/
Author: Смирнов В.А.
Tags: электротехника радиотехника теория информации передача информации системы связи
Year: 1975
Text
В. А . СМИРНОЕ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
J\!1ЕТОДЫ РАСЧЕТА
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОС ТИ
И ИСКАЖЕНИЙ
В СИСТЕМАХ
ПЕРЕДАЧИ
ИНФОРМАЦИИ
О586ь'1
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
МОСКВА 1975
-~ 1ЛЕРЕВ1РiноJ
6Ф2
С50
.J.
УДК 621.391.82.001 .24
Смирнов В. А.
С50
Приближенные методы расчета помехоустой- '!
чивости и искажений в системах передачи ин
формации. М., «Связь», 1975.
'9\б С. С IИЛ.
Описываются приближенные м етоды расчета поr-.·tехоу .:: тойчи~
вости и искажений в системах связи , позволяющие значительно
упростить расчеты и обеспечить достаточную точность. Могут быть
оценены шумы на выходе приемников при любых видах модуляции
и пороговые значения отношения сигнал / шум на входе приемников.
К.нига может быть полезна J:(аучным работникаr-.·t, инженераr-.t
и студентам радиотехнических факультетов.
30401'-069
с----24-75
045(01) - 75
ВаеиJ1;ий Алексеевич Сми,рнов
ПР, ИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
В СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ
И ИСКАЖЕНИЙ
ИНФОРМАЦИИ
6Ф2
Редактор В . Л. Черняк
Художник Е. Н. Волков
Т е хн. редактор Т. Ф. Евсе,utна
Корректор Л . В. Алексеева ~ -
--
Сдано в набор 21/1 1975 г.
Подп. в печ. 22/IV 1975 г .
Т-08409 Формат 84 Х 108 /з, ,Бумага кн.-журн. 6.04 усл. п е ч. л. 4,95 уч.-нзд. л.
Тираж 7500 экз.-
Изд. No 15833
Зак. No 21
Цена 42 коп .
Издательство «Связь». Москва 101000, Чистопрудный бул"ьвар. 11.. 2
Типография издательства «Связь» Госкомиздата СССР
Москва !01000, ул. Ю1рова , д. 40
© Издательство · «Связь», 1975 r.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Как бы ни велики были возможности современной
строгой теории в сочетании с техникой ЭВМ при решении
задач передачи информации, практически обоснованное
упрощение теории, приводящее к простым методам и
формулам для расчетов, никогда не потеряет ценности . ·
Книга посвящена в основном описанию методов, раз
работанных автором в течение его многолетней работы
в области теории и практики построения систем связи.
Некоторые из этих методов применяются относительно
широко, например, метод вероятностных весов. Однако
эти методы были описаны лишь в журнальных статьях и
поэтому труднодоступны для широкого круга специалис
тов . Более того, наиболее известный метод вероятност
ных весов, предложенный автором еще в 1957 г. , галька
по истечении ряда лет был описан и дополнительно
обоснован в [8]. Позднее он был успешно использован
также рядом других специалистов [9-14].
В гл. 1 кратко описываются известные математиче
ские представления сигналов и помех. Некоторые из при•
веденных формул и представлений используются в по
следующих главах. Однако при написании гл. 1 пресле
довалась цель не только дать некоторое введение к дру
гим, оригинальным главам, но и в не меньшей степени
автор хотел показать взаимосвязь различных представ
лений сигналов и помех, которая обычно не акцентирует
ся в литературе, и роль отдельных представлений в
практике. Так, известно, что принципиально канониче•
ские разложения - оптимальные, но они в нашей прак
тике почти не используются. Однако отмечается, что раз
ложения в ряды Фурье и вообще разложения по ортого
нальным функциям в частных случаях, встречающихся в
практике, являются каноническими.
В гл. 2 описаны метод вероятностных весов и его
применение для оценки помехоустойчивости систем с
ЧМ, АМ синусоидального сигнала и систем с импульс
ной модуляцией.
В гл. 3 опi1сан метод , с помощью которого определя
ется предельная, потенциальная помехоустойчивость, он
з
получил название метода нулевого отклонения. С его по-
мощью не только легко определяется потенциальная по-
~
мехоустойчивость систем с различными видами модуля-
ции, но также оцениваются искажения при многолучевом
приеме.
В гл. 4 показано, как можно использовать обобщен
ное соотношение Шеннона, определяющее предельную
пропускную способность канала для определения поро
говых уровней различных систем передачи информации
и максимального выигрыша в помехоустойчивости.
Автор выражает глубокую благодарность д-ру техн.
наук профессору Бородичу С. В. за просмотр рукописи
и ценные замечания.
Автор надеется, что книга будет полезна как для
научных работников и инженеров, разрабатывающих и
эксплуатирующих аппаратуру связи, так и для студентов
в процессе изучения ими довольно сложных вопросов пе
редачи информации.
Предложения и пожелания следует направлять в из
дательство «Связь»: 101000, Москва-центр, Чистопруд
ный бульвар, 2.
Автор
4
;,
i- ГЛ А В А 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ И
ПОМЕХ, ПОСТУПАЮЩИХ НА ВХОД
ПРИЕМНИКА
1. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИГНАЛАХ И ПОМЕХАХ
Пр актика теоретическо го решения задач по помехо- •
устойчивости и искажениям в системах передачи инфор
мации показывает, что простота решения существенно
зависит от того, какие математические представj[ения
отобр аж ают сигналы и помехи 1 . Для различных задач
могут оказаться приемлемыми те или иные представле
ния. Приведем сведе ния о наиболее распространенных
предст ав лениях, некоторые из них далее применяются в
описыв а емых методах расчета.
Сигналы делятся на детерминированные (или регу
лярные ) и случайные (нерегулярные) . В подавляющем
большинстве случаев сигналы, передаваемые по систе
мам связи , случайны . Объясняется это, прежде всего,
тем, ч то обычно сигналы несут информацию или сообще
ния, являющиеся чаще всего случайными функциями
времени (телеграфные сообщения, речь, музыка, телеви
зионное изображение и др.). К:роме того, случайный ха
рактер р адиосигналов обусловливается иногда также
нерегулярными условиями их распространения по кана
лам связи , например, через атмосферу и др. Таким обра
зом, по терминологии теории вероятностей реальные сиг
налы п р едставляют собой обычно случайные процессы.
К: слу чайны м же процессам относится и большинство
помех . Та ки м образом, принципиального различия меж
ду случайными сигналами и помехами нет. Поэтому нет
принципиального различия в математическом представ-
.!! лении с игналов и помех. Практическое различие заклю
чается в различных законах распределения вероятностей,
а иногда лишь в числовых характеристиках (моментах
распределени й ) .
L
1 Та кж е используют термины «полезный сигнал» и «сигнял по
мехи». Для сокр а щени я мы используем термины «сигнал» и « помеха»
соответственно.
5
Случайные сигналы и помехи могут быть описаны
действительной, иногда сложной по виду функцией вре- i
мен и Х (t). Если такая функция известна, то иногда та -
кого представления достаточно для решения задачи _
Однако в других случаях задача бывает столь сложна ,.
что ее возможно решить лишь для простого сигнала _
В этом случае прибегают к разложению функции Х (t)
на конечную или бесконечную сумму элементарных слу
чайных функций в виде
п
п
х(t)=~Х;(t) = I V; (/J; (t).
(1.1)
i=l
i=l
Таким образом, элементарной случайной функцией
называют функцию
( 1.2)
где Vi - случайная величина, математическое ожидание
которой равно нулю; (/Ji (t) - неслучайная, регулярная
функция, которую называют координатной . Как видно,.
элементарность функции заключается в том, что случай
ным в ней является только множитель Vi , не зависящий
от времени, а зависимость от •времени , отображаема я
функцией (j)i (t), случайной не является. Примерами эле
ментарных случайных функций могут быть, в частности ;
функции вида
X;(t) = V;sinw; t, )((t) = V/(i)/ ,
Х1(t)=V;а(t-
.-;),
где a(t) - единичная функция и др.
Разложение вида ( 1. 1) бывает особенно полезно тог
да, когда при рассмотрении того или иного преобразова
ния сигнала возможно применить принцип суперпозиции .
. При нцип иал ьно
это возмо_жно при любых линейных пре
образованиях. Однако в отдельных случаях такое разло
жение может быть полезным и при нелинейных преобра- ~
зованиях .
Можно доказать, что разложение вида ( 1.1) можно
произвести, используя различного вида функции ер; (t)
при соответственно различных коэффициентах V; .
Возникает вопрос о получении оптимального раз.ттоже
ния в том смысле, чтобы решение поставленной задачи
при таком разложении было максимально простым и об-
6
ладало • наибольшей физической наглядностью. Такое
разложение будет, очевидно, и оптимальным представле
нием сигнала и помехи .
1.2. КАНОНИЧЕСКИЕ (ОПТИМАЛЬНЫЕ) ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
СИГНАЛОВ И ПОМЕХ .
Общие сведения о каноническом (оптимальном) разлQжении.
В процессе решения задач по помехоустойчивости и искажениям, в
первую очередь, приходится определять первые моменты случайных
функций (или величин), т. е. математическое ожидание (средне~ зна
чение), дисперсию и корреляционные моменты. Разложение (1.1), по
видимому, . можно считать оптимальным, если вычисление этих мо- •
ментов несложно. Посмотрим, чем, в перв у ю очередь, будет опреде
ляться легкость расчета указанных моментов.
И з теории вероятностей легко найти корреляционную функцию
случайной функции Х (t), заданной разложением ( 1.1) :
n
К.х(t, t') = I (j);(t)ер;(t')D;+)(j);(t)(j)j(t') K;j.
(1.3)
i=I
i cpj
Полагая в этом соотношении t=t', получим дисперсию случайf!ой
функции • х (t):
n
Dx (t) =~ер~ (t) D; + ~ <:р; (t) <:pi (t) Kii-
(1.4)
i=I
i=j
В этих выражения.х D ; - диюперсия случ-а~йн·ой вепичи1ны;
;:, . 1 и Kti - корреляционный момент случайных величин Vi и Vj.
Очевидно , выражения ( 1.3) и · ( 1.4) значительно упрощаются,
если все коэффициенты V; разложения ( 1.1) некоррелированн;,1, т. е.
все K;j=O при i-l=j . В этом случае разложение (1.1) называют
ханонически,11 . Его обычно записывают в виде
n
X(t)=mx(t)+ ~i ';<:p;(I).
(1.5)
i=l
Такой вид разложения получается, если ввести центрированную
о
о
случайную функцию х (t) =Х (t) -mx (t)' Тогд а х (.f) = lmx (t) +х (t) ,
и, следовательно, сумма в (1.5) есть разложение в ряд функции
о
.
Х (1). Удобс тво в использовании разлож е ния вида ( 1.5) заключается в
том, что в нем коэффициенты V,, V 2 ,
..,
V п представляют систему
\lекоррелированных случайных величин с математическими ожида
ниями, равными нулю .
Та1< им образом, для канонического разложения, поскольку все
K;i =0, соотношения (1.3) и (1.4) примут вид
n
.Кх (t, t ') = ~ cp;(t) ср; (l')D;,
i=I
n
Лх(t) ~= Li <:pj(t)D;.
i=l
1
_
(1.6)
(1.7)
7
Убедимся, насколько упрощается расчет моментов преr канони
ческом разложении. Действительно, допустим , что разложение (1.1)
содержит сумму из десяти слагаемых (п= 1О) . Если это р а злож ение
не каноническое, то для вычисления Kx(f, f ') и Dx(f) по (1 .3) и (J.4)
требуется вычислить сто слагаемых, в то время как при кано ниче
ском разложении требуется вычислить лишь десять слагаемых. Пре
имущество канонического разложения становится все бо лее оче вид
ным с увеличением числа слагаемых в сумме .
Зная каноническое разложение (1 .5), легко найти по ф -ле (1.6)
и (1.7) разложения для Kx(t, t ') и Dx(f). Можно доказать и об рат
ное положение: зная каноническое разложение корр еляцио нной
функции ( 1.6), можно найти каноническое разложение фуtiкции
х (t).
Канонические разложения применяются не только дл я действи
тельных случайных функций, но и для комплексных . Доказыв ается ,
что, если в (11.5) величины Vi - некоррелированные к омплек сные
случайные величины с математическими ожиданиями, рав ными нулю,
ат~ (t), <p1(t), <p2(t), ..., <рп(t) -комплексные несл у чайны е функции ,
тогда
п
Кх(t, t') = L<р;(t)<р;(t')D;,
i=l
п
Dx(t)= I 1(j);(i)12D;.
i=I
(1.8)
(1. 9)
В этих соотношениях <р ;(t) - сопряженная функция о т ер; (t);
/cpi (t) / - модуль фу н кции ер; (t).
Число членов канонического разложения случайной ф ункции мо
жет быть конечным и бесконечным . Существуют интегральные кано
нические представления случайных функций, в которых сум ы~:, за
меняется интегралом.
Центральной задачей канонического разложения является выбор
координатных функций <р i (t) и коэффициентов Vi, удо влетворяю
щих такому разложению . Для такого выбора существует ряд прие
мов [6, 17, 18].
Кшюническое разложение стационарной случайной функ ции.
Пусть Х (t,) отображает стационарную случайную функцию. Возьмем
достаточно большой интервал наблюдения этой функции - Т. Пусть
о
.
задана корреляционная функция Х (t) Kx(f, t+т) =Кх (т) . Извес тно ,
что К х(т) - функция четная и отображается обычно сим метр ичной
· кривой.
При изменении t и t' от О до Т аргумент т=t'-t изм еняе тся от
-Т до Т . Такую функцию можно разложить в ряд Фурь е по коси
нусам, т. е .
00
Кх(т)=~Dncosпw0т,
n=O
(1. 10)
где ш=2л/2Т=л /,t, откуда fo= 1/2Т. Коэффициенты Dn определяются
формулами
8
.!,
J.,
т
Do =+ SКх(т)dт,
о
т
Dп = ; sКх(т) cosnw0-rd ·с
о
Подставив в ( l. 10 ) вместо -r его значение t' -t, получим
о,
(1.11)
Кх(t, t') =L(Dпcosпw0t'cosпWo t+Dnsinпw0t'siпп ro0t).
n=O
•
(1.12)
Сравнивая (1 .12 ) с (1 .6 ), видим, что (1 .12) есть не что ' иное, как
каноническое разложение корреляционной функции K~(t, t'). Коор•
динатными неслуч айным н функциями этого разложения являются
косинусы и синусы частот, кратных roo. Учитывая,
что согласно
(1.5) и (1.6) такие же координатные функции будут и при разложе-
о
ни и Х (t) , получим каноническое разложение центрированной стацио
нарной случайной функции в виде
00
Х(t)=~(Ипcosпro0t+Vnsinпw0t),
(1. 13)
n=O
rде И п и V п- некоррелированные случайные величины с матема
тичесиими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, одинаиовыми
для каждой пары случа йных . величин с одним и тем же индексом п ,
оп ред еляем ыми из ( 1. 11).
Полученное разложе ние (1.13) в общем случае не является ря-
о
дом Фурье для функции Х (t) в интервале (-Т, Т) . Действитедьно,
координатные функщ1и siп nroot и cos nw0t имеют частоты
nf0 =n/2T=1/2T, 1/Т, 3/2Т, 2/Т, 5/2Т .. .
Т олько при условии отсутствия в разложении функции корре
ляции (1.1 0) нечетных гармоник в разложении (1.13) останутся
только гармоники периода 2Т, т. е. частоты nfо= 1/2Т, 1/Т, 2/Т,
4/Т ... , и то гда разложение (1.13) будет рядом Фурье. Разложение
(1.13) есть фактически разложение в тригонометрический ряд, в ко
тором амплитуды гармоник являются случайными величинами , и
• является таким образом спектральньш разложение,11.
Из (1. 13) найдем, что
о
00
Dx= D[Х(t)]=~Dп,
(1.14)
n=O
т . е. дисперсия с тационарной случайной функции равна сум,11,е дис
персий всех гармоник ее спектрального разложения.
Если Т-+оо , рридем от дискретного к непрерывному сnеитру с
плотностью G (w) и к известным интегральным соотношениям
9
00
)
G(w)=: 5 К(т)соswтdт,
о
00
К(т)=JG(w) coswтduJ.
о
}
Плотность спектра частот в герцах
G(f)=2лG(w),
и тогда ф-лы ( 1.15) заменяются следующими:
со
G(f) = 4 .\К(т)cos(2лf ,:)d't,
о
со
К(,:) = JG(f)cos(2лfТ)df.
о
Эти формулы иногда полезны в комплексном виде:
G(f)=2 s K(т)e-i2np;d,:, l
-00СХ)
i
К(т)= 0,5J
00
G(f)ei2nf1:df. j
(1. 15)
(1. 16)
(1. 17)
(1. 18)
Для расчетов обычно также_ требуется знание законов распре
деления вероятностей величин И п и Vп. Доказано, что для нормаль
ной случайной функции X(t) законы распределения для Un и Vn
тоже нормальные. Их средние значения равны нулю и они некорре
лированны. При задании других условий, а не функции корреляции
( 1. 1О) способы нахождения канонического разложения усложняются,
однако они разработаны. Подробно вопросы канонических разложе
ний изложены в [6, 17, 18].
t.3 . ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ РЯДОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
Разложение вида (1.1) может быть выполнено по-другому, и
тогда оно не будет каноническим и, следовательно, не будет обла
дать свойствами канонического разложения. Однако в любом разло
жении . вида ( 1.1) функции <р; (t) должны , очевидно, удовлетворять.
следующим условиям:
-
ряд вида (1.1) должен быть сходящимся;
-
функции ер; (t) должны легко выч'ислятья;
-
эти функции должны иметь конечную полосу частот, посколь -
ку реальные сигналы Х (t) обычно ограничены некоторой полосой:
частот.
Указанным условиям наиболее полно удовлетворяет совокуп
ность ортогональных функций . Поэтому разложение вида ( 1.1), в ко-
10
.,_
J.
тором (jJ; (t) являются ортогональными функциями, наиболее широко
используется в практике .
Ортогональными называются функции, взятые в интервале
-T/2~ _,t~T/2, если они обеспечивают соотношение
Т/2
J' (/Ji (t)<р;(t)dt=О при iс/=j.
(, .19)
-Т/2
Интеграл от квадрата каждой функции, т . е. интеграл (1 .19)
при i=j, равен постоянной величине
Т/2
s<р7(t)dt= С7 .
(1.20)
Т/2
Если взять семейство функций
.1, (t)=IP1(t) ,1, (t)=IP2(t)
,1, (t) - Ч!п (t)
'1'1
С1''У2
Са'•••' -rn
-
Сп'
то в силу (1.19) и (1.20) эти функции будут удовлетворять условию
т12
{о .-:1, •
S 'Vi(t)1j);(t)dt = при~, ' ~•
(1 .21)
1приi=J.
-Т/2
Такие функции называются ортонормированными (т. е. ортогuналь
ными и нормированными).
Если функция Х (t) не является случайной, тогда, задавшись
,функцией (/JI (t), нетрудно найти коэффициенты разложения V;, для
чего умножим обе части соотношения ( 1.1) на (jJ; (t) и проинтегри
руем в пределах - T/2~t~T/2:
Т/2
п
Т/2
.\ Х(t)(j)j(t)dt=~Vi sЧ!i(t)<р;(t)dt.
-Т/2 •
i=l -Т/2
Согласно (1.19) и (1.20) интеграл в правой части будет не равен
нулю только при i=j, откуда, с учетом (1.20),
Т/2
\\!;= -
1 s X(t)<p;(t)dt.
(1.22)
с2
1 -Т/2
Теория показывает , что аппроксимация Х (t) рядом из ортого
нальных функций тем точнее, чем больше берется членов ряда . Точ
:на я аппроксимация будет при п = со :
"'
х(t)= у \/i (/Ji (t).
-
i=I
Такой ряд называют обобщеннылt рядом Фурье.
( 1. 23),
Существ ует ряд видов ортогональных функций, и принципиьльно
.любым видом можно воспользоваться для получения ряда ( 1.1).
Представление сигнала Х (t) различными ортогональными функпиями
:аналогично представлению вектора в различных системах координат.
11.
Примерами . ортогональны х функций могут служить тригонометриче
ские функции, комплексные экспоне нциа льные функции , функции
вида sinx/x, полиномы Лежандра и Якоби и др .
Если функция Х (t) - случайная, тоrда определение коэффициен
тов V ; возможно только в вероятностном смысле , т . е. возм о жно
определение числовых характеристик случайной величины V;. Этого
обычно бывает достаточно при решении многих задач. Дл я этого
необходимо знать вероятностные характеристики функции Х (t).
Действительно, найдем, например, корреляционный момент V i, если
известна К х (t1, t2). Воспользовавшись (1.22), пол у чим
Kii= м[ViVj]= м[+. Trх(t-1)(/)iU1)dt1 х
с.с. .)
11-Т/2
Т/2
]
Т/2 Т/2
хJХU2)rpi(12)dt2 = с~~2 J .\М[Х(11)Х(12)]<piU1)х
-Т/2
1 1 -Т/2-Т/2
Т/2 Т/2
5 5KxU1 , l2)tpi(t1)(1)j(t2 )dt1dt2 • (1 . 24 )
-Т/2 -Т/2
Приняв в ( 1.24) i= j, получим среднеквадратичное значение
Л]W~] или M[V] ].
Ра зл о~ение случайной ф у нкции Х (t) по ортогональным ф у нк
циям совпадсает с каноннчесI<им - разлож е нием при условии, что
X(t) подчиняется нормальному зако н у распределения. В это м "1 егко
у бедиться из ( 1.24). Так , п у сть Х (t) отображает нормальный белый
шум . Его корреляционная функц ия
(1.25)
что легко следует из (1.17) , если у честь , что плотность его э1-1ергети
ческого спектра G(f) =G0 . Подставив это значение в (1 .24) , получи м
Т/2 Т/2
Kii =
_§_ \ 5tp;(1) rp; (t +-r)6(т)dtd-с=
с2с2 .\
1 1 -Т/2 -Т/2
Т/2
-
_G_ \ Ч!i(t)(j)j(t)dl.
с~с2 •
1 1-Т/2
В силу ортогональности функцIJй интеграл при i=I = j раве н н улю , т. е.
корреляционный момент К ii =0, что и требовалось доказ ать .
Разложение и теорелtа Котелышкова. Рассм о трим одн о в а жное
свойство случайных сигналов, обладающих ограниченным с пектром,
и приведем их условно-аналитическое представление через п о следо
ватель н ость равноотстоящих мгновенных значений сигна ла. Такое
представление носит название ряда Котельникова.
