/г=0, имеем: ЛДс=3 тс;	(Из St/{=0, имеем: WBD=—7 тс
(усилие Уое=0, т. к. консоль DE не загружена горизонтальной нагрузкой).
Окончательная эпюра продольных сил представлена на рис. 3.7.
В рассматриваемом примере, проводить статические проверки нет необходимости. Достаточно с эпюр Q и N „снять" полученные величины внутренних усилий в опорах и сравнить их с определенными ранее опорными реакциями.
В нашем случае эти величины
Рис. 3.7. Эпюра продольных сил совпадают, следовательно эпюры r г	построены верно.
Рассмотрим расчет трехшарнирной рамы.
Пр и мер 2. Для приведенной ниже трехшарнирной рамы (рис. 3.8) требуется построить эпюры М, Q, N.
Геометрические размеры рамы: л=/=4 м.
5*
119
Основная особенность расчета Р«2тс ^т=4тс-н трехшарнирных рам заключается Л ». —о—£ в определении опорных реакций,	<-
для чего необходимо составить , четыре уравнения статики:	»
1) 2Л4а/=0 или
2) Exf=0; 3) Е^=0;	Нд	*
4) £Л4с|=0 или EAfcj=O.	* 7,	», Tv»
лев	пр.	f +
Рис. 3.8. Расчетная схема трехшарнирной рамы
Рассмотрим определение опорных реакций более подробно:
SMAj=P.A+m —Vb-/=2-4+4-4Vb= О, отсюда; VB=3 тс.
^У1=Ук + VB = О, отсюда: VA — — VB = — 3 тс.
2Мс1 — т + Нв• Л — VB- -£ = 4-f-HB‘4—3-2=0, отсюда: Яв= 0,5 тс
Ех(=Р —/7а —Яв=0, отсюда: ЯА=/7В — Р=0,5—2=—1,5 тс.
Построение же эпюр М, Q, N ведем традиционным образом. При этом, при рассмотрении равновесия левого узла рамы по продольным и поперечным силам, необходимо учитывать и сосредоточенную силу Р.
Эпюры внутренних усилий М, Q, N приведены соответственно на рис. 3.9—а, б, в.
сил
Рис. 3.9. Эпюры изгибающих моментов (а), поперечных (б) и продольных (в)
Рассмотрим пример расчета рамы, представляющей собой балку—консоль с ломаными стержнями (рис. 3. 10).
Пример 3. Для нижеприведенной рамы требуется построить эпюры М, Q, N. Геометрические размеры рамы: Л=4м, /=3м.
При расчете таких рам отпадает необходимость в определении опорных реакций.
12&
+ е + t + в 4-
q«iTC/M
Рис. 3.10. Расчетная схема рамы-кон-соли
Эпюры внутренних усилий 3. 11.
Расчет в этом случае ведут от свободного конца (то есть в данном случае справа-налево). При этом очевидно, что в точках А, В и С, величины изгибающих моментов равны нулю, так как равно нулю плечо равнодействующей R для распределенной нагрузки q.
М, Q, N представлены на рис.
Условия выполнения статических проверок в данном слу чае очевидны.
Примеры, рекомендуемые для разбора на практическом занятии:
+ % 4- Сб 4-
Рис. 3.12. Расчетные схемы статически определимых рам для самостоятельного решения
Построить эпюры М, Q, N при:
1 = Зм, й = 2 м, т = 4тс-м Р — 2т, q=i тс/м.
121
ЗАНЯТИЕ №4 РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Литература: [1] с. 120—137 или [2] с. 146—169; [3] с. 89—94, [8] с. 62—71 или - [9] с. 54—63; [4] с. 54—64; 15] с. 104—109.
Контрольный опрос:
1.	Понятие о ферме и ее основных элементах.
2.	Классификация ферм.
3.	Основные допущения, принимаемые при расчете ферм.
4.	Аналитические методы определения усилий в стержнях ферм. Правило знаков для продольной силы (усилия) в стержнях.
5.	Метод вырезания узлов. Некоторые частные случаи (леммы) по равновесию узлов.
6.	Метод сквозных сечений:
—	способ моментной точки (способ Риттера);
—	способ проекций
7.	Проверки правильности определения усилий в стержнях ферм.
Примеры расчета:
Пример 1. Для нижеприведенной схемы статически определимой фермы (рис 4. 1) требуется определить усилия в отмеченных стержнях.
Геометрические фермы:
d=3 м,
А=4 м,
Я=6м.
размеры
Рис. 4.1. Расчетная схема консольнобалочной фермы
Расчет практически любой фермы, исключая пожалуй консольные, следует начинать с определения опорных реакций: EMBi = VA-4d —P1-2d + P8.2d=0, отсюда: УА =-^-(Р1—Р2)=2тс. ЕУ^Уа+Кв —Pi —Р2=0,	отсюда: VB=Pi+P2—Ул=Ютс
Перейдем непосредственно к определению усилий в стержнях фермы.
122
Наиболее простым методом определения усилий является вырезание и рассмотрение равновесия узлов. Однако при использовании этого метода, следует иметь, ввиду, что вырезать можно лишь^те узлы, в которых сходится не более двух стержней с неизвестными усилиями. В рассматриваемой ферме такими узлами являются узлы 1 и 7. Поочередна рассмотрим их (рис. 4.2 и 4.3):


Уаел 1.
khe/i 7

Рис. 4.2.	Рис. 4.3. Рис. 4.4. Равновесие узла 4
Составим для этого узла суммы проекций всех сил на оси оХ и оУ;
SX, =	= 0, отсюда: Л^-2 = 0.
ЕУ; = Nj-i + УА = 0, отсюда: Ni-i = —VA = — 2 тс.
Аналогично рассмотрим и узел 7 (рис. 4.3) :
SXf = —У-i-a = 0, отсюда: У7_в=0.
= ЛГ7_/ — Р2 — 0, отсюда: А/,-/ = Р2 = 4 тс.
Заметим, что усилия в некоторых стержнях фермы ( в том числе и определенные нами выше) можно определить сразу, не проводя дополнительных вычислений, если хорошо усвоить и правильно применять леммы по равновесию узлов.
Рассмотрим, например, ненагруженный трехстержневой узел 4' (рис. 4.4). Лемма для такого узла гласит: в ненагруженном трехстержневом узле, усилия в стержнях, имеющих общую ось, равны между собой, а в одиночном стержне усилие равно нулю.
Следовательно: А/_8' = Ng-g, = О
Справедливость этой леммы можно проверить, если составить для.узла 4 суммы проекций всех сил на оси оХ и оУ.
Определим усилия в стержняхЗ-ей панели: 3—4, 3'—4' и 3'—4, Очевидно, что эти усилия нельзя определить простым вырезанием соответствующих узлов. Следовательно, необходимо использовать метод сквозных сечений.
Усилие У3-4 . Проведем сечение 1—1 так, чтобы оно пересекало рассматриваемый стержень и не более 2-х других стержней с неизвестными усилиями (рис. 4.5). Положение моментной точки для искомого усилия в стержне ,3—4 определим как точку пересечения линий действия усилий в двух других стержнях 3'—4 и 3'—4' (т. е. это будет точка 3')-
123
d 4- d	у 4<d
Рис. 4. 5. Расчет фермы методом сквозных сечений
Составим уравнение суммы моментов всех сил для левой или правой отсеченных частей фермы относительно получаемой моментной точки З1. Удобнее рассмотреть равновесие левой части, так как в уравнении будет меньшее количество слагаемых:
Wi = Va • 2d — ЛГ3-4 • Я = О, лев..
отсюда: #3_4= —-Уа= —-2 = 2 тс. Н 6
Заметим, что при определении этого усилия можно провести и сечение II—II. При этом положение моментной точки для искомого усилия не изменится.
Усилие Na'-i (либо ЛГ/-,')- Моментной точкой в этом случае является т. 4. Аналогично предыдущему случаю, составим уравнение равновесия для правой отсеченной части фермы:
E#f4< = #4'_3' Я + Ув'd — Р2 ’3d = О, пр.
отсюда:	- 4 (ЗР2 — Ув) = -(3-4—10) = 1 тс.
Н	6
Определим попутно усилие NJ-t,'. При рассмотрении леммы для узла 4' нами было показано, что: #4'-3' = N4'_8'. Следовательно, последнее усилие равно #4'_6'=1 тс.
Усилие #3'_4. Определяя положение моментной точки для этого случая, легко убедится, что она находится на бесконечном удалении влево или вправо от фермы. И соответственно, уравнение суммы моментов всех сил относительно моментной точки обращается в уравнение суммы проекций всех сил на вертикальную ось оУ:
2У<. = Va — P1 — Ns'-i • cos а = 0, лев.
отсюда: #8'_4 = — -(УА — Л) =	(2-8) = - 6,711 тс.
cos а	0,894
124
Усилие Хв-б< также нельзя определить простым вырезанием узлов 6 и 6'. Для определения этого усилия проводим сечение III— III (рис. 4.5) и получаем моментную точку, расположенную на расстоянии 4d от правого конца фермы (т. 0). А так как рассматриваемый стержень 6—61 принадлежит консольной части фермы, то как и в большинстве случаев, уравнение равновесия удобно составлять для отсеченной консольной части:
E4foi = у6_6. . 5d — Ра • 4d = 0, пр.
4	4
отсюда: He-в' -----Ре ------4=3,2 тс.
5	5
Итак, нами определены усилия во всех отмеченных стержнях фермы. Усилия в остальных стержнях определяются методами, аналогичными рассмотренным нами выше. Несколько увеличивается трудоемкость расчетов только при определении усилий в наклонных элементах верхнего пояса (стержни V—2', 2'—3', 5'—6', 6'—7'), так как в этих случаях при составлении уравнений равновесия относительно моментных точек, в каждом случае необходимо определять длину плеча искомого усилия, что безусловно не вызывает особых затруднений.
Пример 2. Для арочной фермы (рис. 4.6), требуется определить усилия во всех ее стержнях.
Рис. 4.6. Расчетная схема арочной фермы
Геометрические размеры фермы:
d=3 м, Л=4 м, cos а=4/5=0,8.
В арочных фермах помимо вертикальных опорных реакций Уд и Ув возникают и. горизонтальные реакции (распор) На и Нв- Из соображений симметрии внешней нагрузки и самой фермы, очевидно, что опорные реакции: Уд = Ув=Р/2 = =2 тс, Нд=Нв=Н, а усилия в симметричных стержнях будут
125
одинаковы. Поэтому будем, рассматривать только левую часть фермы.
Определим величину распора Н из условия равенства нулю момента в замковом шарнире узла 3:
2M8J=VA-2d—Я-Л=0, отсюда: Н =— • Ул = — -2=3 тс. лев	h	4
Определение усилий в стержнях 1—1' и 1—2 не вызывает затруднений (см. пример 1, определение усилий также в стержнях 1—1' и 1—2). Вырезая узел 1, легко получить: #1_г == =—2 тс, ЛГ1_2=— 3 тс.
По лемме (см. пример 1, определение усилия в стержне
#2—2 = 0, #1'_2' = #2'—3»
Усилие #i»_2-. Проведем сечение 1—1 (рис. 4. 6) рассмотрим равновесие левой части, фермы относительно моментной точки 2:
SAf2j== Уа • d Nv—2' • Л = О, лев.
