/
Author: Мордкович А.Г. Николаев Н.П.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика естественные науки 7 класс точные науки
ISBN: 978-5-346-04407-9
Year: 2019
Text
А. Г. Мордкович
Н.П.Николаев
УЧЕБНИК
для общеобразовательных
организаций
(углубленный уровень)
Ргко»»енАОМно
М»»ктгрсг»ол» nporntuew
Дхсинаой Фгдерацяи
П-«И1Д4ми» стереотипно»
Москва 2019
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
М79
На учабник получены пололитольны» эакличемтк по результатам трет экспертиз:
научной (Россттйсмя акалемме наук. МТ 004946 от 19.12.2016).
педагогической (Российская академия наук, М» 0050S3 от 19.12.2010)
и овкцастминон 1РШБА, М» 03'16.0381 от 20.12.2010)
Мордкпвкч А. Г.
М79 Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательны*
организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч. 1 / А. Г. Морд-
ковнч. Н. II. Николаев. — 11-е изд., стер. — М. : Мнемозина,
2019. — 232 с.: из.
ISBN 978-5 346 04407 9
УчеОнш напасай в соитаетсгкяа с ФГОС ООО. реюиыуп авторскую
вовцдаот. в нстэроЛ Г|рИ<1>»ГГ»111иА соогртвтелм* методически* основой
авдмгтгм фуик ил ешм.тыю г-рафмче<кая лмима. • мдеоным стержнем кур
со — яэмк W M4-»*:M4TW4»<9AM МОД» TV. С ПЛМО*ЧкЮ КОГОр^М
ГГраОТЛД ОИЯСАПН* рСМЯЪМЫИ ВОТУМОМ* МУруЖДЮГЦДЙ Д*»Я<ТВвГКЛЬВ<М’ФН
11 чгчеОпмкг РГЛ.1Ж1ОМАМЫ приникли крибдеммоги. ралмиамалфии м ацгрежав»
и|ггоибучгпия
Нид&Ф и шл-’к-ди«лтгль4><м-г11 учебный мвтгршии имвилммат алу^ат»
Предмет как мд бааавам. так м « vr.iyn.-нииом уроках юстшгггткмк с При
Мерной осиокний и6ще<4>разо«М1Те.*11.Мч.-й1 программ»*.
З'|гктгмм«кля форм.4 уагЛника падержагг гемпчктгглтенций мулыммн*
Л1йший мктирма-ч и тесты дяя самин1м1В»ркн
Перми ИСТЬ r«r*NIIKM содержат тсоргпгккжи* млтгрллл. ИЛПЯСДИИШЙ
иомдтимм языком, доступным ддд мсех учащихся.
УДК 473-167 1AI2
ТЧ9<... .„...о Ькжмыш
Морлкович Алексзшдр Григорьевич. Николаев Николаи Петрович
АЛГЕБРА
7 класс
УЧКВНПК
для общгоОрязокзгте тьвыл оргаяизииий
(углублеявы* уровень)
В двух чаетях
Част» 1
Фпуакат 70> ВО 1 к. Bvear* офткза № I Гарпятура >|||котмшя>
Печать офгетнал. Vi-з не», я. 14.47 Тираж 3000 акз ЗакааХ.
11 ^ТЯТеТЫ'ТЬо * М Mr М1>ы1Ни • .
10ЫМЗ. Могвпн, уя. 6 а Партам. 296. Тех: II (ЮТ> 367 U1M. 367 67*1.
Е siad* хм*(й твепммпп* гн www ranemotina.ru
ИНТЕРНЕТ маками.
Тел.; 8 (195) 783 8281. ымпа.айор.жтесжмим-ги
OnieMOTAHo в АО • Непала ОЛра iuumi тмпогрм>млв.
фаиаад «Удышиаскк* Дом Печати».
4329Н0, г. Увытиаск, уд. Гамаарава. 14
С «Мвемодижа». 1907
С • Мисамиаь 2UI7, с ааыАвснплма
С « Мигмшма*9, 2019
ISRN 97А-5-;ИН-<Н4О6-2<об»в ) € Оформление. «Ммежмипл». 2019
ISBN 878 5 Л40 04407 9(ч. I) Вег орлам защаккпм
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дорогие семиклассники! Первые шесть классов позади. Вы при-
ступаете к следующему этапу своего обучения в школе. От его иго
гоп в большой степени зависит тип дальнейший жизненный путь.
Теперь у вас появятся экзамены, новые уроки. Относится это и к ма-
тематике, которая будет состоять из двух предметов: алгебры и гео
метрик
Практически вес. что окружает нас в повседневной жилки (дома
и дороги, машины к механизмы, компьютеры, мобильные телефо-
ны и многое другое*, в процессе своего сочла ни я было чем или иным
образом сконструировано, спланировано, рассчитано. Вес эти объ-
екты, процессы и операции с ними евязаны с математикой. Толь-
ко высокий уровень овладения математикой может гарантировать
безошибочность вычислений, точность прогнозов, надежность схем,
устойчивость конструкций, действенность алгоритмов. Математи-
ка является одним из базовых методов познания действительности,
позволяющим описывать и изучать реальные процессы н явления.
Современная цивилизация давно и прочие основана именно иа та-
ком положении дел. Еще в начале XVII в. знаменитый итальянским
ученый Галилео Галилей писал: «Великая книга Природы неписана
языком математики». А вот современная цитата: «Математика —
фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые сред-
ства друтим паукам: опа выявляет их структурную взаимосвязь и
способствует нахождению самых общих законов природы». Важна
математика и с гуманитарной точки зрения. В любом обсуждении,
споре, дискуссии, речи, докладе, статье, книге мы что-то доказы-
ваем. оря под им аргументы и опровержения, различаем истинное и
ложное, стремим!я к логичности утверждений, стараемся верно по-
нять позицию возможного оппонента. Математика как часть обще-
мировой культуры в само* существенной степени разни влет способ-
ности к этим видам деятельности человека.
Вы начинаете изучать алгебру. Алгебра — основа математики
как языка для построения математических моделей процессов и яв
ленки реального миря. Математический язык — это формулы, гра-
фики. таблицы, алгоритмы. схемы рассуждений, формулировки
опредслеиий и теорем. Особенность математического языка состоит в
том. что с его помощью, используя минимум слов, можно ныразитч,
максимум содержания. Культурному человеку в наше стремительное
время это жизненно необходимо.
В задачи изучения алгебры входят также развитие алгорит-
мического мышления, необходимого, в частности, для усвоения кур-
са информатики, рипвитие умений извлекать информацию. апализм-
ровать массивы данных.
4
Предисловие
Учебник для изучения курса алгебры и 7-м классе ахтоит из
двух книг: первая часть содержит теоретический материал. а вторая
часть — практический. Сейчас вы держите а руках первую часть
учебника. Структурно ои состоит нз 8 глав, в каждой главе есть па-
раграфы, часть которых разбита на пункты. В конце каждого па-
раграфа приведены вопросы для самопроверки. Закончив изучение
параграфа. прочитайте вопросы для самопроверки и попробуйте отве
тить па них. Если возникнут затруднения, всегда можно в соответст-
вующем параграфе учебника найти ответы на все вопросы.
Каждая глава заканчивается разделом «Основные результаты».
Эго своеобразное подведение итогов, что для успешности процесса
обучения очень важно. Кроме того, в конце каждой главы даны при •
мерные темы иестедовятельских работ, которые позволят вам рас-
ширить ли а ни я по математике и создать свой ученический проект.
Оглавление и предметный указатель, помещенные в конце
книги, помогут вам быстро найти нужный раздел, определение того
или иного понятия или теорему. Для облегченна навигации текст
снабжен пиктограммами.
Желаем вам успехов!
Авторы
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Решение примера соглас но предложенному
ранее алгоритму
Ключевое место в рассуждении
Новые понятия 11 термины
Обратите внимание!
Текст для вдумчивого чтения!
ГЛАВА
МАТЕМАТИЧЕСКИМ
ЯЗЫК.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
§ 1 Числовые v алгебраические выражения
§2. Чти такое математический язык
$3, Что такое математическая модель
«4 Линейное уравнение с одной переменной
$5 Задачи на составление линейных
уравнений с одной неременной
§ 6 Координатная прямая
$7. Данные и ряды данных
§1
ЧИСЛОВЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
Числовые выражения
В младших классах вы учились оперировать с целыми и дробными
числами. решали ураипспил. знакомились с геометрическими фигу-
рами. с координатной прямой и координатной плоскостью. Все это
составляло содержание одного школьного предмета «Математика».
В действительности такая важная область науки, как математика,
подра-глеляется на огромное число самостоятельных дисциплин: ал-
гебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, ма-
тематическую логику, математическую ститиетику, теорию игр
и г. д. У каждой дисциплины — своп объекты изучения, свои мето-
ды паомаимя реальной действительности.
Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку вол
можиость нс только выполнять различные вычисления, ио и учит
его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владею
щнй алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми,
кто не владеет ггими методами: он быстрее считает, успешнее ориеи-
6
7n»«* 5 ЫАГеВТАТИЧССКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД? ЛЬ
ленную.
числовое
выражение
алгебраическое
выражение
тируется я жизненных ситуациях, четче при ин мнет решения. лучше
мыслит. Наша задача помочь вам овладеть алгебраическими мето-
дами, ваша задача — не противиться обучению, е готовностью следо-
вать м нами, преодолевая возникающие трудности.
На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно к
волшебный мир алгебры. ведь алгебра в первую очередь изучает чис-
ловые и алгебраические выражения.
Напомним, что числовым выражением называют всякую запись,
составленную из чисел и знаков арифметических действий (состав-
разумеется, со смыслом, например, 3 + 5 7 числовое вы-
ражение. тогда как 3 ♦ : — не числовое выражение, а
бессмысленный набор символов). По некоторым причи-
нам (о них мы будем говорить и дальнейшем) часто вме-
сто конкретных чисел употребляются буквы (преимуще-
ственно из латинского алфавита), тогда получается алее
Лраическпе выражение. Эти выражения могут быт», очень
громоздкими. Алгебр» учит упрощать их. используя разные прайм-
ла. законы, свойства, формулы.
ПРИМЕР 1
Найти значение числового выражения
(4.73 ♦ 4А1 ♦ 3.27 - 2.81) “ Ц|
-------------2S 37 0 4-----------
Решение
Сейчас мы вместе с вамп кое-что вспомним, и вы увидите,
как много алгебраических фактов вы уже знаете.
Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений.
Для удобства введем следующие обозначения Числитель данного
дробного выражения обозначим буквой А. а знаменатель буквой В;
А ~ (2,73 ♦ 4.81 + 3.27 - 2,81) : [£ - Ш; В - 25 37 0.4.
* 1о '
В выражении А обозначим делимое буквой С, а делитель бук
вой D. Тогда план наших действии будет выглядеть так:
1) найдем значение с выражения С;
2) найдем значение d выражения £>;
3) разделив с на d. найдем значение а выражения А:
4) найдем значение b выражения В;
5) разделив а на й, найдем значение заданного чистового выражения.
Итак, план вычислений есть (а наличие плана половина успе
ха!), приступим к его реализации
1) С т 2,73 ♦ 4.81 + 3.27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд,
или. как иногда говорят, «в лоб»: 2.7.3 + 4.81. затем к атому числу
1' Нжлоаы* и алг*Враии««ис •ыр«,*ви’1
прибииить 3.27, затем вычесть 2.81. Но красивее сделать так, вспом-
нив переместительный и сочетательный законы сложения:
(2.73 > 3.27) * (4.81 2.811 6.2-8.
Итак, с — 8.
2) D Т~7Т- Здесь нам придется вспомнить, как действовать с
i 1 Э
обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к обеде му
знаменателю. Наименьшим общим кратным чисел 5 и 15 является
2
число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби — получаем:
5
2 2 3 в гь
5 " б“« ” 15’ Зн4,'пп>
2 Ий Н В-И 8
5 15 15 15 15 15’
Итак, d - -А.
3) Разделим с на </:
М-А)—НН-Л*—••
Итак, и - -16.
4) В - 25 37 0,4. Конечно, можно проводить вычисления
• в лоб*, т. е. вычислить 25 37, затем то. что получится, умножить
на 0,4. По рациональнее воспользоваться переместительным и соче-
тательным законами умножения;
37 0.4 - (25 0.4) 37 10 37 - 370.
Итак, b - 370.
5) Осталось разделить числитель а на знаменатель Ь. Получим
~ *=-j (разделили числитель и знаменатель Д|и>Лм ил 5. т. е. со-
кратили дробь).
Ответ
Л теперь вместо проанализируем, какие сведения кв математики
нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причём не
просто вспомнить, ио и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: a ♦ Ь — b + а.
3. Переместительныя закон умножения: ah - t>a
4. Сочетательный закон сложения:
a f b ) с - (в ♦ 5) 4 с = а 1 (5 » е).
5 Сочетательный закон умножения: ubc — (нА) с — а (Лс).
в. II они г ня обыкиоменной дроби, десятичной дроби, отрицатель
кого числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
Я. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
9. Основное свойство обыкновенной дроби: J - — (зиачеиие дро-
би не изменится. если ее числитель и змаменитель одновременно ум-
пожить па одно и то же число или разделить на одно и то же число,
отличное от нуля). Это свойство позволило нам преобразовать дробь
- к виду — (числитель и знаменатель дроби т одновременно умно
!> 1 л • »
жили на одно и то же число 3). Они же позволило нам сократить
к 1 ь
дробь -г- (числитель и знаменатель дроби -=- одновременно pit аде-
о«0 3,0
лили на одно и то же число 5).
10. Правила действий с положительными и отрицательными чис-
лами.
Все это вы знаете, но ведь все это — алгебраические факты. Та-
ким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось
в младших классах. Основная трудность, как видно уже ио примера 1,
заключается я том. что таких фактов довольно много, причем их
надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нуж-
ное время и н нужном месте». Вот этому и будем учиться.
И последнее, чтобы закончить обсуждение примера 1. То число,
которое получается в результате упрощений числового выражения
з
(k AAliUQM UpMMtpC УГО было ЧИСЛО — ). НАЗЫВАЮТ ЧМС.1О
14
ваги выражения.
2
Если дано алгебраическое выражение, то можно говорить о значении
ал/ебриическол» нырамгния, но только при конкретных значениях
входящих в него букв. Например, алгебраическое выражение а ♦ b
^7 при а = 5, b - 7 имеет значение 12 (поскольку а ♦ b =
значение - 5 • 7 - 12); при я - 16. 6 - 14 оно имеет значение
алгебраического 30 (так как а-ь 6 — 16 * ( 14)- 16 14— .30). Алте-
выражения бранчсское выражение а1 36 при а - 2, 6 - 0,4 принк
мает вид чистового выражения (-2)3 - 3 0,4; упрощая,
получаем 4 1,2- 2,6 — это и есть значение алгебраического яыра
женка uJ - 36 при а — 2, 6 — 0.4.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического вы раже
иия. можно придавать различные числовые значения (т. в. можно
менять значения букв), эти буквы называют пгргмгиными.
ПРИМЕР 2
Решение
Найти значение алгебраического выражения
а* т 2ай т ft*
<а А)(а А)’
•ели: а) а - 1. к - 2: 6) а - З.Т, ft - -1,7: в) а - |. ft - |.
о о
а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим:
1) а1 * 2ab + М - 1’ 4 2 1 2 - 2» - 1 4 4 * 4 - в;
2) a г b - 1 + 2 - 3;
3) а - ft - 1 - 2 - -1:
4) (а 4 ft)(а ft» - 3 (-1) - -3;
4 О- 4- 2оА + г? _ X - -3.
(о - »((« >) -з
б) Аналогично, соблюдая порядок действий. последовательно на-
ходим:
1) а1 ♦ 2ай + ft' - 3.71 ч 2 3.7 (-1.7) е (-1.?)’ - 13.69 - 12.58 ♦
4- 9 НО « А*
2) аей = 3,7 е (-1.7) = 2:
3) а - ft - 3,7 - (-1.7)- 5.4;
4) (а т ft) (а - й) - 2 • 5.4 - 10.8;
,. а* Г 2аА г fr1___4 _ 4 10 10 _ 10
*” (в • »к« - ft) ~ 10.8 ” 10.8 К) ’ 108 ” 27
(ралделили числитель и знаменлтель дроби уА па 4. т. в. сократили
дробь).
в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим:
| |<-||| -
_А#1*т-А А
“ 25 25 25 25'
2)«eft-| + 2-|;
& о о
3)a-ft=|-|=0:
О о
4) (а т й)(о й) - | 0-0.
А на нуль дглить нгльля' Что .тто значит в данном случае (н в
3 3
других аналогичных случаях)? Эго значит, что при а — й — — за-
данное алгебраическое выражение ие u.veem смыела.
10
7n»«* 1 ыАтымдтический «ЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ модель
Используется тики» термикологии: если при конкретных значе-
ниях буки (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое
значение, то указанные значения переменных называют допустимы
ми; если же при конкретных значениях букв (перемен
допустимые
недопустимые
змачеимя
них) алгебраическое выражение не нмеет смысла, то
указанные значения переменных называют Hrtjon^cmu
ны.ип. Так, в примере 2 значения а = 1 и h = 2,
переменных
а — 3,7 и б = -1,7 — допустимые. тогда как значения а -
Л
S
и b - у — недопустимые (более точно, первые две пары
О
значений — допустимые, а третья пара значений — недопустимая).
Вообще я примере 2 недопустимыми будут такие значения пере-
менных о, Ь. при которых либо а т Ь - 0. либо а b — 0. Например,
а - 7, б "-Т или а - 23.3. б = 28,3 — недопустимые нары значений;
в первом случае и f Ь - О. а во втором случае о - б - 0. В обоих слу-
чаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается
в нуль, а на пуль, повторим еще раз. делить нельзя. Теперь, нанер-
пос, вы и сами смажете придумать как допустимые пары значений
для переменных о. Ь. так и недопустимые пары значений зтих пере-
менных в примере 2. Попробуйте!
Пример 2в) по самом деле мы решали плохо (некультурно), по-
скольку сделали ряд лишних, ненужных вычислений. Надо было
О 3
сразу заметить, что при а = и b = - знаменатель обращается в
нуль, и объявить: выражение не имеет смысля! Но, как говорится,
сразу замечает тот. кто .знает, что надо замечать. Этому н учит ал-
гебра.
Если бы мы с вамн решали пример 2 пещвее. то сделали бы это
лучше. Мы бы смогли преобразовать выражение к более простому
в + В , -
«••ДУ ---г> « тогда, согласитесь, горллдо проще было ом и вычис-
d Г
а в1 + 2а6 + tr* а b
лить. А вот почему верно равенство - ...........- - . пока мы
(в + а -
сказать не можем. На этот вопрос ответим позднее (в S 42).
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение числового выражения.
2. Что такое значение числового выражения?
3. Что называется алгебраическим выражением?
4. Что такое значение алгебраического выражения?
б. Сформулируйте переместительный закон сложения.
б. Сформулируйте переместительный закон умножения.
7. Сформулируйте сочетательный закон сложении.
8. Сформулируйте сочетательный закон умножения.
9. Сформулируйте основное свойство дроби.
10. Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выра
жение не имеет смысла»? Приведите пример такого выра-
жении.
11. Какие значения переменных называются допустимыми?
12. Какие значения переменных называются недопустимыми?
ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
Па математическом языке многие утверждения выглядят яснее и
прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят:
• От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Слыша это. мате-
матик пишет (или говорит):
а г Ь - Л * * а.
Он переводит высказанное утверждение на математический язык,
в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки
арифметических действий, иные символы. Запись а - Ь - b + а эко-
номил и удобна для применения.
Возьмем другой пример. На обычном языке говорят: «Чтобы ело
жить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно
сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения». Ма-
тематик осуществляет «синхронный перевод» на свой язык:
a , с _ а - е
ь’ (>’ Ь •
Л вот пример обратного перевода. На математическом языке за-
писан распределительный закон:
а (б * с) - аЬ * ее.
Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное пред-
ложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и с, можно
число а умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные
произведения сложить».
Во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы гово-
рили о письменной речи в математическом языке. Л устная речь
это употребление специальных терминов («слагаемое», • уравнение»,
•неравенство». «график», «координата» п г. и.), а также различные
математические утверждения. выраженные словами.
Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы,
слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Это не самое ве-
селое занятие, интереснее сразу начать читать и говорить. Но так
i<t* бывает, придется набраться терпения и скачал» изучить основы.
В результате такого изучения ваши представления о математическом
языке будут постепенно рнгшириться.
Вопросы для самопроверки
I. Вспомните на курса математики 5 6-го классов правила
действий с обыкновенными дробями. Сформулируйте их на
обычном языке и постарайтесь осущестпить перевод этих
правил иа математический язык.
2. Зил ищите но математическом языке: из суммы чисел 3 и 8
вычесть произведение чисел 7 и 12.
3. Запишите на математическом языке: чтобы умножить чис-
ло т на сумму чисел п и 4, надо число т умножить по*
очередно на каждое слагаемое и полученные произведения
сложить. О каком законе идет речь?
1. Запишите на математическом языке: чтобы умножить чис-
ло /» ни разность чисел q и t. надо число р умножить по-
очередно на каждое слагаемое и из первого произведения
вычесть второе. О каком законе идет речь?
§3
ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
Понятие о математической модели
Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса.
В 7«А» учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7«В* — 12 девочек и
12 мальчиков, в 7«В» — 9 девочек и 18 мальчиков, в 7«Г» — 20 де-
вочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить нм вопрос, сколько
учеников в каждом из седьмых классов, то нам I раза придётся осу-
ществлять одну н ту же операцию сложения:
в 7*А» 15 + 13 = 28 учеников:
в 7<Б» 12 + 12 - 24 ученика;
в 7»В» 9+18-27 учеников:
в 7»Г» 20+ 10 - 30 учеников.
Используя математический язык, можно все эти четыре разные
ситуации объединить: в классе учатея о девочек и б мальчиков, зна-
чит, всего учеников о + Ь. Таком математическая мойела данной
реальной ситуации. Алгебра, и частности, зииимлстся тем, что опи-
сывает различные реальные ситуации иа математическом языке в
и и де математических моделей, в затем имеет дело уже ие с реаль-
ными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила,
свойства. лакомы, выработанные в алгебре.
В следующей таблице приведены различные реальные ситу
алии и их математические модели; при этом а число девочек
в классе, b - число мальчиков в том же классе.
Рьазывая г»гуачп«
Маташапачаская напал*
1 В классе девочек и мальчиков
поровну (как в 7«В»)
Девочек на 2 больше.
чем мальчиков (как в 7«А»)
Девочек па 9 меныне.
мам мильчиков (как в 7«Н«)
4 Девочек в 2 раза больше,
чем мальчиков (как в 7«Г»)
Девочек в 2 раза меньше,
чем мальчиков (как в 7<В»)
6 Если в дани ын класс придут
еще одна девочка и ту*1
мальчика, то девочек и
мальчиков станет поровну (как
В 7.A.I
7 Если из кпвееа уйдут ери
девочки, то мальчиков станет
в 3 раза больше (как в 7«Ва»
В - а - 9
или В - а ♦ 9
или а — b 9
а - 2h пли б —
В - 2<»
о ♦ 1 - b г 3
В 3(а 3)
Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к её мате-
матической модели. Но надо уметь двигаться и в обратном напрев
лении. т.е. по заданной математической модели описывать слонами
реальную ситуацию. Например, что означает (прп тех же обозначе-
ниях, что и в нашей таблице! такая математическая модель: а - & -
- б 4 б? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут
5 мальчиков, то девочек и мальчиков и класте станет поровну (эта
ситуация имеет место а 7«Г« пз рассмотренного примера).
Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математиче-
ская модель реальной ситуации, что она нам дает, кроме краткой
выразительной записи? Чтобы ответить на этот яопреж. решим еле-
дующую задачу.
Tn.,»* 1 ЫАТЫМЛТИЧССКИЙ «ЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД, ЛЬ
ПРИМЕР 1
Решение
R классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Вели на этого клее
са уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет иа 4
больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?
Пусть х — число мальчиков в классе, тогда 2х — число де-
вочек. Если уйдут три девочки, то останется (2.г - 3) дево-
чек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По ус-
ловию девочек будет тогда иа 4 больше, чем мальчиков; иа мате-
матическом языке это записывается так: (2х - 3) — (х •+- 3) — 4.
Это уравнение — мнтемитическая модель задачи. Используя из-
вестные правила решения уравнений, последовательно получаем:
2х 3 х 3 — 4 (раскрыли скобки);
X - 6 — 4 (привели подобные слагаемые);
х • 6 + 4;
ж - 10.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчи-
ков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза
больше).
Ответ
Всего в классе 30 учеников.
Интересно, заметили ли вы, что а ходе решения было четкое
разделение рассуждений иа три этапа? Давайте посмотрим вместе.
На первой лтапе. введя переменную х и переведя текст задачи
па математический язык. мы составили математическую модель — в
виде уравнения (2х - 3) - (х •» 3) - 4.
На втором зтапе, используя наши знания из курса математики
5—в-го классов, мы это уравнение решили; х - 10 Пн этом этане мы
не думали ни про девочек, ни про малышков, а занимались «чистой,
математикой, работали только с математической моделью.
На третьем лтале мы использовали полученное решение, чтобы
ответить на вопрос задачи. Иа этом этапе мы снова вернулись к де-
вочкам, мальчикам и интересующему нас классу.
Подведем итоги. В процессе решения задачи были четко выде-
лены три «тяня.
1 ЭТАП. Составление математической модели.
II ЭТАП. Работа с математической моделью.
Ill ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Вот так обычно применяется математика к реальной действмтель
ногти, После рассмотренного примера повторим вопрос: нужны хи
математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны!
S 3 Что такое матмаагмчмкм мов« п*
15
Разумеется. чем сложнее модель, тем больше фактом, привил, свойств
приходится применять для работы с ней. Эти факты, правила. свой-
ства надо изучить, что мы и будем с вами делить иа протяжении всех
лет изучения алгебры в школе.
Виды математических моделей
Математические модели бывают не только алгебраическими (в пиле
равенства с переменными, как в таблице на с. 13. или в виде урав-
нения. как было н примере 1). Для знакомства еще с одним видом
математической модели возьмём задачу из учебника математики для
6-го класса (специально берем задачу, с которой вы. может быть,
встречались).
ПРИМЕР 2
Построить график температуры воздуха, если известно, что темпера-
туру измеряли в течение суток и по результатам намерения состави-
ли следующую таблицу:
Время суток, ч 0 2 4 6 К 10 11 14 16 18 22 24
Ттмпс|мтури. С Б 0 0 3 4 2 0 б 8 б 9 3
Решение
Построим прямоугольную систему координат. По горизон
тальной оси (осн абсцисс) будем откладывать значения вре-
мени (. а пи вергикильний оси (оси ординат) — значения темпера гу-
ры Т. Построим на координатной плоскости точки, координатами
которых являются соответствующие числа на таблицы. Всего получи
ется 12 точек (рис. 1). Соединив их плавной линией, получим один
из возможных графиков температуры (рис. 2).
Построенный график есть математическая модель, описывающая
зависимость температуры от времени. Анализируя этот график, мож-
но описать словами, что происходило с температурой воздуха в тече-
ние суток. Ночью с О ч до 8 ч утри становилось все холоднее (от 5 С
в Оч до -4 < в Яч утра). Потом, видимо, выглянуло солнышко и ста-
ло теплеть, так что в 11 ч температуря была уже ис отрицательной, а
нулевой (О "С). До 1 б ч теплело, причем в 16 ч было теплее всего (К "С),
А затем стало темнеть, темпера гура начала постепенно снижаться и
понпзилягь до Я “С в 22 ч.
Глядя па график температуры, можно приближённо определить,
какая температура была наименьшей ( 4 “С в 6 ч утра), какая
наибольшей (8 ’С в 16 ч). где температура менялась быстрее, где
1б — 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ «ЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
медленнее. и где всюбще не менялись (от 2 до 4 ч ночью и от 22 до
лиалмтмческая
модель
геометрическая
мод*ль
слоаосная
модель
24 ч вечером). Рассмотрев кая математическая модель является при-
мером графической модели.
Итак, нам нужно учиться описывать реальные ситуации словами
(словес наа модель), алгебраически (о гееЛраичеекил модель), графиче-
ски (грофк усекал модель). Бывают еще геометрические модели реаль
пых ситуаций — они изучаются я курсе геометрии. Впро-
чем, графические модели также иногда называют геоме-
трическими. а вместо термина «алгебраическая модель»
употребляют термин «аналитическая модель». Все это —
виды математических моделей.
Чтобы свободно оперировать любыми видами матема-
тических моделей, нужно ни учиться переходшь от одной
ко них к другой. Ток, выше, в примере 1, нам удалось пе-
рейти от словесной модели к аналитической. В примере 2
удалось перейти от словесной (точнее, табличной) модели к грвфиче
ской, что позволило вновь вернуться к словесному описанию рассма-
триваемой ситуации, но уже ив более содержательном уровне. Будем
учиться тгнм переходам
Вопросы для самопроверки
1. Что такое математическая модель?
2. Какие виды математических моделей вы знаете? Приведи
те примеры каждого вида моделей.
3. Назовите три этапа математического моделирования.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Одним из самых простых и в то ж* время очень важных видов мате-
матических моделей реальных ситуация являются известные вам и.з
курса математики 5 б-го классов линейные уравнении с одной пере
мен ной. Приведем примеры линейных уравнений:
Зл - 12. 5р - 10 - 0. 2а ♦ 7 - 0
и т. д.
Решить линейное уравнение это значит найти все те значения
переменной, при каждом из которых уравнение обращается в вер-
ное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называ-
ют корнем уравнения Так, уравнение Зх - 12 имеет корень х - 4,
поскольку 3 4-12 верное равенство, причем других корней нет;
уравнение 5у - 10 — О имеет корень у — 2. поскольку 4 2 - 10-0 —
18
ГЛАВ* ’ МАГМАТИЧЕСКИЙ ЙЗЫК. МАГМАТИЧЕСКАЯ МОД( ль
верное равеистно, причём других корней нет; у|твиенне 2а ♦ 7 — О
имеет корень а - 3,5, поскольку 2 ( 3,5) + 7 - О верное равен-
ство, причём других корней нет.
Вообще линейным урапиением с одной переменной х называют
уравнение вида ах + А — О. где о и А любые числа (коэффициенты).
Если а - V и 5- О, т. е. уравнение имеет вид О х + О - 0, то корнем
«X уравнения является любое числа (бесконечное множество
линейное корней). Если а 0 и А ♦ 0, т. е. уравнение имеет вид
уравнение О • х ♦ ti — О, то ни одно число этому уравнению не удов-
с одной лстворяст; говорит, что уравнение нс имеет корней,
переменной Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай,
когда о • О. Рассуждаем так:
1) их Т b — О, значит, их — А (поскольку ( А) •» b - О); <|шктм-
чсски слагаемое b перенесли иа левой части уравнения в правую
е противоположным знаком:
2) их “ -Ь, т.е. произведение чисел а и х равно А; по тогда мно
житель х (швеи частному от деления произведении Л на вгторой мно-
житель. Значит, х ” ( 6) : и. Вместо знака деления можно нспольоо
вать черту дроби:
_ h
а
А как быть, если уравнение зап полно н более сложном виде, на
пример
2х 2 - 10 х?
Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, ког-
да их разность равна нулю:
(2х - 2) - (10 - х) - 0.
Воспользуемся известными из курса математики э б го классов
правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов
2х 2 - 10 t- к - 0;
8х - 12 = О:
Зх - 12;
х - 4.
Такие уравнения »ы уже решали в курсе математики 5—6-го
классов. Фактически при этом используется определённая програм
ИЭ на действий, определённый порядок ходов. В математике в таких
случаях используют термин алгоритм, Для линейного
алгоритм уравнения вида ах » h - ст + d, где аге, этот алгоритм
выглядит так:
1) перенести вее члены уравнения из правой части в левую с проти-
воположными знаками;
2) привести в левой части подобные слагаемые, я результате чего по-
лучится уравнение вида kx + xi — 0, где h * 0;
Н /Ъаненноа
< одной nape—c'-wo*
19
3) П|>ео6|>нзовагь уравнение к виду *т ** '» И записать его корень
m
"*Т
Именно так было рошено уравнение, которое получилось в преды-
дущем параграфе в примере 1.
ПРИМЕР 1
2,761
Решить уравнение -у + — - — у - —.
< ч »> I
В
н'
Второй способ. Прежде чем применять алгоритм, умножим обе
части уравнения на 24 — это наименьший общий знаменатель име-
ющихся дробей. При этом мы пользуемся тем, что если Л - В, то
2LA - 24Я и обратно. Получим:
16у 4 21 - 20у 6.
20
7n»«* 5 ЫЛТ+МАТИЧССКИЙ «ЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД/ЛЬ
А далее воспользуемся алгоритмом:
1 &4/ - 21 - 20м + 6 - 0:
-4р +27-0:
4* - 27;
27 _3
V - -Г- * • V - «7
Ответ
,-4
ПРИМЕР 2
Решить уравнение
Решение
Воспользовавшись основным свойством пропорции (произ-
ведение крайних членов пропорция равно произведению
средних членов), получим:
2(3/ 4)-5(2/+1).
Дальнейшие ход решения, надеемся, уже не требует коммента-
риев:
6/ - 8 - 10/ - 5 - О;
-4л - 13 = О:
-4л - 13;
13
4
4
Ответ
г
1
Умения составлять математические модели и решать линейные
урнвнения с одной переменной можно использовать и в игровых си-
туациях. Приведем простой пример.
Задумайте число (для простоты вычислений однозначное, хотя
это совсем ие обязательно), умножьте его на 2, к полученному числу
прибавьте 5. затем эту сумму умножьте иа 3 и из полученного произ-
ведения вычтите 13. Скажите мне. что получилось, и я тут же скажу,
какое число задумано.
Например, вы задумали число 7. Выполняя вышеперечисленные
указания, вы последовательно получали такие числа: 14. 19. 57. 44.
Чтобы отгадать задуманное число, нужно из числа 41 вычесть 2 и
полученную разность разделить иа б: получается 42:6-7.
Второй эксперимент: нм м думал и число 10. Вы пол мня кышепе-
рсчислснныс указания, вы последовательно получали такие числа:
20, 25. 75. 52. Чтобы отгадать задуманное число, нужно из числа
62 вычесть 2 и полученную разность разделить на 6: получается
60 : 6 - 10.
Секрет фокуса очень прост. Вы задумали число х; выполнил вы
шепсречислепиые указания, вы составили число 3(2* г- 5) 13, т. е.
бх + 2. Осталось лишь решить в уме линейное уравнение: в первом
случае 6* • 2 - 44 (получится ж - 7), и во втором случае 6* 4 2-62
(получится х - 10).
Вопросы для самопроверки
1. Что такое линейное уравнение с одной переменной?
2. Что называют корнем уравнения с одной переменной?
3. Приведите пример уравнения, у которого нет корней.
4. Что означает фраза: «Решить линейное уравнение*?
5. Приведите пример линейного уравнения с одной перемен-
ной. имеющего своим корнем число:
а) 0; 6) 2, в) -1.
6. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения
ах + b ~ 0 в случае, когда а а О.
7. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения
ах + Ь ex + d (а я с).
8. Приведите пример таких значений а и Ь. при которых урав-
нение ах - Ь:
а) нс имеет корней; б) имеет бесконечное множество кор-
ней.
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
С теоретической точки зрспспя эта темя не является для вас абсолютно
новой. Пример текстовой задачи, процесс решения которой привел к
линейному уравнению с одной переменной, уже был выше (см. при-
мер 1 в § 3). Да и в курсе математики 5 б-го классов подобные за-
дачи встречались. Тем не менее мы рассмотрим и этом параграфе до-
вольно много разнообразных примеров, поскольку умение составлять
математическую модель по ;мдпкным условиям и работать с псп —
одно из важнейших в курсе алгебры.