Теорема, которую доказал В . А. Котельников для таких сигна
лов, следующая: «любая реализация случайн ого сигнала Х(1) со
спектром, находящилtся в интервале (О, F т), полкосr.ью определяет-
1,2
-- -----------
ся последовательностью его частных значений в точках, отстоящих
на Лt =1 / 2Fm секунд друг от друга».
Аналитическое выражение функции Х (t) через ее частные значе-
~
ния может быть записано в виде'
<Х>
X(t)= ~Х(kЛt)
sin2:n:Fm(t- kЛi)
(! .26)
2:n:Рт(t- kЛi)
k=- oo
(k=
.-
2,-1,О,1,2 .
.)
Если функция Х (t) ограничена во времени интервалом Т, то
практически ,с читают, что она ()Пределяется задан,ием n= Т (1 / 2 f;n) ~
=2TFm ее значений в дискретных точках, отстоящих друг от друга
на одинаковых расстояниях. Мы подчеркнули слово практи<1ески,
так как строго теоретически подобное утверждение . неверно. Дейст
в ительно, согласно интегральным преобразованиям Фурье, если сиг
нал ограничен по спектру, то он имеет бесконечную длительность, и,
наоборот, си гн ал, ограниченный во времени, имеет неогранич ен ный
спектр . Практически реальные сигналы имеют относительно большую
длительность Т и число п = Т/ Лt очень велико . В этом случае почти
вся энергия сигнала сосредоточена в интервале времени Т и соответ
ственно практически в ограниченном спектре. С учетом этого форм:у
лу n=2TFrn можно считать пр ак тически верной.
Для сигнала, спектр которого лежит в полосе частот w = f 2-•f , ,
теорема Котельникова остается справедливой, и необходи мое число
д11скретных з начений в этом случае равно n=2wT.
Как было отмечено ранее , функции вида sinx/x, входяш, ие в
(1.26), являются ортогональными , что нетрудно доказать. Таким об"
разом, подобное разложение есть разложение по ортогонаJJtны14
функциям. Как показано в [20], это разложение можно рассматри
вать также и как каноническое , когда расстояние между отсчетами
не менее интервала 1<орреляцни. •
Теорема Котельникова лежит в основе дискретизации непрерыв
ных сигналов, которая используется в системах связи с и мпульсной
модуляцией.
1.4 . ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИЕЙ
Реальные сигналы описываются действителы~ыми
функциями времени. Однако при решении многих задач
удобно записывать сигнал в виде комплексной функции
времени или в виде ряда, состоящего из суммы элемен
rс1рных комплексных функций . Например, ряд Фурье
в виде суммы элементарных действительных функций
со
-t
X(t)=IXпcos(nw0 t+(J)п)
n=O •
1 Получение этого выражения и простое доказательство · те?ремь'1
Котельникова имеется, например, в [2, 19, 20] и др.
13
часто записывают в комплексном виде:
00
х(t)= 0,5 r хпeiпw.1,
....
n=-oo
•
.
- i(I)
где Хп=Х11е п - комплексная амплитуда К11 =
т0;2
=:
0
J Х (t) е'- iпw.t dt, если функция Х (,t) задана и пе ·
-Т0/2
риодическая с периодом Т0 . Такое представление с по
мощью комплексных функций является, однако, лишь
частным случаем представления сигнала аналитической -
функцией .
Точное математическое определение аналитической
функции таково: «функция комплексного перемеиного
z=x+iy; f(z) =и+iv, образованная сопряженными гар
моническими функциями и (х, у) и v (х, у) в области О,
называется аналитической в этой области».
Под сопряженными гармоническими функциями n
обла•сти 0 1 ~ О ,на,зывают,ся функц,и,и, для ко·l'о:рых iВЫ
няются условия Коши-Римана:
ди
дх
дv ди
-
-
-
-
ду' ду
дv
дх
( 1.27)
В радиоэлектронике чаще всего используются функ
ции времени
Х(/)= U(t)+iV(f).
( 1.28)
Если функция Х (t) является пределом аналитической
функции Х (t+ ia) при а-+О, то доказывается, что функ
ции u(t) и v(t) сопряжены по Гильберту, т. е.
00
u(t)= -
1 s~ d-r,
:П:
Т-t
-00
(1.29)
00
v(t)= - -
1 s~d-r.
:п:
-т:-t
-00
Доказывается и обратное, что если для составляю
щих функции ( 1.28) соблюдаются преобразования Гиль
берта, то выполняются и условия Коши-Римана и, сле
довательно, функция f (t) или Х (t) аналитическая.
14
·1
Отметим, что при выполнении преобразований Гиль
берта интегралы вычисляются как предел:
S""~dт--= lim [·1:-sa__!!l:ldт+Г~d•] . (1.30)
,; --1
а-о
,;-t
J't-t
-
ао
-оо
1:+а
•Сигнал (1 .28) можно записать в виде
Х(fJ = U(f)еiФ(/),
гд<:
И(t) =V и2(t)+v2(t)
носит название огибающей и
Ф(t) = arctg v (t)/u(t)
фазы колебаний .
(1 .31)
(1.32}
( 1.33)
К числу аналитических функций принадлежит боль
шинство элементарных функций: многочлены, тригоно
метрические функции, показательная функция, цилинд
рические функции и другие, аргумент z может ~ыть пр и
этом некомплексным . Однако при комплексном z анали
тическая функция должна соответствовать приведенному.
выше определению.
Понятие аналитического сигнала и полученные соот
ношения применимы как к детерминированным, так и к
случайным стационарным сигналам.
Случайный процесс на · основании ( 1.31) можно пред
ставить в виде
Х(t)=И(t)cosФ(t)+iИ(f}siпФ(t).
( 1.34)
Действительная его часть дает реальный сигнал
(t) = U(t)cosФ(t).
(1 .35)
При ·анализе радиосигналов, являющихся обычно
узкополосными процессами, фазу Ф (t) после . выделения
линейного детермини.рованного члена можно · предста
вить в виде
Ф(t) = w0 t -<9(t),
и тогда сигнал ( 1.35) можно записать:
Х(f)= И(t)cos[w0f- <9(t)]= И(t)cos(9cosw0t+
+ U(t)sin0sinw0 t.
Вводя обозначения
А(t} = И(t)cosе,}
в(t) =и(t)sinе,
(1.36J
(1.37
15
перепишем ( 1.37) в виде
х(t) = А(t)cos(J)i+В(t)siп(J)0t.
(1.38)
В комплексном виде такой узкополосный сигнал в соот
ветствии с (1.31) будет
X(t) = U(t)ei [w,t-B(t)J_
(1.39)
Частоту (J)o можно, в принципе, взять любой, но обыч
но ее берут равной несущей частоте радиосигнала.
Изучение свойств случайного узкополосного стацио
нарного сигнала приводит к следующим результатам:
а) И (t) и 0 (t) являются медленно изменяю щимися по
сравнению с cos (J) 0 t функциями времени;
б) огибающая , и (t) распределена по закону Рэлея ,
а фаза 0 (t) - по равномерному закону при условин, что
\(t) Rаспределен нормально, т. е.
и•
.'
и--
.
p(U)= - е 2а', (И> О),
а2
( 1.40)
•'
р .(0)=1/2л:, (-n<0<л:);·
в) составляющие А (.t) и В (t) имеют нормальное рас
предел~ние и независимы;
г) корреляционные функции процессов А (t) и В (t)
равны, следовательно, ,одинаковы их спектры;
•
д) И (t) и 0 (t) независимы.
Подробные сведения о свойствах аналитических сиг
налов, огибающей и фазы можно найти в [1, 3, 21, 22
и др.].
1,5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
И.спользуя представление сигналов в комплексном
аналитическом виде, можно существенно упростить рас
четы корреляционных функций и спектров.
• Легко убедиться, что всякое модулированное колеба
ние в комплексном виде можно представить в виде про
изведения двух функций:
(1.41)
где И O (t) - функция, описывающая несущее колебание,
а М (t) - модулирующая функция, выражающая воздей
ствие передаваемого сообщения И (t) на- несущее колеба-
!'6
ние. Очевидно, что функции М (t) и И с (t) взаимно неза
висимы, поэто му справедливы соотношения
<и'(t)> = <M(t)>·<Иc(t)>, )
Ки (,:) =Км(,;) Кис (,:),
1
Gu(w)= -
1 5"' Gм(v)Gu (w-v)d'1 .j
·
2л
с
-00
(1.42)
Приведем более подробную запись трех аналоговых
видов модуляции синусоидальной несущей:
АМ~и(t) = Ис[1 +МИ(t)]ei(J)01,
1
фм . (f) U iЛq,U (/) i(J)0/
-и=се
е'
( 1.43)
iЛ(J)m \ U(I') dt'
ЧМ- и(t)=Исе
O
e;(J).t
При этой з аписи предполагается, что ыодулирующие
сообщения обозначены:
АМ- S(t)=ЛUU(t),
1
МФ- SU) =ЛерИ(t),
\
t
}
( 1.44)
ЧМ- S(t) = ЛштIИ(t')dt' J
и М=ЛИ/Ис; U(t) предполагается в общем случае слу
ч айной функцией, значения которой не выходят за пре
делы
-
1~И(t),;;;, 1
( 1.45)
с вероятностью, бл изкой к единице.
1.6 . ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СМЕСИ МОДУЛИРОВАННО ГО
СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА И ШУМА НА ВХОДЕ
ПРИЕМНИКА
В соответст вии с ( 1.41) синусоидальный модулиро
ванный сигнал
( 1.46)
где И с - амплитуда синусоидального немодулированно
rо несущего колеба ния.
058661
17
Шум (помеху) в соответствии с ( 1.39) запишем
u(t) = Иш(t)еi [w.t-eш(l)J .
(1.47}
Суммарное напряжение на входе . приемника будет
и(t) = Ис(t)+Иш(t) = Ис[М(t)+Кше-iеш]eiwo\
( 1.48)
где
(1.49)
Результат детектирования определяется суммарной
модулирующей функцией, заключенной в квадратные .
скобки в (1.48) . Для разных видов модуляции эта функ
ция будет выражаться по-разному . Зная ее, можно вы
числить сумму сообщения и шума на выходе приемника .
В общем случае этот сигнал на выходе будет случайной .
функцией времени t, кш и 0 ш :
(1.50)
ГЛ А В А 2. МЕТОД ВЕРОЯТНОСТНЫХ ВЕСОВ
2.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА
Имея вырс1жение для суммы модулированного сигна ~
ла и помехи ( 1.50) в виде случайной функции аргументов
t, Кш И 0ш, можно найти корреляционную функцию от
этой функции, затем энергетический спектр и мощности
сообщения и помехи на выходе приемника.
Однако практически почти всегда найти в общем виде
строгое и точное решение задачи помехоустойчивости не
удается или удается с большими трудностями и отсутст
вием ясной физической картины взаимозависимостей
между параметрами аппаратуры и сигналами . Поэтому
применяют упрощенные методы решения и ищут общее
решение, но для частных случаев, например, решают за
дачу в предположении, что помеха очень мала по срав
нению с сигналом .
Решение задачи при таком предположении имеет
с ущественное практическое значение, но не может пол
ностью удовлетворить практике , так как во многих слу
чаях современные системы передачи информации долж
ны работать в условиях сравнительно больших помех .
Одним из упрощенных методов решения задачи помехо
устойчивости является метод , получивший название «ме
тода вероятностных весов», который был предложеч ав
тором еще в 1957 г . Ценной особенностью метода явля
ется то, что задача решается при любом отношении сиг·
нал/помеха на входе приемника и поэтому возможно
· определить пороговое значение этого отношения в систе
мах с таким порогом. В настоящей главе излагается суть
этого метода и на ряде примеров демонстрируется его
применение.
-
Суть метода элементарно проста и основана па ис
пользовании идеи статистического усреднения . Пусть
имеется функция f (х) от случайной величины х. Ее мате
матическое ожидание (среднее значение)
19
00
<f(x)> = Jf(x)p(x)dx,
(2.1)
-оо
где р (х) - плотность распределения вероятности случай
ной величины х. Если функция f (х) очень сложная, то
точное вычисление интеграла может оказаться невыпол
нимым в явном виде. Тогда возможно применение разно
го рода приближенных методов. Возможен, в частности,
такой метод . Интервал интегрирования разбиваем на
участки:
а
Ь
<f(x)> = Jt(x)p(x)dx+Jf(x)p(x)dx+
-00
а
00
·+5f(х)р(х)dx.
(2.2)
q
В отдельных взятых интервалах функция f (х) может
быть выражена более просто, например, в виде сходяще
гося ряда, отрезка прямой линии и другого, и тогда част
ные интегралы в (2.2) могут быть легко вычислены. Про
стота и точность расчета по такому методу зависят,
естественно, от выбора частных интервалов и аппрокси
маций для f (х) в этих интервалах.
В интересующем нас случае необходимо найти спектр
функции if (t, Кш, 0ш). Во м,ногих случаях найти _ этот
спектр для произвольного з начения Кш и в интервал е
О<кш < оо не удается из-за сложности функции
f(t, Кш, 0ш) - Поэтом у оказалось удобным весь участок
изменения Кш разбить на два:
I)О<кш<I; }
(2.3)
2) 1<кш< оо.
Первый участок соответствует случаю, как это следует
из определения Кш ( 1.49), когда пиковое значение оги
бающей шума (помехи) Иш меньше амплитуды сигнала
Uc. Второй участок соответствует условию, ко гда
Иш>Ис . Эти два случая можно условно называть слу
чаями малого и большого шумов соответственно .
В ряде случаев для функции f (t, Кш, е ш) оказывает
ся возможным получить в этих интервалах более про
стые аппроксимирующие функции:
f1(f, Кш, (Эш) ДШI Кш<1•}
(2.4)
f2 (f, Кш, 0ш) ДЛЯ Кш> 1.
20
..
Вычислить спектры этих функций может оказаться лег
че. Так как в процессе передачи информации случайная
величина Кш все время изменяется, то будет переменным
и спе_ктр. Естественно получить усредненный по к ш
спектр . Если энергетический спектр функции f1 (t, кш,
Вш)-Gкш<I (w),афункции f2(t,кш,0 щ)-Gкш>l (w),
тогда усредненный спектр будет
<G(w)> = Gкш<I (w}Р(кш< 1)+Gкш>l (w)Р(кш> 1), (2.5)
где Р(кш<l)-вероятностьтого, что кш<l, а Р(кт>
> 11)· -- вероятность
того, что кш> 1.
Соотношение (2.5) является важнейшим соотноше
нием метода вероятностных весов. В общий же пр сцесс
расчета по этому методу входят нахождение функций
f1 и f2 в (2.4), вычисление спектров этих фун1щий
Gкш<l (w) и Gкш>l (w), определение вероятностей
Р (кш< 1) и Р (кш > 1) и подсчет среднего спектр ::i по
(2.5).
Очевидно, что чем точнее определены спектры для
функций f1 и f2, тем точнее получится и окончате,rьный
результат для < G (w) >. Тем не менее применительно к
определению спектра для системы связи с ЧМ (частот
ной модуляцией) в [14] предложено максимальное упро
щение, сводящееся к тому, что в Gкш < J (w) учитывается
только спектр сигнала, без учета шума, а в Gкш > ! ((о)
у читывается только шум . Несмотря на такое грубое
у прощение , полученное в работе окончательное значение
для <G(w) > по ф-ле (2.5) оказалось .близким к экспе
риментальным данным и к спектру, вычисляемому по ме
тоду «фазового скачка» Райса (см. [16]) .
Усреднение по кш, по - видимому, можно производить
на разных этапах вычисления: например, при вычисле
нии корреляционной функции, а также при вычислении
мо щностей сообщения и помехи на выходе приемника,
В последнем случае
РJ:. = Ркш<1Р(кш< 1) +Ркш>1Р(кш> 1),
(2.6 )
где PJ:.
-
общая мощность сообщения и помехи:
Ркш<l - мощность сообщения и помехи для случая
Кш <1; Pкw>I -то же, при Кш>l.
В описанном здесь методе вероятностных весов в ка
честве случайного параметра, по которому проводится
усреднение, взят Кш. Однако в качестве такого парамет-
21
ра могут быть взяты и другие случайные величины, опре
деляющие процесс. Далее, в § 2.4, посвященном анализ у
помехоустойчивости импульсных систем связи , мы столк
немся со случаем, когда усреднение вида (2.5) или (2.6)
делается по другому параметру. Аналогичный сл учай
встречается также при рассмотрении помехоусtоfl'rиво-
сти демодулятора с ОСЧ (обратной связью по частоте)
э.
f11].
Метод вероятностных весов применялся рядом авто
ров в основном при анализе помехоустойчивости систем
связи с различными вариантами ЧМ.
"'
Здесь также показано его применение в системах с
ЧМ, но выполненное более строго, а также и приме,нение
метода при других системах модуляции .
2.2 . ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПО,МЕХ В СИСТЕМЕ
СЧМ
Изложим решение «методом вероятностных весов »
классической задачи - определение сигнала и шума на
выходе обычного ЧМ приемника при ЧМ синусоидаль-
ной несущей широкополосным многоканальным сообще
нием. Такая модуляция и прием наиболее типичны для
многоканальных радиорелейных систем связи , работаю
щих в дециметровом и сантиметровом диапазонах волн
в пределах прямой видимости. В тропосферных системах
радиорелейной связи часто применяют ЧМ модуляцию с
ОСЧ на приеме .
Для облегчения анализа помехоустойчивости обычной
системы с ЧМ часто прибегают к упрощению, принимая
за модулирующее сообщение простой синусоидальный
сигнал (тон) . Естественно, что если в качестве модули
рующего сообщения брать многоканальный телефонный
сигнал, то решение существенно усложняется. Однако
если число каналов велико, то статистическая структу
ра многоканального сообщения становится наиболее
простой и решение задачи становится возможным и не
столь сложным. Отметим, что применение метода вероят
ностных весов возможно в любом случае, при любых
модулирующих сообщениях .
Сигнал и помеха на входе приемника. Первый этап
анализа заключается в том, чтобы конкретизировать со
отношение ( 1.48) применительно к системе с ЧМ. Это со
отношение отображает сумму модулированного сигнала
и помехи на входе приемника.
22
.,_
..
Полезный ЧМ сигнал удобно взять в виде
Uc (t) = Ис ei [(J)ol+ip(t)J'
(2.7)
где
(j) (t) = Лffim S(t). 1
S(t) = iU(t1 )dt1 •
(2.8),
Здесь И (t) - модулирующее сообщение; Лffim
-
мак
симальная девиация частоты. Если И (t) - многоканаль
ное сообщение, то доказано, что его можно рассматри
вать как стационарный случайный процесс, подчиняю
щийся нормальному закону распределения вероятностей,
плотность энергетического спектра которого определяет
ся соотношениями
Gu(Q}=G0= constпри·Q1<Q~Q2,}
Gи (Q} = О на всех других частотах,
где Q = 2лF - круговая частота.
Функция кор·реляци1и такого сообщения
Q,
Ku(.-) =
_!
_
\'Gu(Q)cosQtdQ=Go sinQ2,: - sinQ1't
2л.
•
2л,:
Q,
(2.9)
(2.1 О)
Средняя мощность такого сообщения ,с полосой час
тот · W = F2-F1, выделяемая на сопротивление 1 Ом,
Рсо = <И2 (t)> = Ku(O) = G0W.
(2.11)
Для помехи в виде белого гауссовского шума исполь-
зуем выражение ( 1.47).
.
Огибающая такого сигнала помехи, как было указа
но в разделе 1.4, подчиняется закону распределения
Рэлея
•
и~
р(и)_ Иш
-
2а'
ш ---е
а2
(2.12)
а фаза подчиняется равномерному закону распределения
р(0ш) = 1/2л.
(2.13)
В формуле (2.12)
(2.14)
.zз
т . е . является средней мощностью помехи в полосе при
ем'н ик а w Гц и ai -лл •о11нюсть э1нергетического •спекгра
помехи, т. е . мощность помехи, приходящаяся на I Гц
полосы .
Тогда результирующий сигнал на входе приемника
согласно (1.48) будет
"
U = Ис + Иш =Ис(eiQJ+·кше-i8ш)eiw01•
(2.15)
Сигнал в .(2.15) нетрудно представить в виде
u(t) = U1:(t)eiФ(t\
(2.16)
где
U1:(t) = Uc V 1 +к~+ 2кшсоs(ср + Е>ш),
~I,(f)_ f+ t siПер-Кшsin0ш
't'
,-
w0
arc g
.
.
cos ер+Кшcos0ш
(2 .17)
Рассматривая классический случай приема ЧМ коле
баний, предполагают в приемнике наличие идеального
ограничителя, который сводит . И1: (t) к постоянной вели
чине U~=const, а результат частотного детектирования
получается как первая производная фазового угла -
'I\J' (t) .
,
,
Сумма сообщения и помехи на выходе ЧД ( частотно
го детектора). Прежде чем взять производную от 'ljJ(t) в
(2.17), целесообразно сначала преобразовать выражение
в (2 . 17), причем, как оказывается, применительно к слу
чаям Кш< 1 и Кш> 1 удобно использовать разные по
форме исходные соотношения для 'ljJ ( t).
Нетрудно показать, что фазовый угол в (2.17) можно
преобразовать к виду
1jJ(t)= w0t+ер+arctg[- Кшsin(ер+0ш)].
(2. 18)
1+Кшcos(ер+0ш)
Т а кая запись удобна тем, что для кш< 1 выраже
ние для arctg разлагается в сходящийся ряд и 'ljJ (t) при
обре т ает форму
к2
кз
1jJ(t)= W0(t) + (j)- КшsinS+ _О:'sin2s- ~sinЩ+
2
3
где s= 1ср+ 10ш.
24
(2.19)
..
Взяв первую производную от 'ljJ ( t) в (2.1 9) , отбро сив
постоянную составляющую и учитывая (2.18), п олучим
для суммы сообщения и шума на выходе ЧД выр аже ние
t:'
Ив(t) = И(t)- _
\> - (кшcoss- к;11cos2s+кtcosЗs-...) .
Лшт
(2.20)
Соотношения (2 .19) и (2 .20) могут использо вать ся
для определения с п ектров сообщения и помехи на вы хо
де приемника. Практически ис п ользуются упрощенны е
соот н о ш ения, п олучающиеся в результате отбрас ыва ния
всех членов с Кш в степени, большей единицы. Такие уп
роще нн ые соотношения бrудrут 1без ~постоянной сост авляю
щей :
'lj)(t) ~ cp-кшsins ,
(2.21)
(2.22)
Для случая Кш> 1 удобным является предста вле ние
вы р ажения для 'ljJ(t) в (2 .1 7) в виде
'ljJ(t)=wt- еш
-
arctg [ (-!/кш) sin (ер + 0ш) ] . (2.23)
О
1+ (!/кш) cos(ер+0ш)
В этом случае arctg также разлагается в сходя щи йся
ряд и можно найти
'lj)(t) = (f)0f-0ш+ -1 sins-- 1
-sin2s + -1 - sinЗs- . ..
