/
Author: Стремгрен Э. Стремгрен Б.
Tags: астрономия космос космонавтика небесная механика небесные тела
Year: 1941
Text
i5IJp
LEHRBUCH
DER ASTRONOMIE
I
VON
Dr. ELIS STRÖMGREN
PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT KOPENHAGEN
' UND
Dr. BENGT STRÖMGREN.
LEKTOR AN DER UNIVERSITÄT KOPENHAGEN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1933
i
>
M
' ' .г''I
ш..
w
•
M,"? •: •1
ils
Э. СТРЕМГРЕН и Б. СТРЕМГРЕН
1
U6
щ
j
АСТРОНОМИЯ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Н. Ф. БУЛАЕВСКОГО и С. А . ШОРЫГИНА,
ДОПОЛНЕННЫЙ АВТОРАМИ
FY
/
огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
1941
ЛЕНИНГРАД
62
С—84
К ЧИТАТЕЛЮ
Издательство
просит присылать Ваши
замечании
и отзывы об этой книге по адресу: Москва, Орли-
ков пер., 3. Государственное
издательство
технико-
теоретической
литературы
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой капитальным труд, охватывающий все
отрасли классической и современной астрономии. В общей системе в нем
изложены основы общей, сферической, практической, теоретической и
звездной астрономии, практической и теоретической астрофизики и
элементы небесной механики. Ряд вопросов изложен сначала элементарно,
а затем строго научно. Книга может служить пособием для студентов
старших курсов, аспирантов, преподавателей и специалистов-астрономов^
астрофизиков, физиков, геодезистов и географов.
'Б ШІЛИОТЕЦА; FC>
ЯЧСИл
е
Редактор С. А. Шорыгин.
Подписано к печати 23,V 1941 г.
Меч. л. 37Чу Лот. л. £8,3. Тип. знаков в печ. л 72584. Тираж 6000 А 23172.
"
од
Цена книги 2G руо. Переплет 1 ру.>. 50 коп. Заказ 2-6 IJI7.
Типография .^: 3 им. Коминтерна, Управления издательств н полиграфии Исполкома Ленгорсовета.
Ленинград,
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Предлагаемая вниманию советских читателей книга Элиса Стремгрена и Бенгта
Стремгрена занимает в мировой литературе особое место. Она представляет собой
единственный в своем роде капитальный труд, охватывающий все отрасли класси-
ческой и современной астрономии. В общей системе в нем изложены основы
общей, сферической^ практической, теоретической и звездной астрономии, практи-
ческой и теоретической астрофизики и элементы классической небесной механики.
Авторы являются крупными знатоками предмета. Элис Стремгрен — профессор
Копенгагенского университета (Дания), заведующий Копенгагенской астрономи-
ческой обсерваторией, председатель Международного бюро срочных оповещений
об астрономических открытиях. До 1933 г. он возглавлял германское „Астро-
номическое общество",
игравшее в то время роль международного объединения
астрономов-специалистов. Его узкой специальностью является „ограниченная за-
дача" о трех телах в небесной механике (называемая иначе „копенгагенской
проблемой"). В 1936 г. Элис Стремгрен по приглашению Советского пра-
вительства посетил СССР и прочел несколько лекций в Государственном астро-
номическом институте им. П. К . Штернберга в Москве. Бенгт Стремгрен (яв-
ляющийся сыном Элиса Стремгрена) во время написания книги был лектором
Копенгагенского университета, а в настоящее время состоит профессором Чи-
кагского университета (США). Его специальность — теоретическая астрофизика
и звездная астрономия. Исследования обоих Стремгренов широко известны среди-
астрономов-специалистов всех стран.
Немецкое Издание этой книги, с которого был выполнен перевод, вышло в свет
в 1933 г. Весной''Г937 г. авторами по предложению Издательства специально для на-
стоящего изданий был написан ряд дополнений, в результате чего изложение пред-
мета было доведен^ .до уровня состояния наших знаний в конце 1936 г. К числу
дополнений относятсй следующие: Элисом Стремгреном расширен § 175 (сведе-
ниями о разложении в ряды в случае движения по параболе), написан новый § 203,
посвященный проблеме вычисления возмущений планетой на комету, движущуюся
по орбите, "близкой к параболе (прежний § 203 переименован в § 202, а прежний
стр. 317) и допол-
ном написаны сле-
ірительной трубы"
ые и фотограф» че-
разрешающая сила
оме того авторами
'.кете (выделяемых
форме примечаний
я, представляющие
которых новейших
ITHOCTH в этих до-
д определения по-
сісого. Кроме того
ены переводчиками
КИИГА ИMЕET
—84
К ЧИТАТЕЛЮ
Издательство
просит присылать Ваши
замечании
и отзывы об этой книге по адресу: Москва, Орли-
ков пер., 3. Государственное
издательство
технико-
теоретической
литературы
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой капиіалыіый труд, охватывающий все
отрасли классической и современной астрономии. В общей системе в нем
наложены основы общей, сферической, практической, теоретической и
звездной астрономии, практической и теоретической астрофизики и
элементы небесной механики. Ряд вопросов изложен сначала элементарно,
а затем строго научно. Книга может служить пособием для студентов
старших курсов, аспирантов, преподавателей и специалистов-астрономов,,
астрофизиков, физиков, геодезистов и географов.
^Г4
Подписано к печати 23;V 1941 г. 1
Цена к-
Типография No 3 ни. Коминтерна,
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Предлагаемая вниманию советских читателей книга Элиса Стремгрена и Бенгта
Стремгрена занимает в мировой литературе особое место. Она представляет собой
единственный в своем роде капитальный труд, охватывающий все отрасли класси-
ческой и современной астрономии. В общей системе в нем изложены основы
общей, сферической, практической, теоретической и звездной астрономии, практи-
ческой и теоретической астрофизики и элементы классической небесной механики.
Авторы являются крупными знатоками предмета. Элис Стремгрен — профессор
Копенгагенского университета (Дания), заведующий Копенгагенской астрономи-
ческой обсерваторией, председатель Международного бюро срочных оповещений
об астрономических открытиях. До 1933 г. он возглавлял германское „Астро-
номическое общество",
игравшее в то время роль международного объединения
астрономов-специалистов. Его узкой специальностью является „ограниченная за-
.
дача
".
0 тРех телах в небесной механике (называемая иначе „копенгагенской
проблемой"). В 1936 г. Элис Стремгрен по приглашению Советского пра-
вительства посетил СССР и прочел несколько лекций в Государственном астро-
номическом институте им. П . К. Штернберга в Москве. Бенгт Стремгрен (яв-
ляющийся сыном Элиса Стремгрена) во время написания книги был лектором
Копенгагенского университета, а в настоящее время состоит профессором Чи-
кагского университета (США). Его специальность— теоретическая астрофизика
и звездная астрономия. Исследования обоих Стремгренов широко известны среди-
астрономов-специалистов всех стран.
Немецкое йз^ание этой книги, с которого был выполнен перевод, вышло в свет
в 1933 г. Весной 1937 г. авторами по предложению Издательства специально для на-
стоящего изданий был написан ряд дополнений, в результате чего изложение пред-
мета было доведено .до уровня состояния наших знаний в конце 1936 г. К числу
дополнений относятся следующие: Элисом Стремгреном расширен § 175 (сведе-
ниями о разложении в ряды в случае движения по параболе), написан новый § 203,
посвященный проблеме вычисления возмущений планетой на комету, движущуюся
по орбите, близкой к параболе (прежний § 203 переименован в § 202, а прежний
§ 202 слит с § 201), расширен список периодических комет (см. стр. 317) и допол-
нен 11-й числовой пример в Приложениях. Бенгтом Стремгреном написаны сле-
дующие новые разделы в Приложениях: „Разрешающая сила зрительной трубы"
(стр. 549 — 550),
„Светосила астрономических труб. Визуальные и фотографиче-
ские звездные величины« (стр. 550 —551) и „Дисперсия и разрешающая сила
щелевого призматического спектрографа" (стр. 551—557). Кроме того авторами
..
было внесено в текст несколько десятков исправлений.
;
Ряд более мелких дополнений как в форме вставок в тексте (выделяемых
, и; в начале и в конце звездочками), так и главным образом в форме примечаний
; внесен переводчиками. В этих дополнениях сообщаются сведения, представляющие
для советских читателей специальный интерес, и результаты некоторых новейших
исследований, произведенных в течение 1937 и 1938 гг. В частности в этих до-
полнениях изложен метод определения широты Певцова, метод определения по-
правки часов Цингера и метод определения азимута Красовского. Кроме того
I примеры, приводившиеся авторами для Копенгагена, перевычислены переводчиками
Г
для Москвы. Равным образом список предстоящих солнечных затмений, соста-
нленный для Западной Европы, заменен списком затмений, которые будут видимы
в СССР. Наконец переводчиками устранено (без всяких оговорок) несколько оче-
видных обмолвок и мелких погрешностей, допущенных и не замеченных авторами,
и проведена стандартизация астрономических терминов и обозначений согласно
ОСТ/ВКС No 6203, 6345, 7132 и 7158.
Количество иллюстраций в русском издании увеличено, и несколько иллюстра-
ций заменено лучшими. При этом учтены пожелания, сделанные авторами.
Работа по переводу была распределена следующим образом: Н. Ф . Булаевским
были переведены части первая (кроме § 9 и 10), вторая, третья, четвертая и При-
ложения. С . А . Шорыгнным были переведены части пятая и шестая, все допол-
нения авторов, написанные ими для настоящего издания, и § 9 и 10. Кроме того
им же уже в качестве редактора книги была выполнена подготовка рукописи
к печати, в процессе которой была произведена полная унификация терминов
и формулировок на всем протяжении книги и составлены указатели имен и пред-
метов. Для удобства читателей настоящее издание снабжено подробным „Содер-
жанием", включающим заголовки всех параграфов.
Книга может служит пособием для студентов старших курсов, аспирантов,
преподавателей и специалистов-астрономов, астрофизиков, физиков, геодезистов
и географов. Большую пользу принесет она и астрономам-любителям, обладающим
достаточной подготовкой.
Тем читателям, которые после прочтения настоящей книги пожелали бы рас-
ширить свои познания в каких-либо отраслях астрономии, рекомендуем восполь-
зоваться одним или несколькими из нижеперечисленных курсов астрономии для
университетов:
Проф. И. Ф. Полак, Курс общей астрономии, 5-е изд., ГИТТЛ, 1939.
Проф. С. А. Казаков,
Курс сферической астрономии, 2-е изд., ГИТТЛ, 1940.
Проф. С . Н. Блажко,
Курс практической астрономии, 2-е изд., ГИТТЛ, 1040.
Акад. ВУАН А. Я . Орлов и Б. А . Орлов, Курс теоретической астрономии, ГИТТЛ,
1940.
Проф. Г. Н. Дубоіиин,
Введение в небесную механику, ОНТИ, 1938.
Проф. П. П. Паренаго,
Курс звездной астрономии, ГОНТИ, 1938.
Проф. Б. А . Воронцов-Вельяминов,
Курс практической астрофизики, ГИТТЛ,
1940.
В. А. Амбар цумиан, Теоретическая астрофизика, ГОНТИ, 1939.
Е. Я . Бугославская,
Курс фотографической астрометрии (готовится к печати).
Артур Берри, Краткая история астрономии (готовится к печати).
Москва,
9 марта 1939 г.
Н. Ф. БУЛАЕВСКИЙ
С. А. Шорыгин
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Современную астрономическую литературу, если не говорить о периодиче-
ской и специально исследовательской
литературе, можно разделить на две
основные группы: во-первых, более или менее популярные сочинения, которые
содержат изложение результатов наблюдений и исследований, причем авторы
не входят в изложение деталей, и, во-вторых, учебники и учебные пособия, в
которых излагаются преимущественно основные методы астрономических иссле-
дований.
Наша книга должна образовать связующее звено между двумя этими видами
литературы: с одной стороны, она должна дать читателям известное количество
конкретных астрономических знаний, с другой стороны, — послужить как бы
введением в изучение научных методов исследований, применяемых в астрономии.
Книга является переработанным и значительно дополненным переводом на немец-
кий язык нашего учебника, который был издан в 1931 г.; этот учебник в свою
очередь представляет.собой переделку с дополнениями, соответственно последним
успехам астрономии, издавна известного в северных странах учебника Мона и
Геельмюйдена, издававшегося в Осло на датском языке.
При создании этой книги авторы преследовали в основном две цели: с одной
стороны, для лиц, приступающих к занятиям по астрономии, книга должна слу-
жить введением в изучение всех ее отделов, в том чисЛе и тех, которые не стоят
в центре внимания современного поколения астрономов; прочитав книгу, учащийся
должен быть вполне подготовлен к детальному изучению той или иной специаль-
ной отрасли астрономии; с другой стороны, наша книга должна послужить звеном, сое-
диняющим популярную и научную астрономию. Для осуществления двух этих раз-
личных целей многие вопросы в книге сперва изложены элементарно, А затем,
в дальнейших главах, те же самые вопросы рассмотрены более строго с научной
точки зрения.
Для примера укажем на два отдела: наблюдения с помощью астрономических
инструментов и вопросы небесной механики; каждый из этих вопросов рассматри-
вается в двух отдельных главах. Мы старались так подбирать материал, чтобы читатель
мог прервать изучение любого вопроса в той месте, где это ему станет слишком
.
трудным, но в то же время он все же мог усвоить основные начала изучаемого
вопроса. Мы надеемся, что при таком изложении материала наш труд принесет
немало пользы и для многих астрономов-любителей.
В приложении помещены некоторые формулы и теоремы теории ошибок, теории
интерполирования, диференцирования и численного интегрирования. Вывод этих
формул и теорем не входит в область астрономии; но так как не может быть
речи об успешном изучении астрономии без некоторых элементарных сведений
в этих вопросах, то мы и решили самое необходимое поместить в Приложениях,
в некоторых случаях даже не приводя доказательств.
Книга представляет собой совместный труд обоих авторов; следует только
упомянуть, что части книги, посвященные небесной механике (за исключением § 204),
и Приложения написаны Э. Стремгреном;' Б. Стремгрен составил часть, посвящен-
ную звездной астрономии и астрофизике, § 204 и раздел о Солнце.
быть приняты во внимание.
d
г,) Уже не могли
Имена еще живых астрономов в книге не начпянм
многих
случаев, когда какоИ-нибѵльчѴмпи
'
нскл
'°чеиием тех не-
в литературе с определенными именами ил eZ Гф""ЦНП
неотъемлем
°
астрономической литературе носит Гя
I °ГГ"TM"
0бьв,ст В
°
"
сей
•место, например, с пазами S^Ä^ZS"TM4
'
^
"
МввТ
Копенгаген, Университетская обсерватория
Ноябрь 1932 г.
СОДЕРЖАНИЕ
(цифры и скобках означают страницы)
Предисловие переводчиков
^
Предисловие авторов
_
^
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
/
§ 1. Астрономия (17).
Астрономические инструменты. Общие сведения
]8
ѵгло!
К3' В"3"Рование (22). § 4. Измерение*
углов (23). § 5. Секстан (25). § 6. Часы (26). § 7. Фотометрия (281
,
§ 8. Спектроскоп (30). § 9. Спектр (31). § 10. Эффект Допплера (35) Р 1 ''
Некоторые сведения из математики....
ос
3D
8 13§0г;,пСт,емоШьпИЗ тР"
го
"
оме т
Р»» (36). § 12. Сведения из геометрии (36).
„
:° "ÏMC формулы сферической тригонометрии (37). § 14. Диферсн-
рш, Рядов^0)УЛЫ СфеР
""
еС К0
"
т
РнгопометР"
и
(39). § 15. Сведения из ?со-
Звездное небо ....' ...
40
§ 16. Расположение ярких звезд на небесной сфере (40).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СФЕРИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ
Суточное движение небесной сферы. Астрономические координаты
43
§ 17. Небесная сфера н ее суточное вращение (43). 6 18. Две главны*
kooZ^а^74О5Г8'20СЗвечКООРДН,,аТ
(44)" §І9" Обозіаін^ астрбномХкн?
координат (45). §,20. Звезды незаходящне и невосходящне (46). 6 21 Сѵточ
зщіталышми'ШнЗВчкпятАпи?ЛЯиіИХ 11 3аходящ,,х
("8). § 22- Связь ?ежду
зонтальнымн н экваториальными координатами (48). § 23 Третья снстемч
астрономических координат (50).
»ретья система
Астрономические измерительные инструменты
5J
§ 24. Теодолит (51). § 25. Способ соответствующих высот (531 S 26 УпѴ
дианный круг и вертикальный круг (59). § 30. Из K oI
vrnn.ni^S
'
Eiff^ÄaSSSS
станом (ЬЗ). § 32. Инструменты с экваториальной установкой (65) 6 33 A nun
ляриые сферы (66). § 34. Микрометр (66). 6 35 Гелиометп (671 I # м о '
ренпе фотографических пластинок (68).
іелиометр (67). § 36. Изме-
Рефракцня
69
атмо!фер'ЕР?БФ9Р1аК8 эд 'rL^^T
преломле,Ш!1 световых лучей в земной
S едхода светил
""
^
Стр.
Годичное движение Солнца
74
§ 40. Эклиптика (74). § 41. Способ определения годичного пути Солнца
по небесноіі сфере (75). § 42. Прежние методы определения положения
эклиптики (77). § 43. Абсолютные наблюдения. Фундаментальные звезды
овездные каталоги (78). § 44. Эклиптические координаты (79). § 45. Эклип-
тические координаты в астрономии прежних времен (80).
Время и времяисчисление
gj
46. Звездное время и истинное солнечное время (81). § 47. Среднее
солнечное время (83). § 48. Поясное время (85). § 49. Линия перемены
дат (86). § 50. Перевод поясного и среднего времени в звездное и обратно
(87). § 51. Часовой угол как мера времени (90). § 52. Календарь (90).
Прецессия. Нутация. Аберрация. Годичный параллакс
93
§ 53. Прецессия (93). § 54. Изменение наклонения эклиптики. Лунно-
солнечная прецессия.
Прецессия
от планет. Общая прецессия. (95).
§ 55. Влияние прецессии на прямое восхождение и склонение светила (96)!
§ 56. Нутация (97). § 57. Влияние нутации на прямое восхождение и скло-
нение светил (98). § 58. Формулы для вычисления совместного влияния
прецессии и нутации на прямое восхождение и склонение светил (98).
§ 59. Аберрация (99). § 60. Видимые, истинные и средние места звезд. Соб-
ственные движения неподвижных звезд (99). § 61. Постоянная аберрации (100).
§ 62. Влияние аберрации на координаты небесных светил (101). § СЗ. Абер-
рационное время (105). § 64. Суточная аберрация (105). § 65. Годичный па-
раллакс (106). § 66. Приведение звезд от среднего места для начала года
к видимому месту в любой момент (106).
.Видимые движения Луны и планет
106
§ 67. Соединения, противостояния, элонгации и квадратуры (106). §68. Си-
дерический, тропический и драконнческнй месяцы (107). § 69. Синодический
месяц. Фазы Луны (108). § 70. Луна и летоисчисление (109). § 71. Видимые
движения планет (НО).
Определение времени и прямцх восхождений из наблюдений
ИЗ^
§ 72. Определение времени при помощи пассажного инструмента, уста-
новленного в меридиане (113). § 73. Определение прямых восхождений (117).
§ 74. Определение времени из наблюдений светил на соответствующих высо-
тах (117). § 75. Определение времени на основании измерения высоты светила
вблизи первого вертикала (119). § 76. Солнечные часы (120). § 77. Восход и
заход звезды. Полуночное Солнце. Гражданские и астрономические сумерки.
Полярная ночь. Белые ночи (121). § 78. Вычисление азимута.светила при его
восходе и заходе (123).
Определение широты места
124
§ 79. Определение широты места из измерений высоты светила вблизи
меридиана (12-1). § 80. Определение широты из наблюдений пассажным инстру-
ментом, установленным в первом вертикале (126). § 81. Движение полюса.
Определение широты по методу Горрсбова-Талысотта (127). §82. Определение
географической долготы и широты на море. Линии равных высот (130).
Определение азимута из наблюдений
132
§ 83. Определение азимута светила и земного предмета (132). § 84. Опре-
деление момента, в который данная звезда будет находиться на определенном
азимуте в пункте па земной поверхности, географические координаты кото-
рого известны (133).
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
УЧЕНИЕ О ДВИЖЕНИЯХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ,
СВЯЗАННЫЕ С ЭТИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
Предварительные замечания
.
.
.
135
§ 85. Понятие о скорости (135). §86. Ускорение (135). § 87. Понятие о силе.
Закон инерции (136). § 88. Масса. Плотность (удельный вес) (136). §89. Тан-
генциальная сила. Центростремительная и центробежная силы. Центральные
силы (138).
СОДЕРЖАНИЕ
И
Стр.
Величина и форма Земли . .
139
V
§ до. Геоид. Географические координаты (139). § 91. Определение дол-
готы (140). §9Г. Прежние методы определения долготы (143). § 93. Градусные
измерения (144). § 94. Земля — эллипсоид вращения. Большая и малая оси.
Сжатие. Эксцентриситет. Геоцентрическая широта (146). § 95. Определение
элементов земного сфероида (148). § 96. Формулы для вычисления геоцентри-
ческой широты и радиуса-вектора любой точки на поверхности Земли (l5l).
§ 97. Понижение горизонта (152).
Суточный параллакс
152
§ 98. Суточный параллакс и его влияние на координаты светил, если
считать Землю. за шар (152). § 99. Определение горизонтального парал-
лакса (153). § 100. Влияние суточного параллакса небесного светила на его
прямое восхождение и склонение (155).
Вращение Земли
'53
§ 101. Время вращения Земли (158). § 102. Объяснение эллипсоидальной
формы земной -поверхности (159). § 103. Ускорение силы тяжести (159).
§ 104. Измерения силы' тяжести (160). § 105. Теорема Клеро (162). § 106. От-
клонение падающих тел к востоку (162). § 107. Опыт с маятником Фуко (162).
§ 108. Некоторые другие явления, зависящие от вращения Земли вокруг
своей оси (164).
Система мира . •
165
§ 109. Представления о системе мира в древности (165). § 110. Копер-
ник. Объяснение видимых движений планет (166). § 111. Фазы планет (168).
§ 112. Яркости планет (169). § 113. Возражения против теории Коперника (170).
§ 114. Гелиоцентрические координаты (171).
Законы Кеплера
§ 115. Первый закон Кеплера (171). § 116. Второй закон Кеплера (171).
§ 117. Третий закон Кеплера (175). § 118. Элементы орбиты планеты (175).
§119. Вычисление положения планеты для данного момента (177). §120. Задача
Кеплера (177). § 121. Определение истинной аномалии (178). § 122. Определение
элементов орбиты планеты (179). § 123. Определение элементов земной
орбиты (180).
Закон всемирного тяготения .
181
§ 124. Ньютон и закон всемирного тяготения (181). § 125. Притяжение
тел значительного размера. Относительное движение (183). § 126. Различная
форма орбит тел, прнтяінваемых неподвижной материальной точкой (183).
§ 127. Точное выражение третьего закона Кеплера при круговом движе-
нии (185). § 128. Определение масс планет- при помощи третьего закона
Кеплера (185). § 129. Притяжение эллипсоидом вращения (186). § 130. Элемен-
тарное исследование задачи о трех телах и вопроса о возмущениях (187).
§ 131. Важное свойство возмущающей силы (188). § 132. Возмущения орбит
планет (189).
Движение Луны. Прецессия и нутация. Приливы и отливы
190
§ 133. Движение Луны по ее орбите. Обратное движение узлов и
прямое движение линии апсид (190). § 134. Солнце как возмущающее
тело. Разложение возмущающей силы на три составляющих (191). § 135. Тан-
генциальная составляющая. Вариация (192). § 136. Радиальная составляю-
щая. Годовое неравенство (193). § 137. Вековое ускорение Луны (193).
§ 138. Эвекцип. Вариация в лунном параллаксе. Параллактическое неравен-
ство (194). § 139. Движение Земли вокруг общего центра тяжести Земли и
Луны (195). § 140. Третья составляющая возмущающей силы. Возмущения
долготы узлов и наклонения лунной орбиты (196). § 141. Объяснение явле- •
ний прецессии и нутации (197). § 142. Приливы и отливы (199).
Затмения
;
§ 143 Общие сведения. Тень и полутень. Условия видимости лунных и
солнечных затмений (201). § 144. Лунные затмения (202). § 145. Полное и
кольцеобразное солнечные затмения (203). § 146. Продолжительность полного
солнечного затмения (205). § 147. Частное солнечное затмение (206). § 148. По-
следовательные фазы солнечного затмения. Повторяемость лунных и солнеч-
ных затмений (207). § 149. Вычисление границ затмёшя.
Наибольшее и
rZT'ïï'iï
п
затме,шй
11
году (208). § 150. Периоды затмении,
»-арос uiu). § 151. Покрытия звезд Луной. Прохождения Меркурия и Венеры
по диску Солнца (211).
у
Определение расстояния от Земли до Солнца
к ісі1^2' Попытки определения солнечного параллакса в прежнее время (212)
§ 153. Определение солнечного параллакса на основании третьего закона
Кеплера из наблюдении близких к Земле планет (213). § 154. Определение
солнечного параллакса из наблюдений
прохождения Венеры по диску
оолица (213). § 155. Другие методы определения солнечного параллакса (215).
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ: ЗАДАЧИ О ДВУХ ТЕЛАХ,
О ТРЕХ ТЕЛАХ И О я ТЕЛАХ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Задача о двух телах
с
'г?6!Небесныс
тсла
.
рассматриваемые как материальные точки (217).
§ 157. Дифсренцнальные уравнения в задаче о двух телах (217). 6 158. Уравне-
ния относительного движения (219). § 159. Движение материальной точки
вокруг неподвижно., материальной точки (220). § 160. Интеграл площадей (220).
§ 161. Интеграл живой силы (221). § 162. Соотношение между радиусом-
вектором и іштннноіі аномалией (222). § 163. Значение постоянных интегриро-
вания (^4). § 164. Уравнение Кеплера. Среднее движение (225). §165.Третий
закон Кеплера в обобщенной форме (226). § 166. Постоянная тяготения (227)
§ 167. Элементы орбиты <П и і (228). § 168. Вычисление гелиоцентрических
координат планетц (229). § 169. Вычисление геоцентрических координат
планеты (231). § 170. Вычисление элементов орбиты планеты, если известны
ее координаты и составляющие скорости для некоторого определенного мо-
мента (232). § 171. Важное следствие из положении, доказанных в§ 170 (233)
§ ^-Разложение D рпд
эксцентрической аномалии в задаче о двух те-
лах (233). § 173. Другие ряды, встречающиеся в задаче о двух телах (234)
§
вр
"
д
ФУнкц,|й. зависящих от координат двух пла-
нет (235). § 175. Двнження по параболе и по гиперболе. Разложения в ряды
в случае движении по параболе (237). § 176. Определение орбит (239).
I ÎTM Вычисление круговой орбиты (240). § 178. Исправление орбиты (242).
§ 179. Абсолютные движения в задаче о двух телах (242).
Задача о трех телах
§ 180. Диференциалыіые уравнения задачи о трех телах (245). § 181. Десять
известных интегралов задачи о трех телах (246). § 182. Случаи задачи о трех
телах, решение которых возможно (249). § 183. Частные случаи решения
задачи о трех телах, когда возможно точное решение в конечной форме при
помощи известных математических функций (249). § 184. Частные случаи
Лагранжа (249). § 185. Ограниченная задача (250). § 186. Схема современных
работ по вопросу об .ограниченной задаче" (251). § 187. Уравнения двн-
ження (252). § 188. Преобразование Тиле (254). § 189. Результаты (254).
Теория возмущений
§ 190. Различные задачи при возмущениях. Дифсренцнальные уравнения
возмущенного движения планеты (256). § 191. Первая основная операция
задачи: разложение пертурбационной функции в ряд (258). § 192. Значение
формы, которую имеет разложение в ряд пертурбационной функции (260L
.
§ 193. Вторая основная операция в вопросе о возмущениях: преобразование
уравнений движения (260). § 194. Вывод уравнения (15) (261). § 195. Диферен-
цнальные уравнения для вывода пяти н других элементов орбиты (262). § 196. Ин-
тегрирование диференциальных уравнений элементов орбиты. Вычисление
возмущений первого порядка с учетом возмущающей массы (263). § 197. Раз-
личные виды членов ряда, выражающего возмущения (264). § 198. Члены,
выражающие долгопериоднчсскнс возмущения (264). § 199. Возмущения вто-
рого и высших порядков относительно величины возмущающей массы (266).
§ 200. Чисто пековые и смешанно вековые возмущения. Возмущения эксцен-
триситета и наклонении (266). § 201. Возмущения элемента орбиты Т. Появле-
ние членов с делителями во второй степени в выражениях для возмущений
первого порядка по долготе (268). § 202. Вековые возмущения элемента
орбиты а (269). § 203. Вычисление возмущений, оказываемых планетой на
комету, движущуюся по орбите, близкой к параболе (270).
Определение систем координат, встречающихся в небесной механике (§ 204) ....
Формы движения внутри звездной системы, происходящие вследствие совокупного
притяжения всей системы (§ 205)
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА
Солнце
§ 206. Размеры, масса, плотность (278). § 207. Солнечные пятна. Факелы.
1 рануляцня. Вращение Солнца (279). § 208. Спектр Солнца. Корона. Хромо-
сфера. Протуберанцы (281). § 209. Спектрогелиограф (284). § 210. Физиче-
ское состояние и химический состав внешних слоев Солнца (285) § 211
Внутреннее строение Солнца (286).
Планеты и их спутники
• § 212. Общие сведения о больших планетах (291). Меркурий. § 213.
Орбита. Прохождения перед диском Солнца. Размеры. Масса. Плотность.
Вид в телескоп. Вращение (292). Венера. §214. Орбита. Прохождения
перед диском Солнца. Размеры. Масса. Плотность. Вид в телескоп. Враще-
ние (293). Земля и Луна. § 215. Продолжительность времен года (295).
§ 216. Вращение Луны. Либрация по долготе и широте. Суточная либра-
ция (296). § 217. Размеры, масса и плотность Луны. Детали лунной поверх-
•
ностн (298). § 218. Вид неба с Луны (299). Марс. § 219. Орбита. Размеры.
Масса. Плотность. Детали поверхности (299). § 220. Атмосфера Марса. Фи-
зические условия на его поверхности (301). § 221. Спутники Марса (301).
Малые планеты. § 222. Открытия. Количество. Характер орбит. Раз-
меры (302). § 223. Максимумы и минимумы в распределении периодов
обращений малых планет (305). Юпитер. § 224. Период обращения Раз-
"
ерь'-
Масса- Плотность. Вращение (306). § 225. Спутники Юпитера '(306).
§ 226. Определение скорости света по наблюдениям затмений спутников
Юпитера (308). Сатурн. § 227. Орбита. Размеры. Масса. Плотность. По-
• верхность. Враіфение (309). § 228. Кольцо Сатурна (309). § 229. Спутники
Сатурна (310). §230. Возмущения, оказываемые планетами Юпитером п Сатур-
ном, одной на другую (311). Уран. § 231. Открытие. Орбита. Размеры. Вра-
щение. Спутники. Масса. Плотность (312). Нептун. § 232. Открытие
Орбита. Размеры. Масса. Плотность. Вращение. Спутник (312). Сравне-
ние четырех внутренних и четырех внешних п л а н е т. § 233.
(314). П л у т о н. § 234. Открытие. Орбита (314). 'Направления обраще-
ннй
вращений в планетной системе. § 235 (314).
Кометы
-
с
§ 236' Вид комет <315)- § 237-
Орбиты комет в пространстве (316).
§ 238. Четыре главные группы периодических комет (317). § 239. Отдель-
"нтересные кометы (318). § 240. Вычисление кометных орбит (320).
§ 241 • Первоначальные орбиты комет (321). § 242. Закономерности кометных
орбит (322). § 243. Физическое строение комет (323).
Метеоры н болиды. Зодиакальный свет
§ 244. Метеоры и болиды. Годовая н суточная периодичность их
видимости (324). § 245. Природа метеоров и болидов и причины су-
точной И годовой периодичности их видимости. Орбиты в пространстве
Связь с кометами (326). § 246. Зодиакальный свет (329).
н
Астрономические следствия теории относительности
§ 247. Движение перигелия Меркурия. Отклонение света па краю сол-
нечного диска. Красное смещение (330).
н
Характер движений в солнечной системе
стемі2(330)СХОДСТВ° °рбИТ ПЛа
"
еТ
"
коыет
-
Образование солнечной сн-
Стр.
ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
ЗВЕЗДНАЯ АСТРОНОМИЯ И АСТРОФИЗИКА
Яркость. Цвет. Диаметр. Поверхностная яркость
333
§ 249. Яркость звезд (333). § 250. Видимая и абсолютная звездные ве-
личины (334). § 251. Связь между абсолютной величиной, расстоянием и
видимой величиной (334). § 252. Болометрическая, визуальная, фотографи-
ческая M фотоэлектрическая видимые звездные величины (335). § 253. Со-
отношения различных фотометрических систем (337). § 254. Цветовые экви-
валенты (342). § 255. Диаметры звезд (345). § 256. Поверхностные яркости
Спектры звезд
348
§ 257. Спектры звезд (348). § 258. Сплошной спектр. Эффективная тем-
пература. Цветовая температура (350). §259. Спектр поглощения. Спектраль-
ная классификация (353). § 260. Спектральные классы и цвета звезд (356).
§ 261. Спектры н абсолютные яркости (356). § 262. Двухмерная спектраль-
ная классификация. Спектральный метод определения параллаксов (358).
Свойства атмосфер звезд и теоретическое истолкование звездных спектров ....
359
§ 263. Звездный спектр и атмосфера звезды. Теоретическая проблема
спектрального анализа (359). § 264. Атомные механизмы излучения и погло-
щения света (360). § 265. О количественных подсчетах поглощения й излу-
чения (364). § 266. Состояния равновесия однородной газовой массы, обла-
дающей бесконечным протяжением (368). § 267. Атмосферы звезд. Локальное
термодинамическое равновесие. Непрерывный спектр (383). § 268. Лнннн
поглощения (388). § 269. Числа атомов, находящихся в различных стацио-
нарных состояниях, и спектральная классификация (395). § 270. Количе-
ственные исследования относительной частоты встречаемости элементов
(398). § 271. Максимумы интенсивности спектральных линий в гарвардской
)
серии спектров (400).
Диаграмма Ресселла. Внутреннее строение звезд . .
402
§ 272. Диаграмма Ресселла (402). § 273. Наблюдаемое распределение
звезд в диаграмме Ресселла (404). § 274. Массы звезд в различных областях
диаграммы Ресселла (407). § 275. Внутреннее строение звезд. Положение
звезды данной массы и данною химического состава в диаграмме Рес-
селла (408).
.
к
Собственные движения. Лучевые скорости. Параллаксы. Скорости движений
в пространстве. Движение солнечной системы
412
§ 276. Собственные движения (412). § 277. Движение солнечной системы
относительно звезд различных каталогов (413). § 278. Лучевые скорости (414).
§ 279. Расстояния звезд от Земли (416). § 280. Скорости звезд в простран-
стве (417).
Двойные и кратные звезды
418
§ 281. Визуально-двойные звезды (418). § 282. Массы компонентов
внзуалыю-двойных звезд (421). § 283. Положение компонентов визуально-
двойных звезд в диаграмме Ресселла (422). § 284. Спектрально-двойные
звезды (423). § 285. Спектральные классы спектрально-двойных звезд (424).
§ 286. Вычисление элементов-орбит спектрально-двойных звезд (425). § 287.
Вычисление масс спектрально-двойных звезд (429). § 288. Периоды обра-
щений и эксцентриситеты спектрально-двойных звезд (431). § 289. Массы
спектрально-двойных звезд (434). § 290. Визуально-двойные звезды, у кото-
рых наблюдались изменения лучевых скоростей (434). § 291. Наблюдения
спектрально-двойных звезд интерферометром (435). § 292. Фотометрические
двойные звезды (436). § 293. Вычисление элементов орбит фотометрических
двойных звезд (439). § 294. Фотометрические двойные звезды, элементы ко-
торых удалось определить фотометрическим или спектроскопическим спо-
собами (444). § 295. Обращение компонентов тесных двойных звезд (446).
§ 296. Эффект вращения одиночных звезд (447). § 297. Распределение спек-
трально-двойных и фотометрических-двойных звезд в диаграмме Ресселла
(447). § 298. Кратные звезды (448).
Стр.
Переменные и новые звезды
419
§ 299. Классификация переменных звезд (449). § 300. Теории неремен-
ных звезд (454). § 301. Новые звезды (456).
Звездные скопления и туманности
159
§ 302. Звездные скопления (459). § 303. Галактические туманности (462).
§ 304. Внегалактические туманности (461).
Строение Вселенной
465.
§ 305. Млечный Путь (465). § 306. Первые попытки создания картины
строения Вселенной (466). § 307. Ближайшие звезды. Определение параллак-
сов по собственным движениям (468). § 308. Функция частоты абсолютных
яркостей (472). § 309. Фотометрические параллаксы (476). § 310. Скелет га-
лактической системы (478). § 311. Связь между числом звезд ярче опреде-
ленной видимой звездной величины и ходом пространственной плотности
звезд с увеличением расстояния (481). § 312. Влияние поглощения света
в межзвездном пространстве на связь между числом видимых звезд и про-
странственной плотностью звезд (488). § 313. Изменения функции распре-
деления абсолютных яркостей с расстоянием от плоскости Галактики (491).
§ 314. Структура Галактики (492). § 315. Кальциевое облако в межзвездном
пространстве (494). § 316. Система внегалактических туманностей (495).
§ 317. Движения в системе Млечного Пути (496). § 318. Закономерности
движений звезд (497). § 319. Динамика галактической системы (499). § 320.
Движения, происходящие в ыетагалактической системе (500).
Проблемы космогонии
500
§ 321. Шкала времени. Эволюция звезд (500).
ПРИЛОЖЕНИЯ
'.формулы и методы
505.
Разложение в ряд sin х и cos А- (505). Некоторые формулы и теоремы
из теории ошибок (505). Среднее арифметическое и основа способа наимень-
ших квадратов (505). Решение системы уравнений со многими неизвестными,
причем число уравнений больше числа неизвестных. Способ наименьших
квадратов (506). Начала теории ошибок.
- Систематические и случайные
ошибки (508). Основной закон случайных ошибок (закон Гаусса) (509).,
Сравнения закона ошибок Гаусса с данными опыта. Таблица интеграла
ошибок (510). Средняя ошибка (510). Соотношение между средней ошиб-
кой (Е) и мерой точности (h) (511). Вычисление средней ошибки (Е) на осно-
вании произведенных наблюдений (511). Средняя ошибка искомой величины,
которая сама является функцией одной или нескольких других величин,
средние ошибки которых известны (512). Интерполирование (513). Численное
диференцнрование (515). Численное интегрирование (516). Определение пря-
мого восхождения и склонения небесного светила при помощи окулярного мик-
рометра (517). Зависимость между собственным движением звезды, ее лучевой
скоростью, параллаксом и истинным движением в пространстве (518). Ли-
нейное движение звезды, перпендикулярное' к лучу зрения (518). Движение
Гнад (519). Параллактическое движение (519). Определение
координат
апекса солнечной системы (520). Формулы для вычисления годичного па-
раллакса звезды (521). Число звезд различной величины, видимых на небе
в предположении, что звезды равномерно рассеяны в пространстве н абсо-
лютная их яркость одинакова (523). Среднее значение пространственных
скоростей большого числа объектов и средние значения проекции этих ско-
ростей 1) на прямую и 2) на плоскость, в предположении о равномерном
распределении в пространстве направлений движений этих объектов
(523).
II. Числовые примеры
523 '
III. Возмущения узлов и наклонения лунной орбиты
539
f
СОДЕРЖАНИЕ
(566). Таблица интеграла ошибок
=
I е dt (567).
УTJ
Стр.
543
549
•IV. Математическая теория прецессии и нутации
нутавдя°(54б).
е те0ремы из теории вращения твердого тела (543). Прецессия и
V. Разрешающая сила зрительной трубы
VI. Светосила астрономических труб. Визуальные и фотографические звездные
величины
550
VII. Дисперсия if разрешающая сила щелевого призматического спектрографа .
551
VIII. Постоянные величины. Таблицы
j
'
'
•••••• -
.
557
Величина прецессии и наклонение эклиптики (558). Величина ошибки
&0пределенин
положений светил с древних времен до нашего времени
(558). Предельная величина звезд, видимых при различных методах наблю-
дений (558) Поглощение света (559). Стереоскопические снимки ближайших
звезд и орбиты кометы 1927 с (559). Карты солнечных затмённй (561) Таб-
лицы рефракции (562). Таблицы перевода времени (564). Юлианские числа
•щ
Главная астрономическая обсерватория Академии наук СССР в Пулкове.
V
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
r0JJ: АстР°Н0МИя1) —в буквальном смысле слова значит учение о небесных
свет„лаХ) считая в том чнсле
Солице и л
и
У
астрономия
представляет собой науку о телах, находящихся в мировом пространстве; второе
сяТ тшоке "и ЗемГеТСЯ
°
Т ПерВ°Г
°
Л"ШЬ
ЧТ°
к ЧИСЛУ небесных светил отно-
ron„°foaKO априорно еще нельзя было утверждать, что оба эти определения
сводятся к одному, и прошло много столетий, прежде чем наука с достовер-
ностью доказала справедливость такого положения. Действительно астрономия
обладает одной особенностью, которая представляет некоторые затруднения^Для
лиц приступающих к ее изучению; дело заключается в том, что воТогич слу-
непогпРПГаеТСЯ РеЗКОе РЭЗЛИЧИе
'
а ИН0ГДЗ ДЗЖе и
"Р
ямо е
противоречие меж-
непосредственными впечатлениями, получаемыми при наблюдениях, и тем
происходит в мировом пространстве на самом деле, т. е ., иными словамГ междо
кажущимися явлениями и действительностью.
У
ЖенмѴ£СКтZ йС"ір0Н0Мия снимается изучением взаимного расположения и дви-
жения всех тех объектов, которые мы наблюдаем на небе, причем положения
Г=еГ.°
бЪеКТ0В
ИЗУЧЗЮТСЯ ТаК
'
КаК
-
ИХ
непосредств" н -
н*и\Л^1гиЧеСКаЯ
ПШР°номи
>1
описывает способы астрономических наблюде-
ний и относящихся к ним вычислений и устройство астрономических инструмен-
Практической астрономии относится также описание способов опредедон я
астрономических широт и долгот точек земной поверхности на суше(полевап
Ä»^
"
а М0Ре
и
в(~е
движения небесных тел как результат действия одной общей причины и назы-
а
е:1Г
м еха
»TMой. Учение о физических особенностях' небесных тел
в современной астрономии выделено в особый отдел, который носит название
УЧеИИе
°
МИРС НеП0ДВІ,ж ,ІЫХ —Д . Рассматриваемом с^ различных
°
n
3fH1,iI' составляет предмет звездной
астрономии.
Звездную астрономию
ста Го^ГКУЧДСТ° НаЗЫВаЮТ W030Û гномик
в то время как сГерическ^ю
астрономию и небесную механику называют классической
астрономией.
нпѵ^ п?пИЧеСКИЙ Х°Д РаЗВНТИЯ астРОНОМ„и был таким же, как и ряда других
fill".« »?
о"" ШаГ
°
М ЯВНЛИСЬ набл
'°
дTM«*- Путем сопоставления результатов на*
но тГН1еашГ7ЮЭТоУЛаВаЛОСЬ П°ДМеТИТЬ ИЗВеСТНу'°
"Р—ность L/заішномёр-
'
0ВСВ0Юоче
РеД
ь
позволяло рассматривать полученные ре-
зультаты как проявления некоторого общего правила или общего закона Когда
таким способом был установлен целый ряд закономерностей то оказТось воз
ыожным подчинить их еще более обобщающему закону и т. д.
°
Ка3аЛ0СЬ В03"
Пр,1С"ереваСтрОНОМи
'
1 ПР°НСХ°ДИТ от гроческих слов сЫроѵ_светило и v6^s_закон.
ч
Астрокоыии
2"
Само собой разумеется, что результаты, полученные путем такой
индукции,
имеют ту или иную степень вероятности, но еще не являются абсолютно досто-
верными. Для установления определенного закона требуется, вообще говоря, не-
ограниченное число фактов, между тем как при установлении закона по индукции
по необходимости приходится довольствоваться только ограниченным количеством
собранного наблюдательного материала. Поэтому в дальнейшем поступали так:
добытый путем индукции результат рассматривался, как уже соответствующий
действительности, и на основании его устанавливалась некоторая гипотеза;
за-
тем выводили путем дедукции
все те следствия, какие только можно было' по-
лучить из этой гипотезы. Построенное путем такого хода мысли здание носит
название научной теории.
Если такая теория справедлива, то па основании ее
при помощи дедукции можно будет вновь притти к тем первоначальным резуль-
татам, которые послужили для индуктивного построения самой теории, при этом
можно будет вывести из теории некоторые новые следствия, которые прежде
не
были известны; если эти вновь открытые следствия можно будет проверить путем
наблюдений или произведенных опытов, то мы получим новые доказательства
справедливости нашей теории. Поэтому понятно, что достоверность всякой теории
в значительной степени возрастает, если во всех случаях наблюдается полное
совпадение между данными опыта и теорией; такую теорию можно считать спра-
ведливой даже тогда, если вне человеческих сил добиться абсолютной истины.
Но если только в одном каком-либо случае обнаружится противоречие между
данными опыта и теорией и если это противоречие нельзя будет объяснить
ошибками в наблюдениях или неправильностью хода рассуждений, то тогда' мы
должны будем совершенно отвергнуть принятую нами гипотезу или же изменить
се соответствующим образом.
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ИНСТРУМЕНТЫ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
§ 2. Астрономическая труба. Для производства астрономических
наблюде-
ний необходимо иметь в своем распоряжении определенные оптические и меха-
нические приборы. Для получения результатов на основании произведенных на-
блюдений в большинстве случаев единственным методом является математика.
Для понимания дальнейшего
нам придется
поэтому сделать предварительно
несколько замечаний.
При астрономических наблюдениях обыкновенно приходится иметь дело с изме-
рением углов. Для этой цели нужно иметь: во-первых, прибор для визирования,
а во-вторых, особое приспособление для определения величины измеряемого угла.
Если при визировании достаточно довольствоваться точностью, даваемой на-
блюдениями простым глазом, то можно употреблять в качестве прибора для
визирования так называемый диоптр; сообразно цели, для которой они предна-
значаются, применяются днопгры различного устройства; например, делают ма-
ленькую дырочку в подставке, на некотором расстоянии перед ней устанавли-
вают крест нитей и визируют наблюдаемый объект через дырочку и крест
Iнитей. Точность визирования будет гораздо больше, если вместо диоптров мы
.б удем пользоваться зрительной трубой, которую легко превратить в прибор для
визирования при помощи небольшого добавочного приспособления.
Важнейшую часть астрономической
трубы составляют две двояковыпуклые
линзы; линия, соединяющая центры обеих сферических поверхностей, ограничи-
вающих эти линзы, называется оптической
осыо трубы. Линза, обращенная к от-
даленному наблюдаемому предмету, называется объективом;
она имеет сравни-
тельно большое фокусное расстояние, а поэтому ограничивающие ее сферические
поверхности имеют малую кривизну. Другая линза называется окуляром1),
так
как она находится непосредственно перед глазом наблюдателя; фокусное рас-
J) Названия объектив и окуляр
происходят от латинских слов: objectum —предмет,
объект и oculus — глаз. —
ГІрим. перев.
стояние у нее делают значительно короче, чем у объектива. Есчи чѵчи mem
идущие от какой-либо точки, которая настолько удалена, что .Гх можно счшгіт,'
ЗГГекаюѴсГвР7ош-е ТТГ
"
^
Л^
»
-
поел ГTM ом лещ
n il,
-
В'
которая называется главным
фокусом
объективт
расстояние от нее до объектива называется его фокусным расапопіш^
Venu
лучи света после преломления в объективе по
выходе"T
направления или же идут параллельно самим себГГточк
в ZZTI СВ°еГ°
пересекались внутри- объект!, называется его опт'^ским'це.цродГ
""
Если в трубу наблюдают предмет заметных размеров, то в точке В полѵ
^оГд—pirr
——
- ÂÏS:
Если окуляр установлен так, что его главный фокус совпадает с сЬокѵгпм
Ьг
==
был ближе к глазу, чем фокус лупы. Таким образом
'
'
°°
Ы
для близорукого глаза надо глубже вдвигать окуляр
в трубу, чем для дальнозоркого.
Если наблюдаемый предмет удален настолько,
что лучи, идущие от него, нельзя считать парал-
лельными, тогда лучи пересекутся не в главном
фокусе В, а на более значительном расстоянии от
объектива. Поэтому
при наблюдении более близких предметов окуляр надо
TMTlaJb И3 ТРУбЬІ' 3 ПР
"
наблюде"ии
предметов, расположенных дальше его
пядо вдвигать.
3еЛиЧеНие тРубы Рзвно отношению фокусного расстояния объектива к фо-
кусному расстоянию окуляра. Эго число приблизительно равно отношению угла
Р
^,Г0РЫМ
ГЛЭЗ ВИД,ІТ Чере3 окуляР изображение отдаленного предмета
ЛпГ2, Р
'
П0Д К0Т°РЫМ тот
самый предмет виден простым глазом Иными
кяГѵгп'п
УпеЛИЧеИИе П0КЗЗ?ает
'
во
сколько
Раз труба- приближает предмет Так
как угол зрения при этом бывает, вообще говоря, очень малым, то с достаточно
~ю
М0ЖН° ПРИНЯТЬ> что угол зрей"«, под которым виден предмет, обратно
пропорционален расстоянию до него.
ииунно
При астрономической трубе всегда имеется набор окѵляров с различными
£ ил?Тѵ.ЛССТ0ЯНИЯМИ"
ИЗ °ПЫТа ИЗвестпо
'
что
с
выгодой можно применить
у или иную силу увеличения в зависимости от состояния атмосферы. При ндеаль-
шх атмосферных условиях изображение яркой звезды в хорошую трубу пред-
Z2T rlDr Г*
ЯРК0Г° КруЖ0ЧКа> В0КРуг второго видны маленькие светлые
сольца, свет колец кнаружи ослабевает. Это явление происходит вследствие ди-
Вследствпе прнчин
' о которых будет сказано ниже (см. § 39TMря»ю-
;; путь
световых лучей подвергается искажениям при прохожден и через
НеспокойнымИ R ЗчтиѵЖе""е
'
Да
"
аеМ°е
^^нпом,
делается ' неотчетливы Г,
еспокойным. В этих случаях сильное увеличение только ухудшает еще более
іесовершенство изображения, наблюдаемого объекта.
ЬкѵпСлеДУ,ГШЙ ^0^6
на,,более удобен для определения силы увеличения трубы
куляр ставят на бесконечность, т. е . наводят сперва трубу на весьма удалей
предмет, лучи света от точек которого можно считать
параллельными
устанавливают окуляр так, чтобы предмет был отчетливо видеГзгам
S
Фавляют трубу на ясное небо; тогда глаз, находящийся „а некотором расстоянии
Фиг. I. Астрономическим труба
(рефрактор).
позади окуляра, получит впечатление, как будто сразу позади окуляра в воздухе
плавает маленькое, светлое, круглое пятнышко1). Если удастся с достаточной
точностью измерить диаметр ci этого пятнышка, то, обозначая через D диаметр
объектива, получим для увеличения отношение D:d. (Следует, однако, заметить,
что внутри трубы при этом не должно быть диафрагмы, которая задерживала бы
часть лучей, идущих от объектива. В отсутствии диафрагмы можно убедиться
следующим образом: ставят источник света за окуляром и смотрят снаружи на
объектив; если освещен весь объектив, то можно считать свободным все отвер-
стие объектива.)
Пучок световых лучей, выходя из окуляра, на определенном от него рас-
стоянии а (фиг. 2) дает резко отграниченное поперечное сечение; в этом-то месте
л
и видно упомянутое выше светлое пятнышко. Само
пятнышко представляет собой изображение, даваемое
окуляром от оправы объектива, которая играет роль
светящегося предмета (линзу объектива при этом мы
можем не принимать во внимание). Обозначим через F
Фиг. 2.
фокусное расстояние объектива и через /—фокусное
расстояние окуляра; тогда расстояние от объектива А
до окуляра Сбудет приблизительно равно F-\ -f\ согласно известному из оптики
закону имеем
7Г+/Т-«
/'
откуда получается
где Fl/—увеличение
трубы. Из чертежа видно, что D:d = {F-\ -f):a,
а следо-
вательно, и отношение Did равно увеличению трубы.
Если увеличение так мало, что диаметр светлого пятнышка больше попе- '
речника зрачка глаза, то тогда часть света не попадет в глаз. С другой стороны,
дифракция света оказывает вредное влияние на качество изображения, если диа-
метр гіятиышка меньше некоторой определенной величины; на основании опыта
такой предельной величиной принято считать 0,25 мм. Таким образом эта вели-
чина определяет высший предел для увеличения, которым можно с наибольшей
выгодой пользоваться, наблюдая наиболее совершенными объективами при самых
благоприятных атмосферных условиях..
Описанный выше способ определения увеличения можно применять также
и для земных труб, но этот способ непригоден для труб с галилеевой системой
линз, применяемой главным образом в биноклях. В галилеевой трубе окуляр пред-
ставляет собой двояковогнутую линзу, в которой ход лучей иной, нежели у двояко-
выпуклой линзы.
Помимо увеличения большое значение имеет светосила
грубы. Чем больше
поверхность объектива, предназначенная для „улавливания" световых
лучей,
тем больше света соберется в его фокусе. Поэтому в трубу можно видеть
звезды, которые настолько слабы, что их нельзя рассмотреть простым глазом,
а число звезд, которые можно увидеть — или сфотографировать, — увеличивается
с увеличением диаметра объектива.
При рассматривании (или при фотографировании) светил, имеющих заметный
диск (планет, туманностей .и пр.), нужно иметь в виду следующее: если фокусное
расстояние объектива увеличивается в такой же мере, как и его диаметр (или,
как говорят,
„отверстие трубы"), то в этом случае сила света в каждой точке
диска планеты остается одна и та же, так как размеры диска увеличиваются
в той же пропорции, как и фокусное расстояние. В обыкновенных астрономиче-
ских трубах, применяемых при визуальных наблюдениях, фокусное расстояние
1) Это светлое пятнышко, в котором собираются все лучи, даваемые окуляром, называется
окулярным окном.—
Прим. перео.
обычно делается приблизительно в 15 раз больше отверстия объектива; но если
нужно, чтобы труба обладала особенно большой светосилой, тогда применяют
соотношение между фокусным расстоянием и отверстием объектива меньше 15.
Часто с большим успехом пользуются при наблюдениях обыкновенным биноклем,
который, таким образом, играет роль „ночной трубы".
Одно из преимуществ
бинокля заключается в тЬм, что в пего смотрят обоими глазами, а другое, еще
более важное — в
.том, что у него фокусное расстояние малб по сравнению
с отверстием объектива.
Когда в XVII веке начали строить зрительные трубы, то натолкнулись на очень
неприятное обстоятельство, заключавшееся в том, что пучок лучей белого цвета,
проходя через объектив, разлагается
вследствие того, что составляющие его
лучи разных цветов преломляются неодинаково; сильнее всего преломляются лучи
фиолетовые, слабее всего — лучи красные, а между этими цветами располагаются
все остальные в том же порядке, как и цвета радуги. Вследствие этого не все
лучи собираются в точке В (фиг. 1); фиолетовые лучи пересекаются ближе
точки в к объективу, а красные — дальше нее. При любой установке окуляра
изображение получается неотчетливое с окрашенными краями. Долгое время при
изготовлении труб для астрономических наблюдений старались помочь делу тем,
что употребляли объективы, поверхности которых имели очень малую кривизну
но тогда у них Сыло чрезвычайно большое фокусное расстояние, иногда в 60—70.».
Объектив с таким фокусным расстоянием нельзя было вставить в одну трубу
с окуляром; его приходилось устанавливать на башне или па специальных
подмостках и оперировать им с земли, где находился окуляр.
В конце XVIII столетия удалось сконструировать ахроматическую
линзу.
Было установлено, что так называемое стекло флинтглас, которое имеет почти
такой же коэфициент преломления, как и обыкновенное стекло (кронглас), обла-
дает, однако, значительно большей способностью рассеивать лучи разных цветов.
Тогда стали составлять объектив из двух стекол резных сортов; одну линзу,
двояковыпуклую, делали из кронгласа; другую делали из флинтгласа; поверхность
этой второй линзы, обращенная внутрь, делалась вогнутой, а наружная поверх-
ность— слегка выпуклой; радиусы поверхностей вычисляли с таким расчетом,
чтобы лучи двух каких-либо определенных цветов, например, желтого и синего,
собирались в одной и той же точке. Таким приемом в большинстве случаев уда-
валось устранить недостаток объектива, происходивший от хроматической абер-
рации. Применяя три и более линз для составления такого сложного объектива,
удавалось добиться и еще лучших результатов.
Ахроматические линзы вошли во всеобщее употребление главным образом
в начале прошлого столетия благодаря работам Фраунгофера, но еще раньше при
астрономических наблюдениях с успехом стали пользоваться зеркальными
теле-
скопами (рефлекторами).
Рефлекторы не имеют хроматической аберрации, но
зато они обладают другим недостатком: лучи, отраженные вогнутым зеркалом,
падают на другое зеркало, которое в свою очередь отражает их по такому на-
правлению, чтобы голова наблюдателя не оказалась на пути отраженных лучей.
Сперва зеркала изготовлялись металлические, и делали их иногда очень больших
размеров; например, зеркало, изготовленное Виллиамом Гершелем для его „теле-
скопа-гиганта", было диаметром в 122 см, а фокусное расстояние его было в 10 раз
больше. В позднейшее время, по предложению Фуко, стали изготовлять зеркала
из стекла; вогнутую сторону его покрывают (химическим путем) слоем серебра,
обладающим хорошей отражательной способностью. Время от времени зеркало
необходимо серебрить вновь1).
При фотографировании
неба фотографическая пластинка должна быть уста-
новлена в том месте, где в трубе получается изображение наблюдаемого объекта,
т. е . центр ее должен совмещаться с главным фокусом объектива. Так как нам
«„„
В последнее
?Ремл
зеркала на ряде обсерваторий покрываются пе серебряным, а алю-
миниевым слоем. Алюмшшрованное зеркало отражает больше ультрафиолетовых лѵчеіі
и тускнеет значительно медленнее посеребренного, — Прим ред
кажется, что небесная сфера псе время вращается, то и труба должна переме-
шаться в том же направлении. Это перемещение трубы производится при помощи
часового механизма; однако действие часового механизма необходимо все время
исправлять, следя глазом за перемещением светила. Для этого труба, с помощью
которой производится фотографирование, прочно соединена с другой трубой,
в которую наблюдатель следит, чтобы данное небесное светило всегда оставалось
в одном и том же месте в поле зрения трубы1). Если труба, предназначенная
для фотографирования неба, представляет собой рефрактор,
то его ахроматиче-
ский объектив надо рассчитать несколько иначе, чем объектив для обыкновенной
трубы, потому что лучи, сильнее всего действующие на фотографическую пла-
стинку (синие и фиолетовые), отличаются от лучей, действующих сильнее всего
на-глаз (желтые). Если приходится фотографировать чрезвычайно слабые объекты
и применять для этого экспозицию продолжительностью в несколько часов, то
выгоднее всего пользоваться зеркальными телескопами с очень коротким фокусным
расстоянием.
Самые большие телескопы имеются, сейчас в Америке. Ликская обсерватория,
построенная на вершине горы Гамильтона в Калифорнии (на высоте 1300 м над
уровнем моря), имеет в своем распоряжении рефрактор; диаметр его объектива
равен 91 см, а фокусное расстояние 17 м. В 1897 г. на Иерксской обсерватории
был установлен рефрактор еще ббльших размеров, с отверстием объектива
в 102 см и фокусным расстоянием 19 м; эта обсерватория принадлежит Чикаг-
скому университету, хотя она и расположена в штате Висконсин. Постройка .та-
ких громадных труб стоила чрезвычайно дорого. Один только объектив рефрак-
тора для Иёрксской обсерватории обошелся в 66 000 долларов (около 130 000 руб.).
Огливка стеклянных линз для него производилась в Европе, а шлифовка—
в Америке; обе эти операции были связаны с большими трудностями. На горе Виль-
сона в Калифорнии, на высоте 1740 м над уровнем моря находится обсерватория,
которая среди прочих инструментов имеет в своем распоряжении рефлектор с от-
верстием зеркала в 254 см и фокусным расстоянием 128/ч м (см. фиг. 39 на
вклейке между стр. 64 и 65); при помощи добавочного выпуклого
зеркала
фокусное расстояние трубы может быть еще увеличено. В настоящее время
в США строится рефлектор с отверстием зеркала в 500 см ^).
Дополнительные сведения о разрешающей силе и о светосиле астрономиче-
ской трубы содержатся в Приложении (см. стр. 549—551).
§ 3. Визирование. Астрономическую трубу можно превратить в прибор для
визирования; для этого внутри трубы, в плоскости, проходящей через главный
фокус объектива, устанавливают рамочку, на которой натянут крест нитей; ни-
тями служат обыкновенно паутинки,' взятые из кокона паука. Линия, которая со-
единяет пересечение нитей с оптическим центром объектива, называется
оптиче-
ской осью трубы*).
Она обыкновенно не вполне совпадает с оптической осью
объектива' ,
но если эти оси значительно отклоняются одна от другой, то тогда
изображение становится
неотчетливым. Крест нитей нужно отчетливо видеть
в окуляр; направив затем трубу на какой-нибудь отдаленный пункт, например на
звезду, так, чтобы изображение ее точно совпадало с пересечением нитей, этим
самым убеждаются, что оптическая ось трубы наведена на звезду.
Ч Такая „двуствольная труба, состоящая из двух труб —одной для фотографирования
неба и другой для визуальных наблюдений, —называется астрографом. — Прим. перев.
'-) В СССР самый большой рефрактор находится сейчас на Пулковской обсерватории
(близ Ленинграда). Он установлен в 1884 г. и был тогда самым большим телескопом в мире;
теперь по величине он занимает 5-е место. Его объектив имеет диаметр 76 см и фокусное
расстояние 1410 см.
На обсерватории в Симеизе (в Крыму) в 1926 г. был установлен рефлектор: диаметр его
зеркала 102,2 см н фокусное расстояние 16 м. В настоящее время для обсерватории СССР
изготовляется еще рефрактор, диаметр его объектива бѵдст не меньше 80 см. Заграничные
фирмы не смогли отлить соответствующую массу стекла для такого объектива, и стекло от-
ливается на советском заводе. — Прим. перев.
3) Иногда эту линию называют визирной осью.
—
Прим. перев.
Очевидно, что при таком способе точность визирования значительно увели-
чивается. Мы можем видеть предмет простым глазом, если угол зрения на него
умом \\ZTV ТРУбУ ° увел,,чением
в 60 Раз М0Ж1|° видеть предметы под
§ 4. Измерение углов. Прибором для измерения
углов
служит круг или ду-
говой сектор, па краю которого нанесены деления. Деления эти должны быть
нанесены с большой тщательностью так, чтобы они были точно равны одно дру-
гому; поэтому их наносят на круги при помощи особой делительной машины.
Круги обыкновенно делаются металлическими »). Но чтобы они не имели излиш-
него веса, круги изготовляют в виде колес со спицами. Трубу скрепляют с го-
ризонтальной осью инструмента так, чтобы эта ось проходила через центр круга
с делениями (подобно втулке колеса). Таким инструментом можно измерить угол
между двумя направлениями, расположенными в плоскости круга с делениями-
для этого нужно только, чтобы при трубе имелся указатель, который передви-
гался бы одновременно с вращением трубы вокруг своей оси и отмечал бы на
круге с делениями точки, соответствующие различным положениям трубы. Устрсй-
сгво этого указателя бывает различным в зависимости от задачи, для которой
построен инструмент; подробнее об этом будет сказано ниже.
Легко понять, что простого указателя не всегда бывает достаточно для того,
чтобы делать точные отсчеты. Даже в тех случаях, когда не требѵется высокой
степени точности, указатель делают в виде рычага, на конце которого имеется
небольшая дуга. Наружный край этой дуги тесно прижат к внутреннему краю
круга с делениями; на дуге нанесен штрих или индекс,
при помощи которого от-
считываются деления круга. Но если индекс установится между двумя делениями
круга, то тогда приходится на-глаз оценивать расстояние от штриха до индекса
иценка на-глаз расстояния от штриха не дает достаточно точных результатов,
как мы увидим это из дальнейших рассуждений.
«пгTM0ПпСІ!Ш' "°диаметР
кРУга Раве"
одному метру, тогда длина его окруж-
ности равна о 142 мм; но окружность круга соответствует 60-360 = 21 600'
следовательно, одной минуте дуги соответствует около Ч~ мм . На практике круги
не делят на такие мелкие части; обычно принято разделять круги на 2' или на 5'
а если размеры кругов невелики, то делят их и на более крупные части. Но так'
как желательно отсчитывать по кругу с такой же точностью, с какой можно де-
лать наведения трубой, то очевидно, что производство отсчетов при помощи- опи-
санного выше индекса не даст удовлетворительных результатов, так как TDV6V
можно наводить с точностью до секунды дуги.
.
В таком случае придется пользоваться вспомогательным
приспособлением
чтобы повысить точность отсчетов. Такое приспособление, которое служит как бы
промежуточным органом, связывающим круг с трубой, с давних пор называется
алидадои
и имеет вид или дуги, или чаще полного круга, который установлен
на оси концентрически с разделенным кругом. Круг, на котором нанесены деле-
ния, носит название лимба.
При измерении углов безразлично, скреплена ли
алидада наглухо с трубой и вращается ли вместе с нею вокруг горизонтальной
оси, в то время как лимб остается неподвижным, или лимб вращается вместе
с трубой, а алидада остается неподвижной.
Нониусом,
или верньером,
называется такое приспособление для отсчетЬв,
которое весьма часто применяется не только при отсчетах по разделенным кру-
гам, но и по прямолинейным шкалам. На дуге алидады, на которой находится
индекс, отложен отрезок, соответствующий по длине некоторой части лимба- этот
отрезок разделен на части; число делений на одно больше (иногда на одно
1е!£Ше)р Ч6М С00тве тс твУ
юи
*ее
число делений равного ему по длине отрезка
лимба. Если нониус имеет п делений, то тогда («—1) делений лимба равно п де-
лениям нониуса, откуда 1 деление нониуса равно (I-1/,,) делениям лимба,
Шь2-ПрСимЛ}переТМЯ тTM
У ИСКОТОрых пебольшнх приборов стали делать стеклян-
а разность
между одним делением лимба и одним делением нониуса равна і/„ деления
лимба. Следовательно, при помощи нониуса можно отсчитывать деления лимба
с точностью до і/л. Способ применения этого остроумного приспособления оче-
виден из фиг. 3 . На ней деления нанесены так: отрезок, равный 9 делениям лимба,
отложен на нониусе, и этот отрезок на нониусе разделен на 10 частей, следова-
тельно, п = 10. Штрих на нониусе, обозначенный 0, принимается за индекс; на
фиг. 3 индекс установился между „1" и „2" делениями лимба; паша задача состоит
в том, чтобы узнать, на каком расстоянии он отстоит от „1", т. е . от младшего
(с меньшим отсчетом) деления лимба. Так как длина деления лимба на очень
малую величину отличается от длины деления нониуса, то всегда можно заметить
штрих нониуса, который является как бы продолжением штриха лимба, т. е., как
говорят, „совпадает" с ним. Из чертежа видно, что совпадает 3-й штрих нониуса.
Если мы пойдем от этого штриха назад, то увидим, что штрих нониуса „2"
отстоит от ближайшего младшего деления лимба на величину ^п (в нашем при-
мере на 0,1); штрих нониуса „1" отстоит от ближайшего младшего штриха лимба
на величину, в два раза ббльшую, т. е. на 2/и (т. е . на 0,2), и, наконец, штрих
нониуса „0" отстоит от ближайшего младшего штриха лимба, т. е . от „1",
на
величину, в три раза ббльшую, —на 0,3. Следовательно, отсчет по лимбу будет
равен 1,3. Отыскав таким образом штрих нониуса, ' который служит как бы
продолжением какого-нибудь штриха лимба, мы замечаем число, соответствующее
этому штриху нониуса; это число и выразит дробную часть деления лимба. Обы-
кновенно при построении нониуса берут п больше 10. Например, если круг раз-
•—
?12з4587gв'й
делен на целые градусы, а нониус имеет
т—j't'7II.I
'iIII VHmvc
60 делений> то отсчеты по кругу можно
Aо'234!67g9il12в*Лимб
делать с точностью до минуты.
Если
-
деления круга соответствуют 3' или 180",
Фиг. 3. Нониус.
а
нониус имеет 90 делений, то отсчеты
можно делать с точностью до 2".
Более точные приспособления для отсчета делений кругов основаны на при-
менении вспомогательного устройства, имеющего широкое применение и в других
областях науки, а именно, на применении микрометрического
винта. Точно
нарезанный винт проходит сквозь неподвижно укрепленную гайку и передвигает
рамочку, на которой натянута нить (или две параллельные нити), перпендику-
лярно к направлению перемещения винта и рамочки. Таким образом при каждом
полном повороте винта нить передвинется вперед на расстояние, равное расстоя-
нию между двумя соседними ходами винта (т. е. на величину шага винта); для
отсчета дробных долей поворота винта на конце его сделана больших размеров
головка в виде цилиндра (барабана), по краю которого нанесены деления; рядом
с барабаном установлен неподвижный индекс. Например, если ход винта равен
Va мм, а барабан разделен на 100 частей, тогда можно делать отсчеты с точностью
до
'/аэоо мм> если при этом оценивать на-глаз десятые доли делений на головке винта.
Применяя такой прибор для отсчетов делений круга, например, для измере-
ния расстояния от индекса (индекс соответствует нулевому делению нониуса
на фиг. 3) до ближайшего младшего штриха лимба, его нельзя устанавливать так,
чтобы нить скользила вдоль лимба. Над лимбом устанавливают обыкновенный
микроскоп,
объектив которого дает обратное и увеличенное изображение штриха;
изооражение это рассматривается через окуляр, причем рамочку с нитыо микро-
метра можно установить в том месте трубки микроскопа, где получается изобра-
жение штриха; пить, конечно, должна быть расположена параллельно штриху
лимба. Индекса в микроскоп обыкновенно не видно, он может находиться на
другой стороне круга. Индексом пользуются только для отсчета по лимбу целого
числа делений. Отсчеты же долей делений производятся при помощи микроскопа.
Отсчеты удобно производить, если индекс микроскопа стоит на муле, когда
индекс круга совпадает с каким-нибудь делением лимба; для этого необходимо
так установить микроскоп, чтобы при одном или нескольких оборотах микро-
метрического винта нить передвигалась точно на одно деление лимба. Например
если круг разделен через 2',
а барабан микрометрического винта делает два
полных оборота при перемещении нити от одного штриха до другого, то при
60 делениях на барабане отсчет можно делать с точностью до одной секунды
а на-глаз оценивать даже десятые доли секунды.
§ 5. Секстан. Как мы увидим дальше, большинство астрономических инстру-
ментов надо устанавливать на прочных подставках. Но существует один тип
инструментов, так называемые отражательные
инструменты,
которые при наблю-
оптики ХКНпл ДеРЖаТЬ
В РУКе-
УстР°«
ст
«->
-
основано на следующем
коне
оптики. Два плоских зеркала устанавливаются перпендикулярно к одной и той же
плоскости. Если луч света, идущий параллельно этой плоскости, падает сперва
на первое зеркало, отражается от неге, а затем падает на второе зеркало
IZUrrr
"
Г150"
3ерКаЛ3
'
°
бра3уеТ С первоначальным ^своим
направлением (т. е. до отражения от первого зеркала) угол, равный удвоенной
величине угла между продолженными плоскостями обоих зеркал.
удвое нно»
На фиг. 4 зеркала обозначены буквами А и В; оба они расположены пеппен
дикулярно к плоскости чертежа. Луч света падает сперва на зеркалоТ і об
зует с ним угол
отразившись от зеркала, луч падает на второйзіралоВ
УРИГ Ѵб РГУеТ if еГ0 ПЛ0С,С0СТЬЮ угол *> а зате
"
отражается от ^его вторично'
Угол, образуемый дважды отразившимся лучом с продолженным его
Зона'
чальным направлением, обозначим буквой a, a угол между продолженными
Z"
скостями обоих зеркал-буквой Ь. Углы, обозначенные7 ^ачерЛже одними й
теми же буквами, равны между собой. На основании фиг. 4 из ЗЗнЗТяС
(где 2л; —внешний угол) имеем а = 2л; —2 у; из треугольник-,Ann0
ний угол) имеем Ь = х-у, 0ТКуда получаем а
АВ° ^
*~
ВНеШ"
Из отражательных инструментов наибольшим распространением
пользуется
кпѵОГя TMМЫ(1
ТаК
П0Т,°,
МУ'
что
л
"
мб
не представляет собой полного
пРЗГиѴ « охвать,вает
;олысо 7в окружности. Устройство секстана изображено
на фиг. 5; лимб его обозначен буквами CD, причем начало делений
нѵльпНнкт)
находится в точке N. Буквой H обозначена алидада, на которой в / едходНтся
нониус (на чертеже деления нониуса не изображены). Алидада вращается НоНННг
А и Я КРУ;апПРИ
П0М°ЩИ Цапфы
'
п
Ричем ^Рньер передвигается вдоНь лимба
стана ТР^ лН 7ИХ 3еРКаЛа
'
установленных перпендикулярно к плоскости секГ
стана, зеркало А называется большим зеркалом, оно прикреплено к алипяле „
TM.Г6"6
мПеЮ; МЗЛОе 3еркало 5
установлено неподвижно на ^дной
тпѵбѵ I
а
-
Маленькая
зрительная труба І< прикреплена к другой спице
т
РУбу К можно направлять на зеркало В.
У
спнде.
зепкп°п
Гаа
"
уЛЬпункт
веРньеРа совмещается с нульпунктом алидады N то оба
зеркала устанавливаются параллельно одно другому. При каком-либо ином поло
Злидады Дуга л
"
мба
-
пройденная нульпунктом алидады, со^тветГвуёт угл;
между продолженными плоскостями обоих зеркал. Если при некотором опреде-
ленном положении большого зеркала луч света, идущий от удаленного пред-
мета
после двойного отражения попадает в трубу /С, то, как видно из чер-
тежа, мы увидим в трубу предмет S; но при этом в трубу можно наблюдать еще
и другие предметы. У зеркала В посеребрена только половина, другая же его
половина представляет собой прозрачное стекло, через которое в трубу можно
видеть другие предметы, расположенные по направлению F. Если передвинуть
алидаду так, чтобы изображения обоих предметов в трубе покрывали одно дру-
гое, то тогда луч света, идущий непосредственно от предмета F, совместится
с дважды отразившимся лучом, идущим от предмета S, а следовательно, угол
между направлениями на F и на S будет в два раза больше угла между зерка-
лами А и В\ угол же между зеркалами можно измерить отсчетами по лимбу.
Чтобы ^не производить умножения на 2, лимб разделен не от 0 до 60°, а от 0
до 120°,
и каждое деление принимают соответствующим одному градусу. Таким
образом при помощи верньера можно непосредственно отсчитывать углы между
лучами зрения, направленными на два отдаленных предмета, если только они
находятся в плоскости секстана.
Если алидаду вновь поставить на нуль (т. е. совместить нульпункт верньера
с точкой N), то тогда можно будет видеть в трубу непосредственно отдаленный
предмет и его дважды отраженное изображение; но иногда бывает, что, когда
эти два изображения точно покрывают одно другое, т. е. когда оба зеркала
строго параллельны, нульпункт верньера не совпадает с нульпунктом лймба.
Такое несовпадение называется ошибкой, индекса
секстана *), и ее нужно прини-
мать во внимание при измерении углов. Такой отсчет по лимбу, когда оба изо-
бражения в трубе совмещаются, дает место нуля
лимба.
§ 6. Часы. Хорошие часы представляют собой весьма важный прибор, который
применяется при многих астрономических наблюдениях; часы не только дают
время, но в некоторых случаях (как мы это увидим ниже) заменяют круги с деле-
ниями при измерении углов.
В состав часов входят следующие главнейшие части:
1) Двигатель,
которым может быть
груз, приводящий часы в движение
своей тяжестью, или же сильная пружина, действующая своей силой упругости.
2) Часовой
механизм,
в собственном смысле слова, который представляет
собой ряд зубчатых колес; эти колеса служат передаточным механизмом, который
превращает медленное движение двигателя в быстрое перемещение стрелок часов.
3) Регулятор,
который всегда представляет собой тело, производящее коле-
бателыіые движения; у больших часов регулятором служит маятник,
а у пере-
носных часов так называемый балансир.
Передаточный механизм между регулято-
ром и часовым механизмом называется спуском.
Он состоит из последнего колеса
часового механизма, так называемого секундного колеса, которое легко узнать
потому, что у него косые зубчики. Дугообразное приспособление в виде якоря,
которое колеблется вместе с регулятором, имеет на концах два зубчика; они пооче-
редно попадают между зубцами секундного колеса. Пока один из зубчиков якоря
находится между зубчиками
секундного колеса, часовой механизм остается
и покое; но как только регулятор при своем колебательном движении откачнется
в свое крайнее положение, зубчик якоря освободится от зубцов секундного
колеса, и часовой механизм опять придет в движение; одновременно с этим якорь,
а следовательно, через его посредство и маятник или балансир получают легкий
толчок; этот толчок получается от давления, производимого двигателем через
посредство ряда зубчатых колесиков. Но через мгновение другой зубчик якоря
попадает между зубцами секундного колеса, так что колесо это никак не может
повернуться больше, чем на величину одного зубца за время одного колебания
регулятора.
Упоминаемая ошибка индекса называется также коллимационной
ошибкой сек-
стана.—
Прим. перев.
а
-,TM
3 ВСеГ°
сказанного
выше
следует, что равномерным ход часов будет только
тогда когда промежуток времени между двумя последовательными выключениями
впемп ін механизма остается всегда одним и тем же или, иными словами Ггд
время качания регулятора остается постоянным. В известной степени на время
качания регулятора оказывает влияние сила толчков, получаемыГ им при каждом
колебании якоря, а поэтому чрезвычайно важно, чтобы секундноГкоГесГбыло
Хь°ТтГим обГзГЖН0Й ТЩаTM'о
и аккуратно устап^Гно. чтобы изГ
якопя InL Лп
неРвв
"°мерности давления,
оказываемого им на зубчики
Znnrn
Д
Р°ЯТ ЧаСЫ' У К0Т0рых толчк
"'
получаемые регулятором идут не
непосредственно от часового механизма, а от некоторого передаточного Zeno!
собления действующего с постоянной силой. Но во всяком случае время кш анпя
регулятора зависит главным образом от самого регулятора
Если регулятором служит маятник, размахи качания которого всегда незначи-
ГГтп^Г
ВРеМЯ
еГ° КаЧЗНИЯ Т М0Жет быть сражено формулой: Т^т.лПй
в которой тс- отношение длины окружности к диаметру круга,
. "-ускорен.S
силы тяжести, а /-длина маятника. За длину маятника прид ают ра!стоян е
тпТп°ГпЯ?ИВеСа
(ИЛИ 0Т 0СИ 1£ачания> до так
называемого центр!! качанин
который расположен несколько ниже центра тяжести
качания,
Если часы находятся на одном месте, то ускорение силы тяжести g остается
постоянным,
„о размеры маятника изменяются в' записиЛіости от темпепату;ы
с увеличением / увеличивается и Т, а следовательно,
часы начинают вставать'
ЧТ° ЧЗСЫ С МаЯТНИК0М *
помещении ид^
~
Было придумано много способов для того, чтобы построить
компенсиоован
влияния
тяГ' Т
-
е- ТаК0Й МаЯТНИК
'
на дли ну
'<
оторого температур?^не оказывает
влияния. Так, например, применяют маятники, стержни которых изготовлены 11
^ѵа
х
нГ:гѴкблГо°Гшразличнь,ми
^^ÂJSÏÏT^
;£TM ^
äs
=ÄS
iEbF—
c
—
КЕГ&та^
ТЯЖеСТИ *
a слe
ател ьно, увеличива^ся его время
подымается, плотность воздуха увеличивается, а следовательно маятникте'Гяет
п1Іьше
-
чем
"Р" низком атмосферном давлении. Поэтому'часы при высГ
aTM
îep"0M
ИДУТ медленнее, чем при низком. Но такта изменений
—
В=
H«-
~
-
.„.M
вообще распространение маятников началось только после Гюйгенса, которому
в 1657 г. был выдан патент на изготовление часов с маятником.
Астрономические часы часто снабжают прерывателем тока, который при
каждом качании или через одно качание регулятора замыкает электрический ток;
ток проходит через особый самопишущий аппарат, называемый
хронографом;
перо хронографа при каждом замыкании тока делает отметку на полоске бумаги,
которая равномерно движется под пером при помощи специального часового
механизма. Если наблюдатель хочет отметить момент какого-либо явления, он
замыкает в этот момент при помощи клавиши электрический ток в другой цепи,
и тогда на той же самой ленте хронографа получается соответствующая отметка.
Можно оценить на-глаз положение этой отметки относительно отметок, обозна-
чающих целые секунды; если же для определения времени требуется особенно
большая точность, то положение отметки может быть точно измерено при помощи
шкалы, нанесенной на стекле, или же при помощи особого измерительного при-
бора, например, при помощи измерительного аппарата Оппольцера. При помощи
прибора Оппольцера можно отсчитывать на хронографе моменты с точностью до
нескольких тысячных долей секунды, т. е. с такой точностью, которая значи-
тельно превышает точность производимого наблюдения.
•i
ri
!
!
1
!
jI!
'!
!
i
!!!
.i
Фиг. 6. Лента хронографа.
Вертикальные линии, проведенные пунктиром, отмечают уголки зуб-
чиков, положение которых надо измерить. На практике измеряют
расстояние от зубчика до каждой второй секунды, так как очень
трудно добиться, чтобы отдельные секунды были равны между
собой. Расстояние же между двумя секундами можно отрегулиро-
вать с большой точностью.
§ 7. Фотометрия, а) Визуальная фотометрия. Наблюдая звезды невоору-
женным глазом, можно распределить их в известном порядке, по степени убывания
яркости; но невооруженным глазом невозможно определить количественно силу
света, испускаемого каждой звездой; к тому же звезды по яркости чрезвычайно
отличаются одна от другой.
При наблюдении непосредственно глазом пользуются фотометрами, устроен-
ными на основании следующего принципа. Яркость одного из двух сравниваемых
источников света можно искусственно ослаблять до тех пор, пока глазу не пока-
жется, что Оба источника света одинаковой яркости.
Фотометром
Целльнера
сравнивают свет звезд с искусственной звездой,
яркость которой можно регулировать при помощи николевых
призм.
Чтобы при
помощи этого фотометра сравнить две звезды (я и b), поступают следующим
образом. Вращая николеву призму, можно добиться того, что яркость искусствен-
ной звездочки будет казаться одинаковой с яркостью сперва одной сравниваемой
звезды (а), а затем другой звезды (Ь). Зная углы, на которые повернулись нико-
левы призмы, можно вычислить отношение между яркостями обеих звезд а и Ь.
У другого типа фотометров применяется поглощающий
клин; при помощи этого
клина свет наблюдаемой звезды можно ослабить настолько, что яркость ее не
сделается равной яркости искусственной звездочки.
При помощи меридианного
фотометра Пиккеринга
непосредственно сравни-
ваются две звезды между собой, причем свет более яркой звезды ослабляют
вращением николевой призмы. Такое сравнение возможно потому, что изображения
обеих звезд могут быть приведены рядом одно с другим при наблюдении их
в окуляр трубы. За одну из звезд сравнения берут обыкновенно Полярную.
Вторая из сравниваемых звезд должна находиться вблизи меридиана, чтобы можно
было при помощи специальной оптической системы привести ее изображение
рядом с изображением Полярной. Фотометр Пиккеринга имеет то преимущество
что при наблюдении им пет надобности пользоваться светом
искусственной
звездочки; изображение искусственной звездочки всегда несколько отличается от
изображения постоянных звезд. Существенный же недостаток фотометра Пик-
керинга заключается в том, что сравниваемые звезды находятся иногда в различ-
ных частях небесного свода; неодинаковая прозрачность слоев воздуха через
которые проходят лучи света от обеих звезд, может вредно повлиять на точность
получаемого результата.
і
В прежнее время применялся клиновой фотометр,
при наблюдении которым
свет исследуемой звезды ослабляли при помощи вдвигания клина до тех пор пока
звезда не становилась почти невидимой, т. е. пока свет ее не становился такой же
яркости, как свет небесного свода. Точность наблюдений с таким фотометром не-
сколько ниже наблюдений,производимых с другими фотометрами, описанными выше
Ь) Фотографическая
фотометрия.
Изображение звезды на фото-
графической пластинке при определенной продолжительности экспозиции зависит
от ее яркости. Изображения ярких звезд больше по размеру и чернее
чем изо
брзжения слабых. Измеряя размеры изображений звезд на пластинке или сравнивая
степень их черноты с определенной цветовой шкалой, можно получить масштаб
для определения их яркости. Можно получить меру яркости звезд также в виде
дробного числа, показывающего, какая часть света поглощается темным изобра-
жением звезды на пластинке, если на него свет падает от небольшого круглого
светлого пятнышка (по величине немножко большего, чем изображение звезды
на пластинке). Получить величину этого дробного числа можно при помощи
термоэлектрического
столбика или фотоэлектрического
элемента.
I
Задача заключается в том, чтобы определять яркости или блеск звезд на
основании числовых величин, получаемых при измерениях, производимых над их
изооражениями на фотографической пластинке. Если заранее известны яркости
некоторого числа звезд, то тогда можно непосредственно производить с ними
сравнения, если сфотографировать их на одну и ту же пластинку со звездами
яркости которых мы хотим определить.
•
'
Можно также оценивать яркости звезд, если фотографировать их непосред-
ственно или через поглощающую металлическую сетку, коэфнцнент поглощения
света которой должен быть известен. Допустим, например, что поглощающая
сетка ослабляет блеск звезды ровно вдвое. Отыщем на фотографической пла-
стинке звезду, сфотографированную через сетку, которая в точности будет соот-
ветствовать (например, по своему размеру) другой звезде, сфотографированной без
сетки; мы тогда можем утверждать, что блеск более яркой звезды в два раза
оолыне блеска звезды, менее яркой. Сделав ряд таких сравнений, мы можем построить
кривую, которая позволит нам судить о яркости звезды на основании всех произ-
веденных исследований (измерения диаметра звезды, степеннее черноты и по)
Можно также поместить перед объективом более грубую дифракционную
решетку из проволоки, натянутой параллельными рядами (о применении такой
решетки см. стр. 344) При фотографировании тогда получится непосредственное
изображение звезды (это изображение получается в центре) и два ее спектра-
спектры звезды при применении решетки из достаточно толстой
проволоки
будут настолько коротки, что по виду они будут немногим отличаться от
обыкновенного изображения звезды (такое явление будет особенно резким, если
фотографировать звезду не в фокусе). На основании данных о размерах решетки
толщине ее проволоки и ширине просветов, можно получить соотношение между
яркостью центрального изображения звезды и обоих ее спектров (яркость спектров
одинаковая). Это соотношение совершенно такое же, как и в разобранном выше случае
При определении яркости звезд, вместо обыкновенного изображения их на
фотографической пластинке, можно получать изображение увеличенное- для этот
или помещают пластинку не в фокусе объектива, или же двигают ее в то время
когда производится экспозиция. Изображения звезд получаются тогда более знаі
чительного размера и равномерно черного цвета; над такими изображениями
очень удобно производить фотометрические измерения. Применяя только что
описанный метод, можно при помощи измерений в лабораторной обстановке
установить зависимость между яркостью звезды и степенью черноты ее изобра-
Ж еІ В Я11 а ст о ящесГ "время определена фотографическая величина большого числа
звезд (вплоть до самых слабых), расположенных вокруг северного полюса небесной
сферы Если сфотографировать на одну и ту же пластинку область "еба около
северного полюса мира, а рядом с ней получить снимок той области неба яркость
звезд в которой хотят исследовать, тогда непосредственно можно получить дл
известных уже звезд соотношения между размерами и чернотой их изображений
на пластинке и яркостью самих звезд; а на осно-
вании полученных соотношений можно опреде-
лить и яркость исследуемых звезд.
с) Фотоэлектрическая
фотометрия.
Если подвергать тонкие пластинки калия, натрия,
цезия и рубидия действию лучей определенной
>
длины волны, то от них будут отрываться элек-
троны. Это явление носит название фотоэлек-
трического эффекта, и для целей фотометрии им
можно воспользоваться, применяя так называемые
фотоэлектрические
элементы.
В фотоэлементе,
под влиянием падающих на него лучей, возникает
электрический ток, так называемый фототок;
ток
этот, возникающий под влиянием слабого света
звезд, видимых в трубу, очень слаб, но для бо-
фиг. 7 . Спектроскоп.
^
яр мк
звезд erQ ßCe же
можно
измерить при
помощи, например, электрометра. Сила тока прямо пропорциональна силе света,
падающего на фотоэлемент; так что, измерив силу тока, возникающего в фото-
элементе можно непосредственно определить яркость источника света.
В астрономии для фотометрических целей пользуются также изменением элек-
трическогоСопротивления селена,
подвергая его действию лучей света небесных
свГтил
Для измерения яркости неподвижных звезд применяют также
термо-
электрический
столбик и радиометр,
для чего их прикрепляют к телескопам,
ПріГ шобом^м^
51 яркости звезд нужно принять во внимание
поплавку мпоглощение света в земной атмосфере (см. Приложение, стр. 559).
S 8 Спектроскоп. Узкий пучок белого света, который падает па стеклянную
пои!мѵ параллельно ее преломляющему ребру, выходит из нее в виде разноцветной
полосы- эта разноцветная полоса называется спектром.
Опыт показывает, что вид
спектра в значительной степени зависит от особенностей источника света. Изу-
ГеГе
законов образования
спектра составляет отдел физики,
называемый
cTeZoaTZiM
анализом.
Спектроскоп, при помощи которого изучают спектры,
т\еет следующее устройство. На фиг. 7 буквами ab обозначена трубка, закрытая
Г ошюго конца на закрытом конце ее d сделана узкая щель, которая направлена
на источн к свет"
На другом конце трубки установлена линза
- коллиматор,
коллиматор предотавляет собой обыкновенную двояковыпуклую чечевицу, главный
ДотSSpSfl находится в точке«, так что лучи, попадающие в точку а, пройдя
ÎS коллш атор Ь, становятся параллельными. Пройдя коллиматор, лучи от
источника света па да ют на одну или несколько призм (на чертеже показаны
Г!
.!
и С), преломляющие ребра которых расположены параллель-
но щели При прохождении через призмы белый свет разлагается на отдель-
иые цвета причем фиолетовые лучи преломляются сильнее всего, а красные-
с абеГвсеѴо Тш им образом из Последней призмы лучи выходяг по различным
направлениям, причем лучи одного и того же цвета идут параллельно друг другу
Спектр
ы рассматриваем через маленькую астрономическую трубу D; на ее
объектив с падают лучи, а окуляр d установлен на бесконечность. Так как спектры,
особенно в случае применения нескольких призм,.имеют значительную длину, то
трубу D надо делать подвижной, чтобы можно было направлять ее на различные
части спектра.
Если при помощи спектроскопа хотят исследовать свет какого-либо небесного
светила, тогда весь прибор при помощи винта К прикрепляют к окулярному
концу большой астрономической трубы, окуляр которой снимают прочь. Спектро-
скоп при этом устанавливают так, чтобы изображение светила, даваемое объек-
тивом трубы, приходилось в точке а.
При разложении пучка лучей белого цвета на цвета спектра лучи сильно
отклоняются от своего первоначального направления; но это отклонение можно•
уничтожить, если применять при устройстве спектроскопов сложные
призмы.
При изготовлении ахроматических линз (или призм) употребляют два сорта стекла
и достигают того, что лучи света, пройдя через них, преломляются, но почти
совсем не разлагаются на цвета спектра, и, наоборот, можно подобрать систему
таких призм, что лучи, проходя через
них, разлагаются на цвета спектра, но
н___/"Ч
г
—'f
почти не изменяют своего первоначаль-
/к
н
ч.
и
—
ного направления. На фиг. 8 через К
обозначены три призмы, изготовленные
Фиг. 8. Сложная призма,
из кронгласа и обращенные преломляю-
щими ребрами кверху, через F обозначены две призмы из флинтгласа, обращен-
ные преломляющими ребрами книзу; так как флинтглас обладает более значитель-
ной силой дисперсии, то луч белого света, идущий по направлению Н, разложится,
причем фиолетовые лучи (V) отклонятся больше всего вверх, а красные (/?;
отклонятся' больше всего вниз. Величина преломляющих углов у призм должна
соответствовать особенностям стекла, из которого они изготовлены; на нашем
чертеже преломляющие углы равны 102°.
Если систему таких призм установить
между коллиматором и трубой D, изображенной на фиг. 7, то весь прибор будет
почти прямолинейным; на основании указанных выше причин, система призм
и труба должны немного перемещаться в ту или другую сторону.
Вместо того чтобы рассматривать спектр через окуляр (d), можно установить
на его место фотографическую пластинку, на которой получается изображение
спектра. Такой прибор называется спектрографом
(фиг. 9).
Спектр можно получить также, если вместо призмы применять
дифракционную
решетку, дифракционная решетка представляет собой отражающую поверхность,
на которой нанесено резцом большое число очень тонких параллельных линий
на равных расстояниях друг от друга; линий наносят- до 2000 па один миллиметр..
Такая решетка дает спектр вследствие дифракции света.
Если изображение звезды, получаемое в фокусе трубы, попадает на щель
спектроскопа, то спектр ее представится в виде тонкой черточки, которую можно
сделать достаточно широкой, рассматривая ее при помощи цилиндрической линзы.
Если хотят получить фотографию спектра, тогда нужно сделать спектр настолько
широким, чтобы во время экспозиции можно было сообщить трубе (или фото-
графической пластинке) небольшие перемещения по направлению, перпендикуляр-
ному к длине спектра.
При фотографировании спектров звезд можно пользоваться большой призмой,
которую устанавливают перед объективом трубы (объективная призма). Фото-
графическую пластинку помещают в фокальной плоскости трубы. При таком
способе каждая звезда на пластинке изобразится в виде маленького спектра
(см. фиг. 169 на вклейке между стр. 354 и 355).
Дополнительные сведения о дисперсии и разрешающей силе призматического^
спектрографа содержатся в Приложении (см. стр. 551—557).
§ 9. Спектр. Земные источники света дают спектры одного из следующих
трех типов: или непрерывный
(сплошной) спектр,
в котором спет распределен
равномерно по всей длине спектра; или линейчатый
спектр испускания,
в кото-
ром свет концентрируется преимущественно в очень узких участках спектра, обра-
зующих линии испускания (линии излучения); или спектр
поглощения,
в котором
свет распределен равномерно по всей длине спектра за исключением очень узких его
участков, в которых интенсивность меньше, чем в соседних участках спектра.
Раскаленные твердые и жидкие тела дают непрерывные спектры, а раскален-
ные или, вообііце говоря,
светящиеся газовые массы—линейчатые
спектры
испускания, в которых наличие каждого элемента характеризуется определенными
спектральными линиями. Если свет, испускаемый каким-либо твердым или жидким
телом, пройдет через светящийся газ, то возникает спектр поглощения, в котором
линии поглощения располагаются в тех именно местах, в которых в спектре
испускания располагаются характерные спектральные линии этого газа.
Положения определенных участков спектра и, в частности,
спектральных
линий, характеризуются их длинами
волн.
Это понятие, относящееся к электро-
магнитной волновой теории света, является мерой расстояния, разделяющего
в пространстве точки, в которых имеет место одинаковое состояние электромаг-
нитных колебаний. Длины волн измеряются или в миллионных долях миллиметра
(тр.) или в ангстремах (А); между этими единицами существует
следующее
соотношение: 1 А = 0,1 тр.
Объяснение явлений интерференции и дифракции на основе электромагнитной
волновой теории света дает возможность измерять длины волн.
0
Длины волн видимого свеота заключены в пределах приблизительно от 4000 А
(фиолетовый свет) до 7000 А (красный свет). За пределами этой области длин
волн со стороны фиолетового конца спектра располагаются ультрафиолетовые
лучи, лучи Рентгена и гамма-лучи; со стороны красного конца спектра — инфра-
красные лучи, тепловые лучи и радиоволны.
Обыкновенные фотографические опластинки чувствительны к свету, обладаю-
щему длинами волн от 3000 до 5000 А. Область чувствительности так называемых
ортохроматических пластинок простирается до красной части спектра. При ис-
пользовании совместно с такой пластинкой светофильтра,
поглощающего ультра-
фиолетовый и фиолетовый свет (желтый светофильтр), область чувствительности
становится приблизительно такой же, как и у глаза (см. стр. 341).
Максимум чувствительности натриевых и калиевых фотоэлементов находится
в фиолетовой части спектра, а рубидиевых и цезиевых фотоэлементов — смещен
по направлению к красному концу спектра.
Обыкновенные оптические ^инзы практически поглощают весь свет, обладаю-
щий длинами волн короче 3900 А. Применение оптических зеркал позволяет захва-
тить и часть ультрафиолетовой области спектра. С этой же целью могут применяться
и кварцевые линзы, но до настоящего времени по техническим причинам не удается
изготовить кварцевых линз больших размеров. Свет длин волн короче приблизи-
тельно 3000 А практически полностью поглощается в земной атмосфере.
Длины волн многих спектральных линий известны с большой точностью.
Если такие линии встречаются в спектре, то длины волн могут быть определены
в любом месте этого спектра. В нижепомещенной таблице приведены длины волн
несколько особо выделяющихся линий солнечного спектра.
Обозначение линии
ДышаполныXвА
Элемент, для которого линия характерна
С= Не
6562,8
Водород
D,
5895,9
Натрий
D„
5890,0
Натрий
Е"
5270,3
Кальций и железо1)
Ео
5269,5
Железо
Ь,
5183,6
Магний
Ьп
5172,7
Магний
F=Н9
4861,3
Водород
G
4307,8
Кальций и железо1)
гг
4226,7
Кальций
H
3268,5
Кальций
К
3933,7
Кальций
1) Почти совпадающие линии.
Фиг. 9. Спектрограф, установленный па рефракторе
(в Потсдамской астрофизической обсерватории).
Помимо длины волны свет может быть охарактеризован и частотой,
колебаний,
т. е . числом колебаний в секунду. Связь частоты колебаний ѵ с длиной волны X
выражается формулой
у
Хѵ= с,
где с — скорость света, равная 299 796 км/сек.
Возникновение непрерывных спектров, линейчатых спектров испускания и
спектров поглощения может быть объяснено на основе теории атома.
Световая энергия излучается атомами при происходящих скачками (спонтанных)
переходах их из определенного состояния "в иное состояние с меньшим содержа-
нием энергии. При таком внутриатомном процессе световая энергия испускается
в форме светового кванта, обладающего в точности таким же количеством энер-
гии, которое теряется атомом при его переходе в состояние с меньшей энергией.
Если при таких внутриатомных процессах испускается ряд электронов, обладаю-
щих энергией Е, то распространение этих световых квантов в пространстве,
заполненном различными преломляющими средами, может быть определено по их
длинам волн, или частотам. Частоты могут быть выведены из энергии Е световых
квантов по условию частот Бора:
Е= Ь,
где h — постоянная Планка, равная 6,55 •'Ю
-27 см-г • сек~1
.
Световая энергия поглощается атомами при происходящих скачками переходах
их из определенного состояния в состояние с большим содержанием энергии.
При таком внутриатомном процессе количество энергии, содержащейся в атоме,
увеличивается
на количество энергии, равное энергии поглощаемого светового
кванта.
Количество энергии, содержащейся в атоме, определяется электромагнитными
силами взаимодействия между атомным ядром и окружающими его электронами.
Опыт показал, что количество энергии, содержащейся в атоме, не подверженном
действию внешних сил, может принимать различные значения. Одно из этих
значений является наименьшим. Об атоме, обладающем наименьшим возможным
количеством энергии, мы говорим, как об атоме, находящемся в основном
или
нормальном
состоянии.
За этим состоянием следует ряд других состояний
с ббльшими содержаниями энергии. Эти возможные содержания энергии, по мере
их увеличения, располагаются все теснее. Начиная с некоторого определенного
предела, они становятся совпадающими между собой, вследствие чего атом может
приобретать любое из содержаний энергии, превосходящее это предельное значе-
ние. Когда количество энергии, содержащейся в атоме, превосходит предельное
значение (потенциал ионизации), то один из его электронов освобождается. Мы
говорим, что атом ионизируется, распадаясь при этом на один ион и один электрон
(несмотря на это, совокупность одного иона и одного электрона мы попрежнему
продолжаем считать одной единицей, эквивалентной атому).
На фиг. 10 показана схема уровней энергии стационарных состояний ато-
ма водорода; цифрой 1 обозначено основное состояние, а цифрами 2, 3, 4
и 5 следующие за ним состояния с ббльшими количествами энергии. Уровни
энергии, соответствующие, цифрам 6, 7 и следующим, не могли быть изображены
на схеме; мы должны представить их расположенными в промежутке между
уровнем 5 и пограничной линией, изображенной жирной чертой. Область, находя-
щаяся над этой пограничной линией, соответствует значениям энергии свободного
электрона, изменяющимся непрерывно, без скачков. Двухконечными стрелками
обозначены переходы между различными стационарными состояниями связанного
электрона. Частоты света, излучаемого при переходах сверху вниз или поглощае-
мого при переходах снизу вверх, определяются разностями соответствующих
уровней энергии согласно уравнению частот Бора. Следовательно, частоты линий
излучения или поглощения пропорциональны длинам двухконечных стрелок схемы.
4.<УГ[>СШОІЕШІ
3>
Спектральные линии с общим нижним состоянием образуют серию.
Мы видим,
что высшие члены серии концентрируются по направлению к границе
серии.
По ту сторону границы серии (при более высоких частотах) возникает непре-
рывный спектр, соответствующий переходам из заштрихованной области или,
наоборот, в заштрихованную область, что соответствует или захвату электрона
(при излучении), или освобождению электрона (при поглощении); такие переходы
обозначены на фиг. 10 двумя длинными двухконечными стрелками справа. Кроме
того, возможны и такие переходы, при которых электрон в обоих состояниях
остается свободным; они обозначены короткой стрелкой справа. Этим переходам
соответствует непрерывный спектр, захватывающий все частоты. В лаборатории
подобный спектр вследствие малой его интенсив-
ности наблюдать не удается, но в недрах звезд
; он играет роль.
V
В газовых массах атомы удалены один от дру-
гого сравнительно далеко, вследствие чего про-
изводимые ими взаимные воздействия настолько
слабы, что атом газа может рассматриваться как
не находящийся под действием внешних сил.
Поэтому понятно, что при лабораторных опытах
с газами мы наблюдаем линейчатый спектр излу-
чения и что длины волн этого спектра опреде-
ляются характером атомов. Равным образом, в ла-
бораторных условиях удалось наблюдать и не-
прерывный спектр газов, соответствующий пере-
ходам из системы: ион-(-электрон.
В твердых и жидких телах атомы находятся
настолько близко один от другого, что прихо-
дится говорить о совершенно иных силовых полях, определяющих собой дви-
жения электронов вокруг атомных ядер. Здесь отсутствуют раздельные (дискрет-
ные) количества энергии, которые могли бы обусловливать испускание света на
участках спектральных линий, вследствие чего испускаемый свет и дает непре-
рывный спектр.
.
То что газ в узких участках, соответствующих его собственным линиям излу-
чения,' может и поглощать свет, также вполне понятно. Ведь каждому спонтанному
переходу на участке какой-либо спектральной линии, сопровождающемуся испу-
сканием света, соответствует противоположный переход, сопровождаемый погло-
щением света той же длины волны.
В бесконечно большой однородной газовой массе, обладающей повсеместно
одинаковой температурой, атомы непрестанно излучают и поглощают световую
энергию. При этом световой энергии любой волны излучается ровно столько же,
сколько ее и поглощается, вследствие чего число световых квантов, приходящихся
на единицу объема для каждой длины волны, является постоянным. Это число за-
висит от температуры и от длины волны. Иначе говоря, интенсивность излучаемого
света и ее распределение по спектру является функцией одной только температуры.
Эту функцию удалось вывести как экспериментальным, так и теоретическим путем.
Было получено следующее выражение плотности излучения р (количество световой
энергии, приходящееся на единицу объема и на единицу длины волны) для длины
волны X и для температуры Т (см. стр. 380):
ФИГ. 10. Схема уровней энергии
стационарных состояний атома во-
дорода.
СI
Лт
(закон Планка),
—
1
где с, и во — постоянные. Зависимость плотности излучения от длины волны иллю-
стрируется фиг. 165 (стр. 336).
Если же однородная газовая масса не обладает бесконечной протяженностью,
то излучение сможет найти из нее выход, вследствие чего возникнут отклонения
от ранее рассмотренного состояния равновесия, и закон Планка потеряет силу.
В недрах звезд вышерассмотренный идеальный случай осуществляется почти в точ-
ности в силу того, что протяженность масс, которые мы можем рассматривать как
однородные, чрезвычайно велика (по сравнению с расстояниями, разделяющими
атомы, находящиеся во взаимодействии посредством излучения). При лабораторных
опытах этот случай также может быть приблизительно осуществлен посредством
ограничения некоторого объема черными стенками, температура которых под-
держивается постоянной; при таких условиях находящиеся в этом объеме излу-
чающие атомы не могут вступать во взаимодействие с атомами иной темпера-
туры. Для того чтобы иметь возможность наблюдать такое излучение, разу-
меется, в черной стенке необходимо проделать отверстие, которое, однако, может
быть сделано настолько малым, что отклонения от закона Планка становятся
незаметными.
Сквозь такое отверстие в расчете на 1 см2 его площади в 1 секунду проходит
энергия Я, количество которой определяется соотношением Н—-^сЕ,
где
ß интеграл плотности излучения по всем длинам волн. Расчет показывает, что
ГДе о — постоянная, могущая быть вычисленной из постоянных закона
Планка.
В массе газа, не обладающей значительной протяженностью и не ограниченной
черными стенками, распределение ннтенсивиостей будет резко отклоняться от
закона Планка. В этом случае световая энергия в значительной своей части будет
сосредоточена в узких участках спектральных линий.
В недрах звезд, как это уже было сказано, закон Планка выполняется почти
в точности. В атмосферах же звезд возникают отклонения от закона Планка,
обусловленные излучением в мировое пространство. Опыт показал (см. стр. 350),
что интенсивность излучения в спектре за пределами спектральных линий с неко-
торой степенью приближения следует закону Планка. В силу этого темпера-
тура атмосферы определяет собой распределение интенсивности излучения и
может быть вычислена в том случае, если это последнее нам известно (см.
стр. 351).
§ 10. Эффект Допплера. Длина волны спектральной линии,
измеренная
наблюдателем, движущимся относительно источника света, отлична от длины
волны, измеренной наблюдателем, находящимся в покое. Это явление несовпадения
длин волн носит название эффекта
Допплера.
Изменение длины волны зависит
от компонента относительного движения в направлении от источника света
к наблюдателю.
Когда наблюдатель удаляется от источника света, то длина волны увеличи-
вается, а когда наблюдатель приближается к источнику света, то длина волны
уменьшается. Для скоростей, являющихся незначительными по сравнению со
скоростью света, изменения АХ длины волны X спектральной лннии выражаются
следующей формулой:
дх=^х,
где ѵ
компонент скорости в направлении прямой, соединяющей источник света
с наблюдателем, а с — скорость света.
Если, например, г; = 30 км)сек,
то эта формула показывает, что допплеров-
ское смещение спектральной линии, обладающей длиной волны X = 5000 А, составит
приблизительно
ÂX=3ÔÛW-5000Â =
°'
5Â-
Эффект Допплера дает возможность определения скоростей движений звезд
по направлению луча зрения (см. стр. 414).
<
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
§ И. Сведения из тригонометрии. Углы обыкновенно измеряются в градусах,
минутах и секундах. Но в некоторых случаях бывает удобно выражать их отвле-
ченными числами (или, как иногда говорят, выражать их в радианах), как это
почти всегда делают с тригонометрическими функциями синусом,
косинусом
и т. д . Перейти от угловых величин к радианам очень легко, помня, что длина
окружности равна ее радиусу, умноженному на 2тс. Мы получаем:
1°=п:180
или приблизительно 1:57
V = *: (180.60)
„
.
1:3438
1" = к : (180-60-60) .
„
1:206264,8
Таким образом углу в 1' при радиусе, равном 30 см, соответствует дуга
равная приблизительно 0,1 мм.
Число 206 264,8 равно числу секунд в дуге, длина которой равна радиусу;
при помощи этого числа углы, выраженные в секундах дуги, получаются в ра-
диальной мере и, наоборот, углы, выраженные в радиальной мере, вычисляют
в угловой мере; в дальнейшем число 206 264,8 будем обозначать буквой р".
Синусы дополнительных углов равны1).
Косинусы дополнительных углов равны по величине, но обратны по знаку.
Если изменится знак угла, то и у синуса знак изменится, а у косинуса знак
останется тот же.
Зная синус и косинус, легко найти тангенс и котангенс, так как
„
sin a
cos а
tga =
—
и
ctgа=
——
;
cos а
ь
sinа '
равным образом секансы и косекансы соответственно равны:
secа=
—и
cosec а =
-й—
.
cos a
sin а
Обозначая углы через а и Ь, имеем
sin(а± Ь)= sinacosb=Lcosasinb,\
cos(a=tô) = cosacos ôzpsinasin b. J
^
Из формул (1) можно получить формулы, в которых сумма и разность синусов
и косинусов выражается через произведение и наоборот:
а—Ь
sin а
sinb—2sin
cos
,
sina—sin£= 2cosa'sin
,
'cosû-j—cosb= 2cos
cos
,
^
jL
cosa—cos6=
—
2 Sin
(2)
§ 12. Сведения из геометрии. Если поверхность шара рассечь плоскостью, то
в сечении всегда получится круг. Если плоскость сечения проходит через центр
шара, то в сечении получается большой круг, а во всех остальных случаях полу-
чаются малые круги. Через две точки на поверхности шара можно всегда про-
вести большой круг, а если эти точки не расположены на концах диаметра, то
через них можно провести только один большой круг; таким образом две точки
на поверхности шара и центр его определяют положение плоскости сечения.
Перпендикуляр, проведенный к плоскости круга через его центр, называется
осью круга; точки пересечения этой оси с поверхностью шара называются
1) Подразумевается— дополняющих друг друга до 180°. — Прим. ред.
полюсами
круга. Полюсы большого круга лежат на 90° от его окружности
Положение большого круга будет определено, если известно положение одного
из его полюсов; таким образом иногда бывает удобно в рассуждениях, вместо
понятия большого круга, пользоваться полюсами.
Часть поверхности шара, заключенная между двумя параллельными плоско-
стями, рассекающими шар, называется шаровым поясом; если же одна из этих
плоскостей — касательная к шару, то получается шаровой сегмент. Поверхность
шарового пояса или шарового сегмента пропорциональна их высоте (т. е. рас-
стоянию между двумя параллельными плоскостями сечения) и не зависит от их
положения на шаре.
Два больших круга пересекаются друг с другом всегда в диаметрально про-
тивоположных точках, так что линия их пересечения представляет собой диаметр
шара. Угол, под которым пересекаются плоскости двух больших кругов, изме-
ряется дугой между двумя соответствующими точками.
§ 13. Основные формулы сферической тригонометрии. Сферическим
тре-
угольником
называется часть
поверхности шара,
ограниченная дугами трех
больших кругов. Эти дуги являются сторонами треугольника; под углами же его
разумеют двугранные углы, образуемые плоскостями больших кругов. Стороны
и углы выражаются, следовательно, в угловой мере. Если один из углов прямой,
то обыкновенно употребляют для сторон те же названия, гипотенузы и катетов,
как и в плоской тригонометрии, но сферический треугольник отличается от пло-
ского тем, что у него может быть два и даже три прямых угла. Таким образом,
сумма углов сферического треугольника никогда не бывает равна двум прямым,;
а всегда больше. Величина, на которую сумма углов сферического треугольника;
превышает 180°, называется сферическим
избытком.
Сферический избыток равен
площади сферического треугольника, разделенной на квадрат радиуса шара, часть
поверхности которого этот треугольник занимает; величину сферического избытка;
можно вычислить также при помощи углов и сторон сферического треугольника.
Если сферический треугольник представляет собой только весьма малую часть
всей поверхности шара, то его поверхность можно с достаточной точностью
считать плоской и рассматривать его как плоский треугольник; тогда его площадь
равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Если сто-
роны выражены в радиальной мере (т. е. отвлеченными числами), то тогда не
надо производить деления на квадрат радиуса шара, и сферический избыток
выразится отвлеченным числом; если полученную величину помножить на число р",
то получим значение сферического избытка в секундах дуги. Так, например, если
две стороны сферического треугольника равны каждая 1°,
а угол между ними
равен 60°, то тогда сферический избыток равен
180 -60
-60
-
, /0"
опио
умножив полученную величину на р =
, получимs= 5тгуâ= г/ ,2.
Сферический треугольник можно решить, если из его шести элементов
известны три; так как сумма углов сферического треугольника — величина пере-
менная, то его можно решить даже и в том случае, если заданы только его
углы, между тем как для решения плоского треугольника необходимым условием
является, чтобы была известна хотя бы одна сторона. Однако при решении сфе-
рического треугольника, как и при решении плоского треугольника, имеется одно
исключение из общего правила, заключающегося в том, что по трем элементам
можно определить остальные; а именно, если даны две стороны треугольника
и угол, противолежащий одной из них, то тогда получится два различных реше-
ния. Впрочем, в астрономии этот случай обыкновенно не встречается (см. пример
в Приложении на стр. 525).
^
Вычисление трех элементов сферического треугольника по трем заданным
элементам его производится по формулам сферической тригонометрии.
В астрономии чаще всего применяются те формулы сферической тригонометрии,
при помощи которых можно определить сторону а и угол В сферического тре-
угольника, если заданы стороны b и с и угол между ними А.
Эти формулы следующие:
cosа—cosbcosс-{-sinbsinсcosA,j
sinasinВ= sinbsinA,
(
(1)
sinacosВ= cosbsinс—sinbcosсcosA.J
Если нам нужно вычислить угол С, а не В, то соответствующие . формулы
получим, если в системе формул (1) мы заменим b через ciiß через С.
В дальнейшем мы будем называть три равенства системы (1)
основными
формулами
сферической
тригонометрии.
Так как формулы эти по своему виду
симметричны, то их очень легко запомнить.
Если нам нужно найти сторону и угол, когда известны два угла и лежащая
между ними сторона, то для решения этого вопроса мы легко получаем при
помощи простого мнемонического правила из формул (1) систему новых равенств;
для этого заменим в формуле (1) все прописные буквы соответствующими им
строчными и наоборот и напишем, кроме того, знак минус перед каждым коси-
нусом, который входит в наши формулы. Мы получим тогда следующие формулы:
cosА=
—
cosВcosС-f-si"В
sin Сcos а,
sinAsinb= sinВsinа, "
(2)
sinAcosb = cosВsinС— sinВcosСcosа.
Совершенно так же, как и в формулах (1), мы можем в формулах (2) заме-
нить b через с и В через С и тогда из новых равенств легко будет определить А
и с вместо А и Ь. В дальнейшем изложении мы чаще всего будем встречаться
с формулами (1).
Для вычисления различных численных примеров по формулам (1) можно
составить следующую схему. Допустим, что нам известны величины Ь, с и А.
Если при вычислениях по таблицам логарифмов мы будем пользоваться непосред-
ственно формулами (1), тогда нам надо будет найти значения логарифмов следую-
щих величин: Ig cos а, lg sin a sin В и lg sin a cos В (заметим, что в примерах,
помещаемых ниже, мы почти все время производим вычисления с точностью
до 5-го знака).
Вычитая из второго выражения третье, мы получим lgtgß и подыскиваем
в таблицах логарифмов соответствующее ему значение угла В. Затем берем
по таблицам логарифмов Ig sin В или lg cos В (синус следует брать, если В
близко к 90 или 270°,
а косинус —если В близко к 0 или 180°), вычитаем
значения этих логарифмов из lg sin я sin Я или из lg sin я cosß и получаем
значение lg sin я.
lg cos я мы получаем непосредственно из первого равенства формулы (1);
вычитая его значение из lg sin я, получаем lgtga, а при помощи его подберем
по таблицам логарифмов значение для я.
При такой схеме вычислений получается значительная выгода, потому что
значения В ч а определяются через тангенсы, а, как известно, вычисление при
помощи тангенсов дает более точные результаты, нежели вычисление при помощи
синусов или косинусов. При числовых расчетах всегда нужно придерживаться
правила — получать окончательные значения искомых величин через тангенсы
во всех случаях, когда необходимо при вычислениях добиваться наибольшей
точности.
Весьма важный вопрос, n каком квадранте
находятся искомые величины при
астрономических вычислениях, мы рассмотрим ниже (см. § 21).
Помимо рассмотренных выше систем формул, встречаются в сферической
тригонометрии и различные другие системы уравнений, которые имеют большое
значение для опытного вычислителя. Но для лиц, которые впервые приступают
к изучению сферической астрономии, лучше ограничиться ознакомлением с незна-
чительным числом формул, но зато усвоить их по возможности лучше. Поэтому
мы пока не будем говорить подробно о других формулах сферической тригоно-
метрии. По этой же причине ѵв настоящей книге мы воздержимся от описания
применения таблиц логарифмов для вычисления сумм и разностей. Не будем мы
говорить и о других вспомогательных средствах при вычислениях, например,
о различного рода современных вычислительных машинах, при помощи которых
астрономы
в наше время достигают в вычислениях такой высокой степени
точности; не будем мы о них говорить потому, что большинству из читателей
нашей книги вряд ли придется пользоваться непосредственно этими приборами.
При решении различных задач при помощи формул сферической тригоно-
метрии приходится встречаться с двумя особыми случаями, имеющими большое
значение. Это —случаи, когда одна из сторон (например а) или один из углов
(например А) равны 90°.
Особенно большое значение имеет последний случай
(т е. случай прямоугольного сферического треугольника). Очевидно, что формулы
для решения этого треугольника мы можем получить, если в приведенные выше
формулы вставим значение А = 90°.
Тогда мы получим следующую систему
формул для прямоугольного треугольника:
cos а — cos b cos с, sine =sinCsina,
cosС= sinВcosс,
cosa= ctgВctgС, sine = tg£ctgß,
cosC = ctgotgô,
sinb= sinВsina, cosВ= sinСcosb,
A= 90°.
sinb= tgсctgС,
cosВ= ctgatgс,
(3)
§ 14. Диференциальные формулы сферической тригонометрии применяются
в астрономии очень часто.
Если не считать того исключительного случая, когда при решении сфериче-
ского треугольника получаются двойственные результаты, то мы, вообще говоря,
можем принять, что сферический треугольник будет задан, если известны три
из его шести элементов. Это значит, что если даны три элемента треугольника,
мы можем вычислить каждый из трех остальных. Но если величины известных
нам элементов
треугольников будут испытывать
незначительные
изменения,
то очевидно, что каждое такое изменение будет иметь следствием изменение
величины всех трех остальных неизвестных элементов треугольника. А отсюда
непосредственно следует, что формулы, при помощи которых можно вычислить
изменения величины одного
из шести элементов треугольника, как функцию
изменения трех остальных элементов, всегда содержат четыре значения дифе-
ренциалов; эти-то формулы, выводимые в курсах сферической тригонометрии,
и называются диференциальными формулами сферической тригонометрии. Они
имеют следующий вид:
da= cosCdb-\- cosВde -f-sinbsinСdA,
ctgada-{- ctgВdB= ctgbdb-j-
ctg A dA,
sinadB= sinCdb— cosasinВde— sinbcosСdA,
dA=
—cosсdB—cosbdCsinbsinСda.
(4)
При помощи формул (4) мы можем вычислить числовые значения изменений
стороны или угла в зависимости от изменений трех других заданных элементов
сферического треугольника. Как увидим ниже при изложении различных астроно-
мических вопросов, диференциальные формулы потребуются нам еще и в других
случаях при решении разного рода задач. При помощи диференциальных формул
мы можем исследовать, какое влияние в некоторых случаях оказывает ошибка
в наблюдениях (или неточность исходных данных при решении задач) на искомую
величину, а на основании этого мы можем решать, как надо наилучшим
образом
вести наблюдения, чтобы получить наиболее точные результаты.
В последую-
щем изложении мы приведем много примеров, в которых применяется упомянутый
выше принцип.
§ 15. Сведения из теории рядов. Обозначим через х переменную величину
и через у ее функцию, так что малому приращению независимой переменной Дх
соответствует малое приращение функции Ду. При помощи разложения в ряд
получаем
где каждый следующий член заключает Дх, показатель степени которой увели-
чивается на единицу по сравнению с предыдущим членом; в этом ряде диферен-
циальный коэфициент будет известен, если у есть заданная и вполне определенная
функция X.
Если у одновременно- является функцией величины z, которая изменяется
независимо от х и которая имеет малые приращения Д2, тогда в написанный
выше ряд для Ду будут входить члены с возрастающими степенями Дг, подоб-
ными Дх, но, кроме того, войдут и члены с произведениями Дх на Дг. Если же
Дх и Д2 настолько малы, что произведениями их можно пренебречь без влияния
на точность, с которой требуется вьМислить значение Ду, и если притом коэфи-
циеиты не принимают слишком больших значений, тогда ряд для определения Ду
может быть написан в таком виде:
Многоточие показывает, что следующие члены ряда могут заключать еще какие-
либо другие независимые переменные. В таком случае мы можем исследовать
отдельно злияние, оказываемое изменениями, выраженными через Дх, Дг и т. д.,
а затем взять сумму всех этих влияний. Можно рассматривать к тому же вели-
чины, обозначенные через Д как диференциалы\
в таком .случае Ду найдется при
помощи диференцирования тех самых уравнений, которые выражают зависимость^,
как функцию от х, z и т. д. Допущенное нами условие, что отброшенные члены
ряда не оказывают заметного влияния на искомый результат, зависит, конечно,
от точности, с которой мы должны получить результаты. Если, например,- у их
представляют собой значения, выраженные в угловой мере, и если при этом
требуется, чтобы отбрасываемые члены, например Дх2, не превышали по величине
наперед заданной малой величины е, тогда, если е выражена в секундах дуги
и все остальные .величины, влияющие на изменение у, тоже выражены в секун-
дах, мы получим для Дх значение: Дх = ]Aï/sin 1". Например, принимая е = 0",1,
имеем Дх < У0",1 • 206 265 = 144" или приблизительно 2'.
Чтобы
получить
влияние Дх2 на значение у, надо еще полученную величину умножить на дифе-
ренциальный коэфициент при Дх2.
ЗВЕЗДНОЕ НЕБО
§ 16. Расположение ярких звезд на небесной сфере. Первой задачей при
изучении астрономии должно быть ознакомление с явлениями, происходящими
на небесной сфере. Ниже мы даем краткое описание расположения светил,
которое поможет начинающему изучать небо легко ориентироваться на нем
по наиболее ярким звездам. Число звезд, видимых простым глазом на всей
небесной сфере, равно приблизительно 5000. С давних времен звезды, видимые
простым глазом, по своей яркости делились на шесть „величин"; самые яркие
принадлежат к первой величине, а самые слабые считаются звездами шестой
величины (см. подробнее на стр. 333).
Точно так же с давних времен принято выделять на небе определенные
• группы звезд, называемые созвездиями.
В созвездиях отдельные, наиболее
заметные звезды обозначаются буквами, остальные же обозначаются числами.
Для обозначения звезд применяют преимущественно греческий алфавит. Так как
нам часто придется пользоваться греческими буквами как для обозначения звезд,
так и для обозначения различных математических величин, то в конце этого
параграфа помещен греческий алфавит с названиями для каждой буквы.
Некоторые наиболее яркие звезды получили и свои специальные наименования;
по большей части эти наименования взяты с арабского языка.
Группа звезд, которая носит название Большая Колесница,
состоит из семи-
ярких звезд, видимых в наших широтах в течение всей ночи, если небо остается
ясным; эта группа звезд составляет часть большого созвездия, которое назы-
вается Большая
Медведица.
Все семь звезд Большой Медведицы обозначаются
по порядку первыми семью буквами греческого алфавита, причем буквой а названа
самая верхняя звезда кузова „Колесницы",
а буквой -г) передняя в ее дышле.
Если мы мысленно проведем линию через две задних звезды в Большой
Колеснице (т. е . через звезды а и ß) и продолжим эту линию через звезду а
на расстояние, в пять раз большее, нежели расстояние между звездами а и ß,
то эта линия встретит так называемую Полярную
звезду, или а Малой
Медве-
дицы. Полярная звезда — второй величины, точно так же как и большинство
звезд Большой Колесницы (только о — третьей величины). В Малую Медведицу
также входят семь звезд (впрочем, четыре из них значительно слабее других);
эти семь звезд образуют тоже фигуру, похожую на колесницу, только дышло ее
направлено в сторону, противоположную дышлу колесницы в Большой Медведице.
Между обеими колесницами извивается одно из колец созвездия
Дракона;
голова ' Дракона состоит из четырех звезд, ома удалена от Полярной почти
на такое же расстояние, как и кузов Большой Колесницы, только в направлении,
перпендикулярном к направлению, проведенному от Полярной к кузову Большой
Колесницы, т. е. приблизительно в том же направлении, в котором расположен
кузов Малой Колесницы.
Если мы продолжим вниз линию, соединяющую а и ß Большой Медведицы,
т. е. в сторону звезды ß, то линия эта пройдет через созвездие Льва
с яркой
звездой 1-й величины, которая называется Регулом.
По вечерам созвездие Льва
бывает видно только в конце зимы и весной.
Если провести линию через две верхних звезды кузова Большой Колесницы
(а и о), то, продолжив ее, встретим очень яркую звезду Капеллу
из созвездия
Возничего.
Если продолжить дугу, которую образует дышло Большой Колесницы,
сохраняя при этом ее кривизну, то мы встретим Арктура из созвездия
Волопаса,
тоже очень яркую звезду красноватого цвета. Если продолжить эту дугу еще
дальше в том же направлении, то она пройдет через Спику (Колос), самую яркую
звезду в созвездии Девы. Это созвездие на нашем горизонте стоит всегда низко-
и видно по вечерам только весной. Почти на таком же расстоянии от Полярной
звезды, как и Большая Колесница, но только по другую от нее сторону, нахо-
дится Кассиопея,
которую легко узнать по пяти звездам, образующим наклонную-
букву W.
Между Кассиопеей и Возничим находится созвездие Персея,
которое по своей
форме напоминает стул с кривой спинкой. Через эти три созвездия проходит
Млечный Путь.
Между Возничим и Львом видно созвездие Близнецов
с двумя яркими звез-
дами: Кастором
и
Поллуксом.
Осенью, когда Арктур блестит на западе, а Капелла на севере или северо-
востоке, в южной стороне неба мы видим три ярких звезды, а именно: Бегу-
или а в созвездии Лиры\ Денеб или а в созвездии Лебедя
иАлыпаир—а всо-
звездии Орла; эти три звезды образуют большой равнобедренный треугольник,,
в вершине которого находится Альтаир. Бега при этом будет находиться
на правой стороне; это — одна из самых ярких звезд на небе. Прекрасное созвез-
дие Лебедя расположено в Млечном Пути; его самые ярюіе-^гады образуют
большой крест, вверху которого находится Денеб.
/у
\ --"•vi
/
уй-Ч.ШІЯВД )
Вправо от Лиры расположено созвездие Геркулеса,
а еще правее — созвездие
Северной Короны,
которое легко узнать, так как его звезды образуют полукруг;
самал яркая среди них называется Гемма.
Несколько влево от треугольника из звезд Беги, Денеба и Альтаира нахо-
дятся четыре звезды второй величины, которые расположены в виде почти
правильного квадрата, это — квадрат созвездия Пегаса;
впрочем, верхняя левая
звезда в нем принадлежит уже к созвездию
Андромеды.
Орион, или Великан, представляет собой блестящее созвездие с семью яркими
звездами; из них две верхние находятся в плечах, а две нижние — в коленях
великана; три средние образуют его пояс. Если вообразить себе линию, прохо-
дящую через три звезды пояса, и продолжить эту линию влбво и вниз, то мы
увидим на ее продолжении созвездие Большого Пса, в котором сверкает Сириус,
или Песья звезда — самая яркая из всех неподвижных звезд. Ее лучше всего
наблюдать зимой. Влево от плеча Ориона находится Процион,
звезда первой
величины в созвездии Малого
Пса.
Вправо от Ориона и несколько выше его на небе стоит созвездие
Тельца,
в котором бросаются в глаза две группы звезд: Гиады и Плеяды.
В Гиадах нахо-
дится красноватая звезда первой величины — Альдебаран,
или глаз Тельца.
Плеяды образуют очень тесную кучку звезд, которая еще в древности называлась
•Семизвездием, хотя нормальный глаз видит в ней не больше шести звезд.
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
Аа
Bß
Гт
До
Ее
ZC
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
Нт; эта
«00 тэта
It
К*
АХ
М(ь
нота
каппа
ламбда
ми
Nv
Ss
Оо
Пи
Рр
2з
ни
КСИ
омикрон
пи
ро
сигма
Тх
ÏO
фср
ц
Qui
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СФЕРИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ
СУТОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕБЕСНОЙ СФЕРЫ. АСТРОНОМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
§ 17. Небесная сфера и ее суточное вращение. Под небесной сферой мы
разумеем шаровую поверхность, описанную бесконечно большим радиусом; цен-
тром этой поверхности служит точка, где находится наблюдатель. Понятие не-
бесной сферы установлено для того, чтобы определять направления, которые
идут от наблюдателя к звездам или иным точкам на небе. В дальнейшем мы уви-
дим, как изменяются эти направления, если наблюдатзль перемещается по земной
поверхности. Небесную сферу мы рассматриваем изнутри. Но если мы изобра-
жаем небесную сферу на глобѵсе или на карте, то, очевидно, мы должны будем
рассматривать ее в этом случае извне.
Положение какой-либо точки на поверхности шара определяется двумя углами
или двумя дугами большого круга; эти углы или дуги называются
сферическими
координатами' ,
необходимо только условиться, от каких плоскостей или линий
отсчитывать координаты. В астрономии пользуются различными системами коор-
динат. Направление силы тяжести очень удобно принять за исходное для построе-
ния системы координат, так как его легко можно определить на практике, на-
пример, при помощи отвеса. Это направление называется вертикальной
линией-,
оно пересекает небесную сферу в точке зенита (вверху, над головой) и точке
надира (внизу, под ногами). Всякая плоскость, которая проходит через верти-
кальную линию, называется вертикальной плоскостью. Так как вертикальная пло-
скость проходит через центр шаровой поверхности, которую принимаем за не-
бесную сферу, то, очевидно, она пересекает небесную сферу по большому кругу,
который называется вертикалом.
Таким образом каждый вертикал проходит через
зенит и через надир; через всякую другую точку на небесной сфере можно про-
вести только один вертикал. Плоскость, проходящая через центр шаровой поверх-
ности, принимаемой за небесную сферу, и расположенная перпендикулярно
к линии отвеса (к вертикальной линии), называется плоскостью
горизонта.
Го-
ризонтом
называется дуга большого круга, по которому плоскость горизонта пе-
ресекает небесную сферу *). Зенит и надир являются, таким образом, полюсами
горизонта. Спокойная поверхность воды или какой-либо другой жидкости, нали-
той в сосуд, представляет собой плоскость горизонта.
Малые круги на небесной сфере, получающиеся при пересечении ее плоско-
стями, параллельными плоскости горизонта, иногда называются
альмукантаратами.
Линия, по которой нам кажется, что небо сходится с морем, называется
видимым горизонтом.
Он не вполне совпадаете линией горизонта, определенной
нами выше, которую называют иногда астрономическим
горизонтом,
если нужно
подчеркнуть ее отличие от видимого горизонта.
При переводе некоторые термины оригинала заменены названиями, принятыми в астро-
номической литературе в СССР; так, вместо вертикального
круга у автора всюду принят
термин вертикал. Автор одним термином „горизонт* обозначает и плоскость горизонта (или
горизонтальную плоскость) и линию горизонта. В переводе эти оба понятия разделены. —
Прим. перев.
•За исходное начало для другой системы небесных координат принимают линии,
определенные из следующих соображений: при самом поверхностном наблюдении
мы убеждаемся в том, что Солнце, Луна и звезды перемещаются относительно
плоскости горизонта, которая занимает вполне определенное положение для на-
блюдателя, находящегося в данном месте на земной поверхности. Но если повни-
мательнее последить за звездами, то скоро мы убедимся в том, что они в своем
движении вращаются вокруг некоторой линии, которая служит диаметром небес-
ной сферы. Этот диаметр, который в наших местах расположен наклонно отно-
сительно плоскости горизонта, называется небесной осыо, или осью мира. Точки,
в которых ось мира встречается с небесной сферой, называются небесными
по-
люсами,
или полюсами
мира: северным и южным.
Южный полюс у пас невидим,
северный же находится всегда над горизонтом. Северный небесный полюс отстоит
от Полярной звезды на расстоянии, немного большем одного градуса.
Таким образом звезды описывают на небе параллельные круги, которые ста-
новятся тем меньше, чем ближе звезда находится к полюсу. Такое вращение не-
бесной сферы называется суточным вращением, потому что звезды совершают
полный оборот в 24 часа.
Большой круг, который получается при пересечении небесной сферы пло-
скостью, перпендикулярной
к оси мира, называется небесным экватором,
а малые
круги, получаемые на небесной сфере при пересечении ее плоскостями, парал-
лельными плоскости экватора, называются параллелями.
Из ярких звезд почти
на самом экваторе расположена верхняя звезда пояса Ориона. Экватор отгра-
ничивает северное полушарие небесной сферы от южного. Полюсы экватора,
очевидно, являются одновременно и небесными полюсами, о которых упоми-
налось выше. Большие круги, проходящие через полюсы, называются
кругами
склонений;
через любую точку на небе можно провести только один круг скло-
нения. Следовательно, круги склонений по отношению к экватору имеют такое же
значение, как вертикалы по отношению к горизонту.
Большой круг, который проходит через зенит и через полюс, называется ме-
ридианом (очевидно, что меридиан проходит также через надир и другой полюс).
Меридиан — единственный круг, который является одновременно и вертикалом,
и кругом склонений; плоскость меридиана перпендикулярна и к плоскости го-
ризонта, и к плоскости экватора. У меридиана и у линии горизонта один и тот
же диаметр; его называют полуденной
линией; точки пересечения
полуденной
линии с горизонтом называются точкой севера и точкой юга; точкой севера на-
зывается та точка, которая расположена ближе к северному небесному полюсу.
Вертикал, плоскость которого перпендикулярна к плоскости меридиана, назы-
вается первым'
вертикалом;
точки пересечения его с горизонтом называются
точками
востока
и запада;
так что если наблюдатель стоит лицом к югу, то
точка запада находится у него справа. Точки востока и запада являются полюсами
меридиана, а следовательно, в этих точках экватор пересекается с линией горизонта.
Север, восток, юг и запад, а также точки северовосток, юговосток, югозапад
и северозапад служат для того, чтобы ориентировать по ним данное направление
в горизонтальной плоскости. Однако теми же названиями пользуются и для того,
чтобы указать направление на небесной сфере; но в таком случае надо усло-
виться, что понимать под выражением: север, восток, запад и т. д . Установлено
направлением на север считать направление к северному небесному полюсу, на-
правление на юг — противоположное ему направление; направление на запад сов-
падает с направлением суточного движения небесной сферы, направление на во-
сток— противоположно суточному движению. Если ориентировка по странам
света не произведена заранее, то лучше делать подробное описание направления
на небе, а не употреблять таких выражений, как: вверх, вниз, вправо, влево;
например, направление идет вверх или па 20° вправо и т. п .
§ 18. Две главные системы астрономических координат. Очевидно, что
такими явлениями, как направление силы тяжести и суточное движение небесной
сферы, которые можно всегда наблюдать непосредственно, удобно воспользо-
ваться для построения двух различных систем координат; для системы коорди-
нат, основанной на явлении силы тяжести, исходными линиями служат горизонт
и меридиан; для системы, основанной на явлении суточного движения небесной
сферы, исходными линиями служат экватор и меридиаи ').
Отрезок дуги вертикала от горизонта до звезды называется ее высотой или,
что то ' же самое, высотой называется угол, образуемый плоскостью горизонта и
линией визирования на данную звезду. Высота считается положительной (изме-
ряется от 0 до-| -90
о
) для звезд, расположенных выше горизонта, и отрицатель-
ной (измеряется от 0 до — 90°) — для звезд, находящихся ниже горизонта До-
полнеііие до 90° высоты данного светила называется его зенитным
расстоянием.
Двугранный угол, образуемый плоскостью меридиана и плоскостью вертикала, про-
ходящего через данную звезду, называется ее азимутом;
азимут обыкновенно
отсчитывается от точки юга к западу от 0 до 360°. Легко убедиться в том, что
если известны высота и азимут какого-либо светила, то положение его вполне
определено на небесной сфере.
Координаты светила, отнесенные к экватору, называются его склонением
и
часовым углом.
Склонением называется дуга круга склонения, проходящего через
данное светило, от экватора до светила или, иначе, угол, образуемый плоскостью
экватора и направлением линии визирования на светило. Склонение считают се-
верным или положительным, если светило расположено относительно экватора
по ту же сторону, как и северный полюс, и южным или отрицательным, если
светило и северный небесный полюс расположены в разные стороны относительно
экватора. Дополнение до 90° склонения данного светила называется его по-
лярным расстоянием;
для звезд с южным склонением полярное расстояние,
слеиовательно, больше 90°,
склонение же и высота никогда не могѵт ппевы-
шать 90°.
1
Часовым углом
называется двугранный угол, образуемый плоскостью круга
склонения, проходящего через данное светило, и плоскостью меридиана. Часовые
углы отсчитывают от южной части меридиана к западу от 0 до 360°.
Следова-
тельно, часовой угол светила, вследствие суточного вращения небесной сферы
постоянно увеличивается, а так как звезды движутся равномерно, то за 24 часа'
они делают оборот в 360°,
а за один час звезды перемещаются по часовому
углу на 15°; за одну минуту времени —перемещаются на 15' дуги, а за одну
секунду времени —на 15" дуги. Поэтому часовые углы можно измерять и в уг-
ловых единицах и в единицах времени (час, минута, секунда). В астрономии числа
выражающие часовые углы, в последнем случае сопровождаются буквами h, m и s'
Если известны высота и азимут светила, то при помощи их можно вычислить
его склонение и часовой угол, и наоборот. Вычисления эти могут быть произ-
ведены, так как известно расположение обеих систем координат, одной отно-
сительно другой. Действительно, меридиан один и тот же для обеих систем- ли-
ния пересечения йлоскости горизонта с плоскостью экватора занимает вполне
определенное положение для данного места (восток—запад). Следовательно мы
будем знать взаимное расположение систем координат, если определим величину
угла наклона плоскости экватора к плоскости горизонта. Этот угол называют
иногда высотой экватора.
Так как полюс удален от экватора на 90°
следо-
вательно, высота полюса над горизонтом будет дополнением до 90° высоты эква-
тора. Как мы увидим ниже, высота
полюса равна географической
широте
места
Если над горизонтом виден южный полюс, в таком случае высоту полюса бепѵт
с отрицательным знаком (минус), и тогда мы принимаем, что отрицательная вы-
сота полюса равна южной широте места.
§ 19. Обозначения астрономических координат. Будем применять в даль-
нейшем следующие обозначения: h — высота светила, Л —азимут, 8 —склонение
г—часовой угол и о — высота полюса.
'
«о
"
о орл
""
ат
"°
с
"
т
——
*<*«•
На фиг. 11 изображена небесная сфера, причем наблюдатель находится в точ-
ке С. Прямая ZCZ' представляет вертикальную линию; зенит находится в точке Z,
а надир в точке Z'.
Линия NWSE изображает линию горизонта при взгляде на
нее сбоку и несколько сверху (чертеж сделан не вполне точно; если бы действи-
тельно рассматривать небесную сферу несколько сверху, тогда точки, изображаю-
щие полюс и зенит, не могли бы находиться в плоскости чертежа). Прямая PCP'
—
ось мира; в точке Р находится северный, а в точке Р' — южный полюс неба.
Линия AWQE изображает небесный экватор; \Ѵ и Е — точки пересечения эква-
тора с горизонтом изображают точки запада и востока. Линия NPZQSP'Z'A,
ко-
торая проходит через зенит, надир и оба полюса, будет изображать меридиан.
Прямая NS—полуденная
линия; N—точка
севера и 5 — точка юга. Большой
круг ZWZ'E
—
первый вертикал.
Дуга меридиана NP соответствует высоте полюса ср. Дуга QZ — склонение
точки зенита, SQ или AN—высота
экватора. Так как дуги ZN и PQ равны 90°
и отрезок PZ — общий для обеих
^
ДУГ'
т0
=
т. е. склонение
4
зенита равно высоте полюса.
Обозначим через M положение
какой-либо звезды, которая при су-
точном движении описывает парал-
лель yWj/WMo, причем часть парал-
лели расположена ниже горизонта.
Проведем ZM — вертикал
звезды;
плоскость его образует с плоскостью
меридиана угол А; дуга ЬМ будет,
следовательно, соответствовать вы-
соте звезды h. Проведем линию
РМ — круг склонения звезды; угол,
образуемый плоскостью, проходящей
через него, с плоскостью меридиана,
есть часовой угол светила t, а дуга
еМ—склонение
звезды.
Легко видеть, что стороны сфе-
рического треугольника PZM,
вер-
шины которого совпадают с полю-
сом, зенитом и звездой, будут до-
полнениями до 90° высоты звезды,
склонения и высоты полюса; угол при Р есть часовой угол, а угол при Z—равен
130° — А (дополнение азимута до 180°). Если из этих пяти величин известны три,
то при помощи формул сферической тригонометрии можно вычислить остальные.
Третий угол треугольника (при точке ЛІ, изображающей светило), т. е . угол,
образуемый вертикалом и кругом склонения светила, называется
параллактиче-
ским углом
светила. Фигуру треугольника PZM надо всегда чертить так, как
она изображена на фиг. 11, т. е. так, как будто мы рассматриваем небесную
сферу с запада,
чтобы полюс Р находился влево от зенита Z. Только при таком
изображении небесной ctbc-ры углы t и А будут правильно изображать часовой
угол и азимут светила. Если же рисовать небесную сферу так, как будто мы ее
рассматриваем с востока,
то тогда эти углы пришлось бы обозначать через — t
и — А, но для начинающих изучать сферическую астрономию оперировать с по-
добными обозначениями было бы затруднительно и это могло бы повести к не-
правильным выводам.
§ 20. Звезды незаходящие и невосходящие. Из фиг. 11 видно, что неко-
торые звезды восходят в восточной части горизонта и в течение своего суточного
движения достигают высшей точки над горизонтом, когда переходят через ме-
ридиан (когда они бывают в верхней
кульминации).
К западу от меридиана
звезды начинают опускаться к горизонту и, наконец, заходят; через 12 часов
после верхней кульминации звезды второй раз пересекают меридиан
{в'нижней
кульминации). В нижней кульминации звезда находится ниже всего иод горизон-
том. Та часть суточной параллели звезды, которая расположена выше горизонта,
называется дневной дугой '), часть же, находящаяся ниже горизонта, называется
ночной дугой. Если звезда находится на небесном экваторе и, следовательно,
склонение ее равно 0°, то дневная дуга ее суточного пути равна ночной дуге;
если же знак у склонения такой же, как и у полюса, видимого над горизонтом 2),
то дневная дуга ее суточной параллели больше ночной; если же знак склоне-
ния противоположен знаку полюса, видимого над горизонтом в данной местности,
то дневная дуга будет меньше ночной. Следовательно, в нашем полушарии звезды
с северным склонением остаются выше горизонта больше 12 часов.
Далее, из фиг. 11 видно, что некоторые звезды в нижней кульминации не
достигают горизонта, а следовательно, постоянно находятся выше горизонта.
Такие звезды называются незаходліцими.
Около другого полюса мира находятся
звезды, которые в течение суток совсем не будут восходить. Из фиг. 11 видно,
что звезда будет незаходящей, если удовлетворяется следующее условие: oW90—ср.
Это значит, что склонение незаходящей звезды должно быть равно или боль-
ше высоты полюса мира. Так, если высота полюса равна 60°,
то всякая звезда, северное склонение которой равно 30° или
больше, будет незаходящей. Звезды же с южным склонением,
равным 30° или больше, совсем не будут видимы. Вследствие
рефракции (см. § 37 и 77) в эти выводы приходится ввести
небольшие поправки.
Часть небесной сферы, в которой расположены незаходя-
щие звезды, образует шаровой сегмент, отграниченный суточ-
ной параллелью; эта суточная параллель в наших широтах
Фиг. 12.
касается линии горизонта в точке севера. На фиг. 12 показано,
как небесная сфера суточными параллелями делится на части, в которых распо-
ложены незаходящие и невосходящие звезды. Суточные параллели на чертеже
изображены прямыми линиями NN' и SS'.
Шаровой сегмент NPN'
охватывает
область незаходящих звезд; высота этого сегмента РМ = РО — МО = г
— cos «а),
где г—радиус сферы. Если всю сферу рассматривать как шаровой пояс, высота
которого равна 2г, тогда на основании теоремы, гласящей, что поверхности,
шаровых поясов пропорциональны высотам, получим следующее отношение:
_
г(1—cos?) _ 1—costf _
«9
*
2?
~
2
—
S1
2'
Если ср = 90°, то х = 1І2, т. е. в том случае, когда все точки одной половины
небесной сферы будут всегда оставаться над горизонтом (будут незаходящими),.
все точки другой половины всегда остаются ниже горизонта и будут невидимы; точка
зенйта в этом случае совпадает с полюсом мира, и суточное движение звезд
будет происходить по линиям, параллельным плоскости горизонта. Такие явления
происходят на земных полюсах.
Для случая <р= 60° мы имеем coscp= 1/o и х= 1/і,
т. е. четвертая часть
небесной сферы остается незаходящей и четвертая часть остается невидимой.
Если о = 0°, то и д: = 0, т. е. в этом случае совсем нет незаходящих звезд.
Все звезды восходят и заходят. Северный полюс мира совпадает с точкой севера,
а южный полюс мира — с точкой юга; ось мира принимает горизонтальное поло-
жение, и звезды при своем суточном движении описывают круги, перпендику-
лярные к плоскости горизонта. Такие явления имеют место в пунктах, располо-
женных на земном экваторе.
Ч Термины дневная
и ночная дуга в советской литературе мало употребительны. —
Прим. персе.
2) To-есть если склонение звезды со знаком
(северное) и если над горизонтом, виден
северный полюс мира. — Прим. перев.
Для южного полушария соотношение л; сохраняет то же значение, так как
cos( — с?) = cos ср. Только в южном полушарии Солнце в верхней кульминации
остается на севере, и наблюдатель, повернувшись лицом к Солнцу, видит, что
суточное вращение небесной сферы совершается справа налево.
Всякое небесное светило, склонение которого остается в постоянным, достигает
наибольшей высоты при прохождении через меридиан в верхней кульминации.
В западной части неба звезда, опускаясь, последовательно проходит через точки
на небе с такой же самой высотой, как и в восточной части неба, когда она
подымалась. Две одинаковые высоты одного и того же светила (в западной
•и восточной частях неба) называются соответствующими
высотами;
если скло-
нение светила не изменяется, то в тех случаях, когда оно находится на одина-
ковой высоте, светило отстоит на равных расстояниях от меридиана к востоку
и к западу.
§21. Суточные движения звезд восходящих и заходящих. Азимут светила
при его суточном движении изменяется различно, в зависимости от того, нахо-
дится ли это светило в момент верхней кульминации между зенитом и полюсом
или же оно кульминирует к югу (в северном полушарии) от зе-
нита (см. фиг. 11). Если с ветило кульминирует к югу от зенита
то азимут его равен 0° в момент верхней кульминации и 180°
в момент нижней кульминации; в промежутке между кульминациями
азимут изменяется неравномерно. Когда светило кульминирует
между полюсом и зенитом, то в обе его кульминации (в верх-
нюю и в нижнюю) азимут его равен 180°. Это легко видеть из
фиг. 13, на которой небесная сфера изображена, если смотреть
на нее сверху; в точке Z находится зенит; круг, ограничиваю-
щий чертеж, изображает горизонт. В точке Р находится полюс,
следовательно, линия PZ
представляет собой меридиан;
вN
находится точка севера, а в 5—точка юга. PB изображает суточную параллель
светила. Достигнув 180° в момент верхней кульминации, азимут начинает умень-
шаться до тех пор, пока светило не придет в точку В, в которой плоскость
вертикала светила делается касательной
к
его суточной параллели. Допол-
нение до 180° этого наименьшего значения азимута светила называется его
западной
элонгацией;
затем азимут начинает увеличиваться и вновь дости-
гает 180° в момент нижней кульминации. Потом опять начинает уменьшаться,
причем его значения в восточной части неба принимают такую же величину,
как и в западной, ^так что светило достигает своей восточной элонгации за
столько же времени до верхней кульминации, через сколько после нее оно
было в наибольшей западной элонгации. Таким образом у светил, кульминирую-
щих между полюсом и зенитом, плоскость их вертикала описывает при их су-
точном движении не окружность, а совершает колебания между их элонгациями
как между двумя предельными положениями.
Значение азимута А, когда светило достигает элонгации, можно найти, решая
прямоугольный сферический треугольник PBZ,
в котором sinPB = sinPZ sinA.
•Подставляя принятые нами обозначения для склонения и высоты полюса РВ =
=
90°— 3 иPZ = 90°— ©,мыполучим выражение cos8= cosсоsinА илиsinA =
=
cos8/cos©.
Если полярное расстояние светила 90° — 8 есть малая величина, то можно
принять 180° — А = (90°—8) sec с?. Например, для Полярной звезды 90°—8= 1°,1,
тогда для широты <? = 60° получим значение для азимута в момент элонгации,
равное 2°,2; для широты ср = 70°, А = 3°,2.
§ 22. Связь между горизонтальными и экваториальными координатами.
Если мы применим формулы (1), приведенные в § 13 к параллактическому тре-
угольнику (т. е. к треугольнику, вершины которого составляют: зенит—полюс —
светило), то получим две системы формул, которые дают связь между горизон-
тальными
координатами (А и А) и экваториальными
координатами (8 и /)
•светила.
Задача I. Нам известны высота и азимут (А и А) светила, а также широта (о)
места наблюдения. Требуется определить склонение и часовой угол (8 и /) све-
тила в соответствующий момент. Из фиг. 14 имеем
sin8= sin(fsinh— cos<?coshcosA,j
cos8sin/= coshsinA,
>
(1)
cos8cos/= cosоsinА-ф-sin©coshcosA.J
Чтобы установить, в каком квадранте находится /, надо помнить, что cos 8
всегда положителен и что sin/ должен иметь тот же знак, как и правая часть
второго уравнения в формулах (1), a cos/ имеет тот же знак, как и правая
часть третьего уравнения в формулах (1).
Задача И. Нам . известны склонение и часовой угол светила (8 и /), а также
широта места (©). Требуется определить высоту и азимут (А и А) светила в дан-
ный момент времени.
__ И]
tг
Из фиг. 14 имеем
sinЛ= sinоsin8-j-cos©cos8cos/,
|
°
cosAsinA= cos3sin/,
I (2)
cosAcosA=
—
coscpsinS-}-sin©cos8cos/.J
Численные примеры на вычисление по формулам (1)
и (2) приведены в Приложении. Для определения того,
в каком квадранте находится А. можно пользоваться пра-
Фнг
"
вилами,
изложенными выше для определения квадранта / из формул (1).
Большое значение имеет следующий частный случай. Известны широта места (©)
и склонение светила (о). Требуется вычислить часовой угол (/0) для момента
восхода или захода светила.
Решение. При восходе и заходе светила А = 0. Если мы подставим это зна-
чение Л в первое из уравнений формулы (2), то получим
0= sinс?sinS-j-coscpcos8cos/0,
откуда выводим
cos/0 =
—
tgcptg8.
(3)
Численный пример см. в Приложении.
Формулу (3) легко преобразовать так, чтобы /0 определялось через тангенс
(см. § 13).
Из формулы (3) имеем
1—cos/0=1+ sln?3ln»
,
l-fcos/Q==l-
slntP3ln5:
0
'
cos9cos5'
~
°°
А
cos9cos8
Деля первое равенство на второе, мы получаем
1—cos/п
cos?cosS4-sintpsinS
cos(if—5)
1-J-COS/Q
costpcos5— sin(Fsin5
cos(9+i)'
откуда следует, что
>гч А)_ cos(у—В)
ё
2
cos(9+ 8)
te
=
лГ003 (<f
~
8).
/4ч
lg2
—У
cos(9 + 5)
С4)
На практике формулу (3) применяют так же часто, как и формулу (4),
потому что для определения времени восхода и захода не требуется особенно
большой точности. О влиянии рефракции на часовой угол восхода и захода
Астрономия
.
светила говорится в § 38. Для того чтобы вычислять изменения высоты светила
в зависимости от часового угла, обратимся к первой из диференциальных фор-
мул в § 14. Подставив в формулу соответствующие значения для сторон и углов,
получим
rf/г
=
cosрrfô— cosAda— cos8sinpdt,
(5)
где p означает угол при светиле M (параллактический угол) в треугольнике MPZ
(фиг. 14). Принимая о и S за величины постоянные, имеем
dit =
—
cos8sinр dt.
Из фиг. 14 получаем выражение
cos8sinр= cos«ssinА.
Подставляя это выражение в предыдущее, мы получаем
dh=
—
cosоsinAdt.
(6)
Это значит, что при суточном движении высота светила изменяется
сильнее
всего, когда А =
90°, т. е . когда светило находится в первом
вертикале.
§23. Третья система астрономических координат. Для того чтобы опреде-
лить положение светила на небе при помощи двух координат совершенно неза-
висимо от суточного движения светила, применяется третья система астрономи-
ческих координат. Для этого вместо часового угла надо взять дугу экватора,
измеряемую не от меридиана, но от какой-либо точки, которая сама принимает
участие в суточном вращении небесного свода.
За такую точку принимают вполне определенную точку на небесном экваторе,
так называемую точку весеннего равноденствия.
Она находится в созвездии Рыб,
ниже квадрата Пегаса; продолжив вниз левую сторону квадрата на равную ей
длину, мы как раз встретим точку весеннего равноденствия. Дуга экватора, отсчи-
тываемая от точки весеннего равноденствия в сторону, противоположную суточ-
ному движению небесной сферы до круга склонения светила, называется
прямым
восхождением
светила; мы будем обозначать прямое восхождение через а. Оно
измеряется до 360° или до 24'', т. е. точно так же, как и часовой угол выра-
жается в градусах или в часах. Для перехода от градусов к времени нужно раз-
делить число градусов на 15. Разность прямых восхождений двух звезд, согласно
данному выше определению, равна разности часовых углов, только взятой
с обратным знаком. Более подробно о точке весеннего равноденствия и прямом
восхождении будет сказано в § 40. Здесь же мы ограничимся только следующими
чисто практическими указаниями.
Все точки на небесной сфере, которые расположены на полуокружностях,
проходящих от северного полюса мира до южного, и на которых находятся
следующие звезды:
ß Кассиопеи,
имеют прямое восхождение приблизительно а = 0''
ß и 0 Возничего
„
„
„
я
а= 6"
у и о Б. Медведицы
„
„
,
»
а =12''
Ч Дракона
„
„
а= 18"
Большую помощь при первом знакомстве с основными понятиями сферической
астрономии может оказать подвижная карта звездного неба '), а еще лучше
можно разобраться в этих вопросах при посещении планетария 2).
і) Подвижная карта звездного неба приложена к 4-му изданию постоянной части
.Русского астрономического календаря". —
Прим. перев.
-) В Москве в 1929 г. было построено специальное здание, в котором установлен
планетарий. Он представляет собой сложную систему проекционных фонарей, при помощи
которой на куполе помещения получается изображение звездного неба, планет, Луны,
Солнца. При помощи специальных приспособлений можно демонстрировать на нем суточ-
ное и годовое движения небесной сферы, движение Лупы, планет и другие явления, изу-
чаемые сферической астрономией. Демонстрации сопровождаются объяснительными лек-
циями. — Прим. перев.
Фиг. 15. Теодолит.
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
§ 24. Теодолит. Для измерения горизонтальных углов употребляют инстру-
мент, который называется теодолитом;
теодолит имеет широкое применение
и для других астрономических целей. Схематическое устройство теодолита изо-
бражено на фиг. 15. Труба ab снабжена объективом а и окуляром Ь\ внутри
трубы, на небольшом расстоянии от Ь, расположен крест нитей; он определяет
в трубе положение ее оптической оси. Труба скреплена с осью вращения cd,
которая заканчивается двумя стальными цилиндри-
ческими цапфами. Цапфы лежат на лагерах, кото-
рые находятся на концах подставок се и df. Под-
ставки для трубы прикреплены к внутреннему из
двух горизонтальных кругов, которыми снабжен тео-
долит; внешний горизонтальный круг ik прочно 5е
скреплен с подставкой самого инструмента, которая
в свою очередь опирается на три опорных винта.
Труба вместе со своими подставками и внутренним
кругом тп может вращаться вокруг оси gh, внеш-
ний же круг ik остается при этом неподвижным.
Если на внешнем круге нанесены деления, тогда на
внутреннем круге устраивают особое приспособле-
ние для отсчетов по этим делениям, и внутренний
круг является в этом случае алидадой. Отсчеты про-
изводятся обыкновенно при помощи двух нониусов или микроскопов, располо-
женных на диаметрально противоположных частях круга; среднее, взятое из этих
двух отсчетов, как это легко доказать, не зависит от влияния
эксцентриситета•
эксцентриситет происходит от того, что центр вращающегося круга (алидады)
не совпадает с центром неподвижного круга (лимба).
Чтобы повысить точность отсчетов, устанавливают
иногда четыре нониуса на расстоянии 90°; при такой
установке исключается ошибка, происходящая от того,
что плоскость круга не вполне точно перпендикулярна
'
Трубка уровня,
к оси вращения gh. Оптическая ось трубы должна быть перпендикулярна к оси
вращения трубы cd (ось cd представляет собой ось цилиндрической поверх-
ности цапф); ось вращения трубы cd в свою очередь должна быть перпендикулярна
к оси gh.
•
.
Если инструмент правильно установлен и выверен, тогда ось cd должна при-
нять горизонтальное положение, а ось gh — вертикальное. Для того чтобы этого
добиться, мы должны непосредственно глазами видеть направление силы тяжести
в данном пункте. Достичь этого можно при помощи общеизвестного прибора,
который называется уровнем.
Уровень (фиг. 16) представляет
собой слегка согнутую стеклянную трубку. Чаще для изгото-
вления уровня шлифуют внутреннюю поверхность стеклянной
трубки, придавая ей слегка искривленную форму; трубку на-
полняют эфиром или спиртом так, чтобы оставалось немного
свободного пространства в виде пузырька, наполненного па-
рами жидкости.
Пузырек устанавливается в самой верхней части трубки;
на верхней час+и трубки нарезаны деления для отсчетов поло-
жения пузырька, как это показано на фиг. 16. Трубка уровня фиг. 17 . Уровень,
заключена в металлическую оправу (фиг. 17) с двумя ножками с
и d\ этими ножками уровень устанавливают на цилиндрическую подставку ef,
которую надлежит привести в горизонтальное положение. Если уровень правиль-
ный, то подставка ef примет горизонтальное положение, когда концы пузырька
будут отстоять на одинаковых расстояниях от середины трубки. Однако бывает,
что трубка уровня лежит несколько наклонно в своей оправе или что ножки
уровня неодинаковой длины; но если неточность уровня не слишком велика, то
псе же мы можем достигнуть горизонтальной установки подставки, переставив
уровень на подставке так, чтобы ножки его поменялись местами, и добиваясь
того, чтобы при обоих установках уровня пузырек его стоял па середине трубки.
Положение трубки уровня в его оправе регулируется при помощи коррекционных
винтиков. Если поставить уровень на ось теодолита cd. (фиг. 15), то можно
добиться, что инструмент примет такое положение, при котором ось gh будет
вертикальной. Этого мы достигнем, если пузырек уровня будет оставаться непо-
движным, когда мы вращаем инструмент вокруг его вертикальной оси gh. Чтобы
привести ось gh в вертикальное положение, будем поступать следующим обра-
зом: установим сперва инструмент так, чтобы на-глаз ось cd приняла положение,
параллельное линии, соединяющей два каких-либо подъемных винта. Затем будем
вращать эти винты в противоположные стороны до. тех пор, пока пузырек уровня
не станет на середину трубки; потом, не трогая уровня, повернем весь инстру-
мент на 180° вокруг вертикальной оси gh и будем снова вращать те же два
опорных винта до тех пор, пока пузырек уровня не станет относительно его
делений так, что при обоих положениях инструмента он будет занимать одно
и то же MÇCTO, т. е . в одном положении инструмента он должен уходить влево
на такую же величину, на какую он отклоняется вправо при другом положении
инструмента, — или же в обоих случаях пузырек должен стоять на середине
трубки. Повернем затем инструмент так, чтобы ось cd заняла положение, перпен-
дикулярное к предыдущему, и при помощи третьего подъемного винта произве-
дем такую же операцию, какую произвели прежде двумя другими подъемными
винтами; тогда ось gh примет вертикальное положение. Такая установка инстру-
мента называется его
нивелированием.
Но если после перекладки уровня мы убедимся в том, что ось cd не строго
горизонтальна (фиг. 15), то тогда положение ее можно исправить, опуская или
подымая один из лагеров при помощи двух специальных винтов.
Уровнем пользуются не только для того, чтобы решить вопрос о том, накло-
нена ли ось инструмента относительно горизонта, но и для того, чтобы измерить
величину наклона. Измерить при помощи уровня величину наклона можно, если
известна цена деления уровня, т. е. угол наклона, соответствующий перемещению
концов пузырька на одно деление. Определять цену деления уровня можно раз-
личными способами; например, устанавливают уровень на подставку, один конец
которой подымают или опускают при помощи микрометрического винта. Разде-
лив высоту винта на расстояние от основания винта до другого конца подставки,
получаем значение угла, соответствѵющее числу сделанных оборотов винта; умно-
жив полученную величину на sin 1", мы получим значение угла в секундах дуги.
Легко понять, как производят измерения при помощи теодолита. Для этого
наводят последовательно трубу на два различных предмета и делают оба раза
отсчеты по горизонтальному кругу; разность отсчетов дает нам угол между гори-
зонтальными проекциями направлений на эти предметы, но отнюдь не угол между
самими направлениями. Иными словами, при помощи теодолита мы измеряем дву-
гранный угол между двумя вертикальными плоскостями. Лишь в том случае,
если обе линии визирования расположены в горизонтальной плоскости, угол
между направлениями на предметы будет тот же самый, как и угол между гори-
зонтальными проекциями этих направлений.
Но если наблюдаемые точки находятся на различной высоте, то чрезвычайно
важно, чтобы было удовлетворено упомянутое выше условие, а именно, необхо-
димо, чтобы оптическая ось трубы была перпендикулярна к ее горизонтальной
оси вращения. Угол, который оптическая ось трубы образует с направлением,
перпендикулярным к ее горизонтальной оси вращения, называется
коллимацион-
ной ошибкой трубы.
Если у инструмента имеется коллимационная ошибка, то оптическая ось
трубы, при вращении вокруг горизонтальной оси, будет описывать не вертикаль-
ную плоскость, а коническую поверхность, и конец оптической оси, продолженной
до небесной сферы, опишет не дугу большого круга, а дугу малого. круга.
Для поверки инструмента наводят трубу на отдаленный земной предмет, затем
перекладывают трубу в лагерах и вновь направляют на тот же самый предмет,
не поворачивая инструмента вокруг вертикальной оси. Если во втором случае
изображение предмета не совпадает с крестом нитей, то отклонение от верти-
кальной нити равно двойной коллимационной ошибке, как это видно из фиг. 18.
Действительно, линия cd изображает горизонтальную ось инструмента, Na — пер-
пендикуляр к ней, ЬО — положение оптической осіі трубы при первом наведе-
нии на предмет, который находится в направлении аО. После перекладки трубы
оптическая ось примет направление b'G',
т. е. пройдет в сторону от предмета.
Коллимационную ошибку можно уничтожить, перемещая крест нитей в соот-
ветствующую сторону при помощи двух упорных винтиков, предназначенных для
этой цели; винтики эти проходят через тело трубы и упираются в рамочку, на
которой натянуты нити. Если наблюдаемый земѵой предмет расположен невы-
соко над горизонтом, то величину коллимационной ошибки можно определить
так: при тором наведении на предмет поворачивают ин-
струмент вокруг вертикальной оси до тех пор, пока крест
нитей не будет опять наведен на тот же самый предмет,
при первом и при втором наведении делают отсчеты по
горизонтальному кругу. Полуразность отсчетов равна кол-
лимационной ошибке. Влияние коллимационной ошибки на
результаты наблюдений можно будет тогда учесть при по- с .
мощи вычислений. Вместо того чтобы перекладывать трубу
в лагерах, можно повернуть инструмент вокруг вертикаль-
ной оси на половину окружности и сделать отсчеты при
обоих положениях инструмента. Откинув от второго от-
счета 180°, мы получим такой же результат, как и при
перекладывании трубы в лагерах.
§ 25. Способ соответствующих высот. Если мы хотим
определить при помощи теодолита азимут предмета, тогда
мы должны знать направление истинного меридиана. Определить направление
истинного меридиана можно различными способами, но мы пока опишем только
способ соответствующих
высот.
Наведем трубу на звезду или на какое-либо другое светило в восточной части
неба (только подальше от меридиана, потому что вблизи меридиана высота све-
тила изменяется слишком медленно) и сделаем отсчет по горизонтальному кругу.
Через несколько часов светило придет па ту же высоту, но уже в западной
части неба; повернем инструмент вокруг вертикальной оси так, чтобы светило
было видно в поле зрения трубы, и будем продолжать поворачивать инструмент
вокруг вертикальной оси, пока светило не окажется на кресте нитей. Закрепим
трубу и сделаем тогда второй отсчет по горизонтальному кругу. Если за время
между отсчетами инструмент не изменял своего положения, то оба отсчета со-
ответствуют одинаковой высоте светила; если склонение светила в промежутке
между отсчетами оставалось одинаковым, то, следовательно, вертикальные пло-
скости, в которых оно находилось, отстоят на одном и том же расстоянии от
меридиана, одна — к востоку, другая — к западу. Пусть отсчеты по горизонталь-
ному кругу равны с и с', тогда отсчет J/2 (с-\ -с') соответствует положению тру-
бы в меридиане. Этот.отсчет будет исходным для определения азимута какого-
либо пункта на Земле или на небе.
Если склонение светила не остается, постоянным, но в первом случае оно
равно 8, а во втором о —Д, где Д означает малое приращение (положительное
или отрицательное) склонения, то и тогда способ соответствующих высот дает
вполне точные результаты, только к среднему арифметическому из отсчетов надо
придать маленькую поправку х. Эту попрагку можно найти при помощи первого
уравнения (1), выведенного в § 22:
sin8= sinоsinh—cosоcoshcosA.
В этом выражении о остается постоянным, так как оба наблюдения произве-
дены на одном и том же месте; равным образом остается постоянным и h, так
как оба наблюдения производились на одинаковой высоте; но если склонение 8
изменялось, то азимут светила в восточной части неба не будет равен соответ-
ствующему азимуту его в западной части неба. Диференцируя написанное выше
уравнение и полагая dy — dh = 0, получаем
cos8rf8= cosоcoshsinAdA.
(1)
Если изменение А настолько мало, что его можно рассматривать как дифе-
ренциал, то тогда полагаем rfo = A и вычисляем изменение азимута dA, предпо-
лагая, что все остальные величины известны. Если широта известна с достаточной точ-
ностью, то А можно принять равным полуразности отсчетов по горизонтальному
кругу, но значение h остается у нас неизвестным. Из параллактического сфери-
ческого треугольника (§ 22) имеем
cosЛsinА—cos8sint
и, подставляя в выражение (1), получаем
dA=
cosçsin V *
(2)
(3)
Часовой угол t с достаточной точностью можно принять равным половине
промежутка времени, протекшего между обоими наблюдениями.
Упомянутая выше величина л:, впрочем, не равна dA; dA представляет собой
величину, на которую западный азимут светила отличается от восточного, вслед-
ствие того, что склонение светила изменилось на величину А; л; есть поправка,
которую нужно ввести вследствие изменения склонения на величину А; поэтому х
имеет знак, противоположный dA; но так как д: представляет собой поправку
к среднему арифметическому из двух отсчетов по кругу, то мы получаем окон-
чательно
х=
-і
2 cos9sin/'
(4)
Например, склонение Солнца около равноденствия (см. § 40) изменяется при-
близительно на 1' в час (точное изменение склонения Солнца на каждый день
можно найти в астрономических ежегодниках). За время между зимним и летним
солнцестояниями А принято считать положительным, в остальное время года —
отрицательным. Предположим, что между наблю-
дениями прошло 8 часов, следовательно, л==4/'=60°;
в таком случае, если наблюдения производились
в дни около осеннего равноденствия и на широте
о == 60°, мы. по формуле (4) получаем
! 9'.
Наблюдая Солнце, можно получить направле-
ние меридиана, если провести биссектрису угла,
образованного тенями одинаковой длины, отбра-
Фнг. 19. Гномон.
сываемыми одним и тем . же предметом на пло-
скость до и после полудня. Будем наблюдать,
например (фиг. 19), перемещение тени от вершины прямого конуса (гномона)-,
проведем на горизонтальной плоскости вокруг основания конуса одну или не-
сколько концентрических окружностей. Отметим точками F и H места, в кото-
рых тень от вершины конуса пересекает окружность при суточном движении
Солнца, и разделим дугу FH пополам. Если проведено несколько концентриче-
ских окружностей, то отметим на каждой точки, в которых дважды в сутки
пересекает ее тень от вершины конуса О, и затем разделим пополам дуги окруж-
ностей между этими точками. Каждая окружность даст нам незавпснмЪ напра-
вление меридиана. Способ наблюдений показан на фиг. 19; ABCD представляет
собой доску, которую предварительно надо привести в горизонтальное положе-
ние при помощи уровня. Изменения склонения Солнца за время наблюдений при
помощи гномона можно не принимать во внимание, так как точность этого спо-
соба невелика.
§ 26. Универсальный инструмент. Для того чтобы измерить высоту светила
необходимо иметь в своем распоряжении инструмент, снабженный, как и теодолит
вертикальной и горизонтальной осями вращения; эти оси, как и у теодолита'
должны приводиться при помощи уровня в строго вертикальное и горизонтальное
положения; но, кроме того, инструмент должен иметь точно разделенный
верти-
кальный круг с алидадой. Если вертикальный круг инструмента скреплен с го-
ризонтальной осью и одновременно с трубой вращается вокруг нее, то тогда алидада
не должна изменять своего положения в вертикальной плоскости за время наблю-
дений; чтобы следить за тем, что алидада не изменила своего положения, с нею
скреплен уровень. Если алидада несколько переместилась, то, заметив ее наклон
по уровню и зная цену деления уровня, можно ввести соответствующие поправки
в отсчеты по вертикальному кругу.
г
Теодолиты обыкновенно также снабжаются небольшими вер-
"
'
тикалыіыми кругами для приближенного определения наклона
трубы относительно горизонта; но если оба круга инструмента
позволяют делать отсчеты по ним с такой же точностью, с ка-
кой делается наведение трубой, то такой прибор называется уни-
версальным
инструментом
(или альтазимутом),
и им можно
пользоваться для определения как высот светила, так и азимутов.
Подобно тому, как при определении азимута необходимо
знать отсчет по горизонтальному кругу, соответствующий поло-
жению трубы в меридиане, точно так же и при измерении вы-
Фиг 20
соты светила нужно знать отсчет по вертикальному кругу, соот-
ветствующий горизонтальному положению трубы. Чтобы узнать, чему равен от-
счет по вертикальному кругу, когда труба стоит горизонтально, поступают сле-
дующим образом.
'
Ы1е
Отнивелировав инструмент, наводят сперва трубу на какой-либо земной пред-
мет и делают отсчет по вертикальному кругу, повернув инструмент на 180° во-
круг вертикальной оси, вновь наводит трубу на тот же самый предмет и делают
второй отсчет по вертикальному кругу. На фиг. 20 линия оО изображает напра-
вление оптической оси трубы при первом наведении на йредмет, ZZ'— вертикаль
ная ось, вокруг которой инструмент поворачивается на 180°; из чертежа вилнп
ѵ^Ппт'ПГГпм/ИСТРУГНТа На 180
°
°
ПТИЧеСкая
°сь примет положение °'0'\
угол ОСО , который она образует с первоначальным положением оО, равен двой-
ному зенитному расстоянию предмета. Угол ОСО' равен разности отсчетов по
вертикальному кругу при первом наведении трубы на предмет и при втором
наведении на тот же предмет
после
поворота трубы 'вокруг горизонта^
Легко понять, что среднее арифметическое из этих двух отсчетов даст поло-
жение зенита Z на круге; точки, расположенные на 90° в обе стороны от зенита
ё—ы
, асвГла°"аЛЬНОЙ
ЛИНИ".
И СЛУЖЗТ ИСХ0ДНЫМИ ПуНКТами ддя »змере!
трубу „а тог же „редмег; тсп^
Устройство универсального инструмента схематически изображено па фиг. 21;
ik означает горизонтальный круг инструмента, сс — вертикальный круг с двумя
лупами для отсчета нониусов.
Рассматривая фиг. 21, мы видим одну важную особенность в конструкции
универсального инструмента. На фиг. 15 видно, что при наведении трубы изо-
браженного на чертеже инструмента на точки, расположенные вблизи зенита,
•необходимо, чтобы подставки горизонтальной оси инструмента были достаточной
длины; в противном случае горизонтальный круг может помешать свободному
вращению трубы, и наблюдателю нельзя будет найти удобное место для головы
при наблюдении. У инструмента, изображенного на фиг. 21, устроена
ломаная
труба.
Внутри трубы установлена прямоугольная призма g; луч света, идущий
от объектива, претерпевает полное внутреннее отражение в призме и идет по
•направлению ga\ ось и одна из цапф b инструмента делаются полыми, окуляр о
устанавливают на конце полой цапфы.
Сетка нитей устанавливается внутри
трубы впереди окуляра, в том месте, где получается изображение весьма удален-
ного предмета.
Таким образом половина оптической
оси трубы вследствие отражения луча света всегда
будет находиться в горизонтальном положении, и глаз
наблюдателя остается на одной и той же высоте, когда
труба бывает направлена на различные точки небесной
сферы.
Иногда бывает нужно получить приближенный ази-
мут и высоту какого-либо пункта на небе, не имея под
рукой угломерного прибора. Тогда можно воспользо-
ваться кистью руки, т. е . углом, который образуют сред-
ний и указательный пальцы вытянутой руки. Этот угол
приблизительно равен 12°; величину этого угла можно
проверить, измерив какой-либо уже известный угол,,
например, высоту Полярной звезды, которая отли-
чается от шпроты места не больше чем на 1°. Плоскость
горизонта всегда может быть определена глазом с до-
статочной точностью. Азимут светила можно измерять
по горизонту от точки юга до той точки горизонта, которая находится точна
внизу под светилом. Конечно, большой точности получить при таком способе нельзя,
но все же высоту светила можно получить точнее, чем если оценивать ее на-глаз,
так как опыт показывает, что углы оцениваются тем больше действительных, чем
ближе светило к горизонту.
§ 27. Измерение высоты при помощи отражательных инструментов. Тео-
долит
и универсальный
инструмент
приходится устанавливать
по уровню,
поэтому их необходимо ставить на прочной, неколеблющейся подставке. Наоборот,
секстан
и другие отражательные инструменты при наблюдении можно держать
в руках. Чтобы определить при помощи отражательного инструмента высоту
светила, надо принять за исходное начало какую-либо видимую линию или
плоскость; истинный же (или астрономический) горизонт на самом деле нельзя
непосредственно
видеть. На море можно измерять высоту светила относительно
видимого
горизонта. Установив на-глаз секстан в плоскости, соответствующей
вертикалу наблюдаемого светила, например, Солнца, направляют трубу непосред-
ственно на линию видимого горизонта, т. е . на линию, по которой небо сходится
с морем; затем передвигают алидаду, на которой укреплено большое зеркало
секстана, до тех пор, пока изображение Солнца не попадет в поле зрения трубы;
окончательная установка секстана производится тогда, когда с видимым горизонтом
значим этот отсчет по вертикальному кругу буквой L. Тогда место нуля равно МО = i/2 (B+L).
Очевидно, что высоту светила можно вычислить из выражения h = R— МО или h =г
=
МО — L в зависимости от того, наблюдаем ли мы светило при круге прапо или при
круге лево. В астрономии, впрочем, чаще пользуются не местом нуля, а местом зе-
нита (MZ) и определяют не высоты светил, а их зенитные расстояния. —
Прим. перев.
струмент.
моря будет совпадать верхний или нижний край Солнца. Чтобы убедиться в том
не расположена ли наклонно к горизонту измеренная нами дуга, следует несколько
подвигать секстан (поворачивая его вокруг горизонтальной оси в плоскости
секстана), причем надо следить, чтобы изображение Солнца касалось горизонта
только в одной точке.
Видимый горизонт расположен всегда ниже истинного; поэтому отсчитанный
по лимоу угол надо уменьшить на величину, соответствующую угловому расстоя*.
между видимым и истинным горизонтом, или, как
говорят, исправить за понижение горизонта. В дальней-
шем (§ 97) мы определим величину понижения горизонта;
здесь же мы только приведем практическое правило,
как вычислить понижение горизонта в минутах дуги; для
этого нужно извлечь квадратный корень из числа, выра-
жающего высоту глаза наблюдателя над уровнем моря
в метрах, и полученную величину умножить на 1,78.
В морских астрономических ежегодниках помещаются
-
таблицы, в которых значения понижения горизонта даны
по аргументу высоты глаза наблюдателя над уровнем моря.
При наблюдениях на суше пользуются так называе-
мым искусственным горизонтом, который представляет
сооой горизонтальную плоскость с зеркально отражающей
поверхностью; в качестве искусственного горизонта при-
меняют или стеклянную пластинку, снабженную тремя опорными винтами, которую
можно.привести в горизонтальное положение при помощи уровня, или чашку с ртутью,'
поверхность которой сама собой принимает горизонтальное положение. На,
открытом воздухе чашку с ртутью надо прикрывать стеклянной крышкой, чтобы,
предохранить поверхность ртути от ветра. Изображение Солнца, отраженное по-
верхностью ртути, кажется нам ниже ее поверхности на такой же угол, на
какой само Солнце выше горизонта. Трубу секстана направляют на отраженно»
в искусственном горизонте изображение Солнца; затем, передвигая алидаду, до-
оиваются, чтобы изображение Солнца соприкоснулось с его отражением в искус-
ственном горизонте. Измеренный при этом уголра-
вен удвоенной
высоте Солнца, как это видно на
фиг. 22, где AB отражающая поверхность искус-
ственного горизонта; О — место, где находится сек-
стан; OS направление на край Солнца или на
звезду. Вследствиё большого расстоянии до Солнца
можно принять, что луч SH параллелен SO. Отра-
женное изображение Солнца видно по направле-
нию ОС; измеренный секстаном угол SOC равен
углу SHC, т. е . удвоенной высоте Солнца.
§ 28. Пассажный инструмент. Одним из наи-
более важных астрономических инструментов яв-
ляется пассажный
инструмент.
Он состоит из
трубы, которая, как-и труба теодолита, вращается
вокруг горизонтальной оси; цапфы этой тру-
.
бы покоятся на неподвижных
лагерах. Обыкно-
венно горизонтальная ось пассажного
инстру- Фиг. 23 . Пассажный инструмент,
мента устанавливается в направлении восток —
3аПн; Фиг 94°
оптическая
ось
трубы вращается
в
плоскости
меридиана,
На фиг. 23 показана схема установки пассажного инструмента; а-объектив
Ь- окуляр трубы. Вместо креста нитей устанавливают сетку нитеГ внутри'
иРУ,?з нВе7олькихОКУвЛЯРа; СеТКа С0СТ0ИТ И3 0ДН0'1
"
ли
И3 ^ры'горизота ь'шх
то епЛ.аа п Т
Вег
'
тнкалЫ1ЫХ
если ин.трумент правильно установлен,
вами Л
V7TM£ЗЛЬНаЯ
mTï Д°ЛЖНа нах°Д"ться в плоскости меридиана. Бу£
вами с и d обозначены цапфы горизонтальной оси; лагери « и / укреплены
на двух солидных каменных столбах р, р, которые стоят на фундаменте; пол,
по которому ходит наблюдатель, не должен иметь никакого соприкосновения
с этими столбами. Чтобы ночью можно было видеть сетку нитей, в фонаре /
устанавливают лампочку, свет которой проходит внутри полой горизонталь-
ной оси, отражается от зеркальца k и попадает затем в окуляр. Конечно,
зеркальце /г не должно преграждать путь пучку лучей, идущему от объектива
к окуляру.
Применяются также переносные
пассажные инструменты; от описанных выше
инструментов с постоянной установкой они отличаются тем, что каменные столбы
у них заменены солидным железным приспособлением, у.которого имеются две
подставки, снабженные лагерами для поддерживания цапф горизонтальной оси;
плоская нижняя поверхность этого приспособления при помощи трех массивных
опорных винтов устанавливается на каменном столбе.
При измерении углов пассажным инструментом вспомогательным прибором
служат часы.
Пассажный инструмент именно для того и предназначен, чтобы
точно определить момент прохождения светила через меридиан. Когда вследствие
суточного движения звезда проходит поле зрения трубы, то она
последовательно проходит через все вертикальные нити сетки
нитей; моменты прохождения через нити нужно отметить с воз-
можной точностью. Для этой цели с особенной выгодой при-
меняется хронограф (см. § 6). При некотором, однако, навыке
можно даже без помощи хронографа определять моменты про-
хождения звезды через нити с точностью до 0,1—0,2 секунды;
наблюдатель смотрит в трубу и считает секунды; как показано
Фиг. 24 . Поле
иа
Фнг>
24> 011 может заметить место а, в котором находилась
зрения трубы.
звезда в момент последнего удара секундного маятника перед
прохождением ее через нить, и место Ь, в котором оказалась
звезда в момент первого удара секундного маятника после прохождения ее через нить;
можно на-глаз оценить, на какие части нить делит промежуток ab. Зная расстояние
отдельно каждой боковой нити от средней, можно при помощи простых вычис-
лений найти, какое время звезда с определенным склонением употребит, чтобы
пройти это расстояние. Прохождения через боковые нити можно тогда привести
к средней нити и, взяв среднее арифметическое из всех этих определений, мы
значительно повысим точность наблюдений. Очевидно, что мы должны стремиться
к возможно большей точности, когда пользуемся часами для измерения углов;
так как Iя при суточном движении соответствует дуге в 15", то, следовательно,
нужно быть уверенным в том, что точность наблюдений равна малой доли се
кунды, чтобы часы могли конкурировать с разделенными кругами, снабженными
точными приспособлениями для отсчетов.
Предположим, для простоты рассуждений, что часы наши отрегулированы
так, что всякий раз, когда какая-либо неподвижная звезда проходит через мери-
диан (т. е. находится в верхней кульминации), стрелки часов показывают одно
и то же время; в таком случае, если ход часов строго равномерный, можно
получить часовой угол
звезды для любого момента времени, если из показания
часов в этот момент вычесть время прохождения звезды через меридиан, по-
тому что часовой угол звезды при прохождении ее через меридиан (т. е.
в момент верхней кульминации) равен нулю. Если часы отрегулированы иначе,
то часовой угол нельзя будет получить так просто; но если ход часов равно-
мерный, можно при помощи простых вычислений свести второй случай к пер-
L ому (см. § 72).
Из данного нами определения прямого
восхождения
звезды (см. § 23) следует,
что разность прямых восхождений двух звезд равна разности моментов их
кульминаций, отсчитанных на часах, отрегулированных так, как сказано выше.
Следовательно, зная прямое восхождение хотя бы только одной звезды, можно
определить прямое восхождение любой другой звезды, отнаблюдав при помощи
•трубы прохождение ее через меридиан.
Производя наблюдения при помощи так называемого регистрирующего
микро-
метра V Реисольда, можно исключить личные ошибки наблюдателя, которые
происходят от трудности точно заметить момент, когда звезда пересекает нить
в поле зрения трубы. Наблюдения безлнчным микрометром заключаются в том,
что наблюдатель удерживает все время подвижную пить микрометра на звезде
пока последняя проходит поле зрения трубы, причем в моменты, когда подвижная
нить, а следовательно, и звезда приходят на определенные места в поле зрения,
• автоматически замыкается и размыкается особым приспособлением электрический
ток и дает сигналы на ленте хронографа. В последнее время были произведены
опыты автоматической регистрации прохождения звезд через поле зрения трубы
при помощи фотоэлектрического элемента; при таком методе наблюдений мы
можем создать систему меридианных наблюдений, полностью освобожденную от
личных ошибок наблюдателя.
Для точной установки пассажного инструмента необходимо произвести сле-
дующие операции: при помощи уровня приводят в горизонтальное положение
горизонтальную ось инструмента. Существует ли у инструмента коллимационная
ошибка, можно определить, переложив трубу в лагерах; если нужно, коллима-
ционную ошибку можно исправить, сдвигая сетку нитей, как это
уже было указано при описании теодолита. Для предварительного
\
определения направления меридиана достаточно произвести наблюде-
У'
ния звезд иа соответствующих высотах, но для точного определе-
/7
пня лучшим способом служат наблюдения околополюсных звезд
о{
РЪ
в верхней и нижней кульминации, причем следует выбирать звезды,
"У
У
отстоящие от полюса всего на несколько градусов.
'
/и
Если горизонтальная ось инструмента приведена в горизонталь-
/
ное положение, но концы ее не лежат строго в направлении во-
/
сток —запад, тогда большой круг инструмента, т. е. большой
круг, который описывает по небесной сфере линия, перпендику-
лярная к горизонтальной оси, хотя и будет расположен в плоскости
J—; г
вертикала, но не будет совпадать с меридианом. Угол, на который
.
*
отклоняется большой круг инструмента от плоскости меридиана, на-
5>
зывается азимутом
инструмента
(см. § 72). На фиг.'25 изображена часть небес-
ной сферы, если смотреть на нее извне; буквой Z обозначен зенит, буквой
Р — полюс, следовательно, линия ZPN— меридиан. Круг, проведенный около Р как
около центра, представляет собой параллель звезды, которая в точке о находится
в верхней, а в точке и — в нижней кульминации; время, которое требуется для
перехода от верхней до нижней кульминации, равно в точности половине проме-
жутка времени между двумя последовательными верхними кульминациями той же
звезды. Если линия ZV представляет большой круг инструмента, то в таком слу-
чае звезда при обеих кульминациях будет пересекать среднюю нить не в точках о и и
?,TMЧтХ ° " " ' ПрИЧе • В ЭТИХ Т0ЧКЗХ паРаллель звезды разделится на две неравные
части. Так как дуги параллелей мы измеряем при помощи часов, то, следовательно
мы сможем заметить очень незначительное неравенство дуг, если только ход часов'
равномерный. При этом предполагается, что азимут не изменяется зГвремя протек-
шее между кульминациями. Возможные изменения азимута можно, впрочем опре-
делить наблюдениями особой марки {миры), установленной в меридиане на неко-
тором расстоянии от инструмента, и затем внести их в вычисления
иЧ ;1ТЖИТЬ ЗЗИму т
инст
РУмента можно, перемещая при помощи винта один
плпеі^» ; ЭТИ пеРемещения
лагеРа
"У>'<"°
делать не только в вертикальной
Тп~7У24Г°ЖеНт
Н0 И В ГОр—но«
плоскости-для
§ 29. Меридианный круг и вертикальный круг. У всякого пассажного инстру-
заппнее'тѵ>еТСЯ
"
еб°ЛЬШ0Й вертикальный круг, при помощи которого
можно
заранее правильно направить трубу, чтобы увидеть звезду к моменту ее кульминации
1) У нас больше принято название безличного
микрометра . — Прим. перев.
і
6
в поле зрения трубы. Но если вертикальный круг имеет настолько значитель-
ные размеры, что отсчеты на нем можно делать с такой же точнрстыо, с ка-
кой производятся наведения трубой, то с подобным инструментом можно ре-
шать целый ряд задач, помимо тех, которые решаются с помощью пассажного
инструмента. Такой инструмент называется меридианным
кругом.
Его употреб-
ляют для того, чтобы одновременно наблюдать и момент кульминации светила,
и высоту светила в момент прохождения его через меридиан (высоту светила
в меридиане). Установку меридианного круга старых конструкций можно видеть
на фиг. 26; сс изображает круг с делениями, который вращается вместе с тру-
бой вокруг горизонтальной оси инструмента, буквой m обозначены четыре
приспособления
для
отсчетов по кругу. Алидадой служит
четырехугольная
рама, скрепленная с одним из столбов, поддерживающих ось инструмента; сверху
на раме установлен уровень для контролирования незначительных изменений ее
положения (как это было объяснено выше при описании универсального инстру-
мента).
Когда звезда приближается к средней нити, трубу устанавливают так, чтобы
звезда шла по горизонтальной нити или между двумя параллельными горизон-
тальными нитями, если таковые имеются в сетке нитей трубы J). Затем делают
отсчет по кругу.
Чтобы определить высоту светила в меридиане, нужно знать на круге положе-
ние какого-либо исходного пункта, например, места зенита. Способ определе-
ния места зенита, описанный нами для универсального
инструмента, здесь неприменим, так как меридианный круг
нельзя поворачивать на 180° вокруг вертикальной оси;
перекладка же такого большого инструмента в лагерах
представляет слишком хлопотливую операцию, чтобы ее
можно было применять для определения места зенита.
Для этой цели обыкновенно применяется один из следую-
щих двух способов.
Место зенита определяют с помощью так называе-
мого коллиматора.,
Коллиматор
представляет
собой
небольшую трубу, в фокусе объектива которой нахо-
дится крест нитей; коллиматор устанавливают на камен-
ном столбе к северу или к югу от меридианного круга,
на одной высоте с его осыо (обыкновенно ставят его в том
же помещении,ѵ.где находится меридианный круг); объектив коллиматора обращен
к трубе меридианного круга. Если коллиматор представляет собой цилиндрическую
трубу, лежащую на лагерах.скрепленных с подставкой, снабженной тремя опорными
винтами, то в таком случае его можно привести в горизонтальное положение при
помощи уровня; если оптическая ось коллиматора образует угол с его геометри-
ческой осыо (т. е. расположена в трубе наклонно), то это можно обнаружить, вра-
щая ірубу в лагерах вокруг ее геометрической оси; исправить наклон оптической
оси можно соответствующими передвижениями рамочки с крестом нитей. Если
отбросить через окуляр внутрь трубы коллиматора лучи дневного света или
искусственного источника света, то они осветят крест нитей; а так как крест
нитей находится в фокусе объектива, то лучи от освещенного креста нитей,
пройдя через объектив, пойдут параллельным пучком. Если направить трубу ме-
ридианного круга в объектив коллиматора, то мы будем видеть изображение
креста нитей, как весьма удаленного предмета. Наведем горизонтальную нить
сетки нит.ей меридианного круга на горизонтальную нить коллиматора; в таком
случае оптическая ось трубы меридианного круга примет горизонтальное поло-
1) При прохождении через поле зрения только экваториальные звезды идут в точности
параллельно горизонтальной нити; все же другие звезды движутся по суточным параллелям;
прямая линия в поле зрения трубы соответствует дуге большого кр)га на небесной сфере;
этот большой круг получается при пересечении небесной сферы плоскостью, проходящей
через эту прямую лншпо и центр объектива,
круг старой конструк-
ции.
Л
II
Фиг. 27. Меридианный круг на Бабельсбергской обсерватории
близ Берлина.
.
.
;іг
г>я
жен и е, как и труба коллиматора. Отсчет по кругу будет, следовательно,
отсче-
том в горизонте *).
Значительно легче определять на круге отсчет
в надире. Внизу, под трубой
меридианного круга, ставят сосуд, наполненный ртутыо, и направляют объектив
грубы вниз, на зеркальную поверхность ртути. Отбросим сверху луч света внутрь
грубы при помощи специально приспособленного окуляра; в таком случае лучи
от освещенной сетки нитей, пройдя через объектив трубы, пойдут параллельным
пучком и, отразившись от поверхности ртути, вернутся назад почти по тому же
самому пути. Следовательно, наблюдая через окуляр, мы увидим непосредственно
сетку нитей и, кроме того, увидим изображение этой сетки, отраженное от зер-
кальной поверхности ртути. Совместив горизонтальную нить сетки нитей мери-
инного круга с ее отраженным изображением, мы установим оптическую ось
русы о вертикальной плоскости, перпендикулярной к плоскости меридиана,
/след. дельно, и к плоскости его круга с делениями. Сделанный тогда отсчет
по круг, представит собой отсчет
в надире,
который отличается на 90° от
обоих отсчетов в горизонте и на 180° от места зенита на круге.
Помимо меридианного круга для определения высоты звезд применяют еще
так называемый вертикальный
круг.
Этот инструмент, как и меридианный круг,
снабжен вертикальным кругом для отсчнтывания разностей высот, но при этом
ои устроен так, что его можно легко вращать вокруг вертикальной оси и уста-
навливать по любому азимуту; при наблюдениях в меридиане его можно повора-
чивать на 180°.
Работая вертикальным кругом, мы отказываемся от постоянной
установки, инструмента по азимуту, что является необходимым для точных наблю-
дений прохождения звезд а), но зато возможность поворачивать инструмент
на 180° дает нам значительные преимущества при определении высот светил: так
как при каждом наблюдении мы можем поворачивать инструмент на 180°, а сле-
довательно, всякий раз определять место зенита на круге. Поворот на 180°
контролируется при помощи уровня, скрепленного с вертикальным кругом; при
помощи уровня мы можем определить изменение наклона трубы и внести соот-
ветствующие поправки. При измерениях высоты звезд надо принимать во внима-
ние гнутие
трубы инструмента. Под влиянием тяжести как объективный конец
трубы, так и окулярный несколько изгибаются, когда труба не направлена точно
в зенит или точно в надир. Если при сгибании трубы объектив и сетка нитей
отклоняются на одинаковую величину, то направление оптической оси при этом
остается тем же самым. Вообще, вследствие некоторого различия в устройстве
обоих концов трубы, при гнутии их обнаруживается разница. Под влиянием
тяжести гнутие трубы представляет собой величину переменную, зависящую от
зенитного расстояния
наблюдаемого светила (как показывает опыт, величина
гнутия порядка 1"). Вследствие гнутия трубы оптическая ось и вертикальный
круг инструмента при вращении их вокруг горизонтальной оси перемещаются не
на одинаковую величину 8).
Гнутие оказывает наибольшее влияние при горизонтальном положении трубы
и равно нулю, когда труба направлена в зенит или в надир. Составляю-
щая тяжести, направленная перпендикулярно к оси трубы, пропорциональна
синусу зенитного расстояния. Поэтому предполагают, что гнутие пропорциональ-
но sin z.
Величину гнутия при горизонтальном положении трубы можно определить
при помощи коллиматоров. Два коллиматора (см. стр. 60), установленные один
к северу, а другой к югу от главного инструмента, направлены один на другой
так, что кресты сетки нитей их совпадают. Следовательно, оптические оси колли-
!) Прибавив или отняв от отсчета в горизонте 90°, получим место зенита. Прим. перев.
2) Как это имеет место в пассажном инструменте и в меридианном круге, которые
зі применяются поэтому для наблюдения прямых восхождений светил . — Прим. перев.
3) Гнутию подвержен и вертикальный круг инструмента, но при отсчетах по четырем
. ми кроскопам ошибка за гнутне круга исключается. — Прим. перев.
маторов параллельны. Наводя трубу исследуемого инструмента последовательно
на оба коллиматора, измеряют угол между их оптическими осями. Если этот угол
точно равен 180°,
то тогда гнутие трубы при ее горизонтальном положении
равно нулю. Отклонение от 180° равно удвоенному значе-
нию гнутия трубы при ее горизонтальном положении.
Получить значение гнутия при других зенитных рас-
стояниях можно, если умножить величину гнутия при гори-
зонтальном положении трубы на sin z\ тогда можно испра-
вить все наблюдения от влияния гнутия.
Установив маленькое зеркальце перед объективом трубы,
мы увидим в трубу отраженное изображение горизонтальной
нити рядом с непосредственным ее изображением (см. стр. 61).
Расстояние между непосредственным и отраженным изобра-
жениями нити равно удвоенному углу между оптической
осью трубы и перпендикуляром к зеркалу. Зеркальце можно
установить так, что тяжесть будет производить только сме-
щения зеркальца,
параллельные
самим себе.
В таком
случае изменения угла между оптической осью и перпен-
дикуляром к зеркалу при вращении трубы будут происхо-
Фиг. 28 . Параллакти- днть только вследствие гнутия трубы. Измеряя при разных
ческая линейка.
положениях трубы расстояния
между непосредственным
изображением нити и ее отражением, мы можем получить
тогда соответствующие значения гнутия трубы. Такими измерениями мы можем '
удостовериться в справедливости закона синусов.
§ 30. Из истории усовершенствования меридианного круга. На фиг. 26 дано
схематическое изображение меридианного круга старой конструкции; на фиг. 27
(см. вклейку между стр. 60 и 61) изображен современный меридианный круг.
Фиг. 31 . Большой секстан
Тихо Браге (1577).
Фиг. 29. Квадрант ландграфа
Вильгельма Гессенского (1560).
Фиг. 30. Квадрант Тихо
Браге (1569).
Историю развития этого столь важного в астрономии инструмента можно
проследить на фиг. 29—33, 35, 36.
Первую ступень в этом развитии представляет собой гномон (фиг. 19);
это — вертикально установленный шест; измерив длину тени, отброшенной им,
вычисляли высоту Солнца. Типичным представителем следующей ступени развития
можно считать параллактическую
линейку (фиг. 28). Вертикальный стержень
представляет собой неподвижно установленный гномон; два других стержня
устроены подвижными; на одном из них, как видно из чертежа, имеются два
визира. Стержень с визирами на одном своем конце может вращаться вокруг
гномона, другой же его конец скользит вдоль второго подвижного стержня.
Направляя оба визира на какое-либо небесное тело и производя соответствующие
вычисления, можно получить высоту светила в момент наблюдения.
Значительный шаг в развитии инструментов представляет собой
квадрант
(фиг. 29); этот инструмент снабжен дугой, равной четверти окружности, с нане-
сенными на ней делениями; сектор дуги квадранта вращается вокруг своего
центра, вернее, вокруг центра тяжести инструмента; наведя на светило
диоптры
(приспособления для визирования), которые установлены на одном из радиусов
квадранта, можно непосредственно отсчитать соответствующую дугу на небе, не
производя никаких вычислений *).
На фиг. 32 мы видим так называемый стенной квадрант;
инструмент состоит
из квадранта, прочно прикрепленного к стене, и трубы, которая при помощи
Фиг. 32 . Стенной квадрант с трубой
Фиг. 33. Меридианный круг Рёмсра (слева)
(1753).
и пассажный инструмент в первом верти-
кале (справа).
короткой цапфы может вращаться вокруг центра дуги квадранта. На фиг. 33
изображен построенный Олафом Рёмером первый меридианный
круг] инструмент
снабжен полным кругом вместо четверти круга, как у квадранта; такое усовер-
шенствование имело большое значение, так как позволяло исключить ряд инстру-
ментальных ошибок; круг насажен на длинную ось, которая лежит на неподви-
жных лагерах, этим обеспечивается постоянство установки инструментов подоб-
ного типа.
§ 31. Определения высоты полюса и склонения светил при помощи мери-
дианного круга. Определение высоты полюса секстаном. Меридианный круг
дает возможность весьма удобно и точно определять высоту полюса для данного
пункта (т. е . широту места наблюдения) и склонение
звезд. Где бы ни произво-
дились астрономические определения, везде в первую очередь необходимо знать
широту места наблюдения. Ее можно определить независимо от определения
>) Квадранты в прежнее время делались иногда весьма значительных размеров. На
развалинах обсерватории. Улуг-бека (XV век) в Самарканде, при раскопках, производив-
шихся в начале нашего столетня, найдены остатки двух мраморных дуг, установленных
точно в меридиане, радиусом около 40 м каждая. При таких размерах дуги квадранта
можно было легко отсчитать мелкие доли градуса, и наблюдения зенитных расстояний
светил производились с большой для того времени точностью. —
Прим. перев.
других астрономических величин (за исключением рефракции) измерением высоты
незаходящих звезд в обеих кульминациях.
На фиг. 34 изображена проекция четвертой части
небесной сферы, если смотреть на нее из точки за-
пада; линия HNHS—
изображает горизонт,
IiNZHs—
меридиан, Z — зенит, Р — полюс. Звезда в верхней
кульминации находится в точке о0 между зенитом
и полюсом, причем высота ее равна Л0; в нижней
кульминации звезда находится в точке аи, и высота
34
ее равна Л„. Из чертежа видно, что А0 равно сумме
tf
двух дуг, а именно, высоте полюса PHN-\- поляр-
ное расстояние звезды Ро0; Aw равно разности этих же самых дуг. Предположим,
что склонение звезды за время, протекшее между двумя кульминациями, осталось
неизменным. В таком случае можно написать два уравнения:
Ло=
? + (90°-8)
•
(1)
И
hu= <р—(90°— 8),
(2)
откуда получаем а = j ('К
hu).
Таким образом высота полюса (или, иначе, широта места) равна среднему
арифметическому из двух измеренных высот звезды при ее верхней и нижней
кульминациях; при этом надо только заметить, что измеренные высоты звезды как
в этом, так и во всяком другом случае должны быть исправлены за
рефракцию
(о рефракции мы будем говорить подробнее в следующем разделе).
Некоторые незаходящие звезды в верхней кульминации проходят южнее зенита,
например, в точке о. Высоту такой звезды Л0' приходится отсчитывать уже от
точки юга; как показывает чертеж, мы будем иметь для нее следующее выражение:
Л/= 8+90° — ?
'(3)
(так как Au = 8).
Для высоты звезды в нижней кульминации получается то же уравнение, как
и в первом случае:
д=8
_
(90° _
«>).
Чтобы исключить 8 из уравнений (3) и (2), вычтем их одно из другого, тогда
получим 90° — <P = Y (А/ — Alt). Это значит, что дополнение широты до 90° равно
полуразности высот звезды, измеренных при ее верхней и нижней кульминациях.
Далее, легко видеть, что, вычитая уравнение (2) из уравнения (1) или склады-
вая уравнения (2) и (3), мы исключаем широту места и получаем выражения для
определения склонения звезды:
8= 90
—1 (А0— hu)
(4)
8= i(Ä0'+ Au).
(5)
Если же широта места определена заранее, то склонение звезды мы получим
по любой из формул (1), (2) и (3).
В связи с этим отметим, что уравнение (3) очень часто применяется при
определении широты в экспедициях, а особенно на море, когда производятся
измерения секстаном высоты Солнца в меридиане. Правда, плоскость секстана
нельзя заранее установить в меридиане, особенно, если держать инструмент
в руках; но для наблюдений секстаном большое значение имеет то обстоятель-
ство
что высота светила в меридиане (в момент верхней кульминации) имеет
наибольшее значение. Поэтому за некоторое время до полудня направляют трубу
на горизонт и движением алидады совмещают с горизонтом верхний или нижний
край Солнца; затем удерживают край Солнца в соприкосновении с горизонтом
Фиг. 37. Большой рефрактор Потсдамской астрофизической обсерватории.
•.•і
Л
•t. '
до тех пор, пока Солнце, наблюдаемое в трубу, не начнет опускаться. Произведя
в таком положении отсчет по ліЫбу, мы получим наибольшую высоту, которой
достигал край Солнца при его суточном движении. Внеся в полученный отсчет
поправку за понижение горизонта и за рефракцию, следует привести наблюдения
к центру Солнца, склонение которого дается на каждый день в астрономических
ежегодниках, а для промежуточных моментов может быть получено интерполиро-
ванием. Приведение края Солнца іс его центру или, иначе, поправка за величину
радиуса Солнца, выраженного в угловой мере и равного приблизительно 16',
тоже дается на каждый день в астрономических ежегодниках, потому что види-
мый радиус Солнца в течение года изменяется *).
В каждую измеренную высоту Солнца, Луны или какой-нибудь планеты
должна быть внесена еще одна поправка, если мы хотим при вычислении пользо-
ваться склонениями этих светил, данными в ежегодниках; эта поправка зависит
от того, что направления на светила, находящиеся в сравнительной близости
к Земле, измеряемые с различных точек земной поверхности, несколько отли-
чаются от координат, приводимых в ежегодниках (вследствие параллакса
светил).
Впрочем, как мы увидим ниже (см. § 99), только для Луны эта поправка имеет
довольно значительную величину.
§ 32. Инструменты с экваториальной установкой. Вообразим себе, что
универсальный инструмент установлен так, что его вертикальная ось совме-
щена с направлением оси мира, т. е. направлена
к небесному полюсу, а не в зенит; тогда круг его,
прежде бывший горизонтальным, будет совпадать
теперь с плоскостью экватора; инструмент с такой
установкой называется экваториалом,
и его можно
применить для определения склонений и часовых
углов небесных светил, подобно тому как универ-
сальный инструмент применяется для определения
высоты и азимута. Благодаря тому, что отдельные
части инструмента установлены наклонно относи-
тельно направления силы тяжести, при помощи кру-
гов нельзя производить точных измерений углов;
при отсчетах приходится иметь дело с неизбеж-
ными небольшими смещениями отдельных частей,
которые оказываются неодинаковыми при различ-
ных положениях инструмента.
Тем не менее, именно, экваториальную установку
применяют в широком масштабе для больших астро-
номических инструментов; разделенные круги делают
для них небольших размеров потому, что они служат
для приближенной установки трубы по заданному
направлению, а не предназначаются для определения
показана установка экваториала. Направленная к полюсу мира ось ef называется
часовой осыо (или полярной осью); перпендикулярно расположенная к ней ось cd
называется осыо
склонений;
круг ik называется часовым
кругом,
акругgh—
кругом
склонений. Экваториальную установку называют еще
параллактической
потому, что при ней труба расположена вне точки пересечения обеих осей.
Практическое преимущество экваториальной установки заключается в том, что
при ней можно с удобством долгое время следить за звездой при ее суточном
движении. Инструмент приходится поворачивать только вокруг часовой оси потому,
что при этом продолженная оптическая ось трубы будет сама собой описывать
по небу суточную параллель. Так как часовые углы светил изменяются равномерно,
1) Видимый радиус Солнца изменяется в течение года, потому что Земля движется
вокруг Солнца по эллипсу и, следовательно, то приближается к нему, то удаляется от
него. Очевидно, когда Земля приближается к Солнцу, размеры его нам кажутся больше.
Подробнее об этом говорится в § 115. —
Прим. перев.
координат светил. На фиг. 41
Аотроноіпщ
5
то весьма удобно включить часовой механизм для механического перемещения
трубы. На фиг. 37 и 38 изображены современные астрономические инструменты
снабженные параллактической установкой.
'
§ 33. Армиллярные сферы. Гномон, параллактическую линейку и квадрант
можно рассматривать, как предшественников меридианного круга, подобно тому
как в древности и вплоть до эпохи Тихо Браге (XVI век) существовала группа
инструментов, которые мы можем считать предшественниками инструментов
с экваториальной установкой. Это так называемые армиллярные
сферы которые
представляют собой особые подставки, вращающиеся вокруг центральной точки-
подставки поддерживают металлические или деревянные круги, снабженные непо-
движными или передвижными приспособлениями для визирования, при помощи
которых можно делать наведения на небесные тела и отсчитывать разности их
экваториальных или эклиптических (см. § 44—45) координат.
На фиг. 39 и 40 (см. вклейку между стр. 64 и 65) воспроизведены изобра-
жения двух инструментов такого вида, которые были установлены Тихо Браге
на его обсерватории в Хвене. Само собой понятно, что при отсчетах на таких
инструментах часовых углов светил, координаты которых известны, мы получим
грубое определение времени. О применении армиллярных сфер мы будем гово-
рить ниже в § 43.
§ 34. Микрометр. Чтобы использовать при наблюдении большую точность,
какую дают трубы с большим фокусным расстоянием, инструменты с такими
трубами часто применяются для относительных
измерений на небе; а именно
для определения взаимного расположения двух звезд, которые или одновременно
находятся в поле зрения трубы, или, если труба закреплена неподвижно, про-
ходят одна за другой через поле зрения спустя короткий промежуток времени
Взаимное расположение звезд может быть определено или посредством разностей
их координат (склонения и прямого восхождения), или измерением расстояния
между ними и взаимного направления. Под расстоянием
между звездами разумеют
дугу большого круга, проходящего по небесному своду через обе звезды; напра-
вление от одной звезды на другую выражают в виде позиционного
угла; это —
угол, который образует большой круг, проходящий через обе звезды, с кругом
склонений, проходящим через одну из них. Позиционный угол в большинстве
случаев измеряется от севера (а так как труба дает обратные изображения, то,
следовательно, — снизу) в направлении, противоположном ходу часовой стрелки,
от 0 до 360°. Если обе звезды имеют одинаковое склонение, т. е. находятся на'
одной и той же суточной параллели, то у той из них, которая при суточном
движении идет сзади, позиционный угол равен приблизительно 90° относительно
звезды, идущей впереди; позиционный угол звезды, идущей впереди, взятый
относительно идущей сзади, равен 270°. Если звезды находятся при этом доста-
точно близко одна от другой, то разница между дугой большого круга, проходя-
щей через них, и дугой параллели будет незначительной, а часто даже этой
разницей можно пренебречь.
Для измерения расстояний между звездами и позиционных углов применяются
специальные вспомогательные приборы, общее название которых —
микрометры.
Существует много различных типов этих инструментов, из которых мы назовем
здесь только важнейшие.
Нитяной микрометр
построен на основании принципа, сущность которого
можно понять из фиг. 42. На обычном месте, вблизи окуляра трубы, где всегда
помещается сетка нитей, укреплена неподвижная рамочка, в которой натянут крест
нитей ab, cd. Вторая, подвижная, рамочка с натянутой нитыо ef (или несколькими
нитями), параллельной одной из неподвижных нитей, установлена так, что обе
сетки нитей (подвижная и неподвижная) могут передвигаться одна относительно
другой. Подвижная рамочка перемещается микрометрическим винтом, так что
нить ef {нить микрометра)
может быть установлена на различных расстояниях
относительно нити cd. Всю окулярную часть вместе с микрометром можно пово-
рачивать вокруг оптической оси трубы (на фиг. 42 оптическая ось не видна.
она расположена перпендикулярно к плоскости чертежа), причем два индекса или
нониуса п, п постепенно смещаются вдоль небольшого разделенного круга /, /;
этот круг, сообразно своему назначению, о чем мы будем говорить ниже, назы-
вается позиционным
кругом.
Для того чтобы вычислить результаты наблюдений, произведенных с помощью
микрометра, необходимо знать цену оборота винта микрометра, т. е . величину
угла в поле зрения трубы, который соответствует одному полному обороту
винта микрометра. Цену оборота винта микрометра можно определить следующим
образом: величину шага винта (высоту одной его нарезки) разделим на фокусное
расстояние трубы и потом умножим на число р (р = 360
'
60). Так, например,
шаг винта равен 0,5 мм, фокусное расстояние трубы 5 м, в таком случае цена
оборота винта равна р : 10 000 = 20",6. Если головка винта g разделена на
100 частей (индекс при головке винта на чертеже не изображен) и если на-глаз мы
будем оценивать десятые доли делений, то в нашем примере
можно делать отсчеты при измерении углов с точностью
до 0",02.
Микрометр можно применять двояким образом. Повер-
нем окулярную часть трубы вместе с микрометром так,
чтобы нить ab установилась по кругу склонений; тогда звезды,
при своем суточном движении, будут перемещаться вдол>.
нити, перпендикулярной к ab\ в таком случае разность пря-
мых восхождений двух звезд, проходящих через поле зре-
ния трубы, будет равна разности времен прохождения этих
звезд через нить ab; моменты прохождения через нить ab
должны быть замечены по астрономическим часам. Уста-
новим трубу так, чтобы первая звезда двигалась по неподвижной нити cd (вернее,
установим трубу так, чтобы
в момент прохождения через нить ab первая
звезда находилась на нити cd), а затем, не изменяя положения трубы, уста-
новим микрометром подвижную нить ef так, чтобы вторая звезда проходила по
этой нити; в таком случае отсчеты по барабану микрометрического винта (целые
обороты винта отсчитываются по особой шкале, которая на чертеже не изобра-
жена) позволят нам измерить расстояние между обеими нитями — подвижной и
неподвижной; это расстояние будет соответствовать разности склонений обеих
звезд. Конечно, можно сделать так, чтобы обе звезды перемещались вдоль по-
движной нити, если время позволяет, в промежутке между прохождениями звезд
через нить ab, сделать все необходимые отсчеты и наведения подвижной
нити.
В том случае, если обе звезды одновременно видны в поле зрения трубы,
можно пользоваться микрометром для того, чтобы измерить расстояние между
звездами и их позиционные углы; тогда мы получим их взаимное положение.
При описанной выше установке микрометра (т. е. когда нить ab совмещается
с кругом склонений) отсчет по позиционному кругу соответствует позиционному
углу 0° для нити ab. Повернем теперь микрометр так, чтобы нить ab проходила
через обе звезды; тогда расстояние между звездами можно измерить микрометри-
ческим винтом, а позиционный угол — при помощи позиционного круга. При этом
труба должна передвигаться при помощи упомянутого выше часового механизма,
так как звезды при подобных измерениях не должны изменять местоположение
в поле зрения трубы. Упомянутые в последнем параграфе координаты: расстояние
и позиционный угол, легко могут быть перечислены в разности прямых восхо-
ждений и склонений.
§ 35. Гелиометр. Наконец нам следует упомянуть здесь об инструменте, при
помощи которого можно измерять расстояния между звездами, находящимися на
небесной сфере гораздо дальше друг от друга, чем это допускается при измере-
ниях нитяным микрометром; инструмент этот имеет еще то преимущество, что
им можно работать при неосвещенном поле зрения, что позволяет использовать
е
I
Фиг. 42. Нитяной ми-
крометр.
Фиг. 43 . Схема гелиометра.
полностью оптическую силу трубы, между тем как при работе нитяным микро-
метром необходимо искусственное освещение поля зрения трубы или нитей.
Описываемый инструмент называется гелиометром,
так как первоначально он
предназначался для измерения диаметра Солнца.
Объектив трубы гелиометра разрезан Пополам вдоль своего диаметра, и обе
половинки лежат вдоль продолженной линии разреза одна за другой, но каждая
в своей особой оправе, причем, одна относительно другой, они могут смещаться
при помощи микрометрического винта, которым
можно работать от окуляра трубы.
Кроме того, весь объектив вращается вокруг
оптической оси трубы, и угол поворота может
быть измерен при помощи позиционного круга.
На фиг. 43 изображена схема устройства гелио-
метра. Если направить трубу на две звезды, кото-
рые находятся на расстоянии ѵ одна от другой, и если
линия разреза объектива совпадает с дугой большого круга, проходящего через обе
звезды, то в таком случае, передвигая половинки объектива, как показано в левой
части чертежа, получим для каждой половинки объектива отдельное изображение
обеих звезд; например, для одной половинки а, а',
для другой Ь, Ь'\ все четыре
изображения лежат на дуге одного и того же большого круга. Будем затем пово-
рачивать микрометрический винт до тех пор, пока изображение звезды из одной
пары совместится с изображением b
из другой пары; тогда, зная цену
оборота винта, мы получим расстоя-
.
ние между звездами, или угол ѵ.
Легко понять, что звезды могут быть
настолько удалены друг от друга,
чтобы лишь два средних изображе-
ния их, которые должны покрывать
одно другое, находились бы одно-
временно в поле зрения трубы.
§ 36. Измерение фотографиче-
ских пластинок. Вместо того чтобы
производить измерения положений
звезд непосредственно в трубу, мож-
но заснять часть неба на
фотогра-
фическую пластинку (см. § 2) и .
производить измерения но ней.
.
Измерения должны быть произ-
ведены так, чтобы получить прямо-
угольные
координаты
различных
пунктов на плоской фотографиче-
ской пластинке. Прямоугольные ко-
ординаты измеряются при помощи
специального измерительного при-
,
,
б°Р
а
для фотографических пласти-
Фиг. 44 . Прибор для измерения. фотографических Н(Ж ,ф
44) Пластинку прочно
пластинок (на Копенгагенской обсерватории).
ѵ1
'
„
у
скрепляют с рамой
измеритель-
ного
прибора.
Рама
передвигается
при
помощи двух длинных
винтов,
перпепдикулярных друг к другу; величина перемещения рамы может быть
точно измерена отсчетами на барабанах винтов (см. описание микрометрических
винтов в § 34; при измерениях фотографических пластинок дело идет о значи-
тельных передвижениях, так как пластинка гораздо больше поля зрения трубы).
Пластинку рассматривают при помощи микроскопа с микрометром, снабженным
крестом нитей. Вращая микрометрический пиит, совмещают с крестом нитей
подлежащий измерению объект на пластинке (например, изображение звезды).
Обыкновенно измеряют каждую координату отдельно и наводят с наивозмржной
точностью только одну нить на измеряемый объект.
Если на пластинке нужно измерять только небольшие расстояния, то тогда
работают одним только микроскопом, снабженным микрометром; измерения на
пластинке производятся точно так же, как и па небе.
От измеренных на пластинке прямоугольных координат мы можем перейти
к сферическим координатам: склонению и прямому восхождению. При вычислениях
приходится иметь дело с несколькими постоянными, зависящими от операций,
производимых при измерении прямоугольных координат. Операции эти следующие:
установка трубы, вкладывание пластинки в кассету трубы, а затем — в измери-
тельный прибор и, наконец, сами измерения, производимые с помощью микро-
метрических винтов. Постоянные, которые входят в вычисления, характеризуют
положение пластинки в трубе и в измерительном приборе, оптические свойства
трубы и свойства микрометрических винтов. Эти постоянные легко можно опре-
делить, если на пластинке имеется некоторое число звезд с точно известными
прямыми восхождениями и склонениями их. Вычислив постоянные, можно затем
по измеренным прямоугольным координатам остальных звезд на пластинке полу-
чить их прямые восхождения и склонения.
Легко снять на пластинку и измерить площадь небесной сферы размером
1°Х 1°. При помощи соответствующих оптических приспособлений удается полу-
чить на пластинках доступные для измерения большие площади, размерами до
5°X5°.
РЕФРАКЦИЯ
§ 37. Рефракция как следствие преломления световых лучей в земной
атмосфере. Земля окружена атмосферой, проходя через которую, луч света
преломляется; поэтому луч света, идущий от какой-либо звезды, попадает в глаз
наблюдателя по иному направлению, чем он шел
в пустом пространстве. Плотность воздуха в дан-
ной точке зависит от давления всей массы воз-
духа, находящейся над этой точкой; отсюда сле-
дует, что плотность воздуха уменьшается по мере
удаления от поверхности Земли. Если откинуть
случайные неравномерности в распределении воз-
духа, то можно принять, что атмосфера состоит
из слоев воздуха, поверхность которых везде
нормальна к направлению силы тяжести, а плот-
ность слоев уменьшается с увеличением высоты.
Так как Землю можно принимать за шар, и сила
тяжести везде направлена к центру Земли, то мы
можем считать, что поверхности слоев воздуха
сферические и концентричны. Опыты, о которых
мы будем говорить впоследствии, показывают, что
атмосфера простирается на весьма значитель-
ную высоту, но на высоте свыше 60—70 км
плотность ее настолько мала, что преломления в ней луча света совсем не заме-
чается. Когда луч света переходит из менее плотной среды в более плотную,
то он приближается к перпендикуляру, который в разбираемом нами случае
совпадает с направлением вертикальной линии. Пусть звезда находится по на-
правлению 5 (фиг. 45); луч света от нее идет прямолинейно, пока не попадает
в точку А, которую мы будем считать расположенной на верхней граннцс атмо-
сферы dd'\ от этой точки луч будет претерпевать заметное преломление, кото-
рое будет непрерывно увеличиваться, по мере того как луч будет проходить
через слон воздуха с постепенно увеличивающейся плотностью. Таким образом
путь светового луча через атмосферу представится в виде кривой линия, пока
он не достигнет, наконец, поверхности Земли. и не попадет в глаз наблюдателя О.
Поэтому наблюдатель увидит звезду по направлению OS',
т. е . по касательной
к кривой, составляющей конечную часть пути светового луча. Угол между
направлением OS' и первоначальным направлением луча AS называется
рефрак-
цией.
Так как лучи, преломленные и падающие, находятся в той же плоскости, как
и перпендикуляр в точке падения, т. е. в вертикальной плоскости, проходящей
через падающий луч, то, следовательно, рефракция не будет оказывать влияния
на азимут светила, но изменит его высоту, или зенитное расстояние, причем
звезда нам будет всегда казаться ближе к зениту, чем это есть на самом деле.
Поэтому высота светила, полученная из наблюдений, должна быть уменьшена
поправкой за рефракцию, чтобы привести ее к той высоте, на которой мы
видели бы звезду, если бы атмосферы не существовало.
Для звезды, находящейся в зените, рефракция, конечно, равна нулю. До зенит-
ного расстояния в 30° рефракция увеличивается с каждым градусом1) приблизи-
тельно на 1".
Для высоты в 45° рефракция равна почти точно 1'; для высоты
в 20° она уже почти достигает 2для высоты в 10° Дна больше 5', затем она
быстро, увеличивается к горизонту и на горизонте принимает значение около 35'.
Таким образом звезда, наблюдаемая нами на линии астрономического горизонта,
кажется нам приподнятой приблизительно на 35'.
За один т.олько последний
градус до горизонта рефракция увеличивается больше, чем на 10'.
Это обстоя-
тельство и является причиной того, почему Солнце и Луна кажутся у горизонта
сплюснутыми, причем их вертикальный диаметр кажется короче горизонтального.
Приведенные нами числовые величины представляют собой только средние
значения рефракции; на небольшой высоте над горизонтом величина рефракции
может сильно изменяться в зависимости от давления воздуха и от температуры;
когда барометр стоит высоко, т. е . когда увеличивается атмосферное давление,
воздух становится более плотным; при повышении температуры плотность воздуха
уменьшается, потому что воздух расширяется. В полных таблицах рефракции
даются указания, как исправлять среднюю величину рефракции в зависимости от
показаний барометра и термометра (см. Приложение, стр.562)2).
Если нам известна поправка за рефракцию для высоты светила, то мы легко
можем вычислить поправки за рефракцию для склонения и прямого восхождения
(или для часового угла).
Следствием рефракции является также тот факт, что звезды восходят раньше
и заходят позже, нежели они восходили и заходили бы, если бы мы их видели
по действительному направлению, не искаженному рефракцией. Поэтому благодаря
рефракции дневной путь небесных светил несколько удлиняется, а ночной путь
укорачивается. К рассмотрению этих двух вопросов мы еще вернемся ниже.
Первоначально явление рефракции было обнаружено из наблюдений. Действие
рефракции можно обнаружить различными способами: так, например, значения
для широты места, вычисленные на основании наблюдений высоты незаходящих
звезд, не сходятся между собой, если звезды взяты с различными склонениями.
Первые таблицы рефракции были составлены Тихо Браге; он хотя и не понимал
причины рефракции, но предполагал, что на положение Солнца и Луны на
высоте 45° рефракция уже не действует, а на положения звезд и планет она
перестает оказывать влияние уже на высоте свыше 20°.
Первое теоретическое
исследование причины рефракции было произведено Исааком Ньютоном.
Приведем некоторые соображения, которые дадут нам возможность в общих
чертах понять сущность теории рефракции. Мы будем говорить только о звездах,
которые находятся так близко от зенита, что можно пренебречь кривизной
Для зенитного расстояния в 30* рефракция равна 34",69. — Прим. перев.
") Полные таблицы рефракции изданы Пулковской обсерваторией. Они имеются также
в некоторых курсах астрономии и сборниках астрономических таблиц, например в .Таблицах
для астрономических вычислений" под редакцией К. А . Цветкова, изд. Редбюро ГУГК,
1939. — Прим. перев.
слоев воздуха, на которые разделяется земная атмосфера; в таком случае верти-
кальная линия в точке / (фиг. 46), по которой луч света SI попадает в атмосферу,
будет параллельна вертикальной линии OZ, проходящей
через глаз наблюдателя. Тогда мы можем считать, что
результат от полного преломления в атмосфере будет
таким же, как если бы луч света непосредственно пере-
ходил из пустоты в слой воздуха, плотность которого
jL
равна плотности воздуха в точке наблюдения. Угол паде-
ния равен тогда истинному зенитному расстоянию z, а
угол преломления — видимому зенитному расстоянию z'\
как показывает чертеж, наблюдатель увидит звезду по
направлению ОІ, истинное же направление на звезду OS'
параллельно направлению IS. Обозначим через п коэфи-
циент преломления соответствующего слоя воздуха, тогда, согласно закону пре-
ломления, мы можем написать следующее выражение:
sinz= пsinz'.
(*)
Обозначим рефракцию через г; тогда z = z' -j - г, откуда получаем
sinz= sinz'cosr-j-sinrcosz'.
Подставляя это выражение в формулу (*), получаем
cosz'sinr=(n — cosr)sinz'.
Так как эначение г, вообще говоря, очень мало, то можно принять с доста-
точной точностью cosr=l и sin г = г. Разделив обе части последней формулы
«a slnz, получим для значения рефракции отвлеченное число
r=(« — l)tgz'.
Если мы хотим получить величину г в секундах дуги, тогда его надо умножить
•на число р. Принимая (п — 1)р = о, подставим эту величину в предыдущее выра-
жение и получим окончательное значение рефракции:
г= atgz'.
Для данного показания барометра и для данной температуры число n, а сле-
довательно, и а — постоянные величины, и мы, таким образом, получаем следующий
результат: рефракция пропорциональна тангенсу видимого зенитного расстояния.
Этот закон справедлив для значительных зенитных расстояний; для высоты 30°
уклонения от него выражаются в малых долях секунды дуги. Даже для значительно
меньших высот рефракцию можно выражать формулой такого же вида, но только
для коэфициента а следует подбирать меньшие значения; однако вплоть до горизонта
приведенная выше формула все же не может давать значения для рефракции.
Коэфициент а, введенный нами в написанную выше формулу для рефракции,
называется постоянной рефракции.
Принимая для показателя преломления воздуха
значение «= 1,00028, получаем а =58".
Полная теория рефракции, при которой принимают во внимание кривизну
слоев воздуха, встречается с целым рядом трудностей; одно из главных затруд-
нений заключается в том, что для вывода основной формулы рефракции необхо-
димо знатьі по какому закону плотность воздуха убывает с увеличением высоты
над земной поверхностью. Закон этот в значительной степени зависит от убыва-
ния температуры с увеличением высоты; убывание температуры происходит с боль-
шой неравномерностью, но происходящие при этом неточности в вычислениях
рефракции имеют большое значение только вблизи горизонта. Поэтому принято
не производить астрономических наблюдений при малых высотах звезд, если от
наблюдений требуется высокая степень точности.
§ 38. Влияние рефракции на координаты и на время восхода и захода
звезд. Влияние рефракции можно вычислить при помощи параллактического
треугольника PZS (полюс — зенит — звезда).
На фиг. 47 изображены параллактический тре-
угольник PZS и треугольник PZS',
который полу-
чился оттого, что высота звезды 5 получила при-
ращение d.h. Для обоих треугольников сторона
90° — ©и угол 180° — А сохранили свою величину,
0-Л. как видно на чертеже. Решим вопрос о влияшш
рефракции на координаты светила при помощи
диференциальных формул; подберем для этого такие
диференциальные формулы из сферической тригоно-
метрии, которые заключают в себе dy и dA; так
как величины <р и А остаются постоянными, то, сле-
довательио, do и dA равны нулю; кроме того, в
Ь/, диференциальные формулы должны входить dh и
у один из диференциалов db или dt (dt равно — da,
см. определение прямого восхождения в § 23). На
основании первого и третьего уравнений формул (4), приведенных в § 14, напишем
Фиг. 47.
db— cosрdh-f-cos/do-f-coshsinpdA,
cos8dt——sinpdh sin/sinо rfo-j-cos hcospdA
0)
Подставляя вних d©=0 иdA=0, dt=
—
da и обозначая рефракцию
через г, получаем
do= гcosр,I
cos8da= гsinp.J
^
Формулы (2) позволяют нам вычислить влияние рефракции на координаты
аи8.
При рассмотрении вопроса о влиянии рефракции на время восхода и захода
светил надо обратить внимание на следующее: на фиг. 48 изображена суточная
параллель звезды (прерывистой чертой); она пред-
ставляет собой дугу
малого
круга, по
которой
звезда движется по небесной сфере при суточном
движении.
На чертеже
показаны
два
положения
звезды в момент около ее захода: в точке 5 звезда
действительно находится на горизонте, а в точке S'
звезда находится ниже горизонта (на 35'), но бла-
годаря рефракции она
видна
как раз
на
гори-
зонте. Для двух треугольников PZS и PZS',
как
это видно из чертежа, величины 90° — 8 и 90° — ©
общие. Чтобы и эту задачу решить при помощи ди-
ференциальных формул, подберем такие уравнения,
которые содержат cfcp и db (оба эти диференциала
должны равняться нулю, так как в нашей задаче ©
и 8 — постоянные), а кроме того, dh и dt. Первая из формул (4), приведенных
R§14,дает
—
dh= cosAdo—cospdb cos©sinAdt.
Фиг. 48 .
Принимая во внимание, что rfa = 0 и dt — 0, получаем
dh
dh——cos©sinAdt,
или
dt
cos9sinА '
из формулы (3) видно, что надо сперва получить значение sin А
(3)
Вычислить значение sin А можно, обратившись ко второй из основных формул
сферической тригонометрии (см. § 13), из которой получим
.
.
.
COS
...
sinА= sint
г.
(4)
cos h
v
'
Нотак как в моментзаходаh=0, то•
sinА= sin/ cos8.
(5)
Подставляя значение для sin А из формулы (5) в формулу (3), получаем
dt=
Ah
=
35/
(6ч
COS9cos3sint
COS9COSОsin/*
•'
Числовой пример приведен нами в Приложении (см. стр. 525).
§ 39. Мерцание звезд. В § 37 нами было сделано допущение, что слои воз-
духа различной плотности распределены в атмосфере равномерно, причем плот-
ность убывает с увеличением высоты над земной поверхностью. Однако в действи-
тельности вблизи земной поверхности часто происходят нарушения равномерности
распределения слоев. Такие нарушения носят случайный характер, и в большин-
стве случаев причиной их служат изменения температуры, благодаря чему возни-
кают восходящие и нисходящие токи воздуха; благодаря таким токам происходит
перемешивание слоев различной плотности, и луч света от звезды, проходя через
перемешавшиеся слои воздуха различной плотности, вследствие преломления в них
претерпевает незначительные отклонения. В трубу мы замечаем, что изображение
звезды делается неспокойным; оно колеблется не только вверх и вниз, но сме-
щается и по другим направлениям, иногда даже на несколько секунд. Такое не-
спокойное состояние воздуха часто служит значительным препятствием для про-
изводства точных наблюдений.
Так как звезды испускают неоднородный свет, и при каждом преломлении
лучи света разлагаются на различные цвета, то, очевидно, луч света от звезды
попадет в глаз наблюдателя в виде маленького спектра. Но только у ярких
звезд, вблизи горизонта, спектр принимает настолько значительные размеры, что
его можно рассмотреть в хорошие трубы.
Разложение луча света в соединении с отмеченным выше неспокойным со-
стоянием воздуха служит причиной еще одного явления, которое можно наблю-
дать простым глазом. Однородный сначала луч света звезды, преломляясь, раз-
лагается на свои составные части различного цвета-; эти разноцветные лучи
пересекают по различным направлениям следующий слой воздуха, в котором после
дневного нагревания" еще продолжаются восходящие и ннсходящие токи воздуха;
вследствие этого лучи света постоянно меняют свое направление. При неодина-
ковой плотности слоев воздуха может случиться, что отдельный пучок лучей
какого-либо одного определенного цвета пойдет по совершенно иному направлению,
чем соседние с ним лучи; он на мгновение проходит мимо зрачка глаза (или мимо
объектива трубы), не заменяясь лучами другого цвета. Может случиться также, что
в глаз попадают одновременно несколько пучков лучей света, которые при обыч-
ных условиях проходили бы мимо глаза. Игра цветов, которая при этом происходит,
когда какой-нибудь один цвет спектра приобретает преобладающее значение,
хорошо заметна только для ярких звезд, находящихся вблизи горизонта; если же
звезда находится высоко над горизонтом, то такое неравномерное усиление
и ослабление света производит явление, называемое мерцанием
звезд. Когда
звезды сильно мерцают, то это служит признаком того, что состояние воздуха
неблагоприятно для астрономических наблюдений. Изображение звезды, видимое
в трубу, при этом не только производит описанные выше танцующие движения,
но испытывает еще и неравномерные изменения своей формы; оно то увеличи-
вается, то становится меньше. Большие планеты, у которых при наблюдении
в трубу заметен диск, мерцают для простого глаза значительно слабее, нежели
звезды такой же яркости. Лучи от каждой отдельной точки диска планеты ведут
себя так же, как и лучи звезд, но лучи всего диска в своей совокупности
взаимно компенсируют явления, происходящие вследствие неодинакового прело-
мления. При наблюдении диска планеты в трубу, вследствие неодинакового
преломления света, замечается расплывчатость и неясность изображения отдель-
ных деталей на поверхности планеты.
ГОДИЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА
§ 40. Эклиптика. Легко убедиться в том, что Солнце не только принимает
участие в суточном движении небесной сферы с востока на запад, но еще изо
дня в день изменяет свое положение относительно остальных звезд. Пройдя че-
рез южную часть меридиана, через 12 часов Солнце будет находиться в его се-
верной части, но только в наших широтах — низко под горизонтом; небо кажется
совершенно темным 1), и в полночь в северной части его видны звезды, которые
находятся как раз над Солнцем, т. е. находятся с ним на одном круге склонения.
Проследив за этими звездами несколько раз, мы убеждаемся в том, что они изо
дня в день меняются. Особенно хорошо это можно заметить, наблюдая в осенние
ночи созвездие Большой Медведицы или, как его иногда называют, созвездие
Большой Колесницы; его Колесница осенью видна в северной части неба в своем
естественном положении (т. е . воображаемыми колесами вниз к Земле). 6 сентября
две звезды (а и ß), составляющие заднюю часть кузова Колесницы, находятся
в полночь весьма близко от северной части меридиана, но уже через месяц на
меридиан попадает в полночь звезда, находящаяся у начала дышла Колесницы (е),
и еще через две недели ее место занимает самая крайняя звезда в дышле (т|).
В следующие месяцы мы увидим, что Большая Колесница будет поворачиваться
все дальше направо, а весной она уже стоит в полночь высоко на небе в пере-
вернутом виде, колесами вверх; в это же время созвездие Кассиопея займет прибли-
зительно то же положение, какое занимала осенью Большая Колесница (Б. Медве-
дица); через год явление это будет повторяться в том же порядке. Произведенные
наблюдения показывают, что Солнце перемещается среди звезд изо дня вдень справа
налево, т. е. в направлении, противоположном суточному движению небесного
свода, причем за год оно совершает полный оборот (следует только напомнить,
что приводимые выше направления — „влево" и „вправо" — будут иметь обратный
смысл, если наблюдатель видит Солнце на севере). Однако описанные нами выше
наблюдения не дают вполне точного представления о годичном движении Солнца;
надо обратить внимание еще и на то обстоятельство, что летом Солнце проходит
днем по небу более длинный путь, нежели ночыо; следовательно, летом Солнце
имеет северное склонение, зимой же, наоборот, Солнце имеет южное склонение.