22
ГЛАВ* ’ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД( ль
ПРИМЕР 1
Ответ
Купили некоторое количество книг. Их пытаются разместить ил оди-
наковых полках в книжном шкафу. Сначала поставили по 20 книг на
каждую полку. В результате две полки оказались пустыми, а осталь-
ные заполненными (по 20 книг). Затем решили ставить по 15 книг
на полку. Попытка оказалась удачной; все полки заполнились (по 15
книг на каждой!. Сколько книг было куплено?
I ЭТАП. Составление математической модели.
Обозначим буквой х число полок в книжном шкафу. Когда
на каждую полку поставили по 20 книг, то загюлыешиами оказались
(х 2) потки. Значит. общее число купленных книг выражается фор-
мулой 20 (т - 2). Далее в задаче сказано, что когда иа каждую полку
поставили по 15 книг, то все х полок оказались заполненными. Зна-
чит. обгцм* число купленных книг выражается формулой 15х. Остается
приравнять два полученных выражения для числа купленных книг;
М(« 2»-1эх.
Это уравнение математическая модель задачи.
11 ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Решаем уравнение:
20U 2» - 15х - 0;
20л - 40 - 15х = 0;
5* - 40 - 0;
5х - 40;
х - 8.
11! ЭТАП. Ответ на вопрос ладачи.
Мы выяснили, что в книжном шкафу к полок. Все купленные
книги разместились иа этих полках ио 15 штук иа каждой. Значит,
всего было куплено 15 • 8 = 120 книг.
Всего было куплено 120 книг.
Важно подчеркнуть, что в школьных задачах принято идеализм
ропать ситуацию: считать, что путник (поезд, автомобиль) движется
асе время с постоянной скоростью, что скорость течения реки всегда
одна и та же, что мастер, выполняя заказ, работает с постоянной про-
изводительностью труда и т. д. и т. п. Учтем это в примерах 2 6
это так пашвиемме задачи па движение
ПРИМЕР 2
Пункты Л, В п С расположены на шоссе так, как показано на ри-
сунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению
С й 14 км А * С вышел пешеход. Через 2 ч по-
Рас. 3 в в в еле этого иа А по направлению к С
ВЫеХЯЛ ВеЛОСИПеДНСТ. < КО|ИХ-Г». которого мп б км/ч больше скорости
пешеходе. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пеше-
хода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?
Решение
Ответ
I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — скорость пешехода, тогда (х + в) км/ч —
скорость велосипедиста.
Расстояние от А до С велосипедист проохал за 4 ч, значит, это
расстояние выряжается формулой 4(х + 6) км. Итак. АС = 4 (х + б).
Расстояние от В до С пешеход прошел за б ч (ведь до выезда ве-
лосипедиста он уже был в пути 2 ч). следовательно, ,тто расстояинг
выражается формулой бх км. Итак, ВС - бх.
А теперь обратите внимание иа рисунок 3: АС ВС — АВ. т. е.
АС - ВС - 16. Это — основа для составления математической модели
задачи. Напомним, что АС - 4 (х + 6), ВС - бх; следовательно.
4 (х + 6) - бх - 16.
11 ЭТАП. Работа е составленной моделью.
4х * 24 - бх - 16;
24 2х - 16;
-2х - 16 - 24;
2х - В;
х - 4.
III ЭТАП. Ответ на tumpnr шдачи.
Мы получили. что х =- 4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но
нам нужно найти не это. а задаче требуется найти расстояние от В
до С. Мы установили, что ВС - бх; значит. ВС - 6 4 - 24.
Расстояние от В до С равно 24 км.
ПРИМЕР 3
Лодка плыла по точению реки 3 ч 12 мии. а затем против течения 1.5 ч.
Найти собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоячей воде),
если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой
пройден 41 км.
Решение
I ЭТАП. Состаалсмис математической модели.
Пусть х км; ч собственная скорость лодки, тогда по тече-
нию она плывет со скоростью (г т- 2) км/ч (течение помогает), а против
течения со скоростью (х 2) км/ч (течение препятствует).
По течению реки лодка плыли 3 ч 12 мин. Поскольку скорость вы-
ражена в километрах в час, это время надо записаггь в часах. Имеем:
7n»«* 5 ЫАГТМАТИЧССКИЙ «ЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД? ЛЬ
12 мил - — я - 1 ч - 0.2 ч. Значит. 3 ч 12 мин - 3.2 ч. За это время
60 5
со скоростью (х -* 2) км/ч лодкой пройден путь 3.2 (х + 2) км.
Против течения лодка плыла 1.5 ч. За это время со скоростью
(х - 2) км/ч лодкой пройден путь 1,5 (х - 2) км.
По условию весь ее путь равен 41 км. Так как ои состоит из пути
по течению и пути протию течения, то получаем:
3,2 (х + 2) + 1,5 (х - 2) - 41.
Это уравнение математическая модель задачи.
11 ЭТАП. Работа е соетавлрчной моделью
3.2л ♦ 6,4 + 1,5х 3 - 41;
4,7х + 3.4 - 41;
4.7х - 41 - 3.4;
4,7х - 37.в;
Ответ
111 ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему
равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х = 8.
Собственная скорость лодки 8 км/ч.
ПРИМЕР 4
Турист идет из де|№вии к железнодорожной станции. Пройдя за час
3 км. он понял, что. продолжая движение с гой же скоростью, он
опоздает на поезд на 40 минут, и нашел со скоростью 4 КМ/Ч. На
станцию турист пришел за 45 минут до отправления поезда. Чему
равна расстояние от деревни до станции?
Решение
I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х км расстояние от деревин до станции. Найдем
расчётное время до отправления поезда. Если турист будет весь путь
идти со скоростью 3 км/ч, он потратит — ч и опоздает па поезд ни
4(1 минут, т. е. на — ч. Значит, расчетное время до отправления по
ездя выряжается формулой | — — ч.
На самом деле турист с упомянутой выше скоростью шел
1 ч. а оставшиеся (х 3) км он шел со скоростью 4 км/ч, затратив
па оставшийся путь
.. 3
4э минут, т. е. — ч.
* - 3 ,,
—— ч. На станции он ждал отправления поезда
Значит, время до отправления поезда можно вы-
разить формулой 11 + — t - т- — | ч.
х 2 дг 3 3
В итоге получаем уравнение — - — = 1 Ч-j--1- —.
11 ЭТАН. Рабата е састааленк<Л .чод*лыа.
Умножив обе части уравнения иы 12. получим:
Отаат
4х - К = 12 + 3 <х - 3) + 9;
4х - R - 12 * Зх;
К - 20.
II! ЭТАП Ответ на minpac гадачи.
Он уже получен, ведь буквой х ми как раз обозначили то,
о чем спрашивается в задаче.
От деревни до станции 20 км.
ПРИМЕР S
Решение
Самолет пролетел первую часть маршрута со скоростью 450 км/ч,
а вторую часть, которая на 300 км меньше первой. — ео скоро-
стью 600 км/ч. Какова протяжённость всего маршрута, если из
веетио, что средняя скорость движения самолёта оказалась равной
500 км/ч?
I ЭТАП. Состоялемие латгматичгскаЬ яоЭели.
Пусть х км — протяженность первой части маршрута, тог-
да протяженность второй части (х 300) км. Время, потраченное
самолетом на весь маршрут, таково: I а- —I ч. Длина всего
450 000 I
маршрута равна х + х - 300, т. е. (2х - 300) км. Пролетев весь марш-
r,w. , < 2х 300
рут со средней скоростью 500 км/ч, самолет потратил бы ———— ч.
4>tMl
Значит.
г х 300 _ 2х 300
450 * 600 500 '
26
5 ЫАГЫМАТИЧССКИЙ «ЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
II ЭТАП. Робота с составленной моделью. Целесообразно снимала
умножить обе части составленного уравнения на 10; получим
Я . х - ЗОО _ 2х - 300
45 60 “ 50 '
Наидсм наименьшее общее кратное чисел 4э. ЬО. 50. Имеем:
НОК(60. 50) - 300. HOKi in. 300) - 900. Умножим обе части по
следиего уравнения на 900:
20x3 15 (х .ЗО0)-1в(2х 300);
35х 4500 - Збх - 5400;
. ООО
III ЭТАП. Ответ иа вопрос задачи.
Первая часть маршрута равна 900 км. а вторая иа 300 км мснь
ше, т. в. 600 км. Значит, протяженность всего маршрута 1500 км.
В примерах б—12 ради краткости мы не будем явке. выделять три этапа
математического моделароеапая при решении текстовой задачи, ммеяна их
пунктами 1. 2. 3. Кроме того, постепенно все меньшее и мепылее внимание
будем уделяп» телпачсской стероне дела решению лишйаша уравнения:
ня.веамся. вы справвтоеь е этим вм нашей помощи
Пассажир, сидящий в поезде, который едет со скоростью 40 км/ч. аа-
метит, глядя в окно, что в противоположном направлении в течение
3 с прошел встречный поезд, длина которого 75 м. Какова скорость
встречного поезда?
I. Если х км/ч — скорость встречного поезда, то мимо пас-
сажирского окна он проходит с суммарной скоростью двух
поездов, т. е. со скоростью (х + 40) км/ч. За 3 с мимо окна простят
встречный поезд длиной 75 м, т. е. 0.075 км. Обратим Зев долю
часа: 3 с мин ч. В итоге получаем уравнение — матема-
тическую модель задачи:
-±-(х-40)-0.075.
2. Умиожнп обе части уравнения на 1200. получим:
х + 40 - 00;
* - 50.
3. Скорость встречного поезда равна 50 км/ч.
В следующих примерах им рассмотрим две задачи ни отыскание
неизвестного числа по заданным условиям. Главное нотах задачах
умение использовать знания о десатичнов системе счисления при
записи числа.
ПРИМЕР 7
Трохапачнм число оканчивается цифрой 3. Если лгу цифру перепо-
сти в начало числа, не меняя порядок остальных цифр, то новое чнс-
•I.. . I II III.' II > I. К'Н ' 1|1-.--|.Н «• >|.-рИ<'«.«Ч.1?|1.»-о.- Ill RO, H.l.l . .1
исходное число.
К355НЯИ 1. Исходное трехзпачиос число, оканчивающееся цифрой 3,
можно записать в виде 10з •*• 3, где х — двузначное число,
образованное первыми двумя цифрами исходного числа (например,
273 - 27 10 + 3. 503 — 50 10 + 3 л г д. I. Если цифру 3 перенести им
первое место, то повое число будет иметь вид 300 4- х (например,
327 - 300 + 27, 350 - 300 т 50 и т. д.). По условию новое число боль-
ше утроенного исходного числа на 1, Это значит, что 3(10х 4 3> ' 1 -
- 300 4- х.
2 . Поработаем с составленной моделью:
30г ♦ 9 ♦ 1 - 300 ♦ х;
29г - 290;
х = 10.
3 Итак, в искомом числе первые две цифры образуют число 10. а
на третьем месте стоит цифра 3. Значит, 103 — исходное число.
ПРИМЕР 8
Задума ли тостилначное число, запись которогоначиимтся с цифры 2.
Если эту цифру перенести е первого места на последнее, сохранив
порядок остальных цифр, то полученное число будет втрое больше
первоначального. Какое число было задумано?
Решение
1. После цифры 2 в задуманном шестизначном числе следу-
ют в определенном порядке 5 цифр, они составляют некое
пятизначное число; обозначим ого буквой ж. Тогда задуманное число
можно выразить формулой 200000 4 х. Если цифру 2 поместить на
последнее место, то число будет иметь вид х2, т. е. 10х 4 2. Согласно
условию новое число в три раза больше задуманного. Это значит, что
10» ♦ 2 - 3(200 000 4 г).
Математическая модель составлена.
28
7n»«* 5 МАТЬМАТИЧССКИМ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД/ЛЬ
2. Решим полученное уравнение:
10х t 2 - 600 000 Т Эх;
7х - 509 998;
х - 85 714.
3. Задуманное число начинается с цифры 2. лкачит. это число
285 714.
Последние примеры, которые мы рассмотрим и настоящем пара-
графе. пугают многих учащихся. но на самом деле это не такие уж
страшные м.чачи на проценты, сплавы, смеси.
ПРИМЕР 9
Решена
Ответ
Два завода по плану должны были аа месяц выпустить 460 станков.
На самом деле они выпустили 400 станков, причем первый завод вы-
полнил заказ иа 112%. а второй — на 110%, Сколько станков сверх
плана выпустил каждый завод?
1. Сразу отметим, что 112 V. = 1,12, 110 = 1,1. По плану
первый завод должен был выпустить х станков, а второй
(360 х) станков. На самом деле первый выпустил 1,12», а вто-
рой 1,1(360 л) станков. Вместе оии выпустили 400 станков, зна
чит. 1,12х - 1,1 (360 - х1 - 100.
2. Решим составленное уравнение:
1,12х + 396 - 1.1х - 400:
0,02г = 4;
х * 200.
3. По плану первый завод должен был выпустить 200 станков,
а второй, соответственно. 160 станков. Первый завод перевыполнил
план на 12 , т. е. выпустил сверх плана 0,12 • 200 - 24 станка. Вто-
рой завод перевыполнил план на 10%. Т. е. выпустил сверх плана
0.1 160 = 16 станков.
24 стайка. 16 станков.
ПРИМЕР 10
В течение нескольких лет иену на некоторый товар постепенно По-
вышали: сначала на 10%,, затем на 300 р., затем еще на 25 %.
В результате иена на товар повысилась на 75".. по сравнению с пер-
воначальной. Сколько стоил товар до повышения цен?
Решение
Отпет
1. Пусть z р. першшачильния цеха товара. После первого
повышенна товар стоил 1,1* р., после второго повыше
имя — (1.1х + 300) р.. после третьего - 1.25(1.1х т 300) р. По усло-
вию после третьего повышения цена товара составили 1.75.x р,
(175 %. т. е. 1.75 от первоначальной цены). В итоге получаем следу-
ющее уравнение:
1,25(1,1* * 300) - 1.75*.
2. Решим составленное уравнение. Есть смысл сначала умножить
обе его части па 4:
5(1,1* 4 300) - 7*.
Далее имеем:
5,5* + 1500 = 7 г;
* = 1000.
Первоначальная цена товара 1000 р.
ПРИМЕР 11
Решение
Ответ
Смешали некоторое количество 40 X. и 10':; растворов кислоты и по-
лучили 800 г раствора кислоты с концентрацией 21,25%. Сколько
граммов каждого раствора было взято?
1. Предположим, что мяли * г более насыщенного раство-
ра. Тогда менее насыщенного раствора пришлось ваять
(800 - г) г. В более насыщенном растворе чистой кислоты было
0.4* г, а в менее насыщенном 0.1 (800 *) г. После объединении
получилось 8(М1 г раствора кислоты с концентрацией 21.25'% , т. ».
чистой кислоты в новом растворе 0,2125 - 800 г. В итоге получаем
следующее уравнение:
0.4* т 0.1 (800 - *) - 0,2125 800.
Математическая модель составлена.
2. Решим полученное уравнение:
0,4* -► 80 - 0.1* - 170:
0.3* - 90:
* - 300.
Взяли 300 г 40% раствора и 500 г 10% раствора кислоты.
30
ГЛАВ* ’ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОД( ль
ПРИМЕР 12
R 54)0 кг руды имеется некоторое количество железа. После удале-
ния из руды 200 кг принесен, содержащих в среднем 12,5% железа,
содержание железа в оставшейся руде повысилось иа 20 Сколько
желоза осталось в руде?
Решение
1. Обозначим буквой х процент содержания железа п руде.
Это значит, что железа было —- • 500 — 5х кг. В 200 кг
100
примесей содержалось 12.54 железа, т. е. 0,125 - 200 - 25 кг.
В очищенной руде массой 300 кг железа составило (г ♦ 20)%, т. е.
Г • 300 — 3(х + 20) кг. Поскольку с примесями было удалено
25 кг железа, получаем уравнение 5л 25 - 3 (л + 20).
2. Решив уравнение, полупим х ~ 42,5. Это значит, что в руде
было 42.5% железа.
3. Нас спрашивают, сколько железа осталось в руде после удале
ина примесей. Это количество выражается формулой 5л 25. Полу-
чаем 5 42.5 - 25 - 187,5 кг.
Отпет
187,5 кг.
ПРИМЕР 13
Из -10 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего б примесей.
Каков процент примесей в руде?
Решение
Обозначим буквой х процент примесей в руде. Тогда в 40 т
руды примесей содержится------ 40-0.4х г. а «чистого»
11К>
металла будет (40 0.4л) т. В 20 т выплавленного металла «чистого»
металла содержится 94%, т. е. 0,94 20 - 18.8 т. Этого «чистого»
металла и в руде, и в выплавленном металле одно и то же количе-
ство. Значит. 40 - 0.4х - 18,8. откуда находим х - 53.
Ответ
В руде 53 примесей.
§6
КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ
Основные понятия
В конце J 3 мы говорили, что нужно уметь свободно переходить от
одного виде математической модели к другому, выбирать то. что
удобнее. В зтой связи весьма полезла известная вам из курса митема-
тики о бго классов такая графическая модель, как координатная
прямая.
Прямую I, иа которой выбрана начальная точка О (на
координатная мило отсчета). масштаб (единичный отрезок, т. е. отрезок,
прямая длина которого считаете л равной 1) и положительное на
правление. называют координатном прямой пли коорди-
натной осмо (рис. 4); употребляют также термин «ось х* («ось р«,
«ост. а» и г. Д.).
Каждому числу соответствует единственная точка координат-
ной прямой. Например, числу 4,5 соответствует точка Л( (рис. 5),
которая удалена от начала отсчёта, т. е. от точки О. па рассто-
яние, равное 4,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О
в заданном (положительном) направлении, Числу -4 соответствует
точка Р (ем. рис. 5), которая удалена от точки О ка расстояние, рав-
ное 4. и отложена от точки О н отрицательном направлен ни. т. е. н
направлении, противоположном заданному.
Fur. 4
Рис 5
Можно говорить п о решении обратной задачи. Например, точка К,
удаленная от точки О на расстояние 6,4 в положительном (заданном)
направлении, соответствует числу 6.4. а точка Л’, удаленная от точ
32
7mBA1 MATEWIATIWtCKMM ЯЗЫК. МАТГМА’ИЧеСКАЯ МОД/ЛЬ
кн О па расстояние 2,1 в отрицательном направлении, соответствует
числу -2.1 (см. рис. 5).
Указанные числа называют координатами соответствующих то
чок Так. на рисунке 5 точка К имеет координату в,4; точка Р — ко-
_✓ ординату I; точка М координату 4,5; точка .V I )
координата ординату -2,1; точка О — координату О (нуль). Отсюда и
’очки происходит название — координатная прямая. Образно
выражаясь, координатная прямая — это густо заселен-
ный лом. жильцы этого дома точки, а координаты точек это
номера квартир. в которых живут точки.
Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точ-
ку числом, а число — точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да.
есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны дм точки; А
е координатой а и В — с координатой b (обычно в таких случаях пи-
шут короче: 4(a). ЖЫ). Пусть нам надо найти расстояние d между
точками А а В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометри-
ческие измерения, достаточно поспал ыкмшться готовой формулой
(ИД; ВI = а Ь (р «ра« — буква греческого алфавита; впрочем,
вместо р(А; В) можно писать просто АВ).
Так. ня рисунке 5 имеем:
AW • |б.4 - 4.5| - 11.9| - 1.9;
РМ - |-4 - 4,41 - |-8,5| - 8.5;
РА’ - |-4 - ( 2.1)| - |-4 * 2,Ц - |-1.9| - 1.9.
Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились
а место длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая
координату и« использовать короткую фразу «точка а» и на чертеже
рассматриваемую точку обозначать ее координатой. Тах. на рисунке 6
изображена координатная прямая, на которой отмечены точки 4; 2,1;
О; 1; 4.5; 8.4.
ПРИМЕР 1
Решение
Решить уравнение |д + 11 — 3.
х т 1 | — это с геометрической точки зрения расстояние
между точками х и -1 координатной прямой. Нам нужно
найти такие точки г. которые удалены от точки -1 иа расстояние 2.
33
Таких точек две: I и 2 (рие. 7). Значит, уравнение имеет два
корня: Х|--4, *i - 2.
ПРИМЕР 2 * **
w Ня координатной прямой взяты три
**8 ’ то',,и: А1 £ Иб И f)•* киков
из точек Л. В ближе точка С?
Решение
12222 2 1
Имеем:----; — < — < —. Значит, точка С1 — рлсполага
87 74 75 74 73 74 Г
ется иа координатной прямой между точками '4|~| •<
’ 9 в ]
4£|
(рис. В). Найдем расстояния ВС и С’Л:
ВС - — - —-------—; СА - — - —--------—.
74 75 74-75 7» 74 73-74
Поскольку _ - Делаем вывод: точка С располагается ближе
к точке В.
Координатная прямая дает нам возможность свободно переходить
с аигбрлического языка иа геометрический и обратно. Пусть, напри-
мер. число а меньше числа Ь. На алгебраическом языке это записы-
вают так: а Ь; иа геометрическом языке это означает, что точка а
расположена на координатной прямой левее точки Ь; при этом мы,
если не оговорено противное, будем считать, что координатная пря-
мая располагается па листе бумаги горизонтально с направлением
слева направо. Впрочем, подчеркнем еще раз. и алгебраический, и
геометрический языки — это разделы одного н того же математиче
еиого языка, который мы с нами изучаем.
34
TvkBAI МАГМАТИЧЕСКИМ ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Модель
Виды числовых промежутков
Познакомимся еще с несколькими элементами математического язы-
ка. которые связаны с координатной прямой.
1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим
все точки, которые лежат на прямой правее точки а. и отметим соот-
встствующую часть координатной прямой штрп
у.мс д "J * г ховкой (рис. 9). Это множество точек (чисел) на-
зывают открытым лучом и обозначают (а; ♦ °°),
где знак 4-оо читают так: «ил юс бесконечность»: оно характеризуется
неравенством ж > в (под х понимается любая точка луча).
D Обратите внимание: точка в открытому тучу нг принадлежит
Если же эту точку надо присоединить к открытому лучу. то пишут
X За или (о; +оо) (перед а ставят не круглую, а квадратную скобку).
-Ишнппш^ а на чертеже такую точку обозначают не свет
,г ЛЫМ1 са|( ца рИ( yin н о, а вшфашеяяьш кружком
(рис. 10). Если про множество точек (а; +°°) гово
рят. что это — открытый луч. то для [а: *t») употребляют термин
луч (без прилагательною «открытый»).
2. Пусть на координатной прямой отмечена точка Ь.
открытый луч Рассмотрим все точки, которые лежат на примой левее
точки Ь, и отметим соответствующую часть координат-
у пой прямой штриховкой (рис. 11). Это множество точек
интервал (чисел) также называют открытым лучом и обозначают
отрезок ( гдс -*ннк ot читают так; «минус бесконечность».
Оно характеризуется неравенством х < Ь.
Снова обращаем ваше внимание на то. '«то
Гис. 11
Рис 12
Риг. 1Я
Рис 14
Рис. 15
\\\\\\\\\. точка b открытому лучу не принадлежит. Если
Ь г же мы тту точку хотим присоединить к откры-
тому лучу, то будем писать х < й или Ь] и
на чертеже точку b закрашивать (рис. 12): для
Ы, х ( - гю; * J также будем употреблять термин луч.
3. Пусть иа координатной прямой отмечены
течки а п Ь, причем a < b (т.е. точка а распило
ы х жена левее точки й). Рассмотрим все точки, кото
« b рые лежат правее точки а, по левее точки Ь; отме-
тим соответствующую часть координатной прямой
л д штриховкой (рис. 13). Это множество точек (чисел)
.... J,///#77777» г называют интервалом и обозначают (а; 6). Ойо
характеризуется строгим двойным неравенством
о х < b (под х понимается любая точка интервала),
а б Обратите внимание: интервал (я; б) есть Пересе
----4^4----ых чение (общая часть) двух открытых лучей (~оо; Ь)
и (а; , ао) это хорошо видно на рисунке 14.
Если к интервалу (я; б) добавить его концы, т. е. точки а и 6. то
получится отрезок [а: Ь| (рис. 15), который характеризуется нсстро
’ ’ пиирдммлтмйи примлч
35
Fur /6
a b
Put. 17 —4^6—► x
a b
Pur ie X
гим двойным иправепством a «. x < b. Обретите
внимание: в обозначении отрезка игпользунтт не
круглые скобки, кек это было в обозначении ин
тервала. а квадратные, на чертеже точки а и b от-
мечены темными кружками, а не светлыми, как
это было в случае интервала.
Отрезок |а: б| есть пересечение (общая часть)
двух лучей (-<»; б] и [а: ♦“) — это хорошо видно
на рисунке 16.
А что получится, если к интервалу (а: б) до-
бавить только одни конец — только точку и
полуинтервал
числовой
промежуток
(рис. 17) пли только точку b (рис. 18)? Получится полуинтервал, ко-
торый в первом случае обозначают |я; Ь), а по втором — (а; й| и кото-
рый характеризуется с помощью двойных неравенств:
a < * < b — в первом случае, а < х < b — во втором.
Итак, мы ввели пять новых для пае терминов матема-
тического языка: луч. открытый луч, интервал, отрезок,
полуинтервал (см. таблицу). Есть и общий термин: число-
вые промежутки
Сама координатная прямая также считается числовым промежут-
ком; для нее нспопьлуют обозначение (—оо; ч-ос).
Сводная таб.-now числовых промсжуткое
Геометрическая молелв Обошачсняе 11 аз валке чжсяового !1|м>межутнм Аиалитзг'еская малель
х (а: -н») открытый луч Ж > л
*ШШШ11Ш* a (a; Too) ЛУЧ х>«
—х h (-«^ Ь) открытый луч X < Ь
►j, ь (-OOS М луч х<Ъ
а b (а: М интервал Я < * < 6
а b — -х |я;Ч отрезок • < л<Ь
a h —№> ►х [в: б) полупиггериал В < X < Ъ
a h ► X (в; Ь| лолуимтерадл • < Ж < ь
36
ТмвА1 математическим язык. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ПРИМЕР 3
Решение
Ученик составил множество чисел, представляющих собой попарно
различные произведения двух множителей вис, где а натураль
ное число ия иитеркялд (8; 7), яс — натуральное число ни отрезка
(8; 12]. Случайным образом он выбирает произвольный элемент ас
составленного числового множества. Какова вероятность того, что ас
делится на 9?
В интервале (3; 7) имеется три натуральных числа: 4, 5, 6;
в отрезке |8; 12] пять натуральных чисел: 8. 9. 10, 11,
12. Значит, всего можно составить 15 пар чисел вида (о. с). Но сре
ди произведении чисел, входящих в пару, ость одинаковые: 4 10 ~
- 5 • 8; 4 12 - б - 8; 5 12 - б 10. Различных произведе-
ний всего 12. На 9 делятся такие произведения: 4 9: 5 - 9: 6 9;
4 1
6 12 — их всего четыре (из двенадцати» Искомая вероятность — -
Вопросы для самопроверки
1. Что такое координатная прямая? Чем она отличается от
обычной прямой?
2. Как найти координату точки на координатной прямой?
3. Дано число и. Как на координатной прямой найти точку с
координатой а?
4. Чему на координатной прямой равно расстояние между
точками:
а)Л<2)ИЯ(5): в)£(-2)иЛ8):
б) СТ 3| и Щ 7); г) Ий)« \(М?
5. Какие виды числовых промежутков на координатной пря-
мой вы знаете? Приведите примеры луча, открытого луча,
отрезка, интервала. полуинтервала. Изобразите указанный
вами числовой промежуток на координатной прямой и при
ведите соответствующую запись с помощью неравенств.
ДАННЫЕ И РЯДЫ ДАННЫХ
Слово «статистика» — однокорениое с латинским »tatut (статус), что
может быть переведено как «состояние дел». В XVII XVI11 вв. для
статистических исследований использовали термин «политическая
’ Параграф написан II. В. Семеновым.
4 7 Данные и рады дайны*
J7
арифметика*. В современном мире статистика является одним из
важнейших комплексов теорий, методов, алгоритмов и рекоменда-
ций по получению, обработке и анализу разнообразных данных об
окружающей нас действительности.
Познакомимся с начальными понятиями статистики, используя
для этого материал § 1—6. Вот простые линейные уравнения:
I) 2л - -4;
21 4л - 25 - ж;
3» 17 + х - 8;
4) 3 (х + 2) 2 — х;
5)8-Ж-4-(1- Зх):
в) 16 - х - 2т * 1;
7) 4х 8 - О;
8) 12х - 11 - -11 (х +• 1):
91 1 х - 6 2х;
10> -2 - (3 - х) - -7.
Выпишем поочередно, в строчку корни этих уравнений (найти их
можно устно):
-2. 5, -9, -2. О. 5. -2, О. 5. -2.
мода
рад данным
объём
ряда данных
Мы получили набор расположенных в ряд чисел Его называют
рядом числовых данных или. проще, рядим данных. Количество всех
данных, из которых состоит ряд. — ото обммг ряда данных. В нашем
случае объём ряда данных равен 10.
Если объем ряда небольшое число, то с данными такого ряда
работать просто. Их псе можно выписать, перечислить, упорядочить,
выбрать нужные и т. п. А вот если объем равен, скажем,
1000 или 1000000. то для обработки такого количества
данных абсолютно необходимы компьютерные средства и
тех пологи и.
Вернемся к нашему примеру с корнями линейных
уравнений. Наименьший из корней равен -9. а наиболь-
ший равен 5. Значит, все корни принадлежат отрезку ( 9; длина
которого равна 14.
В статистике говорят, что 14 — arm размах рада -2. 5. -9. -2. О,
5, -2, О. 5, -2, В общем случае раамах ряда чисел — это рязиость
между наибольшим и наименьшим числом из ряда. Чем меньше раз-
мах, тем «кучнее* на координатой прямой расположены данные.
Наоборот, большой размах показывает, что некоторые из данных за-
метно отличаются друг от друга.
А какое число чаще всего встречается в нашем ряду? Число
2 стоит на 1-м. 4-м, 7-м и 10 м местах. Оно встретилось четыре
разя — больше каждого пл других чисел рядя. Говорят, что (-2) —
это мода ряда 2, 5. 9. 2. О. 5, 2. 0. о. 2. Итак, мода
рядя данных это самое «модное* данное, то, кото-
рое чаше всего встречается в этом ряду. Мода ря-
да — еще одни важный статистический показатель. Мода
бывает и у рядов данных, состоящих не из чисел. Например, если
рассмотреть все данные о продажах легковых автомобилей в России
за 2014 г., то модой будет марка наиболее покупаемого легкового ав-
томобиля.
38
ЫДТНИДТИЧХСКИМ ЯЭЬЖ. МАТГМАУИЧеСКАЯ МОДЕЛЬ
ПРИМЕР 1
На координатной прямой отмечены точки А( 4), В( 3), С( 21. Р( 1),
£(2). Вычислить все расстояния между этими точкам»1. Найти объем,
размах и моду полученного рядя данных.
Решение
Координатная прямая помогает найти нужные расстояния:
АВ 1. АС 2. АВ В. ПС 1. BD 2 НЕ :>
CD - 1. СЕ - 4, М з Получился ряд чисел 1, 2, 3, в. ], 2, 5, I. I. I
Он состоит из 10 чисел, наименьшее число равно 1. наибольшее рав-
но 6. Т. е. размах равен 6-1 &. а чаще всего (три раза) встречается
число 1 — это мода.
Ответ
Заметим, что объем ряда из примера 1 можно было найти до вы-
численна всех расстояний. Смотрите, всего есть 5 точек А, В, С, D,
Е. Для точки А нужно вычислить четыре расстояния АВ. AC. AD. АР.
Для точки В нужно вычислить три расстояния ВС, BD, BE: ведь рас
Готфрид Ви.тыгльм ЛгиЛнии (16JC
1710). немецкий философ, математик
И ДИПЛОМ.!!
стояние ЛА - АЛ уже учтено. Дтя точки
С останутся CD и СЕ. а для точки D
только DE. Всего получается 4 + 3 + 2 +
*1 — 10 попарных расстояний между
пятью точками.
Вот другая версия этого же расту ж
деиия: «Встретились 5 друзей, и каждый
пожал руку каждому. Сколько было ру-
копожатий?» Если обозначить друзей А,
В, С, D, Е. то АВ. АС. DE будут обо-
значать все рукопожатия. Их 10 штук.
А вот ещё один вариант: «Каждую вер-
шину правильного пятиугольника сосди
нити отрезком с каждой. Сколько про-
вели отрезков?» Ясно, что и решение, и
ответ те же.
У всех этих разных по форме во
проспи ость общая (стопссная) матема-
тическая модель: «Лапы пять элементов.
И» них нужно выбрать два элемента, без учета их порядка. Сколь-
кими способами это можно сделать?» Ответ на такой вопрос мы уже
получили: 10.
11 Двниью и рады длины*
39
Здесь мы встретились с одной из типичных задач комби на тори к и.
Этот термин впервые использовал Готфрид Лейбниц в своей «Днестр
тнцки о комбинаторном искусстве». 1666 г. Грубо говоря, комбината
рика это искусство подсчета числа различных комбинаций, соедине
кий, сочетаний, перестановок и Т. п. тех или иных элементов некото-
рых множеств. С одним ил основных привил комбинаторики, прикипим
умнплггпия, вы уже встречались в 5-м и в 6-м классах. Напомним его.
Правило умножения Если предмет Л первого типа можно выбрать
п способами, после каждого из которых предмет в второго
типа можно выбрать т способами. то пару предметов
(Л. В) можно выбрать пт способам».
Например, если в левом кармане лежат 7 монет, а в
правом кармане лежат 9 монет, то имеется 7 9-63 спо
соба выбрать одну монету из левого кармана и одну
на правого кармана.
ПРИМЕР а
Решение
Ответ
В выражение ах + бу вместо а и Ь подставляют одно из чисел 1. 2.
8, э
в) Сколько всего различных выражений г переменными х и у может
получиться?
Сколько среди них будет выряжаний, а которых:
б) Ь равно 7 ил» 9?
в* а в два раза больше, чем б?
г) а четно, Ь нечетно?
а) Коэффициент а можно выбрать 9 способами, после каж
до го из которых колффицмепт б можно выбрать также
9 способами. По правилу умножения получаем 9 9 81.
6) Как н выше, а можно выбрать 9 способами, после каждого из
которых b можно выбрать 2 способами: b равно 7 ил» 9. По правилу
умножения получаем 9 2-18.
в) В атом случае а нс может быть нечетным числом. Значит, и
можно выбрать 4 способами: а равно пли 2, или 4, пли 6, или 8. Но
как только а выбрано, то для выборе Ь остается один способ: b
Получаем ответ: 4 1 4. Наверное, тут проще просто перебрать все
нужные пары (а: 6).
г) Как и в пункте в), число а можно выбрать 4 способами: и рав
на или 2. или 4, или 6, или 8. После каждого из них b можно выбрать
5 способами: Ь равно пли 1. или 3, или 5, пл» 7. пли 9. Но провилу
умиожсиия получаем ответ: 4 5 • 20.
а) 81; б) 18; в) 4; г) 20.
40
ТмвА1 магеиаатичкским язык. матгмагичгская модель
Вопросы для самопроверки
1. Найдите объем, размах и моду ряда данных 13, 7. 8, II, 19.
13. 10, 10. 10. 13. 20. 19. 13
2. Приведите пример ряда, у которого объем равен 7. размах
равен нулю, а мода равна 70.
