И.Т. БОРОДУЛЯ
Тригонометрические
уравнения
и неравенства
Книга для учителя
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989

ББК 74.262
Б83
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
В. В. Рыжков; методист Севастопольского РУНО
Москвы М. В. Троицкий; инспектор-методист MHO
РСФСР К. И. Шалимова
Бородуля И. Т.
Б83 Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для
учителя.— М.: Просвещение, 1989.— 239 с: ил.
ISBN 5-09-000613-Х
Книга представляет собой сборник задач, составленный на основе многолетнего опыта
работы автора в школе В начале каждой главы или параграфа дается небольшой
теоретический материал, рассматриваются различные способы решения основных видов задач. Далее
предлагается система упражнений, расположенных в порядке нарастания трудности Вторую
часть книги составляют ответы, указания или решения задач
Обширный набор упражнений и задач дает возможность учители составлять
Индивидуальные задания для учащихся с учетом их возможностей Предполагается, что упражнения могут
быть использованы для обобщения и повторения материвла иа завершающей стадии изучения
той или иной частн раздела, иа факультативных занятиях н при подготовке к экзаменам
в «зобоюооо^ 1м_м ББК ?4 262
103(03) — 89
ISBN 5-09-000613-Х © Издательство сПросвещенне», 1989

Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
К определению тригонометрического уравнения различные
авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовем
тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений,
содержащих неизвестное (переменную) только под знаком
тригонометрических функций. Уравнения cos3x = sinx; tg( ——Их) —
— tgf — л — 5х\ =0; sin3x-fsin 5jc=sin Ах и т.д. суть
тригонометрические уравнения. Уравнения sin *=-=-*; cos2jc=—«г*+ Т'
tg2x=x и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся
к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются
приближенно или графически. Может случиться так, что уравнение
не является тригонометрическим согласно определению, однако оно
может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х—6)cos2x=
= х—6. Мы видим, что х — 6 не содержится под знаком
тригонометрических функций, однако оно решается аналитически: (х — 6)Х
X(2cos2x— 1)=0, откуда х = б или cos2jc=_!_, х=± —+лл, где
/ieZ. Решить тригонометрическое уравнение — значит найти все
его корни — все значения неизвестного, удовлетворяющие
уравнению. При решении тригонометрических уравнений мы будем
пользоваться известными тригонометрическими формулами.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: sinx = u и
cosJt = o, где |а|<11; igx~a и ctgx = a, где аеД. Для решения
различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь
решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к
рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных
видов.
f 1. УРАВНЕНИЕ ВИДА sin x=a
Уравнение sinjc = a может иметь решение только при |а|<11.
Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной
формуле: х=(—1)" arcsin о-f-/гл (1), где /ieZ и —JL <I arcsin a<!
2
3

Примеры. Решите уравнения.
а) sin-H.jc=_L.
' 3 2
Решение. .!*=(— l)"arcsini.+nn, jLx=(— 1)"JI + пя, х=
=(—1)пЛ.+±пп, nc=Z. Ответ: je=(-l)"Jl + -|ля, nezZ.
б) sin2jL = ^.
' х 2
Решение. ^-=(—IfiL -f-пя, х= § . neZ. Ответ:
х 'а 4п+(-1)"
х = § , n<=Z.
4п+(-1Г
Если — 1<а<0, то формула (1) примет вид: х=
=(— l)n+l arcsin \a\ +nn. nezZ.
Полезно знать, что arcsin (—а)——arcsin а.
Примеры. Решите уравнения.
a) sin-^ = -^.
У* 2
Решение. -Зз-=(— 1)"+' arcsin &+пл, ^=(- l)n+1 * +пл,
у* 2 V« 3
-l=(_l)n+1±-f-n, Vx= ^ или ^= § -, х =
л£ 3 (_,)"+•._L+n 3n+(-ir+l
= ^ , neJV. Ответ: х= ^ , nezN.
(Зп+(-1Г+,Р (3n + (-l)"+')2
' х* 2
Решение. 3f-=(—l)"+1 arcsin±+пл, ^ = (-1)"+1 il+"л,
-3_=(-1)"+'.±+л, *2 = 2 . x2 = £—-, jc=
= ±3л/ ~rr. ne=#. Ответ: x=±3~\
V 6n+(-ir+ V
6п+(-1Г+' ' """ V бп+(-1Г+'
Частные случаи.
1. Если sinx=l, то x=JL +2/m, n^Z.
2. Если sinx= — 1, то x= — — +2nn, n<=Z.
3. Если sinjc=0, то x==nn, n&Z.
Решите уравнения.
1. sm4-x = ^. 2. sin^i = — 1. 3. sin^=l.
4 2 * 2 xs

4. sin^L= —1. 5. sinV— =0. 6. sin(3 — 2x) = — &
7. sin2je=JL. 8. sinx=Jl. 9. sin *=-у/ 1,01.
4 3 V
§ 2. УРАВНЕНИЕ ВИДА cosx=c
Уравнение cosjc=a может иметь решение только при |а|^1.
Известно, что решение данного уравнения находят по
обобщенной формуле: х= ±arccosa-(-2nn, где neZ и O^arccosa^n.
Полезно знать, что ajxcos( — а)=л — arccosa
Примеры. Решите уравнения.
а) cosiLjc = ^.
6 2
Решение. JLx~ ±arccos^-f 2пл, -!Ljc= -I- Л 4-2лл, х=
6 2 6 ~~ 6 ^
= ± * + —пл, neZ. Ответ: х=± Л +1?пл, neZ.
5 5 5 5
3/1
б) cos (2 — Зх)
l=3L-_ Зле — 2= -l-arcr.ns 3L.
Решение. cos(3x—2) = ^, Зх — 2= iarccos^ +2лл, Зх —
— 2=±Л+2лл, х=_2_±Л + — пл, neZ. Ответ: х=Л±
4 3 12 3 3
i
± Л + Лпл, reZ.
12 з
В) СОБЛ\/х =—"~ ■
Решение. nV*= ±arccosf — -*-) +2пл, л^* = ± — л + 2лл,
V*=±-5r+2'1- !) V*=-+2«, neJV», где Na = 0, 1, 2, .... х =
о 6
=(|+2п)2; 2) -fi=-^+2k, *е*- Х=(_Т+2*)2- 0твет:
*=(.-».+2л)". (-|_ + 2fe)2. „eft, ftetf.
г) cos(l— 2х)= — Д
Решение. cos(2x—1)=— ^-, 2х—l = ±arccos( —^-1 -|-2лл,
2х— 1 = ±(л— arccos^) +2пп, 2х= 1 ±(л— л) +2пл, 2х=1±
±Ал+2пл, x=_L± Ал4-пл, neZ. Ответ: х=1±1л + пл,
4 2 8^ 28

Частные случаи.
1. Если cosx = 0, то х=—+пп или лс=(2л+1)" neZ.
2. Если cosjc= —1, то х=л-|-2ил или х=(2л+1)л, neZ.
Решите уравнения.
1. cos2x= —_!_. 2. cosi.x=-L. 3. cos^l = ^.
2 3 2 х 2
4. cos 22-= — ^. 5. С052я=ц/2. 6. cos-v/iL=0.
*' 2 ^ 2 ■ V ,
7. cos(2 — 3x)=— &. 8. cosx=JL. 9. cos^SJL=0.
'2 4 3
10. cos3x=V^T-
f 3. УРАВНЕНИЕ ВИДА tgx=a, ГДЕ se«
Известно, что решение данного уравнения находят по
обобщенной формуле: x = arctga + nn, где neZ. Полезно помнить, что
arctg(—а)= — arctga.
Примеры.
Решите уравнения.
а) tg2x=V3~.
Решение. 2x=arctgV3 + mi, 2x= JL-f пл, 2х=(Зп+1) —, х =
О О
= (Зл+1)-£, neZ. Ответ: х=(Зл+1) —, neZ.
6 6
б) tgf = -l.
Зх
Решение. — =arctg(—1) + пл, — = — arctg 1 + пп, — =
Зх Зх Зх
^-=arctg(— 1) + пл, -|-=—arctgl+лл, -£■
Зх Зх Зх
Ответ: х = 5 , n^Z.
(4л — 1)3л
Решите уравнения.
1. tgJL = V3. 2. tg3x=-V3.
4. tg-з-= -:>(?. 5. tg-a- = i.
3. tg JL = ^.
x 3
e. tg Yf=
7. tg(l-jt)=-2. 8. tg(2-3x) = 0. 9. tgx=0, (6).
10. tg2x=ctgJL.
•J

i 4. УРАВНЕНИЕ ВИДА ctgx=a, аеЯ
Известно, что решение данного уравнения находят по формуле
x=arcctga-f-/m, (5), где п^.2 и 0<arcctga<n.
Полезно помнить, что arcctg(—а)=я—arcctga
Примеры.
Решите уравнения.
а) ctg|.x=5.
Решение. -5-x = arcctg5 + nn, х= Aarcctg5 + Апл, n^Z.
■ь 3 3
Ответ: -|-arcctg 5 + — лл, neZ.
б) ctg3x=-^.
Решение. 3x=arcctg(—3—\ -\-пп, Зх=л—arcctg^+пл,
Зх=я — JL+пл, Зх=Ая + пя, 3x=(3/i + 2)JL, x=(Sn+2)JL,
nenZ. Ответ: (3n + 2)JL, nezZ.
Решите уравнения.
I. ctg3x=V3. 2. ctgA = -V3. 3. ctg2u=j£.
л. Ах о
4- ctg-2---^. 5. ctg(x-n)=-l. в. ctg(|n-*)=-l.
7. ctg2x=— 0, (3). 8. ctg(3—4x)=0. 9. ctg* = tgJL.
10. ctgx = n.
{ 5. УРАВНЕНИЯ, СВОДИМЫЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ
Это уравнения, сводимые к одной и той же функции
относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только
под знак функции.
Тригонометрические уравнения asin2x-f-bsin jc-fc=0, acos3x +
+ 6cosx-fc=0; atg43x-ffctg23x-fc = 0, a ctg2 2x + fc ctg 2x-f c=0
уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них
соответственно sin*=i/, cosx=z, tg3x=f, ctg2x=w, получим
алгебраические уравнения: ay2+by+c=0, az3-\-bz-{-c=0, at* +
-\-bt2+c=Q и аи2 + Ьы + с=0. Решив каждое из них, найдем sin x,
cos ж, tg3x и ctg2x.
Уравнения asin2x+6cosx+c=0, acos2x+bs'mx+c=0,
atgje + 6ctgjc=0 не являются по виду алгебраическими, но их
можно свести к алгебраическим: a cos2* — fecosx—(a+c)=0,
asin2* —ftsinx—(a-f-c)=0 и atgx-f--r—=0.
7

Примеры.
Решите уравнения.
а) 2sin2x—7cosjc—5=0.
Решение 2(1— cos2x)—7cosx—5=0, 2cos2*-f-7cosjc+3=0,
cosx=y, 2у2 + 7у+3=0, yi = — 3, i/2= — i-. 1) cosx=— 3<-l,
x=0;2) cosx= — JL,x= ± —Ji+2kn, k&Z. Ответ: х=±Ая +
+ 2Ы fee=Z.
б) cos2*+3sinx=2.
Решение. I—2sin2x+3sinx=2, 2sin2jc—3sinx+1=0,
sinjc=y. 2y2-3y+\=0, yi = i-, «/2=1. 1) sinx=^_, x = (-l)"X
X —+пл, neZ; 2)sinx=l, х=Л + 2*л, 4eZ.
6 2
Ответ: x=(— 1)"-^ +nn, -J+2/гл, я, AeZ.
в) 2cos23jt+sin3x—1=0.
Ре ш е н и е. 2(1 —sin2 3x)+sin Зх — 1 =0, 2 sin2 Зх—sin Зх— 1 =0,
sin3*=y, 2y2 — y—1=0, i/i,2= —4—• 1) sin3x=l, 3x= у+2Ая,
3x=y(4*-fl), x=(4fe+l)y, fceZ; 2)sin3x=-y, x=
=(-l)r+1iL + niL, neZ. Ответ: jt=(4ft + l)-H, jc=(— l)n+IJL +
18 3 6 18
+ nJL, ft, ne=Z.
3
При решении уравнений этого параграфа необходимо знать
формулы:
I) sin2x+cos2*=l; 2) tga = -§^; 3) ctga = -2£S-;
cos a sin a
4) ctgo = -L; 5) |+tg2a=—V-;6) l+ctg2a=-l-;
tg a cos a sin a
7) 1+cos 2a = 2 cos2 a; 8) 1—cos 2a=2 sin2 a;
9) tg2a= 2t«a ; 10) sin2a= 2tgg ;
' e i-tg2^' ' l+tg2»
II) cos 2a = 1"~tg'g ; 12) sin 2a = 2sinacosa;
l+tg!a
13) cos2a=cos2a—sin2a, или cos2a=2cosi!a—1, или
cos 2a= 1 —2 sin2a; 14) Формулы приведения;
15) Формулы из § 1—4.
Решите уравнения.
1. 4sin2x+cosx—3_L=0. 2. 2cos2Jt+2^sinx—3=0.
3. 3sin22x + 7cos2*—3=0. 4. cos 2*—5sinjc—3=0.
5. 2cos2л:+5sinjc—4=0. 6. 2tg43x—3tg23x+ 1 =0.
7. 25 sin2*+100 cos*=89. 8. cos 2*+3 sin*=2.

9. cos42x + 6cos22x=lJL jq. 2 tgx—2ctgx = 3.
11. cos2x+sin2x-+sinx=0,25. ,2- cos2x+sin4x=l.
13. 5sin_L—cosJL + l = —2. 14. tg2x —2tgx=3.
6 3 Б Б
15. 2 sin2 jc — 7cosx — 5=0. 16. 2 cos2 3x + sin 3x +1 = 0.
17. l+2cos2x + 2V2sinx + 18. 1 —5sin x + 2cos2x = 0.
+ cos2x=0.
19. 2cos2x—4cosx=l. 20. 4—5cosx—2sin2x=0.
21. tgx+ctgx=2. 22. 8sinx+5=2cos2x.
23. cos2x=2sin x— _L. 24. 3cos22x + 7sin2x—3=0.
2
25. 3+2sin2x=tgx + ctgx. 26. sin 3x —3cos6x=2.
27. —& 25tgx=0. 28. cos2x+3sin2x=2.
cos*x
29. 2(sin2x—cos2x)= — 1. 30. tg2x §—+7=0.
cos*
31. cos2x=2sin2x. 32. sin2x — cos2x+2sinx+
+ 1=0.
33. 2cos2x—sinx—1=0, 34. cos2x=l — 3cosx,
8<x<40. l<x<50.
35. l- 1 !— = IE. 36. 6sin2x+5cosx—7=0.
1 +cos2 x sin2 x • I
37. 29 —36 sin2 (at —2)— 38. cos 2x+ 767 sin x + 383 = 0.
— 36 cos (x—2)=0.
39. sin4iL — cos4-L=J_. 40. (cos 2x — sin 2xf = sin Ax.
2 2 2 v '
41. JLcos2x+sinx=l. 42. sin2*—cos2x+2sinx=0.
43. l+sin2x = 24sin2x — 44. 3sin22x + sin2x=(sin x —
— 24 sin4 x. — cos x)2.
45. 3cosx+5sinJL + l=0. 46. 2sin2x+5sin(JLn—x) =
2 =2. V 2 /
47. tg2x—2sin2x=0 на 48. ctgxH Ш£—=2.
1+cos*
49.2 cos x—cos 2x—cos2 2x=0. 50. s in 5x = — cos2 5x.
51. 8sin22x-2cos2x=5. 3
52. cos-22L±i.Cos-2a±2^= — JLtg(2arctg 1,5).
3 6 48
53. ±arctgl-3cosx+cos2x= д»(я-«)
я ctg2*+tg(*+-£-)
54. sin x—cos x—2(1 + cos 2x)sin x=4 sin3(7n—x).

55.
. ctg( 3n+JC)_tg2JC=(cos2x-l)—L
^ £ ' cos
л
2 П-». i O-T. П-!^яЛО - «ЛО -^ l-nn8
-tg-4
2n.
56. tg2 jc—374 tg jc—374=2 sin 70° cos 20° —sin 50°.
57. 1 f--!--cos(jc-il)= '-С*Е* .
l+ctg* ^ V 47 2fl+ctg*)
58. ( cos — — sin JLJ • ( —- h tg jc) = sin Л -cos x.
\ 4 6/ \ cos* Б / 4
59. tgjc—sin25jc=cos25JC. 60. sin4*—cos4jc=cosjc.
О^лга^л;
61. eln(».+*)-eln(-.-x)-jf(tg^+ctg*).
62. l+cosjc=ctg2L. 63. 2(jc—6)cosjc=jc—6.
64. cos4jc+ 10tg* =3, — ±n^x<JL.
tg*x+\ 4 2
65. (tg2x— 1)-' = 1+cos2jc.
66. V* —cosjc=sinjc, л^*^3л.
67. 4 sin Л+ 6 sin2 iL = ( sin Л —cos iL) +3, — JL<jc<
2 2 V 4 4/ ^ 3
68. (sin 3jc+cos 3jc)2 = 1 + cos 2jc.
69. 2sin2x+2cos2jc—\^cosjt —2cosx+V2 = 0.
70. V* sin2 210° +ctg4 JL = 10.
71. tg4(2jc— JLn)-tg3-^- = 16sin2JL.
72. -\ sm2(x—ln) =JL. 73. 2cos2(x+270°)—7cos(jk +
V \ 2 / 2 +90°)=4.
74. ctg(Ал-jc)—ctg2;c+ '+cos2* =arccosl.
^2 / sin2 x
75. V8 cos jc — 1 = (V2 — *a^)Vcos jc.
76.(sin|-cos|)2==tg|-tg(| + |).
77. 2tgJLn—6sinjccosjr= 1—tg22^
ь 4 1+1^2*
78. sinjc+cosjc=tgiLnH—2tK* .
^ B 4 i+tg2*
79. 2cosjc+tgJLn = —!—.
4 cosx
80. cos2jc + sin2jc+sinx=4-(V2-l)(^+l + -b+4-+-)-
81. -J_-3tg*=4-+ 2 + * + ... .
cos ж 3 9 27
10

82.
83.
84.
85.
86.
1
sin2x
-ctg2*=l + ^(ctgx-l).
л/Т—cosx=sinx, 2я^х^2_л.
(1—sinx)ctgx=cos x. _i
4З+2 cos 2x 7.4I+COS2.* 42 =0.
л/sin jc=sin jc.
88. V1 —cos2x= —л/2 cosx, 0<x<JLn
87. tgxH ^^5i-=2.
l+sin x
89. л/1 —cosx=—sinx, O^x^n.
90. л/Г—cosx=—sin x, 0^х<2л.
91. л/1- cos 2x=л/2 cos*, 0<x<JLn.
92. л/1 — s'n *= — cos*t 0<;х<2л.
93. 4arctg(x2—3x—3)—л=0.
94. sin(arcsin{x2 — 6*+8,5))=sin 4.
95. (-\^>sin2x—cosx):sin4x=0.
96. V3 + 2tgjc-tg2x = -L
97. 3 + 2 sin x—3cos2x = 0.
98. 2sinx+3cos2x—3 = 0.
99. 2cos2x —3cosx+2 = 0.
100. sin3 x cos л — sin jc cos x=
4-fi
101,
л/3—cos(n —2x)—sin-2ai§£. =sin 7x.ctg4"•
4 "
102. l+cos(n + 2jc)—cos
cos2x+4sin3x=l.
1 —2sin53jc=cos6jc.
-&=&.= cos.» л-tg.bi.
103.
104.
106.
108.
110.
U2.
114.
115.
117.
119.
(1 —cos jc):sin JL =2.
4 ' 2
cos2x __q
1-tg*
105. 1 — 2л/2 cos3 3x+cos 6x=0-
107. sin* = 2-ctgx.
1+COSJC
109. SlcJi— =o.
cos 3x cos x
(л/3sin2x—cosx):sinx=0. HI. л/3—л/Зсо8Х+л/3 8тх=0.
л/1 — ^sinx + 2cosx=0. 113. sin2x=(cosx—sinx)2.
sin(2x+i-n) — 3cos(-Lji — x) =l+2sinx.
2sin2x+5cosx+l=0. 116. 2cos23x+sin3x+1=0.
cos4x+6=7cos2x. 118. 7sinx=3cos2x—3.
7sinx=3cos2x. 120. 5(1 +cosx)=3 + cos*x—
— sin*x.
11

121. tg4x + tg2x + ctg4jt — ctg2Jt=-!^.
122. tg4jt + tg2x + ctg4jc + ctg2x = 4.
123. ctg* — -^3tgx-\-l=-y[3.
124. 4 cos 4x + 6 sin2 2x + 5 cos 2x = 0.
125. 1— 5sinx + 2cos2x = 0, Ап<х<Ал.
2 2
§ 6. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения a sin x-\-b cos jc = 0; а sin2 jc-f-ft sinxcos x-|-ccos2je = 0;
osin jc+ft sin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x=0 и т.д. называют
однородными относительно sinjc и cosx. Сумма показателей
степеней при sinx и cosx у всех членов такого уравнения одинакова.
Эта сумма называется степенью однородного уравнения.
Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью
степень. Делением на cos*x, где k — степень однородного
уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно
функции tgx.
Рассмотрим уравнение as'm2x-\-b sinxcosx+ccos2x = 0 (1).
Разделим уравнение (1) на cos2x, получим: atg2x + ft tgx+c = 0 (2).
При афО (1) и (2) равносильны, так как cosx=^=0. Если же cosx=0,
то из уравнения (1) видно, что и sinx = 0, что невозможно, так как
теряет смысл тождество sin2x-|-cos2x= 1 (sin* и cosx при одном
и том же значении х в нуль не обращаются). Из уравнения (2)
определяем значения tgx, а затем находим соответствующие
значения х. Очевидно, что при ft2 — 4ac<0 значения tgx не существуют
на множестве R, а потому уравнение (2), а значит, и уравнение (1)
решений не имеют.
Уравнение asin2x-\-b sin xcosx-|-ccos2x=d (3) в таком виде
не является однородным, но его можно привести к однородному,
умножив его правую часть на sin2x+cos2x= 1: asin2x-f-
-\-b sin xcosx4-ccos2x=J(sin2x+cos2x); т.е. asm* x-\-b sin Jtcosx-j-
4-ccos2x = dsin2x+dcosx или (a — d)tg2x-\-b tgx-(-(c — d)=0 (4).
При афй уравнения (3) и (4) равносильны. Из уравнения (4)
находим tgx, а затем соответствующие значения х.
Примеры. Решите уравнения.
а) 2sinx—3cosx=0, cosx^O.
Решение. Разделим обе части уравнения на cos х: 2 tg x— 3=0
и tgx= A, x = arctg A. +kn, AeZ. Ответ: x = arctg_|. +kn, fteZ.
б) sin2x + cos2x=0, cos 2x^0.
Решение. Разделим обе части уравнения на cos2x: tg2x +
+ 1=0, tg2x= —1, 2х=-Л + /гл, 2x = (4*-l)" x = (4*-l)"
4 4 8
teZ. Ответ: x = (4k—l)JL, IteZ.
12

в) cos2x + sinjccosjc=0.
Решение. В условии не указано, что cosjc^O, а потому
делить уравнение на cos2jc нельзя. Но можно утверждать, что
sinjc^O, так как в противном случае cosjc=0, что невозможно
одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2*, получим:
ctg2x+ctgjc=0; ctgjc(ctgjc+l)=0. 1) ctgjc=0, x = JL+nn или
2) ctgjc= — 1, х=Лл+*я, k, neZ. Ответ: x=JL + nn, x=
4 2
= JLn+kn, n, ieZ.
4
r) 4sin2jc+2sinjccosjc=3.
Решение. Умножим правую часть уравнения на sin2jc+cos2jc.
Получим: 4sin2x-|-2sinjccosjc=3sin2jc-|-3cos2jc, sin2jc+
+ 2 sin jccosjc —3cos2jc=0. Очевидно, что cosjc^O. Разделим на
cos2*, получим: tg2jc+2tgjc—3=0, tgx=— 3 и tgjc=l, x=
= — arctg3 + /m и x=JL+nn, k, nmZ. Ответ: jc= — arctg3 +
4
+ kn, Л+ия, k, neZ.
4
Решите уравнения.
1. 3cos2x—5sin2jc—sin2jc=0.
2. 6sin2jc— A sin 2л:—5cos2x=2.
2
3. sinjc —cosjc=0. 4. sinx + cosjc=0.
5. 5sinjc+6cosjc=0. 6. 4sin2 jc+sin2x = 3.
7. sin2jc LSjnjtcosjt=_L.
л/3 2
8. 6sin2jc+JLsin2jc—cos2*=2.
2
9. sin2*—sin2jc=3cos2jc. 10. 2sin4jc—3sin22jc=l.
11. cos2jr+3sin2;«r+V3~sin2jc=l. 12. ctg2jc—tg2jc=—!—.
cos2x
13. sin4jc—3cos4jc=8sin22jt.
14. 3sin2jr—2sin2jc+5cos2jc=2.
15. 2sin2jc+cos2jc+3sinjccosjc=3.
16. cos2jc—3sin jccosx+2sin2jc=2.
17. 2sin2jc — cos( A + jc) sin(JLn + jc) — sin2(i-n + jc) =
= 4arccos 1."
18. sin2jc+sinjcsin( In-x\ — cos2jc=1.
19. 13sin2ж+84sin2jc— 13cos2x+l = ?sin l8°cos 18°
cos 54°
20. sin2*—79sin2jc-|-l53cos2JC+2sin5jccos3jc=2sin3*cos5jc.
21. sinjc+cosjc— l=ctg2L(cosjc— 1). 22. —'—=ctg*-|-3.
2 sin2 x
23. (l+tg2*Xl+sin2x)=l. 24. 2cos jc=V2+sin2x.
25. 3 cos2 x=4 sin jccosjc—sin2jc.
13

26. sin2(x+180°) + 3cos2(x + 270°)=l, SL<x< Ал.
27. V1 — cos2x=-v/2cosjc.
28. 2sin2x—4sinxcosx+l =0.
29. 4cos2x + _Lsin2x+3sin2x = 3.
2
30. cos2x — 3sin2x+3 = arccos( — А) — Ал.
31. sin2x = c'os*x—sin*x.
32. sin2*—cos2x = 2 — 2sin2x.
33. cos2 jt + -\/3sinxcos x= 1.
34. 1 +Asin2x+cos2x=0.
2
35. (V3 — 1)cos2 x+(l + V3)sin xcosx+ 1 =0.
36. 4sin2( Ал— x\ + 3sinxsin( Ал—x\ + 5 sin2 x — 15 X
Xarcsin _!_=0.
2
37. 4 sin 2x-\- 10cos2x-|-cos2x= Aarcsin 1.
. sin2(x —л)—cos3(n-|-Ax)+tg2x = -
2 cos 2*
38. ... ... ... ... .
1 + cos Ax
39. (3 — ctg2x)sin2x=2(l+cos2x).
40. llsin27x—Asin l4x-|-5cos27x = a—6. Указать, при каких
целых значениях а уравнение может иметь решения.
41. sin2x+cos2x=2cos2x-|-sin2x, — -£-<*<-£-.
2 ^ ^ 2
42. sin2x + cos2x=—1-—. 43. —! 6cos3x=4sin Зх.
sin 2х cos Зх
44. 4cosx+2sinx=—4. 45. 4 sin 2x—3cos2x=3.
46. 6sin2*—Asin2x—cos2x = 3.
2 ,
47. 2 sin2 x-|-14 cos2 x—7sinxcosx = 2.
48. 2 cos (x — 270°)—5 cos (x 4-180°)=0.
49. 4sin2x—4sin2x+10cos2x=3.
50. 5sin2x—2 sin x cos x-|-cos2 x = 4.
51. 3sin2x—2-\/3sinxcosx+5cos2x=2.
52. 3sin2x—2y3sinxcosx-f-cos2x=0.
53. 5 sin2 x +-3 cos2 x=4 sin 2x.
54. cos2x + cos2x=6(cos2x—sin2x).
55. sin23x=3cos23x.
56. sinx + cosx =—'—.
cos л:
57. sin(x—90°) + sin(x— 180°)=0,5.

f 7. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА МНОЖИТЕЛИ
При решении уравнений этого параграфа нужно пользоваться
всеми известными способами разложения на множители
алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя,
группировка, применение формул'сокращенного умножения и
деления и искусственные приемы. Необходимо также знать формулы,
данные в § 5, и формулы:
1) tg(ct±P)= ^а±*кР , 2) sin 3a = 3 sin а — 4 sin3 а,
3) cos За = 4 cos3 а — 3cosos.
Решите уравнения.
I. sin2*—sinx = 0. 2. ctg2* — 4ctg*=0. 3. tg2x—2 tgx=0.
4. tg3x=tgx. 5. cosxtg3jc=0. 6. -!£^-=0.
sin 3jc
7. sin2x=cos4-£. — sin4 JL. 8. (1+cos4x)sin2x=cos22x.
2 2 vi/
9. ctg( 3 „+*) _tg2x=(cos2x-l)—1-.
10. 2ctg2xcoszx + 4cos2x—ctg2x—2 = 0.
. 11. 2tg?x — 2tg2x+3tgx—3 = 0.
12. cos2x=-\/2(cosjc—sinx).
13. tg(f +*)-ctg2*+-^r(l+cos2*)=0.
14. 2sin3*—cos2л:—sinx=0 15. (cos6x—l)ctg3x=sin 3x.
16. cos2x=^-±^(cosx + sinx).
2 v ;
17. 3(1—sin/)+sin*/=1+cos*/.
18. tg23x—2sin23x=0. 19. 1 — sin 2x=cosx—sinx.
20. cos2x + sin 2x-\-cosx—sinx=l.
21. sin3* = asin *. 22. tgJL+cosx=l.
23. sin2x+cos2*=l. 24. sin2_L — cos Л = 1.
2 2
25. cos*i_+sin2JL = l. 26. 1—sin* x—JL cos* x=0.
5 5 3
27. cos2x=cosx—sin*. 28. 1+cosx + sinx=0.
29. cos2 JL + 2 sin3 ± = 1. 30. ctg2x—tg2x=8cos2x.
О О
31. 2cos2 :l+sinx=0. 32. cosx + sinx=cos2x.
33. ctg2x —tg2x=4^ctg2x. 34. ctg2x—tg2 x = 4cos2jc.
35. cos2A+sin4iL = l. 36. cos2 Л+2 sin3 Л = 1.
3 3 5 5
37. V3sinx — cosx— 1=0. 38. фsin JL + 1 =cosx.
39. sin4x—cos2x = 0. 40. -bfcl&i=(sinAT+cosx)2.
(5

41.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
sin x-\- V3cosx + V3 = 0. 42. 1 — cos 6x = tg 3x.
2sinJx + cos22x=sin x.
2 sin 2Jt(V3sin x+cos x)=3 sin2 x—cos2x.
sin 6x + cos 6x = 1 — 2 sin 3x.
4 sinx — 3cosx = 8sin2 JL.
2
tg^tg-J^^- + fcos-^=^)_ =2, — Л.<х<2л.
B 2 4 V 4/ 2
cosxtgf ii — x\ + sin x tg x = sin x + cos x.
2 —tg(-ln + 2x) + 2cos4x=0.
±arctg 1—tgx=1018cos2j:.
51. ctg2^-in—x)
- |-sin x= 1.
i+tfj-
52.
54.
56.
58.
60.
62.
64.
66.
sin*x —3sin3x + 3sinx—1=0. 53. ctg*+' =(sinx + cosx)2.
ctgx— 1
cos2x=cos3x—sin3x. 55. tg2x=(l + cos3x):(l +sin3x).
8cos*x— cos4x=l. 57. 2sinx—cosx=l—sin 2x.
cosx —cos2x= 1. 59. 1 + smx-|-cosx-|-tgx=0.
tgx—sinx = 2sin2A. 61. 1 — cos(n —2x)-fsin( JL -\-x\ =0.
sinx= — -\/2 sin x cos x. 63. 4(1 -fcosjt)=3sin2AcosA.
v vi/ 22
sin2x = cos4J5_—sin4ii. 65. sin 2x4-cos2x= 1.
2 2
sin4x= 1 — cos2x. 67. sin 4x=cos4x — sin4x.
68.
70.
72.
74.
76.
78.
79.
80.
81.
83.
85.
87.
88.
1 — cos 2х = т/3 sinx. 69. cosx—-v/2sin2L = l.
r- 2
2cos2x = -v/6(cosx—sinx). 71. 5 sin 2x—2sinx=0.
3cosx + 2sin2x=0.
2 cos JL — cos — = 1.
4 2
73. 2sinji+cosx=l.
2
75. 1 — 2sinA=cos-L.
6 3
sinA+cos_£. = 1. 77. 2cosiL — l=cosJL.
4 4 6 3
(1 + cos 4x) sin 2x=cos2 2x.
sinx + cosx=(cos2x):(l — sin2x).
sin3 x cosx—sinx cos3 x=- '
sin2x —ctgx=0.
2я—x
4-^
82. 1—cos6x = tg3x.
84. cos2x=-v/2(cosx — sinx)
tg-l=3ctg 4
sin 2x + cos4x= 1. 86. sin2x+3sinx=0.
sin 2х+л/3 — 2 cosx — ~\f3s'm x=0.
sin3 x( 1 — ctg x) + cos3 x( 1 — tg x) = 1,5 cos 2x.
16

89. 2sin52f — sin3 2/ — 6sin22* + 3 = 0.
90. sinxtgx+l=sinx+tgx. 91. sin2x-|- JLsin2x=l.
92. sinx+cosx—sin2x=l. 93. sinx+sin3x+4sin3x=0.
94. sinx-|-sin2x=cosx+2cos2x. 95. 1 + sin 2x=sinx+cosx.
96. tg2x=-b^°siL. 97. ctg2j«r=-L±aiLL.
1—sin x 1+cosjc
98. sin3x—cos3x=sinx—cosx. 99. 1~tR^- = 2cos2x.
, 1+tg2*
100. cos3x=cos x.
101. 4sin2x(l-f-cos2x)= 1—cos2x. Найти решения уравнения,
удовлетворяющие неравенству х2<4.
2tg4
102. tg(iL-x) ^_=2sin22L
'+VJ
103. 3(cos3x+cos3(-Hn4-x)) =2(sinx+sin(!Zn+x)).
104. 2(l-sin(|n-Jc))=V3tg^.
105. ctg*x=sin3x+l. Найти хотя бы один корень уравнения.
106. 1— cos(ji-I-jc)—sin-3ai£=o.
2
cos2x
107. _L__tg2* + ctg(jL+*)
cos x \ г / cos' x
108. 2(x—5)sinx=x—5.
Ю9. —sin2x =0.
cos x cos 3x
110. sin(An+2x) =1— 3sinx.
111. sin3x(l+ctgx)+cos3x(l+tgx)=cos2x.
112. sinil — cosA=cosx.
2 2
113. tg3x=sin6x.
114. cos(x+90o)+ctg(360° —jc)=0.
115. cos2x=-^-i^(cosx—sinx). 116. ctgasinx= 1 —cosx.
117. tgacosx= 1 — sinx. 118. sin3xcosx —cos3xsinx= _L.
119. sin* =sinA. 120. tg2x—2sin2x=0, — Ал<х<2л.
1+cosx 2 & 4
121. cos(|-n+2x)=2V3sin.£.sin(jL + il).
122. V3-tgx=tg(i.n-x).
123. sinx+cosx— l = fctg-Lj(cosx— 1).

f 8. УРАВНЕНИЯ. РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА
ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Многие тригонометрические уравнения могут быть приведены
к равенству одноименных тригонометрических функций. Такие
уравнения решаются на основании условий равенства
одноименных тригонометрических функций, т. е. тех условий, которым
должны удовлетворять два угла: аир, если a) sinct = sinp, б) cosa =
= cosP, в) tgct = tgp.
Выведем эти условия.
Теорема I. Для того чтобы синусы двух углов были равны,
необходимо и достаточно выполнение одного из следующих
условий: разность этих углов должна равняться л, умноженному на
четное число, или сумма этих углов должна равняться л,
умноженному на нечетное число.
Доказательство необходимости.
Дано: sin a = sin p.
Доказать: а — р=2лл или а+р=(2и+1)л, »eZ.
Из условия следует: sin a—sin 0=0, 2sin°~ cos ^ =0,—
это выполнимо, если 1) sin g~P =0. a~P =гал, ct — B=2rm, beZ,
или 2) cos-£±£=0( -S±£. ==-5.(211+1), а + р=л(2п+1).
Доказательство достаточности.
Дано: а — р=2пл или а + 0 = л(2и+1), weZ.
Доказать: sin a = sin p.
Из условия следует: 1) a = 2/m+p, тогда sin a = sin(2rm+p),
т.е. sina = sinp, или 2) 0=л(2л+1)— а, тогда sin p = sin (л(2я +
+ 1)—a), sin p = sin(2wn + (n — a)), sin p = sin (л —a), т.е. sin p=
= sin a.
Примеры.
а) sin3,8ji=sin 1,2л, так как 3,8л+ 1,2л = 5л.
б) sin 5,3л =—sin 2,7л, sin 5,3л=sin ( — 2,7л), так как 5,3л —
— ( — 2,7л)=8л.
в) sin 880° = sin 380°, так как 880°+ 380°= 1260° = 7-180°.
г) sin 3,2л ф sin 0,8л, так как не выполнено ни одно из условий
равенства синусов.
Теорема II. Для того чтобы косинусы двух углов были равны,
необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:
разность этих углов должна равняться произведению л на четное
число.
Сумма этих углов должна равняться произведению числа л
на четное число.
Доказательство необходимости.
Дано: cos a = cos р.
Доказать: а — р = 2лл или <х + р = 2пл, n^Z.
Из условия следует: cos a — cos 0 = 0, —2sin g~~P sin g + P =
18

= 0,— это выполнимо, если 1) sin——&■ =0, ——В-=ил, а —В =
' 2 2 м
= 2пл, или 2) sin-iiS-=0, -0±£_=nil> а +р = 2лп.
Доказательство достаточности.
Дано: а —р=2/гл или а + р = 2/гл, AeZ,
Доказать: cos a = cos p.
Из условия следует: а = 2Ал + Р, cosa = cos(2£n + p)=cos p,
или а = 2/гл —р, cos a = cos (2/гл — P)=cos( — P)=cos p.
Примеры.
а) cos4,7л = cos3,3л, так как 4,7л + 3,3л = 8л.
б) cos 15л = cos 11л, так как 15л—11л = 4л.
в) cos 17,3л=cos 11,3л, так как 17,3я—11,3л = 6л.
г) cos 5,3л фcos 3,7л, так как 5.3л — 3,7л = 1,6л ф2/гл и 5,3л+
+ 3,7л = 9лф2/гл, т.е. не выполняется ни одно из условий
равенства косинусов.
Теорема III. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны,
необходимо и достаточно одновременное выполнение двух условий:
тангенс каждого из данных углов существует и разность этих
углов равна числу л, умноженному на целое число.
Доказательство необходимости.
Дано: tga = tgp, <х^(2/г+1)-11 и p^(2*+l)JI, fceZ.
Доказать: а — р = /гл.
Из условия следует: tea — tgP = 0; S1"fg—P) =ot Ho из усло-
cos a cos p
вия следует, что cosa=jt0 и cosp=^=0, а потому sin (а — Р) = 0;
откуда a — Р = /гл, fee?.
Доказательство достаточности.
Дано: а—р=/гл, аФ(2к+ 1)Л. и Р=?Ц2/г + 1)—. *eZ.
Доказать: tga = tgp.
Из условия следует: a = p + fcn, тогда tga = tg(P + fen). Период
тангенса равен л, а потому tga = tgp.
Примеры.
а) tg9,7n = tg 1,7л, так как тангенс каждого угла существует и
9,7л—1,7л=8л.
б) tg8,7n=— tg 1,3л, tg 8,7л=tg(—1,3л), так как тангенс
каждого угла существует и 8,7л—(—1,3л)=10л.
в) Нельзя утверждать, что tgAn = tg Ал, так как не
выполнено первое условие (тангенсы этих углов не существуют), хотя
выполнено второе условие: Ал—Ал = л.
г) tg4,3n=^=tg( — 2,5л), так как не выполнены оба условия:
4,3л — (2,5л)=6,8лФкп, где fteZ, и tg2,5n не существует.
Используем доказанные теоремы при решении
тригонометрических уравнений, которые либо представляют собой равенство
тригонометрических функций, либо могут быть к такому равенству
приведены.
19

Решите уравнения
a) sin 3x = sin 5х.
Решение. На основании условий равенства двух синусов
имеем: 1) 5х —Зх=2Агл, 2x = 2fcn, x = kn, fceZ, или 2) Зх+5х =
={2k + \)n, x={2k+\)IL, *eZ. Ответ: x = kn, x = {2k+l)JL,
k(=Z.
6) sin 5x— —sin x.
Решение. Заменим уравнение равносильным: sin5x=sin(— х).
На основании условий равенства двух синусов имеем: 1) 5х—
— ( — x)=2kn, 6x=2kn, x = kJL, kt=Z, или 2) 5x+( — x) = (2k+ \)n,
x = (2k+l)^, k(=Z. Ответ: kJL, (2fe + l)JL, JeZ.
b) sin(8x—JLJ =cosjc.
Решение. Заменим уравнение равносильным: sin(8x——) =
= sinfiL— x\. 1) 8л:— JL — JL+x = 2kn, 9x=JLn + 2kn, x =
\ 2 ) ' 6 2 3 ^
= in(3HI), *eZ, или 2) 8a:- Л + J±.-x=(2k+ 1)я, х=
= Ал(ЗЛ+1), *eZ. Ответ: (3ft+l)ln, (3A:+l)2.n, *eZ.
r) cos 3x = cos 5x.
Решение. Воспользуемся равенством косинусов двух углов:
1) 5х — 3x = 2kn, 2х = 2А:л, x^kn, k<=Z, или 2) 5x + 3x = 2kn, 8x=
= 2kn, x=kJL, k^Z.
4
Решение данного уравнения может быть записано в виде:
x = kJL, так как каждый из корней совокупности x=kn входит
4
в совокупность x=k— при k, кратном 4. Ответ: kJL, k^Z.
д) cos3x=sin x.
Решение. cos3x=cos( JL— xj . Воспользуемся равенством
косинусов двух углов: 1) Зх— (J1— х\ =2пп, 4х=(4п+1)"
x=(4n+l)^, n^Z, или 2) Зх+JL— х=2пп, 2x={4n—l)JL, x=
О & *
=(4п—1)^1, neZ. Ответ: х=(4п+ l)JL, x=[An—\)JL, nt=Z.
е) tg3xtg(5x+-?l)=l.
Решение. Делим обе части уравнения на tg Зх. Это допустимо,
так как в данных условиях tg Зх не может равняться нулю:
20

tg^ + fbliW- tg(5x+Jl)=ctg3x, или tg(5x+f) =
==tg( — —3x1. На основании условия равенства тангенсов двух
углов имеем: 5х+-5- — JL + 3x=wi; 8х = Л + лл, х=(6л+1)*
о £ О то
neZ. При каждом значении х из этой совокупности каждая из
частей уравнения tg(5x+J!LJ = tg(_^. — 3xJ существует. Ответ:
(6n+l)i. neZ.
Решите уравнения.
1. sin2x=sin5x. 2. sin3x=cosx. 3. cos4x=cos6x.
4. cos3x=sinx. 5. tg2x=tgx. 6. tg(5x+-jl) ctg3x= 1.
7. sin/2—sin/=0.
8. tg(x+l)ctg(2x+3)=l. 9. tg(**-l)ctg2=l.
10. sin5x=cos7x—cos—л.
2
12. Vcos (x+ l)=Vcos *. 0<х<2л.
13. Vcosx=Vsin(x+2), 0<х<2л.
14. ysin0 —*)=Vcos *• 0^х^2л.
15. sin7x=cos3x.
16. (1— sin3x)cos 16л = ( sinJL — cosiLj .
17. 1 + sin 2x=(cos 3x + sin Sxf.
18. ctg± = ctgJLx. 19. sin3x=cos2x.
2 4
20. tg(|--llx) -tg(|.n-5x) =0.
21. sin2x+cos2x=^/2sin3x. 22. tg(x+n)=tg( JL—x)
23. sin(n-\/8cosx)=cos(nV8sinx). 24. sinx2=sin8x.
25. cos(lgx)=sin(lgV*)-
26. tg(_J+JjL)_tg_£=o.
27. tg (я ctg x)=ctg (л tg x).
28. 2sin2x(V3sinx+cosx)=3sin2x—cos'x.
29. V!+Vsin2x+Vl - Vsin2x=д/1+л/соГх+VT^/cosx.
30. Vl +Vcos2x +V' — Vcos2x=Vl +Vcosx+ -yjl—^fcosx.
31. sin (л tg x)=cos (л tg x).
32. -\/2cos 13x=cos5x+sin5x.
21

f 9. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций
в произведение:
si л а + sin В=2 sin-S^^6-cos-£=£-;
г 2 2
sin а — sin В=2 sin -&=2- cos -^±£-;
к 2 2
cos а + cos В=2 cos -£±J- COs -£=£-;
1 K 2 2
cos a—cosB=2sin-9L±^-sin-fi=S- при 6>a;
cosa—cosB=—2sin-gL^-sin g~P при В<а;
tga±tgB=-^fe*&-;
cos a cos p
ctga + ctgB=4lia4^-;
sin a sin P
ctga —ctgB = «'n(p-a) .
sin a sin P
В некоторых примерах придется применять формулы:
sin (a ± В)=sin acosB±cosasinB;
cos(a±B)=cosacosB=Fsinasin В.
Решите уравнения.
I. sinx+sin3x = 4cos3x. 2. tgx + tg2x—tg3x = 0.
3. sin(15°+x)+sin(45° —x)=\.
4. sin2x+sin(n—8x)=V2cos3x.
5. 0,5(cos5x+cos7x)—cos23x + sin23x=0.
6. 2(cos 4x—sin x cos 3x)=sin Ax+sin 2x.
7. cos9x—cos7x + cos3x — cosx=0.
8. sin x + sin 7x — cos 5x -f- cos (Зх — 2л)=О.
9. sin3x—cos3x=-\/A.
10. -\/3sin2x+cos5x—cos9x=0.
II. sin3x=2cos(iL — x).
12. l+cosf + cos2< + cos3< = 0. 13. sin9x = 2sin3x.
14. sin2x + cos2x=Y2sin3x.
15. sin2x—sin3x+sin8x=cos(.|.n+7xJ.
16. cos7x+sin8x=cos3x—sin2x.
17. cos5x-j-cos7x=cos(n + 6x).
18. sin3x+sin5x=sin4x.
19. sinx + sin2x + sin3x=cosx + cos2x + cos3x.
20. sin(150 + x)+cos(45° + x)+^- = 0.
21. sin(i5-+3x) —sin(n—5x)=-y/3(cos5x—sin3jc)-
22

22. sinx— sin Зле — sin 5x + sin 7x = 0.
23. sin3x — sin7x=-\/3sin2x.
24. sin3x + sinx=4sin3x. 25. sin 6x + sin2x = -Ltg2x.
26. sinx + sin3x=sin2x. 27. cosx-|-cos2x-bcos3x + cos 4x=0.
28. cos9x + cos6x+cos3x=0. 29. sin3x —sin 7x=-\/3sin2x.
30. cos 7x+sin2 2x=cos2 2x—cosx. 31. —! 1 !_ =2л/2.
sin x cos x
32. sin3x + sin2x + sinx = 0. 33. sinx + sin 3x + 2cosx=0.
34. cos2x —cos8x+cos6x=l. 35. sin3x+sin5x = sin4x.
36. sinx + sin3x = 0.
37. 6tgx + 5ctgx==tg2x, — * <x<-jl.
38. cos5x —sinf 3x—iM =V2cos(4x + 3n).
39. sin6x —cos(4x+-ia) =V2sin(5x~JLV
40. cos 7x+cos x = cos2 2x — sin2 2(n — x).
41. -tg(n-x)+ctg2(|.n-x)=tg3x.
42. cos 10x + cos8x + 3cos4x + 3cos2x=0.
43. cos7x-f-cos22x = sin22x — cosx. Найти все решения,
удовлетворяющие неравенству х2<16.
44. sin 3x=cosx—sinx. 45. cos7x^-cosx = 4cos4x.
46. tg^.x + ctg('^.-Ex)=0. 47. ctgl5x+ctg3x = 0.
5 4 2 5/
4R sin x + sin 2x __ i
sin 3*
49. tg( Лл — x) +tg(jL — x) =2sin2x.
50. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x+cos 5x = 0.
51. sin(x-|-7)+sin(3x—l)==cos(x—4).
52 cos 2x+cos6x n 53 sin x—sin 3x _ q
3 cos 2x 2 sin3 x
54. cosx — cos3x=sin2x.
X X
55. sinfjl+x) — sinfil — x) =
tgT-ctgT
2л/2
56. sin x+sin 2x — sin (Зх + л)=cos 2x+cos x — cos (Зх + л).
57. sin(5x+n)+cos( Ал + Зх} =cos4x.
58. 1 + sinx + cosx + sin 2x + cos 2x = 0.
59. cosx—cos2x —sin-1=0.
2
60. cos 3x — 2 cos 2x + cos x = 0.
61. tg(120o + 3x)+tg(40° + x)=2sin(80° + 2x).
62. cos x + cos 2x = sin 3x.
23

63.
cosx + cosf x+arctg( tg—nj\ +cos(x+-?_n) =0.
64. s'n*+sin3*+sin5x | 2tgx=0.
cos x+cos Зх+cos 5x
65. sin x+sin 2x+sin Зх+sin 4x+sin 5x=0.
66. 1 +cosx+cos2x+cos3x-|-cos4x=sinx+sin2x + sin3x+
+ sin4x+sin5x.
67. cos2x+2sin2x= 2^+l . 68. 2tg3x—3ctg3x = tgx.
69. tgx —tg3x+tg5x=0. 70. ctg(x+Jl) +ctg(x— JLJ =^3.
71. 2ctg2x—3ctg3x==tgx. 72. sin7x=sinx + sin3x.
73. cosx+cos3x = sin4x. 74. tg(2x + J^ + ctg(5x — il) =0.
75. tg8x+tg2x=0.
76. sin (5x+n) + cos ( — я + 3xj = cos 4x.
77. sin5x+4sin 3x+sinx=0.
78. sinx—sin 2x+sin3x=0.
79. cosx—cos2x-f-cos3x=0.
80. cosx—sinx=^. 81. sinx+cosx=l.
2
82. cosx-fsinx = ^-. 83. cosx+cos2x + cos3x=0.
84. cosx —sinx = 1.
85. cos3x+sinf x+-Lnj =-\/3cos( x—JLj .
86. (sinx + sin3x):cosx=0.
87. tgl—tgx=tg(l-x). 88. tg7x+tg3x=0.
89. tg(|.n-x) + tg(jl-x) =2sin2x.
90. sin(3x+5)— sin(x+ l)=2sin(x+2).
91. cosx+cos2x=sinx+sin2x.
92. sinfx— JU — sin(x-f .1л) =cos(x+J^.
93. sin(x+-) +sin(x+Jl) =sin(x+JLV
94. cos (x — л) — cosfx — JU = sin(x — JlV
95. sin(x— —n\ -j-cos(x+Jl) — cosfx—JlV
96. ctg(x+|) + Ctg(x-Jl) =V3.
97. sinx + cos4x=cos2x—sin5x.
98. sin3x=3sinx.
99. cos ( — + 5x) + sin x=2 cos 3x.
100. -\/3sin2x+cos5x—cos9x=0.
101. sin 7x+cos2 2x=sin2 2x+sinx, — Jl<x<JL.
4 4
24

§ 10. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СЛОЖЕНИЯ УГЛОВ И РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ
Формулы сложения углов и разложения произведения
тригонометрических функций в сумму:
sin(a±0)=sinacos0±cosasinP;
cos (a± P)=cos a cos p^Fsin a sin P;
tg(a±P)~ .itgatgV
sin a cos p = -i(sin (a + P)+sin (a — p));
cos a cos p = .1 (cos (a + P)+cos (a — p));
sin a sin p = i- (cos (a — P)—cos (a -+- P)).
Примеры.
Решите уравнения.
а) sin(2a+3x)—sin 2a cos 3x=cos 2a, a — некоторое число.
Решение. sin 2a cos Зх+cos 2a sin 3x—sin 2a cos 3x=cos 2a,
cos 2a sin 3x—cos 2a = 0, cos2a(sin3x— 1)=0. I) cos 2a=0, тогда
xel?, или 2) sin Зх—1=0, sin3x=l, Зх=Л + 2лл, x=(4n+l)JL,
2 6
«eZ. Ответ: R, если a=(2fc + l)JL, или (4n-fl)JL, если аФ(2к +
+ 1)" feeZ.
4
б) cos3xcos2x=sin3xsin2x.
Решение. * cos3xcos2x—sin3xsin2x=0, cos(3x+2x)=0,
cos5x=0, 5х=(2л+1)" х=(2л + 1)Л, neZ. Ответ: (2n+l)JL,
«geZ.
в) cos (3a+2x) cos (3a—2x)+0,75=cos2 3a.
Решение. -L(cos 6a -+- cos 4x)+ 0,75=cos2 3a, a — некоторое
число." cos 6a-j-cos 4x+1,5=2 cos23a, cos6a+cos4x+ 1,5=1 +
+cos6a, cos4x=— ' 4х=±—п + 2пл, 4x=(3n±l)—л, x=
А О О
= (3n±l)JL, neZ. Ответ: (3n±l)i, ле=2.
6 6
г) sin3xsin(iL — 3x)sin(jL+3x) = -L
Решение. sin Зх _L( cos 6x—cosJin) =_L, sin3x(cos6x +
_L, 2sin3xcos6x+sin 3x=_L; sin9x—sin3x+sin3x=_L,
4 2 ^ 2
sin9x=_L, 9x=(— l)"JL + rm, x=(— \)n3. + nJL, n^Z. Ответ:
2 v 'б v '549
(— IfJL + nJL, nt=Z.
' 54 9
25
+4)

д) 2-^2 cos (45° — xXl+sinx)=l— cos2x.
Решение. 2V2(cos 45° cos x+sin 45° sin xXl + sin x)= 1 —cos 2x,
2(cos x + sin xXl +sin x)=2 sin2 x, (cos x+sin xXl +sin x)=sin2 x;
cos x+sin xcos x+sin x+sin2 x=sin2 x, sin x+cos x+sin xcos x=
= 0. _ (1)
sinx+cosx=#, 1+2sinxcosx=i/2, sinxcosx=—^—. Урав-
нение (1) примет вид: y+ - ~ =0, y*+2y—1=0, yu 2= — 1±л/2-
1) y\ = — 1— л/2, sin x+cos x<—2, а потому решений нет; 2) y-t=
= д/2— 1, тогда sin x+cos x=V2—l, ^2sin(^x+^j =^f2—l,
sin(x+Jl)=^^- = l-^, x+^.=(-l)narcsin(l-^)+n4,
x=(— l)"arcsin(l— ^) +nn- JL, «eZ. Ответ: х=(—1)"Х
Xarcsinfl—^)+(4n—1)JL, nc=Z.
Решите уравнения.
1. sin(a+x)—sin a cos x=cos a.
2. cos (a + x) cos (a—x)+0,75=cos2 a.
3. cos 2x cos x=sin 2x sin x.
4. sin2xcosx = cos2xsinx. -5. cos2xcos3x=cos5x.
6. cos3xcos4x=cos7x. 7. tg(a + x)tg(a—x)=m.
8. sinxsin(60°—x)sin(60° + x)=^-.
9. 8cosxcos(iL—x)cos(i+x)+1=0.
10. sin( "+2x)ctg3x + sin(n + 2x)—V2cos5x=0.
11. sinxcos2x+cosxcos4x=sin( J! + 2xjsin( JL — 3xJ .
12. tg2xcos3x+sin3x+V^sin5x=0.
13. cos -Lcos Ax—sin x sin 3x—sin 2x sin 3x=0.
2 2
14. sinxsin3x + sin4xsin8x=0.
15. cosxcos2x=sin( JL+xjsin(-IL+4xJ +sin( Ал+4х] X
Xcos(2ji—5xj.
16. sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x == — sin 2x.
.J6
17. sin 2x sin 6x—cos 2x cos 6x=-y/2 sin 3x cos 8x.
18. sin3xcos3x=sin2x.
19. tg(x-15°)ctg(x+15°)=|.
26

20. sin-Lcos— !-sjn2f = sin — cosJl
2 2 V3 2 2
21. sin(iI-f5x)cos(jl + 2x) = sin( JL+x) sin( Л-6х) .
22. 4sinxcosf JL — xj + 4sin(n + x)cosx-|-2sin( Ал —x) X
Xcos(n + x)=l.
23. 2sinxcos(An + x) — 3sin(a —x)cosx-|-sin( Л+ x) cosx = 0
24. cos(2*- 18°)tg50° + sin(2f—18°)=
1
2 cos 130°
25. sin Ax cos Ax + siniicos Ax + sin2xcos7x = 0.
2 2 2 2
26. sin2xsin6x=cosxcos3x.
27. cos 3x cos 6x=cos 4x cos 7x.
28. cos4xcos(a + 2x)—sin2xcosf JL — 4xJ =^sin4x.
29. cos(x+l)sin2(x+l)=cos3(x+l)sin4(x+l).
30. cos x cos 2x cos 4x cos 8x = J_.
16
31. cos x cos 2x sin 3x=0,25 sin 2x.
32. _Lsin4xsinx + sin2xsinx = 2cos2x.
33. 4sin2xsin5xsin7x—sin4x=0.
34. tgxtg(x+|)tg(x+An) =V3-
35. J- sin 3x — _L cos 3x = cos 7x.
2 2
36. cos3xcos2x—sin xsin6x=cos7x.
37. sinx + cosxctg JL = —V^-
38. sin5x—sinxcos4x=0.
39. cos — cos Ax — sin x sin 3x — sin 2x sin 3x = 0.
2 2
40. 2sinxsin3x+(3y2—l)cos2x = 3.
41. cosx + 3sinx=l+2cos Axcos JL.
2 2
42. sinx + cosx=-\/2sin5x.
43. cos( An + x) sin (л — 7x)=sin3xsin5x.
44. 2sin3xsinx + (3V2— l)cos2x=l.
45. 2sin2x-|-3cosx= l+2cos Axcosil.
2 2
46. 2cos(x+Л.) =cos3x—3V3sin3x.
47. cos2x—sin 7x cos 6x + cos 7x sin 6x=0.
48. sin( x+ Л) = — (cos x—sin x).
4 4' V2
27

49. cosx + sin3x — 2 cos Ax cos JL =—*K 22°30'
2 2 1—tga22°30/
50. 4sin3x—2 + (3 —sinx)cos2x = 2tgiL + 2tg^ + 2tgE? +
8 8 8
7л
+ 2tgg
51. tgf^ + xW sin2x + Igarccos(--L)=0.
BV 4 / l+cos2x 1 л \ 2/
52. cos2(Л — x)sin4(.*-+x} = ^sinSx.
53. sin3xsinxsin( Л —x) = Acosf Ал + 4х} .
2tKi
54. cos x cos 3x = (cos 3x cos 4x—sin 3x sin 4x) cos 5x +
1-tg2-
-1. 8
55. sinxsin3x=_L.
2
56. sin Ax sin-£(1 — cosx') + cos AxcosA(l+cosx)=-l-.
57. tgx + ctg(An — 2x) = tg3x + 3arccos 1.
58. cos 7x sin x+ '"'K^'sin 2x=cos( 5(x+ ?*)) .
l+tg22x V V 5//
59. tg(2x+JLn)=2ctg2x+-i-ctg^n.
60. tglln= 2ctK*+3 .
6 *(-+*)
61. V2sin2x — V2cos2x=l.
62. sin2x+V3cos2x=V2-
63. sin3x=iEarctglsinx-!^sl^-.
n & 1+tg2*
64. 4sin(x — 2n)cos2xcos3x = sin6x-
S.S-J
1+tf-f
65. 1 — cos3xctgx=sin3x.
66. 2sin5xcos6x + sinx=sin 7xcos4x.
67. 81<sin 2x— ')«*3x g(sin x—cosx)3=0_
68. sin7x+cos22x = sin22x + sinx, — Л<х<Л.
3 3
69. sinx + cosxctgjl = —-y/3.
70. 2 cos 5x cos 8x — cos 13x = 0.
71. sin(x— Jl) — sin(x+ Ал) = cos(x+Jl).
28

72. sin 7x cos 13x = sin x cos 19x.
73. sin!4xsin2x+ 1—tK 2*-sin4x=JLsin8x.
l+te*2* 2
74. 7 cos x+2 sin 3xcos2x—sin5x=5.
75. sin x sin 2xsin3x=_Lcos( An — 4x) .
76. sin3xcos (-£- — Л +sin-£- = — •
77. sin3x=4sinxcos2x.
78. cos 3xcos 4x-f-sin 2xsin 5x= _L(cos2x+cos 4x).
79. 4sinxsin(*—x) =1. 80. 4cosxcos(x + -5.) =-Д
81. 2sinx = sin(45° — x). 82. 5т(л + x\ = Acosfil — xY
83. sin6x=sinxcos5x. 84. V3sin3x — 2 cos 7x = cos 3x.
85. 2 sin 5x sin Ax=cos-f.. 86. 2 sin 7x sin Ax=cosJL.
2 2 2 2
87. sinxsin(x+JU sinf x+Ал) =-L.
88. (sin x + cos x)2 = tg( x + JlV
89. sin^-^cos^ + A^tg^-tg-^)-'.
90. -b^£i.=2cos2x.
4-tgJf
91. sin(jL + Ax) =2sin(An+2L), — Л<х<л.
92. — sin5(x+iL) —2 2tS* cos3x= A— Aarccosf — 1).
V 5/ 1+tg2* 2 я v '
93. V3-tgx=tg(|.-x).
94. sin 4x sin 6x=2(sin x -+- sin 5x).
95. V3sinx—cosx=-"-.
r- 2
96. 2y2cos(450 + xXl+sinx)=l+cos2x.
97. sin(c+x)—sin (a — x)=cos(fc-j-x)+cos(& — x).
98. tg(| + x)tg(|.-x)=H-cos2x.
i П. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
Формулы понижения степени:
sin2f= i-cos2/ cos2/= '+cos2<
2 2
Примеры.
Решите уравнения,
а) 2sin2^x+cos4x=0.
29

Решение. 1 — cos2x + cos4x=0, 1 + cos 4x—cos 2х=0.
2cos22x—cos2x=0, cos 2x(2 cos 2x— 1)=0. 1) cos2x=0, 2x= JI(2/i+
+ 1), x=(2n+l)JL, ne=Z, или 2) 2 cos 2x—1=0, cos2x=JL, 2x=
4 2
= ±Л + 2Ля, x=±JL + kn, ke=Z. Ответ: х=(2л+1)" x=
3 6 4
=(6Л±1)Л, п, fteZ.
б) 2cos22x+cosl0x —1=0.
Решение. 1 +cos4x+cos Юх — 1 =0, cos4x+cos 10x=0,
2cos7xcos3x=0; 1) cos3x=0, 3x = (2/i + 1 )-£, x=(2n+l) * nsZ,
2 6
или 2) cos7x=0, 7x=(2ft+l)" х=(2*+1)Л, ke=Z. Ответ:
х=(2л+1)" x=(2k+l)" n, ke=Z.
О 14
в) sin4 f-j)+cos4 (л — у j=sinx.
Решение. sin4y+cos4y =sin x, (s'n2y+cos2"5") —
— 2 sin2 у cos2 у = sin x, 1—r"sin2x=sinx, 2—sin2x=2sinx;
sin2 x+2sin x—2=0, sin x= — 1 ±V3. 0 sin x=V3—1, x=(—I)"X
Xarcsin(V3— l)+nn, n(=Z, и 2) sin x= — (1 +л/3)< — 1, x=0.
Ответ: x=(—l)"arcsin(V3—1) + /ш, n&Z.
f) sin2x —sin22x+sin23x = y.
. Решение. 2sin2x—2sin22x+2sin23x=l, 1—cos2x—1 +
+cos4x+l—cos6x=l, cos4x—cos2x—cos6x=0, cos4x—
—(cos 2x-f cos 6x)=0, cos 4x—2 cos 4xcos 2x=0, cos 4x(l —2 cos 2x)=0.
1) cos 4x=0, 4x=(2n+l)y,x=(2n + l)y, n«=Z, 2) 1—2cos2x=0,
cos2x=y, 2х=±у+2Ля; x=±-£+kn, k(=Z. Ответ: x=
= ±-§-+/гя, x=(2n + l)y, k, n<=Z.
Решите уравнения.
1. sin2-|x = -|-. 2. cos2|-x=y.
3. sin2 2x+sin2 Зх+sin2 4x+sin2 5x=2.
4. 6sin2x+2sin22x=5. 5. 4sin2x+sin22x=3.
О
6. cos23x-f-cos24x+cos25x=y.
79 x . 9 Зх . о 5x . о 7х л
. COS у +COS у —Sin'у —Sin''у =0
8. cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2.
9. cos2 x+cos2 2x—cos2 3x—cos2 4x=0.
10. sin23x+sin24x=sin25x+sin26x.
30

11. 5sin22jc+sin2x — 1.
12. (16sin7°sx+6-4 S'n 4 -4=0.
13. 3cos2x — 3sin2x-f-cos2x=0.
14. 2sin2y+cos2x=0.
15. sin8* —cos8x=-jj-cos22jc—^-совгдг.
16. cos8* —sin8Jt=cos22x+y cos2x.
17. cos6*—sin6*=-5-cos2 2*.
о
18. sin4 x+sin4 Cj — xj=sin2AT.
,9. cos2 (f-*)-cos2 (-£+*) =4.
20. sin4-|x + cos4|-A: = a.
21. sin4 jc+cos4 jc—2sin2jt + sin22x=0.
22. sin4x+sin4 (*+-j)=-i 23. sin4y+ cos4y =-|.
24. sin4x+cos4x=cos4JC. 25. 2 cos2*+cos 5*— 1 =0.
26. sin2x-f sin22jr=sin23x+sin24x.
27. ctgx —sin Jt=2sin2y.
28. sin2Jt+sin22x-|-sin23ji;+sin24jt=2.
29. sin4 Jt-j-cos4 *=sin 2x—0,5.
30. sin2*—sin22x+sin23*=0,5.
31. 4cos2Jt+2cos 2xcos3x—cos5x=3.
32. Sin4x + sin4(-j -f.x\_f-sin4 (jc—-^)=0,5.
33. cos6(-J+A-) + cos6(jc-i)=0,5.
34. cos2Jc+cos22jc=cos23Af+cos24je.
35. sin2jc-f-sin22A:+sin23jr+sin24je+sin25je=2,5.
36. 8cos6*=3cos4x+cos2jc+4.
37. sin4-|- +sin4(y + y)=sin-g-n, — у<*<2л.
7 I
38. 81П4ДГ + С084Д:=-5 5- COS X COS 3JC.
О £
39. sin2T+sin2|-JC=l.
40. (cos 5л:+cos 7xf+(s in x -+- sin 7jc)2=0.
41. sin4jc+sin4 (* + -£-] +cos4* — у sin2 2*.
42. 2cos2x+cos22x=3. 43. sin22jt+sin2j<:=y.
44. sin2jc-t-sin22je+sin23jc=l,5.
45. sin25x=cos22;<:—2 sin22л— 1.
31

46. 2 2^Д,+Х\ +2ctg2(|n+x)=3'^.
47. 5tg22x+2cos22x=3. 48. 2sin2x+tg2x=2.
49. sin7x+sin9x=2(cos2(-J— x) —cos2(-^+2x)).
50. 0,5{cos 5x+cos 7x)—cos2 2x+s in2 3x=0.
51. 2(sin22x+sin2x)=l+2sin(2x—30°).
И. sin2 (,+i) -cos2(x-^) - (arccos( -f))M.
53. 4cos2(f +x) +4sin»(i-x) =5.
54. 4sin2x + tg2x=6.
55. sin 2xsin x+cos2 x=sin 5xsin 4x+cos24x.
56. cos2-! + cos2^= cos21^.
57. Sin2lx+sin2^=4- + sin2^.
о о l о
58. 2cos2x—cos23x=l.
59. sin Зх+sin 5x=2(cos2 2x—sin2 3x).
60. sin M(я—I) +sin9(n—x)=2 (cos2 (-J- —x) — sin2(-£.
2x).
61. sin2x—cos xcos 3x=0,25.
62. 12cos2y =9 — 4 cos у cos у x.
63. 2 sin2 x=-=- + sin x sin 3x.
64. sinTsiny=0,25-cos2T.
65. sin8x+cos8x=g2.
66. —2sin2x+l+sin4x=4cos2x.
1 2ctgT
67. 6sin2x=ctg2-£- Л ; = cosx.
s 2 ^ sin2x sinx
68. sin2x + -3-sjnz3x=sinxsin3x.
69. cos4x+sin4x=2cos(x+-£-)cos(x— -|Л.
70. 16sin6x+ **f *-****) _3c0s4x M
71. sin6|-x+Cos6y=fl.
72. 8sin8x-f-8cos8x=— cos4x.
73. cos25x+cos2x(l -sin27x+sin4 7x)=0.
74. sin2x+sin25x=l.
75. 2sin3x+cos22x=sinx.