Кш
2К~
Зкt
(2.24)
Для достаточно больших значений Кш , как и в преды
дущем случае, можно использовать и такие у прощенн ые
соотношения:
'Ф(t)~- Е>ш+J__ sins,
(2.25)
Кш
(2.26)
Используя исходные соотношения (2.2 1) и (2.25) или
(2.22) и (2.26), можно найти энергетически й спектр су м
мы сообщения и шума на выходе ЧМ приемника.
Определение спектра сообщения+помеха на вы.ходе
приемника при относительно слабой помехе ( кш < 1) .
Здесь не приводится вычисление спектра , та к как т ако -
2:5
-вое выполнено во многих опубликованных работах. По
кажем лишь общую методику и порядок вычисления (бо
лее подробно см. (23 ]).
Будем искать спектр из упрощенного соотношения
для Ив (t), данного в (2 .22) так, как было уже отмечено,
при этом получаются практически достаточно точные ре
.зультаты. Однак,о, как ·можно убедиться, ~проще вычис
лить спектр для интеграла от Ив(t) f[см. (2.8)], т. е. для
Sв(t)= S(t) - ~siп[Л(J)тS(t)+0шJ,
(2.27)
Лwrn
а затем, зная этот спектр G s 0 (Q), получить спектр
Gu (Q) для Ив (t) по известной формуле
в
Gи (Q) = Q2G5 (Q).
(2.28)
в
в
Для определения спектра применим классический ме
тод, в соответствии с которьiм найдем сначала корреля
ционную функцию от S 8 (t).
Согласно теории корреляции, если функция S (t) =
=~Sv (t), то корреляционная функция S (t) будет
Ks('r:) = Li Kv ('t) + L, (- ] )v+~t Kvμ (-r:),
V=l,2 . ..
μa,'av
где Kv (-r:) - автокорреляционная функция от Sv (t);
(-1) v+μ Kvμ(-r:) - взаимная . корреляционная функция
от функций Sv (t) и S μ (t). В соответствии с этим прави
лом корреляционная функция от S0 (t) в (2.27) равна
сумме автокорреляционных функций от первого и второ
го членов и взаимной корреляционной функции от этих
двух членов. Однако, как показывают расчеты, взаимной
корреляционной функцией можно в данном · случае пре
небречь. Физически это можно понять из того факта, что
первый член в правой части (2.27) характеризует пилез
ное сообщение, а второй - характеризует в основно~1 по
меху, которые являются взаимно · независимыми .
Что касается функции S (t) в (2.27), то сразу · можно
получить спектр этой функции без вычисления ее корре
ляционной функции. Действительно, так как спектр И (t)
мн,ого:канальното сообщения изве,стен и ,дан в (2.9),
то спектр S (t) = JИ (t) dt будет в соответствии с (2.28)
G5(Q)=G0;Q2при Q1 -<Q~Q2,
·}
(2.29)
Gs (Q) = О для всех других частот.
26
Для нахождения спектра второго члена правой части
(2.27) найдем сначала его автокор~реля,ционную функ
цию. Обозначив этот член кратко через ~1 (кш, ·0ш , S),
для получения его автокорреляционной функции исполь
зуем выражение
~2n
/(rl
( ,;)
= .\ _)н_\ .\81(кшешS)81 (
кш,:, 0Ш"t' s,:) Х
----
о
-оо
Х Р(Кш, 0ш . S, Кш,:, 0ш-r• S,:)dкшdкш,d0шd0ш,:dSdS,: .
(2.30)
В этом выражении Кш, 0ш, S-значения этих трех слу
чайных параметров в момент времени t; Кш,, 0ш,:, S, -
з начения этих же параметров в момент времени t+1: ;
р(к ш, 0ш , S, Кш,;, 0ш-r ,S,) - шестимерный дифферен
циальный закон распределения этих параметров.
Так как параметры Кш, Кш-с, 0ш, 0 ш, независ-имы от
параметров S и S-r , то справедливо
Р(Кш , Кш,' 0ш , 0ш,,S,S,) =Р(Кш, к,щ, 0ш, 0ш,)р(S, S,: )·
Поскольку м ы рассматриваем помеху в виде гладкого
флуктуационного шума, подчиняющегося нормальному
зак ону распределения и такому же закону подчинено со
общение U(t), то, как известно, [1 , 3] в этом случае
1
[. s2+s~- 2Rsss,]
p (S, S1: ) = ------ехр ------
2лК5 (0) VI-R1
2Ks(O)(I-R1) '
р (Кш, K,u-r•
хехрr-
КшКш,:
0ш, 0ш,) = 4п2а4 (! -
,2) Х
к~+к~,- 2кшкш,: r cos(0ш,:-Еlш) ]
2а2(1- r2)
'
(2.31)
(2.32)
где К 5 (1:) -корреляционная функция от S(t); Ks (О) -
значение этой функции при 1: = О, равное среднему зна
чению квадрата <S2 (t) >; Rs = Ks (1:)/Ks (О) -коэф•
фициент корреляции; r=r(,;) -коэффициент , опреде
ляющий корреляционную функцию шума на выходе
УПЧ; cr2 = 0-5w дано в (2.14) ;
(2.33)
Z7
Вид коэффициента r(т) зависит от вида АЧХ УПЧ.
Бе ли характеристика идеальная с полосой w, то
r(т) = sinл:wт/л:wт.
(2.34)
Дл я многокаскадного УПЧ с одиночными контурами
мо жно принять гауссовскую форму А ЧХ , и тогда
(2.35 )
где w - эн е ргетическая ширина полосы спектра на вы
ходе УПЧ, равная примерно полосе усилителя.
Ра счет Ке, (т) в (2.30) выполняется теперь по соот
но ше нию
~2 1t
Х JJJJJJк~ к~, sin (Лwm S + Е>ш) sin ( ЛwmS, +
--- --
о
-00
(2 .36)
Ре шени е эт и х интегралов дает компактное соотноше
ние
а2г
Kf. (т) = --ехр{-Лw~[К 5 (0) -K5 (-r)]}·
'
2Лw~
(2 .37)
• Чтобы получить пригодную для дальнейших расчетов
фо рм улу для К 81 (т), необходимо найти сначала выра
жение через параметры сообщения для К5 (О) - К 5 (т).
Q,
Go scosQ,: dп
Из (2.29) получаем К5 (т) = -
--
~~- Отсюда
2л
Q2
(2 .38)
А нали з этого соотношения показывает, что для широ
ко пол осны х с истем с большим Лсu т и при большом от-
28
ношении Q2/Q 1 можно для (2.38) при учете (2.11) полу
чить следующее приближенное соотношение:
Go
ЛQ-r2
Ku (О) -r2
К5(О)-К5('r:)~2n · -
2-
=
2
,
(2.39)
где ЛQ = 1Q2-Q1. Подставив это значение в (2,37), полу-
чим
a2r
[ Ku(О)Лw~-r2 ]--
К(1:)=--ехр - - ----
е,
2Лw2
2
т
-
а2rKu (О) r Лw~-r2 ]
----ехр - - -
.
2Лш~
2
(2.40)
В этом соотношен,ии Л,wе = V Ku(0) 1Лwm есть эффективное
значение девиации частоты, часто используемое в прак
тике и н ормируемое на один канал при передаче много
к анал ьн ого телефонного сигнала по системе с ЧМ.
В зяв r (1:) в виде гауссовской кривой (2.35), оконча
тельн о п олучим
а2 /( (О)
К81 (-r) = 2л:2 ехр[- (~ w2 + 2n2Л f~) 1:2].
е
(2.41)
Теперь можно определить энергетический спектр по
мехи на выхо де приемника:
S"'
.
2a2Q2 Ки (О)
G (F) = 4Q2 К (1:)cosQ-i;d-i; = ---- Х
е,
е,
Л2
о
~
"'s -п (w2+2nЛf~) ,:,
Хе
cosQ"d -. .
о
Взяв значение интеграла по таблице, получим
Gе, (F) = ----:: ----,, -======= - -
Ku (O) F2
ехр [-
nр2 ]
2рЛf~V w2 +2nЛf~
w2 +2nЛf;
(2.42)
Здесь р= l/2cr 2 =Pc/Рш - сигнал/помеха на входе
прие мник а, если учесть, что мы проводим расчет для
норми ро ванного сигнала с единичной амплитудой и нор
мир ован ного шума с амплитудой -Кш [[см. (2.15)].
Значения частот многоканального сообщения и эф
фектив н ая девиация обычно удовлетворяют условиям
F « w и ble« w. Учитывая это, (2.42) можно упростить:
Ge, (F) = G0WP/ 2pЛf;w.
(2.43)
29
Спектр шума при отсутствии полезной модуляции по
лучим, приравнивая в (2.42) Ku(O) = 0 и Л(оm= 1. Тогда
получим
nF'
Ge,(F)=(f2/2pw)е w ~F2/2pw.
(2.44 )
Общий спектр сигнала на выходе приемника S~ (t)
[см . (2.27)], очевидно, будет для случая kш< 1
G"ш<I (F) = G0+G0IVf2/2рЛf~ w = G0 ( 1+Wf2/2рЛf~ w) .
(2.45)
Определение спектра суммы сообщения и помехи на
выходе приемника при сильной помехе (кш> 1). Для
этого будем искать спектр от выражения, являющегося
интегралом · (2.26), т. е. от
(2.46)
Нахождение спектра производной е~, т . е. от произ
водной первого ~лена в ф-ле (2.46), представляется труд
ным, но оно уже выполнено Райсом [15] и приведено в
[3]. . Этот спектр в наших обозначениях будет
оо
3
nF'
G0(f)= У2:rtw \1п-2е- 2nw' .
Лw2 /,J
т n=I
(2.47)
Учитывая, как и в предыдущем случае, что в реаль
ных условиях работы F«w, выражение (2.47) существен
но упрощается:
со
3
G (f)~У2:rt w~ п-2~~= 12wGoW ~Gowlf' .
(2.4S)
е
Лw~ n=I
Лw~ Лw~ ЗЛ f~
.
Чтобы определить спектр, соответствующий второму
члену в правой части (2.46), вычислим сначала корреля
ционную функцию от этого члена:
ке(т)= _1_
1--
1
х
•
Л(J)~ 2:rt Ks (О) 111 - Ri 4:rt2a4 (1 - г2)
_.. ~
2.n
Х SSSj' Sfsin(ЛcoшS + IЭш)siп (ЛсотS-с + еш-с) Х
-----
о
-
00
30
(2.49)
Несложные, но громоздкие вычисления после упроще
ний дают
Лю~,, оо
р---~
r2п+1
К (т)~--е 2
--
.
(2.50)
е2
4Лw2
п+1
т
n=O
Взяв вновь гауссовскую • частотную характеристику
для канала УПЧ и подставляя в (2 .50) ее выражение
{2.35), получим
}.J
oo
l
-
[ (2п+I) :rtw2 +2:rt'Лf;] ,: 2
К (т)~_Р_ --е .
е,
4Лw2
п+1
т n=O
(2.51)
Вычисление спектра по Кв, (т) приводит к соотноше
нию
Хехр[-_л_
f2- ]}.
(2n+1)w2+2лЛf~
(2.52)
Учитывая, как и ранее, что F « w и iЛife« w, получим
д алее
К (О) F''
G(F)~иР-
82
2Лf~ w
1,1Ku (О) р f2
Л f;w
00
'1-' -~
lJ (п+ 1) у'2п+ 1
n=O
l ,4G0F2\V 9
лf~ w
(2.53)
Общий спектр на выходе приемника при Кш> 1 будет
,_
суммой спектров - в (2.48) и (2.53):
= G0W (w+4,2рF2) _
зл t;
w
(2.54)
31
Общий спектр суммы сообщения и ~иума на вhtхо де
ЧМ приемника, определя емый по мето ду . вероя тностных
весов. Определив спектры Gкш<I (F) и Gкш>! (F), теперь •
можно найти общий усредн е нный спектр по ф- ле (2. 5) ,
для чего необходимо з нать еще вероятности Р ( К ш > I) и
Р (кш< I) = 1 -Р (кш> 1). Известно 1[3], что при флуктуа
ционны х шумах на входе приемника
Р(кш> 1) = е-Р,
(2 .55)
и, следовательно ,
(2.56)
где р=РclРш на входе приемника. Используя эти веро
ятности и выражения для спектров (2.45) и (2.54), п о
лучим для общего среднего сп е ктра
[
WF2
G(F)=G0 (1- е-Р)+ 2
2Лfe w
--е
---ре
.
+wW -р+l,4WF2 -pJ
зл f~
лf~ w
р
(2.57 )
Первый член в этой формуле дает плотность спектра
первичного передаваемого многоканального соо б щ ени я.
По мере уменьшения р=Рс!Рш , т. е. по мере относнтель
ного роста шума на выходе приемника, плотнос ть э того
спектра на выходе приемника непрерывно умен ь ша етс я ,
приближаясь к нулю . Таким образом, шум подав л я ет по
л езное сообщение. Одновременно с этим растут вто р ой и
третий члены в (2.57), характеризующие основ ные ком
поненты шума.
Имея значения плотности спектра G (F), м о жн о вы
числить мощности полезного сообщения и ш у ма на вых о
де приемника . Для этого необходимо взять инт егра л от
соотношения (2 .57) в полосе полезного с о обще ния, т. е.
(2 .58)
Выполнив интегрирование в полосе от О до f 2, кото
рая в широкополосной системе равна ~ W, пол учим
р=Рев+ршв=Рсо[(1-е-Р) + ~з
.
1-е-Р +
бЛfеw
р
--е
---ре
.
+wW -р+ wз -р]
ЗЛ f~
2Лf~ w
(2.59)
Здесь Рсо определено в (2. 11) .
32
-
..
J,
Отсюда значения мощности сообщения на выходе
Рев и мощности шума Р шв мо гут быть после .неб ош.ших
преобразований записаны таким образом:
Рсв=Рс0 (I-е-Р),
)
Ршв=Рсо(2дw/е)2[23:: 1 -ре-Р +::е-р +2;эре-р] .
(2.60 }
Для · удобства сравнения с некоторыми други ми рабо.,,
т ам и введем обозначение у = w/2W и, разделив Рев!Ршв .
получим такое соотношение:
Рев( W )2
Ршв2д/е= 1 1
2
1
1
р
-
-
+---+ ---
12'\'3 р Зу еР -1 4','3 еР -1
(2.61)
Из этого соотношения видно, что отношен ие сиг
нал/шум зависит от трех параметров: р, v и w/2 Лf e.
Очень удобна для расчетов формула, легко в ыводи
мая из (2.61); если учесть, что w/2Лfe=V ( W/Лfe) , и
разделить обе части соотношения (2.61) на мн ож итель
(w/2Лf J2= y2 (W/Лfе) 2, тогда получим
Рев (Лfе)2
Ршв=W
_1
____ 2'\'
-~~---р---
-
-
+--~- +------
12'\'Р 3(еР- 1) 4у(еР- 1}
(2.62)
При условии еР~ 1, что можно счита ть справ едл ивым
уже при р=2-с-3, вместо (2.62) можн о полу чи ть такую
у прощенную формулу :
Рев = (Лfe)2
12',' еР
Ршв
W еР.
- +8у2 +Зр
р
(2.63)
Отношение сообщение/шум в индивидуальном тел е
'ф онном канале. В практике нормируется мощность со
о бщения и шума и соответственно отношение соо бще
ние/шум в индивидуальном телефонном канале для мно
гоканальных телефонных систем связи (2] . Пок ажем, как
перейти от полученных выше формул для многок ан аль
ного сообщения к расчетным формулам для сооб щения
и ш у ма в индивидуальном канале .
Прежде всего, принимается, что в предела х и ндиви
ду а л ьного канала частота F постоянна и равна ср едней
2-21
~
частоте Fk для k-го канала. Тогда, исходя из соотноше
ния (2 .57) и используя (2.58), можно найти
Pck = Рсо (1- е-Р) е-2Рср,
(2.64)
р _Р (ЛFkFk 1-е-Р+wЛpke-P+
шk- со
?
.
2Лf~ w
Р
ЗЛ f~
_
_
_
ре
.
+ 1,4ЛFkF~ -р)
Лf~ w
(2.65)
В этих формулах Рck мощность сообщения в k-м канале;
Ршk - мощность шума в этом же канале; ЛFk
-
полоса
индивидуального ка1нала; Рср - уровень многоканально
го сообщения, методы определения которого можно най-
ти в [2, 24, 25].
•
Аналогично (2.64) определяется эффективная девиа
ция частоты, приходящаяся на один канал :
f~1 = Лf~е-2Рср.
(2.66)
С учетом этого соотношение (2.65) можно переписать в
виде
Ршk = Рсо е-Рср __
---+ 1,4ре-р + -- е-р .
2 ЛPkFl( 1- е-Р
•
w2
•
)
Лf~1 w 2Р
3Fk
(2.67)
Отношение мощностей сигнал/шум из (2 .64) и (2.67)
получим в виде
Pck .
ЛFkFk2 1
1,4р
w2
-+ -~~ + ----
2реР-1
ЗF~ еР- 1
(2.68)
Результаты расчета отношения мощностей сообще
ние/шум по полученным формулам и сравнение с расче
тами других авторов . Приведем, прежде всего, результа
ты расчета зависимости отношения PckfPшk от р=
=Ре! Рш для верхнего канала 60-канальной системы свя
зи с параметрами .: N-: -60 каналов; . ЛFk =3,1 кГц;
F1,;=250 кГц; w = 6 МГц; iЛ{e1= : lOO кГц; Рср = 8,7 дБ .
Расчет выполнен по ф-ле (2 .68). Результаты расчета
приведены на рис. 2, 1.
.
.
Как видно из ф-лы (2.68), отношение PckfPшk про•
порционально f;i , и, пользуясь кривой рис. 2.1, это отно-
34
t
-
.
:
,
w
е
л
-
f
/
:
8
,
r
J
Б
.
•
Р
,
,
,
{
)
_
"
1
1
~
4
0
1
1
1
~
1
0
1
.
1
1
~
2
0
1
!
1
,
,
~
!
О
/
~
1
.
,
,
1
/
у
,
,
,
,
'
1
'
I
/
1
/
/
/
,
.
.
,
.
,
,
,
r
2
0
1
5
1
0
J
о
-
5
-
!
О
"
1
-
J
-
2
-
1
О
I
2
4
б
8
!
О
I
Z
/
4
,
P
,
t
l
б
.
-
f
J
Р
и
с
.
2
.
1
Р
и
с
.
2
.
2
~
!
f
:
g
ы
о
б
)
2
Р
ш
б
(
-
2
М
е
,
r
=
1
f
O
Р
,
i
l
Б
~
'
J
J
в
(
_
w
J
2
1
2
:
Ш
8
(
2
Л
f
е
/
,
8
5
I
I
O
1
0
0
g
o
[
=
!
0
3
-
-
/
/
7
8
0
7
0
б
!
J
5
0
4
0
3
0
2
0
/
I
/
/
/
,
~
~
"
;
.
f
1
0
l
.
f
J
J
,
r
J
б
Р
и
с
.
2
.
3
шение легко вычисляется для любого значения р п
Лf ei. Пороговое значение р лежит в пределах 9-11 дБ.
Вычислим также кривые, отображающие соотноше -
,
ние (2.61) для узкополосной (у= 1) и широко п олосной
(у= 103 ) систем. Эти кривые приведены на рис. 2.2 и 2.3 .
Они весьма близки к кривым, приведенным в {26], если
ещ,~ у честь, что в этой работе взята максимальная девиа -
~
ция of. Наши кривые вычерчены при эффективной девиа-
ции м ногоканального сообщения Лlfe= ,Лfm/2, что ре -
ально .
Приведенные количественные оценки, полученные по
«мето ду вероятностных лесов» свидетельствуют о том,
что метод дает точность в оценке шумов не меньшую,
чем др у гие методы, и позволяет определять пороговое
знач е ние отношения р = Рс! Рш при различных парю,,rет
рах системы связи.
2.3. ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХ В СИСТЕМЕ
САМ
Представляет интерес применить «метод вероятност
ных весов» к анализу помехоустойчивости системы с АМ.
Эта система не является пороговой при наиболее типич
ных значениях р;?: 1 1, что и подтверждают «метод вероят
ностных весов» и возможности его широкого при\1ене
ния.
Как показано в ( 1.43), АМ сигнал имеет вид
Uc (t) = ис(1 +Ми(t)]eiro•t.
Помеху, как и ранее, берем в виде (1.47). Суммарный
сигнал на входе приемника в соответствии с ( 1.48) будет
U(t)= Uc(t)+Uш(t)= ис[1+Ми(t)+Кше-iеш]Х
Хeirool = ис[1+Ми(t)+KwCOS0w - iKwSin0ш] Х
Х eirool = исV[1+ми(t) +КшСОS0ш]2 --t к~sin20w Х
х ei (ro.t+чJJ '
где
'Ф=arcg - - --~-~--
t[
Kшsin0ш
]
!+МИ(t)+Кшcos0w
•
(2.69)
(2.70)
1 В кривых на рнс . 3 и 4 работы [26] ошибочно указано , что
по оси ординат откладывается величина Рс/Р (2бf/Лf). Фактически
откладывается величина Р с/Р ш (Лf/2бf).
36
,L
Таким образом, суммарный сигнал на входе приемни
ка можно рассматривать как синусоидальный сигнал,
модулированный по амплитуде и фазе одновременно.
Амплитудный детектор огибающей реагирует лишь на
изменения амплитуды. Если детектор линейный, кото
рый используют в большинстве случаев, то на выходе
детектор а получают суммарное напряжение сигнала и
шума, ра вное
Е(t) = аИсV [1+МИ(t)+Кшcos0wJ2+к7лsin20w =
= аИсVР + МИ (t)] 2 + 2кш[l + МИ (t)] соs<Эш + к~. (2.71)
Здесь а - постоянный коэффициент.
Как и для ЧМ системы, рассмотрим два случая :
Кш<1 И Кш>1.
Случай Кш< 1. В этом случае, пренебрегая величиной
к~ под корнем в (2.71 ), получим упрощенное соотноше
ние для Е(t):
E(t) = аИс [l + MU(t) + KwCOS0wJ )
(2.72)
Анализируя это соотношение, видим , что полезное со
общение отображается вторым членом в (2.72):
Ее(t)=аИсМИ(t),
(2.73)
а помеха отображается третьим членом
Еш(t) =аИскш cos0w.
Найдем спектры Ее (t) и Еш (t) .