Таким образом в течение целого полугодия Солнце находится то по одну, то по
другую сторону от небесного экватора, а следовательно, оно не только пересекает
один за другим все круги склонений, но еще два раза в год пересекает и экватор.
Линия, по которой, как нам кажется, центр Солнца в течение года прохо-
дит между звездами, называется эклиптикой'2).
Приведенные нами выше наблю-
дения показывают, что эклиптика представляет собой большой круг; это, впрочем,
можно было предположить н заранее. Следовательно, эклиптика пересекает экватор
в двух диаметрально противоположных точках. Эти точки называются
точками
равноденствий.
Одну из них — точку весеннего равноденствия,
т. е. точку, в ко-
торой центр Солнца бывает весной в день, когда продолжительность дня равна
продолжительности ночи, мы принимаем за исходный пункт для счета прямых
восхождений и о ней мы уже говорили в § 23. Теперь мы определили положение
этой точки из рассмотрения годового движения Солнца.
В летние месяцы в северной части СССР Солнце опускается под горизонт не низко,
а потому в этих местностях бывают .белые ночи"; на далеком же севере Солнце совсем
.не заходит в течение ряда дней (см. §77).
— Прим. перев.
s
) Строгое определение эклиптики сложнее. — Прим. ред.
Противоположная точка на эклиптике называется точкой осеннего
равноден-
ствия. Точки на эклиптике, которые находятся как раз на середине между точ-
ками равноденствий, называются точками
летнего
и зимнего
солнцестояний.
Суточные параллели, касательные к эклиптике в точках солнцестояний, называются
поворотными
кругами,
или тропиками,
потому что Солнце на них достигает наи-
большего северного или южного склонения, а затем опять начинает прибли-
жаться к экватору. Северный тропик называется тропиком Рака, а южный —
тропиком Козерога.
Прямая, которая соединяет точку весеннего и осеннего равноденствий и слу-
жит одновременно линией пересечения плоскости эклиптики с плоскостью эква-
тора, называется равноденственной
линией. Двугранный угол, образуемый этими
плоскостями, называется наклонением
эклиптики.
У эклиптики, как и у всякого
большого круга, имеются два полюса; северный полюс эклиптики расположен
в созвездии Дракона, между Полярной звездой и головой Дракона. Плоскость
горизонта также пересекается эклиптикой в двух противоположных точках, но
эти точки перемещаются в течение дня вперед и назад относительно точек востока
и запада, которые остаются неподвижными и находятся на пересечении горизонта
с экватором.
Если перемещение светила по небесной сфере, при проектировании его на
эклиптику, происходит в том же направлении, в каком совершается и годичное
движение Солнца, то такое движение светила мы называем прямым,
или
посту-
пательным,
перемещение в противоположном направлении называется
обратным,
или попятным,
движением.
§ 41. Способ определения годичного пути Солнца по небесной сфере.
В § 28 уже говорилось о том, что разность
прямых восхождений двух звезд
можно определить, наблюдая их прохождение через меридиан при помощи пас-
сажного инструмента и отмечая моменты кульминации по часам, ход которых
соответственным образом отрегулирован.
Если бы в точке весеннего равноденствия находилась какая-нибудь звезда,
прямое восхождение которой равно нулю, и если бы можно было наблюдать
момент кульминации этой звезды, то, очевидно, прямое восхождение любой звезды
мы получили бы, вычитая время ее кульминации из момента кульминации звезды,
находящейся в точке весеннего равнчденствия. Но такой звезды, которая нахо-
дилась бы в точности в точке весеннего равноденствия, в действительности
не существует; однако, согласно данному нами определению для точки весеннего
равноденствия, роль этой звезды может играть само Солнце.
Теоретически говоря, положение большого круга на* шаре определяется двумя
точками, поэтому двух наблюдений Солнца, произведенных в различное время
года, было бы достаточно, чтобы определить положение эклиптики на небесной
сфере, а следовательно, и положение точки весеннего равноденствия. Поэтому
способ нахождения на небе пути годичного движения Солнца можно схематически
изложить так:
Предположим, что наблюдения производятся меридианным кругом. Заметим по
часам моменты, в которые коснется средней нити в трубе сперва передний край
Солнца, а потом — задний; при прохождении через среднюю нить край Солнца
находится на меридиане. Среднее из моментов прохождения обоих краев Солнца
соответствует моменту кульминации центра Солнца. Затем наведем трубу так,
чтобы горизонтальная нить трубы последовательно коснулась верхнего и нижнего
краев Солнца. Тогда отсчеты по кругу дадут нам высоту краев Солнца в мери-
диане; видимая высота должна быть исправлена за рефракцию, как сказано
в § 37. Прибавляя или отнимая угловое значение радиуса Солнца, мы получим
высоту центра Солнца в меридиане; если величина радиуса нам не была известна
заранее, ее можно получить как разность моментов кульминации переднего
и заднего краев Солнца, так как вертикальный диаметр Солнца равен горизон-
тальному. Зная широту места, можно вычислить склонение Солнца, если из
высоты Солнца п меридиане вычесть высоту экватора.
Через несколько недель или месяцев надо повторить те же самые наблюдения,
отсчитывая момент кульминации Солнца по тем же самым часам.
В результате двух произведенных наблюдений мы получаем времена кульминации
Солнца Т и Г' H его склонения О© и о©.
Фиг. 49, на которой изображена часть небесной сферы позволяет видеть,
как определяется положение эклиптики и точки весеннего равноденствия. Дуга
НЕ изображает экватор, дуга I.L
—
эклип-
тику; в пересечении экватора с эклиптикой
находится точка весеннего равноденствия f,
а в точках /И и М' находилось Солнце в
моменты наблюдений. Через точки M и М'
проведем круги склонения, которые пересе-
—£ кут экватор под прямым углом; для каждого
~
L
наблюдения мы получим сферический тре-
Ф„ г. ,)9.
угольник; катеты этих треугольников пред-
ставляют собой прямые восхождения и скло-
нения Солнца; угол, противолежащий склонению Солнца в обоих треугольниках,
представляет собой наклонение эклиптики. Обозначая через а© и a'Q прямые
восхождения Солнца, а через е — угол наклонения, получим из треугольни-
ков Т MN и ТM'N' для первого наблюдения:
и для второго наблюдения:
tg3©= sina©tgе,
<g3©= sin «ѳ tge-
(1)
(2)
Мы имеем два уравнения с тремя неизвестными а©, а© и е, но если допустить,
что часы, по которым производились наблюдения, были хорошо отрегулированы
и идут правильно, то тогда можно написать еще третье уравнение
а©—ccq—T'— Т.
(3)
Удобнее всего решать эти уравнения в следующем порядке: разделив (1) на
(2), мы исключим величину е и получим
tg5©_ sinа©_
tg ÔQ Sin а'ѳ
Прибавляя к обеим частям равенства по 1 и вычитая их из 1, получаем
tg5©
sin а.
t.U ô.
•И
tg S©
sin а.
tg s©
sin а.
ИЛИ
tgô'©—tgÔQ^ sina©—sinо©#
tg ÔQ
sin a'Q
tg°©+tgÔQ= sinc-Q+ sinq©
tg 5©
'
S'" °©
деля почленно эти два равенства, получаем
tg5©+tgô0
sinQQ+ sinа©
tgô© —tgô©
sin OQ —Sin аѳ
Умножим числителя и знаменателя левой части равенства на cos 8© cos 8©;
после сокращения получаем
(tg°©+ tgS0)COSÔQcosÔQ_ sinÔQCOSÔQ-F-sinÔQcosÔ'Q _ sin(°©+ °Q)^•
(tg ÔQ— tgÔQ)COSÔQCOSÔQ sill ÔQCOSÔQ—Sin ÔQCOSÔQ Sin (ÔQ—ÔQ)
(4)
При помощи известного из тригонометрии преобразования мы можем при-
вести к удобному для нас виду и правую часть выражения (4):
s'"
а
о"Ь
si
"
а
о
tgVa(
s'"
а
©s
'"
а
©tg(а
'о
а
©)
Подставив полученные нами выражения в формулу (4), находим окончательно
-
tgч. 04+«°) - tgч.(4- »о)
•
и
V0© —°©;
Принимая во внимание уравнение (3), мы видим, что в уравнении (5) все ве-
личины в правой части известны; таким образом из уравнения (5) мы можем вы-
числить полусумму прямых восхождений, а так как разность прямых восхождений
нам известна по формуле (3), то, складывая и вычитая полученные два уравнения,
найдем значения для aQ и а0. Подставив их величину; в уравнение (1) или (2),
мы найдем значение для неизвестной s.
Мы можем считать, что положение точки весеннего равноденствия определено,
потому что мы можем по часам отметить момент ее кульминации. Так как суточное
движение небесной сферы на фиг. 45 будет происходить слева направо, то мы
видим, что в первый день наблюдений сперва будет кульминировать точка весен-
него равноденствия, а потом уже Солнце, причем Солнце кульминирует тем
позже, чем больше вычисленная величина прямого восхождения aQ. Вычитая зна-
чение для а© из момента Т, получаем время кульминации точки весеннего равно-
денствия. Разность V—а© должна дать тот же самый результат.
Для контроля хода часов в промежуточный период времени между наблю-
дениями необходимо регулярно наблюдать время кульминации одной или не-
скольких звезд (см. § 28); тогда мы одновременно получим и прямые восхождения
этих звезд, вычитая вычисленное время кульминации точки весеннего равноденствия
из момента кульминации соответствующей звезды, полученного из наблюдений. На
фиг. 49 показана такая звезда S\ ее прямое восхождение а не меняет своей ве-
личины в промежуток времени между обоими наблюдениями Солнца; это служит
гарантией того, что часы, которые показывают всегда одно и то же время при
кульминации определенной звезды, будут показывать всегда одинаковое время
и при кульминации точки весеннего равноденствия.
Из наблюдений непосредственно следует, что Солнце оба раза находилось
в точках, показанных на чертеже; но и на основании гипотезы о том, что эклип-
тика представляет собой большой круг, мы предполагаем, что при своем годовом
движении Солнце, как в прежнее время, так и в будущем, будет проходить че-
рез обе точки, расположенные на большом круге. Справедливость такой гипотезы
подтвердилась, если, не считать весьма малых колебаний, в том числе чрезвычайно
медленного изменения положения земной орбиты в пространстве (см. § 54) вслед-
ствие влияния больших планет. Величина наклонения эклиптики, полученная из
наблюдений, приблизительно равна 23°27'; наибольшее значение для склонения
Солнца, следовательно, также равно 23°27'; зимой — южное, летом — северное.
Наклонение эклиптики можно определить и'независимо, если измерить высоту
Солнца в меридиане, когда оно находится в одном из солнцестояний. В ближай-
шие дни до и после солнцестояния высота Солнца изменяется очень мало. Момент
наступления равноденствия тоже можно определить самостоятельно, для этого
надо наблюдать склонения Солнца за несколько дней до и после равноденствия
и при помощи интерполирования найти момент, в который весной склонения из
южных превращаются в северные; для осени явление идет в обратном порядке.
§ 42. Прежние методы определения положения эклиптики. В § 41 схемати-
чески изложен способ определения при помощи современных инструментов годич-
ного пути Солнца по небесной сфере (т. е . наклонения эклиптики и положения
точки весеннего равноденствия), а одновременно с этим и способ определения
прямых восхождений неподвижных звезд.
Это — старинная задача астрономии; она столь же стара, как и сама научная
астрономия. Опишем вкратце, как поступали в древности при решении вопроса
об определении положения эклиптики.
1. Любым инструментом, хотя бы, например, гномоном, можно определить
в полдень высоту Солнца в меридиане (см. § 25 и 30). Измерив таким способом
наибольшую и наименьшую в году высоту Солнца в меридиане, Ятпх и Нтіо
(см. § 31), мы получим высоту полюса (рефракцию мы не будем принимать во
внимание):
90 °-?
=
і(Ягааі-[ -Я тІ п),
для наклонения эклиптики мы получим выражение
е=Y
—
H,nJ-
2. Высота Солнца в меридиане Н, измеренная в любой день года, позволит
нам вычислить приближенное склонение 8© Солнца по формуле
8© = Я —(90° —са).
3. При помощи уравнения (1), выведенного в § 41:
te5©
получим при помощи вычислений прямое
восхождение
Солнца
и, следовательно,
мы узнаем, где находится точка весеннего
равноденствия.
Таким путем была решена первая основная задача теоретической астрономии:
определено наклонение эклиптики и положение точки весеннего равноденствия.
Как была решена вторая основная задача, т. е . как были определены прямые
восхождения неподвижных звезд, мы можем понять на основании сказанного
в § 41. Если одновременно с наблюдениями Солнца мы сможем определить каким-
либо образом разность между прямыми восхождениями Солнца и данной звезды,
то, очевидно, мы получим прямое восхождение звезды, так как прямое восхо-
ждение Солнца нам уже известно.
Подобное, определение разностей прямых восхождений может быть произве-
дено различными способами, хотя бы, например, при помощи отсчетов на армил-
лярных сферах (см. § 33); два наблюдателя наводят, если это возможно, одно-
временно визирные приспособления на два небесных тела и затем отсчитывают
дугу по экваториальному кольцу.
В принципе такой способ, конечно, чрезвычайно прост., На практике дело
обстояло значительно сложнее. В прежнее время, когда еще не существовало
телескопов, нельзя было одновременно наблюдать Солнце и звезды, вследствие
чего приходилось включать в наблюдения еще промежуточное звено. В древности
для этого избирали Луну; Тихо Браге производил наблюдения над Венерой:
сперва он сравнивал положение Солнца с Венерой, а затем положение Венеры
с какой-либо звездой. Так как при этом способе нельзя было одновременно
наблюдать Солнце и звезду, то, очевидно, при вычислениях необходимо было
учитывать собственное движение светила, принятого как промежуточное, за время
между наблюдениями Солнца и звезды; это движение должно было быть заранее
известно (для этого способа выгоднее как промежуточное звено выбирать Венеру,
а не Луну, потому что движение Венеры известно лучше, чем движение Луны).
§ 43. Абсолютные наблюдения. Фундаментальные звезды. Звездные ката-
логи. Таким образом, как мы уже видели, на основании наблюдений Солнца при
его годовом движении можно определять прямые восхождения неподвижных звезд.
Такие наблюдения называются абсолютными
наблюдениями
прямых
восхождений.
Как определяются в настоящее время склонения, мы уже видели в §31. В древ-
ности для этой цели применяли гномон и армиллярные сферы, позднее — квадранты
(см.§30и33).
Если бы по всей небесной сфере' была равномерно распределена сеть звезд,
положение которых достаточно хорошо известно, то тогда прямые восхождения
и склонения остальных звезд можно было бы определять методом диференциаль-
ных наблюдений (в древности для этой цели применялись армиллярные сферы;
в настоящее время, для получения более точных результатов, наблюдения произ-
водят меридианным кругом или пользуются фотографией; см. § 36). В настоящее
время получены точные положения большого числа звезд (сотни тысяч), из кото-
рых— около 1000 так называемых фундаментальных
звезд;
положения фунда-
ментальных звезд вычислены с особенной тщательностью на основании много-
летних наблюдений на большом числе обсерваторий. Результаты таких наблюдений
публикуются в специальных звездных
каталогах
J).
§ 44. Эклиптические координаты. Эклиптика, между прочим, имеет очень
большое значение еще и потому, что Луна и большие планеты всегда находятся
поблизости от нее. Пояс, шириной
в несколько градусов в обе стороны
от нее, с давних времен назывался
поясом Зодиака
2). В некоторых
случаях удобно принимать плоскость
эклиптики за основную плоскость
при определении сферических коор-
динат светил на небесном своде.
Всякий большой круг, который
проходит через полюс эклиптики,
называется кругом
широт.
Широ-
той светила называется дуга круга
широт, взятая от эклиптики до све-
тила. Широту принимают положи-
тельной или отрицательной в зави-
симости от того, находится ли светило к северу или к югу от эклиптики. Сле-
довательно, широта аналогична склонению.
Долготой
светила называется дуга, взятая по эклиптике, от точки весеннего
равноденствия до круга широт данного светила. Ее отсчитывают в том же напра-
влении, как и прямое восхождение, от 0 до 360°; долготы измеряются только
в дуговой мере, а не во времени, как прямые восхождения, потому что только
при измерении по экватору имеет смысл вести счет во времени.
Для перехода от экваториальной системы к эклиптической н обратно может
служить сферический треугольник с вершинами: полюс экватора — полюс эклип-
тики— звезда.
Фиг.
50 изображает
северное
полушарие
небесного
свода;.
ATQ — экватор, Р—полюс экватора, ТM—большой круг, проходящий через
точки Т, M и Kh—эклиптика, Е—ее северный полюс. Точка весеннего равно-
денствия обозначена знаком Т, точка осеннего равноденствия — знаком
Звезда
находится в точке S, ее круг склонения PSD,
а круг широт ESB. Обозначим ее
долготу через
а широту через ß, прямое восхождение и склонение через а и 8,
наклон эклиптики через е, тогда из чертежа видно, что Т D = a, DS= 8, Т В = \,
BS=$]
далее, MQ — ЕР
=
е, так как дуга, заключающаяся между полюсами
1) Пулковская обсерватория через определенные промежутки времени производит
абсолютные наблюдения фундаментальных звезд; результаты этих наблюдений издаются,
в виде каталогов и благодаря своей высокой точности имеют очень важное значение для
практической и теоретической астрономии. Абсолютные наблюдения прямых восхождений
производятся пассажным инструментом с постоянной установкой, а абсолютные наблю-
дения склонений производятся большим вертикальным кругом. —
Прим.
перев.
2) Пояс животных —от греческого слова Çoov — животное. —
Прим.
перев.
90-5
экватора и эклиптики, измеряется углом между плоскостями соответствующих
больших кругов. Точка весеннего равноденствия удалена на 90 как от точки А,
так и от точки М — наивысшей точки на эклиптике (т. е . точки
в которой
Солнце бывает в день летнего солнцестояния); в таком
случае стороны и углы сферического треугольника
EPS,
изображенного
отдельно
на фиг. 51, будут иметь сле-
дующие значения: ES = 90° —ß, AS =90° — 3, РЕ = г,
р=90°-f-аиЕ=90°—а.
Если известны а, о и е, то широту и долготу можно
получить, применяя к треугольнику EPS основные формулы
сферической тригонометрии:
sin[5= sin5cosг— cosоsinasinа, )
cosßcos = cos3cosa,
>
(!)
фІ1Г 51<
cosßsinI= sinоsina-{-cosоcosasina. j
Точно таким же образом по заданному прямому восхождению и склонению
можно получить широту и долготу из следующих формул:
sinо= sin[3cosа4-cosßsinesinX,
cos8cosa= cosßcosX,
cosоsina=
—
sinßsine4~cosßcosesinX.
(2)
Указания, как производить численные расчеты по этим формулам, приведены
•в §13. Следует только помнить, что cos ß и cos 8 —всегда положительны. Чис-
ленный пример вычислений по формуле (1) приведен в Приложении.
Для Солнца, широта которого всегда равна 0°, зависимость между долготой
и другими величинами принимает более простую форму; обозначая долготу Солнца
через L, прямое восхождение через a и склонение через 8ѳ,изфиг. 52 получаем
sinоѳ =
sinLsinа,
tgaQ= igLcosа,
cosL= cosaQcos8Q
(3)
я, кроме' того, имеем еще прежде выведенное соотношение
tg3o =
sinao
[Se-
Так как долгота Солнца изменяется в течение года на 360°, то в среднем
можно принять, что за день она возрастает на 1°.
Долгота Солнца в точке
весеннего равноденствия равна 0°,
в точке
летнего
солнцестояния 90°, в точке осеннего равноденствия 180°
и в точке зимнего солнцестояния 270°.
Как мы сейчас
увидим, долгота Солнца в течение года увеличивается
не вполне равномерно.
Большой круг, проходящий через полюс экватора и
полюс эклиптики, т. е . круг AEPQ на фиг. 50, часто
называют колюром солнцестояний;
круг склонений, расположенный в плоскости,
к нему перпендикулярной, называется колюром
равноденствий.
8 45. Эклиптические координаты в астрономии прежних времен. В прежние
времена долготу и широту часто применяли при определении положения па небес-
ной сфере неподвижных звезд; для непосредственного определения этих коорди-
нат употреблялись специальные инструменты, состоявшие из двух взаимно перпен-
Фнг. 52.
днкулярных кругов, из которых один устанавливался в плоскости эклиптики
(см. фиг. 41). Так как эклиптика при суточном движейнн небесной сферы по-
стоянно изменяет свое положение относительно горизонта, то наблюдения таким
инструментом представляли значительные неудобства; необходимо было, чтобы
одновременно работали два наблюдателя; одни из них должен был все время
визировать звезду, долгота и широта которой были хорошо известны, чтобы
таким образом исправлять положение инструмента; другой наблюдатель наводил
соответствующие диоптры на светило, координаты которого желательно было
определить.
Долготу выражали иногда еще одним способом: эклиптику делили на 12 рав-
ных частей, на так называемые Небесные
знаки,
или знаки Зодиака;
каждый из
этих знаков заключал в себе 30° по долготе; долгота отсчитывилась в градусах
от начала каждого знака. Хотя такое деление уже больше не употребляется,
все же приводим ниже названия знаков на русском и латинском языках, так как
в' старых книгах эти названия часто встречаются. Ради краткости письма приме-
нялись также специальные обозначения для знаков Зодиака. В прилагаемой
табличке даны еще номера знаков и долгота их начальной точки. Движение
Солнца по эклиптике — прямое, как мы уже упоминали; в табличке знаки при-
ведены в порядке, соответствующем движению Солнца:
I0°уОвен
Aries
VII 180°
Весы
Libra
II30°ъ
Телец
Taurus
VIII 210° пг
Скорпион Scorpiiis
III G0° Ж. Близнецы Gemini
IX 240° X Стрелец Sagittarius
IV90°QРак
Cancer
X 270° Ъ Козерог
Capricornus
V 120° SI Лев
Leo
XI 300°
Водолей Aquarius
VI 150° 1JJ> Лева
Virgo
XII 330° ff Рыбы
Pisces
На звездных картах те же самые названия и в том же порядке применяются
как названия двенадцати созвездий, расположенных вдоль эклиптики, только эти
созвездия несколько сдвинуты относительно применяемых их обозначений; так,
знак Овен находится в созвездии Рыб. Причина такого смещения (так называемое
явление прецессии) описана в § 53.
ВРЕМЯ И ВРЕМЯИСЧИСЛЕНИЕ
§ 46. Звездное время и истинное солнечное время. Из сказанного в пре-
дыдущем разделе мы можем заключить, что продолжительность суточного обо-
рота небесной сферы можно исчислять различно: по кажущемуся суточному
движению звезд или Солнца.
Звездными
сутками
называют промежуток времени между
двумя последовательными верхними
кульминациями точки ве-
сеннего равноденствия. Звездные сутки делят на 24 часа; час,
как обычно, делят на минуты п секунды. Звездное
время
в данный момент, которое в дальнейшем мы всегда будем
a
обозначать через s, есть часовой угол точки весеннего
равно-
денствия,
выраженный в часах, минутах и секундах. Звездное
время измеряется от 0 до 24 часов.
Из самого определения звездного времени вытекает теорема,
Фиг. 53.
которая в дальнейшем будет играть очень большую роль. Будем
рассматривать фиг. 53, круг на ней изображает небесный экватор, если смотреть на
него со стороны северного полюса мира; Р — проекция полюса, N — точка севера
и 5—точка юга. Через звезду, обозначенную буквой о, проходит круг склонения
РаТ, часовой угол которого равен SPT= t . Точка весеннего равноденствия находится
на экваторе, например, в некоторой точке Т. Дуга TT представляет собой прямое
Дотропоішя
6
восхождение звезды (о). Так как звездное время (s) равно часовому углу точки-
весеннего равноденствия, то из чертежа мы видим, что
s= a-\-t,
т. е. что звездное время в определенный момент равно прямому
восхождению
любой звезды плюс часовой угол той эхе звезды в данный момент.
Весьма важный частный случай этой теоремы мы имеем, когда £ = 0, т. е.
когда звезда находится на меридиане. Для этого случая мы можем формулировать
пашу теорему так:
Звездное
время в данный момент равно прямому восхождению
звезды,
которая в этот момент находится в верхней кульминации.
Истинными
солнечными
сутками
называется промежуток времени между
двумя последовательными нижними
кульминациями Солнца (вернее, центра сол-
нечного диска). Солнечные сутки делятся па часы, минуты и секунды, как и звезд-
ные сутки. Истинное солнечное время измеряется часовым углом Солнца-} - 12h.
Истинное солнечное время в астрономии измеряется от 0 до 24 часов.
Это определение не вполне совпадает с определением для солнечных суток,
принимавшимся в прежнее время. До 1925 г. продолжительность солнечных суток
измерялась в астрономии от полудня до полудня, т. е . не так, как при граждан-
ском счете времени. С 1925 г. астрономы стали исчислять солнечные сутки от
полуночи до полуночи, так что истинное солнечное время для данного момента
равно уже не часовому углу Солнца, а часовому углу-]-12'».
Звездные сутки по продолжительности на небольшую величину отличаются от
истинных солнечных суток; это видно из того, что Солнце каждый день переме-
щается почти на один градус относительно точки весеннего равноденствия и не-
подвижных звезд в направлении, противоположном суточному движению небесной
сфгры. Поэтому Солнце каждый день приходит на меридиан позже сравнительно
со звездами; оно отстает от них почти на 1°, .что соответствует 4 минутам во
времени, так как 15° соответствуют одному часу. Следовательно, солнечные сутки
почти па 4 минуты длиннее звездных. Если наблюдения производить по часам,
отрегулированным по способу, описанному в § 28 (т. е. по звездному времени),
то через месяц кульминация Солнца наступит на 2 часа позже.
Звездные сутки в качестве единицы времени имеют очень важное преимущество
потому, что продолжительность их можно считать почти постоянной (подробнее
об этом см. § 47). Наоборот, солнечные сутки не представляют собой постоянной
величины по двум причинам.
Во-первых, движение Солнца по эклиптике не вполне равномерно. Если,
например, определять склонение Солнца несколько раз в течение года и вычислять
долготы его по формуле: sinА = sin8Q : sine, то мы найдем, что изменения этих
величин изо дня в день неодинаковы. В этом можно убедиться также, подсчитав
число дней между равноденствиями, что можно сделать по любому календарю.
Мы найдем там, что промежуток времени между весенним и осенним равноден-
ствиями равен 186 дням, между тем как промежуток времени между осенним
и весенним равноденствием равен 179 дням (см. § 215). Так как дуга эклиптики
между точками равноденствий точно равна 180°,
то из этого можно заключить,
что движение Солнца по эклиптике в летнее полугодие в среднем происходит
медленнее, нежели в зимнее полугодие. На этом основании надо сделать вывод,
что истинные солнечные сутки летом в среднем короче, нежели зимой. Солнце
тем раньше приходит па меридиан, чем меньше оно отстает от звезд.
Но даже если бы годичное движение Солнца по эклиптике было совершенно
равномерным, истинные солнечные сутки все-таки были бы неодинаковой длины,
потому что Солнце при годовом движении перемещается по эклиптике, при
суточном же движении перемещается параллельно экватору. Ежедневное запазды-
вание прохождения Солнца через меридиан сравнительно с точкой весеннего
равноденствия зависит, разумеется, не от ежедневного возрастания долготы, а от
ежедневного возрастания прямого восхождения Солнца. Увеличение
долготы
Солнца мы обозначим через AL, а увеличение прямого, восхождения через ДaQ.
На фиг. 54 показано соотношение между этими величинами в момент, близкий
к весеннему равноденствию. Решая сферический треугольник, найдем tgA<*0 =
=
ig ДА-cos з или для малых углов — приблизительно AaQ = AA-cose.
Так как cose равен 0,92, то приращение
прямого
восхождения Солнца для этих двух моментов года на 8%
меньше, чем приращение по долготе. На фиг. 55 показано
соотношение тех же величин в моменты солнцестояний
(собственно на фиг. 55 показан момент летнего солнце-
стояния, но и при зимнем солнцестоянии картина будет
та же); в точке Р находится полюс экватора, остальные
обозначения те же, что и на фиг. 54. Так как угол при полюсе равен AxQ, то мы
решаем сферический прямоугольный треугольник, у которого один из категои
равен 90° — е, и получаем
tgДА= sin(90° — е)tgДа0;
приближенно мы можем написать:
Да=
AL
Ѳ cose
Из этого соотношения видно, что приращение Да0 во столько раз увеличено,
во сколько раз оно было уменьшено в дни равноденствий. Поэтому мы должны
считать, что истинные солнечные сутки в дни равноденствий короче, нежели
в дни солнцестояний.
Вследствие совместного действия обеих причин, приращение прямого восхо-
ждения достигает наибольшей своей величины, около 4"» 27е в зимнее солнце-
стояние, а наименьшей величины, 3"»35я, — за не-
сколько дней до осеннего равноденствия. Самые
длинные солнечные сутки будут, следовательно, на
52® продолжительнее самых коротких. Когда насту-
пают дни, которые короче или длиннее их средней
величины, тогда, конечно, происходит постепенное
накопление этих отклонений.
§ 47. Среднее солнечное время. Хотя по мно-
гим причинам в астрономии часто применяется звезд-
ное время, но при времяисчислении в повседневной
жизни по необходимости приходится применять сол-
нечные сутки/потому что смена дня и ночи зави-
фнг> 55,
сиг от Солнца, а не от звезд. Но истинные сол-
нечные сутки для практической жизни неудобны, так как продолжительность их
непрерывно изменяется. Поэтому за единицу времени принимают среднее значение
истинных солнечных суток. Средняя величина различной
продолжительности
солнечных суток, взятая за целый год, называется средними
сутками.
Приняв
за начало средних суток какой-либо определенный момент, мы этим самым раз
навсегда, в прошедшем и в будущем, определим начало суток.
Для того чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, надо
сумму этих чисел разделить на их число, поэтому, чтобы получить продолжитель-
ность средних суток, надо точно знать число суток в году. Годом или, точнее,
тропическим
годом, мы называем такой промежуток времени, в течение которого
Солнце, при своем движении по эклиптике, пройдет от точки весеннего разно-
денствия до точки весеннего ргіпноденствия; т. е. промежуток времени, в течение
которого долгота Солнца, равно как и его прямее восхождение, возрастут на 360°.
Более строгое определение тропического года я его продолжительности мы да-
димв§54.
Ѳ*
-
Соотношение между этими двумя величинами: тропическим годом и средними
сутками, определено с большой точностью из вычислений момента наступления
равноденствия в течение нескольких столетий. Из этих вычислений найдено, что
продолжительность тропического года равна 365,24220 средних суток, равна
365d 5ft 48"» 46я среднего времени. Как мы увидим в §54,
продолжительность
тропического года нельзя считать в точности постоянной.
Чтобы понять, как производились эти вычисления, представим себе следующую
картину. Одновременно с тем как действительное Солнце движется по эклиптике
с неравномерной скоростью, вообразим себе другое Солнце, которое мы будем
называть средним Солнцем,
движущееся по экватору с равномерной скоростью;
полный свой оборот по небесной сфере оба Солнца делают за один и тот же
промежуток времени. Движение такого среднего Солнца уже не имеет тех
неудобств для практической жизни, какими обладает движение истинного Солнца.
Единственное, что остается теперь сделать, это выбрать на небе точку в опре-
деленный исходный момент для счета времени. Выбор такой точки можно счи-
тать удачным, если начало средних суток будет весьма мало отличаться от
начала истинных солнечных суток.
Момент, в который среднее Солнце приходит на меридиан, называется сред-
ним полуднем
в противоположность истинному
полудню,
когда действительно
на меридиан приходит настоящее Солнце. Среднее время в данный момент равно
часовому углу среднего СолнцаJ2h.
Среднее время в астрономии также отсчи-
•гывается от 0 до 24Л. В повседневной жизни сутки уже издавна делят на две
части: утренние (после полуночи) часы от полуночи до полудня и вечерние
(послеполуденные) часы — от полудня до полуночи; но теперь все больше
и больше входит и в обыденную жизнь счет времени от 0 до 24 часов (от полу-
ночи до следующей полуночи).
Разность прямых восхождений истинного и среднего Солнца называется урав-
нением времени. Булем обозначать уравнение времени через т]. Так как разность
часовых углов светила равна разности его прямых восхождений, но взятой
с обратным знаком, то в таком случае мы можем определить уравнение времени
как величину, которую надо прибавить или отнять от истинного времени, чтобы
получить среднее время. В больших астрономических ежегодниках уравнение вре-
мени дается на каждый день ').
Уравнение времени достигает наибольшего своего положительного значения
(около-J-14'") к середине февраля, а наибольшего отрицательного значения
(около—16'") в первых числах ноября. В эти дни Солнце стоит в меридиане,
когда среднее время равно 044 или 23''44' ".
Четыре раза в году уравнение
времени бывает равно нулю, а именно: в середине апреля, с середине июня,
в начале сентября и в конце декабря. Наиболее быстрое изменение уравнения
времени происходят в декабре и в первой половине января; поэтому после
Нового года, когда дни начинают увеличиваться, увеличение их с вечера идет
быстрее, чем уіром.
Выше уже было сказано, что Солнце относительно точки весеннего равноден-
ствия вступает на меридиан с каждым днем приблизительно на 4 минуты позже.
Что касается среднего Солнца, то этот промежуток времени может быть вычислен
теперь точнее, потому что он равен увеличению за сутки прямого восхождения
Солнца, т. е. 24Л : 365, 2422 = З'"56ч
, 555. На такую именно величину среднее
Солнце кульминировало бы с каждым днем позже, если бы могли наблюдать
1) В настоящее время п астрономических ежегодниках уравнение времени дается
несовсем одинаково; гак, например, в английском ежегоднике .Nautical Almanac" принято
новое определение уравнения времени: т.е. уравнение времени равно истинному времени
минус среднее время; в немецком ежегоднике .Berliner Jahrbuch" еще применяется старое
определение, т. е . уравнение времени равно среднему времени минус истинное. В совет-
ском „Астрономическом ежегоднике* уравнение времени дается тоже по старому опреде-
лению, т. е. такое же, как и в немецком .Berliner Jahrbuch*. Поэтому в дальнейшем нэло-
кспии оставлено старое определение. — Прим. перге.
его кульминацию по часам, идущим по звездному времени. Если же наблюдения
вести по часам, идущим но среднему времени, то тот же самый промежуток
времени будет выражен меньшим числом. Так как каждый час, каждая минута и
каждая секунда звездного времени короче соответствующих единиц среднего
времени, то, следовательно, один и тот же промежуток времени в первом
случае будет выражен числом, ббльшим, нежели во втором случае. Разницу между
этими числами легко найти, так как точка весеннего равноденствия кульминирует
в течение тропического года на один раз больше, чем Солнце, и, следовательно,
число звездных суток в году равно 366,2422. Разделив 24h на это число, мы
получим 3'"558,909. На такую величину точка весеннего равноденствия кульми-
нирует с каждым днем раньше, если наблюдать ее кульминации по часам, идущим
по среднему времени. Для неподвижных звезд дело обстоит почти так же, как и
для точки весеннего равноденствия. Вследствие причин, о которых мы будем
.г ов орить позже (прецессии, нутации, аберрации), прямые восхождения звезд
претерпевают изо дня в день небольшие изменения, обусловливающие соответ-
ственные изменения времени кульминации.
§ 48. Поясное время. Среднее время было уже давно принято в астрономии;
но в повседневной жизни еще долго вели расчеты по истинному времени: когда
Солнце стоит в меридиане, то непременно должно быть 12 часов. Так как часы
в прежнее время были не особенно точным инструментом, и все равно часто
приходилось переставлять их, чтобы они показывали правильно, то поэтому
не представляло особенных затруднений переводить их вперед и назад, чтобы
ставить по ходу Солнца. Лишь в начале прошлого столетия (в некоторых странах
несколько раньше) стали постепенно переходить к времяисчислению по среднему
К стр. 85, строки 3 и 2 снизу:
За время печатания книги Литва, Латвия и Эстония вошли D состав СССР
н время в них теперь применяется московское,
Сгремгреи Э. и Стремгреіі Б. .Астрономия".
.
J
.
„...j
vi^uii ѵіалп
ооидпю
одно общее время. В большинстве европейских гбсударств, а также в Соединен-
ных Штатах Америки и некоторых других странах принят был такой порядок:
время внутри какой-либо области должно быть общее для всей области и притом
такое, чтобы в данный момент оно во всех странах имело одинаковые минуты и
секунды, а различалось бы только на целое число часов. Исходным для счета
времени является среднее время Гриничской обсерватории в Англии, вернее,
среднее время средней точки гриничского меридианного круга. Определенное
таким путем среднее гриничское время называется всемирным
временем;
оно
измеряется часовым углом среднего Солнца в Гриниче -J-12К Сутки' всемирного
времени начинаются в полночь среднего гриничского времени (о начале суток и
обозначении даты при наблюдениях переменных звезд см. § 52). Таким образом
в большинстве западноевропейских государств — в Великобритании, Франции,
Бельгии, Испании и Португалии — принимается без всяких изменений среднее
гриничское время (всемирное или западноевропейское
время). Скандинавские госу-
дарства, Германия, Дания, Голландия, Венгрия, Югославия, Швейцария, Италия
и Литва живут по гриничскому времени -f-1''.
Это время называется
средне-
европейским.
Финляндия, Эстония, Латвия, Болгария, Румыния, Турция, Греция,
Южная Африка,
Палестина, Египет,
Сирия
и Судан применяют
время,
Соотношение между этими двумя величинами: тропическим годом и средними
сутками, определено с большой точностью из вычислений момента наступления
равноденствия в течение нескольких столетий. Из этих вычислений найдено, что
продолжительность тропического года раина 365,24220 средних суток, равна
365d 5'» 48'" 46
я
среднего времени. Как мы увидим в §54,
продолжительность
тропического года нельзя считать в точности постоянной.
Чтобы понять, как производились эти вычисления, представим себе следующую
картину. Одновременно с тем как действительное Солнце движется но эклиптике
с неравномерной скоростью, вообразим себе другое Солнце, которое мы будем
называть средним
Солнцем,
движущееся по экватору с равномерной скоростью;
полный свой оборот но небесной сфере оба Солнца делают за один и тот же
промежуток времени. Движение такого среднего Солнца уже не имеет тех
неудобств для практической жизни, какими обладает движение истинного Солнца.
Единственное, что остается теперь сделать, это выбрать на небе точку в опре-
деленный исходный момент для счета времени. Выбор такой точки можно счи-
тать удачным, если начало средних суток будет весьма мало отличаться от
начала истинных солнечных суток.
Момент, в который среднее Солнце
приходит на меридиан, называется
сред-
ним полуднем
в противоположность истинному
полудню,
когда действительно
на меридиан приходит настоящее Солнце. Среднее
время в данный момент
равно
часовому
углу
среднего
Солнца12й.
Среднее время в астрономии также отсчи-
тывается от 0 до 24Л. В повседневной жизни сутки уже издавна делят на две
части: утренние (после полуночи) часы от полуночи до полудня и вечерние
(послеполуденные) часы — от полудня до полуночи; но теперь все больше
и больше входит и в обыденную жизнь счет времени от 0 до 24 часов ("от полѵ-
и начале сснгмирп и и кинце декаори. паииолее оыстрое изменение уравнения
времени происходят в декабре и в первой половине января; поэтому после
Нового года, когда дни начинают увеличиваться, увеличение их с вечера идет
быстрее, чем уіром.
Выше уже было сказано, что Солнце относительно точки весеннего равноден-
ствия вступает на меридиан с каждым днем приблизительно на 4 минуты позже.
Что касается среднего Солнца, то этот промежуток времени может быть вычислен
іеперь точнее, потому что он равен увеличению за сутки прямого восхождения
Солнца, т. е. 24h : 365, 2422 = З^бб* 555. На такую именно величину среднее
Солнце кульминировало бы с каждым днем позже, если бы могли наблюдать
I) Ii настоящее время п астрономических ежегодниках уравнение времени дается
несовсем одинаково; гак, например, в английском ежегоднике .Nautical Almanac" принято
ионов определение уравнения временя: т.е. уравиеиие времени равно истинному времени
минус среднее время; в немецком ежегоднике .Berliner Jahrbuch" еще применяемся старое
определение, т. е. уравнение времени равно среднему времени минус истинное. В совет-
ском „Астрономическом ежегоднике" уравнение времени дается тоже по старому опреде-
лению, т. е . такое же, как и в немецком .Berliner Jahrbuch". Поэтому в дальнейшем изло-
кспии оставлено старое определение. — Прим.
персе.
его кульминацию по часам, идущим по звездному времени. Если же наблюдения
вести по часам, идущим по среднему времени, то тот же самый промежуток
времени будет выражен меньшим числом. Так как каждый час, каждая минута и
каждая секунда звездного времени короче соответствующих единиц среднего
времени, то, следовательно, один и тот же промежуток времени в первом
случае будет выражен числом, ббльшим, нежели во втором случае. Разницу между
этими числами легко найти, так как точка весеннего равноденствия кульминирует
в течение тропического года на один раз больше, чем Солнце, и, следовательно,
число звездных суток в году равно 366,2422. Раздзлив 24h на это число, мы
получим 3'"558,909. На такую величину точка весеннего равноденствия кульми-
нирует с каждым днем раньше, если наблюдать ее кульминации по часам, идущим
по среднему времени. Для неподвижных зпезд дело обстоит почти так же, как и
для точки весеннего равноденствия. Вследствие причин, о которых мы будем
говорить позже (прецессии,
нутации, аберрации), прямые восхождения звезд
претерпевают изо дня в день небольшие изменения, обусловливающие соответ-
ственные изменения времени кульминации.
§ 48. Поясное время. Среднее время было уже давно принято в астрономии;
но в повседневной жизни еще долго вели расчеты по истинному времени: когда
Солнце стоит в меридиане, то непременно должно быть 12 часов. Так как часы
в прежнее время были не особенно точным инструментом, и все равно часто
приходилось переставлять их, чтобы они показывали правильно, то поэтому
не представляло особенных затруднений переводить их вперед и назад, чтобы
ставить по ходу Солнца. Лишь в начале прошлого столетия (в некоторых странах
несколько раньше) стали постепенно переходить к времяисчислению по среднему
времени.
Сравнительно недолгое время спустя
потребовалось прибегнуть к новой
реформе времяисчисления. Если сравнивать, например, по телеграфу показания
двух часов, установленных в различных пунктах и правильно идущих по сред-
нему времени, то тогда в большинстве случаев окажется, что они показывают
различное время. Только в том случае, если пункты эти расположены в точности
один к северу или к югу от другого, показания часов совпадают; можно уста-
новить такое правило: чем дальше к востоку отстоит пункт, тем более позднее
время показывают часы в этом пункте.* Как мы после увидим: ризность
местных
времен
в двух пунктах
равна их разности
долгот
(см. § 91). Пункты, у кото-
рых в один и тот же момент одинаковое время, расположены на одном и том же
меридиане.
По мере роста сообщений между отдельными местностями различие во времени
стало приносить значительные неудобства; поэтому для целых стран стали вводить
одно общее время. В большинстве европейских государств, а также в Соединен-
ных Штатах Америки и некоторых других странах принят был такой порядок:
время внутри какой-либо области должно быть общее для всей области и притом
такое, чтобы в данный момент оно во всех странах имело одинаковые минуты и
секунды, а различалось бы только на целое число часов. Исходным для счета
времени является среднее время Гриничской обсерватории в Англии, вернее,
среднее время средней точки гриничского меридианного круга. Определенное
таким путем среднее гриничское время называется всемирным
временем;
оно
измеряется часовым углом
среднего
Солнца в Гриниче12h.
Сутки всемирного
времени начинаются в полночь среднего гриничского времени (о начале суток и
обозначении даты при наблюдениях переменных звезд см. § 52). Таким образом
в большинстве западноевропейских государств — в Великобритании,
Франции,
Бельгии, Испании и Португалии — принимается без всяких изменений
среднее
гриничское время (всемирное или западноевропейское
время). Скандинавские госу-
дарства, Германия, Дания, Голландия, Венгрия, Югославия, Швейцария, Италия
и Литва живут по гриничскому времени -f-1''.
Это время называется
средне-
европейским.
Финляндия, Эстония, Латвия, Болгария, Румыния, Турция, Греция,
Южная Африка,
Палестина,
Египет,
Сирия
и Судан применяют
время,
которое на 2" впереди относительно гриничского. Это время называется восточно-
европейским '). Во всех пунктах, где такое общее время не совпадает со средним
временем данного пункта, последнее в отличие от общего времени называется
местным
временем
(общее время называют также поясным
временем).
Границы
между соседними поясами проведены так, чтобы различие между общим временем
и местным для пунктов, расположенных на самой границе, не превышало '/г часа;
но вследствие географических и административных соображений приходится до-
пускать и более значительные
отклонения; так, например, в Норвегии общее
время на 1 час меньше, чем местное время самых восточных пунктов провинции
Финмаркен, и на 40 минут больше местного времени крайних западных пунктов
на побережье Северного (Немецкого) моря а).
Как мы увидим ниже, из наблюдений определяют непосредственно только
местное время. Чтобы найти поясное время, нужно к местному времени приба-
вить некоторую постоянную величину, особую для каждого пункта (правильнее
сказать — для
каждого
меридиана),
которую иногда называют поправкой
на
местное
время и которую мы будем обозначать буквой и.
Приведем для примера поправки за местное время для некоторых обсер-
ваторий:
Мадрид
Западноевропейское время
Грнннч
„
.
Париж
.
•
.
Рим
Среднеевропейское
время
Берлин
„
.
Варшава
Гельсннки .... Восточноевропейское время
Пулково3)
Москва3)
„
Казань3)
Гриннчское
время + 3"
Ташкент3)
. ...
Гриннчское
время + 5"
.
_ і_ 14» 458,09
0 ,00
.
-
9 20,93
3 .66
•+734,51
.
—24
7,25
.
+20 10 ,90
18 ,57
.
-30 17 ,03
.
—16
29 ,01
.
+22 49,18
Момент верхней кульминации Солнца по истинному времени всегда равен 12";
по местному времени равен 12"-}-уравнение времени, т. е. 12"-{ -7]; по поясному
времени равен 12"-f-уравнение
времени-f поправки за местное время,
т.е .
12"-}-7)-f-и (надо принимать во внимание знаки при обеих поправках т) и и).
Например, для Москвы момент кульминации Солнца в середине февраля будет
равен 12" -f- 14"' — 30';,
=
11" 44'» по поясному времени или 12" 44'» по декретному
времени, так как часы в Москве идут на 1" впереди поясного времени.
§ 49. Линия перемены дат. Выше нами было приведено следующее правило
для среднего времени: п данный момент время в пункте, расположенном восточ-
нее, всегда более позднее, а в пункте, расположенном западнее, всегда более
раннее; это правило полностью применимо и к поясному времени при переходе
от одного пояса к другому. Но здесь нужно обратить внимание на следующую
особенность. Допустим, например, что в Гриниче 5 часов пополудни 31 декабря;
1) Поясное время введено в СССР с полуночи 1 июля 1919 г. При громадной терри-
тории, конечно, вся страна не может жить по одному времени. Западная часть РСФСР,
УССР, БССР, Крым и города Ленинград, Москва, Киев, Харьков, Минск, Львов и Белосток
находятся в поясе, соответствующем восточноевропейскому времени. Местности по средней
и нижней Волге и Кавказ относятся к поясу, который должен жить по гриничскому вре-
мени 4-3", Урал, Туркменская и Таджикская ССР —к поясу, живущему но гриничскому
времени 4-4", и т. д . Самая восточная оконечность СССР принадлежит к поясу, который
должен жить по времени — гриннчское +12".
Согласно декрету, с лета 1930 г. часы
в СССР перемедены иа 1 час вперед, так что западная часть СССР живет не по восточно-
европейскому времени, а но времени: гриннчское
3". —
Прим.
перев.
2) Такие отклонения имеют место и в СССР; например, местное время Москвы на
З0'»17я больше поясного времени второго пояса и в сущности Москва должна была бы
принадлежать к третьему поясу, но отнесена ко второму поясу из административных
соображений; точно также местное время Новочеркасска на40"'25
в
, а Иванова на 43'»55ï
больше поясного.
—
Прим. перев.
„„„г,
то*
:і) Надо помнить, что, как это уже было указано выше, часы в СССР с лета 193U г.
поставлены на 1 час вперед относительно поясного времени. —
Прим.
черев.
перенесемся мысленно на восток в такую область, где часы показывают на 12
часов больше (например, на берега Берингова пролива); там будет уже 5 часов
утра следующего дня, т. е. 1 января.
Но если бы мы направились на запад, то
часы паши должны были бы показывать время меньшее, и, приехав в тот же
пункт на берегах Берингова пролива, мы увидели бы, что часы наши показывают
время на 12 часов меньшее, чем в Гриниче, т. е . 5 часов утра.
Но так как
в одном и том же пункте нельзя одновременно считать два различных числа
месяца то следует провести на Земле границу между сутками или, как ее обычно
называют, линию перемены
дат.
Таким образом в двух пунктах, расположенных
один вблизи от другого, но по обе стороны линии перемены дат, местное время
будет приблизительно одинаковым, но числа месяца будут отличаться на единицу,
т е в одном пункте будет 1 января, а в соседнем 31 декабря. С некоторого
времени согласились, что такая граница проходит приблизительно по меридиану
на 180° долготы от Гринича с некоторыми уклонениями от меридиана в зависи-
мости от географических соображений. На западной или азиатской стороне относи-
тельно границы надо считать более позднюю дату, а на восточной, американской
стороне — более раннюю дату.
На отдельных группах островов в Тихом океане в прежнее время дата уста-
навливалась в зависимости от того, были ли эти острова открыты или колонизи-
рованы путешественниками, • приплывшими к ним с запада или с востока,
на
Филиппинских островах, которые расположены гораздо ближе к Азии, чем
к Америке, долгое время принималась меньшая дата; вплоть до понедельника
30 декабря 1844 г.,
после которого следующий день был принят за среду
1 января 1845 г. В бывшей Русской Америке (в Аляске1), в некоторых пунктах,
где жили русские и американцы, бывало так, что американцы считали данный
день воскресеньем и шли в церковь, а русские работали, так как этот же самый
лень был для них понедельником.
На островах Самоа, которые расположены с американской стороны от линии
перемены дат, принималась все время поздняя дата, вплоть до понедельника
4 июля 1892 г.,
который продолжался 48 часов.
При морских путешествиях, при переходе через меридиан 180 долготы, ка-
лендарную дату меняют, или считая два дня подряд за один, когда едут на
восток, или же перескакивая через оцт день, когда едут на запад. Таким обра-
зом в первом случае неделя продолжается 8 дней, а во втором случае 6 дней.
8 50. Перевод поясного и среднего времени в звездное и обратно. Реше-
ние весьма важной задачи —как перейти от среднего (и поясного)
времени
в данный момент (Ж) к звездному, {s) и обратно - основано на двух следующих
принципах.^ ^^
звездное время для некоторого определенного момента дня;
обычно за эгот момент принимают 0" всемирного времени. Звездное время для 0"
всемирного времени дается на каждый день в больших астрономических ежегод-
никах- в дальнейшем изложении мы будем обозначать его через S0.
2 Нужно заданный промежуток среднего времени (столысо-то часов, минут и
секунд по среднему времени) выразить в звездном времени и обратно. В принципе
эта задача нами уже решена в § 47, так как мы уже знаем, что:
24" среднего
времени = 24''3'»56я
,555 звездного времени,
24" звездного времени = 23"56TM48,091. среднего времени.
При помощи этих двух уравнений мы, разумеется, без труда можем каждый
промежуток времени, заданный в звездном времени, выразить в среднем и обратно.
Так как астрономам очень часто приходится производить подобные операции,
то вычисления отнимали бы у них слишком много времени.
Поэтому, как это
1) Аляска была открыта русскими мореплавателями, приехавшими с запада В 1867 г.
Аляска была продана царским правительством Соединенным Шгатам Америки . -Прим.
перев.
часто делается в астрономии, составлены специальные таблицы,
пользуясь кото-
рыми можно избежать излишних вычислений. В Приложении на стр. 564—565 мы
найдем две таблицы перевода времени, составленные по типу, применяемому
в английском морском астрономическом ежегоднике „Nautical Almanac".
Ниже приведены численные примеры перепода среднего времени в звездное
и обратно.
Задача 1. Дано среднее время в некоторый момент для данного меридиана.
Требуется найти звездное время для того же момента.
Пример. Найти звездвое время для меридиана Московской обсерватории Астрономи-
ческого института им. Штернберга1) 15 июля 1935 г. в тот момент,, когда средние часы
на этой обсерватории показывают 14'' 12'» 16".27?
Вычисления:
14b 12"» 16s
,27
— среднее время на Московской обсерватории
2 30 17 , 03 —разность долгот Москва — Гриннч (Москва восточнее)
11 41 59,24
—в семирное время в тот же момент; выразим его в звездном времени,
пользуясь таблицами перевода времени на стр. 564.
11й
соответствует 11Л 1'» 48я
,421
41»
„
41 6,735
59я
„
59 .162
0я
,24
„
0,241
11й 41» 59я
,24
соответствует 11й 43"' 54»,559 звездного времени
„
19 27 40 ,613 звездное время в Гриниче в 0й всемир-
ного времени (взято из .Астрономического
ежегодника*)
31 11 35 ,172, откинув 24й:
7 11 35,172 — звездное время в Гриниче в заданный
момент
2 30 17,03 —разность долгот Москва — Грннич
Ответ:
9й 41'» 52я
,20 —звездное время на Московской обсерва-
тории в данный момент.
Задача II. Дано звездное время в некоторый определенный момент для из-
вестного меридиана. Найти среднее время для того же момента.
Пример. Найти среднее время для Московской обсерватории Астрономического инсти-
тута им. Штернберга 15 июля 1935 г. для момента, когда звездные часы показывают
9й 41'» 52я
, 20?
Вычисления:
9h 4im 52«,20 —звездное время в Москве
2 30 17 ,03 —разность долгот Москва — Грннич
7 11 35,17
— звездное время в Гриниче в тот же момент
19 27 40,61
—
звездное время в Гриниче в 0й всемирного времени 15 июля 1935 г.
(взято из .Астрономическогоежегодника")
11й 43» 54я
,56
— промежуток нремени после 0й всемирного времени, выраженный в звезд-
ном времени; выразим его в среднем времени:
11й
соответствует 10й 58'» 11 »,875
43'»
.
42 52 ,956
54я
„
53 ,853
0я
,56
„
0 ,556
11й 43'»
54я
,56
соответствует 11й 41'» 59я
,240 среднего времени
2 30 17 ,03 —разность долгот Москва — Грннич
Ответ:
14й 12"' 16
я
,27
— среднее время на Московской обсер-
ватории в данный момент.
*) Приведенные n немецком оригинале примеры, относящиеся к Копенгагенской
обсерватории, пересоставлены для Москвы. —
Прим.
перев.
Вычисления можно вести и не переходя к гришічскому меридиану, а потом
обратно к местному. Если при решении приведенных выше задач известно звезд-
ное время в среднюю полночь для меридиана данного пункта — в нашем случае
для меридиана обсерватории Астрономического института им. Штернберга, в Мо-
скве,— то
вычисления несколько упростятся. Мы знаем, что S0 ежедневно уве-
личивается на З'"56
я
,555. Для меридиана, .который проходит па /й по долготе
к востоку от Гринича, звездное время в среднюю полночь — которое будем
обозначать через s0 — несколько меньше 50. Мы получаем
=
—
й- 3" '56
я
,5 55.
Для меридиана, расположенного западнее Гринича, полученная поправка — по-
ложительная.
В немецком астрономическом ежегоднике „Berliner Jahrbuch" даны
поправки S0, вычисленные для различных обсерваторий. Приведем для примера
некоторые из них:
Для обсерватории в Мадриде . . .
.
-)- 2
я
,43
9
,
„Грнничс...
,.
0,00
„
.
„Берлине...
.
.—
8,61
„Варшаве...
—
13,82
„ Ленинграде .
.
.
—
19 ,91
„Пулкове...
.
. —19 ,93
т
„
.
Киеве
... .
.
.
—
20 ,04
„
„
.
Одессе...
-
20 ,21
„ Казани
.
.
•
.
.
32,28
„
„
, Ташкенте . .
.
.— '45,53
Числовой пример перевода времен но этому методу дан в Приложении.
На практике часто бывают случаи, когда не требуется особенно большой
точности
и когда можно довольствоваться точностью до нескольких минут;
в таких случаях вычисления для перевода времени можно выполнить гораздо
проще. Тогда нет надобности пользоваться таблицей для 50, составленной на
каждый день года. С ошибкой всего лишь в несколько минут можно пользоваться,
следующими значениями для 50 для любого пункта и для любого года:
Сентября 22 . . . 0Й0>»
Декабря22...60
Марта
22...120
Июня
22...180
Эту табличку легко держать в памяти. Мы знаем, что 50 ежедневно увеличи-
вается на З'»56°,555. Для приближенных расчетов можно брать величину Зт56
я
ил„ 4»н — 4«, которую тоже легко запомнить и с которой удобно производить,
вычисления.
Например, нужно найти значение S0 для 20 октября; вычисления ведутся сле-
дующим образом: 50 для 20 октября = 0"0'» +28 (4'» — 4
я
) = 0Й0'»-|-112»' —
112я
или, если нам нужна точность до минуты: SQ для 20 октября = 1й50>».
В качестве примера приближенного вычисления звездного времени для дан-
ного момента постараемся ответить на такой вопрос: какие звезды будут нахо-
диться в верхней кульмииации в Москве 20 октября в 17й0»' декретного времени?
Если нам известно звездное время (s) для данного момента и в определенном
месте, то мы сможем сказать, какие звезды в этот момент кульминируют, потому
что звездное время их кульминации (s) равно их прямому восхождению (а) (см. § 46)..
Таким образом вопрос сводится к тому, чтобы вычислить звездное
время для
данного момента. Вычисления можно вести в следующем порядке:
Декретное московское время
17Л О"1
Поясное московское время (учитывая, что часы в Москве
переведены на 1 час вперед)
160
Поправка для приведения к местному времени (ЗО"1 17я) .
30
Среднее московское время
16 30
Выразим этот промежуток в звездном времени
16 33
s0—(звездное
время в среднюю полночь) для 20 октября
по приведенной выше табличке
;.150
s — звездное время
18'* 23«»
Таким образом в Москве будут находиться в верхней кульминации те звезды,
прямое восхождение которых приблизительно равно 18'*23"*.
Из ярких звезд
Вега (а Лиры) имеет склонение 18''35'»; следовательно, 20 октября в 17;» декрет-
ного московского времени Вега будет находиться вблизи верхней кульминации
н пройдет через меридиан приблизительно в 17''12
т
декретного времени.
§51. Часовой угол как мера времени. В предыдущих параграфах мы дали
определение следующим трем понятиям времени: Звездное
время в данный
мо-
мент равно часовому углу точки весеннего равноденствия (см. § 46); истинное
время равно часовому углу истинного Солнца-\ -/2'»
(см. § 46); среднее
время
равно часовому углу среднего Солнца -} - J2h (см. § 47).
Общее в этих определениях заключается в том, что все три определения
оперируют с понятием часового
угла. Если мы будем давать определение времени
для данного момента в следующих словах (что на деле очень часто делают):
„среднее время в данный момент есть время, которое прошло после нижней куль-
минации среднего Солнца", то такое определение весьма неопределенно, потому
что в нем не оговорено, какое „время" прошло? Выражено ли оно в часах, ми-
нутах и секундах среднего или какого-нибудь другого времени? В тех случаях,
когда понятие о времени дается при помощи часового
угла,
такая двусмыслен-
ность исчезает.
Пример. Допустим, что для двух пунктов, находящихся под разными мери-
дианами, разность средних времен точно равна 6Ь0»'0*\ спрашивается, какова будет
разность в звездном
времени
для тех же пунктов? Если мы будем придерживаться
определения времени при помощи часового угла, то мы сейчас же увидим, что
в обоих случаях дело идет об одной и той же разности
часовых
углов.
Таким
образом ответ гласит: то же в точности 6''0'"0Я.
§ 52. Календарь. В календаре,
которым мы теперь пользуемся, продолжи-
тельность гражданского года близка к продолжительности тропического
года,
который принят за основание для летоисчисления. Наш календарь представляет
собой видоизменение календаря, введенного в употребление в Риме при Юлии
Цезаре, за 45 лет до начала нашей эры, и называвшегося поэтому
юлианским.
Согласно юлианскому календарю было принято, что три года подряд имеют по
365 дней, а четвертый год, високосный,
имеет 366 дней; причем добавочный день
прибавляется в феврале месяце. Если число лет после начала нашей эры делится
на 4, то такой год принимается за високосный; до начала нашей эры високос-
ными годами приняты такие, число которых при делении на 4 дает остаток 1.
Происходит это оттого, что первый год до начала нашей эры идет непосред-
ственно перед первым годом после начала нашей эры, а нулевого года не
существует1).
*) В астрономической
хронологии года до и после начала пашей эры часто обозна-
чаются знаками — »-(-, причем год 1 до начала эры принимается за нулевой. Поэтому все
предшествующие годы должны быть уменьшены на единицу. Следовательно, при таком
обозначении год — 44 соответствует 45 году до начала нашей эры.
Средняя продолжительность года, следовательно, равра 365,25 дня; такой год
называется юлианским. Сравнивая юлианский год с тропическим, мы видим, что
первый длиннее на 0,0078 суток. За 128 лет такая разность, постепенно нако-
пляясь даст уже целые сутки. Вследствие этого дни равноденствий и солнцестоя-
ний за 128 лет отстанут по календарю на один день. Весеннее равноденствие во
времена Цезаря и его научного советника при реформе календаря Созигена при-
ходилось па 25 марта, а потом перешло па 24.
В 1582 г когда папа Григорий XIII ввел так называемый грегорианскии
ка-
лендарь, день весеннего равноденствия передвинулся со времен Цезаря почти на
13 дней и приходился на И марта. Ближайшим поводом к проведению реформы
календаря послужило постановление вселенского церковного собора в Никее
(в 325 г. после начала нашей эры) по вопросу о дне празднования пасхи; со-
гласно этому постановлению, день весеннего равноденствия должен был прихо-
диться на 21 марта, как это было во времена собора или несколько раньше. Для
исполнения этого постановления папа предписал, во-первых, перескочить в счете
дней сразу на 10 суток и после 4 октября 1582 г. считать 15 октября, причем
порядок счета дней недели не должен был нарушаться; во-вторых, при счете ви-
сокосных годов, принятом при Цезаре, ввести следующую поправку: года сто-
летий которые все по юлианскому календарю високосные (потому что на 4 де-
лится'всякое число, оканчивающееся двумя нулями), признать только в том слу-
чае високосными, если число года делится без остатка на 400. Таким оэразом
годы 1700, 1800 и 1900 должны были считаться простыми, а годы 1600 и 2UUU
високосными.
10 000 юлианских годов содержат 3 652 500 дней, так как за это время было
100 сотенных годов, а следовательно, 100 високосных, приходившихся на эти
сотенные годы: из них три четверти, т. е . 75 високосных годов, должны отпасть,
если вести счет по грегорианскому календарю; таким образом 10 000 григориан-
ских лет содержат 3 652 425 дней. Если же сравнить это число со счетом тро-
пических годов, то получим, что 10 000 тропических годов содержат 3 6о2 422 дня,
т. е. разница в 1 день от грегорианского календаря накопится за 3000 лет.
В странах исповедовавших римско-католическую религию, грегорианский ка-
лендарь был принят частью в 1582 г.,
частью в ближайшие после этого годы.
В большинстве протестантских стран ррегорианский календарь прннят с 1700 г.
После 1 марта 1900 г. разница между новым и старым стилем достигла 13 дней ).
Чтобы выяснить значение одного выражения, которое встречается в наших
астрономических ежегодниках, надо остановиться на вопросе о введении юлиан-
ского календаря. Во время своего пребывания в Египте, после завоевания этой
страны, Цезарь познакомился с применяемым там времяисчислением, после чего
и приступил к реформе римского календаря, который был построен на совер-
шенно иных началах.
Египтяне принадлежали к числу немногих народов древности, которые вели
счет по солнечному (а не по лунному) • календарю; несомненно, поводом к этому
послужили ежегодные разливы реки Нила, явление, повторявшееся с чрезвычай-
ной регулярностью, как следствие периодических дождей в Центральной Африке;
I) До Великой Октябрьской Социалистической революции в России был принят юлиан-
ский календарь или, как иногда говорили, счет времени производился по старому
стилю.
Поэтому всякое событие в XVII веке (до 29 февраля 1701 г.) по старому стилю отличалось
на 10 диен от счета дней по грегорианскому календарю; в XVIII веке на И дней,
в XIX веке —на 12 дней, а после 29 февраля 19С0 г.— на 13 дней вплоть до 1 февраля
1918 г , когда, согласно декрету, советского правительства, новый стиль (грегорианский
календарь) был принят в нашей стране. Так, например, день рождешм поэта Пушкина по
старому стилю считался 26 мая 1799 г., следовательно, по новому стилю это событие при-
ходится на 6 шоня, день его смерти приходился на 29 января 1Я37 г. по старому стилю,
следовательно, по новому стилю это число соответствует 10 февраля. День же Великой
Октябрьской Социалистической революции —25 окіябрч 1917 г. по старому стилю соот-
ветствует 7 ноября но новому, так как в данном случае разница составляет уже 13 дней. —
Прим.
перев.
наблюдения над наступлением разливов позволили египтянам определить продол-
жительность года еще раньше, чем могла итти речь о каких бы то ни было
астрономических наблюдениях. Вначале они считали год равным 360 дням и де-
лили его на 12 равных частей — месяцев. Деление окружности на 360°,
не-
сомненно, стоит в связи с продолжительностью года, так как Солнце отступает
каждый день на один градус (градус в переводе на русский язык значит шаг).
Позднее они узнали, что год имеет 365 дней; тогда лишние 5 дней они назвали
эпагомснами
и отдельно прибавляли после 12-го месяца года. Впоследствии убе-
дились, что год содержит в себе еще дробную часть дня; но их расчетам эта
дробная часть равна '/.,
суток. Они заметили, что звезда Сириус, у египтян но-
сившая название „Сотис", начинает появляться в восточной части неба, неза-
долго до восхода Солнца (это явление называется гелиактическим
восходом),
в то время, когда через несколько дней после летнего солнцестояния воды Нила
начинают подыматься. Египтяне полагали, что подъем воды в Ниле зависит от
появления на небе Сириуса, а потому принялись усердно его наблюдать. Благо-
даря удивительному стечению обстоятельств, в течение двух тысячелетий (прибли-
зительно за 3000 лет до нашей эры), промежуток между двумя появлениями Сири-
уса в среднем равнялся почти точно 365'/4 дней. Это явление происходило не
только от годового движения Солнца по эклиптике, но еще от одного обстоя-
тельства (от прецессии), о котором будем говорить в следующем разделе.
При работах по прорытию Суэцкого канала, в прошлом столетни, был найден
камень (камень Канопуса), на котором начертан декрет, относившийся к 238 г.
до начала и. э. (царствование в Египте Птолемея III, Эврсгега). В этом декрете
говорилось о введении дополнительного дня каждые 4 года для регулирования
времени празднования праздника храма. Для повседневной жизни египтяне еще
долго и после этого пользовались переходным годом в 365 дней, не прибегая
к введению високосных годов, ио Цезарь в своем календаре принял уже усовер-
шенствованное времяисчисление. Впрочем, еще задолго до Цезаря греческий
астроном Гшшарх открыл, что добавочная в году дробная часть суток меньше */4,
но ему не удалось определить ее с такой точностью, с какой мы ее теперь знаем.
Подъем поды в Ниле происходит в самое жаркое время года; в этом месяце
Солнце проходит по созвездию Льва (см. § 45) и появляется звезда Сириус из со-
звездия Большого Пса, поэтому эти дни назывались песьими днями.
По нашему
календарю песьи дни продолжались между 23—24 июля и 23—24 августа. Время
года, в которое в древности появлялся в Египте Сириус в утренние часы, теперь
сильно изменилось.
На основании всего сказанного выше мы можем составить таблицу числа
дней в различных столетиях по грегорианскому
календарю и продолжить - ее
до начала нашей эры:
С 1 января
1 года до 31 декабря 100 года
прошло 38 525 дней
101
.
.
,
200 .
„
36525 „
201 ....
300 „
.
36525 „
1401 .
„
„
,.
1500 „
„
36525
I
.
1501 .
„
.
1600 „
.
36515
"
.
1601 ..
„
.
.
1700 .
„
36524
1701
.
.
„
1800 „
.
36524
1801 „
.
.
„
1900 .
,
36524
1 901 ...
2000 „
пройдет 36 525
2001 „
.
»
2100 ,
„
36 524
2101 „
.
„
..
2200 .
„
36 524
I
.
2201 .
...
.
2300 .
„
36524
2301 „
2400 „
„
36525
и т. д.: три столетия но 36 524 дня и каждое четвертое столетие 36 525 дней.
При помощи этой таблицы, которую, конечно, надо, несколько изменить для
стран принявших грегорианский календарь позже 1582 г. Ц, легко можно решать
различные вопросы, связанные с календарем: например можно установить день
недели для любого события как в прошедшем, так и в будущем. Заметим, что
последний день церед началом нашей эры приходился на пятницу (таким образом
1 января І года было субботой); теперь . мы легко сможем подсчитать день
недели для любого числа года.
Чтобы облегчить счет средних суток, был введен так называемый
юлианский
период
Начало юлианской эры падает на число 1,5 января, года —4712 (т. е.
4713 до начала нашей эры; см. примечание к стр. 90). С этого момента
до 1581 года включительно дни считаются по юлианскому календарю; 1582 год
содержит в себе 365—10 дней; в дальнейшем счет идет по грегорианскому
календарю. Юлианская эра начинается в полдень; ее применяют главным образом
при работах нал переменными звездами. В Приложении дана таблица числа дней,
прошедших с начала юлианской эры в течение двух столетий 1800—2000 г.
В различное время предлагалось произвести реформу современного кален-
даря, но до сих пор не удалось иритти к общему соглашению по этому поводу.
ПРЕЦЕССИЯ. НУТАЦИЯ. АБЕРРАЦИЯ. ГОДИЧНЫЙ ПАРАЛЛАКС
S 53 Прецессия. Ни экватор, ни эклиптика не сохраняют все время одного и
того же'положения относительно звезд. Координаты любой неподвижной звезды,
определяющие положение ее относительно экватора или эклиптики и относи-
тельно точки их пересечения, медленно изменяются с течением времени. Явления,
которые при этом происходят, легко понять, если обратиться к изучению их
с исторической точки зрения.
Один из самых знаменитых астрономов древних времен Гиппарх
который
работал на острове Родос за 140 лет до нашей эры, произвел ряд наблюдений
для того, чтобы вычислить положения некоторого числа неподвижных
звезд.
Согласно приемам того времени, он получал положения звезд в эклиптических
координатах (т. е . получал широту и долготу звезд). Подобные наблюдения
производились и раньше; другие греческие астрономы за несколько столетий
до Гиппарха определяли положение некоторых звезд, которые наблюдал и Гип-
парх Сравнивая результаты их наблюдений со своими, Гиппарх обнаружил, что
широты
звезд отличаются в пределах точности наблюдений, но в долготах
звезд
обнаруживаются расхождения, которые достигают 2 градусов. Так как изменения
долгот для всех звезд одинаковы, то он предположил, что исходная точка для
счета долгот т е точка весеннего равноденствия, перемещается вдоль эклип-
тики в направлении, противоположном направлению счета долгот. Позднейшие
наблюдения подтвердили предположения Гиппарха; было найдено, что в течение
года точка весеннего равноденствия, а следовательно, и точка осеннего равно-
денствия перемещаются на 50 .
„„»,,,„„
Это движение точки весеннего равноденствия, согласно нашему определению,
происходит в обратном направлении и называется прецессией
(или
равноденствий).
Так как равноденственная линия представляет собой линию,
по которой пересекается плоскость экватора с плоскостью эклиптики, то пре-
цессия происходит вследствие медленного перемещения плоскости экватора,
причем положение эклиптики не изменяется; равноденственная линия: повора-
чивается все время в одном направлении; так как, согласно предположению
Гиппарха, наклон экватора к эклиптике остается постоянным, то полюс- экватора
описывает по небесному своду малый круг около полюса эклиптики; полный круг
полюс экватора опишет приблизительно в 26 000 лет, так как в год он переме-
і\ Для России до 1900 г. падо считать, что все столетия содержат по 36525 дней;
столетие cl шіваря 1901 до 31 декабря 2000 г. будет содержать 36512 дней; а в даль-
нейшем счет днДудет соответствовать таблице на стр. 92. - Прим.
перге.
щается на 50",
а полная окружность заключает в себе 1 296 ООО".
Явление пре-
цессии показано на фиг. 56. В точке Е находится полюс эклиптики; в Я —полюс
экватора в момент, когда экватор занимает положение ATQ; в Я' — полюс эква-
тора, когда точка весеннего равноденствия перешла в положение у',
РРЯ—
малый круг, который описывает полюс экватора вокруг полюса эклиптики при
условии, что наклон экватора к эклиптике в остается постоянным.
q
Так как при годовом смещении в 50" через 72 года получится смещение на 1 ,
то со времен Гиппарха смещение точки равноденствия выразится в 29°,
т. е.
точка весеннего равноденствия прошла целый знак Зодиака. Во времена Гип-
парха знаки Зодиака соответствовали названиям созвездий; в настоящее время
они уже сдвинуішсь относительно одноименных созвездий (см. § 45).
Так как экватор и полюс экватора постоянно меняют свои положения между
звездами, то, следовательно, и прямые восхождения и скеонения звезд тоже все
время изменяются; положение суточной параллели звезды зависит от ее скло-
нения, поэтому прецессия с течением времени
произведет значительные изменения вида не-
бесной сферы для места с определенной ши-
ротой. Звезды, которые теперь никогда не
подымаются над горизонтом, с течением вре-
мени станут видимы, в то время как другие
звезды исчезнут над горизонтом.
Например,
яркая звездй Фомальгаут, южное склонение
которой в настоящее время равно 30°4', мо-
жет быть видима в северном полушарии только
до широты 59°56' (или, вернее, до широты
60"31', вследствие действия рефракции); звезда
эта находится в той части неба, в которой
склонения звезд уменьшаются, а следовательно,
Фомальгаут в будущем станет видимым, в более
северных широтах. Полярная звезаа, расстоя-
ние которой от полюса немногим больше 1°,
еще на долгое время сохранит по праву свое название, потому что полюс
ми"а все время к пей приближается и через несколько столетий будет отстоять
от' нее всего на »/2°; затем ее расстояние от полюса станет увеличиваться, и
через несколько тысячелетий она перестанет быть „полярной" звездой, т. е .
ближайшей из ярких звезд к полюсу мира. Через 12 000 лет яркая звезда Бега,
которая в наших шрротах принадлежит к числу незаходящих звезд, приблизится
к полюсу мира и будет находиться от него на расстоянии 5°; созвездие Большой
Медведицы в наших широтах через несколько тысяч лет станет заходить под
горизонт. Точно так же, вследствие влияния прецессии на координаты Сириуса,
звезда эта в течение долгого периода времени в древности появлялась в Египте
утром перед восходом Солнца в одни и те же дни по юлианскому календарю.
Вследствие прецессии Солнце в течение тропического года не описывает
полного круга по небесной сфере, потому ' что точка весеннего равноденствия
перемещается на небольшое расстояние навстречу Солнцу. Так как Солнце в день
перемещается приблизительно на 1°,
то в час оно переместится на 2 ,5, или
на 150"; таким образом емѵ потребуется еще около 20 минут, чтобы пройти
оставшееся расстояние в 50" до полной окружности. Время полного оборота
Солнца называется звездным
годом, или сидерическим
годом,
который, следова-
тельно, приблизительно на 20 минут длиннее тропического. Точная его величина
paDHa'
1 сидерический год = 365,25636 средних суток.
Дробная часть здесь превышает »/4 суток, но гражданский год должен быть
приноровлен к тропическому, так как смена времен года зависит от тропического,
а не от сидерического года.
§ 54. Изменение наклонения эклиптики. Лунно-солнечная прецессия. Пре-
цессия от планет. Общая прецессия. Уже в средние века заметили, что накло-
нение эклиптики не остается постоянным; наклонение эклиптики тогда получали
из наблюдений склонений Солнца в моменты солнцестояний. Коперник писал,
что он и многие его современники получили для значения наклонения эклиптики
величину 23°28', в то время как в древности была принята величина 23 51'.
Он
предполагал, что такое изменение наклонения произошло также вследствие пере-
мещения плоскости Эквадора. Тихо Браге, однако, показал, что причина была
иная. Из своих многочисленных наблюдений неподвижных звезд он нашел, что
широты их заметно изменились со времен древности; а именно, в одной стороне
неба все широты увеличились, а в противоположной—соответственно уменьшились.
Такое явление можно было приписать медленному вращению эклиптики вокруг
одного из своих диаметров; это и подтвердилось из последующих наблюдений.
Но движение это оказалось чрезвычайно медленным; уменьшение наклонения эклип-
тики выразилось через 0",5 в год, т. е . значительно меньшей величиной, чем это
следовало из сравнения наблюдений Коперника с наблюдениями астрономов
древних времен. Если такое движение будет продолжаться непрерывно,
то
в конце концов наклонение эклиптики должно сделаться равным нулю; это будет
иметь очень большое влияние на распределение климатов на Земле, так как
смена времен года зависит от'величины наклонения
эклиптики к экватору. Но, как мы увидим ниже
(см. § 200), наклонение эклиптики никогда не из-
менится настолько, чтобы это стало оказывать
заметное влияние на перемену климата.
•f
r'^f
Выдвинутая в § 40 гипотеза, что эклиптика Л
згтйт-
представляет собой большой круг на небесной
сфере, не вполне справедлива, так как Солнце
при своем движении по небу не возвращается
ф„г
57>
точно в одну и ту же точку. Впрочем, ничто нам
не мешает считать эклиптику большим кругом, если только мы будем помнить,
что положение этого большого круга изменяется с течением времени.
Движение эклиптики несколько уменьшает влияние прецессии, как это видно
из фиг. 57, на которой изображена маленькая часть небесной сферы в том виде,
какой она имела бы при взгляде на него извне. AQ изображает положение эква-
тора в некоторый момент времени; пЕ — эклиптика для того же. момента;,
в— точка на небесной сфере, в которой встречается с ним ось вращения эклип-
тики- эклиптика займет положение пЕ',
когда экватор вследствие
прецессии
перейдет в положение A'Q' .
Фиг. 57 должна была бы дать представление,
о скоростях, с которыми совершаются различные движения эклиптики и точки
весеннего равноденствия; но нет возможности изобразить на чертеже дуги эква-
тора и эклиптики в их действительном взаимоотношении; поэтому надо помнить,,
что п в настоящее время отстоит от точки весеннего равноденствия приблизи-
тельно на 6°,
и это расстояние постоянно уменьшается, только не на 50 ,
а на 33" в год, потому что сама точка п перемещается на 17" в год в том же
направлении, как и точка весеннего равноденствия. Из этих чисел видно, что
угол между положениями эклиптики пЕ и пЕ'
по сравнению с расстояниями
между дугами экватора на фиг. 57 изображен слишком большим. По чертежу
видно, что угол е' меньше, чем первоначальный угол наклона е.
Дугу эклиптики TT' в ее первоначальном положении, заключающуюся между
двумя положениями гкватора, называют лунно-солнечной
прецессией;
такое назва-
ние указывает на физическую причину явления, о чем мы будем говорить
впоследствии более подробно (см. § 141). Дуга экватора у'у" между двумя
положениями эклиптики называется прецессией
от планет.
Прецессия от планет
оказывает влияние на прямые восхождения светил, но изменения прямых восхо-
ждений вследствие ее влияния не превышают */в">
к
тому же ее влияние
уменьшается по мере приближения экватора к точке п. Наконец, разность дуг
<
пу
пу", которая изображает действительное смещение точки весеннего равно-
денствия вдоль перемещающейся эклиптики, называется общей прецессией.
Поло-
жение, которое принимает эклиптика в любую произвольно избранную эпоху,
называется для краткости неподвижной эклиптикой.
Ниже мы помещаем годовое
изменение прецессии и наклона
эклиптики,
в зависимости от времени t (t выражено в годах), согласно данным, полученным
Ньюкомом:
Лунно-солнечная прецессия. . . =
50" ,3 708 + С.0000495 (/-1900)
Прецессия от планет
=
0", 12 48 — 0" ,0 001887 (/ —1900)
Общая прецессия
f.0 ", 2561 + 0" ,С002225 (/ — 1900)
Наклонение эклиптики
=
23°27'8 ",3 -0 ",4685 (/—1900)
Формулы эти не годятся для любой эпохи, но ими можно пользоваться для
нескольких грядущих и минувших столетий. Так как прецессия постепенно
возрастает, то, следовательно, продолжительность тропического года несколько
уменьшается; но пройдет несколько столетий, прежде чем принятое нами (§ 46)
для пего значение 365й5''48'!,46я уменьшится на одну секунду.
§ 55. Влияние прецессии иа прямое восхождение и склонение светила
можно вычислить при помощи диференциальных формул сферической тригоно-
метрии, если только приходится принимать во внимание влияіше не на слишком
продолжительный промежуток времени. Обозначим через АХ лунно-солнечную
прецессию за некоторый промежуток времени, т. е. приращение долготы светила
относительно неподвижной эклиптики. Из фиг. 57 видно, что сперва. можно
вычислить приращение прямого восхождения Да, a затем получить величину
прецессии от планет. Приращение склонения До, которое остается независимым
от движения эклиптики, можно получить непосредственно из лунно-солнечной
нрецессни при помощи соответствующих диференциальных формул.
Влияние прецессии на прямое восхождение можно вычислить следующим
образом. Возьмем третью из диференциальных формул (4), приведенных в § 14,
и применим ее к сферическому треугольнику с вершинами: полюс экватора —
полюс эклиптики — звезда (фиг. 50); мы получим
cosгda=
—
sinТ|dß— cosa sinоds
cosßcosf]dX,
.
(1)
где 7) — угол при звезде.
\ Так как здесь речь идет только о неподвижной эклиптике, то ß и е можно
рассматривать как постоянные, и тогда получим
cosbda—cosßcosTJdX.
(2)
Эту формулу можно преобразовать при помощи третьей формулы системы (1),
выведенной в § 13; она примет вид
cos bda — (cos еcos о-j- sin esinpsin a)dX,
или
da= (cose
sinssinatgo)dXi
(3)
Чтобы вычислить влияние прецессии на склонение, обратимся к первой
из формул (4), приведенных в § 14:
dS= cos7)dß sinеcosadX-f-sinadz,
(4)
о силу того, что dß = dc=»0, мы получим
do= sinEcosadX.
(5)
При помощи формул предыдущих параграфов вычисляют значения постоянных
лунно-солнечной прецессии и прецессии от планет. Обозначим первую через Р,
вторую через р и напишем для краткости:
Рcosе—р = m,
psine
=
il.
Тогда влияние прецессии на прямое восхождение и склонение выразится
формулами
а'—a=(m
пsinatg3)•t,
о'— о=пcosa•t,
(6)
в которых t выражено в тропических годах.
С этими приближенными формулами можно вычислять влияние прецессии
на- a и 8 за короткий промежуток времени (на несколько лет); если приходится
производить вычисления для более длительных промежутков времени, то и фор-
мулы потребуются более сложные.
§ 66. Нутация. Английский астроном Брадлей один из первых широко приме-
нял трубу в качестве визирного прибора, дававшего высокую степень точности
при наблюдениях. В середине XVIII века он опреде-
cJ£o
лил с помощью трубы координаты большого числа
f^rjsrç^
^
звезд. Повторив через несколько лет наблюдения над
частью этих звезд, он обнаружил, что после исправле-
.
ния за прецессию их' прямых восхождений и склонений
/
и приведения наблюдений к одной и той же эпохе,
I
в координатах замечаются маленькие периодические из-
;
менения, которые не 'превышают нескольких секунд
;
дуги и потому ускользали от прежних наблюдателей.
•J
Одно из этих изменений координат надо было приписать
j.
периодическому движению экватора и его полюса; это
^^Гг—'
""
движение получило название нутации. Точка, которая
вследствие прецессии описывает со скоростью 50"
Фнг
-
58-
в год малый круг около полюса эклиптики, сама яв->
ляется центром маленькой замкнутой кривой, по которой обратным движением
перемещается полюс экватора; полный оборот он делает в 18,6 лет; этот проме-
жуток времени носит название периода нутации. Кривую, по которой вследствие
нутации движется полюс экватора, можно рассматривать как маленький эллипс;
большая ось этого эллипса совмещается с большим кругом, проходящим через
центр эллипса и полюс эклиптики. Большая полуось этого эллипса называется
постоянной нутации:
она равна 9",21. Перпендикулярная к ней малая полуось
равна 6", 86 (она вычисляется по формуле: 9",21 cos 2е: cose, где е — наклонение
эклиптики). Центр эллипса называется средним полюсом,
а действительное поло-
жение полюса на кривой называется истинным
полюсом.
Рассматривая одно-
временно движение полюса по эллипсу, а самого эллипса по малому кругу, мы
убеждаемся в том, что полюс описывает по небесной сфере слегка волнистую
кривую линию.
На фиг. 58 показаны взаимное расположение экватора и эклиптики и движение
полюса вследствие нутации, но, как это видно из приведенных выше чисел,
в весьма преувеличенной степени. Обозначения приняты следующие: Т^ — эклип-
тика, Е — полюс эклиптики, Ж —средний полюс и ТА — соответствующее ему
положение экватора, abc — половина эллипса нутации, по которому истинный
полюс движется в направлении от а через b к с. Легко видеть, что нутация, во-
первых, действует на величину наклонения эклиптики е; действительно, если
истинный полюс находится в точке а, то наклонение эклиптики будет на вели-
чину 9",2 больше, а если —в точке с, то на 9",2 меньше, чем в случае, если бы
полюс находился все время в точке М. Такие периодические изменения накло-
нения эклиптики не вошли в формулы § 54; они дают только среднюю величину
Детропоішя
7
наклонения эклиптики, т. е. угловое расстояние среднего полюса экватора от
полюса эклиптики.
Кроме того, мы видим, что нутация производит периодические смещения точки
весеннего равноденствия, а следовательно, и периодические изменения долготы
светила (широта при этом не претерпевает изменений). Действительно, если истин-
ный полюс находится в а или в с, то точка солнцестояния 5 примет такое поло-
жение, как будто полюс находится в М; тогда и точка весеннего равноденствия
примет свое среднее положение. Но так как полюс почти все время находится
вне этих точек, то должны происходить смещения точки весеннего равноденствия,
которые достигнут наибольшей величины, когда истинный полюс находится
в точке b или в соответствующей точке на противоположной стороне небесного
свода. Точка солнцестояния будет тогда смещена из 5 в S' и точка весеннего равно-
денствия— из у в у'.
Через 18,6 лет явления будут повторяться в том же порядке.
§ 67. Влияние нутации на прямое восхождение и склонение светил. Как
мы увидим ниже, в § 141, нутация происходит главным образом от влияния Луны
на Землю. Рассмотренная в предыдущем параграфе форма нутационной кривой
в виде эллипса обусловлена только влиянием Луны. Величины наибольших сме-
щений точек солнцестояний и равноденствий и дуги ѵ на фиг. 58 легко можно
вывести из сферического треугольника ЕМЬ; изображенный на чертеже преры-
вистой линией большой круг EbS'
представляет собой колюр солнцестояний,
когда полюс находится в точке Ь. Так как угол при Е равен ѵ, то мы имеем
tgMb = sin еtgv. В этом случае Mb равно 6",86; для такого малого угла можно
тангенс заменить дугой и тогда получим:
V==8",86 : sin в= 17",24.
Под нутацией разумеют все изменения положения точки весеннего равноден-
ствия и величины наклона эклиптики, имеющие периодический характер; только
малая часть их зависит от влияния Солнца. Обозначим через А угол, соответ-
ствующий долготе восходящего узла лунной орбиты (см. об этом в следующем
разделе) и знаком О долготу Солнца; тогда
А/", = нутация по долготе = 17",24 sinA — 1",27 sin 2 0+•• •>
Nt = нутация наклонения эклиптики = 9",21 cos A -J-0",55 cos 2 Q + • • •>
где отброшены лишь члены, содержащие только очень маленькие доли секунды.
Влияние нутации на прямое восхождение и склонение можно определить точно
так же, как в § 55 определено влияние прецессии на эти координаты; только
при диференцировании следует считать переменной также и е. Из формул (1)
и (4), выведенных в § 55, получим значения для da. и do; ограничиваясь основ-
ными членами, мы получим для них выражения
da=
—17",24 cose sin А — 17",24 sine sin A sin atg8 — 9",21 cos A cosatgo,)
d8=
—
17",24 sin e sin A cos a + 9",21 cos A sin.a.
J^
При вычислении влияния нутации диференцнальные формулы вполне доста-
точны, потому что нутация не может увеличиваться в значительной мере в зави-
симости от времени, как это имеет место для прецессии. Исключение составляет
только случай, когда 8 весьма близко к 90°.
§ 58. Формулы для вычисления совместного влияния прецессии и нутации
на прямое восхождение и склонение светил. Соединим в одну формулы, позво-
ляющие учесть влияние прецессии за время от начала года до определенного дня
наблюдений, т. е . формулы (6), выведенные в § 55, с формулами для нута-
ции [система формул (2), выведенная в § 57]; тогда, зная координаты звезды для
начала года, мы получаем следующие формулы для приведения (редукции) их за
со
(5)
прецессию и нутацию к моменту наблюдений:
Редукция для a = (/»-] -и sin atg8)x—17",24 cos е sin А —
—
17",24 sine sin A sin a tg 8— 9",21 cos A cosatgS.
Редукции для8= ncosa•~
—17",24 sin e sin A cos a -j-
^
-f- 9",21 cos A sin a,
где -с означает время, протекшее от начала года до момента наблюдений (выра-
женное в долях года).
Для практического применения формулы (3) выражают несколько в ином виде,
вводя вспомогательные величины /, g и G.
Положим
f = nn—17",24
cos еsinA, )
g cos G = пт—17",24
sinesinA, \
(4)
gsinG=
— 9",21 cos A.
J
Тогда формулы (3) после некоторых преобразований примут вид
a' — «=/+g-sin(G4-a)tg8, \
8'— 8=gcos(G+ a).
J
Величины f, g и G не зависят от координат звезды; их вычисляют заранее на
каждый день года и помещают в астрономических ежегодниках (см. § 66).
§ 59. Аберрация. В 1728 г., за несколько лет до открытия нутации, Брадлей об-
наружил еще один вид изменения координат звезд; обнаружить их было легче,
отчасти оттого, что величина изменений была более значительной (хотя все же
выражалась в секундах дуги), отчасти от того, что период
их был гораздо короче и равнялся ровно 1 году. При-
чина этих изменений была названа аберрацией.
Опре-
делим несколько раз в течение года координаты какой-
нибудь звезды и нанесем на звездную карту достаточно
крупного масштаба ее положение, приведенное к системе
координат для одного определенного момента, т. е . испра-
вленние за прецессию и нутацию. Тогда оказывается, что
Фиг. 59.
нанесенные нами точки располагаются по эллипсу, по ко-
торому в течение года пробегает звезда. На фиг. 59 стрелкой показано на-
правление, по которому перемещается по небесной сфере звезда с северной
широтой. Все эти эллипсы обладают замечательным свойством: их большие оси
для всех звезд имеют одно и то же направление, а именно, они параллельны эклип-
тике, и величина их одинакова — она равна приблизительно 41". Наоборот, малые оси
эллипсов различны по величине для разных звезд и равны длине большой оси,умножен-
ной на синус широты звезды. Для звезды, расположенной в полюсе эклиптики, эллипс
превращается в окружность; для звезды, расположенной в плоскости эклиптики,
эллипс превращается в маленький отрезок дуги большого круга, по которому звезда
полгода движется в одном направлении, а полгода в обратном. Картина такая,
как будто звезды в течение года движутся по кругам, плоскости которых парал-
лельны плоскости эклиптики; с Земли мы видим эти круги сплюснутыми; сжатие
их пропорционально ' синусу угла, образуемого линией визирования на звезду
и плоскостью эклиптики, т. е. широте звезды. Для всех звезд большая полуось
эллипсов равна 20",47 и называется постоянной
аберрации.
§ 60. Видимые, истинные и средние места звезд. Собственные движения не-
подвижных звезд. Хотя аберрация представляет собой явление, по природе своей
совершенно иное, нежели прецессия и нутация, однако, все эти три явления при-
ходится рассматривать одновременно, потому что координаты светил изменяются
вследствие их совместного действия, причем аберрация изменяет положение светила
на небе, а прецессия и нутация изменяют положение самой'координатной системы.
Координаты звезды в том виде, в каком мы их получаем из наблюдений,
исправленные только за рефракцию, но без поправок за нутацию и аберрацию,
определяют положение звезды, которое мы называем ее видимым местом.
Если
в это положение мы внесем исправления за аберрацию и приведем, таким образом,
звезду к центру эллипса аберрации, то мы получим истинное
место звезды!
Наконец, если исправить координаты за нутацию, то получим среднее место звезды;
в последнем случае координаты звезды будут отнесены к системе, приведенной
к среднему полюсу и к среднему равноденствию. Полученные координаты можно
еще редуцировать на любой момент, вводя поправку за прецессию, например,
привес i и их к началу года (т. е. координаты будут тогда отнесены к среднему
равноденствию начала года). Когда мы пользовались точкой весеннего равноденствия
для определения тропического года, то речь шла о среднем равноденствии, а не об
истинном равноденствии. Об определении понятия начала
года будет сказано
в Приложении на стр. 557.
В больших астрономических ежегодниках имеется список нескольких сот звезд,
для которых даны средние места для начала года. Кроме того, для каждой из этих
звезд дама эфемерида
с их видимыми местами через 10 дней, а для околополюсных
звезд — через од- .н
или два дня1).
Если определять координаты звезды через значительные промежутки времени
(через несколько лет) и приводить все наблюдения на средние места и к одному
и тому же моменту, то окажется, что полученные числа не будут одинаковыми.
Если разница между вычисленными значениями координат не только превысит
возможные ошибки наблюдений, но и будет всегда одного знака, то можно утвер-
ждать, что наблюдаемая звезда имеет собственное
движение.
Более" подробно
о собственных движениях неподвижных звезд мы будем говорить ниже (см. § 276).
§ 61. Постоянная аберрации. Величину и направление аберрации можно найти
по следующему правилу: Проведем отрезок прямой, длина которого пропорцио-
нальна скорости света, а направление взято от наблюдателя к звезде, причем предпо-
лагаем, что наблюдатель остается неподвижным; отложим другой отрезок
по направлению движения наблюдателя и по длине пропорциональный
/ скорости этого движения. Построив параллелограм на этих двух отрез-
c
"- ~iD
ках, проведем в нем диагональ; она покажет направление, по которому
Т\
пойдет луч света, сместившийся вследствие аберрации. Таким образом
/!
луч света, идущий от светила, вслёдствие аберрации будет несколько
/;
смещен в направлении движения Земли. Это правило справедливо и для
/j
малых скоростей перемещения по отношению к скорости света; поэтому
j;
оно с достаточной точностью может быть применено и для наблюдений,
л— "j
производимых с Земли.
Фиг 60
^3
показано
смещение луча при движении наблюдателя
перпендикулярно к направлению на источник света. Непосредственно из
чертежа мы получаем формулу для вычисления угла аберрации а:
.
„
CDV
^а==Тс=7>
где m — скорость движения наблюдателя, а с — скорость света.
Глаз наблюдателя воспринимает описанное выше, движение, потому что на-
блюдатель сам участвует в движении Земли вокруг Солнца. Ниже будет показано,
что движение Земли вокруг Солнца происходит со средней скоростью, несколько
меньшей 30 км/сек; принимая ѵ равным приблизительно 30, а с равным 300 000,
получим, что tgß несколько меньше 0,0001. Следовательно, угол а очень мал и
tgß можно заменить через а. Если же мы хотим выразить его в секундах дуги,
i) В „Астрономическом ежегоднике', издаваемом Астрономическим институтом в Ленин-
граде, даны средние и видимые места для 615 звезд, видимых на территории СССР, из них
для 29 — околополюсных. — Прим. иерсо.
то его следует разделить на 206 265 и тогда для а мы получим значение, несколько
меньшее 20 ,6. Принимая для ѵ и с более точные значения, получим а = 20" 48
Выше уже было сказано, что из наблюдений для а получено значение а = 20" 47
Приведенное выше правило гласит, что каждая звезда кажется смещенной
в направлении, параллельном направлению движения наблюдателя в данный момент
Но путь, по которому Земля движется вокруг Солнца, представляет собой кривую
линию, а направление движения постоянно меняется; поэтому будет казаться что
звезда, перемещаясь на небесной сфере, все время меняет направление и в течение
года описывает замкнутую кривую линию.
Проведем через некоторую неподвижную точку ряд прямых линий, параллельных
меняющимся направлениям движущейся точки; на этих прямых отложим отрезки
пропорциональные скоростям движущейся точки в одинаковые промежутки времени-
тогда геометрическое место концов этих отрезков образует кривую которую
в механике называют годографом.
Для скоростей, о которых сейчас шла речь го-
дограф имеет форму окружности. С Земли эта окружность видна сплюснутой
она и представляет собой эллипс аберрации.
Аберрация при постоянной скорости тела и при перемещении в определенном
направлении (например, движение солнечной системы в целом) для каждой звезды
будет величиной постоянной, à потому о ней можно и не говорить.
§ 62. Влияние аберрации на координаты небесных светил
можно вычислять на основании фиг. 61, на которой ЕЕ.
—
скорость
движения наблюдателя (т. е. Земли); £5 —направление к светилу,
если бы Земля оставалась неподвижной; ES'
—
направление
в
котором светило видно в действительности (т. е . направление,
измененное вследствие аберрации), а отрезок ЕА = Е .В
ско-
рость света (с). Обозначим через а и 8 координаты светила, не
измененные вследствие аберрации, через а' и 8' — видимые его
координаты в экваториальной системе, а чепез —
—
у
dt'dt'dt
проекции скорости Земли на оси прямоугольных координат- обо-
значим отрезок ЕВ
через /, тогда проекция отрезка / на оси прямоугольных
координат равна сумме проекций АЕ и ЕЕ1 на те же оси, и мы получим
Icos8'cosа' =
Сcos8cosa-f-dx
,
1dt
Icos5'sinа' =
сcos8sin а-(-
,
1dt
dz
/sin8' =
csin8-j -Jf£
1dt
О)
При ,ГТН
У^авнений
можно
вычислить а'
и 8',
если
даны
а'8
'
с
'
4t'
~dt и 4t (знать величину / не нужно).
Впрочем, при вычислениях мы можем получить результаты гораздо точнее
если мы систему уравнений (1) преобразуем в другую, при помощи которой
непосредственно получим разности а' — «
„
8'— 8 . Такое преобразование мы
можем произвести при помощи операций, которые часто применяются при реше-
нии различных задач сферической астрономии (например, те же самые преобра-
зования применяются при вычислении влияния параллакса, см. § 100)
Умножим второе уравнение системы (1) на cos a, a первое на sin а и вычтем
одно из другого; затем умножим первое уравнение на cos a, a второе на sin а и
сложим их. Произведя в них простые преобразования, мы получим два уравнения
/cos8'sin(а' — а)=
cos а
sin а,
at
dt
'
dt
/ cos 8'cos (а'— а) = с cos 6-j--g -sin а-{- -^Н. cos а.
(2)
Разделив первое уравнение на второе, получим
1 /dy
dx,\
—TT cosа
—
sin а
,
,,
ч
сcosо\at
dt•
7
,оч
tg(a—а)=
ш
г-
(3)
H
—si^TT sin а -} -
cosа)
1 сcos3Vdt
1dt
)
В правой части этого уравнения в знаменателе находятся два члена; второй
dy
dx
из них очень мал по сравнению с первым, потому что
и
проекции на
оси у-ов
и лг-ов скорости движения Земли по орбите, т. е . приблизительно
30 км\сек\ перед скобками стоит коэфициент ij0,
равный приблизительно '/вооооо'«
поэтому весь второй член можно считать величиной порядка Ѵюооо (за исключе-
нием того случая, когда небесное светило находится очень близко к полюсу и
cos 8 — величина очень малая. Для такого исключительного случая рассуждать
придется иначе). Таким образом в обычных условиях весь второй член в уравне-
нии (3) можно отбросить; мы получим
сcos5i^dtC0S а
Tït sin
'
(4)
Ha основании тех же самых соображений мы можем считать угол (а' — а)
весьма малым (за исключением того случая, когда cos 8 близко к нулю), а потому
tg(a'—а) можно заменить через (а'—а) или через (а'— а)р, если мы хотим
выразить результат в угловой мере; мы получим
1 fdy
dx
——
rnç ft
cosct
тг sinin a).
(5)
сcosоVdt
dt
Выражение (5) позволяет вычислить влияние аберрации на прямые восхожде-
ния светил. Чтобы получить соответствующее выражение для влияния аберрации
на склонение, будем поступать следующим образом.
Из теории тригонометрических функций известно (см. в Приложении раздел
о разложении в ряды), что для малых значений х мы можем принять cosa=l,
причем придется пренебрегать малыми величинами второго порядка. Выпишем
третье из уравнений (1) и второе из уравнений (2), полагая в нем cos (а' — а) = 1:
^
-
/sin 8' =
сsin8-f-
,
!
I
/g\
»
м
"
Idy.
,
dx
I
'
/cosо= сcosо-)-
sin a
—
cosa.j
Произведем над уравнениями (6) такие же действия, как при выводе значения
(а' — а). Умножим первое из уравнений'(6) на cos 8, второе на sin 8 и вычтем
одно из другого; затем умножим первое уравнение на sin 8, а второе на cos 8
и сложим их. Тогда получим
,./-/
-чч
dy.*
.
dx.
-
,dz
„
Isin(о — о)=
sinоsina
sinоcosa-j-
cos o,
/cos(8'— 8)= с-j-
—
cos8sina-}-
cos8cosa-}-^
sin 8.
(7)
Разделив первое уравнение на второе, после простых преобразований получим
\(dy,, .
.
dx..
dz
Л
—frsinоsina4--—-sinоcosa
—
cos о
f„/»'
с
Vdt
тdt
dt
J
tg(0 —6)=
jfTrfy
T
Tz
\•
W
14
1-frcosоsina4-—-cosôcosa4- —-sin5)
1с\dt
1dt
'
dt
J
На основании тех же соображений, как и выше, можно отбросить второй
член в знаменателе и вместо tg(6'— 8) подставить (8' — 8). Тогда формула для
вычисления влияния аберрации на склонение примет вид
й
1/dy.й,
,dx.*
dz
л
—
о=
I—frsinоsina-}-
-jj-sinоcosa—
cosо1.
Но чтобы иметь
с\dt—
Idt
dt
(9)
Формулы (5) и (9) позволяют вычислить влияние аберрации на прямое восхо-
ждение и склонение светила, если известны его координаты,
возможность использовать эти выражения, надо знать
величины
т. о. проекции скорости
движения Земли на три оси экваториальной системы
координат.
В больших астрономических ежегодниках поме-
щены на каждый день года значения. расстояния от
Земли до Солнца (R) и долготы Солнца (Q)î последние
вычислены для момента среднего равноденствия на-
чала года. Назовем наклонение эклиптики через е.
Тогда мы можем вычислить прямоугольные коорди-
наты Солнца X, У, Z в экваториальной системе, при-
фИг. 62.
нимая за начало координат центр Земли, как пока-
зано на фиг. 62, где х — направление от Земли в точку весеннего равноден-
ствия, а ху — плоскость экватора. На основании чертежа мы можем написать
X=R
cos О,
У=Rsin©coss,
(Ю)
Z—RsinQ sinа.
Но для решения нашей задачи нам нужно получить не координаты Солнца
относительно Земли, а наоборот, координаты Земли относительно Солнца. Обо-
значим эти координаты через х, у, z\ очевидно, что координаты х, у, z будут
по величине такие же, как и X, Y, Z, но только с обратным знаком. Таким обра-
зом мы можем написать
л:=
—
$cosО,
j
У——RsinО cos е>і
(11)
z=
—
sinО sinе.J
Величины R и Q — функции от времени t; диференцируя уравнения (11) по t,
мы получаем
=
-
sinО COSв
—
RcosО cosеШ -j-RsinQ sine± ,
~
=
—
sin ©
sin e^-
—
/?COSOSINE-^>
QCOSE
dR
(12)
Наклонение эклиптики s, как мы знаем, изменяется чрезвычайно медленно.
И в нашей задаче изменением наклонения эклиптики можно пренебречь. Выраже-
ния dRldt и dQJdt могут быть вычислены, если мы знаем, как движется Земля
по своей орбите. При решении нашей задачи мы можем принять, что Земля дви-
жется вокруг Солнца по окружности. При этом мы отбросим лишь весьма малые
величины, которые можно принимать в расчет только при вычислениях, требую-
щих высокой степени точности. Иными словами, будем в дальнейших рассужде-
ниях принимать, что R — величина постоянная, равная среднему расстоянию от
Земли до Солнца, и что
diп
..
dR„
„оч
примем и величину dQIdt (т. е . скорость движения Земли по орбите) за величину
постоянную. Величина d©/rf/ обыкновенно дается для одних суток среднего вре-
мени, т. е . для 86 400 секунд среднего времени, что соответствует значению
3548",19 (немного меньше 1°).
Подставив выражения (13) в формулу (12), а формулы (12) в выражения (5)
и (9), получим следующие значения для влияния аберрации на а и 8:
а'—а=
—
-у-
[cosОcos еcosа
sin© sina]sec 8,
dt
о'—о=
—
[—cos©cosesinasin8-f -sin©cosasin84-cos©sinecos8].
Общий множитель -у •
называется постоянной
аберрации;
численное зна-
чение его можно определить, зная величину Р (среднее расстояние Земли от
Солнца, выраженное в километрах), величину с (в километрах в секунду) и вели-
чину
(выраженную для одной секунды среднего времени):
R__d©_ 149500000 3548",19_
„
„
сdt
2Э9 796 '"86 400 —
'
Из наблюдений найдено для постоянной аберрации число 20",47 (см. § 59);
это знач ние и используется в дальнейшем изложении.
Систему формул (14) можно переписать теперь в следующем виде:
(14)
а'—а=
—
20",47 (cos © cos е cos a-j- sin©.sin a) sec s>
8'—8=
—
20",47(—cos© cosesinasin8-j-sin© cosasin8-f-
-f-cosО sinecos8).
(15)
В астрономической практике применяются более простые формулы, как это
делается для прецессии и нутации. Введем вспомогательные величины Л, H и і
следующим образом (см. указание иа стр. 518 Приложения):
hcosН=
—
20",47 sin Q,
|
h sin tf=
—
20", 47 cos О cose, j
(16)
/=
—
20",47 cos О sine, j
Формулы (15) на основании соотношений (16) преобразуем в следующие:
а' — а = hsin(Я-fa)sec8,
о' — 8 = hcos(Я-f-«)sin8-}-/cos8,
(17)
которые и выражают приведение прямого восхождения и склонения звезды вслед-
ствие, влияния аберрации.
Величины Л, Я и і не зависят от положения звезды и их можно заранее вы-
числить на каждый день года; их можно найти в больших астрономических еже-
годниках вместе с вспомогательными величинами для вычисления влияния прецес-
сии и нутации.
Выражения для влияния аберрации на эклиптические координаты X и ß можно
вывести непосредственно из формул (14), заменяя в них a и 8 через X и ß и по-
лагая е = 0. После простых преобразований получаем
X'— Х=
—
20",47 cos (X—0)secß, \
ß' — ß = +20",47 sin (X— ©)sinß. J
ДляСолнца мы имеем X==© иß= 0, в силу чего
X'—Х=
— 20",47,
В'—8=0.
(19)
Точно таким же образом, подставляя в формуле (15) вместо a и 8 величины
Xиßипринимая е= 0, получаем
(X' — X)cosß=
—
20",47 cos(X — ©),
=
4- 20",47 sin (X — О).
(20)
Обозначим (X' — X) cos ß через £ н (ß' — ß) через -q; возведя в квадрат обе
формулы (20) и сложив их, получаем
р,
£\2/
„
\2
(20",47)+ (20",47sin§) ~h
Это — уравнение эллипса. На фиг. 63 через Р' обозна-
чен северный полюс эклиптики, ЕЕ — эклиптика; 5—положе-
ние светила, при котором оно было бы видно, не подвергаясь
влиянию аберрации; S' — его видимое место. Из чертежа
мы непосредственно видим, что S= (X' — X)cosß и д = ß' — ß;
S и -г) — настолько малые дуги, что их можно рассматривать
как прямые линии; тогда легко видеть из уравнений (20) и
(21), что звезда вследствие аберрации описывает по небу в
течение года маленький эллипс с полуосями a = 20",47 и
b = 20",47 sin ß (см. §59).
§ 63. Аберрационное время. В § 62 мы рассмотрели вопрос о так назы-
ваемой годичной аберрации.
Если светило меняет свое местоположение за время,
пока луч света, исходящий от него или отраженный от его поверхности, достигнет
Земли, то исправленное за годовую аберрацию направление луча света
будет
соответствовать
истинному
положению светила
не
в момент
наблюдения,
а в момент, когда луч света покинул поверхность светила. Промежуток между
этими двумя моментами называется аберрационным
временем.
Следовательно,
аберрационное время равно тому времени, которое затрачивает свет, чтобы достиг-
нуть Земли от данного светила. Аберрационное время играет большую роль при
определении орбит светил, а потому этот вопрос подробно рассматривается
в учебниках по сферической астрономии.
§ 64. Суточная аберрация. Теоретически при всяком смещении глаза должна
происходить аберрация. Но скорости, которых можно достигнуть на земной по-
верхности, исчезающе малы по сравнению со скоростью света. При вращатель-
ном движении Земли вокруг ее оси наблюдатель перемещается со скоростью,
которую уже нельзя считать исчезающе малой по сравнению со скоростью света.
Влияние происходящей при этом суточной аберрации
приходится учитывать при
вычислениях, требующих высокой степени точности. На экваторе скорость вра-
щения равна
приблизительно 40 000 км в 24 часа звездного времени,
т. е.
в 86 164 секунды среднего времени или, иначе, 0,46 км в секунду. Разделив эту
величину на скорость света и помножив на р, получим 0",32. Для наблюдателя,
находящегося на широте ер, скорость вращательного движения Земли вокруг ее
оси, а следовательно, и величина суточной аберрации будут равны значениям
этих величин на экваторе, умноженным на отношение cos а : 1. Вращение Земли
происходит с запада на восток. Поэтому звезда при прохождении через меридиан
кажется нам смещенной к востоку на 0",32 cos <?. Звезды, находящиеся в других
частях небесного свода, будут смещены на меньшую величину.
Формулы влияния суточной аберрации на a и 8 могут быть выведены по ана-
логии непосредственно из формул (18), выведенных в § 62, если сделать в них
следующие замены: X через а, ß через 8, (X — ©) через (12" — /) и 20",47 череа.
0",32 cos о; тогда мы получим
'
а' — a = 0",32cosерcostsec8,
3' — 8 = 0",32coSе?sin/sin8.
§ 65. Годичный параллакс. Помимо явлений, с которыми мы познакомились
в предыдущих параграфах под названиями прецессия,
нутация и аберрация,
су-
ществует еще одно — годичный параллакс,
вследствие которого происходят весьма
малые смещения положения звезд на небесном своде. Земля в течение года
описывает путь вокруг Солнца по форме, очень близкой к окружности. Поэтому
направления от Земли к звездам все время несколько изменяются, и звезды за
год описывают по небесной сфере небольшие эллипсы.
Звезда, находящаяся около полюса эклиптики, будет казаться перемещаю-
щейся по окружности; звезды, находящиеся на эклиптике, движутся вдоль нее
взад и вперед; звезды, находящиеся между эклиптикой и ее полюсом, перемеща-
ются по эллипсам, малые оси которых увеличиваются по мере приближения звезды
к полюс/ эклиптики. Как мы уже упоминали, вследствие годичного параллакса
заметно изменяются положения только некоторых ближайших к Земле звезд.
Формулы для годичного
параллакса
выведены в Приложении (см. стр. 521).
На основании формул для годичного параллакса, подобно тому как и для абер-
рации [см. формулы (20), выведенные в § 62], можно получить уравнение эллипса, по
которому звезды перемещаются по небесной сфере (см. Приложение, стр. 522).
Построим для перемещения звезды вследствие годичного параллакса эллип-
тическую фигуру, как это мы сделали уже для аберрации (см. фиг. 59); мы за-
метим, что между этими фигурами существует различие; звезда на фигуре для
годичного параллакса попадает в определенное положение на 1/4 года раньше,
чем она попадает в такое же положение на фигуре, изображающей ее движение
вследствие аберрации. Другое весьма существенное различие заключается в том,
что большие полуоси эллипсов, изображающих перемещение звезды вследствие
годичного параллакса, неодинаковой длины: у различных звезд они имеют раз-
личную длину (наибольший известный параллакс неподвижных звезд равен 0",8),
между тем как у эллипсов, изображающих смещения звезд вследствие аберрации,
полуоси эллипсов для всех звезд одинаковы (равны 20",47). Изучение годичного
параллакса представляет собой одну из самых важных задач звездной
астроно-
мии (см. § 279).
§ 66. Приведение звезд от среднего места для начала года к видимому
месту в любой момент. Система формул (5), выведенная в § 58, в компактной
форме выражает влияние прецессии с начала года и нутации на а и о. В фор-
мулах (17), выведенных в § 62, выражено влияние аберрации для неподвижных
звезд. Если нам известно собственное
движение
звезды, то, принимая его во вни-
мание, мы получим совокупность формул, приведенных в Приложении на стр. 518;
эти формулы служат для приведения положения звезд от среднего места для на-
чала года к видимому месту для любого момента, причем надо только еще учесть
влияние собственного движения звезды от начала года.
Формулами, приведенными на стр. 518, обыкновенно пользуются для приведе-
ния нескольких звезд, которые служат звездами сравнения при наблюдениях пла-
нет и комет при помощи рефрактора (см. пример для вычисления на стр. 526).
Если необходимо вычислить большое количество видимых мест для одной
и той же звезды, как это, например, бывает при наблюдениях меридианным кру-
гом, то в таком случае для приведения пользуются формулами несколько иного
вида, с которыми удобнее вести вычисления. Формулы эти, а также объяснения,
как ими пользоваться, приводятся в больших астрономических ежегодниках,
а также в специальных учебниках по сферической астрономии.
ВИДИМЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ И ПЛАНЕТ
§ 67. Соединения, противостояния, элонгации и квадратуры. Уже упоми-
налось о том, что Луна и большие планеты находятся всегда недалеко от эклип-
тики. Легко убедиться в том, чго они постоянно ^меняют свое местоположение
•относительно неподвижных звезд; для этого надо только в течение некоторого
промежутка времени сравнивать расстояния их от соседних звезд. За Луной до-
статочно понаблюдать один час и даже менее, чтобы убедиться, что расстояние
от нее до ближайших звезд все время изменяется.
Для обозначения взаимного расположения небесных тел, особенно Луны,
Солнца и планет, часто применяют специальные выражения. Если долгота у двух
тел одинаковая, то говорят, что они шходятся в соединении.
Если такие тела
находятся недалеко от эклиптики, как это имеет место для планет, то на небе
они оказываются иногда в соединении очень близко одно от другого. Когда раз-
ность долгот двух небесных светил равна 180°, то говорят, что они находятся
в противостоянии
(или в оппозиции). Если какая-нибудь большая планета нахо-
дится в противостоянии с Солнцем, то в таком случае она находится в напра-
влении, противоположном Солнцу; она восходит в тот момент, когда Солнце за-
ходит; кульминирует в полночь и заходит, когда Солнце восходит.
Элонгацией
планеты называется местонахождение ее на наибольшем расстоянии от Солнца
по долготе. Элонгация
бывает восточная и западная, в зависимости от того, ьа-
ходится ли планета при суточном движении позади или впереди относительно
Солнца. Так как широты планет незначительные, то, согласно нашему определе-'
нию, элонгация планеты немногим отличается от ее углового расстояния от
Солнца. Если элонгация .равна 90°, т. е . планета находится в промежуточном
положении между соединением и противостоянием, то говорят, что она нахо-
дится в
квадратуре.
§ 68. Сидерический, тропический и драконический месяцы. Ежесуточное
перемещение Луны настолько велико, что она описывает по небу полный круг
между звездами в течение немногим более 27 дней, т. е. перемещается за сутки
приблизительно на 13° в том же направлении, как и Солнце при своем годовом
движении. Время полного оборота Луны относительно звезд называется
сидери-
ческим месяцем.
Продолжительность сидерического месяца равна:
1 сидерический месяц = 27,321661 средних суток = 27й 7Л 43я» 1 Iе, 5.
Как и при годовом движении Солнца, от сидерического отличают
тропиче-
ский месяц; тропическим месяцем считают промежуток времени, в течение кото-
рого долгота Луны увеличивается на^ 360°; вследствие прецессии тропический ме-
сяц короче сидерического. Сидерический месяц равен */13 — iju части года; сле-
довательно, прецессию следует исчислять только на такой промежуток времени.
Но Луна движется по небу в 13 раз скорее Солнца, поэтому разность между
сидерическим и тропическим месяцами должна быть в 180 раз меньше разности
между сидерическим и тропическим годами, т. е . должна равняться приблизительно
7 секундам (см. § 53).
Наблюдения Луны можно производить такими же приемами, как и описанные
уже нами наблюдения Солнца; при вычислениях надо иметь в виду, что для Луны
имеет большое значение явление параллакса, о котором мы будем говорить ниже
(в § 98) и которое оказывает незначительное влияние на положение Солнца. Вы-
числив широты Луны, мы убеждаемся в том, что одна половина ее пути распо-
ложена к северу от эклиптики, а другая — к югу. Наибольшая широта Луны не-
сколько превышает 5°, но в различные месяцы изменяет свое значение на несколько
минут. Точки, в которых путь Луны пересекает эклиптику, называются
узлами
лунной орбиты;
восходящим
узлом
называется точка, в которой широта Луны
из южной превращается в северную; нисходящим
узлом
называется точка, рас-
положенная на эклиптике на 180° от восходящего узла.
Уже в древности обратили внимание на то, что после каждого оборота Луны
вокруг Земли узлы лунной орбиты отступают по орбите на некоторое расстоя-
ние; за 18,6 лет узлы обходят полный круг по небу. Долгота восходящего узла
уменьшается ежегодно приблизительно на 20°, т. е. на 1°,5 за время одного пол-
ного оборота Луны по ее орбите. Совпадение времени оборота линии узлов по
орбите Луны с периодом нутации не является, как мы это увидим дальше (§ 141),
простой случайностью.
Промежуток времени между возвращением Лупы к одному и тому же узлу
называется с древних времен драконическим
(узловым) месяцем. Так как узлы
лунной орбиты отступают на 11/2° в месяц, а Луна движется по орбите со ско-
ростью около Ѵ„° в час, то, следовательно, драконический месяц приблизительно
на 3 часа (точнее на 2''37'", 6) короче сидерического. Это только средняя про-
должительность драконического месяца; на самом же деле он испытывает в тече-
ние полугода некоторые изменения,
Таким образом на самом деле путь Луны среди звезд отнюдь не представляет
собой большого круга; впрочем, его можно рассматривать как круг, если пред-
полагать, что Луна движется в плоскости, которая сама поворачивается вокруг
некоторой точки и совершает полный оборот в 18,6 лет, причем все время со-
храняет постоянное наклонение к эклиптике, равное 5°, или, иными словами, что
полюс лунной орбиты описывает в течение 18,6 лет малый круг вокруг полюса эклип-
тики с радиусом в 5°.
Движение линии узлов лунной орбиты производит сильные изменения в по-
ложении Луны относительно горизонта данного места. Подобно тому как Луна
два раза в месяц пересекает плоскость эклиптики, она дважды в месяц пересека-
ет и плоскость экватора, а следовательно, одну половину ме-
сяца у нее северное склонение, а другую половину — южное.
Но вследствие наклонения орбиты Луны к эклиптике наи-
большее значение склонения Луны не остается постоянной
величиной. На фиг. 64 показаны пределы, в которых изме-
няется склонение Луны; на чертеже линия AQ изображает
экватор, Ее — эклиптику, у—
точку весеннего равноден-
ствия. Допустим, что орбита Луны занимает положение Mm
и восходящий узел ее находится в точке весеннего равно-
фиг
'
действия. Тогда наибольшее склонение Луны равно сумме
наклонения эклиптики к экватору и наклонения лунной орбиты к эклиптике,
т. е. приблизительно 281/2°, но через 9,3 лет линия узлов повернется на половину
окружности, и веточке весеннего равноденствия будет находиться нисходящий
узел лунной орбиты; орбита Луны примет положение Nu, и наибольшее склонение
Луны станет равным разности наклонения эклиптики к экватору и наклонения
лунной орбиты к эклиптике, т. е . 181/2°- Приняв во внимание влияние рефракции и
параллакса, мы убедимся в том, что для широты 61^0
Луна в первом случае
превратится в незаходящее светило, а через Ч„ месяца совершенно не покажется
над горизонтом.
§ 69. Синодический месяц. Фазы Луны. При наблюдении Луны нам больше
всего бросается в глаза, что она изменяет свою форму или, иначе говоря, имеет
фазы.
Легко убедиться в том, что изменение фаз Луны происходит вследствие
изменения ее положения относительно Солнца, а не относительно звезд. Когда
Луна находится в соединении с Солнцем, то она делается невидимой, за исклю-
чением случая, когда широта Луны очень мала и она, как непрозрачный экран,
становится между Землей и Солнцем и полностью или отчасти закрывает его
диск (происходит солнечное затмение). Такая фаза Луны называется
новолунием.
Так как Луна за сутки передвигается по небу приблизительно на 13°, Солнце же
перемещается навстречу Луне на 1°, то, следовательно, Луна ежедневно удаляется
от Солнца на 12° к востоку (или в северном полушарии — влево). Когда через
7—8 дней восточная элонгация достигнет 90°, то наступает фаза первой
четвер-
ти; Луна видна в виде полукруга, отграниченного дугой с правой стороны. Прибли-
зительно через 15 дней после новолуния наступает полнолуние,
а через 7—8 дней
после него последняя
четверть;
в последнюю четверть Луна бывает отграничена
дугой с левой стороны. Новолуние и полнолуние называются также
сизигиями.
Объяснение явления фаз Луны очень простое; оно было известно еще н древ-
ние времена. Луна представляет собой темное тело шарообразной формы, кото-
рое описывает свой путь вокруг Земли; Луна светится потому, что ее освещает
Солнце; но Солнце находится от Луны так далеко, что его лучи падают на раз-
личные части орбиты Луны почти параллельно.
Фаза Луны зависит от того,
насколько велика ее неосвещенная часть, обращенная к Земле. За несколько дней
до H после новолуния, когда фаза Луны еще очень мала, можно заметить что, по-
мимо яркого узкого серпа, вся Луна светится слабым сероватым светом. Этот свет
происходит от солнечного света, отраженного Землей, потому что в то время,
когда к Земле обращена значительная часть неосвещенной поверхности Луны, к
Луне обращена значительная часть освещенной Солнцем поверхности Земли.
Промежуток времени между двумя одинаковыми фазами Луны называется си-
нодическим
месяцем.
Синодический месяц больше сидерического потому, что
Солнце за 27 дней, в течение которых Луна делает свой круг на небе между
звезд, само переместится по эклиптике на 27°; так как Луна за день переме-
щается по эклиптике на 13°, то она должна еще затратить два слишком дня,
чтобы стать в такое же положение относительно Солнца, как и в начале своего
пути. Найдем более точное соотношение между продолжитель-
ностью синодического и сидерического месяцев; причем в на-
s
ших рассуждениях мы будем говорить о средних значениях
скоростей движения Луны и Солнца. На фиг. 65 наблюдатель
находится в точке С; направления, взятые от наблюдателя к
Солнцу и к Луне, проектируются на эклиптику; допустим, что
направление к Солнцу и Луне в момент новолуння совпадает
с линией MS. По прошествии некоторого времени Луна при-
дет в точку m, а Солнце дойдет еще,только до точки 5; сле-
довательно, Луна опережает Солнце на угол mCs; синодический
месяц есть промежуток времени, в течение которого Луна
опередит Солнце на 360°. Обозначим через А продолжительность сидерического
года, через Т сидерический месяц, а через M синодический месяц; выразим все
эти величины в одних и тех же единицах, например, в средних сутках; в таком
случае среднее перемещение Луны за сутки выразится' величиной 360°\Т, среднее
перемещение Солнца 360°/А и среднее значение угла, на который Луна за сутки
обгоняет Солнце, равно
—
Уравнение
360°
360
ЗБО°
M
T
А
дает, следовательно, соотношение между тремя величинами. Если Т н А известны,
то легко получить и М:
Подставив сюда принятые нами выше значения А и Т, мы получим про-
должительность синодического месяца равной 29,530588 средних суток
или
равной 29й 12'1 44'" 2",8.
'
Мы получили среднее значение продолжительности синодического месяца. Но
движение Солнца, а тем более Луны, отнюдь нельзя считать равномерным. ' По-
этому промежутки времени между двумя последующими новолуниями или полно-
луниями отличаются друг от друга на несколько часов.
§ 70. Луна и летоисчисление. Продолжительность синодического
месяца
в свое время играла большую роль для летоисчисления. В древности только
у немногих народов в основу времяисчисления принимали продолжительность года
потому что Солнце в течение года сохраняет один и тот же вид, между тем как
всякий легко может наблюдать смену фаз Луны. Новый месяц начинался с того
момента, когда впервые замечали молодой серп Луны; при ясной погоде моло-
дую Луну можно было увидеть через' 1 — 2 дня после новолуния, и в южных
странах она резко бросалась в глаза; правда, в наших северных странах осенью
1) Он носит название пепельного
света Луны. —
Прим.
персе.
проходит иногда несколько дней после соединения Луны с Солнцем, прежде чем
можно будет увидеть молодую Луну. Полнолуние каждый месяц приходилось
в таком случае около 14 числа, и месяц обычно продолжался 29—30 дней. Две-
надцать месяцев заключали в себе 354 дня и составляли так называемый
„свобод-
ный"
лунный
год, который и поныне применяется у магометан. Так как такой
год на И дней короче года, исчисляемого по Солнцу, то день нового года на
протяжении небольшого числа лет последовательно приходился на все времена
года. Для избежания этого неудобства воспользовались так называемым „связан-
ным" лунным
годом;
т. е . через известный промежуток времени, обычно через
3 года, вставляют целый месяц из 30 дней, так что год содержит 384 дня. Свя-
занный лунный год применялся евреями; остатки лунного времяисчисления можно
найти и в христианском календаре при определении дат прдвижных церковных
праздников.
Чтобы согласовать летоисчисление, основанное на продолжительности
сино-
дического месяца, с годом, исчисляемым по Солнцу, надо найти кратное число
для обеих этих единиц времени. Еще в древности афинянин Метон заметил (при-
близительно за 430 лет до н. э .), что таким кратным числом является почти точно
19 лет. Если воспользоваться принятым нами значением синодического месяца, то
найдем, что 235 месяцев содержат 6939,7 дня, в то время как 19 лет заклю-
чают в себе 6939 или 6940 дней, в зависимости от того, охватывает ли этот
период 4 или 5 високосных годов; 5 високосных годов встретятся каждые три
раза из четырех случаев. По прошествии 19 лет фазы Луны будут почти точно
приходиться на те же самые числа нашего календаря. Такой 19-летний период
назван метоновым
циклом
и широко применялся при различных случаях. Его
брали в основу для предсказания погоды, так как согласно старинному поверью
изменение погоды находится в зависимости от фаз Луны; поэтому полагали, что
через 19 лет погода будет повторяться в те же дни года1).
§ 71. Видимые движения планет. Простым глазом можно свободно видеть
планеты Меркурия, Венеру, Марса, Юпитера, Сатурна. Поэтому они были из-
вестны с глубокой древности. В наше время известно больше 1600 планет, но
большинство из них обладает очень малыми размерами. Самая яркая планета —
Венера, следующая за ней по яркости — Юпитер; яркость Марса, хорошо извест-
ного своим красноватым цветом, изменяется в довольно широких пределах.
Большие планеты находятся всегда недалеко от эклиптики, но перемещения
их относительно неподвижных звезд отличаются значительными неправильностями,
каких не замечается в движениях Солнца и Луны. Ббльшую часть времени они
перемещаются в том же направлении, как и Солнце и Луна, т. е . перемещаются
прямым движением; но через известные промежутки времени, различные для каж-
дой планеты, они начинают двигаться в обратном направлении, т. е. движение их
становится обратным. Если мы нанесем положения планеты в различное время на
звездную карту и соединим полученные точки непрерывной линией, то получим
кривые, образцы которых приведены на фиг. 66 и 67. Из наблюдений легко
заметить, что неправильности в движении планет находятся в зависимости от
положения их относительно Солнца.
Большие планеты можно разделить на две группы: нижние
и верхние
планеты;
к первой группе принадлежат только две планеты: Меркурий и Венера, ко второй —
остальные.
Движение нижних планет происходит следующим образом. Когда планета на-
ходится в соединении с Солнцем и перемещается при этом прямым движением,
то, благодаря своей близости к Солнцу, она становится невидимой; в этом по-
ложении говорят, что планета находится в верхнем
соединении.
Планета-переме-
щается по небу за сутки прямым движением больше чем на 1°.
Следовательно
!) Предрассудок, распространенный до недавнего времени; например, верили, что после
новолуния непременно должен нттн дождь согласно поговорке, что .молодой месяц умы-
вается".— Ярил. перев.
она в это время обгоняет Солнце и через несколько недель будет находиться
к востоку от него (т. е. в северном полушарии^—влево от Солнца); ее можно
будет наблюдать в западной части неба после заката Солнца. С течением вре-
мени восточная элонгация все больше и больше увеличивается и планету ста-
новится наблюдать удобнее. Но постепенно ее прямое движение перед звездами
начинает уменьшаться; когда оно уменьшится до 1° в сутки, т. е . когда планета
станет перемещаться на такую же величину, как и Солнце, тогда она достигнет
4"
.А
Фиг. 66 . Движение планеты Марс в конце 1926 г. и в начале
1927 г.
редко. В Европе в средних широтах он бывает видим только на светлом небе,,
в лучах вечерней или утренней зари*); видимый простым глазом Меркурий све-
тит как звезда первой величины.
После наибольшей восточной элонгации планета еще сохраняет некоторое
время прямое движение среди звезд, но скорость этого движения постепенно
уменьшается; элонгация ее тоже уменьшается, и наконец, наступает момент, когда
i) Копернику, жившему в северной части Польши, так и не удалось, как говорят, ви-
деть Меркурия за всю его жизнь. В южных частях СССР, например, в Ташкенте, Мерку-
рий хорошо виден невооруженным глазом. В северных же широтах наблюдать Меркурий
удается почти исключительно в трубу. —
Прим.
перев.
своей наибольшей восточной
элонгации.
Для Венеры она всегда равна прибли-
зительно 46°, для Меркурия наибольшая элонгация изменяется; иногда она до-
стигает 28°, но в большинстве случаев она значительно меньше; часто она бывает
равна всего 18°.
Поэтому Меркурий невооруженным глазом удается наблюдать.
Фиг. 67 . Движение планеты Марс до и после противостояния
27 января 1931 г.
прямое движение ее прекращается, и на некоторое время планета в своем пере-
мещении по долготе как бы останавливается, находится в стоянии.
Венера на-
ходится в стоянии, когда элонгация ее равна приблизительно 29°. После стояния
начинается обратное
движение
планеты, при котором она перемещается навстречу
Солнцу и по истечении некоторого времени оказывается в нижнем
соединении
с Солнцем. При этом она снова становится невидимо», за исключением тех ред-
ких случаев, когда планета оказывается на прямой линии между Землей и Солн-
цем; тогда она видна как темное пятнышко на диске Солнца, причем покрывает
только очень незначительную часть его поверхности (см. § 154).
После нижнего соединения, при котором скорость обратного движения планеты
достигает своего наибольшего значения, через некоторый промежуток времени
планета становится снова видимой по другую сторону от Солнца, причем все
•явления, при ее западной элонгации, будут повторяться в обратном порядке;
планета будет видна в восточной части неба перед восходом Солнца.
Когда одна из нижних планет находится в своей наибольшей восточной элон-
гации, то тогда наступают самые благоприятные условия для видимости планеты
как вечерней
звезды;
но для хорошей видимости недостаточно одного только
условия, чтобы планета находилась в наибольшей элонгации. Планета всегда на-
ходится недалеко от эклиптики. Поэтому положение ее относительно горизонта
в значительной степени зависит от наклонения эклиптики к горизонту после за-
ката Солнца. Легко убедиться в том, что наклонение эклиптики к горизонту за
24 часа принимает все значения в пределах между - суммой, образованной высо-
той экватора в данном месте и наклонением эклиптики к экватору, и разностью
этих величин. При широте 60° мы имеем для первого случая величину, ббльшую 53°,
-а для второго случая— меньшую 7°. Очевидно, что, при определенной элонгации
и в определенный момент после заката Солнца, планета в первом случае будет
стоять на небе значительно выше, чем во втором. Условия видимости планеты
іпо утрам и по вечерам различны в разные времена года. Нижнюю планету можно
лучше наблюдать весной как вечернюю звезду в ее восточной элонгации, нежели
осенью. При западной элонгации,
когда планета видна как утренняя
звезда,
явление происходит в обратном порядке.
Приведенные нами законы видимости планет, которые справедливы также и для
фаз Луны в разные времена года, можно выразить еще и в другой форме. Луна
в первой четверти, т. е . когда ее восточная элонгация равна 90°, находится вблизи
той точки эклиптики, в которую Солнце придет через четверть года. Весной
- Луна в первой четверти имеет такое же склонение, а следовательно, путь ее над
горизонтом так же длинен, как у Солнца в середине лета; осенью же Луна про-
ходит малую часть своего пути над горизонтом и находится на небольшой вы-
соте над ним, как и Солнце зимой. Для Луны, видимой в последней четверти,
все происходит в обратном порядке; осенью она стоит выше всего на небе.
Полная Луна находится относительно Солнца в противоположном направлении,
а потому зимой она видна на небе высоко, а летом — очень низко.
Учитывая изменения величины угла наклонения эклиптики, а следовательно,
и угла наклонения лунной орбиты к горизонту, легко предусмотреть, когда лун-
ный серп за несколько дней до или после новолуния будет „стоять" или „лежать"
относительно линии горизонта. Так как Луна всегда обращена выпуклой стороной
к Солнц)', которое находится в это время недалеко под горизонтом, то, очевидно,
что лунный серп будет „лежать", когда эклиптика круто спускается к горизонту.
Такое явление чаще наблюдается в южных широтах, нежели у нас.
Движения верхних
планет относительно Солнца происходят совершенно иначе,
нежели нижних. Начнем рассматривать одно из этих движений с момента соеди-
нения планеты с Солнцем. В этот момент планета перемещается прямым движе
нием, т. е . движется в том же направлении, как и Солнце, но медленнее послед-
него, так что Солнце постепенно уходит вперед. Планета становится видимой
к западу от Соліша (справа от него); период времени, когда она скрывается
в лучах Солнца, оканчивается, планета восходит утром, задолго до восхода Солнца,
н ее можно видеть низко над горизонтом в восточной части неба, пока не нач-
нет светать. Об этом явлении мы уже говорили раньше (см. стр. 92) и дали ему
название гелиактнческого восхода. Постепенно западная элонгация планеты уве-
личивается. Планета восходит ночыо все раньше и раньше. Она продолжает пере-
мещаться среди звезд прямым движением, но скорость ее движения все умень-
шается, и по истечении известного промежутка времени (для Марса — через год,
для Юпитера и Сатурна — через 4 — 5 месяцев) наступает стояние. Западная
элонгация достигает к этому времени 100°, а для Марса даже 130°. При начав-
шемся теперь обратном движении планеты ее западная элонгация продолжает
увеличиваться, но уже значительно скорее, потому что Солнце и планета дви-
жутся теперь в противоположные стороны. Когда элонгация планеты достиг-
нет 180°, она находится в противостоянии и восходит приблизительно в то время,
когда Солнце заходит; в противостоянии планеты ее обратное движение дости-
гает наибольшей величины. Затем те же явления повторяются в обратном по-
рядке при восточной элонгации планеты, пока она не превратится в вечернюю
звезду, которая, наконец, исчезнет в лучах Солнца; наступает новый период,
когда планета опять становится невидимой ко времени своего вновь наступаю-
щего соединения с Солнцем. Обратное движение при противостоянии продол-
жается для Марса 2 — 3 месяца, для Юпитера и Сатурна 4 — 5 месяцев. Про-
должительность полного -оборота планеты по небу, которую можно вычислить по
формулам, выведенным в § 69, для Марса равна приблизительно 2 годам, а для
остальных внешних планет несколько превышает 1 год.
Яркость планеты также все время меняется, но только у Марса изменение
яркости настолько значительно, что оно бросается в глаза. Наибольшая яркость
обычно наблюдается при противостоянии.
Так как Луна в течение месяца делает полный круг по небу, то она после-
довательно вступает в соединение с различными планетами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ПРЯМЫХ ВОСХОЖДЕНИЙ ИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 72. Определение времени при помощи пассажного инструмента, уста-
новленного в меридиане. Поправкой времени, или поправкой часов, называют
разность между действительным значением времени в данный момент и показа-
ниями часов; безразлично, идет ли вопрос о звездном времени, среднем или пояс-
ном. Если часы отстали, то считают, что поправка их положительная. Ходом
часов
называют изменение поправки часов за определенный промежуток времени, обык-
новенно за 24 часа (суточный ход). Часы, которые отстают, имеют положитель-
ный ход, а те, которые уходят вперед, имеют отрицательный ход. Впрочем, в не-
которых руководствах поправку и ход часов определяют так, что они имеют про-
тивоположные знаки.
Точнее и удобнее всего время можно определять из наблюдений кульминаций
звезд, прямые восхождения которых известны, при помощи пассажного инстру-
мента, установленного в меридиане. Если инструмент установлен так, что при
вращении трубы вокруг ее горизонтальной оси средняя нить остается все время
в плоскости меридиана, то тогда момент прохождения звезды через среднюю нить
трубы соответствует моменту кульминации звезды. Но прямое
восхождение
звезды равно моменту ее кульминации по звездному времени (см. § 46). Поэтому
при вычислении поправки часов следует выписать прямые восхождения звезд (со-
ставить их эфемериду) и сравнить эти данные с моментом прохождения соответ-
ствующе» звезды через среднюю нить трубы; моменты прохождения через сред-
нюю нить отсчитываются по часам, поправку которых определяют. Разность между
прямым восхождением и моментом прохождения звезды через среднюю нить
равна поправке часов по звездному времени. Ее можно выразить в среднем вре-
мени, а затем, произведя сравнение часов, определить поправку часов, идущих
по среднему времени.
Астрономия
8
Если наблюдают не звезду, а Солнце, то можно применить тот же самый ме-
тод, потому что в больших астрономических ежегодниках приводятся таблицы
прямых восхождений Солнца на каждый день года; но если нужно определить
по Солнцу среднее время, то обыкновенно идут несколько кружным путем. Сред-
нее время в момент верхней кульминации Солнца равно 12й-{ -уравнение времени
(уравнение времени можно выписать из ежегодника); сравнивая полученную ве-
личину с показанием часов, идущих по среднему времени, можно непосредственно
получить их поправку.
Надо только заметить, что при вычислениях необходимо принять по внимание
приведение за долготу места с соответствующим знаком, если определяют
поправку часов, идущих по поясному времени.
Опыт показывает, что если даже инструмент и удалось установить вполне точно
в плоскости меридиана, то все же через некоторое время в установке его обна-
ружатся некоторые изменения, главным образом вследствие влияния температуры
на его отдельные части. Вместо того чтобы всякий раз исправлять установку
инструмента по способу, описанному в § 28, гораздо легче определить ошибки
в установке инструмента и принимать во внимание их влияние при вычислении
результатов наблюдений. Если ошибки настолько' малы, что квадратами их при
точности, даваемой наблюдениями, можно пренебречь, то в таком случае влияние
каждой ошибки можно учесть отдельно, а затем при вычислениях суммировать
все члены с различными ошибками (см. § 15). .
Во-первых, может случиться, что ось вращения имеет небольшой наклон і;
наклон считают положительным, если западный конец оси инструмента лежит
выше, чем восточный. Наклон оси можно определить при помощи уровня, цена
деления которого известна. На фиг. 68 изображено полушарие небесной сферы,
спроектированное на плоскость горизонта; зенит обозначен через Z, а полюс —
через Р; большой круг, описываемый трубой инструмента, пересекается с гори-
зонтом в точках севера и юга и отстоит от зенита на расстоянии і. Звезда,
склонение которой равно о, пересекает среднюю нить инструмента в точке А,
так что РА = 90° — о; как видно из чертежа, звезда пересекает среднюю нить
инструмента раньше, чем она проходит через меридиан; время прохождения через
нить надо увеличить на величину х, чтобы привести наблюдения к меридиану,
как видно из чертежа, величина х соответствует углу APS. Так как угол ASP = і,
то из треугольника ASP получаем: sin .ѵ : sin AS = sin i : cos 8. Принимая во вни-
мание, что согласно нашему предположению х и і очень малы, можно считать
дугу AS рапной высоте звезды в меридиане, т. е . AS = 90° — ' -?-{ -о; заменяя,
кроме того, sin х и sin / через х и і, получаем для влияния наклона следующую
формулу:
cos(<р—о)
cosS
'
Можно затем предположить, что ось вращения трубы горизонтальна, но уста-
новлена не вполне точно по направлению восток — запад: Будем считать откло-
нение а положительным,- если западный конец оси повернут немного к югу.
Большой круг инструмента проходит тогда через зенит, но пересекает горизонт
вточкахпиs(фиг.69),аневточкахNиS,причемNn=Ss=а.Мыскажем
ниже, каким способом можно определить угол а, который называется
азимутом
инструмента.
Звезда на средней нити находится в точке А и, следовательно,
отстоит от меридиана на дугу у, соответствующую углу APZ. Из треуголь-
ника APZ, в котором угол AZP = 180° — а, имеем: sin у : sin ZA = sin«: cos 8.
Принимая по предыдущему приближенное значение для AZ = t? — 8, siny = y и
sin я = а, получаем
Наконец, можно предположить, что у трубы имеется коллимационная
ошибка с
(см. § 24); мы будем говорить, что труба имеет коллимационную ошибку с, если.
западный конец ее горизонтальной оси образует с объективным
концом оптиче-
ской оси угол, равный 90°-{ -с. Оптическая ось трубы описывает тогда на небесной
сфере не меридиан, а дугу малого круга, расположенного в плоскости, парал-
лельной меридиану (фиг. 70) и на расстоянии AB = с от последнего. Звезда нахо-
дится на средней нити в точке А, т. е . отстоит от него на расстоянии z, изме-
ряемом углом АРВ. Из прямоугольного треугольника АР В имеем: sin с = cos 8 • sin z\
после соответствующих- преобразований мы можем написать
с
cosй'
Обозначим через Т отмеченный по часам момент прохождения звезды через
среднюю нить, не исправленный от влияния упомянутых трех ошибок; обозначим
через и поправку часов. Тогда время действительной кульминации звезды выра-
зится следующей формулой:
Т0 = Т-\-и-\-і
C0S(*P~*) _| _Q sin(-, -5) j_
U
1
1
COS О
1
COS 0
1 COS0
4'
В § 24 был описан способ, пользуясь которым, можно убедиться в том,
имеет ли труба коллимационную ошибку; для этого ее перекладывают в лагерах.
Чтобы измерить величину 'коллимационной ошибки, необходимо, чтобы сетка
нитей в трубе была снабжена подвижной нитью, параллельной средней нити;
измерим подвижной нитыо расстояние Ът средней нити до изображения визируе-
мого объекта при обоих положениях инструмента (до и после перекладки грубы
в лагерах). Коллимационная ошибка равна полуразности' измеренных угловых
расстоянии. Величины i, а, с следует выразить в секундах времени.
Из сказанного выше легко видеть, что. две инструментальные ошибки: наклон
оси и коллимационную ошибку (і и с), можно определить, не производя наблю-
дений над звездами; наклон определяют при помощи уровня, а коллимационную
ошибку — визированием на удаленный предмет (например, на нить коллиматора)
и измерением соответственных расстояний от средней нити: Когда уже известны і
и с, то азимут инструмента а можно определить из наблюдений двух звезд; эти
наблюдения дадут два уравнения с двумя неизвестными: поправкой часов и и ази-
мутом а; первое неизвестное можно исключить, вычитая одно уравнение из дру-
гого. Чтобы получить второе неизвестное с достаточной степенью точности, нужно,
чтобы коэфициенты при а в обоих уравнениях значительно отличались между
собой по величине. Поэтому для наблюдений выбирают одну звезду с малым
склонением (звезду времени), а другую — околополюсную, так, чтобы множитель
sec 8 имел возможно бблыную численную величину. Чтобы получить поправку
времени с большей точностью, наблюдают несколько звезд времени, причем
поправку времени вычисляют только из наблюдений звезд времени; наблюдения
околополюсной звезды совместно с наблюдениями одной или нескольких звезд
времени используют для определения азимута инструмента.
Обыкновенно трубу устраивают так, чтобы ее можно было легко переклады-
вать в лагерах; тогда коллимационную ошибку удобно определять из наблюде-
ний прохождений околополюсной звезды. Так как околополюсные звезды весьма
медленно проходят через поле зрения трубы, то сперва наблюдают- прохождение
их через несколько боковых нитей сетки; затем, пока звезда проходит через сред-
нюю часть поля зрения, перекладывают трубу в лагерах и опять наблюдают про-
хождения звезды через последние нити в поле зрения; это будут те же самые
нити сетки, но только звезда пройдет через них в обратном порядке. Приведем
теперь наблюдения, произведенные на боковых нитях, к средней нити (способом,
описанным ниже); тогда наблюдения каждой околополюсной звезды дадут два
уравнения, в которых все члены равны, за исключением времени Г—прохожде-
ния через среднюю нить и знака при последнем члене, потому чтѳ. при перекладке
трубы с меняет знак. Вычитая одно уравнение из другого, после простых вычис-
лений получим значение для с; при, этом легко определить, при каком положе-
нии инструмента с имеет положительное значение. При наблюдениях малыми
пассажными инструментами можно делать перекладывание при. прохождении каж-
дой звезды, и тогда влияние коллимационной ошибки будет исключаться.
Для повышения точности наблюдаются прохождения, через боковые нити сетки
у всех звезд. Способ приведения наблюдений на среднюю- нить можно понять
из фиг. 70. Допустим, что инструмент установлен вполне- точно; звезда находится
в точке А на боковой нити, расстояние которой от средней AB=f уже известно.
Обозначим величину приведения, через F;. она измеряется углом АРВ; тогда из
прямоугольного треугольника АРВ мы получим
'
sinF= sinf sec8.
_
Для звезд, находящихся не слишком близко it полюсу, это выражение-можно,
переписать в таком виде:
F—f sec 8,.
.
(2'У
Расстояния отдельных боковых нитей сетки- от средней определяются раз
навсегда из наблюдений прохождений через все нити большого числа звезд,,
лучше всего с большим склонением. При таких наблюдениях мы получаем F непо-
средственно из наблюдений и по формуле (2) вычисляем значения / для каждой
нити; взяв среднее значение / из наблюдений нескольких звезд, получают вели-
чины' их, которыми и пользуются для приведения наблюдений на среднюю нить.
Если наклон оси і не изменяется за время наблюдений, то вместо формулы (1),
которую называют формулой Тобиаса Майера, выгоднее применять другую фор-
мулу, называемую формулой Бесселя; в формуле Бесселя выделен член, не завися-
щий'от склонения 8. В формуле (1) подставим вместо sin (с? — S) и cos (© — 8) их
развернутые значения и обозначим для краткости:
icos©
asin©= m,
isin©—acos©= n,
тогда получим
mcos©-f-nsin©= i,
в силу чего формулу (1) можно будет переписать в таком виде:
Т0=Т и m пigbсsec8.
(3)
Если m сохраняет постоянное значение и с известно, то п можно определить
из наблюдений околополюсной звезды
и звезды времени; m можно определить
из формулы
m= isec©—ntgср.
В эту формулу азимут инструмента не входит в явном виде. Величины m и п
находятся в таком же отношении к экватору и полюсу, в каком а и і — к гори-
зонту и зениту. Формула Бесселя особенно удобна для определения разностей
прямых восхождений (для диференциальных наблюдений прямых восхождений).
Если m изменяется пропорционально времени, то его изменения можно учесть
при вычислениях вместе с -ходом часов.
Чертежи, на основании которых мы вывели формулу (1), составлены в пред-
положении, что звезда при наблюдениях находилась в верхней кульминации. Но
формулы (1) и (3) применимы также и для нижней кульминации звезды, если
только в обеих формулах через 3 обозначать не склонение, а дополнение скло-
нения. Конечно, можно вывести специальные формулы для нижней кульминации,
не изменяя значения 3 и подставляя вместо него 180° — 8 . Для того чтобы
формула (3) соответствовала нижней кульминации, нужно переменить знаки у двух
последних членов.
Наконец, следует заметить, что при наблюдениях высокой точности необхо-
димо принимать во внимание суточную аберрацию (§ 64), влияние которой можно
вывести из фиг. 70; смещение светила к востоку вследствие аберрации AB равно
О",32 cos©= 0
е
,02 cos о. Благодаря смещению вследствие аберрации звезда придет
на меридиан позже на'время, равное 0я
,02 cos © sec 8; замеченное по часам время
надо уменьшить на эту поправку. Поэтому удобнее всего уменьшать в форму-
лах с на значение 0s
,02 cos©, помня только, что с после перекладывания трубы
в лагерах меняет знак, поправка же за суточную аберрацию всегда остается
отрицательной.
§ 73. Определение прямых восхождений. Формулы (1) и (3) заключают
в себе в скрытом виде те формулы, при помощи которых определяются
прямые
восхождения
светил из наблюдений их прохождений через меридиан (из их
мери-
дианных
наблюдении).
Возьмем для примера формулу (1). До сих пор мы обо-
значали через Т отмеченное по часам время кульминации, а через и — поправку
времени, которую мы считали неизвестной. Так как прямое восхождение (а)
звезды равно звездному времен» в момент ее кульминации, то в таком случае
формулу (1) мы можем написать в следующем виде:
a==T+u +
i
5),
sin(?—-в) —с
.
(4)
T
T
C0SÔ
\
COS О
1 COSо
.
4
'
Из предыдущего параграфа мы знаем, как определить i, а и с. Наблюдая
прохождения через меридиан звезд, прямые восхождения которых известны, опре-
деляют по формуле (4) поправку часов и и ход часов; затем, если известны зна-
чения инструментальных ошибок, можно вычислить при помощи той же фор-
мулы (4) неизвестные прямые восхождения других звезд по наблюдениям про-
хождения их через меридиан. Об определении склонений при помощи наблюдений
меридианным кругом уже говорилось в § 31.
§ 74. Определение времени из наблюдений светил на соответствующих
высотах. Тот же самый принцип, который был положен в основу метода опре-
деления времени, описанного в § 72, может быть применен и в случае, когда
наблюдения производятся не пассажным инструментом; в таком случае часто при-
меняют способ наблюдений на соответствующих
высотах.
Подобно тому как
мы можем определить направление меридиана из двух наблюдений светила на
соответствующих высотах (см. § 25), точно так же можно определить и момент
прохождения светила через меридиан из наблюдений его на соответствующих
высотах; только при этом необходимо, чтобы склонение светила заметно не
изменило своей величины за промежуток времени между двумя наблюдениями.
Дальнейшая обработка наблюдений по этому методу такова же, как и при наблю-
дениях пассажным инструментом. Так как при наблюдениях по способу соответ-
ствующих высот не надо производить отсчетов по горизонтальному кругу, то для
наблюдений можно пользоваться секстаном. Для получения большей точности
делают несколько наведений на светило до меридиана и замечают моменты наве-
дений, при которых светило находится на определенной высоте, а затем, после
прохождения светила через меридиан, отмечают моменты, когда оно снова будет
проходить, но уже в обратном порядке, через ту же высоту.
ГІрн наблюдениях по способу соответствующих высот нельзя ожидать такой же
точности, как при наблюдениях пассажным инструментом, потому что довольно
значительный промежуток времени, в течение которого производятся наблюдения,
уже способствует возникновению различного рода ошибок.
При наблюдениях Солнца
необходимо принять во внимание изменение его
склонения за время наблюдений. Влияние изменения склонения мы можем найти,
диференцируя уравнение
sinh= sinоsin8-j-cos®cos8cos
(5)
в котором переменные величины — только часовой угол t и склонение 8 (высоту
мы считаем неизменившейся). Мы получаем
О=(sin9cos8—cos9sin8cost)db—cos9cos8sintdt,
dt tee
too
откуда следует, что
=
_
^
.
Обозначим через Д8 изменение склонения Солнца между первым и последним
наблюдениями; тогда М = ^
Д8 — величина, на которую западный часовой угол
светила больше числового значения восточного часового угла, причем предпо-
лагается, что члены высшего порядка настолько малы, что ими можно пренебречь.
Поправка х, которую следует придать к среднему арифметическому из двух
отмеченных моментов, чтобы получить время кульминации, равна— ^
Сле-
довательно, мы можем написать
да
В это выражение введем множитель 1/1б, потому что изменение склонения
Солнца в астрономических ежегодниках дается в секундах дуги (за 1 час); нам же
нужно получить Л; В секундах времени. В промежутках времени от летнего до
зимнего солнцестояния До — величина отрицательная. Часовой угол t, который
входит в формулу (6), можно принять равным полуразности моментов наблюде-
ний, склонение 8 надо брать из ежегодника для полудня.
Поправка х называется поправкой
полудня.
Но можно взять первую высоту
Солнца после полудня, а вторую — на следующий, день перед полуднем. Чтобы
получить истинную полночь, надо к среднему арифметическому из моментов
наблюдений придать поправку у,
которая называется поправкой
полуночи;
у
можно вычислить по той же формуле, как и х, заменяя часовой угол t через
180°-}-1 . Тогда igt не изменит своего значения, a sin / переменит знак на обіэат-
ный, и мы получим
•
<7>
Здесь, как и в формуле (6), t равно полуразности показаний часов, а 8 —
склонение светила для полуночи.
Иногда случается, что соответствующие высоты светила при двух наблюде-
ниях по какой-нибудь причине оказались не вполне одинаковыми; например, была
допущена небольшая ошибка при установке или произошло изменение значения
рефракции (вследствие изменения температуры воздуха или атмосферного давле-
ния); однако такие наблюдения все же можно использовать, если внести соответ-
ствующую поправку в среднее арифметическое из отсчетов времени; эту поправку
получим при помощи диференциалыюй формулы (4), выведенной в § 14:
dt.
cos h
dh
cosycosSsin/
Если высота светила в западной части неба на величину A h больше, чем
в восточной, т. е. наблюдения в западной части неба сделаны несколько раньше,
по сравнению с наблюдениями в восточной части, то тогда поправка равна
I1
COS//
Д.
/О\
'30 cosуcos5sin/
'
1'
где ДА дано в секундах дуги. Высота может быть измерена непосредственно,
если только не предпочитают по каким-либо причинам вычислить ее по данным
<з,8 и t.
§ 75. Определение времени на основании
измерения высоты светила
вблизи первого вертикала. Время можно определить и на основании только
одной измеренной высоты светила; высоту эту следует измерять вблизи первого
вертикала, потому что около первого вертикала высота светила изменяется быст-
рее всего. Отметив по часам момент измерения высоты, можно вычислить поправку
часов. На основании формулы (5), выведенной в § 22, мы имеем
.
sinh—sinуsin5
/Q\
C0St==
cosуcos3
'
(9)
откуда можно вычислить часовой угол наблюдаемой звезды. Если наблюдают
Солнце, то тогда получают 12"-} -/ по истинному солнечному времени. Прибавив
уравнение времени, получают среднее время. Склонение и уравнение времени
следует выписывать из астрономических ежегодников, интерполируя их на момент
наблюдений. Если поправка часов известна с недостаточной точностью для интер-
полирования (около равноденствия склонение изменяется в минуту на 1"), то
сперва ищут приближенное значение для t, причем склонение и уравнение вре-
мени берут для ближайшего часа.
Если измеряют высоту звезды, то удобнее всего сперва получить звездное
время, которое равно (см. § 46) s = « -}-*. Сравнивая вычисленное звездное время
с замеченным по часам, получают поправку часов в звездном времени. От звезд-
ного времени обычным путем можно перейти к среднему или поясному времени
(см. § 50).
Формулу для вычисления значения t по тангенсу можно получить следующим
образом. Введем в формулу (9) зенитное расстояние вместо высоты, т. е .
.2 = 90° А и cos г = sin А; вычтем обе части равенства (9) из единицы, получим
после упрощений:
cosуcos3+ sinуsin3—cosz
1 COSt=
cog9cos 5
COS/а — 01
—
cos; 2sin*/г(z-f-<p—5)sinya(z—y+ 5)
cosycoàô
cosy cos3
Прибавив к обеим частям равенства (9) по единице, мы получаем
COS41cosВ—sin<рsin0+ COSz
l+ COS/=
cosycos5
=
cos(?+ О)+ COSг __2cosV2(у+ S+ z)cosV2(у-f3—z)
cosyCOSО
cosуcosÔ
*
Введем для краткости обозначение s = 2+ 4 + * ( Т0ГДа
Z+УÔ
Л
_Х|
=
5— 0.
После того как мы разделим выражение 1—cos / на l-j -cos/и извлечем
квадратный корень, получаем
.
t.
, /"sin(s—ô)sin(s— y)
ig-
=
±y
COS S COS (5—z)
* В СССР определение времени на обсерваториях и на первоклассных астро-
номических пунктах производится при помощи пассажных инструментов. В экспе-
диционных условиях предпочитают определять время из наблюдений двух звезд
на соответствующих высотах. Способ этот был подробно разработан профессором
Н. Я. Цингером и известен под названием способа Цингера. Наблюдения могут
производиться универсальным инструментом, вертикальным кругом или зенит-
телескопом. Звезды каждой пары должны находиться не очень далеко от первого
вертикала, одна в восточной, другая в западной части неба.-
Подобрав по соответственно составленным эфемеридам подходящую пару
звезд, устанавливают трубу так, чтобы в определенный момент в ее поле зрения
показалась сперва восточная (или западная) звезда; записав показания уровня,
замечают по хронометру моменты прохождения звезды через горизонтальные нити
сетки. Затем, отнюдь не изменяя положения трубы по высоте, поворачивают
инструмент по азимуту и наблюдают точно так же другую звезду в западной
(или восточной) части неба. Обозначим через zx,
ô„ tx зенитное расстояние,
склонение и часовой угол первой звезды, а через z2, 32» '2 —
те же величины для
второй звезды; тогда по формуле (2), выведенной в § 22, получаем
coszx = sinоsin8j-j-cos<?cosOjcostx,
cosz2= sinasin82-j-cosоcoso2cosA>.
Обозначим теперь через 7\ и Г2 отсчитанные по хронометру моменты про-
хождения обеих звезд через одну и ту же нить трубы, через и — поправку хро-
нометра, которая за короткий срок наблюдений не могла измениться, и через Oj
и а2 — прямые восхождения обеих звезд; тогда, согласно формуле предыдущего
параграфа s = a -\ -t, будем иметь
/,=
Г,-}-и
—а„
/о= Го+ к—а2.
Подставим эти выражения в формулы (*); заметим еще, что обе звезды наблю-
дались строго па одной высоте, т. е . что z1 = z„\ получаем
sin 9sin 8j -{ -cos о cos
cos(7\ -j- и —ecj) = sin <? sin o2 -{ -cos <? cos82 cos(T2-\ -u—a2).
В этом уравнении неизвестна только поправка хронометра и, которую и нахо-
дят, решив уравнение относительно и.
Для удобства подыскания пар составлены специальные „Рабочие эфемериды
500 пар звезд для определения времени по способу соответствующих высот
(способ Цингера)", изданные Институтом геодезии и картографии. Для облегчения
вычислений Астрономическим институтом в Ленинграде ежегодно издаются „Эфе-
мериды пар Цингера" .
Для наблюдения пары звезд по способу Цингера требуется всего 6—7 минут.
Возможность за короткий промежуток времени получить большое число наблюде-
ний, простота и легкость самих наблюдений, вполне удовлетворительная точность,
даваемая способом Цингера, делают его незаменимым в экспедиционных условиях. *
§ 76. Солнечные часы. В прежнее время для определения времени широко
применялись так называемые солнечные часы. Из числа различных типов солнечных
часов мы опишем такие, которые легко построить самому. На доске, установлен-
ной горизонтально, хотя бы при помощи обыкновенного плотничьего ватерпаса,
укрепляют перпендикулярно к доске треугольник ABC (фиг. 71), вырезанный
из листа цинка или какого-либо другого металла. Ребро треугольника AB должно
образовать с горизонтальной плоскостью доски угол о (равный широте места).
Ребро ВС не имеет значения для показаний прибора, но оно облегчает уста-
новку, так как треугольник должен иметь прямой угол в точке С, а следова-
тельно, ВС должно быть установлено в вертикальном направлении. Для того
чтобы прикрепить треугольник к доске, его нужно, конечно, врезать в доску.
к
Доска должна быть установлена так, чтобы треугольник находился в плоскости
меридиана и точка А направлена к югу. Если направление полученной линии
заранее неизвестно, то его можно определить при помощи самого прибора
по способу, описанному в § 25; круг тогда проводят, принимая за центр точку С
и наблюдают тень, отбрасываемую вершиной
д
треугольника В.
Когда прибор будет установлен, ребро
треугольника AB окажется Направленным на
полюс мира, а тень от ребра AB образует
с направлением полуденной линии угол, рав-
ный часовому углу Солнца.
На фиг. 72
показано, как надо поступать, чтобы на-
нести на доске черточки, для обозначения
часов и их долей; в точке А вообразим центр
небесной сферы, AB и АС — те же напра-
вления, как и на фиг. 71, но только про-
долженные до небесной сферы. Если тень
от AB падает по линии AD, ' то
в таком случае дуга BD представляет собой
круг склонения Солнца, а следовательно, угол CBD равен часовому углу Солнца t
(на знак при часовом угле мы пока внимания не обращаем); величину соответ-
ствующего угла а на доске можно найти, решая сферический треугольник BCD.
Мы получаем
Фиг. 71.
tgа= tgtsinо.
(10)
Фиг. 72 .
По формуле (10) можно вычислить значения а через каждые полчаса; более
мелкие деления часа можно найти интерполированием. Черточки, обозначающие
часы до и после полудня, расположены, конечно, симметрично относительно
полуденной линии АС, т. е . значок для 11'» расположен на таком
же расстоянии от полуденной линии, как и значок для 13'».
Солнечные часы показывают, конечно, только истинное время.
Часто применялись также солнечные часы, установленные
в вертикальной плоскости, да и теперь их еще можно видеть
на некоторых старых зданиях. Часы устанавливаются на стене,
расположенной в плоскости первого вертикала; значки для их
циферблата можно вычислить по формуле (10), заменив"в ней
sin® через cos ср.
Нужно помнить, что солнечные часы показывают только
истинное время; поэтому, чтобы получить поясное время,
к показаниям солнечных часов надо прибавить уравнение
времени и поправку за долготу места. В некоторых заграничных ежегодниках
дают иногда поправку для солнечных часов, которую нужно придавать или отни-
мать от показаний солнечных часов, но поправка эта вычислена для меридиана
места, в котором этот календарь составлялся. Для пунктов местности, располо-
женных на других меридианах, надо принять во внимание разность между по-
правками за их долготу (уравнение времени тоже несколько изменяется для
пунктов на различных долготах).
§ 77. Восход и заход звезды. Полуночное Солнце. Гражданские и астро-
номические сумерки. Полярная ночь. Белые ночи. Формулой (9), выведенной
в § 75, можно пользоваться и для вычисления времени восхода и захода звезд.
Часовой угол светила, находящегося на горизонте, можно вычислить,. как указано
в § 22, полагая в формуле для sin h значение h равным нулю. Получаем
cos Ûq=
—
tgоtg8.
(11)
В § 38 было показано, что влияние рефракции на время восхода и захода
светила может быть вычислено по диференциальным формулам. Чтобы получить
более точные результаты, подставим в формулу (9) значение для высоты:
h=
—
0°35 ';
таким образом формула для cos t ' получит добавочный
член
—
sin35'secоsecо.
Из формулы (11) видно, что если широта места и склонение светила одного
знака, то cos/0 отрицателен, т. е. t0 > 90°,
и светило совершает свой путь над
горизонтом за время, большее 12''; если же cos/0 положителен, то путь светила
над горизонтом совершается за время, меньшее 12й, что бывает, когда широта
места и склонение светила имеют противоположные знаки. Применяя это правило
к Солнцу, можно сказать, что при северном склонении Солнца дни у нас длиннее
ночи (так как у нас широта считается положительной); так бывает в летнее
полугодие. В это же время в местностях с отрицательной широтой (в южном
полушарии) дни короче ночей — там наступила зима. Для о = 0 (если не прини-
мать во внимание рефракции) cos/o =
0,т.е./0= 90°,
независимо от величины
склонения; это значит, что на экваторе день равен ночи в течение, всего года.
Для светила, у которого 3 = 0, имеем /о=90°,
независимо от широты места;
это значит, что в дни равноденствий день равен ночи на всей Земле (если
не принимать во внимание влияния рефракции).
Когда произведение tg о tgS > 1, то для t0 нельзя подобрать никакого значения;
это значит, что светило целые сутки находится или выше или ниже горизонта.
В § 20 нами уже было найдено условие, при котором звезда остается незаходящей;
это бывает, когда 8^90°— <?, что совпадает с полученным теперь выводом.
Чтобы Солнце ночыо совсем не заходило, необходимо, чтобы широта места
удовлетворяла условию о ^-90° — 8; в день летнего солнцестояния, т. е. для
склонения Солнца 8 = - {-23°27', южной границей области, в которой Солнце
не заходит, служит параллель 66°33' (полярный круг). Впрочем,
вследствие
рефракции, Солнце всегда кажется несколько выше; поэтому на полярном круге
в день солнцестояния в полночь центр Солнца на 35' выше горизонта; принимая
во внимание размеры радиуса Солнца (около 16'), мы получим, что параллель
о = 65°42' представляет собой границу, на которой наблюдатель, находящийся
на уровне моря, видит полуночное Солнце. Если наблюдатель находится выше
уровня моря, то линия горизонта для него понижается; при высоте 10 ж над
уровнем моря линия горизонта понижается на 5',6, при высоте 100 м— на 18'.
Пользуясь таблицами склонения Солнца, можно вычислить первый и последний
дни, в которые виден верхний край полуночного Солнца; лля таких вычислений
служит формула
3= 90° —сз
—35' —16' =
89°9' —ср.
Для того чтобы вычислить продолжительность периода, в течение которого
Солнце совсем не восходит, можно пользоваться аналогичной формулой
—
3= 90° — ср35'-f 16'= 90°51 ' — с?.
Это выражение составлено тоже для верхнего края диска Солнца; из него
следует, что для зимнего солнцестояния (8 =
—
23°27') границей пояса, в котором
Солнце не показывается над горизонтом, является параллелЬ <р = 67°24'.
Для
центра Солнца мы получаем параллель ср = 67°8'.
Сумерки
представляют собой переход ото дня к ночи и, обратно, после
заката Солнца или перед его восходом. Различают более светлую часть сумерек,
так называемые гражданские
сумерки,
и более темную часть, которая, например,
вечером оканчивается, когда исчезает последний след дневного света в том' месте
горизонта, где под горизонтом находится Солнце, причем вся остальная часть
неба уже совершенно темная. Граница гражданских сумерек в известной степени
произвольна. Обыкновенно принимают, что гражданские сумерки оканчиваются,
когда Солнце опускается ниже горизонта на 6° (А = —
6°) *). Границей второй
части сумерек, т. е . концом астрономических
сумерек,
на основании произве-
1) Когда Солнце опустится под горизонт на 5°, то можно еіце читать без огня, сидя
fi доме у окна, выходящего на запад.
денных опытов считают момент, когда Солнце опустилось ниже горизонта на 18°
{h—
18°). Продолжительность гражданских и астрономических сумерек можно
вычислить, подставляя в формулу (11) значения h =
—
6°иh=
—
18° .
Рефрак-
цию при этом не принимают во внимание.
о
Так как высота Солнца в меридиане в южной части неба равна А = 90
—<?-{ -
-f-8, то, следовательно, расстояние, на которое Солнце опускается ниже гори-
зонта, равно —h
=
—
90°+ Ф— 8.
Из последней формулы получаем, что в день зимнего^ солнцестояния Солнце
опускается ниже горизонта на расстояние — А = э + 23°27' — 90° =
с?—66 33,
т. е. даже на мысе Нордкап (северная оконечность Европы) Солнце бывает ниже
горизонта всего лишь на 4°37'.
Следовательно, настоящая полярная
ночь,
когда
в течение 24 часов незаметно никаких следов света, наступит в день зимнего
солнцестояния для местности, широта которой удовлетворяет условию: с? — 66°33'
=
=
18°, т. е. о = 84°33'.
Так называемые белые
ночи бывают тогда, когда Солнце в полночь опускается
под горизонт не больше чем на 18°.
Начало и конец периода белых ночей
в данной местности можно получить, вычисляя значения для склонений Солнца
поформуле90°—<?—8=18°, т.е.8=72°—ср.
Отсюда следует, что самая южная широта, на которой еще бывают белые
ночи, равна ср = 72° —23°27'= 48°33'.
Для широты о = 72°q получим, что белая
ночь наступает при значении для склонения Солнца о = 0°,
т. е. белые ночи
продолжаются
от весеннего до осеннего равноденствия >). Под широтой 81
Солнце в конце февраля и в середине октября (8 =
—
9°) в полдень стоит
на горизонте в точке юга, а в полночь опускается под горизонт ниже точки се-
вера на 18°; следовательно, в эти дни астрономические сумерки продолжаются весь
день и всю ночь. Если принимать во внимание влияние-рефракции, то получается
незначительное изменение при вычислении широт, на которых бывают .белые ночи.
Если у нас нет под руками таблиц, в которых даны склонения Солнца, тогда
время начала и конца периода светлых ночей можно вычислить по формуле
sin 8 = sine sin X, где sine = 0,4 и, следовательно, sin X = б/2 sin 8.
^
Так как долгота Солнца увеличивается в день приблизительно на 1 , то мы
можем с достаточной точностью вычислить, сколько дней после весеннего равно-
денствия прошло до начала белых ночей или за сколько дней до осеннего равно-
денствия они закончились. Для высоких широт, в которых начало и конец белых
ночей наступают не позже и не раньше чем за месяц после или до дня равно-
денствия, можно пользоваться упрощенной формулой « =
2,58, где п — число
дней до равноденствия, и тогда « = 2,5 (72°— <?), где о выражено в градусах.
Так, например, для с? = 60° (широта Ленинграда) имеем « =
30 дней, т. е . белые
ночи продолжаются ' с 20 апреля до 24 августа (на самом деле, как мы видели
выше, точная их продолжительность» с 22 апреля до 22 августа). Если для и
получается отрицательное значение, то это показывает, что белые ночи начи-
наются раньше весеннего равноденствия и заканчиваются позднее осеннего.
§ 78. Вычисление азимута светила, при его восходе и заходе. Иногда
бывает важно знать не только время восхода и захода светила, но также и напра-
вление на точку горизонта, в которой оно восходит или заходит. Такое напра-
вление можно найти, если подставить А = 0° или А =
—
35' (т. е . принимая
во внимание рефракцию) в первую формулу (1) § 22:
sin8= sinоsinА— cosоcosAcosА.
Тогда для значения А = 0° имеем
С05Л== _Ё1І.
(12)
COS'f
*) Для широты Ленинграда (<р = 59°56') получаем, что белые ночи наступают, когда
склонение Солнца равно 5 = 72* — 59*56' = +12*4'.
В „Астрономическом ежегоднике
найдем, что такое склонение у Солнца бывает 22 апреля и 22 августа. Следовательно,
белые ночи продолжаются в Ленинграде с 22 апреля до 22 августа. —Прим. перев.
Если азимуты считать положительными к западу от точки, в которой светило
было в верхней кульминации, то в южном полушарии придется считать их от точки
севера, и, следовательно, в южном полушарии cos А меняет знак. Южное склоне-
ние звезд будет иметь там такое же значение, как у нас северное.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРОТЫ МЕСТА
§ 79. Определение широты места из измерений высоты светила вблизи
меридиана. Мы уже показали выше (в § 31), как определяют широту места
из измерений высоты светила в меридиане, если известно склонение светила.
Если в распоряжении наблюдателя имеются часы, поправка которых ему известна,
то в таком случае широта места может быть определена при помощи измерения
высоты светила вне меридиана, причем одновременно надо отмечать
время
nö" часам. Задача может быть решена при помощи уравнения
sin А = sin ©sin 8-[ -cos ©cose cos/,
(1)
в котором известны все величины, кроме ©; по отмеченному по часам времени
и прямому восхождению вычисляют часовой угол светила. Если наблюдалось
Солнце, то нужно взять из астрономического ежегодника уравнение времени.
. Если известно местное среднее время, то уравнение времени надо брать с обрат-
ным знаком. Тогда получают истинное врёмя или часовой угол Солнца -j -12".
Уравнение (1) удобно решать, если ввести вспомогательные величины m и Ж,
которые можно определить при помощи соотношений
cosоcos/= msinM,
sin8= mcosM.
m можно исключить, разделив одно уравнение на другое; но предпочитают
производить вычисления по формулам (2) потому, что тогда легко установить,
в каком квадранте находится Ж, так как m всегда положительное.
Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то оно примет нид
sinА= 7иcosMsin©+ msinЖcos©= msin(Ж (f),
ИЛИ
....
IVsinA
sinAcosAI
5ІП(Ж + ©)= —=
sin5
,
(3)
если подставить значение для m из второго уравнения (2).
Можно вывести формулу, с помощью которой широта вычислялась бы при
помощи тангенса. Но для упрощения вычислительных работ мы будем пользо-
ваться в численном примере, приводимом в Приложении, формулами (2) и .(3),
как это обыкновенно делают моряки.
Так как одному и тому же значению синуса могут соответствовать две дуги,
из которых одна является для другой дополнением до 180°, то с математической
точки зрения наша задача всегда имеет два решения, которые могут быть также
и мнимыми. Конечно, при действительно произведенных наблюдениях мнимых
результатов получиться не может; но может появиться сомнение в выборе одного
из двух значений, когда высота светила измеряется поблизости от первого верти-
кала; наблюдения вблизи первого вертикала очень выгодны для определения
поправки времени, когда широта места уже известна; но они совершенно непри-
менимы для решения обратной задачи, потому что самая незначительная неточ-
ность при измерении высоты светила ведет к большой ошибке при вычислении
широты места. Поэтому при определении широты места надо измерять высоту
светила, когда оно находится возможно ближе к меридиану. Обыкновенно произ-
водят несколько измерений высоты светила, по возможности до и после его
прохождения через меридиан (симметрично относительно меридиана); вместо
(2)
того чтобы вычислять широту отдельно по каждой пронаблюденной
высоте,
вычисляют по особой формуле небольшие разности между измеренной высотой
и высотой, которую светило должно иметь при прохождении через меридиан J), а
затем получают широту обычным способом, как при наблюдениях на меридиане.
Высоту светила можно определить, зная часовой угол, по формуле
sinА= sin©sin8
cos©cosоcos/.
(1)
Из этой формулы получим высоту светила в меридиане Н, если примем / = 0:
sin H— sin ©sin 8 -[-coses cos 8.
(4)
Вычитая формулу (1) из формулы (4), получаем
sinH— sinА= cos©cos8(1— cos/)= 2cos©cos8sin2-L.
(5)
Пользуясь второй из формул (2) §11, находим
2cos\(Я+A)sin1 (.H—h)= 2cos©cos8sin2
.
(6)
При малом часовом угле формулу (6) можно заменить следующей более
простой формулой:
(Я—А)cosH= cosсрcos3•-у•
.
(7)
В формуле (7) llz(H-\-h)
заменено через H, а синусы малых углов (Я—А)
и / заменены значениями этих углов.
При малых часовых углах (величиной до получаса, если высота светила не
' слишком близка к 90°) эта формула достаточно точна для целей навигации. Для
вычисления малых величин (Я—А) по формуле (7) достаточно знать Я и ©
с грубым приближением. Если требуется более значительная точность, то нужно
сперва найти 1/2 (Я+А) = A-f >/2 (Я —А) по приближенной формуле (7), а затем,
подставив их значение в точную формулу, вычислить величину (Я — А). Преиму-
щество такого приема вычислений »заключается главным образом в том, что, поль-
зуясь им, приходится вычислять малые величины и при вычислениях можно доволь-
ствоваться малым числом знаков.
Приближенную формулу (7), обыкновенно, несколько преобразуют. Известно, что
90° —Я
=
о —8.
(8)
Подставляя это выражение в (7), получаем
.
1cosуcosô .g
T sin (tp —5)
В формуле (9) величины (Я—А) и / выражены в дуговой мере. Выгоднее
выражать (Я—А) в минутах дуги, а / в минутах времени. Получаем
(Я—А)' =
3438(Я—А) и/'"=
С1/15 • 3438) /. .
Тогда окончательно будем иметь
о»)
В „Мореходных таблицах"
а
) помещена таблица величин, заключенных в скобки
в формуле (10), по аргументам © и 8.
I) Делают приведение к меридиану значений БЫСОТЫ, измеренных поблизости от мери-
диаиа.— Прим. перев.
") Изданных Гидрографическим управлением. —Прим. ред.
Если часовой угол близок к 12",
то формулу (10) можно применять для
вычисления приведений иа меридиан.
Для Полгрной звезды приведения на меридиан всегда представляют собой
малые величины. Величины приведений на меридиан тоже помещаются в астроно-
мических и морских астрономических ежегодниках.
8 80 Определение широты из наблюдений
пассажным
инструментом,
установленным в первом вертикале. В § 72 и 75 было сказано, что время
определяют или из наблюдений пассажным инструментом, установленным в мери-
диане, или рутем измерений высот светил, находящихся вблизи первого вертикала;
в § 79 был описан метод определения широты места при помощи измерения
высоты светила вблизи меридиана или, лучше, при прохождении через меридиан.
Теперь мы покажем, что широту можно определить с большой точностью из на-
блюдений пассажным инструментом, установленным в первом вертикале. Для этой
цели можно с успехом применять переносные инструменты, описанные в § 28.
Если известно направление меридиана, то легко провести на местности при
помощи теодолита или .другим способом направление, перпендикулярное к мери-
диану установив по этому направлению две марки, одну на востоке, а другую
на западе, можно по ним произвести установку пассажного инструмента. В этом
случае горизонтальная ось вращения будет расположена по линии север —юг.
Направим трубу на звезду; звезды будут проходить в поле зрения трубы наклонно
к горизонту пересекая вертикальные нити под более или менее острыми углами.
Наблюдения' заключаются в том, чтобы отмечать моменты прохождения звезд
через нити по часам, отрегулированным по звездному времени, причем поправка
часов должна быть известна.
Наблюдения на боковых нитях приводят к средней нити, которая считается
установленной точно в плоскости первого вертикала.
Положим в третьей формуле (2) §22 А = ±90 , мы получаем
COS/sinср—COSCStgо= 0,
т
"
tgcp = tg8sec
(11)
- что, впрочем, легко вывести непосредственно по формулам прямоугольного сфе-
Р"4Таким ХазоГвсе'вычисления сводятся к тому, чтобы подставить в правую
часть выражения (11) значения для склонения 8 звезды и ее часового угла
t = s — a где звездное время 5 исправлено за поправку времени.
Влияние на определение широты ошибки в поправке часов, в координатах
звезды (а и 6) и в азимуте пассажного инструмента может быть вычислено по
тригонометрическим дисЬеренциальным формулам. Из третьей формулы, входящей
в группу формул (4), приведенной в § 14, получаем
—
cos h(lA =
—
sin'рdo-}-sinhsinAdo— cos8cospdt.
В первом вертикале имеют силу следующие соотношения [сравн. формулы (3),
приведенные в § 13 для прямоугольного треугольника]:
TMр=шъ>
cosp==ïgïi ' s* * =
sinA
-
Исключая р с помощью первых двух уравнений, находим
-
coshdA=
- ^db + sin A des-dt.
(12)
Решая это уравнение относительно d<p и принимая во внимание третье из
уравнений, имеющих силу в первом вертикале, получаем
=
_ _ £ £ £ !— db+^dt-y-dA.
(13)
cosÔsinh
~
tgh
tgh
Из последнего выражения видно, что при наблюдениях выгоднее всего поль-
зоваться околозеннтнымн звездами, т. е . звездами, склонение которых по вели-
чине немного меньше широты места и которые поэтому проходят через первый
вертикал на небольшом расстоянии от зенита. Если высота звезды мала, то все
три коэфициента велики, а следовательно, малейшая ошибка в склонении, в часо-
вом угле или в азимуте оказывает весьма существенное влияние на результат.
Наоборот, для околозенитных звезд коэфициент при dt или dA очень мал, а коэ-
фициент при d6 почти в точности равен 1, так как <э и 8 имеют почти равные
значения, a sin А только немногим отличается от 1; следовательно, ошибки
в поправке времени и в азимуте будут влиять на определение широты в весьма
малой степени. Что касается влияния ошибки в. отсчетах времени прохождения
звезды через нити, то следует заметить, что чем ближе звезда к зениту, тем.
медленнее она движется в поле зрения, а следовательно, тем с большей точностью
' можно заметить прохождение ее через нити. Ошибка в склонении полностью
входит в ошибку широты при наблюдении зенитных звезд; для звезд же с мень-
шей высотой влияние ошибки в-склонении увеличивается (sinА уменьшается,
а, следовательно, коэфициент при d8 увеличивается).
Если даны направление меридиана и место полюса, то выражение для tges-
показывает, что большой круг, проведенный через звезду перпендикулярно
к меридиану места, проходит через зенит. При этом надо заметить, что из подоб-
ного утверждения вытекают такие же следствия, как из исследования диферен-
циального уравнения (13), потому что, чем короче перпендикуляр, тем надежнее-
можно определить положение его основания. Предельным случаем надо считать
тот, когда наблюдают прохождение .звезды через первый вертикал в точке
востока или в точке запада; так как обе эти точки являются полюсами мери-
диана, то всякий большой круг, проведенный через них, будет перпендикулярен
к плоскости меридиана; таким образом место зенита сделается неопределенным;
коэфициенты в диференциальном уравнении (13) делаются тогда бесконечно
большими.
Небольшие ошибки в установке инструмента, которые нельзя устранить,
должны быть приняты во внимание подобно инструментальным ошибкам в мери-
дианных наблюдениях (см. § 72). Влияние ошибки в азимуте учитывается дифе-
ренциальным уравнением, выведенным выше. А влияние ошибки в наклонении,
как это ясно из несложных геометрических соображений, всегда равно угловому
значению наклонения.
§ 81. Движение полюса. Определение широты по методу Горребова-Таль-
котта. Наблюдения показали, что широта места не остается абсолютно неизме-
няющейся величиной. Изменение широты места является главным образом резуль-
татом двух перемещений с периодом приблизительно в 14 месяцев и в 1 год.
Разность между наибольшим и наименьшим значениями широты не превосходит 0",7,
что соответствует сдвигу в 20 м (1" по широте на земной поверхности соответ-
ствует приблизительно 31 м).
На основании теории вращения совершенно твердого тела Эйлер пришел
к заключению, что если ось вращения перемещается внутри земного шара, то
период ее колебаний должен быть равен приблизительно 10 месяцам. Устано-
вленный из наблюдений период колебания земной оси в 14 месяцев можно рас-
сматривать в качестве периода Эйлерз, несколько удлинившегося
вследствие
того, что Земля представляет собой упругий шар; коэфициент упругости Земли
может быть определен иным способом. Что же касается годичного периода дви-
жения полюса, то предполагают, что этот период зависит от смещений масс
атмосферы, происходящих вследствие" смены времен года, а также от изменения
массы континентов в связи с уменьшением и увеличением снегового покрова на
них вследствие смены времен года, а также от других перемещений масс. Для.
более подробного изучения вопроса о движении земных полюсов, в котором
обнаружены и другие небольшие периодические колебания, уже много лет
производятся по международной программе непрерывные наблюдения на шести.
астрономических станциях, расположенных на одной и той же широте (39°8'
северной широты) и распределенных равномерно по западному и восточному полу-
шариям »). Движение Северного полюса по земной поверхности за время с 19UU
по 1912 г. по Банаху изображено на фиг. 73 .
Если звезда пересекает меридиан точно в зените, то склонение ее равно
широте места. Если две звезды на равных зенитных расстояниях, но с противо-
положных сторон от зенита пересекают меридиан (т. е . одна к югу от зенита,
а другая к северу), то арифметическое среднее из их склонений равно широте
места, так как в этом случае рефракция на одинаковую величину изменяет их
высоту. Нельзя найти пару таких звезд, которые вполне точно удовлетворяли бы
нашему условию (т. е . куль-
I0/7J
Ьт
0
5т
минировали бы на равном
,9/7!. расстоянии от зенита); но
легко
найти
пару
звезд,
кульминирующих через ко-
роткий промежуток времени
одна после другой к северу
и к югу о г зенита, причем
разность их зенитных рас-
стояний не превышает не-
скольких минут дуги. Если
эту разность зенитных рас-
0 стояний можно измерить с
достаточной точностью, то
можно свести определение
широты к случаю, когда обе
звезды проходят меридиан
Ьпг на равных расстояниях от
зенита, но одна к северу,
а другая к югу от него.
•
Такой метод определе-
ния широты носит
назва-
'0/л ние метода Горребова 2) или
.
Талькотта.
Для наблюде-
ний применяется специально
сконструированный для этой
цели переносный
инстру-
мент, называемый
зенит-те-
лескопом.
Зенит - телескоп
Фиг 73. Перемещения Северного полюса по поверх-
ности Земли за время 1900-1912 гг. (по Банаху).
можно рассматривать как пассажный инструмент, установленный в меридиане,
который легко можно поворачивать на 180° вокруг его вертикальной оси и оку-
ляо которого снабжен микрометрическим винтом, перемещающим горизонтальную
нить его сетки нитей; горизонтальная нить устанавливается перпендикулярно к
меридиану и может перемещаться вдоль -него. Трубу устанавливают так, чтобы
наблюдать звезду, проходящую через меридиан по одну сторону от зенита,
„
водят на нее вращением винта микрометра подвижную нить с тот мо
когда она проходит среднюю нить; затем поворачивают инструмент на 180 вокруг
вертикальной оси и в том же порядке наблюдают другую звезду; разность
п піппотиые международные станции находятся в следующих пунктах: Гайтерсбург,
n„,« LmS УюіаТвсе три в Северной Америке). Карлофорте (Италия). Чарджуй. а впослед-
Цинциинати. Укн.і (вес три « ^
і
МицѴзава (в Японии ; кроме того, имеются две
и практически разработан американским астрономом А. Талькоттом в середине XIX сто
летня . — Прим.
перев.
отсчетов по микрометру дает разность зенитных расстояний звезд, если только
ось вращения инструмента оставалась вертикальной. Для того чтобы следить за
наклоном вертикальной оси инструмента, к трубе зенит-телескопа прикреплен
чувствительный уровень, ось которого при наблюдениях расположена параллельно
меридиану. Уровень этот может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к пло-
скости меридиана; его показания отсчитыпаются при прохождениях каждой звезды,
и изменения наклона вводятся в вычисления. Точно так же при вычислениях
надо принимать во внимание и незначительную разность влияния рефракции на
зенитное расстояние обеих звезд.
Точность, с которой можно определить широту места по способу Талькотта,
зависит, конечно, от того, с какой точностью известны склонения обеих звезд.
Если способом Талькотта пользуются для наблюдений за изменением широты,
то такого точного знания склонений не требуется, потому что для этой цели
можно наблюдать в течение очень долгого времени одну и ту же пару звезд
(или несколько пар). Международные широтные станции расположены так близко
по широте, что на них наблюдаются одни и те же пары звезд.
* Определение широты места по способу Талькотта дает очень точные резуль-
таты. Недостаток этого способа заключался в трудности подобрать подходящие
пары звезд; этот недостаток в настоящее время устранен изданием „Программы
способа Талькотта" (изд. Астрономического института в Ленинграде). В
„ Про-
грамму" входят 1967 звезд; из них можно составлять пары для наблюдений в пре-
делах от 30 до 70° широты. Но яркость большинства звезд настолько мала, что
в северных широтах СССР в светлые летние ночи их нельзя увидеть, в трубу.
Поэтому в СССР до сего времени широко применяется способ определения
широты места измерениями зенитных расстояний
северной
и
южной звезд.
За северную звезду обычно берут Полярную; за южную звезду выбирают одну
из наиболее ярких, находящихся при наблюдении вблизи меридиана. На каждую
звезду делают несколько наведений трубой при двух положениях инструмента
(т. е. поворачивая его верхнюю часть вокруг вертикальной оси на 180°), при
каждом наведении устанавливают горизонтальную нить на звезду (или наблюдают
прохождение звезды через горизонтальную нить) и делают отсчеты момента
наведения по хронометру, поправка которого известна, по вертикальному -кругу
инструмента и по уровню. Кроме того, чтобы вычислить влияние рефракции,
определяют температуру воздуха и отсчитывают показания барометра.
В СССР большое применение имеет еще и способ определения широты из
наблюдений двух звезд на соответствующих высотах. Способ этот подробно раз-
работан астрономом Певцовым и называется обыкновенно способом Певцова.
Выбирают две звезды вблизи меридиана, одну в северной, другую в южной части
неба так, чтобы высота второй звезды достигала по прошествии 4—10 минут
той же величины, какую имела перед этим высота первой звезды. Наводят трубу
инструмента на первую звезду (северную или южную) и отмечают по хронометру
(поправка которого известна) моменты прохождения звезды через горизонтальные
нити сетки; затем, не сдвигая трубы по высоте, поворачивают верхнюю часть
инструмента вокруг вертикальной оси на определенный азимут, предварительно
вычисленный, и дожидаются появления второй звезды и таким же порядком
наблюдают ее прохождения через нити. До и после прохождения, а по возмож-
ности и в промежутки между прохождениями через отдельные нити следует делать
отсчеты уровня при трубе.
Обозначая часовые углы и склонения звезд через /„ t2, Oj и 8g, составляем
два уравнения:
COSZ= SinОSinOj-{-cos<pcos8tcos tv
cosz= sinasino2-j-COS<3coso2cosi2,
откуда получаем
sin tf sin 3j
cosacos8jcostx =
sincpsin82-{-cos<pcoso2cos tv
Аотуоноіпш
9
Решая последнее уравнение относительно Ф, находим
,
COS OJ COS IJ
COS QO COS
tg(?~
sin 62 —sill Sj
'
откуда легко определить значение Ф, которое еще следует исправить за наклон
трубы. Каждая нить сетки дает отдельное значение широты; поэтому, если труба
имеет сетку с 7 горизонтальными нитями, то, наблюдая прохождение обеих звезд
черев нити, мы получим 7 отдельных значений широты; за окончательное значе-
ние принимают среднее арифметическое из всех определений. Для удобства по-
дыскания подходящих звезд составлены специальные таблицы под названием „Эфе-
мериды звезд для определения широты по соответственным высотам", вып. 1—4.
Эфемериды пригодны для широт 40—60°.*
§ 82. Определение географической долготы и широты на море. Линии
равных высот. В § 75 говорилось о том, как определить местное время из изме-
рений высоты светила, прямое восхождение и склонение которого известны, если
при этом известна также и широта места. Если известно гриничское время для
момента наблюдений, то можно найти долготу
места наблюдения.
Таким обра-
зом мы видим, что долготу
можно определить из измерений высоты светила
(высота светила h должна быть определена для соответствующего гриничского
времени), если известна широта места. Согласно § 79 можно определить широту
места из измерений высоты светил, если известна долгота.
Измерив высоту двух светил (причем должны быть известны моменты по грн-
ничскому времени, когда измерялись высоты этих светил), прямое восхождение и
склонение которых известны, мы можем найти географическую долготу и широту
места. Вопрос этот на практике может быть решен графически, если при реше-
нии его пользоваться так называемыми линиями равных высот.
Небесное тело, прямое восхождение которого равно а, а склонение 8, будет
находиться в момент Sm по звездному гриничскому времени в зените пункта на
земной поверхности, долгота которого равна X = Sm— a, a широта равна с? = 8.
У всех точек на земной поверхности, в которых зенитное расстояние небес-
ного тела в данный момент равно z (высота равна h = 90° — z), линии отвеса
образуют угол z с линией отвеса пункта, долгота которого равна Sm — а, а ши-
/-N рота равна 8. Геометрическим местом этих точек на земной поверхности будут
линии равных высот,
на которых светило с координатами а и 8 имеет одну и
ту же высоту h в момент по гриничскому времени Sm.
Нанесем все эти точки земной поверхности на глобус так, чтобы линии, соеди-
няющие изображения точек земной поверхности на глобусе с его центром, были
параллельны направлениям линий отвеса в этих точках (вследствие того, что
форма Земли несколько отличается от шарообразной, глобус не дает полного по-
добия земной поверхности); в таком случае линии равных высот изобразятся
в виде малых кругов с центром в точке с географическими координатами X = Sm — а
и <р = о и сферическим радиусом, равным z.
Линии равных высот расположены в плоскостях, перпендикулярных к вертикаль-
ным плоскостям, проходящим через светило. Расположение их видно из фиг. 74 .
Если точки земной поверхности нанести на карту (перенести их на плоскость),
то линии равных высот изобразятся кривыми, форма которых зависит от проек-
ции карты.
При измерении высоты двух небесных светил мы получаем две линии равных
высот, которые, вообще говоря, должны пересекаться в двух точках. Одна из
этих точек пересечения соответствует месту на земной поверхности, в котором
находится наблюдатель; которая из точек пересечения линий равных высот соот-
ветствует месту наблюдений, на практике всегда легко установить. Точки пере-
сечения линнй равных высот определяются точнее всего, если азимуты наблюдае-
мых небесных светил отличаются на 90°.
Если наблюдатель переместился из
одного места в другое за время между измерениями высот светил, то тогда надо-
соответственно передвинуть на карте первую из линий равных высот.
Если известна долгота места наблюдения и измерена высота небесного све-
тила, то для определения широты необходимо найти на карте или на глобусе
точку пересечения меридиана, соответствующего долготе этого места, и линии
равных высот, прочерченной на основании произведенного измерения высоты.
Чтобы точку пересечения возможно было определить точнее, необходимо, чтобы
направление линии равных высот по возможности совпадало с направлением вос-
ток— запад. Следовательно, высоты светил надо наблюдать поблизости от мери-
диана. Если известна широта места наблюдения и измерена высота светила, то
для определения долготы следует найти точку пересечения параллели данной
широты с линией равных высот. Положение точки пересечения лучше всего можно
определить, если линия равных высот не слишком отклоняется от направле-
ния север — юг. Следовательно, для определения долготы надо измерять высбты
.светил вблизи первого вертикала.
На практике проведение на глобусе линий равных высот не дает точных ре-
зультатов. Поэтому обыкновенно чертят их на карте, причем чертят не всю
линию полностью, а только небольшую ее часть,
так как почти всегда приблизительно известно,
где на земной поверхности находится наблюда-
тель. Небольшой отрезок линии равных высот,
проведенный на карте вблизи места, где находится
наблюдатель, можно считать прямолинейным*).
Определив положение хотя бы одной точки
линии равных высот поблизости от места, в ко-
тором находится наблюдатель, можно легко про-
вести и прямолинейный отрезок самой линии
равных высот; направление ее должно быть пер-
пендикулярным к направлению на наблюдаемое
небесное светило.
Положение же какой-либо точки линии равных
высот можно найти, если вычислить высоту небес-
ного тела для любой точки, расположенной вблизи места наблюдения. Такая вы-
численная высота будет слегка отличаться от полученной из наблюдений, вследствие
того, что выбранная нами точка, как правило, не будет попадать на линию
равных высот. Отложим по направлению, соответствующему азимуту светила, раз-
ность между высотой, полученной из наблюдений, и вьюотой вычисленной; тогда
и получим точку линии равных высот.
Подобное построение соответствует следующим вычислительным операциям.
Для некоторого произвольно выбранного места земной поверхности с координа-
тами ср0, Х0 вычисляют высоту Аь по формуле
sinhb= sinа0sin8-j-coscp0cos8cos(S—a —X0).
Для близкого пункта с координатами (ср0 + ^?> ^о
высоту h вычисляем
по диференцнальным формулам, выведенным в § 14:
h<=hb — cos Ad<?-\- sin A cos Ф d\.
В этом уравнении известны все величины, кроме dсо и rfX. Рассматриваемый
нами прямолинейный отрезок линии равных высот представляет собой графическое
изображение написанного выше уравнения. Измерив высоты двух светил (или
одного и того же через известный промежуток времени), составляют два уравнения,
в которые входят d<? и d\\ решая эти уравнения, находят значения для dy и
*) При кораблевождении пользуются морскими картами, составленными в проекции
Меркатора. Линии равных высот изображаются на этих картах овальными, вытянутыми
в направлении меридианов.. Небольшие отрезки их, принимаемые за прямолинейные, на-
зываются сомнеровыми линиями. При помощи их моряки определяют положение корабля,
пользуясь способом, предложенным Сомнером в середине прошлого столетия. — Прим. перев.
d\ и получают, таким образом, координаты места наблюдений; линии равных
высот, соответствующих этим уравнениям, пересекаются в точке, которая на карте
изображает место наблюдений.
Наконец, надо заметить, что определить положение пункта при помощи изме-
рения высоты светил можно сравнительно легко, даже если приближенные коор-
динаты пункта наблюдений заранее неизвестны. На основании наблюдений мы
можем написать два уравнения:
sinAj= sinсрsin8t-{-cos©cos8;cos(Sj—
—
sinAo= sin©sino„
cos<pcos82cos(S2— a2—X).
Подставив в них следующие значения:
піу = sin Aj,
m,, =
sin Ao,
a= cos8cos(S—a),
a;= cosescosX,
ô = cos8sin(S — a),
=
cos es sin X,
с= sin8,
г= sin©,
мы преобразуем эти уравнения к следующему виду:
ш1=аре+by-{-cxz,
Щ=
а
2х+
4~
с
22'
(о
В этих уравнениях хну можно выразить линейно через z. Кроме того, на-
пишем еще третье уравнение, которое связывает х, у и z\
Решая все три уравнения, находим значения л;, у и 2, а следовательно, полу-
чим и величины ср и X. Уравнения ( *) представляют собой уравнения двух линий
равных высот, соответствующих измеренным высотам светила; они выражают собой
все особенности, которые свойственны линиям равных высот.
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЗИМУТА ИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 83. Определение азимута светила и земного предмета. Задача определе-
ния азимута, с которой приходится часто иметь дело при определении взаимного
расположения двух точек на земной поверхности или при определении склонения
магнитной стрелки, сводится к тому, чтобы найти направление меридиана в дан-
ном пункте. Выше мы уже говорили о том, как найти направление меридиана из
наблюдений светила на соответствующих высотах; зная поправку часов и широту
места, эту задачу можно решить быстро и достаточно точно на основании одного
только наблюдения светила.
Лучше всего производить наблюдения теодолитом или универсальным инстру-
ментом. Приведя в горизонтальное положение горизонтальный лимб инструмента,
наводят трубу на звезду, прямое восхождение и склонение которой известны,
и наблюдают момент прохождения звезды через вертикальную нить трубы; затем
делают отсчеты по горизонтальному кругу. Если при этом надо определить ази-
мут какого-либо земного предмета, то тогда наводят трубу еще и на этот пред-
мет и опять делают отсчет по горизонтальному кругу. Разность двух отсчетов
по кругу равна разности азимутов светила и земного предмета.
Обыкновенно
производят еще вторичное наблюдение светила и земного предмета при дру-
гом положении
инструмента,
повернув его верхнюю часть на 180 вокруг
вертикальной оси.
Если наблюдают Солнце, то делают отсчеты времени при прохождении через
нить переднего и заднего краев Солнца, а затем берут среднее из обоих отсчетов.
Вычисление азимута светила для данного момента можно производить по фор-
мулам (2) § 22. Часовой угол t получают, зная момент прохождения светила через
вертикальную нить, поправку часов и прямое восхождение звезды.
Чаще всего при определении азимута производят наблюдения Полярной звезды;
во-первых, потому что ее можно видеть днем даже в трубы незначительных раз-
меров и, следовательно, нет надобности прибрать к специальным приспособлениям
для производства ночных наблюдений земных предметов; во-вторых, Полярная
звезда медленно движется в поле зрения трубы, а потому можно с меньшей точ-
ностью знать поправку часов.
* Если требуется определить азимут направления на земной предмет с высо-
•кой степенью точности, то тогда производят несколько раз- наведения на звезду
и на предмет. Обыкновенно наблюдения ведут в следующем порядке:
1. Делают наведение на земной предмет с отсчетами по горизонтальному кругу.
2 Делают наведение трубы на Полярную звезду; отсчитывают показания
хронометра, уровня, установленного на горизонтальной оси трубы, и горизонталь-
ного круга.
„
3 Делают второе наведение трубы на Полярную с такими же отсчетами.
4І Делают наведение на земной предмет с отсчетами по горизонтальному
KDVrV-
' Затем переводят трубу через зенит, поворачивают верхнюю часть инструмента
на 180° и повторяют опять все 4 наведения трубы на земной предмет и на По-
лярную, в том же порядке, как и в первом случае.
Такое определение азимута при двух положениях инструмента, когда верти-
кальный круг находится то справа, то слева от наблюдателя (круг право и круг
лево), называется полным приемом.
Окончив первый прием наблюдений, сдвигают горизонтальный лимб инстру-
мента на некоторый угол и вновь производят наблюдения земного предмета и
Полярной звезды в том же порядке, как и в первом приеме. Затем опять сдви-
гают лимб и производят наблюдения третьим приемом и т. д.
В зависимости от требуемой точности наблюдают азимут 6, 12 и более прие-
мами
Наблюдения производят ночью, устанавливая ацетиленовый или электри-
ческий фонарь на соответствующем сооружении, представляющем собой земной
предмет при определении азимута. Для повышения точности применяют наведения
подвижной нити микрометра при окулярной части трубы, когда производят на-
блюдения Полярной звезды.
Если азимут нужно знать с малой степенью точности, применяют упрощенные
способы наблюдении. В СССР широко применяется способ проф. Красовского,
при котором измеряют ѵгол между Полярной и вспомогательной звездой; этот
способ дает ошибку в азимуте меньше 1'. Большое достоинство этого способа
заключается в том, что широту места и поправку времени можно знать с грубым
приближением.*
S 84 Определение момента, в который данная звезда будет находиться
на определенном азимуте в пункте на земной поверхности, географические
координаты которого известны. Разделив третье уравнение системы (2) § 22 на
второе, получаем
_
,
.
—
соз»tgо+ sinуcos/
.
ctgi4 =
ш
Это уравнение можно переписать в следующем виде:
sin<рsinAcost— cosAsint=•cosерtg8sinA.
(*)
Введем вспомогательные величины п и n, связанные такими соотношениями:
sinерsinЛ= пsinІѴ,
cosА= ncasN,
где п — положительное число. Тогда, подставив эти выражения в уравнение (*)
и разделив его на п, получаем
•
/Аг
.ч
sinЛcosч>teо
sm (N— t)=
n
•
Из полученного уравнения можно определить часовой угол
а следовательно,
вычислить момент, когда азимут светила равен определенной заданной величине.
Если мы хотим знать, находится ли в данный момент светило выше или ниже го-
ризонта, обратимся к формуле
sinh= sinоsin8
cos<?cos8cost.
Если sin Л положителен, то светило находится выше горизонта; если sin А
отрицателен, то светило ниже горизонта. Можно также вычислить, какой знак
имеет выражение tg ер tg S —cos
если это выражение положительно, то светило
находится выше горизонта.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
УЧЕНИЕ О ДВИЖЕНИЯХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ И НЕКОТОРЫЕ
ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЭТИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 86. Понятие о скорости. Скорость движения тела измеряется отношением
отрезка пути, пройденного телом, к промежутку времени, в течение которого был
пройден этот отрезок. Часто бывает удобно обозначить движение в противо-
положные стороны различными знаками; поэтому величина скорости может иметь
положительное или отрицательное значение. Если скорость за время движения
не сохраняет одной и той же величины, то все же во многих случаях можно
довольствоваться средним значением скорости; средняя скорость равна отношению
длины некоторого конечного участка пути к промежутку времени, затраченному
на переход из начальной в конечную точку этого участка. Но
точное значение скорости в данный момент мы получим, если
возьмем отношение бесконечно малого отрезка пути к бесконечно
малому промежутку времени, затраченному на прохождение этого
отрезка пути. Само собой понятно, что скорость всегда выражается
некоторой конечной величиной; например, равна некоторому числу
километров в час или некоторому числу метров в секунду.
§ 86. Ускорение. Скорость определяют как отношение двух
величин, которые могут быть взяты сколь угодно малыми; при
таком определении мы допускаем, что скорость может изменяться
с течением времени. Отношение приращения скорости je проме-
жутку времени, в течение которого это изменение происходило,
называется ускорением
движения. Если ускорение изменяется, то точное опреде-
ление ускорения движения тела в данный момент надо выразить так: ускорение
в данный момент равно отношению бесконечно малого приращения скорости
к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого происходило изме-
нение скорости.
Обозначим длину пройденного пути через L, а время через Т; в таком случае
скорость выразится величиной L : T, а ускорение — величиной L : Т2.
Когда на
словах говорят об ускорении, то для сокращения не принимают во внимание, что
в знаменателе
стоит время в квадрате,
а говорят просто, например," так:
ускорение силы тяжести равно 9,8 м\сек.
Как известно, скорости можно разлагать (или, наоборот, складывать) по закону
параллелограма скоростей. Это справедливо и для угловой
скорости;
угловая
скорость измеряется отношением угла, на который поворачивается тело, к про-
межутку времени поворота. Например, если тело вращается вокруг оси AB
(фиг. 75) с некоторой угловой скоростью, которую мы в произвольном масштабе
отложим в виде отрезка Ab, то вращение тела можно разложить на два вращения
вокруг произвольных осей АС и AD с угловыми скоростями Ас и Ad, которые
представляют собой стороны параллелограма; диагональ же параллелограма равна Ab.
Если складывать по правилу параллелограма два отрезка определенной величины
и направления, обозначенного стрелкой (например, две скорости), то результат
от сложения назовем их геометрической суммой. Подобным же образом дадим
определение и геометрической разности: так. на фиг. 75 отрезок Ас (или db)
есть геометрическая разность отрезков Ab и Ad.
В определении ускорения как отношения приращения скорости к промежутку •
времени, в течение которого изменялась скорость, приращение скорости надо
понимать как геометрическое приращение, т. е. как геометрическую разность
скоростей, которыми обладало тело до и после рассматриваемого промежутка
времени. Такое определение ускорения можно считать обобщенным определением
ускорения. Из него следует, что ускорения также можно складывать и разлагать
по правилу параллелограма.
Если складывать геометрически два прямолинейных равномерных движения,
которые образуют угол между собой, то легко убедиться в том, что в сумме полу-
чится движение прямолинейное и равномерное; если же складывать движения
равномерное и неравномерное, то в результате получится движение криволинейное.
§ 87. Понятие о силе. Закон инерции. Из повседневного опыта можно соста-
вить себе представление о значении слова сила. Из опыта также легко убедиться
в том, что силы имеют различную величину. Но чтобы показать, как можно изме-
рять силы на основании производимых ими действий, механика должна дать
более точное определение понятию „сила". Рассмотрим только такие силы, которые
заставляют тела двигаться или изменять скорость или направление своего движения.
Тело остается в покое, если на него не действует никакая сила, или, приве-
денное какой-либо силой в движение и потом предоставленное самому себе тело
сохраняет равномерное и прямолинейное движение, пока на него не начнет дей-
ствовать новая сила.
Таким образом тело остается в покое или движется равномерно и прямолинейно,
если оно не подвергается действию каких-либо сил или, что все равно, если дей-
ствующие на него силы взаимно уравновешивают друг друга.
Этот закон, который установлен на основании данных опыта, с полной оче-
видностью доказывает, что движущие силы можно измерять по производимым
ими движениям, если только эти движения доступны наблюдениям, потому что
всякое отклонение от прямой линии или от равномерного движения показывает,
что на тело действует какая-то сила. Если тело движется прямолинейно, но ско-
рость его изменяется по величине, то, значит, действующая на него сила совпадает
с направлением движения тела (сила направлена в ту же сторону или в противо-
положную); если скорость движения остается одна и та же, но тело движется
криволинейно, то на тело действует сила под прямым углом к направлению его
движения; если,-наконец, движение тела неравномерное и криволинейное, то дей-
ствующая на него сила образует острый угол с направлением движения. Во всех
этих случаях движение происходит с ускорением. Поэтому можно дать такое опре-
деление понятию силы: сила служит причиной движения, по величине она про-
порциональна ускорению и направлена в ту же сторону. Если направление уско-
рения неизвестно, то можно на основании наблюдений разложить ускорение на
составляющие в произвольных направлениях, а затем найти их геометрическую сумму.
Вместо ускорения движения по направлению силы, для краткости, иногда говорят
ускорение
силы (например, ускорение силы тяжести).
§ 88. Масса. Плотность (удельный вес). Если одна и та же сила действует
при одинаковых условиях на различные тела, то, как показывает опыт, движение
этих тел обыкновенно оказывается неодинаковым. Можно утверждать, что большие
тела обычно приобретают под влиянием одной и той же силы меньшие ускорения,
нежели малые тела, хотя в отдельных случаях бывает и наоборот.
Можно заметить, что каждое тело обладает способностью противостоять сооб-
щаемому ему движению или же прекращению движения, если тело прежде дви-
галось; так как крупные тела в огромном большинстве случаев оказывают большее
противодействие, нежели маленькие тела, то можно предположить, что эта свое-
образная способность тел зависит от количества материи, заключающейся в них.
Это свойство тел называют их массой. Так как не всегда более крупные тела-
оказывают ббльшее противодействие влиянию на них сил, нежели тела, меньшие
по размеру, то следует предположить, что материя в нмх распределена с неоди-
наковой плотностью. Плотностью,
или удельным
весом,
тела называют отноше-
ние его массы к объему.
Согласно данным опыта и основанного на них определения понятия массы,
можно выразиться еще так: одна и та же сила сообщает телу ускорение (дви-
жение) в направлении, в котором она действует, тем большее по величине, чем
меньше масса тела.
Данное выше определение понятия массы относится к так называемой инерт-
ной массе. Но массу тела можно определить и на основании закона всемирного
тяготения (т. е. силы, прямо пропорциональной массе обоих взаимно притягиваю-
щихся тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними). Опре-
деленная таким путем масса называется весомой массой,
потому что тела обла-
дают весом вследствие влияния на них силы всемирного тяготения. Опыт пока-
зывает, что инертная масса во всех телах пропорциональна весомой массе; при-
менение наиболее точных приемов измерений современной физики не обнаружило
никаких отклонений от этого закона.
Справедливость этого закона была принята в физике как аксиома, и из него выве-
ден ряд следствий; но в 1915 г. была создана общая теория относительности,
имеющая важное значение в различных областях механики.
Принимая во внимание все сказанное выше о зависимости между движением
и силой, мы можем формулировать следующий закон:
Если сила действует на тело, обладающее массой, то производимое
силой
ускорение движения тела в направлении, в котором действует сила, прямо про-
порционально силе и обратно пропорционально массе. Математически ускорение
можно выразить отношением величины силы к массе, на которую сила действует,
умноженным на некоторый постоянный коэфициент; коэфициент этот зависит от
системы выбранных единиц и может быть сделан равным 1. Обозначим величину
силы через Р, массу через M и ускорение в том направлении, в каком действует
сила, через G, тогда получаем
Определить массу тела или отношение между массами нескольких тел не всегда
оказывается легкой задачей. Массы тел, могущих перемещаться вблизи земной по-
верхности, можно сравнивать при помощи весов. Но пес тела представляет собой
силу, с которой тело притягивается к земле, а следовательно, вес тела вовсе не
является его массой; обозначим через g ускорение, которое приобретает тело
под влиянием его веса; тогда из уравнения (1) получим
где р — вес тела.
Итак, мы видим, что для определения массы тела недостаточно ограничиться
его взвешиванием; при этом надо еще знать и величину ускорения, которое при-
обретает тело под действием тяжести. Опыт нас учит, что ускорение силы тяжести
в одном п том же пункте земной поверхности остается постоянным для всех тел;
в пустоте тела падают с одинаковым ускорением. Позже мы увидим, что величина g
не остается одинаковой во всех точках земной поверхности (см. § 103 и 104).
Следовательно, взвешивая различные тела в одном и том же пункте земной по-
верхности, мы найдем, что отношение их масс равно отношению их весов. Если
взвешивание тел производить в различных пунктах при помощи чашечных весов,
то, конечно, мы будем получать одинаковые результаты, если только гири пра-
вильные, т. е . сравнены между собой непосредственно или через посредство
других гирь; но давление, которое оказывает гиря в один килограмм на земную
поверхность или на пружинные весы, неодинаково в различных пунктах земной
поверхности, хотя гиря, конечно, сохраняет одну и ту же массу.
В дальнейшем мы не раз будем говорить о том, как в различных случаях
можно определять массы небесных тел. Чтобы выразить массу тела в числовых
единицах, необходимо принять некоторую массу за единицу. За единицу, при
измерении масс на земной поверхности, берут ту или другую единицу веса,
например, выражают массу в граммах. В астрономии такие единицы неудобны.
§ 89. Тангенциальная сила. Центростремительная и центробежная силы.
Центральные силы. Если материальная частица движется по кривой линии, то,
как мы уже говорили, этот факт служит верным признаком того, что на частицу
действует какая-то сила. Каковы бы ни были величина и направление силы, ее
всегда можно разложить на две силы: на силу тангенциальную,
которая действует
по направлению движения (или в прямо противоположном направлении), и на силу
центростремительную,
которая действует перпендикулярно к направлению дви-
жения. Первая сила производит изменение величины ускорения, вторая изменяет
направление движения. Центробежная
сила равна по величине центростремитель-
ной, но направлена в противоположную сторону. Названия этих сил основаны
на том, что всякая материальная частица, движущаяся по кривой линии, по инер-
ции стремится удалиться по направлению касательной в данной точке криволи-
нейного пути. Центростремительная сила представляет собой составляющую силы,
на самом деле действующей на точку, которая заставляет ее двигаться к центру
кривой или, иначе говоря, в сторону, в которую обращена вогнутая часть кривой.
Большое значение имеет тот случай, когда сила направлена всегда в одну точку;
такая сила называется центральной
силой. Особенно простой случай центральных
в каждый момент направлена перпендикулярно к направлению
движения. Путь, проходимый телом (его траектория),
имеет
тогда форму. окружности, и сила направлена к центру окруж-
ности, так как окружность — единственная кривая, обладаю-
щая тем свойством, что нормали, проведенные в любой ее
точке, пересекаются в одной общей точке. В этом случае тан-
генциальная сила равна нулю; скорость движения постоянна,
а направление центральной силы совпадает с направлением
центростремительной силы.
Ускорение центростремительной и центробежной силы, при
движении точки по окружности, можно выразить при по-
мощи простых
геометрических
соображений
через
ско-
рость движения по окружности и через радиус ее. Обозначим через ѵ ско-
рость движения точки А по окружности (фиг. 76), радиус которой равен
CA—г; допустим, что движение происходит с постоянной скоростью; тогда, через
некоторый промежуток времени t точка А пройдет путь AE = vt (так как
АЕ\
V=
~~ fy Если промежуток времени
а следовательно, и пройденный путь АЕ —
бесконечно малые величины, то в таком случае отрезок BE, на который дуга
пути АЕ отклоняется от касательной в направлении, параллельном АС, может
служить мерой силы, заставляющей точку А изменять свой путь по касательной AB.
Полагая путь АЕ весьма малым, можно треугольник AEF считать прямоуголь-
ным, с прямым углом в точке Е, так как малую дугу АЕ можно считать совпа-
дающей со стягивающей ее хордой. Так как AD = BE, то согласно известной
геометрической теореме (катет есть средняя пропорциональная между всей гипо-
тенузой и прилежащим отрезком), мы имеем AD : АЕ = АЕ : AF, или, принимая
AE — vt, AF = 2г и обозначая AD через s, получаем
Но величина s находится в таком же отношении к ускорению центростре-
мительной силы, в каком путь, пройденный телом при его падении, находится
к ускорению силы тяжести; поэтому, подобно тому как в физике доказывается,
что путь, пройденный падающим телом, равен */а gt'3
, где g—ускорение
силы
сил — когда сила
Фиг. 76.
тяжести, так и в нашем случае мы можем написать, что s = !/2 с/2, где с — уско-
рение центростремительной силы; отсюда следует, что с = 2s] f3. Подставляя зна-
чение 5 из формулы ( * ), получаем
с
=
т:
(2)
Принимая, что скорость в точке А равна ѵ, легко видеть на основании на-
ших рассуждений, что полученный вывод не зависит от первоначального предпо-
ложения о том, что скорость остается постоянной на протяжении всего пути,
потому что промежуток времени t очень короток и ускорение с за этот проме-
жуток времени можно считать постоянным.
ВЕЛИЧИНА И ФОРМА ЗЕМЛИ
§ 90. Геоид. Географические координаты. До сих пор при решении неко-
торых вопросов сферической астрономии мы пользовались двумя сферическими
координатами для того, чтобы определить направление
к светилу, но в астро-
номии часто приходится применять еще третью координату—расстояние. Как мы
увидим впоследствии, при определении расстояний между телами солнечной си-
стемы необходимо знать форму и размеры Земли.
На основании целого ряда общеизвестных опытов и наблюдений уже давно
установлено, что поверхность Земли кривая, причем выпуклая сторона ее по-
верхности обращена наружу. На море в этом можно убедиться с полной оче-
видностью, если смотреть в подзорную трубу на отдаленный предмет, напри-
мер, на корабль или на маяк; тогда поверхность моря между наблюдателем и
рассматриваемым предметом кажется похожей на холм, закрывающий нижнюю
часть предмета.
Дальнейшие исследования показывали, что если не обращать внимания на
сравнительно незначительные неровности суши, поверхность Земли немногим от-
личается от шара; граница тени Земли, которую можно наблюдать в верхних
слоях атмосферы после заката Солнца или до его восхода, а также при лунных,
затмениях на поверхности Луны, всегда имеет вид дуги окружности. Но шар—
единственное тело, тень которого имеет форму круга, с какой бы стороны его
ни освещали. Нам удается видеть сразу лишь очень небольшую часть тени,
вследствие чего нельзя произвести точных измерений ее с тем, чтобы с полной
очевидностью решить вопрос о форме Земли.
Способ, которым мы пользуемся для непосредственного исследования фигуры
Земли, не может быть применен на протяжении всей поверхности Земли. Поэтому
нам приходится, избрав путь, обычно применяемый в науке, принять какую-либо
гипотезу о форме Земли, а затем сравнивать теоретические результаты, выте-
кающие из этой гипотезы, с данными опыта.
В дальнейшем мы будем называть поверхностью Земли некоторую математи-
чески определенную поверхность, а именно, поверхность, которая во всех точках
своих перпендикулярна к направлению силы тяжести; такую поверхность имеет
вода в океане, если на нее не действует ветер. Такая поверхность называется
уровенной. Фигура Земли, как говорят, имеет вид геоида (см. § 95).
Наиболее естественная гипотеза, которую можно вывести из наблюдений,
состоит в том, что Землю принимают за шар, строение которого симметрично
относительно его центра: такого мнения держались уже со времен древности.
Эту гипотезу мы положим в основу дальнейших наших рассуждений вплоть до
§ 93. Если принимать Землю за шар, то сила тяжести по всей земной поверх-
ности будет направлена к центру Земли; радиус Земли в данном пункте, про-
долженный вверх, пересечет небесную сферу в' точке зенита и, следовательно,
совпадет с направлением линии отвеса. Хотя эта гипотеза не в полной мере
подтверждается данными опыта, но все же интересно проследить вкратце историю
ее развития. К тому же Земля отклоняется от правильной шарообразной формы
настолько незначительно, что во многих случаях на практике такими отклоне-
ниями можно пренебрегать.
Так как продолженные радиусы Земли идут по всем возможным направле-
ниям, то на земной поверхности должна найтись такая точка, в которой продол-
женная вертикальная линия направлена к северному полюсу небесной сферы,
а также другая диаметрально противоположная точка, в которой вертикальная
линия направлена к южному полюсу небесной сферы. Обе эти точки называются
земными полюсами, а линия, их соединяющая, называется земной осью. Большой
круг, отстоящий на 90° от полюсов, называется земным
экватором.
Совершенно очевидно, что для наблюдателя, находящегося на этом большом
круге, или для воображаемого наблюдателя, находящегося в центре Земли, пло-
скость земного экватора совмещается с плоскостью небесного экватора (см. § 17),
положение которого можно определить из наблюдений над суточным вращением
небесной сферы. До сих пор мы принимали местоположение наблюдателя за центр
небесной сферы. Так как радиус ее можно принять бесконечно большим, то
прямая линия, направленная из любой точки земной поверхности к небесному
полюсу, которую мы называем осью мира, будет параллельна земной оси.
Мери-
дианом называется большой круг, который проходит через полюс и зенит; пло-
скость меридиана проходит через отвесную линию и через ось мира, а следова-
тельно, и через земную ось; поэтому меридиан места наблюдения можно опреде-
лить как линию, по которой земную поверхность рассекает плоскость, заключающая
в себе земную ось и отвесную линию в данном пункте. Если принять Землю за
шар, то все земные меридианы будут большими кругами, проходящими через
полюс. В дальнейшем изложении удобнее центр небесной сферы совмещать с цент-
ром Земли. В § 98—100 мы рассмотрим, как влияет на координаты небесных
светил, находящихся не слишком далеко от Земли, изменение местоположения
наблюдателя на земной поверхности (суточный
параллакс).
Положение пункта на земной поверхности может быть определено, если
известно направление отвесной линии в этом пункте; направление отвесной линии
может быть задано двумя сферическими координатами; обыкновенно для этого
пользуются географическими координатами: широтой и долготой.
Географической
широтой
называется угол, образуемый отвесной линией
в данном пункте с плоскостью экватора. Так как отвесная линия направлена
в зенит, то широта места равна склонению зенита, которое в свою очередь
равно высоте полюса. Выше говорилось о том, как можно определить высоту
полюса. Если справедлива гипотеза, что Земля имеет форму шара, т. е. если
отвесная линия совмещается с радиусом Земли, то в таком случае угол, которым
измеряется широта места, имеет свою вершину в центре Земли, а следовательно,
широту можно измерять дугой меридиана от экватора до определяемого пункта.
Широту считают северной или южной в зависимости от того, находится ли место
наблюдения к северу или к югу от экватора, что соответствует положительному
или отрицательному значению высоты полюса.
Географической
долготой
называется угол, образуемый плоскостью меридиана
данного пункта с плоскостью произвольно выбранного начального меридиана; за
начальный или главный меридиан принимают гриничский
меридиан (т. е. мери-
диан, проходящий через Гриничскую обсерваторию, находящуюся в юго-восточной
части Лондона). Западную долготу считают обыкновенно положительной, а во-
сточную отрицательной.
§91. Определение долготы. Для определения разности долгот двух пунктов
пользуются суточным движением небесной сферы, как это было указано выше.
Вследствие суточного движения небесной сферы каждое светило,
например
Солнце (а следовательно, и среднее Солнце), сперва проходит через меридиан
пункта, расположенного на земной поверхности восточнее; когда через некоторый
промежуток времени светило приходит на меридиан пункта, расположенного за-
паднее, то часовой угол его в первом пункте будет равен углу между плоско-
стями обоих меридианов, т. е. равен разности долгот пунктов. Поэтому разность
долгот, так же как и часовой угол, часто выражают во времени, а не в угловой
мере (один час равен 15°). При дальнейшем суточном движении светила разность
часовых углов светила в обоих пунктах всегда остается равной их разности
долгот (см. § 51).
Так как разность часовых углов в обоих пунктах равна разности местных времен
в один и тот же физический момент, то определение разности долгот состоит
из двух операций. Во-первых, в обоих пунктах надо определить поправку вре-
мени при помощи какого-либо одного из описанпых способов, а затем надо
найти способ, пользуясь которым, возможно было бы сравнить, какое время по-
казывают часы в обоих пунктах в один и тот же физический момент. При этом
безразлично, идут ли часы по звездному или по среднему времени; если раз-
ность долгот двух пунктов равна, например 10°,
то в таком случае Солнцу
нужно затратить 40>" солнечного времени, чтобы перейти от меридиана одного
•пункта до меридиана другого пункта. Звезде же понадобится на этот переход
40"' звездного времени; само собой разумеется, что промежуток в 40'" звездного
времени короче чем 40'" солнечного времени, но угол в обоих случаях остается
один и тот же, так как суточное движение звезд быстрее суточного движения
Солнца (см. §51).
Если оба пункта связаны между собой телеграфной линией, то телеграфом
можно воспользоваться как очень удобным средством для сравнения времени,
дающим при этом очень точные результаты. Работу произво-
дят следующим образом: производят ряд наблюдений для
того, чтобы получить по возможности точную поправку вре-
мени на обоих пунктах; затем обмениваются телеграфными
сигналами, которые подают и принимают на обеих станциях
при помощи хронометров. Сигнал, подаваемый по телеграфу,
не может достигнуть другой станции в тот же самый мо-
мент, в какой он был подан, так как электрическому току
приходится исполнить некоторую работу (притянуть якорь при
помощи электромагнита) для того, чтобы сигнал мог быть при-
нят на-слух или на-глаз на приемной станции; но маленькие
ошибки, которые при этом имеют место, можно исключить
двусторонней подачей сигналов. Действительно, обозначим че-
рез А время, отмеченное на восточной станции, а через В —
время, отмеченное на западной станции. Исправим эти пока-
зания времени за поправку часов. Тогда разность А — В равна
разности долгот обоих пунктов, если только сигналы на обеих
станциях отмечены точно в одинаковое время. Если сигнал
передается из А в В, то происходит некоторое запаздывание;
отмеченное время В будет несколько больше, а следовательно, Фиг. 77. Хронометр,
разность А — В меньше, чем нужно; при передаче сигнала из
В в А значение Л будет больше, а следовательно, разность А — В будет больше,
чем нужно. Если телеграфные, аппараты на обеих станциях совершенно одина-
ковы, то среднее арифметическое даст для разности А — В вполне точную вели-
чину. Опыт показывает, что запаздывание электрического тока, вообще говоря,
незначительно и выражается в малых долях секунды.
При определении разности долгот между пунктами, не связанными телеграф-
ной линией и не имеющими радиосвязи (и если к тому же эти пункты располо-
жены настолько далеко один от другого, что нельзя воспользоваться
оптическими
сигналами
для передачи времени), приходится переезжать из одного пункта в дру-
гой, перевозя с собой хронометр (фиг. 77), показания которого сравниваются
в обоих пунктах с показаниями часов; поправка часов определяется обычными
способами. По возвращении с хронометром на исходную станцию можно уста-
новить средний ход его за время переезда. Для того чтобы результат опреде-
ления разности долгот был вполне точным, необходимо, чтобы хронометр не
изменил своего хода за время переезда. Чтобы по возможности
исключить
неточность хода хронометра, несколько раз переезжают из одного пункта в другой,
перевозя с собой не один, а несколько хронометров. Такие хронометрические
экспедиции часто производились в прежние времена, когда еще не было теле-
графа, и представляли собой самый лучший способ для определения разности
долгот. В настоящее время для определения разности долгот применяется почти
исключительно прием сигналов по беспроволочному телеграфу.
На море, если на корабле нет радиостанции, приходится определять разность
долгот, принимая во внимание ход хронометров. Перед отплытием из гавани
ставят хронометры по гриничскому времени; зная их ход, можно получить гри-
ннчское время для любого момента. Определив в море из наблюдений поправку
хронометра по местному времени (см. § 75), получают разность между гриничским
и местным временем; эта разность времен равна долготе места к востоку или к за-
паду от Грннича; если местное время больше гриничского, то долгота восточная,
а если меньше — то долгота западная.
В настоящее время некоторые обсерватории через посредство мощных ра-
диостанций, как, например, в Москве, Пушкине (близ Ленинграда), Бордо (во
Франции), Регби (в Англии), Науэн (в Германии) и др.,
посылают в опреде-
ленные часы серии так называемых ритмических сигналов точного времени. Сиг-
налы состоят из ряда точек, разделенных между собой тире для удобства раз-
личения отдельных серий. Всего за 5 минут среднего времени подается 306
сигналов. В пункте, долготу которого хотят определить, получают местное время
из нескольких наблюдений пассажным инструментом или по способу Цингера.
Затем слушают ритмические сигналы какой-либо станции и отмечают совпадения
ударов хронометра с отдельными сигналами. Подобный прием сигналов можно
производить и механическим- образом при помощи соответствующих приспо-
соблений.
Программа и время подачи ритмических сигналов публикуются заранее. Но
так как в подаче сигналов могут быть незначительные ошибки, то на обсерва-
ториях тоже их принимают и сравнивают с показаниями часов, поправки которых
хорошо известны. Результаты сравнений публикуются в специальных бюллетенях.
Приняв сигналы какой-либо станции и сравнив с ними показания хронометра,
поправка которого по местному времени определена из наблюдений, получают
долготу места относительно Гринича. В ночь можно принять сигналы нескольких
станций, что значительно уточняет определение долготы. Когда определяют раз-
ность долгот двух пунктов с особенно большой точностью, то в обоих пунктах
наблюдатели принимают за ночь сигналы нескольких станций, определяя в про-
межутке между приемами местное время с помощью пассажных инструментов.
Набрав в течение нескольких ночей (6 ночей и более) достаточное число прие-
мов, наблюдатели со своими инструментами меняются местами и вновь произво-
дят наблюдения столько же ночей. Разность долгот получается как среднее из
всех наблюдений.
Когда беспроволочный телеграф еще не применялся, для определения разности
долгот приходилось прибегать к хронометрическим рейсам. В рейс брали обыкно-
венно 8 хронометров, уложенных в специальные ящики с мягкими гнездами или
с особыми (кардановыми) подвесами (фиг. 77). Перед рейсом
хронометры
несколько дней сравнивались для определения их хода и ставились по времени
какого-либо меридиана, например, по гриничскому. Произведя наблюдения на
пункте, долгота которого была известна, астроном переезжал на следующий
пункт, долготу которого надо было определить; определив поправку хронометров
по местному времени из возможно большого числа наблюдений (например, из
нескольких пар Цингера), он переезжал на другой пункт и т. д . В конце рейса
он возвращался в исходный пункт или в другой, долгота которого была известна
заранее, и определял там опять поправку хронометров по местному времени.
Сравнивая результаты второго определения поправки хронометров с первым
определением, можно было установить средний ход хронометров в течение всего
рейса. Приняв во внимание ходы хронометров, можно вычислить показания их
по гриничскому
времени в каждом пункте, долгота которого определялась.
Разность же исправленных показаний хронометров,
идущих по гриничскому
времени, и поправки по местному времени, полученному из наблюдений, равнялась
долготе пунктов от Гринича.
Для того чтобы результаты определения долготы были точнее, необходимо,
чтобы рейсы были возможно короче (дней 5—10) и хронометры перевозились
с наивозможной осторожностью, не подвергаясь тряске, толчкам, резким поворо-
там. И все же, несмотря на все принимаемые предосторожности, точность опре-
делений долгот из хронометрических рейсов невысока. Но это был единственный
способ до применения беспроволочного телеграфа и по этому способу определены
долготы нескольких тысяч пунктов на территории СССР. В настоящее время им
уже почти не пользуются.
:і:
§ 92. Прежние методы определения долготы. В прежнее время ни один из
•описанных выше способов не был известен; поэтому для определения долготы
наблюдали Луну, которая подобно стрелке часов описывает за 27 дней свой
путь среди звезд по небесной сфере, являющейся для нее как бы циферблатом.
Кроме того, следует отметить, что начало и конец лунного
затмения,
повсюду,
где только можно видеть это явление, происходят в одни и те же физические
моменты, а потому могут служить оптическими сигналами. По причинам, о кото-
рых мы будем говорить позже (см. § 144), это явление нельзя наблюдать с доста-
точной точностью. Значительно большей точности можно достичь при наблюдении
покрытий спутников планеты Юпитер, которые к тому же происходят гораздо
чаще, нежели лунные затмения. При наблюдении покрытий приходится следить
за тем, как скрывается или, по окончании покрытия, вновь появляется светлая
точка; точность полученного результата в известноИ степени зависит от свето-
силы трубы.
Кроме того, можно наблюдать начало и конец солнечного
затмения
или мо-
менты покрытия
звезд
Луной',
второе явление наблюдается значительно точнее,
нежели первое. Но эти явления совершенно другого характера; в двух различных
пунктах земной поверхности их нельзя видеть в один и тот же физический
момент, а потому при обработке наблюдений приходится производить сложные,
вычисления.
Если в двух пунктах установлены'в меридиане пассажные инструменты, то
разность долгот этих пунктов может быть определена из наблюдений
кульминаций
Луны. Момент кульминации Луны отмечают по часам, поправка которых опреде-
лялась по звездам тем же инструментом до и после наблюдений Луны. Сущность,
метода заключается в том, чтобы получить прямые восхождения Луны; так как
прямые восхождения Луны непрестанно возрастают, то очевидно, что в пункте,
расположенном восточнее, они меньше, чем в пункте, расположенном западнее.
Прямое восхождение Луны увеличивается приблизительно на 2я в минуту; если
в обоих пунктах определять время кульминации с точностью до 0я,1, то можно
ожидать, что разность долгот получится с ошибкой, не превышающей 3я
.
Сделав
несколько повторных наблюдений, можно повысить точность полученного резуль-
тата. Величины, на которые увеличиваются прямые восхождения Луны изо дня
в день, могут быть вычислены на основании теории движения Луны; величины«
эти помещаются в больших астрономических ежегодниках.
На море, при определении долготы из наблюдений Лупы, обыкновенно изме-
ряют так называемые лунные расстояния.
При помощи секстана измеряют рас-
стояние от светлого края Луны до края Солнца или до звезды, находящейся на
небе поблизости от Луны; по хронометру отмечают момент, когда производилось
измерение; поправку хронометра по местному времени стараются определить
приблизительно в то же время из наблюдений высоты какого-либо светила.
Чтобы по возможности сократить довольно длинные вычисления, необходимые при
обработке наблюдений лунных расстояний, в больших астрономических ежегодни-
ках в прежнее время печатались угловые расстояния Луны от Солнца и от неко-
торого числа ярких звезд; эти угловые расстояния давались через 3 часа для.
каждого дня, в который Луну можно было видеть на небе. Сравнивая расстоя-
ние, полученное из
наблюдений после внесения соответствующих
поправок,
с расстоянием, предварительно вычисленным, можно при помощи интерполирования
найти гриничское время. В позднейшее время, в связи с улучшением качества
изготовления хронометров и с ускорением переездов по морю, а в особенности
после изобретения беспроволочного телеграфа, наблюдения Луны сделались только
вспомогательными при других определениях, и лунные расстояния теперь уже
больше
не предвычисляются. Впрочем, наблюдатель в случае необходимости
может и сам предвычислить их, пользуясь другими данными, приводимыми в астро-
номических ежегодниках.
§ 93. Градусные измерения. Фигуру и размеры Земли определяют
путем
гак называемых градусных
измерений. Название градусных измерений происходит
от того, что первоначально измеряли длину одного градуса по широте и затем
вычисляли на основании этой величины длину земного радиуса. Позднее стали
измерять длину дуги меридиана на протяжении нескольких градусов. При гра-
дусном измерении необходимо производить астрономические
наблюдения, чтобы
определить угол между направлениями отвесной линии в концах измеряемой
ц
дуги, и геодезические
измерения, чтобы получить расстояние
между конечными точками дуги.