3. Какой яз трёх показателей (объем, размах, мода) всегда бу-
дет натуральным числом?
4. Какие из трёх показателей (объём, размах, мода) могут
оказаться равными нулю?
5. Какой its трёх показателей (объём, размах, мода) может
оказаться отрицательным числом?
6. Числа в ряду данных записали в каком-то другом порядке.
Какой из показателен (объём, размах, мода) при этом изме
ни лея?
7. Встретились 3 друга, и каждый пожал руку каждому.
Сколько было рукопожатии?
8. Каждую вершину квадрата соединили отрезком с каждой.
Сколько провели отрезков?
9. В классе 14 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами
можно составить пару «мальчик-девочка»?
Основные результаты
в В этой главе мы с вамп вспомнили, что такое числовое вы
ражсние и его значение, что такое алгебраическое выра-
жение и его эиачоиио; вспомнили мы законы сложения и
умножения.
• Познакомились с основными понятиями математики: мате
магический язык, математическая модель.
• Сформулировали три этапа математического моделирова-
ния при решении текстовых задач.
• Мы узнали, что существуют различные виды математиче
ских моделей: алгебраическая, геометрическая, словесная.
• Вспомнили. что такое линейное уравнение и его корень,
сформулировали алгоритм решения линейного уравнения.
• Вспомнили, что такое координатная прямая и координата
точки на координатной прямой.
о Узнали, как находить расстояние р(а; 0) между точками а
и b координатной прямой: р(а; I») - а - й|.
в Мы научились различать виды числовых промежутков на
координатной прямой: луч, открытый луч, отрезок, интер-
вал. полуинтервал.
• Мы познакомились е первыми понятиями статистики: ряд
данных, объем ряда данных, размах ряда данных, мода
ряда данных.
Вспомнили, кик формулируется правило умножения при
решении простейших комбинаторных задач.
Темы исследовательских работ
Линейные уравнения с одной переменной.
Линейные уравнения как математические модели реальных
ситуаций.
Ряды данных. Объем, размах и мода ряда данных
42
ГЛАВА
ЛИНЕЙНАЯ
ФУНКЦИЯ
5 S. Координатная плоскость
§9. Линейное уравнение с двумя
переменными и его (рафик
$ 10. Линейная функция и её график
$11. Взаимное расположение графиков
линейных функций
$12. Упорядочение данных, таблицы
распределения
КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Оси координат и отыскание координат
точки на плоскости
На координатной прямой «прописаны» точки жильцы, у каждой
1'5$ точки есть свой номер дома — ее координата. Если же точка берется
в плоскости, то для её «прописки» нужно указывать не
прямоугольная только иомер дома, по и номер кпнртиры. Напомним, как
система это делается.
координат Проведём две взаимно перпендикулярные координат*
начало ные прямые и будем считать началом отсчёта на обеих
координат прямых точку их пересечения — точку О. Тем самым
оси координат н* г*-’оекости задана прямоугольна» система координат
(рис. 19*. которая превращает обычную плоскость в коор-
координатмыа дпяатпун». Точку О называют началом координат, коор-
динатные прямые (ось х и ось называют осями коорди-
нат. а прямые углы. обралоплняыя осями координат, на-
зывают координатными углами. Координатные утлы нумеруют так.
как показано на рисунке 19.
А теперь обратимся к рисунку 20. где изображена прямоугольная
системе координат и отмечена точка М. Проведём через точку Л/
прямую, параллельную оси у. Прямая пересекает ось х в некоторой
точке, у отой точки есть координата на осн х (для точки Л/, иэобра
II Координатная плоскость
абсцисса
орйимага
женкой к» рисунке 20. эта координат» рдяна -1,5), ее называют абс-
циссой точки Л/. Далее проведем черед точку А/ прямую, параллель
цую осн X. Прямая пересекает ось у в некоторой точке, у этой точки
есть координата — на осн у (для точки Л/. изображенной на рисун-
ке 20, эта координата равна 2), ее называют ординатой
точки М. Коротко пишут так: Af(x: р) (для точки иа ри-
сунке 20 имеем М( 1,5: 2)). Абсциссу записывают иа пер
ном месте, ординату — на втором.
На практике для отыскания координат точки М обычно вместо
прямых, проходящих через точку V параллельно осям, строят отрез-
ки этих прямых от точки Л/ до осей координат (рис. 21).
Замечание В предыдущем параграфе мы ввели разные обозначения для числовых
промежутков В частности, как мы условились. запись (3; 5) означает, что
на координатной прямой рассматривается интервал с концами в точках 3 и
5 В настоящем же додографе пару чисел мы рассматриваем как координаты
точки: например. (3: 5) это точка па киордаиятноЙ плоскости с абсциссой
3 и ординатой 5. Как м правильно по символической записи определить. о
чем идет речь: об интервале и.тн о коердкистах точки? Обычно это быпаст
ясно из контекста.
Учитывая введенные термины и обозначения, горизонтальную
координатную прямую называют осью абсцисс или осью *. а верти-
кальную координатную прямую — осью ординат или осью у Обо-
значения х, у используют обычно при задании ни плоскости прямо-
угольной системы координат (ем. рис 19) н часто говорят так: дана
система координат хОу. Впрочем, встречаются и другие обосшачсиня,
например, ил рисунке 22 задана система координат Юя.
I АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ КООРДИНАТ ТОЧКИ V.
ЗАДАННОЙ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ хОу
I. Провести через точку М прямую, пярал.-ильную осн у, и найти ко-
ординату точки пересечения этой прямой с осью х — это будет
абсцисса точки М.
44
ГЛАВА 1 ЛИНСИНАЯ ФУНКЦИЯ
2. 1(power и через точку М прямую, параллельную оси х. и найти ко-
ординату точки пересечения этом прямой с осью р эго будет
ордината точки .W.
Именно так мы и действовали, находя координаты точки М на
рисунке 20.
Если точка А/|(х; у) принадлежит первому координатному углу,
то х > 0, у 0; если точка А/.(л; у) принадлежит второму координат-
ному углу, то х 0. о • 0; если точка .\fjfx; у) принадлежит третьему
координатному углу, то х - 0, у < О; если точка М/х; у) принадле-
жит четвертому координатному углу, то х > 0. р • 0 (рис. 23).
А что будет, если точка, координаты которой надо найти, лежит на
одной и» осей координат? Пусть точка А лежит на оси х. а точка В
на оси р (рис. 24). Проводить через точку А прямую, параллельную
оси у, и находить точку пересечения ягой прямой с осью х не имеет
смысла, поскольку такая точка пересечения уже есть — это точка А,
ее координата (абсцисса) равна 3. Точно так же не нужно проводить
через точку А прямую, параллельную оси х: сама ось х пересекает
оеь у и точке О с координатой (ординатой) 0. К итоге для точки А
получаем А(3; 0). Аналогично для точки В получаем В(0; 1,5),
А для точки О имеем 0(0; 0).
Вообще любая точка на оси х имеет координаты (х; 0), а любая
точка ни оси у — координаты (0: у).
Построение точки на плоскости
по её координатам
Выше мы обсудили, как находить координаты точки в координатной
плоскости. А кая решать обратную задачу, т. е. как. задав координа-
ты. построить соответствующую точку? Чтобы выработать алгоритм,
проведём два вспомогательных, но в то же время важных рассуж-
дения.
44 Координатная плоскость
Первое рассуждение. Пусть в систем» координат хОу проведена
прямая I. параллельная оси у и пересекающая ось к в точке с к сюр
дииатой (абсциссой) 4 (рис. 26). Любая точка, лежащая на агой пря
мой. имеет абсциссу 4. Так, для точек Wi. 5f2. W» имеем A/t(4; 3),
Afz<4; 6), Af,(4; -2). Иными словами, абсцисса дю
бой точки Л/ прямой I удовлетворяет условию г = 4.
Если же взять точку, не лежащую на этой прямой,
то ее абсцисса будет отличил от 4. Говорят, что X —
— 4 уравнение прямой 1 или что прямая I (и толь-
ко она) удовлетворяет уравнению х 4.
Ня рисунке 26 изображены прямые, удовлетво-
ряющие уравнениям х “ 4 (прямая М. х “ 1 (пря
мая G), х - 3,5 (прямая /.,). А какая прямая удовлет-
воряет уравнению х - 0? Ось у.
Второе рассуждение. Пусть в системе координат
хОу проведена прямая I. параллельная оси х и пере-
секлющля ось у в точке с координатой (ординатой) 3
(рис. 27), Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет ординату 3,
Так. для точек Vi. Mi. Mi имеем: A/i(O; 3), W.44; 3), ,V«( 2; 3),
©
Иными словами, ордината любой точки М прямой I удовлетворяет
условию у — 3. Если же взять точку, не лежащую на этой прямой,
то ее ордината будет отлична от 3. Говорят, что у - 3 — уравнение
прямой I или что прямая 1 (и только она) удовяетворяет уравнению
у-3.
На рисунке 2Я изображены прямые, удовлетворяющие уравнени-
ям р - 4 (прямая М, у — 1 (прямая Ь), у - 3.5 (прямая (»). А какая
прямая удовлетворяет уравнению у ~ 07 Ось х.
Заметим, что математики, стремясь к краткости речи, говорят
• прямая х - 4», а пе «прямая, удовлетворяющая уравнению х ~ 4«,
Аналогично они говорят «прямая у - 3», а ие «прямая, удовлетворя-
ющая уравнению у - 3«. Мы будем поступать точно так же.
Вернемся теперь к рисунку 20. Обратите внимание, что точка
М( 1,5; 2), которая там изображена, есть точка пересечения прямой
А х У,
V г 1
1
75 Г
-4 -1 о 3. X - о 4 1 У - 1
> 1 1
4 * - 4 21
Put. Х6
Рис. !7
рис. »»
46
ГЛАВА 2 ЛИНЩНАЯ ФУНКЦИЯ
х - 1.5 и прямой р — 2. Теперь. видимо. будет понятен алгоритм
построения точки ио заданным ее координатам.
I АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧКИ М(а; Ь)
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ хОу
1. Построить прямую х = а.
2. Построить приму» у - Ь.
3. Найти точку пересечения построенных прямых это и будет
точка М(о; Ь).
[ ПРИМЕР 1
Решение
В системе координат хОу построить точки:
А(1; 3), В<-2: I). С(4: О). Х*<0; -3».
Точка А есть точка пересечения прямых х» 1 и j - J. Точ-
ка В есть точка пересечения прямых х - 2 и у - I.
Точка С принадлежит оеи х, а точка Л — оси у (рис. 29).
Ренс Лгчрн f 1596 1650). франиуккий
фиюгоф. математик, физик, физиолог
Первым стал «хдашт. кривые с помо-
щью уравнений. В физиологии открыл
принцип |>ефлекторно<| деятельности.
Впервые прямоугольную систему ко
ординат ил плоскости стая актины» ис-
пользовать Рене Декарт для решения
геометрических задач алгебраическими
методами и, обратно, для замены алге-
браических моделей геометрическими.
Поэтому иногда |-и1к>рят: «декартова си
стема координат», «декартовы коордн
илты».
II Координата ле плоскость
47
ПРИМЕР 2
Решение
На координатной плоскости построен четырёхугольник ABCD с вер
шипами в точках /1(2, 3). ВЦ. 5), С(6; 5). IMG; 3). Диагонати четырех
угольника пересекаются я точке iW. Найти площадь п периметр че-
тырехугольника. а также координаты точки Mi. симметричной точке
М относительно оси абсцисс, координаты точки симметричной
точке М относительно осп ординат. и координаты точки Л/». симме-
тричной точке М относительно начала координат.
Четырехугольник ЛВС1) изображен на рисунке 30: это
прямоугольник, его стороны равны 4 и 2. площадь Я. пери-
метр 12. диагонали пересекаются в точке Л1(4; 4).
Вопросы для самопроверки
1. Что такое прямоугольная система координат на плоскости?
2. Сформулируйте алгоритм отыскания координат точки Л/,
заданной в системе координат хОу.
3. В какой четверти координатной плоскости хОу находится
точка Л/(х; у), если:
а) г < 0. у > 0: в) х < 0. у < 0:
б) х > 0. у < 0; г) х > 0. у > 0?
4. Как на координатной плоскости хОу построить прямую:
а) х - я; б) у — Ы
5. Какая прямая в координатной плоскости хОу задается
уравнением:
а) х • 0; б) у “ О?
48
ГЛАВА 1 ЛИНСИНАЯ ФУНКЦИЯ
б. Сформулируйте алгоритм построения точки <W(a; В* в пря-
моугольной системе координат хОу.
7. Как ла координатной плоскости расположены друг относи-
тельно друга точки: АГ(а; 6) и Р(а; ft); М(а; ft) и A'< a; ft);
Mo; ft) и Л*( a; ft)?
§9
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ЕГО ГРАФИК
Линейное уравнение и его решение
Рис 31
В главе 1 мы вплети, что математической моделью реальной ситу-
ации может служить линейное уравнение с одной переменной или
уравнение, которое после преобразований сводится к линейному.
Л теперь рассмотрим такую реальную ситуацию.
Из городов Д и В. расстояние между которыми 500 км, навстре-
чу друг другу вышли две поезде, каждый со своей постоянной ско
ростью Ипвестно, что норный поезд вышел ни 2 ч раньше второго
Через 3 ч после выходи второго поезда они встретились. Чему равны
скорости поездов?
Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч ско
рость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первым был
в пути 5 ч и. значит, прошел путь 5л км. Второй поезд был в пути
3 ч, т. е. прошел путь Зу км. Их встреча произошла в пункте С.
5Х 3^ Ня рисунке 31 представлена геоме-
---—.В трическая модель ситуации. На алгебра-
___•** нческом языке ее можно описать так:
5х ♦ Зу - 500
500км
или
перем емными
эх + Зу — 500 — 0.
Тикую математическую модель шшымют > инейным у|*анненкем с
двумя переменными х. у.
Вообще
ах г by + с - О,
где а, Ь. с — числа (коэффициенты). — линейное уравне-
ние с двумя переменными хну (или с двумя неизвест-
ными X и у).
Вернемся к уравнению 5х + Зу 500. Замечаем, что
если х — 40, у - 100, то 5 40 + 3 100 - 500 — верное
равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть
_^У*'** .........................с двумя пер
таким: скорость первого поезда 40 км/ч. скорость второго поезда
100 км/ч. Пару чисел х — 40. р - 100 называют решение.* уравнения
Ьх • Зр - 500 Говорят также, что паре значений (40; 100) удовлет
аорлет уравнению 5х 4 Зу - 500.
Найденное решение не единственное. В самом деле, возможен
и такой вариант: * - 64, у - 60; действительно. 5 64 + 3 60 -
500 — мерное ривеистно. И такой: х - 70, у - 50 (поскольку
5 70 + 3 50 - 500 — верное равенство).
А вот. скажем, пара чисел х " 80, у - 60 решением уравнения не
является, поскольку при этих значениях верного равенства не полу-
чается: 5 80 + 3 60 я 500.
Вообще решением уравнения ах 4 5у 4 с = 0 называют всякую
мру чисел (х: у). которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. об-
решает равенство с переменными ах t by + с - 0 в верное числовое
равенство.
Вернемся еще раз к уравнению 5х + Зу 500, полученному в
рассмотренном выше задаче. Среди бесконечного множества его ре-
шении имеются, например, и такие: х - 100, у — 0 (в самом деле,
5 100 + 30 — 500 — верное числовое равенство): х — 118. у - -30
(так как 5 118 + 3 ( 30) « 500 верное числовое равенство). Од-
нако. являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить ре-
шениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной
нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда
нс может быть отрицательной.
ПРИМЕР 1*
Решение
Нужно смешать ЗОЧный и 3%-ный растворы перекиси водорода
так, чтобы в результате получился 12%-ный раствор. В каком отно-
шении надо взять имеющиеся растворы?
I ЭТАП. Составление математической модели.
Предположим, что взяли я г 30%-ного раствора и у г
3% иого раствора. В более насыщенном растворе чистой перекиси во
дорода содержится О.Зх г, а в менее насыщенном — О.ОЗу г. Всего
после смешивания получается (О.Зх + О.ОЗу) г чистой перекиси во
дорода. Где она находится? Она находится в новом растворе, масса
которого равна (х + у) г. и составляет там 12 %, т. е. 0.12 (х - у) г.
В итоге получаем следующее уравнение:
О.Зх + О.ОЗу - 0.12 (х + у).
Математическая модель составлена.
11 ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Последовательно получаем:
О.Зх ♦ О.ОЗу - 0.12х + 0,12у;
О.Зх 0.12л - 0,12у - О.ОЗу;
♦ Пример заимствоваи из книга Я. И. Перельм.и|л «Заииматетытя
алгебра*.
so
ГЛАВА 2 ЛИШИНАЯ ФУНКЦИЯ
0.13г - О.Овр;
U • 2х.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Он фактически уже получен: равенство у » 2х означает, что
3%-ного раствора перекиси водорода следует взять ровно в 2 раза
больше. чем ЗО'Х иого растпоря
ПРИМЕР 2
Пункт Д расположен ниже пункта А по течению реки. Катер про
ходит путь от А до Н зя 5,5 я, * обратно — за 7 ч 15 мин Можно
ли утверждать, что собственная скорость катера (скорость в стоячей
воде) более чем а 7 раз превышает скорость течения реки?
Решение
I ЭТАП. Coemue.<e»ar математической модели.
Пусть к км/ч — собственная скорость катера, у км/ч —
скорость течения реки. Ил А в Я по течению реки катер идет со ско-
ростью (л ♦ у) км/ч. а обратно против течения реки со скоро-
стью (х у) км/ч. Туда он идет 5.5 ч и за это время проходит путь,
равный 5.5 (г + у) км. Обратно оя идет 7.25 ч и за это время проходит
путь, равны* 7,25 (х - у) км. Эти пути, естественно, одинаковы, зна
чит. получаем ура и пек не 5.5 (х ♦ р) - 7,25(х р).
II ЭТАП. Работа с составленной моделью
Последовательно получаем:
5,5 (х » р) — 7,25 (х - р):
5.ох + 5.ох - 7,25х - 7.25р;
5.5у т 7.25у = 7,25х - 5.5х;
12,75? - 1,75х.
Умножив обе части последнего уравнения Из 4, подушим
г Н X 31
э1х - 7х. 1. е. — — —.
V 7
111 ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Имеем 4г - "т- в<> столько раз скорость катера в стоячей воле
больше скорости течения реки. Значит, ответ ня вопрос задачи поло-
жителен: собственная скорость катера более чем в 7 раз превышает
скорость точения реки.
ПРИМЕР 3
Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными
х ♦ у - 3 - О точками к координатной плоскости тОу.
Решение
Подберем несколько решении адда иного уравнения, т. е
несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению:
Построим в координатной пло-
скости хОу точки А(3; О), Я(2: I),
«1; 2). DIO; 3). Е( 2; 5) (рис. 32).
Обратите внимание: псе зги пять
точек лежат на одной прямой I,
проведем ее.
Говорят, что прямая I является
графиком ураоненил X + у 3-0
или что прямая I — ггпягтриче
скал модель уравнения х + у -
3 — 0 (или X + у — 3). Вообще
графиком уравнении p(jr, у) “ 0
пялывают множество всех тех точек плоскости хОу, при подстанов-
ке координат которых в выражение рСх; у) оно принимает числовое
значение 0.
Итак, если пара чисел (л: у) удовлетворяет уравнении х + у -
- 3 0, то точка ЛНх; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у)
принадлежит прямой I, то пара (л: у) — решение уравнения х * у -
3 — 0 Например, точка Ив; 3) принадлежит прямой I (рис. 32) и
пара (в; -3) — решение уравнения х •+ у - 3 - 0.
Подведем итога:
Словесная модель Алгебраическая модель Геометрическая модель
Сумма двух чисел равна 3 X 4 у - 3 (линейное уравнение г двумя переменны мн) Прямая ! ва рисуи не 32 (график линей- ного уравнения с двумя лврвмгыяымн)
Л как вообще выглядит график линейного уравнения ах 4 by +
Т с — 0? Проведем небольшое исследование, рассмотрев различные
случаи в зависимости от значений коэффициентов.
52
ГЛАВА 1 линеинля ФУНКЦИЯ
I) Пусть а - О, b - О, с - О. Тогда уравнение принимает вид
О г + Оц + О-О, т. е. 0-0 при любых значениях х. у. Это значит,
что любая пара чисел (ж; у) является решением уравнения, а график
уравнения вся координатная плоскость.
2» Пусть о — О, b — О, е * 0. Тогда уравнение принимает вид О • ж +
+ 0 у + с - 0. т. е. с * О. Эго не выполняется ни при каких значе-
ниях ж, у, т. е. уравнение не имеет решений.
3) Пусть и — 0, b • О. Тогда уравнение принимает вид 0 х +
+ by + с — О, Т. в. у = —Графиком служит прямая, параллельная
ь
оси х. об этом мы говорили в § 8.
I) Пусть а я 0. b - 0. Тогда уравнение принимает вид ох +
♦ 0 у + с - 0, т. е. ж ——. Графиком служит прямая, параллельная
а
оси у. об этом мы также говорили в $ 8.
э) Пусть a > 0. Ь » 0. В этом случае графиком является прямая, не
параллельная ни одной нз осей координат (как это было в примере 3).
Вообще справедлива следующая теорема (для ее доказательства
нужны некоторые факты из геометрии, которых вы пока не знаете).
ТЕОРЕМА 1
Если хотя бы одни иг 1.-|>|фф|ацне1гг<>и а, Ь лннеппого уравнения ах +
+ бу + с — 0 отличен от нуля, то графиком сравнения служит прямая
линия.
ПРИМЕР 4
Построить график уравнения Зж - 2 у - в - 0.
Подберем несколько решений заданного уравнения;
1) (О; 3); в сомом деле, если ж — О, у - 3,
то 3 0 2 3 + 60 верное равенство
(в уравнение Зх - 2у + 6 - О мы подставили
значения х — 0. у — 3);
2) ( 2; 0); действительно, если ж - 2,
у — 0, то 3 (-2) -2 0+6-0 — верное
равенство;
3) (2; 6); если х - 2, у - в, то 3 2
-2 6 + 6-0 верное равенство;
4) (4; 9): если х = 4, у = 9, то 3 4 -
-2 9 + 6- 0— верное равенство,
Построим точки (0; 3), < 2; 0), (2; 6),
(4; 9) па координатной плоскости хОу.
Они лежат на одной прямой, проведем ее
(рис. 33). Эта прямая и есть график ypantte
пня Зх - 2у + 6 - О.
1? ур.ш..|мм с д.уы. пор.
Построение графика линейного
Пример 4 решен верно, но. признаемся. очень нерационально. Поче-
му? Давайте рассуждать.
I. Мы знаем, что графиком линейного уравнения Зд 2у 4 в - О
является прямая (это утверждается в теореме 1). Чтобы провести
прямую, достаточно указать две ее точки. Через две точки можно
провести прямую и притом только одну этому нас учит геометрия,
Поэтому построенные выше четыре точки — это явный перебор. До-
статочно было построить точки (О; 3) и ( 2: 0) и с помощью линейки
провести через ник прямую.
2. Решения данного уравнения мы побирахи. т. е. угадывали.
Угадать что-либо всегда труднее, чем действовать по определённому
правилу. Нельзя ли было и здесь нс угадывать, а действовать по ка-
кому-то правилу’ Можно Например, так. Далям переменной х кон-
кретное значение, например х - 0 (обычно пишут Х| - 0). Подставив
это значение в уравнение Зх - 2у 4 6 - 0, получим 3 О - 2у 4 6 - О,
Т. е. 2у 4 6 - 0. Из этого уравнении находим у 3 (обычно пишут
Pi - 3). Значит, если х - 0, то у - 3; пара (О; 3) решение данного
уравнения.
Дадим переменной х еще одно конкретное значение, например
х - 2 (обычно пишут х» — -2). Подставив это значение а уравнение
Зх - 2у + б - О, получим 3 • (-2) - 2у - в - О, т. в. -2у - 0. Из этого
уравнения находим у - 0 (обычно пишут уг — О» Значит, если х - 2,
то у - О; пара ( 2; 0> — решение данного уравнения.
Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построения
трофика линейного ура вмени я ах + by + с - 0 для общего случая,
когда а * 0, б # 0.
I АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА УРАВНЕНИЯ
ах ♦ by 4 с “ О, где а » О. h я О
1. Придать переменной ж конкретное значение х — х(; найти из
уравнения nxi + by - с - (I соответствующее значение у — р|.
2. Придать переменной х другое значение х - х;; найти из уравне-
ния ах» • by + с — 0 соответствующее значение у — р>
3. Построить иа координатной плоскости хОу точки (х(; у,) и (х»;
4. Привести через эти две точки прямую — она и будет графиком
уравнения ах 4 by 4 е • 0.
Чаще всего на первом шаге алгоритма берут значение X - 0. Вто-
рой шаг иногда немного изменяют: полагают у — 0 и находят соответ-
ствующее значение х.
54
ГЛАВА 2 ЛИН1ИНАВ ФУНКЦИЯ
ПРИМЕР 5
Построить график уравнения
4х + Яр - 12 = О.
Будем действовать по алгоритму.
Решения
1) Положим х - О, подставим это значение
и уравнение 4л -) Зу - 12 - О. получим: 4-01
+ Зу - 12 - О. Зу - 12 = 0. р - 4.
2) Положим у - О. подставим это значение
в уравнение 4лг - Зу - 12 “ 0, получим: 4 * +
• 3 О - 12-0. 4х-12-0. х-3.
3) Построим на координатной плоскости
хОу две точки: (О: 4) — оиа найдена на пер-
вом шаге алгоритма — п (3; 0) — она найдена
на втором шаге.
41 Проведем через точки (0; 41 и (3; 0) пря-
мую. Это и есть искомый график (рис. 34).
Использование графиков линейных
уравнений для решения задач
ПРИМЕР 6
Иванов и Петров посадили нм своих садовых участках яблони, при-
чем Петров посадил яблоиь в 2,5 разя бочыпе. чем И папок. На следу-
ющий год они увеличили число яблонь (подсалили новые саженцы),
причем у Иванова спело яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петро-
ва и 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь.
Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?
Решения
вым.ац
1 ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивано-
— число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По
условию задачи у - 2,fix Здесь целесообразно умножить обе части
уравнения иа 2, получим 2у - 5х. Это уравнение перепишем в виде
Ьх - 2у - 0. (1)
На второй год Иванов увеличил число саженцев па своем участке
в 3 разя и, зиачиг, у него стало Зх яблонь. Петров увеличил число
саженцев на своем участие в 2 раза. т. я. у него стало 2у яблонь.
Лмн.йн». c д.умв
По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх < 2у - 16. Пе-
репишем эти уравнение в виде
Зх + 2у - 1в - О. (2)
Математическая модель вадами готова, они состоит из двух линей*
ных уравнений с двумя переменными х и у — на уравнений (1) и (2).
Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и
используют специальный символ — фигурную скобку — и специаль-
ный термин — система уравнении:
5х - 2у - О.
Зх е 2у16 - О. (3)
Ответ
11 ЭТАП. Рабата с составленной моделью.
Интересующая нас пара чисел (х; у) должна
удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (21,
т. е. интересующая нас точка (х; р) должна ле*
жать как па прямой (1). так и на прямой (2). Что
делать? Ответ очевиден: надо построить прямую
(11, затем прямую (2) и. наконеи. найти точку пе-
ресечения этих прямых.
1) Строим график уравнения 5х - 2у - 0. Если
х - 0. то у - О: еелк х - 2, то у — 5. Проведем че-
рез точки (О; 0) и (2; 5) прямую Л (рис. Зв).
2) Строим график уравнения Зх < 2у 16 - 0.
Если х - 0. то у - 8; если х - 2. То у « 5. Проведем
через точки (О: 8) и (2: 5) прямую lt (рис. 35).
3) Прямые lt и /а пересекаются в точке (2; 51,
т. е. х - 2. у - 5.
Ш ЭТАП. Ответ ян вопрос шдачи
Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Ивашов и
Петров, т. е. чему равны х п я? Ответ ня этот вопрос уже получен:
ж - 2. у - 5.
В первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров —
5 яблонь.
Как видите, не эра мы с вами учились строить графики линей-
ных урлвноппй с двумя переменными. Это позволило нам от одной
математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к дру-
гой математической модели — геометрической (две прямые на коор-
динатной плоскости на рисунке 35). что н дало возможность довести
решение до конца.
А можно ли работать непосредственно с моделью (3). не переходя
к геометрической модели? Можно, но об этом речь пойдет впереди,
и главе 3. Там. используя новые зияния, мы снова вернёмся к моде-
ли (3).
56
ГЛАВА 2 ЛИШИНАЯ ФУНКЦИЯ
Завершая этот параграф, рассмотрим примеры построения более
сложных i-рафиков. в той или иной степени связанных с графиками
линейных уравнении.
Графики с модулями
ПРИМЕР 7
Построить график уравнения:
а)у-|х|-О: б)|у*х-О; в) |х| * |у1 - 2; г) х + |х| - д + ip|.
Решение
а) Если х > О. то |х| — х и уравнение принимает вид у - х —
0. Что это означает? Это означает, что при х > 0. т. Я.
Рас. :№
в правой координатной полуплоскости,
надо построить график уравнения у
- х — О. На рисунке 36 построен график это-
го уравнения, причем вылелеии та его часть,
которая принадлежит правой полуплос
кости.
Если х < 0. то |х| - х и уравнение при
нимает вид р + г = 0. Что это означает7 Это
означает. что при х < 0, т. е. в левой ко
ординатной полуплоскости, надо построить
график уравнения д + х - 0. На рисунке 37
построек график этого ура ан сии я. причем выделена тн его часть, ко-
торая принадлежит левой полуплоскости.
Ну а как же выглядит график заданного уравнения? Он изоб-
ражен пл рисунке 38 мы соединили рисунки 36 и 37.
это означает? Это означает, что при у > 0. т. е. в верхней коорди
нотной полуплоскости, надо построить график уравнения у ♦ х - 0.
На рисунке 39 |их-троен график этого уравнения, причём вылелени та
его часть, которая принадлежит верхней полуплоскости.
означает. что при у •- О. т. е. и нижней координатной полуплоскости,
надо построить график урпвнсиия х - у = О. На рисунке 10 построен
график итого уравнения и вылечена та его часть, которая принадпе-
жит нижней полуплоскости.
График эадниного уравнения изобрижеи ин рисунке 41 (<Ль-
в) Если х > 0 и у > 0. то |jr| х, у — у и уравнение принимает
вад у - х - 2. Что это означает? Это означает. что при х > 0 и у > 0.
Рис. 43
т. е. я правом верхнем координатном угле, надо построить график
уравнения у ♦ х — 2. На рисунке 42
построен график этого уравнения,
причем выделена та его часть, которая
принадлежит упомянутому коордн
нити ом у углу.
Если х > 0 и у «• 0, то |х| - х,
\у — у и уравнение принимает вид
х - у 2. Что это означает? Это озна-
чает. что при х > 0. у « 0, т. е. в
правом нижнем координатном угле,
надо построить график уравнения
х - у - 2. На рисунке 43 построен гра
58
ГЛАВА 2 ЛИН1ИНАЯ ФУНКЦИЯ
фи к этого уравнения. причем выделена та его часть, которая при над
лежит упомянутому координатному углу.
Если х<ОиуДО, то х| ~ -X, у| - у и уравнение принимает вид
х + у - 2. Это означает, что при х • О, у > 0. т. е. в левом верхнем
координатном угле, надо построить график уравнения х 4 у - 2.
На рисунке 44 построен график этого уравнения, причем вылсленн та
его часть, которая принадлежит упомянутому координатному углу.
Если, наконец, х - 0 и у 0, то х| “ -ж, у| « -у и уравнение
принимает вид —х - у — 2. Это означает, что в левом нижнем коорди-
натном угле надо построить график уравнения х 4 у — -2. На рисун-
ке 45 построен график этого уравнения, причем выделена та его
часть, которая принадлежит упомянутому координатному углу.
г) Рассуждая, как в пункте а), приходим к выводу, что в правом
верхнем координатном угле надо построить график уравнения х + х —
- у у, т. е. ж — у (рис. 47). В правом нижнем координатном угле
надо построить график уравнения т + х « у — у. т. е. х~0 (рис. 48).
В левом верхнем координатном угле надо построить график уривнс
пня х-х — уту, т. е. у“0 (рис. 49). Наконец, в левом нижнем
координатном угле надо построить график уравнения ж х — и у,
Лмнаиео* ypaswwM с ЦВуМВ
т. е. О - О. Последнее равенство верно при любых х, у. Ото значит,
что все точки рассматриваемого координатного угла удовлетворяют
уравнению (рис. ЬО).
Подводи итоги, получаем график ладанного уравнения он иэоб
ражен на рисунке 51.
Вопросы для самопроверки
1. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя пере-
менными X, у.
2. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя пере
менными и. V.
3. Что называют решением уравнения ах •* by * е = □, где х,
у переменные, а в. Ъ. с коэффициенты?
1. Может ли линейное уравнение с двумя переменными не
иметь решений? Если да. то приведите пример.
5. Может ли липецкое уравнение с двумя переменными иметь
конечное множество решений? бесконечное множество ре
шепий? Если да. то приведите пример.
60
ГЛАВА 1 ЛИНСИНАЯ ФУНКЦИЯ
б. Придумайте текстовую задачу, математической моделью
которой является линейное уравнение с двумя перемен-
ными.
7. Что называют графиком уравнения р(х; у} - О?
8. Как построить график линейного уравнении с двумя пе-
ременными. у которого оба коэффициента при перемен-
ных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно
ваять?
9. Что представляет собой график линейного уравнении с дву-
мя переменными, у которого один коэффициент при перс
менной отличен от нуля, а другой равен нулю? (Рассмотри-
те два случая.)
10. В каком случае из .линейного уравнения ах + by + с - 0
можно выразить переменную р через переменную л, а в ка-
ком нельзя? Что получится, если переменную у можно вы
разить через переменную х'1
I
§10
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК
Преобразование уравнения
ах + by + с = 0 к виду у = kx + т
Алгоритм построения графика уравнения ах бр ♦ е - 0. который
мы сформулировали в $ 9. при всей его четкости и определенности
математикам но очень нравится. Обычно опи выдвигают претензии к
первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они. дважды решать
уравнение относительно переменной у: сначала ах, ♦ бу * с - О, за-
тем ах/ + Ьр + е — 0? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения
ах - by • с - О, тогда легче будет проводить вычислоиия (и, главное,
быстрее)? Давайте проверим.
Рассмотрим сначала уравнение 8х 2у ♦ 6 - 0 (см. пример 4 из
§ 9). т. «. 2у • Зг + в.
Умножив обе части уравнения на 1. получим — 2у - — (Зх 4- 6),
2 2 2
1
т. е. у - -X + 3. Впрочем, тот же результат мы получили бы, если
обе части исходного уравнения почленно разделили па 2. Обыч-
но предпочитают в подобных случаях говорить не об умножении,
а о почленном делении обеих частей уравнения на одно и то же
ЧИСЛО.
Итак. у - ii +3.
2
Придания х конкретные значения, легко вычислить соответ-
ствующие значения у. Например, при хО получаем у “ 3; при
г — -2 имеем у - О; при х — 2 имеем у - в; при х - 4 получаем
у - 9. Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3). (-2; 0), (2; 6)
к (4: 9), которые были выделены в примере 4 из § 9.
Точно так же уравнение &х - 2у — 0 (см. пример б из $ 9) можно
было преобразовать к виду 2у = эх и далее у « 2,5х: нетрудно найти
точки (0; 0) и (2: 5k улоялетворяющне этому уравнению. Наконец,
уравнение Зх + 2у - 16 - 0 из того же примера можно было преоб-
разовать к виду 2у ~ 10 Зх и далее у - 8 -х. Из этого уравнения
можно найти решении (0: 8) и (2; 5). которые ему удовлетворяют.
Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде
Случаи, когда в уравнении ах + by + с ~ 0 оба коэффициента
а, b равны нулю, мы рассмотрели в $ 9. Там же мы отметили, что
в случае, когда о е 0. b - 0, графиком уравнения является прямая,
параллельная оси у.
Рассмотрим случай. когда b 4 О.
Имеем:
ах + by + с ~ 0; <1)
by —ах - е;
Введя обозначения —— - к. — т. получаем
ь ь
у « kx + т.
Таким образом, линейное уравнение (11 с двумя переменными х и
у а случае, когда b / 0. можно преобраговать к виду
у - кх +• ж,
«2)
где к. т — числа (гтффицигнти ).
Это частный аил линейного уравнения. Зная, чему равен х. по
правилу у - кх < т всегда можно найти, чему равен у. Будем назы-
вать уравнение (2) линейной функцией.
С помощью уравнения (2) легко, указав коикрет-
линейная в<1е значение *, вычислить соответствующее опачеиве у.
функция Пусть, нзшример. у - 2х ♦ 3. Тогда:
если х — 0. то у — 3;
если * - 1. то у - б:
если х - 1, то у - 1;
если х “ 3. то у • 9 к т. д.
62
ГЛАВА 1 ЛИНТ ИНАЯ ФУНКЦИЯ
Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:
х I О
У I 3
н+я
2
9
независимая
переменная
(аргумент)
зависимая
парам емкая
Значения у ни второй строки таблицы называют jhu
чгнилми линейной функции у - 2л + 3 соответственно а
точках г = О, х = 1, х = —1, х = 3.
В уравнении (1) переменные х н у равноправны, а в
уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем
одной из них — переменной х. тогда как значение пере-
менной у зависит от выбранного значения переменной х.
Поэтому обычно говорят, что х - независимая переменная (или ар-
гумент). у — зависимая переменная.
График линейной функции
Частным случаем теоремы 1 иа § 9 является следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2
Графиком линейно* функции у = йх *• m является прямая
ПРИМЕР 1
Построить график линейной функции у — 2х Г 3.
таблицу:
Построим на координатной плоскости хОу
точки (0; 3) и (1; 5) и проведем через них пря-
мую. Это и есть график линейной функции
у - 2х • 3 (рис ’)
При рассмотрении линейных функций вида у • йх + т особо вы
деляют случай, когда т - О; в этом случае линейная функция прини-
мает вид у — kx.
i 10 Лмн»мнав функция и граф»”" 63
ТЕОРЕМА 3
Графиком линейной функции у — kx является прямая, проходящая
через начали координат.
Докззатяльстио
Доказательство осуществим в дм этапа.
1. у ~ йх — частный случай линейной функции, а графиком ли-
нейной функции согласно теореме 2 валяется прямая; обозначим ее
черта I.
2. Пара х - 0, у - 0 удовлетворяет уравнению у - кх, а потому
точка (О; 0) принадлежит графику уравнения у " йт, т. с. прямой I.
Следовательно. прямая 1 проходит через начало координат. Тео-
рема доказана.
Надо уметь переходить не только от аналитической модели
у - kx к геометрической, но и от геометрической модели к аналити-
ческой. Рассмотрим, например, прямую ни координатной плоскости
хОу, изображенную на рисунке 53. Она является графиком линейной
функции у — кх. нужно лини, найти значение коЦирициентп й. Так
как * - то достаточно взять любую точку на прямой и найти от
ношение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через
точку ИЗ; 61, а для втой точки имеем - 2. Значит, * — 2, а потому
заданная прямая линия служит графиком линейной функции у - 2х,
График линейной функции у - kx обычно строят тик: бе-
рут точку (1; й) (если х = I. то из равенства у = kx находим, что
у - *) и проводят прямую через тту точку и начало координат. В про
чем. н случае необходимости точку (I; 4) можно заменить другой
точкой, более удобной. На рисунке 54 изображены графики линей-
64
ГЛАВА 2 ЛИН! ИНАЯ ФУНКЦИЯ
иых функций у — х (пря ми я t|). у - 2х (прямая !J. у - -г (пря-
«в
мая <t: здесь не очень удобно брать точку | к -1, мы взяли точку
<3; 1)), у —2х (прямая /4).
Обратите внимание: от коэффициента А зависит угол, который
построенная прямая образует с положительным направлением оси х;
заметим, что этот угол отсчитывамгт от пен х а направлении против
часовой стрелки. Если А • О. то этот угол оетрыЬ (так обстоит дело
ни рисунке 54 с прямыми lt. I* если А «- 0. то этот угол тупой
КОэффнцИПИ!
(так обстоит дело на рисунке 54 с прямой Д). Далее, если А > 0, то
чем больше А, тем больше угол. Так. на рисунке 54 для примой /, ине
ем А — .тля прямой Л имеем 4-1. ДЛЯ прямой lt имеем
3
А " 2: при увеличении коэффициента А увеличивается и
угол между прямой и положительным направлением оси
абсцисс. Поэтому коэффициент А в записи у - Ах называют угловым
коэффициентом.
Как известно из курса физики, » - и» закон равномерного пря
нелинейного движения; здесь я — путь, и — скорость. ( — время.
Если перейти к обозначениям, которые мы использовали в этом па
Pur S6
parpa<|ie. закон равномерного движения
можно записать в виде у - Ах (х время,
у — путь). Угловой коэффициент А — это
скорость движения.
Ня рисунке 55 изображены графики
линейных функций у - 2х 4, у - 2х + 6.
Оба они параллельны графику линейной
функции у 2л. только первая прямая
(у - 2х - 4) получается ил прямой у • 2х
сдвигом впил на 4 единицы масштаба, а
вторая прямая (у - 2л + 6) получается из
прямой у — 2х сдвигом вверх на 6 единиц
масштаба.
Справедлив следующий общий резуль-
тат, который мы оформим в виде теоремы.
ТЕОРЕМА 4
Прямая, служащая графиком линейной функции у - Ах + т. па-
раллельна прямой, служащей графиком линейной функции у “ Ал.
Вследствие этого коэффициент А в записи линейной функции
у - Ах * т также называют угловым коэффициентом. Если к > О, то
прямая у — Ах + т образует с положительным направлением оси х
острый угол (рис. 56, а), а если к < О тупой угол (рис. 56. б).
ЛМ.ИНМ функция и графи» 55
Рис. 46 а 6
Линейные функции
как математические модели
реальных ситуаций
Многие реальные ситуации описываются математическими моде-
лями. представляющими собой линейные функции. Приведём при
меры.
Первая еитуация. На складе было 600 т угля. Ежедневно ста-
ли иолволнть по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2. 4,
10 дней?
Если пройдет х динй, то количество угля у иа складе (в тоннах) вы-
разится формулой у ~ 500 + ЗОх. Таким образом, лилейная функция
у - 30г ♦ 500 есть математическая модель ситуации.
Теперь нетрудно установить, что:
при х = 2 имеем у - 560 (и уравнение у — ЗОх 4- 500 подетаяили
х = 2 и получили у = 560);
при г - 4 имеем у “ «20:
при х - 10 имеем у - 800.
Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно ста
ЛИ увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,
10 дней?
Здесь математической моделью ситуации является лияейяяя
функция у - 500 ЗОх. С помощью этой модели нетрудно ответить
на вопрос задачи:
если х — 2. то у - 440 (в уравнение у 500 30л подставили х - 2
и получили у - 440);
если х — 4, то у — 380;
если х - 10, то у - 200.
ГЛАВА 2 ЛИН! ИНАЯ ФУНКЦИЯ
Третья ситуация. Турнет проехал па автобусе 15 км от пункта
А до пункта В. в затем продолжил движение из пункта В в том же
направлении, по уже пешком со скоростью I км/ч. На каком рассто-
янии от пункта Л будет турист через 2 ч, через 4 ч, черед 5 ч ходьбы?
Математической моделью ситуации является линейная функция
у — 15 -г 4х. где х — время ходьбы (в часах}, р — расстояние от А
(в километрах). С помощью згой модели отвечаем на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 -е 4х подставили
х - 2 п получили р - 23);
если х « 4, то у — 31:
если X - 6, то у — 39.
Итак, в каждой из рассмотренных ситуаций математической мо
делью служит линейная функция. Но. строго говоря, все три состав-
ленные модели не совсем точны, они не учитывают тех ограничении
на переменную, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в
первой ситуации независимая переменная х может принимать только
значения 1, 2, 3, .... поскольку х — число дней. Следовательно, уточ-
ненная математическая модель первой ситуации выгладит так:
у — 500 + ЗОх. где х — натуральное число.
Вторую ситуацию необходимо уточнить условием у 2 0. Это зна-
чит, что независимая ие|>еменияя х, обозначающая. как и в первой
ситуации, число дней, может принимать только значения 1. 2. 3.
16. Действительна, если г “ 16, то по формуле у - 500 - ЗОх нахо-
дим: и — 500 30 16 - 20. Значит, уже па 17 й дет, вывезти со
склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню оста-
нется всего 20 т н вывоз угля придется прекритнть. Следовательно,
уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:
Рис .57
у - 500 - ЗОх. у > 0 пли
р — 500 — ЗОх. где х - 1. 2. 3, 16.
В третьей ситуации независимая пере мен пал х теоретически мо
жат принять любое неотрицательное значение (х “ 0, X - 2, х ” 3.5
и т. д.). но практически турист нс может шагать с постоянной скоро
стью без сна в отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно
было сделать ризу иные ограничения на х. скажем, 0 < х < 6 (т. е.
турист идет не более 6 >t).
Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного
неравенства 0 < х < 6 служит отрезок |0; 6| координатной прямой
(рис. 57). Значит, уточненная модель третьей ситуяппи выглядит
так: р - 15 • 4ж, где л принадлежит отрезку (0: 6|.
ilmmiiti Условимся вместо фразы ах припаяло-
♦ » жиг множеству X» писать х е X (читают:
<> » V,
•элемент х принадлежит множеству Л»,
€ — сна к npuKiuljexHocmu). Как видите, наше знакомство с мате
магическим языком продолжается. Множество натуральных чисел
Яс Лмныинш функция и а* граф*"»
67
обычно обозначают буквой АГ. Значит, вместо фразы «х натураль-
ное число» мы можем использовать соотношение х Е N.
Если линейную функцию у - кх + <и надо рассматривать не при
всех значениях X. а лишь для значений х из некоторого числового
множества X, то пишут
у - kx т, х € X.
А теперь запишем более точные математические модели для рас-
смотренных вытпе трех ситуаций.
Первая ситуация: у “ 500 + ЗОх. х в N.
Вторая ситуация: у = 500 - ЗОх. х С (1, 2, 3, ... 16).
Третья ситуация: у — 15 т 4х. х е [0; 0|
Построение графика линейной
функции на заданном промежутке
ПРИМЕР 2
Построить график линейной функции:
а) у - -2х + 1. хе [-3: 2]; б) у = -2х * 1. х с (-3; 2).
Решение
а) Составим таблицу для линейной функции у — -2х ♦ 1:
2
3
Построим на координатной плоскости хОу точки (—3; 7) и (2; -3)
и проведем через них прямую линию. Это график уравнения у “ - 2х +
+ 1. Выделим отреоок, соединяющий построенные точки (рис. 58).
Это и есть график линейной функции у - -2х + 1. х € [-3; 2].
Рис. М
Рис. S9
Рис. 60
68
ГЛАВА 1 линеинля ФУНКЦИЯ
Рис 6!
Обычно говорят так: мы построили график линейной функции
у - 2* ( 1 по отрезке [ 3: 2].
-imminiL °) Чем отличается этот пример от предиду-
2^ щего? Линейная функция та же (у = 2х + 1),
’ значит, и графиком ее служит та же прямая.
Но будьте внимательны! на этот раз хе ( 3; 2). т. е. значе-
ния х - -3 и х - 2 не рассматриваются, они не принайлглгот ин-
тервалу (-3; 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной
прямой? Светлыми кружочками (рис. 61), об этом мы говорили а $ 6.
Точно так же и точки (-3; 7) и (2; 3) придется отметить на черте-
же светлыми кружочками. Это будет тшомшшть нам о том, что
берутся лишь те тачки прямой у = —2х + 1, которые лежат меж-
ду точками, отмеченными кружочками (рис. 59). Впрочем, ино-
гда и таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки
(рис. 60*. Это иеприиципиильио: главное понимать, о чем идет речь.
ПРИМЕР 3
Найти имиболыпег и иаимеиыпее значения линейкой функции
у - ix + 4 иа отрезке [0: 6J.
Решение
наибольшее
значение
линейной
функции
наименьшее
значение
динеином
функции
Составим таблицу для линейной функции у - i
Рие 62
Построим на координатной плоскости Юи
точки (0: 4) и (в; 7) и проведем через них пря-
мую — график линейной функции у « 1< + 4
(рис. 62).
Нам нужно рассмотреть эту линейную
функцию ие целиком, а на отрезке |0; 6], т. е.
для х к |0; 6). Соответствующий отрезок графика выде-
лен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината
у точек, принадлежащих выделенной части, ривиа 7
это и есть наибольшее эиачепие линейном фхуиесцм»,
и “ ~х + 4 на отрезке (0; в|. Обычно используют такую за
пись: уяш» = 7.
Замечаем, что самая маленькая ордината у точек,
принадлежащих выделенной на рисунке 62 части пря-
мой, равна 4 это и есть чаимгньшгг лпвхрнир линей
Яс Пинеинл» функция и •* граф1"
69
ной функции р - ~х *• 4 ия отрезке (0. ft) Обычно используют такую
мимсы - 4.
Ответ
у.,.л - 7. У..»»” 4.
ПРИМЕР 4
Нанта jf^,e и у,.». для линейной функции у • -1,5х •+• 3,5:
а) на отрезке fl; 5);
6> иа интервале (1; 5):
в) на Полуинтервале (1; 5):
г) иа луче (О; -*-ог);
д) на луче ( «>; 3].
Решены
Составим таблицу для линейной функции у — -1.5л - 3.5:
1_
7
U
5
-4
Построим ия координатной плоскости хОу точки (1; 2* и (5; -4)
и проведём через них прямую (рис. 63 67). Выделим иа построен
ной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка (I: 5)
(рис. 63). из интервала (1; 5) (рис. 04). из полуинтервала [1; 5)
(рис. 65), из 4)010 [О; +<») (рис. 66), из луча (—о°; 3| (рис. 67).
а) С помощью рисунка 63 нетрудно сделать вывод, что р1и— — 2
(этого значения линейная функция достигнет при х - 1), a и,** ~ 1
(этого значения линейная функция достигает при х — 5).
6) В отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в кото*
рых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из
70
ГЛАВА 1 ЛИНСИНАЯ ФУНКЦИЯ
Рис. в7
рассмотрения исключены (рис. 64),
Среди остальных точек графика нет
ни точки е наименьшей ординатой,
ни точки с наибольшей ординатой.
Значит, ин наибольшего, ни наи-
меньшего значений на заданном
интервале у данной линейной функ-
ции нет. они иг существуют.
n) С помощью рисунка 65 за-
ключаем, что y^t - 2 (как и в пер-
вом случае), а наименьшего значе-
ния у линейной функции нет (как и
во втором случае).
г) ~ 3,5 (этого значения линейная функция достигает при
* - 0). а не существует (рис. вб).
д) 1йпм — “1 (этого значения линейная функция достигает при
х - 3), а ^^.6 ие существует (рис. 6").
Свойства линейной функции
ПРИМЕР 5
Построить график линейной функции у - 2х 6. С помощью графика
ответить на следующие вопросы:
а) при каком значении х будет у ~ 0;
6) при каких значениях х будит у > О;
в) при каких значениях х будет у - 0;
г) при каких значениях х выполняется двойное неравенство
1 у 2?
Рашаниа
Составим таблицу для линейной функции у - 2х б:
2
о
гН
Через точки (0; 6) и (3; 0) проведем прямую график линейной
функции у - 2х - б (рис. 6М).
л) у - О при х - 3. График пересекает ось ж в точке х - 3. ято и
есть точка с ординатой у - О.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле, если х > 3. то соответствующая
часть прямой расположена выше оси х. значит, ординаты соответ
стнующих точек прямой лолплгнгпелала/.
в) у < О при х < 3. В самом деле, сели х < 3, то соответствующая
часть прямой расположена ниже оси х. значит, ординаты соответ-
ствующих точек прямой ошриивтсльны.
г) На рисунке 69 выделены часть прямой, ординаты точек которой
удовлетворяют двойному неравенству -4 < у < -2. и соответству-
ющий промежуток оси абсцисс. Это и есть интересующий нас проме-
жуток: 1 < х < 2.
Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графина
решили:
а) уравнение 2х 6-0 (получили х — 3);
6) неравенство 2г - 6 > О (получили х > 3>;
в) неравенство 2х 6 < О (падучили х < 3);
г) неравенство -4 < 2х - в < — 2 (получили 1 С х < 2).
В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, напри-
мер: «дом», «здание, >сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара»,
• нзбуптка• В математическом языке ситуапма примерно тя же. Скажем, ра-
венство с двумя персмешпамк у - tx • и», где к, т конкретные числа, можно
72
ГЛАВА 1 ЛИШ ИНА* ФУНКЦИЯ
иаэ«лт>. лнппгиой функцией, можно •inert, лняейвмм урлпненнем с дау-
на urix-мснпымм л ц (или с двумя аеиавестпыми л и р). можно назвать
формулой, можно (шип соотношеик»», гмлымюшнм г и у. можно, не-
конец, назвать мвискмостъао между хну. Это неважно, главное, пони-
мать, что во всех случаях речь идет о математической модели
у Ях » ш.
еодрастдаоиум
•BFW»W ^TTOOW
функция
Рассмотрим график пикейной функции, изображённый на рисун-
ке 56, а (е. 65). Если двигаться ио атому графику слови направо, то
ординаты точек графика все время увеличиваются, мы
как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях матема-
тики употребляют термин возрастанос и говорят гак:
если к > О. то линейная функция у — hx + т возраста
убывающая
ямыаыыан
пев ех. iub
функция
ет.
Рассмотрим график линейной функции, изображен
ный на рисунке 56, 6. Если двигаться по атому графи-
ку слева направо, то ординаты точек графика все время
умвяьшаются, мы кяк бы «спускаемся с горки». В таких случаях ма-
тематики употребляют термин убывание и говорят так: если к < О.
то линейная функция у - кх ♦ т убывает.
ПРИМЕР 6
На рисунке 70 изображен график движения автомобиля между
пунктами I и 2. По оси t отмечено время (в часах), по оси 5
расстояние до пункта 1. Требуется охарактеризовать весь процесс
движения словами.
Решение
1) Точка А соответствует началу движения. До пункта 2
автомобиль доехал м 1^ч - об этом можно судить по абс
цисее точки О. Пройдспиоо расстояние равно 50 км — об этом
можно судить по ординате точки />. Значит, можно вычистить скорость
движения автомобиля: г - 50 : - - 37.5 км/ч.
3
2) На участке графика Г>Е ордината постоянна, т. е. расстояние от
пункта 1 ис менялось. Это значит, что автомобиль нс двигался (стоял
в пункте 2). Причем он стоял в промежутке от Ц ч до 2^ ч (это абс
циссы точек D и Е). Остановка длилась, таким образом, 1 ч 20 мин.
3> На обратный путь после остановки автомобиль потратил столь-
ко же времени, сколько на путь от 1 до 2 I поскольку 4 - 2- - li I,
3 3 *
значит, обратно он ехал с той же скоростью.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое линейная функция?
2. Что налается графиком линейной функции?
8. Сколько точек достаточно паять для построения графика
линейной функции?
4. Опишите процесс построения графиня линейной функции
у - 2х ♦ 3, где г । [О; 2]. Что изменится, если х f (О; 2)?
5. Дана линейная функция у = кх + т. к £ X. где X неко
тпрый числовой промежуток. Что такое р______ р1мв»?
б. Как с помощью графика линейной функции у - kx + т, где
Л у О. решить:
а) уравнение kx + т - 0;
б) неравенство kx ¥ т 0;
н) неравенство kx f m £ 0?
7. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком —
убывает? Как об этом можно судить но графику линейной
функции?
8. Что представляет собой график линейной функции у — kx?
9. Почему в уравнении у - kx коэффициент к называют утло
яым?
10. Что вы можете сказать о взаимном расположении графиков
функций у - kx * тир- kx?
11. Какой угол (острый или тупой) образует прямая у - kx + iri
с положительным направлением осп Ох при к • 0 и прп
0?
74
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Вернемся еще раз к графикам линейных функций у - 2* I и
ji ’ 2х +fi, представленным ин рисунке 55 (с. 64). Мы уже отмечали
(а 5 Ю). что »тн две прямые параллельны ирамом у - 2х. а апатит, па
ряллельны Друг другу. Признаком параллельности служит равенство
угловых коэффициентов (к — 2 для всех трёх прямых: и для у - 2х,
и для р - 2х - 4, И дли у — 2х - 6). Если же угловые коэффициенты
различны, как, например, у линейных функций у - 2х и у Эх t 1,
то прямые, служащие их графиками, ня параллельны и тем более не
совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще
справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 5
Пусть лапы две линейные функции у = ktx + mi и у = кгх + т> Пря-
мые, с .тужащие графиками ладанных хииеииых функция
1) параллельны, если к( - Aa, mt а т:;
2) еониалают. если kt А> т( “ ms;
3) пересекаются. если А| * ki.
ПРИМЕР 1
Найти точку пересечения прямых:
а) у - 2л - 3 и у - 2 - i;
б) у - ~ix 4 1 и у - Зх * 5.
функции у “ 2х - 3 имеем:
Примял /|. служащая графиком ли
нейпой функции у — 2х - 3, проведена яа
рисунке 71 через точки (О; 3) и (2: I).
Для линейной функции у — 2 ix
имеем:
Прямая /j. служащая графиком линейной функции у — 2 -х.
проведена на рисунке 71 через точки (О; 2) и (2; 1).
Прямые I, и li пересекаются » точке (2; 1).
б) Линейные функции у - -Зх ~ 1 н у - -Зх * 5 имеют один и
тот же угловой коэффициент (> - -3), значит, прямые у —Зх ♦ 1 и
у • -Зх ♦ 5 параллельны, т. е. точки пересечения у них нет.
ПРИМЕР 2
Найти точку пересечения прямых у — 4х + 7 и у — —2х + 7.
Решение
Здесь можно обойтись без чертежа. Будем рассуждать
тпк. Вопсрвых. угловые коэффициенты прямых различ-
ны (й| - 4. — -2), значит, прямые пересекаются в одной точке.
Во-вторых. как одна, так и другая прямая проходят через точку
(О: 7) (вы обратили внимание, что м, = т, = 77).
Следовательно. (О. 7) и есть искомая точка пересечения.
Вообще прямые у = fctx + т и у = fe.x 4- т. ide kt » кг, пересекаются
в точке (О; /и).
Завершая главу 2. обратим внимание на характерную особенность
математического языка: во многих фразах, как вы. навсриос, замети-
ли. одновременно встречаются элементы алгебраического и геометри-
ческого языков составных частей единого математического яэы
ка. Так. мы говорим: точка 3. прямая х — 2, прямая у —5. прямая
у = 2х ‘ 3. отрезок [3; 7). луч [ 2; +«| и Т. п. А в этом параграфе мы
получили, пожалуй. наиболее яркие образцы свободного оперпрова
ния алгебраическим и геометрическим языками в одном суждении
они представлены в приведенной таблице.
ЛиягВвы» фрикция Алг»6рамч*смн> условие Г*«»МГГрИЧСЧВ<ИМ ВЫВОД
V “ *1* ♦ "»1 у • kjx ♦ mj 1) й| - *4, m, е »|J 1) Прямые у - к|Х ♦ ж, и у - Apr ♦ т> параллельны
2) *| = hf. Ш| = mt 2) Прямые у = (Г|Х * я», и у - *jx + совпадают
3)*1*Ъ 3) Прямые у - (цх * л«1 и у hi* + r>ij псресеклмгп я
76
ГЛАВА 1 лине иная ФУНКЦИЯ
ПРИМЕР 3
Графики линейных функций у - кх * т и у — ах * b пересекаются
в точке, нрнмадлежшцей четвертому координатному углу координат
ной плоскости хОу. Пзяестяа, что первая прямая и» пересекает пер-
вый координатный угол, я вторая проходит через начало координат.
Найти знаки коэффициентов *. m, a. ft.
Решение
На рисунке 72 представлена геометрическая иллюстрация
условий задачи, которым позволяет сделать все необходи-
мые выводы. Линейная функция у • кх ± т убывает (рис. 72, и) или
постоянна (рис- 72, Я), значит, к О или к « 0. Ее график пересекает
ось ординат в точке, лежащей ниже начала координат, значит,
т 0. График линейной функции у ~ ах + b проходит через начало
координат, значит. Ь — 0. Линейная функция у — ах + b убывает,
значит, а < О
Рис 72
Ответ
к < О, т < О. а < 0. ft - 0.
Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры линейных функций, графики которых
параллельны.
2. Приведите примеры линейных функций, графики которых
совпадают.
3. Приведите примеры линейных функций, графики которых
пересекаются.
4. Что вы можете сказать о взаимном ресположснин на коор-
динатной плоскости хОу графиков линейных функций:
л) у 2х + 3 у - Зх - 2; 6) у • 2х • 3 к у 2х!
5. Как Судет расположен график функции у - 1х • а относи
гельно графика функции у - 4л. если а > О? если а < О?
6. Сформулируйте теорему о взаимпом расположении графи-
ков линейных функций.
УПОРЯДОЧЕНИЕ ДАННЫХ,
ТАБЛИЦЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если данных много, то лучше их как-то упорядочить. Например, если
подряд записать сотню телефонных номеров и имена их владельцев,
то в таком списке легко запутаться. Совсем другое дело, если располо-
жить те же номера ио алфавиту, по заглавным буквам фамилий или
имел абонентов. Тогда на каждую букву, скорее псего, придется не бо
лее 7 Я номеров, и поиск нужного номера станет простым делом.
Статистическая обработка данных, как правило, начинается с
рнсположеиия данных в каком-либо разумном порядке: по ж, фа ниту,
по числовому значению, а наглядно оргапиаоаапной таблице, в столб
чятой или крутовой диаграмме, в виде дерева возможных мриаитов
и т. д. Мы начнем с простейших способов ьлоржТочавалил данных.
Откроем наш задачник В упражнении Я.39 а) надо было отметить на
координатной плоскости 14 точек. Составим ряд из абсцисс отих точек:
-1. -3. -3. -2. 3, 3. О. 3. 3. -3. 3. 1. 1. -1.
Его можно упорядочить «слева направо* в том же порядке, в ко-
тором упорядочена координатная прямая. Л именно, сначала выпи-
сать все абсциссы. принимающие наименьшее значение -3 Их будет
четыре штуки: -3. -3. -3. -3. Справа от них приписать следующую
по величии* абсциссу —2. Она встретилась один раз. Зятем написать
дне абсциссы. равные -1. Потом пойдёт 0. два раза 1. и на правом
конце ряда останутся четыре абсциссы, равные 3:
ПРИМЕР 1
-3. -3, -3. -3, -2, -1. -1. 0. 1. 1, 3, 3. 3, 3.
Получился упорядоченный ряд данных. Сами данные в
нём не изменились по сравнению с исходным рядом. Изме-
нился только порядок выписывания данных. Грубо гово
ря, мы расположили первоначальные данные «по росту».
а) Выписать поочерёдно ординаты всех точек пз упражнения 8.39 6).
б| Каков объем и размах этого ряди данных?
в) Составить упорядоченный ряд данных.
г) Какова мода этого ряда данных? Сколько раз она встретилась?
Параграф ваансам II В. Семеновым
78
ГЛАВА 1 ЛИН! ИНАЯ ФУНКЦИЯ
Решение
.>) Открываем задачник (№ 8.39 6)) и аккуратно выписыва-
ем ординаты из условия:
7, О. О, 2. 2. а. О. -2. -2. -4. -4, -2. -2. 0. 7.
б> Объем ранен 15. гак как выписаны 15 чисел. Раамах ра-
вен 11, так как наименьшее число равно -4. а наибольшее ровно 7.
в* Упорядоченный ряд выглядит так:
-4. -4. -2. -2. -2. -2. 0. О. О. 0. 0, 2. 2, 7. 7.
г) По упорядоченному ряду сразу видно, что чаще всего встрети-
лось число О. Мода равна О. она встретилась & раз.
Упорядоченный ряд помогает объяснить еще один важный стати
стический показатель. Допустим, что упорядоченный ряд состоит из
15 чисел (см. рис. 73). Рассмотрим восьмое по счету число. И слева, и
справа от него расположено одинаковое количество чисел
медиана ряда ряда: по 7 штук. Грубо говоря, вто восьмое по счёту число
данным находится • посереди не», делит ряд «пополам». В таком
случае в статистике i-иворят, что мы нашли медиану ряда.
Рие 73
А как поступить, если упорядоченный ряд состоит из 16 чисел?
Тогда ипдо выбрать восьмое и девятое по счёту числа и взять их по
тусумму. На геометрическом языке это означает, что следует взять
середину отрезка между точками на координатной прямой, которые
соответствуют восьмому н девятому числам ряда. Найденная полу-
сумма снова находится «посередине», делит ряд «пополам»: и еле
ва, и справа от него расположено одинаковое количество чисел ряда
(по 8 штук).
Теперь мы можем сформулировать правила нахождения медианы
ряда данных.
Правило нахождения медианы ряда данных Для нахож
депня медианы ряда нз нечётного количества (2л 4 1)
чисел следует упорядочить этот ряд и затем взять число,
стоящее на (л 4 1)-м месте.
Для нахождения медианы ряда из четного количества
(2л) чисел следует упорядочить этот ряд и зятем взять
полусумму чисел, стоящих на n-м и(я4 1>-и местах.
Вот несколько примеров нахождения медиан:
• ряд 3, 4, в состоит из трех чисел, его медиана равна 4:
>nop«ao-W«l». дайны» таЬлииы pjcnp***"****^— *4 79
• ряд -3, -5, -1. О, 5, 6, 7, 3, 2017 состоит из девяти чисел, его
медиан л равна б;
• ряд 3, 4, 5, 6 состоит из четырех чисел, его медиана равна иолу-
4 4 5 . .
сумме —-—, т. е. разни 4.5;
• ряд О. О. О. О. О, О. I, 1, I, 1 состоит ил десяти чисел, его медиа
на равна полусумме чисел, стоящих иа 5 м и на в-м местах. Т. е
ряяиа ° * 0.
Иногда ответ для упорядоченного ряда выгодно записать тли, что
бы включить в него более подробную информацию. Вот как это вы-
глядит в разобранном примере Iв):
-4, -4. -Z -Z -2. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 2. 7. 7
4 4 »_________» *
" 'll
В тако* записи сразу видно и сколько раз встретилось каждое
>* число, и каковы мода, объем, медиана ряда. Однако у такой записи
•сть и недостатки: она громоздка, я для объемов, больших, скажем,
100, зачастую вряд ли возможна. В статистике прилума-
таблмца ли другой способ записи. В нем все данные и сведения о
распределения иих записаны и виде таблицы. Эту таблицу называют та
дайны» блии^и рагпргдглгния <)анмых. Ош» состоит из двух стро-
чек. В первой записывают по одному разу каждый ре-
зультат, встретившийся в ряду данных. Во второй указывают, сколь-
ко именно раз встретился каждый результат. В нашем случае это
выглядит так.
Результат -4 -а 0 • 7
Сколько раз встречается а 4 5 2
Если упорядоченны* ряд уже составлен, то нетрудно составить
таблицу распределения; надо вместо повторений одного н того же
результата записать само количество этих повторений. Верно и об-
ратное: если известив таблица распределении, то легко можно кос
стаповнть упорядоченный ряд. Например, по таблице распределения
Результат -8 -1 S 7 8
Сколько раз встречается 3 4 2 1 5
сразу получается такой упорядоченный ряд:
-а. -3, -3. -1, -1. -1, -1, 5, 5, 7, 8. 8, 8. 8. 8.
80
ГЛАВА 1 ЛИНСИМАЯ ФУНКЦИЯ
©
Сумм* чисел во второй строк» таблицы распределения всегда равна
объему ряда данных. Действительно. такая сумма равна количеству
всех данных, из которых состоит ряд, т. е. объему ряда. Это свойство
полезно для контроля возможных ошибок при подсчётах.
Подведем промежуточный итог. Ряд данных, упорядоченный ряд
и таблица рас и реле лен ня ио существу содержат одну н ту же кнфор-
нацию. Меняется только способ ее записи, оформления, представле-
ния. дизайна.
Иногда по техническим соображениям бывает удобно таблицу распреде-
ления ааяпсывать не в виде двух строчек, а а виде двух столбцов.
Таблицы распределения можно составлять и без выписывания
упорядоченного ряда, я производя подсчеты непосредственно среди
имеющихся данных. 1’а.тберем пример.
ПРИМЕР 2
На контрольной по алгебре ученики 7 «Б» получили такие оценки:
V Ученик Оцен- ка М Ученик Оцетш А» УчгННК Оцен- ка
1 Петя А. 3 9 Володя К. 4 IX Та псин О, 2
2 Верм А. 5 10 Павел К. 4 1S Лёша С. 4
3 Лена А. 4 И Света К. 3 2(1 Андрей С. S
4 Коля В. п 12 Сергей К 2 21 В»тсря Т. 1
5 Маш» В 3 13 Клава К. и 22 Витя У. 4
6 Гвян Г. 4 11 Артем Л. 5 23 Митя Ф. &
7 Вайя Д. 2 15 Анна Л. 4 24 Виталий Ю. 4
ь Слава Д 5 16 Ксения М. 3 2S Нядя Я 3
17 Топя Н. 4
Решение
Составить таблицу распределения сцепок, включая оценку »п» —
• не был на контрольной».
Сначала заполним первую строку таблицы распределения
оценок, оставив пока пустыми клетки во второй строке.
Оценка ia коитрольпую н 2 3 4 б
Сколько раз встречается
На контрольной отсутствовали две*: Коля и Клава. Значит, во
горой строке под буквой «н» ставим число 2. Двойки получили трое:
Внпя, Сергей и Таисия. Ставим по второй строке под оценкой (под ре-
зультатом) 2 число 3. Троечников пятеро: Петя. Маша. Спета. Нале
ра, Надя. Отличников шестеро: Вера, Слава, Артем. Ксения, Андрей,
Митя. Остальные ученики получили четверки. Их было 25 2 3 —
-5-6=9 человек, больше, чем в других группах. Получаем таблицу:
Оценка ла контрольную И 2 3 4 5
Сколько рал встречается 2 3 5 9 б
Мы познакомились с начальными понятиями того, как происходит
статистическая обработка данных. Отметим, что данные нрактиче
ски всегли являются результатом какого-либо измерения. Вы измеря-
ете либо рост или вес человека, либо показания счетчика электроэнер-
гии. либо результаты в беге ин стометровку и т. п. Вместо длинного
словесного оборота объём (размах, мода, медиана) ряда данных неко-
торою измерения можно говорить более кратко: объём (размах, мода,
медиана) данных или объём (размах, мода, медиана ) измерения. Ча
его бывает удобнее наливать конкретные данные. Например, объем
сведений об урожайности, размах результатов голосования, мода бал
лов ни ЕГЭ по литературе, медиана зарплат иа предприятии и т. и.
Вопросы для самопроверки
1. Найдите объем, размах и моду ряда данных 13, 7, 8, 11, 19,
13. 10. 10, 10. 13. 20. 19. 13
2. По ряду из предыдущего вопроса составьте упорядоченный
ряд. Найдите его медиану.