(2.74)
Р ассм атривая и здесь случай модуляции многока
нальным сообщением, спектр которого определен в (2.9) ,
для спектра Ее (t) получаем очевидное выражение1
Gc(Р) =а2И~М200•
(2.75)
Спектр Е ш (t) вычисляется немного более сложно .
Согл асно (1.37 ) произведение кщсоsЕ>ш=Аш(t) и, кай
показано в ,[l], корреляционная фую{ция от Аш (t) равна
a2r('t) , что дает для (2.74)
(2.76)
1 Надо иметь в виду, что G0 здесь безразмерная величин э, по
скольку это спе ктр функци и И (t) - безраз ме рной ф у нкции .
37
Как и для ЧМ систем, возьмем выражение для r (.- ).
соответствующее вероятностной характеристике усилите
ля, т , е. в виде (2.35). Тогда вместо (2.76) получ им
а2 u2
к ()___с
-:n:w21:2
ш.-
-
е
.
2р
(2.77)
Тогда для плотности спектра шума получим выражение
оо
а2 U2 - :n:F•
Gw(F) = 4JKш(i;)cosQi;di; =
__
се w'
wp
о
Суммарная плотность спектра будет при кш< 1
(
:n:F2)
0. (F)= a2u2 M:iGi _I
_
e---;;
кw<1 .
с
ОТ
•
wp
(2.78}
(2.79 )
Проинтегрировав это соотно ш ение в полосе сообще
ния, получим вьiражение для мощностей
Рк<I =a2U~M2G0(F2-
.F1)+a2 U~ -
1-Х
w
2р
>< [Ф( V:F2 )-Ф(V:F1)]z a2U~ _
(М2Рсо + pww) . (2.80)
Отношение Рсвf Ршв легко следует из (2 .80):
Рев=м2р~
= м2р
~ !_.Е_
(2.81 )
Ршв
со\17р
соW·Рш '
где Р с - мощность несущей сигнала на входе приемни
ка; Р ш - мощность шума на входе приемника. В п р оцес
се АМ эффективная мощность сигнала
Рее= Pc(l + М2/2).
(2.82)
Подставив в (2.81) значение Р с из (2 .82), получи м
Рев
Ршв
__
М_2_· -
~
р _Рее
М2WсоРш•
1+-
2
(2.83)
• Учитывая,
что в АМ приемниках w~2W, и взяв
М = 1, получим Р св! Ршв ~ 1,ЗРсо (Рее !Pw). Есл и моду
лирующее сообщение - синусоидальное колебан ие, тог
даРсо=0,5и
(Рев/Ршв) ~ (2 /З)(Рсе/ Рш).
(2.84 )
Таким образом, АМ практически не дает вы игр ыша
для отношения сообщение/шум на выходе прием ник а по
38
.,_
сравнению с отношением · сигнал/шум на входе при
емника .
Слу ча й кш»!. В этом случае в соотношении (2 .71) мы
можем пренебречь под корнем членом [l+MU(t)]2 по
сравнению с другими членами. Тогда получим для смеси
сообщения и шума на выходе выражение
Е(t) = аИс{кш+[1+ МИ(t)Jcos0ш}-
(2.85)
Для нахождения сп ектра сигнала, выражаемого со
отношением в фигурных скобках, необходимо найти сна
чала кор реляционные функции от Кш и О +м И (t) ]cose ш·
Корреляционная функция для огибающей шума (соот
ветствующей нашей нормированной огибающей Кш) вы
числял а сь рядом авторов [1, 3]. Она равна при симмет
ричной п олосе канала
:rю2[ (1)2 (1)2
]
Ккш(-т:) = - 2
-
·
1+2.r2+2-4 r4 • ,••
(2.86)
Первый член ряда соответствует постоянной состав
ляющей и не представщ1ет интереса. Ряд быстро затуха
ет, п оэтом у возьмем приближенное значение для Ккш (-т:)
К1, (-r)~'Jr,(J2 1·2/ 8 • :n:r2 ('t)/16p.
(2.87)
ш
Тогда спектр аИскш будет
;ri:~2 и~ со\
2лw'"t" •
:rta2 u2 зtF'
Ок (F)= -- е-
cosQ-т:d-т:= _ се 2 w' . (2.88)
ш
4р ._,
8у2рw
о
В ычи сли м теперь спектр произведения аИс [1 +
+М И(t) ] соsЕ>ш - Так как U(t) и 0ш -взаимно независи
мые слу чайные функции, тогда в соответствии с ( 1.42)
ко рреля ционная функция от произведения равна произ
ведению корреляционных функций сомножителей .
Корреляционная функция от О+МИ(t)] при многока
нальном сообщении И (t) имеет вид, приведенный в
(2.10 ).
Корреляционная функция от cos ,Е)ш вычислена в [3], и
ее приближенное значение
Kcose (-т:) ~ л 1· (т)/8.
(2.89)
!11
Спектр произведения [l +м И (t)] cos0 ш тогда будет
39
(2.90)
Учитывая, что в практике обычно аргументы функции
,_
Ф(х) -х малы, можно принять Ф(х ) ~ ( 2/Vл) х,
и тогда найдем
a2U2M2G :rtw
Gпp(F)~ с O
(2.91) .
4w
Суммарный спектр будет по (2.88 ) и (2.91)
(2.92)
Проинтегрировав в полосе, получим для мощ ности
на выходе
(
р
2и2( мzрсо:rt \\7 +
~а
кш>l~ с\ 4w
пW ) a2U~n
BY2wp
=-4- х
(2.93)
Здесь нет полезного сообщения . Фактически здесь
имеем спектр сложной помехи.
Общее выражение для мощности сообщения и шума
на выходе АМ приемника, получаемое по «методу вероят-
ностных весов».
П риме~няя «метод вероятностных весов»
(2.80) и (2.93), получим
р_ 2u2[(м2р +_!_) ( -р)+(.пМ2Рсо
-
ас·
со
1-е
4
pw
п ww)е-Р].
+ 8'r2
.
,,,
р
Полезное сообщение и шум будут
Рев= а2 И~М 2Рсо (1-е-Р),
Ршв = a2U~ [ w (1-е-Р) + _п_м_2Р_со__W_ е-р +
1е1 r
4
w
+_в_-V_п_2_р_ -: - е-р ] ·
40
и испол ьзуя
(2.94)
(2.95)
Тогда отн ошение сообщение/шум можно получить в виде
w
w
п
:rt М2Рсо
(2.96)
1+ 8J/2(еР-!)+ 4
р
Возьмем М= 1, w /W= 2, Рсо = 1/2 и, считая, что сооб
щение - п ростое синусоидальное колебание, получим
Рев
Ршв
р
:rt
:rt
р
1+8у2(еР- 1)+8 еР- 1
(2.97)
Уже п ри р:;;, 1 можно пренебречь вторым и третьим
членами в знаменателе (2.97) - по сравнению с единицей ,
и тогда Рев!Ршн~Р-
Т ак и м образо м, соотношение (2 .97) наглядно показы
вает, что только при р< 1 может возникнуть ситуация,
подобная пороговой.
При р «:: '1, как следует из (2.97) ,
Рев/Ршв ~ 2р2/(О,55 + 2,78р).
(2 .98)
Т аким образом, АМ система не имеет порога при
в стреча ющ ихся практических значениях р .
С по мо щью « метода вероятностных весов» успешно
р еш ен ы з адачи по помехоустойчивости и определению
порога бол ее сложных систем, таких, например , как
ЧМ си стем ы с ОСЧ {11] и со следящим гетеродином [13].
С ледует отметить, что анализ помехоустойчивости
р аз ли чн ых систе м осуществляется всегда при условии,
ч то п о м ехи , поступающие на приемник, относятся к глад
ким ф лу кту а ц ионным помехам, подчиняющимся нормаль
ному за ко ну распределения вероятностей. При анализе
влия ния ш умов , подчиняющихся другим законам, можно
применить тот же метод, в том же порядке, но результа
ты б у дут, естественно , другие .
2 .4. ПР И1М ЕНЕНИЕ «МЕТОДА ВЕРОЯТНОСТНЫХ ВЕСОВ»
К ОЦ ЕНКЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ СВЯЗИ
П р и менение дл я таких систем «метода вероятностных
весов » им еет свою специфику. Эту специфику здесь и
хоти м п о к азать на примере анализа системы связи с
ВИ М (вре мяимп ульсной модуляцией).
С у щность этой специфики кратко можно пояснить
следующим образом.
41
Как известно [2], в системах связи, использующих , на
пример, ДИМ (импульсную модуляцию по дл ит ельно
сти) и ВИМ, шумовая составляющая сообщени я н а вы
ходе приемника имеет два компонента. Один ком понент
определяется смещением (флуктуацией) краев и м п у льса
помехой. Другой появляется от того, что при дост а точно
большом уровне помех, превышающем определ е нный
пороговый уровень, могут появиться ложные и м пульсы,
а часть полезных импульсов, несущих передаваем о е со
общение, пропадает. В системах со стробирован и ем на
приеме, когда приемник открыт лишь на время о жидае·
мого прибытия полезного импульса и закрыт в о ст альное
время, имеет значение лишь компонент шума о т пропа
дания импульсов, несущих сообщение. Как по каз ывает
анализ, одновременно с ростом этого компонент а шума
снижается эффективная мощность полезного со об щения.
Отсюда следует, что вероятность пропадания п олезных
импульсов и определяет роль одного и другог о компо
нента шума и величину сообщения . Эта . вероя тно сть и
должна поэтому использоваться в «методе вер о ятност
ных весов»вместоР(кш<l) илиР(кш>l) . О че видно ,
эта вероятность может быть $аписана:
q=Р(Ис+Иш<Ипор),
(2.99 )
где И с - напряжение полезного сигнала на вх оде дис
криминатора
импульсного
детектора
пр и емника;
И ш- напряжение помехи на том же входе и Ипор - поро-
говый уровень.
-
Если Ис+Иш<Ипор, импульс на выходе дис кр ими
натора не появляется . Если ис+Иш>Ипор 'им пульс Н1>
выходе появляется . Так как полная система соб ыт ий со
держит только два события - появление и неп оя вление
импульсов, то вероятность появления импульсо в будет
равна 1-q.
Подробный вывод соотношений, характеризу ющих
помехоустойчивость импульсных систем, можно н айти в
[2, З] и др. Здесь будем использовать в основном р аботу
(27], которая изменена и далее развита в [2] (гл. 12 11 14).
Случай слабой no,11,exu. Рассмотрим сн~чал а лишь
случай относительно слабой помехи, когда величи но й ве
роятности q можно пренебречь и влияние помех и прояв
ляется лишь в смещении краев импульса. Данно е рас
смотрение относится как к системе ДИМ, так и ВИМ,
при которой обычно имеет место на приеме снача ла пре
образование ВИМ в ДИМ, а затем уже извлече н ие по-
42
лезного сообщения путем пропускания модулированных
"
импул ьсов через НЧ фильтр.
Зак он распределения вероятностей временного сме
щения кр аев импульса может быть различным в зависи
мости от вида помехи, но, как доказывается, при любом
распредеJ1ении справедлива следующая •формула для
расчета мощности шума на выходе приемного демоду
лятора:
Ршв~ = 2WpUБD [х] .
(2.100)
Зде сь W - полоса НЧ фильтра на выходе демодуля
тора; р - тактовая частота; U0 - высота (амплитуда)
импульсов и 1Д[х] - дисперсия смещения края импульса
помехой. -
Учитывая, что помехой, смещающей край импульса,
является флуктуационный шум на входе приемника,
можно п оказать [2 ], что
.
2
D [х] = (:~w)2 = (д~ш)2 •
(2.101)
дtо
дtо
В этой формуле значение производной берется в точ
ке огр ани чения, которая обычно выбирается на уровне
максимальной крутизны края импульса.
Ф ормулы (2.100) и (2.101) справедливы при смеще
нии одного края импульса, что обычно имеет место при
ВИМ, т ак как в результате преобразования ВИМ в
ДИМ другой край им пульса, модулированного по дли
тельности, фиксируется . Если импульсы после ограничи
теля представляют собой лишь исправленные импульсы,
модулированные по длительности, то помеха может воз
действ ов ать на оба края импульса. При ДИМ импульсы
берутся достаточно широкими, поэтому, рассматривая
помеху в виде флуктуационного шума, можно считать,
что оба края импульса смещаются независимо. В этом
случае мощность шума равна удвоеН1ной мощности, вы
числяемой по ф-ле (2.100).
Подставив (2.101) в (2.100), получим
2WрИБРш
Ршв= -----
(дИ/дt)5
(2. 102)
В практике •удобно использовать видеоизмененную
формулу, которую получим, умножив числитель и знаме-
43
2.
нательв (2.102) наРе,: 0 , где Ре-средняя мощность
поступающей на приемник импульсной последовательно
сти; ,: 0 - длительность немодулированн о го имп ульса при
ДИМ:
(2.103)
где р = Р el Рш на входе приемника ; Кф - коэффициент
формы импульса:
к.~,5(д~): ПU'(l)dt,
(2 .104)
если учесть, что средняя мощность входного импульса
сигнала
т.
Ре= N: sU2 (t)dt,
(2.105)
о
где N - число индивидуальных каналов системы .
Амплитуда полезного сообщения на выходе НЧ
фильтра
Исв1=И0рМт0
и мощность
u2 р2м2 т2
о
о
2
(2.106)
(2.107)
Складывая (2.107) и (2.103), получим мощнnсть
смеси сигнала и шума на выходе приемника при условии
относительно малых шумов, действующих лишь на сме
щение краев импульсов:
P-z, = Рсвl + Ршвl = U6р2Л;t2т5/2 + \'{1Np2U6,:2JкФP· (2.108)
Отношение Р ев1/Ршв~ будет
Рев1/Ршвl = KфM 2p/2NVJI.
(2.109)
Случай большой помехи. Наличие большой помехи
приведет не только к смещению краев импульсов, но мо
жет вызвать пропадание части сигнальных импульсов и
появление лишних, ложных импульсов в промежутках
между сигнальными им п ульсами. Имея в виду синхрони
зированную систему приема, в которой ложные проме
жуточные импульсы не принимаются, дополнительные
шумы на выходе приемника обусловливаются л ишь про-
44
----:------ - ·-------
падением части сигнальных импульсов. В этом случае
~
мощности i[2] сообщения и шума будут иметь значения:
..
Рев2 = О,5И5р2М2.-6 (1 - q)2,
(2. 110)
Ршв2 =2Wрт5И5q(l-q).
(2. 111)
Легко убедиться, что относительное з начение этих
шумов очень велико. Действительно, из (2. 11 О) и (2.111)
получим
Рсв2fРшв2 = (pM2/4,J7) ( 1 - q) Jq.
(2.112)
Пусть M=l, p/W = ,3 и q~l. Тогда
(2.113)
Для междугородной связи норма на это отношение
равна ,,.___, 52 дБ.
Тогда из (2.113) находим , что эта норма мож ет б ыть
обеспечена лишь при q=2,5• 10-6 , т. е . должно про па
дать не более 2,5 импульса из миллиона .
Сравнивая соотношения (2.107) и (2.11 О), вид им, что
при Q-+0 ф-ла (2. 11 0) переходит в (2 .:107) , т. е. ф-ла
(2.11 О) является более общей, отображая подавление по
лезного сообщения при большом шуме.
Как показано в [27} и [2], выпадение части q имi1уль
сов снижает мощность автокорреляционных импульсов в
( 1 - q) 2 раз, что показано в ф - ле (2.110). Учитывая это
и принцип вероятностных весов, следует ввести множи
т ель ( 1 - q) 2 и в ф-лу (2.103). Тогда можно записать
следующее соотношение для суммарной мощности со об
щения и шума на выходе приемника :
u2р2м21:2
Р:Е= (Рев1+Ршв1)(l-q)2+Ршв2= О 2 О (l - q)2+
WNp2u2 ,2
+
0 0 (l-q)2+2WpU2 .-
2 q(l-q).
(2.1 14)
Кфр
ОО
Первый член этой формулы дает мощность полезного
соо_бщения, а два других члена - шум . Отношение мощ
ностей сообщение / шум будет
• Рев~
М2р
-- --~ ---
Ршв 2,vN+ 4\\7рq
Кф
p(l-q)
{2.11 5)
Из этой формулы видно, что если вероятность q
о чень мала, тогда Рев!Ршв пропорционально р, равному
45
отношению мощностей сигнал/шум на входе дискримина
тора приемника.
Величины q и р взаимосвязаны, поэтому целе_сообраз
но выявить эту связь, чтобы полу ч ить зависимость
Рев! Ршв только от одного параметра р.
Связь вероятн,ости q с р. Согласно Райсу [28} вероят
ность пропадания импульсов (2.99)
и2+с2 со
q=Р(Ие+Иш<Ипор) =e--
2 - E(7/I/c,u) (2.116)
i=I
где I i (х) - модифицированная функция Бесселя;
с~VРепнкfРш, U=hc = h VРепи~,/Рш И h=Ипор!Ие ОТНО·
сительный уровень ограничения (относительный порого
вый уровень). Подставив значения с и и в (2.116), по-
лучим
-
I+h' Ре пик
00
q = е- -2- -;;;;;-~h/;(hр;:ик).
i=I
{2.117)
Так как в практике обычно всегда h = (Р епик/Рш) » 1,
то можем воспользоваться асим п тотическим выражением
дляIi(х) прих~1: !;(х) =ех/ J/2пх ,тогда
iz _Р_еп_и_к
(
Рш
/ i h Ре;~к ) = _ _ е==::::::~::::::.::-~
V 2 ,t hРепик
.
Рш
Подставив это соотношение в (2.117), получим
_
(1-h)' Ре пик
(2.118)
Так как h<1, то
Кроме того, введем преобразование Ре пик/Рш =
=
(Ре пик/ре). (Ре!Рш) =Кр, где К=Репи~JРе есть ПИК·
фактор сигнала, т. е. отношение его пиковой мощности к
средней. При этих соотношениях вместо (2.118) получим
46
..
е
(l-/1)•
---кр
2
Vli
q= -==---
--- -
V2n: (l -/i)
Vкр
Эту формулу кратко можно записать так:
в ,/-
q=Ае-Р;rр,
где
А= -Vh! -V2:rtк(l - h),}
В= О,5(1-h)2 к .
(2.119)
(2.120)
(2.121)
Таким образом, связь вероятности q с р определена
и можно вернуться к соотношению (2.115).
Окончательное соотношение для Рев!Ршв- Подста
пив в ф - лу (2.1 lб) значение .q из (2.120) , получим
2WN
4WрАе-Вр
-- + --~---
Кф
Р (Vp-Ae-BP)
(2. 122)
Выведем также соотношение. необходимое для расчета
'to
пикфактора к. Так как Рспик=0,5ИgиРс=0,5Nр _\И2 (t)dt,
о
где И (t) - огибающая импульсов, то
(2. 123)
•о
Для прямоугольных импульсов JИ6dt=И6't'o, и тогда
Для треугольного импульса получим
к = 3/Np т:0•
(2.124)
(2. 125)
Пример расчета зависимости Р ,в!Ршв= f (р). Произ
ведем расчет для треугольных - импульсов 24-кана.r~ьной
импульсной системы с параметрами: М = 1; р = 8 - 103 Гц;
N =24; W =3,4 кГц; -r:<,=2 · I0- 6 с; h=0,5 .
Вычисления дают:
Кф = ,12/.-0.=6-106, А = l /:rtK"'='5, K=3/Np. -0 =8, В= 1.
47
Тогда
Рев
Р
-
~ -------'-- - -- -
Ршв 27-10-З +
Sp
1(реР-5
(2 .1 26)
При р > 4 можн о в з ять упрощенное соотношение
Рев
Р
-~
-
Ршв 27·1о-з+8уре-р
(2.127)
'
С леду ет учитывать , что ф-лы (2 .122) , (2.126) и
(2 .12 7) с праведливы только при относительно большо м
р, п о кра йней мере, при р~2, так как только при это м
услов ии можно считать, что h(Репикl Рш) » 1.
Ре зул ьтаты расчета представлены на рис. 2.4. Пр и
взяты х у словия х пороговое значение р лежит в преде л а х
!f:g ,iJБ
Рш!J
28
2Б
24
22
20
18
16
14
12
fD
/
/
8
б
4
2
о
/
/
/
;_2/ '-1- 5
1
1
Рис. 2.4
/v
/
,/
/
/
/
/
)
/
-·
/
б78~!О!!JJ,tlб
1
1
1
1
11
9- 11 дБ, что соответствует известным эксперимента ль
ным да нным .
Вы в еденные в настоящем параграфе соотношен и я
могут б ыть несколько уточнены путем учета АЧХ трак
тов УВ Ч и УПЧ , но эти уточнения не дают существенны х
попр аво к.
48
---~- - - - - -~--------------------------
ГЛ А В А 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПО МЕТОДУ
НУЛЕВОГО ОТКЛОНЕНИЯ
:З.1. ОБОСНОВАНИЕ УСЛОВИЯ НУЛЕВОГО ОТКЛОНЕНИЯ
В теории потенциальной помехоустойчивосjи
:В. А. Котельниковым 1[31] показано, что в идеальном
приемни ке обеспечивается минимум среднеквадратич
ного отклонения :
т
2
<[х (t)-Au (t)J 2> = +J[х (t) -Аи (t)]2 dt.
В это м выражении
~=А(t, U0) +N(t),
т
2
(3.1)
(3.2)
,где А (t, ИO) - полезный сигнал на входе приемника,
промодул и рованный сообщением И O = И O (t), и N (t) -
флуктуаци онный шум на входе приемника.
Аи (t) =А (t, И) формально выражается, как и полез
ный сигн а л, на входе приемника с той разницей, что он
,модулир ован сообщением И = И (t) на выходе приемни
ка, включающим в себя и шум.
Доказ а в условие минимума (3.1), В . А. Котельников
не делает его исходным для вычисления И (t). Он нахо
дит сообщение на выходе идеального приемника и соот
~зетственно составляющую шума на выходе иным спосо
бом. Зад а ча практически решается им до получения кон
кретных ф ормул для расчета шумов в случае малых от
носительн ых значений флуктуационных шумов на входе
приемни ка . Однако, очевидно, что, по крайней мере, фор
мально м а тематически можно искать условие минимума
интеграл а (3.1) без наложения каких-либо ограничений
на величину шумов и на их физические свойства. Это
означает, что условие минимума интеграла (3.1) можно
взять в ка честве исходного условия для идеального прие
ма при воздействии на сигнал любого вида помех.
49
Нахождение подынтегральной функц ии, обеспечиваю
щей минимум определенного интеграла , является , как
известно, задачей вариационного исчисления. Н е нала:-
•
гая никаких других ограничений на подынтегральную
функцию, кроме требуемых вариационным исчислением,
можно найти общее решение.
