Предисловие
Введение
Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решение линейных неравенств
Решение линейных уравнений и неравенств с модулем
Решение квадратных уравнений и неравенств
Решение квадратных неравенств
Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем
Разные задачи
Решение иррациональных уравнений и неравенств
Решение систем уравнений и неравенств
Метод определителей
Решение линейных систем с модулем
Решение нелинейных систем
Примеры на применение производной
Оглавление
Text
                    Е.М. Родионов
СПРАВОЧНИК по
МАТЕМАТИКЕ для поступающих в
Е.М.Родионов СПРАВОЧНИК по МАТЕМАТИКЕ
для поступающих В
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МЦ «Аспект»
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время на вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задачи и примеры с параметрами, решение которых вызывает большие затруднения у поступающих.
Нередко при решении примеров с параметрами поступающие ограничиваются лишь тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Такое формальное решение может оказаться неполным, поскольку не рассматривается вопрос о том, при каких значениях параметра эти формулы применимы.
Существует несколько вариантов условий параметрических примеров — исследовать уравнение, решить уравнение, определить количество решений, найти положительные корни и т. д. В силу такого многообразия условий нельзя дать универсальных указаний по решению примеров, поэтому в справочнике приводится много примеров с решениями.
Материал пособия представлен по такой схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной проработки с ответами.
Такая форма изложения наиболее удобна для активного усвоения методов решения задач. В ряде случаев при разборе конкретных примеров приводится, возможно, не самое короткое и изящное решение задачи. Это объясняется прежде всего тем, что при разборе примера автор в первую очередь стремился дать наглядное применение предложенного метода, а вовсе не продемонстрировать примеры нестандартных подходов к решению различных задач. Задачи, используемые в справочнике, в основном взяты из вариантов, предлагавшихся в последние годы на вступительных экзаменах по математике в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.
В пособии использованы следующие обозначения: R — множество всех действительных чисел, числовая прямая; => — знак следования; о — знак равносильности; g — знак принадлежности; V — знак «для любого», «для каждого», «для всех».
Справочное пособие рассчитано на поступающих в ВУЗы, старшеклассников, а также, будет полезно преподавателям школ и подготовительных курсов.
ВВЕДЕНИЕ
Если в уравнение или неравенство кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух следующих случаев:
1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров;
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором — недопустимым. При решении примеров допустимые значения параметров определяются из их конкретного смысла.
Так, в уравнении	= 2 допустимым является любое
значение а, кроме а = 0 и а = х\ если |х2 — х~2|=а, то а^О.
Решить уравнение или неравенство, содержащее параметр, — это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).
Нередко при решении примеров с параметрами поступающие ограничиваются лишь тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Такое формальное решение может оказаться неполным, поскольку не рассматривается вопрос о том, при каких значениях параметра эти формулы применимы. Например, при решении уравнения пг2(х — 2) — — Зт = х-\-1 переходят к уравнению (m2— 1) х = 2т2-}-Зт-\-1
,	1	2m +1
при + l записывают единственное решение х= •
Но ведь при т= — I — бесчисленное множество решений, а при т = I — нет решений.
1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Справочный материал
Решить уравнение f(x, а, Ь, с, р) = 0 это значит:
а) определить множество допустимых значений неизвестного и ^параметров; б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах — Ь = 0.
А. При а^=0 уравнение имеет единственное решение х = —,
*	/ м\	( я>0 f а<0
которое будет: положительным (х>0), если | или
z	( Ь = 0
нулевым (х = 0), если ( а>0	( а<0
1 ь<о или Ь>0’
Б. Если а = 0, то при Ь = 0 ний; при решений нет.
отрицательным (х<0), если
бесчисленное множество реше-
Примеры с решениями
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение а— 1 а
— 7+Т’ наити ПРИ каких а корни больше нуля.
А Исходное уравнение не является линейным, но при х^О и х^= — 1 сводится к таковому: (а— 1) (х+ 1 ) = ах или а— 1 —х = = 0.
Кроме допустимых значений х выявим допустимые значения параметра а. Из а— 1 —х = 0оа= 1 -|-х и при х^О а^= 1, а при х 5^ — 1 а =?^=0.
Таким образом, при а=^=0 и а^= 1 х — а— 1 и этот корень больше нуля при а> 1.
Ответ: при R\{0;l}, х = а— 1; при а£{0;1}—решений нет; корень положителен при а>>1. ▲
5
Пример 2. Решить уравнение
—-— = —!— •	(1)
kx — 12 Зл- — к	' '
Л Допустимыми значениями х и k будут значения, при которых kx— 12у=0 и Зх —или fex=#12 и 3x = k.
Приведем (1) к простейшему виду:
Эх — 3k = kx — 12
(9 - k)x = 3k- 12.	(2)
Найдем k, при которых (1) и (2) не равносильны или (1) не имеет числового смысла.
Подставив в (2) х= , получим:
(9 -	=3&—12=> 108- 12fe = 3fe2- 12fe=>
k = ±6.
Если подставим х= то также получим k ±6. О
Таким образом, при fe + б уравнение (1) не имеет числового смысла т. е. — недопустимые значения параметра k для (1). При ±6 можем решать уравнение (2).
А. Если 9 — &У=0, то уравнение (2), а вместе с ним и уравнение (1) имеют единственное решение х— , которое будет:	~
а)	положительным, если (3k — 12) (9 — k) >0 при 4<fe<9 с учетом fey=6:fe£]4; 6[U]6; 9[;
б)	нулевым, если 3k— 12 = 0=> fe = 4;
в)	отрицательным, если (3k — 12) (9 —fe)<0=> fe<4 и fe>9 с учетом —6, получаем k£] —оо ; —6 [ J ] —6; 4 [ J ] 9; + °° [.
Б. Если 9 — k = 0=>k = 9, то уравнение (2) решения не имеет.
Ответы: а) х =	при k^ ±6 и &У=9,
причем х>0 V&g]4; 6[U]6; 9[; х = 0 при /? = 4; х<0	— оо;
— 6[U]—6; 4[U]9; + оо[;
б) при feg{-~6; 6; 9} уравнение не ймеет решений.А Пример 3. Решить уравнение
---=—?—.	(П
За 4- к b + х	' '
Л Допустимыми значениями неизвестного и параметров будут те значения, при которых За4"-^¥=0 и Ь-\-х^=0.
Приведем уравнение (1) к простейшему виду. Умножив обе его части на (3cz-|-x) (b -j-x), получим а(Ь +х) = 6а-|-2х или 6
(a — 2)x = a(6 — b) (2). При ЗаД-^т^О и ЬД-х^О уравнения (1) и (2) будут равносильными.
Найдем значения а и Ь, при которых За + -^ = 0 и Ь4--* = 0, т. е. уравнение (1) не имеет смысла и не равносильно уравнению (2). Для этого в уравнение (2) подставим последовательно х=— За и х=—Ь, (а — 2) (— За) = а(6 — Ь) или а(Ь — За) = 0, откуда найдем а = 0 и b = 3a\ (a — 2)( — b) = a(6 — b) или 2Ь = 6а, откуда найдем Ь = 3а.
Таким образом, уравнение (1) при а = 0 и b — За не имеет числового смысла.
При а^=0 и Ь^За уравнения (1) и (2) равносильны и исследовать уравнение (1) можно с помощью уравнения (2).
Если а — 2у=0, т. е. а^=2, то уравнение (2) имеет единствен-а(6 — b)	g,
ное решение х = а 2 , которое будет:
,	(a(6-b)>0	(а(6-Ь)<0
а)	положительным, если < v	или {	„ п
’	(а -- 2 > 0	(а — 2<0
( а 2
Из первой системы следует, что | Из второй системы сле-
(0<а<2	( а<0	, ,о
дуют две совокупные системы	и|6<6 ПРИ
б)	нулевым, если а(6 — Ь)=0. Поскольку а=#0, то Ь = 6, ( а =^= О
Т’ е‘ ( Ь = 6'
ч	( а(6-Ь)>0	( а(6-Ь)<0
з) отрицательным, если | _ 2 о ИЛИ 1а — 2>0
Из систем неравенств находим:
Г0<а<2 и S < п
„	( a<zO
из первой — I £>6 1
о - (а>2 из второй — |	|
Если а —2 = 0, т.
0-х = 2(6 — fe), откуда
а)	при Ь = 6, т. множество решений;
б)	при Ь^=6 уравнение решений не имеет.
Ответы: х=-^£^-, если а^=2, а^=0 и Ь^За-, причем х>0
( a<z0 ( Q<Za<z2 ( а>2.
при U<6’ -16>6	’ Iб<б;
х = 0 при fe = 6;
при Ь^За.
е. а = 2, то уравнение (2) принимает вид следует:
/ а = 2
е. I £_g уравнение имеет бесчисленное
7
х<'0ппи/а<0	(0<а<2	(а>2.
Х<ОприЬ>6’ Ь<6 ’ Ь>6’
Уравнение имеет бесчисленное множество решений, если а = 2	„	•	(а=2	Q
g’ решении нет, если |	a — Q\	За = Ь и а=£2. ▲
Упражнения
1. Определить значения k, при которых корни уравнения
3	1
п--г = т---7 положительны.
8х — k kx — 2
Ответ:	< /г < 4;	4 < k < 6.
О
5	1
2.	Решить уравнение —----= --------.
ах — 4	9х — а
Ответ: х = при а=£ ±6 и а#;45.
45 — а
3.	Решить уравнения и определить знаки корней:
1)	ах + 2% + 3 = 1 — х; 2) 40% + 1 За = л/а + 15%;
3)	40% + 12а = л[а — 2 + л/а + 36%;	4) Зх + 9 = а(а—х).
Ответы: 1) при аф — 3 х = ^4' ; при а<3	х>0;
2)	при а^О х=	;	х>>0 при 0<а<1;
3)	если а2>2, х =	2	; х = 0 при а> ~36;
4)	если а= —3,r x£R; если ау= —3, х = а — 3.
4.	Найти все 6, при каждом из которых решение уравнения 6 — ЗЬ + 46% = 46 + 12% меньше 1.
5.	Найти все т, при каждом из которых решение уравнения 5х — 18m = 21 — Ътх — т больше 3.
6.	Найти все а, при каждом из которых решение уравнения 15х — 7а = 2 + 6а — Зах меньше 2.
Ответы: 4. —2<Ь<3 5. т<—3 и т;> — 1; 6. —5<а<4.
7.	Решить уравнение а2х = а(х-}-2) — 2.
Ответ: Если а^О, а=^1, то х = 21а; если а = 0, то нет решений, если а= 1, то %ER.
8.	Решить уравнения:
1)	4 +	= Зх + 1;
3) ах — а = х— 1;
5)	0;
х— 1
2) ах —7 = 2х+10;
4) тх4~ 1 — х4"т;
g\ 2тх-{-5 __ q.
8
7)	= 1;
'X — 1
т — х
11) = 1;
а — х
о ч х________х   4а2 — 1 .
а — 1	а	а (а — 1) ’
10) —^— — 2;
За — х
12) —^г- = —— .• х — 2а	ах—1
3
Ответы: 1) единственный корень х = при ту=3; нет корней при т = 3;
17
2)	единственный корень х = —у ^ои ау=2; нет корней при а = 2;
3)	единственный корень х= 1 при аф 1; х — любое число при а= 1;
4)	единственное решение х=1 при ту=1;х — любое при т — 1;
з
5)	единственное решение х= ——— при ту=0 и ту=3; нет решений при т = 0 и т=3;
5 1
6)	единственное решение х=— при т=— —-— и
ту=0; нет решений при т= — —— и т = 0;
7)	единственное решение х = 2а-|-1 при нет решений при а = 0;
8)	единственное решение х = 2а-|-1 при	i— и
аУ=1; х — любое при а= ; нет решений при а = 0 и а — 1;
решение х= при my= —1 и т=#0;
9) единственное
нет решений при т— —1 и т = 0;
10)	единственное решение х —
при —2 и аУ=0;
нет решения при а= — 2 и а = 0;
11)	единственное решение х= при а=£ — 1 и ±2;
нет решения при а= — 1 и а= ±2;
12)	единственное решение х=^—- при аУ=2 и
-I-1	Л
нет решения при а = 2 и а
9. Решить уравнение
а3 — 1   а (х — 1) а2 — х а3 + 1 а (х — 1) — а2 + х
Ответ: если аУ=0 и а^-±1. то x = d2— 1; если а = 0,	x£R\{0};
если а=1, xgR\{l}; если а= — 1, уравнение не имеет смысла.
9
2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Справочный материал
Неравенства вида аох-\-а\>О, aox + ai<O, ао¥=О называются линейными неравенствами.
Множество решений неравенства ao% + ai>O определяется знаком числа ао:
* а) если ао > 0, то решениями являются все числа промежутка ] —ai/ao; + сю [;
б) если ао < 0, то решениями являются все числа промежутка ] — оо ; —а]/ао[.
Аналогично для неравенства + <0 имеем:
а)	если ао>О, то решениями являются все числа промежутка ] — сю; —ai/a0[;
б)	если ао<;О, то решениями являются все числа промежутка ] — ai/ao; + сю].
Примеры с решениями
Пример 1. Решить линейное неравенство
А Видно, что при а = 0 неравенство решений не имеет, так как обе части неравенства теряют смысл.
Преобразуем исходное неравенство
у За / За	а у За/ у 3	/
2
Если 1----— а>0, то х^2. Установим при каких а
О
1—-^->0. (За — 2)а>0=> а (а-------и
2	2
а> —, т. е. при а<0 и а> —.
о	3
Если 1 —	<С0, то х^2 при	•
За	3
Если а = то %6R.
Ответ: если а<0, то xg] — оо; 2]; если а = 0, решений нет;
если 0<а< -|-, то х£ [2; + оо [; если а = -|-, то xfR; если
то х£] — оо; 2]. ▲
Пример 2. Решить неравенство 2ах-|-5> а-\-10%.
А 2ах — 1 Ох > а — 5 о2х(а — 5) >> а — 5.
Последующие действия выполняем, исследуя возможные варианты:
10
1) a — 5 + 0, так как надо строгое неравенство;
2) обе части неравенства можно разделить на (а — 5), при этом следует учесть знак этой разности. При а — 5>0 х>
= —т—> т- е- ПРИ «>5 х> - *. При а — 5<0 х<
2(cz —5)	2	г	2
(2 — 5	1	г	1
< 2(^=5) = Т-’Т-е' ПРИ °<5 Х< —'
Ответ: х> —|—приа>5;х< —|— при а <5; нет решений при
а = 5. А
Пример 3. Решить неравенство mx —6^2т —Зх.
Л Данное неравенство является нестрогим. Это означает, что при т-|-3 = 0 переменная х может принимать любые действительные значения, в этом можно убедиться подстановкой. Например, при т=— 3 и х = 5 5-0 = 2-0 — истина и при х== —1 — 1( —3-|-3) = 2( —3 + 3) — истина и т. д.
Ответ: при т>—3 х^2; при т<2 — 3 х^2; при т =—3 хС R. А
Замечание: формальное решение неравенств, рассмотренных в примерах 2 и 3, приводит к распространенной ошибке, которая сводится к делению левой и правой частей неравенства на выражение, содержащее переменную, а это приводит к потере решений и к коротким ответам.
Неправильные решения:
2х(а — 5) > а —5 ох >	=	= Т’
x(m + 3) < 2(m + 3)ox <	= 2ох<2.
Упражнения
1.	Решить линейное неравенство:
1)	ах + х —2а+1 >0. Подобрать а так, чтобы решение удовлетворяло условию х<а.
2)	ах + х+ 1 <0. Подобрать а так, чтобы решение удовлетворяло условию 1<х.
Ответы: 1) при а< — 1 х <	; при а= — 1 x£R; при
а>— 1 х > —+1 ; х<2а при а<- 1;
2)	при а <2 — 1 х> —	; при а = — 1 хС 0; при а> — 1
х<------; 1<х при — 2<а< —1.
. а + 1	г
2.	Решить неравенства:
1)	ах — а2 2^ х — 1;	2) ах + 16 < 4х + а2;
11
3) тх >* 1 + Зх; 4) тх <4 — 2х;
5)	х -- 5 >* пх — 1;	6) 5 + kx^ 5х + k.
Ответы: 1) х^а-\-\ при а>1, х^а+1; при а<1, х — любое при а= 1;
2)	х^а-\-4 при а>>4, х^а-\-4 при а<4, х — любое при а = 4;
3)	х > тЬ'з ПРИ т>^, х m1 3 ПРИ	нет решений
при т = 3;
4)	х < —при т> — 2, *х >  4 п при т< — 2, нет ре-m + 2 r	m + 2 r	г
шений при т= —2;
5)	х > у4 при п<1, х < у4 при п>>1, нет решений при п= 1;
6)	х<1 при k>5y х^1 при £<5, х — любое при k = 5.
3. Решить неравенства:
1А а2%+1	+ 3	а-^-9х , ох ах-^-l	х — 4а^а2
2	3^6’	'	3	2^6’
Ответ: 1) при \а\ >3(— оо; 1/(а —3)) при |а| <3(1/(а — 3); + оо); при а= — 3 решений нет; при а = 3 xgR.
2) при а<3/2^— оо;	> ПРИ « = 3/2 x£R; при
\ о /о / а2~ 12а — 2	.	\
а>3/2(	2а-3	; +°°)-
3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ
Справочный материал
Абсолютной величиной или модулем числа х называется само число х, если х>0, число (—х), если х<0, и нуль, если х = 0. Другими словами:
V О, -ху V
х>*0 если х = 0 х<0.
Из определения следует, что |х| ^0 и |х| ^х для всех x£R.
Неравенство \х\<а(а>0) равносильно двойному неравенству — а<х<а.
Неравенство |х| <а(а<0) не имеет смысла, так как |х| ^0.
Неравенство | х | >> а(а> 0) равносильно двум неравенствам х£] — од;' —	+ оо [.
Неравенство |х| >>а(а<0) справедливо VxgR.
12
Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение |х —2| =&.
Л Так как |х — 2| ^0, то при /?<0 данное уравнение решений не имеет. Если Ь = 0, то уравнение имеет решение х = 2, так как по определению |х —2|=0, х — 2 = 0, % = 2.
Если Ь>0, то решениями уравнения являются числа х = 2-[-Ь и х = 2 — Ь.
Ответ: если Ь<0, то решений нет; если Ь = 0, то х = 2; если 6>>0, х = 2-\-Ь, х = 2 — Ь.±
Пример 2. Решить неравенство |х —3|>а.
А При а<0 исходное неравенство верно для всех x£R, так как |х — 3| ^0.
При а = 0 исходное неравенство верно для всех х=#3.
При а>0 решением неравенства будут все точки числовой прямой, которые удалены от точки % —3 на расстояние больше ау т. е. х<3 — а и %>>3 + а.
Ответ: Если а<0, то x£R; если а = 0, то х£ R\{3}; если а>0, то х£] — оо; 3 —a[U]3 + a;	оо [. ▲
Пример 3. Решить уравнение |х — а| = |х — 41.
Л Решим методом интервалов, для 2-х случаев:
1)
Первый интервал
/ х^а	I х^а
I —x-[~ci= —x-f-4 t ti = 4	’
второй интервал
т. е. если а <4, то х = —±—
третий интервал f 4<х 1 х — а = 2) 4<а. Первый интервал ( *<4 1 —* + второй интервал f 1 — х-\-а = х — 4	х — 4 а = 4, т. е. если а = 4, то 4<^х. а=-х + 4	а = 4’ тох<4; ( 4<х<а | г_ °+4	4 < -<а,	а >4, 1 х- 2 ’	2
13
А	и-Г-Ч
т. e. если 4<a, то x = —J—
третий интервал
a^x
x —a=x—4
a^x a —4,
x.
Ответ: если a = 4, то x£R, если a£R\{4), то x=^~—. A
Пример 4. Для всех а решить неравенство 11 -f-x| ^ах.
Л Вскрываем модуль при 1-]-х^0. Тогда исходное неравенство равносильно системе
1+х^0 Г х^ —1
1 + хах I (1— а)х — 1
(1)
(2)
Решим систему (1) при а<1- Пересечение —
—!— возможно тогда, когда — 1 < —	, т. е. 1 — а>
1 — а	1 — а
<0 при а<0— 1<х< — ------•
r	1 —а
При —yz-- < — 1, т- е- ПРИ 0<а<1 система (1) не имеет решений, а значит и исходное неравенство также.
Решим систему (2) при а>\\ возможны два варианта —
точка---Г—о~ Расположена правей — 1, т. е. и пересечение бу-
Р777777

При а>\-—точка
\ —а
расположена левей — 1,
т. е.
___с-?
1-а
14
пересечение будет
-1
при )	' 1—а
I а> 1
-1
а€0-
о
кх) ^ах
< -I
— (а+ 1)х^ 1
с< -1
(а + 1)х> — 1
а> — 1
1
(3) и
1 (4).
Решим систему (3). Решение есть, если
X
—7
-1
при S а-hi v а> — 1
—1<а<0 решение системы (3) — -	^х^ — 1.
Решения нет, если
е.
при
т. е.
Г -I
-1 -J— а+1
а> — 1
0. При а>*0 решения нет.
1
7

а
, т. е.
а
Решим систему (4). Если
ат-7
р /-1<ЖГ
Если S а+1	, т. е.
v а< -1 пересечение х< —1 при а
[ а>0
то при р _ 1	0.
а+1
-7
15
Ответ: При а>1 х£	+°° [; при а£]0; 1] решений нет;
при а£]—1; 0[xg Г--------	;—!—1 ; при а=С — 1 х£] — оо;
L о | 1 о 1 Л
—1 А
a- 1J
Пример 5. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |х + 31 — а\х— 11 =4.
Л Рассмотрим три промежутка: 1) — оо<х<—3, 2) —3^ ^х^1, 3) 1<х<4-°° и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1)	— оо<х<С~3, — (х-{-3)4-а(х — 1) = 4, (а— 1)х = 7-\-а,
при а = 1 уравнение не имеет решений. При аф 1 уравнение имеет 7 4- а	-г
корень х\ —	—. 1еперь надо выяснить, при каких а х\ по-
_ о	7 4-а	о 7 4-а 4-За — 3	л а 4-1	__
падает на х<2 —3, т. е. - , <С —3, —- — ---<0, 4	- С
а~ 1	<2—1	а— 1
<0, — 1 < а<1. Следовательно, исходное уравнение на х С ] — оо ; — 3 [ имеет один корень xi при а£] —1; 1 [, на остальных а корней не имеет.
2)	— З^х^ 1. х-\-3-\-а(х— 1) = 4=>(а4" 1)х = аД- 1. (*).
При а= — 1 решением уравнения (*) является любое х; т. е. х£ R, но мы решаем на х£ [—3; 1]. Если аф — 1, то уравнение (*) имеет один корень х=1.
3)	1 <х< + оо, х + З — а(х — 1) = 4=^(1 — а)х= 1 — а. (**)
При а=\ решением уравнения (**) является любое число, т. е. xfR, но мы решаем на х£] 1; + оо [. Если то х=1, но %е] 1; + °° [•
Ответ: При |а| < 1 х, = и х?= 1; при а— 1 х> 1; при а =
= — 1 х£ [—3; 1]; при |а|>1 х=1. ▲
Пример 6. Решить неравенство
|х — а\ + |х + а| <Ь, а=^=0.
Л Для решения этого неравенства с двумя параметрами а и b воспользуемся геометрическими соображениями. На рис. 1 построены графики функций f(x) = |х — а|-J-|ха| и у = Ь. Очевидно, что при b <2|а| прямая у = Ь проходит не выше горизонтального отрезка кривой у=\х — а| Д- |х а| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рис. 1, а). Если же b > 2|а|, то прямая у = Ь пересекает график функции y = f(x) в двух точках ( — 6/2; Ь) и (6/2; b) (рис. 1, б) и неравенство
16
в этом случае справедливо при — Ь/2; Ь/2[, т. к. кривая y=f(x) расположена под прямой у = Ь.
Ответ: Если Ь^2|а|, решений нет; если Ь>2[а|,то х£] -—Ь/2; Ь/2[. ▲
Пример 7. Найти все значения а, при которых уравнение а3 + ci21 а + х | + | а2х + 11 = 1	(1)
имеет не менее четырех различных решений» являющихся целыми числами.
Л Уравнение [1] можно записать в виде | а2х + 11 + | а3 + а2х | = а2х + 1 — (а3 + а2х). Из свойств абсолютной величины следует, что равенство |Л | + |В| =Л — В, справедливо тогда и только тогда, когда Л^О и В 5^0. Следовательно, уравнение (1) равносильно системе неравенств
Значение а = 0 удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае система (2), а следовательно, и уравнение (1) имеют решением всех x£|R.
Пусть а^=0. Тогда система неравенств (2) равносильна системе
Таким образом, необходимо найти все такие значения а, при которых система (2) имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами. Сравним числа —а и —Х/а2. Найдем их разность:
-=Г _ (_а) =	+ а = ^±±«1 =	.
a	а	а2	а2
17
Так как а2 а + 1 >0 при любом а, то а2-{-а-{-1 на знак разности сравниваемых чисел не влияет. Согласно методу интервалов имеем:
а
если а< 1, а^=0, то —-а-2< —-а; если а — 1, то —а~2 = — а= — 1; если а>>1, то — а~2> —а.
Следовательно:
а)	если а>>1, то система (3) решений не имеет, поэтому и исходная задача решений не имеет;
б)	если а—1, то из (3) => х= — 1, т. е. имеется единственное решение, и условия задачи не выполнены;
в)	если 0<Са<1, то — 1<—а<0. Поэтому отрезок [—а-2; — а] будет содержать не менее четырех целых чисел, если справедливо неравенство —	— 4. Решим систему
0<а<1
-1/а2^
I 1-4а2^0	(1/2 — а)(1/2 + а) ^0
( 0<а<1
t -1/2<а<1/2
=>0 < а С 1 /2.
Итак, если 0<а^ 1/2, то исходное уравнение имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами.
г)	если — 1<а<0, то 0<— и отрезок [—а-2; —а] будет содержать по крайней мере четыре целых числа, если справедливо неравенство — а2^—3. Решим систему
1<а<0	(—1<а<0 Г—1<а<0
1 -а-2^3	-1^ -За2 За2-1<0^
(	—1<а<0	Г —1<а<0
=>-=А<а<0.
3
Итак, если — д/3/3^а<0, то уравнение имеет не менее четырех целых решений;
д)	если а= — 1, то отрезку [—1; 1] принадлежат только три целых решения, т. е. условия задачи не .выполнены;
е)	если а< — 1, то — 1С—а 2<0 и для того чтобы отрезку [—а-2; —а] принадлежало не менее четырех целых чисел, необходимо выполнение неравенства — а^З, т. е. неравенства
—3	. Итак, при	—3 исходное уравнение имеет не менее
четырех целых решений.
18
Объединяя все результаты, получаем множество искомых значений числа а — промежуток (—-оо; —3) и отрезок [—-д/З/З; 1/2]. А
Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х — а = 2|2|х| — а2| имеет три различных корня. Найти эти корни.
Л При а —0 данное уравнение имеет вид х = 4|х|, т. к. это уравнение имеет один корень х = 0, то значение а —0 не удовлетворяет условию задачи.
Рассмотрим функцию f(x) = 2\2\x\ — а2\ — х-\-ау где а — некоторое фиксированное отличное от нуля число.
Если х принадлежит множеству х^—а2/2у то 2|х| — а2 = = —2х — а2^0 и /(%) =2( — 2х~а2) — % +	— Зх — 2а2а;
если х£ [ — а2/2; 0], то 2(х) —а2= —2х —а2^0 и f(x) = 2(2%4-а2) — х-\-а = Зх-\-2а2 --[-а;
если х£ [0; а2/2], то 2(х) —- а2 = 2% — а2 0 и f(x) = 2( — 2х 4- а2) — х 4- а = •— 5% + 2а2 4- а', если [а2/2-, 4- оо [, то 2(х) — а2 = 2х~а2>0 и f(x) — 2(2х — а2) — х-\-а = Зх — 2а24-а.	'
Рассматривая найденные выражения для f(x), видим, что на промежутке %£[—оо; а2/2] функция f(x) монотонно убывает, на промежутке х£ [—а2/2; 0] — монотонно возрастает, на промежутке % С [0; а2/2] — монотонно убывает и на промежутке х£[а2/2; 4-°о) —монотонно возрастает. Это означает, что на
указанных промежутках исходное уравнение имеет не более одного корня и что наименьшее значение функции f(x) на мно-
жестве х >0 равно f
= — —|-а, а на множестве
наименьшее значение f(x) равно f (—“Т") ~
Если значение а таково, что f(0)<0 (рис. 2), то на промежутках — а2/2<х^0, 0^ха2/2 функция f(x) отрицательна, и, значит данное уравнение на этих промежутках не имеет корней.
19
Отсюда по доказанному выше следует, что данное уравнение имеет не более двух корней. Следовательно, искомые значения параметра а удовлетворяют неравенству f(0)^0.
Если f(Q) = 2a3 -f-a = O, то ввиду предположения, что а=^0 имеем а = — 1/2. При а = — 1/2 находим	~
----V- <0,	=-----Б—----S— <0. Отсюда следует, что при а— — 1/2 на каждом из промежутков—оо —а2/2, а2/2</< + 00 исходное уравнение имеет по одному корню:
Y _ —2а2 + а _	1 .	2а2 — а	1
1~	5	“ Т’	х2~——	•
Третий корень х3 = 0 принадлежит как промежутку — а2/2^х^0, так и промежутку О^х^а2/2. Таким образом, значение а— — 1/2 удовлетворяет условию задачи. Далее будем считать, что фиксированное число а(а^0) удовлетворяет неравенству f(0)>0. Отметим, еще, что при а=/=0
,(4)=-4+„<4+^f(-4).
Если f(a2/2)>0, то f( —а2/2)>0, и поэтому функция f(x) положительная для всех х (рис. 3). Но это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
Если f(cz2/2) = 0, то f( —а2/2)>0, и поэтому функция f(x) обращается в нуль лишь в точке х — а2/2 (рис. 4). Это означает, что исходное уравнение имеет один корень.
Если f(a2/2)<0, но f( — а2/2)>0, то функция f(x) обращается в нуль лишь в одной точке каждого из интервалов 0<х<а2/2 и а2/2<х< + оо. А это означает, что исходное уравнение имеет два корня (рис. 5).
Рис. 6
Если f(a2/2)<z0 и f( — а2/2) = 0, то функция f(x) обращается в нуль в точке — а2/2 и еще в двух точках: одной в интервале 0<х<а2/2 и другой в интервале а2/2<х< + оо (рис. 6).
20
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня. Это возможно, когда а удовлетворяет условиям:
' f(0)>0	2а2 + а>0
< f(a2/2)<z0 т. е. условиям —-^-+а<0 .
I Д-а’/Й-О,	| а=/2 + а = 0
Легко видеть, что этим условиям удовлетворяет лишь а= — 2.
Наконец, если f(a2/2)<0 и f(~a2/2)<0 (рис. 7), то исходное уравнение имеет 4 корня.
Ответ: а=— 2, а= —1/2; при а=— 2: xi = — 2, х2 = 6/5, Хз= 10/3; при а= — 1/2: Х\ = — 1,5, х2 = 0, х3= 1/3.
Упражнения
1.	Для каждого значения а решить уравнения:
1)	2|х| + |а| = х + 1; 2) |х — а-\-11 + |х — 2а| —х\ 3) |х-|-3| = = — а.
Ответ: 1) а= + 1 х = 0; |а| < 1, х = 1 — |а|, х= ~1 ;
2)	а<С 1 нет решений; а=\ х = 2\ а>\, х = аД-1, х = 3а — 1;
3)	а>0 нет решений; а = 0 х= — 3; а<с0 х — а — 3 и х = = — а—3.
2.	Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнениям:
1) а|х + ЗЦ-2|х + 4|=2
2) 3|х — 2| -а|2х + 3| =21/2
Ответы: 1)а = 2, —4^х^С —3; а = —2, х^ —3; |а| >*2, х= —3;
|а| <2, xi = -3, х2=-
2 +а
2) а=А	а=-А _А^х<2; |a|>f,
lai < А х __ А х - 6а + 33
Х- 2 ’ |а1 < 2’Х|_	2’Х2_ 6 —4а •
3) х^З при а= —1; —3^х^2 при а=1; х= {— 3} при
I а | > 1; хС ! —3; 1 при |а| <1.
I	а + 1 J
3. Для всех а решить неравенства.
1) | Зх — а \ + |2х-|-а| ^5;
2) |х —3a| — |x + a| <2a;
3) |х — а \ — 2a> |х — За|;
4) |х + 2а| + |х —а| <3х;
5) |х — 11 ^ах;
6) |х —а|^Сх;
7) |х + а|^х;
8) |ах| 1+*;
21
9) |2х + а|>	х - а | ;
• 10) |1 —|х||<а —х;
11) |х—af^x;
12) |х—а| + |х| + |х + а| ^6.