§ 12. УРАВНЕНИЯ ВИДА a sin * + fc cos* = c
В уравнении a sin л:+6 cos х=с а, Ь и с — любые
действительные числа. Если о=Ь = 0, а с=И=0, то уравнение теряет смысл;
если же а=6 = с=0, то х — любое действительное число, т.е.
уравнение обращается в тождество. Простейшие уравнения этого
вида нам уже встречались в решениях уравнений § 5, 7, 9, 10.
При этом их решение не требовало новизны подхода. Например,
-^/3sinx+cos х= 1. Разделив обе части уравнения на 2, получим:
^sinx + -i-cosx=^-, т.е. sin (x+-|) =i- или cos(x—^)=\
Уравнение sin jc+cosjc=1 можно решать по крайней мере
четырьмя способами. Например, разделив обе части уравнения на -\/2,
получим: — sinje+ — cosx=—, sin (х+-^Л =—и т.д.
Рассмотрим уравнение asinx+b cosjc=c, у которого
произвольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разными
способами.
1-й способ решения уравнения asinx-f-bcosx=c —
введение вспомогательного угла.
Мы знаем, что если а2 + 62=1, то существует такой угол <р,
что a=cos<p, b=sincp или наоборот. Для решения уравнения
osinx + b cosx=c вынесем за скобки множителем выражение
-Ja24-b2. Получим: -Jn2-i-h2( " sin х-! —^z^cos х) =с. По-
скольку ( ° -) -\- ( —) =1, то первое число
чУа2+62/ v -Ja2+b2' V"!+*2
b
можно принять за косинус некоторого угла q>, а второе
за синус того же угла ф, т.е. — =costp, — = sin ср. В
Уа2+*>2 Vfl2+*2
таком случае уравнение примет вид: -\/a24-b2(cos9sinx+sincpX
Xcosx)=c или -\/a2+b2sin(x+9)=c (1), откуда sin(x+cp)=
= —-=■. Это уравнение имеет решение, если а2-|-62^с2, тогда
ЛК+*2
*+Ф=(— 1)" arcs in—-1_ +пп, х=(— 1)" arcsin—-f__ +nn — w,
«gZ. Угол ф находится из равенства tgф=-^-^- = —, откуда
Ф=аг^ —. Ответ: х=(—If arcsin ^___ -\-пп — arctg —, /»=Z
Примеры. Решите уравнения.
a) 3sin jc+4cosjc=2.
Решение. а=3, 6=4, с=2, а2 + Ь2=25, с2=4, а2 + 62>с2;
следовательно, уравнение имеет решение.
33

Применим формулу (1): -\/32+-42(cos <psin x + sin (pcos x)=2,
о
5sin(x+9)=2, sin(x-|-(p)=-g-, откуда получим: x+q>=(—1)"X
2 2 4
Xarcsin-g-+nn, x=( — l)"arcsin-^-—ля—q>, n^Z, <p=arctg-jr-. По
2
четырехзначной математической таблице найдем: arcsm-=- —
= arcsin 0,4 « 23°35'; <р=arctg -i = arctg 1,3333 « 53°08', x—
=(— 1У23о35'+180°л—53°08', n<=Z. Ответ: *=(— 1)"23035'+
+ 180°л — 53°08', neZ.
6) sinx—^2cosx=-^j3, Vl +2 sin(x—(p)=-\& sin(x—cp)=l, x—
— ,p=.iL-±_2mi, х=у+ф+2лл, 9=arctgV2«54°30', x=90° +
+ 54°30' + 360°л, х=144°30' + 360°л, «eZ. Ответ: x=144°30' +
+360°л, neZ.
Рассмотренный способ часто применяется при нахождении
максимума и минимума функций $/=asinx-r-bcosx-|-c.
Пример.
Найти максимум и минимум функции y=5sinx+ 12 cos x—7.
Решение. у= -\/52+l22sin(x+(p)—7=l3sin(x-f-q>)—7, ф=
12
= arctg-g-. Максимум будет при sin(x+(p)=l, т.е. «/тах= 13-1 —
—7=6. Легко видеть, что ymin = —13 —7= —20. Ответ: утах=Ь,
Упш=— 20.
Рассмотренный способ решения уравнения asinx+Acosx=c
является универсальным. Он применяется также в физике при
сложении гармонических колебаний.
2-й способ решения уравнения asinx+bcosx=c—
метод рационализации.
Известно, что если афл(2п-{-1), n&Z, то sin a, cos а и tga
2tgf
выражаются рационально через tg-_—, т.е. sin a
l+tg-f
1-tg'y 2tgf
cosa = и tga = .
Метод рационализации заключается в следующем: вводится
вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки
получилось рациональное уравнение относительно этого
вспомогательного неизвестного. Рассмотрим уравнение asinx-r-fecosx=c (1),
2tg£ '-tfy
которое можно переписать так: a \-b =с. Поло-
l+tg2y H-Vf
y 2/1 t2
жим tg-7-=/, тогда получим: a-—т + Ь-г~г=с. Это уравне-
* 1 -f-t 1 +t
34

иие — рациональное относительно /. Умножим обе части уравнения
на 1+/2^=0 при t(=R, получим: (6 + с)*2 —2а/+(с —6)=0 (2),
_£_ = а2 —(с—6)(с-|-6)=а2-|-62 — с2. Полагаем, что Ь + сфО или
сф — b, тогда /i.2 = jt^ (3)- Значения / —
действительные, если a2+62^sc2.
Если в уравнении (2) с=—6, то оно обратится в уравнение
первой степени: —2а/—26=0, t= , т.е. tg-5- = . х=
=—2 arctg \-2nn. Выражение для вспомогательного
неизвестного /=tg4- теряет смысл при у=у +пл, т.е. х=(2п+1)п.
Решения уравнения (1) вида х=(2/г+1)л (если такие решения
существуют) могут быть потеряны. Подставив х=(2п + 1)л в уравнение (1),
mwiy4HM:asin(2n-|-l)n-|-bcos(2n + l)ji = c; a-0 + 6(—1)=с; с= — Ь.
В этом случае уравнение (1) имеет множество решений вида
х=(2п-И)п, ne=Z.
1. Если а2 + 62<с2, то уравнение (1) не имеет решений, так
как уравнение (2) не имеет действительных корней.
2. Если с?-\-Ь2^с2 и сФ—Ь, то из уравнения (3) найдем:
jc=2 arctg т^ |-2пп, neZ.
3. Если с=—Ь, то уравнение (1) имеет два множества решений:
лг=(2/г+1)я и х= — 2arctg— +2/ш, neZ.
Примеры.
Решите уравнения.
а) 3sin jc+4cosjc=3.
Решение. а=3, 6 = 4, с=3, а2+62 = 9+16=25, с2=9, а2 +
+ 62>с2 — уравнение имеет решение. 3—%~ +4 1—/- =3, 1 +
+ 12Ф0 при f«=lf, 6f+4-4/2=3+3r2, 7/2-6/-l=0, /,.,= 1*1.
1)/. = 1. -l = Jl+mi, *=-|+2mt, neZ: 2) *„=-.}.. tgJL =
= —-L, JL = — arctg-L+fcji, jc=—2arctg_L + 2ftn, fteZ. Ответ:
x=JL+2nn, x=—2arctg-L+2*n, n, fteZ.
б) 3sinx—4cosjc=5.
Решение. a = 3, 6=— 4, c=5, 32+42=52, т.е. a2+62=c2 —
Уравнение имеет решение. 3—2^ 4 1--■ =5, 1+/2^£=0при /el?,
l+t2 l+t*
6/-4+4/2=5+5/2, /2-6/+9=0, (/-3)2=0, /=3, т.е. tg-L=3,
35

г
или
JL=arctg3 + nn, x=2arctg3 + 2«n, neZ. Ответ: x=2arctg3 +
+ 2лл, /i€=Z.
в) 5 sinx—4cosx=4.
Решение. a=5, b= —4, c = 4, т. е. с=—Ь,— уравнение имеет
два множества решений. ■ |0<- —Ф--'2) =4, 10/ —4+4/2 = 44-4<2
1-М 1-Мг
10/=8. / = ±, tg-L=±, x=2arctg0,8-f-2rtn. neZ, и так как
с= — ft, то существует еще одна серия решений: x=(2ft + 1)л, fteZ.
Заметим, что уравнение 5 sinx— 4cosx=4 можно преобразовать
так: 5sin х=4(1 +cosх); 10sinJLcos.£.=8cos2-L;2cos-l( 5sin JL~
2 2 2 2 V 2
— 4cos-f.)=0. 1) cos .1=0, x=(2k+l)JL, x=(2k+l)n, ke=Z,
2) 5sinJL —4 cos Л=0—однородное уравнение, а потому 5tgJL —
*• i 2
— 4=0; jc=2arctg0,8+2nn, «eZ. Ответ: x=(2ft+l)_!L, x=
=2arctg0,8 + 2wn, k, n<=Z.
3-й способ решения уравнения asin x+ftcosx=c.
Можно возвести обе части уравнения в квадрат и привести его
к однородному. Этот способ неприемлем, так как получатся
посторонние корни.
4-й способ решения уравнения asin x-|-ftcosx = c.
Запишем уравнение в виде:
2asin-lcoS-!L-f-bl cos2 JL — sin2 JL) =c( sin2JL+cos2 JL), т. е. имеем
2 2 V 2 2/ \ 2 2/
однородное уравнение: (с + ft) sin2 JL — 2a sin JL cos JL+(c—ft) cos2 JL =
= 0 и т. д.
Решите уравнения, применяя наиболее рациональные методы.
I. 5 sinx—12 cosх= 13. 2. 4 sin x+5cosx=6.
3. 5 sinx—cosx=5. 4. -\/3sinx-f-cosx=-\/2-
5. sinx—-yf7cosx=^ff. 6. y3sinx—2cosjc=1.
7. cos3x—-\/3sin3x=I. 8. 3sinx+5cosx=4.
9. sin4x-J-cos4x=4. 10. cosx+sinx=-\/2-
II. cosx—sinx=l. 12. sinx+-\/3cosx=— -y/3.
13. 2cosx+2sinx=-\/6. 14. 2cosx+sinx=V2.
15. cosx—sinx= 1,5. 16. sinJL+cosJL = — 1.
' 2^2
17. sin2x+cos2x=V2sin3x.
18. cosx—sinx=^. 19. cosx+sinx=^.
2 ' 2
20. sinx + cosx=V2sin5x. 21. sin2x—cos2x= —.
22. sin2x+V3cos2x=T/2. 23. V^sinx—cosx= JL.
24. sin2x—cos2x+l=0. 25. sinx—д/5cosх=у5.
36

§ 13. УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
Решите уравнения.
1. sinx-j-cosx=2,5+5sinxcosx.
2. sinx —cosx+5sinxcosx= 1.
3. sin3x-j-cos3Jt = I. 4. sin3x—cos3x=l.
5. 2sin9xsin-Z-jc=cos-|.x
6. 5(sin x+cos x)+sin 3x—cos 3x=2-^2(2 -J-sin 2x).
7. 2 — 2sin(An—x) =^tg-^=^-.
8. I — sin 2x-f-sinx + cosx=0. 9. I -f-sin 2f = cos/ — sin t
10. 2sin(3x+^.) =V^+8sin2xcos22A".
11. tgx-}-ctgx=V2(sinx + cosx).
12. 2 sin -Lcos2 x—2 sin JL sin2 x=cos2 x — sin2 x.
2 2
13. sin -Icos 2x+sin2 x cos .£. =cos2 xcos JL.
2 2 2
14. sinx—cosx+5sin jccosjc=2,5.
15.' arctg(2x—l)=_Larccosx.
16. 1— cos(!gx)=V2sin(lgV4
17. 2sin(2x—13)=3sin(2x—15).
18. arctg(x + 2) — arctg(x+l)=Jl. 19. 2 arctgi. — arctgx= 2L.
4 2 4
20. arcsin arcsin Vl — x = arcsin _L.
z-fi 3
21. arctg " — arctg-£^ = arctgx.
о a-\-b
22._arcsin3x=arccos4x. 23. 2 arcsin x=arcsin —x.
13
24. (sinx-J-cosx)(tgx-J-ctgx)=l.
25. cosx+cos x-J-arctg Hg-g-njl+cos (х + ^п) =0-
26. Найдите действительные значения а, при которых уравнение
cos4x—-(a—2)cos2x—3(a+])=0 имеет решения
27. |cos2x|= |sin2x —у |. 28. ^sin Юх+sin 2x=cos 2x.
29. sinx+cos2x + 2sin xcos2x = 0, -1л<д;<п.
30. Найдите действительные значения Ь, при которых уравнение
sin 2х — 26-\/2(sin x -f- cos х) ■+■ 1 — 662=0 имеет действительные
решения.
31. j~JK* =1—sin2x. 32. tg3x—tgxtg(il-fx) =0.
№ 15, 18—23, 25 решать при изучении § 16.
37

33. l-+tg*+ctK* StSJ< = 1.
~гт-+{2* —+ tg2*—ctg2x
sin x cos x
34. asin2x+2(sinx+cosx)=l. При каких значениях а решение
возможно?
35. 4sinf x+Jljcosfx—ij =a2+-\/3sin2x—cos2x. При каких
значениях а решение возможно?
36. sin3jc-T-sin32x+sin33x=(sinx+sin2x+sin3x)3.
37. 8cosjc=-^-H !—. 38. 8sinjc=^-H l—.
sin x cos x cos x sin x
39. tg(n + x)tg3x= — 0,4.
40. 2 sin2 ( iLcos2 x) = 1 — cos (я sin 2x).
41. j£i£±«!i=3. 42. ctg2x-tg2x=-ltg4x.
tg(*+12°) s 6 3 Б
43. sin3jc+cos2x=l. 44. g*R(*+30*) =л/з.
ctg(x+15°)
45. cos(x-15°) =2 + л/3. 46. cos(*-5°) =2 +л/3.
cos(105°-x) cos (95° -x)
47. sin(x+20°) _ л/3-l
cos(50°+x) 2
48. tg-22^--cos2jC=2V3cos2(A:+iL).
49. sin(2x-*) + cos(2x-_*) =V3cos(2x+-^-) .
50. V2sin2x+3(sinx-bcosx)=4V2.
51. tg(*+29°j = _j_
tg(*-l°) 3
52. л/2 sin 2x-f-2sin x=0. Найдите положительные корни
уравнения.
53. -\/T-|-4sin xcos x~sin x = cos x.
54. sin 3x+4sin3x+4cosx=5.
55. l + sin3x+cos3x= _Lsin2x.
2
56. tg3x=3(tg4jc—tg3x).
57. l + sin2x-f 2-v^cos3xsin(x+Jl) = 2sinx-f 2cos 3x+cos2x.
58. cos3x—3cosx—cos2x + 3 = 0.
59. sin3x+3sinx-|-cos2x + 5=0.
60. л/2 sin 2x—2 sin x=0. Найдите положительные корни
уравнения.
61. sin3(x+Ji) =-yf2sinx.
62. sin23jc—V3sin5xcos(-2.-х) + —cos5xsin3x — 2cos(-Ii —
—xj sinSx+^sinSxsinSjt — cosf Л — xj cos5x=0.
38

63. Asin6xcos2x—-i.sin6xsin3x+J-sin6xsin2x+sin2xX
Xsin2x — 3sin2x cos2 x—sin2 2x=0.
64. sin2xcos3x—3 cos 3x cos2 x+6 cos2 x sin (1я+х) +
+ 2sin 2xsin ( JLrt+xj— 2sin2xsin f Ал + х} — sin2xcos3x=0.
65. sin 3x cos 2x+л/2 sin 2x+-\/2 sinx sin 3x—2sinxcos2x—
—л/2 sin 3xcosx—2л/2 sin2x=0.
66. 2cos4xsin2x+sin 5x cos x+л/З sinx sin 5x—л/3 cos 4x sinx—
— cos4xcosx—2sin5xsin2x=0.
67. tg(120°+3x)+tg(40° + x) = 2sin(80° + 2x).
68. 5sin2x '2(sin3x-coS3x) +i2 = o.
l+ysin2x
69. 4sin3x—2+(3 — sinx)cos2x=2tg4+2tg3f-*) +
+ 2tg5(|)+2tg7(il)+..
70. 4sin3x+-i cos3x=3.
71. 2(cos4x —sinxcos3x)=sin 4x+sin 2x.
72. cos6x=2sin(yn + 2xV
73. 5sinxctgx—sinx—5ctgx+l =0.
74. 1 — sinxcosx+sin x—cosx = 0.
75. sin (л—х)—sin(3x—n)=sin2x(l +cos2x)
76. cos2x-|-sin 2x=cosx+sinx.
77. ^cosx+sinxf+l=2sin'2xctg2x.
78. tgx+2tg2x+3ctg3x+4ctg4x=0.
79. (l-tgxXl+sin2x)=l+tgx.
80. 2sin5xsin|-x=cosy, 0<x<-£--
81. sin x+cos2x+2sinxcos2x=0, —-j-s^x^ji.
82. -5-VI +cos 2x= -ycos2 x—cosx—cosx.
83. -д/3—5cosx—7sin2x + cosx=0.
84. 2sinx — cosy^Y—x)— sin2x = cos2x.
85. (sin x+cos x)(2—sin2 2x)=2(l —tg8x)cos7x.
86. 2(sin x+cos x)2 =tg (45°+x).
87. cos(cosx)+sin2x=2+ l+c*2x .
88. ctg2 x - tg2 x = 16 cos 2x.
89. sin 2x + cos2x +sin x + cos x+1 =0. 90. sin4x+3sin2x=tgx.
91. tg Зл~4х -cos2x=2^cos2(x + ^-).
sin I-;—l-jr) t/x , n\
v4 T / 1 C0S4"2" + T7
92. l+2,ejl=3-4 ^emx 93.-g-+16 ,nx=6:16
39

Найдите все пары чисел хну, которые удовлетворяют
уравнению.
94. cosjic+cos</—cos x cosy-J-sin ж sin «/=1,5.
95. (sin2x+-^-)2+ (cos2* + —^)2 = 12 + 4-sin«/.
V sin'' x / \ cos2 x / 2
96. tg4 x+tg4 у+2 ctg2 x ctg2 и=3+sin2 (x+y).
97. sin2* — 2sinJtsiny—3cos2t/+cos4i/-j-2=0.
Решите уравнения.
98. 4sinx-|-2cosjc=2 + 3tgx.
99. |cos2x| = |sin2x—a\ для x^R, причем 0^х^2л.
100. 1 + 2(sin2 2x — 2a cos 2x + a) tg2 x — cos 4x=0.
101. sin (-j- + yjtj = 2sin (-j-л + у Y — л^х^л.
102. 3cos2x-(4.3sin2'-9)=l.
103. sin4x-l-sin3xcosx+sin2xcos2x+sinxcos3x=—:
1 ' ' sin x cos ж
—cos4 x.
104. 32 sin6 x—cos 6x+32cos 2x—8cos 2xsin22x= 1.
105. sin4(x+n)—3cos2 f-^- +xj=tg(x-|-/m)-|-arccos(tgxctgx).
106. 6cos2(-=-+3x)-cosl3(n + jfx)=4.
107. i+sin5(|-x) + cos(-|n + x) = 4LlL-V2—^.
108 85'п'*+35'п2*+1 —tgx
- I
^2-1
8cos2x+3sin2x+l
109. 8sin (x—-=-)cos3(12n —x)—8cos (x—y)sin3(lln+x)—
-6sin (2л:— у)=л/3-
110. sin2(x—л)—cos(3n+2x)+tg2x = 2cos2jc
1+cos 4jc
111.1 +cos 2x+cos2 x log^(tg2 x)+3sin x=2 sin x log, (tg3 дг).
T
112. ctg2x-f3tg3x=2tgx-' 2
sin 4jt
113. tg2x + 8cos2xctg2x=cte'!x.
114. 4ctg32x—12ctg2x+ctgrx + tg2x=14.
115. sin 14 (л— y)+sin9(n—x)=2 (cos2 (|--x) — sin2 (-J-+
+2x)).
lie.tg(±+x)+ctg(±n-x)={2-^)(l+-L + ± + ^ +
117. 4 + cos2x+3cos4x=8cos6x.
118. 4tg-J+2tg^ + 8ctgx=tg^-tg-|-.
40

119. (1 +sin2xXcosjc—sin ас) =1 —sin22jc.
120. 2 sin2 (yCOs2x) = 1 —cos (лsin 2x).
121. sin 2x+tg At = 2.
122. sin23x—-\/3sin5jccos (^—*) + yCQsSxsin 3x —
— 2 cos (y — x Jsin Зх-f-—sin 3* sin 5x — cos (y — x Jcos5x=0.
123. cos 4x cos at+ 2 sin2 xcosx — 2 cos 4x cos 3x—-^/3cos4xsin x —
— 2-\/3sin3x — 4sin2xcos 3лс=0.
124. 5 sin x—sin 5*=0.
5 x
125. 2sin 7xsiny*=cos---.
126. sin2Jt-|-sin 2jcsin 4x + sin 3jcsin9x+sin4xsin'16x + ...+
-|-sin(nx)sin(n2Jt)= 1.
127. sin x-|-sin2 x-f-sin3x + sin4 x=cos x+cos2x+cos3 x+cos4x.
128. tgjttg22jctg23x = tgjc.+tg22x—tg23x.
2 23
129. cos2x+у cos at + 4 cos Зле— 8 cos x cos 2x + — =0.
130. 2cosx — cos-ix=l. 131. 2 + cosx = 2tg *
132. cos6( *+-£.) + Cos6(-5--x) = »+«"2*.
133. cos3jc + cos33x=(cosx + cos3jc)3.
134. 6 sin x-2 cos3 л; = 3»in4xcos* _
2 cos 2x
,35_ 2(со»+|Ьч)+1-см2х =-yf3 + smx.
2(l+sin*) v '
136. sin 2x-f-cosx+2sin x= — 1, 0<x<5.
137. sin x cos 3x + 2 cos2( JL—X\= tg2 2!!я.
138. 3sin;t—cos(2x—л)= —-H-log^J^J.
139. 169 cos 2x +54 cos л; — 4sin4xsin3x — 2cos7x = —99.
140. 304 cos4 x—376 sin 1 lxsin 9x— 188cos20x = 113.
• 4 **" i 4 %
sln ТГ +COS* — , ,
141. ? 2--tg2xsinx= 1+s,nj:+tg2x.
1—sin* Б 2 ■ ь
142. 2cos4(-iL — x\ — 119(tg3x — tg x) cos 3x cos x = 119.
143. tgx + sin2x + cosx:(l+sinx)=l+2sin2(x+il) .
144. (-\/3 + cosx)cos x— 1 = cos2x:(l —sin 2x)—(-\/3-|-sinx)sinx.
145. (cos x — sin x) ( 1 -|- J_sin2x} + sin x = 2 cos2 x.
146. 64cos22x = sin_4x, i^jf^ln. Сколько различных
корней имеет уравнение?
147. 1— cos(4x+2)=3[l — sin(2x+l)], 0s^x<2jt. Сколько
различных корней имеет уравнение?
41

148. cos 2x cos 4x cos 6x = -Lcos4x, -5-^х^л.. Сколько
различных корней имеет уравнение?
149. 5tg22x + 2cos22x = 3, О^х^:-jLjt. Сколько различных
корней имеет уравнение?
150. -у/2 sin xsin 2x=-\/5cosx + 4sin 2х.
151. sin3(x — -1 л) =V2sin(x + 24n).
cost —5-л)
152. l+tg* + tg2* + tg3*+-= }i_L' .
VI -tg2*
153. 8tg24=-tg4^+—!--tg(x-n)tg(l3x-x).
2 4 cos x ■ \ 2 /
154. 22tg~2~+sin(^~ =(36'°e<*5+ 101-1»*—З1"»»»)^-'.
4 t —
155. tg(40° + *)ctg(5°-i)= i- ^-.
3 '---T
156. sin 5x + 2 sin 4*4-sin 3x + 2 sin2 ± = 2.
. 2
157. sin x — sin 2x = 4cos2x—2cosx.
158. i-(sin( JL4-3*) + cos7x) — cos22x-+-sin23jt=
= a,ctg(,„E!((i+1,(-L_4.+ _^_| + _^_...))).
159. ctg (90° — x)+tg 50° + tg 70° = (sin 2x): (1 + cos 2x) tg 50° X
Xtg70°
160. (sin2x ^-Ц :(sin2x-4cos2ji) =tg2A.
i-t^-g-
161. (1— sin x +sin2* — sin3 л; + sin4 л; — ...)_l — l+sin2(^-— x\ =
162. 6sin2xtg3x — 4V3 sin xcos x — 3V2tg3x+V6 = 0,
18 8
163. tg2jc—tgx = —* sinf x— JL) . Найдите решения, удовлет-
cos x ^ 4/
воряющие неравенству У*4-л.<3.
164. (cosx):(x4-—) = |cosx|.
165. sin2.it —sin x = 2 sin х —4 cos x.
166. —* 1 ! = 4sin(x+An}
sin* ' . / 3 \ \ 4 /
sin \x— -yiij
42

167. 2sin(x+^)+2cos(_l + ^)=3sin(^+Jl) +
+V3cos(A + -f).
68. I sin x| =sin x-|-2cosx.
69. l+sin27x — 3sin7xcos7x + 5cos27x = a—6
70. 2sin6x=tg2x—2sin2x. 171. 2sin2 (x—-j- )=2sin2x—tgx.
72. sinx |2со5д:-11 .sm2x=
2 cos x— 1
= sin2x.
73. cos
'U
cos x-
-)=
74. 2-f cos4x = 5cos2x + 8cos6x.
75_ sm x+sin 3* =sin2x + cos2x.
V2|cos*|
76. sin x -\- 2 cos x + 2 sin x cos x = 0.
77. sin(5n-x) + tg(ji + *) = (му-иЦ, -_|.п<х<я.
^ SID ДГ о
78. cos4x+2sin2x = 0, — 1<х<1.
79. sin |x| = |sinx|.
80. (1 + sin2xYcosx—sinx) = 1 —2sin2x.
81. cos6x + tg x+cos6xtg2x= 1.
82. 5-f sinx + cos3*+s.n3*\ =cos2x + 3, £<^An.
V ^ 1+2 sin 2* / 3 3
83. 8cosx + 6sinx —cos2x —7 = 0, 0<х<2л.
84. sin 3x + 3 sin 7x-\- 3 sin bx -\- sin 9x = 8 cos3 x sin 6x.
85. 2sin5xsin.±x = cosjL, 0<x<iL
2 2 4
86. sinx+sin (x-\- — л ]= 1 — 0,5sin 2x, — 2л<х<:л.
87. sin x+V^ sin (3,5л —x)+tgx = V3, —л<х<Ал.
88. V25 — 4x2 ■ (3 sin 2лх + 8 sin лх) = 0.
89- ctg(|-n—Jf)+ctg2jf = 2.
90. cos2x—sin2x + (g2x=-|-.
91. УГ-2 sinx — Cos2x = ctg2630°.
92. 3 cosJ( Зх- Ал) = -^54 cos 300°.
93. ytg23x+tg2(3x--g -2 = ctg23,5n.
94. [sin-J +sin(y — у л)]3+ 2 cos 300° =0.
95. -\Jsm22x+ | cos(2x—Ал)| +i=cos|n.
96. (4 sin x — 49 cos xXcos3 x — sin3 x)~' — 28(2 + sin 2x)"' = 0,
43

197.
cos(ji + *)-s'n (ул —3xj —cos (yn4-^)sin(3n —3x) =
6
= sin4x, — Л<х<-Н-л.
3 7
198.
2cos3(-^-Wsin2(^-) =1. 199. cos23x—_Lcos6x = sinx.
200. 3(1 -sin ax) =2cos2x — 7, — л<х<л.
sin x — cos 2x
201. sin 2xsinx4-cos2x = sin 5xsin 4x + cos24x.
202. sin xcosxcos2xcos8x =— sin 4x.
203. sin 2xsin 6x — cos2xcos6x=V3sin3xcos8x.
204. cos 6x + cos 1 Ox = 1 4-cos 4x.
205. V1 + cos 2x—Vl — cos 2x = 1
206. V2cos(3x——) = cos 3xctg3x(ctg3x4-1).
207. cos 5x cos 4x 4- cos 4x cos 3x — cos2 2x cos x = 0.
208. cos 2x — 6sin xcosx4-3 = arccos( —_!_) —_ л.
\ 2/ 3
209. -i cos 2 A( 1 — Vsin x) = л/2 cos x — Vsin 2x.
210. 16sin6x + 24(cos6x —sin6x):(4 —sin22x)—3cos4x=A^.
4
211.(l4-tg|)(l-2sin2|):((l-tg|)(14-cosx))=ctg2x.
212. 2cos 13x + 3cos3x + 3cos5x = 8cosxcos34x.
213. 4tg(^4-x):(l4-tg2(^4->:))4-2ctg2(|n4-x)=3"«35
x /3 \
214. 2 *"* +S,^2""_Jr;=:(36i<«65_|_101-lE2_3log93^.6-l
215. -!fc=24-tg2x. 216. ctg(x + ±n) =ctgx-l.
cos 2x \ 4 /
217. Vco<rx+72sin* = 0.
218. sinxcos — 4-cosx-sin — = _L, -1л<х<л.
8 8 2 2
219. cosxcos — 4-sin xsin Jl = ^- , —-i^^-K^n.
5 5 z. I
220. 14-2cos3xcosx —cos2x = 0, —-|л<х<2л.
221. sin2x4-cos2x=l+V6sinx.
222. tgxtg22xtg23x = tgx + tg22x-tg23x.
223. 2cos2(2x——) 4-cos4x + sin4x = cos2x +
224. ctg2f-£_n — x) h\inx = 0.
2ctg(-§-n-2jt)
l+tg22*
1-tg2 2
44

^
225. 2(cosjc) 2—cos2jc=l+-5i!1^--(l—Vcosx).
л/3
226. tg2xctg22*ctg3x=tg2x—ctg22x4-ctg3x.
227. .11 cos x| .sjnx=4sin2xcosA:.
1 —cos x
228. V2cosx+ lsin*-'l .sin2x=0.
sinx—1
229. —3- l'~C0SJ[l .sinx=sinx —2sin2jc.
1 —COS X
230. V3~sinx— l1+cos^l.sin2x = sin2x:.
1 -4-cosx
231. V5sin x + cos2x+2cosx=0.
232. 2sin(x+-j)+2cos(| + -g==3sin(jL+JL) +
+1/5co.(i+«).
233.V2sin(^-^)-V6sin(^+^)=2sin(^-^)-
234. 2cos($+«) -2cos(^-^) -V5co.(i-») +
28e.^co.(*.-^-V5.in(^-^-2,in(^. + 4«)-
236. |sinx|=sinx + 2cosx. 237. |tgx|=tgx —.
cosx
238. |cosx|=cosx — 2sinx. 239. Ictgxl =ctgx + -J—.
.3 x , . ,
/ о \ Sill— JtCOS — + SlllXCOs7jr
240. siir5x( sin 7x cos x—sinJL cos-£-.*)=: £ 4 .
V 2 2/ l+ctg25*
241. 4sin22x—2cos22x=cos8x.
242. 2(sin22x+l)=sin8x+6cos22x.
243. sin 12x + 9 sin2 3x — 3 cos2 3x=3.
244. cos 12x—5 cos2 3x+sin2 3x + 1 = 0.
245. |sinje+cosx| = l+2sin2jc.
246. x2 = 5 —cos4x.
Itgjr+ctgjcl
247. |cosx—sinx| = l-f-2sin2x.
248. 2 —V3cos2x + sin2x=4cos23x. Найдите решения,
удовлетворяющие неравенству cost 2x—JLJ ^0.
45

§ 14. ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения?
На этот вопрос утвердительно отвечать нельзя. Если
тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно
синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка
может понадобиться только для самоконтроля — для уверенности
в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если
следить в процессе решения уравнения за эквивалентностью
перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать
уравнение без учета эквивалентности перехода, то проверка
обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс,
котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от
неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае
проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При
решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить
за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби.
В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя
от проверки найденных решений.
Пример.
1. Решите уравнение 2sin3x+cos22x=sinx.
Решение. cos22x=sinx—2sin3x, cos22x=sinx(l — 2sin2x),
cos22x=sinxcos2x, cos 2x(cos 2x—sinx)=0. 1) cos2x=0, 2x=
=(2n+l)JL, x = (2n+\)JL, ne=Z, или 2) cos2x — sinx=0, 1 —
— 2 sin2* — sinx = 0, 2sin2x+sinx—1 =0: a) sinx= — 1, x= — — -\-
+ 2kn, k(=Z и б) sinx=_L; x=(— If Л + mn, m<=Z.
2 6
Найденное решение удовлетворяют данному уравнению. Для
самоконтроля можно положить л = 0 и проверить корень x=JL;
при k = 0 x-= — JL; при m=0 •*=-£•
Можно ввести понятие «период уравнения» и делать проверку
на отрезке, равном периоду, но это вызовет кропотливую работу
в случае большого периода. Условимся называть периодом
уравнения период функции f(x), где f(x) — левая часть уравнения,
получаемая из данного уравнения перенесением всех членов уравнения
в левую часть. Известно, что период функций sin nx и cos nx ра-
При меры.
а.) Найдите период уравнения sin Зх — sin7x=-\/3sin2x.
Решение. sin3x — sin 7дс—-\/3sin 2x=0. Обозначим периоды
функций sin Зх, sin 7x, sin 2х соответственно через Т\, Гг и 7"з, тогда
7"i = —, 7"2=— и Тэ=л. Наименьшее общее кратное всех перио-
дов — 2л, т. е. период уравнения Г=2л. После решения этого
уравнения проверку можно провести на отрезке [0; 2л].
46

б) Решите уравнение cos7x + sin 8x = cos3x—sin 2x.
Решение. sin8jc-l-sin2x = cos3x — cos7x, 2sin5xcos3x=
s=2sin5xsin2jc, 2sin5jc(cos3x—sin2x)=0. I)sin5jt = 0, 5x=nn,
x=n- —, n^Z; 2) cos3jir=sin2x, cos3x=cosf Jl — 2x\ : a) 3x—
-Jl + 2x = 2kn, 5x=^.+2fcji, x=(4fe+l)JL; 6) Зх+JL — 2x=2ln,
x=-^ + 2ln, ieZ. Ответ: x=nJl, *=(4ft+l)Jl, x=(4l-l)-±,
n, k, lf=Z.
Сделаем проверку найденных корней. Для этого определим
период уравнения f(x)=cos7jt + sin8x — cos Зх + sin 2x, 7"i = —,
72=—, 7"э = -=^, Tt = n. Чтобы найти общий период, надо при-
4 3
вести все периоды к наименьшему общему знаменателю (НОЗ),
а затем найти наименьшее общее кратное (НОК) всех числителей,
после чего, разделив НОК на НОЗ, получим общий период: 2л.
Выпишем решения уравнения: п—, (4Л+1)-^и (4/— 1)" п, k, l^Z.
Мы видим, что проверку корней уравнения на [0; 2л] проводить
будет утомительно, так как для проверки корня (4fc+I)Jl нужно
давать значения ft от 0 до 14, что, естественно, затруднительно.
Если же период небольшой, то можно себе позволить проверку
правильности найденных решений.
в) Решите уравнение sin 3xctgjt = 0.
Решение (3sin.nc—4 sin3 л) cos л: __n sin х[Ъ — 4 sin2 x) cos x __q
sin x ' sin x
sinjt=?fc0, хфкп, feeZ, в противном случае ctgx не существует:
(3-4sin2x)cosx=0. 1) 3—4sin2*=0, 3—2(1 —cos2ж)=0, 1 +
+2cos 2*=0, cos2x= — _L, 2x= ±-2-л-\-2kn, x= ± Л +Ал, fteZ;
2, о о
2) cosx=0, x={2n+l)JL, nzEZ. Ответ. x=(3ft±l)4, x=(2n +
+ l)£, MeZ.
Мы гарантируем правильность ответов, так как не было
нарушено соотношение эквивалентности. Заметим, что приравнивать
каждый множитель исходного уравнения к нулю, а потом находить
общее решение нецелесообразно.
f 15. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В курсе высшей математики довольно подробно изложены
способы приближенных решений трансцендентных уравнений. Мы
рассмотрим графическое решение трансцендентных уравнений вида:
sinx=/(x), cosx=/(x), igx=f(x) и ctgx=f(x), где f(x) — какая-либо
47

-я
-frH*-? -f-H
ьаз г j и б
Рис 1
простейшая функция. Графический способ решения уравнений
такого вида заключается в отыскании приближенных значений
абсцисс точек пересечения графиков функций y=sinx, y = cosx,
y=tgx и y = ctgx с графиком функции у=/(х) в одной и той же
системе координат. Заметим, что графический способ не
отличается высокой точностью. Полученные приближенные результаты
уточняются с помощью более совершенных вычислительных
методов.
Примеры.
Решите уравнения.
a) sin =_!_*.
' 2
Решение. Построим графики функций y = sinx и y=J_x.
y = s\nx и у=-^.х — функции нечетные, а потому |jci | == | лгг I (рис. 1).
— Ал<х2< — — и JL<jti<-?-n, xi» 2-я, и х2« ——п.
3 2 2 3 12 12
У
sin x
1
0
0
0
л
6
0,50
0.26
л
4
0,71
0.39
л
3
0,87
0.59
X
л
2
1
0,78
2
зл
0,87
1.04
3
4Л
0,71
1.17
5
6Л
0,50
1,29
л
0
1,57
Ответ: *1»_л, хг«— — л и *з = 0.
12 12
б) cos2x=x—1.
Решение. Построим графики функций y=cos2x и у=х—I
(рис. 2). Точки пересечения y = cos2x с осью Ox: y = 0, cos 2x = 0,
2x = (2n+l)Jl, лс = (2л + 1)Л, iizeZ. При х<с0, у< — 1, т.е. слева
от начала координат х— 1 <cos 2x, поэтому точек пересечения слева
от оси Оу нет.
48

У
cos2.it
х-\
л
~~2
— 1
— 2.57
л
— 0,50
-2 02
л
0
— 1,78
X
0
1
— 1
л
т
0
— 0.22
л
3
-0.50
0.02
л
т
— 1
0.57
Рис. 2
Приближенное значение решения уравнения х находится на
отрезке [VA] (ОА = ОВ=1), а точнее, принадлежит промежутку
(-J.; l). Возьмем jta ±(jL + l)«J_. 1,78=0,89. Ответ: хж0,89.
в) tgx=i-x
Решение. Построим графики функций y=tgx в
промежутках — — -\-kn<.x<, — +kn, fteZ и у=—х (рис. 3). Оба графика
^
хг
Г-7Т -Ц,
Рис. 3
49

пересекаются в начале координат. Число х=0 является точные
корнем этого уравнения. Кроме того, уравнение tgx=— x имеет
бесконечное множество решений в интервалах
/i«=Z.
(
2 "' 2
-)•
У
tg-r
1
3
— 1
0.59
л
0
0,78
X
9
0,4
0.88
5
1
0.98
4
1,73
1.02
17
22"
3.73
1.11
Из графика видно, что —n<.xi<.—n, —-5_л<хг<——л.
8 4 4 8
9 5
-0-П+-Т-П
Можно принять jt|«s — 2—
19л
16
, Х2!
-тл-
= — —Л И
16
вообще х=±—л-f-foi, fceZ. Уравнение имеет бесконечное мно-
16
жество решений. Ответ: х=±— л + йл, *eZ.
г) ctgx=—.1.
* i
Решение. Построим графики функций y = ctgjc и у= — _
(рис. 4). Оба графика будут пересекаться в бесконечном множестве
точек. Найдем хотя бы пару приближенных решений. Функция
Рис. 4
50

„ss — _L нечетная, а потому точки пересечения с графиком функции
У х
ussdgx будут симметричны в промежутках (0; л) и ( — л; 0).
У
ctg*
X
X
2
0.58
0.47
л
_ 2
0
0.6
л
т
1
— 1.27
л
0
—0,6
2
-0,58
—0,47
Из графика видно, что SL<Zxi<. — n и — -|-л<Х2< — ~. Можно
л 2
■** — — = _я и хг«— —п. Уравнение имеет бесконеч-
2 12 12 г
ВЗЯТЬ Х\:
ное множество решений: х=±-1.л + пл; neZ. Ответ: х=
Решите графически уравнения
1. sinx=x. 2. tgx=x.
0.4
3. cos2x=0,4x.
4. sinx=
5. sinx = x— —n.
S 16. УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
При решении уравнений этого параграфа необходимо знать, что:
arcsinx+arccosx== —; arctgx-j-arcctgx=-"-;
— -n-<arcsinx<-n-; — Л <arctg *<-"-;
2 2 2 Б 2
O^arccosx^n; 0 < arcctg x < л;
sin (arcsin x)=x и cos(arccosx)=x, если |x|^l;
tg(arctgx)=x и ctg (arcctg x)=x, если хеЛ.
Решите уравнения.
а) 4arctg(x2—Зх—3)—л=0.
Решение. arctg(x2—Зх — 3)=Л. Так как значение арктан-
генса находится в промежутке ( —Л; Л), то в этом случае из
равенства углов следует равенство функций. Пользуясь
сделанными замечаниями, получим: х2 —Зх—3=1; х2 —Зх—4=0, откуда
*i = — 1 и х2=4. Ответ: х= —1, х=4.
б) 6 arcsin (х2—6х+8,5)=я.
51

т. е.
Решение, arcsinfx2 — 6х-|-8,5)=" х2 — 6x4-8,5=0,5, х2^
б
—6x-f-8=0, откуда х\=2 и х2=4. Ответ: х=2, х=4.
в) arcsin—- arcsin Vl — *=arcsin — (1).
Зу/х 3
Решение. Уравнение имеет смысл, если 0<х<1. Рассмотри^
два способа решения.
1-й способ. 1) Обозначим arcsin—— = a, sina=——
cos2a=l ——, cos2a = -9j^^-. Так как — — ^а^.—, то cosa>0
9х 9* 2 2
cosa= — ~л1 9дг~4 . 2) Обозначим arcsin V — * = Р. sin p =
= -у/1 — х, cosр=-у/1 — 1 -\-х=-фс. 3) a —p = arcsin_L, sin(a —P)==
= _L, sin a cos p —cos a sin p = 4-, —--^~ 4-"\/"*~4 'V* — *—
3 з 3vx J v *
= 1, \ = -J*&=*..-JTZ^% i=j£=l.(i_x)> >:=9x-9x2-4 + 4xj
3 V x jt
Эх2—12х+4=0; (3x—2^=0, 3x—2=0, *=-§-■ Ответ: x=i-,
2-й способ. Воспользуемся равенствами sin (arcsin x)=x,
cos (arcsin x)=-y/l — sin2 (arcsin x) = -y/l — x2. Следовательно, взяв
синус от обеих частей уравнения (1), получим: —— л/1—(-у/1 — х)2 —
3VJr
(см. 1-й способ).
1) Решите уравнение arcsin 2x +a rctg-^-^- = -£■.
Решение. |2х|^1, |х|^—. Обозначим arcsin2x=a, sina =
= 2х, — JL<a<Jl. Обозначим arctg-!-=£• =р, tgP = -bii,
2 2 2х 2х
— JL<p<;iL, хФО. а + р=Л, sin(a + P)=l, sin a cos p +cos a X,
Xsinp=l, cos2a = l—4X2, но — JL<a< " а потому coso =
= л/1-4х2, тогда 2xcosp+Vl-4x2sinp=l (1), l + tg2P = —!—,
cos' p
l + /J=i\2e_J^, Jd=2thL L_, cos2p -^ . Так
^V 2x ) cos2p Ax2 cos2p 5^-2x+l
как — JL<p<;—, то msp = —- 2x Так как cosp>0, то
2 2 V5x*-2x+i
|x|=x. sin2p=l-cos2p=l -** = ^-2x+i = {x-lf
H H Sx'-^+l 5x*-2jr+l e^-ar+l
52

sinp = -—Ь^ (^J(\-Xf =ll-x\ = l-x, так как lx|<±).
15ji?-2x+\ V
Выражение (1) примет вид: 2х•—===—=■ + v' — 4*2 X
Л1Ьх3~2х+1
l— x =1, бх2 —2х+1>0 при лёЛ, а потому 4x2 +
V5jc^2x+1
_j-(l — x)-\l — 4х2 = -у5х2 — 2x+l. (2) Обе части уравнения (2)
положительные, так как |x|^-L, а потому, возводя в квадрат обе
части уравнения (2), получим равносильное уравнение: 16дс4-+-
±(\-х)2(1-4х2) + 8х2(\-х)л1\-4х2 = Ьх2 — 2х+1, 16х4+(1-2х+
+ х2Х1-4х2) + 8Л1-х)УГ-*47 = 5х2-2х+1, 16х4 + 1-2х+х2-
_4х2+8х3 — 4x4 + 8x2(t — х)У1-4х2 = 5х2-2х+1, 12х4 + 8х2(1-
— x)V' — 4х2 + 8х3 — 8^ = 0. Из условия видно, что хфО, а потому,
разделив обе части уравнений на х2, получим: 12х2 + 8(1—х)Х
xV1— 4х2 + 8х — 8=0; — Зх2 —2х + 2 = 2(1 — х)У 1 —4х2. Нетрудно
проверить, что при |х|<_ левая и правая части уравнения —
положительные величины, а потому (— Зх2 — 2х + 2)2 = 4(1—2х-\-
+х'2Х1—4х2), 9х4Н-4х2Н-4 + 12х3—12х2—8х = 4—8Х + 4Х2—16х2 +
+ 32х3— 16х\ 25х4 —20х3 + 4х2 = 0, х2(25х2 — 20х + 4) = 0, х=0 или
25Х2 — 20х + 4 = 0, (5х — 2)2 = 0; 5х — 2 = 0; х= —, но из условия
5
9 9
х=^0, а потому х=_. Ответ: х= —
О О
Решите уравнения.
1. arcsin(2x—3)= — . 2. arccos(x2 —2) = л.
3. arcsin (х+1 )=-£. 4. arccos(x2 —5x + 7) = 0.
6
5. 4 arctg(4x2—12x+10)=n. 6. arcsin 3x = arccos4x.
7. 2 arcsin x=arcsin-^-. 8. 2 arete-L—arctcx=JL.
13 e 2 B 4
9. arctg(x+2)—arctg(x+l)=JL.
10. arctgCx2 — 4x + 3 + V3)=—.
. 11. 6arcctg(x2 —8x+15-fV3)=Ji.
12. 4arcctg(V —9х+15Ьгл = 0.
13. arcsin x = arccos-\/T—x. 14. 2 arcsin x = arcsin 2x.
15. arcsin 6x = arccos8x. 16. arcsin x = arcctgx.
17. 2 arcsin 3x=arcsin 2x.
18. 2arccos-yi — 16x2 = arccos^/l — 12X2.
19. 2 arccos-yl — x2 = arcsin 2x.
53

20. 2 arccos -д/l — iL = arcsin -Ц-.
V О t)
21. arctg(x—l)+arctgx+arctg(x+l)=arctg3;t.
22. arccos x=arctg;c. 23. arcsin x-\- arcsin JL. = JL.
24. sin(/i arctgx)=0, neiV. 25. arcsin 2jc+arcsin x= —.
О
26. 2 arcsin x-\- arccos (I— x)=0. 27. (arcsin je)2+(arctgx)2=n2.
28. (arcsinxf + (arccosxf=n3. 29. arcsin2jt— arcsinx=—.
30. arcsin jf—arcsin-i. = arcsin-^—.
31. arcsin(x-\/3) — arcsinx=—.
32. a resin л: — a resin — = —.
2 3
33. arcsin-1+2arcsin—— =—.
•2 6д/2 3
34. a rccos 2x—arccos (2^3дг) = -5..
35. 2 arccos(3-^jc)—arccos(3V3x)= -£.
36. arccos 4x-\- arccos 2jc=JI.
37. arctg^-— arctg^ =±.
38. arctg(x— l)+arctg(2 — x)=JL.
39. arctg(4 —x)+arctg(x—3)=^.
40. 2(arcsinx)2 — 3 arcsin x + l =0.
41. 2(arccosxf—3arccosx—2 = 0.
42. 8(arctgxf—2arctgx—1=0.

Глава II. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В курсе алгебры и начал анализа предусмотрено решение систем
уравнений. Системой тригонометрических уравнений условились
называть совокупность уравнений, составленных либо только из
тригонометрических уравнений, либо из тригонометрических и
алгебраических уравнений.
Примерами систем тригонометрических уравнений могут служить
следующие:
sinx+cosy = 0,
sin2x+cos2 у=—;
sin x cos y = 0,25,
sin у cos х=0,75;
У-
cos2iut—sin2 пх-
§ 1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ
Примеры. Решите системы,
а)
sinx — sin y=-1(2).
Решение. Преобразуем уравнение (2): 2 sin x y -cos *т"У —
(2'). Из (1) и (2') следует: sin Л cos ^ = -L. cos^ = ! .
12 2 4
л/2 л/3 \/2 Г
4 sin
12
л ■ п
4S'"T2
4sin JL =4sin( JL _ Л =4f^-^-^.-L) =ф-^2,
12 V 4 6/ \ 2 2 2 2/ v v
==_^_=^+л^ получим: cos-^=^/l, x + y=
V6-V2 4 ' 2 4
= ±2arccos ^ *—\-4nn, n^Z (3). Решим совместно систему
Уравнений (1) и (3):
^+{/=±2arccos^=b^+4fm, ne=Z,
4
х — y=JL; складывая и вычитая эти уравнения, получим:
6
55

* = ± arccos ^Ь£ + 2ПЛ + " ,
4 12
t/=±arccos^b^-+2nn--ii, n<=Z.
Ответ: х= rfcarccos * ~j *—\-2nn-\-JL, у=±
12'
arccos
Уё+т/2
+ 2пл--^, n^Z.
б)
х+у = ±п (1),
tg*-Hgj/ = 2V3(2).
Решение. Из (2) следует: sm(*+■¥) = 2-v/3, из (1) следует:
COS X COS I/
. 2
sin-^-п
2 =2а/3, откуда cosxcosu= —, cos(x + t/)+cos(x—y) = -L,
cos x cos i/ 4 2
cos-=-л-|-cos (x—(/)= — , cos(jt—j/)= 1, x—y=2kn, teZ.
Имеем систему:
* + У = -з-л,
x—y = 2kn, (ieZ; складывая и вычитая эти
уравнения, получим:
x=±+kn.
y = JL-kn, k(=Z.
Ответ: х = Л + Лгл, у=Л—кя, k(=Z.
3 ' а 3
в)
*-»=-=-(О.
cosx+cosi/=-|. (2).
Решение. Из (2) следует: 2cos *+tf cos х У = —; из (1)
следует: 2 cos *"^у -cos-^.
_J, cosJLtiL=:|, x+y=±^+4nn.
x + y=db^-\-4nn, n^Z,
х — у =
3"'
х=±± + 2пп + ±,
у=±"+2пп-±, n<=Z.
о о
Ответ: х= ± " +2пп + ±, у=±*+2пя-* n<=Z.
bubo
г)
х + у=±я(1),
cos2 x+cos2 у = -L (2).
56

решение. Преобразуем уравнение (2): 1 +cos 2x-\-1 -|-cos 2y=
cos 2x+cos 2у = — -£,
О
2 cos (х+у) cos (x—(/)= — -i,
V3
~ncos(x—y)=-T, cos(x-y)=^-, x—y=±"+2kn.
2 cos -g
*e=Z (3).
x_y==± "+2*л, teZ;
,= ±JL+*,i + JLn,
у==Р^-*л + ^л. ft*
12
Ответ: дс=±^+*п + ^п, у= =р IL-kn + ±n, ki
Д)
*-0=-J(l).
sin2*—sin2 у =-1(2).
Решение. Преобразуем уравнение (2): 1 —cos 2x— 1 +cos 2y=
=y, cos2i/—cos2x=y, 2sin(y+x)sin(x— «/)=у, 2sin(*+
+y)siny=|-, V3sin(x + f/)=J-, sin(x+t/)=—, *+{/=
=(-1)"^ + пя, «eZ.
x + y=(-lT±+nn, ne=Z,
сложив эти уравнения, получим: 2jc=(— l)"-^.+/m+^- или jc=
О О
=(— l)"^. + n— + — - Вычитая из уравнения (3) уравнение (1),
6 2 6
получим: 24/=(-1)п-^ + пл--^или y=(-l)n^ +n± --£.
Ответ: *=(- !)"-=■ + "y + -J. if=-( —1Г-=- +"т~ТГ "е2"
е)
х-{/=|(1).
ctgx-ctg{/=—^3(2).
Решение. Преобразуем уравнение (2):
sin jr sin у
s'n x sin j/ ' sin x sin j/
:л/3, VI =л/з, sinxsint/=-L (3).
2 sin x sin у 2
Преобразуем уравнение (3): cos(x—у)—cos(x+i/)=lf cos-jL —
«5
~cos(x+f/)=l, cos (*+{/)=-' х+0=±-§л + 2ля, neZ (4).
57

Решим совместно уравнение (1) и (4):
х+у= ± -1л+2пл, пе
откуда
Ответ: х= ±-£ + пл + -5., у = ± -£- + пл — 4- п<
3 Ь о о
Решите системы.
1. cosx+cost/=cos-5-
О
3.
4.
8.
9.
11.
13.
15.
17.
2.
5(sin 2x-f-sin 2t/)=2(l +cos2(x — у)).
x+y=-jn,
2 cos x-\- 4 cos {/=3.
*-"—T-
COS ЛХ-
-sin2nx=-—.
2
cos x—cos у=sin (x+y),
4
cos2 x+cos2 у—0,25,
sinx+sinf/=l.
2 a:
sin x cos y-\-s\n — siny=cos -i- sin y.
2x—«/= "
з 2
*+i/=i-n,
4
*g*~ tgy=2.
*+0=f.
sinx + sin «/=
X+f/=T2n'
tg*+tgy=l+V3-
*-{/=-£.
tg*+tgy=
Х + {/=-|я,
tgJf + tgy = 2V3.
10.
12.
14.
16.
18.
х+У=~-п,
cos 6x+cos 6y=2.
s 3
ctgx —ctgj/=—V§.
sin(x—y)=-J_,
2x—3y=4.
sin x — cos у = —,
sin x + siny = V2
58

Найдите все действительные корни системы уравнении.
l+tgn*
19-
20.
21.
22.
tgny--
l-tgiw '
2^ + ^=4.
2 + sin(n(x-y))+V3cos(n(x-y))=0,
tg(JIj/)=3+V5tsW|
x2-x+r/2 + -=°-
1 я i 72
sin (n(x+y))+cos(ji(x+y))+^=0.
х2 + У2=А.
1 * 16
12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Это системы уравнений вида:
х±у=а,
sin х sin y = b;
х±у = а,
sin xcos y=b;
x±y=a,
cos x cos y=b.
Примеры.
Решите системы уравнений.
а)
а 3
COS X COS t/= .
Решение. Преобразуем второе уравнение:
cos(x + y)+cos(x—y)=l, cos(x + t/)+cos JI = 1, cos(x + t/)=-i,JC-f-
х + у=± — + 2лл, n^Z,
Ответ: x=(6n±l)-£ + 2L, y=(6n± 1)-=--|-, neZ.
6)
x+y=-^n,
sin jtsiny= —
* 4
Решение. cos(x—y)—cos(x+y)= A, cos(x—«/)—cos-in= A,
cos(x-j/)+-^ = -|, cos(x-y)=l.
59

i 4
х + у=_л,
x —у = 2пл, n^Z;
х= —л-\-пл,
3 '
2 -г
у= — л,— пл, n^Z.
" 3
Ответ: х=(2 + Зп)Л, у=(2 — Зп)Л, neZ.
в)
х —у=-.
w 6
cos х sin u= _L.
17 4
Решение. sin (jc+y)+sin (y —x) = — , sin (x-j-y)—siny =
= ' sin(x + y)=l, х+у=-£ + 2пл.
x + y= Л+2пл, neZ,
x-y = JI;
x=JL +iui,
3
i/=-g-+nn, neZ. Ответ: x=(3n+l)Ji. j/ = (6n+l>j1 ne^Z
r)
w 3
ctgxctgy=i-.
Решение. y = x—IL, tgxtgy = 3, tgx tg( x— JIj =3,
tgx-(tgx—tg-^)
l+tg лг tg
= 3, tg2x-V3tgx=3 + 3V3tgx, tg2x-4V3tgx-
-3 = 0, tgx=2V3±Vl5. x=arctg(2V3"±Vl5)+"". y=arctg(2^±
±тД5) + пл — — ■ Ответ: x=arctg(2V3±Vl5)+n"; i/=»=arctg(2^}±
±лД5) + Пл— — • neZ.
Решите системы уравнений.
7.
x + y= A.
w 3
sin xsin u= _!_.
y 4
. 7
* + У = J2 л-
tgxctgy=^.
x + y=—n,
* 12
cos x cos у = ^j-
* 3
sin xcosy = J_
" 2
х—У =
12'
tg*tgy=^.
х-У=^.
sin xsin у
_V6
x + y = _Lji,
» 12
tg*tgy=^,
x+y=»
4
tg*tgy=-L.
х + У=-Ьл-
sinxcosu=_.
w 4
60

10.
13.
16.
x—y=JL. II.
» 2
tg*Ctgi/= — i..
sin jccosu= Л.
w 4
x + t/=iL, 17.
2
tg*ctgy=l.
x + y = n,
ctgjtctgy= —.
x —y =
COS Jt COS U= —
i> 2
sin jc sin y —_L.
» 2
12.
15.
y 6
CtgXCtg(/=l.
tgxtgy = 3.
sin jcsin y =
I
{ 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ —
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — ОТНОШЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Это системы уравнений вида:
х±у — а.
sin* _fe;
sin у
х±У = а,
cos ж _fe.
COSJ/
х±у = а.
sin х ,
= о;
COS1/
*±у = а.
COS* L
sin у
*±у=о.
*Е * l
-r—=b;
<E0
CfRiy
Примеры. Решите системы уравнений.
а)
х + у-
ыпу
.л,
Решение. Ко второму уравнению применим производную
пропорцию Л±Ь_ —Л±А.-
а—Ь c—d
s.n* + sinU _ g-i-i 2 sin Ц^ cos ^
sinjr—%\ny 2—1
х + У
х4-и . х—у
2cos—jr^ sin——2-
= 3;
^■^^=3; tg^.ctg^=3; ctg^=V3;
X~y =
3
x+y=i*>
x~y=^ + 2kn;
6)
x — y=—,
sin jf о
cosy
x =
y=
2
iL —An, AeZ.
6
61

Решение. у=х— * sinx=2cos(x— Jl) , sinx=2cosx)<
XcosiL4-2sinxsinil, sin x=V3cos x + sinx, cosx=0,
6 6
x=-£ 4- nix,
u= — 4-rrn, n^.Z.
" 3
в)
*+«/=-=-.
JO.=3.
tg<y
Решение sin*cos° 3 sinxcosi/4-cosxsin и — _j.t sin(x+^ _2
cos x sin у ' sin x cos i/—cos x sin i/ 2 ' sin (x—y)
я
sln-2
sin(x—y)
= 2, sin(x—y)= '
Х + У=£,
x-y=(-l)"*+nn;
о
г) х + у=.|л,
ctgx ^ J_
ctgi/ 3"
Решение. fosxsin_«.=
cos у sin x
y=Jl + (_ir'-!I-nJI.
— I. sin и cos x+cos i/ sin x 2 . sin (v+x)
3' sin 1/cos x—cos 1/ sin x —4' s\n(y—x)
. 5
. sin -=■ л
I . о
2 * sin(«/—x)
5
Х + у=-т-Л,
= ——; sin (у — x)= — 1; y—x= — -%- + 2nn;
l-x=-±±2nn\
x= — n—nn,
t/=-5.4-nn, n<=Z.
Решите системы уравнений.
* + У=у.
sm у
=V5.
з
sin x
cos у
7.
х + у='|л.
8.
*-У=Г2'
J™-*-=J2.
sin у
•7
X+U= —Л,
» 12
6.
9.
Х + У=Т2Л'
sin x л/ь
cos у 2 '
J&JL
=3.
cos у
V3'
Х — У= — —,
cosx _ Уг+л/З
008 » Vi^VS
62

10.
13.
16.
х + у = п.
COS* I
sin у
x+y=jLn,
sin x о
sin у
x + y=—n,
12
tfifjc+tei/
11.
14.
л/3+l
2+Va'
*+у=йл-
sin x л/2
sin (y 2
* — У=—.
12
sin x _, / 3
cost/ V 1
12.
15.
sin x 1_
л/2'
sin у
f 4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ТОЛЬКО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Примеры. Решите системы уравнений.
а)
sinx-|-cosy = 0, (I)
sin2x + cos2y=^. (2)
Решение. Из уравнения (1) имеем: cost/= — sinx, тогда
уравнение (2) примет вид: sin2x-j-sin2x— _L, 2sin2x=_L, l —
—cos2x=_L, cos2x=_L, 2x=± —+ 2пл, x=dt — + nn, n^Z.
2 2 3 6
Подставим найденное значение х в уравнение (2), получим:
sin2( ± A-j-nnJ -|-cos2 у = JL. Рассмотрим уравнение при п = 0:
sin
'(±±)+cos>y=±
sin2 JL 4- cos2 u — —.,
6 * 2
-L + cos2 y= _
4 * 2
-i+2cos2y=l, _L + l + cos2y=l, cos2y= —_L, 2y=±—л + 2йл,
У=±^- + кп. Ответ: х=±±+пп, y=±JL+kn, n, *e=Z.
■> 6 3
6) 92tgJr+cOS(,_3i (I)
gcoS9_81(gJrJ;2. (2)
Решение. Перепишем систему уравнений в следующем виде:
34 18х + 2со5»=3, (Г)
32сЮ4,_з+1в^=2. (2')
Из уравнения (I') имеем: 4tgx-|-2cosy = 1, откуда 2cosy =
= 1—4 tg ж (3). Подставим (3) в уравнение (2'), получим: З1-*1^*—
— 3*'е*=2, —$ З^е^г. Обозначим 341в*=/ (4), тогда А —
34,е* ' I
~~* = 2, f2+2/— 3=0, /| = —3—не удовлетворяет условию, а
потому /2=1. Из уравнения (4) имеем: 34tex=l, 4tgx = 0, х=ил,
n^Z. Подставим найденное значение х в уравнение (3), получим:
63

2cosy= 1 — 4tg/m, 2cosy=l, cosy=_!_, y=±JL-\-2kn, fee^
// = ± Л + 2*л, n, *eZ. Ответ: x = /m, y=± — + 2kn, n, k^z
в)
sin xcos t/ = 0,25. (I)
sin i/cosjc=0,75. (2)
Решение. Сложим уравнения (1) и (2), получим: sinxcosi/+
-f-cosxsiny= I, sin(x+y)= 1, x+y= — + 2nn (3). Вычтем из
уравнения (2) уравнение (1), получим: sin (у—х)=—, у—х—(— 1)*—+
2 6
+ йл, fteZ (4). Решим систему из уравнений (3) и (4):
х+у=^ + 2пп,
y-x=(-\f±+kn, n, AeZ.
Складывая и вычитая уравнения, получим: х=(—1)*+,Л +
+ (4n-2A+l)^. y=(-lf!L + (4n + 2k+l)±. Ответ: х=
=(-l?+,± + (4n-2k+l)JL,y=(-lfJL^4n + 2k+l)J!L,n,k<=Z.
_\ I -\/2sin x=siny, (I)
' J ^cosx=V3cosy. (2)
Решение. Возведем каждое из уравнений системы в квадрат
и сложим, получим: 2=sin2 у+ 3 cos21/, 2=l+2cos2y, 1 = 1 +
+ cos2y, cos2y=0, 2y=JL(2n+l), у = Л(2п+1), neZ. Вычтем
из квадрата уравнения (2) квадрат уравнения (I): 2(cos2jc—sin2x)=
= 3cos у — sin2y, 2cos2jt=2cos2y + cos2y, 2cos2jc= 1 +2cos 2y,
но cos2y=0, а потому cos2*= —, 2jc=-± — -\-2kn, х=±-5.+*л,
*<=Z.
Легко проверить, что из найденных значений хну удовлетворяют
данной системе уравнений только х=— -\-kn и y = JI(2rt+ 1).
n, AeZ. Ответ: х = -~ +Лл, у = -^-(2п + 1), n, fteZ.
Д)
tg^-+tg|=2, (1)
ctgx+ctgy=-l,8. (2)
Решение. Из уравнения (2) имеем: — +
2tg^
l-tg
.: У
2tg-
= — 1,8 (3). Из уравнения (1) имеем: tgJL=2—tgA (4).
64

Подставим уравнение (4) в (3), получим
2tg^
.(«-«.*)
= -1,8.
(5)
1-f2
Положим tg-l=/ (6), тогда (5) примет вид.
1-в-»2 _=
2(2-<)
= — 1,8, /^0, хф2кп, *eZ, /=?fc2, x=?t2arctg2 + 2/iji, neZ,
M_-/2)(2 —/)+/(-3 + 4/ —/2)=—3,6(2/—/2), 2 — /~2/2 + /a — 3/ +
+4/2 — P + 7,2t—3,6/2=0, — l,6/2 + 3,2/ + 2=0. Умножим
уравнение на (—5), получим: 8/2—16/—10 = 0, 4/2—8/—5=0, /|=2,5
и /2 =—0,5. Подставим значения /| и /г в равенство (6), получим:
tg .1=2.5, x, = 2arctg2,5 + 2nn, n<=Z, tg-i- = —ОД хг =
2 *>
= —2arctg0,5 + 2fcrc, teZ. Из равенства (4) найдем: a) tgX =
=2—2,5=—0,5, yt = — 2arctg0,5+2n,n. rti<=Z; 6)tgJL=2 +
+ 0,5 = 2.5, y2 = 2arctg2,5 + 2*,n, *,<=Z.
n Jt, = 2arctg2,5 + 2mi, | x2 = — 2 arctg 0,5 + 2ftn,
T yi = _2arctg0.5 + 2«,ji, j y2 = 2arctg2,5 + 2ft,n,
Решите системы уравнений
1.
2.
4.
6.
10.
12.
2 sin2 (x+у)—2 sin (jc+y) — 1 = 0.
cos2 (jc—y)-f 2 cos (x—у)—2 = 0.
sin (*+$/)= .1,
tg(*-y)=l.
sin x sin y =
cos jc cos w=
1
4 '
3
sin jc-
COSJC-
¥ 4
sin jc
I
sin x sin у =
= sin y,
= cost/.
1
4д/2~'
tg*tg(/=-L.
tg* + tgf/=2,
2 cos x cos у = 1.
sin x cos у = 0,36,
sin jc sin у=0,36.
3.
II.
13.
sin(jc+y)=sin(4jc+f/),
cos (jc+2y)=cos (8jc+Ay).
sin xsiny=—,
tg*tgy = 3.
sinx + siny=-i,
■ Уз
COS ЛГ + COS у = — .
Уз
sinxsiny=—-,
cos xcos
ys
cos(x+y) _ \^
cos(x—y) 9 '
sin jcsin u= _L.
" 3
3ctgx=tg3y.
cosx=sin2j/.
65

14.
16.
B 2 ^ B 2 V5
tgJf+tgf/=2V3.
siir'x + ctgj/—I _-
Vcos (t~x)
cos2jc+Ttgy—1=0.
15.
17.
tgx + ctgx = 2sin(y — ~nj,
tgy+ctgy=2sin( *+-£-)
3cos2x—6c<gy+2
18.
20.
sinJx+ctg(/+0.25
= 0,
19.
Vcos (£-*)
4 cos2 x+tg y— I =0.
(2 sin x sin у+cos jc=0,
11 -r-sinycosjt=2cos2t/sin x.
Vsin (т-*)
=0.
18sin2jc—2tgy—3=0.
7
cos1**—ctgiy —
12
= 0,
У*"1 (f "f)
3sin2Jf—4tgy—39=0.
21. fsinycosx-j-sin jc=0,
12 cos2 у -4- sin у sin jc=cos 2ycos x.
22.
2 cos jcsin y-f-sin jc=0,
-5—sin2ycosx=sinxcosy+cos jc.
23. fsin Jtcosy + cos jc=0,
12 sin2 у—cos у cos x=cos2ysin x.
Определите, при каких целых значениях k система имеет
решения и найдите .эти решения.
24.
25.
(arctg xf+(arccos yf=kn2,
arctg x-\- arccos у=-,-.
arccos *+(arcsin y) —Л-^-,
4
(arcsin yf arccos x=^-.
26. (arccos xf-\- (arctg y)2 -j- (arccos x)- (arctg y)=ftn2,
arccos дг — arctg у = у.
27. [(arcsin x)3+(arccos у)3=(Л + 1)п3,
l arcsin jc+arccos y=л.
28. Найдите пары значений {х\ у), являющиеся решением системы
sin x-\
sin х
I
COS I/
_J _з
COS I/
0<дс<л.
:2V14.
196—2
и удовлетворяющие условиям:
-Т<У<-о"-
66

29. Найдите лары значений (х; у), являющиеся решением системы
tgjc-
" ,,— и удовлетворяющие условиям:
tgx_J_ = -^-5
1в л cos у Y
— -J <-х^ 2 '
-f<y<T.
30. Найдите пары значений (jc; у), являющиеся решением системы
со* *+щу =2^20,
w 3 ( и удовлетворяющие условиям:
cosjc-
= V202-3
л
~2'
sin у
0<У<Л.
31. Найдите пары значений (лг; у), являющиеся решением системы
tgx-
tgx
I 9 /ZT
,s,n*/,1 и удовлетворяющие условиям: I n<SX'S
1 =\f\\* fi |0<у<л.
sin i/
Решите системы уравнений.
32.
3 tg у +6 sin jc=2 sin (y—jc),
tg-~- — 2sinx=6sin(y+jc).
33. rsin2x+sin xcosy=cos2y,
I cos 2x+sin 2y=sin2y + 3sin xcosy.
34. 10 sin у | cos у | —-5cosJt=cos(JC+y),
2 sin у I cos у J +cos jf=—5cos(jc—y).
35. f2sin2y+sin2y=cos(x-|-y), ^
I cos2 x + 2 sin 2y + sin2 у=cos {x—y).
36. fcos2jc+siny=2cos230°,
I cos 2x—sin y=sin 54°.
37. 3tg3y+2cosjt=2tg60°,
2 tg 3y—3cos x= — — cos 30°.
38. f2sinjc+ctg2y=l-tctg30°.
bin jc—3ctg 2у=(л/3—6) sin 30°.
39. /3tg4jc+ctgy=2tg60°,
I tg 4jc—3 ctg у = — 8ctg 60°.
67

40.
41.
cos2x=tg(y + -j-),
cos2y=tg(x + ^-).
cos x — sin jc= 1 +cos у — sin y,
з
3sin 2x — 2 sin 2y = -^-.
2sin 2x-|-sin 2y=l.
42. [sin Jt-|-cos* = 2 + sin y-j-cosy,
43.
cos2 Jc-|-cos2y+cos2z = 1,
cos x-j-cosy + cos z= I,
x+y+z=n.
44. Найдите решения системы уравнений
tg2(*-y)-4-tg(*-y)+L=0,
V3
удовлетворяющие условиям:
sin х — ~,
— л<у<0.
45. Найдите решения системы уравнений
sin2(y-*)+V2coS(y-*)=l,5, удовлетворяющие условиям:
*gy=tg|-,
I —л^х^Сл,
10<у<2л.
46. Найдите решения системы уравнений
ctg2 (х ~ у)—(1 + л/3) ctg (л:—у)+V3=0,
л/з удовлетворяющие услови-
cosy = —
ям:
0<х<л,
0^у^2л.
47. Найдите решения системы уравнений
cos2 (x+y) + 2 sin (x+y)= 1,75
tgy=tg-^.
удовлетворяющие условиям:
/0<а:<2л,
10<
у^л.
Решите системы уравнений
48.
sin2 (_2*)+(3-V2)tg (5y)= ^|-!
tg2(5y)+(3-V2)sin(-2x) = 4(3V2-l).
66

49. cos'(4*)+^tg(-2y)=^bl
tg2(_2,)_^zlcos(4jc)=^=l.
50. sin2(3x)+(4-V3)ctg(-7t/) = 2V3-0,75,
ctg2(-7y) + (4-V3)sin(3A:)=2V3-0,75.
51. cos2(6x) + (V5-l)ctg(-9y)=|(2V5-l),
ctg2(-9y)+(V5-i)cos(6A:)=|(2V5-i).
52. x-\-s\n(x + y)=[,5, 53. | tg(x + y)-5x= -9.
3*-sin(*+y)=2,5. '5tg(, + y)+^7.
54. (cos{x-y) — 2y=-l,5, 55. <2y-clg(x—y)=3,
\3cos{x-y) + y=2,5. \3y + 2ctg(x-y)=8.
56.
58.
60.
62.
х+У x—y 1
cos—— cos—y~ = y>
I
cos x cos y= —.
xy=\,
arcsin x+arccos y = -^-
arctg x-}-arctgy = -^-. 59. / s'n (2*+sin2 y)=0,
xy=—2.
U—3sin2y= —2.
tg(3y— 5cos2x)=l, 61. rcos(2x+sin2y)=l,
3y-10cos2x = -£-l. l3*-3sin2y=-10.
4
„2
ctg(2y—cos2*)=l,
4
6y— 15 cos2 x= — n— 1.

Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Два тригонометрических выражения, соединенных между собой
знаками «>» или «<», называются тригонометрическими
неравенствами. Тригонометрическое неравенство может быть
тождественным (безусловным) и условным.
Тождественные неравенства доказываются, а условные —
решаются. Тригонометрическое неравенство называется тождественным,
или безусловным, если оно справедливо при всех допустимых
значениях неизвестных, входящих в неравенство.
Например:
1) tg2jc^0 при всех xelf, кроме х=у(2/г + 1), n^Z;
2) |sinjc|<;i при всех *е/?;
ov sin x+cos х _ /— Г_ л , п 1 •*
3) £ ^Vsln xcosх< *е \2пл; у+2ил I, heZ.
Тригонометрическое неравенство называется условным, если
оно справедливо не при всех значениях неизвестных, входящих
в неравенство.
Например:
l)sinx^:y, что выполняется только на отрезках -|г+2Дгя;
-g-n+2fot , feeZ;
2) cosjc^O, что выполняется только на отрезках -^--|-2/гя;
-~-я + 2пя , neZ;
3) ctgjc<—-\/3, что выполняется в интервале ( —-?- -\-пп; ля),
neZ.
Решить тригонометрическое неравенство — это значит найти
множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при
которых неравенство выполняется. Мы знаем, что
тригонометрические функции sin х и cos х имеют наименьший положительный
период 2я, a tgjc и ctgjt имеют наименьший положительный
период я. При решении неравенств с тригонометрическими функциями
следует использовать периодичность этих функций, их
монотонность иа соответствующих промежутках.
70

Для того чтобы решить неравенство, содержащее только sin x
или только cos х, достаточно решить это неравенство на каком-
либо отрезке длины 2л. Множество всех решений получим,
прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида
2пл, где /igZ. Для неравенств, содержащих только tgJt и ctg*,
решения находятся на промежутке длиной л, а множество всех
решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом
отрезке решений числа вида ял, где neZ. Тригонометрические
неравенства можно решать, прибегая к графикам функций y = s'mx,
y=zcosx, y=lgx и y=ctgx. Мы будем решать неравенства,
пользуясь окружностью единичного радиуса. При решении
тригонометрических неравенств мы в конечном итоге будем приходить к не-
> >
равенствам sin х^а, cosх^а, sin х-^-а, cosx^a, tgx^a, ctgjciga,
tgjt^a, ctgJt^a. Естественно, надо научиться решать их.
Примеры. Решите неравенства.
1. sin x> у.
Решение. Проводим два взаимно перпендикулярных
диаметра, совпадающих с осями ОХ и ОУ, строим окружность /? = 1
с центром в точке пересечения диаметров (рис. 5). Проводим
прямую у = -^-- Все значения у на промежутке NM больше -~-.
NM стягивает дугу АВ с началом в точке А (-^, у) и с концом
в точке В (—л, -=-1. Следовательно, решением неравенства будут
все значения на Mr; у л J с прибавлением 2ил, т.е. у + 2ил<
<*< — л+2ял, neZ. В дальнейшем все рисунки будем
приводить без пояснений.
2. sin2*<y.
Решение. /Warcsiny; у), В (— л — arcsiny, у] (рис. 6).
— л — arcsin у + 2«л ^2х^ arcsin у + 2лл, — arcsin у -+-(2п —
— l)n^2jt^arcsin^- +2пл. —-=-arcsin^- + (2я — l)-jj- s^x^
^у arcsin у -+- ял, n^Z.
3. sinyjts^ g-.
Решение. А ( — у; — у). в( —Тя; "~"2~)^рис- 7)' ~Т11"*"
+ 2пл^-=-л:^—£-+2тт, —s-л + Зял <! х <С—s-л + Зпл, (8« —
о 4 с о
~~3)—-n^Lx^.(8n — 1)"б-л. neZ.
71

V)
у,,
0
-*~
1^
А,
)/ "ж
L &
У~ 2
Рис. 5
4. ]sin2Ar|<^.
Рис. 6
Рис. 7
г. V3 . „ V3
Решение. — -^-^sin2je^-y.
Для более точного построения дуг можно предварительно найти
л/3
дуги (углы), синусы которых равны ±-у-- Такими дугами будут
±-д-, которые легко построить с помощью циркуля и линейки,
отложив эти дуги от точки Р0 (рис. 8). На дуге АВ\ — ~ +2£л<
О
<2л;<^-+2Лк (I), на дуге CD: -|л + 2£л<2*<4-л + 2*:л,
-~+(2Л+1)п<2х<|-+(2А+1)яг fteZ (2). Из неравенств (1)
и (2) следует: --=- + лл<2х<у + mt (3). (Зл- 1)у <2*<(3л +
+ 1)у, (3n-l)-J<>:<(3n + l)-^. neZ.
Замечание. Если дуги симметричны относительно осей
координат, то ответ можно писать на любой дуге, уменьшив период
в 2 раза.
5. |sinx|>y.
Решение. Из условия следует, что sin х> -=- или sin x<z — -д-
Это иногда пишут так:
sin х>
2 '
sinx<— _.
, Дуги симметричны
относительно осей координат (рис. 9), следовательно, достаточно написать
ответ на одной из дуг, например на дуге АВ: А(~^ш, у). ^("Гл''
у)- -|-+ля<д:<-р-л + ил или (6п + 1)у <л:<(6/г+5)-у, neZ.
6. COSJt>
3 -
72

в/
f
I
c4
yl
0
^
1
\H
V
/
Ar-i
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
Решение. МРо стягивает дугу АВ (рис. 10), на которой
выполняется неравенство — arccos-r- + 2nn<x<arccos^- +2ия, neZ.
1 3 3
7. cosx<y.
Решение, Л/у; -£Л, ^fy; Тл) MN стягивает ДУУ Л#В
(рис. 11), на которой выполняется неравенство -^- -\-2пп<.х<С-тЯ-\-
+2пл, {6п+\)~ <*<(6й + 5)т, n«=Z.
8. |cos*|<
V*
Решение. — y-<cos*<y-. Дуги АВ и CD симметричны
относительно осей координат (рис. 12), поэтому достаточно
написать ответ на одной из дуг, например на дуге АВ. Но период
необходимо уменьшить в 2 раза: -^-+*п<х<-|-л+*л, fceZ. А
именно: если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ
можно взять на дуге, более удобной, уменьшив в этом случае
период в 2 раза. Действительно, при n=2k получим неравенство (1),
а при n=2k—\ получим неравенство (2), т.е. остается в силе
замечание, сделанное в примере 4.
9. |
cos>:|>y.
Решение.
cos*>y.
cos х < —s-
I Учитывая замечание, сделанное в
примере 4, напишем ответ: — у -\-пп<.х<~ -\-пл. n^Z (рис. 13)."
10. tgjc>2.
Решение. Из рисунка 14 видно, что arctg 2+ пл <*<-£-+ля.
лег.
11. tg*<l.
73

1 X
Рис 11
Рис. 12
Рис. 13
Решение Из рисунка 15 видно: —у -)-яя<л:<-^- -\-пп, n<=Z.
12. |tg*|<V§. „ г
Решение. Дуга (угол), тангенс которой (которого) равен уз,
будет -^- (рис. 16). Так как тангенс имеет период, равный я, то
решение неравенства будет: —j+ля<х<у-|-лл, neZ.
13. |tgx|>l.
Решение. Из условия следует: L|*<-J.j ,рис |7\
j+nn<x<y+пли -у+пя<д;<-^+пл, neZ.
14. ctgx<—v/3.
г~ 5
Решение. Угол, котангенс которого равен — уЗ, будет -g-л
(или —-?-) (рис. 18). Так как период котангенса равен л, то решение
неравенства будет: —-jj- -т-пжСжГля, neZ-
15. |ctgx|<l.
Рис. 15
Рис. 16
74

I
...
-f
.^^ 1
/*\
/ * '
\-^y
\w
-1
%
4
и
ось
*
ось котангенсов
/р\
4^
р'
/7Г\
Рис 17
Рис. 18
Рис. 19
Решение. Из условия следует: — l<ctg*<Cl (рис. 19).
Решением неравенства будет интервал: -£- -у-пжСЖ-т-я + пя, n^Z.
Решение неравенств часто осуществляется с использованием
основных свойств функций. При исследовании более сложных
функций и построении их графиков возникает потребность в
предварительном решении неравенств. Умение решать
тригонометрические неравенства бывает необходимо при изучении пределов, в
приближенных вычислениях, в линейном программировании и
других вопросах. Заметим, что неумение решать простейшие
неравенства, рассмотренные в данных примерах, не позволяет правильно
решать и другие более сложные неравенства. Рассмотрим решение
таких неравенств.
Примеры. Решите неравенства.
1. sin Jt-f-cos2jt> l.
Решение, sinх> 1 — cos2x, sin x> 2 sin2*, 2sin2x—sin x<0,
sinx(2sin.K—1)<;0. Обозначим sinx=y, тогда y(2y—1)<0. yi=0,
У2 = у(рис. 20). Следовательно, 0<у< у, 0-<sin х< у. Решением
неравенства (рис. 21) будут интервалы 2/гя<х<;-|г- -\-2kn или
-^-л+2/гп<:лс<:л + 2йп, k, n^Z.
Можно ответ записать и в таком
виде: (2kn; -J+2Arn)|J
U \-^п + 2пл; л+2пп\, k, n^Z.
I
i
2. -i/sin**—sin*+-£-<-2 .
Рис 20
Рис 21
75

Рис. 22 Рис 23
Решение. ~у (sin х—у) <у, |sinx—y|<iy. — у ^
s^sinx — у^у. O^sinx^l, 2/гя<!х<1у +2/ея, feeZ. (Сделать
рисунок.)
3. 2cos2(x + y)-3sin(y-x) + l>0.
Решение. 2cos2 (х + |Л — 3cos (y-y + *) + 1 >0,
2cos2 (x + ^} — 3cos (* + Tf) + 1 >°- Обозначим cos (* + -£-) =y,
тогда 2«/2 —Зу+1>0, 2(у — \){.У~ 1)>0 (рис. 22). Следовательно,
у<у или у> 1.
а) cos (je+-g-)<"2_. у + 2*я<у+х<уя + 2*я, у — у -f-
+ 2Агя<х< у я —у+2£я, — у+2/гя<х<уя + 26я (см.
рис. 11). Можно ответ записать и в таком виде: хе (— у -\-2kn.
-|я+2А:я), *eZ.
б) Неравенство cos(x-f-y)>l не имеет решения, так как
значение косинуса не может быть больше единицы.
4. cos 2х—cos8x+cos6x<; 1.
Решение, cos 2x+cos6x<: 1 +cos 8x, 2 cos 4x cos 2x<2cos24x,
cos 4x(cos4x —cos 2x)>0, (2cos22x— l)(2cos22x— 1 —cos 2x)>0.
Пусть cos2x = y, тогда неравенство будет: (2if—l)(2y2 — у— 1)>0
(И-±) (^-|^1)>о, {у+±)(у-±Ж1,^-±-
~i>°- (»+^)(»-i)((»-i)*-a)>o. (»+#(»-
-^)(*Ч+1)(*Ч-!)>»• (*+i)(^)(*H)><
Х(У—1)>0 (рис. 23), у<-^-или —у<у<у^или у>1.
л/2 3 5 3
a) cos2x<I—5", -т-я+2йя<;2х<;-т-11+2*л;. уя + /гя<;х<1
<уя + *я, feeZ (сделать рисунок).
76

б) — у <cos2*<y-, у+2лл<2х<-|-л + 2лл, у + лл<х<
^Л--\-пл или —-^-+пл<;д:<;—~ -4-пл, «eZ (сделать рисунок).
в) cos2x>l, x=0.
5. Найдите область определения функции y = -\J4cos2x — 3.
решение. 4cos2jc—3^0, 2(1 +cos2x)—3>0, 2cos2jc^1,
cos2x>Y' -у+2лл^2ж<у+2/гл, neZ, -£+лл<*<
<;— +ял, heZ (сделать рисунок).
~~ б
решите неравенства.
I. -Jcos2 x~cosx + -T-^т- 2- (siny — c°sy) <sin*-
3. sinx+-\/3cosx>l. 4. 3cos2jc—sin2jc>sin2jc.
5. cos2jk+cos6x> l+cos8x 6. sin Jtsin7x>sin3jcsin5jc.
7. sinjOcos2*.
8. sin 9jcsin2je<sin3jcsin4x, если 0<x<y.
9. 4sm"x-1 >0 10 COSJC_sjnA-_cos2jc>0.
уЗ—(sin jt+cosx)
II. sin(*+i)<i-. 12. Sin(2x-l)^-^.
13. cosy>0. 14. cos4x<0. 15. cos (jk— £)>y ■
Найдите области определения функций.
16. у=ф—4sin2*. 17. у= Vl— 2 sin2*. 18. y=^jl—2cos2x.
Решите неравенства.
19. cos3jesin3jt+sin3jecos3jc>-5-.
О
20. cos3jccos3x+sin3Jcsin3jc<-5-.
О
21. tg(* + -£-)^sI. 22. sinzJC+V3sinJC—3>0
23. cos 2*+5 cos *+3^0. 24. tg2jt+(2—V3)tgje—2V3<0.
25. sinx<cosJC. 26. sin3jt<sin*.
27. ctg2x+ctg*>0. 28. log2(cos2* —yCOS*W —I.
29. 2(V2 —l)sinjt—2cos2x+2 —V2<0.
30. sin x sin 3jc> sin 5x sin 7x.
31. cos njc + sin (nx— y]>0.
32. arcs in *<-£-. 33. arccos *<-£--
34. arcsin (x2 — ~ к— 1,б)< — -i. 35. arcsin2Jt<arccos2*.
77

у X \
36. lg (sin x)<0. 37. sin4 -j +cos4 -3- > у ■
38. sin6x+cos6x>|-. 39. 8sin6x-cos6x>0.
0 40. tgx-tg3x< — 1. 41- 3 sin 2x— 1 >sin x+cos x.
42. |sinx|>cos2x. • 43. -yj5 — 2sin x^6sin x— 1. t
44. 1—cosx<tgx —sinx.
45. Найдите область определения функций: у= ~\jsm^[x, y =
= -\/cosx2, t^arcsin-j-^, y = arccos(2sinx).
Решите неравенства.
46. sin5x>16sin5x. 47. tg3x+tg2x> 1+tgx.
48. 2sirii3x + sini6x<2. 49. tg2x+ctg2x>2.
50. ^fs'm x-\--\fcos x> 1. 51. sin 4x+cos 4x-ctg2x> I.
52. 2cosx(cosx—-v/8tgx)<5. 53. sin x — V3cos x>-\/2, если
0<х<2л.
54. tgx>cosx при O^x^y. 55. |sin x| >ctgx при 0<х<2л
56. cos(sinx)>0. 57. sin(cosx)<0.
58. 2 sin xsin 3x> 1. 59. sin-^->-r-. 60. cos zu[x>-^.
61. tg2x> \-col?.. 62. sinx-sin (±—x)<l.
Б 1—sin x \3 J
63. 4 cos x cos (x + -j)>V3. 64. sinx>VT^ sin 2x.
65. sin 9x —sin 5x+2sin2x<2sin 2x+ 1 — cos 2x.
66. sinx-sin (x+ у jsin (x — y)<~g~-
69. cosx>sin2x—cos2x. 70. 2sin22x>sin2x + —
71. tg3x—ctg3x<7,875. 72. sin4x—6sin2x+4>0.
73. tgx+tg2x+tg3x>0. 74. 5+2cos 2x<3|2sin x—11.
75. |3,вшс-3'-,елх|^2. 76. _^_<4tgx.
sin x
77. 2 + tg2x+ctg2x<0. 78. aln*~2 >2.
/ sin д \2
. V I —cos -r '
4 Sin X— I
2 cos2 r—6
79. 2<2>,_COSJr <8. 80. 32cos '-' >3 '-2cos2jr
81. 0,2cos2x-25-cos,r<4-(125)-°-6.
82. sin 2xsin 3x—cos 2xcos 3x>sin 10.
83. 24«*'*+2«2-""*х<2Я. 84. 2sin2x-sinx + sin3x<l.
85. ctgx—tgx — 2tg2x—4tg4x>8V3~.
86. sin 3x<sin x. 87. log2 (cos2x—^собх)^ — I.
78

88. 4sin2x+sin22x<3. 89. sin4 4 -fcos44 <-§-.
90. cos x<sin2 x—cos2 x. 91. 4 sin jcsin 3x< 1.
92. log2B,3<loglf,,(3tg2*).
93. log2in,2<31ogsinKsiriA- + 2logsin,2.
94. *;; X+COS X)- * > | tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°.
2-\/2 — sin x—cos* J
95. 6tg^ >sin(lln—<)—sin (J-л — *) + -^tg20° tg40°tg80°
„„ .„ x sin (x+ 12л) —2 cos (x— 14л)
9b. tgy>
sin (13л-*) + 4 cos (-£- -y )cos (y +-i)
97. Найдите область определения функции у= ~\ s'mx—^-+
+ log3(25-^).
98. Найдите решения неравенства -y/sin 2jc<;cos л:—sin л:,
удовлетворяющие условию |л:| <я.
99. Найдите решения неравенства -у/3 cos 2x<V2cos x,
удовлетворяющие неравенству |лг|<л.
100. Найдите решения неравенства -y/Ssin 2x<sin x+cosx,
удовлетворяющие неравенству | х| ■< л. ^___
101. Найдите решения неравенства -\/cos 2д?<д/2 sin x,
удовлетворяющие неравенству |аг|<л.
102. Найдите х на отрезке 0^д:^л, удовлетворяющие
неравенству sin 2х — cos x-\—\J2s'\n х^ —-.
103. Найдите х из промежутка ^- <х<;4|-, удовлетворяющие
неравенству cos 2х — sin 2x+cos x + sin х^ 1.
104. Найдите х из отрезка О^х^л, удовлетворяющие
неравенству sin 2x-|-sin x—^/2cosx< —.
105. Найдите х из промежутка ^- <х<;у, удовлетворяющие
неравенству cos 2x-|-sin 2x+cosx— sin x^ 1.

. Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,
ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При решении задач этой главы необходимо знать следующий
теоретический материал, являющийся основным:
1) соотношения между сторонами и углами в прямоугольном
и косоугольном треугольниках;
2) теоремы синусов и косинусов;
3) формулы вычисления площадей плоских фигур;
4) выражения сторон правильных вписанных и описанных
многоугольников через радиус соответствующих окружностей
(a„=2Rsin — и b„=2rtg — , где а„ и Ьп — соответственно стороны
вписанного и описанного правильных многоугольников);
5) принципы построения линейного угла двугранного угла;
6) теорему о перпендикулярности прямой и плоскости;
7) теорему о трех перпендикулярах;
8) формулы вычисления площадей поверхностей и объемов
многогранников и круглых тел — тел вращения.
Задачи.
1. Хорда сегмента равна 20 см, а его высота равна 8 см
Какой угол вмещает данный сегмент?
Решение. По условию CD=8 см, АВ=20 см, OD±AB
(рис. 24), а потому АС = СВ= 10 см и w AD=<^>DB. Пусть
£АОВ=х, тогда ^СОВ = у и sin-y=§§=^. АСОВ. ОВг =
= CB2 + OCz; R*=\02+(R-8f, /?2=164 +
40 ж .40 - . 40
= тр y=arcsinjj- или jc=2arcsm —»
«2 arcsin0,9756»2-77°19' = 154°38'. Ответ:
154°38'.
2. Найдите углы параллелограмма, зная,
что его меньшая сторона равна 18 см, а
высота, опущенная на большую сторону, равна
Рис. 24 12 см.
80

решение. Пусть Z. А=х (рис. 25), тогда Z. АВС = п — х.
Попустим, что ЛВ = 18 см — меньшая сторона, тогда AD — боль-
BE 12 2
Шая сторона и высота ВЕ=12 см. д ЛЕВ. sin x=-^ =-rg =-3".
x=arcsin J-«4I°48', тогда /1 ЛВС=л—arcsinj- =180°—41°48' =
^138° 12'. Ответ: /L A = /L C«41°48'; /1 D=jL у4ВС=138°12'.
3. Сторона ромба равна 48 см, меньшая диагональ равна 20 см
Найдите углы ромба.
решение. Из условия следует: BDJ-AC, BO=OD = 10 см
и ЛВ=48 см (рис. 26). Пусть Z. BAD=x, тогда Z. АВС=я—х.
И_з свойств ромба следует: /L BAO = Z. OAD = -~ ■ A BOA.
. х ВО 10 5 х .5 г. ■ 5
8,ПТ=ЛВ =48=24' У=аГС8,П24- * = 2arcS.n^«
«2arcsin0,2083«2-12o0r=24°02'. Ответ: Z.BAD=/LBCD=
= 24°02', /- ABC = Z. ADC =155°58'.
4. Биссектриса угла при основании равнобедренного
треугольника делит противоположную сторону в отношении 3:7, считая
от основания. Найдите углы треугольника.
СЕ 3
Решение. По условию -г= = -=■ (рис. 27), откуда следует:
C£=3jc, ВЕ=7х, тогда ВС=АВ=10х. По теореме о биссектрисе
АС СЕ 3 АС 3
внутреннего угла треугольника получим: — =—= — -{г-=у»
AC=j-x, тогда AD=X-~x. д ABD. Пусть Z. BAD = q>, тогда
COS(P=;4lf = 7?ToT=A' <P = arccos£. Итак, ^ВЛС = ^1ВСЛ =
= arccos^«77°37', a Z. ЛВС=л—2arccos^«24°46'. Ответ:
I. ВАС= Z. ВСА=77°37', Zy4BC=24°46'.
5. Найдите углы трапеции ABCD (BC\\AD\ если AB.BC.CD:
./10=2:3:4:7.
Решение. ЛВ=2х, BC=3x, CD=Ax и AD=7x (рис. 28).
Так как ЛВ-|-ВС + С£>:>/41>, то такая трапеция существует.
Проведем СЕ\\АВ, тогда СЕ = АВ — 2х, ED=AD—AE=AD — BC =
= 7х — Зх = 4х. Мы видим, что ED = CD = 4x, т. е. д CD£—
равнобедренный. Проведем DFA.EC, тогда EF = FC = x. Пусть Л CDE=
А Е D A D A D С
Рис 25 Рис. 26 Рис. 27
81

В Jx
1
с
As.
А Зх Е <tx D
Рис 28
да l.EDF = ^. &EFD.
/
fcv
А Е F В
Рис. 29
. tf EF л 1
SlnT — ED ~ 4х — 4 '
2
=ф,
= arcsin-£-, (p=2arcsin 0,25 = 2-14°29' = 28°58'. Итак, Z. CDE=>
=28°58', тогда /L DEF=Z. FCD=90° —14°29' = 75°31', но
Z. BAD = Z. FED=75°31', Z. АВС= 180°- Z. BAD = 180°-75?ЗГ =
= I04°29', /. BCD = Z. ВС£+ г. FCD = /. BAD + Z. FCD=75°31' +
+ 75°ЗГ = 15Г02'. Ответ: A BAD = 75°3\', Z. АВС= 104°29'
^ BCD = I51°02', Z,4DC = 28058'.
6. Зная углы треугольника, определите угол между медианой
и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.
EF
Решение. Пусть £С=Л, a Z. ECF=x, тогда tgх = -г-(рис. 29).
Выразим ££ через А. д АСЕ. AE=hctga. A ECB. B£=/zctgp.
По условию AF = FB, AE + EF = BE—EF, 2EF = BE — AE; 2EF =
= BE—AE\ 2£F = /zctgP — /zctg a = /z(ctg p — ctga),
sin (a — P)«
ff=yX
X
sin a sin (5
. Мы не знаем, какой угол больше: а или р, а длина
отрезка выражается положительным числом. Поэтому EF-
X
X
|sin(a — р)|
sin a sin р
/|sin(n-p)|\
Ответ: arete (-=—. r—~ )
6 \2sin к sin p /
EF
Найдем: tg*=-7-
Isin(a-p)!
v2sin ce sin p ,
Isin (ce —P)|
2 sin a sin p
/|sm(a-p)|\
. x = arete I ^—. ^-r-1
b \2sin asm p /
7. В правильной л-угольной пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 2а. Определите двугранный угол при ребре
основания.
Решение. Так как многоугольник в основании пирамиды
правильный, то АСАДОВ, кроме того, ACA-SO, а потому AC-L{SBO)
(рис. 30). В плоскости (SBO) проведем DEJlSB и через две
пересекающиеся прямые АС и DE проведем плоскость, которая
пересечет две боковые грани по АЕ и СЕ. В этой плоскости DE есть
проекция наклонной СЕ к плоскости (SBO) и по теореме о трех
перпендикулярах CEA-SB. Итак, SBA-DE по построению и SBA.CE
82

п0 доказанному, а потому SB±(AEC) и SB±AE. Следовательно,
^/1£С — линейный для двугранного угла (BS). А ЛЕС —
равнобедренный, в нем ED — медиана и биссектриса, причем Z. DEC =
= Z. DEA=a, так как линейный угол АЕС=2а. Д DEC. Z. EDC =
^90°; cosa = |£-. a BOM. sin-^ = ^-. a SMO: Z.SMO=x
bo
so
линейный угол двугранного угла (ВС), а потому sinx=^ri
SAT
д SOB со Д BED:
so
OB
ED
BE '
££=.££; SO =
OB ED
BE
ASMBeo&BEC: 4^- =
C£
BE
SM =
(1)
BM-CE
BE
(2)
Разделим равенство (1) на (2), получим
ED ВМ
SO OB-ED
SM ~~ BM-CE
n cos a
~yr^- .-pro- =cosa:sm —=
CE OB n n
sin —
n
cos a
sin jt=
л
sin —
n
откуда x=arcsin/-^-^-Y Так как S.O<iSM, то 0<sin а<1 при
VsinX/
всех я^З. Ответ: x=arcsin /-^-^Л.
VsinT/
8. Площадь боковой поверхности конуса втрое больше
площади основания. Найдите угол между образующей и плоскостью
основания.
Решение. Конус задан плоскостью осевого сечения (рис. 31).
По условию S6oK=3SKB, т.е. nRb=3nR2, /=ЗЯ; у =у, cosx=y,
*=arccosy ж70°71'. Ответ: 70°7Г.
83

Задачи.
1. Стороны треугольника соответственно равны 7 см, 7 см, 12 см.
Найдите углы треугольника.
2. Окружность вписана в ромб. Сторона ромба равна 22 см.
Радиус окружности равен 5 см. Найдите углы ромба.
3. Найдите углы равнобокой трапеции, основания которой равны
33 см и 15 см, а боковая сторона равна 40 см.
4. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отношении 3:4. Определите углы треугольника.
5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
делит противоположный катет в отношении 5:6. Определите этот
угол.
6. В равнобокой трапеции боковые стороны равны меньшему
основанию, а высота вдвое меньше большего основания.
Определите углы этой трапеции.
7. Три окружности с радиусами, равными 8 см, 12 см и 15 см,
попарно внешне касаются. Найдите углы между линиями центров
окружностей.
8. Найдите углы параллелограмма, зная, что его диагонали
равны 48 см и 24 см, а сторона равна 20 см.
9. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите
угол между медианой и биссектрисой, проведенными к большей
стороне.
10. Основания трапеции равны 18 см и 14 см, а боковые стороны
равны 7 см и 10 см. Найдите углы трапеции.
11. Стороны параллелограмма равны 32 см и 10 см. Один из
углов параллелограмма равен 120°. Найдите стороны и
наибольший угол треугольника, вершинами которого служат вершина
тупого угла параллелограмма и середины противолежащих этой
вершине сторон.
12. В круг вписан четырехугольник ABCD со сторонами АВ =
= 4 см, ВС = 5 см, CD = 8 см, AD=\5 см. Найдите углы
четырехугольника.
13. В прямоугольном треугольнике проекция одного из катетов
на гипотенузу вдвое больше второго катета. Найдите углы
треугольника.
14. Сумма двух равных высот равнобедренного треугольника
равна третьей высоте. Найдите углы треугольника.
15. Синусы углов прямоугольного треугольника составляют
геометрическую прогрессию. Найдите углы треугольника.
16. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на
гипотенузу, равна разности проекций катетов на гипотенузу. Найдите
углы треугольника.
17. Тангенсы половинных углов прямоугольного треугольника
составляют арифметическую прогрессию. Найдите углы
треугольника.
18. Найдите острый угол ромба, сторона которого есть среднее
пропорциональное между его диагоналями.
84

19. В равнобедренном треугольнике проекция одной боковой
стороны на другую боковую сторону составляет -~- основания.
Найдите углы треугольника.
20. Найдите углы ромба, если отношение Р:т его периметра
к сумме диагоналей ромба равно 3:2.
21. Определите углы прямоугольного треугольника, зная, что
радиус описанной около него окружности относится к радиусу
вписанной окружности как 5:2.
22. Найдите углы прямоугольного треугольника, зная острый
угол ф между медианами, проведенными из вершин острых углов.
23. В параллелограмм со сторонами а и b (a<Lb) и острым
углом а вписан ромб, две его вершины совпадают с серединами
больших сторон параллелограмма, две другие лежат на меньших
сторонах (или на их продолжениях). Найдите углы ромба.
24. В параллелограмме со сторонами а и Ь и острым углом а
найдите углы, образованные большей диагональю с его сторонами.
25. В прямоугольник ABCD (AB\\CD) вписан треугольник AEF.
Точка £ лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD. Найдите угол
ряс и Ав —М- — £L — ь
tAt-, если вс — рс — F£) —r.
26. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой
касания вписанной в него окружности на отрезки, отношение
которых равно k. Найдите углы треугольника.
27. Отношение боковых сторон трапеции равно отношению ее
периметра к длине вписанной окружности и равно к. Найдите углы
трапеции и допустимые значения k.
28. Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковая
сторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найдите угол
ВАС.
29. Стороны параллелограмма относятся как т:п, а
диагонали — как p:q. Найдите углы параллелограмма.
30. Отношение периметра ромба к сумме его диагоналей равно к.
Найдите углы ромба и допустимые значения к.
31. Сторона треугольника равна а, разность углов,
прилежащих к данной стороне, равна -^-. Найдите углы треугольника, если
его площадь равна S.
32. Тангенс острого угла между медианами прямоугольного
треугольника, проведенными к его катетам, равен к. Найдите углы
треугольника и допустимые значения к.
33. Через вершину равностороннего треугольника проведена
прямая, делящая основание в отношении 2:1. Какие углы она
образует с боковыми сторонами треугольника?
34. Даны две стороны а и Ь треугольника и биссектриса / угла
между ними. Найдите этот угол.
35. Отношение радиуса окружности, вписанной в
равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около него.
Равно т. Найдите углы треугольника и допустимые значения т.
85

36. В параллелограмме даны две стороны а и Ь (а>Ь) и высота ft
проведенная к большей стороне. Найдите острый угол между
диагоналями параллелограмма.
37. Отношение радиуса окружности, описанной около трапеции,
к радиусу окружности, вписанной в нее, равно k. Найдите углы
трапеции и допустимые значения к.
38. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу
проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а,
а с одним из катетов угол р. Найдите углы между этой плоскостыл
и катетами треугольника.
39. В прямоугольном треугольнике с острым углом а через
наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с
плоскостью треугольника угол р. Найдите углы между этой плоскостью
и катетами треугольника.
40. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно
стороне основания. Найдите угол между стороной основания и не
пересекающей ее диагональю боковой грани.
41. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда
составляют с плоскостью основания углы, соответственно равные
аир Найдите угол между диагональю параллелепипеда и
плоскостью основания.
42. Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если
плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания
угол, равный а.
43. В грани двугранного угла, равного а, проведена прямая,
составляющая угол р с ребром двугранного угла. Найдите угол
между этой прямой и другой гранью.
44. Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость,
делящая объем куба в отношении т:п (считая от нижнего
основания). Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью
основания, если т<п.
45. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом а.
Отношение высоты призмы к стороне основания равно к. Через
сторону основания и середину противоположного бокового ребра
проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и
плоскостью основания.
46. Через сторону ромба проведена плоскость, образующая
с диагоналями ромба углы, соответственно равные а и 2а. Найдите
острый угол ромба.
47. Основанием призмы служит прямоугольник. Боковое ребро
составляет прямые углы со сторонами основания и наклонено
к плоскости основания под углом а. Найдите угол между боковым
ребром и стороной основания.
48. Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник, у которого один из острых углов равен а. Наибольшая
по площади боковая грань призмы — квадрат.
Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух других
боковых граней.
86

49. В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D'
, яд'||ВВ'||СС||DD') через середину двух смежных сторон
основания DC и AD и вершину В' верхнего основания проведена
плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью
основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.
50. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его
основания под углами аир. Найдите угол между этими
диагоналями.
51. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, относятся между собой как 3:4:5. Найдите углы
между диагональю параллелепипеда и тремя его ребрами,
выходящими из одной вершины.
52. Найдите угол между прямой, соединяющей вершину куба
с центром противоположной грани, и ребром, перпендикулярным
к этой грани.
53. Найдите угол между апофемой и диагональю основания
правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны.
54. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 6 см, а боковое ребро равно 7 см. Найдите угол между
медианами двух боковых граней, выходящими из вершины основания.
55. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует
со стороной основания угол а. Найдите угол между боковым ребром
и высотой пирамиды. При каком значении угла а задача имеет
решение?
56. Плоский угол при вершине правильной я-угольной
пирамиды равен а. Найдите угол между апофемами двух смежных
боковых ее граней.
57. Один из катетов равнобедренного прямоугольного
треугольника лежит в плоскости (л), а другой катет образует с нею угол а
Найдите угол, который образует с плоскостью (л) гипотенуза
треугольника.
58. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено
к плоскости основания под углом а. Найдите угол между высотой
пирамиды и плоскостью, проходящей через сторону основания
и середину противоположного ей бокового ребра.
59. Равносторонний треугольник со стороной а спроектирован
на плоскость: две вершины находятся на расстоянии а от плоскости
проекции, третья — на расстоянии Ь, Ь>а. Найдите угол между
плоскостью треугольника и плоскостью проекций.
60. В одной из граней двугранного угла, равного а, дана
прямая, образующая угол р с ребром двугранного угла. Найдите угол
между этой прямой и другой гранью.
61. В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань
составляет с плоскостью основания угол а. Найдите плоский угол
при вершине пирамиды.
62. Равнобедренный прямоугольный треугольник повернут
вокруг своего катета на угол а. Найдите угол, описанный при этом
гипотенузой.
87

63- В правильной четырехугольной пирамиде сторона основании
равна а, а площадь боковой грани равна S. Найдите угол межд\]
боковой гранью и основанием. '
64. В трехгранном угле два плоских угла равны между собой
и каждый равен а. Двугранный угол между ними прямой. Найдите
третий плоский угол.
65. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарно
взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковой гранью
и плоскостью основания.
66. Отношение" стороны основания АВ треугольной пирамиды
SABC к каждому из остальных пяти ее ребер равно к. Найдите
двугранный угол между двумя равными боковыми гранями
пирамиды и допустимые значения k.
67. Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют
с плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из
острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании
пирамиды. Найдите этот угол, если гипотенуза этого треугольника
равна с, а объем пирамиды равен V.
68. Отношение площади боковой поверхности правильной
треугольной пирамиды к площади ее основания равно к. Найдите
угол между боковым ребром и высотой пирамиды.
69. Основанием пирамиды служит правильный треугольник.
Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Сумма
двух неравных между собой плоских углов при вершине равна -£-.
Найдите эти углы.
70. Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD
(AB\\CD). Боковое ребро ОА перпендикулярно основанию. Ребра
ОВ и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные а
и В. Найдите угол между ребром OD и основанием пирамиды.
71. В правильной треугольной пирамиде проведена плоскость
через боковое ребро и высоту. Отношение площади сечения к
площади полной поверхности пирамиды равно к. Найдите двугранный
угол при основании.
72. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого острый угол между равными сторонами равен а. Все
боковые ребра составляют с плоскостью основания угол В. Через
сторону основания, противолежащую данному углу, и середину
высоты пирамиды проведена плоскость. Найдите угол между этой
плоскостью и плоскостью основания.
73. Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью
основания один и тот же угол. Найдите этот угол, если отношение
площади полной поверхности пирамиды к площади основания
равно к. При каком значении к задача имеет решение?
74. Отношение площади полной поверхности правильной
л-угольной пирамиды к площади основания равно /. Найдите
угол между боковым ребром и плоскостью основания.
75. Найдите угол между апофемой боковой грани правильной
треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, зная, что
разве

ность между этим углом и углом, который составляет боковое
лебро пирамиды с плоскостью основания, равна а.
76. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
v которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами
равен а. Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью
основания один и тот же угол. Найдите этот угол, если объем
пирамиды равен V.
77. Расстояние от стороны основания правильной треугольной
пирамиды до непересекающего ее ребра в два раза меньше
стороны основания. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью
основания пирамиды.
78. В правильной треугольной пирамиде сумма углов,
образованных апофемой пирамиды с плоскостью основания и боковым
ребром с той же плоскостью, равна -j-. Найдите эти углы.
79. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
у которого один из острых углов равен а. Все боковые ребра
одинаково наклонены к плоскости основания. Найдите двугранные
углы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузе
треугольника, лежащего в основании.
80. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом а. Определите
двугранный угол при боковом ребре.
81. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при
основании равен а. Определите угол наклона бокового ребра
к плоскости основания.
82. В правильной и-угольной пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 2а. Определите угол наклона бокового ребра
к плоскости основания.
83. В правильной я-угольной пирамиде угол между боковым
ребром и смежным ребром основания равен а. Определите угол
наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания.
84. В правильной n-угольной пирамиде высота вдвое меньше
стороны основания. Определите двугранный угол при ребре
основания.
85. Дан правильный тетраэдр. Определите угол между двумя
смежными гранями и угол наклона ребра к плоскости
противоположной грани.
86. В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны
оснований относятся, как т'.п (т>п); боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом а. В этой пирамиде проведена
плоскость через сторону большего основания и противолежащую
ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость
с большим основанием пирамиды?
87. Площадь основания цилиндра относится к площади его
осевого сечения как т:п. Найдите острый угол между
диагоналями осевого сечения.
88. В равностороннем цилиндре точка А\ окружности верхнего
основания соединена с точкой В окружности нижнего основания.
89

Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен а. Опре
делите угол между прямой AiB и осью цилиндра. (Цилиндр
называют равносторонним, если диаметр основания равен образующей.)
89. Найдите острый угол ромба, зная, что объемы тел,
полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг
его стороны, относятся соответственно, как 1:2д/5.
90. В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые
ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найдите угол между
образующей конуса и его высотой.
91. Около шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в 4 раза больше площади другого основания.
Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его
основания.
92. В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего
и нижнего оснований конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдите
угол между образующей конуса и плоскостью основания.
93. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему
описанного шара равно к. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью основания и допустимые значения к
94. Отношение объема конуса к объему вписанного в него шара
равно к. Найдите угол между образующей и плоскостью основания
конуса и допустимые значения к.
95. Около шара описана прямая призма, основанием которой
служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью
основания угол, равный а. Найдите острый угол ромба.
96. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью
основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадей
основания и осевого сечения.
97. Отношение площади полной поверхности конуса к площади
его осевого сечения равно k. Найдите угол между высотой и
образующей конуса и допустимые значения к.
98. В конус вписан куб (одна из граней куба лежит в плоскости
основания конуса). Отношение высоты конуса к ребру куба равно k.
Найдите угол между образующей и высотой конуса.
99. В конус вписан цилиндр, высота которого равна диаметру
основания конуса. Площадь полной поверхности цилиндра равна
площади основания конуса. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью его основания.
100. В усеченный конус вписан шар, объем которого в два
раза меньше объема конуса. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью его основания.
101. В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и
конической поверхностей делит поверхность шара в отношении 1:4.
Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
102. Радиус шара, описанного около правильной треугольной
пирамиды, равен апофеме пирамиды. Найдите угол между
апофемой и плоскостью основания пирамиды.
103. В пирамиде, у которой все боковые грани одинаково
наклонены к плоскости основания, проведена плоскость через центр
90

вписанного шара параллельно основанию. Отношение площади
сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно к.
Найдите двугранный угол при основании пирамиды.
104. Вершина конуса находится в центре шара, а основание
конуса касается поверхности шара. Площадь полной поверхности
конуса равна площади поверхности шара. Найдите угол между
образующей и высотой конуса.
105. Площадь полной поверхности прямого кругового конуса
в п раз больше площади поверхности вписанного в него шара.
Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости
его основания?
106. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара
относится к площади основания конуса как 4:3. Найдите угол при
вершине конуса.
107. Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершина
конуса находится в центре другого основания цилиндра. Чему
равен угол между осью конуса и его образующей, если площадь
полной поверхности цилиндра относится к площади полной
поверхности конуса как 7:4?
108. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит
на основании конуса. Определите угол при вершине конуса, если
площадь полной поверхности конуса относится к площади боковой
поверхности полусферы как 18:5.
109. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу
основания конуса. Найдите угол между осью конуса и его
образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится
к площади основания конуса как 3:2.
ПО. Определите угол при вершине осевого сечения конуса,
если шаровая поверхность, с центром в его вершине, касающаяся
основания, делит объем конуса в отношении 1:2 (считая от
вершины).
111. Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного
в конус параллельно плоскости основания конуса, делит объем
конуса пополам. Найдите угол в осевом сеченни конуса.
112. Найдите угол между образующей и высотой конуса, у
которого площадь боковой поверхности есть среднее
пропорциональное между площадью основания и площадью полной поверхности.
113. Отношение площади поверхности шара, вписанного в конус,
к площади основания конуса равно k. Найдите косинус угла между
образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые
значения k.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Глава I
§ 1.
1. ,=(_1у-1л + -1„л, «eZ. 2. *=(-1)Д2|+6п, пеЖ.
Л.х=±-&=., nt=N0. 4. x=-^w, n<=N. 5. *=-£-,
У4я+1 (4n—lr я я
^Af. 6. x=(-iff+k± +-§-. *eZ. 7. x=(-ir-g-arcsinf +
+iy, «eZ. 8. *=0. 9. *=0.
§2.
>. *=±f +kn, *eZ. 2. *=±у+3лл, «<=Z. 3. x= ^ ,
5- *=-fi^F' *eiV- 6' *= / ' iv' *еЛГ°*
7. дг= ±-2- — yrtn + y. neZ. 8. A:=±arccos-|- +2kn, fteZ.
9. *=i-(2n + l), neZ. 10. x=0.
§3.
1. *=-§-л + 2Ал, *eZ. 2. *=.*-+ *-?-, *<=Z. 3. Jf=-g^jT.
neZ. 4.x=±^J^-,n^N.
4-nn+l, oeZ. 8. дг=«у+у, «eZ. 9. x=arctg-g- +ил, neZ.
10. *=(1+6/1)^. «eZ.
92

§4-
1. х=(6л+1)^. «eZ. 2. д:=(6л + 5)у, neZ. 3. х^-—^,
rte=Z. 4. х=± -у 2+Зп ' n*=N°- 5- ^=-j-(4« + 3), «eZ. 6. *=
^(I2n+H)-^, «eZ. 7. x=-yarctg3 + ny, neZ. 8. *=
=(2«+l)y + -5-. n^Z. 9. x=-g-(6n-f-l), «eZ. 10. *=arcctgn-frtn,
§ 5.
1. x=± (л — arccos — )-|-2лл; x=±~+2nfe, n, AeZ. 2. * =
«(-irf+nn. neZ. 3. (2n+ !)-=-. neZ. 4. x=(-\f+i^+nn,
ne=Z. 5. *=( — I)"-jr + nn, ne=Z.
6. x=±yarctg-^+ny; x=(4A±i)-^, n, kc=Z. 7. *=
= ±arccosу+2ш1, neZ. 8. *=(—1)"|--f-лл; х=у+2*л,
n, fte=Z. 9. x=(3fe±l)-g-. fteZ. 10. *=—arctgy+ лл, keZ или
Jt=arcctg2 + nn, keZ. II. >:=(—I)"+'-£-р-лл, aeZ. 12. x=kn;
x= — у+2лл; x^=^ -\-2mn,-k, n, m^Z.
13. *=(— 1у+'л + 6лл, heZ. Указание. 5sin-|-+(l —
-cos^-)4-2=0; 5 sin-J+2sin2у+2=0 и т. д. 14. х=(4п-1)-±;
*=arctg3 + foi, n, ke=Z. 15. *= J-n(3ft±l), feeZ. 16. х=(4л —
-•)-§■. «eZ. 17. x=(—iy + l-j +nn, ne=Z. 18. x=(-lf^-+nn,
n^Z.
19. д:==|-(3«±1)л, nEZ. Указание. 2(2cos2*— 1)—4cosx=l
и т.д. 20. x=(6n±l)y, aeZ. 21. x=(4n + l>J-, ne=Z. 22. x=
=(-l)"+,-J+/m, keZ. 23. x=(— 1)"+||-+яп. neZ.
Указание. 1—2sin2x=2sin*—у, 4sin2Jt+4sin x —3=0 и т. д.
24. х=я|-, «eeZ.
93

25. x=( — \Y-fL + n±, nf=Z. Указание. 3+2sin2>:^
= sin2x+cos2x 3 + 2sin2x=—V, sin 2x^0, 2лг^=Ал, *=*= %
sin x cos x sin 2x 2 •
ftsZ, тогда 3sin 2x+2sin22>:=2 и т.д.
26. x=(4«—I)-J, *=(— l)*yarcsin|-+Ay, я. *eZ.
Указание. sin3x—3(1—2sin23x)=2, 6sin23x+sin 3x—5 = 0 и т.д.
27. * = (— lyyarcsinH+ny, heZ. Указание. cosx^O,
x^(2n + l)y, тогда 12—25sin xcosx=0, 24 —25sin2x=0 и т. д
28. x=(2n+l>J-. neZ. 29. (6n±l)y, i«=Z. 30. x=±y +
-f2nn; x=±arccosy + 2kn, n, AeeZ. 31. x= ±y -fnn, neZ.
32. x=kn; x= — у+2ил, ft, neiZ. 33. x*= — у+2ял, л=2, .... 6,
x=( — lf-±+kn, /г = 3, .... 12. 34. х=у+2лл, n = 0 6, x=
= -y+2ftn, ft=l 8. 35. x=0. 36. х=±у+2£л, x^
— ±arccosу -\-2nn, ft, n^.Z.
37. x=± (n —arccos-g-) + 2nn + 2. neZ. 38. *=(_ ly+'-jl +
+пл, «eZ. 39. х=±|-л + 2лл, «eZ. 40. x=( — lf^ + Лу,
n(=Z. 41. x=(- ly-jj- +ИЛ, x=y -f 2ftn, rt. *eZ.
42. x=(—l)"arcsiny+ли. Указание. sin2x—(1 —2sin2x)-f
+ 2sinx=0, 3sin2x + 2sinx—1=0 и x= — у +2Ал; fteZ.
43. x = (-ir+,|arcsin|+«Y. x=(-l)*+,^+fty, л. fceZ.
Указание. 1 -f-sin 2x = 24sin2x(l — sin2x), 1 +sin 2x = 24sin2xX
Xcos2x, 1 +sin 2x=6-4sin2xcos2x, 1 +sin 2x=6sin22x, 6sin22x—
—sin2x—1=0 и т.д. •
44. *=-y +nn; jc=(—l)*Yarcsiny + *y. я. feeZ.
Указание. 3sin22x-f sin2x=l — sin 2x, 3sin22x+2sin 2x— 1 =0
и т. д.
45. лг=(-1)"+,у 4-яя. neZ. 46. х=(2я + 1>у. neZ. 47. х=ял
при я = 0.1; x = -J-(2* + l) при ft= — 1; 0; 1; 2; 3.
94

, , \л л i 1 \r cos x , sin x n
48. x=(-l)nT+nn, ne=Z. Указание. — + -^-^—=2,
^f±,in«x+cWx = l+cosx cosx^-l. а потому
—^STx(H-cos x) sin лг(1 +cos x) > -r- • j
_J =2 и т. д.
sin*
49. x=2kn; x=fl2n+l), k, nt=Z. 50. x^(-lfg +nf, nt=Z.
51. x= ± (л — arccos-2-J + 2nn, x= ±-g-+ftn, и, teZ.
Указание. 8(1—cos22x)—2cos2x=5, 8cos22*+2cos2x—3=0 и т.д.
52. x=(-l)"+,-^ +J-"*, «e=Z. 53. дг=у(2л + 1), neZ. 54. x=
= — arcctg 3 + nn, n^Z. 55. л:=£л, x = -j +nn, k, ne.Z. 56. *=
= — ^-\-nn, A-=arctg375+£n, n, AeZ.
57. *=f (4я-1), iieZ. Решение, -ppi—- ^"^ +
1 / n\ 2—1+ctgx , л12 / n\ n 1+ctgx .
+ jjcos(x-T)=0> 2(l+Vx) +:2-cos(x-T)=0, 2(1+Cfgx) +
+ ^cos(x—-J) = 0, ctgx=^ — 1, l-f-v/2cos(x—y)=°. cos (x—
-t) = —^> x=^ ±Tn + 2nn. а) х=~-+тл + 2пл = л+2лл
(при найденном значении х ctg(n+2nn) не существует, а потому
найденное значение не является решением данного уравнения).
б)х=-£—|л+2«л = -у +2пя = у (4я-1).
58. х=(-1у,-^+'ш, neZ. Указание. Vg^J,. l+sinx =
v ' 4 ' 2 cosx
= ^-cosjc, cosat^O, (V2—lX'+sinJt)=^cos2jc, (V2—iXl+sin x)=
=V2(1— sin2л:), (I4-stnJcXV2—1—д/2(1—sinx))=0. a) sinjt= — 1,
x=~Y+2nn — не является решением, так как cos (—?- +
+2пл)=0. что не удовлетворяет уравнению.
59. *=-?-. Решение, tg x=cos25x+sin25x, tgx=l, x = -^--\-
+ лл, 0<4+"л<л. —4-<"<-т-. Так как neZ. то я=0 и
^4 4 4
4 *
60. х=(2л+1)л, x=(2fe+0y. ". *eZ. Указание. (sin2x+
+cos2 jc)(sin2jc—cos2 jt)=cos x, sin2 x—cos2x=cos x, — cos 2л:=
—cos x, cos 2jc+cos x=0 и т. д.
95

61. аг=-^(2я + 1). ne=Z. Решение. 2cos-^sinx=^-*
sin'A +cos2y в
X =j j=-. -s^sinx=^-.-i5;;T, sinx^O, хфкп, 2sin2x=i
SHI у COS у
1—2sin2x=0, cos2*=0, 2x=(2n+l}f, лг=(2я + 1)-^ (при
найденном значении х sinx^O и tgy и ctg у существуют).
62. х=(2п + \)я, jf=(4HI)f.«.*eZ. Решение. 2cos2y =
X
cos Т / \
= —' sinT ^0' cos у (2 cos у sin у — 1J=0. a) cosy=0,
sin у
x=(2n-f 1)л (при найденном значении х ctgy=0 и siny=?fcO).
б) sin х—1=0, sinx=l, x=(4fe-|-Oy (при найденном значении
х ctg у существует и sin у =jfc 0).
63. х=6, лг=±у 4-2яя. «eZ. 64. *=у! — ^я, х=^л. 65. jc=
= ±у+лл. neZ.
66. д:=2л, х=2ул. Решение. 1—cosje=sin2je, 1—cosa:=
= 1— cos2*, (1— cosx)(l— cosx— 1)=0. a) 1—cosx=0, cosx=l,
x=2kn, тогда л^2£л<13л, у ^£^1у. Так как neZ, то k = l
и Xi=2n. б) cosx=0, х=(2л + 1)у. Чтобы sin*^0, нужно в
полученном выражении для х положить n=2k, тогда -*=у -\-2kn,
feeZ. Тогда л<у+2*л<3л, 1-у<2*<3-у, i-<ft<l-£-.
Так как fteZ, то k=l и х2 = 2уя.
67. *=у, лг=1ул. Указание. 4siny -f 6sin2y =sin2-j- +
-f-cos2-^- — 2sinycos4- +3, 4siny+6sin2y=4—siny и т.д-
68. х=(4л + 1)у£, xr=(4*+l)y, n, ks=Z. 69. x= ±-J + 2пя,
2£л, л, *eZ.
70. л:=±-|-+2яя, «eZ. Указание, д/4sin2(180°4-30° +
+ctg4y = 10, V4sin230°+ctg4y=10, l+ctg4y = 10, ctg4у =9,
96

,2 •*
(ctg2-§-+3)(ctg2T-3) = 0- ctg2|+3^0 в R, ctg*y=3,
x I . x , л/3
102твТ'^т = ±:гит-д-
71. л:=(6и±1)-^.иег. Указание, tg4 (-|n-2*)-tg3 (Ъл +
+ i) = 16sin2^. ctg42x-tg3^ = 16-(J-)2, etg«2x-l=8.
ctg4 2*=9 и т. д.
72. х=±у+«я, «gZ. Указание. ~v/sin2 fy л—* )=у.
-vtos2T=Y> cos2x= —, 2cos2x=y, l+cos2*=y, cos2x=—у
и т.д.
73. *=(— 1)"4г+/гл, neZ. 74. лс=—2- -fm, «eZ.
Указание. tgA:-ctg2>;-f-^p^=0,tgJf+ctg2A:=0,tg3x=-l,tg2A;=?tO
и т. д.
75. x= rfc-т-+2лл, n^i Указание. ^Jcosx=y, y^O, тогда
уравнение примет вид: ^jSy2— 1 =(тД—-*/2)//, -\f8y2—(^2—\/2)y —
— 1=0 и т.д.
76. х=0. 77. д:=(-1Г-^+«у. x = ±+kn, n, *eZ.
Указание. 2tg (2л + у) — 6sin jccosjf=cos4x, 2tg-j- — 3sin2д:= 1 —
—2sin22x, 2 — 3sin2x=l— 2sin22x, 2sin22*—3sin 2x+1 =0 и т.д.
78. x= — -^ +nn, x—(— 1У-7- -f-Лл—£-, n, fteZ. Указание.
4 4 4
sinx+cos;t=tg (2n + -^)-fsin2jr, (-—^-=sin 2a), sin* +
+cosx=tg-^- +sin2*. sinx-f-cosx=l -f-2sinxcosx, sin x-f-cosx=
—(sinx-f-cosx)2, (sinjr-f-cosx)(sin x-f-eosx—1) = 0 н т.д.
79. х=(2л + 1)л, (6*±l)y, п, fteZ. Указание. 2cosx+
+tg f2n + -^) = ——, 2cos*+tg-£ =——, 2cosx+l = —L-,
e V '4 ) cos x ' 1 б 4 cos x ' ' cos x '
cos^r^to и т.д.
80. А:=(-|у + 1!- + /гл, /i€=Z. Указание. V2+l+j|+y +
+ ..— бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой
°1=У2; q=—, и тогда S = —л = — . Правая часть урав-
V2 1 — л/2—1
л/2
Нения будет —(л/2 — 1)*-: = -г- Уравнение примет вид: cos2x-f
97

+sin2x+sin x=~, 1—2sin2x+sin2x+sinx= —, sin2л:—sinx-^
■3 n
—T =0 и т.д.
4
81. *=2ил, x=2arctg 3 + 2£л, п, feeZ. Указание. —-[
2 4
+ — -\---\-...— бесконечная убывающая геометрическая прогрес-
_L
сия, у которой fci = -g-; 9| = у. и тогда S = — = —-2~~\.
1-Т
Уравнение примет вид: 3tef л:= 1, cos*=5t0, 1—3sinx=
г- г- cos х t>
=cosx, 1 — cos x=3sin x, 2sin2y —6siny cosy =0, sinyX
(siny — 3cosyj=0 и т.д.
1
82. x=—^-Л-пл, x=^-+knt n, AeZ. Указание. . „
6 ' * 4 sin 2x
cos 2x
i i л/3/ x ,ч 1—cos2x i , л/3 / 1 , \ i
sin 2x
= i + "3rf7~^' ^*^0' *^felt' 3tg2x=3tgAr+V3-V3tgx
и т. д.
83. x=2n, л:=2ул. Решение. 1—cosjt=sin2x при условии
что sin x^O, т.е. 2Ал<;л:^л-|-2£л, 1 — cos x= I — cos2*, (I —
5
—cosjc)(1 +cos х—1)=0. a) cosx=l, л:=2Ал, 2л^26л^2-£-л,
I^A^It^. Так как AeZ, то k—l и Х1=2л. б) cosjc=0, x=
=(2л + 1)у, тогда 2л<(2л + 1)у<2-|л, 4<2л + 1<5|-,
2 11 I
3<2«^4у, 1у <;я<;2у. Так как neZ, то и=2; тогда х2 = 2ул.
84. a) x=(_iy-5.+nn, б) y(2n + l), neZ. 85. х=±-|-+пя
neZ.
86. х=лл, x~Y+2kn, n, fteZ. Указание. Необходимс
найти х такие, что sinx^O. Решение очевидное, а именно sin x=
= sin2x и т. д.
с- . л , „ г* \т sin х . cos х i)
87. х=±-5-+2лл, neZ. Указание. h , ,-. = *•
3 COS X ' 1 -f-Sln X
sin x-f-sin2 x+cos2 x „ sinx+1 ~ , , -.,,.
м ■ - ч =2, . . , ,. =2, sinx^fc —1; тогда полу
cosx(l+smx) ' cosxfsm x-fl) -т- • «
чим: —— = 2, cosx=y и т.д.
98

5 3 л
88. x=-j-n, х=-г-л. Решение. cosjc^O, т.е. у-|-2лл^
^д;^ —п+2лл, neZ. Обе части уравнения возведем в квадрат:
l—cos2je=2cos2.*:, 2 sin2 л:=2 cos2*, sin2x=cos2x, cosJtr=^0,
tg2*=l. tgx=±l. x=±~-\-nn. Найденные значения х будут
удовлетворять уравнению только при п=2*4-1; тогда х=±-т- +
1_(2/г+1)п и при этих значениях х cosx<[0. Найдем значения х
на [О; }я]. a) *=-J-+(2ft + lK тогда 0<^ + (2*+1)л<|-л,
__i-<2*4-l<|-> —-f<2*<T' ""Т^^^Т- Так как *gZ'
то £=0 и *=-т- 4-л = -т-л^ул. т" е' входит в промежуток.
Следовательно, дг, = |-л. б) х=—J+(2*+l)n; 0<—-J-+(2ft+l)"<
<ТЛ' т<2А + 1^Т' ~т<2*<Т' _Т^*^Т- Так как
fceZ, то k=0 и дг= — -^-+л = -4"я<у п> т-е- входит в
промежуток. Следовательно, Х2 = —п.
89. #=0. Решение. I — cos x=sin2x, 1—cosjc=1—cos2*,
(1—cos лг)(1+cosx—1)=0. a) cosjf=l, x=2kn, 0<Г2£л<л,
0<;Л<у.Таккак *eZ, то£=0и *i=0. 6)cosx=0, х=(2я+1)у.
Такие значения х будут удовлетворять уравнению только при
n=2k+l, т.е. x=(4ft-f3)-£-, но эти х не входят в промежуток
[0; л] ни при каких значениях k.
90.лт=0,x=Yn>*=2л. Решение.sinxsgTO.T.е. —л-т-2*л^л:^
<2£л. 1—cos x=sin2 л:, I—cosjf=l—cos2 jc, f 1—cos x)(l +cos x—
—1)=0. a) cosjc=1, л:=2*л, 0<2£л<2л, 0<*<I, k=0, *,=0,
*—1, Jf2 = 2n. 6) cosx=0. #=у +kn. Эти значения х
удовлетворяют уравнению при k = 2n + l, т.е. л:=у(4и + 3), 0<(4л + 3)у <
^2л, 0<4n-f3<4, —3<4/i<l, —-|-<га<Т- Так как пе2'
топ=0и *, = -§-я.
91. х=~. 92. *=у. *=л. Решение. cosjc<0, т.е. -у +
+2пл^х^^л+2«л, 1 — sinjtr=cos2x, 1 — sin x=l — sin2*,
0 —sin jt)(l +sin jc— 1)=0. a) sin*=l, х=у+2лл, 0<у+
99

+ 2лл<2л, 0<у + 2и<2, — -j <«<--. Так как n<=Z, то «=>;(
и Xi = у. б) sin х=0, х=ил. Эти значения х удовлетворяют ура вне-
нию только при n = 2k-\-\, т.е. х=л(2£-|-1); тогда 0^(2^ + 1^
0<2йЧ-1<2, —у <ft<y, т.е. k=0 и х2=л.
93. х= — 1, х=4. 94. х=2, х=4. Указание, sin(arcsin(х2-.
—6х+8,5))=sin-J, x2—6x4-8,5=0,5, х2—6х 4-8=0 и т.д.
95. х=±х+2пл' n^Z. Указание. sinx^O, тогда
V2sin2x —cosx=0, .-yj2—\f2cos2x — cosx=0, -y/2cos2x-l-cosx-
—л/2=0 и т.д.
96. x=y 4-«л, neZ. Указание. tgx>—„-, тогда 3-f
4-2tgx-tg2x=1+6tg;+9tg2\ l2+8tgx-4tg2x=l+6tgx-f
+9tg2x и т. д.
97. x=kn, х=(—iy+l arcsin у 4-ил, k, n^Z.
98. х=/гл, х=( — lyarcsin-j- +nn, k, n^Z. Указание
2sinx + 3(l— 2sin2x)~3=0 и т.д.
99. x=(2n+l)y. x=±arccos-| + 2kn, n, k(=Z.
100. x=(-ir + l^-l-ra-J, «eZ. 101. x=±{4n-\), «eZ.
102. х=/гл, х=(— 1)п+|-£-+пл, k, n<=Z. Указание. 1-
—cos2x—cos (ул-xJ=cos4-2-n- Г—tg-^-V 1— cos 2x4-sinx=
= —1-cos-j. 2sin2x+sinx=0, sinx(2sinx4-l)=0 и т.д.
103. x=kn, x=( — If-j+nn, k, n<=Z. 104. x=fcJ-„ x=(4n-
-l)y, k. n<=Z. 105. x=(2k+\)~, x = (8n±l)^, k, ns=Z.
2 sin2 ~
106. х=(4п+1)л, n(=Z. Решение. 7~=2' sinI^0,
sinY
x=t=2kn. тогда siny = l, x=(4n + l)n, 2*л=^л(4п+1), 2/г^4п + 1
верно, а потому х=(4л4-1)л есть решение данного уравнения-
2sinTcosY
107. x=2arctg(2±y3)+2rm, n*=Z. Указание. --*
2cos2-2"
100