Известно [32], что условиями пол у чения экс тремум а:
•
~штеграла вида
t.
J = SФ[ер(t), 'Ф(f), ер'(t), 'Ф'(t)Jdt
t,
являются соотношения
дФ/дх-d/dt(дФ/дх') = О,}
дФ/ду-d/dt (дФ/ду') = О.
Здесь
х = ep(f), }.
у= 'Ф(t)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
-
параметрическое представление искомой линии, а
х' = ер' (t) и у' ='Ф' (t) - производные по парамет ру t.
В нашем случае
Ф(t) = [х(t) -Аи(t)]2,
(3.6 )
и применительно к воздействию флуктуационны х помех
нас интересует связь между
х= N(t)иу= И(t),
где N (t) - флуктуационная помеха; И (t) - искомая
функция, воспроизводимая приемником.
Поскольку в данной задаче функция Ф (t) не зависит
явно от, х' = N' (t) и у' = И' (t), то у,словия (3.4) примут
вид
дФ дФ
дх ду
(3.7)
. Применя я
условия (3 .7) к функции (3 .6), ко тnр ая в
более развернутой форме равна
Ф(t)=[A(t, U0 )+N(t)-A(t, U)J 2 ,
(3.8)
получим
дд: ::=2[A(t, U0 ) +N (t) - A(t, U)J=O;
дд;=::=2[А(t, U0 )+N(t)-A(t, U)]дА~~ И) =0.
50
~-=-------------------------------
Отсюда видно, что условием минимума интеграла
( 3.1) в с амом общем случае является условие
A(t, U0)+N(t) - A(t, И)=О.
(3.9)
Это у словие и будем называть условием нулевого
._ ,отклонения. Представляется, что полученный результат
являет с я справедливым, по крайней мере, для конечного,
хотя и большого интервала Т в (3.1). Кроме того, он
п редставляется физически понятным в качестве прибли
жения, п о крайней мере, для случая сопоставимых зна
чений в еличин сигнала и помехи. Чтобы оценить реаль
ные пре делы его применимости, следует вывести из усло
в ия (3.9) формулы для расчета шумов на выходе прием
ника и р езультаты расчета по этим формулам сравнить
с таковыми по ранее известным теоретическим формулам
и с экс п ериментальными данными, что и выполнт1ется
далее.
...
:3 .2 . МАЛЫЕ ФЛУI(ТУАЦИОННЫЕ ШУ.МЫ
Пол у чим из (3 .9) исходнуiQ формулу В. А. Котельни,
кова, сп раведливую для малых флуктуационных шумов .
Пол ожим
(3.1 О)
где Л И - приращение модулирующего сообщения за
,с чет м а лых относительных шумов на входе приемника.
Так как в этом случае, как правило, ЛИ тоже мало отно
·сител ьн о U0, то, положив приближенно
A(t, И0 +ЛИ)=А(t, U0)+ЛИА~0 (t, И0)
(3.11)
и подст авив это в условие (3.9), найдем
N(t)-ЛИА~(t,И0) =О
о
и, таки м образом ,
ЛИ= N(t)/A~ (t, И0).
•
о
(3.12)
Так I<ак N(t) и А (t, U0 ) - независимые функции вре
мени, то можно усреднить ЛИ поочередно и раздельно,
,о ткуда и получим, что
лис= N(t) / V<(д~ у>,
(3.13)
где ЛИс - означает усреднение только по производной
сигнал а .
51
Из (3.13) вытекает, что спектр мощности ЛИ с есть
спектр мощности N (t), деленный на постоянну ю величи-
~
ну< (dA/dU0)2>, т. е.
а-=cr-
<-
.
9
0/ (дА)2>
шв
ш
дИо
(3.14)
Выраженне (3.14 ) 11 было найдено Котельн иковым, в
нем а~- интенснвность спектра шумов на вхо де п р ием-
ника, а а ~в - 11нтенсивность спектра шумов на выходе .
идеального прремника . Далее найдем неско ль ко иное
соотношение для малых шумов из рассмотрен ия более
общего случая про11звольных по величине шум ов.
3.3 . БОЛЬШИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ШУМЫ
Теперь найдем значение ЛИ из (3 .9), не де ла я допу
щений относительно малости шумов. В это м сл у чае
удобно решать задачу для различных видов мо дуляции.
АМ (амплитудная .модуляция). Для д анн ог о вида
~юдуляции можно написать с учетом ( 1.38) :
A(t, И0) = А0 (1 + MU0)sin((!)0 t + а);
)
А(t, И)=А0(1+ МИ0+ МЛИ)sin((1)0t+а);
N(t)=Acos(!)0 t+Bsin(!)0 f , .
причем
Иш=VА2+В2
-
огибающая ш у мов в полосе приемника .
Подставив соотношения (3.15) в (3.9) , получ и м
Аcos(1)0t+ Вsin(1)0t= А0МЛИsinаcos(1)0t+
+ А0МЛИcosаsin(1)0t.
(3.15)
(3. J6)
Это равенство д олжно выполняться для лю б ог о мо
мента времени, поэтому А =A 0 MЛUsina , В = А 0 МЛ Исоsа.
Возводя эти равенства в квадрат и скл а дывая с у ч етом
•
(3.16), получим
Л ИАМ = Иш!МА0•
(3.17)
Отсюда следует, что спектр мощности ЛИлм - это
спектр мощност11 огибающей флукту ационных колебnний
шумов, уменьшенный в каждой точке в M 2At р аз, т. е .
Gш0 (F)=Gu (F)/M 2A5.
(3.18)
w
52
-----------------------
Спектр огибающей можно найти, вычислив сн ач ала
коэфф ициент корреляции огибающей. В соответствии с
[1] коэффициент корреляции огибающей
:n; [(1)22(1)24 -
]
Rш(1:) = -- -
Р+- Р+····
4-:rt
2
2-4
(3.19)
Ограничиваясь для упро щения первы м членом раз- .
ложения в (3.19), получим
:n;
2
4 (4-:rt) р '
(3.20)
где
р = r(1:) = siп:п:w1:/:п:w1:
(3.21)
пр11 идеально прямоугольной форме частотной характе
р истики приемника с шириной w, Гц .
Тогда спектр флуктуаций с учетом (3.18) будет
00
4cr~ \
:n;cr2
Gшв (F) =
--
Rш(1:)cosQ1:d1: =
-
-
-
--
х
л6м20
(4-п)л6м2
00
Х sin:n;wт cosQ1:d1:=
па
·
1--
.
S(· )2
2
(F)
0
:n;wт
2(4- :n;)А5M2w
w
(3.22)
Пусть сообщение занимает поло су в пр еделах
0-Fт, тогда мощность шума в этой полосе
Ршв =
:n;a2Fm
(1- Fт}'.
(3.23)
2(4- п)А5M2w
2w
В АМ системах обычно w::::::: 2Fт. Учитывая это,
3:n;o-2
ршв:;:::: - - -----
16 (4-:n:) А5М2
Пусть мощность полезного сообщен ия на выходе рав -
• на Рсв ,тогда
Рев!Ршв = 16 (4 - п) А5 M2Pcвf3:rta2•
(3.24)
Учитывая, далее, что на входе при емника Рш = 2а2 ,
ре=О,5А5(1+ О,5М2) и р = Ре/Рш.
Из (3.24) получим
Рев
-=
64(4- :rt)М2Рсвр
Зn (1 + О,5М2)
Ршв
(3.25)
53
Взяв частный случай, когда сообщение является прос
тым синусоидальным колебанием ( ИO = cosQt), мощ
ность которого равна 0,5, получим
Рев= 32(4- л)М2р
(3.26)
Ршв
Зл (1 + О,5М2)
ПриM= l выигрыш В= 32<4-л) ~194.
Зл• 1,5
'
Реальные системы, такие, как АМ-ОБ или АМ с по
давленной несущей, дают выигрыш около 2, т. е. вычис- •
ленный нами результат весьма точно совпадает с экспе
риментально наблюдаемым результатом.
Нетрудно найти выигрыш В для многоканального со
общения с мощностью Р св = GO W.
Э кспе риментально также хорошо подтверждается .
частотная зависимость плотности мощности в виде
(3.22) . Слабая зависимость Ош (F) от частоты наблюда
ется тол ько при малых значениях F/w. Таким образом,
решение (3.22) более точно трактует процесс, чем соот
ношение (3.14), используемое для случая очень малых
шумов.
ФМ (фазовая .модуляция). В этом случае, ,как извест
но,
~3.27)
Условие (3.9) запи шется таким образом:
A0 sin((J) 0 f +Лер И0) + N (t)-Asin((J)of+Лcp И0 +Л срЛ И)=О
(3.28)
Используя для N (t) такое же выражение, как в
(3.15), получим
Acos(J)0 t + Bsin(J)0 t = А0 [sin(Л ер И0 + Л срЛ И)-
-
sin(Лq>И0)]cos(J)0t+ А0[cos(ЛерИO+ Лq>ЛИ)-
-
cos (Л <р И0)1 sinw0 t.
(3.29)
Так как это равенство должно удовлетворяться для
любых t, то
А= А0 [sin(Л <р И.0 + Л q>Л U)-sin(Л cpU 0)J,}
В= А0[cos (Л <р И0 + Л <рЛ И)-соs(Л q> И0)J.
В оз водя А и В в квадрат и суммируя, получим
U~ = 4 А5 sin2 (Лq>Л И/2).
54
~ и:еее::м:sr: 1 -
(3.30)
Отсюда sin (О,5ЛерЛИ) = 0,5Иш/А0 и, таким образом ,
ЛИФМ = (2/Лep)arcsin(Иш/2A 0).
(3.31)
Таково выражение для шумов на выходе идеаль ного
приемника при ФМ в об щем случае при любом отноше-
L
нии сигнал/шум на входе .
В большинстве ,случаев ~вероятность Иш< ,2А 0 вел,ика,
т. е. Иш/2А 0 < 1, и то гда с достаточной точ,ностью
(3 .32)
Как видно, эта формула совершенно аналогичн а ф-ле
(3.17) для АМ. Следовательно, спектр и мощность шума
будут о п ределяться соответственно по ф-лам (3 .22) и
(3.23) с заменой М индексом модуляции Лер. Таким обра
зом,
Gшв(F) = :па2 (1- ~);
2(4- :п)А5ЛqJ2w
w
(3.33)
р=
:па2Рт (i_Рт)
шв
.
2(4- :п)А5Л(JJ2w
2w
(3.34)
Вводя соотношения Рш = 2<J2 и Р с =А g12, получим
р _ :пРтО-Рт/2w)
шв- 8(4- :п)лqJ2wр
и, далее,
рсв
8(4- :п)л(j)2wрсвр
-
Ршв
:п Рт(! - Pm/2w)
(3 .35)
При достаточно больших Лер 2w))Fm. Учтя это и взяв
опять синусоидальное сообщение с Р св = 0,5, полу чим
для выигрыша
В=Рев/р=4(4-:п)ЛqJ2w ~ wЛqJ2•
Ршв
:п Рт
Рт
(3.36)
Таким образом, и здесь получаем значение выигры
ша, совпадающее с известным ранее .
При малом индексе модуляции, например Лер ~ 1,
можно считать, что w/Fm ~2, и тогда В=2, т. е . то же,
что при АМ. Однако, взяв большое значение, на пр имер
Лер~ 5, то в этом случае w = 10Fт , и тогда получаем
В~ 250. Таким образ,ом, этот вид модуляции п омехо
у стойчив.
55
ЧМ (частотная модуляция). В этом случае
А(t, И0) = А0sin [@0t +Лrom JИO(t')dt']-
(3.37)
Для получения ЛИ в этом случае надо взять произ-
водную от (3.3 1) и заменить 1Л,(J) на 1Л1rom, тогда получим
~
и'
ли=
ш
(3.38)
Лffim АоVl - и~/4А~
или при близительно, учитывая, что Иш <2Ао,
ЛИ~ И~/Л@тА0 •
(3.39 )
Так как спектр производной от функции получается
путем у множения спектра самой функции на Q2 , тогда из
(3.33) получим для ЧМ
Gш(F) = :rt cr
2
Q2
(1-
_!:_)·
2(4---.- :п) Лro;,А6w
w
(3.40)
В слу чае F<f;;:.w, т . е. при широкополосной связи,
Gш(F)~ :rtcr
2
P
(3.41)
2(4- :rt)Лf;, А6 w.
Интегрируя в полосе О~ F т и производя преобразо -
вания, аналогичные сделанным для ФМ, получим
•
Рев 12(4-:n ) wЛf;,
-. -----р.
(3.42)
Ршв
:rt F~,
Откуд а
В~ 3,3 w Л f~IF~,-
(3.43 ;
Этот выигрыш довольно точно совпадает с вычисляе
мым дл я малых шумов другим путем (см., например,
[4]).
В ИМ (время илтульсная модуляция). В [2] показан о,
что сигнал при ВИМ может быть представлен слел:ую
щим об разом :
A(t,U0 )=1 ~ Q И [t-nTт+Л.-mИ0 (nTт)]]sin(ro0 t+(JJ).
п--2
(3.44)
В со ответствии с этой формулой сигнал А (t. U0 ) пе
ред ается в интер вале времени - T/2<t<T/2, где npeмs;:
616
передачи Т достаточно большое по сравн е нию с п ериодом
повторения импульсов.
В этой формуле Q=Т/Тт=Т,fт, где Тт-таюовый п.е
р иод; fт - тактовая частота . Мож,но допустить, что Q -
целое число, так как выбор величины периода ра бuты Т
зависит от нас. Величина Л'tт - максимальная деви ация
импульсов, так как всегда
предполагае м , что
-1 <,U0(t)<,
1; U(t) -уравнение огибающей высо кочас
тотного импульса, причем U(t) =0 при t<O и f>'t o, где
то - ширина (длительность) импульса; w0 - угл овая
частота высокочастотного сигнала.
Для упрощения дальнейших выкладо к запише м сиг
нал (3.44) в сокращенном виде:
A(t, И0) = U'2.(t, U 0)sin((t)0 f + ср).
(3.45)
Тогда
A(t, И)= A(t, U0 +ЛИ)= U'2.(t, U0 + Л U)sin((1)0 f + ср).
(3.46)
Условие нулевого отклонения (3 .9) дает
А cos (1) 0 f + Bsin(l)0 f = [U'2.(t, И0 +ЛИ)-
-
и'2. (t Ио)] siП((l)of + (J)) .
(3.47)
Рассматривая случай относительно небоJ1ьших помех,
при которых в большую долю времени .ЛU<:g;;,_; Uo с огла сно
параграфу 3.2, може,м взять
дU'2.(t, Ио)
U'2.(t,U0 +ЛV)=V'2.(t,U0)+ЛU дИо •
Подставив это соотношение в (3.47 ), п ол у чим
Аcos(1)0t+Вsin(1)0t =ЛUU;и sinерcosCJ)0t+
о
+Лии;и cos(j)sin(1)0t.
о
Далее, А=ЛИИ;и, sin <р, В=ЛИИ;и. cos <р, ·O1жуlП.а
элементарно находим
ЛИ= Иш!И;и.
(3.48)
о
Величины И ш и И ~и взаимно независимы и м огут
усредняться раздельно. 0Учитывая это, найдем удобное
выражение для среднеквадратичного значения U~и• .
Согласно (3.44) можем записать
57
U'
= дUт, (t, Ио)
т.и. ~
дИо
Так как все импульсы имеют одинаковую огибаю
щую, то усреднение дает
<V'• > =Лi-2 Q<(ди)2>=Лi-2 fТ<(ди)2>.
'2.U 0
т
дt
тт
дt
Но
С учетом этих соотношений ф - ла (3.48) примет вид
(3.49)
Эта фор мула аналогична ф-ле (3.32) с той толь'ко ра з
ницей, что у ни х разные знаменатели . Поэтому для плот
ности энер1гетичеокого опек11ра можно применить соотно
шение (3.33 ), за,менив в нем А5Лср 2 квадратом знамена-
теля со отношения (3.49). Таким образом,
ncr2(1- : )
Gш (F)= -~- -- -~--
2(4- п)wЛ1~fтs(:~)
2
dl
(3.50)
о
.
Считая F,/ w 4;:. l и проинтегрировав Gш(F) в· полосе
Fт -0=W, получим
58
-МtММ
na2 \i,'
Ршв = - -----------
.-.
2 (4- п) wЛт;fтs(~~)2dt
о
(3.51)
Взяв, ;как обычно,, Рш = 2cr2, Рс 8 = 0,5 (синусоидаль-
'" ное сообщение) , получим
'•
Ре = N:т 5и2 (t)dt
о
.
и, исходя из (3.51), легко найдем
р
! 4(4- л) wЛтт2
w
(лт )2
В-свр
-
------ ,....,, -
-
-
Тпо1 .
-
Ршв - пWNkфт5 ,....,, W NКф
Здесь
'•
sU2 (t) dt
о
Кф=-------
т5 J(дд~ у dt
о
(3.52)
(3.53)
(3.54)
есть коэффициент, зависящий только от формы сигнала.
Таким образом, предельный выигрыш, вычисляемый
по нашему методу, вдвое превышает выигрыш , опреде
ляемый по старому методу (см . i[2]) .
3.4 . ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЯ ПРИ МНОГОЛУЧЕВОМ ПРИЕМЕ
«Метод нулевого отклонения», сводящийся к и споль
зованию соотношения (3.9), можно применить к оценке
искажений при многолучевом приеме. Действительно,
теоретически законно и физически убедительно принять
. в ы ра ж ен и е (3.1) и соответственно (3.9) в качестве усло
вия идеального приема не только при флуктуац и онных
шумах, но и при любых других шумах и искажениях .
Возможность этого уже была нами показана в {30].
Искажения в системах с АМ . Применим соотношение
(3.9) для вычисления минимально возможной величины
искажений на выходе приемника при многолучевом прие
ме в системах с АМ.
59
С ум марный многолучевой сигнал, поступающий на
вход п риемника , можно в общем виде обозначить так:
n
f"J:.(t) = Arn I: к,f(t + -cJ.
(3.55)
i-=l
где Ат - амплитуда луча с максимальной интенсив
ностью ; K;=A; / Am,s;;; 1 - отношение амплитуды i-го лу
ча к м аксимальной; -с; - вр_емя запаздывания для i-го
луч а ; f (t+. - ;) - функция, отображающая модулирован
ное колебани е.
Когда на в ход приемника поступает сигнал одного
луч а, то, как известно, искажений нет . Спектр пришед
шег о сигнала б удет точно соответствовать спектру, из
луч аем ому _антенной передатчика. Влияние флуктуацион
ных и других независимых шумов при этом не рассмат
рив ается, как это делалось в предыдущих параграфах
данн ой главы . Здесь оценим искажения, появляющиеся
лиш ь оттого, что на вход приемника пришло п лучей. По
это му условие нулевого отклонения (3.9) для исследуе
мых здесь искажений может быть взято в виде
(3.56)
Здесь А.,, (t, И O) - многолучевой сигнал на входе
прие м ника; А (t, И) - многолучевой сигнал, когда все
лучи н е сдвин уты по фазе, . но промодулированы иска
жен ны м сообщением И = И0 +ли. Эти сигналы для АМ
запи шутся следующим образом с учетом лишь относи
тель н ых амплитуд кi:
A"2.(t, И0) = ~к, (1 + MИ0,)sin(ro0 t + 8,),
)
А(t,И)=(1+МИ0+МЛИ)sin(ro0t+80)_Iк;.
(3.57)
Здесь обозначено Иui = Ио и+.-), 6, = roo't t - СДВИ Г
фаз ,п о высокой чаеготе отдельных лучей .
Из условия, что соотношение (3 .56) должно выпол
нят ься при любом значении t, найдем
~к, (I + МИ0,)соs6, = (1 + МИ0 + М:ЛИ)соs80 Li к,,
Liк,(1+ МИ0,)sin6, = (1 + МИ0+МЛИ)sin80LiК;,
1) Для сокра щ ения записи далее нигде не будем указывать пре
делов суммирования от i=1 до i=n.
60
Возводя в квадрат оба равенства и складывая, исклю
чим 60 и получим соотношение для определения ЛИ:
ЛИ=-(И0 +--3⁄4r-)+
+V[~кi(1 +мИоi) cosoij2+[~кi(1 +мИoi)sinб;J2
М~к,
(3.58)
Можно упростить это соотношение, считая, что для .
всех лучей (всех i) Иоi = 1 И0 , учитывая, что 'ti мало по
сравнению с минимальным периодом составляющей сооб
щения. Тогда получим
. t t KiKjsin2(6i-;б,)
ли~ -(Ио+ ~)i=I i=i+ I (Lкi)2
(3.59)
Это соотношение подтверждает, прежде всего, тот
факт, что ЛИ = О, когда все К; равны нулю, кроме одно
го, или когда фазы всех лучей одинаковы (бj =ю;).
Если у среднить по фазам, тогда
n
n
~~~;Kj
<ЛИ>= (ио + _1) i=l i=i+I
М 2(~к,)2
(3.60)
Суммарное сообщение на выходе приемника будет
(3.61)
Это выражение указывает на то, что влияние много
лучевостu проявляется в системах с АМ в изменении ин
тенсивности (громкости) принимаемого сообщения и в
бl
появлении дополнительных низкочастотных ко.мпонент,
характеризуемых вторым членом в (3.61). Спектральный
состав сообщения Ио не изменяется.
_,_
Искаженuя в системах с ЧМ. Оценка величины этих
искажений и их характера в случае ЧМ систем связи
представляется особенно важной. Дело в том , что ЧМ
применяется в системах тропосферной УВЧ связи, полу- ~
чившей широкое применение, а тропосферный канал
связи является наиболее ярким примером многол у чеЕого
канала с относительно большим числом лучей . Мноrолу
чевость проявляется и в наземных радиорелейных систе-·
мах связи, использующих в большинстве случаев ЧМ.
Как убедимся из анализа влияния многолучевости в
этом случае, многолучевой канал может рассматривать
ся как линейный четырехполюсник, через который прохо
дит передаваемое низкочастотное модулирующее сооб-.
щение. Комплексный коэффициент передачи или пере
ходная функция этого четырехполюсника зависят от ха
рактера многолучевости и могут быть оценены. Такой ре-
зультат существенным образом упрощает анализ иска-
..
жений.
Как и для систем с АМ, начинаем анализ с записи
выражений для Az (t, Ио) и А (t, И), входящих в условие
нулевого отклонения (3 .56). Как нетрудно убедиться,
-
(3.62 )
f"
Az(t, И0) =~К; sin [(()0t +Л(()тS(t +'t;) +(\],)
А(t, И)=~К; sin[(()0t +Л(()тSz(t)].