3. Составьте соответствующую таблицу распределения дан
ных.
4. По таблице распределения
Результат 0 3 7 8 9
Сколько раз пстречаетгя 2 4 2 3 1
восстановите соответствующим упорядоченный ряд.
5. Найдите объем, размах, моду и медиану ряда, полученного
н предыдущем вопросе.
6. Может ли во второй строке таблицы распределения ветре
гиться число 2,5? А в первой?
7. Может ли во второй строке таблицы распределения встре-
титься число О? А в первой?
82
ГЛАВА 2 ЛИШИНАЯ ФУНКЦИЯ
8. Приведите пример ряда, у которого объем больше размаха
(меньше размаха, ранен размаху).
9. Приведите* пример ряда, у которого размах больше моды
(меньше моды, равен моде).
10. Приведите пример ряда, у которого мода больше медианы
(меньше медманы. равна медиа не).
Основные результаты
• Мы пополнили наш словарный запас математического язы
ка следующими терминами:
прямоугольная система координат на плоскости (декар
това система координат):
координатная плоскость, координатные углы, начало
координат;
абсцисса, ордината, ось абсцисс, ось ординат:
линейное уравнение с двумя переменными
lar Оу < с - О)
решение линейного уравнения с двумя персменяыми;
независимая переменная (аргумент);
— зависимая переменная;
— линейная функция (у = kt + ш);
угловой коэффициент (для линейной функции
у - *х • т);
— медиана ряда данных.
• Мы ввели следующие обоиначения:
— хОу (для прямоугольной системы координат на плоско-
сти);
— W(.r; у) (для обозначения координат точки М на коор-
динатной плоскости);
— Рим (для наибольшего и наименьшего значе-
ний линейной функции на заданном числовом проме
жутке)
в Мы пооиакомптись с тремя новыми математическими ма
далями:
— у • кг,
— у •* кх + т:
ах by t — 0.
о Мы узнали, что:
— графиком уравнения х = а является прямая, параллель-
ная оси ординат и проходящая через точку о на оси абс-
цисс; в частности, х — 0 уравнение оси ординат;
графиком уравнении у - b является прямая, параллель
ня я осп абсцисс и проходящая через точку b на оси ор-
динат; в частности, у - 0 уравнение оси абсцисс;
графиком линейной функции у - #» является прямая,
проходящая через начало координат;
— графиком лилейной функции у - kx * т является пря-
мая;
графиком линейного уравнения ох ♦ Лр -» с - О в случае,
когда хотя бы один ин коэффициентов о. Ь отличен tn
нуля, является прямая.
• Мы изучили следующие алгоритмы:
алгоритм отыскания координат точки М, заданной в
прямоугольной системе координат хОу;
— алгоритм построения точки М(а; Ь) в прямоугольной си-
стеме координат хОу:
алгоритм построения графика линеи’юго уравнения
ИХ - bt; У Г - 0.
• Мы научились:
— строить прямые, заданные уравнениями г - а. у - Ь;
строить график уравнения ах + by + с — (к
— строить график линейной функции у “ kx, у - kx * я»;
составлять таблицу распределения данных.
• Мы познакомились с некоторыми понятиями статистиче-
ской обработки данных: упорядоченный ряд данных, объ-
ем, размах, мода и медиана измерения.
Темы исследовательских работ
1. Задачи на координатной плоскости.
2. Линейные уравнения с двумя переменными и линейные
функции как математические модели реальных ситуаций.
3. Упорядоченные ряды данных. Медиана ряда данных.
84
Э СИСТЕМЫ
ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
ГЛАВА
#13. Основные понятия
# 14. Метод подстановки
§ 15. .Метод алгебраического сложения
# 16. Системы двух линейных уравнений
с двумя переменными как
математические
модели реальных ситуаций
#17. Нечисловые ряды данных
§13
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Понятие о системе уравнений
и её решении
В # 9 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя перемен
ними — так называют равенство ах + by + с = О. где а, Ь. с — кон-
кретные числе, а х, у переменные (неизвестные).
Примеры линейных уравнений с двумя переменными:
2х - Лу ♦ 1 = О;
х * у - 3 - 0:
» - 5/ + 4 - О
(здесь переменные обозначены по-другому; », t — но это роли не
играет).
В том же $ 9 мы ввели понятие решения линейного ураане-
кия с двумя переменными так называют всякую пару чисел (х; у),
которая удовлетворяет уравнению, т е. обращает равенство с пере-
менными ах 4 Ьр + е — 0 । верное числовое равенство. Ня первом
месте всегда пишут зяачепве переменной ж, па втором значение
переменной у.
Приведем примеры:
1. (2; 3) решение уравнения 5х + Зр 19 • О. П самом деле.
5 2*33 19-0 верное числовое равенство.
2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 0. Действительно.
3 (-4) — 2+14 = 0 — верное числовое равенство.
решение уравнения
0.4х + Зр + 7 — 0, Имеем
-0* О’» (-1)
+ 7 = 0 — верное чистовое равенство.
4. (1: 2) не является решением уравнения 2х Зу + 1 — 0.
В самом деле. 2*1- 3-2+1*- О — неверное числовое равенство
(получается. что 3 - 0).
В § 10 мы отмечали, что математическую модель ах + йу +
+ с - 0 при МО можно заменить более простой: у - кх + /и.
Например, уравнение Зх Ц - 12 (1 можно преобразовать к виду
Графиком линейного уравнения ах + by + е = 0, если хотя
бы одни иа коэффициентов а, 6 от.иг-ien от пуля (случай в — 0.
Ь — 0 мы рассматривать в этой главе не будем), является прямая
(см. § 9). Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют урав
нению ах + by + е — 0, т. е. являются решениями уравнения. Сколько
же решений имеет уравнение ах ♦ by + е - О'? Столько же, сколь-
ко точек расположено на прямой, служащей графиком уравнения
ах - by + с - 0, т. е. бесконечно много.
Многие реальные ситуации при переводе на математический язык
оформляются в виде математической модели, состоящей из двух ли-
нейных уравнений с двумя переменными. С тикай ситуацией мы
встретились в задаче про двух садоводов (пример б, $ 9). Математи
четкая модель состояла из двух уравнений: 5т 2у - 0 и Зх + 2у -
16 - 0. причем нас интересовала такая пара значений (х: у), кото
рая одновременно удовлетворяла и тому и другому уравнению. В та-
ких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит
из двух уравнений, а говорят, что математически» жоЛ-ль пред
стаеияет
система
решение системы
гобои систему уравнении
Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя
переменными х и у: а^х + Ъц/ + С| = 0 и а.х + bjf + ег = 0 —
и поставлена задача найти такие пары значений (х; у),
которые одновременно удовлетворяют и тому и другому
уравнению, то говорят, что заданные уравнения образу-
ют систему уравнении. Уравнения системы записывают
друг под другом и объединяют специальным символом фигурной
скобкой:
а.х + by ♦ е. - О.
’ ' ' (П
<«>•» * Ъ,у + С, - 0.
Пару значении (х; у), которая одновременно является ращением и
первого, и второго уравнений системы, называют решением системы
уравнении,
Решить систему — это значит найти все ее решения или устано-
вить. ЧТО ИХ НОТ.
Теперь мы можем сказать, что встречались с системой линейных
уравнений математическая модель уже упомянутой задачи про са
доводов из $ 9 выглядела так:
| 5* 2у = 0,
I Зх - 2у - 16 - 0.
Ес решением была пара (2: 5), т. е. х — 2. у - 5.
Графический метод решения системы
ПРИМЕР 1
Решить систему уравнений
х ♦ 2 и - 5 - 0.
2х т ty + 3-0.
<2)
<3)
Графикам уравнения х + 2у о ~ 0 является прямая.
РфШФНИФ
Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетвори'
ющпх этому уравнению. Если у - 0. то нз уравнения х 4 2у 5 - 0
находим х — 5. Если л - 0, то из уравнения х *- 2у 5 - О находим
у 2,5. Итак, кашли две точки (5; 0) и (0; 2.5). Построим на коорди
потной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, —
прямая I, иа рисунке 74.
Графиком уравнения 2х + 1у + 3 - О также является прямая.
Найдем две пары значений переменных х. у. удовлетворяющих это-
му уравнению. Если у - О, то и» уравпепия 2х - 4у + 3 - О ппходим
х — -1,5. Если х - 2,5. то из уравнения 2х ♦ 4у + 3 - О находим
5 + 4у I 3 - 0 и, следовательно, у—2. Итак, пошли две точки ( 1,5:0)
и (2,5; -2). Построим на коордикаткой плоскости хОу прямую, про-
ходящую через эти две точки, прямая /2 по рисунке 74.
* 11 Осмоамыа пометит
87
Прямые h и / параллельны. Что означает этот геометрический
факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет решений
(поскольку нет точек, удоклетноряюших одновременно и тому и дру-
гому уравнению, г. е. принадлежащих одновременно и той и другой
на построенных прямых lt и lt).
Ответ
Система не имеет решений.
ПРИМЕР 2
Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность
равна 11.
Решение
Если х, у — искомые числа. тох*р = 39их — р=11,
причём чти равенства должны выполняться одноп|м-менно:
х ♦ у - 39.
(4)
х —у - 11.
Получили систему двух линейных уравнений с двумя перемен-
ными.
Можно угадать, чему равны х и у. х “ 25, у - 14. Но, во-пер
вых. «метод угадывания* далеко не всегда применим иа практике.
А во-вторых, где гарантия, что много решения нет. может быть, мы
просто до него не додумались, не «доугадали»?
Можно построить графики уравнений х + у - 39 и х - у -- 11, это
прямые, причём непараллельные (в отличие от тех. что в примере 1>.
они пересекаются в одной точке. Эту- точку мы уже знаем: (25; 14);
значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, един
ствеииое решение системы.
ЕЕВЖНН 25 и
88
“•ВАЗ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛННЕННММ УЕДИНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
графическим
метод решетим
системы
двух линейны»
В примерах I и 2 мы применили графический метод решения си-
стемы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в $ 9
при решении задами о числе яблонь у двух садоводов (си-
стема (2) решена в § 9 графическим методом).
К сожалению, графический метод, как и «метод уга-
дывания». не самый надёжный: например, прямые могут
пересечься в точке, координаты которой по чертежу не
очень легко определить.
ПРИМЕР 3
Решить систему уравнений
, Зх - у - 5 — О,
I 2х ♦ у - 7 - 0.
(5)
Построим графики уравнений системы. Здесь есть смысл
преобразовать оба уравнения к виду линейной функции.
Решение
Из первого уравнения получаем у • Зх - 5, а из
второго у - 7 - 2х.
Построим к одной системе координат гра-
фики линейных функций у - Зх 5 (прямая h
на рис. 75) и у •» 7 — 2.т (прямая lt на рис. 75).
Они пересекаются в точке А, координаты ко-
торой — единстве иное решение заданной си-
стемы. Л вот чему конкретно равны абсцисса
и ордината точки Л, мы по рисунку 75 точно
определить не сможем (точка А как бы «висит»
внутри определенной клеточки). Придется ням
позднее вернуться к .этому примеру.
несовместная
«МГТОМЛ
неопределенная
система
уравнение
Но все-таки графический метод решения системы линейных урав-
нений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следу-
ющие важные анноны:
• графиками обоих уравнений системы (1) являются
прямые:
• эти прямые могут пересекаться, причем только я одной
точке. — это значит, что система (1) имеет единственное
решение (тик было я рассмотренных в этом пирагратре си-
стемах (2), (43. (5));
• эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не
имеет решений (говорят также, что система несовместна такой
была система (3));
114 Метод подстановка 1 89
• эти прямые могут совпасть это значит, что система имеет бес-
конечно много решений (говорят также, что система иеонреде-
лемма).
Итак, мы познакомились с новой математической моделью (1)
системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Наша за-
дача — научиться се решать. «Метод угадывания* ненадежен, гра-
фический метод также выручает не всегда. Значит, нам нужна рас-
полагать надёжными алгебраическими методами решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдет
речь в следующих параграфах.
Вопросы для самопроверки
1. Подберите три решения уравнения х + 2g - 9 = О.
2. Что такое система двух линейных уравнений г двумя пере
менпымн?
3. Что называют решением системы двух тииейиых уравне-
ний с двумя переменными?
4. Придумайте систему двух линейных уравнений с двумя пе-
ременными. которая имеет своим решением пару:
<0(0; I): 6) (3: 0): в)(1; 2)
5. Придумайте систему двух линейных уравнений. которая не
имеет решена Л.
6. Расскажите, как графически решить систему двух линей-
ных уравнений с двумя переменными, которая составлена
вами и задании 4 в).
7. Что такое неопределенная система уравнений?
8. Что такое несовместная система уравнений?
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Вернёмся ешё раз к системе (2) Ш § 13:
5х - 2g “ 0.
Зх + 2g - 16 - 0.
Мы ее решили графическим методом в § 9 и знаем, что х - 2,
у — & — единственное решение этой системы. А теперь решим ту же
систему другим способом.
Первое уравнение преобразуем к виду 2(/ — 5л, т. е. у — 2,5х.
Второе уравнение преобразуем к виду 2у - 16 Зх и далее
90 ДВУХ ЛИНЕННЫМ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
метод
лойстановнм
у - 8 1,3х (все коэффициенты уравнения 2у — 16 Зх разделили
на 2). Теперь систему можно переписать так:
у - 2.5х.
у - 8 - 1,бх.
Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором
2,5х - 8 1.5х. Из этого уравнения находим:
2,5х + 1,5х - 8;
4х - 8:
х - 2.
Если х - 2, то из уравнения у ~ 2. эх получим у - 5. Итак,
(2; 5) решение системы (что. напомним, нам уже было известно).
Чем эти рассуждения отличаются от тех. что мы применяли в
$ 9? Тем. что никаких графиков строить не пришлось, вся работа
шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали?
Мы выразили у через х из первого уравнения и получили
у - 2,5х. Затем подставили выражение 2,6х вместо у во второе урав-
нение; получили 2.5х • 8 - 1,5т. Далее решили это уравнение отно-
сительно х; получили х = 2. Наконец, по формуле у “ 2.5х нашли
соответствующее значение у. И вот что важно: но втором уравнении
совсем ие обязательно было выражать у через х, можно было полета*
пить 2,5т вместо у в заданное уравнение Зх + 2у - 16 » О. Смотрите:
Зх ♦ 2 2.5х - 16-0;
Зх + Ьх - 16;
8х - 16;
х - 2-
Подобный метод рассуждении называют обычно ме-
тодом подстановки Он представляет собой определенную
последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.
I АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ
1. Выразить у через х из первого уравнения системы.
2. Подставить полученное ил мерном шаге выражение вместо у по
второе уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шшс уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение и
через х. полученное па первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (г; у) которые были иайде
кы соответственно иа третьем и четвергом шшах.
414 Метод подгтамоенм
91
ПРИМЕР 1
Решить систему уравнений
(Зх - у - 5 - 0.
2х ♦ у - 7 - 0.
Решение
1) Из первого уравнения системы получаем
у - З.г - 5.
21 Подставим найденное выражение вместо у но второе уравнение
системы:
3>
41
2х+ («х - Ь) 7 - 0.
Решим полученное уравнение:
2г* Зх- 6- 7-О;
5х - 12 — 0;
бх - 12;
12
* ~ 5 ‘
Подставим найдсижж значение х в формулу у — Зх 5:
* 12 . 36 . 36 25 II
*55 55
п •« ч *
Пара х - —. и — — — единственное решение заданной си
з S
4)
стомы.
Ответ
Вы узнали эту систему? Мы е пей встретились в предыдущем па-
раграфе (система (5)1. пробовали решить ее графическим методом, и
у нас ничего не получилось. Зато метод подстановки нас выручил.
On активно применяется и в более сложных системах уравнений,
не обязательно липейпых; о таких системах речь впереди в стар
ших классах. Этот метод, быть может, не всегда эффективен (т. е. не
всегда быстро приводит к цели), ио достаточно надежей.
Нсрпгмся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором
описан метод подстановки. У вас ие возник вопрос, почему у выра
жаихт именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему
нс выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще,
почему выражали у через х, н tie х через у, почему такое исрапиопра-
вне? Ответ: никакой причины нет. просто ищите наиболее удобный
вариант.
92
7п*яа э системы ДВУХ ЛИНЕННММ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕ г Емс иными
ПРИМЕР 2
Решить систему уравнений
(5х - Зр <8 —
х + 12у - 11.
| 1) Выразим г через у из второго уравнения:
ж - 11 - 121/.
2) Подставим найденное выражение вместо х а первое уравнение
системы:
3)
4»
5)
5(11 - 124/4-31/ + 8-0.
Решим полученное уравнение:
55 бОд - Зу + в — 0;
63 бЗу - 0;
вЗр - вЗ;
1.
Подставим найденное значение у в формулу ж - 11 - 12р:
х - 11 - 12 • 1 - -I.
Паря X - -1, у “ 1 — единственное решение заданной системы
Ответ
( 1: 1).
Вопросы для самопроверки
1. Расскажите, в чем суть метода подстановки при решении
системы двух лииепных уравнении с двумя переменными.
2. Опишите алгоритм решения системы двух линейных урав-
нений с двумя переменными методом подстановки на ирн
|2х + Зр + 7.
мерс решения системы
|х - р • 1.
МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО
СЛОЖЕНИЯ
Понятие о методе алгебраического
сложения
Мы довольно часто воиера ищемся к тому, что уже обсудили рапсе, на-
пример для того, чтобы рассмотреть ситуацию под другим утлом аре
1+5, Метод алгебраического сгтотени* 93
ни я Вот и теперь давайте вернемся к примеру 1 из $ 14. где речь шла
о решении системы уравнений
Зх - у - 5 - 0.
2х ♦ р - 7 - 0.
Как мы решали эту систему? Мы выразили и из первого уравне-
ния и подставит результат во второе, что привело к уравнению с
одной переменной х, т. е. фактически к временному исключению нз
рассмотрения переменной у. Но исключить у из рассмотрения можно
было значительно проще — достаточно сложить оба уравнения си-
стемы (сложить уравнения — это значит по отдельности составить
сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные
суммы приравнять):
|3х-р-3 - 0
' 2х • у - 7 = О
(Зх - у - 5) - (2х у - 7) - 0 - (+
5х - 12 - О;
12
1 ~ ’
Зятем можно было найденное значение х подставить в любое
уравнение системы, например в первое, и найти у.
а *д у - 5 = &
а« .
Т* *
_ и
5
Попробуем применить аналогичные рассуждения еще для несколь-
ких систем линейных уравнений с двумя переменными.
У =
ПРИМЕР 1
Решение
Решить систему уравнении
|бх + Зу “ 7.
1) Вычтем второе уравнение из первого:
, 2х + Зу - 1
' Зх + Зу - 7
(2х + Зу) - (5х + 30-1-7;
2х + Зу - бх - Зу — -в;
-Зх = -6;
х - 2.
2) Подставим найденное значение х - 2 в первое уравнение задан
ной системы, т. е. в уравнение 2х + Зу ~ 1:
2 2 » 3* - 1;
Зу - 1 - 4;
Зу - -3;
V ~ * 1
3) Пара х — 2. у — -1 — решение заданной системы.
Ответ
ПРИМЕР 2
Решение
. (Зх - 4у - 5,
Решить систему уравнении [ ?
Здесь сразу исключить переменную х или переменную у на
обоих уравнений с помощью сложения или вычитания
уравнений пе удастся. Нужен подготовительный этап. Сначала умно
жим все члены первого уравнения системы на 3, а все члены второго
, „ |9х - 12у - 15.
уравнения на 4. Получим
I 8х -г 12у — 28,
Теперь можно сложить уравнения, что приведет к исключению
•13
переменной у. Имеем 17х = 43, т. е. х = —.
Подставим найденное значение х во второе уравнение исходной
системы, т. е. в уравнение 2х + Зу - 7:
43 .. - , ч М „ 119 86 , 33 11
2.->Зу-7; Зу « 7 - —; Зу « ——; Зу - у--.
Отпет
Краткая запись приведённого решения:
|3* - 4у - 5 1-3
| 2х + Зу - 7 J • 4
М.ЛСД
алгебраического
сложения
3(3х - 4у) * 4(2х + Зу) - 5 3 + 74.
Далее находим 17х - 43, х — — и т. д.
1 1
Здесь справа от вертикальной черты записаны до
волнительные множители, с помощью которых удалось
уравнять абсолютные величины коэффициентов при пе-
ременной у в обоих уравнениях системы.
Метод, который мы обсудили в этом параграфе, назы-
вают методом алгебраического сложения.
J15. Метод алгевраичееиого слоюеи»*
95
Более сложные примеры
ПРИМЕР 3
На координатной плоскости построить прямую, проходящую через
точки Д(2: 3> и В(-2; -9). и составить а» уравнение.
Искомая прямая проведена на рисунке 76. Ее уравнение Лу
в виде ц - кх + т. Поскольку точка Л(2; 3)
принял лежит прямой, получаем соотноше-
ние 3 “ 2k + т. Поскольку точка fl( 2; 9)
принадлежит прямой, получаем соотношение
9 —2к + т. Таким образом, задача свелась к
12* + m =3,
решению системы уравнений
[-2* f m - -9.
Сложив уравнения системы. получим
2т - -в, т — "3 Если из первого уравнения
системы вычесть второе, получим 1* “ 12,
к - 3.
Итак, к — 3, <п — 3, т. е. уравнение ара
мой такова: у “ Зх - 3.
Решение
96 ‘ ,nMSA “системы двтх линейных угаин'ним с двумя племенными
ПРИМЕР 5
Найта целочисленные решения уравнения:
а) 100 (Зх 4 5у 22)’ 4 (Зу Зх)’ - 36;
6) 3(2х 4 ЗуУ 4 5(4х + 5р)* = 3.
Решение
at Если Зх 4 5д 22 аринимаст целочисленное зннченис,
отличное от нуля, то выражение 100 (Зх + Ьу - 22)4 уж во
всяком случае иг меньше 100. Если к мему прибавить нкотрнцатель
ное число (Зу Зх)’, то 38 никак не получится. Что это значит? Эго
значит. что обязательно должно выполняться соотношение Зх * 5у -
22 0. Но тогда заданное уравнение принимает вид (Зу Зх)2 - 36
н далее 9(у — хУ - Зв: (у — х)’ - 4. Значит, либо у - х — 2. либо
у х - -2.
Таким образом. задача сводится к решению двух систем уравне-
ний:
| Зх 4 5р - 22 - О. Зх + 5р - 22 - О.
l»-f * т-у-2.
Иа первой системы находим х = 4. у = 2; из второй х — 1.5.
у - 3.5. Второе решение нас не устраивает, ведь в задаче требуется
найти целочисленные решения уравнения. Итак, уравнение имеет
лишь одну пару целочисленных решений: х • 4, у - 2.
6) Если а и t> — неотрицательные целые числа, то равенство
За 4 5/> - 8 может выполняться тогда и только тогда, когда а - 1, Ь - I.
Для заданного уравнения зло означает. что должны одновременно
выполняться два соотношения:
(2х 4 Зу)4 - 1 и (4х 4 5уУ - 1.
Таким образом, задача сводится к решении четырёх систем у рав-
ной нй:
|2х43у-1. '2x430-1. 12х 4 Зу - -1. |2x + 8f--l.
I 4х + Ъу - 1; ' 4х 4 5у - -1; I4х 4 Зу - 1; 14х ‘ 5р - -I.
Получаем соответствен но: (-1; 1). (-4; 3), (4; -3). (1: -1).
ПРИМЕР 6
Решены
Найта такие пары натуральных чисел х и у, которые являются ре-
шениями двух и только двух па данных уравнений: 1) Зх - 4jr = 65.
2) 4 г 4 Зу - 60. 3) 5х - 2у - 13.
Рассмотрим систему, состоящую из первых двух уравие-
I Зх 4 10 - 65. <5 80
нмй: Решив её. получим я — —. у — —.
|4х 4 Зр - 60. 7*7
Это нас не устраивает.
Ив Системы
ликеймь.а уМх~«»ии «ах «оа»'» pxxJWJ^^.x— "1 97
Ответ
Рассмотрим систему, состоящую из второго и третьего уравнений:
(4г + 3» = 60,
Она также не имеет натуральных решений.
Осталось рассмотреть систему, состоящую из первого и третьего
аж ц - 65.
уравнении: Решив ее, получим х - i. у 11. Это нас
| 5л 2у - 13.
устроит, если найденная пара натуральных чисел не удовлетворя-
ет второму уравнению. Подставив найденные значения во второе
уравнение, получим 28 + 33 - 60 — неверное равенство. Значит, пара
(7; 11) удовлетворяет всем требованиям задний.
МН <?:
Вопросы для самопроверки
1. Расскажите, в чем суть метода алгебраического сложения
при решении системы двух линейных уравнений с двумя
переменными.
2. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на
примере решения системы:
{2г ♦ Зу • 7, 2л ♦ Зу • 7,
б) I
4х З</ = а; ,3л - и ~ 5.
§16
СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
Собственно говоря, ничего особенно нового вы в этом параграфе не
узнаете. Ведь вам уже известно, что реальная ситуация может быть
описала па математическом языке в виде математической модели,
представляющей собой систему двух линейных уравнений с двумя
переменными. Так было в § 9 п ситуации с садоводами Ивановым и
Петровым. Так было и в примере 2 из § 13 Поэтому теоретический
разговор, соответствующий названию параграфа, можно считать за-
конченным. А вот с практической тачки зрения обсуждение новых
ситуаций полезно. Этим и займемся.
98
ПМ1АЭ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ПРИМЕР 1
Решение
В седьмом класс* в понедельник не пришли в школу одна девочка в
пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза
больше числа мальчиков. Во вторник к* пришли один мальчик и де-
вять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1.5 раза боль
ше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько
школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?
I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть к — число девочек, у — число мальчиков в седь-
мом классе.
В понедельник было (х - 1) девочек, (у - 5) мальчиков. При этом
оказалось, что девочек вдвое больше, т. е
х-1 - 2(р - 5).
Во вторник было (х 9) девочек, (у 1) мальчиков. При этом ока
залось, что мальчиков в 1.0 раза больше, т. с.
у - 1 - 1,5(х - 91.
Математическая модель ситуации составлена:
|*-1 - 2(у-5к
iy 1 = 1,б(к - 9).
П ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Сначала упростим каждое уравнение системы. Для первого урав
иония имеем:
X - 1 - 2(*| - 5):
л - 1 - 2ft - 10;
х - 2у + 9 = 0.
Дна второго уравнения имеем:
9 - 1 - 1.5(х-9);
2(р 1)-3(х 91
(обе части уравнения умножили на 2): далее
2р - 2 - Зх - 2Т;
Зх 2р 25 - 0.
Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с
двумя переменными:
х - 2у 4 9 - О.
Зх - 2*1 25 - О
(скорректированная математическая модель рассматриваемой ситу а
ЦЯИ)
Al1- С‘*ст*мь< Й»У« линейиыа уржикш кам »оА">» * Г*' 99
Решим эту систем)' двумя способами.
Первый способ. Применим метод подстановки. Иа первого ураинс
пня системы находим х - 2у - 9. Подставим этот реаультат вместо х
во второе уравнение системы. Получим:
3(2р - 9» - 2ц - 25 - О;
4у = 62:
U - 13.
Так как х - 2у 9. то х - 2 13 9-17.
Итак, х = 17, у “ 13 — решение системы.
Второй способ. Применим метод алгебраического сложения:
!х - 2у + 9 - О
Зх - 2ц - 25 — О
(х - 2у -е 9) - (Зх - 2у - 251 -0-0
х - 2у + 9 - Зх + 2у 1- 25 - О;
2х «34-0:
ж - 17.
Подставим найденное значение х в первое уравнение системы,
т. е. в уравнение ж 2р к 9 - О:
17 - 2р + 9 - 0;
U- 13.
Итак, х 17. у • 13 - решение системы.
Второй этап мы завершили (решили полученную систему, причём
даже двумя способами).
III ЭТАП. Ответ на вопрос /адачи.
Спрашивается. сколько школьников было в седьмом классе иа
уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х - 17, у - 13,
т. с. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в
классе 17 + 13 - 30 учеников.
Ответ
Вы. конечно, понимаете, что для решения конкретной системы
уравнений надо выбирать тот способ, который представляется для
данного случая наиболее уместным, или тот. который вам больше
нравится (т. е. вы можете использовать графический метод, метод
подстановки или метод алгебраического сложения — это ваше дело).
Состанлениую в рассмотренной задаче систему мы решили днумм
способами, чтобы повторить методы подстановки и алгебраического
сложения и сопоставить эти методы друг с другом.
100
nMAJ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕННЫМ УЕАВНЕИИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ПРИМЕР 2
Если двузначное число Л разделить на сумму его ци^ф. то в частном
иол учится 3 и в остатке 7. Если число В, заннсанное теми же цнф
рами, что число А, но в обратном порядке, разделить ня разность его
цифр, то в частном получится 18 и в остатке 1. Найти число А. если
известно, что А < В п что рассматриваемая разность цифр является
натуральным числом.
I ЭТАП. Составление мотемотичеекои л«х)ели.
В условии задачи дважды говорится о делении с остат-
ком. Например, если Зэ разделить на 4. то в частном получится 8
н в остатке 3. Имеет место следующее равенство: 35 - 8 -1 т 3
Этот пример позволит вам вспомнить формулу деления с остат-
ком: если о — делимое, b — делитель, ц — частное, г — остаток, то
а _ by -t- г.
Пусть X — цифра десятков, а у — цифра единиц числа А.
Тогда само число имеет вид Юж ♦ р. Если ато число разделять на
сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке ?. Это значит,
что ibx I у = 3(х - у) 4 7.
Число В, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке,
имеет вид Юр х. Его предлагается разделить на разность цифр. Но
какую разность взять: х - у или у - х?
Эта разность должка быть натуральным числом, значит, все завн
сит от того, какая из цифр больше. Для этого в условии задачи есть
подсказка: Л < В; .это .значит, что у числа А циф|м десятков меньше
цифры единиц, а потому в качестве разности цифр придется взять
у - X. По условию если число В разделить на разность цифр, то в
частном получится 18 и в остатке 1. Это значит, что Юу + х —
- 18<.и г) • 1
Таким образом, получаем систему уравнений математическую
модель задачи:
10х + у - 3(х + р) + 7,
',10у +• х — 18(у - х) * 1.
U ЭТАП. Работа е составленной моделью.
Несколько упростим полученную систему уравнений
|7х - 2р - 7,
11»х - &у - 1.
Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения:
| 28 г - 8у - 28
119х - «з ~ 1
9х - 27.
Значит, х — 3. Из уравнения 7х - 2у — 7 находим, что тогда
у - 7. Система решена.
Ill ЭТАП. О/плст на вопрос {аЛачи.
Он фактически уже получен: поскольку i - 3, в j - ", искомое
число сеть 37.
Ответ
ЕЗ
В примерах 3 и 4. ради краткости, мы не будем явно выделять
три этапа математического моделирования при решении текстовой
задачи. Кроме того, меньшее внимание будем уделять технической
стороне дела — решению системы линейных уравнений: надеемся,
вы справитесь с этим без нашей помощи.
ПРИМЕР 3
По окружности, длина которой равна НЮ см, равномерно движутся
дне точки. Двигаясь в противоположных направлениях. они встре-
чаются каждые 1 с. а двигаясь в одном направлении каждые 20 с.
Найти скорости движения обеих точек.
Решение
Пусть ж см/с — скорость движения первой точки, у см/с —
скорость движения второй точки; положим для определен
пости, что х > у. Двигаясь в противоположных направлениях, т. е.
навстречу друг другу, оин встречаются каждые 4 с; это значит, что за
4 с они в сумме пройдут путь, равный длине окружности:
4* + 4р - 100, т. •. Ж + М « 25.
Представим себе теперь, что. стартуя на одной и той же точки
окружности, они двинулись в одном направлении. Когда произойдет
нх новая встреча? Тогда, когда первая точка, которая по условию дви-
жется быстрее, догонит вторую, Т. е. пройдет путь больший, чем вто-
рая точка, ровно ив длину окружности. Т. е. ня 100 см. Первая точка
догоняет вторую со скоростью (ж - р) см/с. Значит. 20 (ж - р) - 100,
т. е. х - у - 5.
В итоге мы пришли к системе линейных уравнений
х ’ V = 25,
ж - р « ».
Решив эту систему, получим х — 15, у — 10.
15 см/с. 10 см/с.
Ответ
ПРИМЕР 4
Имеются два раствора соли — 40 ' .-ный и 60' -ный. Их смешали, до-
бавили 5 л воды и получили 20' ный раствор. Если бы вместо воды
добавили 5 л 80: ного раствора соли, то получился бы 70%-ный рас-
твор. Сколько было 40% ного и 60% кого растворов?
102
^7в/ГГ”системы двух линенным уравнении с двумя переменными
Рашами*
Предположим, что было г л 40%-ного раствора и у л 60’ :-ио
го раствора. Количество чистой соли в первом растворе вы-
ражается формулой у~‘- г- *• т* л; количество чистой соли но вто-
. . 60 а „
ром растворе выражается формулой т- е- 70 л- ’’х смешали,
добавили 5 л воды и получили (х ♦ у ♦ 5) л 20%-ного раствора.
Количество чистой соли в этом третьем растворе выражается форму-
20 1
лой ----(г + у -+- 51, т. е. -(х + р + 5) л. Но, с другой сто|к>ны. .его
100 5
количество складывается ил соли в первом растворе и из соли во вто-
ром растворе. Значит,
1 2 Я
1(х + у +• 5) - ±х + If х + у + 5 - 2х
я о а
А что получилось бы, если добавили 5 л 80 v.-иого раствора? Коли-
чество чистой соли в гипотетическом 70".-ном растворе выражается
70 7
формулой -^(х * V * 5К т- е — (х + у * 5) л. Но, с другой стороиы,
это количество складывается из соли в первом растворе, из соли во
втором растворе и ил соли, содержащейся в 5 л ЯЛ".>-ного раствора.
Значит.
5.
7 . , .. 2 3 НО ,
— (х * и * 5) — —х -к — и +----------------- 5.
10 ’ 5 5 100
ее имеем: 7 (х +• у + 5) = 4л •+• бу -К 40; Зх + у = 5.
В итоге мы пришли к системе линейных урапнснии
х 4 2у - 5.
Зх 4 у — а.
Решив ату систему, получим х • 1. у • 2
Ответ
1 я 10 -пого раствора и 2 я 60' кого раствора.
Вопросы для самопроверки
1. Придумайте задачу. математической моделью которой яв
лается система двух линейных уравнений с двумя перемен
ними. Составьте соответствующую математическую мо-
дель.
2. Решите систему уравнений, полученную в п. 1, методом под-
становки и методом алгебраического сложения. Сравните по-
лучившиеся у вас ответы при решении системы уравнений.
117 дан.
§17’
НЕЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ДАННЫХ
Вот список команд, получивших серебряные медали но чемпнонатих
мири по футболу с 1930 по 2014 гг.: Аргентмии. Чехословакия*. Вен-
грия. Бразилия, Венгрия, Швеция, Чехословакия. ФРГ*. Италия,
Нидерланды. Нидерланды. ФРГ, ФРГ, Аргентина, Италия, Брази-
лиа. Германии. Франции. Нидерланды. Apietrruim. Этот список (этот
ряд! состоит из 20 данных: именно столько к 2015 г. было проведено
чемпионатов мира ио футболу. Значит, объем ряда равен 20. Можно
составить и таблицу распределения.