отсюда: N 1-2- = #2'—з = ——-Уа=— —*2=—1,5 тс.
Л	4
Усилие #/-2. Для левой, отсеченной сечением 1—1 части фермы, составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось оУ:
ЕУ =VA — У/_2 • cos а =0, отсюда: #/_а = — -УА = Л=2,5тс. cos <z 0,8
Усилие #2—з (либо #3-2). Это усилие можно определить двояким образом:
—	провести сечение II—II (рис. 4.6) и рассмотреть равновесие левой части фермы относительно моментной точки 2';
—	вырезать и рассмотреть равновесие узла 3.
Рассмотрим последний из указанных способов (рис. 4.7):
Составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось оУ:
ЕУ/=—Мз—2 cos а •— #2—4 cos а — —>= 0.
Так как из соображений симметрии:
#з—4=#з-2, то выделяя величину искомого усилия получаем:
Рис. 4.7. Равновесие узла 3
#3—2 —
2 cos а	2 -0,8
• 4= —2,5 тс
126
Таким образом, нами определены усилия во всех стержнях заданной арочной фермы.
Примеры, рекомендуемые для разбора на практическом занятии:
Определить усилия в отмеченных Л = 4 м.
стержнях, если: </ = Зм,
Рис. 4.8. Расчетные схемы ферм для самостоятельного решения
Занятие М5
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ НА ВНЕШНЕЕ СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Литература: [1] с. 269—287 или [2] с. 413—438; [3] с. 193—198, 243—246; [8] с. 137—156 или [9] с. 115—134; T»IJ с. 28—37; ]4] с. 162—179; [5J с..248—255, 262—265.
Контрольный опрос:
1.	Свойства статически неопределимых (с. н.) систем.
2.	Основные методы расчета с. н. систем.
3.	Определение количества лишних связей в методе сил. Выбор основной системы.
4.	Физический смысл системы канонических уравнений в методе сил.
5.	Определение перемещений с использованием способа Верещагина. Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла).
127
6.	Порядок расчета с. н. рам методом сил на внешнее силовое воздействие.
7.	Основные проверки правильности расчета с. н. рам методом сил:
—	универсальная и построчные проверки правильности определения коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений;
—	проверка правильности определения свободных членов системы канонических уравнений:
— деформативная (кинематическая) и статические проверки правильности построения эпюр Мр.
—	статические проверки Правильности построения эпюр Мр, Qp»Np;
8.	Определение перемещений в с. н. системах.
Пример расчета:
Поэтапно рассмотрим расчет с. н. трехпролетной рамы, в которой жесткость ригеля равна EJ, а жесткость стоек 2EJ (абсолютная величина жесткости EJ=4000 тем2), загруженной внешним силовым воздействием (см. рис. 5.1).
Определим также вертикальное перемещение замкового шарнира С и угол поворота левого узла (также см. рис. 5.1).
+ 2н	> 2н > 2и ±
Рис. 8. 1. Расчетная схема статически неопределимой рамы
1.	Определяем степень статической неопределимости заданной конструкции, т. е. количество лишних связей: Л= ЗК — Ссц,
где К = 3—количество замкнутых контуров в системе (нумерация контуров проведена на рис., 5.1. римскими цифрами);
Ссн — 7 — количество так называемых „снятых связей, т. е. общее чисЛо простых шарниров и ползунов в системе (нумерация этих связей приведена на рис. 5.1. слева направо арабскими цифрами).
Следовательно: Л=ЗХЗ—7=2, т. е. рама дважды статически неопределима.
2.	Отбрасывая лишние связи и заменяя их действие неизвестными усилиями Xi и Х2 .переходим к основной системе. Несколько возможных вариантов основных систем приведены на рис. 5 2а—в.
Руководствуясь принципом, что если заданная система симметрична, то из соображений последующего упрощения расчета,
128
a___
Рис. 5.2. Возможные варианты основных систем метода сил для заданной дважды статически неопределимой рамы
наиболее целесообразно располагать неизвестные на оси симметрии. Следовательно, в качестве окончательной принимаем основную систему, представленную' на рис. 5.2— в.
Система канонических уравнений ЧАгХг + &ip=0 метода сил для заданной дважды (S^Xj822Х2+Дгр =0 с. н. рамы имеет вид:
3.	В основной системе строим эпюры изгибающих моментов Mi и Ма от действия сил Xi и Х2, принимая последние на_ этом этапе расчета единичными, т. е. от сил Хх=1 и Х2 = 1 (рис. 5.-3—а, б), а также эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки М® (рис. 5. 3—в).
Из удобства расчетов, при. построении грузовой эпюры М®, сосредоточенную силу_Р0 относим к правой части рамы.
4.	На основе эпюр Мъ Мг и М® способом Верещагина определяем коэффициенты при неизвестных 8jK и свободные члены Дд> системы канонических уравнений, учитывая удвоенную жесткость стоек рамы по отношению к жесткости ригеля:
3ХХ = Е №Lds= ^--4. Jei ei
— . 2.2 • —• 2= — 2	3	3£Z
811=2/|* = А.2.-1.2.4.А.4 +
+ J_2. ±.4. 4-^-.4--!® 2EI 2	3 3EI
129
Рис. 5.3. —Единичные эпюры Mj и Ма и грузовая эпюра- Мр в основной системе
812 =321 =2 c^s= 20, т.к. перемножая по способу Верещагина левую часть эпюры на левую часть эпюры М2
мы получаем некоторую положительную величину, а перемножая правые части эпюр М1 и М2 получаем такую же, но>
отрицательную величину.
Таким образом, рационально выбрав основную систему, мы существенно упростили систему канонических уравнений зй счет того, что побочные коэффициенты при неизвестных и 821 равны нулю.
Д1р
'ML Е/
Л.8 — -L.2-2-— -8 — 3	2	3
—.2-2 •
2
24
ЗЕ/ ’
д2р=2
J Е/
ds= —[42-4— 8+— -2-4 • —
El L 2	3	2	3
А.4.8. ±.4=^ 3	8 ЗЕ/
1 2Е/
При определении свободных членов системы канонических уравнений Д/р способом Верещагина, следует помнить, что для участков эпюры Л4Р с криволинейным характером (к е.
130
там, где действует распределенная нагрузка q), площадь всегда следует определять для криволинейной эпюры. В этом случае удобно использовать Приложение 2.
5.	Для проведения проверок правильности определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений строим обобщенную эпюру моментов Ма от суммарного действия единичных сил Хг = 1 и Х2=1 (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Обобщенная эпюра изгибающих моментов Ма от суммарного действия единичных сил Хх=1 и Х,=1
6.	Проводим универсальную проверку правильности определения коэффициентов при неизвестных, которая заключается в проверке выполнения следующего условия:
E8/t + 2S5/K= 21—5
J El
где — левая часть записанного условия представляет собой алгебраическую сумму всех коэффициентов при неизвестных систе-. мы канонических уравнений, равная в рассматриваемом примере:
Е311+218/к=8п+822 + 2812=	+ -^+2-0=
— правая часть записанного условия представляет собой результат перемножения по способу Верещагина эпюры Мв (рис. 5. 4) самой на себя:
2 Г?.dS= -М— -6-2- —-6-1-3. —-2-2. V- 2) +
J El Е1 \ 2	3	2	3/^
, 1	о 1	. .	2	л 32	. 64	160
j----2- — -4-4----4=----------= —
2EI 2	3 El 3EI	3EI
Таким образом, условие универсальной проверки выполняется, и следовательно, необходимость в проведении строчных проверок правильности определения коэффициентов при неизвестных отпадает.
131
7.	Проводим проверку правильности определения свободных членов системы канонических уравнений, которая заключается в проверке выполнения условия:
J EI
где — левая часть условия представляет собой алгебраическую сумму всех свободных членов системы канонических уравнений, равная в нашем случае:
ЕДФ — ДХр + Д2р —	—
, 192	168
"Г ЗЕ! ~ ЗЕ!
56 EI
— правая часть условия выражает результат перемножения по. способу Верещагина эпюр Л4а (рис. 5. 4) и Мр (рис: 5.3—в):
У С.^-р dS= — (— -б-2- —-8--------U-2-2- — -8 +
J EI EI \ 2	3	2	3
+ ±.2.2-— -б) + ----------4-8- — -4 = — —
2	3	/ 2EI 3	8 EI
_ 32 . 8  80 _ 168 _ 56 ЗЕ! + EI + El . ЗЕ! EI
Условие проверки выполняется, следовательно свободные члены системы канонических уравнений определены правильно.
8.	Подставляя, найденные в п. 4 настоящего расчета, величины коэффициентов при неизвестных и свободных членов в систему канонических уравнений, получим последнюю в следующем виде:
32 у 24 ЗЕ! 1 ЗЕ!
120 v . 192
---Л 2 ~1-----
ЗЕ1 3EI
=0
или №-3 = 0
или (2Ха+3£=0
Таким образом, вследствие равенства нулю побочных коэффициентов при неизвестных 8Х2=82Х=О, система 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными „распадается*1 на два линейных уравнения. Решая уравнения независимо, получив:
Хх=0,75 тс, Х2= —1,50 тс
9.	Для удобства построения окончательной эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки Л4р, построим вспомогательные эпюры М1-Х1 и Л12-Х2 ка_к результат перемножения ординат единичных эпюр Afx и ЛГ2 (рис. 5. 3—а, б) на истинные значения неизвестных Хх и Х2.
132
Заметим, что эпюру Af2*X2 следует зеркально отобразить, на противоположной стороне каждого элемента, т. к. величина усилия отрицательна.
Вспомогательные эпюры AIjXj'h Л12Х2 представлены на рис. 5. 5—а, б.
Рис. 5.5. Вспомогательные эпюры изгибающих моментов для построения окончательной эпюры изгибающих моментов Мр от заданной нагрузки
Окончательно эпюру йзгибающих моментов Мр от заданной нагрузки (рис. 5. В) строим, путем геометрического сложения эпюр Л11Х1 (рис? 5. 5—а), Л42-Х2 (рис. 5.5-6) и эпюры Л1р(рис. 5. 3-в):
Рис. 5.6. Окончательная эпюра изгибающих моментов Л4р в дважды с. н. раме от внешнего силового воздействия
Проверим равновесиеТуз-лов эпюры Л4р ло изгибающим моментам:
Левый узел:	('r J
Правый узел:
ё.Отач
bMi = 1,5+2,0 —3,5=0	EAfz = 2,0+6-,0—1,5-6,5=0
Равновесие узлов рамы по изгибающим моментам соблюдается.
10.	Проведем деформативную (кинематическую) проверку правильности построения эпюры М,р,. которая заключается в проверке выполнения одного из следующих условий:
2 dS = 0 или 2 №^-ldS = 0
Заметим, что проведение проверки по первому из этих условий являлось бы наиболее полным и достоверным, но вследствие тру
133
доемкости ее проведения ограничимся перемножением на оконча* тельную эпюру изгибающих моментов Л4р наиболее простой единичной эпюры М^.