X
sin — j
^2-ctg*. cosy =^0, r=2-ctgx, tgy =2--j— и т.д.
cosy
108. x=—j-\-nn, n^.Z. 109. x=kn, AeZ. Решение.
£sjn_££211=0. cosjc^O, тогда sin* =0. cos 3x^=0. тогда sinx=0,
■^slicosx cos3x ^
x=fen (при найденных значениях x, cos/m^O и cos 3/bx^0).
/To i
110. x= ±arccos - \-2nn, n^.Z. Указание. sinxT^O,
2V3
тогда -\/3sin2Jc—cosx=0 и т.д.
111. x= —£- +2kn, x= — arccos —+ 2пя, k, n^Z. Решение.
■* уз
-\^Г—-\/3cosx= — -\/3sin x, sinx^O, тогда можно возвести обе
части данного уравнения в квадрат: 3—-\/3cosx=3sin2x, 3 —
—V3cosjc=3 —3cos2x, 3cos2x—V3cosx=0, -y5cosx(-y5cosx—1)=
=0. a) cosx=0, x=(2n-\-l)-~-- Эти значения х будут удовлетворять
уравнению только при и = 2/г— 1, т. е. х— — у- 42/гл. б)-^/З cos х = 1,
cosx = —, х = ±arccos — -\-2nn. Условию удовлетворяют только
уз уз
х= — arccos — +2ил.
V3
3 5
112. х = ±-т-я + 2kn, х = -^-л + 2кл, n, /zeZ. Решение.
cosx^O,
sinx<y-;
у 4-2/гя < х< -| я + 2/гл.
-|я42*я<х<-^ 42/гя.
Vl— -\/2sin x= — 2cosx, I —-\/2sin x=4cos2x, 1 —V2sin x=4(l—
—sin2x), 4sin2x—-\/2sinx — 3 = 0. a) sinx = -|— >1, x=0.
6) sinx=—^-, x=(—1)"+'-^-4«я. Эти значения х будут удовлет-
з
ворять уравнению только при n=2k—I, т.е. х=—— л. Так как
cos( — cc)=coscc, то х=± —я4-2*я. Кроме того, при n = 2k— 1
получим: х— — л.
4
113. х=(-1)л-^4пу. яег. 114. х=кл, х=(-1)"-^ +пл,
л- *eZ. Указание, sin (2х42уя) — 3cos (Зуя—*) = 1 4
+2sinx, sin (y42x)—Зсов^ул—x) = 142sinx, cos2x4
+3sin x=l 42sin x. I —2sin2x=l —sinx, 2sin2x—sin x=0.
s'n*(2sinx — 0=0 и т..д.
101

115. x=±|-n+2/m, fceZ. 116. (4n — !)-£-.
117. x=kn, fceZ. Указание. 2cos22x— 1+6 = 7 cos 2x и т.д
118. х=пл, n^Z. 119. x=(— If arcsin-g- +пл, «eZ.
120. х=±-|-л+2/гл, fceZ. Указание. 5(1+cosx)=3-f.
+(cos2x+sin2x)(cos2 x—sin2 x), 5(1 +cosx)=3+cos2jc. 5(1 -|-cosx)=s
=3+2 cos2 x— 1 и т. д.
121. x=rt=drctg д/^е"" +гая, x=±|-+fen, га, feeZ. Ука-
за ни е. tg4Jt+ctg4*+tg2Jt-ctg2Jt = ~, (tg2x-ctg2x)2+2 +
+(tg2x-ctg2x) = -!f-( tg2x-ctg2x=i/, ^+i/-|=0 и т.д.
122.x=±-j-+'"i, neZ.123. x=— ^-+nn,x=i+foi, n, fceZ.
Указание. J_-V3tgx+l=V3, tgx^O, 1 — V^tg2x+
Ig X
+tgx=V3tgx, ^tg2x+(V3 — l)tgx—1=0 и т.д.
124. х=±~+гал, rae=Z. Указание. 4(2cos22x—1)+6(1-
—cos22x)+5cos2x=0, 2cos22x + 5cos2x+2=0 и т.д.
125. x=2-i-n.
b
§6. *
1. x= — j+пл, x=arctg-r- +kn, n, feeZ. Указание.
3cos2x—5sin2x—2sinxcosx=0— однородное уравнение, а
потому cosx^tO. Разделив обе части на cos2x, получим: 5tg2x+
+ 2tgx—3=0 и т.д.
2. x=(4n + l)-^, x=— arctg^- + ftn, n, feeZ. Указание.
Умножим правую часть уравнения на sin2x+cos2x, получим'
о
6sin2x + y -2sinxcosx —5cos2x=2(sin2x+cos2x), после
преобразований получим: 4sin2x+3sinxcosx—7cos2x=0, cos2x^:0, a
разделив на cos2x, получим: 4tg2x+3tgx—7=0 и т.д.
3. х=у+*л, fceZ. Указание. cosx^O, разделим на cos*,
получим tgx=l и т.д.
л
т
— — arctg3 + /sn, *=-j- +яя, k, n^Z.
7. x=—-^-+гал, x=j +kn, n, fteZ. Указание. 2-\/3sin2x—
— 2sinxcosx=^J, 2-^sin2x—2sinxcosx=V5sin2x+-^cos2X.
cosXt^O, делим на cosx, получим: -^tg2x—2tgx—-yjZ=0 и т.Д
102
4. x=—-j-+nn. raeZ. 5. x= — arctg-=- +ил, raeZ. 6. х=

я. Ч
8. х=—г+ял. х = arctg-т-+ Лл, п, fceZ. Указание.
gsjn2x+sin xcosx—cos2x=2(sin2x+cos2x) и т.д.
9. x— — -j+kn' *=arctg3+nn, k, n^Z.
10. x=Yarccig2-\-nY' ne^. Указание. 4sin2xcos2x—
__3sin22x=l, 4sin2xcos2x—3sin22x=sin22x-|-cos22x, 4sin22x—
__4sin2xcos2x-f-cos22x=0, (2 sin 2x—cos 2xf=0, 2sin2x—
—cos 2x=0, sin 2x^=0, разделим на sin 2x, получим: ctg 2x=2 и т. д.
11. x=kn, x= —-5--}-пл, A:, /<eiZ. 12. x= ± i-arctg2+wi,
neZ. 13. x=0.
14. x=j- + nn, x=arctg3 + fcn, n, AeZ. Указание. 3sin2x —
—4sinxcosx+5cos2x=2(sin2x+cos2x), sin2x—4sinxcosx-|-
+3cos2x=0, cosx^O, tg2x—4tgx+3=0 и т.д.
15. x=(4n + l)-^-, x=arctg2-|-£n, n, *eZ. Указание.
2sin2x+cos2x+3sinxcosx=3(sin2x4-cos2x), sin2x—3sinxcosx+
+2cos2x=0, cosx^O, tg2x—3tgx+2=0 и т.д.
16. x=(2n+l)?,x= — arcctg3 + /bi, и, fceZ. 17. x=(4n+l)y,
x= — arcctg2-j-*n, n, /jeeZ. 18. x=(4n— 1)-^-, x=arcctg2 + foi.
n, /ieZ. 19. x=arcctg 13-|-«л, x= — arcctg 13 + /гл, я, fce=Z.
20. x=j- +nn, x = arctg 153° + пл.
21. x=2arctg2-|-2nji, »eZ. Указание. sinx-|-cosx—1 =
= — ctgy(l — cosx). sin x+cosx—1 = — 2ctg-^- -sin2-|-, sinx+
+cosx—1 = — 2sin y» s'n"5" =7^0, x=^=kn, sinx+cosx—1 = —sinx,
2sinx—(1—cosx)=0, 4sinYCOSY—2sin2|-=0 и т.д.
22. x= f+nn, n, k<=Z; х=45°+180°/г, п, *eZ.
23. x=kn, x=—arctg2 + nn, k, n^Z. Указание. —r—X
cos' x
X(i+sin2x)=l, cosx^O, хф^ + кл' 1+sin 2x=cos2x, 1 —
—cos2x+sin2x=0. sin2x+2sinxcosx=0 и т.д.
24. x=-i-arctg2+2*m, fce=Z. Решение. cosx^O. — y +
+2лл<х< —+2пл, 4cos2x=2+sin2x. 2(1+cos2x)=2+sin2x,
2c°s2x=sin2x, cos2x=5^0, tg2x=2, 2x=arctg2 + rm, x=
— ' n
~~Y arctg 2-|- n-g-. Найденные значения х удовлетворяют условию
103

cosx^O, а следовательно, и уравнению только при п=4Л, т.е.
jc = i-arctg2 + 2fcn, fteZ.
25. х = -^-+пя. x = arctg3 + fcn, n, ieZ.
26. x= —л, x = —л. 27. х=±-£-+2£л, fceZ. Решение
о b 4
cosx^sO, — y+2foi<x<y +2кл, 1 — cos2x=2cos2x, 2sin2x=s
= 2cos2 л:, sin2x=cos2x, cos2x—sin2x=0, cos2x=0, 2x = у + nn,
x = —+и— Найденные значения x могут удовлетворять условию
cosx^O, а следовательно, и уравнению только при и=4Л, т.е.
*=±Х +2kn, k<=Z.
28. * = -т" -\-kn, x = arctg3 + nn, fe, «eZ. Указание. 2sin2x—
— 4 sin xcos x + sin2 x+cos2 x=0, 3sin2 x—4 sin x cos x+cos2 x=0
и т. д.
29. *=(2*+l>f, —J + лл, /г, «el
30. * = — + Лл, x=arctg2 + nn, k, n^.Z. Указание, cos 2x—
—6sin xcosx + 3 = -^-n—-л, cos2x—sin2x—6sinxcosx+3(sin2x-|-
+ cos2x)=0, 2sin2x—6sinxcosx-f 4cos2x=0, sin2x—3sin xcos x-f
-|-2cos2x=0 и т. д.
31. х=(4и+ 1)-^-, n^Z. Указание, sin 2x=(cos2x—sin2x)X
X(cos2x-|-sin2x), sin2x=cos2x, cos 2x^0, tg2x=l и т.д.
32. x=(2n + l)y, x=arctg-| +kn, n, *eZ. Указание.
sin2 x—(cos2 x—sin2 x)=2(sin2 x-f-cos2 x)—4 sin xcos x, 2 sin2 x—
—cos2 x = 2 sin2 x-|-2 cos2 x—4 sin xcos x, 3cos2 x—4 sin xcos x=0,
cos x(3 cos x—4 sin x)=0 и т. д.
33. х = кл, х = -^--|-пл, k, n^Z.
34. х= — у+ия, х= — arctg2-|-/m, и, fteZ. Указание.
1 +3sin xcos x-|-cos2x=0, sin2 x+cos2 x+3 sin xcos x+cos2x==0,
sin2x.-|-3sin xcos x+2 cos2 x=0 и т.д.
35. x=—^--\-kn, x= —у+пл, k. n^Z.
З6- х=7+м, x=arcctg2 + fax, n, ieZ Указание. 4cos*x+
+ 3sinx-( —cosx)+5sin2x-^ --g-=0, 4cos2x—3 sin xcos x+
+ 5sin2x—3=0, 4cos2x — 3 sin xcos x + 5sin2 x—3(sin2 x+cos2 x)=
= 0, 2sin x — 3sin xcos x+cos2x=0 и т.д.
104

37. x= — -£-+ил, x=arctg5 + ftn, n, fteZ. Указание.
gsinxcosx+ 10cos2x+cos2x —sin2x=l, 8 sin x cos x-\-I1 cos2x —
-_sin2x=sin2x-|-cos2x, 2sin2x —8sin xcosx—10cos2x=0, sin2* —
__4 sin xcosx—5cos2x=0 и т.д.
38. x=kn, x—(2n + \)~, ft, n^Z. Указа ние. — sin(2n — 2x) —
-cos(Зя + 2x)+tg 2x = Icos22* , cos2x=^0, sin 2x—cos(n + 2x)+
2 cos 1x \ i / i
4-tg2x= =—, sin 2x-|-cos2x+tp2x=—X-—-, sin 2xcos2x-|-
• R cos 2x ' ' & cos 2x '
-|_cos22x+sin 2x= 1, sin 2xcos2x+sin 2x=l — cos22x, sin2x(l-f-
+cos 2x)=(l —cos 2x)(1 + cos2x), (1 +cos 2x)(sin 2x— 1 + cos 2x)=0
и т. д.
39. x=(2n+l}y, x=(4ft + l}j, х=—arcctg3 + mji, n, ft, meZ
, 3± ^4as+U2a-739 3^/5
40. x=yarctg 2(17-a) ' keEZ при l4 2~~~<a<
о ТЕ
<14 + —|— и a=ll. Указание. 11 sin27x—3sin 7xcos 7x-|-
+5cos27x=(a—6)(s/n27x-f cos27x), (I I — a-\-6)sin27x—3sin 7л"Х
Xcos7x+(5 —a + 6)cos27x=0, cos27x^=0, (17 —a)tg2 7x—3tg +
+(11— a)=0, D=9 —4(17 —aXll—a)=9—4(187 —17a—lla+oF)=
=9+112a —4a2 —748=—4a2+112a—739. Уравнение имеет
решение, если D>0, т.е. — 4a2+ 112a — 739>0, 4a2 — 112a + 739<0,
d*-28a + ?f-^0, (a-14-f-l96 + — <0, (a-Mf^ll^,
. .. _ 3V§ Зд/5 ^ , д _ Зд/5 , „ 3-^5 _ ^,, . ,
|a-4|<-|-, Г"<°— 14<-^-, 14 ^-<a<14 +
+ ^г~. Наименьшее целое число будет -a=ll. tg7x=
3± л/—4с2+112а-739
= И Т. Д.
2(17-а) и
41. х=— 90°, х=—26°34', х=90°. Решение. sin2x+cos2 к—
~sin2x=2cos2x-|-2sinxcosx, cos2x+2sin xcosx=0, sinx^O,
разделим на sin2x, получим: ctg2x + 2ctgx=0, ctgx(ctgx-|-2)=0.
a) ctgx=0, x = y+лл, —^-<-|-+пя<-^' —1<«<0. Так как
n^Z, то n= — 1; 0 и х\ = —-— я=— ~, x2 = -2L+0-n = Y-
6)ctgx=-2>tgx=-y,x=-26o34/+180°n; —90°<-26°34' +
+ 180°n<90°; — 63°26'<180°и<116°34', а потому n=0, тогда
x3= — 26°34' + 180°-0= — 26°34'.
42. x=(2rt+l)-j-. x=(4ft-|-1)-^-, n, fteZ. Указание. sin2x-|-
+cos2x= .'■ , sin 2x^=0, sin22x+sin 2xcos 2x= 1, sin 2xcos2x=
sin 2x '
= 1—sin22x, sin 2xcos2x=cos22x и т.д.
105

43. х=(4га—1)^, x=-jarctg5 + -i-A:n. га, fteZ. Указание.
cos3x^=0. x=H=(2n+I)-g-, 1—6cos23x=4sin3xcos3x, sin23x-f.
4-cos2 3x—6 cos2 3x=4sin 3xcos x, sin2 3x—4sin 3xcos 3x—5cos2 3x=
=0 и т. д.
44. х=(2£-|-1)л, х= — 2arctg2-|-2/m, k, n^Z. Указание.
4 (cos2-^— sin2y)+4sinYCOSy-|-4(sin2Y+cos2Y)=0.
О X . о JC . - JC X , • о X t 9 X л л 9 X t
cos-'y — sm y + sin у cos Y+siniiY4-cosi!Y=0, 2cos''y +
+ sinYCOs -у =0, cos-|-(2cos-у +8т-^)=0 и т.д.
45. jc=(2n +1 )-Y, x=arctg-r- +kn, ra, AeZ. Указание.
4 sin 2x=3(l 4-cos 2x), 8sin xcos x=6cos2x, 3cos2x—4 sin xcos x=0
и т.д.
46. x=(4n-l)-|-, x=arctgT+^. ra. *eZ. 47. х=(2п+1)-|.
12
x=arctgy-f-foi, га, *eZ.
48. 68°12'+180on, heZ. У каза ние. 2cos(270° — x)+5cosx=
=0, — 2sinx-|-5cosx=0, cosx^O, 2tgx=5 и т.д.
49. x=45° + [80°n, x=81°524-180°*, n, *eZ. 50. x=-45° +
+ 180°*. x=71°34/ + l80°n. k, ns=Z. 51. x = -J + ran, nsZ. 52. x=
= -|г+ил, neZ. Указание. (V3sinx—cosx)2=0, -\/3sinx—
—cosx=0 и т. д.
53. x=30°58'+ 180°n. x=45°+180°ft. n, fee=Z. Указание.
5sin2x—8sinxcosx-|-3cos2x=0 и т.д.
54. x=±arctg^-+rm. raeZ. 55. x=(3n±l)-£-, n^Z.
56. x=kn, x=-^--J-rm, k, ne.Z. Указание. cosx^O,
sin xcos x4-cos2x=l, sinxcosx=l—cos2x, sin xcos x=sin2 x,
tg2x—tgx = 0 и т.д.
57. x=(-ir + 1arcsin^+nn--J-, n^Z.
§7.
1. x=kn, x=y +2пл, п, fceZ.
2. х=(2га-|-1)-^-. x=arctg44-ftn, n, feeZ. Указание.
ctgx(ctgx—4)=0 и т.д.
3. х=Дгл, x=arctg2-|-rm, k, n^.Z. Указание. tgx(tgx—
—2)=0 и т. д.
4. х=Лгл. х=±у+пл, k, n^Z. Указание. tgx(tg2x—
— 1)=0 и т. д.
106

5. x=fty, fteZ. Указание. cosx=0, x=(2n + l)-j. но
tg3((2«+l)y)=tg(2n+I)-g-n не существует, а потому cosx^O.
Следовательно, tg3x=0 и т. д.
6. х=0. Решение. tgx=0, x=ftn, но sin3ftK=0, а потому
уравнение не имеет решения.
7. x=(2n + l)|-, *=-f( — lf+kn, n, k€=Z. 8. x=(2rt + l)-J,
х=(—l/^+^y. я, fteZ. 9. х=Лл, х = -т--|-пл, neZ.
10. x=(2n + l)-J, neZ. Указание. 2cos2x(ctg2x+2)—
-(ctg2x+2)=0, (ctg2x+2)(2cos2x-l)=0 и т.д.
11. x=(4n + l)-J. n<=Z. Указание. 2tg2x(tgx—l)+3(tgx—
—1)=0 и т.д.
12. x=(4n + l)-j-, jc=(8* + 1)-j-, n, feeZ. Указание. cos2x—
—sin2x=~v/2(cosx—sinx), (cosx—sinx)(cosx+sinx—-\/2)=0 и т.д.
13. x=(2ft + l)y, x=(4n + l)|-. ft, neZ.
14. x=(4ft —l)y, x=(2n + l)-j-, ft, n<=Z. Указание. 2sin3x—
—(1—2sin2x)—sinx=0, sinx(2sin2x—l)-|-(2sin2x—1)=0, (2sin2x—
— l)(sinx+l)=0 и т. д.
15. x=(3rt±I)-5-rt, neZ. Указание. — (1 — cos6x)ctg3x —
—sin3x=0, —2sin23xctg3x—sin3x=0, sin3x(2sin 3xctg3x+l)=
=0 и т. д.
16. x=(4n — l)f, x=(6k— l)j, x=(12m— \)f, n, ft, ms=Z.
Указание, cos2 x~ sin2 x %~ (cosx+sin x)=0, (cosx+sjnx)X
X (cosx—sin x—-g— 2 )=0 и т" д*
17. /=y+2nn, /=(— lfjr+kn, n, fte=Z. Указание. 3(1 —
—sin/)=l+cos4/ — sin4/, 3(1— sin /)=1 + (cos2/ — sin2/)(cos2/ +
+ sin2/), 3(1— sin/) =1+ cos 2/, 3(1 —sin /)=2 cos2/, 3(1— sin/)=
=2(1—sin2/) и т.д.
18. *=fty, x=(2n+l)-j|, ft, nc=Z. Указание. tg23x(l —
~2cos23x)=0 и т.д.
19. x=(4n + l)-J, x=±-J+(8ft-l)-j-, n, fte=Z. Указание.
sin x+cos2x—2sinxcosx=cosx — sinx, (cosx—sinx)2—(cosx—
—sinx)=0, (cosx—sinx)(cosx—sinx—1)=0 и т.д.
20. x=-=-+ftn, x=(-lY+l±+nn, ft. neZ.
107

21. x=kn, x=±yarccos-2y-i-+nn, *• иег ПРИ — !<aO.
Решение. 3sinx—4sin3x—asinx=0, sinx(3—4sin2x—a)=0.
a) sinx=0, x=kn. 6) 3—2(1— cos2x)—a=0, 1 — a= — 2cos2x,
cos2x=a~ . Это уравнение имеет решение, если | а~ | ^ 1, т. е.
2
|a—1|<2, —2<a—1<2, — l<a<3. 2х= ±arccos-^=-!-+2nn.
х= ±yarccos— |-/гл.
22. х=2£л, *=у +2пл, fc, reZ. Указание. tg-|- =1— cosx,
tg|=2sin2-|-. tg|(l-2sin^-cosy)=0HT.fl.
23. x=kn, х=(4/г-Н)^-. *, neZ. Указание. sin2x=l —
—cos2x, 2sinxcosx=2sin2x, sinx(cosx—sinx)=0 и т.д.
24. x=(2n-flK х=(2Дг+1)2л, п, fceZ. Указание. —cos-|- =
= 1—sin2y, cos2^ 4-cosy =0, cosyfcosy+ 1 Wo и т.д.
25. x=-z-nn, n^Z. Указание, cos44r = 1 — sin24-. cos44r —
2 о о о
-cos2y=0, eos2-g-(cos2y-l)=0, cos2f (l-cos2y)=0,
■ 2 X 9 X _ . 52Jt _ . 2x -.
sin^cosy =0, sHr-g-=0, sin-g-=0 и т.д.
26. х=(2/г + 1)т. x=(6k±l)-j, n, ks=Z. Указание. (1-
—sin2 x)(l -|-sin2 x)= -|-cos4 x, cos2 x (l + sin2 x—-jcos2 x J =0 и т. д.
27. х=(4и + 1)^. *=±-j--K8* + 1)-j-. "' feeZ' Указание-
cos2 x—sin2 x=cos x—sin x и т. д.
28. x=±-§-n+(8n+l>J-. ne=Z.
29. х=3*л, х=(— 1Уу +3лл, *, ne=Z. Указание. 2sin3-J =
= l-cos2y, 2sin3y-sin2y=0, sin2y(2siny-l )=0 и т.д.
30. х=(2п + 1)±. х = (2*+1)-£-. п, ks=Z. Указание. ^^4JL _
v ' '4 v '8 surx
sin2x 0 r, cos* х—sin4 x Q 0 cos2 x—sin2 x 0 0
s— =8cos2x, —n 5—=8cos2x, —— 5—=8cos2x.
=8cos2x, cos2x^-r-j- 2)=0 и т.д.
\ sin' 2x /
4cos2x
sin2 2x
31. х=(2л + 1)л, x=Y(4ft— I), n, *gZ. 32. x=(4n — 1)-J.
x=2foi; x= — -2. +mn, n, fc, m^Z.
108

33. x=(2n + l)-=-, *=(—1)*|-+*-£-, n, *<=Z. Указание.
cos2*
sin2*
=4^ctg2x.
cos x—sin x
sin2 xcos2 x
-4^ctg2jc=0,
4 cos 1x
sin22x-
-4V2ctg2x=0, f[f- -^ctg2x=0, ctg 2x (^f- _^) =0
„т.д. 34. *=(2n+I>=.1 neZ.
35. x=3nn, х = ул(2и+1), neZ. Указание. cos2-g-=l —
-sin4-!-. cos2f =cos2|-(l+sin2f ), cos2|-(l+sin2|--l)=0
и т.д.
36. x=5kn, x=(~ 1)"|-л + 5пл, /г, neZ.
37. х=(2и + 1)л, *=(6fe + l)-^-. «. ^Z. Указание, ^sin jc—
—(I+cosx)=0, 2-\^sin-|-cosy — 2cos2-|-=0, cosy("\^s'
—cos yj=0 и т. д.
яп-
38. х=2кл, *=( — 1)"+14я + 2пл, /г.
isin-~-+ I — cosx = 0.
Указание,
л
V3sin-J +2sin2y=0, siny(V3 +
2
-t-Vcos*= — -^, sin
V3
2
V3si
+ 2 sin y) = 0 и т. д.
39. *=(2*+1)-=-, л:=(-1Г^+Пу, *, neZ. 40. х=-^ +
+пя, х=/гя, /г, fceZ.
41. х=(— 1)"+14р +ил—£-, neZ. Указание. — sinx +
(Д:+Т)=-:2^ИТД-
42. х=/2у, x = (4n+l)-^, ft, neZ. Указание. 2sin23x—
— tg3x=0, tg3x(2sin3jtcos3Jt:—I)=0 и т.д.
43. *=(2n + l)-J-, х=(41е—1>§-. x=(-lff +mn, n, k, m<=Z.
Указание. 2sin3x — sin jc+cos22jc=0, sin jt-2sin2x—sinx-}-
+cos22jc=0, sinx(l —cos2jc)—sin x-|-cos22a:=0, — sin л:cos2л:-|-
^-cos22л:=0, cos2x(cos2x—sin jc)=0. cos 2jc(1 — 2 sin2*—sin jc)=0,
cos2jc(2sin2JC + sinx—1)=0 и т.д.
44. x=(\2k-l)~, x=(6n —l)-jj-. x=(12m + 7)^, k, n, m<=Z.
Указание. 2 sin 2x(-\^sin jt+cosjt)=(-^sin x+cosx)(-\/3sinx—
-—cosx), (-\^sin x+cosjt)(2sin 2jc—-\/3sin jc+cosjc)=0 и т.д.
45. x=k^ , x—(— 1)"-^ + л-£ + 7^. k, n^Z. Указание.
12
12'
,2sin3xcos3JC=l — cos6x — 2 sin 3x, 2 sin 3jtcos3x=2sin23jc—2 sin 3x.
sin 3jc(sin 3x—cos3x — I) = 0 и т.д.
109

46. x = y + 2лл, A = 2arctg0,6 + 2fcn;, я, ieZ. Указание
4sinx — 3cos a=4(I —cos a). 4sin a+cos a—4 = 0, 8sinyCOS ~ -\.
+cos2y -sin2f -4 (sin2 f + cos2y) = 0, 5sin2y -8sin-f- X
Xcosy +3cos2y=0 и т.д.
47. a=0. а=2л. Решение, tg у -tg t~ —f )Н ТЦ 7Т =
cos4t-t)
=2. сое (i--£-) *0. tg|.sin(^)cos(^-f)+1==
= 2cos» (i-i).i-tBi»in(f-f ) + ! = ! + cos (f-i).
ytgy-cosу =siny, siny =0, x=2kn, k^Z. — у <2*л<2л,
— 4-<*<l Так как *^Z. то * = 0; I, тогда A|=0, а2=2л
(при найденных значениях a cos (-^- —-^- )^=0).
48. х= ±-т--г-"11' n^Z.
49. А=(2л + 1)у, JC=(-1)*+1^+ft-J. n. *e=Z. Указание.
■2+ctg2A + 2cos4A=0, 2(1 +cos 4A)+ctg2x=0, 4cos22A+ctg2A =
=0, ctg2x(4cos2Asin2A +1)=0 и т.д.
50. x=kn, k<=Z. 51. a=(4*+1)-^, fteZ.
52. A=(2*+l)y, A=(-I)"arcsin-^y^-+nn, n, fce=Z.
Указание. 3sinx(l—sin2A)—(I—sin4 a)=0, 3sin a-cos2 x—cos2 a(1 +
+ sin2A)=0 и т. д.
л
53. а=——-\-kn, k^Z.
54. лг = у+лл, а-=(— lf-^+тл — -j, n, meZ. Указание.
cos2 a —sin2 a=cos3 л:—sin3 a, (cos л:—sin x)(cos A+sin a-)=(cos a—
— sin a)(1 +sin л:cos x), (cos a—sin a)(cos A+sin x— I —sin a:cosx)=
=0 и т. д.
55. а=(2* + 1)л, A=(4n + 1)-J, A = y±arccos ^~2 +2mit, k,
n, m^Z.
56. х=±у+*л, *<=Z. Указание. 2(2 cos2 a)2 = 1 + cos 4a,
2( I +cos 2a)2 = 2 cos2 2a и т. д.
57. а=(2*+1)л, а=(— 1)лу4-лл, п, k(=Z. Указание.
2 sin A+sin 2a=I +cos a, 2sin A + 2sin acos a= I + cos a, 2sinx(l +
+ cos a)=I + cos x, (i -f-cos A)(2sin a— I)=0 и т. д.
no

58. лг=(2я-Н)у, Jt=("6A±l)y, я, AeZ. Указание. cosjc=
з-l— COSJC, tgJC(l — COSJc)=l — COSJC. (1 — COSJc)(tg.K— 1) = 0 И Т.Д.
59. а:=(4л —0-j-. JC=(2fe + l)n. я, *eZ. Указание. l+tgjc+
+cosjc(i+tgjc)=0, (I+tgA;)(l+cosx)=0 и т.д.
60. *=-j-+ftn, л:=2ял, ft, reZ. Указание, tgx—sinjc =
= 1—cosjc, tgx(l — cosjc)= 1 — cosjc, (I—cosjt)(tgjr—1)=0 и т. д.
61. х=(2я + 1)у, x=(3ft±I)^, л, teZ. Указание. 1 +
-fcos2jf+cosjc=0, 2cos2jt-t-cosjc=0, cosjc(2cosx+1)=0 и т.д.
62. x—kn, x=±-r-n + 2nn, ft, n^Z.
63. x=(2n+\)n, Jc=±2arccos-r-+4ftn, л, £е2. Указание.
cos2y — 3sin2YCOs-|- =0 и т. д.
64. д:=(2я + 1)у. дг=(— lf^+kn, л, fte=Z. 65. jc=ftn, дг=
=(4л+1)^-, ft, n<=Z. 66. jt=ftn, *eZ. 67. х=(2л + 1)-£, х=
=(-lf±+kf, я, k<=Z.
68. а-=Ал, лг=(—1У-|+лл, л, fteZ.
69. jc=2ftn, д:=(—1У+,у+2лл, ft, n<=Z. Указание.
~-\^sin-|-= 1—cosjt, 2sin2-|-+-\^siny=0, siny^2siny +
+V5)=0 и т.д.
70. х = |-+пл, x=±|-+(8ft + l)-J. л, feeZ. Указание.
2(cos2 x—sin2 x)=-\/e(cos jc—sin jc), (cos x—sin *)(2(cos x-f-sin x)—
—\/б)=0 и т. д.
71. дс=йл, Jc=±arccos0,2-H2fln, ft.'HsZ.
72. лг=(2я + 1)у, а:=(— l)*+,arcsin|-+ftn, я, fceZ.
73. *=2ft:ri, л:=(4я-|-1)я, ft, яе=2. Указание. 2sin-|-=I —
—cosjc, 2sin-|-=2sin2-|- и т.д.
74. л=2(2я + 1)я, x=Skn, n, fte=Z. Указание. 2cos-|-=l +
+cos у, 2cos-|- =2 cos2-j-, cos -j- (cos -^- — I J =0 и т. д.
75. л:=6Ал, дг=(4я + 1)3л, я, fte=Z. Указание. 1— cos у —
—2sin-g-=0, 2sin2-£- — 2sin-g-=0, sin-g-(sin-g- — iWo и т.д.
ill

76. а=4£л, а=(4/2 + 1)2л, n, fte=Z. 77. а=(2*+1)Зл, -х=12пп,
ft, ne=Z. 78. A=(2n+I)-^, x=(-lf-^ + ftf, n, fte=Z.
79. а=(4я — 1)-J-. A=±-J+(8ft — l)-j, л, ft«=Z. Указание.
, . cos 2* r. . . (cos x—sin x)(cos jr+sinjr)
cosA+siriA— ■:—%-. =0, cosA+smA—s ; "-:—rr U
1 1—2sin jccosa; ' (cos x — sin xf
=0, cosa^shia, cosx+sinx :I—.— =0, (cosA+sin x)y
^ ' cos x—sm xx ' /хч
X (\ — Wo и т.д.
,N V cos x—sin x /
80. a=( — 1)"+ЧГ15' + 45°л, /2(=Z. Указание, sinxcosAX
X(cos2a—sin2A)= l—, 2 sin a cos a cos 2x= ■=, sin 2a cos 2a=
K 4-v<2 2л/2
-, sin 4x== — и т. д.
2V2 ' V2
8!. А=(2л + 1)у, A=(2ft+1)-J, л, *eZ. 82. A=ft-J, x=(4n +
+ 1)^, ft, neJV.
83. x=4kn, а=±-§-л+4ял, ft, n<=Z. Указание. tgy =
2tB4
B 4
X( Ц--З) = 0н т.д.
84. x=^+nn, x = y +2kn, я, feeZ- Указание, cos2*—
— sin2 a= V^(cos x—sin a:), (cos a:—sin a)(cos A+sin a)=V2(cos a —
—sin a), (cos a—sin a)(cos x+sin x—-y/2)=0 и т. д.
85. x=k~, х=(—1у~+п^, k, n<=Z. Указание, sin 2a=
= 1 — cos 4a, sin 2x=2sin22A, sin 2A(2sin 2a— 1)=0 и т.д.
86. а = *л, fte=Z.
87. x=±+2kn, а=±-£-+2ял, ft, ле2.
88. a=(2/1 + 1)-^-, rceZ. Указание. sin2A(sinx—cosx)+
+cos2 a(cos a—sin x)=l,5cos2x, — sin2A(cosx—sin a)+cos2x(cosx—
— sin a)= 1,5 cos 2a, (cos a—sin a)(cos2 a—sin2 a)= 1,5 cos 2a, (cos a—
— sinA)cos2A=l,5cos2A, cos2a(cosa—sin*— 1,5)=0 и т.д.
89. а=(2я+1)-|-, n<=Z. Указание, sin32/(2sin22t— 1)—
—3(2sin22f— 1)=0, (2sin22/— I)(sin32f — 3)=0 и т.д.
112

90. x = -j-+kn, fteZ. Указание, sinx(tgjt— 1)—(tgjc—1)=0,
ltgx-l)(s<nx—1)=0 и т.д.
91. х = (2я + 1)у. x=(4ft+ l)-j, n, 4eZ. Указание. ysin2jc =
3=1— sin2*, sin a:cos;c=cos2 a\ cos x(sin a:—cosa:)=0 и т.д.
92. x={4n — l}j, x = (-\f^+(4k-i)±, k, n<=Z.
Указание, sinx+cos jc= 1 -f-sin2jc, sin jc + cos Jt=sin2JC-|-cos2jc + 2sin jcX
vcosx, (sin x4-cos л:)2—(sinx+cos a:)=0, (sinjc+cos x)(sin jc+cos x—
__1)=0 и т. д. -
93. х=£л, k^Z. Указание, sin x + 3 sin x — 4 sin3 jc+4sin3x=
=0, sin x=0 и т. д.
94. x=-j- +пл, х=±ул+2Ь, п, fteZ. Указание, sinx —
—cos x+2sin xcos x—2cos2a:=0, sin x—cos a:+2cos jc(sin x—cos x)=
=0, (sin x — cos jc)(1 +2 cos jc)=0 и т.д.
95. x={4k — I>J-. *=±-|-+(8ii+1)-J, ft, neZ.
_„ „. n , . -ж \т sin2* I—cos x
96. jc=2foi, х = —4-пл, k, n^Z. Указание. —r- = - :—,
4 ' cos2* 1—sin x
1— cos''л: 1— cos x „ 1— cos л: / 1 +cos x ,\ „
5 i = =0, "J : [-ГГ- l )=0 И Т- Д"
I —sin2 x 1—sin* I—sin* \l-fsinx /
97. * = "г +*Л- X~~Y +2ил, k, n^Z. 98. * = -r- +nn, x = fty,
n, teZ.
99. *=-?- +пл, a:= — arctg2 + foi, ". fteZ. Указание.
(I—tg a:) cos2 a:=2 cos 2a:, cosjc^O, в противном случае tgA: не
существует, а потому разделим обе части уравнения на cos* x,
получим: I— tgA-=2(I — tg2x) и т.д.
100. А-=(2л + 1)у, x=kn, n, fteZ. 101. x=±-j, х=0.
102. х=—^ -\-2kn, х = ^--\-пп, k, n^Z. Указание. ctgA- —
—sin x= I — cos x, ctg A-4-cos x= 1 +sin x, ctgjc(l+sin a:)=(1 +
+sinA-)(l4-sinA:)(ctgA:—1)=0 и т.д.
103. A-=-45° + 180°n, *=(—1)*20°54'+90°*, n, fteZ.
Указание. 3(cos A-+sin a:)(1 — sin jccos a:)—2(sin x + cos a:)=0, (sinjc+
+cosa:)(3 —3sinxcosA:—2)=0 и т.д.
104. х=(2п+1)л, a- = (— If-j+kn, n, k<E=Z. Указание.
2(l+cosx)=V3tg(|--y), 4cos2|-=V3ctg^, ctg-f-X
X (4 cos у sin y— V5)=0 и т.д.
из

105. х=— 4+2*л, fte=Z. Указание. -£^i- = l+sin3v
Z cm* v " * *.
(I— sin2*)2 1,-3 (I — sinx)2(l -4-sin xf ,. . . WJ
+sin2*), ('+sinx)((|-s^+sinf) -(l-sinx+sin^))=OH4
106. х=(2л + 1)я. х=(3*±1)-|-л, я, fteZ. Указание. l_|_
+cos*+cosy =0, 2cos2y+cos-|-=0, cos-|-(2cos-J + I)=0
и т.д.
J07. x = kn, x=(4n+l)±, k, n<=Z. 108. *=5, x=(- \T-j-\-
+ пл, n^Z.
109. x=kn, fte=Z. Решение. 2sin*cos* =Q
cos3xcosjc ' ^U|
sm x _q^ тогда sinjc=of jc=A;n (при этих значениях х cosjc^C
COS dX
и cos3je=H=0).
ПО. Jt=(— lfj+пя, reZ. Указание. — cos 2jc= 1 — 3sinx,
—(1— 2sin2x)=l — 3sinx, 2sin2^+3sinx—2=0 и т.д.
111. x=-±+nn, x=±-j +(8k-l)-±,n, *eZ. 112. *=y +
+ 2nn, *=±-|л + (8*+1)у, n, ke=Z.
113. jt=fty, x=(2n+l)j£, k, n^Z. Указание. tg3x=
=2sin 3xcos Зх, tg3*—2sin 3jccos 3*=0, tg3*(l — 2cos23*)=0 и т. д.
114. x=±arccos—&-+2nji, ne=Z. 115. jt=-J +nn, *=y +
+2kn, х=-?-+2тл, п, k, m^Z.
116. x=2kn, x=(2n-\-l)n—2a, k, n^Z. Решение. cosasinx—
=sin a—sin acosx, cosasin дг+sin a cos x=sina, sin(*+a)=sina.
a)x+a — a=2kn,x=2kn.6)x+a + a=n{2n+l),x={2n + \)n—2a
117. x = {4n + l)^--2a, * = (4*+l)-~, n, k<=Z.
118. x=(4n — l)y, neZ. Указание. —sinjtcos*(cos2x--
—sin2Jt)=-j-, —s in2jc-cos2.it=-5-. sin4x= — 1 и т.д.
2 sin-£-cos-£-
119. x=2kn, x=4nn, k, n^Z. Указание. ""
2cos*-|-
X
sin —
sin —
=siny, cosj^O, y -sin \ =0, sin-^-(l-cosy)=0 и т.Д-
COSy
114

120. *=0, я, — -j, ^-. -4-"' Тп> Тл- Решение' tg2Jt(l —
_2cos2x)=0, tg2x(l —1—cos2*)=0, tg2x.cos 2лг=0. a) tgx=0,
3 3
х=1гя, —^n<:kn<2n, — -j-<fc<2. Так как k^Z, то k=0; 1
MJC|=0, х2=л. б) cos 2*=0, *=(2л+1)^. --|л<(2я-Ь 1)-=- <2л,
__3<2n+l<8, —4<2п<7, — 2<л<3у. Так как neZ, то
f П I Гь О Л П 3 5 7
й= — 1. О, I, 2, 3 И Х3= 1-, *4 = — , Х5=-^-Я, Хб^-^-Л, ДГ7 = -^ГЛ-
121. д:=£я, х = ±-jr +2пл, п, AseZ. Указание, sin2аг=
=s2-v/3sin -5-cos у, 2sin*cos Jt=-y/3sin л:, sin jc(2cosx — д/3)=0 и т. д.
122. лг=у+пл, х=*л, п, *<=Z. 123. x=2arctg2 + 2mi, neZ.
§8.
I. *=|-Ля, x=(2ft+l)y, fte=Z. 2. x={4k+l}f, x=(4k+l)±,
fteZ. 3. дг=Лл, x=-jkn. fteZ.
4. at==(4A + I)^, jc=(4ft —1)-~, k<=Z. Указание. cos3jc=
=cos (~—x\ и т. д.
5. x~kn, *eZ. 6. x=(3k — l)y, feeZ. Указание, tg (5* +
+lf)=tg3x и т.д.
_ 1±УГ+в^ -l±Vl+(tt + i)4« Ьс~ я „ . <,
7. f= , / = , fteyVo- о. х=яя—2,
feeZ.
9. *=±У*л~+3, teiVo. 10. лг=(4*+1)§, дг=(4Л—1}J, teZ.
Решение. sin5*=cos 7x—0, cos 7x=cos (y — 5*Y a) 7x—y-+
+5*=2fen. 12x=(4* + l)y, дг~£(4*+1). 6) 7x + y-5*=2toi,
2*=(4*-l)y, X=(4ft-1)-J.. П. *=тл/2. 12. x=b^i,fteZ.
13. „ — 5я-4 9я-4 ,4 7n I ,. ,.,л
*«« + l)f. neZ.
•6. дс=лл, x=(2n + l)-^, neZ. Указание. (1 — sin3x). 1 =
888 sin у + cos2 у—sin x, l—s'm3x=l—s'mx, sin3x=sinx и т.д.
115

17. *=лу, х=(2я + 1)т> ne=Z. 18. х=0. 19. *=(4n + i)i
x=(4rt + I)T,/2e=Z.
20. х=п^, n=£6k, fteZ. Решение, ctg 1 ljt=ctg5jc, tg 11*^
=tg5Jt, llx—5x=nn, A:=-g-/m будет решением при пфбк, k^i
21. дг=(8л+1)-^-, лг=(8п+3)^, nc=Z. Решение. ysin2x.f
+ —cos2x=sin3.ic, sin (2jt + -^-)=sin Злг. а) Зх —2х—^ =2«л,
л=(2л+1)-^. 6)3x+2x+-J =(2л + 1)л, 5х=2ял + |-л, 5x=(8n +
+ 3)-J,*=(8n+3)£.
22. x=(2n+l)±, n<=Z. 23. x=(-lfarcsin^^-+nn—~
nt=Z. k=~2\ —1; 0: I.
24. *=4±Vl6+2ib", *=—2, — 1; 0, I, 2, 3 ... и х= — 4±
±V'6+(2ft+l)n, fe=—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3 ... . Указани,
а) x2 —8дг=2*л. *,.2=4±л/16+2Ы *=—2, —I, 0, I, 2, 3..
б) л:2 + 8л:=(2*+1)л и т.д.
25. x=I0 + 3, а:=10(4*_,)я, *eZ. Решение. cos(lgx)=
=cos(-J—i-lg*). a) igx-^ + ±lgx=2kn, 31gx=(4fe + l>i
\gx=(4k+\)±, *=10 3. 6) lgJt+|-i|gx=2b, lgx=
={4k— 1)я, д:=10(4*-,)л.
26. x=(2ft-l)£. *e=Z. Решение. tg(f+-f^)=tgT> •§ +
4—p—y=ftn, 6x=fcn — у , дг=(2£ —1)^.
27. x=(-I)*i-arcsinT^r + Yftn, *<=]-«>; -3]U[2; oo
teZ. Решение, хфт^ — условие существования tgjc и ctg-*
tg(nctgx)=tg(y—ntgx). a) nctgjc—y +ntgx=kn, 2ctgx+
■ о * ol i i i i i 2ft + l cos2x+sin2x 2Й+1 2 __
+ 2tg* = 2ft+l, ctg* + tg* f-. sinxcosx =-2-.^x~
= 2*±i, 8т2х=^т, *e=]-oo; -3]U[2; oo[. 2*=(-I)*X
Xarcsin^-j-H-ftn, x=(—l^yarcsiny^^-H-Ary.
П6

28. x=(6n-l)-£-, *=(l2fc—l)i, ^=(12Л + 7)у|, и, AeZ. Ука-
за н и е. 2 sin 2x(V3sin лг + cos x)=(V3sin x+cos x)(V3sin x—cos x),
l 3sinx4-c°sx)(2sin2x—(-y/5sinjc—cosдс))=0 и т.д.
29. A:=(4fc+l)f, *=(4*+1)-|, fteZ. 30. 2ял±-|л+4лл,
. *-п-\-4пл, n^Z. 31. x=arctg(ft+-M-fnn, ft, «eZ.
32. x=(8ft — 1)^, x=(8ft+l)^, fteZ. Решение, cos 13jc=
:=J-cos5jf+— sin bx, cos I3x=cos (bx — -jj. a) I3jc —5* + -^ =
«2fen, 8jc=(8*—1)-=-. 6) \3x+5x—j=2kn, 18x=(8ft +1)-^,
jr«(8*+l)£.
I 9.
1. *=(2rt+l)y, x=(4ft+l)-J, n, fte=Z. Указание. 2sin2*X
Xcos *—4cos3jt=0, 4 sin xcos2*—4 cos3 at=0, cos2x(sin x—cosx)=
=0. a)cos2xa=0, cos*=0, x=(2n + l)-j- 6) sin x—cosx=0, tg*=I
и т.д.
о ■ п , ~ n sin Зх- sin 3x _
2.* = *-^-, fteZ. Решение. ~ s— =0,
3 COS X COS 2x COS AX
sin 3x(cos3x—cos xcos 2x) n . „ cos (2x+x)—cos xcos 2x „ . , _
' COS3XCOS2XCOSX ~0' ^ 3* Cos2xcosx =°- a> ^3а' =
=0, X=kf, n*=Z. 6) cos2xcosx-sin2xsin2x-cos2xcosx =Q tg2jc><
Xtgx=0: i) tgjt=0, х=пя, ne=Z; 2) tg2x=0, лг=«~, «eZ.
Значение д-=л-5. при n = 2ft-f-l не удовлетворяет уравнению, так
Как tgy(2n + l)... не существует.
3. *=(24л + 1)^, neZ. Решение. 2sin30°cos{x~ 15°)= 1.
cos (x_JL) = i, jc—^ =2«л. ^=(24/2+1)^, neZ.
4. x=(2n + l)JL, x==(_i)pi+fc.£., „, teZ. Указание,
sin 2x+sin 8x=V2cos 3jc, 2sin 5*cos 3*=-\/2cos За: и т. д.
5. x=(2n+l)^, Jt=2ftji, я, fteZ. Указание. 0,5-2cos6xX
Xcos x—(cos2 Здг—sin2 3д:)=0, cos 6xcos x—cos 6jc=0, cos 6x(cos x—
~~0=0 и т. д.
117

6. *=(4n + l)yg. neZ. 7. x=(2n + l)~, x = kn,x = k-j ,n, k^2
8. x=k±. x={4n + l)±, x={4n-l)f, ft, n<=Z. 9. x=(—I)fi +
+(4и+1)Ц. «eZ. 10. x=^-, x^-lf+^+nf, ft, пег
II. х=кл, х= ±-jr +ял, ft, «eZ,
12. *=(2л+1)|-, *=(2ft+l)-|, x=n(2m+l), n, ft, m^Z.
Указание. l+cos2/+cosf+cos3/=0, 2 cos2 / + 2 cos 2/ cos /=0 и т.д.
13. jt = fcy, дс=(6п±1)т|, ft, neZ. Указание. sin9*—
—sin3jt=sin3jc, 2sin3jtcos6jt—sin3x=0, sin 3*(2cos6x — 1)=o
и т.д.
14. jc=(8ft+l)-J, x=(8k + 3)±, fte=Z. Указание. -^sin2x+
+ —cos2jt=sin3*\ sin3x=sin (2*+-^-J и т.д.
15. jr=fty, x=2nn, ft, n^Z. 16. x=ft-^-, x=(4n+l}~r, x—
=(4я-1)у, ft. n<=Z. 17. x={2n + l)^, *=(3ft±l)-|n, n, fte=Z
18. x=ft-j-, *=±-j +2nn' k< n^z-
19. *=(3л±1)-з-я, ^=(4ft+l)-g-, n, fteZ. Указание.
2 sin 2xcosx+sin2x=2cos 2xcos Jt+cos 2x, sin2x(2cos д:+1)='
=cos2a:(2cosx+1) и т. д.
20. *=±120°+15°(24п+1), (ieZ. Указание. sin(15°+*)+
+ sin(45° —x)+y=0. 2sin30°cos(*>-15°)=— -~, cos(jc—15°)=
= — у и Т-Д-
21. x=(12ft — 1)-^, x=(4ft+l)^, *eZ. Указание. cos3x-
—sin 5x=V3cos 5x—V3sin 3x, cos Здс+^sin 3x=V3cos 5x+sin5x,
ycos Злг + ^-sin 3x = ^-cos5* + ysin 5*, cos (3x—|M=cos \5x—
— ■g-}a) 5x — ±-3x + f=2kn и т.д. или б) 5х—{[- + 3x-y =
=2*я и т.д. 22. x=ft-J. лг=Лл, fteZ. 23. *=*--, л-=(12л±5)|}.
ft, neZ. 24. jc=ftn, лг=(2п+1)-^-, ft, beZ.
25. x=ft-^-. x=±4+en, ft, neZ. Указание. 2sin4JcX
Xcos2*=ytg2x, 8sin2jccos22.*:—tg2x=0, tg2x(8cos32jtr—1)=°
и т. д.
118

26. x=k-j> *=±у+2лл, ft, n^Z.
27. *=(2я + 1)у; x=(2k+l)-j, n, fteZ. Указание. cosx+
lcos3a:+cos2x+cos4x=0; 2cos2jccos x+2cos 3xcos x=0 и т.д.
28. *=(2я + 1)у|; x=(3k±\)2-n, n, fteZ. Указание. cos9x+
4.cos3^+cos6x=0, 2cos6jccos3x+cos6jt=0, cos 6jt(2 cos 3jc -+-
^.1)=0 и т.д.
29. x=k-—' х=±-г+тял, ft, neZ. Указание. —2cos5*X
Xsin2*—V3sin2x и т.д.
30. * = (2n + l)-g-; x=(6ft±I)-£-, n, fteZ. Указание. cos7jc +
.j-cos *=cos22jc—sins2x, 2cos 4xcos 3jc=cos4x, cos4x(2cos3* —
_1)=0 и т.д.
31. x=*-^ +2пл, *=-т- +-3-kn, ft, n^Z. Решение, хфк-^-,
fceZ, cos Ar+sinjt=2V2sin xcosx, — cosx+ — sin x=sin2jc,
sinrj+*J=sin2jc. a) 2x—t ~*=2mi, х=-^-+2ял. Допустим,
что -^-+2/m = fey, тогда получим: 8n+l=2ft, что невозможно.
Поэтому -^-+2ял=^£* т е ^._|_2пп—решение уравнения.
б) 2x+-j +х={2к + 1)л, Злг=2Лл + -^-л, *=|-ftn+-J-.
(Аналогично доказывается, что ^.nn+-j =И=*у-)
32. x=ft-£-; jc=(6ft±l)-g-n, fteZ. Указание, sin 3.*:+sin.x:-г•
-^-sin2Jc=0, 2sin2jtcosjt+sin2jt=0, sin2x(2cosjc-|-l)=0 и т.д.
33. *=(2n + I)y; *=(4ft-l)-J. n, ft«=Z. 34. x=(2n+l)-|;
x~kj~; x=mn, n, ft, m(=Z. 35. x = k^\ Jt=(6n±I)y, ft, яе2.
36. * = ft-f; X=(2n+1)-J. ft. «eZ.
37. ±42o23' + 180°n,ne=Z. Указание. 5tg* + 5ctgx=tg2* —
_j 5.(sinax-fcos2x) sinx 10 sin x r^k—
sin * cos x cos x cos 2x * sin 2.x cos x cos 2* * 2 '
•0 cos 2*=2 sin2 x, 10cos2x=I— cos2x, llcos2x=I, cos2x=-jj
"т.д.
38. x=-5-+n-S-, x=±—n+2ftji, n, k(=Z. Указание.
о 4 4
cos 5*4-cos 3x— —\/2cos 4x, 2 cos 4* cos x+V2cos 4x=0, cos 4*X
X2cosat + V2)=0 и т. д.
119

39. *=(2n+l)—, x = {— 1)*+1-2. + /гп. п, k(=Z.
10 4
40. jt=(2n+l)-2-, Jt=(6fe-tl)-S., n, ieZ.
8 9
41. x=n-=-. ne/.
з
42. x= (2/i+l)-=-; x=(2m+l)-|-, л, meZ. Указание
2cos9jccosjc+6cos3jccosx=0, 2cosjc(cos9jc+3cos3jc)=0 и т. д.
43. jc=(2n + l)i; х=(3/г±1)|-я, n, fteZ.
44. jc = (2"+0f; *=(- 1)"^ +nf, n<=Z.
45. дг=(2/г + 1)-^-, neZ. Указание. 2 cos 4jc cos 3x—
—4cos4x=0; cos4x(cos3x—2)=0 и т. д.
46. x=-%-kn, AgeZ. 47. x=-^-kn, кф18 п, ne=Z.
38 18
48. л:=0. Решение. sin*+2sin*cos*=1> sin ,(1+2 cos*) =[
3sin jc—4sin3jc sin jc (3—4 sin2 x)
sinjc^O. xgfcfai. тогда '+2cos*=1 l+2cos* =lf l+2cos* = |
3—4 sin2* 3—4(1— cos2x) 4 cos2*— 1
'+2c°»x =1. l+2cosx=jfcO,Torfla l- =1, cosx^fc-k
(2cosjt+l)(2cosjt—1) 2cosx-l 2
тогда 1 =2cosjc— 1, cosx = 1; x = 2kn, но sin2fcit = 0 и sin(3-2ftn,)=
= sin6£n=0, а потому уравнение не имеет решения.
49. jc=*-=-; х=±-2-+пл, k, n^Z. Решение.
sinfr-2^ =2sin2x, ^^ -=2sin2x. (В зна-
cos^-^-я—xj cos(-^ — xj cos(n—2x) + cos-^-
менателе разложили произведение косинусов в сумму по формуле
_!
2
sin 2* = sin 9v cin 9v Z' 2
cos a cos P = — (cos(a + P)-|-cos(a — P)), рассмотренной в § 10.)
sin 2x; sin 2x (-—^—- lUo. a) sin2x=0, 2x = kn,
1 \l — 2 cos 2* /
-=— cos 2x
x=k-Z- (1). 6) ^ =i Cos2x=?fc-L, тогда 2=1—2cos2x,
2 w 1-2cos2jc 2
cos2x= -, 2jc=±— n+2nn, x=±—+«я (2). При найденных
значениях jc в равенствах (1) и (2) значения cosf -fr^—x) и
cosf-S-—jcj не обращаются в нуль и, значит, tgf-f-ji—х) и
tgf-2- — jcj существуют.
120

50. * = -Г + "Нг. *=±^г + 2/гл, х=±-£-я + 2тя, п, k, mezZ.
и о о 5
решение. cosx+cos5x+cos2x+cos4x+cos3x=0, 2cos3xX
^cos 2х+2 cos Зя-cos x+cos 3x=0, cos 3x(2 cos 2x+2 cos x+1)=0.
-» cos3x=0.3x=-^+/m,x=-£-+n-?-.6) 2cos2x+2cosx+l =0,
8/ 2 6 3
2(2cos2x—l)+2cosx+l=0, 4cos2x+2cosx— 1 =0, cosx=
_^1±£, i) cosx=^b^, cosx»sin-S-, cosx=-^, x=±-^+
■""4 4 10 5 5
2kn и 2) cosx= — Jix-« — cos-2-, cosx—cos-^-n; х=±-|-л +
.f 2тя.
51. x=(2rz+l)|-+4, x=(-l)*-i- + ft|—1,5. n. AeZ.
Указание. 2sin(2x+3)cos(x—4)—cos(x—4)=0, cos(x—4)(2sin(2x +
+3)—1)=0 и т. д.
52. x=(2n+l)-=-, neZ. Решение. ^~^=0. cos2x^=0.
x^t-2-(2ft+l), тогда cos4x=0, x = -f-(2n+l). Покажем, что
4 в
-2-(2л+1)=^—(2lfc + l), т. е. 2п+1ф2(2к + \), что очевидно, так как
о 4
нечетное число равно четному.
53. x = (2n+l)-S-, ne=Z. Решен не. -^и^мЬ^ sinx=^0,
4 2 sin-2 *
х^/гп, тогда ■£25-^=0, cos 2x = 0, х=(2и+1)—. Допустим, что
sin jc 4
(2n+1)—= /гя, тогда 2п+1=4/г, что невозможно. Значит, х=
4
=(2/i+ 1)-^ решение уравнения.
54. х=/г-5-; х=(—1)"-5-+пя, /г, ne=Z.
2 6
55. x=±arccos-^-*—\-2nn,n^Z. У к а з а н и е. 2cos— sinx=
sln "5—cos о
= - -• —, V2~sinx= -cosjc^ sinx^O, тогда 2sin2x+
2sinycoSy ^ V2sinx
+ cosx=0, 2coszx — cosx —2 = 0 и т.д.
56. х=(3/г±1)—я, х=(4/г+1)-2-, /г, neZ.
3 О
57. x=(2n+l)-=-, х=(—1)*+|-£-+/гя, n, *eZ.
58. х=(4/г— 1)-=-, х=(Зп±1)-§-я, /г, neZ. Указание.
•+cos2x+sin2x+sin x+cos х=0, 2cos2x+2sinxcosx+sinx+
ч
cosx=0, 2cosx(cosx+sinx)+(cosx+sinx)=0, (cosx+sinx)X
X(2cosx+l)=0 и т. д.
121

59. x=2kn, x=(— lf-±+-%-nn, k, n^Z.
У о
60. jc=(2n+l)-S-; x=2kn, n, ke=Z.
61. x=60°fc-40°, teZ. Решение. tg3(x+40°)+tg(x+
+ 40°)=2sin 2(x + 40°), хф 180°n + 50°, neZ. Обозначим: 40°+*=,
=У, tg3y + tg//-2sin2y, ™*Ч = 2sin2f/, 2sinУcos.?»= 2sin2»
о -> о ^ ^ cos g^ c()s у ^ C(JS 3^ C()s ^ 3,
sin2o( cos2V A =0. a) sin2«=0, 2y=kn, y=k-%-. Эти
\ cos 3y cos у / 2
значения удовлетворяют уравнению только при £ = 2п, т. е. у=пп,
тогда х+40°=180°п, х=180°л-40°. б) cos2l/ 1=0
COS 3l/ COS I/ '
cos2v-cos3ffcosv=0> cos3u^o и cosw^O, тогда cos2u-
cos 3y cos j/
—cos 3y cosy=0. Разложим произведение косинусов в сумму по
формуле cosacosP = -£-(cos(a + P)-r-cos(a — Р)), рассмотренной в
§ 10, получим: 2cos2y—(cos4i/+cos2j/)=0, cos2y—cos4j/ = 0,
cos Ay = cos 2y. a) 4y—2y = 2kn, y=kn при всех fceZ удовлетворяет
уравнению, тогда 40°+*= 180°/г, *=180°Л-40°. б) 4«/+2у=
= 2кл, y=—kn при всех &eZ удовлетворяет уравнению, тогда
О
40° + x=60°ft, x=60°fe-40°
62. x=(2n+l)-f-, х=(4Л+1)-=-, Jt=(4m+l)-s-. п, /г, ffleZ.
о 4 л
63. х=-2-+"п. neZ.
64. х = пл, х=±—-arccos-jr+ftn, n, fceZ. Указание.
sin3x(2cos2*+l) | pt _Q> sin 3*(2cos2x+l) | otgj|._0>
2cos3jtcos2jr+cos3jt ' cos 3x(2cos2jr+l)
cos 2*=*—^-, tg3*+2tg*=0, tg3*+tg*+tg*=0, ^"tos* +
_i_ ilDJL =o. cos3x#=0, cosJK=?fc0, тогда sin 4x+sin jkcos 3x=0.
1 cos x
Разложим произведение функций в сумму по формуле sin a cos р =
= y(sin(a + p)+sin(a—p)), рассмотренной в § 10, и получим:
2 sin 4.x+sin 4x—sin2x=0, 3sin4x—sin2x=0, 6 sin 2* cos2.it—
— sin2x=0, sin2x(6cos2x—1)=0. a) sin2x=0, 2x — kn, x=kj
удовлетворяют уравнению только при k=2n, т. е. ж=лл. б) 6 cos 2х=
= 1, cos 2х= 1 и т. д.
6
122

65. х = А" *=±2?+2лл, x=±^- + 2jvz. A. /if=Z. У к а-
з а н и е. (sin x+sin 5x)+(sin 2x+sin 4x)+sin 3x=0,2 sin 3xcos2x+
^,2 sin 3x cos x+sin 3x=0, sin 3x (2 cos 2x+2 cos x+1 )=0.
а) sin3x=0, *=*-— 6) 2cos2x+2cosx+l=0 и т. д.
66. х=1л(5п±1), x=2-n{5n±2), x^(4m+l)£., x=(4m +
_j_l)-s-, ". *. meZ. Решение. (1 +cos4x)+(cosx+cos3x)+
^.Cos2x=(sinx+sin5x)+(sin2x+sin 4x)+sin3x, 2cos22x+
4- 2 cos 2x cos x+cos 2x=2 sin 3x cos 2x + 2 sin 3x cos x+sin 3x,
cos2x(2cos2x + 2cosx+l)=sin3x (2cos2x+2cosx+l),(2cos2x +
^-2cosx+l)(cos2x—sin3x) = 0. a) 2cos2x+2cosx+l =0 и т. д.
б) cos2x—sin3x=0, sin3x=cos2x, sin3x=sin( JL—2xJ . 1) 3x—
-_Л+2х=2тл, 5x=(4m+l)JL, x=(4m+l)i или 2) 3x+-jL —
-2x=n(2m+ 1), x= -J(4m+ 1).
67. x=arctg(5V3—8) + /ш, x=-i+foi, n. *eZ.
68. x=(2«+l)-2-, x=±-i-arc0s(^^ +kn,n, k<=Z.
Решение. 2tg3x-2ctg3x = ctg3* + tgX, 2(sin23*-cos23x) =
s Б е -г в • cos3xsin3x
__ cos 3.» cos x+sin 3*. sin x — 2 cos 6x cos 2x cos 2x ■
sin 3x cos x ' (4 cos3 x—3 cos x) sin 3* sin 3x cos x' sin 3x cos x
+ 2cps<* = 0 !_^/coe2x+I2£-fi^)=.o.
cos x (4 cos2 x—3)sin3x cosxsm3x\ '4cos"*—3/
_ 1
cos x sin 3*
j =И=0, cos2x(4cos2x —3)+2cos3-(2x)=0," cos2x(4cos2x-
~3)+2(4cos32x—3cos2x)=0, 4cos22x+8cos22x—9=0. a) cos2x=
=0, x=(2n+l)-j- и т. д.
69. x=k-*-, k(=Z. Решение. sin6* SHL3*l=0,
3 cos x cos 5x cos 3x
sin3x( 2cos3* L_) =o. a) sin3x=0, x=kJL. При этих
\ cos x cos 5x cos 3x/ 3
значениях х и при AeZ tgA-j-, tgfcn и tg-=-/fJi определены,
a потому x=A -5—решение, б) 2cos3jc J—= 0,
3 cos* cos 5x cos3x
isps*3x-cosxcos5x=0 со$хф0 Cos3x^=0, cos5x=?fc0. а потому
cosxcosSxcosSx
*cos23x — cos5xcosx = 0, l+cos6x L(cos6x + cos4x)=0, 2 +
+ 2cos6x—cos6x—cos4x=0, cos6x—cos4x+2=0, cos3-(2x)—
-cos2(2x)+2 = 0, 4cos32x—3cos2x—2 cos2 2x+1+2=0.
123

4cos32x — 2cos22x — 3cos2x+3 = 0, 4 cos32x + 4cos22x—6cos22*..
— 6 cos 2x + 3 cos 2x+3=0, 4 cos2 2x (cos 2x+ 1)—6 cos 2x (cos 2*a.
+ l) + 3(cos2x+l) = 0, (cos2x+l)(4cos22x —6cos2x+3) = 0.
1) cos2x=-l, 2x=(2n+l)n, x = (2n+\)f, но tg (2я + 1)-i He
существует, а потому эти значения х не являются решение)
уравнения. 2) 4 cos2 2х—6 cos 2х + 3 = 0,— =9—12=— 3<0, х=й
. я 4
70. л-=— yarctg^- + ny. neZ. Указание.
Sin-2* = A/3f sin2* = ЛД
5'п(т+Л) "п(*~т) -cos(t~*) 5'п(т-*)
ЦИИ* = ^ _2sin^=_^3 t 2х=_^ „ т
—|„(JL-2x) COS2* 2
71. х=0. Решение. 2ctg2x — 2ctg3x=ctg3x+tgx,
2 sin лг cos Здг cos л: + sin 3x sin x 2 sin лг cos 2x
sin 2* sin Злг sin 3* cos x ' 2 sin лг cos x sin 3* sin Злг cos x '
sinx=jfc0, хфкп, а потому —- = ^— , отсюда следуе!
COS X 51П (jX Sill AX COS X
l=cos2x, 2x = 2kn, x=kn, но хфкъ, а потому уравнение не имеет
решения.
72. x = kf, jc=(6n±l)-g, k, ne=Z.
73. x = (2n+l)-*-, x=(2k+l)-±-, x=(—l)m^- + mn, n, k, mz=Z
74. x = n — , n^Z.
3
75. x = n — , n^Z.
10
76. х = (2и+1)-3-, х=(—l)fc+1-^-+nfe, и, fte=Z. Указание
8 6
— sin 5x + sin 3x=cos4x, sin 5x — sin 3x4-cos4x=0, 2 sin jccos4x+
+ cos4x = 0, cos4jc(2sinx+1) = 0 и т. д.
77. x = k^-, k<=Z. 78. x = k-±, х=±-2- + 2ип, ft, ne=Z
79. х = (2я+1)-^-, x = (6fe±l)-2-, я, (eZ.
80. x=(-l)n+1-|-+(4n+l)-=-, neZ. Указание. sin(-2—
— xj — sin*=^-. 2cos ysin f-^-—x} = ^-, sin (-^- — x) = "2~' s'n Vх"
л \ I
-т).= -тит-д-
81. x= ±-j-+(8«+1)-t-> «g=Z. Ука.зание. ^-sinx+
+ -^-cosх=^, sin fx + -^-) = -^- или cos (-j--JC)=2 и т' Я'
124