Ответы: 1) 2<а^3, х£[2а— 5; 1]; |а| sC2, х£[—1; 1]; —	-2, хе [—1; 2а + 5]; |а| >3, хе 0.
2)	а<0, хе] —°о; 2а[; а = 0, х£0; а>0, хе]0; + оо [;
3)	а<0, хе] —оо; а[; а>0, хе 0-
4)	а<0, хе] —а; + оо [; а^О, хе]а; оо [.
5)	а< — 1, хе [д+! ’ + °°[; —l^a^O, xeR; 0<а^1 хе е(-°°:тУ и]тЪ +о°[;а>1’Хб]-со;-г±-].
6)	а^О, x(ER; а>0, х£]—оо; а/2]-
7)	a^ZO, х£ [ — а/2\ + оо [; а>0, х£ 0.
8)	~0, х— — ГО< || С 1, xg j — сю;	; |а|>1,
1 + |а| J
X г 1 — оо ; ———1 И Г---; 4- оо .
1 + Ы J U L Ы -1 L
9)	a^ZO, х€] — оо;------|-[U]-+ оо [; а>0, х£] —оо
1а п 11 а । г
[U]T; +оо[.
10)	<2^ — 1 решений нет; —х(Е] — оо; а~[ [;
«>'^е]“-; +°°[-
11)	а^.0, x£R; а4>0, х£]—оо; а/2].
12)	Если &<2|а|, то решений нет; если 2|а| ^&^3|а|, то xg [—/> + 21а|; Ь — 2|а|]; если b > 31 а|, то х£ [—/?/3; Ь/3].
4.	Найти все значения а, при которых уравнения имеют три различных корня. Найти эти корни:
1)	х — а/2 = 4\4\х\ ~а2\, 2) х — а/3 = 9|9|х| — а21,
3)	х —6z/2 = 2|2|x| — «2|-
Ответы: {—1; 15/17; 17/15] при а= —2;	1/136; 0; -Х-| при
а= -1/8;
2)	{-1; 41/40; 40/41) при а= -3; (-1/3321; 0; 1/3240] при а= — 1 /27;
3)	{—1/2; 3/10; 5/6) при а= —1; (—1/20; 0; 1/12] при а— —1/4.
5.	Решить уравнения
1)	|х—а\ + |х + а+ 11 =3; 2) |х| = 1— |а|,3) ||х|— ]а||=1.
Ответы: 1) При а<—2 решений нет; при а= — 2 и а=1
22
х£ [—2; 1]; при — 2<а<1 х\ — —2, Х2=1; при а> \ решений нет.
2)	При а< — 1 решений нет; при а— — 1 х —0; при — 1 <а<0 х\=а-h 1, х<2=— а— 1; при	xt = 1 — а, х? — а— 1; при
а= \ х = 0; при а> 1 решений нет.
3)	При —оо <Za<Z — 1 х\ = —а+1, Х2——а—1; хз = я+1, Х4 = а—-1; при а= — 1 х\ — 0, Х2 = а— 1, хз= — а-[-1; при — 1<а<0 Xi=— а+1, %2 — а— 1; при	х\ — — а— 1, Х2 — а-[-\\
при а=1 %|=0, х2— — а— 1, х3 —а+Н при	+
Х\ — — а+1, Х2=— а— 1, х3 = а+1, х4 — а— 1.
4. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Справочный материал
Уравнение вида ах2 + Ьх-[-с — 0, где а, Ь, с — числа, причем я + 0 называется квадратным уравнением. Напомним, что D = b2 — 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена. Если D<0, то уравнение не имеет корней.
Если D>Q, то уравнение имеет два различных корня г	-6 + Ур	г -ь-л[р
х'~ 2а ’	2 “ 2а
и тогда ах2 + + с = а(х — xi)(x — х2).
Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня xi=x2 =-----и тогда ах2bx-[-c = a(x — xi)2.
В случае, когда b есть четное число, т. е b = 2k, корни квадратного уравнения определяются по формуле:
v ___ —k±z~y[k^ac
+ 2 — 11	а
Для решения приведенного квадратного уравнения х2-[-рх-[-+ 7 = 0 используется формула
а также формулы Виета:
(Xl+x2), q = X[X2.
Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, найти значение параметра, при котором корни положительны, отрицательны, имеют разный знак, больше или мень-какого-либо числа и т. д. Для решения их следует использовать свойства корней квадратного уравнения ах2 -[-bx-[-c — Q.
23
1.	Если D>>0, а:>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны знаку коэффициента Ь, а при с<0 разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку коэффициента Ь.
2.	Если D = 0, а;>0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которых противоположен знаку коэффициента Ь.
3.	Если D<cO, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а<6. Кроме того, справедливы следующие утверждения:
1.	Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
2.	Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента Ь, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
3.	Если в квадратном уравнении коэффициенты а и с разных знаков, то оно имеет действительные корни.
4.	Если а>0 и D = 0, то левая часть квадратного уравнения есть полный квадрат и, наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то я>-0 и Ь = 0.
5.	Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает точный квадрат рационального числа, то корни уравнения рациональны.
Примеры с решениями
Пример 1. Установить при каких а уравнение
х2 — 2(а — 1 )х	+ 5 = 0:
1)	не имеет корней.
Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант D<0:
D = (a—if — (а + 5) <0=>а2 — 2а+ 1 — а — 5<0
а2 —Зй —4<0	=
— 1 <а<4.
2)	имеет положительные корни.
Раз корни есть, то Z)>0, если они оба положительные, то Xi 4-%2>0 и	Воспользуемся теоремой Виета, тогда для
данного уравнения
24
f D= (a — 1 )2 — (a + 5) >О	Л a< — 1 и 4 < a
J	_px2==2(a—-1) >0	=>/ a>l	=>a>4.
\ xxx2 = a-\-b>Q	(	—-5
3)	имеет отрицательные корни
f D = (a — I)2 — (a + 5) >0	f a< — 1 и 4<a
/ xx +x2 —a ~~ 1 <0	< a<l
l х1х2 = а'4-5>0	I a> ~5
5-<a<~l
4)	имеет корни разного знака
D>0 x1x2 = a'4-5<0
a<Z — 1 и 4<a a< — 5
а< — 5
5)	имеет совпадающие корни
D = 0 а= — 1 и а = 4. ▲
Пример 2. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (a+ l)x2 + 2(a+ 1)х + а — 2 = 0:
а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.
А Данное уравнение по условию является квадратным, а поэтому а=£ — 1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения
D = (a+ 1)2 — («+ 1)(« — 2)= 12(«+1)-
При а> — 1 уравнение имеет два различных корня, т. к. D>Q. При a<Z — 1 уравнение корней не имеет, т. к. £><0. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т. к. £> = 0 при а= — 1, а это противоречит условию задачи. ▲
Пример 3. Решить уравнение ах2-\-2х-\-1 =0.
А При а = 0 получаем линейное уравнение 2х4-1=0, которое имеет единственное решение х= —1/2. При уравнение является квадратным и его дискриминант Z> = 4 — 4а. При
1 Z><0, поэтому уравнение корней не имеет. При а— 1 Z> = 0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня x\*=xz =
= =-1 2
При a<l, D>0 и данное уравнение имеет личных корня:
два раз-
Ответы: хх = —х2 = ———- при а<1 и а#=0; х= —1/2 при а = 0; хх= х2= — 1 при а=1.А
25
Пример 4. Корни уравнения х2 — Зах4~ а2 = 0 таковы, что Xi4-X2=H2. Определить.а.
Л По теореме Виета xi-[-X2 = 3a xix2 = a2. Возведем обе части первого равенства в квадрат х24-Х2 + 2xiX2 = 9а2. Учитывая, что х?Х2 = 112, а Х1Х2 — а, получаем 1124~2а2 = 9а2 или 7а2—112, а2—16, а=±4. Проверка показывает, что значения а=±:4 удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: а= ±4.
Пример 5. В уравнении (&2 —5&4-3)х2-|-(3/г—1)х-|-2==0 определить k так, чтобы один из корней был вдвое больше другого. Заметим, что кратное сравнение выполняется только для положительных чисел.
Л По теореме Виета и условию задачи имеем систему:
X] 4-х2 =
1-36 62—564-3
1 ~	62 —564-3
2х1=х2(х1>0, х2>0).
Подставляя третье уравнение в первое и второе, получим:
{Чг —	(у
1	62-564-3 I 1	3 (k2-564-3)
2х2 =_____?___J х2 =	1
1	k2-564-3	1	62-56-|-3 ’
Следовательно: —	—	— —!-------
9(б2 — 564-3) k “5/г + 3
. = 1 => l-6fe4-9fe2 = 9fe2-45fe + 27=>39fe = 26, 9(62-564-3)	1
£ = 2/3.
Подставим значение k — 2/3 в данное уравнение. После упрощений получим уравнение х2 + 9x4- 18 = 0, корни которого xi = = — 6, Х2— — 3 отрицательны и кратно не сравниваются, поэтому данная задача решений не имеет. ▲
Пример 6. Определить все значения а, при которых уравнение х24~ях4-1~0 и х24-х4"^ —0 имеют хотя бы один общий корень.
Л Пусть общим корнем данных уравнений является х — а. Тогда	. о
f а2 4-аа 4“ I — 0
( а2 4- а 4- а = 0,
откуда после вычитания получаем а(а — 1) = а — 1 или а=1 при а=^=1. Если а=1, то 1 -|-а + 1 = 0 а=— 2. Непосредственно убеждаемся, что при а——2 уравнения имеют общий корень х — 1. ▲
26
Пример 7. При каком значении а один из корней уравнения х2 —8х + 4а = 0 будет втрое меньше одного из корней уравнения х2 + х—14а = 0?
Л Пусть первое уравнение имеет корень х = а(а>0), а второе х —За. Тогда:
а2 — 8а + 4а = 0	9	9а2 — 72а + 36а = О
9а2 + За—14а = 0	9а2 + 3а— 14а = 0.
I
Откуда после вычитания получаем 75а — 50а = 0 а== —а.
Подставим найденное значение в первое уравнение. Тогда
—а2~ -у-а + 4а = 0=> а2— 12а + 9а = 0=> a = Q и а = 3. Проверкой по условию задачи убеждаемся, что а —3. ▲
Пример 8. При каких целых значениях п корни уравнения пх2 + (2п— 1)х-|-/г — 2 = 0, где п=/=0, рациональны?
Л Так как все коэффициенты данного квадратного уравнения рациональны, то для решения задачи достаточно определить, при каких целых значениях п дискриминант уравнения будет точным квадратом. Вычислим дискриминант: D = (2n~— I)2 — — 4п(п — 2) = 4п 1.
Корни будут действительными (в том числе и рациональными), если 4п +1^0, или	1— . Поскольку п — целое
число и пф0, то п=\, 2, 3... . Выясним при каких значениях п дискриминант D будет точным квадратом.
Пусть 4п+ 1=&2, где k— целое число, тогда п— —2-1- =
--------; п — целое число, если (k— !)(& + 1) делится на 4.
Если k четное, то оба сомножителя нечетны и их произведение не делится на 4. Если k нечетное, т. е. k = 2m-\-\, то (k— !)(&+ 1) — = 4m(m+l) делится на 4; следовательно, п = т(т-\-\\ Учитывая, что п>0, получаем п = т(т-[- где m£N.
Ответ: уравнение имеет рациональные корни, если п = т(т-\-\\ m^N. ▲
Пример 9. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .
2	V3 + V5
Д Пусть х -\-px-\-q (где р и q — рациональные числа) — искомое уравнение.
Поскольку число	— — 4-|--/15 явля-
7з + /5	(7з)2 _
27
ется его корнем, то \ — 4 + v!57 + р\ — 4 + л/157 + 7 = 0, т. е. (31 — 4p-\-q) + (р —8) V15 = 0.
По условию числа р и q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства 31— 4р -\-q = 0 и р — 8 = 0. Отсюда получаем р = 8, 7=1. Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение х2 4-8x4-1=0. ▲
Пример 10. При каком т уравнения 2х2 — (3m4-2)%+ 12 = 0 и 4х2 — (9m — 2)х4~36 имеют общий корень?
Л Пусть х = а— общее решение уравнений. Тогда
Г 2а2 — (Зт4-2)а+12 = 0	Г 4a2-2(3m4-2)a4-24 = 0
I 4а2 - (9m —2) а 4-36=0,	I 4а2 - (9т-2)а4-36 = 0,
вычитая, получим (9m —2 —6m —4) а—12 = 0=>а =	• Под-
ставим в любое данное уравнение 2—-—(3m 4-2)——г 4~ (т —2)	т~ 2
4-12 = 0=>т = 3.
Ответ: т = 3. ▲
Упражнения
1.	Определить число а так, чтобы один из корней уравнения 4х2 — 15х4~4а3 = 0 был квадратом другого.
Ответ; а = 3/2, а =—5/2.
2.	При каких значениях а уравнение (5а—1)х2 —(5а4-2)х4-4-За —2 = 0 имеет равные корни?
Ответ: а = 2, а = 2/35.
3.	При каком значении т выражение х2-\-т(т —1)х4~36 есть полный квадрат?
Ответ: т = 4 и т=—3.
4.	В уравнении х2 —2х-\-q = 0 квадрат разности корней равен 16. Определить свободный член уравнения.
Ответ: q= — 3.
5.	При каких значениях т уравнение 9х2— 18тх — 8т 4- 16 = 0 имеет корни, отношение которых равно двум?
Ответ: т=—2, т=1.
6.	Какими должны быть р и q, чтобы уравнение х2 -\-px-\-q = Q имело корнями р и q?
Ответ: р\ =0, q\ =0; р2 — 1, 72=—2.
7,- Показать, что уравнение (х—1)(х —3)4-т(* —2)(х —4) = 0 имеет корни при любом mf R.
8.	При каких ц^лых k корни уравнения kx2 — (1 — 2k)x4-^ = 2 рациональны?
Ответ: k = n(n+l), где п = 0±1, ±2,...
28
9.	При каком значении k корни уравнения (k — 1)х2 — 2(k-\-1)4-4- k + 4 = 0 равны между собой?
Ответ: k = b.
10.	Определить k так, чтобы один из корней уравнения х2 —(2&+1)х-|-&24-2==0 был вдвое больше другого.
Ответ: k = 4.
11.	Дано уравнение %2-|-рх4-7 = 0. Составить уравнение с корнями х2 + %2 и х? +%2, где xi и х2 — корни данного уравнения. Ответ: х2 + (р3 — р2 — 3pq + 2q)x + (р2 — 3q)(3pq — р3) = 0.
12.	При каком значении а один из корней уравнения 4х2 — 15х4-4а3 — 0 есть квадрат другого?
Ответ: а= — 2,5, а=1,5,
13.	При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 — ах-\-а— 1=0 равна 17?
Ответ: а= — 3, а = 5.
14.	При каком действительно значении а сумма квадратов корней уравнения х24-ах-|-а — 2 = 0 будет наименьшей?
Ответ: а=\.
15.	При каком целом значении k один из корней уравнения 4х2 — (3k-\-2)x-\-(k2 — 1) = 0 втрое меньше другого?
Ответ: k = 2.
16.	При каком целом значении р уравнения Зх2 — 4х-|-р = 0 и х2 — 2рх 4-5 = 0 имеют общий корень? Найти этот корень.
Ответ: р = 3, х=1.
17.	Найти все значения а, при которых сумма корней уравнения х2 — 2а(х— 1)— 1 = 0 равна сумме квадратов корней.
Ответ: а—1, а= 1/2.
18.	При каком значении а уравнения х2-\-ах4-8 = 0 и х24-*4" 4-а = 0 имеют общий корень?
Ответ: а——6.
19.	В уравнении х2-[-2х~\-с~0 определить то значение с, при котором его корни xi и х2 удовлетворяют условию 7х2—-4xi=47. Ответ; с =—15.
20.	При каком значении р отношение корней уравнения х24-рх—16 = 0 равно —4?
Ответ: р\ = — 6, р2 = 6-
21.	При каком целом значении b уравнения 2х2+(36-1)Х X* — 3 = 0 и 6х2— (2Ь — 3)х—1=0 имеют общий корень?
Ответ; Ь~~2.
22.	При каком положительном значении с один корень уравнения 8х2 — 6х4~9с2 = 0 равен квадрату другого?
Ответ: с= 1/3.
23.	При каком положительном значении р корни уравнения 5х2 —4(р4-3)х4-4 = р2 противоположны по знаку? Найти эти корни.
Ответ: р>2, xi =р4~2, х2 = (2 —р)/5.
24.	Решить уравнения
29
1) ах2=1;	2) (а- 1)х2 + 2(а+ 1)х + а-2 = 0;
3)	х2 —2(а—1)х + 2а+1=0;
4)	x2-f-2x —8 —а(х —4) = 0;
5)	(а+1)х2— (а—1)х— 2а = 0.
Ответы: 1) х, = — 1/л/а и х2 = 1/л/а, если а>0;
2)	Х]= 1/4, если а=1; х, = х2 = 3/2, если а=1/5;
= ^£fl H)+JTZT и = -Jo+l) -VEEL, если 1 /5< а < 1 и а > 1;
3)	Xj— х2= — 1, если	а = 0;	Х|=х2 = 3, если а — 4;	х{ —
= (а— 1) + Va (а — 4),	х2	= (а —	1) — л[сГ(а — 4),	если а<.0 и
а>4;
4)	х, — х2 —0, если	а	= 2; х1==х2 = 8, если	а=18;	х{ =
= |a-21 + V(j^L^	„	х =	кл„	о<2
или 18;
5)	х= — 1, если а= — 1; х1=х2= — 1, если —1/3 Xj = — 1 и х2=-^у, если а< — 1, — 1<а< — 1/3 и «>—1/3.
25.	Решить уравнение
х24- 1	।	1	_
п2х— 2п	пх—2	п
Ответ: х= —у’ если	х= —1, если п=1. Урав-
нение не имеет смысла при п = 0.
26.	При каких значениях а сумма корней квадратного уравнения х2 + (2 — а — а2)х — а2 = 0 равна нулю.
Ответ: а~—2, а— 1.
27.	Решить уравнения:
1)	2х2 — (a— l)x-f-«+ 1 =0, 2) «х2 — (бг-|- 1 )х-J-«2 + бг = 0,
3) х2 —ах 4~ 2а 4-4 = 0,	4) (а-Н)х2 —х + (1 —я) = 0.
Ответы: 1) x1=x2=14-'V2 при « = 5-|-4л/2; х1=х2=1 — у/2 при
# —5 —4д/2; два разных корня х{ =	и
X2 = £zLkzE^zl2£z±npHa<5 —4д/2 иа>5 + 4д/2;
оч	— V174-1	1 —л/17	n	1
2)	х1—х2 = —у---— при а== —-—; х{ =х2 = 0 при а= — 1;
L+V1Z- при а — - два разных корня х{ =
а-\- 1 -\-х/2а-\- 1 —За2 — 4а3 т1 _ а + 1 — ^2а + 1 — За2 — 4а3
=----------Та--------- и х2=----------------------- при
30
-1.-ЦД«Х0И0<а^; О	о
3)	х, = х2 = 2 (1 +л/2) при а = 4(1 +л/2); х, = х2 = 2 (1 — л/2) при а = 4(1—л/2); два разных корня х, =	-у--—- и
х2 =	п ри а < 4 (1 — л/2) и а > 4 (1 + л/2);
4)	х,=х2 = 2 + л/3 при а= —д/з/2; х,=х2 = 2 —л/з при [—	1_л/4а2_3
а — д13/2; два различных корня хх =—- .— и х2 = (^т Ч
= 1+У4а2-3-прио< -1 и -1<о< -л/3/2 или а>л/з/2.
28.	Найти все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень:
1) х2 — 2(а — 1)х + 2а + 1 = 0; 2) (а — 2)х2— 2ах-)-2а— 3 = 0.
Ответы: 1) а^.0 или а^4;
2) 1<а^6.
29. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение имеет два неравных корня:
1) ах2 + 2(а+1 )*4-^ + 3 = 0; 2) (a — 2)x2-f-ax-f- 1 =0.
Ответы: 1) а<0и0<а<1;
2) |а|>2.
30. Известно, что квадратное уравнение имеет корни. Не решая уравнения определить знаки его корней:
1) ах2 + 2(а+\)х + 2а===0; 2) (а2-5а + 3)х2 + (3я-1)х + 2 = 0.
Ответы: 1) оба корня положительны при 1-- \/2^а<0; оба корня отрицательны при 0<1 + л/2 (так как при а=^0, D~ — 4(а2 — 2а— 1) = — 4(а —(1 — ~^2})(а — (1 +л/2)\ при этом, если х\ и х2 корни уравнения, то xix2 = 2, а х\ -}-Х2 —	.
2) Оба корня положительны при а< —	и оба кор-
ня отрицательны при а> —имеют разный знак при
— 17—д/312	5-Ь-уТЗ
2	2	'
31. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение (а-[-2)х2 — 2ах — а=-0 имеет два корня, расположенные на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.
Ответ: 0 (если xi и х2 — корни, симметричные относительно
х=1, то xi-f-X2 — 2y кроме того xi + х2 = “Го» поэтому 2= а I л	а ।
это ложно при любом а, поэтому задача решений не имеет).
31
32.	Найти все занчения а, для которых один корень квадратного уравнения (а2 — 5а-|-3)х2 + (За~ 1)х-|-2 = 0 в два раза больше другого.
Ответ: а = 2/3.
33.	Найти все значения а, при которых уравнение x2-j-3ax + -|-а2~0 имеет два корня xi и х2, удовлетворяющие условию х1 + х22= 1,75.
Ответ: а= чн 1/2.
34.	Найти все значения а, при которых один из корней уравнения 4х2—15х4?4а2 = 0 равен квадрату другого корня.
Ответ: а—=ЬЗд/6/4.
35.	Найти все значения а, при которых квадратное уравнение имеет корни и определить знаки этих корней:
1) х2-2(а-1)х + 2а+1=0; 2) Зах2 + (4 - 6а)х + 3(ц - 1) = 0;
3) (а-З)х2 —2(3а —4)х + 7а —6 = 0; 4) (а — 2)х2 — 2ах + 2а — 3 = = 0; 5) х2 + (3 — 2а)х-За4-2 = 0.
Ответы: 1) Корни разных знаков при а <2 —-1/2, оба корня положительны при а^4; оба корня отрицательны при — 1/2<я^С0; один нуль, а другой — отрицательный при а = — 1/2; корней нет при 0<я<4;
2)	Оба корня положительны при ц<0 и !<а?С4/3; корни разных знаков при 0<а<1; один нуль, другой положителен при а=1; корней нет при а>4/3;
3)	Оба корня положительны при 1/2^а<6/7 и аД>3: корни разных знаков при 6/7< а<3; один нуль, другой положителен при <z = 6/7; корней нет при — 2<а<1/2;
4)	Оба корня отрицательны при 1^<г<3/2; один нуль, другой отрицателен при а = 3/2; корни разных знаков при 3/2 < а<2; оба корня положительны при 2<а^6; корней нет при а<1 и
5)	Оба корня отрицательны при а<2/3; один корень отрицателен, а другой равен нулю при а = 2/3; корни разных знаков при а> 2/3.
36.	Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения х2 —(а —2)х —(а-|-3) = 0 равна: 1) 9; 2) k2.
Ответы: 1) а=1;	____ ______________
2)	а= 1, если k = 3 и k= —3; а\ = 1 —д/й2 —9 и а2= 1 +д/^2 — 9 при /г>3 и k<2 —3.
37.	Решить уравнение х4 -j-4a3x = a4.
л	л	п	(— 1 — V2V2 — 1/я
Ответ: х,=0 при	а = 0;	х, =  ------~-----—
____	Ъ
( —14- V2a/2— 1/ а	л
= д—дд—±2------4— ПрИ а < о и а > 0.
л/2
и х2 =
32
38.	Решить уравнение ах2 + 2х + 1=0.
Ответ: Xi = — —	; %2 — —при а < 1, а 0 ; х =
а	а	г
= — 1/2 при а = 0; Х1=х2= —1 при а=1.
39.	При каком т уравнения 2х2 — (3/п + 2)х +12 = 0, 4х2 — -ж-(9/п — 2)х + 36 = 0 имеют общий корень?
Ответ: т = 3.
40.	|4айти все значения параметра а, для которых квадратные уравнения (1 — 2а)х2 — бах— 1 =0 и ах2 — х+1=0 имеют по крайней мере один общий корень.
Ответ: а = 2/9.
УТВЕРЖДЕНИЯ О РАСПОЛОЖЕНИИ КОРНЕЙ ПРИВЕДЕННОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Справочный материал
1. Уравнение х2-\-px + q = 0 имеет два положительных корня тогда и только тогда, когда
р2 — 4g ^0
р<0 д>0.
Геометрическая интерпретация. Для того, чтобы данная парабола (рис. 8) —график функции y = x2-\-px-[-q пересекла
положительную полуось ОХ в двух точках (xi, 0) и (хг, 0) (где Xi>0 и Х2>0), необходимо и достаточно выполнение трех условий:	2_4
1) вершина параболы — точка /-----, р } — лежит либо
в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие р2 — 4g ^0); 2) ось симметрии параболы — прямая х= — -------лежит пра-
вей оси OY (условие р<0);
33
3) парабола пересекает ось OY в точке (0, q), лежащей в верхней полуплоскости (условие ^>0).
2. Уравнение x2 + px + q — 0 имеет два корня, каждый из которых больше некоторого числа с, тогда и только тогда, когда
< р2 —
S —р/2>с
I с2 + рс + <7>0.
Геометрическая интерпретация. Для того, чтобы парабола
(рис. 9) —график функции у = (%+	— JL:^—пересек-
ла ось ОХ в точках (xi, 0) и (х2, 0), лежащих правее точки (с, 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий:
1)	вершина параболы — точка (	— либо лежит в
нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие р2 — 4<у^0);
2)	ось симметрии параболы — прямая х = — р/2 — лежит правее прямой х = с (условие р/2>с);
3)	парабола пересекается с прямой х — с в точке (с, c2-]-pc-}-q), лежащей в верхней полуплоскости (условие с2 -}-pc-{-q>0).
3. Уравнение х2 -}-px-}-q = 0 имеет два корня, каждый из которых меньше некоторого числа с, тогда и только тогда, когда
( р2 — 4?>0 < — р/2<с I с2-}-рс + q>0.
Геометрическая интерпретация. Для того, чтобы парабола (рис. 10) —график функции у= (х +	~ пересек-
ла ось ОХ в точках (xi, 0) и (х2, 0), лежащих левее точки (с, 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий;
34
Рис. 11
1)	вершина параболы — точка	44^)—лежит либо в
нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие р2 — 4g ^0);
2)	ось симметрии параболы — прямая х= — р/2 — лежит левее прямой х = с (условие — р/2<с);
3)	парабола пересекается с прямой х — с в точке (с, с2Ц-рс-|-д), лежащей в верхней полуплоскости (условие с2-}-pc-}-q>0).
4.	Уравнение х2 + рх-\- q = 0 имеет два корня, один из которых больше числа с, а другой меньше с, тогда и только Тогда, когда c2+pc + q<0.
Геометрическая интерпретация. Для того, чтобы парабола
(рис. 11) — график функции у=	---пере-
секала ось ОХ в точках (xi, 0) и (хг, 0), между которыми лежит точка (с, 0), необходимо и достаточно, чтобы парабола пересекалась с прямой х = с в точке (с, с2 + рс + q), которая лежит в нижней полуплоскости (условие c2 + pc + q<0).
Примеры с решениями
Пример 1. Найти все значения а, для которых уравнение х ~2(а— 1)х + (2а+ 1) = 0 имеет два положительных корня.
А Для того, чтобы оба корня х\ и х% были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 — 2(а— l)x + 2a-j- 1 был неотрицательным, а произведение Х1%2 и сумма Xi+%2 были положительными. Из теоремы Виета получаем, что все а, удовлетворяющие системе
(а-I)2 - (2а+ 1) > 0
2(а— 1) >0 2а+1>0,
35
и только они, являются решениями поставленной задачи. Эта система равносильна системе
а (а — 4) ^>0 а—1>0 2а+1>0,
(1)
решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа а из промежутка [4; + 00 [•
Система (1) может быть получена из геометрических соображений. Заметим, что х2 —2(а—1)х4-2а4-1 =(* —(а—I)2 — — а(а — 4). При каждом а функции у = (х — (а— I))2 — а(а — 4) на плоскости XOY соответствует парабола, ветви которой направлены вверх, пересекающая ось OY в точке (0; 2а4-1), имеющая ось симметрии х = а — 1 и вершину в точке (а—1; — а(а —4)). Для того, чтобы парабола пересекала положительную полуось ОХ в двух точках (хг, 0) и (хг; 0) или касалась ее, необходимо и достаточно выполнения трех условий:
1)	вершина параболы — точка (а—1; — а(а — 4)) —либо лежит в нижней полуплоскости, либо на оси ОХ (условие а(а~ 4)^0);
2)	ось симметрии параболы — прямая х = а— 1 — лежит правее оси OY (условие а— 1>0);
3)	парабола пересекает ось OY в точке (0; 2а4-1), которая лежит в верхней полуплоскости (условие 2а4~1>0).
Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение 2х2 — 2(2а4" 1)х4-я(я— 1) = 0 имеет корни xi и хг, удовлетворяющие условию Х|<а<Х2.
Л В задаче требуется выяснить, при каких а уравнение имеет два корня, а само число а лежит между этими корнями. Из утверждения 4 получаем решение этой задачи:
2а2 —2(2а4- [)а-[-а(а— 1)<0=> —а2 —За<0.
Таким образом, искомыми значениями а являются все числа из интервалов а<-3 и а>0. ▲
Пример 3. Для каких значений т уравнение 4х2 —2х4~т = 0 имеет корни, заключенные между —1 и 1?
Л В условии задачи Дано полное квадратное уравнение, но т. к. первый коэффициент больше нуля, то график трехчлена — парабола, ветви которой направлены вверх. Поэтому для такого выражения справедливы все утверждения, приведенные выше. Применяя утверждения 2 и 3, получим систему
Г>=1 — 4т>0
4(—I)2 —2(—1) +т>0=> 4(1)2 -2(1) + т>0
т> —2
36
Ответ: mg] —2;	* [ .А
Пример 4. Для каких значений а один из корней уравнения %2;— 2ax-f-2a2 — 4а+ 3 = 0 меньше 1, а второй — больше 2?
Л Точки 1 и 2 расположены между корнями уравнения, поэтому, используя утверждение 4, имеем систему:
1-2а + 2а2-4а + 3<0	( 2а2-6а + 4<0
4-4а + 2а2-4а + 3<0=^1 2а2-8а + 7<0^
Ответ: а £ ] 2—	; 2 [. ▲
Пример 5. Найти все значения а, при которых трехчлен у = (а2 — 1)х2-р2(а — 1)%+ 1 принимает положительные значения для всех х.
Л Трехчлен положителен при всех х, если D<0 и коэффициент при старшей степени положителен, тогда имеем систему:
( D = (а—I)2 — (а2—1)	а2 —2а+1—а2 + 1<0^
1а2— 1 > 0	I а < 1 и а > 1
Г — 2а < — 2	(а> 1	.
=>(а<--1 и а > 1 Ч а > - 1 и а > 1 а> ’
Ответ: а > 1. ▲
Справочный материал
Если в задаче дано полное квадратное уравнение, то его можно привести, разделив на старший коэффициент, и использовать ранее приведенные утверждения. Но можно и не приводить, а воспользоваться следующими рассуждениями.
Рассмотрим уравнение ах2-}-bx-[-c = Q (а=#0) (1). Обозначим левую часть через f(x), т. е. f(x) = ax2 + Ьх + с. Если уравнение (1) имеет различные корни xi, X26R, то f(x) можно представить в виде
f (х) = а(х — х 1 (х — Х2)(х 1 < Х2).
Построим змейку для произведения (х — xi)(x — х2):
Если а>0, то f(x)<0 при xi<x<x2 и f(x)>0 при x<xi И *2<Х.
Если а<0, то f(x)<0 при x<xi и Х2<Сх и f(x)>0 при xi <х'< <х2.
37
Вывод. Если число х = а лежит между корнями квадратного уравнения (1), то левая часть этого уравнения при х = а, т. е. аа2 + &а-|-с имеет знак, противоположный знаку первого коэффициента а; если число х = £ лежит вне промежутка корней уравнения (1), то левая часть этого уравнения при х = р, т. е. ар2-|-+ с имеет такой же знак, как и первый коэффициент.