у f^P2^1_dS=—f—.2.1,5- — • 3,5 + Е/ -	£/[2	’ з
+ —•2-1,5. — 1,5---- -2.1,5— • 6,5 +— .2-1,5.— .1,51=0
2	3	2	3	2	3 J
Проверка выполняется с большой точностью (погрешность 5=0), что еще раз указывает на правильность построения эпюры ЛТр.
11.	По эпюре Мр традиционным образом (т. е. также как в статически определимых системах) строим эпюру поперечных сил Qp (рис. 5.7—а).
12.	А по эпюре Qp также традиционным образом строим эпюру продольных сил Мр (рис. 5.7—б).
Рие. 5.7. Эпюры поперечных Qp(a) и продольных сил УР (б) в дважды с. н. '	раме от внешнего силового воздействия
Для проведения статической проверки правильности построения эпюр Afp, Qp и ЛГр, в заданной схеме (рис. 5. 1.) отбрасываем опоры рамы, заменяя их действие внутренними усилиями, „снятыми“ с этих же эпюр (см. рис. 5.8).
P;Z/rc т-2тсм	Проверим выполнение основ-
I'	ных статических уравнений
—д------j рав'новесия:
£Xi==i.4—2,50 —1,50=0
jsprc ЕУ,=2,50+2,50-1,75—4+
+0,75=0
4-£« +	2Л4А<-=1.4-2—1,75-2+4.2+2 —
Рис-5Л	—0,75.6—2,50-4 =0
Статические уравнения равновесия выполняются, следовательно эпюры Мр, Qp и Np построены правильно.
134
Перейдем к определению вертикального перемещения замкового шарнира С—Д?®рт‘ и угла поворота левого узла рамы а—Фа (рис. 5. 1) от заданного внешнего силового воздействия-
Определение угловых <р4 и линейных перемещений в с. н.. рамах от внешнего силового воздействия производится на основе обобщенной формулы Мора:
т; (или
где М— эпюра моментов от единичного силового воздействия единичного момента т—1 приложенного па направлению возможного поворота, или единичной силы Р=1 приложенной по направлению перемещения рассматриваемого сечения или узла).
При этом дважды раскрывать статическую неопределимость рамы при построении эпюр Afp и М нет необходимости. Достаточно, если построена с раскрытием статической неопределимости только одна из этих эпюр (обычно так строится эпюра от внешнего силового воздействия Afp). Другую же эпюру (обычно AQ можно построить в любой, самой простой основной системе метода сил.
Рассмотрим определение вертикального перемещения замкового шарнира С—Д®ерт'. Построение эпюры- М будем вести в основной системе, выбранной нами ранее (рис. 5. 2—в). А так как замковый шарнир С в этой основной системе рассечен, то приложить единичную силу Р=1 (и соответственна построить эпюру М) можно любым из способов, представленных на рис. 5. 9.
Рис. 5.9. Единичные эпюры для определения вертикального перемещения замкового шарнира
Перемножение любой из этих эпюр по способу Верещагина на эпюру Л4Р приводит к одинаковым значениям перемещения
135
Д”₽т-. Так перемножая эпюру М (рис. 5. 9—б) будем иметь:
дверт. _	_L .3 5_L.2»2* — -1,5) = — (М)
EI \ 2	3	2	3 .	’ 3EI *	.
Положительный знак этого перемещения указывает на то, что действительное перемещение замкового шарнира С происходит по направлению действия единичной силы Р =1.
Для определения угла поворота левого узла рамы <ра (рис. 5. 1) прикладываем единичный момент т=1 и строим соответствующую единичную эпюру (рис. 5.10).
Рис. 5.10. Единичная эпюраМ‘ для поворота левого узла рамы а.
Положительный знак этого перемещения также указывает на то, что действительный поворот узла а происходит по направлению единичного момента /тГ=1 (т. е. по направлению часовой стрелки).
Примеры, рекомендуемые для разбора на практическом занятии:
Построить эпюры Alp, Qp и Np в с. н. рамах от заданного внешнего силового воздействия, а также определить указанные характерные перемещения, если: /=Л=4м, EJ= const.
Рис. 5.11. Расчетные схемы с. н. рам! для самостоятельного решения
1
// f h
L ч- I 4-1-
Занят ие№6
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ НА ВНЕШНЕЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ И ОСАДКУ ОПОР
Рассмотрим сначала расчет с. н. рам методом сил на внешнее температурное воздействие:
Литература: [1] с. 233—234, 287—288 или [21 с. 366—369, 438—439;
[8] с. 121—122, 162—164 или [9] с. 109—112, 140z—143; [31 с. 235—237, 246-247; [4] с. 179—181.
136
Контрольный опрос:
1.	Основные отличия расчета с. и. рам на внешнее температурное воздействие от расчета на внешнее силовое воздействие.
2.	Разложение заданного внешнего температурного воздействия /Ср • нд равномерный и неравномерный нагрев t'.
3.	Определение свободных членов системы канонических уравнений, связанных с температурным воздействием Д4/. Правила знаков.
4.	Порядок расчета с. н. рам методом сил на внешнее температурное воздействие.
5.	Основные проверки правильности построения эпюр Qt, Nt от внешнего температурного воздействия.
Пример расчета:
В с. н. раме, все элементы которой имеют равную жесткость £7=4000 тс-м2 (рис. 6. 1) требуется построить эпюры Mt, Qt, от заданного внешнего температурного воздействия.
Зн
Зя
10'
+20'
-20
Рис. 6.2. Основная система
Рис. 6Л. Расчетная схема мы и характер температурного
с. н. равнейшего воздейст-

+ Ш

вия
Высота сечения элементов рамы Л=0,1 м, температурный коэффициент линейного удлинения материала рамы а = = 10-5 град-*.
Обычными способами определяем количество лишних связей и выбираем основную систему (рис. 6.2): Л = ЗК— Ссн = = 3-2—4=2, т. е. рама дважды статически неопределима. Система канонических уравнений включает свободные члены, связанные с внешним температурным воздействием:
(ЗцХ1-|-81Х224-Д1<=0 (821Х1-{-82Х22-]-Д2< = 0
От действия сил Х2=_1 и Х^=1 строим единичные эпюры Л4Х и М2, а также и N3, которые потребуются нам при определении свободных членов системы канонических уравнений Дп и Д2/:
137
Рис. 6.3. ^Единичные эпюры изгибающих моментов Mlt М3 и продольных Nv ЛГ2сил, в основной системе .
По способу Верещагина определяем коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений:
8n=Sf—(—-З-З-—-3+3-6-3^ =—
J El EI \ 2	3	/ Е1
•3= --££
1	1 EI	EI 2	EI
«22= 2 f— • з — -3-3- — -з =
J EI El 2	3 EI
Универсальной и построчных проверок правильности определения коэффициентов при неизвестных проводить не будем.
Перейдем к определению свободных членов системы канонических уравнений Дн и Д2/. Для этого предварительно разложим заданное температурное воздействие t на равномерный /ср и неравномерный нагрев /'. Если нейтральная ось сечения проходит по его геометрическому центру, тогда для каждого элемента рамы его равномерный /ср и неравномерный f нагрев можно определить следующим образом:
tcp=
где /х и t2 — значения внешнего температурного воздействия по разные стороны рассматриваемого элемента. Разложение заданного температурного воздействия для рассматриваемой рамы приведено на рис. 6. 4.
Определение температурных перемещений Дг/ производится на основе обобщенной формулы Мора:
At7=SCa/cPM<dS+2j f а 4“	• wjvi+ Еа
J	J fi	п
где а>— и	— соответственно площади отдельных участков
единичных эпюр Nt и Mt.
138
-го'
чо' -£0'
Рис. 6.4. Заданное внешнее температурное воздействие (а) и его разложение на равномерный (б) и неравномерный нагрев (в)
л—
Перемещение Д{/ состоит из двух слагаемых, для каждого из которых приняты следующие правила знаков:
— компонент Ди определяемый по эпюре Nt считается положительным, если на рассматриваемом участке и от -действия температуры /Ср и от действия силы Xt=l наблюдается одновременное удлинение (сжатие) элемента;
— компонент Дн определяемый по эпюре Mt считается положительным, если на рассматриваемом участке и от внешнего температурного воздействия t и от силы Х,= 1 наблюдается растяжение (’сжатие) одноименных волокон элемента. Применительно к рассматриваемому примеру, будем иметь:
Дп=а.0.ЬЗ+а-15 ЬЗ-|-а.^- . уЗ-3-f-
+а—3-3 +а 12-3-3- 4995 а
0,1	0,1
Да<=а-15-1-3+2(а-5-1-3)—а— • —-З-З— 2(а- — ‘	v '	0,1 . 2	1	0,1
• 3- 3
=—3075 а
Проверки правильности определения свободных членов системы канонических уравнений также проводить не будем. Переходим к решению системы канонических уравнений, имеющей вид:
63. х _Uhlхг+4995а=0
El EI
_Х,4-— Х2 — 3075 а = 0
Е1 1 EI
После перемножения уравнений системы на величину жесткости EJ, подстановки ее численного значения, а также зна
139
чения коэффициента а, систему уравнений преобразуем к виду:
63Хх —13,5 Х2+ 199,8=0
-13,5 Хх+27%2+123=0
Решая систему уравнений, получаем: Хг=—2,459 Х2=3,326тс.
Окончательную эпюру изгибающих моментов от заданного? внешнего температурного воздейс+вия Mt строим, как результат геометрического сложения эпюр МхХх и Л?2Х2 (рис.6.4).
Рис. 6.5. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Mf (в), как результат геометрического сложения эпюр MiXi (а) и М2Х2 (б)
Как известно, при расчете с. н. рам на внешнее температурное воздействие, окончательная эпюра изгибающих моментов Mt •располагается со стороны наименее нагретых волокон (по крайней мере, большая ее часть), что имеет место в нашем случае.
Таким образом, эпюра Mt (рис. 6.5—в) качественно построена правильно и проводить деформативную (кинематическую) проверку правильности ее построения не будем.
На основе эпюры Mt, традиционным образом строим эпюры Qt (рис. 6.6—а) и Nt (рис. 6.6—б).
Рис. 6.6. Эпюры поперечных Qt (а) и продольных сил Nt (б) в с. и. раме от внешнего температурного воздействия
Заметим, что эпюру Nt можно_ построить и в результата геометрического сложения эпюр ЛГхХх и ЛГ2Х2.
140
J—
33267г—»—
ОЯТтЯ
Рис. 6.7.
Проведем статическую проверку правильности построения эпюр Mt, Qt, Nt:
SXZ= 3,326 — 3,326 = 0
SyJ= —2,459—0.867+3,326 =0
2Л4 A<= 17,355- 2,459 • 3—3,326 • 3= 0
Статические уравнения равновесия выполняются с большой точностью, что указывает на правильность построения, эпюр Mt, Qt и Л+
Примеры, рекомендуемые для разбора на практических занятиях:
Построим эпюры Mt, Qt и Nt в ст. н. рамах (рис. 6. 8) от заданного внешнего температурного воздействия, еёли /= =Л=4м, £/=3600 тем2, а=10~6 град-1, Лсеч=0,1 м.