Если допустить, что Земля представляет собой шар, то
достаточно было бы произвести только одно такое градусное
измерение. Справедливость гипотезы о шарообразности Земли
можно проверить, производя градусные измерения в разных
местах земной поверхности и сравнивая между собой получен-
ные результаты.
На фиг. 78 буквой N обозначен один из полюсов Земли,
Фиг. 78 .
а буквами А и В — две другие точки на земной поверхности.
Дуги меридианов NA и NB
и дуга большого круга
AB
(которая измеряется углом между отвесными линиями в точках А и В) обра-
зуют при пересечении сферический треугольник ABN. Если известно значение
угла V между линиями отвеса в точках АілВ
и если известно Ъ — линейная длина
дуги AB, то, обозначая радиус Земли через R, получаем
ь_у
2r.r
360' '
Из этого выражения определяем значение R.
Значение угла ѵ можно получить из астрономических наблюдений; для этого
надо определить широты точек Л и В, а кроме того, их разность долгот, кото-
рая на фиг. 78 соответствует сферическому углу при полюсе N. Тогда в сфери-
ческом треугольнике ABN будут известны две стороны NA и NB, как дополнения
широт точек А и В, и угол между ними; решая треугольник, найдем третью
сторону AB,
которая в дуговой мере равна ѵ. Если пункты А и В лежат на
одном меридиане, то ѵ равно разности широт этих пунктов.
Чтобы получить линейное расстояние Ь, в древние времена непосредственно
измеряли линию АВ\ для этого, конечно, необходимо, чтобы местность, по кото-
рой пролегает линия AB, была удобна для измерений.
Древнейшее градусное измерение, о котором до нас дошли сведения, было
произведено в Египте Эратосфеном (жившим в 276—194 гг. до н. э .). Он опре-
делил длину дуги между городами Александрией и Сиеной (нынешним Ассуаном
на р. Ниле), которые расположены почти точно на одном меридиане на расстоянии
около 5000 стадий один от другого; длину северной части дуги он получил на
основании землемерных работ; длину южной части получил из числа дней пути,
потребных для переезда в Сиену. Кроме того, он слышал, что в день летнего
солнцестояния, в полдень, в Сиене Солнце стоит в зените (оно бросает лучи
в глубокий колодец и не дает тени). В Александрии, по его собственным наблю-
дениям, Солнце стоит в то же самое время на расстоянии »/ю окружности от
зенита. На основании этих данных Эратосфен пришел к заключению, что окруж-
ность Земли равна 50 X 5000 = 250 000 стадий. Длина стадии, повндимому, не
везде была одинаковой. Ее считают равной 157, 180 или 210 м, причем первое
значение в данном случае, вероятно, является наиболее правильным.
Из других работ, произведенных после Эратосфена, надо упомянуть о гра-
дусном измерении при калифе Альмамуне:
по его распоряжению в 827 г.
в Мессопотамской равнине вели работу две экспедиции; одна шла к северу,
а другая к югу, пока высота полюса не изменилась для каждой партии на 1°;
расстояние измерялось жезлами. Результат получен в арабских эллах, причем
указано, что один элл равен 27 дюймам, а один дюйм — 6 ячменным зернам.
Существенные, улучшения в геодезическую часть операций внес голландец
Сиель ван-Ройен или Снеллнус, который применил в работах метод триангуляции.
Важные усовершенствования в метод Снеллиуса внес Пикар и в существенных
частях придал ему ту форму, в какой он применяется и теперь. Вместо того
чтобы непосредственно измерять расстояние между точками А и В (фиг. 79),
выбирают между ними несколько промежуточных станций, которые расположены
так, чтобы с каждой из них были видны несколько последующих; при
л
этом принимают меры, чтобы в треугольниках, цепь которых соединяет
точки А и В, не было слишком острых углов. На удобной для того
местности измеряют непосредственно с наивозможной точностью, на-
пример, линию АС, которая называется базисом; длина ее обыкновенно
не слишком велика. Остальная работа заключается в том, чтобы при
помощи теодолита измерить горизонтальные углы в треугольниках.
Сначала устанавливают инструмент в точке А и измеряют угол между
направлениями АС и AD; затем в точке С измеряют угол между на-
правлениями CA и CD; тогда можно считать
треугольник
ACD
заданным, потому что в нем известна сторона и два прилегающих Фиг. 79.
угла; две другие стороны AD н CD можно получить путем вычисле-
ний. Сторона CD может быть принята как исходная для треугольника
CDE,
в котором опять измеряют углы (обыкновенно все три угла), и т. д . Изме-
рения ведут по всей сети треугольников вплоть до точки В. Очевидно, что
при таких работах мы получим величину и форму всей сети треугольников.
Теодолитом мы измеряем углы между двумя вертикальными плоскостями; стороны
треугольников представляют собой линии пересечения вертикальных плоскостей
с уровенной поверхностью Земли, к которой приведена длина базиса; поэтому
стороны треугольников становятся несколько короче, так-как вертикальные линии
книзу сближаются. Если принимать Землю за шар, то треугольники в триангуля-
ции надо рассматривать как сферические. Но нет необходимости при вычислении
их прибегать к теоремам сферической тригонометрии; вообще говоря, с доста-
точной точностью можно принимать стороны сферических треугольников за прямые
линии, а каждый угол в нем уменьшить на одну треть сферического
избытка
треугольника (теорема Лежандра). В таком случае сферические треугольники
заменяются плоскими. Для вычисления сферического избытка достаточно знать
размеры Земли лишь приблизительно. Обыкновенно сферический избыток не пре-
вышает нескольких секунд; например, в равностороннем треугольнике с длиной
сторон в 100 км сферический избыток равен 22".
В триангуляции длимы сторон
треугольников в большинстве случаев берутся от 30 до 60 км. В СССР самая
длинная сторона такого треугольника, между пунктами Годореби и Эльбрус
(на Кавказе), составляет около 235 км. В четыреуголышке, связывающем Испанию
с Алжиром, стороны которого перекинуты через западную часть Средиземного
моря, длины сторон достигают 270 км. В США имеются треугольники с длиной
стороны свыше 300 км (сторона между пунктами Диабло и Шаста в Калифор-
нии равна 367 км), а в северной Вест-Индии—до 400 км. Для более точных
наблюдений пунктов даже и при более коротких сторонах применяются
гелио-
тропы; прибор этот изобретен Гауссом и состоит из зеркала, которое отражает
лучи Солнца по- направлению к станции, с которой производятся измерения
Дсгроноішід
10
теодолитом. В последнее время предпочитают производить измерения углов ночыо
и наблюдения производят на сильные искусственные источники света.
Если триангуляционной сетью хотят воспользоваться для градусного измерения,
то на ней необходимо произвести еще следующие астрономические наблюдения.
Во-первых, определяют широты на концах цепи треугольников в точках А и В.
Затем необходимо ориентировать цепь треугольников, измерив для этого азимут
стороны одного из треугольников; азимут измеряют преимущественно по Полярной
звезде, причем поправка времени должна быть известна. С этой целью необходимо
производить определения времени. Если цепь треугольников расположена пре-
имущественно в направлении восток — запад, то, помимо определения широт, необхо-
димо определить и разность долгот конечных пунктов1).
Если градусное измерение ведут по широте, т. е . измеряют дугу меридиана,
причем конечные пункты А и В расположены не вполне точно на одном мери-
диане, то тогда при помощи триангуляции и азимутов ее сторон можно вычи-
слить длину дуги меридиана между двумя параллелями, проходящими
через
точки А и В. Если градусное измерение производится по долготе, причем
пункты А и В не находятся на одной параллели, то, зная азимут какой-либо
линии, длина которой измерена и которая проложена приблизительно в напра-
влении восток — запад, мы можем вычислить дугу параллели между меридианами,
проходящими через точки А и В. Если градусное измерение представляет собой
цепь треугольников, проложенную под острым углом к меридиану, то необхо-
димо определить широты пунктов А И В и разность их долгот.
Кроме того, надо заметить, что такие же астрономические и геодезические
работы необходимо производить, чтобы получить основу для съемочных работ
при составлении карты местности. Вершины углов треугольников представляют
собой опорные точки для съемки и называются тригонометрическими пунктами.
Пространство между ними заполняется съемкой подробностей.
Первое точное градусное измерение, на основании проложенной триангуляции,
было произведено Пикаром в Северной Франции; в 1669—1670 гг. он нашел,
что длина одного градуса широты равна 57 060 французским туазам 2) или
приблизительно 111 200 м.
§ 94. Земля — эллипсоид вращения. Большая н малая оси. Сжатие. Эксцен-
триситет. Геоцентрическая широта. Через несколько лет после градусного
измерения Пикара, Ныотон высказал мнение, что на основании теоретических
соображений кривизна земной поверхности у полюса должна быть меньше, чем
у экватора. Поэтому, если произвести два градусных измерения, одно в высоких,
а другое в низких широтах, то длина градуса широты в первом случае будет больше,
чем во втором случае, потому что, чем меньше кривизна поверхности Земли,
тем большее расстояние надо проехать по ней, чтобы направление отвесной линии
изменилось на 1° или на какую-либо другую заданную величину.
Для того чтобы на практике решить этот вопрос, французская Академия наук
снарядила две экспедиции: одна отправилась в Шведскую Лапландию, а другая
в Перу, где и были произведены градусные измерения в 1736—1743 гг. Вычи-
сления показали, что длина градуса меридиана около северного полярного круга
равна 57 422 туазам, а около экватора 56 753 туазам. Хотя наблюдения не соот-
ветствовали точности, выраженной числом цифр в этих значениях для длины гра-
дуса, но все же полученный результат с достаточной убедительностью подтвердил
предположения Ньютона.
Тогда пришлось отказаться от старой гипотезы о шарообразной форме Земли.
Вместо нее Ныотон, на основании открытого им закона всемирного тяготения,
предложил новую гипотезу, согласно которой уровенная поверхность Земли пред-
Ч При прокладывании триангуляции на территории СССР измеряют поверочные базисы
через каждые 200—300 км, причем производят астрономические наблюдения для определе-
ния широты и долготы концов базиса и азимута его направления.— Прим. перев.
2 Длина одного туаза считается равной 864 парижским линиям или 1949,03632 мм.
—
Прим. перев.
ставляет собой эллипсоид
вращения,
сплюснутый у полюсов; эллипсоид этот
получен от вращения эллипса вокруг его малой осн. Все меридианы представляют
собой эллипсы, равные по величине один другому; экватор представляет собой
окружность, точно так же как и все параллели. Много математиков, среди
которых можно отметить имя Стирлинга, пы-
тались доказать аналитически эту гипотезу. Но
только впервые Клеро показал ее справедливость
на основании весьма вероятных предположений.
Впоследствии оказалось, что предположения Клеро
в общем подтвердились. В
настоящее время
нельзя еще с полной уверенностью установить
характер отклонений фигуры Земли от устано-
вленной на основании гипотезы Ньютона и Клеро.
Согласно
гипотезе,
принимающей Землю
за эллипсоид вращения, линии отвеса только
в полюсе и на экваторе направлены к центру Земли; для всех же осталь-
ных точек земной поверхности они не пройдут через центр, хотя все пересекут
земную ось, так что определение меридиана места остается тем же самым, что
и при гипотезе о шарообразности земной поверхности. Так как географической
широтой называется угол, образуемый отвесной линией с плоскостью экватора,,
то вершина этого угла не совпадает с центром Земли. На фиг. 80 (сжатие
Земли показано на чертеже в преувеличенном виде) радиус экватора обозначен
через CA; линия отвеса в точке S обозначена через SZ,
географическая широта
равна углу ср. Угол SCA, образуемый радиусом Земли, проведенным в точку S,
с плоскостью экватора, называется геоцентрической
широтой. В дальнейшем мы
будем обозначать ее через <?'.
В таком случае уже нельзя сказать, что геогра-
фическая широта измеряется дугой SA; геоцентрическая широта тоже не изме-
ряется дугой SA.
Так как треугольники триангуляции, прокладываемой на земной поверхности,
образуются при пересечении поверхности Земли вертикальными
плоскостями,
то очевидно, что стороны этих треугольников представляют собой дуги эллипсов.
Но с достаточной точностью треугольники можно принимать за сферические, а сле-
довательно, и вычислять их способами, описанными выше; только при этом считают,
что треугольники расположены на поверхности шара, радиус которого соответст-
вует среднему радиусу кривизны площади, на которой расположен треугольник.
Форму и размеры эллипса можно определить при* помощи двух постоянных
величин. Для определения размеров Земли поэтому необходимо произвести два
градусных измерения на различных широтах или одно градусное измерение
по широтё, а другое по долготе, или, наконец, — одно градусное измерение,
проходящее под острым углом к меридиану. В справедливости гипотезы, что
Земля имеет форму эллипсоида вращения (или, иначе, сфероида), можно убедиться,
сравнивая результаты различных градусных измерений.
Обозначим, через а — экваториальный, а через b — полярный радиусы Земли;
эти две величины определяют фигуру и размеры земного сфероида; но фигуру
и размеры земного сфероида могут определить и две другие величины, например,
величина а (экваториальный радиус) и сжатие Земли а, которое может быть
определено из выражения
Вместо сжатия можно брать эксцентриситет е меридиана земного сфероида,
который определяется из выражения
Так как а=1
Lн2—а=1
то е2= а(2—а).
§ 95. Определение элементов земного сфероида. Одішм из крупнейших
градусных измерений считается русско-скандинавское; за время с 1817 до 1852 г.
проложена сеть треугольников от г. Измаила на Дунае (близ Черного моря)
до Ледовитого океана, на берегах которого на Фугенезе, близ Гаммерфеста, стоит
„меридианный столб", обозначающий северный конец градусного измерения. Оно
охватывает с лишком 25° по широте, от 45°20' до 70°40'.
Еще длиннее английско-
французско-испанская дуга, которая тянется от Саксафорда на Шетландских
островах до оазиса Лагуат в Сахаре и охватывает 28°. Со временем будет изме-
рена дуга Кептаун — Каир (в Африке); соединив эту дугу с русско-скандинавским
градусным измерением, можно получить гигантскую лугу от мыса Нордкап до мыса
Доброй Надежды. Во второй половине прошлого столетия была измерена дуга
параллели 52° от Ирландия до Сибири (до г. Орска) на протяжении 69°.
В настоящее время производятся работы по продолжению этой дуги до Влади-
востока J). Во многих других местностях также проложены сети триангуляции
в целях градусного измерения.
На основании триангуляции,
произведенных
до середины прошлого столетня,
Бессель вычислил размеры Земли;
позднее
Кларк произвел вычисления размеров Земли на основании вновь исполненных
работ преимущественно в Индии.
-
Гельмерт в Потсдаме
воспользовался
для
вычислений, помимо того, еще частью материалов, полученных
от Между-
'
народного градусного измерения, а Хайфорд использовал еще обширные триан-
гуляции, произведенные в США. Вместо того чтобы выводить размеры Земли
на основании отдельных дуг (способ дуг), Гельмерт предложил пользоваться ири
вычислениях сетями треугольников,
покрывающих по площади
значительные
пространства (способ площадей). Эта идея была принята в Америке. Бессель
в своих работах принял за единицу длины французский туаз; Кларк вычислял
в английских футах; в приводимой ниже таблице результаты даны в метрах.
При установлении метрической системы, в эпоху французской революции, метр
был принят равным одной десятимиллионной части четверти парижского меридиана.
Чтобы точнее получить его значение, старая сеть треуголь-
aUâ
пиков, проложенная вдоль парижского меридиана, была частью
СУ^Шщ. вновь перенаблюдена и продолжена до Балеарских островов;
_ = ЗаШВ- чтобы по возможности исключить ошибку, зависящую от неточ-
-—-^ШШі »ого знания сжатия Земли, дугу меридиана решили расположить
-WJp-
симметрично относительно 45° широты. Но прежде чем были
ІШІШ— закончены полевые и вычислительные работы, по
настоянию
—
ШШ== Конвента в 1799 г. был изготовлен первый нормальный метр
ШШШ-.
' (так называемый архивный метр). Ошибка в его длине, т. е .' откло-
нение от длины одной десятимиллионной части четверти мери-
=Шт=:
диана, не была устранена. В 1875 г. двадцать государств заклю-
^кшЩШ—
чили международное соглашение по вопросу о единицах меры
и веса, согласно которому в Бретейле, близ Парижа, было орга-
низовано Международное бюро мер и весов. Первой задачей этого
Бюро было изготовление международного прототипа Метра (ÏÏÎ),
которое было закончено в 1889 г. Копни этого прототипа (фиг. 81),
Фиг. 81 . Нор-
изготовленные одновременно в Бретейле в количестве 30 экзем-
мальныіі метр.
пляров, были распределены
по жребию между государствами,
заключившими соглашение.
* Инициатива организации Международного комитета мер и весов принадлежит
известному русскому физику Якоби, который сделал соответственный доклад
на заседании физико-математического отделения Академии наук в Петербурге
8 апреля 1869 г. Предложение Академии наук было принято другими государ-
1) На заседаниях Международной Балтийской конференции осенью 1934 г. советские
геодезисты поставили вопрос о проложена» сети треугольников от Владивостока вдоль
берегов Охотского моря до Берингова пролива для связи с трнангуляцнями в Америке. —
Прим.
иерев.
ствами, и окончательное соглашение было заключено в 1875 г. Форма метра
была предложена французским физиком Треска; это — жезл, в разрезе предста-
вляющий косой крест длиной 1,2 м, весом 3,3 кг и объемом 153 941 мма,
из
сплава платины (90%) и иридия (10%). Концевые деления нанесены на так назы-
ваемой нейтральной поверхности жезла (у пересечения перекладин). На долю
России достались прототипы No 11 и No 28. Длина их из многочисленных срав-
нений с архивным метром оказалась равной:
No 11= 1 м — 0,5 [I-{-(8,650 |x)f-f(0,01 |х) t\
No 28 = 1 м -j -0,5 |x-f -(8,650 p.) £-[-(0,01 p.) t\
гдеp.—
микрон, t — температура по Цельсию. Таким образом средняя длина двух
этих прототипов метра составляет ровно 1 метр. Эти прототипы хранятся
в настоящее время в СССР — в Академии наук (No 11) и во Всесоюзном научно-
исследовательском институте метрологии (No 28). *
Легальный метр, согласно принятому французским Конвентом закону, равен
443,296 линий так называемого перуанского *) туаза при 13° С. Так как за прото-
тип международного метра (Ші) принята длина архивного метра, то между ним
и легальным метром существует некоторое различие.
Позднейшие градусные измерения показали,
что принятый метр оказался
несколько короче теоретической длины (т. е. одной десятимиллионной части
четверти меридиана); это значит, что в действительности дуга четверти мери-
диана (расстояние от экватора до полюса) несколько больше 10 000 000 м.
В результате вычислений различных ученых получены следующие значения для
элементов земного сфероида: a — большая полуось, b — малая полуось, с — длина
четверти меридиана, а—сжатие.
Бессель (1841) Кларк (1880)
Гельмерт
Хайфорд (1910)
КрасопскшТ
(1936)
а
6377397M 6378249м 6378140м 6378388м 6378210м
b
6356079„ 6356515 , 6356758 „ 6356912. 6356850.
с
10000856„ 10001868_ 10001973„ 10002288„ 10С02097„
а
1/299
1/293 *
1/298
1/297
1/298,6
Различие результатов можно объяснить отчасти несовершенством наблюдений;
но приводимые числа показывают также, что принятая
нами гипотеза,
что
фигура Земли представляет собой эллипсоид
вращения
(сфероид), не вполне
справедлива. Это можно видеть и на основании исследований другого рода.
Приводимые результаты показывают, что нельзя надеяться подобрать такие
значения элементов земного сфероида, которые удовлетворяли бы всем данным,
получаемым из наблюдений; но все же расхождения результатов носят в боль-
шинстве случайный характер. Направление силы тяжести, на котором основаны
все наблюдения, в некоторых местах отклоняется от нормального, т. е . обнару-
живаются так называемые местные отклонения силы тяжести (аномалии).
Часто причиной аномалий служат некоторые вполне очевидные явления; например,
направление отвесной линии в долине отклоняется к горам, близ которых произ-
водились наблюдения; направление силы тяжести, вследствие притяжения Землей,
направлено вниз, но расположенные поблизости значительные массы могут за-
метно отклонить его в сторону. Такое отклонение силы тяжести имеет место на
*) Перуанский туаз был изготовлен в 1735 г. для сравнения мерных жезлов при изме-
рении базисов градусного измерения в Перу; он представлял собой плоскую железную
линейку, на концах которой были, сделаны срезы до половины ее толщины. Линейка была
пригнана своими срезами к скобам железной полосы на лестнице башни Большого Шателе
в Париже. Длина железной полосы на башне (ныне разрушенной) считалась длиной фран-
цузского туаза. С перуанского туаза были сняты копии для русско-скандинавского градус-
ного измерения и для прежних триангуляцнй в Пруссин. — Прим.
перев.
западных берегах Норвегии, при сравнении с направлением силы тяжести в восточ-
ной части страны *). Но и на широко растянувшихся долинах также наблюдаются
местные аномалии силы тяжести, причина которых заключается в неравномерной
плотности верхних слоев земной коры.
Следует различать три вида земной поверхности: 1) Физическую
поверхность
Земли, которую мы видим и ощущаем. 2) Гидростатическую
или, иначе,
уровен-
ную поверхность, которая во всех точках нормальна к направлению силы тяжести;
ее кривизна обнаруживает многочисленные, но весьма незначительные неправиль-
ности; уровенная поверхность соответствует гладкой поверхности океанов (фигура,
образуемая уровенной поверхностью всей Земли, называется геоидом).
3) Идеаль-
ную поверхность Земли, которая соответствует поверхности эллипсоида вращения,
.
по возможности лучше всего подходящего по своему виду и по размерам к уро-
венной поверхности Земли, т. е. к геоиду. В противоположность физической
уровенная и идеальная поверхности Земли —воображаемые. Строго математическую
форму имеет только идеальная поверхность Земли. Хотя математическая и уровен-
-
ная поверхности Земли только воображаемые, но все же они имеют большое
практическое значение. На такой поверхности прокладывают сеть координат и
вычисляют координаты положения пунктов, на основании измеренных горизон-
тальных координат на физической поверхности Земли, т. е . получают их эллип-
соидальные
широты
и
долготы.
Третью координату, т. е . высоту
пункта, можно получить при помощи
геометрического нивелирования; при
этом получают высоту над поверх-
ностью геоида. Если хотят привести
все три координаты к одной поверх-
ности, то, конечно, надо опреде-
лить
отступления
поверхности •
геоида от эллипсоида. Отступления
геоида от эллипсоида известны пока
только для отдельных участков зем-
ной поверхности, да и то прибли-
зительно. Они частью положительные,
частью отрицательные, так что по-
верхность геоида слегка волнооб-
разна, образуя как бы горы и долины. Но эти горы и долины, вообще говоря,
довольно плоские и сравнительно небольшие, так что геоид от-сфероида отли-
чается не более чем на 100 м.
В некоторых случаях требуется чрезвычайно
высокая точность,
например,'
когда пробивают длинные тоннели, причем ведут работы одновременно с двух
концов; тогда не только требуется произвести тщательную триангуляцию и ниве-
лирование между обоими конечными пунктами тоннеля, но следует принять во
внимание и отклонения линии отвеса, которые определяются из сравнения резуль-
татов астрономических и геодезических наблюдений на пунктах триангуляции.
Приводимая выше таблица дает длину одного градуса по меридиану и по
параллели на различных широтах на сфероиде Бесселя 2). Если бы Земля была
В СССР заметное отклонение силы тяжести производит кавказский хребет. Очень
значительные отклонения наблюдались в Средней Азии, в Ферганской долине; по вычисле-
ниям геодезиста Померанцева разность отклонений в направлениях силы тяжести для севеп-
ногсмі южного краев долины равна 1'16". —
Прим.
перев.
-) В оригинале приводится таблица, составленная для сфероида Гельмерта, но сфероид
•Бесселя принят для геодезических и картографических работ в СССР, хотя его эле-
менты и признаются устаревшими. В настоящее время на территории СССР проклады-
ваются длинные ряды триангуллций с производством астрономических работ и измерений
силы тяжести; на основании этих работ проф. Ф . Н. Красовский вычислил (см. стр. 149)
элементы сфероида, лучше всего отвечающие форме геоида иа протяжении тероитошіи
СССР. —
Прим. перев.
*
Длина 1°
0°
10
20
30
40
50
60
70
80
90
по мери-
диану
вкм
110,56
110,60
110,69
110,84
111,02
111,22
111,40
111,55
111,65
111,68
по парал-
лели
окм
111,31
109.63
104.64
96,48
85,38
71,69
55,79
38,18
19,38
0,00
м
вкм
6334,8
6336.8
6342,2
6350,7
6361.1
6372.2
6382,7
6391.3
6396.9
6399,0
n
вкм
6377,2
6378,2
6379,8
6382,8
6386.2
6390,0
6393,4
6396.3
6398,2
6399,0
шаром с радиусом а, равным экваториальной полуоси, то радиус параллельного
круга, широта которого а, равнялся бы a cos 9; но вследствие сжатия Земли
радиус параллели несколько больше, чем acoscp, где ср — географическая широта.
В таблице помещены также радиусы кривизны меридиана (AI) и сечения в первом
вертикале (JV), т. е . вертикального сечения,, перпендикулярного к плоскости мери-
диана места, а следовательно, касательного к параллельному кругу.
Из таблицы видно, что кривизна земной поверхности несколько
больше
в направлении север — юг, чем в направлении восток — запад; разница эта умень-
шается по мере удаления от экватора и на полюсах совершенно исчезает. Сред-
нее значение радиуса кривизны в данной точке равно "jfMN\ так, например,
для широты 60р средний радиус кривизны равен 6388,1 км. Длина географи-
ческой мили равна V,G части градуса на экваторе, т. е . равна 7,4204 км. Длина
морской мили равна 1,8551 км, т. е. равна 1' по долготе на экваторе.
§ 96. Формулы для вычисления геоцентрической широты и радиуса-век-
тора любой точки на поверхности Земли. На основании геометрических свойств
эллипса можно вывести соотношение между геоцентрической
широтой (со') и
географической
(со). Обозначив через х и у координаты точки S (фиг. 80), отне-
сенные к осям координат, совпадающим с главными осями эллипса, причем начало
координат находится в центре эллипса, получаем
tg
(О
С другой стороны, в силу того, что нормаль к эллипсу в точке 5 образует
угол ф с осью абсцисс, мы можем написать
tg? —g.
(2)
Диференцируя уравнение эллипса:
f.2л-уі—1
и)
^
Iб*—1»
W
получаем
dy
b-y
Подставляя в уравнение (4) значения из уравнений (1) и (2), получаем
у
tg<?' =
^
tg 9.
*
(5)
Из уравнения (5) можно видеть, что 9' =
9при9=0° ипри9= ±90°,
т. е . на экваторе и на полюсе; для всех же остальных точек небесной сферы 9'
несколько меньше 9, так как b < а.
^ Выражение (5) можно разложить в ряд, первые члены которого получат сле-
дующий вид, если взять элементы сфероида Бесселя:
9'=
ш— 11'30",6 sin29+ 1",2sin49...
Обозначим радиус-вектор
CS точки 5 на земной поверхности через р; тогда
на основании фиг. 80 имеем следующие формулы:
A: = pcos9',
=
р sin ср'.
(6)
Подставим эти выражения -в уравнение эллипса (3), тогда после простых пре-
образований получим следующее выражение для р:
Г
(7)
Vw
Формула (7) позволяет вычислить р, если известно 9'.
личных^ обсерва торий"0Миче ск их
ежегодниках величины
„ р даются ддя раз.
§ 97. Понижение горизонта. Понижением горизонта для точки А (фиг 82)
расположенной на высоте h над поверхностью моря, называется угол, образуе-
мый горизонтальной плоскостью и лучом зрения, направлен-
ным на край моря. Если бы луч зрения был прямой линией,
то понижение горизонта измерялось бы углом ВАН, обра-
зованным касательной AB и горизонтальной линией АН- из
чертежа видно, что угол ВАН = АСВ = а . Из прямоуголь-
ного треугольника АС В имеем
P= (P+ Ä)COSА,
или
secа= 1-4-
-.
1Р
Так как высота глаза над поверхностью моря представляет собой чрезвы-
чайно малую величину сравнительно с радиусом Земли, то угол а так мал, что,
разлагая в ряд предыдущее выражение, можно принять sec а = 1 -4 -- а2
откѵлз'
получаем
~
2
'
и
'*-
уд<1
—
•/т-
Эту формулу надо несколько изменить, если приходится принимать во вни-
мание влияние рефракции. Числовое значение понижения горизонта получают
при помощи секстана, как описано в § 27.
•
СУТОЧНЫЙ ПАРАЛЛАКС
§98. Суточный параллакс и его влияние на координаты светил если
считать Землю за шар. Вообще говоря, параллаксом
называют изменение напра-
вления визирной линии, когда наблюдатель изменяет свое местоположение Следова-
тельно, параллакс измеряетсяуглом, вершина которого находится в наблюдаемой точке
Если перенести центр небесной сферы из произвольной точки земной поверх-
ности, в которой находится наблюдатель, в центр Земли, то возникает вопрос
какие изменения получаются в координатах светила, если наблюдать его не
с земной поверхности, а из центра Земли. Центр Земли можно рассматривать
как точку, к которой можно привести все наблюдаемые направления с различных
точек земной поверхности.
^
Суточным параллаксом
некоторой точки пространства называется угол обра-
зуемый линией визирования на данную точку с поверхности Земли и линией
соединяющей эту точку с центром Земли. Сферические координаты, определяю-
щие направление на светило из центра Земли, называются
геоцентрическими
координаты же, определяющие направление на светило относительно некоторой
точки на земной поверхности, иногда называются
топоцентрическими
Легко видеть, что величина этого угла зависит от расстояния 'цо светила.
Если расстояние до светила известно, то легко вычислить влияние параллакса
на координаты светила, особенно, если считать Землю за шар. Опыт показывает
что только для весьма небольшого числа светил, у которых суточный параллакс'
особенно велик, да и то при самых точных определениях их положения, следѵет
принимать во внимание сжатие Земли; в большинстве же случаев сжатие Земли
не оказывает никакого влияния на результаты наблюдений.
На фиг. 83 изображен земной шар; центр его находится в точке С, а наблю-
датель находится в точке о. Продолженный вверх радиус Со будет направлен
в зенит наблюдателя (на чертеже геоцентрический горизонт НН проведен парал-
лельно обыкновенному астрономическому горизонту Н'Н').
Буквой S обозначено светило; угол oSC = тг —параллакс светила, согласно
данному выше определению. Так как треугольник SoC расположен в вертикальной
плоскости наблюдателя, то легко видеть, что параллакс оказывает влияние на
высоту и на зенитное расстояние светила, а не на его
азимут. Поэтому его иногда называют
параллаксом
по высоте. Если обозначим через z' — зенитное рас-
стояние светила, полученное из наблюдений и испга-
вленное за рефракцию, то из фиг. 83 видно, что
---
геоцентрическое зенитное расстояние z равно z =
=
z'—гс.
Обозначим через г—радиус
Земли и че-
н
рез а—-геоцентрическое
расстояние светила CS; тогда """
величину тс можно определить из іреуголыіика oSC по
формуле
5іптг =
-1 Sin г'.
(*)
фир 83
При суточном движении светила параллакс достигнет наибольшего значения,
когда z' =
90°, т. е . когда светило находится на горизонте. В этом частном
случае его называют горизонтальным
параллаксом
'); обозначим горизонтальный
параллакс через Р. Тогда в силу формулы (*) мы можем написать
sinР=
—
.
а
Подставляя значение горизонтального параллакса в формулу (*'), получаем
sinтс= sin Я sin г'.
Так как параллакс, вообще говоря, очень маленькая величина, то в боль-
шинстве случаев синус можно заменить дугой, т. е. написать
гс= Яsinг' =
Я cos h',
где h' — топоцентрическал высота светила. Если известно значение горизонталь-
! ного параллакса, которое зависит от размеров Земли и от расстояния до све-
тила, то параллакс по высоте можно .вычислить по формуле
z=z'—
-,t или h = h'- \f-тс,
где h — геоцентрическая высота светила. В § 31 мы уже упоминали, что эту
поправку за параллакс необходимо вводить в измеренные высоты некоторых
небесных светил. Подобно рефракции параллакс оказывает влияние только на
высоту светила, а не на его азимут, и подобно рефракции в зените он равен нулю
и увеличивается по мере приближения к горизонту, но только по несколько
иному закону: параллакс пропорционален синусу, а рефракция — тангенсу (кроме
положения светила, весьма близкого к горизонту) зенитного расстояния. В проти-
воположность рефракции поправку за параллакс всегда нужно прибавлять
к изме-
ренной высоте. Так как координаты Солнца, Луны и планет, помещаемые в астро-
номических ежегодниках, приведены к центру Земли, то, чтобы пользоваться
этими данными, необходимо получаемые из наблюдений высоты светил также
приводить к центру Земли.
§99. Определение горизонтального параллакса. Определение горизонталь-
ного параллакса сводится к определению расстояния до небесного светила. Опре-
делить расстояние до небесного светила можно на основании того же принципа, на
основании которого определяют на земле расстояние до недоступного предмета,
т. е. для этого надо измерить базис и с концов базиса измерить углы, образуе-
мые базисом и направлением на предмет, расстояние до которого мы определяем.
В?еХ/°рИ30НталЬНЫІ паР
аллаксов
самым большим является
экваториальный
ZPaJlAnKC' ТаК
„
как
из
вс ех
рЗД"Усов Земли самым большим является
КНМе,Ш0
эквато
Рнальный горизон-
Если бы точно придерживаться этого способа, то с одного конца базиса надо
было бы видеть другой конец; но расстояния до небесных светил так велики,
что угол между направлениями на светило оказался бы в этом случае слишком
острым, и на основании его нельзя было бы вычислить
расстояние. Но если известны размеры Земли, то за
базис можно принять большую часть ее диаметра.
На фиг. 84 через а и b обозначены положения
на Земле двух наблюдателей; для простоты рассужде-
ний предположим, что оба они находятся на одном и
том же меридиане. Для обоих пунктов светило S
кульминирует тогда одновременно,
поэтому в один
и тот же момент можно определить его высоту в ме-
Фиг. 84 .
ридиане. Обозначая через г' и г/ его топоцентри-
ческие зенитные расстояния, через гиг, его геоцен-
трические зенитные расстояния и через Р горизонтальный параллакс, для рас-
стояния до светила а мы, согласно предыдущему параграфу, получаем
z' —z
=
Ps\nz',
z,'
—
z,=
Psin
откуда находим
+*/—(*
+,±s
sinz' -fsinz{
'
{)
Геоцентрические зенитные расстояния,
каждое в отдельности,
неизвестны,
но из фиг. 84 видно, что сумма их равна дуге меридиана между пунктами наблю-
дений и, следовательно, будет известна, если известны широты этих пунктов;
назовем широты пунктов наблюдения через ср и с?,, тогда z-j -z1
=
? + <?!• Под-
ставив (<?-{-<?!) вместо (z-\-zj) в правую часть уравнения (*), мы можем вычис-
лить значение горизонтального параллакса Р; зная Р, получаем расстояние до
светила по формуле а = г : sin Я, или если Р очень малб и синус его можно
заменить дугой, то найдем
Если пункты наблюдения расположены не на одном меридиане, то, очевидно,
придется принять во внимание их разность долгот. Если же наблюдения светила
производились не строго одновременно, то все же их можно использовать при
вычислениях, только надо принять во внимание изменение положения небесного
светила относительно неподвижных звезд в^ течение ' промежутка времени между
наблюдениями.
Если принимать во внимание смещение светила за время, истекшее между
двумя наблюдениями, то можно определить параллакс из наблюдений, произве-
денных в одном пункте. Для этого тот же самый наблюдатель определяет поло-
жение светила относительно неподвижных звезд сперва в восточной части неба,
а затем повторяет наблюдения, когда светило достаточно удалится от мери-
диана, в западной части неба. Так как параллакс оказывает влияние на положение
светила только в вертикальной плоскости, когда светило находится на различной
высоте в восточной и западной частях неба, то параллактическое смещение све-
тила относительно соседних неподвижных звезд позволит нам определить вели-
чину самого параллакса. При таком определении параллакса одновременные на-
блюдения двух' лиц заменены наблюдениями одного, но только переменившего
свое местоположение вследствие вращения Земли вокруг оси.
Этим способом было установлено, что суточный параллакс неподвижных звезд
совершенно незаметен. Как мы увидим ниже, за базис при определении парал-
лакса неподвижных звезд можно принять расстояние, в 23 ООО раз большее диа-
метра Земли, а именно, диаметр земной орбиты; но и при такой триангуляции
все-таки оказывается очень трудно получить сколько-нибудь ощутимые резуль-
таты. В настоящее время установлено, что горизонтальные параллаксы Солнца
и нланет достигают всего нескольких секунд; для Солнца он равен 8",8. Для не-
которых из планет параллакс так мал, что определение расстояния до них было бы
весьма неточным, если бы мы для каждого из них пользовались способом, опи-
санным выше. Как мы увидим ниже, можно, иными методами определять отноше-
ния между расстояниями различных планет от Солнца; поэтому достаточно знать
расстояние только от одной планеты до Солнца, и тогда можно будет вычислить
расстояния и всех других планет от Солнца. Чтобы определить с наибольшей
точностью расстояние от одной планеты до Солнца, надо использовать различ-
ного рода явления и производить наблюдения в усло-
виях, наиболее благоприятных для определения парал-
лакса. Об этих условиях речь будет еще впереди
(см. § 152—155).
Только для Луны и для некоторых комет горизон-
тальный параллакс достигает более или менее зна-
фиг 85
чительной величины. Для Луны горизонтальный па-
раллакс равен приблизительно 1°. Величина его изменяется периодически от 54
до 6Г. Среднее значение равно 57', чтр соответствует расстоянию в 3438: 57,
или приблизительно 60 радиусам Земли (см. §133).
Определив расстояние до небесного тела, у которого в трубу виден диск
с заметным угловым диаметром, можно вычислить действительные размеры этих
тел; на фиг. 85 через р обозначен угловой радиус светила, а через а — расстояние
до него; тогда действительный радиус равен
;
k= asinр.
Параллакс оказывает заметное влияние на видимые координаты Луны. Предпо-
ложим, что Луна находится в зените; тогда она будет к наблюдателю ближе
на один земной радиус, чем если бы она находилась на горизонте (при том же
самом расстоянии до центра Земли); так как Луна удалена от Земли на 60 зем-
ных радиусов, то ее угловой диаметр, равный приблизительно 31', в первом случае
на одну шестидесятую часть, т. е . на полминуты, больше, чем во втором случае.
Такое заключение находится в кажущемся противоречии с общеизвестным
явлением, состоящим в том, что не только Луна, но и Солнце, и видимое рас-
стояние между двумя звездами вблизи горизонта кажутся значительно больше,
нежели высоко на небе. Но кажущееся увеличение предметов у горизонта пред-
ставляет собой обман зрения, объяснение которого не входит в задачи астрономии 7).
§ 100. Влияние суточного параллакса небесного светила на его прямое вос-
хождение и склонение. Формулы для вы-
числения влияния суточного параллакса нег
бесного светила на его прямое восхождение
и склонение можно вывести
следующим
образом.
Вообразим,
что на фиг. 86
наблюда-
тель находится
на земной
поверхности
в точке О, а небесное светило — в точке S.
Экватор расположен в плоскости XCY; ось
Jc-OB направлена в точку
весеннего ра-
вноденствия, а ось Z-OB совмещается с осыо
ФИГ. 86.
вращения Земли, р — геоцентрическое рас-
стояние для точки О, А — расстояние небесного светила от центра Земли С,
а А'—расстояние его от места наблюдения О. Обозначим через а и 8
геоцен-
трические
прямое восхождение и склонение светила и через а' и 8' — прямое
восхождение и склонение, видимые с места наблюдения.
Э В том, что вблизи горизонта Солнце, Луна и расстояния между звездами не увели-
чиваются, легко убедиться, измерив эти величины при помощи угломерного инструмента,
например, при помощи универсального инструмента или теодолита. Прим.
перев.
Мы получим тогда следующие выражения для геоцентрических прямоуголь-
ных координат (л;, у, z) светила:
X= Acos8cosа,Ï
=
Acosоsinа, >
(1)
z—Asin8,
J
а для прямоугольных координат светила (х', у', z'), относительно точки наблга-
тения О получим выражения
х'=
A' cos 8' cos а',
у'=
A' cos 6' sin а',
(2)
z'=
A' sin 8'.
Будем рассматривать Землю не как шар, а как эллипсоид вращения. Обозна-
чим через Ç, т) и С геоцентрические координаты точки наблюдения О; геоцентри-
ческую широту ее обозначим через <э'. Из фиг. 86 видно, что круг склонений,
проходящий через точку весеннего равноденствия, расположен в координатной
плоскости XCZ, а плоскость, проходящая через ось z-ов И место наблюдений О,
совпадает с плоскостью меридиана данного места. Угол между обеими этими пло-
скостями есть часовой угол точки весеннего равноденствия; он равен звездному
времени s момента
наблюдений. Ввиду этого получим следующие
значения
для
т)иС:
£= рcoscp'coss,
7)= рcosо'sins,
(3)
С= рsintp'.
На основании фиг. 86 можно написать
A'cos8'cosа'=
Acosоcosа—рcoscp'coss,]
A'cos8'sina' =
Acos8sina—pcoscp'sins,I
(4)
A'sin 8'
=
Asin о— psincp'.
j
На основании системы уравнений (4) мы решим вопрос о влиянии параллакса
на склонение и прямое восхождение светил. Значения p, s и ср' нам известны.
Если предположить, что мы знаем значения А, а и о, то при помощи уравнений (4)
мы вычислим А',
о/ и 3'. Для практических целей нам нужны только а' и о';
можно преобразовать уравнения (4) •так, как мы поступали при определении
влияния аберрации на координаты светил. Тогда мы получим выражения, кото-
рые дают разность между топоцентрическими и геоцентрическими значениями
прямых восхождений и склонений.
Умножив второе уравнение из системы (4) на cos a, а первое на sin а, вычтем
их одно из другого. Затем умножим первое уравнение на cos a, а второе на sin a
и сложим их. Принимая во внимание, что s — a = /, после простых преобразо-
ваний получим следующие выражения:
A' cos 8' sin (a' — a) =—p cos о'sin/,
1
A'cos8'cos(a' — a)=Acos8—pcoscp'cost.i
Разделив первое уравнение на второе, находим
Рcosір' ,
,
£ ür"sin/
+tr
\
Дcosо
,fi4
tg(a—a)—
•
(b)
bV
'
i
pcos»
.
4
1—}
i-cost
Д coso
В большинстве случаев, как и при рассмотрении влияния аберрации на ко-
ординаты светил, мы можем заменить tg (a' — a) через (a' — a). Мы не имеем
права этого делать только для Луны и для некоторых комет, которые близко под-
(5)
ходят к Земле. Выражение J ^
обыкновенно представляет собой очень малую
величину, так как р (расстояние наблюдателя от центра Земли) чрезвычайно
малб по сравнению с А (расстоянием от центра Земли до светила). Исключение
составляют случаи, когда светило находится очень близко от Земли или когда
cos о — очень малая величина (для последнего случая приходится иначе выбирать
систему координат).
Поэтому в большинстве случаев вместо выражения (6) можно принимать
упрощенную формулу:
а'—а=
—
££212. sin
(7)
дcosо
Формула (7) позволяет нам вычислить влияние параллакса на прямое восхожде-
ние светила.
Чтобы получить формулу для определения влияния параллакса на склонение
светила, будем поступать следующим образом. Так как (a' —а) — величина ма-
лая, то во второй из формул (5) значение cos (а' — а) можно принять равным 1.
Возьмем еще третье уравнение из системы (4).
Тогда мы будем иметь два уравнения:
A'sin 8'=
A sin 8 — psinc?',
I
Д'cos8' =
Acos8—рcosо'cos/.j
;
f, опреде
i
cp'cost,)
Введем вспомогательные величины ß и у, определяемые соотношениями
ß sin у = sine?',
ßCOSf= cos
причем мы всегда будем считать ß положительным
Из уравнений (8) находим
A'sin8' =
Asin8—pßsinу,
A'cos о'= A cos 8 — pßcos-f
(9)
(10)
Умножив первое из уравнений (10) на cos 8, а второе на sin 8, вычтем их одно
из другого; затем, умножив второе уравнение на coso, а первое на sin8, сложим
их; тогда получится
A'sin(8' — 8)=
—
pßsin("у —8), )
A'cos(8'— 8)=A—pßcos(f—о),j
Разделив первое из уравнений (11) на второе, выводим
(И)
^sin(Y-ô)
tg(8'- 8) =
T?
*
(12)
l-f -cos(ïr-5)
Так как мы пренебрегаем членами второго порядка относительно р/А, то мы
можем откинуть второй член в знаменателе выражения (12); кроме того, заменяя
tg(8'—8) значением (8' — 8), находим
8'- 8
=
—£ sin(T-8),
или на основании выражения (9) получаем
s,
Рsiny' sin(y ô)
(13)
Д
sln y
4
Уравнения (7) и (13) позволяют решить нашу задачу; остается только опреде-
лить численное значение коэфицнентов, входящих в оба уравнения.
В астрономических ежегодниках р выражают всегда в частях большой полу-
оси (а) земного сфероида, а Д — в частях большой полуоси земной орбиты. (Эта
полуось земной орбиты служит единицей длины при измерениях в пределах сол-
нечной системы.) Чтобы обе эти величины выразить в одних и тех же единицах,
нужно умножить отношение р/Д в уравнениях (7) и (13) на а/1; но отношение
а/1 можно принять равным sin тс, если через те обозначим экваториальный, гори-
зонтальный параллакс Солнца (более точное определение параллакса Солнца мы
приведем в § 152). Так как те— очень малый угол (8",80), то мы можем в фор-
мулах заменить sin те через те. Тогда мы получим следующие окончательные фор-
мулы, выражающие влияние параллакса на прямые восхождения и склонения
светил:
KpC0Se
'
sin/,
Дcosô
g/ g_
T-Psiny' sin(Y—ô)
J
Д
sin 7
(14)
где те = 8",80, p — расстояние от места наблюдения до центра Земли, выраженное
в частях большой полуоси земного сфероида, Д — расстояние наблюдаемого све-
тила от - центра Земли, выраженное в частях большой полуоси земной орбиты,
<?' — геоцентрическая широта, / — часовой угол светила, у — вспомогательная ве-
личина, определяемая из уравнения (9). Числовой пример приведен в Приложении
(стр. 527).
Следует заметить, что величины (а' — а) и (8' — 8) представляют собой по-
правки, которые нужно прибавлять к геоцентрическим координатам светила,
чтобы получать координаты его для точки наблюдения. Зная из наблюдений
координаты светила, мы для получения координат, приведенных к центру Земли,
должны вычитать из них поправки ('а ' — а) и (8' — 8). Числовой пример, при-
водимый в Приложении на стр. 527, поясняет эту операцию. Таким образом через
а и 8 мы обозначаем те же значения, что и (а—а') и(8—8').
Если нам известны а' и 8' вместо а и 8, то можно пользоваться (приняв во
внимание исключения, о которых говорилось выше) той же самой системой фор-
мул, так как мы только будем пренебрегать членами второго порядка, если
в уравнения (14) подставим значения а' и 8' вместо а и 8.
ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ
§ 101. Время вращения Земли. То, что суточное вращение небесной сферы
с востока на запад объясняется вращением самой Земли за тот же промежу-
ток времени вокруг оси, вокруг которой вращается небесная сфера, но только
в противоположном1 направлении, не требует доказательств, так как относи-
тельное движение небесных светил при ней остается тем же самым, как и при
гипотезе, которая принимает кажущееся движение этих светил за действитель-
ное. Но на основании теории вращения Земли был получен ряд теоретических
следствий, справедливость которых подтверждается опытным путем.
Временем вращения Земли вокруг ее оси считают время, за которое Земля
сделает один поворот относительно какого-нибудь неподвижного направления.
Так как направление на Солнце ежедневно изменяется приблизительно на 1°,
то солнечные
сутки
не могут служить мерой продолжительности вращения Земли;
наоборот, звездные
сутки
вполне удовлетворяют данному выше определению про-
должительности вращения Земли. Так как начало звездных суток соответствует
кульминации точки весеннего равноденствия, которая сама немного смещается
вследствие прецессии (а также имеет периодические колебания вследствие нута-
ции), то происходит незначительное удлинение звездных суток; но так как за
сутки точка весеннего равноденствия изменяет свое положение всего только на
50" : 366 = 0",136, что соответствует О8,009, то такое изменение продолжитель-
ности звездных суток играет незначительную роль. Время вращения Земли, которое,
таким образом; весьма близко к продолжительности звездных суток,
соответ-
ствует 86 164 секундам среднего времени.
§ 102. Объяснение эллипсоидальной формы земной поверхности. В § 89
упоминалось, что при всяком движении по кривой развивается
центробежная
сила,
направление которой перпендикулярно к направлению движения, а следова-
тельно, при вращении Земли перпендикулярно к направлению оси вращения.
Допустим, что Земля в первоначальном своем состоянии оставалась неподвижной
и была шарообразной формы; в таком случае сила тяжести во всех точках ее
поверхности была направлена к ее центру; в точке В на ее поверхности (фиг. 87)
направление силы тяжести совпадает с направлением ВС и ускорение силы тя-
жести может быть выражено некоторым отрезком, отложенным по тому же напра-
влению, например, самим отрезком ВС. Если Земля вращается вокруг оси CD,
тогда появляется центробежная сила, которая в точке В будет иметь направле-
ние ДА, перпендикулярное к CD; ее ускорение, отложенное в том же масштабе,
как и ускорение силы тяжести, выразится отрезком В А. Обе силы, действующие
на точку В, можно заменить их равнодействующей, уско-
рение которой равно диагонали параллелограма со сторо-
нами ВА
и ВС. В результате от такого изменения напра-
вления силы получается сжатие Земли, вследствие которого
в свою очередь изменяются величина и направление силы
притяжения. Равнодействующая этой изменившей свое на-
правление силы
притяжения
и центробежной
силы не
будет уже направлена к центру Земли; она соответствует
.
действительному
направлению
силы тяжести, т. е . вер-
г
"
тикальной линии, получаемой из наблюдений. Если Земля обладает (или прежде
обладала) тем свойством, что форма ее поверхности при своем
образовании
подчиняется (или прежде подчинялась) действующим на нее силам, подобно тому
как подчиняется в настоящее время действию этих сил поверхность моря, то
в таком случае действительное направление силы тяжести должно быть нормально
к поверхности Земли во всех ее точках; таким образом величина отклонения
Земли от шарообразной формы должна быть точно получена из данных опыта.
Такие рассуждения привели в свое Кремя Ньютона к идее о сжатии Земли (см.
§ 94). Клеро дал математическое обоснование идеи Ньютона; согласно его теории
поверхность Земли представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения, если пре-
небрегать .при выводе его формул членами, содержащими вторую степень сжатия.
§ 103. Ускорение силы тяжести.
Центробежная сила не только изменяет
направление
силы тяжести, но и действует на ее интенсивность.
Если принять
фигуру Земли за шар, то легко вычислить ее действие. Обозначим через а
широту пункта В; через G — ускорение силы тяжести для случая, если бы Земля
оставалась неподвижной; на фиг. 87 ускорение силы тяжести выразится отрез-
ком ВС; с — ускорение центробежной силы, действующей по направлению ВА;
легко видеть, что составляющая ускорения центробежной силы BF = c cos а дей-
ствует в направлении, противоположном ВС. Обозначим через g полученную из
наблюдений величину ускорения силы тяжести в точке В; тогда, отбрасывая члены,
содержащие вторую степень малой величины с/О, получаем
g=G
—
acoscp.
(*)
Если движение совершается по кругу радиуса г со скоростью ѵ, то согласно
§ 89 ускорение центробежной силы равно с = и2 : г; так как в нашем случае ско-
рость движения равномерная, то ее можно выразить отношением длины окруж-
ности, по которой совершает полный оборот данная точка, к продолжительности
этого оборота U, т. е. 2тег : ü; подставив это выражение в предыдущее,
по-
лучаем
4т?г
В нашем случае U—время вращения Земли вокруг оси, г — радиус соответ-
ствующей параллели; но построению (фиг. 87) имеем BD = a cos©, если а — ра-
диус Земли. Подставив значение для с в уравнение (*)> находим
g Q 4г.2яcos2?
Но это последнее выражение нельзя применить для определения значения g,
потому что значение О неизвестно; обозначим через g0 ускорение силы тяжести
на экваторе, где © = 0, а следовательно, cos2 © = 1; тогда выражение для g
примет вид
So=G
JJT •
Вычитая это новое выражение из предыдущего, получаем
S So~
cos2<p),
или
I
Iо
£=
"Tjs-Sin2?-
(**)
На основании сделанных предположений можно вычислить величину ускоре-
ния силы тяжести для любой точки земной поверхности, если только из наблю-
дений известно ее значение на экваторе; по мере удаления от экватора вели-
чина ускорения силы тяжести -увеличивается; на полюсах, где центро-
бежная сила равна нулю, сила тяжести достигает наибольшего значения.
При этом надо заметить еще следующее: так как под влиянием центро-
бежной силы форма Земли отклонилась от шарообразной, то в результате
этого, как уже было сказано, изменяется и притяжение. Изменение притя-
j.JJli1'
же ния
зависит не только от величины сжатия, но еще и от распределения
масс внутри земной коры. Наблюдатель, находящийся в высоких широтах,
вследствие сжатия Земли расположен несколько ближе к ее ядру, нежели
наблюдатель, находящийся в более низких широтах. Если притяжение,
которое называется тяжестью, исходит главным образом из ядра Земли,
ПЛЭДш то, следовательно, надо ожидать соответствующего увеличения силы тя-
жести по мере приближения от экватора к одному из полюсов. На-
t
сколько изменится сила тяжести, нельзя подсчитать, если неизвестно рас-
'
пределение масс внутри Земли; а про распределение масс мы знаем только,
.с
что плотность возрастает к центру Земли, но не знаем, по какому закону
она возрастает. Если в формулах, как и прежде, не принимать во вни-
°
мание членов, содержащих сжатие во второй степени, то можно доказать,
Фиг. 88 . что увеличение силы тяжести по мере приближения к полюсу пропор-
ционально квадрату синуса широты места. На основании этой теории*
можно, следовательно, ожидать, что ускорение силы тяжести будет выражено'
написанной выше формулой (* *), но только коэфициент второго члена в ней
получит несколько большее значение, нежели 4тс2а : £/2.
Значение коэфиииента 4т.2а : U- легко вычислить; а означает радиус экватора,
т. е. а = 637 800 ООО см; так как для ускорения силы тяжести время выражают
в секундах среднего времени, то для Ü получаем значение £7=86 164®. Подста-
вив эти значения, получаем
=
3,3915 cMjceic.
§ 104. Измерения силы тяжести. Для определения силы тяжести применяют
маятник, близкий
к математическому (филярный) или оборотный
маятник
(фиг. 88). Оба эти маятника обладают тем свойством, что, зная их массы, можно
вычислить приведенную длину маятника, т. с . длину I математического маятника,
время качаний которого равно времени качаний физического маятника. Маятник
филярный состоит из тонкой нити, прикрепленной к трехгранной призме (к ножу),
и из подвешенного на ней тяжелого шара. У оборотного маятника па одном
конце стержня большой жесткости прикреплен легкий груз г/, а ил другом конце
тяжелый груз w. Вблизи от расположения этих грузов между ними находятся две
трехгранные призмы d и /—ноэіси
маятника; ножи должны быть параллельны один
другому. У филярного и у оборотного маятников ножи изготовляются из агата и
опираются на агатовую пластинку, так что маятники, однажды пущенные в ход,
качаются весьма продолжительное время. Оборотный маятник должен быть по-
строен так, чтобы время качания его было одинаковым при подвешивании его на
том или другом ноже, т. е . будет ли он подвешен на ноже, когда тяжелый груз
находится внизу, или когда легкий груз находится внизу. У филярного маятника
приведенная длина маятника I почти равна длине его нити (отступает от его
длины на очень малую величину). У оборотного маятника длина I равна расстоя-
нию между ребрами ножей, на которых они подвешиваются. Время качания маят-
ников получают из сравнения с часами, поправка которых определена с большой
точностью из астрономических наблюдений. Из формулы т= тс v"îtg (см. S 6)
получаем
_5/
где Т
время качания маятника, а /—его приведенная длина. Так как точное
определение длины маятника затруднительно (длину маятника надо знать с точ-
ностью до 0,01 мм), то абсолютные
определения напряжения силы тяжести можно
производить лишь в сравнительно немногих пунктах; для остальных пунктов можно
ограничиться относительными
определениями, т. е. наблюдают качания маятника,
не изменяющего своей длины, и по возможности простой конструкции, сперва на
опорной станции, на которой были уже произведены абсолютные определения,
а затем —на различных станциях, где надо определить напряжение силы тяжести'
так как длина маятника / сохраняет во всех пунктах одну и ту же величину (ко-
нечно, нужно принять во внимание влияние температуры и внести некоторые дру-
гие поправки); тогда, обозначив через gl ускорение силы тяжести на опорной
станции, а через g2 ускорение силы тяжести на определяемой станции и через
7\ и 7*2 время качания маятника на опорной и определяемой станциях, мы бу-
дем иметь
т\
's
Такие относительные определения произведены на большом числе пунктов зем-
ной поверхности. При этом обнаружено следующее явление: подобно тому как
существуют местные отклонения в направлении силы тяжести, как это мы видели
при изучении градусных измерений (см. § 95), существуют также и местные
отклонения в напряжении
силы тяжести; но за исключением одного только слу-
чая отклонения эти носят случайный характер. Исключение состоит в том, что
у берегов моря сила тяжести имеет несколько ббльшую величину, чем на той же
широте внутри континента, а на отдельных океанических островах она достигает
еще большей величины. На континенте с большой степенью точности наблюдения
силы тяжести удовлетворяют следующей формуле, предложенной Гельмертом:
g= 978,030 + 5,186 sin2 о = 978,030 (1 -j- 0,005302 sin2 <?).
За единицу, в которой выражают g, принимают ускорение силы тяжести на
один сантиметр в секунду. Эту единицу называют гал (по имени Галилея). Из
написанной нами формулы видно, что коэфициент при ее втором члене равен 5,2,
т. е. в полтора раза больше, нежели коэфициент при формуле, выведенной в пре-
дыдущем параграфе (3,4) и показывающей увеличение силы тяжести в зависимо-
сти от влияния одной центробежной силы; такое увеличение коэфициента произо-
шло вследствие сжатия Земли и влияния распределения плотностей внутри Земли
Аагропошш
На основании опытов можно непосредственно показать, что плотность Земли
возрастает к ее центру. Производят весьма тщательное взвешивание тел с неболь-
шой массой; вес этих тел подвергается изменению вследствие притяжения их телом
с известной плотностью, например, свинцовым шаром; свинцовый шар помещают
так, чтобы его притяжение действовало сперва в том же направлении, в каком
действует на взвешиваемые тела сила тяжести, а затем так, чтобы сила тяжести
и притяжение свинцового шара действовали на них в противоположных напра-
влениях; наблюдают также отклонения шариков весьма чувствительных крутиль-
ных весов, производимые подносимым к ним тяжелым свинцовым шаром; мы
сравниваем, таким образом, притяжение, производимое свинцовым шаром с дей-
ствием силы тяжести, т. е. с притяжением, производимым Землей. При этом ока-
залось, что средняя плотность Земли в 5,5 раза больше плотности воды; так как
средняя плотность земной коры (удельный вес каменных пород) приблизительно
равен 2,7, то очевидно, что плотность материи внутри Земли значительно превы-
шает эту величину.
§ 105. Теорема Клеро. На основании теоретических исследований влияния
сжатия Земли на силу тяжести можно вывести теорему, которая называется тео-
ремой Клеро.
Для краткости обозначим через а сжатие Земли, через ß приращение силы
тяжести на полюсе относительно экватора, разделенное на g0, через у отношение
ускорения центробежной силы к ускорению силы тяжести на экваторе; т. е.
Тогда, отбрасывая в нашем выражении члены с высшими степенями и произ-
ведения малых величин, получим
Это и есть теорема Клеро. При помощи ее можно на основании наблюдений
качаний маятников определить форму Земли. Подставив в написанное нами
выражение численные коэфициенты из формулы Гельмерта ß = 0,005302 и у =
=
3,3915:978,030 = 0 ,0034677,
получим для а значение а = 0,003367 =
Приняв во внимание члены второго порядка, Гельмерт получил для сжатия Земли
значение а =
'/„^ (см. § 95).
§ 106. Отклонение падающих тел к востоку. Чем дальше находится точка
от оси Земли, тем больше ее линейная скорость, с которой она перемешается
с запада на. восток, вследствие
вращательного движения Земли.
Поэтому
верхушка высокой башни с большей скоростью перемещается к востоку, нежели
ее основание; если с верхушки башни бросить вниз какое-нибудь тело, то легко
обнаружить, что оно переместится к востоку за время падения на большую
величину, нежели основание, потому что оно будет падать не по вертикальной
линии, а несколько отклонится от нее к востоку. Не принимая во внимание сопро-
тивления воздуха, т. е. полагая, что тело падает в пустом пространстве, вычислим
отклонение падающего тела к востоку для широты места <? при высоте падения Л.
Получим, что отклонение в миллиметрах равно 0,022 h Y h cos о, где h выра-
жено в метрах. Произведенные в различное время опыты дали результаты, соглас-
ные с теорией, несмотря на наличие ряда источников ошибок при опытах, устра-
нить влияние которых оказалось весьма затруднительным.
§ 107. Опыт с маятником Фуко. Наконец, теория вращения Земли приво-
дит к одному интересному заключению, вполне согласующемуся с данными опыта,
которые никак нельзя было бы объяснить, считая Землю неподвижной. Маятник,
который может свободно качаться в любом направлении, например, тяжелый шар,
подвешенный на тонкой нити, будучи пущен в ход, качается всегда в одной и
той же плоскости, пока его не выведет из этого положения какая-нибудь внеш-
няя сила. Если такой маятник повесить над земным полюсом, то вращение зем-
ного шара под ним не будет оказывать никакого действия на направление пло-
скости его качаний. Приспособление, к которому подвешен маятник, конечно,
будет вращаться вместе с Землей, но от этого будет происходить только закру-
чивание шпура, на котором маятник подвешен. Поэтому, если в момент пуска
маятника он начнет качаться в плоскости, проходящей через какую-нибудь звезду,
то и в продолжение всего времени, пока он качается, плоскость его качаний
будет проходить через ту же самую звезду. Наблюдателю, следящему за напра-
влением, какое принимает плоскость качания маятника относительно земных пред-
метов, покажется, что плоскость качания маятника непрерывно поворачивается
к западу на 15° в час.
Если подвесить маятник на экваторе, то картина совершенно изменится!
Положение плоскости качаний в пространстве будет непрерывно изменяться, так
как при вращении Земли направление вертикальной
Р
линии изменяет свое положение в пространстве, но
относительно земных предметов плоскость
качания
сохраняет одно и то же положение.
Мы увидим, как будет качаться маятник в неко-
торой точке земной поверхности между полюсом и
экватором, если разложим скорость вращательного дви-
'
с
жения в этой точке по правилу, описанному в § 86.
ф,1Г 39
Допустим, что на фиг. 89 Северный полюс Земли на-
ходится в точке Р, маятник подвешен в точке А, на широте о. Действительное
вращение Земли происходит вокруг оси CP со скоростью, которая на чертеже
изображена отрезком Ср и равна повороту на 15° в час. Вращение вокруг 'оси CP
можно заменить двумя равномерными вращательными движениями вокруг взаимно
перпендикулярных осей CA и СБ, разложив скорости их по правилу параллело-
грама, диагональ которого равна Ср, а составляющие скорость равны Ca и СЬ.
Легко видеть, что вращение точки А вокруг оси СБ должно было бы привести
точку на экватор н поэтому не оказывает действия на положение плоскости кача-
ния маятника; наоборот, вращение вокруг оси CA полностью влияет на кажущийся
поворот плоскости качания. Так как Ca = Ср sin 9, то, следовательно, плоскость
качания маятника на широте 9 будет поворачиваться к западу со скоростью
15°sin 9 в час.
Такой опыт впервые был произведен французским ученым Фуко в 1851 г.
с маятником длиной 67 м, подвешенным к куполу Пантеона в Париже. Опыт
вполне подтвердил теоретические выводы *).
При производстве опыта с маятником Фуко необходимо добиться того, чтобы
маятник действительно качался в одной плоскости. Если при пуске маятника из
его крайнего положения он получит самое незначительное боковое отклонение,
то тогда его нижний конец станет описывать овальную кривую линию (получится
конический маятник), и явление будет иметь совершенно иной характер. Пло-
скость качания маятника (т. е. вертикальная плоскость, проходящая через крайние
точки размаха маятника) будет поворачиваться в том самом направлении, какое
маятник описал при своем искривленном движении. Так, если длина маятника
V Опыт с маятником Фуко неоднократно был повторен. С 12 апреля 1931 г маятник
Фуко установлен в Ленинграде в б. Исаакисвском соборе, превращенном в Антирелигиоз-
ный музей. Размеры этого маятника следующие:
Длина маятника
98 л/
Вес чечевицы
60 кг
Отклонение за 1 размах
6мм
Отклонение за 1 минуту
18 мм
Период качания
20с
Отклонение за 1 час
.
13°
Размах маятника
іом
Маятник качается над помостом, на котором устроен круг с делениями. К чечевице маят-
ника прикреплена кисточка, в которую поступают из особого приспособления чернила.
При качании маятника кисточка наглядно отмечает иа помосте отклонение плоскости кача-
ния маятника. — Прим. перев.
И*
равна 3 м, если размах его равен 10° от среднего положения в обе стороны и
если при самом низком положении он отклоняется всего на 1 мм от вертикаль-
ной линии, то вращение плоскости качания маятника будет равно приблизительно
S0 в час. Поэтому, если плоскость качания маятника отклоняется от вертикальной
линии влево или вправо, когда смотрят на маятник, удаляющийся от наблюда-
теля, то тогда угол поворота плоскости качания маятника будет или больше или
меньше, чем он должен был быть вследствие одного только влияния вращения
Земли вокруг своей оси. От вращения Земли вокруг осп угол поворота маят-
ника в Москве, на широте 55°45', должен быть равен 12°.4 в час.
§ 108. Некоторые другие явления, зависящие от вращения Земли вокруг
своей оси. Рассуждения, которые легли в основу объяснения явления опыта
с маятником Фуко, объясняют также целый ряд других явлений в природе; общим
признаком, объединяющим псе эти явления, служит следующий факт: вследствие
вращения Земли вокруг своей оси всякое движение по земной поверхности
в северном полушарии отклоняется вправо, а если движущееся тело встречает
какие-либо препятствия, то оно оказывает на них давление в направлении слева
направо; в южном же полушарии движущиеся тела отклоняются влево. Это
наблюдается у морских течений и у ветров, дующих долгое время в одном
направлении, например, у пассатов и муссонов.
Предположим, например, что на Северном полюсе нацелились из пушки
в мишень, расположенную на расстоянии 5 км\ ядро при выстреле не попадет
в цель, но отклонится от нее к западу, потому что мишень, в течение проме-
жутка времени, пока ядро летело, вследствие вращения Земли передвинулась
к востоку, пушка же оставалась неподвижной. Наблюдателю, стоявшему возле
пушки, будет казаться, что ядро отклонилось в правую сторону. Наоборот, если
мишень находится на полюсе, а пушка установлена на расстоянии 5 км от нее,
то в таком случае скорость движения ядра будет равнодействующей из скорости,
сообщенной ему зарядом при выстреле, и из скорости, уносящей пушку к вос-
току, вследствие вращения Земли; мишень же остается неподвижной; ядро и
'
в этом случае пролетит вправо от цели1).
На экваторе, где скорость вращения Земли достигает наибольшей величины,
явление это для пунктов, расположенных на близком расстоянии один от дру-
гого, г.очти не будет заметно. На Южном полюсе вращение "Земли происходит,
конечно, тоже с запада на восток, как и на Северном полюсе; но для наблю-
дателя, который будет стоять лицом к экватору, вращение Земли будет про-
исходить слева направо.
Для пунктов, расположенных между экватором и полюсами, явление проис-
ходит так, как ' и при опыте с маятником Фуко: отклонения движущегося тела
происходят вправо (или влево—в южном полушарии), все равно, происходит ли
движение в направлении север —юг, восток —запад или в каком-либо ином про-
межуточном направлении. Конечно, величина отклонения зависит от того, в каком
отношении находится скорость ветра или течения к скорости вращения поверх-
ности Земли и к изменению скорости вращения вместе с широтой места. Длина
градуса параллели (см. § 95) позволяет нам судить, насколько перемещаются
к востоку различные пункты земной поверхности за 4 минуты звездного времени.
Если хотят знать скорость вращения в метрах в секунду времени, нужно при-
веденные в таблице числа умножить на 1000 и разделить на число секунд сред-
него времени, заключающихся в 4'» звездного времени, т. е. на 239,345; иначе
говоря, каждое число в таблице § 95 надо умножить на 4,178; точки, находя-
щиеся на расстоянии 5 км от полюсов, вращаются со скоростью j • 5000 м или
на 36 см1, сек.
П Во время мировой войны в 1918 г. пемцы установили орудия, обстреливавшие Париж
с расстояния свыше 100 км\ при наведении орудия приходилось принимать во вннмашк-
отклонение снаряда при полете вследствие вращения Земли вокруг ее осн. —
Прим. персе-
СИСТЕМЫ МИРА
§ 109. Представления о системе мира n древности. Объяснение движения
планет, о котором мы говорили в предыдущих главах, встречало большие затруд-
нения в древнее время. Воззрения дрсвііих по этому поводу изложены в сочи-
нении Клавдия Птолемея „Математическая система".
Птолемей жил в Алексан-
дрии в первой половине второго столетия нашей эры. Он предполагал, что Земля
находится в покое в центре Вселенной, а вокруг нее движутся все небесные
тела; 7 известных в его время небесных светил (да и долгое время после него
было известно только 7 небесных светил) были расположены им г следующем
порядке: ближе всего к Земле находится Луна, затем Меркурий, Венера, Солнце
Марс, Юпитер и Сатурн. Непосредственно за Сатурном расположен небесный свод'
названный им твердыо, к которому прикреплены неподвижные звезды. Помимо
общего для всех светил суточного движения с востока на запад 7 небесных тел
имеют еще каждое свое особенное самостоятельное движение.
Птолемей придерживался аксиомы, принятой в древнем мире, что всякое дви-
жение в мировом пространстве должно совершаться по окружности
ис
неиз-
менной
скоростью.
Но если применить этот принцип к движению Солнца, то
немедленно приходится убедиться в том, что факты ему противоречат. Если пред-
положить, что Земля неподвижна и находится в центре круга, по окружности
которого в течение года с неизменной скоростью движется Солнце, то такое
предположение не отвечает действительности, так как угловая скорость годового
движения Солнца в действительности не остается постоянной. Из затруднения
вышли следующим образом; оказалось, что наблюдения того времени с доста-
точной точностью отвечали теории, если предположить, что Земля находится'
несколько в стороне от центра круга, по которому движется Солнце с неизмен-
ной скоростью; тогда наблюдатель находится то ближе, то дальше от Солнца
а поэтому движение Солнца кажется ему то ускоренным, то замедленным. Такой
спосоо объяснять неравномерность движения Солнца и планет предположением,
что оно совершается по эксцентрическим кругам, широко применялся как в древ-
ности, так и значительно позже.
Но для планет такого объяснения было недостаточно, потому что никак
нельзя было объяснить обратного
движения
планет, если допустить, что Земля
находится внутри круга, по окружности которого они движутся. Чтобы преодо-
леть И это затруднение, придумали еще одно вспомогательное средство, а именно
движение по эпициклам,
которым тоже очень часто пользовались. Эпицикл —это
небольшой круг, по окружности которого движется планета прямым движением.
Центр же эпицикла с постоянной скоростью перемещается прямым движением по
окружности другого круга больших размеров, внутри которого находится Земля*
этот последний круг называется деферентом,
При соответствующем подборе
радиусов обоих кругов (эпицикла и деферента), а также скоростей движения
по ним планеты и центра эпицикла, можно было добиться согласия теории
с наблюдениями. Но иногда приходилось прибегать еще к третьему кругу кото-
рый представлял собой эпицикл меньших размеров, по окружности которого
двигалась планета, а центр второго эпицикла перемещался по окружности пер-
вого. Если продолжить и дальше такой прием введения новых эпициклов, то мы
в действительности можем получить для определения движения планеты матема-
тические выражения такой же формы (тригонометрические ряды с постепенно
уменьшающимися коэфициентамн), как и формулы, выведенные на основании
теории притяжения двух тел (см. § 172—173).
Теория Птолемея в течение всего средневековья пользовалась всеобщим при-
знанием. Когда в Европе астрономия пришла в упадок, ею стали заниматься
арабы и в IX столетии перевели сочинения Птолемея. Через мавров, поселив-
шихся в Испании,, арабский перевод сочинений Птолемея стал известен в Запад-
ной Европе под названием Альмагеста.
В XII столетии Альмагест перевели на
латинский язык. Благодаря этому переводу много названий звезд и специальных
терминов в астрономии имеют арабское происхождение. Латинский перевод Альма-
геста замечателен еще тем, что это—первая латинская книга, в которой встречаются
применяемые теперь нами индийские или арабские обозначения цифр. Греческий
текст сочинения Птолемея стал известен в Западной Европе значительно позже;
впервые он был напечатан в 1538 году. Греческое издание,Альмагеста было выпу-
щено Гейбергом в 1898—1903 гг.; позднее Манитиус перевел его на немецкий язык.
§ 110. Коперник. Объяснение видимых движении планет. Еще в древности
некоторые отдельные мыслители полагали, что во всех отношениях было бы го-
раздо проще объяснить движение планет, если бы в центре Вселенной поместить
Солнце, а не Землю; но эта гипотеза одержала верх только после того, как Ни-
колай Коперник иа основании ее разработал полную теорию движения планет.
Его книга появилась в свет в год его смерти, т. е . в 1543 г.
Как и Птолемей, Коперник считал, что движения в планетной системе кру-
говые и равномерные. Вокруг Солнца планеты движутся по эксцентрическим окруж-
ностям в следующем порядке: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Са-
турн. Луна не входит в число планет потому, что она движется по эксцентри-
ческой окружности вокруг Земли. Звездный год соответствует периоду обращения
Земли вокруг Солнца (§53). Все движения — прямые, и скорость, с которой пла-
нета движется вокруг Солнца, тем больше, чем ближе она к Солнцу. Плоскости, в ко-
торых движутся планеты, наклонены одна к другой под малыми углами, причем
Коперник полагал, что все эти плоскости проходят не через Солнце, а через
центр земной орбиты. Ему пришлось допустить, что неподвижные звезды нахо-
дятся гораздо дальше, чем это думали до него; потому что если в течение года
Земля описывает путь весьма значительного протяжения, то направление с Земли
в какую-либо точку пространства за это время должно изменить свое положение;
иными словами, должен существовать годичный
параллакс.
При существовании
годичного параллакса координаты неподвижных звезд, определяемые из наблю-
дений, производившихся в разное время года, должны иметь различное значение.
Так как ни сам Коперник, ни кто-либо другой в его время не могли заметить
систематического изменения координат звезд в течение года, то не
оставалось ничего другого, как предположить, что расстояние до
звезд настолько велико, что при тогдашней точности наблюде-
ний нельзя было обнаружить существования годичного парал-
лакса; точно так же, как нельзя обнаружить суточного
парал-
лакса неподвижных звезд, о чем уже говорили выше.
Легко видеть, насколько проще объяснить по теории Копер-
-
пика все особенности движения планет. Во-первых, деление
планет на верхние и нижние просто зависит от положения
Земли в планетной системе. Обе нижние планеты, Мерку-
рий и Венера, никогда не могут удаляться на большое расстояние от Солнца
(т. е . элонгация их не может превышать некоторой определенной величины),
потому что они движутся так, что орбита их находится внутри земной орбиты.
На фиг. 90 меньший круг изображает орбиту нижней планеты, большой же круг
изображает орбиту Земли. Преположим, что Земля находится в точке а; прове-
дем из этой точки касательные к орбите нижней планеты; обозначим через А
и В точки касания; они изображают положение планеты при наибольшей восточ-
ной и западной элонгации. Если будем считать, что оба круга (с радиусами г
и R) концентрические, то тогда наибольшую элонгацию с можно определить из
уравнений г =R sin е. Для Венеры, наибольшая элонгация которой приблизи-
тельно равна 46° (синус этой величины равен 0,72), данные наблюдений мало
отличаются от теоретических предположений; наоборот, наибольшая элонгация
Меркурия в различное время изменяется в пределах от 18 до 28°, а потому орбита
его должна обладать значительным эксцентриситетом.
На фиг. 91 внутренний круг изображает путь Земли вокруг Солнца, а внеш-
ний круг — путь верхней планеты; из чертежа мы сейчас же замечаем, что пла-
нета на своем пути может достигнуть любой величины элонгации от Солнца.
Чтобы объяснить обратное движение, которым все планеты перемещаются
известный
промежуток времени, необходимо сделать допущение, что более
близкая
к Солнцу планета движется с большей скоростью,
нежели более
далекая. На фиг. 91 стрелкой обозначено поступательное
или прямое движение планеты; пока нижняя планета пе-
реходит из точки А в точку В, верхняя планета прой-
дет более короткий отрезок пути ад; будет ли путь
Земли изображаться внешним или внутренним кругом на
фиг. 91, все равно линия визирования на планету меняет
свое положение при ее поступательном движении. Поло-
жение визирной линии будет изменяться и тогда, когда
Земля находится на одной стороне, а наблюдаемая пла-
нета— по другую сторону от Солнца; для верхней пла-
неты это будет,
когда она находится
в соединении
с Солнцем, а для нижней, когда она находится в
верхнем
соединении с Солнцем.
Из фиг. 91 видно, что нижняя планета появится из-за Солнца после верх-
него соединения, когда она будет видна по направлению ЬВ, т. е . слева от
Солнца; планета будет видна на западе, после захода Солнца, как вечерняя
звезда; наоборот, верхняя планета станет видимой после своего соединения
с Солнцем по направлению от В к Ь, т. е. наблюдатель
• увидит ее справа от Солнца, так что планета будет по-
являться на востоке до солнечного восхода, что и соот-
ветствует наблюдениям (см. § 71).
По прошествии некоторого времени наступит такое
положение, когда нижняя планета, как это изображено на
фиг. 92, в течение весьма короткого времени будет пе-
ремещаться из точки А в точку А',
а одновременно
внешняя планета пройдет еще более короткий путь аа',
причем линии аА и а'А' будут в течение некоторого времени
оставаться параллельными; иными словами, проекция ско-
рости нижней планеты на направление •движения внешней
планеты будет равна скорости внешней планеты. Планета
будет тогда находиться в стоянии, причем безразлично, будет ли Земля дви-
гаться по внешнему или по внутреннему кругу, изображенному на Лиг. 92.
Подобный же случай произойдет и в другом месте орбиты планеты- на чертеже
изображены параллельные
направления ЬВ
и Ь'В',
отмечающие
положение
при котором произойдет вторично стояние планеты н
1
переход от прямого движения к обратному или же от
обратного к прямому.
На фиг. 93 изображено положение, когда обе пла-
неты находятся по одну сторону от Солнца, т. е . когда
нижняя планета находится в нижнем соединении с Солн-
цем, а верхняя — в противостоянии. В первом случае,
когда мы предполагаем, что Земля движется по внеш-
нему кругу, линия визирования с Земли на планету
переместится из положения аА в положение ЬВ; во вто-
ром случае предполагаем, что Земля движется по внутрен-
нему кругу и линия визирования из положения Аа пере-
ходит в положение ВЬ; в обоих случаях с Земли будет
наблюдаться попятное движение планеты.
Для объяснения годового движения Солнца с чисто геометрической точки
зрения совершенно безразлично, движется ли Солнце, согласно гипотезе Пто-
лемея, по эксцентрической окружности вокруг Земли или же, согласно теории
Коперника, Земля движется по эксцентрической окружности вокруг Солнца, так
как относительные движения по обеим гипотезам одинаковы. Согласно теории Kô-
Фиг. 92.
Фиг. 93.
пернпка, плоскость эклиптики совмещается с плоскостью земной орбиты, в которой
находится также и Солнце; при движении Земли по своей орбите направление
проведенное от Земли к Солнцу, опишет большой круг, но которому плоскость'
эклиптики пересекает небесную сферу. На фиг. 94 показаны некоторые положения
которые принимает Земля в течение года относительно Солнца S; ось земная рр'
остается все время наклоненной к эклип-
тике под углом в 66°33'. В положении I на
фиг. 94 продолженная плоскость
земного
экватора аа проходит через центр Солнца;
склонение Солнца тогда равно нулю, т. е .
это положение соответствует моменту равно-
денствия, и именно, весеннего равноденствия;
направление в точку весеннего равноден-
ствия идет от Земли к Солнцу, и, следова-
телыю, она находится за плоскостью чер-
тежа. Положение И соответствует летнему
солнцестоянию, при нем Северный полюс наклонен в ту сторону, где находится
Солнце; положение III соответствует осеннему равноденствию, а положение IV —
зимнему солнцестоянию; времена года указаны для северного полушария. Из чер-
тежа видно, что в южном полушарии лето, осень, зима и весна бывают тогдф
когда у нас зима, весна, лето и осень.
Мы показали, что положение небесного экватора зависит от вращения Земли.
Поэтому мы можем теперь объяснить явление прецессии соответствующим дви-
жением земной оси в пространстве. Земля через год возвращается в положение I-
но вследствие прецессии земная ось рр' не примет того же самого положения!
как это было раньше, а образует с прежним положением небольшой угол. Пои
дальнейшем движении земная ось опишет коническую поверхность вокруг пер-
пендикуляра к плоскости эклиптики или, вернее, вокруг оси эклиптики. Нутация
же представит собой очень мелкие периодические изменения положения земной
оси, вследствие которых коническая поверхность, описываемая ею, принимает слегка
волнистую форму; период волн равен 18,6 года.
§111. Фазы планет. Коперник на основании своей теории вывел еще одно
заключение, которое в его время нельзя было проверить на основании наблю-
дений, но оно полностью подтвердилось после нзобре-
Oä
у W те!1ІІЯ зрительной трубы. Допустив, что Земля есть не
ЩЛ
что
ІШ0е»
как планета, он решил, что и остальные
планеты представляют собой небесные тела того же
рода, как и Земля, т. е . что они темные (не самосве-
тящиеся) и не прозрачные; если же они нам кажутся
светящимися телами, то это происходит только от того,
что их освещает Солнце. Но в таком случае оии должны
иметь фазы.
Предположив затем, что планеты имеют
почти шарообразную форму, мы можем сравнивать
их фазы с фазами Лупы. Впрочем, нужно отметить
(Щ разницу между фазами нижних и верхних планет.
На фиг. 95 изображена часть пути нижней планеты,
например, Венеры, в виде полуокружности, описанной
радиусом г вокруг Солнца S; планета
изображена
в четырех положениях, как ее видит с Земли наблю-
датель; наблюдателя следует представлять себе нахо-
дящимся в нижней части чертежа па расстоянии R от Солнца. В верхнем соединении
с Солнцем, если только можно видеть планету, освещена вся ее часть, обращенная
к Земле, как это бывает с Луной в полнолуние; рядом изображено положение планеты
в элонгации, равной величине г?, тогда не будет видно только маленького краешка в
левой части диска планеты (вид планеты изображен на чертеже рядом с положением
планеты). При наибольшей восточной элонгации вндна будет только половина осве-
Фнг. 95 .
щенной части планеты, как это бывает у Луны в первой четверти; и наконец, в ниж-
нем соединении планета бывает обращена к Земле темной стороной, как это бы-
вает с Лупой в новолуние. Когда планета переходит по другую сторону от Солнца,
т. е . при ее западной элонгации, фазы будут повторяться в обратном порядке,'
только соответственно па другой стороне диска планеты (свет-
лой будет теперь левая сторона диска): Угол, образуемый
лимпями, проведенными от планеты до Земли и до Солнца,
который на фиг. 95 обозначен буквой ©, называется
углом
фазы,
так как он непосредственно показывает, какая часть
из обращенной к Земле половины планеты остается неосве-
щенной. Если известно отношение между расстояниями от
Солнца до Земли и до планеты, то можно вычислить <р, как
это видно из фиг. 95, по формуле
sin©= у sinе
для элонгации е (на фиг. 95 соответствующее положение
планеты для ясности вычерчено в увеличенном масштабе).
ф
В момент обоих соединений е = 0; в верхнем соединении
с?=0, а в нижнем соединении ©=180°.
Обозначим через d диаметр планеты-
тогда, как видно из чертежа, освещенная часть планеты, обращенная к Земле'
может быть вычислена по формуле
'
Va^+'M cos ср = d cos2 -ï-,
a неосвещенная часть — по формуле
d sin2
Верхние планеты, элонгации которых могут принимать любые значения, видны
так, как это показано на фиг. 96, на которой внутренний круг изображает путь
Земли. Обозначим теперь расстояние от планеты до Солнца через r, а расстоя-
ние от Земли до Солнца через г, тогда получим
sinср=Дsinе,
но теперь ср = 0 как в момент соединения планеты, т. е . когда е = 0
так и
в момент противостояния, когда с =180°.
В некотором положении планеты, когда
е = уи ср достигает своего наибольшего значения; оно обозначено на чертеже
буквой Ф; значение его можно определить из уравнения
sinФ=r:r.
Для Марса отношение r:R
в среднем равно 0,656; тогда для значения Ф имеем
величину Ф = 41°; невидимая часть диаметра планеты равна sin2 —,
т. е. равна
0,12. Около квадратуры фаза Марса становится хорошо заметной, но около момен-
тов соединения и противостояния планета имеет вид совершенно круглого диска
Для Юпитера r:r в среднем равно 0,19, что соответствует Ф = 1Г- невиди-
мая часть диаметра равна 0,01, так что даже наибольшая фаза планеты'остается
незаметной при наблюдениях. Конечно, для планет, расположенных вне орбиты
Юпитера, фазы заметны еще меньше.
^
§ 112. Яркости планет. Яркость планеты при наблюдении ее простым глазом
зависит от ее расстояния от Солнца, от ее расстояния от Земли и от фазы
планеты. Для верхних планет фазы оказывают весьма мало влияния на их яркость-
расстояние их от Солнца тоже изменяется очень мало; поэтому изменение их
яркости зависит почти исключительно от их расстояния от Земли. Так как ра£
стояние их от Земли, бывает меньше всего, когда планеты находятся в противо-
стоянии с Солнцем, то в это время яркость их достигает наибольшей величины.
Впрочем, изменение яркости особенно бросается n глаза только для Мапса. Его
расстояние от Солнца равно 1,5, если взять за единицу расстояние от Земли до
Солнца. Расстояние Марса от Земли изменяется в пределах от 1,5 -f-1=2,5
в момент соединения до 1,5—1=0,5 — в момент его противо-
стояния с Солнцем. Так как в последнем случае расстояние в 5 раз
меньше, нежели n первом, то, очевидно, в противостоянии диа-
метр Марса будет казаться в 5 раз больше, а поверхность в 25
раз больше, нежели в соединении.
Для нижних планет фазы их имеют гораздо большее зна-
чение. Из фиг. 95 ясно, что в момент верхнего соединения видна
Фиг. 97.
полная фаза планеты, но расстояние от нее до Земли наиболь-
шее; после верхнего соединения расстояния уменьшаются,
но
и фазы уменьшаются. Следовательно, они действуют на яркость планеты
в
обратном направлении; сперва на яркость преобладает влияние
приближения
планеты к Земле, и яркость ее возрастает;
наоборот, вблизи
нижнего со-
единения, когда фаза планеты становится очень мала, яркость ее вновь начи-
нает уменьшаться. Следовательно, яркость планеты достигает наибольшей вели-
чины в некотором
промежуточном положении между обоими
соединениями.
Допустим, что яркость планеты равномерно распределена по всему ее диску.
В таком случае получаемое от нее глазом количество света будет пропорцио-
нально величине видимой части диска планеты. На основании такого предполо-
жения можно вычислить момент, когда планета достигает наибольшей яркости.
Для Венеры он наступает через месяц после наибольшей восточной элонгации
или за месяц.до наибольшей западной элонгации. Для Меркурия, для которого
играет еще большую роль изменение его расстояния от Солнца, время наибольшей
яркости в среднем наступает за несколько дней до наибольшей посточной и через
несколько дней после наибольшей западной элонгации; на фиг. 97 показана фаза
Венеры так, как она видна в астрономическую трубу, когда яркость ее при
восточной элонгации достигает своего наибольшего значения. Наибольшая ширина
ее светлой части немногим больше 1ji ее диаметра. После момента наибольшей
яркости блеск Венеры ослабевает гораздо быстрее, нежели он увеличивался
до наступления этого момента.
§ 113. Возражения против теории Коперника. Теория Коперника долгое
время встречала ряд возражений; к числу ее противников принадлежал Тихо Bjîare.
Его главным аргументом был следующий. Производя многократные
наблюдения
некоторых неподвижных звезд, он старался определить их годичный параллакс
(см. § 110), но всегда безуспешно. Так как его наблюдения давали точность при
измерении углов не меньше 1', то он вынужден был сделать заключение, что
угол, под которым, согласно теории Коперника, виден поперечник земной орбиты
с этих звезд, должен быть меньше 1'.
Одновременно он пытался
измерять
размеры различных звезд и пришел к результату, что у самых ярких звезд угло-
вой их диаметр равен 3'.
Отсюда вытекало, что линейный диаметр этих звезд по
крайней мере в 3 раза больше поперечника земной орбиты, между тем как диаметр
Солнца представляет собой только малую часть этой орбиты. Но такой факт он
считал невероятным. В наше время известно, что действительно существуют
звезды таких размеров (см. § 255). Но эти звезды расположены так далеко от
нас, что их угловой диаметр составляет только малую часть секунды дуги.
Если бы наблюдения Тихо Браге были правильными, то, несомненно, подобный
аргумент имел бы большое значение, но Тихо Браге не нашел другого выхода,
чтобы обойти встретившееся затруднение, как заменить теорию Коперника но-
вой, в которой на место Солнца он поместил Землю. Таким образом он при-
нял, что Земля остается неподвижной в центре планетной системы (очевидно,
в таком случае годичного параллакса звезд не должно быть), а вокруг нее вра-
щаются сперва Луна, а затем Солнце со всеми остальными планетами,
которые
сами обращаются вокруг Солнца в полном согласии с теорией Коперника. Отно-
сительные движения внутри солнечной системы при обеих гипотезах остаются те
же самые. Все, что было сказано выше о кажущ -мся движении планет и об их Фазах,
может найти подтверждение и в гипотезе Тихо Враге, если только отказаться
от аналогий относительно фаз, приводимых Коперником.
Когда впервые была направлена на небо зрительная труба (в 1609 г.), то
оказалось, что производившиеся до того времени измерения диаметров звезд
основаны на оптическом обмане. Их кажущаяся различная „величина" всецело
зависит от их яркости. Даже при помощи наиболее могущественных современных
телескопов нельзя непосредственно измерить их диаметров. Таким образом самое
существенное возражение против годичного движения Земли отпадает. С чисто
геометрической точки зрения можно с одинаковым успехом пользоваться обеими
гипотезами. Но среди описанных нами явлений имеется одно, которое с несо-
мненностью подтверждает теорию Коперника; это — аберрация света. Она была бы
необъяснимой в том случае, если бы считать Землюнеиоцвижной. Но уже в эпоху
Ньютона —еще до открытия Брадлеем явления аберрации — теории Коперника
отдавалось предпочтение сравнительно с гипотезой Тихо Браге.
§ 114. Гелиоцентрические
коордииаты.
Как мы сейчас увидим,
теория
Коперника должна была подвергнуться некоторым изменениям,
хотя
основная
мысль ее признана вполне верной.
Так как планеты движутся вокруг Солнца, то необходимо найти средство
определять их положение относительно Солнца. Положение
их относительно
Солнца можно определить, как и положение • относительно Земли, при помощи
двух сферических координат, которые в таком случае называются
гелиоцентри-
ческими.
За основную плоскость удобнее всего принимать плоскость эклиптики,
так как центр Земли, если смотреть на нее с Солнца, описывает в течение года
по эклиптике тот же самый круг, какой описывает при наблюдениях с Земли
центр Солнца, но только в обратном направлении.
Гелиоцентрической
широтой
звезды называют угол, который образует с пло-
скостью эклиптики линия, проведенная от Солнца к звезде. Гелиоцентрическую
широту считают положительной или отрицательной в тех нее направлениях, как
и геоцентрическую широту. Плоскость,'в которой находится этот угол, располо-
жена перпендикулярно к плоскости эклиптики и, при продолжении,
пересечет
гелиоцентрическую небесную сферу (т. е . небесную сферу, видимую из центра
Солнца) по кругу широт.
Гелиоцентрической
долготой
светила называют дугу эклиптики, измеряемую
от точки весеннего равноденствия к востоку до круга широт светила. Ее отсчи-
тывают до 360° в том же направлении, как и геоцентрическую долготу.
Точка весеннего равноденствия определена на основании движения Земли,
а потому положение ее и при гелиоцентрических координатах остается тоже
самое, как и при геоцентрических; или, иначе говоря, направление
от Солнца к
точке весеннего равноденствия параллельно направлению с Земли к точке весен-
него равноденствия; небесный свод принимают как .сферу, описанную бесконечно
большим радиусом.
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
§ 115. Первый закон Кеплера. Пока Тихо Браге жил в Праге1), среди его
сотрудников находился Кеплер. Он производил также обработку многочисленных
наблюдений, произведенных в Хвене, и продолжал эту работу также и после
смерти Тихо Браге. Кеплер изобрел остроумный способ проверить общепринятую
і) Тихо Браге (1546—1601) по происхождению датчанин, известный астооном, жил сна-
чала в различных городах Германии, затем на острове Хвене он построил специальную
обсерваторию; названную Уранненбург, в которой производил свои весьма точныо для
того времени наблюдения, с помощью значительного числа сотрудников. —
Прим.
перев
с древних времен аксиому, что всякое движение в мировом пространстве должно
происходить по кругу и оставаться равномерным.
Чтобы иметь возможность применить этот способ, надо было с большой
точностью знать продолжительность обращения какой-нибудь планеты
вокруг
Солнца. Как и при движении Земли, так и для планет надо различать
сидери-
ческое обращение, т. е . полное обращение планеты вокруг Солнца, и
тропическое
обращение, при котором гелиоцентрическая долгота
планеты увеличивается
на 360°; тропическое
обращение, вследствие прецессии несколько короче сидери-
ческого. Продолжительность того и другого обращения нельзя определять непо-
средственными наблюдениями с Земли; но зато легко можно определить продол-
жительность синодического
обращения планеты, т. е . промежутка времени между
двумя моментами, в которые планета находится для земного наблюдателя в одном
и том же положении относительно Солнца; например, промежуток времени между
двумя противостояниями или между двумя соединениями. Как мы сейчас увидим,
синодическое обращение не остается постоянным, но так как наблюдения планет
производились уже многие годы, то можно с большой точностью определить сред-
нюю величину синодического обращения, а это именно и было нужно Кеплеру.
Соотношение
между сидерическим и сииодическим обращениями планеты
можно определить таким же путем, как и для Луны (см. § 69). Обозначим через
А сидерический год, через Т—сидерический период обращения планеты, а через
5— синодический период обращения планеты. В таком случае можно для верхней пла-
неты начать счет с момента ее противостояния с Солнцем, т. е. с того момента, когда
Земля и планета, наблюдаемые с Солнца, будут видны по одному и тому же
направлению (т. е . когда у них одинаковые гелиоцентрические долготы). При по-
мощи величин А, Т и Зможно написать условие, которое покажет, что каждые сутки
Земля несколько опережает планету, а за синодический период обращения дол-
гота ее увеличатся на 360°; это условие выразится следующим соотношением:
откуда получаем
5(-Ёг1--3
- -?1)=360°
J_
1
T"Às
SA
S—A
(O
Если вопрос идет о нижней планете, которая в некоторый определенный
момент имеет такую же гелиоцентрическую долготу, как и Земля, то в этом
случае планета опережает Землю, и мы получаем соотношение
откуда получаем
T
А'S
-Г
SA
+
(2)
Кеплер сперва приступил к изучению движения планеты Марс. Ее средний сино-
дический период обращения равен 2,135 года; подставив это значение в формулу
(1), получаем Т= 2,135 :1,135 = 1,881 года. Кеплер исходил из предположения, что
Марс движется вокруг Солнца по замкнутому пути, причем он не делал никаких
предположений о форме его орбиты; он знал только, что планета должна нахо-
диться в том же самом месте пространства, если между наблюдениями прошло
1,881 года; но так как Земля в те же самые два момента находится в различных
точках своей орбиты, то точка пересечения направлений из этих точек на планету
должна определить ее положение в пространстве. Согласно теории Коперника,
Кеплер предполагал, что Земля движется вокруг Солнца по эксцентрической
окружности. В некоторый определенный момент, когда Земля находилась в точке А
(фиг. 98), Тихо Браге наблюдал планету по направлению Аа и получил ее
долготу II широту; по прошествии 1,881 года, когда Земля находилась в точке В,
он снова наблюдал планету и нашел, что' она находится по направлению ВЬ.
Точка
пересечения M обоих направлений Аа и ВЬ дает
положение планеты в пространстве. Подобным образом Кеплер
нашел целый ряд точек орбиты Марса; если промежуток времени
между двумя наблюдениями не вполне точно соответствовал
продолжительности оборота планеты вокруг Солнца, Кеплер
подбирал соответствующий момент интерполированием между
близкими по времени наблюдениями. Эгот прием, который
мы здесь изложили с геометрической точки зрения, в действи-
тельности требовал производства большого числа кропотли-
вых вычислений.
Когда Кеплер определял описанным выше способом точки
орбиты планеты, то он нашел, что они лежат не на одной и той
Фиг. 98
же окружности, а измеряя расстояния or одной до другой точки
орбиты, он нашел затем, что скорость движения
одна и та же. Таким образом аксиома древних
тил по круговым орбитам оказалась опрокинутой.
Тогда возник вопрос о том, какой же гипоте-
зой ее следует заменить.
Кеплер попытался заменить движение по кругу
движением по эллипсу и нашел, что в таком случае
он получает лучшее согласие с наблюдениями, чем
при круговой орбите планеты. Но если старая
гипотеза не оправдывалась для Марса, то по
всем вероятиям она точно также не могла оправды-
ваться и для Земли; Кеплер повторил поэтому все
вычисления, предполагая, что орбита Земли представляет не эксцентрическую
окружность, а эллипс такой формы, какая давала бы лучшее согласие с наблю-
дениями Солнца. В результате всех этих исследований он высказал следующее
обобщенное правило, которое носит название первого закона Кеплера:
орбиты
планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых нахо-
дится Солнце.
На фиг. 99 представлена такая орбита планеты; Солнце находится в точке S,
a планета движется по направлению PBD. Впрочем, надо раз навсегда заметить,
что не существует такой планеты, орбита которой представлялась бы таким вы-
тянутым эллипсом, который изображен на фиг. 99. Если представлять себе форму
эллипсов, по которым движутся планеты при помощи величины сжатия, как это
мы делали при определении фигуры Земли, то для орбиты Марса мы имеем сжа-
тие Ѵ2jj0, а для земной орбиты меньше Ѵассо-
Велнчнна и форма эллипсов определяются обыкновенно двумя постоянными
величинами. Эти постоянные величины можно выбирать различным образом. В гео-
метрии часто принимают за постоянные большую
н малую полуоси: а —СР = SB
и Ь = СВ. В астрономии малую полуось заменяют эксцентриситетом е; под эксцентри-
ситетом понимают отношение расстояния от фокуса до центра эллипса (на чертеже
CS = c) к большой полуоси. Эксцентриситет выражается отвлеченным дробным
числом в пределах от 0 до 1. Угол SBC, который иа чертеже обозначен через ср,
называется иногда углом
эксцентриситета;
так какс= а sinср,тоsincp=ê.
Точка Р, в которой планета находится ближе всего к Солнцу, называется
перигелием,
а точка, где планета находится дальше есего от Солнца, называется
афелием.
Обе эти точки имеют общее название апсид, а лнния, их соединяющая,
называется линией апсид; она, следовательно, определяет положение большой оси'
планетной оцбиты. Расстояние SP называется расстоянием
перигелия,
SA pat-
планеты на орбите не всегда
Фиг. 99 .
стоянием афелия.
Если мы первое из них обозначим через q, а второе через Q,
то, согласно фиг. 99, найдем
<7=а—с=а(1—с),
Q=a-j-с=а(Iс).
Если мы возьмем среднее арифметическое величин q и Q, то получим вели-
чину большой полуоси а, ее также часто называют средним расстоянием.
В не-
которых случаях удобно для определения эллипса брать величины а не вместо
аие.
Расстояние
планеты от Солнца SD = r
называется
радиусом-вектором,
а. угол PSD = ѵ, который представляет собой угол между радиусом-зектором
планеты и линией апсид, называется истинной
аномалией. При движении пла-
неты вокруг Солнца истинная аномалия увеличивается от 0° в перигелии, до
180° в афелии и до 360° или 0° при следующем прохождении планеты через пери-
гелий. Если известна одна из величин г или ѵ, то другую можно вычислить из
уравнения эллипса:
г==
р
-
«О-*3)-.
m
1-fecosu
1-{-еcosV'
f I1'
в этом уравнении числитель означает ординату фокуса эллипса. Ординату фокуса
также называют полу параметром.
Положение эллипса на плоскости, в которой он расположен, определяют при
помощи угла, который образует линия апсид с неподвижным исходным направле-
нием, взятым от Солнца. Как удобнее всего выбирать такое направление, будет
сказано несколько ниже (см. § 118). Такой угол называется долготой
в
орбите,
в отличие от долготы, взятой по эклиптике.
§ 116. Второй закон Кеплера. Как это было отмечено в предыдущем пара-
графе, Кеплер установил из наблюдений Тихо Браге, что Марс движется по ор-
бите не с постоянной скоростью. Когда планета находится ближе к Солнцу, то
она движется быстрее, нежели тогда, когда она удалена от него на более значи-
тельное расстояние. Но и тут Кеплер подметил некоторую закономерность, ко-
торую он выразил следующим образом: скорость, с какой движется планета в не-
которой точке своей орбиты, обратно пропорциональна длине перпендикуляра,
опущенного из Солнца на касательную, проведенную к этой точке орбиты. На
фиг. 10Ü через ѵ и ѵ' обозначены скорости в двух точках орбиты, а через А и
d' — длины соответственных перпендикуляров. Кеплер нашел, что
v:v'
=
d': d,
или
vd = v'd'.
Произведение vd есть величина постоянная при движении планеты вдоль орбиты.
Величина */2 vd есть некоторая площадь; эту
величину называют секторной
скоростью.
Возь-
мем весьма малую дугу орбиты s, которую можно
рассматривать как прямую линию; в таком случае
небольшой эллиптический сектор, замкнутый этой
линией 5, можно рассматривать как треугольник,
площадь которого равна половине произведения
основания s на высоту d. Так как величину ско-
рости V можно принять равной величине s, делен-
ной на время, то */2 vd будет тоже равна площади
треугольника, разделенной на время.
фиг
-
10°-
Правило, найденное Кеплером, можно, следо-
вательно, выразить так, что площадь, образуемая
секторной скоростью планеты в любой точке орбиты, есть величина постоян-
пая. В такой формулировке уже ничего не говорится о перпендикулярах, и она
может быть применена к площадям секторов, описываемых радиусом-вектором
планеты. Обыкновенно это правило, называемое вторым законом
Кеплера
фор-
мулируется следующим образом: радиус-вектор планеты описывает в равные
времена равные площади.
§ 117. Третий закон Кеплера. Через 9 лет после открытия первых двух за-
конов, которые были опубликованы в 1609' г., Кеплеру после ряда безуспешных
попыток удалось установить соотношение между расстояниями планет от Солнца
и временами их обращения вокруг Солнца. Это соотношение выражено в третье и
законе Кеплера,
который выражается в следующих словах: квадраты
сидериче-
ских периодов обращений планет относятся, как кубы их средних расстояний
от Солнца..
г
Если через а и а, мы обозначим средние расстояния двух планет от Солнца
а через и и U, их периоды обращений, то, согласно третьему закону Кеплепа
мы можем написать
J
у
ѵ
*
ui д_8
U\= a\-
(2)
Так как периоды обращений планет всегда хорошо известны, то на основа-
нии третьего закона Кеплера мы можем получить отношение между расстояниями
планет от Солнца, а следовательно, и вычислить и сами эти расстояния если
только известно в единицах меры длины расстояние от Солнца хотя бы одной
из планет.
Если нам нужно знать только относительные значения расстояний то за еди-
ницу расстояния берут обыкновенно среднее расстояние от Земли'до Солнца-
если взять за единицу времени сидерический год, то в уравнение (2) можно
подставить а=1 и U—1,
и тогда получим
=
ил,
или и1 = а°'1\
Третий закон Кеплера позволяет также вычислить среднюю скорость ѵ одной
планеты по формуле
V=2т.а:U
и другой планеты по формуле
откуда получаем
Но так как
мы находим
v,= 2ta,:Uu
ѵ_ __ aui
u—av
в'
—
"г/F-
(3)
Принимая в уравнении (3) 0, =
!, причем «j —средняя скорость Земли, рав-
ная приблизительно 30 км/сек,
мы получаем
va
(4)
Чем дальше отстоит планета от Солнца, тем медленнее движется она по своей
орбите; но даже Плутон, для которого а равно приблизительно 40, все же дви-
жется со скоростью около 48/4
км]сек.
§ 118. Элементы орбиты планеты. Хотя законы Кеплера, открытые эмпири-
ческим путем, еще не давали полного объяснения движения планет (как мы это
Увидим ниже), но все же они сыграли весьма значительную роль в дальнейшем
развитии астрономии.
Если законы Кеплера справедливы, то можно вычислить положение планеты'
на небе для любого момента при помощи 6 постоянных величин, которые назы-
ваются элементами,
ее орбиты; 5 элементов служат для того, чтобы определить
величину, форму и положение орбиты в пространстве, шестой же элемент позво-
ляет вычислить положение планеты на орбите в любой момент времени.
Сперва надо установить положение плоскости, в которой находится орбита
планеты. Согласно первому закону Кеплера, эта плоскость проходит через Солнце.
Для наших рассуждений удобнее всего принять за основную плоскость — плоскость
земной орбиты или эклиптики. Линия, по которой пересекаются плоскость орбиты
планеты с плоскостью эклиптики, называется линией узлов
планетной орбиты;
эта линия проходит через Солнце. Восходящим
узлом
называется точка орбиты,
в которой планета, в споем движении вокруг Солнца, пересекает плоскость
эклиптики, переходя из южного полушария небесной сферы в северное; следова-
тельно, в этой точке и гелиоцентрическая, и геоцентрическая широты планеты из
отрицательных превращаются в положительные. Противоположная точка линии
узлов называется нисходящим
узлом.
Положение восходящего узла определяется
углом между направлением к восходящему узлу и направлением к точке весен-
него равноденствия; угол этот отсчитывается по ходу часовой стрелки, причем
он называется долготой
восходящего
узла (А). Если при этом известно не только
положение линии узлов, но и еще угол между плоскостью эклиптики и пло-
скостью пути планеты, который называют наклонением
(г) планетной орбиты, то
тогда можно определить в пространстве положение пло-
скости орбиты планеты.
Так как орбита планеты имеет форму эллипса, то для
того чтобы знать, как располагается этот эллипс в пло-
скости орбиты, необходимо определить долготу
перигелия
(тс), отсчитываемую по орбите. На фиг. 101 показано,
в каком направлении надо отсчитывать этот угол; на
чертеже изображена небесная сфера, если смотреть на нее
извне, причем предполагается,
что Солнце находится
в центре небесной сферы. Дуга AB изображает эклиптику,
Фиг- 101
-
т. е . большой круг, который Земля описывает в течение
года по небесной сфере, если смотреть на нее с по-
верхности Солнца; дуга CD — путь планеты по небесной сфере, т. е . большой круг,
по которому плоскость орбиты планеты пересекается с небесной сферой. А
—•
проекция восходящего узла орбиты планеты на небесную сферу, если смотреть
на нее с поверхности Солнца. Эту точку пересечения эклиптики и проекции
на небесную сферу орбиты планеты называют также восходящим узлом ее орбиты.
Точка весеннего равноденствия, расположенная на эклиптике, обозначена на чер-
теже значком Т;' следовательно, дуга ТА представляет собой долготу восходя-
щего узла. П означает точку, в которой пересекается с небесной сферой линия,
проведенная через Солнце и перигелий орбиты планеты. Отложим по орбите
планеты дугу AT' =
А Т, тогда дуга Т' П равна долготе перигелия (тс), или можно
сказать еще так: долгота перигелия измеряется суммой двух величин: долготы
восходящего узла и расстояния перигелия от восходящего узла, отсчитываемого
по направлению движения планеты. Точка Т' принимается за исходную для от-
счета долготы различных пунктов, расположенных на орбите планеты.
Величина и форма эллипса могут быть определены, как уже упоминалось, при
помощи большой полуоси (а) и эксцентриситета
(е). Шестой элемент орбиты —
это долгота
планеты
для определенного момента (для некоторой эпохи). Если
за эпоху принять момент, когда наблюдаемая с Солнца планета находится в точке Р
(фиг. 101), то тогда дуга Т'Р есть долгота
эпохи. В качестве шестого элемента
орбиты принимают также время прохождения
планеты через перигелий (Т).
Эпоха Т соответствует долготе для эпохи тс.
Выпишем теперь элементы орбиты планеты с такими буквенными обозначе-
ниями и в том порядке, в каком это обыкновенно принято:
Т—время прохождения планеты через перигелий,
« — долгота перигелия,
А—долгота восходящего узла,
і — наклонение орбиты планеты к плоскости эклиптики,
е — эксцентриситет орбиты,
а — среднее расстояние планеты от Солнца.
Сидерический период обращения планеты вокруг Солнца мы будем в даль-
нейшем обозначать через U. Его обыкновенно не помещают вместе с другими
элементами, так как продолжительность его можно определить, как мы это увидим
в § 164, согласно третьему закону Кеплера, если известно среднее расстояние
планеты от Солнца а и ее масса (которую в большинстве случаев принимают
равной нулю).
§ 119. Вычисление положения планеты для данного момента. Здесь мы
только вкратце дадим некоторые указания, как вычисляют положение планеты
на небе для данного момента (/), если известны элементы ее орбиты. Задачу эту
можно решить на основании соображений, изложенных в предыдущих параграфах
Мы наметим пока только путь решения задачи, а более подробно остановимся
на этом вопросе в главе, в которой будет рассмотрен вопрос о взаимодействии
двух тел друг на друга (задача о двух телах).
Решение задачи распадается на две части: сперва пр заданным элементам
орбиты планеты вычисляют ее гелиоцентрические
координаты, а затем по гелио-
центрическим координатам вычисляют геоцентрические
координаты планеты.
Прежде всего получают промежуток времени /—Т между данным момен-
том t и временем прохождения планеты через перигелий Т. Обозначим через S
площадь эллиптического сектора, который описывает радиус-вектор планеты за
время (/—7), а через F — площадь всей орбиты планеты, имеющей вид эллипса-
тогда, согласно второму закону Кеплера, мы можем написать
S:F=(t-T):U.
Но так как F можно вычислить по формуле
F= tox2]A—е*,
то, зная F, [t
Т) и U, величину S мржно вычислить из выражения (*).
Затем нам придется решить задачу, которая называется задачей
Кеплера-
сущность ее заключается в том, что, зная площадь сектора орбиты планеты, надо
найти угол между радиусами-векторами, образующими этот сектор. В следующем
параграфе мы покажем, как эту задачу решить для случая, когда один из ради-
усов-векторов направлен в перигелий. Допустим, что наша задача уже решена
тогда нам будет известно значение угла ѵ, который называется истинной
ано-
малией (см. § 115), а зная его, можно вычислить значение радиуса-вектора г ГсЬоо-
мула (1) в § 115].
*
Теперь мы можем получить координаты планеты, отнесенные к следующей си-
стеме координат: в начале координат находится Солнце, а оси совпадают с на-
правлениями большой и малой осей орбиты планеты и с перпендикуляром к пло-
скости ее орбиты. Направления осей координат вполне определены элементами
орбиты А, тс и г.
Чтобы вычислить из гелиоцентрических координат планеты ее геоцентриче-
ские координаты, конечно, надо знать радиус-вектор R Земли и ее гелиоцентри-
ческую долготу L для данного момента. Но долгота Земли на 180° отличается от
геоцентрической долготы. ©
Солнца, а значение радиуса-вектора R дано на ка-
ждый день в больших астрономических ежегодниках (см. § 62).
Таким образом мы получаем все необходимые данные для вычисления гео-
центрического положения планеты.
§ 120. Задача Кеплера. Задачу Кеплера можно решить на основании геоме-
трических свойств эллипса и круга, построенного на большой оси эллипса, как
на диаметре (см. фиг. 102); при решении задачи можно воспользоваться теоремой о
том, что отношение ординаты любой точки эллипса к ординате соответствующей
Астропомля
точки круга, имеющей ту же абсциссу, равно отношению малой оси эллипса
к его большой оси. На фиг. 102 центр эллипса С совмещается с центром описан-
ного круга; Солнце находится в одном из фокусов эллипса в точке S; тогда
CS=c
=
ae; Р — перигелий; О — точка, в которой находится планета; радиус-
вектор планеты равен SO = r; истинная аномалия равна PSO — v . Вместо угла ѵ
вводим угол РСА = Е; точка А находится на пересечении окружности PAQ с
продолженной ординатой точки О, в которой находится планета. Угол Е назы-
вается эксцентрической
аномалией
планеты.
Задача сводится к тому, чтобы найти угол Е, если известна площадь сектора
PSO = Щр- ъаЬ,
где t—Т —время, истекшее с момента последнего прохождения планеты через
перигелий, a U—период полного обращения планеты вокруг Солнца. Площадь
сектора PSO можно рассматривать как разность пло-
щадей сектора РВО и треугольника SBO. Основание у
треугольника SBO то же самое, как и у треугольника
SBA,
высоты же их относятся, как b : а; следовательно,
и площади треугольников будут относиться, как b : а.
Легко чидеть также, что площадь фигуры РВО относится
к площади РВА,
как b : а; так как основания этих фигур
Фиг. 102.
одинаковые, а ординаты всех соответствующих точек,
расположенных на кривых РО и РА, сохраняют всегда
то же самое отношение b : а, в чем можно убедиться, разделив площади фигур
РВО и РВА
на ряд узких вертикальных полос. Следовательно, мы можем написать:
площадь сектора PSO =
PSA.
.
(*)
Площадь фигуры PSA равна разности площадей кругового сектора АСР и
треугольника SCA, у которого основание равно величине ае,
а высота равна
AB= asinЕ
и, следовательно,
площадь
треугольника SCA — 11га2е sin Е; но
так как
ß
площадь кругового сектора АСР =
теа2,
то, следовательно,
площадь PSA = у»а*Е — »/za'-'e sin E =
»/за2 (Л—е sin Е),
откуда следует, что
площадь эллиптического сектора PSO = ilzab(E — esin£).
Сравнивая это выражение с написанным выше выражением (*) площади сек-
тора PSO,
получаем уравнение
e — es\ne = ^jï-2*.
(1)
Это уравнение трансцендентное и его можно решить разложением в ряды или
способом приближений (см. § 173 и Приложение, стр. 529).
Из фиг. 102 легко видеть, что истинная и эксцентрическая аномалии равны 0°,
когда планета находится в перигелии, и 180°, когда она находится в афелии;
равным образом угол, которому соответствует правая часть уравнения (1), равен 0°,
когда планета в перигелии, и 180°, когда она находится в афелии (так как в этом
случае t—T =l/2U);
только этот угол, в отличие от истинной и эксцентрической
аномалии, изменяется равномерно
от 0 до 360° за время полного оборота пла-
неты вокруг Солнца; его называют средней
аномалией
(М).
§ 121. Определение истинной аномалии. Наконец, нам остается найти истин-
ную аномалию планеты ѵ, которую мы считали известной при вычислении гелио-
центрических координат планеты. Из фиг. 102 видно, что СВ = CS — BS, в силу
чего мы можем написать
acosЕ—ае
-}-гcosѵ
(**;.
(на фиг. 102 величина ѵ заключается между 90 и 180°, а следовательно, г cos г/
имеет отрицательное значение).
Определим г из уравнения для эллипса; подставив его значение в формулу (**)
и разделив обе части на а, получаем
cos£==g+(1|-c2)co^=
g + cofr*
1
1 +<?cost/
1 +<?cosu •
Из этого выражения можно найти значение cos г/; НО удобнее сначала пре-
образовать его, вычитая обе части равенства из 1 и прибавляя к обеим частям
по 1;
l-cos£=(1-/i(1--c o st '> ,
1+ еcosV
'
l + cos£= О+*)(! +cost,).
1
1+<?C0SU
Разделив почленно оба эти равенства и сделав некоторые преобразования
находим
Wf-TTïWf
(2)
Из уравнения (2) легко определить значение ѵ. Введем вспомогательный угол ср
приняв е = sin ср; тогда получаем
tg| = tg(45 e + f)ig#.
•
(3)
В этом выражении нет надобности ставить двойной знак
как это де-
лается при извлечении корня, потому что согласно определению Е
значения
tg
и
tg"2 Д°лжны
"меть один и тот же знак. Разность между истинной и
средней аномалией, т. е.
v—
2tz=v—M,
называется уравнением центра.
Легко выразить радиус-вектор эллипса г при помощи эксцентрической анома-
лии Е; умножив на е обе части уравнения
acosE= ae-\-rcosѵ,
мы находим
аеcosЕ= ае2-{-теcosѵ.
Второй член в правой части равенства можно заменить выражением а(1—е -) —г,
как это легко вывести из уравнения эллипса. После некоторых преобразований
получаем
f==ß(1-—еcosЕ).
(4)
§ 122. Определение элементов орбиты планеты. Решение обратной задачи,
т. е. определение из наблюдений элементов орбиты планеты, конечно, на практике
предшествует рассмотренной нами в предыдущих параграфах задаче определения
положения планеты. Для определения орбиты обыкновенно необходимо произ- t
вести наблюдения планеты в трех различных точках ее положения на орбите.
Искомые элементы орбиты нельзя выразить при помощи величин, получаемых не-
посредственно из наблюдений.
Первый, кто предложил сравнительно легкий способ определения из трех на-
блюдений элементов орбиты планеты, был К. Гаусс; способ этот был им найден
вскоре после открытия в 1801 г. первой малой планеты. Несколько раньше
Лаплас доказал, что если имеется больше трех наблюдений, то, зная координаты
планеты и их изменения, можно определить одну точку ее орбиты и одновре-
менно направление и скорость ее движения в этой точке. В дальнейшем изложе-
нии мы покажем, что достаточно найти эти величины, чтобы на основании их
определить орбиту планеты. Методы Гаусса и Лапласа впоследствии были усовер-
шенствованы. Почти одновременно с Лапласом был разработан также и Лагран-
жем способ определения орбиты из трех наблюдений. Подробнее об определении
орбит будет сказано в § 176—178.
§ 123. Определение элементов земной орбиты. Приближенное определение
элементов земной
орбиты
можно произвести гораздо проще, нежели определение
элементов орбит других планет; объясняется это отчасти тем, что для земной
орбиты требуется определить меньше элементов (долготу угла и наклон орбиты
определять не нужно), так как Земля движется В плоскости эклиптики, которую
\мы принимаем за основную; к тому же среднее расстояние Земли от Солнца
служит единицей, в которой выражают все остальные расстояния в планетной
системе; с другой стороны, остальные элементы орбиты, каждый в отдельности,,
можно определить из непосредственных наблюдений Солнца. Из наблюдений мы
находим, что суточное изменение долготы Солнца достигает наибольшей величины
(1°1'10") в начале января, а наименьшей величины (0°57'11")— в начале июля;
отсюда мы приходим к заключению, что Земля приблизительно в это время нахо-
дится в перигелии и в афелии (или, иначе говоря, Солнце находится в перигее и
в апогее); но точно определить моменты, когда Земля находится в перигелии и
в афелии, мы не можем, так как скорость движения Земли вблизи, этих точек
в течение нескольких дней почти не изменяется. Так как, согласно первому и
второму законам Кеплера, движение Земли симметрично относительно линии апсид,
то, наблюдая Солнце в другое время года, когда угловая скорость движения
Земли изменяется быстрее, мы можем найти два таких дня, когда угловая ско-
рость остается одинаковой; тогда можно точнее определить время прохождения
Земли через перигелий. Здесь мы применяем тот же самый метод, как и при
определении направления меридиана по соответственным высотам.
Определив дни в году, когда Земля находится в перигелии и в афелии, можно
получить и эксцентриситет земной орбиты; для этого измеряют в эти дни угло-
вой радиус Солнца, который, разумеется, будет тем больше, чем ближе к Солнцу
будет находиться Земля. Обозначим угловой радиус Солнца через а, когда Земля
находится в перигелии, и через ß, когда она находится в афелии; в таком случае
действительный радиус Солнца в перигелии равен «(1 — e)sina, а в афелии
a(l_i_e)sinß (где а —большая полуось земной орбиты); и так как в обоих слу-
чаях действительная величина радиуса Солнца остается та же самая, то мы можем,
написать следующее равенство:
(1— е)sina= (1+е) sinß,
из которого легко определить величину е. Наблюдения дают нам следующие зна-
чения: а =
16' 17" и ß = 15'45".
Заменяя в предыдущем уравнении синусы дугами,
получаем
^
a_ß
е~~
e+p~~1922'
т. е . около 1/00.
Эксцентриситет земной орбиты можно также найти, зная величину угловой
скорости движения Солнца в перигее и в апогее. Обозначим ее для первого слу-
і чая через т а для второго — через 8; тогда удвоенная площадь, описываемая ра-
диусом-вектором Земли, в перигелии равна а2(1 — e)2ï, a в афелии а2(1+е)28.
Так как, согласно второму закону Кеплера, эти площади должны быть равны, то
мы получаем следующее уравнение для определения е:
(1_в)^ = (1 + с)У8.
Рассматривая это выражение, мы приходим к следующему заключению: Если бы
Земля двигалась с постоянной скоростью по кругу, центр которого не совпадает
с Солнцем а находится от него на расстоянии е', то наше уравнение приняло бы
вид а(1— 'e ')f = я(1+03>
и
величина эксцентриситета получилась бы почти
'
з два оаза больше, нежели полученная на основании движения Земли по эллипсу,
согласно первому закону Кеплера. Точность, с которой во времена Коперника
измерялись углы, была недостаточно велика, а потому не приходится удивляться
тому, что Коперник не мог обнаружить противоречил его гипотезы равномерного
движения Земли по эксцентрическому кругу с измерениями радиуса Солнца.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
§ 124. Ньютон и закон всемирного тяготения. Интересно проследить ход
мыслен, который привел Ньютона к открытию закона природы, объяснившего
движение тел в мировом пространстве.
Ныотон был одним из первых, кто имел правильное представление о законе
инерции (§87) н о соотношении между силой и движением. Уже то обстоятель-1
ство, что планеты движутся по кривой линии вокруг Солнца, а Луна движется \
по кривой линии вокруг Земли, побудило его притти к заключению что на эти
тела действует какая-то постоянная сила; относительно природы' этой
силы
известно было только то, что действие ее направлено внутрь, в сторону вогну-
тости орбиты планеты. Относительно Луны он догадывался, что эта сила напра-
влена к Земле и. что она, повидимому, одинакова с силой, действующей на
земной поверхности и называемой силой тяжести.
я
При исследовании этого вопроса Ныотон обратился к изу-І
чению движения планет и простыми геометрическими рассу-
ждениями доказал, что справедливость второго закона Кеплера j
обусловлена действием постоянной силы, которая все время !
превращает движение планет в криволинейное и действует
внутрь орбиты по направлению к Солнцу, т. е. она должна
быть силой центральной.
Криволинейную орбиту планет
можно рассматривать как предел ломаной линии при беско-
нечном увеличении числа ее отрезков; часть такой ломаной
линии, в сильно искаженном виде, изображена на фиг. 103;
Солнце находится в точке s) планета в некоторый опреде-
ленный момент находится в точке а. За некоторый короткий промежугок вре-
мени, например, за одну секунду, планета перейдет из точки А в £)• если на
нее не будет действовать никакая сила, то в следующую секунду в силу закона
инерции планета пройдет такое же расстояние de и по-тому же самому напра-
влению. Площади двух треугольников sad и sde (они имеют равные основания
и высоты) равны. Но в точке d путь планеты претерпевает излом, и она идет
дальше уже не по тому же самому направлению, а отклоняется от него и в те-
чение второй секунды проходит отрезок пути dg. По второму закону' Кеплера
два сектора sad
и sdg (в данном случае это треугольники) должны быть равны;
следовательно, и площадь sdg равна площади sde. Оба эти треугольника имеют
общее основание sd; в таком случае соединяющая их вершины ЛИНИЯ eg должна
быть параллельна основанию. Но так как действительное движение, выраженное
отрезком dg,
представляет собой равнодействующую первоначального движе-
ния de и отклонения от него, выраженного величиной df, то сила, производя-
щая это отклонение, действует по направлению ds,
а следовательно, действует
по направлению к Солнцу.
Если применить этот результат к движению Луны, то мы видим, что догадка
ньютона оправдывается по крайней мере в том, что касается направления
силы,
по чтобы убедиться в тождественности этой силы с силой тяжести, необходимо
было определить величину
тяжести на том расстоянии, на котором Лупа нахо-
дится от Земли. За несколько лет до Ньютона ускорение силы тяжести на Земле
определено Галилеем, но нельзя было допустить, что она сохраняет ту же
самую величину на таком большом расстоянии от Земли. Тогда Ныотон опять
обратился к исследованию движения планет и на основании третьего закона
«ѵеплера доказал, что центральная сила, действующая
на планеты,
обратно
пропорциональна
квадратам
их расстояния
от Солнца. Ньютон доказал справед-
ливость этого закона для орбит планет, двигающихся по законам Кеплера; но
несколько раньше тот же закон был доказан для круговых
орбит планет; для
круговых орбит доказать его было гораздо легче, так как в этом случае цен-
тральная сила совпадает с центростремительной
(§ 89). Обозначим через R ра-
диус орбиты одной планеты, а через //—период ее обращения вокруг Солнца;
через Rl и Ul — радиус орбиты и период обращения другой планеты; обозначим
через С и С1 ускорения силы, действующей на обе планеты; тогда согласно § 89,
мы можем написать
^
4л2Я
„
г — 4*а/?1
c=
~ 7jï~
и
откуда находим
-
Л_
Ci— riu* '
Но так как согласно третьему закону Кеплера
f/a—рз'
то мы получаем
С:С1=
Ф
R*.
Это значит, что ускорения обратно пропорциональны квадратам расстояний. Если
бы этот результат можно было применить к Луне, то тогда можно было бы
считать, что закон вполне проверен. Обозначим через g' ускорение силы тяжести
на расстоянии, на котором находится Луна, а через g ускорение силы тяжести
на земной поверхности; тогда в первом случае расстояние до центра Земли
будет в 60 раз больше, чем во втором случае (как известно, притяжение всех
тел направлено к центру Земли), и мы получим g/ = g: 602.
Подставив в это
выражение g = 9,8 см/сек, получаем g1 = 2,7 мм\сек.
Чтобы выразить С в тех же единицах, как и g, нужно в формуле С = 4тс2/? : LP
выразить расстояние R в метрах, a U (т. е . продолжительность сидерического
месяца) — в секундах. Надо заметить, что С. согласно сделанному выше пред-
положению, дает приблизительное значение ускорения силы для Луны, как и для
планет. Перепишем 4тс2/? в таком виде: 4тс2/? = 2тс • 2тс/?, где 2r.R в 60 раз
больше окружности Земли, т. е. равно 60 X 40 ООО ООО м] кроме того, U = 2,36 млн.
секунд. Подставив это число в выражение для С, получаем С = 2,7 мм, т. е.
то же самое значение, какое мы получили выше для g'.
і'
Таким образом Ньютон открыл два важных свойства силы тяготения: напра-
вление, по которому она действует, и зависимость ее от расстояния. Затем,
|J чтобы не оставлять никаких сомнений в своих рассуждениях, он сравнил притя-
жение Солнцем какой-либо планеты, например, Земли, с притяжением Землей
Луны. Тогда в выражении для С надо взять R в 400 раз больше, а величину U
(сидерический год) — в 13,4 раза больше; значение для С получится в 400 :13,42 раза
больше, т. е . приблизительно вдвое. Если бы Земля находилась на таком же
расстоянии от Солнца, как Луна от Земли, т. е . в 400 раз ближе, чем в дей-
ствительности, то в таком случае ускорение ее движения было бы больше
в 4003 раз. Очевидно, что Солнце обладает силой притяжения, неизмеримо
большей, чем Земля. Мы не знаем, в чем состоит свойство небесных тел, благо-
даря которому они обладают силой притяжения; но из всего предыдущего изло-
жения мы можем заключить, что это свойство присуще материи, а следовательно,
оно находится в тесной связи с единственным свойством материи, не зависящим
от внешних условий, а именно, с
массой.
Окончательный результат этих предварительных рассуждений, который еще
• следует подвергнуть поверке дедуктивным путем, может быть выражен в следую-
щей форме:
Две материальные частицы притягиваются одна к другой с силой, прямо
пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния
между ними.
Это и есть закон всемирного тяготения Hbiofona.
§ 125. Притяжение тел значительного размера. Относительное движение.
При вычислении величины притяжения между двумя телами получаемый результат,
очевидно, зависит от распределения масс внутри тел. Подробным решением этой
задачи занимается теоретическая механика. Здесь же мы приведем только окон-
чательные результаты, а именно: два шарообразных тела с одинаковой плот-
ностью на равных расстояниях от центра притягиваются друг к другу так, как
будто вся масса их сосредоточена в их центрах тяжести (которые в нашем
случае совпадают с их геометрическими центрами). Само собой разумеется, что,
вообще говоря, независимо от формы тел, этот закон будет удовлетворяться
с тем большей точностью, чем меньше размеры тел сравнительно с их расстоя-
нием друг от друга. Такому условию обычно удовлетворяют расстояния между
небесными телами. Поэтому небесные тела можно рассматривать как точки,
обладающие некоторой массой и взаимно притягивающиеся. Если уклонения тел
от шарообразной формы оказывают заметное влияние на результаты
наших
рассуждений, то все же влияние это настолько мало, что удобнее вводить
поправки в окончательные результаты (вычислять „возмущения",
производимые
этими телами).
Допустим, мы рассматриваем два небесных тела, массы которых равны M и т;
центры тяжести их в данный момент находятся на расстоянии г друг от друга;
тогда сила притяжения, действующая между ними, может быть выражена следую-
щим образом:
m
где / сохраняет одно и то же значение независимо от свойств тел; числовая
величина / зависит от выбранных единиц массы, расстояния и времени.
Если налицо имеется не два, а несколько тел, то для каждой пары тел
можно составить соотношение, подобное формуле (1); но дальнейшее решение
задачи будет различным, в зависимости1 от того, имеем ли мы дело с двумя или
несколькими телами.
Допустим, что два небесных тела в некоторый определенный момент находятся
в покое в мировом пространстве, но на них начинает действовать сила взаимного
притяжения. Тогда, конечно, эти тела начнут с возрастающей скоростью дви-
гаться друг к другу, пока не столкнутся. Так как ускорение движения в напра-
влении, по которому действует сила, равно величине силы, разделенной на массу,
на которую она действует (§ 88), то в таком случае
m
ускорение движения тела m равно /
,
ускорение движения тела M равно
а следовательно, ускорение при относительном
движении разно
И
Таким образом ускорение при относительном движении
пропорционально
сумме масс тел. Отсюда следует, что ускорение при относительном движении
останется таким же по величине, если бы масса обоих тел (М-\ -т) была сосре-
доточена в одном теле. Поэтому мы можем упростить задачу, предположив, что
сила исходит из неподвижного центра, так что нам приходится исследовать
движение только одной точки. Об этом мы поговорим подробнее, когда будем
рассматривать с математической стороны задачу о двух телах (см. § 159).
§ 126. Различная форма орбит тел, притягиваемых неподвижной мате-
риальной точкой. Рассмотрим теперь движение небесного тела, которое сперва
свободно перемещалось в мировом пространстве по некоторому пути, причем
на него не действовали никакие силы, а затем подверглось действию
силы
притяжения, исходившей из неподвижной точки, масса которой имеет некоторую
определенную •величину; допустим, что сила притяжения действует на тело
по закону Ньютона. Ускорение движения тела по линии, соединяющей его
с неподвижным центром, остается постоянным, но дальнейшее движение тела
будет, конечно, зависеть от начальной скорости и от направления его движения.
Как мы потом увидим, решение такой задачи сравнительно простое. Оказывается,
что движение тела происходит по одному из конических
сечениіі (по кругу,
эллипсу, параболе или гиперболе), причем центр притяжения находится в фокусе
конических сечений. Рассматривая движение различных небесных тел, мы видим,
что первый закон Кеплера не охватыцает всех возможных случаев решения нашей
задачи; согласно теории могут происходить движения тел не только по эллипсу,
но и по параболе и по гиперболе. На фиг. 104 показано, как происходит движе-
ние тел в различных случаях. В точке F находится центр притяжения (в планет-
ной системе — Солнце); в точке а находится свободно движущееся тело; для
простоты рассуждений предположим, что даль-
нейшее свободное движение тела должно было
бы происходить по прямой ab, перпендикулярной
к радиусу Fa; следует, однако, заметить, что
форма конического
сечения, по которому дви-
жется тело, зависит только от начальной
скорости
(за одним только исключением), а не от напра-
вления движения. Если бы на тело не действовала
никакая сила, то, в зависимости от величины на-
чальной скорости, оно за определенный (или бес-
конечно малый) промежуток времени дошло бы
по линии ab до некоторой точки; но за тот же
промежуток времени оно переместилось бы одно-
временно по направлению к Солнцу на одинако-
вое во всех случаях расстояние, изображенное на
чертеже отрезком с.
Если начальная скорость тела мала, то при-
тяжение к Солнцу перевешивает ее, и тело будет
двигаться по эллипсу ар, афелий которого нахо-
дится в точке а; если начальная скорость велика,
то тело движется по эллипсу ар',
ивточкеа
находится его перигелий. Из бесконечного
числа возможных случаев будет
и такой, когда при определенной начальной скорости тело опишет окружность аа'.
Для того чтобы тело двигалось по круговой орбите, необходимо, чтобы началь-
ная скорость была перпендикулярна к радиусу-вектору орбиты, как
показано
на фиг. 104. Это и будет тот исключительный случай, о котором мы упоминали
выше. Чем больше начальная скорость небесного тела, тем более вытянутым
становится эллипс, по которому оно двигается. Наконец, при некоторой вполна
определенной скорости один из концов эллипса уходит в бесконечность, и орбите
небесного тела превращается в параболу aq. Обе ветви параболы приближаются
к направлению, параллельному оси ар',
по мере того как тело движется дальше
по параболе, и скорость его стремится к нулю. При еще большей начальной
скорости мы будем иметь бесконечно большое число орбит, имеющих форму
гиперболы (аН). Ветви гиперболы все больше и больше удаляются одна от другой
и приближаются к
асимптотам, а скорость движения тела в мировом про-
странстве, по мере того как оно удаляется в бесконечность, стремится к неко-
торой постоянной величине. В предельном случае, при бесконечно большой
начальной скорости (или при нсчезающе малом притяжении к центру F),
гипер-
бола превращается в прямую ab; точно так же в предельном случае, когда
'начальная
скорость становится равной нулю, эллипс превращается в прямую aF.
При решении этой задачи мы опять приходим ко второму закону Кеплера и
на основании его вновь убеждаемся, что сила тяготения принадлежит к централь-
ным силам.
.
§ 127. Точное выражение третьего закона Кеплера при круговом движе-
нии. Применяя найденное в § 125 выражение для ускорения силы тяжести сперва
к Солнцу и одной планете, а затем к Солнцу и другой планете, мы сможем
сделать соответствующие выводы. Допустим для простоты, что оба тела движутся
по круговым орбитам. Такое предположение дает нам большие преимущества
для дальнейших рассуждений, так как сила тяготения в этом случае совпадает
с центростремительной силой и ускорения их становятся равными; поэтому для
первой планеты мы можем написать выражение
4 rfiR
,М+т
4*2
. MA-m
17Г=/—/jT->
"ли
_=/— _,
где Ж— масса Солнца. Обозначив для второй планеты соответствующие вели-
чины значком 1, будем иметь
4*2
м-f-"h
U\ ~J
Fl'
Разделив первое уравнение на второе, получаем
uj_m
+m
un
-
м+гщк3'
ка>
Таким образом для круговых орбит мы вновь вывели третий закон Кеплера,
но в несколько измененной форме; в правой части выражения (3) мы видим
множитель
который будет равен единице только в случае, если массы
обеих планет m и т1 равны между собой. Кеплер эмпирическим путем установил
свой закон так, что коэфициент
1; ему удалось получить такой вывод
пото.му, что массы планет настолько малы по сравнению с массой Солнца, что
при той точности, с которой во времена Кеплера знали их числовое значение,,
отклонение коэфициента от единицы было совершенно недопустимо. Какую форму
имеет третий закон Кеплера в общем случае — при эллиптическом
движении, мы
рассмотрим в дальнейшем изложении (см. § 165).
§ 128. Определение масс планет при помощи третьего закона Кеплера.
Вывод, сделанный в предыдущем параграфе, дает нам возможность с приблизи-
тельной точностью определить соотношение между массой
Солнца
и
массой
планеты,
если у последней имеется один или несколько спутников, расстояния
которых от планеты и периоды обращений вокруг нее известны. Движение спут-
ника вокруг планеты можно выразить тем же самым уравнением, как и движение
планеты вокруг Солнца; поэтому мы будем считать, что числа со значком 1
в формулах § 127 означают массу, расстояние и период обращения спутника
планеты; в таком случае в уравнении (3) нужно будет в знаменателе число
(Ж-f -mj) заменить числом (/и-} -///,), т. е . суммой масс планеты н спутника.
Разделив числитель и знаменатель дроби на т, перепишем ее в виде
d+'M1+•£•)•
Отношение Ж//и во всех возможных случаях очень велико; отношение же
mjm,
наоборот, всегда малб, а поэтому его, можно в нашем выражении
откинуть
(впрочем, отношение mjm
можно принимать во внимание при вычислениях, если
оно известно каким-либо другим способом, но это бывает очень редко); тогда
наше уравнение будет иметь только -одно неизвестное Ж/wt, которое
легко
из него определяется. Даже для самой крупной из планет, для Юпитера, опреде-
ленное таким способом значение отношения /и/Ж меньше 1 : 1000.
Если отбрасывать дробь «t,/m при определении отношения
массы Луны и
Земли, то мы получим только очень приближенный результат, но, как увидим
впоследствии, отношение массы Луны к массе Земли можно получить еще и
другим способом.
Для определения массы Земли нам нет надобности обращаться к Луне, чтобы
определять массу на основании силы притяжения; в нашем распоряжении имеются
другие способы для определения напряжения силы тяжести на земной поверх-
ности. Сравним уравнение
с уравнением
Xт
S=f
где р — радиус Земли для соответствующего пункта на ее поверхности; в таком
случае, разделив первое выражение на второе, мы получим отношение массы
Солнца M к массе Земли т; но так как g должно выражать только величину
силы притяжения, то найденное из наблюдений значение g надо исправить за вели-
чину центробежной силы. Вычисленное по такому способу отношение массы
Солнца к массе Земли несколько превышает 300 000.
Обозначим через g-,
ускорение силы тяжести на поверхности
какого-либо
другого , небесного тела, масса которого равна тѵ
а радиус
тогда, применяя
тот же способ рассуждений, получаем
Рі
откуда находим
§ 129. Притяжение эллипсоидом вращения. Мы не имеем возможности при-
вести здесь во всей строгости решения задачи, о которой говорилось в § 125,
т. е. найти математическое выражение для взаимного притяжения двух тел.
Покажем только, как вычисляется ускорение силы тяжести, производимое эллип-
соидом вращения с небольшим сжатием на точку, расположенную на поверхности
эллипсоида или где-либо вне его, в пространстве; заметим, что эллипсоид состоит
из слоев, поверхности которых представляют собой эллипсоиды вращения, подоб-
ные друг другу. Если расстояние притягиваемой точки от центра тяжести эллип-
соида равно г, а угол, образуемый с плоскостью экватора линией, соединяющей
точку и центр тяжести эллипсоида, равен <?, тогда ускорение с большой степенью
точности можно выразить формулой
+ £0-3
sln2 в),
(4)
где m — масса всего эллипсоида,./—та самая постоянная, о которой мы уже гово-
рили, и •/. —
тоже некоторая постоянная, которая зависит от сжатия эллипсоида.
Применяя формулу (4) к притяжению, производимому Землей, мы должны
принять о равным геоцентрической широте, но вследствие невысокой точности
результатов, даваемых формулой (4), вместо геоцентрической
можно брать
геогра-
фическую
широту точки. Отсюда следует, что на параллелях о = ±35°16/, где
sin2c? = 1/s> притяжение таково, как будто вся масса эллипсоида сосредоточена
в его центре. Если к эмпирическому выражению ускорения силы тяжести (см. § 104)
прибавить 0'",0339 cos2 о, т. е . величину, на которую центробежная сила умень-
шает силу тяжести, и подставить в формулу (4) выражение sîn2 о =1 /а или
cos2® = 2/3, то мы получим g' = 9,8202 м/сегс; эта величина выражает действи-
тельное притяжение Землей на расстоянии г = а(1—'/в®)»
где
а
—
большая
полуось Земли, а а — ее сжатие (см. §94). Тогда г будет величина земного
• радиуса, который в предыдущих параграфах мы называли р.
Логарифмируя, а затем диференцируя уравнение
хт
--
t-/7.
мы получаем
ер'
при помощи этого выражения можно вычислить, насколько уменьшится вели-
чина g., если высота над уровнем моря увеличится на dp.
§ 130. Элементарное исследование задачи о трех телах и вопроса о возму-
щениях. В одном из последующих разделов (§ 156 —179) мы рассмотрим вопрос
об относительном движении центра тяжести системы
д
двух небесных тел под влиянием притяжения их друг
аТ^г^^Р^ѵ^ц
к другу (задача о двух телах).
в
\
Затем мы займемся вопросом об относительном
\
движении трех или нескольких тел под влиянием
я
^^
силы тяжести (см. *•§ 180 — 205). При решении
cl*
~7ц7
'
этой задачи в общем виде мы встречаемся с боль-
фпг
шими затруднениями, потому что математика не мо-
жет еще дать в конечном виде выражения для движения трех и более тел.
Впрочем, для солнечной системы мы можем найти решение задачи в некоторых
отдельных случаях, но только приближенное. Если вопрос идет о движении пла-
неты вокруг Солнца или о движении спутника вокруг планеты, то притяжение
центрального тела значительно превышает притяжение всех других тел; в боль-
шинстве случаев с достаточной точностью можно сперва вычислить движение
каждого отдельного тела по законам Кеплера, взятым в том виде, в каком они
получаются на основании закона тяготения; причем вычисления ведутся так, как
будто дело идет только о двух телах. Способ, каким вычисляются дальнейшие
последовательные
приближения, будет понятен из следующих геометрических
соображений.
На фиг. 105 в точке А находится небесное тело; допустим, что оно движется
вокруг центрального тела С по какому-либо коническому сечению, Но вот поя-
вляется третье тело Р, которое начинает оказывать притяжение на оба тела А
и С; тогда в движении тел С и А, вычисленном нами для случая, когда третьего
тела еще не было, появятся некоторые изменения. Эти изменения в движении
тел под влиянием притяжения третьего тела называются возмущениями;
Р назы-
вается возмущающим телом. Ускорения в движениях тел С и Л, производимые
притяжением тела Р, изображены на фиг. 105 отрезками Сс и Аа; так как тело С
находится ближе к Я, то и ускорение Сс больше Аа.
Чтобы упростить решение задачи, будем считать, что центральное тело С
остается неподвижным, а все движения перенесены на тело А; приложим поэтому
к телу С силу, которая сообщает ему движение в сторону, противоположную Сс;
это движение изображено на чертеже вектором Ссх; к телу А приложим такую же
силу, которая сообщает ему движение Ааѵ
параллельное Ссх; если на два тела
(обладающие равными массами) будут действовать две равных и параллельных
силы, то взаимное расположение тел не изменится; но так как теперь тело С на-
ходится в покое (обе действующие на него силы уравновешиваются), то влияние
возмущающих сил выразится равнодействующей AB. Следовательно, вектор AB
представляет собой ускорение, производимое возмущающей
силой тела Я. В на-
шем случае оно направлено в сторону, противоположную от Я. Направление это
будет различным в зависимости от взаимного расположения трех тел.
При этом надо отметить следующее общее для всех случаев правило: воз-
мущающая сила направлена к некоторой точке, находящейся на линии PC нлн
на продолжении ее дальше точки С. Равнодействующая возмущающей силы и
основной силы притяжения тела Л к С, вообще говоря, уже не будет цент-
ральной силой.
"я0
Фиг. 106.
Направление и величину возмущающей силы можно найти при помощи очень
простого построения. На фиг. 106, как и на фиг. 105, А — тело, движущееся около
центрального тела С, Р — возмущающее тело,
только они несколько иначе расположены. До-
пустим, что расстояния РА = р, a РС=Р;
в
таком случае всякая прямая, параллельная АС,
рассечет стороны треугольника РА и PC на
части, пропорциональные р:/?. Ускорение при-
тяжения, производимого телом Р на тело А,
должно быть направлено по прямой АР и
соответствует вектору Аа (фиг. 105), изобра-
женному в произвольно выбранном масштабе.
Поэтому ускорение х притяжения, производимого телом Р на тело А, должно
быть выражено в том же масштабе, так что х : АР = р2 : Р2.
Отложим PL = РА и проведем LD || CA; тогда мы можем написать
Отложим затем PM—PD
и проведем МЕ\\СА; тогда получим
pb-frd-fflpa.
Таким образом величина РЕ равна искомой длине х. Пользуясь способом, пока-
занным на фиг. 105, пришлось бы отложить величину х сперва по направле-
нию от С к Р, а потом отложить ее в противоположном направлении от С
и перенести параллельно самой себе в точку А. Но можно поступить проще.
Отложив PB —РЕ, проводят линию AB, которая и представляет собой диагональ
параллелограма сил; на фиг. 106 изображена только половина этого параллело-
грама. Таким образом вектор AB изображает ускорение возмущающей силы в
заданном масштабе.
§ 131. Важное свойство возмущающей силы. Характерную особенность воз-
мущающей силы легко можно видеть, рассматривая тот простой случай, когда
все три тела, расположены на одной прямой, например, когда тело А находится
между телами С и Р. Равнодействующая AB, которую мы для краткости обозна-
чим через L, равна разности двух ускорений, и если обозначить массу тела Р
через т, получим для нее выражение
r=f'il
fll
7Р2
7Ж2'
Вводя для расстояния обозначение СА = г, мы можем написать р = Р — г .
Принимая во внимание некоторые приложения возмущающей силы, о которых мы
будем говорить после, можно считать г весьма малой величиной по сравнению
с Р. Тогда L разлагается в быстро сходящиеся ряды; дробь
можно пред-
ставить в следующем виде:
1
1
2г.Зг°
(P—r)-
R*I
Ri
Подставив это выражение в формулу для L вместо 1:р2, мы получаем
Если А находится по другую сторону от С, но все же остается на тон же
самой прямой, так что возмущающая сила действует в противоположном напра-
влении, мы получим
\
(R + r)*'
а если разложить это выражение в ряд, как и предыдущее, то мы найдем
Разница между выражениями L и L' заключается только в том, что вторые
члены в скобках имеют противоположные Энакп. Если дробь г//? настолько мала,
что вторым членом в скобках можно пренебречь, то можно высказать следующий
закон: Если притяжение обратно пропорционально второй степени расстояния, то
возмущающая сила обратно пропорциональна третьей степени расстояния. Кроме
того, мы видим, что возмущающая сила прямо пропорциональна г — расстоянию
возмущающего тела от центрального.
Если три тела расположены друг относительно друга как-нибудь иначе, воз-
мущающее ускорение будет зависеть от угла АСР; множитель перед скобками
в выражении /. сохранит свой вид. Вместо того чтобы искать равнодействующую AB
для ускорений двух сил, действующих на тело А, как это видно на фиг. 105 (или
соответственно на фиг. 106), можно спроектировать эти ускорения на радиус-век-
тор CA и на направление, ему перпендикулярное, а затем найти составляющие
ускорений по этим двум направлениям. Положим для краткости множитель//^ =
1,
тогда обе величины, которые мы должны спроектировать, будут равны 1 : р2 и
1 :Р~.
Обозначим составляющую, спроектированную на направление радиуса-вектора,
через Р; причем положительное направление идет наружу; обозначим другую со-
ставляющую через Q и будем считать ее положительной в направлении движе-
ния, т. е . с возрастанием угла РСА; обозначим угол РСА через С, а дополнение
угла САР через А; тогда будем иметь
P=icosA—
^cosC
и
Q= — ±sinA
+
±sinC.
Угол А можно
выразить
через С, если принять р cos А =cos С—г
ирsinА=Р sinС;тогда получаем
р РсобС—г
cos С
Ра
R*
и
п
РsinСIsinС
^
h -rt'
'
Кроме того, из чертежа видно, что р2 = р2 -]- г-
—
2Pr cos С, а следовательно,
Допуская попрежнему, что г\Р — очень малая величина, вышенаписанное вы-
ражение можно разложить в быстро сходящийся ряд; откидывая вторые и высшие
степени величины г\Р, получаем
Подставив это .выражение в формулы для Р и Q, получим для обеих соста-
вляющих следующие значения:
P=
- £-3(3cos2C—1)4
,
§ 132. Возмущения орбит планет. Относительно возмущений в планетной
системе надо сказать, следующее. Если определять движение некоторой планеты
относительно Солнца, то тогда можно рассматривать по отдельности влияние
остальных планет, возмущающая сила которых достаточно велика; вычислив от-
клонения координат эллиптической орбиты, производимые отдельно каждой пла-
нетой, их надо просуммировать. Так надо поступать при определении движения
каждой планеты. Может случиться, что вычисленные положения для некоторых
планет подверглись столь сильным изменениям, что они будут оказывать влияние
на самые результаты вычислений. В таком случае вычисления надо повторить,
взяв за основание новые значения координат.
Можно также считать, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, но
элементы их орбит с течением времени изменяются; иными словами, можно вы-
числять влияние возмущений на элементы орбиты, а не на самые координаты
планеты (см. § 193). В обоих случаях при вычислениях входит величина массы
возмущающего тела; поэтому для планет, не имеющих спутников, единственным
способом вычисления их массы служит определение
величины
производимых
ими возмущений (или исправление значения предварительно принятой для них
массы); при этом способе сравнивают вычисленное положение планеты с полу-
ченным из наблюдений. Из всех известных нам планет надежно определена масса
только наиболее крупных, имеющих по несколько спутников.
Линии узлов
планетных орбит перемещаются по орбитам в обратном напра-
влении. Наклонения
плоскостей орбит у некоторых планет уменьшаются, а у дру-
гих увеличиваются. Плоскость земной орбиты, относительно которой определяют
наклонения плоскостей других планет, сама изменяет свое положение в про-
странстве. вследствие возмущений, производимых другими планетами, главным
образом ближайшей из них —Венерой. Это и является причиной упомянутого
в §54 изменения наклонения эклиптики, вследствие чего изменяется также и ве-
личина прецессии.
Линии апсид перемещаются по орбите преимущественно в прямом направле-
нии. Вследствие этого аномалистический
период обращения планеты, т. е . проме-
жуток времени между двумя последовательными прохождениями ее через точку
перигелия, когда аномалия ее изменяется на 360°, оказывается несколько длиннее
периода сидерического обращения. Так как линия апсид земной орбиты переме-
щается на 11",6 в год, средняя же скорость движения Земли по орбите равна
2",46 . в минуту (3548",193: 1440), следовательно, аномалистический год прибли-
зительно на 5 минут длиннее сидерического.
Эксцентриситет
орбиты увеличивается в течение некоторого промежутка
времени у одних планет и уменьшается у других. В настоящее время он увели-
чивается у Меркурия, Марса, Юпитера и Нептуна и уменьшается у Венеры, Земли,
Сатурна и Урана. Ежегодное уменьшение эксцентриситета земной орбиты не пре-
вышает 4 единиц седьмого десятичного знака.
ДВИЖЕНИЕ ЛУНЫ. ПРЕЦЕССИЯ И НУТАЦИЯ. ПРИЛИВЫ И ОТЛИВЫ
S 133. Движение Луны по ее орбите. Обратное движение узлов и прямое
движение линии апсид. Так как Луна обращается вокруг Земли и вместе с Зем-
лей движется вокруг Солнца, то можно было бы ожидать, что путь Луны в про-
странстве является петлеобразным или волнообразным. Выше уже было сказано
(см. § 124), что ускорение при падении Земли вместе с Луной к Солнцу вдвое больше,
чем ускорение при падении Луны к Земле; отсюда ясно, что путь Луны вокруг
Солнца должен быть всегда вогнутым. При двойном движении Луны получается
такая картина: в новолуние, когда притяжение Луны к Земле направлено в сто-
рону, противоположную, нежели притяжения Земли и Луны к Солнцу, кривизна
лунной орбиты меньше по величине, нежели в полнолуние, когда притяжения
Луны и Земли к Солнцу направлены в одну сторону.
Так как следует считать, что движение Луны относительно Земли происходит
по законам Кеплера, как и движение планет вокруг Солнца, то легко определить
элементы ее орбиты. Положение плоскости орбиты Луны может быть определено
долготой восходящего узла (конечно, геоцентрической) и наклонением орбиты
к эклиптике; оба элемента определяются из двух наблюдений Луны в различные
дни месяца, подобно тому как в § 41 это было -описано при определении поло-
жения эклиптики из двух наблюдений Солцца. Чтобы определить положение ли-
нии апсид, следует найти в течение месяца два таких момента, когда скорость
движения Луны одинакова; определив моменты прохождения Луны через перигей
и апогей, можно найти эксцентриситет лунной орбиты, измерив в эти моменты
угловой диаметр Луны, как это было описано в § 123 при определении эксцен-
триситета земной орбиты. Среднее расстояние от Земли до Луны можно вычислить,
зная ее суточный параллакс. Установлено, что горизонтальный параллакс Луны
в среднем равен 57' 2",7, что соответствует расстоянию в 60,27 экваториального
земного радиуса. Как мы увидим ниже, параллакс Солнца равен 8",80; отсюда
следует, что Солнце находится от Земли дальше, чем Луна, в 3423:8,80 = 389 раз.
Из наблюдений Луны скоро убедились, что законы Кеплера только приблизи-
тельно удовлетворяют наблюдениям. В § 68 уже говорилось, что положение ор-
биты Луны изменяется с такой быстротой, что линия узлов за 18,6 лет обходит
всю эклиптику. Линия апсид перемещается то прямым, то обратным движением;
однако прямое движение преобладает настолько сильно, что перигей за 8,85 лет
совершает полный круг по небу в прямом направлении. Вследствие этого
анома-
листический
месяц на 5—6 часов длиннее сидерического;в среднем его величина
равна 27,55455 дней, но вследствие неравномерности движения линии апсид про-
должительность его колеблется весьма значительно в ту или другую сторону
(между 25 и 29 днями).
§ 134. Солнце как возмущающее тело. Разложение возмущающей силы на
три составляющих. Причина-неравномерности движения Луны заключается в том,,
что Луна подвергается сильным возмущениям, причем возмущающим телом оказы-
вается само Солнце. При помощи выведенного в § 131 выражения ускорения
возмущающей силы можно вычислить, что Луна
подвержена со стороны Солнца более сильному
возмущающему действию, чем все остальные тела
солнечной системы.
На фиг. 107 показано действие возмущающей
силы на Луну согласно построению, сделанному
в § 130; в точке с находится Земля, а в точке
А — Луна. Так как возмущающее тело,
т. е.
-
ФцГ. 107.
Солнце (S), находится от Земли в 389 раз дальше,
чем Луна, то на чертеже направления к Солнцу /15 и cs будут почти параллель-
ными (угол между ними не превышает 60X9" =
9'); поэтому линии al, dm и
ев будут перпендикулярны к cs, а линии ld
иme
параллельны ca. Так как
в этом случае cl = lm = mb, то тогда можем сказать, что если al _J _ cs, то cl при-
дется отложить еще два раза вдоль линии cs,
чтобы получилась точка в. Линия
AB, как и в § 130, будет изображать ускорение возмущающей силы в том же
масштабе, в каком расстояние as (на чертеже оно не изображено) изображает
ускорение притяжения Луны Солнцем.
Обозначим угол асв через С,-а угол abc
черезв,тогдаal= cltgс—lbtgв.
Так как lb = 2cl,
то мы всегда будем иметь tg С= 2 tgß. Если же угол при Л
прямой, то возмущающая сила будет действовать перпендикулярно к радиусу-
вектору орбиты Луны; в тако^і случае в = 90° — Си, следовательно, tgß = ctgC,
на основании чего имеем
igc=±v2.
Отсюда следует, что AB будет перпендикулярно к радиусу-вектору, если
угол с, т. е . элонгация Луны относительно Солнца, равен zt54°44' или dzl25°16'.
Полученный результат согласуется с предпоследней формулой в § 131, на осно-
ванші которой получается, что составляющая Р (взятая по направлению радиуса-
вектора) превратится в нуль, если cos2С = 1/8 и, следовательно, tg-C =2 .
На фиг 108 показаны направление и величина ускорения возмущающей силы
в моменты различных фаз Луны, построенные по описанному выше способу, только
масштаб при построении был взят вдвое меньше, нежели на фиг. 107. N и V
изображают новолуние и полнолуние, 2 и 5 —обе четверти; /, d, 4 и б—четыре
точки на орбите Луны, положение которых определяется из уравнения tg- С
—
л
Гили cos2 С —1 /.,). В сизигиях вектор, изображающий ускорение, направлен в сто
Рону
противоположную от Земли, и имеет наибольшую величину, а именно
(согласно §131), равен 2\fMr-. W, где Ж —масса Солнца. В первой и последней
четвертях вектор направлен к Земле и в два раза меньше величины вектора
в сизигиях; на фиг. 103 точка В будет тогда совпадать с точкой С. В точках
i 3 4 и 6 вектор, как легко видеть из построения на фиг. 107 (или на осно-
вании формулы дл-1 Q в § 131), равен по величине значению его в первой или
последней четверти, умноженному на V2. На фиг. 106 и 107 вектор AB рас-
положен в плоскости, проходящей через все три тела, т. е. Солнце, Землю и
Лѵиѵ но так как эта плоскость только два раза в году совмещается с плоскостью
орбиты Луны, именно тогда, когда линия узлов лунной орбиты повернется по
направлению к Солнцу, то, следовательно, AB, вообще говоря, образует угол
с плоскостью лунной орбиты. Но при любом направлении вектора AB его всегда
можно разложить на две составляющие: одна будет расположена в плоскости
лѵнной орбиты, а другая —к ней перпендикулярна; первая из них в свою оче
р
редь может быть разложена на две составляющие
одна направлена по радиусу-вектору Луны (ра
диальная составляющая), а другая перпендикулярна
к ней; последнюю для краткости называют тан
генциальной составляющей, хотя такое выраже
—н ие было бы вполне подходящим лишь в том
случае, если бы орбита Луны представляла собой
окружность.
§ 135. Тангенциальная составляющая. Ва
риация. Тангенциальная составляющая, как это
Фиг. 108.
видно из фиг. 108, равна нулю в сизигиях и в пер
вой и последней четвертях; за время между ново
лѵиием и первой четвертью она действует ь направлении, противоположном дви
жению Луны; наоборот" за время между первой четвертью и полнолунием она
действует в .ту же сторону, в какую движется Луна; во вторую половину сино
дического месяца действие тангенциальной составляющей происходит в том же
порядке^ Очевидно, что при таких условиях должно происходить периодическое
изменение скорости движения Луны; и период изменения скорости равен половине
синодического месяца, т. е . 15 іням. Легко видеть, какое действие оказывает
тангенциальное ускорение в различных точках лунной орбиты; движение Луны
ГсдорГся за весь промежуток времени между первой четвертые> и
^олуTM
и между последней четвертью и новолунием; следовательно, в сизигиях мы на
блюд ем постепенное накопление увеличения скорости, которое на следующих
участках орбиты Луны начнет уменьшаться; накопление скорости Движения, Луны
будет все больше "растрачиваться, потому что возмущающая сила Действует
этих участках в сторону, противоположную движению. В результате оказываете
что Луна постепенно уходит вперед сравнительно с ее положением вычисленным
по законам Кеплера, на тех частях своей орбиты, которь
вой четвертью и полнолунием и между последней четвертью и новолунием,
отстает на остальных частях своего пути.
Возмущения в движении Луны с периодом в полмесяца, „открытые Тихо Бра
,,о объясненные лишь Ньютоном, носят название вариации.
^0TM
ченне достигает ЗЭ'ЗО" .
Впрочем, эта величина не зависит полностью от одно»
только тангенциальной составляющей.
§ 136. Радиальная
составляющая.
Годовое
неравенство.
Рассмотрим
теперь влияние радиальной составляющей ускорения возмущающей силы; из фиг. 108
(а также на основании выражения для Я в § 131) видно, что она в большей степени
действует по направлению в сторону от Земли. В среднем действие ее выражается
в том, что она уменьшает притяжение Луны к Земле, и, следовательно, расстоя-
ние Луны от Земли и период ее обращения увеличиваются под влиянием возму-
щающей силы Солнца. Само по себе радиальное ускорение не производит заметного
неравенства в движении Луны, но так как возмущающая сила обратно пропор-
циональна кубу расстояния от Соіица, то на нее оказывает влияние эксцентри-
ситет земной орбиты. В период около 1 января, когда Земля находится ближе
всего к Солнцу, оно наиболее интенсивно уменьшает притягательную силу Земли.
Но в течение весны и лета Земля успевает полностью восстановить свою власть
над Луной; Земля, так сказать, все сильнее натягивает узду, на которой как бы
держит Луну, и заставляет ее бежать все быстрее вплоть до начала июля, когда
Солнце находится дальше всего от Земли. Приобретенное увеличение скорости
движения Луны по сравнению с ее средним значением будет еще удерживаться
некоторое время во второй половине года, но затем начнет уменьшаться, по мере
того как вновь возрастает влияние Солнца. В результате получается годовое
не-
равенство
в движении Луны. Наибольшая разница в продолжительности обращения
Луны вокруг Земли достигает приблизительно 10' в ту и другую сторону от его
среднего значения; наибольшее отклонение в положении Луны от среднего места
на ее эллиптической орбите достигает 11'10"; в конце марта истинное положение
Луны отстает от среднего на 11' 10",
а в начале октября, наоборот, Луна нахо-
дится впереди среднего своего положения на ту же величину 11'10".
Это неравенство (так называемое годовое уравнение)
также открыл Тихо Браге.
Кеплер, еще до его приезда в Прагу, пришел к такому же заключению. В качестве
составителя календарей он обнаружил, что некоторые из вычисленных им затме-
ний наступают весной позже, а осенью раньше, чем это полагалось бы по вы-
числениям. Стараясь найти объяснение таким явлениям, он пришел к выводам,
в которых есть намеки на закон всемирного тяготения. При составлении лунных
таблиц Тихо Браге, так же как и Кеплер, вносил поправки за годовое уравнение
не в положение Луны на орбите, а выражал их во времени; таким образом для
вычисления положения Луны они пользовались своего рода уравнением времени.
§ 137. Вековое ускорение Луны. Годовое уравнение косвенно указывает и на
другую особенность в движении Луны. Английский астроном Галлей, сравнивая
прежние наблюдения Луны с теми, которые производились в его время, нашел,
что сидерический месяц в его время стал заметно короче, чем в древности. Ла-
плас доказал, что это явление происходит от уменьшения эксцентриситета земной
орбиты. Когда Земля, завершив одно обращение по своей орбите, вновь прихо-
дит через год в то же самое место, период годового неравенства движения Луны
должен закончиться, и все явление должно начинаться сначала; но так как эксцент-
риситет земной орбиты уменьшается, то полной компенсации не происходит,
и Лаплас показал, что при уменьшении эксцентриситета земной орбиты должно
происходить уменьшение периода обращения Луны вокруг Земли, именно, в такой
мере,- в какой это обнаружил Галлей. Впрочем, само изменение периода обраще-
ния Луны вокруг Земли весьма незначительно; в наше время период обращения
только на полсекунды короче, нежели 2000 лет назад. Но уменьшение периода
обращения Луны, т. е. увеличение средней скорости ее движения по орбите, со-
провождается ускорением в движении Луны; влияние ускорения движения Луны
на положение ее на орбите пропорционально квадрату времени, а следовательно,
его легко обнаружить по прошествии достаточно большого промежутка времени.
Долгота Луны может быть выражена следующей формулой:
L = L0 -)- [і/-j - at2 -j - периодические члены,
гдер.—
средняя скорость движения Луны для момента 1 = 0. Делонэ теорети-
Дотроііоиіія
13
ческим путем нашел, что коэфициент а = 6",1, если выразить в столетиях про-
текший промежуток времени. Новейшие исследования дали для а значение несколько
меньшее (6",0). По прошествии 2000 лет изменение в положении Луны будет
равно приблизительно 40' .
§ 138. Эвекция. Вариация в лунном параллаксе. Параллактическое нера-
венство. Самое значительное из всех возмущений, которым подвержена Луна,
очень легко заметить, п его открыл еще Птолемей. Оно называется
эзекцией.
Эвекция имеет весьма сложную природу, потому что она зависит от взаимного
расположения Солнца и Луны относительно линии апсид лунной орбиты; мы упо-
мянем только, что эвекция достигает наибольшего значения ±1°16'26",
когда
элонгация Луны относительно Солнца совместно с элонгацией перигея относи-
тельно Солнца равны ±90°, т. е., например, в случае если Луна проходит перигей
в момент, когда она находится на середине своего пути между новолунием и пер-
вой четвертью. Период эвекции равен 31,8 дня (несколько длиннее продолжитель-
ности синодического месяца). Эвекция находится в тесной зависимости с описан-
ным выше то прямым, то обратным движением линии апсид, которое совместно
с изменением эксцентриситета орбиты Луны образует период продолжительностью
свыше полугода. Эксцентриситет лунной орбиты в среднем равен 0,0549, но из-
меняется за весь период от 0,044 до 0,066.
Из геометрических соображений легко усмотреть, что радиальная составляю-
щая возмущающей силы должна производить изменения в положении линии апсид,
когда эта линия направлена к Солнцу; причем, когда Луна находится в апогее,
действие этой силы будет сильнее, нежели тогда, когда Луна находится в перигее,
так как ускорение возмущающей силы пропорционально расстоянию Луны от
Земли. Следует отметить влияние эвекции и вариации на выражение горизонталь-
ного параллакса Луны Р, выведенное теоретическим путем. Отбрасывая малые
члены с коэфициентами, меньшими 2",
и обозначая через S элонгацию перигея
относительно Солнца, мы получаем
в перигее Р = 60' 19",2 -j- 65",6 cos 25,
в апогее р = 54'6",2
—9",2 cos 25.
Таким образом в перигее параллакс Луны за
года изменится на 2'11", а в
апогее.— в сего на 18".
Согласно вычислениям Адамса, наибольшее значение для. параллакса Луны
в перигее может быть равно 61'31",5, что соответствует расстоянию в перигее:
q = 55,87, если за единицу принять экваториальный радиус Земли. Следовательно,
ближе Луна никогда не бывает. Параллакс Луны имеет наибольшую величину, когда
Луна во время полнолуния находится в перигее и расположена посредине между
двумя узлами своей орбиты; Солнце тоже должно при этом находиться в пери-
гее. Если же, наоборот, Луна находится в новолунии и притом в апогее, то
в таком случае параллакс Луны принимает самое малое, значение 53'54",7, что
соответствует наибольшему возможному расстоянию от Земли до Луны, а именно,
Q = 63,77.
При солнечных затмениях большое значение имеет случай, когда перигей
Луны в новолуние находится в одном из узлов ее орбиты, а Солнце находится
в апогее; тогда Я=61'21",6, что соответствует значению для <7 = 56,03.
Помимо описанных нами трех крупных возмущений в движении Луны, наблю-
дения обнаруживают еще большое количество других. Из них следует упомянуть
только параллактическое
неравенство;
оно выражается вторым членом в скобках
в выражении для l и l' (см. § 131); в полнолуние и в новолуние этот член имеет
противоположные знаки. Поэтому период этого неравенства равен одному месяцу;
наибольшее влияние на долготу Луны выражается приблизительно величиной 2';
на такую величину Луна отстает в первой четверти и уходит вперед в последней
четверти. Это возмущение имеет особенно большое значение с теоретической
точки зрения; если из наблюдений с достаточной точностью найдено числовое
значение параллактического неравенства, то можно, наоборот, воспользоваться
его величиной чтобы вычислить тот член в математической формуле для долготы
Луны, который входит в „се с обратными знаками при новолунии и полнолуний
т. е . получить таким путем соотношение между расстояниями от Луны до Солнца-'
параллакс "солнца!"0
^
Д° Лу"Ы
' TM -посредственно получим
§ 139. Движение Земли вокруг общего центра тяжести Земли и Луны.
Следует упомянуть еще о некоторых других явлениях, причиной которых служит
тот факт, что Луна является спутником Земли. Земля и Луна по отношению
к Солнцу представляю г собой как бы двойную планету; поэтому точка, которая
движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, совпадает не с центром Земли
а почти точно соответствует общему центру тяжести Земли и Луны. Положение
этого центра тяжести может быть найдено обычными способами. Обозначим чере!
A4 массу Земли, а через т-массу Луны; через «-расстояние между Гми
а через * —расстояние от общего центра тяжести обоих тел до центра Земли-
в таком случае мы можем написать
р
«или,
Мх=
т(а—
откуда получаем
ѵ_
m_
ж+ni
Как мы сейчас увидим, масса Земли почти в 82 раза больше массы Луны-
« изменяется в указанных выше пределах от 55,9 до 63,8 земных радиусов-
в силу этого получается, что среднее значение
радиусов,
для д: равно приблизительно 3/4 земного радиуса.
f
Следовательно, центр тяжести системы Земля —
Луна расположен внутри Земли, но ближе к ее
поверхности, чем к центру.
,
На фиг. 109 показано, какие последствия Д""^-
^
-а ——(L-3 Л
вытекают из такого положения вещей. Обозна-
V1рJ
чим через 5 Солнце, через m —Луну, а через
ф.,г
Т—общий центр тяжести Луны и Земли; пусть
тс-параллакс
Солнца, т. е. угол, под которым виден с Солнца радиус Земли
а /-угол, под которым видно с Солнца расстояние .*; в таком случае /-?/?
Для наблюдателя, находящегося на Солнце, будет казаться, что центр Земли
находится несколько позади того места „а эллиптической орбите? в котопом
находится точка Г; спустя половину синодического Месяца (?. е ког^а Лѵна
будет в первой четверти) центр тяжести системы будет находитьсяполоѵгѵю
сторону от центра Земли; тогда центр Земли „а такую же велиш ну будет кТ
заться находящимся впереди точки Г, расположенной на эллиптической оГбите"
Но всякое неравенство в движении Земли для нас отражается в ваде сорвет
ствующих неравенств движения Солнца по эклиптике. Период этого непавенствя
равен синодическому месяцу. Если принять, что тс = 8" 80 то /= 6" 6
Другое явление изображено на фиг. 110. Здесь
'
'
*'
Луна находится в соединении с Солнцем 5 и в то
же время широта ее достигает наибольшей вели-
чины; обозначим через і наклонение лунной орбиты
(на чертеже этот угол показан в сильно пре- 5
'
увеличенном виде). st—
пересечение плоскости
чертежа с перпендикулярной к нему плоскостью
эклиптики; если смотреть с Солнца, то центр
Земли будет казаться несколько ниже эклиптики
^Г^^оСшГп^"^3
3еШШ' Т
°
ЦСНТР С°Л
'
НЦа будет казаться выше эклип-
тики. Отклонения эти весьма незначительны; из чертежа видно что Tt — хчіне-
равно приблизительно 5°, a sin 5°= і/и; в таком случае угол Гпод Точным
"осTM равна нулю
'
°
Ге0ЦентР»ческая
Солнца не всегда в тон-
§ 140. Третья составляющая возмущающей силы. Возмущения долготы
узлов и наклонения лунной орбиты. Остается рассмотреть влияние третьей соста-
вляющей возмущающей силы, оказываемой действием притяжения Солнца на Луну;
эта составляющая направлена перпендикулярно к плоскости лунной орбиты.
Согласно всему сказанному относительно возмущающей силы, эта составляющая,
вообще говоря, должна действовать по направлению к эклиптике или в сторону
от нее (хотя бывают случаи, когда третья составляющая действует в ином на-
правлении). Так что если Луна находится выше плоскости эклиптики, то обык-
новенно эта возмущающая сила заставляет ее перемещаться вниз; а если Луна
находится ниже плоскости эклиптики, то возмущающая сила тянет ее вверх.
Поэтому можно было бы подумать, что в конце концов орбита Луны должна
совместиться с плоскостью эклиптики; но на фиг. 111 показано, как дело про-
исходит в действительности.
На фиг. 111 плоскость эклиптики изображена в виде четырехугольника в таком
положении, если на нее смотреть со стороны и несколько сверху: Земля находится
в Г; Солнце не изображено, оно находится на весьма большом расстоянии по
направлению TS; KABN представляет собой половину лунной орбиты в том виде,
какой она имела бы при отсутствии возму-
щающей силы; восходящий узел орбиты
находится в точке К, а нисходящий —
в точке N. Вообразим, что возмущающая
сила начинает действовать в момент, когда
Луна находится в точке А; в таком слу-
чае третья составляющая будет прибли-
зительно нормальна к плоскости
KABN
и направлена вниз, так что Луна в сле-
фІІГ ці_
дующий момент пробежит путь Аа, рас-
положенный ниже пути, по которому она
двигалась бы, если бы не подвергалась действию возмущающей силы. Если мы
этот участок Аа новой орбиты продолжим назад до пересечения с плоскостью
эклиптики в точке /г, то увидим, что восходящий узел из точки К отступил
назад в точку k. Кроме того, мы видим, что и наклонение орбиты несколько
изменилось, так как дуга Ak расположена выше прежней орбиты. Если бы дей-
ствие возмущающей силы началось, когда Луна находилась в точке В, то и тогда
третья составляющая была бы направлена вниз, так что в следующий момент
Луна прошла бы дугу ВЬ. Если бы эту дугу продолжить вперед, то она пере-
секла бы плоскость эклиптики вправо от точки N, следовательно, и в этом случае
нисходящий узел лунной орбиты отступил бы назад, но наклонение ее к эклип-
тике несколько увеличилось бы.
Проделав такие же рассуждения для другой половины лунной орбиты, которая
на фиг. 111 расположена ниже эклиптики и на которой возмущающая сила тянет
Луну вверх, мы придем к таким же заключениям, к каким пришли, разбирая
случай движения Луны на первой половине ее орбиты. Отсюда следует, что
наклонение лунной орбиты к эклиптике в течение месяца то увеличивается, то
уменьшается, а через каждые 13—14 дней изменение наклонения прекращается;
линия же узлов, напротив, все время перемещается в обратном направлении.
Таким образом замеченное еще в древности обратное движение узлов лунной ор-
биты объясняется действием возмущающей силы Солнца. Период его, вычисленный
на основании теоретических соображений, хорошо согласуется с наблюдениями
и равен 18,6 года. Точная величина сидерического перемещения узлов лунной
орбиты равна 6793,45 дня, а тропического 6798,36 дня. Как продолжительность
оборота Луны вокруг Земли, так и период перемещения узлов ее орбиты под-
чиняются вековым изменениям, которые, впрочем, очень малы. За 1000 лет период
передвижения узлов стал длиннее на 0,15 суток.
При этом надо заметить, что наши рассуждения справедливы только тогда,
если линия узлов KN образует угол с направлением Земля — Солнце; если же
линия KN направлена к Солнцу, то в этом случае возмущающая сила не оказы-
вает никакого влияния на положение плоскости лунной орбиты, так как тогда
составляющая этой силы в направлении, перпендикулярном к орбите, будет равна
нулю. Два раза в году такое явление происходит, и в это время узлы лунной
орбиты перестают двигаться; действие же возмущающей силы достигает наиболь-
шей величины, когда линия узлов приходит в положение, перпендикулярное к линии
сизигий TS. Отсюда следует, что обратное движение линии узлов происходит
неравномерно; период его изменений равен приблизительно полугоду. То же
можно сказать и про наклонение лунной орбиты к эклиптике; среднее его значе-
ние равно 5°9'; когда линия узлов направлена на Солнце, то наклонение равно
5°18', а когда она расположена перпендикулярно к линии сизигий, то наклонение
становится равным 5°0'.
Упомянутое выше изменение наклонения с периодом
в 14 дней имеет амплитуду, значительно меньшую по величине. В Приложении на
стр. 539 — 543 будет рассказано подробно о способах вычисления численного
значения самых больших членов в выражении для А и і.
§ 141. Объяснение явлений прецессии и нутации. Изучение с геометрической
точки зрения вопроса о возмущениях, как это было сделано в предыдущем па-
раграфе, объясняет нам также сущность явления, о котором мы уже не раз говорили
и прежде, а именно, явления прецессии (или предварения равноденствий). В даль-
нейших рассуждениях допустим, что сплюснутая у полюсов Земля состоит из ядра,
масса которого сосредоточена в его центре тяжести, и из окружающей его скор-
лупы, плотность которой достигает наибольшего значения у экватора и умень-
шается в обе стороны по направлению к полюсам. Рассмотрим сперва шарооб-
разный кусочек этой скорлупы на экваторе; он будет представлять собой как бы
маленький спутник Земли. Плоскость его орбиты совмещается с плоскостью эква-
тора; линия узлов совпадает с линией равноденствий, а наклон орбиты к эклип-
тике равен 23°27'.
Период обращения вокруг Земли равен 24 часам. Орбита
представляет собой окружность, радиус которой равен радиусу земного экватора.
На движение этого спутника Солнце будет влиять точно так же, как и на настоя-
щего спутника, т. е . на Луну. Ускорение возмущающей силы пропорционально
расстоянию от тела, подвергающегося действию этой силы, до центрального тела
(в нашем случае до центра Земли); следовательно, оно в 60 раз меньше, чем
для Луны; но при этом составляющая возмущающей силы, перпендикулярная
к плоскости орбиты тела, сравнительно велика, потому что наклон плоскости
орбиты к эклиптике больше, чем наклон лунной орбиты. Очевидно, что соста-
вляющая возмущающей силы должна произвести обратное движение линии равно-
денствий, подобно тому как производится обратное движение линии узлов лунной
орбиты. Если бы существовал такой маленький шарообразный спутник, то сле-
довало бы ожидать небольших изменений в наклонении эклиптики с периодом,
равным половине продолжительности оборота Земли вокруг оси, т. е. равным
12 часам; но если мы будем иметь дело с кольцом, охватывающим Землю вдоль
лсего экватора, плотность которого равна плотности нашего, предполагаемого
спутника, то тогда изменений наклонения эклиптики происходить не будет; оста-
нется только обратное движение линии равноденствий. Если плотность такого
кольца будет постепенно уменьшаться в обе стороны от экватора, то характер
явления не изменится. В количественном отношении, конечно, существует большое
различие между обратным движением точек равноденствия и обратным движением
узлов лунной орбиты, не только потому, что возмущающая сила в первом случае
значительно меньше, а еще и потому, что наш воображаемый спутник составляет
часть коры Земли и, следовательно, не только не может свободно двигаться но
и должен увлекать с собой все земное ядро.
Ноне только одно Солнце производит возмущения подобного рода в движе-
нии Земли. С теоретической точки зрения всякое постороннее тело, не находя-
щееся на земной поверхности, должно производить такие же действия; но помимо
влияния Солнца, ощутимо только еще влияние Луны. Как мы уже видели, в не-
которых случаях влияние Луны на движение Земли бывает даже больше чем
влияние Солнца. В нашем случае влияние Солнца заключалось в том, что линия
пересечения экватора с эклиптикой отступает назад по эклиптике; точно так же
и действие Луны должно заключаться в том, что линия пересечения экватора
с плоскостью лунной орбиты должна поворачиваться в обратном направлении.
Так как орбита Луны образует с эклиптикой небольшой угол, то оба эти движения
в основной их части можно выразить одной величиной. Эта величина носит назва-
ние лунно-солне-іной прецессии (см. § 54).
Но тут надо обратить внимание на одно обстоятельство, которое в известной
степени усложняет обстановку, а именно, на то, что сама орбита Луны переме-
щается в обратном направлении. Чтобы облегчить исследование этого явления,
будем вместо плоскостей рассматривать перпендикуляры к ним или, что то же
самое, будем рассматривать перемещения по небесной сфере полюсов трех больших
кругов. Так как экватор перемещается по эклиптике,
сохраняя все время одно и то же наклонение к ней,
то можно сказать, что полюс экватора перемещается
перпендикулярно к направлению к полюсу эклиптики;
то же самое можно сказать и про движение полюса
лунной орбиты.
На фиг. 112 изображена часть небесной сферы; в
точке Е находится полюс эклиптики; /, ii, iii...
—раз-
личные положения, которые за период времени 18,6 года
принимает полюс лунной орбиты; он находится всегда
на расстоянии 5° от полюса эклиптики Е; дуга ММ'
изображает часть малого круга, по которому вследствие
лунно-солнечной прецессии перемещается полюс эква-
тора в течение периода в 26 ООО лет.
Начнем наши рассуждения с момента, когда полюс
лунной орбиты находится в точке ii, а полюс экватора
в точке /)2; в таком случае полюс экватора вслед-
ствие возмущающей силы Солнца будет перемещаться по дуге малого круга,
а вследствие влияния Луны будет перемещаться перпендикулярно к большому кругу
ре, ii; равнодействующая в этом случае окажется направленной внутрь круга мм'.
По прошествии нескольких лет, когда полюс лунной орбиты придет в точку iii,
направления движений полюса экватора под влиянием возмущающих сил Солнца
и Луны совпадут; рассматривая движение полюса экватора в дальнейшем, мы
убеждаемся в том, что он должен двигаться по волнообразной линии, как это
и изображено на фиг. 112. Такое периодическое изменение долготы полюса и
наклонения эклиптики (т. е. расстояния от Е до точек рѵ /;2 и т. д .) численно
выражено главным членом формулы нутации (см. § 57). Отсюда мы имеем право
заключить, что период главного члена нутации одинаков с периодом обратного
движения узлов лунной орбиты.
Так как нутация производит периодические изменения в координатах звезд,
то из наблюдений звезд можно определить величину постоянной нутации (см. § 56).
Постоянная нутации позволяет с наибольшей точностью вычислить массу Луны.
Ньюком получил для постоянной нутации величину 9",21; на основании ее он
вычислил, что масса Земли в 81,6 раза больше массы Луны.
Объяснение прецессии дал Ньютон, но на нутацию он, повидимому, не обратил
внимания. Она была открыта из наблюдений Брадлея и несколько позже объяснена
Ддламбером (более подробно о теории нутации будет сказано на стр. 543 — 549).
В § 57 уже говорилось, что под названием нутации разумеют не только опи-
санное выше влияние возмущающей силы Л ны, но также и все другие изменения
взаимного расположения экватора и эклиптики, которые имеют периодический
характер. Некоторые из них происходят вследствие влияния Солнца, как это
видно из геометрических рассуждений, приведенных в § 140. Подобно тому как
это было доказано в § 140 для лунной орбиты, действие Солнца иа смещение
экватора достигает наибольшей величины, когда линия равноденствий расположена
перпендикулярно к линии, идущей от Земли до Солнца, т. е . для времен солнце-
стояний; и, наоборот, оно равно нулю, когда линия равноденствий направлена по
линии, соединяющей в данный момент Землю и Солнце. Вследствие этого происхо-
дит незначительное изменение прецессии и наклонения эклиптики с периодом в пол-
года. Это явление выражено в формулах для нутации, которые приведены в § 57.
§ 142. Приливы и отливы. Наконец, нам следует упомянуть здесь о явлении,
которое, подобно описанным выше, происходит вследствие действия возмущаю-
щей силы на некоторые части земной поверхности и носит название приливов и
отливов.
Независимо от формы Земли, вследствие притяжения каким-нибудь небесным
телом различных точек земной поверхности, появляется возмущающая сила, дей-
ствующая на эти точки сообразно различным расстояниям и направлениям от
этих точек до притягивающего тела. Пусть круг на фиг. 108 (стр. 192) изображает
сечение Земли; стрелки на чертеже изображают ускорения возмущающей силы,
которые получаются, вследствие притяжения небесным телом, по направлениям cn
и СѴ. Если предположить, что Земля является совершенно твердым телом, так что
точки на ее поверхности не могут изменять своего положения относительно центра
Земли, то в таком случае под влиянием возмущающей силы в теле Земли появи-
лись бы только едва заметные натяжения. Предположим теперь, что Земля
неподвижна, а вся ее поверхность покрыта морем; в гаком случае тангенциальная
составляющая возмущающей силы произвела бы движение воды, которое про-
должалось бы до тех пор, пока не наступило бы равновесие, т. е. до тех пор,
пока равнодействующая силы тяжести и возмущающей силы не стала бы перпен-
дикулярной к поверхности моря во всех ее точках. При этом вода в точках 2
и 5 на фиг. 108 (а равно и во всех точках по окружности, перпендикулярной
к плоскости чертежа и проходящей через точки 2 и 5) отхлынет по направле-
ниям к n и v; в этих же точках уровень ее станет выше нормального.
Но так как Земля вращается вокруг своей оси, уровень моря все время изме-
няет свою высоту, вследствие того, что постоянного равновесия получиться не
может; исследовать это явление с количественной точки зрения очень трудно,
потому что неравномерное распределение суши и моря вносит новые осложнения
в получаемые результаты. Но вообще говоря, в большинстве случаев у берегов
морей происходят попеременно явления прилива и отлива с периодом, равным поло-
вине времени обращения Земли о*носнтельно небесного тела, производящего
приливную волну. Изменение расстояния от Земли до этого тела влияет также
на величину приливов и отливов.
Из всех небесных тел только Солнце и Луна производят приливы и отливы
заметной величины. Легко найти соотношение между влиянием Солнца и Луны на
величину приливов, производимых ими; для этого надо вычислить длину вектора,
который на фиг. 108 приложен к точкам n и v. Обозначим ускорение частицы
воды на поверхности моря, получаемое под влиянием приливообразующей силы
Солнца, через Q> а получаемое под влиянием приливообразующей силы Луны —
через ([, длину земного радиуса — через р, массу Солнца и расстояние от него
до Земли — через M и R, массу Луны и расстояние от нее до Земли — через m
и г; тогда согласно формулам § 131, принимая во внимание только первые члены
разложения в ряды L и L',
получаем
([=2 /*£
и
0=2fm-fe,
откуда находим
л —ol(л.\3
О
m\г)'
Приняв массу Земли за единицу, получаем для Луны /«=1:816; так как
масса Солнца Ж =332 000, получаем
M :/« 27 000 000.
Мы уже знаем, что среднее значение отношения /?:г = 389; третья степень этой
величины равна приблизительно 59 ООО ООО, следовательно,
- ©-•г?-2
'
18-
Таким образом влияние Луны в два раза больше влияния Солнца, и явление
приливов и отливов зависит в большей степени от Луны; его главный период
равен половине „лунных суток", т. е . промежутка времени между двумя кульми-
нациями Луны. Вследствие неравномерности движения Луны этот промежуток
времени изменяется от 247,39т до 257,8'", но так как' синодический месяц заклю-
чает в себе 29,53 суток и за это время Луна кульминирует на один раз меньше,
нежели Солнце, то, следовательно, средняя продолжительность периода приливов,
производимых Луной, равна
1 2953
средних суток = 127,25>" среднего времени.
1 Zc,00
Период приливов, производимых Солнцем, равен 12'*; действие их выражается
в периодическом изменении высоты приливов, производимых Луной, и в изме-
нении времени их наступления. Если солнечная и лунная приливообразугащие
силы действуют в одном направлении, то прилив достигает наибольшей высоты
и называется сизигийным
приливом потому, что наступает через 1—2 дня после
поволуния или полнолуния (сизигий). Если же Солнце производит отлив в то
время, когда Луна производит прилив, то приливы бывают наиболее низкими, они
называются квадратурными
и наступают через 1—2 дня после квадратур Луны
(т. е. после нерпой и последней четвертей). На основании предыдущего разница
между сизигийным и квадратурным приливами должна была бы составлять
(2,18-j-1) : (2,18 —1) = 2,7;
но эта разница часто отклоняется от указанной величины. Продолжительность
периода влияния Солнца на высоту приливной волны равна половине синодиче-
ского месяца, т. е . 14,77 дня. Промежуток времени между кульминацией Луны
и моментом, когда приливная полна достигает наибольшей высоты (моментом
полной воды), называется прикладным
часом.
Для каждого пункта на берегу моря
нужно определять прикладной час из наблюдений. Продолжительность приклад-
ного часа меняется в течение половины месяца; в специальных таблицах дается
обыкновенно либо среднее значение прикладного часд, либо значение его для
новолуния и полнолуния.
Во время приливов вода скопляется в бухтах и в узких проливах, вследствие
чего получается весьма значительный подъем приливной волны. Разность уровней
самой высокой и самой низкой воды при сизигийных приливах и отливах, так назы-
ваемая сизигийная амплитуда, достигает 1Q м в заливе между Бретанью и Нор-
мандией (Северная Франция); в Бристольском канале (в Англии) во многих местах
эта разность равна 10—15 м\ в восточной части Магелланова пролива и у при-
лежащих берегов Патагонии она достигает 11—14 м и в заливе Фунди между
Новой Шотландией и Новым Брауншвейгом (Северная Америка) достигает 16,2 м —
эта наибольшая наблюдавшаяся в мире амплитуда. Когда приливная волна про-
никает в узкий пролив, то часто образуется стремительный поток — приливное
течение, например, Зальцштром вблизи Боде в Норвегии, который достигает
особенной стремительности во время сизигий, особенно если Луна находится
в это время вблизи перигея; то же самое происходит во многих местах у запад-
ных берегов Шотландии и в особенности в проливах между Шотландией и Оркней-
скими островами. Если приливная волна проникает в реку, глубина которой
постепенно уменьшается вверх по течению, то происходит иногда движущийся
бурун воды (французы называют его mascaret, а англичане — bore). Вода стре-
мится вверх по течению в виде стены, которая так круто подымается спереди,
что скатывается вперед в виде водопада.
Высота приливов в Северном море зависит от полусуточной приливной волны
северо-восточной части Атлантического океана. Она огибает Шотландию и прони-
кает с севера в Северное море, проходит вдоль восточных берегов Англии, затем
поворачивает на восток іс берегам Германии, отклоняется к северу, проходит
мимо Ютландии и, наконец, через Скагерак проникает в Балтийское море В Се-
верном море у северо-западных берегов Германии сизигийные приливы достигают
высоты 4 м.
* В Балтийском море приливная волна уже очень невысока; в ѵстье Невы заметны
только следы приливных колебаний, сизигийная амплитуда которых в Ленинграде
равна 4,8 см. У Мурманских берегов, в Белом море и у берегов Сибири приливы
имеют правильный характер с полусуточным периодом. Сизигийная амплитуда
около Мурманска достигает 3,8 ж, в Горле Белого моря, около
Орловского
маяка, 8,5 м, в Белом море, около г. Кеми, 1,6 м. В Черном море заметны тоже
только следы приливных колебаний. Около Поти сизигийная амплитуда равна 13 с к.
В Тихом океане приливы отличаются большими неправильностями;
сизигийная
амплитуда в заливе Де-Кастри (в Татарском проливе) равна 1,87 ж, а в Охотском
море, в бухте Нагаево, при входе в Гижигинский залив, достигает 11 м
ЧЯгтНРОгНггрОВеННе ПРТВ0В
В „Г"' СССР
набTMется «а севере Европейской
части СССР —в реках Печоре, Мезени, Северной Двине и др.*
Фиг. 113 .
ЗАТМЕНИЯ
§Ш. Общие сведения. Тень и полутень. Условия видимости лунных
и солнечных затмений. Солнце светит собственным светом. Освещенные Солнцем
планеты и их спутники отбрасывают тень в мировое пространство. Если в эту
тень попадет какое-либо третье небесное тело, то происходит его затмение. На
изображает Солнце а Г—планету или ее спутника. Проведем к обоим
телам внешние касательные (H'h и Hh'); они выделят часть пространства кони-
ческой формы hkh,
внутрь которого солнечный свет не будет проникать, так
как мы предполагаем, что лучи света
распространяются прямолинейно. Эта
часть пространства носит название пол-
ной тени (или конуса тени). Когда'
третье небесное тело входит в конус
тени, то наступает затмение этого тела
в буквальном смысле слова; начало и
конец затмения будут видимы одновре-
менно из различных точек пространства.
Если же мы проведем внутренние
касательные (H'h'
и НИ) к телам 5 и Т, то они также выделят коническую часть
пространства, отграниченную с боков направлениями ha и h'a',
но уходящую
в бесконечность в правую сторону чертежа. Это пространство носит название
полутени
так как каждая точка, находящаяся между границами
полутени
и полной тени (т. е. в пространстве ahk и a'h'k),
получает свет от некоторой
части поверхности Солнца. Из наблюдений известно, что если наблюдатель на-
ходится где-нибудь на темной поверхности тела Т, то он не заметит ничего
необыкновенного, когда третье тело попадет в полутень.
Только вблизи от
конуса тени можно заметить убывание яркости тела, попавшего в полутень
по для наблюдателя, находящегося на третьем теле, т. е . на том, на котором
происходит затмение, вступление его в полутень будет хорошо заметно, потому
что тело Т, как темный экран, закроет ббльшую или меньшую часть Солнца'.
явление называют также затмением, хотя оно и носит несколько иной
вид, нежели полное затмение.
Надо только заметить, что на фиг. ИЗ и на других чертежах подобного рода
нельзя изобразить размеры небесных тел и расстояния между ними в соот-
ветствующей пропорции. Размеры небесных тел настолько малы по сравнению г.
расстояниями между ними, что их приходится изображать в сильно преувеличен-
ном виде.
Для нас, конечно, наибольший интерес представляет взаимное расположение,
изображенное на фиг. 113, для таких небесных тел, как Земля и Луна. Если
тело Т изображает Землю, а Луна попадает в конус тени, отбрасываемый Землей,
то происходит лунное затмение.
Оно может происходить только в полнолуние.
Если тело Т представляет собой Луну, а Земля входит в ее полутень, а затем
в ее полную тень, то тогда на Земле произойдет солнечное затмение, которое,
очевидно, бывает только в новолуние.
При предвычислении затмений главная задача заключается в том, чтобы вы-
числить для соответствующих моментов положение на небе Солнца и Луны. Лун-
ное затмение видимо с любой точки земной поверхности, если Луна находится
для наблюдателя над горизонтом; солнечное затмение, наоборот, представляет
собой явление, видимость которого зависит от местоположения
наблюдателя,
а потому предвычисленпе его значительно сложнее, нежели лунного затмения.
Мы не будем здесь касаться способов предвычисления затмений, но опишем
условия, при которых они происходят.
§ 144. Лунные затмения. Основным фактором, от которого зависит лунное
затмение, являются размеры конуса земной тени. Как определить, эти размеры,
видно из фиг. 114, на которой Солнце обозначено через S, его угловой радиус
через г, его параллакс через тг, а длина земной тени, т. е. расстояние от центра
Земли до вершины конуса, через /; I будет гипотенузой прямоугольного тре-
угольника kAC, катет которого а равен радиусу Земли; противолежащий же угол
равен г — г .. Тогда получим
/=
«:sin(r—
Средние значения равны: r = 16'0", в = 9",
следовательно,
г—*=15'51".
Подставив эти числа в машу формулу, получим /=217«.
Так как расстояние от
Земли до Луны никогда не
превосходит величины 64«
(см. § 138), то мы видим,
что
земная
тень
прости-
к рается на расстояние, зна-
чительно большее, чем рас-
стояние до Луны.
Поперечник земной тени
Фиг. 114 .
в том месте, где Луна про-
ходит через конус тени,
тоже легко найти из фиг. 114; представим себе, что ab изображает плоскость,
перпендикулярную к оси конуса земной тени в том месте, где ее пересекает
орбита Луны. Линия, по которой эта плоскость пересекается с конусом тени,
представляет собой окружность (если не принимать во внимание сжатия Земли);
радиус ее лучше всего выразить в угловой мере (на фиг. 114 он обозначен
буквой р). Так как параллакс Луны П будет внешним углом треугольника
kBC,
то мы получим
р=П—(г—тс).
Подставив в это выражение для П среднее его значение П = 57'3",
полу-
чаем р = 41'12". Если же брать для параллакса его крайние значения (см. §138),
то для р получится величина больше или меньше на 3—4'.
Так как угловой
радиус Луны никогда не превосходит 17', то очевидно, что Луна всегда может
полностью погрузиться в конус земной тени.
Таким же путем можно вычислить и продолжительность лунного затмения.
Если затмение центральное, т. е. если центр Луны проходит через ось конуса
тени, то на плоскости, пересекающей земную тень, можно провести две окруж-
ности: одну радиусом, равным p, а другую радиусом, равным угловому радиусу
Луны В, который в среднем равен 15'33".
Оба внешних касания этих окруж-
ностей соответствуют началу и концу частного
затмения, а оба внутренних каса-
ния—началу и концу полного
затмения. Часть пути, который Луна пройдет за
время между этими касаниями, будет иметь такую' длину:
для всего затмения
2 (р-) -/?) = 113',5,
для полного затмения 2 (р — /?) = 51',3.
Средняя скорость , движения Луны относительно Солнца, а следовательно
и относительно земной тени, равна 360°: 29,53 или в круглых числах 12° в сутки,
ПзѴзо^ѴГ'
ДабТ
продолжительность
всего
центрального затмения
Продолжительность полного центрального затмения 51,5: 30= Iй 7
Когда параллакс Луны больше обычного и когда она, следовательно, нахо-
дится к Земле ближе своего среднего расстояния, тогда размеры обеих окруж-
ностей увеличиваются, но одновременно увеличивается и скорость движения Луны
по орбите и притом в большей степени; поэтому продолжительность затмения
становится короче. Обратное явление происходит тогда, когда параллакс Лупы
становится меньше его средней величины.
Наблюдения не вполне соответствуют полученным выше числам; оказывается,
что для поперечника земной тени надо принять несколько ббльшую величину
Отчасти это происходит от того, что облака, находящиеся в нижних слоях зем-
ной атмосферы, задерживают часть солнечных лучей и этим увеличивают размеры
земной тени; но главная причина заключается в том, что полная тень не имеет
резкой границы в пространстве, а постепенно переходит в полутень. Наблюдатель
непроизвольно как бы раздвигает границы полной тени при оценке момента
вступления Луны в полную тень; он всегда отмечает этот момент несколько
раньше чем явление происходит на самом деле. Поэтому при предвычислениях
затмений значение для р берут на »/г, больше ее действительной величины.
При вычислениях размеров земной тени мы предполагали, что солнечные
лучи распространяются прямолинейно. Но так как солнечные лучи, проходящие
через атмосферу, в особенности через ее нижние, более плотные слои, претерпе-
вают заметное преломление, то свет проникает внутрь конуса тени, размеры ко-
торого нами были вычислены, причем больше всего света проникает около вер-
шины конуса, постепенно уменьшаясь внутрь конуса. Границу для конуса, внутрь
которого совершенно не проникает солнечный свет, вычисляют в предположении
что отклонение солнечных лучей в два раза больше рефракции на земной поверх-
ности, потому что луч света сперва преломляется, проникая в земную атмосферу,
а затем претерпевает вторичное преломление, когда из нее выходит. Если для
рефракции мы примем значение, равное 35', то угол при вершине конуса тени
(р — т .), который мы брали равным приблизительно 16',
придется увеличить на
/и , т. е. на 1 10 . Тогда длина тени получится равной
/ = «:sin 1°26' =
40 радиусам Земли.
Конус тени оказывается недостаточно длинным, чтобы достигнуть до Луны
Вследствие этого Луну всегда можно видеть во время даже полной фазы зат-
мения; обыкновенно она кажется тёмнокрасного (бурого) цвета, что вполне со-
гласуется с теорией, так как нижние слои воздуха пропускают премущественно
красные лучи. Таким образом на затмившейся Луне мы наблюдаем явление утрен-
ней и вечерней зари, только в увеличенной вдвое степени.
§ 145. Полное и кольцеобразное солнечные затмения. Обстоятельства при
которых происходят солнечные затмения, точно так же зависят от размеров' лун-
ной тени. При рассмотрении их удобнее брать за основание линейные, а не угло-
вые размеры светил.
v
J
На фиг. 115 изображен конус лунной тени, причем Солнце обозначено буквой
'
а
Уна буквой М. Обозначим радиусы Солнца и Луны буквами К и /г; рас-
стояния их от центра Земли через А и я и расстояние от Солнца до Луны в мо-
мент новолуния через (А — я).
Через точку касания солнечного луча с поверхностью Луны h проведем
линию, параллельную оси конуса тени; тогда получим два подобных треуголь-
ника MhE и CDh, при помощи которых вычислим длину тени:
В этом выражении первый множитель представляет собой постоянную вели-
чину, но разность (А — я) может принимать различные значения. Так как линей-
ный радус Солнца или Луны, выраженный в линейных земных радиусах р (не
смешивать с угловым значением радиуса р в предыдущем параграфе), равен си-
нусу углового радиуса, разделенному на синус горизонтального параллакса, то,
подставив сюда принятые нами выше значения горизонтального параллакса и угло-
вого радиуса Солнца или Луны, получаем
/<•=109,1 р и k = 0,2726 р,
откуда находим
/ = 0,002505 (А —я)
или в круглых числах »/40а (А — я). Если в момент затмения расстояние до
Солнца равно средней величине, то
А= р:sin8",80= 23440р;
у коэфицнента в этом выражении последние две цифры неточны; с достаточ-
ной точностью можно принять
а= 60р;
тогда
А—я = 23380р,
откуда получаем
/=58,56 р.
Сравним полученную длину тени с самым коротким расстоянием до Луны,
какое только может быть в момент солнечного затмения, т. е. с величиной 56,03 р
(см. § 138). Следовательно,
при среднем расстоянии от
Земли до Солнца
конус
полной тени Луны несколь-
ко длиннее кратчайшего рас-
стояния Луны от Земли. Но
для
среднего
расстояния
Фиг. 115.
ЛуныотЗемли (я= 60р)
конус лунной тени не мо-
жет достигнуть центра Земли; не всегда он может достигнуть и поверхности
Земли, которая ближе к Л.уне на длину земного радиуса, когда ось конуса лун-
ной тени направлена прямо к центру Земли. Для наблюдателя, который нахо-
дится на продолжении оси конуса тени, затмение будет центральным, но солнечный
диск не будет совершенно закрыт темным телом Луны; вокруг Луны останется
видимой часть Солнца- в форме узкого кольца. Такое солнечное затмение назы-
вается кольцеобразным.
Для того чтобы затмение было полным,
т. е . Солнце
было совсем закрыто Луной, необходимо, чтобы оно происходило при более благо-
приятном соотношении расстояний между Солнцем, Землей и Луной, чем это
бывает при средних расстояниях между этими телами.
Из фиг. 115 (или на основании формулы для Г) видно, что полное солнечное
затмение охватит наибольший участок земной поверхности, когда Солнце будет
дальше всего отстоять от Земли, а Луна будет находиться ближе всего к Земле.
Рассмотрим случай, когда Солнце находится дальше всего от Земли (т. е . когда
оно находится в апогее). Примем эксцентриситет земной орбиты равным
тогда расстояние от Земли до Солнца в апогее равно
А= 23440(1+ Ѵоо)Р= 23831p;
отсюда, подобно предыдущему, получаем
А—я
—
23771р
и
/=59 ,54 р.
Следовательно, длина тени несколько больше, чем при среднем расстоянии от
Земли до Солнца. Если Луна находится на среднем расстоянии от Земли то
в таком случае кончик вершины конуса лунной тени будет как бы обрезан'по-
верхностью Земли, и на поверхности Земли получится маленькое круглое пятно-
в этом месте затмение будет полным. Это пятно перемещается по земной по-
верхности по кривой линии с запада на восток. Диаметр пятна достигает наи-
большей величины, когда ось конуса тени направлена к центру Земли, т. е когда
затмившееся Солнце находится в зените; расстояние пятна тени от вершины
конуса тени равно тогда /—я -f-p, что легко доказать геометрическим путем
Пятно имеет вид окружности, радиус которой * легко найти, рассматривая соот-
ветственные подобные треугольники. Действительно, мы можем написать
*
k
l-a+p —i •
или
Подставив в это выражение значения / и я для самого близкого расстояния
от Земли до Луны и для самого дальнего расстояния Земли до Солнца
мы
получаем
'
л: = 0,0207р = 132 км.
Следовательно,
тень Луны на поверхности Земли займет
пространство
не свыше 264 км в поперечнике.
§ 146. Продолжительность полного солнечного затмения в данном пункте
земной поверхности зависит от скорости перемещения тени Луны по Земле
от скорости суточного вращения данного пункта и от относительного направления
этих двух движений.
Вычислим наибольшую продолжительность затмения. Геоцентрическая угловая
скорость движения Луны относительно Солнца в среднем равна 30" в минуту
но может в некоторых случаях увеличиваться до 35",8 в минуту. Разделив это
число на р = 206 265 и умножив на я = 56,03/? = 56,03 • 6378 км, мы устанавли-
ваем, что скорость движения Луны относительно линии, соединяющей Землю
и Солнце, равна 62,02 км в минуту. Скорость движения тени Луны по земной
поверхности — немногим больше; ее мы легко найдем, увеличив число 62,02 км
на величину 55:23 830 = »/483; получаем 62,16 км/мин.
Скорость, с которой
вращается точка земного экватора относительно той же линии, равна 27,83 кмIмин
(т. е . равна длине »/4° долготы по экватору, см. § 95). Если тень Луны падает на
какую-нибудь точку экватора, для которой Солнце и Луна находятся в меридиане,
и если тень при этом перемещается по направлению с запада на восток, т. е.
в направлении вращения Земли вокруг оси, то относительная скорость движения
тени равна 62,16 — 27,83 = 34,33 АГЖ/.ІШЯ, а продолжительность затмения, т. е.
промежуток времени, за который тень Луны переместится на расстояние, равное
поперечнику тени, окажется равной 264 : 34,33 = 7,7 минуты.
При этом надо заметить следующее: лунная тень передвигается
строго
на восток только тогда, когда склонение Луны достигает наибольшей величины;
это бывает, когда Солнце находится в апогее или близ него, т. е . в начале июля;
склонение Солнца тогда равно приблизительно 23°.
Если затмение происходит,
когда^ Луна находится в восходящем узле своей орбиты, то склонение ее равно
22 52', согласно положению ее орбиты в пространстве в этот момент. Затмение
будет происходить в зените не на экваторе, а в местностях земного шара под
северной широтой 22°52' .
Скорость вращения этих точек меньше, чем на эква-
торе, а следовательно, и продолжительность затмения тоже будет меньше.
С другой стороны, если тень Луны падает на экватор, то поперечник тени ста-
новится несколько меньше п делается равным приблизительно 260 км. Следова-
тельно,
наибольшая
продолжительность
полного солнечного затмения
оавна
260 : 34,33 минуты = 7
я
»,57 = 7"'34
я
.
Чтобы осуществилась такая продолжительность затмения, необходимо одно-
временное совпадение целого ряда условий, что практически вряд ли когда-либо
сможет случиться. Даже продолжительность затмения в 6 минут представляет
собой необыкновенное явление.
§ 147. Частное солнечное затмение бывает в тех пунктах, которые попадают
в полутень, отбрасываемую Луной. Размеры полутени можно найти из фиг. 116,
'Г--, .
Фиг. 116.
на которой пересечение внутрен-
них касательных, проведенных к
Солнцу (5) и Луне (Ж), обозна-
чено буквой Р. Интересно опре-
делить размеры поперечного се-
чения полутени на расстоянии а
от Луны, т. е . там, где полутень
встречается с Землей. Радиус по-
перечного сечения полутени на
—
г-
«
пин)»wm na
фиг. 116 обозначен буквой h. Согласно предыдущему SM = A — а . Проведем
через центр Луны M линию, параллельную одной из внутренних касательных;
тогда получится два подобных треугольника, в силу чего мы можем написать
h—k
КЛ-k
а—а
откуда находим
Таким образом поперечное сечение полутени Луны в том месте, где ее пере-
секает Земля, достигнет наибольшей величины, когда Луна находится в апогее
а Солнце — в перигее. Принимая средние значения для
а=60,27,А—«= 23380,І<= 109,1
и k=0,27,
* выраженные в земных радиусах, получаем
Л = 0,55 земного радиуса.
Следовательно, и полутень Луны не имеет достаточных размеров для того,
чтобы Земля полностью в нее погрузилась. При центральном затмении полутень
охватывает лишь сегмент земного шара, поперечник которого лишь немногим
превышает половину диаметра Земли. При помощи простых вычислений мы
получаем, что полутень покрывает только і/]2 всей поверхности Земли или
около % поверхности полушария, освещаемого Солнцем. При передвижении тени
на восток частное затмение становится видимым на широкой полосе земной
поверхности.
Вблизи северной
границы этой полосы северный
край Луны
коснется южного края солнечного диска; вблизи южной границы полосы затмения
южный край Луны коснется северного края солнечного диска. Вне границ этой
полосы никакого затмения не будет видно, потому что для этих мест на Земле
Луна в момент своего соединения с Солнцем пройдет либо выше, либо ниже
солнечного диска.
§ 148. Последовательные фазы солнечного затмения. Повторяемость лун-
ных и солнечных затмений. При рассмотрении фиг. 117 мы увидим, в каком
порядке проходят последовательные фазы солнечного затмения для всей Земли
в целом. На фиг. 117 Земля обозначена через-"/'.
Частное затмение начнется
в момент, когда Луна M коснется в точке m общей внешней касательной so
проведенной к Солнцу и к Земле. Наблюдатель, находящийся в точке о, увидит
начало затмения раньше, чем какой-либо другой; Солнце и Луна для него нахо-
дятся на горизонте, и так как Земля вращается по направлению, указанному на
чертеже стрелкой, то начало затмения для наблюдателя, находящегося в точке о
совпадает с .восходом Солнца; затем, постепенно затмение начинается и в других
местах около точки о; среди этих мест будут и такие, для которых затмение
также начнется на восходе Солнца. По истечении некоторого промежутка вреыеии
Луна переместится в пространстве, и ее противоположный край коснется другой
внешней касательной, проведенной к Земле и Солнцу (на чертеже эго положение
не изображено); тогда наблюдатель в точке п, находящейся на противоположной
стороне Земли, увидит конец затмения, который для него наступит на закате
Солнца. Между тем точка о, вследствие вращения Земли вокруг оси, переме-
стится на некоторое расстояние; поэтому расстояние между обеими точками о и п,
в которых раньше и позже всего видели затмение, гсегда несколько меньше 180°'
В конце книги изображен ход двух типичных солнечных затмений на поверхности
Земли.
*
В дальнейшем изложении мы еще коснемся этих соображений; они особенно
интересны, потому что позволяют судить о величине геоцентрического углового
расстояния между Луной и Солнцем в начале и в конце затмения, видимого с Земли.
Угол STM состоит, как это видно на фиг. 117, из трех углов; два крайних равны
угловым радиусам Луны и Солнца (R и г), а средний представляет собой разность
их параллаксов (П — *). Принимая во внимание средние значения этих величин
мы получаем
*'
S7VW= R
г+П—*=1°28'27"=
1°,474.
Удвоив эту величину, мы получаем геоцентрический угол, равный 2°,95, кото-
рый в течение всего затмения Луна должна описать относительно Солнца. Зная
его, мы можем вычислить продолжительность затмения для всей Земли; приняв
угловую скорость движения Луны относительно Солнца в среднем равной
в час
получаем для продолжительности
'
всего затмения 5,9 часа. Величина
эта, конечно, должна несколько из-
меняться в зависимости от измене-
.
мия расстояния до Луны; легко ви-
(
деть, что продолжительность затме-
(
ния уменьшается, если затмение не
V
центральное и Земля проходит по-
лутень по ту или другую сторону
от ее центра.
Если при дальнейшем движении Луны от точки M конус ее полной тени кос-
ется поверхности Земли, то тогда начинается центральное затме^ё (полное или
ольцеобразное). При соответствующем положении по другую сёёрС зеГи
когда Луна находится в точке Ж', и линия M'S касается Земли в точке ^
"астѵ-
авьѴТо. ЦГ:РаЛЬН0Й ФГ
3аTMеНИЯ- ВеЛИЧИНа геоцентрического угла П-тс
Равна 0 ,95 если для линейных расстояний до Луны и до Солнца взять их спелнне
значения. Продолжительность центрального затмения в тё^м
случае раёёё
tГ3'4
ТЗКЖе М0жет
случиться, что конус полной лунной тени совсем ёе
коснется Земли; тогда произойдет только частное солнечное затмение вТимёё
северной или южной полярной области Земли или во всяком TMе
вТестёх
Различным"
широ та ми
"
Конечно, положение земной оси может быть при это^
Различным, в зависимости от времени года, в котором бывает затмение
На фиг. 118 показана сравнительная возможность повторений солнечных и
лунных затмений для всей Земли. Опишем вокруг центра Земли Т шаровую
поверхность радиусом, равным расстоянию Луны от Земли; на этом шаре около
точки N получится сферический сектор, центральный угол которого на чертеже
обозначен через Ар и соответствует уже известному углу S ТА! на фиг. 117 (на
фиг. 118 он равен углу STti). Когда центр Луны попадает внутрь этого угла, начи-
нается солнечное затмение. Поэтому угол STn иногда называют сферой
солнечных
затмений.
По другую сторону Земли, около точки, в которой бывает полнолу-
ние, получается соответствующая сфера
лунных
затмений,
центральный угол
которой уже был нами раньше вычислен и равняется р + /?. Принимая для Луны
и Солнца их средние расстояния до Земли, получим для первого угла значение
1°,474, а для второго 0°,946. Вероятность того, что произойдет солнечное затме-
ние, будет в 1,474 : 0,946= 1,56 раза больше вероятности лунного затмения. Но
гак как лунное
затмение
видно на значительно боль-
шей части земной поверх-
R ности, чем солнечное,
то
вероятность видимости за-
тмения для данного места
земной поверхности
ока-
ФИГ. не.
жется совсем иной.
Оппольцер вычислил, что
в течение каждых 1000 юлианских лет бывает в среднем 1543 лунных затмения
из них 716 полных и 827 частных) и 2375 солнечных затмений (из них 838
частных, 773 кольцеобразных, 105 — кольцеобразно-полных и 659 полных). Коль-
цеобразно-полными мы называем такие солнечные затмения, при которых конус
лунной тени в начале затмения касается Земли, а по мере передвижения его по
земной поверхности в дальнейшем отрывается от нее; такое затмение для неко-
торых местностей будет полным, а для других — кольцеобразным1).
§ 149. Вычисление границ затмения.
Наибольшее и наименьшее
число
затмений в году. Из сказанного выше видно, что для того, чтобы наступило затме-
ние, недостаточно, чтобы Луна была в полнолунии или в новолунии; необходимо
еще, чтобы она при этом находилась достаточно близко от узла своей орбиты,
так что расстояние ее от эклиптики не превышало бы определенной величины.
Луна два раза в месяц проходит через узлы своей орбиты; но так как линия
узлов лишь два раза в году бывает направлена к Солнцу, то, спедовательно,
затмения делятся на группы с промежутком между
ними приблизительно в полгода (в дальнейшем проме-
жуток этот будет вычислен точнее). Сколько затмений
приходится на каждую группу, можно вычислить сле-
5
I
"
дующим образом.
На фиг. 119 изображена небольшая часть небесной
Фиг. 119.
сферы. Sb А! — дуга лунной орбиты с восходящим узлом
в точке сГЬ; Луна в точке M находится на расстоя-
нии и от восходящего узла; ее геоцентрическая широта тогда равна Ь\ допустим,
что в этот момент она находится в соединении с точкой S, в которой находится
центр Солнца (при солнечных затмениях) или ось конуса земной тени (при лунных
затмениях).
Зная широту Луны и- обозначая через і наклонение ее орбиты к эклип-
тике, находим величины и и / — дугу эклиптики от узла лунной
орбиты
і) Так, например, затмение 17 апреля 1912 г. было полным в Атлантическом океане и
в Португалии. Во Франции уже выступали частицы Солнца, видимые в полную фазу
между гор Луны на краях ее диска. При дальнейшем движении тени Луны затмение
стало кольцеобразным, каковым его и наблюдали в Европейской части России, по линии,
лроходившей к югу от Петербурга. —
Прим.
перев.
до точки
Из сферического треугольника SA! л получаем следующие соотношения:
sin«=
„
sin/=M.
Sin I
y.g i
Если линия узлов направлена к Солнцу, то угол і получает
максимальное
значение, равное 5 18 . Примем теперь для b вычисленные нами раньше (для
средних расстояний до Лупы и Солнца) предельные значения геоцентрического
расстояния Луны от земной геии или от Солнца, при различных типах затмений
получаем тогда следующие значения для / (величина и немногим отличается от /)
для полного лунного затмения b — р
—
/? = 25'39", / = 4°37'
для частного лунного затмения b = р -) -/? = 56'45"! /=10°15''
для солнечного затмения
Ь=
1°28/27"! /=16° б '!
В течение некоторого промежутка времени, когда линия узлов лунной орбиты
направлена к Солнцу, она остается почти неподвижной (§ 140); для одной и
той же группы затмений можно поэтому движение Солнца относительно узлов
принять равным приблизительно 1° в сутки. На основании этого мы можем сде-
лать следующие заключения:
1. Если^ новолуиие наступает, когда Луна находится менее чем на 16°, напри-
мер, на 15 от узла (до прохождения через узел), то тогда происходит солнечное
затмение. Следующее новолуние будет приблизительно через 30 дней; за это
время Солнце переместится прямым движением приблизительно на 30° т е оно
будет находиться на 15° по другую сторону от узла; тогда опять произойдет
солнечное затмение. Оба затмения будут очень непродолжительны и видимы
только на небольшой части земной поверхности, в полярных областях- но так
как полнолуние в промежутке между этими затмениями произойдет, когда Луна
будет находиться очень близко от нисходящего узла, то, следовательно, между
двумя короткими солнечными затмениями произойдет очень
продолжительное
полное лунное затмение.
Если первое новолуние наступает, когда Луна находится дальше чем на 16°
от узла, например на 18°,
то тогда солнечного затмения вовсе не будет-
но
в следующее новолуние Луна будет находиться уже только на 12° по другую
сторону от узла, и, следовательно, солнечное затмение произойдет.
Отсюда следует, что в каждой группе должно иметь место по крайней мере
одно, а в наиболее благоприятном случае — два солнечных затмения.
'
2. Если полнолуние наступает, когда Луна находится меньше чем в 10°
например в 9 , от узла, то произойдет лунное затмение. Но так как следующее
полнолуние наступит уже тогда, когда Луна уйдет на 21° по дпугую сторону
от узла, то очевидно, что двух лунных затмений с промежутком в один месяц
быть не может.
J
ц
Если первое полнолуние наступает, когда Луна находится больше чем на 10°
от узла, например на 12°,
то затмения не произойдет. При следующем полно-
лунии Луна пройдет уже на 18° от узла. И, следовательно, могут быть периоды
солнечных затмений, когда лунных затмений совершенно не бывает
Чаще всего случается, что в каждой группе бывает одно солнечное и одно
лунное затмение.
Из предыдущего следует, что самое малое число затмений в году —это два
солнечных затмения. Наибольшее число затмений достигает семи, из которых
мо меньшей мере четыре должно быть солнечных. Происходит это так: в начале
|'ода бывает группа из двух затмений, в середине года
группа из трех и в конце
ода опять-группа из двух затмений. Так было в 1917 г. и еще раз будет
« 1J82 г. Но может случиться, что две последовательные группы будут состоять
каждая из трех затмений *), причем солнечное затмение из следующей третьей
елДі3TM повторяется!'ИТеЛЬІІ°
"
Te'1C
"
HC 2°°-300 лег' а затем долгое
вРе мя
Ас/грпногагл
группы произойдет до истечения 365 дней; таким образом у нас в течение года
произойдет 5 солнечных и 2 луииых затмения; впрочем, такое явление
только
в чрезвычайно редких случаях могло бы произойти за время одного
календар-
ного года.
§ 150. Периоды затмении. Сарос. Промежуток времени между двумя груп-
пами затмений в среднем равен половине периода синодического
обращения
Солнца относительно линии узлов лунной орбиты; его можно найти из урав-
нения
_1JL—L
А*К X'
где а — период обращения Солнца, к—период
обращения линии узлов, л: — иско -
мый промежуток времени. Принимая продолжительность тропического года за
единицу времени, получаем А = 1, /<*= 18,613 иг следовательно,
18 613
X = уд біз тропического года = 346,620 средних суток.
Вследствие этого в каждом следующем году группа затмений наступает
приблизительно на три недели раньше, чем в предыдущем.
Обозначим че-
рез Т половину этого промежутка времени, так что Г = 173,31 средних суток;
из сравнения периода Тс продолжительностью синодического месяца 5 = 29,5306
суток мы получаем возможность вычислять время наступления затмений в буду-
щем. Найдем промежуток времени, который с большей или меньшей точностью
будет равен наименьшему кратному величин Т и 5; этот промежуток времени
равен тогда периоду, в течение которого затмения повторяются в том же самом
порядке; надо только заметить, что приведенные значения для Т и 5 предста-
вляют собой их средние величины, причем не приняты во внимание неравенства
в движениях Луны и Солнца. Из таких периодов можно, например, отметить
три следующих:
23 Т = 3986,13 дней
38 Т = 6585.78 дней
61 Т = 10571,91 дней
135 5 = 3986,63
„
223 S = 6585.22
„
358 5 = 10571,95 ,
11 лет —31 день (прнбл.) 18 лет + 11 дней (прибл.) 29 лет —20 дней (прнбл.) .
Мы видим, что последний период обнаруживает наилучшее согласование; но
второй период, продолжительностью 18 лет 11 дней, во многих отношениях более
замечателен; во-первых, з течение большого числа лет он остается постоянным,
так что при нем почти полностью исключаются неравенства движения Солнца,
а глав; ое, потому что продолжительность его почти точно равна целому числу
аномалистических месяцев, так что в основном отпадают и неравенства движения
Луны; 239 аномалистических месяцев заключают в себе 6585,54 суток. Этот период
с древних времен известен под названием сароса.
Мы видим, что он заключает
в себе четное
число Т, а следовательно,
заімеичя при нем происходят около
одного и того же узла лунной орбиты, между тем как у двух других периодов
затмения повторяются у противоположных узлов.
Период в 223 синодических месяца на 0,46 суток короче промежутка времени,
за который Солнце придет в то же самсе место относительно узлов; поэтому
для солнечных затмений можно вывести такое заключительное
соотношение:
среднее движение Солнца относительно узлов равно 360:346,6 = 1°,04 в сутки,
поэтому соединение Луны с Солнцем по истечении одного сароса будет происхо-
дить па 0°,48 к западу от узла, т. е . вправо от SI на фиг. 119. Но для того
чтобы произошло затмение, Солнце может отстоять несколько больше чем на
16° в ту или в другую сторону от узла; поэтому пройдет 67 периодов сароса,
пока Сеянце переместится на 32—33°.
Конечно, при этом надо помнить, что
пределы видимости затмения взяты для средних значений расстояний до Луны
и Солнца. Если солнечное затмение произошло, когда Луна находилась близ
восходящего узла и притом близ предельного положения к востоку от него.
(затмение будет частное, очень короткое и видимое на Земле только около
Северного полюса), тогда затмение будет повторяться каждые 18 лет, причем
полоса видимости его будет перемещаться к югу пр, земной поверхности, пока,
по прошествии 1200—1400 лет, оно не превратится опять в очень короткое
частное затмение, видимое лишь в области вблизи Южного полюса; после этого
оно уже не повторится через 18 лет. Если же затмение произошло вблизи
нисходящего узла лунной орбиты, то за тот же промежуток времени полоса его
будет перемещаться с юга на север.
* Ниже мы помещаем список солнечных затмений, которые будут наблюдаться
в СССР до 2000 г. (по Оппольцеру).
1941 год 21 сентября.
5 февраля.
9 июля.
1913
1945
1948
1949
1950
1952
1953
1954
1956
1957
1961
1963
1966
9 мая.
28 апреля.
12 сентября.
25 февраля.
14 февраля.
30 июня.
2 декабря.
30 апреля.
15 февраля.
20 июля.
20 мая.
1968 „ 22 сентября.
25 февраля.
11 мая.
29 апреля.
31 шоля.
1971
1975
1976
1981
1982
1985
1987
1990
19)3
1997
1999
15 декабря.
20 мал.
23 сентября.
22 июля.
21 мая.
пройдет через Каспийское и Аральское моря и через
Полное, видимое в Восточной Сибири и на берегах Тихого океана
Полное; пройдет через Европейскую часть Союза, севернее Москны
около Костромы, Казани, Актюбинска и Ташкента.
Кольцеобразное, видимое около Владивостока.
Частное, видимое в Европейской части СССР.
Полное, видимое в Сибири в районе Чукотского полуострова
Полное, видимое в Средней Азии и в Западной Сибири (около
Красноярска).
^
ѵ
Частное, видимое в Восточной Сибири.
Полное; пройдет близ Минска, Чернигова, Харькова; пересечет
Северный Кавказ и Каспийское море.
Частное, видимое в Европейской части СССР и в Западной Сибири
Кольцеобразное, видимое на Северной Печоре и Новой Земле
Полное; пройдет через Кры близ Сталинграда, Запади,ю Сибирь
Полное, видимое отчасти в Сибири.
Кольцеобразное, пройдет через Черное море, Северный Кавказ и
Казахстан.
Полное; пройдет через Новую Землю, Западную Сибирь и Казахстан
(близ озера Ьалхаш).
Частное, видимое в Европейской части Союза и в Западной Сибири
Частное, видимее в Европейской части Союза и в Сибири.
Кольцеобразное.
Полное; пройдет близ Сухуми, Астрахани, Кузнецка, Нижпеѵдинска
и Хабаровска.
__
.
:
Частное, видимое в Европейской части СССР н и Западной Снбиви
Частное, видимое во всей Сибири.
ѵ
Кольцеобразнсе, видимое в Казахстане.
Полное; пройдет близ Ленинграда и Архангельска.
Частное, видимое в северной части-СССР.
9 марта.
Полное; пройдет по Сибири около Иркутска и Хабаровска.
11 августа. Полное; пройдет через Крым и Закавказье.*
§ 151. Покрытия звезд Луной. Прохождения Меркурия и Венеры по диску
Солнца. Существуют еще некоторые небесные явления, которые имеют нечто
оощее с солнечными затмениями. Во-первых, это — покрытия
звезд Луной,
при
которых Лука, как экран, передвигается между Землей и неподвижной
звездой
или планетой. Опыт показывает, что исчезновение звезды за краем Луны и по-
явление ее из-за другого края происходят мгновенно, так что наблюдать их
можно с большой точностью. Покрытия слабых звезд случаются очень часто но
при некоторых положениях Луны на ее орбите происходят также покрытия и
более ярких звезд, как, например, Регула, Альдебарана, à также Плеяд. Про-
исходят также и покрытия Луной больших планет: В этих случаях явление вполне
аналогично солнечным затмениям; для неподвижных звезд та часть п-остранства
которая соответствует конусу лунной тени при солнечных, затмениях, может быт/
принята за цилиндр, поперечное сечение которого равно окружности Луны. На-
чало и конец покрытия данной звезды наступают постепенно для
пунктов
Расположенных вдоль более или менее узкой полосы на земной
поверхности'
как это бывает и с частными солнечными затмениями.
Наблюдения покрытий звезд представляют собой один из лучших способов
""ределения положений Луны на небесной сфере.
Другое явление состоит в том, что одна из нижних планет, Меркурий или
Венера в нижнем соединении с Солнцем находится так близко от узла своей
орбиты' что планета в виде маленького, круглого, черного пятна проектируется
на диск Солнца. Меркурий настолько мал, что его нельзя видеть простым глазом
на диске Солнца. Планета движется в нижнем соединении в том же направлении,
как и Земля, но только быстрее ее; поэтому она появляется на левой стороне
Солнца и медленно передвигается по его диску вправо. О значении наблюдений
прохождений для решения некоторых вопросов в астрономии мы будем говорить
1
А
впоследствии; здесь же мы только объяс-
ним на фиг. 120 характер самого явле-
ния. Фиг. 120 изображает два последних
прохождения Венеры по диску Солнца,
которые происходили в 1874 и 1882 гг.
Кружок на чертеже
изображает диск
Солнца; точка N соответствует точке се-
вера на Солнце, т. е. точке, которая
••
в полдень находится наверху; линия EW
фяг
-
параллельна экватору, ab — дуга эклип-
тики. Если наблюдать из центра Земли, то планета вступает на диск Солнца
в точке А, а сходит с него в точке В. Из чертежа мы видим, что оба прохожде-
ния происходили, когда планета находилась вблизи восходящего узла своей орбиты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ЗЕМЛИ ДО СОЛНЦА
S 152 Попытки определения солнечного параллакса в прежнее время. Тре-
тий закон Кеплера в той форме, в какой его выводят из закона всемирного
тяготения, дает прекрасное средство для определения с большой точностью
отношения
между расстояниями различных планет от Солнца. Если одно из этих
достояний,
например, расстояние от Земли до Солнца, может быть определено
в каких-либо мерах, то в этих же мерах получатся размеры солнечной системы.
Эта задача сводится к определению параллакса
Солнца,
т. е. угла, под кото-
рым из'центра Солнца виден радиус Земли, если Земля находится от него на
среднем расстоянии („средний экваториальный горизонтальный параллакс Солнца).
Уже в древности искали способов для определения расстояния до Солнца.
Аристарх Самосский (около 270 г. до п. э.) пытался определить это расстояние,
измеряя угловое расстояние Луны от Солнца в тот момент, когда Луна находится
в первой или последней четверти. Из фиг. 121 видно, что треугольник.образуе-
мый Солнцем 5, Луной M и Землей Г, прямоугольный, так как угол M прямой
о
Угол при 5 составляет дополнение до 90° измеренного . угла д;
зная расстояние от Земли до Луны а, получаем для расстояния от
Земли доСолнцаА= а:cosе.
Из своих наблюдений Аристарх нашел е = 87°; следователыю,
S — з°- отсюда следует, что расстояние до Солнца равно 57:3 —
=
19,'т. е. в 19 раз больше расстояния до Луны. Эта величина
в 20 ' раз меньше действительного расстояния до Солнца. Такой
плохой результат получился главным образом вследствие большой
трудности заметить момент, когда бывает освещена точно поло-
вина лунного диска.
Гиппарх пытался определить расстояние до Солнца из наблю-
дений лунных
затмений.
В § 144 указывалось, как вычислить
размеры земной тени, а следователыю, и продолжительность цен-
трального затмения, если известен параллакс Солнца. Наоборот,
если определить из наблюдений продолжительность затмения, то можно вычислить
величину параллакса. Но эта попытка тоже потерпела крушение вследствие недо-
• статочной точности наблюдений; в данном случае вследствие нерезкой границы
Фиг. 121 .
земной тени. Как Гиппарх, так впоследствии и Птолемей полагали, что их наблю-
дения подтвердили точность результата, полученного Аристархом.
Поэтому в продолжение всего древнего времени, средних веков и даже
в эпоху Тихо Браге принимали расстояния и размеры солнечной системы (за
исключением Луны) в 20 раз меньшими действительных. Кеплер, изучая наблюде-
ния Тихо Браге, нашел, что параллакс Солнца не должен превосходить 1',
так
как явление параллакса должно было бы обнаружиться и при наблюдениях над
планетами.
§ 153. Определение солнечного параллакса на основании третьего закона
Кеплера из наблюдений близких к Земле планет. Способы определения сол-
нечного параллакса, о которых мы будем говорить в дальнейшем, основаны глав-
ным образом на определении параллакса близких к Земле планет; планеты эти
должны-находиться или сравнительно с другими очень близко к Земле или же
наблюдения их должны давать какие-либо особые преимущества. Метод опреде-
ления параллакса в общих чертах описан в § 99. Если принять среднее расстоя-
ние от Земли до Солнца за единицу, то всегда можно с большой точностью
определить в этих единицах расстояние наблюдаемой планеты от Солнца. Вычи-
слив расстояние D планеты от Земли для того же момента и в тех же единицах,
можно будет получить расстояние от Земли до Солнца А, которое мало отли-
чается от 1. Обозначим через П полученный из наблюдений горизонтальный
параллакс планеты; параллакс представляет собой малый угол, обратно пропор-
циональный расстоянию до планеты; в таком случае параллакс Солнца полу-
чится из следующего соотношения:
«
Впервые при помощи этого метода удалось получить в 1672 г. приближенное
значение солнечного параллакса, близкое к его истинному значению. Французская
Академия наук послала под руководством
Рнше
специальную экспедицию
в Кайенну (Южная Америка) для производства наблюдений Марса, который в то
время был особенно близок к Земле; одновременно эту планету наблюдали
в Париже Пикар и датский астроном Олаф Рёмер. Из наблюдений нашли, что
параллакс Солнца составляет около 9—^0".
В позднейшее время неоднократно пользовались случаем наблюдать Марс, когда
он находился особенно близко от Земли. Значения солнечного параллакса, опре-
деленного из наблюдений Марса, в большинстве случаев оказывались около 8",9.
С давних пор для этой же цели с успехом пользовались наблюдениями неко-
торых малых планет. Хотя малые планеты за немногими исключениями никогда
не приближаются к Земле на такое расстояние, как Марс, но наблюдения их
имеют свои преимущества; эти планеты благодаря своим малым размерам видны
как светящиеся точки, а потому определять их положение можно с большей
точностью, нежели положение Марса, который имеет заметный диск. Определения
солнечного параллакса из наблюдений малых планет дают несколько меньшую
цифру — около 8",8.
Марс никогда не приближается к Земле ближе чем на 0,37 астрономической
единицы, но малая планета Эрот при наиболее благоприятных обстоятельствах
может приблизиться на расстояние 0,15 астр, единицы. Правда, со времени открытия
этой планеты в 1898 г. такого случая еще ни разу не было; в конце 1900 г. она
приближалась на расстояние 0,315 астр, единицы и служила в это время предметом
большого числа наблюдений, по большей части производившихся при помощи фото-
графирования. В результате всех наблюдений получено значение для параллакса
8",806 с ошибкой, равной 3—4 единицам третьего десятичного знака. В 1931 г.
происходило чрезвычайно благоприятное противостояние Эрота; для наблюдений
его производились подготовительные работы. Окончательная обработка наблюде-
ний еще не закончена.
§ 154. Определение солнечного параллакса из наблюдений прохождения
Венеры по диску Солнца. Другая соседняя с Землей планета — Венера может
подходить к Земле значительно ближе, нежели Марс; но близко подходит она
іс Земле в момент своего нижнего соединении с Солнцем, и наблюдать ее в таком
положении можно только в редких случаях, когда планета проходит по диску
Солнца. Сперва Кеплер, а затем Галлей обратили внимание на большие выгоды,
какие можно ожидать при наблюдении этого явления. На фиг. 122 в Т находится
Зем ія (сравнительно с расстоянием до Солнца Земля изображена в сильно уве-
личенном виде); значок $ изображает центр Венеры, а буква 5 — центр солнеч-
ного диска, видимого сбоку.
Допустим для простоты рассуждений, что один наблюдатель находится в точке h
и видит Веисру иа горизонте; другой наблюдатель находится в точке Т в центре
Земли; не, вый наблюдатель видит, что Веиера описывает по диску Солнца
хорду ККI второму наблюдателю кажется, что планета движется по хорде /г/г.
Вообразим, что обе хорды видны на поверхности Солнца; в таком случае наблю-
датель на Земле может измерить угловое расстояние между ними ѵ.