Примеры с решениями
Пример 6. Найти а£ R, при которых корни xi и Х2 уравнения 2х2 — 2(2а +	-1) = 0 удовлетворяют условию Х1<а<Х2.
Л Так как Х1У=Х2 и xi, x?£R, то D>0.
Поскольку а находится между корнями уравнения, то произведение первого коэффициента уравнения на значение левой части уравнения при х — а, должно быть отрицательным, т. е. решение задачи сводится к решению системы неравенств
( 4(2а+1)2 - 8а(а—1) >0
I 2[2а2-2(2а+1)а + а(а-1)] <0 '
( 4а2 + 4а+1-2а2 + 2а>0	( 2а24-6а-|-1>0
= ( 2а2 —4а2 —2а 4-а2 —а <0 =^1 а2-|-За>0
ч a<z —3 и a>Q
3+\/7
2	=>а<
— 3, а>>0.
Ответ: а<—3, а>0. ▲
Пример 7. Найти все afR, при которых оба корня уравнения (2я-|-3)х2-На+ 1)х4“4 = 0 заключены между —2 и 0.
Д Так как xi, X26R, то £)^0. Так как требуется, чтобы — 2<Х1<х2>0, то числа —2 и 0 должны находиться вне про-«	и х । “4— х%
межутка корней, и, кроме того, полусумма корней —~— должна находиться между данными числами.
Таким образом, решение задачи сводится к решению системы неравенств:
(а+1)2 - 4-4(2а + 3) >0
(2а 4-3) [(2а 4-3) (— 2)2 + (а+1)(—2) 4-4] >0
(2а4-3)[(2а4-3) -О2-)-(а-|-1)0-|-4] >0
+ 1
2 (2а 4-3)
Га2-30а-47>0
(2а4-3) (За4-7) >0 2а-|-3>0
2а -|- 3
<4.
38
Ответ: а > 15 + 4^/17. ▲
Пример 8. Найти, при каких значениях а уравнение (а — 2) X /х2 — 2(а + 3)х4-4а=0 имеет один корень <2, а второй — больше 3.
Л По условию xi<2<3<x2, т.. е. числа 2 и 3 находятся между корнями, поэтому решение задачи сводится к решению системы неравенств
[ D = (а + 3)2 - 4а(а —2) >0
<	(а-2)[(а-2)22-2(а + 3)2 + 4а]<0
I (а-2)[(а-2)32-2(а + 3)3 + 4а]<0
( За2—14а —9<0
о < (а 2)(а 5) <0	-о2<а<5.
l(a-2)(a-f-)<0
Ответ: а£]2; 5[. ▲
Пример 9. Найти значения т, при которых х2 + тх + т2-j-+ 6т<0 Vx£] 1; 2[.
Л Так как коэффициент при х2 есть 1>>0, то трехчлен принимает отрицательные значения между корнями, которые должны быть вне интервала] 1; 2[.' Поэтому т должно удовлетворять системе неравенств:
Г 1 + m--|-m24-6m<0 _f m24-7m4-l<0_^
| 4 + 2m + m2 + 6m <0^1 m2 + 8m 4 < 0
{—7—л/45	-7+Л/45
2	< <	2	=> _ 7jj45 <m< _4_|_T12
-4-V12<m<-4 + V12
Ответ: /ng]- 7+2^ ; -4+V12[.
Упражнения
1.	Найти все значения а, при которых квадратный трехчлен (а2— 1)х24-2(а— 1)х-|-2 положителен для любого х. Ответ: при а<—3 и а^1.
2.	Найти все значения а, при которых корни уравнения х — 2а%4-а2— 1=0 заключены между числами 2 и 4.
Ответ: 1<а<7.
3.	Найти все значения а, при которых корни уравнения 0+а)х2—-Зах4"4а==0 больше 1.
Ответ:---—	а <С — 1.
7
4.	Найти все значения а, при которых уравнение 2х2 — 2Х
39
Х(2а+1)х + а(я+1) = 0 имеет два корня, причем один из них больше а, другой меньше а.
Ответ: а< — 1; а>0.
5.	Найти все значения а, при которых уравнение (а —2)х2 —2Х Х(а + 3)х + 4а = 0 имеет два корня, причем один из них больше числа 3, другой меньше 2.
Ответ: 2<а<5.
6.	Найти все значения а, при которых уравнение 4х2 — 2х + а = 0 имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу ]-1; 1[.
Ответ: —2<Za^Z 1/4.
7.	Найти все значения а, при которых все решения неравенства х2 — я( 1 + а2)х + а4 < 0 являются решениями неравенства х2 + 4х + 3 <С 0.
Ответ: — л/б < а < — л/2.
8.	Найти все значения а, при которых все решения неравенства ах2 — 2(а2 — 3)х— 12а^0 являются решениями неравенства х2 —49>0.
Ответ: 0<я<7/6.
9.	При каких значениях а все решения неравенства х2 + х —2<0 являются решениями неравенства (а2 + 6а —4)х2 — — 2(а—1)х—1 <0?
Ответ: -3-д/13<а< -2—д/7; -2—д/7<а< -3+V13;
— 3 + ~>/13 <С а <с — 2 + д/7.
10.	Найти все значения а, при которых трехчлен (а2 — 1)х2 + 2Х Х(а—1)%+1 положителен на всех х, являющихся решениями неравенства х2 — х — 2<0.
Ответ: а + 1.
11.	При каких значениях т неравенства (6m —5)х2 —5Х X (m—1)х + 2т — 6>0 и х2 + 6х —7<0 имеют хотя бы одно общее решение?
Ответ: т>255/57.
12.	Найти все а, при которых корни уравнения х2 + х + а = 0 действительные и оба больше а.
Ответ:	— 2.
13.	При каких а все нули функции f(x) = (a — 2)х2 + 2ах + я + 3 лежат в интервале ] —2; 1 [?
Ответ: ] — оо; —1/4 [ U {2} (J ]5; 6].
14.	При каких значениях а уравнение (2а — 1)х2-4-(3 — а)х + + 1=0 имеет два действительных корня меньше 2?
Ответ: а<1, а >13.
15.	Найти все значения а, при которых оба корня уравнения х2 — 2ах + а2— 1 =0 будут находиться в интервале ( — 2, 4). Ответ: -1<а<3.
16.	Найти все значения k, при которых оба корня уравнения kx2 — (/? + 1)х + 2 = 0 по абсолютной величине меньше 1.
40
Ответ: k^3-}-2-^2.	' .
17.	При каких значениях k один из корней уравнения kx2 + kx — 2 = 0 по абсолютной величине будет больше 1, а другой — меньше 1?
Ответ; k > 1.
18.	Найти все значения k, для которых один из корней уравнения 2kx2 — 2х — 3k — 2 = 0 будет больше 1, а другой — меньше 1. Ответ: £< — 4 или й>0.
19.	При каких значениях k корни квадратного трехчлена (2 — k)x2 — 3kx + 2й оба больше 1/2?
Ответ: 16/17^ k<Z 2.
20.	Найти все значения k, при которых корни квадратного трехчлена 4х2 —- -f-* + "т~ оба меньше 2.
3	3
Ответ: k> log3 -j-.
21.	Найти все значения k, при которых корни квадратного трехчлена/2 +log j /А х2 + 5xlog j k — 61ogj k будут оба больше 1.
\	~2	/	~2	~2
Ответ: 2-^~ <й<4.
49
22.	Найти все значения k, при которых корни уравнения 2х2 — Зйх + 2 — k = 0 будут оба </1.
Ответ: -~4^ I или * <	.
9	9
4 23. Найти все значения k, при которых корни уравнения, (2 4~ k)x2 — 2kx 4~ 3k = 0 оба положительны.
Ответ: — 3 <С — 2.
24.	При каком значении а один из корней уравнения х2 —7х + -|-2а = 0 будет вдвое больше одного из корней уравнения х2 —5х-|-а = 0?
Ответ: а = 6, а = 0.
25.	При каких действительных значениях т неравенство х2 + mx-(-m2-l-6m<0 выполняется для любых xg(l; 2)?
Ответ:	— 4.	•
26.	При каких т из неравенства х2 — (3ml)x-{-т>0 следует неравенство х> 1?
Ответ: т £ 0.
27.	Найти все значения параметра а, при которых из неравенства ах2 — х-|-1— С0 следует неравенство 0<х<1.
Ответ:	[1/2; 1].
28.	Найти все значения параметра а, при которых из неравенства O^x^l следует неравенство (сг-{-а — 2)х2 — (<2-Ц-5)Х Хх — 2<0.
41
Ответ: а£[ —3; 3].
29.	Найти все значения параметра а, при которых справедливо неравенство 2х2 —4а2х —а2+1 >0 при любых |х| < 1.
Ответ: аЕ ( —	.
v \	2	2/
30.	Найти все значения а, при которых любое значение %, удовлетворяющее неравенству ах2 + (1 — ajx — а > 0, по модулю не превосходит двух.
Ответ: —2^а^—1/2.
31.	Найти все значения а, при которых из неравенства O^x^l следует неравенство (а2Н~а —2)х2 —(а + 5)х—-2^0.
Ответ: —З^а^З.
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Справочный материал
Квадратными венства вида:
(строгими и нестрогими) называются нера-
ах2 + Ьх + с > 0,
ах2 + Ьх-\-с<0,
ах2 -j-bx-f-c^O,
ах2-{-Ьх-[-с^0.
Если квадратный трехчлен имеет корни (xi<X2), то при а>0 он больше нуля, при x<xi и х>х% (при х меньше меньшего и больше большего корня) и меньше нуля при Xi<x<X2 (при х от корня до корня) (рис. 12); если а<0, то трехчлен больше нуля при xi<x<x2; меньше нуля при x<xi и х>х2 (рис. 13).
Рис. 12
42
Если дискриминант трехчлена £><0, то при а>0 он положителен при всех x£R (рис. 14), а при а<0 трехчлен меньше нуля при всех xgR (рис. 15).
Примеры с решениями
Пример 1. Решить неравенство х2 + ах+1>0.
Л Дискриминант £) = а2 —4.
Если т. е. а2 — 4<0, а2<4=>—2<а<2, то неравенство справедливо VxfR.
Если £)>0, т. е. аС—2 и 2<а, то корни трехчлена
—	а-±-\а2— 4	—а—уа2 — 4
---------- и решение неравенства х <------------------- и
—	а + л/а2 —4
2
Если а——2 то х<С1 и 1<Сх.
Если а = 2, то х<С — 1 и — 1 <Zx.
Ответ: х<	и ~ ,а+л/а	<х ПрИ |а | > 2;
x£R при |.а|<2; а— — 2, х<1 и 1<х; а — 2, х< —1 и — 1 <Zx. ▲
Пример 2. Для всех а^О решить неравенство {ах2 — х-|-3)Х X (а2х2 + ах + За + 1) 0	(1)
Л Дискриминант квадратного трехчлена а2х2 + ах + За + 1 равен а2 — 4а2(3а + 1)= — а2(12а + 3)<с0, следовательно, трехчлен положителен VxgR. Тогда исходное неравенство равносильно неравенству ах2 — хН-3^0 (2). Дискриминант трехчлена ах2 — x-f-3 0=1 —12а. При а^-^-О^О и неравенство (2)
справедливо Vx^R; при	D>0 и неравенство (2)
справедливо при — оо <х<	и JL+jZIHIIh. <
<Сх< + °о; а —0 — x-f-З^О х^З. Ответ:	а = 0, х^З; 0<а<1/12, х <	и
_	2а
14-УГ-Т2а 1	р
2а < ’ 12	’ %еК*
Помимо задач рассмотренного типа, в которых требуется
решить неравенство при всех значениях параметра, встречаются задачи, где нужно из всех значений параметра выделить те, при которых неравенство обладает некоторыми задаваемыми свойствами; например, будет выполняться при любом значении переменной или вообще не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное решение и т. д. Рассмотрим задачи такого типа.
43
Пример 3. При каких значениях k неравенство—— < 3 справедливо при всех значениях %?
Л Так как + больше нуля Vx£R, то исходное неравенство равносильно такому неравенству %2 — kx-}-1 <ЗХ Х(х2 + *+1) или 2х2 + (3-|-&)х-|-2>0. Трехчлен 2х2 + (3+	2
больше нуля на всех х, если Z)<0, т. е. (З-j-fe)2—16<0=> ^2 + 6fe + 9-16<0=>-7<fe<l.
Ответ: /?£] —7; 1[.	j
Пример 4. При каких значениях т неравенство (m-f-l)x2 — 2Х Х(т — 1)% + Зт — 3<0 справедливо при всех x£R?
Л Квадратный трехчлен отрицателен при всех х (рис. 15)> если а<0 и D<0, т- е.
( т-\-1 <0	( т< — 1
I (/п-1)2 - (т + 1)(3/п-3) <0	1/п2+/п-2>0.
Отсюда находим тс—2. ▲
Пример 5. При каких значениях т трехчлен (т — 1)х2-}-2тх + -f-3m — 2 представляет собой полный квадрат?
Л Квадратный трехчлен будет полным квадратом, если а>0 и D —0, т. е.
( т— 1 >0	( т>\
I т2 — (m — 1)(3т — 2) = 0 ИЛИ I 2m2 —5m 4-2 —0.
Эта система равносильна совокупности двух систем:
( т>1	( т>1
t т— 1/2,	I т = 2.
Первая система решений не имеет, а из второй получаем m = 2. Л
Пример 6. Вершина параболы у = ах2 + Ьх-{-с имеет координаты х = 6, у= — 12. Зная, что парабола вогнута и имеет один из нулей при % = 8, найти а, Ь, с. .
Л Парабола вогнута — значит а>0. Вершина параболы
/	Ъ	4ас— b2 \	bn
находится в точке	----), т. е. — — = 6,
\	2а 4а /	2а
а — —12. При х = 8 нуль квадратного трехчлена, т. е. а82 + 684-с = 0- Поэтому решение задачи сводится к решению системы
___ b _ у?
2а ~	Г Й=-12а
4ас—Ь2 _ _ |2 => < ас — 36а2 = — 12а =>
4а2	I с==32а
64а+8/> + с = 0
44
{b = — 12a
32a2 — 36a2 = — 12a, 4a2=12a, a = 3 c = 32a
при a>0, b=— 36, c = 96.
Ответ: a = 3, 6 =—36, c = 96.
Упражнения
1. Решить неравенства:
1) x2 + 2% + a>0, 2) ax2 + %+l>0, 3) ax > -y, 4) -—+ + —— >0, 5)—---------!—>1,6) ax2 —2ax—1 <0.
x-j-a	x x— 1
Ответы: 1) Приа<1 x< — 1— VT— a, x> — 1 +л/1 —а; при a=l x£R\{—1); при а>1 xgR; 
2) при a<0	~1	~4a <x< ~1	~4a ; при a = 0
x > — 1; при 0 < a < — x < — 1 — Vl-^4a x > — 1 +V1 —4a n r	4	2	2a	,r
a = 4-*€R;
4
3)	При а^	^0; при а>0	— <0х >	;
		Л/а	va
 4)	При а<	СО 0<х<	1-,	а; при а = 0 х>0; при
а>0	— а<%<	/\ * V о
5)	При а<	СО а + ~^а2 — 2а<%< 1; при 0^а^2 0<х<1;
при a>2 a—va2— 2a<x<Za-\-va2— 2a;
6) При a^- 1 x< 1 ~~~д/~у~а~, x> 1 + ~\/' 4 ; при — l<a^0xgR; при a>0 1 — д/ 1^a <x< 1	~~a-
При каких значениях a неравенства верны при всех х?:
|\ 2— ах — х2	g. -|-дх-|-1	gв	ах2 -|~ Зх 4	5
1—	х-}-*2	’	х24-4х4-8	’	х2 + 2х-|-2
Ответы: 1) -1<а<7, 2) — 10<а<74, 3) а<71/24.
2.	При каких значениях а квадратный трехчлен z/ = (a2 + 6a — — 4k2~2(a— 1 )х — 1 принимает отрицательные значения при всех , X€R* .___________
Ответ: — 1 — д/2,5 <a< — 1 +л/2^.
3.	Найти все a£R, при которых трехчлен у = (а2— l)x2-f-2X Х(а—1)%+1 принимает положительные значения Vx£R. Ответ: а> 1.
45
4.	При каких значениях т трехчлен // = mx2-f-4x-]-3m +1 принимает положительные значения при всех х>0?
Ответ: т>0.
5.	При каких т трехчлен у — (Ъгп~5)х2 — 5(m —	— 6
есть полный квадрат?
Ответ: 5.
6.	Найти все значения а, при которых неравенство ax2 + J + (а — 1)х + а —3<0 выполняется при всех x£R.
Ответ: а <
3
7.	Для каждого значения а решить неравенство:
I)	ах<1/х;2) х4-ах2 + 1 <0; 3) -^- + х<—; а— 1	1—а
4\	х ~^~2 • 5) _1х
' (а — 3) х	х ’ ' ах — Зх —2а-|-6	х —2
Ответы: 1) при a^Q х>0; при а>0 х<-------------0<х<
уа
2)	при а<; — 2 решений нет; при а>2
а — л[а^—4	/ а —л/а2 —4	____. / а-|-л/а2 — 4 .
2	’ V 2	у 2
3)	при а<0 и а>1 х<0; при 0<а<1 х>0; при а = 0, а=\ решений нет;
4)	при а<з(—-г-; (А; при а = 3 решений нет; при а>3
5)	при а<3 [(2а + 1)/(а — 3);2); при а = 3 решений нет; при а>3 (2; (2а+1)/(а~3)].
9. При каких значениях параметра а неравенство ах2-[-4х> > 1 — За справедливо при всех положительных значениях переменной?
Ответ: а^1/3.
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ
Пример 1. Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения -\/2Тх| — х2— а
А Для всех а<0 уравнение не имеет решений, т. к. левая его часть неотрицательна. Для всех а>0 исходное уравнение равносильно уравнению 2|х|— х2 = а2 или 2|х| — \х\2 = а2. Если |х| =/, то г — 2/-f-a2 = 0, D — 4 — 4a2<0 при а> 1 и уравнение не имеет решений. Решения могут быть для а£[0; 1]. Проверим крайние точки а = 0, 2|х|—х2 = 0 — три решения: х = 0, х = 2 и 46
X—— 2. Если а—1, то х2 — 2|х| + 1=0— два решения: х=4=1. Если аЕр; 1[, то t—1+д^—а2 , xi,2= ±(1 ±д/1 — а2) и *з,4=± ±(1 — д/Т~Я2)-
Ответ: При а<0 и а> \ нет решений; при а = 0 три решения; при а=1 два решения; при аЕ]0; 1[ четыре решения. ▲
Пример 2. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение хIх-j-2а! -j-1 — tz = 0 имеет единственное решение.
Л Используя определение модуля, найдем все решения при каждом а, а затем выберем удовлетворяющее условию задачи.
1) Пусть х + 2а<0, т. е. х< — 2а, тогда |x-f-2a| = —(х-|-2а) и х2 + 2ах + а—1 =0 (1). Найдем дискриминант £>i уравнения (1) D\ =а2 — (а— 1)>0 отсюда VaE R, следовательно уравнение (1) имеет два корня: Х] = — а + д/а2 —а +1 и х2= — а —д/а2 —а+ 1. Выясним лежат ли они в области х<—2а.
Xi<—2а, — а + л/а2 —а+ 1 < — 2aoVa2 —а-f- 1 < — а. (2) Неравенство (2) имеет смысл при а<0, тогда [ а2 — а + 1 < а2 f а > 1
I а<0	( а<0
то есть число х{ ни при каких а не принадлежит области х< — 2а.
х2<—2а, — а —~\/а2 —а+ 1 < -2аоЛ2-а + 1 >а.	(3)
Ясно, что все аСО удовлетворяют неравенству (3), а для (а2 — а4-1>а2 _ ( а < 1	i
а>0 {	1 -фИ . Ач>0^а<1.
1а>0	Ца>0
Итак, множество решений неравенства (3) есть промежуток а< 1.
При а<1 исходное уравнение имеет единственное решение х2 = — а — д/а2 —а + 1 •
2) Пусть х + 2а^0, х^—2а, тогда |х-|-2а| — +(х + 2а) и х(х-|-2а)+ 1 — а = 0 =>х2 + 2ах-}- 1 — а = 0	(4).
Найдем дискриминант D2 получившегося квадратного уравнения: D2 — a2 — (1 — d) = a2-\-a— 1. Ясно, что уравнение (4) не имеет решений, если £)2<0, т. е. а2-[-а — 1 <0. Значит уравнение (4) не имеет решений для а из промежутка	с а С
—-LtVL-. Если а не принадлежит этому интервалу, то уравнение (4) имеет корни х3 = —а + д/а2 + а— Г, х4=—а — — д/а2 + а— 1 , причем х3 = х4, при а=	и а= ~.
Выясним теперь, при каких значениях параметра а найденные корни лежат в области х^ — 2а. Для этого нужно решить не-равенства х3^> — 2а и х4^ —2а. Неравенство — а + д/а2 + а —
47
— 2а (5) равносильно неравенству ^/а2-}-а — 1	— й, или сово-
купности двух систем неравенств
Г а2 + а — 1^0	Г — а 0
I — а < 0	I а2 + а — 1	а2.
д/5_J
Множество решений первой системы имеет вид	,
вторая система решений не имеет. Значит множество решений неравенства (5) есть промежуток	, и только при
этих значениях параметра а корень хз лежит в области — 2а.
Неравенство -а—у/а2-[-а — \	—2а равносильно неравен-
ству -д/а2 + а— 1 ^ау или системе неравенств
f а2 + а— 1 >0 < а^О
I а2-{-а — 1 ^а2.
Множество решений полученной системы неравенств есть отрезок ~1 а 1. Только при этих значениях параметра а корень х4 принадлежит области — 2а. Таким образом, при 1 данное уравнение в области х^—2а решений не имеет. Если а= 1 , то уравнение в рассматриваемой об-ласти имеет единственное решение хз = х4= —	—• При
значениях а, лежащих в области	исходное
уравнение в рассматриваемой области имеет два различных корня %2 и х4. Если же а> 1, то исходное уравнение имеет единственный корень хз. Полученные результаты удобно собрать в следующей таблице:
48
Таким образом, искомые значения а образуют два помежутка:
Второе решение. Перепишем исходное уравнение в следующем виде х\х + 2а\=а— 1	(6) и при фиксированном зна-
чении параметра а нарисуем на плоскости XOY график функции у = х\х + 2а\.
Рассмотрим несколько случаев:
1) а>0. Тогда —2а<0 и график функции у = х\х + 2а\ изображен на рис. 16. Вершина параболы имеет координаты ( — а; —а2 3). Отсюда видно, что прямая у = а—1 пересекает график в одной точке, если а—1>>0 или а—1 <С—а2 и, значит, уравнение (6) имеет единственное решение, если а—1>0 и а — 1 < — а2. Первое неравенство имеет решения а> 1, второе — ———< а < Т.!------------; из решений второго неравенства в
область а>0 попадают только значения из промежутка 0< л/5-1
2) а = 0. В этом случае у — х\х\. График этой функции изображен на рис. 17. Прямая у= — 1 пересекает этот график в единственной точке и, значит, уравнение имеет единственное решение х— — 1.
3) а<0. В этом случае — 2а>0 и график функции у — х|% + + 2а| изображен на рис. 18. В рассматриваемом случае число а—1 отрицательно и, значит, прямая у = а— 1 пересекает график функции у = х\х-[-2а\ в одной точке, т. е. уравнение (6) имеет единственное решение при всех а из рассматриваемой области а<0.
Ответ: а <	, а> Г А
Пример 3. При всех а решить неравенство
49
I х2 — 5% + 41 < a.
Поскольку |x2 —5x4~4| ^0 при любом x, то при a<0 неравенство не имеет решения.
Пусть а>0. Поскольку х2 — 5х -f-4 — (х — 1)(х — 4), то числовая ось (ОДЗ неравенства) разбивается на три промежутка: х<1, 1<Хх<^4, х>4. Решим неравенство на каждом из них.
Если х<Д1, то х2 — 5х4-4д>0 и в этом случае исходное неравенство равносильно системе
Г х2 — 5х + 4<а
t х < 1
Дискриминант квадратного трехчлена х2 — 5х + (4 — а) равен 9 + 4a и, следовательно, больше нуля при а>0. Из неравенства х2 —5х + 4 —а<0 находим 4~(5 —д/9 + 4а) <х< ~1_(5 +
+ д/9 + 4а). Проверим как располагаются точки <у-(5 — д/9-|-4а) и ^-(5 + х/9 + 4а) относительно х—1 на а>0.
4(5 — -л/9Д-4а) <С 1=>3<?/9 + 4а=^9<9 + 4а=Ф-0<а. Т. е. при а>0 эта точка располагается левее точки х=1. Аналогично убеждаемся, что при а>0 Ц-(5 + д/9Я-4^> 1, поэтому каждое
хе] 4-(5-л/9 + М; 1[ при всех а>0 есть решение исходного неравенства.
Если х(Е [1; 4], то х2 —5х + 4<0, исходное неравенство равносильно системе (х2 — 5х + 4 + а>0 (*), дискриминант квад-11<х^4
ратного трехчлена х2 —5х4-4 + а равен 9 —4a. Если а>9/4 (т. е. £><0), тогда неравенство (*) справедливо Vx£R, а при 0<Са^9/4 решением неравенства (*) все х£ ]— °°; 4“(5~
— х/9 —4q)[U]	+—4a ); Д-°о[. Для того, чтобы найти
решения системы, необходимо определить расположение точек 4 (5 -	4 a) и 1 (5 +	относительно промежутка [1; 4]
при af]0; 9/4]. Вычисления показывают, что справедливы неравенства 1 < 4"(5—д/9 —4a) С 4-(5+л/9-~4а) <4. Отсюда заключаем, что в случае х£ [1; 4] при а>9/4 решением исходного неравенства является отрезок 1<Хх — 4, при 0<а^9/4 решение неравенства есть xg [1; 4~(5—\/9— 4a ) [(J] 4~(5+дА)— 4 a); 4].
50
При х>4 х2 —5х + 4>0 и исходное неравенство равносильно системе
р>4	Г х>4
| х2 — 5х+4 — а<а^ ( -у U — л/9 + 4а) < х < -у (б-f-д/э + 4а) ^>4<х<-1-(5 + л/9 + 4а).
Ответ: При а^О исходное неравенство решений не имеет, при яСР; 9/4 [имеет решение х£] -|/5 — д/§ + 44	—д/9— /Ц X
X[U] -y/5 + -V9 — 4а )-1-(5 + д/9Н^4^ [; при а>9/4 имеет решение хе] 4"(5-~л/9+М;
Полученный ответ геометрически иллюстрируется на рис. 19: положение I соответствует случаю а<0, положение II — случаю 0<а^9/4, положение III — случаю а^9/4
Пример 4. Найти все значения ат^О, для которых неравенство а2|а + %/а2| + 11+%|	1 —а3 имеет не менее четырех раз-
личных решений, являющихся целыми числами.
Л Левая часть неравенства неотрицательна при любых значениях а и х, следовательно, неравенство может иметь решение только тогда, когда его правая часть неотрицательна, т. е. при а3^1=>а^1. Поскольку a^|a-f-x/a2| = |а3Н-х|, то исходное неравенство равносильно неравенству |х + а3| -f- |л11	1 — а3(*)
при а^1. Решим это неравенство методом интервалов, разбив числовую ось на три интервала:
x<Z — а3, —-а3<х^ —1; и — 1<х.
На первом интервале х< — а3, тогда исходное неравенство записывается без знаков модуля —х — а? — х—1^1—а5=?—2х^2=> ^х^ — 1, т. е. — 1 ^х^ — а3.
На втором интервале — а3<х^ 1 неравенство записывается без знаков модуля х + а3 —х—1 I — а3=>2а3^2=>а^ I, но —-а3< <1 при — 1<а<1, тогда —а3<х<1 при |а| < 1.
5!
На третьем интервале 1 <х — х + ^3 + ^+ 1	1 ~ а3=>2х^С
— 2а3=>х^ — а\ т. е. х£ 0.
Итак, имеет решение — 1^х^ — а3 при а1, — а3<х^1 при | а | < 1. Определим при каких а эти промежутки будут иметь не менее четырех целых решений. На промежутке — l^x^C — а3 целые решения будут —1, 0, 1, 2, значит надо, чтобы —-а3^2=>а£ ] — о°;	— д/2]. На втором промежутке
при |а|<1 нет четырех целых решений.
Ответ: а£]— 00; —3-у2]. А
Второе решение. Заменив левую часть неравенства (*) по формуле |a4-fe| = |a|4-|fe| при ab^O, получим |х4-а34-^4~ + П<1— а3=>\2х + а3+\ \ ^\—а3^~(\—а3)^2х + а3+\^
1 — а3=> — 1 х — а3
На промежутке — tz3<Ix^l воспользоваться предыдущим решением.
Пример 5. Найти все а, при каждом из которых неравенство 3—|х —а|>х2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.
Л Пусть а — некоторое фиксированное число. Данное неравенство можно переписать в виде |х —а|<3 —х2. Отсюда следует, что оно равносильно двойному неравенству — (3 —х2)< <х — а<3 — х2, или равносильно системе неравенств
Г х — а<3 — х2 t —- (3 — х2) <х — а.
Следовательно, задача может быть переформулирована так: определить те а, при каждом из которых множество решений системы неравенств
!х2 + х — 3 — а <С О
х2—х — 34-а<СО	(*)
х<дО
содержит хотя бы одно число. Дискриминанты квадратных трехчленов х2 -\-х — 3 — а и х2 — х—-3 4-а равны соответственно 13 4-4tz и 13 — 4а. Для того, чтобы первое и второе неравенство системы (*) имели решения, надо, чтобы были выполнены неравенства 134-4а>0 и 13 — 4а>0, т. е. — —-р|- • В дальнейшем будем считать, что а удовлетворяет этим неравенствам.
Обозначим через xi, Х2, хз, х4 корни квадратных трехчленов Х24-Х — 3 — а и х2 — х — 34-а соответственно. При этом будем считать, что Xi<X2, хз<х4. Так как множества решений первого и второго неравенств системы (*) имеют вид xj<x<X2 и хз<х<х4, то система (*) будет иметь решение тогда и только
52
’’тогда, когда %i<0 и х3<0 или когда —!----с0 и 1^13~~4а
2	2	<
^0.
Первое неравенство выполнено для всех аЕ]—13/4; 13/4 [ Множество решений последнего неравенства есть а<3.
Итак, система (*) имеет хотя бы одно решение, если параметр а принадлежит множеству — 13/4<а<3 и только в этом случае.
Ответ: — 13/4<а<3. ▲
Упражнения
1.	Для всех а решить неравенство:
1)	|х—2а| < , 8а"	2) |х2-1|	3) |х2-1|>а;
|х — 2а I
4) \х2 — а\ ^х; 5) 2 |х — 2'| <z2ax — х2 — 2; 6) |х2 — а2\ >2а2.
Ответы: 1) при а <2 О (2д/3а; 2а) и (2а; — 2д/3а); при а = 0 решений нет; при а>0 ( — 2д/3а; 2а) U (2а;_2д/3а) ;
2)	при а<0 [a--/a2+4 ;	£ +.А+4.] ; при а = 0 {-1; 1);
при а>0 [а~// + 4 ; -а+^ + 4];
3)	при xER; если 0<а<1 (—оо; '—VT-j-a. U U [—л/1 — а; д/1 — a] U [л/1 — а + оо] при а=1 (—оо; —л/2; U U (0} U [ [л/2; + оо [; при а > 1 ( — оо; — А + a] U [У 1 + а; + о° );
4)	при а<-1/4(-<х,; -L+Ati4^ ир.+ ДНА +<х,); при а= — 1/4 {1/2}; при а> 1/4 %ER;
5)	при |а| >У? (а+ 1 — А2 — 1;' а+ 1 4-Уа2— 1); при |а|^ ^д/2 решений нет;
6)	при а<0 ( — оо ; х/За) U ( —д/За; + оо) ; при а^О (— оо ; — д/За;) U (л/За; +°°)-
2.	Найти все - значения а, при каждом из которых уравнение х24-4х — 2|х — а|4-2 — а = 0 имеет ровно два различных решения.
Ответ: а< —7/3; -~2<а.'
3.	Найти все значения а, при каждом из которых уравнение х|х — 2a| — 1—а = 0 имеет единственное решение.
Ответ: — 1 < a < --	.
2
4.	Найти все значения а, при каждом из которых уравнение ~~4х — 2\х — а\ +24-а = 0 имеет ровно два различных решения.
53
Ответ: а <2,
5.	Найти все а, при каждом из которых неравенство 2> > I х + а| + х2 имеет хотя бы одно положительное решение. Ответ: — -4- <а<2.