Лргфи ТМПп1 Брази лая Венг- рия Герма- пмя= ФРГ Ита ЛИЯ Нидер- ланды Фряп имя Чяяо- '•И»М кая Швеция
3 2 2 4 2 3 1 2 1
В ней подсчитано, что Швеция и Франция встретились по одному
разу, немецкая команда (мода ряда! — четыре раза. Нидерланды,
Аргентина — трижды, а все остальные команды пл списка — дваж-
ЬЯ ды. Можно посчитать соответствующие доли, процентные доли, на
рисовать круговую диаграмму и т. п. Но нам сейчас важ-
ноыинатыаиыи нее, .по получился ис ЧИСЛОВОЙ, а номинативный ря<1
Р*я данных: мы «измерили» данные ие в числах, а в именах.
в названиях, в номинаииях *. Ого новый для нас тип ста-
тистических данных, который в окружающей действительности
встречается ничуть пс реже, чем числовые ряды. Отметим, что в до-
полнении к главе 2. в примере 2 мы работали с рядом даже смешан-
ного типа, в котором были и числа (2. 3. 4. Б), и буква «и».
Параграф напасая II В. Семеновым.
1 Чехословакиа страна, до 1991 г. объединявшая нынешние Чехию и
Словакию.
' ФРГ (федеративная РеепуЛтикя Германия) — западная часть Германии
е HMD no 1»9О гг.
‘ Слово начинания. влпгрпог. знакомо нам ио (штюбрашым конкурсам.
Н них награждение происходит, как травило, по более специальным
номинациям. каждая из которых имеет свое вазвапие. Например, «Самый
быстрый». «Самый веселый» и т. и.
104
“диA J СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕННЫХ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ПРИМЕР 1
Дани четыре прямые I, т, p.q, заданные соответственно уравнениями
у - 3. я у * О, *+у — 1, х~ 2. и точки All; 1). В( 3; 3), С(6; 5),
1>(33: 3). К(-3: 4>. Р(-2; -22). <7(1; О). W(0; I). Л-2, О), *Г(0.3: 0.7)
Заполнить таблицу распределения точек по прямым, которым они
принадлежат.
Решение
Точка АН; 1) принадлежит только прямой т. так как её ко
ординаты удовлетворяют уравнению я у - О и не удовлет
воряют остальным уравнениям. Точка Ж-З; 3) принадлежит только
прямой I, так как ев координаты удовлетворяют уравнению у 3 и вс
удовлетворяют остальным уравнениям. Чтобы не потерять инфор-
мацию при переборе остальных точек, вставим в таблицу распреде
лсмия вспомогательную строчку «Какие точки лежат на прямой*.
Получаем следующую таблицу.
Прямая 1 т < ч
Какие точки лежат на прямой В. D л С. Е. G. И. К F.J
Сколько точен лежит иа прямой 2 1 Б 2
По составленной таблице можно легко получить разнообразные
сведения о распределении данных точек поданным прямым. Напри
мер. объем равен 10. мода — это прямая р, па ней лежат 5 точек,
процентная доля молы равна 50% и т. п. формально для ответа на
поставленный вопрос можно удалить среднюю строчку и оставить
только первую и последнюю. Но этого можно и не делать, чтобы не
терять уже найденную информацию. Кроме того, средняя строка по
лезиж при проверке ответа п контроле за возможными ошибками.
И следующем примере мы будем работать с текстом правила под
счёта вероятности, с которым вы познакомились в 6 м классе.
Правило подсчёта вероятности Вероятность случайного со-
бытия равна дроби, в знаменателе которой содержится
число всех равновероятных возможностей, из которых
состоит достоверное событие, а в числителе — число тех
возможностей. при которых рассматриваемое событие
происходит.
ПРИМЕР 2
В приведенном правиле подсчета вероятности от каждого слова оста-
вили только первую букву.
а) Какой (буквенный) ряд получился?
6) Сколько раз в атом раду встретилась буква «в»?
Ш Нечахлоаыа рады данных
105
Рашеиив
) Составить упорядоченный по алфавиту ряд.
г) Составить соответствующую таблицу распределения.
а) Поочередно выпишем все первые буквы. Получим в, с,
с, р, д, в, з, к, с, ч, в. р. в. и, к, с. д, е, а, а. ч. ч. т. в, п, к. р, с, П.
б) Подчеркнем в нём поочередно вес буквы «а». Получим б под
чёркиваний:
а. с. с. р. д, в. з. к. с, ч. >, р. в> к. с. д. с. а. в. ч. ч. т. в. п. к,
р. с. п.
в) Теперь переставим все буквы этого ряда в алфавитном поряд-
ке. Получим
а. в. в. в. в. в, в. д. д. з. и. к. к. к. п. п. р. р. р. с. с. с. с. с. с. т,
ч. Ч. Ч.
г) При составлении упорядочен ного ряда мм сосчитали всё. что
нужно для заполнения таблицы распределения. В се первой строке
стоят буквы: а. в. д. а. и. к, п. р. с. т. ч. Во второй строке стоят нату-
ральные числа, ровные количеству соответствующих букв. Получаем
следующую таблицу
распределение
Обратите внимание, и с буквы «в*, и с буквы «с* начинается наи
большее
количество слов в приведенном правиле (по шесть слов).
Значит, здесь есть dee моды. Такие распределения часто
называют бимодальными. Приставка би- во многих слу-
чаях означает удвоение. Например, бицепс — двуглавая
МЫШ1ЦЦ
Вопросы для самопроверки
1. Результаты каких на перечисленных ниже измерений яв
л я юте я числовыми, номинативными, смешанными рядами
данных?
а) Рост семиклассников в сантиметрах;
б) имена семиклассников;
о) мировые рекорды (в секундах) в беге иа 100 и;
г) конечные пункты движения электричек;
А) оценки в журнале за контрольную работу;
е) перечень продаваемых на сайте квестов;
ж) цены продаваемых на сайте компьютерных игр;
з) количество промахав биатлониста ня стрельбах лёжа и
стоя в течение сезона.
106
ТпДВАЗ СИСПЙ^да** ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕГ Емс ИНЫМИ
2. Могут ли во второй строке таблицы распределения данных
встретиться не числа, а символы?
3. Верно ли. что таблицу распределения можно .-заполнить,
только составив до этого упорядоченный ряд?
Основные результаты
• В этой главе мы познакомились с новыми математическими
понятиями:
система двух линейных уравнений с двумя переменными;
решение системы уравнений:
— несовместная система, неопределенная система урав-
нений.
• Мы познакомились с новой мвтематичегзтй мгкЗе.зью — си-
стемой двух линейных уравнений с двумя переменными:
|a,x + bty + Ci - О,
|в,ж + Ь,у + с, - О.
• Мы с вами обсудили три метода решения систем линей
ных уравнений: графический метол, метол подстановки,
метод алгебраического сложения.
• Мы узнали, что такое номинативный ряд данных и би мо-
дальное распределение.
Темы исследовательских работ
1. Решение систем швейных уравнений метолом подстановки.
2. Решение систем линейных уравнений методом плгебраиче
скоро сложения
3. Системы лпиеппых уравнении как математические модели
реа тьиых ситуаций.
4. Нечисловые ряды данных. Таблица распределения данных.
107
4
СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
И ЕЁ СВОЙСТВА
ГЛАВА
§ 18. Что такое стелены с натуральным
показателем
§ 19. Таблица основных степеней
$20. Свойства степени с натуральным
показателем
$21. Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями
$22. Степень с нулевым показателем
$23. Работа с таблицами распределения
§18
ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Одна на особенностей математического язика, которым мы с нами
должны научиться пользоваться. состоит в стремлении применять как
можно болот короткие мпжся. Математик не будет писать а + о +
+• о + а + а. он напишет 5о: не будет писать ити-*-а + о+ а +
<• а 4 а + а + а + а (здесь 10 слагаемых), а напишет 10а; гм будет
писать а. а напишет па.
я сшш'Жам
Точно так же математик не будет писать 2 2 2 2 2. а вое
пользуется специально придуманной короткой записью 2‘. Ана-
логично вместо произведения семи одинаковых множителей
3 3 3 3 3 3 3 он запишет Зт. Конечно. в случае необходимо-
сти ои будет двигаться в обратном направлении, например, заменит
короткую запись 2° более длинной 2 2 2 2 2 2.
Если появляется повое обозначение, то возникают и новые терми-
ны. И все это (и обозначения, и термины) охватывается новым опре
делением. Определением обычно называют предложение, разъясняю-
108
ГЛАВА •» СТ1ПЕИВ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ft СВОЙСТВА
щее суть нового термин*, нового слова, нового обозначения. Просто
так определения нс придумываются, они появляются только тогда,
когда в этом возникает псобходнмосп..
______________________________________
Под в*, где п - 2. 3. 4. 5. ... понимают произведение л одинаковых
множителей. каждым из которых является число а. Выражение <Г
называют степенью. число а - основанием степени, число п
показателем степени.
Подчеркнём еще раз. что показатель степени — натуральное чис-
ло (в старших классах мы снимем это ограничение); обычно говорят
степень
основа ине
степени
показатель
степени
короче: инлф/мльммй лохазнтель. Отсюда и происходит
название как всей главы, так и этого параграфа.
Итак.
о* — степень с натуральным
показателем;
а — основанив степени;
л — показатель степени.
Запись о* читают так: «о в ли степени». Исключение со
стаял яют запись а*, которую читают •а в квадрате» (хотя мож*
ко читать и •« во второй степени»), и вались н\ которую читают
•а в кубе» (хотя можно читать и «о в третьей степени»).
ПРИМЕ» 1
Записать в виде степени произведение
5 5 5 5 5 5
п использовлть соответствующие термины.
Р.ш.ни.
Поскольку дано произведение шести одинаковых множите
лей. каждый из которых равен 5. имеем:
5 5 $ • 5 5 • 5 - 5*;
S* — степень;
& — основание степени;
б пока.к»течь степени
' I а Что тио, оопеиь с ылтурлпъмым no**»***"***
109
Как вы думаете, полностью ли соответствует названию пара
г|»н|м определение I? Параграф называется «Что такое степень
с натуральным показателем», т.е. имеется в вид)-, что в каче-
стве показателя может фигурировать любое натуральное число.
А любое ли натуральное число фигурирует в качестве показателя в
определении 1? Как вы ответите им этот вопрос?
Ответим на этот вопрос вместе: мы говорили о степени а», где
я “ 2, 3, 4, я пот случай, когда л “ 1, пока упустили из виду
<• потеряли» одно натуральное число). Это упущение исправим
е помощью нового определения.
Степенью числа а с показателем 1 называют само это число:
в'-о.
ПРИМЕР 4
Найти значение степени а* при заданных значениях а и п:
а) а - 2.5. л - 2; д) а - -1. л - 5;
6) 1 в а’ л = 4; е) а — 0. л = 1;
в) л = —а. я»1; ж) а - 0. л - 12
Г) ч - -1. л • 4; з) а “ 1, л - 17
6) a' -
2,5-’ - 2.5 2.5 - 6.25;
/ • f ’ • > 1 - i » - i -i = J_.
ul з з 33 - з з а 3 81’
в) a" - ( — -5;
r) e“-( IF* - (-1) •<-!) (-!> <-l> - 1;
.иг (I) i 11 < l> ( 1 ) < l> ( 1) --1;
e) «“ - O' - 0;
ж) a" - O'1 - 0 0 ... 0 - 0;
а) e“ - 1” - 1 1 ... • 1 - 1.
1Гмаи*жп1Н1
яоваед+мие
в степень
Операцию отыскания степени а* называют возведением в
степень В примере 4 мы рассмотрели восемь случаев воз*
ведения в степень.
ПРИМЕР
Вычислить 7' • 3* • (-2)*.
0 7’ — 7;
2) 3* - 3 3 - 9;
3» <~2>* - (-2) (-2) (-2»--8;
41? »• (-8) - -504.
504.
Ответ
©
В рассмотренных примерах мы несколько раз воавидкли в сте
пень отрицательные числа. Заметили лп вы закономерность: если
отрицательное число вгаволитсл в чгтпуи степень, то получает-
ся лололгишельное число, если же отрицательное число возводится
и нечетную степень, то получается шприца тг.гьное число? Попробуй-
те о&ъягпить, почему это так.
Вопросы для самопроверки
1. Что ооиачает символ а', где л - 2, 3. 4.
2. Что означает символ о1?
3. В записи Т* назовите, что является степенью, что осиовани
ем степени, что показателем степени.
4. Запишите число 2й в виде степени с другим основанием.
§19
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ СТЕПЕНЕЙ
Вы знаете тиблицу умножения, а нее включены нрсшлш-де
пия любых двух однозначных чисел (3 5, 4 • 7 н Т. д.), этой та-
блицей вы постоянно пользуетесь при вычислениях. На прак-
тике полезна н таблица степеней простых однозначных чисел
(в пределах тысячи*. Составим её.
2' - 2 3' - 3 - 5 7’ - 7
2‘ - 4 З2 - 9 52 - 2$ 7‘- 49
2’ - 8 3‘ - 27 5’ - 125 7’ - 343
В* 16 24 - 81 5* - 625
2> - 82 а* - 242
2* - 64 3* - 729
2’ - 128
2" - 258
2* - 612
2" =1024
С помощью этой таблицы можно находить и степени составных чи-
сел (поэтому такие степени и таблицу обычно не вкпючнкп). Например:
9* = 9 9 9 = (3 3)(3 3X3 3) = 3 3 3 2 3 2 = 2* = 729
ПРИМЕР 1
Известно, что 2" — 128. 3* — 243. Что больше: п или й?
По таблице находим, что 128 - 2'. значит, л - 7. По табли-
це также находим, что 243 — 3\ значит, к — 5. Так как
7 > &. то н > й.
___________________ я > й.
Решение
Ответ
Имеются ещё три числа, для которых легко составить таблицу сте-
пеней, особенно учитывая, что ничего вычислять не нужно и резуль-
тат фактически известен заранее Это числя 1. О, -1. н таблица стене-
пей для этих оснований выглядит следующим образом:
1" - 1 для любого л;
О" ~ О для любого л;
если и — четное число (л “ 2. 4. 6. 8. ...).
то( 11* - 1;
сели и — нечетное число (л - 1, 3. 5, 7. ._*.
то (11* = 1.
112 ГЛАВА ' СШННЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И et СВОЙСТВА
Кстати, используя формулу четного числа л - 24 и формулу
нечетного числа п — 2к - 1, можем записать, что
(-1)3* - 1: (-!)“ •’ - -1.
Л теперь выберем в качестве основания степени число 10:
101 - 10. КН-100. lO’-IOOO.
Обратите внимание: каков показатель, столько нулей надо записать
после цифры 1.
Вообще
10" = 1(Ю(1 О
Например. IO* = 10000(H); напротив. 100000 — 10’.
ПРИМЕР 2
Решение
Найти значение выражения
«» •» У1" ♦ ?* . (10с)*
•м - У’ ♦ с’ (а г ЗУ
при в - 1. к - 0. с - 1.
«|Т _ 1-1Г т О1* flH _ -1 » 0 * 1 _ 0
«“ _ ft» + С1 " (-1У’ - 0я + 1‘ ~ 1 0 4 1 " 2
.. (10е>« (10 1)< 1(У 10000
2’ «т + 3)‘ (-1-3)‘ 2* 16 Ь25’
3) 0 + 625 - 625.
625
Отпет
В заключение данного параграфы еще раз отметим, что матема-
тики всегда стремятся к краткости записей, четкости рассуждений.
Поэтому, введя новое понятие, они начинают изучать его свойства, а
затем применяют эти свойства иа практике. О разных свойствах сте-
пени с натуральным показателем поговорим в следующем параграфе,
а пока, забегая вперед, заметим, что если бы одно из таких свойств
мы уже знали, то не вычисляли бы так долго IP, как это было сдела
но выше. Мы бы записали тик:
9’ - (3*У - 3* - 729.
Видите, запись в два раза короче. А почему зто так. узнаем в
J 20.
МО Свойства CTprwim < мэтуральмым
поп*>>т •'*"**
113
Вопросы для самопроверки
1. Чему [мимо значение выражения (-IIм111?
2. Сколько пулей содержится в записи числа 1О"1*?
3. Что больше: О’"*" или !’•?
1. Что больше: 1,“*' или 10001?
СВОЙСТВА СТЕПЕНИ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Умножение степеней
с одинаковыми основаниями
Волыни я часть математических утверждений проходит в своем ста-
новлении три этапа.
На первом етапе человек в ряде конкретных случаев подмечает
одну и ту же закономерность.
На втором отапе он пытается сформулировать подмеченную за-
кономерность в общем виде. т. е. предполагает, что эта закономер-
ность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех
других аналогичных случаях.
На третьем отапе он пытается доказать. что закономерность,
сформулированная (гипотетически) в общем виде, на самом деле
верна.
Доказать какое-либо утверждение — это значит объяснить, поче-
му оно верно (объяснить утЗелктельно. а не так: «это вермо потому, что
это верно»). При доказательстве можно ссылаться только на уже из-
вестные факты (так мы действовали, например, при доказательстве
теоремы 3 на с. 63).
Давайте попытаемся вместе пройти все три этапа, попробуем са-
мостоятельно открыть, сформулировать и доказать свойства степе-
ней. хорошо известные в математике.
114
Ответ
Глава * П1'*иь с иагугальннм покамчшм и tl свойства
Всего имеется 8 одинаковых множителей, каждый из которых ри
ан 2, т.е 2‘. что по таблице (см. § 19) дает 256.
6)3' З'-З (3 3 3 3)- 3 • 3 3 3 3 - 3й - 243.
и. >aM,ajnvl>
а) 2М; 6) 243.
В пронесся решения примеря мы заметили, что:
2* • 2‘ - 2*. т. е. 2’ 2‘ - 2я *;
3' 3‘ - 3". т. в. 3* 3* - 3‘ <
Наблюдается закономерность: основания перемножаемых степе-
ней одинаковы, при этом показатели складываются. Иерпый лтап
завершён.
На втором jmanr осмелимся предположить, что мы открыли (для
себя) пАщую мгкономерность: а" а* ~ а’ *.
ТЕОРЕМА 1
Для любого числа а и любых натуральных чисел я и h справедливо
равенство * (
Обычно теорему формулируют так: если ... (условие), то _ (заклю-
чение). Например, теорему 1 можно (и, честно говоря, так было бы
аккуратнее) сформулировать следующим образом:
если а — любое число и n. k — натуральные чиела. то справеЭлн
во ревене men а> _ -4
Первая часть утверждения, начиная со слова «если», — ато усло-
вие теоремы; вторая часть утверждения, начиная со слова «то», —
это заключение теоремы.
На третьем етапг надо доказать, что наше предположение вер-
но. т. е. доказать теорему 1. Сделаем это.
Доказательство
I) в“ — я а а ;
•» В1ВВЧ *4
2) в* = а а ... а;
• *•?•**
3) а’ а‘ = (а а -... • о) (в а ... • а) =
ЫЖЖГЧГ* * «*1Ж«га *•
” а а а а а '_••• а “ 9 а о о а ... я = в*" *
П *т-«лг*то« * —В НУВ** ♦ » Я»ТНЪ1М
Теорема доказала.
Итак, первое открытие у нас состоялось. Идем дальше.
Свойств* стелем* с штуралъмым поа*»*'*'^* 115
2
Деление степеней с одинаковыми
основаниями
ПРИМЕР 2
Решение
Ответ
Открытие второе
Вычислить: я) 2* : 24; 0) 3* : 3‘.
я) Яяпшпем частно» в виде дроби и сократим ее;
2» ; 2’ - £ - •*,?'>'? » * - 2 - 3 - 2’ - 4.
г4 (2 • 2 • 2 • 2)
6) 3’: 3’ - (3 3<а3а*а% За)а 3 - 3 3 3 - 3* - 27.
а) 4; 6) 27.
В процессе решения примера мы :мметили. что:
2* : 2‘ - 2*. т. е. 2е : 24 - 2* •;
З" : 8‘ - 3*. т. е. 3" : 81 - 3* *.
Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя
одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя,
при атом из показателя делимого вычитается показатель делителя.
Первый этап завершен.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую законе
мерность: а" : о* • о"**, если п > It.
ТЕОРЕМА 2
Для любого числа а ' О и любых натуральных чисел пир таких, что
л > р. справедливо равенство
: и* - и**».
.Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя
грамматическое построение «если.... то.-»? Видите ли вы. где
я этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя иа эти
вопросы (а наш ответ будет приводен после доказательства теоремы).
Рассмотрим произведение а* * в*. Мы знаем, что при ум-
ножении степеней с одинаковыми основаниями показа
Доказательство
теля складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив покалят»
ди л k и А. получим (л k} + А — л.
Итак, а" * а* - а", а это как раз и означает, что а’ : а* - а" *.
Теорема доказана.
116
7лл«» а П11»И> С НАТУРАЛЬНЫМ rtOKAlATintM И It СВОЙСТВА
А теперь иначе сформулируем теорему 2:
если в • О и и. к — натуральны» числа такие, что л > к, то сира-
ведливо равенство
•* *:«* I*
Условие теоремы: а в О; п, к — натуральные числа, я > к.
•Заключение теоремы: а* , а* — а' *.
Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше.
Возведение степени в степень
Открытие третье
ПРИМЕР 3
Вычислить: а) (З1)4; б) (З2)1.
ТЮТЯМИ •) tt*)1 - 2‘ 2" - 2” ° - 2” - 1024 (см. $ 19).
в) (З1)’ - 3' 3’ 3‘ - За • ’ * - 3* ~ 729 (см. J 19).
Ответ
В процессе решения примера мы заметили. что:
(25); - 2'*, т.е. (2V - 21
(3JV - 3*. т.е. (ЗУ - З2 *.
Наблюдается законе мерность; в обоих случаях при пем веден ки
степени в степень показатели перемножаются. Первый jman завер-
шен.
На втором лтапе предположим, что мы открыли общую законе
мерность: (а*)* - а"*.
ТЕОРЕМА 3
Для любого числа а м любых натуральных честя я и k справедливо
равенство
(«•>* • ••*.
Доклзагсльсгко
Имеем: (<Г)‘ - и" а" ... • и" -
-(а а-... а) (а а ...а) ... (а а-... а) -
А груш пи л MMMMurwaaa в ммицый
* а а «... • а а а •... • а ав...а * а"*.
t *0 Свойства creneiai с wtTVMfluoiM nona*———Ч 14
Мы совершили с вами три открытии, которые привели нас к трем
серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулиро-
вать в виде трех правил, которые полезно запомнить.
Правило 1 При умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются.
Правило 2 При делении степеней с одинаковыми основаниями на
показателя делимого вычитают показатель делителя.
Правило 3 При возведении степени в степень показатели перемно-
жаются.
Сравните »тм три правила с формулировками теорем 1, 2. 3. По-
чувствовали разницу? В теоремах всё чётко, всё оговорено, всё преду
смотрено, • в правилах ощущается какая-то неполнота, лёгкость
мысли, поэтому пни легче запоминаются и воспринимаются; прави-
ла похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математи-
ческого языка: наряду с серьёзными отточенными формулировками
используются и краткие афористичные правила.
ПРИМЕР 4
п (24 2*?
Вычислить -----—т-
(2 2»р
Решение
Ответ
1) 2’ 2< - 2* ‘1 - 2Т (правило 1);
2) (2Т>* - 2' ‘ - 2“ (правило 3);
3) 2 2» - 2' *• - 2’ (правило 1);
4, (Z’r* - 2* * - 2*г (правило 3);
5) 2“ ; 2*’ “ 2“ ” - 2" (правило 2);
в) 2* - 256 (см. } 19).
2.56.
Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей
речью, обязательно в конце доклада огцё раз выделит самое главное,
самое важное. У нас с вами была трудная и напряженная работа, да-
вайте же и мы выделим самое главное.
Самое главное — три формулы:
в* я*-«**•;
я* : и* я* *, где а > *. а а 0;
(и")» - д'*.
118
ГЛАВА •» СИПЕИЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЛАТСЛ1М И ft СВОЙСТВА
Их можно применять как справа налево, так и слева направо. На'
пример.
Я» • 2» - 2‘; 2» - 2» « - 2* 2‘ • • - 2а 2* - 4 Г;
V: 3' - 3*; 3’-3'в-•-*!; 3’ ‘-С 3’ Г 8" 81
(5>)< - 5“; 5и _ (5*11 _ (5ij« . pi,» . <&>)«.
Мы говорили только об умножении н делении степенен с однил
новыми основаниями. Л вот об их сложении и вычитании ничего не
известно, так что не сочиняйте новых правил. Нельм, например, за-
менять сумму 2* 4 2‘ иа 2’; в самом деле, посчитайте: 2* - 16; 2* — 8;
16 - 8 — 24. но это не есть 2 . поскольку 2' — 128. Нельзя заменять
разность 3* - 3‘ нп З1; действительно, посчитайте: 3' 243; 3’ - 81;
243 81 - 162. но это ие есть З1, так как З1 — 3. Будьте внимательны!
Решение примеров
ПРИМЕР 5
Расположить в порялке возрастания числа 2’1. 4W, 8й, 16м.
Решение
Имеем 4м = (2’)“ = 2"; 8Н = (2’)” = 2°: 16'» = (2‘)'1 = 2м.
Ясно, что 2м 2“ 2° 2'". Значит, в порядке возраста
пня задаипые числа следует расположить так: 8", 4аа. 2,й. 16,а.
ПРИМЕР 6
Сравнить числа а — 5”, b — З”1.
Решение
а - 5" - (5->“ - 25м; b - 3,и - |3’)“ - 27м. Ясно, что
25м < 27м, т. е. а < Ь.
ПРИМЕР 7
а) Найти последнюю цифру числа 38aw;
6) доказать, что (7м - 3 ’) 10 (гимнов : означает «делится на»).
Решение
я) 38auo — (38’)WI; число 38а оканчивается цифрой 4, я число
38’. т. о. <38а)а. — цифрой 6. Осталось лишь заметить, что
любая степень числа, оканчивающегося иа 6. также имеет своей по-
следней цифрой цифру б (смотрите; б' б. 6’ 36. 6* - 216 и т. д.>.
* *° Свойства стстмпм с
поааэ»’
119
б) 7м - ((7V)’2: 7* - О. 1V оканчивается цифрой I. Любая сте
пень числа, оканчивающегося на 1. также имеет сайги последней
цифрой цифру 1.
Далее. 8" ~ (З*)1*, 8* 81; si1" оканчивается цифрой 1.
Итак, последние цифры чисел 1** I) 3fs одинаковы, значит, раз-
ность этих чисел окинчинастся цифрой 0. а потому делится на 10.
ПРИМЕР 8
Решение
Без использования знаков арифметических действий (сложения,
вычитания. умножения н деления) записать наибольшее возмож-
ное число: а) тремя единицами; б) тремя двойками: в) тремя троп
ками; г) тремя четверками: д) четырьмя единицами; е) четырьмя
двойками.
а) Выпишем возможные варианты записи: 111. 11’, I11. 1*'.
Наибольшим является число 111.
б) Выпишем возможные варианты записи: 222. 22*. 2х*. 2 . Наи-
большим является число 8й. ,
в) Выпишем возможные варианты записи: 333. 33*. 3х*. Зг . Нин
большим является либо 33*. либо 8**. Но смотрите: 33 - 33 33 33
< 81 81 • 81 = 3*> 1* 34 = З12 < 3я*. Значит, наибольшим является
число 3“.
Г) Выпишем возможные варианты записи: 444, 44*. 4**. 4* .
Ясно, что 444 самое маленькое нэ этих четырех чисел, а 4“
< 4** - 4м*. Значит, осталось сравнить числа 44* и 4‘*. Сделаем это:
II’- 41 И 41 И 64 64 64 64 - 4* 4а 4* 4* - 1 1
Зим чмт. наибольшим является число 4* .
д) Выпишем возможные варианты записи: 1111. 111*. И11,
11''. 1'", 1"'. Г". 1’’’.
Наибольшим является число II1'.
е) Выпишем возможные варианты записи: 2222, 222*. 22я*,
22Л 2*”. 2< 2’*’. 2<
Наибольшим может быть либо 22я, либо 2г . Сравним эти числа:
22й < 32*'-' - (2;)и “ 2’“ <. 2***. Итак, наибольшим является число 2*".
Вопросы для самопроверки
1. Закончите предложение: «При умножении степеней с одаг
накан ими основаниями пока зато л и
2. Закляните предложение: «При делении степеней с одинако-
выми осномпиямп показатели
120
"aba » СТКПЕИВ С НАТУГХЛЬННМ rWKAlATintM И Г Г СВОЙСТВ*
3. Закончите предложение: «При возведен пн степени в сте
пень показатели
4. Запишите каждое из сформулированных вами о п. 1—3
правил на математическом языке.
5. Что получится, если 2,т умножить на 2”?
6. Что получится, если 2,т разделить на 2й?
7. Какое из двух равенств верно: (2*)-’ = 2* ’ или (2")* ~ 2* *?
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
В предыдущем параграфе мы рассматривали умножение п деление
степеней с одинаковыми основаниями. Оказывается, можно умно
жать и делить степени н с разными основаниями, если только пока
затени у этих степеней одинаковы
ПРИМЕР 1
Вычислить 2* 5*.
| Конечно, можно по таблице из § 19 установить, что 2‘ - 16,
5* = 625. а затем умножить 16 на 625. Однако эффективнее
следующее рассуждение:
2* • 5* - (2 2 2 2) (5 5 5 5) -
- <2 5> (2 5) (2 5) (2 5) - (2 5>‘ - 10* - 10 000.
В процессе решения ми получили числовое равенство
2* • 5* « (2 &Г*.
Точно тик же можно доказать. что а’М - (ей)’.
В самом деле,
п’й1 — (а а • а) (й b й) — ah ab ab — (ай)’.
Вообще имеет место равенство
а‘Ь? - (ай)*.
Приведем «молчаливое» доказательство этого утверждения. По*
пробуйте его • озвучить, и проклммептирсишть:
а" • й" “ а а ... а Ь Ь ... b -
о мч и irr »i В еии iHTieip
- (ой) (дй) ... (Ой) (ой)".
» BBBI WWWO
ПРИМЕР 2
Вычислить -i-
Решение
Конечно. можно производить вычисления «в лоб*, т. е. нмй
ГН 12*, затем 4*. затем первое число разделить на второе.
Но лучше расту ждать так:
12* 12 12 12 I» 12 12 12 12 12 12 12 12
В процессе решения мы получили числовое равенство
Точно так же можно доказать, что —
к
|i| Вообще
и
имеет место равенство
если НО (докажите!).
Итак,
(«Ы;
Обе оти формулы применяют как слева направо, так и справа на-
лево. Их также можно оформить в виде правил действий над степе-
нями. тогда к трем правилам иа 5 20 добавятся еще два.
Правило 4 Чтобы перемножить степени с одинаковыми показате-
лями. достаточно перемножить основания, а показатель
степени оставить неизменным.
Правило 5 Чтобы разделить друг иа друга степени с одинаковы
ми показателями, достаточно ризделнть одно основание на
другое, а показатель степени оставить неизменным.
122 Г ^ДвдТсПГтеН* с НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И еЕ СВОЙСТВА
Но
<2')4 - 2'» - 1021; («V - а1': - 5" (правило 3).
Значит, (2iaJ6‘)1' - Ю24а1Г,5г*. Так как 3‘ - 243, то окончательно
получаем
т‘
10j|gl:'^
243
ПРИМЕР 4
Решение
Расположить в порядке убывания имела:
а - 27” 25”,b - 75” 9”,с - 45й.
а - 27«-25“ - <3')” (QV* - 3"' 5**;
5 - 75” 9” - (3 54” О1)41 - 3” 5* 3м - 3”" 5“;
е - 45“ = (3» 5)“ = 3”а 5“.
Итак, а “ З1" • 5й. Л - 3,н • 5м, с “ 3,м 5м, значит, с > а > Ь.
В заключение одно предостережение. Мы знаем, что:
в* а’ — о" **; a*;a*-a*-‘: (а*)*: а* : Ь” — (о : М*.
Если же умножение и деление выполняется над степенями с
различными основаниями и разными показателями, то будьте вни-
мательны. Так. 3s • 2' можно вычислить «в лоб»: сначала вычис
.тать З4, затем 2' и, наконец, выполнить умножение. А можно гак:
з 3‘ 8* 8 (8 В? 8 6'
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
Закончите предложение: «Чтобы перемножить степени с
однпакогыми показателями ...♦.
Закончите предложение: «Чтобы разделить друг иа друга
степени с одинаковыми показателями ...«.
Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1—2
правил на математическом языке.
Верно ли. что 3s-4’ — 12’7 Если да. то сошлитесь иа соот-
ветствующее свойство стене ней.
>» . ч .4
Верно ли. что — - | -у J ? Если да. то сошлитесь иа
соответ-
ствующее свойство степеней.
it». CirrwHt, с нулевым покатал»*»^ m, - - 123
б. Верно ли, что 28 s - 2‘ 2*-7s? Если да. то сошлитесь на со
ответствуюшее свойство степеней.
7. Запишите число 3” а виде степени е основанием 27.
§22
СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
В предыдущих параграфах мы с вами научились вычислять значение
степени с любым иатурольиы.* показателем Например:
0,2' - 0,2; 3* = 3 • 3 = 9; • 4 4 4 • 64:
1* = 1 1 1 • 1 = 1; (-2Г = (-2) (-2) • (-2) (-2> (-2) = -32,
0® - 0 0 0 0 0 0 - 0 < т.д.
В дальнейшем вы узнаете. что показателем степени может быть
не только натуральное число. Но зто произойдет позднее, в стар-
ших классах, а пока мы сделаем лишь один скромный шаг в этом
направлении: введем понятие степени с мулгвы.ч пикаю теле.и.
т. е. выясним, какой смысл придаётся в математике символу а*.
А ведь отот символ «напрашивается». Смотрите: 2* ; 2' 2’’* - 2*.
3’ : 3 = 3я 1 = З7. Почему бы не иагтисать 5’ : 5* = 5' ’ = 5*7
До сих пор все было хорошо: а‘ — зто значит, что число а нужно
умножить само на себя 3 раза, а1* — зто значит, что число а нужно
умножить само на себя 10 раз. о* — это просто а. А что
степень такое а6'/ Ведь нельзя же, в самом деле, умножить число
< нулевым а само на себя 0 ри!
показателем ХоТСЛОСЬ бы, ЧТОбЫ ДЛЯ Я® ВЫПОЛНЯЛИСЬ ПрИВЫЧПЫС
правила, например, чтобы при вычислении ч* а* пока-
затели складывались: а* а" “ д’ Но 3 + 0 - 3. Что же получается?
Подучается, что я'1 а" — а’. Значит, я" - а’ : а* - 1 (при этом нужно
ввести естественное ограничение а е 0). Проведенное рассуждение
как-то мотивирует следующее определение
Если а * 0, то а* ~ 1.
Например. 5.7*' - 1; ( 3)“ — 1; (2*1® - 1 и т.д. Однако учтите, что
символ 0“ считается в математике не имеющим смысла.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение степени с пулевым показа-
телем.
2. Сравните: (987«М 321Г и о’,’*мм|.
124 4 СТЫТЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКА1АТСЛСМ И ев СВОЙСТВА
3. Как вы думаете, можно ли отрицательное число возвести в
нулевую степень?
4. Как вы думаете, почему* запись СТ считается в математике
лишённой смысла?
§23’
РАБОТА С ТАБЛИЦАМИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Продолжим знакомство с таблицами распределения, способами их
составления н получения статистической информации на основе этих
таблиц. Для получения первоначальных данных обратимся к наше-
му задачнику. 11н этот раз к задачам 18.1 18.6. Все эти задачи
определенно похожи друг на друга. Например, ответ в каждой из них
имеет вид (А?, где Л некоторое числовое или буквенное выраже
ине, а * некоторое натуральное число, показатель степени. Посмо
грим, как распределены эти показатели.