Из фиг. 122 видно, что параллакс Венеры II и параллакс Солнца тс связаны
между собой уравнением
П—тс = т/.
•
(2)
Уравнения (1) и (2) позволяют определить значения обоих параллаксов — П
и тс. Исключив из обоих уравнений U, получаем,
(3)'
А—D
v.
Фиг. 122 .
Чтобы составить себе представление, на каком расстоянии одна от другой
находятся обе эти хорды, мы можем принять для А и D их средине значения,
а именно, для расстояния от Солнца до Венеры 0,72, а до Земли 1,00, т. е .
D=0,28 иА—D
=
0,72, тогда имеем ѵ = 72/28 • tcä 23".
Если бы второй
наблюдатель находился на диаметрально противоположной точке земной поверх-
ности сравнительно с Л, то рас-
стояние между хордами равнялось
бы 46". Больше этой величины рас-
стояние между хордами быть не
может.
Конечно, угол ѵ нельзя изме-
рить непосредственно,
но
его
можно определить косвенным пу-
тем,
если оба
наблюдателя
отметят
момент
вступления планеты на диск
Солнца и момент, когда она сходит с диска. Можно заранее точно
вычислить
промежуток
времени,
который
потребуется затратить Венере,
чтобы пере-
сечь диск Солнца по его диаметру; продолжительность этого промежутка времени
зависит в конце концов от элементов орбиты Венеры и Земли, а также от углового
диаметра Солнца, но не зависит от абсолютных расстояний до Солнца и до Ве-
неры. Задача поэтому сводится к следующей: надо найти расстояние хорды от
центра, если измерена длина хорды и задана величина диаметра круга. Разность
между расстояниями обеих хорд от центра даст нам искомый угол ѵ. Так как
наблюдения производятся на земной поверхности, то, конечно, при вычислениях
следует принять во внимание вращение Земли вокруг оси.
Если обе хорды расположены близко от центра солнечного диска, то длины их
окажутся почти одинаковыми, и расстояние между ними нельзя будет определить
с достаточной точностью. Чем ближе расположены обе хорды к краю солнечного
диска, тем больше разница в их длинах при том же самом расстоянии между
ними. Можно сделать так, что при соответствующем выборе двух станций на
земно'1 поверхности разность времени прохождения плапеты по диску Солнца
при наблюдении на этих станциях будет равна получасу. В этом случае явится
возможность заменить измерение угла в 9" измерением промежутка времени, рав-
ного получасу. При таком выборе стаиций для наблюдений можно ожидать высо-
кой степени точности получаемых результатов.
Но на практике при наблюдениях встречаются неожиданные затруднения.
Венера в виде маленького черного кружочка пересекает край солнечного диска;
прохождение планеты через край диска происходит очень медленно; проходит 20
и более минут между наружным и внутренним е<ѵ- соприкосновением с краем
диска; за-это время происходят некоторые . явления, связанные с преломлением
света, благодаря которым понижается точность отсчетов моментов касаний пла-
неты с краем солнечного диска. В момент, когда должно происходить
внешнее
касание, планета в виде капли висит некоторое время на краю Солнца; когда она
уже перейдет край диска, то отрывается от него не сразу, а между плане roll и
краем Солнца получается темный мостик, который становится все тоньше и
тоньше, когда же мостик, наконец, разорвется, то планета оказывается уже на
довольно заметном расстоянии от края солнечного диска. Поэтому необходимо,
чтобы оба наблюдения, на основании которых вычисляется хорда, производились бы
при одинаковой фазе явления.
Прохождения Венеры можно наблюдать и другим способом, например, путем
последовательных измерений расстояния планеты от края солнечного диска в те-
чение всего того времени, пока она по нему проходит. Значения
параллакса,
определенного из таких наблюдений, лежат в пределах от 8",8 до 8",9.
Прохождения Меркурия но диску Солнца случаются гораздо чаще, чем про-
хождения Венеры, но наблюдения их мало пригодны для определения солнечного
параллакса, потому что Меркурий в момент нижнего соединения находится ближе
к Солнцу, чем к Земле.
Из наблюдений прохождения Венеры солнечный параллакс определяется из
формулы
и из наблюдений прохождений Меркурия — по формуле
61
iй
тс=
- ду-т»= 1,6т/,
.
так как среднее расстояние Меркурия от Солнца равно 0,39 астр, единицы. Срав-
нивая оба выражения для параллакса, мы видим, что при наблюдениях Меркурия
ошибка в определении значения ѵ влияе'т на результат в большей мере.
Первое прохождение Венеры после смерти Галлея происходило в 1761 г.,
а следующее — в 1769 г. Оба прохождения наблюдались с различных мест зем-
ного шара. Вследствие приведенных нами причин результаты наблюдений не
соответствовали ожиданиям. В прошлом столетии прохождения Венеры происхо-
дили в 1874 и 1882 гг. Было снаряжено большое число экспедиций для наблю-
дений их. Несмотря на все принятые меры к преодолению трудностей наблюдений,
полностью избежать их не удалось1).
§ 156. Другие методы определения солнечного параллакса. Значение сол-
нечного параллакса входит- и в другие астрономические величины, определяемые
нами из наблюдений. В § 139 было показано, что на основании параллактических
неравенств в движении Луны можно определить величину солнечного параллакса.
Небольшое неравенство в движении Солнца с месячным периодом может служить
для той же цели, если с достаточной точностью известна масса Луны из нутации,
при вычислении положения общего центра тяжести Земли и Луны. На основании
Прохождения Меркурия по диску Солнца происходят через каждые 10, 3, 10, 3, 13
и 7 лет, после чего этот ряд повторяется. Последнее прохождение наблюдалось 10 мая
1937 г. Следующие прохождения до 2000 г. произойдут 12 ноября 1940 г.,. 13 ноября
ІЯ53 г., 6 ноября I960 г., 9 мая 1970 г., 9 ноября-1973 г.,
12 ноября 1986 г. и 24 ікября
1993 г.
Прохождения Венеры по диску Солнца наступают через каждые 1211/г»
Ю51/г и
8 лет. Ближайшие прохождения произойдут 7 июня 2004 г.,
5 июня 2012 г.,
10 декабри
2117 г. и 8 декабря 2125 г.
Значение солнечного параллакса из наблюдений прохождений Венеры в 1874 г. полу-
чено равным 8",85, а из прохождения в 1882 г. —
равным 8",82 . —
Прим. перев.
этих именно вычислений Леверрье впервые доказал, что значение солнечного
параллакса (8", 57), полученное из наблюдений прохождений Венеры в 1761 и
1769 гг. и считавшееся долгое время весьма точным, па самом деле слишком малб.
Как известно, величина скорости света была определена на основании наблю-
дений небесных явлений !). В середине прошлого столетия удалось определить
скорость света из опытов, производимых на земной поверхности. Зная ее вели-
чину в линейных мерах, можно при помощи ее определить значение солнечного
параллакса. В § 61 было показано, что постоянная аберрации зависит от отно-
шения между скоростью движения Земли по своей орбите и скоростью света;
постоянную аберрации можно определить из астрономических наблюдений, что
и было сделано с большой точностью из многолетнего ряда наблюдений на
обсерваториях в Пулкове и на мысе Доброй Надежды.
Если известна скорость
света, то можно вычислить в тех же единицах скорость движения Земли по
орбите, а следовательно, и определить размеры земной орбиты в километрах.
Скорость света, полученная на основании опытов, равна 299 796 км\сек с ошиб-
кой около 3 км\сск\ приняв для постоянной аберрации наиболее надежную вели-
чину, полученную из наблюдений, 20",47, имеем для параллакса значение тс =8",80.
В § 128 было показано, как определить отношение массы Земли к массе
Солнца, если известны время обращения Земли вокруг Солнца, расстояние от
него, размеры Земли и Солнца и ускорения силы тяжести, выраженные в одних
и тех же единицах. Массу Земли можно определить также на основании возму-
щений, производимых ею в движениях ближайших
к ней планет; о величине
действующей на них массы можно судить по вековым изменениям элементов
планет, которые становятся известными теперь все с большей точностью, по
мере увеличения времени их наблюдений. Если же будет известно отношение
массы Земли к массе Солнца, то легко вычислить и среднее расстояние До Солнца.
.
Ныоком произвел обработку результатов, полученных всеми этими способами,
сопоставляя их между собой; оіі нашел, что значение солнечного параллакса заклю-
чено в пределах от 8",76 до 8",84. Значение солнечного параллакса, полученное
из наблюдений Эрота и еще не входившее в число величин, обработанных Ныоко-
мом, оказывается наиболее точным. Поэтому в астрономических ежегодниках для
солнечного параллакса принимают величину 8",80; ему соответствует среднее
расстояние от Земли до Солнца, равное 149 500 000 км.
</
\
•
Скорость света была определена в 1675 г. датским астрономом Рёмером из наблю-
дений покрытий спутников Юпитера (см. § 226). Затем французские ученые Фвзо (1849) u
Фуко определили ее величину из опытов, производившихся па земной поверхности.
Поззнейшие определения скорости все выполнялись главным образом путем опытов, произ-
водимых на земной поверхности. —
Прим.
персе.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ; ЗАДАЧИ О ДВУХ
ТЕЛАХ, О ТРЕХ ТЕЛАХ И О п ТЕЛАХ. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ЗАДАЧА О ДВУХ ТЕЛАХ
§ 156. Небесные тела, рассматриваемые как материальные точки. В § 125
было сказано, что сила тяготения, с которой взаимно притягиваются два небес-
ных тела, зависит от распределения масс внутри тел. Если плотность внутри
небесных тел остается одинаковой на равных расстояниях от центра (т. е . если
тела имеют шарообразную форму и плотность внутри них зависит только от
расстояния до центра), то .-вс якое такое тело действует на материальную точку,
расположенную вне тела, как будто вся его масса сосредоточена в центре тела..
Математическое исследование вопроса показало, что тела с иным распределением
масс внутри них притягиваются по более сложному закону. Если мы будем пред-
полагать, что оба тела удаляются друг от друга все дальше и дальше, то в таком
случае закон, по которому они взаимно притягиваются, все точнее будет соответ-
ствовать простому закону, высказанному нами выше, т. е . тела будут действовать
друг на друга так, как будто вся масса их сосредоточена в их центре. Все
небесные тела, о которых мы будем говорить в дальнейшем, имеют почти шаро-
образную форму, и кроме того, можно допустить, что массы в них распределены
хотя бы приблизительно согласно вышеприведенному закону; к тому же они
находятся друг от друга на очень больших расстояниях. Поэтому силы, действую-
щие на них, можно считать такими, как если бы эти тела представляли собой
материальные
точки.
Отклонения, которые происходят вследствие того, что
распределение плотностей в небесных телах не вполне соответствует приведен-
ному выше простому закону, в солнечной системе настолько малы, что они либо
не играют никакой роли, либо требуют внесения лишь незначительных поправок
в вычисления.
i
В дальнейшем изложении мы будем принимать небесные тела за материаль-
ные точки, за исключением отдельных случаев, которые всякий раз будѵт огова-
1 риваться особо.
§ 157. Диференциальные уравнении в задаче о двух телах. В § 85—88
мы рассмотрели основные принципы и теоремы, при номбщи которых можно
вывести уравнения движения материальных точек, притягивающихся друг к другу
по закону Ньютона:
•
1. Мы называем скоростью
тела в данный момент отношение бесконечно
малого отрезка пути к бесконечно малому промежутку времени, в течение кото-
рого тело проходит этот отрезок пути. Согласно обозначениям, принятым в дифе-
ренциалыюм исчислении, мы можем написать: скорость =где
через s обо-
значена длина пути, а через t—время.
2. Соответственным образом под ускорением
мы понимаем отношение беско-
нечно малого приращения скорости к бесконечно малому промежутку времени,. ..
за который произошло это приращение скорости,
линейного движения можно выразить формулой
.
:•)
ускорение = —
—
Это определение для прямо-
л dt;
d2s
dp•
Допустим, что в прямоугольной системе координат координаты материальной
точки m равны X, у, z. В гаком случае проекции скорости и ускорения точки
на оси координат выразятся так:
dx dy_ dz_
Ht'dt'dt
dt
составляющие скорости:
—rr , -xi, —rr.
составляющие ускорения:
dix
dP
d*y
dP
d-z
dP
3. Кроме того, вспомним следующее соотношение между ускорением, силой и
массой: ускорение равно силе, разделенной на массу или, иначе, масса, умножен-
ная на ускорение, равна силе.
Мы можем написать эту теорему в таком виде:
dn
-s
dt" -
=
р,
где р — сила, действующая на материальную точку с массой т. Примем во вни-
мание приведенные выше выражения' для проекций ускорения на оси координат;
с другой стороны, напишем проекции силы Р на те же оси координат в таком
виде: Рcosa,
Pcosß, Рcosy,
где a, ß и y— углы, образуемые направлением
силы Р с осями. Тогда для движения материальной точки можно написать сле-
дующие три уравнения движения:
(1)
(1-Х
т~=Р cosa,
dt-
d*y
m
~ dP~
dzz
Pcosß, m-^
=
Pcosy.
dp
В нашей задаче речь идет о двух материальных точках (массы их m и mj,
которые взаимно притягиваются по закону Ньютона с силой
Р=1Р
тт\
(2)
где k означает постоянную (постоянную тяготения),
значение которой потом будет объяснено, ар —
расстояние, разделяющее обе эти материальные
точки.
Выберем систему
прямоугольных
координат,
начало О и направления осей X, Y, Z которой
сохраняют постоянное положение. Для простоты
рассуждений на фиг. 123 обозначим только две оси: ось ОХ и ось OY; третью
ось OZ будем Считать направленной перпендикулярно к плоскости чертежа. Смысл
различных буквенных обозначений понятен непосредственно из чертежа.
На основании фиг. 123 мы можем написать
r\ = x\-{-y\-\ -zl,
j
рз= (x, —*)2 + Оі"У)2 +
—J
(3)
Далее, из фиг. 123 следует, что углы a, ß и у, которые линия, соединяющая
точки m и т„ образует с осями координат, могут быть определены из следующих
соотношений:
cosa =
xi—x
cos В =уі—у
cosY=
__
g| —*
(4)
Подставим выражения (2) и (4) в (1). Тогда для движения тела (т) мы полу-
чим следующую систему уравнений:
(5)
а для второго тела (mf) такую систему:
(б)
§ 158. Уравнения относительного движения. Для выражения движения
тел m и tu j мы имеем шесть диференциальных уравнений второго порядка. Для
решения задачи мы должны были бы произвести интегрирование двенадцать раз.
Но решение вопроса можно значительно упростить следующими преобразова-
ниями. Сократим систему уравнений (5) на т, а систему (6) на тп{, мы получаем
d-x
xi— x
dP~k41«
pi•
d-xi
•dP
k2uix
'~
x
,
ps
<7)
d'y
_и?тУѵ-У
dP*m»
p*
'
I
I
Яш»'-*,
рЗ
(8)
d*z
.„
zi—z
dP -ь-щ
'рз .
(PZi
dP
k*mZl-2
.
p3
Вычитая почленно уравнения (8) из уравнений (7), находим
/**(,«;-}(9)
В систему уравнений (9) координаты обоих тел входят в виде разностей
(х — х{), (у—yt)
и (z — Z[)- Но эти три выражения представляют собой коор-
динаты материальной точки m относительно точки піѵ Их называют поэтому
относительными
координатами.
Таким образом система уравнений (9) представляет собой диференциальные
уравнения движения точки m относительно точки /«,. Мы можем поэтому сказать,
что материальная точка
является началом прямоугольных координат, оси
которых сохраняют постоянное направление. Диференциальные уравнения (9)
определяют движение массы m в этой системе
координат.
Систему уравнений (9) можно написать в более простой форме. Ео-первых,
приняв m ! за начало координат, мы можем положить xl =ух — zl = 0. Во-вторых,
напишем г вместо р на основании таких соображений: г (с индексом при нем
или без него) означает радиус-вектор некоторой. точки, проведенный из начала
'•іш
d-x
.„
.vi —X
d2(x—xi)
dP.
dhy-la
_
dP
d2(z—Z\)
dP
координат; р —расстояние между двумя точками, из которых ни одна не совпа-
дает с началом координат. Мы получим тогда уравнения
(Ю)
это — диференциальные уравнения движения материальной точки с массой m
относительно материальной точки с массой тѵ
При рассмотрении вопросов, касающихся движений в планетной системе, мы
всегда будем принимать массу Солнца за единицу. Диференциальные уравнения
движения планеты вокруг СЬлнца примут тогда следующую простую форму:
(И)
§ 159. Движение материальной точки вокруг неподвижной материальной
точки. Из уравнений (10) мы видим, что в диференциальные уравнения относи-
тельного движения в задаче о двух телах входит только общая масса обоих тел,
но не массы этих тел в отдельности. -
•
Чтобы составить уравнения движения материальной точки массы р., притяги-
ваемой неподвижной материальной точкой массы М, примем за начало координат
точку М\ пусть оси координат сохраняют постоянное положение в пространстве;
тогда мы получим
откуда найдем
tPX
сГ-у
d-z
— /eVW-J -,
сРх _
dF
сРу _
dt1
fPz
dt-
~~
-AW-J.
(12)
Сравнивая выражения (12) и (10), мы видим, что диференциальные уравнения
относительного движения двух масс m и тх .совершенно такие же, как уравнения
движения материальной точки (у) вокруг неподвижной
материальной точки с мас-
00Ѵ1}60'" интеграл
площадей. Переходя от движения двух
материальных
точек, отнесенного к неподвижной координатной системе, к их относительному
движению, мы первоначальные уравнения движения задачи двух тел свели к трем
днфереициальным уравнениям второго порядка. Для решения задачи требуется
теперь взять только 6 интегралов, в результате чего будут введены 6 постоян-
ных интегрирования. Это интегрирование можно произвести в конечном виде.
Три интеграла получатся следующим образом. Умножим второе из уравне-
ний (11) на X, а первое на у и вычтем их одно из другого. Получаем
d'v
dn
-x
„
Подобным же образом получаем
d-z
d'y
n
w
z
4f= °
»
d'x
dT-z
dt-
Интегрируя эти три уравнения, находим
х
dt
dt
dx
dt
dx
—
ydt
dy
—
Zdt
dz
Xdt
(13)
(14)
где cv ca и c3— постоянные интегрирования.
Помножим все три уравнения (14) последовательно на z, х и у и сложим нх;
получаем следующее уравнение:
с1х-\ -с2у-\ -сйг=0.
(15)
Из аналитической геометрии известно, что это — уравнение плоскости; отсюда
мы приходим к заключению, что относительное движение двух материальных
точек происходит в некоторой плоскости (эту теорему можно было бы устано-
вить и без математических выводов: если мы рассматриваем плоскость, в которой
происходит относительное движение в некоторый данный момент, то легко видеть,
что любая сила должна действовать именно в этой плоскости).
Чтобы упростить решение задачи, примем плоскость xy
за плоскость, в кото-
рой движется материальная точка. Тогда отпадают все выражения, которые за-
висят от координаты z. Уравнения (11) -и (14) можно будет привести к следую-
щим двум диференцнальным уравнениям:
интеграл которых равен
dy
dx
х-щ—учг = с>
(іб)
(17)
где с — постоянная интегрирования (ее не следует смешивать с постоянной с3).
Когда задача будет представлена в таком виде, нам остается взять только 3 ин-
теграла.
Интеграл (17) имеет простое кинематическое значение, так как выражение
в левой его части представляет собой удвоенную
секторную
скорость
(см. § 116).
Интеграл этот называют интегралом
площадей,
и теорему, выраженную уравне-
нием (17), можно формулировать так: секторная скорость движения есть вели-
чина постоянная или, иначе, радиус-вектор материальной точки описывает
площади, пропорциональные
временам.
§ 161. Интеграл живой силы. Умножим теперь первое из уравнений (16)
dx
пdy
а второе на 2
на
•
2
чг>
dt
и сложим их. Получаем
Левая часть этого уравнения может быть перенисана так:
•ЖУ-і-ШІ-
Подставляя это выражение . в уравнение (18) и принимая во внимание, что
г2= л;2 у"2
, мы получаем
dr
dx ..
dy
r
4t=
x
4t +уж>
(19>
что позволяет привести уравнение (18) к следующему виду:
Это диференциальное уравнение можно интегрировать непосредственно. На-
ходим
где h — постоянная интегрирования. Левая часть уравнения (21) представляет
собой квадрат линейной
скорости
точки m на ее орбите при движении вокруг
другой материальной точки. Обозначая эту скорость через V, мы можем пере-
писать уравнение (21) в следующем виде:
Ѵ»-И- 2*,(1+w)
.
(22)
Этот интеграл называется интегралом
живой силы, потому что он заключает
в себе квадрат скорости, а, как известно, живая сила пропорциональна квадрату
скорости (живая сила = %
где m—масса, а V—с .сорость).
§ 162. Соотношение
между радиусом-вектором и истинной аномалией.
Найдем теперь третий интеграл наших уравнений. В уравнения (16) введем вместо
прямоугольных полярные координаты, как это показано на фиг. 124 . Из чертежа
мы видим, что
y
"=
г cosw, \
(23)
'=
rsin W, )
х
'
откуда получаем
dx
dr
.
dw
—у = cosта
rsmw -jp,
Фиг. 124 .
dy
.
dr.
dw
—
smw —7-,—\-rCOSw ——— .
dt
dt1
dt
(24)
Подставив выражения (23) и (24) в уравнение (17), найдем, что интеграл
площадей примет следующую форму:
dw
< dt=c
-
(25)
При помощи выражения (24) приведем уравнение (21) к виду
с«)
Из выражения (25) получаем выражение
dt——dw,
с
'
подставив которое в уравнение (26), находим
Диференцируя выражение у по w, получаем:
rfi
Г
1dr
dw
r* dw
и, следовательно,
dw
dw'
Подставив последнее выражение в уравнение (27), находим
Это уравнение можно переписать еще и в таком виде:
d—
dw=
-+-
r
\ги л
ç1•
v
г
г*
с?вёнш,МнапншГм0бРа30ВаНИЙ' Справедливость вторых легко проверить непосред-
dw= ±
r
уг+
+ А J _ j -^T^d+^-Ja'
а так как дробь
_ величи„а
постоянная, то получим окончательно
dw= =t
,|-С
_
ft2(l-fw)j
/"[**(1Г)3+*]- [
c
J'
(28)
Интегрирование правой части этого уравнения можно произвести непосред-
ственно согласно известной формуле:
«еиисред
где К— постоянная интегрирования. После интегрирования получаем
=
— arc cos
с
0(1 +т) -1
Г
с
(29) •
Перенесем постоянную ±К в левую сторону, выразим через косинус обе
части уравнения и решим его сперва относительно с/г а затем относительно г
ричем будем помнить, что І<-произвольная постоянная, а следовательно?^«:
"Ой знак перед К можно откинуть. Получаем
'
двои
+ w) /"ill
С*
•h•cos(w—К)
откуда после преобразований окончательно находим
;
(зо)
l+Ww-<os(tt,
-
/0
Величины с, k, m, h и К—постоянные;
они входят в уравнение,
связываю-
щее две переменные величины г и w.
Вводя обозначения
с'
.
Л2(1-f-m) =
zu— K=V,
мы приводим уравнение (30) к следующему виду:
1+еcosV'
(31)
(32)
Это — уравнение конических
сечений
в полярных координатах, где р — полу-
параметр, е — эксцентриситет, г—радиус-вектор, проведенный из фокуса кониче-
ского сечения, и ѵ — так называемая „истинная аномалия", т. е . угол, который
радиус-вектор планеты образует с направлением, проведенным через фокус орбиты
и ее перигелий (см. § 115). Таким образом мы пришли к следующему весьма важ-
ному результату. Если две материальные точки взаимно притягиваются по
закону Ньютона, то одна из них будет двигаться вокруг другой по орбите,
имеющей вид конического сечения, причем вторая точка находится в фокусе
•конического сечения.
§ 163. Значение постоянных интегрирования. Теперь мы имеем возможность
подробнее рассмотреть значение постоянных интегрирования, которые были нами
введены при решении задачи о двух телах.
1. На основании первого из уравнений (31) мы получаем для
постоянной
интеграла площадей следующее выражение:
c= kУ1
mУр.
(33)
2. Из второго уравнения (31) получаем
k*(1+ ту*
исключая отсюда с при помощи выражения (33), находим
/і_
*2(l+M)(l-g')
р
Мы видим, что знак для h можег быть — или
- f - в зависимости от того,
будет ли е больше или меньше 1, т. е . в зависимости от того, будет ли орбита
эллипсом или гиперболой. Для параболы h = 0. Из выражения (22) видно, что
движение будет происходить по орбите эллиптической,
параболической или
гиперболической в зависимости от того, будет ли V2 меньше, равно или больше
-
о *2П -'-"о
дроби 2 —
.
При помощи известной формулы для эллипса, выводимой в аналитической
геометрии:
р=
с(1_ с 2),
(34)
где а — большая полуось эллипса, мы получаем
(35)
Эта формула справедлива также для параболы и гиперболы. Дробь lia может
быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от того
будем ли мы иметь дело с эллипсом, гиперболой или параболой. Тогда интеграл
живой силы (22) примет вид
ѵ-»(І + ж)(2-4).
(36)
3;о? .
наяение
т
Ретьей постоянной интегрирования І< видно из третьего уравне-
ния (31). Угол w отчитывается в плоскости орбиты от некоторого
определен-
ного исходного пункта; если мы примем за этот исходный пункт точку (Т)
в плоскости орбиты, которая соответствует точке весеннего равноденствия (Г) на
эклиптике (см. фиг. 101), то в таком случае уравнение ѵ = ъи — К
показывает
TMиПЛД«ТпГТ С°?й долготУ
TMРTMлия на орбите, т. е. тот самый угол,'
который в § 118 мы обозначили буквой
тс.
3
§ 164. Уравнение Кеплера. Среднее движение. Перейдем теперь к четвертому
и последнему интегрированию. Мы уже установили, что движение в задаче о двух
телах должно происходить по кривой, имеющей форму конического
сечения
Существуют три типа конических сечений: эллипс, когда е< 1 (частный слѵчай —
окружность, когда е = 0), парабола, когда е=1 и гипербола/когда е>1
До сих пор все наши рассуждения и формулы были справедливы для каждого
типов
конических сечений; теперь мы уже будем делать различия для
эллипса, параболы и гиперболы. Рассмотрим сперва решение задачи только для
случая эллипса. Позже мы вернемся к параболе и гиперболе.
В § 162 мы вывели уравнение следующего вида:
.
(26)
При помощи интеграла площадей уравнение (26) можно переписать так:
получаем5 ° ^
Выражение h из Ф°Р"Улы (33) и с и р из соотношений (31) и (34),
=
—
gjO+Il) I gffg-}-^
ff(l+w)q(l—g»)
\dt )
a
r
Js
»
откуда выводим
Решив это уравнение относительно dt, находим
±dt=
Y~a
Ыг
kѴ\+т V—P+2ar—a
n
- (1-е*-)'
При помощи простых преобразований последовательно получаем
±:dt =
rdr
—
\" - {a-r)]d(a-r)
ky\+mYaW-(a-r)*
k УТ+Ъ
y ases _(a_ r)i
=
—
aV~a
d(a—r)
,
У g (g—r)d(a—r)
kУ1+ mУaV —(a—r)2 kУТ+й У'
(37>
Аотрошшші
Непосредственно интегрируя это выражение, находим
' arc cos
-
е j/T—pEZJ],
(38)
где t0 — постоянная интегрирования.
Если дело идет о движении по эллиптической орбите, то (а — г) всегда
меньше или равно ае. Мы можем поэтому написать
•^ZL = cos Е,
'
(39)
ае
4'
и на основании выражения (38) получим
=
(40>
Знак при Е может быть безразлично + или —, так как Е определяется через
косинус [см. выражение (39)]. Установим только, что Е возрастает одновременно
с t (см. § 120). Поэтому двойной знак в выражении (40) можно заменить зна-
ком -}- .
Перепишем теперь формулу (40) в ином виде:
Е-евіпЕ
=
к
-Ц±"Ѵ-і0).
(41)
а'»
Таким образом мы вновь встречаемся с так называемым уравнением
Кеплерау
найденным нами прежде эмпирическим путем (см. § 120), причем t0 заменяет
в формуле (41) величину Г в § 120, т. е. время прохождения через перигелий;
поэтому напишем
ку1+ія_2к
/42ч
—-рй
ü'
(42>
где и — время полного оборота вокруг центральной точки.
Введем для величины k
].
+
обозначение р. Так как u всегда выражают
а'1
в средних сутках, то из уравнения
\lU = 2тс
видно, что JJ- представляет собой среднее угловое движение для средних суток.
Часто называют средним движением.
Оно выражается в секундах дуги. Его
всегда можно вычислить, если известны m и а. Если, как это бывает для малых
планет, величиной m можно пренебрегать, то для решения уравнения нам нужно
знать гравитационную постоянную и величину большой полуоси орбиты а.
§ 165. Третий закон Кеплера в обобщенной форме. При рассмотрении
задачи о двух телах мы между прочим (в '§ 162 и 160) вновь вывели два первых
закона Кеплера (см. § 115 и 116) как необходимые следствия из закона всемир-
ного тяготения Ньютона. Как же обстоит дело с третьим законом?
Перепишем уравнение (42) в следующем виде:
=
(43)
Это уравнение справедливо для планеты, обладающей массой т, большой
полуосью орбиты а и обращающейся вокруг Солнца в период времени u. Для
другой планеты, масса которой тѵ период обращения Ul и большая полуось
орбиты «j, имеем
Разделив уравнение (44) на уравнение (43) и возведя результат в квадрат,
исходим
*è
(45)
Для нашей планетной системы мы принимаем массу Солнца равной 1- но
в общем случае, когда мы сравниваем две системы, причем в одной системе
массыравныM иm, авдругой—М1 итѵ мыполучаем
ul_
м+тof
U*~
УИХ+ ЯІІ W'
(46)
Это уравнение дает более общую форму уравнения (3), выведенного в 5 127
и притом будет справедливо для любого движения по эллипсу. О весьма важных
применениях этой теоремы для солнечной системы сказано в § 152, а о приме-
нении ее в звездной астрономии будет сказано в § 282.
§ 166. Постоянная тяготения. Уравнение (43) позволяет нам вычислить чис-
ловое значение постоянной тяготения А. Перепишем уравнение (43) в следующем
2TM3/2
иѵт+і
(47)
Если речь идет о движении Земли вокруг Солнца, то в формуле (47)
о7р5ГсГнцаТГ "Г"
°чРбИТЫ' "-««Ч»««*
период обращения Земли
вокруг Солнца, a m —масса Земли, выраженная в единицах солнечной мягсы
ГГьТІТСГіТчиГ
33 еДИНИЦУ
—""
^ Формуле (47)
*
иут+т
Гаусс вычислил значение для А, приняв следующие величины:
(7=365,2563835 средних суток,
п.
_
1
Отсюда следует
~
354 710 '
lg А = 8,2355814—10,
А = 0,01720210.
(48)
Если мы хотим выразить среднее движение планеты U и ПОСТОЯННУЮ А в се-
кундах-дуги, тогда предыдущие выражения надо умножить на 206 264 "^ Получаем
lgk" =
3,5500066,
/г" =
3548",188
(49)
В наше время известны более точные числовые значения этих величин пгп
шо для значения m; „о изменения, какие они вносят в знач^ие для посдо-'
иной тяготения, незаметны даже в седьмом десятичном знаке СтіооЭтической
очки зрения для k надо бы вычислить новое числовое значение ёак як ллё
Гак" ГоУб7Нэтог0оВЫне;
WTM
ВеЛИЧИНЫ' Ч6М Те'
пользовался
dycc. чтооы этого не делать, условились принимать для коэфициента k ння
ение, вычисленное Гауссом >); но в формуле (47) считают значений
отличным от 1; для « подбирают такое значение, чтобы оно соответствовдоо
сленной величине гауссовой постоянной k; таким образом прдоимаемая еди-
иица длины не вполне ТОЧно равна большой полуоси земной орбиты! Впрочем,
1) Которое поэтому носит название гауссовой постоянной.
—Прим.
перев.
как уже упоминалось, получаемые расхождения не отражаются даже на седьмом
десяти чном знаке.
Конкретное значение величины k можно выразить двумя способами.
1. Вообразим, что материальная точка m в некоторый определенный, момент
на расстоянии х от Солнца находилась относительно него в покое; затем, под
влиянием притяжения Солнца она начала двигаться вокруг него. Движение точки
может быть выражено диференциальным уравнением
Допустим теперь, что масса m исчезающе мала и что материальная точка
находится в данный момент на расстоянии 1 от Солнца. Мы видим тогда, что /га
представляет собой ускорение, приобретаемое по направлению к Солнцу телом
бесконечно малой, массы, которое в определенный момент находится от него
на расстоянии,
равном 1. Это ускорение выражено в единицах, за которые
приняты большая полуось земной орбиты и продолжительность средних суток.
Численное значение для k получится следующее:
lg НУ = 6,4711629 10,
кУ = 0,000295912.
2. Среднее движение тела, притягиваемого Солнцем, выразится формулой
k"у1+m
«ѵ,
•
Отсюда мы видим, что k" есть среднее движение
тела с бесконечно
малой
массой, которое движется вокруг Солнца по эллипсу с большой полуосью, рав-
ной большой полуоси земной орбиты.
Тогда получим численное значение
k"=
3548,188 (для средних суток).
• Для сравнения отметим, что среднее движение Земли равно 3548",193 (массу
Земли нельзя считать исчезающе малой).
§ 167. Элементы орбиты Л и і. Мы уже видели (см. § 160), что уравнения
движения могут быть приведены к системе двух диференциальных уравнений второго
порядка, если плоскость орбиты принять за плоскость XY. Интегрирование этих
уравнений вводит четыре постоянных интегрирования: с, h, К и t0; из предыпу-
щего мы видели, что эти постоянные можно выразить в виде функций четырех
элементов орбиты а, е, те и Т следующим образом:
с = kVÏ+ій
VJ)=kVi+mV~aУ1-е-,
h=
to= t.
Теперь мы покажем, какое значение имеют элементы орбиты А и і (см.§ 118)
при интегрировании диференциальных уравнений в задаче о двух телах. Рассма-
тривая систему уравнений (14), мы видим, что интегрирование системы (13) при-
.
вело к трем интегралам и к трем постоянным интегрирования (cs, сѵ с2). Примем,
что эклиптика
расположена в плоскости XY.
Проектируем площадь сектора с, расположенную в плоскости орбиты, на три
координатных плоскости; тогда получаем, как это видно из фиг. 125, следующие
выражения для трех проекций:
с
хц= с cos
/
)
cyï = csin/sinA,
>
(50)
схг ——сsinіcosА.J
Но выражения в правой части формул (14) пред-
ставляют собой как раз три проекции секторных ско-
ростей в плоскости орбиты:
c==x
W~yW [см. уравнение (17)].
Если мы подставим вначение c = k 14- m Ур,
то получим
следующие
уравнения:
x
W~yjW=zCe=
kVl-] ~my~p cos i,
Фиг. 125 .
АУ14-даy> sinIsinA,
2
x
~dt ~ ~—^
Vi ~Ь
m
VPs
'
n 7cos
a,
(51)
гдеp=a(1—e-).
§ 168. Вычисление гелиоцентрических координат планеты. Если известны
элементы планеты, то можно вычислить для любого момента времени ее поло-
жение: 1) на орбите, 2) на небесной сфере, если наблюдать ее с Солнца (гелио-
центрические
координаты), и 3) на небесной сфере, если наблюдать ее с Земли
(геоцентрические
координаты).
Сперва вычисляют значения радиуса-вектора (г) и истинной аномалии (ѵ). Для
вычисления этих двух величин мы имеем выведенные уже нами формулы:
для среднего движения (см. § 164)
k vl+i
для средней аномалии (см. § 120)
М= \*(t
Т),
•для эксцентрической аномалии (см. § 164) Е — esin Е = М,
для истинной аномалии (см. § 121)
tg-^ = j/~L±ü tgЛ s
для радиуса-вектора (см. § 121 и § 162)
г=а(1
ecosЕ)
а(1—е"-)
или г
••
1+ecosv'
(52)
За исключением формулы для Е (уравнение Кеплера) все остальные формулы
можно вычислять непосредственно.
Уравнение Кеплера можно решать различными способами: при помощи спе-
циальных таблиц, разложением в ряды (см. § 172) или по способу последователь-
ных приближений. Пример вычислений последним способом, очень часто применяе-
мым на практике, приведен в Приложении на стр. 529.
Вычислив значения r a ѵ для положения планеты в данный момент, полу-
чаем затем ее гелиоцентрические прямоугольные координаты следующим образом.
На фиг. 126 изображена часть небесной сферы; знаком Т обозначена точка
"есеннего равноденствия, П — проекция перигелия (если смотреть на него с Солнца)
"а п о верхность небесной сферы, Р — проекция положения планеты на небесной сфере
(заметим только, что дуга Г'Р представляет собой не самую эллиптическую
орбиту, а проекцию ее на небесную сферу), А —как обыкновенно, означает
долготу восходящего узла эклиптики, / — наклонение орбиты к эклиптике и е —на-
клонение эклиптики относительно плоскости экватора Земли.
Для дуги тс — А (т. е . долготы перигелия
на орбите, измеряемой от восходящего узла) вве-
дем для краткости обозначение ш, а для выражения
7t — А+г» = ш-{ - -у (долгота планеты на орбите,
тоже измеряется от узла орбиты) — обозначение и.
Угол и называют аргументом широты.
Возьмем систему прямоугольных координат,
в начале которой находится Солнце, причем пло-
скость орбиты совпадает с плоскостью XY, а ось
ОХ направлена в точку восходящего узла. На
основании фиг. 126 мы можем получить прямо-
угольные гелиоцентрические координаты планеты, обозначаемые через
yv z2,
в следующей форме:
Фиг. 126.
Xз= гCOSи,
уа=
гsinы,
Zo=0 .
(53)
Повернем теперь
систему координат
вокруг оси
ОХ на угол і так,
чтобы плоскость эклиптики совместилась с плоскостью XY; направление же
оси X остается прежним, т. е. она направлена в точку восходящего узла. Коор-
динаты планеты (*lf уѵ z,) в этой новой системе координат выразятся так:
хі= Хд=Гcosu,
уі=у2 cosІ= ГsinиcosI,
zx= 2gsini= rsinиsini.
(54)
Повернем теперь систему координат вокруг оси OZ в сторону обратного
движения светила на угол А так, чтобы ось ОХ была теперь направлена в точку
весеннего равноденствия, а плоскость XY не изменяла своего положения в про-
странстве и продолжала совпадать с плоскостью эклиптики. Обозначаем в этоП
системе координаты планеты через х0, у* z0 (это будут прямоугольные, гелиоцен-
трические, эклиптические
координаты). Получаем для них выражения:
х0= xlcosA—yl sinА= г(cosиcosА—sinиsinAcosг),
<уо =
д.і5ІПіа_[_^1 cos A = r(cos и sin A -f sin и cos A cos i),
Zg= = ГsinUsinІ.
(55)
Это и есть координаты, которые в формуле (51) обозначены через л;, у, г.
Наконец, повернем систему координат около оси ОХ на угол е так, чтобы
плоскость XY совпала с плоскостью экватора. Для новых координат удержим
обозначения дг, у, z (это будут прямоугольные, гелиоцентрические,
экваториаль-
ные координаты). Мы получаем выражения
Х= х0= г(cosиcosА—sinиsinA cos/),
у=у0 cosе—Zgsinг= г(cosиsinA cose-f-
4-sinиcosA costcose—sinиsinisins),
г=у0sine4-z0cosг= г(cosиsinA sine-j-
4- sinuCOSA COSisine4" sinиsinicose).
(56)
Само собой разумеется, что мы можем вычислить значения ЛГ, у, z непо-
средственно из формул (56), и если дело идет о вычислении положения планеты
для какого-нибудь отдельного случая, то обыкновенно пользуются формулами (56).
Но легко видеть, что вычисления по этим формулам слишком кропотливы, а по-
тому в астрономической практике
(для вычисления „эфемерид") обыкновенно
преобразуют формулы (56), чем вычислительный труд значительно сокращается.
Под вычислением эфемерид
понимают вычисление положений небесного
тела для целого ряда моментов, отстоящих друг от друга на равные промежутки
времени (например, через 1 день, через 2, 4, 8 и т. д. дней).
а аС°TM
асн о
методу Гаусса введем шесть вспомогательных величин: а, Ь, с,
А, В, С (так называемые гауссовы постоянные); они определяются из следующих
уравнений:
3
asinА= cosА,
acosЛ=
—
sinA cos/,
bsinВ= sinA coss,
bcosВ= cosA cosicose—sinisins,
(57)
сsinС= sinA sine,
сcosС= cosAcos/sine4-sin/cose.
Подставив выражения (57) в формулы (56), мы после некоторых простых
преобразований получим следующие выражения:
*=
rasin(i4-fa), у = rb sin (В 4- и), z = resin (С 4- и).
(58)
Как видно из формул (57), шесть величин а, Ь, с, А, В, С не зависят от
времени, а потому для данного небесного тела могут быть вычислены раз навсегда
Если значения этих величин уже известны, то вычисления х, у, z по формулам
(58) производятся чрезвычайно просто.
Уравнения Гаусса можно написать в другой форме, благодаря чему на
практике сильно сократится вычислительная работа.
Введем следующие обозначения:
А'=
А4-ш ,
В'=
В-усо,С'=
С4-ш .
(59)
Тогда, приняв во внимание, что и = ш-ф -п, вместо системы уравнений (58)
получим следующую:
* — га sin(А'4-ѵ), у = rbsin(В'-\-ѵ),
z= rcsin(С' -{-н).
(60)
Этой системе формул можно придать такой вид, что для вычислений будет
удобнее пользоваться арифмометром.
Соответствующие преобразования формул
приводятся в специальной литературе.
§ 169. Вычисление геоцентрических координат планеты. Если известны
прямоугольные гелиоцентрические координаты небесного тела в экваториальной
системе, то для вычисления пріщоугольных геоцентрических
координат в той же
системе достаточно еще знать гелиоцентрические
координаты Земли
или
геоцен-
трические
координаты Солнца.
Последние, т. е . прямоугольные геоцентрические
координаты Солнца, можно найти на каждый день года в астрономических еже-
годниках. В дальнейшем мы будем обозначать их через X, Y, Z. Обозначая
прямоугольные
геоцентрические экваториальные коодинаты планеты чеоез £ ті С
получаем
^
'
"
'
£= х-\-Х, ц = у4-Г,
t= z-l-Z.
(61)
Для перехода к геоцентрическим, экваториальным, полярным координатам,
т. е. к прямому восхождению а, склонению 3 и геоцентрическому расстоянию Д,
чы имеем следующие формулы:
Acos3cosа= £, Дcos8sinа= i], Дsin8= С
(62)
Формулы (52), (57), (60), (61) и (62) позволяют нам вычислить геоцентри-
ческие координаты планеты для данного момента, если известны
элементы
ее орбиты.
§ 170. Вычисление элементов орбиты планеты, если известны ее коор-
динаты и составляющие скорости для некоторого определенного момента.
Система уравнений (51) может быть переписана в следующем виде:
У~рcosі— —}
(х ——у—\,
УИ
АіЛ+яЛ
dt J dt)'
Y~psin/sinSb=
*
(y
УИ
k Vl+rnV
dt
dt)
Vp sintCOS<ГЬ=
„
1
(z ——x -\-
ky\-J-m\ dt
dt)
(63)
В уравнениях (63) координаты те же самые, которые в уравнениях (55) мы
обозначили через х0, у0, z0.
Для простоты не будем писать индекса 0..Коорди-
наты и скорости, о которых говорится в этом параграфе, отнесены, следова-
тельно, к эклиптике (а не к экватору).
Если известны масса планеты (в большинстве случаев ее можно принять
равной нулю), ее координаты и составляющие скорости для данного момента, то
в правых частях уравнений (63) все величины будут известны. Таким образом мы
можем вычислить значения элементов «ГЬ, і и р.
Из уравнения (32)
г= j—
1+ еcosV
мы находим
еcosѵ= у—1.
(64)
Диференцируя это уравнение по времени, получаем
dv
рdr
-
es
TMv
-dt=~ rïdt'
<65>
Диференцируя по времени выражение
Г2=
Л;2 -\ -у2 -J- z2,
(66)
получаем
Затем, мы знаем, что
dr
.
dx,dy.dz
г
ті=
х
- т+утлгтг
<67>
г2 d-£=kyïT^Yp-'
(68)
Подставив выражения (67) и (68) в уравнение (65), получаем
Ѵр
esinv —
:
ky 1+ОТ
-lx —
-\-y —- \-z—\ .
(69)
•r\ dt
dt
dt)
4'
В уравнениях (64) и (69) все величины в правых частях нам известны,
а потому мы можем вычислить значения е и ѵ, а зная величину р, вычисляем и
большую полуось орбиты а. Таким образом нам известны теперь элементы орбиты
<ГЬ, і, а, е и ' истинная аномалия.
Из системы уравнений (55) видно, что мы можем вычислить значения rcosu.
и г sin«, если известны <ГЬ, і и три прямоугольные гелиоцентрические эклипти-
ческие координаты планеты. Мы можем, например, получить из системы (55)
следующие формулы, в которых откинуты индексы 0:
гcosи= xcos<ГЬ-\~уsinсГЬ,
гsinи=
—
xsinсГЬcosi-j-у cosA COSi-j-z sini.
Из этих уравнений можно вычислить и и г\ полученное значение для г
может служить контролем вычисленного прежде значения из формулы (66).
Итак, мы вычислили значения г и и, а следовательно, получаем также зна-
чение и — ѵ = и> = те — <ГЬ, откуда уже находим значение те.
До сих пор нами были вычислены значения <ГЬ, i, а, е и те; остается вычи-
слить значение шестого элемента орбиты Т.
Находим эксцентрическую аномалию Е при помощи уравнения
.
.е
,г1—е,v
затем вычисляем среднюю аномалию M из выражения
М=Е—еsinЕ,
среднее движение JJ. по формуле
kvtyhi
и, наконец, время прохождения через перигелий Т из выражения
{i.(f— 7) = M.
§ 171. Важное следствие из положений, доказанных в § 170. В предыду-
щем параграфе мы показали, что можно вычислить элементы орбиты планеты
если известны три ее координаты и три составляющие ее скорости для некото-
рого определенного момента времени. Точно так же мы знаем, что можно вы-
числить координаты планеты для данного момента, если известны элементы ее
орбиты; мы можем также, • диференцируя, например, уравнение (60) полѵчить
формулы для вычисления составляющих ее скорости, т. е. проекций ее скорости
на оси координат. Иными словами: шесть величин —координаты и составляю-
щие скорости движения планеты в данный момент однозначно
соответствуют
шести элементам ее орбиты.
«у»"«
Вообразим себе теперь планету, которая движется вокруг Солнца по орбите
не подвергаясь возмущениям (т. е. точно по формулам задачи о двух телах)-
если теперь для различных моментов движения планеты, на основании некоторых
значений
у,z,d
~,
в
различных пунктах ее орбиты, мы вычислим,
соответствующие им элементы орбиты, то тогда для всех этих различных
момен-
тов времени мы получим совершенно одну и ту же систему элементов орбиты
хотя бы она вычислялась на основании совершенно различных совокупностей
координат планеты и составляющих ее скорости. Эта теорема будет иметь боль-
шое значение в дальнейшем изложении в разделе о возмущениях.
§ 172. Разложение в ряд эксцентрической аномалии в задаче о двѵх
телах. Рассмотрим частный случай движения планеты по эллиптической орбите
когда е = 0 (т. е . движение по кругу), тогда для E, ѵ и г мы получим нижепри-
водимые простые выражения:
3
р
E=M=
v.(t—T),
где / означает некоторый определенный исходный момент, который
конечно
в данном случае отнюдь не связан с временем прохождения через перигелий
так как при круговой орбите не может существовать никакого перигелия)
Далее вместо формул
^
Е-емЕ
=
М,
tg|=1/"ï±£tgf,
г= а(1—вcosЯ)
мы получим соотношения
ѵ=Е=М
и
г=а.
Уравнение Кеплера для общего случая движения по эллипсу можно написать
в следующем виде:
E = M-{-es\nE.
(70)
Будем рассматривать такое движение по эллипсу, когда е — весьма
малая
величина. Из уравнения (70) мы видим, что Е по величине очень мало отличается
от М. Если мы вместо уравнения (70) напишем Е = М, то можно сказать, что
мы пренебрегаем малой величиной первого
порядка.
Но мы видим также, что
получим более точное выражение, если напишем вместо Е = М такое уравнение:
E = M-\-esinM,
(7.1)
так как незначительная ошибка, получившаяся от замены в последнем члене
уравнения (71) sin£ на sin M, уменьшится еще больше; это произойдет потому,
что мы sin M умножаем еще на малую величину е. Мы можем сказать, что в вы-
ражении (71) мы пренебрегали малой величиной второго
порядка.
Напишем это
уравнение в таком виде:
£I= M
-f-e sinM,
(72)
где, следовательно, Eï означает эксцентрическую аномалию для случая, когда мы
принимаем во внимание только малые величины первого порядка (т. е. отбрасы-
ваем малые величины второго порядка).
По аналогии можно написать
Е.2= M-j-еsin
=
M-j-esin(M-j-esinM),
или, иначе,
E2= M-\-esin.Жcos(esinЖ)-f-ecosMsin(esinM).
На основании известных разложений в ряды sin* и cos* (см. Приложение,
стр. 503) мы можем вместо cos (e sin M) подставить 1, а вместо sin (е sin /И) — зна-
чение e sin M, если мы хотим в конечном результате удержать величины второго
порядка. Тогда мы получим
Ег = М-{-сsinЖ-J-в*sinMcosM,
или
Ей= Af-j-еsinM-f
-j- sin 2Ж.
Эти формулы дают- выражение для Е, в котором удержаны малые величины вто-
рого порядка.
Этот процесс мы можем продолжить и дальше, если подставим Ez в правую
часть уравнения (70). Тогда мы получим выражение для Еа, т. е. выражение для Е,
в котором приняты в расчет малые величины третьего
порядка.
Полученное
нами выражение может быть написано в следующем виде:
•
Е = М -\-(с — y- .. .)sinM + (-£ ...)sln 2/W4-|-(e3...)sin3A^-.. .
(73)
В выражении (73) приведено разложение Е в ряд в общем виде; словами это
можно выразить так: эксцентрическая аномалия разлагается в тригонометри-
ческий ряд по кратным значениям средней аномалии; коэфициенты же ряда
сами представляют собой разложения в ряды по степеням эксцентриситета.
Важное свойство этого ряда заключается, как мы видим, в следующем:
низшая
степень для с в коэфициенте при sin qM равна q.
§ 173. Другие ряды, встречающиеся в задаче о двух телах. В предыдущем
параграфе мы показали с помощью весьма элементарного способа, как разложить
в ряд эксцентрическую аномалию. Таким же способом можно разложить в ряд и
различные другие функции М. Мы приводим ниже несколько примеров таких
разложений в ряды, которые имеют значение для задачи о двух телах:
Ѵ= М+(2е—
.
sin AI 4-(|-е2. . .)sin 2Ж+(||е8.. .)sin ЗЖ -f
..(74)
i =('+4--О-С -т"-ЬМ4-)
~
2Л1-
—
(|-e3...)cos3M4-.. . ,
(75)
y=l4-(e
Y-")
cos M + (e2---)cos2/M + (!"^---)c:os3M4- .. .,
(76)
(fM1 + T - • •)+(*+t«8- • •)cos ^+(4 • •)cos 2Ж+
4-(^e3...)cos3M-l-...
(77)
Во всех этих разложениях мы видим такие же общие признаки, какие мы
отметили при изучении разложения в ряд эксцентрической аномалии Е. Ряды,
рассматриваемые нами в этом и в предыдущем параграфах, сходятся чрезвычайно
быстро для малых значений е.
В качестве численного примера вычислим коэфициенты разложения в ряд
эксцентрической аномалии планеты, для которой Ige = 9,22103. Принимая во
внимание члены до е° включительно, получим в дуговой мере следующее выраже-
ние для Е:
E = M4- 569',90 sin M4- 47',57 sin 2Ж4- 5',93 sin ЗЖ4~
...
Подставив, например, значение M = 54° 51',12, получаем
Е = 54°51',12 4- 7°45',990 4- 44',782 4- 1',580 = 63°23',47.
Для сравнения укажем, что на основании точных вычислений получено значение
Е=^63°22',34.
Таким образом, если при вычислении ограничиваться членами ряда, заклю-
чающими в себе е в третьей степени, то ошибка в нашем случае оказалась
равной 1',13.
Чем больше значение е, тем медленнее сходятся ряды, и для е > 0,6627.. .уже
нельзя производить вычисления Е с помощью рядов, так как ряды уже будут
расходящимися.
§ 174. Разложение в ряд функций, зависящих от координат двух планет.
В предыдущем параграфе речь шла о разложении в ряд функций координат одной
планеты. Мы видели, как эти ряды применяются для вычисления численных зна-
чений функций для данного момента времени. Впрочем, в задаче о двух телах-
применение рядов не имеет'существенного значения, так как существуют другие
способы непосредственных вычислений функций, при помощи которых вычисления
можно сделать быстрее и они дают более точные результаты.
Ряды играют главную роль в другой области небесной механики. Когда мы
имеем дело с вычислениями возмущений, то легко убедиться, что в этом случае
получить решения для диференциальных уравнений движения можно лишь тогда,
когда функции координат в задаче о двух телах, входящие в наши уравнения,
имеют вполне определенную форму. Легко показать, что эта форма как раз та
самая, какую имеют приведенные выше ряды для E, ѵ, г\а и т. д .
Уравнения, с которыми приходится иметь дело при изучении возмущений, гораздо
сложнее тех, с которыми мы до сих пор встречались, потому что эти уравнения
представляют собой функции координат двух планет, а не одной только планеты.
С теоретической точки зрения не встречается особых затруднений при разло-
жении в ряды функций координат двух планет.
Мы приведем один особенно простой пример такого разложения [для случая,
когда орбиты обеих планет находятся в одной плоскости (см. § 191)].
В предыдущем параграфе мы привели разложение в ряд выражения г/а для
одной планеты. Ограничиваясь членами, заключающими в себе еа, напишем
=( 1+ç )—(
е
—4 *з)
cos м
—т
cos ш
—
4е3cos зм
-
Подобный же ряд мы можем написать и для а/г.
Допустим теперь, что мы имеем дело с двумя планетами, массы которых m
и тх; допустим, что мы можем разложить в ряд функцию г/а для второй пла-
неты (m,), как это сделано для первой планеты (ni). Напишем теперь для вто-
рой планеты разложение в ряд функции а/г,
в последнем случае мы вместо а/г
будем писать ах/гі}
и ряд приобретет вид
=
1-}-(ех — A)cosМх+ е\cos2мх
cos 3Mv
где индекс 1 означает, что мы имеем дело с планетой тѵ Если функция, которую
гах
-
мы хотим разложить в ряд, имеет вид
—,
то мы помножим оба ряда по-
агх
членно один на другой. Отбросив все члены, которые будут для е или ех по-
рядка выше третьей степени, получим
га,
.
е2
/
е-вл
« 77в1+ Т+(''+
-t —+
—}—б*cos 2/И, —
j
—
-g-ехcos 3/И, — [e — -| e'^cosM—
—
eexcosMcosЖ, —cos Жcos2Ж1—
—
cos 2M—
cos2McosMx—
ea cos 3M.
(78)
Этому выражению, при помощи известных формул преобразования произведе-
ния (и степеней) тригонометрических функций в сумму и разность функций (или
в формулы для кратных функций), может быть придана другая форма (см. § 11).
Мы будем здесь пользоваться для преобразования формулами такого вида:
cosacosb=
cos (а b)
cos(я— b).
Применяя эту формулу к выражению (78) и располагая полученное выражение
по восходящим степеням с и с,, мы получаем
—
ç cos(M4-Mà—Ç cos(M—Mi) 4-e'îcos2Ж, -j-
4-
e8cosm— ßöcos
4"
cos
—
—
Ç1cos(2m4-Ж,)—Ç-1cos(2m—mx) —
ee{
ee\
n
,
e\
2" cos (/И4 2mx)
cos (m — 2Ж,j
cos /И, +
-J-4-
cos ьмх,
(79)
Для контроля правильности подобных вычислений мы можем воспользоваться
следующим соображением. Если мы положим, что а, =
аиг,=
г, то левая
часть выражения (79) превратится в 1. То же самое должно, конечно, произойти
и с правой частью уравнения, если вместо ех мы.'всюду подставим e, а вместо
Ж, подставим М. Действительно, сделав соответствующие вычисления, мы убе-
димся в справедливости нашего предположения.
Уравнение (79) указывает нам на некоторые важные свойства, которые харак-
теризуют ряд функций координат двух планет:
1. Ряд заключает тригонометрические функции сумм и разностей кратных зна-
чений средних аномалий m и мѵ Это свойство можно написать так:
^(Ш-КЖ,).
2. Коэфициенты ряда сами представляют собой ряды произведений е и
разложенные по их степеням. Напишем это свойство так: е"'е[\
3. Если мы будем вычислять эти ряды для все увеличивающихся значений
степеней эксцентриситетов, то і и /, примут всевозможные целые числовые зна-
чения, положительные и отрицательные, от—оэ до -[-со ; показатели степени
тип примут тоже всевозможные целые положительные значения от 0 до со.
В дальнейшем изложении мы увидим, какую важную роль играют эти свойства
рядов при изучении вопроса о
возмущениях.
§ 175. Движения по параболе и по гиперболе. Разложения в ряды в слу-
чае движения по параболе. В § 168 мы выписали уравнения, при помощи ко-
торых можно вычислять истинную аномалию ѵ при движении небесного тела по
эллиптической орбите. Для орбит, эксцентриситет которых весьма близок к 1,
т. е . для орбит, близких
к параболическим,
приходится пользоваться совершенно
иными, более сложными формулами. Такие близкие к параболическим орбиты
(у которых е лишь немного больше или меньше 1) имеют, как мы позже увидим,
(см. стр. 316), большое значение для определения орбит комет; гиперболы, у ко-
торых е значительно
больше 1, не играют никакой роли в теории движения планет
и комет.
Наши формулы, приведенные в § 168, неприменимы, когда значение эксцент-
риситета близко к 1 или е > 1; происходит это потому, что тогда понятия „сред-
нее движение",
„средняя аномалия" и
„эксцентрическая аномалия" не имеют
никакого смысла; к тому же вычисление этих величин по формулам § 168 чрез-
вычайно обременительно не только в случаях, когда е=1 или е> 1, но и в тех
случаях, когда значение е приближается к 1.
Мы не будем выводить сложных формул, применяемых для вычисления истин-
ной аномалии и радиуса-вектора, когда эксцентриситет близок к 1; ограничимся
только приведением формул для строго параболического движения.
Для параболы е=1, а потому при параболическом движении приходится
иметь дело только с пятью элементами орбиты.
Обозначив перигелийное
расстояние
(т. е. самый короткий радиус-вектор)
через q, мы для конических сечений будем иметь следующие соотношения:
q= a(1-е)
иp=q(l+e).
(80)
Для случая параболы имеем а = со . Поэтому а уже не будет служить эле-
ментом орбиты. Вместо него вводим перигелийное расстояние q. В таком слу-
чае пять элементов параболической орбиты будут следующие: Г, те, a» і, q•
Подставив в выражение (32) р = q (1 -f- е) и е = 1, получаем
г=
2а
1-j-COSV
или, на основании известных тригонометрических формул
q
т. е. мы получили формулу для вычисления радиуса-вектора
при параболическом
движении, когда ѵ известно.
Чтобы наііти формулу для вычисления истинной аномалии
в параболическом
движении, используем интеграл площадей
yï+fivp,
который в нашем случае примет вид
r^ = kут+т
y~q.
Подставив выражение для г из формулы (81), после простых преобразований,
получим
riv _ k VÎTm-
V2
.V
dt~
qm
tUb2'
Принимая во внимание, что всегда можно принять m = 0, получим из преды-
дущей формулы
qt'dv
dt
k У7!cos4^- '
это выражение мы можем переписать в следующем виде:
ЛѴ
[Иѵ
/ѵ
cos2-^-
"
( cos2-|
2
COS2y
Последнее выражение можно интегрировать непосредственно. Подобрав такую
же постоянную интегрирования, как и при движении планеты по эллипсу, получим
ѵ2<13'*
t—T
или
(82)
где Т, как и прежде, — время прохождения через перигелий.
При движении небесного светила по параболе уравнение (82) позволяет нам
вычислять истинную аномалию в данный момент, и наоборот, если известна истин-
ная аномалия, то можно вычислить время прохождения небесного тела через
перигелий. Для вычислений по формуле (82) составлены подробные таблицы.
Вычисление гелиоцентрических и геоцентрических координат можно произво-
дить по таким же самым формулам, как и при движении по эллипсу.
Уравнение (82) может быть разложено в несколько рядов, необходимых для
вывода параболического движения. Мы рассмотрим сейчас следующие две про-
блемы: 1) движение вблизи перигелия и 2) движение на большом расстоянии от
перигелия:
1. Полагая в уравнении (82)
»
мы преобразуем это уравнение в следующее:
Это уравнение без труда может быть разложено в следующий ряд:
г=
12|- =
Ц_4из + |цС_4и7 + 55иЭ_91ц11> <t
(82а)
Принимая во внимание, что
COS2-^
мы видим, что, например, выражение для радиуса-вектора
cos2-|
может быть разложено в ряд, убывающий по степеням и, т. е. по степеням вре-
мени (t—T), истекшего с момента прохождения через перигелий. Эгот ряд вблизи
перигелия быстро сходится.
2. При вычислении первоначальной орбиты кометы, движущейся по орбите
близкой к параболе (см. § 241), необходимо вычислить возмущения со стороны
большой планеты для моментов времени, когда комета находится очень далеко
от Солнца. В этом случае ряд (82а), равно как и выведенные из него ряды
(например для г) оказываются непригодными.
Мы подойдем к решению этой проблемы иначе. Мы напишем:
ctg-L=*
и
У 6 (/—7)
^
и получим из формулы (82) уравнение л:3 — 3х-уй = у
я
.
Это уравнение мы разложим в следующий ряд:
из которого мы можем вывести несколько других рядов, необходимых для реше-
ния поставленной задачи. Так, например, для выражения cos8мы получим сле-
дующий ряд:
Ctgî —
а из него ряд для значения радиуса-вектора, быстро - сходящийся на больших
расстояниях от Солнца,
оv
cos-
—
+
(81а)
Этот ряд, быстро сходящийся по степеням 1/|/((— Т), найдет применение в § 203.
§ 176. Определение орбит. В предыдущих параграфах мы рассматривали
задачу, как определить положение светила на небесной сфере для данного момента
если нам известны элементы орбиты. В § 123 мы уже вкратце говорили об обрат-
ной задаче: из наблюдений положения планеты на небесной сфере вычислить
орбиту, по которой планета движется вокруг Солнца.
Когда в каком-нибудь пункте земной поверхности открывают новую пла-
нету (или комету), то об этом открытии сообщают в Центральное бюро срочных
астрономических оповещений,, которое рассылает это сообщение большому числѵ
обсерваторий.
J
Когда бывает произведено достаточное число наблюдений, то вычисляют пред-
варительную
орбиту
и на основании нее получают эфемериду небесного тела.
Если дело идет о планете, то по возможности вычисляют эллиптическую
орбиту!
Эллиптическую орбиту, как известно, определяют при помощи шести величин
(шесть элементов орбиты). Для вычисления такой орбиты требуется найти из
наблюдений шесть величин, т. е. для этого достаточно сделать три наблюдения
прямых восхождений и три наблюдения склонений. Для того чтобы результаты
получились с достаточной точностью, необходимо производить эти наблюдения
через промежутки в несколько недель. Если вопрос идет об определении орбиты
кометы,
то, как показывает опыт, можно ограничиться вычислением для нее
параболической
орбиты, а такая задача решается гораздо проще, нежели опреде-
ление эллиптической орбиты. Для определения параболической орбиты достаточно
вычислить пять элементов: это обстоятельство имеет большое значение для мето-
дов вычислений; часто можно получить достаточно удовлетворительную форму
орбиты из наблюдений, производившихся в течение трех последовательных ночей.
С теоретической точки зрения для вычисления орбиты достаточно 2*/2 наблюде-
ний (например, наблюдений трех прямых восхождений и двух склонений); но
формулы составлены так, что в вычисления входят все шесть наблюдений.
§ 177. Вычисление круговой орбиты. Мы не будем приводить все формулы
для вычисления эллиптической и параболической орбит; они слишком сложны.
Сравнительно просто вычисление круговой
орбиты. На практике вычисление кру-
говых орбит применяется гораздо реже, нежели вычисление эллиптических и пара-
болических орбит; лишь тогда, когда имеется только два наблюдения вновь
открытой малой планеты, вычисляют для нее круговую орбиту, которой обыкно-
венно бывает недостаточно для производства дальнейших наблюдений. Но фор-
мулы для вычисления круговой орбиты, как мы сказали, значительно проще фор-
мул для вычисления орбит другой формы; к тому же они заключают в себе все
особенности, которые характеризуют методы вычисления орбит, а потому мы
вкратце остановимся именно на методе определения круговой орбиты.
Допустим, что произведены наблюдения планеты в моменты t и tv для кото-
рых получены ее прямые восхождения и склонения (а, о; а,, 8t). Ha основании
экваториальных вычислим для тех же моментов эклиптические
координаты
пла-
неты (см. § 44). Мы будем иметь величины t, X, ß; tv
ßt.
Обозначив через р и
геоцентрические расстояния для планеты, мы для пря-
моугольных геоцентрических
эклиптических координат для момента t получим
следующие выражения:
£=рcosßcosX, 7]=рcosßsinX, С=psinß.
(83)
Соответствующие выражения мы получим и для момента tv Обозначив через /,
b, г и lv bv Tj гелиоцентрические полярные
координаты планеты, мы для прямо-
угольных
гелиоцентрических эклиптических координат для момента
получим
выражения
* = гcosbcos/,у = гcosbsin/, z= rsinb.
(84)
Обозначим через R, Q
и Rv Qi геоцентрические
полярные координаты
Солнца относительно плоскости эклиптики (широту Солнца примем равной нулю).
В таком случае прямоугольные
геоцентрические эклиптические
координаты
Солнца в момент t выразятся следующими формулами:
X = RcosQ,
У=/?sin0> Z= 0.
(85)
Такие же выражения получатся и для момента tv
Для моментов времени t и
на основании формул (83), (84) и (85) получим
•следующие системы уравнений:
гcosbcos/=pcosßcosX—RcosQ>
rcos£sin/= PcosßsinX—/?sinО»
(86)
rsinô
=
рsinß;
rlcosbicoslv= ptcosßjcosXt—RtcosQu|
rt cosbl sin/, =
P!cosßi cos Xj—
sin Ql» [
(87)
/• sin/»!
= pISinß1.
j
В эти уравнения входят следующие
величины: ß, X, ßp \v R, 0, Rlt Q4
(четыре последние величины можно найти на каждый день в астрономических
ежегодниках). Если мы предполагаем, что вычисляемая орбита имеет форму
окружности, то гх =
г.
Следовательно, остаются неизвестными величины: rf = rt), b, /, bv /р p и pr
В системе (86) и (87) имеется шесть уравнений с семью неизвестными; чтобы их
решить, необходимо составить еще одно уравнение.
Если бы удалось определить значение р в уравнениях (86), то мы могли бы
вычислить r, b и l
n.
Возводя в квадрат и складывая три урав-
нения (87) и подставляя r = rv получаем
/•a =
p;-2p1/?1cosß1cos(X1 —© ,) + /?;. (88)
Уравнение (88) можно решить относитель-
но pj, а тогда из уравнения (87) легко определяют-
ся
и
Зная величину р, можно определить все вели-
чины, входящие в уравнения (86) и (87). Впослед-
ствии мы увидим, что можно вычислить
все эле-
менты орбиты планеты, если известны ее гелио-
центрические координаты для двух моментов.
Следовательно, дело сводится к тому, чтобы
получить значение для р. Значение р можно вычислить методом
последователь-
ных приближений.
На фиг. 127 изображена дуга эклиптики ЕА и дуга орбиты планеты ВА. Бук-
вой N обозначен северный полюс эклиптики. РЯ4 — отрезок дуги орбиты, кото-
рый пройден за промежуток времени tt — t . Мы можем найти два различных
выражения для PPt.
I. Из треугольника PNPl
имеем
Фиг. 127.
cosPPt = sinbsinbx-j-cosbcosbicos(/4 —/).
(89)
II. С другой стороны, обозначив радиус круговой орбиты через а и принимая,
что масса планеты равна нулю, получаем
k
=
a следовательно,
(90)
Таким образом величину РР^ можно определить из выражений (89) и (90)
двумя независимыми способами. Подобрав некоторое значение для р, вычисляем
дна значения для РР{, оба значения не будут, вообще говоря, согласоваться одно
с другим. Подберем тогда новое значение для р и вычислим два новых значения
для РРѴ которые опять не будут совпадать. Сравнивая полученные результаты,
можно установить, в каком направлении надо изменять величину р, чтобы она
приближалась к истинному своему значению; сделав несколько дальнейших проб,
мы получим для р его действительную величину.
Когда будет найдено правильное значение для р, то с теоретической точки
зрения задача окажется решенной; останется только вычислить элементы орбиты.
В нашем случае е = 0 и перигелия на орбите не существует; поэтому надо опре-
делить четыре элемента: а, A, і и положение планеты на орбите в некоторый
определенный момент.
Из этих четырех элементов мы уже знаем величину а. Нам нужно теперь
составить формулы для определения А, / и четвертого элемента орбиты; примем
Асіфономлл
16
для последнего значение, равное дуге орбиты от ее восходящего узла до точки,
в которой планета находится, например, в момент t.
Обозначим на фиг. 128 через Р положение планеты на орбите в момент t.
Точно так же на соответствующем чертеже (который здесь не приведен) обозна-
Р^Ц
чим через Рх положение планеты в момент tv
Тогда получим
tg/sin (/— Sb) = tgb, )
tg/sin(/j JT)= tgbv j
(91)
где b, /, bj и/j уже известны.
Из уравнений (91) можно определить <ГЬ и і. Напишем Іх— Sb =
(I—Jb)-f -
+ (V—О
и
подставим это выражение во второе уравнение (91). Получаем
tgіsin(/— cfl)cos(/j—Г)-j-tgicos(/—Л)sin(lx — /)= tgby,
Из этого уравнения и первого уравнения (91) получаем
tgbcos(/х — Г)-f tgicos(/—Л)sin(/j—/)= tg blt
откуда находим уравнение
tg i cos (/— Л) : . tg^i —tgAcosÇ/! —/)
sin(lx — /)
(92)
Сравнивая уравнение (92) с первым уравнением (91), мы можем найти из них
і и (/—Л) и, зная величину /, находим окончательно і и Sb. (В общем случае
і может принимать значения от 0 до 180°, безразлично при движении тела
в прямом или в обратном направлении. Но по круговой орбите может двигаться
только планета, а потому і лежит только в первом квадранте.)
Итак, мы нашли теперь три элемента орбиты: a, SI и і. Для четвертого эле-
мента и выведем из фиг. 128 формулу
tgи= tg(/—Sb)seci.
(93)
Так как и и (/—Sb) должны быть всегда в одном квадранте, то легко найти
в каком квадранте находится и. Итак, задача решена; круговая орбита планеты
вычислена по двум наблюдениям.
§ 178. Исправление орбиты. Когда накопится большое число наблюдений
планеты или кометы, охватывающее значительный промежуток времени, является
возможность произвести исправление
орбиты.
Принцип такого исправления за-
ключается в следующем: при помощи предварительной орбиты вычисляют эфе-
мериду планеты; затем сравнивают эту эфемериду со всеми имеющимися налицо
наблюдениями или с возможно ббльшим числом наблюдений в каждом отдель-
ном случае. Отклонения: наблюденное— вычисленное.положение (Н — В) можно
обработать по способу наименьших квадратов; в результате получатся вероят-
нейшие поправки
к элементам орбиты, которые надо принять во внимание при
вычислении эфемериды. Если наблюдения охватывают значительный промежуток
времени, необходимо бывает еще принять во внимание возмущения,
производимые
большими планетами (главным образом Юпитером и Сатурном).
§ 179. Абсолютные движения в задаче о двух телах. Системы формул (5)
и (6) в § 157 представляют собой уравнения движения двух материальных точек
в абсолютной системе координат. Простым преобразованием можно получить
уравнения движения для относительного
движения, т. е. диференциальные урав-
нения движения одной материальной точки относительно другой; иначе говоря,
уравнения движения относительно координатной системы, которая движется сама'
Рассмотрим теперь, как происходит движение двух материальных точек, отне-
сенных к неподвижной системе координат.
Складывая первое, второе и третье уравнения (5), выведенные в § 157,
с соответствующими уравнениями (6), мы получаем следующие простые соотно-
шения:
(Рх .
d"-x.
dP
jpy_
dP+ nh
0,
(94)
и
d2z .
d*zx
dfi-t' " i dp
Эти уравнения можно последовательно два раза интегрировать. Мы получаем
тх-\ -тххх
=
а/-j -ß, |
ту
т,ух = a't -J-ß',
i
(95)
niz4~nilz1 = a"t4~ß", J
где a, a',
a", ß, ß', ß" — постоянные интегрирования. Из механики известно, что
координаты X, Y, Z общего центра тяжести двух тел, обладающих массами m
и тѵ координаты которых
у,zихх,
yv zv можно вычислить по следующим
формулам:
(т -\ -тх)Х=
тх -j- тххѵ |
(т-\-тх) Y = ту-\-тхух,
(96)
(in-f-/«j)Z= tnz4- rnïzl. j
Сравнивая уравнения (95) и (96), получим следующие результаты: если две
материальные точки взаимно притягиваются по закону Ньютона и не подвержены
влиянию каких-либо других сил, то их общий центр тяжести (центр тяжести
системы) или остается в покое (а = а' =
а"=
0), или движется в пространстве,
прямолинейно и равномерно. Иными сло-
вами: система как таковая приобретает
раз навсегда прямолинейное и равномер-
ное движение в пространстве (в частном
случае, скорость движения ее равна нулю),
и на это движение не оказывает влия-
ния взаимное притяжение, которое су-
ществует между обеими материальными
точками.
Оставим пока в стороне движение
всей системы в пространстве; тогда оказы-
вается, что каждая из двух материальных точек внутри системы движется по
определенной орбите вокруг общего центра тяжести. Обе эти орбиты подобны
одна другой и подобны орбите относительного движения (см. фиг. 129). Соотно-
шение между размерами трех орбит, как это видно из уравнений (7), (8) и (9),
выведенных в § 158, будет следующее:
Орбита тела m : к орбите тела т. : к орбите относительной =
,
,
.
(97)
=
тх :m:(m4-тх).
ѵ
'
Эти теоремы играют важную роль в вопросе о движении двойных звезд
(см. § 282).
В частности, мы можем написать
Фиг. 129. Три эллиптические орбиты в за-
даче о двух телах: одна относительная и
две абсолютные.
а:«j:(а4~ах)= и, :m:(m4-тх).
<98)
Для относительного движения мы имеем выражение Гсм. Формѵлѵ (92), выве-
денную в § 164]
3ѵ
;
__
kѴт+щ
u
'(« + «,)%
Подставив в формулу (99) вместо (a-f-ûj) величину а, определяемую фор-
мулой (98), мы получаем
.,
_
_
kYm+ w,
_
kYm+mx/
w, \'ft
U / w-fmx\v'
я7"
Vm-f «4J —
Иm\)
ѵ-тг)
k
mb
a'1 m-f/«1"
(100)
Период обращения U и среднее суточное движение р. как при относительном
движении по орбите, так и при абсолютном движении одинаковы.
Уравнение
(100) дает, следовательно, соотношение между периодом обращения и большой
полуосью абсолютной орбиты тела, масса которого т. Подобное же уравнение
можно написать и для абсолютной орбиты тела, масса которого равна /«,:
^=kvm+nh ( m f-A
ппіч
р
U
а'{> Km+ mJ ~ ЙѴ.
(101>
Для постоянной с, которая
встречается в законе
площадей, выражаемой
формулой
оdv
r
*4t=
c
>
мы для относительного движения будем иметь следующее уравнение Гсм. фоомѵлѵ
(33), выведенную в § 163]:
с
отп=kv"l +nhvah-axу1—e2.
(102)
При абсолютном движении тела, масса которого равна т, величина— остается
dt
та же самая, но г2 уменьшится в отношении
Вследствие этого для
абсолютного движения тела, масса которого равна т, мы можем написать
^Jg,
(103)
ИЛИ
Î^T^-'
(104)
Для тела, масса которого равна тѵ соответственно находим
+
«—
005)
ИЛИ
(106)
Уравнение (102) при помощи выражения (99) может быть написано в следую-
щей форме:
с
отц= f1(я+ ßi)2v1 —ß2
-
(107)
Точно так же из уравнений (104) и (100) или (106) и (101) получаем
Так как периоды обращения небесного
ном движениях по орбите одинаковы, то,
стоянные закона площадей относятся, как
видно из выражений (107) и (108).
тела при абсолютном и относитель-
следовательпо, соответствующие по-
площади эллиптических орбит. Это
ЗАДАЧА О ТРЕХ ТЕЛАХ
§ 180. Диференциальные уравнения задачи о трех телах. В предыдущем
разделе мы рассмотрели задачу о двух телах. Теперь мы обращаемся к знамени-
той задаче о трех телах. Составление уравнений движения в этой задаче произ-
водится точно так же, как и в более простых случаях. Допустим, что мы теперь
имеем дело с тремя материальными точками, которые притягиваются одна к дру-
гой по закону Ньютона. На фиг. 130 три материальные точки обозначены
буквами т, тх и w2; обозначим их коорди-
наты, отнесенные к неподвижной прямоуголь-
ной системе координат, через х, у, z, xv ylt
z
\> *2> Уг> zv Для простоты расположим пло- ,
скость XY в плоскости чертежа. Примем, что
третья ось координат перпендикулярна к пло-
скости чертежа. Обозначим через р01, р02 и р15
расстояния между тремя материальными точ-
ками. Для этих расстояний можно написать
следующие выражения:
РІі=(*і- *)'+ (Уі-У? +(4- г)\
Рог=(*2- *?+СУ2—У?+(zs-
г)\
Рі2= (*а— )2+ Оа —Ух? + (z2 —
z
x?•
(1)
Фиг. 130.
Согласно принципам, изложенным в § 157, мы можем написать диференциаль-
ные уравнения движения для трех материальных точек. Для движения точки,
масса которой равна т, получаем
т«*=н*ттх*Iff.
Pox
Рог
d'y
df~
=
& mmx
+
& тп^Уі-У. .,
Pol
Zx—z
d-z
,„
dt
Pôi
Роз
•k?mmn 22-2
2
P02
(2)
где первый член в правой части уравнений выражает притяжение между точками
с массой тл и m, а второй член — притяжение между точкой т2 и той же самой
точкой т.
Совершенно аналогичным образом движение точки тх мы выразим урав-
нениями:
ХХ—X
Х2—Хх
,NoтхщЗ
р01
Рі2
k2тт> ^+««»•
at
Pol
Pl2
& mm,
+ k? mxm2
^L,
at
Poi
Pia
а движение точки т2—
уравнениями
щ
rf2*,
dP
=
—
/г2 mm2
X2—X
„3
P02
т2
<І~У2
dP
=
—
kP mm2 УS—У
P032
Щ
d2z.,
dP
=
—
kPmm2
Z;Z
P02
'"W
ph
Pia
fpmpn^srji
..
Pia
(4)
Таким образом у нас имеется девять диференциальных уравнений второго
порядка. Для решения задачи надо произвести 18 интегрирований
В задаче общего вида (т. е. в задаче о п телах), где мы имеем дело не
с тремя, а с и телами, придется составить 3« уравнений второго порядка И сле-
довательно, надо будет произвести 6л интегрирований. В правой части уравнений
будет находиться по одному члену для каждого тела, притягивающего к себе
данное тело; так что в задаче о четырех телах правая часть будет состоять из
трех членов, а в задаче о п телах будет состоять из (п—1) членов.
§ 181. Десять известных интегралов задачи о трех телах. Из 18 интегри-
рований в задаче о трех телах мы можем произвести только 10 следующих опе-
раций:
I. В системах уравнений (2), (3) и (4) сложим почленно три уравнения
содержащих координаты *; затем три уравнения, содержащих координаты у
и три уравнения, содержащих координаты г. Мы получим
(5)
Эти три уравнения можно непосредственно интегрировать два раза. Получим
тх-f-т1х1-j-wi2*2= а/+ß,
ту4-/«jУі4 /«^2 = а'/4 ß',
(g)
mz4m1zl4/«2г2=a"t+ß",
тле а, а', а", ß, ß', ß" — постоянные интегрирования.
К'
аКV
3*аДаЧе ° ДВуХ Телах (
см
-
§ 179). эти три уравнения выра-
жают собой теорему об общем центре тяжести всей системы: центр
тяжести
системы находится или в покое (« = а' =
а"=
0), или движется
прямолиней-
но и равномерно.
Выражения (6) носят название интегралов движения центра
тяжести.
м
F
II. Умножим второе уравнение из группы формул (2) на *, первое на у и вычтем
их одно из другого. Точно так же поступим с двумя первыми уравнениями (3) и (4)
Сложив затем три полученных уравнения, получим
Это уравнение можно интегрировать. Получаем •
где с3 — постоянная интегрирования; короче это уравнение запишем так:
2«(*-S't-y-4t) =
c
»,<
где знак
показывает, что выражение типа
/dy
dx\
m
{x4t-y -dt)
составлено для каждой из трех материальных точек, а затем все они сложены.
Совершенно таким же образом получаем
(7)
где Cj и с2 — постоянные интегрирования. Выражения (7) называются
интегралами
площадей (см. § 160).
III. Таким образом мы уже получили девять интегралов диференциальных
уравнений задачи о трех телах. Найдем теперь десятый интеграл, о котором
упоминалось выше и который может быть получен при решении общей задачи
об и телах. Определим функцию U (ее называют потенциальной
функцией)
сле-
дующим образом:
(8)
jj
(.ОТОТ1 I тт2 I т1
т
2\
~~
\РОІ ' Р02 * Р12/
В общей задаче о « телах потенциальную функцию можно определить точно таким
же способом, но только там в скобках придется написать большее число членов,
нежели в выражении (8), так как придется составлять столько
членов,
сколько
комбинаций по два из всех взаимно притягивающихся
тел; так что в задаче
о 4 телах будет 6 членов; в задаче о 6 телах—10 членов и в задаче о « телах
"
члена. Уравнение (1) выражает расстояния между материальными точками
как функции их координат.
Возьмем первое уравнение (1) и напишем его в следующем виде:
±=[(*,
-
ху- 4 Ol -уУ+(*!•- *)•]-*.
О)
Отсюда получаем
ö—
Роі
дх
Х\X
[(ХХ- X)*+ (у,-у)* + (г, -
~~
Р301
Таким же путем получим частные диференциалы обратных значений рас-
стояний, взятые по координатам, которые входят в эти расстояния (*, у, z,
х
ѵ уѵ z\> xlx>
z
i)'
^сли мы произведем все эти операции и выполним под-
становки в формулы (2), (3) и (4), то мы получим диференциальные уравнения
в следующей изящной форме:
m
d-x
dt2
dU
dx'
mj
I
I
/
k
dU
dxx*
d2*2
I
I
I
l
s
m
d'- y
_
dt2 —
dU
cl/' (10)-
d-Уі
dt2 ~~
dU
àyi' OD
m d2y*
2 d£l
ü
k
1
I
I
(12)
m
d2z
dt2 —
dU
dz'
ml
d-z\
dt*
~
dU
dzx '
d2zz
I
I
Умножим первое из уравнений (10) на 2-^ -,
второе на
а третье на
2~; затем первое из уравнений (11) умножим на 2
и т. д. и наконец
сложим все эти 9 преобразованных уравнений; мы получим:
27// (VP-Р- л -£у_ P. I ** dz\
Г<Рхх dxx
dy, , d*z, dz,\ .
[dr- dt<drdt^drdt)+
{W* -4t + dr41+ 1447)
+
_)_2/«. (VPl Pl 4-
d
Pl _Ldb,,dz,\__/с?£/Г/ЛГ,dudy.dudz.
-L
PL
J_ i^.
'PLpi-LdUdx*
,
du dy, дUdz,\
~
dxydt t- dyi dt i Ö2l at т-дХг ~âti"
4{Р4Г,4Г)'
(13)
Но это уравнение можно представить в гораздо более простом виде. Во-первых
мы„
"
ожем
произвести действия, аналогичные тем, которые были выполнены
в s 161, и изобразить левую часть уравнения (13) так:
^т+т+т-].
где знак 2 означает суммирование членов, зависящих от масс всех трех тел.
Во-вторых, мы видим, что выражение в правой части уравнения (13) предста-
вляет собой удвоенную сумму диференциалов
от U по времени, умноженных
на
все входящие в U переменные величины, или иначе —удвоенный полный диферен-
циал от U по времени, т. е.
9au
4г'
В силу этого уравнение (13) мы представим в таком виде:
Это уравнение можно интегрировать непосредственно. Получаем
а.»
где h — постоянная интегрирования.
Интеграл этот называется интегралом
живой силы (см. § 161). Его можно
написать также в следующем виде:
S«v*=2 u+ht
(1б>
если через V обозначить линейную скорость.
Относительно интегралов, выведенных в пунктах I, II и III для задачи о трех
телах, можно доказать, что совершенно таким же способом их можно вывести и для
общей задачи об п телах, если только распространить суммирование на все п масс
Помимо десяти интегралов, о которых мы говорили выше, в настоящее время
других интегралов для решения задачи трех тел не найдено; можно даже считать
доказанным (Брунс, Пуанкаре), что и не существует других интегралов столь же
простого типа. Правда, применяя разложения в ряды, можно выразить движения
в задаче о трех телах в форме, допускающей решение задачи с математической
точки зрения, так как существование таких рядов доказано и они являются схо-
дящимися. Но несмотря на большой интерес, который эти ряды представляют
с математической точки зрения, на практике они не применяются, так как схо-
дятся они весьма медленно. Поэтому до сих пор не представляется еще возмож-
ности исследовать форму орбит в задаче о трех телах строго математическими
методами, за исключением некоторых частных случаев. Во всех других случаях
приходится применять методы численного интегрирования.
§ 182. Случаи задачи о трех телах, решение которых возможно.
A. Случаи задачи трех тел, которые могут быть решены строго математиче-
ским путем, разделяются на две группы: 1) частные случаи, которые могут быть
решены строго, в окончательной форме,
и 2) задачи, которые решаются с помощью
приближений, методом разложения в ряды, достаточно быстро сходящиеся.
К последней группе относится также вопрос о возмущениях,
если только их мож-
но выразить в виде явных функций времени, так что для вычисления возмущений
для данного момента остается только подставить заданное время в формулу. Если
только возмущения могут быть представлены в таких формулах, то их называют
общими возмущениями.
Об этой задаче мы будем говорить в ближайших парагра-
фах (см. § 190 и следующие; предварительные замечания приведены в § 130).
B. В небесной механике существует обширная область, в которой чисто
числовыми способами вычислений исследуются движения в задаче о трех телах,
причем совершенно оставляется в стороне математическое рассмотрение, анало-
гичное вышеизложенному. Такой метод решения днференциальных уравнений
называется численным
интегрированием:
принцип его может быть выражен сле-
дующим образом. Мы приступаем к решению вопроса с некоторого определен-
ного момента, которому соответствует определенное взаимное расположение трех
тел; предполагается, что для этого момента известны их координаты и проекции
скорости на оси координат (составляющие скорости). Чтобы вычислить для того же
момента величины сил, действующих на тела, а затем получить численные значе-
ния их ускорений, довольствуются знанием их масс и координат. Получив числен-
ные значения ускорений и численные значения скоростей тел для данного момента,
можно затем вычислить изменение движения для следующего „ближайшего момента"
и т. д. Таким путем мы можем шаг за шагом проследить движение трех тел
в течение любого промежутка времени.
Этот метод в некоторой его форме уже давно применялся в астрономии для
вычисления возмущений малых планет и комет за известный промежуток времени.
Формулы обыкновенно применялись в таком виде, что по ним вычислялись дей-
ствительно возмущения, метод же вычислений оставался чисто числовым. В про-
тивоположность указанной раньше форме возмущений, т. е. „общим возмущениям"
(возмущениям, выраженным в виде радов, в которые время входит явно), этот
последний вид возмущений носит название специальных
возмущений.
В последние десятилетия метод численного интегрирования стал широко при-
меняться для решения задачи о трех телах в случаях, которые отличаются от-
обстановки, господствующей в солнечной системе (т. е. превалирующего значения
массы центрального тела или своеобразных соотношений между расстояниями);
в солнечной системе такие условия значительно облегчают вычисления движений
малых планет, комет и спутников и дают возможность производить вычисления
возмущений.
§ 183. Частные случаи решения задачи о трех телах, когда возможно
точное решение в конечной форме при помощи известных математических
функций. Такие случаи легко представить себе как в задаче о трех телах, так
и в задаче о п телах. Приведем пример: вообразим две материальные точки,,
обладающие равновеликими массами, которые вследствие взаимного притяжения
движутся по круговым орбитам вокруг общего центра тяжести. Пусть третье
тело бесконечно малой массы в определенный момент движется с известной ско-
ростью по прямой линии, расположенной перпендикулярно к плоскости орбиты
двух других тел и проходящей через общий центр тяжести всей системы. Тогда
третье тело будет двигаться все время по этой прямой линии вперед и назад
с переменной скоростью, если только начальная скорость этого тела не прево-
сходит некоторого предельного значения; закон, по которому изменяется скорость
движения тела, легко может быть найден.
§ 184. Частные случаи Лагранжа. В своем знаменитом труде „Опыт иссле-
дования задачи о трех телах" Лагранж в 1772 г. доказал, что существует неко-
торое определенное количество частных случаев в задаче о трех телах, когда
эта задача может быть решена совершенно точно. В таких частных случаях той
тела обладают периодическими движениями, т. е. движениями такого рода что
через определенные одинаковые промежутки времени они вновь возвращаются в те
же самые положения друг относительно друга.
Случай Лагранжа при современных обозначениях мы можем определить сле-
дующим образом: Допустим (фиг. 131), что у нас имеется две материальные
точки m J и ж2. Определим положение пяти точек L.,
Ln,
/,„,L.иLr так что
•каждая из двух последних (L4 и Q
образует равносторонние треугольники
с точками тх и w2, а три первые (Lv І2 и La) лежат на одной прямой с точ-
ками тх и w2, причем Lä расположена влево, Lx
между точками, а Ц — вправо
от них; кроме того, точное положение точек Lv Д, и I
на прямой w.wa зависит
от соотношения между массами тел, с которыми приходится иметь дело в нашей
задаче. Эти пять точек, которые мы будем называть центрами
либрации,
обла-
дают следующим свойством: если мы поместим в одну из них третью материаль-
ную точку с массой wa, то все три точки w„ щ и щ будут двигаться в пло-
скости, в которой они находятся, так, что отношения
между их взаимными
расстояниями
будут сохраняться всегда одними и теми же. Более подробное
изучение вопроса показывает, что все три материальные точки будут двигаться
в нашей плоскости по коническим сечениям оди-
накового вида.
В указанном выше труде Лагранж говорит сле-
дующее по вопросу об этом частном случае задачи
о трех телах: „Хотя таких случаев и не наблю-
дается в системе мира, но нам кажется, что они
заслуживают внимания математиков, потому что
позволяют глубже осветить задачу о трех телах
в общем виде".
Много лет спустя после Лаг-
ранжа в солнечной системе действительно была
найдена группа небесных тел, так называемая
юпитерова группа малых планет („троянцы"), которая с известным приближением
соответствует условию, Лагранжа (см. § 222).
Но, не говоря уже об этом факте, вполне подтвердилась справедливость заме-
чания Лагранжа о большом значении указанного им случая; условие, предложен-
ное им, послужило отправным пунктом для дальнейших шагов, которые удалось
сделать современной науке со времен Лагранжа до наших дней в вопросе о
возможных движениях в системе трех тел.
Мысль о возможности расширения слишком узких границ частного случая
Лагранжа была высказана самим Лагранжем; в указанном выше труде он выска-
зывает мнение, что надо было бы исследовать вопрос, как происходили бы дви-
жения трех тел, если бы расположения и движения тел не вполне точно отвечали
условию Лагранжа, а только приближались к нему. В таком случае было бы
возможно решить задачу о движении тел известными аналитическими методами
приближений (разложением в ряд по степеням малых величин). Прошло 100 лет,
прежде чем эта мысль была осуществлена; к ней с разных точек зрения подошли
Гашо, Рут, Гюльден и др. Их исследованиями был сделан очень важный' шаг
вперед; но все же эти исследования представляют собой только начальную сту-
пень для дальнейшего изучения вопроса; методы же приближений продолжают
применяться, если дело идет о сравнительно небольших отклонениях от точных
условий Лагранжа.
Для дальнейших шагов в решении вопроса необходимо обратиться к другим
более действительным методам.
§ 185. Ограниченная задача (problème restreint). В задаче о трех телах
Якоби указал частный случай, который впоследствии был подробно изучен фран-
цузским ученым Пуанкаре. Вообразим два тела с массами тх и w2, которые вза-
имно притягиваются но формулам задачи о двух телах и движутся вокруг общего
центра тяжести. Допустим далее, что масса одного тела (например w2) значи-
h
т>
l,гпгц
•
+Lâ
Фиг. 131 .
тельно меньше массы другого (wx) и что движение тел m, и т2 вокруг общего
центра тяжести происходит по круговым орбитам. Задача заключается в том,
чтобы исследовать движение третьего тела исчезающе
малой массы »), притяги-
ваемого телами тх и w2. Мы предполагаем далее, что третье тело находится
в плоскости орбиты, в которой находятся два других, и что начальная скорость,
сообщенная ему, тоже находилась в этой плоскости. Очевидно, что наше тело
будет все время двигаться в этой плоскости. Так как масса третьего тела исче-
зающе мала, то оно не оказывает влияния на тела тх и m,. Задача, таким обра-
зом, носит „ограниченный" характер; Пуанкаре назвал ее поэтому „ограниченной
задачей" (problème restreint).
Вопрос о движении третьего тела Пуанкаре решал в этом случае, как задачу
о возмущениях в его движении: т. е . рассматривал движение третьего тела вокруг
тела тѵ причем принимал во внимание возмущения в этом движении, произво-
димые телом малой массы w2. Он доказал чисто математическим путем, что
результаты получаются периодические
и
асимптотические.
В работах, производившихся по этому вопросу за последние десятилетия,
„ограниченной задаче" было придано более широкое толкование, а следовательно,
и большее значение допущением, что третье тело имеет вполне определенную
массу, но только значительно меньшую, нежели два других. При таком предпо-
ложении задача уже не допускает решения с помощью вычисления
возмущений;
такая задача может быть названа „обобщенной ограниченной задачей".
Иееуже
нельзя будет решить чисто математическими методами.
Единственный способ решения, который может быть применен к формулиро-
ванной так задаче, это— упомянутый выше способ численного
интегрирования,
т. е . постепенное численное вычисление движения третьего тела. Соответствую-
щим подбором промежутков времени можно при нормальных обстоятельствах
добиться желаемой точности вычислений. В исключительных случаях, когда мас-
са третьего тела по величине близка к массам двух других тел, а потому сила
притяжения третьего тела слишком велика, необходимо перед численными рас-
четами произвести соответствующее преобразование
координат третьего тела
ы времени.
При помощи такого преобразования оказалось возможным проследить за дви-
жением третьего тела даже в тех предельных случаях, когда оно сталкивается
с одним из двух других тел, а следовательно, в своем движении достигает беско-
нечно большой скорости, так как притягивающие силы в этом случае становятся
бесконечно большими.
Численное интегрирование представляет собой очень мощное орудие для вы-
числений; при его помощи мы практически можем решить любой вопрос движе-
ния тел. Но и этот способ имеет границы своего применения: при помощи его
можно вычислить движение одного или нескольких тел только в пределах про-
межутка времени, который этими вычислениями охватывается, но не
больше.
Ни вперед, ни назад относительно этого промежутка времени способ наш не
может быть применен за исключением того случая, когда удается установить, что
движение тела периодическое. На этот пункт надо обратить особенное внимание.
Если движение периодическое и если можно было проследить его в течение
одного целого периода, то в таком случае можно вычислить движение тела на
все времена — вперед и назад. Отсюда мы видим, что очень важно осветить
вопрос о периодических
решениях
нашей задачи.
§ 186. Схема современных работ по вопросу об „ограниченной задаче".
Мы уже видели, какое значение имеют для нашей задачи периодические реше-
ния. Мы знаем, что решить задачу чисто математическим путем не представляется
i) Здесь третье тело предполагается имеющим столь малую массу, что оно не оказы-
вает притяжения на первых два тела."Поэтому как название „исчезающе малая масса» так
и употребляющееся еще выражение „нулевая масса' представляют собой лишь сокраще-
ние обозначения приведенного выше определения. — Прим. ред
возможным; мало надежды, что это можно будет сделать для каждого отдельного
случая, если остается неизвестной действительная форма движения тел; поэтому
периодические
решения
представляют собой единственный пункт, в котором
оказалось возможным пробить брешь в высокой стене, окружающей уже в те-
чение двух столетий задачу о трех телах.
Т. Тиле и Джордж Дарвин в девяностых годах прошлого столетия первые
повели атаку на эту брешь; они произвели вычисления для таких случаев „огра-
ниченной задачи", которые позволяют дать себе отчет о всех классах периоди-
ческих решений. Дарвин выбрал соотношение между массами тел т2:т1 =
1:10;
Тиле выбрал соотношение тх =
т2,
чтобы насколько возможно дальше отойти
от проблем исследования возмущенного движения.
Среди периодических решений задачи есть группа таких, которая
предста-
вляет особый интерес: простейшими решениями будут такие, которые становятся
периодическими уже после одного
обращения. Главным образом эти
простые
периодические
решения
и обрабатываются по методу численного
интегрирования.
§ 187. Уравнения движения. Можно очень просто составить диференциаль-
ные уравнения движения третьего тела в „ограниченной задаче".
Выберем для
y
простоты случай соотношения между массами т1 =
ті,
потому что в дальнейшем мы будем заниматься главным
образом именно этой задачей. При помощи таких же
рассуждений, как и при составлении диференциальных
уравнений в задаче о двух и о трех телах, мы можем
получить уравнения на основании фиг. 132, на кото-
рой X и у — координаты третьего тела в неподвижной
/•тег—
•
— — системе
прямоугольных координат; начало координат
^^^
1
находится на середине линии, соединяющей тела, обла-
дающие равными массами (т. е. в нашем случае в их
Ф,І Г< 132.
центре тяжести); тх и т2—положение
этих тел в неко-
торый момент /; п — угловая скорость (постоянная)
движения обоих тел; а — половина расстояния между ними (тоже величина по-
стоянная). Уравнения движения примут вид:
(Рх
.„
л-+ acosnt
-—
=
—
k2mx —
de-
Рі
—
—
k2ml
ihl
dP
p»
•kbiu
• k2m.
X—я cos nt
û
у—(1sinnt
h
(17)
где
px== (л:-)-яcosntf4-(yYasinntf,
p2= (x—acosntf-j-(y—a sin ntf.
Чтобы представить эти уравнения в наиболее простом виде, выразим в них
расстояние и время в подходящих единицах. Положим, что а=1 (а следова-
тельно, постоянное расстояние между тх и т2 равно 2), а для времени подберем
такую единицу, чтобы п = 1 .
На основании формулы среднего движения в задаче о двух телах имеем
n=kyщ+пи
(2 а)*
Таккакй=1,п=1,aт2—тѵ томыполучим
откуда находим
k2ml = k2m„ =
4.
(18)
Тогда' уравнения (17) примут следующий вид:
d3x
A.tx+ cost .x —cos/\
1p"
(%
J/
у+ sin/
dP
у—sint\
I*)
(19)
где
p== (x+ costf+(y+ sintf, p;= (x— costf-Y(y—sin t).
Эти уравнения движения отнесены к неподвижной системе осей координат.
Но в „ограниченной задаче" гораздо естественнее отнести координаты тел и
движение к другой системе координат; оставив в новой системе старое начало
координат, совместим линию, соединяющую тела тх и т2,
с осью .ѵ -ов. Эта
система координат, следовательно, вращается с постоянной угловой скоростью
(п = 1) относительно неподвижной системы (фиг. 133).
Обозначив координаты третьего тела в этой новой
(движущейся) системе через S и т), мы на основании
формул аналитической геометрии можем написать
X= Scost — T]Sin
y= Zsin/-j-
- 7)005
или
6= xcostYУsinV
TJ=
—xsintYУ cos
(20)
(21)
і
�ял
t
1
Фиг. 133 .
Если мы подставим выражения (20) в уравнения (19), то мы получим после
несколько длинных, но простых преобразований следующие уравнения:
dP
dt
dfq
dP
(22)
где
PÎ =dYifY V,
p!=
-1
fY ^3-
Уравнения (22) можно представить еще и в таком виДе:
dP
dt
'
cpq• 9
dt _du
dP
dt~dq'
где U выражается формулой
(23)
(24)
Если первое из уравнений (23) мы помножим на 2-^, а второе на 2-^J-,
а потом их сложим, то получим следующее уравнение:
o/d-g
i <*2Л dg\ _9(dU di.dU dq\ _0 dU
\dP dt~r dP dt)
di dt~Г at] ~dt)
Интегрируя его в конечном виде, получаем
4"(4lJ= 2
ä, где А —по-
стоянная интегрирования. Обыкновенно вместо А пишут — К . Тогда мы получаем
+
+
(25,
Это уравнение носит название интеграла
Якоби,
а величина К называется
лкобиевой постоянной.
§ 188. Преобразование Тиле. Система уравнений (22) служит замечательным
орудием для численного интегрирования при условии, если масса третьего тела
не проходит поблизости от двух других тел, массы которых имеют конечную
величину. Мы уже говорили в § 185, что соответствующим преобразованием коор-
динат и времени можно получить формулы, которые позволяют проследить дви-
жение третьего тела даже в том случае, если это тело весьма близко подойдет
к одному из двух тел и даже, когда оно (с бесконечно большой скоростью)
сталкивается с одним из двух других тел.
Преобразование, которое в таких случаях применяется на практике, было
предложено Тиле. Вместо ü, t\ и t введем координаты Е и F; время же выразим
через
эти три величины определяются из уравнений
-f
с=
cos Е,
„f
„-f
sin Е,
'
2
dt=P1PS^.
(26)
Подставив эти выражения в уравнения (22), мы получаем систему уравнений,
применяемую на практике в особенности в тех случаях, когда системой уравне-
ний (22) нельзя пользоваться на основании приведенных уже выше причин. Наи-
более важная часть преобразования Тиле заключается в последнем из трех урав-
нений (26). Если мы будем рассматривать случаи, в которых одно из расстояний
PJ ИЛИ р„ — очень малая величина, то мы увидим, что вводя новое „время"
мы как бы рассматриваем в лупу времени
слишком быстрое движегие третьего
тела поблизости от первого или второго тела.
§ 189. Результаты. Рассматривая найденные Лагранжем частные решения задачи
о трех телах, мы установили понятие центра либрации.
В „ограниченной за-
даче" при движущейся системе осей координат существует пять центров либра-
ции: IJ, Z.2 И LG расположены на оси S,
и Lh на оси TJ В вершинах углов двух
равносторонних треугольников, общей стороной которых является линия трщ
(см. фиг. 131). Если піп = тѵ
то L, лежит посредине между т, и т^
Пять
центров либрации обладают тогда свойством, что третье тело будет оставаться
в той же самой точке, если оно перенесено в один из пяти центров либрации,
и скорость его относительно движущихся осей координат равна нулю.
Мы имеем в таком случае семь точек, которые занимают особое положение
в задаче: это — пять центров либрации и две точки т, и т2.
Программа иссле-
дования, которая была проведена при получении простых периодических решений
в ограниченной задаче, может быть различна, согласно зависимости периодических
решений от этих семи точек: периодические решения для одного из пяти центров
либрации, для одной из точек т, или ш2, для обеих точек т, и т„.
При этом
зеегда могут быть два случая: прямое движение (т. е . движение, происходящее
в том же направлении, как и обращение тел m, и /и2) и обратное движение, т. е .
вращение в противоположном направлении.
Исследованы были все движения,
которые могли происходить. При таком исследовании было найдено большое число
классов периодических решений, о существовании которых заранее нельзя было
и предполагать.
Но не ограничились тем, что нашли все существующие классы простых перио-
дических решений; программа заключала в себе еще одну важную задачу — про-
следить развитие каждого класса от его естественного начала до конца. Из всех
полученных результатов мы отметим три, из которых каждый можно назвать
типичным в своем роде. Все орбиты отнесены к движущимся осям координат.
I. Обратные периодические орбиты вокруг двух точек «г, и т2 с обратным
движением, отнесенным к неподвижной системе осей (фиг. 134). Этот класс заклю-
чает в себе бесконечное число периодических орбит.
На бесконечно далеком
Расстоянии происходит движение по орбитам, близким к окружности
По мер"
приближения к телам m, и
орбиты становятся все более Сплюснутыми. Класс
7т ТГГ~
"
РіШ0Л,ШеЙНЫМ Движением взад и вперед междуУточ амищ
nfinÄn, беСК0НеЧИ0,,б0ЛЬШ°Й скоростью в каждой точке орбиты. Мы имеем, таким
образом замкнутый в себе класс орбит с естественным „Счалом и концом.
НИР 'пTM?аТИЫе пер,,0ДІ,ческие
°рбиTM вокруг точек m, и щ с прямым движе-
ёасст07н °
"
еГ°иНе,П0ДВИЖИ0Й СИСТеМЫ осей координат.1 На бесконечно большом-
2 располагаются круговые орбиты.
По мере приближения,
к тх и /и2 орбиты становятся все более
сплюснутыми.
При этом получается
сперва вогнутость внутрь, затем острие
и, наконец, петля, обращенная внутрь
Фиг
-
ï34*
Фиг. 135.
орбиты около точек LK и Z6. На этой петле образуются затем все более и бплР(-
мелкие добавочные петли, направленные то наружу, то внутрь, "о опять нарѵжг
и т. д . Класс заканчивается орбитой, которая асимптотически переходит в бес
конечно большое число все увеличивающихся по размеру завитков® движетсё тело
по направлению к точкам L, и Lr> и от .них (такие асим-
'
ДВИЖется тело
птотические движения играют большую роль как предельные
орбиты в „ограниченной задаче"). Таким образом мы опять
имеем дело с замкнутым в себе классом орбит (фиг. 135)
III. Обратные периодические орбиты (либрации) вокруг
,1
іоІГ
С начинается
точкой, центром либрации
(фнг. 136), а затем представляет собой сперва бесконечно
малые, а потом конечные периодические орбиты (/, 2) во-
круг точки 12 (или La). Затем получаются так называемые
орбиты выбрасывания (3) с бесконечно большими скоростями
при приближении и удалении тела от /«„. После этих орбит
появляются орбиты с петлей (4); в дальнейшем развитии
эта петля расширяется, сама же орбита уменьшается: по-
„
степенно получится орбита (5), у которой петля и сами
Фиг
'
136'
Sf"? лПаТ„Ие«ГРНаГ°Й ВеЛНЧИНЫ' НеСК0ЛЬК0
позж е
петля сливается с орби-
тоі\ и дальнейшее развитие происходит так: орбита превращается в петлю
пппЛГ Превращается
в
°Рб"
т
У. и весь дальнейший процесс идет в обратТм
Г7И77аНЧИВаеТСЯ ТеМ' ЧТ
°°
рбнта превращается в точку L т. е процесс
fS^.r^W
СЧеГ°011TM
°"„меемРГоС
полГХр c=„ rSeZc5=4=
рСе=
iTZlZ^r''3
еСЛИ П0Л0ЖИТЬ ^
=
»» Разл
"
чные обстоятельства, в'тГчи"
еле хорошее согласование в качественном отношении с результатами, полученными.
Дарвином для случая /м3 = 0,1 тх, показывают, что найденные результаты при.
нормальных обстоятельствах могут быть отнесены качественно и ко всем ти-
пам задач, у которых соотношение между имеющими конечное значение мас-
сами тел оказывается иным (известна только одна залача, относительно которой
этого сказать нельзя, но и для нее искомая связь полностью выяснена). Затем
много признаков говорит за то, что результаты, найденные при решении „огра-
ниченной задачи",
в нормальных условиях могут быть распространены
ина
общую задачу о трех телах в плоскости, когда массы тѵ /и2 и т0
оказываются
величинами одного порядка. В некоторых случаях даже удается найти доказа-
тельство, что такое обобщение действительно возможно.
Следует отметить еще одно обстоятельство: в „ограниченной задаче" дело
идет только о задаче о трех телах в плоскости. Следовательно, получается про-
бел, который с математической точки зрения имеет большое значение. Но если
мы будем говорить о задаче о трех телах, как она действительно встречается
в природе, то мы увидим, что сама природа как бы идет нам навстречу: как
в солнечной системе, так и в галактических системах мы обыкновенно имеем дело
.с телами, расположенными в одной плоскости или вблизи одной плоскости.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 190. Различные задачи при возмущениях.
Диференциальные уравнения
возмущенного движения планеты. В предыдущем разделе мы убедились, какое
значение имеет определение понятия возмущения,
а в § 182 мы установили разни-
цу между „специальными" и „общими" возмущениями. Настоящий раздел может слу-
жить введением к изучению задачи общих возмущений с математической точки зрения.
Из изложенного выше известно, что существуют различные формы вопроса
о возмущениях. Мы уже говорили о возмущениях движений
планет;
при иссле-
довании движений в солнечной системе надо иметь в виду, что в ней подавляю-
щую роль играет масса центрального тела; мы говорили также о движении
Луны,
отличающемся той особенностью, что возмущающее тело (Солнце) находится на
чрезвычайно большом расстоянии по сравнению с расстоянием между возмущае-
мым (Луной) и центральным телом (Землей); наконец, мы говорили о вопросе,
когда распределение массы у тела возмущающего таково, что оно в целом не
может оказывать действия, согласно обычной форме закона притяжения /«,/м2 : г2.
В дальнейшем изложении мы будем заниматься, главным образом, возмуще-
ниями в планетной системе.
Обратимся к диференцияльным уравнениям в задаче о трех телах, которые
нами были выведены в § 180. Разделим все уравнения системы (2) на m, а урав-
нение (4) на /«2 и вычтем их одно из другого, для каждой координаты X, у, z
особо. Получим следующую систему уравнений:
d4£=£à =
_
/>2(щ+ щ)
+kPvh^
-
*4
,
dt-
Р'о2
Poi
Pia
£lt=ai =
_
» (m+a+M,
и., іф,
(1)
dt-
Роз
Poi
Pia
v1
=
_
/<2(/«4 m2) ^
4A4^
-
A4
df
Pua
Poi
Pi2
Эта система уравнений, как легко видеть по ее левым частям, представляет
собой систему диференциальных уравнений для движения массы m относительно
массы /м„, т. е. систему уравнений относительного
движения.
В нашей задаче через ш2 обозначается масса Солнца. Как и в задаче о двух
телах (см. § 158), переместим начало координат в центр Солнца. Уравнения (1) при-
мут более простой вид, если мы вместо (х— х2) напишем * и вместо (х4— xs)
напишем xt; разность (хІ—х) оставим без изменения. Затем напишем (см. заме-
чание в § 158): г вместо р02,уг, вместо р12 и р вместо р01, причем
г2= X2 у* -J—z-,
г
1=
х
1-\ -у\-\-гL
,
(2)
Р-=
С*1 -
л
')2 + (Уі •-У)-+ (*, -
z)\
Подставив единицу вместо »г2 (массы Солнца), как это уже было нами при-
нято раньше, мы вместо системы уравнений (1) получим следующие уравнения:
+ *(!+») а -іч" 7
х
--«4
4,
Л1
-A4 4.
Г1
(3)
-A4 4-
г
1
Мы получили диференциальные уравнения движения планеты массы m отно-
сительно Солнца (массу которого мы приняли за единицу), причем движение пла-
неты m подвергается возмущениям со стороны другой планеты массы /«,.
Если
в системе уравнений (3) мы примем, что масса возмущающего тела mх равна
нулю, то тогда правая сторона уравнений превратится в нуль. И мы получим
тогда уравнения невозмущенного движения планеты m вокруг Солнца; уравнения
эги уже были нами выведены в § 158.
Правая часть уравнений (3) состоит из двух членов, из которых первый выра-
жает ускорение, которое приобретает тело с массой m под влиянием тела массы т.;
второй член (отрицательный) представляет ускорение, которое приобретает Солнце
под влиянием тела массы тх; это ускорение, конечно, надо отличать от ускорения
тела т, так как движение тела m зависит от Солнца.
Для движения планеты массы тх относительно Солнца можно таким же путем
составить следующую систему уравнений:
•kpm 4,
5+
=
"
£
r
i
-
p
'
+ A2(14- '",)4 = A2"*
-
A2'" 4,
• kpm
(4)
Систему уравнений (3) можно представить в более простой форме, если ввести
в нее функцию R, определяемую следующим выражением:
R= k2ml
(5)
Л
)•
Частные диференциалы от R по х, у, z—координатам
тела /« — дают сле-
дующие результаты, если принять во внимание уравнения (2):
Аотропоіпіл
R называется пертурбационной
функцией.
Если мы пожелаем выразить в соот-
ветствующей форме и уравнения (4), то мы примем
откуда получаем
=
(7)
(8)
'Гаки м образом /?| является пертурбационной функцией движения тела m под
влиянием возмущающей силы тела тх.
§ 191. Первая основная операция задачи: разложение
пертурбационной
функции в ряд. Решение задачи движения планеты под влиянием возмущающей
силы другой планеты состоит из двух главных операций: 1) разложения пертур-
бационной функции в бесконечный ряд и 2) преобразования диференциальных
уравнений движения. Рассмотрим ход первой операции.
В § 171—173 мы вкратце рассмотрели разложение в ряды в задаче о двух
телах. Применим те же самые принципы и к пертурбационной функции, которая
представляет собой функцию координат обеих планет; мы убеждаемся, что разло-
жение пертурбационной функции должно иметь такой же вид, как и разложение
в ряд отношения г : г, в § 173. Впрочем, надо заметить, что функция координат
обеих планет заключает в себе не только величины, входящие в разложение в ряд
отношения г : гѵ но и угол, образуемый плоскостями орбит обеих планет (обо-
значим его через /), а кроме того, еще долготу обоих перигелиев и долготу обоих
узлов орбит. Эти четыре элемента орбит входят в разложение в виде их триго-
нометрических функций, подобных выражениям, содержащим A4 и Ж, в § 173; угол
между плоскостями орбит входит в разложение в виде коэфициентов перед коси-
нусами и синусами, причем входит в виде разложения по возрастающим степеням
какой-либо функции /, например, sin1/«/.
Следует отметить еще одно важное обстоятельство: первый член в скобках
правой части уравнения (5) может быть написан так:
или
I = [С*;+ у\+4)-2 (XX,+ ѵЛ4-22,)4-(x'Yy- Y z2)]- * ;
следователыю,
-1 = [r2 —2(хх, 4-уу,4-zz,)4-r2J- '/,<
(g)
Допустим, что планета т, — внешняя относительно планеты m (т. е.,
следова-
тельно, а, > а), а эксцентриситеты е и ех таковы, что г, всегда больше г.
Произведем с выражением (9) следующие операции: Выносим за скобки г,
і-Ѵз
(10)
І- — 1 / 1 Оххг+ууі+zzi I г"-Y
>-гЛ
2
Я
+7[J
Эллипсы на фиг. 137 изображают орбиты обеих планет (следует заметить, что
орбиты находятся не в одной плоскости). Из аналитической геометрии известно,
что угол о между радиусами-векторами обеих планет может быть определен из
уравнения
•ѴЛ"і -4 - уѴ| 4-27,
/11Ч
Подставив это выражение в формулу (10), получаем
1
ÎГі
ог
,
гП~,Л
"нГ
"°М0ЩИ разло»еІІИЯ
по
биному Ньютона и после некоторых преобразо-
ваний мы получим из формулы (12) следующее выражение:
•7=
" ^tCo4-C ,cos94-C2cos294-C!{cos394-
...],
(13)
InlSîlS'
В СВ0Ю очеР?дь
представляют собой разложения в ряды по
ЛтГс ТолжС„Тп"Г ДРОбИ Г/Гі; ЛрНЧеМ ШІЗШая
степень
дР0би г/г, в козфн-
циенте сп должна равняться п.
Так, например,
она всеРгдаТТеГп1Р ѴпТ"TM Г'"
^
П° П0В0Ду
Предположим, "что
нета окячыияртго^
еднницы Сссли вопРОс идет о задаче, когда возмущающая пла-
Пия іГплВ !Т
внутренней относительно подвергающейся возмущениям, то функ-
Zc KrZ
r
П0 В03раСТаЮЩИМ
степеням
дроби rjr,). Что тогда полу-
опбит'ы планД TM УВИДИМ'
е СЛИ
В00бра311м
такой
простой случай, когда обе
2тГи,
1И"h
лежат
В 0ДН0Й плоскости и имеют форму
окружностей
В таком случае угол 9 пропорционален времени, так как содер-
<РУЖностен.
жит в себе М-М„
т. е.
/-f(M<°> —yWf), где М(0)
и М^ — значения M иМх вмомент/= 0(таккакмыпредполо-
жили, что орбиты круговые, то о времени прохождений через пе-
ригелий говорить не приходится); дробь г/г., превращается в дробь
а/а,, т. е. в отношение между радиусами орбит. Отсюда следует,
что функция 1/р разлагается в ряд, который заключает в себе
члены с постоянно возрастающими степенями дроби
а/а, .
се.muZuT" В СКОбКЭХ В Ф
°
рмуле ®
"
е
приставляет никаких
ФіІР. 137
сомнений, и в результате можно сказать, что пертурбацион-
7Р ФУНп?иИЮ М0ЖН
°Р
азложить в
РЯД по косинусам дуг, кратных разности (M — /И.),
п'оедставляіп-рЫп Д0Т0рая в нашем слУчае Равна (ѵ-ѵ,); коэфициенты ряда сами
представляют разложения по возрастающим степеням величины
а/а, .
дяп,гІ
сделали.предположение, что орбиты планет круговые
и
нахо-
лопмѵл* поп
п лос« ос» ш-
Перейдем теперь к эллиптическим орбитам; тогда
формулы получатся более сложные, но сущность принципа не изменится. Величины
L''W n !:, n0+;3CO
?11Т-Д
-
будут представлять собой ряды того же типа,
ГІШ M
йV'
е" ряды
Разложени "
по косинусам и синусам кратных
"
разностей обеих средних аномалий и долгот перигелиев, причем коэфи-
ГГTM
"
редстДвляют РЯДЬ| Разложений по возрастающим степеням эксцентриси-
TM тспип
^лелаем теперь последний шаг и предположим, что плоскости орбит
Г"
TMСеЧеНИИ
обРазу1°тугол Ь « таком случае пертурбационная функ-
Г РГГеТСЯ В РЯД; еГ? К0Эфиц11енты представляют разложения по возрастаю-
nZcZZ
ВеЛИЧИН ß/Cl'
"
неК0т0Р0" функции угла, образуемого при
ZrrZZ
к мЛ°СК0СТеЙ
°беИХ
°РбИТ (напР"»еР. sin і/»У); ряд образован тригоно-
S*®скими Функциями линейных комбинаций средних аномалий и расстояний от
оооих перигелиев до линии, по которой орбиты пересекаются. Следует заметить,
гопнрт г't ФУНКЦИЯ' зависяідая не только от угла, образуемого орбитами обеих
планет с эклиптикой, но и от долготы узлов их орбит.
Общий член этого разложения в ряд можно схематически написать следую-
щим образом:
(M)
гдеM= v.(t—Т)ИMx =
p-x(t— тх)] показатели степеней р, q, m и п — целые
положительные числа от 0 до со и і,
—
целые положительные или отрицатель-
ные числа от — со до +СО. Под знаком ^
в формулу (14) входят, как мы
уже сказали, линейные комбинации величин, кратных линейным комбинациям рас-
стояний от перигелия до линии пересечения орбит планет с эклиптикой.
§ 192. Значение формы, которую имеет разложение в ряд пертурбацион-
ной функции. Впоследствии (§ 195) мы покажем, что при вычислении возмуще-
ний приходится интегрировать по времени ряды такой формы, какую имеют ряды
пертурбационной функции. Одновременно мы увидим, какое значение для реше-
ния вопроса имеет то обстоятельство, что ряды выражены в форме, при которой
косинусы и синусы представляют собой линейные функции времени t, т. е.
выражены в такой форме, что их можно интегрировать в конечном виде.
§ 193. Вторая основная операция в вопросе о возмущениях: преобразо-
вание уравнений движения. Возмущения могут быть вычислены различными спо-
собами. Система уравнений может быть решена так, что возмущения будут выраже-
ны в форме возмущений прямоугольных
координат.
Однако возмущения могут быть
получены и в полярных
координатах.
Мы рассмотрим здесь задачу в ее клас-
сической форме, как''она известна в истории небесной механики, т. е. вычисление
возмущений, выраженных в элементах
орбиты.
Если нам известны шесть элементов планетной орбиты, то мы можем вычи-
слить положение и движение планеты для любого момента t, пользуясь для этого
формулами задачи о двух телах; положение и движение планеты могут быть вы-,
ражены в трех'ее координатах и в трех проекциях скорости на оси координат,
при условии, конечно, что действует одна лишь сила притяжения между плане-
той и Солнцем. Наоборот, мы видели (см. § 170), что если нам известны вели-
чины x, у, z,
—,
—,
(Т. е. координаты и проекции на оси координат ско-
рости планеты) для некоторого определенного момента, то мы можем вычислить
систему элементов планеты, которая однозначно соответствует этим координатам
"
ДЕслГмы вычислим для различных моментов времени эллиптическую орбиту
планеты, не подвергающейся возмущениям, то мы будем получать всегда одну и
ту же систему элементов.
Если нам приходится иметь дело с возмущенным
движением планеты, то
обыкновенно поступают так: сперва при помощи формул задачи о двух телах
вычисляют для различных моментов положение планеты и ее движение для слу-
чая, если бы она не подвергалась возмущениям; затем вычисляют тем или иным
способом величину возмущений и придают их к уже вычисленному положению и
движению планеты. Но задачу можно решать и иными способами. Проследим
шаг за шагом за возмущенным движением планеты; в таком случае каждое поло-
жение планеты, т. е . каждая совокупность ее координат и составляющих скоро-
стей, даст нам вполне определенную систему ее элементов; эта система: 1) удо-
влетворяет для данного момента координатам и скоростям планеты и 2) опреде-
ёёет движение планеты в дальнейшем ее пути, если бы с этого самого момента
'прекратила свое действие возмущающая сила. Если мы произведем такие вычисле-
ния для различных точек орбиты планеты, между которыми движение ее подвер-
гается возмущениям, то, очевидно, что 'координаты и составляющие скорости
в каждом пункте будут соответствовать различным
системам элементов. Таким
образом для каждого момента мы получаем новую систему элементов, которая
точно соответствует действительному положению планеты и действительному ее
движению относительно
Солнца
именно в данный момент. Если возмущения
остаются все время малыми, то мы получим такую систему элементов, которая
непрерывно изменяется, но только на малые величины. Такая система элементов,
которая точно соответствует 'положению и движению планеты в данный момент,
называется системой оскулирующих элементов для этого момента.
»
Отсюда ясно, что вопрос о возмущениях мы можем теперь рассматривать
с совершенно новой точки зрения: мы говорим о возмущениях
элементов
орбиты.
Мы вычисляем возмущенную систему элементов (оскулирующне элементы) для
данного момента. При помощи формул задачи о двух телах, на основании этой
системы элементов, мы можем затем вычислить положение и движение планеты
в данный момент.
Система уравнений (6), как мы знаем, представляет собой диференциальные
уравнения возмущенного движения, выраженные в прямоугольных
координатах.
Математический анализ показывает, что эти три диференциальных уравнения вто-
рого порядка, выраженные в прямоугольных координатах, мы действительно
можем преобразовать в. шесть диференциальных уравнений первого порядка, выра-
женных в элементах орбиты.
Преобразования эти весьма сложные, и результаты тоже получаются очень
сложными. ' Для примера мы приведем вывод только одного диференциального(
уравнения (из шести) для элемента орбиты а. Это уравнение имеет следующий4)
вид:
da
2dR
,1С-\
•
Значения величин, входящих в уравнение (15), нам уже известны.
§ 194. Вывод уравнения (16). Допустим, что ds изображает элемент
пути,
который материальная точка проходит за время dt; следовательно, скорость,
движения равна І^; тогда, согласно общеизвестным формулам, мы можем написать
dr
dx',
„dyIdz
При исследовании вопроса о возмущениях мы получили уравнения:
d'x
k2(1+ 777) * .dR
dP
r2 ГГдх»
d'y
k'(\ + m)y ,dR
dP
r-
r
dy'
d'z
£2(1 +
л ,dR
dP
P
Г1dz'
(18)
Диференцируя выражение (16), получаем
cPsds dPxdx , cPydy_ , d^zdz
dt2 dt ~ dP dt * dP~dt~T~ dPTt'
Выполняя подстановку с помощью уравнений (18), находим
d'sds
k'(l+m){xdx -У аУ I- dz\ I(dRdx . dRdy •dRdz\
rdt'r dt'rdt)'\dx dt'dydt"rdzdt)'
dP dt
/-2 V
Отсюда с помощью выражения (17), помня, что R есть функция х, у, z, хѵ
Ух и гѵ мы получаем
tPsds_
k*(l + m)dr I (dR\
dP dt"
r'
dt~i\ & )>
V.1»'
1А2(1+ m)da
2a*
dt'
(22)
где {lïï) означает
полный диференциал по времени от функции R, причем за
переменные приняты л:, у, г — координаты тела с возмущенным движением (но
не координаты хѵ уѵ zx).
v
В уравнении (19) первый член в правой части зависит от движения по оску-
лирующей орбите, а второй член зависи мо г возмущений (в него входит пеотѵп-"
бационная функция).
F
Это —первый шаг в нашем выводе. Переходим теперь ко второму шагу
Из задачи о двух телах мы знаем следующую формулу:
~Xdi) T
r
«
•
(20)
Это уравнение вполне применимо к оскулирующей
орбите для данного
момента.
Диференцируя уравнение (20), получаем
<£s_d
__
kHl+m)dr
1 kT-(\+m)da
dt* dt
r-
dt*~2
dг Tt'
(21)
Первый член правой части уравнения (21) соответствует двйженшо по оскули-
рующей орбите, второй член зависит от возмущений.
Уравнения (19) и (21) должны быть идентичны. Сравнивая их, получаем
m
а следовательно,
da
2а2
(dR\
dt ^ k" - (l -\-m)\dt)'
(23)
где (^) —полный диференциал по времени от функции R, причем за перемен-
ные приняты координаты
у, z тела т. Время / и время прохождения через
перигелий Г входят, как известно, в координаты только в форме (/—Л а по
тому мы можем написать
fdR\_
dR•
Vdt)
ТГ'
(24)
Из выражений (23) и (24) окончательно получаем
da __
2а-
ÔR
dt
kr-(\+m) дТ >
а так как kэ(1+ m)= р.2«3, т0 находим
da __
2dR
dt
|jVa дТ'
Таким образом, мы вывели уравнение (15).
§ 195. Диференциальные уравнения для вывода пяти других элементов
орбиты. Диференциалы по времени пяти других элементов т е VDl
di
dn
de dT
dt>'drdt>
Tt " rf?'
можно
получить совершенно таким же путем, только выражения для
них, особенно для последних четырех, будут гораздо сложнее.
Схематически можно написать в общем виде для любого элемента (Е ) та-
кое выражение: '
к
т>
=
.
•
(25)
это значит, что полный диференциал какого-либо элемента орбиты по времени
равен сумме нескольких членов (может быть один, два или три члена).
§ 196. Интегрирование диференциалыіых уравнений элементов орбиты.
Вычисление возмущений первого порядка с учетом возмущающей массы.
Основной вопрос при интегрировании уравнений (25) заключается в том, чтобы
представить выражение РР при помощи формулы (14) в виде бесконечных три-
гонометрических рядов, в которые входят косинусы и синусы аргумента времени t,
выраженного линейно. Если мы возьмем частные диференциалы пертурбационной
функции, которые входят в уравнение (25), то тогда мы получим другие коэфи-
циенты для членов рядов, но форма выражений, в которые входит время t, оста-
нется та же самая.
• Для наглядности мы остановимся на частном случае, на уравнении (15), а
не на общем случае, выраженном уравнением (25). При помощи выражения (14)
получаем
S=»'.S*•Sin"L
.(£)".r
.
.«
m
+ iA),
(26)
где, впрочем, К, p, <7, m, n y различных членов иногда могут иметь не такие
значения, как в формуле (14), потому что они получены частным днференциро-
ванием по элементам орбиты.
Но, как известно,
M= v.(t-T) и М, =
((— Tj);•
поэтому время входит в формулу (26) только в следующем виде:
где {і. и [Aj — средние движения планет, а величины і и і, — некоторые целые,
положительные или отрицательные числа, изменяющиеся в пределах от — со до
+ СО.
•
Способ вычисления возмущений в элементах планет (в нашем случае дело
идет только о величине а) следующий.
Нам известно, что возмущающая масса m, в планетной системе всегда —
малая величина. Правая часть выражения (26) численно всегда мала. Полагая
mj = 0, получаем
интегрируя это уравнение, находим
«=«0,
т. е. мы получаем постоянную величину; совершенно так же будет обстоять дело
и со всеми остальными элементами. Результат, следовательно, оказывается таким же,
как в задаче о двух телах: мы можем установить такой закон: постоянная инте-
грирования равна постоянной величине соответствующего элемента орбиты.. Это
является первым приближением в попытках решить нашу задачу.
Допустим теперь, что тх не равно нулю. Тогда правая часть уравнения (26)
будет содержать величины, уже нам известные. Из предыдущего мы видим, что
элементы орбиты входят в различные члены нашего ряда. Мы хотим вычислить
возмущения, выраженные в элементах орбиты; но из предыдущего известно, что
элементы орбиты непрерывно изменяются; в таком случае, желая выражаться
вполне точно, мы не имеем права считать, что элементы орбиты, входящие в пра-
вую часть формулы (26), — величины постоянные. Но изменения элементов орбиты
возмущаемого тела пропорциональны возмущающей массе тѵ
а кроме того,
в уравнение (26) масса т, входит как общий множитель, поэтому мы в действи-
тельности будем пренебрегать лишь величинами второго порядка относительно
возмущающей
массы, если мы элементы орбиты, входящие в правую часть урав-
нения (26), будем считать величинами постоянными. Принимая, таким образом,
за постоянные величины элементы орбиты, входящие не только в правую часть
уравнения (26), но и во все пять других соответствующих уравнений, мы получим
шесть уравнений, которые позволят нам вычислить возмущения
в
элементах
орбиты первого порядка относительно тх.
Уравнение (26) и соответствующие уравнения для пяти других элементов
могут интегрироваться в конечном виде. Из уравнения (26) получаем
+
2[±*.sin'4•dj•
.
е:•
.£(Ш+w
], (27)
где а0— постоянная интегрирования и знак -} - применяется, когда в формулу
входит синус, а знак —,
когда входит косинус.
§ 197. Различные виды членов ряда, выражающего возмущения. В прин-
ципе разложение в ряд выражения (27) по форме совершенно таково же, как и
разложение в ряд пертурбационной функции и выражения (26). Интегрируя эти
выражения, мы получаем вместо косинусов синусы, а вместо синусов косинусы;
кроме того, у всех членов ряда остается делитель (г'|х/^). Этот делитель
играет важную роль в теории возмущений.
Как известно, jx и |х4 представляют собой средние суточные движения обеих
планет как возмущающей, так и возмущаемой, а величины і и /j —целые числа,
которые могут принимать все возможные значения от —со до -f-со.
Множитель при t, который входит как аргумент в синусы и косинусы в выра-
жении (26), после интегрированияе образует делитель (ty-MiP-i) в коэфициенте
при этих тригонометрических функциях; по виду этого множителя можно судить
о различных типах отдельных членов в выражениях для возмущений.
I. Мы допускаем, что і и іх могут принимать любые целые значения; следо-
вательно, уравнение (26), а равно и соответствующие уравнения для пяти других
элементов должны заключать в себе члены, у которых і = іх =
0. В таком случае
множитель при t в аргументе для синусов и косинусов превращается в нуль;
следовательно, время не входит в эти члены, и они представляют собой
постоян-
ные величины. Если такая постоянная величина равна о, то после интегрирования
мы получаем соответствующий член в выражении для возмущений, равный at,
т. е. член этот будет пропорционален времени. В таком "случае не может быть
и речи о делителе
в коэфициенте при соответствующем члене ряда.
Такие члены называются вековыми
возмущениями.
И. Так как i n іх могут принимать как положительные, так и отрицательные
значения, то могут встретиться члены, у которых одно из них положительное,
а другое отрицательное. Если при этом окажется, что оба числа і и іх будут
соответственно равны jx и jxlt то тогда выражение 0> + і^) = 0 . А следовательно,
и в этом случае множитель при t равен нулю.
Такой частный случай (строго соизмеримого среднего движения) имеет осо-
бенно важное значение в различных задачах о спутниках в нашей солнечной
системе. В теории движения планет часто приходится иметь дело с такими слу-
чаями, когда 0>-HilJ'i) не точно, а приближенно равно нулю. В таких случаях
получаемый после интегрирования делитель OV + ^iii) очень мал, и соответ-
ствующие члены разложения в ряд возмущений оказываются ненормально велики
сообразно с тем местом, которое они занимают в разложении.
III. В том случае, когда ни і, ни іх,
ни (г>-{ -г^) не равны нулю в точности
или приблизительно (как в случае II), то мы имеем дело с нормальными, перио-
дическими членами.
§ 198. Члены, выражающие долгопериодические возмущения. В пункте I
предыдущего параграфа мы рассматривали члены разложения в ряд возмущений,
которые мы назвали вековыми
возмущениями;
в пункте III мы имели дело с нор-
мальными периодическими возмущениями.
Б пункте II предыдущего параграфа мы рассматривали члены разложения,
характеризуемые следующими двумя особенностями: 1) члены эти имеют большие
коэфициенты при тригонометрических функциях и притом они находятся в зави-
симости один от другого; 2) члены эти отличаются ненормально долгим периодом,
в продолжение которого соответствующий член ряда принимает всевозможные
свои значения.
Так как члены разложения содержат косинусы и синусы выражения
оун-w»
то, очевидно, что период U такого члена будет равен
1/-ГГЙ- .
і\х 4-
В предыдущем случае мы предполагали, что у некоторых членов ряда выра-
жение (/jj. -f -t'jji.j) очень малб; тогда период будет очень долгим.
Такие члены
разложения выражают долгопериодические
возмущения.
Такое название лучше
характеризует для практических целей члены ряда, нежели величина их коэфи-
циентов, так как последняя в значительной степени зависит от места,
которое
этот член занимает в ряду: чем больше значения величин і и іѵ тем более даль-
нее место занимает член в ряду и тем меньше становится его коэфициент, если
не принимать во внимание некоторых случайных малых значений делителя (У-{-
-j-Zjp.j). Поэтому приблизительная соизмеримость обычно имеет место для первых
членов ряда, т. е. когда jx и [хх можно принять за небольшие целые числа,
близкие друг к другу.
Возьмем для примера возмущения, которые производят друг на друга Юпитер
и Сатурн. Для среднего суточного движения этих планет примем следующие
величины:
для Юпитера {х =299",12838
для Сатурна ц, =
120" ,45504
Отношение этих величин можно принять приблизительно равным 5 :2.
Дляі=2иіх=
—
5 мы получим
2|х— 5|Xj =
—4 " ,01844,
откуда найдем
..
360-60-60
'
000
"ТоШТ-
—
322 513 средних суток = около 883 лет.
Если мы хотим узнать в самом общем случае для двух планет, при каких
значениях і и іх существуют члены разложения, приблизительно соизмеримые
друг с другом, то на основании изложенного выше при нормальных обстоятель-
ствах мы можем, ограничиться малыми зцачениями і и
Искомые значения мы
найдем, если отношение [х4 : jx выразим в виде непрерывной дроби. Для рассма-
триваемого нами случая возмущений планет Юпитера и Сатурна мы получим
I*
2+J
2 +_1_
14-j-1
2+J
19 +...
Ограничиваясь
при вычислении дроби второй двойкой в знаменателе или
числом 14, мы получим следующие приближенные значения
И __2
.
29.
fx~5'72'
из них только первая величина (а/Б) имеет заметное влияние при вычислении
возмущений. Делитель (2|х — 5^) в нашем случае должен быть малой величиной;
это непосредственно видно из того, что следующая дробь после второй двойки
в знаменателях сравнительно мала. Величина (29<х —72[і.) и следующие делители
уже не играют
„икако(1 роли; ЭТ0) KOHe4HOj объясняет(Г4еще и тем, что мы имеем
« ÏX сдостаточно Удаленными от начала членами бесконечного ряда.
§ 199. Возмущения второго и высших порядков относительно величины
? :Г=
еН
МаССЫ- В §196 ЫЫ НЗШЛИ *0рму
'
в которо» «сражаются возму.
щения первого порядка относительно возмущающей массы. Если мы теперь под-
ставим в уравнение (26) или в соответствующие уравнения для пяти других эле-
ментов выражение (27) или те выражения, которые мы нашли для друг х элі
ппосты'е
возмущениям, и если при этом произведем некоторые
простые преобразования, то в таком случае мы получим для данного элемента
например, для а, диференциальное уравнение такого вида:
S=
(28)
где в выражение ^
входят члены, пропорциональные времени
а также
S
п
ВК0Т°РЫе «Х0ДИТ А умн0женн0е на К0СИНУС илп СИНУС различных комби-
наций произведений средних аномалий планет. Такие члены называются
смешанно
вековыми
возмущениями.
Но уравнение (28), как и (26), можно интегрировать
в конечном виде. Мы тогда опять получим члены ряда такого же типа/как и
прежде, если не принимать во внимание, что теперь в выражения для возмущений
элементов входят также смешанно вековые возмущения.
Мы имеем теперь дело с возмущениями, которые вычислены включительно
оо второго порядка относительно возмущающей массы.
Если мы будем рассуждать таким же образом и дальше и подставим в урав-
нение (2b) только что найденные нами выражения возмущений второго порядка
относительно тѵ а затем проинтегрируем его, то мы получим выражения возму-
щений третьего порядка относительно тх и т. д .
Теоретически мы можем повторять такую операцию произвольное число раз
Мы получим тогда для элементов орбиты, например, для а, выражения следую-
щего вида:
J
т. е. выражения, в которых даны возмущенные элементы орбиты вплоть до по-
рядка г относительно возмущающей силы. На практике редко приходится вы-
числять возмущения свыше третьего порядка.
Следует заметить, что здесь мы говорили главным образом о действии одной
планеты
на другую. Это —типичный случай в задаче при вычислении возму-
щений в движении малых
планет,
когда массу их всегда можно считать равной
нулю. Если вопрос касается больших
планет,
у которых приходится считаться
с взаимодействием их масс, то выражения получатся еще сложнее, если мы хотим
принять во внимание высшие степени масс планет. Нам тогда приходится иметь
дело не только с величинами тѵ т\, т\,...,
но и с величинами m, m\
mmр
мі*, nfinij, тт\,...
§ 200. Чисто вековые и смешанно вековые
возмущения.
Возмущения
эксцентриситета и наклонения. В выражения возмущений элементов
первого
порядка
относительно возмущающей массы входят только вековые, но не сме-
шанно вековые возмущения. В приближения следующих порядков входят как
чисто вековые, так и смешанно вековые возмущения. Легко видеть, что члены,
выражающие вековые возмущения, если только они вполне правильно определены'
оказывают главное влияние на соотношения в планетной системе. Вековые возму-
щения долготы перигелия и долготы узлов не опасны для всей системы, так как
они производят только ее сдвиги, которые сами по себе носят периодический
характер. Но вековые возмущения элементов а, с и і, понятно, могут произвести
с течением времени значительные изменения в системе тел.
Само собой понятно, что если при суммировании вековых изменений полу-
чатся большие
величины, то вся, основа наших рассуждений теряет смысл, потому
что мы решаем нашу задачу в предположении, что элементы изменяются
очень
мало. Поэтому мы можем вести вычисления в предположении, что нашими рас-
суждениями можно пользоваться только в пределах некоторого сравнительно не-
длинного промежутка времени; мы можем выразиться также следующим образом:
мы должны вести вычисления так, чтобы получаемые ряды были практически
сходящимися в пределах некоторого ограниченного промежутка времени.
Уравнение (15) и соответствующие пять уравнений для пяти других элементов
вполне точны. Если бы удалось проинтегрировать все шесть уравнений, то задача
была бы решена. Но элементы орбиты и время входят в нашу систему настолько
связанными между собой, что не может быть никакой речи о точном решении.
До сих пор мы рассматривали формулы, выражающие возмущения, в таком виде,
что члены их были расположены по возрастающим степеням t (причем в эти
члены входили в виде множителей или не входили тригонометрические функции).
Теоретически можно допустить, что вековых возмущений в действительности
не существует, но что члены нашего разложения, в которые входят величины
t, /а,
t*,.. .,
представляют собой первые члены периодического выражения сле-
дующего вида:
XяX
я
Х~ ЗТ+ бГ'
т. е. первые члены разложения в ряд периодической функции, которую мы на-
зываем sin X.
Попытаемся разъяснить этот вопрос.
Рассмотрим выражения в правых частях шести уравнений, представленных
в формулах (15), а также в (25). В них входят время и все элементы орбит
обеих планет. Разложением в ряды мы можем пертурбационную функцию разде-
лить на две части
Я=
+
где Rt заключает все члены, содержащие t (как мы видели, t входит в аргумент
тригонометрических функций), R0—члены,
в которых t не содержится, а в ко-
торые входят только элементы орбиты* (будем называть R0 вековой частью пер-
турбационной функции). Допустим, что периодические
члены пертурбационной
функции за долгий промежуток времени не играют роли, а поэтому в выражении
(15) и в .соответствующих пяти других уравнениях мы откинем часть Rt; в таком
случае мы получим 6 уравнений следующего вида:
d^ = %nfmn(EvEv...)§L.
(30)
Таким образом мы имеем систему шести диференциальных уравнений, правые
части которых заключают в себе элементы орбиты, но не заключают времени.
Получить точные решения этой системы до сих пор не удалось; но 'ограничи-
ваясь только первыми членами разложения в ряд выражения R0, мы получим
уравнения, которые могут быть решены относительно е и і. Результат получится
следующий: при таком приближенном способе решения вековые возмущения е и і
превратятся в чисто периодические члены (с периодами, которые исчисляются
в десятки и сотни тысячелетий); таким образом эксцентриситеты и наклонения
орбит подвержены только периодическим
изменениям. Задача не может быть
решена во всей ее. общности, так как мы проделали с пертурбационной функцией
некоторые операции, которые нельзя назвать вполне строгими. Нсі все же можно
сказать, что устойчивость планетной системы, по крайней мере в том, что ка-
сается эксцентриситетов и наклонений орбит, может быть гарантирована на весьма
значительный промежуток времени, как это показывают выражения вековых воз-
мущений первого порядка относительно возмущающей массы.
§ 201. Возмущения элемента орбиты Т. Появление членов с делителями
во второй степени в выражениях для возмущений первого порядка по долготе.
В § 200 мы рассматривали теорему, состоящую в том, что возмущения первого
порядка относительно возмущающей массы — чисто вековые, причем смешанно
вековые члены отнюдь не проявляют себя в элементах орбиты. Последняя
часть этой теоремы справедлива только с некоторой оговоркой для одного из
шести элементов, именно для времени прохождения через перигелий Т. В дифе-
ренциальных уравнениях для определения возмущений элементов, как известно,
правые части представляют собой частные производные пертурбационной функции,
взятые по различным элементам [см. уравнения (25)]. Одна из этих частных
производных, именно Ц, имеет некоторую особенность, благодаря которой произ-
водная имеет такую форму, какой не обладают все другие производные, взятые
по остальным пяти элементам. В разложение в ряд пертурбационной функции входит
явно [см. уравнение (14)] элемент орбиты я, именно в коэфициенты при членах,
заключающих в себе тригонометрические функции, и притом в следующем виде-
/а \<і
[tJ '
'
к
Р0Ме
тог о
> входит он и в аргументы тригонометрических функций
через посредство среднего движения планеты р., которое выражается формулой
(3D
Диференцируя по а различные члены разложения пертурбационной функции,
получаем
dR_{dR\
д Rdp
да~ Ш/~Гд|Г5я»
(32)
где
согласно формуле (31), равно
dp.
_
3kу1+m____3jx
da
2
л5/.
2а'
Выражение (jj^J означает частную производную по а, которая входит в коэ-
фициенты при тригонометрических функциях.
Член
j при исследовании не представляет никаких особенных затруднений,
точно так же как и производные от R по пяти другим элементам. Второй же
член выражения (32)
имеет следующую особенность: р. входит как аргу-
мент в тригонометрические функции в виде р. (/—Г). Когда мы берем производную
, то величина t выходит из-под знака тригонометрической функции. В выра-
dR
„
жение ^
войдут, следовательно, члены, которые при разложении в ряд пертур-
бационной! функции принадлежат к типу смешанно вековых возмущений.
Но подробное исследование вопроса показывает, что частная производная
входит только в диференциальное уравнение для элемента Г, т. е. только
в^,
но не входит в диференциальные уравнения пяти других элементов орбиты.
Поэтому только при рассмотрении выражений для возмущений элемента Т мы
встречаемся с довольно значительными затруднениями, так как время t в уравнении
(25) также выходит из-под знака тригонометрических функций.
Мы зашли бы слишком далеко, если бы захотели вдаваться в подробности
о том, как обойти эти затруднения. Но самое существенное можно выразить
в следующих словах:
В § 193 мы изложили схему вычислений положения (и движения) тела, дви-
жение которого подвергается возмущениям, а именно: 1) мы вычисляем сперва
оскулируюіцие
элементы
орбиты
для данного момента,
2) затем вычисляем
значение р.(/— Т) для данного Домента при помощи полученных уже оскулирующих
элементов, причем среднее движение р. вычисляем при помощи оскулирующего
элемента а, и, наконец, получаем координаты и составляющие скорости дви-
жения
нашего небесного тела.
Но при подробном рассмотрении задачи оказывается, что полученные при
помощи первой операции для элемента Т члены с t, не входящим в аргументы
тригонометрических функций, могут быть легко исключены; для этого во второй
операции мы вычисляем вместо р./ выражение J |х dt и подставляем его в формулы,
по которым вычисляются координаты и составляющие скорости, т. е . оказывается,
что элемент орбиты Т ведет себя точно так же, как и остальные пять элементов,
если только при вычислении на основании оскулирующих элементов координат и
составляющих скорости мы заменим „среднее движение", вычисленное при помощи
постоянного (оскулирующего) ]х, ее интегралом, причем при интегрировании будем
считать, что величина р. непрерывно изменяется вследствие возмущений.
Вышеизложенные соображения приводят к одному следствию, которое имеет
важное значение для определения порядка возмущений в том пункте, где нахо-
дится небесное тело.
Мы уже видели, что необходимо вычислить выражение / р-d/, если мы хотим
исключить члены смешанно векового типа, входящие в диференциальные уравне-
ния, служащие для определения элемента Т. Возмущенное „среднее движение" р.
в каждый момент связано с элементом орбиты а следующим уравнением:
k VY+Тп
Если мы вычислим возмущения элемента а, то тогда мы можем получить
выражения для возмущений среднего движения р.. Эти выражения будут иметь
такую же общую форму, как и выражения для возмущений величины а. Таким
образом в разложения в ряды выражений для возмущений входят
делители,
зависящие от р.; эта зависимость выражена в форме O^-MiPi)» 110 эти делители,
как известно из предыдущего (см. § 198), в некоторых отдельных случаях очень
малы, а потому соответствующие члены разложения становятся ненормально
велики. Если мы теперь вычислим выражение f р. dt, то увидим, что вследствие
такого интегрирования придется еще раз вынести за знак тригонометрических
функций все делители, а следовательно, также и малые делители. Тогда мы
получим в коэфициентах при членах разложения в ряд возмущений элементов
орбиты множители такого вида:
1
+W
'
Отсюда мы видим, что в выражение для возмущенной долготы небесного тела
на его орбите входят члены очень большой величины.
§ 202. Вековые возмущения элемента орбиты а. Для весьма важного эле-
мента орбиты а установлена теорема, которая имеет большое значение для вопроса
об устойчивости планетной системы, именно: в выражение элемента
ане
входят
члены, выражающие возмущения, пропорциональные времени, если только мы
ограничиваемся возмущениями первого порядка относительно возмущающей массы.
Эта интересная теорема может быть доказана следующим простым способом:
Обратимся к уравнению (15)
da_
2dR
dt
р.'а дТ '
Необходимое условие существования вековых членов в возмущениях первого
порядка относительно возмущающей массы (ст. § 197) заключается в том, чтобы
і(и ïj) = 0. Но в пертурбационную функцию, которая представляет собой функцию
координат небесного тела, входит элемент орбиты Г в комбинации следующего
вида і>(/— 7"). Если / = 0, то величина Гуже не будет входить в функцию r.
Частный диференциал соответствующего члена в выражении-^
будет,
следова-
тельно, равен нулю, л постоянный член в правой части уравнения (15) вообще
тогда не появится; но это значит, что вследствие интегрирования не было внесено
члена с вековыми возмущениями в выражение для элемента орбиты а. Можно
еще добавить, что выражение для а не будет заключать в себе членов с чисто
вековыми возмущениями, если мы откинем в выражениях для возмущений члены
второго
порядка относительно массы.
При таком приближении в нашем выражении остаются смешанно вековые
члены; нужно вести разложение до членов с возмущениями третьего
порядка
относительно возмущающей массы, чтобы получить и чисто вековые члены
в выражении для большой полуоси планетной орбиты.
§ 203. Вычисление возмущений, оказываемых планетой на комету, движу-
щуюся по орбите, близкой к параболе. В § 241 будет рассмотрена проблема
вычисления первоначальной орбиты таких комет, определение орбит которых пока-
зало, что движение этих комет происходит по кривой, очень близкой к параболе.
Путем вычисления для прошедших моментов времени возмущений со стороны боль-
шой планеты, вплоть до момента весьма удаленного, при этом необходимо установить,
развилось ли это движение из орбиты, первоначально эллиптической или же гипер-
болической. На практике этот вопрос чаще всего решается путем вычисления
специальных
возмущений (см. § 182), т. е . путем численного интегрирования.
Однако ничто не препятствует нам вывести строго аналитическим путем
выражения для возмущений, вызываемых небесным телом, движущимся по эллип-
тической орбите, в движении другого небесного тела, следующего по орбите,
близкой к параболе (кометы). Выражения, получаемые нами при этом, имеют
совершенно иной вид, чем те тригонометрические ряды, которые были выведены
нами для так называемых общих возмущений планетных
орбит (см. S 196—201.
а особенно § 196 и 199).
ѵ
Математические выражения, выведенные нами для общих возмущений планеты,
были построены по следующим принципам. В диференциальных уравнениях воз-
мущенного движения планет содержится функция, которую мы назвали пертурба-
ционной функцией и обозначили буквой r. Она является функцией координат
как возмущаемой, так и возмущающей планеты, так, например, она может быть раз-
ложена в ряд по степеням отношения обоих радиусов-векторов г и г,. Теперь мы
допустим, что возмущаемая орбита является внешней, т. е . что г всегда больше г..
В таком случае ряд будет возрастать по степеням гх\г. Оба радиуса-вектора и
их различные степени могут быть в свою очередь разложены в бесконечные три-
гонометрические ряды, обладающие следующей формой в том случае, если мы
ограничимся значащими членами:
для возмущающего тела rj" =
S^süf(W)»
(33)
для возмущаемого тела rq = 2 ^sin (Au0>
(34)
где к н l содержат возрастающие в рядах степени малых величин (эксцентри-
ситетов орбит), |ij и |і обозначают средние суточные движения обеих планет,
ij и і являются целыми числами от 0 до со, а / означает время.
Разложение в ряд пертурбационной функции, грубо говоря, состоит в том, что
ряды, подобные написанным в формулах (33) и (34), почленно перемножаются.
Этим способом мы получили для пертурбационной функции бесконечный тригоно-
метрический ряд следующего вида (см. § 191):
где /j и і теперь обозначают положительные и отрицательные целые числа от
—
со до -fco.
После выполнения преобразований, проделанных в цитированных параграфах
(осооенно в § 196), мы для элементов возмущенной орбиты получили выражения,
схематически выраженные формулой (27) на стр. 264:
.- vf- .Swf (f-)'
^
Z
вы+•
А теперь мы обратимся к проблеме, в которой мы имеем лело с возмуще-
ниями, оказываемыми движущейся по эллиптической
орбите планетой на небес-
ное тело (комету), движущееся по орбите, близкой к
параболе.
•Для краткости мы предположим, что речь идет острого
параболической
орбите (в случаях, встречающихся на практике, это условие выполняется доста-
точно строго). Далее предположим, что мы начинаем обратное вычисление
пройденной орбиты для момента, когда комета находилась еще далеко за пре-
делами орбиты планеты, о которой идет речь. Иными словами, мы предполагаем,
что г в течение всего времени являлось значительно ббльшим, чем г, что отве-
чает практическим условиям проблемы.
Для возмущающей планеты мы будем иметь те же самые ряды, как и в клас-
сической проблеме возмущений. По этой причине разложение в ряды сможет
быть выполнено по формуле (33). Однако координаты кометы
не смогут быть
выражены подобными рядами, возрастающими по степеням малого эксцентриси-
тета. Однако для параболического движения мы можем разложить координаты
в ряды по схеме, указанной в § 175, тогда как в данном случае расстояние от
внутренней части солнечной системы предполагается большим. Так, например,
для радиусов-векторов и для их различных степеней мы получим ряды такого
видз*
для возмущающего тела г* = У,
(/^),
(33)
для возмущаемого тела г4 = 2
(34)
Таким образом для разложения в ряд возмущающей функции нам, подобно
тому как и при вычислении возмущения планетных орбит, необходимо выполнить
почленное перемножение рядов (33) и (34). Таким способом мы разложим пертур-
бационную функцию в ряд такого вида:
LB(t_T}n/3-
(35)
Последующие преобразования — составление диференциальных уравнений эле-
ментов возмущенной орбиты и интегрирование этих диференциальных уравне-
ний—в конечном результате дадут выражения вида
/(t-t)'"3
'
л
3 dt,
(36)
в которых числитель получился из координат возмущающей планеты, а знаме-
натель— из координат кометы.
Интегралы, входящие в формулу (36), приводят к гамма-функциям.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ КООРДИНАТ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
меха1и1?н®пТ'ІХ,?
аССуЖДеНИЯХ
33 исходный
"У»кт мы принимаем уравнения
S5ZT.J ѵ!
аК МЫ ЗНаеМ'
^Рономнческие наблюдения показали, что
ньютоновы уравнения с высокой степенью точности удовлетворяются для планет-
ам?гСт
ДВИЖеШІЯ ее отнесены к астрономической координатной си-
стеме (Р), к более точному определению этой системы мы и вернемся в дальней-
шем изложении. Рассматривая форму, в которой выражены ньютоновы уравнения,
мы убеждаемся в том, что они будут удовлетворяться для всякой системы
координат, которая смещается прямолинейно и равномерно, без поворота осей,
относительно упомянутой выше астрономической системы координат; координат-
ная система, у которой центр тяжести планетной системы движется прямолинейно
и равномерно со скоростью, не исчезающе малой, вообще говоря,
весьма
неудобна для планетной механики.
Затем легко видеть, что ньютоновы уравнения не удовлетворяются, если они
составлены в системе координат, оси которой не сохраняют постоянных напра-
влений относительно системы (Р) или же перемещаются неравномерно относи-
тельно нее; для такой системы координат ускорения перемещающихся относительно
ее небесных тел не могут быть выражены согласно ньютоновой механике.
Таким образом по самому виду ньютоновых уравнений мы заключаем, что
некоторым системам координат должно быть оказано предпочтение перед дру-
гими; только относительно этих координатных систем ньютоновы уравнения
могут быть удовлетворены. Такие координатные системы называются в ньютоновой
механике „инерцизльными" системами (Inertialsysteme). Они отличаются друг от
друга перемещениями, прямолинейными и равномерными.
Само определение указывает нам способ выбора инерциальной системы. Избрав
координатную систему, определяют относительно нее координаты небесных тел,
заданных в механической системе. Если ньютоновы уравнения будут удовлетво-
ряться этими координатами, значит, эта координатная система является инер-
циальной системой.
В астрономической практике возможны два пути при определении инерциаль-
ной системы. Именно, можно рассматривать движения тел или в
планетной
системе, или в системе неподвижных звезд.
Возмущения планетной системы, производимые внешними ньютоновыми силами,
исчезающе малы. Чтобы решить вопрос, удовлетворяются ли ньютоновы урав-
нения в заданной системе координат, следует обратить внимание на уравнения,
которые получаются при помощи интегрирования ньютоновых уравнений. Так как
центр тяжести планетной системы должен двигаться относительно координатной
системы прямолинейно и равномерно, то, следовательно, движение начала коор-
динат должно представлять собой перенос начала координат с равномерной
скоростью. Если бы в солнечной системе массы всех тел, за исключением массы
Солнца, были исчезающе малы, то в таком случае нам следовало бы исследовать,
будут ли сохранять постоянные направления нормали к орбитам и линии апсид
при данной координатной системе. Но так как массами планет в действитель-
ности пренебрегать нельзя, то следует принять во внимание возмущения в их
движении. Если учесть возмущения, происходящие при применении ньютоновых
уравнений, то названные выше направления должны оставаться постоянными.
Как ни просто в принципе определение инерциальной системы при помощи
наблюдений тел планетной системы, на практике затруднительно произвести
с достаточной точностью наблюдения над Солнцем и планетами; трудность заклю-
чается в том, что эти объекты имеют значительные диски (при наблюдениях
Солнца приходится иметь дело еще с колебаниями изображений вследствие силь-
ного нагревания воздуха в трубе). В действительности точность наблюдений планет
значительно ниже точности наблюдения неподвижных звезд. Только наблюдения
малых планет могут быть сделаны с достаточной точностью, но ряды этих
наблюдений невелики.
Задача — получить инерциальную систему на основании наблюдений
непо-
движных
звезд — еще неразрешима при современном состоянии науки. Нам из-
вестны только очень короткие, принимаемые за прямолинейные отрезки путей,
проходимых звездами (конечно, мы не имеем в виду орбит двойных и кратных
звезд). Система неподвижных звезд еще недостаточно изучена для того, чтобы
на основании происходящих в ней движений можно было вычислить действующие
в ее пределах силы тяготения; так что в настоящее время не приходится и
думать о том, чтобы исследования звездной системы можно было вести так как
они производятся для плаиетцэй системы. Для того чтобы иметь возможность
сделать какие-либо выводы по вопросу об инерциальной системе на основании
наблюдений неподвижных звезд, приходится делать более или менее произволь-
ные допущения. Наиболее простое допущение —это, что система неподвижных
звезд —собственно система наблюдаемых звезд —в среднем (т. е. если движения
отдельных звезд выразить в средних величинах) укладывается в инерциальную
систему. В таком случае видимое движение (так называемое собственное движе-
ние) неподвижных звезд соответствует перемещению самой солнечной системы
в пространстве, и звездное небо не должно иметь вращательного движения
относительно координатных осей инерциальной системы. На основании такого до-
пущения можно легко определить из наблюдений неподвижных звезд постоянные
направления в инерциальной системе.
Отнюдь не является невероятным, что система Млечного Пути, к которой
относится и наше Солнце, вращается вокруг некоторой оси, причем время ее
вращения весьма велико (см. стр. 497). Если этот случай имеет место в действи-
тельности, то описанный нами метод, конечно, даст неправильные результаты
Поэтому благоразумнее будет допустить, что система Млечного Пути вращается
вокруг некоторой оси, определяемой его структурой, направленной в точку небесной
сферы с координатами а = 190° и Ь = 28° (см. стр. 466). В таком случае нам при-
дется определять положение неподвижных осей координат, соображаясь с этим
вращательным движением Млечного Пути. Как мы сейчас увидим, допущение факта
вращательного движения Млечного Пути приводит к весьма важным заключениям.
Рассмотрим теперь поставленную нами задачу в связи с координатной систе^
мой практической астрономии (Р). Наблюдаемые направления сперва обыкновенно
относят к оси вращения Земли: измеряют угол между наблюдаемым направлением
и осью Земли (равный 90° —о), а затем определяют угол поворота этого напра-
вления вокруг земной оси и отсчитывают его от точки весеннего равноденствия
(т. е . измеряют двугранный угол, образуемый плоскостью, заключающей в себе
определяемое направление, и плоскостью, проходящей через точку весеннего
равноденствия; этот угол, как известно, представляет собой прямое восхождение)
Чтобы перейти теперь к системе координатных осей с постоянными направле^
ниями, т. е . к системе типа ннерциальных систем, надо знать, какие происходят -
изменения в направлении оси вращения Земли и изменения положения точки
весеннего равноденствия. Изменения в направлении оси вращения Земли происхо-
дят вследствие действия притяжения Солнца и Луны (пр.ецессия и нутация, см.
стр. 93—99 и 546); эти изменения, вообще говоря, могут быть вычислены ' при
помощи ньютоновой механики. Однако некоторые величины, имеющие большое
значение для вычисления (моменты инерции Земли), все же недостаточно хорошо
известны для того, чтобы можно было определить постоянную прецессию на
основании строгих выводов механики (см. стр. 547). Изменения положения точки
весеннего равноденствия происходят: 1) вследствие изменения направления осп
вращения Земли и 2) вследствие изменения направления нормали к земной
орбите; изменение направления нормали к земной орбите происходит вследствие
возмущающего действия других планет (см. § 54). Эти последние изменения
могут быть вычислены, и таким образом можно принять во внимание влияние
какое оказывают перемещения точки весеннего равноденствия.
Таким образом мы видим, что направления оси вращения Земли и нормали
к орбите, в которые введены исправления, исключающие возмущающее действие
планет, а также неизвестная поправка, которая зависит от вращения эклиптики
вокруг нормали к ней (прецессии), — все эти величины определяют положение
инерциальной системы. Если известна постоянная прецессии, в таком случае нам
будет задана инерциальная система. Наоборот, если на основании
наблюде-
ний планет мы установим направления осей инерциальной системы, мы сможем
при помощи ее определить постоянную прецессии. Рассмотрим подробнее, как
определить постоянную прецессии из наблюдений звезд, если принять, что система
Аагропоішд
Млечного Пути вращается вокруг оси, направленной в точку с координатами
<х= 190°, о = 28°.
Допустим, что определены прямые восхождения и склонения ряда звезд в два
момента, отделенные друг от друга продолжительным периодом времени. Получен-
ные координаты звезд будут относиться к положениям земной оси, соответствую-
щим этим двум моментам времени. Положение точки весеннего равноденствия
определяется в обоих случаях посредством наблюдений Солнца. Сравним затем
прямые восхождения и склонения звезд, полученные для обоих моментов. Взяв
средние значения, мы исключаем собственные движения неподвижных звезд.
Остающееся различие в координатах объясняется тогда следующими причинами:
1) нутационными движениями земной оси и движением нормали к земной орбиты;
2) прецессионными движениями земной оси; 3) движением солнечной системы
относительно неподвижных звезд; 4) вращением системы неподвижных звезд во-
круг оси Млечного Пути. Нутационные движения земной оси и движение нормали
к земной орбите известны, и влияние их может быть вычислено. Для постоянной
прецессии мы имеем достаточно хорошее приближенное значение, так что мы
можем приближенно исправить за прецессию координаты звезд. Различие между
исправленными таким образом координатами будет зависеть: 1) от незначительных
ошибок, происходящих от неточного знания постоянной прецессии, и 2) от упо-
мянутого выше движения солнечной системы и вращения Млечного Пути.
Таким образом систематические разности в полученных из наблюдений пря-
мых восхождениях и склонениях можно при вычислении уничтожить путем пере-
лесення начала координат и поворота осей. Перенесение начала координат соот-
ветствует движению солнечной системы, поворот же можно рассматривать как
равнодействующую вращения вокруг нормали к эклиптике, причем нужно принять
во внимание поправку постоянной прецессии и вращение вокруг оси Млечного
Пути. Разлагая равнодействующую на две составляющие, направленные по обеим
осям вращения, получаем численное значение поправки постоянной прецессии и
вращения Млечного Пути.
Можно было бы ожидать, что вращение, вычисленное на основании система-
тических разностей прямых восхождений и склонений, расположено в плоскости,
проходящей через нормаль к эклиптике и через ось Млечного Пути, причем
вращение это является равнодействующей двух вращений вокруг упомянутых
осей. Но наблюдения показывают, что в действительности дело обстоит не со-
всем так. Мы возвращаемся здесь к следующему факту. Положение точки весеннего
равноденствия было определено на основании наблюдений Солнца, которые менее
точны, нежели наблюдения звезд. Таким образом возможно, что вследствие ошибки
при наблюдениях' Солнца получатся неправильные прямые восхождения звезд.
Если ошибка в определении положения точки весеннего равноденствия при
наблюдениях в обе эпохи окажется различной, то при вычислении мы получим
еще добавочное кажущееся вращение вокруг экваториальной оси.
В таком случае найденное нами вращение надо разложить на три оси: на
нормаль к эклиптике, вдоль оси Млечного Пути и вдоль оси экватора. Найденные
таким образом составляющие дадут поправку постоянной прецессии, величину
вращения вокруг оси Млечного Пути и величину смещения точки весеннего равно-
денствия, получившиеся вследствие ошибок при наблюдениях Солнца.
Таким путем мы можем получить результаты, в некоторой степени независи-
мые от наблюдений Солнца.
В качестве примера возьмем числа, которые были получены на основании
собственных движений звезд каталога Босса (см. стр. 412). Произведя вычисления,
мы получим следующие значения для составляющих переноса осей (к, ѵ и w) и
величины вращений (q, р и г), взятых по осям экваториальной системы координат:
и= + 0",0003вгод;
р =-J -0",0019 в год;
V=
—
0",0318 „ „
q=
—
0",0034 „ „
w=
-j-0",0217 „ „
г=
—
0",0037 „ „
Составляющие
переноса системы показывают,
что собственное движение
солнечной системы, вычисленное по звездам каталога Босса, направлено в точку
с координатами а = 270°, 8 = 34°.
Если найденную величину вращения системы
разложить по направлению трех упомянутых выше осей, то мы получим:
Поправка постоянной прецессии согласно каталогу Босса . . .
—] -0" ,0 094
Вращение вокруг оси Млечного Пути
—0",0022 в год
Смещение точки весеннего равноденствия
- j -°">0113
Перед нами стоит важный вопрос, совпадает ли с достаточной точностью
инерциальпая система, определенная из наблюдений звезд на основании сделан-
ного нами допущения, с системой, определенной на основании наблюдений планет.
И действительно, удалось показать, что, принимая во внимание небольшие по^
правки, требуемые теорией относительности (см. стр. 330), можно добиться
удовлетворительного совпадения.
В заключение следует еще заметить, что, быть может, в недалеком будущем
удастся
для
определения
инерциальной
системы
использовать
наблюдения
объектов, расположенных вне системы Млечного Пути.
ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ ВНУТРИ ЗВЕЗДНОЙ СИСТЕМЫ, ПРОИСХОДЯЩИЕ ВСЛЕДСТВИЕ
СОВОКУПНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ ВСЕЙ СИСТЕМЫ
§ 205. В предыдущих параграфах мы занимались вопросами тяготения, при
которых рассматривалось притяжение друг к другу одного, двух или несколь-
ких небесных тел, причем. каждое из них при вычислениях рассматривалось
в отдельности.
Теперь мы хотим сказать несколько слов по вопросу, когда притяжение про-
изводится совокупной
массой нескольких тел, всей системой этих тел, причем
притяжение, оказываемое каждым отдельным телом, становится
незаметным
в общей массе.
Млечный Путь представляет собой такую именно систему, такую же систему
представляют собой и звезлные скопления, хотя бы меньших размеров. В качестве
особенно простого, но с некоторых точек зрения весьма характерного примера
рассмотрим вопрос о движениях, которые могут происходить внутри шарового
скопления звезл.
На фиг. 180 (см. вклейку между стр. 462 и 463) воспроизведена репродукция фо-
тографического снимка шарообразного звездного скопления в созвездии Геркулеса
(Мессье 13), сделанного на обсерватории Маунт Вильсон. Закон распределения звезд
в этом скоплении бросается в глаза при непосредственном рассмотрении снимка: наи-
большая плотность звезд замечается в центре скопления, к краям скопления плот-
ность постепенно уменьшается, и вся система в общих чертах имеет шарообразную
форму. Произведя подсчеты звезд на таком снимке, мы получим численные резуль-
таты, характеризующие скопление в том виде, в каком оно проектируется на фото-
графическую пластинку; при помощи простых математических формул можно устано-
вить закон распределения плотности звезд в пространстве
(см. стр. 461). В резуль-
тате оказалось, что пространственная плотность звезд 5 (т. е. число звезд, при-
ходящееся на единицу объема) может быть математически выражена сравнительно
простой функцией значения г —расстояния от центра скопления; такой же резуль-
тат можно установить и для других звездных скоплений подобного вида. Сделав
соответствующий выбор единиц величин, входящих в нашу задачу (между про-
чим плотность звезд в центре скопления примем равной единице), мы на осно-
вании подсчета звезд получим для пространственной плотности звезд следующее
выражение:
МтЫѣ
-
Рассматривая движения отдельных звезд в таких системах, как шарообразное
звездное скопление, мы-должны придерживаться двух основных положений.
Во-первых, каждая звезда, принадлежащая к системе, постоянно находится под
действием всей массы системы, и, во-вторых, может случиться, что отдельные
звезды при своих движениях могут так близко подойти одна к другой, что из-
вестную роль будут играть и индивидуальные
притягательные силы этих звезд.
О втором положении мы скажем несколько ниже (см. стр. 461), здесь же мы
ограничимся лишь рассмотрением первого положения.
Обратимся к закону распределения звезд внутри скопления, выраженному
формулой (1); если нам известны и массы
звезд, составляющих скопление, мы
можем вычислить общее притяжение, испытываемое каждой отдельной звездой
скопления. Современные исследования, производимые специалистами по звездной
астрономии, дают нам возможность думать, что верхний и нижний пределы,
между которыми распределяются массы
звезд, не слишком сильно отличаются
один от другого; поэтому мы, веро-
ятно,
не сделаем
большой
ошибки,
если для звездной системы, состоящей
из очень большого числа звезд, примем,
что массы их равны между собой по
величине, или, лучше сказать, мы при-
мем массы их равными некоторой средней
* величине. Тот факт, что звезды с более
крупными массами, вероятно,
сильнее
сконцентрированы около центра скопле-
ния, нежели звезды с меньшими массами
(стр. 461), в численном отношении ока-
жет весьма незначительное влияние на
результаты, а в качественном отношении
не окажет никакого действия. Из этого
Фиг. 138 . Форма орбиты звезды в шаро-
обстоятельства вытекает также, что мы
образном звездном скоплении.
вероятно, не сделаем большой ошибки!
если наш закон распределения
плотно-
стей звезд в скоплении примем в качестве приближенного выражения закона
распределения
масс; таким образом формула (1) может быть принята как основа
для вычисления совокупного притяжения, которое производит все скопление звезд
на каждую отдельную звезду, расположенную в определенном месте скопления.
В классической проблеме небесной механики, в теории возмущений, которой
мы посвятили предпоследний раздел, занимаются исследованием действия домини-
рующей силы притяжения центрального тела (обычно Солнца), причем действия
этой силы подвергаются более или менее значительным изменениям в зависи-
мости ог влияния возмущающих сил. В рассматриваемой нами задаче — действия
силы притяжения в шарообразном скоплении — мы игнорируем влияние возмущаю-
щих сил; основная же сила имеет здесь совсем иное значение, нежели в солнеч-
ной системе.
Элементарный закон механики устанавливает, как действуют симметрично
расположенные в шарообразном пространстве массы на малую материальную
частицу, находящуюся внутри этого пространства.
Допустим, что частица Р, расположенная внутри скопления, находится на
определенном расстоянии г от центра шара С. Вообразим шаровую поверхность
внутри нашей массы, проходящую через Р. Полное притяжение всей шарообраз-
ной массы радиуса /?(/?> г) на частицу Р равно притяжению, которое произ-
водит на частицу Р масса шарообразного тела радиуса г; эта сила притяжения
направлена к центру шара, как будто масса всего шара радиуса г сосредоточена
в одной точке, именно в центре шара. Для решения нашей задачи из этой
теоремы вытекают следующие положения: на звезду Р, находящуюся внутри
шарообразного скопления
с сдмметрично расположенными звездами, оказывает
влияние только та масса, которая находится внутри шаровой поверхности,
про-
веденной через нашу звезду. Притяжения, оказываемые на звезду Р звездами,
расположенными снаружи от этой шаровой поверхности, уравновешивают друг
друга (в сумме они равны нулю). Иными словами: если мы будем предполагать,
что звезда Р приближается или удаляется от центра скопления, то сообразно
с этим будет уменьшаться или возрастать масса, которая оказывает на нее при-
тягивающее действие.
На основании всех этих предположений мы в силу формулы (1) можем на-
писать следующее выражение массы М, действующей на звезду Р:
г
M-jwSdr-^iri^i
(2)
о
из этой формулы мы получим для значения силы К, притягивающей звезду Р
к центру скопления, следующее выражение:
V k*mM 4 k-rnr
~~f
r
~
=
Tк(1+^Ѵі'
где m — масса звезды P, а к — гауссова постоянная.
Диференциальные уравнения движения звезды Р выразятся в такой Форме
(см. § 157):
сГ'Х
4
к*х
dt 8"
3"(1+л-)
:
/.
d"- y
_4
к-у
(4)
di*
3
(1+гТ
Эту систему уравнений можно интегрировать при помощи эллиптических
функций. Форма орбит получится такая, как изображена на фиг. 138, т. е. орбиты
будут иметь вид эллипсов с вращающимися линиями апсид. Частными случаями
будут: 1) прямолинейное движение через- центр скопления взад и вперед с макси-
мальной (но конечной) скоростью при прохождении через центр и 2) система
бесконечно большого числа круговых, движений вокруг центра с постоянной
скоростью (как для случая движения планет). Скорость равна нулю, если орбита
находится на бесконечно большом расстоянии от центра, но достигает
максималь-
ного значения на некотором определенном расстоянии от центра; причем по
мере приближения к центру период обращения стремится к некоторой конечной
величине. Таким образом движения в звездном скоплении существенно отличаются
от движений согласно законам классической небесной механики.
Примеры возможных движений в звездной системе, которые мы привели, отно-
сятся к идеальному случаю — шаровому и симметрично расположенному скопле-
нию звезд, масса в котором распределена по некоторому определенному закону.
Надо сказать, что для случаев, не столь упрощенных, исследование вопроса будет
гораздо сложнее. Некоторые указания по поводу движений в звездных системах
будут приведены нами в § 317.
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА
СОЛНЦЕ
§ 206. Размеры, масса/ плотность. Параллаксу Солнца 8",80 соответствует
расстояние, равное 23 439 экваториальным радиусам Земли или 149,50 млн. км -
увеличению параллакса на 0",01 соответствует уменьшение расстояния на 26 6 зем-
ных радиусов или почти на 170 000 км.
Произведя полную обработку гелиометрических наблюдений, выполненных во
время прохождений Венеры перед диском Солнца в 1874 и 1882 гг.,
Ауверс
получил для углового радиуса Солнца на среднем расстоянии величину 15'59", 6 »).
Исходя из этих основных величин, были вычислены нижеприводимые элементы
Солнца, причем всюду соответствующие элементы Земли приняты за единицу.
Преобладающая часть чисел приведена с ббльшим количеством значащих цифр]
чем это, собственно говоря, оправдывается точностью, с которой мы знаем парал-
лакс Солнца. Справа указаны изменения приводимых величин, соответствующие
увеличению параллакса на 0",01.
Радиус Солнца
.. ..
Поверхность Солнца . .
Объем Солнца
Масса Солнца
•
Плотность Солнца . . .
Напряжение сплы тяжес
поверхности Солнца
109,06
11918
1 301 000
332 270
0,255
i
27,941
Изменения для
уиелннсния парал-
лакса на 0",01
- 0,124
-27
-4 435
—11 33
0
- 0.032
Наглядное представление о величине Солнца мы получим, мысленно перенеся
Землю в центр Солнца; тогда орбита Луны относительно Земли расположилась бы
внутри Солнца на расстоянии от его центра, не намного превышающем половину
радиуса Солнца.
Вышеприведенное значение радиуса Солнца выражено в
экваториальных
радиусах Земли, а при вычислении поверхности и объема Солнца принято
в расчет сжатие Земли (см. § 95).
Для вычисления массы Солнца использованы приведенные в § 128 элементы
Земли, выведенные Гельмертом, и указанное в § 104 значение напряжения силы
тяжести на земной поверхности как мера истинного притяжения Земли.
Плотность (или удельный вес), т. е. отношение массы к объему, вычислена
средняя, относительно среднего же значения плотности Земли; для того чтобы
отнести плотность Солнца к плотности воды приведенное число надо умножить
на 5,5. Следовательно, несмотря на огромное давление, которое должно господ-
ствовать в недрах Солнца, высокая температура должна иметь своим следствием
») В качестве редукции наблюдений края солнечного диска на центр его в некоторых
астрономических ежегодниках используется несколько большая величина 16'1"2 или
16 1".5 вследствие того, что иррадиация обусловливает кажущееся увеличение диаметра
Солнца.
•го обстоятельство, что средняя плотность Солнца, отнесенная к плотности воды,
должна составить не больше 1,4.
В то время как длина свободного падения в безвоздушном пространстве
составила бы в первую секунду немного меньше 5 м, на поверхности Солнца она
превысила бы 137 м. Как мы увидим впоследствии, на Солнце действует и
центробежная сила, но она имеет там еще меньшее значение, чем на Земле.
§ 207. Солнечные пятна. Факелы. Грануляция. Вращение Солнца. При
наблюдении Солнца в астрономическую трубу следует или поместить между
окуляром и глазом цветное стекло (или иное приспособление,
ослабляющее
яркий свет Солнца), или, выдвинув окуляр, проектировать изображение Солнца
на белый экран, помещаемый позади окуляра. При наблюдениях Солнца часто
пользуются и целостатом.
В этом инструменте два плоских зеркала отражают
свет Солнца в оптическую систему, используемую для получения изображения
Солнца. Эта система установлена неподвижно; плоские зеркала двигаются таким
образом, что изображение Солнца все время остается на одном и том же месте.
Легко убедиться в том, что яркость солнечного диска не является всюду
одинаковой, но постепенно убывает к его краям. Однако наиболее бросающимся
в глаза явлением служат нередко появляющиеся темные пятна.
Солнечные
пятна
иногда достигают таких размеров, что их удается видеть и
невооруженным глазом; это бывает в том случае, если их диаметр превышает 50";
радиус Земли, рассматриваемый с этого расстояния, был бы видим под углом
в 17",6. Солнечные пятна часто представляются кругообразными или же оваль-
ными— в том случае, когда они наблюдаются вблизи края солнечного диска; но
нередко они обладают и неправильной формой, особенно в тех случаях, когда
они встречаются группами. Солнечные пятна в большинстве случаев состоят из
двух частей—из более темного внутреннего ядра и из менее темной окружающей
его полутени. Однако ни ядро, ни полутень не являются совершенно черными, и
если пятна вообще кажутся нам темными, то это происходит только по контрасту
с ослепительной яркостью солнечного диска. Солнечные пятна никогда не бывают
столь черными, как нижние планеты во время их прохождений перед диском
Солнца. Нередко одно и то же пятно существует несколько месяцев, правда, не
сохраняя при этом своей формы, но большинство пятен прекращает свое суще-
ствование раньше. Вблизи края' солнечного диска, преимущественно в окрестно-
стях пятен, зачастую бывают видимы области, обладающие гораздо большей
яркостью, чем окружающая поверхность Солнца; по этой причине они были
названы факелами.
При благоприятных условиях на солнечной поверхности
удается наблюдать и третье явление, так называемую грануляцию.
Оно состоит
в том, что поверхность Солнца не обладает равномерной яркостью; мы различаем
на ней мелкие яркие пятнышки, по своей форме напоминающие зерна риса,
чередующиеся с более темными участками.
Частота появления солнечных пятен обладает отчетливо выраженной
периодич-
ностью;
продолжительность периода может от раза к разу несколько колебаться,
но в среднем она составляет И лет с небольшим. Частота встречаемости солнеч-
ных пятен может быть выражена как их количеством, так и долей поверхности
Солнца, закрываемой ими. Оба эти метода в основном приводят к одному и
тому же результату.
Различия между отдельными годами могут быть весьма значительны; так,
например, в 1859 г. в среднем солнечными пятнами было покрыто 1,4 тысячных
поверхности Солнца, а в 1867 г. соответствующее число составило всего лишь
0,2 тысячных.
11-летний период пятнообразовательной деятельности Солнца особенно заме-
чателен тем, что он находит свое отражение на Земле в различных явлениях,
связанных с земным магнетизмом.
Не только так называемые магнитные бури,
зачастую сопровождаемые полярными сияниями, происходят наиболее часто во
время наличия большого количества солнечных пятен, но и в более обычных
повседневных явлениях мы находим отражение этого периода.
В том случае, когда солнечное пятно существует достаточно долго, оно
неизменно движется с восточного края солнечного диска к западному- . его краю
(.следовательно, п северном полушарии слева направо); это движение поперек
всего диска занимает около двух недель; затем пятно приблизительно на такой же
срок исчезает, после чего вновь появляется на левом краю, и все повторяется
сначала. Это показывает, что Солнце совершает вращение
вокруг некоторой осн.
Положение этой оси удалось определить путем измерений положений солнечных
пятен в то время, когда они доступны наблюдениям. Однако точность этого
определения не особенно велика вследствие того, что пятна, принимающие уча-
стие во вращении Солнца вокруг оси, зачастую обладают еще и собственными,
движениями по поверхности Солнца. Ось вращения Солнца образует с эклиптикой
угол в 83 , а солнечный экватор, следовательно, наклонен к эклиптике на 7°.
Положение точки на поверхности Солнца определяется широтой и долготой, так
же как и на Земле. В силу того, что у Солнца не удалось обнаружить никакого
сжатия, не существует различия между гелиоцентрической
и
гелиографической
широтами. В начале июня и декабря продолжение плоскости экватора Солнца
проходит через Землю. В эти периоды солнечные пятна движутся по диску
Солнца по прямым, слегка наклонным к эклиптике; двигаясь по этим прямым
слева направо, солнечные пятна в июне слегка опускаются относительно ЭКЛИП-
ТИКИ, а в декабре слегка поднимаются относительно нее. Период возвращения
пятна на то же место солнечного диска в среднем составляет около 27 дней; по
отношению к наблюдателю, находящемуся на земной поверхности, этот период
является синодическим временем вращения; отсюда ранее описанным способом
(см. например, стр. 109) может быть
выведено
сидерическое
время враще-
ния, оказавшееся равным приблизительно 25 суткам. Более подробные сведения о
вращении Солнца будут изложены ниже.
Как уже было упомянуто, некоторые пятна продолжают существовать в тече-
ние долгого
времени, нередко месяцами. Обычно пятна встречаются группа-
ми. Два
пятна развиваются
приблизительно
одновременно, а в промежутке
между ними постепенно образуются мелкие пятна. Переднее пятно обычно сохра-
няется дольше.
Пятна всегда встречаются лишь в определенных областях солнечной поверх-
ности, а именно, как правило, только в двух поясах, располагающихся по обе
стороны от экватора, между 5 и 35° широты; за 40-ми параллелями пятна наблю-
даются крайне редко. Распределение пятен в пределах этих поясов также подчи-
нено 11-летнему периоду. Во время высоких максимумов пятнообразовательной
деятельности Солнца в этом отношении наблюдалась следующая закономерность:
во время минимума расположение немногочисленных пятен ограничено двумя,
узкими поясами между 5 и 15° широты, причем преобладающая часть этих пятен
группируется между широтами в 5 и 10°.
Конец минимума пятнообразовательной
деятельности Солнца знаменуется появлением пятен на более высоких широтах,,
примерно около 30°; поэтому в течение 1—2 лет после минимума средняя широта
пятен возрастает. Одновременно с быстрым увеличением числа пятен по мере
приближения к максимуму солнечной деятельности новые пятна образуются на
все более низких широтах. Вследствие этого в период максимума еще продолжают
встречаться пятна до широт 35° и больше, тогда как большинство пятен груп-
пируется
в
зоне
широт
15—20°.
После этого количество пятен начинает
уменьшаться, что сопровождается и уменьшением средней их широты. Проме-
жуток времени от минимума до максимума короче промежутка от максимума до
минимума.
Что же касается времени вращения Солнца, то уже давно обратили внимание
на то, что угловая скорость вращения убывает от экватора по направлению
к наиболее высоким широтам, на которых могут быть видимы солнечные пятна.
С помощью спектроскопа удалось исследовать эту закономерность и в остальных
областях поверхности Солнца. Вращение Солнца имеет своим следствием то
обстоятельство, что точка, лежащая на левом краю солнечного диска, прибли-
Фиг. 139. Большое солнечное пятно (сфотографированное 8 августа 1917 г. на
обсерватории Маунт Вильсон). Черным кружком в левом нижнем углу показана
величина Земля.
Фиг. 140. Солнвчцад jgopoHB эатохзі минимума солнечных пяггеа.
Фнг. 141. Солнечная корона, сфотографированная во время полного солнеч-
ного затмеітя 19 июля 1936 г. в Куйбышевке (Дальневосточный край).
L
жается к наблюдателю, в то время как точка, лежащая на правом краю, одно-
временно удаляется от него.
Мы можем с достаточной точностью измерить
обусловленное этим относительное смещение одной и .той же линии солнечного
спектра для двух точек, расположенных на одной и той же шпроте, из которых
одна находится на левом краю солнечного диска, а другая на нравом его краю;
отсюда мы можем вычислить двойную линейную скорость перемещения в напра-
влении луча зрения, т. е. приблизительно вдоль по касательной к соответствую-
щей параллели Солнца, а отсюда в свою очередь нетрудно найти и искомую
угловую скорость его вращения. Дупер определил этим способом угловые ско-
рости вращения точек, лежащих на различных широтах, путем обработки многочис-
ленных наблюдений. Полученным им результатам соответствуют нижеприводимые
времена вращения, выраженные в средних сутках:
Гелиографическая широта
0°,4. 15*,0 303,0 44°,9 60*,0 75°,0
Время вращения
24,19 21,79 25,77 28,21 31 ,61 33 ,55 суток
Последующие наблюдения аналогичного характера привели к сходным резуль-
татам. Суточное угловое перемещение п довольно точно выражается формулой
п= аb
cos2«,
где ф —широта Солнца. Время вращения равно 360°: п. Постоянная а равна
около 11°, постоянная b равна около 3°,5.
§ 208. Спектр Солнца. Корона. Хромосфера. Протуберанцы. Спектр Солнца
представляет собой спектр поглощения, т. е . непрерывный спектр, прорезанный
тысячами темных линий. Длины волн наиболее бросающихся в глаза линий были,
измерены еще Фраунгофером; эти линии он обозначил буквами, начиная от А на
красном конце спектра до H на фиолетовом. Роуланд измерил фотографическим
путем положения около 20 000 линий, из которых свыше 6000 приходится на
ультрафиолетовую часть спектра с длинами воли от 29 700 до 3800 А. В послед-
ние годы на обсерватории Маунт Вильсон роуландовский каталог длин волн
солнечного спектра был перенаблюден и расширен примерно до 10 200 А.
Часть линий спектра Солнца вызывается поглощением, происходящим в земной
атмосфере, в то время как источник происхождения остальных линий находится
на самом Солнце. Чем длиннее путь, который приходится проделывать солнечным
лучам в земной атмосфере, прежде чем они попадут в рлаз наблюдателя, тем
интенсивнее становятся линии земного происхождения. Эти линии удается отли-
чить от солнечных линий благодаря тому, что они не обнаруживают явления
Допплера, которое имеет место у солнечных линий при наблюдениях краев
диска Солнца (см. § 207). Многие линии солнечного спектра обладают теми же
длинами волн, как и'яркие линии, наблюдаемые при исследованиях спектров
излучения различных веществ на Земле. На основе опыта, на котором базируется
спектральный анализ (см. § 9), мы можем отсюда заключить, что атмосфера
Солнца содержит элементы, имеющиеся на Земле. О наличии на Солнце водорода
свидетельствует ряд интенсивных линий, к числу которых принадлежат фраун-
гоферовы линии С и F. Резкая, двойная линия D (компоненты которой обозна-
чаются через Dj и D2) в желтой части спектра производится парами натрия.
Кальций и магний разным образом обусловливают появление ряда интенсивных линий..
Из числа тяжелых металлов особенно заметно железо спектр которого состоит
из нескольких тысяч линий. Соответствующие темные линии были
найдены
в спектре Солнца. Отождествлять эти линии не всегда легко; для такого рода
исследований требуется сильная дисперсия. Это видно хотя бы из того, что Лозе
в Потсдаме, исследовав спектры 19 элементов, нашел на одном конце их в пре-
делах длин волн от ЗЗб'О до 4020 А не менее 4979 линий, в результате чего
средний интервал между двумя линиями составил всего лишь 0,13 А. Лозе оце-
нивает ошибку своих измерений в 0,02 А.
•282
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА
В следующей части будет изложена теория звездных спектров в общем виде.
Эта теория пригодна и для спектра Солнца.
Однако у всех остальных звезд
доступно наблюдению лишь общее излучение, испускаемое половнпой поверхности
звезды. Поверхности звезд • видимы под столь малыми углами, что даже при
использовании наибольшей разрешающей силы телескопов звезды не предста-
вляются нам дисками. На Солнце же мы можем в отличие от звезд исследовать
различные части Ѵго диска в отдельности. Ниже будут изложены результаты этих
исследований.
В общих чертах мы можем охарактеризовать физические условия, господ-
ствующие на поверхности Солнца, следующим образом: в центральных частях
солнечного диска за пределами солнечных пятен и факелов спектр Солнца является
нормальным спектром класса GO звезды-карлика (см. стр. 253 —255, 258 и 407).
По мере приближения к краям солнечного диска свет всех длин волн стано-
вится слабее, причем коротковолновая часть спектра оказывается ослабленной
сильнее других; при этом форма и интенсивность линий поглощения слегка изме-
няются. Солнечные пятна обладают спектром звезд класса КО.
При наблюдениях Солнца вблизи краев его диска луч зрения проходит
весьма наклонно по отношению к поверхности Солнца, вследствие чего наблю-
даемые в данном случае слои располагаются на меньшей глубине под поверх-
ностью Солнца, чем слои, наблюдаемые в центральной части Солнца. Тот факт,
что интенсивность излучения возрастает по мере приближения к центру Солнца
при наблюдении все более и более глубоких его слоев, показывает, что темпе-
ратура но мере углубления возрастает; при повышении же температуры наиболь-
шее усиление претерпевает именно излучение коротковолновой части спектра.
Закон увеличения температуры по мере углубления может быть выведен из
закона уменьшения интенсивности излучения по мере приближения
к краям
•солнечного диска и наоборот.
То обстоятельство, что при переходе от поверхности Солнца к солнечным
пятнам спектр изменяется от GO к КО показывает, что температура
солнечных
пятен ниже температуры окружающей их поверхности.
При наблюдениях Солнца во время полных солнечных затмений мы видим
в момент наступления- полной фазы темный диск Солнца окруженным обширными
светящимися массами. Эти светящиеся массы во все остальное время обычным
способом не удается видеть вследствие того, что солнечный свеу рассеивается
в земной атмосфере и того, что этот рассеянный свет по своей яркости значи-
тельно превосходит яркость окружающих Солнце светящихся масс. Кроме того,
вокруг полностью затмившегося Солнца бывает видима слабо светящаяся масса,
простирающаяся от темного диска Солнца на расстояние, превышающее полгрпдуса;
это — так называемая корона
(фиг. 140 и 141). Внутренний слой светящихся масс',
обладающий толщиной порядка 10 000 км, называется хромосферой.
Под хромо-
сферой во время очень короткого мгновения при полном затмении (продолжи-
тельностью около 1 сек.) бывает виден очень тонкий слой, переходящий снаружи
в хромосферу, но более яркий, чем она, Кроме того, бывают видимы неправильной
формы ярко светящиеся массы, вырывающиеся из-за затмившегося
солнечного
диска, называемые протуберанцами
(фиг. 142).
Как уже было упомянуто, рассеянный в земной атмосфере солнечный свет
препятствует наблюдения^ хромосферы, протуберанцев м короны вне полных
солнечных затмений. Энергия излучения этого рассеянного света распределена
по всему спектру приблизительно равномерно. Со времени исследований, произ-
веденных Жаисеном во время солнечного затмения 1868 г.,
мы знаем, что энер-
гия света протуберанцев весьма сильно сконцентрирована в очень узких участках
спектра, главным образом в линиях водорода. Поэтому, если мы воспользуемся
не белым светом, но выделенным с помощью спектрографа светом одного из уз-
ких участков спектра, в котором сосредоточен свет протуберанца, то этот свет
приобретает яркость, значительно превосходящую яркость мешающего рассеянного
света. Этот принцип, заключающийся в использовании длин волн, в которых преобла-
СОЛНЦЕ
283
дает интересующий нас свет, может быть приложен и к наблюдениям хромо-
сферы, свет которой в основном также концентрируется u узких участках спектра.
Что же касается короны, то этот принцип не удалось применить к ее наблюде-
ниям с тем же успехом. Свет короны также частично концентрируется в отдель-
ных линиях, но они, однако, являются сильно размытыми и, кроме, того, в силу
своей многочисленности содержат каждая
лишь незначительную долю
света
короны.
Вышеописанный принцип был предложен и с успехом применен Локайером
приблизительно одновременно с исследованиями, произведенными Жаисеном, но
независимо от него.
В последние годы на Полуденном пике (Pic du Midi) в Пиринеях на высоте
в 2870 м удалось наблюдать протуберанцы и хромосферу в неразложенном
свете вне полных солнечных затмений. Равным образом при тех же условиях
удалось рассмотреть корону и сфотографировать ее в оранжевых лучах. Достичь
этих результатов оказалось возможным вследствие особо благоприятных атмо-
сферных условий. Кроме того, были приняты всяческие предосторожности для
предотвращения рассеивания света в использованном для этой цели рефракторе.
Средняя высота протуберанцев составляет примерно 30 000 км, но наблюда-
лись отдельные протуберанцы, достигавшие высоты приблизительно в 1 000 000 км.
Протуберанцы могут достигать больших скоростей, после того как они, бу-
дучи выброшены с поверхности Солнца, падают на нее обратно; скорости эти
измеряются сотнями километров в секунду. Более подробное изучение протубе-
ранцев показало, что по роду своих движений они разделяются на два типа:
на изверженные, или эруптивные, протуберанцы и на спокойные, или облакообраз-
ные, протуберанцы.
Как уже было упомянуто, спектр протуберанцев состоит из отдельных ярких
линий без общего цветного фона. Спектральные линии спокойных протуберанцев
показывают, что они содержат, кроме водорода, гелий и однажды ионизирован-
ный кальций. Эруптивные протуберанцы, кроме трех этих веществ, содержат
еще и металлы, почему эти протуберанцы иногда и называются металлическими.
Изверженные протуберанцы обнаруживают тесную связь с солнечными пят-
нами. Они наблюдаются почти исключительно в .тех же широтах, как и солнеч-
ные пятна; кроме того, частота появления изверженных протуберанцев обнару-
живает такую же периодичность, как и пятнообразовательная деятельность Солнца.
Спокойные протуберанцы, наоборот, наблюдаются во всех широтах Солнца, хо-
тя и они предпочитают те широты, в которых образуются пятна; частота их
появления слегка изменяется в связи с периодом солнечных пятен.
Спектр
хромосферы
состоит из ярких линий немногих элементов, налагаю-
щихся на менее яркий непрерывный спектр. Это свидетельствует о том, что
атомы хромосферы, подобно атомам протуберанцев, излучают свет лишь в спект-
ральных линиях. Отсюда следует, что атомы хромосферы и протуберанцев из
всей радиации, излучаемой более глубокими слоями Солнца, поглощают свет
лишь в узких интервалах длин волн, соответствующих спектральным линиям.
Иными словами, плотность хромосферы и протуберанцев настолько мала, что
заметно поглощаются лишь такие участки спектра, в которых коэфициент погло-
щения особенно велик (см. стр. 382).
Высота хромосферы составляет около 10 000 км. В высших ее слоях были
обнаружены лишь весьма немногочисленные линии, принадлежащие водороду,
гелию и однажды ионизированному кальцию. При приближении к краю солнеч-
ного диска линии .спектра хромосферы становятся все многочисленнее. Спектр
высоких слоев.хромосферы очень похож на спектр спокойных протуберанцев.
Спектротонкого слоя, лежащего непосредственно под хромосферой, называется
«спектром
вспышки»;
он получил это название потому, что он бывает видим
в течение нескольких секунд во время полных солнечных затмений. В основном
он состоит из линий излучения тех же длин волн, которые в обычном сол-
нечном спектре соответствуют линиям поглощения. Объясняется это явление так же,
СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА
силКьно разре>кеин ого °продол же 11 luf^ л оя^'
"
рассматр
"
вать
ся в качестве
ния сосРтояРЩего иГвеГГнГіГэ^мГоТ"
ПР°Д0Л-
на спедтГсоЗГв enZITTM
СПеКТр
очень похожий
сЬеровьі линии В спектп?
П"Х
"^6" КОрОНЫ <TMтл„во
Фраунго-
IIeИаблюдали"ь~Ѵчто бить мZpZ n'r '" * ЧаСТвй К
°
Р0"Ы ФР»Уигоферовы линии
грамм
:гтеМі
"
то эта
,,асть
спеістр0"
—
—
B1ÄA
ного дис9,;аС,іееЗли?п.мГРаф
-
В
ХTM
СВеТе Мы на юркающем фоне солнеч-
-
жим белы , свет nг TZ
х
РомосФ
е
Ры,
ни
протуберанцев. Если же мы разло-
Гний^поглощения
Г
во
'
пользуем
<* очень узкTM"
его областями вокруг
происходит благол'пгні
х
Р°
с
ФеР
а
"
протуберанцы становятся видимыми. Э о
СПеТ ДЛИНВ0ЛН- ДЛЯ К0Т°РЫХ коэфициент погло-
ПМР 1„
'
удет доходить до наблюдателя лишь от тех атомов
кото
рые находятся в высших слоях Солнца, т. е . в хромосфере или в протХоанГаГ
ѴЗких ин?еовллп°пМУлПРИ ф0Т0Графнр0ВаН1
"
1 - со;п,ечной поверхности в cîX очень
беранцымогѵт бьт. ч В°Локоло
спектральных линий хромосфера и проту-
ный диск.
У
еЧеНЫ " Т0ГДа
'
К0ГДа 0НИ проектируются на солнеі
Такие снимки производятся с помощью спектрогелиографа.
Когда на окѵ-
Г .зоХжедГ'гГ3'
НаправленноTM
"
а
Солнце, укреплен спектрограф так,
что изображение Солнца падает на его щель, то мы можем перед тем как
"
LaZnVn-Ф0Т0ГРафНЧеСКуЮ ПЛЗСТИНКУ' С ПОМОЩыо второй ще/швыре-
?,?!
*
Р
одну единственную линию и пропустить ее на пластинку Сооб-
ГТельХTMГОмыИЗ:ябРаЖеНИЮ ?ЛМЦа
"
ПЛЗСТИНКе ОДИНаковое
ДTM;
отно-
этГй сТектоальной ZZ
способом
"олучим фотографию Солнца, снятую в свете
Р^
ШИ; В случае
если высота первой щели меньше диаметра
КпчÄà С0ЛНЦ3' МЫ П°ЛУЧИМ ФотогРафию полосы солнечного диска
Р
вымnt ппибпГГЛ0ЩеНИ51 В ПРСДеЛаХ спектральной линии является неодинако-
вым. При приближении к середине линии он увеличивается (см. стр 367) Вслед-
пектралі и°ойПРли ф0Т0грзф,ір0ва»"
я
Солнца в'лучах, приходящихся на Середину
спектральной линии, мы получаем изображение высших слоев атмосферы Солнца
При пользовании Лучами, проходящими слегка сбоку от середа спектральной
линии, мы фотографируем несколько более глубокие части Хосферы Солнца
лХшчи ДН ГкТр0ИпнИ0ГРафИЧеСІШХ с"имков
(спектрогелиографш^льзуются
ЛЬиг
43)RTM ИОН,,зироваіГго
кальция или же водородной линией На
(фиг. 143). Высшие слои атмосферы Солнца фотографируются в центре линии На
a несколько более глубокие ее слои-в центрах линий H и К
Тщательное изучение сгіектрогелиограмм высших слоев атмосферы Сплния
—пппТе
-
МИЫе УЧЗСТКИ На НИХ соотв
- ствуют спокойным ^протуберанцам
а яркие-протуоеранцам изверженным. Особенно отчетливо это заметно на фото^
,ыTZ\cZ7hl "
а КРа:° С0ЛНеЧИ0Г0 диска> на которых такой темный или свет-
лый участок солнечной поверхности вследствие вращения Солнца постепенно
переходит в протуберанец, видимый над краем диска Солнца; Светлые участки
часто встречаются в окрестностях солнечных пятен. Это неопровержимо свиде-
тельствует о том, что изверженные протуберанцы физически связаны с солнеч-
ными пятнами (см. стр. 283).
Возможность более широкой постановки наблюдений позволила сделать важ-
ные заключения относительно динамики протуберанцев. При этом связь их с сол-
нечными пятнами была подтверждена и выяснена более подробно. Удалось
наблюдать протуберанец, поднимавшийся над краем солнечного диска, вплоть
Фиг. 142. Протуберанцы, сфотографированные во время поліюго солнечного затмения
28 мая 1900 г. Бернардом и -Рнчн на Лігкскон обсерватории.
Фиг. 143. Спектрогелнограмма в свете лпіпш кальция Н.
Фиг. 145. Солнечные пятаа как центры втехревьгх движений.
Фиг. 144. Спектрогелпограмт края солнечного диска вместе
с протуберанцами.
до его вхождения в солнечное пятно; в этом месте он был изогнут, как если бы
он был втягиваем в солнечное пятно вихрем. При продолжении наблюдения
этого протуберанца с помощью спектрогелиографа, в то время, когда он стал
уже проектироваться на солнечный диск, было замечено, что он постепенно
исчез в вихре солнечного пятна, остававшегося видимым.
Спектрогелнограммы совершенно отчетливо обнаруживают наличие вихревых
движений в солнечных пятнах. Доказательство существования этих вихревых
движений было прлучено путем тщательного изучения линий поглощения спектра
солнечных пятен. Это удалось сделать в результате установления так называемого
эффекта
.Зее'мана,
состоящего в расщеплении каждой спектральной линии
па несколько компонент под действием магнитного ноля. Считается, что это
магнитное поле порождается вихревым движением электронов. Путем весьма
тщательного изучения спектральных линий подобным же образом удалось дока-
зать наличие гораздо меньшей силы общего
магнитного
поля Солнца, аналогич-
ного магнитному полю Земли. Сила магнитного поля Солнца превосходит силу
магнитного поля Земли приблизительно в 100 раз. Северный магнитный полюс
Солнца отстоит от южного полюса вращения Солнца приблизительно на 4°.
Более подробное
спектральное
исследование
солнечных пятен
подтвер-
дило то, что и следовало ожидать: солнечные пятна представляются темнее их
окрестностей вследствие значительно более низкой (примерно на 1000°) их тем-
пературы. Более низкая температура солнечных пятен обязана своим происхож-
дением тому, что они расширяются и вещество, их образующее, при этом про-
изводит некоторую работу. Ввиду этого мы и должны считать температуру
солнечных пятен более низкой, несмотря на то, что они получают из недр
Солнца столько же энергии, как их окрестности. Наличие этих движений, напра-
вленных в стороны от середины солнечных пятен, удалось подтвердить и путем
измерения радиальных скоростей в солнечных пятнах, находящихся вблизи края
солнечного диска.
Вид короны обнаруживает зависимость от пятнообразовательной деятельности
Солнца. Едва ли будет ошибкой, если мы поставим это в связь с массами,
извергаемыми солнечными пятнами и затем частично втягиваемыми обратно.
Таким образом мы видим, что целый ряд явлений, состоящих в перемещениях
масс в солнечной атмосфере, находится в связи с солнечными пятнами. Подоб-
ного рода явления, повидимому, имеют место и в невозмущенных частях атмо-
сферы Солнца. Спектральные линии обнаруживают небольшие смещения, которые,
будучи истолкованными как явление Допплера, дают скорости до 0,5
км/сек.
При этом материя высших слоев кажется движущейся вниз', а материя слоев, бо-
лее низких, — поднимающейся вверх. Удовлетворительного объяснения этих явлений
до настоящего времени еще не существует.
§ 210. Физическое состояние и химический состав внешних слоев Солнца.
Излучение, дающее цветной фон между линиями солнечного спектра, берет свое
начало от атомов, находящихся в наиболее глубоких слоях Солнца, свет от кото-
рых вообще может непосредственно достигать наблюдателя. Этот слой носит
название фотосферы.
Материя, находящаяся непосредственно под поверхностью Солнца, подвержена
действию излучения, которое по всем направлениям, идущим внутрь, равно нулю,
а по всем направлениям, идущим кнаружи, равно наблюдаемому излучению Солнца.
Температура, которую должна приобрести материя в этих условиях, может быть
вычислена из наблюдаемого излучения Солнца; таким путем была получена тем-
пература в 4700° абс.
Полная радиация Солнца соответствует излучению изотер-
мического шара температуры 5740° абс.
Эта температура является средним зна-
чением температур тех слоев Солнца, свет которых видим нам непосредственно
(см. стр. 351).
Над фотосферой располагается слой толщиной около 500 км,
плотность
которого гораздо меньше платности фотосферы (давление его обладает порядком
величины Ю-5 am). Этот слой получил название обращающего
слоя
вследствие
того, что физическое состояние и химический состав этого слоя определяют
характер спектра поглощения Солнца. Этот же слой дает спектр
вспышки
во время полных солнечных затмений.
Над обращающим слоем находится описанная выше хромосфера, плотность
которой настолько мала, что свет поглощается и излучается ею лишь в спек-
тральных линиях.
Над хромосферой вздымается корона, плотность которой еще гораздо меньше.
Эти три слоя — фотосфера, обращающий слой и хромосфера — переходят один
в другой постепенно, причем плотность кнаружи непрерывно уменьшается.
Температура в пределах этих трех, слоев уменьшается не особенно сильно:
примерно с 6000 до 5000° абс. Давление же падает примерно с 10~2 до 10~1G am.
Ширина линий поглощения позволяет судить о наличии на Солнце определен-
ных химических элементов (см. стр. 393). Водород является наиболее часто
встречающимся элементом во всех трех слоях. Следующие числа дают относи-
тельную частоту встречаемости элементов и свободных электронов в атмосфере
Солнца: водород 60, гелий 2, кислород 2, пары металлов 1 и свободные элек-
троны 0,8 частей общего объема (свободные электроны получаются главным
образом при ионизации металлов). Линии трети элементов не были отождествлены
в солнечном спектре. Большинство этих элементов обладает наиболее интенсив-
ными линиями, располагающимися за пределами области доступных наблюдению
длин волн солнечного спектра.
V § 211. Внутреннее строение Солнца. Из прямых наблюдений нам известны
физические условия, господствующие лишь в самых верхних слоях Солнца.
О материи, находящейся в недрах Солнца, мы знаем из наблюдений только то,
что: 1) она обладает общей массой M = 1,985 • 1003 г, 2) что она заполняет
собой шар радиуса R = 6,951 • 1010 см, в силу чего средняя плотность ее
[>,„= 1,411 г • см~й
,
и 3) что ее общая потеря энергии посредством излучения
света L = 3,8- 1033 эргов в секунду.
Более подробное представление о физических условиях,
господствующих
в недрах Солнца, возможно получить лишь косвенным путем, посредством теоре-
тических расчетов.
Такого рода расчеты возможны при допущении, что Солнце одновременно
находится в механическом равновесии и в лучевом равновесии.
Наличие механического равновесия означает, что давление (с учетом
лучевого
давления)
всюду возрастает по направлению к центру, в полном соответствии
с увеличением веса поддерживаемых на данной высоте слоев. Произвольно выбран-
ный элементарный объем действием тяготения всего Солнца притягивается к его
центру (см. стр. 276); давление на нижнюю пограничную поверхность по направ-
лению вверх именно настолько превосходит давление на верхнюю поверхность,
направленное вниз, что и возникает равновесие.
При лучевом равновесии температура кнутри увеличивается, вследствие чего
некоторый избыток лучистой энергии течет кнаружи; увеличение температуры
связано с чистым потоком излучения кнаружи уравнением, в которое, кроме
того, входит коэфициент поглощения материи. Можно доказать, что чистый поток
излучения
пропорционален
градиенту
температуры (изменению
температуры
на единицу длины) и обратно пропорционален коэфициенту поглощения.
Кроме того, очевидно, что ускорение силы тяжести связано с распределением
плотностей. С другой стороны, плотность, давление и температура связаны между
собой так называемым уравнением состояния.
Вышеупомянутые зависимости могут быть выражены уравнениями. Условия
механического и теплового равновесия выражаются двумя диференцнальнымн
уравнениями, дающими изменения
температуры
и давления
при погружении
в недра Солнца. Кроме того, существует диференциальное уравнение, выражаю-
щее изменение ускорения
силы тяжести
по мере приближения к центру Солнца,
и уравнение
состояния,
связывающее между собой плотность (удельный вес),
температуру и давление. Мы не станем приводить здесь выводов этих уравнеиий8
но для обле гчения обзора всей проблемы напишем здесь сами эти несложные
уравнения:
dP=
—
gpdr,
dg= 4r.Gpdr—2ydr,
P
=
/>гаэ +
/'„злу.,
=
<?(P.D+ J
P.
Для идеального газа мы будем иметь
В вышеприведенных уравнениях использованы
следующие буквенные обо-
значения:
Т—температура,
г — расстояние от центра Солнца,
Lr — поток энергии, пересекающий кнаружи в секунду сферу радиусом г от-
центра,
k коэфициент поглощения, зависящий от температуры и давления,
Р—полное давление, сумма газового и лучевого давления,
g—ускорение силы тяжести,
р — плотность (удельный вес),
р.—
молекулярный вес, зависящий от давления и температуры,
а — постоянная Стефана,
с — скорость света,
G—постоянная тяготения,
R — газовая постоянная.
Правые части уравнений, а вместе с тем и изменения величин Т\ Р и g
в зависимости от изменений г, могу г быть вычислены для любого г, для которого
известны p, T, g, а также k, р. и Lr.
Мы знаем, что на поверхности р = 0, Т равно
поверхностной температуре, g=GM\R2.
Исходя от поверхности, вычисления
могут быть продолжены по направлению к центру Солнца, благодаря тому
что
выражения d(T*)
и dp совместно с последним уравнением дают величину dp;
правда, величины k, р. и Lr должны при этом вычисляться из величин р и Т.
Мы приходим к тому общему результату, что уже быстро достигаются темпе-
ратуры, исчисляющиеся миллионами градусов. При таких температурах материя
очень сильно ионизируется (см. стр. 33 и 376), вследствие чего большинство ее-
электроиов становится свободным.
При таких условиях свойства материи стано-
вятся очень простыми. Радиусы свободных частиц оказываются столь малыми, что
материя и при сравнительно весьма больших плотностях должна вести себя, как
идеальный газ. Средний молекулярный вес, вследствие наличия множества свобод-
ных электронов, оказывается малым и притом в большей части Солнца прибли-
зительно постоянным.
:
При таких условиях коэфициент поглощения и молекулярный вес можно
сравнительно легко вычислить, зная химический состав, плотность р и темпера-
туру Т. Относительно чистого потока излучения кнаружи сквозь сферу радиуса г,
обозначенного буквой Lr,
мы можем составить себе представление следующим
образом: на поверхности Солнца Lr равно полному излучению энергии L. С дру-
гой стороны, мы можем связать изменение величины Lr от слоя к слою с поте-
рей энергии, претерпеваемой различными слоями. Рассмотрим две сферы радиусов
гх и г2, где г, > г2. Известная часть энергии, ежесекундно теряемой всем Солнцем,
приходится на долю материи, заключенной в шаровом слое, ограниченном двумя
пышеуказаннымн сферами. Эта потеря равна энергии, излучаемой рассматриваемым
объемом, за вычетом энергии, влучаемой в этот объем, т. е. равна L —L
.
Если
гі у.
потеря энергии различных слоев нам известна, то мы сможем вычислить и вели-
чину ее для всех слоев. В последующем изложении (см. § 321) будет показано, что
изменение потенциальной энергии частиц, кинетической энергии и энергии излу-
чения протекают весьма медленно. В самом деле, из известного нам возраста
Земли, являющегося одновременно нижним пределом возраста Солнца, следует,
что секундные изменения должны быть настолько малы, что для потерь энергии
различными слоями они вообще не могут играть никакой роли. Возможные потерн
энергии в гораздо большей степени должны происходить за счет уменьшения
энергии атомных ядер. Так, например, потери энергии будут зависеть от хими-
ческого состава. Далее, не является невероятным (см. стр. 290), что потери энергии
достигают значительных размеров лишь вблизи центра, в связи с чем величина lr
может п большей части Солнца являться приблизительно постоянной и лишь
вблизи его центра быстро уменьшаться.
Вышеприведенные замечания общего характера дают представление о способах
исследования внутреннего состояния Солнца.
Вместо того чтобы пытаться полностью разрешить индивидуальную проблему
нашего Солнца, мы можем обратиться к исследованию более общей проблемы.
Пусть мы имеем звезду массы M определенного химического состава. Спраши-
вается, как будет построена эта звезда в состоянии равновесия и какой она
будет представляться наблюдателю, т. е . иными словами, каким она будет обладать
радиусом и какой яркостью (см. стр. 286). Ясно, что решив эту более общую
проблему, мы тем самым решим и индивидуальную проблему Солнца.
Прежде всего мы должны уяснить себе, какую роль в рассматриваемой про-
блеме будет играть химический состав. Из вышеизложенного следует, что зна-
ние химического состава необходимо для вычисления молекулярного веса и
коэфициента поглощения. Кроме того, оно необходимо и для вычисления изме-
нений чистого потока излучения. Вели последний в большей части звезды и может
оставаться постоянным, то по всяком случае вблизи центра он должен ослабе-
вать (с тем, чтобы сделаться в центре равным нулю), и здесь-то химический
состав и сыграет свою роль. Принципиально молекулярный вес, коэфициент
поглощения и изменение потока излучения могут быть вычислены при известном
химическом составе и при заданных температуре и плотности. Практически же мы,
разумеется, будем находиться в зависимости от достигнутого уровня развития
теоретической физики.
Для простоты допустим в первом приближении, что теоретическая физика
достигла законченного своего развития. В таком случае мы могли бы произвести
исчерпывающие исследования данной звездной массы М. Для того чтобы решить,
сможет ли существовать такая масса, обладая определенным радиусом R и
определенной светимостью l, мы начнем наши вычисления от поверхности
вышеописанным способом. В данном случае мы сможем проследить за изменениями
молекулярного веса, коэфициента поглощения и потока излучения сквозь всю
массу звезды, вплоть до ее центра. В центре вся масса звезды должна быть, так
сказать, полностью израсходованной, а равно и поток чистого излучения умень-
шившимся в точности вплоть до нуля. В случае если рассматриваемая звезда,
обладая радиусом R и светимостью l, в действительности существовать не может,
это скажется в том, что полученное решение не будет удовлетворять обоим этим
условиям. В самом деле, оба эти условия равнозначны системе двух уравнений
с двумя неизвестными r и l. Эта система двух уравнений должна иметь одно
однозначное решение (ома может иметь и два решения, подобно тому как квадрат-
ное уравнение может иметь два действительных решения). Таким образом радиус
и светимость, а вместе с тем и все внутреннее строение (распределение плот-
ностей и т. п .) будут однозначно определяться массой и химическим составом.
(Как только что было указано, они могут определяться и двузначно, что в про-
тивоположность неопределенному решению не будет представлять принципиаль-
ного различия от однозначного решения.) Итак, в предположении законченного
развития теоретической физики мы могли бы вышеописанным способом вычислить
r и l. В случае Солнца, когда масса, радиус и светимость известны нам из
наблюдений, мы, оборачивая ход наших рассуждений, смогли бы теоретическим пу-
тем делать заключения о химическом составе, а тем самым сумели бы полностью
определить внутреннее строение.
Всякое несовершенство теоретической физики обусловливает недостоверность
вычислений величин r и l и умозаключений относительно внутреннего строения;
при этом, однако, тот закон, что эти величины и внутреннее строение опреде-
ляются массой и химическим составом, разумеется, не теряет силы. Этог закон
неизменно сохраняет свое значение, когда имеется налицо постоянное состояние
равновесия. Если же, например, происходит заметное сжатие массы звезды (см.
выше), то этот закон теряет силу. В наших умозаключениях такое сжатие ска-
залось бы в том месте, в котором мы судили об изменениях чистого потока
излучения по потере энергии, претерпеваемой материей шарового слоя в зави-
симости от температуры, плотности и химического состава этой материи. Желая
избежать ошибок, мы в этом случае должны были бы принять в расчет и изме-
нения, обусловливаемые такого рода сжатием. При вычислении радиуса мы должны
были бы ввести скорость сжатия. Иными словами, радиус должен был являться
независимой переменной, а скорость сжатия (или скорость расширения) должна
была бы явиться переменной, зависимой от радиуса.
В настоящее время мы еще очень далеки от возможности полного проведения
намеченных выше расчетов. В самом деле, в теоретической физике, при настоя-
щем уровне ее развития, существует пробел, сильно сказывающийся именно
в этой области. Явлениям, могущим быть отнесенным за счет электронных обо-
лочек атомов, удается дать удовлетворительное объяснение. Равным образом мы
оказываемся в состоянии базироваться на физике атомного ядра до тех пор,
пока мы имеем возможность ограничиваться исследованием роли тяжелых частиц
(а-частиц, протонов и нейтронов). При попытке же истолкования тех явлений,
при которых одновременно играют роль электроны, подверженные мощным сило-
вым воздействиям со стороны атомных ядер, современная теоретическая физика
оказывается несостоятельной. Это порождает неуверенность и при попытке раз-
решения рассматриваемой проблемы в силу того, что уравнение состояния мате-
рии при огромных плотностях, при которых псе электроны подвержены действию
весьма мощных сил, в настоящее время должно считаться неизвестным. (В газе,
состоящем из одних только нейтронов, электроны, правда, могут встречаться
лишь в составе тяжелых частиц.)
Вследствие вышеизложенного в настоящее время наши знания о внутреннем
строении Солнца и звезд страдают известной неопределенностью. По этому вопросу
возможны два существенно различных воззрения.
Согласно более старой теории весьма
высокие плотности в недрах звезд
вообще не встречаются. Если даны масса, химический состав и радиус, то мы
действительно можем так подобрать светимость, что одно из двух необходимых
условий оказывается выполненным; а именно, масса при достижении центра
звезды оказывается в точности израсходованной, и притом так, что при этом
крайне высокие плотности и температуры вообще не бывают достигнуты. Иссле-
дуя вопрос о том, как будет обстоять дело с другим условием, касающимся
центра звезды, мы сразу же приходим к выводу, что оно во всяком случае не
выполняется. Температуры и плотности остаются при этом сравнительно настолько
низкими, что мы с точки зрения теоретической физики должны ожидать того,
что атомные ядра смогут терять лишь совершенно незначительные количества
энергии. Следовательно, при этом решении величина lr будет вплоть до центра
оставаться приблизительно постоянной, в силу чего она не сможет умень-
шиться до нуля. Для того чтобы подкрепить эту теорию, мы должны встать на
ту точку зрения, что мы и о совершенно обычной материн не можем в этом
отношении сказать ничего вполне определенного, т. е . можем ошибаться, утвер-
ждая, что при обычных температурах и давлениях атомные ядра не подвержены
действию внешних сил и не могут терять значительных количеств энергии.
Асі^опоішя
19
В новой теории вышеуказанная трудность составляет более серьезное пре-
пятствие. В этой теории ее пытаются избегнуть следующим образом. Исходя
опять-таки из того, что масса, химический состав и радиус нам известны, мы
выбираем светимость несколько меньшей величины L0 (см. выше), требуемой
старой теорией; в таком случае вся масса будет израсходована еще до достиже-
ния центра. Если же взять светимость больше величины L0, то при достижении
центра часть массы должна была бы остаться неизрасходованной. В обоих слу-
чаях мы должны были бы получающиеся решения отбросить как непригодные.
Однако при значениях l, больших l0,
именно и должен иметь место случай,
когда плотность вблизи центра должна достигать крайне высокой величины.
А отсюда следует, что мы в настоящее время вообще не в состоянии проследить
решения, соответствующие l > l0, вплоть до центра звезды, в силу чего мы не
можем утверждать и того, что условие полного израсходования массы в центре
в данном случае не выполняется. Для того чтобы подкрепить эту новую теорию,
мы должны допустить, что материя при огромном давлении становится „сверх-
сжимаемой", т.е.,
иными словами, что она может быть сжатой гораздо сильнее,
чем мы вправе этого ожидать на основании экстраполяции уравнений состояния,
пригодных для материи в обычном ее состоянии. Если это в действительности
имеет место, то масса при достижении центра может быть полностью израсходо-
вана. Степень сверхсжимаемости материи зависит от того, насколько величина l
будет превосходить величину l0. При этом решении не возникает
трудностей
для выполнения второго условия: величина lr,
вплоть до достижения ближайшей
к центру зоны, остается приблизительно постоянной, а в этой зоне, при правильно
подобранном радиусе, уменьшается в точности до нуля.
Дальнейшее развитие теоретической физики позволит решить, которая из двух
этих теорий является правильной.
Отсюда ясно, какова степень возможности вычисления радиусов и светимостей
по заданным массам и химическим составам (см. выше). Условие полного исчез-
новения массы в центре дает одну зависимость между массой, радиусом и свети-
мостью, в которую входят и определенные постоянные, характеризующие хими-
ческий состав.
Это отношение, вычисленное согласно обеим теориям, оказы-
вается различным, причем наряду с другим оказывается неодинаковой сжимае-
мость материи; мы уже видели, что L>L0.
Однако мы вправе ожидать, что
различие между l и l0 не будет особенно велико, так как по всей вероятности
лишь незначительная доля всей массы будет сосредоточена в сверхплотном ядре.
Условие же полного израсходования энергии в центре звезды дает другую
зави-
симость. Однако на основании вышеизложенного ясно, что в настоящее время
мы не можем рассчитывать на вычисление числового выражения этой зависимости.
Названная в начале зависимость, которую мы в первом приближении действи-
тельно можем установить, обычно называется соотношением
масса —
светимость.
стр 409) С00тн0шенпи
будет
речь в одном
из
последующих параграфов (см.
Подставив в соотношение масса — светимость известные нам величины массы,
радиуса и светимости Солнца, мы получаем уравнение, в которое входят выше:
упомянутые постоянные, характеризующие химический состав. При этом обнару-
жилось, что состав, аналогичный составу атмосферы Солнца, известному нам из
наблюдений, дает постоянные, пригодные для этого уравнения. В силу этого
представляется вероятным, что химический состав Солнца остается приблизительно
постоянным от поверхности до глубоких его недр. В частности водород должен
составлять по весу около трети материи Солнца.
Подытоживая вышеизложенное, мы можем о внутреннем строении Солнца и
о его химическом составе утверждать нижеследующее: ббльшая часть Солнца
состоит из материи, ионизированной до высоких степеней. Температура по мере
углубления в недра Солнца быстро возрастает до нескольких миллионов градусов,
в конечном счете во всяком случае достигая 20 миллионов градусов. Плотность
внешних слоев мала, но глубже она возрастает до величины, безусловно в несколько
раз превосходящей среднюю плотность (составляющую 1,4 плотности воды),
причем, однако, материя вследствие ионизации ведет себя, как идеальный газ.
По всей вероятности химический состав вплоть до глубоких недр Солнца остается
приблизительно таким же, как и на его поверхности; это значит, что Солнце на
одну треть состоит из водорода и, кроме того, преимущественно из гелия, азота,
натрия, магния, калия, кальция, кремния и железа. Однако последний результат
является уже менее достоверным.
Возможно, что Солнце обладает сверхплотным ядром, за счет которого и
происходит наблюдаемая потеря энергии или, как принято говорить, которое
производит всю излучаемую Солнцем энергию.
Радиус и светимость Солнца соответствуют его массе и химическому составу та-
ким образом, что излучение Солнца определяется распределением температур, харак-
теризующим состояние теплового равновесия, а радиус — тем, что он изменился
настолько, что энергия, производимая атомными ядрами, сделалась равной светимости.
ПЛАНЕТЫ И ИХ СПУТНИКИ
§ 212. Общие сведения о больших планетах. В помещенной ниже таблице
сгруппированы следующие элементы орбит девяти больших планет солнечной
системы: среднее расстояние а, эксцентриситет е, долгота перигелия те, долгота
восходящего узла А и наклонение і. Все числа относятся к эпохе 1930 г. Для
величин те и Ai кроме того, указываются и годичные их изменения (Дте и ДА),
выведенные частью из вековых возмущений, частью же и притом главным обра-
зом из прецессии. Годовые изменения наклонений всех девяти орбит измеряются
лишь долями секунды. Изменения эксцентриситетов на протяжении ста лет вообще
составят лишь несколько единиц пятого десятичного знака. В остальном эти
величины могут оказаться слегка различными в зависимости от вековых измене-
ний, производимых долгопериодическими возмущениями, могущими в продолжение
ряда столетий действовать в одном и том же или же в различных направлениях.
Короткие периоды в подобной таблице, разумеется, не могут быть отображены.
Планеты
А
дА
Отношение
масс:
Сол il не
Меркурий
Венера .
Земля .
Марс..
Юпитер
Сатурн .
Уран..
Нептун .
Плутон .
0,38710
0,72333
1,00000
1,52369
5,20280
9,53884
19,19098
30,07067
39,5177
0,20562
0,00681
0,01674
0,09334
0,04839
0,05579
0,04713
0,00855
0,24864
76°22'
130 35
101 44
334 46
13 12
91 41
169 32
441
222 28
+ 0,9
+ 0,8
tu
- -1,0
--1 ,2
- -0,9
- -0,5
47°30'
763
491
99 44
113 3
73 38
131 1
108 57
+ 0',7
+ 0,3
+ 0,5
+ 0,6
+ 0,5
+ 0,3
+ 0,7
7° 0'
324
151
118
229
046
147
179
5—10 млн.
408 000
332 270
3 093500
1 047,35
3501,6
22 869
19 700
3 000000 (?)
В последнем столбце приведены отношения массы Солнца к массам планет.
Написав арифметическую прогрессию 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 и
прибавив к каждому ее члену по 4, мы получим следующий ряд чисел:
4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196, 388,
приближенно соответствующих приведенным в таблице расстояниям планет от
Солнца, умноженным на 10; лишь Нептун совершенно выпадает из этого ряда.
Число 28 приходится между орбитами Марса и Юпитера. Этот ряд, или закон
Воде, был установлен до открытия малых планет, обращающихся между орбитами
Марса и Юпитера и до открытия Урана, Нептуна и Плутона.
линейные размеры должны быть увеличены почти в точност.Гна і/
ежаTM Земли, TM
„ ежаTM »„^'J^^
TM
«
Меркурий
4
„nJ 2!R 0р6ита
-
п
Р0Х0»Дения перед диском Солнца. Размеры Масса Плот
с орбитой Плутоиа обладает наибольшим энсц „тр ^£°том Из вна, ш й ГЛ
ГЛГTM
пГвб7Ще""°"
ВЫШ<! ТабЛ"Це'
слеДУ[°Ррасстоіі4ня в перигелии 0 3075
и в «іфелни 0,4667, равные синусам ѵглов 17°55' и 97°дс>'.
U,ÛU'°
углы определяют собой наибольшие удадёп я Меркурия от CoZTtT°'
Э
TM
нета достигает наибольших элонгаций в перигели е в афели^ й
сТібт"
Сплюснутость орбиты Меркурия составляет
4
( ' СТр* 166^
Сидерический период обращения равен 87 969 дням пт,„,„„
г
путем выводим синодический период обращения, равный в среди м Иб'лГм
Вследствие этого Меркурий в соедием тпижпм n гР л
среднем lib дням.
и столько же раз n нижнем соад пешёГс Соа щГ ^ГпГпTM
°
тельного различия скорости движения ёланеты^перитлГи в ЕГ
noZ'
• проі^иё-до^^иГм;^
кі^^тай
восходящего узла орбиты Меркурия равна 47°, а долгота досходящедо уада сдодова
тричеёка^доігота' Земл^имее^61'116 М0Жет пР
оиз
°И
ти л,
"иь тогда!°согдаѴелиоцен-
иТз
шГзз ГР139ПРСЖе 6пеТ' Пр°
:
'
:ежуТ0х междУ майскими Upoxo îl
ииямн 13 или 33 реже 20 лет. После майского прохождения через 34
гот
всегда следует ноябрьское прохождение.
1
/а
Да
скоіГеГтщыПапаевТеР„ Ä^S
рассматр,1ваTM°TM
"
расстоянии 1 астрономиче-
дожетctZ
nrk
TaK KaK рас;
стояиие Меркурия от Земли никогда не
может стать меньше 0,55 астр, единицы (когда планета находится в афелии межTM
Солнцем и Землей, то расстояние последней равно 1,015), то шдаіш
3
диаметр Меркурия никогда не может превышать 12".
Его рад ус раве£ 0374
ZrTZZ 0,И1
"
еГ0
0бЪ6М 0,053 П0 ношению к сооРГтУстРу щим'
:
ментам Земли, принятым за единицу. В силу того что Меркурий оказывает л
1
незиачнтельные возмущения на орбиты остальных планет,1ïïïïy его отедел^
затруднительно; указанным в § 212 предельным значения , соответствуют край-
ние значения: масса 0,066 и 0,033, плотности 1,25 и 0,63 и mnlnz X
силы
тяжести иа поверхности планеты 0 47 u пол
напряжения силы
ЩИМ элементам з'емлщ прХХым за ' едишщѴ^КаГ ^"'увидим С00тветствуі
°-
одиа из периодических комет (комета* эХе)
мХт
ГTM
о шГсадГо
приближаться к Меркурию. Обработав наблюдения этой кометы,
у
делу (Г10?)СЫ
РКУРИЯ ВеЛИЧИНУ' °
ЧеНЬ 6ЛИЗКУЮ " yx^HHoJy ннжюму прё-
Яркость Меркурия в максимуме приблизительно равна яркости Сириуса. Яркость
любой планеты изменяется в зависимости от расстояний этой планеты от Солнца
и от Земли и от угла фазы (см. стр. 169). Она зависит от отражательной спо-
собности планеты.
Отражательная способность какого-либо тела характеризуется его
альбедо.
Геометрическим
альбедо
мы называем отношение количества, отраженного во
всех направлениях света к количеству света, падающего на поверхность тела
отвесно. Астрономическим
альбедо
мы называем отношение количества света,
рассеянного во всех направлениях, к количеству падающего света в том случае,
когда тёло является шарообразным, а свет падает параллельным пучком. Планеты
с весьма большими приближениями именно и являются шарами, освещенными
параллельными лучами света. В астрономии всегда пользуются последним видом
альбедо; приводимые ниже значения альбедо являются нменно альбедо астроно-
мическими.
Для Меркурия из наблюдений его яркости .было выведено альбедо 0,07. Это
альбедо очень мало. Для сравнения приведем альбедо некоторых земных предметов.
Мел обладает альбедо 1, темная лава 0,05, кучевые облака обладают большими
альбедо (около 0,8), а леса и глубокие озера очень малыми (от 0,03 до 0,05).
Поверхность Меркурия обычно представляется равномерно яркой. Лишь в осо-
бенно благоприятных условиях удавалось различать слабые оттенки яркости,
т. е ., иными словами, намеки на существование ярких и темных пятен. Скпапарелли,
тщательно наблюдавший планету в течение ряда синодических ее обращений,
придерживался того мнения, что ему удавалось вновь наблюдать некоторые из
этих пятен, спустя значительное время. На основании этих наблюдений он составил
своего рода карту поверхности планеты. При этом он пришел к выводу, что
время вращения Меркурия совпадает с периодом его обращения, т. е . равно
88 дням; экватор планеты, по его мнению, должен почти совпадать с плоскостью
ее орбиты. В таком случае Меркурий должен быть постоянно обращен к Солнцу
одной и той же своей стороной.
Позднейшие наблюдения, однако, не подтвердили выводов Скиапарелли, в силу
того что измерение температуры не дало значительного различия температур
на дневной и ночной сторонах, которое должно было бы иметь место в случае
равенства времен вращения и обращения. В настоящее время принимают, что
время вращения Меркурия составляет самое большее несколько суток. 1) (Отно-
сительно измерений температуры см. раздел о планете Марс.)
Венера
§214. Орбита. Прохождения перед диском Солнца. Размеры. Масса. Плот-
ность. Вид в телескоп. Вращение. Из всех планет Венера обладает орбитой,
наиболее приближающейся к круговой. Расстояние Венеры от Солнца может
изменяться лишь в пределах от 0,718 до 0,728, в то время как расстояние этой
планеты от Земли изменяется от 0,26 до 1,74 астр, единицы.
Сидерический период обращения равен 224,7008 дня, а синодический пе-
риод обращения составляет 583,9212 дня или почти 1,6 года. Так как вследствие
этого продолжительность пяти синодических обращений составляет 8 лет, Венера
по истечении 8 лет в то же самое время года будет находиться в том же поло-
жении относительно Солнца. В силу малости эксцентриситета орбиты это поло-
жение раз от раза будет изменяться весьма незначительно. А именно, легко
заметить, что Венера через каждые восемь лет (например в 1929 г., в 1937 г. и т . д .)
В 1933 г. Аитониади на основе многочисленных наблюдений, произведенных как
им самим, так и его предшественниками и современниками, удалось окончательно под-
твердить правильность вывода Скиапарелли о том, что время вращения Меркурия равно
»8 дням. Антоннадн составил и более подробную карту видимого нам полушария Меркурия,
на которую он нанес все виденные на поверхности ссрыс и светлые пятна, которым он
дал латинские названия. — Прим. перса.
обладает наибольшей восточной элонгацией в начале февраля, а три года спустя
(например в 1932 г., в 1940 г. и т. д.) —в середине апреля. В обоих случаях
планета в наших широтах занимает особенно удобное для наблюдений положение
в качестве вечерней звезды (см. § 71).
Этот восьмилетний промежуток связан также и с периодичностью прохождения
Венеры перед-диском Солнца. В силу того что долгота восходящего узла орбиты
Венеры составляет 76°, нетрудно, как и в случае Меркурия, убедиться в том,
что прохождения должны происходить около 8 декабря (при нахождении Венеры
около восходящего узла) и около 7 июня близ нисходящего узла; эти даты могут
быть выведены также и из того соображения, что долгота узла орбиты Венеры
приблизительно на 29° больше долготы узла орбиты Меркурия, вследствие чего
прохождения Венеры должны происходить примерно через 29 дней после про-
хождений Меркурия. Прохождения Венеры, как правило, происходят по два
с промежутком в 8 лет и притом всегда так, что последующее прохождение
приходится на дату, на два-три дня более раннюю, чем предшествующая, как
это будет видно из приводимых ниже чисел. Продолжительность 13 обращений
Венеры относительно узла составляет период времени, лишь на 0,025 дня более
короткий продолжительности 13 сидерических обращений, в силу того что об-
ратное движение узла составляет лишь 0',3 в год, или 2',4 в 8 лет, а гелио-
центрическое движение Венеры 21 600': 225 = 96' в сутки.
Таким образом мы
получаем следующее соотношение периодов:
8 юлианских лет
2922,00 дням
5 синодических обращений Венеры . . . . =
2919,61 дня
13 обращений Венеры относительно узла . .