4
6.	Найти все а, при каждом из которых неравенство х2<4-~ — |%4-а| имеет хотя бы одно отрицательное решение.
Ответ: — 4<а< -1L.
4
7.	Найти все а, при каждом из которых неравенство х2~р 4-|х —а|<1 имеет хотя бы одно положительное решение. Ответ: — 1<а<5/4.
8.	Найти все значения а, при которых неравенство выполняется для всех x£R.
О
х2 — ах 4-1 х2 х 4-1
3	2)
х2 4~ а* 4~ 1 х2 4- х 4-1
<3.
Ответ: 1) — 5<а<1; 2) — 1<а<5.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых наименьшее значение квадратного трехчлена 4х2 — 4ax-f-4-(а —2а + 2) на отрезке 0<1x^2 равно 3.
Л Рассмотрим три варианта расположения графика трехчлена на плоскости XOY, удовлетворяющие условию задачи. На рис. 20 вершина параболы имеет координаты хо£ [0; 2] и г/0 = 3.
Для данного трехчлена х0 —а/2, a #0(х0) = 4	-4а-^- 4~
4-а2-—2а 4-2 = 3, а2 — 2а2а2 — 2а — 1 =0 или а = —1/2. Но 0<х0<2, т.е.О^ у ^2, 0<аС4, а—1/2 [0; 4].
Значит этот вариант невозможен.
54
При втором варианте (рис. 21) вершина параболы располол\е_ на левее точки х = 0, т. е. а/2<0 и а<А). Наименьшее значение трехчлена будет в точке х = 0 и равно 3; т. е. Д0) = 3.
Определим при каких а это возможно 4-0 — 4а-0-\-а2 — 2а^ 4-2 = 3, а2 — 2а — 1=0, а\ — \ — \/2, а2 = 1 +л/2- Так как й2>0, то условию задачи отвечает а{ = 1 —-^/2.
При третьем варианте (рис. 22) вершина параболы расположена правее точки х — 2, т. е. а/2>2< а>4. Наименьшее значение трехчлена будет в точке х — 2 равно 3, т. е. Д2) = 3-4(2)2— — 4а-2 4-а2 —2а 4-2 = 3, а3 = 54-у/ГО1_^4 = 5--д/'1О, т. к. а4<4, то условию задачи отвечает а3 = 54-дА0-
Ответ: 1 —-д/2; '5 -|--д/ТО. А
Пример 2. Найти все значения а из промежутка [1; оо), при каждом из которых больший из корней уравнения
х2 — 6х 4- 2ах 4- а — 13 = 0 принимает наибольшее значение.
А Найдем .дискриминант D исходного уравнения: D — = (2а —6)2 —4(а —3) = (2а —7)24-39. Поскольку теперь очевидно, что D положителен для любого значения а, то исходное квадратное уравнение имеет два действительных корня.
xi =(3—-a)— yfa2 — 7а + 22 и х2=(3--а)4-д'/а2~—7а4-22 .
Задачу теперь можно переформулировать следующим образом: найти все значения параметра а из промежутка [1; 4- со), при каждом из которых выражение 3 —-а4-д/а — 7 а 4-22 принимает наибольшее значение, т. е. надо найти наибольшее значение функции Да) = 3— a4-\/a2— 7а-\-22 на промежутке [1; 4-°°)- В каждой точке этого промежутка функция Да) имеет производную	.,
f (а) = — 1 4-	2а~~7	= 2fl-7~-2Vft2-7fl + 22
2~Va2-7a + 22	2д/а2-7а+22
Так как числитель этой дроби меньше нуля при всех 1 <а< оо (решите неравенство 2a — 7 — 2уа2 — 7а-\-22 <0), то f'(a)<0, т. е. на этом промежутке функция Да) убывает. Поскольку Да) непрерывна при а=1, то функция Да) убывает и на промежутке [ 1; 4- со). Следовательно, наибольшее значение функции Да) принимается при а=1.
Ответ: 1. ▲
Пример 3. При каждом значении параметра а решить уравнение
(1 4- я2)*2 4- 2(х — a)( 1 + ах) 4-1=0.
А Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим ее в виде квадратного трехчлена относительно .выражения 14-ах. Имеем
55
(1 4-а2)*2 + 2(х —а)(1 4-ха) 4- 1 = а2х2 -\-х2	1 4-2(х —а)(1 -{-ах) —
= (а2х24-2ах4- 1)4-2(х —а)(1 4-*а) + *2 — 2ах = (ах + 1)24~ 4-2(х — а)(ах 4- 1)-|-х2 —2ах = (ах-|- 1)24-2(ах-|- 1)(х —а)4-(х—а)2 — — а2 = (ах-)- 1 4“* + а)2 — а2 = (ах-\-х — а-\-1 — а)(ах-|-* + 1) = =(ах4-х —а4~ 1)(ах4~*+ О-
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Г ах 4-х — а + 1=0	Гх (а 4-1)—2а 4-1 = 0
L ах4-х-|-1=0	(а4-1) 4-1 = 0.
Решая эту совокупность, находим: при а^= — 1 числа 2а— 1	—1
~~1~4Гд' и являются корнями исходного уравнения; при а= —1 уравнение не имеет корней. ▲
Пример 4. Для каждого значения а^О решить неравенство а3х4 + 6а2х2 — х 4-9а 4-3^0.
Л Если а = 0, то неравенство перепишется в виде — х4-3^0, откуда следует, что х£]—оо; 3].
Пусть теперь а — фиксированное положительное число. Преобразуем левую часть исходного неравенства следующим образом:
а3х4 4- 6а2х2 — х 4- 9а 4- 3 = а(а2х4 4- бах2 4- 9) — х 4- 3 = а(ах2 4- З)2 — — х 3 = а((ах2 + 3f — х2) + а*2 — х 4- 3 = а(ах2 — х 4- 3)(ах2 4~ * 4~ 4“ 3) + а*2 — х + 3 = (ах2 — х + 3)(а2х2 4- ах’-)- За 4- 1).
Дискриминант квадратного трехчлена а2х2-\-ax-\-3a-\-1 равен: D = — а2(12а-)-3). Так как а — фиксированное положительное число, то ясно, что D<0. Следовательно, квадратный трехчлен ах2 + ах 4- За 4- 1 положителен для любого значения х, и поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
г ах2-х + 3^0	(*)
Дискриминант квадратного трехчлена ах2 — х4~3 равен 1 — 12а. Следовательно, при а^ — этот дискриминант не положителен, и поэтому множество решений неравенства (*), есть вся числовая прямая. Если же а£]0; 1/12[, то множество решений нера-венства (*) состоит из двух промежутков; - оо <х^	~ ~> и
1 ,+У! т<х<: + оо. Эти же множества удовлетворяют и исходному неравенству.
Ответ: При а = 0 х£]— оо; 3];
при а € Р; 1 /12 [х € ] — оо ;1	] и [ 1..~ Г-12?+ oo[;
при a~^ 1/12,	▲
56
Упражнения
1.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых наибольшее значение квадратного трехчлена
— х2 + 2ах — (а2 — 2а + 3)
на отрезке х£ [0; 1] равно —2.
Ответ: 1/12; 2+д/2.
2.	Найти все значения а из промежутка (— оо ; —4], при каждом из которых меньший из корней уравнения
х2 + ах — Зх — 2а — 2 — 0
принимает наименьшее значение.
Ответ: —4.
3.	Решить уравнения:
1)	ах4 — х3 + « х — а = 0;	2)	х4Ц-4а3х = а4;
3)	(ах-1)3 + (а+1)3х2 = 0;	4)	(2х + а)5-(2х-а)5 = 242а3;
5)	х4 — х2-|-а = 0;	6)	а3х4 + 6а2х2— х4-9а + 3 = 0,а^0;
7)	х3 + (1 — а2)х + а = 0;	8)	х3 — Зх = а3+ 1/а3;
9)	х4 + 4а3х = а4;	10)	х4 + х3-За2х2-2а2х + 2а4 = 0;
11) 4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 = 0, а^О.
Ответы: 1) xi =0 при а = 0; xi = — \[а и хг— 1 /а при а<0 и а>0;
2)	Xj =0 при а = 0; х12 = ~1 ~^2^2~—• при а<0 и а>0;
л/2
3)	Xj = — 1 и х2 = 1 при а = 0; xt — — 1, х2 3 =
= -За-1±(а+1)л/4а+1	_ 1/4<а<0 и а>0;
2а3
4)	x£R при а = 0; х{ = — а или х2~а при а<0 и а>>0;

5)
при
0 < а <1/4;
{- 1; 0; 1} при а = 0; {-1/л/2; 1/^2} при а = 1/4; 1 Л/
— у	2—при а<0; х£ 0 при а:> 1/4;
6)	{3} при а = 0; { »~VT-12a 1+V14j2a) {2а	2а )
{6} при а — 1/12.
при 0<а< 1/12;
Указание.
-За+1).
а3х4 + 6а2 х2 — х + 9а + 3 = (ах2 — х + 3)(а2х2 + ах +
7\ 1	а-\- \а2 — 4	а—\а2 — 4\	i i а г а и
7)	а; ~-----------------J при |а| >2; { — 2; 1} при
а = 2; { — 1; —2} при а= —2; {— а} при — 2<а<2;
57
8)	{—1; 2} при а=1; { — 2; Г} при а= — 1; {аЦ-1/а} при — оо — 1, —l<C€Z<lO, \<Za<Z-\- оо ;
9)	{0} при а = 0; 1-^(-14-Л/2л/2-1); -^(-1-	*
' V2	л/2
-Л/2л/2-1)} при а 5^0;	4
10)	{-л/2 |а| ; л/2 |а| ; ~* 1+^4fl2+i ; ~ 1 ~~^4д2+.1.} при а=£0; {0; 1) при а = 0. Указание. Рассматривая уравнение как квадратное относительно а2, найти его корни tz2 = x24-^ и а22 — = х2/2. Разложить левую часть исходного уравнения на множители: [а2 — (х24-х)][а2—-х2/2] = 0;	_
11)	{-1/4} при а=0; { ~2~^2а ; ~2±2f~^-} при 0<а<2; {—1/2} при а~2.
4. Для каждого значения параметра а^0 решить неравенство
1)	4я3х44-4д2х24-32х4-«4-8^0;
2)	16а3х4 + 8а2х2-|-16x4-а +4^0;
3)	а3х4 4- 2а2 х2 — 8х 4- а 4- 4 > 0.
Ответы: 1) При а = 0 xg [— 1 /4; 4- 00 [; при а£]0; 2[ х£] — оо; — 2— л/4~~-2d Г||"| —24* ^4— 2d < г	— п /-о
------2d-------- 2d----’ +°°f; ПРИ а^2 %eR;
2) При а = 0 хЕ [—1/4; 4- 00 [; при 0<а<1 х£] — оо,
; +«>[; при а>1 xeR;
3) при а = 0 х£] —оо; 1/2]; при 0<а<1 х£] — оо; ±z2^HZ[u]l±^Hl; _|_ оо при X^R.
5. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Справочный материал
При решении параметрических иррациональных уравнений пользуются общими формулами. Пусть f и g —некоторые функции, тогда:
l)2W-2^ = M-7
2) 2V/72Vg = 2Wi f>, я>0;
3) lf|2Vg = 2^, g^O;
4) 2V/7^ = 2WT 2VlFl, fg>, g^0;
5) 2Vfg = 2Wi-2Vig!, fg>0.
58
Применяя любую из этих формул формально (без учета указанных ограничений), следует иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение д/f -д/g определено при [ = 0 и £ = 0, а выражение -y/fg — как при f^O, g^O, так и при f^O,
Для каждой из формул 1—5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул 1—5 «слева—направо» (как они написаны) приводят к уравнейию, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения.
Преобразования уравнений с формальным использованием формул 1—5 «справа—налево» недопустимы, так как возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно и потеря корней.
Уравнение вида
= g(x), k£N, равносильно системе
/ g(x) >0
UW = g2k(x)-
Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение
Л/Д + 1)(х—2) = а.
*Д Найдем ОДЗ (х+1)(х —2)^0=>х^ — 1 или 2^х. Исходное уравнение равносильно системе
Га^О
(%+ 1)(х —2) = а2	I х2 — х —2—-а2 —0.
Решим уравнение системы
__ 1 — VT + 4 (а24-2) м Г _ 14-Vf+4(a2 + 2)
х\ —----------------- и Х2 —-----------------
Эти корни возможны, если дискриминант этого уравнения неотрицателен, т. е. 1+4(a2 + 2)^0=>4a2-(-9^0=>agR. С учетом условия системы а^О.
Теперь необходимо проверить при каких'значениях а корни принадлежат ОДЗ. Здесь возможны следующие случаи.
Оба корня принадлежат х^ — 1. Видно, что это невозможно, т. к. Х2>0 при всех а^О.
Оба корня принадлежат х^2. Но это то же невозможно, т. к. xi<0 при всех а^О.
59
Один корень принадлежит множеству х^— 1, а другой х^2. Решим систему
1 —л/1 +4 (а22)	1	✓	/———
2	3< V4tz2 + 9	. п
,---—------ =><	,----—=>а^0.
2	t+у1+^4(а2 + 2)	( 3v4o24-9
т-r - гх   1 — л/4а2 9	__ 1 4" ~V^4tz2 4" 9
Ответ: При a^Q х — ——т— их — -	—2—;
при а<0 решений нет.
Пример 2. Решить уравнение
(*)
Л Видно, что это уравнение примера 1, преобразованное по формуле 1 «справа—налево», ОДЗ уравнения (*) х^2 и его решение такое же как в примере 1 и корни х\ = —1	+9— , %2 —
14-д/4л24-9 тт	о
=-----. Но множеству х^2 принадлежит только ко-
рень х2.
Ответ: При сГ^О х=—*•+ ^.. + 9—.
Пример 3. Решить уравнение х — -^а — х2 = 1.
Л Приведем два способа решения.
Первое решение. Применим способ возведения в степень с последующей проверкой х— 1 = ^/а — х2=> (х — 1)2 = а —х2о2х2 — oil П	1-л/2о=Т	l-]_J2b“T
— 2х+ 1 — а — 0 откуда xi —----—----, х2— ——---------- при
. Если 1/2 — то решений нет. Проверим, какие из найденных значений х удовлетворяют исходному уравнению. Подставляя х\ в исходное уравнение, получим, что левая часть — ---1 +л/2а — 1 отрицательна, а правая а —	не-отрицательная, так что х^ не удовлетворяет исходному уравнению. Подставим теперь х2:
л/2а— 1 — 1 _~\ п Г 1 4-У2а^Т1 2	'
2 V а L 2 J ’
Полученное равенство верно тогда и только тогда, когда у/2а — 1—1^0, т. е. а^\.
Второе решение. Применим способ сведения к равносильной смешанной системе
60
v_] —л/п —r2=i>l (X—l)2 = a —x2	f 2x2 — 2x+l— a = Q
lx-l>0	lx>l.
Корни квадратного уравнения: x, =	.*	] ПрИ Bcex
a > X; a x2 =	> 1ол/2а-1>1 -4>a> 1.
Ответ: При a<Z 1 решений нет; при х= 1 +^а~—.
Геометрическая интерпретация решений. На координатной плоскости (XOY) решение уравнения х— 1 = д/а — х2 эквивалентно отысканию точек пересечения прямой линии у = х — 1 с полуокружностями у=^]а — х2. Из рис. 23 видно, что эти линии пересекаются при а^\ в единственной точке (т. е. исходное уравнение при а^1 имеет только одно решение).
Представим теперь графически решение исходного уравнения на координатной плоскости (аОХ). Так как уравнение равносильно смешанной системе
(а — 2х2 — 2х + 1
I х^ 1, то его решение можно рассматривать как отыскание на координатной плоскости (аОХ) точек параболы а = 2х2 — 2х + 1, для которых х^1. Как видно из рис. 24 решение существует при причем каждому значению а^1 соответствует одно решение (одна точка на параболе, для которой х^1). ▲
Пример 4. При каждом значении а решить уравнение а-\-х[а~-}-х==х.
А Исходное уравнение равносильно системе
J а-\-л/а-\-х = х2 1x^0,
61
которая в свою очередь равносильна системе
а + х = (х2 — а)2
х2-а>0	(*)
х>0,
Уравнение системы (*) является уравнением четвертой степени относительно х и второй степени относительно а. Переписав его в виде
а2 — (2х2 + 1 )а + (х4 —- х) ~ 0, разложим левую часть на множители. Дискриминат квадратного трехчлена относительно а равен:
(2х2 + 1 )2 — 4(х4 - х) = 4х2 + 4х + 1 = (2х + 1 )2,
и, следовательно,
а2 — (2х2+ 1)а + х4~х = (а х(а-
(2х2+1) +(2х+1)) х
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:
' х2 + х+1=а Г х2 — х-—а = 0
<	х2 — а > О	\ х2 — а > О
<	х^О	1x^0,
т. е. совокупности систем
х2 — а — х — 1
< -х-1^0
< х^О
х2 — а = х х^О,
Первая система этой совокупности решений не имеет. Вторая
система совокупности равносильна системе
0
которая равносильна совокупности систем:
1 — V1 4а
2
2
а>0
__ i4.Vi4.4a х ~~
62
Таким образом, для исходного уравнения получаем: 1 при а<----— корней нет;
при а =---и а>0 существует единственный корень х =
_ 1 + УТЧ- 4а .
2
при-----L	существует два корня:
|-VT+4a „ г _ 1+л/1+4а	.
X) — --------- И х2 — -------. ▲
Пример 5. Решить уравнение
х4-л/1—%2
Л Полагая -д/i — х2 = у, получим
{х-\-у — а х2+у2=1 </>0.
Замечая, что х2 + у2 = (х -f- У)2 — 2ху, получим равносильную систему
{х-±-у = а	х-}-у=^а
а2 — 2ху= 1 4 ху = -2^-L
Ь>о,
причем хну уравнений системы являются корнями уравнения 9	__ 1
/ — at +—-—=0 (по теореме Виета). Дискриминант этого уравнения D — a2 —2(а2 — Г)— — a2-j-2. Уравнение имеет корни, если |а|^ у2, кроме того один из них должен быть неотрицателен, а другой любого знака.
Корни будут отрицательны, если а2~ 1>0 и а<0, т. е. если — д/2^а< —Е При этом условии исходное уравнение не имеет корней. Если а= — 1, то	t2= — 1 и, значит, х= — 1.
Если —	то а2~ 1<0, корни разных знаков и, значит,
х — отрицательный корень, т. е.
х = а~^—а2 2
Если а==1, то Л—0, /2=1 и уравнение имеет два корня:
Если 1 <а^С-\/2, то а2— 1>0, а>0 — оба корня уравнения положительны, и уравнение имеет два корня:
_______ а^^2 —а2 х\,2 —_•
63
Резюме
Пример 6. Решить уравнение __________
-\/х2 — 1 + Vх2 = а-
Л Полагая д/х2 — 1 = и, д/х2 —2 = и, получим
и-\- v = a и2 — v2 = 1 ц^О, и^О.
Если а = 0, то система несовместима. Считая а=/=0, находим
Решая систему неравенств
а + — ^0, а------— ^0 находим а^1. При этих значениях а
а	а
Пример 7. Решить уравнение х+д/х2 — 1 =а.
Д Полагая д/х2 — 1 = //, будем иметь
х + г/ = а
X2 — у2 = 1,
//>0.
Если а —0, то эта система несовместна и, значит, при а = 0 исходное уравнение не имеет корней.
Если а^О, то х —	х-\-у = а и, значит, х —
= т(а + т)> У = Т(а“т)-. Значение * = f (а + т) бУ-дет корнем данного уравнения тогда, и только тогда, когда у будет неотрицателен:
а - -L >0^ (a-'Ha+-U, >0=»а(а- 1)(а+ 1) >0=^ => — 1 ^а<0 или 1.
64
Для всех других значений а исходное уравнение не имеет корней. ▲
Пример 8. Решить уравнение
J- Н—	= а, а=/=0.
Д Полагая V1 — х2 = у>0, получим: -Ь -f- -±- = а, х2-^-у2=1, у>0. Далее х-{-у = аху, (x-f-y)2 — 2xt/ = 1, а2(xyf — 2ху — 1 = О,
а2
Таким образом, х и у являются корнями уравнений (по теореме Виета):
— 1 ~t~ "V1 ~t~ д2	| 1 Н~ л/1 ~Н о2 __ Q
22 — i — л/1 -нд2	I 1 Vi~~i~fl2 __ q
а	' а2
Исследуем уравнение (1). Его дискриминант
£)  f 1 + л/1 4~а2 \   4 1 ~Нл/1 ~ +Д2   1 Ч~Д2 | д2 3)
1	\ а /	а2	а2
Условие Di^O будет выполнено, если V1+ а2—- 3>0, т. е. если или 2^/2 или а^2д/2. Если — 2д/2, то х-\-у = — —LtyUK—<0,ху~ —LtJlzt?—>0 и, значит, оба корня а	а2
уравнения (1) отрицательны, т. е. оно не дает решений для исходного уравнения, поскольку у>0. Если а^2л/2, то х-\-у> О, ху > 0, и оба корня уравнения (1) положительны, т. е. при условии а^2д/2 данное уравнение имеет корни
Г-Ll+^l+fl2 ± л/(Т+VT + a2)(Vl+a2-3.
Переходим к исследованию уравнения (2). Его дискриминант
так что уравнение (2) всегда имеет действительные корни.
65
Так как ху ~	<0,
то корни уравнения (2) противоположных знаков, а так ка^ i/>0, то х — отрицательный корень уравнения (2):	> '
Х3 = l-.Vj+g.t. - J-V(71 + a2- 1)(з+Vl+a2).
3	2а	2а
Итак, при любом ay=0 исходное уравнение имеет корень х3; если 2л/2, то будут еще корни xi и хг; если а< -2-^2, то только один корень Хз.
Расположение корней на числовой оси а показано на рисунке, по которому можно дать ответ о количестве корней в зависимости от а:

Пример 9. Найти такие значения а, Ь, с, при которых уравнение
Vx+«v^+ V*—с	(1)
имеет бесконечно много решений,
Д Перенесем д/х в правую часть и возведем обе части полученного уравнения в квадрат. После приведения подобных членов получим уравнение
(а + 2с)д/х = с2 — Ь, являющееся следствием уравнения (1).
При а 4- 2с — 0 и с2 —6 = 0, и только в этом случае, последнее уравнение имеет бесконечно много решений (все неотрицательные числа).
Подставив а —2с и Ь~с2 в уравнение (1) получим
при с<0 это уравнение корней не имеет, а при с = 0 имеет единственное решение xi=0.
Пусть с>0. Рассмотрим такие значения неизвестного л, которые удовлетворяют неравенству О^х^с2. Тогда ~\fx^c, а поэтому \^/х — с\ —с —д/х. Следовательно, уравнение (2) равносильно системе
66
( с>0
I. О^х^Сс2.
Итак, уравнение (1) имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда а— — 2с, Ь = с2 и О О, и его решениями являются все числа из отрезка [0; с2]. ▲
Пример 10. Решить уравнение
л/а-]-х 4- ^!а — х _
л/а-\-х — -\1а-—х
Л Уравнение определено, если	а-}~х2>(), а — х^О
х/^ + х— у/a — х#=0. Из этих неравенств следует, что а^>0 и — а<х^а, т. к. -у/а^х—у/а — х^О, то х=£0, тогда а>0.
Так как числителем левой части является сумма арифметических корней, то 6у=0. Запишем производную пропорцию из данного уравнения при
(д/а^-х	^/а — х) 4~ (д/а-|~х ~ л[а — х)   yb 4~ 1
(Va + X + “Vo — х) — (д/о4-х — д/а — х)	л/Ь — 1
д/о4-х   -у/ь 4-1
у)а~~х	xfb~ 1
После возведения обеих частей последнего уравнения в квадрат получим	'
а-\-х   (д/b 4-1) а~~х ~Ъь-1)2 ‘
Составляем еще раз производную пропорцию
(а-\-х) — (а —х)   (~\[b 4-1) — (~y[b — 1)	х 2д/б
(“ + х) + (а_х) ~	Т-^4-1
— у — 2а^Ь b 4-1 ’
Поскольку Ь 4-1
принимает вид
$С1, то х^а. При & = 1 исходное уравнение
= 1. Решая его находим х — а, уа-\-х — у а — х
что получается также из формулы
Х = ТП~ при 6=1.
Итак,	г
х = ПрИ а>0 и 6>0. А
Пример 11. Решить уравнение vа — х[а-\-х =х.
67
Л Допустимыми значениями неизвестного х и параметра а по условию уравнения являются аД-х^О, а^х/а-^-х, а с учетом арифметического корня в левой части уравнения х^О. Возведем обе части уравнения в квадрат. После упрощений получаем а-х2 = уга^-х . Прибавляя к обеим частям уравнения Д-х и раскладывая левую часть уравнения на множители как разность квадратов, получим
(х + д/а + х)( —х + д/аД-х) = д/а + х +%, или (д/аД-х +х) ( —х + л/а + х — 1) = 0.	(1)
Поскольку х^О и д/аД-х ^0, то х + х/а + х ^0.
Если хД-д/а + х=0, то х = 0 и д/а^-х =0, что возможно при а = 0. Если х + д/сГ-|-х> 0, то уравнение (1) равносильно уравнению д/аД-х — хД-1. После возведения обеих частей этого уравнения в квадрат и простейших преобразований получим
х2 + хД-1 — а — 0.
Если 1—а>0, то оба корня уравнения (2) отрицатеьны и решениями исходного уравнения быть не могут.
Если а=1, то X] = — 1 не может быть решением; х2 = 0 — решение исходного уравнения.
Если 1—а<0, то один корень уравнения (2) отрицателен, а другой положителен (о знаках корней квадратного уравнения см. с. 23). Найдем из уравнения (2) положительный корень:
___ —1 -рл/—3-}-4а	1 х =------------------------—————, если а>1.
При а=1 из последней формулы находим х = 0.
Ответ: При а = 0 х = 0; при а>0 х=	. Д
Пример 12. Решить уравнение
х/' 1 + ах— 1 — ах= х.
Д Допустимые значения неизвестного и параметра в данном уравнении определяются системой неравенств.
( 1 + ах 0	,	. ..
<	' С п или ах
I 1 ~ах 0,
Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки (ах>0), то х] 1 + ох— д/Т — ах> 0 и решением уравнения может быть только положительное значение неизвестного, а это значит, что и а>0. Если а и х имеют разные знаки (ах<0), то д/1 + ах — д/1 — ах< 0 и решением уравнения может быть только отрицательное значение неизвестного, но при этом также а>0. Таким образом, уравнение имеет отличное от нуля решение, если а>0. Если а = 0, то х = 0. 68
Перепишем уравнение в виде д/1 -^-ах~х4~л[1—ах и возведем обе его части в квадрат.	_____
После преобразований получим х(х + 2л1\-~ах~2а)==(\ откуда-а) Х[— 0 при произвольных значениях а; б) х + 2^Т--ах~~2а = О или 2^/1 — ах—2а — х.
Последнее уравнение имеет решения, если 2а — х^О. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и после упрощений получим х2 = 4(1 — а2\ откуда при |а|^1 находим
х2= —2"\/1 —а2, х3 = 2л/1-а2.
Найденные значения будут корнями исходного уравнения, если
| ах | <11 2а ^х а>0 |а|	1
или
0<а^ 1
— а2
1 ±2aVl — а2| ^1.
Отсюда получаем
(0<а^1 1 — а2 а2 а2 (1 — а2)	.
4 /2
Решая последнюю систему неравенств находим Значит, %1=0 при всех значениях а;
х23 = ±2 V I — а2 при ^а^Л. ▲
Пример 13. Решить уравнение a-j-x ____________________ а — х
х[а 4- л[а-\-х лГа — х[а-\-х
Л Очевидно, что а^О. Пусть а — 0. Тогда данное уравнение представляет собой на множестве х> 0 тождество —^—= —-—,
Vх V*
т. е. множество корней уравнения есть х£ р; + °° [•
Пусть а>0. Выполним тождественные преобразования в области определения данного уравнения:
(а-|-х) (Уа —л/а-|- х) — (а —х)(х/а-]-^1а-\-х)  q ах/а-]-х — хх[а а —а — х	’	х
Последнее уравнение равносильно системе
69
{а^/а-\-х — х~\[а х>0 а~\~х>0,
Выразим переменную х через параметр а.
Обе части уравнения ~^а~[~х=хх/а имеют одинаковые знаки, поэтому при возведении их в квадрат равносильность не нарушится и уравнение системы принимает вид а2(а-\-х) = х2а, т. е. х2 — ах~а2 = 0.
Последнее уравнение имеет корни xi — а(1 + \/5)/2, х2 = а(1 — у/5)/2. Остальным условиям системы удовлетворяет лишь первый из них. Итак, если а —0 то хСр; +°°[; если а>0, то х = а(1 +д/5)/2. А
Пример 14. Решить уравнение
л/а + х — ~\/  а.= д/2а + х.
У a-j-x
Л Выполняя тождественные преобразования в области определения уравнения, получаем
a-j-x — |а| — ~\[2а-\-х *-\[а + х '	(*)
Рассмотрим решение этого уравнения в зависимости от значений параметра а.
Пусть а — 0. Тогда уравнение (*) примет вид х—-^х что является тождеством на х>0.
Пусть, далее, а>0. Перепишем данное уравнение в виде = л/а-\-х — л[2а-\-х.
\a-\-x
ОДЗ этого уравнения характеризуется системой неравенств
{а + х>0 2а4-х^0 а 4-х > 2а 4-х.
Откуда а>2а. Но это неверно ни при каких а>0. Следовательно, при а>0 множество корней данного уравнения пустое.
К этому же выводу можно было прийти иначе. При а>0 уравнение (*) перепишется в виде х—у/2а-|“Х • откуда следует, что х>0. После возведения в квадрат обеих частей уравнения получим корень х=—2а/3. Но при а > 0--2а/3 < О, значит х——2а/3 не является корнем уравнения (*).
Пусть, наконец, а<0. В этом случае уравнение (*) принимает вид 2а4-*~л/2а4-х*л/я + х Решая последнее уравнение, получим
(2а 4- х)2 — (2а 4- х)(а + х)=Ф»(2а 4- х)(2а 4- х — а — х) = 0; (2а4-^)а==0, х~ —-2 а.
70
Итак, если а = 0, то х(Ер; + °°[; если ц<0, то х—— 2а. ▲
Пример 15. Решить неравенство
х/а + Л’+ лМ ~ х> а-
Л Левая часть неравенства имеет смысл тогда и только тогда, когда х и а удовлетворяют следующей системе неравенств:
( a-f-x^O [ а — х^О.
При и<0 эта система, очевидно, не имеет решений. Если а —О, то система имеет единственное решение х — 0. Но при а = 0 значение переменной х — 0 не удовлетворяет неравенству. Если а>0\ то решениями системы будут все значения х£[—-а\ а]. При условиях а>0 и |х|^а исходное неравенство можно, не нарушая равносильности, почленно возвести в квадрат и получить
2а + 2^а2 — х2 >а2=> 2^а2 — х2 >а2 — 2а.
Теперь придется рассмотреть три случая:
1)	Если а2~2а<0, т. е. 0<а<2, то, так как левая часть неравенства при |х|^а неотрицательна, а правая — отрицательна, неравенство справедливо при всех х^|а|.
2)	Если а2 — 2а~0, т. е. а~2, то неравенство имеет вид 2д/4 —х?>0 и удовлетворяется при |х|<2.
3)	Если а2~2а>§, т. е. а>2, то, возведя обе части неравенства в квадрат, приходим к равносильному неравенству 4(а2 —х2)>а4 —-4а34а2, упрощая которое, получаем
— 4х2 > а3 (а — 4) х2 <	. г
Теперь видно, что при а^4 решений нет. В случае, когда 2<а<4, решениями последнего неравенства будут все значения х, для которых
IхI < а^а^—а)
Будут ли все эти значения х давать решение исходного неравенства? Это зависит от того будут ли значения выраже-ау/а(4 — а)	~
ния —.........-1 — при (2; 4) превосходить а или не будут.
Напомним, что мы рассматриваем лишь те значения переменной х, для которых |х| ^.а. Докажем, что они не будут превосходить а, т. е. что
<а ИЛИ	< 1.
71
Возводя в квадрат обе части неравенства, получаем
1 => 4а — а2 4 => а2 — 4а + 4 0.
и, следовательно, приходим к верному неравенству (а — 2)2^0.
Ответ: Если а^О, то решений нет;
если 0<a<Z2, то [ — а; а] если а = 2, то х£( —2; 2). Если
п	л	— ал1а(А — а)	ал]а(\ — а} \	л
2<а<4,тох£ I-------------—;  —-—) ; если а^4,
то решений нет. ▲
Пример 16. Для всех а^О решить неравенство ^а2 — х2 >% +
+ 1- (1)
Л При неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:
х -|- 1	0
а2 — х2> (%+1)2,
Для второй системы возможны множеств х на числовой оси:
|—а^х^а
1 х+КО.