В этих соотношениях
t
S(t+'ti) = SИO(t' + 'ti)dt',
о
t
Sz(t) = _jИz(t')dt',
о
где Ио (t) - передаваемое сообщение ; Иz (t) - переда
ваемое сообщение, образующееся на вых,оде идеального
приемника, вместе с искажениями; б; = (i)o'ti - сдвиг фа
зы на ВЧ в1следствие запаздывания i-го луча; (()о - не
сущая угловая частота.
С учетом (3.62) соотношение (3.56) в несколько раз
вернутом виде запишем как
~К;cos[Л(()тS(t+'ti)+8;]sin(()0t+
+~К;sin[Л(()тS(t+'t;)+б;Jcos(()0t~=
6Q
~
=~ кi cos [Л Wmlт. (t)] sin w1/ +
+~кisin[ЛWmSт.(t)]cos w0t.
Из условия соблюдения этого равенства при любом зна-
"
чении t получаем
sin[ЛWmSт.(t)]I k; = I К;sin(j);,)
(3.63)
COS[Л Wm SТ. (f)] ~ К; =~К; COSер;,
rде об оз начено
(3.64)
Ра зделив в (3 .63) первое равенство на второе, далее
найдем
1
~кisin(J)i
Sт. (t) = л- arctg -==-- -
.
Wm
I K;C0S(j)i
(3.65)
Вз яв производную от Sт. (t), получим
1 I кi cos (J)iL Ki ер; cos (j)i + Lкi sin (J)iI К; (j); sin (J)i
ijJ (') -
-
-
- = ------"- '------ -==-------= ;.;::__ -__
т., -
Лwт
.
( L, кi)2'
(3.66)
Так как
(J); = ЛW,nS'(t+Т;)=ЛW,n ИO(f+Т;)=ЛWmИi,
то (3 .66 ) можно записать в таком виде:
Uт. (t) =
~ Ki cos (j)iI Ki U; cos ер;+ LK; sin (j);LKi ui sin (j)i
(3.67)
• Д ля удобства дальнейшего анализа можно получить
другой вариант выражения (3.67):
n
п
I кzиi+! ~К;Kjиicos((j);- (j)j)
Uт. (t) =
____
...:.i=
:__
,'_i,_
·=_1_______
(Iк;)2
(3.68)
63
Коэффициент передачи четырехполюсника. Вычислим
теперь спектр функции ИJ:.(t) - GJ:.J(iw ) . Спект р ис х одно
го сообщения U0 (t) считаем заданным G(iw) . Тогда
спектр И;=Ио(t+-r;), как известно, равен G(iw) eiw't; •
Таким образом, спектр первого слагаемого ф-л ы (З.68 )
за писывается элеме·нтарно. В() втором слагаем о м ф-лы
(3.68) требуется вычислить спектры функций в ида
ИO(t+ •i)COS[w0 (1:; -
'tj)+ЛШт(S; - S1)].
Легко убедиться, что результаты вычислен и я
спектры в виде Gщсоsб ii +G2 ;j sinб ii, гд е
=wo('t i-,:i) . Выражение для спектра ИJ:. (t)
можно записать в виде
даду т
б;i =
rогда
(3.69)
Основной интерес может представлять опе'!пр , ,усред
ненный по 1:;, который равен
(3.70)
так как можно принять cosбii i =sinб , 1 = 0 и, таким об
разом, G1 i.i cos Oij+ G2 ij sin 10ij=O. Отсюда для усреднен
ного коэффициента передачи получаем окон ч ательное
выр 1ажение:
(3.7 1)
Здесь мы ввели A"or , который мож н о назв а ть коэф
ф ициентом когерентности излучения:
Аог= ~ Ki / (~к;(.
(3.72)
Величина этого коэффицие нта зависит от ч исла лу
чей и их амплитуд и лежит в пределах
1/n<Aкor-< 1.
(3.73)
Из (3.71) следует, что усредненный коэфф иц иент пе
р едачи эквивалентного .многолучевому каналу · четырех
полюсника равен произведению коэффициента ког ерент
ности А"ог на характеристическую функцию слу чайной
64
величины ,:i. Вид характеристической функций, как из •
вестно, определяется законом распределения t i. •Здесь
,:i надо рассматривать как девиацию времени запазд ы
вания (и соответственно фазы) одного индивидуаJп, ного
луча, входящего в совокупность многих лучей . Для тро•
посферных каналов берут равномерный закон распреде•
ления -r
.
Цш: оптических многолучевых каналов (лазер •
ной связи) закон распределения т i иногда принимают
нормальным . Найдем характеристические функции ii,Jiя
обоих законов распределения.
•
•••
Равномерное распределение . Пусть тi равномерн о
распределено в пределах
-
Лт/2~'ti ~Лт/2.
Тогда
Л,
2
,..
i(J)'t.
.\ е 'dтi=
л,:
-т
и в этом случае
sin(w:т)
K(iffi) = Аког ----
wЛт
2
1
sin(т)
wЛт
2
Нормальное распределение. Положив здесь
р(тi) = 1f2na
найдем
,7
(3.74)
(З.75)
где Ф (z) -функция Крампа . Сумма двух . функций
Крампа от комплексных сопряженных аргументов будет
действительной величиной и выражается рядом
Ф~=Ф(а+iх)+Ф(а- iх)=
= 2[Ф(а)- ;; Ф2(а)+ :; ф4(а):- .. J
где Фn(а) -п-я производная от Ф(а) .
3-21
65
У читы в ая, что в реальных условиях обычно х -< 1, в
пер вом приближении возьмем Фz;:::::; 2Ф (а) .
,.
Тогда получим
(3.76)
Суще ственно отметить, что ус р едненные коэффициен
ты пер едачи, выраженные ф - лами (3.74) и (3 .76), н е за
вис ят от вид а передаваемого сообщения и парамет р ов
мо д ул яции , а зависят только от па р аметров среды, через
ко торую шроходят э л ек11ромагнитные волны .
Перехо дная функция. Усредненные коэффициt'нты
ле ред а чи (3.74) и (3.76) являются действительными
функц и ям и , и поэтому для вычисления переходной функ
ции может быть использовано известное соотношение
Q
-
2 sK (iffi)
h(t) =
-
-
-- siпwtdw.
л:
(iJ
(3 .77)
•
о
Рассм а тривая многолучевой канал как канал с неог
ран и че нной полосой (Q-+oo), подставив в (3 .77) соотно
шение (3. 74), получим при равномерном распределеыии
-
2t
)
h(t)=Aor- - приt<Лт:/2,
Лт
.
h(t) = Aor
приt>Л-r/2.
(3 .78)
При н и з ких частотах сообщения, когд а можно счи
тать wЛ т:/ 2 « 1 (по 3.77), можно получить
/i(t)=(2Aor/n)Si(Qt),
(3 .79)
где Si ( х) - интегральный синус.
При нормальном распределении для б ес конечно ши
рокой п олосы получим по (3.77)
h(t) = АогФ (Лт:/2J/"2сr ) Ф (tf112a ).
(3.80 )
Для о граниченной полосы О - Q при условии
'!J.cr /2« l. можно получить приближенное решение
k(t) = 2 A кor Ф( .~~ )[si(Qt)- 02 (sinQt-Qtcos&Jt] .
л:
2r2а
2t2
(3.81)
На р ис. 3.1 -3 .3 показаны усредненны е АЧХ коэффи
циента пер ед а чи и пере ходные функции , вычислеimые
fi6
~
-,_
п·ри параметрах, харааперных для 11рапосферных кана ~
лов:
Л.- = 2- 10-7 иа1 =0,5- 10-7 ; Л.- = 2- 10-7 иа~=О,8- 10-7
•
. K(w)
0,477
!,О
~~
o,g
0,8
0,7
0,5
~
~ 0,395
Г"-."
/\fv
~
"D-,
V'\
'
1'\
'\
'
~
\.
tЗrf'
6=,50нс
"/
'\..
['\_
"""
2
i\. )< .......
r---..
'\/
'
-..6=JОнс
'
..,
'\..
aJ
0,4
о,з
0,2
O,f
.........
~~
О0,5I1,522,5JJ,J44,S.ff,мtц
Рис. 3.1
h(t}
f,0
/
0,9
,_ ..
~~JОнс
0,8
/r
1
1//
u--
о,7
/ '1---
,(""',,..
'во
0,5
'-
/ / _,,/"" .::: .1
O,J
/ /,/
0,4
''
/
0,3
/1/ '--2
0,2
1/J
,
о,f
V
0 20 40 60 80 /00 120140/50t,t1l
Рис. 3.2
На рис. 3.1 и 3.2 : 1 - нормальное
распределение , 2 - равномерное
Из этих кривых следует, что при средних, известны х
параметрах тропосферы Л,~200 нс и cr 1 =50 нс (зимнее
3*
:F;7
время) и d2 • 80 с (летнее время) ср едн и е эффективные
полосы тракта по п оловинной мощности соста в ляют:
пр1-1 Cf1 = 50 нс~ 2,6 Мгц } нормальное распределение
приcr2= 80 нс~1,58Мгц
~ 2,4 МГц - ра'вноме р н,ое распр еделение .
J, -1
1
., ,,,
~D
h(t}
.,,, -
/Ут: 414/ц/
0,9
VV1
---
0,8
/ V Fт :2ИГц,
ю
V/
0,6
J
/ / б=SОнс
O,J
,
/
0,4
I)
/V
O,J
/
0,2
l/
0,1
-
11
О 2040бО80!00!20140!50180t,щ
Рис . 3.3
Такие сравнительно узкие полосы тропосфернопJ ка
н ала вполне объясняют относительно низкое качество
передачи телевидения по тропосферным системам . Дан
н ые об эффективных полосах объясняют и при чин у jl уч
ш его качества передачи в з имнее время .
Длина многолучевого канала - l и длина рабо ч ей
в олны л так же, как и другие параметры системы связи,
м о гут влиять на качество тракта лишь через параметры:
Лт и cr. Таким образом, улучшению многолучевых кана
л ов могут способствовать лишь те методы, которые
уменьшают параметры Лт и cr.
Коэффициент когерентности Аког определяет величи
ну модуля усредненного коэффициента передачи. При
большом числе лучей п и отсутствии превалирующе г о
луча этот коэффициент очень мал, что ведет к умень ш е
нию И 1: (t) и, следовательно , к уменьшению отнош е ния
сообщение/шум .
Из всего изложенного в этой главе следует, что л1етод
нул евого отклонеNuя является весьма простым и удоб
н ым для решения м!-lогих задаtt из области в опросов по
мехоустой ч ивости и ucкaж e!-lilй .
68
,:
ГЛ А В А 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ И ПОРОГА
ИЗ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ
ШЕННОНА
4.1 . НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
Статистический слtысл передачи сообщения. В технике связи
:имеют дело с передачей дискретных или непрерывных сооfiщений,
причем эти сообщения обычно относятся к областн стационарных
случайных процессов.
Передача дискретных сообщений характерна для телеграфии, в
~шторой буквенный текст передается телеграфным кодом. Пусть чис
ло букв всего текста равно п, а число букв в используемом алфави
те равно L. Алгебраически можно легко доказать, что число Л1 всех
.возможных текстов, т. е. число всех возможных комбинаций, состоя
щих из п букв, когда каждая буква может принимать L разл;iчных
значений, равно
(4. 1)
Таким образом, исходящий из источника сообщения и п~:;инимае
мы11 потребителем каждый данный индивидуальный текст есть
лишь один из М возможных вариантов текста. Следовательно , в
статистическом смысле сущность процесса передачи дискретного
сообщения от источника до потре_бителя заключается в выбор е нуж
ного текста из М возможных текстов.
• Аналогичная картина имеет место и при передаче
непрерывных
сообщений. Рассмотрим одно из возможных сообщений А (t), пеμеда
ваемых по каналу связи (рис. 4.1). Продолжительность этого сооб
щения равна Т, а мгновенные значения лежат в , предел;;,: от
-
(L+1)/2до +(L+1)/2.
В другое время по каналу может передаваться другое сообщение
такой же длительности, мгновенные значения которого лежат в тех
же пределах. Принципиально может существовать бесконечное мно
жество различных сообщений, удовлетворяющих данным условиям,
т . е. длительность каждого из щ~х равна Т , а мгновенные значения
не выходят за пределы - (L+l)/2 и +(L+l)/2.
Однако в реальных условиях по каналу связи можно передавать
только конечное множество различных сообщений. Происходит это
• оттого , что в реальном 1,анале можно различить лишь конечное чис
ло уровней передачи L, так как достаточно близкие уровни передачи
не могут быть различимы из-за шумов в канале.
Действительно, пусть пиковое напряжение шума в канале равно
U N, максимальная амплитуда сообщения равна UА, а какое-либо
• мгновенное напряжение сообщения равно И Ai. Тогда очевидно, чти
значения уровней сообщения, лежащие в пределах ИAi ±Ин, нераз
личимы из-за ш у мов. Принципиально можно различить лишь сосед
ние уровни:
UAi-1 = ИAi-
ИN ; UAi+I=ИAi+UN ·
Отсюда число возможных различимых уровней
L=UА/Ин+ 1.
(4.2)
В каждый интервал времени ЛТ (см. рис. 4.1) по каналу может
быть передан лишь один из L возможных уровней. Пусть число та
ких интервалов
n=Т/ЛТ.
а)
L+f
2
L-f
2
6)
t
о
1,'
/
"'
-~ --
~ы
11
Рис. 4.1
(4. За)
,,,
'
1'\
A(t}
"
\
,
'\
1/
'\
z
-~
111
11
11
1
+ЛА
I/
+
t
1
1
1
r
Т огда число всех ф унк ций множества М можно также опреде
лить по ф-ле (4. 1).
Таким образом, передача любого непрерывного сигнала (или
сообщения) из-за наличия в реальных каналах связи различного·
рода ш умов сводится, по существу, к передаче лишь L различимы х
уровней. Поэтому каждое непрерывное сообщение (рис. 4.la) можно·
рассматривать как дискрет н ое, представив его в виде ряда импуль
сов (посылок) длительностью ЛТ, высота которых скачкообразно из
·меняется через интервалы, кратные ,ЛА (рис. 4.16). Если знач_ения
ЛТ и ЛА выбраны достато ч но малыми, то непрерывная кривая ли
н ия, описывающая сообщение, может быть сколь угодно точно ап
проксимирована сту п енчатой линией . Если размах кривой сообщения
равен А, а длительность сообщения равна Т , то числа всех посылок
сообщения п н уровней L , которые прини,мает сообщение, соответ
стве нно равны:
n=TJЛT; L=(А+ЛА)/ЛА.
(4 . Зб),
Подставив эти параметры в ф-лу (4.1), можно определить всее
множество М различимых возможных сообщений.
70
'•
Таким образом, сущность передачи непрерывного сообщения
{ как и дискретного) можно рассматривать как выбор одного опре
деленного сообщен·ия из М возможных различимых сообщениi', .
От м етим, что преобразование непрерывного сообщения н дис
Еретное может происходить не только произвольно всле;~ствие
присутствия шумов в канале, но и непроизвольно , если осуществля
·е тся кодирование сообщения , как это имеет место , например, прп
лрименении импульсно-кодовой модуляции или дельта-модуляции.
На основании ск_азанного выше можно , таким образом , сч:zтат ь ,
что статистический смысл передачи сообщения любого вида (дис-
1<ретного или непрерывного) заключается в выборе одного нужног о
с ообщения из вс·е х М возможных сообщений.
Статистические свойства сообщения . Сообщение как цепь J'viapкo
-lЗ a . Так как любое сообщение (или сигнал) можно представить в ви
де диСI<ретного, то, следовательно, можно рассматривать стат.1стиче
•с кие свойства лишь дискретных сообщений. Одно из свойств 1 аки х
•с ообщений характеризуется вероятностями появления различны х
.з начений сообщения, т. е. Р(А,) , Р(А2) , ... , P(AL ) , если А, , А2, ... ,
AL -- различные значения сообщения.
Другие свойства характеризуются вероятностями появлениР ря
дом двух назначений сообщения Р(А ; , Aj) , трех значений сообщения
P(A i , Aj , Ak) и т. д. Эти вероятности уже определяют связь между
-отдельными значениями сообщения.
Для связанных событий Р(А;, Aj)=Р(А;) P(A_;/Ai), где
P(A;/Ai) - условная в_ероятность.
Если Р (Ai /А i ) = О, то это означает , что за значением сообщения
-(события) А; никог~а не следует значение А i . При Р (А / /А 1) = 1
м ожно утверждать обратное: после значения сообщения А i всегда
следует значение сообщения А j. Промежуточные значения этой в е
роятиости характеризуют , таким образом , величину связи м<сжд у
различными соб1;,пиями.
•
Пусть в по·следовательные моменты времени t, , 12, . .. , t п :-~мел и
м есто события (значения сообщения) А,, А2, ... , А ,,.
Эти события
м огут быть связаны между собой так, что вероятность с9бытия А;
в момент времени t i зависит и от того , что за т предиiест\зуtо щи:х
моментов времени t i-m , t i-(m-l), li- I
имели место событи я
Ai-m Ai-(m-\), А i-l • и н е зави,сит -от со·бытнй в мом -::нты
tv(,, <i-m) и от i (т. е. от наблюдаемого момента времени).
Такая последовательность событий в теории вероятностей ;;азы
вается однородной сложной цепью Маркова . Если же в под.:Jбной
цепи вероятность события А i зависит от i, то сложная цепь Марко
ва называется неоднородной. В частном случае , когда вероятность
с обытия А i зависит только от предшеств у ющего событи я А i- l
, 11епь
Маркова называется простой.
В теории вероятности доказывается , что иссл едование любой
,с ложной цепи можно свести к исследованию соответствующиы обра
зом сконструированной простой цепи.
Если законы распределения вероятности систем сл у чайны х в е
личин (At, ·,At,,
... , At,,) и (At,+-c, А12+-с ,
Аt,,+Т)совпадают и,
следовательно , не зависят от т, каковы бы ни были числа п, t1, t2,
... , tn, то такая цепь · на·зывается также стационарной .
Если последовательность значений (событий) такая , что относи
тельное чнсло (частота) mi/s появления значения (события) А ; со
с коль угодно близкой к единице вероятностью будет сколь угодно
71
мало отличаться от Р; (при достаточно большом s<n), то така я
цепь носит название эргодической цепи Маркова.
Рассмотренные выше дискретньiе и непрерывные, но преобразо
ванные в дискретные сообщения , встречающиеся в системах связи ,
относятся обычно к стационарным эргодическим последовательно
стям или цепям Маркова . Физически стационарность и эргодичность
можно пони м ать как статистическую однородность процесса . Это
означает, что если , например , изучать статистические особенности
отдельных частей телеграммы с очень большим текстом (приче м
число слов в каждой части достаточно велико), то обнаружит с я, что
частота появления отдельных букв , двухбуквенных сочетаний , трех ,
буквенны х соче т аний и т. д. стремится в этих частях к одном у и•
тому же пределу по мере увеличения числа слов в каждой части .
Поскольк у реальные сообщения относятся обычно к стационар
ным э ргодич е ским цепям Маркова и, кроме того , как указано , каж
дая сложная цепь может быть сведена к рассмотрению простой цепи ,
то, следовательно, рассматриваемые дискретные цепи с конечным
числом состояний А 1 , А 2 , .. . , А L определяются лишь вероятностям и
этих состояний Р (А 1), Р (А2), ... , Р (А L) и переходными веро ятностя
ми вида P(Aj/ A;), где j, i=l, 2, .. ., L.
Физический смысл статисти 11еских закономерностей сообщения .
Смысл кодирования . Наличие определенных статистических за1<оно
мерно с тей реальных сообщений уменьшает число возможных значе
ний сообщений , из которых выбирается нужное сообщение при пе
редаче . Следовательно, в реальных случаях , например, передачи тек
ста выбор приходится осуществля.ть не из М возможных комбина
ций букв, определяемых ф-лой (4.1), а из М' комбинаций, приче м
М' < М. Действительно, пусть передаваемый текст относится к текс
там, в которых за буквой 6 всегда следует буква а , т . е .
Р (А 8 /А б) = 1. Довольно очевидно, что число таких текстов М' будет
составлять только часть всех возможных текстов М. В этом Jierкo
у бедиться на элементарном примере передачи трехбуквенных н: кстов
(n=З), сост а вленных, например, из букв а и 6 (L=2) . Всего таки х.
текстов будет M=Ln=2 3 =8:
ааа
666
аа6
а66
а6а
6аа
66а
6а6
Однако среди этих текстов только в четырех последних з а бук
вой 6 следует буква а, т. е. М'=4.
Физически при сложных сообщениях это проявляется в то:-1, чт о,
только очень немногие из М комбинаций представляют собой осмыс
ленный текст, напоминающий какое-либо реальное сообщение. Подав
ляющее большинство этих комбинаций будет бессмысленным сочета
нием букв. При этом чем длиннее текст, т. е. чем больше в нем об
щее число букв п , тем, по - видимому, меньшая часть из возможны х
комбинаций может быть осмысленным. сообщением . Так , например,
кажется совершенно невероятным, чтобы случайная комбинация·
уже из 100 букв составила осмысленную фразу.
Изучение реальных текстов действительно подтверждает, чт о·
имеются вполне определенные вероятности появления отдельных
букв, например, Р(а), Р(б), Р(в), ... и определенные перехор:ны~ ве
роятности, например, Р(а/6), Р(а/в), ... и т. д. Так, крупнеишин со
ветский математик А. А . Марков подсчитал, используя 20 ООО букв,
72
текста «Евгения Онегина», что · вероятность появления гласнои после
гласной равна 0,128, а вероятность появления гласной после соглас
ной равна 0,663.
Совершенно анацогичные соотношения имеют место и д,:я не
прерывных сообщений. Действительно, далеко не каждое непрерыв
ное сообщение может быть воспри н ято как реальное сообщение.
Так, почти невероятно, чтобы случайные звуковые колебания (на
пример , созданные помехами) были восприняты как человеческая
речь или музыка .
На использовании этой основной статистической особенности
п ередаваемых реальных сообщений основана возможность кодирова
ния. Действительно, если реальное сообщение, характеризуемое па
раметрами L и п, может принимать всего лишь М' значений, причем
М' « М, то для его кодирования потребуется ровно столько же кодо
в ых комбинаций. Все эти кодовые комбинации могут быть получе
ны путем использования сочетаний всего лишь из п' посылок :
М'=Lп',
(4.Зв)
так как при этом М' <М, то и п' <n. Вместо L-значного кода можно
также использовать L'- значный код, причем L' <L и
(4.4)
Следовательно, использование статистических свойств сообще
ния, в принципе, позволяет перейти к кодированному сигналу с мень
шими количеством посылок или значностью кода, чем сообщение .