Рйс. 6.8. Расчетные схемы с. н. рам для самостоятельного решения
Перейдем к расчету с. н. рам методом сил на осадку (смещение) опор. К этому виду внешнего воздействия можно отнести и возможные неточности в размерах отдельных элементов конструкции, имеющие место в процессе их изготовления.
Литература: [1] с. 289—292 или [2] с. 439—444; (8] с. 122—123, 162—
—166 или [9J с. 113—114, 140—141, 143—146; (3) с. 237— —241, 247—248; |4] с. 182—183.
Контрольный опрос:
1.	Основные отличия расчёта с. н. рам на осадку (смещение) опор от расчета на внешнее силовое и температурное воздействия.
141
2.	Определение свободных членов системы канонических уравнений, связанных с осадкой (смещением) опор Д;с. Правила знаков.
3.	Порядок расчета с. н. рам методом сил на осадку (смещение) опор.
4.	Основные проверки правильности построения эпюр Afc> Qc, N9 от осадки (смещения) опор.
Пример расчета:
В с. н. однопролетной раме., ригель и стойки - которой имеЭг равную жесткость £/=3600 тс-м2 (рис. 6. 9), требуется построить эпюры Мс, Qc, Nc от указанных величин осадок опор: а= 0,045 м, <р=0,03 рад.
Рис. 6.9. Расчетная схема с. н. Р и с. 6.10. Основная система й единичная рамы и характер смещений опор эпюра Mi для заданной однажды с. н. рамы
Определяем количество лишних связей в заданной раме:, Л=37<—Ссн=3-1—2=1, т-. е рама является однажды статически неопределимой и каноническое уравнение метода сил имеет вид: 311-Х1-|-Д1с=0.
Наиболее простой основной системой в этом случае является П—образная рама — консоль с „удаленной“ правой шарнирно-подвижной опорой. Единичная эпюра Afj для этой основной системы представлена . на рис. 6.10.
По способу Верещагина определяем величину коэффициента 8П:
5 = -LLL.2-2- — -24-2-4-2'i = —
11 EI \ 2	3	/	3£7
Перейдем к определению свободного члена Alc, связанного с осадкой опор. Для упрощения вычислений разложим его на два слагаемых, связанных соответственно с линейным
142
смещением а и угловым у, т. е.: Д)с = Ala
Определим каждое из этих слагаемых независимо другет друга. При этом вспомним правила определения свободных членов,-связанных с осадкой опор,, в основе которых также лежит обобщенная формула Мора.	‘
Первая часть этих правил гласит:... если основная система выбрана так, что смещаемая опора „отброшена", тогда величина перемещения Д|С равна величине самого смещения {при условии действия неизвестного A’i=l по одной линии с заданным смещением)^ А знак перемещения Д^ считается положительным, если направление неизвестного Xf=l, приложенного к «отброшенной» опоре совпадает с направлением смещения.
Таким образом, в нашем случае: Дп=а. При этом знак перемещения Д1а положительный, т. к. направление неизвестного Хъ приложенного к „отброшенной" опоре совпадает с направлением смещения а (рис. 6.11).
Вторая часть правила гласит:... во всех других случаях перемещение Д,-с следует определить как: Д|с=—^Rfi, где —реактивные усилия, возникающие в смещаемых опорах от действия неизвестного = 1 (при угловых смещениях—изгибающий момент, при линей, ных смещениях—опорная реакция по их направлению),
С — величины смещений (осадок опор).
Рис. 6.11.
При этом реактивные усилия Rt считаются положительными, если их направление совпадает с направлением смет-щеИйй.
Применительно к рассматриваемому нами примеру, а именно определению перемещения Д1Т:А\=—2 (см. рис. 6.10), (так как в жесткой защемляющей опоре рамы,> подверженной смещению <р, возникает отрицательный реактивный момент Ri, направление которого не совпадает с направлением этого углового смещения), С=<р.
Следовательно: Д1(р=—(—2)-?=2гр,
й соответственно: Д1С= Ala-Mif=a+2<р=0,045-J-2-0,03=0,105 м<:
143
Так как заданная рдма является однажды статически неопределимой, то проверок правильности определения величин 81Х, ДХс выполнять не имеет смысла.
Решаем каноническое уравнение: — Хх+0,105=0, откуда 3EI
с учетом жесткости £7 = 3600 тс-м®, легко получить Хх = =—20,25 тс.
Окончательную эпюру изгибающих моментов Мс (рис.6.12-а)
от заданного^ смещения опор строим перемножением единичной эпюры Мх (рис. 6.10) на величину неизвестного Хх=20,25тс, а на ее основе традиционным образом эпюры 0с?= (рис. 6.12-6) и Ne (рис. 6.12-в).
Рис. 6.12. Эпюры изгибающих моментов Мс (а), поперечных Qc (б) а продольных сил N с (л) в с. н. раме от заданного смещения опор
деформиро-при задан-
Если построить схему ванного состояния рамы ных смещениях опор (рис. 6.13), то очевидно, что растянутыми являются ! наружные волокна рамы. Следователь- » но, эпюра 2ИС качественно построена \ правильно и деформативную (киНб^аты- ( ческую) проверку правильности ее построения проводить не будем.
Что касается статических проверок правильности- эпюр Мс, Qc и Nc, то выполнение их условий достаточно очевидно.

Рис. 6.13. Схема де-формативного состояния рамы
Примеры, рекомендованные для разбора на практическом занятии:
Построить эпюры Мс, Qc и Nc в с. н. раме и балке (рис.6.14) от заданного смещения опор, если: /=Л=4м; £7=3200 тс-м8 а=0,02 м; 6=0,06 м; <р=0,02 рад.
144
+ ®
h t-'-rf .—
1	xfl
t- +	+- i------+
Рис. 6.14. Расчетные схемы с. н. конструкций для самостоятельного решения
Занятие № 7 /
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК МЕТОДОМ ТРЕХ МОМЕНТОВ
Литература: [2] с. 471—484; [8] с. 182—187 или [9( с. 153—158;
[3]	с. 252—262; [4] с. 241—244; с. 310—315.
Контрольный опрос:
1.	Понятие о неразрезных балках. Классификация и область применения. .
2.	Преимущества и недостатки неразрезных балок по сравнению с разрезными конструкциями.
3.	' Уравнение трех моментов, как частный случай канонического уравнения. Физический смысл уравнения.
4.	Частные случаи расчета неразрезных балок:
—	шарнирно-опертый край;
—	жестко-защемленный край;
—	свободный (консольный) край.
5.	Последовательность расчета неразрезных балок методом 3-х моментов (т. е. построения эпюр -внутренних усилий М и Q).
6.	Основные проверки расчета:
—деформативная (кинематическая); —статическая.
Примеры расчета:
Пример 1. Для нижеприведенной схемы неразрезной балки (рис. 7.1) требуется построить Л4Р и Qp. от заданной внешней нагрузки.
. Так как левый край балки является шарнирно-опертым, то нумерацию ее опор начинаем с нуля.
Дальнейший расчет выполняем в следующей последовательности:
1.. Определяем количество лишних связей:
Л=ЗК—Ссн= 3-3—7=2, т. е. балка дважды статически неопределима
145
4-йЧ-2-^-2^-3«-4— бп -If
Рис. 7. 1. Расчетная схема неразрезной балки
2.	Переходим к основной системе метода сил, врезая в конструкцию балки шарниры над лишними опорами 1 и 2 (рис. 7.2-а).
3.	В основной системе строим грузовую эпюру изгибающих моментов /И® (рис. 7. 2-6).
4.	Определяем приведенные длины пррлетов: ln=ln-IaUn. Примем 1й=1, тогда: /J=6--^-=3m; /2=3--у-=3м; /з=6--у- = 6м
5.	Для опор балки с неизвестными моментами Мг и /И2 за-, писываем уравнения 3-х моментов, подставляя в его общёе выражение вместо индекса п, соответственно индексы 1 и 2:
— для 1-й опоры: Al0/i + 2Afx (/i +/2) +	=
= —б/А-	+ -Л
Ui 4	/
для 2-ой опоры: Afx/2+2Al2 (/2-|-/з)+Л1з/з =
= — б(Ь-В|+-^- -Д?)
В этих уравнениях изгибающие моменты Мо= М3 = 0, т. к. крайние пролеты балки являются шарнирно-опертыми.
6.	На основе приложения 3 определяем фиктивные опорные реакции в пролетах балки. При этом сдедует иметь ввиду, что лри их вычислении длины пролетов принимаются натуральными 1п , а при нескольких нагрузках в одном пролете фиктивные реакции следует определять как результат алгебраического суммирования значений от каждой нагрузки (на основании принципа суперпозиции нагрузок).
6В? =2-62- — — fl + —)+2>6а- — • —/'14-J.') = 48 тс-м», з з\ з/ 3	з\.з/
Ai = B^ = Q, т. к. пролет балки не загружен, 64*=^-^ = =54 тс-м2.
446
2к1 ЫТГКТ!
4— 4:6*	-f' /3'6* 4
а.	Основная система мето* да сил
б.	Грузовая эпюра изг-моментов Мр в основной системе
в.	Эпюра от опорный' мо* ментов Моп
г.	Окончательная эпюра изг. моментов:
МР= М°р+Моп
д.	Единичная эпюра М2
е.	Эпюра поперечных сил Qp
ж. Опорные реакции разрезной балки \
не-
Рис. 7.2. Этапность расчета неразрезной балки методоц 3-х моментов
7.	Подставляя полученные величины в уравнения 3-ех моментов и проводя простейшие преобразования, получим систему двух уравнений следующего вида:
2М1(3+3) + Л12-3= —48-—	(4Л41 + М2=—8;
2/	|М1+6Л12=—18
* 32Л42 (3 6)== 54—j- или:
Решая систему, получим: Л41=—1,304 тс*м, Л42=—2;783 тс-м. ' 8. Строим эпюру от опорных моментов Л40П (рис. 7. 2—в);, учитывая при этом, что отрицательные значения моменте» А/^и М2 указывают на растяжение верхних волокон балки.
9.	Окончательную эпюру изгибающих моментов Мр (рис. 7.2—г), строим путем геометрического сложения эпюры стопорных моментов ЛГоп с грузовой Af°, т. е: Мр=Мр.+ Моп. :
147
10.	Проведем деформативную (кинематическую) проверку правильности построения эпюры Л4Р. Для этого эпюру Мр «(либо отдельно эпюры AJ® и Л10П), перемножаем по способу Верещагина на любую из единичных эпюр, например — ца эпюру от единичного момента Л^=1 (рис. 7.2—д):
S ds = 2	ds = j-1 — 1,304 • 3 • 0,5—
----• (2,783 —1,304)-3	----5- -2,783 -6--?- + -^-4,5-6.- —1=0
2	3	2	3	3	2 J
Проверка выполняется с высокой точностью.
11.	На основе эпюры Мр традиционным образом строим эпюру поперечных сил Qp (рис. 7. 2—е).
12.	По эпюре Qp определяем опорные реакции балки (рис. 7. 2.—ж) и проводим статические проверки правильности построения эпюр Мр, Qp:
£^=1,783+1,478+4,204+2,536—2—2—1 -6= 10—10= 0, т. е. проверка выполняется с высокой точностью.