два случая расположения
•а +а -1
Но т. к. а^О, то первое располо-
жение невозможно
2)
т. е. — а< — 1=>а>
1 и реше-
нием системы будет «заштрихованное» множество — а<х<— 1. При а 6 [0; 1] вторая система решений не имеет.
Первая система совокупности равносильна системе
[ х — 1	(2)
I 2х24-2х4-1-а2<0.	17
Решим неравенство 2х2 + 2х +1 — а2<0. Дискриминант квадратного трехчлена 2х24-2х4-1 — а2 равен 8а2 —4, при а>0 он положителен только при 1/-\/2<а. Следовательно, система (2) равносильна системе
х> — 1
1/~у/2<а
— 1—л/2аа—1 „	— 1+~\/2а2—1
2	2
которая дает также два расположения множеств х на числовой оси:
72
~1 -l-^Za^-l	f+'lza‘-r
2	2
~	1	— 1 — л/2а2 — 1	т т «
Это возможно, когда— 1 <-------------------. Найдем при каких а
это возможно, решив неравенство
д/2а2— 1	1=>2а2 — 1	1^2а2^2 , — 1 я <11
__л/2	д/2	1
с учетом а> получим	1.
КА
2	2
Это возможно, если	~1 <^ __ । а—1 <1 ~ЬL.
2	^2
Первое неравенство справедливо при |а| >, 1, второе при а> -д/2	1 о	1
>——г совместно — при а>* 1. Значит, при а> 1 решение:
I <- >•<" — 1 +л/2«з2 — 1
2
Объединяя эти решения с полученными выше, получим ответ к неравенству (1):
при [б;	— решений нет;
г( Л г ( -1-л/2л2-1	-1-рл/2а2-1Л .
при ^6 V--; V *6 V-------2----; '— 2-------' ’
Г [ 1 — 1 +л/2л2 —Т Л А при а > 1 х 61_ — 1; ~~——---/ • *
Неравенство (1) допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций /(%)=%+1 и g(x, а) = ^=д/а2 — х2 (рис. 25).
73
Трафиком функции g(x, а) является верхняя полуокружность радиуса а с центром в начале координат, т. е. множество точек (х, у\ координаты которых удовлетворяют следующей системе
I £/> О < ?'2 + У2 = CL2.
В зависимости от значений числа а эта полуокружность может занимать следующие положения (см. рис. 25) относительно графика функции f(x) = x+l:
1.	График функции g(x, а) (положение I) расположен ниже прямой у = х-\-\, что соответствует значениям a£ [ 0; —у—) •
2.	График функции g(x, а) (положение II) касается прямой у — х+ 1, что соответствует значению а = -
3.	График функции g(x, а) (положение III) пересекает прямую у = х-\-\ в двух точках, что соответствует значению
ае(-у-; 0 •
4.	График функции g(x, а) (положение IV) пересекает прямую у = х~}-\ в одной точке, что соответствует значению а>\
Пример 17. Для всех а решить неравенство
13х±а <a_j	Ц)
V х — а
Л Левая часть неравенства (1) неотрицательна на ОДЗ, поэтому а~ 1 >0, т. е. а>\. Найдем ОДЗ данного неравенства:
—^0, откуда получаем два промежутка ~оо<х^ —
а
~Т~’
а<х< оо.
Возведя обе части неравенства (1) в квадрат, получим
Зх-\-а < /  1 )2 =>	+ —Д2) + а(а2 — 2а-\-2)	g
х~а '	7	х~а
Это неравенство с учетом ОДЗ и условия а>\ равносильно совокупности двух систем:
’ z а> 1
J х< ~ —
х (2 + 2а — а2) + а (а2 -- 2а + 2) > 0
( а> 1
] х>а
' х(2 + 2а —а2) + а (а2 — 2а+ 2) <0
74
а> 1
а ~~
х(а2 — 2а— 2) <а (а2 — 2а + 2).
а> 1
xz>a
' х\а2 — 2а — 2) >а(а2-2а-\~2).
(2)
(3)
Поскольку а2 — 2а — 2 = (а — (1 + д/з)) (а — (1 л/з)) , то а2 — 2а —2<z0 при 1 — л/Зсж 1 + д/3; а2 — 2а —2 = 0 при а^ = 1 + д/3, а2 = 1 — д/з и а2— 2а — 2>0 при а> 1 +“\/з, a<Z 1 -~д/3.
При а = 1 +д/3 система (3) решений не имеет, а системе (2) — 1-л/З удовлетворяют все х из промежутка — оо	.
При 1 <а< 1 +д/3 совокупность систем (2) и (3) равносильна соответственно совокупности систем
1 <а< 1 +д/з х< — —
3
а2 — 2а — 2
(4)
1<а<1+^3
х>а
X	g(g2 —2а+2)
а2 — 2а —2
(5)
и справедливы неравенства
а (а2-2а-\-2)	—а
.	а2 — 2а — 2	3
а (а2 — 2а -\-2) а2— 2а — 2
поэтому решениями системы (4) являются все х из промежутка а(а2 — 2tz-J-2) . —а	/сх
—о—, з система (5) решении не имеет.
При a<Z 1 + д/3 совокупность систем (2) и (3) равносильна соответственно совокупности систем
а>1+д/з
а ---—
3
X < а(а2~2а-\-2)
а2 —2а —2
(6)
а> 1 +л/3
< х>а
х д> а (fl2~~2a -|-2)
к	а2— 2а — 2
(7)
и справедливы неравенства o	и а^- 0
г	а —2а — 2	3	а— 2а— 2
поэтому решениями системы (6) являются все х из промежутка — оо<%^— —|, а решениями системы (7) —все х из промежутка
75
Таким образом, для исходного неравенства (1) имеем: а(а2 — 2а 2)	— a	— 1—д/З
qL2qл <х< — при 1<«<1+л/3; -оо<х^—
при а=14-д/3; — оо<х^ и ~2-аХ2) <х< Д оо при а> 1 +д/3; при 1 решений нет. ▲
Упражнения
1. Решить уравнения:
1) Д+Д -	= х. 2) хуГ^_^х2_а2 = 0.
^х-\-2а. + л[х^-2а	Ух
3) д/5а + х + у/5а —х = 12а ; 4) ^а+х + У^Ч*. =л/2;
\5a-\-x	х/а-\-х — д/а — х
5) (х + а^х + ь + (х + Ь)^1х + а _	6) аУх + b _ а + b .
Чх-\-Ь + Ух + а	a — trjx	а — Ь
7) х2+л/аЧ-х=а.
Ответы: 1) Указание: используя свойство пропорции —— =
= — =4>	заменить уравнением ~У*~2а. = 5-77.|£.
d	a + b	d + c	Jr	-Jx+2a х + 2а
При ау=о {2|а|}.	V +
2)	При а=#0 х = а.
3)	При а>0 {За; 4а}.
4)	При а>0 {ЦЦ-
Воспользоваться указанием примера 1.
5)	При а = 0, /?<0 { — /?}; при 6 = 0, а<0{ —а}; при а = 0, 6>0{0}; при 6 = 0, а >> 0 {0}; при а>0, 6 >* 0 {0}; при а<0, 6<0{-(а + 6)}.
6)	При a^b {1}.
7)	При а^О решений нет; при 0<cz^ -^-xi,2= L±VIilE-;
3	1ч-дТ+4а	-1±д/4а-3.
при а< — Х[,2=	-	, Хз,4= -----2------•
2. Решить уравнения:
1) д/х-\-а + ^х — а = л/2х; 2) xja-\~x = a — xjx}
3) х Н---L___ = а; 4) V1 — %2 = (а — х/х) ;
xjx2 — a
5) л/1 4~Д~2х2 —ха-1 __ 1
V1 -Та-2*2 + ха ~1	4
76
Ответы: 1) При а0 х= — а\ при х~а.
2)	При а^ \ х— —^-(6Z— I)2; при а —0 х = 0; при а<1 и нет решений.
3)	При |а| >2д/2 X = а+^+4-VTw . при |а( < нет корней.
4)	При а< —1 и а^>\18 нет корней; при а=^ ~ 1 х = 0;
За2
4 _ ’
о
5) х = — а при а^=0.
3. При каких а уравнение -д/х(1 — х) = а — х имеет одно или неколько решений.
Ответ: при 0^а<1 и при а— Н----------—-—одно решение;
11	2 V2
при 1 <1 а< —-—-|-----—два решения; при всех других а —
2
решений нет.
4. При всех а решить неравенство:
1) axJx-\- l < 1;	2) 4 — х2>^а2 ~х2;
3) х-\-^4 — х2<а\	4) л/^+д/х + л/а—-л/^ С л/2;
5) (а-\- 1)л/2 —х< 1;	6)	— х2<х + а;
7) х-|-vx2 — х<а; 8) х/х-\-а>х-{-1;
9) х-|-д/а —х>0,	10) 2х + ^1~а2 — х2 >0.
Ответы: 1) при а^О — 1	+ 00 ; при а> 0 — 1	— 1 +
2) при а = 0х = 0; |х| при 0< |а| <	;
пРи \а\^4 решений нет;
77
3) при —2
a — V8 — а2
2
решений нет; при —2<а^2 — 2^х-< при 2<а^2л/2 -2<х< . _“.Z	— и
Х_~а—<х^2; при а>2д/2 — 2^х^2;
4) решений нет при а <2 О и а>\\ х — 0 при а = 0; О^х^а2 при 0<а2а —	при	х= 1 при a-=z
= 1;
5)
— оо<сх^2 при — 1; 2—
п-^<Х<2приа>-1;
f \ \	v	<	— о, —I— 2 — а	1
6)	решении нет при	1; --при
1^-1	1	. — а — -\f2-—a2	—tz4~л/2 — а?	<
1<ЛС1;	— 1<х<~-——— и -------------<X<U при
1<а^“\/2; — 1<х<1 приа>~\/2;
7)	решений нет при а <10;	р<х^0 при Q<a<~;
1	а2
— оо<%<:0 при —	— оо<х<0 и 1^Сх<——- при
а> 1;
8)	решений нет при а <10;	1 ~2л/а<х< 1+2л/я при
О--1+2“\/а при 1.	___
9)	Если а —О, то — 1 <х<0, при cz>*0	• aj;
10)	при С1--0 решений нет; ат^О —-~У-<х^ |а|/ V5
5. Пусть b>Q. Найти решения неравенств:
Ответы: 1) ( — a; 0)U	ПРИ [ —a;0)U(0;a] при
а>Ь;
2) [ — а; 0) при	ПРИ а^Ь.
6. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Примеры с решениями
Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнений 4х —а2л —а + 3 = 0 имеет хотя бы одно решение.
78
Л Пусть 2х = />0, тогда исходное уравнение примет вид /2 —а/ —а+ 3 = 0, и для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен t2-at — a-\-3 имел хотя бы один положительный корень, при этом дискриминант трехчлена должен быть неотрицательным, т. е. D = а2 — 4(3 — а) = а2 + 4а — 12 = (а — 2)(а + 6) 0=>а <1—6 или а^2.
Корни /1 и /2 квадратного уравнения t2 — at — cz-f-3 = 0 удовлетворяют системе уравнений (по теореме Виета).
11 ^2 “— 3 а
/] +/2==а.
При — 6 имеем Л/2>0, /1 + ^2<0, поэтому оба корня t\ и /2 отрицательны и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.
При 2<1а<13 имеем /i + /2>0,	а это означает, что
оба корня положительны и удовлетворяют условию исходного уравнения.
При сг = 3 один корень нулевой, а другой положительный.
При 3<а< + оо /|/2<0, корни /1 и /2 разного знака.
Итак при а^2 исходное уравнение имеет хотя бы одно решение. ▲
Пример 2. При каждом а решить уравнение
4х- 2ф+ 1)2Х~1 -+-а3 = (к
А Пусть 2х = />0, тогда t2 — а(а-\- 1)/ + <а3 = 0. (*) Определим а, при которых это уравнение имеет решение.
D = а\а + 1 )2 — 4а3 0=>(а + 1 )2 — 4а 0,
т. к. по исходному уравнению видно, что а #= ОД алее
а2 + 2а-4-1 —4а^0=>(а— 1)2>0=>а£ IR
с учетом, что а=^=0 а£R\{0}.
Корни уравнения (*) могут быть только положительными. Рассмотрим два случая.
1. Оба корня положительны:
[ £>>0	( аеR\{0; 1)
> t{ -\-t — a(a-\- 1)>0	а<^ — 1 или а>0 =>0<Са<С 1 или
/1/2 = а3>0	а>0
1 С а.
Найдем корни уравнения (*)
±   а(а+1) + Уд2(д—I)2 . ,   а (а4-1)— |а| (а—1| —	-	, ti —	---------,
79
L _ a(a-H) + Ы la-11
2 “	2
Раскрывая модули при ] 0; 1 | U ] 1; + 00 [ находим, что t\ =а и t2 = d2 или 2х = a x = log2a; 2х = a2; x = log2a2
Если £) = 0, т. е. при а = 0 и а=1 находим, что при а = 0 уравнение не имеет решений, а при а=\ /=1 2Х=1 х = 0.
2. Корни разных знаков
£>>0
/р /2 = а3<0
«€R\{0; 1} a<0 а
Раскрывая модули t\ и /2 при а<0, получим t\—a, t2==a2, Л<0, поэтому не может быть корнем уравнение (*)• При t2 = a2 2х = a2 x = log2a2.
Ответ: при а<0 x = log2a2; при а = 0 решений нет; при а>0 x = log2a и x = log2a2. ▲
Пример 3. Найти все значения параметра р, при которых уравнение
(10 —p)52x+1 — 2-5х”н 4-6-р = 0
не имеет решений.
Л Пусть 5х —1> 0, тогда исходное уравнение перепишется в таком виде 5(10 —р)/2—10/4-6 —р — 0. (*) Уравнение (*) не имеет решений, если D<0. Кроме того, неположительные корни уравнения (*) не могут быть корнями исходного уравнения.
Найдем при каких р £)<0. /)=^25 — 5(6 — р)(10 — р)<0=>р2 — — 16р4-55>0^>р <5 или р> 11. Итак, при р£]—оо; 5[U]H; 4-00 [ уравнение (*), а значит и исходное, решений не имеет.
Найдем при каких р оба корня уравнения (*) неположительны. Это возможно, когда:
£>>0
/14~ /?	6
/j/2^0
5<рС11
р> 10	10<р^11
р$С6 или р> 10
Ответ: pf ] — оо ; 5 [ J ] 10; 4~ 00 [•
Пример 4. уравнение
Найти все значения параметра р, при которых
(р- 1)4х-4.6х4-(р4-2)9х = 0
имеет хотя бы одно решение.
Л Разделив все члены уравнения на 6х, получим (р“"^(т) ~	+	[1>сть ("у) =^>0, тогда
(р_1)/_4 + Р±2.=0=^(р-1)/2-4/ + р + 2 = 0=^
80
^/2--±г/ + ^±т- = о.	(*)
р —1 р—1	v 7
Исходное уравнение может иметь только положительные корни.
Уравнение (*) имеет положительные корни, если:
D=4- (р-1)(р + 2)>0 р>1 р<. — 2 или 1
Корни уравнения (*) разного знака, если:
D>0
I-ЗСр<2
<0^1 _2<р< 1
— 2<р<1.
С учетом того, что при р=1 и р = 2 исходное уравнение имеет один положительный корень, записываем ответ —2<р^2. ▲
Пример 5. При каждом а указать, для каких х выполняется неравенство а2 — 9Х-Н — 8-Зха<0.
Л Если а = 0, то исходное неравенство имеет вид — 9х+1>0 и не выполняется ни при каких х.
Пусть а — некоторое фиксированное число, отличное от нуля. Обозначив 3х через /, исходное неравенство можно переписать так: 9/2 + 8а/ —сг<0 (*).
Найдем корни трехчлена
/   — 4а±д/16а2 + 9а2 . , _ — 4а —5|а|	,	—4а-|-5|а|
г1,2 -	9	’ н -	9	’	- д •
Видно, что при всех а^О t\<h и решениями неравенства (*) будут 1<1\, т. е. /]<Z</2 или при а>0
— 4а — 5а Qx — 4а + 5а . _	1	п
---9----<3 '--------9~ -а<У < — а =ф-х < log3a — 2.
При а<0 ~4а+5а < 3е < -4а-5а^-|- <3Х<-а=> => 3х < — а => х <. log3 (— а).
Ответ: При а<_0 x<log3( —а); при а = 0 решений нет; при а>0 x<log3a —2. ▲
Пример 6. Найти все значения а, при которых неравенство 4х2 + 2(2a + 1 )2Л'2 + 4a2 - 3 > 0
выполняется для любых х.
Д Пусть 2х =/>>0, тогда исходное неравенсьво перепишется в виде
81
/2 + 2(2а+1У + 4а2-3>0.	(1)
При каждом а квадратному трехчлену t2-\-2(2a-\- l)/-f-4a2-— 3 на плоскости toY соответствует парабола, ветви которой направлены вверх, осью симметрии служит прямая t= — 2а — 1, а вершиной является точка ( — 2а— 1; —4а — 4). Если —4а — 4 >0 т. е. а> — 1, то вершина параболы, а следовательно, и вся парабола, расположены в верхней полуплоскости (рис. 26). Это означает, что трехчлен положителен при любом /, в том числе и при />0.
Второе расположение параболы (рис. 27), отвечающее требованию задачи, определяется следующими условиями:
D^Q — 2а— 1< Д0)>0 ' а^ — 1	D = (2а-Н)2-4а2 + 3>0 0 а> - -L 2 4а2 —3>0
J“>-T b<-^	<а л/з , - или	<а.
Ответ: а £ I — оо; — 1) U ( -у- ; + 00 ) • А
Пример 7. При каждом значении а решить уравнение
(1 +(a + 2)2)log3(2x-x2) + (l + (За-I)2)log,, (1 -	=
= log3(2x — х2) + log,, (1 — ~).
Л Найдем ОДЗ исходного уравнения, не зависящее от а:
82
I 2x — x2>0
| 1 _	>0	0<*<^2.
Для любого x из этого интервала выполнены неравенства
2х-х2=1 -(1-х)2<1, 1 - /<1, и, следовательно,
log3(2x — х2) <0, log,, (1 —-J-) <0.
При а=#—2 и	имеем
(1 + (а + 2)2) log3 (2х— х2)	log3(2x— х2)
(I + (За— l)2)logtl (1 -f)<log„(l -/)
Складывая последние два неравенства и сравнивая полученный результат с исходным уравнением, получаем, что оно может иметь решение только для значений х, удовлетворяющих системе уравнений
/ log3 (2х — х2) = 0	Г 2х - х2 = 1
I logH (1-^/2) = 0^1 1 — х2/2= 1.
Эта система уравнений решений не имеет. Следовательно, при а-^ — 2 и а^= —исходное уравнение не имеет корней.
При а=—2 исходное уравнение примет вид
log3(2x — x2)-f-501ogii(l — x2/2)==log3(2x —x2) + logii(l ---x2/2).
Это уравнение равносильно уравнению logn(l-~~х2/2)~0, не имеющему корней на ОДЗ 0<х<д/2.
При а =1/3 исходное уравнение принимает вид
—— log3(2x — х2) + log и( 1 — х2/2) = log3(2x — х2) + log 11( 1 — x2/2).
Это уравнение на ОДЗ равносильно уравнению log3(2x —х2) = = 0=>2х — х2— 1, имеющему единственный корень х—1, принадлежащий ОДЗ.
Итак, при £2=1/3 исходное уравнение имеет единственный корень х=1; при а^= 1/3 уравнение корней не имеет. ▲
Пример 8. Указать все а, при которых уравнение log2x + + Iogax-|-log4x= 1 имеет решения и найти эти решения.
Л log2x + 4~ + Tlo^X==1=>
=> !og2alog2x Д log2x + -у log2xlog2a = log2a =>
83
^-logofl+l
2x = log2a=>log2x
2
= a=> x = a 3log2a + 2
=>(4’l°g2a+l)l°g з
|Og2fl+l
= log2a=>x
ОДЗ a>0, a=#l, 31og2a + 2-?^0, т. e. a=/=2 2/3.
2
Ответ: a>0, a#=2~2/3, a^=l x = a 31og2a+2 . a
Пример 9. Найти все значения а, для которых уравнение lg(ax) = 21g(x+1) имеет единственный корень.
Л ОДЗ данного уравнения определяется системой неравенств ах^>0 и х-(-1 >0. Следовательно уравнение (1) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда система
ах — (х + 1 )2
* ах>$ имеет единственное решение.
х -р 1	0
Уравнение ax = (x-f-l)2, т. е. уравнение x2-f-(2 — d)x +1 =0 имеет решение только тогда, когда D~(2 — а)2 — 4^0, т. е. при а^О и а^4.
гт .	(ах > 0	п
При 4 система 1	, . п выполняется при х>0.
1	I%+1> 0	г
Чтобы на этом множестве уравнение %2-|-(2~-а)х4-1 =0 имело единственное решение, необходимо, чтобы график трехчлена располагался так, как показано на рис. 28 (1-й и 2-й случаи).
f(Q)<O	ff-1)<0
1-й случай 2-й случай	3-й случай
Рис. 28
В первом случае £) = 0 при а = 4, а корень %—I принадлежит множеству х>0.
Во втором случае /(0) = 0 + (2 — а)0-J- I < 0 неравенство ложно, т. е. нет таких а, при которых это условие выполнялось бы.
При а —0 не выполняется условие ах>0.
84
При
а<0 система
ах>0 х+1>0
выполняется для х£(—1;
0)
и для того чтобы уравнение х2 + (2 — а) х-4-1=0 имело единственный корень на этом множестве, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (рис. 28, 3-ий случай):
/(— 1) <0 Г/(— 1) = 1 +(2-я)(-1)+ 1<0 (а<0 /(0) >0	1/(0) = 0 + (2 —а)0+ 1 >0	И>о
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда а<0 и а = 4. ▲
Пример 10. При каких значениях а уравнение logx_ i(x + а) = 0,5 имеет единственное решение?
Л . Обозначим х — 1 = /, тогда x = t-\-1 и log//-|- 1	1/2.
Обозначим еще b = 1 -|-а, в результате исходное уравнение примет вид
log/(ZH-fe) = 0,5.	(1)
Потенцируя по основанию /, получим t + b=s[t.	(2)
Всякое решение (1) является, очевидно, и решением (2). Обратно, если t решение (2) и />0, /=#1,	(3)
то логарифмируя (2) по основанию /, получим, что (1) —верное равенство.
Решив (2) как квадратное относительно -\[t уравнение найдем, что
a) VT =	+^-=4b), б) < = -1-(1 - yT-Ii) .
Ясно, что (2) имеет решения, если только 1 — 4Ь 0, т. е. b 1 /4. При этом условии l-\-^JT^-4b ^1, поэтому формула (1) определяет решение h = -L(l — 26 +л/1 — 46 ) уравнения (2). Первое из условий (3) для этого решения, очевидно, выполнено. Кроме того, из (Г) видно, что равенство д//= 1 (а значит, и t= 1) возможно только при 6 = 0. Таким образом, если 6^1/4 и 6^0, то а) задает решение Л уравнения (1). Рассмотрим формулу б). Условие < >0 (а значит, и / ~>0) из (3) выполнено тогда и только тогда, когда 1— д/1 — 46 >0, откуда 6>0. При этом 1 -V1-46 <1, а <<1/2 и t< 1 /4< 1, т. е. выполнено и второе из условий (3). Значит, формула б) задает решение t2 =
у (1 — 26 — д/1 —46) уравнения (1), если О< 6 <П /4. В итоге получаем, что при 6<0 уравнение (1) имеет одно решение t\,
85
а при 0 <Z b 1 /4 решениями (1) являются и 11 и /2, причем t\ = /2 только при £> = 1/1. Значит, (1) и вместе с тем и исходное уравнение имеют едиш гвенное решение только при или Ь= 1/4, или,что то же, при a<Z—-l или а=— 3/4.
Ответ: а< — 1, а =—3/4. ▲
Второе решение. Потенцируя исходное уравнение на ОДЗ: х—1>0, х>1; х —1=/=1,	х-(-а>0, х>—а, получим
= 1)1/2.
Рис. 29
Графическая иллюстрация левой и правой части последнего условия показана на рис. 29. Линия у = х-\-а перемещается вниз (по оси У) при уменьшении а. Первая совместная точка обеих линий — это точка касания с абсциссой хо. Найдем значение х0, для чего возьмем производную от функции // = д/дГ=ПГ у'=
——-------- Известно, что у'(хо)=\ (ведь у = х-{-а— касатель-
2д/х—1
ная), тогда у'(хо) =---——=1, х0= —. Тогда//0 = д/х0—1 =
2х/хо-1	4
/5	1
= у у ~ 1— ~2~ • Теперь найдем значение а этой касательной
= -|~-4-о=>= —	. Видно, что одна совместная точка бу-
дет при а< — 1.
Пример 11. Определить, при каких а уравнение 1о§з(9х + + 9а3) = х имеет ровно два решения.
А Пусть а — некоторое фиксированное число. Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех чисел %, удовлетворяющих неравенству 9А + 9а3 > 0. Значит, если то ОДЗ совпадает со множеством всех действительных чисел, если а<(), то ОДЗ есть множество log/ —9а3) .
На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению 9х Д- 9сг3 = = 3Х. Обозначив 3х через /, получим t2— t-{-9a3 = Q (*). Дискри
86
минант этого уравнения 0 = 1— 36а3. Поэтому, если 1— 36а3 < О,
т. е. если а> —, то уравнение (*) не имеет корней. Не д/36
имеет их тогда и исходное уравнение. Если 0 = 0, тоа=1/д/36 и уравнение(*) имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.	3
Если О>>0, т. е. а<1/~\/36, то уравнение (*) имеет два корня
/j—	—и /2= 1	. Значит, исходное уравне-
ние равносильно совокупности двух уравнений
3—	2 и 3 —	2	-	V )
При а^О	и первое уравнение (**) решений
не имеет. Тогда исходное уравнение равносильно на своей ОДЗ второму уравнению (**), которое имеет единственное решение
.	1 Ч-л/1 —36а^~
x = log3 —--------.
Следовательно, при а^О исходное уравнение имеет не более одного решения. з
Если ag]O; 1/т/36[, то совокупность уравнений (**) имеет корни
„ Хг = |OK1J + Vpz.
В этом случае ОДЗ исходного уравнения совпадает с множеством R и значит, уравнение имеет в точности два корня xi и х2.
Ответ: ag]O; 1/д/36[- А
Пример 12. Решить уравнение ^fiogx(ax) • logax= —-д/2.
Л Допустимыми значениями неизвестного и параметра являются значения, удовлетворяющие системе неравенств х>0 х 1 а>0 а^= 1 logx (ах) >0
или % > О их^1; а>()иа^1; причем, если 0<Сх<С 1, то 0<Сах<2 < 1, а если х> 1, то ах> 1.
Так как правая часть уравнения отрицательна, то решениями Уравнения могут быть только те значения х и а, при которых logax<0, т. е., если а> 1, то 0<х< 1, а если 0 <7 а <7 1, то х2> 1.
Преобразуем данное уравнение:
87
l°ga* + l
Так как уравнение может иметь решение только при logax<0, то —Vl°gaX + logaX= — -\/2 ИЛИ log2* + logaX — 2 = 0, ОТКуДЗ НЗХО-дим logax=—2 и logax=l,Ho logax=l>0 уравнению не удовлетворяет.
Исследуем logax =—2 или х = -^2~- Если 0<Сх<с1, то 0<с
<Zax<Z 1, или 0<a	< 1, откуда а> 1. Если х>> 1, то ах> 1
или	откуда	Значит х=-^-у если 0<а<
< 1, а> 1. А
Пример 13. Решить уравнение
1 + logx^i^ =	— 2) logJO.
Л Допустимые значения неизвестного и параметра находим, решая систему неравенств
4 —х>0 xZ> О
х 1
lga>0
или 0<х<1, 1<х<4 и а>1. После потенцирования получаем
4 — х lOlglga 4х — х2	lOlglga
х ~Тоо = —\7йГ~ ИЛИ ~1 бб~ —П5(Г” ’ 0ТКУда в соответствии с основным логарифмическим тождеством следует, что х2 —4x-|-lga = = 0, Xi=2—\/4—Tga , %2 = 2 + ^/Г—Iga . Эти корни действительные, если 4—lga?^0 или а^СЮ4. Учитывая, что аз>1 получаем 1<а<104.
При а=1000 недопустимым значением неизвестного является Х| = 1, т. е. уравнение имеет один корень Х2 = 3.
При а = 10 000 имеем xi= х?=2.
Таким образом, Х1,2==2±~\/4 —Iga, если 1<а<1000 и 1000<а< 10 000; х = 3, если a =1000; х = 2, если а= 10 000. ▲
Пример 14. Решить уравнение
VlogaVax + logtVa^ +
"V |оёД/-|- + |о&Л/т =а-
Л Допустимые значения неизвестного и параметра х>0, %У=1 и а>0, а =^=1. Преобразуя подкоренные выраженйя, получаем:
88
^4“0+|о^л) + т('+|ом +
+Vr(logaX~+ т(1о^а“ *) =a или
'V'°B-x + 2 +	=2a,
-yl^+'f + - J	_ 2
V logax	V log„x
|l°gax+ 11 + |log«JC—11 = 2cr\/logax 0°gax>0)-
1)	Если 0<Jogax<l, то 2 = 2а\/10ё х или log(Zx=l/«2 и %^а1/а2. Это значение х удовлетворяет уравнению, если 0< X- < 1, т. е. при а> 1.
2)	Если logax=l, т. е. х = а, то получаем 2 — 2a, или а~ \ — недопустимое значение параметра. Следовательно, х^~а. у
3)	Если loga%> 1, то 21ogax = 2адДс^ахили logax = a2 и х~аа . Это значение х удовлетворяет уравнению, если logaa2> 1, откуда следует, что а2>1 или а^>1.	2
Если а>1, то х\=аа \ Х2 = аа . Если 0<а<1, то уравнение решений не имеет. ▲
Пример 15. При 0<с а< 1 /4 решить неравенство logx+a2<logx4.
А Заметим, что / >0 и х^=а.
Данное неравенство равносильно неравенству |Ogy~yay~ <
_	2	2	1 п
< ,---, т. е. неравенству  --— 1—•—- >0, откуда
log2x	r	J log2x log2(x-ka)
21og2(x + a)-log2x > q	/1 x
log2x-log2(x-f-a)
Если 0<х<1, to log2%<0; если х:>1, to log2%>0. Поэтому неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:
{0 <С х <Z 1	Г х\> 1
Slog2(x-ha) - log2x	(2) S 21og2(x + a) -log2x > Q (3)
log2(* + a)	’	log2(* + a)
Решим систему (2). При
имеем: log2(x-i~a)<0;
при	имеем log2(% + a)>0. Поэтому система (2) равно-
сильна совокупности двух систем (а>0, х>0).
89
0<х<1
0<x-|-a< 1
21og2(x-|-a) — log2x>0
0<x< 1
x + a > 1
21og2(% + a) — log2x<0
0<x< 1
x<Z 1 — a
log2(a + x)2>log2x
0<x< 1
x> 1 — a
log2(a + x)2<log2x
0 < x < 1 a (% + af > x 1-a</<1 (% + af <zx
0<x<1—a
x2 — (1 — 2d) x + a2 > 0
1 —a<Zx<Z 1
x2 — (1 — 2a)x-\~a2<z0
(4)
(5)
При всех 0<а<1/4 дискриминант D квадратного трехчлена х2(1 — 2а)х-\~а2 положителен (£) = 1—4а); поэтому х2-(1—2а)х-|-+ а2 = (х — %1)(х — х2), где х\ = 1/2 — а — д/1 /4 — а и х2=1/2-а± + VT/4 — а, причем
Числа %1 и %2 удовлетворяют системе (по теореме Виета)
%1%2 = а2
Xj +х2= 1 — 2а, откуда следует, что при заданных ограничениях на а чила х\ и %2 положительны. Кроме того, поскольку +%2= 1 — 2а = = 1 —а —а<1 —а, то каждое из них меньше 1—а. Поэтому система (5) решений не имеет.
Решением системы (4), а следовательно, и системы (2) (при 0<а<1 /4) являются все х из интервалов 0<cx<xi и х2<Хх< < 1 — а.
Решим систему (3). Неравенство	равносильно неравенству 2— —^1* >0.	(6)
log2(x + a)	v 7
При х>1 и 0<а<1 /4 справедливо неравенство х<х-\-а, откуда в силу возрастания функции // = log2x имеем log2%<: <log2(x + а).