Ясно, что наименьшее о паче и не к равно 2 (в 18.1 а)), а наиболь
шее значение * равно 8 <в 18.2 а)). Значит, таблица распределения
показателей степеней будет примерно такой.
к — вока ла гель степени 2 3 4 5 б 7 8
Сколько рал встретилось к
Как заполнить пустые клетки? Можно выписать весь ряд дан-
ных. Т. е. все показатели степени во всех задачах 18.1—18.6,
пп. а) — г). После этого упорядочить ряд и тогда легко будет запол-
нить таблицу распределения. Но можно провести такое заполнение
и без выписывания рядов данных. Мы сразу будем вносить данные
н таблицу. Для этого вставим в таблицу дополнительную среднюю
строку. В ней будем проводить промежуточные подсчеты.
BN 18.1 а) ответ 3'. т. е. к - 4. Поставим одну палочку во второй
строке под четверкой. Мы • сосчитали» Лё 18.1 а).
к — показатель степени 2 3 4 5 6 7 8
к встретилось
Сколько раз встретилось к
В № 18.1 б) — г) ответы таковы: 7*; 0.5»; 8.4’. т. е. к - 6. к - 2,
к — 5. Поставим по одной палочке во второй строке под шестеркой, под
’ Параграф написан II. В. Семеновым.
ЯД Гибом С гавлмцлми рзсор'*двл«««и"^—————125
двойкой я под пятеркой. Мы полностью «сосчитали» задачу 18.1. Вот
как * этот момент выглядит (не до конца заполненная) таблица:
k ШЖЛЛЯТРЛк С"Т»ПРН11 2 3 4 5 б 7 X
к встретилось / / /
В Ай 18.2 а) — г) ответы таковы: х*; if*; г*; tj‘. т. е. fc - 8. It - о.
It = 6, It — 3. Поставим <чц» по одной палочке под восьмёркой. птер-
кой. шестёркой и тройкой. Вот что получится.
* — показатель степени 2 3 4 э « 7 8
* встретилось / //
Точно так же можно поступят», и со всем» остальными задачами
18.3—18 б В итоге мы добавим ещё 16 — 4-4 наклонных палочек
Таблица будет выглядеть так.
й — показатель степени 2 3 4 5 6 8
й встретилось /// г*** /
Н нея каждая пятая по счету палочка перечеркивает предыдущие
четыре. Кик говорили в старину, так. «по пяткам», действительно
удобнее считать.
Остается вспомнить, что для ответа нам нужны не сами выписан-
ные палочки, а их количество. Поэтому допишем в таблицу необхо-
димую строчку.
й — показатель степени 2 3 4 5 б 8
к встретилось t^r /
Сколько всего раз встретилось к Л 5 S 5 5 1
Если совсем точно отвечать на поставленный вопрос, то полага
лось бы удалить среднюю строчку. Но этого можно и не делать, что
бы не терять уже найденную информацию. К тому же средняя строка
полезна при проверке ответа и контроле за возможными ошибками.
Мы получили таблицу распределения, в которой показатели
степени 3, 4, S п 6 встречаются одинаковое количество раз (по 5)
fho почти рвлномсряос распределение. При таком распределении
говорить о моде было бы странно: ведь почти все данные находят-
ся в одинаковом положении. Заметим, что первоначальный столбец
под числом »7» лучше убрать из ответа. Ведь показатель степени 7
не встретился ни разу: нет данных нет столбца.
126 К"1 СТЫТЕИЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ и ев СВОЙСТВА
Рассмотрим пример, в котором таблицу распределения придется
составлять на основе круговой диаграммы.
ПРИМЕР 1
В интернет-магазине начали про-
давать новые компьютерные игры
№ 1—6. По результатам продаж че-
рез неделю на сайте магазина была
размещена диаграмма (см. рис. 77),
на которой было указано, что хитом
продаж является игра .4 4. которой
было продано 1(11 зкземпляря.
а) Какова процентная доля игры
№ 5?
6) Сколько игр составляет 1 % про-
даж?
в) Сколько всего игр продано за эту
неделю?
Заполнить таблицу распределения количества проданных игр.
Решение
а) Сумма процентов продаж всех игр. кроме № а, равна
11 т 11 т 17 + 96. Значит, ия долю игры № 5
приходится 100 96 - 4 (%).
61 Так как 102 проданных экземпляра игры V 4 составляют
31 %. то I % составляет 102 : 34 ~ 3 игры.
в) Всего продано 1004 игр. а 1 составляет 3 игры. Значит,
всего продано 300 игр.
г) Для заполнения таблицы распределения надо указанные про-
центы продаж умножить на 3.
Помер игры 1 2 3 4 & 6 Всего: 6 игр
Количества прола а 33 69 33 102 12 51 Всего: 300 штук
О
От статистики вернемся к комбинаторике.
ПРИМЕР 2
В равенство 2" - 2й • 2‘ “ 2* следует поставить такие натуральные
показатели п и к, чтобы получилось верное числовое равенство.
а) Сколько существует способов такой подстановки?
6) В скольких случаях верно неравенство л - к'1
в) В скольких случаях ли* различны между собой?
г) В скольких случаях отношение к : л будет целым числом?
Решение
Ответ
«) Так как 2" 2" 2* - 2”“**, то п - A + 25 » 36. или
о - А - 9 Слагаемое а может принимать значения 1. 2. 3,
4, 5, 6. 7, 8. Действительно, если л - 9; л - 10; ... то слагаемое А уже
не может быть положительным. Значит, есть ровно восемь нужных
пар (л; А): это пары (1; 8). (2; 1). (3; 6>.(8: 1).
6) Из перечисленных восьми пар годятся только черные четыре:
(1; 8), (2; 7). (3; «), (4; 6).
в) Проще определить. когда л — А. Но тогда л + А ~ 9. 2л • 9,
что невозможно, так как л натуральное число. Поэтому во всех
восьми случаях пак различны между собой.
г) Снова перебирая по очереди восемь возможных случаев (пункт
а), получаем, что отношение А : я будет целым числом только в двух
случаях (1; Ы, (3; 6).
а) 8. б) 4; в) 8; г) 2.
Вопросы для самопроверки
1. Какое натуральное число записано в виде /i*// //?
2. Какое натуральное число записано в виде ffff *?f ffff
irtt-rti-H
3. Запишите число 9 «в пятках» наклонных палочек.
4. Запишите число 26 «в пятках» наклонных палочек.
5. Найдите 254)'от 250.
6. Сколько процентов от числа 52 составляет число 39?
7. 40% от какого числа составляет число 40?
8. Испорченный калькулятор может делать только одну опе-
рению — вычислять 10% от числа. Через какое наимень-
шее число операций получится число, меньшее 0.1. если
начать с 2014?
9. Перечислите все решения уравнения 2п + А = 9 в натураль
пых числах.
10. Перечислите все решения уравнения и т ЗА - 9 в натураль-
ных числах.
Основные результаты
Здесь дапы основные определения, свойства, теоремы. фор
мулы, правила, которые мы с вами изучали в <S 18—22. Все
это записано на сухом матемитическом языке без всяких
комментариев, поскольку комментарии, обоснования были
приведены в указанных параграфах.
в* - а;
п" « а а ... - а;
л чтет»-»*
128
ГЛАВА •» СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАНЛЕМ И ft СВОЙСТВА
ав - 1, где а а О;
1" - 1; О" - О;
(-1JR» - I; (-!)*• 1 - -1;
10' = J00...0;
• W**l
а” а* - а' ’ а* •••" — <’ а* а*;
а" : а* — а’ *, где п >
(«•>* - •"*;
a‘b‘ — (aby*; (obey* = a‘b"c";
F - ( £ | . где b , О.
Зияние этих формул ключ к успеху в работе с любыми
Алгебраическими выражениями. К этой работе мы прнсту
пасм постепенно, начиная со следующей главы.
Темы исследовательских работ
1. Свойства степеней с натуральным и нулевым показателем.
2. Таблицы распредслепня данных. Круговые диаграммы.
129
5 ОДНОЧЛЕНЫ.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ
НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
ГЛАВА
$24. Понятие одночлена. Стандартный
вид одночлена
# 25. Сложение и вычитание одночленов
#26. Умножение одночленов. Возведение
одночлена в натуральную степень
#27. Деление одночлена на одночлен
#28. Таблицы распределения частот
§24
ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА.
СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА
Одночленом называют алгебраическое выражение, которое представ
ляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степень
с натуральными показателями.
Il'r’a*1; 1.7а"б* (л € JV>.
3 ’
Примеры одночленов:
2аУ. ja^ry*; (-2U/ I
Одночленами являются, в частности, все числа, лю
одночлен бые переменные. степени переменных. Например, одно
членами являются:
О; 2; -О.в: х; •: Ь; я4; в’; б* (и с X).
Теперь приведем примеры алгебраических выражений, не являю-
щихся одночленами:
а + б; lx1 - Зу1
* т
130
Тплвл з ОДНОЧЛЕНЫ АГИОМЕТИЧ1СКИ£ ОСП РАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
Л как вы считаете: выражение —— — одночлен или нет? Ведь оно
___________________________________ ____________
но форме похоже на выражение —, которое фигурирует у нас средн
п
выражений, на ян-ляющихся одночленами, и содержит в своей записи
, _ UB ЯаЬ 2 •
черту дроби. Тем не мепее — одночлен: — - -аЬ.
о 3 3
Вот ещй два примера, построенных на контрасте: i и —. Как вы
считаете, какое из этих выражений одночлен, а какое нет? А теперь
проверьте себя: — одночлен, его можно записать в виде вира
3 ж
жение же — не является одночленом. Термины в математике надо
употреблять правильно.
Рассмотрим одночлен За -ja-'ftc. Глядя на что выражение, матема-
тик обычно рассуждает так: «От перемены мест множителей провзве
дспнс нс измен и гея. мнишука я зто выражение в более удобном виде:
|8 |j (a eJ)6e.
Тогда. думает математик, я получу 2а’бг. и яти запись удобнее
той, что была, хотя бы потому, что короче. Кроме того, в пей нет того
сумбура, какой бып сначала: первый множитель число, второй
переменная а, затем снова число, потом опять переменная в, но уже в
квадрате и т.д.*.
Стремящийся к четкости, краткости и порядку математик на са-
мом деле привел одночлен к стандартному виду.
Вообще, чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно-.
I) перемножить все числовые множители и поставить их произве
декис
не первое место;
2) перемножить все имеющиеся степени е одним буквен
пым основанием;
3) перемножить «се имеющиеся степени е другим бук-
венным основанием и т.д.
Числовой множитель одночлена, записанного в стан-
дартном виде, навивают коэффициентом одночлена.
Любой одночлен можно привести к стандартному виду.
стандартным
о ид одночлена
коэффициент
одночлена
ПРИМЕР
Привести одном леи к стандартному виду п назвать коэффициент од
позлена:
а) Зх‘уг ( 2}xyJc\ в» 2а xV*" |ах‘рх;
6) lab’e ie: г) —
4 10
Я5 Слочии и вычитвмма олгю’охио»_______1 j 1
Решены
З^Н a) Зх^уг ( 2)jr/j* - 3 ( Пх^ху^гх* - втуз*
Коэффициент одночлена равен 6.
6) lah‘e - i« - 4 leMe е • I • a6Jc5 • al^e*.
Коэффициент одночлена равен 1, такой коэффициент обычно не
пишут, но подразумевают.
в) 2axV*" ±ах*уг “ ( 2> ^aax1x'y‘xz"z - а'х’/г* '.
Коэффициент одночлена равен I.
г) А это, как говорят, «маленькая провокация*: одночлен не надо
приводить к стандартному виду, он и так записан в стандартном
з
виде; —об. Коэффициент одночлена равен 0.3.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое одночлен?
2. Можно ли назвать одночленом выражение 2ii’hci: 2a:l + be2?
3. Расскажите, как привести одночлен к стандартному виду,
и проиллюстрируйте свой рассказ на примере одночлена
Зобс-ц'бН.
4. Приведите свой пример одночлена, записанного в стан-
дартном виде, и одночлена, не записанного в стандартном
виде. Во втором случае приведите одночлен к стандартному
виду.
5. Составьте одночлен с переметшим х.у и с коэффициентом 1.
6. Составьте одночлен с переменными а. Ь. г и с коэффициен-
том -1.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ОДНОЧЛЕНОВ
В этой главе мы изучаем новые дли вас математические объекты
одночлены. Образно говоря, если для математического языка числа,
переменные и степени переменных являются буквами, то одночле-
ны — слогами. Когда в дететпе вы учились читать. то сначала изу-
чали буквы, затем читали слоги и только потом целиком произно-
сили написанное слово; буквы, слоги, слова, предложения этапы
изучения языка. И тут уже не важно, нравятся нам одночлены как
самостоятельный объект изучения или ист. ничего пс поделаешь
132 — rnABj^ ОДНОЧЛЕНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
без уверенного владения ими нам не обойтись, если мы хотим свобод'
ио владеть математическим языком.
В § 24 мы ввели поп «г и я одночлена, стандартного вида одночле-
на. Значит, надо научиться работать с одночленами, например, вы
поднять над ними арифметические операции. При этом сразу дого
коримся, что будем рассматривать только одночлены, .«аписанные в
стандартном виде.
Два одночлена, состоящие на одних и тех же переменных, каждая из
которых входит а оба одночлена в одинаковых степенях (т. е. с ран-
ными покааателями степеней), называют подобными одночленами.
Примеры подобных одночленов:
2а и 5а. ЗоМс н -уцМс, х* и 5х'.
Как видите, подобные одночлены отличаются друг от
подобные друга только коэффициентами (впрочем, и кооффициси
одночлены ты могут быть равны, например, 7 ah в 7ah — подобные
одночлены).
А вот примеры неподобных одночленов:
5а и За1, 2х и 7у, За2Ь- и 6aJb.
Слово «подобные, имеет примерно тот же смысл, что в обыденной
речи слово «похожие.. Согласитесь, что одночлены 5оЧ> и 23о2й по-
хожи друг иа друга (подобные одночлены), тогда как одночлены 5а26
и 23ofr’e* не похожи друг на друга (неподобные одночлены).
Рассмотрим гумму двух подобных одночленов 5а’4 * 2Ла'Ь. Вос-
пользуемся .ис/но^аи введения новой переменной: положим а'Ь - с.
Тогда сумму 5aJfe + 23а2б можно переписить в виде 5с +• 23с. Эта сум-
ма равна 28с. Итак, »агЬ -к 23а'6 = 28а28.
В чем смысл этого преобразования? Смысл в том. что равенство
5а2б - 23a Ч - 28a-’б является верным при подстановке любых зваче-
|«Л ний переменных.
Нам удалось сложить подобные одночлены; окам
метод лось, что это очень просто: достаточно сложить их коэф
ваеяения фишинты, а буквенную часть оставить неизменной. Так
новом же обстоит дело и с вычитанием подобных одночленов,
переменном Например.
7ahr* ЭиЬс1 — (7 9)аЬс' — -2afcc’.
А как быть, если одночлены неподобны: можно ли их складывать,
вычитать? Увы, пока нельзя! Мы вернемся к этому вопросу позднее,
в главе в.
Сейчас мы ефориулируом алгоритм сложения и вычитания од-
ночленов (впрочем, обычно оставляют только термин «сложение», а
знак • минус, относят к коэффициенту).
I АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ ОДНОЧЛЕНОВ
1. Привести все одночлены к стандартному виду.
2. Убедиться, что все одночлены подобны; если же они неподобны,
то алгоритм далее не при мен летел.
3. Найти сумму коэффициентов подобных одночленов.
4. Записать ответ: одночлен. подобный данным, с коэффициентом,
полученным на третьем шаге.
ПРИМЕР 1
Упростить выражение
2а'А - 7а 0.5Аа - ЗА 2а (-О.5а1
I Речь идет о сложении одночленов, значит, будем действо-
вать в соответствии с алгоритмом,
I) Первый одночлен уже имеет стандартный вид.
Для второго одночлена имеем:
7а 0.5Аа - (7 • 0.5) • (а а) h - З.&а'Ь.
это стандартный вид.
Приведем к стандартному виду третий одночлен:
ЗА • 2а (0.5а) - 3 2 ( 0.5) (а а)А - За2А.
2) Получили три одночлена: 2а’А. 3 5а’А. -За’Ь. Они подобны, по-
этому с ними можно производить дальнейшие действия, т. е. перехо-
дить к третьему шагу алгоритма.
3) Найдем сумму коэффициентов трех полученных одночленов:
2 - 3.5 - 3 - I I
4) Запишем ответ: 4.5а2А.
ПРИМЕР 2
Представить одночлен 27аМ в виде суммы одночленов.
Решени
ЯН Здесь и отличие от рассмотренных ранее примеров решение
нс единственное (а разве в жизни во всех случаях ны може-
те найти единственное решение? Иногда решений несколько, а ино-
гда решения и вовсе нет). Можно написать
27оА’ - 20аА' + 7аА’.
н зто будет верно. Можно написать
27aAJ - !5oAJ ♦ 12ah<
что также будет варио. Можно написать так:
27аА* - оЬ* - 26abJ
н даже так:
27оН - 100аЛ 73аЬ\
134
Тпл'вл" ОДНО4"®»*' АГИОМЕТИЧ1СКИ£ ОЛ1РАЦМИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
Можно указать еще ряд решений. Главное, чтобы сумма коэффицп
сигов складываемых подобных одночленов была равна 27.
Кстати, вс обязательно составлять сумму двух одночлеиои (а ус-
ловии ведь это не оговорено). Значит, можно предложить, например,
такое решение: 27а>г- - 2Оаб; 4 4dM * ЗаМ.
Или такое: 27иМ - 2uhJ + Ralr + 22uhJ - oab1.
Попробуйте сами придумать еше несколько решений примера 2.
Мы заканчиваем изучение темы «Сложение и вычитание одночле-
нов». Но вы. наверное, ощущаете какую-то недоговоренность. Малю
.тн е какими одночленами нам придется иметь дело в дальнейшем, а
вдруг среди них будут неподобные? Что делать, ее лк. составная ма-
тематическую модель реальной ситуации, мы пришли к выражению,
представляющему собой сумму неподобных одночленов, например
2аЬ 4- 3d - 567 Математики нашли выход из положения: токую сумму
назвали многочленом. т. е. ввели новое понятие, и научились произво-
дить операции над многочленами. Но об этом речь впереди, в главе 6.
Вопросы для самопроверки
1. Какие одночлены называют подобными? Приведите пример
двух подобных одночленов и пример двух неподобных од-
ночленов.
2. Будет ли сумма или разность двух подобных одночленов
одночленом? Приведите два соответствующих примера.
3. Будет ли сумма или разность двух неподобных одночленов
одночленом?
4. Используя переменные ю и п, составьте одночлен с коэф-
фициентом 36 и представьте его в виде суммы одночленов
несколькими способами.
5. В каком слтчас сумма двух подобных одночленов, содержа
щих буквенные части, является числом? Что это за число?
§26
УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ.
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА
В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ
В § 25 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов. Оказа
лось, что эти операции применимы только к подобным одночленам,
А как обстоит дело с умножением одночленов? Очень просто: если
между двумя одночленами поставить аипк умножения, то снова по
лучится одночлен; остаётся лишь привести его к стандартному виду
(фактически это мы уже делали в примере из $ 24). Не вызывает за
135
»ав.
адмочое**
cr»r
труднений и возведение одночлена в степень. При этом используются
правила действий со степенями (фактически в примере 3 иа $ 21 мы
уже возводили одночлен в степень).
ПРИМЕР 1
3
Haier и нроилведеипе трех одночленов: 2о’6с‘. ^а’ег* и а-'ё.
Решение
(Згг’бс-) -|-1в’ен’ (а’Ь) | 2 1 (а‘а‘а‘) (f> Ь) (е"е) г4 =
- 1.5aVeV.
ПРИМЕР 2
Решение
Упростить выражение (-2пг6с’)' (т.е. представить его и виде од-
ночлена).
(2а’6сТ - -2SesyV(c¥ - -82a",fr’c,b.
Мы использовали, во первых, тот факт, что при возведении
произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множи-
тель. Поэтому у нас появилась запись 2'(oJpb’(c*)‘.
Во-вторых. мы воспользовались тем. что (-2)' - -2’.
В-третьих, мы использовали тот факт, что при возведении степе-
ни в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а1)' мы на-
писали о**, а вместо (с*),‘ мы написалм с1*.
ПРИМЕР 3
Предстал зить одночлен Лба-'О’с' в виде произведения одночленов. | Здесь, как и в примере 2 из $ 25. решение не единственное. Вот несколько вариантов решении: 36a2b‘c5 - (l»aJ) (2Мс ); 36a2Ь*с' « (36af>c) (аА'с4); Зба’Ь'с- - (-3*') (-12в*с*); 36агЬ*с’ - (2о') (ЗЛс) (6ЛЛ-1).
Попробуйте сами придумать ещё несколько решений примера 3.
ПРИМЕР 4
Представить данный одночлен А в виде Я", где Я — одночлен, если:
а) Л - 32a’. л - 6; г) Л - 27а*Р. л - 3;
б) А — н’Ь*. я = 3: д) А = 1ва*6\ я = 4.
в) А - Юа’й’с’, л - 2;
136 " 5 ОДНОЧЛЕНЫ АГИФ*ЛЕТИЧ1 СКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
Р»ш₽ни
а) 32а4 - 24а* - (2а)'. Значит, А - в4, где В - 2а.
б) а1Ь* — a1)^3)4 - (ab2?. Следовательно. А - В', где В - ab‘.
в) Так как 49а‘Ь*е* ~ Т^^й’^с4)4 - Паё'с4)4. то Л = В1, где
В — 1аЬ*с\
г) Поскольку 27в4й* - ( 3)Ja4<fr')* - ( Зоб4)4. заключаем, что
А-Д', где Л
д) С одночленом 16a*t>‘ у нас ничего нс получится. Почему? Да-
вайте рассуждать. Если бы не было множителя Л', то задача реша-
лась бы без труда: 16а’ - 2‘(а4)4 - (2а4)4; если бы вместо б3 был мио
житель, например. б14, то мы решили бы задачу так:
1ба’В” - 24(а,)'(8’)4 - (2а41>’)'.
Однако множитель б3 нельзя представить в виде (<>*)*, где * — нату-
ральное число; этот множитель, как говорится, «портит всё дело».
Значит, одночлен 1вя*б* нельоя представить в виде Я', где В — неко-
торый одночлен.
Пример 4л) покапывпет, что в математике далеко не всё получается,
не любая задача имеет решение (как и в реальной жизни).
Кстати, если математику предлагают задание, заведомо невы-
полнимое (например, разделить 5 на О или найти точку пересечения
параллельных прямых), то он говорит: «Задача постанлепи некор
ректно» или «Эго — некорректная задача». Тот, кто предложил не-
корректную задачу, должен извиниться. Вот и авторы извиняются за
пример 1д). Хотя согласитесь, что оп был дай пе без пользы.
Ра» уж мы заговорили о кор|1ектиых и некор|1ектных зидачих,
приведём еше несколько примеров и тех и других, а вы попытайтесь
объяснить. почему задача корректна или некорректна.
Корректные лг^ачи:
1. Упростить 2ab! (ЗаЬ)4.
2. Упростить lab + Наб 4- ab.
3. Вычислить ?*- * •Я'-.
2-6
4. Представить одночлен 13аV»’' в виде суммы одночленов.
5. Представить одпочлеп (Здг'р*/ в виде произведения одночленов.
в. Представить одпочлеп А - 25а* и виде квадрата некоторого од-
почтена В.
Некорректные tariaeu:
1. Сложить одночлены Зай4. 5а№ и Та1)».
_ _ 2.7 ♦ 3.8
2 Вычислить .........
6-6
3. Представить одночлен А в виде квадрата некоторого одночлена
В, если А - 26а*.
4. Найти точку пересечения прямых у - -Зх ♦ 1 н у — -Зх •+ 5
(см. пример 16) в $ 11).
НТ одночлен* м* ОЛИО"'ПСМ
Вопросы для самопроверки
1. Как перемножить дая одночлен»? Прицедите пример.
2. Используя переменные р, <j н г, составьте одночлен с коэф
фнцнеитом 144 и представьте его виде проиэведпиия од-
ночленов несколькими способами.
3. Как возвести одночлен и натуральную степень? Приведите
пример.
4. Представьте одночлен 1 (чИб* в виде произведения двух од-
ночленов. в виде степени одноч лена.
§27
ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вы
читать, перемножать и даже возводить в степень — обсудили.
Но ведь имеется ещё деление операция, обратная умножению.
Можно ли быть уверенным в том, что операция деления одночле-
на на одночлен всегда выполнима — в том смысле, что в частном
получится одночлен? Вот об этом и поговорим.
ПРИМЕР 1
Опираясь на свойстна арифметических действий, попытаемся выпол-
нить деление одночленов:
а) Юа : 2:
6) 18а6 ; (За);
в) Зба’Р* : (4аб;);
г) : ( 2xV-r»;
7
д) 4х' : (2xi/);
с) в’ : а5.
Решение
я) Воспользуемся тем. что если произведение двух чисел де-
лят ня третье число, то можно разделить иа это число один
множитель н полученное частное умножить на другой множитель.
(Вспомнили? Например. (12 • 4) : 8 • (12 : 3) 4 = 4 4 16.) Имеем:
10а : 2 - (10 : 2) « - ба.
б) Рассуждаем, как в примере я):
18иб: (За) - (18 : 3) (а : а) б - 6 - 1 b - 66.
в) Зба'Ь1 : (бай1) - (36 : 4) • (и* : а) (Ь* : 6я) - 9а2б*.
Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дро-
би. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в):
36a -frs _ зв Н £ _ о
4 е И
138 — ГЛАв^ одночлены арифметические операции над одночленами
г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т.е.
знак деления, п черту дроби:
|г’/г : (~2х*у’Л) - (-2)) -
•»» «-4
Здесь все верно. но, как говорят математики, нерационально, по-
скольку сразу было ясно, что г’у^г : r’j/'z — I (фактически выраже-
ние делится само на себя).
Д) 4r* : (2х|/) - | ± - 2x^1 - —.
2л V 2 * v V V
Это ие одночлен, значит, разделит». 4-г' иа 2лр нельзя (в том смыс
ле, чтобы в частном получился одночлен).
е) И зги задача невыполнима, так как мы пока нс умеем делить
при одном и том же основании степень с меньших показателем на
степень с бблыпим показателем.
Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались кор
рентными, а два (последние) — некорректными (этот термин мы нае-
ли в § 26).
Проанализируем теперь решенные примеры и попробуем с помо-
щью этого анализа выяснить, когда можно разделить одночлен на
одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен.
Естественно, удобнее, чтобы оба одночлена (и делимое, и делитель)
были записаны в стандартном виде (впрочем, об этом мы утлонипись
ещё в$ 25) с отличными от нуля коэффициентами.
Первое наблюдение. В делителе не должно быть переменных,
которых пет в делимом (по этой причине мы «споткнулись» в приме-
ре )д))-
Второе наблюдение. Если в делимом и делителе есть одна и та
же переменная. причем в делимом она возводится в степень Я, a
в делителе в степень k, то число А не должно быть больше числа л
(поэтому мы «споткнулись» в примере 1е)).
Третье наблюдение. Коэффициенты делимого и делителя могут
быть любыми, за исключением делителя, равного нулю (поскольку
мы умеем делить друг па друга любые числа, кроме, разумеется, де
ления на нуль).
Значит, если вам предложат разделить одночлен на одночлен, то
сначала убедитесь, что задача корректна, т.е. проведите указанные
наблюдения и убедитесь, что всё в порядке. В случае, когда задача
корректив, решайте ее по образцу примера 1.
4*? Д«ЛЬМИ» ОДИОЧЛаИ* М* одночлен ид
ПРИМЕР 2
Рршрнио
Упростить 48а‘й’ся</: (ЗбаМс*).
1) Оба одночлена (п делимо*, и делитель) записаны в стан-
дартном виде.
2) В делимом фигурируют нсрсмоииые а, 6. с. </. а делителе а. Ь. е.
Лишних переменных в делителе нет.
3) В делителе нет степеней больших, чем у одноимённых пере-
менных в делимом.
Вы вод: задача корректна, будем ее решать:
48a«b’c*rf _ 48
ЗбабМ 36
— £ 4 J ” 4 «’ *’ 1</ -±crVd.
а Г t* 3 3
©
Вы чувствуете, что п атом параграфе, как и n J 25, есть недого-
воренность? А что же все таки делать, если одночлен на одночлен не
разделился? Разве мы застрахованы от такой ситуации? Поэтому ма
тематики ввели новый объект — алггбраочгскум дробь. Вспомните,
ведь и обыкновенные дроби появились из-за того, что во множестве
натуральных чисел деление выполнимо не всегда; например. 14 де
лнтея на 7, а 13 не делится па 7. Как записывается ответ во втором
случае, когда надо все-тики разделить 13 на 7? Он записывается в
I i
виде обыкновенной дроби —. Аи-ебрнпчеекая дробь встретилась нам в
7
примере 1л) это было выражение —. И конечно, мате метик и на
Г
учились оперировать этими новыми объектами — алгебраическими
дробями. Мы будем изучать их в 8 м клпссе, а встретимся еще раз
"S42.
Вопросы для самопроверки
1. Проверьте, можно пи одночлен йа’Ьс2 разделить на од-
ночлен 2агЬг. Если да, то выполните деление; если нет, то
объясните почему.
2. Проверьте, можно ли одно*1лсн 8а’Ьс2 разделить на од
ночлеи 2abc!. Если да, то выпотейте деление; если нет, то
объясните почему. А как обстоит дело с делением па од-
ночлен а'1>с-(Г1
3. Всегда ли задание разделить одночлен на одночлен являет-
ся корректным?
4. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на
одночлен является корректным.
5. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на
одночлен является некорректным.
140 Г““^ЛЛВА S ОДНОМ ЛЕ МЫ АГИФМЕТИЧ1СКИ£ on I рации над ОДНОЧЛЕНАМИ
ТАБЛИЦЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ
частота результата
В конкретном ряду данных какие то данные встречаются чаше, ка
кието реже. Например, мода (по своему определению) встречается
чини' всего. Допустим, что какое-то данное (какой-то результат) встре-
тилось 10 раз. Десять раз — это много или мало. часто или редко?
Для ответа необходимо иметь в виду объём всего ряда. Действи-
тельио, 10 раз в ряду по 20 результатов это половила, а те же
10 pin и ряду из 1000 результатов — это всего лишь одни сотая. Од-
новременный учет и объема ряда, в количества вхождений в этот ряд
конкретного результата ори водит к новому и крайне ване
пому понятию частоты,
Чистота результата а
Сколько раз результат встретился
Объем ряда
Посмотрим, как это выглядит в конкретном примере. Откроем за-
дачник в начале главы 5. В первом же упражнении 20.1 есть цифры
и есть буквы. Выпишем все встречающиеся цифры по порядку, слева
направо, включая и номер упражнения. Получится числовой ряд:
1. в. 1. 3. 1. 2. 2. 3. 0. 3. S. 9. 2. 3.
Составим таблицу распределения полученных 14 чисел: послед-
ний столбец для контрола подсчётов.
Результат 0 1 2 3 S 6 9 Всего: 7
Сколько раз встретился 1 3 3 4 1 1 1 Сумма; 14
Результат «9» встретился 1 раз из 14. Поэтому его частота равна
j-j. Результат «!• встретился 3 раза из тех же 14. Поэтому его часто-
та равна уу. Если каждое число из втором строки разделить на 14 к
результаты записать в третью строку, то получится более подробная
таблица.
Результат 0 1 2 3 & « 9 Всего- 7
Сколько раз встретил г я 1 3 3 4 1 1 1 Сумма: 14
Частота 1 14 3 14 3 14 2 7 1 14 1 14 1 14 Сумма: 1
’ Параграф написан II. В. Семеновым.
Ш Таблицы распраделенив mW* __________—141
После заполнения третьей строки сведения из второй строки нож
но удалить. Ведь они уже учтены. Останется таблица распределения
частот.
Результат 0 1 2 3 S б 9 Всего; 7
Частота 1 14 а 14 а 14 7 1 14 1 14 1 14 Сумма: 1
На практике бывает' удобно всё же сохранить вторую
таблица строку и работать с более подпой таблицей на трех строчек,
распрядяяянмя Во-первых, не нужно еще риз переписывать те же данные
частот в еще одпу таблицу из двух строк. Во вторых, тто способ
прокоитролиронпть возможные вычислительные ошибки.
ТЕОРЕМА
У любого ряда сумма частот всех данных равна единице.
Док аз ате ль ств о
Мы проведем его для ряда, в котором Петре чаются 4 раз
пых результата.
Результат <J ь С d Всего: 4
Сколько раз встретился * tn п в Сумма: v-tfnTlTl
Частота А V т V е| а с» Сумма: ?
_ _fc т . п t It * т а я 4 я т> ,
Найдем сумму всех частот: — * — 4- — - — ~ ~ 1.
V о v v и v
Теорема доказана.
Замечание Если при подсчете частит обыкновенные лробк заменить па их прибли-
женные значения в десятичных дробях, та гумми частот вполне может ока-
аатьса равной 1 ишь приближение Например, если - заменить ее прнбли
жеивем 0.333. то получим следующую таблицу.
Результат в © яе> Всего: 3
Сколько раз встретился 1 1 1 Сумма: 3
Частота 0.333 0.333 0.333 Сумма: 0,999 в 1
142
Тп'ллд 5 ОДНОЧЛЕНЫ АГИОМЕТИЧ1СКИ£ ОСИ РАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
ПРИМЕР
Решение
Следующие одночлены ( aft)-1 • (б)’, З.г 4ху. (2б)‘ • 0»75с. ( 2dn)!,
( Р«) ( ₽У'.( a»"1’. 2at> 6с, ( 0.25х) <2хИ. (5сУ 0,48с/. Эх’ + <3ж>\
(О.бу2)'1 ♦ О,75у*. : Зр привели к стандартному виду и выписа-
ли их числовые коэффициенты. Составить: упорядоченный числовой
ряд коэффициентов. таблицу распределения коэффициентов, табли-
цу распределения частот.
У 12 одночленов есть 12 числовых кскм|хрнциеитон. Вот они
по порядку следования:
1. 12. 12, 4. 1. I. 12. 1. 12. 12. 1. 12.
Упорядочим этот ряд: -1, 1. -1. 1. 1. 4, 12. 12. 12, 12. 12. 12.
Составим таблицу распределения коэффициентов.
Коэффициент 1 1 1 12 Всего: 4
Сколько раз вгтрегнлгя 3 2 1 б Сумма: 12
Делим псе данные ил второй строки на 12. Результаты дописываем в
третью строку.
Ко >ффоии<-М| -1 1 4 12 Всего: 4
Сколько раз встретил»я 3 2 1 б Сумма: 12
Частота 1 4 1 6 1 12 1 2 Сумма: 1
Если мы знаем числа во второй строке, то мы знаем объем ряда
и можем яяписятъ все дроби в третьей строке. Обратное утверждение
неверно. Смотрите: если все числа во второй строке увеличить в 5 раз,
то и объем увеличится и 5 риз Но при этом все частоты останутся не-
изменными. так как общий множитель о сократится при вычислении
нужной дроби. Вывод: зияя только частоты результатов, невозможно
сказать, сколько именно раз встретился каждый результат. Для от-
вета необходимо знать объем ряда: умножая частоту на объем, мы
найдем, сколько раз встретился результат.
Вопросы для самопроверки
Подряд выписали числа от 11 до 20. Между цифрами по-
ставили запятые: 1. 1. 1, 2. .... I. 9. 2. 0.