EA40i= 2-2+2-4—1,478- 6—4,204 (6+3)+1 • 6 (6+3+3) —
—2,536(6+3+ 6) =84—84,744=—0,744 тс-м.
Эта проверка выполняется с погрешностью:.
8 =	-100%=—0,88% <5%,
84
что вполне допустимо для инженерных расчетов.
Пример 2. Для однопролетной неразрезной балки (рис.' 7.3—а) требуется построить эпюры Мр и Qp от заданной внешней нагрузки.
Так как расчет этой балки аналогичен предыдущему примеру, то приведем его кратко с указанием лишь основных отличительных особенностей:
—так как левый край балки является жёстко защемленным, то нумерацию ее’ опор начинаем с единицы (рис. 7.3—а);
—	количество лишних связей: Л=^3-1—2=1;
—	переходим к основной системе, представляя жесткое защемление в виде трех опорных стержней с дополнительным фиктивным пролетом длиной /*->0 (рис. 7. 3—б);
—	в основной системе строим грузовую эпюру моментов JWp (рис. 7. 3—в);
—	приведенные длины пролетов 1п равны натуральным т. к. по длине всей балки /=const;
148
---f--- Зл/---1--- 3/W
а.	Заданная схема неразрезной однопролетной балки с консолью
б.	Основная система метода сил
в.	Грузовая эпюра изгибающих моментов Л4р в основной системе
г.	Эпюра от опорных моментов Л1оп (вместе с эпюрой изгибающих моментов на консоли, вызванной распределенной нагрузкой q)
д.	Окончательная эпюра изгибающих моментов: Мр=Л1°+Моп
е.	Единичная эпюра
ж.	Эпюра поперечных сил
Qp
з.	Опорные реакции неразрезной балки
Рис. 7.3. Этапность расчета однопролетной неразрезной балки с загруженной консолью методом 3-х моментов
— уравнение 3-х моментов для 1-й опоры имеет вид:
+ 2МХ(А + 12) + М212 =в* +
где 2Ио=О, т. к. в фиктивном пролете левый край балки шар»-нирно оперт;
Заказ 1452
149
М2=—4,5 тс-м, т. к. на консоли балки от распределенной нагрузки растягиваются верхние волокна.
— определяем фиктивные опорные реакции:
В*=0, т. к. фиктивный пролет неразрезной балки не загружен;
6Д* = 4 • 62 - — • — • 6 + —') =54 тс-м2 2	2	\	2 /
— уравнение 3-х моментов принимает вид:
2Л4Г6 — 4,5-6= — 54 или: 4Л41==— 9
откуда: Мг= — 2,25 тем, т. е. растягиваются верхние волокна балки;
— строим эпюру от опорных моментов Л40П (рис. 7.-3—г), и складывая её с грузовой Л4р (рис. 7.3—в), получаем . окончательную эпюру изгибающих моментов Л4Р (рис. 7. 3—д);
— проводим деформативную (кинематическую) проверку) эпюры Л1Р (при этом используем единичную эпюру — см. рис. 7-. 3—е):
‘Мр-ЛА ds= J_ . f_L .6-3 fo,5+ — • 0,51 +-L-6-3-—-0,5 —
El' El I 2	\	3	)	2	3
Проверка выполняется с высокой точностью.
—	традиционным образом строим эпюру Qp (рис. 7.3—ж);!
—	проводим статические проверки правильности построения эпюр Мр и Qp (pnc. 7.3—з);
- 1,625 — 4 + 5,375 — 1 -3 = 7 — 7= О
SAf, =2,25—4-34-5,375-6—1-3(6+1,5)=34,5—34,5=0
Статические проверки также выполняются с высокой точностью.
Примеры, рекомендуемые для разбора на практическом занятии:
Для приведенных ниже схем неразрезных балок (рис. 7. 4) требуется методом 3-х моментов построить эпюры Afp и Qp. от заданной внешней нагрузки, если а=3м
В конце практического занятия — самостоятельное решение задач по карточкам под контролем, преподавателя.
150
ГЛ-6 тем
S? 3 Яг
р-^гс	т^тс-м
/оч I- . 1. v * v i' i £
'X о “f
Q-Q. гс/м	О.-£.пум
о?' ПТЦ	J ПТЛ-
'--' "гг'^йг 2=....
*- q ci -*- й ’Г- a jf-ici -it—а ~ь— Q-4-
Р и с. 7.4. Расчетные схемы неразрезных балок для самостоятельного решения
Занятие № 8
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК МЕТОДОМ МОМЕНТНЫХ ФОКУСНЫХ ОТНОШЕНИЙ
Литература: [2] с. 484—498; [8] с. 188—194 или [9] с. 159—195;
13]	с. 262—268; [4] с. 245—247; (5] с. 315—321.
Контрольный опрос:
1.	Понятие о моментных фокусах и фокусных отношениях.
2.	Рекурентные формулы для определения левых и правых фокусных отношений kn и k'n.
3.	Частные случаи, определения фокусных отношений в крайних пролетах:
— шарнирно-опертый край;
— жестко-защемленный край.
4.	Определение опорных моментов в загруженном пролете.
5.	Последовательность расчета неразрезных балок методом моментных фокусных отношений (т. е. построения эпюр Afp и Qp).
6.	Целесообразность расчета неразрезных балок методами 3-х моментов и моментных фокусных отношений.
Примеры расчета:
Пример 1. Для нижеприведенной схемы неразрезной балки (рис. 8. 1—а) требуется построить эпюры Л1Р и Qp от заданной внешней нагрузки.
Нумерацию опор неразрезной балки начинаем с нуля. Дальнейший расчет выполняем в следующей последовательности:
1. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов Л4Р для загруженного пролета как для простой пролетной балки (рис. 8.1—б);
6*
151
а.	Заданная расчетная схема
б.	Грузовая эпюра изгибающих моментов Л4р
в.	Эпюра от опорных моментов: Л40П
г.	Окончательная Эпюра изгибающих моментов:
мр=м° +МОП
д.	Единичная эпюра М9
е.	Эпюра поперечных сил Qp
ж.	Опорные реакции неразрезной балки
4^4^424 -з*
Рис. 8.1. Этапность расчета неразрезной балки методом моментных фокусных отношений
2. Определяем приведенные длины пролетов Примем /0=/, тогда /1=6-—=3м; 4=4=3— = 3м;
2/	I
1'3=3> — = 1,5м.
' 27
3. По рекурентным формулам определяем левые и правые фо* кусные отношения:
— левые фокусные отношения — правые фокусные отношения
1п+1 \	1П . \
k± =—оо (для шарнирной опоры) ki= —оо (для шарнирной опоры)
/г2 =2+ — (2— — 1=4;	/4=2+—(2-----—1=6;
3 \	—оо/	1,5 \	—оо/
152
*8=2+ ~ (2-----J-) =5,5;	*2=2+у (2-у)=2,917;
*-=2+ т(2-й)=2да-	‘:-2+ т (2"^7)=3-657-
Заметим, что для расчета данной неразрезной балки на указанную нагрузку, вычислять левые фокусные отношения k2, k3 и k4 нет необходимости.
5. Определяем опорные моменты в загруженном 1-ом пролете, для чего в соответствующие формулы подставляем индекс п=1. При этом для раскрытия неопределенности в определении опорного момента Мь и числитель и знаменатель этого выражения делим на оо:
ж, 6Mt • ВЯ	48-3,657 — 48 п
*1 — 1)	6 ((—оо).3,657 — 1)
м = —	_ 48' (-°0)-48	_
1	1)	6 ((—оо).3,657-1) “
=------------= — 2,188 тем
6-3,657
Значение момента Мо=О вполне закономерно, т. к. левый край неразрезной балки Является шарнирно-опертым.
6.	Используя фокусные отношения определяем опорные моменты в остальных пролетах. А так как в нашем случае незагруженные пролеты расположены правее загруженного, то используем правые фокусные отношения kn:
ЛА	—2,188	л
=-------- =-----— =0,750 тем
k2 2,917
0,750 Л
Л13=------ =-------- —0,125 тем
kL 6
«з
М4=—	— -0’1.25- =0
k4	—ОО
(т. к. и правый край неразрезной балки является шарнирно-опертым)
7.	Строим эпюру от опорных моментов Л40П (рис. 8.1—в).
8.	Окончательную эпюру изг. моментов Л4Р (рис. 8. 1—г) строим путем геометрического сложения эпюры от опорных моментов Л10П с грузовой Л4Р, т. е.: Л1Р + Моп.
9.	Проводим деформативную (кинематическую) проверку правильности построения эпюры Л4Р (см. рис. 8. 1—д):
Г_1_ (0,125+0,750)-3- — -1-0,125-3- —• 11 —
J El 2EI [_ 2	3	2 J
_J------L.0,125-3-— -1 = 0.
El 2	3
153
Проверкавыполняется с высокой точностью.
10.	На основе эпюры Л4Р, традиционным образом строим эпюру поперечных сил Qp (рис. 8. 1—е).
11.	По эпюре Qp определяем опорные реакции балки (рис. 8. 1—ж) и проводим, статические проверки:
ЕУ4 = 1,636 — 2—2+3,343 — 1,271+0,334 — 0,042=5,313 — 5,313= 0
EAfoi= 2 • 2+2 • 4 — 3,343 • 6+1,271 • (6+ 3) — 0,334 • (6+3+3)+
+ 0,042 (6+3+3+3)= 24,069—24,066= О.ООЗжО.
Эти проверки также выполняются с высокой точностью.
Пример 2. Для балки рассмотренной выше (пример 1), но имеющей дополнительно с правого ее края загруженную консоль (рис. 8. 2—а), тре буется построить эпюры Л4Р и Qp.
а.	Заданная расчетная схема
б.	Эпюра изг. моментов от внешней нагрузки
в.	Эпюра поперечных сил от внешней нагрузки
2*32
-у- =—9 тем, где /к=3м — натуральная длина
Рис. 8.2. Расчет неразрезной балки с загруженной консолью методом моментных фокусных отношений
Загруженным пролетом в данном случае является кон соль, для которой эпюра М9 строится без дополнительных* расчетов:
М4=-^
4	2
КОНСОЛИ.
Знак «минус» указывает на то, что на консоли растягиваются верхние волокна балки.
Для остальных незагруженных пролетов, расположенных слева от консоли ранее нами уже вычислены левые фокусные отношения kn (см. пример 1, п. 3). Следовательно,, мы можем определить изгибающие моменты над опорами незагруженных пролетов
Af3=_^£==__^=s 3,094 тем; М, = ——Э-^-kt 2,909	’ .	’ k„ 5,5
==—0,562 тем;
—0,562 л t л 1 т
----*.==-----—=0,141 тем;
k*	4
154
Л40——И&в—51111 (т. к. левый край неразрезной балки яв-ki	-ОО
ляется шарнирно-опертым).
Откладывая значения опорных моментов с учетом знака, получаем эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки Afp (рис. 8. 2—б), по которой традиционным образом строим эпюру Qp (рис. 8. 2—в).