=
2921,09 дня
Следовательно, когда Венера через 5 синодических обращений вновь будет
находиться в нижнем соединении с Солнцем, то до полных 8 лет будет нехватать
2,4 дня. Через 30 таких периодов, т. е. через 240 лет, это различие возрастет
до 72 дней; а так как два синодических обращения продолжаются 3 года 72 дня,
то мы и видим, что спустя 243 года в том же узле начнется новый период,
в течение которого могут произойти 4 прохождения, разбивающихся на две пары
с промежутком в 8 лет. Ниже приведены даты четырех последних наблюденных
и двух предстоящих прохождений Венеры перед диском Солнца, откуда легко
может быть выведен период их повторяемости:
1761 июня 6
1874 декабря 8
2004 июня 7
1769 июня 3
1882 декабря 6 2012 июня 5
Может случиться, что одного из двух прохождений следующих, разделенных
восьмилетним промежутком, не произойдет. Это зависит от того, что после пяти
синодических обращений будет недоставать 1,48 дня до 13 полных обращений
относительно узла. Для того чтобы прохождение могло иметь место, геоцентри-
ческая широта Венеры не должна превосходить углового радиуса Солнца, равного
16'; в нижнем соединении гелиоцентрическая широта должна относиться к этой
величине, как 277:723, т. е . не должна превосходить 6',1. Отсюда тем же спо-
собом, как и для затмений (см. § 149), мы находим, что расстояние от узла не
должно при этом превосходить 6',l:sin/, где і = 3°24', что дает по обе стороны
от узла границу на расстоянии в 103', а вместе, следовательно, участок в 206',
на котором может произойти прохождение. А так как движение Венеры по ее
орбите (96' в сутки) за 1,48 дня составит 142',
то прохождение должно про-
изойти именно в пределах, этого участка. Одновременно мы видим, что если
одно из прохождений имеет место по одну сторону от узла на расстоянии от него,
меньшем 39', то через 8 лет до или после этого расстояние по другую сторону
от узла превысит 103',
т. е. придется за границей возможности прохождений.
Рис. 146 поясняет эти соотношения; на нем ее — дуга эклиптики,
ѵѵ—дуга
орбиты Венеры, видимая с Земли, А—восходящий узел, а стрелкой указано
направление движения Венеры. Первое из двух последовательных прохождений
имеет место при нахождении центра солнечного диска в точке В, а Венеры
в точке А, а следующее прохождение—8 лет спустя,—на гелиоцентрическом рас-
стоянии в 142' от первого, при местонахождении Солнца в точке b, а Венеры
в точке а. В данном случае оба прохождения приходятся в промежутке их види-
мости, но так как 142 > 103, они обязательно должны лежать по разные сто-
роны от узла, вследствие чего хорды, описываемые Венерой по диску Солнца,
должны располагаться по разные стороны от его центра. Из вышеизложенного
следует, что угловое расстояние (обозначенное на чертеже отрезком ас) равно
отношению чисел 142: 206, что составляет приблизительно 0,7 диаметра Солнца.
Угол,
образуемый
хордой
с эклиптикой, одновременно • S
>
зависит
и
от
движения i_L
ь_
Земли и всегда превосходит
наклонение і.
Угловой диаметр Венеры
фнр
Относительпое расположение орбит Земли
на расстоянии 1 астр, еди-
„
марса,
ницы равен 17", 14; когда
же Венера, находясь в нижнем соединении, бывает к Земле ближе всего, угловой
диаметр составляет 17",14:0,26 = 66", а в верхнем соединении всего лишь 10".
Линейный радиус Венеры равен 17,14:17,60 = 0,974 экваториального радиуса
Земли, а объем = 0,925 объема Земли. Согласно § 212 масса Венеры составляет 0,814,
а следовательно, плотность 0,88 и напряжение силы тяжести на поверхности 0,86
относительно соответствующих элементов Земли, принятых за единицу.
В период максимума яркости Венера достигает —4'»,3, т. е . в 10 раз пре-
восходит яркость Сириуса.
Альбедо Венеры очень велико: оно равно 0,59.
Когда Венера, обладая небольшой фазой, находится вблизи нижнего соедине-
ния, иногда удавалось разглядеть весь ее диск, подобно тому как это бывает
при наблюдении пепельного света Луны, незадолго до новолуния или недолгое
время спустя после него. Причиной этого явления по всей вероятности служит
атмосфера Венеры, в которой происходят сумеречные явления, простирающиеся
на ночное полушарие планеты, благодаря чему и становятся видимыми ее контуры.
Уловить какие-либо оттенки на ярком, равномерно светящемся диске Венеры
еще труднее, чем на Меркурии. На основании своих наблюдений Скиапареллн
пришел к выводу, что время вращения Венеры должно совпадать с периодом ее
обращения. Ввиду большого расстояния Венеры от Солнца правильность этого
вывода вызывает сомнения. Для решения этой проблемы пытались использовать
спектральный анализ; однако скорости, о которых в данном случае идет речь,
настолько малы, что они вообще находятся на границах измеримого. Вследствие
этого вопрос о времени вращения Венеры должен считаться нерешенным.
Земля и Луна
§ 215. Продолжительность времен года. Как уже отмечалось в § 206, сред-
нее расстояние Земли от Солнца равно 149 500 000 км. В перигелии и в афелии
расстояние отличается от этого среднего на 2 500 000 км. Скорость движения
Земли по ее орбите может быть вычислена из уравнения (36), приведенного
в § 163. На среднем расстоянии она составляет 29,765 км/сек,
в перигелии
30,27 км\сек и в афелии 29,27
км/сек.
Как уже было указано в таблице, приведенной в § 212, долгота перигелия
увеличивается в год на 1', точнее на 61",9, из числа которых 11",6 обязано своим
происхождением прямому движению линии апсид, а остаток—обратному движению
линии равноденствий (т. е. предварению равноденствий или прецессии). На про-
тяжении года это оказывает определенное влияние на продолжительность времен
года. На фиг. 147 изображена земная орбита (с преувеличенным эксцентрисите-
том:,
причем Солнце находится в точке с, перигелий в точке /7, а афелий
\
в точке А. Буквой В обозначено положение Земли в момент весеннего равно-
денствия, в силу чего продолжение линии ВС проходит через точку весеннего
равноденствия Т.
Буквами Л, О и 3 обозначены положения Земли в момент
летнего солнцестояния, осеннего равноденствия и зимнего солнцестояния. Согласно
второму закону Кеплера, времена, разделяющие эти
положения, пропорциональны площадям BCJI и т. д
описанным радиусом-вектором; способ их вычисления
указан в § 120. Согласно таблице, приведенной в S 212,
ГіоУГ°Л ТСЯ=101°44' ,
a следовательно, угол
dut = il 44; это значит, что Земля через 12 дней
после зимнего солнцестояния прошла через перигелий.
Но вследствие того, что этот угол непрерывно уве-
личивается, прямая ЗС с течением времени образует
с линией апсид все больший угол. Около 700 лет
назад линия равноденствий была
перпендикулярна
к линии узлов, в силу чего линия ЗС совпадала с ли-
нией ПА и Земля во время зимнего солнцестояния,
таким образом, находилась в перигелии; в это время
продолжительность
каждых двух
последовательных времен года была paZ
продолжительности двух других времен года. Современные условия „ллюёХ-
руются нижепомещаемой табличкой, в которой указаны продолжительности вре-
мен года в 1900 г. и в 1950 г. При вычислении этой таблички было принято
ёеГСпЧеТ19П?і0гЭКСтГИТРНСИТеТ 3еМП0"
°Р6НТЫ В 1950 Г- будет на 0,000021 меньше,
чем в 1900 г. Кроме того следует заметить, что периодические возмущения
могут вызвать некоторые небольшие отклонения от этих средних величин
Фиг. 147 .
Продолжительности времен годж
1900
1950
От весеннего равноденствия до летнего солнцестояния
„
летнего солнцестояния до осеннего равноденствия
„
осеннего равноденствия до зимнего солнцестояния '
„
зимнего солнцестояния до весеннего равноденствия'
.
.ВЛ
.
.ЛО
.
.
03
.
.
зв
92<'.832
93 ,609
89 ,770
89 ,031
92'' ,795
93 ,629
89 ,806
89 ,012
365"',2 4 2
365'', 2 42
В настоящее же время летнее полугодие по указанным выше причинам длин-
нее (для северного полушария) зимнего полугодия на 7,6 дней.
§ 216. Вращение Луны. Либрация по долготе и широте. Суточная либра-
ция. Движение Луны вокруг Земли было рассмотрено выше (см. § 133). Параллаксу
Луны 57 2 ,7 соответствует среднее расстояние Луны от Земли в 384 400 км
причем экваториальный радиус Земли принят равным 6378,14 км. Наибольшее
и наименьшее расстояния Луны от Земли, как это было показано в 6 13S со-
ставляют соответственно 406 730 и 356 400 км. В этих случаях угловому раз-
мерув1
какого-либо предмета, находящегося от нас на расстоянии Лѵны
соответствуют линейные его размеры в 1,97 и в 1,73 км.
'
Кроме этого движения, Луна совершает вращение вокруг своей оси. В том что
она, несмотря на свое вращение, всегда остается повернутой к Земле одной и той же
своей стороной, нетрудно убедиться даже невооруженным глазом. Следовательно,
время вращения Лупы совпадает со средним периодом сидерического ее обращения,
равным 27,32 дня. При этом, однако, возникает явление, называемое
либрацией
по долготе,
причина которого состоит в том, что вращение Луны происходит
равномерно, а движение ее по орбите —неравномерно. Фиг. 148 поясняет сказан- •
ное. На ней буквой Е обозначена Земля, а буквой M Луна, находящаяся в
перигее. В это время угловая скорость движения Луны но орбите превышает
Фиг. 148 .
Фиг. 149.
скорость ее вращения. Поэтому за время, в течение которого Луна переместилась
по орбите на угол MEM',
она успела совершить поворот лишь от Ma до M'a' .
В последнем случае наблюдатель, находящийся на Земле, сможет увидеть на
правом краю лунного диска несколько больше, а на левом
краю несколько меньше, чем в момент нахождения Лупы
в точке М. Вследствие этого, такой наблюдатель в опре-
деленные части месяца сможет как бы заглядывать за пра-
вый край лунного диска, а в другие части месяца, наобо-
рот, за левый. Эта разница, выраженная в дуговой мере,
никогда не может превысить на лунной поверхности 7°53';
такая дуга, помещенная в центре лунного диска, будет ви-
дима с Земли под углом приблизительно в 2'; на краю лун-
ного диска она будет видима лишь в весьма сильном ра-
курсе.
Кроме того, Лупа обладает еще и либрацией
по
широте,
благодаря которой
по временам мы можем
заглядывать за северный край ее диска, по временам же, наоборот, за южный.
При точных измерениях положений деталей на поверхности Луны, произведен-
ных с целыо определения положения ее экватора, было обнаружено, что линия
пересечения плоскости лунного экватора с плоскостью эклиптики параллелыіа
линии узлов лунной орбиты,
причем угол,
образуемый
двумя этими пересекающи-
мися плоскостями,
соста-
вляет 1°31'. А так как мы
знаем, что наклонение лун-
ной орбиты в среднем равно
5°9', то отсюда получается, что экватор Луны наклонен на 6°40' к плоскости ее
орбиты. Результаты этого показаны на фиг. 149, изображающей в виде прямых
линий плоскости орбит Земли и Луны, видимые в таком положении наблюдате-
лем, находящимся на линии пересечения этих плоскостей. Пусть Земля находится
в точке Е. Когда Луна достигает наибольшей северной широты
в точке А, ось вращения Луны занимает положение ns, причем
Южный полюс s оказывается лежащим на 6°40' от нижнего
края на стороне, обращенной к Земле, в то время как Северный
полюс п оказывается скрытым на стороне, обращенной от Земли.
Когда же Луна по истечении 14 дней займет положение В,
в котором ось ее вращения n's' расположится паралллельно
прежнему ее положению, будет иметь место обратное явление.
Так как колебание, совершаемое Луной таким образом, в течение
месяца происходит перпендикулярно к эклиптике, это явление
и называется либрацией по широте.
Наконец, участие наблюдателя во вращении Земли обусло-
вливает явления суточной или параллактической
либрации,
поясняемые фиг. 150. Наблюдатель, находящийся на земной
поверхности
в
точке
А, для
которого Луна
восходит,
видит полушарие Луны, ограниченное в поперечном его сече-
нии линией ab; когда же, совершив вместе с Землей, приблизи-
тельно полоборота, он попадет в точку В,
где Луна
будет
вышеупомянутая пограничная линия переместится в положение cd. То, что как
Земля, так и Луна в течение этого промежутка времени будут продолжать дви-
гаться по их орбитам, при этом во внимание не принимается. Часть поверхности,
которую наблюдатель, находящийся на земном экваторе, может таким образом
в течение одного дня обозреть по обе стороны от постояннно видимой части
лунной поверхности, равна в угловой мере параллаксу Луны, т. е. приблизи-
тельно 1°.
Фиг. 150.
заходить,
то
В результате всего вышеизложенного мы с течением времени можем наблюл**
копиче кие с„и= ее дающие резко усиленную иллюзию ее шарообразSS «£
НИИ угловой радиус Луны, находящейся на среднем 'расстояниTM
РАВЕ'НГбЖ
эта величина совместно с параллаксом Луны мшті
'9''7
,8,
радиуса Лупы, равную 0,27255 земного р^ус'
Ги 1738 Ä
В
поверхность составляет 0,074, а объем 0,020 соответству«ощихІ
принятых за единицу. Согласно § 141 масса Луны составляет 0 019 * г Л
тельно, плотность 0,6 и напряжение силы тяжестина^ лунЦ
поверхносГ"/'
Sïïrar
ЭЛ6МеНТ0В 3еМЛИ- СЖаТИЯ
Луны
У Л0ЛЮС0В 0=
не
iïïîï t' ,
* следовало ожидать при медленном ее вращении. ЗаTM изме
рения влияния-либрации на положение деталей, находящихся в середине лунного
ZZt Z
'
ЧТ°
направле»TM« к Земле РаД"УС Луны, повидимому, на несколько
километров длиннее радиуса видимого нами лунного іиска. Возможно
что это
явление вызвано застывшей приливной волной.
'
ЧТ0 это
Альбедо Луны малб: оно равно 0,07, как и у Меркурия.
ѵлт 5
на
очень гориста
-
Наиболее плоскими частями ее поверхности являются те
которые невооруженному глазу представляются темными пятыми. С давТх пре-
мен они получили название морей; им были даны латинские наименования как
например Mare Imbrium (Море Дождей, образующее правый глаз лиц?7Zmora
невооруженным глазом на полной Луне), Mare" Nubium (Море Облаков Хазѵю
щее рот этого лица) и т. д . Однако эти наименования не бедует ^кГатГбѵк"
вально, в силу того что вода, находящаяся на лунной поверхностщ должнГбыла бы
обусловить наличие на ней и атмосферы, существование которой в действТел "
ности никогда не было доказано: ни во время покрытия звезд Луной ни каким
п"*'
СПОСОбОМ Не УДаЛ0СЬ 0бнаруж
-
ни
" »»«»
на Преломление света
"
Равда
'°;.
сюда непосредственно не следует, что пространство, окружающее Луну
является абсолютно пустым, но это показывает, что лунная атмосфера в том спу-
чае, если она существует, обладает столь малой плотностью, что она являетсяÏÏH
nZZZl Не3аМ
п
етН0Й' 3 следовательно, плотность ее практически равна нулю
НПГТП,Р
"
наблюдении Луны в астрономическую трубу неровности лунной поверх
ности выступают уже на границе освещенной части лунного диска, но Ze замет-
нее они становятся благодаря теням, отбрасываемым каждой в^звыГнностью
"
аЭ: ЙГРаНИЦе
'
г
на&ываемой
TMже терминатором, Солнце на растущей Луне
восходит, а на убывающей Луне заходит. Следовательно, солнечные сутки на
тсни'ZrrZl
°
СИН0ДИЧеским
ме сядем
.равным 29,5 дня. Наиболее отчетливо
Гп1,Гп1У
В0 ВреМЯ ПерВ0Й И последней четверти, так как тогда лучи
?Zn
Д 0Т перпендикУ
ля
Рн0
к лучу зрения. В это время удается видеть
светлые точки, находящиеся за терминатором на неосвещенной части лунной
поверхности. Эти светлые точки являются вершинами
гор,
подножия котсрых
ZrTuZ В ТеНЬ-
и
Иа0б0р0Т'
на
освеіденной части Луны'вблизи терминатора
могут находиться чашеобразные углубления, дно которых находится в тени. По
ZPHMTronM М0ЖН° ВЫЧИСЛИТЬ высоTM ЛУ,ІНЫХ гор. Этим способом были обна-
ружены горы, вершины которых поднимаются до высоты в 8000 м над их под-
ножиями
Однако эти высоты нельзя непосредственно сравнивать с высотами
земных гор над уровнем моря, в силу того, что на Луне отсутствует какой-либо
общий Уровень, к которому можно было бы относить высоты лунных гор. На
высоте в 8000 м при восходе Солнца должно будет пройти по меньшей мере 10" 8
для того, чтобы Солнце осветило подножие той лунной горы, вершина которой
•была освещена вначале.
у
•с нервныР-/7Я2НВ/^І.ЭТИХ СННМК0В В стеРеоскоп Луна напоминает башню, видимую
Фиг. 151 и 152 дают наглядные представления об успехах астрономической
фотографин. На фиг. 151 изображен лист атласа Луны Ю. Шмидта, составленного
на основе кропотливых зарисовок (для изготовления 25 таких листов потребова-
лось 34 года работы). На фиг. 152 воспроизведена современная фотография части
лунной поверхности (составляющей участок
поверхности,
изображенной
на
фиг, 151), полученная с экспозицией приблизительно в одну секунду.
Горные це/ш на Луне немногочисленны; чаще всего они встречаются на краях
обширных равнин, зато очень часто встречаются так называемые кольцевые горы,
представляющие собой замкнутые кольцевые валы с гребнем неодинаковой высоты]
круто обрывающиеся кнутри и в большинстве случаев гораздо более полого
спускающиеся кнаружи. Обычно дно углубления, находящегося внутри такого
вала, расположено ниже окружающей равнины. В середине этого углубления
часто поднимается уединенная вершина, центральная
горка,
никогда однако не
достигающая высоты окружающего ее кольцевого вала. Формы образований лун-
ной поверхности указывают на вулканическое их происхождение, и более мелкие
кольцевые горы даже носят название кратеров; однако размеры этих кратеров
гораздо больше размеров вулканических образований на Земле. На Луне встре-
чаются кольцевые горы диаметром в несколько сот километров.
В полнолуние все тени исчезают, и образования лунной поверхности остаются ви-
димыми лишь благодаря различной их отражательной способности. При этом обна-
руживается своеобразное явление: вокругнекоторых крупных кольцевых гор, особен-
но вокруг Тихо, лежащего недалеко от южного края лунного диска, появляются си-
стемы светлых
лучей,
направленных радиально, некоторые из которых достигают
длины более 1000 км; они не связаны с контурами кольцевых гор, в силу чего
их происхождение должно быть обусловлено свойствами самой лунной поверхности.
§ 218. Вид неба с Луны. Небо, рассматриваемое с Луны, должно предста-
влять своеобразный вид. Вследствие отсутствия атмосферы оно должно ночью и
днем представляться одинаково черным. Независимо от того, светит ли Солнце
или нет, на нем всегда должны быть видимы звезды в форме ярких, но не мер-
цающих точек. Небесная сфера вращается с востока на запад, как и у нас на
Земле, но один поворот ее длится свыше 27 суток, а одно видимое обращение
Солнца —свыше 29 суток. Продолжительность дня на лунном экваторе составляет
около 15 суток, продолжительность ночи —столько же. С задней стороны Луны
Земля никогда не может быть видима, в то время как в любой точке передней
ее стороны она, не принимая в расчет небольших смещений, обусловленных
либрацией, всегда будет стоять на одном и том же месте неба в виде огром-
ного диска, занимающего в 13 раз больше места на небе, чем Луна на нашем
„земном" небе. В течение лунных суток, равных 29 земным суткам, Земля будет
проходить те же фазы, как Луна у нас, но фазы обоих светил при этом будут
противоположными. Благодаря этому Земля может давать на лунной поверхности
довольно яркое освещение в то время, когда она не освещается Солнцем. Явле-
ние, которое мы называем лунным затмением, будет там состоять в том, что
сравнительно небольшой солнечный диск в продолжение нескольких часов подряд
будет оставаться скрытым за диском Земли, который в это время будет пред-
ставляться темным, но окруженным огненно-красным ореолом; эта окраска должна
.
вызываться земной атмосферой. А то явление, которое мы называем солнечным
затмением, будет, наоборот, едва заметным, за исключением тех случаев, когда
затмение -бывает полным; в это время маленькое, часто почти незаметное черное
пятно —лунная тень —будет пересекать яркий диск Земли.
Марс
§ 219. Орбита. Размеры. Масса. Плотность. Детали поверхности. Из таб-
лицы, помещенной в § 212, мы видим, что Марс наряду с Плутоном и Мерку-
рием обладает одной из наиболее эксцентрических орбит из числа 9 больших
планет. Расстояние Марса от Солнца составляет в перигелии 1,38, а в афелии
1,67 астр, единицы. Его расстояние от Земли изменяется u пределах от 0,37 до
468 астр, единицы. Эго обусловливает весьма значительные изменения видимой
его яркости. Она всегда-оказывается наибольшей тогда, когда планета находится
il противостоянии іс Солнцу. В зависимости от того, в каком участке орбит
происходит противостояние, расстояние Марса от Земли может в этот момент
заключать«» в пределах от 0,37 до 0,68 астр, единицы, в силу чего видимая
яркость планеты значительно изменяется от одного противостояния к другому.
Вследстони того что долгота перигелия орбиты Марса
составляет 334°,
каковую гелиоцентрическую долготу
Земля имеет в конце августа, в то время когда
расстояние Земли от Солнца составляет 1,01, Марс,
находясь в противостоянии в это время года, будет
обладать наибольшей видимой яркостью1). К сожале-
нию, в это время он всегда обладает южным склоне-
нием.
Альбедо
Марса
сравнительно
невелико:
оно
равно 0,15. Лишь Меркурий и Луна обладают мень-
шими альбедо.
Сидерический
период
обращения
составляет
686,9797 дня, или 1,880815 сидерических года, откуда
мы получаем среднюю продолжительность периода сино-
дического обращения, равную 2,1353 года; вследствие эксцентриситета орбиты и
обусловленной им неодинаковой скорости движения по орбите, последний период
может изменяться в пределах от 2 лет 34 дней до 2 лет 80 дней. Вследствие
того продолжительность 7 синодических обращений составляет приблизительно
15 лет, Марс но истечении 15 лет будет находиться в противостоянии к Солнцу
приблизительно в то же время года.
Экваториальный диаметр Марса на расстоянии, равном 1 астр, единице, обла-
дает угловыми размерами в 9",67; он составляет, следовательно, 0,550 углового
диаметра Земли. В силу этого угловой диаметр Марса даже на наименьшем воз-
можном расстоянии этой планеты от Земли не может превышать 9",67 : 0,37 = 26".
Поверхность планеты равна 0,303, а объем ее 0,105; его масса равна 0,107,
а средняя плотность 0,648 и напряжение силы тяжести на поверхности 0,355 по
сравнению с соответствующими элементами Земли, принятыми за единицу.
Поверхность Марса изучена лучше, чем поверхность всех остальных планет за
исключением Земли. Даже и в небольшие астрономические трубы бывают видны
пятна, из которых некоторые столь постоянно появляются вновь, сохраняя при
этом свои очертания, что они, несомненно, стоят в тесной связи с физическими
особенностями строения поверхности планеты; такая связь возможна с распреде-
лением материков и морей или же с распределением растительности, существова-
ние которой предполагается некоторыми астрономами. Скиапареллн, составивший
детальные карты поверхности Марса, при этом подметил ту своеобразную особен-
ность, что мелкие темные пятна часто оказываются соединенными узкими темными
полосками, которые он назвал каналами,
не вкладывая, однако, в это название
мысли об искусственном их происхождении. Ширину наиболее узкой полоски,
еще доступной нашим наблюдениям, он оценил в 70 км. Реальность каналов
является, однако, сомнительной. Ряд наблюдателей Марса придерживается того
мнения, что видимость каналов обусловливается оптическим обманом. Скиапарелли,
равно как и другие наблюдатели, обнаружил ряд деталей поверхности Марса,
меняющих свой вид с течением времени. Из числа изменчивых пятен особен-
но замечательны два светлых пятна, расположенных на полюсах планеты. То,
) Такие особенно благоприятные для наблюдений приближения Марса к Земле назы-
ваются великими противостояниями.
Они повторяются через каждые 15 (пли 17) лет. По-
следнее. исключительно благоприятное великое противостояние произошло в 1924 г. Сле-
дующее, менее благоприятное великое противостояние произошло в 1939 г.
—
ГІрим.
что они обязаны своим происхождением снегу или льду или во всяком случае
веществу, изменяющему свой вид под действием изменений температуры, очевидно
из того факта, что размеры этих пятен увеличиваются при .наступлении на
Марсе лета/
По положениям постоянных пятен, из которых некоторые наблю^Дю-^л свыше
200 лет, было
определено время вращения планеты,
оказавшееся
равным-
24л37'"228,7, что почти в точности соответствует продолжительности звездных
суток на Земле. Год на Марсе состоит из 669,60 таких суток (686,98 средних-
солнечных суток па Земле). Согласно определениям Скиапарелли наклонение эква-і
тора Марса к плоскости его орбиты равно 24°52'; эта величина очень близка;
к наклонению плоскости земного экватора к эклиптике. Зимнее'солнцестояние на,'
Марсе происходит 36 дней спустя после прохождения его через перигелий. Вслед- '
ствие этого во время наиболее благоприятных противостояний к на:й всегда;
бывает обращен южный полюс планеты. На северном полушарии Марса продол-
жительность летнего полугодия составляет 381 земные сутки, а продолжительность
зимнего полугодия 306 земных суток.
§ 220. Атмосфера Марса. Физические условия на его поверхности. Не-
посредственные наблюдения поверхности Марса показали, что эта планета должна
обладать атмосферой, в которой существуют облака: по временам детали поверх-
ности представляются резкими, тогда как в иное время они кажутся размытыми
и покрытыми облаками.
Фотографируя' Марс с помощью различных светофильтров в фиолетовых и
в красных лучах, мы убеждаемся в том, что диск Марса на обеих таких фото-
графиях обладает неодинаковыми диаметрами. В фиолетовых лучах диаметр
ока-
зывается больше. Это свидетельствует об определенном действии атмосферы
Марса. Фиолетовые лучи, испускаемые Солнцем, не достигают поверхности Марса ѵ
вследствие того, что они не могут проникнуть сквозь его атмосферу; следова-,
тельно, в фиолетовых лучах мы фотографируем свет, отраженный атмосферой-
Марса. В силу этого диаметр изображения Марса на фотографин, снятой в фио-
летовых лучах, соответствует диаметру Марса вместе с его атмосферой. Красные
лучи проникают сквозь атмосферу, вследствие чего диаметр изображения, снятого
в них, соответствует диаметру • Марса без атмосферы. Путем измерения диаметров
Марса, снятого в различных лучах, пришли к выводу о том, что высота атмосферы
Марса должна составлять около 200 км.
В спектре света, отражаемого Марсом, удалось обнаружить наличие линий,
вызываемых поглощением водяными парами и кислородом, находящимся в атмо-
сферё Марса. Линии эти обнаруживают эффект Допплера,
соответствующий
скорости движения Марса по его орбите (сравн. сказанное о линиях спектра
Солнца, вызванных поглощением в земной атмосфере, стр. 281). Линии поглоще-
ния в атмосфере Марса очень слабы; это показывает, что давление водяного па-
ра и кислорода в атмосфере Марса весьма незначительно.
Следовало ожидать, что температура поверхности Марса меньше темпера-
туры земной поверхности вследствие того, что Марс находится от Солнца дальше
Земли, и того, что атмосфера Марса должна сохранять теплоту хуже земной
поверхности.
Непосредственные измерения подтвердили правильность этого предположения.
С помощью термоэлементов удалось измерить испускаемое Марсом инфракрасное
тепловое излучение; оно служит мерой температуры, будучи пропорционально
четвертой степени абсолютной температуры поверхности. Из измерений быліѵ
выведены температуры от —70°С (утренняя темперачура) до -[-б3 (полуденная
температура) для полярных областей и от —45 до
18Э для областей эква-
ториальных.
§ 221. Спутники Марса. В 1877 г. во время нахождения планеты в великом
противостоянии Азаф Холл в Вашингтоне открыл, что Марс обладает двумя спут-
никами» вскоре после этого получившими названия Фобоса и Деймоса (по име-
нам Страха H Ужаса, являвшихся спутниками бога гойпы у Гомера). Несмотря
можі
настолько
малы
и находятся к планете настолько близко, что их
Я1Го1'
°
ДаТЬ Т0ЛЬК0 П сильпе
'ініие телескопы, они принадлежат к чисіѵ
наиболее интересных тел солнечной системы, как это видно из следующих чисел*
Расстояния от центра
планеты
Фобос .
Деймос .
2,77 радиусов Марса
6,95
Периоды
обращений
7''39'"13
s
,9
301754,9
vrnSl»
аТеЛЬН0'
внутРенШ1Й «утннк движется по своей орбите с большей
угловой скоростью, чем планета вращается вокруг оси, что представляет соTM
единственный в своем роде случай. Обозначив 7" время'враще.шя планеты, черЛ
0бРащеН,,я
спут ни ка
и
,,еРез х
—
время, затрачиваемое спутником
TLIÂVJ,
"
РН"
аЛ,,Ч,ІН суточ
"
ого
жжения небесной сферы (видимого
с Марса) возвратиться на тот же меридиан, мы получим
J_
t'
Мя"
0ДСТавЛЛЯ В это со°
тн
ошение вышеприведенные значения времени вращения
-
р ІііЛГТ/3Ращения170°; спутников, мы находим для Фобоса
vi
} & ' для Деймоса *=131»26». Это означает следующее:
ппцрпеѵыѴМеме С еГ° Суточньш
«Ращением, наблюдаемое с какой-либо точки
аР Са
'
выглядел0 бы та
'<же,какиунаснаЗемленатойжё
ообРиты н nZr'T' ЧТ
°
СК0Р0СТЬ ВращеНИЯ Марса
'
paBH0 ка,
< « "аклонение em
орбиты и плоскости эклиптики, мало отличаются от соответствующих величин
То что ?МѵефпбпіСОоСОВеРШеНИО ИНаЧе будет обстоять дело
со
спутниками.
То, что .V у Фобоса оказывается отрицательным, означает, что этот спутник
—У3
западе » заХ0ДІІТ
востоке, причем он движется по небу настолыі
быстро, что начинает свой следующий восход на западе уже тогда, когда Солнце
"
Н'ГГ
СУТ°ЧНОе СВОе движение>
еіде
"s успевают закончить поло-
вины своего обращения в противоположном направлении. Деймос
восходит
на востоке, но вследствие того, что ом затрачивает 131 час или 5»/« марсовых
Т0' ЧТ
°
бЫ 3аК0НЧИТЬ
СВОе 0бРаще"'іе> о» для
наблюдателя^ нахо-
дящегося в низких широтах Марса, будет оставаться над горизонтом почти
в продолжение трех суток, в течение какового срока Деймос дважды успевает
проделать цикл изменения фаз. Несмотря на это, в силу незначительных его раз-
меров он с поверхности Марса не представлялся бы диском подобно Нашей
ШУДЯ !Ю еГ0" ЯРК0СТ
"'
ДИаМетр ЭТОГО спУ
тннка
едва ли может превосхо-
ІІІ ЧаѴ'
В силутого
'
что
расстояние Деймоса от поверхности планеты
равно 5,95 радиусам Марса, или около 20 000 км, угловой его диаметр соста-
вляет лишь Ѵаооо. или 1 ,7. Вследствие этого наблюдаемый с поверхности Марса
он и представлялся бы точкой.
н
Плоскости орбит спутников почти совпадают с плоскостью экватора планеты.
Орбита Деймоса почти круговая, а орбита Фобоса обладает заметным эксцентри-
ситетом, величину которого Г. Струве оценил в 0,022. Одновременно он нашел
что линия апсид орбиты Фобоса обладает прямым движением и притом настолько
быстрым, что она в два с небольшим года совершает полный оборот. Это явле-
ІІІІКН°
і?1ТЬ ,обусловлеTM сжатием планеты, которое он на основании этого
оценивает в
(см. стр. 216 и 312).
Малые планеты
•S п°77Рс.9ТИЯ- К0ЛИЧеС;В0- ХаР
акте
Р орбит. Размеры. Пиаццн в Палермо,
начавший в 1792 г. серию наблюдений неподвижных звезд, подразделил их на
группы и вел свою работу таким образом, что одни и те же звезды наблюдались
в течение ряда последовательных ночей. При этом он обратил внимание на то,
что звезда, наблюдавшаяся им впервые 1 января 1801 г.,
в последующие дни
передвигалась. По характеру этого движения он пришел к выводу, что эта звезда
в действительности является планетой, орбита которой расположена между орби-
тами Марса и Юпитера. С перерывами он продолжал свою серию наблюдений
до И февраля, но после соединения с Солнцем он не сумел вновь отыскать
эту планету. Однако к этому времени Гаусс разрешил задачу вычисления элемен-
тов планетной орбиты по трем наблюдениям; согласно выполненному им вычи-
слению орбиты планета и была вновь найдена в декабре того же года. Она полу-
чила название Цереры.
В последующие годы, вплоть до 1807 г.,
были открыты
еще три малые планеты, получившие названия Паллады,
Юноны и Весты.
Начи-
ная с 1845 г., после открытия пятой малой планеты, были организованы система-
тические поиски малых планет. Первоначально для этих поисков были изго-
товлены точные звездные карты частей неба, прилегающих к эклиптике, в которых,,
как известно, перемещаются планеты. Путем последующего сравнения положений
звезд, видимых в поле зрения трубы, с картой, возможно было установить, вы-
званы ли те или иные несоответствия наличием среди наблюдаемых звезд малой
планеты, или же ошибкой, допущенной при составлении карты; возможность эта
обеспечивалась тем, что планета движется среди звезд. Таким способом с тече-
нием времени было открыто значительное количество малых планет, которые
в отличие от ранее открытых, более крупных малых планет, получили название
планетоидов
или астероидов*).
Тогда как четыре первые малые планеты во время
противостояния обладают яркостями 7-й или 8-й зв. величины (Веста даже 6-й
величины), малые планеты, открытые позднее, в большинстве случаев обладают
значительно меньшими яркостями — до 16-й величины и слабее.
Одно время казалось, что количество вновь открываемых малых планет обна-
руживает тенденцию к уменьшению. Однако в 1891 г. опять начался рост этого
числа благодаря тому, что для поисков малых планет стала нижеописанным спо-
собом применяться фотография: Астрономическая труба, снабженная
вместо
окуляра фотографической пластинкой,J в течение долгого промежутка времени,
например, в течение нескольких часов, направлялась на одну и ту же точку
неба. Это осуществлялось путем тщательного и точного ведения этой трубы,
движимой часовым механизмом, осуществлявшегося с помощью ведущей визуаль-
ной трубы, неподвижно связанной с главной фотографической трубой, причем какая-
либо звезда все время тщательно удерживается в одной и той же точке поля зрения.
После проявления пластинки звезды выходят на ней точками, а малые планеты — ко-
роткими черточками. Для открытия малых планет, равно как и вообще для обнаруже-
ния различий между двумя пластинками, снятыми с одной и той же области неба при
помощи одной и той же трубы, часто применяются аппараты, известные под назва-
ниями стереокомпаратора
или блинкмикроскопа
(см. стр. 450). Путем измерения
пластинки может быть определено положение (координаты) планеты (см. стр. 68).
Первой малой планетой, открытой этим способом — Вольфом на Гейдельбергской
обсерватории в декабре 1891 г.,— -оказалась малая планета (323) Бруция.
В настоящее время мы, собственно говоря, даже не можем сказать, сколько же
малых планет нам известно. Не говоря уже о том, что для некоторой их части
мы не располагаем количеством наблюдений, достаточным для определения их
орбит, оказалось просто невозможным осилить работу для систематического вы-
числения эфемерид всех, малых планет. Вследствие этого решение вопроса о том,
принадлежит ли черточка на фотографической пластинке новой или одной из
ранее открытых малых планет, иной раз требует долгих вычислений.
После того как надежным образом бывает вычислена орбита малой планеты,
ей дается номер. Позднее ей дается еще н название. До конца 1935 г. получили
номера 1344 малые планеты2). За единичными исключениями их орбиты распо-
На русском языке термины «малые планеты» u «астероиды» равнозначны. —
Прим.
перев.
') К пачалу 1939 г. это число достигло 1600. —
Прим. перев.
лагаются между орбитами Марса и Юпитера, а периоды их обращений составляют
от 2 до 9 лет. Эксцентриситеты их орбит зачастую значительно превышают
эксцентриситеты орбит больших планет, доходя до 0,65; наибольшим, до настоя-
щего времени- известным эксцентриситетом обладает малая планета (944) Ги-
дальго.
Равным образом и плоскости орбит малых планет более сильно откло-
няются от. эклиптики, вследствие чего малые планеты зачастую встречаются вне
пояса зодиакальных созвездий. Наибольшим наклонением обладает опять-таки
Гидальго; оно равно 43°4\
Из всех известных нам малых планет нижеперечисленные являются исключе-
ниями:
I. Группа
Юпитера (троянцы). Существует 11 малых планет, обращающихся
по орбитам, близким к орбите Юпитера; по этой причине они обладают перио-
дами обращений около 12 лет. Это — (588) Ахилл,
(617) Патрокл,
(624) Гек-
тор, (659) Нестор, (884) Приам, (911) Агамемнон, (1143) Одиссей, (1172)
Эней, (1173) Анхиз
и (1208) Троил и еще одна малая планета, открытая в 1936 г.,
еще не получившая номера и названия.
Орбиты всех одиннадцати троянцев про-
ходят недалеко от одной из точек либра-
ции Li или Z-5 (см. стр. 250).
II. (433) Эрот.
Эта малая планета
была открыта фотографическим путем
в 1898 г. в Берлине и после этого была
обнаружена на Гарвардской обсервато-
рии на пластинках, снятых
в1893—
.
1896 гг. Она обладает периодом обра-
щения в 1,761 года и средним расстоя-
нием в 1,458 астр, единицы (среднее
расстояние Марса равно 1,524 астр, еди-
ницы). Вследствие того, что эксцентри-
ситет его орбиты равен 0,223, Эрот
достигает
перигелия
на
расстоянии
1,133 астр.. единицы от Солнца и по-
этому может
очень
сильно
прибли-
жаться к Земле тогда, когда он в про-
тивостоянии приближается к Солнцу, одно-
временно
находясь
вблизи
перигелия;
для того чтобы это могло случиться,
противостояние
должно иметь
место
около конца
января. Вследствие
того
что
расстояние Земли от Солнца в это
время бывает равным 0,984 астр, еди-
ницы, и того, что Эрот, находясь в пе-
ригелии, проходит очень близко от нисходящего узла, расстояние этой ма-
лой планеты от Земли составляет 0,149 астр, единицы или 22 млн.
км.
Однако столь благоприятные противостояния повторяются сравнительно редко;
в силу того что средняя продолжительность одного синодического обращения
Эрота составляет 1,761:0,761 =2,314 года, то необходимо 16 таких обращений
для того, чтобы дробь достаточно приблизилась к целому числу; поэтому по
истечении 37 лет противостояние Эрота произойдет приблизительно в то же
время года. Еще большее приближение к Земле произойдет спустя 35 синодических
обращений, или почти через 81 год.
На фиг. 154, на которой буквой 5 обозначено Солнце, наряду с орбитами
других планет изображены орбиты Земли, Эрота и Марса. В ноябре 1900 г. про-
изошло великое противостояние Эрота. В это время он усиленно наблюдался
с целью определения его параллакса (о противостоянии 1931 г. см. § 153). Угол,
образуемый с плоскостью эклиптики орбитой Эрота, равен 10°50', в то время
Фиг. 154 . Различные орбиты планет.
•ч.
ч
как соответствующий угол, составляемый орбитой Марса, составляет
всего
лишь 1°51'.
Во время наблюдений Эрота в 1900—1901 и 1930—1931 гг. по временам замеча-
лись отчетливые изменения яркости этой планеты с периодом, несколько большим
5 часов. Эти изменения яркости, несомненно, являлись следствием вращения
планеты, а может быть, кроме того, были'связаны и с неправильностью ее формы1).
У отдельных других малых планет также наблюдалось нечто подобное. Некото-
рые наблюдатели видели Эрота продолговатым. Наиболее длинная ось Эрота
изменяла свое направление с периодом колебаний яркости.
III. Весной 1932 г. было открыто два планетоподобных небесных тела, могу-
щих приближаться к Земле сильнее Эрота. Одно из них, получившее название
Амура,
было открыто 12 марта 1932 г. на обсерватории в Уккле. Его орбита
лежит частью внутри орбиты Марса, и его наименьшее расстояние от Земли
во время того противостояния, когда он был открыт, составляло всего лишь
0,10—0,11 астрономической единицы. Другая планета, Аполлон (1932 НА), была
открыта 27 апреля 1932 г. на Гейдельбергской обсерватории. Как показали
вычисления, она временами может заходить даже внутрь орбиты Венеры, а во
время того противостояния, когда она была открыта, расстояние ее от Земли
составляло всего лишь 0,07 астрономической единицы. Еще одна малая планета,
открытая в 1936 г. (Адонис), имеет сходную орбиту.
IV. Группа Альберта.
Эта группа состоит из трех планет: (719)
Альберта,
(887) Алинды
и (1036) Ганимеда.
Эти планеты отличаются весьма большими
эксцентриситетами своих орбит. Находясь в перигелии, они заходят внутрь орбиты
Марса и наряду с малыми планетами 1932 НА, (1221) Амуром и Эротом они
являются планетами, могущими приближаться к земной орбите сильнее всех
остальных.
V. (944) Гидальго.
Эта планета была открыта в 1920 г. на Гамбургской об-
серватории. Ее орбита отличается большим эксцентриситетом, большим наклонением
(см. стр. 304) и значительной длиной большой оси, благодаря которой она заходит
далеко за пределы орбиты Юпитера. Проходя через афелий, Гидальго почти
достигает орбиты Сатурна.
Удалось измерить диаметры
только наиболее крупных малых планет. Барнард
получил следующие цифры: диаметр Цереры 0,060, Паалады 0,038, Юноны 0,015
и Весты 0,030 радиуса Земли. Церера является наиболее крупной малой плане-
той, обладающей диаметром в 755 км. Веста может, однако, достигать большей
яркости, будучи в состоянии приближаться к Земле сильнее, чем Церера. Судя
по яркостям остальных малых планет, диаметры большинства из них, вероятно,
измеряются двухзначными числами километров.
§ 223. Максимумы
и минимумы в распределении периодов, обращений
малых планет. Распределение малых планет в широком поясе между орбитами
Марса и Юпитера неравномерно. В этом распределении имеется налицо несколько
отчетливо выраженных максимумов и минимумов, около некоторых определенных,
средних величин. По всей вероятности они обусловлены сильными возмущениями,
оказываемыми Юпитером на орбиты малых планет. В тех частях пространства,
в которых периоды обращений малых планет находятся в кратных соотношениях
с периодом обращения Юпитера (см. § 197), возмущения приобретают особый
характер, повидимому, имеющий следствием тот факт, что в этих частях про-
странства между орбитами малых планет возникают большие пробелы. Из таких
кратных периодов обращений малых планет мы укажем следующие:
Ѵз периода обращения Юпитера = 3,954 года
.
„
=
4,745 „
3И
»
.
=5,084 „
Ѵз
»
'
»
.
=5 ,931 „
1) Во время оппозиции 1931 г. удалось установить, что планета Эрот является двой-
ной, чем и могут объясняться колебания ее яркости. — Прим. перев.
Астр опоішя
20
Юпитер
§ 224. Период обращения. Размеры. Масса. Плотность.'Вращение. Сидери-
ческий период обращения Юпитера равен 4332,588 средних солнечных суток,
или 11,86177
сидерического года (11,86198 юлианского года). Синодический
период обращения составляет в среднем 1 год 34 дня, вследствие чего планета,
как правило, каждый год находится в противостоянии, однако всегда па месяц
позднее с предыдущим годом.
Юпитер является величайшей планетой. Когда противостояние
происходит
вблизи перигелия (в начале октября), угловой диаметр Юпитера превышает 50".
Экваториальный его радиус в 11,4 раза, а полярный радиус в 10,7 раза прево-
сходят экваториальный радиус Земли, в силу чего сжатие Юпитера очень значи-
тельно; оно равно приблизительно Ѵю- Овальная форма диска Юпитера весьма
отчетливо заметна при визуальных наблюдениях в астрономическую трубу По-
верхность Юпитера в 124 раза, а объем в 1400 раз превосходят соответствую-
щие элементы Земли. Но, в силу того что масса его только в 318 раз превосхо-
дит массу Земли, средняя плотность Юпитера составляет лишь 0,23 плотности
Земли и таким образом лишь слегка превосходит плотность воды. Напряжение
силы тяжести на экваторе Юпитера (без учета влияния центробежной силы)
в 2,45 раза больше соответствующей величины на Земле.
В максимуме яркость Юпитера значительно превышает яркость Сириуса
Альбедо Юпитера велико; оно равно 0,56,
Путем наблюдений поверхности Юпитера легко убедиться в том, что он
обладает вращением вокруг оси. При этом было обнаружено, что ось вращения
Юпитера почти перпендикулярна к плоскости его орбиты;
экватор планеты
наклонен к этой плоскости лишь приблизительно на 3°.
При наблюдениях Юпи-
тера наиболее бросается в глаза ряд несколько неравномерных,
чередующихся
светлых и темных полос, приблизительно параллельных экватору планеты. Однако
как эти полосы, так и более резко выраженные пятна, видимые нередко, столь
изменчивы с течением времени, что их приходится считать целиком образова-
ниями, находящимися в высокой и плотной атмосфере Юпитера. Вследствие
этого мы не имеем возможности достигнуть взглядом твердой поверхности пла-
неты в том случае, если она вообще существует. По этой же причине невозможно
получить постоянного значения времени вращения Юпитера. В светлом поясе,
наиболее близком к экватору,
оно равно приблизительно 9"50»1,
тогда как
в более высоких широтах оно составляет около 9"55'».
В 1878 г. обратило
на себя внимание большое пятно на южном полушарии планеты (примерно
на широте 20 ), обладавшее отчетливо выраженным кирпично-красным цветом.
Постепенно красная окраска этого пятна ослабевала, но само оно оставалось
видимым на протяжении долгого ряда лет. Может быть это пятно было вызвано
извержением из недр планеты раскаленных масс, свечение которых стало види-
мым сквозь атмосферу. Время вращения планеты, определенное по положению
этого пятна, также не оказалось вполне постоянным, но оно, тем не менее, лишь
незначительно отклонялось от 9''55TM408.
На Юпитере повсеместно год состоит
более чем из 10 000 суток.
Температура поверхности Юпитера была определена подобным же способом,
как
и температура поверхности Марса. При этом были получены
величины
от —110 до —135° С.
§ 225. Спутники Юпитера. Юпитер сопровождается спутниками,' которых
в настоящее время известно одиннадцать. Четыре из них настолько велики, что
они без труда различались бы невооруженным глазом, если бы находились на
темном небе не вблизи Юпитера, яркий свет которого мешает их видеть! Они
были открыты, когда первые астрономические трубы были направлены на небо
почти одновременно Галилео Галилеем и бывшим учеником Тихо Браге Симоном
Мариусом в Праге. Плоскости почти в точности круговых орбит этих спутников
приблизительно совпадают с плоскостью экватора планеты, а так как эта последняя
образует лишь малый угол с плоскостью эклиптики, то мы, наблюдая с Земли
почти всегда видим эгн орбиты с ребра, вследствие чего эти спутники почти
всегда располагаются на продолжении экваториальной полосы Юпитера. Они
обозначаются римскими цифрами I, II, III, IV в направлении от планеты1).
Остальные спутники, открытые позднее, обозначаются последующими цифрами
в порядке их открытий. Спутник V, открытый в 1892 г. Барнардом с помощью
большого рефрактора Ликской обсерватории, также обладает почти в точности
круговой'орбитой, располагающейся внутри орбит первых четырех спутников
в плоскости, весьма близкой к плоскости экватора планеты. Яркость этого спут-
ника настолько мала, что его удавалось наблюдать лишь в сильнейшие телескопы.
Спутники VI и VII были открыты фотографическим путем, первоначально на
пластинках, снятых в 1904 и 1905 гг. с помощью большого рефлектора Ликской
обсерватории. Позднее они были найдены и на других пластинках; так, например,
спутник VI был после этого разыскан на пластинках, снятых на Гарвардской обсерва-
тории в 1894 и 1899 гг. Эти спутники обращаются по орбитам, далеким от орбит
первых пяти. Орбиты спутников VI и VII обладают довольно значительными экс-
центриситетами (г = 0,16 и 0,21), и обе они приблизительно па 30° наклонены
к плоскости орбиты Юпитера.
Спутник VIII, открытый в 1908 г. на фотографической пластинке в Гриниче,
находится на еще большем расстоянии от Юпитера2). Эксцентриситет его орбиты'
равен 0,38, а наклонение ее к эклиптике составляет около 22°.
Движение вось-
мого спутника по его орбите является обратным. При фотографировании этого
спутника на Ликской обсерватории в 1914 г. был открыт и спутник IX в виде
звезды 19-й величины. Он обладает периодом обращения около 800 дней и обрат-
ным движением. Спутники X и XI были открыты в 1938 г. фотографическим
путем на обсерватории Маунт Вильсон.
В нижеприводимой таблице даны средние расстояния спутников от центра
Юпитера, выраженные в экваториальных радиусах планеты (длина экваториаль-
ного радиуса принята равной
72 590 км), периоды обраще-
ний в днях и, наконец, для
четырех галилеевских спут-
ников диаметры в радиусах
Земли, согласно измерениям
Барнарда.
Следователыю,
третий
спутник является наиболее
крупным; одновременно он
представляется
наиболее
ярким,
а именно, звездой
5-й величины. Четвертый же
спутник, диаметр которого
является вторым по вели-
чине,
обладает
яркостью,
меньшей, чем остальные три (обычно меньше 6-й зв. величины), вследствие чего
он должен обладать и меньшим альбедо, чем они. Определенные периодические
колебания яркости спутников свидетельствуют о том, что времена их вращений
совпадают с периодами их обращений так же, как и у нашей Луны. Четыре больших
спутника оказывают довольно значительные возмущения один на другой
что
читались использовать для определения их масс. Масса третьего спутника'была
.ionnL?v" м?РпТпп"
а
гЫВаеМЫе гІ
лнлеевскиыи
-
1Шеют
.
«Роме того, и названия (в том же
чорлдке). Ио, Европа, Ганнмед и Каллнсто, употребляемые однако редко. -Прим. перев
Ряи и,
00лпдаюіІ1ий яркостью 16-17 -й зв. величины) был п?те-
Er^lfo"
Iг
-
»новь открыт в Америке, благодаря успешному предвычнс-
^^^Пр^перевГ
°Рб,,ты
> произведенному в Астрономической институте
Номера
V
I
II
III
IV
VI
VII
X
XI
VIII
IX
Расстоя-
ния
Сидерические пе-
риоды обращений
Синодические пе-
риоды обращений Диаметры
2,5
5,8
9,2
14,7
25,9
160
163
164
314
314
328
0<*,49818
1 ,76914
3 ,55118
7 ,15455
16 ,68902
251
260
261
692
739
745
0<*,49824
1 ,76986
3 ,55409
7 ,16639
16 ,75355
?
?
?
?
?
?
?
0,310
0,258
0,459
0,422
?
?
?
?
?
?
этим путем несколько ненадежно оценена примерно в 0,0001 массы Юпитера, что со-
ставляет около і/яо массы Земли. Массы остальных спутников оказались еще гораздо
меньшими. Солнце производит заметные возмущения орбит внешних спутников
Для движений спутников I, II и III Лапласом были установлены и впервые
подробно исследованы два замечательных соотношения. Обозначая периоды обпа-
щений.чэтих спутников через Г„ Г2 и Тй, мы получим
т^тЛт^0'
Обозначая далее через lv u и lä долготы трех этих спутников на их орби-
тах (отсчитываемые от произвольной начальной точки) и беря среднюю угловую
скорость их движения, мы получаем закон
7-1
—
ЗА« -}- 2Z.3 = 180°,
из которого вытекает предыдущий.
Согласно последнему уравнению эти три спутника, наблюдаемые с Юпитера,
никогда не могут быть видны в одной и той же части неба.
§ 226. Определение скорости света по наблюдениям затмений спутников
Юпитера. Юпитер отбрасывает огромную тень, длина которой превышает 1200
его радиусов. Поэтому спутники Юпитера, плоскости орбит которых образуют
лишь незначительные углы с плоскостью орбиты планеты, при каждом своем обра-
щении попадают в конус тени и затмеваются. Однако чет-
вертый спутник затмевается лишь 1 раз в 3 года (приблизи-
тельно), после чего он в следующие 2—3 года (что составляет
вместе '/„ периода обращения Юпитера) проходит мимо
конуса тени, не затмеваясь. Затмений пятого спутника до
настоящего времени наблюдать еще не удавалось по той
причине, что он слишком слаб для того, чтобы его можно
было различить столь близко от планеты. Затмения же
остальных четырех внутренних спутников Юпитера часто
могут быть наблюдаемы с Земли. Именно это астрономи-
ческое явление и послужило в 1675 г, поводом к открытию
того, что скорость света не является бесконечно большой.
На фиг. 157, на которой буквой 5 обозначено Солнце, а
буквой р — Юпитер, спутник входит в тень у і и выходит
из нее у е. Олаф Рёмер, находившийся в ту пору в Париже,
обратил внимание на то, что эти затмения отнюдь не всегда
происходили в предвычисленные моменты. Совпадение пред-
вычисленных и наблюденных моментов происходило тогда,
когда Земля находилась вблизи точек m и я; при таком ее
положении расстояния от Солнца до Юпитера и от Земли до Юпитера оказывались
приблизительно одинаковыми. Когда же Земля находилась вблизи точки о (т. е.
в противостоянии), затмения наблюдались на несколько минут раньше, а когда
она находилась вблизи точки с (в соединении), — наоборот, позднее. Это явление
Олаф Рёмер объяснил тем, что свет в первом случае должен был проделывать
более короткий, а во втором — более длинный путь. Время, затрачиваемое светом
для того, чтобы дойти от Солнца до Земли, равно 8"'18
s
,7.
Когда спутник Юпитера проходит между Землей и Юпитером, ' часто удается
наблюдать тень этого спутника в виде маленького черного пятна, пересекающего
яркий диск планеты.
Приведенные в § 225 синодические периоды обращений одновременно дают
и периоды повторяемости затмений спутников. Мы видим, что сумма этих перио-
дов для первых трех спутников почти в точности является кратной числу
437,15 дня. В течение этого срока происходит 247 обращений первого спут-
ника, 123 обращения второго и 61 обращение третьего. По истечении этого срока
затмения этих трех спутников повторяются в прежнем порядке.
Фиг. 157.
Сатурн
§ 227. Орбита. Размеры. Масса. Плотность. Поверхность. Вращение. Эта
планета, сидерический период обращения которой равен 29,4566 сидерическим или
2У,4о71 юлианским годам, является второй по величине после Юпитера Эквато-
риальный радиус Сатурна равен 9,6, а полярный радиус 8,8 земным радиусам:
сжатие составляет примерно і/п.
Вследствие того, что отношение расстояний
Сатурна и Земли от Солнца (см. § 212) почти в точности равно отношению диаметров
этих планет,.Сатурн, наблюдаемый с Земли, обладает приблизительно таким же
угловым диаметром, как Земля, наблюдаемая -с Солнца. Поверхность Сатурна
равна 88, объем 820, масса 95,0, а следовательно, плотность лишь 0,115 соответ-
ствующих элементов Земли. Напряжение силы тяжести на поверхности Сатурна почти
такое же, как у нас. В период максимума своего блеска Сатурн приблизительно
обладает яркостью Беги. Альбедо его еще больше, чем у Юпитера; оно равно 0 63.
На поверхности Сатурна видны полосы, похожие на полосы Юпитера, но более
слабые. Отчетливо очерченные пятна бывают на нем видны лишь весьма редко
Из наблюдений их была определена скорость вращения планеты, составляющая
несколько свыше 10 часов; при этом, в большинстве случаев, получались продол-
жительности близкие к 10"14
ш
,
отдельные же пятна давали величины, доходя-
щие до 10"39'".
Это свидетельствует о том, что Сатурн, подобно Юпитеру, пови-
димому, не вращается во всех своих частях с одинаковой скоростью, как твердое
тело. Плоскость его экватора наклонена на 2S°5' к эклиптике и на 26°4' к пло-
скости его орбиты.
§ 228. Кольцо Сатурна. Сатурн отличается от всех остальных планет тем что
он обладает плоским кольцом,
свободно висящим в плоскости экватора планеты
не соприкасаясь с нею. Кольцо это как снаружи, так и изнутри ограничено окруж-
ностями, но с Земли оно всегда, благодаря действию перспективы, представляется
эллиптическим. Во время обращения планеты по своей орбите вокруг Солнца
плоскость кольца остается параллельной самой себе. Когда линия пересечения
плоскости кольца с плоскостью эклиптики оказывается перпендикулярной к лучу
3РеTMо'
т
°
ка
Іьц
° представляется с Земли эллипсом, малая ось которого равна
sin 20 5 , или 0,47 оольшой оси. Это происходит дважды в течение одного обра-
щения, т. е . приблизительно 1 раз в 15 лет. Во всех других положениях эллипс
кольца представляется более сжатым, а когда плоскость кольца проходит через
иолнце, что также имеет место дважды в течение одного обращения планеты, то
эллипс должен был бы превращаться в прямую линию. Однако кольцо настолько
тонко, что оно становится невидимым, когда оно освещается точно с ребра
Вследствие того, что окружность орбиты Сатурна равна приблизительно 9,5тс = 30
диаметрам земной орбиты, а период обращения его близок к 30 годам тре-
буется около года, прежде чем плоскость кольца пересечет диаметр земной орбиты
итсюда следует, что в течение года около момента прохождения плоскости кольца
іерез Солнце один или три, реже два раза случается, что продолжение этой плос-
кости пересекает Землю, когда кольцо, наблюдаемое с ребра, благодаря этому
перестает быть видимым. И в промежутке между двумя положениями, при кото-
рых плоскость кольца пересекает Землю, кольцо может становиться невидимым.
ПРОИСХОДИТ тогда, когда Солнце и Земля оказываются расположенными по
разные стороны от плоскости кольца. В таком положении кольцо оказывается
ооращенным к Земле неосвещенной своей стороной; при этом случается, что тень
•сольца бывает видима в форме черной полосы, пересекающей диск планеты
Кольцо Сатурна впервые было замечено в 1610 г. Галилеем.
Однако вслед-
ствие того, что в 1612 г. продолжение плоскости кольца должно было пройти
через Солнце, оно в 1610 г. обладало столь незначительным раскрытием, что
• алилею. показалось, что планета обладает с обеих сторон выростами.
По мере
того как астрономические трубы все более усовершенствовались, было замечено
го кольцо Сатурна разделяется на несколько частей темными полосами.
Одна
"з этих полос, получившая название деления Кассини, является очень резкой и
обладает постоянным положением. Остальные же полосы, которые, как правило
не удается проследить на всем протяжении кольца, но заметные л1ь'вХизи концов
большой оси кольца (где они видны во всю ширину), повндимому, ,вменятZZ
положения. Наконец, было обнаружено, что между внутренним краем дольн
и
°:
ш,1ега
имеетс
« У3"0* кольцо, обладающее гораздо меньшей яркостью'
диск планеты просвечивает сквозь него. Это темное (называемое также креповым
в 18зТТ.°Галле 7 Берлине!
TM
~
Р
I1,56 изображен Сатурн по рисунку Барнарда; на нем видно кольцо
с делением Кассини. Размеры этой системы, согласно измерениям Барнарда, таковы?
Экваториальный радиус планеты
100= 61 500/с*
Внутренний радиус темного кольца
.'1Д5
Внутренний
„
внутреннего яркого кольца . . .
1*44
Внешний
„
.
ш
191
*
Внутренний
.
внешиего
[
]
....
і',97
Внешний
„
в
я
,
' 2*25
"
Вопрос об устойчивости кольца Сатурна со времен Лапласа служил темой
многочисленных теоретических исследований. Они показали, что кольцо должно
рассматриваться как рой спутников, которые слишком малы для того, чтобы быть
видимыми по отдельности, но которые в зависимости от их расстояний от планеты
движутся с неодинаковыми скоростями обращения.
Спектральные
наблюдения
лучевых скоростей подтвердили правильность такого воззрения.
§ 229. Спутники Сатурна. В настоящее время известно 9 спутников2) Сатѵшіа
В нижепомещенной таблице указаны названия этих спутников, расстояния их от
Сатурна, выраженные в его радиусах, периоды их обращений и годы их открытия.
Плоскости орбит спутников лишь
Названии
Расстоя-
нии
Периоды
обращения
Годы
открытия
Мнмас . .
Энцелад .
Фетида . .
Лиона . .
Рея
...
Титан . .
Гиперион .
Япет...
Феба...
3.1
3,9
4,9
6.2
8,7
20,2
24,5
58,9
214,4
0<*,942
1789
1 ,370
1789
1 ,888
2 ,737
1684
1 ,888
2 ,737
1684
4 ,517
1672
15 ,95
1655
21 ,28
1848
79 ,33
1671
550 ,5
1898
незначительно отклоняются от плос-
кости экватора планеты и ее кольца.
Движение Фебы в противополож-
ность движению остальных спутни-
ков
является
обратным. Орбиты
спутников являются почти в точ-
ности круговыми за исключением
орбит Гнпериона и Фебы, эксцен-
триситеты которых равны соответ-
ственно 0,10 и 0,17.
Диаметр Титана, согласно изме-
рениям Барнарда, равен примерно
Vз Диаметра Земли. Г. Струве из
возмущений, оказываемых Титаном на орбиты остальных спутников, вычислил
его массу, оказавшуюся равной >/4700 массы Сатурна. Массы всех остальных спут-
ников гораздо меньше, так же как и кольца, влияние которого, однако трудно
отделить от влияния сжатия планеты.
Пары спутников Мимас —Фетида и Энцелад —Диоиа образуют своего рода
системы в силу того, что периоды обращений одного из спутников каждой такой
пары почти в точности превосходят вдвое период обращения другого; равным
SS недоступна!—Же
вяухр^ТХсть"^
НП
fTMTM*'
а В Т0М числе
"
в
°Р
нг,,нале
этой книги встречается ошибоч-
ное указание на существование десятого спутника Сатурна— Фемидыобращающегося
лано*n іЙТгМп, "ТаНа
"
ГИ1,ерН0,1а
-
Сообщение об открытии этого cïyT,Sa быдо
лано в 1905 г. Пнккерингом, но впоследствии сую не подтвердилось. —
Прим.
перев.
образом и периоды обращения Титана и Гнпериона относятся приблизительно
как 3 : 4. Это является причиной периодического возмущения особого рода
Около моментов, в которые плоскость кольца пересекает Солнце, спутники
могут попадать в тень, отбрасываемую планетой. Однако наблюдать эти зат-
мения гораздо труднее, чем затмения спутников Юпитера. В рефракторы сред-
них размеров (с диаметрами объективов в 10—15 см) вообще могут наблю-
даться лишь 5 наиболее крупных спутников Сатурна. Оба внутренних спутника
и Гиперион обладают яркостями около 13-й зв. величины, а Феба —еще мень
шей. У некоторых спутников Сатурна также были отмечены колебания яркостей
свидетельствующие о совпадении времен их вращений вокруг осей с периодами'
их обращений около Сатурна.
§ 230. Возмущения, оказываемые планетами Юпитером и Сатурном, одной
на другую.
Юпитер и Сатурн,
являющиеся двумя крупнейшими
планетами
солнечной системы, оказывают значительные влияния одна
на другую. Одно
из наиболее замечательных неравенств их движений было установлено путем на-
блюдений до того, как удалось дать его объяснение теоретическим путем
Уже
во времена Ньютона было замечено, что Юпитер всегда опережал свое предвы-
численное положение, в то время как Сатурн, наоборот, неизменно
отставал
в своем движении; отклонения эти становились все больше и больше вплоть до
конца XVIII пека, когда они достигли максимальных своих значений. Незадолго
до этого Лаплас доказал, что причину этого явления следует искать в воз-
мущениях, являющихся следствием приблизительной кратности времен обраще-
ний Юпитера и Сатурна: продолжительность пяти обращений Юпитера мало
отличается от продолжительности двух обращений Сатурна. На сгр. 265
изло-
жена идея математической теории этих возмущений.
Здесь же с помощью фиг. 158 мы дадим элементарное
объяснение этого явления.
Для простоты округляя цифры, мы положим пе-
риоды обращений Юпитера и Сатурна равными 12
и 30 годам. В таком случае синодический период
обращения составит 20 лет; это значит, что через
каждые 20 лет будет происходить соединение этих
планет; вследствие того что в это время расстояние
между ними будет являться наименьшим, взаимные их
влияния будут наибольшими. Если бы исходные цифры
являлись совершенно точными, то эти соединения всегда
происходили бы в одних и тех же местах орбит а
Фиг
"
,58
'
Относительное
именно, на трех прямых, образующих между собой
^"ТераТсатРущГа ЮШ"
углы в 120°. Производя расчет с истинными периодами
обращений, мы находим, что синодический период обращения в действительности
несколько короче 20 лет. Среднее перемещение Сатурна по своей орбите за этот
промежуток времени составит 242°,7, а среднее перемещение Юпитера на столько
же превысит одно полное обращение. Следовательно, если планеты в каком-либо
определенном положении однажды находились в соединении (С. на фиг. 158) то
следующее соединение относительно
первого положения придется на угловом
расстоянии в 240 +2,7 впереди него, третье соединение на 120°+ 5°,4 впереди
него же, четвертое на +8°,1 впереди первого соединения и т. д . В результате
спустя 3 соединения, или около 60 лет, линия соединений повернется в направле-
нии движения на 8°,1. Спустя 15 таких промежутков, или 45 соединений (около
883 лет), это опережение, суммируясь, составит несколько более 120°,
и соеди-
нения вновь будут происходить приблизительно в первоначальных положениях,
наибольшие влияния, которые при этом могут быть оказаны, достигают 48' для
Сатурна и около 20' для Юпитера; на первую из этих величин долгота Сатурна
может быть увеличена, а па вторую— долгота .Юпитера уменьшена. Продолжи-
тельность периода в 883 года весьма чувствительна к небольшим изменениям
величин р. и jij (см. стр. 265).
Уран
§ 231. Открытие. Орбита. Размеры. Вращение. Спутники. Масса. Плотность.
13 марта 1781 г. Вильям Гершель, производя наблюдения звездного скопления
в созвездии Близнецов, обратил внимание на одну из звезд, представляющуюся
при наблюдении ее в телескоп небольшим диском. Исследуя движения Юпитера
и Сатурна по их орбитам, Лаплас в августе того же года пришел к заключению,
что за пределами орбиты Сатурна должна существовать еще одна планета; это
послужило первым расширением солнечной системы, известной с древних вре-
мен. Вскоре обнаружилось, что новая планета наблюдалась неоднократно и раньше,
но принималась при этом за звезду. Такого рода наблюдения удалось просле-
дить вплоть до 1690 г.,
благодаря чему .вычисление орбиты было значительно
облегчено. Новая планета получила назваине Урана. Она несколько слабее 6-й зв.
величины, вследствие чего ее по временам на совершенно темном и ясном небе
удается разглядеть невооруженным глазом.
Сидерический период обращения Урана равен 84,01204 сидерического или
84,01350 юлианского года. Синодический период обращения примерно на 4 дня
дольше года. Диаметр Урана в 4,52 раза больше диаметра Земли.
Путем изме-
рения было установлено, что сжатие
планеты равно Ѵ1Э. Из спектральных
измерений было выведено время вращений, близкое к 10Ч5"»1. Вращение Урана
происходит в обратном направлении по сравнению с вращением остальных планет.
Альбедо Урана равно альбедо Сатурна (0,63).
Нам известны 4 спутника Урана, расстояния которых, выраженные в радиусах
Урана, времена обращений, выраженные в солнечных сутках, и годы открытия
приведены в нижеследующей та-
блице.
По мнению Ныокома,
орбиты
спутников Урана являются настолько
близкими к круговым, а плоскости
их настолько хорошо
совпадают,
что наличия каких-либо отклонений
в данных отношениях не удалось
доказать.
Эта общая плоскость
орбит спутников образует с плос-
костью орбиты планеты угол в 98°; следовательно, спутники движутся почти
перпендикулярно к плоскости орбиты планеты, и их проекции на нее обладают
обратным движением.
Из исследований движений
обоих
внутренних спутников было найдено,
что масса Урана составляет 1 /22800 массы Солнца. Это дает плотность, прибли-
зительно равную плотности Юпитера. Из возмущений Ариели было выведено
сжатие Урана, равное ЧNo. Исходя из такой величины сжатия еще до производ-
ства вышеупомянутых спектральных наблюдений, вероятное время вращения пла-
неты было оценено в 11".
Нептун
§ 232. Открытие. Орбита. Размеры. Масса. Плотность. Вращение. Спутник.
Открытие Нептуна представляет собой интереснейшую главу истории астрономии.
Когда накопился ряд наблюдений Урана, достаточно долгий для разработки
теории его движения, то обнаружилось, что не удастся достичь согласия между
наблюдением и теорией, которого можно было ожидать при достигнутой точности
наблюдений. Бувар в 1821 г. высказал мысль о том, что причину недостаточного
согласия, возможно, следовало бы искать в действии неизвестной планеты,
на-
ходящейся за пределами орбиты Урана. Постепенно накапливающийся
материал
для исследования этого вопроса представлял собой ряд разностей долгот Урана,
полученных, с одной стороны, из наблюдений (Н) и, с другой стороны, из
Названы
Расстоя-
нии
Периоды
обращений
Голы
открытий
Ариель
Титаннл
.. ..
Оберон
7,7
10,8
17,6
23,6
2^,520
4 ,114
8 ,706
13 ,463
1 1851
} 1787
&
вычислений (В), основанных на теории орбит планет. Нижеприводимая таблица
представляет собою выборку из этого материала.
Мы видим, что приводимые числа не дают сколько-нибудь широкой базы для
открытия
новой
планеты.
Использование их затруднялось тем, что разности
(не говоря уже о небольших ошибках наблюдения) не могли быть целиком отне-
сены за счет возмущений неизвестной планеты. До известной степени они должны
были являться результатами ошибок элементов орбиты Урана, неизвестных нам
с достаточной точностью, в силу незнания возмущений.
Годы
И-в
Годы
11—в
Годы
н-в
Годы
н-в
1783
1786
1789
1792
1795 -
1- 8",5
-
12 ,4
-19 ,0
-18 ,7
-21 ,4
I 1798
1801
1804
1807
1810
Ь 21",0
-22 ,2
-24 ,2
-22 ,1
-23 ,2
1813
1816
1819
1822
1*25
+ 22",0
+22,9
+20,7
+21,0
+18,2
1828
1831
1831
1837
1840
+ 10",8
—
4,8
—
20 ,8
—
42 ,7
—
66 ,6
Два астронома, Адаме в Кэмбридже и Леверрье в Париже, почти одновременно
предприняли попытку разрешения этой проблемы. Для приблизительной наметки
расстояния неизвестной планеты от Солнца должна была быть создана какая-то
гипотеза. Для этой цели оба они воспользовались эмпирическим законом Воде
(см. стр. 291), установленным в результате сопоставления орбит остальных планет
Как выяснилось впоследствии, оба они пришли почти к одному и тому же
результату. Однако, благодаря случайным обстоятельствам, открытие новой планеты
было совершено на основании результатов, полученных Леверрье. Этот астроном
сформулировал стоящую перед ним задачу следующим образом:
„Могут ли отклонения движения Урана быть вызваны планетой движущейся
в плоскости эклиптики на расстоянии от Солнца, превосходящем вдвое среднее
расстояние Урана?" И в случае положительного ответа: „Где находится эта
планета в настоящее время, как велика ее масса и каковы элементы ее орбиты?"
После того как в августе 1846 г. Леверрье разрешил эту задачу, он послал
сообщение о результатах своей работы' на различные обсерватории
в том числе
и на Берлинскую, на которой проверку его выводов оказалось произвести легко
благодаря тому, что там только что была закончена составлением карта соответст-
вующей области звездного неба. Письмо Леверрье было получено в Берлине 23 сен-
тября 1846 г. и в тот же вечер Галле обнаружил планету в виде звезды'8-И вели-
чины на расстоянии, меньшем, чем в один градус, от точки, указанной Леверрье
Из таблицы, содержащейся в § 210, мы видим, что среднее расстояние пред-
сказанное обоими вычислителями, равное 38 астр, единицам, оказалось
'значи-
тельно больше истинного, равного 30 астр, единицам. Это имело своим след-
ствием то обстоятельство,
что масса новой планеты была вычислена слишком
большой и что полученные эксцентриситеты орбиты и направления линия апсид
довольно сильно отклонялись от истинных. Так, например, Адаме в одном из
вариантов предложенного им решения нашел
эксцентриситет 0 16 а следова-
тельно, перигелийное расстояние, равное 32 астр, единицам, и, кроме того, при-
шел к выводу, что планета в этот период времени приближалась к перигелию
іем самым ошибка, допущенная в результате преувеличения среднего расстоя-
ния и вытекающего отсюда вывода о более медленном движении планеты по
ее орбите, оказалась в значительной степени компенсированной. Разности
при-
веденные в помещенной выше таблице, имели главной своей причиной соеди-
нение Урана с Нептуном, происшедшее в 1821 г.,
благодаря которому движе-
ние Урана сначала в течение ряда • лет ускорялось, а затем замедлялось. Такие
соединения происходят через промежутки времени, равные в среднем 171 4 года
Сидерический период обращения Нептуна равен 164,7848 юлианского года
Диаметр его в 4,15 раза превосходит диаметр Земли, в силу чего поверхность
17>d Раза>
а объем
72.° Раза превосходят поверхность и объем Земли. Так
как масса Нептуна равна 17, то средняя его плотность составляет 0,24 плот-
ности Земли. Напряжения силы тяжести на поверхностях Нептуна и Земли
почти одинаковы. Вращение Нептуна прямое; время вращения равно 15",8.
Нептун обладает наибольшим' альбедо из всех больших планет; оно равно 0,73.
Нам известен лишь один спутник Нептуна. Он был открыт в 1807 г. Ласселем'.
Этот спутник движется по почти круговой орбите на расстоянии в 13,3 радиуса
Нептуна с периодом обращения в 5,877 дня. Он обладает обратным движением.
Сравнение четырех внутренних и четырех внешних планет. •
§ 233. Из вышеизложенного мы видим, что четыре внешние планеты, извест-
ные до открытия Плутона, а именно: Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, отличаются
от четырех внутренних планет большими размерами и малыми плотностями. В спектре
обеих групп этих планет также существуют различия. Вследствие того, что пла-
неты светят отраженным светом, они, подобно Луне, дают ослабленный солнеч-
ный спектр с фраунгоферовыми линиями. Кроме того, в спектрах внешних планет
встречаются отчетливо выраженные темные полосы поглощения. Они располо-
жены в определенных и притом неодинаковых . участках спектровОсобенно
интенсивны эти полосы в спектрах Урана и Нептуна.
Большинство этих полос
удалось отождествить с полосами поглощения аммиака (NH3) и метана (СН ).
Это сведетельствует в том, что водород содержится в атмосферах четырех внеш-
них планет в значительно больших количествах, чем в атмосферах двух внутрен-
них планет. Вероятная причина этого состоит в том, что на пройденной стадии
эволюции свободный водород был удержан в атмосферах планет-гигантов, в то
время как из атмосфер внутренних планет-карликов он рассеялся в мировое про-
странство.
Это было обусловлено значительным напряжением силы тяжести на
поверхности первых и огромностью их расстояний от Солнца.
Плутон
§ 234. Открытие. Орбита. Произведя исследование возмущений Урана, Ловелл
пришел к выводу о существовании планеты, движущейся за пределами орбиты
Нептуна, и вычислил предположительные элементы ее орбиты. 13 марта 1930 г.
главнейшие астрономические обсерватории были уведомлены телеграммой с Ловел-
ловской обсерватории в Аризоне об открытии небесного тела, положение и дви-
жение которого совпадали с предсказанными Ловеллом величинами. Новая пла-
нета, обладавшая яркостью приблизительно 15-й зв. величины, начала усердно
наблюдаться на ряде обсерваторий. Позднее ее удалось разыскать на пластинках,
снятых в более ранние годы, а именно в 1927 г. (обсерватория в Уккле и Иеркс-
ская), в 1921 г. (Иерксская), в 1919 г. (Маунтвильсоновская) и в еще более
ранние годы вплоть до 1914 г. (Кёнигштульская и Гарвардская). С помощью
всех этих наблюдении были вычислены элементы орбиты Плутона.
Наиболее
надежные элементы приведены в таблице, на стр. 291. Период обращения Плутона
должен равняться 248,42 сидерического года.
Угловой диаметр Плутона настолько мал, что его даже не удалось измерить.
Удалось лишь установить, что он должен быть меньше 0",3.
Направления обращений и вращений в планетной системе
§ 235. Обращения и известные нам вращения в планетной системе, рассма-
триваемые с северного полюса эклиптики, происходят в направлении,
обратном
'движению часовой стрелки. Исключениями из этого правила являются: вращение
;Урана и обращения двух внешних спутников Юпитера, спутника Сатурна
Фебы,
четырех спутников Урана и спутника Нептуна.
За исключением системы Урана!
у которой плоскости обращения и вращения образуют большой угол с эклипти-
кой, эти закономерности действительны не только относительно полюса
эклип-
с северного полюса LecZo
sJaZpa
системе, рассматриваемые
происходят в направлении, противо-
положном движению часовой стрелки
(более подробное исследование пока-
зывает, что правило,
взятое в этой
форме, ^ справедливо и для
системы
Урана). Примеры:
1) Левый край солнечного диска в
результате вращения Солнца
вокруг
его оси движется по направлению к на-
блюдателю, находящемуся в северном
полушарии Земли; правый край одно-
временно удаляется от него.
2) Наблюдатель, находящийся в се-
верном полушарии Земли, рассматрива-
ющий четыре больших спутника Юпи-
тера в земную подзорную трубу, видит,
что спутники, находящиеся от Юпитера
слева, двигаясь по своим орбитам во-
круг планеты,
приближаются к нему,
а спутники, находящиеся от планеты
В
нам кажется,
У комет, как это мы увидим впоследствии, дело в этом отношении обстоит иначе.
КОМЕТЫ
похожим „а сайт газофазных туінностTM'' Б°ьшш,сTM
"моГГбыт"'
постепенно сходит наФ
Лер^Го«^ï^TM
SZT В°Л0С TT'
"""
"
0ли
-
С»ВДО"тельно, название „^оііета" обозначает
»полосатая звезда".
Ядро и кома вместе образуют голоеу ко^ты Кооме TMго
=
аетггж ж «SÄ. ж,
=
MC іезают. кометы принимают участие в суточном движении небесной гФрпы U
SS^HM^TПОЛОЖеНИЯ
— н оДзвезд. В п~ол
£Гст
небесно I
kl
°
Гра,ШЧены
каким-либо определенным
поясом
неоесноіі сферы. Кроме того, они могут двигаться в любых направлениях.
Когда
большая полуось земной орбиты.
комета проходит перед звездой, мы можем видеть звезду сквозь комету; при этом
не удалось надежным образом доказать наличия преломления спета.
§ 237. Орбиты комет в пространстве. То, что кометы принадлежат к числу
небесных тел, а не являются атмосферными явлениями, как это долго предпола-
галось, было неопровержимым образом доказано Тихо Браге. Этот астроном во
время своего пребывания на острове Хвен имел случай наблюдать ряд комет. Из
его наблюдений следовало, что кометы во всяком случае должны находиться зна-
чительно дальше Луны. Дёрфель в 1681 г. высказал предположение о том, что
кометы, вероятно, движутся по параболическим
орбитам. Ныотон придумал метод
вычисления орбиты кометы в пространстве по трем наблюдениям, в предположе-
нии, что эта орбита является параболической, и успешно применил этот метод
к вычислению орбиты кометы в 1680 г.
Галлей вычислил параболические орбиты 24 комет и нашел при этом, что
элементы орбит трех из них, а именно, комет 1531, 1607 и 1682 гг. настолько
близки, что эти три кометы следует отождествить, приняв эксцентриситет единой
орбиты значительно меньшим 1. Таким образом была открыта первая, так назы-
ваемая периодическая
комета — знаменитая комета Галлея. В конце XVIII века ряд
величайших математиков и астрономов того времени (Лагранж, Ламберт, Лаплас,
Ольберс и др.) разрабатывал проблему вычисления параболических орбит по трем
наблюдениям (см. § 176). Основополагающее значение для последующего развития
этой отрасли небесной механики приобрел метод Ольберса.
Параболическая орбита определяется пятью элементами (см. стр. 176), которые,
как правило, приводятся в следующем порядке: т, те или о> = те — A, A, і и q.
В противоположность планетам многие кометы обладают обратными
дви-
жениями.
В каталогах элементов орбит комет это выражается тем, что накло-
нения этих комет составляют углы от 90 до 180°; в таком случае элемент ш отчи-
тывается (от восходящего узла) в направлении движения по орбите. Были
вычислены элементы нескольких сот комет. Возможно скорее после открытия
новой кометы вычисляется „предварительная" ее орбита для того, чтобы обес-
печить возможность дальнейших наблюдений кометы. Почти всегда такая орбита,
вычисленная в первом приближении, оказывается параболической. В больший:
стве случаев параболическая орбита дает достаточное приближение для про-
должения
наблюдений кометы, но в единичных случаях вскоре же оказы-
вается, что орбита сильно отклоняется от параболы. В таких случаях оказы-
вается
необходимым произвести вычисление эллиптической
орбиты, поэтому
нужно проводить различие между такими кометами, пути которых приближенно
могут быть представлены параболой, и такими, которые движутся по отчетливо
выраженным эллиптическим, орбитам. К первой группе принадлежит большинство
известных нам комет, а ко второй лишь весьма незначительная часть. Однако
между обеими этими группами не существует резкой границы: вторая группа
постепенно переходит в первую, начиная с кометы Энке, обладающей наиболее
коротким периодом обращения из всех комет, и кончая кометами, орбиты которых
согласно вычислениям оказываются почти в точности параболическими. В тех
случаях, когда для вновь открытой кометы вычисляется эллиптическая орбита
с коротким периодом обращения, ожидается срок, когда—спустя определенное
количество лет — эта комета должна появиться вновь. Если такую комету согласно
предвычислениям удается обнаружить вновь — спустя одно или несколько обра-
щений, то она вносится в список так называемых периодических
комет (которые
как это будет показано ниже, правильнее было бы называть
ісороткопериодиче-
скими кометами).
В настоящее время этот список, в котором кометы расположены по возра-
стающим периодам обращений, имеет вид, указанный в таблице на стр. 317.
В этом списке комет, коротіСопериодический характер которых не вызывает
сомнений, содержится лишь одна единственная комета, обладающая обратным
движением^ а именно комета Галлея, наклонение орбиты которой составляет
около 162°. Все же остальные кометы, входящие в этот список, обладают пря-
VP
мыми движениями, в силу чего у них /<90°,
в то время как несколько сот
комет, движущихся по весьма сильно вытянутым орбитам, обладают всевозмож-
ными значениями наклонений от 0 до 180°.
Название комет
Годы
открытии
Годы
последнего
Расстояния от
Солнна ')
Наклоне-
нии
к эклип-
тике
Времена
обращений
и годах
Название комет
Годы
открытии
нші через
перигелий
u периге-
лии
п афелии
Наклоне-
нии
к эклип-
тике
Времена
обращений
и годах
Григга-Шьеллерупа
Брорзена 1
•
Темпеля III-Л. Свифта
.. ..
Де-Вико-Э. Свифта
Темпелп I
Швасмана-Вахмана II
.. ..
Джиакобини И-Цшшера . . .
Комас Сола
1818
1902
1873
1916
1846
1869
1844
1867
1819
1929
1896
1906
1900
1826
1851
1886
1892
1905
1889
1928
1843
1911
1884
1926
1937
1937
1930
1927
1879
1908
1894
1879
1939
1935
1922
1939
1933
1852
1923
1926
1906
1932
1939
1935
1932
1927
1934
1935
0,3
0,9
1,3
1.3
0,6
1,2
1.4
1.8
1,0
2,1
1,2
1.7
1.0
0,9
1,4
1,1
2,1
1,4
1,9
1,9
1.6
1,2
2,4
1.8
4.1
4,9
4.7
4.8
5,6
5.2
5.1
4,8
5.6
4,8
5,8
5.3
6,0
6.2
5.7
6,2
5,1
5.8
5.4
5.7
5.9
6.8
5,8
6,6
12°, 5
17 ,5
12 ,8
10 ,6
29 ,4
5,4
2,1
9,8
18 .9
3,7
15 ,7
8,7
30,7
12,6
18. ,1
3,4
20 ,8
30 ,5
5,6
8,0
10,6
14,7
27 ,3
13,7
3.3
5,0
5,2
5.4
5.5
5,7
5,9
6,0
6,0
6.4
6.5
6.6
6,6
6,6
6,6
6,9
6,9
6,9
6,9
7.2
7.3
8,0
8,3
8,5
Швасмана-Вахмана I (1925 I!)
Меуймина I
1858
1927 2)
1913
1939
1934
1931
1,0
5,5
1,5
10,3
7,3
12,0
55 ,0
9,4
15 ,2
13,5
16,3
17,7
Гіонса-Форбса
1818
1928
0,7
18,0
28 ,9
28,7
Брорсена ІІ-Мсткофа
ГІонса-Брукса
1852
1847
1812
1815
1913
1919
1884
1887
1910
1,3
0,5
0,8
1,2
0,6
30,0
33.2
33,7
33,6
35.3
40 ,9
19 ,2
74 ,0
44 ,6
162 ,2
61,7
69,1
71.6
72.7
76,0
§ 238. Четыре главные группы периодических комет. Указанные в вышепри-
веденном списке периодических комет элементы орбит относятся к годам, ука-
занным в третьем столбце. Следует, однако, заметить, что кометы, пересекая
орбиты планет, Часто претерпевают сильные возмущения со стороны этих послед-
них, в результате чего орбиты комет иногда значительно изменяются. То, что
перигельные расстояния комет разнятся между собой незначительно,
разумеется,
объясняется местом Земли в солнечной системе. Несомненно, существует множе-
ство периодических комет, перигелии которых расположены от Солнца настолько
далеко, что с Земли их никогда не удается увидеть. Зато в другом отношении
между кометами, перечисленными в списке, существует резко выраженное различие,
1 Выражены в отношениях к среднему расстоянию Земли от Солнца, принятому за 1.
2 Позднее была найдена на пластинке, снятой в Кёнигштульской обсерватории в 1902 г.
По времени своего последнего прохождения через перигелий она называется кометой
1925 II; вследствие незначительного эксцентриситета своей орбиты, эта комета может
наблюдаться в каждом противостоянии.
позволяющее разбить их на четыре группы. Это различие состоит в том, что
афелии рассматриваемых комет располагаются вблизи орбит Юпитера, Сатурна,
Урана или Нептуна (положение кометы 1925 II в этой классификации несколько
сомнительно). Особый интерес представляет первая группа. То, что кометы этой
группы тем или иным путем приобрели своп орбиты, благодаря притяжению Юпи-
тера, едва ли может быть подвержено сомнению. Уже указанный в § 237 порядок
величины наклонений короткопериодических комет говорит в пользу того, что
кометы, ранее обладавшие вытянутыми орбитами, были впоследствии
захвачены
Юпитером; в отдельных случаях даже удалось доказать факт такого захвата.
Поэтому, с точки зрения космогонии,
следует подчеркнуть, что мы не имеем
основания рассматривать наличие различных типов кометных орбит как доказа-
тельство неодинакового происхождения комет.
§ 239. Отдельные интересные кометы. В 1819 г, была установлена перио-
дичность кометы Энке, причем было обнаружено, что эта комета наблюдалась
в 1805 г., в 1795 г. и несколько раз даже в 1786 г. Позднее ее удавалосыіаблю-
дать при каждом ее возвращении к Солнцу. Энке не открыл этой кометы, но
произвел для ряда лет предвычисление ее появлений. При этом была обнаружена
та замечательная особенность, что комета в большинстве случаев возвращалась
в перигелий на несколько часов раньше предвычисленного момента. Создавалось
впечатление, что движение этой кометы по той или иной причине ускорялось.
Это вызвало предположение о существовании сопротивляющейся среды: при
уменьшении скорости орбита должна была бы также уменьшаться по своим раз-
мерам, а период обращения вследствие этого должен был бы становиться короче.
Вследствие того что у остальных комет мы не можем обнаружить ничего подоб-
ного, это сопротивление едва ли может быть приписано какой-либо среде, запол-
няющей всю солнечную систему. Комета Энке приближается к Солнцу сильнее
всех остальных короткопериодических комет, так как ее перигелий лежит внутри
орбиты Меркурия. Поэтому, если только что указанное объяснение вообще
является правильным, то оно должно находиться в связи с этим обстоятельством.
Позднее мы увидим, что существует еще и другое явление (зодиакальный свет),
указывающее на то, что вблизи Солнца находится вещество, относительно кото-
рого мы можем предполагать, что оно способно оказывать подобного рода сопро-
тивление. Вследствие малости своего перигельного расстояния комета Энке иногда
настолько сильно приближалась к Меркурию, что это удавалось использовать как
средство для вычисления массы этой планеты (см. § 212 и 213).
Комета
Биэлы является песьма замечательной. Впервые она наблюдалась
в 1772 г., а после этого в 1805 г., когда уже было высказано предположение
о тождественности виденных комет. Однако, лишь когда комета была вновь най-
дена Биэлой в 1820 г., это предположение вполне подтвердилось. В полном соот-
ветствии с предвычислениями эта комета появлялась вновь в 1832, 1845 и 1852 гг.
В течение последних дней 1845 г. обратили внимание иа то, что комета разде-
лилась на две части, следовавшие одна за другой. Однако они не обладали оди-
наковой яркостью. Когда комета стала после этого удаляться от Солнца, одна из
ее частей оставалась видимой почти на месяц дольше другой (уже в 1805 г. было
произведено одно наблюдение, повндимому, свидетельствующее о начавшемся еще
тогда делении кометы). При появлении кометы в 1852 г. обе ее части удалились
одна от другой еще сильнее, чем в 1846 г. Нисходящий узел орбиты кометы
Биэлы находится настолько близко от земной орбиты, что кратчайшее расстояние
между обеими орбитами в 1832 г. было оценено в 2—3 диаметра Земли; однако
комета прошла через эту точку своей орбиты за месяц до того, как Земля при-
близилась к ней. В 1772 г. гелиоцентрическая долгота этой точки равнялась 77°;
возмущения Юпитера, однако, обусловливают обратное движение линии узлов,
вследствие чего в 1852 г. долгота нисходящего узла равнялась 66°. В результате
этого дата прохождения Земли через точку ее орбиты, находящуюся на наимень-
шем расстоянии от орбиты кометы, пришлась в 1772 г. на 10 декабря, а в 1852 г.
на 28 ноября. Позднее узел продвинулся назад еще дальше.
Комета Холмса
замечательна изменениями своей яркости, которые должны-
быть вызваны процессами, происходящими в пей самой. Эта комета была открыта'
6 ноября 1892 г. и первоначально могла быть видима невооруженным глазом До
конца ноября видимые размеры ее увеличились от 5' до 30', одновременно с чем
яркость ее несколько уменьшилась, а в течение декабря она постепенно настолько
ослабла, что в начале января 1893 г. она могла наблюдаться лишь в сильнейшие
телескопы. 16 января она, однако, внезапно вновьвеиыхнула, уподобившись звезде
7-8 -й величины с комой в 30".
После эгого она опять приняла обычный вид
кометы, постепенно увеличиваясь по своим размерам и уменьшая свою яркость
вплоть до апреля 1893 г.,
когда она исчезла. Эта комета прошла через пери-
гелий уже в середине июня 1892 г. и в момент открытия находилась от Солнца
на расстоянии в 2,4 астр, единицы. При повторном появлении этой кометы,
в 1899 г. яркость ее являлась настолько незначительной, что комету можно
было наблюдать только в крупнейшие телескопы. В 1906 г. ее удалось сфото-
графировать, но яркость ее являлась уже настолько малой, что производить
визуальные наблюдения было невозможно.
После 1906 г. эта комета найдена
вновь не была.
Комета Фая, открытая в 1843 г., явилась первой из короткопериодических
комет, перечисленных в вышеприведенном списке, эллиптическую орбиту которой-
удалось вычислить без того, чтобы эта комета наблюдалась ранее.
Комета Галлея
явилась первой периодической кометой, возвращение кото-
рой было предсказано (см. стр. 316). Она является единственной из комет пере-)
численных в нашем списке, обладающей хвостом внушительных размеров Во
время своего последнего появления она была найдена на фотографической 'пла-
стинке, снятой. 11 сентября 1909 г., а в последний раз ее видели 23 мая 1911 г
анним утром 19 мая 1910 г. она прошла через нисходящий узел своей орбиты
и почти одновременно находилась в нижнем соединении с Солнцем. Следователыю
она должна была пройти почти перед самым центром диска Солнца; однако в это'
время ни в телескопы, ни с помощью спектроскопов на Солнце не удалось заметить
ничего необычного.
Из числа комет, орбиты которых нам известны, существует несколько, отли-
чающихся малыми перигелийными
расстояниями.
Среди последних в свою очередь
существует группа комет, повидимойу, обладающих общим происхождением,
к числу их, например, принадлежат следующие две кометы:
В 1843 г. внезапно появилась комета, которая 28 февраля наблюдалась не-
вооруженным глазом в нескольких пунктах южной Европы и в Америке при ярком
дневном свете, находясь на расстоянии в несколько граду-
сов от Солнца. В продолжение последующих недель
огромный ее хвост был виден над горизонтом в западной
части неба, после солнечного захода; ядра же кометы
в первые дни ее видимости наблюдать не удавалось. Уже
в апреле того же года комета вместе с хвостом исчезла.
В сентябре 1882 г. появилась комета (1882 II),
которая также в течение короткого времени могла
Фпг
,со
наблюдаться невооруженным глазом днем и в продолже-
ние всей осени была видима на утреннем небе с ярким хвостом. Эта комета была-
открыта за несколько недель до ее прохождения через перигелий, благодаря чему
Удалось лучше подготовиться к последующим ее наблюдениям. На обсерватории
Капштадте (ныне Кептоун) при этом было произведено единственное в своём
оде наблюдение, во время которого 17 сентября комету удалось проследить
ог;ЛшГаВПо0глРДО Т0Г° М0МеНТ3
'
К0ГДЗ °На ИСЧеЗЛа
'
края солнеч-
Д
П°СЛе ЭТ0Г0 она пР°
шла пе
Ред
солнечным диском, что не сопрово-
ждалось ни малейшим изменением нормального вида Солнца. На фиг. 162 покі-
зано движение кометы до и после этого. На нем С обозначает Солнце, я-точку в
которой комета исчезла, коснувшись диска Солнца, а Ь, с, d-точки,
в которых она
- осле этого появилась, вновь исчезла и вновь появилась. Моменты прохождения-
через точки b,c\\ d не наблюдались, но они приводятся ниже согласно вычисле-
ниям Крейца. Буквой Т обозначено время прохождения через перигелий.
а
Ь
Т
с
d
1882 сентябрь 17 15Л37">; 16''54>»; 17'"31»'; 19''5'»; 21'<5'» мирового времени.
Следовательно, быстрее чем в продолжение 6 часов комета обогнула Солнце.
Скорость ее в перигелии в 16 раз превосходила скорость Земли, т. е . достигла
480 км/сек.
§ 240. Вычисление кометных орбит. Для более точного вычисления кометной
орбиты используют все имеющиеся налицо наблюдения этой кометы, причем
принимаются в расчет возмущения, производимые наиболее крупными планетами
(Юпитером и Сатурном). В результате получают систему шести элементов орбиты,
возможно лучше удовлетворяющую всей совокупности имеющихся наблюдений.
Наибольший интерес представляет при этом эксцентриситет
орбиты, определя-
ющий собою форму
орбиты
и тем самым дающий ответ на основной вопрос
о том, принадлежит ли комета нашей солнечной системе или она проникла в
солнечную систему извне.
В прежнее время материал наблюдений зачастую являлся настолько скудным,
а период, охваченный наблюдениями, настолько коротким, что
эксцентриситеты,
получавшиеся при вычислении орбит, являлись совершенно иллюзорными, разу-
меется, за исключением случаев, когда вычисленная орбита, относилась к числу
короткопериодических. В настоящее же время часто встречаются случаи, при
которых материал наблюдений настолько богат и хорош, а период, охваченный
наблюдениями, настолько продолжителен, что вычисление всех элементов орбиты
может быть произведено с весьма большой степенью точноеги.
Составив список таких кометных орбит, близких к параболе, эксцентриситет
которых был определен весьма точно, мы обнаружим следующее:
1) Огромное большинство таких орбит обладает эксцентриситетами, меньшими
единицы (е < 1).
2) Существует весьма незначительное количество орбит с гиперболическим
эксцентриситетом, т. е. таких, у которых е>1. Однако в то время как все
эллиптические
эксцентриситеты обладают всевозможными значениями, начиная от
единицы и кончая малыми дробями,
соответствующими коротісопериодическим
орбитам, все гиперболические эксцентриситеты, полученные в результате
точных вычислений орбит, весьма близки к единице, т. е., иными словами,
орбиты эти весьма близки к параболе.
Тщательное рассмотрение такого списка эксцентриситетов комет приводит к сле-
дующим выводам: •!) Значительное большинство комет движется по эллиптическим
орбитам, начиная от таких, которые на всем своем протяжении лежат в пределах
внутренней части солнечной системы, и кончая такими, которые являются очень
близкими к параболам и которым вследствие этого соответствуют весьма долгие
периоды обращений, исчисляющиеся тысячелетиями. 2) Лишь весьма незначитель-
ное количество комет проникло в солнечную систему из межзвездного простран-
ства, причем все они, однако, являются весьма слабо гиперболическими.
Последний вывод, который делался и ранее, оказался, однако, небезупречным.
Причина этого состоит в том, что эксцентриситет, полученный в результате
точного вычисления орбиты, характеризует движение кометы лишь для момента,
для которого орбита вычислена, причем, однако, возмущение, оказанное в течение
периода наблюдений, принято в расчет; такая орбита называется
оскулируюіцей
(см. стр. 261). В то же время полученное значение эксцентриситета не является
точным
выражением,
характеризующим движение кометы в остальное
время,
а следовательно, и в то время, когда комета пребывала в наиболее отдаленных
частях планетной системы, находясь на пути к внутренним ее частям, в которых.
Земля движется по своей орбите, и в которых комета и наблюдалась.
Мы ведь знаем (см. стр. 261), что движению кометы вследствие возмущений,
оказываемых большими планетами в различные времена, соответствуют различные
системы элементов, в силу чего и соответствующий определенному моменту —
оскулнрующий —эксцентриситет орбиты оказывается неточно характеризующим
движение той же кометы в другой момент. Положение вещей таково, что весьма
малое изменение эксцентриситета орбиты планеты
или
короткопериодической
кометы
обусловливает лишь необходимость внесения несущественной поправки,
в то время как столь же малое изменение эксцентриситета орбиты,
близкой
к параболе,
влечет за собой коренное изменение исследуемой проблемы': эксцен-
триситет 0,9999500 соответствует эллиптической орбите, а эксцентриситет 1 0000500
соответствует орбите гиперболической.
§ 241. Первоначальные орбиты комет. Вышеприведенные соображения пока-
зывают, что оскулирующие элементы орбиты, близкой к параболе, действительные
для определенного момента, не дают ответа на вопрос о первоначальной
орбите
этой кометы. Для того чтобы определить эту первоначальную орбиту, мы должны
путем точных вычислений возмущений проследить за движением этой кометы
в течение ряда предшествующих лет и притом настолько далеко, чтобы мы имели
уверенность в том, что возмущения ранее этого срока являлись незначительными.
Такого рода вычисления были произведены для комет, наиболее пригодных для
поставленной цеди, т. е . для комет, для которых окончательное вычисление
дало оскулирующие орбиты или гиперболические (очень немного случаев) или
эллиптические с эксцентриситетами, весьма
близкими
к единице. Орбит комет,
обладающих резко
выраженной
эллиптической формой (подавляющее большинство
случаев), с этой точки зрения исследовать не требуется.
Результаты были получены для 16 комет, отвечающих вышеуказанным усло-
виям, а одновременно и условиям хорошего качества материала наблюдений и
продолжительности срока, охваченного наблюдениями. По техническим причинам
вычисления велись для величины L вместо величины е. Следует заметить, что
соотношения е> 1, <?=1 ие<1 равнозначны соотношениям— < 0,
—
=
0и—>0
(см. стр. 225). Во всех случаях при вычислениях учитывались возмущения, оказы-
ваемые на орбиту соответствующей кометы Юпитером
и
Сатурном.
Комета
Оскулнрующее с Оскулнруюіцес 1/я Средняя ошибка
Первоначаль-
ное На
1853 III
1863 VI
1882 II
1886 I
1886 II
1886 IX
1890 II
1897 I
1898 VII
1902 III
1904 I
1905 VI
1907 1
1910 I
1914 V
1925 VII
1,0002514
1,0006499
0,9999078
1,0004461
1,0002286
1,0003824
1,0004103
1,0009270
1,0010336
0,9999675
1,0013646
1,0001846
1,001021
0,9999723
1,0001618
1,0004276
—
0,0008193
—
0,0004949
+ 0,0118963
—
0,0006944
—
0,0004770
—
0,0005765
—
0,0002151
—
0,0008722
—
0,0006074
+ 0,0000810
—
0,0005040
—
0,0001424
—
0,0004991
+ 0,0002143
—
0,0001465
—
0,0002730
it 0,0000228
it 0,0000195
it 0,0002710
it 0,0000220
it 0,0000091
it 0,0000276
it 0,0000101
it 0,0000476
it 0,0000096
it 0,0000184
it 0,0000079
it 0,0000501
it 0,0000400
it 0,0001479
it 0,0000031
it 0,0000226
+ 0,0000829
+ 0,0000116
+ 0,0121488
—
0,0000071
+ 0,0003166
—
-
0,0000630
-- 0 ,0000718
—
-
0.0000368
—
0,0000157
—
0,0000168
+ 0,0002165
--0 ,0006210
-
-
0,0000252
-- 0,0033021
-- 0 ,0000119
-- 0,0001150'
Мы видим, что такое вычисление,
.
проделанное для прошедшего времени в 15
из 16 случаев, обусловило превращение орбиты в эллиптическую. В трех случаях
сохранился незначительный гиперболический остаток. Однако, учитывая величину
средней ошибки величины
получаемой при вычислении орбиты, этот остаток
следует считать совершенно иллюзорным. Такой вывод подкрепляется еще и тем
Аотрояомли
21
соображением, что эксцентриситеты в среднем несомненно оказались бы смещен-
ними еще далее в сторону эллиптических орбит в том случае, если бы были
приняты в расчет также и возмущения, производимые Ураном и Нептуном
Вследствие этого конечный вывод из имеющегося в настоящее время 'мате-
риала может быть сформулирован следующим образом: 1) огромное большин-
ство комет обладает отчетливо
выраженными
эллиптическими орбитами: 2) пѵтем
вычисления возмущений за прошедшее время пригодных для этого кометных
орбит, весьма близких к параболам, было установлено, что большинство из них
прежде являлось эллиптическими и что в настоящее время по сути дела не мо-
жет быть указано ни одной несомненно гиперболической орбиты. Поэтому мы
вправе считать, что вышеохарактеризованные исследования показали, что кометы
принадлежат к нашей солнечной системе.
§ 242. Закономерности кометных орбит. В § 238 шла речь о существовании
связи между рядом короткопериодическнх комет, с одной стороны, и одной из
—больших планет, а именно Юпитером, —с другой. В данном случае не прихо-
дится сомневаться ни в реальности этой связи, ни в том, что эта связь тем или
иным путем обусловливается рассматриваемой планетой
Совершенно иным образом обстоит дело с другой закономерностью комет-
ных орбит, о которой шла речь в том же параграфе: закономерность эта со-
стоит в том, что все перигслийные
расстояния
лежат в определенном интервале
величин, измеряющемся немногими астрономическими единицами. Следует отме-
тить, что эта закономерность справедлива для всех известных нам орбит комет,
а
оНо9о°ЛЬКО ДЛЯ
°
рбит
откопериодических
комет. Как уже было указано
в § 238, закономерность эта очень просто объясняется тем обстоятельством, что
кометы с весьма большими перигелийными расстояниями — а таких в нашей
солнечной системе несомненно существует огромное количество— не доступны
для наблюдения их с Земли.
,
Для целей космогонии пытались установить еще и иные закономерности
кометных орбит, в результате чего, кроме упомянутого распределения периге-
лийных расстояний такого рода, закономерности действительно были установлены.
Так, например, обнаружилось, что все долготы
перигелиев
обладают двумя
статистическими максимумами, располагающимися примерно около 100 и 280°.
По поводу этой закономерности был высказан целый ряд соображений космого-
нического характера. Голечек, однако, доказал, что оба этих кажущихся макси-
мума, совершенно так же, как и вышеупомянутое распределение перигелийных
расстояний, являются лишь следствием тех условий, в которых кометы могут
наблюдаться с Земли,
в силу чего эти максимумы не могут иметь никакого
реального значения для кометных орбит. Совершенно то же может быть сказано
и о другом статистическом результате, состоящем в том, что небольшие накло-
нения кометных орбит к эклиптике встречаются чаще больших. Этот результат
является лишь выражением того факта, что кометы с малыми наклонениями их
орбит обладают большими шансами на то, что их удастся увидеть с Земли, чем
кометы с большими наклонениями, которые остаются, вблизи земной
орбиты
лишь в течение весьма короткого времени.
Обобщая, мы можем сказать, что анализ статистических закономерностей
кометных орбит не увенчался положительными результатами, представляющими
) Оригинальным образом понимает эту связь советский астроном С. К. Всехсвятскнй •
выдвинувший новую теорию образования комет,- названную им теорией извержения. Оп
пришел к выводу, что короткопериодическне кометы должны были образоваться в резуль-
тате мощных процессов извержения на поверхностях главным образом Юпитера, Сатурна,
Урана, и Нептуна, а также, вероятно, и Солнца. Подтверждение своей теории автор ее
»едолгове,|и°ст» короткопериодическнх комет, из общего числа 57 которых
(с периодом меньше 15 лет) только 35 комет еще могут наблюдаться. С . К. Всехсвятскнй
высказывает предположение о том, что малые планеты представляют собой позднейшую
стадию эволюции короткопериодическнх комет. По его мнсшпо сравнительно скоро после
своего образования короткопериоднческне кометы должны были, потеряв свои газовые
оболочки, переходить в разряд астероидов. —
Прим.
перев.
ценность для космогонии, если не касаться рассмотренного выше вопроса о фор-
мах кометных орбит.
*И
§ 243. Физическое строение комет.
Туманные очертания и прозрачность
TZn0ryT
ЫТЬ 0бъясиены тем допущением, что все кометы за исключением
их ядер состоят из огромных роев твердых тел различной величины, причем все
эти тела являются весьма небольшими сравнительно с разделяющими их рас-
стояниями. Эти рои очень метко были названы „космической пылью".
С этим
выражением, однако,
не следует связывать представления о том, что размеры
ЗемлеTM " РаССТ0ЯШ1Я Между шши
столь
ж« малы, как и в облаках пыли на
Нижняя граница величины частиц может быть выведена из того факта
что
ёіГЛДВНЖУТСгП0 ЗЗК0НУ ссем
"Р
ног о
тяготения. На очень малые частицы' Тве-
піяжеиипЛ\Нсе
ЛІ,да оказывает более значительное действие, чем сила
при-
тпжения к Солнцу; заметное влияние световое давление оказывает и на частицы
t l\ZT0r0 P33fРа
-
П0Д0бн0Г0 Р°да
э
ФФекта в голове комет обнаруж ить
'
0ТКУДЗ бЫЛ° СДелаН0 заключение, что диаметр частиц, составляющих
голову кометы, должен быть не меньше 1 см
виляющих
Общая масса такого роя частиц настолько мала, что ни разу не удалось
3аМетного
п
Р"тяжения со стороны кометы на какое-нибудь другое
небесное тело, несмотря на то, что расстояния комет от планет или спупшкі
в некоторых случаях являлись весьма незначительными.'
спутников
Ввиду весьма сильных изменений температуры, которым комета подвержена
вследствие сильной вытянутости ее орбиты, мы должны' допустить, что
SТ^
ютасяЛЯЮ„Г
е
обеп
е
зВеЩеСТВа
П0СТ0Я,Ш0 0СТа,0ТСЯ
в Твердом состоянии ОНИ испа!
EZïï'i
образующиеся пары не удерживаются подобно атмосфере, как это
ы ю „ /ЛаНеТаХ
'
облада,01д,1Х Достаточной силой притяжения; отдельные
от-
частицы роя. ПРИ ИСПаРеНИ
"
М°ЛеКуЛЫ Д0ЛЖНЫ
°бРазовывать
самостоятельные
Благодаря этому кометы
могут становиться самосветящимися. То, что это
'г TM6?1'0
"
11 ИМбеТ МеСТ0
'
СЛедует » 113 спектральных исследованиемTM
Спектр головы
комет
представляет собой спектр поглощения
помй
того1?Л"Ца
'
ЭТ0Т СП6КТР ВШЫваетС!І отраженным солнечньш сітм. Кро
того в спектрах комет встречаются полосы и линии излучения
вызываёмьш
молекулами и атомами самой головы комет. В нижепомещенной Таблице nie
чисаены важнейшие полосы и линии излучения, найденные в спектрах головы
комет с указанием химической природы молекул и атомов, их вызывающих
Характер полос пли линий
Длима полны D Ä 1)
Источник (молекула
или атом)
Полосы циана
Полоса Раффетн
Полосы Свана
Три линии хрома
Пять линий железа
'
Одна линия никеля
Желтая двойная линия натрия
3590; 3883; 4216; 4606; 6495
4109
4381; 4737; 5165; 5635; 6191
5204,5; 5206,0; 5208,4
5269,5; 5328,0; 5371,5
5397,1; 5429,7
5476,9
5890,0; 5895,9
CN
СНд. (Углеводород,
состав которого
не удалось уста-
новить)
Я2
Cr
Fe
Ni
Na
спф^нІікГ^ГеіяТЗеГ с^^ьГоеГ'4TM ЭТ"Х Т°С С Длвв
"оволповой
образует в этом отношешTM^
полоса
циана X 6495
более ярко светящейся „голове" полосы.'
Указанная ее длина волны соответствует
Что касается механизма излучения света головами комет, то мы должны до-
пустить, что свободные молекулы и атомы в результате поглощения солнечного
света переходят в высшие квантовые состояния, благодаря чему они и оказы-
ваются способными излучать свет наблюдаемых полос и линий.
Взяв средние величины для всех надежным образом наблюдавшихся комет и
для появления линий до и после прохождения через перигелий, оказалось возмож-
ным построить кривые, иллюстрирующие зависимость
интенсивностей полос и
линий излучения (выраженных в долях полной яркости кометы) от гелиоцентри-
ческого расстояния /'.
Кривая для полос излучения обнаруживает существование максимума около г— 1;
в сторону увеличения г кривая опускается полого, в сторону же уменьшения г
она опускается круче; в промежутке между г =0,1 и г = 0,2 полосы исчезают
совершенно.
Кривая линий излучения начинает свой подъем лишь около г = 0,8 и после
этого поднимается от нуля очень круто вместе с уменьшением г.
Эта закономерность может быть объяснена тем, что при небольших г вслед-
ствие интенсивного нагревания, производимого Солнцем, происходит более сильное
испарение, и поэтому выделяется большее количество свободных молекул и ато-
мов, и тем, что при весьма малых г излучение Солнца оказывается
настолько
сильным, что молекулы
диссоциируют (разлагаются на атомы).
Развитие хвоста
кометы,
повидимому, происходит следующим образом. При
приближении кометы к Солнцу сначала происходит истечение материи из ядра кометы
по направлению к Солнцу. Однако эта материя вскоре же отклоняется в стороны, после
чего она отбрасывается в направлении от Солнца.
В зависимости от скорости,
с которой происходит это отбрасывание сравнительно со скоростью движения
кометы, направление хвоста, образующегося таким образом, может быть несколько
различным. Хвост образует изгиб выпуклостью вперед. Мы должны допустить,
что выбрасываемые частицы настолько малы, что действие светового давления
становится преобладающим (см. выше), чем и объясняются движения, наблюдаемые
в хвостах комет.
Характерными для спектров хвостов комет являются полосы излучения СО+;
эти полосы во время лабораторных опытов наблюдались при очень низких давле-
ниях. Соответствующие СО полосы излучения (полосы Ангстрема и Талена),
наблюдавшиеся в лабораториях при более высоких давлениях, не были найдены
ни в спектрах головы комет, ни в спектрах кометных хвостов. Это возможно
объяснить тем, что СО для того, чтобы перейти в высокое квантовое состояние,
при котором Ооно излучает названные полосы, должно поглощать излучение длины
волны 1150 А; а это коротковолновое излучение в солнечном свете очень слабо.
МЕТЕОРЫ И БОЛИДЫ. ЗОДИАКАЛЬНЫЙ СВЕТ
§ 244. Метеоры и болиды. Годовая и суточная * периодичность их види-
мости. Метеоры (или падающие звезды) могут наблюдаться каждой ясной без-
лунной ночыо. Яркость их может достигать 1-й зв. величины. Однако большин-
ство
метеоров
гораздо
слабее,
а многие
из них удается
видеть
лишь
в телескоп. Метеоры, как правило, резко очерчены — звездоподобны.
Продол-
жительность этого явления
заключается в
пределах
от долей секунды до
3—4 секунд; большая продолжительность наблюдается редко. В продолжение
этого промежутка времени метеоры движутся среди неподвижных звезд по дугам
больших кругов, длины которых изменяются в пределах от долей градуса до не-
скольких десятков градусов.
Метеоры вызываются
небольшими частицами, проникающими в атмосферу
с большой скоростью. Полет этих частиц тормозится атмосферой. Часть их ки-
нетической энергии при этом превращается в лучистую энергию, что и обусло-
вливает вспышку метеора.
Болиды
возгораются как обычные метеоры, а затем яркость их возпастает
настолько сильно, что они могут сделаться значительно светлее наиболдо ярких
звезд; в исключительных случаях яркость болидов бывает настолько вёдока
^о
их удается наблюдать днем. Иногда в конце своего полета боГд почти ЙтаГ
вливается, после чего часто происходит своего рода взрыв. Вдоль пут, бодода
:
°„
= ;ГИХ
МИНУТ бЫВаеTM'
ярк
"
й «U постепеидо бледнею-
щий и меркнущий. Нередко слышны различные звуковые явления.
После полета некоторых болидов иногда происходит выпадение на землю
Ггш?тл7ѵЛ' ТаК
НаЗЫВаеМЫХ
^теоритов.
Размеры этих метео^итГзакл очаются
в пределах от размеров небольших камней, весящих доли грамма до пазмеоГпе
лых скал, обладающих весом в несколько десятков тонн.
'
paJMep0B це
"
1Ю своему составу метеориты подразделяются на железные, состоящие
из
'-
-
пород31етжгслелующ,,е хпмTM — -
-
некоторые звездные дожди повторяются или каждый год, или спустя промежѵтк?
в несколько лет. Они называются периодическими
звездными дождями
mTT
тт^ШШШШШ
перацщ^тляето^тм^
метеорный поток
в большинстве случаев составляет не менее "оДо -^^^Х? Набл,одаемых
33
Западной ^вропе^^Д^
ег^^находидо^*^'
9 октября 1933, в СССР,
наблюдений этого звездного довдГбылаѵстTMёп„„
с
„
озвезди
" ДРак°»
а
-
В Результате
иера О связи комет с метео£2Х
Джнакобннн-Ц„н-
• имеино?°інс яркость? цтт,6 продолж^
метеоров,
лнчие следа н его изменений Гт? н -Я^СТЬ"°а
Лета
'
степе
»ь рсакости, на'
Статистическая обработка наблюдений счета метеоров, производившихся в те-
чение долгого времени, привела к следующим результатам:
1) Совершенно независимо от периодических звездных потоков,
подобных
вышеупомянутым, видимость метеоров в северном полушарии обнаруживает резко
выраженную годовую
периодичность
с максимумом осенью и с минимумом весной.
2) Равным образом была установлена и суточная
периодичность,
в силу ко-
торой в среднем большинство метеоров наблюдается по утрам (когда небо оста-
ется достаточно темным), а меньшинство но вечерам.
3) В среднем на восточной половине неба наблюдается метеоров в несколько
раз больше, чем на западной. Точка, вокруг которой наиболее тесно группи-
руются метеоры, всегда лежит именно на восточной стороне неба.
§ 245. Природа метеоров и болидов и причины суточной и годовой пери-
одичности их видимости. Орбиты в пространстве. Связь с кометами. Теория,
дающая объяснение вышеперечисленных явлений, основывается на гипотезе, со-
стоящей в том, что в мировом пространстве существует множество
мелких
твердых метеорных
тел,
движущихся по орбитам того же рода, как и ко-
меты,
т. е . по сильно вытянутым коническим сечениям, но главным образом по
гиперболам. Эта гипотеза предполагает, кроме того, что метеорные тела, встре-
чающие Землю во время ее обращения вокруг Солнца, иногда группируются в
рои, составные части которых движутся по более или менее
параллельным
орбитам, тогда как остальные метеорные тела пронизывают пространство по
всевозможным направлениям.
Земля движется по своей орбите с приблизительно постоянной скоростью
в 30 км/сек.
Из уравнения (36) на стр. 225 мы легко находим, что
параболи-
ческая
скорость на этом же расстоянии от Солнца будет в У 2 раз больше, т. е .
равна 42 км/сек.
Если метеорит движется по параболической
орбите, его отно-
сительная скорость, с которой он проникает в земную атмосферу (без учета из-
менения этой скорости, производимого
притяжением Земли), может поэтому
равняться любой величине между 12 и 72 км/сек.
Даже наименьшая из этих
скоростей настолько значительна, что удары молекул воздуха накаляют метеор-
ное тело до свечения. До тех пор пока это продолжается, мы видим метеор.
В большинстве случаев метеорные тела настолько малы, что они распыляются
уже в верхних слоях атмосферы.
Бывают случаи, когда метеориты обладают
более крупными размерами. Тогда мы видим болиды.
Если метеориты не успевают
распылиться, то, потеряв скорость от сопротивления воздуха, они падают на землю.
Значительная часть космической скорости при этом оказывается израсходованной
еще на большой высоте на преодоление сопротивления воздуха, благодаря чему
падение метеорита на землю совершается, как обычное падение камня с большой
высоты, со скоростью 100—200 м/сек.
Периодичность
видимости метеоров является следствием обращения Земли
вокруг Солнца. Точка неба, по направлению к которой в данный момент движется
Земля, называется апексом
движения Земли, а диаметрально
противоположная
точка, по направлению от которой движется Земля, называется
антиапексом.
Направление к апексу показано на фиг. 163 стрелкой, на которой изо-
бражена
почти круговая
орбита Земли вокруг Солнца С. В тот момент,
когда Земля находится в точке 3, касательная ЗА направлена к апексу движе-
ния Земли. Так как эта касательная лежит в плоскости земной орбиты, отсюда
следует, что апекс движения Земли должен являться точкой, лежащей на эклип-
тике, а так как угол СЗА = 90
э
(без учета эксцентриситета земной орбиты, обу-
словливающего изменения этого угла в пределах от 89 до 91°), то апекс дви-
высоты быстрых метеоров больше, медленных — меньше. Болиды тоже возгораются выше,
а потухают ниже, вследствие того, что они обладают большими массами, чем обычные
метеоры, н потому летят дальше них. Если болид опускается ниже 50 км, то становятся
слышными звуки, похожие на раскаты грома (так называемые детонирующие болиды). —
Прим.
перев.
жения Земли является точкой, лежащей на 90° к западу (у нас справа) от Cmm,,
Иными словами, мы можем сказать, что апекс движения ЗемлТ является ZZZ
эклиптики, в которой Солнце находилось три месяца назад
?
годичное движение Солнца происходит с зап д. на воеÏÏÏГ £ф .ГіКоб^
жена небесная сфера по отношению к наблюдателю, нахо-
Ф
"
3°бра"
дящемуся в точке 3, причем Солнце находится в точке С, а
апекс в точке А.
Значение апекса для теории метеоров очевидно из сле-
дующего рассуждения: если бы Земля оставалась неподвиж-
ной, то вспышки метеоров согласно исходной гипотезе по-
стоянно оставались бы распределенными по всему небу равно-
мерно. Если бы, наоборот, метеорные тела в пространстве
оставались неподвижными, тогда как Земля двигалась бы
по своей орбите, то должно было бы создаться впечатление,
что все метеоры прилетают от апекса движения Земли.
А в том случае, если бы двигались и метеорные тела, и Земля, то вспышки
метеоров последовательно наблюдались бы рассеянными по всему небу, причем,
однако, большинство их группировалось бы около
апекса движения Земли, а
меньшинство около антиапекса. Следует заметить, что большая средняя скорость
Вблизи апекса движения Земли влияет в сторону увеличения числа вспышек ме-
теоров в окрестностях апекса благодаря тому, что ббльшая скорость обусловли-
вает накаливание метеоритов в земной атмосфере до более высокой температурь,
а тем самым оказывает косвенное влияние и на видимость метеоров.
'
Следовательно, частота наблюдаемости
метеоров должна зависеть от поло-
жения апекса движения Земли относительно горизонта наблюдателя.
Осенью
в северном полушарии апекс обладает столь же большим
склонением и столь же длинной дневной дугой, как Солнце
летом, а весной, наоборот, столь же короткой дневной
дугой, как Солнце зимой. Вследствие этого более частая
видимость метеоров осенью, чем весной, столь же есте-
а
ственна, как и ббльшая продолжительность
солнечного
сияния летом,
чем зимой. В суточном своем движении
апекс движения Земли, перемещаясь по эклиптике, опере-
жает Солнце на 90э
,
вследствие чего он и кульминирует
приблизительно на 6 часов раньше него. Следовательно,
Фиг
lß4
верхняя кульминация апекса движения Земли должна про-
исходить по утрам, а нижняя кульминация-по вечерам, откуда и следует сѵточ-
иая пер„од,TMостЬ видимости падающих звезд. Наконец, мы видим, что апёкс дед-
жения Земли восходящий в полночь (несколько ранее ее осенью и несколько
позднее весной) и достигающий наибольшей своей высоты над горизонтом в утршг-
к к 3 ёя"ГСТОЧНОЙ
«СТН "J* будет годиться высоко в ночные часы/тогда
как в западной части неба он будет находиться на этой высоте в дневные часы
когда метеоров видеть невозможно.
дневные часы,
*аЖуГСЯ ВЫЛеТ
ме те
°Р°
в
113 радианта
является эффектом перспективы
ÄPr=X
ТеЛПР0,П ,КаеТ В 3еШ,уЮ атмосФ
е
РУі то параллельные у
TM
н£?п ГА на которых происходят вспышки метеоров, проектируются на небес-
точке Этот ST'
°
бРа30М
'
ЧТ° Пр0Д0ЛЖе
""
я
TMзаД пересекаются в одной
точке Этот эффект в точности напоминает кажущееся схождение параллельных
линий в одной точке, наблюдаемое человеком, смотрящим вдедё длин юй прямой
Улицы, в конце которой эти линии представляются ему сходящимися! ^ последнем
случае глаз наблюдателя, различающий видимые величины^р^иёёых предметов
получает определенное впечатление о разнице расстояний; тогда
какТслучаё
наблюдения астрономических явлений это впечатление отсутствует Одиночный
ЕедГмм Г"
констати
Ровать
лишь изменение
напрівленія
луча эре ия
Если мы знаем скорость, с которой метеорный поток встречается с Землей
то „ы можем по положению радианта определить орбиту, по которой метеорный
поток двигался в мировом пространстве до встречи с Землей. А если направле-
ние и скорость движения какого-либо небесного тела на данном расстоянии от
Солнца нам известны, то может быть вычислена и вся орбита этого тела
(см. §170). Расстояние небесного тела от Солнца в данном случае совпадает с рас-
стоянием Земли от Солнца. Направление от наблюдателя к радианту представляет
собой направление относительного
движения, а в силу того что направление и скорость
движения Земли нам известны, может быть определено абсолютное направление
движения метеорного потока, если нам известна абсолютная скорость его дви-
жения. В случае если мы можем исходить из предположения, что орбита мете-
орного потока является параболической,
то абсолютная скорость движения
в у 2 раз превосходит скорость движения Земли по ее орбите, и мы в таком
случае имеем все данные для вычисления элементов параболической
орбиты.
Если же орбита метеорного роя является эллиптической,
а период его об-
ращения был установлен каким-либо другим способом, то тем самым дана и боль-
шая ось эллипса, а вместе с нею и эллиптическая скорость. В таком случае
могут быть определены и остальные элементы эллиптической орбиты. Значение
такого рода вычислений состоит не в том, что мы узнаем орбиты тех мелких
небесных тел, которые, как таковые, уже уничтожились в результате вспышек
падающих звезд в земной атмосфере, а в том, что мы определили движение тех
частей метеорного роя, которые проскользнули мимо Земли и которые вслед-
ствие этого могут встретиться с ней в другой раз. В 1866 г. Скиапарелли вы-
числил параболическую орбиту августовских метеоров (персеид) и нашел при
этом почти в точности те же элементы, которые раньше были вычислены для
небольшой кометы
1862 III. Вся разница при этом состояла лишь в том,
что для кометы был найден период обращения приблизительно в 120 лет, т. е .
иными словами, была получена сильно вытянутая эллиптическая орбита. Кроме
того, Скиапарелли вычислил также и орбиту Леонид, причем он исходил из пе-
риода обращения, равного ЗЗУ4 годам (см. стр. 325). Короткое время спустя,
Оппольцер вычислил орбиту кометы
18661, причем опять-таки обнаружилось
близкое соответствие; для этой кометы был найден период обращения, равный
33,18 года. Эта комета не приведена в помещенном выше списке периодических
комет, в силу того что в 1899 г. ее не удалось вновь найти.
Эти открытия имели большое значение в том отношении, что они послужили
надежным обоснованием вышеупомянутой гипотезы, устанавливающей общность
природы орбит метеорных потоков и комет. Уже до этого несколько астрономов
высказывало предположение о том, что метеориты следует рассматривать как
остатки комет. Когда метеорный рой значительных размеров, при которых взаимные
притяжения отдельных, составляющих его частиц не играют заметной роли, попа-
дает во внутренние части солнечной системы, то там возникают заметные разли-
чия между притяжениями, производимыми Солнцем на ближайшие и на более
удаленные частицы этого роя. Когда орбита является эллиптической, то благо-
даря этому возникают небольшие разности периодов обращений, с течением вре-
мени накапливающиеся, вследствие чего материя метеорного потока постепенно
рассеивается вдоль его орбиты, иногда этому же явлению способствуют возму-
щения, оказываемые планетами. В том сильно вытянутом метеорном кольце,
которое вызывает появление звездных дождей персеид, материя, повидимому,
рассеялась вдоль по всей орбите, так как этот метеорный поток наблюдается
ежегодно в то время, когда Земля пересекает его орбиту. У Леонид, однако, это
рассеяние еще не зашло настолько далеко, так как этот метеорный поток бывает
видим только через более продолжительные промежутки времени, а именно тогда,
когда соответствующая комета должна была бы проходить вблизи Земли. Судя
но прежним периодам, обильные дожди леонид должны были бы быть в годы 1899
или 1900 и 1932 или 1933, чего, однако, в действительности не наблюдалось.
Вычисления возмущений, произведенных с 1866 г. на орбиту этого метеорного
потока Юпитером, показали, что причина этого несомненно заключается в том,
что нисходящий узел орбиты потока по сравнению с прежним его положением
удалился от земной орбиты. После этого был установлен еще ряд случаев сов-
падения орбит комет с орбитами метеорных потоков, радианты которых нам из-
вестны. Однако такого рода связь метеорных потоков с известными нам кометами
должна рассматриваться как исключительное явление.
За исключением немногочисленных случаев, в которых происхождение мете-
орного потока от какой-либо определенной кометы может считаться
твердо
установленным, ответить на вопрос об орбитах метеорных потоков в пространстве
очень трудно. Определение скоростей движения метеорных тел в простран-
стве—а вместе с ним и вычисление их орбит—весьма ненадежны, вследствие
чего в разное время по поводу этих скоростей и орбит высказывались резко
расходящиеся мнения *).
1
§ 246. Зодиакальный свет представляет собой другое явление, также может
оыть обязанное своим происхождением остаткам комет. Он бывает видим на тем-
ном небе в форме слабо светящегося клина или конуса недалеко от Солнца-
основание этого клина, расположенное у горизонта, обладает наибольшей яркостью
вблизи него (у самого же горизонта сильно сказывается атмосферное поглощение)
а сам клин, заостряющийся кверху, располагается вдоль эклиптики. Зодиакальный
свет получил свое название от слова „зодиак",
который, как известно, предста-
вляет собой пояс, в котором Солнце совершает свое видимое движение. Так как
эклиптика в наших широтах постоянно образует острый угол с горизонтом, зо-
диакальный свет и приобретает вид наклонного клина в верхнем своем конце,
однако, слегка закругленного. При большой прозрачности воздуха зодиакальный
свет может быть ярче Млечного Пути, но он никогда не бывает столь резко
очерчен, как этот последний, вследствие того, что яркость зодиакального света
уменьшается как от середины его к краям, так и снизу вверх. Зодиакальный свет
участвует в суточном движении небесной сферы. В наших широтах его удается
проследить вплоть до расстояний в 60 или в 80° по обе стороны от Солнца,
а в более южных широтах зачастую и еще дальше. В тропических странах зо-
диакальный свет бывает видим круглый год, в наших же широтах —лишь в те
времена года, когда эклиптика образует достаточно большой угол с горизонтом,
после того как небо сделалось по вечерам достаточно темным, или до того, пока
оно по утрам еще не стало слишком светлым; когда же угол зодиакального
света к горизонту невелик, так что весь его клин располагается невысоко над
горизонтом, поглощение света в нижних слоях земной атмосферы становится
настолько сильным, что слабое его сияние в них совершенно поглощается. Фев-
раль и начало марта являются в наших широтах временам наилучшей видимости
зодиакального света по вечерам, в западной части неба, а октябрь —временем
наилучшей его видимости по утрам в восточной части неба. При ярком лунном
свете зодиакальный свет становится невидимым.
Ось зодиакального света обычно не совпадает с эклиптикой
совершенно
точно. Это отклонение частично объясняется несимметричностью явления, обусло-
вливаемой тем, что воздух поглощает больше света на нижней, чем на верхней
стороне клина зодиакального света. Наблюдения, произведенные в тропических стра-
нах, где эклиптика может подниматься над горизонтом вертикально, показали, что
отклонения оси зодиакального света от эклиптики могут быть лишь весьма невелики.
внутреннюю, т. е . наиболее близкую к Солнцу часть зодиакального света
удается видеть лишь во время полных солнечных затмений, да и то редко, потому
что в большинстве случаев солнечная корона оказывается настолько яркой, что
фон неба остается слишком светлым для наблюдения зодиакального света. Поэтому
лишь в исключительных- случаях удавалось проследить значительное удлинение
короны в направлении эклиптики.
(1931—19331 цП°лпѵ* ра,?°п
ТР±Р"?0НгСК0
"
«емориой экспедиции Гарвардской обсерватории
Ѵтп ФІІГ '
ДУ
экспед,гцн*' Гофмейстера под тропики и других работ можно считать
Zpce
ЧаСТЬ С
"
0раДН"ССК0Г0 мете
°Р»ого материала движется по гиперболаГ-
В 1909 г. на Ликской обсерватории удалось сфотографировать спектр зодиа-
кального света, для чего общая продолжительность экспозиции, равная 121/а ча-
сам, была распределена на 13 ночей. В получившемся непрерывном спектре вполне
надежным образом были найдены две темные линии, а именно фраунгоферовы
линии G и H К. Это показывает, что зодиакальный свет вызывается отражен-
ным светом Солнца. Относительно отражающих его частиц мы должны допустить,
что они, обладая в совокупности ничтожной плотностью, рассеяны во внутренних
частях солнечной системы вблизи плоскости планетных орбит.
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 247. Движение перигелия Меркурия. Отклонение света на краю солнеч-
ного диска. Красное смещение. Общая теория относительности модифицировала
ньютоновские уравнения, образующие основу для объяснения явлений, происхо-
дящих в солнечной системе. Скорости движений, встречающиеся в солнечной
системе, все очень малы по сравнению со скоростью света, и вследствие этого
вносимые модификации по числовым своим значениям также весьма малы. Важ-
нейшим отклонением этого рода является прямое движение
перигелия
Меркурия,
составляющее 0",4 в год. Соответствующее противоречие результатов наблюдений
с теориями движения планет, основывающимися на уравнениях Ньютона, было
замечено еще Леверрье. В связи с этим мы упомянем два других следствия теории
относительности, имеющие значение для астрономии. Одно из них состоит в от-
клонении
светового
луча, когда он проходит мимо самого края солнечного диска.
Теоретическое значение этого отклонения на самом краю солнечного диска
равно Г' ,75. Другое следствие состоит в „красном смещениит.
е. в смещении
света (а следовательно, и спектральных линий) к красному концу спектра, про-
порциональном частному от деления массы на радиус излучающей звезды.
Отклонение световых лучей вблизи солнечного диска было констатировано
путем наблюдений звезд, находящихся в окрестностях Солнца во время полных
солнечных затмений.
Намек на существование смещения к красному концу спектра был обнаружен
у спектральных линий Солнца; однако этот намек настолько слаб, что другие
причины (течения) дают смещение такой же величины. На одном из белых карли-
ков (см. стр. 404), а именно, на спутнике Сириуса красное смещение наблюдалось
надежным образом. В данном случае радиус звезды настолько мал, что смещение
к красному концу спектра соответствует явлению Допплера для лучевой скорости
порядка 20 км\сек (соответствующее значение для Солнца равно всего лишь
0,6 км/сек). Приблизительно на соответствующее значение линии спектра смещены
к красному его концу относительно того положения, которое мы должны были бы
ожидать в результате обращения спутника Сириуса по его орбите. Исследование
в данном случае затрудняется лишь сильным рассеянием света самого Сириуса.
ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЙ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
§ 248. Сходство орбит планет и комет. Образование солнечной
системы.
Последними открытиями, касающимися форм орбит в солнечной системе, явились
следующие: открытие планеты Плутона (весной 1930 г.), большая часть орбиты
которого лежит за пределами орбиты Нептуна (см. стр. 315), и открытия (вес-
ной 1932 г.) двух малых планет Амура и Аполлона и (в 1936 г.) третьей малой
планеты Адониса, образующих форпосты кольца астероидов, наиболее близкие
к Солнцу.
Восстанавливая в памяти уровень познаний относительно характера движений
в солнечной системе, соответствующий середине прошлого столетия, мы можем
охарактеризовать его следующими общими положениями:
1) Четыре внутренние большие планеты (Меркурий, Венера, Земля и Марс),
орбиты которых представляют собой эллипсы, обладающие сравнительно неболь-
шими эксцентриситетами и малыми наклонениями к эклиптике.
2) Некоторое количество малых планет, движущихся в пределах довольно
узкого пояса между орбитами Марса и Юпитера по эллиптическим орбитам, обла-
дающих и среднем большими эксцентриситетами и наклонениями, чем орбиты
упомянутые в пунктах 1 и 3.
3) Четыре внешние большие планеты (Юпитер, Сатурн, Уран и — с 1S46 г.
Нептун), эллиптические орбиты которых обладают малыми эксцентриситетами и
наклонениями.
4) Большое количество комет, движущихся по орбитам, обладающим всевоз-
можными наклонениями к эклиптике и эксцентриситетами, значительно большими
эксцентриситетов планетных орбит. Часть этих комет обращается целиком в пре-
делах известных нам планетных орбит, но преобладающее болышінсто комет
движется по орбитам, сильно вытянутым вплоть до орбит, форма которых близка
к параболе и которые выходят далеко за пределы известной в то время наиболее
далекой от Солнца планеты.
Между орбитами планет, с одной стороны, и орбитами комет, с другой,
существовало, или точнее выражаясь, предполагалось глубокое различие.
Так обстояло дело до 1898 г. В настоящее же время положение вещей
во многих отношениях значительно изменилось.
В 1898 г. была открыта малая планета Эрот. Ее орбита пробила старую
границу кольца астероидов, так как часть этой орбиты располагается внутри
орбиты Марса.
В течение последующих десятилетий по мере усовершенствования астрономи-
ческих инструментов были последовательно открыты одна малая планета за дру-
гой, а затем и целые группы малых планет одна за другой, орбиты которых
не укладывались в старую схему (см. стр. 304—305).
-
Три малые планеты (группа Альберта) движутся по сильно эксцентрическим
орбитам в афелиях, сильно приближающихся к орбите Юпитера.
Мы знаем одиннадцать малых планет (группы Юпитера), совершающих свой
путь вокруг Солнца по орбитам,
не обладающим незначительным эксцентри-
ситетом на том же приблизительно среднем расстоянии от -Солнца, как и Юпитер.
Была найдена одна малая планета (Гидальго), орбита
которой обладает
большим эксцентриситетом (а также и большим наклонением), в своем афелии
находящаяся от Солнца почти на том же расстоянии, как и Сатурн. Исходя
из старых представлений, мы должны были бы сказать, что эта планета движется
по типичной кометной орбите.
Среди короткопериодических комет существует одна, открытая в 1927 г.
на Гамбургской обсерватории, комета 1925 И, орбита которой, обладающая малым
эксцентриситетом, целиком расположена между орбитами Юпитера и Сатурна,
т. е. иными словами, комета, движущаяся по типичной планетной орбите.
Весной 1930 г. было произведено открытие большой планеты (Плутона),
обладающей сильно эксцентрической орбитЬй, ббльшая часть которой распола-
гается за пределами орбиты Нептуна.
Весной 1932 г. была открыта малая планета (Аполлон), обладающая большим
эксцентриситетом орбиты, который временами заходит не только внутрь орбиты
Земли, но даже и внутрь орбиты Венеры.
Подводя итог современному уровню наших знаний, мы можем утверждать,
что вообще нет принципиальных различий между разными типами планетных
орбит, между короткогіериодическими и близкими к параболе кометными ор-
битами, а равно и между орбитами планет, с одной стороны, и орбитами
комет, с другой; единственное различие планетных и кометных орбит состоит
в том, что все планеты обладают прямыми движениями, в то время как приблизи-
тельно половина комет обладает прямыми движениями, а другая половина их
обратными.
Общий итог говорит в пользу единства, господствующего в солнечной системе.
Возможно, что вообще между планетами и кометами не существует принципиаль-
ного различия. В настоящее время мы имеем все основания считать, что как
планеты, так и кометы принадлежат к солнечной системе. По всей вероятности
наша солнечная система наполнена телами крупными и мелкими, движущимися
по разнообразным орбитам. Тела, значительно от нас удаленные, в тех случаях,
когда они сами по себе и являются крупными, мы видеть не можем. В тех случаях,
когда тела обладают сильно эксцентрическими орбитами и перигельными рас-
стояниями, меньшими определенного предела, они не могут, приближаться к нам
настолько, чтобы стать видимыми; этому будет особенно благоприятствовать
то обстоятельство, что они будут проникать во внутренние части солнечной
системы в качестве очень редких гостей, а вследствие этого еще будут содержать
вещества, могущие способствовать возникновению типичных кометных явлений —
испарению и образованию кометных хвостов.
Поводимому все имеющиеся налицо различия в конечном счете сводятся к
различию характера
орбит.
Кометы и планеты, входящие в состав нашей сол-
нечной системы, должны исчисляться по меньшей мере миллионами, но огромное
их большинство никогда не сможет наблюдаться с Земли.
Единственное оставшееся различие планетных и кометных орбит — тот факт,
что все движения планет являются прямыми, в то время как движения комет,
совершающиеся по сильно эксцентрическим орбитам, примерно в равных количе-
ствах разделяются на прямые и обратные, — может быть поставлен в связь
с обстоятельством, на которое дают намек формы
орбит.
Это обстоятельство
состоит в том, что большинство комет могло образоваться во внешних частях
солнечной системы в те времена, когда она еще не сжалась в систему, обладаю-
щую общим направлением движений своих составных частей, в то время как из-
вестные нам планеты образовались в последующей стадии эволюции солнечной
системы.
По вопросу об образовании нашей солнечной системы мы ограничимся лишь
этим замечанием. Правда, относительно „древней истории" нашей солнечной си-
стемы могут высказываться различные предположения, и со времени опубликования
теории Канта-Лапласане было недостатка в попытках обосновать историю
солнечной системы. Однако при современном уровне развития науки на относя-
щиеся сюда вопросы невозможно дать надежных ответов.
*) Весьма часто встречаемое в литературе указание на существование единой теории
Каита-Ланласа является ошибочным. В действительности гипотеза Канта, опубликованная
на 41 год раньше теории Лапласа, существенно от нее отличается. В частности, Кант до-
пускал, что туманность, первоначально не вращавшаяся, впоследствии приобрела вращение
от взаимодействия своих частей. Лаплас не повторил этой ошибки, наделив первоначальную
туманную звезду вращением. В настоящее время теория Лапласа (равно как и гипотеза Канта)
признана неудовлетворительной. В свое время она сыграла в науке огромную положи-
тельную роль, но теперь является пройденным этапом развития космогонии. —
Прим.
перев.
ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
ЗВЕЗДНАЯ АСТРОНОМИЯ И АСТРОФИЗИКА
ЯРКОСТЬ. ЦВЕТ. ДИАМЕТР. ПОВЕРХНОСТНАЯ ЯРКОСТЬ
§ 249. Яркость звезд. Количество света, излучаемого звездой, выражается чи-
слом, называемым ее звездной величиной. Эти числа выбраны так, что большим
яркостям соответствуют меньшие звездные величины. Количество света, излучае-
мого звездой 1,0 зв. величины, в 2,512 раза превосходит количество света, из-
лучаемого звездой 2,0 зв. величины, которое в свою очередь в 2,512 раза превосходит
количество света, излучаемого звездой 3,0 зв. величины и т. д . Число 2,512 было
выбрано потому, что логарифм его равен 0,4, что очень удобно для вычислений
Двум количествам света Іх и /2, образующим отношение
Іх:/2,
соответствуют
две звездные величины тх и да2, образующие разность
тх—
даа.
Соотношение
этих величин выражается следующим уравнением:
А = (2,512)т
'- '\
которое в логарифмическом виде может быть переписано так:
lg£=0,4К
—
да,).
,
"H-о
Это значит, что
г»о(Ц^
р-
lgА+ 0,4тх =
lg/9-f 0,4т2.
'
р_/рö'""
-
Следовательно, для пары сопряженных значений величин / и m мы будем иметь
следующее соотношение:
или
1g /-f 0,4 да = const,
да = const—2,5 lg/.
Последняя формула может рассматриваться как уравнение, определяющее понятие
звездной величины.
Пример 1. Положив количество света, излучаемого звездой 6,0 величины,
равным 1, мы для нижеуказанных звездных величин получим следующие коли-
чества света:
Зиездпав величина
Количество света
0,1
(2,512)5 = 100,00
2,0
(2,512)*= 39,81
3.0
(2,512)3 = 15 ,85
4,0
(2,512)' - =
6,310
5.0
(2,512)1= 2,512
6,0
-
(2,512)0= 1 ,000
.
..
Пример 2. Двум количествам света, относящимся одно к другому, как 1: 50,
соответствуют две звездные величины, образующие разность х,
определяемую
следующим образом:
(2,512)* =
50
х-lg (2,512) = lg 50
0,4л: = 1,699
X= 4,25
Выведенное выше уравнение позволяет вычислить звездную величину, соот-
ветствующую любому количеству света, если только мы установим звездную
величину одного какого-либо количества света. Это дает возможность вычислить
числовое значение постоянной, входящей в уравнение. Для этой цели часто поль-
зуются Полярной звездой, полагая количество доходящего от нее света равным
звездной величине 2П,
,12.
Относительно звезды, излучающей количество света т, говорят, что она обла-
дает яркостью ні-й звездной величины, или, сокращая это выражение, просто
называют ее звездой т-й величины. Этой же буквой пользуются для обозначе-
ния звездных величин, выражая яркость звезды, например, так: 5'",23.
§ 250. Видимая и абсолютная звездные величины. Видимое нами количе-
ство света, излучаемое звездой, зависит от общего количества излучаемого ею
света и от расстояния
наблюдателя от звезды. Когда расстояние наблюдателя
от звезды изменяется, то изменяется и видимая звездная величина этой звезды.
Для самой же звезды является характерным общее количество излучаемого ею
света. В качестве меры этого количества было введено понятие
абсолютной
звездной
величины.
Абсолютной величиной мы называем такую яркость, которую
звезда имела бы, находясь от наблюдателя на расстоянии в 10 парсеков
(парсек
есть расстояние, иа котором большая полуось земной орбиты видна под углом
в 1"; см. стр. 417). Абсолютная величина звезды зависит только от общего ко-
личества света, излучаемого ею. В отличие от абсолютной величины
звезды
яркость ее, видимая наблюдателем, находящимся на Земле, называется видимой
величиной этой звезды или, правильнее говоря, видимой
звездной
величиной.
Когда не приходится опасаться путаницы двух этих понятий, то видимая звездная
величина называется прямо звездной величиной. Определения „видимая звездная
величина" и „абсолютная звездная величина" равнозначны определениям „видимая
яркость" и
„абсолютная яркость".
§ 251. Связь" между абсолютной величиной, расстоянием и видимой вели-
чиной. Видимая величина m какой-либо звезды была нами определена как яр-
кость ее на том расстоянии, на котором мы от нее находимся; это расстояние
дается параллаксом те этой звезды. Абсолютная величина M звезды была опре-
делена как яркость ее на расстоянии в 10 парсеков от этой звезды. Количества
света / и I, соответствующие этим величинам m и М, относятся одно к другому
обратно пропорционально квадратам обоих расстояний, равных
парсека и
10 парсекам. В силу этого мы можем написать следующее соотношение:
Разность M — m может быть получена из уравнения
100 те2 =
(2,512)ЙГ—w
»
так как
j = (2,512)лг —m
.
Это уравнение может быть переписано в таком виде:
2 -j-2 Igте= (m—m) lg (2,512),
2+ 2lgте= 0,4(M—m),
откуда мы получаем в окончательном виде следующее соотношение:
А/= m-J-5+ 5lgте.
о" ZnUMn
L Видимая
велич»на
"i звезды равна 5»',6, а ее параллакс те равен
соЙ"
СЛУЧае ее абС
°
ЛЮТНйЯ
в ели чина
вычисляется
едед^ощшГспо-
М= 5,6+5 + 5lg0,300 =
=
5,6+5—5
-
0,523
=
=
5,6 +5 — 2,6=
=
8ЛГ,0.
Пример 2. Видимая величина Солниа пяпнп
ос„, 7
п. ,,, ,.
—
26,7+ 5+ 5lg206 264,8
=
=
—
26,7 + 5 + 5.5,314
=
=
—
26,7+ 5+ 26,6
=
=
4ЛГ,9 .
ская§ видимые
• фотоэлектриче-
служит общее количество световод энергии. ёе Мер
°
Н ВИДИМ0Й Зимины звезды
ресекающей за одну секунду перпендикулярную
направлению звезды поверхность площадью в 1 см2, 1,0
находящуюся от звезды на том же расстоянии]
что и Земля. Для Солнца
эта величина может
быть измерена сравнительно легко. Принцип ме-
тодов измерения состоит в превращении световой
энергии в тепловую и в последующем измерении
повышения температуры,
обусловленного
этим
превращением (,пиргелиометр). В получаемые ре-
зультаты измерений должны быть внесены по-
правки за счет поглощения света в земной ат-
мосфере. Этим путем была найдена следующая
величина:
1,35 • 10*эрг . см -*сек-*=1,94
б.кал . см -*мин-*
(солнечная постоянная).
Объективный метод может быть приложен и фиг
-
165- Две кривые Планка для
к наиболее ярким звездам.
На обсерватории Температур в 10000° (Ях) и 5000°
Маунт Вильсон для этой цели были исйольчптнм
"
а
РядУс кР»вымн чувствитель-
=гт~
SÄ
SÄt«
мещенные в фокусе зеркала диаметром в 250 см.
нат
'<Р"вых Плавка неодинаков;
ьыли произведены измерения яркостей более 100 есл
"
бы 011 был
°Д"наков, то максн-
ярких звёзд.
мальнал ордината кривой р., соста-
Если бы человеческий глаз был одинаково чув-
вляла бы лишь Ä = А макснмаль-
ствителен к свету всех длин волн, то фотометри-
ной ординаты А.
ческие наблюдения, проводимые глазом (визуаль-
ная фотометрия, см. стр. 28), должны были бы давать те же результаты
„
ixzxsm »S££
излучаемые ими за секунду на поверхности площадью в 1 см2,
расположенные
на расстоянии, отделяющем их от наблюдателя, были бы одинаковыми. В дей-
ствительности же глазу желтая звезда представляется более яркой, потому что
глаз более чувствителен к желтому свету, чем к фиолетовому. На фиг.
165
изображены кривые относительной чувствительности глаза к свету различных длин
волн, причем наибольшая чувствительность во всех случаях положена равной 1.
Когда свет звезды, состоящий из радиации всевозможных длин волн,
фото-
метрнруется объективно, мы получаем меру общей суммы излучаемой световой
энергии всех длин волн. Когда же фотометрическая оценка производится визу-
ально, то мы также получаем меру общей суммы излучаемой световой энергии
всех длин волн, но с той, однако, существенной разницей, что энергия каждой
отдельной длины волны в зависимости от чувствительности глаза к этой длине
волны оказывается редуцированной. Следовательно, различие между объективной
(болометрической) и визуальной величинами какой-либо звезды зависит-от спект-
рального состава света этой звезды. Как мы это увидим позднее (см. § 258),
распределение энергии света звезды по длинам волн близко совпадает с анало-
гичным распределением согласно закону Планка для определенной температуры.
Следовательно, разность между болометрической и визуальной яркостями может
быть приближенно выраженной через температуру (через эффективную темпера-
туру Тсц), характеризующую распределение световой энергии в спектре звезды.
Помещенная ниже таблица содержит разности A m (болометрическая минус визу-
альная яркость), соответствующие различным эффективным температурам.
Tett
Дш(бвл.
—
виз.)
ТМ
Ат(вол.— вна .)
3000°
—
0"',67
12 000°
—
О"1
,58
4000
—
0 ,62
13000
—
0 ,73
5000
--0
,18
14 ООО
—
0 ,89
6000
—
0 ,02
15 000
—
1 ,04
7 000
0 ,00
16000
—
1 ,19
8000
—
0 ,06
17 000
—
1 ,34
9000
—
0 ,16
18000 .
—
1 ,49
10 000
—
0 ,29
19000
—
1 ,63
11000
—
0 ,<13
20 000
—
1 ,77
Вследствие того что выбор нульпуНкта во всех системах звездных величин
является произвольным (см. определение нульпункта, стр. 334), различие любых
двух систем выражается одной лишь постоянной. В помещенной выше таблице
эта постоянная выбрана таким образом, что разность в максимуме становится
равной нулю. Следовательно, визуальная яркость звезды, обладающей эффективной
температурой от 6000 до 7000°, равна болометрической ее яркости. При других
эффективных температурах, как более высоких так и более низких, визуальная
яркость звезд оказывается меньше болометрической.
Фотографическая пластинка, так же как и глаз, обладает неодинаковой чувстви-
тельностью к свету различных длин волн. На рис. 165 изображена кривая чувстви-
тельности фотографической пластинки. В результате возникают разности боло-
метрических и фотографических яркостей, зависящих от эффективной температуры.
А так как кривые чувствительности глаза и фотографической пластинки не
совпадают, равным образом возникают и обусловленные эффективной температу-
рой разности визуальных и фотографических яркостей. Эта разность называется
показателем цвета, или колор индексом. Следовательно,
колориндекс = /"фотогрпфі1чоокоа — »*внвуільнов.
Постоянная выбрана здесь таким образом, что показатель цвета для 7
_
ОІГ
Äil3 000° равен нулю1).
Точное определение гласит: показатель цвета полагается равным нулю для звезд
спектрального класса АО (см.стр. 353).
Следующая табличка иллюстрирует ход изменений колориндекса при измене-
ниях эффективной температуры.
ТсІ(
Колориндекс
3000°
-4 -1'",8
6000
+о ,7
10 000
'
-1-0 1
20 000
—0
,3
Ортохроматические пластинки, применяемые совместно с желтым сфетофильт-
ром, дают кривую чувствительности, очень близкую к кривой чувствительности
глаза, Вследствие этого звездные величины, определяемые по фотографиям, снятым
на ортохроматических пластинках через желтый светофильтр, почти в точности
совпадают с визуальными звездными величинами. Такие величины носят название
фотовизуальных.
Яркости, определяемые с помощью фотоэлементов, дают
фотоэлектрические
системы звездных величин, которые в случае калиевых фотоэлементов приблизи-
тельно соответствуют системе фотографических звездных величин, а в случае
применения рубидиевых фотоэлементов приблизительно соответствуют визуальным
звездным величинам.
3
§ 253. Соотношения различных фотометрических систем. Мы остановимся
несколько подробнее на соотношениях, существующих между различными фото-
метрическими системами.
г
В совершенно общей форме положение вещей в этом отношении может быть
охарактеризовано следующим образом. Каждой фотометрической установке соот-
ветствует определенная кривая чувствительности, характеризующая зависимость
светочувствительности от длины волны. Яркость звезды выводится из
суммарной
интенсивности света, улавливаемой используемой фотометрической установкой
При этом суммарная интенсивность является суммой действующих интенсивностей
всех длин волн, имеющихся в свете звезды. Действующая интенсивность света
определенной длины волны пропорциональна: 1) интенсивности света звезды для
этой длины волны и 2) чувствительности фотометра к этой же длине волны
Ооозначим через/(X) интенсивность длины волны X, а через Р(Х) чувствительность
фотометра к длине волны X. В таком случае действующая интенсивность света
звезды в интервале длин волн от X до* X-{ -rfX будет пропорциональна величине
P(X)./(X)rfX.
(1)
Суммарная, действующая интенсивность (С. инт.) всех-длин волн будет равна
•
œ
С. инт. =
constJp(X)./(X)dX.
(2)
о
Система звездных величин будет определяться следующим уравнением (см. стр. 333):
m= const—2,5lgС.инт.
(З)
Из обоих этих уравнений мы получаем следующее соотношение:
со
m= const—2,5lgfp(X)•/(X)dh
(4)
0
Кривая чувствительности Я(Х) фотометра определяется рядом факторов Функ-
ция / (X) должна давать кривую интенсивности звезды за пределами земной атмос-
феры. В таком случае атмосфера должна нами рассматриваться как фактор, при-
сущий фотометру. Сам по себе фотометр состоит из постоянно
используемых
и нем линз или зеркал, образующих его оптическую
систему,
и из применяемого
» данный момент (сменного) светофильтра.
Наконец, фотометрическая установка
3 целом характеризуется и используемым светочувствительным
органом
(глазом
термоэлементом и т. п .).
ѵ
'
Астроиомші
Влияние атмосферы выражается так называемым коэффициентом
прозрачности.
Этот коэфициент показывает, какая доля приходящего из мирового пространства
света пропускается земной атмосферой. Коэфициент прозрачности земной атмос-
феры является функцией длины волны. Мы обозначаем его через д(Х). Обычно
псе фотометрические измерения редуцируются к зениту (см. стр. 30 и 342).
В таком случае величина р (X) относится к прозрачности для z = 0°. Аналогичным
образом мы можем определить и коэфициент прозрачности используемой оптиче-
ской системы. Он также является функцией длины волны; мы будем его обозна-
чать через q (X). Наконец, таким же способом определяется и коэфициент проз-
рачности применяемого светофильтра; мы будем обозначать его через /(X). В итоге
получается, что интенсивность света, попадающего в светочувствительный орган,
должна быть пропорциональна величине
/(Х).р(Х).<7(Х)./(Х).
(5)
Если светофильтр не применяется, то мы должны положить /(Х)=1 . Действую-
щая интенсивность пропорциональна, во-первых, этой интенсивности и, во-вторых,
чувствительности светочувствительного органа. Последняя опять-таки является
функцией длины волны; мы будем обозначать ее через g (к). В таком случае
действующая интенсивность света в интервале длин волн от X до X-| -dX будет
пропорциональна выражению
I(X)dk•p(k) •q(X)•/(X) •g(X).
(6)
Путем сравнения этого выражения с величиной (1) мы убеждаемся в том,
что функция чувствительности Р (X) фотометрической установки выражается сле-
дующей формулой:
P(X) = p(X)., 7(X)./(X).g -(X),
(7)
представляющей собой произведение факторов, характеризующих влияния земной
атмосферы, оптической системы, фильтра и чувствительности светочувствительного
органа.
Заметим еще, что дело касается • лишь отношений величин Р(Х) для различ-
ных длин волн X, но не абсолютных величин или, иначе выражаясь, что функ-
ция Р(Х) должна быть известной лишь до одного постоянного фактора для всех
длин волн. Уравнение (4) показывает, что умножение величины Р(Х) на коэфи-
циент, не зависимый от X, обусловливает лишь смещения произвольно выбранного
нульпункта шкалы звездных величин.
Если мы с помощью двух фотометров, обладающих функциями чувствитель-
ности Р'(Х) и Р"(Х), определим звездные величины т' и т", то согласно урав-
нению (4) мы сможем написать следующие соотношения:
со
т'=
const' — 2,5IgJР'(X)/(X)dk
(8)
о
и
со
т"=
const" — 2,5 lgJ Р" (X)/(X)dk,
(9)
о
а следовательно,
ч
f Р'(Х) /(X) dk
m'—m"=
const — 2,5 lg
(10)
J" P"Q-) / (X)dk
о
Пусть функции P'(X) и P"(X) будут известными нам функциями. В таком слу-
чае согласно уравнению (10) разность звездных величин .может быть определена
вычислительным путем при известных допущениях относительно величины /(X).
Если мы допустим, что распределение интенсивностей следует закону Планка то
разность т'-т" может быть вычислена как функция эффсіивноіГтемперіІры
Постоянная величина, входящая в состав уравнения
(10),устанавливаете^пѵтем
какого-либо условного допущения; обычно устанавливают что звезтш
іл.шины
і стеГ зТбГинпмЛ or3"3
"
КЛЗССа А
°
долж,,ы
быть одинаковыми (см. сноску
М обРазом определяется лишь болометрическая яркость- онг
совпадает с визуальной яркостью при тех эффективных температурах ир ' котооых
(см ci" зГбГіп им Г"' ВЬ
"
Х
3 об*их системах, яёляГся по crZZZ
(см стр. 336), что имеет место примерно у звезд класса F5
MTn:в Ультрафиолетовой части спектра линии поглощения настолько многочисленны
іГ^ние
ПЛаНК0ИСК0Г0 Распределения энергии для / (X) в уравнении (10)
поглощения; оно может быть принято в расчет путем введения его н уравнений »01
ныХсГтГ;„— ТстГ„г
ние
свемн,,я
—,о
фу,,.^^TM:^:
не зашіс/мпн"«
бы фотометрической установи с фу , ц„еГ рм
б^TM
яЛрГтнМЛНЫ- П0СРеДСІВОМ так°"
мы получал іГ бы
ФѵнкиЙ"'ртШ^Г""НУТ0й уттта На
°
б«Р°«°Р"" М'УНТ Вильсои (см. стр. 335)
Spm1;м
"yT^s
зависимый от Р^зж^те^ьной ѴюсобносTM ^о зер^
J^V
srp
£|г~ыгг=а—Ä— —Ä -
issiâ
SSSSSFj
дом месте, где его пересекает свет звезды, может" изм'ен^Тагодаря "ему '
22*'
будет изменяться и степень ослабления света клином. В любом положении крас-
ный клдн действует совершенно так же, как светофильтр. Действие этого клина
для любого d будет характеризоваться коэфициентом прозрачности его, являю-
щимся функцией длины волны. Обозначим этот коэфициент через /гй (X). При
толщине клина, равной 1, коэфициент прозрачности клина будет
при толщине клина, равной 2, клин будет действовать, как 2 клина толщины,
равной 1, т. е.
Вообще говоря, клин толщины, равной d, будет действовать, как d клиньев
толщины 1, т. е .
А,г(Х)=[А1(Х)]й.
Отношение интенсивностей света до и после прохождения через клин будет,
следовательно, равно
<IM
іад]-
.
1 (^пооло
Преобразуя это отношение интенсивностей в разность двух звездных величин
по способу, изложенному на стр. 335, мы получим
Мпооло - И <Мдо =
-
2>5
[W] -
=
<*•[- 2,5 lg *,(*)].
Следовательно, выраженная в звездных величинах разность интенсивностей
света до и после прохождения через клин оказывается для всех длин волн пропор-
циональной толщине клина в том месте, где через него проходят световые лучи.
Для P (X) мы при толщине клина d будем иметь
ад-ад-ад-ад-ад.
Посредством красного клина мы можем изменять цвет и изображение звезды.
С помощью красного клина и николя мы можем, как это будет показано в сле-
дующем параграфе, уподобить изображение звезды звезде сравнения как по яр-
кости, так и по цвету. Тогда действующие на глаз наблюдателя интенсивности
изображения измеряемой звезды и звезды сравнения будут одинаковыми. По рас-
пределению энергии в спектре звезды сравнения, по положению красного клина
и положению николя, зная коэфициенты поглощения трубы и атмосферы, мы
можем судить о распределении энергии в спектре звезды. В таком случае путем
интегрирования по всем длинам волн можно было бы определить болометрическую
яркость. Однако такого рода определение в слишком значительной степени но-
сило бы характер экстраполяции, так как путем визуальных наблюдений может
быть установлено равенство интенсивностей лишь в видимой области спектра.
А потому вместо этого вычисляют следующий интеграл:
х,
Ji (X)
h
в котором пределы интеграции Xt и Х2 соответствуют границам видимой области
спектра (примерно около 4400 и 6600 А).
Соответствующие яркости мы называем колориметрическими
яркостями.
4. При Фотографических наблюдениях Я(Х) становится равным произведению
p (X) на <7 (X) и на чувствительность фотографической пластинки §"ф(Х). На рис. 165
изображена кривая чувствительности обыкновенной фотографической пластинки.
Максимум этой кривой располагается' примерно около 4500 А. За пределами
области длин волн от 3100 до 5100 А чувствительность практически равна нулю.
Ортохроматические пластинки чувствительны не только к ультрафиолетовым и фи-
олетовым лучам, но и к лучам больших длин волн, достигающих примерно 6000 А-
для'XQ4ень"шипи!п?а
1д"
обладают довTMьно постоянной чувствительностью
коасной И V Фптп П ГСТН ДЛИИ В0Л" 0Т ультрафиолетовой части спектра до
красной. И у фотографических пластинок кривая чувствительности
несколько
изменяется в зависимости от интенсивности падающего , TM
1
Пуркинье существует и для фотографических пластинок
копоГЗ ГЛГпР?еТОфИЛЬТР' ПраКТИ
"
еСКИ "епР°зрачный для лучей длин волн
короче 4600 А, перед ортохроматической пластинкой, мы достигнем того, что
Я(Х) будет иметь почти такой же ход, как при визуальных наблюдениях Га,
нижепомещенную таблицу; путем соответствующего подбора ф^ьтроТГпГстинки
мы можем приблизиться к ЯП(Х) еще сильнее]. Применяя си.шй светофильтр прак-
тически пропускающий свет лишь в интервале длин волн от 3600 до 4500 А
мы обнаружим смещение максимума кривой Я(Х) к коротковолновой части спектра'
по сравнению с тем случаем когда на нлягти».TM
ил,,ини
"
'«"-ти спектра
через светофильтр.
'
пластинку падает свет, не прошедший
Для числовой иллюстрации сказанного в помещенной ниже таблице сгпѵппи-
рованы для различных длин волн следующие величины: коэфициент ЬрЬзраЬшсти
земной атмосферы p (X), коэфициент прозрачности рефлектор с^ двуЬГзеркаламЬ
чувствительности: глаза «ДО, обыкновенной фонографическойZwZg(X)
ортохроматической пластинки ^(Х), коэфициенты прозрачности синего фильтра'
/ДО и желтого фильтра/ж(Х) и, наконец, величины Я (X) для некоторых фотометров
как функции длин волн. Значениям Ярад(Х), Яи(Х), Я (X) „ я.(Х) соответствуют
радиометрическая, визуальная, фотографическая и фотовизуальная яркости
л
• ІЛ|1 pW Й(X) евW дф(X)£ортW /о(X)
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
620
640
660
680
700
0,54
0,59
0,63
0,67
0,71
0,76
0,79
0,81
0,84
0,86
0,87
0,88
0,88
0,89
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,02
0,00
0,36
0,58
0,64
0,69
0,74
0,79
0,82
0,83
0,84
0,85
0,85
0,86
0,86
0,86
0,87
0,87
0,88
0,89
0,89
0,06
0,18
0,28
0,50
0,78
0,97
0,98
0,84
0.62
0,40
0,19
0,05
0.01
0,0
0,1
0,2
0,3
0,7
0,9
1,0
1,0
1,0
0,9
0,4
0,0
4
3
1,3
0,8
0,6
1,0
0,6
0,2
0,0
0,00
0,01
0,17
0,30
0,40
0,56
0,51
0.28
0,06
0,00
/ж(Х) °1>ад (^) Pu (X) рф (х;
0,02
0,25
0,59
0,74
0,78
0,78
0,78
0,78
0,78
0,78
0,78
0,78
0,78
0,00
0,21
0,37
0,43
0,49
0,56
0,62
0,66
0,70
0,72
0,74
0,75
0,76
0,77
0,77
0,78
0,79
0,81
0,83
0,84
0,05
0,16
0,26
0,48
0,76
0,96
0,98
0,85
0,63
0,41
0,20
0,05
0,01
0,0
0,0
0,1
0,4
0,6
0,8
0,9
1,0
0,9
0,5
0,0
Рфв (X)
0.1
0,4
0,6
0,6
1,0
0,6
0.2
0,0
Поясним вкратце метод определения
величины р(Х). Если не поинимат,
расчет преломления света и кривизны атмосферных слоев равны?плотностеп
петяТ1СРTM7РИ
"л СЛИШК°М МЗЛЫХ ВЫС0Тах над горизонтом, то гюглощение
света в земной атмосфере оказывается пропорциональным sec г, гЛе г-зенЗое
расстояние, потому что тогда длина луча зрения, обладающего зенитным рГст?
е ппи
ПР0П°РЦИ0НаЛЬН0Й sec*- В TMлу этого, напри.Ге? по^лоще-
LZ
Zr
(ДЛЯ ВСеХ ДЛИ" В0ЛН) отзывается вдвое большим поглощГии
При
0 и пои?— следовательно, оказывается равным разности поглощений
при г-0
и при г = 60. Благодаря этому путем наблюдений одних и тех же'
звезд на различных зенитных расстояниях мы можем определить или редукцию
на зенит, или величину p (X) для зенита.
В этом параграфе мы разбирали способы редукции яркостей различных фото-
метрических систем при переходе от одной к другой. В следующем параграфе
мы покажем, каким образом из разностей яркостей различных систем могут быть
удобно выведены эффективные температуры.
§ 254. Цветовые эквиваленты. Уже упоминалось, что из распределения энер-
гии в звездном спектре может быть выведена некоторая величина, приблизительно
соответствующая температуре атмосферы этой звезды. Детальное исследование
спектров слабых звезд невозможно; поэтому чрезвычайно важно, что определение,
например, колориндекса
(который
может быть измерен у значительно более
слабых звезд) позволяет вычислить эффективную температуру звезды.
Простейшим результатом наблюдений, связанным с температурой, оказывается
цвет звезды. Красные звезды обладают более низкими температурами, чем желтые
или белые. Субъективная оценка цветов весьма опытными наблюдателями дала
довольно хорошие результаты.
Мы видели (см. стр. 28), что от оценок яркостей мы переходим к визуальной
фотометрии путем измеримого изменения сравниваемых яркостей звезд, необходи-
мого для их уравнивания. Равным образом мы можем перейти от оценок света
к визуальной колориметрии,
если нам удастся измеримым образом изменять цвета
изображений звезд таким образом, что окажется возможным уподоблять измеряе-
мую звезду звезде сравнения как по яркости, так и по цвету.
Обозначим распределения интенсивностей для двух звезд через /'(X) и /"(X).
В таком случае различие цветов этих двух звезд выразится изменением отношения
/'(X) : /"(X)
по мере изменения длины волны. Если это отношение для всех длин волн остается
постоянным, то цвета звезд одинаковы. Выражая интенсивности в звездных ве-
личинах /л'(Х) и лі"(Х), мы найдем, что цвет звезд будет одинаков, когда раз-
ность иг'(Х) — т"(\) будет оставаться постоянной для всех длнн волн. В видимой
частя спектра уравнение Планка дает достаточно хорошее приближение:
„Пч
const
1
=
—
Кроме того, в видимой части при не слишком высоких эффективных темпе-
ратурах (Г< 10 000°) величина е1Т гораздо больше 1 (см. стр.381). В таком
случае мы можем приближенно положить
/(X)=£onsL
Для звездных величин m(X) мы, согласно изложенному на стр.335—336, получаем
m(X)= const-f-12,5lgX-j-2,5lge•yf.
Для разности m' (X) — m" (X) будем иметь
m>(X)_ m"(X)= const+ 2,5lge
-
Следовательно, с используемой степенью приближения разность звездных
величин оказывается пропорциональной 1/Х с точностью до некоторой постоянной.
В фактор пропорциональности входит разность обратных величин температур звезд.
Для двух звезд (яркости которых мы будем предполагать различными), обла-
дающих температурами 7" и Т', разность m' (X) — m" (X) будет, следовательно,
изменяться с изменениями длин волн и цветов звезд. Если бы мы могли компенсиро-
вать ход разности m' (X) — m" (X) с изменением X путем использования различного
хода лучей для обеих звезд, то мы достигли бы того, что изображения этих
звезд приобрели бы одинаковый цвет. Был изготовлен красный клин, поглощаю-
щая способность которого изменяется с длиной волны таким именно образом
что поглощение, выраженное в звездных величинах за вычетом некоторого попо-
щенпя, постоянного для всех длин пол!.,
оказывается пропорциональным 1/Х
В фактор пропорциональности входит толщина клина в том месте
где через
него проходит свет звезды (см. стр. 340).
создается возможность ком-
пенсировать ход разности m (X) m" (X) в зависимости от из ленения X с помощью
такого красного клина. На пути лучей более горячей звезды помещается красный
клин. Путем передвижения ьтого клина изменяется толщина клина в том месте
где его пересекает свет" звезды, до тех пор, пока цвет изображения звезды не
сделается одинаковым с цветом звезды сравнения. После этого путем измерения
толщины клина может быть определена эффективная температура звезды. В каче-
стве звезды сравнения используют искусственный источник света, распредетеине
интенсивности радиации, которого должно происходить по закону Планка
Пусть
эффективная температура звезды сравнения лежит между 2000 н 3000° С помотып
ш.коля достигают равенства яркостей измеряемой звезды и звезды сравнения
Посредством оценок цвета и визуальной колориметрии возможно изучение
более слабых звезд, чем посредством визуальной спектрофотометрии. Однако даже
при использовании крупного инструмента, почти недоступны звезды слабее 9-й вели-
чины. Для исследования более слабых звезд применяются фотографические методы
Сравнение двух областей спектра, например,
путем^-фотографических
фотоэлектрических измерений с помощью синего и желтого фильмов дает меру
связанную с эффективной температурой.
F
ру'
Как было показано в преаыдущем параграфе, разности яркостей СООТПРТ.
ствующие различным Я(Х), связаны с эффективными температурам?
'
Т
Сравнение яркостей, определенных двумя различными методами, наппимео
фотографической и фотовизуальной яркости, может быть произведено оче Гудобно
путем получения нужных для этого фотографических снимков на одной и до? ж?
пластинке. Для этого, например, фотографируют какую-нибудь область звез?ного
неба сначала через синий светофильтр (или без светофильтра), затем нёск?ёь7
Zr;rCTTy
В СТ0Р0НУ
и
Фотографируют ту же область ч рез жеЛТы»
Ф
^обЛсп^^/"^'"
пСИИГИ И "ЖеЛТ°е
"
"Жжения каждой звезды!
Удобный способ сравнения „синих" и „желтых" изображений состоит в еле
дующем: сначала берут ряд „синих" изображений, подученных
возрастающими в геометрической прогрессии, например, с
рав?ш,и
20я
и 80я; затем берут, одно „желтое" изображение, снятое с экспозицией пподол
жительность которой обычно вследствие меньшей чувствительное^
к желтому свету выбирается дольше продолжительности наиболее долгой эГпо
=ysvssr ^ *
~
S
ZZ
ЭКСпиозп
'<
ии
> » ищется мерой разности яркостей в сине!
«
Удвоение продолжительности экспозиции производит несколько иное действие,
чем двойная интенсивность цвета звезды. Следовательно, отношения продолжи-
тельности! экспозиций нуждаются во внесении некоторых поправок для того,
чтобы они соответствовали отношению интеисивностей; эти поправки неодинаково
велики для ярких и слабых звезд. Кроме того, должно быть принято в расчет
то обстоятельство, что зависимость чувствительности пластинки от длины волн
изменяется с яркостью звезды (явление Пуркинье, см. стр. 341).
С помощью применяемых в точной фотометрии вспомогательных приспособле-
ний (например, абсорбционных или дифракционных решеток, см. стр. 29) этот
способ легко может быть преобразован в точный метод.
С другой стороны, отношение продолжительностей экспозиций является функ-
цией яркостей и цветов звезд. Таким образом, если мы знаем наперед яркости и
колориндексы ряда звезд, снятых на пластинке, то мы легко можем для любой
другой яркости вывести отсюда связь между отношением продолжительностей
экспозиций и колориндексом. Кривые редукции отношений
продолжительностей
экспозиций на колориндексы для звезд различной яркости будут,
вообще
говоря, различаться незначительно. После этого можно будет вывести отсюда
колориндексы остальных звезд, снятых на той же пластинке. В этой форме
метод очень удобен для сравнения звезд, расположенных на небольшом участке неба.
Если изображение звезды фотографируется путем помещения грубой дифрак-
ционной решетки (см. стр. 29) перед объективом (у рефракторов) или перед
зеркалом (у рефлекторов), то на пластинке кроме центрального изображения
получается еще несколько рядов дополнительных спектров. Однако, как правило,
лишь оба спектра первого порядка по своей яркости оказываются пригодными
для измері ний. Расстояние между „центрами яркости" обоих этих спектров на
пластинке зависит от распределения энергии в спектрах. Оно становится тем
меньше, ч м сильнее максимум интенсивности смещается к фиолетовому
концу
спектра, т. е.,
иными словами, она уменьшается по мере возрастания эффектив-
ной температуры. Центр яркости
спектра отмечает на пластинке положение
наиболее активной (наиболее эффективной) области спектра (расстояние центра
яркости от центрального изображения звезды измеряется как половина расстоя-
ния между двумя центрами яркости). Зная постоянную решетки, из расстояния
от
центрального
изображения
можно
вычислить длину волны этой области.
Найденная таким способом длина волны носит название эффективной
длины
волны.
Как и отношение продолжительностей экспозиции, эффективная длина
волны зависит не только от эффективной температуры, но в незначительной сте-
пени и от яркости, звезды. Поэтому в результаты измерений должны вноситься
соответствующие поправки, подобно тому как это делается при определении
отношений продолжительностей экспозиции (см. выше).
Эффективная длина волны, различные показатели цвета и остальные харак-
теристики различия двух областей спектра объединяются общим названием цве-
товых
эквивалентов.
Эффективная
температура
22000°
13 000
8 500
6 000
4 400
3200
Колорнмдекс
фотогр.
—
виз.
—
0"',33
О ,00
+0,33
+0,67
+1,12
+1,73
Эффективная
длина волны
(дли рефлекто-
ров)
414 mix
425
430
437
448
455
Отношение
продолжитель-
ностей
экспозиций
Iff (Wo)
(1.11)
0,98
0,86
0,73
0,58
0,39
Выше помещенная табличка иллюстрирует соотношение некоторых цветовых
эквивалентов. Для построения этой таблички использованные звезды были разбиты
на группы по их спектральным классам (см. стр. 353), и для каждой такой группы
были вычислены средние значения.
§ 255. Диаметры звезд. Изображения звезд в фокусе песЬпактппя ППАНСТ,
вляют собой дифракционные изображения. Звезды
ЛЙЬЮІМИ
дисками, окруженными дифракционными кольцами.
Радиус 8 такого диска з в
преимущественную роль при визуальных наблюдениях, он может бытГ
выражен следующей формулой (см. Приложение, стр. 549)
8= if^L
о»
где о дано в сантиметрах.
В следующих двух строках приведены диаметры 8, выраженные в секѵнлах
Дуги для различных отверстий (для Х = 5600А) объектива
секундах
о
5см
15см 40см 100см 250см
S
2", 8
0",9
0",4
0",14
0",06
ВилTM? 1Р1"абЛЮДеН»ЯХ В 100-Д»"«°»ий Рефлектор на обсерватории Маунт
чтпѵглп5РКЦИ0ННЫЙ ДИСК наст0ль,ш
велик
>"о
ны не вправе ожидать то го
что угловой диаметр звезды удастся измерить непосредственно. (Солнце отне '
сенное на расстояние в 1 парсек, обладало бы угловым диамётром( в О" 009 )
Пропуская свет через
отверстия, отстоящие одно от другого на расстоя-
"""
мы
благодаря интерференции
получим дифракционное^ изображениё
характер которого будет зависеть от расстояния D Однако ALI! „л
'
ционного изображения при достаточно больших D Ьуі т ZZ/o*
ÎÂ
ш2 п\1°Т УГЛ0В0Г
°
ДИаМ6Тра ЗВеЗДЫі благодаР
я
ЭТ0"У при до"тГточно боль-
пТІІГТ В03ГШ0СТЬ и3меригь угловой
Диаметр звезды этёш путем На
обсерватории Маунт Вильсон для этой цели была совместно со inn
ЙЙГ^ТГг
СПеЦНаЛЬН0
^crpy^ZT^
з0ерГлйсОрВаЫА
ZZTZZZZZZ
НЗДГЫХ ЗНаЧеТ
- Ру-"Р0ва"Ь|Р ё помещенной
гада—--
=
—
Ä
3=
Нгззанне звезды
Угловой
диаметр
Парал-
лакс
Спект-
ральный
класс
Диаметр
в диамет-
рах
Солнца
о Кита (Дивная)
а Ориона (Бетельгензе) . . !
'
а Скорпиона (Антарес) ....
*
а Геркулеса
ß Пегаса
.
'.'.'.
'.
а Тельца (Альдебараи)
а Волопаса (Арктур)
0",056
0 ,047 J)
0 ,040
0 ,030
0 ,021
0 ,020
0 ,020
0",020
0 ,010
0 ,009
0 ,007
0 ,020
0 ,057
0 ,108
Мбе
МО
МО
М5
М2
К5
КО
300
500
480
460
110
38
20
Солнца. Однако то чГэ^таблжГГ"'
ЗНаЧИТельно
превосходящим диаметр
i) Угловой диаметр является переменным.
§ 256. Поверхностные яркости звезд. Зная видимую яркость и параллакс
звезды, мы можем вычислить ее абсолютную яркость (см. стр. 334) по формуле
M—m
-f-5
-1-5 Ig
те.
(1)
С другой стороны, мы знаем, что абсолютная яркость Солнца равна 4м
,9 (см.
стр. 335, пример 2). Общее количество энергии eq, излучаемой Солнцем в се-
кунду, может быть вычислено из солнечной
постоянной
(см. стр. 335) и из извест-
ного нам расстояния Земли от Солнца
£ѳ=
4те (1,495 • 10l8)2 • 1,35 • 10° эрг/сек = 3,81 • Ю88 эрг/сек.
Для звезды с известной абсолютной яркостью M общее количество энер-
гии ел.,
излучаемое этой звездой, может быть определено путем
сравнения
с Солнцем. Разность абсолютных величин будет a4— 4,9; отсюда мы можем
вычислить отношение
: eq (см. стр. 334) по следующей формуле:
A = (2,512)4' °-
iU.
(2)
Для того чтобы это вычисление действительно дало общее количество излуча-
емой энергии, абсолютные яркости должны быть болометрическими (см. стр. 336).
В случае Солнца редукция на болометрическую яркость очень мала (см. таблицу
на стр. 336): болометрическая абсолютная яркость Солнца Мбоя =
4'»,85.
Уравнение (2) может быть переписано в логарифмическом виде следующим
образом:
lg -тг = 0,4 (4,85 — a4),
(3)
или, выражая a4 согласно уравнению (1) через m и те, в таком виде:
lg-^'i- =
1,94—0,4m—2
—
2 lgте,
lo
или
lg-§b =
—
0,06—0,4m— 2lg
те.
(4)
ho
Например, для Капеллы (для более яркого ее компонента) имеем
m = 0'",7,
те = 0",063.
Редукция на болометрическую яркость в данном случае равна —0
т
,1. В силу
этого получаем
lgА =
—
0,06—0,4 -0,6 —2!g0,063 =
=
_
0,06 — 0,24 4- 2,40 = 2,10;
-#^ =
126,
"ѳ
е:і .
=
480 • 1083 эрг/сек.
Из общего количества энергии Е, излучаемого звездой, мы в том случае,
когда нам известен радиус звезды r, можем вычислить поток энергии н, прихо-
дящийся на единицу площади поверхности звезды, называемой
поверхностной
яркостью звезды
нГ1—л—па•
Радиус Солнца нам известен (см. стр. 278). Для этого светила мы получаем
h
3.81 • 10"з
• 6,2 • 10'« эрг • см-*сек-\
©
4те(6,95 • 101и)- "
С помошыо формулы (4) мы можем выразить h
черезт,теиr.
Сначала
вычисляется отношение
: HQ по следующей формуле:
!l= Е*. **
Я«
еъ r-
3>
YJ»
откуда получаем
"ѳ
lo
rq
(6)
(7)
Согласно уравнению (4) находим
Я,
lg
=
—
0,06—0,4да— 2lgте—2lg
.
о
я©
(8)
Область применения этой формулы весьма ограничена, потому что лишь
в редких случаях оказывается возможным определить радиус звезды
непосред-
ственно. У затменных переменных звезд радиусы обоих компонентов могут быть
определены в долях оси их относительной орбиты на основании анализа кривой
яркости. Построив кривые скоростей обоих компонентов по результатам на-
блюдений допплеровских смещений спектральных линий (см. § 294), мы можем
выразить длину оси орбиты в километрах, т. е. определить абсолютные ее раз-
меры. Отсюда мы можем непосредственно определить
в километрах, а вместе
с этим и отношение /?* : rq. Для того чтобы иметь возможность вычислить отсюда
по формуле (8) величину Я,, : hq, нам необходимо знать еще и параллакс звезды.
Надежные непосредственно определенные параллаксы затменных переменных звезд
известны лишь в весьма немногих случаях; в большинстве же случаев параллаксы
слишком малы для того, чтобы их возможно было определить точно. Эти не-
многие случаи перечислены в следующей таблице:
Название звезды
"'бол
я©
Название звезды
ярк. помп . сл . комн. ярк. комп. СЛ. КОИ11. ярк. комп. сл. коып.
1 Волопаса
а Близнецов с ... .
0",025
0 ,076
0 ,075
2«»,5
6,9
<8 ,6
2"»,5
6,9
8,6
2,80
0,66
0,58
2,80
0,6
0,58
18
0,7
0,18
18
0,7
0,18
Уравнение (8) может быть переписано в несколько ином виде. Величина те . /?„
пропорциональна угловому диаметру d звезды. Обозначив расстояние до звезды
через р, а расстояние от Земли до Солнца через
мы по определению парал-
лакса (см. стр. 416) получим
F
*
а
215/? '
откуда находим
'
'
1~
d=
107/?,
r*:
или
lgd=- lgl07-Mg-gs+lgir.
(9)
(Ю)
348
ЗВЕЗДНАЯ АСТРОНОМИЯ И АСТРОФИЗИКА
Произведя подстановку в уравнение (8), получаем
—
0І06—0,4 «і—2lg107—21gd,
"ѳ
или
=
—
4,12—0,4 m—2lgd.
(11)
"ѳ
В это уравнение теперь, кроме видимой величины, входит лишь угловой диа-
метр звезды. У некоторых звезд удалось непосредственно измерить диаметры
Назиаіше заезды
d
т
6ол
H*:HQ
о Кита (Дивная) (в максимуме) .
а Ориона (Бетсльгеіізе)
....
а Скорпиона (Антарес)
а Геркулеса
ß Пегаса
а Тельиа (Альдсбаран)
а Волопаса (Арктур)
0",056
0 ,047
0 ,040
0 ,030
0 ,021
0 ,020
0 ,020
4- 0"»,1
-1
,з
—
1,0
-0
,5
+0,6
—
0,2
-0
,5
0.021
0,11
0,11
0,13
0,09
0.22
0.31
интерферометрическим методом (см. § 255). Для таких звезд отношение H*:HQ может
быть вычислено по формуле (11). В данном случае, в противоположность тому
случаю, когда известен линейный диаметр, знание параллакса не является не-
обходимым.
Результаты для тех звезд, для которык угловые диаметры d были измерены,
сгруппированы в таблице, помещенной выше.
СПЕКТРЫ ЗВЕЗД
§ 257. Спектры звезд, как правило, состоят из непрерывного цветного фона,
пересеченного линиями
поглощения,
или так называемыми фраунгоферовыми ли-
ниями (см. § 9).
Для полного описания звездного спектра нам необходимы данные об интен-
сивности излучения во всех участках длин волн. Мы должны знать положения
стольких точек кривой энергии, чтобы эта кривая могла быть проведена надежно
(при построении ее по абсциссам откладываются длины волн, а по ординатам энергии).
Столь подробным описанием мы не располагаем ни в одном случае. Причины
этого таковы: во-первых, область длин волн, доступная наблюдениям, ограничена.
Радиация, обладающая длинами волн, короче 2 900 А, практически полностью погло-
щается земной атмосферой; в инфракрасной же части спектра методы измерения
теряют свою чувствительность, вследствие очего детальные исследования спектров
простираются примерно лишь до 10 000 А. Обрыв спектра в коротковолновой
его части обусловливает значительные пробелы в наших знаниях о звездных
спектрах; в самом деле, существуют звезды, у которых главная часть спектра
располагается по ту сторону границы. Во-вторых, для полного выявления всех
мелких изгибов кривой энергии необходима весьма сильная дисперсия, достигнуть
которой с нашими инструментами затруднительно. Кроме того, о практическом
использовании такой дисперсии для изучения обычных фотографий звезд не может
быть и речи, вследствие недостаточной их яркости; большая дисперсия может
быть использована лишь для изучения спектра Солнца.
Кривые энергии, изображенные на фиг. 165, похожи на кривые энергии звезд-
ных спектров без учета влияния линий поглощения. На фиг. 166 изображена
кривая энергии в области интенсивной линии поглощения, или так называемый
контур линии. Слабые линии поглощения гораздо рке.
СПЕКТРЫ ЗВЕЗД
349
Производить измерения контуров узких линий оказывается необходимым именно
в том случае, когда мы желаем получить спектрограммы с очень сильной дис-
персией. снятые спектрографами, обладающими весьма большой разрешающей
силой. При малой дисперсии контуры линий искажаются. Однако всегда возможно
измерить общее количество энергии, поглощенной в области линии поглощения,
благодаря тому, что искажение не влияет на это количество. Эта величина весьма
пригодна для характеристики линии поглощения. Ее обычно выражают в анг-
стремах. Сравнивая область линии поглощения с одинаково широкой соседней об-
ластью, в которой поглощения не происходит, мы отмечаем некоторый дефицит
энергии, который мы и полагаем равным энергии, содержащейся в лишенном
поглощения участке спектра, шириной в л: ангстремов; мы говорим, что полное
поглощение в линии равно л; ангстремам, или, что эквивалентная
ширина линии
равна X ангстремам.
'
В силу вышеизложенного при описании звездного спектра мы должны удо-
вольствоваться следующими данными:
1) Данные об интенсивности непрерывного спектра в доступной наблюдениям
области длин волн. Измерения должны производиться в участках длин волн,
•го
-5
-Ю
»5
-5
-1QÄ
Фиг. 166 . Кривая энергии Солнца в области линий H и К
однажды ионизированного кальция. Расстояние от середины
линии дако в ангстремах.
почти свободных от линий поглощения. В коротковолновой части спектра у мно-
гих звезд будет трудно найти такие участки, так как линии поглощения там
многочисленны. Так, например, в фиолетовой части солнечного спектра прихо-
дится брать очень узкие участки, шириной примерно в 1 А, для того чтобы
избежать интенсивных линий поглощения.
2) Данные о положениях (выраженные в длине волны) и об интенсивностях
(выраженные, например, в эквивалентной ширине) всех видимых линий поглоще-
ния, Далее, данные о контурах наиболее интенсивных линий; если возможно,
точные данные о форме этого контура, а в остальных случаях указания на то'
представляется ли линия резкой и узкой или широкой и размытой.
3) В отдельных звездных спектрах встречаются линии излучения.
О них могут
приводиться аналогичные данные, как и о линиях поглощения.
Разделение спектров на непрерывные спектры и па спектры поглощения
является чисто практическим приемом, который, однако, вполне оправдался. Оно
соответствует непосредственному впечатлению, получаемому при рассмотрении
звездных спектров, оно удобно для общей характеристики результатов наблюде-
ния и, как мы это увидим впоследствии, оно находится в полном соответствии
с теорией звездных спектров.
I Измерения энергии в звездных спектрах производятся по принципам, аналогич-
ным фотометрическим измерениям в неразложенном свете.
В отличие от наблюдений солнечного спектра наблюдения спектров звезд
производятся преимущественно визуально или фотографически. Сначала звездный
спектр сравнивается с непрерывным спектром сравнения искусственного источника
света. С помощью николей, фотометрических клиньев или решеток (см. стр. 29)
производится сравнение интенсивностей узких участков обоих спектров, соот-
ветствующих одинаковым длинам волн. Различия могут выражаться, например,
в звездных величинах. Кроме того, должна быть определена кривая энергии
спектра сравнения; это может быть произведено путем измерения энергии с помощью
болометра или термоэлемеита.
Практические затруднения при проведении таких измерений значительны. Они
обусловливаются тем обстоятельством, что при сравнении со звездным спектром
спектр сравнения искусственного источника света по возможности должен полу-
чаться с помощью той же оптической системы, как и звездный спектр, и притом
должен обладать приблизительно той же интенсивностью, как этот последний.
Для измерений света искусственного источника с помощью болометра или термо-
элемента необходимы более светосильные установки..
Что касается установления контура линии поглощения, то дело обстоит проще.
Мы вправе допускать, что чувствительность фотографических пластинок в пре-
делах ширины линии язляется постоянной, в силу чего спектры сравнения и
измерения энергии становятся излишними.
В случае Солнца возможны непосредственные болометрические измерения,
правда, лишь для сравнительно широких интервалов длин волн.
Для наиболее ярких звезд удавалось производить непосредственное измерение
энергии радиометрами для широких интервалов длин волн с помощью весьма
светосильной оптики (250-сантиметровое зеркало на обсерватории Маунт Вильсон).
При всех измерениях энергии необходимо принимать в расчет влияние погло-
щения спета в земной атмосфере (см. стр. 338).
§ 258. Сплошной спектр. Эффективная температура. Цветовая температура-
Плавную кривую распределения энергии, проведенную через точки, соответст-
вующие участкам длин волн, не содержащим интенсивных линий поглощения,
можно назвать кривой энергии
непрерывного
спектра.
Было усыновлено, что
кривая энергии непрерывного спектра Солнца очень похожа на кривую ^энергии,
построенную по закону Планка (см. стр. 34) для температуры в 6000 . То же
самое можно сказать и об измеренных звездных спектрах с той лишь только
разницей, что температуры в этом случае будут иметь иные значения.
Благодаря этому создается возможность приближенно характеризовать форму
кривой энергии одним единственным числом, а именно той эффективной темпера-
турой, для которой кривая Планка наилучшим образом соответствует измеренной
кривой.
Однако температуры, соответствующие кривым энергии, имеют еще гораздо
большее значение. Во-первых, эти температур^ следует до известной степени
рассматривать как температуры поверхностей изучаемых .звезд, а во-вторых, эти
температуры стоят в тесной связи с поверхностными яркостями звезд.
На это указывает рассмотрение условий образования непрерывного спектра
звезд. Подробный анализ вопроса будет произведен в одном из последующих
параграфов. Здесь же мы коснемся этих условий лишь постольку, поскольку это
нам необходимо в связи с излагаемой темой. •
Изотермический шар должен был бы излучать на единицу своей поверхно-
сти H эрг/сек; мы получаем
Н= оТо
=
5,72 - Ю -5 эрг • см~2град~(1)
ГДе Г—температура шара (см. стр. 34). Излучение, достигающее глаза наблю-
дателя, исходит из внешних слоев звезды, однако в этих слоях температура не
является постоянной, по возрастает по мере продвижения вглубь этих слоев.
В силу этого излучение оказывается пропорциональным четвертой степени неко-
торого среднего значения температуры (Г,„) рассматриваемых слоев:
н=ат1.
(2)
•
»»
Для изотермического
шара распределение энергии в спектре излучаемого
света дается формулой Планка, а температура этого шара может быть опреде-
лена из наблюдений формы кривой распределения энергии. В случае звезды рас-
пределение энергии опять-таки становится своего рода средним распределением
энергии, соответствующим совокупности температур излучающих слоев. Точная
форма кривой распределения энергии зависит от той степени, в которой слои
находящиеся на разной глубине, принимают участие в излучении различных длин
волн. Благодаря этому приобретает значение и способность внешних слоев по-
глощать свет различных длин волн (см. стр. 387).
В том простом случае, когда коэфициент поглощения для всех длин волн
одинаков, будет иметь место следующее положение вещей: 1) распределение
энергии в спектре будет очень близко соответствовать планковскому распреде-
лению какой-либо определенной температуры (но вся кривая распределения ока-
жется слегка сдвинутой к фиолетовому концу спектра); 2) эта температура ока-
жется очень близкой к вычисленной по формуле (3) температуре, соответствующей
полному излучению, приходящемуся на единицу площади температуры.
В случае Солнца наблюдения потемнения солнечного диска, по мере прибли-
жения к его краям, показали, что коэфициент поглощения, если не учитывать
влияния линий поглощения, действительно оказывается для всех длин волн при-
близительно постоянным (см. стр. 388). Разумеется, остается открытым вопрос
о том, имеет ли место такое же положение вещей в случае звезд более высоких
температур; следовательно, неизвестно, обусловливает ли изменение физичес-
ких условий, господствующих на звезде, изменение хода коэфициента погло-
щения в ее спектре. Во всяком случае мы должны ожидать существования
- ^корреляции между H и характеризующим температуру распределением
Для избежания неясностей введем следующее определение:
1. Температуру, вычисленную по формуле (2), мы будем называть
эффективной
температурой (ТеІІ):
н
=<п
(3)
где
о = 5,72. Ю-»эрг*
см~2град-*.
2. Температуру, вычисленную из распределения энергии в спектре, мы будем
называть цветовой
температурой.
Заметим при этом следующее: в том случае
если распределение энергии в точности соответствует закону Планка (см. стр. 34)
(4)
возможно из отношения интенсивностей /(А,) и /(А2) в двух участках длин волн
ПКІИИГГТИТК TOII«I!ONITI»NIR D ON«R. . .
—
,.V
г
C«
1
X? c».
'
1е^-1
(5)
.. w.oi>_v,iriui, J, U ИІЛУ чеіи UHU и кожет оыть
из этого уравнения вычислено.
I/Однако и при произвольном распределении энергии мы из отношения интен-
сивностей в двух участках спектра А, и Ха можем по формуле (5) вычислить
некоторую температуру. При различном выборе участков спектра при этом обычно
ьудут получаться различные температуры. Лишь в том случае, когда распреде-
ление энергии происходит в точности по закону Планка, мы при любом выборе
у и л3 будем получать одну и ту же температуру. Если распределение энергии
незначительно отклоняется от закона Планка, то различнее интенсивности X, и А*
Назнашіе зпсзди
н.. : hp,
будут давать близкие температуры. В таком случае и выведенные температуры
окажутся полезными для характеристики распределения энергии. Температуры,
вычисленные по формуле (5), называются цветовыми
температурами.
Наряду
с цветовой температурой должны указываться и участки спектра, из отношения
интенсивностей которых была вычислена цветовая температура,
i
Колориндексы (см. стр. 336) дают отношения интенсивностей довольно широ-
ких областей спектра. Вследствие этого мы можем и температуры, вычисленные
I из колориндексов, считать цветовыми температурами.
і Воспользовавшись понятиями эффективной температуры и цветовой темпера-
туры вышеохарактеризованные
свойства излучения поверхностей звезд можно
выразить следующим образом: в общем цветовые температуры, вычисленные для
различных (свободных от интенсивных линий поглощения) участков спектра, при-
близительно одинаковы и притом они лишь мало отличаются от эффективной
температуры.
ь Вопрос о том, насколько близкими могут считаться эффективная и цветовая
температуры,
может быть более подробно
исследован следующим образом:
для тех звезд, для которых
H известно (см.
таблицы
на стр. 347 и 348) по фор-
муле (3) вычисляются
эф-
фективные температуры, ко-
торые затем сравниваются с
измеренными цветовыми тем-
пературами этих звезд. Ре-
зультаты такого сравнения
приведены в таблице слева.
Мы видим, следователь-
но, что эффективные темпе-
ратуры и цветовые темпе-
ратуры действительно очень
близки.
Вследствие
этого
мы
по
довольно
легко
определимым цветовым температурам получаем возможность с довольно большой
точностью судить и об эффективной температуре, из которой после этого по
формуле (3) может быть вычислена поверхностная яркость (Я). Это имеет боль-
шое значение ввиду немногочисленности непосредственно определенных поверхност-
ных яркостей. Уравнение (11), выведенное на стр. 348, показывает, что
этим
способом мы можем вычислять и угловые диаметры, а в тех случаях,
когда
нам известны параллаксы, и линейные диаметры.
Следовательно, форма кривой энергии непрерывного спектра с известной
степенью приближения определяется одним параметром — поверхностной яркостью
„ли
соответствующей ей эффективной температурой. Весьма важен вопрос о том,
зависит ли форма кривой энергии одновременно от других параметров, или о том,
являются ли незначительные отклонения от соответствующей Тм кривой Планка
для звезд одинаковой эффективной температуры всегда одинаковыми, так что
т.. действительно является единственным параметром. В последнее время наблю-
дения показали, что в области от 4000 до 7000 А форма кривой энергии непре-
рывного спектра действительно зависит от одного только параметра. Но в уль-
трафиолетовой части спектра удалось проследить и влияние ДРУ^х пара^фов.
Правда, здесь, как это уже упоминалось ранее, установление формы кривой
энергии непрерывного спектра затруднительно вследствие наличия многочисленных
интенсивных линий поглощения. Отчетливо заметны, например, изменения в ко-
ротковолновой части бальмеровской серии водорода.
Исследование причин возникновения непрерывного спектра (см. § 267) пока-
зало
что колебания коэфициента поглощения, соответствующего определенной
длине волны, влияют на интенсивность этой длины волны. Именно на коротко-
8 Возничего . . .
Солнце
іВолопаса....
а Волопаса
а Тельца
а Близнецов с . .
а Геркулеса . . •
а Скорпиона . .
а Ориона ....
ß Пегаса
.. ..
о Кита (максимум)
18
1
0,7
0,31
0,22
0,18
0,13
0,11
0,11
0,09
0,021
reff
Цпстопан
reff
температура
12000°
12 000°
5740
6 400
5 300
6 200
4 300
4100
3900
3400
3700
3400
3400
3100
3 300
3 000
3 300
3100
3 200
3100
2 200
(2 300)
волновой стороне границы бальмеровской серии возможно ожидать колебаний
коэфициента поглощения; здесь именно вступает в игру фотоэлектрическое погло-
щение, производимое водородными атомами, находящимися в нижнем
стационарпоч
состоянии (см. стр. 33). Количество же этих атомов очень велико и притом под-
веркно колебаниям даже и при постоянной эффективной температуре (см. стр. 398)
§ 259. Спектр поглощения. Спектральная классификация. Уже при беглом
обзоре спектров различных звезд бросаются в глаза крупные различия в располо-
жении линий поглощения (см. фиг. 167 на вклейке). Однако более подробное
рассмотрение значительного количества звездных спектров показывает что суще-
ствует много звезд, обладающих похожими спектрами. Благодаря этому является
возможность подразделить звезды на группы таким образом, чтобы звезды каждой
такой группы обладали спектрами, сходными между собой в основных своих
чертах. Далее, было обнаружено, что эти группы образуют связную последова-
тельность в том смысле, что к каждой группе примыкают соседние, объединяющие
звезды со спектрами, мало отличающимися от спектров звезд этой группы
Вследствие этого оказывается возможным расположить звездные
спектры
в одномерную связную серию спектров, т. е.,
иными словами, создать
спек-
тральную
классификацию.
Первоначально звездные спектры были грубо разбиты на три типа (по Секки
и Фогелю). Тип I отличается наличием весьма интенсивных линий водорода. В типе II
водородные линии еще довольно интенсивны, но общий
характер спектра
определяется многочисленными другими линиями, преимущественно линиями ме-
таллов (кальция, железа, магния и др.) Наконец, в типе III заметны весьма ха-
рактерные полосы поглощения, которые должны быть объяснены наличием
моле-
кул (окиси титана и др.; фиг. 167).
Переход от одного типа к другому происходит совершенно постепенно. Это
хорошо видно из сопоставления фиг. 167 и 168. Мы видим, что при переходе
от первого типа линии водорода постепенно ослабевают, в то время как линии
металлов по своей интенсивности усиливаются .до тех пор, пока, наконец, при
переходе к третьему типу не начинают усиливаться полосы поглощения. Для более
детальной классификации звездных спектров вся спектральная серия может быть
подразделена на определенные классы и подклассы.
Единственной,
применяемой в настрящее время
классификацией звездных
спектров является гарвардская. Согласно этой классификации до настоящего вре-
мени на Гарвардской обсерватории было классифицировано около 268 000 звезд
преобладающее большинство которых ярче 9-й зв. величины. Результаты этой
раооты составили дрэперовский каталог звездных спектров.
Гарвардская классификация была осуществлена по фотографическим снимкам
произведенным с объективной призмой (см. стр. 31). Так как длина спектров при
этом составляла всего лишь несколько миллиметров, то признаки, по которым
определялась принадлежность спектров к тому или иному классу, должны были
быть соответственно подобранными. Основную роль при этом играли наиболее
интенсивные линии, а линии, расположенные близко одна от другой, не могли
разделяться. Однако фотографические снимки, произведенные с большей диспер-
сией, показали, что гарвардские классы и подклассы приблизительно однородны,
т. е. что спектры какого-нибудь подкласса оказываются действительно похожими
и в том случае, если мы станем исследовать более тонкие детали (слабые и близко
расположенные линии поглощения), полученные на снимках, произведенных с боль-
шей дисперсией.
Рассматриваемые линии расположены в нормальной фотографической области
спектра, примерно от 3900 до 5000 А с небольшим.
Спектральные классы гарвардской классификации получили следующие обозна-
чения: О, В, A, F, G, К, М. Кроме того, было введено более значительное коли-
чество подклассов, так что вся спектральная серия оказалась подразделенной
следующим образом: Оа, Ob, Ос, Od, Ое, Ое5, ВО, В1, В2, ВЗ, В5, BS, В9,
АО, А2, A3, А5, F0, F2, F5, F8, GO, G5, КО, К2, К5, Ma, Mb, Мс, Md. Для еще
Асгроііоішл
более детальной классификации можно использовать
все десятичные подраз-
деления как это и было сделано в гарвардской классификации; так, например,
спектр, расположенный между G5 и КО, обозначается через G8. Вместо обозна-
чений Ma, Mb, Мс дрэперовского каталога в настоящее время также используются
десятичные подразделения: МО, МЗ, М8, а в случае необходимости и промежу-
точные. К подклассу Md в дрэперовском каталоге отнесены звезды класса М,
в спектрах которых имеются линии излучения. В настоящее время их относят
к подклассу Me (см. ниже). Равным образом вместо обозначений Оа
иеа
теперь употребляются десятичные подразделения: 05,...,
09. Наличие линий из-
лучения в настоящее время отмечается присоединением буквы е.
Основные классы гарвардской классификации, с одной стороны, характери-
зуются типичными их представителями, как, например:
О С Кормы
ВО е Ориона
АО а Большого Пса (Сириус)
F0 8 Близнецов
,
GO а Возничего (Капелла)
КО а Волопаса (Арктур)
МО а Ориона (Бетельгейзе)
С другой стороны, эти классы характеризуются интенсивностью определенных
спектральных, линий. В последующем обзоре перечислены эти линии, характерные
для отдельных классов.
Класс О- Линии поглощения водорода, гелия, ионизированного гелия, трижды
ионизированного кремния, дважды ионизированного углерода и дважды ионизи-
рованного азота. В этом спектральном классе часто встречаются линии излу-
чения (звезды типа Вольфа-Райе, см. стр. 463). Звезды класса О очень редки.
Класс В- Начиная отсюда, как правило встречаются лишь линии поглощения.
Линии гелия
интенсивны,
линии
водорода усиливаются по мере приближения
к классу А. Заметны слабые линии H и К, также усиливающиеся по мере при-
Класс А- Линии водорода весьма интенсивны. До подкласса AI включительно
встречаются линии гелия. Довольно интенсивные
линии И и К усиливаются
по мере приближения к классу F.
Класс F- Интенсивные линии H и К продолжают усиливаться по мере при-
ближения к класру G. Интенсивные линии водорода одновременно ослабевают.
Появляется линия X 4227 кальция, усиливающаяся по мере приближения к классу G.
Одновременно появляется и усиливается полоса G углеводорода (СН).
Класс G- Линии H и К интенсивны, линия кальция X 4227 и линии железа
довольно интенсивны. Видны
многочисленные линии металлов. Еще довольно
интенсивные линии водорода продолжают ослабевать по мере приближения к
классѵ К. Полоса G интенсивна.
Класс К: Линии металлов, в частности, линии Н, К и X 4227 интенсивны.
Линии водорода еще заметны. Полоса G интенсивна. Начиная с подкласса К5
появляются полосы поглощения.
Класс М- Преобладают полосы поглощения (окиси титана и др.) . Линии ме
таллов, в частности Н, К и X 4227, интенсивны. Имеются линии водорода. По-
дход "нтюивностей важнейших для этой классификации линий (по оценкам,
а частью по измерениям, произведенным на Гарвардской обсерватории) охаракте-
ризован в помещенной ниже таблице. Приведенные в ней числа, выраженные
в произвольных единицах, характеризуют относительные интенсивности линий
и изменения этих интенсивностей по всей серии звездных спектров.
Отметим, что. линии, обладающие
интенсивностями
примерно от 8 до іі-
в коротких спектрах, снятых с объективной призмой, незаметны.
660 630 600 580 560 540 <20 500 <,80
460
.
<,<,£)
^
Красный
.
_
.
Риалетюдыи
Фиг. 167. Три тага звездных спектров (по Секгаі и Фогелю). Длины воли
ДанывmJA.
кн
Н6
4227 НУ
-
45S5 476* 495,
Фиолетовая
.
^ная
SÜLL6?* ВажіГейшие классы звездных спектров по фото-
графиям, полученным на Детройтской обсерватории СЫюы-
тельно линий, отмеченных буквами или цифра*ш, дающими
их длины волн, более подробные указаний содержащая
в таблице иа стр. 355. Цифрами 4585, 4762 и 4054
отмечены длины волн, соответствующие головам полос
окиси титана.
• ли.--
f»
• ічф
^тяяшщ/огасс
gi^
•V1
Jaw• '
•іѵіагзд»
.ѵл-.r:-.--
..
..•
N Класс F
.• щуютт
'Пер см. R
-.Класс F5
•Ѵ^вйІИЛК
"•••У/в
ж.
пас
и*-
/авоУал
туманность
Фиг 169. Различные спектральные классы по фотографип, полученной
с объективной призмой на Гарвардской обсерватории. У этих
спектров красный конец находится справа, а фиолетовый слева.
M
in
S
X
*
oi oo
—
с-ісотюююсогм
—
етсосоь-чэюс-г
о
1
»CS®t--TO|||||||||||||||
£1
-
î!22:
2м
°
11111111M
111
£^
1j
1j
j 1 OOOOOrt-liOtOt-COCTlCOCOO
«
S3
a.g
111111
сооо-тюігіі-~ г~соаіоооо-- .о
«.t -Ь?
S
о.о S
g
j j j j j j ОСЧ-ТЮ-Ч-ЮС -ЮС-СОСОР-СССОО)
s
S
E
9
X
СП oo
—
МГЮЮЮЮЮСО
—
00СПСПСПСТ100
«
s
n.
g-
11j1j
1 оосоюсоюсоето-; -.^ .-
—
о
C
H
>
)
4
2
9
9
—
4
3
1
5
1
1111111II
11S
11
1g
1g
1
1
-3
1
1
j|.|1
СЧСЧСЭЦЭСОСООаіОООІГГГО
£1
1j
j 1 1 1 ОСЧСЗГ-ТЮЮЧЗСОСООІОІСП
—
О
Is
X
5
аіоо
—
—
oCTicocococacit--
0
+
4
0
7
0
4
0
7
2
4
0
7
6
111111111M
111111
ЁІ
1111j
j осчсоюю<ог ^со слс по -- -аі - -ц.
K
s
S
22:ЙО
1111111111111
!Ê-
" »r,
+
£li
-X
11g
I
£„
-Г
S
и
l/30CO-flOt^OOOO(M
1lO1
' „и и н -inlMCSINCH
1ІГО1
i
N§
Вs3
с
о-нсчсоюооетоечсоюоюоооюое^юосо
В классе В для более точного определения характера спектра удобны линии
гелия и водорода. Начиная от АО и примерно до F5, для этой цели очень удобна
линия К- Начиная отсюда, наиболее характерными становятся полоса G, линии
железа (особенно X 4326) и линия кальция X 4227. Наконец, начиная с К5,
решающую роль приобретают полосы поглощения окиси титана.
Кроме вышеперечисленных классов, существует еще несколько, встречающихся,
однако, очень редко. Это — классы R, N и S. Звезды, принадлежащие іс этим
классам, являются красными звездами, в спектрах которых встречаются бросаю-
щиеся в глаза полосы, отличающиеся от полос, имеющихся в спектрах классов
К5 и М. В классах R и N — это полосы углерода, в классе S — полосы окиси
циркония. В спектрах класса R и N линии металлов интенсивны, как и в классах
К5 и М. В спектрах класса S встречаются бросающиеся в глаза по своей интенсив-
ности линии поглощения ионизированного бария и стронция.
Если в спектрах имеются линии излучения, то это отмечается присоединением
буквы е от слова „emission", что значит
„излучение"; так, например, В1е обоз-
начает спектр подкласса В1 с линиями излучения.
Наличие в спектре других особенностей обозначается присоединением буквы р
(от слова „peculiar", что значит
„особенный"), например, АОр.
•
§ 260. Спектральные классы и цвета звезд. Уже давно было замечено, что
звезды типа I — белые, звезды типа II — желтые и звезды типа III — красные.
Было обнаружено, что между спе-
ктральными
классами, и цветами
звезд или цветовыми эквивалентами
существует тесная корреляция. Таб-
личка, стоящая слева, иллюстрирует
связь между гарвардскими спектраль-
ными классами и колориндексами.
Это значит (см. стр. 336), что
между спектральным классом и эф-
фективной температурой существует
тесная связь. В помещенной правее
табличке
приведены температуры,
приблизительно соответствующие основным классам.
Следовательно, характер спектра поглощения сильно зависит от эффективной
температуры. А так как нам действительно удается расположить спектры в одно-
мерную спектральную серию, то, кроме того, создается впечатление, что спектры
поглощения зависят только от эффективной температуры. Впоследствии мы увидим,
что в пределах последних спектральных классов все же существуют небольшие
различия, т . е.,
следовательно, что на линии поглощения оказывают влияние и
другие факторы; но и в этом случае температура сохраняет роль наиболее су-
щественного фактора.
§261. Спектры и абсолютные яркости. Ранее уже было упомянуто, что
гарвардские классы являются лишь приблизительно однородными. А сейчас мы
остановимся на рассмотрении тех небольших различий, которые все же встре-
чаются в пределах одного класса.
Если классы не являются вполне однородными, то классификация будет давать
несколько различные результаты, смотря по тому, какими именно линиями мы
будем пользоваться. Этот вопрос лучше всего может быть исследован следующим
путем. Принадлежность спектров к тому или другому классу мы будем определять,
руководствуясь яркостью одной единственной линии или отношением яркостей
двух линий, образующих дублет. А после этого мы будем исследовать яркость
остальных линий с тем, чтобы выяснить, изменяются ли они в пределах опреде-
ленного таким образом класса при переходе от одной звезды к другой. Гар-
вардская классификация оказывается для такого рода исследований очень удоб-
ной, благодаря тому, что принадлежность звезд к тому или другому классу
от А до F определяется преимущественно по интенсивности линии К, а для
Спектраль-
Колорипдекс
ныГі класс
фот.
—
ШІЗ.
ВО
—
0»',33
АО
0 ,00
F0
+0,33
ко
+0,67
GO
+1,12
МО
+1.73
Спектраль-
ныП класс
Эффективная
температура
ВО
22 000°
АО
13 000
F0
8 500
G0
6 000
КО
4 400
МО
3200
классов от G до К —по отношению к интенсипностям линии железа X 4326 и
линии Hf.
Было обнаружено, что в пределах одного и того же гарвардского спектраль-
ного класса отдельные линии подвержены, весьма сильным колебаниям. В первую
очередь это относится к линиям, соответствующим ионизированиым металлам
іак например, линии ионизированного железа (Fe+), ионизированного титана
(1і+), ионизированного скандия (Sc+) и ионизированного иттрия (Y+) очень сильно
варьируют в пределах спектрального класса F. Несколько меньшие различия
обнаруживает линия нонизі.роваі.ного стронция Sr+. Определенные полосы по-
глощения, соответствующие CN, называемые полосами циана,
обнаруживают
сильные колебания интенсивности. Равным образом и весьма интенсивные линии
как, например, линии водорода, обнаруживают значительные различия в пределах
одного и того же спектрального класса; это особенно заметно у звезд класса M
Значительно изменяется также линия кальция X 4227. Кроме того, замечаются
бросающиеся в глаза различия вида линий, проявляющиеся в том, что
резкость
линий при переходе от одной звезды к другой меняется. В пределах одного и
того же спектрального класса встречаются звезды со сравнительно размытыми
линиями и звезды с линиями очень резкими.
Корреляция .между спектральным
классом
и колопинпекг.пм не является
вполне однозначной. Наоборот, отчетливо наблюдаются некото^с
колебания
колориндекса у звезд, принадлежащих к одному и тому же спектральному классу
Но своему характеру эти колебания аналогичны вышеописанным.
</ Мы видим, следовательно,
что температура
хотя и является
существен-
ным фактором, определяющим вид
спектров поглощения,
но что при этом
фактореПН0'
"
ГРаЮТ
Р0ЛЬ " ДРУП,е
фаКторы
,ІЛИ
по
меньшей мере другой
Исследуя звезды одного и того же цвета, например красные, в отношении
других их физических особенностей, мы обнаруживаем, что эти последние сильно
меняются при переходе от звезды к звезде. Исключительно крупными различиями
обладают радиусы и абсолютные яркости, а также и массы (см. § 273) Остано-
пГгС1
ЭТ 0М
Шф ,аТЦ е
ЛИШЬ
ДЛЯ Т0ГЛ
ЧТОбьі
показадь,
ЧТО
вышеупомянутые
другие факторы (или другой фактор) могут обладать физической природой,
а не обязательно должны обладать природой химической; в силу этого нет
необходимости предполагать, что линии аномально большой интенсивности обяза-
тельно должны были бы обусловливаться большей частотой встречаемости соот-
ветствующих элементов.
'
В поисках фактора физической природы, который мог бы играть существен-
ную роль в образовании линий поглощения, нам нужно исследовать влияние
a
lCZTlZX
Пр'С0Стей
звезд
на
1ІХ спектры. Во многих случаях абсолютная
яркость может быть непосредственно вычислена из параллакса и видимой яркости
(см. стр. 334); а в тех случаях, когда параллакс слишком мал для того, чтобы
его можно было непосредственно измерить, порядок величины абсолютных яр-
костей может быть выведен из собственных движений звезд (см. сто
475)
абс
°
д'от'ше яркости звезд, обладающих одинаковой поверхно-
ного на с-ф.Т347.ЯВЛЯЮТСЯ МвР
°
й "Х раднусов>
в
СИЛУ Уравнения (7), приведен-
Первым результатом исследований, произведенных в этом направлении яви-
лось установление того факта, что звезды с очень резкими спектрал ными
линиями часто оказывались обладающими значительными абсолютными яркостями
лов
уСТановлено
'
"
т0 звезды
с аномально интенсивными линиями метал?
лов также всегда оказывались абсолютно очень яркими. При более детальном
TZ7ZIZT ПР°бЛеМЫ бЫЛ
°
°
бНаруже,ІО> TM
меіІ<Ду" абс ол ют ными ярко?
стями и интенсивностями вышеназванных переменных линий действительно суще-
ствует тесная зависимость. Помещенная на стр. 358 табличка, составленная по
змерениям, произведенным на Гарвардской обсерватории) иллюстрирует колебания
интенсивности линии кальция À 4227 в пределах спектрального класса G9
Цифры, приведенные в левой табличке, приблизительно пропорциональны пол-
ным количествам энергии, поглощенным в этой линии. Мы видим, что в пределах
класса G9 она усиливается по мере увеличения абсолютной яркости звезд.
Исследуя более детально разли-
Абсолют-
ная яркость
Интснсншюсть
). 4227
Абсолют-
ная яркость Колориндекс
- 0Л,
,5
+1,о
+5,9
56
51
28
-0/4
+2,6
+5,6
—
0"',08
—
0 ,17
—
0 ,26
чия колориндексов в пределах од-
ного
и того
же спектрального
класса, мы убедимся в существовании
отчетливо
выраженной связи их
с абсолютно выраженными
ярко-
стями.
Помещенная правее табличка по-
казывает это очень ясно. Она содер-
жит для указанных в ней абсолют-
ных яркостей фотоэлектрические колориндексы (см. стр. 343) звезд класса G9.
Мы видим, что в пределах класса G9 колориндексы возрастают по мере уве-
личения абсолютных яркостей. Принимая в соображение связь между колоринде-
ксами и эффективными температурами, мы приходим к тому важному выводу, что
звезды класса G9, имеющие большие абсолютные яркости, должны обладать более
низкими эффективными температурами, чем звезды этого же класса, имеющие
меньшие абсолютные яркости. То же самое может быть сказано и об остальных
спектральных классах, во всяком случае о классах F, G, К и М.
f Подводя итог вышеизложенному, мы можем сказать, что характер спектра
/зависит по меньшей мере от двух параметров — от температуры и от абсолютной
яркости. Вопрос о том, играют ли при этом роль еще и другие параметры,
до настоящего времени остается еще невыясненным. Во всяком случае звезды,
имеющие одинаковые эффективные температуры и одинаковые абсолютные яркости,
обладают и спектрами, сходными в главных своих чертах, в силу чего мы в после-
дующем изложении на первых порах вправе ограничиться двумя параметрами.
§ 262. Двухмерная спектральная классификация. Спектральный метод
определения параллаксов. Мы убедились в том, что расположение всех звезд-
ных спектров в одномерную спектральную серию оказывается недостаточным.
Более строгая классификация спектров должна быть двухмерной. Простейшей
двухмерной схемой классификации звездных спектров является следующее видо-
изменение гарвардской схемы. Каждый класс гарвардской схемы подразделяется
на три группы, к первой из которых относятся звезды, обладающие большими
абсолютными яркостями, ко второй — звезды, обладающие средними абсолютными
яркостями, и к третьей — звезды, обладающие малыми абсолютными яркостями;
принадлежность звездного спектра к одной из этих трех групп обозначается
присоединением спереди к условному обозначению спектрального класса одной
из следующих трех букв: с, g или d. Так, например, обозначение cFO говорит
о том, что спектр звезды обладает общим характером спектра звезд класса F0
и, в частности, что линия К обладает. характерной для класса F0 интенсив-
ностью, но n то же время, например, линии ионизированных металлов являются
и нем необычайно интенсивными. Спектр Солнца принадлежит по этой схеме
к классу dGO, спектр Капеллы к классу gGO и т. д.
Звезды группы с обычно, но отнюдь не всегда, обладают весьма резкими
линиями (см. выше). В спектрах звезд группы d также иногда встречаются очень
резкие линии; примером в этом отношении может служить солнечный спектр.
Звезды группы с очень редки. Звезды группы d редки среди ярких звезд
(см. стр. 406).
На основе тщательных исследований звездных спектров может быть устано-
влена более детальная двухмерная классификация, чем это возможно сделать
посредством сравнительно грубого подразделения каждого из спектральных клас-
сов на три группы. С этой целью наряду с гарвардским классом в качестве вто-
рой «координаты» указывается некоторое число, которое должно соответствовать
абсолютной яркости. Тем самым каждый гарвардский класс до известной степени
подразделяется на большое число групп вместо трех вышеуказанных (с, g, d).
Абсолютная яркость, соответствующая каждой из этих групп, определяется эмпи-
рически из абсолютных яркостей, выведенных из параллаксов.
Детальные исследования звездных спектров имеют огромное значение для
правильного понимания процессов, происходящих в атмосферах звезд. В следую-
щем параграфе мы остановимся более подробно на теоретическом
истолкова-
нии эмпирических данных. Одновременно эти исследования, как это ясно из вы-
шеизложенного, позволили создать метод определения параллаксов по спектрам.
Детальная классификация спектров позволяет оценить абсолютную яркость звезды;
зная одновременно и видимую яркость этой звезды, мы можем вычислить ее
параллакс по уравнению М = т -\- 5 -j -5 Igt: (см. стр. 335). Этот метод назы-
вается спектральным методом определения
параллаксов.
Для классификации звездных спектров по двухмерной схеме принципиально
необходимы два признака, например интенсивность линии К и интенсивность
линии ионизированного стронция X 4078 или же колориндекс и интенсивность
водородной линии Hf. Однако для получения большей точности зачастую произво-
дится сравнительная оценка интенсивностей большего количества линий.
Наиболее точные спектральные параллаксы, разумеется, получаются при исполь-
зовании спектров, полученных с большими дисперсиями. Однако имеется возмож-
ность довольно точного определения спектральных параллаксов по коротким
спектрам, сфотографированным с помощью объективной призмы. В этом случае
в качестве признаков используют интенсивности довольно широких участков
спектра. Так, например, вычисление следующих двух отношений:
а_
интенснвность X 4227 —полосы G
,
интенсивность ?. 4144 — 4184
интенсивность полосы G — X 4383 '
интенсивность X 4227 — 4272 '
дает возможность произвести классификацию по двухмерной схеме и определять
абсолютные яркости с вероятной ошибкой, несколько меньшей одной звездной
величины. Отношение а соответствует колориндексу, а отношение b выражает
полное поглощение, происходящее в полосе циана. Этот метод удобен для звезд
классов G, К и М. Для звезд же классов В, А и F аналогичным образом исполь-
зуются измерения интенсивностей водородных линий совместно с колориндексом.
Посредством спектральной классификации звезды подразделяются на группы,
физически гораздо более однородные, чем, например, совокупности всех звезд
одной и той же звездной величины, входящих в состав Какого-либо звездного ката-
лога. Особенно однородными получаются группы при двухмерной классификации,
о чем более подробно будет сказано в § 275. Вследствие этого спектральный
анализ приобрел огромное значение для звездной статистики (см., например, § 313).
СВОЙСТВА АТМОСФЕР ЗВЕЗД И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
ЗВЕЗДНЫХ СПЕКТРОВ
§ 263. Звездный спектр и атмосфера звезды. Теоретическая проблема
спектрального анализа. Свет, излучаемый звездой, исходит из самых верхних
ее слоев. Вид этого спектра определяется физическими и химическими условиями,
господствующими в этих слоях. При переходе от одной звезды к другой эти
условия меняются, а соответственно меняются и спектры.
Физические и химические условия, господствующие во внешних слоях звезд,
находятся в зависимости от факторов двоякого рода:
1. Химический
состав.
При господствующих на звездах условиях (высокая
температура и низкое давление) большинство молекул распадается на атомы;
лиіііь в звездах низкой температуры в самых верхних их слоях встречаются
одиночные молекулы, а именно, преимущественно
молекулы
окиси титана и
молекулы циана. Химический состав характеризуется относительной частотой
встречаемости элементов.
2. Влияние массы звезды на рассматриваемые
внешние ее слои. Это влияние
может быть охарактеризовано следующими двумя величинами: напряжением силы
тяжести g на поверхности звезды, обусловливаемым притяжением всей массы
звезды, и полной энергией излучения Н, приходящейся на единицу поверхности,
происходящего во-вне, сквозь внешние слои звезды, т. е., иными словами,
поверх-
ностной яркостью
этой звезды.
Физико-химическое состояние, господствующее во внешних слоях, а вместе
с тем и характер звездного спектра, следовательно, зависят от относительной
частоты встречаемости элементов во внешних слоях, от ускорения силы тяжести g
на поверхности и от поверхностной яркости /7. При переходе от одной звезды
к другой эти факторы изменяются, и теоретической задачей спектрального ана-
лиза является объяснение изменений спектра, происходящих при переходе от
одной звезды к другой, как эффектов изменений этих факторов.
Следователыю, перед нами стоит такая задача. Мы знаем, что в атмосфере
некоторой звезды имеются определенные элементы, обладающие определенной отно-
сительной частотой встречаемости. Кроме того, мы знаем, что ускорение силы
тяжести на поверхности этой звезды равно g и что поверхностная яркость этой
звезды равна Н. Каким спектром должна обладать эта звезда? Полный ответ
должен содержать не только кривую энергии всего излучаемого света, но и кри-
вую энергии света, испускаемого с поверхности звезды под любым заданным
углом; в результате этого явилась бы возможность построить кривую энергии
для любой точки диска звезды, видимого наблюдателем. Правда, в действительности
диск может наблюдаться нами лишь в случае Солнца, вследствие чего для звезд
из наблюдений может определяться лишь полная излучаемая энергия.
Если эта задача будет решена, то мы сумеем решить и обратную задачу, практиче-
ски стоящую перед нами: Наблюдается спектр звезды. Каковы относительные частоты
встречаемости на ней элементов и какие числовые значения имеют величины H и g?
В последующих параграфах сначала должны быть рассмотрены атомные меха-
низмы, играющие роль в атмосферах звезд. После этого мы перейдем к рассмо-
трению совместного действия атомных механизмов, происходящего тогда, когда
большое количество атомов находится во взаимодействии, посредством толчков
или излучения. С этой целью мы сначала рассмотрим состояние равновесия одно-
родного бесконечно сильно разреженного газа, а затем перейдем к выяснению
более сложных и запутанных условий, господствующих в атмосферах звезд; при
этом мы убедимся, что наши сведения об условиях, господствующих в однород-
ном разреженном газе, находят широкое применение и в последнем случае. Стро-
гой теорией звездных атмосфер, которая дала бы возможность точного ответа иа во-
просы, предусматриваемые вышеохарактеризованной схемой, мы еще не располагаем.
Однако мы увидим, каким образом в качественном отношении следует понимать
получаемые нами эмпирические результаты и как по спектрам можно делать вы-
воды качественного характера относительно частоты встречаемости элементов,
поверхностной яркости H и напряжения силы тяжести g.
§ 264. Атомные механизмы излучения и поглощения света. В начале книги
(см. § 9) уже шла речь об истолковании процессов излучения и поглощения
света с точки зрения теории атома. Сейчас нам придется рассмотреть эти во-
просы несколько подробней в связи с предстоящим разбором проблемы излуче-
ния и поглощения света в атмосферах
звезд.
Для начала вкратце напомним самый механизм излучения и поглощения света.
Атом активен в ряде стационарных своих состояний. Эти состояния отличаются
одно от другого расположением электронов, окружающих атомное ядро. Следова-
телыю, внутренняя энергия атома для каждого такого расположения электронов,
т. е . для каждого стационарного состояния, вообще говоря, различна. Атом мо-
жет из одного стационарного состояния переходить скачком в другое стационар-
ное состояние с меньшей внутриатомной энергией, причем одновременно про-
исходит выбрасывание или испускание
одного светового кванта. Энергия светового
кванта равна потепе внутриатомной энергии, понесенной в результате перехода
атома в состояние с меньшей внутриатомной энергией. Посредством
поглощения
аТ0М М0Ж6Т
пе
Реходить
"з одного стационарногоСостоя-
ния в другое с бблыией внутриатомной энергией.
m,PnrtS«3y?TnTe П0ГЛ°ТШЯ Светового
кванта
'
обладающего достаточно большой
энергией, атом может быть ионизирован;
это значит, что атом может перейт
ftTM31TM06
С0СТ°Те' В КОТОрОМ одии электР°» становится свободным. Это?
Хпппт
"
аЗЫВаеТСЯ
фотоионизацией
„ли фотоэлектрической
ионизацией. И
наоборот, свободный электрон может быть захвачен ионом при одновременном
Z JZZ ТТа;
ЭТ0 С00тв?;ствует пеРех
°ДУ ИЗ стационарного состояния с 0д.
'
0ДНЬ,М электроном. Наконец, возможны также переходы из одного ста-
Г ЗГм
С0СТ0ЯНИЯ в другое> причем электрон в обоих этих состояниях остается
свободным, и лишь его энергия (а следовательно, пего скорость) изменяете?
При любых спонтанных переходах энергия „спускаемого пли поглоіиёмого
све-
TMНТа
0Пределяется
следующим балансом энергии. Энергия „спуГаемого
ZJZZr КВаНТа равна П0,Пере эперпш
'
п
РетеРпеваемой атомом, т. еЛнстемон
Гпгш
ГКТР0Н; 9НерГИЯ no
TM°nw«.°ro светового кванта равна
приращению
энергии атома, т. е. системы ион плюс электрон (см. фиг. 10 на сгр 34)
Световой квант мы можем представлять себе, как мельчайшую частицу обла-
ГпГГРеДеЛеН"? ЭНерГИеН Е' ДВИЖ7щуюса в
определенном напраедедии со
скоростью света с. Эта частица обладает моментом движения Е/с. Излучающ.TM
Г"РеТеРПеПаеТ 0браТПЫЙ Т°ЛЧ0І£ ТаК0Й нмен
"°
величнн
"
в
направленTM^ про-
тивоположном направлению выбрасывания светового кванта; равным образом пё-
светового"кванта!' Првтврпвмвт
Т0ЛЧ0К в
-правлении движения поГощ^мого
Наконец, напомним условие частот Бора (см. стр. 33)
(і)
£=Аѵ.
Переходы между различными стационарными состояниями атома могут и не со-
"т
Р0В0ЖДаТ
п
ЬСЯ процессами излучения. В результате толчка, производимого другим
ZZ"'Т
ИЛИ ЗЛеКТр0Н0М' удаР
яе»ый атом может перейти в иное
шцГ
нарное состояние. Энергия ударяющей частицы при этом изменяется а именно
она уменьшается или увеличивается иа такую же величину, какуюCÎCÏÏBÏS
увеличение или уменьшение энергии ударяемого атома; в результат этогообшаё
энергия обеих этих часгиц остается постоянной. Отсюда, следует, в частности чтё
атом может перейти в состояние с большей энергией лишь в том случае коёед
энергия ударяющей частицы будет достаточна для того, чтобы покрытьзатра?ѵ
энергии необходимую для этого перехода. Посредством толчка, проіввод.ш^
частицей, обладающей достаточно большой энергией, атом может бТь «
и
ионизирован. Ионизирующая частица при этом уменьшит свою энерппо Гта
кую же величину, какую составляет разность энергии системы ион плюс электрон
и энергии ионизированного атома. Этот процесс называется ионизацией
Zчко«
Аналогичным образом совершается и обратный процесс. Электрш
^г«тся
ионом, а теряемая в результате этого энергия переходит к третьей едаоТемой
частице, которая с соответственно увеличившейся скоростью улетГет пред'
А теперь обратим внимание на световые кванты и, в частности на возмож
ёТстётоГГ-Ш ППоЛ„01ЦэеГ СВ6Т0ВЫХ квантов> обладающих даёіной энергией Z
и частотой V — E\h. При этом мы ограничимся рассмотрением того состояния
газ
при котором расстояния между атомами настолько велики, что любой атё
лишь в моменты столкновений может испытывать заметное влияние со стооёёы
остальных атомов. Это состояние всегда имеет место в атмосфера? звезд
Далее заметим, что при рассматриваемых сейчас стационарных состояних пас
положение внутренних связанных электронов все время ocràется постГ"Н«м
В Результате этого при спонтанных изменениях стационарного состоя.шя меняемся
лишь расположение внешних, более слабо связанных электронов АГаГмы?
валентными
электронами.
Энергии связывания внутренних эле'строно Только"
велики, что на эти электроны световые кванты и ударяющие частицы в звездных
атмосферах не оказывают влияния.
Мы можем представить себе газ, в котором все атомы находятся в состоянии
с наименьшей энергией или, как говорят, в основном состоянии. Совершенно оче-
видно, что в таком газе излучение света вообще невозможно. Но в том случае,
когда в газе будут встречаться атомы, находящиеся в состояниях, в которых они
содержат большее количество энергии, световые кванты могут испускаться, в ре-
зультате чего соответствующие атомы будут переходить в состояние с меньшей
энергией; при этом возникает линейчатый спектр излучения. Если в газе имеются
ионы и свободные электроны, то в результате захвата последних могут испу-
скаться световые кванты; в этом случае световые кванты могут испускаться и
в результате переходов атомов из одного состояния в другое, при которых ско-
рость свободного электрона уменьшается, но электрон этот тем не менее остается
свободным. Так как скорости электронов могут иметь любые значения, при этом
возникает непрерывный спектр излучения.
Переходим к рассмотрению процессов
поглощения.
В том случае, если все
атомы находятся в основном состоянии, могут поглощаться световые
кванты
целого ряда частот: во-первых, кванты всех частот, соответствующие переходам
в другие стационарные состояния с большими энергиями связанного электрона,
и, во-вторых, кванты всех частот, достаточно больших для ионизации атома. В этом
случае будут возникать или линии поглощения или сплошное поглощение. А если
налицо имеются атомы, находящиеся также и в других стационарных состояниях,
то будут наблюдаться еще и другие частоты, соответствующие переходам из этих
состояний. Особо должен быть отмечен тот факт, что атомы, находящиеся в со-
стояниях, бедных энергией, могут быть ионизированы световыми квантами мень-
шей энергии, вследствие чего область сплошного поглощения простирается дальше
по направлению к низким частотам. Наконец, в том случае, когда в рассматривае-
мом газе имеются свободные электроны и ионы, могут поглощаться любые частоты,
что будет происходить при переходах, при которых энергия свободных электро-
нов будет увеличиваться на энергию поглощаемого светового кванта.
Ионы, возникшие в результате ионизации, ведут себя совершенно так же, как
и нейтральные атомы: они могут находиться в различных стационарных состоя-
ниях, соответствующих различным расположениям электронов, остающихся свя-
занными, и, кроме того, они могут претерпевать дальнейшую .ионизацию; в этом
случае мы говорим о двойной, тройной и многократной ионизации.