82. x=±-S-+(8"+l)-f-. neZ. Указание. V2cos(x —
^з\ =4г ит. д. '
83. *=-3-(2и+1); x=±-|-Il + 2fel1. ". fteZ Решение.
cosx-T-cos3x-f-cos2x=0. 2 cos 2x cos х + cos 2х = О и т. д.
84. *=±-7- + -т-(8я-1), neZ. 85. х=кл, x=(-l)n+1-3- +
4 4 О
-j-rt —, ft. neZ. Указание. cos3x-f-sinf -^-л+х) = V3cos(-^—
—x), cos 3x — cos x = УЗ sin x, —2sin 2xsin x = V3sin x, sinx(y3 +
4-2sin2x) = 0 и т. д.
86. x=ftn, fteZ. Решение. 2sin2*coss=0| cosx^o, хф
cos*
gfc(2n+l)-?-, sin 2x=0, 2x=nn, x=n-^-. Эти значения х
удовлетворяют уравнению только при rc = 2ft, т. е. x = ftji, причем
1тф{2п+1)—; 2кф2п-\-\, что очевидно.
87. x=l+feii, х = яп, ft, /igeZ
88. x = n-^j, n=j£5l2f+l), (eZ. Решение, tg 7x=tg( —Зх),
7x+3x = mi, x=n^ при /i=^5(2f+I), где /eZ.
89. x=fc-£-, x=±-2- + nn, ft, /jgeZ.
90. x = ftn — 2, x=nn- 1,5, ft, «geZ.
91. x=(2n+l)n, x=(4ft+L)-3-, и, fteZ. Указание, cosx —
-sinx+cos2x — sin2x = 0, cos(x+-=-) +cos(2x+»-^) = 0,
2cos( —x+ —) -cos—=0 и т. д.
\ 2 л 4/ 2
92. x=(4n+1)-^-, «geZ. Указание. — 2 sin -v- n cos (x-f-
+ -J-) = cos (x+-*-). cos(* + -=-)( 1+2 sin-|-ji)=0, 1 +
+ 2sin— n=jfc0, а потому cos(x+—J =0 и т. д.
93. x = (4ft-l)-2-, fteZ. 94. x = (4fc+l)-=-, fteZ.
4 4
95. x=(8ft + 3)-jL feez. Указание, sinfx f-л) + sin(-2—
8 \ 3 / \ 3
~~XJ =cosf x jA , 2 sin -g- cos (x— у J, cosfx —j.cosfx-
^-f-) =cos(x--5-) и т. д.
125

96. х=^.-\-пп, х =—arctg^ + ftn, n, feeZ. Указанц,
sin 2л: /о 2 sin 2х /о 4 sin 2x
= л/3, 2sin2x = пд 4sm2x ^^
. / , п\ . / п\ v п _ v l-2cos2x Vd
sinl *+-д-) sml j:—^-1 cos-=—cos2.it
cos2x=^-L, 4sin2x=V3 —2-\/3cos2x, 4sin2x+2V3cos2x=-$
cosx^O, _У^_+2^(1-^х)=^ 8tgx+2V3-2^tg2x=^+
+ V3tgzx, 3V3tg2x-8tgx—V3=0 и т. д.
97. x=k~, x = (4n + l)-^-, x = (4n — \)~, k, n^Z. Решение,
sin x +sin 5x + cos4x —cos2x=0, 2sin3xcos2x —2 sin3xsinx=o,
2sin3x(cos2x —sinx)=0. a) sin3x=0, x=fcy. 6) cos2x-
— sinx=0, cos2x=cos(il—xV 1) 2x — -£+x=2rm, 3x=2L + 2nn,
3x=(4n + 1) * x=(4/z+1)-£ или 2) 2x+ * —х=2ил, x=(4n — \)JL.
98. x=kn, AeZ. Указание. sin 3x—sinx=2 sin x,
2sinxcos2x—2sinx=0 и т. д.
99. х=(2л-Н)Л, х=(4/г— 1)Л, n, ke=Z.
6 4
100.
x=fei, x = (-l)n+,iL4-ny, k, ne=Z.
101. х=-Л, х=-Л, x=JL.
18 8 8
10.
1. x=—+2kn, если аф 1 + пл, xe/f, если а=-5.+ил,
«, AgZ. Решение, sin а cos x+cos а sin x—sin а cos x=cos «,
cos а (sin х—1)=0. a) cosa=0, тогда х — любое действительное
число, б) cosa=jfc0, тогда sinx=l, х= ~-\-2кл.
2. х=± — + пл, n^Z. Указание. -l(cos2a + cos2x)+
О ^
+ 0,75 = cos2 a, cos 2a -f- cos 2x+1,5=2 cos2 a, cos2a + cos2x+
+ 1,5= 1 +cos2a и т. д.
3. х = (2л + 1) —, neZ. Указание. cos2xcosx—sin2xsinx=
= 0, cos3x=0 и т. д.
4. x=kn, fteZ. Решение. sin2xcosx—cos2xsinx=0, sinx=
=0, x=kn.
5. x = k — , х = я" k, n^Z. Указание. cos2xcos3x=
2 3
=cos (2x-+-3x), cos 2x ■ cos 3x=cos 2x cos 3x—sin 3x sin 2x,
sin3xsin2x=0 и т. д.
126

о 4
7. х= zfc у arccos ("j"^ cos 2a j +/m, *eZ.
8. x=(—l)"^+«y. «eZ. Указание, sinx- -I(cos2x—
^cosl20°)=4-. sinx(cos2x+JL) = ' 2sinxcos2x+sinx=-l,
о \ 2 / 4 2
sin3x—sin*+sinx=-i, sin3x=-i- и т. д.
9. х=(3л±1)|-л, neZ.
10. x=»(2n+l)JL, x=(-l)*^ + fei, n, teZ. Указание.
cos2xctg3x-sin2x = V2cos5x, cos 2x cos 3*- sin 2x= ф cos 5x.
co^cos 3*-sin 2x sin 3*= ^CQS ^ «St.^jj, C0S5x(-L- -
sin 3* sin 3* V sin 3x
-V2) =0 и т. д.
11. x=(4n — 1)—, reZ. Указание. -I(sin3x—sinx)+
+ -L(cos5x+cos3x)= -l(cos 5x—cosf -£-—xj), sin 3x —sin x +
-|-cos5x-f-cos3x=cos5x—sinx, sin3x+cos3x=0, cos3x=^=0,
tg3x+l=0, tg3x= —1 и т. д.
12. x=ft" х = (8л±3)" k, n<=Z. Решение.
5 8
sin 2xcos Зх+sin 3xcos 2x + ^sjn 5x = 0. Лй1£.+ ^sin 5x = 0,
cos 2x cos 2*
5x( — НЛ^) =0 и т- Д-
V cos 2x i
Sin
> cos 2x
13. x=(2n+l)-jl, x=(2ft+l)ji, n, fce=Z.
14. x = k — , x=k~, &e=Z. Решение. Умножим обе части
5 7
Уравнения на два и разложим произведения в сумму: cos2x—
—cos4x+cos4x—cos 12x=0, cos2x —cosl2x=0, cos 12x=cos2x.
a) I2x — 2x = 2kn,x=k± или б) 12х + 2х=2Ал, х = /г"
5 7
15. x=A|.,x=(2fe+l)i,feeZ.
16. x=k-±, x=(2fe+l) * fte=Z. Решение.
' 6 s in x cos x cos 2x cos 4x - cos 8x=sin 2x, 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x=
** sin 2x, 4 sin 4x cos 4x cos 8x=sin 2x, 2 sin 8x cos 8x=sin 2x,
s"nl6x=sin2x. a) 16x—2х=2*л, x=kJL, или б) 16х+2х=
^(2* + 1)л;х=(2* + 1)^.
18
127

17. x = (2n+l>^,x = (-l)*+l^+A!-J. MeZ.
18. x=ftJL, x=(6n±l)^. ft, neZ. Указание, втбх^
=2sin2x, sin 6x—sin2x=sin2x, 2sin2xcos4x=sin2x и т. д.
19. x=-± + nsi, /ze=Z. 20. / = ftn, t=±JLn + 2rui, ft, n^z
Указание, sin у cos у—sin у cos у——sin2/=0, sinfy— у)—
-sin2f=0, —sin/ -sin2f = 0, sin/+-y^sin/cos<=:0
V2 _ -№
sin t(l +V2cosO=0 и т. д.
21. х=/гЛ, х=(2«+1)_, ft, n^Z. Решение _(sin(iL +
+ 7х) +sin3xj =-i-(cos7x—cosf-5.—5xjj , cos7x+sin3x=
cos7x—sin5x, sin5x=sin(—3x). a) 5x—(—3x)=2ftn, x=kJL
4
и б) 5х-3х=(2п+1)л, x=(2n+l)JL.
22. x=-£-+rm, x=arcctg3 + ftn, n, teZ.
23. x=arcctg2+/in,x=-5. + fcji, n, fteZ. Указание. 2sin2x—
— 3sinxcosx-[-cos2x=0, cosx^O, 2tg2x—3tgx+l =0 и т. д.
24. x=±60°+180°л+29°, ne=Z. Указание. cos(2f-
iqo4 , ,no , • lnf IQ04 1 cos (2<-18°) cos 40°
-18 )ctg40 + sm(2/-18 )____, _, +
, u^-ir)*,* __ ± os(2,_18o_40o)=_ i f cos(2^
sin 40° -2sin 40° v ' 2
— 58°)= — JL. 2t — 58°=±l.Ji + 2nn и т. д.
25. x=k±, x=(2ft+l)|-, ft«=Z. 26. x=(2n+l)^, x=
=(2ft+l)|-,n, teZ. 27. x=ftn, x=^,JkeZ. 28. x=(2n + l)-£,
29. x=AJl-l, x=(2ft+l)-i-l, fteZ. Решение.
-l(sin(3x+3)+sin(x+l))= -l(sin(7x + 7)+sin(x+l)), sin(3x+3)+
+ sin(x+l)=sin(7x+7)+sin(x+l), sin(7x+7)=sin(3x+3)-
a) 7x+7 — 3x—3=2ftn, 4x=2ftn—4, x=ftJL—1 или б) 7x + 7+
+ 3x + 3=(2ft+l)n, 10x=(2ft+l)n—10, x=(2ft+1) JI —1.
30. x=-lftn, x=(2ft+l)-£, fte=Z. Решение. sinx^O.
15 I'
тогда, умножив обе части уравнения на sinx, получим:
128

sinXCOSxcos2xcos4xcos8x=TgSinx, sin 2xcos2xcos4xcos8x=
^.J-sinx, sin4xcos4xcos8x=-7-sin x, cos8xsin8x=-=-sinx,
2
sjn i6x=sinx. a) I6x—х=2Ая, х=т^/гл или б) 16х+х=(2/?+1)л,
31. x=|-(2n + l), x=k^, n, fceZ.
32. x=(2n+1).^., neZ. Решени-е. y2sin 2xcos2xsin x-\-
_4_sin2xsinx=2cos2x, sin2xsinx(cos2x+ l)=2cos2x, sin2xsinxX
X2cos2x = 2cos2x, cos2x(sin2xsinx—1)=0. a) cos2x = 0, cosx=
«О, х=(2п+1)^, или б) sin2xsinx=l, {^^П;''
„ л, Но -£- + nn Ф * + 2/гл, 1 + An Ф 2(4* +1); следовательно,
х=-|1 + 2йл. 4 *
уравнение sin2xsinx=l не имеет решения.
33. *=*-£. х=(2п+\)±, k, n^Z.
34. x=(3n—I)-^. ne^Z- Указание.
=УЗ. Рассмотрим числитель: sinxX
COSXCOsf X+-^-J COsf Jt+-5-n)
Xy (cos-j—cos(2x+n)J =sinx--2- Гу+cos2x) =-^-(sinx+
+2 sin xcos 2x)=-^-(sinx+sin3x—sinx)=-^-sin x. Рассмотрим
знаменатель: cosx--i| cos(2x + n)+cos-i = -A-cosx (у — cos2x) =
= —(cosx —2cos2xcosx)= — -Lcos3x. Уравнение примет вид:
4 4
-^*-=_УЗ, tg3x=-V3 и т. д.
cos3*
35. х=(3/г+1)" х=(3л—1)" /г, neZ. Решение.
15 6
s'n3xcos — — cos3xsinJL=cos7x, sin(3x— -jM =cos7x, cosfil —
-3x+ ") =cos7x. cos7x=cos(i-n—Зх). а) 7х— -|.л+3х=
^2kn, 10х = -§-л + 2*л, 5х=4 + Ал, х=(ЗЛ+1)" или б) 7х +
3 3 1Ь
+ 4-"—Зх = 2/Ьг, 4х = 2Агл —i-л, 2х=*Лл— * x=(3n-l)-i
» 3 3 о
129

36. x = kJL, x=*kJL, feeZ.
3 4' x
cos —
37. x=(6n— l)~, n^Z. Решение, sinx+cosx — = —-уЛ
з x v ■
sin —
XX X
sin x-sin — H-cosxcos-;r- cos-jr-
2 2 __^f L=_y3t Ctgf = -V3HT. д.
sin — sin -g-
38. x=kJL, x=(2k+\)^., k<=Z. 39. jf=(2n+l)-J,JC=(2fe+lX
n, *eZ. 40. лг=±-£ + лл, neZ. 41. x=( — lf4 + nn, ne=Z
8 6
42. x=(8rt+l)" A:=(8n + 3)il, raeZ. Решение, -^sinjt-f
H—-cos x=sin 5*, sin( x+ —) =sin5x. a) 5x—x— — = 2пл, 4*=
-v/2 \ 4/ 4
= (8л+1)" x=(8n+l)" или б) 5лг+х+^=(2и+1)л, *=
4 16 4
= (8n + 3)£.
43. x = nJL, n^Z. 44. x=(2n+l)-^, n(=Z. Указание.
i—
cos 2x—cos 4х-Ь(Зу2 — 1)-cos 2x = 1. cos 2x(l -f ЗУ2 — 1)= 1 + cos4x.
3V2cos2x = 2cos22x и т. д.
45. x=(2/i + i)y, * = 2fcn, х= — 2arctg2+2mji, и, Л, meZ.
Решение. 2Sin2x-f3cosjt=l -fcos2jc+cosx, 2sin2jt+2cosx=
= 2cos2x, 2 sin* cos *-|-cos*—cos2x=0, cosx(2sinjf+ 1 — cosx)=
=0, cosx(4sin-lcos^--f2sin2-i)=0. a) cosx=0, x=(2/i-f 1)-J,
или б) 2sinA(2cosiL + sinil) =0 и т. д.
2 2 I 2 /
46. jc=-i-f nn, jc=— arctg^-f fcrc, x=nn, n, fceZ. Решение.
2 cos x cos у — 2 sin* sin у =cos3x—(-fesinxf, cosx—-v/3sinx=
= (cosx — -^sinx)(cos2x-f V3sinxcosx4-3sin2.x:). a) cosjc—
— V3sinjc=0, cosx^O, tgx = — и т. д. 6) cos2x+V3sinxcos*+
л/3
-f 3sin2x=0 и т. д.
47. x=(4fe-fl)y. x=(4fe—l)y, fteZ. Указание. cos2x-
— (sin 7jccos6x—cos7xsin6jc)=0, cos 2x—sin x=0, cos 2*=
cosf-^. —x).= 0. a) 2x— iL-fx = 2fen и т. д. или б) 2*+-i—x^
= 2kn и т. д.
48. x=kn, fteZ. Указание. sin( х+ —j =— cosx -sin<-
130

в!я(*+т) = cos(*+t)- *»{*+$) *0. tg(x + 2L) = l и т. д.
49. х=( — IfJL+nn, лг=±4 + *л« "• b<^Z. Решение.
6 з
coSJt+sin3x —cos2x —cosx=-i-tg45°, 3sinx—4 sin3x—(1—
_2sin2x)= —, 8sin3*—4 sin2*—6sinx+3=0, 4 sin2x(2sinx—
_1)—3(2sin jc— 1)=0, (2sinx—l)(4sin2x—3)=0 и т. д.
50. x= — + 2ил, x= ±-larccos-H--)-An, n, feeZ. 51. x=
2 2 о
==_ J+fen, rteZ. 52. x=fox, x=(2fe+l)g , *eZ.
53. x = (4/i + 1)^-, x=k±, n, k<=Z. Указание.
sin3xsin xcosx=-j-cos fy л + 4х). 2sin 3xsinxcosx = -I-sin4x,
sin3x'Sin2x= —sin4x, sin 3xsin2x=sin 2xcos2x, sin2x(sin3x—
— cos2x)=0 и т. д.
54. x=*2L, k^Z. 55. x=(2n-f !)-£. *=(6А±1)-£, л, feeZ.
56. х=±4 + 2ил, пег. 57. x = fc " feeZ- 58- *=(2« +!)■£.
х=(4л+1)Л, «eZ. 59. х=40о11' + 90ол. х= —26°51,+90оА>,
п, fceZ. 60. х = 68°42'+180°А:, х= — 34°06' + 180°п, fe, «eZ.
61. х=(— 1)"Л + (4я+1)А, neZ. Указание, ^sin 2x—
л/2 о 1
—-|-cos2x=-i- и т. д.
62. х=(-1)"4 + (Зл-1) " «eZ.
И О
63. x=fcrc, x=±— + ял, fe, «geZ. Указание. sin3x=
б
=—•-?!sin xcos 2x, sin3x=4sinxcos2x, sin3x = 2(sin Зх—sin x),
п 4
sin3x—2sinx=0, sin3x —sin x—sin x=0, 2sinxcos2x — sinx = 0
ит. д.
64. x = kn, х=(6л±1)-£., k, n^Z. 65. x=(4fc+l)" x=
9 о
=(4jfe — |)i, n, fe«=Z.
66. x=ft " x=(2fc+l) " , fec=Z.
4 14
67. х=-^+6л. x=^-(3n±l). Указание. д|*»«*'-и««а* =
«g^n *-«* tf 2^in 2л,_ ,^cos 3jc= , _sjn 2jCj 2^in 2x_ ^cos 3jf +
+ sin2x—1=0, (sin2x—l)(2cos3x+l)=0 и т. д.
131

со 5 . л л л,-, . _
68. х~ — -^л, x=—jg, x=— — , *=-g-. Решение. sin7jt-_
— sin x+cos22x—sin22x=0, 2sin3jtcos4x+cos4jf=0, cos4*x
X(2sin3x+1)=0. a) cos4*=0, jc=(2n-f 1) " — Л<:(2п+1)Л<.
<т- -i<2rt+1<i- -4-l<2«<4 -U^i"
Так как n e Z, то я=0, — 1, тогда *i = — -£., *2 = 4r, или
о о
6) sin3*=--^. 1) 3*=-iL + 2ftn, x=(l2k-l)lL, -JL<
<(12fc-I)JJ<JL, -6<I2*-1<6, -5<12fe<7, -^<fe<^.
Так как feeZ, то fe = 0, x3= — JL, и 2) 3x= — -jj-n+2fai, x^
18 О
= (12*-5)JL, -|-<(I2*-5)JJ<^, -6<12*-5<6, -1<
<12Л<11, — ^ <*<■{§• Так как AeZ, то fc = 0 и лг4=—^л
69. х«=(6л —1)4. «e=Z. 70. х=(2я+1)4, neZ. 71.*=
=(4/i+l)-"-,/ie=Z. 72. x=fc-5.,jc=(2fc-f-l)" JfeeZ. Указание.
Разложите произведения в сумму.
73. * = *-£, x —л-l, A, neZ.
74. jc=2arcctg2 + 2ferc, х= — 2arcctg3 + 2/m, k, n<=Z.
Указание. 7cosx+sin5jc+sinJC—sin5x=5, 7cosx4-sinJc=5,
я/ | *»»2 ^* | О * ^
— — + — = 5, l+tg22L^0 при x<=R, 7-7tg2A +
i + tg'y \+tf-j 2
+2tg£=5 + 5tg2y. i2tg2-|--2tgy-2=0 и т. д.
75. x~(2n+\)-£, x=k~, n, fceZ. Указание. y(cosx—
— cos3x)-sin 3jc = -t-cos (y — Axj, sin 3xcos jc — sin 3xcos3x=
= ysin4jt, 2 sin Зх cos x — sin6x=sin4x, sin4x-|-sin2x—sin 6x=
=sin4x, sin6x=sin2x... и т. д.
76. х=(2л+1) * x=(6ft±l)4. я. feeZ.
4 b
77. x=fen, x=± —-|-ил, n, *eZ. Указание. sinSx^
6
=2(sin3x —sinx), sin3x—2sinx=0, sin3x—sinx—sinx=".
2sinxcos2x —s»nx=0, sinx(2cos2x—1)=0 и т. д.
78. х=(2л+1) " х=2*л, x=±kn, n, feeZ.
2 5
132

79. x=-l + kn,ke~Z. Указа н и е. 2(cos(2x— Jl) —cos-jl) =
^1,2 cos(2x— -g-) — 1 = 1. 2cos(2x— Jl) =2, cos(2x- -j) = 1
и т. д.
80. x=(3k+l)JL, kf=Z. Указание. , 2 (cos (2х+|Л +
+cos£)=V§. 2cos(2x + ^.)+V3=V3, cos(2x+|.)=0 и т. д.
81. x=arctgy(2^J2 — l)+nn, n^Z. Решение. 2sinjc=
^^cosx—^|sinx. sin x^2+ ^ ) = ^cosx, cosx=j£0, (2 +
+ f)tg*=f' ^^^^. ^=arctg|(2V2-l) + nn. «eZ.
82. x=(4k— l)JLy feeZ. 83. Jt=*iL, *=(2n+l)* k, ne=Z.
84. x=(3* + 1)^, x=(3k— l)JL, AeZ. У к а з а н и е. V3 sin 3jc—
— cosx=2cos7x, ^sin3x— JLcos3x=cos7x, cos( JI + 3xj +
+ cos7je=0 и т. д.
85. x=(2/i+l)JL, jc=(6*±1)-, n, fee=Z.
86. x = (2n+l)JL, x={6k±l)", n, k(=Z.
У IS
87. x=(4rt+l)JL, «eZ. 88. x=-A + /bi, x=nn, k, ne=Z.
1 \ l-cos(-£-+2*)
Решение. l-f-sin2jt=tg( —+x), l+sin2x= ^ -, 1 +
V 4 ' sin(|+2x)
+ sin2x=±±2%2*, (I+sin2x/t *—) =0. a) l+sir\2x=0,
cos 2x '\ cos 2x/
sin2jc=l, x= — JL+kn, или б) 1 x— =0, cos2jtr=l, 2x=2nn,
4 cos2x
x=/m. (При этих значениях л: знаменатель дроби не обращается
в ноль и не теряет смысла.)
89. x = (-lf^+nn~^., n<=Z.
90. Jc=2L + fen, jc=arctg(V3±2)+rtn, k, n<=Z. Решение.
-l^££ =2-i^. (l_tg,)(—' 2-bbi£i)=0.a) l-tg* = 0,
1+tg* l+tg*x B 'Vl+tg* 1+tg2*/ ' S
tgJC=l, *=_!i + ftjl ИЛИ б) »+tR2*-2tl+tgxf = 0i
4 (l+tgxXI+t^x)
^nlT'Tn^J2/^^0' tg2x + 4tgx+l=0. tgx=-2±V§.
*=arctg( —2±-\}3)+пл. (При этих значениях jc знаменатель
Дроби не обращается в нуль и не теряет смысла.)
133

01. x=JL, x= " *=J- Решение. sjn (j+i-jA
-*"(4я + т)=вЧтя+т)- 25,п(т-т)С05(л + т) =
= ein(* + *—*). -2ein(*.-i)einx—eln(*.-i).
sin(-L__j)(2sin*-l)=0. a) sin(i-^)=0. ±- i-fei,
x=(4Jfe+l)JL, - »<(4fc+l) "<д, -l<4*+l<2, -2<4fe^l,
— _!_<£<.!. Так как fteZ, то Л = 0 и jci = JL. б) 2sinjc=l,
sinx=-L. 1) х=Л + 2ля, - "<4 + 2"л<". — 4--4-<
2 у 6 26 2 6^
<2п<1 —-1, — А<2л<-5., — _L<n<JL. Так как neZ,
^•^ 6 36 312
то п = 0 и Х2=—. 2) х=-5.я+2лл, -£<1л+2лп<л,
6 6 2 6
— _!_— _1<2/г<1 — А, —А<л<±. Так как neZ, то л=0
2 6 6 3 12
и хз=— п.
6
92. х=( — 1)"+|-£ + ля, neZ. Указание. — sin(5x+n)—
— 2sin 2xcos3x=-l — 2, sin 5x—(sin5x—sinx) = — _L, sinx=
2 ч ' 2
= - у и т. д-
93. x= — + kn, х=лл, к, n^Z. Указание. ^j3 — tgx=
l+^tgx '\ 1+V3tgx'
94. x = A:JL, x=(2*+l)iL, fee=Z. Решение.
2 sin 4x sin 3x cos 3x=4 sin 3jc cos 2x, 4 sin 2x cos 2x sin 3x cos 3x=
=4sin3xcos2x, sin 3x cos 2x (sin 2x cos 3x—1)=0. 1) sin3x=0.
х=/г " или 2) cos2x=0, x = (2k+l)JL, или 3) sin2xcos3x=l-
Это может быть, если | **Г о* _.'. ]
2x=JL + 2kn,
Зх=2тл;
x={4k+l)JL,
4 JL(4fe+l)=i-mn, 3(4fe+l)=8m, что невозможно
х=-1тл. 4 3
3
при любых целых значениях т и k, т. е. x=(4fe + 1)-^-и х=_тл не
являются решениями уравнения.
134

95. x = (— l)"arcsinJL + (6rt+l)Jl, n^Z.
4 6
96. x = 2kn, дс = — —-\-2tm, ft, n^Z. Указание.
2-^/2 (cos 45° cos л: — sin 45° sin дг)(1 + 8тл;) = l+cos2x-, 2 (cos л:—
^-sinA-)(l + втл:)= 1 + cos 2л:, 2cosx + 2sin л: cos л; — 2 sin л: —
_-2sin2x = 2cos2A\ cos x -\- sin x cos л;—sin x-=sin2Ar + cos2 x> (cos л:—
_ l)-f-sinx(cosx—1)=0, (cosл:—1)(1 +sinx)=0 и т. д.
97. x = arctg(-£^-f ил, neZ, аф^- + кл, teZ.
V cos а/ *
98. A-=±i-arccos-^^ + nn, beZ.
§ П.
I. х=(Зп±1)-£-. neiZ. 2. х=*=(3п±1)-1я. "eZ-
* 9
3. лг=(2п + 1)" *=(2ft+l)" x = (2m+l)" n, ft, meZ.
14 4 2
Указание. 1 —cos 4л;-}- 1 —cos 6л; + 1 —cos 8x-|- 1 —cos l(k = 4,
(cos 4л; + cos 1 Од;)+(cos 6л; + cos 8л;) = 0, 2 cos 7x cos 3x-\-2 cos 7x X
Xcosx=0, cos 7jc(cos3a;+cos x)=0 и т. д.
4. x=(2n+l)JL, n^Z. Указание. 3(1 —соз2л;) + 2(1 —
-cos2 2лт)=5, 5 — 3 cos 2л: — 2cos2 2л: = 5, cos 2л:(2 cos 2л:+3)=0 и т. д.
5. x=(2n + l)j-, n^Z. 6. x=(2n + l)^,*=(3*±l)i, п, fceiZ.
7. *=(2ft + l)-jj-. x = (2n+l)JL, x=(2m + l)Jl, ft. n, wigeZ.
8. x=fcJL, x=(2n+l)Jl, ft, «geZ.
9. x=k — , x=nJL, ft, «geZ. Решение. 1 -f-cos2x -f 1 +
5 2
+cos4x— 1 —cos6x— 1 —cos 8x=0, cos 2x + cos 4x— cos 6л; —
— cos8x = 0, cos 2л: —cos 8л: + cos 4x — cos 6л: = 0, 2 sin 5л: sin 3x +
+2 sin 5xsinx=0, sin 5xsin 3x + sin 5xsinx=0 и т. д.
10. x = k — , x=ti—, ft, «geZ. Решение. 1— cos6x+l —
2 9
~cos8x= 1 —cos 10x-|- 1—cos 12л:, cos 6л;—cos 12x + cos8a- —
— cos 10л: = 0, 2sin9xsin3x-|-2sin9xsin д; = 0 и т. д.
П. х=90° + 180°п, x=±12°55'-|-180°fc, n, AeZ.
12. x=fty, ftGEZ. 13. x = (2n+l)-J-. «geZ. 14. x={2n+l)-j.
*=(6ft±l)JL, n, ftGEZ.
15. x = fcil, fteiZ. Решение. —(cos4 x-|-sin4 л;) (cos2 л:—
~~sin2x)(cos2x--|-sin2x-)=-i-cos22x-—-Lcos2x", — cos 2x-(cos4 x+
135

+ sin4 x)=-i-cos 2x(cos 2x— 1), 2 cos 2x((cos2 x+sin2 x)2 —2 sin2 x><
Xcos2 x)=cos 2x(l —cos 2x), 2 cos 2x(l —2 sin2 xcos2 x)=2 sin2 xX
Xcos2x, cos2x(l — 2sin2xcos2x—sin2x)=0, cos2x(cos2x—
— 2sin2xcos2x)=0, cos2x'COS2x(l —2sin2x)=0, cos2xcos2x(l —
— l+cos2x)=0, cos22x>cos2x=0. a) cos22x=0, cos2x=0, x=
=(2n+l)f (I), или б) cos2x=0, cosx=0, x=(2m+l)-£ (2). Из
(2) следует: x=(2m + \)f-2 (3). Из (1) и (З) следует, что x=fei.
16. jc=(2n + l)IL, neZ. 17. x=(2n + l)-=-, х=(6£±1)£,
n, feeZ. Указание. (cos2x—sin2jc)(cos4x+sin2xcos2x+
+sin4 x) = i^ cos2 2x, cos 2x((cos2 x+sin2 x)2 — sin2 x cos2 x)=-^cos22x,
cos2x(l— sin2xcos2x—^cos2x)=0. a) cos2x=0, x=(2n+l)-£-
или б) 8—2sin22x—I3cos2x=0, 8 — 2(1 — cos22x)— 13cos2x=0,
2cos22x—13cos2x+6=0 и т. д.
18. x=(— 1)п23°33'+90°/г, /ieZ. Указание. sin4x+cos4x=
=sin2x, (sin2x+cos2x)2—2sin2xcos2x=sin2x, 1—-^-sin22x=
= sin2x, sin22x+2sin2x—2=0 и т. д.
19. x=(—l)"-jL.f л-g-, nEZ. 20. x=±|-arccos(4a—3) + |-/ui,
ieZ, у<а<1. Решение. (sjn2-|-x+cos2|-x) —
— 2sin2|-xcos2-|-x=a, 1—-i-sin2-|-x=a, 2—sin2 ~x=2a,
l-cos-§-x
2 2"^— =2a, 3+cos|-x=4a, cos-§-x=4a-3, —К
<4a— 3<1, 2<4a<4, -|-<a<l, -§-x= ±arccos(4a—3)+2nn,
*= ± -§- arccos (4a—3)+-|- /m.
21. x=( —1)п17°56'+90°/г, ne=Z.
22. х=(-1)п+1|- + (4п + 1)|-, neZ. Указание.
(Iz^L)2 + (1-COS(^+T))2=|> 1_2cos2jt+cos22x+l +
+2 sin 2x+sin2 2x= 1, 1 —2 cos 2x+2 sin 2x-f cos2 2x+sin2 2x=0,
2—2cos2x+2sin2x=0. sin 2x—ces 2x+1 =0, V2sin (2x— -£-) =
= —1, sin(2x-^) = -^H т. д.
136

23. x=(3/i±l)JL, neZ. 24. x = kJL, feeZ. 25. x = (2k+l)±,
x=(2n + l)~, k, nsZ.
26. x = fe" x = nJL, k, n^Z Решение. 1— cos2x+l —
2 5
__cos4x = 1 — cos 6x+ 1 —cos8x, cos 4x —cos6x+cos2x —cos 8x=
==0, 2sin 5xsinx + 2 sin 5xsin 3x=0, 2 sin 5x2 sin 2xcosx=0.
a) sin5x = 0, 5х = лл, х=« —, или б) sin2x = 0, 2х = &л, x=fe —(1),
5 2
или в) cosx = 0, x = (2m + 1) — (2). Решения (1) и (2) можно
объединить в одно: x = k—.
27. х= — —-\-2kn, х= — + пп, k, n^Z. Указание, ctgx —
— sin x== I —cosx, ctg x + cosx= 1 + sin x, ctgx(l + sin x)= 1 + sinx,
(l + sinx)(l —ctgx)=0 и т. д.
28. x=(2fe+l)—. х=(2и+1)—, k, n^Z. Решение. 1 —
4 2
— cos2x + 1 —cos4x +1 — cos6x+ I — cos8x'=4, cos2x+cos8x +
+cos4x+cos 6x=0, 2cos 5x cos 3x + 2cos 5xeos x=0, cos5xX
X(cos 3x + cos x) = 0, 2cos 5xcos 2xcos x=0... и т. д. Заметим,
что ответ можно записать так: т-—, meZ, так как (2п-\-1)—=
= 2(2n + l)-J-
29. х=-^+лл, nesZ. 30. x = (2n + l) J , x=(6ft±l) jj , n, feeZ.
31. x = (2*+l)ji, x=dz(n — arccos-l)+2/m, ft, keZ.
32. ж=£л, teZ. 33. x=± + arccosi- + /fe-i,' AeZ. 34. x=
= *y, *=«-£. *. »eZ. 35. x=(2n+l)Jl, x=(3fe±l)-i, x=
=(2m+l)£,„,fe>meZ.
36. x = (2n+l)JL, x = ftn, n, fceZ. Указание. (2cos2x)3 =
= 3(2cos2 2x— l)+cos2x + 4, (1 +cos 2x)3 = 6cos2 2x — 3 + cos2x + 4,
1 +3 cos 2x + 3 cos2 2x + cos3 2x —6 cos2 2x —cos 2x— 1 =0, cos3 2x—
—3cos22x+2cos2x=0, cos 2x(cos22x—3cos2x + 2)=0 и т. д.
37. x= — —, x=i, х=Ал. Решение, sin4 -L + cos4 JL =
2 2 2 2 2
= sin JL, ( sin2 Л + cos2 aV —2 sin2 Acos2 —= _L, 2 —4 sin2 JLv
6 V 2 2/ 2 2 2 2Л
Xcos2A = l, 1— sin2x = 0, cos2x = 0, cosx=0, х=(2/г+1)Л,
137

— Л<(2л+1)Л<2л, — 1<2и+1<4, — 1<и<1±. Так как
neZ, то п= — 1, 0, 1, х= — JL, JL, Ал.
2 2 2
38. х--
2 arccos R
1±л/41 , _у
—5-* (-«л, neZ.
39. x=(2n+\)JL, x=^(2ft-f l)^, n, fteZ
40. x=(2n+\)JL, x = (2k+l)JL, и, feeZ.
41. *=0 Решение. sin4x- + cos4jc — 2 sin2 х- cos2 x -j-
+ sin4(*+il) =o, (cos2*—sin2x)2-f sin4(x+-g =0, cos22* +
■ 4 / i n \ r> * cos 2л: = 0,
sin (A- + -S- 1=0. что может быть, если '
V 8У sin(*+JL)=0;
2x = (2fe+l)Ji.
О
*=(2fc+l)-J..
* = (8n-l)Ji.
Выберем равные значения:
—(2fe + 1)= —(8л — 1), 2(2fe+l)=8n—1, что невозможно ни при
каких действительных k и и; следовательно, уравнение не имеет
решения.
42. x=kn, fceZ. 43. x=(2n+l)JL, *=(3ft±l)" «, *eZ.
4 3
44. л-=(2л+1)Л, л-=(3/г±1)Л, п, k<=Z. Указание.
2sin2x--|-2sin22A-4-2sin23x=3, 1 —cos2jc+ 1— cos 4*+ 1 — cos 6*=
= 3, cos 2л:-|-cos 6л:+cos 4л:=0, 21 cos 4* cos 2x -f- cos 4x = 0,
cos 4*(2cos2*4-1) = 0 и т. д.
45. л-=10тл, m^Z. Решение. sin2 5л:-\-2 sin2 2x -f- 1 —
— cos22x-=0, sin25x-+2sin22x- + sin22x- = 0, sin2 5л: + 3 sin2 2л: = 0,
_ f sin 5x=0,
что может быть, если | . „ г..
X = tlJ^,
5 (1) Системе (1) удов^
летворяют только значения Ют при п = 2т; k = 5m, т. е. л:=10тл —
решение уравнения.
46. х=±— + #ui, neZ. 47. x=±14°08'30"+90°n, neZ.
Указание. ML^££L*£J _(_i+ cos 4л-=3, cos4x^= —1, 5(1— cos4*-)+
l+cos 4x
+ 0+cos 4л:)2 = 3(1+cos 4л:), 5 — 5 cos 4дг+ 1 + 2cos4x + cos2 4л" =
= 3 + 3 cos Ax, cos 4л:—6cos4x + 3 = 0 и т. д.
138

48. x = {2k+l)JL, fteZ. Указание 1 —cos 2x+'~cos2*=2,
4 l+cos2x
cos2x^= —1, 1 — cos22x+l — cos2x=2 + 2cos2x, cos22x-f3cos2x=
^0, cos2xfcos2x + 3)=0 и т. д.
49. x={2n + l)±, x=-g-/m, H«+l)jf- n, teZ.
50. x — (2n-\-l)JL, x=2ftn, x=—kn, n, teZ. Указание.
cos5x + cos7x—2cos22x4-2sin23x = 0, 2cos6xcosx — 1 — cos4x+
-\-1—cos6x=0, 2cos6xcosx—(cos 4x-|-cos6x)=0, 2cos6atcosx—
— 2 cos 5xcos x=0, cosx(cos6x—cos5x)=0 и т. д.
51. * = *-£. x=(-l)"Jl + n21, k, n^Z.
52. x=±53°24'+180°/i, neZ. Решение. 1 — cos(2x -f JL\ —
-l-cos(2x--jl) = ^-(n-arccos^), - (cos(2x+i) +
+ cos(2*-JiY) =M.(„_"). -2cos2xcosA = -6_.E?,
'V 6//n\ 6 / 6 10n6'
-V^cos2x=-i, cos2x= — ^«—0,2887. 2x = ±(I80° — 73°I2')-f
+360°и, х=±53°24' + 180ол.
53. x = {— l)n+1 -Larcsin & + n JL, neZ. 54. x= ± 4 + ^л, fee=Z.
55.
*=*-£, x—2nn, x=(2n+l).ij., k, ne=Z.
56. х=(2я+1)-|-п> x=±|-arccos —^--\-bkn, n, feeZ.
Указание. l+cos^ + 2cos2^=l+cos^, cos?i-f 2cos2^ =
5 5 5 5 5
=cos3(^V cos^ + 2cos2^=4cos3J—3cos^, 4cos3^-
-2cos2?£—4cos?£=0, 2 cos ^( 2 cos2 ^— cos?f—2) =0 и т. д.
5 5 5\ 5 5 /
57. х = (2л+1)Ал, * = (6ft±l)ygii, л, fceZ.
t /л t
58. x=kn, x^iyarccos^ \-пп, n, teZ. Указание. 1 +
4-cos2x—cos23x=l, cos 2x +cos x _Q( 2 cos 2л:—1—cos6x=
= 0, 2 cos 2x— 1 — cos 3- (2x)=0, 2 cos 2x— 1 —(4 cos3 2x — 3 cos 2x) =
= 0, 4cos32x — 5cos2x+l=0, 4 cos32x — 4 cos 2x — cos2x+ 1 =0,
4cos2x(cos2x — l)(cos 2jc+1)—(cos2x— 1)=0, (cos2x — 1)X
X(4cos22x + 4cos2x—1)=0 и т. д.
59. x = (2n+l)JL, x = (4ft+l)Jlf x = (4fc- 1)-J. n, feZ.
139

60. x = kn, ж = (2п+1) JL, Jt=(2m+l)iL, k, n, m<=Z. У к a.
L l о
3 а н и е. sin (14л — 7jc)+sin(9n — 9x) = 1 +cosf -5.+ 4xJ , — sin7jc-f
4-sin9x = sin2x—sin4x, sin9x — sin7x4-sin4x—sin2x=0, 2cos8xX
Xsinjc + 2cos3xsin jc = 0, sin jc(cos8jc + cos3x)=0 и т. д.
61. x=±~+kn, ke=Z. 62. х=-(--5. + 2пл, n<=Z.
63. х=±у + пл, neZ. 64. x=±y+2пл, nt=Z. Указание.
4 sin _isin —= 1 — 4 cos2 JL, 2(cosx —cos2x)= 1 —2(1 +cosjt),
4cosjt —2cos2x+l=0, 4cosx — 2(2 cos2x — 1)+ 1 =0, 4cos2x-
— 4cosx— 3 = 0 и т. д.
65. jt = (2n+l)JL, n<=Z. Решение, (cos4 x — sin4 x)24-2sin4xX
О
Xcos4x = —, (cos2x — sin2x)2(cos2jc+sin2jc)2 + -L (2 sin x cos x)4 = U
32 v 8 v ' 32'
cos22x4-J_sin42x= II, 32(1— sin22x)+4 sin4 2x= 17, 4sin42x—
-32 sin2 2x +15 = 0 и т. д.
66. х = (2я+1)Л, n<=Z. 67. х = (2п+1)Л, ne=Z.
4 4
68. х = /гл, x=± —-\-пл, k, neZ. Указание. 4sin2x+
4-sin23x = 4sinxsin3x, 2(1—cos2x)+ '~cos6j:=2(cos2x — cos4x),
4 — 4 cos 2x + 1 — cos 6x = 4 cos 2x — 4 cos 4x, cos 6x -f- 8 cos 2x —
— 4cos4x —5 = 0, cos3(2x)+8cos2x — 4(2 сод2 2x — 1) — 5=0.
4cos32x — 3 cos 2x4-8 cos 2x — 8 cos2 2x4-4 — 5 = 0, 4cos32x —
— 8 cos2 2x 4-5 cos 2x— 1 =0, 4 cos3 2x —4 cos2 2x —4 cos2 2x4"
4-4 cos 2x4-cos 2x— 1 =0, 4cos22x(cos 2x— 1)—4cos2x(cos2x— 1)4-
4-cos2x—1=0, (cos2x—l)(4cos22x —4cos2x4-l) = 0 и т. д.
69. x=(2n+l)JL, n<=Z. 70. x=±J± + nn, nt=Z. Решение.
4 6
16sinfix 3cog1x I 24(cos2j:~sin22*)(cos4.t + sin2.ECOs2.E + sin4j:)^ K^
4—4 sin2 x cos2 x 4
2(2 sin2 x)3-3(2 cos2 2x- 1)4- 6cos 2x«cos2 *+sin'"?-*"*xcos'*>= i?,
1—sin2* cos2* 4
2(l-cos2x)3-6cos22x4-34-6c°sM'~sin2j:COS'J:)=-^, l-sin2xX
1 — sin2 jccos2jc 4
Xcos2x^=0, 4 —sin22x=^=0, sin22x=^=4, 2(1 —3cos2x4-3cos22x —
—cos32x) — 6 cos2 2x4-3 4-6 cos 2x=i2, 5 —6 cos 2x4-6 cos2 2x —
4
— 2cos32x —6cos22x4-6cos2x=^, 2cos32x=5 — 4-|-, 2cos32x =
= \, cos32x = y, cos2x = y, 2jc=±y + 2im, *=±-£ + пя.
140

71. x=-±-|-arccos-ea=£+ inn, neZ, _L<c<l. Решение.
8 3 4 4
,sin2|-x+cos2J-x) (sin4у x—sin2-|-jtcos2-|-x-Kos4y x) =q.
sin* l-x+cos'-g-jc—suT-g-xcosj!-g-x=a, (s'n у x+cosy xj —
_-3sin2-~xco$2|-x=a, l--f-sin2i-x=a, 4-3sin2-|-x =
31 1 —cos-r-1 „ B
^4^ 4 i 3-^- = 4a, 8—3+3cos^=8a, 3cos^=8a —5,
^8x^-80=^ _i^|fi^5^li _3^8a-5<3, 2<8a<8, -L<
5 3 3 4
<a<l. ^ = ±arccos^5 + 2nn, x=±^-arccos^^ + i- nn.
3 о О о 4
neZ.
72. х=(2л+1) JL, neZ. Указание. cos8x+sin8x=
= — J_cos 4x, (cos4x—sin4x)2+2 sin4xcos4x= — -i-cos4x- (cos2*—
8 8
-sin2x)2(cos2x + sin2x)2+-Lsin42x= 1 cos4x, cos22x+
О О
+ i-sin42x= — -Lcos4x, 8cos22x+sin42x + 2cos22x—1=0,
I0cos22x + sin42x-I=0, sin42x+10(1—sin22x)—l =0, sin42x-
-10sin22x+9 = 0 и т. д.
73. x = (2k+l)~, *eZ. Решение. Преобразуем выражение
в скобках: 1—sin27x+sin47x=(sin27x—J_\ -f-— >0 при всех
xelf. Данное уравнение примет вид: cos25x+cos2x- ((sin27x—
— у) + -|А=0, что может быть только при (£°| 5fj^0' Эта
система выполняется при х=(2А+ I) _£L.
74. x=(2ft+l) * х=(2л+1) * k, n<=Z. Решение. sin2x=
12 8
i25x, sin2x=cos25x, -i-(l — cos2x)= —
2 ч '2
cos2x=l+cos Юх, cos 10x= — cos2x, cos 10x=cos(n — 2x)
1—sin25x, sin2x=cos25x, -i-(l —cos2x)=-i-(l+cos Юх), 1 —
а) Юх—л + 2х=2/ш, 12x=(2*+1)л, x=(2*-f-1)J| или б) Юх+л-
л
-2х = 2пл, 8х=(2п —1)л, х=(2п—1)^-
75. х*=(2Л+1) * х=(4п-1) * * = (-1Г4 + /пя. k. n, meZ.
v
Указание. sinx(2sin2x— l)-f-cos22x=0, sinx(l —cos2jc—l)-f
+ cos22xj=0, — sinxcos2x + cos22x=0, cos2x(cos2x—sinx)=0
и т.д.
141

§ 12.
1. x = 2arctg5 + 2ftn, feeZ. Решение. JOL_ 12C-p=l3
/=tgjL, 1 + /V0 при t<=R, 1W—12+12/*= 13+13/*, /2-10/ +
+25=0, (t — 5)2=-0, f=5, tg-l=5, Jt=2arctg5+2/m.
2. jt=2arctg^/5-f-2feji, fceZ. 3. x=|.+2fen, jc=2arctg 1,5+
2лл, ft, neZ.
4. *=(— 1)"—+ пл — —, ne=Z. Решение. V3+Tsin(jc+^) =
4 6
=72, 2sin(x + ?)=V2. sin(x + «p) = ^|, х+ф=(-1)п-=.+ пл, x =
5. х=(2я+1)л, x=2arctgV7+2ftn, n, teZ. Указание.
sinx= V7(l+cosx), 2sin JLcos-l=2-v/7cos2^-, cos-l(sin-l—
— 77cos_l)=0. a) cosiL=0, JL=(2n+l)JL, х=(2п+1)л, или
6) sin ——^7 cos .1=0 — однородное уравнение, а потому
tg-1-77 = 0, tg_l=77 и т.д.
6. x = (-l)"arcsin^ + rtn + arctg-?A neZ. 7. x={-\)nSL +
7 3 18
+ /iJL+JL, neZ. 8. x = 2arctg-b^ + 2bi, fteZ.
3 18 3
9. x=0. Решение, -^sin (х+ф)=4, sin (х+ф)=2-у/2> I;
следовательно, уравнение не имеет решения.
10. х= J}-+2nn, n^Z. 11. х=( — 1)я_5.+/т+-5., neZ.
12. х= — Лл+2А:л, fc«=Z. Указание. sinx= — л/3(1 +
+ cosx), 2 sin -J cos у +2V3 cos2 у =0,2 cosy (sin-| + л/3 c°sf) =
= 0 и т. д.
13. х=(-1Гу + пл—J-, *<=Z. 14. jc=2arctgi|^-+2*n.
*<=Z. 15. jc=0.
16. х=(~ l)n+l JL + 2/m — JL, «eZ.
v ' 2 2
17. jc=(8*+1)JL, x=(8*+3)JL, keZ. Решение.
725Н1(2х + ф)=72 8тЗх, 5т(2х + ф)=8тЗх, tgф=l, т. е. Ф=-^--
142

sin(2x+-j-) = sin3x. a) 3x — 2x — Л = 2kn, х=(8/г+1)Л или
б) Зх+2х+^-=(2*+1)л. х="(8* + 3)^.
18. *=(— 1)п+|Л+пп — Л, iieZ. 19. x=(— I)" "+пл-JL,
6 4 6 4
rteZ. 20. x=(8ft+l)^. *=(8*+3)JI, AeZ 21. лг=(-1Г-£ +
+ (4n+l)-!L, neZ. 22. *=(— l)"-jL+rt|.— JL, neZ. 23. x =
=(—l)"arcsinJL+(6n+l) * ne=Z. 24. x=*ji, x = (4n—1)JL,
ft, n&Z. 25. jt=(2rz+l)ji, x=2arctgV5 + 2fen, n, kezZ.
§ 13.
1. x=(4k—l)JL, x=( — l)narcsin^+(4n-l)JL, A, neZ.
4 5 4
Указание. sin x + cosx=y, sin2x+cos2x-f-2sinxcosx=f/2,
sinxcosx = ^-^i. Данное уравнение примет вид: y=Y+"9"(i'2—*)»
2i/=5 + 5y2 —5, 5у2 — 2^=0, у{5у—2)=0. а) у=0, sinx+cos х=0,
tgx= — 1 и т. д., или б) sinjc+cos*=-?-. sin( JC+-5.) =^- и т. д.
5 V 4 / 5
2. х=(-1)*-?- + (4*+1)'" *eZ"
4 4
3. x = 2kn, x=(4n+ l)~, п, fteZ. Решение. sin3x + cos3x =
= sin2x+cos2x, sin2*—sin3*+cos2*—cos3*=0, sin2 jc(1 — sin x)+
+cos2x(l—cosx)=0, (1—cos2x)(l—sinx)+(l — sin2x)(l —cosx)=
=0, (1 — cosx)(l +cosjc)(1 — sinx)+(l —sinx)(I + sin x)( 1 — cosx) =
=0, (1—sin x)(l—cosjt)(sinx-t-cosx + 2)=0. a) 1— sinx=0,
x=(4n-\- 1) —, или б) 1 — cosx = 0, x=2kn, или в) sin jc+cosx= — 2,
x=0.
4. x=(2n+ 1)л, x=(4* + l)JL, k, m=Z.
5. x = {2n+l)JL, x=(6*±l) * n, AeZ. Решение, cos-^—
-cos-^ = cos^, cos-Ui = cos-^. + cos3£, cos-^=2cos7xX
2 2 2 2 2 2
XcosJ|^, cos-U^-—2cos7xcos-^-=0, cos-^-(l — 2cos7x)=0.
a) cos^ = 0. —=(2п+1)-5.,л:==(2я+1)Л,илиб) 1—2cos7x=
= 0, 2cos7x=l, cos7x=-i- и т. д.
в. х = -^-+2пп, n^Z. Решение. 5(sinx+cosJc)+3sinх —
4
— 4 sin3* — (4cos3Jt—3cosx)=4V2(l -+- sinxcosx), 5(sinx+cosA:)+
143

+ 3(sinx + cosx) — 4(sin3 x + cos3 ac)=4-\/2(l 4. sin x cos x), 8(sin jc-^-
+ cosx)—4 (sin x + cosx)(l —sin xcosx) = 4-\/2(l + sinxcosx), sinx-J-
+ cosx=y, 1 + 2sinxcosx = iA sinxcosx= —-—. Уравнение при-
■ мет вид: 8у-*у ( 1 -^f1) =4л/2(1 + ji=1) . 2y-y2=£=V§X
X-^L. 4у-уР-у*)=т/2(\ + у2),4у-3у + у3=^2 + л/2у\ у3-
-V2«/2 + y-V2 = 0, у2(у_л/2) + (у-л/2) = 0, (у-л/2)(1/2+1) = о
а) у=л/2. sin x-f-cosx=-\/2, sin(x + iM = 1 и т. д., или б) y2+\=Q
в R не существует.
7. х = (2л+1)л, х=(—1)*—+ /гл, n, fteZ. Решение. 2 +
+ 2cosx=V3tg(-=--J-), 2 + 2cosA: = V3ctg^-, 2(l+cosx)=
= V3ctg^-, 4cos2-l-V3ctg^.=0. ctg^(4sin^cos-l--V3) =0,
ctgf(2sin*-V3) = o:a) ctgi=0. ^. = (2n + l)i, x=(2/i + l)n,
или б) sinx = ^, x = ( — lf±+kn.
8. x = (-l)n+'-+'wi-il,/2<=Z.9. t = ± 4+(8n- 1) " , n eZ.
4 4 4 4
10. х=-^- + 2*л, *eZ. Решение. 4 sinz(3x + ±.) = i -f
+ 8sin2xcos22x, 2( 1 — cos(6x + ±Y) = 1 +8 sin 2xcos2 2x, 2(1 +
-+■ sin 6x) = \ + 8 sin 2x cos2 2x, 1 +2 sin 6x = 4 sin4xcos2x, 1 +
-|-2sin6x = 2(sin6x + sin2x), l=2sin2x, sin2x= — (при этих
значениях синуса подкоренное выражение положительное), 2х =
= (— \)"—-\-пп, х = (— \)п—-\-п Л (при этих значениях х левая
часть уравнения будет положительная только при л = 4/г), х =
к ' 12 Г 12
11. х=Л+2пл, ne=Z. Решение. -*£!£+.£a£=JS(sinх +
4 cos х sin x
г.'.
4-cosx), smx+cos * = ^(sjnx + cosx), sinx^O, cosx^O, хфкЛ,
sin jc cos jc 2
1 = л/2(sin x-f-cosx)sin xcosx, sinx+cosx=y и т. д. (см. пример 1,
§ 13). I+2sinxcosx=y2, sin xcosx=-*£=-!, \ = ^2у.1^=Л, д/2=
=У3—У. У3—У — л/2 = 0. Легко заметить, что корнем этого
уравнения является д/2, после чего можно выделить множитель у—л/2
или разделить многочлен (левую часть уравнения) на двучлен
у — л/2. Рассмотрим два способа. 1) у3 —у2лД+У2л/2 —2у+у —л/2 =
=0,у2(у-л12)+у^2(у-л12) + (у-л{2)=0,(у-л12)(у2+-у12у'+\)=0.
144

2) _У- У -л/2 I Ц-л/2
У'-л/гу2 У* + л12у+1
J2y2-y
_ 1/ -л/1
t/ -л/2
О
Уравнение (у — д/2)(у2 + л/2у+1)=0 имеет только один корень
ц=л/2> так как многочлен у2 + -у/2у+1 не обращается в нуль
(D = 2 — 4<0). sinx4-cosjc = ^,V2sin(jc+.iL) =л/2, sin(x+iL) =
-1, x+JL=JL + '2nn, x=JL + 2nzi. ±Л-2ппфк JL, так как
' 4 2 4 4 ^ 2
I _|_ 8n =?£= 2k — очевидно.
12. x=(2n-f-l)—, *=(-!)*—+2*л, n, *€=Z. 13. x=(2n+l)JL,
х=(4*+1)у, n, AeZ. 14. х=|-+*л, jc=(— lfarcsin^ +'/m+
-f i, *. neZ.
15. x = ^. Решение. 2arctg(2x— l) = arccosx, arctg(2x — 1) =
=a, tga = 2x—1, arccosx = p, 2a = p, cos2a = cosp, '—*R a=jc,
L+tg2a
■blg£^ = x, ^-^ -x=0, xf4-4*-4*^4-2)^. 1) Зна-
l+P*-!)2 4^-4^+2 \ 4jc2-4*+2 '
чение х=0 не удовлетворяет исходному уравнению, так как левая
\-2х2 _
часть уравнения будет при этом — —, а правая —. 2)
4 4
<^-*+т)
=0, 1=2*? =0 2((х— ±) +±Wo при всех xt=R.
' —2х2 = 0, jc=d=^. х = ^—корень уравнения, х= — ^г
ляется корнем исходного уравнения.
. .. корень уравнения, х=—*- не яв-
16. х=102*", х=10 2 , A, /i«=Z. Решение. 1 —
"~cos(lgJt)=^sin(_Llgjc), lgx = f, 1— cos/=д/2 sin ±,2 sin2 1 =
^VSsin.L, V2sini.(V2sinJ_—l) =0. a) sin-L=0, t = 2kn,
'в*=2*я, jc=102*n, или б) sin-L = ^, i=(-lf "+пл t =
*(-I)"± + 2пл, lgx=(-l)n± + 2nn, x=W(~lf*+2n"
145

17. x=±arctg(5tgl) + nJI+7, ne=Z.
18. x=—2, x= — 1. Решение. arctg(x+2) = a, tga=x+2
arctg(x+l)=P, tgP=JC+l. a-p = 4, tg(a-P)=l,-^^zzt&£.== "
4 1+tgatgp '
+ 2=0, Xi = — 1, x2=—2— корни уравнения.
19. x=' 20. x = * Решение. 0<ж<1. arcsin-2~=a
' 3 з-£ '
sina = ^, arcsinVl-x = p, sinp = Vl-x, arcsini- = v, sinv= '
3V* 3 ^-i
a — p=v. sin(cc — P) = sinv, sin a cos P —cos a sin 6 = ±. -£-y
3 3^*
Xcosp-Vl^^-cosa=^., cos2a=l-sin2a = ^-4. Так как
—-|-<а<у, то cosa>0, т. е. cos a=-i--W9;c~4 , cos2p=l-
—sin2p=l+x— l=x. sinp>0 и 0<р<у, то cos p>0, т. е.
cosp = V*- Получим: ^-. ф—L -yJ^L.^fJZIx-=^.t la=
= -\J^±--J\-x, x=(9x-4)(l-x), x=.9x-9x2-4+4x, Эх2-
— 12x+4=0, (3x—2)2=0, x=y — корень уравнения.
21. x=l. 22. x= — . Решение. arcsin3x=a, sina=3jc,
arccos4x=p, cosp = 4x, a = p, sina = sinp, 3x==sinP. Так как
0<arccosx<n, то sinp>0, тогда sinp= УТ— 16x2, 3x=
= л/1 —16x2. 9x2=1 — 16X2, 25x2=l, x=±±. x=-L— корень
i 5 5
уравнения. x=—— не является корнем исходного уравнения.
так как sin р=3-Г — —) =~-г<0-
24. х = ( — I)" arcsin-^-^ \-пл — -j-, neZ. Указание, (sin x+
+ COSx)-Si"^ + COs2j,:=l, Si"X+C0SJ:=l. SUlX^O, COSX^O. X4t*|
sin ^ cos x sin к cos x ^
sinx+cosx = sinxcosx и т. д.
25. х=у+пл, n^Z. Указание, tg — ji=tg2-I^ = tg-g-
arctg(tg-=-) =-=., cosx+cos(x+-j) +cos(x+^) =0, cosx+
+2cos( x+ —\ cos^.=0. cosx—-\/3sinx=0, cosx^O, tgx^-g"
и т. д.
146

26. x = ± -^-arccos(2c-f l) + kn, deZ, —1 <a<0. Решение.
c0s2x-y. «/2-(a-2)y-3(a+l)=0, D = (a~2f+ I2(a+ l) = a2-
_4a+4+12a+12 = a2 + 8a+16=(a + 4)2, л/Д = а + 2, y,= -l,
,,, = a+la) cos2x= — 1, x= 0, или б) cos2x=G-f-l, 1+cos2x=
J:2a+2, cos2x = 2a-|-l, — l<2a+l<I, — 2<2a<0, — l<a<0,
тогда 2x=±arccos(2a+1)+2пл, x= ± — arccos(2a+ 1) + 2пл.
27. x=±—-\-kn, x= ±— arccos— -fnn, ft, neZ. Решение.
|cos2x| = |'~c2°s2j:-^ |,4|cos2x| = |2-2cos2x-I|,4|cos2x| =
==11—20052x1, 4|cos2x| = |2cos2x—1|. a) 4cos2x = 2cos2x—1,
2cos2x= — 1, cos2x= —_L, 2x= ±-^л + 2/гл, x=±~-\-kn, или
6) 4cos2x= 1 —2cos2x, 6cos2x —1, cos2x=_L, 2x= ± arccos _L+
-f/m, x= ± -Larccos _!_+пл.
28. x = (8fc+l)iL, x = (8* + 3)JL, teZ. 29. x = 90°, x= — 17°.
30. x=(—\)n arcsmb+ пп — Л, n^Z, |fc|<—, x=( — l)n+1X
4 3
Xarcsin b + nn— * neZ, |ft|<l. Указание. sinx + cosx = y,
\ + s\r\2x = y2, sin2x = y2—1, y2— 1 — 2b^j2y — 6fc2+ 1 =0, y2 —
-2b^2y — 6b2=0, yi.2 = b-yj2±2^J2b. a) sin x + cos x = 3b-fi,
V2sin(x + y)=3&V2, sin (x+-j)=3fc, -1<3&<1, -y<&<
<-!, х+Л=(—iy,arcsin(36) + nn, x=(—l)"arcsin(3b)+«n —
3 4
— — или 6) sinx+cosx= —fc-y/2 и т- д-
31. x= —+kn, x=nn, k, neZ.
4
32. x = kzi, дг=-1 + тл, x—arctg(2—л/3) + лл, k, m, neZ.
Решение. Воспользуемся формулой tg3a= 3tga—tg а для ре_
3 tg —+ tgx
шения уравнения. Получим: 3*К*~"{Е х — tgx- = 0,
L-3tg2* ^tgytgj:
tgy/ 3-tg2A: . V3+tgA:\_0 tgA:(V3 + tgA:) / т/5-tg x jXq
Vl-3tg2x l-V3tgJ/ ' 1-VStgJC Vl + V3tgJ: /
a) tgx = 0, x = kn, или б) V3+tg-t =0< tgJf^tJ.| Y3 + tgx = 0,
• — V3 tg j: V3
tgx=_A/3, х=-Л + тЛ, или в) -JbliiL _ 1 = о, tgx^=--^,
3 l + V3tgjc л/3
^-tgx-l-V3tgx = 0, V3-l=(V3+l)tgx, tgx=J^=iL.
л/3+l
147

tg*=(-v? l/, tgx=2-V3, x = arctg(2-V3)+nn. НайденНы
значения x удовлетворяют данному уравнению и не обращают зна.
менатель в нуль.
33. х=0.
34. jc=(-iy,arcsin^*+0+'-1+rm-^., ne=Z, as=R.
вд/2 4
35. х=± — arccos(^l — \\ +nn, n<=Z, —2<а<2. Реще.
ни е. 2(sin(2x-f-5.) + sin Jl) =o2 + V3sin2x — cos2x, 2sin^2x-f
+ JL\ + 2 = a2 + V3sin2x-cos2x, sin(2x+il) +l = £l+
+ ^sin2x--Uos2x, sin(2x+Jl) +1 = ^.+ sinf 2x-iL)t
* 2 \ 6 / 2\6/
sin(2x+Jl)—sin(2x— ") =fl— I, 2a>s2xsin Jl=5l— 1, cos2x-
= £l-l,| *—l\ <I, —1<£—1<1, -2<a2-2<2,0<a2<4
|a|<2, x=±-Larccos(fl—Л +nn.
36. jc=i-fcri, х = (2/г+1)л, х=-*-лл, х = п * ft, ne.Z. Реше-
ние. ' sinx = a, sin2x = b, sin3x = c, a3 + b3-\-c3 = (a + b+cf.
{a + b + cf-a3 = b3 + c3, (& + с)((а + & + с)2 + а(а + Ь + с)-|-а2)=
=(b + c)(b2-bc + c2), (Ь + с){а2 + Ь2 + с*-[-2аЬ + 2ас + 2Ьс-\-а*+
+ ab4-oc + a2)=(ft-f-c)(&2—&c + c2), (fe-|-c)(3a2+3a&4-3ac+36c)=
= 0. 1) b + c = 0, sin2x-f-sin3x=0, sin 3x=sin( — 2x). a) 3x-
— (—2x)-=2/m, х=1.кл, или б) Зх—2а=(2*+1)л, x=(2*+l)i
2) 3(d* + ab + ac + bc)=0, a(a+b)-\-c(a+b)=0, (a+b)(a+c)=0.
a) a-\-b=0,sin x+sin 2х=0и т.д., или б) а+с=0,sin x+sin 3x=0
и т. д.
37. x=(6ft + l)^. x=(3ft+l)|-, *eZ. Решение, sin х#=0.
cosx^O, x^fcfty, 8sin xcos2 x = -\/3cos x+sin x, 4sin2xcosx=
= -\/3cosx + sinx, 2sin3x+2sinx = V3cosx + sinx, 2sin3*=
= -\/3cosx— sinx, sin3x = —cosx —— sirix, sin 3x=sin (y — xj-
a) Зх—-£-+х = 2/гл. x=(6*+l)" или б) 3x + *-x=(2*+ D*
2х=2/гл + -|л, x=(3*+l) *
38. x=(6n+l)il, x = (6n-l)J«, лег
2
39. x= ±arctg2 + fm, neZ. Решение. tgx-tg3x = — if
148

X03J^U=- » t^(3-y.)=_ 2 tgx^±j|. 15tg2x-
-*1— 3tr* 5 1— 3tgz* 5 3 '
^5tg4JC=-2 + 6tg2x, 5tg4x-9tg2x-2=0. a) tg2x=-±,
f==0, или б) tg2x=2, tgJc=±V2, x=zfcarctgV2+-nn.
40. x = arctg — -\-nn, x= — arctg-i- + mn. ", rne.Z. Решение.
I—cos (Л cos2 x) = 1 — cos (л sin 2x), cos (л cos2 л)=cos (n sin 2jc).
a) я cos * —л sin 2x=2ftn, cos2 x — sin 2x=2ft, cos2 x— 2 sin x cos x =
3=2* (sin2 x + cos2 x), 2ftsin2x+2sinxcosx-f(2ft — l)Cos2x=0,
cOSx¥=0, 2fttg2*+2tgx+2ft-l=0, f-=l-2(2ft-I)ft = -4ft2 +
+2fe-t-l, -£>0, 4ft2-2ft-l<0. ft2-i-ft^±<0, (k-lY-
'№ 4 ^Ul V 4^16-4 4^*^4+~' ~<
<Й<-Ц-^, '-2-236^/;^ 1+2,236 _o,309<ft<0,809. Так как
4 4 4
JeZ, to fe=0, т. e. tgx=-i- и т. д. 6) лсо82х4-л sin2x=2rm,
cos2 x+2 sin x cos x = 2n(sin2 x + cos2 x), 2« sin2 x — 2 sin x cos x +
+ (2n— l)cos2x=0, cosx=?t0, 2ntg2x —2tgx+2n —1=0, -5=
4
= \-2n(2n~l)=l-4n2 + 2n^0, 4«2 —2n—1<0, n2— _Ln—-L<
2 4
<0, (" —т)2^Ш и т- д- — 0,309 <n< 0,809. Так как fc<=Z,
4
то
п=0, т. е. tgx= — 1 и т. д.
41. x=18°+180°n, n^Z. 42. x = (3n±l)i, ne=Z. 43. x=kn,
П о I
*=— у+2лл, х=(—l)"1 arcsin—^ f-тл, n, ft, m^Z. 44. х =
=(-l)n+137°36, + 90on-22°30', neZ. 45. х = 30°+180°/z, neZ.
46. х=20°+180°я, n^Z. 47. x=arctg(2+V3)+180°л—80°,
"eZ.
48. x = (4ft+l)^., x=(6n+l)^, ft, «eZ. Указание.
lg(Ал — 2x) — cos2x = V3( 1 +cos(2x+ Л.)) , ctg2x—cos2x =
^V^l— sin2x), ctg2x(l— sin2x) = V3(l— sin 2x), (1—sin2x)X
^(^гх— V3) = 0 и т. д.
49. x=10°22' + 90°n, n<=Z. Решение. sin(2x— —) +
+cos(^^2x). = V3cos(2x+^).sin (2x-^)+sin (Ая + 2х) =
149