Примеры, рекомендуемые для разбора на практическом занятии:
Для приведенных ниже схем неразрезных балок (рис. 8.3) требуется методом моментных фокусных отношений построить эпюры М. и Q от заданной внешней нагрузки, если а=3 м.
Рис. 8.3. Расчетные схемы неразрезных балок для самостоятельного решения
В конце практического занятия — самостоятельное решение задач по карточкам под контролем преподавателя.
Занятие № 9
РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Литература: [6] с. 380—397.
Контрольный опрос:
1.	Понятие о балках, лежащих на упругом основании. Погонный коэффициент основания К, коэффициент постели р.
155
2.	Основные допущения расчета балок на упругом основании. Гипотеза Винклера.
3.	Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании.
4.	Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки на упругом основании.
5.	Полубесконечная балка на упругом основании. Постановка граничных условий для определения постоянных функции прогибов у.
6.	Последовательность расчета балок на упругом основании.
Примеры расчета:
Рассмотрим последовательно случаи, когда к полубесконечной балке, покоящейся на упругом основании, приложены сосредоточенная сила Р, сосредоточенный момент ш и равномерно-распределенная нагрузка q.
Пример 1. Для полубесконечной балки, загруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 9. 1). Требуется построить эпюры: 1) прогибов у, 2) угла поворота сечений ср, 3) изгибающего момента М, 4) поперечной силы Q по ее длине (т. е. по оси ОХ).
ty
Рис. 9.1. Расчетная схема и сечение полубесконечной балки
Основные параметры балки и упругого основания:
— жесткость балки по длине £/=4800 тс-м2, — ширина балки 6=0,15 м, — коэффициент постели 0=0,3 кгс/см2=3000 тс/м2. Выражения искомых параметров для полубесконечной балки, записанные через функции Крылова, имеют следующий вид:
У =0^ + С27]8 +	<?(£); ср = у- Гс2^ —	q' (В);
м = L* L	4/3/
Q=	ИО],
где 5=х/£ — некоторая переменная, линейно связанная с координатой X, коэффициентом постели 0;
156
4Е1/к — так называемая „характеристика балки", учитывающая отношение жесткости балки к жесткости основания;
к=р.&—погонный коэффициент основания;__________
— для рассматриваемой балки: L = ^4-4800/3000-0,15=2,556м Сх и Ci—постоянные, определяемые из граничных условий задачи;
д(5)—внешняя распределенная нагрузка, действующая на балку. В нашем случае такая нагрузка отсутствует: <7(&)=0 и следовательно, выражения для искомых параметров принимают вид:
У —СгЧа'Ь'Съ'Чзг ф — ~r~	£\т)); М —	— (CjTjj —Сг^г)-
.L	л-*
Q= - 2EI (C^+C^/L»
Граничные условия задачи (Г. У.) для определения постоянных С\ и С2 легко «формулировать в следующем виде:
—при Х=0 (соответс твенно-при S=0): Л4=0, Q=—Р.
Знак „минус" для поперечной силы устанавливается на основе рассмотрения равновесия бесконечно малого элемента, вырезанного в. месте действия сосредоточенной силы Р (рис. 9. 2):
Рис. 9.2.


Syi==P + Q=0
отсюда: Q = — Р.
Рассмотрим раздельно каждое из сформулированных выше граничных условий задачи (Г. У.). При этом будем использовать известные свойства функций Крылова (см. Ири-ложение.4):
при 5=0: т] = 7]!= т]2 = 1; т)3 = 0
157
1-ое Г. У. При Х=0 (с=0): ЛТ = —	(С^ — С2т)2) =
= 2^-С2=0
Так как 2£//L2#=0, то следовательно Са=0.
П-ое Г. У. При Х=0 ($=0): Q = — ^-(Cxtix+C2t))=— -^(Сх+С2) = -Р
А так как С2=0, то Сх=РLP/2E1=2-2,5563/2-4800= 0,003479
Подставляя в выражения искомых параметров функций численные значения всех параметров и постоянной С2, получим:
у =0,003479 т]2;	---— -0,003479^=—0,001361 ц;
2,556
Л1=	• °’003479 7j8=s-5’112 *
0,003479 •>]!=—2^х.
Дальнейший расчет ведем в табличной форме, то есть последовательно задаемся величиной параметра £ в интервале [0; 4,4] с шагом через 0,4 и, используя таблицу Приложения 4 на основе вышеприведенных выражений, определяем значения функций у, <р, М, Q в каждой точке. Для построения эпюр искомых функций для каждого значения параметра $ определяем соответствующую ему величину координаты x=L-t.
N точки	s	X, M	£•10», M	<p-10», рад.	M, тем	<2, тс
1	0	Г03 i	3,4790	—1,3610	0,0000	—2,0000
2	0,4	1,022	2,1479	—1,1955	—1,3343	—0,7128
3	0,8	2,045 '	1,0892	—0,8647	—1,6482	0,0186
4	1,2	3,067	0,3795	—0,5306	—1,4350	0,3432
5	1,6	4,090	—0,0205	—0,2666	—1,0316	0,4154
6	2,0	5,112	—0,1959	—0,0907	—0,6293	0,3588
7	2,4	6,134	—0,2327	—0,0076	—0,3134	0,2564
8	2,8	7,157	—0,1993	0,0502	—0,1043	0,1554
9	3,2	8,179	—0,1415	0,0586	—0,0123	0,0766
10	3,6	9,202	—0,0852	. 0,0498	0,0618	0,0248
11	4,0	10,224	—0,0417	0,0351	0,0710	—0,0038
12	4,4	11,246	—0,0132	0,0021	0,0598	—0,0158
158
(<ак видно из этой таблицы, дальнейший расчет при больший значениях переменной £ нецелесообразен, т. к. для всех искомых функций нами уже зафиксированы их экстремальные значения в двух первых полупериодах (см. рис. 9. 3), а сами значения при £=4,4 достигли Достаточно малых величин.
Из аналйза эпюр искомых функций (рис. 9. 3) можно отметить следующее:
—	так как y=dy/dx и Q=dMldx то в точках, где эпюры <р и Q меняют знак, на эпюрах У и М имеет место локальный максимум (минимум);
—	в точке действия внешнёй сосредоточенной силы Р=2тс на эпюре Q имеет место скачок, по величине равный внешней силе;
—	между эпюрами М и Q соблюдается общепринятое в строительной механике правило знаков для внутренних усилий. Это правило справедливо и для эпюр у и
Нумерация точек
1
а. Эпюра прогибов у
б.	Эпюра углов поворота сечений балки у
в.	Эпюра изгибающих моментов М
г.	Эпюра поперечных сил Q
Рйс. 9.3. Эпюры прогибов у (а), углов поворота сечений ср (б) и внутренних усилий М (в) и Q (г) в полубесконечной балке, загруженной на конце сосредоточенной силой Р
Пример 2, Рассмотрим полубесконечную балку, загруженную на конце сосредоточенным моментом т (рис. 9. 4), для которой также требуется построить эпюры у, <р, Af, Q-
159
T9
Рис. 9.4.
Основные параметры балки и упругого основания те же, что и в прймере 1.
Отличие этого расчета от предшествующего заключается лишь в составлении граничных условий для определения постоянных Сх и С2.
Граничные условия для этого случая можно сформулировать в следующем виде:
при Х=0 (соответственно при 5=0); М=т\ Q=0.
Сосредоточенный момент т считается положительным, т. к. он вызывает растяжение нижних волокон балки.
Рассмотрим эти граничные условия (Г. У.) раздельно: 1-ое Г. У. При Х=0 (g=0):
М = -	(С, - С2т)2)= Са = т
Отсюда: С2= — = 1--2,556* =0,0006805 2EI 2-4800
П-ое Г. У. При Х=0 (5=0):
Q =	(Сх11+СЛ)«----(Сх + С2) = 0
JL*
Так как 2Е7/£8=^=0, следовательно: Ci=—С2=—0,0006805.
Численные выражения для искомых функций принимают вид:
у =0,0006805(т]з—т}2)=—0,0006805 т)х (т. к. т)8—tj2 = —tjJ,
<р= —---0,0006805 (Tj-f-Tjj)=0,0005324 т)2 (т. к. т)4-т)1=2т(2),
2,556
-0,0006805(7)24-7)3)= 7)24-7)3= 7) (Т. К. 7]24-7)з=7]), 2уОоб
Q= JS -0,0006805(7)!-tj) =-0,7824 т)3 (т. к. т)х - 7)=2т]з). 2,556*
Дальнейший расчет как и в предыдущем примере ведем в табличной форме (из-за краткости таблицу не приводим). Эпюры искбмых функций приведены на рис. 9.5.
160
Нумерация точек
\П‘!тСМ
S* f 3_.i X £ S ,? У -?( ЛГ ч <г Л V ▼ ▼'▼“4. яг т "f* чтяН
а.	Эпюра прогибов у
б.	Эпюра углов поворота сечений балки у
в.	Эпюра изгибающих мо* ментов М
г.	Эпюра поперечных сил Q
Рис. 9:5» Эпюры прогибов У (а), углов поворота сечений <f (б) и внутренних усилий М (в) и Q (г) в полубесконечной балке, загруженной на конце сосредоточенным моментом т.
Пример 3. Рассмотрим полубесконечную балку, загруженную по всей длине равномерно-распределенной нагрузкой q (рис. 9. 6)
Требуется построить эпюры у, <р, М, Q. Основные параметры балки и упругого основания те же, что и в предыдущих случаях нагружения.
Рис. 9.6.
В^этом случае, выражения искомых функций, записанные через функции Крылова, будут включать величину q(£)— внешнюю распределенную нагрузку, действующую на полу -бесконечную балку (см. пояснения к примеру 1.)
161
А так как в нашем случае q(k) =q—const и соответственно q'(l) — q"(ty =q"'(t)=O, то выражения искомых функций принимают вид:
У = Срь + С2т]3 4-	<p = -L(C2-ra — С^);
4Е/	L
С=-^-(Сл+С2т1).
L2	La
Таким образом от записанных выше выражений отличие имеет лишь функция прогибов у, включающая слагаемое, представляющее собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Сформулируем граничные условия для рассматриваемого случая:
— при Х=0 (соответственно при 5=0): Л1—-0, Q=0.
Рассматривая эти граничные условия традиционным образом, легко убедиться, что в этом случае Сг== С2=0. Следовательно, функциональные зависимости для ср, М, Q являются нулевыми. Отличным от нуля является только выражение для функции прогибов (см. рис. 9. 7):
L*	2,556*
: ----q = -------
4£Z	4-4800
•0,6=0,00133 м
У
Рис. 9.7. Эпюра прогибов у полубесконечной балки, загруженной равномерно-распределенной нагрузкой q.
Следовательно: в этом случае полубесконечная балка на упругом основании не изгибается, а равномерно проседает под действием заданной равномерно-распределенной нагрузки.
162
Примеры, рекомендуемые для разбора на практических занятиях:
приведенных ниже сх&м полубесконечных балок на упругом основании (рис. 9.8) требуется построить эпюры у, <р, М, Q. Основные параметры балок и упругого основа-вания: £/=4500 TCM2=const; &=0,1 м {3=0,5 кгс/см2=5000тс/м2
Рис. 9. 8. Расчетные схемы полубесконечных балок на упругом основании для самостоятельного -решения
Занятие № 10
РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА НА ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ НАГРУЗКУ
Литература: [11] с. 38—43; [7] с. 117—128.