Мы видим, следовательно, что как способность излучения, так и способность
поглощения газа зависят от частоты встречаемости различных стационарных со-
стояний нейтральных атомов и ионов или, иначе говоря, от распределения ато-
мов по различным стационарным состояниям.
Наблюдая в лаборатории поглощение света, производимого газом, мы заме-
чаем, что происходит наиболее сильное поглощение световых квантов, соответ-
ствующих переходам атомов из основного состояния в состояния с большей
энергией. Далее, мы замечаем довольно сильное поглощение световых квантов,
обладающих столь большой энергией и частотой, что они могут ионизировать
атомы, находящиеся в основном состоянии. На основании этого мы делаем заклю-
чение, что почти все атомы находятся в основном состоянии. В соответствии
с этим газ почти не излучает света. Для того чтобы вызвать свечение газа, нема-
лая часть атомов должна быть переведена в состояния с большими энергиями.
Это может производиться различными путями: Возможно облучать газ очень интен-
сивным светом, который может газом поглощаться. Тем самым достижим пере-
ход многочисленных атомов этого газа в состояния с бблыиими энергиями. Или же
мы можем подвергать атомы газа сильным толчкам, которые также будут произ-
водить переходы этих атомов в состояния с ббльшими энергиями. Эти толчки
могут производиться электрической искрой, бомбардировкой электронами или же
сильным нагреванием. В таком случае мы говорим, что газ был возбужден
или же,
•выражаясь точнее, что он был "возбужден до определенного стационарного со-
стояния. Энергию, необходимую для возбуждения до какого-либо стационарного
состояния, т. е. разность энергий этого состояния и основного состояния, мы
называем энергией возбуждения или потенциалом
возбуждения
стационарного
состояния.
Эту энергию принято выражать в вольтах, причем под энергией в 1 вольт
подразумевается такая, которую электрон приобретает, проходя через электриче-
ское поле напряжением в 1 вольт.
Зная заряд электрона, мы легко устанавливаем следующее отношение:
1 вольта 1,591 • Ю-12 эрг.
Энергию светового кванта точно так же можно выражать в вольтах Согласно
условию частот
'
VjU1"tU-HU
е=ь
находим
h = 6,55 • Ю-27 эрг/сек. ÄS 4,12 • 10-10 вольт/сек.
Частота связана с длиной волны следующим соотношением;
ѵ= сМ,
где
с= 2,997-10"»
см/сек.
Отсюда можно, наконец, вывести связь между энергией светового кванта вы-
раженной в вольтах, и длиной волны
£ = Аѵ = ^=12,34. 10-sl
вольт-см,
или
е\ = 12 340 вольт • ангстрем.
(2)
Так, например, световому кванту, обладающему энергией в 5 вольт, соответствует
длина волны в 2468 А.
В результате весьма сильного возбуждения атом может перейти в такое ста-
ционарное состояние, в котором 1 электрон освобождается и атом, следовательно,
ионизируется. Необходимое для этого возбуждение может быть произведено или'
путем облучения (фотоионизация) или посредством толчка (ионизация толчком).
Энергия, необходимая для того, чтобы произвести ионизацию, называется энер-
гией ионизации или потенциалом
ионизации.
Потенциалы ионизации подобно по-
тенциалам возбуждения выражаются в вольтах. Мы видим, что потенциал иониза-
ции является потенциалом возбуждения того стационарного состояния, в котором
освобождается один электрон.
В качестве примера рассмотрим натрий. Атом натрия обладает одним внешним
(валентным) электроном. Различные стационарные состояния соответствуют различ-
ным энергиям связывания этого электрона с атомным ядром и внутренними элек-
тронами. Состояние наименьшей энергии, следующее за основным состоянием,
обладает потенциалом возбуждения в 2,09 вольта; это второе состояние носит
название второго основного состояния. Следовательно, если мы подвергнем атомы
натрия действию толчков, производимых частицами, которые обладают энергией,
превосходящей 2,09 вольта, то они будут возбуждены до этого состояния. В таком
положении может происходить излучение света, при котором атом должен воз-
вращаться в основное состояние, так как оно является единственным состоянием
с меньшей энергией. Частота излучаемого света определяется условием частот
Е = Аѵ. Здесь Е равно потенциалу возбуждения, т. е. 2,09 V. Отсюда путем не-
сложных вычислений^по формуле (2) мы находим, что частота соответствует
длине волны в 5890 А. Это и есть длина волны хорошо известной желтой линии
"атрия, обозначенной Фраунгофером буквой d. Потенциал ионизации натрия равен
5,12 V. Это значит, что для ионизации толчком необходимы ударяющие частицы,
обладающие энергией по меньшей мере в 5,12 V, а для фотоэлектрической иони-
зации— световые кванты, обладающие по меньшей мере такой же энергией, что
в силу вышеуказанного соотношения соответствует свету с длинами волн более
короткими, чем 2413 А.
Линия натрия X 5890 в действительности является двойной. Она состоит из
двух близких линий, длины волн которых равны 5889,96 и 5895,93. Обе эти линии
удается разделить уже при сравнительно умеренной дисперсии. В соответствии
с этим атом натрия в действительности обладает двумя стационарными состоя-
ниями с потенциалом возбуждения в 2,09 V. Разность энергий обоих состояний
очень мала; она составляет приблизительно 0,002 V. Оба эти состояния всегда
оказываются возбужденными одновременно.
Такие двойные, тройные и кратные линии встречаются у многих химических эле-
ментов. Мы называем такие линии дублетами, триплетами и т. д . или, вообще
говоря, мультиплетами.
Компоненты мультнплета нередко отстоят один от другого
дальше, чем у натрия; тем не менее путем тщательного анализа спектра воз-
можно установить, что такие линии в действительности являются компонентами
мультиплета. Мы не можем на этом останавливаться здесь более подробно, но
в последующем изложении мы еще вернемся к рассмотрению свойств мультн-
плетов в другой связи (см. стр. 399).
В заключение скажем еще несколько слов о характере линий поглощения и
излучения. Эти линии не являются абсолютно резкими. Нерезкость линий обусло-
вливается в первую очередь эффектом Допплера (см. стр. 35). Излучающие и
поглощающие атомы в силу тепловых движений обладают различными скоро-
стями, что обусловливает небольшие различия частот, излучаемых или поглощае-
мых световых квантов; это в свою очередь и является причиной' нерезкости на-
блюдаемых линий. Однако и в случае отсутствия заметного эффекта Допплера
(например, при очень низких температурах и соответствующих им малых тепло-
вых скоростях) линии не являются резкими. Это может быть отнесено за счет
некоторого несовпадения стационарных состояний (различных атомов): встре-
чаются стационарные состояния, обладающие не только совершенно определенной
энергией, но и такие, энергии которых от нее несколько отличаются. Правда,
число атомов, находящихся в стационарных состояниях, энергии которых заметно
отклоняются от нормальных, исключительно малб; мы говорим о естественном
несовпадении стационарных состояний. Естественное несовпадение основного со-
стояния гораздо меньше несовпадений остальных состояний, а у совершенно не-
возбужденных атомов это несовпадение исчезающе мало.
§ 265. О количественных подсчетах поглощения и излучения. В предыду-
щем параграфе мы изложили соображения качественного характера относительно
способностей поглощения и излучения газа и в частности разобрали более по-
дробно влияние распределения атомов по стационарным состояниям. А сейчас
мы покажем, каким образом могут быть произведены количественные подсчеты
этих величин.
Пусть в газе известное количество атомов находится в определенном ста-
ционарном состоянии. Теперь мы уже не будем более ограничиваться качественным
выводом, что в этом случае возможно излучение света определенных частот, но
зададимся вопросом об интенсивности излучаемого света, т. е. о числе световых
квантов, испускаемых в единицу времени. Совершенно аналогично мы поставим
вопрос и в отношении процессов поглощения: наряду с качественным выводом,
что атомами, находящимися в данном стационарном состоянии, поглощаются све-
товые кванты таких-то частот, мы зададимся вопросом о числе световых квантов,
поглощаемых в единицу времени.
Мы вносим большую ясность в постановку этих вопросов введением понятия
вероятности
перехода между двумя соседними стационарными состояниями. Если
имеется налицо N атомов, находящихся в некотором стационарном состоянии, и если
вероятность перехода в другое стационарное состояние равна w, то это значит,
что число п переходов, совершающихся в течение промежутка времени A t, выра-
зится следующей формулой:
n= nw Д/.
(i)
Вероятности перехода могут быть выражены атомными постоянными. Вычисле-
ние этих атомных постоянных на основе теории атома (осуществляемое по пра-
вилам квантовой механики) является задачей аналогичного характера, как, на-
пример, и вычисление энергий стационарных состояний на основе этой же теории
Если атомы, находящиеся в некотором возбужденном состоянии, целиком пре-
доставлены самим себе и не испытывают никаких внешних воздействий, то вероят-
ности переходов и являются этими атомными постоянными. В частности, для основ-
ного состояния все вероятности переходов равны нулю. Иначе обстоит дело
когда атомы подвергнуты действию излучения. В этом случае будет играть роль'
интенсивность этого излучения. Однако выражения вероятностей перехода н тогда
будут очень просты. Мы будем рассматривать два стационарных состояния, 1 и 2-
пусть 2 будет состояние с большей энергией. Разности энергий Е2
Е будет
соответствовать определенная частота, определяемая условием частот E2—È
=
Ь
Лишь излучение этой частоты будет влиять на вероятность переходов 2 -» 1 и
1 -> 2. Если излучение падает на атомы со всех сторон, а
есть интенсивность
излучения частоты ѵ (одинаковая для всех направлений), то мы сможем написать
следующие выражения вероятностей w21 и wl2 переходов 2-» -1 и 1 2:
w
2l=û2I+ b9lf„
(2)
W12 =
(3)
где величины «й1, Ь2[ и bl2 будут являться атомными постоянными. Вероятности
переходов представляют собой линейные выражения относительно /ч. Если / = 0
мы будем иметь случай, рассмотренный выше. Обе вероятности переходов возра-
стают по мере увеличения интенсивностей излучения. В'том случае, если излуче-
ния падают на атомы не во всех направлениях, но лишь в пределах телесного
угла со, в уравнениях (2) и (3) величина /ѵ должна быть заменена выражением
(облучению со всех сторон соответствует телесный угол 4тс).
Обозначим через
число атомов, находящихся в состоянии 1, а через N —
число атомов в состоянии 2. В таком случае числа переходов 2 ->• 1 и 1 2
в течение промежутка времени А/ согласно уравнениям (1) и (2) или (3) выра-
зятся следующими формулами:
1
=
(5)
Последнее уравнение показывает, что число световых квантов частоты ѵ по-
глощаемых ц единицу времени, в результате переходов 1
2 будет пропорцио-
нально интенсивности падающего света этой частоты /ѵ.
Способность поглоще-
ния газа в отношении к свету частоты ѵ оказывается пропорциональной мно-
жителю
Nxbl2.
Уравнения (2) и (3) могут быть обоснованы с точки зрения теории атома. Мы
имеем возможность проследить по правилам квантовой механики- реакцию атома
на возмущения, производимые падающим на него излучением; это и дает нам
возможность вычислить вероятности переходов. Для вывода числовых значений
атомных постоянных «21, Ь2І и bl2 различных атомов, правда, вообще говоря, не-
обходимы сложные вычисления. Но между этими постоянными
существуют
простые отношения, одинаковые для всех атомов.
Сделав известные допуще-
ния о стационарных состояниях, состоящие в том, что эти состояния должны яв-
ляться однозначными, а не состоящими из совпадающих (или почти в точности
совпадающих) различных стационарных состояний, мы можем написать следую-
щие два уравнения:
о/гѵз
«21 =
ь
12>
(6>
b2l = b12.
(7)
Этими уравнениями вероятности переходов могут, следовательно, быть выра-
жены через одну атомную постоянную.
Совпадающие или почти совпадающие стационарные состояния часто удается
рассматривать как одно стационарное состояние: Для этого выражения вероятно-
стей переходов должны быть соответственным образом видоизменены. Пусть
стационарное состояние 1 состоит из g-
, совпадающих стационарных состояний,
а состояние 2 — соответственно
из g2
совпадающих стационарных состояний.
В каждом из элементарных стационарных состояний, составляющих собой состоя-
ние 1. будет находиться доля — общего числа атомов, находящихся в состоя-
ёі
нии 1; соответственно в каждом элементарном состоянии, составляющем состоя-
ние 2, будет находиться доля атомов -L- .
(На стр. 373 будет показано, что во
всех стационарных состояниях, составляющих общее стационарное, состояние,
будет находиться одинаковое количество атомов.) Теперь нам нужно учитывать
все вероятности переходов: из любого элементарного стационарного состояния 1
в любое элементарное стационарное состояние 2, и наоборот. Каждый переход
2 -> 1 будет возможен для доли — атомов, находящихся в состояниях 2, и каждый
1
&
переход 1 —з - 2 для доли — атомов в состояниях 1. Это позволяет написать сле-
gi
дующие простые соотношения:
*
1/,1п,1
,
А
1А'I1А"I1А'"_1_
Величины,
отмеченные значками
", "'
ит.д.,
обозначают переходы
между
элементарными стационарными состояниями, для которых, следовательно, будут
справедливы уравнения (6) и (7):
'
2hfl •
ч
2/іѵ8 hn
m
2h-fl ,///
21== С"
ІЗ. '
«21=
— «21
=
—
^12ИТ. Д .
21= bU;
621= 12'
=
12ИT-Д*
Отсюда получаем непосредственно следующие уравнения:
«21 = §^12.
(6«)
=
'
(7а)
справедливые для стационарных состояний 1 и 2, состоящих каждое из gy и g2
элементарных стационарных состояний.
Под тем же углом зрения мы можем рассматривать и переходы, при которых
захватывается или освобождается электрон. Мы можем рассматривать вероятности
переходов между одним из стационарных состояний 1, соответствующим наличию
одного связанного электрона, и одним из стационарных состояний 2, соответ-
ствующим наличию одного свободного электрона, обладающего скоростью ѵ;
с этой цслыо могут быть выведены совершенно аналогичные выражения вероятно-
стей фотоэлектрической ионизации и захвата электрона. То же самое может быть
выполнено и для переходов между двумя такими стационарными
состояниями,
которые оба соответствуют наличию одного свободного электрона. В связи с этим
разъясним значение вышеохарактеризованного несовпадения стационарных состоя-
ний. Мы вновь будем рассматривать два стационарных состояния, 1 и 2, первое
из которых
попрежнему будет соответствовать наличию одного
связанного
электрона. О вероятностях переходов 1 -з - 2 и 2 1 мы рассуждаем упрощенно
не принимая во внимание того обстоятельства, что стационарные состояния обла-
дают некоторой конечной шириной; вследствие этого мы должны были бы
сооственно говоря, рассматривать вероятности переходов между состояниями'
обладающими энергиями, которые в определенных узких пределах могут ооладать
любыми значениями.
Этот вопрос удалось исследовать с точки зрения теории атома. В самом деле,
мы имеем возможность вычислить вышеуказанные частичные вероятности пере-
ходов, образующие в сумме вероятность перехода 12
или 2-^1. Для вычисле-
ния этой возможности рассмотрим тог простейший случай, когда состояние 1
является основным состоянием; простота в данном случае заключается в том
что несовпадения основного состояния исчезающе малы.
Обозначим
энергию
основного состояния через Еѵ а среднюю энергию стационарного состояния 2 череэ
е2. В таком случае вероятность перехода из состояния 1 в стационарное состояние
с энергией от е до е-\-ае
выразится формулой вида
„*,
_
Y'
,
ie'
(8>
где величина Y,является мерой неточности совпадения.
Вероятность перехода очень быстро уменьшается по мере возрастания раз-
ности е — ег.
При этом, как это видно из уравнения (8), зависимость в основ-
ном сводится к отношению разности е—еі и степени нерезкости совпадения т.
Сумма частных вероятностей перехода равна ЬіПІ,.
Формула (8) совместно
с условием частот
7
е—еу= ь
показывает, как в данном случае изменяется коэфициент поглощения в пределах
Когда оба стационарных состояния являются нерезкими, то формула становится
несколько сложнее, но по своему характеру она остается совершенно аналогич-
ной формуле (8).
Следовательно, способность поглощения изменяется в пределах линии погло-
щения вместе с изменением частоты. Было обнаружено, что зависимость от
частоты во всех случаях может быть выражена формулой вида
Y
(4f')2 + 4*2(v-v0r-'
(9)
где величина Y' является мерой неточности совпадения, a ѵ0— частотой
соот-
ветствующей середине линии.
'
При астрономических приложениях этой формулы выражение ѵ —ѵ0 всегда
велико по сравнению с величиной Т'.
В таком случае формула (9), упрощаясь,
принимает следующий вид:
13
'
const
а
ѵ = 77=^г-
(9a)
Подводя итог, мы можем сказать, что способности излучения и поглощения
атомов, находящихся в любых стационарных состояниях, могут быть полностью
охарактеризованы вероятностями переходов.
Следовательно, 'если мы знаем, как в данный момент распределены атомы
по стационарным состояниям, то мы можем вычислить поведение этих атомов,
подвергнутых действию данного излучения; мы можем вычислить количества по-
глощаемых и излучаемых атомами газа световых квантов любой частоты.
Распределение атомов по стационарным состояниям находится под влиянием
переходов между этими состояниями; к числу этих переходов относятся,, с одной
стороны, только что рассмотренные переходы, сопутствующие поглощению и
излучению световых квантов, а с другой стороны, ранее рассмотренные переходы,
обусловленные столкновениями частиц и не сопровождаемые процессами излуче-
ния или поглощения.
В атмосферах звезд образуется своего рода состояние равновесия. В данном
месте интенсивность столкновений определяется тепловыми движениями, т. е .
температурой, в свою очередь зависящей от облучения и от способностей по-
глощения, в то время как определяющее излучение и поглощение распределение
по стационарным состояниям в свою очередь определяется интенсивностью
столкновений и облучением. Устанавливается определенное равновесие, при кото-
ром распределения по стационарным состояниям поглощения и излучения оказы-
ваются в каждом месте постоянными во времени. Излучение, достигающее наблю-
дателя вследствие этого, в конечном счете определяется соотношением поглоще-
ния и излучения в различных слоях атмосферы звезды. Более подробно эта
зависимость будет рассмотрена в последующих параграфах.
§ 266. Состояния равновесия однородной газовой массы, обладающей
бесконечным протяжением. Сначала мы в качестве необходимой предпосылки
рассмотрим простейший случай состояния равновесия однородной бесконечно
протяженной массы газа, обладающего определенной плотностью и определенной
температурой. В состоянии равновесия все величины, характеризующие этот газ,
должны быть постоянными во времени. Это значит, что распределение скоростей
имеющихся налицо частиц должно быть постоянным во времени; равным образом
должны являться постоянными и числа приходящихся на единицу объема нейтраль-
ных атомов, находящихся в основном состоянии, атомов, находящихся в любых
возбужденных состояниях, однажды ионизированных атомов, находящихся в любом
из стационарных состояний; короче говоря, распределение атомов, по стационар-
ным состояниям должно оставаться постояным во времени. Кроме того, и числа
приходящихся на единицу объема световых квантов каждой частоты также должны
оставаться постоянными во времени.
Поскольку числа атомов, находящихся в любом из стационарных состояний,
должны оставаться постоянными во времени, постольку и числа переходов в лю-
бое из этих состояний должны оставаться равными числам переходов из любого
из этих состояний, т. е ., иными словами, приход частиц в каждом стационарном
состоянии должен быть равным их расходу.
Равновесие устанавливается следующим образом: число переходов из любого
состояния пропорционально количеству атомов, находящихся в этом состоянии.
Если, например, в некоторый момент расход атомов, находящихся в данном
стационарном состоянии, больше прихода, то число атомов уменьшается, а вслед-
ствие этого замедляется и дальнейший их расход. Это продолжается до тех пор,
пока расход не сделается равным приходу. Как мы видим, состояние равновесия
является стабильным, причем отклонения от этого состояния равновесия неиз-
менно стремятся уничтожиться.
Переходы из рассматриваемого-состояния, равно как и переходы в это состоя-
ние, могут осуществляться разнообразными способами. Прежде всего мы можем
при этом различать переходы, сопутствуемые излучением или поглощением
(радиационные переходы), и переходы, не сопровождающиеся ни одним из этих
процессов и обусловливаемые столкновением частиц.
Радиационные переходы могут быть подразделены по стационарным состояниям
рассматриваемого атома, т. е . по состояниям, из которых или же в которые
•происходят эти переходы. Такое же подразделение может быть установлено и
для переходов, не сопровождаемых радиационными явлениями причем п эTM«
ч7стш уПХо"
Ы0Ж6Т бЫТЬ " 6Ще ПРTM
^актеру ' по эёерпш
Вышеуказанное условие равновесия требует лишь того, чтобы общее количе
ство всех переходов «3 какого-нибудь состояния было равно
общемучислѴ~
переходов в это состояние. Наличия же какой-либо доли переходов того
S
иного рода в пределах этих общих чисел это условие не предус^рив^
ПоэтTM
например, мыслимо, что переходы в какое-либо
стяпно^ое^^Иу^
происходить под действием толчков частиц, в то время как переходы из этого
состояния будут являться радиационными. Правда, это свидете^іовало бы
о переходе кинетической энергии движения в лучистую энерГо піёім ікой
переход должен был бы в точности компенсироваться иными проі с ми Это
потребовало бы взаимного приспособления разнородных процессов Гторо о мы
собственно говоря, ожидать не вправе. В самом деле мы знаемon J im?
'
случай существования универсальной
зависимости^^SS^^ZtS^
обусловливаемых двумя процессами, это-случай, когда
одпнТіёсёіліі'
в точности противоположным другому. Примером в данномотношешГьТгѵт
являться атомные постоянные, входящие в состав уравнений (бПТ?ГпііТ
рующих переходы 12
и 2-1, рассмотренные на стр 365 (J
()'Р
У
Такого рода рассуждения привели к предположению,
что в состоянии Пп„ипгп
равновесия, подобном вышерассмотренному, любой процесс пеоехоТ
»IT
говоря, будет происходить одинаково часто/как и процесГпеІхода ёмѵ пёіІТ
ЭТ° ПРеДП0Л0ЖеіШе
Называіот
доПУЩе""ем
депиыьноговыр^^ивашш
Согласно этому допущению, например, число Лѵ =
nepexion Ті
сопровождающихся поглощением одного светового кванта? равГчГлу^ Ь-
=
е.2 -ех переходов 21,
сопровождающихся испусканием одного
iLi^
кванта; число переходов 1^2, происходящих под влиянием толчкаunoZZm
мого электроном, обладающим энергией еп>еп — е
благояппп і»
трон, обладающий энергией E^-EJ, у^таеІ про ь, раіёTZJZeZo'n
э^р и:ГEn
-7r\TToZir
ВЛИЯНИеМ Т0ЛЧКа і®
кт
Р°
на
» обладакэщего
STM,
И Т7л
ùt
Р
П0СЛе ЭТ0Г0 улетает
Прочь
'
об ладая
з»ер.
Приняв допущение детального выравнивания, мы, при наличии полнот
между ,,апра
—-—-г
PJZcZmeilHe
П03В0ЛЯеТ СДеЛаТЬ
важиые
ВЫВ0ДЬ' относительно состояния
uaJ; Сначала мы Рассмотрим распределение
скоростей
частиц газа Скоппгт»
частиц непрестанно изменяются благодаря взаимным их столкновениям
сКаю
вышеуказанному допущению число столкновений любого рода доTM nan
i,i
числу столкновений противоположного рода. Число столкнёінёГіііп
зависит от распределения частиц. В таком случае фѵьіктГт^Т.
Р°Да
стей дающая количества частиц, обладающ^Гор^,
Р,
бых границах
перейдет в уравнение числа столкновений- сдеІв нш отпіІ
допущение общего характера о природе столкновений Гсостоя^е
втом
что действующие между частицами силы мы будем предполагать Ігііі'
ченными в центрах), эту функцию удаётся вычислить Уста. овлщ. іі такиГ^І"
zK:::zpacnpe—
скоростеи
—
—
—
^ôs^ss;
б^п°т
Н^ЛтГ: ПУСТЬ ЧНСЛ0 Част ,іц'
обладающих массами т, в единице объема
будет n. Тогда число этих частиц, проекции скоростей движений котопыѵі
прямоугольные оси координат заключены в пределах
которых на
от и до и-{-du,
от V до v-\-dv,
отwдоw-j-dw,
Аотропомпл
приходящееся на единицу объема, будет равно
^
dudvdw,
(1)
где j—температура, a k — постоянная, значение которой будет Разъяснено ниже.
Закон распределения Максвелла может быть сформулирован и несколько
иным образом: прежде всего он содержит некоторые указания о
направлениих
скоростей частиц — все направления встречаются одинаково часто — и, во-вторых,
указание на величину (И) скорости частиц. Вместо того чтобы рассматривать
последнюю величину, мы можем ввести в наше рассуждение эквивалентную ей
величину у m V3, т. е. кинетическую
энергию.
Из выражения закона распределе-
ния Максвелла (1) (путем интеграции его для всех направлений) мы получаем,
что число частиц, обладающих массой т, кинетическая энергия которых заклю-
чена в пределах
от Е до E-\-dE,
приходящееся на единицу объема, будет равно
3_
-1 mW
или
3
(2)
Мы видим, что в новом виде уравнения одинаковы для частиц любой массы.
Масса теперь входит в закон лишь неявно, через отношение
Е = \тѴ2.
Уравнения (1) и (2) нуждаются в некоторых объяснениях. Оба они должны
удовлетворять условию, согласно которому сумма частиц, обладающих всевоз-
можными скоростями или же кинетическими энергиями, должна 'быть равна N.
В этом легко убедиться, произведя интеграцию; множители — =
и т. д. опреде-
у*
ляются именно этими условиями. Из уравнения (2) мы можем вычислить среднюю
кинетическую энергию частиц. Она для частиц любой массы оказывается равной
J E.e '^VËdE
<«^4/"I
=
(3)
je кТ УЕііЕ
(kT)2 у y
о
В действительности мы определяем температуру тем условием, что она должна
быть пропорциональной средней кинетической энергии частиц. Постоянная про-
порциональности k называется постоянной Больцмана. При общеупотребительном
выборе единиц она будет иметь следующую величину:
1,372 • Ю-10 эрг/градус.
(4)
Без такого определения температуры мы должны были бы сохранить в законе
распределения величину Е и не имели бы права выразить этот закон форму-
лами (1) или (2).
Для наших целей удобно выражать кинетическую энергию частиц в вольтах
(см. стр. 363). Из соотношения
1 вольт «1,591 - Ю -12 эрг
получаем
k= 0,862-10-'
вольт/градус.
(5)
вает?яера"ойИНеТИЧеСКаЯ
"
аСТ,Щ СОГЛасно УРTM»""»
(3) и (5) оказы-
Ё= 1,293 • 10-* Т вольт.
кинетических энергий частиц
гни частиц, выраженные в вольтах
a onZ*TM
°
С"
абСЦ"СС 0тложе,ш
э
»еР"
частиц, согласно уравнению (?) По этаТчіпTM
ПрОПОрЦ1ЮНаль!ш
количествам
Т= 5000° число ча сти?обл адающихіш нет!??
МЫ В"Д,Ш
'
НЛПр,,м еР-
ч
TM
в пределах от 2,0 до 2 1 вольтГГѵ"
-
энергиями, заключенными
тельно равно 0,1 . 0%ТІЛ,005
о"оѴТГУ
ПрИбЛ"3
"-
равно 0,022 N.
'
~~
20 000
это
ЧИСл0
приблизительно
Дифереицируя закон распределения Максвелла по температуре, мы находим
àГ'
(6)
Отсюда мы видим, что при возрастании температуры число частип
пбл-,
»**
»ертис Е,
ГоарасТТ'^
£ = £, а при дальнейшем увеличении температурь, вновь убывёёГ
''
S^ST^TïTbgR
Сосредоточим внимание на не со-
провождающихся радиацией пе-
реходах 1->2 и 2—>1, происхо-
дящих под действием толчков,
производимых свободными эле-
ктронами. Выделим два перехода,
из которых один является про-
тивоположным другому:
а) Переход 1->2, происходя-
'«т прочь с увеличившейся ^tîTM;^:
энерУTMей°£ДНЫЙ ^0"
^
TM
на единицу объема в единицу
["op., числу иРмЦе,0Щ„хся „1„о Ттомо' 'ZZ122
^Т'
"°
Р0Че
и 3) числу свободных электоонов
пбГГ
состоянии 1. 2) вели-
»еитом пропорциональности
" ZZylr JÔlnTJ"^
К°9фи
-
• состояния 1 и 2, „ энергии
элеятроГив
^ZZl
Гч=
0,5
''
0 '>5 2<°
4,ь 50 5,5 60 6,5 ffi
£ в вольтах
Ч'иг. 170. Распределение кинетическое энеогші чагтин
Для Г = 5000° (высокая кривая) н для Г = 20 000°
(плоская кривая).
электронов, обладающих энергией Е0 (точнее говоря, обладающих энергией, заклю-
ченной в пределах от Ес до Ев-\ -сіЕе),
пропорционально величине
JL
ея
где дг_
общее число свободных электронов. Коэфициент пропорциональности
зависит от Ес (и dE0),
но не от температуры и плотности. Вследсгвне этого число
переходов типа а) равно
где а — атомная постоянная, зависящая от характера толчка.
Совершенно аналогичным образом мы получаем число переходов типа Ь):
1
Ее -[Е,-Еу)
»3^=1pwGff)'«
кт
>
<s>
где ß— атомная постоянная, зависящая от характера толчков типа Ь).
В силу допущения о наличии детального выравнивания в состоянии равнове-
сия неизменно должно сохранять силу равенство
в силу чего отношение
п
і2—"з->i»
1_
Ее- {Е2-Еу)
лт
1
11
Wv„(+)V W
должно являться постоянной, зависящей лишь от характера толчков. В частности,
эта постоянная независима от температуры и давления. В силу этого мы вправе
написать для всех температур и давлений следующее соотношение:
_
[Ez-EQ
=
const е
"
т
.
(9)
Эта формула показывает, что по мере возрастания температуры число атомов,
находящихся в состоянии с большей энергией, возрастает. Если состояние 1
является основным состоянием, то разность Е, — Е, будет равна потенциалу
возбуждения состояния 2. Следовательно, отношение чисел атомов, находящихся
в обоих этих состояниях, определяется отношением потенциала
возбуждения
к средней кинетической энергии частиц газа. Если потенциал возбуждения велик
по сравнению с величиной Е, то число атомов в соответствующем состоянии
относительно весьма малб.
Постоянная, входящая в состав формулы (9), зависит от обоих состояний 1
и 2. Для любой комбинации двух состояний имеет силу уравнение вида уравне-
ния (9), в состав которого входит постоянная, зависящая от обоих рассматривае-
мых состояний. При рассмотрении газа весьма высокой температуры, в силу чего
величина kT является весьма большой по сравнению с входящими в формулы
значениями разности Е2 — Еѵ показательный член практически становится рав-
ным 1, вследствие чего отношения чисел N
превращаются в вышеуказанные
постоянные. Следовательно, для
kT^>Em
—
En
мы получаем
,1 П)
Ny:N2:M,:Nx...
=
qv:g2:g9:gv
<-lu;-
ИсепоК::ГУчт.
СТДЦИШ,аРИ0МУ
состоянию
соответствует одна из постоянных а.
щее выражение:
уПр0Щения УР»неиия <9)'
получаем следую-
еі-еу
Ny qye
'
.
(11)
УоабенбS VT, T""*"
статт
іескими
весами
стационарных состояний.
(}Д
"
аЛѵ 0ПРеДелепие статистических весов. Закономерность, выра-
SS^ST^JflTM
ГНТНаЗВа,Ше
3аК0 ,,а
Больцмана. Как уже
'
у ДЛЯ ЛЮбЫХ двух С0СТ0Я
""И ОДНОЙ. И той же степени
оппадлываРМПРН°пР TMтистических весов g Делается следующее простое допущение,
элементдоны* /нр Зул
ам
і.1 лабораторных опытов: статистические веса
всех
ададГ в гилѵ (" Гп
ШХ) стадио
"
а
Р"ь>х состояний равны одному И тому же
ТLZ
lnT
ДеЛ° ВССГДа
КЗСаеТСЯ
лишь
сношений
статистических
ныы1 чтоТы
ТТЬгЭТ0 ЧИСЛ0 ЛЮбым; Наиболее удобно положить его рап-
?ия 7=1
Следовательно, для элементарного стационарного состоя-
«п««,TM'
совпадают S стационарных состояний в том смысле, что они обладают
Z
остто7?ГРГяИ
,
ЯМИ Е (СМ- СТР
-
366>'
то
Ч,1СЛ0 атомов> находящихся n cTZ
Г мѴГ
М)п
И°НаРН0М С0СТ0ЯНШІ' будет поражаться суммой членов типа
формулы (11). показательные члены всех членов будут между собой оавны
ИГTM6?"6
ВеСа КаЖД0Г° Члена будут равны
1, а число членов будет л
»оныхToSl^TM08'
МЫ УббДИМСЯ В Т0М' ЧТ
°
ДЛЯ СЛ0Ж,ІЬІХ
стад
"°
:
бшчин a Z
L
6УД6Т НМСТЬ СИЛу УРавнение «ида (11), если мы вместо
сбавляющихТпТ
« соответствующее количество элементарных
состояний,
Глрппб
ЩеЙ ИХ С0В0КУПН0С7И рассматриваемое сложное состояние,
следовательно, мы вправе написать в общем виде
N
ео-еу
Ж=І7е
кТ>
(НЮ
где ^и ft —числа элементарных состояний, составляющих сложные состояния
Теперь мы перейдем к сравнению чисел атомов, находящихся в стационарных
ионизации
-
Мы можем Ьграничиться срав
"
=
основных
состоянии
различных степеней ионизации. Ведь из уравнения (11) мы
ZToZlTZ ГЛ аТ0М0В
'
НаходTMся
в
различных стационарных состоя-
ПИЯХ одной и той же степени ионизации
степени ^ZTZTTZTTTM
аТОМОВ
'
"
аХОДЯЩИХСЯ в основном состоянии любой
шей ГнГ Д?п '
0М аТ
°
М0В- находящихся в основном состоянии следую-
щий адом
ZT
И0НИЗаЦИИ- Для простоты мы будем рассматривать нейтраль-
любым соселбм ГРЖДЫ И0НИЗНР0Ва
"
НЫЙ- 0днако Рассуждения будут приложимы
бѵдотимеТnr 1« еПеНЯМ Н0НИЗаЦНИ'
в снлу
''его конечная формула всегда
иудет иметь в точности один и тот же вид.
какn ifiTZZTZ ЭТ0Г0 рассужде,ІИП
ве
ДУтся совершенно таким же образом,
как и при выводе формулы Больцмана.
Обозначим через N, число приходящихся на единицу объема нейтральных
томов 1„ находящихся в основном состоянии, через А?-число однажды иони-
!!Р°Ва
""
ЫХ ионов 1+> находящихся в основном состоянии, и через ЛА —число
ымТ
выпрЛлеі
иТР0Н0В- ?°Л0ЖИМ П
°
ТеНЦиал
"оннзацин нейтрального атома раз?
пл ,/;ѴП
п
Два Пбрех0да
между
состояниями 1 и 1+, из которых один
'Шляется противоположным другому:
а) Переход 1->1+ плюс свободный электрон с энергией Е'в,
происходя-
щий под действием толчка свободного электрона, обладающего энергией <> &
благодаря чему ударяющий электрон улетает прочь с уменьшившейся на сумму
-Л+ £'с энергией < - (у.+ <)•
Ь) Переход 1+ плюс свободный электрон с энергией £с->1, происходящий
под действием толчка свободного электрона, обладающего энергией Ес —
(у.+
-\ -Е'с), благодаря чему ударяющий электрон улетает прочь с уменьшившейся на
сумму у -f - e'Q энергией е'\
Число переходов типа а), происходящих за единицу времени в единицу
объема, будет равно
1 _£«_
п
.
t=•= in n (af-v
с
кт
,
ii+Ее
1 о\кТ)
где а
атомная постоянная, зависящая от характера толчка. Аналогичным обра-
зом мы получаем для числа переходов типа Ь) следующее выражение:
£ в'в
£_
где а _ опять-таки атомная постоянная, зависящая от характера толчка типа
Ь).
Согласно допущению о наличии детального выравнивания в состоянии равно-
весия неизменно должно соблюдаться следующее равенство:
в силу чего отношение
з<
£ в"в-<х + в'е)
К
tT
.
;з:
р
будет являться постоянной, в частности, независимой от температуры и плот-
ности. В силу этого мы получаем для всех температур и плотностей следующее
соотношение:
^
=
const
(12)
ni
Эта формула показывает, как при повышении температуры увеличивается
число атомов, находящихся в ионизированном состоянии относительно числа ато-
мов, находящихся в нейтральном состоянии. Если у^>АГ, т. е. если потенциал
ионизации значительно больше средней кинетической энергии £ = 3/а kT частиц
газа, то число ионизированных частиц будет, вообще говоря, мало. Далее, фор-
мула (12) показывает, какое влияние будет оказывать разрежение газа: числа N
благодаря разрежению будут становиться меньше, что обусловит более сильную
ионизацию, в связи с чем отношение N^N0 : Nx будет оставаться
постоянным.
(Если бы степень ионизации была постоянной, то числитель уменьшался бы про-
порционально квадрату разрежения в силу того, что числитель содержит произ-
ведение двух величин N, в то время как знаменатель убывал бы пропорционально
первой степени разрежения. Это действие ослабляется, компенсируется более
сильной ионизацией, обусловливающей увеличение ЛГ^ и Nc и уменьшение Nx.)
Постоянная, входящая в состав уравнения (12), по своей природе аналогична
постоянной, входящей в состав уравнения (9). Она до известной степени соот-
• ветствует отношению статистических весов. Для того чтобы иметь возможность
вычислить ее, мы должны определить статистический вес любого стационарного
состояния с одним свободным электроном. Путем исследований пограничного
перехода между весьма слабо связанным электроном и электроном, только что
освооодившимся, сумели определить соответствующие статистические веса, после
чего оыло выведено следующее значение этой постоянной:
const ^WgàïL.
A4
<7!
В этой формуле тд — масса электрона, А—постоянная Планка, a q+ и
7, — статистические веса основного состояния иона или нейтрального атома
Произведя подстановку в уравнение (12), мы получаем
{фѴв _ 2(2nw/ qt (ь1л-&г
р— -qï&T)** кТ •
(12а)
Как уже было отмечено, совершенно аналогичные уравнения имеют силу для
любых соседних степеней ионизации. Для этого нужно лишь подставить соответ-
ствующие двум основным состояниям статистические веса д+ и qu равно как и
соответствующий потенциал ионизации у.
Легко понять, что с помощью уравнений (11) и (12) мы можем полностью
вычислить распределение атомов по стационарным состояниям. По аналогии введем
следующие обозначения искомых чисел:
А/,
А/«
n.
...
Af
n*
AT ...
Л/++ дгН-
12
3
'
Уравнение (11) определяет отношения всех величин N в одной и той же
горизонтальной строке, а уравнение (12а) —отношения величин Л/, стоящих в пер-
вом столбце. В силу этого мы получаем возможность вычислить все
отношения
величин N. Сумма
всех величин N должна быть равна данному числу атомов
приходящихся на единицу объема.
'
В вычисления входят следующие величины: статистические веса стационарных
состояний, разности энергий между стационарными состояниями и потенциалы
ионизации. Эти величины для большинства химических элементов нам известны.
В уравнение (12а), кроме того, входит число электронов; это число легко может
быть выражено числами ионов, находящихся в различных степенях ионизации,
в силу условия, согласно которому газ должен являться электрически ней-
тральным.
В качестве примера рассмотрим кальций. Атом кальция обладает двумя валент-
ными электронами. Нам достаточно принять здесь в расчет лишь изменения
в расположении этих двух менее прочно связанных электронов; расположение же
внутренних, неразрывно связанных электронов всегда остается постоянным (см.
стр. 361). В силу этого мы будем рассматривать: стационарные состояния ней-'
трального атома (с двумя валентными электронами), стационарные состояния
однажды ионизированного атома (с одним валентным электроном) и основное
состояние дважды ионизированного атома (лишенного обоих валентных электронов)
Для простоты мы будем рассматривать у нейтрального и однажды ионизирован-
ного атома лишь основное состояние. Следует отметить, что и вне зависимости
от этого числа атомов, находящихся в состояниях с большими энергиями в под-
лежащих рассмотрению случаях, сравнительно очень малы.
Таким образом мы получаем следующий ряд стационарных состояний:
Степень
ионизации
Стационарное
состояние
Потенциал
позбужде-
ШІЯ
Потенциал позбуж-
ленпя, считаемый от
оснооного состояния
центрального атома
Статисти-
ческий;
пес
Число
атомов
на единицу
объема
Ca
Основное
0V
0V
=
1
Ni
Ca
Наннизшсе возбужденное
1,88
1,88
72
=9
N2
Ca+
Основное
0
6,08
7і+
=
2
N1+
Ca+
Наннизшее возбужденное
1,69
7,77
72+
=Ю
NS
Ca+ +
Основное
0
17,90
7і++
=
1
Ni++
Потенциал ионизации Ca
Са+ : 6.08V
»
Са+-> Са++ : 11.82 у
С помощью этих величии мы можем вычислить распределения атомов кальция
по стационарным состояниям, как функцию температуры и числа атомов кальция,
приходящихся на единицу объема, т. е .,
иными словами, как функцию темпера-
туры и плотности.
Помещенная на стр. 377 таблица показывает зависимость распределения от темпе-
ратуры для двух различных плотностей. Мы видим, что при повышении темпера-
туры число нейтральных атомов, находящихся в основном состоянии, непрестанно
уменьшается, в то время как числа атомов, находящихся в состояниях с ббльшими
энергиями, сначала увеличиваются, а затем при дальнейшем повышении темпера-
туры уменьшаются, вследствие того что при очень высоких температурах полу-
чают преобладание состояния с еще ббльшими энергиями. При переходе к очень
высоким температурам, разумеется, в конце концов подвергается дальнейшей
ионизации и Са++ (в недрах
звезд кальций оказывается ионизированным почти
полностью, см. стр. 409).
В достаточно обширном интервале температур и плотностей большинство
атомов находится или в основном состоянии нейтрального атома или в основном
состоянии однажды ионизированного атома. Пренебрегая остальными состояниями,
мы получаем особенно простую проблему. Введем следующие обозначения:
N—общее число атомов кальция (нейтральных и ионизированных),
Nx— число однажды ионизированных атомов кальция,
в силу чего будем иметь:
/Ѵ(1—х) — число нейтральных атомов кальция,
Nx—число
свободных электронов.
Согласно уравнению (12а) получаем
т
3
V
Nx•Nx
2 (2iw;a)
2 (bT^~kT
N(1-*)".'
Л»
"fi '
или
2,
2
г_
X*
2 (2-;»е)3
^
(кТ)*е
кТ
Л3ч
л3
i"N
Последнее уравнение позволяет нам вычислить относительное число л: ионизиро-
ванных атомов, т. е . степень ионизации
непосредственно из температуры и плот-
ности. И мы получаем при этом прежний результат, состоящий в том, что повы-
шение температуры и уменьшение плотности способствуют усилению ионизации.
3. Наконец, исследуем число световых квантов данной частоты, приходящихся
на единицу объема.
Мы уже неоднократно говорили об интенсивности излучения данной частоты.
•Во избежание недоразумений приведем точное определение этого понятия. Вообще
говоря, в пространстве, в котором происходит излучение, т. е . в поле излуче-
ния, интенсивность излучения в различных местах и в различных направлениях
будет неодинаковой. Для того чтобы в данном месте О установить интенсивность
излучения данной частоты, происходящего в данном направлении R, мы посту-
пим следующим образом: мы мысленно выделим небольшую плоскость площадью
Nc = 1013
7
M
N,
Nl+ +
10 000°
«000
6 000
5000
4 000
3 000
2 000
4-10-s
1-ю-«
0,00023
0,0035
0,15
0,98
1,00
4-10-0
7-10-7
0,000055
0,00040
0,0058
0,0062
0,00017
Ne
0,0037
0,13
0,83
0,91
0,81
0,0097
4-10-8
=
10"
0,0026
0,056
0,16
0,090
0,030
0,000071
1-10-"
1,00
0,81
0,011
O.00C09G
6-10-8
6-10-"
2-10-30
T
M
N,
M+
M+
10 000°
8 000
6 опо
5 000
4 000
3 000
2000
4 -10-"
2-10-"
1-10- °
0,000035
0,0018
0,50
1,00
4-10-"
1•10-"
3-10-7
4-10-°
0,000068
0,0031
0,00017
0,000037
0,0016
0,39
0,90
0,96
0,49
4-10-e
0,000026
0,00069
0,075
0,090
0,036
0,0036
1 -10-9
1,00
1,00
0,53
0,0096 -
8-10-0
3- Ю-"
2 • 10-20
da, проходящую через О перпендикулярно к направлению R, и измерим энергию
излучения в пределах частот от ѵ до ѵ -} - dv, пересекающую выбранную плоскость
в единицу времени в направлениях, ограниченных телесным углом dm вокруг
заданного направления. Эта энергия равна
/ч(О,R)•da'dia'dv,
где /ѵ (О, R)—искомая
интенсивность в месте О и в направлении R. Следова-
тельно, интенсивность есть энергия излучения в единицу времени, приходящаяся
на единицу площади, на телесный угол и на единицу частоты.
Если мы выберем плоскость do', наклоненную к данному направлению таким
образом, что восстановленный к ней перпендикуляр будет образовывать угол Ѳ-
с данным направлением, то эта плоскость будет пронизываться лишь тем излуче-
нием, которое будет проходить в направлении R сквозь площадь do', являющуюся-
проекцией площади do, перпендикулярной к этому направлению. Проекция эта
будет иметь площадь do' cos Ѳ, вследствие чего проходящая энергия выразится
следующей формулой:
/ѵ(О,R)•do' . dm•dv•cosѲ.
В рассмотренном нами случае излучения, происходящего в однородном, сильно,
разреженном газе, интенсивность во всех местах и во всех направлениях будет
являться одинаковой:
/ѵ (О, Я)=/ѵ.
Мы будем говорить о числе приходящихся на единицу объема световых кван-
тов, обладающих частотами в пределах от ѵ до v-} -dv; оно будет равно: A7vdv.
Эти световые кванты будут обладать _ энергиями рѵ =
Лѵ•
dv. Величину р„ ыьь
называем плотностью излучения. В рассматривавшемся нами однородном сильно
разреженном газе величины ЛГѴ и рч dt имеют всюду одинаковые значения. Из плот-
ности излучения рч интенсивность I., может быть выведена на основании элемен-
тарных геометрических соображений. Мы получаем
р.«-тЛ.
(1)
где с — скорость света. Для вывода этой формулы мы будем исходить из опре-
деления интенсивности. Однако, так как в данном случае интенсивность во всех
местах является одинаковой, рассматриваемая при установлении определения по-
верхность может быть выбрана сколь угодно большой. Пусть площадь ее будет а.
Вокруг перпендикуляра, восставленного к поверхности (например, направленного
вверх), мы построим конус К с телесным углом dot. Согласно определению интен-
сивности взятая поверхность в течение промежутка времени от t до
t-\ -dt6удет
пронизываться световыми квантами, обладающими частотой в пределах от ѵ до
v-f-tfv, движущимися в направлениях, ограниченных упомянутым конусом, столь
часто, что суммарная энергия этих световых квантов составит
dtadotdt.
С другой стороны, все проходящие рассмотренным образом световые кванты
будут являться теми же самыми, которые в момент t будут находиться под по-
верхностью о в слое толщиной с dt и двигаться вверх в направлениях, ограни-
ченных конусом К; это—так, потому что именно эти и никакие другие световые
кванты в промежуток времени от t до t-\ -dt будут пересекать поверхность о
в нужном направлении. Рассматриваемый объем будет равен
ас dt,
а общее число световых квантов, обладающих частотами от ѵ до v-j-dv, нахо-
дящихся в этом объеме, составит
N^dtac dt;
энергия излучения этих квантов будет равна
pvdtасdt.
Из общего числа квантов, находящихся в этом объеме, лишь некоторая их
часть будет двигаться в направлениях, ограниченных телесным углом dw; эта
часть будет равна
dut
4тГ '
'
в силу того что направления распределены равномерно в пределах (охватывающего
всевозможные направления) телесного угла 4 it.
В силу этого суммарная энергия световых квантов, о которых в данном слу-
чае идет речь, будет равна
р„dtасdt^ .
4я
Это выражение должно равняться предыдущему
pvdtасdt^ = Ічdtadotdt,
откуда получаем
Cr
4гс г
^р.,=
/.„
или рѵ=
7/ѵ .
После этих замечаний об интенсивности излучения, плотности излучения и
числе спетовых квантов мы переходим к выводу числа световых квантов данной
частоты, приходящихся на единицу объема, из формул, выведенных для состояния
.равновесии.
Мы опять будем рассматривать два перехода, из которых один является об-
ратным по отношению к другому. Обозначим цифрами 1 и 2 два стационарных
состояния, обладающих энергиями Ех и Е2 (%>£,). Пусть этими переходами
будут: а) переход 1 -> 2, сопровождаемый поглощением одного светового кванта,
обладающего энергией ht = E2 — Ex\ b). переход 21,
сопровождаемый излуче-
нием одного светового кванта, обладающего той же энергией ht = En —
Et.
Числа происходящих в единицу времени
переходов типов а)" и Ь) уже
были определены нами раньше. Они даются уравнениями (4) и (5), приведенными
на стр. 365.
Обозначим числа атомов, находящихся в состояниях 1 и 2, приходящихся на
единицу объема, через /V, и N2. Тогда согласно уравнениям (4) и (5), приведен-
ным на стр. 365, будем иметь
n
i->2 = Nibi2-1
-.
(2)
и
"2->і =A/a(ßa і +
А).
(3)
По условию наличия детального выравнивания должно иметь место следующее
равенство:
"і-*2 =
л
2->і»
в силу чего мы получаем
Nlblа/,
=
Ne, (а21 -f Ь2ХІЧ).
(4)
Отношение величин Nt и N2 определяется уравнением Больцмана (11а), выве-
денным на стр. 373:
Е,-Е,
Аѵ
ill.= j?Lс
кт~
—ё^с~ТГт
Ni
gxC
-
gle
'
(5)
где через gx и g2, как и раньше, обозначены числа элементарных стационарных
состояний, образующих состояния 1 и 2. [Для последующих выводов мы могли бы
ограничиться случаем элементарных стационарных состояний (g-, = g2 = 1), так
как ведь при наличии детального выравнивания для каждой пары элементарных
стационарных состояний, из которых, составляются сложные стационарные состоя-
ния, должно соблюдаться равенство
=
но для того чтобы иметь воз-
можность определить и число переходов между сложными стационарными состоя-
ниями, мы будем рассматривать более общий случай.}
Атомные постоянные «аі, b2l
и b12 связаны между собой уравнениями (6а)
и (7а), выведенными на стр. 366:
si 2Лѵ8 .
^
а
W
b*l = fbl2-
(7)
Выражая с помощью этих уравнений N2 через Nv а а21 и Ь2. через bl2,
мы
можем преобразовать уравнение (4) следующим образом:
hi
"А,
•/.
-
НА,fГ*(£.»
+
Ж(8)
Разделив обе его части на величину Nx b12, получаем
Тем самым мы для Іч получили уравнение, в которое уже не входят никакие
величины, относящиеся к состояниям 1 и 2. В самом деле, мы и должны требовать,
чтобы эта самая интенсивность и обусловливала равновесие для всех переходов.
Мы видим, что это требование выполняется, что обусловлено ранее сделанным
допущением о наличии статистического равновесия [см. уравнения (5) и (8)]. Тем
самым мы получаем еще одно подтверждение правильности этого допущения.
Решая уравнение (9) относительно /.„ мы
получим
/>=++/.„
-
или
Это есть уравнение
Планка,
дающее интенсивность излучения в состоянии
равновесия для частоты ѵ и температуры Т. Функцию от ѵ и Т, входящую
в состав уравнения (10), часто обозначают через Вн (7):
.
(И)
е"т~ 1
С помощью уравнения (1), связывающего между собой интенсивность и плот-
ность излучения, мы находим из уравнения (10)
8теhfl
1
/. r,\
ект
-1
и, наконец, деля обе части этого уравнения на величину Лѵ, мы получаем число
приходящихся на единицу объема световых квантов, обладающих частотами
в пределах от ѵ до ѵ-j- dr.
=
(13)
ekt-\
Полную энергию излучения всех частот, приходящегося на единицу объема,
мы получаем путем интегрирования уравнения (12):
со
8тNo
р=Jриіѵ= Jgp--т*=
const T*.
Это и есть закон Стефана,
гласящий, что энергия излучения, приходящаяся
на единицу объема, пропорциональна четвертой степени температуры.
Путем интегрирования находим среднюю энергию световых квантов
Лѵ= 2,70kГ,
(14)
следовательно, превосходящую среднюю энергию частиц, равную 3/2£Г.
На фиг. 171 изображены кривые чисел, приходящихся на единицу объема
световых квантов, обладающих частотой ѵ и энергией Лѵ для температур Т= 5000°
и Г=20 000°, построенные согласно уравнению (13). При увеличении темпера-
туры числа N4 увеличиваются для всех значений энергии, и максимум кривой
смещается в сторону ббльших энергий (сравн. соответствующий рис. 170, поме-
щенный на стр. 371).
Уравнения, дающие
интенсивность
и плотность излучения, часто
даются
в несколько иной форме, чем уравнения (10) и (12). Из /ѵ и рч легко вычислить
/х и р), т. е. интенсивность и плотность излучения с длинами волн, заключенными
в пределах от А до A + dA (см. стр. 34 и 351). Из равенства Аѵ = с получаем
IdXI IdvI
X
(15)
откуда без труда выводим и величины /х и рх, в силу того что
/хdX= /,dv и pxdX= pvdv.
.
(16)
Число Мч приходящихся иа единицу объема световых квантов дается уравне-
нием (13). Теперь мы перейдем к определению чисел испускаемых
и
поглощаемых
в единицу времени световых квантов, приходящихся на единицу объема. Для
начала заметим, что оба эти числа между собой равны, в силу чего нам будет
достаточно определить одно из них. Мы определим число поглощений.
В том случае, если бы световые кванты Аѵ поглощались лишь при переходах
1 -»• 2, то согласно уравнению (2) мы непосредственно получили бы искомое
число А., поглощаемых световых квантов:
A, = Nlbi2I.,
=
Nlbl2B.l(T),
(17)
где В., (7) — функция, определяемая уравнением (11).
Поглощаемая энергия была бы равна
А, • Ііч= A/jbl2hiВ., (T).
(18)
В действительности же, вообще говоря, имеет место целый ряд переходов,
при которых могут поглощаться световые кванты Аѵ. Общее число их может
быть выражено следующей формулой:
А, Аѵ = Аѵ В., (Т) [Л(Ь'13 + А/ХгЬ.
•]•
<19)
Мы видим, что число поглощаемых световых квантов про-
порционально следующим величинам: 1) универсальной
функ-
ции В., (Т) и 2) специальному
выражению в квадратных
скобках, входящему в уравнение (19), зависящему от харак-
тера и числа атомов. Это выражение,
стоящее в ква-
дратных скобках, является мерой поглощающей
способности
газа. Эта поглощающая способность опре-
деляется вероятностями переходов и рас-
пределением атомов
по
стационарным
состояниям.
На основании равенства чисел погло-
щений и излучений мы приходим к вы-
воду, что и число излучаемых
световых
квантов пропорционально
универсальной
функции В.,(Т) и поглощающей
способ-
ности.
Поглощающая способность определяется вероятностями переходов и распре-
делением атомов по стационарным состояниям и в том случае, когда (как это
имеет место в атмосферах звезд) интенсивность излучения не задается законом
Планка и местной температурой. Это следует непосредственно из уравнения (17)
или из обобщения уравнения (17) по типу уравнения (19), а кроме того, явствует
и непосредственно из уравнения (2): число поглощений всегда пропорционально
интенсивности излучения; фактор пропорциональности, которым измеряется погло-
щающая способность, определяется различными значениями величин Nх и ôia.
Иначе обстоит дело со способностью излучения. Если бы уравнение (3)
состояло из одного лишь первого его члена, то число излучаемых световых
квантов для всех частот действительно определялось бы различными значениями
величин Nn и a2і, т. е . распределением атомов по стационарным состояниям, и
вероятностями переходов. Однако, вследствие наличия в уравнении (3) второго
члена, излучающая способность зависит и от характера излучения.
При этом мы должны обратить внимание на следующее: Обычно первый член
всегда бывает значительно больше второго. Отношение второго члена к первому
согласно уравнениям (6), (7) и (10) выразится следующей формулой:
bv I бальтах
Фиг. 171. Числа приходящихся на сдшнГЦу
объема световых
квантов,
обладающих
частотой V для Г=5000э (низкая кривая) и
для 7= 20000°.
Единица ординат = 101і|.
hjt
1
с
2
,1сТ
—
1
в том случае, если интенсивность I, равна планковской интенсивности для опре-
делённой температуры Т, могущей и не совладать с локальной температурой.
Среднее значение величины /гѵ при планковском распределении энергии согласно
уравнению (14) равно 2,70 ІгТ. При таком значении величины /гѵ вышенаписанное
отношение радио 1/14. В качестве второго примера мы вычислим это отношение
для А = 5000 А и Г=6000°,
что приблизительно соответствует видимой части
солнечного спектра. Как было указано на стр. 363 и 372, этим числам соответствуют
следующие значения Лѵ=2,47Ѵ и кТ = 0,517 V; в таком случае для вышенапи-
санного значения мы получаем >/118.
Почти при всех астрономических приложениях вторым членом, входящим
в состав уравнения (3), возможно пренебрегать. Это значит, что способность
излучения целиком определяется вероятностями переходов и распределением ато-
мов по стационарным состояниям. Далее, мы убеждаемся в следующем: когда
распределение атомов по стационарным состояниям соответствует распределению
атомов, господствующему в однородном сильно разреженном газе определенной
температуры и определенной плотности, то способность излучения окажется
такой же, как и в этом газе, т. е. пропорциональной поглощающей способности
и универсальной функции ДД7). Этот закон приобретает важное значение при
исследовании условий, господствующих в атмосферах звезд при наличии там
локального термодинамического равновесия (см. § 267).
В рассматриваемом сильно разреженном однородном газе число приходящихся
на единицу объема световых квантов всех частот независимо от свойств этого
газа, а зависимость этого числа от частоты дается простой, правильно изменяю-
щейся функцией. Поглощающая же способность, наоборот, зависит от состава
газа и, кроме того, неправильно изменяется вместе с частотой. Так, например,
она очень велика для узких участков спектральных линий. То же самое может
быть сказано и о способности излучения. То, что число приходящихся на единицу
объема световых квантов обладает указанными свойствами, обусловливается тем,
что излучение и поглощение взаимно связаны. Если, например, в определенном
интервале частот число приходящихся на единицу объема поглощаемых квантов
весьма велико, то в этом интервале частот коэфициент поглощения также
весьма велик, вследствие чего в определенное место могут попадать лишь свето-
вые кванты, испущенные в сравнительно близких к нему окрестностях. Если же
способность излучения, наоборот, мала, то и коэфициент поглощения мал и све-
товые кванты в определенное место могут попадать с ббльшего от него рас-
стояния. Таким именно образом и создается уравновешивание.
Недостаток, состоящий в малой способности излучения, до известной степени
компенсируется преимуществом, заключающимся в большей длине свободного
пробега. Однако уравновешивание, разумеется, может происходить лишь в том
случае, когда размеры газовой массы настолько велики, что преимущество боль-
шой длины свободного пробега действительно может использоваться световыми
квантами. В лабораторных опытах, например, размеры разрядных трубок по срав-
нению с длинами свободных пробегов световых квантов, обладающих частотами,
не попадающими на участки спектральных линий, очень малы. А потому и при
этих обстоятельствах не наблюдается непрерывного спектра, а наблюдается спектр
испускания. При наблюдении хромосферы на краю солнечного диска имеют место
сходные условия. Вследствие малой плотности хромосферы длины свободного
пробега световых квантов больших частот, не совпадающих с частотами спек-
тральных линий, велики по сравнению с длиной отрезка луча зрения, проходя-
щего сквозь хромосферу. Вследствие этого и здесь влияние незначительной
способности излучения не будет уравновешиваться влиянием большей ширины
области, излучение которой может достигать наблюдателя; это будет происходить
по той причине, что эта область лишь в малой степени будет заполнена мате-
рией. В соответствии с этим спектр хромосферы является спектром испускания
(см. стр. 383). Исключая из рассмотрения условия, господствующие на самом краю
солнечного диска, мы вправе считать длины отрезков лучей зрения, пронизываю-
щих верхние слон Солнца и звезд, бесконечно большими по сравнению с длинами
свободного пробега световых квантов. В соответствии с этим Солнце и звезды
обладают непрерывными спектрами. (Впоследствии мы увидим, что имеющиеся в них
темные линии обусловлены рассеянием света, происходящим во внешних слоях
атмосфер этих светил).
§ 267. Атмосферы звезд. Локальное термодинамическое равновесие. Не-
прерывный спектр. В предыдущем параграфе было показано, что мы имеем
возможность полностью выяснить условия, господствующие в однородном сильно
разреженном газе. Мы можем в этом случае вычислить распределение скоростей
частиц, состояния ионизации и возбуждения атомов и число световых квантов
любой частоты. А теперь мы перейдем к исследованию физических условий,
имеющих место в атмосфере звезды.
Сначала скажем несколько слов об общих физических условиях, господствую-
щих в атмосфере звезды. Атмосферой мы называем ту часть звезды, которая
непосредственно может быть видимой. Это следует понимать в том смысле, что
свет, исходящий из наиболее глубоких слоев атмосферы, может достигать наблю-
дателя, не будучи ослабленным до ничтожной доли своей первоначальной силы.
По направлению кнаружи атмосфера, все более разрежаясь, постепенно теряется
в мировом пространстве. По мере перехода к более глубоким слоям атмосферы
давление и плотность, а также и температура неизменно возрастают. Излучаемая
звездой энергия проходит сквозь атмосферу. Чистый поток энергии, излучаемый
звездой, остается постоянным во всей толще атмосферы. Атмосфера звезды не
может ни поглощать энергии, ни отдавать ее.
Рассмотрим бесконечно малый элемент объема атмосферы. В нем будут про-
исходить процессы перехода совершенно такого же характера, как и в однород-
ном, сильно разреженном газе, т. е. не сопровождаемые радиацией переходы
под дейстием толчков и радиационные переходы.
Однако состояние равновесия
будет обладать совершенно иным характером потому, что в данном случае будут
находиться во взаимодействии области, в которых плотности и температуры раз-
личны. Рассматриваемый элементарный объем пронизывается излучением, которое
не должно соответствовать излучению самим этим элементарным объемом атмо-
сферы; это последнее излучение являемся сильно несимметричным, а вблизи поверх-
ности оно даже направлено почти исключительно вовне. В однородном сильно
разреженном газе, находящемся в состоянии равновесия, мы не могли провести
различия между направлениями времени: прешедшее -»• будущее и будущее
про-
шедшее (см. стр. 369). В атмосфере звезды направление времени может быть опре-
делено, в силу того что в общем должно происходить излучение вовне.
Посредством излучения
в атмосфере звезды находятся во взаимодеііствин
области, удаленные одни от других на значительно ббльшие расстояния, чем те,
на которых могло бы происходить взаимодействие посредством
столкновений
частиц. По аналогии с кинетической теорией газов мы можем выразить эту
мысль иным образом, сказав, что средняя длина свободного пробега световых
квантов гораздо больше средней длины свободного пробега материальных частиц.
Только что упомянутое ббльшее расстояние обусловливает и соответственно
ббльшие разности плотностей и температур, а равно и значительно ббльшие
отклонения от случая однородного сильно разреженного газа.
В то время как распределение излучения по различным направлениям неравно-
мерно, распределение направлений, в которых происходит столкновение частиц,
сравнительно равномерно (имеющаяся налицо асимметрия обусловлена действием
силы тяжести).
Состояние равновесия в рассматриваемом элементарном объеме устанавливается
путем переходов, не сопровождаемых излучением, и переходов радиационных
Из вышеизложенного ясно, что характер состояния равновесия тем сильнее будет
приближаться к случаю однородного сильно разреженного газа, чем в большей
степени число переходов, вызываемых столкновениями, будет преобладать над
числом переходов, сопровождаемых излучением.
Предельный случай, состоящий в том, что состояние равновесия в каждом
элементарном объеме определяется лишь
плотностью и температурой
среды,
окружающей этот элементарный объем, мы называем случаем локального
термо-
динамического
равновесия.
Когда влияние столкновений получает резкое преобладание над влиянием
излучения, устанавливается состояние почти строго локального термодинамиче-
ского равновесия. Это обусловливается тем, что длина свободного пробега соуда-
ряющихся частиц, вообще говоря, настолько мала, что вся область, с которой
рассматриваемый элементарный объем находится во взаимодействии посредством
столкновений частиц, обладает весьма близкими к нему температурой и плот-
ностью. (Попутно заметим, что в недрах звезды господствует состояние, весьма
Слизкое к локальному термодинамическому равновесию независимо от того,
преобладают ли там излучение или столкновения. Это обусловлено тем, что там
относительные изменения температуры и плотности на расстояниях, соответствую-
щих длинам свободного пробега как световых квантов, так и материальных
частиц, весьма малы.)
Спрашивается, вправе ли мы считать, что в атмосферах звезд господствует
локальное термодинамическое равновесие. Для исследования этого вопроса мы
должны произвести сравнение влияний столкновений и излучения на переходы.
Легко понять, что, вообще говоря, влияние столкновений по сравнению с влия-
нием излучения при постоянной температуре будет при увеличении плотности
неизменно расти. Это ясно из того, что число переходов, обусловленных излу-
чением, приблизительно пропорционально плотности, в то время как число пере-
ходов, обусловленных столкновениями, приблизительно пропорционально квадрату
плотности. Последнее число переходов пропорционально произведению чисел,
приходящихся на единицу объема ударяемых и ударяющих частиц. Следовательно,
в конечном счете дело сводится именно к плотности атмосферы звезды.
Отсюда мы можем сделать следующий вывод: излучение, обладающее часто-
той, для которой коэфициент поглощения сравнительно мал, происходит из
относительно глубоких слоев, где плотность сравнительно высока. Следовательно,
чем меньше коэфициент поглощения, тем дальше проникает наш взор вглубь
звезды. В силу этого мы вправе ожидать, что локальное термодинамическое рав-
новесие скорее всего будет иметь место в слоях, определяющих собой интенсив-
ность излучения. Излучение же, обладающее частотой, для которой коэфициент
поглощения будет сравнительно велик, напротив, будет брать свое начало во
внешних сравнительно весьма сильно разреженных слоях, в силу чего мы должны
ожидать, что в них локальное термодинамическое равновесие места иметь не
будет. Правда, для подтверждения такого предположения необходимо произвести
более тщательное исследование плотностей и соответствующих ча'стот переходов,
сопровождаемых радиацией или вызываемых столкновениями. Конечный же вывод
отсюда состоит, следовательно, в том, что излучение, дающее сплошной цветной
фон в спектрах поглощения, — который мы условно назвали непрерывным спек-
тром, — берет свое начало в слоях, находящихся в состоянии локального термо-
динамического равновесия, в то время как излучение, приходящееся на участки
линий поглощения, берет свое начало в иных слоях.
Наш следующий шаг будет состоять в исследовании атмосферы, находящейся
в состоянии термодинамического равновесия. Мы знаем, что в любом месте физи-
ческие условия соответствуют условиям, господствующим в сильно разреженном
однородном газе определенной плотности и определенной температуры. Наша за-
дача будет состоять в установлении того, каким образом плотность и температура
изменяются в зависимости от места.
Совершенно очевидно, что вследствие шаровой симметрии звезды плотность
и температура зависят лишь от глубины под поверхностью звезды. По мере
углубления в недра звезды плотность возрастает в соответствии с увеличением
веса слоев, находящихся над рассматриваемым местом и притягиваемых к центру
звезды всей ее массой. Налицо состояние механического
равновесия.
Темпера-
тура с глубиной тоже возрастает. Степень возрастания температуры при этом
определяется чистым потоком энергии, направленным во-вне: при наличии локаль-
ного термодинамического равновесия каждый
элементарный
объем
излѵчает
с интенсивностью, определяемой господствующими в нем состояниями
возбужде-
ния и ионизации, зависящими от его температуры и плотности, и поглощает
с интенсивностью, также зависящей от его температуры и плотцости (см стр 382)
Вследствие такого регулирования излучения и поглощения ни в одном элемен-
тарном объеме энергия не может ни убывать, ни возрастать. В силу этого чистый
поток энергии во-вне должен во всех слоях атмосферы оставаться постоянным
Господствует состояние лучевого
равновесия.
Этим требованием устанавливается
увеличение температуры по мере углубления в недра звезды.
Правильность допущения того, что в слоях, излучающих непрерывный спектр
господствует состояние термодинамического равновесия, уже была нами рассмо-'
трена и подтверждена. Далее, мы уже указывали на то, что атмосфера звезды не
может ни поглощать, ни излучать энергию. Вследствие этого изменения
чистого
потока излучения
от слоя к слою по мере приближения к внешним слоям атмо-
сферы могут происходить лишь в том случае, если материя от слоя к слою будет
переноситься материальными
частицами посредством теплопроводности
или
посредством конвекционных течений, захватывающих несколько слоев. Вследствие
сравнительно малой длины свободного пробега материальных частиц теплопро
водность мала. С другой стороны, мы знаем, что в солнечных пятнах имеют место
явления потоков, материн. Однако не представляется вероятным, чтобы переноси-
мые таким образом количества энергии могли бы достигать сколько-нибудь зна-
чительных величин по сравнению с количествами энергии, переносимыми излуче-
нием. Гораздо вероятнее, что налицо имеется лучевое равновесие, т. е что
чистый поток излучения является почти в точности постоянным.
Условия существования механического и лучистого равновесий могут быть
выражены диференциальными уравнениями, которым должны удовлетворять плот-
ности и температуры. (Этн диференциальные уравнения аналогичны диференциаль-
ным уравнениям, выведенным для недр звезды; интегрирование же дает для
атмосферы несколько иные результаты, вследствие важности условий, господ-
ствующих на краю солнечного диска.)
До сих пор мы предполагали, что. налицо имеются: 1) состояние локального
термодинамического равновесия и 2) состояние лучистого равновесия. При даль-
нейшем исследовании проблемы, сверх того, делается еще одно допущение более
специального характера. Берется тот случай, когда коэфициент поглощения k
одинаково велик для всех частот за исключением небольших участков
частот
где он может быть произвольно велик. В этом случае проблема может быть
разрешена. С другой стороны, условия, имеющие место в действительности
лишь незначительно отличаются от предполагаемых, что подтверждается тем что '
теория упрощенного случая дает для излучения величины, незначительно отли-
чающиеся от наблюдаемых.
Диференциальные уравнения равновесия мы можем решать независимо одно
от другого путем введения понятия оптической
глубины
под поверхностью
Уравнение, дающее изменение температуры с глубиной, входит коэфициент
поглощения k или, точнее говоря, некоторое среднее значение h коэфициентов
поглощения для всех частот слоя, толщину которого мы будем принимать за 1
При сделанных допущениях относительно k.t величина k, практически становится
равной постоянному значению k4, за исключением узких интервалов частот в ко-
торых кч может быть велико, что, однако, практически не оказывает влияния
на среднее значение, о котором идет речь. Изменение температуры при изменении
глубины dh пропорционально величине
1
kdh.
С другой стороны, коэфициент поглощения не зависит от плотности. Однако
вводя вместо геометрической глубины оптическую
глубину
т, определяемую
Астрономия
d-=
k dh,
(1)
h
X =jkdh,
(la)
о
мы получаем возможность написать диференцнальнос уравнение для темпера-
туры, не зависящее от плотности; интегрирование этого уравнения дает Т как
функцию оптической глубины т. Для того чтобы после этого определить Т как
функцию геометрической
глубины, мы должны установить распределение плот-
ностей и коэфициент поглощения на различных глубинах с тем, чтобы после
этого вычислить х как функцию h согласно уравнению (1а).
Понятие оптической глубины имеет по сравнению с понятием геометрической
глубины то преимущество, что для атмосферы звезды, постепенно переходящей
в пустоту, оно сохраняет свой смысл: мы интегрируем, начиная с бесконечно
большого расстояния, и лишь там, где
плотность, а вместе с ней и коэфи-
циент поглощения становятся заметны-
ми, оптическая глубина согласно урав-
нению (1а) начинает заметным обра-
зом расти.
Проблему определения температуры
как функции оптической глубины уда-
лось разрешить численно, а с достаточ-
ной степенью приближения также и
аналитически. Результаты сгруппиро-
ваны в нижепомещенной таблице.
Во втором столбце этой таблицы
дано отношение четвертой степени
температуры к четвертой
степени,
определяемой уравнением
Я=< „
(2)
эффективной температуры (см. стр. 351). В третьем столбце таблицы приведена
линейная
приближенная
функция.
Сопоставляя числа, стоящие в этих двух
столбцах, мы видим, насколько точно она соответствует строгому решению.
Следовательно,' поверхностная температура Т0 дается отношением
3.
=
0,43,
(3)
1
m
или
7-0 = 0,81Ге„.
(4)
Точное значение
постоянной,
входящее в состав уравнения (3), есть
і/4 УЗ = 0,4330.
Решение нашей проблемы, разумеется, может быть доведено до поверхности.
Заметим, однако, что наше допущение о наличии локального термодинамического
равновесия не будет соответствовать действительности вплоть до самой поверх-
ности. Тем не менее найденная таким образом поверхностная температура является
весьма точной, как это показали более точные исследования.
Атмосферу мы определили как совокупность тех слоев, из которых излучение
еще достигает наблюдателя, обладая заметной интенсивностью. Пользуясь этим
определением, мы можем вывести оптическую глубину наиболее низких слоев
атмосферы, т. е., иными словами, оптическую толщу атмосферы. Световой луч,
уравнением
или
Г'
т'еІГ
Приближенная
функции
1.3
2+Тт
elf
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1.0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,'"3
0,64
0,80
0,96
1,12
1,26
2,02
2,76
3,51
4,25
0.51 + |х
0,50
0,65
0,80
0,95
1,10
1,25
2,00
2,75
3,50
4,25
0,50+ —г
4
0,81
0,89
0,95
0,99
1,03
1,06
1,19
1,29
1,37
1,44
пронизывающий вертикально слой толщиной dh, согласно определению коэфи-
циента поглощения претерпевает ослабление на величину
dl= lkdh=Idz
,
(5)
где /—интенсивность этого луча. Следовательно,
т=*+
m
Пусть отношение k : Ii остается постоянным
во всей толще атмосферы.
В таком случае мы получаем следующее решение:
/ = /'/-*'>*/*
(7)
где /' — интенсивность светового луча на определенной оптической глубине х'.
Световой луч, берущий свое начало на оптической глубине т' и направленный
перпендикулярно к поверхности согласно уравнению (7), оставляет звезду, обла-
дая в этот момент интенсивностью
/0= /'е-'*/*
(8)
в силу того что на поверхности звезды х = 0.
, Положив отношение /0 : Г = 0,01 для k = k как предельное значение, мы
получим
т'=
4,6.
Отношение /0:7' =
0,001 дало бы х'=
6,9. В силу этого мы можем положить
оптическую глубину атмосферы приблизительно равной 5. Эта величина в из-
вестных пределах сравнительно произвольна. В соответствии с этим температура
атмосферы должна изменяться примерно от 0,8 Tctt до 1,5 ТсГ[. Оптическая глу-
бина для температуры, равной Tctt, приблизительно равна х = 2/8.
Луч, пересекающий слои под углом Ѳ во время более длинного своего пути,
ослабляется сильнее:
7=^.4 sec в,
(6а)
так что в случае если отношение k'.li постоянно, мы получаем следующее урав-
нение:
,А
—
it- .-
яио Й
І0= і'е
"
.
(8а)
После того как ход температуры выражен как функция оптической глубины
при допущении наличия термодинамического равновесия, не представляет труда
определить излучение звезды для тех частот, для которых это допущение соот-
ветствует действительности, т. е . для непрерывного спектра. Излучение любого
элементарного объема, находящегося в состоянии локального термодинамического
равновесия, определяется его температурой и плотностью; оно будет равно
kß4(T) для частоты ѵ (см. стр. 381). С другой стороны, ослабление, претерпе-.
ваемое лучом, испускаемым кнаружи до момента достижения им поверхности,
определяется оптической глубиной. Для вычисления полного излучения данной
частоты в непрерывном спектре, значения, полученные для всех слоев, должны
суммироваться, причем каждое значение следует уменьшить в соответствии с пре-
терпеваемым ослаблением. Таким путем мы для интенсивности излучения частоты ѵ,
покидающего поверхность под углом Ѳ, получаем выражение вида:
/,(Ѳ)= ]k4 Вч(7)еТ 500Ѳ •secѲdh= ]В,, (x)Г"T
ac
°
ѳ
. | secѲdz.
(9ï
Анализ этого уравнения приводит к следующим результатам:
мы Получили бы ВСе ВРвМЯ
°
СТаВаЛ0СЬ РаВНЫМ
то на
основании уравнения (9)
/ЛѲ) = Я ,(Г0).
(10)
yzz:
излуче,,ия
во всех на
"
бн
ypall"
следTMо для sec Ѳ-со, мы на основании того же
А> (90°) = Вч (Т0),
(И) .
ХийТрГГиГоТо
ЯГ^Г""^
TM^^0П,0 ,ІІМІ,,в
Ѣ'* TM
—
приближается функ-
/,(Ѳ) = 5Ѵ(7"0) для /г., — со.
^2)
При уменьшении величины /гѵ функция / (Ѳ) растет
4) Следовательно функцию /Ѵ(Ѳ) мы всегда должны рассматривать как среднюю
величину тех значений ВДТ), для которых показательный член Г'Т'"® не яп
ляется изчезающе малым. Если одна из величин А,
„ли sec Ѳ очень велика то
"
°и°
ТВГТВИИ С УРаВНеыием (")
"
л
"
(12) в рассмотрение войдут дощЬ В?Гщндо
слои, обладающие_гемпературой, весьма близкой к Т0.
внешние
Положив k4 = k, как мы это допускали для случая непрерывного спектт м-,
получаем возможность вычислить интеграл, входящий в уравнение (S Тсидо
того ЧТО в, является известной функцией т, так как т в ^ вою очередь'я в ляется
известной функцией т. Вследствие этого полагая h —ь
является
шение показало, что это последнее очень близко совпадает с *злучеГем
доо?г"
вывести и распределения ApST^ÏÏU^
пухеГпо"
лагая k =k, было получено хорошее совпадение с результатами наблюдений
еЛЬН0СТИ интенсивности, наблюдаемые в непрерывном
дошстревелѵт
себя так, как это предсказывает изложенная здесь теория (см сто 282) \п\1
даря этому непрерывный спектр может быть удовлетворен ьшn'Ä
т s ГнГГлн0
аличия
л
гльного
стол
-
погдощения Тследстві^"^ольшого" ГфициГа
ZSSST^S^ST
во внешних, сильно разреженных слоях
в которых состояние nolZZT Г*TM
динамического равновесия места не имеет
состояние локального термо-
с
Ре^°'венноЭTMа<^нодения^
подтверждено „е„о-
в пределах спектральной линии, правда, была бы несколько меньше, чем в окру-
жающих участках непрерывного спектра, но лишь в отношении
ВЛТ0):ВДТС„),
nrZZTPH0
вотношении
1:2
-
Наблюдаемые же контрасты интенсивности
обладают порядком величины 1 : 10. Еще резче выявляется противоречие в спек-
тре участков поверхности Солнца, близких к краю солнечного диска. Здесь так-
же и для непрерывного спектра интенсивность равна В,(Т0) [см. уравнение (11)
предыдущего параграфа], вследствие чего линии поглощения должны были бы
вблизи края солнечного диска исчезать, чего в действительности отнюдь не на-
блюдается. Таким образом наблюдения непосредственно показывают, что во внеш-
них слоях, о которых идет речь, состояние локального термодинамического рав-
новесия места не имеет.
н
Взаимодействие между излучением и материей при наличии локального термо-
динамического равновесия, как мы это видели, состоит в следующем: известная
часть излучения при этом поглощается, поглощенная лучистая энергия посред-
ством столкновений равномерно распределяется по многочисленным частицам и
в конце концов равномерно испускается во всех направлениях в качестве план-
ковского излучения. Если бы, например, падающее излучение было приблизи-
тельно монохроматическим и направленным в одну сторону, то посредством толч-
ЛуЧИСТаЛ ЭНерГИЯ оказалась бы превращенной в планковское
Z7ZZr ВСеВ03М0ЖИЫХ
частот
» направлений. Этот род взаимодействия часто
называют чистым
поглощением.
Для того чтобы понять те условия, которые должны господствовать в случае
отсутствия локального термодинамического равновесия, мы рассмотрим противо-
положный предельный случай. Этот случай будет состоять в том? что влияние
столкновений на переходы по сравнению с влиянием излучения будет исчезающе '
малым, как мы это должны ожидать при весьма малых плотностях
» JTM""'
КЗКо РаНЬШе' ЦИфрами 1 и 2 два стационарных состояния одного
и того же атома. При переходе 1-2 атомами, находящимися в состоянии 1
"^Г*6TM ИЗЛуЧенИе частоты Ѵ=1 МЕш-ЕО. Так как влиянием толчков мы'
вправе
в данном случае пренебрегать, то атомы, совершая переходы 2 -1
будут возвращаться в состояние 1, что будет сопровождаться испусканием того
Z2TZZ ЧаСТОТѴ=1
Следовательно, взаимодействие IreZy
излучением и материей в отсутствии толчков оказывается совершенно иным
излучение данной
частоты поглощается и излучение той же частоты вновь
испускается, благодаря чему взаимодействие сводится лишь к изменению напра-
вления излучения. Если, например, падающее излучение является монохроматиче-
ским и притом направленным в одну сторону, то некоторая часть его поглощается
а затем испускается излучение той же частоты, но уже во всех направлениях!
DTOT род взаимодействия мы называем чистым рассеивание и
В более общем случае, когда ни излучение, ни столкновения не имеют абсо-
лютного преобладания, взаимодействие между излучением и материей мы можем
рассматривать как одновременно происходящее поглощение и рассеивание
»„, °
0звр ати мся
вно вь
к
Рассмотрению случая, когда столкновения не оказывают
влияния. Если имеются налицо атомы, находящиеся более чем в двух стационар-
1сй0с:°
яниях
'
то
условия становятся несколько более запутанными. Возьмем
пеГТпѴппTM ТРеХ Стацконар,ІЫХ состояний 1, 2 и 3. Если при каком-нибудь
переходе поглощается излучение частоты ѵя1 = 1/А (Еа — Е .), то даже и в отсут-
ствии толчков мы не можем быть уверены, что атом посредством переходов 3-1
возвратится в состояние 1, при испускании излучения той же частоты ѵ„,
=
~- 1І П(Ея
—
Е1). Возможно, что это произойдет лишь в результате двух последо-
вательных переходов 3 - 2 и 2-1,
что будет сопровождаться испусканием
излучений, обладающих частотами ѵ8а=1 /А
иѵ2.=
1/А(£2_£,) Эдо
явление мы называем флюоресценцией.
К2
0
В однородном, сильно разреженном газе, находящемся в состоянии равновесия,
флюоресценция роли не играет. В этом случае согласно допущению о наличии
детального выравнивания, например, переходы 1-> 2 и 2-» -1, сопровождаемые
поглощением или испусканием излучения, одинаково часты.
Если имеет место
состояние, близкое к локальному термодинамическому равновесию, то число
различных переходов в каждом месте приблизительно такое же, как и в случае
однородного сильно разреженного газа соответствующих плотностей и темпера-
туры; следователыю, и в этом случае явления флюоресценции роли не играют.
Во внешних же разреженных слоях атмосферы, состояние которых вследствие
асимметричного потока излучения может сильно отклоняться от состояния одно-
родного сильно разреженного газа и где влияние столкновения очень мало, флюо-
ресценция может играть роль.
Перейдем к исследованию влияния рассеяния
на образование линий поглоще-
ния. Как мы видели, эффект рассеяния состоит в том, что оно стремится распре-
делить излучение равномерно по всем направлениям. Для выяснения этого эффекта
рассмотрим сильно упрощенную схему условий, господствующих в атмосфере
звезды. Пусть излучение определенной частоты ѵ направлено частью прямо кна-
ружи, частью прямо кнутри. Интенсивность направленного кнаружи излучения
пусть будет
а интенсивность излучения, направленного кнутри, /'.
В таком
случае чистый поток излучения кнаружи будет равен
Излучение пронизывает рассеивающую среду. При этом некоторая часть напра-
вленного кнаружи излучения поглощается и после распределения ее поровну
в обоих направлениях, кнаружи и кнутри, вновь испускается. Аналогичным обра-
зом будет обстоять дело и с излучением, направленным кнутри. Пусть слой тол-
щины dx рассеивает часть
dx•У]
направленного кнаружи потока излучения и часть
svdxf
потока излучения, направленного кнутри. Величину sv мы называем
коэфициентом
рассеяния
слоя для излучения частоты ѵ. Рассеянный свет в обоих случаях сна-
чала поглощается, а затем излучается по закону рассеяния: половина кнаружи,
половина кнутри. В силу этого слой обусловливает следующие изменения потока
излучения, направленного кнаружи или кнутри.
1) Интенсивность f (кнаружи) на верхней границе слоя была равна
/; + Sv dx /]—Va 5Vdx
tf О на нижней границе слоя.
2) Интенсивность У" ѵ (кнутри) на верхней границе слоя стала равной
1" — s4 dx l" Y Va dx (/] +l") на нижней границе слоя.
3) Чистый поток излучения
на верхней границе слоя равен /—у";
на
нижней границе слоя F4 равен
[/+dx і[- Ѵоs,dx(<+y';)]- y
-
s, dx y;+% s„ dx (/;+=/-y;.
Следовательно, чистый поток излучения остается постоянным.
4) Средняя интенсивность
на верхней границе слоя равна Va tf + /'); на
нижней границе слоя средняя интенсивность равна
v. tf+
dx
К-ч*
а
х а;+у;»+
+ Ч*tf- dXl"YV2
s,dx(y;+ /';)]= 1/2(/;+ О +1/2 dx
Так как чистый поток излучения направлен кнаружи, т. е . величина F
=
=
I —l" положительна, то средняя интенсивность благодаря процессам рассея-
ния кнутри возрастает.
Вся рассеивающая часть атмосферы действует подобным же образом. Вслед-
ствие этого чистый поток излучения остается постоянным, а средняя интенсив-
ность кнутри возрастает. Постепенно рассеивающий слой переходит в слои,
в которых господствует локальное термодинамическое равновесие и где средняя
интенсивность определяется уравнением Планка. Средняя же интенсивность в верх-
них рассеивающих слоях — в силу того что интенсивность под влиянием рассея-
ния кнутри должна возрастать — меньше интенсивности, определяемой уравне-
нием Планка. То же самое может быть сказано и о чистом потоке излучения
кнаружи, который в наибольшем своем значении может превышать вдвое среднюю
интенсивность (Уч —
1-Л)*
сам ым
становится понятным появление линий
поглощения. Рассеяние для частот непрерывного спектра очень мало. В даипом
случае наблюдатель видит излучение, берущее свое начало в слоях, находящихся
в состоянии локального термодинамического равновесия; оно, как это было пока-
зано в предыдущем параграфе, весьма близко к излучению, происходящему
согласно уравнению Планка. В участках же спектральных линий рассеяние велико.
В этих местах средняя интенсивность под влиянием рассеяния оказывается сильно
пониженной сравнительно с определяемым уравнением Планка значением ее
в слоях, находящихся в состоянии локального термодинамического равновесия;
вследствие этого интенсивность излучения, покидающего звезду в участках спек-
тральных линий, сравнительно мала.
Наша грубая схема позволила уяснить возникновение линии поглощения под
влиянием рассеяния в высших, разреженных слоях атмосферы звезды. Более стро-
гая теория должна предусматривать, что в действительности излучение происходит
в пространстве по всем направлениям, а не состоит из двух диаметрально противо-
положно направленных потоков и, кроме того, что переход от разреженных, рас-
сеивающх слоев к слоям, находящимся в состоянии локального термодинамического
равновесия, происходит весьма постепенно. Такой теории, которая по всех под-
робностях учитывала бы взаимодействие излучения п материн в атмосферах звезд,
в настоящее время еще не существует. Однако целый ряд полученных в данном
направлении теоретических результатов тем не менее может считаться уже дока-
занным. К числу их принадлежат следующие:
1. Интенсивность излучения в пределах спектральной линии зависит от числа
рассеивающих атомов и атомного коэфициеита поглощения этих атомов (см.
стр. 365). Чем больше это произведение, тем меньше интенсивность. Следова-
тельно, если имеется налицо много рассеивающих атомов, то соответствующая
линия поглощения становится интенсивной.
2. С известной степенью приближения интенсивность в пределах спектральной
линии дается следующим простым выражением:
в котором использованы следующие буквенные выражения:
/ч — интенсивность для частоты ѵ в пределах спектральной липни;
/п — интенсивность непрерывного спектра в ближайших окрестностях спектраль-
ной линии;
*о— коэфициент поглощения в ближайших окрестностях линии поглощения,
точнее выражаясь, среднее значение этого коэфициеита поглощения для
всей толщи атмосферы;
оу — линейный коэфициент поглощения, т. е . коэфициент поглощения, отно-
сящийся к переходу, которому соответствует линия поглощения, опять-
таки— среднее значение для всей толщи атмосферы.
ЗВЕЗДНАЯ АСТРОНОМИЯ И АСТРОФИЗИКА
Следовательно, интенсивность для определенной частоты с известной степенью
Линейный коэфициент поглощения о„ соответствующий переходу 1 - 2
па-
ГTM
°ѵ=
л
х-
а
,-
(2).
коэ
Фицие нт
поглощения выражается следующей формулой обнапѵ-
живающей зависимость его от частоты (см. стр. 367):
ФиР
м
Ул
°и> оонару-
_
__
с
ѵ
(ѵ — ѵ0)2'
(3)
где с — постоянная.
JSmïï
~ГУ
ВМ"4
""'
УРзвненнями (2). „ (3), я урз8-
А=/„•»/
л~п
Этим уравнением определяется ммшур линии. В сеоепине линии
шмшштт^
Если две линии поглощения соответствуют не rTM,,mn„ „„„„ -
то величина *0 для обеих этих линий буреть"пРТбт
чение В предыдущем параграфе мы видели, что" вообще говоряÏÏÏTM S
остается приблизительно постоянной на всем протяжении спеіі чі і
0
сравнение линий поглощения между собой.
внению величин
tuUA
"
lw лишь к сра-
Если для двух линий величина п,с имеет одно и то же значение:
пс' = тс"
то контуры этих линий одинаковы, т. е. на равных пяггттшыст от
ний наблюдаются равные интенсивности. Еслн напроті
СереДИН ЛИ"
п/ = Кп[с",
то первая линия оказывается в Ѵ~К раз шире. Потому что, если мы для первой
линии будем разность ѵ-ѵ0 брать все время в УТ< раз большей, чем для вто
рой, а квадрат этой разности (ѵ_ѵ0)2, следовательно" в /С раз больше то
cZ
ветстзующие интенсивности оказываются в точности одиІі^ши
Словами эІ
можно выразить следующим образом: ширина линии пропоеноальмакорню iî
п=едения концентрации поглощающих атомов на k^nSiSSSJS'ZS-
В качестве примера приведем сравнение обеих линий натрия D (см. стр 363)
Обеим им соответствуют переходы из основного состояния, причем как в том
так и в другом случае
равно числу приходящихся на единицу объема атомов
натрия, находящихся в основном состоянии. Далее, как это показывают сообра-
жения из области квантовой механики, величина с для линии, обладающей мень-
шей длиной волны, вдвое больше, чем для линии, обладающей большей длиной
волны. В силу этого ширина первой линии должна n ]/j раз превосходить ши-
рину второй. Это согласуется с результатами наблюдений.
Наконец, рассмотрим ранее выведенную величину полной энергии, поглощае-
мой в пределах спектральной линии. Согласно уравнению (4) она равна
Интегрирование должно производиться по всей ширине линии поглощения Про-
изведя его, мы находим
пхс
Это выражение возможно еще несколько упростить. Величина ,ѵ0 является
средним значением коэфициента поглощения в непрерывном спектре для всей
толщи атмосферы. Слой геометрической глубины h обладает оптической толщи-
ной x0h
в том случае, если коэфициент поглощения равен х0 (см. стр. 386)
Умножив в уравнении (6) числитель и знаменатель дроби на геометрическую
толщину H слоя, находящегося над оптической глубиной, равной 1, мы получаем
=
А,•2У~п{сН=/ц.2
(7)
в силу того что
hx0r= 1.
Так как л, является средним числом приходящихся на 1 см* атомов, находя-
щихся в состоянии 1 то величина Ых =
пхН будет равна числу этих атомов, находя-
щихся в столбе, обладающем площадью основания в 1 смп
-
и оптической высо-
той 1, равной высоте над рассматриваемой оптической глубиной. Величину N. часто
называют числом соответствующих атомов, находящихся над 1 см2 фотосферы
Следовательно, полная поглощенная энергия с той степенью приближения, для
которой справедливо уравнение (7); пропорциональна квадратному коршо из
числа поглощающих атомов, находящихся на 1 см' фотосферы в вышеуказанном
смысле.
Совершенно таким же способом мы посредством умножения на H числителя
и знаменателя дроби, входящей в состав уравнения (4), получаем
/=
У
(ѵ-ѵ0)»
Измерив
для какой-либо линии поглощения контур линии или полную погло-
щенную энергию, мы с помощью уравнений (8) или (7) можем определить число
соответствующих атомов при том условии, что атомный коэфициент поглощения
может быть вычислен на основе теории атома. К этому вопросу мы еще вернемся,
в одном из последующих параграфов.
3. Разобранные в пункте 2 приближенные формулы были выведены при по-
мощи некоторых упрощающих допущений. Прежде всего они не учитывают точно
изменения физических условий, происходящих по мере углубления под поверх-
ность, но описывают эти условия с помощью некоторых средних значений. Во-
вторых, они справедливы лишь в том предположении, что в атмосферах звезд
не происходит флюоресценции. Наконец, йспользованная в пункте 2 формула
атомного коэфициента поглощения справедлива лишь на некотором расстоянии
от середины линии, вследствие того что эффект Допплера,
соответствующий
тепловым движениям, слегка расширяет линии (см. стр. 364); благодаря этому
вблизи середины линии, где коэфициент поглощения, согласно уравнению (3)
очень сильно изменяется в зависимости от частоты, возникают значительные
отклонения от приближенной формулы.
Последнее обстоятельство приобретает большое значение для слабых узких
линий поглощения. В этом случае эффект Допплера обязательно должен прини-
маться в расчет, вследствие чего мы для вычисления коэфициента поглощения
должны пользоваться формулой, соответствующим образом измененной. Вслед-
ствие этого изменяется как уравнение, дающее контур линии, так и уравнение,
определяющее полную поглощенную энергию. Для слабых линий дело касается
именно этой последней величины, которая в этом случае может быть измерена
наиболее падежным образом (см. стр. 348). Для очень слабых линий, для кото-
рых величина ДЕ, следовательно, мала, она становится пропорциональной Nxc
вместо У Л/, с; однако последнее имеет место лишь в том случае, когда мы
.в праве пренебрегать эффектом Допплера (при интенсивных широких линиях).'
То, что мы пренебрегли явлениями флюоресценции, является весьма важным
обстоятельством. Мы ведь видели, что в высших, разреженных слоях явление
флюоресценции, повидимому, приобретает значение (ст. стр. 389—390). Поэтому
представляет интерес исследование вопроса о том. не наблюдается ли отклонений
результатов наблюдений от теории, изложенной в пункте 2, которые указывали бы
на наличие явлений флюоресценции.
Вообще говоря, между уравнениями, выведенными в пункте 2, и результатами
наблюдений существует хорошее соответствие: контуры линий приблизительно
совпадают с кривыми, даваемыми уравнением (4), и в случае двойной линии на-
трия, равно как и в других аналогичных случаях, теоретические предсказания
совпадают с результатами наблюдений; однако в одном пункте наблюдается рез-
кое противоречие, а именно, в отношении остаточных
интенсивностей. В то
время как по теории, изложенной в пункте 2, остаточные интенсивности должны
равняться пулю (см. стр. 392), согласно результатам наблюдений они почти ни-
когда не равны нулю, но обладают по меньшей мере порядком величины в 0,1
интенсивности непрерывного спектра.
Излучение, соответствующее середине линии поглощения, берет свое начало
в наивысших слоях, в которых столкновения не могут играть никакой роли. Если
состояние равновесия обусловливается процессами рассеяния, то переходы, по-
рождающие излучение в середине линии, не могут происходить в наивысших
слоях; причина этого состоит в том, что рассеяние в середине линии очень велико.
Исследуем более подробно, каковы те переходы, которые вызывают излуче-
ние в середине линии. Для начала рассмотрим случай, когда состояние 1 яв-
ляется основным состоянием. В этом случае мы можем пренебрегать неточным
несовпадением (нерезкостыо) состояния 1, слагающегося из элементарных состояний
(см. стр. 364). Состояние 2, напротив, является нерезким. Середину нерезкого состоя-
ния 2 мы обозначим через 2°. Следовательно, переход 2°->1 дает излучение в сере-
дине линии. Если оба состояния являются нерезкими, то излучение в середине
линии соответствует целому ряду переходов, а именно, всем переходам между
двумя состояниями, которые одинаково далеко удаляются в одну и ту же сторону
от средних значений обоих нерезких состояний. В последующем изложении мы
ограничимся лишь рассмотрением простейшего случая, когда состоянием 1 является
основное состояние.
Следовательно, для того чтобы излучение могло происходить в середине
линии, в наивысших слоях должны встречаться атомы, находящиеся в состоянии 2°,
которые при переходе 2°->-1 и будут давать это излучение. Как показывает
применение строгой теории рассеяния, посредством одних только переходов 1 ->• 2°
это не может быть достигнуто. Переходы в состояние 2°, обусловливаемые толч-
ками вследствие весьма малой плотности в наивысших слоях, происходить
не будут. В таком случае возникает вопрос о том, будут ли в данном случае
играть роль переходы в состояние 2° из других стационарных состояний, кроме 1,
обусловленные излучением. В случае наличия детального выравнивания эти пере-
ходы не играют роли в силу того, что их влияние в точности компенсируется
влиянием переходов противоположного характера. Когда же этот случай места
не имеет, т. е. когда явление флюоресценции играет роль, то имеется возмож-
ность радиационных переходов в состояние 2°, сопровождаемых последующими
переходами 2°—>-1.
Правда, вообще говоря, в остальных стационарных состояниях связанного
электрона по причинам, аналогичным указанным в пункте 2, находится столь
мало атомов, что их оказывается недостаточно для того, чтобы обеспечить нуж-
ное число состояний 2°. Но свободных
электронов имеется достаточное количе-
ство, поэтому если атомы, находящиеся в состоянии 2°, захватывают большее
количество свободных электронов, чем их из этого состояния освобождается, то
тем самым обусловливается возможность переходов 2°->1.
То, что в действительности атомы, находящиеся в состоянии 2°, захватывают
большее количество электронов, чем они их теряют благодаря ионизации, следует
непосредственно из того, что налицо имеется меньшее количество атомов, нахо-
дящихся в состоянии 2°, чем свободных электронов, по сравнению со случаем
наличия локального термодинамического равновесия. [Ведь когда в каком-либо
состоянии имеется меньшее количество электронов, то число переходов из этого
состояния тем самым уменьшается; см. уравнение (1) на стр. 365.]
Таким образом наблюдаемые остаточные интенсивности свидетельствуют о том,
что явление флюоресценции играет роль в разреженных слоях атмосферы звезды.
Возможно, что явление флюоресценции играет роль и в очень редких случаях
наличия ярких линий излучения (см. стр. 349). Яркие линии излучения почти
во всех без исключения случаях наблюдаются в спектрах звезд, обладающих
весьма большими радиусами, а вследствие этого и весьма обширными, сильно
разреженными атмосферами, в которых явления флюоресценции как раз и могут
иметь место. Мы можем себе представить, что при этом свободные или связанные
электроны в очень большом количестве переходят в состояние 2, после чего
они выделяются обратно преимущественно в результате перехода 2->1. В таком
случае и возникает линия излучения, соответствующая частоте v=l/h(E2— Ех).
§ 269. Числа атомов, находящихся в различных стационарных состояниях,
и спектральная классификация. В предыдущем параграфе было показано, какой
характер имеет зависимость интенсивности линии поглощения от числа атомов,
располагающихся над 1 см2 фотосферы, находящихся в том состоянии, в котором
поглощение в области, соответствующей линии, может происходить в результате
перехода в состояние с меньшей энергией. Путем соответствующих измерений
мы могли судить об этом числе, причем, вообще годоря, линия оказывалась тем
интенсивнее, чем больше было число атомов, находящихся в этом состоянии.
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том,' каким образом следует
истолковывать наблюдаемые изменения интенсивностей линий при переходе от одной
звезды к другой, имеющих, следовательно, связь с изменениями числа соответ-
ствующих атомов, находящихся в поглощающем состоянии.
Всего проще было бы истолковывать изменения интенсивностей линий непо-
средственно изменениями относительной частоты встречаемости соответствующих
химических элементов. Если в спектре звезды, например, линии гелия являются
интенсивными, то это в таком случае должно было бы обозначать, что гелий
в атмосфере этой звезды находится в очень большом количестве. Весьма интен-
сивные бальмеровские линии должны были бы свидетельствовать о наличии
огромного количества водорода и т. д .
Однако', легко понять, что этот ход мыслей является ошибочным. Разберем
пример бальмеровскнх линий. Мы знаем, что наличие интенсивных бальмеровских
линий связано со значительной частотой встречаемости тех атомов, которые при
переходах их в состояние с большей энергией поглощают бальмеровские линии.
Это — атомы водорода, находящиеся в стационарном состоянии, следующим за
основным. Поэтому мы справе сделать лишь тот вывод, что в то время как
бальмеровские линии являются чрезвычайно интенсивными, водородные атомы,
находящиеся в этом именно состоянии,
имеются налицо в чрезвычайно большом
количестве. Для того чтобы вообще иметь возможность судить о частоте водо-
ZVT0M0B' МЫ Д0ЛЖНЫ ЗНЗТЬ РаспР
еделеіІие
"x
по стационарным состояниям
ZTrnZZuZ СТаШЮНарНмЫХ С0СТ0ан»й'
соответствующих совокупности Гон
плюс свободный электрон. Мы должны знать, какая доля общего количества
Г,ГР°АНЫХ аТ0М0В
находнтся
в
следующем за основным стационарном состоя-
друго^ГэлеГеГта. С
°
ВерШеНН
°
Т0 Же может быть
сказа
"°
"
относительно любого
Кроме того, мы должны принять в соображение следующее обстоятельство,
зачастую лишь весьма немногочисленные стационарные состояния атомов какого-
ёп*. тпЭЛеМеНТа
поглощают
лянии
> лежащие ов доступной
наблюдениям
части
спектра, т. е. в пределах от 2900 до 10 000 А. Так, например, у водорода лишь
следующее за основным стационарное состояние дает такие линии. Следовательно
в том случае, если атомы, находящиеся в этих именно состояниях, не являются
многочисленными, то все доступные наблюдениям спектральные линии элемента
будут являться слабыми.
-
Таким образом мы видим, что относительная частота встречаемости какого-
либо химического элемента при переходе от одной звезды к другой не должна
непременно сильно изменяться в том случае, если интенсивности видимых линий
этого элемента при таком переходе изменяются значительно. Скорее изменения
идтенсивностей линий в основном могут обусловливаться изменениями распреде-
ления атомов по стационарным состояниям.
Если бы во всех слоях атмосфер имело место локальное термодинамическое
равновесие, то распределение атомов по стационарным состояниям, т. е .,
иными
словами, состояния ионизации и возбуждения, можно было бы для любого места
выразить как функции плотности и температуры. Это потребовало бы использо-
вания теории, выведенной в § 266. Однако из соображений, изложенных в пред-
шествующем параграфе, следует, что наличие линий поглощения связано именно
с отклонениями от состояния локального термодинамического равновесия. Так,
например, наличие линий поглощения, соответствующее частоте ѵ=і/, (еп —
е)
непосредственно указывает на то, что в наивысших слоях отношение" числа
атомов, находящихся в состоянии 2, к числу атомов, находящихся в состоянии 1,
меньше, чем в случае локального термодинамического равновесия. Поэтому на
первый взгляд может показаться, что теория, выведенная в § 266, в данном
случае неприложима. Более точный анализ, однако, показывает, что мы вправе
ожидать того, что эта теория в существенных чертах будет соответствовать
господствующим условиям.
Рассмотрим первоначально условия ионизации, господствующие в верхних
слоях. Ионизация происходит здесь преимущественно в результате поглощения
излучения непрерывного спектра. (Правда, число ионизируемых атомов, благодаря
чрезвычайно сильной разреженности настолько мало, что возникающее в резуль-
тате этого поглощение света лишь в весьма малой степени понижает интенсив-
ность излучения непрерывного спектра.) В силу этого интенсивность непрерывного
спектра характеризует степень ионизации. Распределение же энергии в непре-
рывном спектре, как мы это видели, весьма близко к планковскому для соот-
ветствующей эффективной температуры. Правда, излучение пронизывает высшие
слои лишь в одном
направлении, что имеет своим следствием понижение числа
ионизированных атомов вдвое. Благодаря этому условия ионизации, как это уда-
лось доказать математическим путем, приблизительно соответствуют условиям,
соответствующим состоянию локального термодинамического равновесия при
температуре Т, каковая находится между температурами эффективной и поверх-
ностной. Положив в уравнении ионизации (12 а), приведенном на стр. 365, тем-
пературу равной тм и помножив правую часть уравнения на і/2, мы таким образом
получим довольно правильное значение степени ионизации.
Иначе будет обстоять дело с условиями возбуждения в пределах той же
степени ионизации. Отношение чисел атомов, находящихся в двух стационарных
состояниях 1 и 2, соответствующих одной и той же степени ионизации в высших
слоях, в значительной степени определяется интенсивностью излучения частоты
ѵ
—
ІіЛ^о — Е,); эта последняя, вследствие рассеяния, происходящего в области
поглощения, отклоняется от планковской интенсивности. На число атомов нахо-
дящихся в основном состоянии, это отклонение оказывает сравнительно' малое
влияние. Это объясняется тем, что обычно в пределах одной степени ионизации
большинство атомов находится все же в основном состоянии, в силу чего ко-
лебания чисел атомов, находящихся в основных состояниях, не могут оказы-
-"Ч НО
сильного влияния на число атомов, находящихся в основном
Подводя итог вышеизложенному, скажем, что мы вправе ожидать, что теория
изложенная в § 266, позволит нам довольно точно вычислить числа атомов А-'
холящихся в основных состояниях различных степеней ионизации. Кроме TMго
полагают, что эта же теория пригодна и для качественной оценки общих условий
распределения атомов, находящихся в других состояниях. В § 266 было показано
^рой°ГпГтноГьюТЦИИ И В03буЖДеНШІ следующим образом связаны с темпер?:
1. Число нейтральных атомов, находящихся в основном состоянии при повы-
шении температуры всегда уменьшается (см. таблицу на стр. 377)
2. Число атомов в любом состоянии с большей энергией, будь то возбу-
жденное состояние нейтрального атома, будь то основное или возбужденное со-
7Zr Zur0Ha
'
ПРИ повышении темпеР
ат
УРы сначала увеличивается, Le« дости-
гает-максимума и после этого уменьшается (см. таблицу иа стр. 377)
темАпатѵТ"иТЫЙ к
ПуНКТв 2
макснмум Достигается при тем более высокой
температуре, чем больше энергия соответствующего состояния по отношению
TMÏZ основного состояния. Высокие потенциалы возбуждения требуют
мГ
гпгтп
"
температур для того, чтобы было достигнуто
соответствующее
состояние возбуждения; высокие потенциалы ионизации равным образом ёребуТт
наличия высоких температур, необходимых для того, чтобы соотвеТсаъуюГщ
5= — cSrr^П°^личестве [см
-
таблицу на стр
-
377иф°р!
4. При малой плотности ионизация продолжается дальше.
„
ПпА°«Н0Ве
фаКТ0В
изменени
«
спектров при переходе от одной звезды
М0ГУТ бЫТЬ качественно поцяты. Рассмотрим сначала последовательность
Ï2TZ^ZZSZf КЛаСС0В
'
МЫ ВНД6ЛИ' ЧТ
°
га
РваРдские классы весьма
0 эффектными
температурами.
Классу В соответствуют высо-
Затем
П0
мере
п еРех °Д в ОТ одного гарвардского класса Лру-
гому температуры понижаются вплоть до класса M
Бальмеровские линии в классе M слабы; по мере приближения к классѵ А
они усиливаются, достигают в этом классе максимума, а после этого ослабевают
ГГу ,кге 2Ддеёл1ыГлСТЬ« С0°ТВеТСТВуеТ TMіу> что мы> согласно изложенному
Z
I:?
г
бЫ 0жидать относительно линий, поглощаемых атомами,
TMТСЯ
возбужде11НОМ состоянии. Максимум достигается при сравнительно
ГеГ"
еМ П еРаТУРе
'
РаВН
°
Й 10000Э; в ^ответствии с этим потенциал Гзбу-
он равен 10°2
В0Д°Р0ДН0Г0 атома> следующего за основным, довольно выГк-
"TMН0СТЬ
ЛИНШ Х 4227' принадлежащей нейтральному кальцию, по мере
"ни ГдЬиныГлныР72Р27ЧУпЫВаеТ
-
ЭТ° С0ГЛаСуеТСЯ С ПУНДТ0М
как°„з
е
лРу?
щГсяТоснГём состояіГГЛОЩаеТСЯ
аТ0МаМ
"
Нейтраль
"
0- кальция, „аході
нaxoляHшëv(^ПflOГГoeHИЯ, 0бусЛ0ВЛІІВасм«е
наличием атомов нейтрального гелия,
находящихся в основном состоянии, все лежат в крайней, ультрафиолетовой
Гать нГГІ'
еіпУ 500 И 600 А)' ВСЛ6ДСТВие чего в спектрах звезд „х наблю-
ден 19 7 Ѵ пГГ0ТреИЦИаЛ В03буждеіІ"
я
состояния, следующего за основным,
ZZIZZ' Д
СЛеДуЮТ состояния с потенциалами
возбуждена от 20 5 V
гел ГХлГлиГГ; РаШЮГ0 24,5 Ѵ- Д0СТуПНЫе наблюдениямУлнни„ нейтрал'ьно-
го гелия Обусловливаются наличием атомов гелия, находящихся в этих состояниях.
Вследствие весьма высоких потенциалов они достигают максимума лишь при
очень высоких температурах наиболее горячих звезд класса В.
При желании примеры могут быть умножены. Линии, соответствующие основному
состоянию нейтрального атома, всегда обнаруживают неизменное убывание интенсив-
ности по мере возрастания температуры, в то время как другие линии достигают
максимума, соответствующего тем более высокой температуре, чем больше энергия
стационарного состояния, обусловливающего появление линии поглощения.
Что касается влияния плотности,
то удалось проследить и его. Мы видели
(см. § 263), что состояние атмосферы зависит от двух параметров, а именно, от
поверхностной яркости H и от напряжения силы тяжести на поверхности звезды g.
Поверхностная яркость определяет эффективную температуру, а вместе с этим и
поверхностную температуру и общее распределение температур в толще атмо-
сферы. Влияние изменения температуры мы уже проследили. Напряжение силы
тяжести на поверхности звезды определяет собой плотность атмосферы. Чем
больше будет это напряжение силы тяжести, тем плотнее будет атмосфера. А тем
самым, как это обусловлено пунктом 4, напряжение силы тяжести на поверх-
ности звезды оказывает влияние и на состояние ионизации. Так, например, весьма
незначительные напряжения силы тяжести, господствующие на поверхности с-звезд,
обозначают, что плотность их атмосфер очень мала, а ионизация в них в соот-
ветствии с этим зашла далеко. Это находится в соответствии с результатами
наблюдений, так как именно в спектрах с-звезд линии металлов являются чрез-
вычайно интенсивными (см. стр. 358). Плотность влияет на коэфициент поглоще-
ния непрерывного спектра, а вместе с этим оказывает косвенное влияние и на
интенсивность линий поглощения [см. уравнение (4) на стр. 392]. Оба эти эффекта
должны предусматриваться более строгой теорией. В действительности этим
путем удается объяснить в существенных чертах изменения спектров при пере-
ходе от одной звезды к другой в пределах одного и того же класса гарвардской
классификации, как следствие изменений напряжения силы тяжести на поверх-
ности звезд. Связь этих последних изменений с абсолютными яркостями будет
рассмотрена в последующем изложении (см. стр. 411).
§ 270. Количественные исследования относительной частоты встречаемости
элементов. Уже упоминалось (см. стр. 393), что из измерений контура или пол-
ного поглощения линии поглощения мы можем вычислить количество поглощаю-
щих атомов, находящихся над 1 см2-фотосферы.
Правда, для этого необходимо
знание коэфициента поглощения в линия поглощения или, точнее выражаясь,
знание постоянной с, входящей в уравнения (7) или (8), выведенные в § 268.
Нужные значения с в принципе всегда могут быть вычислены по правилам кван-
товой механики. Однако практически до настоящего времени удалось произвести
это вычисление лишь в единичных случаях. В этих случаях удалось вычислить и
соответствующие количества атомов. Если бы нам были известны все значения с,
то мы могли бы вычислить количества атомов, находящихся над 1 см3 фотосферы
для всех элементов и для всех стационарных состояний, в которых поглощаются
линии, приходящиеся на доступную наблюдениям часть спектра. А отсюда мы
могли бы вывести и общее число атомов, находящихся над всей фотосферой,
а далее, и относительную частоту встречаемости элементов в атмосфере рассма-
триваемой звезды. В таком случае мы смогли бы определить из наблюдений
и распределение атомов любого элемента по различным стационарным состоя-
ниям. Мы могли бы исследовать, насколько близко распределение атомов по
стационарным состояниям одной и той же степени ионизации совпадает с распре-
делением согласно уравнению Больцмана [уравнение (11) на стр. 373]. Зная отно-
шение чисел атомов, находящихся в основных состояниях различных степеней
ионизации, мы смогли бы вычислить число свободных электронов, приходящихся
на единицу объема, в том предположении, что уравнение ионизации (12а), выве-
денное на стр. 375, сохраняет свою силу (см. стр. 396). Выведенное таким спо-
собом число свободных электронов, приходящихся на единицу объема, будет
являться некоторым средним значением для всех рассматриваемых слоев.
Для основных состояний Ca и Са+, Sr и Sr+ и некоторых других элементов
удалось провести это исследование для случая Солнца. В помещенной ниже
табличке сгруппированы результаты, полученные для Ca, Са+, Sr и Sr+.
Приведенные цифры показывают, что, во-первых, кальций в атмосфере Солнца
встречается гораздо чаще стронция и что, во-вторых, ионизация кальция и стронция
там продвинулась довольно далеко. (Приблизительный расчет по уравнению ионизации
показывает, что Са + + и Sr++ тем не менее роли не играют; см. также таблицу
на стр. 377.) Для эффективной температуры ГеГГ=5740° из отношений А/+ : Л',
для Ca и Sr мы с помощью модифицированного в духе соображений, высказан-
ных на стр. 396, уравнения ионизации (12а), приведенного на стр. 375 (см. также
таблицу на стр. 377), вычисляем среднее число электронов ДА, приходящихся
на 1 см*:
Л/g« 1013 см~* .
Кальций и стронций дают приблизительно одинаковые значения.
Для кальция исследования были распространены на звезды спектральных
классов А — М . В результате было обнаружено, что число атомов кальция (сумма
чисел нейтральных и ионизированных атомов) для всех
этих спектральных классов
оказалось
приблизительно
одинаковым.
Наконец, в нескольких случаях удалось подтвердить
приложимость уравнения Больцмана.
Как мы видели, контур линии, или полная поглощен-
ная энергия, зависит от величины Ne [уравнения (7) и (8)
на стр. 393]. Для спектральных линий, образующих муль-
типлет (см. стр. 364), мы можем без особого груда вы-
числить отношения значений Ne. Мы уже упоминали, что для двойной линии натрия D
значения с обеих линий относятся одно к другому, как 1:2, в то время как
величина N для обеих этих линий является приблизительно одинаковой. В пре-
делах мультиплета значения с изменяются в широких пределах; наименьшее значе-
ние может, например, быть в 100 раз меньше наибольшего. Однако значение с,
соответствующее наиболее интенсивней линии, которую может поглощать элемент!
повидимому, для всех элементов является приблизительно одинаковым.
Для линий, образующих мультиплет, мы можем исследовать ход полного по-
глощения ДЕ в зависимости от изменений величины- Ne. Для широких линий
в соответствии с уравнением (7) при этом обнаруживается
пропорциональность
величин ДЕ и УТТс. Для узких же линий вследствие явления Допплера наблю-
даются отклонения (см. стр. 393). Мы можем построить кривую зависимости
наблюденных величин ДЕ от относительных значений величин Ne и этой кривой мы
можем воспользоваться для определения по полному поглощению величин Ne. Пере-
ход от относительных значений величин Ne к абсолютным позволяет осуществить
интенсивные линии, для которых еще справедлива элементарная теория, приводя-
щая к вышеупомянутой пропорциональности величин Д Е и У Ne. Таким способом
мы можем получить и значения Ne для слабых линий без создания для них спе-
циальной теории.
Для постановки подобного рода исследований даже нет необходимости рас-
полагать измерениями
величин ДЕ или определениями контуров линий. Посред-
ством сравнения относительных значений Ne в пределах мультиплета могут быть
прокалибрированы по произвольной шкале и приблизительно
оцененные
интен-
сивности.
Благодаря этому мы получаем возможность с помощью роулаидовских оценок
интенсивностей солнечных линий (см. стр. 281) судить об относительной частоте
встречаемости элементов в атмосфере Солнца. Выборка из полученных результа-
тов была приведена на стр. 286. Переход от значений Ne к значениям N был
Элемент
N
Ca
0,034 10"
Са+
23
10"
Sr
0,0011 10"
Sr+
0,021 10"
осуществлен путем того, что мы значения с для наиболее интенсивных линий
сочли одинаковыми (см. выше).
Подобного рода исследования удалось провести и для нескольких ярких
звезд. Относительная частота встречаемости элементов, повидимому, оказывается
примерно такой же, как и на Солнце. Если в различных звездных спектрах мы
всегда будем сравнивать одни и тс эісе линии, то ненадежность величии с отпа-
дет. Так, например, в случае незнания величины с при определении вышеописан-
ным способом величины Ne последняя может быть выведена лишь с точностью
до некоторого неизвестного множителя (который, правда, в тех случаях, когда
дело касается наиболее интенсивных линий, оказывается близким к 1); однако
этот множитель для различных звезд оказывается одинаковым, благодаря чему
•сравнение величин N0 может быть проведено непосредственно.
Исследования,
проведенные в этом направлении,
потребовали допущения
отклонения от распределения атомов но стационарным состояниям по сравнению
с распределением, предуказываемым уравнениями локального
термодинамического
равновесия. Для состояний с малыми потенциалами возбуждения распределение
еще следует уравнению Больцмана, но для больших потенциалов возбуждения
имеются налицо значительные отклонения. Условия, играющие при этом роль,
выяснены еще неполностью; возможно, что наблюдаемые отклонения связаны
с отклонениями кривой непрерывного спектра от уравнения Планка к крайней
ультрафиолетовой части спектра.
Относительная частота встречаемости элементов на Солнце в основных чертах
совпадает с относительной частотой встречаемости, обнаруженной в земной коре.
Лишь водород встречается на Солнце гораздо чаще, чем на Земле, что в силу
летучести водорода и благодаря гораздо меньшему напряжению силы тяжести на
земной поверхности является вполне понятным. Наличия примерно одной трети
химических элементов в атмосферах Солнца и звезд доказать не удалось. Для
всех почти этих элементов при допущении приемлемых частот можно показать,
что в доступной наблюдениям части спектра мы и не можем ожидать наличия
спектральных линий.
Зная относительную частоту и установленное наблюдениями количество нахо-
дящихся над 1 см2
фотосферы атомов, например, кальция, мы можем оценить
общую массу, находящуюся над 1 см2 фотосферы. Иными словами, мы можем
вычислить общую массу атомов, соответствующих оптической глубине, равной 1.
А отсюда путем простого деления мы находим среднюю величину коэфициента
поглощения, которому соответствует 1 г массы, т. е . так называемый коэфициент
поглощения массы.
Ранее уже было показано (см. стр. 388), что коэфициент поглощения в непре-
рывном спектре для всех длин волн имеет приблизительно одну и ту же вели-
чину. А теперь мы видим, каким образом эта величина может быть определена.
Путем рассмотрения всех процессов поглощения, возможных в атмосфере звезды,
коэфициент поглощения может быть выведен теоретическим путем. Разумеется,
точные вычисления такого рода в силу большого количества возможностей погло-
щения весьма кропотливы. Но приблизительная оценка дает значение по порядку
своей величииы, совпадающее со значением, полученным из наблюдений.
§ 271. Максимумы интенсивности спектральных
линий в
гарвардской
серии спектров. Приняв допущение о постоянстве элементарной частоты, мы
можем с помощью уравнения Больцмана и уравнения ионизации (12а) на стр. 375
установить те температуры, при которых число атомов, находящихся в каком-
либо определенном состоянии, достигает максимума. А потому при этих именно
температурах интенсивности линий, поглощаемых в рассматриваемом состоянии,
являются максимальными. Для такого рода вычислений нам должна быть известна
величина среднего числа Na свободных электронов, приходящихся на единицу
объема. Приемлемое значение этого числа уже было нами выведено.
Таким способом для ряда линий поглощения были выведены температуры, при
которых — как это следовало ожидать — интенсивности линий должны были
Элемент
Температура, при ко-
торое! ШІТСІІСШШОСТЬ
линий япляется макси-
мальной
Спектральный класс,
н котором наблюдался
максимум интенсив
ности
V
Ва+
Cr
Sr+
Mg
Fe
Ca+
Zn
Fe+
Mg+
H
Si+
N+
C+
He
SJ+ +
0+
SI+++
c++
N++
He+
2 500°
2 700
2 900
3000
3 700
3800
3100
4 800
7 000
9 000
9250
10500
18 400
16 800
16800
18000
21 100
25 000
25400
29 100
36 000
являться наибольшими. Наблюдения же позволяют нам установить тот гарвард-
1"
е
'ТЛЬНЫЙ КЛаСС
'
ПРИ К0Т0Р0М Фа
'<TM"
ес
'«' имеет место максимум „нте?
исследования.
епомещенной
"блице сгруппированы результаты такого рода
Ход чисел за двумя исключениями (Са+ и N+) является весьма правильным
IrrSPXOPOm°
С0ВППДаЮТ С тем"
, , х значениями, которых следовалоZI
дать по эффективным температурам.
•
При вычислении максимумов были приняты в расчет лишь изменения коли-
чества поглощающих атомов.
Однако интенсивность линии поглощения кроме
того, зависит и от величины непрерывного поглощения (см. стр. 392) В силу
этого совпадение с эффективными температурами свидетельствует о том чTM
изменения коэфициента непрерывного поглощения при переходе от одного'спе?
IZZ^ZZl ДРУГ0МУ На ПР°ТЯЖеНИИ ВССЙ «^Р-ьной серии являются не
Нижепомещенная таблица была вы-
числена с помощью несколько раз-
личных величин Ne. Для Ва+, Sr+ и Са+
были использованы относительно мень-
шие значения. Это оказалось необхо-
димым для достижения
правильной
последовательности температур. Однако
использованное допущение о размер-
ности величин Ne с точки зрения астро-
физики может быть обосновано указа-
нием на то, что названные атомы, а в
особенности Са+, обладают стремле-
нием к образованию протяженных хро-
мосфер (см. стр. 444—445). Плотность
этих хромосфер чрезвычайно
мала.
Вышеуказанное плохое совпадение для
Са+, правда, свидетельствует о том, что
для Са+ была принята чрезмерно малая
плотность. Может быть, однако, и бо*-
лее точные наблюдения покажут, что
максимум имеет место в подклассе МО,
а не в подклассе КО; сіедует отме-
тить, что максимум этот не является
резко выраженным (см. таблицу на стр. 377). Максимумы интенсивностей линий
Са+, Sr+ и Ва- приходятся на сравнительно низкие температуры- это также ennrnfi
ствует уменьшению величины /Ѵв,
потому что при так^теГператѵТах бо^'
шинство элементов оказывается слабо ионизированным
темпе
Рдтурах боль-
Тот факт, что именно атомы Са+ обладают стемлением
плп,оПп,
сферы, также становится „а„
„оштшм"
находится в основном состоянии. Из числа линии
атомов Са+
дящимися в основном состоянии, л;щ^„3мГ„ЛанЛсГветГуГГаГльГ?коИ;ФГ:
RTMЩе11ИЯ
'
ДЛИНЫ В0ЛН ЭТИХ ЛИНИИ равны соответственно X 3934 и 3968 I
вел'ика
ЭТИХ ДЛИН В0ЛН ИНТеНСИВН0СТЬ изл^ния Солнца в непрерывном спектре
Эти обстоятельства обусловливают собой тот факт, что значительное коли
чество световых квантов поглощается атомами, откуда в
с0|
дует, что для атомов Са+ световое давление, направленное кнар^кГ становитгй
чрезвычайно большим. Атомы Са+ в сильно оазоеженнпй
ста н ови тся
этого могут поддерживаться световым давле^и'еГ Важною
ол1
ГэтсГГа?
и то обстоятельство, что потенциал ионизации Са+ велик/вследствие чего несмотпі
на малую плотность Са+, не подвергается дальнейшей ионизации? В ^но^нии
Ва+ и Sr+ условия аналогичны условиям для Са+.
отношении
не наблюдался
МЗ
Ml
МО
К2-К5
К2
КО
GO
F5
А2
АО
АО
ВЗ —В5
ВЗ
В2 —ВЗ
В1 —В2
ВО—В1
09
09
не наблюдался
не наблюдался
1 Лстропошш
ДИАГРАММА РЕССЕЛЛА. ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ ЗВЕЗД
§ 272. Диаграмма Ресселла. В предшествующих параграфах было изложено,
какими способами определяются следующие величины, характеризующие звезду:
1. Абсолютная яркость, выводимая из видимой яркости и параллакса, и,
в частности, абсолютная болометрическая яркость, являющиеся мерилом полной
энергии, излучаемой звездой.
2. Линейный радиус (выражаемый в километрах или в радиусах Солнца), выве-
денный, правда, лишь в единичных случаях или из угловых диаметров, опреде-
ленных интерференционным способом, и из известных нам параллаксов, или же
из результатов фотометрических и спектральных
наблюдений затменных
пе-
ременных.
3. Цветовые температуры, выводимые из фотометрических измерений в непре-
рывном спектре.
4. Спектральный класс по одномерной или двухмерной классификации.
К этому мы можем еще добавить, что:
5. В системах двойных звезд мы можем определять массы (см. § 282 и 294).
Далее мы знаем, что по цветовой температуре можно составить достаточно
надежное суждение и об эффективной температуре, а из этой последней в свою
очередь возможно вычислить поверхностную яркость непосредственно, а угловой
радиус — при одновременном знании видимой яркости (см. стр. 352). В тех слу-
чаях, когда известен параллакс, мы отсюда получаем и линейный радиус; иными
словами, зная абсолютную и поверхностную яркости, мы можем, вычислить линей-
ный радиус.
Наконец, мы видели, что на основе теоретических рассуждений
возможно
сделать вывод о зависимости спектрального класса звезды от поверхностной
яркости и от ускорения свободного падения на поверхности этой звезды: вид
спектра звезды определяется двумя этими величинами и относительной частотой
встречаемости элементов в атмосфере звезды (см. стр. 359). Эмпирически эти
зависимости были установлены весьма отчетливо. Наиболее резко выраженной
является связь поверхностной яркости и эквивалентной ей эффективной темпе-
ратуры со спектральным классом. Связь гарвардской классификации с эффектив-
ными температурами в действительности оказывается очень тесной (см. таблицу
на стр. 356). Равным образом и наличие связи с ускорением силы тяжести на
поверхности звезды, как мы это видели, может быть совершенно ясно эмпири-
чески установлено как корреляция между спектральным классом и абсолютной
яркостью (см. стр. 357). В силу этого по спектральному
классу и абсолютной
яркости мы, следовательно, во-первых, достаточно надежным образом можем
судить об эффективной температуре звезды, а отсюда, как это было показано
выше, и об ее радиусе, а во-вторых, — при двухмерной спектральной классифи-
кации— и об абсолютной яркости рассматриваемой звезды.
Методы, указанные в пунктах 2 и 5, приложимы лишь в сравнительно очень
редких случаях. Спектры звезд (пункт 4) известны нам в большом
количестве
(свыше 300 000) по одномерной гарвардской классификации и в меньшем коли-
честве (около 10 000) по двухмерной классификации. Вследствие сравнительной
трудности необходимых измерений нам известно лишь небольшое число (несколько
сот) точных цветовых температур (пункт 3). Измерения колориндексов, которые
следует рассматривать в качестве более грубых температурных оценок, были
произведены в большем количестве. Наконец, определения абсолютных яркостей
согласно пункту 1 возможны в тех случаях, когда мы располагаем достаточна
точными параллаксами; в большинстве случаев это осуществимо при наличии
непосредственных измерений звездных параллаксов, когда они настолько велики
(примерно больше 0",04), что ошибки измерений оказываются значительно мень-
шими самих параллаксов. Нам известно несколько сот подобных случаев.
Из вышеперечисленных величин наиболее легко могут быть произведены
определения колориндексов и спектральных классов, а с помощью их — приблн-
женные оценки поверхностных яркостей и эффективных температур. Нам известно
немалое количество абсолютных яркостей и, наконец, немногочисленны«
массы
и непосредственно измеренные радиусы звезд.
Важной задачей является исследование вопроса об изменениях перечисленных
величин при переходе от одной звезды к другой. Для этого применяется так
называемая диаграмма
Ресселла.
На эту диаграмму звезда наносится в виде точки.
Для этого по оси абсцисс откладывается спектральный класс рассматриваемой
звезды, а по оси ординат — ее абсолютная яркость; обе эти величины следова-
тельно, определяют место звезды в диаграмме Ресселла (фиг. 172).
Согласно вышеизложенному мы можем спектральный класс считать величиной
вообще, говоря, известной. Задача нанесения звезды на диаграмму Ресселла'
в основном сводится к определению абсолютной яркости этой звезды.
Часто по оси абсцисс вместо спектрального класса откладывается эффектив-
ная температура. Тогда при известном спектральном классе для нанесения звезды
на диаграмму используется связь между двумя этими величинами. По оси ординат
может откладываться абсолютная визуальная, фотографическая или болометриче-
ская яркость. При известной эффективной температуре переход от одной из этих
величин к другой осуществляется легко (см. стр. 336 и 337).
Данной точке в диаграмме Ресселла соответствует определенный радиус звезды
а именно, радиус звезд, нанесенных в этой точке диаграммы. Если по оси абсцисс
отложена эффективная температура, а по оси ординат — абсолютная болометри-
ческая яркость, то вычисление радиуса особенно просто. Поверхностная яркость H
выражается формулой (3), приведенной на стр. 351:
h=at\w
(1)
и, кроме того, уравнением (7), выведенным на стр. 347, — связывающим отноше-
ния поверхностных яркостей И, интенсивностей излучений Е и радиусов R любой
звезды и Солнца:
'
(2)
Зная абсолютную болометрическую яркость М, мы вычисляем отношение ин-
тенсивностей излучений звезды и Солнца согласно уравнению (3), выведенному
нз.стр. 351г
lgj| = 0,4 (4,85 — Ж)..
(3)
Производя подстановку величин, определяемых уравнениями (1) и (3) в урав-
нение (2), получаем
w
Jy
2.gj|,
(4)
Наконец, подставляя известную эффективную температуру Солнца (5740°)
в уравнение (4) и решая это уравнение относительно радиуса, мы получаем
lg f- = 8,49-0 ,2 Ж-2 lg Гсн.
(5)
Это уравнение позволяет вычислить радиус звезды, соответствующий точке
с координатами Тм и Ж. На фиг. 172 по оси абсцисс отложен lg Гс„,
апооси
ординат абсолютная болометрическая яркость Ж. В таком случае кривые, соеди-
няющие точки, которым соответствуют равные радиусы, превращаются в'прямые
линии, как это показывает линейное уравнение (5). Такие прямые на фиг 172
нанесены для значений /?= 1000; 100; 10; 1; 0,1 и 0,01. С помощью этих'пря-
мых радиус звезды может быть приближенно оценен по положению изображаю-
щей ее точки, если его не хотят вычислить согласно уравнению (5).
Наблюдаемые величины, перечисленные в пунктах 1, 3 и 4, находят непосред-
ственное выражение в диаграмме Ресселла.
Мы уже знаем, что немногочисленные непосредственные измерения радиусов
звезд подтвердили правильность величин радиусов, вычисляемых согласно уравне-
нию (5) (см. стр. 351). Вследствие этого пет необходимости наносить их на диа-
грамму каким-либо особым образом.
Что же, наконец, касается немногочисленных определении масс, то для боль-
шей наглядности их возможно нанести на диаграмму Ресселла в форме цифровых
обозначений, которыми снабжены соЬтветствующне точки.
Следовательно, мы видим, что все результаты могут быть нанесены на диа-
грамму Ресселла.
Таким образом для Солнца мы располагаем следующими данными: ГС|Г = 5740Э
(или спектральный класс GO), откуда получаем lgrBff = 3,76, абсолютная боло-
метрическая яркость 4'",85 и масса 1,0. Точка, изображающая Солнце на фиг. 172,
обладает координатами х = 3,76 и у = 4,85, а рядом с ней написано значение
массы 1,0.
§ 273. Наблюдаемое распределение звезд в диаграмме Ресселла. Как уже
указывалось, для нанесения звезд на диаграмму Ресселла нам необходимо опре-
делить их абсолютные
яркости. Таковые для
ряда ближайших
звезд известны
достаточно
точно.
Нам известно около 40 звезд, находящихся
от нас на расстояниях, меньших 5 парсеков (см.
таблицу на стр. 469). Возможно и даже весьма
вероятно, что в пределах той же сферы радиу-
сомв5
парсеков находятся еще и другие
звезды, кроме этих 40; однако достаточно досто-
верно, что эти 40 звезд составляют более поло-
вины всех в действительности имеющихся там
звезд (см. более подробные соображения, выска-
занные на стр. 469). А потому эти 40 звезд мы
вправе рассматривать
как
своего рода
ти-
пичный подбор звезд, по которому мы имеем
возможность судить о всей совокупности звезд;
разумеется, эти суждения будут соответствовать
действительности лишь в том случаё, если свойства
звезд по мере удаления от Солнца не изменяются
значительно. После нанесения этих ближайших звезд на диаграмму Ресселла сразу же
бросается в глаза, что почти все они располагаются на незначительных расстояниях
от некоторой кривой. На фиг. 172 эта кривая нанесена. Если бы все звезды располо-
жились в точности на кривой, то это свидетельствовало бы о наличии однозначной
связи между спектральным классом или" эффективной температурой, с одной сто-
роны, и абсолютной яркостью, с другой. В действительности же наблюдаются
некоторые отклонения от этой кривой. Наличие связи между спектральным
классом и абсолютной яркостью может быть иллюстрировано и цифровой табли-
цей. В таблице, помещенной рядом, для приведенных в левом ее столбце спек-
тральных классов указаны средние абсолютные яркости (болометрические, визуаль-
ные и фотографические).
Обычно говорят, что звезды, располагающиеся на незначительных расстояниях от
нормальной кривой на диаграмме Ресселла, принадлежат к основному ряду звезд.
Немногочисленными исключениями из этого правила являются не принадлежа-
щие к основному ряду звезды класса А, обладающие сравнительно весьма малыми
абсолютными яркостями. В силу того, что они обладают большими поверхностными
яркостями и несмотря па это светят сравнительно слабо, поверхности и радиусы
их должны быть относительно невелики, что легко подтверждается с помощью
нанесенных на фиг. 172 прямых, соответствующих различным радиусам. Эти
звезды называются белыми
карликами.
Одна звезда класса К также несколько
выделяется; она обладает относительно малым радиусом. Как мы видим, абсо-
СпсктралыіыП
класс
бол
m
ІШЗ
"фот
АО
0я,9
1я
.з
Iя, 3
F0
2,8
2,8
3,1
G0
4,3
4,3
4,9
ко
5,4
5,6
44
МО
7,7
8,6
10,1
лютные яркости заключены в довольно широких пределах от— I
я
,3до16"5
Наибольшие из числа этих яркостей в то же время являются наиболее редкими. Солн-
це представляет собой
нормальную
звезду класса G0 абсолютной яркости
4я,8. Большинство
звезд обладает
меньшими, чем Солнце, абсолютными
яркостями. Вполне возможно, что су-
ществует еще большое количество
звезд слабее 16я; наши знания отно-
сительно весьма слабых звезд стра-
дают значительной неполнотой (см.
стр. 470).
В сфере радиусом в 10 парсеков нам известно около 100 звезд. Нанеся их
на диаграмму Ресселла, мы получим совершенно аналогичную картину. Большин-
ство звезд располагается вдоль той же линии, как и раньше. Имеется налицо
несколько белых карликов. Кроме того, присоединяется еще одна звезда, откло-
няющаяся от основного ряда в ином отношении. Эта звезда принадлежит к классу
КО и обладает абсолютной яркостью в 1,2; следовательно, она обладает необы-
чайно большой яркостью, а потому и необычайно большим радиусом. В дей-
.
ствительности она приблизительно в 100 раз ярче звезды класса КО, принадлежащей
к основному ряду.
Исходя из того предположения, что звезды за немногими исключениями, ко-
торыми можно пренебречь, принадлежат к основному ряду, мы приходим к вы-
водам, находящимся в резком противоречии с результатами наблюдений. Рассмо-
трим, например, звезды класса КО. Звезды этого класса, принадлежащие к осноп-
•ному ряду, обладают абсолютными яркостями около 6я
.
Поэтому согласно опре-
делению понятия абсолютной яркости мы должны ожидать, что все звезды класса
КО, ооладающие видимой яркостью больше 6»', будут от нас расположены ближе
1U парсеков. В действительности же число звезд класса КО, обладающих види-
мыми яркостями больше 6'», составляет около 500, в то время как среди звезд
лежащих в сфере радиусом в 10 парсеков, нам известно лишь 10 звезд типа Ко'
это м
"
состоит упомянутое выше противоречие. Это же противоречие можно
проследить и дальше, путем исследования параллаксов звезд класса КО, обладаю-
щих видимыми яркостями больше m = 6"'.
В действительности почти все эти
параллаксы гораздо меньше 0".Ю . Это значит, что большинство рассматриваемых
звезд, имеющих m < 6»',
должно обладать гораздо большими абсолютными яр-
костями, чем звезды класса КО, принадлежащие к основному ряду. Следовательно
противоречие в4 конечном счете сводится к тому, что звезды класса КО, относя-!
щиеся к числу звезд, находящихся от нас ближе 5 или 10 парсеков, обладают
абсолютной яркостью около 6я, в то время как звезды этого же спектрального
класса, имеющие m < 6'», обладают гораздо ббльшими абсолютными яркостями
Однако это противоречие в действительности является лишь кажущимся
Оно
объясняется тем, что звезды, обладающие большими абсолютными яркостями, при
подсчетах их до определенной звездной величины, в известном смысле приобре-
тают преимущество именно в силу значительной их светимости. Для лучшего
уяснения этого положения рассмотрим схематический пример. Пусть имеются
налицо два вида звезд класса КО, а именно, обладающие большими абсолютными
яркостями М=1Ш и обладающие малыми абсолютными яркостями М= 6
я
Пусть
звезды обоих этих видов распределены в пространстве равномерно и притом так
что в каждой сфере радиусом в 10 парсеков находятся 20 звезд, обладающих
малыми абсолютными яркостями, и 1 звезда, обладающая большой абсолютной
яркостью. При исследовании ближайших звезд, например, звезд, находящихся
в одной из таких сфер радиусом в 10 парсеков, мы обнаружим именно 20 звезд
абсолютно слабых, и лишь одну, абсолютно яркую, и совершенно правильно за!
ключим, что оольшинство звезд принадлежит к числу абсолютно слабых При
исследовании же звезд, обладающих видимыми яркостями больше m = 6'«',
мы
обнаружим нижеследующее. Ярче видимой яркости 6'" окажутся (по определению
понятия абсолютной яркости) звезды, имеющие М= 6ЛІ, находящиеся ближе
10 парсеков. Таких звезд будет 20. Звезды же, имеющие M = I
м
,
представляются
нам ярче видимой величины 6»', если они находятся ближе 100 парсеков, в силу
того, что они испускают в 100 = 10а раз больше света. В сфере радиусом в 100
парсеков таких звезд будет находиться 10а
=
1000. Следовательно, из числа звезд,
обладающих m = 6»', абсолютно ярких будет иметься 1000, а абсолютно слабых
всего лишь 20. Эти числа как раз и имеют тот же характер, как и числа, полу-
ченные для звезд класса КО. Тем самым кажущееся противоречие устраняется.
Следовательно, мы вправе допустить, что в любом объеме преобладающее
большинство звезд принадлежит к основному ряду, но одновременно имеется
налицо незначительный процент звезд абсолютно ярких, составляющих значитель-
ную долю звезд, обладающих большими абсолютными яркостями. Упомянутый
незначительный процент настолько мал, что для получения несколько большего
количества этих абсолютно ярких звезд должны рассматриваться довольно большие
объемы, превосходящие по своим размерам сферы радиусом в 5 или 10 парсеков.
Поэтому переходим к рассмотрению звезд, обладающих параллаксами, мень-
шими 0",10. Это делается несмотря на то, что по мере уменьшения паралла-
ксов, во-первых, относительная точность становится все меньше и что, во-вторых,
маши сведения о параллаксах становятся все более несовершенными в том смысле,
что из числа звезд с каким-либо параллаксом, превосходящим по малости какое-
либо предельное значение, мы знаем тем меньший процент, чем меньше это пре-
дельное значение. Так, например, из общего числа звезд с тс > 0",20 нам, вероятно,
известно больше половины, тогда как из общего числа звезд с тс > 0",02 нам,
вероятно, известно меньше -Т%.
Кроме того, используются и абсолютные яркости, определенные спектральным
методом (по двухмерной спектральной классификации). Этот метод позволяет
проникнуть в пространство гораздо дальше, чем метод непосредственного опре-
деления параллаксов. Правда, спектральный метод до известной степени не
является самостоятельным методом в силу того, что связь между спектральным
классом и абсолютной яркостью должна быть выведена эмпирически.
Спек-
тральная шкала параллаксов, если так можно выразиться, должна быть про-
калибрирована, что надежнее всего может быть произведено с помощью непо-
средственно определенных параллаксов. Схематически ход рассуждений может
быть охарактеризован следующим образом. Пусть спектры двух каких-либо звезд
по двухмерной классификации совершенно одинаковы. В таком случае принимают,
что абсолютные яркости обеих этих звезд равны. Тогда из разности видимых
яркостей возможно непосредственно вывести отношение расстояний до обеих
этих звезд. Пусть видимая яркость более яркой звезды на 5 звездных величин
больше; в таком случае она в 10 раз ближе звезды менее яркой. Пусть парал-
лакс более яркой звезды с достаточной достоверностью был оценен в 0",05.
Отсюда мы заключаем, что параллакс менее яркой звезды равен 0",005. Такой
параллакс менее яркой звезды путе'м непосредственного определения не смог бы
быть определенным сколько-нибудь надежно. В § 307 мы познакомимся с другими
методами калибрирования спектральной шкалы звездных параллаксов.
Ниже сопоставлены результаты исследований, произведенных в этом напра-
влении. Было обнаружено, что звезды, обладающие значительными абсолютными
яркостями, встречаются во всех спектральных классах. Было установлено, что
звезды, приходящиеся на области диаграммы Ресселла, удаленные от основного
ряда и от области белых карликов, распределяются следующим образом:
1. Звезды классов О и В, которых мы не встречали в рассмотренных нами
сферах, радиусами в 5 и в 10 парсеков, являются звездами, обладающими весьма
большими абсолютными яркостями. Последние заключены в пределах примерно
от0мдо—I
м
.
На диаграмме Ресселла они располагаются наверху слева в области,
обозначенной на фиг. 173 буквой В. Число звезд класса В, приходящихся на
единицу объема, — пространственная
плотность
звезд класса В — весьма мала.
2. Было .обнаружено много звезд классов G и К, обладающих абсолютной
яркостью около 0+ равно как несколько звезд классов A, F и M той же яркости.
На фиг. 172 эти звезды располагаются вдоль прерывистой кривой, образующей
продолжение кривой основного ряда. Параллаксы этих звезд в большинстве слу-
чаев невелики, вследствие чего для сколько-нибудь надежного определения
положения прерывистой кривой, наряду с непосредственным определением парал-
лаксов, пришлось использовать и иные методы определения звездных параллаксов.
Эти методы, прилагаемые к двойным звездам, будут рассмотрены в разделе о двой-
ных звездах (см. стр. 421 и 423). Звезды, приходящиеся на эту область диа-
граммы Ресселла, ввиду больших их радиусов называются звездами-гигантами
или,
просто, гигантами
в противоположность звездам основного ряда, называемым'
звездами-карликами
или, просто, карликами.
Прерывистую кривую на фиг. 172,
вдоль которой располагаются звезды-гиганты, называют ветвью гигантов.
Разница
между гигантами и карликами выражена тем резче, чем сильнее мы приближаемся
к спектральному классу М. Примерно у класса АО группы гигантов и карликов
смыкаются. Пространственная плотность звезд-гигантов невелика по сравнению
с пространственной плотностью звезд-карликов и, наоборот, велика по сравнению
с таковой звезд класса В.
3. В области между гигантами и карликами звезды также встречаются. Звезды
классов G и К, обладающие абсолютными яркостями около 2м
,
встречаются не-
редко. Звезды, приходящиеся на эту область диаграммы Ресселла, обозначенную
на фиг. 172 буквой а, зачастую также причисляются к гигантам; однако точнее
было бы называть их слабыми
гигантами
или субгигантами.
В области между
субгигантамн и карликами звезд встречается очень мало. Потому, рассматривая,
например, звезды класса КО, мы видим, что они весьма отчетливо разделяются
на абсолютно ярких гигантов и субгигантов, с одной стороны, и на абсолютно
слабых карликов, с другой. Гигантами и субгигантами являются g-звезды
а карликами d-звезды (см. стр. 358). Пространственная плотность субгигантов
превосходит пространственную плотность гигантов того же спектрального класса
Но она во много раз меньше пространственной плотности карликов того же
спектрального класса и значительно меньше таковой звезд основного ряда обла-
дающих той же массой (см. § 294).
'
4. В области, находящейся над прерывистой кривой, обозначенной на фиг.
172 буквой С, звезды также встречаются. Они являются абсолютно весьма яркими
звездами спектральных классов от А до М. Мы называем ихзвездами-сверхгиган-
тами
или, просто, сверхгигантами.
Таковыми являются с-звезды (см. стр. 358).
Пространственная плотность сверхгигантов очень мала; она еще меньше, чем
таковая звезд класса В. В области С располагаются те переменные звезды, кото-
рые мы называем цефеидами (см. стр. 452). Короткопериодические цефеиды рас-
полагаются вдоль нанесенной на фиг. 172 горизонтальной прямой, а долгоперио-
дические— вдоль кривой, загибающейся вправо вверх.
Все это показали исследования о распределении звезд в диаграмме Ресселла.
В одном из последующих разделов мы возвратимся іс этому вопросу и изложим
теоретическое истолкование
наблюдаемого распределения. Наконец, диаграмма
Ресселла сыграет важную роль при исследованиях проблем звездной статистики.
Там мы пойдем до известной степени противоположным путем: мы будем пытаться
определять положения звезд в диаграмме Ресселла для вывода из них абсолютных
яркостей, а из них и параллаксов в тех случаях, когда параллаксы слишком малы
для того, чтобы их можно было измерить непосредственно.
§ 274. Массы звезд в различных областях диаграммы Ресселла. На фиг. 172
(стр. 404) несколько (за единственным исключением) надежно определенных масс
звезд нанесено рядом с точками, изображающими соответствующие звезды.
Наибольшая нанесенная масса равна 30 массам Солнца. Существуют звезды,
вероятно, обладающие массами порядка 100 масс Солнца. Наименьшая из нане-
сенных масс равна 0,16 массы Солнца. Звезды с M > 13^, иовндимому, обладают
еще меньшими массами.
Сразу же бросается в глаза, что наибольшие значения масс группируются
вверху, а наименьшие внизу. Вдоль основного ряда значения масс правияы о
возрастают снизу вверх от 0,16 до 2—3 масс Солнца. Перейдя от собственно
основного ряда к прерывистой кривой, мы видим, что значения масс продолжают
возрастать (до 4,3 у Капеллы; вероятно, примерно до 10 у звезд классов К и М).
Белые карлики обладают массами, равновеликими массе Солнца или несколько
меньшими. Исходя из этих масс и вычисленных радиусов, мы находим для этих
звезд огромные плотности, превосходящие плотность воды в 10 000—100 000 раз.
Звезды класса В обладают большими, а частью весьма большими массами (от
4 до 20 масс Солнца). Для сверхгигантов спектрального класса К мы располагаем
единственным и притом еще весьма ненадежным значением массы. Оно очень
велико, будучи заключенным в пределах от 10 до 30 масс Солнца.
Наконец, мы видим, что в области субгигантов встречаются сравнительно
малые значения масс порядка массы Солнца или несколько большие.
Рассматривая одни лишь звезды самого основного, ряда, в любом объеме
составляющие большинство звезд, мы убеждаемся в существовании весьма тесной
зависимости не только между светимостью и эффективной температурой, но и
между массой и светимостью. Схематизируя действительные условия, мы можем
сказать, что звезды основного ряда располагаются по кривой в диаграмме Ресселла,
в силу чего положение на этой кривой определяется массой. Две звезды, имеющие
равные массы, обладают и — почти в точности — равными светимостями, равными
эффективными температурами, равными радиусами и одинаковыми спектрами; тем
самым наблюдателю, не могущему определить иных величин, их характеризующих, эти
две звезды должны представляться в действительности почти совершенно одинаковыми.
Рассматривая одновременно и звезды, лежащие за пределами основного ряда,
мы убеждаемся в том, что однозначная зависимость более уже не имеет места:
так, например, имеются звезды класса В и G, обладающие одинаковыми масса-
ми, существует одна звезда — субгигант, — по своей массе равновеликая Солн-
цу, и встречаются белые карлики и красные карлики основного ряда одинаковой
массы и т. п.
Рассматривая, как и ранее, область вдоль прерывистой кривой, изображенной
на фиг. 172 как продолжение собственно основного ряда, мы видим, что вывод,
сделанный относительно звезд основного ряда, сохраняет свою силу и здесь: на
продолжении кривой основного ряда масса определяет собой светимость, эффек-
тивную температуру и т. п.
Отклонения от этого правила обнаруживают белые карлики, звезды класса В,
сверхгиганты классов от А до M и субгнганты. К этому вопросу мы возвратимся
в следующем разделе, в котором будет изложено теоретическое истолкование
этих соотношений.
§ 275. Внутреннее строение звезд. Положение звезды данной массы и
данного химического состава в диаграмме Ресселла. В этом параграфе мы
изложим соображения, касающиеся звезд, аналогичные соображениям, изложенным
относительно Солнца в §211.
Как это там было отмечено, исследования, произведенные в этом направлении,
не могут считаться законченными. А потому и многие сделанные при этом выводы
должны нами рассматриваться как результаты, не в полной мере теоретически
обоснованные. Что же касается соображений, излагаемых в настоящем параграфе,
то они становятся еще менее обоснованными в силу того, что заключения, делаемые
относительно звезд, вообще говоря, возможны в результате весьма широких
обобщений; это обусловливается тем, что лишь в весьма редких случаях удается
получить наблюдательные данные, необходимые для этих рассуждений. Вследствие
этого в рассматриваемой области мы всегда должны считаться с вероятностью
того, что результаты новых наблюдений могут обусловить необходимость измене-
ний наших теоретических воззрений.
Уже в разделе о Солнце мы перечислили те сведения о звезде, которые мы
в лучшем случае можем непосредственно получить: каковы физические условия,
господствующие в ее атмосфере (составляющей лишь весьма малую часть звезды),
каков химический состав атмосферы звезды и как велики масса, радиус и полная
излучаемая энергия.
Спектры звезд свидетельствуют о весьма большом сходстве химического со-
става атмосфер звезд. Во-первых, многие звезды обладают почти совершенно
одинаковыми спектрами. Во-вторых, спектры без труда удается классифицировать
по одномерной или двухмерной схеме. В-третьих, наблюдаемым различиям звезд-
ных спектров удается дать качественное истолкование как следствиям изменений
физических условий без того, чтобы оказывалось необходимым предполагать не-
одинаковость химического состава звезд. В заключение упомянем еще, что произве-
денные до настоящего времени, правда, не особенно обширные, количественные
исследования относительной частоты встречаемости химических элементов в атмо-
сферах звезд показали, что эти частоты при переходе от одной звезды к другой
меняются незначительно.
Для того чтобы получить возможность судить о недрах звезд, мы поступаем
аналогично тому, как мы поступали в случае Солнца (см. §211). Мы допускаем,
что звезды подобно Солнцу находятся в равновесии, и ведем расчеты, мысленно,
углубляясь в недра звезд с их поверхностей. При этом мы обнаруживаем наличие
Физических условий, аналогичных условиям, господствующим в недрах Солнца.
Материя оказывается там почти полностью ионизированной, но, несмотря на
огромную ее плотность, она обладает свойствами, сходными со свойствами идеаль-
ного газа; это имеет своей причиной то обстоятельство, что ионизированная
материя состоит из частиц, обладающих гораздо меньшими размерами, чем ней-
тральные атомы. Температуры обладают тем же порядком величины, как и в слу-
чае Солнца (20 млн. градусов). Плотности значительных частей массы звезд-
гигантов оказались весьма незначительными, а температуры несколько ниже
температуры недр Солнца (5 млн. градусов). Плотности звезд меньшей массы,
принадлежащих к основному ряду, оказываются несколько меньше, чем- на Солнце,
а температуры приблизительно такими же. У белых карликов плотность по мере
углуоления в недра их сравнительно быстро достигает весьма больших значений.
При этом плотность в действительности оказывается настолько огромной, что
в данном случае, в противоположность всем остальным звездам, материя не обла-
дает свойствами идеального газа. Она уже не будет обладать той же степенью
сжимаемости, как идеальный газ; несмотря на это достигнутая степень сжатия
ее очень велика, как это показывает большая средняя плотность. Белые карлики
как раз и являются прекрасным примером того, что материя может быть сжата
до весьма больших плотностей.
Дальнейшая разработка проблемы такова же, как и в случае Солнца (см.
стр. 290). Мы вынуждены сделать одно из следующих допущений: или в нормаль-
ной материи звезд атомные ядра являются мощными источниками энергии, чего,
собственно говоря, не приходится ожидать с точки зрения физики; или звезды
обладают сверхплотным ядром, в котором господствуют необычные физические
условия и которые являются носителем источников энергии звезд. Аргументы
в пользу принятия того или другого предположения остаются теми же, как и
в случае Солнца, но вес их для различных звезд оказывается несколько различ-
ным: звезда класса В, как, например, V Кормы, в течение 1 секунды излучает
примерно 2 эрга на 1 г.рамм, тогда как белый карлик, как, например, спутник
Сириуса (Сириус В), в течение 1 секунды излучает примерно 0,007 эрга на 1 грамм
при этом труднее представить себе сильное излучение нормальной материи, чем
слабое. Белый карлик вполне возможно представить себе без сверхплотного ядра,
как носителя источников энергин.
Для звезд, как и для Солнца, должна существовать зависимость между массой
радиусом и светимостью, соотношение
масса — светимость
(см. стр. 290) В это
уравнение, как и в случае Солнца, в качестве параметров входят определенные
постоянные, зависящие от химического состава и, в частности, от содержания
водорода. Для тех звезд, массы, радиусн и светимости которых известны из
наблюдений, мы можем, как и в случае Солнца, произвести подстановку в уравне-
ние этих наблюденных значений и тем самым получить уравнение, могущее служить
для определения постоянных, зависящих от химического состава.
Для звезд, принадлежащих к основному ряду и к ветви гигантов, являющейся
его продолжением, мы, как и в случае Солнца, находим, что химический состав,
похожий на химический состав атмосферы Солнца (см. стр. 286), дает постоянные,
удовлетворяющие уравнения. В частности, было установлено, что эти звезды
примерно на одну треть состоят из водорода. У звезд класса В мы находим еще
большее содержание водорода, у сверхгигантов содержание водорода, вероятно,
тоже велико, а у субгигантов мы обнаруживаем содержание водорода меньшее,
чем у звезд основного ряда. (Следует, однако, отметить, что весь материал наблю-
дений сверхгигантов состоит из единственного весьма ненадежного значения массы.)
Белые карлики, повидимому, обладают малым содержанием водорода.
Напрашивается мысль о том, что в атмосферах звезд имеются налицо главным
образом легкие элементы, в то время как элементы тяжелые должны были опу-
ститься в недра звезды по направлению к ее центру. Однако такое предположение
не подтверждается: наиболее легкий элемент водород, повидимому, встречается
приблизительно в одинаковых количествах как в недрах звезд, так и в их атмо-
сферах. Гораздо более вероятным является предположение о том, что в недрах
звезд имеет место какой-то процесс перемешивания, осуществляющийся посред-
ством медленных течений. Далее должно быть принято во внимание еще и то об-
стоятельство, что в ионизированной материи тяжелые ядра атомов могут диффун-
дировать вниз лишь гораздо труднее, чем тяжелые нейтральные атомы в неио-
низированном газе. Для того чтобы предотвратит!, возникновение электрических
полей, атомные ядра должны каким-либо образом удерживать около себя такое
количество свободных электронов, которое нейтрализовало бы их положительный
заряд; заряд же атомного ядра возрастает вместе с увеличением атомного веса.
В таком случае легкие электроны будут выполнять роль носителей энергии,
которые при большем атомном весе должны иметься в большем количестве; они
будут обусловливать соответствующее уменьшение скорости диффузии. Может
быть скорость диффузии настолько мала и возраст звезд сравнительно настолько
незначителен, что диффузия могла продвинуться вперед лишь незначительно даже
и в том случае, если процессы перемешивания не имеют места.
В настоящее время не приходится ожидать того, что установленные в недрах
звезд различия в содержании водорода смогут быть обнаружены и в их атмосферах.
Количественный анализ атмосфер звезд еще не достиг необходимой для этого
степени точности.
У звезд основного ряда и ветви гигантов, составляющей его продолжение,
содержание водорода остается почти в точности постоянным. Повидимому, у них
и относительная частота встречаемости остальных элементов также остается по-
стоянной. Эти звезды, как мы это видели, составляют преобладающее большин-
ство звезд. В предыдущем параграфе мы из имеющихся налицо результатов
наблюдений пришли к следующему выводу: за немногими исключениями две
звезды, обладающие равными массами, будут являться почти в точности одинако-
выми— они будут иметь равные радиусы, равные светимости и одинаковые
спектры. Теперь мы можем обобщить эту закономерность следующим образом:
любые две звезды, без исключений, обладающие равными массами, являются почти
в точности одинаковыми в том случае, если сверх того и химический их состав
является одинаковым. Уясним это себе более отчетливо.
Сначала рассмотрим звезды с содержанием водорода, составляющим около
трети их веса. Таково преобладающее большинство звезд. Все они принадлежат
к основному ряду и его продолжению. Следовательно, для них выведенный закон
оказывается справедливым без всяких исключений. Для звезд класса В с большим
содержанием водорода и для субгигантов и белых карликов с малым содержанием
водорода справедливость этого закона не может быть столь точно проконтролиро-
вана, но исключения из него неизвестны.
В разделе о Солнце (см. стр. 288) мы имели случай убедиться в том, что
именно и следует ожидать того, что две звезды, обладающие равными массами
и одинаковым химическим составом, будут иметь и равные радиусы, равные све-
тимости и вообще будут обладать одинаковым строением; это будет иметь место
в том случае, если эти звезды в течение примерно 109 лет не претерпевали
сколько-нибудь крупных изменений и ,в настоящее время не сжимаются и не
расширяются сравнительно быстро. В таком случае звезда данной массы и дан-
ного химического состава должна излучать столько же энергии, сколько образуется
в ней атомными ядрами. Это возможно лишь при определенном радиусе, при
котором излучение и строение также являются вполне определенными. Иная
масса звезды и иной ее химический состав предопределяют и иной радиус, иную
светимость и иное строение этой звезды. То, что этот закон сейчас подтвердился,
свидетельствует о том, что звезды действительно должны рассматриваться как
образования стабильные в течение долгого времени.
Следовательно, мы эмпирическим путем приходим к заключению о том, что
положение звезды в диаграмме Ресселла определяется ее массой и химическим
составом, что и следовало ожидать по теоретическим соображениям. При содер-
жании водорода, равном одной трети, звезда попадает на кривую основного ряда
или на ее продолжение; в случае, если масса ее при этом мала, она попадает
на нижнюю часть этой кривой, что соответствует-малой светимости, а если масса
ее обладает более крупными размерами, то звезда попадает на среднюю или
верхнюю часть этой кривой, располагаясь тем выше, чем больше будет ее масса.
Очень крупных масс (превосходящих массу Солнца раз в десять), повидимому,
не существует. При большем содержании водорода звезды уклоняются от основ-
ного ряда влево и располагаются тем выше, чем больше их масса. При меньшем
содержании водорода и при средних массах (порядка 1—2 масс Солнца) звезды
уклоняются от основного ряда вправо и попадают в область субгигантов, а при
малых массах — в область белых карликов.
Характерные черты распределения звезд в диаграмме Ресселла определятся
тем, что: 1) большинство звезд обладает содержанием водорода, равным одной
трети, благодаря чему они располагаются вдоль кривой основного ряда и ее
продолжения, т. е. ветви гигантов, и 2) большие массы звезд, повидимому, воз-
можны лишь при значительном содержании водорода.
В заключение останозимся в связи с этим на зависимости между спектраль-
ным классом и абсолютной яркостью. Если два звездных спектра являются оди-
наковыми по двухмерной классификации, то, как мы это видели, поверхностные
яркости обеих этих звезд и напряжения силы тяжести на их поверхностях так-
же являются равными. Следовательно, мы вправе написать
Согласно уравнениям (1) и (2) величины H и g могут быть выведены для
любой точки диаграммы Ресселла в силу того, что любой точке этой диа-
граммы соответствует определенная масса, определенный радиус и определенная
светимость. Через точки, соответствующие равным значениям Н, мы можем про-
вести кривые, равно как и через точки, соответствующие равным значениям g.
и если две звезды обладают одинаковыми значениями величин H и g, то они
будут одновременно располагаться на одной и той же кривой H и на одной
и той же кривой g, т. е., иными словами, в точке пересечения двух этих кривых,
являющейся совершенно определенной точкой диаграммы Ресселла. В силу этого
обе звезды будут одинаковыми и будут иметь равные светимости. Тем самым
светимость поддается однозначному определению с помощью двухмерной спек-
тральной классификации.
СОБСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ. ЛУЧЕВЫЕ СКОРОСТИ. ПАРАЛЛАКСЫ. СКОРОСТИ
ДВИЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВИЖЕНИЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
§ 276. Собственные движения. Допустим, что мы дважды в моменты, раз-
деленные значительным промежутком времени, определили положение звезды на
неое. Исправим ее координаты, освободив их от влияния обоих их периодиче-
ских изменении, т е. аберрации и нутации, и путем учета прецессии произведем
редукцию этих наблюдений к одинаковому моменту. Тогда, как это уже было
указано на стр. 100, может случиться, что полученные результаты наблюдений
оонаружат различия, которые мы должны будем приписать движению рассматри-
ваемой звезды относительно солнечной системы.
Еще в 1718 г. Галлей путем сопоставления наблюдений, произведенных его
современниками, с наблюдениями, произведенными астрономами древних времен
доказал существование такого рода собственных движений отдельных наиболее
ярких звезд. Тобиас Майер в 1760 г. путем сравнения своих наблюдений с наблю-
дениями Олафа Ремера вывел надежные значения собственных движений некоторых
звезд. (Однако твердой основой для определения собственных движений большего
числа звезд послужили лишь наблюдения Брадлея, выполненные в середине
века
> 01,11 явились первыми наблюдениями этого рода, могущими по своей
точности поспорить с современными. Путем сопоставления ряда наблюдений
произведенных в последние годы, удалось доказать существование собственных
движений значительного количества звезд.
Наибольшее до настоящего времени известное собственное движение равно
lu ,du в год. В нижеследующей таблице сгруппированы 10 наибольших собствен-
ных движений из числа нам известных (о лучевых скоростях см. § 278).
Наименование заезды
Собственное
движение
u год
Параллакс
к
Визуальная
яркость
Спектральный
класс
Лучеиая
скорость
и км/сек-
Звезда Барнарда ....
Звезда Каптейна ....
Грумбрндж 1830 ....
Лакайль 9352
Кордоба 3241 fi
61ЛебедяА иВ
...
Вольф 359
Лалаид 21185
Е Индейца
Лаланд 21258 . . . -.
.
.
10",30
8 ,70
7 ,04
6 ,90
.
6 ,11
5 ,21
4 ,84
4 ,77
4 ,67
4 ,52
0",542
0 ,320
0 ,101
0 ,247
0 ,182
0 ,300
0 ,407
0 ,403
0 ,291
0 ,177
9 »',7
9,2
6,5
7,4
83
5'»,6 ;'б>»,3
13 ,5
'
7,6
4,7
8,5
МЗ
К2
G5
М2
Кб
К7;К8
М4
М2
К5
М2
—
110
+ 242
—
98
+
ю
+24
—
64
—
90
—
87
—
40
+64
в год,
Большинство собственных движений значительно меньше. Каталог Льюиса
Ьосса содержит координаты и собственные движения 6188 звезд (почти все эти
звезды ярче 7,5 визуальной звездной величины). Из них
3 звезды обладают собственными движениями > 4"
9 звезд
n
»
»
>2"
41 звезда
„
"
>1"
"
"
128 звезд
„
I
;
>0",5 ; ;
Следовательно, преобладающее большинство звезд, содержащихся в каталоге
Льюиса Босса, обладает собственными движениями,' меньшими полусекуиды дуги
Слабые звезды в среднем удалены сильнее ярких звезд. Среднее собственное
движение, уменьшающееся с увеличением расстояния, следовательно, уменьшается
и ПО мере перехода к звездам более слабым. Среднее собственное движение
звезд 10-й величины равно 0",013 в год.
Для звезд, вошедших в каталог Лыоиса Босса, имелись налицо многочисленные
определения координат звезд. В общей сложности Босс для вывода положений
и собственных движений звезд, включенных в его каталог, использовал около
ста звездных каталогов, составленных, начиная с 1755 по 1900 г При этом
координаты, приводимые в этих каталргах, по возможности снабжались система-
тическими поправками для получения единой однородной системы положений
Для некоторого 'числа ярких фундаментальных звезд (см. стр. 78), наблюдав-
шихся очень часто, Ауверс вывел координаты и собственные движения
Эти
звезды вошли в состав «Фундаментального каталога Астрономического общества»
Путем присоединения новых наблюдений он получил улучшенные значения коор-
динат и собственных движений, которые были включены в «Новый фундамен-
тальный каталог» (N. F. К -). В настоящее время этот фундаментальный каталог
уточняется путем использования наблюдений последних десятилетий.
Для более слабых, звезд материал наблюдений собственных движений является
значительно более скудным. Звезды, вошедшие в состав каталога Лыоиса Босса
как это уже было упомянуго, почти все ярче 7»',5.
'
Звездный каталог Астрономического общества, обычно обозначаемый началь-
ными буквами A. G.,
содержит определенные с помощью меридианного круга
координаты 138 000 звезд, обладающих склонениями от +80° до —2°. Этот ката-
лог был составлен следующим образом: звездное небо было разделено на зоны
шириной в 5 , и несколько обсерваторий предприняло определение координат
с помощью меридианных кругов, распределив между собой работу таким образом
что в большинстве случаев какая-нибудь обсерватория приняла на себя всю работу
в одной из этих зон. При этом наблюдались все звезды до 9»',0 включительно
содержащиеся в Боннском обозрении (см. стр. 467), и некоторые звезды более
слабые. Наблюдения были произведены, главным образом, в годы 1870—1900 Для
звезд, обладающих склонениями к северу от +80° и к югу от —2°,
мы распо-
лагаем аналогичными наблюдениями приблизительно до такой же яркости Боль
шинство их было произведено в позднейшие годы.
В 1928—1932 гг. было предпринято повторное наблюдение звезд, вошедших
в состав Фундаментального каталога Астрономического общества. Наблюдения
производились с этой целью преимущественно фотографическим путем (на обсео-
ваториях Боннской, Гамбургской и Пулковской). Некоторое число звезд необхо-
димое для редукции пластинок (см. стр. 68), наблюдалось с помощью меридиан-
ного круга. Когда обработка всех этих наблюдений будет закончена, мы получим
возможность определения собственных движений всех звезд ярче 9»' (приблизительно)
путем сравнения вновь полученных координат этих звезд с координатами их, приве-
денными в каталоге Астрономического общества. На Иельской обсерватории фото-
графическим путем определялись координаты звезд упомянутого каталога в зонах
склонений от -2°10' до+2°,
от +50° до .+55° и от +55° до +60°.
Соответ?
ствующие зонные каталоги были составлены и изданы уже много лет назад- средняя
ошибка координат этих каталогов составляет 0",24 по а и 0",23 по 3.
В различных районах звездного неба путем сравнения фотографических пла-
стинок, снятых в прежние и в последние годы, были определены собственные
движения и звезд, гораздо более слабых.
ывенные
§ 277. Движение солнечной системы относительно звезд различных ката-
логов. Вполне естественным является предположение о том, что все звезды а
в том числе и Солнце, обладают собственными движениями. Наличие собственного
движения Солнца подтверждается и наблюдениями. Известные до настоящего вре-
мени собственные движения звезд происходят во всевозможных направлениях
иднако, взяв среднее из большого количества собственных движений звезд оас-
пределенных по всему небу, мы обнаружим заметное преобладание некоторого
определенного направления. Мы должны поэтому предположить, что причина этого
состоит в том, что наша солнечная система обладает движением в направлении,
противоположном этому преобладающему направлению собственных движений звезд
Еще В. Гершель сумел вывести направление этого движения из известных в его
время собственных движений звезд. Та точка звездного неба, по направлению к кото-
рой движется солнечная система, называется апексом солнечной системы. Гершель
пришел к заключению, что он лежит в созвездии Геркулеса. Позднейшие исследо-
вания в основном подтвердили этот результат. Вследствие того что движения Солнца
и звезд в пространстве мы не можем считать в точности прямолинейными, положение
апекса должно с течением времени меняться. Однако несомненно должно будет
пройти весьма долгое время, прежде чем это смещение апекса сможет сделаться
заметным.
Точное определение направления движения Солнца в пространстве является
трудной проблемой. Из собственных движений группы используемых звезд мы вы-
водим собственное движение Солнца относительно звезд этой группы. Однако
вполне возможно, что различные группы звезд, выбранные для этой цели, будут
находиться в движении одна относительно другой. Выводимые значения собствен-
ного движения Солнца в силу этого обнаружат соответствующие различия. Так
например, все звезды, входящие в состав звездного скопления Плеяд, и пять звезд
семизвездия Большой Медведицы (ß, ъ
8, е и С) обладают общим движением.
И в других участках звездного неба встречаются подобные звездные системы,
обладающие общими движениями (см. стр. 459). Это и является одной из причин
того обстоятельства, что различные попытки определения положения апекса сол-
нечной системы дают несколько различные результаты. Л . Босс на основании
исследования свыше 5000 звезд, рассеянных по всему небу и обладающих извест-
ными нам собственными движениями, нашел следующие координаты апекса Солнца:
а=270°,8=
-f -34°. (Методы определения апекса описаны в Приложении на стр. 52о!
Связь этой проблемы с проблемой определения постоянной прецессии рассмотрена
в § 204.)
§ 278. Лучевые скорости. То, что мы разумеем под названием собственного
движения звезды, представляет собой лишь изменение направления луча зрения
к звезде, претерпеваемое за определенный промежуток времени. Следовательно,
для звезды, расстояние которой нам известно, мы смогли бы отсюда вычислить
компонент линейной скорости, перпендикулярный к лучу зрения. Спектроскоп же
является средством, позволяющим совершенно независимо от знания расстояния
произвести определение компонента линейной скорости любой звезды по напра-
влению луча зрения (лучевой скорости) в том случае, если эта звезда по своей
яркости еще доступна спектроскопическим исследованиям. Впервые это было осу-
ществлено в 1868 г., когда Хёггинсу в Лондоне удалось измерить незначительное
смещение одной из наиболее интенсивных линий водорода в спектре Сириуса.
Из формулы, приведенной на стр. 35, мы видим, что при длине волны в 5000 А
смещение на 1 А свидетельствует о наличии относительного движения со скоростью
в
7оооо скорости света, т. е. со скоростью в 60 км/сек;
мы видим, что для этого
необходимы весьма точные измерения. Вспомним о том, что наблюдатель, нахо-
дящийся на Земле, участвует в ее годичном движении, происходящем со скоростью
в 30 км/сек,
в направлении, меняющемся в течение года. Ввиду этого мы должны
принимать в расчет тот компонент этого движения, который по своему направле-
нию совпадает с лучом зрения, направленным к звезде, для того чтобы вывести
скорость звезды относительно солнечной системы.
Позднее были сконструированы более совершенные аппараты. С их помощью
на одной и той же пластинке фотографируются спектры звезды и земного источ-
ника света, благодаря чему смещение линий может быть легко измерено. Точность
определения лучевой скорости определяется количеством и интенсивностью спек-
тральных линий. В благоприятных случаях достигаемая точность бывает меньше
0,5 км/сек.
Ко времени написания этой книги было известно около 7000 лучевых скоростей
звезд. Мы знаем лучевые скорости всех звезд, обладающих видимыми яркостями
больше 5'»,5. В предыдущем параграфе мы привели лучевые скорости 10 звезд,
обладающих наибольшими известными нам собственными движениями. Нижесле-
дующая таблица содержит собственные движения и лучевые скорости звезд, обла-
дающих видимыми яркостями, превышающими 1»',50. Положительная лучевая ско-
рость означает, что звезда удаляется от Солнца, а отрицательная, -
что она при-
ближается к нему.
1
Название звезды
а 1930,0
81900,0
Визуальная
величина
Спектр,
класс
Собстп.
движение
и сек.
дуги
в
год
Лучевая
скорость
в км/сек
а Эрндана (Ахернар)
а Тельца (Альдебаран) ....
о Возничего (Капелла) ....
ß Ориона (Ригель)
а Ориона (Бетельгейзе) . . .
а Корабля Арго (Канопус) . .
а Большого Пса (Сириус) . .
а Малого Пса (Процион) . . .
ß Близнецов (Поллукс)....
а Льва (Регул)
ß Южного Креста
а Девы (Спнка)
ß Центавра
а Волопаса (Арктур)
а Центавра а
а Центавра в
а Скорпиона (Антарес) ....
а Лиры (Вега)
а Орла (Альтанр)
а Лебедя (Деиеб)
а Южной Рыбы (Фомальгаут).
1''34' ",0
4 30,2
•59,3
5 9,7
5 49,8
6 21,7
6 40,7
7 34,1
7 39,2
10 3,0
12 41,9
13 19,9
13 56,8
14 11,1
14 32,8
14 32,8
16 23,3
18 33,6
19 45,9
20 38,0
22 52,1
—
57°45'
+1619
+4554
—
819
+ 723
—
52 38
—
16 35
+ 529
+2816
+1227
—
599
—
10 38
—
59 53
+ 1942
—
60 25
—
60 25
—
26 13
+3841
--
836
--4 4
58
—
309
0'»,60
1 ,06
0 ,21
0 ,34
0,1 -1,2
-0
,86
-1
,58
0 ,48
1 ,21
1 ,34
1 ,50
1 ,21
0 ,86
0 ,24
0 ,33
1 ,70
1 ,22
0 ,14
0 ,89
1 ,33
1 ,29
В5
К5
G0
В8р
МО
F0.
АО
F5
ко
В8
В1
В2
В1
КО
G0
К5
МО
АО
А5
А2р
A3
0",088
0 ,203
0 ,437
0 ,001
0 ,029
0 ,018
1 ,316
1 ,242
0 ,625
0 ,248
0 ,056
0 ,055
0 ,041
•2,282
)3,680
0 ,034
0 ,346
0 ,655
0 ,001
0 ,365
+19
+ 54,1
+ 30,2
+ 23,6
+ 21,0
+ 20,5
—
7,5
—
3,0
+
3,3
«+3
+20
+
1,6
—
12
—
5,1
—
22,2
—
3,2
—
13,8
-26 -
—
6
+ 6,5
В этот компонент движения, разумеется, входит и собственное движение
солнечной системы. Путем одновременного использования достаточно большого
біГіпіІІІ'
РаСПреДеЛеШ1ЫХ
по
"
ебУ
«енее равномерно, может
быть определено не только направление, но и скорость этого движения. (По-
дробности о методе определения скорости изложены на стр. 520.) Этим путем по
бОЛЬШе5
"'
5' бTMуЧеН
"
следующие координаты
а = 271°,
3=
-J- 29°
и выведена скорость движения Солнца по направлению к этому апексу, оказав-
шаяся равной приблизительно 19,6 км/сек.
Эта скорость примерно соответствует
пути длиной в 4 радиуса земной орбиты, проходимому в год.
Путем освобождения каждой выведенной лучевой скорости от компонента
движения солнечной системы по лучу зрения были вычислены следующие средшш
значения лучевых скоростей звезд спектральных классов В, A, F, G, К, МІ
Вд п'п
км/сек
(по 284 звездам)
А 9,9
( 500
\
F 12,5
„
199
\
G 14,8
"
.
..."
244
"
\
К 15.3
(Ѵ; 687
!)
M 16.1
\; 234
:
j
Соответствующие этим числам средние скорости движения звезд д
простран-
ZTnnf,
e
°\
* вследствие
того
'
что
лУ^ая скорость является проекцией
шТп TM1 ѴгГ ineTZPTee ук
°Р°
че,1ие> получаемое при этом проектировании,
равно /2 (см. стр. 523). Следовательно, мы видим, что собственное движение
Солнца в пространстве несколько меньше половинной средней скорости движения
звезд в пространстве.
§ 279. Расстояния звезд от Земли. Вследствие того что Земля движется
вокруг Солнца по своей орбите, обладающей значительными размерами, луч зрения,
направленный к звезде, необходимым образом должен на протяжении года несколько
изменять свое направление. Иными словами, звезда должна обладать
годичным
параллаксом.
Как уже упоминалось ранее (см. § 65), это явление должно состоять
в том, что каждая звезда в течение года кажущимся образом должна описывать
маленький эллипс, большая ось которого параллельна эклиптике. Малая ось его,
перпендикулярная к ней, равна большой оси, умноженной на синус угла, обра-
зуемого лучом зрения с плоскостью эклиптики, т. е .,
иначе говоря, на синус
шпроты звезды (см. Приложение, стр. 522). Дважды в году в те моменты, когда
звезда находится в соединении или в оппозиции к Солнцу, она должна проходить
через вершины малой оси описываемого ею маленького эллипса; в промежуточные
моменты, т. е. когда звезда находится в квадратурах с Солнцем, она должна про-
ходить через вершины большой оси этого эллипса. Чем дальше от нас находится
звезда, тем меньше размеры описываемого ею эллипса.
Годичным
параллаксом
мы, вообще говоря, называем угол между прямы-
ми, соединяющими Землю со звездой и Солнце со звездой. Более точно этим на-
званием обозначают наибольшую
величину,
которой может достигать этот угол, т. е .
иначе говоря, тот угол, под которым радиус земной орбиты видим со звезды
(при этом эксцентриситет земной орбиты может совершенно не приниматься
во внимание).
Как уже было упомянуто (см. стр. 170), неудачные попытки обнаружения
такого рода годичных изменений координат звезд долгое время служили одним
из наиболее неприятных камней преткновения теории Коперника. Брадлей, начиная
свои наблюдения в 1725 г.,
ставил себе одной из целей обнаружение годичного
параллакса звезды Y Дракона, кульминировавшей на его обсерватории вблизи зенита
(см. стр. 97 и 99). Ему удалось обнаружить, что координаты звезд действительно
подвержены годичным изменениям, во многом сходным с вышеописанными. Однако,
не говоря уже о том, что большие оси эллипсов, описываемых всеми звездами,
оказались при этом одинаковыми, обнаружилось смещение всего явления на один
квартал (см. стр. 106); звезда проходила через вершины большой оси эллипса, на-
ходясь в соединении или в противостоянии с Солнцем. То явление, которое
обнаружил Брадлей, было аберрацией света, имевшей, впрочем, столь же решаю-
щее значение для решения вопроса об обращении Земли вокруг Солнца. Что же
касается параллакса, то Брадлею не удалось обнаружить и следа его.
Позднее в единичных случаях удавалось доказать наличие годичного параллакса
при подобного рода абсолютных
измерениях координат. Однако позднее для этой
цели была использована гораздо ббльшая точность угловых измерений, обеспечи-
ваемая некоторыми типами микрометров и, в частности, гелиометрами при отно-
сительных
или диференциальных
измерениях координат. Для этого в различные
времена года положение звезды определяется относительно одной или нескольких
соседних звезд и тем самым находится относительный
ее параллакс. Если слу-
чится так, что эти соседние звезды расположены к нам ближе изучаемой звезды,
то ее относительный параллакс оказывается отрицательным.
Хотя мы наперед
не можем знать, находится ли одна звезда ближе или дальше другой, все же
существуют признаки, по которым мы можем составить себе представление об
этом. Одним из таких признаков является яркость
звезды; в среднем
ближайшие
к нам звезды кажутся нам ярче звезд, более удаленных, откуда, однако, отнюдь
не следует делать того вывода, что любая яркая звезда находится к нам ближе
любой слабой. Другим и притом, как оказалось, более надежным признаком является
собственное
движение
звезды. Поэтому слабые звезды, не обладающие заметными
собственными движениями, мы, вообще говоря, вправе считать удаленными столь
значительно, что их можно рассматривать в качестве неподвижных точек; в силу
этого относимые к ним диференциальные определения могут считаться абсолют-
ными определениями. Путем статистических исследований было выведено прибли-
женное значение среднего параллакса слабых звезд (см. стр. 471), благодаря чему
явилась возможность редукции измеряемых относительных параллаксов к абсо-
лютным. Из вышеизложенного следует, что редукция эта мала
В последующие годы для этой же цели была применена и фотография. Располагая
фотографическими пластинками, снятыми в разные времена года, возможно по-
ступить двояким путем: или измерять положение какой-либо звезды относительно
других звезд, которые принимаются неподвижными; или параллакс каждой отдель-
ной звезды относить к некоторому среднему значению для всех остальных звезд
благодаря чему параллаксы наиболее ' удаленных звезд получат отрицательные
значения. С помощью фотографических рефракторов, обладающих большими фо-
кусными расстояниями, при этом была достигнута наибольшая точность по сравне-
нию со всеми остальными методами.
р
Если мы знаем годичный параллакс те какой-нибудь звезды, выраженный в се-
кундах дуги, т е.,
иначе говоря, угол, под которым с этой звезды видно среднее
расстояние /- Земли от Солнца, то мы можем написать следующее соотношение?
расстояние звезды = ?0(і 264.8 г
те
*
В качестве единицы
звездных
расстояний
используют расстояние, соответ-
ствующее параллаксу в 1". Эта единица носит название парсека.
Если параллакс
звезды равен те секундам дуги, то расстояние ее, выраженное в парсеках, равно Ч
Кроме того, зачастую-особенно в популярной литературе-используется еще
и другая единица межзвездных расстояний: световой
год. Под световым годом мы
разумеем длину пути, проходимого
светом
в течение
года. Соотношение межлѵ
парсеком и световым годом выражается следующим равенством: / парсек = 3 26
светового года.
»«/^л.
<j,zo
Годичный параллакс звезды впервые удалось определить в 1838 г., когда Бес-
сель в Кенигсберге с помощью гелиометра предпринял серию измерений упомя-
нутой в таблице на стр. 412 двойной звезды 61 Лебедя, обладавшей наибольшим
известным в то время собственным движением. Он нашел те L 0",35. Некоторые
из позднейших измерений дали несколько большие параллаксы этой звезды, а иные ?!?
иесколыі:о меньшие значения. В настоящее время для этой звезды принимают
Приблизительно
одновременно
с
этими
исследованиями Бесселя, В. Струве в Дерпте
и Гендерсону в Капе удалось измерить парал-
лаксы Вегч (первому) и а Центавра (второму).
Рядом стоящая табличка содержит парал-
лаксы шести ближайших к нам звезд (см. также
таблицу на стр. 469).
Ко времени написания этой книги были изме-
рены параллаксы свыше 3000 звезд, преимуще-
ственно ярких. В большинстве случаев парал-
лаксы настолько малы, что точность измерений (около 0",01) играет значитель-
ную роль. Параллаксы, определенные путем непосредственных угловых измерений
носят название тригонометрических
параллаксов.
Мы видели (см. стр. 358), что
из наблюдений спектров звезд могут быть выведены их параллаксы, получившие
название спектральных
параллаксов.
В последующих разделах мы познакомимся
и с другими методами определения параллаксов звезд. Однако большинство мето-
дов определения
параллаксов
в конечном счете оказывается зависимым
от
наличия тригонометрических параллаксов: с помощью последних должна быть
предварительно выработана шкала параллаксов.
§ 280. Скорости звезд в пространстве. Обозначим через л:, у, z прямоуголь-
ные координаты звезды относительно Солнца в системе координат, в которой
ось X направлена к точке весеннего равноденствия, ось Y к точке с координа-
тами (а = 90° 8 = 0°) и ось Z к северному полюсу (экваториальная система
координат). Тогда компоненты движений в пространстве звезды относительно
Асатроиоішя
"
Название звезды
Параллакс
Ближайшая Центавра .
а Центавра
Звезда Барнарда . . .
Вольф 359
0",79
0 ,76
0 ,54
0 ,41
0 ,40
0 ,36
Солнца выразятся через
,
fg. и
.
Они могут быть выражены через изме-
нения расстояния, прямого восхождения и склонения
следующим образом (см.
Приложение, стр. 520):
dx
dR
~
dl_
.
„
da
=
—
cos3cosa—— Rsinоcosa
—
Rcosоsina,
dt
dt
dy dR
„.
do_
.
«.
,da
—
~ïtcos0s,na
—
rfz"PSm0sma
~r rfTЯcos0cosa,
dzdR.„
dt ~ ~dt Sin°
dt
do
dt
do
d/
dt
da
dt
+
COS 5.
(1)
Величины 4?"' 4/" 11
"5Г
Удобно выражать в километрах в секунду. В таком
dR
случае в выражение
надо подставить лучевую скорость Ѵг,
выраженную
также в километрах в секунду. Соответствующие значения /?4т- и R—
могѵт
dt
dt
J
быть выведены из годичных собственных движений по a и по 8, выраженных в се-
кундах дуги, \іа и (і8і и из параллакса, выраженного в секундах дуги тс".
Со-
гласно изложенному на стр. 417 мы имеем
D
206 264,8
„
„
R=
— —г,— радиусов земной орбиты.
Отсюда получаем
n
da
206 264.8
dt
(i
•)Qg 264 8 РадиУС0В земной орбиты в год,
206 264,8
dt
г."
2061:64,8
K-s
радиусов земной орбиты в год.
Как будет показано в последующем изложении (см. Приложение, стр. 519):
1 радиус земной орбиты в год = 4,74
км\сек.
В силу этого получаем
=
км/сек, ]
R =4,74
кмIсек.
(2)
Таким образом получаем искомые компоненты скорости звезды в пространстве,
выраженные в километрах в секунду, в следующем окончательном виде:
4^-=
Ѵг • coso cos a—4,74-'J. sin 3 cos a —4,74cos о sin a,
4f = Vr• coso sin a— 4,74-!%•sin8sina-}-4,74 —
• cosocosa,
dz
dt=Vr •sin3
- +4,74-!% • cos 8.
(3)
ДВОЙНЫЕ И КРАТНЫЕ ЗВЕЗДЫ
1
§281. Визуально-двойные звезды. Когда В. Гершель в 1774 г. изготовил
свой первый большой рефлектор, он тотчас же приступил к решению задачи опре-
делемня звездных параллаксов ранее описанным методом. Он производил это путем
измерения положения более яркой звезды относительно соседней более слабой.
Те пары звезд, которыми он пользовался, являлись оптическими
двойными звев-
дами, видимыми на небе одна вблизи от другой лишь случайно, тогда как в дей-
TM
неабаВевЬИГепаЗЛИЧНАХ
"
ССТ0ИNo
ДВОЙНЫХ звезд, чем этого Z
l'.
Гершель обнаружил гораздо больше
звезд по небу. Поэтому ом в^сГзал ппелпплпГ "РИ
слу
"
аИнои
Распределении
физическими
двойными зв?дами т
"
РTMTM0Жение
'
"
Т° многие из них являюTM
которых настолько іы То^
'
расст0ян,,!1
междУ компонентами
Правильность
этого взгляд
ZTyZT
olZZT "Х ВЗаимные
пріTMия.
дВвойГнеыРхШзЛвездУДаЛОСЬ
SSSTïïb=
д-r
соТлении работу Гершеля
-
Вернхэ^/компо^ты
^Г»8»
не мс^Ж^Âï
""
ИЗВ—йные звезды,
В отличие от них разрешимые на кТпнеТ
Г В СИЛЬНеі1шие телескопы.
зуальнодвойными
звездами
к
TMпоненты двойные звезды называются ви-
ÂÂ^rjSïï1 ДВ0Тзвезд
И позиционный угол более слабоTM компонуй «
Расстояние (в секундах дуги)
движение по орбите являетсГзад.етнмм ^
относительно более яркого. Если
пенно изменяются, бЗагедаря ч ? ? 'ГчРаССТ
°
ЯШ,е и
позиционный угол посте-
часть видимого Движен^
ббльшая
-ньШая
дать в продолжение нескольких обращений пл«?гп
Звезды Удал°сь наблю-
Для позиционных измерений і? сли^^і ^сны?лвойныѵ°НеНТа В
°
КРУГ
WTM1).
няются И фотографические снимки
двойных звезд с успехом приме-
Ȁd
расстояния кНоамГн^TMвВРкоторНаЗЫВаЮТСЯ Такие
TM
РОГО предела, устанавливаемого^риводимой^Т
Превыша,
°т
некото-
столбцах приведены суммарные^видимыГяркостГобпиѵ
В Ней
В
Левых
предельные значения расстояний:
Р
Х компоне»тов, а в правых-
TM
/
та
та
fJSTtsТ
9т,"
г
Таким выбором предельных значений достигается TM
ваются лишь весьма немногочисленные оптшТскиТп*
L
ПР" ЭТ
°
М
Захваты
"
как физические
двойные звезды по большей
Дойные звезды, в то время
Слабые звезды в среднем удалены от
„1 сильнее
УСЛ°ВИЯМ УдовлвTMоряют.
навливается более низкое предельно" значение ѵглппп П0ЭГОВ,у ДЛЯ НИХ здесь Уста-
шении звезд, находящихся однаот ГругГ нГ бГе? РаССТОЯШ,я
-
ЧасTM
стояниях, удается установить? что обвязаны
ѵ ТЛЬNo
угловых Р«>
вает в тех случаях, когда они обнаотжияЗ nУ
б°Й физическ»; это бы-
Разумеется, собственные ДиГни^^^
^Г^
с
°
бствен
"
ые
дв
"
жв
н„я.
того, чтобы мы могли иметь увереннГть в том «то Г
«««очно велики для
бок наблюдений не является делом cTyL
Бол '
^впадение в пределах ош„-
обычно называют далеким
спутником
СЛабуЮ 3вездУ в тад
"х
случаях
Всего известно около 20 000 двойных чпеЧП ,.о
да
"
Р—
между
«н^м^
был?б? говорить"обН°об^ащеіш? обоихУ/или ^Г^Г
компонентов.
Центра тяжести. — Прим. перев.
(,ИИ Нескольких) компонентов около общеTM
меньшими 1" '). С помощью величайших современных телескопов удается изме-
рять расстояния вплоть до 0",15 в тех случаях, когда разница яркостей звезд не
слишком велика.
Когда система состоит из двух лишь компонентов, т. е . когда мы имеем дело
с двойной звездой, относительное движение одного из них происходит по эллипсу,
в одном из фокусов которого находится другой компонент.
Плоскость этой
орбиты, разумеется, может образовать с лучом зрения любой угол. Однако в силу
того, что проекция эллипса опять-таки является эллипсом, хотя и обладающим
иными фокусами, движение по небу, кажущимся образом выполняемое одним ком-
понентом двойной звезды вокруг другого, также %будет представлять собой
эллипс. Возможность вычисления элементов истинной орбиты в пространстве
обеспечивается законами Кеплера, согласно которым как истинные орбиты, так
и их проекции являются эллипсами, а площади, описываемые радиусами-векто-
рами, в равные времена равновелики. Период обращения в данном случае входит
в качестве самостоятельного элемента, так как вывод его из среднего расстоя-
ния требует знания масс компонентов, которые в действительности, вообще
говоря, нам неизвестны. В силу особого характера наблюдений должна быть прой-
дена значительная часть орбиты, прежде чем вычисления смогут дать надёжный
результат. В системах, состоящих из трех или большего количества компонентов,
т. е. в так называемых кратных звездах, примеры которых будут указаны ниже
(см. стр. 176 —177), движения сложнее.
Итак, элементы относительной орбиты одного из компонентов около другого
гаковы:
U—период обращения.
а — большая полуось эллиптической орбиты в секундах дуги.
е — эксцентриситет эллиптической орбиты.
Sb — угол положения (долгота) восходящего узла относительно плоскости, ка-
сательной к небесной сфере в точке, в которой находится рассматривае-
мая двойная звезда. Этот угол является неопределенным на 180° в силу
того, что, как легко понять, видимое движение по орбите может соот-
ветствовать двум различным движениям в пространстве, из которых одно
будет зеркальным отражением другого по отношению к касательной пло-
скости. Вследствие этого мы не в состоянии определить, является ли рас-
сматриваемый узел восходящим или нисходящим.
ш — долгота периастра (аналогичного перигелию), отсчитываемая от линии узлов.
і — наклонение плоскости орбиты к плоскости, касательной к небесной сфере.
Т—момент.. прохождения через периастр (аналогичный моменту прохождения
через перигелий).
Определение элементов орбиты двойной звезды по наблюденному видимому
движению представляет собой геометрическую задачу. Пусть эллипс видимой
орбиты построен на чертеже. Прежде всего из наблюдений определяется период
обращения или непосредственно как время одного полного обращения или — по
закону равенства площадей — как время, необходимое для того, чтобы описать
определенную долю эллиптической орбиты. Истинная орбита в пространстве должна
превращаться в видимую орбиту, проектируясь в направлении луча зрения на
перпендикулярную к нему плоскость, касательную к небесной сфере. Вообразим
эллиптический цилиндр, имеющий своим основанием эллипс видимой орбиты, ось
1) Для того чтобы две звезды могли быть видимы раздельно невооруженным глазом,
угловое расстояние между ними должно составлять несколько минут дуги, е Лиры (находя-
щаяся несколько влево от Беги) состоит из двух компонентов 5-й зв. величины, находя-
щихся па расстоянии п 3',5; однако для того чтобы увидеть их по отдельности невооружен-
ным глазом, необходимо исключительное зрение, а Козерога (находящаяся значительно ниже
Альтанра) состоит из двух компонентов приблизительно 4-іі зв. величины, находящихся на
расстоянии в 6',3; ее удается разрешить невооруженным глазом, обладая нормальным зре-
нием. Ç Большой Медведицы обладает звсздоіі-спутішком о-іі зв. величины (Алькор), которая
кажется расположенной очень близко от нее; в действительности же взаимное их расстоя-
ние составляет 11',8.
которого параллельна лучу зрения. На поверхности этого цилиндра должна лежать
и истинная орбита в пространстве. Все сечения этого эллипса представляют собой
конические сечения. Но лишь одно из них является эллипсом, фокус которого
проектируется в известное нам положение главной звезды, находящейся в фокусе
истинной орбиты в пространстве (точнее говоря, таких эллипсов будет два, при-
чем оба они будут представлять собой зеркальные изображения один другого
относительно касательной плоскости; см. выше). Этот эллипс и является искомым
эллипсом истинной орбиты в пространстве, а его плоскость — плоскостью этой
орбиты. Решение геометрической проблемы нахождения секущего эллипса с фо-
кусом, находящимся над данной точкой, может быть произведено различными спо-
собами— графическим или аналитическим.
Нам известно свыше тысячи двойных звезд, физическую связь которых уда-
лось доказать путем наблюдений. Однако лишь для сотни с небольшим из них
удалось вычислить орбиты. Из них около половины обладают периодами обра-
щений менее 100 лет. Эксцентриситеты их орбит зачастую являются значитель-
ными, составляя в среднем около 0,5. Наиболее короткий период обращения,
5,70 года, был найден у 8 Жеребейка, являющейся звездой 4-й величины, рас-
стояние компонентов которой никогда не превышает 0",4. а Центавра представляет
собой двойную звезду с периодом обращения в 80 лет. Разумеется, могут быть
вычислены лишь орбиты, обладающие относительно короткими периодами обращений.
Статистическое исследование элементов вычисленных орбит двойных звезд по-
казало, что распределение нормалей к орбитам и линий апсид является совер-
шенно случайным.
Создается впечатление, что орбиты с ббльшими периодами
обращений обладают и большими эксцентриситетами.
Особое положение занимают Сириус и Процнон. Путем сравнения меридиан-
ных наблюдений, выполненных в различное время, Бессель установил, что соб-
ственные движения обеих этих звезд подвержены колебаниям. Эти колебания обла-
дали таким характером, как если бы звезда совершала периодическое обращение
вокруг близкой к ней точки. Бессель высказал предположение, что эта точка пред-
ставляет собой центр тяжести двойной звезды, второй компонент которой является
темным или слишком слабо светящимся для того, чтобы быть видимым. Анализи-
руя эти колебания собственного движения, сначала Петере, а затем Ауверс вы-
числили орбиту Сириуса вокруг общего центра тяжести обоих его компонентов.
В 1862 г. американский строитель астрономических инструментов Альван Кларк
при испытании нового телескопа открыл маленькую звездочку, находящуюся от
Сириуса на расстоянии нескольких секунд. Было обнаружено, что эта звезда рас-
полагалась в направлении предвычисленного центра тяжести, а позднейшие наблю-
дения показали, что она действительно представляет собой предсказанный ком-
понент. Период обращения оказался равным 50 годам. Ауверс вычислил орбиту
и для Проциоиа, и в 1896 г. с помощью большого рефрактора Ликской обсерва-
тории удалось обнаружить звезду 13-й величины, находящуюся от главной на
расстоянии около 5" и расположенную приблизительно в направлении предвычи-
сленного центра тяжести. Период обращения ее оказался равным 39 годам.
Из 100 000 звезд северного звездного неба ярче 9-й зв. величины было обна-
ружено 5400 визуально-двойных. Из числа звезд, видимых невооруженным глазом,
свыше 10/0 оказалось визуально-двойными звездами. Из числа 27 звезд, находя-
щихся к нам ближе 5 парсеков, 8 являются визуально-двойными. Ввиду этого мы
должны допустить, что в действительности значительная часть звезд Является
ДВОкНосп'мДНаК0ДВ0І,СТВеННая
приР°да Далеких и слабых систем трудно доказуема.
§ 282. Массы компонентов визуально-двойных звезд. Среднее расстояние
разделяющее компоненты двойной звезды, обычно выражают в угловой мере на-
пример в секундах дуги (а"). У немногих двойных звезд, орбиты которых 'уда-
лось определить, нам известны и параллаксы. Для этих звезд возможно произ-
вести вычисление линейных размеров их орбит. Отношение среднего расстояния а"
к параллаксу, выраженному в секундах, равно среднему расстоянию а, выражен-
ному в радиусах земной орбиты. Так, например, для а Центавра «"=17" 66
*—0
,76, а следовательно, а = 23,2, т. е . несколько больше расстояния Урана
от солнца. 13 таких случаях возможно вычислить и общую массу двойной звезды,
выражая ее в массах Солнца. На стр. 227 было выведено следующее уравнение:
lfj_m+та\
u-
~
mi+mi
'
Обозначим через mt и т, массы Солнца и Земли через е.
—большую полу-
ось земной орбиты, через Ц — период обращения Земли, а через Ж и т —
массы обоих компонентов двойной звезды, через « — большую полуось орбиты
и через и
период обращения этой системы. Мы вправе положить М. =
1,
vi, — О (в рассматриваемой проблеме с достаточной степенью точности), U, =
1
и а1 = 1. Мы получаем
1
..
i
а3
а"3
^+TM=
=
(2)
где в качестве единицы массы, периода обращения и длины использованы сле-
дующие величины: масса Солнца, год и большая полуось земной орбиты.
Из уравнения (2) мы видим, что те может быть определено в том случае, если
нам известна общая масса, и что ошибка, допущенная при определении величины
массы в уменьшенном виде входит в те. При M + w = 2 получаются довольно
правильные параллаксы. Еще лучшие результаты
получаются при использовании для оценки масс
соотношения масса — светимость (см. стр. 409).
Параллаксы, выведенные этим способом, назы-
ваются динамическими
параллаксами.
В тех случаях, когда нам известно движе-
ние компонентов вокруг общего их центра
тяжести (определенное путем измерений их
положений относительно окружающих звезд),
мы из отношения размеров орбит компонентов
можем вычислить и отношение масс, а следовательно, и сами массы по отдельности.
В вышеприведенной табличке приведены некоторые массы компонентов двойных
звезд, определенных этим способом.
§ 283. Положение компонентов визуально-двойных звезд в диаграмме Рес-
селла. Весьма важным является вопрос о том, совпадают ли свойства компонен-
тов визуально-двойных звезд с общими свойствами обыкновенных одиночных звезд,
или, иначе говоря, о том, связана ли двойственная природа этих звезд с какими-
либо особенностями в их строении. Как и в § 272, мы в последующем изложении
будем выражать" свойства звезд диаграммой Ресселла. Вопрос состоит, следова-
тельно, в том, обнаруживают ли компоненты визуально-двойных звезд такое же
распределение в диаграмме Ресселла, как одиночные звезды, или нет.
Определение спектрального класса внзуалыю-двойных звезд представляет собой
более трудную задачу, чем определение спектрального класса одиночных звезд
вследствие того, что спектры компонентов двойных звезд налагаются один на
другой. Однако удается производить падежные определения в тех случаях, когда
угловое расстояние составляет больше 2" при одинаковой яркости компонентов.
При неодинаковой яркости компонентов угловое расстояние должно быть больше.
Вследствие этого получение спектра Сириуса в, яркость которого на 10 звездных
величин слабее Сириуса Л, является весьма трудной задачей, несмотря на то, что
угловое расстояние, их разделяющее, составляет около 10".
Зная параллакс, абсолютную яркость можно вывести из видимой яркости
обычным путем. Что касается визуально-двойных звезд, то мы располагаем неко-
торым количеством параллаксов, определенных для этой цели достаточно точно.
(Ведь, как мы знаем, немалая доля ближайших звезд является визуально-двойными.)
Кроме того, в нашем распоряжении еще и некоторое количество достаточно на-
дежных динамических параллаксов (см. стр. 422).
Название звезды
Массы компонентов
в массах Солнца
Сириус
.. ..
Процнон . . .
а Центавра . .
Крюгер 60 . .
2,6; 0,9
1,2; 0,4
1,1; 0,9
0,3; 0,14
Результат исследования, проведенного в этом направлении, состоит в том, что
компоненты двойных звезд ведут себя совершенно так же, как и одиночные
звезды: преобладающее большинство их принадлежит к основному ряду, некото-
рая часть располагается вдоль ветви гигантов, и сравнительно очень'немного-
численные компоненты двойных звезд являются звездами класса В и сверх-
гигантами; субгиганты, вероятно, встречаются в незначительном количестве. На-
конец, белые карлики, видимо, вовсе нередки среди визуально-двойных звезд.
В самом деле, три из пяти известных белых карликов являются компонентами
двойных звезд. Именно в качестве компонентов двойных звезд белые карлики
особенно заметны благодаря тому, что, несмотря на свой белый цвет, они являются
очень слабыми спутниками.
Этот результат чрезвычайно важен, так как он оправдывает сделанное нами
ранее обобщение, согласно которому мы вычисленные массы двойных звезд
сочли типичными и для звезд одиночных (см. § 275).
Итак, за немногими лишь исключениями компоненты двойных звезд распола-
гаются вдоль линии основного ряда или вдоль ее продолжения, образуемого
ветвыо гигантов. А это значит, что два компонента, обладающих одинаковой
видимой яркостью и, следовательно, — в силу того что расстояние до них практи-
чески является одним и тем же — одинаковой абсолютной яркостью, вообще
говоря, будут обладать приблизительно одинаковыми спектрами. Правильность
этого вывода удалось надежным образом подтвердить наблюдениями.
В силу этого мы должны ожидать следующего: из пары карликовых компо-
нентов компонент, имеющий ббльшую видимую яркость, будет обладать большей
поверхностной яркостью, более высокой эффективной температурой и спектром,
соответственным образом приближенным к классу А; наоборот, из пары гигант-
ских компонентов компонент, имеющий ббльшую видимую яркость, будет обла-
дать более низкой эффективной температурой и спектром, соответственным обра-
зом приближенным к классу М. Или, иначе говоря, мы должны ожидать, что
линия, соединяющая на диаграмме Ресселла точки, соответствующие обоим ком-
понентам) пойдет у двух звезд-гигантов сверху вниз с наклоном влево, совпадая
по своему направлению с направлением ветви гигантов, в то время как анало-
гичная линия в случае двух звезд-карликов пойдет сверху вниз с наклоном влево,
совпадая с направлением собственно основного ряда. Во многих случаях, даже
и при довольно неточном знании параллаксов, все же удавалось различить, имеем
ли мы дело с парой звезд-гигантов или с парой звезд-карликов; в этих случаях
вышеуказанный вывод также удалось подтвердить наблюдениями. В отношении
двойных звезд, один из компонентов которых является звездой-гигантом, а дру-
гой— звездой-карликом, столь простого правила не существует. Эти случаи
встречаются реже.
Наблюдения двойных звезд удалось использовать с успехом для установления
направления линии основного ряда и ветви гигантов. Для этого применялся сле-
дующий метод: определялась разность видимых яркостей компонентов. Разность
абсолютных яркостей является такой же. Затем определялся спектральный класс
обоих компонентов. Тем самым, если можно так выразиться, строился отрезок
искомой кривой, а из большого числа таких отрезков с достаточной точностью
выводилась форма этой кривой. Этот же материал, разумеется, может исследо-
ваться и аналитическим способом, что осуществляется путем замены кривой
таблицей по типу таблицы, помещенной на стр. 405. В таком случае каждая
пара компонентов даст уравнение, связывающее между собой цифры этой таблицы.
Из такого материала наблюдений, разумеется, может быть выведена лишь форма'
кривой, но не ее абсолютное положение в диаграмме Ресселла. Это последнее
должно быть определено с помощью известных параллаксов.
§ 284. Спектрально-двойные звезды представляют собой класс двойных
звезд, который сделался известным лишь около полустолетия назад. Компоненты
этих двойных звезд расположены настолько блрзко один от другого, что их не
удается разглядеть по отдельности даже в сильнейшие телескопы. Однако дви-
жение, характерное для двойных звезд, проявляется в своей составляющей, парал-
лельной лучу зрения, в форме периодических смещений спектральных линий.
Первой спектрально-двойной звездой, двойственная природа которой была
обнаружена, явилась Ct Большой Медведицы. Это открытие было сделано Э. Пик-
керингом приблизительно в то же время, как Фогелю удалось доказать наличие
изменчивой лучевой скорости у Алголя (1888 г.) . Период обращения двойной
звезды Çj Большой Медведицы составляет около 20 дней.
В настоящее время известно свыше 1000 спектрально-двойных звезд. Периоды
обращений," которые удалось определить примерно для 300 из них, в большин-
стве случаев измеряются несколькими днями.
Когда оба компонента двойной звезды обладают приблизительно одинаковыми
яркостями, в спектре ее вицны линии обоих компонентов. В этих случаях спектры
компонентов почти всегда оказываются одинаковыми. Вследствие движений ком-
понентов по орбитам тогда в определенные периоды все линии представляются
двойными. Расстояния между раздвоившимися линиями правильно изменяются
в продолжение одного периода; дважды в течение каждого такого периода спек-
тральные линии обоих компонентов совпадают между собой.
Часто один компонент двойной звезды бывает настолько ярче другого, что
линии более слабого компонента остаются невидимыми. (Как правило, это имеет
место в тех случаях, когда разность яркостей компонентов превосходит две
звездные величины.)
Располагая длинными рядами измерений, мы можем установить характер перио-
дических колебаний лучевых скоростей. Отложив в прямоугольной системе коор-
динат по оси абсцисс моменты наблюдений, а по оси ординат лучевые скорости,
строят соответствующую наблюдениям кривую для полного периода. Она назы-'
вается кривой лучевых
скоростей
и дает графическое изображение изучаемых
колебаний (см. фиг. 173).
Когда видны линии обоих компонентов, то по расстояниям между компонен-
тами расщепленных линий возможно вычислить относительную скорость, для чего
точных длин волн спектральных линий измерять не нужно. В тех случаях, когда
компоненты раздвоившихся линий расходятся на большое расстояние (т. е . при
больших относительных скоростях), мы можем использовать снимки, полученные с
помощью объективной призмы. Для определения движений обоих компонентов двой-
ной звезды по отдельности необходимо произвести точные определения длин волн
по сравнению со спектром сравнения земного источника света. А когда видим
один лишь спектр двойной звезды, спектр сравнения необходим по всех случаях.
§ 285. Спектральные классы спектрально-двойных звезд. Известны спек-
трально-двойные звезды всех основных классов Гарвардской
классификации.
Помещенная ниже таблица иллюстрирует распределение спектрально-двойных
звезд по спектральным классам.
Количество спектрально-двойных
звезд спектральных классов О, В и
АО — A3 весьма велико. Те звезды,
переменные лучевые скорости кото-
рых подвергались исследованиям, в
преобладающем своем большинстве
обладают большими видимыми ярко-
стями (т < 6'»), в силу чего среди
них нередки звезды спектральных
классов О и В (см. § 273); однако,
как
видно из таблицы,
процент
одиночных звезд этих классов зна-
чительно
ниже соответствующего
процента спектрально-двойных звезд.
Положение вещей в этом отношении можно исследовать более подробно.
Мы можем поставить задачу вычисления процентов, составляемых спектралыіо-
Спектральный класс Количество
П
р
о
ц
е
н
т
Процент у оди-
ночных звезд
ярче 5'",25
О
27
3
0,3
ВО —В7
201
20
9
В8—A4
358
36
27
А5—F4
111
11
12
F5—G4
124
12
12
G5—К4
151
15
30
К5—М8
30
3
10
1002
двойными звездами к общему числу звезд по каждому спектральному классу по
отдельности. Согласно вышеизложенному следует ожидать того, что эти проценты
для спектральных классов О и В будут особенно высоки. Это и имеет место
в действительности. Из числа звезд классов О и В ярче 6»' около половины
оказывается спектрально-двойными. Однако в силу того, что эти сравнительно
яркие звезды исследованы неполностью, мы вправе предполагать, что доTM ёх
в действительности еще больше, быть может достигая % Доли, составляемый
пеКТРаГ/"ЫХ КЛаСС0В А' F
'
G'КИМ
'
меньше: они заключаются^ в пре-
делах от /,0 до J/20.
Среди известных нам звезд, находящихся ближе 5 парсеков (см S 307) спект
рально-двойных звезд не встречается, а из известных нам (около 100) звезд находя!
щихся ближе 10 парсеков, имеется две спектрально-двойные звезды. Следовательно
звезды основного ряда сравнительно редко являются спектрально-двойными.
'
Около 20% известных нам спектрально-двойных звезд дают спектры обоих
компонентов. Из числа принадлежащих к спектральным классам О В A F и G
ГсоТвТи TL—TM
Д0 20~30Ъ-
Сред"
"«^рально-двойных звезд
классов К и M звезды, дающие спектры обоих компонентов, почти отсутствуют!
mm
Вычисление элементов орбит спектрально-двойных звезд. По кривой
ГН гЛ,?0СТ
М0ГуТ бЫТЬ 0пределе,,ы
элеменTM орбит спектрально-двойных
звезд. Сначала рассмотрим случай, при котором будет исследоваться движение
одного компонента относительно центра тяжести двойной звезды
движеіІие
„иЛЛ1Іір орбиты в основном будут теми же, как и в случае'визуально-двой-
ных звезд. В данном случае отпадает лишь элемент Л в силу того, что в кривой
радиальных скоростей не произойдет никаких изменений в том случае, если мы
изменим величину Л,
что равносильно повороту вокруг луча зрешя
кЬоме
относител'ьн'о
олнца ? °Г
°
"'
в
^«дет
-рость у це.п/а тяжести
си/Г
Мы будем относить движение по орбите вокруг центра тяжести к системе
глі^наблюлятрля Т"*
Параллельна
лу чу 3Р«""Я
.
причем направле е
"
глаза наблюдателя мы будем считать положительным. Лучевая скорость рассма-
триваемого компонента относительно Солнца равна сумме лучевыГ скоростей
центра тяжести и проекции на ось OZ центра этого компонента, движущёгГсё
по орбите вокруг центра тяжести двойной звезды:
ищущегося
о nnntlZl CIR0P0CTH движения
на
ось
вычисляется по уравнениям задачи
о двух телах. Выразим сначала, координату z через элементы, а затем найденное
уравнение продиференцируем по времени. При вычислениях' мы воспёлІуёёІ
прежними обозначениям (см. стр. 217-245). Полярные координатьГнГ орбите
ІГпбГиЛЬН° ТТРа ТЯЖеСТИ' НахОДЯщегося в Фокусе эллиптической орбиты^ мы
наосьZ
'ЭтГТіЧере3Г"*
МЫ °Пределяем
проекцию радиуса-вектора
на ось oz.
Этот радиус-вектор мы разлагаем на две составляющие, из которых
одна направлена по линии узлов (x), а другая по перпендикуляру к линии уZS
ГѵлярЩнеаМУк ссП„Л0ОТС:Иг0РбИТЫ ІУГ0Л <*)-(*>- + «<>•]. Лині узлов ірпен^
кулярна к оси oz,
в силу чего составляющая по линии узлов в такой проекции
становится равной нулю. Другая составляющая выразится следующей формулой
гcos(со и 90°) = гsin(ш-j—it),
(2)
ГТПІ0Л'
обР33У«мы« линией узлов с прямой, соединяющей центр тяжести с периа-
стром, будет равен со, угол между линией узлов и радиусом-вектором будет равен
,
следовательно
> угол между перпендикуляром к линии узлов ирадиусё"
вектором будет равен co-f -* -90°.
Угол же между перпендикуляром к линии
узлов и осью Z будет равен 90°-/, в силу чего для /мы, наконец
nonyZeu
следующую формулу [см. также формулу (55) на стр. 230J:
2= гsin(ш
v) sin /.
.
..
(3)
Диференцируя это уравнение, находим
=
sin(0)+ v)sini-fгcos(ш-fv)sinip..
(4)
Величины VL „ PL могут быть П0Лучены из уравнений задачи о двух телах.
Получаем (см. стр. 229 и 244)
г_ «(!-<*)
1-f-еcosV
(5)
(б)
где
2*
Г
•
(7)
Из уравнения (5), диференцируя, находим
dr
а(1—е"-\
.
dv
~ dt=(l+ecosvyesmv
- dt>
(8)
а отсюда с помощью уравнения (5) получаем
dr
r2
.
dv
~t
—
flO-сЗ) es,nv
dt-
(9)
С помощью уравнения (9) величина 4L может быть выражена через—,
аиз
dv
^^
уравнения (6) мы вычисляем
Подставляя правую часть уравнения (9) в урав-
нение (4), получаем
Подставляя в уравнение (10) величину г2^,
согласно уравнению (6), и зна-
чение у, согласно уравнению (5), находим
dz
wasin:
.
ixa sin i
+
+
+
+
(И)
Преобразуя уравнение (11) с помощью тождества
sinT/'Sin(œ-j-v)+ cosvcos(œ+ v)= cosV-{-v
—
v)= cosш,
получаем в окончательной форме
dz
pasinI r
,
.
.
.
-^
=
yp=[cos(œ-j -T ,) -{-e cosco].
(12)
Для лучевой скорости с помощью уравнений (1) и (12) получаем следующее
выражение:
Vr== V+^==
:
|rtcos(
u,
+'î,) + ecoso>].
(13)
или
К = V+Ar[cos(m + t/) + ecos®],
(14)
где
„,
pasini
В уравнение, дающее лучевую скорость, элементы а и і входят лишь в ком-
бинации a sin/. В силу этого из кривой лучевых скоростей оба эти элемента
нельзя получить по отдельности, но можно получить также лишь в комбинации.
Уравнения (13) или же (14) и (14а) выражают связь между кривой лучевых
скоростей и элементами орбиты звезды.
С помощью этих уравнений из этой
кривой можно вывести эти элементы.
Элемент V мы получаем непосредственно на основе следующих соображений,
но истечении полного периода рассматриваемый компонент двойной звезды дол-
жен возвратиться в первоначальное положение относительно центра тяжести и
в частности, величина z должна приобрести прежнее значение. Следовательно'
полное изменение величины z в течение одного периода равно нулю:
t+u
dz
Zt+v
zt=
Jdtdt=0.
(15)
или
Решая совместно уравнения (1) и (15), находим
t+v
f (K~V)dt
=
0,
t
(16)
t+v
K=I J
dt.
t
Следовательно, элемент V является средним значением лучевой скорости во
взятом промежутке времени. Проведем на диаграмме лучевых скоростей горизон-
тальную прямую на высоте V. Тогда расстояния точек, лежащих на кривой луче-
вых скоростей от этой прямой, выра-
зятся следующей формулой:
км
Согласно уравнению (15), взятая с
соответствующим знаком площадь, за-
ключенная между кривой лучевых ско-
ростей и' прямой V, равна нулю. Сле-
довательно, числовые значения такого
рода площадей,
находящихся над и
под прямой V, между собой равны.
Это служит основой удобного метода
нанесения прямой V с помощью пла-
ниметра в том случае, если мы рас-
полагаем начерченной кривой лучевых
скоростей (см. рис. 173).
•18
•6
-6
-18
-30
-4/
и
о
Средне
Ось V-
121
202428
Сутки
Фиг. 173. Кривая лучевых скоростей.
НИа°пТДТЫе эдементы получаются на основе следующих соображений. Из уравне-
ния, ко ада ВИДИМ' ЧТ
°
ЛуЧеваЯ
скорость Достигает наибольшего .своего ^He-
cos(m+ г/)= + 1,
скоро ст'и* таков о?Р Я' В В
°
СХ°ДЯЩеМ угле>
и
"
то
максимальное значение лучевой
( *ааво
=
Ѵ-\-К-\ -Ке
cosœ.
(17)
Равным образом лучевая скорость достигает наименьшего своего значения, когда
cos(ш+ ѵ)=
—
1,
Т. е. в нисходящем узле. Наименьшее значение лучевой скорости таково:
(1/г)Шш = у
—K-\-Ke cos ш.
Разность обоих этих крайних значений, т. е . амплитуда кривой лучевых ско-
ростей, согласно уравнениям (17) и (18) будет:
Амплитуда = 2 К .
(19)
Следовательно, комбинация элементов І< [см. уравнение (14а)] может быть
найдена непосредственно как половинная амплитуда колебаний лучевой скорости
Далее имеем
tVep=
—
2
=
V-\-Ke cos ш.
(20)
Ke cos©K3K ВеЛИЧИНЯ У уже известна>
из
Уравнения (20) получаем величину
В периастре
V= 0°,
cos(со+ ѵ)= cosш
(Ѵг)овр= V+ATcosco + ZCccosco =(l/r)op + /Ccosco.
(21)
В апоастре
V =180°,
cos(ш—j-ѵ)=
—
cos ш
Noап=
ѵ
~
К cos <» КСcos а = (Ѵг)сѵ
—
к cosa.
.
(22)
Из уравнений (21)' и 22) мы видим следующее. Если мы в диаграмме лучевых
скоростей проведем прямую, равноотстоящую от максимумов и минимумов кривой
т. е . среднюю линию (см. рис. 173), то точки,
соответствующие
периастру
и апоастру, будут находиться на одинаковых расстояниях от этой прямой сверху
и снизу. Расстояние это будет равняться АГ|cos ш|.
Следователыю, исходя из какой-либо точки пересечения средней линии с 'кри-
вой лучевых скоростей и последовательно рассматривая точки, лежащие на этой
кривой на одинаковых расстояниях над и под средней линией и все более и более
удаленные от исходной точки пересечения, мы, наконец, дойдем до точек, соответ-
ствующих периастру и апоастру; это произойдет в тот момент, когда расстояние
по оси времен окажется в точности равным половинному периоду. Так опреде-
ляются периастр и апоастр. При этом периастр будет соответствовать той из
двух этих точек, в которой изменение лучевой скорости является большим.
Диференцируя уравнение (14), получаем
•JjVr=
—
/Csin (ш -j
т. е.
(й Vr)
=- /<Sin
ПСР
a согласно закону равенства площадей, описываемых радиусом-вектором, угловая
скорость в периастре оказывается наибольшей.
Кроме момента прохождения через периастр, мы определяем отсюда и вели-
чину /<cos ш, которая, следовательно, будет положительной или отрицательной
смотря по тому, придется ли периастр на участок кривой, лежащий над средней
линией или под ней.
Так как величины К, К cos ш и Ke cos © [см. уравнение (20)] теперь уже
известны, находим непосредственно cosco и Й. Квадрант, в котором находится ©,
устанавливается легко в силу того, что согласно уравнению (24) лучевая скорость
в периастре уменьшается или увеличивается в зависимости от того, является ли
«шіш положительным или отрицательным.
(23)
(24)
в)--
(25)
Когда cos ш близок к 1, определение ш становится неточным. Однако имеется
возможность вывода sin<n на основании свойств кривой лучевых скоростей, что
мы и произведем в данном случае. Однако на этом мы больше задерживаться не
будем.
Итак, нами получены все элементы, могущие быть определенными непосред-
ственно, а именно:
период обращения U, а вместе с тем и среднее суточное движение \f =
'j j,
полуамплитуда К=
^ " SÊLL.
yl—e2
момент прохождения через периастр Т,
эксцентриситет е,
долгота периастра to.
Наконец, из К, [tue мы выводим комбинацию элементов «sin/.
Если нам известны относительные лучевые скорости обоих компонентов, то
мы подобным же образом можем вычислить и элементы относительной орбиты.
Снабжая обозначения элементов, характеризующих движение более яркого
компо-
нента индексом 1, а соответствующие обозначения элементов, характеризующих
движения более слабого
компонента индексом 2, преобразуем уравнение (13) для
случая абсолютных движений обоих компонентов в следующие два уравнения:
(Vr)i=VY ^7=== [cos(ш+ ѵ)Y ecosсо]= у
К,[cos(ш-fv)+ еcos©],
(VY=
tz+J^7==[
—
cos(со+ v)—сcosсо]= VY^Л —cos(со-fv)—ecosш].
При этом мы воспользовэлись тем обстоятельством^ что элементы V7, і не
являются для обеих орбит одинаковыми и что ш2=180° + ш1 (см. §179). Тем
самым мы для относительной лучевой скорости получаем следующее уравнение:
(К)отп =
(vy-(vy =
[cos(ш+ѵ)+ecosш]
=
=
(^і+ К2)[cos(ш+ ѵ)-f-сcosш]= /<отп[cos(со+ ѵ)-J-сcosш].
(26)
Эти уравнения подобны уравнениям (13) и (14) с той лишь только разницей,
что в них входит большая полуось относительной
орбиты, а величина V в них
не входит совершенно.
•
Вычисление элементов производится совершенно таким же образом, как и
раньше. В конце концов MÊI получаем те же самые элементы, что и раньше,
с той лишь разницей, что V отсутствует и что определяется большая полуось
относительной орбиты.
§ 287. Вычисление масс спектрально-двойных звезд. Определив из кривых
лучевых
скоростей элементы орбит обоих компонентов
спектрально-двойной
заезды, мы получили следующие величины:
a, sin / для орбиты компонента массы тѵ
«оsin/
„
„
т0>
•U — период обращения, общий для обеих орбит.
Отсюда мы можем сделать заключения относительно масс т, и /«а (используя
обозначения, общепринятые в проблеме двойных звезд). Во-первых, имеем
т-і
«i
«isinі
"h
а.,
«л sin/ *
(t)
Далее имеет силу следующее уравнение [см. уравнение (100) на стр. 244]:
u а'і»
-
V'«i+ /«2) •
(2)
430
ЗВЕЗДНАЯ АСТРОНОМИЯ И АСТРОФИЗИКА
Преобразуем его в следующий вид:
• K+"2)=(2t FSfO+SJ1.
•
о)
В уравнении (3) величина u известна, а отношение тх\щ может быть вычис-
же полуось
неизвестна
-
умножая
°
бе
—
Правая часть этого уравнения' нам полностью известна. Умножая обе части
уравнения на
, получаем
mxsin8/=(Ç)2ifL^iliЛ , гЩ(_J_ ч
,
v ^Wll+Wa/mJ'
(5)
Аналогично находим
В этих уравнениях правые части тоже известны. Однако сами массы не могѵт
быть определены до тех пор, пока нам неизвестно наклонение орбиты. Из этих
уравнений мы получаем минимальные значения масс (sin/< 1)
на с"?? 4°26Р]еДеЛеНИИ
°
Р6ИТ ВеЛИЧИНу CSln/ получают из К [см. уравнение (14а)
asinі=К
±=К
(6)
Подставляя правую часть уравнения (6) в уравнение (1), получаем
щ к,'
(7) '
Массы относятся одна к другой обратно пропорционально амплитудам
Подставляя правые части уравнений (6) и (7) в уравнение (4), получаем
К+Оsin8/=
(2І)У
(
1)3,
(8)
или
4
£
(Wj + Wg) sin8/ = 2ёАт(Кі + /С2)3/У(1-*
2)\
(9)
Равным образом уравнение (5) преобразуется следующим образом:
£
т1 sin8 / = Zip КЛК^К2УU(\-е2)\
(10)
Совершенно аналогичным образом из уравнений (7) и (10) получаем
£
m2sin8/=
+ (+ ++)2f/( 1-е2)2.
(II)
Величина постоянной Гаусса k зависит от используемых единиц. Удобнее
В ?1TMЖаТЬ
К В КНЛ0Метрах в се,суидУ' 8 U-в средних солнечных суткх!
получаем
МССЫ ИСПОЛЬЗуют
ма ссу
СолПрименяя эти единицы,
Щsin"/ = 1,038 -10-7 Ко{К, + K,fU(1— г2)''-,
т2 sin8 / = 1,038 - 10-7/<1(/<1 + ^2)2(/(i_e2)V,j
(12>
+ Wg)Sin8/ = 1,038 •10-7 (+ + +)3 /7(1— e2)\
п рпи
м
"
В"Г'
ЧТ0 ДЛЯ ЗВеЗД равН0Й массы амплитуды тем меньше, чем больше
Г!?3"1?"'
ДЛЯ Т
Же
'
облада
'«
равными периодами обращения,
амплитуды тем больше, чем больше массы.
'
„:,L?!CIße
п
Риме
Ра возьмем спектрально-двойную звезду Капеллу. У Капеллы
вдге зиачения?еЛИТЬ
°
Рб"Т
°
б°ИХ компонентов. Б Ал и полутень, следую
ATj = 25,8 км/сек,
К2 = 32,5 км/сек,
u = 104,022 средних солнечных суток,
е = 0,0086.
Отсюда получаем
т2
25.8
ml sin8/ =1,19,
m2 sin8/ = 0,94.
СолнГХТ"°А ШССЫ °КаЗЫВаЮТС/ во всяком случае больше 1,19 и 0,94 массы
nrrZZ
°
ЭТУ
П0В0Ду большего сказать нельзя в силу того что /
остается неизвестным. Однако в одном из последующих параграфов будет
чтодля ДВОЙНОЙ звезды Капеллы наклонение орбиты / удались опр'еделГГным
ѵоав£еЛнияПП2)Д?п?,тГ?'ИЫХ спектР
ах
определена относительная орбита, то ид
уравнения (12) может быть получена функция массы (т.
-4- тп) sin8/ А если н-ш
^Тш^ІоипТ 'аTM ПуІеМ'
то может быть вычислена АсумІіа масс rZ-j-mo-
иЛ
ПеР
иоды обращений й эксцентриситеты спектрально-двойных зТезл
влаяют щ<оГо0ёзИѴиГОДЫ' ИЗВеСТНЫе НЗМ У -ектральн?-двоНйньГS, состо-'
вляют около 0«,3. Ниже приведены некоторые величины, хаоактеоизѵюшне гпеіг
BPS04TB УЮ ЗВеЗДУ W Б0ЛЬШ0Й Медвед^,
обладающую^Тр^^Тращеяия
W Большой Медведицы.
Видимо два спектра. Спектральный класс обоих компонентов близок к G0
U = 0й,334,
+ = 134 км]сек,
+ = 188 км/сек,
е= 0,0,
a, sin / = 610 000 км = 0,88 радиуса Солнца,
û2 sin/ = 860 000
„=1,24
(а, + а2)sin/ = 1470000 „
=2,12
да, sin8 / = 0,65 массы Солнца,
теа sin8 / = 0,47 массы Солнца,
0.
mо
'
Штшшшшш
чины (flj + fljsin:
объяснить малым наклонением /, то нам в силѵ нялиаиа „„„
входят массуПРСо1ТВбЫ
ЧТ° МЗСШ
—nZ-ачГе?Го
равные 5,2 и 3,8 массы Солнца. Но тогда компоненты оказались бы подобными
Капелле, а не Солнцу (см. § 274); их радиус превысил бы 10 радиусов Солнца,
каковая конфигурация является невозможной. В одном из последующих парагра!
фов мы увидим, что этот вывод может быть подтвержден еще и иным путем. -.
Очевидно также, что для компонентов этих спектральных классов невозможен
значительно более короткий период обращения, так как в противном случае
соответствующее расстояние между компонентами сделалось бы меньше суммы
радиусов компонентов. Как мы сейчас в этом убедимся, для других спектральных
классов рассматриваемые условия оказываются лишь не на много более благо-
приятными, а частью и гораздо менее благоприятными. В силу этого мы наблю-
даемый нижний предел периодов обращений имеем основание считать необходи-
мым нижним пределом.
Условие, согласно которому сумма радиусов компонентов должна быть меньше
наименьшего расстояния между центрами компонентов, в общем виде напишется
следующим образом:
f +'2 <(«і+ +)(!— е).
(1)
Рассматривая случай наиболее короткого возможного периода обращения, мы
будем полагать орбиту круговой. Получаем:
rt + r2 <«j+ûa,
е= 0.
(1а)
Согласно третьему закону Кеплера получаем [см. уравнение (2) на стр. 422]
«І + ЯІ.-
0^»
(2)
где использованы обозначения, приведенные на стр. 422, или
«i+ «2= К + ю2),/,іЛ
(3)
Подставляя правую часть уравнения (3) в уравнение (1а), получаем
G -\ -го<('п1-\ -т2)'
,
чг\
(4)
т. е . неравенство, определяющее период обращения
"> ѴШ-
со
Вводя в качестве единиц вместо года, радиуса земной орбиты и массы Солнца
(см. стр. 422)' средние солнечные сутки, радиус Солнца и массу Солнца, мы
должны будем последнее уравнение преобразовать следующим образом:
U> 0'МІбі/"VL±U?ÏL.
v m,--/л,
m,+m2'
(5a)
В случае равенства обоих компонентов неравенство (5а) приобретает особенно
простой вид. Тогда
ір+гі? _ (2г|)3_____^ г? = 4_=
4
"i+"h
2ту
туôt 32'
где 8 — плотность по сравнению с плотностью Солнца, принятой за единицу.
Неравенство (5а) примет вид
>_
7?'
со
Следовательно, более тесные двойные звезды могут обладать более короткими
периодами обращений, чем менее тесные.
В том случае, если компоненты между собой не равны, мы будем иметь дело
с некоторым удовлетворяющим уравнению (5а) средним значением плотности.
У звезд-карликов классов К и M, а равно и у белых карликов мы, ввиду
значительных их плотностей (см. фиг. 172), вправе ожидать еще более коротких
периодов обращений, чем у W Большой Медведицы. Однако вследствие незначи-
тельных своих абсолютных яркостей эти звезды почти совершенно не встречаются
среди ярких звезд, исследованных с целью обнаружения изменения их . уіевых
скоростей. В самом деле, нам известны только три спектрально-двойные звезды
среди карликов класса 'К и только одна такая звезда среди карликов класса М-
последняя является далеким спутником а Близнецов. В последнем случае оба
компонента являются карликами класса М. Период обращения их сравнительно
невелик, составляя 0«,81, но он мог бы быть еще гораздо меньше без того,
чтобы расстояние между компонентами сделалось бы чрезмерно малым.
У звезд классов О и В кратчайшие известные нам периоды ' обращений
несколько превышают 1 сутки. Эти звезды обладают плотностями, порядок вели-
чины которых в 10—100 раз меньше плотности Солнца (см. фиг. 172 и S 294)
Вследствие этого нижний предел периодов их обращений в 3—10 раз больше'
чем для солнцеподобных звезд. А потому наблюдаемый нижний предел, равный'
приблизительно 1 суткам, должен быть и в данном случае отнесен за счет гео-
метрического условия, о котором было сказано выше. Звезды классов А и F
в отношении нижних пределов значений U занимают промежуточное положение
между звездами классов G и В, как этого и следовало ожидать.
Звезды классов К и M из числа звезд, обладающих большими видимыми
яркостями, как это уже отмечалось, за немногими исключениями являются звез-
дами-гигантами. Плотности гигантов весьма малы (см. стр. 409), обладая порядком
величины от 10"» до К)-7
.
Не приходится ожидать периодов обращений, меньших
10 суток, а, вероятно, предел для звезд класса M в действительности еще выше
И в самом деле, среди звезд этого класса мы встречаем лишь подобные сравни-
тельно долгие периоды обращений.
Периоды обращений от 1 до 20 суток у 'звезд всех спектральных классог
за исключением К и М, весьма часты (см. выше). Большие периоды обращении
встречаются у звезд всех спектральных классов, но в классах О и В, а равно и
в классах А и F они наблюдаются реже, тогда как в классах G, К и M они
встречаются часто. Эта закономерность ясно вырисовывается в помещенной ниже
таблице средних периодов обращений для различных спектральных классов.
Продолжительные периоды обращений у звезд класса В
встречаются лишь в единичных случаях. Так,
напри-
мер, у Возничего, принадлежащая к классу В, обладает
периодом обращения, равны 655 дням. Подобные случаи
в таблице, помещенной рядом, не предусмотрены.
Эксцентриситеты
орбит спектрально-двойных звезд
в большинстве случаев сравнительно невелики. Почти
половина спектрально-двойных звезд, орбиты которых
нам известны, обладает эксцентриситетами, меньшими 0,10,
и лишь около 6% обладают эксцентриситетами свыше 0,60'.
Средний эксцентриситет равен приблизительно 0,2.