Поскольку log2%>0 И log2(% + a)>0, ТО 0< /х + а) <^‘ Следовательно, неравенство (6) справедливо для всех х:>1, 0< а< 1/4.
Таким образом, множество всех решений системы (3) есть промежуток 1<х<-]-оо-
Итак, при любом а£(0; 1/4); множество всех решений исходного неравенства состоит из трех промежутков: 0<х<1/2 — а — — V1/4 —а, 1/2 — а^-у/Т/4~~а<х< 1 —а, 1<х<:Ч-оо. ▲
90
Пример 16. Найти все значения а, при которых неравенство 1 4-lOg5(x2+ l) = log5(ax2 + 4x + a) выполняется для любого значения х.
Л Данное неравенство равносильно неравенству logs5(x2 + + 1)^ log5(ax2-|-4x-|-a), а это неравенство равносильно системе / 5 (х2+ 1) ^ах2 -\-4x-\-a	(a — 5)x2-f-4x + (а — 5) ^0
1 ах2 + 4х + а>0	ах2 + 4х + а>0
Таким образом, требуется найти все значения а, при которых системе (1) удовлетворяет любое значение х. а это означает, что каждое неравенство системы должно выполняться при всех значениях х.
Первое неравенство системы (1) выполняется при всех xgR при следующих условиях:
( а — 5<0 J а<5	f a<z5	□
lz)<0, I £) = 4 — (a — 5)2<0,	a<3 и a>7
Второе неравенство системы (1) выполняется при всех x£R при следующих условиях:
( а>0	(а>0	9
1/) = 4-а2<0	U<-2 и
Удовлетворяют системе а(Е (2; 3). А
Пример 17. При каких значениях р функция lg(6 —р—10% + + 5(10 —р)х2) определена при всех x£R?
Д Функция lg(6 — р — 1 Ох+ 5(10 — р)х2) определена при всех xgR; если квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, принимает при всех х только положительные значения, т. е. 5(10 — р)х2 — 10х — р + 6>-0, то это возможно, если 5(10 —р)>0 и Z)<0, т. е. справедлива система
|5(10 —р)>0	I р<10
I D = 52 —5(10 —р)(6 —р) СО’Н -5 (р-5) (р-11) <0
( Р<Ю
(р —5)(р—11) >0. => р<5.
Ответ: рЕ(—оо; 5). А
Пример 18. Найти все значения а, при которых каждое решение неравенства log4-*(2x2 — 5х — 3)<Д будет решением неравенства х^ + а2х — 2а4^0.
А Найдем ОДЗ первого неравенства
4 — х > 0	( л < 4
2х2 —5х —3>0О| х< —1/2 или х>6
4 —х=А1	х=АЗ или ОДЗ х< —1/2.
91
Теперь решим это неравенство на ОДЗ.
Iog4-x(2x2 — 5х— 3)<log4-x(4 — х)о2х2— 5х — 3^4 — х, т. к. на ОДЗ 4 — х>1. Далее 2х2 — 4х — 7^0 или 2~^2 <х<
2 + Зд/2	2 —З-Д	,	1
< 2V С учетом ОДЗ —------------------------
т	2— Зд/2	1
Теперь, чтобы промежуток -----— -^-входил в ре-
шение неравенства х24~а2х — 2а4 ^0 нужно, чтобы он располагался между корнями трехчлена f(x) = x2 -{-а2х — 2cz4 (рис. 30).
Рис. 30
Это возможно если:
Решим отдельно эти неравенства. Обозначим ——
<0. Тогда Ь2-\-Ьа2 — 2a4<Z(R>2a4 — Ьа2 — Ь2^0. Найдем корни трехчлена
Л _ Ь+^+ЗЬ2 _ Ь + ЗЬ _ /Ь а\,2 —	4	—	4	— \-ь/2.
Тогда решения неравенства а2^Ь или —b/l^a2. Первое решение невозможно ни при каких а, т. к. 6<0. Из второго решения
получаем |а|	(*).
Решаем второе неравенство —----------2а4<0о
8а4 + 2а2-1<0,
iz	2	— 1 zt 3	1	9	1
Корни трехчлена:	а\,2 = —$— тогда------— < а“ < —
или а2< -^-о|а| < Ц- . (**)
Пересечением неравенств (*) и (**) является множество
92
Упражнения
1.	Найти все значения параметра р, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.
1)	(р + 1)4х + 4-’2х + (р-2) = 0; 2) (р-3)4х-8-2х+р + 3 = 0; 3) (р-3)9Х — 6-Зх + р + 5 = 0; 4) (р + 5)9х + 6-Зхр-3 = 0; 5) (р-_ 1)4* _ 4-2х + р + 2 = 0.
Ответы: 1) рб [—2; 1)U (1; 3);
2)	р€(-5; -3) U (-3; 3) U [5];
3)	р6(-3; 2];
4)	рб [-5; 3) U{ —6};
5)	р€(-2; 2).
2.	При каждом значении параметра решить уравнение.
1)	25х + а2(а — 1 )5Х — а5 = 0, 2) (р-1)4х-4-2х + р + 2 = 0.
Ответы: 1) При а<0 xi = log5<i2, X2 = 31ogsla|; при а = 0 решений нет; при а>0 x = 2logsa;
2)	При ре ( — 2, 1) и (1; 2] x, = log22-V-P2-P+6 ;
^-iog22+^,~p+6;
при р= \ X=iog23/4.
3.	Найти все значения параметра р, при которых уравнение не имеет решений.
1)	(4 — р)4х — 5• 2х4- _L(l-p) = 0; 2) (р-l)9x-f-2p3x + 3p-2) = — 0; 3) р.4х+'-(Зр+1)2х+р = 0; 4) )р+1)4х + 2(р-1)2Х + + 3(р-1) = 0; 5) (р-4)9х + (р+1)Зх + (2р-1)=0.
Ответы: 1)р£(—оо; — 2]J(1; -f-oo);
2)	р€(-оо; 1/2)U[1; + «>);
3)	рс(—оо; 0]и(1; +°°);
4)	ре(-оо-, - 1)U[1; +°о);
5)	р€(-оо; 1/2)U[4; -f-oo).
4.	Найти все значения параметра р, при которых уравнение имеет два решения.
1)	(р-1)4х<4-6х + (р + 2)9х = 0; 2) (р + 1)4х + 4-6х + (р-— 2)9х = 0.
Ответы: 1) р£( —3; —2);
2)	р€ (2; 3).
5.	Найти все значения параметра р, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.
1) (р-3)4х-8-6х + (р + 3)9х = 0; 2) (р+ 5)9x-f-6x+1 +(р-3)4х = 0
93
Ответы: 1) р£( — 5; — 3)J( — 3; 3);
2) pt 1-4; 3).
6. Найти все значения параметра р, при которых уравнение имеет одно решение.
1)	(р + 1)4Х + 8-6Х + (Р~ 5)9Х —0;	2)	(р — 1) 16х — 4.36х + (р -|-
+ 2)8И = 0.
Ответы: 1) рЕ[—1; 5);
2) р6(-2; 1].
7. При каждом а указать, для каких х выполняется неравенство.
1) а2 —2-4х+1 —-а*2х+1 >0; 2) 42х+‘-а2-6Ьа-4х~[ + 1 >0;
3)	4Х±!-а2 —33'2х«а + 8>>0; 4) 16х+1 /2<9а•4х + а2.
Ответы: 1) При а>0 x<log2^-2; при а — 0 решений нет; при а<0 x<log2(--a)—1;
2)	при x£R;	при а>0 x>log4(l/a), а также при
х < log4( 1 / 16а);
3)	при а^О xgR;	при а>0 х>3 —log2a, а также при
х<: ~2 —log2a;
4)	при а<0 x<log4( —а/2); при а — 0 решений нет; при а>9 x<log4(3a/4).
8.	Найти все значения параметра а, при которых неравенство 4х — а-2х — а4-3^0 имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а ^2.
9.	Найти все. значения параметра а, при которых неравенство а-9х -\-4Ja — 1)Зх + а> 1 справедливо при всех х.
Ответ: а 1
10.	Указать все а, при которых уравнение имеет решения и найти эти решения.
1)	log3x + 3logdx + logsx = 5; 2) log4x +logax +logi6x= 1.
Ответы: 1) a>0, a^l/9, a#=l x = 3 —;
31og3a + b
2)	a>0, d~2/3, a#=l x^4—?-^L_.
3log4a + 2
11.	При каких значениях p функция определена для всех значений х?
1) In [(4—р)х2 —5х + 5(1 — р)/8], 2) 1п[(р —1)х24-2рхН-Зр—-2], 3) lg[(p — 4)x*+(p+l)x + 2p—1],	4) lg[(3p-H)x — p(4-|-x2)j,
5) lg [(р + 1>2-2(р- 1)х + 3(р- 1)].
Ответы: 1) р< — 1; 2) р>2; 3) р>5; 4) р<С —-Г, 5) р>\.
12.	Найти все значения а, при которых неравенство выполняется при любом значении х.
1) Iogu(a+I)(|x| +4)> 1; 2) loga/(a+l)(x24-2)> 1.
Ответы:
1) »<-'
94
13.	Найти все значения х, по абсолютной величине меньше 3, которые при всех а^Ь удовлетворяют неравенству
Iog2a-X2(x — 2ах)> 1.
Ответ: х£( —3; — 1).
14.	Найти все значения х> 1, которые при всех Ь, удовлетворяющих условию 0<6^2 являются решениями неравенства log ^±l(x + 2b- 1)< 1.
Ответ: х>3.
15.	Найти все значения параметра а, при которых неравенство 1 4-log2(2x2 + 2x+	Iog2(ax2 + a) имеет хотя бы одно
решение.
Ответ: 0<а^8.
16.	Для каждого знаения параметра а решить уравнение.
1)	Л/а(2*-2)+ 1 = 1—2х; 2) 144й-2- 12lxi +<z = 0;
3)	а°г°х + xog°x = 2сг, 4) а°ЧХ-5xltw + 6 = 0; 5) 21og,a +
+ log„a + 31ogAa = 0.
Ответы: 1) при 0<а^1 x^log2«; при и а> 1 решений нет;	______
2)	при 1 х = zblogi2(l + л1\ —а ); при а> 1 решений нет;
3)	при а>0, а^=1 xi=a, Х2=	;
4)	при &>0, &=#1, xt = 3,og< x2 = 2loga/,;
5)	при а>0, а#= 1,	, Х2==а~4,/3;
при а— 1 х£(0; 1)IJ(1; +°°)-
17.	Решить уравнение.
у £ГГЬ Л/
3) log^ — logl/ax = 0; 4) (31ogax —2)log2a=log ^х —3;
5) logax-|-log /-x+log3f-x=27; 6) logaV4 + x+31og ,(4-x) -Vu	у	U‘~
a + 3	1	1
-Ioga4(16-X2)2 = 2; 7) 2q+2-32х(а+2) =4X ;
8)	Ig2x +1g (2 —x) = Iglgp.
Ответы: 1) а, при cz>0, cz^l;
2)	m, при m>], m=/=\'y
3)	а, при a>0,	1;
4)	1/cz;	a2 ПРИ «>-0, a=/=l;
5)	cz6, при a>0,	1;
95
6)	х = 4 — а2 при 0<а<1 и 1 <а<2д/2;
7)	(2а — 1)/(а + 3) при аф — 2, а^ — 3 и а#=1/2; нет корней при а— —2, а— —3 и а= 1/2;_______
8)	1—л/1 —0.51gp ; 1 +л/1 — 0,51gp, где 1 <р< 10.
18.	Определить, при каких а уравнения имеют ровно два в log2(4x — а)=х: 2) x + log1/2(4x4-a3) = 0; 3) % +logl/3(9x —2а) = = 0; 4) log5(25x + 7a3)=x.
Ответ: I) — 1/4<а<а;
2)	0<а<АД74;
3)	— 1/8<а<0;
4)	0<а< 1/^28.
19.	При каких значениях а уравнение logx_a(x —2) = 2 имеет единственное решение?
Овет: а= — 7/4, а< — 2.
20.	Решить уравнение 1)	= 1, 0<
<а<1; 2) log<2Xx = «loga2xx, где я>0, я#=1, п^2.
Ответы: 1) {2};
2)	если 1, п#=0, то х = 1, х==а(2~п)/(п~'\ если 1, /г = 0, то х=1; если а=\, то решений нет.
21.	При каких значениях а уравнение:
а) не имеет решений; б) имеет одно решение; в) имеет два решения; г) имеет больше двух решений;
1)	log2 (х24~ 1) = log2 (%4-а);	1) log2 (х2—1) == log2(x + a);
3) ^т!т= *g(--x + a);	4) IgCc2— |x| — 2) = lg(x/2 — а)-,
5) 1п(х|х — 2|) = 1п (~ 4-а);	6) lg|x2—х —2| =lg 0-+ а) ;
7) ig|-^-|='ё(~*+4
Ответы: 1) а) —при а<3/4; б) при а = 3/4; в)при а>3/4; 2) нет таких а\
2)	а) при I; б) при а£( — 1; 1]; в) при а> 1; г) нет таких а\
3)	а) при 0^Са<4; б) при а<0 и а = 4\ в) при а>4; г) нет таких а\
4)	а) при — 1; б) —1^а^1;в)а>1;г) нет таких а\
5)	а) при —1; б) <7>21/16; в) —1<а^0; г) 0<tz< <21/16 — три решения;
6)	а) а^-1; б) а£0\ в) -1<а^1/2; 33/16<а; г) 1/2< <«^33/16 — четыре решения;
7)	а) 67 = 0; б) а<4, а#=0; в) а = 4, г) а>4 — три решения.
22.	Решить неравенства:	____,____________
1)	logaX2>l, (7>0, <7 7^1; 2) VT~l°g«x + V1 + logaX > щ/2, 96
a>0, а=#1; 3) logx(x —а)>2, a£R.
Ответы: 1) при а> 1 Iх| > \[а или ОС |х| С 1 /-д/а ; при 0<а< 1 0< |х| <у/2 или И > 1 /д/а;
2)	если О < а < 1, то а~а^2~а Сх^а’1; если 1<а, то решений нет;
3)	если а с 0, то 1 <х<(1 4~л/1 — 4 а) /2; если а = 0, то решений нет; если О С 1/4, то а<х<(1 — уД 4а )/2, (1 4~л/1 —44/2 С С х С 1; если 1 / 4 с а С 1, то а < х < 1; если 1 а, то решений нет. Указание. Построить для наглядности график функций х2 и х —а.
7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Справочный материал
Система вида
а|х4-^ = с1
а2х-\-Ь2у = с2,
(1)
где а? +	0 и ai + ^i^O называется линейной системой двух
уравнений с двумя неизвестными.
Линейная система (1) может либо иметь единственное решение, либо иметь бесконечно много решений, либо не иметь решений.
Основные методы решения системы (1) — метод подстановки, метод исключения неизвестного и метод определителей.
Примеры с решениями
(1)
Пример 1. Для всех значений параметра а решить систему
Г ах 4- (a — 1) у = 1
| (а 4- 1)х — (5 — За) у = а.
А Применяя метод подстановки при решении данной системы,
надо учитывать, что каждый из коэффициентов при неизвестных может обращаться в нуль. Поэтому если из какого-либо уравнения системы будем находить выражение одного из неизвестных (например, х) через другое, то надо отдельно рассмотреть случай обращения в ноль коэффициента при этом неизвестном.
Пусть а = (). Тогда данная система имеет вид
(0*х У=^=>х  5 и— 1
—5г/ = 0	ь,у~
97
Пусть «у=0, тогда из первого уравнения системы (1) имеем х= 1 —(«— а
Подставляя	вместо х во второе уравнение,получим си-
стему, равносильную данной:
/ х
I	а
( (а+1) 1	-(5-За)у=а^
[ х — 1 — («—1) у
=4	а	(21
(2а2 — 5a-j- 1)у = а2 — а — 1.
2а2 — а—1 равняется нулю при
5 + V17 . а ~	4
а2~а—1 равняется нулю при а = ——i—,
5 Ч- л/17
Поэтому при а = —=~— второе уравнение системы (2) реше
ния не имеет. Следовательно, исходная система также не имеет решений.
При 1 —имеем у = —~, а следова-8	2а2 — 5а 4-1
1	/	а2 —а —1
1 _ (а _ 1) —----
тельно х-72а2-5а + 1 __ а
_ 2а2 — 5а 4-1 — а3а2 + а + а2 — а — 1   — а34~4а2 —5а  
а (2а2 — 5а Ц-1)	а (2а2— 5а 4-1)
_ — а24-4а —5
2а2 —5а 4-1
Ответ: При а — 0 х=— 5, у — — 1; при а== —-^17— решений
нет; при	—5-±-^-17 ... имеем х = —   у =
„	8	2а" — 5а 4- 1
___ а" — а — 1	.
2а2 — 5а 4- 1 *
Метод исключения неизвестного рассмотрим на следующих примерах.
Пример 2. Для каждого значения а решить систему ( ах + а2 у = 1
I х 4~ (а—V)y = a.
А Пусть а^О. Тогда система имеет вид
0-х + 0-у = 1 х — у = О
Эта система решений не имеет.
98
Пусть ц^О, тогда, умножая второе уравнение исходной системы на — а, получаем систему
I ax-j-a2y — l \—ах—а(а — 1)у=—а2.
Заменяя второе уравнение системы (*) суммой ее первого и второго уравнений, получим систему, равносильную исходной:
( ах-\-а2у~ 1 /JfcJfcX тл	1—а2
। I j (**). ВТОрОГО уравнения находим у =-------------------
( ау = 1 —- а2	а
и, подставляя это значение в первое уравнение системы (**), получим
х == 1 -а2У	1 —д + q3
а	а
Ответ. При = 0 решений нет; при а #4) система имеет решение
а	а '
Пример 3. Найти все значения параметра а, для каждого и которых числа х и ц, удовлетворяющие системе уравнений ( х-\~у = а
I 2х — г/ = 3, удовлетворяют также неравенству х^>у, д Сложим уравнения системы и получим уравнения Зх = = а-]-3=>>х= -; подставим это значение в первое уравнение
^ + у = а, у = ^.
-г	а 4-3	2а —-3 _ о ,
1еперь решим неравенство х>у, т. е. —2—>> —___^>>>3^-^ + 9>6а~9=» 18>За; а<9.
Ответ: а <9. ▲
МЕТОД ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Справочный материал
Запишем таблицу, составленную из коэффициентов при неизвестных в системе (1),
/ а}Ьх \
А =	, называемую основной матрицей системы, таб-
/ с^ЬЛ	/
лицу Вх ( а / и таблицу Bt/ = I I по переменной хну
соответственно.
99
Таблицы Вх и Вц составляются соответствующей заменой коэффициентов а и b на коэффициенты с.
Если матрица содержит п строк и т столбцов, то говорят, что она имеет размерность пХт. Если п = т, то матрица называется квадратной.
Число строк (а следовательно, и число столбцов квадратной матрицы) называется порядком матрицы.
Для квадратной матрицы вводится понятие определитель матрицы, обозначаемый символом det4, detSx, detB^.
Определителем матрицы 2-го порядка Д=^‘^ называется число, вычисляемое по следующему правилу:
deL4 = alb2 — a2b2, detBx = c]b2 — b[c2, detBy = a[c2 — c]a2.
Для решения системы из двух по два необходимо составить три матрицы: Д, Вх, Ву. Находим определители матрицы: det4, detBx и detB^.
Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы det4 был отличен от нуля. В этом случае решение находится по формулам:
detBx	detBy
Х det4 ’	deL4
Эти формулы называются формулами Крамера.
Если а\, Ь\, а?, Ь? отличны от нуля, то условие det4#=0 эквивалентно условию
а2 ^2
Для того чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно, чтобы det4=0 и хотя бы один из определителей detBx или det Ву был отличен от нуля.
Если а\, b\, а,2, Ь2 отличны от нуля, то условие deM = O, detBx^O (deM = O, detBw^O) эквивалентно условию —-— — __ bl _ Cl
b2 c2 ‘‘
Для того чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы det4 = detBx = detBz/ = O. Если коэффициенты ai, 02, b\, Ь2 отличны от нуля, то условие det4 = = detBx = det/k — 0 эквивалентно условию
а2 Ь2 с2
с учетом ограничений коэффициентов системы (1).
Примеры с решениями
Пример 4. Найти все значения а, при которых система
100
Зх + 7у = 20
ах +14//= 15
имеет единственное решение.
Л Система имеет решение, если det4¥=0, т. е.
3 . 7
а 14
= 3*14 — а*7#=0, а ^6. А
Ответ: при а^б.
Пример 5. Найти все а, для которых система ах — 8а=12
15 не имеет решении.
Л Поскольку detBx =
12 —8
15 —6
то система не имеет
решений det4 =
если
а —8
2 —6
= — аб-f-16 = 0=^а = -|-.
О
ГЬ	8 А
Ответ: а= —. ▲
Пример 6. Найти все а, при которых система 15х 4- а = 3 с , '	, имеет бесконечно много решении.
5х + 1 Gy = 1	г
Д Поскольку 152 + а2#=0, 52-|-102#=0 и
3
1
detB;y
15
5
много решений при det4 =
= 0, то данная система имеет бесконечно
15 а 5 10
= 150 —5а = 0 и detB
3 а
1 1а
= 30 —а = 0, т. е. при а = 30. ▲
Пример 7. Для каждого а решить систему
ах + у = а2
х-\-ау= 1.
Д Находим det =
1
а
= а2 — Г;
detBx =
а2
1
= а3-1; detBv= °
а2
1
= а —а2.
При а#=±1 имеет det4#=0 и система имеет единственное решение
X =	_	Q'3 — 1	_ а2-\-а-\-1 .	__________ а —а2	_ —а
deM “	а2-\	~~	а+1	’	У ~ deM ~ а2-1	~ я + 1	’
101
При а=1 имеем detX = detBx — det£?/y = O, тогда
(х + у — 1 и х==^	где ZgR.
( х -R у =: 1	<
При а= — 1 det/1 =0, detB^<0, следовательно, система решений не имеет.
Ответ: при а£]—оо; _ l[(j]— 1; 1[U]H +°°[ единственное решение az + fl-l-l	а
х = --T7-v--> У =	’
а-}-1 J «4-1
при а= 1 —бесчисленное множество решений;
при а— — 1 —система решений не имеет. ▲
Упражнения
1.	Найти все значения а, при которых решения системы ( Зх — бу ~ 1
I 5х — ау = 2 удовлетворяют условию х<0 и у<б-Ответ: 10<а<12.
2.	Найти все значения параметра а, для каждого из которых числа х и у, удовлетворяющие системе
(х-\-у~а
I 2х—у — 3, удовлетворяют также неравенству х>у.
Ответ: а <6.
3.	Найти все значения Ь, для каждого из которых числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
г 2% + z/ = /? + 2 | x~y = b, удовлетворяют также неравенству х~у <2.
Ответ: /;<0.
4.	Найти все значения с, для каждого из которых числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
| х-\-7у~с
I 2х~~ у = 5, удовлетворяют также неравенству х>у — 2.
Ответ: с <70.
5.	Найти все значения а, для каждого из которых, числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
удовлетворяют также неравенству х-{-у>б.
Ответ: а^> — 3.
х — 2у = 2а
Зх + бу = 4
102
6.	Найти все значения Ь, для каждого из которых числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
( Зх-\-у~Ь
| %4-2z/ = 2&4-l,
удовлетворяют также неравенству х>3у.
Ответ: b С----.
7.	Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение:
. (Зх — 2у = 6	Г ах 4- ау = а2 о\ ( х — (а+\) у = а + 2
I х-}-ау = 2у [ах-\-у = а — 3,
Г 2х —3 = 0
4) | ах+у(а— 1) = -|-.
Ответы: 1) a£R\ { — -1}; 2) a£R {0; 1); 3) a£R;
4) a€lR\jl(.
8. Найти все значения а, при которых система имеет бесконечно много решений
(Зх-^-ау = 3	(2х + ау = а + 2
I ах + Зу = 3,	1 (а-f-\) х--\~2ау = 2а-\-4у
о\ ( (<?+ l)x + 8z/ = 4a	д. Г%4-2ш/=1
I ах + (а + 3) у = 3а — 1,	1 (а — V) х-}~4у = 2а — 3,
( Зх + (а — 3)у = 4
' I 6% + (а~ l)z/ = a4~3.
Ответы: 1)	а=1;	2)	а=1;	3) а=1;	4) а = 2;
5) а = 5.
9. Найти все значения параметра а, при которых система не имеет решений.
1) I ~4%4-«z/= 1 4-а	( а2х + (2 — а)у = 4 + а2
I (-6 +а)х-\-2у — 3-}-а,	| ах 4- (2а— 1)у~аъ — 2,
Зу (х-\-ау—\	Г 2х-\-а2у = а2-\-а — 2
; \ах — 3ау=^2а + 3у ' \х-[-2у = 2у
гх (1х — 2ау~Ъ
1 (4 — Ъа)х — 4ау = 7.
Ответы: 1) а~ —4; 2) а~ — 1, а — 1; 3) а = 0; 4) а~ — 2; 5) а — 0, а= —2.
10.	При всех значениях параметра а решить систему.
ц (ах-\-у~а	2 (а2х-]-у==а2	4"У = 2
\х-\-ау=[,	\х + ау=1,	\х-[-ау~1,
103
(ах-\-у — а ( 2х— ay = 5	f x-j-ay—1
\ax-]-ay=l,	' I3z/ —6x= —15,	1 ах^-у = 2а,
7} ((2a + 4) x — (5a + 3) у = 2a — 4	( ax у == a3
I (a-\-2)x — 3ay~a — 2,	1% + од=1.
Ответы: 1) (1:0) при a£R\{—1; !};(/; 1—t) при a— 1 и (t\ t-}-1)
при a— — 1, где /£R;
2)	(1:0) при afR\(13) (/; \—t) при a=l, где /£R;
3)	ПРИ a^R\{-“ 1; 1}; нет решений при •
a— — 1 и a— 1;
4)	—1) ПРИ ^gR\{0; 1}; (t; 1—/) при a=l, где ZgR;
нет решений при a = 0;
5)	(5/2; 0) при a£R\{l}; {t\2t — 5) при a=l, где /£R;
6)	; Г-~а2) ПРИ <^€R\{— 1; Ц; нет решений при а =
= — 1, и а = 1;
7)	(^ipf-;O) при a£R\{ —2; 3);	При а = 3, где
/£R; нет решений при а—— 2;
8)	(а24-1; —а) при a£R\{—1; 1}; при а=\ (/; 1 — /) и при а= — 1 (/; /—1), где /£R.
11.	Найти все значения а, при которых прямые Зх-|-2а'г/= 1 и 3(а— 1)х — ау= 1: а) пересекаются в одной точке; б) совпадают; в) не имеют общих точек.
Ответы: a) a£R\{0; 1/2}; б) 0; в) а = 0; «=1/2.
12.	Найти все значения параметра а, для которых решения системы
( х-\-ау= 13
{ ах + 4у==6
удовлетворяют условию х>*1, у>0.
Ответ: а£]—2; 2 [ J ] 2; + оо [.
13.	При всех значениях параметра а решить систему:
f 2% + 3z/ = 5
1)	х — у = 2
< %4~4z/ = a,
2)
' х-]-2у — 3
< ах — 4у—~ 6 < % + */= 1.
Ответы: 1) (11/5; 1/5) при а = 3; нет решений при а=/=3; 2) (—1, 2) при а= — 2; нет решений при а^ — 2. 14. При каких целых значениях п решение системы удовлетворяет условиям х>0, //<0?
Ответ: {0; 1}.
пх — у~5 2%4-3nz/ = 0
104
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С МОДУЛЕМ
Примеры с решениями:
Пример 15. При всех значениях параметра а решить систему:
( \а\х — у = 1
I х 4- \а\у — а.
Пусть а>*0, тогда
Если
исходная
п Ох — и — 1 “ = ° > + 0 = 0,
У=-1 х —0.
система равносильна системе
detX —
а
1
a
ax — у — 1 x-\-ay~a,
detBx =
det/й/ =
Система имеет единственное решение
\ 2
ких а) х —
' а 4
Пусть а <0. Тогда
_ a2-1
У a2 4-1
исходная система
detX =
-1
I a
(t. k. a2 +1 7^0 ни при ка-
равносильна системе
~ 1 =а2+1,
— а 1
— ax — у — 1 x — ay = a,
detBx =
det/й/=
= — a2 — 1 = — (a2
= tz4-tz —2tz,
1
= a2 — 1.
— a
1
a
— a
— a
i I
a
— — a-\-a — 0,
Единственное решение
х = -4— = 0-а2 4-1
Ответ: при а>0 х ——
а2 4-1
{/= — !•
.„ = ^£±1 = -,.
а2 4-1
у — а2~1 , при a^ZO х —0,
Пример 16. При всех значениях параметра а решить систему
а | х | —у— 1
— — 1 — о,
det4 =
1
— 1
1
— 1
detBx — detBy —
1
1
1
а
= — 1 — 1 == —2,
= 1 — о.
1
1
105
Единственное решение:
—2	2	1—а	, ,
-> = ^П7--дт; У = ~ —
" 77Г>0^“> -! ("₽"»>-! л =7ТГ-’ = ТТг)-
Нет решений: det Л = — 1 — а = О=>а = — 1.
Бесчисленного множества решений нет, т. к. detBx=~2.
det/l =
1
— а
1
-1
= — 1 -|- tz,
1
1
1
— 1
х<0
* + #=1 — ах — у ~ 1,
detBx =
= - 1 - 1 = - 2
1
— а
detBy =
— 1 и.
Единственное решение: х = —и = —— а— 1	а— 1
при <Z0=>a~~ 1 >0, a>L
Бесчисленного множества решений нет, т. к. detBx = —2=^0.
Ответ: При а^ — 1 нет решений, при —
М-; _Ez±b при а>1 LA_; и О_; jl+D I а + 1 а + 1 J	(а + 1 a -h 1 J U — о о — 1 J
Графическая иллюстрация этого решения показана на рис. 31.
На рис. 31 построены графики линий у-\-х— 1 и у — а\х\~\ при некоторых фиксированных значениях а, при а=1, а = 0, а~ — 1, а = 2; Л, В и С — точки пересечения линий, т. е. решения системы.
106
Пример 17. При всех значениях параметров а и Ь решить систему
( ах-\-у — Ь
I X — у = 2.
Л Вычислим три определителя
det/l =
detBx =
detBy =
b 2
а
1
1 _
— 1 ~ b 2
= -(6+2);
= 2a — b.
а
1
1
— 1
= -(а+1);
Находим единственное решение
-(6 + 2)	6 + 2 .	== 2а —6
— (а+1)	а+1 ’ У - (а+П
Ь — 2а а-\-1
при — 1.
Бесчисленное множество решений, если det/4 = detBA = detВ^ = 0, т. е. — (a-}-V) = 0=>a= — 1, — (6 + 2) = 0, Ь=~2, 2а--/-> = 0
при а= — 1 и 6=—2 j	z/ = / —2, /£R.
Нет решений при — (а-\- 1)~0, т. е. при а = — 1, при этом хотя бы один из оставшихся определителей не равнялся бы нулю. Это возможно при Ь^~2.
Ответ:	5 ^~^)при a^= — l; bfzR (i; / — 2) при а= — 1
и Ь~ — 2; нет решений при а =— 1 и 6gR\{— 2). А
Пример 18. Найти числа а, Ь, с, если система
5% + 7z/= 15 ax-\-bx — с
имеет единственное
решение,
а уравнение
ax-Rbx = c имеет решение х—2, у — 3.
Д Вычислим определители. detX = 1« 1\ ~ЬЬ — 7а,
1R у!
detBx =	' = 156 -7с; detBz/ =
15 с
~Ъс— 15а.
15/?—/г	or—-15а
Вычислим корни системы х = ——; и= ———- и подставим о/? — 7 а ~	5/? — 7 а
их в 1-е уравнение системы:
5	+ 7~^~= 15=>756 —35с + 35с—105а=
56 —7а 56—7а
= 756 — 105а =>0 = 0,
т. е. не зависит от параметров, кроме 56 —а+=0, если а = /, где /ЕR, то 56 —7/=#0 6=+= тогда b — p, a pER\{7//5j.
Из 2а + 36 + с=> с = 21 -(- Зр.
107
Ответ: a = t, b=p, c = 2t-\-3py где fgR, pg R\|ZL|. a
Пример 19. Найти все значения параметра а такие, что длз любого значения b найдется хотя бы одно значение с, при кото ром система уравнений имеет хотя бы одно решение.
Г 2х-}-Ьу = ас2 -]-с t bx-{-2y~c— 1.