Контрольный опрос:
1.	Основные методы расчета упругих оболочек.
2.	Математический аппарат расчета упругих оболочек:
—	уравнения равновесия;
—	геометрические уравнения;
—	физические уравнения.
3.	Особенности напряженно-деформированного состояния в цилиндрических оболочках, загруженных осесимметричной нагрузкой (цилиндрическая система координат).
4.	Дифференциальное уравнение прогибов цилиндрической оболочки (резервуара), загруженной осесимметричной нагрузкой и его решение.
5.	Определение постоянных общего решения прогибов цилиндрической оболочки. Правила постановки граничных условий задачи.
163
6.	Связь внутренних силовых факторов в цилиндрической оболочке (резервуаре) с уравнением прогибов w.
7.	Последовательность расчета цилиндрического резервуаре на осесимметричную нагрузку по полумоментной теории.
Примеры расчета:
Рассмотрим резервуар {с различными случаями закрепления стенок и днища. Железобетонный резервуар (рис. 10.1) доверху наполнен водой (7 = 1 тс/м8). Г еоме-трические размеры: H—R = =3м; h = 0,1 м. Требуется построить эпюры внутренних усилий Мх и Ns для различных случаев закрепления стенки и днища.
Рис. 10.1
Для решения поставленной задачи воспользуемся основной системой, представляющей собой балку на упругом основании,, где упругим основанием является сама оболочка с коэффициентом жесткости основания р. Дифференциальное уравнение изгиба для такой системы имеет вид
D— +Eh— = — i(H—x) dx* я	н
Общее решение этого неоднородндго уравнения можно записать в виде:
W = №°+ IF4,
где IF0 — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения;
IF4 — частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения;
Известно, что решение соответствующего однородного1 дифференциального уравнения может быть представлено следующим образом:
IF°=e”(С\ cos Рх + С2 sin $х)+е?х (С8 cos px+C4sin fix)
где Ct — постоянные, определяемые из граничных условий закрепления стенок резервуара;
р=	(1— к)2 — постоянный коэффициент для дан-
ного резервуара; оценим его для рассматриваемого примера:
164
?=•• V<пгг ^3 = 2,4028, т. к. v«0.
F O*v9l
В качестве частного решения IF4 может быть принят прогиб, полученный в результате расчета резервуара по безмо-ментной теории:
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
W=ё~?х (Сх cos фх+Са sin рх)+е^ж (C3cospx+C4sin Рх)——(Н — х).
Eh
Но прогиб оболочки IF0 представляет собой две пары быстрозатухающих периодических функций (рис. 10.2)
функция ePx(C3cosPx+ +C4sin Рх)
функция e~?x (Cxcos рх-Ь +Са sin рх)
Рис. 10.2.
Анализ функции W° показывает, что одна часть решения, а именно e~^x(Ci cospx+C2sinpx) описывает картину деформированного и напряженного состояния у края Х=0 (дни1це резервуара), а другая часть функции, а именно e₽sc(C3cos₽x4-+C4sinpx) описывает картину напряженного и деформированного состояния у края Х=Н.
Используя это свойство решения и рассматривая напряженное состояние у одного какого-нибудь края, в общем решении неоднородного дифференциального уравнения нужно, брать лишь одну часть, соответствующую рассматриваемому краю.
Так как в нашем случае наиболее опасное напряженное состояние возникает у днища резервуара, то положив С3 = =С4=0, получим функцию в несколько упрощенном виде:
W = ё~?х (Сх cos рх + С2 sin ₽х) — — (Н — х).
Eh
165
Определим производные этой функции dW!dx\ d2W/dxz. которые понадобятся нам при рассмотрении граничных условий задачи:
— = —	(С3 (cos ₽х -|- sin рх) + С2 (sin fix — cos |3x)) +
dx	Eh
=2p2 e~°x (Cj sin Px — C2 cospx)
При X=0 (участок закрепления стенок резервуара), функция прогибов, а также значения ее производных приобретают вид:

dW dx


dxi |x~o
—2 ₽2C2
Перейдем к определению постоянных Сх и С2 из граничных условий закрепления стенок резервуара и днища, рассматривая каждый вид закрепления отдельно.
А. Жесткое закрепление стенок резервуара и днища (рис. 10.3)
Рис. 10.3.
Для этого случая граничные условия (Г. У.) можно сформулировать в следующем виде:
при Х=0
1ое Г. У. W=0;
ПоеГ. У. ¥=^=0; dx
Рассмотрим отдельно эти граничные условия. 1-ое Г. У. Используем выражение прогиба
^|ж-« = С1-^=0
Ln
откуда получаем CY =	.
166
П-о Г. У. Используем выражение угла поворота
dW/dx |х=о = —₽ (Сх — С2) + yR2/Eh = О
Подставляя в это выражение значение постоянной’ Сг и проведя простейшие математические преобразования, легко-получить:
С2 = ТЯ2(Я- l/ft/Eh
Следовательно, с учетом найденных значений постоянных Сг и С2, функция прогибов W для случая жесткого закрепления стенок резервуара и днища, представится в следующем виде:
W =	((Я— у) sin ₽х + Ясов ₽х) — Н + х)
Выражения для искомых внутренних силовых факторов Мх и Ns получаем, подставляя найденные значения постоянных Сг и С2 в соответствующие зависимости:
Мх = —D	= — -J- (h$R)2	(fl sin рх — (н - у) cos ₽х)
Ns = — Eh у = — tR (е-Р* ((Я — у) sin ₽х + Я cos ₽х) — Я+ х)..
При вычислении искомых параметров, определяемых данными выражениями вручную или на микрокалькуляторах, следует иметь ввидучто аргумент тригонометрических функций следует задавать в радианной мере.
Б. Шарнирное закрепление стенок резервуара с днищем (рис. 10.4)
Сформулируем граничные условия для этого случая:
1°е Г. У. №=0;_ п₽и Х~° и» г. у. л»,=
—»5=°-	rwhy
Рис. 10.4.
Рассматривать в этом случае I-ое Г. У. не имеет смысла так как оно аналогично рассмотренному нами в предшествующем, жестком случае закрепления стенок и днища резервуара. Следовательно,
С1= ^HIEh
167
П-ое Г. У.
Mx = — Dd2W/dx2= О
Очевидно,- что постоянная D =f= 0, следовательно, для выполнения этого граничного условия необходимо равенство нулю второй производной функции прогибов d?W/dx*. Используем выражение
d2tF/dx2|x=0 = — 2р2С2 =0
В этом случае также {5 =# 0, следовательно:
С2=0.
Таким образом, с учетом найденных Значений постоянных Сх и С2, функция прогибов W для случая шарнирного закрепления стенок резервуара и днища представится в следующем виде:
№= (Н (e-P-'cos рх — 1) + х).
Eh
Выражения для искомых внутренних силовых факторов Мх и Ns этого случая закрепления получаем таким же образом, как и в предшествующем случае:
Мх= —— (h р#)2 Нег$х sin рх
Ns = — f2?(//(e_₽xcospx — 1) -|- х)
Отметим, что рассмотренные случаи закрепления стенок и днища резервуара следует отнести к идеальным. При расчете реального закрепления возникает необходимость рассмотрения совместных деформаций стенок и днища резервуара путем расчета стыка сопряжения методом сил или методом перемещений. При выполнении настоящей работы проведение такого расчета не предусматривается.
По полученным зависимостям внутренних силовых факторов Мх и Ns для жесткого случая закрепления и для шарнирного случая закрепления, задаваясь гаммой значений текущего, параметра X, с постоянным шагом, величиной 0,2 м, рассчитываем их числовые значения, которые сводим в табл. 3.
Таблица 3
X, м	Жесткое закрепление стенки и днища		Шарнирное закрепление сменки и днища	
	*4 . ТСМ Мх’ М	ТС N*’ir	ЛХ . ТСМ Л1х,—	ТС — м
1	2	1	з 1	4 I	5
0	0,2448	|	о	|	о 1	0
168
1 I 2 I 3	|	4	|	5
0,2	0,2085	5,8896	—0,0743	5,3481
0,4	0,1351	8,4879	—0,0815	7,0458
0,6	0,0684	8,9148	—0,0609	7,1352
0,8	0,0234	8,2179	—0,0357	7,0533
1,0	—0,0054	7,1190	—0,0158	6,6021
1,2	—0,0095	6,0075	—0,0037	5,8863
1,4	—0,0102	5,0391	—0,0020	5,1036
1,6	—0,0048	4,2600	0,0036	4,3467
Для упрощения расчета резервуара можно использовать функции Крылова, приведенные в Приложении 4.
Эпюры внутренних усилий Мх и Ns приведены на рис. 10.5, 10.6.
Отметим, что даже весьма незначительные моменты в оболочках, вследствие их малой толщины h могут явиться причиной возникновения высоких напряжений. Безмоментное напряженное состояние технически является наиболее выгодным, и при проекти-рорании конструкций типа оболочек, по возможности к нему следует стремиться.
Рис. 10.5. Эпюры Мх и Ns ' для случая жесткого закрепления стенок и днища
Рис. 10.6. Эпюры Мх и для случая шарнирного закрепления стенок и днища
С этой точки зрения, как показывают рис. 10.5, 10.6 более выгодным является шарнирный способ закрепления стенок резервуара с днищем, так как и величина максимального момента Л1х и величина максимальной продольной силы Ns в этом случае несколько меньше.
169
Занятие № 11
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПЭВМ ТИПА IBM PC
Литература. [12] с., [13], [14], [15].
Контрольный опрос:
1.	Типы конечных элементов.
2.	Число степеней свободы конечного элемента.
3.	Матрица жесткости конечного элемента.
4.	Замена действующей нагрузки на элемент эквивалентной нагрузкой, приложенной в узлах.
5.	Уравнения равновесия.
6.	Исходная информация для расчета на ЭВМ.
Примеры расчета:
Рассмотрим пример, заимствованный в работе [14]. Расчетная схема изображена на рис. 11.1.
а) подготовка исходной информации для расчета на ЭВМ:
Для подготовки исходной информации первоначально нумеруются узлы. В качестве узлов принимаются точки соединения и изломов стержней и места скачкообразного изменения жесткости. Целесообразно также принимать в качестве узлов точки приложения сосредоточенных сил и моментов и границы участков приложения распределенных нагрузок, в противном случае эти силовые воздействия необходимо привести к узловым. Криволинейные участки конструкции следует рассматривать кусочно линейными. Длины участков определяются необходимой точностью расчетов.
На схеме следует показать общую систему прямоугольных координат с началом в любой точке. Кроме того, в каждом стержне должны быть заданы изгибная и продольная жесткости.
Общая информация о системе
КОЛИЧЕСТВО
_____Узлов_____| Стержней | Типов жесткости | Загружений.
6 I 5 I 2 I 1
Информация об узлах системы
Каждому узлу системы соответствует одна строка в таблице. Три целых числа в графе «Возможные перемещения» характерй-170
зуют возможные перемещения по направлению осей ОХ и ОУ в' глобальной системе координат и возможность поворота узла. Они принимают значение О (если перемещение невозможно) и I (если оно возможно). Для узлов, имеющих сквозные шарниры, утлы поворота в число неизвестных перемещений не включаются, и третье кодовое число для таких узлов следует принимать равным нулю.