У спектрально-двойных звезд с короткими периодами обращений эксцентри-
ситеты орбит в среднем меньше, чем у таких же звезд с долгими периодами
обращении и чем у визуально-двойных звезд. Это ясно видно из следующей
таблички, в которой сопоставлены соответственные значения Une:
Спектральный
класс
и
О —В4
24d
В5 —A4
18
А5 —F4
20
F5—G4
ПО
G5—К4
265
К5—М7
962
11,3
3,4
12 ,1
0,09
0,05
0,22
и
49<*
172
791
0,32
0,28 '
0,33 -
Мы знаем, что у спектрально-двойных звезд классов О, В, А и F периоды
обращений в среднем короче, чем у таких же звезд классов G, К и M В силу
наличия корреляции между периодом обращения и эксцентриситетом мы вправе
Аотронолша
были бы ожидать, что у первых эксцентриситеты должны быть в среднем несколько
меньше, чем у последних. Это и имеет место в действительности, но только ука-
занное различие не столь велико, как этого можно было бы ожидать. Это обу-
словлено иным обстоятельством, состоящим в том, что при равных периодах
обращений эксцентриситеты орбит компонентов спектрально-двойных звезд клас-
сов Ci, К и M несколько меньше эксцентриситетов орбит компонентов таких же
звезд классов О, В, А и F.
§ 289. Массы спектрально-двойных звезд. В том случае, если различимы
спектральные линии обоих компонентов и если известны элементы орбит послед-
них, мы можем отсюда вычислить и отношение масс обоих компонентов. Согласно
уравнению (7) предыдущего параграфа отношение а массы /«„ (слабого компо-
нента) к массе тх (яркого компонента) выражается следующим образом:
Этим способом могут быть определены отношения масс компонентов около
100 спектрально-двойных звезд. За весьма немногими исключениями более яркий
компонент обладает большей массой. В большинстве случаев отношение масс
мало отличается от 1. В среднем а = 0,75. У звезд классов О, В и А встречаются
меньшие значения а, чем у звезд остальных спектральных классов; эти значения
ДОХОДЯТ приблизительно до 0,2.
„
вплчвмии
В общем мы и должны были ожидать того, чтобы массы оказались не слиш-
ком различными, потому что яркости должны быть приблизительно одинаковыми
для того, чтобы оба спектра могли быть йнднмы.
Однако и в случае видимости обоих спектров массы компонентов могут опре-
деляться с точностью до некоторого, вообще говоря, неизвестного множителя
зависящего от наклонения. Правда, сделав допущение о случайном распределении
наклонений орбит, мы имеем возможность сделать некоторые выводы общего
характера.
Важнейший результат,
получаемый
при этом,
состоит в уста-
новлении того факта, что звезды классов О и В обладают наибольшими массами
Однако впоследствии мы увидим, что далеко не в малом количестве случаев
определение наклонения возможно произвести иным способом. Таковыми являются
случаи когда мы одновременно располагаем и визуальным определением орбиты
§ 299 " 29или
когла
происходят затмения (покрытия)
компонентов
(см. § 294). В этих случаях удается непосредственно определить массы компонен-
тов. U результатах такого рода определений будет сказано в одном из после-
дующих параграфов.
§ 290. Визуально-двойные
звезды, у которых наблюдались
изменения
лучевых скоростей. Визуально-двойной звездой, обладающей наиболее коротким
известным нам периодом обращения, является 8 Жеребенка, у которой (7=5 70 года
(см. стр. 421). Среди спектрально-двойных звезд встречаются такие, которые
обладают периодами обращения, превышающими 1 год. Поэтому, естественно
является мысль о том, чтобы исследовать, не обнаруживают ли изменений луче-'
пых скоростей их компонентов визуально-двойные звезды, обладающие наиболее
короткими периодами обращений.
Согласно уравнению (14а), выведенному па стр. 426, полуамплитуда кривой
лучевых скоростей выражается следующей формулой:
..
I*" sin ( __2те
«sin/
ѵі~с2
иут=ёг
(1)
Для нижеперечисленных двойных звезд, обладающих сравнительно
короткими
периодами обращений, визуальные наблюдения дали следующие значения элемен-
тов их орбит:
Название звезды
и
н годах
а"
т:
а
п радиусах
земной
орйііти
е
1
К
в к.и/сек
о Жеребенка
а Центавра
е Гидры AB
5,70
80,1
15,3
0",27
17,66
0,23
0", 064
0,76
0,022
4,2
23,2
10,5
0,39
0,52
0,65
99°
79
50
24
10
21
У-а Центавра период обращения не особенно мал; однако вследствие больших
видимых яркостей обоих компонентов радиальные скорости могут быть опреде-
лены относительно очень точно.
С помощью этих элементов значения К были вычислены по формуле (1) Часть
использованных параллаксов была определена непосредственными
измерениями
тогда как остальные параллаксы являются динамическими.
Поясним ход вычислений величины К следующим примером (8 Жеребенка).
1м. Ы имеем
*
'
6.28 4 ,2
—
5,70"Ö92' '
=
'
радиуса земной орбиты в год.
Но так как (см. Приложение, стр. 519)
1 радиус земной орбиты в год = 4,74
км/сек,
К =24 км/сек.
мы находим
Такова полуамплитуда относительного движения по орбите, так как величина а
является большой полуосью относительной орбиты. Величина К в данном слу-
чае настолько велика, что мы вправе ожидать того, что различия лучевых ско-
ростей компонентов будет легко определить из наблюдений. И действительно
удалось измерить различия лучевых скоростей, обусловленные
относительными
движениями компонентов по их орбитам. При этом из наблюдений был получен
следующий результат:
у
К= 31 км/сек.
С помощью элементов, определенных визуальным путем, величина К может
быть вычислена из (Ц.)ота согласно уравнению (26), выведенному на стр. 429,
без того, чтобы являлись необходимыми построение* кривой лучевых скоростей
и определение ее максимума и минимума.
В тех случаях, когда параллакс те известен недостаточно надежно, он может
быть определен путем сопоставления обоих значений К: для этого нужно подо-
брать такое значение те, чтобы значения К, полученные обоими способами, совпа-
дали. В вышеприведенном случае полное
совпадение было бы достигнуто
при те —и
,U48. Следовательно, параллакс, выведенный из комбинации визуальных
и спектральных данных, оказывается равным 0",048. Иным образом это положе-
ние может быть выражено так: из спектральных наблюдений мы получаем вели-
чину a sin z, а из визуальных —наклонение орбиты /, откуда может быть выве-
дена величина а, выраженная в километрах или в радиусах земной
орбиты.
Визуальные наблюдения дают а", а отношение обоих дает параллакс. В одном из
последующих параграфов будет приведен числовой пример указанного рода
Ко времени написания этой книги наблюдались изменения лучевых скоростей
НЛИЛо,Ра3
"°
СТН лучевых скоростей компонентов десяти визуально-двойных звезд.
S 291. Наблюдения спектрально-двойных
звезд интерферометром. Интер-
ференционная установка, аналогичная той, которая применяется для определения
УГЛОВЫХ диаметров звезд (см. § 255), может быть использована и для наблюде?
ий спектрально-двойных звезд в тех случаях, когда компоненты обладают-при-
мерно одинаковыми яркостям... Вид интерференционных изображений обоих ком-
понентов зависит от взаимного расстояния и позиционного угла компонентов
двойной звезды, измеряемых относительно расстояния и позиционного угла сво-
бодных отверстий при использованном ходе лучей. Благодаря этому на практике
оказалось возможным измерять расстояния и позиционные углы двойных звезд
посредством интерференционных установок. С помощью большого рефлектора
оосерваторпи Маунт Вильсон этим методом удалось произвести измерения ярких
двойных звезд, которые при визуальных наблюдениях с этим же рефлектором не
могли быть разрешены. Таким способом удалось с большой точностью измерить
видимую орбиту Капеллы (см. стр. 431), несмотря на то, что расстояние между
ее компонентами составляет всего лишь 0",05. При этом оказалось возможным
произвести вычисление орбиты совершенно так же, как и обычных визуально-
двойиых звезд. Следовательно, для Капеллы имеет место случай, разобранный в пре-
дыдущем параграфе. Интерференционные наблюдения дали / = 41°,1. Используя это
значение, из спектральных данных (см. стр. 431) получили следующие значения:
/«, =
4,1.8 массы Солнца
"'•з = 3,32
„
Спектральные наблюдения дали
с,sini= 36,8 млн. км
а„sini= 46,4
„
„
А отсюда мы находим
=
56,0 млн. км
«2=
70,6
„
„
с, -}-126,6
„
„
или
я2 = 0,847 радиуса земной орбиты.
С помощью полученного интерференционным путем значения
а" = 0",054
мы для параллакса Капеллы получаем окончательно
0", 054_
„
W
'
Это значение параллакса вообще является одним из наиболее надежных из
всех нам известных. •
Ранее упомянутую спектрально-двойную звезду С, Большой Медведицы также
удалось измерить с помощью интерферометра, несмотря на то, что расстояние
между ее компонентами составляет всего лишь 0",01.
§ 292. Фотометрические двойные звезды. Когда у двойной звезды расстоя-
ние между компонентами невелико в сравнении с их радиусами и наряду с этим
невелик и угол, образуемый плоскостью ее орбиты с лучом зрения, могут про-
исходить явления
затмений (или покрытий). Рассматриваемые с Земли компо-
ненты в течение определенных промежутков времени будут закрывать один дру-
гой полностью или частично. Результатом этого будет являться периодическое
изменение яркости двойной звезды (видимой в качестве одиночной) с периодом
равным периоду движения по орбите. Звезды, двойственная природа которых вы-
является таким именно способом, носят название фотометрических
двойных
звезд или затменных (или затмевающихся) переменных
звезд.
В § 288 было показано, что у короткопериодических спектрально-двойных
звезд расстояние между компонентами обладает тем же порядком величины, что
и радиусы компонентов. Поэтому вполне оправданным явилось предположение
о том, что часть этих звезд является фотометрическими двойными звездами. Это
и имеет место в действительности. Около 50 спектралыю-двойпых звезд нам
известны как фотометрические двойные звезды. К числу их принадлежит, напри-
мер, и упоминавшаяся в § 288 спектрально-двойная звезда W Большой Медведицы.
Известно свыше 500 фотометрических двойных звезд. Большинство их обла-
дает столь малыми яркостями, что лучевые скорости их не поддаются определе-
нию. В таких случаях двойственная природа этих звезд проявляется лишь пери-
одическими колебаниями их яркостей.
На фиг. 174 изображена схема, поясняющая явления, происходящие при на-
блюдении фотометрической двойной звезды. Буквами А и В на ней отмечены
компоненты двойной звезды. Оба они обращаются вокруг общего их центра тя-
жести. Находясь в положении /, компонент А будет удаляться от наблюдателя,
которого мы должны представлять себе находящимся далеко внизу в плоскости
страницы. Спустя четверть оборота компонент в становится перед компонентом А
(положение 2), благодаря чему наблюдается минимум яркости, n то время как не
происходит никакого движения в направлении луча зрения и никакого смещения
спектральных линий. В положении 3 компонент А будет приближаться к наблю-
дателю, вследствие чего спектральные линии окажутся смещенными по напра-
влению к фиолетовому концу спектра. В положении 4 компонент а становится перед
компонентом в, благодаря чему вновь наблюдается минимум яркости, в то время
как в направлении луча зрения не
происходит
никакого
движения.
1
Как правило, компонент А настолько g
ярче компонента в, 'что видим лишь г>...
спектр первого из них.
]
Затмения происходят дважды в
течение
каждого
периода.
Если
разность яркостей компонентов ве-
лика, то уменьшение яркости, проис-
ходящее в результате затмения более слабого компонента, будет лишь незначи-
тельным. Кривая яркости бѵдет иметь главный минимум и менее глубокий вторич-
ный минимум. Вторичный минимум зачастую бывает настолько плоским, что при
не очень точных измерениях его вообще не ѵдается обнаружить.
У большинства фотометрических двойных звезд минимум является плоским.
Это находится в полном соответствии с тем фактом, что у большинства спек-
трально-двойных звезд видим спектр лишь одного компонента. Наиболее извест-
ной звездой этого типа является Алго.чь (ß Персея).
Между двумя затмениями яркость остается приблизительно постоянной. Но
все же имеют место незначительные колебания яркости, которые надлежит отне-
сти за счет эффектов отражения. После начала затмения яркость постепенно
убывает по мере того, как затмевается все большая и большая часть диска ком-
понента, находящегося сзади. Когда сзади находится меньший компонент, то мо-
жет произойти полное его затмение. Тогда задний компонент в продолжение не-
которого промежутка времени будет оставаться совершенно закрытым, а яркость
двойной звезды будет оставаться постоянной и притом равной яркости переднего
компонента. Когда компонент, находящийся. сзади, является более крупным мо-
жет произойти кольцеобразное
затмение. Тогда в продолжение некоторого'про-
межутка времени остается вакрьггой постоянная часть площади заднего диска. В тех
случаях, когда задний диск обладает одинаковой яркостью на всей своей пло-
щади, яркость двойной звезды также будет оставаться постоянной в продолже-
ние этого промежутка времени. А когда яркость заднего диска постепенно убы-
вает к краям, яркость двойной звезды в продолжение кольцеобразного затмения
несколько меняется. Зачастую происходят лишь частные затмения. Тогда постоян-
ного или почти постоянного минимума не бывает. Если плоскость орбиты двой-
ной звезды перпендикулярна к плоскости-касательной к небесной сфере в месте
занимаемом этой звездой, т. е. если наклонение орбиты составляет 90°, то затме-
ния всегда бывают полными или кольцеобразными. При меньших наклонениях
орбит в большинстве случаев происходят частные затмения.
Существуют фотометрические двойные звезды, обнаруживающие значительные
колебания яркости и вне затмений в течение всего периода. Они были названы
Ô <і>—
9
Фнг. 174 .
В
Ô-
звездами (переменными) типа ß Лиры
но названию одной из звезд этого типа.
Фотометрические двойные звезды, не обнаруживающие никаких колебаний яркости
(или обнаруживающие лишь незначительные колебания), носят название звезд
(переменных) типа Алголп
или
алголей.
У двойных звезд типа ß Лиры компоненты находятся настолько близко один
от другого, что форма их под действием силы тяжести отклоняется от шаро-
образной. Периоды обращений
компонентов этих звезд, повидимому, равны,
в связи с чем они обладают вытянутой формой в направлении соединяющей их
прямой. Благодаря этому яркость таких звезд изменяется на протяжении всего
периода. Если компоненты являются равновеликими, или почти равновеликими, то
условия, спустя половину периода,
оказываются
близкими к первоначальным.
Такие звезды были названы звездами типа \Ѵ Большой Медведицы
по сходству
их с этой двойной звездой, ранее
20
30
40
50 60
описанной.
Как и следовало ожидать, рас-
пределение фотометрических двой-
ных звезд по спектральным классам
оказалось аналогичным распределе-
нию
короткопериодическнх
спек-
тральных двойных звезд. Звезды
классов О и В среди фотометриче-
ских двойных звезд сравнительно
часты, а звезды классов G и К сравни-
тельно редки. Среди алголей звезды
класса А весьма часты; в большинстве
случаев
более яркий
компонент
является звездой класса А, а более
слабый компонент обладает значи-
тельно меньшей яркостью. В от-
дельных случаях удавалось устана-
вливать спектральный класс более
слабого компонента во время по-
крытия им компонента более яркого.
Более яркий компонент звезды U Цефея является звездой класса АО, а более
слабый —звездой КО, обладающей яркостью, на две величины меньшей компо-
нента класса АО.
Периоды в большинстве случаев не достигают 10 дней. Однако известны
отдельные фотометрические двойные звезды, обладающие периодами от нескольких
сот дней до нескольких лет.
Обычно момент вторичного минимума располагается очень близко от середины
промежутка между моментами предшествующего и последующего главных мини-
мумов. Отсюда можно сделать тот вывод, что орбиты компонентов обладают
малыми эксцентриситетами. Представим себе, что орбита обладает заметным
эксцентриситетом, причем ее линия апсид образует значительный угол с лучом
зрения, вследствие чего компонент проходит через периастр в момент, прихо-
дящийся вне затмений; в таком случае угловая скорость движения от одного
затмения к последующему при прохождении периастра будет гораздо больше,
чем при прохождении апоастра; промежуток времени между соответствующими
затмениями в первом случае будет короче. Если моменты прохождения через
периастр и апоастр приблизительно совпадут с моментами затмений, так что
угол, образуемый линией апсид с лучом зрения, .будет невелик, то, правда, и при
значительном эксцентриситете орбиты упомянутые промежутки времени, окажутся
приблизительно одинаковыми. Следовательно, в отдельных случаях мы не можем
иметь уверенности в том, что эксцентриситет является малым тогда, когда вто-
ричный минимум приходится около середины промежутка между двумя соседними
минимумами. Однако, если это обычно имеет место, то орбиты, как правило,
Фиг. 175. Кривая яркости
Алголп. По оси абсцисс от-
ложены часы, отсчитывае-
мые от главного миниму-
ма, по оси ординат — звезд-
ные величины. Яркость в мо-
мент начала или конца по-
крытия положена равной
0,00.
должны являться почти круговыми в силу того, что положения линий апсид
следует представлять себе распределенными совершенно случайно.
Ранее мы видели, что короткоиериодические
спектрально-двойные
звезды
обладают малыми эксцентриситетами орбит их компонентов. Поэтому мы и вправе
предполагать, что орбиты фотометрических двойных звезд также являются близ-
кими к круговым.
§ 293. Вычисление элементов орбит фотометрических двойных
звезд.
Яркость фотометрической двойной звезды во время затмения равна яркости диска
переднего компонента плюс яркость непокрытой части диска заднего компонента.
Если не принимать во внимание незначительных эффектов отражения, то яркость
любой части одного из дисков может считаться постоянной в течение всего
периода обращения. В случйе если бы диски компонентов обладали равномерными
яркостями, уменьшение яркости, наблюдаемое во время покрытий, по сравнению
с полной яркостью двойной звезды, всегда было бы прямо пропорционально
площади затмеваемой части диска заднего компонента. В таком случае имелся бы
простой способ вычисления из наблюдаемой яркости площади затмеваемой части
диска по отношению к площади всего этого диска. -'Мы знаем, что яркость диска
Солнца уменьшается по направлению к его краям (см. стр. 282), вследствие чего
мы должны предположить, что это свойство присуще дискам всех звезд. Кроме
того, мы можем это установить и непосредственно во время кольцеобразных
покрытий из небольших наблюдаемых при этом колебаний яркости .(см. выше).
Несмотря на это, допущение равномерной яркости дисков при истолковании
колебаний яркости, повидимому, даст нам вполне пригодную степень приближения.
Сейчас мы и воспользуемся этим допущением, по позднее мы к этому
вопросу
еще вернемся.
Обозначим через:
г, — радиус большего компонента,
r2 — krx—
радиус меньшего компонента,
—
яркость большего компонента,
/2 —яркость меньшего компонента.
Следовательно, г2 < гѵ т. е . £<1. Площади дисков компонентов 2 и 1 отно-
сятся, как £2:1. Выберем единицу интенсивности таким образом, что
/,+ /*= 1.
Сначала рассмотрим случай полного и кольцеобразного затмения, когда яркость
в обоих минимумах в продолжение некоторого промежутка времени остается
постоянной. Пусть яркость- в минимуме при полном затмении будет /п, а яркость
в минимуме при кольцеобразном затмении /к.
Прежде всего заметим, что площади, покрываемые' при полном и кольце-
образном затмениях, равны (обе они равны площади диска меньшего компонента).
Следовательно,
загмение
компонента,
обладающего ббльшей
поверхностной
яркостью,
дает более глубокий минимум.
В силу того, что компонент 1 является компонентом большего радиуса, этот
компонент при полном затмении является передним, а при кольцеобразном затме-
нии— задним. Мы получаем
=
(1)
/к
(2)
в то время как при кольцеобразном затмении покрывается часть £а диска 1.
Из уравнений (1) и (2) мы можем определить величину k следующие образом:
откуда получаем
.
т+
(3)
Когда минимум при кольцеобразном затмении не является слишком плоским
ГНтппУГ"
еНИЯ Р
П0ЛуЧЗеМ
"Р-^ое значение отноше^я
^иТсов ,?
?
центов. Однако в большинстве случаев минимум является плоским, вследствие чего
числитель становится малым и не может быть определен с достаточнойЮностью
Пусть в произвольно выбранный момент, имеющий место в терние замени?
становящегося полным (Я-затмение), площадь затмеваемой часTM
^кЛаднГо
(меньшего) компонента равна а, причем в качестве единицы Пощади 'бГется
вся площадь диска меньшего компонента. Яркость I в этот момент выоазстся
следующей формулой:
момент выразится
/=1-«/2.
(4)
(5)
(6)
Это важное уравнение лает возможность в любой момент вычислить площадь чат
меваемо
части диска заднего компонента из мгновенной и мин.^льноГ^ркост й"
r-rZf
произвольно выбранный момент, имеющий место в течение затмения
ГЩГСЯ
К°ЛЬЦе0брЯЗНЫМ (Затмение), площадь затмеваемой части дГка
заднего (большего) компонента равна а, причем в качестве единицы
TM?
ГГп?!?
Р6ТСЯ ПСЯ,ПЛ0ЩЗДЬ ДИСКа меньшего компонента
Сле^ватеГно
в продолжение кольцеобразного затмения а=1,
так как в это вре? бывает
покрыта площадь равновеликая диску меньшего компонента. Яркость 7 в это
время выразится формулой
р
ть
1вэто
.
(4а)
так как теперь будет покрыта площадь диска большего компонента 1
павная
величине а, умноженной на площадь диска меньшего компонента! т е равной
площади диска компонента 1, умноженной на а/г2.
Р
Согласно уравнению (2) имеем
/к=
1—
откуда находим
1
А2/1= =1 _/к.
В силу ЭТОГО' получаем из уравнения (4а)
или
/=1 -а(1 — /к),
(5а)
a
= rzrç-
(Язатмение)
(6а)
Мы видим, что полученное уравнение обладает совеошеннп ТР»
„
пГошИалУкРа:Неі
"
іе (6); След
—н о,
уравнение" тако? вРидаНПозвол ет
вш??
площадь затмеваемой части заднего диска из мгновенной яркости
как n
?
полного, так и в случае кольцеобразного затмений, в это уравнение необхо7имо
тѴпеТп СЛуЧЗЯХ П0ДСтавлять яркость в момент соответствующего минимума
Теперь рассмотрим частное
затмение. Пусть яркость в м^и^уме будёГ/
1£: Зс^гесггшг=„ —я —
s
принимаемой за единицу. В противоположность случаям полного или кольце!
Но так как согласно уравнению (1)
мы получаем
1
/=1 _а(1_/п),
или
а=
i _/"
(Язатмение).
образного затмений, когда а0=1,
„ данном случае а0< 1. Вследствие этого мы
Іч=1
—«Ѵг
//-затмение),
(7а)
7ч~ 1
—(«-затмение).
(7ь)
Отсюда мы получаем
в силу того, что /, -{-/2= 1
„ли
•
'
«0=1-%+^.
(8)
чинТГ1 уравнешія
МЫ можвм
вычислить а0 в том случае, если, кроме вели-
чин Іч и /ч, известных из наблюдений, мы знаем и величину k (об определении k
позднее будет сказано более подробно).
Пусть в определенный момент, имеющий место в продолжение У-затмения
площадь затмеваемой части диска заднего (меньшего) колота будет оГвнП'
причем, как всегда, единицей площади будет считаться площадь полного диска'
меньшего компонента. В этот момент яркость / выразится следующей ф?р„?лой!
7=1
—
а/о
//-затмение).
Для «-затмения совершенно аналогичным путем получим формулу
/=1
— («-затмение).
.
(9ь)
Исключая /2 или /, „з уравнений (7а) и (9а) или (7Ь) и (9Ь), получаем
ай/2=1 —
а/о =1
—
/,
а= а0j*£ГІ
//-затмение)
(i0à)
ÄV.
=
1 —/„
A2a/j = 1
—/,
l—l
1 -/.
(«-затмение).
(ЮЬ)
ля"ьсУГ,"з" yPaB„(S„"B fs?1' Ka,t
""
УЖе ВИДМ»' «»
* может в£,ч„с-
•EF^era-asiSS.
Если
то затмевается некоторая определенная часть заднего компонента. Площадь
закрытой части одинаково велика независимо от того, который из компонентов
находится сзади. Площадь меньшего диска выражается формулой
Vi = *к2г\.
Следовательно, согласно определению величины а площадь затмеваемой части
диска в любой момент выражается формулой
A = ctr. k2r\.
(11)
С помощью несложных соображений геометрического характера эта площадь
может быть выражена через о, г, и r2 = krv
Площадь затмеваемой части равна
сумме площадей двух сегментов с половинными углами раскрытия о, и с?0
причем
гу sin
=
г2 sin «„,
а следовательно,
sincpj= кsin«а
^2)
8= г,cosOy+ г2cos«о= r,(cos«j-f кcosс?2).
(i 3)
Отсюда по общеизвестной формуле площади сегмента с половинным углом'
раскрытия о находим
t
А= Г10?I C0S?1Sln?l)+ G(?o COS«2sin(?„)
=
=
r'y
—
cos ?1 sin 9, + A2«2 —= к2COS «2 sin cpa]
или согласно уравнению (12) мы можем написать
А=
г
\[?і— кcosо,sinс?2+ А2«2—кcos<?2sin<?,]
=
=
r
l[?1+
—
k. Sin (<р, + 02)].
Наконец, для величины а мы получаем из уравнения (И)
к2-а
=
?І+
k2'sn_
—
кsin(«,+
ср2).
(14)
Согласно уравнениям (12) и (13) <?, и <?2 могут быть определены из 8[г. и k
а согласно уравнению (14) а —из k, cp, и <р2. Зависимость величин 8//-,,
киà
была выражена в форме таблиц, удобных для пользования. С помощью этих
таблиц возможно найти как величину а по аргументам 8/г, и k, так и величину 8/г
по аргументам а и к.
Из кривой яркости возможно —для полных и кольцеобразных затмений всегда,
а для частных затмений в том случае, когда известна величина к, — вычислить à
как функцию времени. А теперь мы видим, что из а при известном к возможно
вычислить проекцию о расстояния между компонентами па касательную плоскость
в радиусах большего компонента.
Тем самым способ вычисления орбиты становится ясным. Относительно вели-
чины к мы принимаем некоторую гипотезу. Мы видели, что с помощью гипоте-
тического значения к мы можем вычислить 8/г, как функцию времени. Выполнив
это вычисление, мы исследуем, не может ли вычисленное значение о/г, быть
увязано с движением по орбите, происходящим согласно законам Кеплера.
Если
это удается, то гипотетическое значение k является правильным. В противном
случае вычисление должно быть повторяемо с иным значением к до тех пор
пока значение о/г, не станет удовлетворять динамическим условиям. Когда это
будет достигнуто, мы тем самым узнаем элементы движения по орбите, а сверх
того, и величину к, выражающую отношение радиусов компонентов. А зная эту
величину к, мы для частных затмений можем, наконец, вычислить а0 и яркости
./, и /2 согласно уравнениям (8), (7а) и (7Ь).
Нам остается выразить проекцию расстояния компонентов 8 как функцию
времени /, согласно законам Кеплера. Формула, выражающая 3, приобретает
осооенно простую форму в том случае, если мы орбиту будем предполагать
круговой. В предыдущих параграфах мы видели, что большинство фотометриче-
ских двойных звезд в действительности должно обладать орбитами с малыми
эксцентриситетами. Итак, мы делаем допущение, состоящее в том, что относи-
тельная орбита компонентов является круговой с радиусом R
Обозначим через:
Т— момент середины затмения (линия X, соединяющая компоненты, будет
в момент Т расположена перпендикулярно к линии узлов Y)
U—период обращения.
зитсУяТр?улПоейРеМеЩеНИе П° Іфуг01Ю
"
0рбпте
после
"редины минимума выра-
0 = £(/_7).
(15)
Радиус-вектор R соединяющий оба компонента звезды, может быть разложен
на две слагающие: R cos Ѳ в направлении X и R sin Ѳ в направлении Y. Следова-
.
IT''"« R пУД61аявляться гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами
R cosH и R sm 0, расположенными в направлениях X и Y. Проекция этого тре-
угольника на плоскость, касательную к небесной сфере в месте, занимаемом
звездой, опять-таки будет представлять собой прямоугольный треугольник (в силѵ
того что одни катет параллелен линии узлов) с катетами /? cos ©cos/ и /? sin Ѳ
Гипотенуза его будет являться искомой проекцией радиуса-вектора на касательную
плоскость. Следовательно, мы будем иметь
32 = R? (cos2e cos2/ + sin2 Ѳ)
или
8а
=
R2(cos2Ѳ—cos2Ѳsin2/+ sin2Ѳ)= R2(1+ sin20sin4-
т. e.
1
82 = R2(cos4 -j- sin4 sin2 Ѳ).
В качестве динамического условия мы, следовательно, получаем
Ш*=
(оУ"COs4+ Ш2 Sin2/sin20=Л+ßsin20,
где А и В во время движения по орбитам являются постоянными
Вычисление согласно принятой гипотезе производится следующим образом
С помощью гипотетического значения к мы вычисляем 8/г, как функцию /
а согласно уравнению (15) мы вычисляем 8/г, как функцию è. Если значение к
является правильным, то отношение между вычисляемыми из него соответствен-
ными значениями (о/г,)2 и sin20 должно быть линейным. Для исследования вопроса
о том, удовлетворяется ли это условие в действительности, мы должны исполь-
зовать по меньшей мере три точки кривой яркости. Для этих трех точек вычис-
ляются величины (8/г,)2 и sin20, а затем графическим или аналитическим путем
исследуется, расположатся ли на одной прямой отложенные на осях координат
точки, соотвегствующие вычисленным значениям; После того как мы этим путем
выведем правильное значение, к, мы найдем по соответствующей прямой (S/r.Y -'-sin2 0
величины А и В, а отсюда и значения /?/г, и /.
"
11
.
Таким образом мы убедились в том, что по кривой яркости могѵт быть опре-
делены период обращения,
наклонение
орбиты и радиусы
обоих" компонентов
в единицах радиуса орбиты, а равно и яркости
обоих компонентов.
Возможно также, хотя и гораздо более сложным способом, произвести вычис-
ление эллиптической орбиты. В этом случае в качестве новых элементов надле-
жит произвести вычисление эксцентриситета орбит и долготы периастра
Наконец, нет необходимости предполагать яркость дисков компонентов равно-
мерной (см. стр. 439). Относительно распределения яркостей при этом может
sin2/),
(16)
(17)
быть принято любое допущение. Вместо того чтобы при равномерной яркости
дисков вычислить площадь затмеваемой части поверхности диска как функцию
величин 8/г, и k, мы в этом случае должны вычислять яркость затмеваемой
поверхности как функцию величин о/г, и к. Это гоже возможно, хотя и требует
более сложных расчетов. Такого рода вычисления производились неоднократно,
частью в предположении равномерной яркости дисков, частью же в предполо-
жении наличия потемнения диска к краю по простому- закону,
несомненно
несколько преувеличивающему эгот эффект. Различие результатов, получаемых
этими способами, свидетельствует о ненадежности их, обусловливаемой этим
фактором.
Необходимо еще упомянуть и о том, что зачастую приходится принимать
в расчет и эллиптическую форму -компонентов двойной звезды (см. стр. 438).
В таких случаях сжатие компонентов входит в вычисления в качестве нового
элемента; оно может быть определено путем анализа кривой яркости.
Далее
должны приниматься в расчет и небольшие
эффекты отражения, для чего
в кривую яркости должны быть внесены соответствующие поправки.
§ 294. Фотометрические двойные звезды, элементы которых удалось опре-
делить фотометрическим или спектроскопическим способами. Как было пока-
зано в предыдущем параграфе, в число фотометрических элементов входит накло-
нение орбиты і. Если мы располагаем элементами обоих компонентов, которые были
определены спектральным способом, то мы, зная наклонение, можем вычислить массы
компонентов (см. § 287). Кроме того, при известном і может быть вычислена
большая полуось а относительной орбиты, выраженная в километрах или в ра-
диусах Солнца. Из кривой яркости были выведены отношения радиусов компо-
нентов к расстоянию, их разделяющему. А тем самым узнали и радиусы компо-
нентов, выраженные в километрах или в радиусах Солнца. Видимые яркости
каждого компонента по отдельности также удалось вывести из кривой яркости.
Когда нам известен параллакс двойной звезды, мы можем вычислить отсюда и
абсолютные яркости компонентов. В таком случае мы можем определить массу,
радиус и яркость каждого компонента. Правда, довольно редко встречается, чтобы
параллакс мог быть достаточно точно определен непосредственными измерениями.
В иных случаях из спектрального класса выводится поверхностная яркость, а из
линейного радиуса и поверхностной яркости — абсолютная яркость (см. стр. 346).
Путем сопоставления ее с видимой яркостью мы можем этим путем вывести и
параллакс. Правда, для звезд классов О и В удается производить лишь довольно
неточное определение
поверхностной
яркости из спектрального
класса
(см
стр. 356).
ѵ
Примерно для 30 двойных звезд этим способом были определены массы,
радиусы и яркости, причем лишь для трех из них удалось с достаточной точ^
ностыо произвести непосредственные измерения параллакса.
В нижеследующей таблице для некоторых типичных двойных звезд приведен
ряд элементов и других характеристик, которые удалось вывести из спектраль-
ных и фотометрических наблюдений.
Название звезды
Период
обращения
Наклонение
орбиты
Спектральный
класс
Масса
жѳ=1
Радиус
/?ѳ =1
H. D. 1337
V Кормы
с Орла
W Большой Медведицы .
а Близнецов С
ß Возничего
TV Кассиопеи
3d,52
1 ,45
1 ,95
0 ,334
0 ,814
3 ,96
1 ,81
3 ,99
52°
74
72
76
86
77
74
82
08; 08
Bip; ВЗ
ВЗ; В4
GO; GO
Mie; Mie
АОр; АОр
В9; [GO]
F5p; [G8]
36; 34
19; 19
6,2; 5,1
0,69; 0,49
0,52; 0,52
2,4; 2,4
2,4; 1,2
1,6; 1,3
23,8;' 15 ,5
8,4; 7,7
3,6; 3,6
0,78; 0,78
0,58; 0.58
2,8; 2,8
2,7; 2,9
1,8; 3,3
сп ект
Раль,ш м
наблюдениям доступен лишь один компонент двойной
звезды, то не все величины могут быть получены непосредственно. В этих слу-
чаях нам в уравнении (12) приведенном на стр. 430:
'
У
m,sin3i= 1,038•10-7КоÇК,+-/(„)'U(I—е'У,
(^
известны величины
Klt U и е. Неизвестны величины да, и Ко или, вводя отноше-
41 И С illcICÜ
а—"
12—
Щ-'КУ
(2)
Тем самым уравнение (1) становится уравнением с двумя
и а. Мы можем несколько преобразовать это уравнение, введя
величины да, и а.
неизвестными, да,
отношение масс
1,038 • 10"
sin3 і
к\ U( l-<?2)3/«
(3)
ѴРГЕ
1
"
еМН0Г0 б0ЛЬШе
ЧТ0 в большинстве случаев и будет иметь
место в силу того, что спектр компонента 2 невидим, то это уравнение о !ы
вается удобным для вычисления величины а из гнпоте^ческого зёач шш /Г
Z
объясняется тем, что выраженная в процентах ошибка, допущенная приТценк/Г
ооусловит лишь втрое меньшую ошибку при вычислении величины а (см ана /
гичное положение вещей при определении динамических параллаксов визуаі ш
двойных звезд, § 282). В общем же мы уже по спектральному классу боёёеіщтго
компонента сможем произвести приблизительно правильную оценку массы
Более
точно масса может быть оценена по положению звездь, в ёиафа же Рессё ла
(по спектральному классу и по абсолютной яркости одновременно)
Для радиусов и абсолютных яркостей компонентов мы аналогичным способом
можем вывести довольно надежные значения из ранее оцененного значен»!
Но для этого нам не требуется никаких данных спектральных
наблюдет,!
uZ„v
«ВаЖН0
'
ѴСаіС ЭТ0 уже было
большинство фотомётри:
Іі ппДВ0 НЫХ ЗВеЗД 0бладает СТ0ЛЬ малыми
что данные спектральных
наблюдений до сего времени не могли быть получены.
Р-лышх
В этом случае применяется совершенно тот же способ, что и для визѵачьнп-
двойных звезд (см. § 282). Из уравнения
визуалыю-
(а,'-|-«2) = £Л (да, -j- да2) '
(4)
ІИГГппг
°
б0ЛЬШ0Й точностью
вычислить большую полуось относи-
тельной орбиты, предварительно производя оценку суммы масс компонентов Из
фотометрических данных мы после этого обычным путем выводим радиус в кило!
"
РаДИУСаХ С0ЛНЦа
'
3 °ТСЮда
'
зная
поверхностную
«pSoctï.- S S -
Граллакс РК0СТЬ
НаК0
"
еЦ
'
СОПОСтаотя
«е«
в
"Д"мой яркостью
!
Абсолютная
болометрическая
яркость
Плотность
«о=»
Полуось относи-
тельной орбиты
/?<Э=1
Расстояние между
поверхностями
/?о- =і
Название звезды
—• э";
—7"
—5;—4
—2;—1,5
- 1-5.4; +5,4
+ 8,0; +8,0
-0 ,5; —0,5
0,7; +2,6
+ 2,5; +3,1
0,003; 0,009
0,044; 0,058
0,15; 0,12-
2,1; 1,5
2,6; 2,6
0,11; 0,11
0,12; 0,05
0,29; 0,04
40,1
18,0
14,7
2,20
3,71
17,7
9,5
15,1
0,8
1.9
7,5
0,64
2,55
12,1
3,9
10,0
H. D. 1337
V Кормы
а Орла
W Большой Медведицы
а Близнецов С
ß Возничего
TV Кассиопеи
Z Геркулеса
Порядок работы может быть охарактеризован также и следующим образом.
Из видимой и поверхностной яркостей выводится радиус в угловой мере (см.
стр. Зо2). Затем из определенного фотометрическим путем отношения радиуса
звезды к большой полуоси относительной орбиты определяется полуось в угловой
мере. А тогда проблема становится совершенно аналогичной проблеме определения
динамического параллакса визуально-двойной звезды, что осуществляется с помощью
величин U и а".
§ 295. Обращение компонентов тесных двойных звезд. Относительно тесных
двойных звезд мы должны принять допущение, что периоды обращения их компо-
нентов совпадают с периодами их вращений. Мы увидели, что равенство периодов
обращений играет важную роль при объяснении колебания яркостей звезд типа
р Лиры.
J
В двойных звездах, подобных V Кормы, у которых компоненты почти сопри-
касаются и, повпдимому, обращаются с большими скоросіями, это равенство
периодов накладывает свой отпечаток на вид спектральных линий.
В качестве простейшего примера рассмотрим два почти соприкасающихся
компонента, обладающих равными яркостями и равными размерами. В момент,
когда компоненты обладают наибольшей относительной скоростью вдоль луча
зрения (положения 1 или 3 на фиг. 174), один из них (пусть это будет левый
компонент, что соответствует положению 1) движется относительно центра
тяжести к наблюдателю, а другой компонент —от наблюдателя. Вследствие равенства
периодов обращения и вращения скорость левого края ѵа относительно центра
тяжести равна сумме скоростей движения по орбите и вращения, что может быть
выражено следующей формулой:
ѵа= аоі /*ш= 2аь,
в которой 01 — скорость вращения, я —расстояние центра компонента от центра
двойной звезды, а г—радиус компонента. Вследствие того что компоненты почти
соприкасаются, а = г . На правом краю направление движения по орбите и напра-
вление вращения противоположны, в силу чего результирующая скорость ѵь
выражается так:
"
'
ѵь—aоі—гш=0.
Аналогичным образом мы получаем для левого и правого краев другого ком-
понента скорости 0 и 2аш результирующих движений, происходящих в противо-
положных' направлениях. Мы видим, следовательно, что на обоих дисках компо-
нентов встречаются все скорости от Ѵ-\- 2«ш до V—2аш, вследствие чего линия
превращается в іішрокую полосу. Правда, интенсивность в середине и вблизи
краев оказывается малой, потому что, как это легко может быть показано
геометрическим построением, большая часть дисков подвержена сравнительно
незначительному влиянию скорости вращения.
Во время затмений (положения 2 и 4 на фиг. 174) лучевые скорости орби-
тальных движений близки к нулю. Лишь вследствие вращения линия представляется
несколько расширенной.
При ббльших расстояниях между компонентами вращение их по сравнению
с движениями их по орбитам играет при этом соответственно меньшую роль.
У Алголя удалось непосредственно наблюдать вращение более яркого компо-
нента. Во время затмения более яркого компонента сначала закрывается преиму-
щественно один край его диска, а затем преимущественно другой его край.
Вращение проявляется систематической разностью лучевых скоростей непосред-
ственно перед минимумом и после него. Из этой разности удалось вычислить Эква-
ториальную скорость вращения в километрах в секунду. В силу того что время
вращения в данном случае равно периоду обращения, явилась возможность вы-
числить длину экватора, а вместе с тем и радиус более яркого компонента
в километрах или в радиусах Солнца. А из определяемого кривой яркости отно-
шения радиусов компонентов и радиуса орбиты мы в конце концов получаем и
радиус менее яркого компонента, а равно и радиус орбиты, выраженный в кило-
метрах или в радиусах Солнца. Мы видим, следовательно, что все те величины
которые могли быть вычислены при знании двух орбит, вычисленных из спект-
ральных наблюдений (см. § 294), возможно определить также и в том случае
когда спектр одного из компонентов невидим.
какУу Адоош?ЫХ ДРУП,Х ДВ0,1 ,1ЫХ звезд ,,меет
""то то же самое положение вещей,
В заключение упомянем еще двойную звезду г Возничего. Она
является
спектрально-двойной звездой с периодом обращения в 973 дня. Более яркШі
—
НТ
ее "OTT' СВерХП,гаитом
спектрального класса К5, а более слабый
-
звездой класса В1 Радиус более яркого компонента обладает порядком величины
радиуса земной орбиты, а радиус компонента класса В примерно в 100 раз меньше
Наіэтой двойной звезде,-правда, до настоящего времени лишь еддоственный
раз—наблюдалось полное затмение компонента класса В, произведенное компо-
нентом класса К. Во время затмений компонента класса К, производимых коипо-
ZZГ/TM"«
В' ЯРК°СТЬ 3аTMСВаеМ0Й часTM
лиска
вследствие незнаш.тедьной
поверхностной яркости компонента класса К настолько мала, что затмениИ ?тото
рода наблюдать не удается. Из наблюденного покрытия оказалось возможны?
=
T'*"TM фотометріІчес
'<»« путем; в силу несовершенства произведенный
t
Âï
ЭТ" ЭЛ6МеНТЫ ЯВЛШ0ТСЯ лишь приближенными. Кроме тото, был обна-
ружен эффект вращения, несколько отличающийся от вышеописанного.
После
окончания полного затмения в фиолетовой части спектра, берущей свое начато
Р=ТГШ°
°
Т КОМПОИеНТа КЛасса В
'
TMа
видимой линия К (см. стр. 354);
ïnn^vn
вероятно, что она обязана своим происхождением поглощению
происходящему в обширной хромосфере компонента класса К. Эта линия обна-
ружила притом смещение, соответствующее вращению, происходящему на краю
диска компонента класса К. Если бы эти наблюдения отличались больш й пол-
, МЫДСМ0ГЛИ б"
сделать
"3 них выводы, аналогичные тем, которые бTM и
?авна 30ДмяДЛ:°?Я-
,С0 М
"
0,,е
"
та
'<
ла
"
а
К велика, повидимому? буду?
И) массам Солнца
а
'
3
^0"^
—а
В равна прибл^зит^но
. о J,,?96' Эффект прения одиночных звезд. Следует думать, что одиночные
Г,ЯРаіДТСЙ
ПОДОб,,
°
комп
онентам тесных двойных звезд. У Со.щ
а
вероятно и у большинства звезд, эффекты вращения весьма малы. Однако "поте
ГхМдолНж.шТпеТTMВаНИе бЫСТР° ВращакNoя
звезд, спектральные'1 кото-
рых должны представляться соответствующим образом расширенными. Для ис-
следования этого
вопроса необходимо точное знан.ю
нормальны?контуров
линий невращающихся звезд (см. стр. 392) с тем, чтобы мы и мечи вммошдото
надежным образом обнаружить отклонен?«, которые можно б до бь, Зсто
за счет вращения. Как показали
исследования, произведенные до настоящего
встречаются?43" ^0TM
aMHOTITM' ЗВезд
'
Распределение спектрально-двойных и фотометрических двойных
звезд в диаграмме Ресселла. Существует несколько способов
SïpïSî
абсолютных яркостей спектрально-двойных звезд. Кроме методов пДенимт-
к одиночны,, звездам в данном случае приложимы т'акже и і^ы^ГсГы
вs
•^
"X помощью удалось составить представление о пасппелелети,
спектрально-двойных и фотометрических двойных звезд в диаграмме'рЙседо
Ш,ДеЛ"' ЧТ0 РаспРеделсние
этих звезд по сп?ктрГ,ым класс?м „ё
является нормальным. Звезды классов О, В и А встречаются в гораздо ббльиш?
количествах, чем звезды других классов. Это явление, разумеете7 nZZ Zl
шеTpynZ: В РЯСПреДеЛеНИИ звезд 3 д"
аг
Р— Ресселла. Наблюд'аютояТедую!
Rгт2ЛпІТЫ КЛаССвВ
°
"
В'
об лаД
аі
°нше большими абсолютными яркостями
^о=хЧ^Г=Г
аЧИТеЛЫ,УЮ
Д0ЛЮ ВСеХ
В
ß) Одиночные сверхгиганты спектральных классов G и К.
Y) Несколько гигантов спектральных классов G и К.
о) Карлики основного ряда довольно редки, частью потому,что они обладают
сравнительно малыми яркостями.
г) Субгиганты спектральных классов G и К.
Массы звезд классов О и В, а повидимому, и сверхгигантов, велики, а массы
карликов обладают порядком величины массы Солнца, равно как и массы субги-
гантов. Очень крупные массы встречаются у звезд класса О; они, повидимому,
достигают порядка величины 100 масс Солнца.
Более подробно этот вопрос был разобран в § 274 и 275. Массы звезд, о кото-
рых там шла -речь, в большинстве и являлись именно массами спектрально-двой-
ных и фотометрических двойных звезд.
Смотря по положениям обоих компонентов в диаграмме Ресселла спектрально-
двойные и фотометрические двойные звезды могут быть подразделены на несколько
групп. Звезды, принадлежащие к наиболее часто встречающимся группам, обладают
следующими свойствами:
a) Компоненты являются приблизительно равновеликими звездами классов О
или В, обладающими большими массами и яркостями (V Кормы).
b) Более яркий компонент является довольно массивной звездой класса А,
обладающей абсолютной
яркостью порядка 0гг или несколько ббльшей. Менее
яркий компонент является звездой спектрального класса G или К, обладающей абсо-
лютной яркостью от 2м до 3м и массой порядка массы Солнца или несколько
ббльшей (Алголь).
c) Приблизительно равновеликие компоненты принадлежат к основной ветви
карликов [ТХ Геркулеса (две звезды класса А2), а Близнецов С (две звезды
класса Міе)].
d) Приблизительно равновеликие компоненты, обладающие плотностями, не-
сколько
меньшими,
чем звезды
основного
ряда той же массы (ß Возни-
чего).
e) Более яркий компонент, принадлежащий к основной ветви карликов, является
звездой/ несколько менее плотной, чем нормальный карлик. Менее яркий компо-
нент является субгигантом еще меньшей плотности (Z Геркулеса).
Более подробное представление о свойствах звезд этих групп можно получить
из рассмотрения сводки на стр. 444 —445.
Спектрально-двойные и фотометрические двойные звезды, состоящие подобно
Капелле из ДВУХ гигантских компонентов, весьма редки.
§ 298. Кратные звезды. Звездные снсіемы, состоящие из более чем двух ком-
понентов, называемые сложными или кратными звездами, известны в довольно
большом числе. Они составляют несколько процентов известных нам двойных
звезд. Зачастую один из компонентов двойной звезды, удаленный от другого на
значительное расстояние, представляет собой в свою очередь тесную двойную
звезду, или же один из компонентов визуально-двойной звезды сам по себе
является спектрально-двойной звездой. У некоторых спектрально-двойных звезд
были обнаружены возмущения орбит, свидетельствующие о наличии у них далеких
слабых компонентов (см. стр. 419). Такого рода удаленные слабые спутники имеются ,
например, у Капеллы и у а Центарва. Кастор (а Близнецов) является визуально-
двойной звездой. Оба компонента его в свою очередь являются спектрально-
двойными звездами, а удаленный физический их спутник а Близнецов С пред-
ставляет собой спектрально-двойную и в то же время фотометрическую двойную
звезду.
Кратные звезды, взаимные расстояния компонентов которых обладают одним и
тем же порядком величины, весьма редки. У весьма немногочисленных представителей
звезд этой группы расстояния, разделяющие их компоненты, настолько велики
(9 Ориона), что мы вправе рассматривать их как переходную форму к рассеянным
звездным скоплениям (см. стр. 459). В отдельных случаях в кратных звездах
удалось проследить движения их компонентов по орбитам.
ПЕРЕМЕННЫЕ И НОВЫЕ ЗВЕЗДЫ
§ 299. Классификация переменных звезд. Переменными звездами мы называем
такие звезды, блеск которых с течением времени изменяется. Некоторые из ііих
обладают определенным периодом
колебаний блеска, в то время как другие
таким периодом не обладают. Одной из наиболее замечательных из них, перемен-
ность которой была установлена уже свыше 300 лет назад, является звезда о Кита
называемая иначе Дивной (или Удивительной) Кита. Период колебаний блеска ее'
не являющийся совершенно постоянным, составляет в среднем 11 месяцев В міь
нимуме эта звезда, как правило, обладает яркостью 9-й зв. величины а 3—4 месяца
спустя она становится видимой невооруженным глазом. В максимуме она в боль-
шинстве случаев бывает ЗЧ^зв. величины; порой она, однако, достигает лишь
4-й или 5-й зв. величины, а иногда, наоборот, 2-й зв. величины, как это, например
имело место в декабре 1906 г. Область созвездия Кита, в которой
находится
Дивная, расположена приблизительно посредине между квадратом в созвездии
Пегаса и созвездием Ориона; в этом месте находятся три звезды, а, у ц 3 Кита
образующие хорошо заметный треугольник, причем а, обладающая 2-й зв вели-'
чиной, расположена дальше всего влево, 8 (4-й зв. величины) — дальше ' всего
вправо, а у (3-й зв. величины) —несколько выше последней; продолжая прямую
мысленно проводимую через а и 8 вправо, приблизительно на ее собственную
длину, мы найдем Дивную Кита.
^
Нам известно свыше 7000 переменных звезд.
Переменные звезды, не имеющие собственных имен, обозначаются прописными
буквами латинского алфавита от R до Z, а затем парами этих букв, начиная
сКК,кьит.д.,
присоединяемыми к названиям созвездий. В некоторых созвез-
диях количество переменных звезд настолько велико, что после ZZ оказалось
необходимым воспользоваться последующими обозначениями АА AB
AZ ВВ
ВС,...,
BZит.д. вплоть доQQ,QR
QZ. А в созвездиях'Стреліща и Змее-
носца потребовалось даже воспользоваться цифровой нумерацией переменных звезд
Об одном классе переменных звезд уже было говорено: это фотометрические
двойные звезды1) (звезды типа Алголя, типа ß Лиры и типа W Большой Медве-
дицы). Об эгом классе звезд мы больше говорить не станем. У звезд этого класса
колебания яркости обусловливаются геометрическими соотношениями их компонен-
тов и их орбит. У звезд, являющихся переменными в строгом смысле этого слова
мы Должны допустить существование глубоких изменений физического состояния'
Наблюдения
переменных звезд распространяются".на ряд их признаков:
1. Отмечаются колебания
яркости
посредством фотометрических наблюде-
ний—визуальных или фотографических. Если при этом обнаруживается, что
колебания яркостей являются периодическими, то из этих наблюдений выводятся
моменты максимумов и минимумов, а отсюда и длина периода; кроме того опре-
деляются и яркости п максимуме и минимуме, а равно и форма кривой яркости
(см. фиг. 176 и 177). Если колебания яркости являются лишь приблизительно
периодическими, то из наблюдений этого рода выводится средний" период и средняя
кривая яркости. Наконец, если колебания яркости носят весьма неправильный
характер, то по этим наблюдениям строится кривая блеска, отображающая все
последовательные колебания яркости.
Определения яркостей переменных звезд в большинстве случаев выполняются
не с помощью фотометрических методов, описанных в § 7, но по так называемому
методу степеней.
В окрестностях переменной звезды выбирается
некоторое
количество звезд постоянной яркости, с которыми изучаемая переменная звезда
может сравниваться в продолжение всего периода колебаний ее яркости. Наблю-
дения сводятся к тому, что мы, так сказать, интерполируем яркость переменной
ввезды между яркостями звезд сравнения, ее окружающих. При этом разности
яркостей двух звезд выражают в степенях,
опираясь для этого на непосредст-
') Чаще их называют затменпышг переменными звездами. — Прим.
перев.
Actpwtosiiiu
венные впечатления. Каждый наблюдатель обладает собственной шкалой степеней.
Метод оценки яркостей по степеням впервые был предложен Аргеландером. На
практике он оказался весьма экономным и достаточно точным методом для на-
блюдений переменных звезд, обладающих сравнительно большими амплитудами
колебаний яркостей. В тех случаях, если яркости звезд сравнения известны нам
в звездных величинах, то и оценки в степенях могут быть пересчитаны на звезд-
ные величины. Моменты максимумов и минимумов, а равно и продолжительности
периодов, разумеется, могут быть выведены и без знания звездных величин звезд
сравнения в тех случаях, когда мы все время пользуемся одними и теми же
звездами сравнения.
Когда амплитуды малы, должны применяться возможно более точные методы
На Бабельбергской обсерватории близ Берлина были осуществлены долгие ряды
наблюдений переменных звезд с помощью фотоэлемента
(см. стр. 30).
2. Отмечаются изменения
спектрального
класса
распределения
энергии
в сплошном спектре цветового эквивалента или отдельных спектральных линий
причем все эти наблюдения обрабатываются аналогично наблюдениям яркости!
У многих переменных звезд спектральные линии смещаются. В этих случаях мы
следим за изменениями их длин волн. Истолковывая наблюдаемые смещения
согласно принципу Допплера, мы строим кривую колебания яркости переменной
звезды (см. фиг. 177).
Производство наблюдений, перечисленных в пункте 2, требует затраты гораздо
большего количества времени, чем производство оценок яркости, и, кроме того,
за исключением определения колориндексов, они возможны лишь для сравнительно
ярких переменных. Более яркие представители различных типов переменных звезд
(см. ниже) наблюдаются возможно более подробно. При наблюдениях более слабых
переменных звезд ограничиваются лишь исследованиями колебаний их яркости.
При этом делается допущение, что классификация по характеру колебаний яркости
ведет к установлению однородных классов, в силу чего звезды-представитель-
ницы этих классов (обладающие наибольшими видимыми яркостями) по праву
могут считаться во всех отношениях типичными.
Открытие
переменных звезд в настоящее время в большинстве случаев осу-
ществляется методом сравнения (с помощью блинкмикроскопа или стереокомпара-
тора) фотографических пластинок, снятых в различное время. Наблюдения ярко-
стей слабых переменных
звезд также в большинстве случаев
определяются
фотографическим путем; при этом для оценки яркостей изображения звезд на
пластинке применяется метод степеней ее почернения.
Нахождение слабых переменных звезд имеет значение не только для целей
изучения переменных звезд, как таковых. Как это будет показано в последующем
изложении, все переменные звезды в строгом значении этого слова являются
гигантами или сверхгигантами. В силу этого исследование слабых переменных
звезд является прекрасным вспомогательным средством для исследований звездной
системы в целом (см. например §310).
Переменные звезды подразделяются на классы в зависимости от характера их
колебаний яркости. Двумя наиболее важными классами являются переменные
звезды типа Дианой
Кита
(названные так по сходству с этой звездой, являю-
щейся типичной их представительницей) и цефеиды (получившие свое название
от звезды 8 Цефея). Кроме этих двух типов, являющихся наиболее многочислен-
ными, встречаются еще и другие типы, повидимому, представляющие собой пере-
ходные стадии между названными типами или же переходные стадии между
ними и новыми звездами.
Оба эти основных типа мы опишем несколько подробнее.
Переменные звезды типа Дивной Кита1) обладают периодами от 90 до 600 дней,
чаще всего близкими к 300 дням. Более долгим периодам в среднем соответст-
I) Чаще звезды этого типа называются долгопериоднческими переменными.—
Прим. перев„
вуют ббльшие амплитуды визуальной кривой колебаний яркости. Вышеописанный
характер колебаний яркости Дивной Кита является типичным для всего этого типа.
Все переменные типы Дивной Кита являются красными звездами, причем
большинство их принадлежит к спектральному классу Me (см. стр. 354) с линиями
излучения водорода. Интенсивность этих линий излучения изменяется параллельно
колебаниям яркости. Интенсивность этих линий по отношению к остальным линиям
спектра является наибольшей вскоре после наступления максимума
яркости
вскоре после наступления минимума яркие линии становятся невидимыми Некоторые
переменные типа Дивной Кита принадлежат к спектральным классам N, R и S.
Лучевые скорости, соответствующие смещениям линий излучения и погло-
щения,
являются переменными с тем же периодом, что и колебание яркости.
N
ч
\
+
s
\
\
/
ч
Ѵг
»V
/
ч
k
19 ІЗ
19 ІЗ ІЭѴ
99002040 608024200002040 60800100 20 40 60 8002002040 60 80030020 40 60 80
Фиг. 176 . Кривая яркости Дивной Кита.
Пинии излучения по отношению к линиям поглощения оказываются
смещенными
к фиолетовому концу спектра. Это смещение вскоре после максимума яркости
становится наибольшим, что происходит приблизительно в то время,
когда
линии излучения обладают наибольшей интенсивностью. Смещение становится
рапным нѵлю одновременно с исчезновением ярких линий, т. е . вскоре после
минимума.
Поверхностные температуры переменных типа Дивной Кита низки; они заклю-
чены в пределах от температуры, несколько меньшей 2000° до 4000°.
Температура
Дивной Кита колеблется от 2300° в максимуме до 1800° в минимуме.
Угловой диаметр Дивной Кита удалось непосредственно изме] игь интерферен-
ционным методом (см. стр. 345). Эти измерения наряду с параллаксом дали вели-
чину диаметра этой звезды, примерно в ЗоО раз превышающую диаметр Солнца
Изменений диаметра этой звезды устано-
вить не удалось.
В то время как колебания визуальных
яркостей переменных звезд типа Дивной
Кита велики, колебания излучаемой ими
полной
энергии не
особенно
велики,
в силу чего изменения их болометрических
яркостей обладают не особенно боль-
шими амплитудами. В рядом стоящей
табличке приведены цифры, характеризующие эту особенность самой Дивной Кита.
Следовательно, большая визуальная амплитуда обусловливается значительным
колебанием разности тт
—
твоя (см. также таблицу на стр. 336). Тот факт, что
колебания разности твпв—/двол велики, несмотря на то, что температура изме-
няется не особенно сильно, имеет своей причиной низкую температуру. Кроме
того, при этом играют голь и полосы поглощения, имеющиеся в визуальной
части спектра: полосы поглощения при низкой температуре япляются наиболее
интенсивными, вследствие чего они значительно снижают визуальную яркость.
Яркости
."»виз
га
бол "»вив-•
т
бол
Около минимума 8'",9
7,л
,4
„
максимума 4 ,5 0 ,2
4,3
Амплитуда . . . 4
.4
1,з
3,1
-25
-35
о'
1* 2°
Огромный радиус (превышающий радиус Солнца примерно в 300 раз)'и огром-
ная абсолютная болометрическая яркость (достигающая в максимуме — ЗіѴ) пока-
зывают, что Дивная Кита является звездой-сверхгигантом. Все переменные этого
типа являются сверхгигантами или во всяком случае гигантами. Массы их, пови-
димому, имеют порядок величины 10 масс Солнца.
Цефеиды
обладают периодами, заключающимися в пределах от 0,1 до 45 суток.
Периоды продолжительностью около 0+5 и 5'
г
наиболее часты; периоды около 1<*
весьма редки. Уже отсюда мы видим,, что цефеиды распадаются на . две группы:
на долгопериодические цефеиды с периодами от 1<* до 45rf и на короткоперноди-
ческие цефеиды с периодами, меньшими ld.
Кривая яркости о Цефея изображена на фиг. 177 . Цефеиды обладают ампли-
тудами колебаний яркости порядка 1"» независимо от их периодов. Форма кривой
яркости слегка изменяется при переходе от
одной звезды к другой. Цефеиды с одинако-
выми периодами в большинстве случаев обла-
дают сходными кривыми яркости. Подъем кри-
вых от минимума к максимуму почти всегда
происходит гораздо круче падения яркости
максимума к минимуму.
Периоды цефеид обладают гораздо большей
степенью постоянства, чем периоды переменных
типа Дивной Кита. Тем не менее удалось
обнаружить изменения периодов цефеид: так,
например, период 8 Цефея уменьшается при-
близительно на одну десятую секунды в год.
Цефеиды принадлежат к спектральным клас-
сам от А до К. Цефеиды спектральных классов
от F до К обладают долгими периодами. Чем
длиннее период, тем краснее звезда. Зависи-
мость между периодом и спектральным классом
довольно тесная.
Спектральный класс правильно изменяется
с тем же периодом, как и яркость 8 Цефея,
в максимуме обладает спектром
класса Fl,
а в минимуме — классом
G0.
Поверхностная температура оказывается наивысшей во время максимума и наи-
низшей в момент минимума его. Лучевые скорости также изменяются периодически
и притом с тем же периодом, как и колебания яркости. В момент максимума
яркости лучевая скорость приобретает наибольшую отрицательную
величину
(по направлению к наблюдателю), а в момент минимума яркости — наибольшую
положительную величину (по направлению от наблюдателя).
Колебания лучевой скорости оказались неодинаковыми для слоев, лежащих на
различных глубинах атмосферы звезды. Амплитуды у некоторых цефеид возрастают
по мере углубления под поверхность звезды (когда линии наружных слоев обна-
руживают наименьшее колебание допплеровских смещений), в то время как
у других цефеид имеет место обратное явление. Фаза также находится в незна-
чительной зависимости от глубины.
Цефеиды обладают большими абсолютными яркостями. Абсолютные яркости
их находятся в весьма тесной зависимости от периодов. Чем длиннее период,
тем больше абсолютная яркость. Яркости короткопериодических цефеид лишь
мало меняются в зависимости от их периодов (см. рис. 178).
Наличие тесной связи между периодами и абсолютными яркостями впервые
было доказано у цефеид Магеллановых Облаков (см. стр. 465). Эти цефеиды
практически находятся от нас на одинаковом расстоянии. Вследствие этого раз-
ности между видимыми и абсолютными их яркостями являются величиной постоян-
ной, а зависимость между периодом и абсолютной яркостью выявляется в качестве
зависимости между периодом и видимой яркостью (см. фиг. 178).
1\
s
s
/»
s
NvJ
У
Hf
/
/
\/
/
1/
Фиг. 177 . Кривые яркости и лучевой
скорости ô Цефея.
Отсюда ясно, что зависимость между абсолютными яркостями и периодами
может быть выведена из наблюдений видимых яркостей и периодов цефеид,
практически находящихся на одинаковом от нас расстоянии, как, например, цефеид
Малого Магелланова Облака; при этом обнаружится постоянная разность- между
абсолютными и видимыми яркостями. Задача определения величины этой постоянной
разности будет рассмотрена на стр. 471.
Цефеиды являются звездами-спсрхгнгантами; по своим абсолютным яркостям
они превосходят нормальные звезды-гиганты . Абсолютные яркости короткопериоди-
ческих цефеид заключены в пределах при-
мерно от 0м для
короткопериодических
цефеид до — 5
м
для долгопериодических.
Цефеиды принадлежат к группе с-звезд
(см. стр. 358). Массы цефеид велики;
они заключаются в пределах от 3 до
50 масс Солнца, возрастая по мере уве-
личения периода.
Радиусы цефеид превосходят радиус
Солнца в 7 — 200 раз; они также возра-
стают по мере увеличения периода.
Обобщая,
мы можем сказать,
что
цефеиды располагаются вблизи изогнутой
кривой в диаграмме Ресселла. Эта кри-
вая нанесена на фиг. 172 на стр. 404.
Период находится в тесной зависимости
от положения звезды на этой кривой:
чем больше период, тем дальше к верх-
нему правому концу располагается звезда.
Звезды типа
R V Тельца
являются
очень редким классом переменных звезд.
Они в некоторых отношениях представляют
собой переходное звено между цефеи-
дами и переменными типа Дивной Кита.
Периоды их в большинстве случаев за-
ключены в пределах от 70 до 200 дней,
т. е.
в среднем
превышают периоды
цефеид, но не достигают периодов переменной типа Дивной Кита. Спектры их
принадлежат к классам от G до М. Периоды их не являются постоянными. Харак-
терной особенностью их кривых яркостей является наличие вторичного минимума,
располагающегося между двумя соседними главными минимумами. Кривые яркости
этих звезд сильно меняются. Так, например, вторичный минимум иногда отсутствует.
Переменные wu/za R Северной Короны
зачастую в продолжение нескольких лет:
сохраняют свою яркость постоянной, после чего она внезапно значительно умень- ;
шается, а затем через некоторое время вновь приобретает первоначальное свое,
значение. Повторение минимумов
носит совершенно
неправильный характер.
В минимуме появляются линии излучения ионизированных металлов.
Переменные типа U Близнецов
в течение некоторого времени сохраняют свою ,
яркость постоянной, после чего она внезапно повышается на несколько звездных-
величии. Максимумы повторяются через довольно неодинаковые промежутки вре-
мени, порядок продолжительности которых составляет 100 дней. Звезда U Близ-
нецов принадлежит к спектральному классу F. В минимуме появляются очень широ- .
кие линии излучения водорода и гелия.
Каждый из только что перечисленных типов обнимает от 10 до 20 звезд.
Переменные типа р. Цефея являются красными звездами, обнаруживающими не-
правильные колебания яркости. Максимумы и минимумы их чередуются через не-
правильные промежутки времени продолжительностью порядка одного месяца или
m
Логарифм ntpuoia
14 -1Л
-ОБ »О2
-0
-0,6*
\
\\
s
\
\
\
Фиг. 178 . Зависимость между периодом и
абсолютной яркостью цефеид. Прерывистая _
часть кривой относится к короткопериодн-'
веским цефеидам. Видимые яркости, нане-
сенные слева, относятся к Малому Магслла-1
нову Облаку. Яркости вычислены как сред-
ние величины яркостей в максимуме и в
минимуме (видимые яркости приведены по
первоначальным измерениям; как показали'
последующие измерения, они нуждаются в
поправках порядка +!'")•
более. Яркости во время последовательных максимумов, равно как и во время
последовательных минимумов, бывают резко различными. Полная амплитуда коле-
бания яркости почти всегда не выходит за пределы двух звездных величин. Пере-
менные типа JJ- Цефея принадлежат к спектральным классам К, M, N и R. Кроме
р. Цефея, к этому классу переменных относятся а Геркулеса и а Ориона. У по-
следней звезды происходит наложение одного короткого перпода колебаний
яркости с небольшой амплитудой на другой более длинный период колебаний
яркости. Всего известно несколько меньше 100 переменных типа р. Цефея.
В заключение упомянем еще один тип переменных звезд, обладающих непра-
вильными быстрыми колебаниями яркости, амплитуда которых зачастую бывает
весьма невелика (меньше 0ЯГ,1). Временами у этих звезд колебания яркости совер-
шенно отсутствуют; временами же они происходят периодически с периолами от
немногих часов до нескольких дней. У ряда этих звезд не удалось обнаружить
изменений их лучевых скоростей, которые протекали бы параллельно колебаниям
яркости. Для Беги (а Лиры), принадлежащей к этому типу переменных, удалось
доказать, что изменения лучевой скорости приблизительно являются зеркальным
отображением колебаний яркости, подобно тому как это имеет место у цефеид
(см. фиг. 177). Изменения лучевой скорости оказались неодинаковыми для раз-
личных элементов. К этому типу переменных принадлежат, например, ß Большой
Медведицы и -у Лиры.
К только что описанному типу переменных, повидимому, близок другой тип
звезд, обнаруживающих незначительные правильные колебания лучевых скоростей,
не могущих соответствовать орбитальным движениям. Эти звезды называются пе-
ременными типа ß Большого
Пса.
Все переменные звезды являются гигантами или сверхгигантами. Немногочис-
ленные неправильные переменные в созвездии Ориона, являющиеся карлика-
ми, повидимому, подобно затменным переменным не представляют собой перемен-
ных звезд в точном смысле этого слова; колебания их яркости, вероятно, вызы-
ваются тем, что они временами нокрываются темными облаками, имеющимися в их
окрестностях.
§ 300. Теории переменных звезд. До настоящего времени не удалось создать
удовлетворительной теории, которая полностью объясняла бы явления, наблюдае-
мые на переменных звездах. Переменность звезд типа Дивной Кита и цефеид не
может быть истолкована как результат затмений, происходящих в двойной звезде.
Для звезд типа Дивной Кита это невозможно уже потому, что период их обна-
руживает неправильные колебания. Для цефеид это невозможно в силу того, что
максимум лучевой скорости совпадает с минимумом яркости, а минимум лучевой
скорости — с максимумом яркости (см. фиг. 177).
Попытки объяснить переменность движениями, происходящими в тесной двой-
ной звезде с сопутствующими им физическими изменениями ее компонентов, также
наталкиваются на значительные трудности. Неправильно изменяющиеся периоды
колебаний яркости звезд типа Дивной Кита не могут быть истолкованы на основе
этой гипотезы. При конкретной попытке объяснения переменности цефеид на основе
гипотезы двойной звезды мы приходим к тому результату, что предполагаемый
спутник главной звезды должен был бы находиться от центра ее на расстоянии,
меньшем радиуса этой главной звезды (см. стр. 432).
В существенных чертах переменность цефеид удалось объяснить с помощью
так называемой пульсационной теории: мы допускаем, что цефеиды пульсируют
с периодом, равным периоду наблюдаемых на них явлений; при этом радиус цефеид
должен изменяться приблизительно на 10%.
Природу пульсаций звезды удалось подвергнуть более подробному исследова-
нию. Важным результатом теории явилось установление связи между периодом
пульсации и средней плотностью звезды. Чем плотнее звезда, тем короче оказы-
вается период ее пульсации. При прочих равных условиях имеем
РУ р = const.
(1)
Это уравнение хорошо согласуется с результатами наблюдений.
Далее теория показала, что во всех слоях недр звезды чистый поток излуче-
ния, направленный кнаружи, является наибольшим в той фазе пульсации, в которой
плотность бывает наибольшей, т. е. во время максимального сжатия звезды. В это
время не только плотность, но и температура и температурный градиент являются
наибольшими, тогда как коэфициент поглощения является наименьшим. Согласно
уравнению чистого потока энергии кнаружи (см. стр. 287), мы видим, что он в это
время действительно является наибольшим.
Однако, как показали наблюдения переменных звезд, фаза наибольшей яркости
совпадает с фазой наибольшей скорости расширения, но, следовательно, не с фазой
наибольшего сжатия. При этом необходимо иметь в виду следующее обстоятельство.
Пульсационная теория имеет силу лишь для недр звезды, но не для ее атмосферы.
Содержание энергии в атмосфере, однако, настолько мало, что она не может
'изменить потока излучения, направленного кнаружи. Вследствие этого фаза на-
блюденной наибольшей яркости должна совпадать с фазой' наибольшего сжатия
в недрах звезды.
Встает, следовательно, вопрос о том, может ли фаза наибольшего сжатия
в недрах звезды по времени совпадать с фазой наибольшей скорости расширения
кнаружи в атмосфере этой звезды. Для того чтобы это было возможно, должны
быть соблюдены следующие два условия: 1) высота атмосферы должна сильно
меняться и притом меняться так, что во время фазы наибольшего сжатия в недрах
звезды она должна успевать уже значительно возрасти, и 2) высота атмосферы
должна являться настолько большой, чтобы ее колебания могли перекрывать
пульсации недр звезды (амплитуда которых составляет около 10% радиуса
звезды). Такие условия мыслимы в том случае, если цефеиды обладают весьма
обширными хромосферами, что является вероятным. Равновесие хромосферы весьма
чувствительно к изменениям потока излучения. До настоящего времени еще не
было произведено подробных исследований условий, которые должны господ-
ствовать в обширной хромосфере,
пронизываемой переменным потоком излу-
чения.
Рассмотрим произвольно выбранный шаровой слой в недрах звезды. В звезде,
не совершающей пульсаций, разность энергии, излучаемой этим шаровым слоем
во вне, и энергии, притекающей к этой сфере изнутри (в обоих случаях речь
идет о чистом потоке излучения), должна равняться энергии, образуемой атом-
ными ядрами, находящимися в этом шаровом слое. Благодаря пульсации условия
меняются, вследствие чего в. известных фазах шаровой слой увеличивает свою
энергию, тогда как в других фазах он уменьшает свою энергию. Относительно
колебаний энергии шарового слоя под действием колебаний потока излучения мы
знаем, во-первых, что они очень малы; они должны быть сравнимы с тепловым,
лучевым и ионизационным содержанием энергии шарового слоя. Это значит, что
пульсации должны протекать почти в точности адиабатически; работу, произво-
димую в результате воздействия, оказываемого на любой элементарный объем
окружающей его материей, мы почти в точности находим в этом элементарном
объеме в форме тепловой и лучистой энергии и в форме потенциала ионизации.
Во-вторых, мы видим, что колебание энергии оказывает значительное влияние на
продолжительность периода. Допустим, например, что некоторый элементарный
объем во время фазы наибольшего сжатия и наивысшей температуры неизменно
получает снаружи меньше энергии, чем в среднем, а во время противоположной
фазы — неизменно больше энергии, чем в среднем. В продолжение одного или
немногих периодов пульсации это не играет роли в силу того, что соответствую-
щая энергия мала, но на протяжении нескольких сот тысяч периодов амплитуда
постепенно уменьшается, потому что в этом случае наименьший приток энергии
имеет место при наивысшей температуре и наоборот. На протяжении некоторого
периода времени пульсации постепенно замирают. Если же наибольший приток
энергии имеет место при наивысшей температуре, то пульсации постепенно уси-
ливаются или же под действием возможного наличия незначительного трения
сохраняют свою амплитуду неизменной. Следовательно, от фазы наибольшего при-
тока энергии зависит, будут ли пульсации затухать или нет.
Было обнаружено, что мы вообще должны ожидать затухания пульсации в про-
должение сравнительно короткого времени. Это хорошо увязывается с тем фактом
что большинство звезд не пульсирует. Далее обнаружилось, что в особых уело-'
виях, а именно, в случае большой массы звезды, существует возможность дли-
тельного существования пульсации. Однако до конца характер этих условий
выяснить не удалось. Кроме того, оценка продолжительности пульсации зави-
сит от допущений, сделанных относительно внутреннего строения звезды (см.
стр. 409—410).
4
Естественным является предположение о том, что пульсация звезд, обладающих
большими массами, продолжается в течение долгого времени при наличии какого-
либо определенного критического химического состава и соответствующего вну-
треннего строения. В таком случае тот факт, что все цефеиды располагаются
вблизи изогнутой линии в диаграмме Ресселла, становится понятным. Связь между
периодом и положением на этой линии объясняется наличием уравнения (1).
Может быть, и переменность звезд типа Дивной Кита нужно рассматривать
как следствие пульсации. Порядок величины периодов и плотностей переменной
типа Дивной Кита удовлетворяет уравнению (1), имеющему силу в случае нали-
чия пульсаций. Вопрос о том, как следует объяснять неправильность периодов
переменной типа Дивной Кита, до настоящего времени остается невыясненным.
У неправильных переменных, обладающих малыми амплитудами колебаний яркости,
мы, повидимому, имеем дело с течениями,
происходящими в разреженных атмо-
сферах этих звезд.
§ 301. Новые звезды. Новыми звездами мы называем такие, которые внезапно
вспыхивают, некоторое время остаются видимыми, но потом или совершенно
исчезают, или становятся крайне слабыми. Наиболее замечательной среди них
является звезда Тихо Браге, впервые замеченная им в созвездии Кассиопеи 11 ноября
1572 г. Начиная с этого дня, был произведен долгий ряд ее наблюдений. В конце
ноября она достигла яркости Венеры. В феврале и марте 1573 г. она еще обла-
дала яркостью 1-й зв. величины. После этого яркость ее продолжала все более и более
уменьшаться, в результате чего в марте 1574 г. она сделалась невидимой нево-
оруженным глазом. В настоящее время в том же месте (а = 0'»20'»,6, 8=4-63°44',
1925,0) видна слабая звездочка, обладающая яркостью 11—12 -й зв. величины.
В галактической системе было обнаружено около 100 новых звезд. Еще боль-
шее количество их было открыто в спиральных туманностях, в том числе около
100 в туманности Андромеды.
Наиболее известными из числа новых звезд япляются: Новая Короны 1866 г.,
Новая Лебедя 1876 г.,
Новая Возничего 1892 г.,
Новая Персея 1901 г.,
Новая
Близнецов 1912 г.,
Новая Орла 1918 г.,
Новая Лебедя 1920 г.,
Новая Живо-
писца 1925 г. и Новая Геркулеса 1934 г.
Существуют звезды, обладающие весьма большим сходством с новыми звездами,
но тем не менее не могущие быть к ним причисленными1). Подобно новым они
обнаруживают вспышки яркости. Однако в отличие от новых эти вспышки яркости
повторяются по истечении нескольких лет. Типичным представителем этой группы
является Т Компаса; аналогичными свойствами обладают •/) Киля и Р Лебедя.
*3везды, подобные новым, но достигающие в максимуме —15 абсолютной зв/
величины, называются сверхновыми.
Они наблюдаются крайне редко и притом
лишь во внегалактических звездных системах, преимущественно в спиральных
туманностях. Пока их удавалось наблюдать лишь вблизи максимума блеска, когда
их яркость становится сравнимой с общей яркостью всей звездной системы,
в которой они вспыхивают. *
Такие звезды предложено называть новоподобнымн. Группа новоподобных зв зд
объединяет настолько разнообразные звезды, что, с одной стороны, она вплотную при-
і,м ,' '.? ,Î
к
о
тиш,,пшм
,10В Ы М звездам, а с другой стороны, почти сливается с некоторыми
типами переменных звезд. —
Прим. перев.
1
Из числа новых звезд, появлявшихся в последние десятилетия, особенно заме-
чательна Новая Персея 1901 г.
* Вечером 21 февраля ее заметил киевский
гимназист А. А. Борисяк*. Рано утром 22 февраля 1901 г. она была замечена
Андерсеном в Эдинбурге, как звезда 3-й величины. За двое суток до этого она
отсутствовала па фотографии этой области неба, снятой на Гарвардской обсерва-
тории. 23 и 24 февраля она достигла яркости Капеллы, находившейся в той же
области неба, и на короткое время даже превзошла ее по яркости. Уже 25 фе-
враля удалось подметить убывание ее яркости, после чего Новая Персея начала
слабеть, что сопровождалось более быстрыми колебаниями ее яркости. К концу
1901 г. она достигла 7-й зв. величины, к концу 1902 г. —
10-й зв. величины, а
в настоящее времі| яркость ее является еще меньшей.
Фотографии спектра Новой Персея обнаружили следующие его эволюции. До
тех пор пока яркость Новой возрастала, спектр ее являлся спектром поглоще-
ния класса В с линиями, смещенными к фиолетовому концу, что соответствовало
допплеровскому эффекту смещения по направлению к наблюдателю. 24 февраля
спектр совершенно изменился. На непрерывном спектре, весьма интенсивном
в фиолетовой и ультрафиолетовой его частях, появились резко выраженные широ-
кие яркие линии, каждая из которых сопровождалась широким, темным спутником
со стороны, ближайшей к фиолетовому концу спектра. В конце марта эти темные
спутники исчезли, одновременно с чем побледнел и непрерывный спектр. В по-
следующей стадии появились линии излучения, похожие на линии излучения галак-
тических туманностей (см. стр. 464), но очень размытые и не столь отчетливые,
как у этих последних. В конце концов из числа широких, светлых линий оста-
лись налицо лишь немногие, характерные для звезд типа Всльфа-Райе, принадле-
жащих к спектральному классу О. Аналогичные явления наблюдались и в спектрах
других новых звезд. !)
Вокруг многих новых звезд наблюдались туманные массы протяжением до не-
скольких секунд дуги. Эта туманная оболочка растет в продолжение некоторого
времени после вспышки Новой.
Новая Персея обнаружила в этом отношении характерные особенности. На
Ликской обсерватории в течение зимы 1901/02 г. был сделан ряд фотографий
окрестностей этой звезды с помощью 150-сантиметрового рефлектора с экспози-
циями от 7 до 11 часов. На всех снимках звезда казалась окруженной обшир-
ными туманными массами (простиравшимися от Новой на расстояние до 10 минут
дуги). Некоторые астрономы высказывали убеждение в том, что им удалось при
этом доказать, что отдельные, отчетливо различавшиеся части этой туманной массы
Не менее замечательной явилась Новая Геркулеса 1934 г. Она была открыта Прен-
тисом 13 Декабря, как звезда 4-й величины, в спектре которой были видны яркие полосы
излучения. До 22—23 декабря она довольно равномерно увеличивалась в яркости очень
медленно для типичной новой звезды. Утром 22 и утром 23 декабря наблюдался двойной мак-
симум новой 1 еркулеса, во время которого она достигла 1,3 зв. величины. Вечером 22 де-
кабря она была на 0,5 зв. величины слабее. С 23 декабря яркость ее стала очень мед-
ленно уменьшаться. Однако 1 января 1935 г. на рассвете наблюдался вторичный ее мак-
симум 1,7 зв. величины. После этого в течение всего января яркость ее колебалась около
3-й зв. величины. К маю яркость ее резко упала до 13-й зв. величины, а в июне 1935 г
стремительно возросла вновь до 7-й зв. величины. До своей вспышки яркость этой звезды'
колебалась в пределах 14—15-й зв. величины.
Спектр Новой Геркулеса 1934 г. также обнаружил ряд интереснейших особенностей.
>іркне полосы, наблюдавшиеся при ее открытии, почти совершенно исчезли к 20 декабря
заменившись темными линиями. Наряду с ними в декабре в спектре наблюдались совер!
шенно необычные полосы поглощения циана, а также разрешенные линии кислорода
из которых некоторые былн очень сильны. До 25 декабря спектр Новой оставался аб-'
сороционным, а после этого он вновь приобрел яркополосчатый вид и в дальнейшем ме-
нялся мало. С января по март полосы водорода становились все шире. Таким обпа-
ЭТ0Й Н0В0Й
п
РетеР
пел
совершенно необычайную эволюцию. До' макси-
шкгимѵма г,,п«ая
я
РкополосчаTMм, затем стал абсорбционным, а спустя 3 дня после
максимума снова сделался яркополосчатым. Чрезвычайно интересно то, что обе эти
протпвопачожные перемены произошли при одной н той же яркости в 2,3 зв. вели-
чины. — прим. перев.
с течением времени значительно удалились от звезды. В силу того что звезда эта
не обладает заметным параллаксом, расстояние ее от Земли настолько велико,
что о каком-либо движении материи в данном случае не может быть и речи. По-
этому думают, что причиной наблюденного явления было не что иное, как ско-
рость света: после яркой вспышки Новой распространяющийся от нее свет должен
был последовательно отражаться от все более и более удаленных частей темной
или лишь слабо светящейся туманной массы.
В нескольких случаях удалось определить параллаксы новых звезд. Выведен-
ные из этих параллаксов абсолютные яркости Новых в момент наибольшего их
блеска оказались близкими к средней величине — 6ЛГ, от которой они в отдель-
ных случаях отклонялись незначительно. Мы видим, следовательно, что новые
звезды достигают весьма больших абсолютных яркостей.
Сильное смещение спектральных линий новых звезд по направлению к фиоле-
товому концу спектра, наблюдающееся непосредственно перед максимумом яркости,
заставляет предполагать, что Новая в этой фазе своей эволюции быстро расши-
ряется. Вид спектра непосредственно после максимума отвечает этому предполо-
жению. Большая интенсивность в фиолетовой и ультрафиолетовой частях спектра,
повидимому, обусловливается тем, что в результате распухаиия звезды горячие
слои поднимаются на ее поверхность. Большая светимость в максимуме имеет
своими причинами высокую температуру этих слоев и значительное увеличение
поверхности звезды, вызванное сильным ее расширением. Широкие, яркие спек-
тральные линии, сильно смещенные к фиолетовому концу, наблюдаемые после
максимума яркости, свидетельствуют о продолжении процесса распухания. Звезда
окружена газовой оболочкой, находящейся в состоянии весьма быстрого расши-
рения. Части этой оболочки, движущиеся прямо по направлению к наблюдателю,
дают линии, наиболее сильно смещенные к фиолетовому концу, тогда как части,
движущиеся косо по отношению к лучу зрения, дают линии, менее смещенные
к фиолетовому концу. Линии поглощения берут свое начало в тех частях газовой
оболочки, которые при наблюдении их с Земли располагаются прямо над звез-
дой. Поэтому линии поглощения обладают наибольшим смещением к фиолетовому
концу спектра. В силу того что различным частям газовой оболочки соответ-
ствуют неодинаковые лучевые скорости, спектральные линии становятся очень
широкими. Дальнейшее подтверждение приведенного объяснения вспышек новых
звезд дают наблюдения окружающих их туманных оболочек. Наконец, появление
в спектрах Новых линий, характерных для галактических туманностей, свидетель-
ствует о приближении физических условий, имеющих место в Новых, к физиче-
ским условиям, господствующим в туманностях; это значит, что плотность туманной
оболочки становится крайне малой и что облучение ее звездой вследствие уве-
личения расстояния от нее становится слабым. Спектр типа звезд Вольфа-Райе,
появляющийся через несколько лет после вспышки, происходит от самой звезды и
показывает, что она в этой стадии своей эволюции обладает высокой поверхностной
температурой.
Теория новых звезд должна дать объяснение способам возникновения выше-
описанных движений.
Из числа различных попыток объяснения вспышек новых звезд упомянем ги-
потезу Зеелигера. В существенных чертах она сводится к тому, что он рассматри-
вает вспышки нозых звезд как результаты гигантских, космических явлений падающих
звезд, при которых звезда при своем движении в пространстве проникает в раз-
реженную туманную массу или в облако космической пыли. Благодаря столк-
новению поверхностные слои звезды раскаляются и из нее извергаются огром-
ные газовые массы. Эта гипотеза объясняет колебания яркости новой звезды
после максимума ее блеска меняющимся поглощением света в облаке космиче-
ской пыли.
Другая теория базируется на допущении того, что явление вспышки новой
звезды вызывается внезапным глубоким изменением условий, господствующих в ее
•недрах, в результате чего происходит своего рода взрыв. Можно думать, что имеет
место какая-то неустойчивость внутреннего строения. Допустимо также предпо-
лагать, что явление вспышки Новой, возможно, находится в связи с образованием
сверхплотного ядра (см. стр. 503). Наконец, существует возможность того, что
какое-либо внешнее явление, например, падение гигантского метеорита, произ-
водит переходящее нарушение внутреннего равновесия звезды, сопутствуемое
характерным извержением огромных масс с ее поверхности.
Число новых звезд, ежегодно вспыхивающих в галактической системе, соста-
вляет or 1 до 10. Оценка процента, составляемого звездами нашей галактической
системы, в течение года претерпевающими вспышку — взрыв, превращающий их
в Новые, — по
отношению к общему числу звезд галактической системы может
быть произведена на основе следующих рассуждений: визуальная, абсолютная
яркость новых звезд в максимуме их блеска приблизительно равна —б/ В силу
этого Новые, приобретающие видимую яркость больше 0'", 5, должны находиться
ближе 200 парсеков. Количество звезд, находящихся внутри сферы диаметром
п 200 парсеков, может быть ориентировочно оценено в 2 • 10° (см. § 307 и 308).
Сделав допущение, что, примерно с 1500 г. все новые звезды, яркость которых
в максимуме превышала 0'", 5, были замечены, мы найдем для частоты их появле-
ния число 4 за 400 лет, или 0,01 за год. Следовательно, искомый процент
составляет 1 вспышку Новой в год на 2 • 108 звезд. Это число, разумеется, дает
лишь порядок величины. Возраст звездного мира оценивается по меньшей мере
в Ю10 лет (см. § 321). В силу этого вероятно, что значительная часть всех
звезд по меньшей мере однажды прошла через стадию новой звезды.
Энергия, излученная во время взрыва, характерного для вспышки новой
звезды, очень мала, по сравнению с полной тепловой и лучевой энергией этой
звезды.
Звезда в том состоянии, в каком она находилась перед вспышкой, и
в том состоянии, в каком она находится после вспышки, следовательно, обла-
дает почти одинаковым запасом энергии. Этот факт, вероятно, позволит сделать
интересное заключение в том случае, если нам удастся более подробно исследо-
вать внутреннее строение какой-нибудь звезды до и после вспышки, превращаю-
щей ее в Новую.
ЗВЕЗДНЫЕ СКОПЛЕНИЯ И ТУМАННОСТИ
§ 302. Звездные скопления. Во всех областях неба видны звезды, распо-
ложенные тесными группами. Такие объекты мы называем звездными
скоплениями
'
или звездными кучами.
Существует два вида этих образований: шарообразные
звездные
скопления
1і рассеянные
звездные
скопления.
Шарообразные звездные скопления предста-
вляют собой довольно резко ограниченные звездные кучи, обладающие правильной
формой, состоящие из огромного количества звезд, частота которых значительно
возрастает к центру скопления. Рассеянные звездные скопления обладают гораздо
менее правильной формой и состоят из меньшего числа звезд, частота которых
по мере приближения к центру увеличивается не сильно. Существуют переход-
ные формы между шарообразными и рассеянными звездными скоплениями.
Было обнаружено около 100 шарообразных куч и свыше 300 рассеянных
звездных скоплений. Весьма известной является звездная куча в созвездии Геркулеса,
находящаяся между звездами т; и С. Известными рассеянными звездными скоплениями
являются Плеяды, Волосы Вереники (созвездие, расположенное между Арктуром и
созвездием Льва), Ясли в созвездии Рака и оба звездных скопления в Персее.
Относительно крупных шарообразных звездных куч предполагают, что в каждой
из них содержится около миллиона звезд. Из числа их обычно бывают видимы
лишь наиболее яркие. Рассеянные звездные скопления, как это уже было упомя-
нуто, состоят из гораздо меньшего количества; в некоторых из них число звезд
составляет меньше сотни, а в других — несколько тысяч.
К числу рассеянных звездных скоплений относят и другой класс взанмно
связанных звезд, так называемые звездные
потоки
или движущиеся
звездные
скопления
(moving clusters). Рассеянные звездные скопления не образуют па
звездном небе компактных скоплений, но отличаются той особенностью, что нахо-
дящиеся в них звезды совершают в пространстве параллельные движения. Примерами
движущихся звездных скоплений могут служить Гиады и поток Большой Медве-
дицы. Звездные потоки отличаются от рассеянных звездных скоплений тем, что они
являются сравнительно столь близкими объектами, что звезды, в них находящиеся,
не образуют на звездном небе компактных групп. К звездному потоку Большой
Медведицы относится ряд ярких звезд, рассеянных на значительной области небес-
ной сферы, как например, Сириус, ß Возничего, а Северной Короны и ß Эрндиана.
Шарообразные звездные скопления распределены по небесной сфере весьма
неравномерно. Распределение их симметрично относительно плоскости Млечного
Пути, но весьма неравномерно по галактическим долготам (см. стр. 466); зна-
чительно гуще они
сгруппированы в пределах галактических долгот от 300
до 350°. Средняя галактическая широта шарообразных скоплений вследствие их
симметричного расположения относительно Млечного Пути близка к 0°, а средняя
их галактическая широта без учета знака составляет около 22°. Область наи-
большего сгущения шарообразных скоплений расположена в созвездии Стрельца.
Рассеянные звездные скопления тоже расположены симметрично относительно
Млечного Пути. По галактическим долготам они распределены равномерно. Рас-
сеянные звездные скопления сильно сконцентрированы
к плоскости Млечного
Пути. Около 70% рассеянных звездных скоплений
обладает
галактическими
широтами от —5 до +5°.
Установление распределения в диаграмме Ресселла звезд, составляющих звезд-
ное скопление.,
является более простой задачей, чем установление аналогичного
распределения одиночных звезд. В силу того что звезды, образующие скопления,
практически находятся от наблюдателя на одном и том же расстоянии, разность
между абсолютными и видимыми их звездными величинами для всех звезд одного
и того же скопления одинакова. Зная видимые яркости и спектральные классы
или колориндексы, можно определить места точек, изображающих эти звезды
в диаграмме Ресселла, вплоть до некоторого постоянного смещения по оси абсо-
лютных яркостей, зависящего от параллакса.
В ряде шарообразных звездных скоплений были произведены многочисленные
измерения видимых яркостей и колориндексов звезд, их составляющих. В рассеян-
ных звездных скоплениях были определены видимые яркости и спектральные
классы значительного числа звезд.
Нанеся наблюдения на соответствующим образом сдвинутую диаграмму Рес-
селла, мы получаем следующие результаты:
В шарообразных звездных кучах звезды-карлики не встречаются. Это объяс-
няется или тем, что слабые карлики недоступны наблюдению, или тем, что
в шарообразных звездных кучах карликов действительно не существует. В неко-
торых шарообразных звездных кучах наблюдения удалось распространить на столь
слабые звезды, что карлики должны были бы быть обнаруженными в том случае,
если бы они в них действительно имелись. Звезды, составляющие скопления на
диаграмме Ресселла, располагаются вдоль ветви гигантов и над нею. Следователыю,
они являются гигантами или сверхгигантами. Весьма характерной во многих шаро-
образных звездных скоплениях является
группа сверхгигантов спектральных
классов А — G, обладающих приблизительно одинаковыми абсолютными яркостями.
Состав рассеянных звездных скоплений различен. Такое богатое звездами
рассеянное скопление, как Мессье 37, состоит из звезд, принадлежащих к основ-
ному ряду карликов и к ветви гигантов, образующих его продолжения. В других
рассеянных звездных скоплениях гиганты не встречаются, а имеются лишь карлики
и звезды класса В. К этому разряду звездных скоплений принадлежат Плеяды.
Существуют также рассеянные звездные скопления, содержащие звезды основного
ряда карликов вплоть до класса А и субгиганты класса К (Гиады).
В шарообразных звездных скоплениях часто встречаются
коротконериоди-
ческие цефеиды. Как мы знаем, абсолютные яркости всех короткопериодических
цефеид приблизительно одинаковы. Благодаря этому из видимых яркостей коротко-
периодических цефеид, находящихся в шарообразных звездных скоплениях, могут
быть выведены относительные их расстояния. Для определения абсолютных рас-
стояний мы должны знать, кроме того, и абсолютные их яркости. Из наблюдений
собственных движений сравнительно недалеких от нас долгоііериодических
цефеид
удалось определить абсолютные их яркости (см. стр. 470). Путем экстраполяции
соотношения период — светимость (см. фиг. 178), выведенного для долгоперподн-
ческнх цефеид, на короткопериодические
таким образом удалось вывести абсо-
лютную яркость последних. Правильность произведенной экстраполяции была
подтверждена наблюденными видимыми яркостями тех, правда, немногочисленных
короткопериодических цефеид, которые в Малом Магеллановом Облаке встречаются
совместно с долгопериодическими цефеидами.
Благодаря этому явилась возможность определения расстояний до тех шаро-
образных звездных скоплений, в которых имеются короткопериодические цефе-
иды. В тех случаях, когда цефеиды не встречаются, расстояния выводятся из
средней видимой яркости наиболее ярких звезд скопления; с этой целыо средняя
абсолютная яркость их приравнивается к яркости аналогичных звезд тех скоплений,
в которых встречаются короткопериодические цефеиды. Разумеется, этот способ
не является безупречным. Так, например, мыслимо, что наиболее яркие звезды
систематически оказываются более яркими в тех скоплениях, в которых встре-
чаются цефеиды, чем в тех, в которых они не встречаются. Однако во всяком
случае этим способом мы получим правильный порядок величины определяемых
расстояний. Наконец, существует способ приближенного определения расстояний;
для этого делается допущение, что звездные скопления, обладающие одинаковыми
угловыми диаметрами, находятся от нас на равных расстояниях. Однако и это
допущение легко может привести к несколько ошибочным результатам вследствие
того, что вполне могут встретиться значительные различия линейных размеров;
по этой причине далекое скопление крупных размеров может обладать тем же
угловым диаметром, как и скопление меньших размеров, но более близкое.
Надежные результаты могут быть получены путем подразделения шарооб-
разных звездных скоплений на классы, в зависимости от степени концентрации
в них звезд и путем вывода средних абсолютных звездных величии наиболее
ярких звезд из абсолютных яркостей цефеид для каждого такого класса в отдель-
ности. В качестве наиболее ярких звезд выбираются, например, 25 самых ярких
звезд (за исключением 5 ярчайших, которые могут принадлежать переднему
плану). Было обнаружено, что эти 25 звезд в сильно концентрированных скопле-
ниях оказываются в среднем на 1"»,3 ярче цефеид, а в менее концентрированных
скоплениях лишь на 0'",9 ярче их.
Для шарообразных звездных скоплений вышеописанными методами были най-
дены огромные расстояния от 7000 до 60 000 парсеков. Для диаметров шарооб-
разных звездных скоплений были найдены величины, порядка величины 30 парсеков.
Пространственная плотность или частота звезд в шарообразных звездных скопле-
ниях весьма велика, особенно в центральных частях. В то время как в окрестностях
Солнца в сфере диаметром в 10 парсеков встречается 3 звезды, обладающие
абсолютными яркостями, превосходящими 3я, число таких звезд в шарообразном
звездном скоплении Мессье 3 исчисляется несколькими тысячами.
Расстояние до рассеянных звездных скоплений удалось вывести из видимых
яркостей встречающихся в них звезд-карликов основного ряда. Это оказалось
возможным благодаря тому, что абсолютную яркость этих звезд возможно опре-
делить довольно точно по их спектральным классам. В тех случаях, когда спек-
тральные классы их неизвестны, расстояния могут быть оценены по видимым
диаметрам скоплений; для этого используется способ, аналогичный способу опре-
деления расстояний до шарообразных звездных скоплений.
Расстояния до известных нам рассеянных звездных скоплений гораздо меньше
расстояний до шарообразных звездных скоплений. Они обладают порядком вели-
чины 1000 парсеков и редко превосходят 3000 парсеков.
Диаметры рассеянных скоплений имеют порядок величины 5 парсеков, а про-
странственная плотность звезд в них не достигает таковой в шарообразных звездных
скоплениях, хотя и превосходит таковую в ближайших окрестностях Солнца.
Пространственное распределение шарообразных рассеянных звездных скоп-
лений, определяемое расстояниями до них, будет разобрано в другом месте (см.
стр. 478).
Распределение звезд в пределах шарообразных и рассеянных звездных скоп-
лений может быть выведено статистическим путем. А именно, оказалось возможным
на основании распределения звезд в проекции на плоскость, касательную к не-
бесной сфере, судить о пространственном их распределении.
Наиболее яркие звезды концентрируются по направлению к середине скоп-
ления сильнее, чем звезды более слабые. По аналогии с физическими условиями,
господствующими в идеальном газе, в котором состояние равновесия достигается
благодаря столкновениям частиц, оказалось возможным вывести среднее значение
fr
if
Л
у
—•
»
Г—-—
—
«Г0*
z.
—
—•
---
—
—
—
—
Фиг. 179. Собственные движения Гиад.
масс звезд в рассеянных звездных скоплениях из наблюденных неодинаковых кон-
центраций звезд в различных скоплениях этого типа. Выведенные таким образом
значения масс хорошо совпали с теми значениями, которые удалось вычислить из
наблюдения двойных звезд, (см. § 282 и 294).
Параллаксы звезд, входящих в состав движущихся звездных скоплений, удалось
определить особым образом. Вследствие того что движения этих звезд в про-
странстве параллельны, все наблюдаемые собственные их движения направлены
к одной и той же точке небесной сферы, к так называемому вертексу (см.
фиг. 179), Следовательно, этот вертекс может быть определен по собственным
движениям. Он указывает направление движения звезд, образующих движущееся
звездное скопление, относительно Солнца.
Когда направление э.то известно,
параллакс может быть выведен из собственного движения и лучевой скорости
(см. Приложение, стр. 519).
Звезды, образующие нормальные движущиеся звездные скопления, в боль-
шинстве случаев принадлежат к основному ряду карликов. Однако часто к дви-
жущимся звездным скоплениям причисляют и определенные группы ззезд классов В
и А, обладающих весьма незначительными абсолютными скоростями. Эти звезды
обнаруживают общее направление движения, приблизительно
противоположное
направлению движения Солнца.
§ 303. Галактические туманности. Туманностями первоначально называли все
видимые на звездном небе светлые пятна, которые не удавалось разделить на
отдельные звезды. Позднее часть туманностей удалось разделить или, как более
принято выражаться, разрешить на отдельные звезды. Повидимому, значительное
большинство туманностей по меньшей мере частично состоит из отдельных звезд.
.Однако общее название „туманности" было сохранено. Все туманности подраз-
деляются
на две группы: на
туманности
галактические
и на туманности
Фиг. 180. Шарообразное звездное скопление в созвездии Геркулеса
(Мессье 13).
Фиг. 181. Планетарная туманность в созвездии Лиры.
Астрономия
іайИЯИ^Нк': -' ЩШШіШШ
? ' : ЧВЬДВр^ДИЯИ^В ' • ;
J
Н^^ИяВ^^^ИН^Н^^Н ;•
'
' кі-ь!.
Hfl
ш
Иг' &
:
•W
ЩІЯшзв^шІШ
F/gL у—^и^Уд^дГ^^^^^^шй'.' i ^Ця^ы 'ri
jr..' •;
.
'
ДУд^-4
И.
«ter. 182. Большая,газовая туманность в созвездия Ориона (по фотографии, сделанной
.
I ../, -.
• - на Иеіріссской обсерватории).
Фиг. 183. Туманность «Америка» в созвездии Лебедя.
Фиг. 184 . Туманность в созвездии Лебедя.
.
.
•
фиг.' 185. Яркие звезды Плеяд, окруженные туманностями.
Астрономия
Фиг. 186 . Спиральная туманность в созвездии Гончих Собак, видимая сбоку.
Фиг. 187 . Спиральная туманность, видимая с ребра, с пересекающей ее полосой
темной материн, поглощающей часть света.
�ь
внегалактические.
Туманности этих групп существенно различаются одни от других.
Галактические туманности представляют собой объекты системы Млечного Пути»
а внегалактические туманности находятся за пределами системы Млечного Пути
и могут достигать гораздо больших размеров, чем туманности
галактические
(подробнее об этом говорится в § 304 и иа стр. 496).
Галактические туманности в свою очередь подразделяются на диффузные
')
и планетарные
туманности.
Диффузные туманности являются обширными, слабо светящимися объектами
весьма неправильной формы. Их угловые диаметры заключены в пределах от
немногих минут дуги до нескольких градусов.
Планетарные туманности представляются нам небольшими круглыми дисками
или кольцами, в силу чего часть их обладает некоторым внешним сходством
с дисками планет. Угловые диаметры их заключены в пределах от нескольких
секунд дуги до 15 минут дуги. Как правило, в сере.чине планетарной туманности
находится звезда, называемая центральной
звездой
туманности. В случае, если
в планетарной туманности нам не удается наблюдать центральной звезды, то это,
вероятно, объясняется какими-либо особыми факторами, не благоприятствующими
наблюдениям; принято думать, что центральная звезда в планетарных
туман-
ностях имеется почти всегда за весьма немногочисленными исключениями.
Центральные звезды являются звездами типа Вольфа-Райе (см. стр. 458).
Наличие широких линий излучения в их спектрах может быть объяснено тем,
что из атмосфер этих звезд непрестанно извергаются вверх в радиальном напра-
влении массы материи (см. аналогичное истолкование спектров новых звезд на
стр. 457). Возможно существование органической связи извергаемых масс материн
с окружающей туманностью.
Всего нам известно немного больше 100 диффузных туманностей и почти
такое же количество планетарных туманностей. Хорошо известной диффузной ту-
манностью является туманность Ориона (фиг. 182), а хорошо известной плане-
тарной туманностью — кольцеобразная туманность в созвездии Лиры (фиг. 181).
Свет диффузных туманностей, повидимому, имеет единственным своим источ-
ником освещение, производимое звездами, находящимися или в самой туманной
массе, или в ее окрестностях. Почти для всех диффузных туманностей удалось
доказать наличие таких соседних звезд, являющихся первоисточником свечения
этих туманностей. Одновременно удалось доказать наличие связи яркостей звезды
и туманности. Равным образом, было доказано и наличие связи спектральных
классов звезды и туманности. Спектральному классу от О до ВО звезды соот-
ветствует эмиссионный линейчатый
спектр туманности; иным встречающимся
спектрам соседней звезды (главным образом классов от В1 до А2) соответствует
непрерывный спектр туманности, а в некоторых случаях спектр поглощения.
В случае, если бы диффузные туманности светились только тогда, когда
в окрестностях их находится звезда, мы должны были бы получить возможность
доказать нали не в пространстве также и темных
диффузных масс. Наличие
таковых, действительно, было доказано. Как и следовало ожидать, такие темные
массы зачастую переходят в светящиеся диффузные туманности. Наличие таких
темных масс п, оявляется производимым ими поглощением света звезд, что вызы-
вает появление областей неба, в которых количество видимых звезд весьма
невелико. Темные поглощающие массы представляют собой весьма
заметные
явления в Млечном Пути. Путем сравнения количеств звезд различных звездных
величин в областях, бедных звездами, и рядом с этими областями удалось
оценить расстояния таких темных туманностей и степень производимого ими
поглощения света. Хорошо известными являются: темная туманность в созвездии
Тельца, темная туманность около р Змееносца (фиг. 188) и «угольный мешок»
вблизи Южного Креста.
'
Вследствие того что большинство диффузных туманностей обладает неправильное1
формой, они часто называются неправильными
туманпостями.— Ярімс. перев.
Диффузные туманности, в спектрах которых имеются линии излучения мы
должны считать состоящими из свободных атомов, которые поёлощаю^адTM?
на них свет звезды и вновь излучают его в форме отраженного 2Sé onSSSSÏÏ
ных длин волн, дающего наблюдаемые линии излучешш. Относитель?? тоГь х
I3
"Г"021
"
3107' ЧТ
°
°
НИ С°СТ0ЯТ И3 Част,ІЦ космической пыли раадГных рТ
меров, поглощающих свет путем отбрасывания теней. Удалось доказать что эТн
темные поглощающие массы не изменяют спектрального состав? Sa
ппёчоля
щего сквозь них. Диффузные туманности, обладающие непрерывным спектром
или спектром поглощения, , образуют переход между обоими крайадмё случаями
В хорошем согласии с этим явлением находится ранее установленный S
что
ёдоРтѴаГГлуГГ —Я
П°
-
TM
туманностей, обладают
чаются^иффу^ныер0^^акж* іттемиые тум!тнЛіеьіе'Ямассы.ПРИМеР В
^
Планетарные туманности дают спектр, излучения, выделяющийся на фоне
бледного сплошного спектра. Линии излучения принадлежат водороду дважды
ионизированным
азоту и кислороду и трижды
ионизированном/Тислороду
Отдельные линии были обнаружены лишь в спектрах туманностей; было доказало
что они могут встречаться именно лишь там, где плотность материи так
как это имеет место в туманностях. Раньше считали, что эти линии производятся
одним или двумя химическими элементами, неизвестными на Земле Однако в дей-
ствительности эти линии не могут быть получены в лабораторной обстановке
потому, что соответствующие вероятности перехода исключительно малы. В туман-
ностях внешние воздействия настолько малы, что атом может находиться в одном
из двух квантовых состояний, более богатом энергией, так долго, что в конііе
концов переход во второе квантовое состояние все же происходит, несмотря на
малую его вероятность.
'
"»"'J"1 н<*
Что касается планетарных туманностей, то считают, что первоисточником их
энергии является центральная звезда. Особенности центральных звезд этих туман-
ностей до настоящего времени еще не выяснены. Известно только что они
являются
горячими
звездами,
обладающими
малыми
абсолютными
ярко-
ликов расп0лагающимнся
в
диаграмме Ресселла несколько выше белых кар-
Планетарные туманности всегда обладают гораздо ббльшими
визуальными
яркостями, чем их центральные звезды. Вероятно, это объясняется тем, что
главная часть радиации центральных звезд приходится на ультрафиолетовую часть
спектра, в то время как туманности возбуждаются таким образом, что испускаемое
ими свечение приходится на видимую, часть спектра.
§304. Внегалактические туманности.
Внегалактические туманности (назы-
ваемые иногда экстрагалактическими или анагалактическими) подразделяются на
эллипсоидальные
туманности, спиральные
туманности и туманности типа Магел-
лановых Облаков.
Эллипсоидальные туманности
представляются
нам небольшими размытыми
объектами правильной формы, яркость которых сильно увеличивается по мере
приближения к центру. Диаметры их заключаются в пределах от долей минуты
дуги до немногих минут дуги. Форма их чаще всего бывает эллиптической
.в
некоторых случаях круговой, а в нных случаях, линзообразной. В немногих
случаях удалось доказать наличие в этих туманностях отдельных звезд, а в одном
случае в эллиптической туманности наблюдалась новая звезда. Принято думать
что эллиптические туманности состоят из отдельных звезд и что лишь огромные
расстояния, на которых они находятся, способствуют тому, что они видимы
в форме размытых пятен. Наименьшие эллипсоидальные туманности несколько
превосходят по своим размерам наибольшие шарообразные звездные скопления
в силу чего они могут рассматриваться в качества огромных
шарообразных
звездных скоплений, Однако наряду с этим существует возможность того что
эллиптические туманности представляют собой обширные газоиые массы.
'
Фиг. 188. Участок Млечного ІХутн вблизи р Змееносцд.
Фиг. 189. Участок Млечного Пути в созвездии Лебедя.
Агтооиоиия
\>л
Спиральные
туманности
являются
размытыми объектами,
отличающимися
наличием у них спиральных ветвей, раскручивающихся от центрального ядра; как
правило, имеется две такие спиральные ветви. Спиральная форма при переходе
от одной туманности к другой резко меняется. Во многих случаях мы видим,
что наиболее удаленные от центра части спиральных ветвей распадаются на отдель-
ные звезды.
Принято думать, что спиральные туманности состоят преимущественно из
отдельных звезд, но что ядра их в отдельных случаях представляют
собой
единую туманную массу. В иных случаях ядра, повидимому, могут быть при-
близительно уподоблены облакам, встречающимся в Млечном Пути, или же шаро-
образным звездным скоплениям. Во многих спиральных туманностях видны тем-
ные части, соответствующие имеющимся в них темным массам космической пыли.
Во многих спиральных туманностях видны маленькие диффузные туманности'
соответствующие диффузным галактическим туманностям. Кроме того, в ряде
спиральных туманностей были обнаружены цефеиды и звездные скопления.
Хорошо известными спиральными туманностями являются туманность в Андро-
меде и туманность Мессье 33 в созвездии Треугольника.
Обе они видимы
невооруженным глазом (Мессье 33, правда, лишь при особенно благоприятных
условиях видимости).
Туманности типа Магеллановых Облаков получили это свое название по сход-
ству с двумя большими туманными пятнами южного звездного неба, находящимися
на расстоянии 20° от южного полюса мира и называемых Магеллановыми Облаками.
Этот разряд небесных тел охватывает около 20 объектов того же рода, как
и Магеллановы Облака. Объекты эти не обладают спиральной структурой и
обнаруживают лишь незначительное сгущение по направлению в центру. Они
•состоят из отдельных звезд и других объектов, встречающихся также и в галак-
тической системе.
В Магеллановых Облаках удалось доказать наличие звездных скоплений, диф-
фузных туманностей, планетарных туманностей, звезд класса О, цефеид и красных
долгопериодических переменных звезд.
Наиболее многочисленными являются эллиптические туманности, а наименее
многочисленными — туманности типа Магеллановых Облаков. Общее количество
внегалактических туманностей было оценено в несколько миллионов.
«Новый общий каталог туманностей и звездных куч» («New General Catalogue
ot Nebulae and Clusters» или, сокращенно, N. G . С.) является списком свыше
8000 туманностей и звездных скоплений. Приведенное в' нем описание объектов
базируется главным образом на наблюдениях В. Гершеля, Дж. Гершеля и Росса.
Обозрение туманностей, обладающих яркостями больше 13-й зв. величины,
дало следующие результаты. Из числа 1025 туманностей 701 были признаны
спиральными, 217—эллипсоидальными (шарообразными) и 29 — неправильными.
78 туманностей классифицировать не удалось. Таким образом убедились в том,
что большинство ярких туманностей принадлежит к числу спиральных. Кроме
того, следует думать, что большинство слабых туманностей, относимых сейчас
к числу эллиптических, в действительности также принадлежит к числу спи-
ральных.
СТРОЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
§ 305. Млечный Путь. Стремления астрономов во все времена были напра-
влены к тому, чтобы на основании видимой картины Вселенной выяснить истинное
ее строение. Совершенно так же, как уже давно из видимого положения и дви-
жений Солнца и планет было установлено строение солнечной системы, делались
попытки создать представление и о форме Вселенной
и о взаимном расположении
в ней небесных светил. Под Вселенной мы подразумеваем совокупность всех
небесных тел, которые мы можем видеть или в существовании которых мы можем
Астрономия
30
иметь уверенность на основании наблюдений иного характера. Что касается звезд,
то путем наблюдений мы можем определить направление
к этим звездам, тогда
как расстояния
до них могут быть непосредственно измерены лишь в исключи-
тельных случаях (см. стр. 416). Усилия астрономов в течение последних десяти-
летий были направлены главным образом на то, чтобы обойти эту трудность
и найти новую основу, которая позволила бы создать представление о расстоя-
ниях во Вселенной.
В исследованиях этого рода выдающуюся роль играет Млечный Путь.
Эта
бросающаяся в глаза сверкающая полоса опоясывает кругом все звездное небо
без каких-либо разрывов, но, будучи неодинаково яркой в различных своих
частях, она простирается приблизительно по большому кругу, один из полюсов
которого
находится в созвездии Волос Вереники; его прямое
восхождение
около 190° и склонением около +28°; противоположный полюс, южный полюс
Млечного Пути, находится на южной границе созвездия Кита. От этого большого
круга и точек его пересечения с небесным экватором отсчитывается
галакти-
ческая долгота (/) и галактическая
широта (b) по аналогии с долготой и широ-
той, отсчитываемым по эклиптике.
Во многих местах Млечный Путь образует небольшие ответвления, а в других
местах как бы темные отверстия; в одном месте, начиная от созвездия Лебедя,
на далекое расстояние в южном полушарии Млечный Путь разделяется на две
ветви. В этой области он во многих местах обладает очень большой яркостью;
лучше всего это бывает видно в то время, когда Вега стоит высоко на небе.
В противоположном направлении несколько слева от Ориона яркость Млечного
Пути, наоборот, сравнительно невелика.
При наблюдениях в телескоп Млечный Путь распадается на отдельные звезды.
Структура Млечного Пути имеет своей причиной то обстоятельство, что звезды
в нем расположены главным образом в форме огромных звездных скоплений,
звездных облаков, которые частью более или менее перекрывают одно другое,
частью же расположены изолированно. Хорошо известным звездным облаком
Млечного Пути является облако в Лебеде, расположенное между звездами ß и у
этого созвездия. Между богатыми звездами областями звездных облаков рас-
полагаются гораздо менее богатые звездами области; эта особенность структуры
Млечного Пути вызывается ранее упоминавшимся поглощением света темными
массами космической пыли. Светящиеся галактические туманности равным образом
типичны для Млечного Пути.
§ 306. Первые попытки создания картины строения Вселенной. Из числа
этих попыток мы сейчас перечислим некоторые наиболее важные.
Кант строил'свою систему мира путем аналогии. Подобно тому как спутники
обращаются вокруг планет, а планеты в свою очередь вокруг Солнца, он мыслил
себе Солнце движущимся около центрального
солнца,
подобно тому как пло-
скости орбит планет образуют между собой лишь малые углы, он представлял
себе, что и солнца группируются в основном около некоторой общей плоскости.
Там, где эта плоскость пересекает небесную сферу, и в ближайших окрестностях
этого места должно быть видимо большинство звезд. Млечный Путь, относительно
которого предполагается, что он состоит из бесчисленного множества слабых
звезд, согласно этому воззрению, должен играть ту же роль для Солнца, как
эклиптика и зодиак для планет. Центральным солнцем Кант избрал Сириус ввиду
большой его яркости и расположения вблизи Млечного Пути. Все звезды, могу-
щие быть видимыми по отдельности, принадлежат к этой огромной системе Млеч-
ного Пути. Другие системы аналогичного характера видны на огромных расстояниях
в форме туманных пятен.
Несмотря на то, что мы должны признать, что идея Канта но своей широте
является соблазнительной, она не может быть сохранена в первоначальной ее
форме. Невозможно доказать существования одной единственной звезды, которая
обладала бы силой притяжения, достаточной для того, чтобы удерживать около
себя всю звездную систему, подобно тому как Солнце удерживает около себя
планетную систему; кроме того, что касается специально Сириуса, то согласно
нашим современным знаниям масса его не превосходит значительно массу нашего
Солнца (стр. 422).
В. Гершель проработал значительную часть своей жизни над созданием основы
для исследования строения Вселенной. После того как в 1784 г. он установил
свой 19-дюймовый рефлектор, он применил метод, названный им „методом черп-
кова,
который лучше всего может быть охарактеризован как метод промеров
глубин мироздания. При этом он исходил из предположения, что все видимые
нами звезды за исключением единичных локальных
групп их в общем и
целом расположены в пространстве до известной степени на одинаковых взаимных
расстояниях. Своими наблюдениями он установил, что в поле зрения одного и
того же телескопа в различных областях звездного неба видны различные коли-
чества звезд. Он заключил отсюда, что протяжение Вселенной в том направлении,
в котором мы видим больше всего звезд, должно быть наибольшим. Исследовать
все небо этим способом оказалось невозможным. Однако после того как он
стал распределять свои черпки по определенному плану, он пришел к тому пред-
варительному выводу, что Вселенная обладает формой круглого диска, с одной
стороны раздвоенного (что должно было соответствовать раздвоению Млечного
Пути), диаметр которого в 5~ раз превосходит его толщину. Солнце по его
мнению должно находиться несколько сбоку от середины этого диска.
Необходимой предпосылкой для того, чтобы примененный Гершелем метод
действительно мог бы дать те результаты, которые от него ожидались, должна
была являться возможность достижения телескопом Гершеля границ Вселен-
ной. Инструментом, использованным Гершелем для своих черпков, являлся упомя-
нутый рефлектор, обладавший диаметром отверстия около 19 дюймов и фокусным
расстоянием в 20 футов. Когда он после этого закончил сооружение своего
гигантского рефлектора, с диаметром отверстия в 4 фута и фокусным расстоянием
в 40 футов, он попытался проверить, как в этом отношении обстояло дело-
если бы он с помошыо большого рефлектора не смог
видеть значительно
больше звезд, чем с помощью малого, то он был бы вправе предположить, что
граница Вселенной действительно была им достигнута с помощью малого реф-
лектора. Повторив несколько черпков с помощью гигантского рефлектора, он
установил, что в областях неба, вокруг полюсов Млечного Пути, обнаружилось
не на очень много звезд больше, чем их было видно в малый телескоп; в дру-
гих же областях неба он увидал гораздо больше звезд, а в самом Млечном
Пути —не только бесчисленное множество звезд, ранее невидимых, но и целые
светящиеся части, которые не удавалось разрешить на отдельные звезды: Вселен-
ная представилась Гершелю бесконечной.
На основе последующих своих исследований деталей Млечного Пути и много-
численных звездных скоплений В. Гершель в конце концов пришел к выводу, что
исходное его предположение о сравнительно равномерном распределении небесных
тел, повидимому, не соответствует действительности. Первоначальные свои воз-
зрения на \Этот счет он высказал в 1785 г., в 1796 г. он отказался от ннх час-
тично, а в 1802 г. полностью.
Исследования, проведенные В. Гершелем по его методу черпков, несмотря на
это имеют большое значение. Позднее они были продолжены его сыном Дж. Гер-
шелем с помощью того же инструмента во время многолетнего пребывания его
и Капштадте (ныне Кептоун), где он наблюдал южное полушарие звездного неба.
Аргеландер в годы с 1852 до 1859 составил карты, охватывающие по воз-
можности все^звезды до 9-й зв. величины, расположенные между северным полю-
Son "Т
И2
южного
склонения. Каталог этих звезд, число которых превосходит
о20 000, известный под названием „Боннского обозрения"
(„Bonner Durchmusterung"
или сокращенно В. D.), впоследствии был продолжен до 23° южного склонения!
Для остальной части южного звездного неба была произведена аналогичная
Работа, результатом которой явилось „Кордобское
обозрение»
(„Cordoba Durchmu-
sterung"). В последующие годы с этоіі же целью стала применяться фотография.
По фотографическим снимкам был составлен обширный звездный каталог на
Капской обсерватории „Капское
фотографическое
обозрение"
(„Саре Photographic
Durchmusterung"). Затем международная „Карта
неба" („Carte du ciel"),
„Гар-
вардская карта неба" („Harvard-Map of the Sky") и звездные карты Франклина-
'Адамса. На небольших площадках, распределенных по всему небу,
носящих
название избранных
площадей
(„Selected Areas") Каптейна, были учтены все
звезды вплоть до 16-й, а частью даже до 19-й зв. величины, причем были опре-
делены и их яркости.
Эти каталоги образовали основу для статистических исследований различного
характера. С помощью этих каталогов для различных областей неба были опре-
делены количества звезд, приходящихся на 1 квадратный градус, яркость которых
превосходит 1">, 2'", 3"*... (см. стр. 481).
§ 307. Ближайшие звезды. Определение параллаксов по собственным дви-
жениям. Как уже указывалось, возможность установления расположения звезд и
иных известных нам небесных светил в пространстве находится в зависимости
от возможностей определения расстояний до них. Методы, применяемые для этого,
весьма разнообразны, в зависимости от того, касается ли дело определения срав-
нительно небольших или же, наоборот, огромных расстояний.
Расстояния звезд, находящихся от нас ближе 20 парсеков, могут быть довольно
надежным образом определены непосредственно путем измерения их тригономет-
рических параллаксов (см. стр. 416; с помощью современных методов тригоно-
метрические параллаксы могут измеряться с ошибкой порядка 0",01).
В таблице на стр. 469 сгруппированы различные данные,
характеризую-
щие 36 звезд, для которых были измерены тригонометрические параллаксы, ббль-
шие 0",20. В таблице после названия звезды приведены визуальная видимая вели-
чина, спектральный класс, годичное собственное движение, тригонометрический
параллакс и визуальная абсолютная величина, вычисленная по формуле
i
M=w-{ -5-{-51git.
Звезды расположены в таблице в порядке убывания их абсолютных яркостей;
17 из 36 перечисленных звезд являются компонентами двойных и кратных звезд
(компоненты обозначены буквами А, В, С).
Три звезды, перечисленные в этом списке (No 21, 22 и 32), являются звездами-
карликами. Остальные принадлежат к основному ряду диаграммы Ресселла (см.
стр. 404) и располагаются довольно кучно вблизи линии, соответствующей этому
основному ряду. "Красные звезды-гиганты в списке не встречаются. Вероятно,
в этом списке, включающем 36 звезд, перечислены не все звезды, находящиеся
от нас на расстояниях, меньших 5 парсеков. Общее число звезд, действительно
находящихся на этом расстоянии, несомненно больше, может быть превосходя
вышеприведенное в полтора раза.
Место Солнца в этом списке находится между No 4 и No 5, для него M — 4
я
,9,
а спектр Солнца, как известно, принадлежит к классу GO.
Список ясно показывает, что звезды, обладающие сравнительно слабыми абсо-
лютными яркостями, находятся в значительном большинстве. Далее мы видим, что
абсолютные величины охватывают значительный интервал от Iя
,2 до 16я
,5.
Известны звезды, обладающие значительно ббльшими абсолютными яркостями
(вплоть до М =
—
7я). Они редки, настолько редки, что мы не вправе ожидать
того, чтобы одна из них встретилась в списке 36 звезд. Звезды с M > 16я
,5,
несомненно могут иметься налицо в большем количестве, несмотря на то, что
до сего времени ни одной такой звезды обнаружено не было.
Едва ли приходится думать, что ближе 5 парсеков имеются еще звезды, обла-
дающие видимыми яркостями, превосходящими б"1
.
Это объясняется тем, что для
всех звезд с m < 6, обладающих сколько-нибудь значительными
собственными
движениями, были определены параллаксы. В силу этого список на стр. 469 вплоть
до абсолютной величины 7я
,5 может считаться полным (7,5 = 5 + 6 + 5 lg 0,2).
Название звезды
Споктраль-
ныГ!
класс
Собствен,
движение
в год
Л1„
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
СириусА.. .
а Орла
....
Ироцион А . .
а Центавра А .
о2 Эридана А .
•с Кита
.. ..
а Центавра В .
еЭридана. . .
еИндейца.. .
61 Лебедя А .
Лакайль 8760 .
61 Лебедя В. .
Грумбридж 1618
Лакайль 9352 .
Грумбридж 34 А
В.D.+ 2002465
Лаланд 21 185 . .
Аргеландер-Эльцен
S2398А...
В.D.+ 43°4305
СириусВ . . .
о'-. Эридана В
.
Крюгер 60 А .
22398В. ...
Звезда Каптейна
В.D.—
7° 4003
В. D. —12° 4523
о2 Эридана С .
Грумбридж 34 В
Крюгер60В..
Звезда Барнарда.
Звезда ван-Маанен
Звезда Иннеса
Процнон В ...
.
Ближайшая Центавра
Вольф 359 . .
—1 ,6
0,9
0,5
0,3
4.5
3.6
1.7
3.8
4.7
5,6
6,6
6.3
6.8
7.4
8,1
9.0
7.6
9.1
8,8
9.5
8.4
9.7
9,3
9,3
9.2
9,2
9.5
10,8
10,3
10,8
9,7
12,3
12
13
11
13,5
АО
1+32
0",363
А5
0 ,65
0 ,204
F5
1 ,24
0 ,304
G0
3 ,68
0 ,758
G5
4 ,08
0 ,205
КО
1 ,92
0 ,319
К5
3 ,68
0 ,758
ко
0 ,97
4 ,67
0 ,305
К5
0 ,97
4 ,67
0 ,291
К7
5 ,21
0 ,300
Ml
3 ,53
0 ,253
К8
5 ,21
0 ,300
МО
1 ,45
0 ,250
М2
6 ,90
0 ,247
М2
2 ,85
0 ,290
М4
0 ,49
0 ,202
М2
4 ,77
0 ,403
М4
1 ,31
0 ,222
М4
2 ,28
0 ,288
М5
0 ,86
0 ,213
А7
1 ,32
0 ,363
А
4 ,08
0 ,205
МЗ
0 ,94
0 ,264
М5
2 ,28
0 ,288
К2
8 ,70
0 ,320
М5
1 ,33
0 .331
М5
1 ,24
0 ,351
Мб
4 ,08
0 ,205
М5
2 .85
0 ,290
М4
0 ,94
0 ,264
МЗ
10 ,30
0 ,542
F0
3 ,01
0 ,246
—
2 ,69
0 ,340
—
1 ,24
0 ,304
M
3 ,76
0 ,786
М4
4 ,84
0 ,407
1,2
2.5
2,9
4,7
6,1
6,1
6,1
6,2
7,0
8,0
8.6
8.7
8.8
9,3
10.4
10.5
10.6
10,8
11,1
11,1
11,2
11.3
11.4
11,6
11.7
11.8
12,2
12,4
12,8
12,9
13,4
14,2
14,7
15.4
15.5
16,5
Подавляющее большинство звезд, находящихся ближе 5 парсеков, будет
обладать собственными движениями, превосходящими 0",5. В вышеприведенном
списке наименьшее собственное движение составляет 0",49. Собственному дви-
жению, равному (+5, при те = 0"2, соответствует линейная скорость по касатель-
ной, равная 4,74.- ^
=
12 км/сек
(см. Приложение, стр. 519). Из исследований
распределения скоростей звезд (см. стр. 407) следует, что тангенциальные скорости
относительно Солнца менее 12 км/сек
сравнительно редки, так что для те > 0",2
большинство звезд действительно должно обладать собственными движениями,
превосходящими 0 ,5. Поэтому для того чтобы достичь возможно большей пол-
ноты списка звезд, находящихся ближе 5 парсеков также и для M > 7я
,5 следует
отыскивать звезды, обладающие собственными движениями, превосходящими 0",5,
и определять их параллаксы. И действительно большинство звезд, перечисленных
в списке, первоначально обратили на себя внимание своими необычайно большими
собственными движениями; из этих собственных движений были выведены их
параллаксы. Ко времени написания этой книги было известно несколько' более
1U00 звезд, обладающих собственными движениями больше 0",5. Если в ближай-
шие годы будет произведено перенаблюдение зонных каталогов Астрономического
общества, то список звезд, обладающих собственными движениями, превосходя-
щими 0",5, станет полным по меньшей мере до 9'". Тогда путем определения
параллаксов этих звезд можно будет получить почти полный список звезд, нахо-
дящихся ближе 5 парсеков до м= іо/б. В известных областях неба (соста-
вляющих вместе несколько тысяч квадратных градусов и охватывающих около 5°/
всей небесной сферы), производились систематические поиски больших собствен-
ных движений с помощью стереокомпаратора и блннкмикроскопа. Вплоть до
видимой ^величины 13"»
список звезд, обладающих собственными движениями
больше 0",5, для этих областей сравнительно полон. Поскольку эти исследования
постепенно будут распространены на все небо и сопровождены определениями
параллаксов, список звезд, находящихся ближе 5 парсеков, будет постепенно все
более и более пополняться.
Разность абсолютных яркостей в 15 звездных величин соответствует отноше-
нию между количествами испускаемой световой энергии в (100'4)15 =
10°.
Мы
видим, что для двух зв.езд, обладающих одинаковыми видимыми яркостями, отно-
шения расстояний свободно может достигать, например, 1:1000 и более (вплоть
до 1:10 000). Таким образом на основании результатов исследования ближайших
к нам звезд былй сделаны выводы о только что приведенном порядке величины
отношения расстояний и о значительном преобладании звезд, имеющих малые
абсолютные яркости. Следует отметить и подчеркнуть, что оба эти вывода, как
мы это увидим позднее, представляют собой значительную трудность для полного
исследования строения звездного мира.
Для расстояний порядка 100 парсеков измерения тригонометрических парал-
лаксов дают весьма ненадежные результаты, а для еще ббльших расстояний этот
метод становится совершенно непригодным. В последнем случае приходится при-
менять другие методы.
Как уже отмечалось ранее (на стр. 416), далекие звезды в среднем будут
обладать меньшими собственными движениями, чем звезды, находящиеся ближе.
Это обстоятельство может быть использовано для приблизительной оценки парал-
лаксов.
Выражаясь очень грубо, мы можем утверждать, что отношение собственного
движения к параллаксу должно лежать в сравнительно тесных пределах: для
36 звезд, перечисленных в списке, оно заключено в пределах от 2,4 до 28.
В отдельных случаях гипотеза постоянства этого отношения может привести
к совершенно неверным результатам; это может произойти уже по той причине,
что собственное движение какой-нибудь звезды случайно может оказаться равным
нулю в том случае, если ее движение по отношению к Солнцу будет происхо-
дить в точности вдоль луча зрения. Для групп звезд такого рода случайности
могут взаимно уравновешиваться, особенно для групп звезд одного и того же
спектрального класса, в силу этого обладающих и сравнительно близкими сред-
ними скоростями движений в пространстве (см/ таблицу на стр. 415). Этот метод
будет давать вполне хорошее значение параллаксов (средний параллакс звезд
группы или, короче говоря, групповой параллакс). Еще более надежные резуль-
таты могут быть получены путем вывода среднего движения рассматриваемых
звезд в пространстве из измерений их лучевых скоростей.
В этом методе учитывается лишь величина
собственного движения. С помощью
известного нам направления
собственного движения мы можем это последнее
разложить на две составляющих, из которых одна будет направлена к апексу
Солнца (см. стр. 413 —414), а другая перпендикулярно к этому направлению. Взяв
средние значения этих компонентов для группы звезд, мы убедимся в том, что
составляющая, перпендикулярная к направлению к апексу, будет или равна нулю
или весьма мала в том случае, если движения звезд в пространстве распределены
совершенно случайно; составляющая же, направленная к апексу, будет опреде-
ляться скоростью движения Солнца и средним расстоянием до звезд группы
(см. стр. 519). Это дает нам в руки метод определения групповых параллаксов.
Критерий его пригодности состоит в том, чтобы средняя величина составляющих,
направленных к апексу, значительно превосходила среднюю величину составляю-
щих, направленных перпендикулярно к ним.
Часто имеет место следующий случай. Для определенного класса звезд рас-
стояния их известны вплоть до некоторой постоянной, имеющей одно и то же
значение для всего звездного класса. Дело сводится к определению этой постоян-
ной. Так, например, абсолютная яркость какой-либо переменной типа 8 Цефея
может быть выведена из ее периода с точностью до некоторой постоянной, пока
неизвестной (см. стр. 452 —453). В таком случае с помощью видимой яркости мы
можем вычислить логарифмы расстояния с точностью до некоторой постоянной,
а само расстояние — с точностью до некоторого неизвестного фактора, имеющего
одно и то же значение для всех цефеид. Обозначим этот неизвестный фактор
через R. Тогда расстояние р выразится следующей формулой:
p= R-d,
в которой значения d могут быть вычислены для любой цефеиды. Пренебрегая
индивидуальными или, как их иначе называют, пекулярными движениями и при-
нимая в расчет лишь влияния движения Солнца в пространстве, собственное дви-
жение по направлению к апексу (у.) выразится следующей формулой (см. стр. 519):
ji = ptfsinZ. ~- rf,
в которой Я—движение Солнца в пространстве, выраженное в парсеках в год,
а
i
угловое, расстояние звезды от антиапекса. Решая это уравнение относи-
тельно 1IR, получаем
1
и•• d
r~ phsinl'
Таким образом для каждой цефеиды мы получаем уравнение с неизвестным
1ir. Ошибка, с которой каждое такое уравнение дает 1 [r, зависит частью от
ошибок измерения при определении собственного движения, частью от пекуляр-
ного движения. Влияние обоих этих факторов возрастает пропорционально cosec l,
а влияние ошибок измерения, кроме того, возрастает еще и пропорционально d.
Смотря по тому, которая из этих двух ошибок преобладает, вес отдельного
уравнения (см. стр. 505) должен быть принят пропорциональным sin2/, или же
-
1 sin2L (обычно дело касается некоторого среднего значения).
Для долгопериодических цефеид этот метод дает надежные результаты в силу
того, что пекулярные движения их незначительны. Но у короткопериодических
цефеид пекулярные движения настолько велики, что надежные результаты для
них не могут быть получены.
Калибрирование шкалы спектральных параллаксов с помощью
собственных
движений представляет собой совершенно аналогичную проблему. По двухмер-
ной спектральной классификации отыскивается класс звезд, абсолютные яркости
которых одинаковы. Необходимо произвести определение абсолютных яркостей
этих звезд. И в этом случае расстояния известны с точностью до некоторого
фактора r, подлежащего определению.
Если нам известны собственные движения и лучевые скорости звезд такого
класса, мы можем вести работу. следующим образом: приняв относительно вели-
чины R какую-нибудь гипотезу, мы получаем возможность вывести, параллаксы,
а нз этих последних совместно с собственными движениями и лучевыми скоро-
стями — вычислить и скорости в пространстве (см. § 280). Мы будем принимать,
что скорости в пространстве во всех областях неба распределены по одному и
тому же закону (см. стр. 498). Если вычисленные лучевые скорости в простран-
стве удовлетворяют этому условию для некоторого значения r, то это значение r
и следует считать правильным.
§ 308. Функция частоты абсолютных яркостей. Функция, дающая распреде-
ление звезд по абсолютным яркостям, носит название функции частоты
абсо-
лютных
яркостей. Обозначим через N(M)dM число звезд, обладающих абсо-
лютными яркостями в пределах от AI до Л4+<Ш, приходящихся на единицу
объема. Тогда общее число звезд N, приходящихся на единицу объема, выразится
следующим интегралом:
+СО
N= J N(M) dAI,
—со
а доля этих звезд, обладающих яркостями от M до Ж + /Ш,— следующей
формулой:
,..ч
...
N(M)dM
о (AI)dAI=
—^
.
Функция о (AI) и является функцией частоты абсолютной яркости. Функции
<?(ЛІ) и N(M) различаются лишь постоянной, т. е . обладают одинаковым ходом.
Удобной единицей объема является объем шара, радиус которого равен
10 парсекам. Обычно в качестве единицы объема применяется кубический парсек,
т. е. объем куба, сторона которого равна одному парсеку. Шар с радиусом
в 10 парсеков обладает объемом п %те • 1000 = 4189 куб. парсеков. Если бы
список звезд, находящихся ближе 5 парсеков, был полным, то число N соста-
вляло бы на такой шар около 300 звезд, а на кубический парсек около 0,07
звезды. В действительности же число N в силу вышеизложенного больше, быть
может составляя около 0,1 звезды на кубический парсек.
Функция о (M) примерно до М =
—
7м равна нулю, до М= I
я
еще очень
мала, а после этого она быстро возрастает. На промежуток от М= 5Я,5 до
AI= 6
я
,5 из списка приходится 4 звезды. Следователыю, для АІ = 6
я
функция
о (AI) равна приблизительно 4/40 = 0,1. Разумеется, это число дает лишь порядок
величины. При больших значениях AI, превосходящих 12я
, судя по списку, функ-
ция <? (Ж), повидимому, вновь уменьшается. В высшей степени вероятно, что это
не имеет места в действительности и что это только кажется вследствие того,
что по мере уменьшения яркости список становится все менее и менее полным.
По списку звезд, находящихся ближе 5 парсеков, кривая функции о (АГ) для
звезд, обладающих большими абсолютными яркостями (M < 5я), не может быть
построена. Для этого число звезд слишком мало; ведь звезды, обладающие весьма
большими абсолютными яркостями, в списке вообще не встречаются. Для вывода
функции о (AI) и для таких звезд должны быть применены иные методы.
Рассматривая вместо звезд, обладающих параллаксом те > 0",2, звезды, обла-
дающие параллаксом те > 0",02, мы убеждаемся в том, что положение вещей
оказывается гораздо более благоприятным. При той же частоте встречаемости
звезд число звезд оказывается в 1000 раз больше, в силу чего мы вправе ожи-
дать, что кривая функции может быть построена во всяком случае до Ж = 0Я.
Действительно, проведенные в этом направлении исследования показали, что
в этом случае функция и (AI) может быть приближенно определена примерно до
AI=
—
2я
.
Проводить эти исследования тем же простым путем, как и для те > 0",2,
оказывается при этом невозможным. В то время как нам, возможно, известно
свыше половины звезд с те > 0",2, с те > 0",02, нам, вероятно, известно менее 1%.
Мы могли бы поступить совершенно таким же образом, как и для те > 0",2,
т. е. составить список всех известных нам звезд с те > 0",02 и произвести под-
счет звезд, содержащихся в этом списке, обладающих абсолютными яркостями,
заключенными в определенных пределах. Однако определенная таким способом
функция распределения о (AI) оказалась бы в очень сильной степени искаженной
по следующим двум причинам: во-первых, имеющиеся налицо определения парал-
лаксов относятся главным образом к звездам, обладающим большими видимыми
яркостями, что обусловило бы гораздо ббльшую неполноту списка в части звезд,
обладающих малыми абсолютными яркостями; эта неполнота вблизи границы
те->0",02 была бы гораздо резче выражена, чем вблизи границы те > 0",2; во-вто-
рых, звезды, параллаксы которых нам известны, отнюдь не являются случайно
выбранными из числа звезд, обладающих большими видимыми яркостями. При
составлении программ работ по определению звездных параллаксов выбирались
преимущественно звезды, обладающие большими собственными движениями.
Допустим, что дело сводится к точному определению функции АІ(Л1) для
M < 5 ,5. Звезды, обладающие M < 5я
,5 и те > 0",02, ярче звезд, обладающих
видимой яркостью 9'" (9 + 5 + 5 lg 0,02 = 5,5). Если бы мы располагали точными
параллаксами всех звезд ярче 9т
, то вывод функции N(AI) для Ж< 5Я,5 был бы
возможен непосредственно. Если для совершенно случайно выбранной части звезд,
обладающих m < 9'», мы располагали бы точными параллаксами, то мы также
могли бы вывести функцию N (AI) для Ж<5Я,5. Ведь если бы выбор был совер-
шенно случайным, то распределение абсолютных яркостей выбранных звезд не-
отличалось бы от распределения абсолютных яркостей всех вообще звезд. Для
этого число выбранных звезд должно быть лишь не настолько малым, чтобы
распределение функции N(M) явилось ненадежным, как в случае звезд с те> 0",2
обладающих большими абсолютными яркостями.
Как уже отмечалось, выбор звезд, например, с яркостями, меньшими 9'», парал-
лаксы которых нам известны, не носил случайного характера. В преобладающем
числе они являются звездами, обладающими большими видимыми яркостями,
и звездами с большими собственными движениями. Рассматривая же звезды, обла-
дающие видимыми яркостями, заключенными в определенных пределах (например
5'» < m < 6»'), и собственными движениями, также заключенными в определен
ных пределах (0",06 < ц < 0",08), мы видим, что среди таких
звезд звезды
с известными нам параллаксами обнаруживают случайное распределение. Мы можем
следовательно, вывести функцию частоты о '(AI) абсолютных яркостей этих именно
звезд. Следовательно, подразделив звезды на целый ряд групп по их видимым
яркостям и собственным движениям, для которых эти величины заключены в не-
которых определенных пределах, мы для каждой такой группы можем вывести
функцию частоты. Вопрос состоит в том, каким образом отсюда может быть
выведена искомая функция частоты и (AI) абсолютных яркостей. Это оказывается
непосредственно возможным, если нам известно, каким образом совокупность
всех звезд распределена по рассматриваемым группам видимых яркостей и соб-
ственных движений, т. е . если мы будем знать общую численность звезд каждой
такой группы. Если, например, в какой-нибудь группе звезды с измеренными
параллаксами составляют 10% всех звезд этой группы, то числа звезд с извест-
ными параллаксами, приходящиеся на каждый интервал абсолютных яркостей
нам надо помножить на 10 для того, чтобы определить удельный вес этой группы'
с которым она должна быть учтена при выводе функции частоты. Соответствую-'
щие удельные веса (поправочные коэфициенты) должны быть выведены для всех
групп по отдельности. Произведя суммирование для всех групп, мы таким образом
получаем N(M), а отсюда и искомую функцию частоты.
В группах видимых яркостей и собственных движений, объединяющих сравни-
тельно яркие звезды и большие собственные движения, звезды с известными
параллаксами составят больший процент, чем в группах, обнимающих слабые
звезды с малыми собственными движениями. В первом случае поправочный мно-
житель будет меньше, чем в последнем. Мы можем охарактеризовать положение
вещей, сказав, что применением поправочных коэфициентов ошибка, ' обусловли-
ваемая систематическим выбором звезд, параллаксы которых нам известны в точ-
ности компенсируется.
'
Для более ярких звезд распределение их по группам видимых яркостей и соб-
ственных движений известно из каталога Босса (см. стр. 412). Для более слабых
звезд соответствующее распределение полностью известно лишь для определенных
площадей неба. Однако этого достаточно для приблизительного установления-
распределения звезд по абсолютным яркостям. Такое распределение вплоть до
видимой яркости в 12»» может считаться приблизительно установленным. Функции
распределения
(Ж) для отдельных групп могут быть получены из наблюденных
параллаксов путем графической интерполяции или же мы можем пытаться выра-
зить ее аналитически несложной функцией. Так, например, мы получаем неплохое
соответствие с результатами наблюдений, выразив функции о' (/И) гауссовыми
кривыми- ошибок (см. Приложение, стр. 509):
о'(/И)= const •с
^
h
'
и определив постоянные из наблюдений.
В заключение упомянем, что при разработке этой проблемы и проблем, ей
аналогичных, важно принять в расчет влияние на функции распределения случай-
.
ных ошибок. В качестве простого при-
мера мы можем рассмотреть функцию рас-
пределения параллаксов одной какой-либо
группы видимых
яркостей и собствен-
ных движений. Из наблюдений путем про-
стого подсчета непосредственно
выво-
дится соответствующая функция распреде-
ления параллаксов для звезд этой группы.
+
+3
+
4
+5
+§
+7
+
8
+^
+10
+11
4-12
4-13
lgN(ЛИ
3.52-10
4.12-10
4,72 -10
5,32—10
5,93-10
6,44—10
6,78-10
7,04—10
7,25—10
7,43 —10
7,52-10
7,58-10
7,60—10
7,60-10
7,62—10
7,77 —10
7,96-10
8.13 -10
Гауссова кривая
ошибок
3,49-10
4,17—10
4,80 -10
5,37—10
5,87-10
6,31—Ю
6,69—Ю
7,01-10
7,27 —10
7,46 —10
7,60-10
7.67—10
7.68—10
7,63—10
7,52—10
7,35-10
7,11—10
6,82 —10
Однако полученная таким образом кривая
распределения
не будет
совпадать с
истинной
кривой распределения.
Она
будет находиться с истинной
кривой
распределения в следующей зависимости:
каждому истинному значению параллаксов
(точнее говоря, каждому сколь угодно
узкому интервалу параллаксов), вследствие
влияния случайных ошибок наблюдений,
соответствует ряд наблюденных значений
параллаксов, распределенных по какому-
либо закону ошибок; наблюденная кривая
распределения образуется в результате
взаимного наложения кривых ошибок, соответствующих всем интервалам истин-
ной кривой распределения. Допустив, что кривые ошибок, которые мы сочли
гауссовыми кривыми ошибок, соответствуют некоторым средним ошибкам (см.
Приложение, стр. 510), мы тем самым устанавливаем зависимость между наблюден-
ной и истинной кривыми распределения. При известной нам средней ошибке истин-
ная кривая распределения может быть выведена из наблюденной.
Мы можем вывести функции распределения V (Ж) для групп звезд различных
видимых яркостей и собственных движений для различных предельных значений
параллакса (тс > 0",02, тс > 0",03 и т. д.) и сравнить между собой результирующие
кривые распределения. Эти кривые обнаруживают хорошее соответствие. Выше-
охарактеризованиым способом мы находим не только функцию распределения <?(Ж),
но также и общие числа (/V) всех звезд, находящихся ближе расстояний, соответ-
ствующих рассматриваемым значениям параллаксов. Сравнивая их между собой,
мы можем установить наличие возможных изменений пространственной плотности
звезд вместе с увеличением расстояния. Было обнаружено, что пространственная
плотность или, иначе говоря, частота встречаемости звезд до расстояния в 100 пар-
секов остается почти в точности постоянной.
Помещенная выше таблица дает ход функции n(m) = n • <?(м), выражающей
число звезд, приходящихся на кубический парсек, вычисленное этим способом.
Значительная часть кривой функции /Ѵ(Ж) может быть с весьма большой
степенью точности изображена гауссовой кривой ошибок. Таблица иллюстрирует
-степень этого соответствия.
У звезд, обладающих большими абсолютными яркостями, почти все параллаксы
очень малы, почему их использование дает только ненадежные результаты.
Эти звезды находятся главным образом в группах звезд, обладающих малыми
собственными движениями. Следовательно, в этих группах применение наблюден-
ных параллаксов дает ненадежные результаты. Здесь прибегают к помощи дру-
гих методов.
Рассмотрим группы звезд определенной видимой яркости, например звезды
с m от 5т,0 до 5'»,5. Часть этих звезд является сравнительно близкими звездами,
обладающими относительно небольшими яркостями, в то время как другая часть
их является звездами, обладающими большими абсолютными яркостями, но нахо-
дящимися от нас далеко; последние звезды оказываются тем ярче, чем дальше
они от нас находятся. Эти звезды обладают определенными скоростями относи-
тельно Солнца, а тангенциальные компоненты относительных скоростей их обла-
дают определенными значениями. Собственное движение связано с тангенциаль-
ными компонентами скорости уравнением (см. Приложение, стр. 519)
^=4,74
+
Если бы все звезды обладали одинаковой абсолютной яркостью, то все они в этом
случае находились бы и на одинаковом расстоянии. Тогда закон распределения
собственного движения совпадал бы с законом распределения тангенциальных
компонентов движений. Закон распределения тангенциальных компонентов дви-
жений приблизительно передается гауссовой кривой ошибок (см. стр. 000). Если бы
расстояния являлись одинаковыми, то кривая распределения собственных движений
также являлась бы гауссовой кривой ошибок. Если же расстояния являются
неодинаковыми и распределены по какому-нибудь закону, то кривая распреде-
ления собственных движений будет представлять собой сумму гауссовых кри-
вых ошибок.
Путем анализа кривой распределения собственного движения мы можем опре-
делить кривую распределения расстояний, если. гауссова кривая распределения
тангенциальных компонентов нам известна. Эта задача совершенно аналогична
задаче вывода истинной кривой распределения из наблюденной (см. стр. 474).
Из кривой распределения расстояний звезд группы m мы можем непосред-
ственно вывести функцию распределения абсолютных яркостей звезд этой группы.
Искомая функция распределения абсолютных яркостей в пределах групп видимых
яркостей и собственных движений также может быть выведена. Собственное дви-
жение выражается формулой
Следовательно, для каждого тс существуют определенные тангенциальные компо-
ненты, дающие собственные движения в пределах определенной группы видимых
яркостей и собственных движений. Процент звезд группы т, имеющих этот тан-
генциальный компонент, известен нам по закону распределения тангенциальных
компонентов. Таким образом мы можем для каждого тс указать процент звезд
группы т, принадлежащих к рассматриваемой группе видимых яркостей и соб-
ственных движений. Так как нам'удалось вывести функцию распределения тс звезд
группы т, то отсюда (как сумма произведений) может быть получена функция
распределения расстояний звезд группы видимых яркостей и собственных движе-
ний, а из нее и искомая функция распределения абсолютных яркостей звезд группы
видимых яркостей и собственных движений.
При выводе значений, приведенных на стр. 474, этот метод был использован
для групп звезд, обладающих малыми собственными движениями.
Следует подчеркнуть, что этот метод предполагает значение функции распре-
деления тангенциальных компонентов движений звезд. Эти последние могут быть
выведены, например, из наблюденных лучевых скоростей.
В заключение упомянем, что по принципам, совершенно аналогичным описанным
в этом параграфе, могут быть получены и кривые распределения абсолютных
яркостей для каждого спектрального класса по отдельности. Таким образом мы
определяем статистическое распределение звезд в диаграмме Ресселла (см. § 273).
§ 309. Фотометрические параллаксы. Для очень больших расстояний методы
определения параллаксов, описанные в § 307, становятся неприменимыми вслед-
ствие того, что и собственные движения далеких звезд столь малы, что они не
могут быть измерены надежным образом.
Для столь больших расстояний важнейшим методом их оценки является метод
определения так называемых фотометрических
параллаксов.
На стр. 334 было
выведено уравнение, выражающее связь между абсолютной величиной М, видимой
величиной m и параллаксом тс. Если Ж и m нам известны, то может быть вычи-
слен и параллакс или, выражаясь иначе, если нам известно общее количество излу-
чаемой световой энергии и количество световой энергии, пронизывающей единицу
площади на расстоянии наблюдателя, то это расстояние может быть вычислено.
Уравнение, выражающее связь величин m, m и тс, как мы знаем, имеет вид
М = т-{-Ъ-\-Ъ lgтс.
В этом уравнении величину т, видимую яркость, мы всегда вправе считать
известной. Она доступна непосредственным измерениям. Таким образом мы видим,
что проблема определения фотометрических параллаксов становится равнозначной
проблеме определения абсолютных яркостей.
Уже упоминалось (см. стр. 358), что абсолютные яркости могут быть выве-
дены из свойств спектра. Следовательно, этот путь дает возможность опреде-
ления и фотометрических параллаксов.
Метод этот приложим к звездам, обладающим не слишком малыми видимыми
яркостями и силу того, что для определения M мы должны располагать хоро-
шими спектрами. Однако существуют критерии (полосы поглощения циана, интен-
сивность бальмеровских линий), сообщающие M довольно большую точность даже
при наличии спектров, полученных с помощью объективной призмы (см. стр. 359).
Ко времени написания этой книги этим способом удавалось определять M звезд
вплоть ао 13-й визуальной величины.
Необходимой предпосылкой к использованию этого метода является знание
абсолютных величин некоторого количества звезд, определенных ранее иными
методами. Это нужно для установления связи между спектральными критериями
и значениями М. Эти абсолютные величины определяются, например, путем изме-
рения тригонометрических параллаксов или путем определения групповых парал-
лаксоп, причем для установления шкалы этого метода используются сравнительно
близкие звезды (см. стр. 474).
Звезды основного ряда обнаруживают на диаграмме Ресселла незначительное
рассеяние около линии, соответствующей основному ряду. Поэтому, если мы
знаем о какой-нибудь звезде, что она принадлежит к основному ряду, то ее абсо-
лютная величина может быть довольно точно выведена из ее спектрального класса
или колорипдекса. Вся трудность при этом заключается лишь в том, чтобы уста-
новить, принадлежит ли звезда к основному ряду или нет. В последующем изло-
жении будут рассмотрены случаи, когда это возможно. Для звезд классов О и В
(а частью и для звезд класса А) эта трудность отпадает в силу того, что они
не разделяются на гигантов и карликов. Тем значительнее оказывается рассеяние
абсолютных яркостей этих звезд. Иногда бывает возможно доказать принадлеж-
ность звезды к основному ряду, а в некоторых случаях может быть доказано,
что желтые и красные звезды являются гигантами. Это тоже дает возможность
приблизительной оценки абсолютной яркости.
Иногда бывают основания причислить рассматриваемую звезду іс числу звезд,
обладающих наибольшими абсолютными яркостями; в таком случае абсолютная
яркость оценивается в — 7
м
.
Как мы видим, эти методы сводятся к определению абсолютных яркостей звезд
путем приблизительного установления места, занимаемого этими звездами в диа-
грамме Ресселла.
Уже говорилось о том (см. стр. 453), что у переменных звезд, принадлежащих
к типу цефеид, существует связь между периодом и абсолютной яркостью. Для
этих звезд величина M может быть выведена из периода. Короткоперподнческие
цефеиды обладают абсолютными яркостями около 0'¥
.
И в данном случае необхо-
димой предпосылкой к использованию этого метода является предварительное
определение абсолютных яркостей M цефеид, находящихся вблизи Солнца; это
осуществляется путем определения или тригонометрических параллаксов или груп-
повых параллаксов (см. стр. 470).
Для красных долгопериодических переменных звезд M также может быть
определено с некоторой степенью точности.
Новые звезды в среднем достигают в максимуме абсолютной яркости — 6%
обнаруживая в отдельных случаях значительные отклонения от этой средней вели-
чины. Однако нам известно много новых звезд, находящихся на одинаковых расстоя-
ниях (например в туманности Андромеды; см. ниже), благодаря чему мы имеем
возможность определить среднюю величину их абсолютной яркости, а тем самым
вывести и их параллакс с довольно высокой степенью точности.
Мы видим, следовательно, что существуют определенные категории звезд
абсолютные яркости которых обнаруживают сравнительно незначительные откло-
нения от некоторого известного нам значения М. Если рассматриваемая звезда
принадлежит к одной из этих категорий, то абсолютная ее яркость может быть
получена с некоторой степенью точности, а благодаря этомѵ может быть опре-
делено и ее расстояние.
Некоторые звезды удается сразу же отнести к надлежащей категории. Таковы
новые звезды, цефеиды, красные долгопериодические переменные звезды и звезды
классов О и В.
Для звезд иных категорий это удается произвести лишь косвенным путем.
Как это уже было показано на стр. 460, такая.возможность существует в тех
случаях, когда нам известно много звезд, находящихся на одном и том же
расстоянии, например, в рассеянных звездных скоплениях и в шарообразных
звездных кучах. Для такой группы звезд диаграмма Ресселла может быть
построена с учетом некоторого общего смещения по оси М. На таких диаграммах
Ресселла, построенных для определенных групп звезд, находящихся на одном
и том же расстоянии, возможно различать звезды различных категорий. Если
в рассматриваемой группе звезд имеются налицо звезды основного ряда, то это
будет отчетливо видно из геометрической формы диаграммы Ресселла. Если же
таких звезд в ней иметься не будет, то желтые и красные звезды, в ней встре-
чающиеся, будут являться гигантами и сверхгигантами. И другие особенности
геометрического строения диаграммы Ресселла могут быть использованы для лока-
лизации звезд в ее пределах. Каждая локализация звезды в диаграмме Ресселла
позволяет немедленно определить ее абсолютную яркость, а вместе с тем и
расстояние.
Фотометрические параллаксы выводятся на основе допущения, что интенсив-
ность света звезд убывает пропорционально квадрату их расстояния. Однако это
допущение является оправданным лишь в том случае, если в межзвездном про-
странстве не происходит заметного поглощения
света.
Если же имеет место
заметное поглощение, то фотометрические параллаксы окажутся меньше истинных,
а расстояния,
определенные фотометрическим способом, — больше истинных.
Поэтому вопрос о том, происходит ли заметное поглощение света или нет,
приобретает крупнейшее значение.
В последующем изложении мы сначала разберем вопрос о фотометрических
параллаксах. Было обнаружено, что получаемые результаты необходимо дополнять
на основе соображений иного характера. Мы увидим, что эти соображения, при-
ведут нас к допущению о наличии заметного поглощения. В силу этого резуль-
таты, излагаемые в следующем параграфе, нам впоследствии придется подвергнуть
ревизии в той степени, в которой это делает необходимым наличие поглощения
света в межзвездном пространстве. В заключение мы покажем, в какой степени
может быть произведен синтез результатов, полученных различными методами.
§310. Скелет галактической системы. Из вышеизложенного следует, что
расстояния до целого ряда объектов могут быть определены с некоторой степенью
точности. Такого рода объектами являются: новые звезды, цефеиды, красные
долгопериодические переменные звезды классов О и В, рассеянные звездные
скопления и шарообразные звездные кучи.
Все эти объекты обладают большими абсолютными яркостями. Кроме того,
они легко различимы между собой, благодаря чему легко решить вопрос о при-
надлежности рассматриваемого объекта к той или иной перечисленной категории.
Благодаря этому могут быть определены расстояния даже весьма далеких
объектов перечисленных категорий.
Исследуя пространственное распределение названных объектов, мы получаем
представление о структуре звездного мира. Мы выявляем этим путем, если так
можно выразиться, скелет галактической системы. При этом мы исходим из гипо-
тезы, что названные объекты являются типичными представителями всего звезд-
ного' мира в целом. После установления пространственного распределения этих
объектов наиболее важная задача будет заключаться в возможно более полном
исследовании вопроса о правильности этой гипотезы.
Из числа результатов исследований пространственного распределения выше-
перечисленных объектов должны быть выделены нижеследующие:
1. Рассеянные звездные скопления довольно равномерно распределены в обшир-
ной области пространства, обладающей значительным протяжением в плоскости
Млечного Пути и значительно меньшим протяжением в плоскости, к ней перпен-
дикулярной. Диаметр системы в плоскости Млечного Пути равен, примерно,
6000 парсеков. Толщина в направлении, перпендикулярном к плоскости Млеч-
ного Пути, составляет несколько больше 1000 парсеков. Солнце находится вблизи
центра этой системы.
2. Звезды класса В, долгопериодические цефеиды и ноцые звезды обнаружи-
вают распределение в пространстве, аналогичное распределению рассеянных
звездных скоплений.
3. Шарообразные звездные скопления распределены в гораздо более обширной
области пространства. Система
шарообразных звездных скоплений обладает
наибольшим протяжением в плоскости Млечного Пути. Большинство шарообраз-
ных звездных скоплений группируется около центра, находящегося от нас в напра-
влении к созвездию Стрельца на расстоянии в 13 000 парсеков. Эти скопления
распределены от упомянутого центра на расстояниях до 15 000 парсеков в пло-
скости Млечного Пути и на расстояниях до 6000 парсеков в направлении,
к ней перпендикулярном. Однако отдельно шарообразные звездные кучи удалены
от центра на расстояниях до 50 000 парсеков в плоскости Млечного Пути и
до 20 000 парсеков в направлении, к ней перпендикулярном. Вокруг плоскости
Млечного Пути в распределении их при этом обнаруживается
своеобразный
пробел: нам неизвестно ни одного шарообразного звездного скопления, находя-
щегося в плоском слое около плоскости Млечного Пути, обладающем толщиной
в 2500 парсеков.
4. Короткопериодические цефеиды отличаются от объектов, перечисленных
в пункте 1, тем, что они встречаются на гораздо больших расстояниях от пло-
скости Галактики. Расстояния, превышающие 1000 парсеков, встречаются часто.
Почти то же самое может быть сказано о долгопериодичеекпх переменных звез-
дах спектрального класса Me.
5. В определенных областях звездного неба производились систематические
поиски слабых переменных звезд. При этом был получен следующий важный
результат. В направлении к созвездию Стрельца находится большее количество сла-
бых короткопериоднческих цефеид, чем в остальных направлениях. Видимые вели-
чины их главным образом заключены в пределах от 15'",4 до 16"',1. Эти видимые
величины соответствуют расстояниям, примерно, от 12 0С0 до 17 000 парсеков.
Следовательно, эти короткопериодические цефеиды располагаются вокруг центра
системы шарообразных звездных скоплений. Кроме того, создается впечатление,
что там же встречаются и красные долгопериодические переменные звезды. Резуль-
таты систематических поисков слабых переменных звезд, произведенных в иных
определенных областях вблизи Млечного Пути, прежде всего указывают на то,
что слабые короткопериодические цефеиды, так же как шарообразные звездные
скопления, не встречаются в определенном слое около галактической плоскости.
Итак, рассеянные звездные скопления, шарообразные звездные кучи, цефеиды,
красные долгопериодические переменные звезды и новые звезды дают следующую
общую картину пространственного распределения небесных светил: две болнипе
системы находятся на некотором расстоянии одна от другой. Шарообразные
звездные скопления принадлежат преимущественно к одной из этих систем,
но отдельные шарообразные скопления встречаются далеко от ее центра. Обычно
одну из этих главных систем называют локальной
или местной
системой,
а другую системой
Стрельца.
Цели дальнейших исследований должны заключаться: 1) и 2) в установлении
структуры обеих главных систем, особенно с учетом встречаемости звезд за пре-
делами нахождения отдельных объектов, 3) в установлении того, встречаются ли
звезды между двумя главными системами и шарообразными скоплениями, быть
может вплоть до периферии системы шарообразных звездных скоплений, или даже
за ее пределами.
1. Наиболее доступной для исследований, разумеется, является главная система,
к которой принадлежит и наше Солнце,
т. е. местная система. Явление Млечного
Пути в основном вызывается звездами, принадлежащими к этой главной системе.
Звездные облака, как это уже упоминалось ранее (см. стр. 466), являются одной
из наиболее заметных особенностей структуры Млечного Пути. Для галактических
звездных облаков были получены значения расстояний в несколько тысяч парсе-
ков в тех случаях, когда эти расстояния вообще поддавались определению.
Оценку расстояний до галактических звездных облаков возможно производить
способом, аналогичным определению расстояний до рассеянных звездных скопле-
ний (путем построения диаграммы Ресселла). Однако рассматриваемая проблема
вследствие значительной протяженности галактических звездных облаков не является
столь простой.
Ранее упоминавшиеся темные массы космической пыйи и светящиеся туманные
массы представляют собой объекты, характерные для этой системы.
Звезды класса В распределены в местной системе довольно неравномерно:
в некоторых областях они многочисленны, тогда как в других областях они
почти не встречаются. Скопление звезд класса В расположено в направлении
созвездия Ориона на расстоянии в несколько сот парсеков. Другое скопление
этих звезд находится в приблизительно противоположном направлении к созвез-
диям Скорпиона н Волка на расстоянии, несколько большем 100 парсеков. Первое,
скопление расположено несколько к югу, а второе несколько к северу от пло-
скости Галактики: средняя плоскость ближайших звезд класса В наклонена
к галактической плоскости приблизительно на 12°.
Ранее уже указывалось (см. стр. 470), что значительное большинство звезд обла-
дает малыми абсолютными яркостями. Для иллюстрации значения этого факта при-
ведем пример. В галактическом звездном облаке, находящемся на расстоянии в 2500
парсеков, звезды, обладающие видимой яркостью 21"', т. е. слабейшие звезды,
могущие в настоящее время быть сфотографированными, будут обладать абсо-
лютной яркостью 9ЛГ. Из списка звезд, приведенного на стр. 469, мы видим, что
свыше половины звезд, находящихся в таком галактическом звездном облаке,
остаются недоступными современным инструментам. Звездная величина 21"» обо-
значает границу того, что может быть получено на фотографической пластинке.
Фотометрические измерения, как правило, не простираются дальше, чем прибли-
зительно до 18'", что соответствует гораздо меньшей части звезд облака.
Распределение рассеянных звездных скоплений свидетельствует о том, что
местная система простирается в направлении, перпендикулярном к галактической
плоскости, иа гораздо меньшее расстояние, чем в самой этой плоскости. Это
подтверждается исследованиями распределения звезд в направлении, перпендику-
лярном к галактической плоскости. На расстоянии в 800 парсеков от плоскости
Млечного Пути частота звезд является уже весьма малой.
2. Более подробное исследование системы Стрельца затруднительно по двум
причинам. Расстояние в 13 000 парсеков имеет своим следствием то обстоя-
тельство, что доступными для наблюдений являются лишь звезды, обладающие
большими абсолютными яркостями; на таком расстоянии видимая звездная вели-
чина 18т соответствует абсолютной величине 2м
,4 (из 36 звезд, перечисленных
в списке иа стр. 469, лишь одііа ярче 2м
,4). Кроме того, центральные части
скопления для наблюдателя, находящегося в окрестностях Солнца, случайно
оказываются закрытыми темными массами космической пыли, располагающимися
на некотором расстоянии от Солнца, именно в этом направлении. Однако создается
впечатление, что система Стрельца обладает тем же порядком величины, как и
местная звездная система, а может быть даже значительно превосходит последнюю
по своим размерам.
3. Вопрос о том, встречаются ли звезды во всей области пространства между
шарообразными
звездными
скоплениями,
так что там образуется звездная система
тех же размеров, как и область пространства, занимаемая этими скоплениями,
не может быть решен на основе соображений, изложенных в настоящем пара-
графе. Во всяком случае наличие в этой области пространства звезд, обладающих
малыми абсолютными яркостями, не может просто отрицаться потому, что такие
звезды в силу малых их видимых яркостей являются недоступными наблюдениям.
В связи с этим прежде всего необходимо ответить на вопрос о том, действи-
тельно ли местная звездная система представляет собой ограниченную замкнутую
систему. Вывод, что местная система является ограниченной, основывается глав-
ным образом на том, что все известные нам рассеянные звездные скопления
и звезды класса В находятся от нас на расстояниях, не превосходящих нескольких
тысяч парсеков. Мыслимо, что в результате позднейших исследований будут
обнаружены более далекие рассеянные звездные скопления и звезды класса В,
которые до настоящего времени остаются незамеченными из-за малой их яркости.
В § 312 будет показано, что анализ результатов статистических исследований
позволяет сделать некоторые выводы по этому вопросу.
Разумеется, важной задачей является установление количеств звезд, принад-
лежащих к рассматриваемым системам. Здесь мы опять наталкиваемся на трудность
охвата звезд, обладающих малыми абсолютными яркостями. Полные звездные
каталоги, охватывающие все небо, включают в себя лишь звезды, обладающие
большими видимыми яркостями. Однако, произведя подсчеты звезд различных
величин в „избранных площадях" (см. стр. 467), удалось вывести приблизительные
числа, характеризующие распределение звезд до 18-й звездной величины. В ниже-
помещенной таблице приведены результаты этой работы. В ней для различных
галактических широт b приводятся логарифмы
чисел звезд, приходящихся на ква-
дратный градус, яркость которых превосходит фотографические звездные вели-
чины т, указанные в первом столбце.
Путем экстраполяции, разумеется, являющейся весьма ненадежной, пришли
к общему числу всех звезд в 30 миллиардов. Темные облака космической пыли
имеют своим следствием то, что это число возможно является преуменьшенным:
множество звезд должно быть закрыто этими облаками космической пыли. Приняв
в расчет это соображение, общее количество звезд оценили в 100 миллиардов.
Местная система, к которой принадлежит Солнце, возможно содержит от 100
до 1000 миллионов звезд. Однако и эти числа основываются на весьма ненадеж-
лых экстраиоляцизх.
со-
Во всяком случае местная система, система Стрельца и шарообразные звездные
скопления образуют некоторую общую совокупность; остается, однако, невыяснен-
ным, какова общая структура этой совокупности в пространстве, занимаемом
этими объектами.
§311. Связь между числом звезд ярче определенной видимой звездной
величины и ходом пространственной плотности звезд с увеличением расстоя-
ния. В § 306 шла речь о промерах глубин звездной вселенной, произведенных
В. Гершелем методом черпкоп. Мы
видели, каким образом Гершель смог
из выполненных им подсчетов звезд
сделать выводы о строении звездной
системы. А теперь мы остановимся
на этих вопросах несколько под-
робнее и покажем, каким образом
новейшие работы по звездной ста-
тистике (см. приведенную таблицу)
совместно с исследованиями функ-
ции частоты абсолютных яркостей
(см. § 308) образуют базу для иссле-
дований строения звездной системы.
Сначала мы рассмотрим несколько
схематических примеров, поясняю-
щих связь, существующую между
числами, получаемыми звездной ста-
тистикой, и строением звездного
мира
4
8,19
5
8,65
6
9,11
7
9,56
8
0,00
9
0,45
10
0,89
11
1,32
12
1,74
13
2,16
14
2,57
15
2,96
16
3,33
18
4,01
20
4,60
21
4,87
10°
so»
40°
8,12
7,99
7,78
8,58
8,45
8,24
9,03
8,90
8,70
9,48
9,35
9,15
9,92
9,79
9,59
0,36
0,22
0,03
0,79
0,65
0,45
1,21
1,06
0,86
1,63
1.47
1,25
2,04
1,87
1,62
2,43
2,24
1,97
2,82
2,60
2,30
3,19
2,94
2,60
3,87
3,56
3,12
4,4S
4,09
3,53
4,72
4,33
3,70
7,71
8,17
8,62
9,07
9,51
9,94
0,35
0,74
1,11
1,46
1,78
2,09
2,37
2,86
3,26
3,42
7,66
8,12
8,57
9,01
9,44
9,86
0,26
0,64
1,00
1,33
1,65
1,94
2,21
2,68
3,07
3,22
пример звездной системы, в которой
1. Рассмотрим сперва схематический
г
„„11Я>
„
диіиі,ип
все звезды обладают одинаковой абсолютной яркостью. Пусть путем подсчетов
мы определили числа звезд ярче видимых величин 1"», 2»\ 3'", ...
Обозначим
через Ат число звезд ярче видимой величины т. Если пространственная плот-
ность звезд в рассматриваемой звездной системе является постоянной, то (см.
Приложение, стр. 523)
ат+і = 3,98 а„
(1)
Это значит, что при захвате каждой следующей звездной величины число звезд
увеличивается в 3,98 раза. Если же пространственная плотность звезд убывает
по мере увеличения расстояния от наблюдателя, то прирост числа звезд будет
становиться меньше. А если при этом звездная система является ограниченной,
то число звезд, начиная ог некоторой определенной видимой яркости, остается
постоянным: это происходит тогда, когда все звезды, вплоть до границы этой
системы, становятся видимыми. Если в определенных направлениях пространствен-
ная плотность звезд убывает быстрее или же в этих направлениях граница системы
находится ближе, то в этих направлениях числа ат будут с увеличением m возра-
стать медленнее, чем в остальных направлениях; для больших значений m (соот-
ветствующих звездам, обладающим малыми видимыми яркостями) в этих напра-
влениях числа ат будут малы сравнительно с соответствующими числами для всех
остальных направлений.
В качестве примера системы с пространственной плотностью звезд, убывающей
кнаружи, мы возьмем следующую. Пусть пространственная плотность звезд (т. е .
число звезд, приходящихся на единицу объема) на расстоянии г выражается
следующей формулой:
•
гі
D(r) = D0e
(2)
В таком случае она будет, следовательно, убывать по кривой ошибок (см. При-
ложение, стр. 509 и фиг. 190). На очень больших расстояниях (г
г0) простран-
Астрономия
ственная ПЛОТНОСТЬ звезд практически равна нулю. На меньших расстояниях
(г<
г
о) величина D приблизительно равна D0; для г = 0 имеет место равен-
ствоD= D0.
Абсолютная яркость звезд (согласно нашему допущению), одинаковая для всех
звезд системы, пусть будет М. В таком случае звезды, обладающие видимой
яркостью меньше т, будут находиться ближе р парсеков (что соответствует
параллаксу — ), где
р
Af= i»+ 5+ 5Igj,
(3)
или
lg/7 = 1-| -0,2 (m—M).
(4)
Мы будем рассматривать звезды, проектирующиеся на некоторую площадь doi
небесной сферы, т. е. звезды, в действительности находящиеся в пределах конуса
с вершиной в месте наблюдения и с телесным углом раскрытия doi. Рассмотрим
ту часть этого конуса, в которой расстояние от места наблюдения заключено
в пределах от г до r-{-dr.
Объем этой части будет
r2d<o • dr.
С помощью уравнения (2) находим число звезд, находящихся в этом объеме,
которое будет таково:
^
r2do>dr-D0e
2г
°'
После этого, интегрируя, легко находим число всех звезд, находящихся внутри
этого конуса ближе 5 парсеков от места наблюдения. Оно выразится следующей
формулой:
г
"t'y,
А (р)= J r2du>D0e 2r
° dr,
о
или
f
(5>
A(p) = D0do>j гЧ
0 dr.
о
Наконец, общее число звезд, находящихся внутри конуса, будет таково:
ОТ
I
/-— g
А (оэ) = D0diûj гЧ 2r
°dr= D0doi\ Yro'
о
Убывание пространственной плотности звезд согласно закону (2) оказывается
на больших расстояниях действительно настолько сильным, что в более удален-
ных частях конуса находится лишь незначительная доля общего количества звезд,
имеющихся в нем.
Уравнение (5) может быть переписано в несколько ином виде, если мы вве-
дем величину г0 как меру расстояний. Помножив и разделив правую часть этого
уравнения на г2, мы получим следующее уравнение:
о
Вводя новое обозначение
х=
г= хг0,
мы преобразуем это уравнение в следующий вид:
р/гв
_
х1
в силу того, что
Полагая
А(р) = D0r0dafx4
3 dx,
r
=
Pих=Ь
го
(6)
?(«)=f
-El
хЧ
2 dx,
(7)
преобразуем уравнение (6) следующим образом:
A(p) = D0r>.?(^).
(8)
Функцию, даваемую определенным интегралом, входящую в уравнение (7), мы
можем считать известной, т. е . определимой, например, численной интеграцией
(см. Приложение, стр. 516).
В таком случае, пользуясь уравнениями (8) и (4),. мы можем вычислить ход
чисел Ат, соответствующих рассматриваемым схематическим примерам. Согласно
уравнению (4) получаем
lgfo =
l+0,2(/n-A4)-lgr0,
—
=
10 • 10-° .»(M+5igr0). 10°'
3ю
.
(9)
гg
vr
Величины M и г0 в рассматриваемой звездной системе являются постоянными.
Уравнение (9) определяет величину р/г0 как функцию m, а уравнения (7) и (8)
определяют число Ат =
А(р) как функцию той же величины р/г0. В нижесле-
дующей таблице показан ход числа А,п для A4+ 5 lgг = 10. Для других значений
этой постоянной аргумент m согласно уравнению (9)
должен быть изменен лишь на разность между числом 10
и m для того, чтобы таблица вновь стала правильной.
Обозначив функцию, даваемую таблицей, через }(т) • Aœy
мы получаем следующее уравнение:
Ат
=
* (т-{-10
—
M— '5
lg r0). у'«
D/0du,.
(10)
m
Am
0
0,00027 . A œ
1
0,0011
2
0,0041
3
0,016
4
0,061
.
5
0,20
0,53
6
0,20
0,53
7
8
0,90
1,00
.
9
1,00
10
1,00
Эта таблица показывает следующее: для малых т,
т. е . в том случае, если мы будем принимать в расчет
лишь звезды, обладающие большими звездными ярко-
стями, число Ат будет расти почти в точности со-
гласно уравнению (1). Это соответствует тому факту,
что видимыми являются лишь те части конуса, для
которых величина D является еще приблизительно постоянной. При больших зна-
чениях m возрастание чисел Ат становится все медленнее, вплоть до того,
пока оно практически не сделается равным-нулю. В последнем случае взгляд на-
блюдателя проникает в пространство настолько далеко, что число звезд, прихо-
дящихся на единицу объема, практически становится равным нулю. Следовательно,
для малых значений т, Ат+1
=
3,98 Ат ,
тогда как для больших значений m
число Ат =
const = Aœ.
В специальном случае /И+ 5 lg г0 = 10 переходная область
располагается приблизительно между m = 4'» и т = 7
т
.
В общей же случае
переходная область лежит приблизительно между m — 4
-4-Ш4- 5le r„—10) и
w=
7 + (A4+5lgro-10).
'
2. В качестве второго схематического примера мы рассмотрим случай, когда
в звездной системе имеются налицо звезды с большими абсолютными яркостями М'
и звезды с малыми абсолютными яркостями М" (М' < М"). Эту систему мы до
известной степени можем рассматривать как сумму двух частных систем ранее
описанного характера. Так, например, мы сможем написать
Ат=а
'т-\ -л"т,
(П)
где А',„ относится к частной системе с M = M', а А"т — к
частной системе
с Ж = Ж", в то время как Ат относится іс общей совокупности обеих систем.
Если в этом случае пространственная плотность звезд будет являться по-
стоянной для обеих частных систем (равной D' или D"), то мы будем иметь
А'т+1
=
3,98 Л', „
(12)
И
А"п+1
=
г,98А"п,
(13)
а следовательно, согласно уравнению (11), сможем написать в точности, как
и раньше:
+п+і = 3,98 Л,„.
(14)
Отношение А'т : А"т
—
отношение чисел звезд в обеих частных системах, со-
ставляющих общее число А„„— согласно уравнениям (12) и (13) является одина-
ковым для всех значений т. Оно зависит от О', Ж', D" и М".
Чем больше
абсолютная яркость звезд одной системы и чем больше плотность звезд этой
системы, тем большую долю числа Ат составят звезды этой системы.
В § 273 мы рассмотрели такой именно случай и в частности исследовали
конкретный случай, когда значительную долю числа Ат составляют звезды, при-
надлежащие к одной частной системе звезд, обладающие большими абсолют-
ными яркостями, несмотря на сравнительно незначительную пространственную
их плотность.
Допустим вновь, что пространственные плотности звезд постепенно убывают
по мере увеличения расстояния от наблюдателя. Сначала рассмотрим случай,
когда это убывание для обеих частных систем будет являться одинаковым и когда,
следовательно, отношение пространственных плотностей звезд обеих частных си-
стем является постоянным. В этом случае обнаруживается следующее: при ма-
лых значениях m числа А'т
и А"т
возрастают еще приблизительно в соответ-
ствии с уравнениями (11) и (12); это происходит в силу того, что тогда наблю-
даются сравнительно лишь близкие области, в которых плотность еще не могла
значительно уменьшиться. При больших значениях m возрастание, однако, будет
происходить медленнее, чем по уравнениям (11) и (12), причем этот эффект для
звезд, обладающих большими абсолютными яркостями, будет всего сильнее,
потому что они видимы на ббльших расстояниях, на которых пространственная
плотность звезд соответственным образом уменьшилась сильнее, чем на мень-
ших расстояниях. Поэтому отношение числа А"т
звезд, обладающих меньшими
абсолютными яркостями, к числу А'т
звезд, обладающих большими абсолютными
яркостями, будет увеличиваться.
Допустим, например, вновь, что пространственная плотность звезд подчиняется
закону случайных ошибок (2). Ведь мы предположили, что убывание этой вели-
чины в обеих частных системах происходит по одному и тому же закону. Следо-
вательно, пусть
г»
D'(r) = D'0e 2r
°
<15>
и
г»
D" (г) = D"0e
(16)
так что действительно
СТРОЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
р'(г)
р±
туче
d:
для всех г имеет одно и то же значение.
В таком случае согласно уравнению (10) получаем
k=
(Ж'+ 5lgг0)]./"f D»,
a'm = nm-(m»
+ 5\gr0)) . /"f D»,
а=аа-а
,
«
m1m'
An = Рь ^\m-(M" -\ -b\grQ — 10)1
А'т
Р'оФI«— (/И'+ 5lgго—10)]'
откуда находим
(17)
(18)
(19)
(20)
Пусть, например Ж' =
0М,М"=
5^,
/>' =
0,001„О"=
0,1. Далее, пусть,
г0—100 парсеков Сделав эти предположения, мы получим числа, приводимые
в нижестоящей таблице. В начале преобладают заезды, имеющие значительные
абсолютные яркости, несмотря на меньшую свою пространственную плотность,
тогда как при ббльших значениях m постепенно приобретают преобладающие
значения звезды, имеющие мень-'
'
щ
А„.:А.
шие абсолютные яркости.
Если же убывание простран-
ственной плотности звезд про-
исходит в обеих частных систе-
мах не по одному и тому же
закону,
т. е. если
отношение
пространственных
плотностей
звезд в обеих частных системах
не является повсеместно одним
и тем же, то условия не могут
быть выяснены
столь
легко.
Если пространственная плотность
звезд,
обладающих
ббльшими
абсолютными яркостями, убывает
медленнее,
чем пространственная
плотность
звезд,
облагающих
меньшими
абсолютными яркостями, то вышеупомянутый эффект постепенного установления
преобладания звезд, обладающих меньшими абсолютными яркостями, частично,
компенсируется или даже компенсируется избыточным образом. А если, наоборот,
пространственная плотность абсолютно ярких звезд убывает быстрее, чем про-'
странственная плотность абсолютно слабых звезд, то этот эффект еще более'
усиливается.
3. Наконец рассмотрим случай одновременного существования нескольких част-
ных систем звезд, обладающих различными абсолютными яркостями. Тогда вместо
уравнения (11) мы будем иметь следующее соотношение:
0,20 • 1,25 • 101 d.»
0,53
0,90
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,00027 -1,25.106dm
0,0011
0,0041
0,016
0,061
0,20
0,53
0,90
'1,00
1,00
1,00
0,13
0,20
0,46
1,6
6,1
20
53
90
100
100
100
(21):
и соответственным образом' модифицированные уравнения вместо
последующи-!
уравнений, выведенных в пункте 2. Как в этом легко убедиться, все выводы
сделанные для случая двух частных систем, сохраняют свою силу и в данном
случае.
Если, наконец, будут иметься налицо все абсолютные яркости, заключенные
в определенных пределах, то вместо суммы слагаемых в правой части уравнения
(21) мы получим определенный интеграл
nr.
Am=jAm(M)dM,
(22)
м,
или в общем случае неопределенный интеграл
+СО
Лт=
J лт (AI) dm.
(22а)
—со
В таком случае частная система будет состоять из звезд, обладающих абсо-
лютными яркостями, заключенными в пределах от M до Ж + d/Vf. Пространст-
венные плотности звезд, соответствующие частным системам, мы обозначим через
D(M;r)dM. Все уравнения могут быть выведены совершенно таким же образом,
как и ранее, с той лишь только разницей, что вместо сумм всюду встанут
интегралы. Пространственные плотности звезд D (М; г), рассматриваемые как
функции М, будут представлять собой ранее исследованные функции распределе-
ния абсолютных яркостей.
В этом общем случае неизменно предполагают, что пространственные плот-
ности звезд одинаковым образом изменяются с увеличением расстояния, т. е .,
следовательно, что функция распределения
абсолютных яркостей в звездной
системе повсеместно
является
одной и той же. Именно, если функция распре-
деления изменяется от места к месту, полученные, путем подсчетов звезд числа
А и функция распределения абсолютных яркостей в окрестностях наблюдателя
оказываются недостаточными для того, чтобы можно было сделать дальнейшие
выводы о строении звездной системы. При таком положении вещей число неиз-
вестных становится слишком большим. Если имеются основания для того, чтобы
считать, что функция распределения абсолютных яркостей изменяется при пере-
ходе от одного места к другому, то звезды пытаются подразделить на группы,
относительно которых вновь может быть сделано предположение о постоянстве
функции распределения в пространстве. Таким подразделением на группы может
послужить, например, распределение по спектральным классам. Об этом более
подробно будет сказано впоследствии.
Если функция распределения абсолютных яркостей является в пространстве
постоянной, то всюду в пределах звездной системы будет иметь место следующее
равенство:
D(Ж;r)dM= D(г) •ср(Ж)dM,
(23)
в котором через D(r) обозначено число звезд всех абсолютных яркостей, прихо-
дящихся на единицу объема.
Для чисел звезд Ат в этом случае получаются уравнения, приводимые ниже.
Сначала из уравнения (23) определяются величины Ат(М). Дальнейший вывод
совершенно аналогичен выводу уравнения (5). Мы вновь рассматриваем звезды,
находящиеся в пределах конуса с телесным углом раскрытия dw. Число звезд,
обладающих абсолютными яркостями, заключенными в пределах от M до M -f - dM,
находящихся ближе р парсеков, выразится формулой
р
р
А(р\M)dM= J D(г)ср(M)dM•r2dсоdr= ср(Ж)dMdo>J D(r) r3dr.
(24)
о
0
Число звезд A,n определяется путем подстановки в уравнение (24) предельного
расстояния р, определяемого величинами m и M [см. уравнение (4)]. Между
этими величинами существует следующая связь:
Igp« i_j _o,2(w — M).
(25)
В силу этого мы получаем
101 + 0,2(ш-ЛГ)
ÀJM) dM= ср(M)dMdo:
J
D (/•) r2 dr.
(26)
0
Наконец, мы находим число А1П из уравнения (22а):
+œ
10г + 0,2(т-АГ)
Ат=
dco f dMср(M)
J
D(r)r2dr.
(27)
—
со
0
ЭТО уравнение выражает связь между функцией Ат чисел звезд, видимых до
определенной видимой величины т, функцией распределения абсолютных яркостей
9 (Ж) и законом распределения пространственных плотностей D (г), в том случае,
если функция распределения является постоянной в пространстве.
В этом уравнении мы вправе рассматривать величину 9 (Ж) как функцию,
выведенную из наблюдений звезд, находящихся в ближайших окрестностях Солнца.
Числа звезд Ат
являются функцией видимой величины т, установленной путем
подсчетов звезд. Таким образом в уравнении (27) неизвестной функцией являет-
ся D (л). И действительно, из уравнения (27) удается определить эту функ-
цию/)©. А именно, величина D (г) должна быть выбранной таким образом, чтобы
уравнение (27) удовлетворялось для всех значений видимой величины т. При
решении поставленной проблемы
неизвестными величинами являются значения
функции D(r) для всех значений г, а используемые для этого уравнения, соста-
вленные для всех значений т, аналогичны уравнению (27). Следовательно, дело
сводится к определению бесконечно большого числа неизвестных из бесконечно
большого числа уравнений. Такого рода проблемы часто встречаются в математи-
ческом анализе; уравнение (27), принадлежащее к числу интегральных
уравнений,
является хорошим примером такого рода проблемы. В том случае, если величины
Ат и 9 (Ж) являются известными нам простыми функциями, решение может быть
получено аналитическим путем: величина D (г) может быть получена как простая
функция, зависимая от обеих остальных функций.. Однако эта проблема всегда
может быть разрешена методом численного интегрирования. Для этого проблема
совместного решения бесконечного числа уравнений с бесконечным числом не-
известных заменяется соответствующей проблемой совместного решения конеч-
ного числа уравнений с конечным числом неизвестных подобно тому, как всякий
интеграл может быть вычислен методом численного интегрирования путем замены
его суммой конечного числа слагаемых (см. Приложение,'стр. 516).
Благодаря этому явилась возможность делать выводы количественного харак-
тера относительно изменений пространственной плотности звезд по мере увели-
чения расстояния от наблюдателя в различных направлениях.
Зеелигер после тщательной обработки имевшихся в его распоряжении мате-
риалов наблюдений использовал подсчеты звезд для количественных подсчетов
хода пространственной плотности звезд. Описанный в § 308 способ установления
закона распределения абсолютных яркостей берет свое начало в работах Кап-
тейна. Каптейн использовал найденный закон распределения в связи с результа-
тами подсчетов звезд для вывода хода пространственной плотности звезд выше-
описанным путем. Результаты, полученные Зеелигером и Каптейном, в основном
совпадают. Протяженность звездной системы оказалась наибольшей в плоскости
Млечного Пути. На расстоянии в 4000 парсеков пространственная
плотность
звезд падает до 5°/0 таковой в окрестностях Солнца и продолжает свое падение
иа еще ббльших расстояниях. Наименьшей протяженность оказалась в обоих
направлениях, перпендикулярных к плоскости Млечного Пути, и притом почти
одинаковой в обоих этих направлениях. На расстоянии, несколько меньшем 1000
парсеков, пространственная
плотность звезд составляет около 5% таковой
в окрестностях Солнца, и при дальнейшем увеличении расстояний она быстро
продолжает падать.
§ 312. Влияние поглощения света в межзвездном пространстве на связь
между числом видимых звезд и пространственной плотностью звезд. Уже
давно исследователям, работавшим в этой области, стало ясно, что выводимые
на основе подсчетов звезд пространственные их плотности могут быть сильно
искажены благодаря тому, что в звездной системе на больших расстояниях про-
исходит заметное поглощение
света. Уже самый первый вывод о том, что про-
странственная плотность звезд уменьшается по мере увеличения расстояния,
делаемый из того факта, что возрастание чисел Ат по мере увеличения m про-
исходит медленнее, чем по уравнению (1), может являться ошибочным. Это более
медленное увеличение в действительности столь же хорошо может объясняться
тем, что свет более далеких звезд ослабляется сильнее, чем это следовало бы
по закону ослабления его пропорционально квадрату расстояния. В таком случае
уравнение (3), выведенное на стр. 482, правильнее было бы писать в таком виде:
/д =/И-f 5 +5 lg у-} -Ада,
(28)
где
Am= Am(г)
(29)
означает поглощение света, возрастающее вместе с увеличением расстояния.
И действительно, удается достигнуть полного совпадения с наблюденными
числами звезд Ат в том случае, если мы будем считать звездную систему обла-
дающей постоянной пространственной плотностью звезд. Для этого необходимо
лишь соответствующим образом задать поглощению света различные значения
для различных направлений и расстояний. Подобно тому как уравнения (27) могут
быть удовлетворены подходящим выбором пространственной плотности звезд, они
столь же хорошо могут быть удовлетворены и подходящим выбором поглощений
при наличии постоянной пространственной плотности звезд.
Судя по диаметрам и яркостям внегалактических туманностей и шарообразных
звездных скоплений, мы можем сделать вывод о том, что поглощение в напра-
влениях к этим объектам не может быть значительным даже на больших рас-
стояниях. Если бы происходило значительное поглощение, то фотометрические
параллаксы более удаленных объектов, а вместе с тем и вычисленные из них
расстояния систематически оказывались бы слишком большими. Вследствие этого
обнаружилось бы изменение размеров в зависимости от расстояний, что в дей-
ствительности места не имеет. С другой стороны, наблюдающиеся в определенных
местах Млечного Пути звездные пустоты („угольные мешки") весьма отчетливым
образом свидетельствуют о том, что в этих направлениях происходит сильное
поглощение света.
Внегалактические туманности и шарообразные звездные скопления сравни-
тельно редки лишь в непосредственной близости от Млечного Пути. Аналогичное
распределение обнаруживают короткопериодическне цефеиды (см. § 310). Это
может быть истолковано тем, что в тонком слое определенной толщины около
плоскости Млечного Пути происходит сильное поглощение света.
Рассеянные звездные скопления чаще всего встречаются вблизи Млечного
Пути (это находится в тесной зависимости со сжатием галактической системы
и с тем, что рассеянные звездные скопления видимы на больших расстояниях;
см. § 313). В силу этого они весьма пригодны для исследования вопроса о том,
происходит ли поглощение света в тонком слое около Млечного Пути. Для этого
применяется тот же метод, как н для исследования внегалактических туманностей
и шарообразных звездных скоплений. Из видимой звездной величины и абсолют-
ной звездной
величины, согласно
уравнению
(28),
вычисляется
расстоя-
ние, причем поглощение света A m полагается равным нулю. Из расстояния к
углового диаметра выводится линейный диаметр. Если при этом обнаруживается,
что перечисленные таким образом линейные диаметры возрастают по мере увели-
чения расстояния, то это указывает на наличие поглощения света. Это объясняется
тем, что именно наличие поглощения А/л обусловливает то, что расстояния,
вычисленные в предположении А/л = 0, получаются слишком большими, равно
как и вычисленные линейные диаметры. Степень поглощения света при этом
удается оценить следующим путем: поглощение света Д/л полагается пропорцио-
нальным расстоянию, а коэфициент пропорциональности подбирается
таким
образом, чтобы более не обнаруживалось изменения линейных диаметров вместе
с увеличением расстояний.
Такого рода исследования, проведенные с помощью рассеянных звездных
скоплений, свидетельствуют о том, что в сравнительно
тонком
слое
вокруг
плоскости Млечного Пути во всех направлениях действительно
происходит
поглощение
света. Степень этого поглощения составляет около половины звездной
величины на 1000 парсеков. Правда, эти результаты еще не получили оконча-
тельного подтверждения. Оценка угловых диаметров слабо концентрированных
рассеянных звездных скоплений представляет собой нелегкую задачу. Поэтому
вполне возможно появление систематических ошибок вследствие изменения вида
этих скоплений по мере увеличения расстояния.
Поглощением света на малых расстояниях, измеряющихся несколькими сотнями
парсеков (за исключением поглощения в темных туманностях), следует прене-
брегать. Во всех направлениях, образующих значительный угол (превосходящий
20°) с плоскостью Млечного Пути, длина пути, проходимого лучом зрения
в пределах слоя, толщиной в несколько сот парсеков, сравнительно столь мала,
что поглощение света не играет заметной роли. Однако при прохождении в пределах
поглощающего слоя расстояния в несколько тысяч Чіарсеков, поглощение стано-
вится значительным. При наличии поглощения в 0'»,5 па 1000 парсеков звезды,
находящиеся на расстоянии 4000 парсеков, представляются на 2'» слабее, чем
если бы поглощения света не происходило. Следовательно, выводя из видимой
и абсолютной яркостей звезды ее расстояние без учета поглощения света, мы
ошибочным образом преувеличим таковое в 2,5 раза, т. е . оценим его в 10 000
парсеков, вместо 4000 парсеков, вследствие того что m будет принято нами
меньше, чем оно есть на самом деле.
В случае наличия поглощения света оно может быть или одинаковым для
всех длин волн, например, когда оно вызывается отбрасыванием теней сравни-
тельно крупными частицами, или меняться с изменением длин волн, как это,
например, происходит при поглощении света в земной атмосфере. Если поглоще-
ние света для различных длин волн неодинаково, то мы говорим, что происходит
избирательное или селективное поглощение света.
Наличие избирательного поглощения доказать легче, чем существование погло-
щения, постоянного для всех длин волн, вследствие того что первое обусловли-
вает изменение спектрального состава света; так, например, солнечный свет при
прохождении через земную атмосферу становится краснее.
В случае если возможно доказать наличие избирательного поглощения, мы
тем самым убеждаемся в том, что поглощение света имеет место. В случае же
если избирательного поглощения не происходит, то это может обозначать, что
или происходящее поглощение не является избирательным или вообще не про-
исходит никакого поглощения.
Повидимому, избирательное поглощение в действительности имеет место.
Звезды одних и тех же спектральных классов на ббльших расстояниях становятся
краснее. Правда, это может объясняться и тем, что более далекие звезды в сред-
нем обладают большими абсолютными яркостями (см. стр. 358). Необходимо
попытаться разделить оба эти эффекта.
.
Ограничиваясь рассмотрением звезд, находящихся в ближайших окрестностях
Солнца, мы убеждаемся в том, что изменение средней абсолютной яркости звезд,
по мере увеличения их расстояния, становится малым или даже исчезающе малым.
Правда, в уаком случае ввиду того что эффект должен был бы соответственным'
образом уменьшиться, необходимы более точные измерения колориндексов. С по-
мощью колориндексов (см. стр. 344), очень точно измеренных фотоэлектрическим
способом, удалось бесспорно установить наличие избирательного поглощения. Эти
исследования показали, что в некоторых определенных направлениях избиратель-
ного поглощения, повидимому, не происходит, тогда как в других направлениях,
наоборот, происходит сравнительно сильное избирательное поглощение.
Долгопериодические цефеиды особенно хорошо пригодны для такого рода
исследований. Они являются абсолютно яркими звездами, могущими быть види-
мыми на больших расстояниях. Они располагаются именно в слое около галакти-
ческой плоскости, который в данном случае представляет интерес; особенно важно,
что спектральный состав их света находится в довольно однозначной связи
с их периодом (см. стр. 452). Благодаря этому изменения цвета с расстоянием,
происходящие под действием избирательного поглощения, могут быть у них уста-
новлены весьма надежным образом. Такого рода исследования намечались несколько
лет назад, но результаты их до настоящего времени еще не опубликованы.
Следователыю,
вероятно,
что во всех направлениях, лежащих в пределах
определенного слоя вокруг плоскости Млечного Пути, происходит значительное
поглощение света.
Это имеет весьма важное значение для вопроса о размерах звездной системы
в направлении Млечного Пути. Мы уже убедились на числовом примере, насколько
велико влияние поглощения света на все фотометрические параллаксы, а на
расстояниях, которых касается дело в данном случае, могут определяться почти
исключительно лишь фотометрические параллаксы. На результаты, получаемые
методом подсчета звезд, поглощение света оказывает совершенно аналогичное влияние.
В том случае если поглощение, происходящее в рассматриваемом слое, является
постоянным или изменяется по какому-нибудь простому закону по мере увеличе-
ния расстояния от галактической плоскости, могут быть сделаны дальнейшие
выводы относительно пространственной плотности звезд. Мы можем в этом
направлении проводить исследования, делая различные допущения относительно
величины поглощения света, и наиболее правдоподобное решение счесть правильным.
Если же, наоборот, существует возможность того, что поглощение изменяется
весьма неправильным образом, то никаких дальнейших выводов
относительно
строения звездной системы в окрестностях галактической плоскости сделать не-
возможно. Разумеется, ясно, что все те области, относительно которых достоверно
известно, что в них имеет место аномально сильное поглощение света, должны
при этом рассматриваться по отдельности. Дальнейшие же выводы базируются на
допущении того, что величина поглощения света в остальных местах изменяется
равномерно.
Описанный в предыдущих параграфах метод определения пространственных
плотностей звезд из подсчетов звезд легко может быть модифицирован таким
образом, что расчеты будут вестись в предположении наличия постоянного погло-
щения. Для этого нужно лишь пользоваться уравнениями (28) и (29), выведен-
ными на стр. 488, с членом Ат, пропорциональным расстоянию:
Am—а- г,
вместо того чтобы полагать A m равным нулю, как это было сделано в § 311.
При этом вычисление проводится с различными значениями постоянной а с тем,
чтобы иметь возможность выбрать наиболее вероятное распределение плотностей.
Одновременно определяется величина а. Из вышеизложенного ясно, что влияние
на результаты в высоких галактических широтах не может быть сколько-нибудь
значительным. Дело касается пространственной плотности звезд, близких к пло-
скости Галактики, но находящихся на больших расстояниях от нас. В помещенной
/ниже таблице приведены результаты, дающие пространственную плотность звезд,
которые были получены, исходя из различных допущений относительно а. В ка-
честве. единицы пространственной плотности звезд использована таковая плотность
в ближайших окрестностях Солнца. Области неба, в которых были произведены
подсчеты звезд, расположены в Млечном Пути.
При ß = 0, т. е . в отсутствии поглощения света, пространственная плотность
звезд убывает, как и раньше. При ß = 0'",4 пространственная плотность 8везд
на очень больших расстояниях становится приблизительно постоянной; однако
примерно вплоть до 400 парсеков происходит заметное уменьшение простран-
ственной плотности звезд. При еще больших а уменьшение этой величины стано-
вится меньше, по зато пространственная плотность звезд на больших расстояниях
вновь начинает увеличиваться.
Дальше 10 000 парсеков или 6000 пар-
секов при наличии сильного поглощения
света
получаемые значения
становятся
ненадежными в силу того, что подсчеты
звезд простираются лишь до /«=18'".
Наиболее
приемлемым -допущением
относительно а является то, которое при-
водит приблизительно к установлению
постоянства пространственной плотности
звезд на больших расстояниях,
т. е.
« = 0'",4. Весьма замечательным является
тот факт, что, приняв это допущение, мы
приходим к выводу, что в окружающей
Солнце части пространства, диаметром
около 600 парсеков,
пространственная
плотность звезд сравнительно велика.
В некоторых определенных направлениях пространственная плотность звезд
сначала уменьшается, а затем вновь возрастает. В этих направлениях распола-
гаются ранее упомянутые звездные облака. Таким образом для звездного облака
в Щите (см. стр. 480) было выведено расстояние, хорошо согласующееся с рас-
стояниями, вычисленными иными путями.
Наиболее важным результатом произведенного анализа является следующий:
Допуская, что влиянием поглощения света следует пренебрегать,
мы приходим
к выводу о существовании ограниченной местной звездной системы (см. стр. 480).
Допуская же наличие поглощения света порядка 0»»,4 на 1000 парсеков или более,
мы приходим к выводу о том, что пространственная плотность звезд остается
значительной по меньшей мере до 10 000 парсеков.
§ 313. Изменения функции распределения абсолютных яркостей с расстоя-
нием от плоскости Галактики. Мы видели, что в высоких галактических широ-
тах поглощение света не оказывает заметного
влияния на пространственные
плотности звезд, выведенные статистическим путем. Однако в данном случае
в связи с этим существенную роль приобретает иной фактор. Ведь метод, опи-
санный в § 311, основывается на том, что функция распределения абсолютных
яркостей независима от расстояния. Однако это допущение, повидимому, оказы-
вается неправильным для направлений, образующих значительные углы с плоскостью
Галактики. Функция распределения абсолютных яркостей изменяется в зависимости
от расстояния от плоскости Млечного Пути.
Об этом свидетельствует уже распределение звезд различных спектральных
классов по галактическим широтам. В нижеследующей табличке указаны числа
Галактическая
шпрота
В
А
F
о
К
м
Все
звезды
40°— 90°
0,3
13,2
12,5
19,8
43,0
7,6
96,4
0°
29,7
96,9
t
-
0
0
26,0
69,0
17,5
257,8
звезд различных спектральных классов, приходящихся на 100 квадратных граду-
сов; при ее составлении учтены все звезды ярче 8'",25 (до этого предела
дрэперовский каталог является полным), расположенные в интервале галактических
широт от 40 до 90° и вблизи Млечного Пути.
8
о
о
о
О.
р
о
II
о
II
о
II
о
II
to
II
а
II
а
II
а
II
о
2,0
100 парсеков 1,00 1,00 1,00 1,00
2,2
158
0,46 0,59 0,70 0,62
2,4
251
0,32 0,41 0,49 0,45
2,6
398
0,23 0,24 0,28 0,32
2,8
631
0,16 0,24 0,28 0,32
3,0 1000
0,17 0,28 0,28 0,64
3,2 1580
0,11 0,28 0,48 0,64
3,4 2510
0,067 0,28 0,48 0,64
3,6 3980
0,040 0,28 0,61 1 ,21
3,8 6310
0,026 0,32 0,61 1,21
4,0 10 000
0,014 0,32
—
Звезды класса В чрезвычайно сильно, а звезды класса А очень сильно скон-
центрированы по направлению к плоскости Млечного Пути. Звезды остальных
спектральных классов обнаруживают менее сильную галактическую концентрацию.
Частично это объясняется следующим обстоятельством: звезды классов В и А
обладают большими абсолютными яркостями, чем звезды, например, классов F и G.
Вследствие этого звезды классов В и А, обладающие яркостями, превосходящими
8'",25, в среднем находятся дальше от нас. И если их среднее расстояние от
плоскости Галактики такое же, как и у остальных звезд, то они тем не менее
будут казаться располагающимися на небесной сфере ближе к плоскости Галактики.
Однако более точные цифровые подсчеты свидетельствуют о том, что одно
лишь это объяснение оказывается недостаточным. Звезды классов В и А должны
и в пространстве концентрироваться к плоскости Млечного Пути. Таким же
образом, как звезды класса В, располагаются и с-звезды (см. стр. 358). А так как
звезды классов В и А и с-звезды принадлежат к числу абсолютно ярких, то
функция распределения последних вследствие этого будет изменяться в зависи-
мости от расстояния от плоскости Галактики; это изменение будет происходить
так, что относительное число звезд, обладающих большими абсолютными яркостями,
будет увеличиваться по мере приближения к этой плоскости.
А это значит, что метод, описанный в §311, не является строгим. Для более
точных исследований звезды должны подразделяться по спектральным классам, и
звезды каждого спектрального класса должны исследоваться по отдельности. Более
слабые звезды удобнее всего подразделить на группы по их колориндексам.
При рассмотрении распределения звезд в направлениях, образующих значитель-
ные углы с галактической плоскостью, весьма отчетливо обнаруживается явление,
описанное на стр. 435; оно состоит в том, что звезды, обладающие малыми абсо-
лютными яркостями при больших значениях т, постепенно получают преобладание;
это объясняется тем, что убывание пространственной плотности звезд происходит
сравнительно быстро. Вышеупомянутая галактическая концентрация звезд, обладаю-
щих большими абсолютными яркостями, еще более усиливает этот эффект.
Несмотря на вышеуказанную трудность, заключающуюся в том, что функция
распределения абсолютных яркостей в высоких галактических широтах не является
постоянной, получаемые результаты носят более надежный характер в силу того,
что поглощение света в данном случае не играет заметной роли. Кроме того,
с этой целыо могут быть использованы результаты, получаемые с помощью мето-
дов
определения
параллаксов,
как,
например,
спектральный,
и
методы,
базирующиеся на использовании собственных движений. Эта возможность обусло-
вливается тем, что предельное расстояние практически сравнительно невелико,
лишь не намного превышая 1000 парсеков.
§ 314. Структура Галактики. Как исследования относительно скелета галактиче-
ской системы (см. § 310), так и исследования по звездной статистике (см. § 311) свиде-
тельствуют о существовании в окрестностях Солнца области диаметром в несколько
тысяч парсеков, в которой пространственная плотность звезд довольно велика.
В .структуре местной звездной системы облака Млечного Пути, повидимому,
играют значительную роль. Мы можем совокупность звезд, находящихся в этой
области пространства, до известной степени рассматривать как скопление обла-
ков Млечного Пути. Солнце представляется находящимся приблизительно в центре
одного из обликов Млечного Пути, обладающих в плоскости Галактики диаме-
тром порядка 600 парсеков.
Толщина местной системы в направлении, перпендикулярном к галактической
плоскости, сравнительно невелика. На очень больших расстояниях от нее наблю-
дались лишь короткопериодические цефеиды й долгопериодические переменные
звезды класса Me. .
Дальнейший результат исследований относительно скелета галактической си-
стемы состоял в установлении существования второй звездной системы, группи-
рующейся около центра, который находится в направлении к созвездию Стрельца
(/ = 325°, ь = 0 ~) на расстоянии порядка 14 000 парсеков (система Стрельца).
На основании исследований по звездной статистике далее пришли к выводу о
том, что местная звездная система продолжается в направлении Млечного Пути по
меньшей мере на расстоянии в 10 000 парсеков в том случае, если в пределах
тонкого слоя около плоскости Галактики происходит заметное поглощение света.
При наличии поглощения света такого характера результаты, полученные
относительно скелета галактической системы, должны быть пересмотрены. Рас-
сеянное звездное скопление и звезды класса В располагаются в пределах слоя,
в котором происходит поглощение света, вследствие чего последнее в данном
случае должно иметь место на всем протяжении пути световых лучей. Фотоме-
трический параллакс, соответствующий расстоянию в 4000 парсеков, вычислен-
ный без учета влияния поглощения света, при учете такового в 0'»,4 на
1000 парсеков должен быть "увеличен, в соответствии с чем расстояние это должно
быть уменьшено до 2500 парсеков. Следовательно, размеры местной звездной
системы, вычисленные из расстояний рассеянных звездных скоплений .п звезд
класса В, должны быть несколько уменьшены. Расстояния от галактической пло-
скости шарообразных звёздных скоплений и короткопериодических цефеид дости-
гают гораздо больших значений. Несмотря на то, что расстояния шарообразных
звездных скоплений велики, длины участков лучей зрения, проходящих в преде-
лах (сравнительно тонкого) поглощающего слоя, относительно коротки. Пусть
толщина поглощающего слоя составляет 400 парсеков и пусть шарообразное
звездное скопление находится на расстоянии в 10000 парсеков от Солнца и
в 2000 парсеков от галактической плоскости. Длина участка луча зрения, прохо-
дящего в пределах поглощающего слоя, будет в таком случае равна
•ущ- • 10 000 парсеков = 1 000 парсеков,
а соответствующее поглощение света в случае принятия вышеуказанного допу-
щения составит 0>",4. Шарообразное звездное скопление, находящееся от Солнца
па том же расстоянии, но расположенное в галактической плоскости, оказалось
бы ослабленным на целых четыре звездных величины. Поэтому становится понят-
ным, почему вблизи Млечного Пути не наблюдается шарообразных звездных
скоплений (см. стр. 478). Совершенно аналогичное рассуждение может быть про-
ведено и для короткопериодических цефеид. После принятия в расчет поглощения
света расстояние до центра системы Стрельца сокращается с 14 000 примерно до
10 000 парсеков.
По различным причинам более подробные исследования системы Стрельца пред-
ставляют трудности: расстояние до нее велико, центральные ее части закрыты от
нас темной туманностью, находящейся в окрестностях Солнца (см. стр. 480), и,
наконец, поглощение света .в тех частях системы, которые расположены недалеко
от галактической плоскости, очень невелико. Поэтому неудивительно, что в си-
стеме Стрельца наблюдались лишь шарообразные звездные скопления, коротко-
периодические цефеиды и красные долгопериодические .переменные звезды, т. е .
именно те объекты, которые могут подниматься достаточно высоко над погло-
щающим слоем. С другой стороны, разумеется, очень важно что-либо узнать
о размерах системы Стрельца. Это оказывается возможным путем дополнения
приводившихся выше морфологических соображений результатами динамических
исследований.
A priori совокупность шарообразных звездных скоплений, подобную той, ко-
торая наблюдается около центра, находящегося в созвездии Стрельца, можно рас-
сматривать или в качестве случайного скопления, или в качестве системы, суще-
ствующей в течение продолжительного времени. На основании наблюдаемых лу-
чевых скоростей было сделано заключение о том, что эта совокупность существует
лишь
в продолжение сравнительно
короткого
промежутка времени (менее
100 млн. лет) и что она может продолжать существовать в отсутствии силы, ко-
торая связывала бы ее воедино. Существование такого рода скоропереходящего
случайного скопления объектов, встречающихся повсеместно в мировом гіро-
странстве очень редко, настолько маловероятно, что мы вправе заключить, что
в действительности действуют силы, связывающие эту совокупность в систему на
долгие времена. Величину силового поля мы можем при этом оценить по сред-
ней скорости шарообразных звездных скоплений и по среднему расстоянию их от
центра. Было обнаружено, что сила взаимных притяжений шарообразных звездных
скоплений оказывается для этого далеко не достаточной. Для оказания такого
эффекта вокруг центра должна располагаться общая масса, ориентировочно мо-
гущая быть оцениваемой в 10 млрд. масс Солнца. Эга величина и является иско-
мой мерой массы системы Стрельца. Как эта масса распределена в пространстве,
пока остается неизвестным. Она может или располагаться в пределах шара или
в пределах области пространства, сжатой по направлению к плоскости Галактики.
Система Стрельца может также продолжаться и в плоскости Млечного Пути.
Для этого необходимо
лишь наличие массы, обладающей порядком величины
в 10 млрд. масс Солнца, которая находилась бы около центра Галактики в пре-
делах среднего расстояния шарообразных звездных скоплений.
Таким образом мы видим, что система Стрельца превосходит по своим раз-
мерам местную систему. Повидимому, пространственная плотность звезд в системе
Стрельца также превосходит таковую в местной системе.
На стр. 491 было показано, что является вполне возможным и даже вероят-
ным, что местная звездная система продолжается в галактической плоскости. Как
только что было упомянуто, возможно, что и система Стрельца продолжается
в галактической плоскости. Тем самым существует возможность того, что мы
находимся в единой системе Млечного Пути, расположенной
около
плоскости
Галактики, имея общим своим центром систему Стрельца. В таком случае
диаметр этой общей системы в плоскости Галактики должен был бы составлять
примерно 30 000 парсеков; Солнце должно было бы располагаться в ней на до-
вольно значительном расстоянии от центра. За некоторыми исключениями (шаро-
образные звездные скопления, короткопериодические цефеиды, красные долгопе-
риодические переменные) все объекты, образующие эту систему, находятся от
галактической плоскости в среднем на небольших расстояниях, в силу чего эффек-
тивная толщина системы должна составлять лишь от 1000 до 2000 парсеков.
Возможно, что правильнее всего эту систему было сравнивать с сильно сжатым
эллипсоидом вращения.
С другой стороны, наряду с этим существует и возможность того, что система
Стрельца и местная система ограничены, так что система Млечного Пути состоит
из обеих этих систем, из некоторого числа шарообразных звездных скоплений
(находящихся далеко от центра системы Стрельца) и может быть из нескольких
(до настоящего времени нам неизвестных) иных систем. В таком случае систему
Млечного Пути следовало бы рассматривать в качестве своего рода
Сверхгалак-
тики, состоящей из ряда отдельных систем — галактик. Мы можем пойти в этом
направлении еще дальше и рассматривать облака Млечного Пути в качестве
такого рода систем низшего порядка, составляющих Сверхгалактику Млечного Пути.
В пользу того воззрения, что вся система Млечного Пути представляет собой
единѵю связную систему, обладающую симметрией вращения вокруг некоторой
оси (перпендикулярной к галактической плоскости и проходящей через центр
системы Стрельца), говорит тот факт, что согласно этому воззрению возможно
однозначное истолкование движений, наблюдаемых в окрестностях Солнца (см.
§317—319). В пользу иного воззрения говорит тот факт, что за пределами си-
стемы Млечного Пути нам неизвестно ни одной системы диаметром в 30 000 пар-
секов, но зато наблюдаем состоящие из самостоятельных систем сверхгалактики,
обладающие такими размерами (см. стр. 496).
§ 315. Кальциевое облако в межзвездном пространстве. В некоторых звезд-
ных' спектрах наблюдались линии поглощения, источник которых, повидимому
лежит за пределами атмосферы звезды. Важнейшими из них является линия К.
однажды ионизированного кальция и линия D натрия. В спектрах некоторых спе-
ктрально-двойных звезд они встречаются в качестве неподвижных
линии, не при-
нимающих участия в периодических смещениях остальных линий или же прини-
мающих в них участие лишь в незначительной степени. В спектрах звезд класса В,
проходящих раннюю стадию эволюции, линия К иногда бывает видимой в ка-
честве тонкой линии, чего не следовало бы ожидать ввиду высокой температуры
этих звезд. Наличие этой линии приписывают поглощению, происходящему в меж-
звездном пространстве. Плотность материи в межзвездном пространстве, несомненно,
чрезвычайно мала, но соответствующие атомы рассеяны во всем этом про-
странстве. Для того чтобы материя, находящаяся в межзвездном пространстве,
могла обусловить появление линии поглощения, которую мы могли бы наблюдать,
должны быть соблюдены определенные условия. Для этого линия должна распо-
лагаться в доступной наблюдениям части спектра; она должна сильно поглощаться
атомами, находящимися в основном состоянии, ома не должна перекрываться дру-
гими линиями спектра звезды, и, наконец, звезда эта должна находиться на-
столько далеко, чтобы путь светового луча сквозь газ был бы достаточно длинен;
следовательно, звезда эта должна обладать большой абсолютной яркостью. Как
мы -видим, эти условия в тех случаях, когда наблюдаются неподвижные линии,
как раз и выполняются.
Удалось установить связь между интенсивностью рассматриваемых линий и рас-
стоянием звезды. Как и следовало ожидать, эта связь носит такой характер, что
линии эти являются наиболее интенсивными в том случае, когда мы имеем дело
с далекой звездой. Это является веским аргументом в пользу допущения, что
в данном случае дело касается именно поглощения, происходящего в межзвездном
пространстве.
Прежде допускали, что соответствующие линии берут свое начало в окрест-
ностях тех спектрально-двойных звезд, в спектрах которых они наблюдаются.
Иногда, хотя и в незначительной степени, они принимают участие в смещениях
остальных спектральных линий. Однако эти явления могут быть истолкованы и
в том смысле, что в этих случаях мы имеем дело с наложением сравнительно
интенсивной линии межзвездного происхождения на сравнительно слабую линию
спектра звезды.
Тот факт, что в межзвездном пространстве встречается именно кальций, может
быть зависит от того, что кальций легко образует хромосферы и может быть
легко извергается и в межзвездное пространство. Плотность однажды ионизиро-
ванных атомов кальция в межзвездном пространстве обладает порядком величин
1 атома на квадратный сантиметр.
§ 316. Система внегалактических туманностей. Покидая систему Млечного
Пути, мы достигаем объектов, по порядку их величины равновеликих системам,
находящимся в пределах Галактики, т. е. внегалактических туманностей.
В § 304 было упомянуто, что внегалактические туманности, повидимому, пред-
ставляют собой скопления звезд и других объектов, типичных для окрестностей
Солнца.
Ближайшие из числа крупных внегалактических туманностей частично ужо
удалось разделить на отдельные звезды. Кроме того, ранее описанным способом
удалось произвести оценку расстояний до объектов, в которых были обнаружены
новые звезды и цефеиды; тем самым удалось определить и линейные размеры
этих объектов.
Крупнейшие внегалактические туманности обладают приблизительно такими же
размерами, как местная система и система Стрельца. Более мелкие объекты по
своим размерам образуют последовательность, доходящую приблизительно вплоть
до размеров шарообразных звездных скоплений.
Магеллановы Облака расположены сравнительно близко к галактической си-
стеме. Расстояние до Большого Магелланова Облака равно около 26 000 парсеков,
а расстояние до Малого Магелланова Облака — около 29000 парсеков. Соответ-
ствующие линейные размеры их равны 3300 и 1800 парсеков. Остальные ту-
манности, расстояния до которых были определены надежным образом, нахо-
дятся дальше.
В нижеследующей табличке приведены расстояния и линейные размеры трех
хорошо известных внегалактических туманностей.
Назнаннс объекта
Расстояние
Диаметр
'Гуманность в Андромеде
Туманность u Треугольнике (Мессье 33)
N. G. С. 6822
260 СС0 парсеков
250000
200 000
13 000 парсеков
4 000
11200
,
(наибольший)
\ 600
.
(наименьший)
Наблюденные внегалактические туманности образуют метагалактическую
си-
стему
или Метагалактику,
состоящую из нескольких миллионов членов галактик.
Еозможно, что с помощью современных гигантских телескопов наблюдается боль-
шинство всех вообще существующих туманностей. С помощью 250-сантиметро-
вого рефлектора обсерватории Маунт Вильсон не удается сфотографировать боль-
шего количества туманностей, чем с помощью 150-сантиметрового рефлектора.
При этом следует заметить, что большее фокусное расстояние 250-сантиметро-
вого рефлектора влияет отрицательно, хотя выгода большего диаметра отверстия
для наиболее мелких туманностей тем самым едва ли полностью уничтожается
(см. стр. 20). Вплоть до 13-й звездной величины число туманностей при охвате
каждой следующей звездной величины возрастает вчетверо, как это показала ста-
тистика их, упомянутая на стр. 465; этого и следовало ожидать в предположении
равномерного распределения этих туманностей (см. стр. 523).
Характерной особенностью метагалакгической системы является сравнительно
тесное расположение составляющих ее объектов: среднее расстояние между ними
лишь примерно в 30 раз превосходит среднюю величину объектов. Эго обстоя-
тельство объясняет особенность, заключающуюся в том, что члены метагалактн-
ческих систем часто располагаются группами, состав которых колеблется в преде-
лах от двух единиц до нескольких тысяч членов (скопления туманностей).
Нам
известно около 60 таких групп. Может быть систему Млечного Пути также сле-
дует рассматривать в качестве такой группы систем (см. стр. 494).
Доныне еще совершенно нерешенной проблемой является проблема встречае-
мости звезд в промежутках между туманностями метагалактической системы. Эта
проблема не разрешена даже для части пространства, в которой расположена
ближайшая часть, метагалактической системы.
Размеры метагалактической системы обладают порядком величины 100 мил-
лионов парсеков. Мы не знаем ни одного объекта, который находился бы столь
далеко, чтобы он не принадлежал к метагалактической системе.
§317. Движения в системе Млечного Пути. Среднее расстояние между двумя
звездами в системе Млечного Пути настолько велико, что взаимное притяжение
двух звезд, сближающихся на относительно весьма короткое расстояние, смогло бы
сыграть роль лишь по прошествии весьма долгого промежутка времени. Движе-
ние какой-либо звезды в продолжение периодов времен, измеряющихся миллиар-
дами лет, определяется действием общего поля тяготения всех остальных звезд и
скоростью, которую она будет иметь в определенный момент, двигаясь в этом поле.
Природа поля тяготения нам неизвестна.
Вероятно она зависит преимуще-
ственно, от распределения звезд, обладающих малыми абсолютными яркостями,
и от распределения темных масс космической пыли, потому что на долю ярких
звезд несомненно приходится лишь малая часть общей массы. Тем не менее не
является невероятным предположение, что поле тяготения относительно плоскости
Млечного Пути и относительно центра системы Стрельца является до известной
степени симметричным и что по мере удаления от плоскости Млечного Пути и
от центра системы Стрельца оно изменяется (см. стр. 494).
Из лучевой скорости, собственного движения и параллакса может быть вычис-
лено движение звезды в пространстве относительно Солнца (см. § 280). Следова-
телыіо, если мы знаем движение Солнца в поле тяготения, то мы можем просле-
дить дальнейшее движение звезд, для которых указанные величины нам известны.
Правда, в течение относительно чрезвычайно коротких сроков наблюдений,
продолжительностью порядка 100 лет, удалось наблюдать лишь чрезвычайно ко-
роткую часть орбиты отдельной звезды. Несмотря на это, мы можем попытаться
истолковать движения звезд, находящихся в окрестностях Солнца, как движения,
происходящие в различных точках сходных между собой орбит. Благодаря этому
мы получаем возможность объяснить движения звезд, находящихся в окрестностях
Солнца, на основе гипотез о природе поля тяготения и о скорости движения
Солнца в поле тяготения. Эта возможность обусловливается тем, что орбиты
звезд могут быть вычислены к том случае, если оба эти фактора даны. С этой
целью были использованы следующие две гипотезы: 1) о симметрии поля тя-
готения относитёлыю галактической плоскости и относительно центра системы
Стрельца; 2) о том, что движение Солнца в поле тяготения близко к круговому
движению вокруг центра системы Млечного Пути, происходящему в одном напра-
влении. Таким образом удалось в общих чертах истолковать движение звезд, наблю-
даемых в окрестностях Солнца. Мы должны допустить существование общей массы
порядка 100 млрд. масс Солнца, более или менее компактно сгруппированной
вокруг центра. Это не находится в противоречии с тем, что раньше было ска-
зано о числе звезд галактической системы (см. стр. 479). Такая масса соответ-
ствует периоду обращения Солнца и звезд, находящихся в его окрестностях, по-
рядка 200 млн. лет.
Шарообразные звездные скопления или совершенно не принимают участия во
вращательном движения около центра или же принимают в нем участие лишь
с малыми скоростями. Поэтому по отношению к Солнцу они обнаруживают лучевые
скорости, соответствующие наличию среднего движения в пространстве, происхо-
дящего в направлении, противоположном обращению Солнца.
Дальше мы рассмотрим более подробно результаты наблюдений движений
звезд и проследим их связи с только что высказанными точками зрения.
§ 318. Закономерности движений звезд. Для нескольких тысяч звезд нам
известны достаточно точные параллаксы, собственные движения и лучевые ско-
рости, что дает нам возможность определить движения этих звезд в простран-
стве относительно Солнца (см. § 280). Путем изучения распределения этих дви-
жений в пространстве, мы можем составить себе представление о характере дви-
жений, имеющих место в звездной системе.
Для получения более наглядного представления об этом представим себе
скорости движений в пространстве как точки, расположенные в некотором
про-
странстве
скоростей
таким образом, что каждой скорости в пространстве со-
ответствует точка, координаты которой равны компонентам скорости. В качестве
системы координат мы выберем систему, ориентированную по Млечному Пути.
Ось OZ ее пусть будет направлена к северному полюсу Галактики, а ось ОХ к си-
стеме Стрельца, расположенной в плоскости Галактики.
Разместив таким образом скорости движений звезд в „пространстве скоростей",
мы получим следующую картину. Большинство точек сгруппируется около точки,
расположенной несколько сбоку от начала координат, изображающей скорость
движения Солнца. Это показывает, что Солнце движется относительно звезд,
как мы уже видели это раньше (см. § 277 и 278).
Разделим теперь звезды на группы и исследуем каждую группу по отдель-
ности. Наиболее естественным явилось бы разделение по группам в зависимости
от положения в диаграмме Ресселла; однако материал для детального исследо-
вания в этом направлении является недостаточным. В силу этого разделение
производится в основном по спектральным классам, причем, если это возможно,
принимается во внимание и различие между гигантами и карликами.
Звезды класса В и многие звезды класса А сравнительно компактно группи-
руются вокруг некоторого центра со сравнительно незначительным рассеянием
около него. Отклонения их во все стороны приблизительно одинаково велики.
Астроиоижл
32
Среди звезд класса А выделяются члены потоков Гиад и Большой Медведицы.
Они группируются вокруг двух точек, соответствующих скоростям этих потоков.
Звезды спектральных классов F, G, К » М, как правило, концентрируются
с незначительным рассеянием вокруг определенной точки, которая, следовательно,
соответствует точке, неподвижной относительно этих звезд, рассеяние при этом
обнаруживает весьма замечательные особенности. Оно оказывается наименьшим
в направлении оси OZ и наибольшим в направлении, весьма близко совпадающем
с осыо ОХ. Распределение скоростей является приблизительно
эллипсоидальным.
Эго значит, что если мы построим ряд поверхностей таким образом, что густота
точек, соответствующих скоростям, будет на этих поверхностях постоянной, то
эти поверхности будут близки к эллипсоидам. Малая ось эллипсоида оказывается
при этом направленной по оси OZ, а большая приблизительно по оси ОХ.
Величины компонентов скоростей по осям распределены приблизительно по
гауссовому закону ошибок.
Существуют группы звезд, обнаруживающих значительное рассеяние точек,
соответствующих их скоростям. Таковы, например, короткопернодические цефеиды,
долгопериодические переменные спектрального класса Me и планетарные туман-
ности. У этих групп наблюдается та бросающаяся в глаза особенность, что они
в среднем обладают некоторым общим движением относительно большинства звезд.
Средняя точка среди точек скоростей сдвинута по направлению к неподвижной
точке нормальных звезд и сдвинута при этом в отрицательном направлении по
оси OY. Смещение оказывается тем больше, чем больше рассеяние.
Весьма большие компоненты скоростей ( > 100 км) в направлении оси OZ
не встречаются, равно как не встречаются они и в положительном направлении
оси OY. Наибольшими скоростями обладают все отрицательные значения компо-
нентов Y. Этот эффект получил название асимметрии больших скоростей.
Все эти факты могут быть истолкованы на основании гипотезы вращения,
вкратце охарактеризованной в предыдущем параграфе.
Более подробно мы покажем это для эффекта асимметрии. Звездная система
вращается как единое целое вокруг своего центра. В окрестностях Солнца боль-
шинство звезд обладает почти одинаковыми скоростями относительно этого
центра; рассеяние их скоростей относительно абсолютной скорости мало. В том
случае, если какая-либо звезда наряду с общей скоростью вращения обладает
дополнительной скоростью, которая велика и имеет то же направление, как
и скорость вращения, существует опасность того, что эта звезда может покинуть
систему подобно тому, как небесное тело удаляется от своего центрального тела
по гиперболе.
Если лее дополнительная большая скорость имеет противоположное направ-
ление, то звезда останется в системе. В силу того, что вращательное движение
направлено в сторону положительных значений на оси OY, симметрия больших
скоростей становится вполне понятной. Большие скорости звезд в направлении,
перпендикулярном к галактической плоскости, также способствуют тому, что эти
звезды будут покидать систему.
Еще задолго до того как наблюдательный материал стал достаточным для
анализа скоростей звезд в пространстве, было установлено, что скорости звезд
обнаруживают определенные
систематические особенности.
Направления
соб-
ственных движений
звезд оказались распределенными не так, как если бы они
соответствовали лишь движению Солнца и совершенно случайно распределенным
движениям звезд. Каптейн доказал, что распределение направлений собственных
движений звезд может быть объяснено в том предположении, что звезды принад-
лежат главным образом к двум звездным
потокам,
причем, однако, помимо этих
их общих движений в потоках звезды обладают и индивидуальными движениями,
направления которых распределены совершенно случайно. Позднее Шварцшильд
доказал, что распределение направлений собственных движений звезд столь же
хорошо может быть объяснено в предположении эллипсоидального распределения
их скоростей, как это и было изложено выше.
В лучевых
скоростях
эллипсоидальное распределение скоростей проявляется
тем, что средине лучевые скорости за вычетом компонента движения Солнца
оказываются заметно больше в направлениях большой оси эллипсоида скоростей.
Сделав допущение, что звезды обращаются вокруг центра таким образом,
что центробежная сила в точности равна силе притяжения к этому центру,'
молено вывести некоторую закономерность распределения лучевых скоростей'.
В среднем они должны быть в определенных направлениях положительными,
а в других направлениях отрицательными. Лучевые скорости должны при этом
изменяться с галактической долготой пропорционально sin 2 (А — >.0), где А0 —
галактическая долгота направления к центру системы.
Амплитуда изменений
пропорциональна среднему расстоянию рассматриваемых звезд. Несмотря на то,
что для ближайших звезд амплитуда мала, этот эффект удалось отчетливо обна-
ружить путем наблюдений.
В распределении наблюденных лучевых скоростей наряду с уже указанными
общими их особенностями наблюдается еще и следующая: средние значения
лучевых скоростей (за вычетом компонента скорости Солнца) звезд определенных
спектральных классов оказываются не в точности равными нулю, но имеющими
некоторое положительное значение. Это ярлеиие обычно называется /С-эффектом.
Для звезд класса В упомянутое среднее значение /<-= + 4,9 км/сек,
для звезд
класса А /<"=+1,7 км/сек.
Для звезд остальных спектральных классов вели-
чина К составляет лишь доли одного километра в секунду. Должен ли А-эффект
рассматриваться действительно как следствие центробежных движений згезд,
принадлежащих к определенным спектральным классам, или же причины смещения
спектральных линий следует искать в физических условиях, господствующих
в атмосферах соответствующих звезд, в настоящее время еще неясно.
Быть
может некоторые звезды класса В обладают столь огромными массами, что
заметную роль приобретает красное смещение, предусматриваемое теорией отно-
сительности (см. § 247). Центробежные движения описанного рода не могут быть
уложены в рамки явлений, объяснимых с точки зрения одной лишь теории вра-
щения системы Млечного Пути.
В заключение упомянем, что исследования вращения галактической систе-
мы вокруг оси, перпен шкулярной к плоскости Млечного Пути, произведенные
в связи с исследованием постоянной прецессии, дали положительный результат
(см. стр. 274).
J
Различия скоростей, перпендикулярных к плоскости Галактики у звезд раз-
личных спектральных классов, находятся в непосредственной связи с неодинаковой
их галактической концентрацией: например небольшим скоростям звезд классов
В и А соответствует большая галактическая концентрация в силу того, что
амплитуды маятникообразных колебаний этих звезд в направлении, перпендику-
лярном к плоскости Галактики, у них меньше. Совершенно аналогичным образом
галактическая концентрация шарообразных звездных скоплений, короткопериоди-
ческих цефеид и долгопериодических переменных класса Me незначительна
вследствие того, что рассеяние скоростей этих объектов относительно весь-
ма велико.
Система шарообразных звездных скоплений, поводимому, не принимает участия
в общем вращении. Это дает возможность из лучевых скоростей шарообразных
звездных скоплений вывести скорость движения Солнца в пространстве. Однако
определение этой скорости не является точным по следующим двум причинам:
во-первых, потому, что большинство шарообразных звездных скоплений сгруппи-
ровано по направлению к центру, благодаря чему они при вращении около него
ае обнаруживают значительных лучевых скоростей; во-вторых, потому, что ско-
рости собственных движений шарообразных звездных скоплений весьма велики.
§ 319. Динамика галактической системы. Согласно гипотезе вращения Галак-
тика является системой, существующей продолжительное время. Случайные же
скопления, наоборот, постепенно рассеиваются в силу того, что вращение Галактики
не происходит подобно вращению единого твердого тела. Такой характер вра-
щения был бы возможен лишь в том случае, если бы сила притяжения к центру
была пропорциональна расстоянию от него; в действительности же сила при-
тяжения,
повидимому, убывает с увеличением расстояния,
вследствие
чего
обращения звезд вокруг центра Галактики приобретают сходство с обращениями
планет вокруг Солнца. Это имеет своим следствием то, что, например, облака
Млечного Пути, а также, в частности, и скопления звезд в окрестностях. Солнца
постепенно рассеиваются, в то время как система Млечного Пути как целое
продолжает свое существование.
Существует и противоположное мнение, согласно которому облака Млечного
Пути рассматриваются как устойчивые системы, аналогичные туманностям (см.
стр. 494). В случае принятия этого взгляда нужно будет попытаться истолковать
явления движений в Галактике иным образом. Увеличение материала наблюдений,
повидимому, позволит решить, которое из этих двух мнений является правильным.
§ 320. Движения, происходящие в метагалактическоіі системе. Как уже
было упомянуто, размеры объектов,
образующих метагалактическую систему,
относительно велики по сравнению с расстояниями, разделяющими соседние
системы. Силы тяготения, действующие между соседними системами, должны
оказывать сильное влияние на . движение, происходящее в метагалактической
системе. О характере этих движений мы из наблюдений знаем лишь очень мало.
Нам известны лучевые скорости некоторого количества внегалактических туман-
ностей; они велики, обладая порядком величин от 1000 до 10 000 км/сек.
Все
наиболее ісрѵпные лучевые скорости положительны, т. е. соответствуют движениям,
направленным прочь от галактической системы.
Лучевые скорости возрастают
приблизительно пропорционально расстоянию от наблюдателя.
В том случае,
если окажется, что наблюдаемые смещения спектральных линий действительно
должны быть отнесены за счет такого рода быстрых движений, придется думать,
что мы имеем дело с мощным всеобщим „расширением Вселенной".
Скорость
расширения настолько велика, что Вселенная примерно 10я
„или 1010 лет назад
• должна была бы выглядеть совершенно иначе, чем теперь.
Наиболее простое объяснение „расширения Вселенной" состоит в том, что
'мы
имеем дело с системой, находящейся в стадии рассеяния, в которой наиболее
быстро движущиеся объекты достигли наибольших расстояний от центра.
Более
подробный анализ господствующих при этом условий требует рассмотрения
вопроса о природе сил, действующих между туманностями. Это оказалось воз-
можным произвести на основе общей теории относительности, причем, однако,
до настоящего времени еще не удалось получить однозначных результатов 1).
ПРОБЛЕМЫ КОСМОГОНИИ
§321. Шкала времени. Эволюция звезд. В предыдущих разделах мы зани-
мались рассмотрением вопросов, относящихся к строению отдельных звезд и всего
Мироздания в целом, в том виде, в котором они находятся в настоящее время.