А Вычислим три определителя:
detd =
det^ =
2 b
2 Ь
= *-&, detfi, ac"+tc * с — 1	2
ас2 + с =.2с — 2 — abc2 — bc. с— 1
= 2ас2 + 2с — Ьс + Ь\
При ±2 система имеет единственное решение, не зависящее от а и с, т. е. а, cgR. Но в задаче требуется найти хотя бы одно решение для любого Ь. При Ь= ±2 система может иметь бесчисленное множество решений при условии, что все три определителя равны нулю. Первый определитель равен нулю при Ь= ±2. Найдем при каких а другие два определителя равны нулю сначала при 6 = 2, затем при Ь= —2. При Ь = 2
Г 2 ас2 4- 2с — 2с 4" 2 = 0=> ас2 4-1 = 0 =>ас2 = — 1.
I 2с — 2 — 2ас2 — 2с = О
Это возможно только при а<0 и с —	.
у— а
n * о / 2ис2 4- 2с 4" 2с — 2 = 0	2 । о 1 л
При Ь——2 < о 11О 2Ю	=> ас2 4- 2с— 1=0.
( 2с — 2 4- 2ас2 + 2с = О
Определим, как зависят корни этого урвнения от а:
с 1,2 =	, корни возможны, но при 14-а^0, т. е. при
— 1^а. При этом найдется хотя бы одно значение с. /Находим пересечение множеств а<0и —	— это —
Ответ: —▲
Второе решение.
1) Преобразуем систему к виду <	,
1 у=-т* +А~-
Система будет иметь единственное решение при —
т. е. при +2 независимо от a, b и с. Система будет иметь бесчисленное множество решений, если Ь~ ±2 и с = Ц11при
108
этих Ь. Решая последнее уравнение при 6 = 2, получаем ас^ — \ при а<0 и при Ь= — 2 ас* 2 * * *-}-2с — 1=0.
Упражнения
1. При всех значениях а решить систему:
(ах + у=\а\	Г \а\х + а2у = а
\ах + ау = а2,	\ах-—а2у = а2,
( а|х + у| = 1	.. (а\х\—у=а
I W + lyl = l, } I |х1+ау=1,
5 ( ах— |х|+у=1 g, f а\х + у\—а	_ ( \ах — у| = 1
\x-\-ay=l,	't% + y = a,	'1% + у = 2.
Ответы: 1) (0; а) при а£(0; 1)U(1; + 00В (	’ ^t-'j ) при
а£( — оо; — 1)U( — 1; 0); (/; 1 — t) при a = 1, где (gR. Нет решений при а = — 1;
2)	(£т^;’^)при °б(0; + °°); Р) при а=0 И
— 1 — t) при а= — 1, где R, р t R; нет решений при [ — оо ;
-1 [и]—1: 0[;
3)	нет решений при а£( — оо; 1); (7; 1—t) и ( — /; /—1) при
а— 1,
, где /g [0; 1]; ( /а—1 . -(а+1) \ 2а	2а
1 —а 2а
Д+1\	. Д~1 \ и
2а ) ’ у 2а ’ 2а /
4)	(1:0), (—1, 0) при a£R;
с\ / а— 1	а \ г (	—1—V5 \	/ а — 2
\а2 + а—1 ’ а2 + а—I ) ПР” ° \	°° ’	2	/ ’ ( а2 —а-1 ’
а —2	\
а2 —а—1 /
при	л -q-.i.. ; __g-2_.\ и / д.-i...
н V 2	2 /’ Va2-a-l а2-а-1/	^а2 + а-Г
^37) »рн <44^-; 1); (О-, 1) при а-П (7^^
а — 2 \	r ( 14- д/5	।	\
——-—pl	при	нет решении при
6) (<; — t) при а = 0; ((; 1 —t) при а = 1; ((; — t— 1) при а = — 1, где t£ R: нет решений при а£(— <х>; — !)[)(— 1; 0)(J(0; 1)U(1; + 00);
М4;	"р«	; -»и
U ( — 1; + 00 [; нет решений при а — — 1.
109
2.	При всех значениях параметров а и b решить систему: tx — yb = a	2) (x+y = b 3 (ах + Ьу = а
\ах-}-у=1,	\ах — у = а,	\ ax-{-by = b,
. ч г ах — ay = ab	гч ( ax = ab _ (a2x = ab
4)	о	5)	,	,, ь) ,
12ах— у —а, [yb = b2, [ahx—b", jax-\-ay^b
I bx-]-by~~a.
Ответы: 1)	; 1 ~~ -.при ab^~ 1; (/; 1 — /) при а~-\,
\ ah 4-1 ab + 1 /
b=: — 1, (/; t — 1) при а==^ — 1; b~ 1, где /£R; нет решений при а b	— 1, и =/= 1, а— 1;
2)	("7^7"’ '7Г7Т') ПРИ а^'~ 1’	1”^) ПРИ а—— 1, 6=1,
где /£R;
нет решений при а~ — I. b=£l;
3)	(/; I—/) при а = 6#=0, где /£R; (/; р) при а = 0, 6 = 0, где /, pER нет решений при a=£b;
4)	~~ \пРи а^О и а=^ 1 /2; (/; 0) при (2 = 0,
\ 2а — 1 2а — I /
bfR и (/; /—1/2) при а= 1/2, 6 = 1/2, где /£R; нет решений при а = 1 /2, 6^ 1/2;
5)	(/; 6) при а = 0 и 6#:0, где /£R; (6; 6) при аб^О; (0; /) при и 6 = 0, где / f R; (/; р) при а = 0 и 6 = 0, где /, p£R;
6)	х = Ь/а при ab=/=O; х — 0 при 6 = 0 и 0у=0; х = / при а = 0 и 6=0, где zfR; нет решений при а = 0 и 6#=0;
7)	(7; 1—/) при а = 6^0, где /f_R; (/; р) при а = 0 и 6 = 0, где /, p(ER; нет решений: при а = 0 и 6^0, при а0 и 6 = 0 и при (2б=А-0 и а-^=Ь.
3.	Система |5л 4-7р= 15 решений не имеет, а уравнение ах + ах + by -j“ i
-\-by~c имеет решение х = 4, р=1. Найти числа а, Ь, с.
Ответ: а = 5/, 6 = 7/, с = 27/, где zg R\{0}.
4.	Найти все значения параметра а такие, что для любого значения 6 найдется хотя бы одно значение с, при котором система уравнений имеет хотя бы одно решение.
«ч	х-}-Ьу = ас2 -}-с	2% + 6z/ = c2
bx-}-2y = c— 1,	bx-}-2y = ac~ 1,
о\ Ьх-\-у~ас2
' х + by = ас + 1.
Ответы: 1) ~(3-/2 + 4)/8<а<(3Л/2-4)/8;
2)	а6(—оо; — 2]U|2; +<х>); 3) а^-оо; — 4](J[4; +<х>[.
Найти все а и 6, при которых система
ах —by— а2 —b
Ьх — 62р = 2 + 4 имеет бесконечно много решений.
но
Ответ: а~ 1, b= — 1; а = 1, Ь= — 2.
rx „	(ax — bu = 2a — b
5)	Система s / .	ш . о, имеет бесконечно
7	I (с 4- 1) х 4- су = 10 — а 4- ЗЬ
много решений; х = 1, у = 3— одно из них. Найти числа а, Ь, с.
Ответ: а —О, 6 = 0, с = 9/4; а —2, Ь =— 1, с—1.
6. Найти все значения параметров а и Ь, при которых найдется хотя бы одно с и при которых система уравнений имеет бесчисленное множество решений:
2х-\- by = ac2 -\-с	х-Ьу-]-ас2-\-с
bx-\-2y = c—\,	bx + 2y = c — 1,
ох 2х+Ьу = с2	4х Ьх-\-у = ас2
Ьх-\-2у = ас— 1,	х-\-Ьу = ас-}-\.
Ответы: 1)	1; 0[, b = ±2;
2)	-(Зд/2 + 4)/8<аС(Зл/2-4)/8, &=±л/2;
3)	а£(— оо; —2] U [2; 4~ 00 \ Ь = 4= 2;
4)	а£(— оо; —4] U [4; + °°t = =t 1.
7.	Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых система уравнений
(bx-\-2y = b-\-2
\2bx + (b+l)y = 2b + 4
имеет хотя бы одно решение.
Ответ: b£ R\{0}.
8.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
( 2х 4- (9а2 — 2) у = 6а — 2
1х+у=1
не имеет ни одного решения.
Ответ: а =—2/3.
9.	Найти все значения параметра с, при каждом из которых система уравнений
— А X 4~ С’ у — 1 4“ (6 4“ с) х 4~ 2у = 3 4~ £
не имеет ни одного решения.
Ответ: с =—4.
10.	Найти все значения параметра d, при каждом из которых система уравнений
((2-d)x + d2y = 3d2^2	.
<	_ 7	,	, имеет хотя бы одно решение.
I (2d — 1) х 4- dy = d — 1
Ответ: d^ R\{— 1 ].
ill
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Примеры с решениями:
Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
(х2 — г/Н-1=О
1х2 — у2 + (а+ 1)х	(а— V) у-\-а = 0
имеет решение.
А Левую часть второго уравнения системы можно разложить на множители, линейные относительно х и у. Собирая слагаемые, содержащие а, получим
(х2 — у2 + х — y) + a(x + y+V) = 0=>(x —	+	1) + ф + у+1) =
= 0=>(х + у + 1 )(х — у + а) = 0.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
| х + У~\~ 1 =0
L х-у-{-а = 0, тогда данную систему можно представить как совокупность двух систем
I у = х2 + !	1у = х2+\
+	1=0 ЛИ 1х-у + а = 0.
Геометрическая иллюстрация систем представлена на рис. 32.
Видно, что прямая х-\-у—1 и парабола не пересекаются, т. е. система не имеет решений. Это же показывает и решение системы. Исключая переменную у из первой системы, получаем уравнение х2 + х-}-2 = 0, которое решений не имеет.
Рис. 32
При увеличении параметра а вторая прямая смещается вверх, при уменьшении а — вниз. Решение возможно, когда прямая х-у-\-а = 0 касается или пересекает параболу. Решая последнюю систему заменой переменной, получаем уравнение %2 — х-|-1 — — а = 0, которое имеет решение если D = 4a — 3^0, т. е. при 112
а^З/4. Очевидно, что при а = 3/4 прямая у=х + 3/4 касается параболы // = х2+1, а при а>3/4 пересекает ее в двух точках, при а <3/4 эти линии общих точек не имеют. ▲
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
(х —а = 2~\[у
1 у2 — х2 + 2х + 8у + 15 = О имеет решение.
Л Упростим второе уравнение системы, разложив его левую часть на множители (*/2 + 8// + 4) — (х2 — 2х +1) = 0 => =>Q/ + 4)2—-(х—1)2 = 0=>(// + 4 + х—1)([/ + 4 —х+1) = 0.
Уравнение равносильно совокупности
* у — %4-5 = 0
_ У + х н~з = о
и на плоскости ху задает две прямые (рис. 33).
Уравнению х = а-\-2х/у в зависимости от значения а соответствует семейство кривых в плоскости ху, представляющих правую ветвь параболы. Вершина параболы имеет координаты х = а, у = 0. При увеличении а парабола смещается вправо, при уменьшении а влево. При а==—3 вершина параболы попадает на прямую у=— х — 3, а при всех а<— 3 парабола пересекает эту прямую. При движении параболы вправо надо найти значение параметра a,k, при котором парабола будет касаться прямой у = х — 5. При a>ak правая ветвь параболы имеет с прямой у = х — 5 одну или даже две общие точки.
из
Таким образом, исследование данной системы уравнений можно заменить исследованием двух более простых систем
( х = а-\-2л[у	( х = а-\-2-\1у
(у — х 4- 5 = 0,	|//4“%4"3 = 0.
Исследуем на совместимость первую систему.
I x = a-f-2yy о I х — а — 2уу	I 2ух — 5 — х — а
( у — х-Н5 = 0	\у = х — 5	\у = х — 5
Г4(х-5) = (х-а)2	г х2 —2(а + 2)х + а2 + 20 = 0
<j х
Izy — х — 5	\у = х — 5.
Корни первого уравнения х i .2 = (а + 2) ±	— а2 — 20 =
— (а + 2)±:2х[а^Г. Найдем теперь при каких а выполняется условие__х^а, для чего надо решить неравенства (^ + 2) +
Г 2д/а~4> —2 _
I — 2х/а — 4^—2
Покажем расположение числовой оси а:
( I--7^	1	( а^4
I у а — 4 > — 1	I
<	____ => \ а>4
I л[а — 4^ 1	#5^5.
корней %! = (а + 2) + 2д/^ — 4 и на х2 = (а + 2) — 2л[а — 4
0
---И—
4
Xl,X2 Т *1
a
f 2 л/—х — 3 —х —а
I у — — х — 3
х2 — 2 (а — 2)х + а2 4- 12 х^а
у= —х — 3
первого уравнения хз,4 = (а — 2)+ 2-/— а — 2,
Т. е. при а = 4 корни совпадают, при а£ ]4; 5] оба корня х\ и х2, при а >5 один корень
Исследуем систему
{х = а + 2л[у о Г х — а — 2~\[у у -р х + 3 = 0	(//=—х — 3
f 4 (— х — 3) = (x — af <=> < х^а	<=> *
( у= —х — 3
Корни
-1
-3
На
числовой оси а
114
Ответ: система уравнений имеет решение при оо; —3]U[4; +<»[. А
Замечание. Приведенное решение фактически является исследованием системы, что позволяет дать более широкий ответ, который сведен в таблицу.
Параметр	Решение	Количество решений
а Е ]— оо ; —3]	= (а —2) + 2л/~ а — 2 уз = — х3 — 3	1
а€]-3;4[	решений нет	-
а = 4	i * II И * ~ II !	05	i
ае]4; 5]	х1.2 — (а + 2) ±2л/сё—4 i/l,2 = Xi.5 —5	2
аЕ]5; + оо [	х, — а4-2 4-2л/а--4 yi=xi-~ 5	1
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
(х% —I— у — 2х
1 9 ,	, о n in имеет решение.
I х2 + у2 + а = 2х + 2ау г
Л Группируя слагаемые, содержащие хну, перепишем; систему уравнений в виде
J у— 1 = — (х— I)2	.
Щ-1)2 + (у-а)2=1.
Первое уравнение системы задает на плоскости ху параболу с вершиной в точке /1(1:1), второе — окружность радиуса 1 с центром в точке Oi(l; а) (рис. 34). При увеличении параметра а окружность смещается вверх, при уменьшении а — вниз. Сразу видно, что окружность и парабола не имеют общих точек, если а > 2.
Наименьшему значению ц, при котором система совместима, соответствует окружность, касающаяся параболы снизу.
При сложении уравнений системы (1) получается уравнение, содержащее только неизвестное у:
у2— (2а + 1)у + а2 = 0.	(2)
115
Y
Важно отметить, что из первого уравнения системы (1) следует ограничение
Теперь задачу переформулируем так: найти все значения параметра а, при которых уравнение (2) имеет решение, удовлетворяющее условию у^1. Найдем дискриминант уравнения D = (2а + 1 )2 — 4а2 = 4а -|- 1. При а	существуют корни
у{2 = (2а-\-1 ±л/4а+1)/2 уравнения. Найдем а, при которых меньший корень не превышает единицы: (2а+1 —^4а-|--1 )х Х2=С 1=н/4я +1 ^2а — 1. Если 2а —1<0, т. е. при а<
неравенство очевидно. С учетом —1/4 получаем про-
межуток—Ц-	(3).
Если же 2а— 1 >0, т. е. -1- то, возведя в квадрат, перейдем к равносильному неравенству 4а-\- 1 >(2а — 1)2=>а2 — 2а<0=> =>0^а^2 с учетом а С 1/2, получаем 1/2^ а^2 (4). Объединяя промежутки (3) и (4), получаем решение задачи 1/2^а^2. ▲
Пример 4. Определить при каких а система уравнений
х2 -|- у2 = 2 (1 + а)
' 9	имеет в точности два решения.
(х + <=14	.	Р
Л Первое уравнение системы на графике — окружность с центром в начале координат. Радиус изменяется при изменении величины а.
Преобразуя второе уравнение, получим (x-]-y)=xfi4, при х-\-у>0. Т. е. у>—х, имеем у— — х-|- \/14(рис. 35); при х + у<0, т. е. при у<— х имеем у= — х — д/Т4. Система будет 116
Рис. 35
иметь ровно два решения, если окружность будет касаться обеих линий. Определим абсциссу хо точки касания. Запишем первое уравнение в явном виде у — + д/2(1 -\-а)~х2 и возьмем производную от этой функции
у' (Хо) = — 1, ТО  0 ----- = — 1 или
л/2(1+а) —х2
х0=л/2(1+ а) —х;-, Хо= 1 -|-а и x0=xf\~\-a.
Вычислим а, используя условие, что точка касания общая для линий у = ^2 (1 -\-а) — х2 и у= -x-\-xfl4,
— х-|-л/Т4 = л/2 (1 -\-а) — х2 при х~х^~^\ а~~^\ + а + л/Т4 = = ~\/2 (1 + а) — (1 + а) => л/1 + а + V14 = л/1 + а, Vi+^Xp-
Ответ: а =	. ▲
Пример 5. Найти все а, при каждом из которых имеется хотя бы одна пара чисел (%, у), удовлетворяющим условиям: р + (// + 3)2<4 у = 2ах2.
Л Очевидно, что система имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение неравенство х2 + (2ах2 + 3)2<4	(1)
полученное подстановкой в данное неравенство 2ах2 вместо у.
117
Обозначим черех /(/) функцию t-\-(2at-\-3)2. Неравенство (1) будет иметь решение только в том случае, когда наименьшее значение функции f(/) на множестве равно 9, что больше 4. Следовательно, а = 4 не отвечает условию задачи.
Если а^О, то график функции f(t) = t^(2at-{-3)2 = 4a2t2-[-+ (12а4~ 1)/ + 9 представляет параболу, ветви которой направлены вверх, и абсцисса вершины равна /0=------------’ если^о^О, то
12а4-1^0, ау=0, то на множестве функция f(t) монотонно возрастает и, значит, ее наименьшее значение на этом множестве равно f(0) = 9^>4. Таким образом, все искомые значения параметра а лежат в области 12а-|- 1 <0. В этом случае точка /0 лежит в области /^0 и наименьшее значение f(t) равно
f(t\ — 4а2 ( _ 12а+1 V _ (12+ !1 -L- 9 = _ 24£t_L
V 8fl2 ) 8fl2	16fl2 •
Итак, все искомые значения параметра а являются решениями системы неравенств г (	12а+1<0
I _ 24“ + * 16а2	'
Система (2) равносильна системе
Г 12а+К0
1 64а2 + 24+ 1 >0
_ 1 и решением первого неравенства являются все a<z —	.
Квадратный трехчлен имеет корни а - -3-V15	_ -3+<5
ai -	16 и а2 -	-	,
(2)
а значит решением второго неравенства являются все а<а\ и
"г	—3 — \5	1	—З-4-л/З^	1
а2 < а. Так как--л_<  а ----------->—ттг, то множе-
16	2	16	12
ство решений системы (2), а значит и множество значений параметра а, удовлетворяющих условию задачи, есть промежуток
Ответ: а
-3-V5
16
Пример 6. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
Iog2(* + 1) + l°g2y = 2 у = а — 4х
имеет решение.
118
Д После потенцирования и преобразования сичемы имеем
( (»+1)9 = 4 __ ( у = — \y-a-4x ’	+4,
при х> — 1, у>0.
Графическая иллюстрация Видно, что пересечения линий значения а. При а = 4 прямая при а>4 пересекает ее в двух
системы показана на рис. 36. можно ожидать при увеличении у = а — 4х касается гиперболы, а точках.
Для аналитического решения воспользуемся заменой переменных и получим уравнение
(%+ 1)(а — 4х) = 4=>4х2 — (а — 4)х — а-р4 = 0.
Надо искать значение а, при которых уравнение имеет корни на х> — 1; необходимые и достаточные условия этого см. утверждение 2 на с. 00, т. е.
D^O
ь 1
-	> 1 или
Н-1)>0
D = (а —4)2—16(4 —а) >0
k 4-1 — (а —4)(—1) —а-|-4>
>0
0
(а2+16а-48
=> s а> — 4
( R.
В неравенстве а2 + 16а —48^0 трехчлен имеет корни а— — 12 и а = 4, тогда его решением является а£]—оо; —12] U U [4; —|—оо [. с учетом двух других условий получаем решение
119
системы ag[4; + оо]. Очевидно, что при этих значениях а х> — 1, у будет больше нуля.
Ответ: а£[4; 4~оо]. ▲
Пример 7. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
{lg (1 —у) = Igx
y + a + 3=l.{x + af имеет решение.
л D	1 Х>0
Л Вводим ограничения | по условию системы, потенцируя первое уравнение, получим систему
I1—у = х	I —у=х—1
I у + а + З = X-(x + af	I у= — а — 3 + -^-(% + а)2,
после сложения получим уравнение — (х-\-а) -\-х — а — 4 = 0 или х2 -\-2ax-\-a2 -]-2х — 2а — 8 = 0=>х2 + 2(а + 1)% + а2 — 2а — -8 = 0.
Теперь для ответа на вопрос задачи надо решить систему
' У=—х+1
х2-{-2(а-\-\)х-\-а2 — 2а — 8 — 0 х>0
| i/<l.
Из первого уравнения видно, что y<z 1 для всех х> 0. При указанных ограничениях второе уравнение системы может иметь: положительные корни, корни разного знака и один корень нулевой, другой положительный.
Для того чтобы уравнение имело положительные корни, необходимо и достаточно иметь
£>>0	D = (а+ I)2 —а2 + 2а + 8>0	(1)
-Т >0*	-f = -(а+1)>0	(2)
?>0	а2 —2а —8>0	(3)
Решим каждое неравенство отдельно
1)	а2 + 2а+1 -а24-2а + 8>0=^а> -9/4,
2)	а+1<0=>а< —1,
3)	корни трехчлена ai = — 2 и а2 = 4, тогда решениями неравенства будут a<Z— 2 или а >4. Решением системы будет промежуток — 9/4 а < — 2.
Для того чтобы корни уравнения имели разный знак, необходимо и достаточно иметь	— 2а — 8<0=> — 2<а<4.,
Один корень нулевой, а другой положительный при q = 0, проверкой убеждаемся, что при а= — 2 *1=0 и х2 = 2.
120
Объединяя полученные решения, запишем ответ.
Ответ: — 9/4е а <4. ▲
Пример 8. Найти все значения параметра fe, при которых система уравнений
У — =k(x + 2)
у=^/х
имеет решение.
Д. Вычтем второе уравнение из первого и получим
y/x = k (* + 2) + -у- и после замены л/х =0 получаем kt2-t + 2k 4-Ъ=о.
Корни этого уравнения будут удовлетворять исходной системе, если они оба положительны или имеют разный знак, один из них нулевой, при D = 0 корень положительный и при k--=0 корень положительный.
Найдем fe, при которых оба корня положительны:
Р
2
<7>0,
8fe2 + 2fe-l<0 k>0
k<Z---— и fe > 0.
4
Решением верхнего неравенства являются все feg L — Тогда решение системы 0< fee
Найдем fe, при которых корни имеют разный знак:
— <rfe<r —
2 < < 4
-г <fe<0
4
С учетом того, что исходная система имеет решение
= 0 при fe = 0 получаем
; Ответ: — -4- е fe е — ; А
*	4	4
Пример 9. Найти все значения, при которых система
D>0
<7<0
0.
х = 0,
4
•og2// —log2(a —х) = 2
X
121
1) имеет единственное решение; 2) имеет два решения; 3) имеет решение; 4) не имеет решения.
{у
а — х
У =
= 4 I у = 4а — 4х у+4 ИЛИ { у = ^±1	(*)
X
при ограничениях по исходной системе
f f/> О	fy>0	z n n x4-4 _ n
при x#=0; y>0 при—i— >0, откуда
xC—4 и 0<Сх и т. к. хСа, то ас—4 и а>0. Решая систему (*) подстановкой, получим
| 4х2 + (1 — 4а)% + 4 = 0
$ хСа
Iас — 4, а>0.
1)	Находим единственное решение на хСа. Оно будет, если точка а располагается между корнями уравнения 4х2 + (1—4а)X X х + 4 = 0, т. е. f(a) ~ 4а2 + (1 — 4а)а + 4 С 0=>а С — 4. Кроме того, при D = 0 будет единственное решение. D —(1 — 4аf — 64 = 0, £2 = 9/4 и а=— 7/4. Проверим, попадет ли корень при этих а на множество х<а. При а = 9/4 4х2 —8% + 4 = 0, откуда х = = 1£х<а. При а=— 7/4 4х2 + 8% + 4 = 0, х= — \£хСа.
Тогда единственное решение при а£( — оо; —4) J{9/4}.
2)	Находим два решения на хСа. Необходимым и достаточным условием этого будет:
£>>0
Иа)>0
— р/2<а
ИЛИ
ас— 7/4, а>9/4
а> —4 _ 1—4а
4
=>а>9/4.
Два решения будут при а>9/4.
3)	Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проделать предыдущие вычисления и объединить ответ, т. е. a£(—оо; — 4) U U [9/4; +оо).
4)	Чтобы ответить на этот вопрос, нужно ответить на вопрос 3 и все, что не попало в этот ответ, использовать для данного ответа, т. е. —4; 9/4).
Решение хорошо иллюстрируется графически. Для этого постройте
х I 4
график у = —~— на хС — 4 и х>0 и семейство параллельных
линий у—— 4х-}~4а.
Пример 10. Решить систему уравнений
I ху = а2
i lg2x+lg2t/ = -|-lg2a2.
122
Л Допустимые значения неизвестных и параметра х>0, у>0 и а^О. После логарифмирования первого уравнения получаем 1 gx +1 gy = 1 ga2. Обозначим lgx = w, lgz/ = v. Тогда относительно и и v система примет вид
Г u-\-v = lga2 [ u2-\-v2 = -|-lg2a2.
Из первого уравнения находим t/ = lga2 — и и подставляем его во второе. Получаем 2и2 — 2\gd2-u---|-lg2a2 = 0.
Откуда следует, что
V| = --J-,KO!. “г =-J-Igo2-
Таким образом, решение данной системы приводится к решению двух систем:
1ёх = -у1еа2
< lgy= - -у 'go2,
( х = |а|3
 1’^
' >g*= - vlga2
Jgy = у 'ga2-
1
X = —-
|al
у = \а\\
При проверке полученные решения удовлетворяют условию исходной системы. ▲
Пример 11. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
4 + // = Vx
а—у = -Ь(л/х + а) :
1) имеет единственное решение; 2) имеет два решения; 3) имеет хотя бы одно решение; 4) не имеет решений.
Л Решая систему методом подстановки, получим квадратное уравнение £/22(а + 5)z/+ а2 + 6а + 16 = 0 (*), корни которого должны удовлетворять системе
4 + </>0 х^ 0
а — у^О
или
,у<а.
Очевидно, что у^—4 при —4.
1)	. Единственное решение уравнения (*) возможно, когда точка у—— 4 располагается между корнями трехчлена или вершина его параболы лежит на оси у, причем 4.
123
Первое условие выполняется при [( — 4)^0 (см. утверждения о расположении корней стр. 33) f( — 4) = 16 — 8(а + 5) + а2+ + 6а+16^С0=> —При а= — 2 и а = 4 один корень будет равен —4, но второй корень не должен попасть на множество у> — 4. Проверим уравнение (*) на эти точки. При а=— 2 у2 + бу + 8 = 0, £/1=4, у2 = 2£у> — 4. Значит при а=—2 не единственное решение. При а = 4 у2-\- 18z/ + 56 — 0, у\ = —4, у2= — \4£у>—4. Значит при а = 4 — единственное решение.
Вершина параболы располагается на оси при £) —0. £> = 4а + 41=0, а=-А-£а>-4.
Единственное решение будет при ~2 — а^4.
2)	Два решения возможны, если оба корня трехчлена (*) попадают на множество у^—4. В соответствии с утверждениями о расположении корней (см. стр. 33) это будет, если
D>0 f(-4)^0 -р/2>-4
=>а^—2 с учетом 4,
— 2,4 < а _(а + 5)>-4
получаем — 4^а^ —2, т. е. два решения при а£ [ — 4; —2].
3)	Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо объединить ответы первого и второго вопросов, т. е. а£[—4:4].
4)	Нет решения при тех а, которые не задействованы в вопросе
3, т. е. а£(— °°; —4) U (4; + °°). А
Упражнения
1.	Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет решение.
1) ( У =
I у — х2 + (1 — а)у — (1 + а)х — а — 0,
2) I У=1~х2
I у2—х2 + (а-\-2)у — (a-j-2)x— 2а — 0,
» Г у = 2х — х2
I у2 — х2 + (а — 1 )х — (а + 1 )у + а = 0,
4) ( У=[~х2
7 I у2 — х2 + (1 — а)х + (1 + а)у + а = 0,
5) /%2 + 2х + ^ = 0
1 у2 — х2 + (а-\- 1)х + (а~ V)y — a = 0.
Ответы: 1)	---2)	----, 3)	, 4) а —,
4	4	5 * 7	4	7	4
124
5) a < f.
2. Исследовать системы:
n I x — a = 2x/y
I y2-x2 + 4x + 8y+ 12 = 0,
2\ ( 2x[y=x — a
I y2 — x2 — 2x + 6t/ + 8=0,
3j f x = a-j-2x/y
1 y2-x2 + 2x+ 10z/ + 24 = 0,
4) 1 x = a-j-x/y
I y2— x2 — 2x + 4t/ + 3 = 0,
5) f x[y=x — a
l у2 — х^бу —4x 4-5 = 0.
Ответы: 1) Система имеет решение при a£]—оо; —2] U [5; + оо [; при а£]— оо ; —2] х = (а —2) + 2л/ — а— 1, У = — х — 2; при а — 5, х = 7, z/=l; при а£]5; 6] xl 2 = (а 4-2) ±2л/а — 5, ух 2 =	2 — 6; при а£]6; + 00 [ х = (а 4-2) 4-2л/а —5, у = х — 6;
при аЕ] —2; 5 [ решений нет.
2)	Система имеет решение при аС] —оо; — 4]U [1; + оо [; при аС] —оо; —4] х = (а —2) 4~ 2л/—-а —3, у=^—х — 4\ а=1, х = 3, у= 1; при 1; 2] xt 2 = (а+ 2) ±:2~\1а — 1, */i>2 = xi, 2“2; при а£]2; + оо [ х = (а + 2) + 2^/а—~ 1, у = х — 2;
при а£] —4; 1 [ решений нет.
3)	Система имеет решение при аЕ]—- оо ; — 4] J [5; + оо [; при а€]— оо; — 4] X = (а — 2) + 2V—a — 3, у= — х — 4;
при а£]—4; 5[ решенйй нет; при а — 5, х = 7, у—1\ при а£]5; 6[ х,л = (а4-2) ± 2^а — Ь, ухл = хх при а£]6; 4~ 00 [ х = (а4-2) 4- 2уа — 5, у = х — 6.
4)	Система имеет решение при а 6 ]— оо ; — 3] U 4" 00 [; г ]	Q i   (2ti — 1) Ч- "V—4ti — 11	_ q
при a£j—оо; — 3] х — -----, z/= —х —3;
при а£]—3; решений нет; при а =	х=1,25, z/ = 0,25;
125
^ 'i 3 <1	_ (2n -р 1) -+- ~\i 4а — 3	_ <
при ае]—; 1] х, 2 =	-------,1/, 2 = х, 2 —1;
при а€]1; +оо [х = 2о+1.+2^4°-3. у=х-1.
5)	Система имеет решение при а£]—оо; —5] (J £-|~; -|-оо [;
,	ri	<2а — 1) 4-л/— 4а — 19	г-
при a£J — оо; —5]%--------—------------------уу=—х~5;
при а£]-—5; -~[ решений нет; при а = 3/4, х=1,25, z/ = 0,25;
ппи п Р 1 —• 11г   (2а +1) ±л/4а — 3	________ _i.
при <2 t J 4 , 1J ^1,2 —	2	’ ^1,2—*1,2
при ае]1; +°о [х = l^-'l^-V4^3., у=х-\.
3.	Найти все значения параметра а, при которых системы имеют решение.
П { У = х2 + 2х + 2	2 Г у=х2 — 2х + а
I х2 + 2х2 + у2 — 2ау 4- а2 = 0,	I х2 — 2х+У2 = 0,
ох / х2+у = 2х + а	. (х = у2 — 2у + а
* I х2 + у2 = 2х,	I х2 у2 + 1 = 2х + 2у,
г ( х — у 2 — 2у
° I у2 + х2 + а2 = 2у + 2рх.