Как показано, это позволяет сократить необходимую для передачи
полосу частот канала связи.
Мера количества передаваемой ин,формаи,ии. Пон,ятие эн,тропии.
Весьма существенно и характерно для современной теории с:вязи
введение меры передаваемого сообщения или меры количества ин
формации . Естественно, что, как и всякая мера (например, мера
массы килограмм , мера величины тока ампер), мера количества ин
формации должна быть в известном смысле абстрактным понятием 1 .
Возможно абстрактно оценить также энергию, затраченную груз
чиком на перенос определенного груза, и энергию , затраченную ком
позитором на сочинение симфонии, например, в человеко-дня х или
даже в джоулях. Но всякая такая мера, хотя и является ьt:.сьма
п олезной и необходимой, не исчерпывает конкретного содержания
того или иного труда.
В общежитии под информацией понимают обычно смысловое
с одержание сообщения . Однако, как далее· будет показано, вводимая
м ера количества информации не отображает смыслового содержания ;
о на является весьма полезной величиной, характеризующей слож
ность сообщения в техническом смысле , с точки зрения легкости пе
редачи этого сообщения по заданном у каналу связи . З десь имеем в
и звестной степени аналогию с тем, что килограммы (или тонны)
груза определяют необходимые транспортные средства, а амп1::ры и
вольты электрического тока - необходимые диаметры проводов , ка
чество изоляции и т. п.
1 Так, соль и золото измеряют килограммами, однако ценность
этих веществ весьма различна, хотя массы. их м ог ут быть од1111ако
в ыми.
7.З
Дадим физически наглядное определение меры количества ин
формации, принятое в современной · теории связи 1 .
В качестве :,той меры можно было бы принять величин у М' ,
т: е. количество · всех возможных значений сообщения, из которых:
выбирается нужное сообщение. Однако, как показывает НЗ)"Jение·
этого вопроса, величина М' не может являться такой меро,r-, по
скольку она не удовлетворяет основному условию, предъявляемому
ко всякой мере , - условию аддитивности. Суть - этого условия при
менительно к передаче сообщений должна, очевидно , свод'иться к
тому , что количество информации, содержащееся в сообщении, долж
но быть пропорционально числу посылок п, т. е., например, вдвое·
более длинное сообщение (например, телеграмма из вдвое бол;,шего•.
числа слов) должно содержать вдвое большее количество инqюрма
ции. Легко убедиться, что этому условию удовлетворяет другая ме
ра, а именно логарифм от М'. Поэтому абсолютной мерой количест
ва инфоμмации принято считать двоичной логарифм величины М·:
Vc = log2М'.
(4.5 )
Можно было бы взять десятичный или натуральный ло-гарифм.
от М', однако , как далее будет ясно, двоичным логарифмом пользо
ваться удоб нее.
Подставляя
Vc =:= пlog2L' .
в (4.5) вместо М' его значение из (4.4) , по.лучим
(4.6)
Величину V с называют объемом информации. Смысл этого тер
мина поясняется ниже .
Представим себе, . что сообщени~ передается самым пр остейшим
кодом - двузначным, например, при передаче импульса мн всего
двух уровней. При . этом в качестве одного из уровней может быть
взято нулевое значение высоты импульса, т. е. код будет состоять.
из двух знаков - «есть импульс», «нет импульса». В· этом случае
М' = -2n' и, следоРательно (V с - в битах), .
Vc_= п' .
(4. 7):
Таким образом, абсолютной мерой количества 11нформщии -
объемом информации - является не что иное, как количество им
пульсов двоичного кода, с помощью которого может быть передано
сообщение. Поэтому единицу измерения объема информации назы
вают двоичной единицей, или, сокращенно, бит.
Однако в теории связи значительно более употребительной мерой ·
для оценки количества информации является не абсолютная мера ,
выражаемая ф-лой (4.5), а относительная мера
H=limVc/n,
(4.8}
п-оо
или саг ласно выражению (4.5)
Н= lim log2 М'/n.
п-оо
(4.9}
J Современнаs,~ строгая теория информации является сложной
математической теорией, представляющей совокупность аксиом, тео
рем и выводов из них. Там дано и строгое определение мерьi кс,личе
ства информации и др. Однако для наших целей достаточно иметь.
возможно менее строгие, но наглядные физические представления иr
определения.
7\Ф
Таким образом, под относительной мерой количества информа
ции, как это следует из (4.8), понимается количество бит, приходя
щееся на одну посылку сообщения, когда число этих посылок (или
условно «дли на сообщения») стремится к бесконечности.
Из выражений (4.4) и (4.9) находим
Н= lgL'.
(4. 10)
Эту относительную меру количества информации на зывают энт
роп'i1ей 1 .
Так как общее число сообщений равно M=l,11 =2n ig,L и
м, ~М, то , следовательно, _ всегда Н ~ log2.L . Только при н езависи
м ых L-символа х Н = log21L .
Покажем на примере, что энтропию очень просто выразить через
значения вероятностей отдельных знаков сообщения, что еще более
подчеркивает ее связь со статистическим характером передаваемых
сооб щений .
Рассмотрим весьма длинное сообщение, состоящее из п посылок
или символов, где п - весьма большое число . Пусть любое такое
сообщение содержит L различных знаков, соответствующих, напри
мер, различным буквам алфавита. Пусть вероятности появления раз
ли чны х знаков или букв будут соответственно Р1, Р2, ... , PL во всех
сообщениях и только порядок этих знаков может быть различным в
различных возможных сообщениях. Тогда очевидно, что число оди
наковых знаков в каждом сообщении равно P1n, Р2 п, ... , P L п.
Считая все символы независимь1ми, получим, что вероятность
по вторения в каждом сообщении одного и того же знака i раз рав
на i-кратному произведению вероятностей появления этого .1нака ,
т. е. вероятности повторения разных знаков равны ~ соответственно
Р f•n, р~,п, ... , F!L п. Наконец , вероятность появления всего данного
сообщения равна в соответствии с таким же правилом
р=Рf'•пPf,п...Р}?п
(4. 11)
Так как полагаем, что все сообщения в статистическом -:мысле
одинаковые, то, следоват~льно, общее число всех таких сообщений из
,п. символов равно М= 1 /Р. Тогда, пользуясь ф-лой (4.9), получим
(Н в бит./символ)
(4.12)
" В приведенном рассуждении принималось,
что все отдельные
-символы взаимно незiiвисимые, т. е. все P(.4;/A i) =О.
В более · общем случае, при наличии связи между посылками,
для энтропии Н служит дру гое более сложное выражение.
1 Название «энтропия» взято . на основании того, что энтропия
в теории связи и энтропия в теории · т~плопередачи выражаются фор
мально аналогичными формулами .
75
4.2. ВЫРАЖЕНИЕ ОБЪЕМА ИНФОРМАЦИИ ЧЕРЕЗ
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СООБЩЕНИЯ
В соответствии с (4.5) величина
Vc=lgM'=пН
(4.13)
является абсолютной мерой количества информьции.
В этом соотношении Н - энтропия и п - число дискрет
ных значений в сообщении или в сигнале . Будем рас
сматривать в общем случае непрерывные сообщёния .
Но по теореме В. А. Котельникова, изложенной в § 1.3 , .
сообщение или сигнал продолжительностью Т с и с огра
ниченной полосой частот W достаточно хорошо апг,:рок
симируется дискретным сообщением (или цепочкой), у
которого
п = 21rт.
,4.14)
Подставляя это значение в (4.13), получим
(4.15)
Таким образом, абсолютная мера информации опре-
деляется произведением трех основных величин, харак
теризующих сообщение или сигнал: ширины спектра,
продолжительности и энтропии.
Величины W, Т и Н можно представить в вид е отрез
ков, отложенных параллельно трем координатным осям:
времени, частот и э_н:гропии в_ прямоуr_ольн_ой ~истеме ко
ординат. Тогда величина Vc будет равна удвоенному
объему параллелепипеда с ребрами W, Т и Н . Поэтому
величину 1,\ 11 называют объемом информации сообще
ния 1.
Объем информации непрерывного сообщения . Выра
жение (4.15) объема информации справедливо для · лю
бых сообщений как дискретных, так и непрерывных.
Однако если для вычисления энтропии Н дискретных со
общений, входящей в ф·лу (4.15), может быть испО JiЬЗо
вано выражение (4.12), то для вычислений энтропии не
прерывного сообщения необходимо • воспользоваться ин
тегральным соотношением, которое можно получить из
(4.12).
• Если р (А)- плотность
распределения вероятности
кривой непрерывного сообщения, то ЛАр (Ai ) есп. ве-
1 В теории связи иногда пользуются также понятием объелt сиг
нала, подразумевая под ним величину, определяемую формулой
l'сиг = WTH*, где H* = lg Рс!Рш; Ре- средняя мощность сигнала и
Р ш - средняя мощность шума в канале.
76
и------------- ----
роятность значения амплитуды А; . Подставляя эт.о вы
ражение для вероятности в (4.12), получим
Н=
-
''ЛАр(А;)lg[ЛАр(А;)] .
....
Суммирование можно заменить интегрирова нием,
взяв под знаком суммы вместо А; величин у А, а вместо·
ЛА-dА.
Тогда
А,
Н=
-
Sp(A)lg[p(A)ЛA]dA ,
(4.16)
А,
где А 2 -А 1 =LЛА . Эта формула справедлива для любо~.
го конечного значения величины ступеньки ЛА, а ПР!'f
ЛА-+0 она дает Н -+Х>, как и должно быть. . .
•
Естественно, что ф-ла (4.16) может быть использов а
на для расчета величины энтропии квантованного сигна-
ла.
;
Выражение объема информации через среднюю мощ
ность. Реальные сообщения и сигналы оцениваются в
практике чаще всего их продолжительностью, полосой и
средней (иногда пиковой) мощностью . Оказыв ается, что
э нтроfflия, а . следовательно, и объем информаци и могут
быть выражены через значение средней или . цико1юй
мощности. Это непосредственно следует и з (4.1 О) :
2Н = lg (L')2 = lg (А'/Л А+ 1)2 ~ lgA'2/Л А2.
(4.17)
В ф-ле (4. 17) величина А' представляет соб ой раз-.
мах сообщения или сигнала, равный А'2 -А/, или пико-·
вое значение сообщения, если А i' = О.
Но тогда
А,2 2р
=Кс
с,
(4. 18)
где Р с~ средняя мощность ; кс - пик-фактор сообщЕ:ния :'
Таким образом,
2Н~lgК~Рс/ЛА2= lgAcРе.
(4.19)
В этой формуле
(4.20)
е сть коэффициент , определяемый вероя-гностными xapaJ~,
теристиками сообщения и величиной ступени квантова~
ния-ЛА .
•
.,
•
,71
..
На основании (4.15) для объема сообщения можно
теперь написать
Vc=2TWH=TW1gAcPc.
(4.21)
В этом соотношении параметры Т, W и Ре - извест
ные и легко определяемые физические параметры. Осо
бым параметром является Ас, который зависит от ста
тистических характеристик сигнала или сообщения и от
величины ступени квантования.
Так как ЛА может задаваться произвольно, то пара
метром, требующим особого определения, является к~ .
Это определение не. представляет принци п иальных труд
ностей, если известен закон распределения мгновенных
значений сигнала А. Для такого определения необходимо
использовать два соотношения, одним из которых явля
ется соотношение (4.16), а другое соотношение будет
А,
Р~ ~ SA2 p(A)dA.
(4.22)
А,
Проиллюстрируем на нескольких примерах вычисле
ние параметра к;.
Равномерное распределение. Пусть все значения сиг
нала распределены равномерно в пределах О ~А~ Ат
• Тогда закон распределения будет р(А) = 1/Ат и соотно
ше1:1ие (4. 16) приводит к
Ат
Ат
Н=S
·-
1- lg(Aт/ЛA)dA = -
1- \g(Ат!ЛA)rdA=
Ат
Ат
.)
о
о
Отсюда
2Н = lg(Ат/ЛА)2,
(4.23)
т. е. соотношение (4.17). Далее, по (4.22)
Ат
ре= s А2 (1/Ат)dА = А~/3.
о
Таким образом, А~ = ЗРс . Подставив это в (123),
получим
2f! = lg 3Рс/ЛА2 •
(4.24)
'78
-- ..
Нормальное распределение. В этом случае , как из
вестно,
Далее находим
-V2ла А 2
-
lg[Р(А)ЛА]= lg--КТ+2rт2 lgе
и по (4.16)
00
00
S
5 -V2ла
Н=
-
p(A) l g[p(A)ЛA]dA =
_P(A) lg ЛА dA+
-СХ>
-СХ>
СХ>
SА2
'12л а а2
'12л а
+lgер(А)2а2dA=lg ,,,лА +2а2lgе-Jg~+
-00
V-
-V2ле
+lg е= lgЛAa.
Отсю да
2Н = lg [2л\е2 Ре],
(4.25)
так как б2 =Рс. Здесь значе ни е пик-фактора равн о
к~ =2ле~ 17.
~
-·
Можно предположить, что в пределе минимальное
значение условного пик-фактора к; равно единице. Эт0
может иметь место при А 2 =Рс, что соответствуег сиг
налу постоянного тока. Всякие другие реальные сообще
ния и сигналы с другими статистическими законамй рас
пределения уровней будут иметь значения условного
пик-фактора, лежащие в пределах
(4.26)
Для синусоидального сигнала с амплитудой А nю<о
вая мощность равна А 2 , а средняя А 2/2. Отсюда ~; =2.
4.3 . КАНАЛ И ЕГО ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ
Канал и емкость канала. Сигнал проходит через со
вокупность электрических устройств-, образующих так
называемый канал связи. В практике канал . связи харак
теризуют обычно полосой пропускания Wк, времt:нем
79
Тк , в течение которого канал предоставлен для работы,
и динамической характеристикой, которую условно обо
значим через Н к· Совершенно очевидно, что неискажен
ная передача сигнала по каналу возможна при условии
Wк>W, Тк>т, Нк>н.
(4.27)
Удвоенное произведение трех параметров канал~
Vк=2WкТк Н к
(4.28)
н азовем емкостью канала.
Более общим условием того, что канал может про - .
пустить сигн ал без искажений, является следующее:
о бъем информации сигнала должен быть меньше И J\И ра
вен емкости канала, т. е.
Vc~ Vк.
(4 .29)
Однако, очевидно, что, принимая условие (4.29) за
единственное [при одновременном несоблюдении нера
венств (4 .27) ], требуется преобразовать сигнал так, что
б ы соотношение (4.29) соблюдалось. Это достигаетсн из
м енением или деформацией объема сообщения, т . е. из
менением соотношения величин W, Т и Н. Такую дефор
м ацию сигнала можно производить с помощью кодирую
щего устройства, модулятора и т . п .
Проведем аналогию между передачей информацаи по
к аналу и, . например, движением жидкости по труб~: или
тр анспортировкой какого-либо вещества с помощью
о пределенных ограниченных средств.
Количество транспортируемого вещества, например,
колиgество жидкости, пропускаемой по трубе, б удет
оп ределяп,ся временем Тт , затраченным на транспорти
р овку, возможностями транспортных средств Wт (напри
м ер, диаметром трубы) и скоростью транспортировки
Нт ( например, скоростью течения воды в трубе). В свя-
_з и с этим энтропию принято иногда называть скоростью
со здания сообщений, если Н относится только к источни
ку информации, и скоростью передачи сообщений по
ка налу без шумов .
Основное соотношение для пропускной способ :юсти
(ем кости) канала связ{l при наличии шумов . Шумы в
р еальном канале связи снижают количество ценной ин
формации в сообщении, так как некоторые частные зна
ч е ния уровней сообщения могут быть изменены шумами
н астолько , что они будут приняты за другие возможные
з на чени .я уровней . Теоретически это проявляется в TQM,
60
что полезная энтропия сложного сообщения, состо>J.щего
из полезного сообщения и шума, уменьшается. Ка,к было
доказано Шэнноном, энтропия в этом случае (при допу
щении, что полезные сообщения и шумы взаимно незави-
симы)
•
(4 .30)
где Нсл - энтропия суммы сообщения и шума ; Н ш
энтропия шума .
Если средние мощности сообщения и шума соответ
ственно равны Ре и Рш, то удвоенная энтропия
Нсл = lgAcл(Pc + Рш) ,
(4.31)
Удвоенная энтропия шума
2Нш = lgАшРш ,
(4.32)
Подставляя эти значения энтропии в (4.30) , получа-
ем
2f-/ = lg Асл(Рс + Рш)- JgАш Рш =
= Jg ((Асл/Аш) (Ре/Рш + 1)].
(4 .33)
Отсюда предельная пропускная способность канала
связи или предельная емкость канала связи
С= V/T = W 1g (Аел!Аш) [(P) Fш) + 1].
(4.34)
Оценивая энтропию сигнала и шума при одинаковых
ступенях квантования ЛА, можно записать
С= \f/ lg ( К~л/к~) ((Ре/Рш) + IJ,
(4 .35)
где ке; и к~ - условные пик-факторы.
Если статистические свойства сообщения и шума оди
наковы и характеризуются нормальным законом распре
деления, то, очевидно , к~л = к~ и
(4 .36)
Эта формула была впервые получена Шенноном в
•[33]. Она выража ет м аксимально возможную пропускную
способность канала, поскольку согласно ранее сказанно
му [см. выражение (4.26)]
(4.37)
если шум имеет нор м альное распределение .
Формулы (4.35) и (4.36) очень важны в современной
теории связи, так как позволяют практически оценить
различные системы связи по их пропускной способности .
81
4.4 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОМЕХОУСТ,ОйЧИВОСТИ
И ПОРОГА
Преобразование формулы (4.35) . Важнейшая дл я
анализа и расчетов ф-ла (4 .35) неудобна тем, что нред
ставляется очень сложным вычислить значение пик - фак
тора к;л смеси сигнала с шумом в общем случае, когда
законы распределения сигнала и шума различны. Одна
ко для приближенных оценок представляется во з мож
ным преобразовать соотношение (4.35) так, чтобы в не
го входили только к; - пик-фактор только полезного со-
общения или сигнала и к~ -пик-фактор шума, которые ,
как показано в § 4 .3, в отдельных случаях вычисляются
сравнительно просто.
.
Поскольку сигнал и шум на входе приемника <';удем
считать независимыми и аддитивными, то как средние ,
так и пиковые мощности могут складываться и можно
написать равенство
к~Рс+к~Рш=К~л(Рс+Рш) -
(4.38)
Отсюда находим
К~л = к~Рсf(Рс + Рш) + к~Рш/(Рс + Рш) =
= к~р/(l +р)+к~/(1+р),
и тогда
к2
к2
-5!!_ = _с___Р_+_1_ .
к~
к~ l+p
l+p
(4.39)
Здесь, при рассмотрении канала на входе приемника ,
введены такие обозначения : Ре - средняя мощность по
лезного сигнала на входе; Рш - средняя мощность шума
на входе и р=Рс!Рш -обозначение, которое нами ис
пользовалось в предыдущих главах.
Подставив (4.39) в (4.35) , получим
Cк=wlg(I+ :~ р)-
(4.40)
Здесь w - полоса ВЧ входного сигнала прие VJ ника
(реально полоса УПЧ). Это соотношение можно рас
сматривать как информационную емкость ВЧ канала.
Формула (4.40) значительно более удобна для прак
тического использования .
82
Условие предельной помехоустойчивости и определе
ние порога. Модулированный сигнал на входе приемника
вместе с шумом после демодуляции дает на выходе при
€ М!н,ика -соабщен,ие с 1примесью ш ума. Информационная
е мкость этой смеси сообщения и шума будет выражаться
аналогично (4.40) :
(
К~8 )
Се=Wlg 1+- 2
-
ТJ,
Кшв
(4.41)
где к;в - пик-фактор передаваемого сообщения; к~в
пик-фактор шума на выходе приемника и rJ=PcвlРшв
отношение средних мощностей сообщение/шум на вы
ходе .
Предельным условием неискаженной передачи сооб
щения, согласно (4.29), будет Се = С,;, т . е.
(
к~) (К~8)
wlg 1+-2
-
р=Wlg 1+-2
-
ТJ.
Кш
Кшв
(4.42)
Этому выражению для удобства использования лучше
придать другой вид: вводя обозначения
2
к=~
св
2
Кшв
и разделив (4.42) на W, получим
(w/\V')lg(1+Кср) = lg(1+Кс·в11).
(4.43)
Естественно , что равносильно такое выражение:
(1 +Kcp)w;w· = 1 +Ксв'l·
(4.44)
Практически удобно равенство (4.43) взять в деци
белах:
(w/W)(l +КсР)дБ =(! +Ксв'l)дв·
(4.45)
Уравнения (4.42) - (4.45) дают возможность опреде
лить значения р и ТJ, при которых пропускная способ
ность канала полностью используется, и при этом, в
принципе, могут быть достигнуты условия обеспечения
передачи сообщения при минимальных искажениях (шу
мах). Задаваясь каким-либо значением р, получим пре
дельно возможное значение ТJ, при котором объем полу
ченной информации не превышает объема сигнала. Сл-е
довательно, выигрыш, равный Впред =ri/p, получаемый
83
из (4.43) -- (4.45), не может быть превышен никаким и
способами при заданных w, W, Кс и Ксв .
Условием порога будет при этом, по-видимом у, ра
венство
Р . о~= 1Jпор
(4.46 ►
прн вычислениях по (4.45), так как при Р<Рпо р станет-
1] < р и никакого выигрыша система обеспечить нё мо
жет .
Как показывают расчеты , другим условием порога
можно считать равенство объемов сигнала и шума во
входном канале, что приводит к равенству
(4.47 )
откуда
Рпор = (Р,./Рш)пор ~ К~/К.~ .
(4.48)
Более близким к практике условием является раnен
с тво
(4.49 )
где а лежит в пределах 1 3⁄4а3⁄42 .
Прак.тическ.ие расчеты Рпор и Впред · Рассчитаеlv1 р и
1J в децибелах для двух случаев, когда многокана .;1ыюе
сообщение передается с помощью АМ и ЧМ сигналов .
Само по себе многоканальное телефонное сообщение счи
тают распределенным по нормальному закону . Рассмат
риваем и помеху в виде флуктуационного гладкого шу
ма. В этом случае К.~8 = K 2<q = 17 и, таким образом.
Ксв=1.
•
При АМ многоканальным сообщением можно при
нятьК~=к~=17,т.е.иKc= l.