В полной мере соответствует природе вещей то положение, что вопросы об
истории развития и о грядущем звезд и звездных систем представляют гораздо
большие трудности и что ответы, которые могут быть даны на эти вопросы,
носят гораздо более неопределенный характер.
i) Последовательнее математическое развитие идеи о
. расширении Вселенной''
приводит к совершенно недопустимым выводам, в корне противоречащим материалисти-
ческому представлению о Вселенном. Считая скорость удаления внегалактических туман-
ностей реальной. можно вычислить, что
. радиус Вселенной" должен был бы удваиваться
через каждые полтора миллиарда лет. Этот период времени меньше возраста земной
юры. Полтора миллиарда лет назад Вссленпля должна была бы находиться в некотором
исходном состоянии", имея наименьший объем, который она вообще могла иметь. Совер-
шенно непонятно, что же в таком случае она должна была представлять собой еще раньше.—
Прим. перев.
Для начала мы можем поставить вопрос о том, сколь долгий период времени
должен миновать, прежде чем звезды и звездные системы претерпят
заметные
изменении.
Надежной исходной точкой для подобного рода рассуждений является возраст
земной коры, который удалось определить из пропорций смещения радиоактивных
элементов и продуктов их распада в минералах.
Этот возраст составляет около
2-10° лет, а следовательно, Солнце и солнечная система, во всяком случае
существовали 2 • 109 лет назад, но возраст нх может быть и гораздо больше.
Дальнейшие опорные точки мы получаем посредством применения к Солнцу
и к звездам закона сохранения энергии.
Общая энергия, имеющаяся в звездах, составляется из следующих видов энер-
гии: 1) из энергии JJ-C2, соответствующей покоящейся массе элементарных частиц —
протонов и электронов (где р. —
покоящаяся масса, а с — скорость света), 2) из
энергии взаимодействия элементарных частиц, образующих атомное ядро, 3) из
энергии, соответствующей электромагнитным силам, действующим между атомными
ядрами и электронами, находящимися вне атомных ядер, 4) из энергии, соответ-
ствующей силам тяготения, действующим между всеми частицами звезды, 5) из
энергии, соответствующей скоростям движений частиц, 6) из энергии, соответствую-
щей наличию в звезде световых квантов.
Сумма всех этих энергий, деленная на квадрат скорости света, равна массе,
звезды. Энергией, значительно превосходящей все остальные, является энергия,
соответствующая покоящимся массам, названная в пункте 1. Второй по величине
является внутриатомная энергия, названная в пункте 2; по порядку своей вели-
чины она в 100 раз меньше названной в пункте 1. Наконец, гораздо меньшими
энергиями по сравнению с названными в пунктах 1 и 2 являются энергии электро-
магнитная, гравитационная, кинетическая и лучистая (пункты 3, 4, 5 и 6).
Энергии 1 и 2 отличаются от энергий 3, 4, 5 и 6 тем, что они независимы
от строения звезды. Энергии 3, 4, 5 и б, как это легко понять,
изменяются
в зависимости от строения звезды; так, например, они изменяются, когда звезда
сжимается.
Из наблюдений мы знаем, сколько энергии излучают Солнце и звезды
в секунду. Сравнив эту энергию с общими запасами энергии Солнца и звезд,
мы тем самым получаем исходную точку для суждений о возможном возрасте
Солнца и звезд.
В качестве примера возьмем Солнце. Масса Солнца равна 2,0 • 1033 г. Эгой
величине соответствует общий запас энергии в 2,0 • 1033 • с2 = 1,8 • 10е4 эрг.
Излучение Солнца равно 3,8 • 1038 эрг/сек. Так как год содержит 3,16 • 10" сек.,
то годовой расход энергии Солнца, следовательно, составляет 1,2 • 1 О*1 эрг.
За срок 1012 лет расход ее достигнет 1,2 • 10й эрг, т. е. около 7% общего
запаса энергии Солнца. Отсюда мы заключаем, что за период времени в 1012 лет
Солнце во всяком случае должно было заметно измениться.
Однако заметное изменение могло произойти и в течение гораздо более
короткого периода времени. Для начала допустим, что энергия покоящихся масс
и внутриатомная энергия остаются неизменными. Энергии 3, 5 и 6 составляют
на Солнце в совокупности примерно * 5 • 1048 эрг; на протяжении всего лишь
107 лет излучение Солнца составит 1,2. Ю48, т. е. свыше 20% суммы этііх
энергий. Гравитационная энергия Солнца изменяется при изменении радиуса
Солнца. Изменению в 1,2 • 1048 эрг соответствует изменение радиуса примерно
на 20%. Мы видим, что Солнце должно было заметным образом измениться
в течение сравнительно короткого периода времени, в 107 лет, если энергия
покоящихся масс и внутриатомная энергия в течение этого времени оставались
неизменными.
Следовательно, если потеря энергии звезды посредством излучения ее в про-
странстве происходит исключительно за счет энергий 3, 4, 5 и 6, то звезда будет
изменяться сравнительно быстро, а именно, потеря энергии будет обусловли-
вать собой сжатие звезды. Сделав вышеуказанное
предположение,
удалось
вычислить время, которое должно было пройти для того, чтобы Солнце из чрез-
вычайно разреженного газа могло сжаться в современное его состояние. Вычис-
ленный таким образом возраст Солнца равен приблизительно 20 млн. лет.
Однако столь малый возраст несовместим с ранее указанным возрастом земной
коры. Вследствие этого мы приходим к выводу, что потеря энергии посредством
излучения должна частично происходить за счет энергии покоящихся масс или
внутриатомной энергии, или за счет их обеих одновременно.
Для некоторых цефеид удалось непосредственно доказать, что изменение
энергий 3, 4, 5 и 6 должно быть гораздо меньше, чем излучение. С помощью
уравнения (1) на стр. 455, связывающего период и плотность цефеиды, мы можем
из годовых изменений периода и плотности вычислить также и сжатие и расши-
рение, а отсюда и годичные изменения энергий 3, 4, 5 и 6. У исследованных
цефеид вычисленные изменения в действительности оказались гораздо меньше
излучений. Так, например, у 6 Цефея изменения энергий 3, 4, 5 и 6 составляют
1 °/0 излучения.
Для того чтобы звезда могла оставаться неизменной в продолжение длитель-
ных периодов времени (> 10в лет), потеря энергии, происходящая путем убыли
покоящихся масс или внутриатомной энергии, должна быть равна или почти
равна излучению. Этот случай был рассмотрен в §211. В качестве важнейшего
вывода мы тогда нашли, что в таком случае радиус, светимость и все строение
звезды будут зависеть лишь от ее массы и химического состава. В § 275 мы
сравнили этот вывод с результатами наблюдений и обнаружили при этом совпа-
дение теории с результатами наблюдений.
Для начала мы допустим, что энергия покоящейся массы остается неизменной,
вследствие чего ежесекундное излучение равно ежесекундному уменьшению
внутриатомной энергии, и проследим следствия, вытекающие из этого допущения.
Изменения общей внутриатомной энергии возможны лишь в результате изме-
нений атомных ядер, т. е . в результате превращения одних химических элементов
в другие. Такие превращения нам известны в радиоактивных процессах. Однако
радиоактивных процессов оказывается недостаточно для объяснения убыли внутри-
атомной энергии; напротив, содержание на Солнце и на звездах радиоактивных
элементов, как в атмосферах этих светил, так, повидимому, и в их недрах, крайне
мало. Если бы мы тем не менее попытались допустить, что излучение равно
энергии, теряемой радиоактивными атомными ядрами, то мы пришли бы к выво-
дам, противоречащим результатам наблюдений. А именно, если в звезде излучение
будет лишь немного
превышать потерю энергии атомами, то звезда будет сжи-
маться; на радиоактивные процессы это не окажет влияния, но излучение, как
это показывает теория, будет увеличиваться,
а звезда, следовательно, будет
сжиматься все быстрее и быстрее. Мы видим, что подобного рода „радиоактивная"
звезда была бы неустойчивой. Для избежания подобных противоречий мы должны
допустить, что превращения элементов вызываются действием внешних сил,
например, столкновениями частиц. Как показывает вышеприведенный пример, эти
противоречия являются следствием нашего предположения о том, что скорости
этих превращений элементов независимы от внешних сил, т. е . независимы
от внутреннего строения звезды. Для того* чтобы звезда могла оставаться устой-
чивой, скорость превращений химических элементов, а вместе с тем и убыль
внутриатомной энергии в единицу времени должны при сжатии звезды возрастать
сильнее, чем ее излучение.
Как теория, так и лабораторные опыты показывают, что на атомные ядра
могут оказывать влияние лишь столкновения с частицами, обладающими очень
большими энергиями. Элементы, обладающие малыми ядерными зарядами, соста-
вляют в этом отношении исключение. Однако такие элементы, за исключением
гелия, встречаются в звездах лишь в чрезвычайно малых количествах, а ядро
гелия (а-частица) устойчиво, несмотря на малый свой заряд, В силу этого не при-
ходится предполагать, чтобы в нормальных условиях, господствующих на Солнце
и на звездах, атомные ядра вообще были бы подвержены каким-либо влияниям;
для этого температуры порядка 20 млн. градусов слишком низки. Этот факт
послужил основой для создания теории, рассмотренной на сгр. 290. Согласно
этой теории, в недрах звезды около ее центра имеется сверхплотное ядро,
в котором энергии частиц настолько велики, что на содержащиеся в нем атомные
ядра столкновения частиц могут оказывать влияния.
Наибольшие изменения внутриатомной энергии происходят при синтезе хими-
ческих элементов, когда протон захватывается атомным ядром. На Солнце
наибольшая возможная потеря внутриатомной энергии достаточна для покрытия
расхода энергии путем излучения в течение примерно 1011 лет.
Вследствие того, что масса, соответствующая внутриатомной энергии, соста-
вляет лишь весьма малую долю общей массы, согласно рассмотренному допу-
щению, возможная потеря массы путем излучения практически является несуще-
ственной. Если же мы допустим возможность убыли покоящейся массы, например
посредством взаимного уничтожения протонов и электронов, при котором соот-
ветствующая энергия переходит в лучистую, то мы приходим к выводу, что
масса звезды может значительно уменьшаться (например до одной десятой перво-
начальной своей величины или до еще меньшей доли). Продолжительность суще-
ствования звезды тем самым значительно удлиняется (см. числовой пример
на стр. 501). Возможно, что подобного рода процессы могут происходить в
исключительных условиях, господствующих в сверхплотном ядре звезды.
Все вышеприведенные рассуждения основываются на законе сохранения энер-
гии. Следует, однако, заметить, что существует возможность того, что в сверх-
плотном ядре звезды этот закон теряет силу.
Эволюцию звезды возможно представлять себе следующим образом. Сначала
звезда сжимается из весьма обширной, сильно разреженной газовой массы; сжатие
продолжается вследствие того, что при сравнительно низких
температурах
покоящаяся масса и внутриатомная энергия остаются неизменными. Сжатие про-
должается до тех пор, пока (вероятно, катастрофическим путем) не образуется
переуплотненное (езерхплотиое) ядро. Поело этого звезда расширяется вплоть
до того, пока излучение не сделается равным энергии, отдаваемой сверхплотным
ядром. Эта первая стадия эволюции длится лишь незначительную часть общей
продолжительности жизни звезды. В это время звезда достигает в диаграмме
Ресселла того положения, которое соответствует ее массе и ее химическому
составу. Дальнейшая эволюция становится возможной в том случае, если изме-
няются масса или химический состав звезды или то и другое одновременно.
Возможности такого рода уже были нами рассмотрены.
Белые карлики, может быть, представляют собой звезды, у которых убыль
внутриатомной энергии сравнялась с убылью энергии посредством излучения
до образования сверхплотного ядра (см. стр. 409).
Вопрос о том, почему преобладающее большинство звезд обладает массами,
меньшими утроенной массы Солнца, и почему почти не встречается звезд с массами,
превосходящими в 50 раз массу Солнца, до настоящего времени еще не выяснен.
Может быть лучевое давление в очень массивных звездах является — или являлось
в одной из предшествующих стадий эволюции — настолько
большим (см.
стр. 286), что эти звезды сделались неустойчивыми. Относительно причины
равномерного распределения химических элементов нам неизвестно почти совер-
шенно ничего.
Космогония звездных систем выдвигает ряд проблем, в большинстве случаев
еще не разрешенных. Принципиально важным при этом является то положение,
что совершенно случайное распределение звезд и равномерное распределение
кинетической энергии являются признаками большого возраста, потому что то
ц другое могло образоваться лишь путем тесных сближений звезд, происходивших
в продолжение долгих периодов времени (см. стр. 496). Согласно этому критерию
возраст Млечного Пути не может быть чрезмерно большим.
Об образовании солнечной системы было сказано на стр. 332 . Здесь же мы
добавим к сказанному лишь то, что по поводу этой проблемы существуют еле-
дующие два мнения: или планеты и кометы могли в ранней стадии эволюции
образоваться из той же разреженной массы, как и Солнце, как своего ролл
остатки ее. Или же в последующей стадии эволюции, когда Солнце уже при-
обрело строение, аналогичное современному, от него мог произойти отрыв мате-
риальных масс под действием мощных приливных сил во время близкого прохо-
ждения другой звезды; из этих оторвавшихся масс и образовались планеты.
Вследствие редкости такого рода близких прохождений двух звезд одной около
другой число солнечных систем, образованных последним из описанных способов,
может быть лишь весьма незначительно.
Двойные и кратные звезды встречаются во Вселенной настолько часто, что
о близких прохождениях звезд одной около другой, как о причинах образования
двойных звезд, не может быть и речи. Мы можем или предполагать одно-
временное их образование из одной обширной массы или представлять себе, что
одиночная звезда (например, вследствие относительно быстрого вращения, разде-
лилась на две звезды). В случае наличия далеких друг от друга компонентов
более вероятной является первая возможность, в случае же тесных двойных
звезд более вероятным, может быть, является вторая возможность.
Иные космогонические проблемы встают, если мы пожелаем создать, картину
Вселенной в более ранних стадиях ее эволюции, чем те, которые были рас-
смотрены до сих пор. Наконец, возможно попытаться сделать некоторые выводы
о сколь угодно отдаленном будущем Вселенной. Однако этих вопросов мы здесь
рассматривать не будем.
в
ПРИЛОЖЕНИЯ
На последующих страницах мы приведем некоторые формулы, числовые при-
меры, таблицы и диаграммы, а также рассмотрим подробнее отдельные вопросы,
которых мы лишь вкратце коснулись в тексте книги с тем, чтобы не слишком
загружать частностями изложение нашего предмета.
1. ФОРМУЛЫ И МЕТОДЫ
Разложение в ряд sin л: и COSA:.
cos х—1
1-2 .3
1
1«2•3-4•5
х- j•
x*
1-2
'
1-2.3-4
Некоторые формулы и теоремы из теории ошибок. В последующем изло-
жении мы будем пользоваться квадратными скобками [ ] в качестве знака сум-
мирования.
Среднее арифметическое
некоторого числа значений,-
полученных из наблю- .
дений, представляет
собой вероятнейиіее значение искомой величины.
Если при
наблюдениях получен ряд значений аѵ а.,, я,,,...,
ап для одной и той же вели-
чины x и если полученные значения имеют один и тот же вес, то в таком случае
вероятнейшее значение искомой величины равно среднему арифметическому M
из всех значений, полученных при наблюдениях, т. е.
m=
__
]£]_
m
п
п'
t'
Если же наблюдения имеют различный вес, то тогда вероятнейшее значение
искомой величины равно
(2)
где р — вес отдельного наблюдения.
Среднее арифметическое и основа способа наименьших квадратов. Вычислим
по формуле (1) среднее арифметическое ряда значений, полученных при наблю-
дениях; возьмем затем разности между каждым отдельным значением и средним
арифметическим. Эти разности называются остаточными
уклонениями;
обозначая
их буквой v, мы будем иметь
Я]—m
=
fj,
ап—м
=
ѵо,
а „—m
•=•»„ .
Сложив уравнения (3), находим
[я] — пМ— [и],
откуда, на основании формулы (1), получаем
[v]=0;
(4)
это значит, что сумма остаточных уклонений должна быть равна нулю.
Другую весьма важную теорему, имеющую отношение к среднему арифмети-
ческому, мы получаем следующим образом. Обозначим, как и прежде, через х
неизвестное значение величины, которую мы хотим получить из наблюдений.
Примем значение этой неизвестной величины равным некоторому числу х0 и обра-
зуем разности между различными значениями величины х, полученными из наблю-
дений, и величиной
Эти разности мы тоже называем остаточными уклоне-
ниями. Обозначив полученные разности буквой ѵ, мы получим
«1
х
о=
'«11
«з—
х
о=
ап—
х0= ѵп
(5)
где ѵи ѵ2,...
будут иметь, конечно, более общее значение, чем в формуле (3).
Составим выражение для суммы квадратов
остаточных
уклонений,
т. е.
К«-*о)2].
(6)
Мы можем доказать, что среднее арифметическое представляет собой такое
значение х, при котором сумма квадратов [(а—л:0)2] примет меньшее значение,
чем при любом ином значении для определяемой нами величины; следовательно,
значением искомой величины нужно считать такое, при котором сумма
квадра-
тов остаточных уклонений приобретает
минимальное значение. Доказать эту
теорему можно следующим образом: как известно, для того чтобы данная
функция имела минимум, необходимо, чтобы первая производная ее превращалась
в нуль, т. е.
si [(«-* о)21 = 0
откуда получаем
[2(а-*0)] = 2[а-*0] = 0,
[а]—пх0= 0,
*0—
п.
последнее выражение и представляет собой среднее арифметическое; таким образом
теорема наша доказана.
Решение системы уравнений со многими неизвестными, причем число
уравнений больше числа неизвестных. Способ наименьших квадратов. Если
нам нужно найти значения некоторых величин, связанных между собой изве-
стными соотношениями, и если при этом мы произведем количество наблюдений,
значительно большее количества определяемых неизвестных, то тогда на практике
нашу задачу можно будет свести к следующей. Обозначим искомые значения
величин через х, у, z,...,
а значения их, полученные из наблюдений (число
наблюдений равно q), через «j, и.,,
...,
nq; обозначим через аѵ
а2,..а„,
Ьѵ
b2, •..,
bq известные числовые величины, входящие в наши соотношения. Допу-
стим, что мы можем составить следующие линейные уравнения, в которых для
простоты ограничимся четырьмя неизвестными:
«i*+ Ьху+
dxt=nv
«2* л~
ь
2у-\- «а*+ dj = пг,
(7)
аg*+V+
+dat= nr
Такие уравнения называются условными
уравнениями.
Дадим неизвестным х, у, z, t определенные значения д;0, у0, z0, t0. Подставим
эти значения в систему уравнений (7). Если принятые нами значения для неизве-
стных близки к истинным, то левые части наших уравнений будут близки по своим
значениям к nlt л.2, ...,
nq. Обозначим уклонения от действительных значений
через ѵу, ѵ2,...,
vq. Принимая распределение знаков -f - и
— , как в формуле (3),
нанишеы следующие равенства:
«і*о + ь\уо +
+ da—
"і=
—
«i»
«а*о+ ьгУо+ сз
г
о+ d2t0—п2 =—ѵ2,
«8*о+ Ѵо"f
с
аго+dgt0—nq=
—
vq.
(8)
Принцип, согласно которому мы будем решать нашу задачу, представляет
собой основу способа наименьших
квадратов:
подыщем такую систему значений
для неизвестных, при которой сумма квадратов уклонений представляет собой
минимум, т. е.
[г/2] или, как иначе пишут, [•ѵѵ] = шіп.
Подробное изложение этого принципа следует искать в специальной литера-
туре J). Здесь же мы примем без доказательства следующее предложение: значе-
ния неизвестных, вычисленные при помощи способа наименьших квадратов, будут
наиболее вероятными из всех значений для этих неизвестных, полученных на осно-
вании всего наблюдательного материала.
Вычисление неизвестных по способу наименьших квадратов производят сле-
дующим образом:
Возводя в квадрат и складывая равенства (8), мы получаем
[ѵѵ] = [(ах -\ -by-\ -cz-\ -dt—л)2].
(9)
Для того чтобы [г/и] = min, необходимо, чтобы были удовлетворены такие
условия:
dM_л•
d\vy\_ n
dx—
~dT —U
'
d\vv\ _Q
dy
Ф1_п
dt—
(10)
Рассмотрим сперва первое из уравнений (10); оно может быть представлено
в следующем виде:
Ѵ^р-
=
[2а(ах -{- by-\ -cz-\ - dt— л)] =
=
2{[аа]X+ [ab]у+ [ас]z-f [ad]t—[an]}= О,
где множитель 2, конечно, может быть отброшен.
,
) См. например, в кипге А. С. Чеботарева,
. Способ наименьших квадратов с основами
теории вероятностей", 3-е изд., ОНТИ, М.— Л ., 1936. — Прим. персе.
ч
Если мы развернем таким же образом и остальные уравнения (10), то по-
лучим следующую систему:
[aa]X+[ab]у+[ас]z+
[ad] t=
[an],
[ab]x-\ -[bb]
y
[be] z-\- [bd.] t=
[bit],
[ac] X + [£c]
+
[ce]z+ [cd]t= [c/t],
(
)
[ad] x-\ -[bd]y
+
[cd]z-\ -[dd\t
=
[dn].
Эти уравнения называются нормальными
уравнениями.
Система нормальных
уравнений получена согласно принципу, положенному в основу способа наимень-
ших квадратов. Система заключает в себе столько уравнений, сколько неизвестных
нам нужно определить при решении поставленного перед нами вопроса; решив
систему нормальных уравнений хотя бы приемами, известными из элементарной
алгебрыJ), мы получим для неизвестных наиболее вероятные значения из всех
значений, получаемых нами из соответствующего материала, даваемого наблю-
дениями.
(Легко показать, что если первоначальные уравнения имеют различные Becâ
plt
р2,
...,
то нужно каждое уравнение сперва умножить на квадратный корень
из соответствующего значения для веса уравнений, а потом уже составлять нор-
мальные уравнения.)
Начала теории ошибок. Систематические и случайные ошибки. Когда мы
вычисляем, на основании формул (1) и (2), среднее арифметическое некоторого
числа данных, полученных из наблюдений, причем принимаем или не принимаем
во внимание их веса, или когда по системе уравнений (7), составленной на осно-
вании способа наименьших квадратов, находим значения для одной или несколь-
ких неизвестных величии, то тогда перед нами возникает вопрос, насколько велика
неточность
этих определений. Вопросом, с какой неточностью или, наоборот,
с какой точностью определяются из наблюдений искомые величины, занимается
специальный отдел математики, который называется теорией
ошибок,
потому что
в этот отдел входят исследования ошибок, которым подвержены
наблюдения.
На следующих страницах будут изложены основные начала теории ошибок.
Ошибки, происходящие при наблюдениях, мы разделяем на два совершенно
различных вида: на систематические
и па случайные
ошибки.
Систематическими
ошибками
наблюдений называют такие ошибки в значе-
ниях величин, получившихся из наблюдений, которые подчиняются некоторым
определенным законам или о которых можно предполагать, что они подчиняются
некоторой закономерности; отдельные наблюдения могут быть освобождены от
систематических ошибок, если удастся установить математическим или вычисли-
тельным путем, каким законам они подчиняются.
Примеры.
1) Влияние рефракции на координаты светил можно считать систе-
матической ошибкой результатов наблюдений и ее можно принять во внимание,
если окажется необходимым сравнить наблюдения, произведенные на различной
высоте. 2) Постоянная разница между оценкой двумя наблюдателями
момента
прохождения звезды через нити микрометра может быть определена при помощи
соответствующих приемов наблюдений, а затем в результаты наблюдений можно
ввести необходимые поправки.
Случайными
ошибками
наблюдений называются ошибки, происходящие
по
таким причинам, которые нельзя было заранее предусмотреть и устранить: они
влияют в разных направлениях на результаты наблюдений; в известной
степени
исключить их влияние можно только при обработке значительного количества
вычислительного материала.
i) Систему нормальных уравнений обыкновенно решают способом Гаусса, т.'е, методом
последовательного исключения неизвестных. Так как способ Гаусса в чистом виде для
большого числа уравнений слишком кропотлив, то на практике стараются применять
различные сокращенные методы. —
Прим.
перев.
Пример. Вследствие неспокойного состояния атмосферы изображения звезд,
при наблюдениях их в трубу, колеблются. Ошибки, происходящие при опреде-
лении их положения, могут быть в значительной степени уменьшены,-если про-
делать большое число наблюдений и затем взять их среднее арифметическое.
В дальнейшем изложении мы не будем касаться систематических ошибок. Мы
будем предполагать, что все произведенные наблюдения уже исправлены от
систематических ошибок и поэтому они заключают в себе только случайные
ошибки.
Основной закон случайных ошибок (закон Гаусса). Говоря о случайных
ошибках, мы должны иметь в виду, что каждая из этих ошибок, взятая в отдель-
ности, не подчиняется никакому закону, но в общей своей совокупности эти
ошибки, как показывает опыт, подчиняются известной закономерности.
Отметим сперва две весьма
важные особенности,
замеча-
емые при исследовании значи-
тельного ряда наблюдений.
1. Положительные и отри-
цательные случайные ошибки
повторяются одинаково часто.
2. Небольшие
случайные
ошибки
встречаются
чаще,
чем крупные ошибки.
Можно показать, что повто -
ряемость
случайных
ошибок
различной
величины
может
быть выражена при помощи
определенного математическо-
го закона.
На фиг. 190 мы видим две кривые. Обозначим через А численные величины
случайных ошибок и отложим их по оси абсцисс; вправо — ошибки с положи-
тельным знаком, а влево —ошибки с отрицательным знаком.
Обе кривые пред-
ставляют собой распределение случайных ошибок двух рядов наблюдений раз-
личного качества, причем площадь, образуемая осью абсцисс, данной
кривой
и ординатами ух и у2,
соответствующими величине ошибок А, и А„, дает нам
представление о распределении (о числе) случайных ошибок. Из чертежа видно,
что кривая, обозначенная буквой hu соответствует хорошему наблюдательному
материалу: большие (положительные и отрицательные) ошибки встречаются редко,
малые ошибки (положительные и отрицательные) встречаются часто. Кривая,
обозначенная
буквой h2,
соответствует худшему наблюдательному
материалу:
большие ошибки встречаются чаше, а малые реже, чем* в первом случае.
Примем раз навсегда общее число ошибок в ряде наблюдений за единицу
(т. е . всю площадь между осью абсцисс и соответствующей кривой); в таком
случае в дальнейшем нам только придется все соответствующие числа умножать
на действительное число наблюдений N.
Согласно сказанному выше, чертеж, изображенный на фиг. 190, можно объяснить
таким образом: площадь у dA определяет число ошибок данного ряда наблю-
дений, которые расположены между пределами А и A -f dA. Число ошибок между
пределами ах и а2 может быть выражено интегралом
Фиг. 190.
"j
fУ dà.
(12)
в котором у есть функция А, т. е . у = <?(Д). Если строить кривую ошибок на
основании материала, собранного из действительно произведенных наблюдений
(т. е. при конечном числе произведенных наблюдений), то на самом деле непре-
рывной плавной кривой линии не получилось бы, а получилась бы ломаная линия.
Чем больше число наблюдений, на основании которых строят кривую, тем ближе
она подходит к плавной кривой при правильном выборе функции.
Согласно принятому выше предложению, что площадь, выражающая число;
ошибок, равна единице, имеем
+СО
+СО
J у dA= jf <р(Д)dA= 1.
(13)
—
СО
_
со
Исследование обширного материала типических рядов наблюдений, из которых
исключены систематические ошибки, показало, что с данными опыта хорошо согла-
суется закон ошибок, выраженный следующей формулой:
здесь h—постоянная
величина, которая характеризует доброкачественность соот-
ветствующего ряда наблюдений (см. фиг. 190, где /г, представляет большое, a h2 —
малое значение величины h). Величину h называют мерой точности
наблюдений.
Закон, выраженный формулой (14), представляет собой типический закон
или
закон ошибок Гаусса. Рассматривая выражение (14), можно убедиться в том, что
закон ошибок Гаусса заключает в себе оба приведенных выше важных закона о
том, как часто повторяются в наблюдениях ошибки различной величины с поло-
жительным и отрицательным знаком.
Сравнение
закона ошибок Гаусса с данными опыта. Таблица интеграла
ошибок. Из вышеизложенного [см. фиг. 190 и формулу (14)] видно, как надо
вычислять теоретическое число ошибок, заключающихся между некоторыми пре-
делами.
Если, например, мы хотим вычислить число ошибок В, которые согласно
закону Гаусса должны находиться в пределах между —а и -4 - а, то в таком
случае имеем
'
С")
—
а
Подставив в этот интеграл ЛД = /, преобразуем его в следующий:.
+ha
4. 7ю
b=~w5 e~"
dt=tî $ '-"о*-
о«
—
йа
'О
На стр. 567 приведена таблица интеграла
- kse"'dl
-
m
'
о
вычисленная по аргументу х.
Если нам нужно вычислить для некоторого ряда наблюдений число ошибок,
которые согласно теории должны располагаться в пределах между
аи4-а,
то нам необходимо знать соответствующее значение величины h для этого наблю-'
дательного материала [в дальнейшем мы покажем, как вычисляется h непосред-
ственно из наблюдений, см. формулы (22') и (21)]. Из таблицы для интеграла (17)
мы подбираем по аргументу ha соответствующее значение числа ошибок В.
Умножив найденное нами число на количество наблюдений N, мы получаем
теоретическое значение числа ошибок, величина которых заключена в пределах
от —«до -( -о; эту величину мы можем сравнить с числом ошибок, подсчи-
танных непосредственно по материалу наблюдений (см. ниже).
Средняя ошибка. Мы уже видели, как применяется понятие суммы
квадратов
ошибок
в методе наименьших квадратов: искомая величина или искомые величины
должны быть таковы, чтобы сумма квадратов ошибок была меньшей, чем при
всяком другом значении для искомой величины (или для всякой иной системы
искомых величин).
Дадим теперь определение нового понятия: средней ошибки е отдельного
наблюдения, которую мы выразим при помощи следующей формулы:
(18)
где Д — истинная ошибка отдельного наблюдения, а N—число наблюдений, так
что квадрат средней ошибки равен среднему арифметическому
из
квадратов
истинных ошибок произведенных
наблюдений.
Применяя метод непрерывности в исследовании ошибок, мы определяем сред-
нюю ошибку при помощи следующей формулы:
S=
=W
(19)
—
СО
A4
h — Й'А*-
где дл
—
квадрат отдельной истинной ошибки, а——г«
—
число ошибок, вели-
у71
чина которых заключена в пределах от Д до Д+dA. (Собственно говоря, выра-
жение, стоящее в правой части формулы, нужно было бы разделить на полное
число ошибок, т. е . на
-èrl'-TM^.
—со
но, как известно, это число согласно нашему определению равно единице.)
Соотношение между средней ошибкой (г) и мерой точности (Л). Фор-
мула (19) позволяет нам вывести соотношение между средней ошибкой ряда
наблюдений и величиной А, характеризующей качество наблюдательного материала.
Мы воспользуемся такой же подстановкой, как и раньше АД = /, и вместо
формулы (19) получим
wyï s e~t,fidl
w
o2.
Интеграл в выражении (20) равен
в силу чего мы находим
ва—
2А»
откуда получаем
h=lk; '
4
(21)
из этого уравнения можно определить h, если известно значение е.
Вычисление средней ошибки (а) на основании произведенных наблюдений.
Вычисляем среднее арифметическое M на основании полученных из наблюдений
значений искомой величины аѵ а2, с3, ...,; образуем затем уклонения от сред-
него арифметического, т. е . разности: ах — M, а2 — М,ай — М,...
Обозначим эти
уклонения ог среднего арифметического через vlt ѵ.„
ѵй,
...
При определении
понятия средней ошибки мы исходили из истинных ошибок Д„ Д2, Д3, ... Укло-
нения же вычисляются при помощи чисел,' полученных непосредственно из наблю-
дений. Возникает вопрос, в каком же отношении находятся между собой истин-
ные ошибки наблюдений (Д„ Д2, Д3, ...) и уклонения от среднего значения
(®і, V2, %...)? Мы считаем, что среднее арифметическое представляет собой
вероятнейшее значение искомой величины, вычисленное на основании материала,
полученного из наблюдений, но вовсе не является его истинным значением. Истин-
ного значения искомой величины мы, вообще говоря, не знаем, а следовательно,
не знаем и истинных ошибок наблюдений. Если наблюдения произведены хорошо,
то среднее арифметическое из ни* весьма близко .к истинной величине, но-все
же не равно ей. Таким образом истинные ошибки наблюдений не равны укло-
нениям от среднего арифметического, хотя при хороших наблюдениях очень мало
от них отличаются. Если мы определим среднюю ошибку формулой
.
-
(18)
то очевидно, что нам нельзя будет вычислить величину средней ошибки, так как
значения истинных ошибок (Дх, Д2, Д3, . .) остаются нам неизвестными. Но мы можем
предположить, что формула
rf—M.
(22)
весьма близка к истине и лаже что формула (19) дает несколько меньшую
вели-
чину для е, потому что, согласно нашему определению, [ѵѵ] меньше суммы квад-
ратов различных значений, принятых для искомой величины, а следовательно,
и меньше суммы квадратов истинных
ошибок.
На основании теоретических соображений, для вычисления средней ошибки
•следует, как наиболее вероятную, применять формулу
Впрочем, надо заметить, что преимущество формулы (22') относительно (22)
часто бывает только кажущимся; при весьма малом числе наблюдений теория не
может дать ответа на этот вопрос, и только при очень большом числе наблю-
дений различие между формулами (22) и (22') может иметь реальное значение.
На основании приведенного нами сравнения между результатами
наблюдений
и теорией ошибок, при подсчете числа ошибок в промежутке между данными
пределами, обыкновенно принято пользоваться уклонениями
от среднего значения,
а не истинными
ошибками.
Средняя ошибка искомой величины, которая сама является функцией
одной или нескольких других величин, средние ошибки которых известны.
Допустим, что нам задана функция
у= ах.
(23)
Обозначив через гх среднюю ошибку
величины .v, а через ву — среднюю
ошибку величины у, непосредственно получаем
е,, =
«-Ѵ
.
(24)
Для функций иного вида вопрос решается не так просто. Приведем здесь
выражения для средней ошибки в двух случаях.
1. Допустим, что заданная функция имеет вид
у= ах+ Ьг+ сі+...,
.
(25)
причем средние ошибки величин у, x, z, t, . . .
обозначим через af/, еіГ, г3, г(,...
Тогда теория ошибок дает для г(/ следующее выражение:
4=
+
(26)
2. Найдем теперь с — среднюю ошибку среднего арифметического некоторого
числа наблюдений //; для этого среднюю ошибку отдельного наблюдения s надо
разделить на УТі\ получаем
е=
.
[ѴѴ]
.
(27)
уп уп(п —1)
Вывод этой формулы V, а также рассмотрение других теорем в теории оши-
бок и решение уравнений по способу наименьших квадратов излагаются в спе-
циальной литературе по этим вопросам 2).
Интерполирование. Составим таблицу разностей
различных порядков неко-
торой функции f(x)
по аргументу ее а, а—1, а+1, а+ 2 и т. д . Таблица эта
будет иметь такой вид:
n
f(a-1)
f(a
1)
....
17(<о}
m
/"(«)
•/(«+4) /(н4) /"(.+Ü .
"/(в+1)
/
ч
/(«+1)
/"(«+!)
Л«+ D
r
/(ß
+4)
/(«+*)
/-(•+})
(D
7(«+2)
/(а+ 2)
/«(« + 2)
/ІѴ(а Y 2)
7(ß+3)
/(в+ з)
/п(« + 3)
7(fl + 4)
/(а
~Ь 4)
7(а+5)
Через / обозначена сама функция;
через / —первые разности
[т.е./(а+
=
=/(ß+1)—/(ß) " т- Д.]. через /п
—
вторые
разности
[т. е. /" (a-f-1) «
—
/'+
•§•)—/(ß 4-^-) и т. fl.J. Числовые значения двух первых столбцов
в таблице '/ и п/ называются суммами
первого
и второго
порядков
(эти два пер-
вых столбца имеют большое значение при составлении -формул,
применяемых
при численном интегрировании).
При интерполировании применяются обыкновенно две следующие весьма важ-
ные интерполяционные
формулы:
f{aYh)=f(а)+hf(ß+ у)+
/" (a+1) +
hVi-W -2) ли /
,
3\ ,h(Ii 1)(h
2) (ft -3) -v,
,оч
,
^
1-2 -3
7
Vî+
1.2-3-4
7
(fl+2)+---,
f(aYh)=f(a)Yhfl{a
+ ±) +MiZ^/"
(a)
+
1 -2-3
(2)
x
) Кроме средней ошибки для характеристики точности наблюдений применяют иногда
еще вероятную
ошибку. Чтобы вычислить вероятную ошибку, надо среднюю ошнбкѵ
умножить на 0,6745. —
Прим. перев.
«шпику
2) По теории ошибок можно указать книгу А. А. Иванова
.Теория ошибок и способ
наименьших квадратов", Л., 1922, и книги по теории вероятностей.
— Прим.
перев.
Асггропомлл
gg
Первая из этих формул носит название интерполяционной
формулы
Ньютона;
в ней коэфициенты такие же, как коэфициенты бинома Ньютона.
В интерполировании весьма важный вопрос заключается в том, чтобы уста-
новить, какое влияние оказывает ошибка в значении функции на разности раз-
личной степени. Допустим, что при вычислении значения функции согласно напи-
санной выше схеме (1) была допущена ошибка -J-с; посмотрим теперь, какое
влияние окажет эта ошибка на величину разностей различных порядков. Допустим,
что значения функции при различной величине аргумента совершенно правильны,
за исключением одного только случая, когда значение функции ошибочно на
величину 4- е. Ошибки различных порядков рззностей могут быть представлены
тогда в следующей таблице:
Ошибки в значении:
f
/»
,IV
/v
/VI
/ѴИ
0
0
0
0
0
0
0
0
+e
Ü
0
0
+'
+e
0
0
+e
—
7e
0
0
+e
+e
—
6e
0
-re
+e
—
5e
+ 21e
0
+'
—
4e
-f-15e
+ 21e
+*
+'
-3e
+ 10e
—
35e
+'
+*
—
2e
+6e
—
20e
+ 35e
+'
—
e
+3e
—
10e
+ 35e
0
+e
—
4e
+ 15e
+ 35e
0
0
+e
—
e
+5e
+ 15e
—
21e
0
0
+*
+5e
—
6e
0
0
+*
—
e
+7e
0
0
0
0
0
0
+e
—
e
0
0
0
0
(1а)
Из таблицы ошибок видно, что:
1. Ошибка в первоначальном значении функции является причиной возникно-
вения ошибок в разностях, причем ошибка в разностях возрастает по мере уве-
личения порядка разности. Таким образом высшие порядки разностей весьма
чувствительны
к ошибке, допущенной при вычислении первоначального значения
функции.
2. В разностях «-го порядка наибольшие ошибки будут находиться в той же
самой строчке, в какой находится ошибочно вычисленная функция, если « — чет-
ное, и в двух соседних строках (одна сверху, другая снизу), если п — нечетное.
Если при вычислении значений функций была допущена ошибка только в одном
случае, то по скачкам
в величине разностей
можно установить, какое именно
значение функции было ошибочным. Если в вычислениях было допущено несколько
ошибок, то все же по величине разностей можно ориентироваться, в каких зна-
чениях функций надо искать ошибок.
3. Числовые значения коэфициентов при е в одном и том же столбце изме-
няются по определенному закону; они представляют собой число сочетаний из п
элементов по 1, по 2, по 3, ...
(т. е. равны коэфициентам в разложении по-
биному Ньютона):
1
П
«(я —1)
«(«-!)(« — 2).
«(« —1)(»-2)(«-3),
l>
Т'
1~2
'
1-2-3
'
1-2-3-4
Так, при я = 4 коэфициенты имеют следующие значения: 1; 4; 6; 4; 1. Согласно
пункту 2, мы можем установить, в котором значении функции допущена ошибка,,
если при вычислении ошибка сделана только в одном значении функции. Пункт 3
позволяет даже определить на основании приведенной выше таблицы ошибок
приближенную
величину
самой ошибки.
Для пояснения этого вопроса возьмем простой численный пример. Допустим,,
что при вычислении значений некоторой математической функции получились сле-
дующие величины: 1; 8; 27; 64; 125; 206; 343; 512; 729; 1000. Напишем эти числа
в вертикальном столбце и возьмем их разности включительно до 4-го порядка:
я
/
111 /Ш
/IV
1
1
+
7
2
8
+
7
+12
27
+19
+12
+6
3
27
+18
+6
0
+37
+18
+6
4
64
+37
+24
+6
—
10
+61
—
4
5
125
+61
+20
+40
2C6
+81
+20
+36
+40
6 2C6
+81
+56
+36
—
60
+ 137
+56
—
24
7 343
+ 137
+32
+40
+ 169
+32
+16
+40
8 512
+ 169
+48
+16
—
10
729
+ 217
+48
+6
9 729
+ 217
+54
+6
+ 271
+54
10 1000
+ 271
(2)
Рассматривая ход четвертых разностей, мы с полной очевидностью можем
сказать, что ошибка в значении функции соответствует строке с аргументом
а = 6; сравнивая же столбец с разностями четвертого порядка с соответствую-
щим столбцом таблицы (1а), мы заключаем, что ошибка должна быть равна—10.
И на самом деле так и есть; наша функция имеет вид /(а) = а8; значения ее
справедливы для всех аргументов а= 1; 2; 3; ...,
кроме а =6; у нас выписано
в примере значение функции в этом случае 206, а должно быть 6°= 216.
При вычислении значений функций для различных аргументов при составлении
таблиц и эфемерид необходимо проверять вычисленные величины по их разностям.
Численное диференцирование. Введем следующие обозначения:
(3)
Таким образом, если мы хотим получить функцию с целым аргументом по
нечетным разностям или с дробным
аргументом по четным разностям, то мы
должны брать их среднее арифметическое. Для диференциалов различных поряд-
ков мы можем написать следующие выражения:
df(a)
1
da
w
(Pf (al
1
da2
Kl2
d*f(a)
1
daз
w3
d*f(a)
1
da*
w1
dôf(a)
1
das
uf>
Для других аргументов, например для а + L,
а_{_Аит.д.,
можно соста-
вить соответствующие формулы >).
Численное интегрирование. Основные операции при численном
интегриро-
вании заключаются в следующем: 1) вычисляют значения функции, которую пред-
стоит интегрировать, и составляют разности, 2) производят суммирование, начи-
ная с первого значения функции, и образуют ряд сумм и 3) вычисляют значение
интеграла для данного аргумента. Формулы для простого
и двойного
численного
интегрирования имеют следующий вид:
Напишем функцию в такой форме: /(*) =/(а + /iw), тогда получим
Jf(x)dx= wjf(a+ nw)dn и fff(x)dx2
=
w2 f j f(a-\ -nw)dn2.
Введем затем следующие обозначения:
А = значению интеграла
для аргумента, с которого начинается интегрирование;
В = значению двойного интеграла
для аргумента, с которого начинается интегри-
рование.
Дадим формулы суммирования для двух различных начальных
аргументов,
а также выражения для интегралов при двух различных верхних
пределах инте-
грирования.
При производстве первого и второго суммирований имеем:
1) если интегрирование начинается с аргумента (а— у
та):
' /(•+
M
TM)+mf,a
M"
•)"
-^г«/'(«+•)+-•
-Bel*"*'—+/•(«)} +
367
(5)
~r 967 680
2) если интегрирование начинается с аргумента (а):
•/(«--H -ï -T/M+iV W-7®/'" W+ff®/T W+--
(6)
"m -1
- и/w+2V" w-srâ5/"w+
•••
В схеме разностей (1) значения для аргументов (а — \ та) и (а) помещены
в столбцах с суммами первого и второго порядков и заключены в фигурные
скобки I}.
Для вычисления простого или двойного интеграла при двух различных верх-
них пределах интегрирования напишем следующие формулы:
n Подробнее о численном диференцированин можно познакомиться в курсах исчи-
сления конечных разностей, например: Гельфонд, Исчисление конечных разностей,
ОНТИ, 1936 или Э. Уиттекер и Г. Робинсон,
Математическая обработка результатов
наблюдений, ОНТИ, 1935.-Прим. перев.
1. Верхний предел интегрирования равен j^a -f- (t-f - А-) гс/J:
a+ (<+ i)w
f f(x)dx= w{У[a-f(/+l)та]-fI/'[a+ (/+1)та]-
JJ /(*) dx
2
=
та2{"/[a+(/+A)та]-If[a+(/+\)та] +
2. Верхний предел интегрирования равен (a-{-(та):
a+iw
j f(x)dx= w[
l
f(a+iw)- If1(a+iw)+AJ/"(a+iw)-
-r nmVia+iw)-} -...},
a+iw
(8>
S//(*) <**« = TM
2
{"/(«.+iw)+У (a+ iw)- /"(a+ iw)+
+
таяг/ѵ («+'•)—•}•
•
При вычислениях методом численного интегрирования рекомендуется через
соответствующие промежутки (например, при каждом десятом значении аргумента)
контролировать при помощи суммирования получаемые значения сумм первого,
второго и т. д. порядков.
Определение прямого восхождения и склонения небесного светила при
помощи окулярного микрометра. Если рефрактор с экваториальной установкой
снабжен окулярным микрометром, то можно определить экваториальные коорди-
наты a и 8 кометы или планеты, измеряя микрометром расстояние от нее до
какой-либо звезды, координаты которой известны. Положение звезды может быть
найдено по звездному .каталогу, в котором ее координаты даны для определен-
ной эпохи. Координаты звезды надо исправить за прецессию и привести к сред-
нему положению для начала данного года, в котором производились наблюдения
кометы (или планеты), а затем нужно вычислить ее видимое место (см. стр. 99) для мо-
мента наблюдений. Вычисленные видимые координаты звезды а^ и 8^. (исправленные
за рефракцию) складывают с полученными из наблюдений
(«^—«*)
и(о^—
и вносят в значения a и 8 исправления за параллакс (см. стр. 158), если хотят
привести наблюдения к центру Земли.
Координаты звезды, данные в каталоге для определенной эпохи, можно при-
вести к началу определенного года при помощи помещенных в каталоге значений
годовой прецессии и векового изменения (variatio saecularis), т. е. изменения годо-
вой прецессии за 100 лет. Обозначим годовую прецессию через Ра и Рь, а веко-
вое изменение через ѵаг, и ѵаг8; в таком случае приведение за прецессию к началу
года tv в котором производились наблюдения, можно вычислить по формулам
«f, =
"кат+ РаCl- Lax)+ Ш ѴЗГаCl— 'кат)+ IV
^ = 8кат+ РЬCl-
'кат) + 2ÜÖѴИ« Cl~
+ !+5.
где |іо и ]і5 — компоненты собственного движения звезды по а и 8 за время
{tx — %т)> протекшее от эпохи каталога, если только это собственное движе-
ние известно.
Для приведения звезды на видимое место обычно пользуются формулами:
«вид =
а
и +/+ "Ш £sin
+а)^8+ 75Asin(Я+ a)sec8 +
8вид=8
'і+ Scos(G+ a)-fhcos(Я-fа)sin8-ficos8-j-|i8,
где |іа и [і8 — компоненты собственного- движения звезды по а и 8 от начала
года до момента наблюдений.
Величины /, g, G, h, H и i, как уже говорилось, даются на каждый день
в больших астрономических ежегодниках. Надо только заметить, что при вычи-
слениях этих величин по астрономическим ежегодникам надо принимать во внимание
еще небольшие члены, о которых мы не говорили в предыдущем изложении;
кроме того, в формулах для вычисления прецессии надо принять во внимание
члены высших порядков, если приходится делать приведение за весьма значитель-
ный промежуток времени.
Зависимость между собственным движением звезды, ее лучевой скоростью,
параллаксом и истинным движением в пространстве. На фиг. 191 солнечная
система обозначена буквой 5. На чертеже изображены три звезды ор о2, а3,
обладающие
одинаковым
собственным
движением ji и одинаковой лучевой ско-
ростью Ѵг, но находящиеся на различных
расстояниях Др Д„, Д8 от солнечной си-
стемы; следовательно, эти звезды обла-
дают неодинаковым истинным движением
в пространстве. Из фиг. 191 видно, что если нам известны три из четырех
величин |х, г, Д (т. е. соответственный расстоянию параллакс тс) и действительное
направление движения звезды, то мы можем определить и четвертую величину.
Линейное движение звезды, перпендикулярное к лучу зрения. На фиг. 192
буквой (j. обозначено собственное движение звезды, как оно видно с нашей
солнечной системы; буквой Д обозначено расстояние до звезды, буквой г — ее
действительное движение в пространстве и буквой h обозначена проекция истин-
ного движения на направление, перпендикулярное к лучу зрения So.
Фиг. 192.
Фиг. 193.
Величину h мы будем принимать за движение звезды перпендикулярно к лучу
зрения; его можно определить из треугольника на фиг. 192, где
А = |і.-Д.
(1)
Обозначим на фиг. 193 буквой а астрономическую единицу длины (боль-
шую полуось земной орбиты; ее с достаточной точностью можно считать равной
радиусу земной орбиты); буквой тс — параллакс звезды и буквой Д — расстояние
от звезды до Солнца.
Тогда согласно чертежу получим
а=тс.Д.
Исключая Д из выражений (1) и (2), получаем
А =-£-«.
(2)
(3)
Если мы хотим получить значение h в километрах в секунду, выразим
в секундах дуги за год, а также выразим тс в секундах дуги. Приняв значение
а= 149 500 000 км, будем иметь
*-•£• ійййіг"»'«-^
«>
Движение Гиад. В некоторых звездных скоплениях (см. стр. 462) наблюдаются
собственные движения звезд такого вида, как будто все звезды скопления дви-
жутся по направлению к одной точке на небесной сфере (к их радианту). Такое
к антиапексу
Фиг. 194.
Фиг. 195.
явление объясняется, несомненно, тем, что все эти звезды движутся в простран-
стве параллельно одна другой. Направление от Земли к точке радианта пред-
ставляет собой направление движения звездного скопления в пространстве.
На фиг. 194 буквой S обозначено положение нашей солнечной системы;
SK—направление
к точке радианта, т. е. направление общего движения звезд
скопления в пространстве; а — одна из звезд скопления; г — величина истинной
скорости движения звезд в пространстве (та же самая величина через г обозна-
чена и на фиг. 195); ѵ—лучевая скорость звезды (скорость звезды по лучу
зрения); h — линейная скорость звезды по направлению,
перпендикулярному
к лучу зрения. Очевидно, что треугольник, образованный величинами г, ѵ и h,
очень мал по сравнению с расстоянием So.
Из фиг. 194 имеем
г=
—км/сек
и h=V•tg©кмIсек,
(і)
откуда на основании формулы (4) получаем тс = 4,74
ctg ср.
Таким образом мы видим, что можно определить параллакс звездного скопления,
если известна лучевая скорость хотя бы одной звезды в скоплении. Первым звездным
скоплением, параллакс которого был определен этим способом, были Гиады.
Параллактическое движение (к стр. 413 и 470). Кажущееся смещение звезды
на небесной сфере вследствие движения солнечной системы
в пространстве на-
зывается параллактическим
движением
звезды.
На фиг. 195 буквой Sx обозначено положение Солнца в пространстве в не-
который момент времени, а буквой S2 — положение его по прошествии одного
года; St S2 — следовательно, линейное перемещение (H) Солнца за год.
На чертеже показано направление к апексу и к антиапексу, а также к звезде о;
расстояние S2o от звезды до солнечной системы можно принять равным Д,
а угол, образуемый с этим расстоянием направлением на антиапекс, обозначим
буквой L. На фиг. 195 параллактическое движение звезды измеряется углом ѵ.
Из чертежа имеем
h
sin =
—
sin Z.,
но так как ѵ — величина очень малая, мы можем написать
h.
,
V=
-д- sin L.
Чтобы получить v в секундах дуги, эту величину надо умножить на 206 265".
Определение координат апекса солнечной системы (к стр. 413—414).
Обозначим через X, Y, Z, а и 8 прямоугольные и полярные координаты звезды
относительно солнечной системы, если за основную плоскость взять плоскость
экватора. Тогда мы имеем
X = Rcoso
cosa, Y=Rcos8sina, Z = /?sin8.
Диференцируя эти уравнения, получаем
dX= dRcos8cosа—d8Rsin8cosа—daRcos8sinа,
dY= dRcos8sinа— dôRsin3sina-j-daRcos8cosa,
(1)
dZ= dRsin6-f-d8Rcos3.
Решая эти уравнения относительно dR, cos 3 da и do, находим
cos8da=
—
sina-f^ cosa,
db=
—sin 8 cos a—sin 8 sin a-{-^ cos 8,
dR= dXcosоcosa-f-dYcosоsina+ dZsin8.
(2)
Два первых уравнения представляют собой основные уравнения для решения
задачи об определении прямого восхождения
и склонения
апекса солнечной системы
(А и D), если известны из наблюдений собственные движения звезд по a и 8; третье
уравнение позволяет определить А и D и линейную
скорость движения солнечной
системы, если известны из наблюдений лучевые скорости звезд.
I. Определение координат (А и D) апекса солнечной системы,
если известны из наблюдений
собственные движения
звезд.
Предположим, что нам известны экваториальные координаты (а и 8), а также
собственные движения \іа и |І8 большого числа (нескольких тысяч) звезд, по
возможности равномерно распределенных по всей небесной сфере. Разделим
всю небесную сферу на большое число участков. Для каждого участка составим
средние значения а, 8, |х0 и (х^ Обозначим эти средние значения для некоторого
определенного участка через а, 8,
и fi8. Сделаем затем следующие допущения:
1. Индивидуальные
движения (специальные, или пекулярные, движения) каждой
звезды в отдельности в данном участке исключаются при образовании среднего
значения, так что \іа и ц8 представляют собой среднее
параллактическое
движе-
ние звезд в данном участке.
2. Среднее расстояние всех взятых нами звезд от солнечной системы остается
одно и то же для различных
участков.
В таком случае выражения
Ц- представляют собой проекции
на
оси координат параллактического движения, разделенные на среднее расстояние
до солнечной системы, или представляют собой проекции на оси координат
движения солнечной системы, взятые
с обратными
знаками и разделенные на
среднее расстояние звезд от Солнца.
В двух первых^уравнениях системы (2) мы можем подставить вместо а, о, |А0,
Us значения а, 6, ца и jis.
Эти последние величины нам уже известны, а потому,
решая уравнения по способу наименьших квадратов, найдем численные значения
dXdYdZ
для величины
,
—,
.
Обозначив линейную скорость движения солнечной системы через Н, получаем
dX
dt
dy_
dt
ил
..
_
,
-jj
=—
И cosDcos А,
•=
—
ЯcosDsinA,
—
tfsinD,
(3)
откуда находим
dY_
.
.
dY
R
6
dX
dX
R
и
tg£>:
dZ_
R
Af J+ffi '
(4)
Таким образом в том случае, если мы хотим определить только экваториальные
координаты А и D апекса солнечной системы, но не скорость ее линейного
перемещения в пространстве Н, вопрос решается при
помощи выражений (4).
II. Определение
координат
апекса А
иD
и скорости
движения
солнечной
системы н, если известны из
наблюдений
лучевые скорости звезд. Для этой цели вос-
пользуемся третьим уравнением системы (2). Получен-
ные из наблюдений и приведенные к Солнцу лучевые
скорости звезд (см. стр. 414) соответствуют здесь
величине dR. Как и в первом случае, разделим всю не-
бесную сферу на участки; образуем для каждого участка
средние значения для а, 8 и dR и примем (как и в
фнг 196
случае I), что индивидуальные значения dR для каждой
звезды исключаются при образовании их среднего значения. Тогда для каждого
участка мы получим следующее уравнение:
dZ"cos 8 cos a-) - dKcos 8 sina-(-dZsin 8 = dR.
Решаем эту систему уравнений по способу наименьших квадратов относи-
тельно dX, dY и dZ. Подставляя их затем в уравнения (3), находим A, D и Н.
Формулы для вычисления годичного параллакса звезды (см. стр. 106). На
фиг. 196 буквой 5 обозначим Солнце, буквой Е — Землю в некоторой опреде-
ленной точке на ее орбите, буквой a — звезду, а буквами г и г'—линии, соеди-
няющие звезду с Солнцем и звезду с Землей. Примем при определении координат
плоскость экватора за основную. Обозначим через а, 8 гелиоцентрические, через
а', 8' — геоцентрические прямые восхождения и склонения звезды, а через X, Y,
Z — прямоугольные геоцентрические координаты Солнца относительно плоскости
экватора; тогда мы будем иметь
г'cosо'cosa' =
гcosоcosa-j-X,
r'cos8'sina' =
rcos8sina-(-Y,
(1)
r'sin8' =
rsin3
Z.
Чтобы определить влияние параллакса на прямое восхождение и склонение
ввезды, мы можем поступать с формулами (1) так же, как мы поступали на стр. 156
при выводе основных формул для решения вопроса о суточном параллаксе.
Точно таким же способом, как и там, мы получим и здесь выражения для а' —
a
и для 3' — 3 . Прием, при помощи которого были выведены формулы для суточ-
(2)
ного параллакса на стр. 155 —158 (тем же приемом мы пользовались и на
стр. 101—103 для вывода формул влияния аберрации на координаты светил), весьма
часто- употребляется в сферической астрономии, если с
самого
начала нам
требуется получить точные формулы (это способ Бесселя). В дальнейшем изло-
жении мы ограничимся случаями, когда влияние параллакса весьма
мало, т. е.
настолько мало, что можно пренебречь высшими степенями влияния параллакса
(исключительный случай, когда таким методом нельзя пользоваться, указан нами
выше, на стр. 157 и 101).
В нашей задаче — определения годичного параллакса звезд — при громадных
расстояниях до неподвижных звезд мы можем с самого начала оставить в стороне
такие исключительные случаи, если только не будем выводить формул для звезд,
находящихся слишком близко от одного из полюсов мира.
Поэтому мы будем рассматривать в формулах (1) X, К и Z как малые вели-
чины первого порядка сравнительно с величинами г и г'\ заменим их в таком
случае через dx, dy и dz. По аналогии с выводом на стр. 520 мы можем составить
следующую систему формул (формула для величины dr в данном случае не пред-
ставляет для нас интереса):
4.
.
dx,
dy
cosоda=
—
sin а
нcosа—
,
г1
г
„ч
dx
.
г..
dyi
г. dz
dо=
—
smоcosа
sinоsinа
4-cosо—
r
r
1
r
Таккакdx=X,dy=Y, dz=Zи(см.стр.103)
X=R cos0, Y=Rcosesin0, Z = tfsin esin0,
то мы получим
а'—а=
-у- (
—
cos0 sinа-[-cosеsin0 cosa)sec8,
d
8'—8=
—
(— cos0 sin8cosа—cosesinQ sin8sinа-{-
-j-sin e sin 0 cos 8).
В этих формулах мы можем считать с достаточной точностью за постоянную
величину R, т. е . радиус-вектор земной орбиты, а принимая большую полуось
земной орбиты за единицу, мы можем считать /?=1 .
При таком выборе единиц длины мы можем определить г из выражения г sin тс = 1,
где тс — параллакс звезды. Так как тс — всегда очень малая величина (самый боль-
шой известный параллакс звезды равен 0",8), то мы можем в наших формулах
подставить тс вместо sin тс. и тогда окончательно для влияния параллакса на
положение светила мы будем иметь следующие формулы:
а'— а =тс(—cos0 sinа-{-sin0 cosеcosa)sec8,
]
8' — 8 =тс(—cos0 cosasin8—sin0 cosesinasinо-f-sin0 sinecos8).J
Подобно тому, как и для аберрации (стр. 105), мы можем составить уравнение
для эллипса, описываемого звездой вследствие ее годичного параллакса. Заменим
в формулах (4) величины a и 8 через X и ß и примем е = 0. Тогда влияние
годичного параллакса на эклиптические координаты светила X и ß выразится
формулами
(X' — X)cosß=
—
тс sin(X— 0), j
Обозначая (X' — X)cosß через £ и (ß'— ß) через т], получаем
ь
<6)
(3)
Число звезд различной величины, видимых на небе в предположении,
что звезды равномерно рассеяны в пространстве и абсолютная их яркость
одинакова. Допустим, что все звезды одинаковой яркости и равномерно рассеяны
в пространстве вокруг нас. Вообразим две сферические поверхности, в центре
которых находится солнечная система, описанные радиусами г„ и гп+1. Кажущаяся
сила света звезд, расположенных на сферических поверхностях с радиусами
гп и гп+1} будет относиться, как гп+1 : г~п.
Подберем радиусы гп и гп+1 так,
чтобы звезда, находящаяся на расстоянии гп+и казалась слабее звезды, находя-
щейся на расстоянии гп,
ровно на одну величину
по яркости. Тогда, как известно,
мы будем получать от нее света в 2,512 раза меньше; следовательно,
=
2,512 ,
/-п
или
to.
=
/2^12.
(1)
г
п
При равномерном распределении звезд в пространстве, число звезд внутри
обеих шаровых поверхностей будет относиться, как г*п+1:г\. Обозначая эти чи-
сла звезд через Ап+1 и Л„, на основании формулы (1) получим
âs+І = ІЕ±І = (2,512)%,
а
п
r
n
ИЛИ
lga»±l = S.lg2,512= 4
-
0,4 = 0,6
и
-^±4 = 3,98.
л
п
При равномерном распределении звезд в пространстве и при одинаковой
абсолютной яркости число звезд величины (« + 1) относится к числу звезд вели-
чины п приблизительно, как 4:1.
Среднее значение пространственных скоростей большого числа объектов
и средние значения проекции этих скоростей 1) на прямую и 2) на плоскость,
в предположении о равномерном распределении в пространстве направлений
движений этих объектов (к стр. 416). Обозначим через А3 среднюю линейную
скорость движения в пространстве большого числа объектов. Направления движе-
ний этих объектов при этом предполагаются равномерно распределенными в про-
странстве. Далее обозначим через hx проекции этих скоростей на данную прямую,
а через Л2— среднее значение их проекции на плоскость. В таком случае можно
доказать, что
1h.—1
и
=
-
Аа~~2
Л3
4»
откуда получаем
/'і
2
h? «'
И. ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
В приводимых нами числовых примерах вычисления производились по большей
части с пятизначными логарифмами. В среднем точность вычисления с пятью
знаками соответствует 0',01, с шестью знаками соответствует 0",1 и с семью
знаками — 0",01.
Если при вычислении с соответствующими таблицами мы получим величину
ровно на 0,5 ббльшую последнего десятичного знака, то возникает вопрос, как
поступать с ней при округлении числа, — отбрасывать ли ее, не изменяя послед-
него знака, или же, при отбрасывании, увеличить последний знак на единицу.
Если всегда придерживаться одного из этих правил, то появится опасность, что
при больших рядах вычислений будет внесена в них систематическая ошибка.
Чтобы исключить эту ошибку, можно придерживаться следующего правила:
округлять последнюю цифру всегда до четного
числа, но не до нечетного.
Например, вместо
числа 0,345675 при округлении писать 0,34568, а вместо
числа 0,345665 писать 0,34566.
К приведенным на стр. 38 и 48 указаниям по поводу числовых подсчетов
добавим еще следующее: в наших вычислениях мы будем приписывать в мантиссе
логарифмов справа внизу букву п, когда взят логарифм отрицательного числа.
При умножении и делении нескольких чисел можно придерживаться простого
правила: при четном числе логарифмов со значком п при выписывании результата
после сложения или вычитания логарифмов п отбрасывают.
1-й пример. Вычислить звездное время для меридиана Московской обсерва-
тории Государственного астрономического института им. Штернберга 15 июля
1935 г. для 14h12m16a,27 среднего гражданского московского времени.
Звездное время в среднюю грнннчскую полночь (из .Астроно-
мического ежегодника")
19'» 27'" 40",61
Приведение к долготе Московской обсерватории
—
24 ,69
Звездное время в среднюю московскую полночь
19 27 15,92
Среднее московское время
14 12 16,27
»
выраженное в звездном времени ...
14 14 36,28
Звездное время в среднюю московскую полночь
19 27 15,92
Звездное время в Москве
9Л 41'» 52",20
2-й Пример. Вычислить высоту и азимут звезды для 4іЧ1тІ9°,4 декретного
времени
4 октября
1935 г. в Москве;
координаты Московской
обсерватории
Государственного астрономического института им. Штернберга сэ =
55°45 '20
гг
иА=
—
2п 30'» 178, 0 (восточная от Грнннча), зная, что экваториальные коорди-
наты звезды равны а = 14
л
15'»88,0ио=
- f- 46°23'10" .
А. Вычисление часового угла.
Декретное московское время
4?і цм 19.94
впереди московского поясного на
1о0.0
поясное московское время
~~3
П 19,-J
Так как Москва находится во II поясе, то приведение
к среднему гражданскому времени
+зо
]7,о
Среднее гражданское московское время
~з 41.36,4
приведение к звездному времени
+ 36,4
„
3 42 12,8
звездное время в среднюю грнннчскую полночь для
4 октября 1935 г. из
.Астрономического ежегодника" 0 47 1,54
Приведение за долготу Московской обсерватории . .
—24,69
Звездное время в среднюю московскую полночь
0 46 36,8
3 42 12,8
Звездное время в Москве
4 28 49,6
а
14 15 8,0
14"13>»41«,6
=
=
180°+83® 25'24 "
В. Вычисление высоты h и азимута А звезды.
Для краткости обозначим через М, В, — С и D
третьем уравнениях (2) на стр. 49, так что
(ДГ)
(В)
sinh= sin<?sin3
cos9 cos3cost,
coshsinA—cos3sint,
(-0)
(*>)
coshcosA=
—
cos9sin8+ sin9cos8cost.
Вычисления можно производить по такой схеме:
четыре члена в первом и
lg M 9,77706
lg sin 9 9,91732
Ig sin о 9,85974
lgcos9 9,75030
lg С 9,61004
lgß 9,51051n
lg cos 9 9,75030
lg cos 8 9,83872
lg cos / 9,92149,,
lg sin 9 9,91732
lgD 9,67753 n
lg cos 8 9,83872
lg sin/ 9,74101,,
lg cos h sin A 9,57973,,
lg cos £ cos A 9,94613,,
m
в
м-ув
—
с
+d
—
C-j- D
-f - 0,59850
—
0,32397
+
0,27453
—
0,40742
—
0,47591
—
0,88333
lg tg A 9,63360
A = 180oH -23 °16'26":
1g sin A 9,59675,,
lg sin h 9,43859
lg cos h 9,98298
1g tg h 9,45561
ft = 15°66'2".
[lgcos 8 sin/]
[lg(-C+D)]
=
203°16 '26 "
[lg(M+ B)]
3-й пример. Определить широту места на основании измерения зенитного
расстояния звезды, уже исправленного за
Ж
экваториальные координаты которой равны: * =
&43'»28",6,о_ + 402958
измеренная высота звезды равна h = 58'31'ІБ'.
Звездное время наблюдений
s= 1''2'»128,4. Найти 9 (см. стр. 124).
1'» 2'» 12я
,4
04328,6
0''18'» 43я
,8
=
=
4°40'57 '/
lg sin ft
.
lgcosAf
—
lgsin8
Ig sin (M 4-9)
lgcos5
lgcos/
lgmsinM
lgmcosM
lgtgM
9,93086
9,81332
0,18751
9,88109
9,99855
9,87964
9,81249
0,06715
M
[lgcosöcos/]
[lg sin 8]
M+9
9,93169
49p24'43 "
( 58°42'00 "
\ 121°18 '00 "
-4 - 71053'17"
9 ПѴП"
Так как наблюдения производились к югу от зенита, то
9 = 71°63'17".
4-й пример. Вычисление времени восхода и захода звезды, с учетом и без учета
влияния
рефракции.
Так как при решении подобной задачи не требуется особо
высокой точности, то мы можем вычислить рефракцию диференциальным методом.
Экваториальные координаты звезды равны: о = 67,40>»88,2; 3 =
—
16°33'43Ѵ
Определим моменты восхода и захода светила для Москвы 5 июня (по поясному
времени). Величину рефракции в горизонте примем равной 35',0.
Для вычисления часового угла воспользуемся формулой (3) на стр. 49.
Заимствуя координаты Москвы из 2-го примера, получаем
lgtg« 0,16702
9,47333, ,
lgtg8
lg cos t0
tc=
9,64035
=t 64°5'44" =
=fc 47,16'"228,9
Для восхода
Для захода
/
а
—
47»16»'228,9
640 8,2
-{ - 47' 16'"228,9
640 8,2
s
S0
s—S0
Приведение
27'23'"458,3
164958,3
93347,0
—
1.34 ,0
107і56'"318,1
18 6 32,8
—
258,0
Среднее гражданск.
московск. время
Приведение
ко II поясу
97'32"'13
я
,0
—
3017,0
187' 3 '"34
я
,8
Поясное время
без учета
рефракции
Поправка за
рефракцию
Э7» 1'"56®,0
—
448
177,33'"178,8
+448
Рефракция
lg 35',0 1,5441
lg sec <р 0,2497
lg sec 8 0,0184
lgcosec/ 0,0460
2
1,8582
Поправка
за рефракцию
72',1 = 288 "
Поясное время
с учетом
рефракции
8''57 '",1
177t38m
,l
Примечание. Если желательно иметь время восхода и захода звезды в Москве
по декретному времени, надо к полученным величинам прибавить 1'».
Получим:
для восхода 9*57®, 1, для захода 18'»38»»,1.
б-й пример. Вычисления
наблюдений
кометы.
На обсерватории в Копенгагене 28 апреля 1927 г. было произведено наблю-
дение кометы
Стирнса
(1927 d):
1927, апрель 28 227»50'»158 мирового времени
Да
AS
^—*=—
1»'318,55
—
0'15" ,5
(результат получен как среднее из 6 сравнений).
Комета и звезда находились по склонению так близко одна от другой, что
разность влияний рефракции не стоило принимать во внимание.
В качестве звезды сравнения была принята звезда No 5209 зонного каталога
Астрономического общества (Leipzig I). В каталоге мы находим следующие данные
для этой звезды:
*
°18Т5, о
К
var0
SJB76j0
Рь
vars
52 09 1 47'41
w
198,39 + 2",9066 + О8,0045 -j- 10°50'10",9 —15" ,288 -f 0+281.
Принимая в расчет выписанные здесь величины, подыщем по Берлинскому
астрономическому ежегоднику (Berliner Jahrbuch) для соответствующего момента
величины /, g, h, G, H в і (см. стр. 518); мы знаем, что геоцентрическое рас-
стояние до кометы вычисляется из выражения lg Д = 0,442, которое ми получили
из вычислений орбиты кометы, тогда мы можем вычислить приведения положения
кометы, полученного из наблюдений, причем будем считать, что собственное
движение кометы исчезающе мало.
°кат.
прецессия за 52 года
147'41 '"198,39
+231,20
•
W
прецессия за 52 года
+ 1050'10",9
—
1311,2
а
1927,0
редукция по а
144350,59
+ 1,19
°No 7,0
редукция по о
+ 103659,7
-5
,8
а
вид
144351,78
—
131,55
5В»Д
+ 103653,9
—
15 ,5
а
<^вид •
параллакс no а
14/І42'"20,
,23
—
0 ,02
параллакс но ô
+10°36 '38" ,4
+2,2
•
a
ft впд.геоцевтр
Результат
=
( "сГвид.геоцоигр
Схема вычислений прилагается ниже.
G+a
Всемирное время наблюдений
гг^о»'^8
050 19
G
a
H
1443,8
1519,6
Среднее время наблюдения
Приведение к звездн. врем.
Звездное время в среднюю
полночь в Копенгагене
234034
+3 53
141944
tf+a
6'1 3"',4
9,0761
Среднее время наблюдения
Приведение к звездн. врем.
Звездное время в среднюю
полночь в Копенгагене
234034
+3 53
141944
lg tg°
lgsin(G+ a)
Igg-
lgCOS(G+ a)
9,2729
9,8728
. 9,9304
9,8234
9,7538
Звездное время наблюдения
a
14h 4'" 118
14h42m208
lg tg°
lgsin(G+ a)
Igg-
lgCOS(G+ a)
9,2729
9,8728
. 9,9304
9,8234
9,7538
t
lg tg°
lgsin(G+ a)
Igg-
lgCOS(G+ a)
9,2729
9,8728
. 9,9304
9,8234
9,7538
lgCOSt
9,9937
0,1693
lgRedo a
1,2959
•{
Ъ
+55°54'
+10°37 '
lg secô
lg Sin (tf+a)
lgh
lgcos(tf+ a)
0,0075
0,0000
1,2884
8,1712 ,.
9,2654
•{
Ъ
+55°54'
+10°37 '
lg secô
lg Sin (tf+a)
lgh
lgcos(tf+ a)
0,0075
0,0000
1,2884
8,1712 ,.
9,2654
Y—о
+45°17'
9,2277, ,
0,0075
lg secô
lg Sin (tf+a)
lgh
lgcos(tf+ a)
0,0075
0,0000
1,2884
8,1712 ,.
9,2654
lgsint '
lgsec5
+45°17'
9,2277, ,
0,0075
lg secô
lg Sin (tf+a)
lgh
lgcos(tf+ a)
0,0075
0,0000
1,2884
8,1712 ,.
9,2654
le (Para X Д)
8,7556,,
lg Red2 ô
8.7250,,
lgsin(y—ô)
lg cosec y
9,8516
0,0819
lg'
lgcos5
0,8092,,
9,9925
lgsin(y—ô)
lg cosec y
9,8516
0,0819
lg'
lgcos5
0,8092,,
9,9925
le (Par SX A)
0,7930
0,442
lg Red3ô
Redia
Red» a
-08,133
+0 ,008
+1 ,317
+18,192
lgPara
lgPar5
Para
Parô
8,314, ,
0,351
—0",02
+2",2
RedxÔ
Redoô
Red3ô
+0",57
—0 ,05
-6
,33
При вычислении выражений lg (Par a X A) и
lg (Par SX A) мы выписали из ежегодника .Nautical
Almanac" следующие данные для Копенгагенской
обсерватории:
lgtgw' =
0,1630
lg р cos ф'= 9,7521
lgpsintf' =
9,9150
Red ô
— 5",81
При вычислении выражений lg (Par a X A) и
lg (Par SX A) мы выписали из ежегодника .Nautical
Almanac" следующие данные для Копенгагенской
обсерватории:
lgtgw' =
0,1630
lg р cos ф'= 9,7521
lgpsintf' =
9,9150
При вычислении выражений lg (Par a X A) и
lg (Par SX A) мы выписали из ежегодника .Nautical
Almanac" следующие данные для Копенгагенской
обсерватории:
lgtgw' =
0,1630
lg р cos ф'= 9,7521
lgpsintf' =
9,9150
6-й пример. Вычисление эклиптических координат X и ß звезды, если известны
наклонение
эклиптики к экватору е, прямое
восхождение
звезды а и ее скло-
нение 8.
Пусть имеем для некоторой звезды: а = 15ft43m24e,0; 8 =
—
39°89'6" и на -
клонение эклиптики е = 23°27'20".
Вычислить долготу и широту звезды X и ß.
Обозначим для краткости в формулах (1) на стр. 80 четыре члена в первых
двух формулах через А,
— В, С и D. Схема вычислений будет следующая:
а
180° 4 - 55°51 '0",0
igс
9,40331M
8
—
39296,0
lgsine
9,59993
lg В 9,40524,,
lgsin8
9,80338n
lg sine
9,59993
lgcose
9,96254
lg sin а 9,91781„
lgА
9,76592„
lg cos 8 9,88750
D — 0,58594
lgcos a
9,96254
С — 0,25311
lg D 9,76785, ,
C+D
—
0,83905
—
b' + 0,25424
а
—
0,58334
а—в
—
0,32910
lgcosа
9,74924n
lgcos 8
9,88750
lgcosßsinX
9,92378n
lgcosßcosX
9,63674 ,,
IgtgX
0,28704
[lg(C + D)]
[lgcos8cos а]
X = 180° + 62°4Г23" =
242°41'23 "
lgsinX
lgsinß
lgcosß
Igtgß
9,94867,,
9,51733 ,,
9,97511
9,54222 , ,
—
19012'51 "
[lg04-ß)l
7-й пример. Вычисление положения
планеты в данный момент на
эллипти-
ческой орбите, если известны ее большая
полуось,
эксцентриситет
и время
прохождения
через перигелий (см. стр. 229).
Мы имеем следующие данные для малой планеты: lg а = 0,56510, Ige = 9,79221
и Т— 1905 январь 17,1844 среднего берлинского времени.
Требуется определить: среднее движение р., среднюю аномалию A4, эксцентри-
ческую аномалию Е, истинную аномалию ѵ и радиус-вектор г для эпохи /=1905
февраль 18,0000 среднего берлинского времени. Так как в задаче вопрос идет
о малой планете, то массу ее m мы можем принять равной нулю.
А. Вычисление р. и A4.
lg А" 3 ,55001
lgo%
0,84765
Igp 2,70236
р.=
503",92
/—7
31d,8l56
lg(/ — T) 1,50264
lg A4 4,20500
M = 1 6032",6 = 4°27/12", 6
В. Вычисление Е.
,
Если мы хотим выразить A4 и Я в дуговой мере, то тогда надо, чтобы в
уравнении Кеплера [третье уравнение в системе (52) на стр. 229] величина в
тоже была выражена в дуговой мере. Будем производить вычисления в
минутах
дуги,
тогда получаем
'
Ige
9,79221
360+0
53ß2,7
ь
2*
Ige'
13,32848
[е' =
2130',50]
Чтобы получить действительную величину Е, подберем для нее сперва два
произвольных приближенных
значения Я, и Я2; допустим, что Еу = 10 0 ,00
и Я2 = 12°0',00. Уравнение Кеплера, как известно, имеет следующий вид:
Е = М-\-е'
sin£.
(1)
Подставим в правую часть уравнения (1) сперва значение Я„ а потом значе-
ние Е� Из прилагаемой ниже таблички, вычисленной соответственно этим пред-
положениям, мы видим, что значение для Е при Еу = 10° оказывается больше
на 37',17, а при Яа=12° оказывается меньше на 9',83.
Еу = 10° О'.ОО правая часть уравнения (1) получается равной 10°37',17 т. е. > на 37^,17
р 114400
•
n
1134,94 „
.
> на о,ич
|=іі 35 S
:
:
:
.
•
}îй
в
т
ерГс^
4= 12 0,00
...
.
1150,17 т.е.< на 9,83
Мы произвели интерполирование между значениями Еу и Я2, полагая
бо—еъ
*>
9',83 • 120',00 _
.
п.
*~
З7',17 +9',83 —
, 1U|
мы получили
Я3 = 12°0',00 — 25', 10 = 11°34',90.
Интерполируя затем между значениями Я3 и Е^ мы получили
Еу= Яа+
X,
0',04 • 25',10
л
Э',83 + 0',04
Еу = 11°35',00.
:
б',10,
Подставив Еу в уравнение (1), получим тождество; следовательно, Еу — истин-
ное значение для Е.
я,
я,
я,
я4
lg в'
lgsinЕ
lg (с' sin Е)
3,32 848
3,32 848
3,32 848
3,32 848
9,23 967
9,31 788
9,30 269
9,30 2.75
2,56 815
2,64 636
2,63 117
2,63 123
6° 9' ,96
7°22' ,96
7° 7 ',73
7° 7',79
427,21
427,21
427,21
427,21
10°37' ,17
11°50',17
11°34 ' ,94
11°35 ' ,00
е'sinЯ
A4'
Я
Дыгцоиоюш
34-
С. Вычисление ѵ и lg г.
=
5°47',50
е
1+е
0,61974
1,61974
0,31468
1—е
lg(l + e)
lg (1-е)
lgI±£
0,38026
0,20945
9,58001-'
0,62937
lgtg-f-
Igtgf-
V
2
9,00616
9,32084
11°49',40
V = 23°38',80
1gr
=
Ige 9,79221
lg cos E 9,99106
lg e cosE 9,78327
с cos E 0,60711
1— ecos E 0,39289
lg(1— ecosE) 9,59427
lg а 0,56510
К примерам 8—12. Для примеров по интерполированию, численному дифе-
ренцировашио и численному интегрированию (стр. 513—517) возьмем функцию
X от t, т. е . д; = /(/); численные значения этой функции при различной величине
аргумента t приведены в следующей таблице.. Столбцы, в которых выписаны суммы
(первого и второго порядка), понадобятся нам при численном интегрировании
l>fl JKl.ll
t
»/
4
f=l(t)= x
•Z1
/»
Jm
+ 78762,16
a—2
+ 9958895,56
+ 78762,16
—
0,0039303,22
а—1
+ 9998354,50
+ 39458,94
—
0,0039303,22
—
155,72
+ 0,61
а—1
+ 9998354,50
{ 0,00}
—
0,0039458,94
—
155,72
+155,72
+ 0,61
—
0,61
< + 9998354,50 >
{ 0,00}
0,00
+155,72
0,00
—
0,61
а
< + 9998354,50 >
—
39458,94
—
0,0039458,94
0,00
+ 155,72
0,00
—
0,61
—
39458,94
+ 155,72
+ 155,72
—
0,61
—
0,61
a+1
+ 9958895,56
—
78762,16
—
0,0039303,22
+ 155,72
+ 155,11
—
0,61
—
0,59
o+2
+ 9880133,40
—
78762,16
+ 310,83
+ 155,11
—
1,20
o+2
+ 9880133,40
—
117754,55
—
0,0038992,39
+ 310,83
+ 153,91
—
1,20
—
0,69
—
117754,55
+ 464,74
+ 153,91
—
1,89
—
0,69
ß+3
+ 9762378,85
—
156282,20
—
0,0038527,65
+ 464,74
+ 152,02
—
1,89
—
0.49
ß+4
+ 9606096,65
—
156282,20
+ 616,76
+ 152,02
—
2,38
—
0.49
ß+4
+ 9606096,65
— 191193,09
-0,0037910,89
+ 616,76
+ 149,64
—
2,38
—
0,68
ß+5
— 191193,09
>•
+ 766,40
+ 149,64
—
3,06
—
0,68
ß+5
+ 9411903,56
—
231337,58
—
0,0037144,49
+ 766,40
+ 146,58
—
3,06
-0,52
ß+6
—
231337,58
+ 912,98
+ 146,58
—
3,58
-0,52
ß+6
+ 9180565.98
—
0,0036231,51
+ 912,98
+ 143,00
—
3,58
—
267569,09
+1055,98
+ 143,00
a+7
+ 8912916,89
—
0.0035175,53
+1055,98
—
302744,62
—
0.0035175,53
<z+ 8
+ 8610252,27
Целые числа выписаны только у значений самой функции, во всех остальных
столбцах нули впереди откинуты, так что числа даны только в единицах 7-го знака .
8-й пример. Интерполирование.
Вычислить значение функции x=f(t) для
/=« + 41/а. Воспользовавшись второй формулой для интерполирования (стр. 513),
будем производить вычисления в следующем порядке:
п=
п(п-1)
/ (я-|-4) =
—
0,003 7910.89
f1(а+ 4«/2)=
+
1-2
'(«+ 1)л(«—1)
/"(«+ 4)=
+
/Ш(я + 4«/») =
-
1-2-3
81
(п+1) я («-!)(„-2)
,
5
,ІѴ/ i .ч
1.2.3.4
' 243
7
(ß~H)
=-
766.40
149.64
3.06
0.68
/(«+ 4)=
—
0,003 7910.89
+
(а+41/2) = +
255.467
— 1-/»(а + 4)
=-
16.627
-^/»(G-f4«/2) = +
0.151
+ 2?З/Ѵ(^+4)
0.014
/(в + 41/3) =
—
0,003 7671.91
9-й пример. Численное диференцирование.
Обратимся к первым двум форму-
лам системы (4) на стр. 515 .
Вычислим
и
для/=а+ 4.
При помощи формул (3) на стр. 515 получаем
/г(в+4)= + 691,58 и /ш(а+ 4)=
—
2,72.
Пользуясь таблицей разностей, помещенной на стр. 530, находим
7"(û+4) = + 149,64 и /,ѵ
(а+4)=
—
0,68.
Так как w = l, мы получим при t = a-\ - 4 следующие значения: f,
^
=
+ 691,58 + 0,45 = + 0,0000692.0,
^
=
+ 149,64 + 0,06 = + 0,0000149.7.
10-й пример. Вычисление
двойного
интеграла
функции,, для которой дан
ряд численных
значений через равные промежутки
аргумента.
Интегрирование
начинается значением аргумента: t=a
—
!/„.
Допустим, что первый интеграл
в таком случае равен нулю, а двойной интеграл равен 1. Тогда, согласно системе
формул (5) и (6) на стр. 516, получим
А = 0,000 0000.00
й В = 1,000 0000.00.
Вычислим теперь значения / xdt и fjxdt2 для верхнего предела / =
«+4.
Мы должны сперва вычислить первую и вторую суммы для обоих аргументов
при помощи системы формул (5) на стр. 516. Возьмем сначала аргументы а — %
и а. Тогда в нашем примере получим
V (а— +) = 0,000 0000.00,
"/ (я) = 1 — 0,000 1644.123 — 0,000 0001.379 = 0,999 8354.50.
Эти значения должны быть внесены в таблицу. Следующие значения для '/
нужно получать последовательно, суммируя с ближайшим значением f, а именно:
У(я+Т) = V(«-4)+m;
У(«+1)=
'/(« + •*)+/(« +1) » Т. д.
Совершенно подобным же образом можно получить последовательно значе-
ния "/, суммируя уже вычисленные значения с ближайшим значением У; так, на-
пример, находим
"/(«+ 1) = »/(а)+у(а + У) «т.д .
Вычисляя интегралы, мы должны пользоваться формулами (8) на стр. 517 .
Получим тогда следующие значения:
а+4
J=
0,017 5237.64 — 0,000 0057.63
—
0,000 0000.04 =
—
0,017 5295.3,
(1+ 4
fj = + 0,960 6096.65 — 0,000 3159.24
—
0,000 0000.62 = + 0,960 2936.8.
Точность вычислений, подобных предыдущим, зависит от величины
интервала.
При тщательных вычислениях численное интегрирование дает очень точные резуль-
таты даже и в том случае, если оно распространено на большое число интервалов.
Приведенный нами пример численного интегрирования сравнительно простой.
Мы допускали, что функция /(/) может быть вычислена для любого числа
интервалов. Но метод наш может иметь более широкую область применения.
Его можно применять не только для интегрирования функции, значение которой
определяется заранее для данного аргумента; метод этот можно равным образом
применять и для интегрирования уравнения вида
•£=/(*'
0.
в котором нельзя предвычислить заранее значение функции /(х, t); но в таком
случае мы должны шаг за шагом определять значения х и /(лг, /) при помощи
наших формул интегрирования. Сейчас мы и перейдем к решению такой задачи.
11-іі пример. Численное интегрирование
дифсренциального
уравнения
вто-
рого
порядка. Для примера остановимся на интегрировании такого уравнения:
1) численное значение которого получается по возможности просто и 2) которое
может интегрироваться в элементарных функциях; таким образом, мы сможем
легко проконтролировать правильность результатов, полученных нами путем
численного интегрирования.
Возьмем для примера диференциальное уравнение
в котором k — постоянная величина. Допустим, что £2 = 0,003 9478.43 (следо-
вательно, lg /е2 = 7,596 3598 — 10); будем интегрировать наше уравнение при
допущении, что х (а следовательно, двойной интеграл) при /=0 имеет значение
-f - 1,000 0000.00, а ^
(следовательно, простой интеграл) при / = 0 имеет значе-
ние 0,000 0000.00.
Начинать вычисления приходится всегда при помощи последовательных прибли-
жений. В нашем случае мы можем, например, поступить следующим образом.
Пример подобран так, что за интеграл t можно принять единицу. Так как
$).-«•
то мы можем принять-, что значение х вблизи t=0 будет изменяться очень мало,
поэтому мы предположим, что на весьма близком расстоянии от значения „
/=0
.v будет оставаться постоянным, и примем его значение равным единице в первом
приближении.
Составим таблицу разностей, причем значение /=0 поместим между двумя
аргументами а =
—
1 и а = 0. Мы приняли, что для начала вычислений л; будем
ли
считать постоянным; в таком случае при аргументах а =
—
2,«——1,а—О,
ß=
- |-l наше диференциальное уравнение (1) примет для
следующие значе-
ния:
а
—
2
—
1
0
+1
,_ (рх
1~dt2
—
0,003 9478.43
—
0,003 9478.43
—
0,003 9478.43
—
0,003 9478.43
Z1
0,000 0000.00
0,000 0000.00
0,000 0000.00
0,000 0000.00
0,000 0000.00
0,000 0000.00 (2)
В дальнейшем при вычислении будем пользоваться семизначными логарифмами.
Чтобы не писать лишних нулей, примем за правило выписывать только единицы
седьмого десятичного знака.
В таком случае, считая для начала вычислений х постоянной величиной, мы
получаем, что при вычислении исходного значения для первой и второй сумм
и для вычисления двойного интеграла для всех четырех заданных аргументов все
необходимые нам разности равны нулю.
Выпишем их в таблице такого вида:
„
іГ-х
.
/=dP
—
2
—
1
0
+1
—
3 9478.43
—
3 9478.43
—
3 9478.43
—
3 9478.43
Z1
0.00
0.00
0.00
/"
0.00
0.00
0.00
0.00
/ш
0.00
0.00
0.00
ит.д.
(3)
Для" вычисления значений сумм '/( —
~) и 7(0) мы будем пользоваться
следующими формулами (см. стр. 516):
967 680
(4)
Внашем случае А= 0,5 = 1 и w= \, всилу чего формулы(4) принимают
следующий вид:
7 (0)= 14-1/ (- 1)-5-Ц-0 {2/7- 1)4-/"(0)) +
+Ä
(3/Ѵ С-
+
(0)}-
...
Но из таблицы разностей мы имеем
/(—1)=
—
3 9478.43,
а все разности (предварительные их значения) равны нулю. Поэтому уравнення
(5) примут следующие значения:
УН)-» .
" / (0) = 1,000 0000.00
—
0,000 1644.93 = + 0,999 8355.07.
Примем теперь эти значения за исходные; вычислим, пользуясь ими, значения
первых и вторых сумм (согласно указаниям на стр. 513) и составим затем таблицу
nOQUnfTfld TOl/nrn г, 11 II о *
3
разностей такого вида:
а
—
2
—
1
+1
+2
+ 0,995 8876.64
+ 0,999 8355.07
+ 0,999 8355.07
+ 0,995 8876.64
+ 0,987 9919.78
У
+ 0,003 9478.43
{ 0,000 0000.00
—
0,003 9478.43
—
0,007 8956.86
1
лр
—
3 9478.43
—
3 9478.43
—
3 9478.43
—
3 9478.43
/'
0.00
0.00
0.00
/"
0.00
0.00
0.00
0.00
,1 11
0.00
0.00
0.00
(6)
При помощи формул для интегралов на стр. 517 мы можем теперь получить
двойные интегралы выражения ~
для выбранных нами четырех аргументов,
т. е. мы получим теперь новые значения для х при этих четырех аргументах,
но значения эти будут уже более точными, нежели принятое нами предваритель!
ное значение для х, когда мы считали, что х — величина постоянная и равна 1.
Итак, на стр. 517 мы имели формулу
ff f(x)dx'
=
" /(a)+)2/(a)-Xf Ж+Ѵ0/No (а)...
(7)
На основании эгой формулы получим следующие значения интегралов для
наших четырех аргументов:
fir*
(_ 2) + 0,995 8876.64
—
0,000 3289.87 = + 0,995 5586.77
(— 1) + 0,999 8355.07 — 0 ,000 3289.87 = + 0,999 5065.20
( 0) +0,999 8355.07 —0 ,000 3289.87
=
+ 0,999 5065.20
(8)
(+ 1) + 0,995 8876.64
—
0,000 3289.87 = + 0,995 5586.77
С этими значениями для х вычислим при помощи уравнения (1) значения
—
•
-
dt*
для тех же самых четырех аргументов (вычисления будем производить с семью
знаками); расположим результаты вычислений в следующей таблице, в которой
приведем также и разности (числа, стоящие выше и ниже проведенных в таблице
наклонных линий, соответственно равны между собой).
—
2
—
1
0
1~dt*
—
39303.08
—
39458.94
—
39458.94
f
— 155.86
0.00
+ 155.86
+1
—
39303.08
/ш
/,�
0.00
0.00
0.00
0.00
"о .оо
0.00
0.00
О)
Теперь мы переходим ко второму приближению. В первом приближении мы
принимали псе разности равными нулю.
^
Во втором приближении
допустим, что третья разность /
и разности выс-
ших порядков равны нулю. В таком случае из таблицы разностей мы видим,
чт0 /и(+1) = 155.86 (этой же величине равно также/" ( — 2). Таким образом
мы получаем значенне для/11 ( +1) при помощи
экстраполирования.
Повторим теперь все вычислительные операции с новыми значениями. Вычислим
при помощи составленной выше таблицы разностей значения для1/^ — у)и"/(0)
и на основании их
получим значения '/ и "/ для остальных аргументов. Мы
получим но формулам (5) следующие величины:
І/( — і) = 0,000 0000.00,
"/(0) = 1 — 0 ,000 1644.12
—
0,000 0001.38 = + 0,999 8354.50
и составим тогда таблицу разностей:
i«-
f^d'
x
//п
/1П
fw
1
dt-
2 +0,9958895.56
— 393 03.08
155.86
+ 0,003 9458.94
55
-
°-
00
—
1 +0,999 8354.50
.
-394 58.94
'
+155.86
I 0,0000000 .00)
0.00
0.00
0 (+0,999 8354.50) 1
- 39458.94
+155.86
1
'
— 0 ,003 9458,94
'
0.00
+1
+0,995 8895.56
—393 03.08155.86
(10)
На основании полученных в этой таблице значений, при помощи формул (6),
вычислим величины двойных интегралов.
Я-
—
2 +0,995 8895.56
—
0,000 3275.26
—
0,000 0000 .65= +0,995 5619.65
—
1 +0,999 8354.50 —0 ,0003288.24
— 0,000 0000 .65 =+0,9995065.61
(11)
0 + 0,999 8354.50 — 0 ,000 3288.24
—
0,000 0000.65 = + 0,999 5065.61
+ 1 + 0,995 8895.56
—
0,000 3275.26
—
0,000 0000 .65 = + 0,995 5619.65
Затем мы можем перейти к третьему
приближению.
С полученными значениями для х вычислим опять по формуле (1) величину
d*x
функции f—-dу2- Д
ля
четырех наших аргументов:
/=
d*x
dt-
—
2 —3 9303.22
—
1 —3 9458.94
0 — 3 9458.94
+1
— 3 9303.22
d-x
(12)
Сравнивая эти величины с значениями /=
в таблице (10), мы видим, что
для аргументов—1 и 0 значения для / остаются те же самые; для аргументов
—2 и +1 они изменяются очень мало. Составим таблицу разностей, вычислив вели-
чины дли У и "/ и экстраполируя значения разностей для других аргументов.
—
2
—
1
О {+ 0,999 8354.5о)
+1
+ 0,995 8895.56
+2
+0,9880133.40
/=(тх
dt-
j 0,000 оооо.оо]
—
0,003 9458.94
—
0,007 8762.16
-3 9303.22
-3 9458.94
+ 155.72
—155.72
0.00
0.00
+ 155.72
0.00
0-
00
-3 9458.94
+
155.720.00
+ 155.72
^^^"аоо
-3 9303.22
^^+155.72 -
O.Off
+ 311.44
0,00
- 38991.78
+ 155.72
(13)
Если произведем еще одно перевычисление, то уже не получим новых значений
для /== — —; и таким образом мы достигли критической точки в вычислениях.
Значение "/для аргумента а = 2 мы получаем при помощи непосредственно
вычисленных величин. Значения /ѵ
,
/", / мы можем теперь с достаточной точ-
ностью экстраполировать; следовательно, в нашем распоряжении имеются все
данные, чтобы вычислить при помощи формул (7) и (1) более точное значение
функции
,
d"- x
/= -^тгДЛя аргумента а — +2;
при помощи этого значения мы получим исправленные величины экстраполированных
разностей. Если подобрать подходящей величины интервалы, то ошибки вычисле-
ний разностей при помощи экстраполирования могут быть сделаны настолько малыми,
что дальнейших вычислений с приближениями больше делать уже не понадобится;
таким образом мы продолжили наши вычисления еще на один шаг вперед, получив
значения функции до аргумента а =+2
включительно.
Теперь нам уже ясно, как распространить интегрирование дальше: мы вновь
должны произвести " экстраполирование разностей, проведя в наших таблицах
косую линию на один интервал ниже; с этими экстраполированными разностями
при помощи значения функции /=~г,
вычисленного для аргумента а=
+3,
получим по формуле (7) действительное значение х для этого аргумента. Таким
же способом мы будем поступать шаг за шагом и дальше.
Диференциальное уравнение, решение которого при помощи численного инте-
грирования мы сейчас рассматривали, имело вид
dC-
КХ-
(14)
Но это диференциальное уравнение, как мы уже говорили, можно интегриро-
вать в конечном
виде при помощи элементарных функций; интеграл
его
имеет вид
,
х== a cos (А/-} ~ ß),
(15)
где а и ß — постоянные интегрирования (а всегда можно считать положительной
величиной).
Таккаквнашем примере*0= 1и
= 0, то, следователыю, для опреде-
ления постоянных интегрирования мы будем иметь следующие условия:
1=acosß
(16)
rtb ein (ht 4- RY
dt
итаккак4т-=—
а/г sin (/г/-{ -ß), то мы получаем
0=
—
а/г sin ß,
(17)
откуда находим
ß=0иа=1;
(18)
подставляя эти значения в выражение (15), получаем
x= coskt.
(19)
Но в нашем числовом примере мы приняли, что
k2 = 0 ,003 9478.43 ,
откуда мы находим, что
k = 0 ,062 8318.5;
(20)
или выражая его значение в секундах дуги (т. е . умножив
на 206 264,8),
получаем
k= 12 960",00 = 3°36'0",00.
(21)
Иными словами, это значит,
что наше диференциальное уравнение,
при
заданных величинах для постоянных интегрирования, удовлетворяется при помощи
функции
x = cos (3°36 '0 ",00/).
(22)
^Сравнивая это выражение с таблицей разностей на стр. 530, мы убеждаемся,
что рассматриваемый нами числовой пример как раз и есть именно тот, который
изображается этой таблицей разностей.
(
Теперь легко исследовать при помощи выражения (22) точность значения х,
полученного при помощи численного интегрирования. Чтобы дать представление
о точности, с которой получено значение х, приведем здесь конечный результат
численного интегрирования до седьмого знака нашего диференциального урав-
нения (1), произведенного через 25 интервалов. При численном интегрировании
для / = 25 мы получили значения
*=
—
0,000 0001.16 ,
=
—
0,062 8318.56 .
На основании точного решения диференциального уравнения для того же
значения /=25 имеем по формуле (22)
л: = 0 ,000 0000.00,
=
—
0,062 8318.53 . •
Мы можем пойти еще дальше; можно производить численное интегрирование
системы диференциальных уравнений и притом диференциальных уравнений любого
порядка. При определении с помощью численного интегрирования орбит в задаче
о трех телах мы можем, например, схематически представить, что дело сводится
к интегрированию диференциальных уравнений следующего типа:
•%Г=/(.х,у ,хѵуі),
^•
=
ф(.х,у,хѵу1),
d3x
сРу d2x, ,(Ру\
для получения интегралов
,
, —^г,
надо составить шаг за щагом
четыре таблицы разностей.
и
=
(23)
В „ограниченной задаче" (problème restreint, см. § 185) дело идет об одновре-
менном интегрировании двух уравнений, т. е . о составлении двух таблиц сумм
и разностей.
Возьмем опять по возможности простой пример, в котором, как и в 11-м
примере, можно легко получить контроль численных вычислений.
12-й пример. Интегрирование
системы двух полных диференциальных
ура-
внений:
d-x
к*х
d-y
k-y
dt» —
г3
и
' dt*
гдег-=
х2-\-у2.
Предположим, что к2 имеет значение к- =
0,003 9478.43 (как и в 11-м примере)
и что начальные значения функции при t — 0 удовлетворяют условиям:
*0= +1,0000000.00,
у0=
0,099 0000 .00,1
§1=
0,000 0000 .00 , (4f)o =
+0,062 8318.53. }
<24)
Мы видим, что уравнения (23) представляют собой диференциальные уравнения
относительного движения в задаче о двух телах (см. стр. 220). Начальные
условия (24) подобраны так, что мы имеем здесь дело с частным случаем дви-
жения— с движением по окружности. Применим к решению задачи способ числен-
ного интегрирования; мы вынуждены были бы прибегнуть к этому способу в том
случае, если бы не могли проинтегрировать эти диференциальные уравнения
аналитическим методом.
После подробного разбора более простого случая применения численного
d-x
интегрирования (интегрирование дифереициального уравнения
—
—
к-х)
нам
уже не представится никаких затруднений в понимании метода вычислений в более
сложной задаче интегрирования уравнений (23). Поэтому ограничимся только
изложением вкратце самой схемы метода.
В первом приближении для четырех первых значений аргумента
мы можем
принять X постоянным,
равным 1; значения для у мы тогда вычислим при
помощи значения у0 = 0,000 0000.00 и значения постоянной скорости (-^г)
=
=
+0,062 8318.53 или же, как и в предыдущем примере, принимая / = 0, при
значении аргумента а —
—:
а
x
у
—
2 1,000 0000.00
—0,094 2477.79
—
1 1,000 0000 .00
— 0,031 4159.265
0 1,000 0000 .00
+0,031 4159.265
+ 1 1,000 0000.00
+0.094 2477.79
Из уравнения г-
=
х- ++'
мы вычислим четыре значения для г (впрочем
значение г в нашем случае при окончательном вычислении окажется постоянной
величиной, равной 1). Зная величины х, у и г, мы вычислим при помощи двух
диференциальных уравнений (23), значения
н~
для четырех аргументов.
Составим затем две таблицы следующего вида: одну для х, а другую для у:
Чх
Чх
fX=
'J, IX1
fx
и
/// Чѵ /,/=S
Z//1 О/11
Эти две таблицы можно постепенно, шаг за шагом, продолжить вверх н вниз
для(других значений аргумента. В обеих таблицах вычисления производятся в том
же порядке, как и в 11-м примере; при этом надо только иметь в виду, что для
каждого аргумента мы, при помощи экстраполирования, должны сперва вычислять г
из уравнения г2 = х2—-у2 по полученным х и у, а затем значения функций fx =
и
f,j =
^jL . Все остальные вычисления производятся, как и в 11-м примере.
(Проделав все вычисления в 12-м примере, мы увидим, что таблица со значе-
ниями для X получится совершенно такая же, как и на стр. 530).
III. ВОЗМУЩЕНИЯ УЗЛОВ И НАКЛОНЕНИЯ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
В § 193—195 »мы говорили о диференциальных уравнениях для
шести
элементов орбиты, подверженной возмущающему действию, и в качестве примера
подробно рассмотрели уравнение для элемента а.
Диференцнальное уравнение какого-либо элемента орбиты возмущаемого тела
заключает в себе, как мы уже видели, вправо от знака равенства частные произ-
водные по другим элементам от пертурбационной функции; например, для случая
da
dR
производную -^у .
Диференциальные уравнения различных элементов орбиты могут быть выражены
в разнообразных формах, в зависимости от того, как взяты частные производные
пертурбационной функции и в зависимости от других редукций. Так, например,
в вопросе о возмущениях узлов и наклонения орбиты какой-либо планеты,
производимых действием на нее другой планеты, могут быть выведены следующие
выражения, которые имеют большое значение при вычислении специальных возму-
щений (см. стр. 249):
dSb
к"miГ1
1\гsinи г
dt~у—\Р3
rp)sinі'-
1'
di ft"/«! ( 1
1\
.
0)
-УТ =
-
r—
-тг
s)ГCOSU•
dt уp\рв
г11
где к" — постоянная
тяготения, выраженная в секундах дуги; р, г, и и і — полу-
параметр орбиты, радиус-вектор, аргумент широты и наклон орбиты
возмущае-
мого
тела; тх — масса, гх — радиус-вектор и Ct — координата по оси OZ возму-
щающего
тела, 'причем
отнесена к плоскости орбиты возмущаемого
тела;
через р обозначена линия, соединяющая теЛа m и тѵ
как это всегда
нами
делается в формулах, в которые входят возмущения. Элементы орбиты возму-
щаемого тела іГЪ и і, о вычислении которых идет вопрос, должны быть отнесены
к какой-либо плоскости; обыкновенно их относят к плоскости эклиптики. Массу
Солнца, большую полуось земной орбиты н продолжительность средних суток,
обыкновенно, принимают за единицы массы, длины и времени.
В задаче, которую мы хотим здесь рассмотреть, т. е . в задаче о возмущениях
узлов и наклонения лунной орбиты, Земля принимается за центральное тело,
а Солнце за тело возмущающее. Соответственно этому, как мы сейчас покажем,
общий множитель в обоих уравнениях (1) к"тх
будет иметь другой вид,
нежели в том случае, когда дело идет об элементах орбиты какой-либо планеты.
При решении диференциальных уравнений для Л и і — элементов
лунной
орбиты, мы постараемся выбрать наиболее прямой путь. Остановимся.на элемен-
тарном способе решения; поскольку мы сочли нужным прибегнуть к известным
упрощениям при решении задачи, применяемый нами метод будет отличаться
преимуществом более короткого и простого решения вопроса, а кроме того,
потребует минимального количества вычислительного труда, и все же полученные
результаты будут весьма мало отличаться от истинных значений.
На фиг. 197 через Е обозначена Земля; значком d обозначена Луна; стрелка
указывает направление к_Солнцу; линия SI Р означает эклиптику, а Л d—орбиту
Луны. Отрезок линии ^ ([ означает невозмущенную скорость движения Луны по
орбите, а (Г (Г' изображает составляющую ускорения движения Луны перпенди-
кулярно к ее орбите, вследствие притяжения ее Солнцем за промежуток вре-
мени dt. Геометрическая сумма этих двух отрезков выразится через dd'; отре-
зок dd', совместно с положением Земли Е, определяют новое
невозмущен-
ное движение планеты с новым восходящим узлом орбиты: Si'
~Sl
-f-dSb и
новым наклонением орбиты: i' =
i-\ -di. В нашей задаче мы введем следующие
упрощения:
I. Примем, что невозмущеиное движение Луны вокруг Земли происходило бы
по круговой орбите с постоянной скоростью. Обозначим радиус такой круговой
орбиты через а.
II, Для
движения
Солнца
вокруг Земли
(вернее
Земли вокруг
Солнца) примем совер-
шенно такое же упроще-
ние. Радиус солнечной
орбиты обозначим через
ар, согласно высказанным,
выше соображениям отно-
сительно единицы длины,
примем я, =
і; отрезок £ (Г представляет собой невозмущаемую скорость движе-
ния Луны. На основании формул для движения по кругу в задаче о двух телах
мы получаем для этой скорости (см. § 36) величину:
"Иn
Фиг. 197.
—
__
kv 'dE+ »'d
dd
_/—
va
(2)
где mE—масса Земли и т^ — масса Луны.
Для того чтобы определить величину ускорения движения Луны по Напра-
влению, перпендикулярному к плоскости лунной орбиты, производимого Солнцем
за промежуток времени dt, будем пользоваться выражением (см. стр. 218):
k-Mr
где Л1Ѳ — масса Солнца (на чертеже £х — отрицательное).
Ускорение движения Земли под влиянием действия Солнца можно выразить
через:
-
'
к-мг.
а следовательно, ускорение возмущенного движения Луны вокруг Земли, при-
нимая, как уже говорилось, MQ = 1, будет равно выражению:
(3)
Произведем теперь следующие две операции: 1) найдем выражение для угла Ѳ
на фиг. 197 и 2) выведем значения dSb и di, соответствующие величине угла Ѳ.
Для абсолютного численного значения угла Ѳ мы из чертежа получим выражение:
1
dd
(4)
откуда на основании формул (2) и (3) найдем
,_
куа
у'%+"'<[ (И)*
dt.
(5)
Чтобы вычислить углы dSb и di, рассмотрим два сферических треугольника
SI (LP и SI'(LP на фиг. 197, где Р изображает проекцию d на эклиптику.
Второй треугольник отличается от первого на величины весьма малые, которые
могут быть выражены через диференциалы; угол Р ( = 90°) и сторона р — общие
для обоих треугольников (следовательно, dP и dp можно принять равными нулю),
a rf<I» имеет то же значение, как и угол Ѳ.
На основании третьей и четвертой формул системы (4) диференциальных
формул сферической тригонометрии, приведенных на стр. 39, находим
«ѵ—1
(6)
di=
—
cos и • Û!<I\
Принимая во внимание, что d<І> на фиг. 197 имеет знак, противоположный
знаку С1Э получим на основании формулы (5):
dt
dSb
кVa
(1_1\ sin и
.
Vme+»'<l ѵр3
r
Ts
'
mi
dl
kVa
iL
l\COSu. C..
dt
\
r
T
(7)
Согласно намеченному нами упрощению I, мы можем в формуле (1) положить
г=
р==а.
Тогда мы видим, что уравнения (7) и (1) тождественны друг другу,
если не обращать внимания на изменение множителя, заключающего в себе массу.
Изменение этого множителя происходит оттого, что в нашей задаче Земля
рассматривалась как центральное тело, а Солнце — как возмущающее тело; в пла-
нетной системе центральным телом является Солнце, а каждая планета действует
как тело возмущающее.
Преобразуем теперь уравнения (7) так, чтобы их можно было интегрировать
непосредственно. Так как в нашей задаче г у — постоянная и равна аи то полу-
чим (см. стр. 540):
pa=
û^1_2£cos?+^);
принимая ах =
1, выражение это преобразуется в следующее:
р2=1 —2acos« + a2,
(8)
где «p угол между радиусами-векторами Луны и Солнца. Разложим это выраже-
ние в ряд по биному Ньютона; тогда
^
^
III. Пренебрегая высшими степенями малой величины а ^ = 339, см. стр. 191J,
получим:
А.=
1-4-За cos о,
Р
'
a следовательно,
'
^-^
=
7-l
=
3acos<p.
(9)
Произведем теперь еще одно упрощение:
IV. Вследствие того, что наклонение лунной орбиты к эклиптике очень малб
(в среднем около 5°9'), мы можем в первом приближении в выражении для cos <р
не принимать его во внимание. Для аналогии обозначим через их дугу в плоскости
эклиптики от точки Si до радиуса-вектора Солнца и напишем тогда следующее
простое соотношение:
<?=«—«,.
(Ю)
Предположим заранее, что Луна в момент 7 = 0 проходит через восходящий
узел своей орбиты; обозначим через jx „ jx, угловые скорости ее движения; тогда
получим (подобно тому, как и в формулах задачи о двух телах):
и=
[J./,
I
=
+
(11)
" — "і=(р—Fi)'—и].I
,
Для С, — координаты Солнца по оси Z относительно плоскости лунной орбиты —
имеем из фиг. 197:
=
—«i sini sin
=
—
sin i sin K,.
(12)
Из выражений (7) и (9) можно получить следующую систему'формул:
dSi _
Зк"аУа
dt—
лг
sin
"
sin
"i
cos (" — «l),
di
3k"aVa
.
.
at =-
ут^щ;sm
1 cos
"
sm
cos
(» - '+)•
(13)
Пользуясь некоторыми преобразованиями элементарных тригонометрических
формул (см. стр. 36), мы получим:
dSi
3 к"аУ<і f.
i
"зг
~
4VT^+aq j1 -
cos
-
cos 2в+
cos 2 <«-
«i>}.
di
3к"аУИ [. n
.
.
n
r
\
^
=
vme
+m<[f"12
">+Sin2
"~
sin 2 («-".)] sin l
(14)
Из этих формул мы сейчас же видим, что выражение дляпомимо перио-
дических членов имеет еще один (отрицательный) постоянный член, а выражение
ДЛЯ ~dt имеет только периодические члены.
Интегрируем теперь выражения (14); тогда, приняв во внимание формулы (11)
и обозначая множитель 3
через с, полѵчим:
4уО"я + '«<[
3
-
«а = Л0 —G/-f
~
Sin2м,+ £ sin2«_
sin2(U- и,),
;
.• iсsinZ
_
.
сsinІ
сein;
cos2мj+ _
cos 2« -27-ІШІ_ cos 2 (в _
„j.
(15)
T'- 2ІГ —
—
Из произведенного нами исследования вытекает следующее важное следствие:
узлы лунной орбиты в среднем перемещаются вдоль орбиты обратными движе-
ниями с периодическими колебаниями; наклонение же лунной орбиты подвергается
только периодическим колебаниям (см. стр. 197).
Для вычисления численных коэфициентов в формулах (15) мы можем пользо-
ваться следующими величинами:
lg£" =
3,55001 (стр. 227), }х = 47434", 89
,
"
=
Ж
(СТР- 191)> ^ =
3 548",19 (стр. 227) '
тЕ= 1:332 270(стр. 291),
-х—
.х, =
43 886",70
(16)
"
1Ч = 8І~6 ШЕ (СТР- 199), (Для вычисления ц берут среднюю
,- _r;oQ/
1П7.
продолжительность сидерического
(стр. 1У/),
месяаа, см. стр. 107).
Вычисление первого члена в формуле (15) производится следующим образом
(так как делители в коэфициентах периодических членов выражены в секундах
дуги, то их надо умножить на величину р = 206 264", 8):
о= 198", 7
tel
9,87506- -10
lg £"
lg
3,55001
6,11508- -10
—
lg Уте~\~
т
ч
2,75810
lg О 2,29825
-lg 2 9,69897- -10
—
lg Fi 6,44999- -10
IgP 5,31443
g 2(x,
lgsini
3,76164
8,95310- -10
2,71474
=
5 776"
sinz= 518"
2fX,
Итак, обратное движение лунных узлов выразится в среднем величиной,
равной:
с =198",7 в средние сутки.
Для первого периодического члена в выражениях для Si и і будем иметь:
1°36'16" sin 2м,
и 8'38" cos 2м,.
Так как делители у коэфициентов периодических членов с аргументами 2м и
2 (и — м,) в выражении (15) очень велики, то самые коэфициенты превращаются
в весьма малые величины. Точное значение суточного обратного движения узлов
лунной орбиты равно:
о = 190",77.
Таким образом значение для суточного движения узлов, вычисленное на
основании приведенной нами упрощенной теории, отличается от истинного зна-
чения всего на 4°/0 своей величины. Для первого периодического члена в выра-
жении для Si или для і ошибка не превышает 2°/0. Итак, мы видим, что наша
теория для первых членов возмущений элементов Л. и і дает хорошие результаты,
несмотря на целый ряд допущенных нами упрощений (см. выше пункты I—IV,
к которым можно добавить еще упрощение V: мы все время молчаливо подразуме-
вали, что элементы орбиты в уравнениях для возмущений остаются постоянными).
IV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ
Некоторые теоремы из теории вращения трердого тела. Ниже мы приводим
несколько теорем из аналитической механики относительно вращения твердого тела.
I. Внутри каждого твердого тела, в определенном месте, находится его центр
тяжести.
И. Внутри твердого тела через его центр тяжести в определенном напра-
влении проходят три главных оси инерции. В некоторых отдельных .случаях су-
ществует бесчисленное количество таких осей. (Например,- у однородного эллип-
соида вращения таковыми служат полярная ось и любая экваториальная ось;
у однородного шара — любой диаметр.)
III. Примем, что начало координат находится в центре тяжести тела; оси коор-
динат направлены по главным осям инерции; обозначим через х, у, z координаты
некоторого элемента массы dm. Тогда можно установить следующие теоремы:
условия центра тяжести:
J xdm=
j*уdm= Jzdm = 0,
(1)
условия осей:
Jyzdm—j zxdm—Jxydm=0.
(2)
Для главного
момента инерции (т. е . момента инерции относительно глав-
ных осей инерции) мы получим следующие выражения:
/1=J(/+-z2)dm.; В=J(x2+ z2)dm; С=J(x2++)dm
(3)
Интегралы выражений (1), (2) и (3) должны быть распространены по всему
объему тела.
IV. При любом вращательном движении тела мы можем для всякого данного
момента определить ось, вокруг которой в данный
момент
вращается тело.
Мы называем эту ось мгновенной
осыо вращения
тела; угловую
скорость
вра-
щения тела вокруг этой оси в дачный момент мы будем обозначать через ш.
Эту угловую скорость можно разложить на составляющие по трем осям коор-
динат: шр ш2, ш8.
Составляющие ш1} ш„, ш3 связаны между собой следующим уравнением:
Ш2 = Ш3_|_Ш2_}_Ш2.
(4)
V. Допустим теперь, что на различные элементы нашего тела действуют внеш-
ние силы; разложим внешнюю силу, действующую на элемент тела с массой dm,
координаты которого x, у, z, на составляющие; составляющие эти взяты на на-
правления тех же осей координат; обозначим составляющие внешней силы, дей-
ствующей на dm, через X, Y, Z.
Тогда для вращательного движения твердого тела мы сможем написать сле-
дующие диференциальные уравнения:
А
«л-
2су*-*7).
Bd-^Y(A-C)
o)8«j =
XZ),
Сd{f+(В- A)шіш2=
%(xY-yX).
(5)
Знак суммы в правых частях этих уравнений показывает, что уравнения рас-
пространены на большое число элементов твердого тела; если. же они будут
распространены на всю непрерывную массу твердого тела, то, конечно, знак
суммы надо будет заменить интегралом. Уравнения (5) называются
уравнениями
Эйлера.
VI. Рассмотрим теперь случай, когда иа тело и его элементы не действуют
никакие внешние силы. Тогда уравнения Эйлера примут следующий вид:
Ср+(В-А)шІш2= 0.
(6)
Вообще говоря, эта система уравнений может быть проинтегрирована; решение
ее дает три величины
©„ и ш8 в виде эллиптических
функций от времени t.
В частном случае, который как раз имеет большое значение в астрономии, бы-
вает, что два главных момента инерции равны между собой, т. е . А = В. Это
t
бывает тогда, когда мы имеем дело с однородным эллипсоидом вращения или
с эллипсоидом вращении, в котором плотности не остаются постоянными внутри
всего тела, но поверхности с одинаковой плотностью расположены симметрично
относительно полярной оси эллипсоида. Наша Земля, как мы знаем, может быть
принята с большой степенью точности за эллипсоид вращения, причем мы можем
предположить, что плотности в ней распределяются достаточно точно, согласно
приведенному выше закону. В таком случае для Земли мы можем принять, что В
приблизительно равно А. Тогда для нашего частного случая третье уравнение в си-
стеме (6) примет вид:
т. е.
о».. =
const.
(7)
Подставив выражение (7) в оба первых уравнения системы (6), получим два
диференциальных уравнения, интегралы которых могут быть выражены в виде
простых тригонометрических функций. Результат, получаемый при решении за-
дачи, может быть выражен в следующем виде: мгновенная
ось вращения
дви-
жется с постоянной скоростью, описывая поверхность кругового конуса вокруг
наименьшей оси (вокруг его самой короткой геометрической оси)
сплюснутого
эллипсоида
вращения (т. е. вокруг его полярной оси). Мгновенная ось вращения,
таким образом, с постоянной скоростью описывает окружность по поверхности
эллипсоида, причем центр этой окружности совпадает с геометрическим полюсом
эллипсоида. Период этого движения определяется для Земли числовыми постоян-
ными, входящими в нашу задачу, т. е . временем вращения и главным моментом
инерции А ( = В) и С. Вычисление дает для этого промежутка времени, назы-
ваемого периодом Эйлера, для Земли величину, равную 305 средних суток. Ампли-
туда движения мгновенной оси вращения вокруг геометрического полюса равна
постоянной
интегрирования
в нашей задаче; она может быть исчезающе малой.
Ее можно определить из наблюдений. Что касается Земли, то мы знаем, что
действительно существует весьма малое смещение полюсов, которое впрочем не
вполне соответствует по величине теории движения твердого тела (см. стр. 127).
Ввиду незначительных размеров этого движения для случаев, когда не требуется
особенной точности, можно принять, что вращение Земли происходит вокруг
оси, занимающей внутри Земли неизменное положение. Ось вращения Земли почти
точно совпадает с геометрической осыо фигуры Земли; это обстоятельство не
может быть случайным; оно имеет связь , с тем фактом, что Земля в своем
прежнем состоянии была жидкой (см. стр. 159).
VII. Среди следствий, которые можно вывести из уравнений (6), в особен-
ности надо отметить следующее. Допустим, что в данный момент вращение твер-
дого тела происходит точно вокруг главной оси инерции; например, вокруг оси
Z так, что ш8 в этот момент равна некоторой конечной величине, отличной от
нуля и что u>j = ш2 = 0; тогда мы можем показать, что если отсутствует воздей-
(іш i diu» d<іь .
ствие внешних сил, то все три производных
,
ибудут равны нулю; та-
ким образом ш8 будет сохранять все время одно и то же значение, а величины
<Dj и ша всегда будут оставаться равными нулю. Иными словами: если твердое
тело в данный момент вращается вокруг одной из своих осей инерции и не под-
вергается при этом действию каких-либо внешних сил, то в таком случае оно
всегда так и будет вращаться вокруг этой главной оси инерции. Главные оси
янерции называются также свободными
осями.
Согласно терминологии § 89, описываемое в пункте VI движение мгновенной
оси внутри тела можно характеризовать следующим образом. При каждом вра-
щении возникают центробежные силы. Эти центробежные силы производят обык-
новенно постоянное изменение формы вращения данного тела; но в некоторых
отдельных случаях, когда вращение происходит точно вокруг одной из главных
Ассрсшонэіл
35
Г?="'
ЦеНТРОбеЖГ С,,ЛЫ Так Разделяются относительно оси вращения
что в результате сами себя компенсируют.
і"»ч«іия,
Прецессия и нутация. Приведя выше основные теоремы из теории вращения
твердого тела, мы хотим теперь подробнее рассмотреть один частный?лучаГпш?
ZТгTM ТеЛ
°
ДеЙСТВУЮТ ТаКНе ВНеш,ІИе СИЛЬІ'
чт
°
в
Результате д и ?ни 'тел
будет сопровождаться явлениями прецессии и нутации. Мьі ограничимся рассм?
ТцииНИравнНы 'ÏÏÏÏS "НпТбоРГН0Г0 ДЛЯ ИаС СЛуЧаЯ
'
К0ГДа Два главнвіх момента инер-
ции равны между собой, и положим, что В = А .
Систему уравнений (5) мы можем написать в таком виде:
•щрьуіло
А Tit+ (С~А) ш2
ш
в=SСyZ-zY) =L,
Adi? — (C-A) ш3ш1 = ^(2Х- xZ) = M,
(8)
В этих уравнениях для краткости мы обозначаем
их правые части через L, M и N.
На фиг. 198 обозначим через О — центр тяжести
соответствующего тела; через Хи Yv Z, — главные оси
инерции; две из этих осей располагаются в плоскости
экватора; обозначим через dm—элемент массы внутри
тела; через х, у, z — его координаты; через /я, —мате-
риальную точку, расположенную в пространстве вне на-
шего тела, которая по закону Ньютона притягивает к
себе различные элементы массы, расположенные внутри
вращающегося тела; обозначим через xlt yv zx — коорди-
наты частицы /«,; все эти координаты отнесены к си-
стеме осей Xv Yv Z,. Обозначим, наконец, через г —радиус-вектор частицы dm
через г, — радиус-вектор частицы тх и через р — расстояние между dm и m.
'
Обозначим через £, -г\, Ç углы, • которые радиус-вектор г, образует с осями
координат; тогда координаты точки тх относительно dm будут равны:
(/-jcos£—x), (rxcos-г;—у), (гхcosС— z)
Фиг. 198.
рЗ= (Гіcos£—лг)2+ (г,cos-п
—у)2+ (г,cosс— z)2.
откинем постоянную
силы, действующей на
х=
m
^dm f7"1 cos
E~
x
)
(9)
Если мы для краткости откинем постоянную силы тяжести k2 то проекции
на оси координат внешней силы, действующей на dm, выразятся уравнениями:
Y m\dm {rx cos -g —y)
P3
m\dm (rx ccsС— z)
(10)
a для величин L, M, N мы получим выражения:
l = ^(yz-zy) =
mxj
m:
N-.
Р3
/•](ZCOSÇ —XcosС)
P8
rx (ЛГCOSY]—-y COSt)
dm,
(И)
Формулу (9) можно написать тогда в таком виде (см. стр. 258 и 541):
р2= гМ 1—у (х cos£-j-y cosT)—|—z cosQ+3).
(12)
или, разлагая + в ряд и откидывая члены с высшими степенями в соотношениях
между координатами материальной частицы, находящейся внутри нашего тела,
и координатами удаленной точки ти находим (стр. 541):
І=
+ (L +У(Х C0S&+YC0ST|+2C0ST)}.
Р Г1I
1
i
(13)
Интегрируя выражения (11), мы должны принимать за переменные только
координаты элемента массы dm, но не координаты внешней материальной точки тг
Подставим выражение (13) в (11) и тогда для первого из уравнений (11) по-
лучаем выражение:
L= ^JdinjуcosС—zcos«1+ 7[(ХУ cos
Сcos6—zx cos£cosт)
cos TJCOSС —
—yz cos2f; yz cos2С—z2 cos7)cos0j•
Принимая во внимание выражения (1) и (2), можно кратко написать:
L= +3- ^Jу*dm— J z2dni^ cos"ПcosС.
Из выражения (3) получаем:
jy2dm — jz2dm = C—B .
(14)
Составим соответствующие выражения для M и N в формулах (11) и заметим,
кроме того, что В = А] тогда для членов, находящихся в правых частях уравне-
ний (5), получаем следующие выражения:
L=
(С—A)cosт|cosС,
г
і
М=
—
^т(С—Л) cos & cos Е, -
(15)
г
і
N= 0.
Решение вопроса о прецессии и нутации, принимая во внимание опреде-
ленные условия жесткости, формы и распределения плотностей внутри Земли,
можно схематически изобразить в следующем порядке:
I. Так как N= 0, то третье из уравнений (8) можно написать так:
или, иначе,
S-о.
0)3 = const,
(16)
т. е. скорость вращения вокруг полярной оси есть величина постоянная. Оба
первых уравнения (8) примут тогда вид:
d<B3
3mt
З'«і,
(С—A) cos«) cos С,
Л^-(С-Л)ш8ш1=
—(С—A) cosÇcos
(17)
u)xd/=
—cosesdû— sin0sinиdty,
<u2dt =
—
sinсрdf)+ sin0cosсрЦ,
uiädt =
—
(1-й
—
cos Ѳ dty.
(18)
В нашей задаче угол 0 соответствует наклонению эклиптики; ф изображает
угол между направлением на точку весеннего равноденствия „ нап£в2емна
некоторую неподвижную точку на эклиптике; таким образом ~ и
-
предста-
вляют собой изменения в единицу времени наклонения эклиптики и положения на
ГГК:Г'
ВеСеНИеё° РаВНОде,,СТВИЯ
'
производимые притяжениями Солн?
и Луны, испытываемыми Землей, которая имеет форму, отличающуюся от шаро-
образной; Л представляет собой угловую скорость вращения Земли относительно
точки весеннего равноденствия, изменяющей свое положение в пространстве
нам 1СИСТеИЫ (17) " (18) пРедставла
'
от
^обой уравнения, решение которых дает
нам выражения для прецессии и нутации. Мы здесь рассмотрим только вкратцё
3 ГТИгТ6
ДеЙСТВПЯ' К0Т
°
РЫе П03В0ЛЯЮТ
"
ам
решить вопрос о вращении
небесной механике.ИЗЛ0ЖеИИе В°ПР
°
Са
ИС,£вТЬ В
литературе по
В окончательные формулы для прецессии и нутации входит величина
°~
А
в виде общего множителя [см. систему уравнений (171)]; эта величина зависит
от распределения масс внутри Земли. Но распределение масс внутри Земли
Применяя приемы разложения в ряд, которыми мы пользовались в задаче о двух
телах (см. стр. 233 236), разложим в ряды четыре функции
cosS, cos-n cos С-
crue. Вычисления производятся отдельно для
Солнца и. для Луны,
которые представляют
собой притягийающие тела.
Произведя такие действия, мы получим на
основании (17) систему уравнений, которую
можно проинтегрировать.
И. Выражения для со, и «в| которые можно
получить таким путем (ш3 имеет постоянное
значение), изображают вращательное движе-
ние тела относительно координатных осей
которые сохраняют
постоянное направление
внутри тела, но не в пространстве. Рассматри-
вая вопрос о вращении в общем виде, мы
можем составить три уравнения движения, при
помощи которых вращение вокруг главных
Фнг laq
осей инеРци»
может
быть сведено к двнже-
11,110 относительно
неподвижной в простран-
с
тве системы координат,
па фиг. 199 показаны соотношения между этими двумя системами координат
+>
Z\ — три главные оси инерции данного тела; X, Y, Z — три оси координат'
расположенные неподвижно в пространстве. Значение остальных обозначений на'
чертеже можно понять без дальнейших пояснений. В нашем частном случае мы пои
мем что плоскость
в определенную эпоху совпадает с плоскостью
/^«;
Система уравнений движения примет тогда вид:
глиптики.
неизвестно нам с достаточной точностью, а потому упомянутый нами множитель
нельзя заранее вычислить с полной точностью. На деле обыкновенно идут обрат-
ным путем (см. стр. 273): сравнив вычисленное на основании теоретических
соображений математическое выражение для прецессии с ее числовой величиной,
полученной из наблюдений, мы будем , иметь возможность определить вели-
с—а
чину упомянутого выше множителя —-—,
зависящего от распределения
масс
внутри Земли.
Из приведенных выше формул видно, что время вращения Земли должно быть
постоянной величиной, если Земля вращается как твердое тело. Этот результат
имеет чрезвычайно важное значение, так как продолжительность поворота Земли
вокруг своей оси служит единицей времени, на основании которой вычисляются
все движения в солнечной системе. Даже самые незначительные изменения в про-
должительности времени вращения Земли должны привести к несовпадению
результатов, даваемых теорией и получаемых из непосредственных наблюдений,
в особенности для Луны, как наиболее близкого к Земле тела.
И действительно, для движения Луны наблюдаются незначительные разногла-
сия между теорией и наблюдениями, которые объясняются изменением времени
вращения Земли. Отсюда приходится заключить, что Земля вращается не как
твердое тело (см. стр. 127 и 545). Надо думать, что внутри Земли происходят
смещения масс. Возможно также, что земная кора отделяется от внутреннего
ядра (смещение к западу по теории Вегенера); если вращения земной коры
и внутреннего ядра происходят с различной скоростью, то тогда должны про-
исходить изменения продолжительности суток. Незначительные изменения вре-
мени вращения Земли повидимому происходят скачками. Эти скачки по величине
порядка 0я,001, т. е. в 108 раз меньше продолжительности суток.
V. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЗРИТЕЛЬНОЙ ТРУБЫ
От источника спета, имеющего форму точки, объектив зрительной трубы
никогда не дает изображения, имеющего форму точки. Даже в том случае,
когда объектив не имеет никаких недостатков, происходящее в нем преломление
световых лучей имеет своим следствием то, что изображение такого источника света
приобретает конечные размеры.
Изображение светящейся точки, даваемое круглым-объективом диаметром о,
благодаря преломлению обладает формой небольшого диска, окруженного ди-
фракционными кольцами. Яркость этих дифракционных колец гораздо меньше
яркости диска. В дальнейшем мы будем пренебрегать дифракционными кольцами
и будем считать изображением источника света один лишь диск. Радиус р этого
диска выразится формулой: р = 1,22 Х/о, в которой буквой X обозначена длина
волны света. Выражая эту величину в секундах дуги, мы можем написать
р= 1,22-206 265" Х/о. Для X= 5600 А= 5,6 •10-'-
мы получаем р=14",1/о,
где о выражено в сантиметрах (см. стр. 345).
Когда две светящиеся точки находятся одна от другой на расстоянии 2 р, то
диски их изображений соприкасаются. В этом случае световые точки отчетливо
видны по отдельности. Опыт показал, что световые точки визуально различимы
еще и тогда, когда их взаимное расстояние составляет 0,8р—1,0 р. Поэтому вели-
чина р может служить мерой разрешающей силы зрительной трубы.
Если объектив обладает значительными дефектами, то разрешающая его сила
соответственно понижается. Однако следует отметить, что остаточные цветовые
ошибки ахроматического объектива (см. стр. 21), как показал опыт, не понижают
визуальной разрешающей силы его. Причина этого заключается в неодинаковой
чувствительности глаза к лучам различного цвета. Наблюдателю до известной сте-
пени удается освободиться от влияния окрашенных колец, порождаемых нерез-
костью изображения.
жчстся пФп
'
небесных
све
TMл
Разрешающая сила объектива понн-
следующим двум причинам: Изображения их вследствие неизбежных
небольших неправильностей ведения астрономической трубы (см стр 22) и всле?
Г
НпеСПОКОЙСТВИЯ В03ДуХа <СМ- § 39> отзываются несколько увеличенным , УГЛОВОЙ
V
у;—ого
таким образом изображения (звезды) обычно
оставляеё
ZoTo 1"' с!
Р1ТЩГЛЫІ0М Ведени
"
ТрубЫ "
при 0че,,ь
«покойном воздухе
-
!!Л'
і
присоединяется влияние рассеяния света в светочувствительном
слое фотографической пластинки. Даже тогда, когда лучи света koiZhZoZZ
в пятнышко, практически имеющее форму точки, фотографическое
изё^
с!б!/апД л!
МеТР П0 ме,,ьшеймеР
ев
0,03 мм. Это число относится к наиболее
ZnlZ
Fr!uA ' 6Ше ВЫХ0ДЯЩИМ на пластинке. Для более ярких звезд диаметр этот
ческого и обпФ!!Ге раССТОЯ,1ИетРУбы равно/жж, то линейный диаметрфотограі!
шё!х лРГ!РпП Г
ЗВеЗДЫ' ВЫраженный
в
""^лпметрах, при наличии исчезаю!
малых дефектов объектива, составляет по меньшей мере
Щ
dMM = 206265"+ 0.03 ММ.
+Г00е0Т"ВжТНЙ УГЛ0В0Й ДИаМ6ТР
выразится
"дующей величиной: dW-f-
вторит б°аЛЬ
п
ШИХ Ф°кусн
-
расстояниях первый член в этом выражении больше
Ли!!!
Г
МаЛЫХ ф0Кус,,ых
Расстоаниях второй член превосходит пеовый
Диаметр изображения р, получаемого вследствие преломления, всегда являётсёНTM
опѴеРд~
—ТчТсЯл СИЛа 0бЪеКТНВа ПР
"
ф0Т0ГРаФичес!и!наблюдаёшях
Z
/2 d} ""овательно, она значительно меньше разрешающей
Апё !
!0ЛЬШ0Й астР°номической трубы при визуальных !бшодеГях
сіедних оФ!TMРаФ
,
ИР0ВаНИИ ЗВСЗД С П0М0ЩЬЮ Рэйвов Цветовые деф кты по-'
лёешія звезд на Г^Г02'01 ГЧИТеЛЬНОе
Дополнительное увеличение изобра-
жения звезд „а фотографической пластинке. В пределах нормального интервала
а ДЛ"Н
°
0Л" С П0М0ЩЬІ°
«ерезГхь"
VI. СВЕТОСИЛА АСТРОНОМИЧЕСКИХ ТРУБ
ВИЗУАЛЬНЫЕ И ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Ко"Г°РУЖе,Ш0МУ
ГЛЗЗУ СреДНеЙ 30РК0СTM видимы звезды до 6-й зв
величины
ГрГ
Этот
=
a^'Â-Œ-zsïïïSsi
*
"P" использовании астрономической трубы с диаметром объектива
в о «Г равен 2,5 lg(o:0,7)2. Предельная звездная величина ++различимая в этом
случае при наблюдениях глазом нормальной зоркости, выразится формулоТ
m,ff
'=
6'"- j -2
m
,5 lg (о : 0,7)3 = 7'"-j -5'"lg о.
Так, например, для о = 40 см мы получим пі0) — 16'"
пР„
*
ВОЗ рефракторов доTM
„ринNoя
годарп поглощению его в стекле. Эта потеря у величайших объективов, в области
визуальных длин волн, составляет около половины звездной величины.
При фотографировании неба звездные величины зависят от диаметра объектива,
от величины той площади, на которую оказываются растянутыми наименьшие
звездные изображения (см. выше) и от продолжительности экспозиции. При работе
с нормальными фотографическими пластинками продолжительность экспозиции
необходимо увеличивать в 2'/„ — 3 раза для получения выигрыша в 1 зв. величину.
На стр. 558 —559 приведена "сводка предельных звездных величин, получаемых
при различных обстоятельствах.
Повышая при фотографировании звездного неба продолжительность экспози-
ции все более и более, с целью получения все более и более слабых звезд, фо-
тографическая пластинка оказывается все более и более завуалированной. Именно
эта вуаль и кладет верхний предел выгодной продолжительности экспозиции.
Причиной появления упомянутой вуали является свечение ночного неба. Даже
при полном отсутствии рассеянного света от освещения городов или селений фон
неба никогда не бывает совершенно темным. Рассеянный свет звезд, зодиакаль-
ный свет (см. § 246), полярные сияния и свечение самой земной атмосферы обу-
словливают свечение ночного неба. В среднем это свечение фона неба при отсут-
ствии постороннего света обладает яркостью примерно в 4м на квадратный градус.
Как это было объяснено на стр. 550, фотографическое изображение звезды
всегда занимает некоторую площадь, диаметр которой в благоприятном случае очень
большого фокусного расстояния равен z; эта величина z при средних условиях
видимости составляет около 5".
Следовательно, свет звезды оказывается распре-
деленным по диску площадью в 1/4тсг2, что составляет при средних условиях
видимости около 20 секунд дуги. Очевидно, что наличие звезды лишь тогда может
быть надежно доказано фотографическим путем, когда яркость фона неба в пре-
делах этого диска не превосходит значительно яркости самой этой звезды. Яркость
фона неба, равная 4'" на квадратный градус, соответствует яркости порядка 18'"
на 20 квадратных секунд дуги. При среднем спокойствии воздуха^ когда 2 = 5",
предельная фотографическая величина, следовательно, равна примерно 19—20'". Для
этой звездной величины яркость фона ночного неба уже примерно в
—6 раз
превосходит яркость звезд. При очень спокойном воздухе, когда 2= 1—2", возможно
продвинуться еще на 2 — 3'", достигнув примерно 22'".
VII. ДИСПЕРСИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЩЕЛЕВОГО ПРИЗМАТИЧЕСКОГО
СПЕКТРОГРАФА
В § 8 было описано устройство щелевого призматического
спектрографа.
В дальнейшем мы рассмотрим вопрос о дисперсии и разрешающей силе' этого
инструмента.
На фиг. 200 изображен путь лучей через равно-
бедренную призму, обладающую углом преломления Р
и коэфициентом преломления п. Угол падения лучей
на призму мы обозначим через a,, a соответствующий
угол преломления через 3t. Угол падения на вторую
грань призмы мы обозначим через ß2, а соответствующий
угол преломления через а2. Зная коэфициент преломле-
ния, мы из закона преломления света выводим следующие уравнения, выражаю-
щие а2 как функцию at:
кsinßj= sin3j, ß2= P —ßlt
silla2= nsinß2.
(1)
Угол, образуемый лучом, выходящим из призмы, с лучом, падающим на призму,
называемый углом отклонения призмы, выражается следующим соотношением:
,=
аі-|-аа __р.
(2)
de=day-fda2,
dat cos aa = dß2n cos ß._„
dß2=—dß1,
dßlncosß1 = dal cosar
(3)
Из этих четырех уравнений мы получаем одно следующее:
de = da.fl
—
соз
.-і
. çosjf]
'L
COSa2 'COSО]J*
(V
njz*:joZ zzltz z
ТооГоТ ~ r:
- ^тедретую
призму
SÄ ^Wl^LSHiP
казать, что это соответствует минимуму угла'отклоад.шя
ГК° Д
°"
UTnв призматическом спектрографе призма устанавливается в таком положении
««I одинаково вТ
««—••
призмы Ж
Zх"
ставляет собой объектив, „е вполне ахроматичный Вследстві TMл„шь лѵTM
шшшштшшт
ну ^посылаемого коллиматором, будет .«,
а
соответствующий угол отклоне!
Sü
паде
,,
ия
•
л
,
обого
(5)
равным' нѵліо^Тп??0« УГЛе отклонения
ВТ°Р°«
этого уравнения становится
?втютгпУ1
Р ТИЙ Млен его
'
а в еіде большей степени все последующие члены
являются исчезающе малыми вследствие того, что они содержат множУтелТми квад-
рат или же высшие степени малой величину (а,— а (0)).
При минимальном угле отклонения, когда a, L а„ , 0, =
0О уравнения m .,
упрощаясь, принимают следующий вид:
2
Pl
Р2'Уравнения
t1)и С2)'
ßi=ßa=
Ч2Р,
sin2tj= sinа2 =
nsinlJ2P,
e= 2ctj—P.
(6)
-J^ïttttZL'Si*
TM«ог„
угла откло-
c
«ÄÄS——
(7)
формулам (1) и (2) изменение угла отклонения е с изменением коэфициента пре-
ломления, но при постоянном угле падения ах. Мы получаем:
dnsinßj + dßj/zcos ßj = О,
dß2 =
—
dß,,
da2 cos ct2 =
dn sinß3-j-dß2n cosß2,
de = das,
откуда находим:
ds==dn[îlHh. +
S£lh. tgß.l.
(8)
[_ COS a.j 1 Cosa.,
ьRLJ
V'
В специальном случае минимального угла отклонения уравнение (8) в силу
уравнения (6) принимает вид:
ІІ=
2
ІІѴЖ
(9)
dn
COS aj
v
'
или
=
ot
(10)
dn
Vl—/^sin2'/u
P
Для вышерассмотренной призмы Я = 60° и «=1,5, мы из уравнения (10)
получаем: de/d«= 1,51.
Уравнение (9) может быть написано в весьма наглядном виде в том случае,
если мы введем в него ширину b падающего на призму светового пучка и длину
основания та призмы. Обозначив длину боковой грани призмы через а, мы можем
написать (см. фиг. 200) следующие два соотношения:
ô= ûcosaj и та = 2« sin1I2P,
(11)
из которых в силу уравнения (9) мы получаем:
Н-Т --
<12>
Уравнение (12) позволяет вычислить угловую дисперсию призмы при мини-
мальном отклонении как функцию изменения коэфициента преломления в зависи-
мости от изменений длины волны X:
dt
wdn
,10Ч
Т=Тdï•
-
(13)
Для флинтгласа величина d«/dX для спектральной линии D (X = 5893 А) имеет
значение, равное приблизительно 10а см-1
пли 10_G А-1
.
Величина d«/dX возрас-
тает с уменьшением длины волны приблизительно пропорционально Х-8
.
Для
флннтгласовой призмы с та =10 см и ô = 6,6 см (та/ô соответствует Я = 60°
и к =1,5) мы, приняв вышеуказанное значение d«/dX = Ю-6 А-1
,
получаем со-
гласно уравнению (13) de/dX = 1,51 • 10~5 А-1
или в угловой мере de/dX =
=
1,51 .10-G
.206 265" А
-1
=
3" À"1
.
^
Линейная
дисперсия d.v/dX спектрографа вычисляется из угловой дисперсии
путем умножения последней на фокусное расстояние камеры по одной из сле-
дующих двух формул:
dxde,
..
dl ~~dXУкамеры'
V1*'
dx
w_dn ,
,.. -к
dl
b dl '•'камеры*
Это следует непосредственно из рассмотрения изображения, получаемого
в фокусной плоскости камеры, отбрасываемого пучком параллельных лучей, накло-
ненных к оптической оси камеры на угол de (фиг. 201).
большТТоб
~
спектрографа определяется дисперсией и шириной
изображения щели в направлении дисперсии при
монохроматическом» освещении. Как показал опыт
две спектральные линии еще могут быть разде!
лены,
когда их взаимное расстояние в спектре
Фпг. 201.
равно половинной ширине d^H изображения щели
астрономической трубы на сто Я
nZZ'TM* 0ТН0сительно Разрешающей силы
ответствующих лин^й^ГраГи'тся'^рмулоГ ^
РЮН0СТЬ ДЛИ" B
°TM
"
С0"
А)
^щелп
(16)
sTM
S
"Г1Т
прГе"„„„П
~
а
,"й
ГІТТ
9Т0Г°
ширина изображения в фокальной плоскости'камеры'в^разится формулой
d—i f
b Лаиеры»
(17)
BTBHHML^
камеры мы "„e буд"е„
написать следующей приближеГсе coôT"S„e:
Р
?
'
"
"^3
S'M
"
"°
ЖЕ"
=
+
ям.
П81
J коллnu
д^
X
is
b
1
•
1
w (dn/d).) + 2" 7
m (finih-,\ + 0.015 мм -
f
/i
*
'
'
~J колли«
ш
midi.)
/каие Ры
» (<*«/#.) '
^
Уишолт tf спектрографа определяется следующим соотношением:-
/?-
Х
.
ДХ
(20)
чтСоЛИ,ппн
аПРлТР' ЧИСТ0Та
спект
Р°гР
а
Фа0 выражается числом 10 000, то это значит
что при длине волны, равной 5 000 А, еще могут разделяться книи раТность
длин волн которых составляет 0,5 А. Совсем узкие линии на фотографиях спектра
занимают в ширину промежутки, равные 2-0,5 А=1А.
Из уравнений (19) и (20) получаем:
2
1
Г.іі .?
Ь
,
0,015 мм
b1
R—w(dn/dl)L
2 >. /колЛнм
X
/Еамеры J '
В силу уравнения (21) максимальное значение чистоты спектрографа выражается
формулой:
Яшах= TM
(22)
Это значение достигается тогда, когда ширина 5 щели очень мала, а фокусное
расстояние /кписры очень велико. Как уже упоминалось, для флинтгласа у линии D
отношение d«/dX«103 см. Для призмы с основанием в 10 см мы, следовательно,
получаем /?шаі= 10 000. Для разделения обоих компонентов линии (см. стр. 364)
достаточна чистота в 5 900 А/6 A« 1 000. При достаточно узкой щели и доста-
точно длиннофокусной камере это достигается при длине основания призмы в 1 см.
Для того чтобы уяснить
0Штд
себе влияние конечной ши-
-г
/Г—^^
Шт
Ноллилтор
рины щели [второй член
J
\
"——__ ___ ___ _ j
——- д
уг
в уравнении (21)] и рассея-
ния света в светочувстви-
тельном слое фотографиче-
ской
пластинки
[третий
член
в уравнении (21)],
Фиг. 202.
мы рассмотрим следующий
случай. Пусть степень каждого из этих влияний на получающееся изображение щели
будет такой же, как и размер влияния преломления. В этом случае в уравне-
нии (21) и второй и третий члены, подобно первому, будут равны единице. Из
соотношения
11
2X
следует
1
(23)
pL.
(24)
Второй множитель в правой части уравнения приблизительно равен обратной
величине светосилы коллиматора (фиг. 200). А светосила коллиматора должна
равняться светосиле объектива трубы, к которой присоединен спектрограф, для
того, чтобы коллиматор был полностью освещен (фиг. 202). Это можно выразить
следующим соотношением:
°коллим
0тру6и
(25)
/КОЛЛІШ /трубы
Следовательно для того, чтобы иметь возможность использовать широкую
щель, мы должны выбрать и коллиматор и трубу небольшой светосилы. Если мы
для увеличения чистоты спектрографа уменьшим ширину s щели, то спектрограф
сделается менее светосильным. Изображение звезды, посылаемое щелью, устано-
вленной в фокусной плоскости используемой трубы, обладает эффективным угловым
диаметром г", размер которого в основном обусловливается неспокойствием воз-
духа (см. стр. 550—551). Соответствующий линейный диаметр • z
выразится
формулой:
2=
206 265" 'fтрубы '
'
(26)
При узкой щели лишь некоторая определенная часть изображения звезды
4s
освещает щель; мерой этой части служит отношение: — — .
Это значит, что при
556
ПРИЛОЖЕНИЯ
П0Л° чаёіГ В Ней ПР0ИСХ0ДИТ П0ТерЯ Света
-
Из УР-внений (24), (25) и (26) „ы
_іJL
± 200 265" 2Х
(27)
z
трубы
полУн;гм^-:0гг(см
-
стр
-
55о)>при
х
=
5оооа
» "Р"
-юо
*
иы
получаем
о,05. Следовательно, в этом случае примерно лишь 5% света
звезды проникает через щель в спектрограф.
,
/0
большую/чем" /ед^м^/'ур" знен?,(24) СПто7'Рч)истт,а І,спользуем ширину щели,
будет уменьшена согласноуравнению г
ЧИСТОта спектР°
г
Рафа тем
"мым
компенсировано увеличемеіZZZЩ Этоуменьше»
ие
светосилы может быть
зоваіпіем большего количеств/призм
(Д"ИНа W ее
°
СНОва,1,,я
)"
л
"
"споль-
^SSS^^
СВета
* светочувствительном
0.015 мм
b
1
Т^-1
'
(28)
в^зТчасГ^авгГТз"? мГ'Г
" T'Z
ВДИМ'
TM
в
отверстия камеры^ получаем:
'
ЗЯ * Прнблнз,1ТелЫ1
°
Р«вным диаметру
(29)
(30)
°к имррм
X
или
/камеры ~
0,015 ММ '
Окпѵоры
"
>,
/камеры
150 000 Â
мы ^^iÄ^ÄSrTMкамеры
равна
Есл
"
бы
графа оказалась бы ведьма малой ГГ!
светосилы, то светосила спектро-
б0льШГГир„Д
„~нежеж,ЛГ0"
П°ЭТ
°
Му
- по ль зуется
светосила камеры нежеёиZe^ZZTM уравнен
"
ем
<24)'
а
Рав
"°
и ббльшая
лишь цель достижения ' большей
т
Уравнением (30)" Когда
" Р—дуется одна
уравнивание второгоТтоетernLu
°
ПеКТра
'
Т° ЯВЛЯетСЯ
«««сообразным
ношение:
Р
Р ЬбГ° членов в Уравнении (21). Тогда мы получи/соот-
п
/коллим
л
_
.
_
.7
0.015 мм,
(31)
»камеры
Vй1/
откуда, согласно уравнению (26), мы вместо уравнения (27) получим следующее:
5
_
206 265" /коллим
1_
/камеры /камеры
Принимая в соображение уравнение (25), мы можем написать:
£ = 206 265" Холлом
1
л
„
z
z"
о
f
0)03 мм.
«9\
камеры J камеры
VöiV
А так как всегда соотношение
п
«
то это уравнение в окончательной^^ n^ZiTM^*
^
£== 1
600_ оквисры
2/2
7^Г'
(34)
—
__
» коллим
1
z
z"
Г
f
0.03 MM.
(32)
• камеры J камеры
\'
ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТАБЛИЦЫ
557
Напримердляг=5",о= 60смиßкамеры= 1
отношение
=
1, что значит,
J камеры
что в данном случае в щели не будет происходить потери света. Однако соглас-
но уравнению (21) чистота в этом случае составит лишь {]й0 максимальной чистоты.
Когда, например, с целью определения, лучевых скоростей предстоит измерить
точные суммы волн, ширина щели должна быть небольшой, несмотря на то, что
чистота и без того понижена в результате рассеяния света в эмульсии фотогра-
фической, пластинки. Это рассеяние света обусловливает лишь симметричное рас-
ширение спектральных линий, которое на точность Измерения длин волн влияет
мало, а при широкой щели центр освещения щелыо обрисовывается недостаточно
точно. В силу этого при плохом ведении трубы могут возникнуть систематиче-
ские смещения линий звездного спектра, относительно линий спектра земного
источника света (см. § 278), которые в свою очередь вызовут появление систе-
матических ошибок при выводе лучевых скоростей.
VIII. ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТАБЛИЦЫ
1 английский дюйм = 2 ,540 см
1 английский фут =12 дюймам = 30,480 см
1 сажень = 3 аршинам = 7 англ. футам = 84 дюймам = 2,13360 м
1 верста = 500 саженям = 1,0668 км
1 английская миля = 1 760 ярдам = 63 360 дюймам = 1,6093426 км
1 морская миля („узел") = 1.' по широте = 1,885 1096 км
1 туаз (прежняя французская мера) = 1,9490 м
1 см = 0,3937 английского дюйма.
1 м = 0,4686914 сажени.
те =3,141 5926 5
lg те =0,4971498 73
е
= 2,718 2818 3
Ige
=0 ,434 2944 82
=
57° ,295 7795
lg
=
1,758 1226 32
=
3437',746 77
= 3,536 2738 83
=
206264",806
=5 ,314 4251 33
Скорость света = 299 796 км/сек
Параллакс Солнца = 8",80
Среднее расстояние от Земли до Солнца = 149 500-000 км
Время, затрачиваемое светом для прохождения среднего расстояния от- Земли
до Солнца = 498я
,7 = О«7,00577
Постоянная нутации = 9" ,21 •
Постоянная аберрации = 20",47
Гауссова постоянная: /г = 0,01720210, \gk =8,235 5814
k"=
3548", 188, lg k" =
3,550 0066
Продолжительность года:
Тропический
год = 365
rf
,242 198 79 —0^,000 006 14 Т
Сидерический год = 365<*,256 360 42 + 0* 000 000 11 Г
Аномалистический год (промежуток между двумя последовательными прохо-
ждениями Земли через перигелий) = 365d,259 64134 -f - 0+000 003 04 Т
Грегорианский год (среднее значение) = 365d,2425
Юлианский год = 365
е7
,25
(Через Т обозначено число Юлианских столетий, начиная с 1900 г.)
Начало астрономического года (см. стр. 100): за начало астрономического
года (фиктивного
года, annus /ictus) условились принимать следующий момент.
Началом года считается момент, когда прямое восхождение среднего Солнца,
не освобожденное от постоянной аберрации, равно 280°. Согласно этому опре-
делению начало 1935 г. приходится на 1 января в 6"58»<108 6 МИРОВОГО
мени или, иначе, на январь 1*2904 мирового ВПРШЧ..,
ЧTM,
мирового вре-
так: 1935,0. Для начала' каждого cZyZeZToZ'
н Го ТолікѴ°&ЮГ
к моменту начала предыдущего года промежуток времени в течё і
Znn
прямое восхождение среднего Солнца увеличится повііо нТчбП»-
которого
почти в точности соответствует продолжал !!
'
ЭТ°Т
п
Р°межУTMк
365,24220 средних суток. Тогд'а по^ГдГна!
ас£о"^TM**'
^
*
дующие данные, выраженные во всемирном времени: астронош|Ческого
года сле-
1936,0 = 1936 янв. 1*5326
1939,0= 1939 янв. 1*2592
1937,0= 1937 янв. 0,7748
1938,0 = 1938 янв. 1,0170
1940,0 = 1940 янв. L5014
1941,0 = 1941 янв. 0 ,7434
Продолжительность месяца (средняя):
Синодический месяц
=
29* 530588 = 29*12*44'» 9« s
Сидерический месяц
=27
,321661 =27 7 43 11 1
Тропический месяц
=
27,321582=2774347
Аномалистический месяц
=27
,554550= 271318 яч1
Драконическнй месяц
= 27,212220 = 27 5 5 35,8
(промежуток между прохождениями через один и тот же узел орбиты).
Продолжительность суток звездных = 23*56'»4",091 в среднем времени
Продолжительность суток средних = 24»8->56*,5Б5 в звездном времен!
На основании исследований движения
Луны за последнее время можно с боль-
шой вероятностью утверждать, что про-
должительность звездных суток стечением
времеTM
несколько
уменьшилась (см
стр. 549).
ѵ
1 парсек = 30,84 X Ю12 км,
1 парсек = 3,26 светового года.
/?80\а "
ебе
.
Сная
с феР
а
охватывает
=
"Г 080)2^41253 кв. гра-
дуса.
Величина ошибки при определении положения светил с древних времен
до новейшего времени
н^ісм
Величина прецессии и наклонение
эклиптики (см. стр. 95—07)
Год
m
п
8
1900,0
1910,0
1920,0
1930,0
1940,0
1950,0
38,07233
3 ,07252
3 ,07271
3 ,07289
3 ,07308
3 ,07327
20", 0468
20 ,0460
20 ,0451
20 ,0443
20 ,0434
20 ,0426
23°27' 8",26
273,58
26 58 ,89
26 54 ,21
26 49 ,52
26 44 ,84
В древности
jQ/
Тихо Браге (стенным квадрантом) *.
0',5
Брадлеіі
2"
Современным меридианным кругом . . 0",35
Бессель (гелиометром)
о"2
Современным гелиометром ..'*!'" гум
Фотографией (Ретзефорд)
' ' (у/'08
Фотографированием при современных
условиях
.
.
0"025
Предельная величина звезд, видимых при различных методах наблюдений
Простым глазом видны звезды до . .
ПпУ,РЙіпРп^РаКТ°Р0М
РсФдектором)' с' отверстием объектива'зб 'см '
'
' 15 й величины
ffi
Î
объективом с отверстием 30 гж и экспозицией 30'»
'il
пЕ« ,&ра$"р0ВШ"Ш объективом с отверстием 100 см и экспозицией 30'» ' 7
Р"bÎchSS'30TM. К0Р0Т
.
К0Ф?КУС,,ЫМ объективом с отверстием 10 см и
"
'
Гп1',1°1
е
7'ЛцабЫе ЗВеэды
'
которые удалось до 'с.іх' пор' сфотографировать' ' ' 92-"й
Спектрографом со щелью и одной призмой при умеренной дЯрсіш (для
определения лучевых скоростей с точностью до несколы нх ю"ломётпов
в секунду); епбктрограф прикреплен к рефлектору с отве^тёём 'Тепкаёа
в 125 см при экспозиции в 30"' .
.
н
м
зеркала
Спектрографом без щели с одной призмой (для получения ' коротких 'спект-
ров при классификации звезд по спектральным классам); спектрГраФ п!!
креплен к рефлектору с отверстием зеркала 90 сж; экспозиция f"7 Р
8-й
Той же установкой, но экспозиция 3*
13-й величины
Объективной призмой (для получения коротких спектров при классификации
звезд); отверстие объектива 30 см\ экспозиция 3''
12-й
Рефлектором с отверстием 100 см и экспозицией 30'» можно определить
эффективные длины волн у звезд до
14-й
„
Колорнндексы могут определяться по фотографиям с голубым и желтым
светофильтрами, снятым 90-сж рефлектором при общей продолжитель-
ности экспозиции в 4'1 до
18-й
„
Эффективные длины волн могут определяться 100-сж рефлектором при
экспозиции 30я
'до
14-й
„
Поглощение света. В помещаемой ниже таблице приведены поправки, кото-
рые следует внести (со знаком —) в величину наблюдаемых звезд в зависи-
мости от их зенитного расстояния z, чтобы привести их к такой величине,
которую наблюдали бы, если бы звезды находились в зените (см. стр. 29
и 342). Числа эти даны для визуальных наблюдений. Лучи короткой длины
Аргумент: истинное
зенитное
расстояние
волны, которые сильнее всего действуют на
фотографическую пластинку, в большей сте-
пени поглощаются земной атмосферой. Вели-
чина поглощения при фотографических на-
блюдениях приблизительно в два раза больше,
чем приводимая в нашей таблице.
Стереоскопические снимки ближайших
звезд и орбиты кометы 1927 с.
Первый стереоскопический снимок пред-
ставлен на фиг. 203. На снимке изобра-
жено 205 звезд, расположенных
внутри
сферы, проведенной радиусом в 10,5 парсека
(т. е. радиусом, соответствующим расстоя-
нию, пробегаемому светом в 34,3 года). Эта группа звезд видна так, как если
бы смотреть на нее с некоторого пункта, находящегося по направлению іс север-
ному полюсу галактики (а = 190°; о = +28°) и на расстоянии 10 парсеков от Солнца.
Длина базиса, с концов которого как бы производились снимки, соответ-
ствует 10 парсекам. Диаметры звезд на рисунке подобраны так, что диаметры
более значительных размеров соответствуют звездам, более ярким, и наоборот.
z
Поглощение
z
Поглощение
0°
О"1
,00
60
0'»,23
10
0 ,00
65
0 ,32
20
0 ,01
70
0 ,45
30
0 ,03
75
0 ,65
40
0 ,06
80
0 ,98
50
0 ,12
84
1 ,49
60
0 ,23
88
3 ,10
*/
4
1 Солнце ,•
2 Сириус
'
3 Процион
4 Поллукс
t
5 Арктур
*
6а.
Центавра.
7веса .
8 Альтаир
9
Фоналыау/п
уО
бі '/s
Фиг. 203
Второй стереоскопический снимок (фиг. 204) представляет орбиты Земли
и кометы Понс-Виннеке (1927с). Орбита кометы вычерчена согласно следующим
ее элементам:
7*= 1927 июнь 21,16 мирового времени,
е — 0,68552,
w=170°23',
а = 3,3055,
98 10,
/7= 1,0395,
і= 18 57,
U— 6,010 лет.
Две прямые линии, проведенные на снимках, изображают линию узлов и линию
апсид. Точки на орбите кометы соответствуют моментам: /—1926 дек. 22 -
2—1927 март 22; 3—1927 июнь 21 (перигелий); 4—1927 сент. 22- 5—1927
дек
-
22; 6~Тп28
,"
ЮНЬ
22;
7—1929 июнь 22; 8-1930
нюнь 23 (афелий)-
9—1931 июнь 22 и 10—1932 июнь 22. Точки на земной орбите дают положения
Земли, соответствующие солнцестояниям и равноденствиям (/, дек. 22 и т. д .).
Фиг. 204.
ппЧ6РТеЖ
СЛеВа*ВНИЗУ ДЗеТ Увелнченное изображение той части
орбиты, где Земля и комета ближе всего подходят одна к другой. Земля прохо-
ÎSS Чгере937пересе4ение плоскостей орбит 30 июня 1927 г.,
а комета-29 июня
1927 г. ,
27 июня они находились ближе всего друг от друга. Снимок сделан
ПРИЛОЖЕНИЯ
/(запас
<ОИТ АКТ=
Фиг. 205- Карта видимости полного солнечпого затмения 31 августа 1932 г.
(по Берлинскому астрономическому ежегоднику на 1932 г.).
[/(западу от Гринвича
во
Фнг. 206. Карта видимости кольцеобразного солнечного затмения 24 февраля 1933 г.
(по Берлинскому астрономическому ежегоднику на 1933 г.).
ТАБЛИЦЫ РЕФРАКЦИИ
составлены по Пулковским таблицам рефракции (см. § 37)
Рефракции
При 0° С по внешнему и внутреннему термометру и при 760 мм атмосферного давленая
z! — видимое зенитное расстояние
2»
Ре-
фрак-
ция
Раз-
пость
с'
Рефракция
Раз-
ность
г!
Рефракция
Раз-
ность
г'
Рефракция
Раз-
ность
0°
1
2
0",0
1,0
2,1
1",0
1.1
1,1
1,0
1,1
45°
46
47
1'
12,3
14,5
2",1
2,2
О5
73° 0'
20
40
3' 14" ,8
318,8
323,0
4",о'
4,2
ЛQ
82° 40'
50
7'21 ",3
730,6
9",3
9,6
3
3.2
1",0
1.1
1,1
1,0
1,1
48
16,8ОА740327,3
*t ,о
4,5
4,8
ЛQ
83 0 740,210,0
10 ,5
10 ,9
11 ,3
11 ,8
12 ,4
'4
4,2
1",0
1.1
1,1
1,0
1,1 49
19,22,5
20
40
331,8
336,6
*t ,о
4,5
4,8
ЛQ
10
20
750,2
80,7
10 ,0
10 ,5
10 ,9
11 ,3
11 ,8
12 ,4
5
5.3
1.0
1,1
1,1
1,0
1,1
50
111,7 2 ,6
01
1|У
30 8И,6
10 ,0
10 ,5
10 ,9
11 ,3
11 ,8
12 ,4
6
6,31.0
1,1
1,1
1,0
1,1
51
114,3 2 ,6
01750341,5
346,6 5 ,1
5,3
5,6
5,8
6,1
6,4
40 822,9
10 ,0
10 ,5
10 ,9
11 ,3
11 ,8
12 ,4
7
7,4
1.0
1,1
1,1
1,0
1,1
52
117,0
z,/
оя
20
341,5
346,6 5 ,1
5,3
5,6
5,8
6,1
6,4
50 834,7
10 ,0
10 ,5
10 ,9
11 ,3
11 ,8
12 ,4
8
8,5
1.0
1,1
1,1
1,0
1,1
53
119,8 Z,0
оо
40 351,9
5,1
5,3
5,6
5,8
6,1
6,4
10 ,0
10 ,5
10 ,9
11 ,3
11 ,8
12 ,4
9
9,5
1.0
1,1
1,1
1,0
1,1
54
122,7 Z,У
3,1760
20
357,5
43,3
5,1
5,3
5,6
5,8
6,1
6,4
840
10
847,1
90,0
913,5
927,7
12 ,9
13 ,5
142
14 ,9
15 ,6
16 ,4
10
11
10 ,6
11,7 1 .1
1,1
1,1
1,1
1.1
55
56
125,8
129,1 3 ,3
4А
4049,4
5,1
5,3
5,6
5,8
6,1
6,4
20
30
847,1
90,0
913,5
927,7
12 ,9
13 ,5
142
14 ,9
15 ,6
16 ,4
12
13
14
12 ,8
13 ,9
15 ,0
1.1
1,1
1,1
1,1
1.1
57
58
59
132,5
136,1
139,9
о,4
3,6
3,8
4,1
770
10
20
415,8
419,1
422,5
3,3
3,4
4А
40
50
942,6
9582
12 ,9
13 ,5
142
14 ,9
15 ,6
16 ,4
1.1
1,1
1,1
1,1
1.1
57
58
59
132,5
136,1
139,9
о,4
3,6
3,8
4,1
30 425,9 à,4
3,6
3,7
3,7
RR
85 01014,6
17 ,2
18 ,2
19 ,1
20 ,1
21
22 ,1
15 16,1
1.2
1Л
1,2
1,1
1.2
60°(У 144,0
2,1
99
40 429,5
à,4
3,6
3,7
3,7
RR
10 1031,8
1050,0
17 ,2
18 ,2
19 ,1
20 ,1
21
22 ,1
1617,31.2
1Л
1,2
1,1
1.2
30
146,1 2 ,1
99
50 433Д
à,4
3,6
3,7
3,7
RR
20
1031,8
1050,0
17 ,2
18 ,2
19 ,1
20 ,1
21
22 ,1
17
18
18 ,4
19 ,6
1.2
1Л
1,2
1,1
1.2
610
30
148,3
150,5
Z,Z
2,2
9Ч78 0 436,9
à,4
3,6
3,7
3,7
RR
30
40
119,1
1129,2
17 ,2
18 ,2
19 ,1
20 ,1
21
22 ,1
19 20,7
1.2
1Л
1,2
1,1
1.2
620
30
152,8
155,2
2,4
О1
10
20
440,7
444,6
О»o
3,9
4,1
4,1
АЧ
50 1150,5
17 ,2
18 ,2
19 ,1
20 ,1
21
22 ,1
20 21,9
1,2
1,2
1,з
1,2
1,3
Z,0
30 448,7
О»o
3,9
4,1
4,1
АЧ
86 01213,0
23 ,1
25,
26,
28,
30,
32,
2123,11,2
1,2
1,з
1,2
1,3
63 0 157,7 ОR
40 452,8
О»o
3,9
4,1
4,1
АЧ
101236,823,1
25,
26,
28,
30,
32,
22
23
24 ,3
25 ,6
1,2
1,2
1,з
1,2
1,3
64
30
0
20,3
22,9
Z,0
2,6
9Я
50 457,1
4,4
20
30
132,0
1328,8
23 ,1
25,
26,
28,
30,
32,
24 26,8
1,2
1,2
1,з
1,2
1,3
3025,7Z,о
9Я79051,5АЧ
40 1357,2
23 ,1
25,
26,
28,
30,
32,
1,2
1,2
1,з
1,2
1,3
65028,5Z,ö
3,0
3,0
1056,09,0
,1К
50 1427,5
23 ,1
25,
26,
28,
30,
32,
25 28,1
1,з
1.3
1,з
1.4
1.4
30 211,5
Z,ö
3,0
3,0
20510,6 АИ
23 ,1
25,
26,
28,
30,
32,
2629,41,з
1.3
1,з
1.4
1.4
Z,ö
3,0
3,0
30 515,4 4 ,9
5,0
52
87 01459,8
34,
36,
39,
42,
45,
48,
27 30,7
1,з
1.3
1,з
1.4
1.4
66 0214,5 Ч9
40 520,3 4 ,9
5,0
52
101534,234 ,
36,
39,
42,
45,
48,
28
29
32 ,0
33 ,4
1,з
1.3
1,з
1.4
1.4 67
30
0
217,7
•221,0
О,Z
3,3
3,5
RЙ
50 525,3
4,9
5,0
52
20
30
1611,1
1650,5
34,
36,
39,
42,
45,
48,
32 ,0
33 ,4
1,з
1.3
1,з
1.4
1.4
-30 224,5
О,Z
3,3
3,5
RЙ800530,5
5,4
5,5
Ц7
40 1732,8
1818,3
34,
36,
39,
42,
45,
48,
30 34,8
1,4
1.4
1,5
1.5
1,6
68 0 228,1
о,и
3,8
4о
10 535,9 5,4
5,5
Ц7
50
1732,8
1818,3
34,
36,
39,
42,
45,
48,
3136,21,4
1.4
1,5
1.5
1,6
68
30Q31,9
о,и
3,8
4о
20 541,4
5,4
5,5
Ц7
34,
36,
39,
42,
45,
48,
32 37,6
1,4
1.4
1,5
1.5
1,6
Q31,9
О,У
30 547,1 О,1
цО
880197,252,
57,
61.
66,
72,
79,
33 39,1
1,4
1.4
1,5
1.5
1,6
690235,897
40 553,0 О,У
6,0
6,3
10 1959,952,
57,
61.
66,
72,
79,
34 40,6
1,4
1.4
1,5
1.5
1,6
20
40
238,5
241,2
Z,1
2,7
оо
50 559,0
О,У
6,0
6,3
20
30
2056,9
2158,5
52,
57,
61.
66,
72,
79,
35 42,2
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
70 0244,1 Z,У
3,0
3,1
3,1
81065,36,5
6,6
6,9
7,2
7Л
40235,3
52,
57,
61.
66,
72,
79,
3643,81.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
20 247,1
Z,У
3,0
3,1
3,1
10611,8
618,4
6,5
6,6
6,9
7,2
7Л
502417,8
52,
57,
61.
66,
72,
79,
37 45,4
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
40 250,2
Z,У
3,0
3,1
3,1
20
611,8
618,4
6,5
6,6
6,9
7,2
7Л
52,
57,
61.
66,
72,
79,
38 47,0
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
Z,У
3,0
3,1
3,1
30 625,3
6,5
6,6
6,9
7,2
7Л
89 02537,186
94,
103 ,
113
125 ,
138 ,
39 48,7
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
710253,33,3
3,4
3,5
3,6
4я
40 632,5
6,5
6,6
6,9
7,2
7Л
10273,686
94,
103 ,
113
125 ,
138 ,
40 50,5
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
20
40
256,6
30,0
3,3
3,4
3,5
3,6
4я
50 639,9
* і**
7,7
20
30
2838,0
3021,3
86
94,
103 ,
113
125 ,
138 ,
41 52,3
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
72033,5
3,3
3,4
3,5
3,6
4я
820647,68,0
8,2
8,6
QО
403214,9
3420,0
86
94,
103 ,
113
125 ,
138 ,
42 54,2
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
2037,1
3,3
3,4
3,5
3,6
4я
10 655,6 8 ,0
8,2
8,6
QО
50
3214,9
3420,0
86
94,
103 ,
113
125 ,
138 ,
43 56,1
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
40 310,9 О,о
3,9
2073,8
8,0
8,2
8,6
QО
86
94,
103 ,
113
125 ,
138 ,
44 58,1
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1
310,9 О,о
3,9
30 712,4
8,0
8,2
8,6
QО90 03638,6
45 60,2
1.6
1,6
1,6
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,1730314,84,0
40 721,3
О
9,3
ТАБЛИЦЫ РЕФРАКЦИИ
составлены по Пулковским таблицам рефракции (см. § 37)
Общая рефракция
может быть вычислена по формуле:
lg Refr. =
lga-figtgг' + Х7+ Л(Л+7)
Внешняя
темпера-
тура, "С
Барометр,
в
мм
в
724
—0,0211
726
—0 ,0199
728
- 0,0187
730
-0 ,0175
732
-0 ,0163
734
- 0,0151
736
-0 .0139
738
- 0,0128
740
—0 .0116
742
- 0,0104
744
- 0,0092
746
-00081
748
- 0.0G69
750
- 0,0058
752
- 0,0046
754
- 0,0034
756
- 0,0023
758
-0.0011
760
0.0000
762
[-0 ,0011
764 '
- 0,0023
766
- 0,0034
768
-0 ,0046
770
-0,0057
772
- 0,0068
774
- 0.0079
776
- 0,0090
778
- 0,0102
780
-0 ,0113
782
-0 ,0124
784
-0
0135
786
-0 .0146
783
-0.0157
790
-0 ,0168
7Р2
-0,0179
794
-0
0190
796
-0 ,0201
Температура
при барометре
°С
т
-20°
-0/014
-15
- 0 ,0010
-10'
-
5
0
- 0,0007
- 0,0' 03
о.оооо
h5
- 0 ,0003
-10
- 0,0007
-15
- 0 ,0010
Ь20
- 0.0014
-25
- 0,0017
-30
-0 ,0021 ••
0°
10
20
30
35'
40•
45
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
71
72
73
74
75
76
77° О7
30
78 0»
30
790
30
800
30
81
82
83
84
85
0
20
40
0
20
40
0
15
30
45
О
15
30
45
0
1,7799
1,7798
1,7798
1,7797
1,7796
1,7795
1,7793
1,7791
1,7790
1,7789
1,7788
1,7786
1,7784
1,7781
1,7778
1,7774
1,7769
1,7763
1,7759
1,7754
1,7748
1,7742
1,7734
1,7724
1,7712
1,7705
1,7697
1,7619
1,7679
1,7668
1,7655
1,7640
1,7623
1,7610
1,7596
1,7581
1,7563
1,7543
1,7521
1,7502
1,7482
1,7460
1,7435'
1,7407
1,7377
1,7343
1,7305
1,002
1,002
1,003
1,003
1.003
1.004
1,004
1.005
1.006
1.007
1.008
1,010
1,011
1,013
1,015
1,017
1,019
1,022
1,025
1,027
1,029"
1,032
1,003
1,003
1,003
1,003
1,034
1,037
1/41
1,045
1,004
1,004
1.004
1.005
1,049
1,052
1,056
1,060
1,064
1,069
1.005
1.С05
1,0(6
1.006
1,007
1,007
1,075
1,079
1,084
1,089
1,008
1,008
1,009
1,009
1,095
1,101
1,108
1,115
1,123
1,010
1,010
1,011
1,012
1,013
-25
е
—24
—23
—22
-21
-20
-19
—18
—17
-16
—15
—14
-13
-12
-11
-10
-
9
—
8
—
7
—
6
—
5
—
4
—
3
—
2
—
1
0
1
-
2
-
3
-
4
-
5
•
6
-
7
•
8
-
9
•10
•11
•12
•13
•14
•15
•16
-17
•18
•19
•20
21
•22
•23
•24
•25
•26
27
28
29
•30
+0.0420
-
- 0,0403
-
-0,0385
-
-0,0:68
-
-0,0350
-
-0,0333
--0
0316
-
-0,0298
-
-0
0281
-- 0,0264
- - 0,0247
- - 0,0230
-
- 0,0213
-
- 0,( 197
- - 0,0180
- - 0,0163
-- 0 ,0147
-- 0 ,0130
-- 0 ,0114
-- 0,0097
-- 0,0081
-
-0.0065
-
- 0,0048
-
-0,0032
--0 .0016
0,0300
- 0,0016
—0,0.032
—0 ,0048
- 0,0061
— 0.С079
—0 ,0095
—0,0111
-0 ,0126
—0,0142
-0,0157
.
— 0.0173
—0
0188
—0 ,0204
- 0,0219
—0 ,0234
—0,0249
—0,0Г64
—0 ,0279
-0/294
—0,0309
-0,0324
-0,0359
-0,0354
—0 .С369
— 0,0383
—0 ,0398
—0 .0412
—0 ,0427
— 0 ,0441
—0 ,0456
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА ВРЕМЕНИ
Таблица для перевода промежутков среднего времени в промежутки звездного
Часы
Минуты
Секунды
Соответственное
Соответ-
S
Соответ-
ственное
звезлнос
время
Соответ-
и
Соотпст-.
стисіпіое
звездное
время
5н
о-о .
Um
звездное время
öl
ственное
звездное
время
=я
35
О.о.
Um
Соответ-
ственное
звезлнос
время
5я
öl
ственнос
звездное
время
h
si
Соотпст-.
стисіпіое
звездное
время
Iй
1й0'" 9
я
, 856
1»'
1 »'0
я
, 164
31»» 31 »'5
я
,093 i»
Iя,003 31я
31 ",085
2
20 19,713
2
20,329 32
325,257 2
2 ,005 32
32 .088
.3
30 29.569
3
30,493 33
335,421 3
3 .008 33
33 ,090
4
40 39,426
4
40,657 34
345,585 4
4 ,011 34
34 ,093
5
50 49,282
5
50,821 35
35 5,750 5
5 ,014 35
35 ,096
6
60 59,139
6
60,986 36
365,914 6
6 ,016 36
36 ,099
7
71 8,995
7
7 1,150 37
376,078 7
7 ,019 37
37 ,101 -
8
8 1 18,852
8
8 1,314 38
386,242 8
8 ,022 38
38 ,104
9
9128,708
9
9t,478 39
39 6,407 9
9 ,025 39
39 ,107
10
101 33,565 10
10 1,643 40
406,571 10
10 ,027 40
40 ,110
11
11148,421 11
11 1,807 41
416,735 11
11 ,030 41
41 ,112
12
121 58,278 12
12 1,971 42
426,900 12
12 ,033 42
42 ,115
13
132 8,134 13
132.136 43
437,064 13
13 ,036 43
43 ,118
14
142 17,991
14
142,300 44
447,228 I4
14 ,038 44
44 ,120
15
15227,847 15
152,464 45
457,392 15
15 ,041 45
45 ,123
16
162 37,704 16
162.628 46
46 7,557 16
16 ,044 46
46 ,126
17
172 47.560 17
172,793 47
477,721 17
17 ,С47 47
47 ,129
18
182 57,417
18
182.957 4S
487,885 18
18 ,049 48
48 ,131
19
193 7.273 19
193,121 49
498,049 19
19 ,052 49
49 ,134
20
20317,129' 20
203,285 50
508,214 20
20 ,055 50
50 ,137
21
213 26,986 21
21 3,450 51
518,378 21
21 ,057 51
51 ,140
22
22336,842 22
223,614 52
528,542 22
22 ,060 52
52 ,142
23
23346,699 23
233,778 53
538,707 23
23 ,063 53
53 ,145
24
243 56,555 24
243,943 54
548,871 24
24 ,066 54
54 ,148
25
254,107 55
559,035 25
25 ,068 55
55 .151
Доли секунд
среднего
времени
Поправки
придаются
к звездно-
му времени
26
27
28
26
27
28
4 ,271
4 ,435
4 ,600
56
57
58
56
57
58
9 ,199
9 ,364
9 ,528
26
27
28
26 ,071
27 ,074
28 ,077
56
57
58
56 ,153
57 ,156
58 ,159
26
27
28
26
27
28
4 ,271
4 ,435
4 ,600
56
57
58
56
57
58
9 ,199
9 ,364
9 ,528
26
27
28
26 ,071
27 ,074
28 ,077
56
57
58
56 ,153
57 ,156
58 ,159
29
294,764 59
599,692 29
29 ,079 59
59 ,162
0s ,000
0 ,182
0 ,547
0 ,913
1 ,000
0я ,000
0 ,001
0 ,002
0 ,003
30
304.928 60
609,856 30
30 .082 60
60 ,164
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА ВРЕМЕНИ
Таблица для перевода промежутков звездного времени в промежутки среднего
Часы
Минуты
Секунды
З
в
е
з
д
н
о
е
в
р
е
м
я
Соответственное
среднее время
s
si
ио.
toа
Соответ-
ствен. сред-
нее время
З
в
е
з
д
н
о
е
в
р
е
м
я
Соответ-
ствен. сред-
нее время
З
в
е
з
д
н
о
е
в
р
е
м
я
Соответ-
ственное
среднее
время
аа.
СОя
Соответ-
ственное
среднее
время
Iй
0Й59'"50Ч,170
1 "' 0 "'59я,836 31'»
З0'»54я,921 Iя
•0
я
, 997 31» 30я,915
2
159 40,341
2
1 59,672 32 31 54,758 2
1 ,995 32
31 ,913
3
25930,511
3
2 59,509 33 32 54,594 3
2 ,992 33
32 ,910
4
35920,682
4
3 59,345 34 33 54,430 1
3 ,989 34
33 ,907
5
4 51) 10 ,852
5
459,181 35 3454,266 5
4 ,986 35
34 ,904
6
559 1,023 6
559,017 36 3554,102 6
5 ,984 36
35 ,902
7
65851,193 7
6 58,853 37 36 53,928 7
6 ,981 37
36 ,899
8
75841,364
8
758,689 38 3753,775 8
7 ,978 38
37 ,896
9
85831,534 9
858,526 39 3853,611 9
8 ,975 39
38 ,893
10
958.21
.704 10
9 58,362 40 39 53,447 10
9 .973 40
39 ,891
11
1058 11,875 11 10 58,198 41 40 53,283 11
10 ,970 41
40 ,888
12
1158 2,045 12 11 58,034 42 41 53,119 12
11 ,967 42
41 ,885
13
125752,216 13 1257,870 43 4252,956 13
12 ,964 43
42 ,883
14
1357 42,386 14 13 57,706 44 43 52,792 14
13 ,962 44
43 ,880
15
145732,557 15 14 57,543 45 44 52,628 15
14 ,959 45
44 ,877
16
155722,727 16 15 57,379 46 45 52,464 16
15 ,956 46
45 ,874
17
1657 12,897 17 1657,215 47 4652,300 17
16 ,954 47
46 ,872
18
1757 3,068 18 17 57,051 48 47 52,136 18
17 ,951 48
47 ,869
19
1856 53,238 19 18 56,887 49 48 51,973 19
18 ,948 49
48 ,866
20
195643,409 20 1956,723 50 49Ol,80920
19 ,945 50
49 ,863
21
205633,579 21 20 56,560 51 50 51,645 21
20"
ч
,943 51
50 ,861
22
215623,750 22 21 56,396 52 51 51,481 22
21 ,940 52
51 ,858
23. 2256 13,920 23 2256,232 53 5251,317 23
22 ,937 53
52 ,855
?24
2356 4,С91 24 23 56,063 54 53 51,153 24
23 ,934 54
53 ,853
25 24 55,904 55 54 50,990 25
24 ,932 55
54 ,850
Доли секунд
Поправки
вычитаются
26 25 55,741 56 55 50,826 26
25 ,929 56
55 ,847
звездного
времени
из среднего
времени
27 26 55,577 57 56 50,662 27
26 ,926 57
56 ,844
28 27 55,413 58 57 50,498 28
27 ,924 58
57 ,842
28 27 55,413 58 57 50,498 28
27 ,924 58
57 ,842
29 28 55,249 59 58 50,334 29
28 ,921 59
58 ,839
0я ,000
0 ,183
0 ,549
0 ,915
1 ,000
0я,000
0 ,001
0 ,002
0 ,003
30 29 55,085 60 59 50,170 30. 29,918 60
59 ,836
Юлианские числа (см. стр. 93)
Число дней, прошедших с накала Юлианского периода
до полудня 1 марта 1800 г. —2000 г.
Год
1800
1801
1802
18j3
1804.
1805
1806
1807
1803
1809
1810
1811
1812
1813
1814
1815
1816
1817
1818
1819
1820
1821
1822
1823
1824
1825
1826
1827
1828
1829
1830
1831
1832
1833
1834
1835
1836
1837
1838
1839
1840
1841
1842
1843
1844
1845
1846
1847
1848
1849
1850
Ялта по
Юлианскому
периоду
23785Е6
2378921
2379286
2379651
2380017
2380382
2380747
2381112
2381478
2382843
2382208
2382573
2382839
2388304
2383669
2384034
2384400
2384765
2385130
2385495
2385861
2386226
2386591
2386956
2387322
2387637
2388052
2388417
2388783
2389148
2389513
2389878
2390244
2390639
2390974
2391339
2391705
2392070
2392435
2392800
2393166
2393531
2393896
2394261
2394627
2394992
2395357
2395722
2396088
2396453
2396818
Год
1850
1851
1852
1853
1854
1855
1856
1857
1858
1859
1860
1861
1862
1863
1864
1865
1866
1867
1868
1869
1870
1871
1.872
1873
1874
1875
1876
1877
1878'
1879
1880
1881
1882
1883
1884
1885
1886
1887
1888
1889
1890
1891
1892
1893
1894
1895
1896
1897
1898
1899
1900
Дата по
Юлпапскому
периоду
2396818
2397183
2397549
2397914
2398279
2398614
2399010
2399375
2399740
2400105
2400171
2400836
2401201
2401566
2401932
2402297
2402662
2403027
2403393
2403758
2404123
2404488
2404854
2405219
2405584
2405949
24С6315
24С66Я0
2407045
2407410
2407776
2408141
24085С6
2408871
2409237
24С9602
2409967
2410332
241С698
2411063
2411428
2411793
2412159
2412524
2412889
2413254
2413620
2413985
2414350
2414715
2415080
Год
Дата по
Юлиапскому
периоду
Год
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
1924
1925
1926
1927
1928
1959
1930
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
2415080
2415445
2415810
2416175
2416541
2416906
2417271
2417636
241С002
2418367
2418732
2419097
2419463
2419828
2420193
2420558
2420924
2421289
2421654
2422019
2422385
2422750
2423115
2423480
2423846
2424211
2424576
2424941
2425307
2425672
2426037
2426402
2426768
2427133
2427493
2427863
2428229
2428594
2428959
2429324
2429690
2430055
2430420
2430785
2431151
2431516
2431881
2432246
2432.612
2432977
2433342
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963 •
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Дата по
Юлиапскому
периоду
2433342
2433707
2434073
2434438
2431803
2435168
2435534
2435899
2436764
2436629
2436995
2437360
2437725
2438090
2138456
2438821
2439186
2439551
2439917
2440282
2440647
2441012
2441378
2441743
2442108
2442473
2442839
2443204
2443569
2443934
2444300
2444665
2445030
2445395
2445761
2446126 *
2446491
2446856
2447222
2447587
2447952
2448317
2448683
2449048
2449413
2449778
2450144
2450509
2450874
2451239
2451605
Таблица интеграла ошибок —=
j е~1
'dt (см. стр. 510)
Vх
,г
0,6
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1,1
1,2
1.3
1.4
1.5
1.6
1,7
13
1,9
2,0
2,1
2.2
2.3
2.4
2.5
0,000
0,112
0,223
0,329
0,428
0,520
0,604
0,678
0,742
0,797
0,8-13
0,880
0,910
0,934
0,952
0,966
0,976
0,984
0,989
0,993
0,995
0,997
0,998
0,999
0,999
1,000
0,011
0,124
0,234
0,339
0,438
0,529
0,612
0,685
0,748
0,802
0,847
0,884
0,913
0,936
0,954
0,967
0,977
0,984
0,990
0,993
0,996
0.997
0,998
0,999
0,999
1,000
0,023
0,135
0,244
0,349
0,447
0,538
0,619
0,691
0,754
0,807
0,851
0,887
0,916
0,938
0,955
0,968
0,978
0,985
0,990
0,993
0,996
0,997
0,998
0,909
0,999
1,000
0,034
0,146
0,255
0,359
0,457
0,546
0,627
0,698
0,760
0,812
0,855
0,890
0,918
0,940
0,957
0,970
0,979
0,986
0,990
0,994
0,996
0,997
0,998
0,999
.
0,999
1,000
0,045
0,157
0,266
0,369
0,466
0,555
0,635
0,705
0,765
0,816
0,859
0,893
0,921
0,942
0,958
0,971
0,980
0,986
0,991
0,994
0,996
0,998
0,998
0,999
0,999
1,000
0,086
0,168
0,276
0,379
0,475
0,563
0,642
0,711
0 771
0,821
0,862
' 0,806
0,923
0,944
0^60
0,972
0,980
0,987
0,991
0,994
0,996
0,998
0,999
0,999
0,999
1,000
0,068
0,179
0,287
0,389
0,485
0,572
0,649
0,718
0,776
0,825
0,866
0,899
0,925
0,946
0,961
0,973
0,981
0,987
0,991
0,994
0,996
0,998
0,999
0,999
0,999
1,000
0,079
0,190
0,297
0,399
0,494
0,580
0,657
0,724
0,781
0,830
0,870
0,902
0,928
0,947
0,962
0,974
0,982
0,988
0,992
0,995
0,997
0,998
0,999
0,999
1,000
1,000
0,090
0,201
0,308
0,409
0,503
0,588
0,664 -
0,730
0,787
0,834
0,873
0.905
0.930
0,949
0,964
0,975
0,982
0,988
0,992
0,995
0,997
0,998
0,999
0,999
1,000
1,000
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН >)
Адаме (Adams J. С.) 313
Андерсон (Anderson) 457
Антониади (Antoniadi Е. 293)
Аргеландер (Argelander F. W .)
450, 467
Аристарх Самосскнй ('Арівтар-
/oç) 212
Ayuepc (Auwers A.) 278,413 ,421
Баклуид О. А . 292
Барабашев
И. П. 310
Барнард (Barnard) 292, 307, 310
Бернхэм (Burnham S. W .) 419
Бессель (Bessel F. W.) 417,
421, 558
Бнэла (Biela) 318
Борисяк A. A. 457
Босс (Boss L.) 413, 414
Браге Тихо (Brahe Tycho) 62,
68. 70. 78 , 95, /77—174, 192,
193, 212 , 213 306, 316 , 558
Брадлеіі (Bradley J.) 97, 99, 171,
198, 412, 416 , 558
Бруис (Bruhns С. Ch .) 248
Вильгельм Гессенский (Wilhelm
von Hessen) 62
Вольф (Wolf R.) 303
Всехсвптский С. К. 322
Галилей (Galilei G.) 27, 161 ,
306, 309
Галле (Galle J. G.) 310, 313
Галлей (Galley E.) 193, 213, 215
316, 412
Гаусс (Gauss К. F.) 145, 179, 303
Гашо (Gasclieau) 250
Гейберг (Heiberg J. L.) 166
Гельмерт (Helmert F. R.) 275
Гендерсон (Henderson) 417
Гершель В. (Herschel W.) 21,
312, 414, 418 , 419, 465, 467 ,481
Гершель Дж. (Herschel J.) 465,
467
Гиппарх ('bir.apxoî) 92, 93, 212
Голечск (Holets'chek) 322
Горребов (Horrebow) 128
Гофмейстер (Hoffmeister) 329
Григорий XIII (Gregor XIII) 91
Гюйгенс (Huygens С.) 28
Гюльдеи (Gyldén J. A .) 250
Даламбер (d'AIembert J.) 198
') Курсивом набраны фамилии авторов (и номера страниц), упоминаемых в дополнениях
и примечаниях переводчиков и редактора.
Дарвин Джордж (Dervin Jeorge
Howard) 252, 256
Дёрфель (Dörffei G. S.) 316
Дунер (Dunér N. Ch .) 281
Жансен (Janssen J.) 282, 283
Зеелигер (Secliger H.) 487
Каит (Kant 1.) 322, 466
Каитейн (Kaptefn) 468, 487, 498
Кассннн (Cassini G. D .) 310
Кеплер (Kepler J.) 171—175 ,
185, 193, 212, 213
Кларк Альван (Clark A.) 421
Клеро (Clafraut) 147, 159
Коперник (Koperniciis N.) 95,
111, 166, 168, 171, 181
Красовский
Ф. H. 150
Крейц (Kreutz H.) 320
Лаграиж (Lagrange J. L.) 180,
249, 250, 254 . 316
Ламберт (Lambert J. H .) 316
Лаплас (Laplace P. S.) 179, 193,
308, 310—312 , 316, 332
Ллссель (Lassei W.) 314
Леперрье (Leverrier U. J .) 215,
313
Ловелл (Lowell P.) 314
Лозе (Lohse О.) 281
Локайер (l.ockyer N.) 283
Майер Тоблас (Mayer Tobias)
412
Манитиус (Manitius) 166
Марнус Симон (Marius Simon)
306
Метон (Meton) 110
Никольсон (Nicholson S.) 307
Ньюком (Newcomb S.) 96, 216,
312
Ньютон (Newton I.) 70, 146, 159,
181, 182 , 192, 198, 311, 316
Ольберс (Olbers H. W.) 316
Оппольцер (Oppolzer Th.) 208,
328
Певцов M. В . 129
Петере (Peters Ch. А.) 421
Пнаццн (Piazzl G.) 302
Пикар (Picard J.) 145, 146 , 213
Пнккеринг ((Pickering E. Ch.)
310, 424
Померанцев
150
Птолемей (IhoXeiiàtot) 165, 166 .
194, 212
Прентис (Prentice) 457
Пуанкаре (Poincaré H.) 248, 250,
252
Рёмер Одзф (Römer Olaus) 63,
213, 216. 308, 412
Рнше (Richer) 213
Росс (Rosse) 465
Роуланд (Rowland H. A .) 281
Рут (Routh) 250
Секки (Secchi A.) 353
Скиапарелли (SchiaparelH G. V.)
293, 300, 301
Снсллиус или Снель ван-Ройеи
(Snellius oder Siiel van Rolen)
145
'
Созиген (Soslgenes) 91
Сомнер (Somner) 131
Стирлішг (Stirling) 147
Струве В. (Struve W.) 417, 419
Струве Г. (Struve H.) 302, 310
ТалькоЬіт 128
Тиле (Thiele) 252, 254
Физо (Fizeau) 216
Фогель (Vogel H. С.) 353, 424
Фраунгофер (Fraunhofer J.) 21,
281, 363
Фуко (Foucault L.) 21, 163, 216
Хёггннс (Huggins W.) 414
Холл Азаф (Hall Asaph) 301 "
Цезарь Юлий (Cäsar Julius)
90—92
'
Цингер H. Я- 120
Шварцшнльд (Schwarzschild К.)
495
Шмидт 10. (Schmidt J.) 299
Энке (Encke J. F .) 318
Эратосфен (Erathosthenes) 144,
145
Якобн (Jacob!) 250
УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТОВ ')
Аберрационное время 105
Аберрация 93, 99 -106, 521 ,577
—
годичная 105
—
суточная 105. 117
Абсолютное движение 242—245
Абсолютные измерения коор-
динат 416
—
наблюдения 78, 79
Агамемнон 304
Адоннс 305, 331
Азимут светила 45, 123, 124,524
—
инструмента 59, 114
Алголь 427, 446 , 447, 448, 451
Алидада 23, 25, 51
Ллинда 305
Альбедо 293
Альберт 305, 331
Альдебаран 42, 211 , 345 , 348
Алысор 420
Альмагест 166
Альмукантарат 43
Альтанр 41, 42
Амур 305, 331
Аномалии силы тяжести 149
Аномалия истинная 174, 177—
179, 222—224, 229, 238
—
средняя 178, 229, 233, 237,
259
—
эксцентрическая 178, 229,
233, 234 , 237
Антарес 345, 348
Антнапекс 326, 327
Антирелигиозный
музей
163
Анхнз 304
Апекс 326, 327, 470, 520—522
Апоастр 428, 438
Апогей 180, 194, 204 — 206
Аполлон 305, 331
Аргумент широты 230
Арктур 41, 345 , 348, 354
Армнллярные сферы 67, 79
Асимптотические решения 251
Астрограф 22
Астрономическая труба 18—23,
97, 279
Астрономические ежегодники
118,119, 123, 124 , 158 , 241,518
—
наблюдения 17, 18
—
следствия теории относи-
тельности 330
Астрономический
институт I
в Ленинграде 100, 120, 129 |
Астрономия 17
,1
—
воздушная
17
—
звездная 17, 106, 333—504
—
классическая 17
—
мореходная
17
—
новая 17
—
полевая
(геодезическая)
17
—
практическая
17, 43 —134
—
сферическая 17, 43—134
Астрофизика 17, 333—504
Атмосфера звезды 359, 360, 368,
382—388, 395, 396, 400, 402,
409, 410
—
Земли 139, 203, 281, 299,
327, 338, 339, 489
—
Солнца 281,284 , 399, 400,410
Атом нейтральный 373, 375,397,
398, 410
—
однажды ионизованный 373,
375, 495
—
дважды ионизованный 375
—
свободный 464
Атомное ядро 501, 503
Афелий 173, 178 , 292, 295, 318
Ахилл 304
Ахроматическая линза 21, 31
Базис 145
Бальмеровскан серил (линии)
352, 395, 397
Безличный микрометр 59
Белые карлики 404, 409, 410,
411, 423 , 433," 503
—
ночи 74, 121, 123
Бетельгейзе 345, 346, 348, 354
Ближайшие звезды 468—471,
559
а Близнецов 433, 448
5 Близнецов 354
U Близнецов 454
Блинкмнкроскои 303, 450, [470
Болиды 324—326
Болометр 350
Р Большой Медведицы 454
С Большой Медведицы 420, 424
W Большой Медведицы 431,
433, 436
Боннское обозрение 413, 467
Бруцня 303
Вариация 192, 194
Вега 41, 42, 94, 309, 417, 420t
454, 466
Вековое изменение 517
—
ускорение Луны 193, 194
Великие противостояния
Мар-
са 300
Веисра 110, 165, 166, 168, 170,
211. 214, 2Э1, 293-^-295, 331
Вертикал 43, 59
—
первый 4-1, 50. 119, 126
Вертикальный круг 59—62 . 79
Верхнее соединение 167, 169,
170
Весеннее равноденствие 168,
296
Веста 303, 305
Ветвь гигантов 407, 410, 423
Вечерняя звезда 112
Видимые
движения
планет
110—113, 166 —168
Визирование 18, 22, 97, 115
Визуальная колориметрии 342,
3-13
Визуально-двойные звезды
418—423 , 434 , 435 , 145, 448
Високосный год 90, 92
Возмущаемое тело 270, 271, 539
Возмущающая масса (тело)
262-264, 266, 270, 271 , 539
Возмущающей силы составляю-
щая радиальная 194
тангенциальная
третья 195—197
Возмущения 187, 237, 242, 249,
264
—
вековые 264, 269, 270
—
долгопериодические 264, 265 .
—
долготы узлов 195—197,
539-543
—
наклонении 266, 267
лунной орбиты 195—197,
539-543
—
общие 249, 256 , 270
—
орбит планет 189, 190
—
смешанно-вековые 266
—
специальные 249, 256, 270-
—
чисто-вековые 266,' 267
') Курсивом набрани термины (и номера страниц), упоминаемые в дополнениях и при-«
ыечаниях перев дчнков и редактора.
Возмущения
эксцентриситета
26(5, 267
—
элементов орбиты 261
(ß) Возничего 448, 459, 462
(С) Возничего 447
Гозмуіценное движение пла-
неты 260, 262
Возраст Земли 288
—
Солнца и звезд 288, 501, 502
—
земноіі коры 502
Вращение Галактики 499, 500
—
Земли 158—165
—
Луны 296—298
—
Солнца 315
Время прохождения через пе-
ригелий 176
Времяисчисление 81—93
Вселенная 165
Всемирное время 85
Высота светила 45, 124, 524
Вычисление гелиоцентрических
координат планеты 229—231
—
геоцентрических координат
планеты 231, 232
—
двойного интеграла функ-
ции 531
—
коыетщых орбит 320, 321
—
круговой орбиты 239—242
—
масс спектрально-двойных
звезд 429—431
—
элементов орбиты визуально-
двойных звезд 420
Земли 180, 181
планеты 179, 180, 232,
233
спектрально-двойных
звезд 425—429
фотометрических двой-
ных звезд 439—444
—
см. также
Определение
Ганимед (малая планета) 305
Ганимед (спутник
Юпитера)
307
Гарвардская карта неба 468
Гектор 304
Галактика (галактическая си-
стема) 457, 459, 478—481,
491—494, 497, 499; см. также
Млечный Путь
Гелнактическнн восход 113
Гелиометр 67, 68, 417
Гелиотроп 145
Гемма 42, 459
Географическая долгота 140
—
широта 140
Геоид 139, 150
а Геркулеса 454
Z Геркулеса 448
ТХ Геркулеса 448
Гиады 42, 460-462, 519
Гидальго 304, 305, 331
Гипербола 225, 498
Гиперболическая орбита 270,
321
Гнперион 310, 311
Гипотеза Тихо Браге 171
Главные оси инерции 543
Главный момент инерции 544,
546
Главный фокус 19
Глубина геометрическая 386,
—
оптическая 385—387
Гномон 54, 62, 78, 79
Гиутне трубы 61
Год астрономический (фиктив-
ный) 557, 558
—
сидерический 172
—
тропический 83, 97
Годичное движение
Солнца
74-81, 168
Годограф 101
Голова кометы 315
Горизонт 43
—
астрономический 43
—
видимый 43
Градусные измерспия 144—146
Грануляция 279
Давление газовое 287
—
лучевое 287
—
полное 287
Движение Луны 190
—
относительное 183
—
перигелия Меркурия 330
—
по гиперболе 237, 238
параболе 237, 238, 271
.—
Северного полюса 127, 128
—
эллиптическое 185
Двойные звезды 243, 272, 402.
• 504
оптические 418, 419
тесные 446, 447
физические 419
фотометрические- 436—
448; см. также
Визуально-
двойные
звезды
и Спек-
трально-двойные
звезды
Деймос 301, 302
Декретное время 86, 89
Деление Кассннн 310
Денеб 41, 42
Детали лунной поверхности
298
Детальное выравнивание 369,
379, 390
Деферент 165
Диаграмма Ресселла 402—412,
422, 423, 445, 447, 448, 453,
456, 459, 460, 468, 476, 477,
479, 497, 503
Диаметры звезд 345, 346
Дивная (о) Кита 449, 452
Лиона 310
Диоптр 18
Дисперсия 349, 551—557
—
линейная 553
—
угловая 552, 553
Диференциальные
измерения
координат 416
—
наблюдения 79
—
уравнения
возмущенпого
движения планеты 256—258
Дифракционная решетка 29,
31, 344
Дифракционные изображения
345, 554
—
кольца 345, 549
Дифракционный диск 345, 549
Дифракция света 19, 20, 31, 32
Длина волны 32
Дневная дуга 47
Долгота в орбите 174
—
восходящего узла 176, 177,
190, 291
— периастра 429, 443
—
перигелия 176, 225, 230, 291,
322
—
плаиеты 176
—
эпохи 176
Долгота места наблюдения 130
—
гелиоцентрическая 172
Долгота светила 79, 80, 98
гелиоцентрическая 171,
Допплеровские смещения 347
(Т) Дракона 416
Дрэперовский каталог звезд-
ных спектров 353, 354
Европа 307
Ь Жеребенка 434, 435
Задача Кеплера 177, 178
—
о двух телах 217—245, 252
трех телах 187, 188.
245-256
п телах 217
Закон Боде 291, 313
—
Больцмана 373
—
всемирного тяготения Нью-
тона 181—190, 193, 212, 218,
224, 226, 243, 245, 546
—
инерции 136, 181
—
Плавка 34, 336, 339, 343.
350, 351 , 381, 388
—
распределения
Максвелла
369—371
масс 276
плотностей 276
—
случайных ошибок Гаусса
498, 509-511
—
сохранения энергии 503
—
Стефана 380
Законы Кеплера 171—181, 187 ,
190—192, 420, 442, 443
первый 171—174, 176,
181, 184
второй 174, 175, 180, 181,
185, 296
третий 175, 177, 182,
185—187 , 212, 432
Затмения компонентов двой-
ных звезд кольцеобразные
437, 439—442
полные 437, 439,
442
частные 437, 438,
440—442
Затменные переменпые звезды
347, 436
Звезд внутреннее строение 289.
408-412
—
лучевые скорости 414—416,
418, 425—429, 434, 435, 446 ,
493, 497, 499, 500, 518 , 519,
521, 557
Звезд массы 402, 403, 407, 408
411, 434
Звезд параллаксы см.
Парал-
лаксы
звезд
—
пространственная плотность
407, 481—487
—
радиусы 402-404, 410
—
расстояния 416, 417
—
светимости 410, 411
—
собственные движения 99,
100, 106, 412, 413, 416, 468—
471, 473 -475 , 497-499, 518
—
спектры 348—350, 395, 409,
414
—
температуры 409
—
химический состав 408—412
—
цвета 342, 356
Звездная величина 333, 334,
350; см. также Яркость
—
карта 99
—
статистика 481, 493
Звездное время 81—83, 87—90,
113, 524, 564, 565
Звездные карты Франклииа-
Адамса 468
—
каталоги 78, 79
—
потоки 459, 498
—
скопления 459 -462, 465
движущиеся 459(?), 461
рассеянные 459—461 ,478,
'
488, 493
—
шарообразные 275—277,
459-461 , 478 —480, 488 , 493,
497, 499
Звездный дождь 325
—
(сидерический) год 94
Звезды-гиганты, 407, 423, 447,
450, 453, 454, 460, 477, 497
Звезды-карлики 282, 407, 423,
433, 448 , 460, 497
Звезды невосходлщие 46—48
—
незаходящне 46—48
—
типа Вольфа-Райе 354, 457,
458, 463
Земля 98, 101—106, 108, 109,
122, 127 . 139-152, 154 —171 ,
182, 186 , 191-199, 297, 228 ,
231, 273 , 280, 291—293, 295-
300, 308, 315, 319, 322, 323 ,
326-328, 331, 346, 400, 416,
422, 539, 540, 545, 548 , 549
Земная ось 140
—
поверхность гидростатиче-
ская (уровенная) 139, 145 , 150
идеальная 150
физическая 150
Земной магнетизм 279
—
экватор 140
Земные полюсы 140
Зенит 43
Зенит-телескоп 128, 129
Зенитное расстояние 45, 525
Зимнее солнцестояние 296
Знаки Зодиака 81
Зодиак 79, 329
Зодиакальный свет 329, 330
Зонные каталоги Астрономи-
ческого общества 469, 526
Идеальный газ 291, 409
Избранные площади Каптейна
468, 480
Измерение силы тяжести 160—
162
—
углов 23—25
—
фотографических
пласти-
нок 68
Институт геодезии и карто-
графии 120
Интеграл живой силы 221, 222,
248
—
ошибок 510, 567
—
площадей 220, 221, 225, 247
—
Якоби 254
Интенсивность излучеиия 378
—
остаточная 392, 394
—
средняя 390
Интерполирование
513—515 ,
530, 531
Интерполяционные
формулы
514
Интерференция света 32
Интерференционные изображе-
ния 435
Интерферометр 345, 435
Ио 307
Ионизация атома 362, 396, 401,
409, 410
толчком 361, 363
фотоэлектрическая 361,
363
Исправление орбиты 242
Истинное
солнечное
время
81-83
Истинный полдень 84
Исчезающе-малая масса 251
Календарь 90—93, НО
—
грегорианский 91—93 557
—
юлианский 90—93 557
Каллисто 307
Кальциевое облако в межзвезд-
ном пространстве 494, 495
Каналы Марса 300, 301
Капелла 41, 346, 354, 408, 431,
432, 436 , 448
Капское фотографическое обо-
зрение 468
Карта неба 468
Кастор 41
Каталог Босса 274, 275, 412,
413, 473
Квадрант 62, 79
—с тенной 63
Квадратуры 106, 107, 416
т) Киля 457
Кинематическая теория газов
383
—
энергия 370
Классификация
перемепных
звезд 449—454
а Козерога 420
Коллиматор 30, 31 , 60, 61, 115,
352, 555
Коллимационная
ошибка
сек-
стана 26
трубы 52,53, 59, 114 —116
Колориндекс (показатель цве-
та) 336, 337, 344 , 356 , 357,
402, 460, 489, 559
Кольцо Сатурна 309, 310
Колюр равноденствий 80
Колюр солнцестояний 80
Кома 315
Комета Бнэлы 318
—
Галлея 316, 317, 319
—
Доісиакобини-Циннера 325
—
Фая 319
—
Холмса 319
—
Энке 292, 318
Кометы 156, 270, 271.315 -324,
326, 330-332 , 504, 526 , 527.
559, 560
—
короткопериодические 317,
321, 322
—
периодические 316,318—320
Т Компаса 457
Конические сечения 184, 224.
225
Контур линии 348, 350, 392,
393, 398
Коордннаты гелиоцентрические
171, 177, 229—232, 241
—
географические 139, 140
—
геоцентрические 152, 171.
177, 229, 231—233, 240
—
относительные 219
—
полярные 240
—
топоцентрнческие 152
—
экваториальные 230
—
эклиптические 230, 240
Кордобское обозрение 467
С Кормы 354
V Кормы 409, 446
Космическая пыль 323, 458, 480
Космогония 323, 500—504
Коэфициент поглощения 340,
382, 385, 393, 398. 400, 401
—
преломления 552, 553
—
прозрачности 338
—
рассеяния 390
Красное смещение 330
Красный аднн 340, 343
Кратные звезды 272, 448, 504
Крест нитей 18, 22, 53, 60
Кривая Гаусса 474, 475
—
лучевых скоростей 424, 428,
429, 435
—
ошибок 474, 475
—
Планка 336, 350, 352
—
распределения 474, 475
—
чувствительности глаза 336,
339
фотографической
пла-
стинки 336
—
энергии непрерывного спек-
тра 350
Солнца 349
—
яркости 347, 442, 451—453
Кронглас 21, 31
Круг склонений 65
—
часовой 65
—
широт 79
Круговая орбита 239, 443
Кульминации Луны 143
Кульминация верхняя 46,81 ,117
—
нижняя 47, 117
АГ-эффект 499
Лагеры 57—60, 115, 116
Р Лебедя 457
61 Лебедя 417
Леониды 325, 328, 329
Летнее солнцестояние 168;296
Летоисчисление 109—113
Либрация 296—298
Лимб 23—26, 51
.Линии излучения 349, 395, 464
—
короиалыіые 284
—
неподвижные 494. 495
—
поглощения 283, 318, 388—
395, 398
—
равных высот 130, 131
Линия апсид 173, 190, 194,277 ,
421, 438
—
перемены дат 86, 87
—
узлов 173, 176 , 190, 197, 209,
210
Y Лиры 454
e Лиры 420
Локальное термодинамическое
равновесие 382—390,395,396,
400
Луна 98, 106-110, 112, 113,
139, 155, 153, 165, 169, 181,
182, 186, 190—200, 256 , 273 ,
278, 314. 540—542. 548
Лунные затмения 143,201—203,
212, 299
полные 203, 208, 209
центральные 202, 207
частные 203, 208, 209
—
расстояния 143
Лунный год .свободный" 110
.св яза нный" 110
Лупа времени 254
Лучевое (световое) давление
286, 323
—
равновесие 286
Магеллановы Облака 453, 464 ,
465
Большое 495
Малое 453, 455 , 460, 495
Магнитное поле Солниа 285
Магнитные бурн 279
Максимумы интенсивности
спектральных ЛИНИЙ 400, 401
—
солнечной деятельности 280
Марс 110, 111, 113 , 165, 166,
169, 170. 172 , 213 , 291,
299-305, 331
Масса 136—138, 182 , 218
—
весомая 137
—
инертная 137
Маятник 26—28, 162
—
компенсированный 27
—
конический 163
—
математический (филярный)
160, 161
—
оборотный 160, 161
—
Фукс 162—165
Мера точности 510, 511
Мернднан 140
Меридианный круг 59—63
Меркурии 110, 111 , 165-167,
170, 211 , 291—293, 299, 318,
331
Мерцание звезд 73, 74
Места звезд видимые 99, 100
Места звезд истинные 99, 100
средние 99, 100
Местная (локальная) система
479, 480, 492, 493, 495
Местное время 142
Место зенита 56, 61
—
нуля на круге 55
—
полюса 127
Месяц аномалистический 191,
210, 558
—
драконнческий 107, 108, 558
—
сидерический 107, 193, 558
—
синодический 108—110, 192,
194, 558
—
тропический 107, 558
Метагалактика 496, 500
Метеориты 325, 458
Метеорные потоки 325, 329
—
тела 326. 327
Метеоры 324—327
Метод Горребова-Талькотта
127—129
—
Гаусса 180, 231
—
Лапласа 180
—
Ольберса 316
—
последовательных
прибли-
жений 241
—
степеней 449, 450
—
триангуляции 145, 146
—
чериков 467, 481
—
численного интегрирования
248, 249, 251 , 487
Метопов цикл 110
Механическое равновесие 286
Микрометр 66-69, 129
—
нитяной 66, 67
—
окулярный 517
Микрометрический вннт 24, 25 ,
66, 68
Микроскоп 51, 68, 69
Мнмас 310, 311
Млечный Путь 41, 273—275,
329, 462 , 465, 466, 478 —480,
487—497, 499, 503; см. также
Галактика
Молекулярный вес 287, 288
Мореходные таблицы 125
Мультнплеты 361, 399
Надир 43
Наклонение лунной
орбиты
112, 193
—
орбиты планеты 176,177 , 190
—
эклиптики 75, 77,79,95—98,
103, 112, 23С, 558
Напряжение силы тяжести 398,
411
Начало года 100, 557 , 558
Небесная механика 17,217—277
—
сфера 40, 43
Небесный экватор 44
Нептун 291, 312 (?)—315 , 318,
321, 331
Неравенство лунной орбиты
годовое 192, 193
параллактическое 194
Нестор 304
Нивеллнроваине 52
Нижнее соединение 167, 169,
211
Ннколева призма (николь) 28,
340, 349
Новая Близнецов 1912 г. 457
—
Возничего 1892 г. 457
—
Геркулеса
1935 г. 457
—
Живописца 1925 г. 457
—
Кассиопеи 1572 г. 456
—
Короны 1866 г. 457
—
Лебедя 1876 г. 457
—
Лебедя 1920 г. 457
—
Орла 1918 г. 457
—
Персея 1901 г. 457
Новолуние 108, 169, 194 , 202.
204, 208, 209
Новоподобные
звезды 457
Новые звезды 456—459, 477,
478, 495
Новый общий каталог туман-
ностей и звездных куч 465
—
стиль 91
—
фундаментальный
каталог
413
Нониус (верньер) 23—26, 51
Нормальный метр 148, 149
Ночная дуга 47
Нулевая масса 251
Нутация 93, 97—100, 104, 106,
168, 197—199. 543-549
Обратное (попятное) движение
75, 112, 113 , 165 , 167, 316
'
Обращение аномалистическое
.190
—
сидерическое 172, 177
—
снноднческое 172, 210
—
тропическое 172
Обсерватория Бабельсбергская
близ Берлина 450
—
Боннская 413
—
в Уккле 305, 314
—
Гамбургская 413
—
Гарвардская 307, 314 , 329 ,
353, 354 , 357, 457
—
ГеЙдельбергская 303, 305
—
Гриничская 85, 440
—
Иельская 413
—
Иеркская 22, 292, 314
—
Кеннгштульская 314, 317
—
Копенгагенская 68
—
Ликская 22, 292, 307. 330
—
Маунт Вильсон 22, 2/5. 281,
314. 335, 339, 345, 350, 436,
496
—
Московская 88, 89, 524
—
на мысе Доброй Надежды
216, 319, 468
—
Пулковская 22, 70, 79 , 216,
413
—
Симеизская
22
—
Харьковская
310
Объектив 18—21, 51, 519, 550,
555, 558
Объективная призма 31, 353,
476, 559
Ограниченная задача 250—252,
254, 255, 538
Одиссей 304
Околозенитные звезды 127
Околополюсные звезды 100,116
Окуляр 18—20, 51
Окулярное окно 20
Оппозццня 416
Определение азимута 132, 133
—
времени 113—124
—
высоты полюса 63—65
—
долготы 140—144
—
истинной аномалии 178, 179
—
коордипатапекса солнечной
системы 520—522
—
масс планет 185—187
—
орбит 238, 239
—
склонеиня светил 63—65
—
широты места 124—132
—
см. также
Вычисление
Оптическая ось трубы 18, 22
Оптический центр объектива
19, 22
Орбиты комет 237, 239
а Ориона 454
е Ориона 354
8 Ориона 448
Осеннее равноденствие 296
Оскулирующая орбита 262,321
Оскулирующне элементы ор-
биты 261, 268, 269
Основное (нормальное)состоя-
ние атома 33
Основной ряд звезд 406, 407,
410, 411, 423
Остаточные уклонения 506,
511, 512
Ось вращения Земли 140, 545
мгновенная 544
—
мира 44
—
склонений 65
—
часовая 65
Отклонение
падающих
тел
к востоку 162, 164
—
света на краю солнечного
диска 330
Относительная орбита 429, 443
Относительные движения 242,
• 244, 245, 328
Ошибки вероятные 513
—
систематические 508, 509
—
случайные 508—510
—
средние 510-512 , 513
Паллада 303, 305
Парабола 225
Параболическая
орбита 239,
316, 328
Параллакс 65. 101, 517, 518
—
горизонтальный 153
—
годичный 93, 106, 166
экваториальный 153
—
Луны 194. 297
—
планеты 213
—
по высоте 153
—
Солнца 212-216 , 278
—
суточный 140, 152 —158 , 166
Параллаксы звезд 352, 402, 406,
407, 417, 445 —446 . 458, 468—
471, 473, 475, 482 , 497, 518 ,
522
—
годичные 521
—
групповые 477
динамические 422
Параллаксы звезд спектраль-
ные 417, 471
тригонометрические 417,
468, 477
Параллаксы звезд фотометри-
ческие 476—478 , 490
Параллактическая линейка 62
Параллактический угол све-
тила 46
Параллактическое
движение
519, 520
Параллели -14
Парсек 417
Пассажный инструмент 57—59,
61, 79, 116, 126, 127
Патрокл 304
Пепельный свет Луны 109
Первая четверть 108, 169, 192
Первоначальные орбиты комет
321, 322
Перевод времени 87—90, 564,
565
Переменные звезды 93, 407. 479
затменные см.
Двой-
ные звезды,
фотометриче-
ские
долгопериодические 407,
451, 477, 478 , 494, 498
короткопериодические
407
Переменные звезды типа Ал-
гол я 438, 449
U Близнецов 451
J5 Большого Пса 451
W Большой Медве-
дицы 438, 449
Дивной Кита 450,451 ,
453, 454, 456
ß Лиры 446, 449
R Северной Короны
453
RV Тельца 453
о Цефея см. Цефеиды
|А Цефея 454
Периастр 428, 429
Перигей 180. 206
Перигелий 173, 177, 229, 238,
260, 292, 295
Пернгелнйное расстояние 237,
319, 322
Период Эйлера 545
Периодические решения 251
Персенды 325, 328
Пертурбационная функция
258—260, 267, 269—271, 539
Пиргелиометр 335
Планетарий 50
Планетная система 272, 273
Планеты 106, 107, 155 , 168. 171 ,
270, 272, 291—315 , 330—332 ,
465, 504, 528
—
большие 106, 266, 291—302,
306—315
—
верхние 110, 112, 168, 170,
172
—
внешние 314
—
внутренние 314
—
малые 239,250. 266,302-305
—
нижние 110, 168, 170
Плеяды 42, 211, 414, 460
Плоскость горизонта 43
Плотность 136—138, 287
—
излучения 378
Плутон 291, 292, 299, 314, 315
Повторяемость затмсинй 206—
208
Поглощающая способность га-
за 381
Поглощающий клин 28
Поглощение света в межзвезд
ром пространстве 477, 488—
491, 493, 495, 559
Позиционный круг 67
—
угол 66, 67, 419, 435, 436
Покрытия звезд Луной 143,211
Поле тяготения 496, 497
Поллукс 41
Полнолуние 108, 192, 194, 203
Полуденная линия 44
Полуночное Солнце 121, 123
Полуось большая 173
—
малая 173
Полупернметр 174
Полутень 201
Полюс истинный 97, 98
—
средний 97, 100
Полюсы мира 44, 121
Полярная звезда 129, 133
—
ночь 121—123
Полярное расстояние 45
Полярные сияния 279
Полярный круг 122
Понижение горизонта 152
Поправка полудня 118
—
полуночи 118
—
часов 113
Последняя четверть 108, 192
Постоянная аберрации 99—101,
104, 557
—
Больцмана 370
—
газовая 287
—
Гаусса 227, 430
—
иутацнн 97
—
Планка 33, 375
—
прецессии 274, 275
—
рефракции 71
'— Стефана 287
—
тяготения 218, 227, 287, 539
—
Якоби 254
Потенциал возбуждения 363
372, 397
—
ионизации 33, 363
Поясное время 85—90
Предварительная орбита 238,
316
Преломление лучей в земной
атмосфере 69—71
Преобразование уравнений дви-
жения 260, 261
Преобразования Тнле 254—256
Прецессия 81, 93. 94, 97, 99,
100, 104, 106, 197—199, 273,
412, 518, 543 -549, 558
—
годовая 517
—
лунно-солнечная 95—97,198,
—
общая 95, 96
—
от планет 95—97
Приам 304
Приведение
к меридиану 125
Прикладной час 200
Прилив квадратурный 200
Прилив сизигийный 200
Приливная волна 200, 201
Приливы и отливы 199—201
Принцип Допплера 450
Продолжительность времен го-
да 295, 296
Пространство скоростей 497
Противостояния 106, 107, 113
167, 170
'
'
Протон 503
Протуберанцы 281—284
~ 28 3В284е
"
НЫе
(эру птиш ше)
~
спокойные (облакообразные)
283, 284
'
Прохождения Венеры по днскѵ
Солнца 211—215, 294, 295
~2П
еР2К12Р2Я15ПО Д11СКУ С°ЛНЦа
Процнон 42, 421
Прямое восхождение 50, 58
116,117 ,155-158,274;
оі /, 518
—
(поступательное) движение
75, 165 , 167
Пятиообразовательная деятель-
ность Солнца 280, 285
Равновесие лучевое 385
—
механическое 384
Равноденственная линия 75
Радиальная составляющая 192,
Радиант 325, 519
Радиационные переходы 368,
369
Радиометр 30
Радиус-вектор 221—224, 229,
238
планеты 174, 175
Размеры Земли 144—146
Разрешающая сила спектро-
графа 318, 551—557
трубы 22, 519, 550
Расстояние афелия 174
—
перигелия 174
—
среднее 174
. Расширение Вселенной" 500
Регистрирующий микрометр
Реп.ольда 59 (?і
Регул 211
Редукция 98, 99, 412
Рефлектор 21, 22, 467, 496, 558,
559
Рефрактор 19, 345, 417, 517 ,
558
'
Рефракция 47, 63 , 65, 69—74
121, 129, 152 , 153, 525 , 562!
563
Рея 310, 311
Ритмические сигналы
времени
142
Сарос 210
Сатурн 110, 113 , 165 , 166, 242
265, 291, 305, 311, 312, 314 , '
315, 318 , 320, 321 , 331
Сверхгалактика 491
Сверхгиганты 407, 410,447,418
450, 452 —454 , 460, 477
Сверхновые
звезды 457
Светимость 288
Световой год 417
Св
"рвой квант 361, 376, 378-
осо, 501
Светосила трубы 20, 22, 550,
551
Светофильтр 32, 337 , 338 , 340,
341, 559
C32t-329TeOPOB С КОМ е там и
а Северной Короны 459
R Северной Короны 462
Секстан 25, 26, 56, 57, 63-65
Секторная скорость 174
Сжатие Земли 146, 147, 159
160, 162
'
Сизигии 108, 192
Сила 136, 218
—
возмущающая 187, 188, 191,
ІУо
—
прнлнвообразующая 199
—
тангенциальная 138
—
тяготения 185, 186, 323
—
центральная 138, 181
—
центробежная 138, 159, 160
—
центростремительная 138
( иловая функция 247
Сириус 42, 92, 292, 354, 414
421,459,462 ,466
Система координат горизон-
тальная 45, 48—50
—
экваториальная 45, 48—50
—
третья 50
—
эклиптическая 79—81
Система Стрельца 479. 480
493—495, 497
Системы мира 165—171
Скелет галактической системы
478-481, 492, 493
Склонение 45, 63, 65 , 96—98
117, 155 —158 , 274 , 517, 518
'
Скорость 217
—
вращения, угловая 544
—
линейная 222
—
света 216, 287, 308, 378, 501
—
секторная 221
Соединения 106, 107, 416
—
верхнее 110
—
нижнее 112
Созвездия 41, 42
Солнечная корона 281—285
—
постоянная 335, 346
—
система 274, 278—332. 501.
504, 519, 549
Солнечные затмения 143, 194
201—211
кольцеобразно-полные
208
кольцеобразные
203—
205, 208, 561
полные 203—206,208,283
286, 561
частные 206
—
пятна 279, 280, 385
—
часы 120, 121
Солнца внутреннее строение
286-291
—
возраст 288
—
время вращения 279—281
—
масса 278, 289—291,430
Солнца обращающий слой 285,
286
Солнца объем 278
—
плотность 278, 279
—
поверхность 278
—
радиус 278, 289, 431
—
светимость (яркость) 291,346
—
собственное движение 413,
414, 497, 498
—
температура 285, 290
~28б!3200,С291 СОСТ°ЯІШе 285'
—
химический состав 285,286.
290, 291
Солнце 101, 103, 107, 109—114 ,
Н8, 122 , 124 , 133. 139-141,
i1TM' Î& І55' 165-173, 177
178, 182, 184 , 185, 190-216
220, 226 -228 , 231, 233 ,238 -
240, 257, 261 , 272 , 278 -293,
304, 308, 318 , 320, 324, 327
630, 335, 346, 347, 351, 382 ,'
400, 401, 403-405, 408, 409
411. 415, 416, 422, 432, 433,
лтл' itl' 451 ' 462
'
465- 468
470, 477, 479, 480, 487 , 492
494 497, 501, 502, 539-542'
548
'
Солнцестояние зимнее
—
летнее 122
Сомнеровы линии 131
Соотношение
масса — свети-
мость 290, 409
Спектр 30—35
—
вспышки 283, 286
—
головы комет 323
—
зодиакального света 330
—
линейчатый 31, 33, 34, 362
—
непрерывный
(сплошной)
31—33, 349, £50—352 , 383—
388. 396, 400, 402, 450, 464
—
поглощения 32, 33, 323,349.
353-356,464
"^3"3TM'
—
солнечной короны 284
—
Солнца 281, 282, 286. 323,
348, 349
—
туманностей 464
—
хвостов комет 324
—
хромосферы 283
Спектральная
классификация
353-360, 395-398. 402. • 409
—
—
гарвардская 353,400, 401
402, 424, 425
двухмерная 358, 359,406,
411,412 ,471
Спектрально-двойные
звезды
424-437, 439, 447, 448, 495
Спектральный анализ 30
—
метод определения парал-
лаксов 358, 359
Спектрогелиограф 284, 285
Спектрограф 31,284 , 348,551—
559
Спектроскоп 30, 31, 414
—
прямого зрения 31
Спнка 41
Способ Бесселя 522
—
Гаусса 508
—
Красовского
133
—
наименьших квадратов 505 —
508, 520
Способ Певцова 129
Способ соответствующих вы-
сот 53—55, 129, 130
—
Цингера 120, 142
Слутішк Сириуса 409, 422
Спутники Марса 301, 302
—
Нептуна 312, 315
—
Сатурна 310,311
—
Урана 312
—.
Юпитера 143, 216 , 306—308.
315
Среднее движение 225,226, 229,
233, 237, 252, 269
—
расстояние планеты от Солн-
ца 177
—
солнечное время 83—85,
87—90, 113, 114 , 564, 565
—
Солнце 84
Средний полдень 84
Старый стиль 91
Стационарные состояния атома
363, 364, 366 , 367, 369, 376 ,
379, 395-398, 400
вероятности перехода
364, 365, 381, 382
нижнее 353
основные 362,363,372,
398
сложное 373
статистические веса
373, 375
Степень ионизации 376, 398
Стереокомпаратор 303,450,470
Стояние 167
Строение Вселенной 465—500
Субгиганты 407, 408, 410, 41].
448, 460
Сумерки астрономические
121—123
—
гражданские 121—123
Суточные движения звезд 48
Сфера лунных затмений 208
—
солнечных затмений 208
Сферический избыток 145
Таблицы рефракции 70
Тангенциальная составляющая
192
Тангенциальные
компоненты
собственных движений звезд
475
Тень (конус тепн) 201—205,
207
Теодолит 51—53. 56, 132
Теореѵа Клеро 162
—
Лежандра 145
Теории переменных звезд 454—
456
Теории атома 33
—
возмущений 217, 256—277
—
Канта-Лапласа 332
—
Коперника 166, 168, 170,
171, 173 , 416
—
относительности, общая 137,
330
—
ошибок 508
—
прецессии и нутапин, мате-
матическая 543—549
—
Птолемея 165, 166
Тепловой показатель ЗЭ9
Терминатор 298
Термоэлектрический
столбик
29, 30
Термоэлемент 338, 350
Титан 310
Точка весеннего равноденствия
50, 74, 78, 80, 81, 98, 156 ,
168, 171 , 274, 275, 548
—
осеннего равноденствия 75
—
зимнего солнцестояния 75
—
летнего солнцестояния 75
Троил 304
Тропик Козерога 75
—
Рака 75
Троянцы .50, 304
Туманности внегалактические
462, 464, 465, 488, 495, 496,
500
—
галактические 462—464
—
диффузные 463—466
—
кольцеобразные
—
неправильные 463, 465
—
планетарные 463, 464
—
спиральные 464, 465
—
темные 463, 493
—
эллипсоидальные 464, 465
Туманность Андромеды 457,
465, 496
—
Змееносца 463
—
Лнры 463
—
Ориона 463
—
Треугольника 465, 496
Увеличение трубы 19
Угол фазы 169, 293
—
эксцентриситета 173
„Угольные мешки" 463, 488
Узел восходящий 176, 230
—
нисходящий 176
Узлы лунной орбиты 208
восходящий 107
нисходящий 107, 196
Универсальный инструмент 55,
56, 132
Уравнение
Больцмана 379,
398—400
—
времени 84, 86
—
ионизации 373, 400
—
Кеплера 225, 226, 229, 234
—
Планка 342, 380, 391, 400
—
состояния 286
—
центра 178
—
частот Бора 33, 34
Уравнения Гаусса 231
—
движения 252—254
—
нормальные 508
—
относительного
движения
219, 220, 256
—
условные 507
—
Эйлера 544
Уран 291, 312, 314, 315, 318,
321, 331
Уровгнная поверхность 139,
145, 150
Уровень 51, 52, 129
Ускорения движения 135, 217,
218
—
силы 136
тяжести 138, 139, 159
160
Условие Лагранжа 250
—
частот Бора 361
Установка экваториальная (па-
раллактическая) 65, 66
Утренняя звезда 112
Фазы Лупы 108, 109, 168 , 169,
192
—
планет 168, 169
—
солнечного затмения 206—
208
Факелы 279
Феба 310, 311, 315
Фемида 310
Фегнда 310
Физическое строение
комет
323, 324
Флинтглас 21, 31, 553
Флюоресценция 389, 390, 393—
395
Фобос 301, 302
Фокусное расстояние 18, 20,
21
Форма Земли 130, 139—152,
162
Формула Бесселл 116
—
Больцмана 373
—
Гельмерта 162
—
Планка 351
—
Томаса Майера 116
Фотографическая пластинка 31,
32, 550, 551, 554, 556, 557
—
ортохроматическая 32, 341
Фотометр клиповой 29
—
Пнккерннга, меридианный
28, 29
—
Цёллыіера 28
Фотометрические системы 337
Фотометрический клин 349
Фотометрия 28—30
—
визуальная 28, 29, 335, 340
—
точная 344
—
фотографическая 29, 30
—
фотоэлектрическая 30
Фотосфера 285, 2Р6, 398
Фотоэлектрический элемен (фо-
тоэлемент) 29, 30, о2, 337,
450
Фраунгоферовы липни 281,314,
330, 348
Фундаментальные звезды 78, 79
Фундаментальный каталог
Астрономического общества
413
Функция частоты распределе-
ния
абсолютных яркостей
471—476 , 481 , 486, 491, 492
Хвосты комет 316, 324
Ход часов 113
Хромосфера 281, 282, 284 , 286 ,
382, 495
Хронограф 28, 58
Хронометр 120, 141 —144
Цветовая температура 350—35^ \
Цветовые эквиваленты 342—
'
345
Целостат 279
Центры либрации 250, 254
Церера 303, 305
Цефеиды 407, 450, 452—455,
465, 471, 477 , 478, 495, 502
—
долгоиернодическис
452,
460, 471 . 490
—
короткопериодические 452,
460, 471, 477 -479, 488 , 493,
491, 498
•о Цефея 452, 453, 502
U Цефея 438
Часовой угол 45, 58, 65, 90
Частные случаи Лагранжа 249,
250
Частота встречаемости элемен-
тов 398—400, 402
—
колебаний 32
Часы 26—28 , 58, 113
Численное днференцнрованне
515, 516, 530, 531
—
интегрирование 516, 517,
530, 532-538; см. также Ме-
тод численного
интегриро-
вания
Чистое поглощение 389
—
рассяние 389
Чистота спектрографа 554, 555
Чистый поток излучения 383,
385, 390, 391
Шаг винта 24
Широта гелнографическая 280,
281
—
гелиоцентрическая 280
—
места наблюдения 63, 525
—
географическая 147,151, 186
—
геоцентрическая 146, 147,
151, 186
—
светила 79, 80
гелиоцентрическая 171
Шкала времени 500—504
•Эвекцня 194
Эволюция звезд 495, 500—504
Экватор 97, 108
Экваториал 65
Эквивалентная ширина линии
349
Эклиптика 74,96,97,1105,106,108,
109, 168, 171, 176, 208, 228,
241. 329, 330, 416, 546; см.
также Наклонение
эклип-
тики
Экстраполирование 535
Эксцентриситет земной орбиты
180, 193
—
круга 51
—
лунной орбиты 194
—
орбиты 176, 177, 190, 291
двойной звезды 429, 431
434, 438 , 439, 443
Эксцентриситеты гиперболиче-
ские 320
—
эллиптические 320
Электрон 501
—
валентный 362, 363, 375
—
свободный 395, 398, 410
—
связанный 366
Элементы орбиты 228, 229, 260,
321
планеты 175—177
Эллипс 225, 228 , 420
Эллипсоид враіцепил (сфероид)
146-151
'
Эллиптическая орбита 229,230,
238, 243, 270, 271, 316 , 320,
321, 328 , 443/528
Элонгации 106. 107, 166 , 191
—
восточная 111, 113, 169
—
западная 112, 113, 169
Эней 304
Энергия внутриатомная 501—
503
—
гравитационная 501
—
кинетическая 501, 503
—
лучистая 501, 503
—
электромагнитная 501
Энцсляд 310, 311
Эпагомены 92
Эпицикл 165
ß Эридапа 459, 462
Эрот 213, 216, 304, 305
Эфемерида 100, 113, 231, 242
Эффект вращения одиночных
звезд 447
—
Допплера 35—37, 301, 364
393, 394
—
Зесмана 285
Эффективная длина волны 344,
—
температура 336, 337', 339
343, 350-352 , 356, 358, 386
396—398, 401—403
Юлианская эра 93.
Юлианские числа 556
Юлианский период 93
Юнона 303, 305
Юпитер 110, 113, 165, 166, 169
185, 242 , 265 , 291, 303—308,
311, 312, 314 , 315, 318 -322 ,
331
Явления Допплера 281, 285,
399
—
Пуркинье 339, 314
Ядро кометы 315
Япет 310
Яркости звезд 333, 416
абсолютные
334, 335 ,
346, 356-358, 402—407, 411 ,
444, 445 , 453, 458, 460, 468,
471—478 , 480—482 , 484 —487 ,
491, 492, 523
—
—
болометрические
335,
336, 339, 346, 403, 404
видимые 334, 335, 402,
405, 406, 446, 453, 460, 468,
473-475 , 481
визуальные 335, 336,339,
341, 403, 468, 550, 551
колориметрические 340,
поверхностные 346, 347,
398, 402, 4ѲЗ, 439, 444—446
радиометрические
339,
341
фотовнзуальные 337, 341
фотографические
335,
341, 350, 551
фотоэлектрические 335