Ответы: l)agjb; 2)	£---р 2j; 3) а£ 2; -pj;
4)	[0,75; 3]; 5) а£ [-2; 0,25].
4.	Определить, при каких а система уравнений имеет ровно два решения
( х2 + у2 = 2а ( (х — у)2 =-|-
1)	1	_	1	2) 1	.
I ху — а 2 ,	[ ху = 5а---—,
„ ( х — у = 6а— 14 j ix2+t/2 = 3(2 + a).
Ответы: 1) а = -Ь 2) а =	3) а =
5.	Найти все а, при каждом из которых имеется хотя одна пара чисел (х, у), удовлетворяющая условиям:
0 (х2 + (у-2)2 I у = ах2, Ответы: 1) 2^~^?
<1
Гх2-у2>1	( х2 - (у - а)2 > !
'4t/ = nx2+l,	Чу = х2 + 1
2)	3| 0>Л.
126
6. Решить системы
( logox - log у = tn	( (logox + logoy - 2) log 4 a = -1
1) i i	2) S	v
I log^-log.,| x+i,_5a=0.
O>X.
4
1\	л / 1 ( of2™ —3n)	—2n)\
Ответы: 1) при a>0, a^=l \a ; a )
2) при a>0, a^\ (a/2\ 9a/2); (9a/2; a/2\
7. Найти все значения параметра а, при которых системы уравнений: 1—7 имеют единственное решение; 8—14 — два решения; 15—21 —хотя бы одно решение.
( !g(> — у) - lg(l— х) f lg(y— 1) = lg(l — x)
( t/4-a + 2 =-y(a —x)2, 2) ( 4 + a — у = ^-(x — af,
( >g(4 + y) = Igx
4> [a — у = -y(x + a)2,
| log2(x + 1) + log2y = 2
\ 4y = a~x,
1 log2x + log(l —y) =2
( у = a + 4%,
( log2(l—2y) = 1-j-log2x
3> | y + a +~y = (% + a)2,
r) J bg2(x+l) + log2y = 2
o) >	о
(y = a — 4x,
7) f log2(l-x)+ log2y = 2	8
; I у — a + 4x,
9)	( log (2 — x) + log2(l-y) =2 } 4y = a — x,
10)	f log2(l— x) + log2(l— y) =2
I y = a — x
f log2(z/ + a-2) = log2(a + x)-1
I t/ = 2-\/T-^x,
12)	I 1 + loS2(a-2“^= log2(a-*)
l у + 2д/х = 1,
1Q\ I 1 + log2(y + a-11) = log2(a+x)
13)	S ----------
I z/ = 4-Vl—%,
( log2(z/+l)= log2(a — 4x)	( log2(a —4t/) = 10g2(x+l)
14)b=-.	15) !/ = -•
Ifil / xz/4-4 = 0
' I log2(l/ + l) = log2(4x + a),
log2(l— У) — log2(a — x) =2 xz/ + 4 = 0,
127
18) (log2(x+l) — log2(a —у) = 2
I -xt/ + 4 = 0,
( log2y —log2(a—x) =2
19) {	; * + 4 ,
I	V
f l + log2(</ + a— 12)=log2(a — x)
^0) I	/—
V tf = 4л/х,
21) 1 t/—V(x —a)2 —9
V 4t/ = 5x.
Ответы: 1)
3) Г-17/8;
[-5/4; -1)U(-1; 5);	2) [-5/4;-!];
4) [-9/4; -2); 5) [4; + oo);
6)	7; +°о);
7) 9) И) 13)	—	—7]; 8) (--оо; —7]; — оо; —2]; 10) (—оо; —2]; (—оо;5]	12) (—оо;6]; (— оо ; 3];	14)	(~ оо ; — 16)U [9; + оо);
15)	а6(-оо; —16) и [9; +оо); 16) а6(--оо; _ 16) и [9; + ОО
17)	а£ (— оо; —16) и (12; +оо);
18)	а£(--оо; —4) и [9/4; -j-oo);
19)	aC(—oo; —4) U [9/4; +оо); 20) (4; 24];
21)	(— оо; — -|-] U [3; + оо).
8. Найти все значения параметра k, при которых система уравнений имеет решение.
( 2i/ = fc(x + 2)+ 1	( t/ = 2 + fe(3 — х)
I г/=л/х,	1у = 4л/1—x,
3) p = 2 + *(* + 2)	4) b = 2V^2
I y = 4~\Jx,	ty = kx-\-\,
f2i/-l = *(3-x)
l у = 4л/1 — x.
Ответы: 1) —	2) —1^/г<1; 3) —1</г<1;
4)	5) ~t<W-
9.	При каких k система уравнений ( y — kx—\ I y — 2xjx~2.
128
а) не имеет решения; б) имеет единственное решение; в) имеет два решения?
Ответы: а) а<1 б) а=1, а> у, в)	1.
10.	Решить систему
I х2-\-у2 = а2
I log^x+log^ = 2, 6>0, b^i.
Ответ: Если d2 — 2b2 ^0, то х, = -^-(^1^-]-2Ь2 + ^fa2 — 2b2\
у{ a2 -\-2b2 а2 ~2Ь2 и х2~у^ у2 = х}.
11.	При каких значениях а система
Г W + \у\ = 1
I х2 + у2 = а
имеет решения? Найти эти решения.
I	Izbv2tt—I	1Тл/2а—1
Ответ: — ^а^1; х{ 2 =-----------, у[2 =-----------;
ХЗ~Х2, Уз = У2, Х4=— Х[, У4=У\, Х5=—Х[,
У5=~У1, Х6=~Х2, Ув=—У2, Х7==Х2, У’7=—У2,
X8 = Xh У8= ~У\.
12.	Решить систему
( iog^+logx^^5/2
{х-\-у = а-\-а2
и исследовать решение в зависимости от а, Ответ: а>0, аф 1, х — а, у = а2 и х = а2, у~а.
Если a<Z — 1, но аф — 2, то х— — (а-\- 1), у — (а+ I)2 и х = (а~\- I Г у=— (а+1). Если — l^a^O, то решения нет.
Примеры с решениями
Пример 12. Найти все значения параметра а, для каждого из которых существует только одно значение х, удовлетворяющее системе уравнений
Г |х2 — 5x-J-4| — 9х2 — 5х + 4 + 10х|х| =0
I х2 — 2 (а — 1 )х + а (а — 2) = 0.
Д Решим сначала первое уравнение системы. Для этого освободимся от знака абсолютной величины, используя метод интервалов. Поскольку х2 — 5х + 4 — 0 при х—1 и х —4, то разобьем числовую ось на промежутки х + 0, 0<хд/ 1, 1 <х^4, 4<х и найдем решения первого уравнения системы на каждом из этих промежутков.
1)	Пусть х<Д), тогда |х2 — 5х + 41 = х2 — 5х + 4, |х| = — х, и первое уравнение системы запишется в виде — 18х2— 10x4-8 — 0. Это уравнение имеет корни xi = — 1, %2 —4/9. В рассматриваемый
129
промежуток входит только xi = —1, т. е. —1 —корень первого уравнения.
2)	Пусть 0<х^1? тогда |х2 — 5х —|—41 = х2 — 5х + 4, |х| — %, и первое уравнение системы запишется в виде 2х2~10% + 8 —0. Это уравнение имеет корни х3 = 1 и х4 — 4, из которых в рассматриваемый промежуток входит только %з=1.
3)	Пусть 1 <х^4, тогда |х2 — 5х-|-4| = — (%2 — 5%+ 4), |х| ~х и первое уравнение системы равносильно тождеству 0 — 0, т. е. удовлетворяется при любом значении х из промежутка 1<х^С4.
4)	Пусть 4<х< оо, тогда |х2 — 5% + 41 =х2 — 5х-|-4,|х| = х, и первое уравнение системы запишется в виде 2х2—10% + 8 —0. Это уравнение имеет корни Х5=1, хе — 4, ни один из которых не входит в рассматриваемый промежуток.
Собирая вместе все найденные выше решения, получаем, что решениями первого уравнения являются х = — 1, и все х из промежутка 1^Сх^С4.
Теперь надо подобрать а второго уравнения так, чтобы один его корень попадал на отрезок [1; 4], а второй — не равнялся бы —1, и наоборот, если один корень равен —1, то второй не должен попадать на отрезок [1; 4]. Возможные варианты расположения корней показаны на рис. 37.
Рис. 37
На рис. 37, а показан случай, когда график трехчлена / = (х) = х2 — 2(а — 1)х-]-а(а — 2) расположен так, что вершина Хо параболы находится на оси ОХ и принадлежит отрезку [1; 4], т. е. 1 ^*0^4. А так как хо — а — 1, то 1 ^а — 1 ^4 или 2^Са^С5. При этом дискриминант должен быть равен нулю, т. е. D = = (а — I)2 — а(а — 2) — 0, а2 — 2а + 1 — а2 + 2а = 0, 1=0. Значит, нет а, при которых D = 0, а значит и случай а) невозможен.
На рис. 37, б показан случай, когда график трехчлена f(x) таков, что точка х=1 расположена между корнями трехчлена, а точка х = 4— правее обоих корней. Этот случай реализуется, если:
130
p(l)<0 p(l) = 1—2(а — 1)-14-а2 — 2а<0 1/(4) >0,	( /(4) = 16 —2(а—1) -4 + а2-2а>0
Г а2 ~ 4а 4-3^0	.
а2 — 10а 4-24^0^
Теперь надо проверить, не попадает ли меньший корень на х— — 1, при каком-либо значении а£[1; 3]. Пусть х= — 1, тогда имеем 1 + 2(а — 1) + а2 — 2а = 0оа2 = 1 a=4zl, т. е. при а=\ второе уравнение имеет два корня, на множестве решений первого, что не удовлетворяет системе. Значит 1 <а<3. Но и а = — 1 удовлетворяет условию задачи.
На рис. 37, в показан случай, когда график трехчлена [(х) расположен так, что точка х=1 находится левее корней трехчлена, а точка х = 4 между корнями..Этот случай реализуется, если:
П(1)>0 Г/(1) = 1 —2 (а—1) 1+а2 —2а^0
I f (4)<0,	( /'(4) = 16-2(а- 1)4 + а2-2а<0
Г а2 — 4а 4-3^0
О) 2 ш >пл ^=>4<а^6.
(а—10а 4-24 < 0
Следует заметить, что строгие неравенства f(l)>0 и Д4)<0 использовались потому, что при нестрогих неравенствах дискриминант должен быть нулем, а ранее показано, что ни при каких а этого быть не может.
Ответ: а— — 1, 1<а<3, 4<а^6. ▲
Пример 13. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно х, удовлетворяющее условиям
f х2 4- (5а 4-2) х 4-4а2 4-2а < 0
t х2 4- а2 — 4
Л Решим сначала второе уравнение. Видно, что среди I а| > 2 нет ни одного значения а, при котором уравнение х2 + а2 — 4 имеет решение. При а —2, а также при а——2 это уравнение имеет решение х = 0, оно не удовлетворяет неравенству. Значит а —2 и а=—2 также не удовлетворяют условию задачи. Итак, если есть а, удовлетворяющие условию задачи, то они таковы, что |а\ <2 и для любого такого а уравнение х2-\-а2 = 4 имеет два корня Х{=— х[4-~а2 и х2 = д/4 —я2-
Рассмотрим теперь квадратный трехчлен /(х)~х24-(5а4-2)Х Х*4-4а2 + 2а. Он имеет дискриминант £> = (За + 2)2. Если а = —2/3, то D = 0 и f(x)>0, значит а— —2/3 не удовлетворяют условию задачи. Если а^Х —2/3, то £)>() и трехчлен f(x) имеет два различных корня и принимает отрицательные значения при х, расположенных между корнями.
131
Итак, если есть число а, удовлетворяющее условию задачи, то оно таково, что |а|<2, а=£ — 2/3 и хотя бы одно из чисел х\ и Х2 лежит между корнями трехчлена f(x), корни которого записываются в виде
_ -(5а + 2) - |3a + 2i	v -(5а + 2) + 13а4-2|
> *4------------~2------,
причем х3<Сх4.
Теперь задачу можно переформулировать так: при каких значениях параметра —2; 2) и а=£ — 2/3 хотя бы одно из чисел xi и Х2 лежит между числами х3 и х4. Этому условию отвечают две системы неравенств:
— (5а 4- 2) — | За 4~ 11	_^2
__^4___а2 <Г ~~ (5^ + 2) 4-V4 —а2 2
-(5а+ 2) — д/Т—о2
л/4-а2 < ~(5а + 2) +_
(1)
(2)
Решим на области |а| <2 и —2/3 отдельно систему (1) и систему (2).
На множестве — 2<а<—2/3 система (1) может быть переписана в виде
— а< — ^4 —а2	f ^4^а2<са
<	--- или <	_____
k — V4 — а2< — 4а — 2	( 4а-р2< v4 — а2.
Очевидно, что эта система неравенств на множестве — 2<za<Z С —2/3 решений не имеет, т. к. левая часть первого неравенства положительна, а правая отрицательна.
На множестве — 2/3<а<2 система (1) переписывается в виде
' — 4 —2<—л/4 —а2	/ V4 — а2 < 4а + 2
/-----	или I---------	(3)
ч — v4 — a2<Z— a	a<Z v4 — а2.
На рассматриваемом множестве обе части первого неравенства положительны, и поэтому, возведя в квадрат, получим равносильное неравенство 4 — a2<Z 16а2 + 16^ + 4 или 17а2 + 16а>О, которое имеет решение а>0 и а<.— 16/17. Значит, множество решений первого неравенства системы (3), содержащихся в промежутке — 2/3<а<2, имеет вид
---^-а<а<-----и 0<а<2.	(4) з	1 /	v 7
132
Второму неравенству системы (3) удовлетворяют все а из области — 2/3<Za<0. В области 0^а<2 обе части второго неравенства системы (3) неотрицательны и значит оно равносильно неравенству а2<4 — а2 или а2<2. Множество решений последнего неравенства, содержащихся в области 0^а<2, имеет вид	Итак, множество решений второго не-
равенства системы (3), содержащихся в области--— <Са<2 ,
з
есть промежуток —	<Za<Z\2.
Из (4) и (5) следует, что множество решений системы (1) из 2
области |а|<2 и а —является объединением двух ь промежутков
Аналогично решается система (2). Ее решением являются — x/2<Za<Z — 17. Объединяя его с (6), находим требуемое множество значений параметра а:-д'2<а<--^-и 0<а< ^2.А
Упражнения
1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно х, удовлетворяющее условиям:
п ( х2 + (2-За)х + 2а2-2а<0
1 ах = 1,
х2 - (За+1)* + 2а2+'2а<0 х + а2 = О,
л	। . _ I —уз «. _	1 -руз.
Ответы: 1) — 1<а<—1<а< —:
2) — 2<а<0; 3) _2-<а<1.
2. Найти все значения параметра а, для каждого из которых существует ровно два значения х, удовлетворяющих системе уравнений
|х2 — 7х + 6|+х2 + 5х + 6-~12|х|==0
х2 — 2 (а — 2) х + а (а — 4) == 0.
Ответ: а=1, а = 2, 5^а^6.
3. Найти все значения параметра а, для каждого из которых' существует только одно значение х, удовлетворяющее системе уравнений
133
Г |х2 + 5* + 4| —9х2 + 5* + 4—10х|х| =0
I х2 — 2 (а + 1) х + а {а + 2) = 0.
Ответ: а=1 —3<а<— 1, —6^й<—4.
4. Найти все значения параметра а, для каждого из которых существует ровно два значения х, удовлетворяющих системе уравнений
j |х2 + 7х-рб| -|-х2 — 5х + 6~ 12|х| =0
I х2 — 2 (а + 2) х + а (а + 4) = 0.
Ответ: а= — 1, а= — 2, —
Примеры с решениями
Пример 14. Для каждого значения а решить систему неравенств
f а(х~ 2) 1>х —3
I 8(а+ 1)х>8ах + 9.
Л После преобразований получим систему ( (а~ 1)х^2а — 3
которая равносильна совокупности двух систем
а> I
х > 2а~3 а — I
х>т
a<Z I
X 2±=3
а— I
и
Решим каждую систему отдельно. Если в первой системе располагается левее точки 9/8, как это показано на
числовой оси,
2а-3	9_
а-1	8
X
9	о,? 3	9
тогда решением будет множество х> -х-, но при этом ------------—	—-
о	а — I	8
9	15
с учетом того, что а > I имеем 2а — 3 (а — I)=>а	, т. е.
о	/
при I <й< — .
Если же—~j— располагается правее точки 9/8, как это показано на числовой оси,
134

д_	га~3
6	0.-1
тогда решением будет множество
2а —3
а—I ’
тт	9	2а— 3	1 г /яу
Но при этом — <------ или а> 15/7.
8 а—1
Итак, если 1	15/7, то х>9/8, и если а>15/7 то
*^<х.
а— 1
Решим вторую систему, иллюстрируя решение на числовой оси

2а-3 9 (L-1 8
Очевидно, что при таком расположении точек система несовместна, г-	2а — 3	9
Если же ----— > —,
а— I 8
-	9	.	. 2а — 3
то решением системы будут все — <х< ~—р.
При 2а — 3 < -|-(а— 1), т. е. при а <
но с учетом а<1 системы, получим а<1.
тл	^-i	9^^. 2а — 3
Итак, при а<С 1 имеем — <Zx <----
г	8	а — 1
Видно, что если а=1, то исходная система имеет решение 9 при Х> о
Ответ: Приа<1 0р
при 1	-у- 0-; + оо); при а > -у-	; + оо)
Пример 15. Найти все значения а, при которых не существует ни одного х, одновременно удовлетворяющего неравенствам:
ях2 -j- (tz — 3) х -J-2d О
ах^а2 — 2.
Л Рассмотрим два случая.
Первый, когда тогда систему неравенств можно записать в виде
135
а?х2 + а (а — 3) х — 2а2+2 > О х > °2~2.
а
(И
(1")
Посмотрим, существуют ли а, при которых эта система несовместима, т. е. неравенства (Г) и (Г') не имеют ни одного общего решения. Для этого достаточно решить квадратичное неравенство (И) и сопоставить полученные решения с (Г') (удобнее это сделать с помощью числовой оси). Находим корни трехчлена. стоящего в левой части (Г):
Чтобы записать решение неравенства (Г), мы должны знать, как расположены на числовой оси относительно друг друга числа —, xi, Xi. Различные возможные ситуации представлены на рис. 38 а, б, в и рис. 39, а, б, в. Отсюда видно, что система всегда имеет решение (заштрихованные в клетку участки оси), и, следовательно, не существует а, удовлетворяющих условию задачи.
Рис. 38
Рис. 39
аг-2 X ч а ff)
Второй случай, когда а<0. При этом система принимает вид:
а2х2 + а(а~3)хД-2(1 —а2) <0 х < fl2~~2.
а
(2')
(2")
Легко установить, что при a<Z 0 xi >х% (неравенство —±
удовлетворяется при а <0 и а> —). Значит решени-
136
ем (2') будет	Здесь необходимо рассмотреть три
я2 —2 случая (рис. 40, а, б, в) расположения точек х\, х2 и —-.
У///Л V777X r	г	,
аг-2 хг xf X xf аг-2- х, X хг х1 аг-2 X °- * а а)	6)	8)
Рис. 40
Из рис. 40 видно, что система (2) несовместима только в случае рис. 40, а. Для этого должно быть
211^1 =>а2 + 2а-4>0, а	а	а
откуда с учетом того, что а<0, получаем решение
a<Z —-1 ~л/5.
Ответ: при a<Z — I—-д/5. ▲
Пример 16. Решить систему неравенств
{х । х	а-]-Ь
a b	ab
10 —-у->0.
Л Решением’ второго неравенства является интервал х<4.
Решаем первое неравенство. Допустимые значения а и Ь такие, что а^=0, Ь^0.
Пусть числа а и Ь положительны, тогда ab>0 и, умножив обе части неравенства на ab, получим х(а-]-Ь)> а-]-Ь. В нашем случае а-\-Ь>0, значит х>1. С учетом решения второго неравенства получим 1<х<4.
Пусть числа а и b отрицательны, тогда также ab>0, но а + Ь<0 и из неравенства х(а + b)>a-]-b следует х<\. Этот интервал содержится в интервале х<4, а потому множество всех решений системы составляет интервал (—оо; 1).
Пусть а и b разных знаков, тогда	умножив обе части
первого неравенства на ab, получим (a-]-b)x<Za-]-b и придется рассмотреть три случая.
1)	Сумма	а> — Ь, тогда получим х<1 и решение
системы интервал (—оо; 1).
2)	Сумма	т. е. a<Z — Ь, тогда из (a-]-b)x<Za-]-b по-
лучим: х>1 и решение системы интервал (1; 4).
3)	а=—Ь первое неравенство не имеет смысла.
Ответ: при а>>0, />>0, либо при ab<zO (числа а и b противо-
137
положим по знаку) и a<Z — Ь — 1<х<4; при а<0, Ь<0, либо при ab<J3 и а> — Ь—- оо	1; при а = —-Ь нет решений. ▲
Пример 17. Найти все значения fe, прг каждом из которых существует хотя бы одно общее решение у неравенств
х2-[-4kx-\-3k2> \ -\-2k и х2 -\-2kx^3k2 ~8k-\-4.
Д Общее решение будет, если система неравенств
x2 + 4fex + 3fe2-2fe-l>0
х2 + 2Ь;-3£2 + 8£-4^0
имеет хотя бы одно общее решение.
При фиксированном k корни квадратного трехчлена
х2 + 2£х —- 3k2 + 8£ — 4 есть xi = — k~ 21 £ — 11 и х2 = — £ +21 £ — 11
и решение второго неравенства системы есть
— Аг —2|Аг — 11	-k + 2|k- 11.
или на числовой оси
Л/	хг X
Возможны следующие четыре схемы расположения графика трехчлена f первого неравенства системы, приведенные на рис. 41.
Рис. 41
На рисунке штриховка в клетку — это общее решение. 1-я схема: f(xi)>0 и f(x2)>0
/(%,) = (-6-216-11)2 + 46 (-6-216-11) +362-26- 1 >0 f(x2) = (-6 + 216- 1|)2 + 46(-6 + 2|6- 1|) +362 - 26-l>0
138
fe2 + 4|fe-ll+4(Ai-l)2-4^-8A!|fe-l|+3fe2-2/e-l>0=;;> fe2 —4|£—11+4(£—l)2 —4/г2 + 8Ш—11+3F —2£—1 >0
4fe2 —4fe’|fe—П —10£ + 3>0 f 4£2 —4£2 + 46—10fe + 3>0 4*2Ч-4/г| k- 11 - 10fe + 3>0 U 8fe2-4fe-10Z> + 3^0,
{ -6fe + 3>0
\8fe2-14fe4-3>0	( £<_L и	2'
2-я схема: f(xi)^0 и f(x2)^O=>^^3/2.
3-я схема:/(х1)>0 и f(x2X0	_1_.
4-я схема: решение — пусто. A
Ответ:	-4- и -4-.
^2	2
Пример 18. Найти все значения а, при каждом из которых для любого значения b система
bx — y — az2 = 0
(b — 6) х -\-2by — 4г = 4
имеет по крайней мере одно решение (х, у, г).
Л Система линейна относительно переменных х, у и приводится к виду
у — Ьх — аг2
(b + 2) (2b-3)x = 2abz2 + 4z + 4;
а)	если />С(~2; 3/2), то система совместна при любом значении а (достаточно взять 2 — 0);
б)	если Ь——2, то система имеет решение тогда и только тогда, когда его имеет уравнение —4az2 + 4z + 4 = 0 т. е. когда
—1/4;
в)	если Ь — 3/2, то аналогично случаю б) система совместна тогда и только тогда, когда 1/3.
Исходная система совместна при любом значении b при тех а, которые удовлетворяют всем условиям а), б) ив), т. е.
~1/4<а<1/3. А
Упражнения
1. Для каждого значения а решить систему неравенств
Г х2 4х 3 а <с 0
I 2х + а + 6>0,
2)
х2 + 2х + а С 0
х2 — 4х — ба 0,
139
{(1 —а)х — а х—2(1—а) х — 8 ах,
1- \^Г~30)х>10 х— 1	___ а
---:	1 < --X, а—1-----------1—а
2х2 + ох+4	.
5)	х2-*+1
'	2х2-^-ах—6 .	_с
X2—х-|-1
Ответы: 1) При а	~а2~6 <х< — 2+л/1 —~а\
при ~5+^ <а<1 -2-л/1-а<х<-2 + л/1-а;
при а^\ решений нет;
2)	при а = 0 х = 0; при а=#0 решений нет;
3)	при а = 0 %^8; при а=#0 решений нет;
4)	при и	решений нет; при 0<а<1
4	.
Х	40 —5а ’
при а>8 X < г	40 — 5а
5)	при а<— 4 ау4- <х <0; при — 4^а^2 решений нет; при 2<а<6	6—-?- <х< а^~-4-; при а>6 0<х< -у-4-.
2.	Для каждого значения а решить неравенство
ах — (1 —а) а q а2 — ах — 1
Ответ: решений нет при а = 0у а —-и
При ~y<fl<0 или
а — 1; 1 — а
а > 1;	< х < 1 — а при a <Z---и 0 < а < 1.
а	2
3.	Для каждого значения а решить систему неравенств
{ах   х—1	2x4-3
а —2	3	4
+ а > а<х+2) -5х-6.
Ответ: х < Л^а~,22 при а< —10 и а >2;
2 (а 4-Ю)
vgR при а = — 10; решений нет при а = 2;
4. Найти все ау при которых не существует ни одного х, од-
новременно удовлетворяющих его неравенствам:
140
|\ ((х — а) (ах— 2а — 3)^0 \ах>4,	'
— а)х — а
а2х-]-2а
ах + а2 — 2 ах -j- а ,
(х — 2(1— а)
Ответы: 1) —2<а^0; 2)	----1-, а = 0; 3)
5.	При каких значениях а система неравенств
( ах — 1	0
I х — 4а^0.
имеет хотя бы одно решение?
Ответ: а£]— оо ; -Ь_].
6.	Найти все значения ky при каждом из которых каждое решение неравенства x2-}-3k2 — 1 ^2k(2x — 1) является решением неравенства х24-(2х—1)^4-^2>0.
Ответ: k <	•
7.	Найти все значения k, при каждом из которых любое число является решением хотя бы одного из неравенств
х2 4-5fe2 + 8fe>2(3fe% + 2) и x24-4fe2^fe(4x + !)•
Ответ: k 0, k — 1.
8.	Найти все значения k, при каждом из которых неравенство Х2 + ^2
1 выполняется для всех х, удовлетворяющих условию — 1 <х< 1.
Ответ:
9.	Найти все значения а, при каждом из которых для любого значения b система
(x-by-]-az2 — 0
1 2Ьх+(Ь-6)// + 8г==8 имеет по крайней мере одно решение (х, у, z).
Ответ:---~.
8. ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых функция
у = аЪх + (За+ 1 )4Х + (9а + 1 )2Х + 2
не имеет экстремумов.
141
Л Найдем производную функции
—п-8х1п8 + (3п+ 1)4х1п4 + (9п+ 1 )2х1п2 =
= 3а4х + 2(3а+ 1 )2Х + (9а 1 )2х1п2.
Так как 2х1п2>0, знак производной у'(х) совпадает со знаком квадратичной функции:
ф(г) = Заг2 + 2(3а + l)z-|-(9a + 1), где 2x = z>0.
Отметим, что функция z = 2x возрастающая и каждому значению z>Q соответствует единственное значение
x = log2z.
Рассмотрим возможные частные случаи.
1)	Если квадратное уравнение ф(г) = 0 имеет два различных корня, из которых хотя бы один положительный, то заданная функция у{х) имеет экстремум. Действительно, если zo — один из корней, то £/'(хо) = О, где xo = log2Zo. При переходе аргумента х через точку х() переменная z переходит через точку z0, при этом меняется знак квадратичной функции ф(г), а значит и знак производной у'(х).
2)	Если квадратное уравнение ф(г) имеет один корень zo, то при Zq>0 производная у'(х) обращается в нуль при x = xq = = log2z0, но при переходе через эту точку знак функции ф(г) не меняется. Если zo^O, то ф(г) сохраняет знак, производная у'(х) в нуль не обращается. Таким образом, если уравнение ф(г) = 0 имеет один корень (точнее, корни его совпадают), то функция у(х) экстремума не имеет.
3)	Если среди корней уравнения ф(г) = 0 нет положительных, то у'(х) в нуль не обращается и сохраняет знак при всех х.
4)	Уравнение ф(г) = 0 может вообще не иметь корней, тогда у'(х) сохраняет знак и у(х) экстремумов не имеет.
5)	Уравнение <p(z) = 0 превращается в линейное, когда коэффициент при z2 обращается в нуль. Если его корень положителен, функция имеет экстремум; в противном случае экстремума нет.
Исследуем функцию ф(г) = 3az2 + 2(3а + 1 )z + (9а + 1).
а)	Уравнение ф(г) = 0 не имеет решений или имеет совпадающие корни, если D^O, т. е.
(За+ 1)2-За(9а + 2)<0о18а2-За- 1 >0.
Этому неравенству удовлетворяют значения а^ — -4- или а^
6
б)	Если оба корня неположительны, то а удовлетворяет системе неравенств
142
D>Q
За -|- 1 a 9a+l a
t. e.
в)	При a = 0 получаем уравнение 2z+l=0, которое имеет единственный корень z\ — — у следовательно, при z>0 <p(z)> >0.
Объединяя найденные в пунктах а), б), в) ответы, получаем решение задачи: а£(—оо; — —1—] (J [0; + °°). ▲
Пример 2. На плоскости ху укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства
А у = х2~ 2(1 -\-2р)х-\-2р2 ~ 1, pCR.
Выделив слагаемые, зависящие от р, перепишем уравнение кривой в виде //=—(%+ 1)2 + 2(р — х)2. Меняя значения р (при фиксированном %), мы можем получить любое значение у^ — (хф-+ I)2. Так как (р —х)2^0, значения y<z —(%-(- I)2 получить нельзя. Следовательно, через точки плоскости ху, лежащие ниже кривой у= — (%+ I)2, не проходит ни одна из кривых заданного семейства (рис. 42).
Можно использовать производную при решении этого примера. Фиксируем значение х и рассматриваем как квадратичную функцию р. Найдем наиеньшее значение этой функции при каждом х:у'(р)= — 4% + 4р, у'(р)=0 при р=х, тту(р')=у}р)\р=1С = х2_ -2(1 +2х)х + 2х2-\ = _(х+1)2.
Значения у< — (х-|- I)2 не могут быть получены ни при каком р. ▲
143
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................. 3
Введение ................................................... 4
1.	Решение уравнений первой степени с одним неизвестным . .	5
2.	Решение линейных неравенств..............................10
3.	Решене линейных уравнений и неравенств с модулем ...	12
4.	Решение квадратных уравнений и	неравенств.............23
Утверждения о расположении корней приведенного квадратного уравнения.................................33
Решение квадратных неравенств.........................42
Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем .	46
Разные задачи.........................................54
5.	Решение иррациональных уравнений и неравенств ....	58
6.	Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств................................................78
7.	Решение систем уравнений и неравенств....................97
Решение линейных систем с двумя неизвестными ...	97
Метод определителей...................................99
Решение линейных систем с модулем....................105
Решение нелинейных систем............................112
8.	Примеры на применение производной......................141
Редактор С. М. Макеева Технический редактор А. Я- Дубинская Корректоры: Т. С. Грачева, Е. Ю. Уралова
И Б №001
Сдано в набор 20.07.92 г.	Подписано в печать 10.09.92 г.
Формат 60X88/16. Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная Усл. печ. л. 9,0 Усл. кр-отт. 9,25 Уч.-изд. л. 11,0 Тираж 20 000 экз. Заказ 425т
ББК 22.10
Р60
Рецензент Н. И. Авраамов
Родионов Е. М.
Справочник по математике для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами. М.: МЦ «Аспект», 1992. 144 с.: ил.
ISBN 5-88566-001-8
Впервые в нашей стране создан справочник, который содержит теоретические сведения и систематизированный набор задач с параметрами. Методическое построение справочника позволяет углубленно изучить приемы решения и самостоятельно подготовиться к поступлению в вуз с повышенной математической программой. Типовые задачи сопровождаются подробным разбором решений. По каждой теме приводятся упражнения с ответами для закрепления изучаемого материала.
Справочник создан на основе преподавания математики на подготовительных курсах МГТУ. Использованы также варианты вступительных экзаменов МГУ, МИФИ и др. вузов.
Для поступающих в вузы и преподавателей.
1602000000—001
Л24(03)—92
Без объявления
ISBN 5-88566-001-8
© Издательство МЦ «Аспект», 1992.