= V5 cos( 2x+ Jl) , 2 sin(2x+Jl\ cos JL= ф(cos 2xcos JL„
— sin.2xsinil), V2sin(2x+Jl) = V3(^cos2x— -i-sin2jA .
-v/2 sin 2x-cos JL + -v/2 cos 2xsin JL= i-cos 2x— ^sin 2x, ^sin 2* 4.
v 6 62 2 2 ^
+ ^cos 2x= -icos 2л:—^sin 2x, ^sin 2x(V2 +1)= i-cos 2*х
X(3 — л/2), V3sin2x-(V2+l)=cos2x(3 —V2)._ cos2x=H=0. tg2jr=
= JLzJLt tg2x=V-^^-^ , tg2x=4-^^«0,3787, at*
л/6 + л/З 3 d
=20°44' + 180°/г, х=10°22'+90°/г.
50. x=JL+2kn, ke=Z. 51. x= — 59° + 180°n, neZ.
4
52. х=пп, х=2/гп — An, n^N0, *eZ. У казан и е. V2 sin 2x =
4
= — 2 sin д:, д/sin 2x= — -y/2 sin x, sin x<J0, — n + 2£n^x<T2fai,
sin 2x = 2sin2x, 2sinxcosx=2sin2x, 2sinx(sinx—cosx)=0 и т. л.
53. x=2/m,х=(4л+1) JL.neZ. Ре шеи и е. д/1 + 4sinxcosх=
= sinx+cosx, 1+4sinxcosx=l+2sinxcosx, 2sinxcosx=0,
sin2x=0, x=kJL. Эти значения будут удовлетворять уравнении
только при k = An или 6=4/г+1, т. е. х=2ип или х=(4п +1)-2--
54. х=y + 2kn — arctgy , AeZ. Р е ш е н и е. 3 sin x—4 sin3 x+
+4sin3x+4cosx=5, 3sinx + 4cosx=5, V9+16-sin(x+<p)=5,
sin(x+9)=l, x+<p=^.+2kn, х=у+ 2Ап—ф, q>=arctgy.
v ' 4 T 4
56. х=лл, neZ. Решение. 3x^=(2ft+l)A, jc^(2A+l)i.
4хчЦ2*+1)« x¥=(2*+l)" tg3x = 3(tg4x-tg3x), 8ЛЦ^
^ О COS o-*
__ 3 sin x 3sinx—4 sin3* 3 sin x q sinxX
cos 4x cos 3x ' cos 3x cos 4x cos 3x
x(3-4sin'x)cos4x-3=0 j} sinjc = 0 х==пПг или 2) (3-2(1-
cos 3x cos 4x
— cos2x))(2cos22x— 1)—3=0, 2cos22x— 1+4 cos3 2x—2cos2x-
— 3=0, 4cos32x—4 + 2cos22x—2cos2x=0, 4(cos2x—l)(cos22x+
+ cos2x+l)+2cos2x(cos2x—1)=0, (cos 2x— 1) (4cos22x+
+ 6cos2x + 4)=0. a) cos2x=l, 2х=2/гл, x=kn. 6) 4cos22x+
+ 6cos2x+4=0, 2cos22x+3cos2x+2 = 0, D=9—16<0. x=0-
Заметим, что nn^(2k+l)JL, 6n^2k+l. Аналогично пп^
Ф{2к+1)* 8л=^2А+1.
8
150

57. x=(4k + 3)± . x=(4ft + l)-J-. x=(- ly-J- +nn—J-, ft, neZ.
58. JC=2ftn, fteZ. 59. x= — ~+2nn, n^Z. Указание.
sjn3x+3sinx+l — 2sin2x+5=0, sin3x—2sin2x+3sin x + 6=
#0. sinx=y, y3-2y2+3y+6=0. у3+у2-3«/2-3«/+б1/+6=0,
/((/+ l)-3i/(t/+ I)+6(j/+ l)=0, (y+ 1){у2-3у+6)=0 и т. д.
60. х=£л, x=-£-+2ftn. k^No- Указание. ^4sinxcosх =
=2 sin x, Vs'n * cos x =sin x, sin x^O, 2Лп<х<л + 2£п, sinxcosx=
s=sin2x, sin x(sinx—cosx)=0 и т. д.
61. х= — + пл. neZ. Решение. fsinxcos-^- + cosxsin-j- J =
s-^sinx, (*£-) (sinx+cosx)3 = -v/^sinx, -^-(sinx + cosx)J=^sinx.
(sinx+cosx)3=4sinx, sin3x+cos3x+3sinxcosx(sinx+cosx)—
—4sinx=0, sin3x—sin x+cos3x+3sinxcosx(sinx+cosx)—
—3sin x=±0, —sin x(l —sin2 x)+cos3x+3sin x(sin xcosx+cos2x—
_1)=0, —sinxcos2x+cos3x+3sinx(sinxcosx—sin2x)—0,
—sinxcos2x+cos3x+3sin2x(cosx—sinx)=0, cos2x(cosx—sinx)+
-|-3sin2 x(cos x—sin x)=0, (cos x—sin x)(cos2 x+3 sin2 x)=0.
a) cosx—sinx—0, cosx^O, tgx=l, x=-j + «n, или б) cos2x+
+3sin2x=0, cosx^O. tg2x=— -y<0, x=0.
62. x=(6k±l)-^, x=(l2n-l)±, х=(12л + 5)^, n, k<=Z.
63. x=(4ft-l)^, x = arctg3+/m, x=(6n±l)^, x=m-j,
k, n, m^Z. 64. x=(4k — l)±, x=arctg3 + /m, x=(2m+l)|-, x=
=(3p±l)y. k, n, m. peZ.
65. x=d=-~+kn, x=nn, Jt=±j + mn, k, n, m^Z.
66. x=(12ft+l)f ,x=(12A+5)^,x=(4n + l)^,x=(4n + l)f.
". *eZ. Решение, cos 4x(2sin 2x — -\/3sin x—cos x)—sin 5xX
X(2sin2x— -\/3sinx — cosx) = 0, (2sin 2x —д/3 sinx—cos x) (cos 4x —
—sin5x)=0. 1) 2sin2x=V3sinx + cosx, sin 2x = ^-sinx+ yCosx,
sin2x=sin(x + -^). a) 2x-x-f=2kn, x=(12ft+l)|-, или
6)2x+x+-5-=(2ft + l)n,3*=2ftn + |-n,x=(12ife+5)yg.2)cos4x-
-sin5x=0, sin5x=sin (j— 4xY a) 5x——+4х=2лл, 9х=
=(4n + l)-J, x=(4n + l)-j|, или б) 5х+-|-4х = (2п + 1)л, х=
*2«4-f ,*=(4/i + l)f.
151

67. х=60°т — 40°. х=90°А: — 40°, т, k<=Z. РешенИе
tg3(40° + *) + tg(40° + *) = 2 sin 2(40°+*), 40°-r-x=y, tg3«/+tgy^
= 2sin2y, Щ^- 2sin2y=0, J*in 2y0 2 sin 2y^
s cos iy cos, у " cos3i/cos2i/ w U
sin2yf ^-^ 1 Wo l)sin2f/ = 0, 2y=kn, y = k^-, 40°+*^
э \ cos 3y cos j/ / ' s ' w w 2 r*^
= 90°*. * = 90°A-40° (1), ИЛИ 2) cos2y cos 2y-cos 3ycosy
v ' ' cos 3y cos i/ cos 3j/ cos i/ "~-
cos (3i/ — i/) — cos3i/cosi/ cos 3i/cos i/4-sin 3i/sin i/ — cos3i/cosi/
= 0, 5 = 0, 5 =fl
cos лу cos у cos 3i/ cos i/ "i
tg3ytgy = 0. a) tgj/=0. у=180°п, лг+40° = 180°п, x=180°n_
—40° (2), или б) tg3y=0, Зу=180°п, y=60°m — 40° (3). Перепишем
(2) в виде *=90°-2п— 40° (4). Из (1) и (4) следует, что х=90°А_
—40° (1').
68. х={ — 1)"-5.-|-ил +-^, heZ. Указание. 5sin2*—
I
I2(sin x —cos x) (l -\-— sin 2x)
12 = 0, I+-£-sin2jc=^0, sin2*=jfc-2
J ' ' ' 2
1 -Ь-ySin 2jc
при xe#f. 5 sin 2x — 12(sinjr—cos x)-\- 12=0, sin x—cos x=i/, 1 —
—sin 2x=y2 и т. д.
69. x=kn, x=( — 1)" arcsin—g |-nn, ft, n^Z. Указание
Правая часть уравнения 2 (tgy+tg3-^- +tg5 у+tg7-g- + ...jnpefl
ставляет собой геометрическую прогрессию. 0<tg-^-<l, щ =
п. 'Вт 2tB"SL
8 8 '-* i-tg»f i-tg2-| 8
= tg-^- = l. Уравнение примет вид: 4sin3x+3cos 2x — sin xcos2x—
— 3=0, 4sin3x + 3(l — 2sin2x) — sinx(l — 2sin2x)—3 = 0, 6sin3x-
—6sin2x— sinx=0, sinx(6sin2x—6sinx—1)=0 и т. д.
70. x=( — 1)"4-arcsin-|= + n-^-— -^-arctg^, n(=Z. Решение
— arcsin-= + 11-^—^arctg^, n<
3 Vi45 '33 "12
I2sin3x+cos3x=9, Vl45sin (Зх + ф)=9, sin (Зх + ф)=-^, «f=
-y 145
= arctg-^,Зх + ф = (-1)" arcsin-^r+пл, x={-lf-jarcsin^=F +
, л 1 .1
+ "¥-yarctg!2-
71. х=(4л + 1)Л, iieZ.
72. x = (2n+l)-^, x=(3ft±l)y, „, ftGz. Указание. cos 6a =
= —2 cos 2x, cos 6x-|-cos 2x + cos 2x=0, 2 cos 4x cos 2x + cos 2x="-
cos 2x(2cos4x+1)=0 и т.д.
152

73. * = £-+2лл. x=arcctgO,2 + A>n, n, *eZ. Указание.
-ctgx(sinjc—1) —(sinjc—1)=0, (sin*— l)(5ctgx— 1)=0 и т. д.
74. x=(-iy+lJl+nn+JL, n<=Z.
4 4
75. x=kJL x=2mn,k, m^Z. У к а з а н и е. sin x+sin (л—Зж)=
-ssin2x(l+cos2jc), sinjt+sin3x=sin2x(l+cos2jc), 2sin2xcosx:—
^sin2x(l-j-cos2jc)=0, sin2x(2cosJC— (1 -|-cos2jc))=0 и т. д.
76. je=2*n, x=(4n + l) * Л, ne=Z.
6
77. x= — -j- + tin, n^Z. Решение. 1 +2 sin xcos x+1 =
-2 cos2*, 2(1— cos2 x)+2 sin xcos x=0, sin2 х+sin jccos x=0,
sin x(sin x + cos x)=0. a) sin x=0, х=лл, или б) sin x+cos x=0,
jgjt— — l, ^=_^--{-пл. Значения х=/гл не удовлетворяют
уравнению, так как ctgftn не существует.
78. x=±arctgV6^6+nn, n<=Z. Решение. *е*+4узГ+
+2tg2x+ ——=0. Воспользуемся формулой tg За = 3 tgа~*£ а для
решения уравнения. Получим: tgxH—^-^—g-^- + 2tg2x+
3tgx — tg3x
j 2(l-tga2x)_0 3tg2*-tg<x + 3-9tg2x | 2tg22x + 2-2tg22x __ Q>
tg2x ' 3tgx—tg3x tg2x
3-6tg2x-tg«x ! 2_ = 0 3-6tg2x-tg4x , l-tg2x_0 tgx=^0
tgx(3-tg2x) tg2x ' tgx(3-tg2*) tgx
x^nn,3-6te2x-tg,JC+3-3tg^-tg8jc+tg,JC=0,6-10tg2jc=0, tgx*=
3—tg2Jf * 3—tg2jr
^±Л& 6—10tg2x=0, tg2x=0,6, tgx=±-^ *=±arctgV0,6+mi.
79. x= —Л+Лл, jc=nn, ft, neZ.
4
80. x= * x=—. Решение, cos —x— cosi3x=cosJL,
9 7 2 2 2
cos—x=cos I3. x + cos JL, cos-Z-x = 2cos.lxcos3x, cos-Lx(l —
2 2 2 2 2 2 Ч
-2cos3x)=0. a) cosZx=0, Lx=(2k + l)JL, x = (2* + l)JLr
0<(2ft+l)i<-=., 0<2£+l<_L, -l<ft<i.. Так как JfeeZ.
T° fc=0 и Xi = JL, или б) 2cos3x=l, cos3x=_L, Зх= ± —+2А;л.
*=(6*±1)|-. l)0<(6Vfc + lV^<-J, 0<6*+l<|-. -1<6*<|-,
—g- <ft<^. Так как feeZ, то k=0 и x2=f . 2) 0<(6£— 1)|- <i,
°^6ft —l<i-, l<6*<^, -g-<*<^. Так как *eZ, то k=0.
153

о, л 17
81. х=т,х=- — л.
82. х=(2я+1)у, neZ. Решение. у V^"*?*^
= ^/cos2x—cos л: —cos x, -g-lcos л:I -j-cos jc=-\/cosx(cos x^]~~
а) cosx<S^0, —— eos x+cos x= д/cos x(cos x— 1), cos x 11 —~ V
= ^cos x(cos x—1) (1). Равенство (1) не имеет смысла, так как
cosx(l — 3-\ <0. б) 0<cosx<;l, тогда cosx(cosx—1)<0, т. е
х=0. в) cosx = 0, x=(2n-\-l) — . г) cosx=I, тогда левая часть
данного уравнения не равна правой части.
83. x=±i-n + 2ftn, fteZ.
84. x= — + 4kn, x=±-5. + 2rcn+-"-, ft, ne;Z. Решение
2sinx —cos—/x——j =sin2x + cos2x, 2 sin x —cos -|/x— —J =]_
x-|-=y, x=±+y, 2 sin(-"-+«/)-cos Ay=l, 2cosy-cos3-»
x(-iy)=l, 2 cos y-(4 cos3 ^— 3cos-^) =1, 2(2cos2 |--l)-
-4cos3|-+3cos|- = l, 4 cos3 Х-4cos2-|--3cos-|_ + 3=0,
4cos2-|-(cos-|—l) _3(cos-|—l) =0, (cos-|— l)(4cos2-|-
— 3) =0. a) cos-^-=l, cos-^-=2ftn, y=4ftn, x=—-\-4kn, или
б) 4cos2i!- — 3 = 0, 2(l+cosy)—3 = 0, 2cosy=l, cosy=-L, y =
= ±у+2ип. л:=±-^+2пл + у.
85. x= — —-\-kn, x=nn, ft, n^Z. Указание, (sin x + cosx)X
X(2 —4sin2xcos2x) = 2(l+tg4x)(l+tg2x)(l-tg2x)cos7x, (sinx+
-fcosx)(l— 2sin2xcos2x)=(l+tg4x) — -(1 — tg2x)-cos7x, (sinx+
COS2 X 2-2
-fcosx) ((sin2x + cos2x)2-2sin2xcos2x)=(l+tg4x)- cos X-Sln X-X
5 , . , . , . 4 4 . cos4 x + sin4 x . 2 „
Xcos x, (sinx+cosx) (sin4 x + cos4 x)= -(cos x—
4/4 cos x
— sin2x)-cos3x, sin4x + cos4x=?t0 при x^R, (sinx + cosx)X
( 1- cosx-sinx\ =0 и Т. Д.
\ COS X /
86. x= — ±+kn, *=±Л + пп, ft, neZ. Решение. 2(1 +
4 6
+ sin2x)= '-c°s(90°+2x) 2(l+sin2x)= '+""^, (l+sin2x)(2-
sin(90" + 2x) ^ cos2x 'v 'V
154

L-Wo. a) sin2x= — 1, 2x= — Л + 2Лл, x= — JL+kn, или
i 2x / 2 4
1
'J^sl
=2, cos2x=-^-, 2х=±-^- + 2ил, x=±-^+nn.
6) £os 2x
87. x=-"- + rai, n<=Z.
88. x=(2*+l)-"-,x=(6n±l)-£,*, aeZ. Указание (ctgx—
4 12
_tg*)(ctg* + tg*)=16cos2x, cos8x-sin8x . cos'x+sin'jc = 16cos 2x,
& /x sin x cos x sinxcosjr
2cosJ*.._-2_ = i6cos2x, cos2x(—l- 4\ =0 и т. д.
sin 2x sin 2x \ sin* 2x /
89. x= — -Y+kn, х=±-2-л+2лл, k, n^Z. Указание.
sin2x + cos2x + 2sin xcosx+cos2x —sin2x+sinx+cosx=0, (sinx-|-
-fcosx)2 + (cosx+sinx)(cosx —sinx)+(cosx+sin x)=0, (sinx+
4-cos x) (sin x-^ cos x+cos x—sinx+l)=0, (sinx-b-cosx)(2cosx+
+ 1)=0 и т. д.
90. x—kn, x=±~ + nn, k, n^Z. Указание. 2sin2xcos2x+
4-3sin2x= '-cos2*, x¥=kJL, 2sin22xcos2x+3sin22x=l— cos2x,
sin 2x 2
2(1 —cos22x)cos2x + 3(l—cos22x)—(1—cos2x)=0, (1—cos2x)X
X(2(l+cos2x)cos2x + 3(l+cos2x)— 1)=0 и т. д.
91. х=(4л+1)Л, x = (6ft+l)Ji, n, k<=Z. Указание.
tg(-|n—2x) — cos2x = V3(l+cos(2x+JL)) , ctg2x —cos2x=
= V3(1 — sin2x), ctg2x(l— sin2x)=V3(l — sin 2x), (1 —sin2x)X
X(ctg2x—V3)=0 и т. д.
>(т-)
sin
92. х= — -\-пп, neZ. Решение.
4
V§COSJ
я л . .
SHI —COSX — COS— Sinx . . J Ltcje
^- — _4 4 _ cos x—sin x __ _1_ JLtgx 3-42 2tB*_
V2"cosx 2cosx 2 2
^3.2.2-1е* = -£-, 1 + 21е* = -£-, 21е* = г/, l+y=±, y>0,
2tgjr • ' 2tgJt у
у2+у-б = 0, у, = -3иу2 = 2. а) 2'в* = -3<0, х=0. б) 2'в*=2,
4
93.- х=(—l)*+l-£+toi, x=nn, k, ne=Z.
94. х=(6*+1)4- «/=(6/i+l)JL; x=(6A-1)-=l, y=(6n-l)4.
". *6Z. Решение. *Н 2—i 22i «Z. 4.
155

4tgytg|
(i+tg^Xi+tg2!) 222
примет вид:
,2\/i i ..2
1-ц° ■ \-v* (l-0(l-*2) .
4uv
l+u2 ' \+v2 (l+n2)(l+i»2) ' (l+Ofl+o2) 2' ('-
u2)(l+v2) + (\-v2){\ + u2)-(l-u2)(\-v2) + 4uv = |(1 +u2)(i
2
.2..2\
+ i>2), l+u2 + t>2-3uV + 4uw=-|(l+u2 + i>2 + uV), 2 + 2u2+
+ 2u2-6uV + 8uw = 3 + 3u2 + 3w2 + 3uV, 9uV-8uw + u2-t-i,2+
+ 1=0, 9uV — 6uv+l+u2 + v2 — 2uv = 0, (3uv— l)2+(u — u)2=o,
3uu=l и u = t», т. e. 3tg-ltgi!-=l и tgA=tgJ^-, Stg2-!^]
x=(6k + l):±,
y=(6n + l)f.
*=(6A —!)-§-.
j/ = (6n-l)-£.
95. * = (2n+l).£, i/ = (4A+l)JL, n, Jfee=Z. 96. * = (2"+l)- +
+ AJ1, y = (2n+l)2I-ft.ilp n, AgZ.
97. х=(26+1)л, у = пл; x=(2k — n + l)n, y = nn, n, feeZ.
98. х = 2Ал, x=—2arcctg2 + 2rm, *=2 arctg(2±V3)+2mn,
ft, n, m^Z.
B 2 3
a)
e 2 3
e 2 3 '
B 2 3 ■
tgA=_3§;
R 2 3
99. jc = -5-arccos(2a—1),
x=±-5-arccos(2a—1)+n, x=
= —-=-arccos (2a—l) + 2n, 0<a^l; *=-r-arccos—=-^-, x=
l l—2a . n 1—20
= у arccos—5 |-л, x=2n— arccos—;—
2 " — з
1<а<2.
Решение. |cos2x| = J-j — yCos2x — a | , |cos2x| = |ycos2x+a-
— y|. 1) cos2x = yCOs2a + a —y, cos2x = 2a—1, — l<[2a — Is*
< 1, 0<a< 1, 2x= ±arccos (2a— 1)-|-2пл, x= ±y arccos (2a — 0+
+лп. а) 0^ у arccos (2a—1) + пл^2л. Значениями п могут быть
0 и 1, поэтому *i = y arccos (2а — 1), *2 = у arccos (2а — 1) + л, илИ
б) 0^—^-arccos (2а—1) + пл^2л. Значениями п могут быть 1 и *■
156

„оэтому х3= — у arccos (2a — 1) + л, лг4= — у arccos (2а — 1)+2л.
.j\ cos2x= — yCOs2x—a + y, 3cos2x=l—2a, cos2x = *~|° ,
_K-^~-<l, —3<1—2a<3, — 4<—2a<2, —l<o<2,
2,r— ±arccos ~ ° +2kn, x — ±уarccos ■ ~ ° +kn. a) 0<
./--arccos—5 |-foi=SC2n. Значениями к могут быть 0 и 1,
поэтому х5 = у arccos—^—, х6 = у arccos—- 1-л, или б) 0^
^—— arccos—5 |-Лл^2л. Значениями k могут быть 1 и 2,
1 I—2а 0 I—2а
поэтому Х7 = л — yarccos—g—, х8=2л —arccos—-—
100. x=kn, х = ± —arccos-^—--|-/7л, п, fteZ, a<0 или а>4.
* 2(а—I)
4П1 л л 5
101. *=у, * = "б". ЛГ = ТЛ'
102. x=(2rt + l)y,nc=Z. Решение. 4.3c°s2*+sir2' — 9-3cos2jt —
-1=0, 4-3cos2x-3.32cos2jt-l=0, 3cos2jt=y, 4y-3y2-l=0,
3^-40+1=0, yi = y, Jfe=l. a) 3cos2x=3-1, cos!*=-l<0.
x=0, или б) 3й"** = 1. cos2x = 0, cosx=0, *=(2* + l)y.
103. {x}=0. Решение. sin4x + cos',x + sin3xcos x + sin xX
Xcos3x-}-sin2xcos2x = - , (sin2x+cos2x)2 — 2 sin2 x cos2 x 4-
' Sin X COS X \ l / I
l2* + COS2#«) + "!"2-— 2 '
,2„ , • I
+sinxcosx(sin2x-|-cos2x) + sin2xcos2x= — , 1—sin2xX
' ' sin x cos л; ^
Xcos2x+sinxcosx = — , 1
sin л; cos л; sin x cos x
sin xcos x— I
-sinxcosxX
X(sin xcosx—1) = 0, sinxcosx sin xcos x(sin x cos x— 1)=0,
sin x cos x v
(sinxcosx— 1) (—. sinxcosx )=0. a) sin xcosx=l, sin 2x =
' \sin xcos x /
=2;>1, x=0, или б) хФк~, sin2xcos2x=l,sin2 2x=4> 1,
x=0.
104. x=(2/i + l)y, х=±у(л — arccos-M+/m.
105. x= ±-£--f/m, neZ. Указание, sin (4х+4л)—3cos (-5- +
"г2xJ =tg(/m+x)+arccos 1, sin 4x+3sin 2x = tgx, 2sin 2xcos 2x +
+3sin2x—tgx=0, 2sin2xcos2x+3sin2x— , *'" 2* =0, sin2xX
ь ' I+cos2x
X (2cos2x + 3— , , ' )=0 и т. д.
\ ' I+cos2x/
157

106. лг=(ЗЛ±1)у, *e=Z.
107. x=k~, x=(2*+l)-jj-, ke=Z. Решение. Упрости„
(J2-i)hJ¥+-fi+i) /s *m m, *r
правую часть уравнения: — - - V2—V2 = V2+V2-L
+ 1—^2—у2=1. Уравнение примет вид: l+sin(2n—5jc)_j.
+sinx=l, —sin5x+sinx=0, sin5x=sinx. a) 5x—x=2kn,x=k^-
или б) 5x+x=(2k+l)n, x=(2k+l)-?r.
108. x=-j+kn, fteZ. 109. x=(-iy+1|-+(3n-l)-|, ne2.
110. x=n-j. x=(—l)m^+{4m + l)-j, n, me=Z. Указание.
—sin (2л — 2x)—cos (л+2x)= |^,^ —tg 2*, sin 2x+cos 2jc=
I sin 2x • о i n I—sin2x „ 0 . Л . ,„. . ,ч п
:, sin2x+cos2x= , cos2jf=?fc0, x=5fc(2*+l)-i
cos2x cos2x' ' cos2x ' ^ ' v ' '4
sin 2xcos2x+cos22.*=l — sin 2*, sin2xcos2x=! —cos22x—sin2x,
sin2xcos2;t=sin22.*—sin2x, sin 2* cos2.it—sin2 2x+sin2x=0,
sin2x(cos2jc—sin2x + l)=0 и т. д.
111. x=(6m+l)-J, me=Z.
112. *=±JLfr-arccosO,25)-|-fcjx. Jfee=Z. Решение. S2i|i_
2 v ' sin 2x
2 h3tg3x-2tgx=0, cos'2a:-i +3tg3x-2tgx=0,
2 sin 2* cos 2* ^ Б Б sin2xcos2x ' Б &
-sin22x + 3tg3*-2tg*=0, sin2*^0, хфт±, -££+
+ 3tg3x —2tgx=0, — tg2x+3tg3x—2tgx=0, tg3x—tg2x+
+2(tg3*-tg*)=0, SHL5 + 2- s'"2* =0, *'mx■ +
x e B cos 3x cos 2x cos 3x cos x cos 3x cos 2x
+ 4si"*cos* =0, cosx=*0, хф^ + кл, sinx +_и»1х_=0-
cos 3x cos x 2 cos 3x cos 2x cos 3x
sin x
■(— 1-4) =0. a) sinjt=0, х=пп. Эти значения х не удов-
cos 3x \ cos 2x / '
летворяют уравнению, б) —' \-4 = 0, cos2x= —-L, 2х=
cos 2x 4
= ±(n —arccos-L)_|_2/bi, x=±-^- (я—arccos-M + Ля.
113. х=(2Л+1)Л, х=(4/!+1)* Л, beZ. Решение.
4 8
tg2x—ctg2x+8cos2xctg2x=0,-5l4i !^£- + 8cos2xctg2*=0.
cos x sin2 x
sin4x—cos4x ■ 8cos2x cos2x =Q (sin2x+cos*x) (sin2x—cos-1 x) _ _j.
sin2 x cos x sin 2x
158

,8 cos 2*-^=0, ~4™2x+8cos2xS<*%L=o, 4ctg2*X
T° sin 2* sin* 2x - sin2x Б
^/-^r^ + 2cos2^)=0. a) ctg2x=0,2x=± + kn,x=*(2k+I)JL.
A> 2cos2* ^=0, 2 sin 2* cos 2*= 1, sin4*=l, 4x=(4n + 1)JL,
01 sin 2x \ ■ / 2 '
,=(4«+l)^-.
114. Jc=(4fe + 3)4, *=(6л±1)" Л, ne=Z. 115. лг=/гл, дг=
о 12
^(2/i+l)-£, *=(2л-1)-=., *, «eZ.
116. *=arctg(2±V3)+/m, neZ. Решение. В правой части
уравнения выражение в скобках 1 + — + —+-^—К» представляет
,к л/5 2 2V§
собой геометрическую прогрессию, в которой b\ = l, q = — , S =
V2
=s—!— = —-—. Правая часть уравнения примет вид: л/2{л/2— 1)Х
Х-^- = 2. Получим: tg( JL + x) + tg*=2, * + tg*=2,
-./2—! V 4 / .*_«..
л/2-I
l-tg-j-tg*
4
7Z^+*B*=2, tgx*=l, хф^+пл, l+tg*+tg*-tg2A:=2-
-2tg*. tg2x-4tg*+l=0, tg*=2±V3, *=arctg(2±^)+/m.
117. *= 180°*, *=±70°16'+180°/i, х= ±46°1(Г+180°*,, A,
л, feieZ.
118. *=(2я + ])|я,яег. Решение. tg-l+2tgA+4tgi +
efl-tg2-^)
+ »r-=tgiL. tgA+2tg-L+4tgji + -i ^- = tg:i, tg-l+
tg* Б 12 Б 8 Б 4 г Б 2 „, л 6 12 Б 8
2tgT
+ 2tgJL + 4tg.l+-V _2A=tg_L, tg-L+2tgJl +
tgT
, 4tg2-1+4-41^4 4(l-tg'4)
+ - ? l_2_ = tgjL, tgA-f2tgji + - !_lZ = tgji,
tg-i. *12' ё 8^ K4^ 2tg^ ё12'
♦ r 2tg24+2-2tg24 гО-!^-!-)
t*4+-Lj ^—tg* tg4+ l e;=tg-tg4 +
tgT 2tg-g-
159

1 8 _f~ X
1 t x tgT2'
«*_£.. cos JL_sln^
sin -1 cos A
sin
tg'-J + l-
X
8 —0
V
sir
8 -tgi.
5
COS24X
'-8-COST2
ctg — = tg —,
0, cosA* = 0, j».^
24 24
= (2и+ 1) — , x = (2n-\- 1)_п. Допустим, что sinj!L=0, тогда ~=kn
2 5 8 8
*=8Лл. Но {2п+1)1-^ф8кл, так как 3(2л-|-l)=jt lOJfe — очевидно
Аналогично проверяется, что и cos-^=^=0 при х=(2п-\- 1)_п.
119. *= —JL + Лл, x=JL+nn, *=(-l)m+1.iL + mn + JL. k
4 4 4 4'
120. x = arcctg2-|-nn, x=(2m-|-1)Л, п, m^Z. Указание
1 —cos (и cos2 x)= I —cos (n sin 2x), cos(ncos2x)=ros(n sin 2*).
а) я cos2*—nsin-2x:=2ftn, cos2x— sin 2x=2A, cos2x—2 sin *cosjc=
= 2A;(sin2x + cos2*), 2Jfe tg2 л:-h 2 tg л:-h 2fe — 1 = 0 (1), _^ = 1-4/г2+
+ 2*>0. 4Jfe2-2Jfe-l<0, *2-i-*—i<0, (*~t) ""^"T^
V 4/16 ' 4 ' 4 4 4 4 4 ^
^fc^—jl—. Так как teZ, то ft = 0, тогда _ = 1. Уравнение (1)
примет вид: 2tgx=l, tgд: = _L, x=arctg — -j-пл. 6) ncos2x +
2 > 2
-|-л sin 2х=2тл и т. д.
121. *=Л+Ал, fceZ. 122. x<=kn, x=(6n±l) — , *=
4 6
= (12m-l)" *=(l2m + 5)-£, k, n, mf=Z. 123. *=(2ft +!)-£.
48 i* *
*=(6n±l) —, x=(6m+l)JL, x=(6m-l)-£ , k, n, m^Z.
124. x = kn, AeZ. Решение. 4sinx+sinx—sin 5x = 0, 4 sin ж—
— 2cos 3*sin 2x = 0, 2sinjt— cos3*2 sin *cos *=0, sin*(l~
— cosxcos 3лг)=0. a) sinjc=0, x = kn, или б) cosSxcosx^'
1 -4-5
cos 4x+cos 2x = 2, 2 cos2 2x + cos 2л:—3=0, cos 2*=^-*'
4
cos 2*= — 1-L<: —1, дг= 0 или cos 2jc= 1, 2* = 2Лл, x = kn.
125. *=(2*+l)JL, х=(6п±1)^, k, ne=Z.
160

126. х = -—i-^-л, fteZ, neN. Решение. 2 sin x + 2sin2xX
л(л+1)
vsin 4x + 2 sin 3x sin 9x-|-2 sin 4x sin 16x +...+2 sin nx sin n2x = 2,
2sin2x =1— cos2x,
2 sin 2x sin 4x = cos 2x — cos 6x,
jl. 2 sin 3x s jn 9x = cos 6x — cos 12x,
2 sin 4x sin 16дг= cos 12* —cos 20x,
2 sin nx sin n2x = cos {nx — n2x) — cos (nx + n2x)
2 = I — cos (nx -f- n2x)
со8я(1+п)дс= —1, n(n+1)дг=(2*+1)я, rteAT, feZ, x=(f |''я.
127. x=(ik+\)±, x=(-l)"+l^ + (4n-l)^, ft, «eZ.
Решение, (sin л:—cosx)+(sinx—cosx) (sinx-|-cosx)-|-(sinx—cosx)X
X(sin2 x + sin x cos x+cos2 x) -|- (sin x — cos x) (sin x+cos x) (sin2 x-j-
-fcos2x)=0, (sinx—cosjc)(1 + (sinx-fcosx) + (1 -fsinxcosx)+
-f(sinx+cosx))=0. a) sinx—cosx=0, cosx^O, tgx= 1, *=-j- +
-\-kn, или б) 1-|-sinx-|-cosx-|-l+sinx+cosx + sinxcosx= 0,2+
-|-2sinx+2cosx + sinxcosx=0. 3+4(sinx+cosx)4-1 + 2sinxX
Xcosx = 0, 3 + 4(sinx + cosx)+(sinx + cosx)2 = 0, y2 + 4y + 3=0,
e/i = — I. sinx + cosx = — I, sinf *+-£-) —— -у и т- д-
128. x = kn, x=(4n-f l)il, ft, n^Z. Указание. tgx(tg22xX
Xtg23x-l)=tg22x-tg23x, tgx(tg2xtg3x+I) (tg2xtg3x-l) =
=(tg2x-tg3x)(tg2x + tg3x), tgx sin2xsin3*+cos2*cos3* x
COS £X COS ол
v sin 2xsin 3x —cos2xcos3x __ — sin x i sin 5x cos2jc=^0
cos 2x cos 3x cos 2x cos 3x cos 2x cos 3x ' *
cos3x=^=0, tgxcos(3x—2x)( —cos(2x + 3x))= — sinxsin5x, tgxX
X cos x cos 5x=sinx sin 5x, sin x cos 5x = sin x sin 5x, sinx(cos5x—
—sin5x)=0 и т. д.
129. \x}= 0. Указание, cos2 x +-|-cos x + 4 cos Зх — 4(cos3x +
+ cos x)+ ^=0, cos2x + JLcos x + 4 cos 3x —4 cos 3x —4 cos x +
i 24
+ ~=0, 9cos2x + 6cosx —36cosx + 23 = 0, 9cos2x —30cosx+
+23 = 0 и т. д.
130. x=4ftn, х=± —+2пп, ft, n<=Z. 131. x=|+2Jdn, ft<=Z.
132. x=|-+ftn.x=(-ir+'yaresiny+ny,ft,/ic=Z. 133. х=
**Vk+l)%, дг = (2п + 1>^1 x=(2n + l)|-. ft, „eZ.
161

c=arctg-y^.
134. x=arctg-w -L-\-nn, n^Z. Указание. 6sinx—гсов3*-.
6 sin 2xcos 2xcos x ^^cOv_tn сг;„„ о __сз „ с-:„.,„ ?
= , coszx^u, о sin x—z cos x=osinxcos r
2 cos 2x *■
3sin x—cos3x=3sinxcos2x, 3sinx(I—cos2x)—cos3x=0, 3sin3jc—
— cos3x = 0, cosx^=0, 3tg3x=l и т. д.
135. x= — JL+2rzn, n<=Z. 136. х=я, x=i-n. Решение
6 6
2sinxcosx-f-2sinx+cosx+ 1=0, 2sinx(l-|-cosx)-|-(l-f-cosx)=o,
(l+cosx)(2sinx+l)=0. a) cosx= —1, х=(2и-|-1)я, 0<С(2л+
+ 1)я<5, — 1<2л<-1_1, — '<n<A- ' Так как ne=Z
л 2 2л 2 '
тол = 0их=я. б) sinx=—-i. I)x= — 4 + 2ftn, 0< — ±+2kn<
2 6 6
<5, _^<А< J- + .L. Так как fteZ, то ft=0. 2) x=^-n+2ftn,
0<In+2fcn<5, -i.<2ft<i._ 7 _ 7<fe< 5 7 TaR
6 6 я 6 12 2л 12
как fteZ, то А = 0 и х = — п.
6
137. х=Ая, x=(2/i+l)JI,x=(3m±I)iL, ft, л, meZ.
Z о
138. х=( — 1)*JL+An. х=±+2пл. A, neZ. Указание
log2^(_y=*, ^=(2Т)',2-* = 23', /=-3. 3sinx-cos(n-
— 2х)=2, 3sinx+cos2x=2, 3sinx4-l— 2sin2x=2, 2sin2x-
— 3sinx+l=0 и т. д.
139. х=±(я—arccosl-j+2Ая, x = ±arccos Л + 2яя, А, яе/-
140. x=±7o36' + 180°ft, х=±60° + 180°л, ft, neZ. 141. х=
= (2А+1)-£, Ae=Z. 142. x=--*-+An, A«=Z.
143. х=±—+2лл, neZ. Решение, tgx+sin 2x+-^-==
3 I-|-Sin*
= l + l-cos(|-+2x), tgx+sin2x+-^7=2+sin2x, ^ +
cos
x__9 sinjc+sin2x+cos'x ...о sinx+l _o< sjnjc_£— 1
l+sinx cosx(l-bsinx) cos x(l +sin x)
-J- = 2, cosx=±, х=±-£+2ля.
cos x 2 3
144. х^-Л+ля, x=(-l)*+1arcsin^f + An+ * n, k&1
4 6 4
145. jc=JL(2« + I); neZ.
146. x=4,0311, x=2,2519, x=±n, *=-§-n- РешеНйе
64cos22x — =0, f 8 cos 2x4 —) • (в cos 2x ^^=0.
sin4* V sin2*/ V sin*-* /
162

n8cos2*+-—Ц-=0, cos2jc=jM, 8cos2x — 8cos2 2x + 2=0,
" 1— cos 2x ■ '
gcos22x —8cos2x—2 = 0, 4 cos2 2x—4 cos 2x— 1 =0, (2 cos 2л:—
—1)2=2, 2cos2x-l = ±^/2. С052х=Щ^-. a) cos2jc=!±£> 1,
x=0; 6) cos2jc= ^—, 2*=±(n—arccos^^-) + 2/bi, x=
= ±}X (я — arccos^^+fen. *=y(n—arccos^J-)+
«J-(n— arccos 0,2071)+А:лда ' (л— 1,3622) + fen, Л<_!_(п —
_l,3622) + ftn<-|л, 0<—0,6811 + Лл<л, 0,6811<ftn<n+
+ 0,6811, M§<fe<i_|_M8. так как *eZ, то k=l и x, = _L(n-
Ля;
л
2
-l,3622)+n=±-l,7793+3,l415«4,0311. x = -±(л — 1,3622)+
+ /Ы, -J<— 4"(n- 1.3622)+ Ая< -In, я<0,68П+Лл<2я, я-
-0,6811<*я<2л-0,6811, i_M§ii<A<2-5^^. Так как
л л
ke=Z, то *=1 и дг2=--1(я-1,3622) + я=--1-. 1,7793 + 3,1415»
«2,2519. 2) 8cos2x = 0, cos 2x^=1, 8cos 2x—8cos22x —
1 —cos 2x
-2 = 0, 4cos22x —4cos2x+l=0, (2 cos 2x — 1 )2 = 0, cos2x=_L,
х=±-£ + лл. а) х=-л-+пя, I<I+m<in, ^.-^.<n<
< ——-L, _L<n<l_L. Так как n^Z, то п=\ и х3=-л- + я=
2 6 3 3 6
6 ' 6^ 2 6 ^ 2 2^62^
+-г, -1<л<1—. Так как neZ, то я=1 и х4 = — 4г+я = -|-я-
«33 66
147. х = 2=2, х=^=1, х = &*=*, х=25л^6> х=5л^6
4 ' 4 ' 12 12 12 '
_ 17л—6
~~ 12 '
148. x=-|n. x=Ln, х= 1,7856, х = 2,9266.
149. х= 1,8088, jc = 3,3796, х= 1,3326. х=2,9034. х=4.4741,
*^ 0,2381.
150. x=(2*+l)il, лг=(12Дг— 1)Л, AeZ. Решение.
^ S'H jc sin 2ж=5 cos х + 4 sin 2x, 4 sin2 ж cos x—5 cos х — 8 sin x cos x=
^О. cosx(4sfn2x—8sinx — 5) = 0. 1) cosjc=0, x=(2n+l)JI, или
163

2) 4 sin2*—8 sin x — 5=0. a) sin *=2-i->0, x=0, или б) sin^^
= — -1, *=( —1)"+1 — -\-nn; эти значения х будут удовлетворяв
уравнению только при n = 2k, т. е. х=(—1)2*+|-^--|-2Ля или я-^
= —JL + 2*n.
6 ^
151. х=^ + 2пп, х=^+(2л+1)я, neZ.
4 4
152. х= — arctg0,6-|-nn, neZ. Решение. 1+tg x + tg2 *-f
+ tg3■*+•-- — бесконечная последовательность. Так как |tgx|<[
то имеем бесконечно убывающую прогрессию, в которой fti = i'
i i cos(2n-y) 1
g=tgx и S = -.—-—. Получим: -;—-— = — -—-— —
л
COS -5- ,
= ■ 3 . l-tgx=2Vl-tg2A:,(l-tgx)2=4(l-tgx)(l-(-tg4
Vl-tg2*
(I-tgjt)(l-tgx-4-4tgjt)=0. a) l-tgx=0, но tgjt=jM, x=0.
6) — 5tgjt — 3=0, tgjt= — .1, x= —arctg0,6+nn, ne=Z.
5
153. jc=±arccos^p + 2nn, neZ.
2t(f -—cos x
- * 2
= (36'ogJb25_| 10 эй**). J_ 22lg2 c°s"=(25 + 5-6).!
154. x = (— l)"2i + (4n — l)il, beZ. Указание. 2
4 4
[36 log* 2!
22tE2""C°S* = 22, 2tg^-cosx = 2, 2(1~COSJC)-cosx=2, sinx^O,
2 sin*
2 — 2 cos* — sin x cos x=2 sin x, 2 — 2(sin x+cosx)—sin x cos x=0,
sinx + cosx=i/, l+2sin xcosx=i/\ sinxcosx=- , 2 — 2y—
О 4
— ~ =0, f/2 + 4y—5=0, t/i = — 5 и 1/2=1. a) sin x+cosx= — 5,
x=0, или б) sinx-|-cosx= 1 и т. д.
155. x=(-l)"+lyarcsin:)§-+90on-I7o30', «eZ. 156. x=
= (2л+1)л, x = (-lj* Л + fcil+fe JL. n, teZ. 157. x=—arctg2+
+ *n, x=± JL+2nn, ft, ne=Z.
158. x=(2n+l)JL, x=2kn, x=JLkn, n, k<=Z Указание
ф 2 2л/2 4 4^ I+-J— V2+1 V2+'
V2
164

sslog2l=0, 2сов5хсоз2х — 1 — cos4x + 1 — cos6x = 0, 2cos5xX
^ cos 2x — (cos 4x+cos 6x)=0, 2 cos 5x cos 2x — 2 cos 5x cos x=0,
2 cos 5x(cos 2x—cosx)=0 и т. д.
I59. x-i + пя. neZ. Решение. tgx+ Jgj^?QO =
__ j sin x cos * cos 20° cos 40° fgJC ■ cos 30° — tgx cos20°cos40°
*" 2cos2* sin 20° sin 40° * sin 20° sin40° sin 20° sin 40°
tg x sin 20° sin 40°+cos 30°=tg x cos 20° cos 40°, (cos 20° cos 40° —
- sin 20° sin 40°) tgx=cos 30°, cos 60° tgx=sin 60°, tgx=tg 60°, x—
-60° = 180°n, х=60°+180°л или х= JL+tm.
160. x=(2n+l)JL, neZ.
161. x=kn, х±^- + 2лл, k, n^Z. Указание. |sinx|<l, 1 —
—sinx+sin2x—sin3x-|-sin4x—...— бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия, в которой 6i = l, д=—sinx, S= . . Получим:
I— cos(-*- — 2x) I— cos(-£-+2x) / ч
+ ^ - ^ '-=0, 2sinx+l—cos( Л —2x) -
2 2 '44/
-l+cos(il + 2x) =0, 2sinx + cos(il + 2x) -cos(-J-2x) =0,
2sinx —2sin Ys'n 2x=0, 2sinx—-\/2-2sin xcosx=0, 2sinx(l —
—V2cosx)=0 и т. д.
162. jc=-in, x=JLn, x = JL, x=JL, x = J-n.
18 8 18 8 18
163. x= —i-n, x = JL, x=JLn. Решение. т/х+ЖЗ,
4 4 4
Л/2( sin jccos—J
0<х+я<9, -л<х<9-л. (1) tg2x-tgx= K cosx
\'2 (cos x sin — )
4 4 / , 2 i sinx—cosx , „ . j .
, tg-'x —tgx= , cosx^=0, tgzX —tgx =
COS X " & COS X & &
-tg*—1, tg2X-2tgx+l=0, (tgx-l)2=0, tgx=l, X = -J-+rm,
х=(4л-|-1)—. Подставим найденное значение х в неравенство (I):
-n<(4n+l)|-<9—л, — 4<4п + 1<^~ — 4, -5<4п<^—5,
~~Т<л< — — 4-- Так как «eZ, то п= — 1. 0. 1 и Xi = ——л,
4 л 4 4
ДГ2== л „ 5 _
т,хз-тл.
1G5

164. х=у(2n+l), jc=— 2у, *=—у- Указание. ц3
уравнения видно, что cosx^O, а потому —cOS* . =cos jc, cos^y
(*+f)2
165. Jf=arctg2-f-/m, яе2. 166. x= — 1+пл, x=( — 1)"+1Л-|.
4 8
+ nJL, neZ.
167. x=~Ln + 4nn, х=±-1л+4-*л— * «, AeZ. P e ш e-
о 9 3 18
ние. 2sin(x+^)+2sin(^-|)=2V3(fsin(-l + -i)) +
+ TCOS(t + 1) ' sin(*+f ) + 5Кт~т) =V3sin(| +
+ T+*)' 2sKt + H") Чт*+й)-тМт+Яя) =0.
8,п(т+яя)(2см(т*+я)-^-0- a> «"(-!■+£«)-o,
T+^=nn' ^=-|n + 4«n. 6) cos(4x+^=^, |x+
24 6 9^3 18
168. x=JL+2kn. x=-Л+2лл, к, n<=Z.
169. x=0. Решение. I+sin27jt—3sin 7xcos7x+5cos27x=
=(a—6) (sin2 7x+cos2 7x), 1 — 1 + (sin2 7x+cos2 7x) + sin2 7x -
—3 sin 7x cos 7x+5 cos2 7x=(a—6) (sin2 7x + cos2 7x), (8—a) sin2 7x+
+(12—a)cos*7x—3sin 7xcos 7x=0, cos7x=^0, (8—a)tg27x-
— 3tg7x+(l2 —a)=0, D = 9—4(8—a)(12-a)=9—384+80a-
—4a2 = — 4a2 + 80a — 375. Уравнение будет иметь решение в R, если
-4a2 + 8a-375>0, 4a2-8a + 375<0, a2-2a+ 5Z5<0, (a-1)2-
4
- 1 + 375<0, (a-1)2< - 375 <0, X-0.
170. *=*y. x=±JL + nn, k, ns=Z. Решение. 2sin3(2x)=
= tg2x —2sin2*, 2(3sin2x —4sin32x) + 2sin2x—tg2x=0.
8sin2x—8sin32;t—tg2x=0, sin 2x( 8—8 sin2 2* x—\ =0.
" V cos 2* /
a) sin2x=0, 2x=kn, х=*Л. 6) cos2x=?fc0, 8cos22jc Цг-0'
2 cos 4.x
8cos32x= 1, cos32x= _L, cos2x = -L, 2x= ± Л + 2/m, x= ± -g-+nJI-
171. x=(2fc-|-I)JL, х=(-1)яЛ+Л(4п-1), k, n<=Z.
4 8 8
166

172. x=kn, x=-£+ 2кл, *eZ. P e ш е н и е. sinf 1 __|2го5*-Дх
б V 2cosx—1
vsinx—sinx) =0. a) sinx=0, x=kn. 6) 1—sinjcf l2cosJC~'l +
74 / \ 2cos*— 1
_{.Л=0. 1) cosjO-L, 1— 2sinjt=0, sinx=-L, х=Л+2*я.
9}cosjt<-L, 1+ 2cos*~-sinx—sinx=0, I + sin x—sinjt=0,
' 2 2 cos x— 1
ЛТ=0-
173. лг=(2п+1)я, neZ. Решение. 1 — cos2 ( Л cos л: — An) =
s=0, 1— cos2(2n+-?-n— JLcosx) =0, sin2(i-n—Jlcosx) =0,
("-(!+TCOS*))=°' -n(^+fcOs,)=0. J±(l +
. 9
sin
-|-cosx)=kn, cosx=3£—-1. Это может быть только при 0^Л^._.
Так как AeZ, то Л=0, cosx= —I, дс=(2п+1)п.
174. л:=(2л+1)-|-; ne=Z. 175. х = ±arctg(V2+ 1)+2кл, х =
= — -i-arctg(^— 1)+(2л + 1)у,Л, ne=Z. 176. х= —-J + пя, ne=Z.
4 2 2
177. л: = — —я, д:=—л, х= — -—я. Р е ш е н и е. sinjt-|-tg.jc=
3 3 3 ' Б
= '-"*'* , sinx + tgx = sin'* , sin*=^0, sinx+tgx=:-^^,
2sin л:cos л: e 2 sin xcos x & 2 cos*
sinx-f-tgA:=i- tgx, 2sinx + tgx=0, cosx^O, tgjt(2cos;t+ l)=0.
a) tgx=0, х=Ал, но sinjc=jt0, т. е. хфкл. б) 2cosx= — l, cosjc=
= —§-. *=(3*±1)-|«- 1)х=(ЗЛ+1)|-я, -Ая<(ЗЛ+1)|.я<я.
-4^3*+1<4' —"6"^fe<"6- Так как *eZ*то *——1« °и
xi = -4-". *2=-§-*- 2) x=(3ft—1)4«. -A"<(3*-1)4"<".
<3 о 3 3 3
-|<Й-1<|, — -1<*<А. Так как teZ, то k = 0 и дг3 =
-4"-
178. *=**=-**=*
4 6 6
179. x=kn, x=±{2n-\-\)JL, n = 2m, k, n, m^Z. Решение.
а) Isinjcl = sinx, если sin х^О, тогда sin jc=sin |дг|. 1) jc—\x\=2kn
или 2) \x\ -\-х = {2к-\-\)л. Если х>0, то имеет смысл только
равенство 2), т. е. х=(2п-\-1)—, где п = 2т (так как sinjc^O). Если
*<0, то имеет смысл только равенство 1), т. е. х— (—x) = 2kn,x=kn.
167

6) Isinxl = —sinx=sin(—x), если sinx<0, тогда sin( — x)=sin \X\
1) |x| — ( — х)=2*л или 2) |x|+( —х)=(2£+1)л. Если x>0, To
имеет смысл только равенство 1), т. е. х-|-х=2Ля, x=kn. Если х<о
то имеет смысл только равенство 2\ т. е. —х—х=(2п-\-1)п, х^
= —(2л+1)Л , где n = 2m (так как sinx<0).
180. х = ^+пп, х = (-1)*-£-+Лл--^, п, fceZ:
181. х=пя, x=(2n-|-l)—, neZ. Решение. cos6x(l + tg2x)-f
i *_2 1 cos6jt(sin2 x+cos2 jc) . sin2* i ,n с i • 2
+ tg'4x=l, » —^ + " = 1. cosx=?£0, cos6x + sm2x =
COS JC COS X
=cos2x, cos6x=cos2x—sin2x, cos6x=cos2x. a) 6x—2х=2Ал.
x=ftil. Эти значения х будут решением уравнения только при
А = 2л, т. е. х=яя. б) 6х+2х=2Ал, х=Лг-^-. Эти значения х будут
решением уравнения только при Л = 2я+1, т. е. при х=(2л + 1)-^
182. х= Л, х= А я. 183. х = 0, дс==2п, *=-£■• ^=|n
184. x=ft-JL, fteZ. 185. х=Л. x=JL. 186. x= —-!л, x=
6 7 9 2
= —я, х=Л. 187. х=я, х= Л, х= —Ал.
2 3 3
188. х= —2, х = — 1, х = 0, х= 1, х = 2. Решение. 25 —4х2^
>0, х2<—, |х|<А, — А<х<А. 6sin nxcosnx-[-8sin лх=0,
— 4 * ' 2 22
2 sin ях(Зсобях+4)=0. a) sinnx=0, лх = &л, x=k, fteZ, —А<
<Л<А.Таккак*€=г,тоА= — 2, —1,0, 1,2их=—2. —1.0, 1,2.
4
б) 3COS ЛХ + 4=0, С05ЯХ = — у < — I, Х=0.
189. х=(—iyi + яу. n«=Z.
190. *=±-у+Лл, x=±yarccos-~ + nn, ft, «eZ. Реше-
_ , , о 5 п . 1 —cos 2л: 5 о / I
ни е. cos2x+tg'!x=1g-, cos2x + 1+cos2jc =-g • cos2x^= —'•
cos 2*+cos2 2x+1 -cos 2x= j^ 6cos'2x+6 = 5 + 5 cos 2x, 6cos22x-
1 -J-cos 2x 6
-5cos2x+l=0, cos2x=^i-. a) cos2x=y, 2x=±y + 2fcn.
x=±— + ftn. 6) cos2x=-L, x= ± J-arccos JL-f-нл.
6 ' 3 2 3
191. x=kn, AeZ. Решение. -\J 1 — cos2 x—2 sin x =ctg2 (3X
Xl80° + 90°), Vsin2jc—2sinx = ctg90°, ^in x(sin x—27=°-
Выражение под радикалом имеет смысл только при sinx = 0, x=^It-
168

192. x=Jl+ Алл, neZ. Решение 3cos3(An — 3x) =
^ — -^54 cos (360^— 60°), — 3 sin3 3x = — -^54cos 60°, 3sin33x=
^ШТ, sin33x=l, 3x=JL + 2nn, x=JL+2.nn.
v 2 6 3
193. x=±-^ + nn, nsZ. 194. x=( — l)"+i—+2nn — JL, n<=Z.
195. x = feJL.feeZ. Решение.
2
-Jsin22x + | cos(An — 2x)| + A=cosAn,
-Jsin22x+ |sin2x| + _!_ = cos(2n — JlV
д/ |sin2x|2+ |sin 2x1+1 =cos-J, Y(|sin2x|+-2-)2=T'
|sin2x| + A= A, |sin2x| =0, sin2x = 0, 2х = *л, x = ft-£.
A A £,
2 2
196. x = 74°03', x = 254°03'. Решение.
28 _
0.
4 sin x — 49 cos x
4 sin jc—49 cos x
cos3 x—sin3 x
28 ,o.
2 + sin2x * (cos*—sinx) (1-fsin xcosx) 2(1+sin xcosx)
4sinx-49cosx-14cosx+l4sinx =0 СОБХфБтХ, l+sinxcosx^0
(cos x — sin x)(\ -(-sin xcosx)
при xelf, 18 sin x — 63cosx = 0, 2 sin x — 7cosx = 0, tgx = 3,5,
x=arctg3.5 + nn«74°03'+180°n, — 90°<74°03'+180°n<270°.
Так как neZ, та n = 0, 1 и x,=74°03', x2 = 254°03'.
197. x= —An, х=Л, х=Ал, х=Ал, *=Нл.
16'
16
16
16
16
198. x = (2ft+l)An, х = (6л±1)Ал, ft, nsZ. Решение.
2cos3JL = l-sin2iL, 2cos3A_cos2JL = 0, cos2 M 2 cos А- Л =0.
5 5 5 5 5\ 5 /
a) cos.f- = 0, *=(2fe+l)JL.
5 5 2
"g- = ± -j- + 2лл, х = (6л±1)ул.
x=(2ft+i;|n.
6) COS-f- = A,
' 5 2'
199. х=(-\)"^- + пл, n<=Z. 200. х=-Ал, x=--£.
201. * = ftf-, х=2ил, x=(2n + l)~, n, fte=Z.
202. x = n^-, n^Z. Решение. Asin 2xcos 2xcos8x=y sin 4x,
sin4xcos8x = sin4x, sin4x(cos8x—1)=0. a) sin4x = 0, 4х = Лл,
*=*-?-. 6) cos8x=l. x = nJL.
4 4
203. x=(2n + \)±,x=(-\f+,± + kf, n, fteZ-
204. x = (2n+l)-^, x = k^, * = fty, n, fte=Z.
169

205. x=~ + 2kn, x= -^ + 2kn, x=~n + 2kn, х=^+(2к+\)п
*gZ. Решение, д/2 cos2 x — У 2 sin2 x = I, y2(|cosx|_
— |sinx|)=l, |cosx| — |sinx| =y-. 1) cosx>0 и sinxX), тогда
2fen^x< y+2ftn (I), cosx —sinx = —, sin (y — x J —sin x = iii
2cosfsin(^-x) = f ^n(±-X) = f. sin^-x)^,
sin(x-T)=-i^-T="(-,r+,f + "-. *=(-i)"+'f +
4-ПЛ + -7-- Эти значения х удовлетворяют неравенству (I) только
при n = 2k, ke=Z, тогда x = {—\fk+,^ + 2kn + ^, x=—~-\.
+ 2kn + ^-' x = ^-\-2kn. 2) cosxlSsO и sinx<0, тогда — y +
+ 2Лл<1х<:2Лл (2), cosx+sin x= —, sin (y —x )-|-sin x = —
2sinT-(T-) = #.cos(^-x) = T, cos(x-^) = ±.
x-^ = ±T+2ftn, x=± T+2ftn + -^. a) x=-y + 2fen +
-\-~r= —To + 2Ал. Эти значения х удовлетворяют неравенству (2)
при feeZ. б) х=у-|-2An + -^-, х= —n-f-2fen. Эти значения х
не удовлетворяют неравенству (2). 3) cosx^O и sinx^O, тогда
у + 2ftn^x^n + 2feii(3), — cos х —sin ^ = -9". sinx + cosx= —у-'
/ n \ 1 л,210, .2.
тогда cos tx — -г- J = 2". * — -4-= ±-3-^ + 2*11, x= ±ул +
+ 2fen + -^-. a) x=—-л + 2Лл-|--^-, x = —n-f-2ftn. Эти значения х
удовлетворяют неравенству (3) при k^Z б) х= —л-|-2&л+
+ _4~. *=— у2л + 2Лл. Эти значения х не удовлетворяют нера
венству (3). 4) cosx^O и sinx^O, тогда л+26л<1х:^ул +
v2 \/2 г- / л \_-
-|-2&л (4). —cosx-|-sinx = -2-, sin х—cosx = y-, y2sin I х— ~г )"
-|-пл+ —. Эти значения х удовлетворяют неравенству (4) только
при л = 2Л+1, feeZ, тогда х= --*-+ (2ft + I )л +-^, х = ^ +
+(2fe+l)n.
206. х=(4и + 3)^, *=(2fe + l)£, и, fteZ.
207. x=(2ft + I)y, x= d=~ arccos ' g 7 + n|, и, teZ.
170

208. х = ~ -\-пл, Jc = arctg"2 + An, n, ki
Решение.
cos 2* — 3sin2*+3 = J-n — -|л, cos 2x—3sin 2х+3 = 0, | |g;* —
_-^Ч- + 3=0, l-tg2x-6tgx+3+3tg2x=0, 2tg2x-6tgx +
+4 = 0, tg2x — 3tgx+2=0, tgx=l и tgx = 2. x = -j + nn и
x=arctg2 + fen.
209. лс=Л + 2*я, x = -l + 2nn, k, n^Z. Решение.
2 з ' '
jL(l + cosx)(l — ^/sinx)=V2cosx — д/2 sin x cos x, -?-(l +cosx)X
3 3
X(l —Vs'n Jf)=V2c°sJt(l — Vs'n *)• (1 — Vs'n x) (л/2cosx — -=—
— ycos *)=0. a) -\^in jc = 1, sinx=l. x = ^-+2kn, или
б) Зд/2 cos x~ 2 cos x—2=0, Зд/2 cos x = 2( 1 + cos x). Обе части
уравнения больше нуля. 18cosx = 4+8cosx-|-4 cos2x, 2cos2x—
— 5cosx+2=0. a) cosx=2> 1, x= 0. 6) cosx = -1, x= ± у +
+ 2лл. Условию удовлетворяют только значения х=-5- + 2лл.
210. х=± — + пл, neZ. 211. х= — — + 2/гл, х= —+ лл.
6 2 4
ft, n^Z.
212. х=/гл, х=п —, k, n^Z. 213. х= ±-£ + Пл' "ег- Указа-
12 о
ни е. гБтС^ + гх') + 2tg2x = 5, 2cos2x+2('~coso2x)=5, cos2x=?fc
Ф— 1, 2cos2x+2cos22x + 2 — 2 cos 2x = 5-f 5 cos 2x, 2cos22x—
— 5cos2x— 3 = 0 и т.д.
214. х=у+2пл, neZ.
215. x=arctg-5- +пл, neZ. Решение. cos2Xt^0, x=^
¥=(2n + l)y, ctgx=2cos2x+sin2x, -p-^-=2cos2x+siri 2x,
—*~^-=2cos2x + sin2x, sin 2x^=0, x = k-j, 1+cos 2x=2sin 2xX
Xcos2x+sin22x, 1 — sin22x + cos2x=2sin 2xcos2x, cos22x-f
+cos2x —2sin2xcos2x=0, cos 2x(cos2x+1 —2sin2x)=0, cos2x=?£=
¥=0, а потому cos2x+l—2sin2x = 0, 2cos2x—4sinxcosx=0,
cosx(cosx — 2sinx)=0, cosx^O, так как в противном случае
уравнение теряет смысл, cosx—2sinx=0, tgx = — x = arctg-2" + 'm-
216. x = -j-\-nn, n^Z. 217. x= — -j- + 2/m, neZ. Решение.
VcbsT=-^sinx, {cons"x§0. ТоГда -f+ 2/гл<х<2/гл.
171

cosx=-^/2sin2x, cosx=-\/2(l — cos2x), V2cos2x+cosx— ^/2=q
cosx= ——. a) cosx= — -у/2< — 1, x=0. 6) cosx=^-, л=а:
= ±-^-+2/1л. Условию удовлетворяют только значения ^
= -2-+2ЛЯ.
218. *=^. х=—^я, х=^л. Решение, sin (х+-£-) = 1
а> *+т=Т+2пп> *=(48л + 1)^, -|л<(48п + 1)^<Л)
— 36<48л + 1 <24, —5<«<f|. Так как neZ, то л = 0 и х,=-0.
б) *+т = Тл+2'"1- * = Йп + 2пп' *=(48л+17)£, —§-п^
<(48п + 17)^<л, — 36<48л + 17<24, -53<48л<7, -1^
^"^48" ^8К КЭК "е^' Т0 "= — 1' О И Х2= —24Л, Х3 = 2ТЯ.
219. х^я. X=JL. 220. х=-|я, х=—Ln, х=—1.
X = -j-. * = -4"л' JC = "4_Jt' ^^Т11" ^'* х = *л' JC=(~l)"y+'IIl+
+ -^-, /г, «gZ.
222. х = /гл, x=(8m+l)^ , fce=Z. Решение. tgx(tg22xtg23x-
i\ /*_<■»„ i*o\/io io\ * sinJ2jrsin23x—cos2 2л-cos2 Эх
-I)=(tg2x+tg3x)(tg2x-tg3x), tgx cos*2xcos*3x =
sin 5л: sin (—x)
— ,„ 2o , cos 2x^0, cos3xt&0, —tgxcos5xcosx=
cos2 2x cos2 Зх а
= —sin5xsinx, sinxcos5x=sinxsin5x, cosx=jfc0, sinx(cos5x—
—sin5x)=0. a) sinx=0, x=kn. 6) cos5x—sin5x=0, cos5x#0.
tg5x=l, 5х=^-+/гл,x=(4/i + l)^. Эти значения х удовлетворяют
данному уравнению только при п = 2т, т. е. x=(8m-f-1)^.
'20
<>т т о *- = /Ят-1_Г,
'20
223. х = (2л+1)-^, x=(-l)*arcsin^ + n|---|, n, k<=Z-
224. х=/гл, fteZ. 225. х=2/гя, x= — у +2тл. k, me=Z.
Решение. 2cos2x-vtosx =1 +cos2x+-^=^(l —-\/cosx), 2cos2x^Jcosx =
=2cos2x+^(l —VcbI7), 2cos2x(l-Vcos-x")+^(l-Vc^^)=0-
(1—Vcosx) (2cos2x+-5^JL)=0. a) l-V«>sx=0, cosX='-
х=2£я. б) 2V3cos2x+sinx=0. 2д/3—2V3sin2x+sinx=°-
172

2-y3sin2x—sinx—2-\/3=0. 1) sinx = -^r>l, x=0. 2) sinx =
л/3
_ — —-' x=(— •)"+1"т+пл- Эти значения х удовлетворяют урав-
нению только при л=2т, т. е. х=(—О'+^-^+гтя, х=
^--J+2/пл.
226. х=(2/i + l)-g-, х=-^-+/гя, п, feeZ. Указание.
ctg 3x(tg x-ctg 2x-1) (tg xctg 2x+ l)=(tg x+ctg 2x)(tg x-ctg 2x),
_ sin x cos 2x—cos x sin 2x sin л cos 2x+cos x sin 2*
сь cos .jrsin 2.* cosjtsin2jr
sin jrsin 2at+cos jccos 2x sin *rsin 2x —cos xcos 2дг . n . „ ,_
—, Sin2x=^0, COSX=jtO,
cos x sin 2x cos * sin 2x
sin (—x)sin 3x cos x{—cos 3x) .
ctgox j—r-sr;—=• -,—r-r-—. — sin xcos3x== — cosxeos3x,
6 cos* x snr 2x cos2 x sinJ 2x
cos3x(sinx—cosx)=0 и т. д.
227. х=(2т + 1)л, х=( — If^ + /iy, m, neZ. Решение.
cosx<l, sinx=4sin2xcosx, sin x(4sinxcosx—1)=0. a) sinx=0,
х=/гя. Эти значения х удовлетворяют уравнению только при
k=2m+\, т. е. х=(2т+1)я. б) 2sin2x=l, sin2x=y, x=
=(-ir^+«f.
228. х=(4Л+3)у,х=(-1У-|-+пл, /г, neZ. 229. х=(2п + 1)я,
ft«=Z. 230. х=2/гл, х=(— 1)"у + лл, /г, ne=Z.
231. х = -|-л + 2*л, fteZ. Решение. V5sinx+cos2x =
= —2cosx. cosx<0, у+2Ая<х<-|л+2Ы 5sinx+l —
-2sin2x=4cos2x, 5sinx+l—2sin2x=4—4sin2x, 2sin2x+
+5sinx—3=0. a) sinx=— 3< — 1, x=0. 6) sinx = y,
x=( — 1)"-^.-{_пл. Эти значения х удовлетворяют уравнению только
при n=2k+[, т. е. х=-|-+(2/г+1)я, х=^ + 2*л.
232. х=— ~л+4пл, х=±|-л + -|/гя —^. л, fce=Z.
Указание. 2 sin (*+f ) +2cos (| 4- i )= 2V§ (£ sin (J + -=. ) +
Н«*(т + т))' sin(x+^)+sin(f-f)=^(cos^- X
*Мт+т)+^Т«»(т + т))- 2sin(^ + ^)cos(f +
173

+ £) = V3sin(A + | + ^), sin(^n)(2cos(H + JL^
-ф^=0 и т. д.
233. х=(3п+2)у, х = ( —1)*0.3л+1,2/гя, п. fceZ.
234. х=--|л+12лл, х=(-1)*+'|-л+4/гл—£, п, ks~Z.
с: с: ос:
235. х = (4л + 1)ул, х=±|-л + 5/гл —|^л, п. fteZ.
236. x = Y+2kn, х=—-^+2лл, k, n<=Z. Решение,
a) sinx^O, 2/гл^х^л+2/гл (1), sin x=sin x+2cosx, cosx=zO,
х = -^--|-лл. Эти значения х удовлетворяют неравенству (1) только
при n = 2k, т. е. х=у + 2/гл. б) sinx<0, —л + 2тл^х^2тл (2),
— sinx=sinx+2cosx, sinx+cosx=0, cosx=?tO, tgx= — 1, x=
= —т-+тл. Эти значения х удовлетворяют неравенству (2) только
при т = 2п, т. е. х=——+2лл.
237. х = -|л+2/гл, fceZ. 238. х = 2/гл, х=-|л + 2/гл, fteZ.
239. х=-|-л + 2/гл, fteZ.
240. х=л| при пфЬт, х = п^- при пф2т, x = -^(2n+l), neZ
Решение. sin5x(sin7xcosx — sin-^-cos-5-xj = sin25x(sin-^-xcos-^- +
+ sin x cos 7xV sin25x (sin 7xcosx—sinxcos7x—sin-^-cosyX—
3 x \
—sin-^-xcos—J==0. a) sin 5x^0, так как при этом правая часть
уравнения не имеет смысла, б) sin 6х—sin2x=0, sin 6x=sin 2x.
1) 6х —2х=2лл, * = лу при пф2т. 2) 6х+2х=(2л + 1)л,
*=(2n + l)f.
241. х=(6/г±1)^, *eZ. 242. x=(2n + l)~, n<=Z.
243. х=(2л + 1)^, neZ. 244. x=(3rt±l)-|, neZ.
Указание, cos 12x—4cos23x — (cos23x—sin23x)+l =0, 2cos26x— 1 —
— 2(l+cos6x)—cos6x+l=0, 2cos26x —3cos6x —2=0 и т. д.
245. x = ny, n^Z. 246. х=*±-^ + А:л, fceZ. Указание.
l2|sinxcosx| = 5_cos4jc l2|sinxcosx| =5-cos4x, 6|sin2x|-
|sinz v-t-cos-* x\
=5 — cos4x.