Координаты X, У узла принимаются в заданной ранее глобальной системе координат.
Узловые нагрузки — это Рх и Ру сосредоточенные силы, направленные параллельно осям ОХ и ОУ, а также М— сосредоточенный момент в узле. Силы положительны, если их направления совпадают с направлениями соответствующих координатных осей. Положительный момент направлен по ходу часовой стрелки.
Номер узла	Возможные перемещения			Координаты узлбв		Узловые нагрузки в глобальной систем координат		
	по X	по у	поворот					
				* 1	У	по х |	по у |	момент
1	0	0	0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
2	0	0	0	4,0	0,0	0,0	0,0	0,0
3	0	0	0	8,0	0,0	0,0	0,0	0,0
4	1	1	1	0,0	4,0	1,0	0,0	0,0
5	1	1	1	4,0	7,0	0,0	0,0	0,0
6	1	1	1	8,0	4,0	0,0	0,0	0,0
Жесткостные характеристики стержней
Стержни, имеющие одинаковые поперечные сечения и модули упругости, рассматриваются как стержни одного типоразмера. Каждому типоразмеру соответствует одна строка таблицы, содержащая значения EI и ЕА.
Типоразмер	Изгибная (EI)	Продольная (ЕА)
Этот столбец не заполняется	1,0 2,0	10000 10000
Информация о стержнях системы
Каждому стержню системы соответствует одна строка записи информации, в которой содержится номер узла в начале элемента и номер узла в его конце. При этом следует иметь в виду, что номер начального узла всегда должен быть меньше, чем номер конечного узла. Номера узлов, к которым стержень примыкает с помощью шарнира, записывается со знаком минус.
171
Кроме того, здесь же содержится информация о типе жесткости стержня (номер строки таблицы жесткостных характеристик), об интенсивности равномерно распределенных по стержню нагрузок, действующих в направлении осей глобальной системы координат.
Номера			Номер типа жесткости	Жесткости			Распределенная нагрузка	
стерж.	начала	конца		EI	ЕА		
						по х |	| по у
Столбец	—1	4	1	Столбцы не		0,0	0,0
не запол-	2	5	1	заполняются		0,0	0,0
няется	—3	6	1			0,0	0,0
	4	5	2			0,0	—1,0
	5	6	2			0,0	—1,0
Печать результатов расчета тестовой задачи
СМЕЩЕНИЯ И УГЛЫ ПОВОРОТА УЗЛОВ
Номер узла		X	У	угол поворота
1		0,000е+00	0,000е+оо	0,000е+о<>
2		0,000е+00	0,000е+оо	0,000е+о(е
3		О,ОООе+оо	0,000е+оо	0,000е+оо
4		l,O12e+oi	—7,081е+04	1,381е+оо
5		1,012е+01	—2,639е-оз	—1,630е-02
6		1,012е+01	—9,337е-04	2.454е— 01
ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В СТЕРЖНЯХ
Номер начала	Номер конца	Изгибающий момент М		
		в начале	| в центре	|	|	в конце
1	2	3	1	4	1	5
1	4	О,ОООе+оо	4,309e-oi	8,619е- 01
2	5	— 1,244е+оо	2,328е—оз	1,249е4-оо
3	6	О,ОООе+оо	8,569e-oi	1,714е+оо
4	5	8,619е+оо	1,226е+оо	—2,411е+оо
5	6	1,162е+оо	5,820е-01	—1,714е+оо
УСИЛИЯ В СТЕРЖНЯХ
Номер начала	Номер конца	Поперечная сила		Нормальная сила	
		в начале	в конце	в начале	1 в конце
1	2 1	1	3	4	5	6
1	4	2,155е-01	2,155е—01	—1,77Ое+оо	—1,77Ое+оо
2	5	3,561e-oi	3,561е-01	—3,771е+оо	—3,771 е+оо
172
Рис. 11.1
173
1	I 2	2	1	3	4	5
3	6	4,28бе-01	4,28бе-01.	—2,459е+оо	—2,459е+оо
4	5	9,455е~01	— 2,255е+оо	—1,690е+оо	7,102е- О'
5	6	1,49Ое+оо	—1,710е+оо	5,817е-01	—1,818е+0О
Эпюры внутренних усилий М, N, Q представлены на рис. 11.2. Программа расчета стержневых систем на ЭВМ разработана на кафедре «Строительные конструкции» УНИ под руководством доц. Вагапова Р. Ф.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Эпюры внутренних усилий В простейших пролетных и консольных балках
№ ‘ п/п	Схема нагружений	Эпюра изгибающих моментов M		Эпюра поперечных сил Q		
1	A	.						
	* 	 L	—*					11 l^njJ Plj
2		,	од _				
	& Tf	Z 	if					
3	m	^ггГГТТ		pl		
	, r/ f“ LfL- ~jf~ vt> -Jc •A— t ---J.			Siiiihii^llllllb		
4	.	у			(Mii.ii	J 111 i a k 1	
	я я»— L -ч	Pl				
5	fl 7 t I					
6	4— > *	1 —if			о •	0		
и; v — коэффициенты, определяющие положение нагрузки в пролете: 0<о<1; «+»=!.
174
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Площади и координаты центра тяжести простейших геометрических фигур
При перемножении двух эпюр, имеющих вид трапеции по правилу Верещагина удобно использовать следующую фор-
мулу:
Эп. м
Эп. М
EI
= ~(2ac+2bd+ad+bc).
175
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица фиктивных реакций для расчета неразрезных балок
№ п/п
Схема нагружения
Левая опора А: 6А*
Правая опора В: 6 в*
Р/2 uv (1 + с/)
Pl uv (1 + и)
1
2
3
При и = v = 0,5
%—ULл -+•
Ли.
ти‘
ql3
4
ql3 4
—ml (1—З02)
т/(1—За2)

При н=0=О,5
—ml ml
4 Т
и, v—коэффициенты, определяющие .положение нагрузки в пролете: 0-^и
<1; (XXI; u+v=l
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Для упрощения математических вычислений при определении внутренних усилий в балках, лежащих на упругом основании и расчете цилиндрического резервуара на осесимметричную нагрузку целесообразно использовать функции^, предложенные академиком Крыловым.
Указанные функции имеют следующий вид:
(• cos 5 + sin £); t)2=	-cos £
т)1=е~5 • (cos$ — sin$); i)8 =	-sin£
где §«=a-X— некоторая переменная, линейно связанная с координатой X коэффициентом а.
176
Таблица значений функций Крылова
е		"li	Ъ	тл
0,0	1,0000	1,0000	1,0000	0,6000
0,2	0,9651	0,6389	0,8024	0,1635
0,4	0,8784	0,3564	0,6174	0,2610
0,6	0,7628	0,1431	0,4530	0,3099
0,8	0,6354	—0,0093	0,3131	0,3224
1,0	0,5083	—0,1108	0,1988	0,3096
1,2	0,3899	—0,1716	0,1091	0,2807
1,4	0,2942	—0,1918	0,0512	0,2430
1,6	0,1959	—0,2077	—0,0059	0,2018
1,8	0,1234	—0,1985	—0,0376	0,1609
2,0	0,0667	—0,1794	—0,0563	0,1231
2,2	0,0244	—0,1548	—0,0652	0,0896
2,4	—0,0056	—0,1282	—0,0669	0,0613
2,6	—0,0254	-0,1019	—0,0636	0,0383
2,8	—0,0369	—0,0777	—0,0573	0,0204
3,0	—0,0423	—0,0563	—0,0493	0,0070
3,2	—©,0431	—0,0383	—0,0407	0,0024
3,4	—0,0408	—0,0237	—0,0323	—0,0086
3,6	—0,0366	—0,0124	—0,0245	—0,0121
3,8	—0,0314	—0,0040	—0,0177	—0,0137
4,0	—0,0258	0,0019	—0,0120	—0,0139
4,2	—0,0204	0,0057	—0,0074	—0,0131
4,4	-0,0155	0,0079	—0,0038	—0,0117
4,6	—0,0111	0,0089	—0,0011	—0,0100
4,8	—0,0075	0,0089	0,0007	—0,0082:
5,0	—0,0046	0,0084	0,0019	—0,0065
177
СОДЕРЖАНИЕ
Введение	............	...................... 3
Список рекомендуемой литературы  .................................... 4
РАЗДЕЛ I
§ 1.	Кинематический анализ сооружений................................ 5
§ 2.	Общие принципы расчета статически определимых систем ...	12
§ 3.	Расчет трехшарнирных систем ....................................20
§ 4.	Основные принципы расчета статически определимых плоских ферм 26
§ 5.	Расчет подпорных стенок......................................  33
§ 6.	Основные теоремы о линейно деформируемых системах .	.	.	44
§ 7.	Расчет статически неопределимых систем методом сил ....	54
§ 8.	Расчет неразрезных балок......................................  63
§ 9.	Расчет балок на упругом основании...............................77
$ 10. Основные понятия о расчете оболочек............................83
-§11. Краткий анализ изложенного курса строительной механики .	.	102
РАЗДЕЛ II
Занятие	№ 1.	Кинематический анализ сооружений..................105
Занятие	№2.	Расчет	многопролетных статически определимых балок ПО
Занятие	№3.	Расчет	статически определимых рам ...............117
Занятие	№ 4.	Расчет	простых статически определимых	ферм	122
Занятие №5. Расчет статически неопределимых рам методом сил на внешнее силовое воздействие .	.	...	.	.	127
Занятие №6.'Расчет статически неопределимых рам методом сил 136 на внешнее температурное воздействие и осадку опор
Занятие №7. Расчет неразрезных балок методом трех моментов .	.	145
Занятие №8. Расчет неразрезных балок методом моментных фокусных отношений .....................................................151
Занятие №9. Расчет балок на упругом основании......................155
Занятие № 10. Расчет цилиндрического резервуара на осесимметричную
нагрузку .........................................163
Занятие № 11. Расчет стержневых систем методом конечных элемен-ментов на ПЭВМ типа IBM	PC .....................170
Приложение № 1. Эпюры внутренних усилий в простейших. пролетных и консольных балках.................................................174
Приложение 2. Площади и координаты центра тяжести простейших геометрических фигур...............................................175
Приложение № 3. Таблица фиктивных реакций для расчета неразрезных балок ..........................................................176
Приложение № 4. Таблица значений функций академика Крылова. .	.	177
КРОТКОВА ЛУИЗА ВЛАДИМИРОВНА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ по строительной механике
Редактор СИНИЛОВА'А. А.
Лицензия ЛР№ 020267 от 12.11.91.
Без объявл.
Сдано в набор 26.07.93. Подписано к печати 28.01.94. Формат бОХЭО’Ав. Бумага тип. №3. Объем 11,25п. л. Тираж 1000 экз. Цена свободная. Заказ №14521
Артикул С103
Уфимский полиграфкомбинат,. 450001, г. Уфа, проспект Октября, 2.