В этом случае соотношение (4.45) перейдет в соотно
шение
(4.50),
При ЧМ сигнал мало отличается от синусоидального·
и его пиковая мощность равна А 2 , а средняя А 2/2 . Следо
вательно, можно принять ki= 2. Тогда соотношение
(4.45) примет вид
(wiW)(t+.2 _) =(l+11)дв ·
(4.51 }
8,5 дБ
84
Величина w/W может быть взята из даннь1х сущест
вующих многоканальных радиорелейных систем . Так. R
[25] указаны такие значения w· и _ W:
Тип еи,стемы
W, МГц
Р-60/120
6,5
Р-600
8,5
«Восход»
14,0
w, МГц
24
35
40
w/W
3,7
4,1
2,8
Следует, однако, отметить, что указанные значен ия:
W включают и спектральную полосу телевизионного со
общения. Тем не менее возьмем для сравнительных рас
четов вышеприведенные ф-лы (4.50) и (4 .51) и приме JУr
w/W = 4(ЧM> и w/W=2(AM> .
Рис . 4.2
Результаты расчетов представлены кривыми рис . 4. 2,
там же приведены значения предельных выигрышей
Вдв = r}дБ -РдБ •
Из рис. 4 .2 видно, что в системах с АМ порога не
существует, т. е. каково бы ни было значение р , значение
11 всегда больше или почти равно р. Следовательнu, в
этих системах максимальная информация на выходе
приемника, ,равная ,мак,симальной информации на вхо
де, достигается всегда при 11 >р.
По-другому обстоит дело в системах с ЧМ. Здесь пр и
уменьшении р, начиная с некоторого значения Рпор • пре-
&5.
дельная информация на выходе равна информации на
вхме толыко при ri<p. Значение ri>P в этом случае оз
начало бы, что на выходе выделяется полная информа
ция, большая, чем ее поступает на вход.
Величина порога, как это видно из формул и кривых
рис. 4.2, зависит только от соотношения полос w/W и от
коэффициентов Кс и Кеа , характеризующих статистиче
ские свойства сигналов и помех. Для систем с ЧМ при
,одинаковых статистических свойствах сигналов и помех
.определяющим порог фактором является лишь отноше
ни~ w/W. В наших расчетах этот порог оказался лежа
щим в пределах 7-l l дБ. Естественно, что эти значения
порога, близко совпадая с наблюдаемыми на практике,
не являются очень точными ; поскольку невозможно точ
но учесть закон распределения сообщения (и соответст
'венно сигнала), являющегося сложным сигналом, i1ред
·ставляющим сумму многоканального сообщения и те
левизионного. Кроме того, при точном расчете в отдель
ных случаях некоторое значение могут иметь и а м пли
тудно-частотные характеристики трактов.
Таким образом, в этой главе показано, что, исходя из
-обобщенного соотношения Шеннона для htаксuм альной
пропускной способности канала (4.35), практически мож
но вычислить два важнейших параметра, характеризую
щих канал связи: максимально возможный выигрыш
системы и значения порога. Выигрыш определяется эдесь,
,как обычно,
В=Рев/Ре
Ршв Рш
•или в децибелах
в -(~)
-(~)
дБ- Ршв дБ Рш дБ.
Он не может быть превзойд~н при любом методе приема,
в том числе и при идеальном .
•
Точность расчета предельной помехоустойчивости и
порога может быть принципиально и практически достиг
нута любая, для чего необходимо лишь знать точные
значения законов распределения передаваемого сосбще-
1-щя и помех, что, в отдельных случаях, возможно.
ГЛ А В А 5. ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЙ
ОТ МНОГОЛУЧЕВОСТИ НА ВХОДЕ
ПРИЕМНИКА
5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В § 3.4 был изложен один из методов оценки искаж_е
ний от многолучевости высокочастотного канала переда
чи. Он свелся к то1му, что многолуч,евый ВЧ канал за,ме-
1-IЯлся эквивалентным низкочастотным четырехполюсни
ком, коэффициент передачи которого, или переходная
фу1нкция определялись статистическими параметрами
многолучевого ВЧ тракта. Метод позволяет вычислять
мощность продуктов искажений на выходе приемника .
Автором был разработан и другой метод , позволяющий
рассчитать отношение мощности продуктов искажений к
мощности полезного сигнала на входе приемника (34].
Этот метод и описывается в настоящей главе. В нем иг
норируется метод приема, но учитывается способ моду
ляции и кодирования , поэтому он дает как бы предель
~ные потенциальные возможности выбранной системы пе
редачи информации.
5.2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Спектр многолучевого сигнала на входе приемника ._
Когда на вход приемника поступает сигнал одного луча ,
то искажений нет. Спектр пришедшего сигнала будет
точно соответствовать спектру, излучаемому антенной
IIередатчика. Влияние флуктуационных и других неза
висимых шумов при этом не рассматривается, поскольку
методы учета этих шумов извес1шы для многих реальных
случаев . Если же на вход приемника попадает несколько
сигналов, пришедших по разным лучам, то спектр сум
марного сигнала будет отличаться от спектра, излучен
ного антенной передатчика . Найдем выражение для это
го спектра при п-лучах. Обозначим суммарный сигнал ,
• поступающий на вход приемника через
п
fJ:. (t)=Ат~кJ(t+'ti),
(5.1)
i=I
87
где Ат - амплитуда луча с максимальной интенсив,но
•С тью; Ki =Аi/Ат:::;; 1 - отношение амплитуды i-го луча к
максимальной; 'ti - время запаздывания для i - го луча;
j (t+-ri) - функция, отображающая модулированное ко
лебание. Будем считать, что
-
1 <;.f(t + 't';) ~ 1.
(5.2)
Функция f (,t) задана, и ее спектр поэтому известен.
Обозначим плотность этого спектра через G (1(0) .
Найдем выражение для плотности спектра GJ: ('(u)
· функции f 'i:. (t) - данной в (5.1). Для этого ,найдем сна
чала выражение для корреляционной функции от (5.1 )-
K'i:. ('t)
п
п
KJ:. (т) =А~~ к7Кi (т) +А~~ кiкjKij(-r) =
i=1
j-j =l
= А~[К(т)t1к~ + 2t1 i=tl кiкjKii (т).
(5.3)
В этой формуле К (т) - корреляционная функция от
f(t), а
KiJ(т)=f(t + тi)f(t + 'tj+ т) =К(т+'tj-тi).
(5.4)
Отсюда окончательное выражение для K"J:. (т) имеет
вид
.KJ: (т)= А~[К(т)~к7 + 2 ~ iilкiкjК(т+Tj- тi)J
(5.5)
Зная К 'i:. (т), можно вычислить плотность спектра
мощности по формуле
СО
n
00
·G J:(w) = 2 J KJ:('t) e-iw,d,= А2 )" к2 ·2 j' K(т)e-iw,d, +
m., .,,, .
L
-ею
i=l
-о::,
n
n
00
+2А~~ ~ KiKj•2JК(-r+ 'tj- тi)e-iw-td't.
(5 .6)
i=I j=i+I
Но удвоенный интеграл в первом слагаемом в (5.6)
· есть не что · Иtное, как известная плотность спектра мощ
ности от f(t), т. е. G(1w).
,38
В интеграле второго слагаемого ф - лы (5.б) произво-
,
дим замен у переменных, полагая
't1 = 't+Т:j-- 'ti
тогда легко _ найдем , что
(5 ,7)
-а:,
и для G'i: ( w) по (5.6) получим такое выражение
G'i:. (w) = А;,, G (w) [i кf+ 2~ i=,t, кiкj cos ffi('tj- ' ti)]. (5.8}
Придадим выражению (5 .8) дру,гую форму , для ч е го
1, выражению в квадратных скобках прибавим и вычте м
в еличину
В результате получим
1
• (i:К;)2~4i i кiкjsin22-00
~
(-r~_
-
_
-r;)].
t=l
t=li=i+l
(5 .9)
Выражения (5 .8) и (5.9) дают точные значения для
ллотности спектра.
Оценка относительного значения искажений по входу·
приемника. Умножая соотношение (15.9) на df и интегри
р у я в пределах реальной полосы сигнала, найдем
где Р=К(О) равно средней мощности f(,t).
Если в (5.1) все т:; одинаковы, т . е. колебания, при
шедшие по всем лучам в фазе, то естественно , ~никаких
искажений не будет и мощность всех колебаний опреде
ляется первым членом в (5 ., 10). Второй член в (5.11()) ста
новится неравным нулю только при условии, что хотя бы
один из п лучей дает колебание, отличное по фазе от
89
о стальных. Отсюда следует, что этот член может харак
теризовать величину мощности продуктов искажений.
Введем обозначения: Р- = А2 ('' к-)2 Р- полезная
l
m~l
i=I
,
м ощность на входе приемника и
п
п
Ni= 2А~п\' L KiKj[Р- К(тj-тJ]
-
i=I j=i+I
мощность продуктов искажений от многолучевости.
Для оценки влияния искажений можно взять величи
ну, равную отношению этих мощностей, т. е .
п
п
2у ~. К·К[1- К("Cj-
't;) ]
__J
•~
L1
к (О)
i=I J=L+I
1li = -----'~~--
-------
(~k;y
(5.11)
Таким образом, зная функцию f (t), которая представ
ляе т модулированное колебание на выходе п ередатчика,
мы можем найти корреляционную функцию от f (.t)-
-K (т), после чего подсчитать 'У]; для любых совокупно
сте й значений К; и т;.
Так как О~К(тi-т;)/К(О) ~ l , то максимально воз
м ожное относительное значение искажения будет рав н о
(5.12)
Случай двух лучей. В исследовательских работах
очень часто полагают, что сигнал на приеме состоит толь
:ко из двух составляющих, прошедших раз·ные пути (двух
лучевой сигнал) . Положив в этом случае для одного лу
ча К;= 1, т;=О и для другого луча к2=к, -с2=,т, что не
уменьшает общ н ости, получим из (5 .9) и (5.11):
G}:(w)= А;, [(1 + к)2-4кsin2 w;] G (w),
2к [1 _ !S.i:ll
К(О)
'11 = ------
(!+к)2
90
(5. 13)
(5. 14)
-.
Максимально возможное значение искажени-й в этом
случае будет характеризоваться величиной
'l'Jмакс = (! + к)2 •
2к
(5.15)
Положив к. = 1, получим из (5.15)
'УJмакс макс = 1/ 2.
(5. 1б)
В этом последнем случае спектр будет иметь вид
(i)'t
GL(w) =4А2G(w)cos2 -
т
2
5.3 . ОРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
(5.17 )
Предыдущие формулы выведены для фиксированных
значений К; и -с;. Однако, в реальных условиях эти ве
личины из:vrеняются во времени и являются в каждый
момент случайными величинами . Поэтому желательно
усреднение 'У);.
Есть все основания считать, что К; и 1t;, независимые
величины, поэтому усреднение можно производить пооче
редно и раздельно. Усредним сначала по -c= -cj-rr;. Счи
таем , что между любыми двумя лучами закон разделе
ния ,: - одинаков, также как одинаков и диапазон из
менения -с. Учитывая это, можно из (5.11) получить
=А-В,
(5.18)
где
n
11
(5.19)
в
Рассмотрим эти сом:ножители отдельно.
И с следование сомножителя А. К (-с) зависит от вида
модулирующего сообщения . Для нас представляет инте-
9!
- ______j
ре е рассмотреть в первую очередь ЧМ сигнал как чаще
все го встречающийся. Известно, что для ЧМ
1
.
2
к(
-I Wm [ JЧО)-К,(Т)]
т)= -
е
•
COS(J)oT,
2
(5.20)
где Кs (т) есть корреляционная функция от сИ1гнала
t
S (t) = 5F(t') dt',
о
в котором ,F(t)- мод улирующее сообщение, Л,wm-мак
симальная девиация часто ты (круговая) и 1w0 - несущая
угловая частота.
В соответствии с (5.18) и (5 .,19) будем иметь среднее
з начение отношения К (т) /К (О). Однако, учитывая, что
К (rr) - фу:нкция периодическая, ее среднее значение за
сколь либо заметный промежуток изменения т будет
близко к нулю. Но искажения будут равноценны при от
рицательных и положительных значениях К (т). Поэтому
для оценки этих искажений следует находить средне-
квадратичное значение V К2(-т:) . Таким образом · необхо
димо вычислить величину
-vк2 (,:)
l;-
2
К(О) = V e-2Лwm[Ks(O)-Ks(т)] COS2Wo••
(5.21)
При вычислении мы предположим, что все значения
, лежат в пределах -тm::::;;rr::::;;тm и распределены равно
мерно . Это предположение подтверждается эксперимен
тально.
Чтобы вычислить (15 .2), необходимо сначала н ай ти
Кs(т) И Ks(O)-Ks(т).
Вычисление (5.2) в общем случае сложно. Рассмат
ривая случай передачи многоканального сообщения,
спектр которого в полос е 0-.Рт равен G0 = coпst и вне
этой полосы G (F) = О можно найти такое приближенное
соо1'ношение для А
Vl -е•-атт
А~I-
--- ,
(5.22)
а-Т:т
2АйЛt;
гдеа=---иА0~1,4.
Fm
И с следование сомножителя В. Выражение (5.19) для
этого сомножителя может быть взято также в виде
92
п
\' к2
....1
'
1_ _i_=_l ___
( ),, к;)2
'
t=l
(5.23)
где второй член есть коэффициент когерентности А,юг
данный в (3.72) .
п
В этом соотношении ,, К/=Рср есть величина про
.,
i=l·
порциональная мощности пришедшей на приемник по
всем · лучам п ри услови и н екогерентности лучей. Здесь
мощности всех лучей складываются.
Величина (,. к;)2
-
равна максимально возмож-
1=1
ной мощности от всех лучей, когда фазы всех лучей сов
ладают.
Из (5.23) следует, что всегда В~ 1. Пусть все к.i со
nоставимы по величине. Такое допущение можно сделать
1<0 гда суммарное поле, приходящее на приемник, подчи
няется необобщенному закону рас п ределения Релея. В
первом приближении пусть все К.; = к., тогда
~ к.2 = пк,2(f к-)2= п2к.2
~l
~l
i=l
i=l
.
Отсюда В= 1-1/п и при большом п, В= 1, т. е. имеет
максимальную величину.
Представляет интерес рассмотреть случай, когда су
ществеJНно превалирует один луч. Тогда можно получить
1· акое соотношение для В
1+P-g
В ~1 - -:-----:-~===---~-
•
.·•
1+2V(n-I)P-g + (n-l)P-g'
(5.24)
где · Р 'i - суммарная мощность всех лучей за исключе
нием превалирующего, равная к.;2 = 1. Из этой формулы
легко убедиться , что фактор В зависит не только от Р 'f ,
но и от числа лучей. При очень большом числе лучей
фактор В--+1 даже при наличии превалирующего луча.
Однако, когда Р -g « 1, тогда В близок к нулю.
Полученные соотношения на,глядны и дают возмож
_ноеть оценить степень влия ,ния многолучевости.
93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
!,. Бу,н1имович В. И. Флу,ктуацион·ные ·проце с,сы в рад,иоприем,ных •
устройствах . М . , «Советское радио», 1951. 360 с.
2. Смирнов В . А. Основы радиосвязи на ультрако р отких волнах.
Nl. ,
Связьиздат, 1957. 808 с.
3. Левин Б. Р. Теоретические ос новы статистической радиотех
ники . М., «Советское радио», 1968-1969. 728 с., 500 с.
4. Латхи Б. П. Оиrст-емы передачи и,нфо,рмации . М., «Связь»,
1971. 318 с.
5. Кловский Д. Д. Теор и я передачи сигналов. М . , «Связь», 1973 .
376 с.
6. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М., Физматгиз,
1960. 884 с.
7. Тихонов В. И . Статистическая радиотехника. М . , «Советское
радио», 1966 . 678 с.
8. Рыскин Э. Я . О п ороговом · уров н е ЧМ прием н ика. «Электро
связь», 1964, No 6, с . 1-7.
9. Элинсон Э. С., Ларионов А. С. О пороговых соотношениях
при приеме ЧМ сигналов. - «Радиотехника», 1967, No 2, с. 55 - 58 .
10. Фрутиrер П. Шум в ЧМ прием н иках с отрицательной обрат
ной •с вявью. - «Труды института .и-нжен.еро·в :по эл·ектротех·н,ике и •ра-
диоэлектронике», 1966, No 11, с. 5-21.
,
,11. Рыск,ин Э. Л., Гусятинский И. А. Анал•шз ,помехо,защи щен,но
сти деiмо,дулятора с оlбра'Гной ,свя,зью по ч астоте . - В :к, н .: Методы
помехоустойчивого приема ЧМ и ФМ. Под ред . А . Г. Зюко . М. ,
«Советское радио», 1970, с. 88-96.
12. Цирлин И. С. Анализ помехоза щищенности ЧМ демодулятора
с прямым вычитанием девиа ции. - В к н .: Методы помехоустойчивого
приема ЧМ и ФМ. Под ред. А. Г. З ю к о . М., «Советское радио»,
1970, с. 155-164.
13. Марголин Ю. Н. Помехозащищенность приемника ЧМ сигна
лов ,со следящим гетеро~ином ,пр:и во:здеЙlс11в,шн флу:ктуаr:.;ионных шу
!'<ЮВ. - В ,кн. : •Методы ,пом-ехоустойч1J1.воrо :ттри ,ема ЧIМ л ФL1⁄2. Под ред.
А. Г. З ю к о. М., «Советское радио», 1970, с. 165-176.
14. Рыскин Э. Я. К вопросу о пороговом уровне ЧМ приемни -
ка . - «Электросвязь», 1969, No 1, с. 79.
.
11,5 . Rice S. О. •Statist ical pюperties о[ s i,пe w.av,e plus rafl,d.oш
пoise. - «Bell Systeпi Тесhп. Jorпal», 1948, V27, No 1, р. 109-157.
16. Ri се S. О. Noise .in FM ,Receivбs, Ch. 215 in «Тiше Series
Aлa lys i s», ,edHed Ьу ,RosenЬ!att John Wi:l ,ey, 19-бiЗ, ... р .
...
17 . Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. М., «Наука»,
1968. 368 с.
18. Лифшиц В . А., Пугачев В. Н. Вероятностный анализ сисrем
автоматического управления. М. , «Советское радио», 1963. 896 с .
94
..
19. Зюко А. Г. Элементы теории передачи информации. Киев,
«Техника», 1969. 298 с.
20. Большаков А. и др. Математические основы современной
радиоэлектроники. М., «Советское радио», 1968. 206 с.
21. Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию сигналов
и цепей. М., «Высшая школа», 1968. 280 с.
-•
22. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М ..
«Советское радио», 1965. 207 с .
23. Смирнов В. А. Влияние флуктуационных п омех в системах
связи с частотной модуля цией. - «Рад иот ехника», 1958, No 9, с. 8-
17.
24. Гусятинский И. А., Рыжков Е. В., Немировский А. С. Радио
релейные линии связи. М., «Связь», 1965. 543 с.
,215. Инженер.но-т ехнический -слравочн1и:к по эле•ктросвяз-и. Ра,дио
релейные линии. М., «Связь», 1971. 440 с.
26. Малолеnший Г. А. К вопросу о помехоустойчивости частотной
модуляции. - В кн.: f1'1 етоды помехоустойчивого приема ЧМ и ФМ.
Под ред. А. Г. 3 ю -к о. М., «,Сс ,зет-ское ра,д:ио», •: 971()1, с. ,! 2·-
.
219.
27. Kretzmer Е. R. Ап Application of Auto-Correlation Analysis. -
«Journ . о! Mathematics and Physics», 1950, No 3, р. 75-92.
28. Раис С. Теория флуктуационных шумов.
-
В кн.: Теория пе
редачи электрических сигналов при наличии помех. Под ред.
Н. А. Железно в а. М. , ИИЛ, 1953 , с. 88-239.
29. Смирнов В. А. Применение нулевого отклонения для оценки
шумов и искажений. - «Электросвязь», 1961 , No 1, с . 3-8.
3,0,. Смир,нов В. А. Новые методы оцен·ки и,окажений лр•и много
.лучевом распространении сигналов. - «Электросвязь», 1961, No 5 .
с. 10-17.
31. Котельников В. А. Теория потенциальной nомехоустойчивс.сти
М., Госэнергоиздат, 1956 . 151 с.
32. Гельфанд И. М., Фомин ·_ С. В. Вариационное ис<mсление. М.,
Физматгиз, 1961. 228 с .
33. Шэ-ннон К. Статистиче,ская т.ео,рия передачи электричес,ких
си,г,налоm. -- В •к,н. : Теори, я передач-и эле-ктр:и:ческих -си•rналов лр:и •на
.1,ич.ии ,пом·ех. Под •ред. Н. А. Железно в а. М., И,ИЛ, 1913<3, с. 7___}87.
Зi4. См1и,рнов В. А. НО1вые м-2тGды оцен-к,и и,с-каж€ни,й при мно
голучевом ра,сnростране,нин ,си.гна.10-в . - «Эл~ктросвязь», - :Э6i, No 5,
с . :Oi----17.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Гл а в а 1. Представления сигналов и помех, поступающих на
вход приемника
1.1 . Общие сведения о сигналах и помехах
.
.
1.2. Канонические (оптимальные) представления сигналов
и помех
1.3 . Представление сигналов рядом ортогональных функ-
ций . Теорема Котельникова
1.4. Представление сигнала аналитической функцией
1.5. Представление модулированных сигналов
1.6. Представление смеси модулированного синусоидально
го сигнала и шума на входе приемника
Гл а в а 2. Метод вероятностных весов
2. 1. Сущность метода
2.2 . Влияние флуктуационных помех в системе с ЧМ
2.3. Влияние флуктуационных помех в системе с АМ
2.4. Применение «метода вероятностных весов» к оценке
помехоустойчивости импульсных систем связи
Гл а в а 3. Определен,ие предель-ной поме,хо,устойчивости по
метод,у нулевого от,клонения •.
3.1 . Обоснование условия нулевого отклонения
3.2 . Малые флуктуационные шумы
З,.3 . 1Большне флуктуа1ЦИО'нные шумы
3.4 . Оценка искажений при многолучевом приеме
Гл а в а 4. Определение предельной помехоустойчивости и
порога из обобщенного уравнения Шеннона
. 4.1 . Некоторые сведения из теории информации
4.2. Выражение объема информации через основные пара
метры сообщения
4.3 . Канал и его пропускная способность
4.4. Определение предельной помехоустойчивости и порога
Глава 5-
.
Оценка ,искажений от мн.оголучевост,и на входе
пр ,иемн.Иlка
5.1. Общие поло,жен,ия
15.2 . Ооно,вные соо11ношения
б. 3. Среднее значение
Список литературы
96
Стр.
3
5
5
7
10
13
16
17
19
19
22
36
41
49
49
51
52
59
69
69
76
~
79
82
_._
87
87
87
91
94