а) sin2x;>0, 2/гл<2х<(2/г+1)л, £л<х<(2/? +1)-£, 6sin2x =
,,5—(1—2 sin2 2x), 2sin22x — 6sin2x + 4 = 0, sin22x — 3sin 2x +
^2=0, sin2x=2>l, x=0 и sin2x=l, 2x=JL + 2/m, x=
" 4
б) sin2x<0, — п + 2/гл<2х<2/т, — ± + kn<x<kn, —6sin2x=
= 5 —(1—2sin22x), 2sin22x+6sin2x + 4 = 0 и т. д.
247. *=*-J, *eZ.
§ 15-
1. x = 0. 2. Указание. Положительные корни заключены в
интервалах ( л, —л) , ( 2л, —л] ( kn, --^л) . Наименьший
положительный корень близок к числу 4,5. Отрицательные корни
заключены в интервалах(-2£±! л, kn\. 3. х«0,6, хж0,9, хж —1.9.
4. Бесконечное множество решений. 5. х«2,6.
§ 16.
1. х=2. Решение. По определению имеем: 2х — 3=1, х = 2.
2. х = — 1, х=1. Решение, х2 — 2 = — 1, х2=1, х = ± 1.
3. х= —-1-. Решение, sin (arcsin (х + 1)) =-хч *+' = -о->
2
4. х=2, х=3. 5. х=1, 5. 6. х=0, 2. 7. х=0, х=±||.
8. х=±-. 9. х= —2, х= —1. 10. х=1, х=3. 11. х=3, х = 5.
12. х = 2, х=7.
13. х = 0. х=1. Решение. arcsinx = a, sina = x,
arccosi/J— * = Р, cosp = Vl—x. Так как 0<р<л, то sinp>0, a
потому sinp= V1-(V^-^f=V1 — 1+х=л/х, а = р, sinct=sin р.
*=V*. x^sO, х2 = х, Xi=0, x2=l.
14. х = 0. 15. х=0, 1. Р е ш е н и е. sin (arcsin 6x)=sin (arccos8x),
6х=л/1 —64x2 (1). |6х|<1, -±<х<±, |8х|<1, -±<x<_L,
т- е. область определения уравнения будет |х| ^—-, но из уравне-
8
"ия (1) имеем: х^О. Получим: 0<x<-L З6х2=1—64х2, 100х2=1,
О
■* ^ттдс- *i =— —- не удовлетворяет уравнению.
175

16. *-У53. "■ *—-^. *=*£•x=0
18. x=0. Решение, arccos -\J 1 — 1 бх2 = a, cos a = -yl — HJ?
16x2<l, |x|<±, -±<х<±(1), arccosлД — 12х2 = р, cose*.
4 4 4
= Vl-12x2, I2x2<l, 1— <x<~ (2). Из (1) и (2) следует:
2"уЗ 2-уЗ
— _L<x<~ (3). 2ct = P, cos2ct = cosp, 2cos2cc— 1 =cosfi
4 4 r'
2(l-16x*)—l = Vl —12л2. 1-32х2=-дД^>2аг2, 32x2<1, |x| ^
<-*-, L^x^_!_ (4). Из(3)и(4) следует: !~^х<^_1__
4V2 4V2 4V§ 4-^ 4-vg'
Vl-12x2=y^0, x2 = ±=^, l_32-b^- = y, 8y2-3y-5=0,
y. = -|-<0, y2=l. V1-12*2 =1. l-12x*=l, x=0
19. x=0. 20. x=0.
21. x=0, x=± —. Решение. arctg(x—l)=a, tgo=x—1,
aTctg(x + l)=P, tgP=x + l, tg(в + P)*= ffi+ДР^ ^, a + p =
= arctg—£—. Уравнение примет вид: arctg—^-+arctgx=arctg3x,
arctg-^- = a. tga = -^-, arctgx=p, tgP=x, cc + P = arctg3x.
2 —JT 2-х2
a + p=^Jl, arctg3x^-J, тогда tg(ot + P) = tg(arctg3x),
2x
tg«+tgp =3x> W+* =3x, 2x+2x-^ = 3 ,(_Л=*!__3) =0
1-tgatgp 2X8 г-^-Йх2 ^ 2-Зх2 /
1 2-х2
a) x,=0. 6) 4-x'-6+9xi==0. ^±^Ii тогда 4_Х2_6 + 9ЛГ2=
=0, 8x2 = 2, x2 = — , x=±-L. Найденные корни удовлетворяют
4 2
данному уравнению.
22. х=д/Е1. 23. *=-^(5-2л/2).
24. x=tgAn, пф2к,пе.Ы. fteZ. Решение. narctgjc=fe't-
heZ, feeZ. arctgx=—л, x = tg—л, но пф2к.
25. x=J-. Решение. arcsin2x=a, sino=2x, arcsinx=P-
sinp=x, тогда о + Р=-Н-л, sinacosp+cososinp^^, 2xcosP+
176

1, *=±-L.
4 2
л/3
j-xcosa = y- (1). Так как — -jL^arcsinjc< —, то cosp>0 и
cosa>0, а потому cos p = -\J 1 — x2 и cosa=-у 1 — 4X2 .
Уравнение (1) примет вид: 2x-\J I — x2 +x~\J\— 4x2 =^. Из этого
уравнения следует, что 0<х^ —. Решим это уравнение: дг~\/1 —4JC2 =
^-2x^1-х2, х2-4х4=А + 4х2-4х4-2л/Э*У1-х2,2УЭ*Х
><-/l-x2=3x2 + i-, 2xV»-^2=V3^ + —, 4x2-4x4 = 3x4 +
+ Д+|х2, 7х4-|х2 + 4=0, 2x4-10x2 + | = 0, ^ = 25-
-28|- = 25-21=4,-д/^ = 2. *2 = -^-. a) x2^
но x>0, а потому x=-L. б) x2=A, jc=±—"\/—. но x>0,
j 2 28 2 V 7
а потому x=—~\l —. Но найденное х не удовлетворяет уравнению,
что подтверждает проверка.
26. х=0. 27. х=0. Решение. Рассмотрим очевидные не-
Os^arcsin х< — ,
равенства: 2 Возведем в квадрат каждое из
0<arctgx<-^
данных неравенств и сложим, получим: 0=^(arcsinx)2 + (arctgx)2<
2
<-—. Следовательно, данное уравнение не имеет решения.
28. х=0. 29. x=-L. 30. х= — 1, х = 0, х=\. 31. л:= -1-.
32. х=1. 33. х = 6. 34. x=JL. 35. x=-L 36. x=-L.
4 6 4
37. х= —1, х = 3. 38. х=1, х = 2. 39. х=3, х=4.
40. x=sinl, x=sin0,5. Решение. arcsinx=«/, тогда 2J/2—
-3j/+l=0, J/i = -i и £/2=1- a) arcsinx=-i, y<y. a потому
*=sin_L. б) arcsinx=l, 1 < —, а потому x=sinl.
41. x = cos0,5. 42. х=—tg-L, x = tg0,5.
4
Глава II
$ I.
>• *=±у+2*л + у, t/= + y-2fen + y, fteZ. Решение.
cos it4 cos ^=4 = cos-2-, 2cos-=- cos±=± = cos■£, cos-^i£=-±-,
2 2 8 8 2 8' 22
~^-= ±-^-+2fen, x — y=±— л + 4£л. Получим:
177

х—у=±-1л + 4А:л;
О
x=±^+2kn+^.
2. *=( — 1)пЛ+пл, у=1.л—(—1)" — «л, neZ.
о «5
3. x=±±+kn+ * у=т*_/гя+* fteZ- Решение
О 12 О 1Z .
5-2sin(x+#)cos(jc—у)=2(\ -\-cos2(х~у)), 5sin-£cos(jc—y)=l-L.
6
+cos2(x—у), cos2(x—у)—JLcos(x—y)-f-l =0, 2cos2(x—y)—
—5cos(x—y)+2 = 0. a) cos(x—y)=2> 1, x=0, y=0.
6) cos(jc—y)= —, x—y=-± — -\-2kn. Получим:
x—y=± JL-f-2/гл;
4. x=± —+ *, f/=±-L+* + _L, /ieZ. Решение. cos2nx=
6 6 3
= ^t 2лх=±^ + 2Ы x=T-L + /s, j/=±^.+*+-i-.
5. х=±"+/гл+5я>у==т «_b+5„,AeZ.
72
12
12
12
6. x=±—, «=± —. Решение. —2sin *+tf sin *■ v =
8 8 2 2
==2sin^±itCOsi±it> siniiit/cosiiit+sin^^Wo.
2 2 2 V 2 ' 2 /
a) sin^-=0, х+#=2Ля.
решение только при k—0, тогда
x+y=2kn,
\x\ + \y\=f-
x+y=0.
Эта система имеет
„ У=—х, 2|дс|=Т'
\х\ + \у\=±.
i i л
1*1 =т-
б) COS
*+У
f-sin^=0. cos^+cos-=±pL=0, 2cos(f+
l*l + l«/l=-J-
/in.
|/=у+2пя.
У=-о- + 2ля.
Эта система не имеет решения
при neZ. 2)cos(-|—J.)=0, ± = Т + пп- х=Т + 2пл-
178

[*| + |0|=т •
Эта система не имеет смысла.
lf-1+w-f-
7. x=± + 2kn, y=^ — 2kn, ke=Z. 8. x=~—kn. j/=y—2/гя,
keZ. 9. x=f+(-ir+,^-nf, i,=(_i)ri+„|. + i. neZ.
10. jt=-f+ у/гя, «/=-|-уАя, *e=Z. П. х=-£+2Ля, у =
*|—2Ля, х = у + 2*я, y=y-2ftn, *eZ. 12. *=±-f+ /гя +
+ |-. у=±-| + *я-£, *e=Z. 13. x = f + kzi, y=±-kn, x =
" _|_/гя, y=^- — kn, fce=Z. 14. jc=n—4+6/гп, 1/=-|я—4+4*я,
x=— я—4+6/гя, f/=—з"я—4+4/гя, £eZ. 15. x=
=(-1Гуагс51П^+п|- + 4-ф+^, f/=(-l)"i-arcsin^ +
+nf + -5-Ф-И- Ф=агс^Т- neZ> ,6- И-Tf + "* +
feeZ. 18. x = -j + 2kn, y=-j — 2kn, /ee=Z.
»9. x=-^, У=~Т- Решение, tgny=tg (j+ядс).
y-jc=/H--L, (1)
2дг2+уг = у. (2) Из уравнения (1) выразим у через х и,
подставив в уравнение (2), получим: 2х2-\- (x+k + -j} =-»■• 2л2+
+х2 + 2х(А + |)+ (ft + i-)2 = |, з** + 2 (* + -{-)*+ (fc +
Н)2-4=о,|=(,+|)2-з(Л+|)2+1=4-2(Л+|)2.
<-§"• — 1<*<у. Так как ke=Z, то *= —1, 0. a) fc=0, -£=1,
З^+у*—^=0,48x2+8x-5=0,jci.2=^^-,Jc1 = -A,x2 = |.
»H—l,|.0,x,,,= 3W =
'не удовлетворяет исходному уравнению, так как знаменатель пра-
7* 179
7". Найденное значение

вой части уравнения 1 — tg-j = 0. Корень х= ——. Из уравнения (J
получим: f/=—A + T=—-g-
20. *=-А, у= * 21. ж= ' «/= — - 22. ж=0, «/= —3 .
12
х=~т. у=0.
12
12
Ь2.
1- *=£■•+Ля, £/=-£-—ял, feeZ. Решение. cos(x—y)~
—cos(дс4^=4". cos(x—у)—cos-| = y, cos(x~y)=l.
*+У=Т>
x—y=2kn;
jc=-g- + fen,
У=1Г — kjl-
2. x=(~ir\arcs\n2-^-+n±+f, y=(-ir|arcsin^I+
+ni—" , neZ. 4. x=-l + fen, y=Ji —кл; х=Ал + /гл, у=
4
л
T
= — -j-— fen, feeZ. 5. х = -£- + /гя, у=-£ + /гл; jc= —-^+/гл, y=
6 ' "■"• " 6
= —£. + fen, feeZ. 6. x=-jr±-s-arccos-"ijr--4-/»i, У=Т"^Т'><'
X arccos
ю '
-/m, neZ. 7. x = -j- + foi, j/ = -^-— fen; x=y-|-
fen,
y=~-—kn, feeZ. 8. х=у + пя, «/=-^-+пл; х=— -j+пя, y—
= —j+nn, n^Z. 9. х=-г-я + /гл, !/=-£-—лл, fteZ. 10. x=
=(-1Г+,й+"т+т^ у=(-1У+,т|+п1-т- "eZ>
11. х = -д-я + пл, у = у—лл; х = у+лл, у = ^-л — пл, «eZ
12. jr—J+nf. y=-=- + «f, ^2. 13. *=-=- + *л. *=-=-+**
feeZ. 14. х=у + пл, у=пл, х=пл, у= — у + лл. 15. х=
= ±у (я— arccos (у c°sl| )) + "*. «/= ± у(я—arccos (j X
Xcos^^+пл, neZ. 16. х=-^- + лл. f/=T~"f' neZ' ,7' *^
= j+kn, y=~-kn, fee=Z. 18. х=-^+«л. y=~- — kn, keZ-
180

§3.
l.x=4+«».!/=7-™.«sZ. Решение. **" *=V3siny,
sin x=-\/3sin (у—*), sin x=-\/3cosx, cosjc^O, tgx=V3, JC=='T +
л л л
-f-rtJt, 4/=^— -3-— «Л. #=^г-— ПЛ.
2. л:=-^- + лл, У=-т" — пл» neZ.
3. х=-£--|-лл, У = -т- — лл, n^Z. 4. x=-£--J-/m, у=лл—^-л,
3 4 4 О
a£Z. 5. jc=-"--f-mt, У=т"—Пл; х=— -j--\-kn, у=-^п—kn,
я, fteZ. 6. X~Y ~^~пл' У = 1Г + ПЛ' neZ. 7. л:=у-|-лл, у= —л —
-пл, neZ. 8. jc=—^--|-пл, у =—-g- + nn, neZ. 9. х=у|-|-лл,
4i=Y+nn' neZ. 10. х= — -р+лл, #=-j-n —лл, neZ. 11. х=
= -^-+пл, У=-т-—лл, n^Z. 12. *=-?- — ftn, {/=-^-+Лл; jc=
= —j- — пл, у = -д-л+лл, fe, neZ. 13. х=у-|-лл, y=-?-—пл,
neZ. 14. л:=у + пл,у = -^-+пя, neZ. 15. jc=|--(-nn1i/=-j—пл,
neZ. 16. лг=-^- + йл, У=-т~— kn; к=^--\-кл, У=-т—*л, fteZ.
§4.
1. ^=±yarccos(V3-l)+(-l)n + l у arcsin^-+(n+2ft)!-,
1 /5—1 1
{/=(—iy+,yarcsin^-__qr-i.arccos(V3—l)+(n—2ft)y, n, fc€=Z.
Решение. Решим первое уравнение относительно sin(^-|-y):
i±V5 i + л/з
sin(x+y)=—-—. a) sin (*+#)=—g—>Ь *=0. l/=0-
/o" 1 /q 1
6) sin(x+y)= 5—, x-\-y=(— iy+l arcsin—= Мл. Решим
второе уравнение относительно cos (x—у): cos(x—у)= — 1±л/3-
а) cos(jc-y)=-(l + V3)<-l, х=0, у=0. б) cos(x-y) =
= л/3— 1, a-—y=±arccos(V3—1)+2йл.
л/3—1
jc+y=(—iy+'arcsin-^ |-лл,
*—у= rfcarccos (л/3 — 1)+2Лл.
181

Сложим эти уравнения, а затем вычтем из первого уравнения вто
рое — получим:
x=dzYarccos(V3-I)+(-I)" + 1Yarcsin^^-+(/i + 2ft)|-.
y=(-iy + 'i-arcsin^-Tyarccos (VS-l)+(«-2A)|-.
2. x=(-iyJL+ £+(« + ft)JL, 4/=(—1Г# ~f +(«-*)f.
12 ' 8
л, ke.Z. Решение
* + !/ = (-!)"£ + «*.
x—у=-£-Ил;
*=(-!)" ■£ + -£+(" + *)-=-.
3. *=-§-**■ У = (Зя-7*)-=.; *=■§-**• j,=(n-3*)JL; *=--£+
+(я-*)я. у= 7n + (7ft_5n) я. r=(3ft_n+l) » у = (10п-
— 18fe — 9)Л. Решение, а) 4х+у—(лг+у)=2Лп. 3x=2ftn, х=
= -|*л (1). б). 4дг+у+Аг+у=(2А + 1)л, 5x+2y=(2k+\)n (2)
в) 8х+4у —(л:+2у)=2лл, 7* + 2у = 2лл (3). г) 8х+4у + *+2у=2лл,
9* + 6у = 2ил (.4).
1) Решим систему уравнений (I) и (3):
x= — kn,
7х-\-2у = 2пя;
о 7 тт
7- —йл + 2у=2лл, у=лл — -=- *л, у = (3л — 7fcW.
2) Решим систему уравнений (1) и (4):
лг=_£&л.
y=(n-3ft)^.
3) Решим систему уравнений (2) и (3):
x=-JL+(n-k)n,
j,= -J.ji + (7*-5n)JL.
182
X=—kn,
j,=(3„-7*)Ji.
x= —kn,
3
9дг+6у = 2лл;
5л:+2у=(2Л+1)л,
7jc-j-2y = 2nn;

4) Решим систему уравнений (2) и (4):
5jt+2y=(2*+l)n,
9х-\-6у=2пп;
х=_£+(3*-П)|.,
у=- Зя+(5п-9Л)".
4 О
4. х=± JL+л(л + Л), y=±JL+(n — *)п, л, fteZ.
6 6
5. x=±±+(k+n)n. y=dt-?.+(k — n)n, n. ke=Z.
О О
6. Jc=(2n + 1)JL, у= — _3_л+(л — 4*)JL. л, ke=Z. Решение.
4 4 2
sin2 х— 1
sin х
cos2*— 1
= siny.
COSJt
,2 „j_„„c2
= cosy;
cos2x
sin x
sin2x
cosx
=
— sin
— COS
У.
«/;
cos Jt= — sin x sin y.
sin x= — cos jc cos y.
sin2jc+cos2a:= — (sin Jtsin y+cosjccosy), l = — cos(jc—y), jc—y==
=(2Л+1)л, y=x—(2ft-f-I)n. Подставим найденное значение у во
второе уравнение системы: cosjc !_ = cos(jc—я(2Л-|-1)), cos*—
COSJt
— = cos(2fai-|-n—jc), cos*=?fcO, cosx L = Cos(n—x), cosjc—
cosx
L_=_COsx:.2cos2x:=l, 1+cos2x= l,cos2je = 0, 2x=(2* + 1)Д
cosx 2
*=(2*+l) » j/=(2n+l) »-(2Л+1)я. у=--1л+(„_4*) я.
4 ч 4 2
7. jt=|-+2(*-f-mK y=-^+2(*-m)n; *=-^+2(ft + m)n, y =
= JL + 2(ft —m)n, m, teZ
8. лг=±Л±±. arccos^+(* + n)n, y==F -|L±I-arccos^+
+(л — £)я, л, AeZ. Решение. Запишем второе уравнение в виде:
_smxsiny _J_ од3 первого и второго уравнений системы имеем:
cosx cos у 3
! = —, 4V2cosxcosy = 3, cosjccosy = ——.
4\/2 cosx cos i/ 3 4-^/2
1
Sin X Sin у = •
4-j2" '
cosjtcos y=——. Сложим эти уравнения и вычтем из второго
первое, получим:
cos(jc—у)=-^,
cos(x+y)=2-^;
x-y=±± + 2kn,
4
х -f- у = ± arccos *- _|_ 2п л;
4
183

х= ± ± ± ± arccos Щ+ (ft + п)п,
l л/2
У = =F -j ± у arccos—-I- (л — ft)n.
9. x=JL±JL+(U+n)%, y=±^^+{n-2k)^, n, k^Z
10. x=-j+(k+n)n, y=-j+(k—n)n, ft, ne=Z. 11. *^
= ± 4"arccos 4*4"arccos yg +(" + *K У=т{ arccos -| ±
± у arccos-^+(л — k)n, n, ke=Z. 12. *=(—l)',+laгcsiпO,36V2-^-
+лл, y = -J+(2ft+l>i, ft, nEZ.
13. х=|+лл, «/=y-|-ftn; x=—-^+л,л, y=—y + ft,n,
л, ft, iii, ftieZ. Решение. Второе уравнение запишем в виде:
2iey ... „
cos jc= „ (1). Разделим первое уравнение системы на второе
3 tg2«(l+tc2i/)
уравнение, получим: -—= — ^—^— (2)- Возведем в квадрат
уравнение (1): cos2jc=-—ег . (3). Из уравнения (2) выразим sinx:
sinx== г 2-, sin2x = 4 , (4). Сложим уравнения (3)и
tg2^(i+tg2!/) tg4i/(l+tg2i/)2 Jr w
(4), получим: 1 = ^±^ + ^_, tg4y(l+tg2y)2=4tg°y+
+36. tg4y(l+2tg2i,+tg4y-4tg2y)=36, tg4y(tg2y-I)2=36.
tg2y(tg2«/-l)=±6.a) tg4y-tg2y+6=O.Z)<O,y=0.6) tg4i/-
-tg2i/-6=0, tg2y=-2<0, y=0 или tg2y=3, tgy=±V5.
xi=~ + nn,
I 2)tgi/=-V5. ctgy=-V5,
У| = -о- + *л.
О tgy=V3, ctgjr=V5.
. 1
tg x= —.
*2=—-g- + H,n,
У2=—-r + ftin.
14. jc=2arctg 1+fI1° + 2ft|it, y=2arctg-—р^- + 2л,л; *=
\3 y3
=2arctg-l^L+2ft2Jl, y=2arctg+±^-+2n2n; x=±+2k3n,
у=у+2л3л, nIf fceZ, /=1, 2. 3.
15. x=-J+2mi, y=-j+kn, n, kf=Z. Решение. Запишем
второе уравнение в виде: tgy+т—=2 sin (* + х)- Так как м°ДУлЬ
184

суммы обратных величин не меньше 2, то tgy + т— ^2, причем
знак равенства будет только при tgt/=l или tgy =— 1 Так как
правая часть второго уравнения удовлетворяет условию 2 sin (х-\-
-[--—) ^2, то второе уравнение может выполняться только в двух
случаях:
(3)
а)
б)
sin (* + -=-) = !. (I)
tgj/=l;
Xi = — +2nn,
У1 = -^+*л;
sin(-J+Ar) = -l, (2)
tg !/=-!;
x2= — -^-л+2п,я, (4)
У2=— -j + hn.
Легко проверить, что решения (3) удовлетворяют первому уравнению
данной системы при k и п = 2т-\-1. Действительно, tg (~ -\-2nn J 4-
+ctg(-J + 2w)=2sin(f+(2m+l)n-4«). tg^+ctg-J =
=2sin (~+2тя\, 2 = 2siny, 2 = 2.
Проверим, будут ли решения (4) удовлетворять первому уравнению
данной системы: tg(2nm—-л)+ctg (2л[Л—^-nj = 2sin(—^-+
3 \ з 3
+ к[П—тп)' ~tg-rn—ctg —ii=2sin(&[n—л), 1 + 1 =2 sin (ft[—
— l)n, 2 = 2-0 — ложное равенство. Следовательно, решения (4)
не удовлетворяют данной системе уравнений.
16. х=-^--|-2тл, y = arctg2-|-mi, m, n^Z. Решение.
cos(^-jc)>0, cos(jc--J)>0. -у+2Лл<х--^<|- + 2Лл,
— -^-+2Лл<дг<-г-л-|-2Лл (1). Из второго уравнения системы
~tgy=l—coszjc, sinzjc= —tgy. Из первого уравнения системы
sin2*+etgy=I. Ttgy+
-2f = 0, tgy = 2, sin2*=|.2,
1=0, tg2y-4tgy+4 = 0, (tgy-
• 2 1
Sin X = y.
2sin2 x=\,
tgy=2;
cos2jc=0,
y = arctg2-j-nn;
x=(2k+l)^-,
t о i x = -r-\-k-7r. Эти значения х
у = arctg 2-\-nn. 4 < 2
будут удовлетворять данной системе и неравенству (1) только при
k=4m, т. е. х=^--\-2mzi, m^Z.
185

17. х= — ^+2тп, y=arctg3 + Jbt, m, k(=Z. 18. x=£-+2kn,
у= — arctg2+nn, ft, «eZ. 19. х=±у+2/гя, y=—arctg 3 + fen,
n, ke=Z.
20. л:=|-+2пя, y=(-lf+l-| + mn; х=-|л + 2лл, y=
=(— 1Гу + ""». m,n&Z. P e ш е н и е. sin x^=0, sin y = — ^^ (1).
Запишем второе уравнение системы в виде: 1 +sinycosjt=2(l —
—sin2y)sinjc (2). Из (2) и (1) имеем: 1 — ^"n* =2sinx—2х
„ , COS2 X . . COS2 X 0 . COS2 ЛГ
X . . , -sin x, 1 —„_;_:. =2 sin x
[
'4 sin"* 2sinx
х1 = -г+2пя, Jc2 = -g-n+2nn. a) sin у
„ . , 2sinjc=l, sinjt=-^
2 sm x t п \ 2 '
cos (-g-+2nn 1
sin y=
2T
= —cos-g-, sin у
6) sin y-
+ mn.
-T
*i=-g-+2mt,
i/.=(-ir+,f+"m.
, siny=—cos-jr«, siny=Y- #2 =
=(-1Гт + отя-
X2 = -c-n-\-2nn,
21. лг=-^-+лл, y= —у + 2Ля; х=-|-я+лл, y=y+2mn,
Л, ff!£Z.
22. jc=-J+2nn, у=(-1)т+,у+/пя; *=у + 2ял, у =
=(—l)m"5"^"m,l, m" ne^' 23. x=^-\-nn, у=л+2тл; jt=—л+
-|-пл, у=2тл, л, m^Z.
24. *=tg(f-cos(f (I+V7))), y=cos(-j(l+V7)). Pe-
ш е н и е. Запишем первое уравнение системы в виде: (arctg х+
-J-arccosy)2 — 2arctgJt-arccosy=ftn2 (1). Из второго уравнения
• 2 „
системы и уравнения (1) имеем: ——2 arctg лг-arccos у=Лп ,
2 2
arctg jf-arccos У = т—k
2 '
arctg x-\- arccos у=у,
2 2
arctg X' arccos у = -g—fty; tf = arccos y.
|--/ = arctg*, <*_-J* + =l(i_4*)=0. 0 = £_£(|_4ft)=
n2
= — (8k—l). Это выражение имеет смысл при k=l, 2. 3, ... a) /i =
186

^^.(l + Veft—1), 0<*,^л. 0<-^(1+л/8Л — 1)<я, 0<1 +
J\--yj8k — 1 ^4, —1 ^^8k— 1 ^3. Это неравенство имеет смысл при
/к*1, т. е. /,=^(1 + V7), arccosy, = -£(H-V7), y. = cos(-j-(l +
+ V7)). arctgx, = |~cos(-J-(l+V?)). x,=tg(|—coe(-f(l +
+ л/7)))- fe = -J(I —ч^*1^"), 0</2<л, 0<|(1-^Т)<я,
— I ^ — д/8Л — 1 <; 3, — 3<;-\/8fc— l '^1. Это неравенство не имеет
смысла при kе#. 25. х=0, у=0. 26. х= — sin-2p(— -у/З + лД^)»
v 4V3
y=tg^( —л/3-r-VbS)- 27. *=0, у=-1.
28. *,, у,; ЛГ| — t/i; л—ж,, — yIt где лг( =arcsin (л/Н —л/5). «Л =
1
= arccos .
VM + V2
29. ж,, ух; ДГ|, л—j/i; л + х,, yt; п+хх, л—у,, где xf =arctgS/41 —
-^5, у,= arccos (Щ + ф)-1.
30. jf|, yi; — xt, yr, xt, л—уи —Xi, л—у,, где jci = arccos-д/20—
-л/3, yi = arcsin(^0 + V3)-'.
31. xu y,; xu n—yr, я+х,, уй л + xi, л—yi, где Ar, = arctg(-^4T—
-л1б), У1 = агат(-фй+л1б)-1.
32. х=лл, y=2kn; х=( — lf+l arcsin-^+pn+ arctg 3-\/3,
у=|-я+2тл; jc=(—l/arcsin ^-|-/л —arctg3^, y=—-д-я +
+2тя, n, Л, р, т, /eZ. Решение. Умножим второе уравнение
на 3 и перемножим с первым уравнением, получим: 9tg2-~—
—36 sin2 x=36 sin (у—х)&т (у+х), tg2-^— 4 sin2 jc=4 sin (у—х)Х
Xsin (y + x), tg2| -2(1 -cos 2*)=2(cos 2*-cos 2y), \~™yy = 2-
-2cos2*+2cos2*-2cos2y, -b^- = 2(l-cos2y), ~^gf =
=4sin2y, 1-cosу =4(1_ 2 ) (1-cosy) f-г-г-! 4(1 +
" \+cosy v !7Л ч vl \l+cos(/ ч '
+cosy))=0.
a) 1— cosy=0, cosy=l, yt=2kn (1). Подставим значение у из
(1) во второе уравнение системы: tgkn—2sinJt=6sin(2ftn+Ar),
0—2sinx=6sin x, sinx=0, xl=nn, 6) . , cos 4(l+cosy)=0,
*
cosy^fc — 1, l-4(l+cosy)2 = 0, (l+cosy)2=Y' l+cosy=±y.
187

cosy= — y< — \,x=0. cosy= — у, №.з=±ул + 2тл. 1) y2==
2
= -5- n -|- 2mn. Подставим найденное значение у во второе
уравнение систгмы: tg(y-j-mn)—2sin x=6sin \2тп-\--^ л + *),
tg-^- — 2 sin x=6sin Г-r-n + xJ, tgy—2sinx=6- (y-cos x~
—s-sinxj, V5—2 sin x=3-\/3cos x—3 sin x, sin x—3V3cos x=
= —V3, V1 + 27 sin (*—ф)= — л/3, ф=ап^Зл/3, sin(x—ф)=
A, x2=(-iy+,arcsin^+pn + arctg3V3. 2) y3 =
2д/7 2V7
2
= ——п-\-2тя. Подставим найденное значение у во второе урав-
О
нение системы: tg (—^-|-тл)—2 sin х=6 sin f2mn—^-л-|-х),
— tgy — 2 sin x=6sin (x—-j V — -\/3 — 2 sin x=6 ( — sinx-y —
/3 \
—cos xr-у J, —-\/3 — 2 sin x=—3 sin x—3^3 cos x, sin x-\-
+3V3cosx=V3, л^8»т(х+ф)=л/3, ф = arctgЗVЗ, sin (х+ф)=
= ^-, x3=(-l)'arcsin^- + /n-arctg3^.
33. x=nn, y=—=-+**; *=(_!)■+'.=.+„„, y=_^+ftn;
x=(— l)"1-^- -|-шп, У=— -T-+*ni x=(— I)"arcsin—+пл, y=
= ±arccos ~- + 2ftn; x=(—1)*+'arcsin-=—\-kn, у=±(л —
— arccos —=— ) -+-2/nxi, n, k, m^Z. Решение. Умножим первое
уравнение на 2 и сложим со вторым уравнением: 2sinzx-|-cos2x+
+2 sin x cos у + sin 2y=2cos 2y4-sin2y + 3sin xcosy, 2sin2x-|-l —
—2sin2x-|-sin 2y = 2(cos2y —sin y)+sin2y-|-sinxcosy, 1 +sin 2y=
=2cos2у—sin2у + sin xcosy, 1 -j-sin 2y=3cos2y — 1 + sin xcosy,
„ . 2 + 2sin ucos u — 3cos2 у . 2 „ .
cosy^fcO, sinx= — , sinx= —+2siny —3cosy
(1), sin2x = —^- + 4 sin2 у+9 cos2 у 4--^-^ — 12—12 sin у cos у,
' cos2у ' cosy v
sin2x=—=—(-5cos2y—8-\ 12sinycosy (2). Подставим
cos2y^ v ' cos 1/ v v \ 1
значения sin x и sin2x из (1) и (2) в первое уравнение системы,
4 , г 2 i 8 Sin U , г, ■ о , / 2 i
получим: = у 5 cos у Н 12 sin у cos у — 8+ I \г
J cos2 у ' v cosy v v 1 \cosy
+2 sin у — 3 cos yj cos у = 2 cos^ y— 1, -^ |-5cos/y+ cosy--
12 sin у cosy — 8 + 2+ 2 sin у cosy — 3cos2y — 2cos2x-|-l =0, —?- +
188

+ 8^7_108|пУСО5У-5 = 0- -^-(l+2sinycosy)-5(l +
-|-2sinycosy)=0,(l-|-2sinycosy)(-^i 5) =0. 1) sin2y= — 1.
yl = — -f + kn. Подставим значение yt в первое уравнение системы:
sm2x+s\nxcos(kn — ^-)=cos(2fere — у), sin2jt±^UinJt=0,
sinx(sinx±^) = 0. a) sinjc=0, лг|=лл. б) sinx=— ~&, x2 =
==(-1)"+,т+"л- B) *™*=T' Хз={-1Г±+тл. 2) -4-=5.
cos' у
cos2y = T, cosy=±4-. a) cosy = -^=, y2 = ±arccos-^+2/b,
л/о -у/5 У5
sin2A:+—sinx=2cos2y— 1, sin2jc-j--^sin дг=-|- —1, sin2x+
sinx=—, лч=(— iy-arcsin^+rtn. 6)cosy= — -jL, у3=±(л—
— arccos—)+2#лл, sin2x—-|^sin дг—-|=0, sinJC=-^±-^.
sin* = -^>l, x=0. sinjc= —-^. *=(— l)*+,arcsin-^ + *n.
V5 V5 Vs
34. x=-j +kn.y = nn;x=(— lf+1 arcsin^ + mn + q;, у=-|л +
+2лл; *=(— l)m+l a resin ^ + т л—<p, y=—д-л-|-2ял, <p=
л/5
= arctg^-, k, n, me.Z. Решение. Умножим второе уравнение
системы на 5 и перемножим с первым уравнением, получим:
100 sin2 у cos2-|-— 25cos2 х= — 25 cos (x—у) cos (х+у), 4 sin2 yX
Xcos2-|- — cos2 x= —cos (л:—y)cos (x+y), 4 sin2 у (1 +cos у)—
—2 cos2 x= —cos 2jc—cos 2u, 4 sin2 у (1 -fcos y)— I —cos 2y=
= — cos2x—cos2y, 4sirry(l+cosy)—2sin2y=0, 2sin2y(2 +
+ 2cosy—1)=0. a) siny=0, yt=nn. Подставим значение ух в
первое уравнение: lOsinnn- |cosy—5cosx=cos(nn+Af),
—5 cos x= ±cos x, 5cosjc±cosa:=0, cosx=0, X\=-£-\-kn.
12 2
6) 1 -|-2cosy=0, cosy= — y> y=dt-zn+2nn. 1) у2 = уя + 2/т.
Подставим значение у2 во второе уравнение: 2sinf-=-n+
+2пя\ |cos (у + ил)| +cosx= — 5cos (x—з"Л—2пл\
189

2 sin у я j cos y cos nn—sin -y sin пл | +cosx=— 5cos(2nn +
+ Ynr~*)• 2sin-g-n- Jcosycosnn | -|-cosJf=—5cos Гул—Д
2 1 2 2 -v3
2sin-g-n-Y+c°sJf= —5cos-g-ncosx—5sin-g-nsin x, • X-_^.
-|-cosjc=yCosjc—=- V5 sin x, -\^J+2cos jt=5cosjc—5-\jSs\t\x,
5-\/3sinx—3cosjc+V3=0. 5sinx—-\/3cosjc= —I, -\/28sin(x—<p)=
= — 1, sin(x —ф)= —, x=(— lf + l arcsin^-т-тл + ф, ф=
= arctg^=-. 2) y3 =—g-n + 2nn. Подставим значение y3 во второе
уравнение: 2sin f—-g-n-|-2nnj- cos (пл—j J | -|-cosa:=
= — 5cos (jc-|--g-n—2ллЛ, —2sin-g-n« |cos-ycosnn | -|-cosx=
= —5cos (x + yJiV _-^3".__j_COsa:=—5( —ycosx—^sinxV
—-^3-|-2cosJt=5cosjt-r-5-\/5sin *> 5^3 sin jc+3cos jc=— -у/3,
5sinx+y3cosx= —1, -y/28sin(x+(jp)= — 1, 8т(х+ф)= —,
2y7
л/7
дг=( — 1/"+' arcsin^-f-mn—<p.
35. x = Tn+(2ft + rz)n, y=—-£-+лл; x=-|-n+(2ft — Зя + 1)л,
y=— у+пл, Л, /ieeZ. 36. (±yarccos-|+ftn; (—iy arcsinT +
+ял),*,яег. 37. (±|-+2/1л;т!+Нг), *•nGEZ- 38- *==(- 1)"т +
+лл, л^-f+ft-J, л, teZ. 39. x=(6ft + l)^, у=(6л + 1)-£,
ft-, aeZ. 40. jc=—-^- +mn, y =—2--|-лл; х=л,л, у = т(я, т, я,
т,,п,е=г. 41. jc=(—l)*+'arcsin^+ftn-|--J,y=(—iyarcsin^ +
+ лл + -£-, ft, «eZ. 42. jc=(-l)"arcsin^ + nn--J, x =
=(_!)*+> arcsin^ + ftn--J, л, fteZ. 43. x = T+ftin, y = f +
+л,л, г = 2/П|л; х=у+*2Я, у=2я2л, z—^--\-m2n; дг=2*3л, у—
= -£-+2я3л, -г=у+2т3л, ft/, rti, miSZ, i=I, 2, 3.
Решение. Умножим первое уравнение системы на 2 и к
первым двум слагаемым применим формулу понижения степени: I +
-f-cos2x + I -r-cos2y+2cos22=2, cos2x+cos2y+2cos22=0,
2 cos (x+y)cos (x—y)+2 cos2 2=0, cos (x+y)cos (x—y)+cos2 z=
=0 (1). Из третьего уравнения системы следует: х-|-у=я—2.
190

cos(x+y)=~cosz. Уравнение (1) примет вид: — coszcos(x—y) +
cos2z=0, cosz(cosz—cos(x—y)=0, 2coszsin*+*+*/sin*~j(~2: =
„ « . (z+Jc)—У . x—(y+z) _ ,,
s=0, 2cosz-sin 2 Sln 5 =0. Но из третьего уравнения
системы г+х=п—у, y+z=n—x, тогда 2 cos z sin " g y X
Xsin—jp^-=0, cosz-sin (y — #)sin (x—~)=0. cosxcos^X
Xcosz=0 (2). Из второго и третьего уравнений системы и
уравнения (2) получим следующие системы:
а)
б)
в)
cosx=0,
cos у=0,
COS Z = 1,
x+y+z=n;
cos x=0,
COSI/=l,
COS 2 = 0,
COSJt=l,
cosi/=0,
cosz=0,
x-T-y-T-z = n;
x,=y +kn,
#| = у + ил,
Zi =2тя.
*2 = у + *2Л,
£/2=2п2л,
гг = у + т2я
х3=2Л3л,
Уз = у + 2л3л.
z3 = y +2т3л.
44. x=-g-, у= — -g-; л:=-б-. У=0; *=-g-, {/ = — л. Решение.
Из первого уравнения системы имеем: tg(x—£/)=-\/3 и tg(x—#)=
= ^-. Из второго уравнения системы имеем: х=-^-, что
удовлетворяет условию.
x—y= — +kn,
y=x—^—kn, y=—-£- — kn.
х=
6 '
Эти значения у удовлетворяют условиям только при 6=0, т. е.
У=~К-
X~y — -jr-\-nil.
х=-
y = x—-fr — nn, у--
-пп. Эти
значения у удовлетворяют условиям только при л=0 и п=\. Имеем:
0=0, у=— п.
45. *=-£-, У=у". *=Т« у=0; *=Т' У=2л- 46' Х=Т*
л 5 л «_ л *-» л 2
J/=-g-; *=f2". y="6"- 7' X=T' y=s0; X=T' y~Tn-
191

48. *=(_ir + -JL+„-£L, y = _Larctg^f+*^, ft, лег
Решение. Вычтем из первого уравнения второе, получим-
sin2( — 2*)—tg25y+(3 — V2)(tg5y—sin (-2^))=0. siп22x-tg25i/-f
^-(3— V2) (tg 5y + sin 2x)=0, (sin 2*+tg by) ((sin 2x—tg 5x) + 3-
— д/2)=0. a) sin 2* =—tg by. Подставим значение sin 2x во второе
уравнение, получим: tg25t/ + (3—д/2) tg 5t/ — ^~ =0, 2tg25y-f-2(3 —
-^)tg5y-(3^-I)=0, ^ = (3-Л/2)2+2(3Л/2-1)=9, tg5y=
= =f и tg5y = ^--3. sin2x = 3-^f>l, jc=0. sin2*=-^.
tg5y = f,
• о л/2
sm 2x = — -y;
by = arctg ^—j- ftn,
ь 2 ' /|\п + |л. ii
2х=(-1Г + ,т+Пя- 8 2
= \ arctg ^ + ft -J. 6) sin2x—tg5y=— (3 — л/2). sin2x=tg5y-
—(3—л/2)- Подставим значение sin 2* во второе уравнение, по-
лучим: tg25y-(3-V2)(tg5f/-(3-y2))=-E^-, 2tg25y-
-2(3-V2)tg5f/+2(3-A^)2-3V2 + l=0, ^=(3-л/2)2-4(3-
— л/2)2 + 6л/2 — 2=— 35 + 24л/2<0. Поэтому действительных
корней нет.
49. х=^г + fe-|, y= —yarctgy-f n-|, ft, n«=Z. 50. x=
=(-1Ут+ "f. y=-yarctg^+ft~,n, ft«=Z. 51.*=±£ +
+ n-=-. y=-yarctg2 + fty, n, ft«=Z. 52. дс= 1, y=(-\y± +
-\-nn—I, neZ. Решение. Сложим уравнения системы,
получим: 4*=4, *=1. Подставим найденное значение х в первое
3 1
уравнение, получим: I -J-sin (1 -|-у)=-—. sin (1 -\-у)= —, \-\-у =
= (-1Г±+пл, y=(-iy±+nn-l.
53. х = 2, y = ^+kn — 2, ft«=Z. 54. лс= i-jj-+2Лл+1, y=L
ft«=Z. 55. *=-i + nn+2, y=2, neZ. 56. x= ±-^ + 2ftn, у= ±-^ +
+2пл, ft, n«=Z. 57. x=lt y = l. 58. *=^Ь^, y = tz^l- x=
3—Vl7 3+-Л7 __ 2 + 3n 1 2n—1 ,
= 2, y= 2 ■ 59. x=— i±2«, f/=±Tarccos^ И"-
*=—^-, y= ±y (л —arccos-^-J+"1Л. n> "ieZ. 60. x=±-j-(n —
192

-arccos-^-J-fnn, У = ^-' -x:=±Yarccos-2^4-nin, y=-^n +
4-—, ni, neZ.
3n-4
yarccos -g
+ пл;
*=—2,5, y =
61. x Jttio. y=±
:±у (л — arccos у )-f-тл, n, m^Z. 62. x — ±у(л —arccos-g-J +
Зл+I , 1 2л —5
-^пл. у = —24 ' * = ± у arccos—g—
■ l&r+i _
fnn, y = —yj—, neZ.
Гл а в a III
1. [-у + 2*л; у+2*л], fceZ. 2. (-^ + 2*л; -|л + 2*л),
teZ. 3. (_|- + 2Ы у + 2А:л), fc«=Z. 4. ( —arctg3-ffen; -J +
+ *л), fceZ.
5. ^y-j-ftin; -g-n + *inJU (ул + П|л; -у л + щл) |J ( —-g-+ &2л;
й>л) U ("гл; |" + п2л), ft/, n,eZ, i=l, 2. Решение. 2cos4a:X
Xcos 2л:> 2 cos2 4л:, cos2 4л:—cos 4л: cos 2л:<0, cos 4x(cos 4л:—
—cos2jc)<0, (2cos22jc — 1)(2cos2jc —cos 2л:— 1)<0. cos2a:=#,
(2y2-i)(2y2-i/-i)<o, (y+±) (y-qt) (у+т)1у-Ч<°-
-^<у<-у или ^<у<1 (рис. 32). a) _^<Cos2^<-T
2 3 5 4
(рис. 33), -д-я + 2*!1Л<2л:<;-£-л4-2£|Л или -^-л + 2п|Л<2л:<-д-л +
+2л|л; у-)-*1л<л:<улЧ-й|Л или g
л-\-П1л<.х<.-о-л + п\л;
Гу-ffein; -g-n + *injU Г-ул + П|л; -ул + АМл). б) ^<со52л:<1,
2пя<2л:<-^--)-2пл или —£--)-2ftn<2jt<;2ftn; пл<.х<.^г+пл
4 4 о
или — у-1-£л<л:<£л; ( — ^+к2л; к2лj (J Гп2л; y + n2nj.
6. (-^--Ьлл; -|-л-)-пл), neZ. 7. (arcsin^-^1 \-2кл\
л —arcsin V ~ -)-2£л) , fteZ. Решение
sin^ + sin х— 1 >0, ■*
sin л:> 1—sin2x
sin*=y, у*+у_1>0, ^_,_^y_^>0i
Рис 32
Рис. 33
193

Рис .14
lJni 3ft
(»+±)'>4- |»+||>f .) »+i>f »>^.
arcsirW5~' + 2&л<л:<л —arcsin^~' -f 2fen (рис. 34), или б) у-\-
+!<-#• *<-^
< —1, но sinx>— I, jc=0.
"■(*тМт*т)-
9. (-^- + kn; ул+ь), fteZ. Решение. sin x-fees*=
= -\/2sin (x-\-^ J^ ^2; следовательно, данное неравенство
равносильно следующему: 4 sin2 x— 1 >0, 2(1 —cos 2л:)— 1 >0, cos 2х<
<у (рис. 35), -|+2*л<2х<-|л + 2*л, -J + ftn<JC<-|л + *л.
10. (-2arctg(l+V2)+2nn; 2nn)U (2arctg(V2 — 1)+2пл; -у +
+ 2лл), reZ.
11. [-{|л + 2*л; -^+2*л], AeZ. Решение. --^-л +
-f2ftn^x-f-^<-£+2*л (рис. 36), -^л + 2Ап<^-^ +
+2* л.
12. [-i-i+ftn; у + -|я + Ал]. AeZ. Решение. --J- +
+ 2*л<2х — |<|л+2Ал (рис. 37), 1 — -J- + 2£л<2*^1 +
+ -^-л + 2*л, у —-^•-ffen^Ar^y-f-g-n + fen.
13. (-|л(6*-1); -§-л(6А + 1)). *eZ.
15. Г—-^--f 2пл; у + 2мл], n<=Z. Решение. —-^+2пл^
^х—^-^-^- + 2пл (рис. 38), —||- + 2пл^х^у+2лл.
194

Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38
16. ( — у+£л; ^+kn\ ks=Z. Указание. 3—4sin2x^0,
l+2cos2x:>0, cos 2*^—у (рис. 39).
20. (~г-\-пп; -^л + пл), neZ. Указание, cos 3*c6"s.x:X
Xcos2*-}-sin 3*sin *sin2x-< —. Преобразовав неравенство, полу-
o
чим: cos2a:<-2- (рис. 40).
21. Гил; -j-Ч-лл), neZ. Решение. -^- + пл^л:+-^-<у +
+пл (рис. 41), пл^х<-^- + пл.
22. (-| + 2лл; -|л+2лл), n«=Z.
Рис 39 Рис. 40 Рис 41
195

23. Г—-|л+2лл; -|л + 2лл], neiZ. Решение. 2cos2jc+
+5cos* + 2^0, cos*=y, 2у2 + 5у + 2^0, у, = -2, у2=-у
2(у + 2)(у + у)>0 (рис. 42). у<-2, т. е. cos*<-2, х = 0;
I 12 2
у>—g-, cosjc> — у, —д- л + 2пл^л:^-д- л-)-2пл.
24. ( —arctg2-)-6n; у + 6л\ ieZ. Указание. tgx=i/,
^ + (2-V3)y-2V3<0, (y+2)(y-V3)<0 (рис. 43).
25. ( — -|л + 2пл; -^+2лл), neZ.
26. (_-^+2*л; 2fen) U (л + 2£,л; -^-л + 2А:,л ) U (j +2пл\
— л-|-2пл), k, k\, n^Z. Решение. 3 sin x—4 sin3 *< sin*,
4sin3jt—2sin*;>0, sin *(2sin2.x:—1)>0, s'mx=y, y(2y2—1)>0-
y(y+^)(y-i-)>0 (рис- 44>- -f<y<° или y>f-
/о __ 5 i
a) —^-<sinx<0, —т- + 26л<л:<2&л или n-\-2nn<Cx<Z-^ л +
+ 2£л (рис. 45). б) sin*>y-, у + 2шг<л:<-^+2лл <риС- 45)'
27. (*л; у+*я)и (--^+£л; £л), fc«=Z. Решение. ctg*X
X(ctgx+l)>0,ctg*=y, //(у+1)>0 (рис. 46). a) ctgx>0, kn^
<л-<у+£л (рис. 47). б) ctg*< —1.
196

28. (--£+2лл; -f+2mt) U (j +2kn;
^л+2Ь)и(-}л + 2тл; -|-+2тл),
„t k, m^Z. Решение, cos x = y, log^i/2 —
-}f/)<-l. 0<y2-±y<Y> °<(у-
<у<1, y<cosx<1, —j- + 2im<*<
<% +2пп (рис. 48). б) |<-(y_-j-)<
-y<cosx<0, -гр+2пл<*<|-л+2т1 И
--|л+2Лл^х<—Y+2fen.
29. ( — -J +2пл; i +2/m) U (|- л+2/ел;
|я + 2Ал), п ke=Z. Решение. 2(л/2 —
- l)sin x—2(1 -2sin2x)+2—л/2<0,2(л/2—
-ijsinx—2+4sin2x+2—лД<0, 4sin2jt+
+2(V2— l)sinx—л/2<0, sinx=y, 4y2 +
+2(л/2- l)y-^<0, | =(V2- 1)2 + 4лГ2=
=(л/2+1)2,-\/|=л/2+!,</, = -# "У?=
= y. (у + :г)(у-т)<° (Рис- 49>.
л/2 I л/2 1 n ,
—2"<у<у. —g-<sinx<Y. —-4- +
+ 2пл<лг<-|+2пл,|-л+2/гл<х<-|-л+
+2Лл (рис. 50).
30. (^ (4fi+l); «.(4n+3)). neZ.
31. (2* — -J-; 2* + -J). fteZ. 32. [-1;-J-)-
38.(4-: I]. 34. [,;ii^)u(i^;
■+]• »[<*$

Рис. 51
-jX
4
0
*J
^•jt
—***^ 4
Рис. 53
Рис. 52
36. (2kn: y+2foi)u (у+2*л; л + 2*л), *eZ.
3 3
37. х — любое действительное число, кроме х = -г л-f-y &л, fteZ.
38. (-(4n-l); £(4п + 1)), neZ.
39. fyarccos-jr + ftn; — у arccos-^- +(fe+ 1)л), fteZ.
40. (-^ + fen, -j- + *n), ieZ. Указание.
Преобразовав неравенство, получим:
(рис. 51)
• 2V2 , о
Я ГГЧIП 1 1- Jn -IT
sin x sin Злг
cos x cos 3x
cos 2x
■<-l.
<0
41. f arcsin—^—+2nn—";
2(cos 2x + I) (cos 2x — — \
л-arcsin^-) U ((2/г-1)п;
(4k — I)y), ". fceZ. Решение. siruc-|-cos;t = i/, 1 +sin 2x=yi.
sin 2*=jf- 1. 3(y2- 1)- 1 >y, 3y2-y-4>0, 3(y + 1) (y-| )>0.
{/< —1. a) sin x+cosx:>-g-, -y^sin (* + -^)>"з"-
i/>y ИЛИ
sin
(*+x)
2V2
3
U
3 4
arcsin
2л/2 , о ^ i л ^ ■ 2V2 j_
-|—\-2nn<£x+-j-<Cn — arcsin-^— +
-f-2nn, arcsin -| ^-+2пя<д:<у л — arcsin-^- + 2пл. 6) sin*+
+cosa:<-1, V2sin(x+-^)<-l, sin (x+-^) <-^ (рис. 52).
— |-л + 2£л<х+^< — Y + 2*n. -л+2*л<а;<—у+2*л.
(2*-1)л<л:<(4*-1)у.
и(—-^^
198
arcsin^ |-2&л; — arcsin ^~—
-(2ft+l)ji)(J
arcsin ""'g ' -f(4fe—l)y; — arcsin^ g ' -f2fai),
fteZ.

Рис 54
Рис 55
43. I — arcsin-g-+ 2Ал; -^-+2А;л Ш [у я+2п л; arcsiny +
-\-(2п-\-l)n , k, neZ. Указание, а) Если sinx^y, то 5 —
-2sinx>36;sin2x—12sinx+l, 18 А/ + у) (у—у Wo (рис.53).
Имеем: y^Tsinxsgly (рис. 54).
44. (j-+kn; у+*л), AeZ. Решение. 1 —cosx<tgx(l —
—cos ж), (1— cosx)(l — tgx)<;0.
а)
б)
I — cosx<0.
l-tgx>0;
1 — cosx>0,
I— tgx<0;
cos x > 1,
tgx<l; x=0.
cosx<l,
tgx>l; -5.+*л<х<у+А:л (рис. 55).
45. а) [4л2л2; (2л + 1)2л2], [д/-|+2*л; д/у+2*л ]и
и[~Уу+2Лл; -д/-у+2*л ], [у, 1], [—=. + /*. £ + /я].
«еЛ^о, 6, /еЛЛ Решение, a) sinV*^0, 2пд<-\^^л + 2пл'
4/zV<x<(2n + l)V, п=0. 1, 2, ... б) cosjc2220, — у+26я<
^-^<у + 2Ал, *«=#, У~у +2*л < |х| < -д/у +2*л ; 1) х^
>0, д/-у+2А:л<х< д/у+2/m; 2) х<0, - -д/у + 2/гя<
^х<_ д/у + 2*л. в) -K-^-^i, _i<
2(* + 1)—2
1,
199

Рис 56
Рис. 57
<1. —у<х<1. г) — ls^2sinx<l, —y<sinx<y. — JL +
+/л<х<-£-+/я.
46. (—±n+2kn; -|- + 2*л) U (2лл; -J + 2nn) U (-fn+2nji;
n+2nn), n, fceZ. Решение. Упростим левую часть
неравенства: sin 5x=sin(2x-j-3x)=sin 2xcos Зх+cos 2xsin 3x=
=2 sin xcos x(4 cos3x—3 cos x)-|-(l — 2sin2 x)(3sin x—4sin3x)=
=2sinxcos2x(4cos2x—3)-4-3sinx—4sin3x—6sin3x+8sin5x=
=2sinx(l—sin2x)(4—4sin2x—3)+3sinx—I0surjx-f8sin5x=
=(2 sin x—2sin3 x)(l —4 sin2 x)+3 sin x—10 sin3 x+8 sin5 x=
=2sinx—8sin3x—2sin3x-f 8sin5x+3sinx— 10sin3x-f 8sin5x=
=5sinx—20 sin3 x+16 sin5 x. 16 sin5 x—20sin3x-f5sinx>
>I6sin5x, sinx(4sin2x—l)<0. sinx(2sinx+l)(2sinx—1)<0
(рис. 56). a) sinx< — |, — -|- л+2£л<х< — -£■ +2kn
I л 5
6) 0<sinx<Y, 2nn<x<-g- -\-2пл и -^-л + 2нл<х<л + 2пп.
47. (-£+ля;т+ пя), neZ.
48. ^(4n-l)i; (4n + l)j|). n(=Z. Решение. l-cos6x+
+ 1—cos26x<2, cos6x(l-f.cos6x)>0 (рис. 57). a) cos6x> —1,
x=0. 6) cos6x>0, — у+2пл<6х<-|Ч-2пл, (4п —1)^<х<
<(4n+l)i.
49. (i-ftn; ^ + уЛл)и (~f+ «-§■ J «J ). *. «eZ. 50. (2*л;
|+2Ал), AeZ. 61. (/ii;(4n + l)|),neZ. 52. (--^+2*я;
-|л+2Ал), *eZ. 53. gB; |§л). 54. (arcsin ^-; f)-
55. (arccos^^-; я) U (2я — arccos ^J_; 2л).
56. (jre* и *=0; 1; 2; 3; ...)(*etf„). Решение. _|-+2*л^
<sinx<-|-+2foi при £=0, 1, 2, 3, ...
57. xe=lf, k=0; I; 2; 3; ... (kc=N0). Решение. _л + 2*л<£
<cosx<2£n при k=0, I, 2, 3, ...
200

Рис. 58
58. (J+Ал; ^-+Ал)и (—£ + ««; —jr+ял), Л, «eZ.
р е ш е н и е. cos 2х—cos 4х> 1, cos 2x> 1 -f-cos Ax, cos 2x>2 cos22x,
2cos22x—cos2x<0, " 2cos2x(cos2x—у ) <0 (рис. 58), 0<
<cos2x<y. а) у+2*л<2х<у+2*л, ^+kn<x<-j+kn
(рис. 59). б) -± + 2пл<2х<.-^ + 2пл, —J- +лл<*< —§■ +
-f/m (см. рис. 59).
59- (уй; л/йт)и (~ т5тг; - Ve/fe-)' fcGE*°-
60. [(J; -i-)u ((2A-y)2; (2Л + у)2), *eJV0. 61. ( —\л+2пл;
— |- + 2пя)и ( —-|+2ял; 2пл)и (2«я; ^- + 2лл), n(=Z.
62. х— любое действительное число, кроме х=~-\-тл, m^Z.
63. (—j+nn; ~-\-nnj, n^Z.
64. (.£ + 2лл; у + 2лл)ц (arctg2 + 2f»i; у + 2пл), n&Z.
Решение, -\js~m2x-J-cos2x—2sin xcos x<sinx, -\/(sin x—cosxf <
<sinx, |sinx—cosxl <sinx, sinx;>0. a) sinx—cosx>0, sinx—
-cosx<sinx, cosx>0, {cS*>o°SX' tg*>l (Рис.60), -J- +
-\-кл<.х<С^-\-кл. На дуге АВ cosx<0 и sinx<0, поэтому
неравенство будет удовлетворять условию только при k=2n, т. е.
Рис. 59 Рис. 60 Рис. 61
201

Рис. 62 Рис 63
i + 2n*<*<f + 2пп. б) sinx-cosx<0, {-|!^+с0°^<^дг.
I sinх>i-cos*.
jsinjoO; l>yctgx, ctgx<2; кроме того, из sinx-
— cosx^O следует: ctgx!>l. Получим: l<ctgx<2 (рис. 61).
arctg2-f-2nn<x<-^ -\-пп.
66. (12л—1)-^; (12я + 7)^. neZ.
68. (_arctg^-+/m; -J-+ пл) U (arctg-£±L+nn; f +
+ пл), neZ. Указание. Преобразовав неравенство, получим:
, g *~ _ >0(1); tg2x-f-tgx-f-l;>0 при всех х, кроме х = у+лл,
поэтому неравенство (1) равносильно следующему:—,^*~ >0,
tg x—tgx—i
t — [
tgJf=/, /t_f_t >0 (рис. 62).
69. ( —arccos(v2—1) + 2пл; arccos(V2 —l) + 2mt), weZ.
70. (^-i-fcn^n + fcn), fceZ.
71. (-у+пл; — arctgy-f-zm) 1Д£л. arctg2-ffcn), n, feeZ.
Решение. 4д3х-^<7.875. tg3x=(/, y-L = 1\, JL=L=
_63 f-\ 63^П 8У'-63У-8 %-»)(у+|)
= ¥• — T<0- Ту <°- Vy <0' -°°<
<y<-j- или 0<«/<8 (рис. 63). a) tg3x<-y, tgx<—§"
— у + пл<х< — arctgy-f/m. 0<tg,sx<8, 0<tgx<2, kn<x<
<arctg2 + foi.
72. (i-arccos(2V5—5)+y(2fe — 1); — ± arccos (2^/5—5)+
+f(2fc+l)), feeZ.
202

Рис. 64
Рис. 65
73. (—21+*я; _^+fejlju (_arctg^ + „n, -~+пя)и
у (тл; -£ + тл)и (arctg^+Zn; ^- + /л) U (f+рл. f+рл).
ft, n, m, I, p^Z.
74. [—|.л + 2ял; --^ + 2лл]и (-J +2*л), n, fceZ.
75. (у+*; у+*)и( — у"; ")- k< ne=z- Решение.
З'в^з'-'^^г или 3'gIur-3'-'en*<-2. а) З'вшг-^г>2,
*•--„. „-i>2. ^=^0, (у-3)(у+1)>0
(рис. 64).
1) -1<у<0, -1<3,влх<0, х=0. 2)у>3, 3lg">3, tgjtf>l,
-^ + А:л<лх<|- + *л, Y + fe<*<T + fc" б) у_7<-2'
*^±<0, to+»>f-'><0 (рис. 65). 1) 3""*<:-3, х-0.
2) 0<3,вях<1, tgnjr<0, —у + пл<лх<пл, —y+«<jc</2,
neZ.
76. (j+kn; Y+kl1)' feeZ-
77. ((2#t-l)-J-f nj), яег.
78. ( — -jj- + 2to;2ftn)u(" + 2fa: -J- л + 2/гл) U (arcsin -g- + 2rui;
-g- + 2mtl (J (-тгл + 2£л; — arcsin -g + n-{-2kn J, fe. neZ. Pe
sin x—2—8sin2x+2
ш е н и е.
_ 8 sin2* —sin* n sin *ft sin *— I)
4 sin2*— 1 ^"' 4sin2x—1 """' (2sin *+ IX2sin *- I)
<0 (рис. 66). a) — -g-<sinjt:<0, _-^-\-2kn<x<2tui и л + 2£л<
<х<-^-л+2Ал (рис. 67), б) -g-<sinJf<4"' arcsin-^-+2пл<х<
<-g-+2/m и -|- л + 2£л<*<— arcsin -|-+л+2*л (рис. 68).
Рис. 66
203

Рис. 67
Рис. 68
79. (у + 2*л; i + 2*n)u(—y+2nn; -у+2лл), k, neZ.
Указание. 1< (. smx ) <3. Преобразовав неравенство, по-
\1 —COS X /
лучим: 1< |ctgy | <т!3прихф2кп.г) Kctg-J<V3 (рисбЭ.с),
б) -l>ctg-|->-V3 (рис. 69, б).
80.
(-j-1-лл; -т-n + nnj, n^Z. Указание.
2 cos8 х—6 .
2 cos2*— l
cos х
1 — 2 cos2*
ось котангенсов 1
Преобразовав неравенство, получим: (cosx+2)X
Рис. 70
*?
шш
Ш£££
7Г
Рис 71
204

><(cos>:--|)<0 (рис. 70), -^<cos*<^ (рис. 71).
81. f — у + пл; -^4-пл], neZ.
82. ((4ft—1) ^; (12Л-1)£)и((4л + 1)£;(12л + 7)£).*.л.
gZ. Указание, —cos 5x>sin Юх, cos 5x(2sin5x+l)<:0.
a)
cos5x-<0,
l
6)
cos5x<0,
sin5x>—-s- (рис. 73).
sin5x>-g- (рис. 72).
83. (у + 2/гл; i-л + 2^л) U (--| n+2nn; _Jl+2nn),
k, ne.Z. Указание. 4cos2x-f-2(V2 — 1)cosx<V2, cosx=y,
4(у-т)(у+^-)<:0 (Рис.74).
V2
-#«/<ф
L<cosJf<-5- (рис. 75).
а) у+2Лл<х<|-л-|-2/гл. б) — -| л + 2лл<х< --|- + 2лл.
84. (--£-+2*л; |-+2/гл)и (-|л+2лл;-5-л+2лл)и (-£-+2тл;
уЛ + 2/лл)и(-£-+2пл; _|_n + 2mV Л, л, me=Z. Указание. 1 —
-cos2x + sin3x—sinx<l, (sinx — ^f\ (sinx + ^) (sin x—M>
Рис. 72 -2
2
f
Рис. 74
Рис. 75
*?
-ф
ЪХШХ
0
ША
Г J
рис. 73
_£_
205

у
$s
0
^Xf
—"^ ч
ось котангенсов
Рис 77 Рис 78
>0 (рис. 76). a) -^<sinjc<i- (рис. 77). б) cos.v^>^ и т. д.
85. (fe-5-; ^ (6/г + 1)). Указание. Преобразовав неравенство,
получим: ctg8x>yJ3 (рис. 78).
86. (2/гл; £+2/гл) U (-£-+2/гл- л + 2/гл), teZ.
87. (—£+2fcn: -^+2/гл)и(у+2лд, |л + 2пл) U ( -|л +
+ 2/гл; — у + 2/гл), /г, neZ. Указание. Преобразовав нера-
г ^^r- a) -jt<cosj(:^1 и т. д.
4 1 4 'Л
COSX
веиство, получим: —
б) — y^cosjc<0 (рис. 79) и т. д.
88. ( — -£+/гл; у + /гл), fteZ.
89' (т + "1*л; n+-f-fejl). feeZ- Указание. Преобразовав
4 1
неравенство, получим: zo%-^x<i-^ (рис. 80).
90. (--^+2/гл; -J+2/гл), feeZ.
(/гл;-^+/гл) (J (^л + лл; -|- л + лл) , fe, neZ. Указание
91.
Преобразовав неравенство, получим:
a) cos 2*;
V5—I
и т. д. б) cos 2х<С
1-У5
cos 2х г >Т'
4 ' '
cos2*< — sin-JQ-.
Зл
cos2a:<cos-^- (рис. 81) и т. д.
92. (-£ + лл; -f+лл) U (*я; arctg-i- + ftn) U (пп; -J-+"")'
л, *gZ.
93. (2Ал;-£-+2Лл]и[-§-л + 2*л; л + 2*л), fceZ. Указание.
206

Рис. 80
Рис. 81
0<sinx<l, log2sinx=i/, тогда имеем: 3 (у — -^ j (y+1)>0
(рис. 82) и т. д.
94. (arcsin|-n + (8ft-l)y; -arcsin-f-4-(8* + 3)-J-), teZ.
Указание. Упростим правую часть неравенства, данное
неравенство примет вид: 3(^"x+cosx>~..~v >\; заменим последнее рав-
г 2у2 — (sin х + cos х)
носильным неравенством 4(sin x-J-cos х)>ЗУ2, откуда sin (* + -j-) >
>-J- (рис. 83).
95.(arcsin^ + (8fe-l)f; -arcsin^+(8fe+3)-f) U (2ft- 1)л;
(4k-\)~Y fteZ. Решение. -j= tg 20° tg 40° tg 80° = 1 6tg*
i+tg'*
>
2tg*
>sin(n — x)-f-cos x-f 1, 3 , , °, ;>sinx + cosx+l, 3sin2x>
l+tgгх
>sin v+cosx-f-1, sin x-f-cos x = i/, 1+sin 2x = «/2, sin 2x=y2 — 1.
Неравенство примет вид: 3(y2 —4)>f/-f 1; 3(«/+ 1)(«/—1)—(«/+1)>0,
(У+1)(Зу—4)>0 (рис. 84). t/>4 или «/< — !. a) sinx+cosx;>-g-.
Рис 82
Рис 84
Рис 83
207

Рис. 85
V2~sin(x+-j)>-i, sm(x+±)>2-f. arcsin ^+2fen<x+
-f- -j- < л — arcsin -*-
^ + 2fen, arcsin ^ + (8fe~l)-J<*<
< — arcsin^f-+(8k+3)~. 6) sin jf+cosx< — 1, V2sin (*+-J-) <
<-l, sin (* + -£■)<-£, -±n + 2kn<x+±<-±+2kn,
—n+2kn<:x<:—j-+2kn.
96. (2 arctg -^±L + 2kn, (2* +1) я) U ( -2 arctg ^=± + 2nn;
(4n+ 1)y J, *, n^Z. Указание. Упростив неравенство, получим:
tgi>—f 7 . tg-5-^У. /_„_, >°- Так KaK f/2+f/+
trf-tgf-i
-+-1 >0 при #eJ?, то имеем:
у-1
>0,
J/-1
V5+l>
>0 (рис. 85). v J /v ^ '
•ЧМ-М-*-*»)-
Решение.
sinx>Y'
25—Jt2;>0;
у+2ип< x<-g-n-f 2лл,
—5<jc<5.
а) При п = 0 имеем:
б) При п= — 1 имеем:
т<дг<тя,
— 5<x<5.
л .. 5
т<х<тя.
--^л<*<-^л.
-5>—x*-
—5<дс<5.
а потому — 5<x<—y^n. При н^О и пф — 1 система не
имеет решений.
98-(°:i!)u(-i^;-i)-
208

Решение, cos x—sin х=у, l—s\n2x=y2, 1 — y2 = s'm 2x,
-/Г-у* <y-
\-у*<у\
У>0;
2«/2>l.
f -КУ<1,
2 '
у:
У>0;
+2/гл<л:-}--^<|-+21гл (рис. 86). 2/гл<*<^ + 2/гл. Условию
удовлетворяют только значения х при fe=0, т. е. 0^х<тя.
б) --=-+2*л<* + ^<-^+ 2*л, -^n + 2kn<x<-± +
+2Ал (см. рис. 86). Условию удовлетворяет только значение х
при fe = 0,"T. е. — -^ji<.xs£L—5".
cos 2лг^0,
cos x>О,
3cos 2x<2 cos2 х.
12
"■(f:T)u(-f: "Т )■ У ка 3 а ние
/2 /3
пая систему, получим: ^-s^ cos jc < ^т- (рис. 87).
100. (О; -^ ) (J (у2 л; у ) ■ У к а з а н и е. sin jc+cos лс=у, тогда
Решая систему, получим: ls^sinx-j-
+cos*<^, £<Sm (*+-=-) <^| (рис. 88).
, т гч ' ч ч sinjc>0,
'01- т;т U тп;1" ■ Указание. cos 2x^0,
V6 • 4 |UL4 б J cos2*<2sin2*.
имеем:
«/>0,
У2-1>0.
3(jf-l)<jA
5^=
г
\ °
^J
Ш ^V
f\
Рис 86
Рис. 87
Рис. 88
209

iy
/f*
я
0
—->^ я
f\
Рис 89
Рис. 90
Рис. 91
I л/2
Решая систему, получим: y<sinA:^ ~ (рис. 89).
102. Л^-; — л) (J (-g-n; у *Ч ■ Указание. Преобразуя
неравенство, получим: (-y/2cosx-|-l)(2sin x— 1)^0.
a) /V2cosx+l>0, б)
12 sin х-I >0 (рис. 90).
COS JCSS^ — -у ,
!
sinxs^y (рис. 91).
,оз-а=т)и(-т=-т)-
104. (О; -— j U (— л; -г11)- У к а 3 а н и е. Преобразуя
неравенство, получим: (2cosx+l) (sinдг — у-)<0.
а)
cosx> —у.
-V2
б)
sinx<;-y- (рис. 92).
">5-(-f: -т)"(т>т)-
COSX< — у,
sinjf>^ (рис. 93).
Рис 92
210
Рис 93

Глава IV
1. arccos
. 5
л—arcsin-j-j-,
_9_
40'
arccos-
я-
-2 arccos у.
arcsinjr-, arcsin
я —arcsinyy. 3.
arccos — , arccos 7x
40 40
Я-
-arccos
_5_
11
J_
40'
n —arccos
4. cc^arctg-g-, p = arctgT
Решение. По теореме о биссек-
АС \D 3
трисе внутреннего угла треугольника получим: — =дБ =~г
(рис. 94), AC=3x, CB = 4x, tg<x = J£ = £ '4
АС Зх
3 *
а-
= arctgT,
sin
5. arccos 4-- 6. 65°42', 65°42', 114° 18', 114° 18'. Решение.
Пусть АВ = ВС=CD=y, a Z. ВАВ\ =х (рис. 95), тогда АВ\=уcosx
и ЛО = 2ЛВ,+В]С|=2усо5л:+у=у(2со5лг+1) (1). BB,=ysinx,
тогда из условия следует: AD = 2ysinx (2). Из (1) и (2) следует:
i/(2 cos jc+ l)=2ysin х, уфО, 2 cos х+1 =2 sin x, 2 sin jc — 2 cos jc= 1,
x —cosx = y, д/^sin (* —y)=T' sin (x~t)= 4 ' X = T +
+ arcsin^»45° + 20°42' = 65°42'. Из условия следует, что 0<jc<
<90°, а потому х = 65°42'; Z. B4D = Z СШ=65°42', Z АВС=
= Z DCB = 114°18'.
5 5 143 f
7. arccos go , arccos у, arccos ^. Решение. 0\Оъ=27 см,
0,O2 = 23 см, О2О3 = 20 см (рис. 96). Найдем угол против большей
стороны по теореме косинусов: 272 = 232 + 202 — 2 - 23-20-cos х,
2-23-20cosjc = 232 —272 + 202, 2-23-20cos*= —4-50 + 20-20. 2Х
Х23-2 cos x=— 20+20-2,
23cosx= —5 + 10, cosjc=23, x=
Рис 9Ь
211

Рис. 97
= arccos^ (треугольник остроугольный). Дальше можно было бы
найти sin* и по теореме синусов найти остальные углы. Но мы
найдем угол по теореме косинусов: 232 = 272-f-202— 2 ■ 27 • 20 cos у,
5 5
27-40 cos у=40(5+ 10), 27cosy=15, cosy=—, y = arccos-H-. z =
= л— (arccos^+arccos-Q- J. Можно было и z найти по теореме
косинусов: 2-27-23 cos z = 272 —202+232, 2-27-23cos z =858,
27 • 23 cos z =429, cosz = ;
2-27-23 cos z = 272-202+232,
143
207-
8. 42°03', 137°57'. Указание. По теореме о сумме квадратов
диагоналей найдем сторону параллелограмма BC=AD=4-y[65
(рис. 97). По теореме косинусов найдите углы параллелограмма.
Решение х = Z. FBE — /L FBD =
9. arctgM
arctg^-
l
У
. FE AE-AF
z> tgy=«r =
AC — AF
(рис. 98). По условию АС =
BF BF BF
= 18, ЛВ=12 и ДС=15. По формуле Герона найдем площадь
45 _9_ 2]_ 15
2 ' 2 ' 2 " 2
2 135 ь
135 я .. 25, _4__=^4/7i BF=1-}^J7. AF2 = AB*-BF'2-
ААВС:
1 AJ Л А* П
^=-iV3-152-9-3^7 =^--3-15-Зл/7 =
4/7, hb =
АС
122
225-7
16
9 (162 —25-7)=1|-81, AF--
16
16
27
: 4
FE = AE-AF-
По теореме
„ 27 9 . 9 15д/7 Зд/7 . 3-^7
/ID Ли
о биссектрисе внутреннего угла треугольника имеем: ■Кг=1'вс'
J8^=l| _18-«4 18 9 ы==ш ^=18-10 = 8, F^ =
к 15 к 5 к 5
лплго27 5. FD Ь 15 /= 1 V7
=i4D-^=8—г = т. tgz=I? = T:TV7 = 3-^ = |r, z =
\/7
4
.3^
= arctg^j-, x = arctg^--arctg-21 .
10.33°07', 146°53', 51°19', 128°4Г. У каз а н ие. СЕ\\АВ (рис.99)
Из д ECD по теореме косинусов найдите cosjc и cosy.
212

11. 19, 14, V889, 128°40'.
Указание. По теореме косинусов из
д ВЕР найдите BF (рис. 100).
Аналогично найдите стороны BE
и EF. Зная все стороны д BEF
по теореме косинусов найдите
угол BEF.
12. л—arccosjjg, л — arccos^g.
19 31
arccoSgjr, arccos^r. P е ш е н и е. Так как четырехугольник вписан
в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Пусть
^ В=х, тогда £D=l80°—x (рис. 101). A ABC. AC2=AB2 +
+ ВС2 — 2ЛВ-ВС cos х= 16+25 — 2-4-5cosx=41-40cosx (I).
Д ADC. AC2=AD2 + CD2-2AD-CD-cos(№°—x)=225 + 64 —
—2-15-8(—cos at)=289+ 240cos л: (2). Из (1) и (2) имеем: 41 —
—40 cos x=289 + 240 cos x, 41 — 289=280 cos x, cos x= — |g= —^.
х=л — arccosM тогда Z. D=n—jf = arccos^i. Аналогично на-
35 оо
ходятся Z. С и Z. Л из треугольников BCD и ВЛ/Х
13. y,arcsin(V2 — IXу — arcsin(V2— 1). Указание, д BCD.
— =cos* (рис. 102). Д АСВ. — =tgjc. По условию cosx=2tgJt.
14. 75°ЗГ, 75°ЗГ, 28°58'. Указание. ha+hc=hb, jfe +^ =
= -А, Z. ЕАС=х (рис. 103). sin x+sinx = ^j^-, 2sinx = y tgx.
«_ т/5— 1 я • л/5—1 л
15. arcsm-*-y—, у — arcsin-^—, у.
16. arctg^y^, y-arctg^y^, у. Указание. Из метри-
2
ческих соотношений в прямоугольном треугольнике а' = —, Ь' =
= Ь1, hc = f (рис. 104), тогда f .±= (тУ" (т)'- sirMX
Xsin B=sin2 Л — sin2 В и т. д.
Рис. 101

Рис. 104
A D С А
Рис 106
D
Рис. 107
17. 26°36', 63°24', 90°.
18. -|г, -g-n, -у, -g-л. Указание. a = ^j2AO-20D (рис. 105),
a2=4AO-OD, 1=4 , 1 =4cosxsin * и т. д.
ЕС
19. 70°32', 70°32', 38°56'. Указание. cosC=|^ (рис. 106).
/1С»
Из подобия д АЕС и д BDC: т£ = £?. Пусть ЕС=у, АС=х,
у
тогда — = -
х+у
-, 6у2+7ху-3х2=0, у=4гх, cosC=-i—=4-.
20. arcsin-„-, л—arcsin —. Решение. Пусть Z. BAD=x,
тогда Z. ЛВС=л—х. Обозначим BD=d\, AC=d2, AB = ^-
4
(рис. 107), тогда по условию:
т
т
т х
= -§-. 2m=3(d,+d2), £ =
d\ . di d, m . x di „, x m ,
:=Y'^Y• Y~TsmT' Y = TcosY' где ^—сторона ромба.
m m x , m x . x , x 4 . 9 x , 2*1
3- = Tsin-2-+Tcos-g-, smY+cosT=T' sirrT+cosy +
+ sinx=-^, sin *=-£-, x=arcsin-£-. Z. BAD=Z. BCD = arcsin-„-,
Z. ABC= Z. ADC=n—arcsin -
Рис. 108
214

4 3 л
21. arccos-r, arcsin-jr-, у или
arccos-g-, arcsin-g-, y
Решение. Так как треугольник прямоугольный, то # = -£-.
г = -
а+Ь-
(рис. 108). Тогда Л = ±:^±=£-
а + Ь—с'
sina+cosa=-g-. Так как Z. a
а+Ь—с __ 2 2-.L.— I =.
с 5 ' с "•" с
острый, то sin сс>0и cosa>0H sin a = У1—cos2a, У1—cos2 a =
= -£-— cos a, 1 —cos2 a = ^—^cos a + cos2 a, 2cos2 a—г cos a +
+ | = 0, cos2a-
25
|cosa + g = 0,
Л = ———
25 ' 25 ~ 25
5*5. 4 4 - 3 ,,,
cos a = 5 .a) cos cc = -=-,ai=arccos-=-,sin a=-=-. 0) cos a =
= -r. a2=arccos
3 4
sin a = -=-.
о
Указа-
22. i- arcsin (| tg Ф), |. - i- arcsin (i- tg <p), -|
ние. DF||BC (рис. 109). Пусть А. CAB=x. Найдите медианц
т0ит4по формулам та = уд/2(Ь2+с2) — а2 , т6 = уУ2(а2+с2)—Ь2.
Применив к д /10/7 теорему косинусов найдите угол х.
23'2агс^ЫЫ' n-arctg(Ti^). Указание. B.D.IHB
(рис. ПО). Проведем ЛШ||Л|С|, ЛШ=Л,С|. Л AMD. MD = b sin a
^=4^ = 1 sin а. 0Dl = T^. = !. <ey = ^ = ^-
_. , / а sin а \ . / Ь sin а \ v n
24. arctg (г-; 1, arctg (—г-г ) Указание. Продол-
&\b + acosaJ *> \a + b cos a/ r
жим стороны ЛО и АВ и из С на продолжение сторон проведем
СС2±АС2 и CCJ-ЛС, (рис. 111). AACC2tgx-
. ее,
ССг
д ACQ.
Рис ПО
Рис 111
215

Рис 112
Рис 113
Рис 114
25. arctg (*'+*[tl). Решение. Пусть ZВАЕ=а, a Z FAD =
= Р (рис. 112), Z. EAF—(p, тогда ф = у —(а+ р), откуда tg<p=
^ctg(a + P)='~lg+atggpP(l). tga = ff (2), tgP=g (3). Пусть
BC=x, ЕС=у, FD = z, тогда ЛЛ=/гл:, BE=ky и CF=kz. Из (2)
имеем: tga=T^ = —, но ВЕ-{-ЕС=ВС, т. е. Ау+у=х, #(Л+1)=х,
k+
р т. е. tga =
*+l
CF + FD = CD, CF+FD=AB. kz+z=
= kx, z(k+l)=kx, -= k
k+\
Из (З) имеем: tgP=^, так как
г k
AD = BC, tgP = —= гху. Подставим найденные значения tg a и
l —
l
tg Р в равенство (1): tg<p=
k+i 'k+\ __ k*+k+i
-мт?тУ
4>=
oc n , - ■ /2(1-*) л . V2(l-*) л v „ /ID
26. — + arcsm —-——, -—arcs in JL- -.-^.Указание.^
2(1+*)
2(1+*) '2
DB
__ *
=-^- (рис. 113). DB = x, AD = kx, AB = (k+l)x, AC=ABcosy, BC=
^ABs\n<p. OD = r, r=ADtgf = ftxtg-^, но r = BC+cArBA и т. д.
27. arcs in
2(*+П
пк1
л —arcs in
2(*+l
Л*2
— arcs in
2(*+D v о CD Pabcd
—г . Указание. -—-= "Dt--U
kn ' AB Cr
2(*+I)
arcsm ,. я —
kn
= k (рис. 114). CG=»
=2r=CD sin jc, COKp =2лл=л CDsinjc. По теореме об описанном
четырехугольнике: CD+AB = BC4-AD. Ж°+Ав'> =k и т. д
1 л - CD-sin х
28. arctg (2+'"0°а )• Решение. Пусть ВС=а, тогда ИВ=2о.
Z. АВС=п— а (рис. 115). По теореме косинусов получим:
АС2 = АВ2 + ВС2—2АВ-ВС cos {л —а) = 4а'2 + а2 + 2а- 2а cos а =
216

Рис. 115
Рис 116
=5а2+4а2 cos а, ВС* = АС2 + АВ2—2А С ■ А В - cos х. а2=5а2 +
+ 4а2 cos а + 4а2 —2а-д/5 + 4 cos а -2а cos х, 4 \/5 + 4 cos а cos x =
i ~. п . 2 + cosa
= 8+4 cos а, y5 + 4cos а cos jt = 2 + cos а, cosx = -
sin2 x= 1 —cos x= 1
4+4 cos n + cos' a 1 — cos2 a
5 + 4 cos а
-\/5+4 cos a
si"2° o<
'5+4 cos а 5 + 4 cos а"
л • sin а
<х<а<-5>, a потому sinx=-r=
2 V5+4 cos a
, тогда tg x=
sin лг
COS X
sin a . / sin a \
^*=-2+!о7Т' *=arctg (2+cosa J'
29. arccos
(тг+«г)(^-р2)
2тп(р2 + 92)
, л—arccos
(тг+Пг)(9г-рг)
2тп(рг + 92)

Указание. Jg = -J-, ЛВ = т*. AD = nx; j£ = y. BD=py, AC=qy
(рис. 116). По свойству суммы квадратов диагоналей
параллелограмма: 2(AB*+AD2) = BD2 + AC2, 2{m2x2 + n1x2)=p2y2 + q2y2.
По теореме косинусов: BD2=AB2+AD2 — 2AB-ADcos у, р2у* =
= т2х2+п2х2 — 2mnx2costp и т. д.
30. arcsin
4-*г
, л—arcsin .—, -\/2<:ft<2.
«< . 4S л . 1 . 4S
31. л —arctg —, T + Tarctg-j,
л , 4S
__arctg-.
Решение.
Из условия задачи следует, что Z. В = р>-£ (рис. 117), причем
„ л „ л , г, a sin в sin у . _
Р—Y = -o-. тогда р=т+у. S = T- . ,. , \ , smp=cosY'
2 ' г' 2 sin(p+Y)
sin(p + v)=sin(y + 2Y)=cos2Y. S = y
X-^-,45 = a2tg2V, tg2V = g, V
cos 2y
2
cos у-sin у
cos 2v *
1 , 45
= y arctg-^
P=f +
+ |arctgg, ^ = T-arctg^.
32. у arcsin -|- ft, -"- — -j arcsin у ft.
oo • W7 л . Зл/7
33. arcsin—*—, -3- — arcsin—*—.
34. 2 arccos
2ab
217

35. arccos
1±VI— 2m
л —2 arccos
l±-\/l— 2m
0</и^у. Решение. По условию — =t
Пусть
Z. OAD = ±,
R — «•
Z BAC = x (рис. 118), тогда
/1 ABC=n—2x, AC=
= 2R sin (л — 2x) = 2R sin 2x, 4D=tf sin 2x (I).
A OAD.AD=rctg±(2).
Из (1) и (2) следует:
r ctg -|- =Л sin 2x, -ц =
sin 2x
. x
ctg у
m=s'm2x-tg-^, /w=sin2*X
v. 1—cos* ~ 1—cosx , n
X—: , m=2sin xcosx—гпгт—. sinx=?fcO,
sin* ' "" sin x
—2 cos2*, 2 cos2*—2 cos a; 4-m=0, D = l— 2ш>0, О
l±Vl-2m
m=2 cos x—
1
:m<-
cos x-
36. arctg
2ah
37.arcsi„(iv^i±«i).
л—arcsin
(IV
l+V'+4fe2
)•
A>V2.
38. arcsin Vein (a -f- p) sin (a — p). Решение, д АСВ
прямоугольный, Z ACB = y (рис. 119). Проведем СО±у и CD±AB,
тогда ODJ-AB (теорема о трех перпендикулярах). Следовательно,
Z. CDO=a — линейный угол двугранного угла (АВ). Z. САО и
Z. СВО образованы наклонными с их соответствующими
проекциями на плоскость у. Допустим, что Z. СЛО=р. Найдем Z. СВО=х.
Пусть CO=h, тогда из прямоугольных треугольников COD и СОА
найдем: CD = ~^v\ АС=-^-г. Из д CAD, в котором Z CDA=^,
найдем 4D: /1D2=/1C2 — CD2 = -
51П'
-sin2p)= „'„
• sin2 a sin2
cos 2p — cos 2a
1 —cos 2a
1 —cos 20
/ sin2 a.
sin2 a sin2 p
A2
(sin2 a —
X
sin' a sin2 p
2 2 / sin2 a sin2 P
sin (a + p) • sin (a — P), AD =
X
sin a sin p
X
XVsin(« + P)sin(a —P)- Заметим, что 0<а+р<л, а потому
sin(a + p)>0; кроме того, OD<zAO, а потому CD<CA и,
следовательно, а>р, а потому sin (о — Р)>0. Из метрических соотношений
218

в прямоугольном треугольнике получим: AC2=AD'AB, . 2 =
= -r-JL-r—.^(a + p)sm(a-p)'AB,AB== _ h^™ ^.
sin a sin p v v r/ \ r> sinpVsin(o+P)sin(o—P)
По теореме Пифагора найдем ВС из прямоугольного Д ABC:
ВС2=АВ2-АС2 =
ft2 sin2 a
sin2 р sin (а+Р) sin (а—Р) siir* p sur p
X
X
sin2 а —sin (а + Р) sin (а —Р) 2 sin2 а—2 sin (а+Р) sin (а — р)
sin (а + Р) sin (а — р) 2 sin (а + р) sin (а—р)
ft2 1 —cos 2а—cos 2p + cos 2а Л2 1— cos 2р
2sin(a + p)sin(a —P)
sin2 p
= 77П-ГХ
Р 2 sin (а+р) sin (а —р) sin2 p
X
2 sin2 p
2 sin (а + Р) sin (а—р) sin (а + Р) sin (а —Р)
ВС =
Из прямоугольного А ВОС найдем: sin x=-^=h
Vsin(a + P)sin(a —P)
h
вс ""Vsin(a + p")sTn(a^P)
СО
=-y/sin (a + p) sin (a —p).
39. arcsin (sin a sin p), arcsin (cos a sin p). Указание. См.
рис. 120. CD — наименьшая медиана прямоугольного треугольника
ABC, SA±ABC и AE±CD по построению. SE±CD по теореме
о трех перпендикулярах, поэтому Z. SEA — искомый линейный
/2
угол двугранного угла с ребром CD. 40. arccos^. Решение.
АС и ВС\ — скрещивающиеся прямые (рис. 121). Требуется
наитие (AC, Bd)=x. AidWAC, а потому Z. (/1C,BC,)=Z ВС,Л,=
=а\ д Л|ВС| равнобедренный, BE-LAtCi, ECl = EAi = -^. Д ВС\С.
ЕС,
ВСх = аф. A EBCt. cosx = ^- =
.л/2
A==arccos-V.
4
ЯС, 2ov^ 4
41. arcctg -\4:tg2£t-r-cfg2 /3. Указание. См. рис. 122.
42. 2 arctg (cos а). Решение. д A\DC\ равнобедренный
(рис. 123), AiO = OC\, а потому DOJ_i4,Ci, кроме того, DtO±
_L/4|C| (диагонали квадрата). Z. DODt = a — линейный угол
двугранного угла (А,С,). Z. i4iDCi=x. Пусть CD = a, тогда ODt =
Рис. 119

Рис. 124
Рис. 125
2 v cos a 2 cos а " & 2 OD 2а-\/2
=cos a, x=2 arctg (cos a).
43. arcsin (sin a sin p). Указание. См. рис. 124.
44. arctg ———. Решение. Пусть длина ребра куба равна х,
тогда DD2=xtg<p (рис. 125). Объем призмы с основаниями
DD2C, АА-гВ и высотой AD будет- V,= у CD-DD2-AD =
= у х{х tg ф)х = -х3 tg ф. Тогда объем второй призмы будет:
1
— •-а L^t
V-1 = Кк,6а - V, =*3 —^tglf, ^ =
171'
x3(2-tg<p)
2
2m
лг4к<р
2-tg«T _
. n_ 2 n + m . __
• m' tg<p m ' °^ m+n
<p=arctg
2m
m* tg<p "' m' tg<p m '*&"•' m+n f "'"8 /i+m'
45. arctg (2s*a )■ Указание. См. рис. 126. DM±AB, а
потому ЕМА-АВ. Z. EMD — искомый линейный угол двугранного
220

А,
Pi
Рис. 128
угла (АВ). 46. 2arcctg(2cosa). Решение. Через AD проведена
плоскость AB\C\D, которую обозначим буквой л, (рис. 127).
Проведем ВВ\Л.п и CCi-Ln, тогда углы, образованные диагональю
ромба с плоскостью л, будут: Z. САС\ = а и Z. BDB\=2a. Из
прямоугольных треугольников САС\ и BDB\ получим: АС= ™ и
sin a
BD =
т
, где CC|=BBi=m. Из прямоугольного треугольника
ВОС (диагонали ромба взаимно перпендикулярны) имеем: ОС =
sin 2a
~ 2 ЛЬ—2sina
2 2 sin 2a
. дг ОС
sin 2a
sin a
= 2 cos a, Jc=2arcctg(2cosa).
47. arccos P^-cos a J. Указание. См. рис. 1
28.
48. arccos
-. Решение. Так как наибольшая по
-yj 8 + sin2 2a
площади боковая грань — квадрат, то сторона его равна*
гипотенузе треугольника, лежащего в основании призмы. АВ = с.
221

Рис 131
Рис. 132
Л АСВ. АС = с cos а, ВС = с&'т а (рис. 129). Из прямоугольных
треугольников А\АС и В [ВС найдем длины диагоналей: А\С2=
=/4C2+/4i4?=c2cos2a + c2=<:2(cos2a + l). B,C2=BC2 + fiBjf =
=c2sin2a + c2=c2(sin2a+l). По теореме косинусов А\В\=А\С2-\-
+ fi;C2-2i4,C-B|Ccosx, c2=c2(l+cos2a)+c2(l+sin2a)-2c2X
X V' +cos2a • V1 +sin2a cos x, 1 = 1 +cos2a+l +sin2a—2x
X sj(l +cos2aXi +sin2a)cos x, 2-\/l +sin2 a+cos2 a-fsin2 a cos2 a X
Xcosx=2, -д/2 + sin2 a cos2 a cos x= 1, -I--\/8-T-sin22acosjr=l,
cos*=
д/8 + вт22а
, x=arccos
V8 + sin22a
49. arccos -j-. Указание. См. рис. 130. Площадь проекции
равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус
угла между ними. 50. arccos ^sin a sin 0). У к а з а н и е. См. рис. 131.
51. arccos -т—, arccos -rt-, -т-. Решение. Из условия еле-
О 1 v 4
дует, что CD=3k, AD=4k и DDi=5k (рис. 132). Параллелепипед
прямоугольный, а потому d2=/4D2 + CD2+DD! = 16fc2+9fc2 +
+25£2=50Ar2, d=b^2k. Треугольники BtAD, BXCD и B[D,D
/Ш 46 2-y2
5V2* ~~ 5
прямоугольные (докажите), а потому cosjc=-t-=-
2Л^
CP_ 3k
3V2 Зд/2
-j^-, i/ = arccos-r*p cos 2 =
£>£>i
5k
V2 _n
5^k 2 ' 4 •
52. arctg3^. 53. arccos^-. Указание. Проведем EF\\AC
(рис. 133). Z. SF£— искомый угол между SF и AC. 54. 2 arcsin ту-
Решение. DE—средняя линия д SAC (рис. 134), а потому
222

ru^C A 4?-— —
DE=-^AC=^. Из условия следует, что BD=BE. Проведем
BF±DE, тогда Z. FBE= Z. FBD=x и A DBE=2x. Из прямо-
угольного треугольника FBf получим: sin *=я£ = яр- Найдем BE.
BE — медиана д SBC, в котором известны все стороны, а потому
по формуле m6 = i-V2(a2+c2)—Ь2 получим: ВЕ=у VsB2+2BC2,
так как SC=SB. В£'=-|-Л/49 + 72=-|-Л/12Г = -^. тогда sin лг=
3 6 • 6 о о -6
==тт=тт> л:=arcsin-ту, 2дг = 2 arcsin-ry.
У
55. arcsin ^V3cosaV -g-<a<y. Решение. Пусть
сторона основания пирамиды равна a, SD—апофема (рис. 135),
а потому DC=^. Д SDC. SC =
ос
Z. OSC=x, тогда sinx=p7; =
2. cos a
а 2 cos a 2 cos a
SC
тДв
V3
OC = R = ~. Пусть
УЗ
= ^--\/3cosa, 0<
<sinx<l, 0<|-V5cosa<l, (Xcosok;^, 'g"<a<^- Так как
sin x=y-\/3cosa, то x = arcsin (jr-\f3cosa).
56. 2 arcsin (cos — tgy )• Указание. См. рис. 136.
57. arcsin (* s™a V Решение. AOJ-л по построению
(рис. 137). Z. АСО=а — угол, образованный наклонной АС и
ее проекцией СО на плоскость л. Если ЛС = СВ = а, то АО=
=asina, АВ=ау2. Пусть Z. АВО=х, тогда
a sin a
АО
smx = M =
sin a _ - /т/2 since
—=- = —P~, x=arcsm I-5*—=—
аф V2 \ 2
223

58. arctg (2 ctg а). У к а з а н и е. См. рис. 138. 59. aresin -^~—2l_
Решение. Z. BDE—x—искомый угол (рис. 139), где DE\\DiBi
и DE±BBt, BE=BBl-EBl=b-a, BD±^fi. д BDE. sinx=
BE (Ь-а)2 . 2(6-a)
= on = ;=—. x = arcsin——-.
60. arcsin (sin a sin 6). Указание. См. рис. 140.
61. 2 arctg (cos а). Решение. Пусть ВС=а, тогда ВЕ=ОЕ~
A BSE. tg-J=§! =
= у (рис. 141). д SOE. SE--
2 cos a '
Т:2сюа =cos a' -f = arctg (cos a), x=2 arctg (cos a).
62. arccos (cos2 у V Указание. См. рис. 142. 63. arccos—.
Рис. 136
Рис 137
Рис. 139
224
Рис 140

Рис 141 Рис 142 Рис 143
Рис 144 Рис. 145 Рис. 146
64. arccos (cos2 а). Решение. Допустим, что Z. ASC=x —
искомый, a Z. ASB = ^ CSB = a (рис. 143). Кроме того, BC±SB
и BA±SB и Z. АВС=90°. Пусть SB=a. Д ASB. AB=SB tga =
=atga. Д SBC. BC=atga. SC=-^—. SA = -^-, AC2=AB2-\-
° a cos a cos а г
+ CB2 = 2a2tg2a (1). AC2 = AS2 + SC2-2AS-SC cos x = —t
cos2 a
--^-■cosx (2). Из (1) и (2) получим: 2a2tg2a = -^ Ц- X
cos2 a \ / \ / j о cos2 a c0g2 a
.9 1 1 COS X 1 .2 COS X ,
Xcosx, tg-£a = —1 —cosx, —j—= —; tg2a, —j— =1,
cos a cos a cos a cos a cos a
cos * = cos2 a, x=arccos (cos2 a).
65. arccosэ/jL. Указание. См. рис. 144. 66. arcsin^,
0<£<УЗ. Указание. См. рис. 145.
67. arcsin ( — -\/3l7c). Решение. Так как боковые ребра
пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то,
проведя SO-L(ABC), получим равные прямоугольные треугольники
ASO, BSO, CSO по катету SO и острому углу х; следовательно,
АО = ВО = СО (рис. 146). SO = ytg*. AC = ccosx, CB = cs\nx,
225

—ti-г^^с %i-4-
Рис. 149

V=-3-S0CH -SO — -J- у с2 sin x cos Jf-ytgjf= ^c3sin2x. sin2x=-^,
sin jc=|-V3Vc. jf=arcsin(-?--^VrcJ. 0<sinjr<l. 0<—-v'3VV<l.
0<V3TV<T,0<V<^.
68. arcctg (~-\/k2~\ \ k>l. Указание. См рис. 147.
69. arcsin (д/З— 1), у — arcsin bfi— 1). У каза ни е. См. рис. 148.
70. arcctg (——Ц——. Vsin(a + 6)sin(a —8) V Решение.
° \ sin a sin p v x ■ r/ v / r/ /
Z. OBA = a и Z. OCA = 6, как углы между наклонными и
соответствующими их проекциями (рис. 149). Пусть OA=h, тогда
AB=hctga, /4C=ftctgp. Д/4CD. ЛР2=ЛС*— CD2=h2 ctg2 B-
-/i2ctg2a=A2(ctg26-ctg2a). ctg*=££= д/ctg2 B-ctg2 a.
__ /sin (a+ P)sin (a —6) 1 r.--; .——7 г
ctgx= V l ,p , ; — = -.—!—;-^in(a + 6)sin a — 6), x=
& * sin2 a sin2 p sin a sin p v v ' H/ v tv'
= arcctg f— r-s- Vs'i(a + P)si"(o —P) ) •
& \ sin cc sin 0 v v v r/ /
71.2 arctg(2V3fc). У к а з а н и е. См. рис. 150. 72. arctg (2*^ )■
Указание. См. рис. 151.
73. arccos-^-p. *>2. Решение. АВ=а„=а, ODA.AB, AD =
= DB = ± (рис. 152). Л OAD. OD=/1D-ctg-^=-Jctg-^.
. 180°
Пусть Z.ODS=x, тогда SZ) = -^- = —= —, S^ =4"«Х
COS X 2 COS .
180°
w °Ctg я но» ni 180° „ с _ „а2 . 180° w
Xcosx=—ctg—, 5nn= Scok+Soch = 4cosx ctg——h—X
Xc^O+cos^c.g^-*. i±^=*._L-=*_,,
cosx=-r—p. *—l>"l, *>2, x=arccos-r—r-
ft— 1 ft— I
74. arctg (У/2 —2/cos-M, t>2.
75. arctgy<ctga± yctg2a—8 ). Решение. По условию
x—y=a, y=x—a. Пусть SO=h (рис. 153), тогда ОС=
227

\
V
Рис. 156
-A-t~--V
'А
\J
б)
Рис. 157
=hctgy и OE=h ctgx. 0C=20E, поэтому 2UE=hctgy
или 2/ictgx=ftctgy, 2ctgx=ctg£/ или tgx=2tgf/, tgx=
=2tg(x-o). tg^=^tXg~tt|°), tg*+tg2*tga=2tg*-2tga,
tgatg2x-tgx+2tga=0, D = l-8tg2a>0, tg^a^-i, ctg2a>
>8, |ctga|>2V2, но 0<a<y, а потому ctga>2-^.
l± Vl-8tg'T
tgx=
2tga
(1). Запишем равенство (1) в виде: tgx=
= ctga±^2Ctg2a-8-. x = arctg|(ctga±Vctg2a-8).
76. arctg (——- \/2 sin a cos у J. Указание. См. рис. 154.
77. arctg-\/2. Указание. См. рис. 155.
-о л 1 - л/2 п . 1 ' . -Л
ж T_Tarcsm 6 • T + Tarcs,n 6 •
79. arcctg (— sin a J, arcctg (y cos a J.
80. 2 arcctg (sin a). 81. arctg(ytga).
82. arcsin (ctg^-ctga), 0<a<y.
83. arccos(ctg-^-ctga), 0<a<-|.
84. —. 85. arccos-5-, arccos^-.
Я а о
86. arctg (^{тГп)-tg a). 87. 2 arctg ±1 Решение. ^-=
ь \ m + n \ ь / & ял 2RI
m_ я/? m_ _/?_ m_ . _x_
~ я ' 2/ — n ' 21 ~ nn ' g 2
OOj ' g 2 — I ~ 21 ~ ял
x=
t 4m , 4m'
= arctg-, * = arctg-.
228

Указание. См. рис. 157 (а, б).
90. arcsinV- Указание. См. рис. 158. 91. arccos — , я —
— arccos-^-. Указание. См. рис. 159.
92. arcsin-|. 93. arccos-y(l ± -yj l— 2^[k), 0<ft<T.
Указание См. рис. 160.
94. 2arctgV^^2*.*>2.
95. 2arcsin(tga), 0<a<-^-.
96. 2arcctgn«35°16'. 97. 2arctg|^-. *>л.
98. arcctg(fc — 1)V2\ *> 1- Указание. См. рис. 161.
99. arctg-|(4 + n/6)- Указание. См. рис 162.
о
100. arctg2. 101. arccos-г-- Указание. См. рис. 163.
Рис 161 Рис 162 Рис 163
229
I М, 0 N. В

Рис 164
Рис 166
Рис 168
Рис 169

102. arcsin^——. Указание. См. рис. 164.
о
103. arccos —. Указание. См. рис. 165. 104. arcsin — .
V* 5
Указание. См. рис. 166.
105. arccos -.—г-, , п Z&1 Шо. bU .
4п+ 1
107. 2arcctg3. Указание. См. рис. 167. 108. 2 arcs in ~.
2 arcsin —.
о
109. arcctg2. ПО. 2 arccos '+^17 . 111. 2 arcsin (У2 — 1).
Указание. См. рис. 168.
112. arcsin * ~ . Указание. См. рис. 169 113. arccos *~L .
£ 4-f-ft
0<Л< 1. Указание. См. рис. 170.

Приложение
Таблица I. СИНУСЫ.
А
0"
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13°
14°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
27°
28°
29°
30°
31°
32°
33°
34°
0'
0,0000
0175
0349
0523
0698
0,0872
1045
1219
1392
1564
0,1736
1908
2079
2250
2419
0.2588
2756
2924
3090
3256
0,3420
3584
3746
3907
4067
0,4226
4384
4540
4695
4848
0,5000
5150
5299
5446
5592
60'
6'
0017
0192
0366
0541
0715
0889
1063
1236
1409
1582
1754
1925
2096
2267
2436
2605
2773
2940
3107
3272
3437
3600
3762
3923
4083
4242
4399
4555
4710
4863
5015
5165
5314
5461
5606
54'
12'
0035
0209
0384
0558
0732
0906
1080
1253
1426
1599
1771
1942
2113
2284
2453
2622
2790
2957
3123
3289
3453
3616
3778
3939
4099
4258
4415
4571
4726
4879
5030
5180
5329
5476
5621
48'
18'
0052
0227
0401
0576
0750
0924
1097
1271
1444
1616
1788
1959
2130
2300
2470
2639
2807
2974
3140
3305
3469
3633
3795
3955
4115
4274
4431
4586
4741
4894
5045
5195
5344
5490
5635
42'
24'
0070
0244
0419
0593
0767
0941
1115
1288
1461
1633
1805
1977
2147
2317
2487
2656
2823
2990
3156
3322
3486
3649
3811
3971
4131
4289
4446
4602
4756
4909
5060
5210
5358
5505
5650
36'
30'
0087
0262
0436
0610
0785
0958
1132
1305
1478
1650
1822
1994
2164
2334
2504
2672
2840
3007
3173
3338
3502
3665
3827
3987
4147
4305
4462
4617
4772
4924
5075
5225
5373
5519
5664
30'
36'
0105
0279
0454
0628
0802
0976
1149
1323
1495
1668
1840
2011
2181
2351
2521
2689
2857
3024
3190
3355
3518
3681
3843
4003
4163
4321
4478
4633
4787
4939
5090
5240
5388
5534
5678
24'
42'
0122
0297
0471
0645
0819
0993
1167
1340
1513
1685
1857
2028
2198
2368
2538
2706
2874
3040
3206
3371
3535
3697
3859
4019
4179
4337
4493
4648
4802
4955
5105
5255
5402
5548
5693
18'
48'
0140
0314
0488
0663
0837
1011
1184
1357
1530
1702
1874
2045
2215
2385
2554
2723
2890
3057
3223
3387
3551
3714
3875
4035
4195
4352
4509
4664
4818
4970
5120
5270
5417
5563
5707
12'
54'
0157
0332
0506
0680
0854
1028
1201
1374
1547
1719
1891
2062
2233
2402
2571
2740
2907
3074
3239
3404
3567
3730
3891
4051
4210
4368
4524
4679
4833
4985
5135
5284
5432
5577
5721
6'
60'
0,0000
0175
0349
0523
0698
0,0872
1045
1219
1392
1564
0,1736
1908
2079
2250
2419
0,2588
2756
2924
3090
3256
0,3420
3584
3746
3907
4067
0,4226
4384
4540
4695
4848
0.5000
5150
5299
5446
5592
0,5736
0'
90°
89°
88°
87°
86°
85°
84°
83°
82°
81°
80°
79°
78°
77°
76°
75°
74е
73°
72°
71°
70°
69°
68°
67°
66°
65°
64°
63°
62°
61°
60°
59°
58°
57°
56°
55°
А
1'
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
Г
2'
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2'
3'
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
7
3'
КОСИНУСЫ.
232

Таблица I. СИНУСЫ.
А
35°
36°
37°
38°
39°
40°
41°
42°
43°
44°
45°
46°
47°
48°
49°
50°
51°
52°
53°
54°
55°
56°
57°
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65е
66°
67°
68°
69°
0'
0,5736
5878
6018
6157
6293
0,6428
6561
6691
6820
6947
0.7071
7193
7314
7431
7547
0.7660
7771
7880
7986
8090
0,8192
8290
8387
8480
8572
0,8660
8746
8829
8910
8988
0,9063
9135
9205
9272
9336
60'
6'
5750
5892
6032
6170
6307
6441
6574
6704
6833
6959
7083
7206
7325
7443
7559
7672
7782
7891
7997
8100
8202
8300
8396
8490
8581
8669
8755
8838
8918
8996
9070
9143
9212
9278
9342
54'
12'
5764
5906
6046
6184
6320
6455
6587
6717
6845
6972
7096
7218
7337
7455
7570
7683
7793
7902
8007
8111
8211
8310
8406
8499
8590
8678
8763
8846
8926
9003
9078
9150
9219
9285
9348
48'
18'
5779
5920
6060
6198
6334
6468
6600
6730
6858
6984
7108
7230
7349
7466
7581
7694
7804
7912
8018
8121
8221
8320
8415
8508
8599
8686
8771
8854
8934
9011
9085
9157
9225
9291
9354
42'
24'
5793
5934
6074
6211
6347
6481
6613
6743
6871
6997
7120
7242
7361
7478
7593
7705
7815
7923
8028
8131
8231
8329
8425
8517
8607
8695
8780
8862
8942
9018
9092
9164
9232
9298
9361
36'
30'
5807
5948
6088
6225
6361
6494
6626
6756
6884
7009
7133
7254
7373
7490
7604
7716
7826
7934
8039
8141
8241
8339
8434
8526
8616
8704
8788
8870
8949
9026
9100
9171
9239
9304
9367
30'
36'
5821
5962
6101
6239
6374
6508
6639
6769
6896
7022
7145
7266
7385
7501
7615
7727
7837
7944
8049
8151
8251
8348
8443
8536
8625
8712
8796
8878
8957
9033
9107
9178
9245
9311
9373
24'
42'
5835
5976
6115
6252
6388
6521
6652
6782
6909
7034
7157
7278
7396
7513
7627
7738
7848
7955
8059
8161
8261
8358
8453
8545
8634
8721
8805
8886
8965
9041
9114
9184
9252
9317
9379
18'
48'
5850
5990
6129
6266
6401
6534
6665
6794
6921
7046
7169
7290
7408
7524
7638
7749
7859
7965
8070
8171
8271
8368
8462
8554
8643
8729
8813
8894
8973
9048
9121
9191
9259
9323
9385
12'
54'
5864
6004
6143
6280
6414
6547
6678
6807
6934
7059
7181
7302
7420
7536
7649
7760
7869
7976
8080
8181
8281
8377
8471
8563
8652
8738
8821
8902
8980
9056
9128
9198
9265
9330
9391
6'
60'
0,5878
6018
6157
6293
0,6428
6561
6691
6820
6947
0,7071
7193
7314
7431
7547
0,7660
7771
7880
7986
8090
0,8192
8290
8387
8480
8572
0.8660
8746
8829
8910
8988
0,9063
9135
9205
9272
9336
0,9397
0'
54°
53°
52°
51°
50°
49°
48°
47°
46°
45°
44»
43°
42°
4Г
40°
39°
38°
37°
36°
35*
34°
33°
32°
31°
30°
29°
28°
27°
26°
25°
24°
23°
22°
21°
20°
А
V
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
V
2'
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
г
2'
3'
7
7
7
7
7
7
7
6
6
6
6
6
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3'
КОСИНУСЫ.
233

Таблица I. СИНУСЫ.
А
70°
71°
72°
73°
74°
75°
76°
77°
78°
79°
80°
81°
82°
83°
84'
85°
86°
87°
88°
89°
90°
0'
0,9397
9455
9511
9563
9613
0,9659
9703
9744
9781
9816
0,9848
9877
9903
9925
9945
0,9962
9976
9986
9994
9998
1,0000
60'
6'
9403
9461
9516
9568
9617
9664
9707
9748
9785
9820
9851
9880
9905
9928
9947
9963
9977
9987
9995
9999
54'
12'
9409
9466
9521
9573
9622
9668
9711
9751
9789
9823
9854
9882
9907
9930
9949
9965
9978
9988
9995
9999
48'
18'
9415
9472
9527
9578
9627
9673
9715
9755
9792
9826
9857
9885
9910
9932
9951
9966
9979
9989
9996
9999
42'
24'
9421
9478
9532
9583
9632
9677
9720
9759
9796
9829
9860
9888
9912
9934
9952
9968
9980
9990
9996
9999
36'
30'
9426
9483
9537
9588
9636
9681
9724
9763
9799
9833
9863
9890
9914
9936
9954
9969
9981
9990
9997
0000
30'
36'
9432
9489
9542
9593
9641
9686
9728
9767
9803
9836
9866
9893
9917
9938
9956
9971
9982
9991
9997
0000
24'
42'
9438
9494
9548
9598
9646
9690
9732
9770
9806
9839
9869
9895
9919
9940
9957
9972
9983
9992
9997
0000
18'
48'
9444
9500
9553
9603
9650
9694
9736
9774
9810
9842
9871
9898
9921
9942
9959
9973
9984
9993
9998
0000
12'
54'
9449
9505
9558
9608
9655
9699
9740
9778
9813
9845
9874
9900
9923
9943
9960
9974
9985
9993
9998
0000
6'
60'
0.9455
9511
9563
9613
0,9659
9703
9744
9781
9816
0,9848
9877
9903
9925
9945
9962
9976
9986
9994
0,9998
1,0000
0'
19°
18°
17°
16°
15°
14°
13°
12°
| | О
10°
9°
8°
7°
6°
5°
4°
3°
2°
1°
0°
А
Г
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
| Г
2'
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
2'
3'
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
0
3'
КОСИНУСЫ.

Таблица II. ТАНГЕНСЫ.
А
0°
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13°
14°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
27°
28°
29°
30°
31°
32°
33°
34°
35°
36°
37°
38°
39'
0'
0.0000
0175
0349
0524
0699
0.0875
1051
1228
1405
1584
0,1763
1944
2126
2309
2493
0,2679
2867
3057
3249
3443
0,3640
3839
4040
4245
4452
0,4663
4877
5095
5317
5543
0.5774
6009
6249
6494
6745
0,7002
7265
7536
7813
8098
60'
6'
0017
0192
0367
0542
0717
0892
1069
1246
1423
1602
1781
1962
2144
2327
2512
2698
2886
3076
3269
3463
3659
3859
4061
4265
4473
4684
4899
5117
5340
5566
5797
6032
6273
6519
6771
7028
7292
7563
7841
8127
54'
12'
0035
0209
0384
0559
0734
0910
1086
1263
1441
1620
1799
1980
2162
2345
2530
2717
2905
3096
3288
3482
3679
3879
4081
4286
4494
4706
4921
5139
5362
5589
5820
6056
6297
6544
6796
7054
7319
7590
7869
8156
48'
18'
0052
0227
0402
0577
0752
0928
1104
1281
1459
1638
1817
1998
2180
2364
2549
2736
2924
3115
3307
3502
3699
3899
4101
4307
4515
4727
4942
5161
5384
5612
5844
6080
6322
6569
6822
7080
7346
7618
7898
8185
42'
24'
0070
0244
0419
0594
0769
0945
1122
1299
1477
1655
1835
2016
2199
2382
2568
2754
2943
3134
3327
3522
3719
3919
4122
4327
4536
4748
4964
5184
5407
5635
5867
6104
6346
6594
6847
7107
7373
7646
7926
8214
36'
30'
0087
0262
0437
0612
0787
0963
1139
1317
1495
1673
1853
2035
2217
2401
2586
2773
2962
3153
3346
3541
3739
3939
4142
4348
4557
4770
4986
5206
5430
5658
5890
6128
6371
6619
6873
7133
7400
7673
7954
8243
30'
36'
0105
0279
0454
0629
0805
0981
1157
1334
1512
1691
1871
2053
2235
2419
2605
2792
2981
3172
3365
3561
3759
3959
4163
4369
4578
4791
5008
5228
5452
5681
5914
6152
6395
6644
6899
7159
7427
7701
7983
8273
24'
42'
0122
0297
0472
0647
0822
0998
1175
1352
1530
1709
1890
2071
2254
2438
2623
2811
3000
3191
3385
3581
3779
3979
4183
4390
4599
4813
5029
5250
5475
5704
5938
6176
6420
6669
6924
7186
7454
7729
8012
8302
18'
48'
0140
0314
0489
0664
0840
1016
1192
1370
1548
1727
1908
2089
2272
2456
2642
2830
3019
3211
3404
3600
3799
4000
4204
4411
4621
4834
5051
5272
5498
5727
5961
6200
6445
6694
6950
7212
7481
7757
8040
8332
12'
54'
0157
0332
0507
0682
0857
1033
1210
1388
1566
1745
1926
2107
2290
2475
2661
2849
3038
3230
3424
3620
3819
4020
4224
4431
4642
4856
5073
5295
5520
5750
5985
6224
6469
6720
6976
7239
7508
7785
8069
8361
6'
60'
0,0000
0175
0349
0524
0699
0,0875
1051
1228
1405
1584
0,1763
1944
2126
2309
2493
0,2679
2867
3057
3249
3443
0,3640
3839
4040
4245
4452
0,4663
4877
5095
5317
5543
0,5774
6009
6249
6494
6745
0,7002
7265
7536
7813
8098
0,8391
0'
90°
89°
88°
87°
86"
85°
84°
83°
82°
81°
80°
79°
78°
77°
76°
75°
74°
73°
72°
71°
70°
69°
68°
67°
66°
65°
64г
63°
62°
61°
60°
59°
58°
57°
56°
55°
54°
53
52°
51°
50°
А
■
Г
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
Г
2'
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
Т
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
8
9
9
9
10
2'
3'
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
и
11
11
11
11
12
12
12
12
13
13
13
14
14
14
15
3'
КОТАНГЕНСЫ.
235

Таблица II. ТАНГЕНСЫ.
А
40°
41°
42°
43°
44°
45°
46°
47°
48°
49°
50°
51°
52°
53°
54°
55°
56°
57°
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67°
68°
69°
70°
71°
72°
73°
74°
75°
0'
0.8391
8693
9004
9325
9657
1,0000
0355
0724
1106
1504
1.1918
2349
2799
3270
3764
1.4281
4826
5399
6003
6643
1,732
1,804
1.881
1.963
2.050
2,145
2,246
2,356
2,475
2.605
2.747
2.904
3,078
3,271
3.487
3,732
60'
6'
8421
8724
9036
9358
9691
0035
0392
0761
1145
1544
1960
2393
2846
3319
3814
4335
4882
5458
6066
6709
1,739
1,811
1,889
1,971
2,059
2,154
2,257
2,367
2,488
2.619
2,762
2,921
3,096
3,291
3,511
3,758
54'
12'
8451
8754
9067
9391
9725
0070
0428
0799
1184
1585
2002
2437
2892
3367
3865
4388
4938
5517
6128
6775
1,746
1.819
1,897
1,980
2.069
2,164
2,267
2.379
2.500
2,633
2,778
2.937
3,115
3,312
3.534
3,785
48'
18'
8481
8785
9099
9424
9759
0105
0464
0837
1224
1626
2045
2482
2938
3416
3916
4442
4994
5577
6191
6842
1,753
1,827
1,905
Г.988
2,078
2,174
2,278
2,391
2,513
2,646
2,793
2,954
3,133
3.333
3,558
3,812
42'
24'
8511
8816
9131
9457
9793
0141
0501
0875
1263
1667
2088
2527
2985
3465
3968
4496
5051
5637
6255
6909
1,760
1,834
1,913
1,997
2,087
2,184
2,289
2,402
2,526
2,660
2,808
2,971
3,152
3.354
3,582
3,839
36'
30'
8541
8847
9163
9490
9827
0176
0538
0913
1303
1708
2131
2572
3032
3514
4019
4550
5108
5697
6319
6977
1,767
1.842
1,921
2,006
2,097
2.194
2,300
2,414
2,539
2,675
2,824
2.989
3,172
3,376
3.606
3,867
30'
36'
8571
8878
9195
9523
9861
0212
0575
0951
1343
1750
2174
2617
3079
3564
4071
4605
5166
5757
6383
7045
1,775
1,849
1,929
2,014
2,106
2,204
2.311
2,426
2.552
2.689
2,840
3,006
3,191
3,398
з;бзо
3.895
24'
42'
8601
8910
9228
9556
9896
0247
0612
0990
1383
1792
2218
2662
3127
3613
4124
4659
5224
5818
6447
7113
1,782
1,857
1,937
2,023
2,116
2,215
2,322
2.438
2.565
2,703
2,856
3.024
3,211
3.420
3,655
3.923
18'
48'
8632
8941
9260
9590
9930
0283
0649
1028
1423
1833
2261
2708
3175
3663
4176
4715
5282
5880
6512
7182
1,789
1,865
1.946
2,032
2,125
2,225
2,333
2,450
2,578
2,718
2,872
3,042
3,230
3,442
3,681
3,952
12'
54'
8662
8972
9293
9623
9965
0319
0686
1067
1463
1875
2305
2753
3222
3713
4229
4770
5340
5941
6577
7251
1,797
1,873
1.954
2,041
2,135
2,236
2,344
2,463
2,592
2.733
2.888
3.060
3,251
3,465
3,706
3,981
6'
60'
0,8693
9004
9325
0,9657
1,0000
0355
0724
1106
1504
1.1918
2349
2799
3270
3764
1,4281
4826
5399
6003
6643
1,7321
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
2,904
3,078
3.271
3,487
3,732
4,011
0'
49°
48°
47°
46°
45°
44°
43°
42°
41°
40°
39°
38°
37°
36°
35°
34°
33°
32°
31°
30°
29°
28°
27°
26°
25°
24°
23°
22°
21°
20°
19°
18°
17°
16°
15°
14°
А
Г
5
5
6
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
10
10
11
11
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
Г
2'
10
10
11
11
11
12
12
13
13
14
14
15
16
16
17
18
19
20
21
23
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
10
2'
3'
15
16
16
17
17
18
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
29
30
32
34
4
4
4
4
5
5
5
6
6
7
8
9
10
10
11
12
13
13
14
3'
КОТАНГЕНСЫ.
236

Таблица III. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90°.
А
76°00'
10'
20'
30'
40'
50'
77°00'
10'
20'
30'
40'
50'
78°00'
10'
20'
30'
40'
50'
79°00'
10'
20'
30'
40'
50'
80°00'
10'
20'
30'
40'
50'
81°00'
10'
20'
30'
40'
50'
82°00'
10'
20'
30'
40'
50'
0'
4,011
4,061
4,113
4,165
4,219
4,275
4,331
4,390
4,449
4,511
4,574
4.638
4,705
4,773
4,843
4,915
4.989
5,066
5,145
5,226
5,309
5,396
5,485
5,576
5,671
5,769
5,871
5,976
6,084
6,197
6.314
6,435
6,561
6,691
6,827
6,968
7,115
7,269
7,429
7,569
7,770
7,953
10'
1'
4,016
4.066
4,118
4.171
4,225
4.280
4,337
4,396
4,455
4,517
4,580
4,645
4,711
4,780
4,850
4,922
4.997
5,074
5,153
5,234
5,318
5.404
5,494
5,586
5,681
5,779
5,881
5,986
6.096
6.209
6,326
6,447
6,573
6.704
6.841
6,983
7,130
7,284
7,445
7,613
7,788
7,972
9'
2'
4.021
4,071
4,123
4,176
4,230
4,286
4,343
4,402
4,462
4,523
4,586
4,651
4,718
4,787
4,857
4,930
5.005
5,081
5.161
5,242
5,326
5,413
5,503
5,595
5,691
5,789
5.892
5,997
6,107
6.220
6,338
6,460
6,586
6.718
6.855
6,997
7,146
7,300
7,462
7,630
7,806
7,991
8'
3'
4.026
4,076
4.128
4.181
4.236
4,292
4,349
4,407
4.468
4,529
4,593
4,658
4,725
4.794
4,864
4,937
5.012
5,089
5.169
5.250
5,335
5,422
5,512
5,605
5,700
5,799
5.902
6,008
6,118
6,232
6,350
6,472
6,599
6,731
6,869
7,012
7,161
7,316
7,478
7.647
7,824
8,009
7'
4'
4,031
4,082
4.134
4,187
4,241
4,297
4.355
4,413
4,474
4,536
4,599
4,665
4,732
4,801
4,872
4,945
5,020
5,097
,5,177
5,259
5.343
5,431
5,521
5,614
5,710
5,810
5,912
6,019
6.129
6,243
6,362
6,485
6,612
6,745
6,883
7,026
7,176
7,332
7.495
7,665
7,842
8.028
6'
5'
4,036
4,087
4,139
4,192
4,247
4,303
4,360
4.419
4,480
4,542
4,606
4,671
4,739
4.808
4.879
4,952
5,027
5,105
5,185
5,267
5,352
5,440
5,530
5.623
5,720
5,820
5,923
6,030
6.140
6.255
6,374
6.497
6,625
6,758
6,897
7,041
7,191
7,348
7.511
7,682
7,861
8,048
5'
6'
4.041
4,092
4.144
4.198
4,252
4,309
4,366
4,425
4,486
4,548
4,612
4,678
4,745
4.815
4,886
4,959
5,035
5,113
5,193
5,276
5,361
5,449
5,539
5,633
5,730
5,830
5,933
6,041
6.152
6.267
6.386
6,510
6,638
6.772
6,911
7,056
7,207
7.363
7,528
7.700
7,879
8.067
4'
7'
4,046
4,097
4,149
4,203
4,258
4,314
4,372
4.431
4,492
4,555
4.619
4,685
4,752
4,822
4,893
4.967
5.043
5,121
5,201
5,284
5.369
5,458
5,549
5,642
5,740
5,840
5,944
6,051
6,163
6.278
6,398
6,522
6.651
6.786
6.925
7,071
7,222
7,380
7,545
7,717
7.897
8,086
3'
8'
4,051
4,102
4.155
4.208
4,264
4,320
4,378
4,437
4,498
4,561
4,625
4.691
4,759
4,829
4,901
4,974
5,050
5,129
5,209
5,292
5,378
5,466
5,558
5.652
5,749
5,850
5,954
6.062
6,174
6,290
6,410
6,535
6,665
6,799
6,940
7,085
7,238
7,396
7,562
7,735
7.916
8.106
2'
9'
4,056
4,107
4.160
4,214
4,269
4,326
4,384
4,443
4,505
4,567
4.632
4.698
4.766
4,836
4,908
4,982
5,058
5,137
5,217
5,301
5,387
5,475
5,567
5.662
5,759
5,861
5,965
6,073
6,186
6,302
6,423
6,548
6,678
6.813
6,954
7,100
7,253
7.412
7,579
7.753
7.934
8,125
Г
10'
4.061
4,113
4.165
4,219
4,275
4,331
4,390
4,449
4,511
4,574
4,638
4.705
4,773
4,843
4,915
4,989
5,066
5,145
5,226
5,309
5,396
5,485
5,576
5,671
5.769
5,871
5,976
6.084
6,197
6,314
6,435
6.561
6,691
6,827
6.968
7,115
7,269
7,429
7,596
7.770
7,953
8.144
0'
50'
40'
30'
20'
10'
13°00'
50'
40'
30'
20'
10'
12°00'
50'
40'
30'
20'
10'
11°00'
50'
40'
30'
20'
10'
10°00'
50'
40'
30'
20'
10'
9°00'
50'
40'
30'
20'
10'
8°00'
50'
40'
30'
20'
10'
7°00'
А
КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ.
237

Таблица 111. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ. БЛИЗКИХ К 90°
А
83°00'
10'
20'
30'
40'
50'
84"00'
10'
20'
30'
40'
50'
85°00'
10'
20'
30'
40'
50'
86°00'
10'
20'
30'
40'
50'
87°О0'
10'
20'
30'
40'
50'
88°00'
10'
20'
30'
40'
50'
89°00'
10'
20'
30'
40'
50'
0'
8,144
8.345
8,556
8,777
9,010
9,255
9,514
9,788
10,08
10,39
10,71
11,06
11,43
11,83
12,25
12,71
13,20
13.73
14,30
14,92
15,60
16,35
17,17
18.07
19,08
20,21
21,47
22,90
24,54
26,43
28,64
31,24
34,37
38,19
42,96
49,10
57.29
68,75
85,94
114.6
171.9
343,8
10'
1'
8,164
8.366
8.577
8,800
9,034
9,281
9,541
9,816
10,11
10,42
10,75
11,10
11,47
11,87
12,29
12,75
13,25
13,78
14,36
14,99
15,68
16,43
17,26
18,17
19,19
20,33
21,61
23,06
24,72
26,64
28,88
31,53
34,72
38.62
43,51
49,82
58,26
70,15
88,14
118,5
180,9
382.0
9'
2'
8,184
8.386
8.599
8,823
9,058
9,306
9.568
9,845
10,14
10,45
10,78
11.13
11,51
11,91
12,34
12,80
13.30
13,84
14.42
15,06
15,75
16,51
17,34
18.27
19,30
20,45
21,74
23,21
24,90
26,84
29,12
31,82
35,07
39.06
44.07
50.55
59,27
71,62
90.46
122.8
191.0
429,7
8'
3'
8,204
8,407
8.621
8,846
9,082
9,332
9,595
9,873
10,17
10,48
10,81
11,17
11,55
11,95
12,38
12,85
13,35
13,89
14,48
15,12
15,82
16,59
17,43
18,37
19,41
20,57
21,88
23,37
25,08
27,06
29,37
32,12
35,43
39,51
44,64
51,30
60,31
73,14
92.91
127,3
202,2
491,1
7'
4'
8,223
8,428
8,643
8,869
9,106
9.357
9.622
9.902
10,20
10,51
10,85
11,20
11,59
11,99
12,43
12,90
13,40
13,95
14,54
15,19
15,89
■ 6,67
17,52
18,46
19,52
20,69
22,02
23,53
25,26
27,27
29,62
32,42
35,80
39,97
45,23
52,08
61,38
74,73
95.49
132,2
214,9
573,0
6'
5'
8,243
8,449
8,665
8,892
9,131
9,383
9,649
9,931
10,23
10,55
10,88
11,24
11,62
12.03
12,47
12.95
13,46
14,01
14,61
15,26
15,97
16,75
17,61
18.56
19,63
20,82
22,16
23,69
25,45
27.49
29,88
32,73
36,18
40,44
45,83
52.88
62,50
76,39
98,22
137.5
229,2
687,5
5'
6'
8.264
8.470
8.687
8,915
9,156
9,409
9,677
9.960
10,26
10,58
10,92
11,28
11,66
12,08
12,52
13,00
13.51
14,07
14,67
15,33
16,04
16,83
17,70
18,67
19,74
20,95
22,31
23,86
25,64
27,71
30,14
33,05
36,56
40,92
46,45
53,71
63,66
78,13
101,1
143,2
245,6
859,4
4'
V
8,284
8.491
8.709
8.939
9,180
9.435
9,704
9,989
10.29
10,61
10,95
11,32
11,70
12,12
12,57
13,05
13,56
14,12
14,73
15,39
16,12
16,92
17,79
18,77
19,85
21,07
22,45
24,03
25,83
27.94
30,41
33,37
36,96
41,41
47,09
54,56
64,86
79,94
104.2
149,5
264,4
1146
3'
8'
8,304
8,513
8,732
8,962
9,205
9,461
9,732
10,02
10.32
10,64
10,99
11,35
11,74
12,16
12.61
13,10
13,62
14,18
14.80
15.46
16,20
17,00
17,89
18,87
19,97
21,20
22,60
24,20
26,03
28,17
30,68
33,69
37,36
41,92
47,74
55,44
66,11
81,85
107,4
156.3
286,5
1719
2'
9'
8,324
8.534
8,745
8.986
9,230
9,488
9,760
10,05
10,35
10,68
11,02
11,39
11.79
12.21
12,66
13,15
13,67
14,24
14,86
15,53
16,27
17,08
17,98
18.98
20,09
21,34
22,75
24,37
26,23
28.40
30,96
34,03
37,77
42,43
48,41
56,35
67,40
83,84
110.9
163,7
312,5
3438
Г
10'
8,345
8,556
8,777
9,010
9,255
9,514
9,788
10,08
10.39
10.71
11,06
11,43
11.83
12,25
12,71
13,20
13,73
14,30
14,92
15,60
16,35
17,17
18,07
19,08
20,21
21,47
22,90
24,54
26,43
28,64
31.24
34,37
38,19
42,96
49,10
57,29
68,75
85,94
114.6
171.9
343.8
0'
50'
40'
30'
20'
10'
6°00'
50'
40'
30'
20'
10'
5°00'
50'
40'
30'
20'
10'
4°00'
50'
40'
30'
20'
10'
3°00'
50'
40'
30'
20'
10'
2°00'
50'
40'
30'
20'
10'
1°00'
50'
40'
30'
20'
10'
0°00'
А
КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ.
238

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 3
§ I. Уравнения вида sinx=a . —
§ 2. Уравнения вида cosjr=a . 5
§ 3. Уравнения вида tgjr=a . 6
§ 4. Уравнения вида ctgx=a . . 7
§ 5 Уравнения, сводимые к алгебраическим . —
§ 6 Однородные уравнения ... .... 12
§ 7 Уравнения, решаемые разложением на множители . ... 15
§ 8 Уравнения, решаемые с помощью условия равенства
одноименных тригонометрических функций 18
§ 9. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения
тригонометрических функций .... 22
§ 10. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов
и разложения произведения тригонометрических функций
в сумму .... ... 25
§ 11. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени . 29
§ 12. Уравнения вида asin x-\-b cos x=c . 33
§ 13. Уравнения смешанного типа . . 37
§ 14. Проверка решений уравнений ... ... 46
§ 15. Приближенные решения трансцендентных уравнений,
содержащих тригонометрические функции 47
§ 16. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции ... 51
Глава II. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 55
§ I. Системы уравнений, в которых одно уравнение —
алгебраическое, а другое — сумма или разность тригонометрических
функций ... .... —
§ 2. Системы уравнений, в которых одно уравнение —
алгебраическое, а другое — произведение тригонометрических функций . 59
§ 3. Системы уравнений, в которых одно уравнение —
алгебраическое, а другое — отношение тригонометрических функций ... 61
§ 4 Системы уравнений, содержащих только тригонометрические
функции ...... 63
Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 80
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1 Тригонометрические уравнения 92
Глава II Системы тригонометрических уравнений 177
Глава 111 Тригонометрические неравенства .... ... 193
Глава IV Геометрические задачи, приводящие к решению
тригонометрических уравнений ... 211
ПРИЛОЖЕНИЕ 232
239

Учебное издание
Бородуля Иван Тимофеевич
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
Зав редакцией Р. А. Хабиб. Редактор Т Ю. Акимова. Младшие редакторы
О. В. Агапова, Е. А. Сафронова. Художники Тачков А. Е., Титков Е. П
Художественный редактор Е. Р. Дашук. Технические редакторы Н. А. Биркина, Н Н. Ма-
хова. Корректоры О. И Кузовлева, Г. И. Мосякина.
ИБ № 10961
Сдано в набор 05.08.87 Подписано к печати 23.12.88. Формат 60X90'/i«- Бум. офсетная J* 2. Гарннт.
лнтерат Печать офсетная. Усл. печ. л. 15 + 0,25 форз Усл. кр -отт 15,69. Уч-нзд. л 16,62 + 0.42 форэ.
Тираж 100 000 экэ Заказ 1587 Цена 65 к
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР
по делам издательств, полиграфии н книжной торговли 129846. Москва, 3-й проезд Марьиной рошн, 41
Смоленский полкграфкомбинат Госкомиздата РСФСР 214020. Смоленск, ул Смольяникова, I