1. Для полученного ряда цифр найдите:
а) объем: б) размах; в) моду; г) медиану; д) частоту цифры 7;
с) частоту моды.
Основные |М^пьта1Ы
143
2. Может ли частота результата равняться 1,1; 0,1; 0,1?
3. Может ли частота равняться нулю?
4. Приведите пример ряда объема 20, в котором ровно о раз-
ных данных одинаковой частоты,
5. Верно ли, что частота результата определена только для ря-
дов, состоящих иа чисел?
Основные результаты
Перечислим главное иа того, что обсуждалось п этой главе,
а вы проверьте, .знаете ли вы то, что написано ниже, и смо
жете ли объяснить это постороннему человеку.
• Итак, основное из того, что мы научили в главе 4:
— понятое одночлена;
запись одночлена в стандартном виде;
понятие коэффициента одночлена;
— понятие подобных одночленов;
— какие одночлены можно складывать I вылитагь), какие
нельзя;
как складывать (вычитать) подобные одночлены;
— как представить одночлен я виде суммы подобных од-
ночленов;
— как перемножать одночлены;
как возвести одночлен в натуральную степень;
— а каком случае одни одночлен можно разделить иа Дру-
гой и как это сделать.
о Мы познакомились с понятием частоты результата ил мере
ния и с тем. как составлять таблицы распределения частот.
Темы исследовательских работ
1. Деление одночлена ня одночлен.
2. Частота результата. Таблица распределения частот.
144
6 МНОГОЧЛЕНЫ.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ НАД
МНОГОЧЛЕНАМИ
Г /7 Д Б 4 __
§2:1. Основные понятия
§30. Сложение и вычитание многочленов
§31. Умножение многочлена на одночлен
§32. Умножение многочлена на многочлен
§33. Формулы сокращенного умножения
§34. Метод выделения полного квадрата
§35. Деление многочлена на одночлен
§36. Процентные частоты
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В главе 5 мы уже отмечали, что нс любые одночлены можно склады-
вать и вычитать, а только подобные: также отмечали и то. что реаль-
ная задача может привести к таком математической модели, в кото
|и>й будет содержаться сумма неподобных одночленов. Для изучения
таких сумм в математике введено понятие многочлена.
Многочленом называют сумму одночленов.
многочлен
даучлаи
трехчлен
Примеры многочленов:
2а Ь; !т*Ь - ЗаН* - ЗаЬ‘ -7г. я* + х* * г1 - 2.
Разумеется, существуют алгебраические выражения,
не являющиеся многочленами. Например, —. 2х‘ ♦ 5у —.
» V
Слагаемые (одночлены), из которых состоит мио
томлен, называют членами многочлена если их два. то
говорят, что дан двучлен (например, 2а + б двучлен),
если их три, то говорят, что дан трёхчлен (например, трехчленом яв
ляется выражение 5а* - 2с(г + 7с). С агой точки зрения становит-
ся понятнее термин «одночлен» и то. что одночлен обычно считают
частным случаем многочлена.
Рассмотрим многочлен
2аЬ‘ Ла’Ь >а "а + 35' laW ба 2Л'.
3
То. что это многочлен, сомнению не подлежит (поскольку записа
ин сумме одночленов), ио нравится ли нам такая запись? Наверное,
нет. Почему?
Во-первых, одночлен 2аЬ* - За*Ь не записан в стандартном виде, а
мы змием, что стандартный вид — наиболее удобная запись одночле-
на. Приведя его к стандартному виду, получим ва'Ь'1.
Аналогично надо привести к стандартному килу ещё одни член
многочлена, а именно “О'б* • 6a. Получим 2a’б*.
Теперь запись данного многочлена принимает более приятный
видбя’б4 5* 7a '3b‘ 2a‘«>J 2b1.
Во-вторых, поскольку от перемены мест слагаемых сумма
не меняется, подобные одночлены можно расположить рядом,
а затем сложить.
Получим
(ftaV - 2а4**) + (-5а - То) + (36* - 2М) - 4а’<>’ - 12а + «И.
Правд и. обычно подобные одночлены в многочлене нс переставля-
ют, их одинаково подчеркивают, а потом складывают:
приведение
подобных членов
стандартным вид
многочлена
6o>J - 5a - 7a ♦ - 2а'Ьл - £ - la4*1 - 12a * М.
Эту процедуру называют приведением подобных членов.
Если н многочлене нее члены записаны в стандартном виде н при-
ведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведен к стаи
лартному виду (или записан н стандартном виде).
Теперь вы понимаете, почему запись la*b4 12a + б*
предпочтительнее первоначальной записи
2а(Н За‘Ь - 5а - Та * ЗМ - la'ft' fla - 2М?
3
Дело в том. что первоначальная запись — не стандартный
вид .многочлена, а daV - 12a ♦ b‘ — стандартный вид
многочлен можно привести к стандартному виду. Усло-
вимся в ляльпапптем всегда с хтого начинять — так удобнее произво-
дить действия с многочленами.
Обычно многочлен обозначают буквой р или i‘ — с »той буквы на-
чинается греческое слово piilyn («многий», «многочисленный»; мно-
гочлены в математике называют также полиномами). В обозначение
включают и переменные, из которых состоят члены многочлена.
Например, многочлен 2х‘ - Ьх ♦ 3 обозначают /Кх) — читают «па
Любой
146 "^пдыГ<. МНОГОЧЛЕНЫ АГИФМСТИЧ1СКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
от икс»; многочлен 2хг * Згу у4 обозначают р(х; у) читают «п»
от икс, игрек» и т. д.
Решение
Дан многочлен
pix; у) - 2х 3xir - lx* 2х - 8х' + 2ь* + 6rV 2xy Чу*.
а) Записать его п стандартном виде;
б> вычистить: />< 1; 2): /4-1: 1): р{О. 1).
а) 2х Зху* - 7х» 1х - Зх‘ + 2у‘ + бх'у* ~ 2*У <У* “
- 11т' Зт* ♦ 2у* + 5хУ 8ху* -
- Пт'/ - 17х’ * 2у' - Злу»;
это стандартный вид многочлена.
6» Запись р<1: 2> означает, что нужно найти значение многочлена
р(х; у) при х - I. у — 2. Вычисления будем производить для мно-
гочлена. записанного в стандартном виде:
р(х; у) - Пх’у2 - 17х* + 2у‘ - 8ху‘.
Имеем:
/41; 2) - И 1» 2* 17 Р+2 2* 8 1 2‘-
= 44 - 17 + 32 - 64 - -6.
Итак./41: 2)- 5.
Аналогично
/4-1; П- И < В 1 К ( 1Г -2 Г « ( 1) 1‘-
-11-17 + 2 + 8-4.
т. е./4-1; П-4.
Наконец.
/40: 1) - 11 О’ I1 - 17 О' + 2 Г - 8 О 1’ -
- О 0 ♦ 2 0 - 2.
Итак. р(0; 11 — 2.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое многочлен?
2. Опишите процесс приведения многочлена к стандартно
му виду. Прокомментируйте это на примере приведения к
стандартном}' виду многочлена 2ababc - Зебеб2 + 4МаЬ +
+ Se’hcft.
3. Если р(>: V) - Зх'у 2ху‘ + 2* Зу, то чему равно р(1; -1)?
I JO
§30
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
МНОГОЧЛЕНОВ
В предыдущем парагрифе мы ввели понятия многочлена и
стандартного вида многочлена. Вы уже. наверное, начинаете
привыкать к тому, 'сто, введя новое понятие, надо учиться работать с
ним. В частности, будем учиться выполнять арифметические онера
ним над многочленами.
Начинаем со сложения и вычитания. Это очень простые опера-
ции; чтобы сложить несколько многочленов. их записывают в скоб
кях ео зняком •+• между скобками, раскрывают скобки и приводят
подобные члены. Прн вычитании одного многочлена нз другого их
записывают в скобках со знаком «-» перед вычитаемым, раскрывают
скобки и приводят подобные члены.
ПРИМЕР 1
Решение
Сложить многочлены:
a) pt(x) - 2х* • Зх - 8 и р/х) - бх + 2:
б) pda; />) “ а‘ +• 2ah — b3. р?(а. Ь) “ 2а’ — о1 ♦ Лак - Ь1 4- &,
Pita; Р) = а3 — ab — Ь‘ — 4.
| а) Обозначим сумму многочленов через/Их). Тогда
/Их) - /Мх) ♦ рХ») ”
- (Зх’ 4- Зх 8)4(5х+2)-2х243х-8 + 4х + 2-
= 2х* 4- (Зх 4 бх) + (-8 + 2) = 2х* т 8х - в.
б) Обозначим сумму многочленов через /Ха: 4). Тогда
/Ха; М - рХа; 6) + рХа; 6) + рХа; б) »
- (а2 4- 2а4 - М) + (2а4 - а2 + ЗаР - 4’ + о) 4 (а2 - а4 - б2 - 4) =
— а5 + 2а6 + 2а3 а* 4 ЗиЛ (£+ } + в* ab 4 “
- а’ 4 4аб ЗР2 • 2а’ 4- 1.
ПРИМЕР 2
Решение
НаПтн разность многочленов
р,(х; у) - х*
/з(х; р) - х* - / - бх 4- Зр - 7.
Обозначим разность многочленов через р(х; у). Тогда
₽<•»; р) - рЛх. р) - /,(х; у) -
= (х* 4- у* + 2х + Зу 4- 5) - (х* - у* - 5х + Яу - 7) -
148 Г”-МНОГОЧЛЕНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
©
Обратите внимание: г* г* - 0 и Зу Зу — О. Поэтому • исчезли»
одночлен X* и одночлен Зу на состава обоих многочленов. В таких
случаях говорят: Xя и -Xя, Зу и -Зу ллаи.чко уничтожились (правда,
школьники в таких случаях любят говорить «сократились*, но так
говорить не следует: термин «сокращение» в математике принято
употреблять только по отношению к дробям; например, можно со-
15 а
кратить дробь — и тогда получится —).
Заметим, что сложение и вычитание многочленов выполняют по
одному и тому же правилу, т.е. необходимости в различении опера-
ция сложения и вычитания нет. значит, нет и особой необходимости
в использовании двух терминов «сложение многочленов*. «вычита-
ние многочленов». Вместо них можно употребить термин алгеброй
ческая сумма мгииочлгкоа. Вот несколько примеров алгебраических
сумм трех многочленов рДх), р«(х), р(<х>:
A(Jf> + РА*) + РА*Н
- РИ') ♦
PiU) - PiU) -prfxh
pj(x) р«(х) ♦ ₽i(x).
Теперь мы можем подвести итог всему сказанному в этом пара
графе в виде следу ionic го правила составления алгебраической сум-
мы многочленов.
Правило 1 Чтобы да писать л.игбраическую сумму нескольких
Г многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно
раскрыть скобки и привести подобные «стены. При стом
если перед скобкой стоит знак «+», то при раскрытии
скобок надо знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках,
оставить без изменения. Если же перед скобкой стоит знак
•—». го при раскрытии скобок нужно знаки стоящие пе-
ред слагаемыми в скобках. заменить па противоположные
(« ♦ • на « •, » - • па « ♦ •).
©
Л теперь обязательно вернитесь к примерны 1 и 2 и прокоммен-
тируйте (хотя бы для тебя) их решение с помощью этого правила.
Сделали? Тогда рассмотрим заключительный пример.
ПРИМЕР 3
Даны три многочлена:
j»i(x) “ 2г3 а- х - 3; рИх) “ г* - Зх * 1: рА*) “ 5х* - 2» - 8
Найти алгебраическую сумму
р(х) - pi(x) + рц(х) - рз(х).
>31 Умножение ммогочлеи* ил «иие'Ч -|Д9
^ЗЗИЕШИ р(х) - (2х* ♦ х 3> ♦ <дг» 3x*l) (5х* 2» S)-
-+±i_ — "X ®£! + _ -2jJ + fi-
Вопросы для самопроверки
1. Может ли сумма двух многочленов быть одночленом? Вели
до. то приведите пример.
2. Может ли разность двух многочленов быть одночленом?
Если да. то приведите пример.
3. Всегда ли задание найти сумму или разность многочленов
является корректным?
4. Может ли сумма или разность двух многочленов быть рав-
ной числу? Если да. то приведите пример.
5. Приведите пример многочлена, у которого есть взаимно
уничтожающиеся члены.
§31
УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН
Вы. наверное, заметили, что до сих пор глава б строилась по тому же
плану, что и глава а. В обеих главах сначала вводились основные по-
нятия: в главе — одночлен, стандартный вид одночлена, коэффици-
ент одночлена: в главе б — многочлен, стандартный вид многочлена,
Затем к главе 5 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов;
аналогично в главе 6 сложение и вычитание многочленов.
Что было в главе Г» дальше? Дальше мы говорили об умножении
одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить те
перь? Об умножении многочленов. Но здесь придётся действовать не
спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение мпогочле
на иа одночлен (или одночлена ив многочлен, это все равно), а потом
<в следующем параграфе) умножение любых многочленов. Когда
вы в младших классах учились перемножать числа, вы вель тоже
действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное
число иа одноаиичное и только потом умножали многозначное число
иа многозначное.
Приступим к делу. При умножении многочлена на шиючпем исполь-
зуют распределительный закон умножения: (о + б)е - ас - Ьс.
ПРИМЕР 1
Выполнить умножение (2аг Зоб) ( гю).
Решение
Введем новые переменные:
х 2а*, у - -Зоб, з -ба.
Тогда данное произведение перепишем г виде (г » у) г, что по рас-
пределительному закону равно хг + уг. Теперь вернемся к старым
переменным:
хх I ух - 2а‘ ( 5а) ♦ (-Зоб) ( 5а).
Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим
-10а1 ♦ 15а*в.
Приведем крнткувэ запись решения (так мы и будем записывать в
дальнейшем. не вводя новых переменных):
(2aJ Зп5» ( за) - 2и' ( *•) ( ijH ( .»з)
= -1Оо* + loa'b.
Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило ум-
ножения многочлена на одночлен.
Правило 2 Чтобы умножить многочлен ня одночлен, нужно каж-
дый члеи мвогочлеил умножить па этот одпочлеп к оояу-
чеииые произведения сложить.
Эго же правило действует и при умножении одночлена нм мио
госдеп:
5а (2 а2 - ЗаЬ) - (-5а) 2а1 ♦ ( 5а) ( Зой) - 10а’ i 15(^5
(мы взяли пример 1. но поменяли местами множители).
ПРИМЕР 2
Решение
Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и
одночлена:
а) 2х*у * 4х; 6) х1 + 3pJ.
а) Заметим, что 2х‘у - 2х ху, а 4х - 2х 2. Значит,
2х*у + 4х - ху 2х + 2 2х - (ху + 2) 2х.
б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена многочле-
на 2х-*р + 4.г выделить одинаковую часть (одинаковый множитель)
2х. Здесь же такой общей части нет. Тем не менее и многочлен
х* + Зр' можно представить в виде произведения, например, так.
х2 + Зр-’ - (2х* + 6г1) 0,5
пли так:
х1 + Зу1 - (г* + Зу1) 1.
Но это — искусственное преобразование и беи большой необходимости
пе используется.
' >2 Умножение ыногочмма иа миого-зе** __ —-3
вынесение общего
множителя
за скобки
Кстати, требование представить заданный многочлен в виде
произведения одночлена и многочлена встречается в математике до
вольно часто, поэтому укапанной процедуре присвоено специальное
название: пынгсгнис общего мномгитгла ла скобки. Зада
кие вынести общий множитель за скобки может быть
корректным (как н примере 2а)). к может быть и не со-
всем корректным (как а примере 26)). В следующей гла-
ве мы спецняльно рассмотрим этот вопрос.
ПРИМЕР 3
Решение
Дан многочлен р(х; у: г) = ах + by + сг, где а. Ь, е — некоторые ко-
эффициенты. ж, у. г переменные. Известно, что р\12; Н; 6) - 48.
Вычислить
Подставим в данный мио1ч»член вместо переменных ж. у. t
их заявленные значения 12. 8. 6 соответственно. Получим
/*(12; 8; в) - 12а + 8/> ♦ 6г 48. Теперь составим выражение для
1:0 0<*лу’,мм Н|: 5:71 * 7е * 4 7е Умивж“ ч,ств
этого равенства на 24:
"Hi’ и.-»**-».
Итак. 21,(1; 1; 1) - «. й 1; 1| - 2.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правило умножения многочлена на од
ночлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами при-
мере умножения трехчлена на одночлен.
2. Всегда ли задание предетаппть заданный многочлен в
виде произведения многочлена и одночлена является кор-
ректным?
УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА МНОГОЧЛЕН
Овладев правилом умножения многочлена на одночлен, нетрудно где
лить следующий шаг: получить правило умножения любых двух мио
гочлеиов. Рассмотрим сначала произведение самых простых (после
одночленов) многочленов, а именно двучленов а 4 b и с 4 </.
152
^дВЗ^”мИОГОЧЛЕ НЫ АГИФ*ЛЕТИЧ1СКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Итак, пут. нужно раскрыть скобки в произведении (о ♦ Л) (г ♦
Введем новую церемонную т — с + </. тоглл получим:
(а + 6) (с + </) - (а + й)ю ~ ат + Ът.
Вернемся к исходным переменным:
ат 4 йт - а (е </) ♦ й (с 4- rf) - вс ♦ ad ♦ Йе ♦ М.
Тякмм обрядам,
(а - й) (е * d) - ае +• ad * be + bd.
Аналогично можно проверить, что
(а б с) (х + у) = ах * ар + йх + йу + сх + ср
(сделайте это’), т. е., как и в случае умножения дну членя на
двучлен, приходится калгдык член первого многочлена поочередно
умножить на каждый член второго многочлен* и полученные произ-
ведения складывать.
Правило 3 Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно ум-
ножить каждый член одного многочлена поочередно на
каждый член другого многочлена и полученные проилне-
дския сложить.
В результате умножения многочленов всегда получается мио
топлен, надо тишь привести его к стандартному виду.
ПРИМЕР 1
Решение
Выполнить умножение многочленов
/»л<лг) =• 2х‘ - 5х ♦ 1 и рИт) “ &*• - 4.
Pi(x) РА*) ~ (2г1 - Зх + 1) (Зх - 4) -
-2г2 Зх * 2х (-4) + (~5х) Зх + (-5х) (-4) + 1 Зх + 1 (-4) -
= вт* - Зх* - 15 г2 + 2Ох + Зх - 4 = Их* - 23т1 ч- 23г - I.
Особенно внимательно нужно следить за знаками коэффициен-
тов тех одночленов, которые получаются при раскрытии скобок.
И ещё один совет: если у одного многочлена т членов, а у друго-
го л членов, то в произведении должно быть (до приведения подоб
ных членов) тп членов; если же их не та. то вы что-то потеряли,
проверьте. Так. а рассмотренном примере мы умножали трехчлен
ня двучлен, получилась сумма шести слагаемых (а после приведе-
ния подобных членов осталось четыре слагаемых).
* ТмНОЖаИИ» ЫМОГОЧММЗ ИЛ МИОГЯЧГ»*
153
ПРИМЕР 2
Даны многочлены
/Кг) — 2х4 +• Зх1 - 5xJ + х — 7. 4(1) = х* — 7х* + 4х + 1.
Чему равна сумма коэффициентов многочлена Л(х) - (р(х)У^х)?
Решение
Ответ
Можно, конечно, перемножить многочлены р(х). /Их), фх),
привести произведение к стандартному виду, выписать по
следовательно все полученные коэффициенты. а .татем найти их сум-
MJ'. Но есть значительно более красивый и рациональный способ ре
шепни. Чтобы его понять, рассмотрим вспомогательный пример.
Пусть дай многочлен г(х) - х* ♦ 2х‘ + 12х* 13л1 - 15ла +
+ 10г - 17; вычислим г<1): Щ) = 1 ♦ 2 + 12 - 13 - 15 + 10 - 17 =
20. Но обратите впимапие: 1 + 2+12 13 15 + 1017 это
как раз сумма коэффициентов многочлена Лх> Вообще, чтобы найти
сумму коэффициентов произвольного многочлена т(х). достаточно
вычислить m< 1).
Вернемся к нашей задаче и вычислим 5(1):
Ml) - (KDHtfl) - <2 + 8 - 6 + 1 - 7)J (1 - 7 + 4 + 1) - -36.
Сумма коэффициентов многочлена 5(х) равна -36.
ПРИМЕР 3
Натуральные числа А и В дают при делении иа 3 остатки соответ
стяенно 1 и 2. Доказать, что (А + В)'' 9.
Решение
Число Л при делении на 3 дает в остатке I, значит, число А
можно представить в виде Л — Зл + 1; аналогично число В
можно представить в виде А - 3* + 2, где я. It — натуральные числа.
По тогда 1А BY (Зл ♦ 1 ♦ ЗА i) (3 (л • к ) 1))' 9 (п 4 к 1)'.
Ясно, что это произведение делится па 9.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правило умножения многочлена па мно
гочлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами при-
мере умножения двучлена на двучлен.
2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов
является корректным?
154 F"-МНОГОЧЛЕНЫ АГИФГИЕТИЧ1 СКИ£ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на
другоЛ приводит к компактному, легко «опоминающемуся результату.
В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый рм один
многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмо-
трим эти случаи.
Умножим двучлен а + b на себя, т. е. раскроем скобки в произволе
пни (и + 1|)(з + Ь) или, что то же самое, в выражении (о -г б)2:
(а + б)2 - (а + б) (а + Ь) = а а + a b + b а -*• b b =
— а2 • об + аб + б2 — а' + 2а h t f.
Аналогично получаем:
(я - by* = (а - б) (а - б) = а‘ - ah - ha + b2 = а2 - 2 ah + б2.
Итак,
(а • Ьр - •• ♦ 2<Ь • Ь2:
(я - ЬР = а2 - 2яб ‘ Ь2.
(1)
(2)
На обычном языке формулу (I) читают так: ки«<>/мпт> суммы двух
выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное проиаве
квадрат
суммы
Формулу (2) читают так: квадрат рааноети двух выражений
равен сумме их квадратов минус их удвоенное проил
квадрат разности
:4тим формулам присвоены специальные названия:
формуле (1) квадрат суммы, формуле (2) квадрат
разности.
ПРИМЕР 1
Решение
Раскрыть скобки в выражении:
а) (Зх + 2)'; б) <5я' - 4б2)'.
а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает
Зх, я в роли б — число 2:
(Зх ♦ 2р‘ - (Зя)2 ♦ 2 Зх 2 » 22 - Рх2 + 12х т 4.
6) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в ролл а выступает 5а2,
а в роли b выступает 46":
(Sa2 4b2)2 - (5a2)2 2 5я2 4b’ * (4b2)2 - 25a‘ - 40a2b’ * 16b\
I >1 Формулы гоиращвииого умиож«г*« ———>м "1 155
При использовании формул квадрага суммы или квадрата разно
сти учитывайте. что:
(-в - 6)' - (• ♦ bf-.
(Ь - нН - (н *)“.
Это следует из того, что (-о)* = а’.
Отмстим, что ин формулах (1) и (2) основаны некоторые матема-
тические фокусы, позволяющие производить вычисления в ума. Па-
пример, можно практически устно возводить в квадрат двузначные
числа, оканчивающиеся на I, 2, И и 9. Смотрите:
71* = (70 + 1)“ = 70“ + 2 70 1 ♦ ~ 4900 + 140 + 1 - 5041;
•<1 <»<>-!» 9<1 -2 чо 1 — 1' = 8100 — 180 - 1 - 8281;
69“ (70 - 1)“ - 70’ - 2 70 1 ~ 1’ - 4900 - 140 - 1 - 4701;
102“ - (100 - 2Н - 100 ’ • 2 100 2 ♦ 2' -
10000 - 400 -4 10404;
48“ - (50 2)' - 50' 2 50 2 + 2' - 2500 200*4 - 2004.
Но самый элегантный фокус связан с возведением я квадрат чи-
сел. оканчивающихся цифрой 5. Проведём соответствующие россу ж
дени я для числа 85':
85' = (80 + 5)“ = 80“ + 2 80 - 5 -е 5' =
- 80 (НО + 10» - 25 - 80 90 ♦ 25 - 7200 - 25 - 7225.
Замечаем, что для вычисления 85“ достаточно было умножить 8 на 9
и к получеппому результату приписать справа 25. Апллогичио можно
поступать и в других случаях. Например, 35“ - 1225 (3 4 - 12 и к
полученному числу приписали справа 25); 65' - 4225; 125' - 15625
(12 13 - 156 и к полученному числу приписали справа 25).
Приведем доказательство отмеченного факта.
Пусть число о оканчивается цифрой 5. это значит, что а — 105 ♦
4- 5, где b— число, полученное нз числа о отбрасыванием последней
цифры 5 (например. 125 - 10 12 - 5: здесь t 1:1 где
«г* - (10b + 5)“ = 1005“ - 1005 - 25 = 100b (fc + 1) +• 25.
Рис 78
Получили, что число b надо умножить на 5 + 1. умножить полу-
ченное произведение иа 100 и затем прибавить 25. Эго равносильно
тому, что к числу ЫЬ + 1) справа приписать 25.
Раз уж мы с памп заговорили о различных
любопытных обстоятельствах. связанных со
Ь скучными (на первый взгляд) формулами (1)
и (2). то дополним этот разговор следующим
геометрическим раееуждением. Пусть а и b —
<• положительные числа. Рассмотрим квадрат со
стороной а ♦ Ь и вырежем в двух его углах ква-
драты со сторонами, соответственно равными п
и Ь (рис. 78).
156 Г-МНОГОЧЛЕНЫ АГИФГИЕТИЧГ СКИ£ ОЛ1РАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Площадь квадрата со стороной а * А равна (о е б)’. Этот квадрат мы
разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь рав-
на о*'), квадрат со стороной b (ого площадь равна В’|, два прямоуголь-
ника со сторонами а п h (площадь каждого такого прямоугольника
равна об). Значит, (о !>)* - о-' » А2 4 2ab, т. е. получили формулу (1).
ПРИМЕР 2
Зычислитъ наиболее рациональным способом
(729 - 171>* 4 4 729 171,
(729 - 171 )* + 4 729 171 =
- 729* 2 729 17] » 171’ 4 4 729 171 -
- 729’ + 2 729 171 4- 171* - (729 + 171>* = 9002 - 810 000.
ПРИМЕР
Решение
Решить уравнение (Зх - 2Н + (4х + IV • (&Х - Зр.
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата раз
ногти:
(9л’ 12л » 4) 4 (16л2 t Вх г 1) - 2.V 30л 4- 9:
9х‘ - lit + 4 4 16xJ + 8х + 1 - (25л2 - ЗОх 4- 9) - О;
26л 4-0;
ПРИМЕР 4
Найта ту пару зилчопии поремониых х. у, при которых многочлен
р(х: у) “ (2х Зр - 221‘ + Эх2 + 5 + р' - вхр принимает наименьшее
значение.
Решение
Ответ
Заметим, что 9л4 f р* - вхр - (Зх - у)*. Значит. р(х; у) -
- (2х ♦ Зу - 22)* » (Зх - у>’ ♦ 5. Выражения (Зх - yf и
(2х • Зу - 22)* принимают неотрицательные значения при любых
значениях переменных, а потому наименьшим значением заданного
многочлена будет число 5. при одновременном выполнении двух ус-
ловий: 2x1 Зу - 22 - 0, Зх - у - 0. Таким образом, задача сводится
к решению системы уравнений
| 2х ♦ Зу - 22 - 0.
Зх - у “ 0.
Решив систему, получим х — 2. у — 6.
Наименьшее значение многочлена р(х; у), равное 5, дости-
гается при г = 2. у = в.
Умножим двучлен а 4 8 на двучлен а Ь:
(а + Ь) (а - б) — аг — ah ♦ ba - М • а1 - Ъ1.
Итак,
(а 4»>(е-» = *-Н.
(3)
расность
квадратов
Любое равенство в математике употребляют как слепя направо
(т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью!, так и
справа налево (т, е. правая часть равенства заменяется его левой ча-
стью). Ес ли формулу (3) использовать слева направо, то
она позволяет заменить произведение (я 4 б) (а - б) гото-
вым результатом а1 - Ь1. Эту же формулу можно не ноль
зевать справа налево, тогда она позволяет заменить раз-
ность квадратоп а1 - Ь! произведением (а 4 б) (а - б). Формуле (3) в
математике дано специальное назваште — разность квадратов.
Не путайте термины «разность квадратов» к «кнадрпт разности»
Разность квадратов это а1 б-’, значит, речь идет о формуле (3);
квадрат разности — зто (а - б)1. значит, речь идет о формуле (2).
На обычном языке формулу <31 читают справа налево так:
/кии ост* квадратов da ух выражений равна произведение/ суммы
этих выражений на их ражноств.
ПРИМЕР 5
Решение
Выполнить умножение (Зх - 20 (Зх 4 2у).
(Зх 20 (Зх 4 20 » (Зх)1 - (Зу)1 = Эх* - 4 у1.
ПРИМЕР Б
Представить двучлен 1вх‘ - 9 в виде произведения двучленов.
Решение
Заметим, что 1бх‘ - (4т1)1. 9 ~ З1. значит, заданный двучлен
есть разность квадратов, т. е. к нему можно применить
формулу (3), прочитанную справа налево:
16г* Р - (4x-> 3* - (4л4 • 3) (4х; 3).
Формула (3). как и формулы <1) и (2). используется иногш для
быстрого счета. Смотрите:
79 81 -(80 11(80 • 1) - 80-' I1 - 6400 1 --
42 38 - (40 4 2) (40 - 2) - 4О2 2: - 1600 - 4 - 1596.
158 МНОГОЧЛЕИЫ АГИФ*ЛЕТИЧ1 СКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
ПРИМЕР 7
Решение
Вычислить наиболее рациональным способом 6275 6269 6272’.
6275 - 626» - 6272‘ - (6272 * 3) (6272 - 3) - 6272’
- (6272’ - 3-'» - 6272-' - -9
ПРИМЕР В
Решение
Ответ
Нлпти отрпплтельиып корень уравнения
X* - 631 619 + 36.
Рассмотрим правую часть уравнения;
631 619 + 36 - (625 - 61(625 6) + 36 -
- (6258 - в8) 36 - 6252 - 25*.
Теперь заданное уравнение мы можем переписать в виде х* “ 25‘,
отрицательным корнем этого уравнения является число -25.
х- 25.
Рис SO
Рас. 79
Запершим разговор о формуле разно
стм квадратов любопытным геометриче-
ским рассуждением. Пусть а и Ь по
ложмтельиые числа, причем a > ft. Рас-
смотрим прямоугольник со сторонами
a + b и а - ft (рис. 79). Его площадь равна
(о + ft) (а — ft). Отрежем прямоугольник со
сторонами h и a - ft и подклеим его к остав-
шееся части так. как показано на рисун-
ке 80. Ясно, что полученная фигура имеет
ту же площадь. т. е. (о - ft) (а 6). Но эту
фигуру можно построить так: из квадра-
тя со стороной а вырезать кпидрит со стороной b (вто хорошо вид-
но на рис. 80). Значит, площадь новой фигуры равна а1 Ь2. Итак,
(а + Ь) (а - 8) = и8 - (Н, т. е. получили формулу (3).
Разность
Умножим двучлен а - b иа трехчлен а1 т uft т 8’:
(о 8) (о8 ♦ ab ♦ ft2) - а а2 ♦ a aft ♦ а ft4 - b a1 ft oft
к М - а* + в8Ь + ак8 и8к ак2 к8 - в’ М.
Аналогично
(а + ft) (в8 - eft + ft2) — в’ -г к8
(проверьте это сами).
Итак.
(в - Ь> (в3 4- аЬ + Ь1) - в1 - Ь';
(я 4- М («’ - вЬ + Р) - •' + к*.
(4)
(5)
Формулу (4) ООЫЧНО ПЛЗЫВЛ1ОТ р»1И«Т1Ю i.-убоа, формулу (э) —
гуммой кубов (по виду правой части).
Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Пре
жле чем ;«то сделать, заметим, что выражение а3 + ah ♦ 6* похоже иа
выражение в1 4- 2а b 4- Ь3. которое фигурировало в форму
рахноеть чубов ле ()) и давало (с * bf3; выражение о1 - ab 4- (И похоже на
сумма кубов выражение а! 2а6 + Ъ3, которое фигурировало в форму
ле (2) и давало (в - 6)*
Чтобы отличить (в языке) эти ппры выражений друг от дру-
га. каждое из выражений аг -4- 2я6 т М и <? - 2о6 + 6* называют
полным квадратом (суммы или разности), а каждое на выражений
а3 + аЬ + Ь3 и а1 - ab + Ъ3 называют неполным квадратом (суммы
или раамости). Тогда получается следующий перевод формул (4)и|3)
(прочитанных справа налево) на обычный язык:
ровность кубов двух выражений равна яроизвейеиню разности
зтих выражений на неполный квадрат их суммы:
сумма куЛпв двух выражений равна произведению суммы зтих
выражений но неполный квадрат ах разности.
ПРИМЕР 9
Выполнит:, умножение (2* - 1) (4х3 + lx + 1).
Решение
Так как первый множитель есть разность одночленов 2х
и 1, а второй множитель — неполный квадрат их гуммы, то
можно воспользоваться формулой (4):
(2х 1)(4х3-2х + 1)-(2х)’-1*»8х-’ 1.
ПРИМЕР 10
Решение
Представить двучлен 27а* • 86’ в виде произведения многочленов.
Заметим, что 27а* - (За*)*, 86' — (26)*. Значит, заданный
двучлен есть сумма кубов, т. г к нему можно применить
формулу (5). прочитанную справа налево:
27а* 4- 86' - (За’)1 ♦ (26)* -
- (За' + 26) ((За3)* За' - 26 + (26)3) -
= (За* + 26) (9а* ба'б + 4М).
160 Г“—МНОГОЧЛЕНЫ АГИФГИЕТИЧГ СКИ£ ОЛ1РАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Решение
Вычислить наиболее рациональным способом 0.546’ ♦ 0,454’ ♦
4- 3 0,546 0.454.
(0,546’ ♦ 0.454’) ♦ 3 • 0,546 0,454 -
- (0.546 » 0.454X0.546 0.546 0.454 + 0,454 М 3 0,546 0.454-
- 0,546а 0,546 0.454 ♦ 0,454’ 4- 3 0,546 • 0.454 -
- 0.546' + 2 0,546 0,454 • 0,454’ - (0.546 О.454Н - I1 -1.
Рассмотрим выражение (а + 5)’. Имеем:
(а +• 6)’ - (и + 6)-(а * 6) - (в’ + 2а5 4 6’) (в *- Ь) -
- а* + 2о’б + |йа + а’б + 2а1»’ + М “ в* ♦ Заа0 + Зоб’ т б4.
Авалояршо получаем:
(а б)4 - (а 5)’(а 5) =• (а‘ 2аЬ + 5’) (о 6) =
— о* - 2в‘ь + б’о - a‘t> е 2аб* - б’ — а3 - Зо’б + ЗоМ - М.
Итак,
(а + Ь>4 ♦ 3o*b ♦ ЗаМ ♦ 6*;
(а - И* = о’ - Зв1!» + 3<М - Ь*.
(6)
(7)
Формулу (6) читают так:
куб суммы двух выражений равен кубу первою выражения ялюе
утроенное произведение квадрата первого выражения ка ято/юе
нлюе утроенное произведение первого выражении на квадрат вто-
рого плюс куб второго выражения.
Формулу (7) читают так:
куб разности двух выражение равен кубу первого выражения ми-
нус утроенное произведение квадрата первого вы/шжения на втв
-Я рое плюс утроенное произведение первого выражения
куб суммы на квадрат второго минус куй второго выражения,
кубрааностм Этим «рормулам присвоены специальные назмния:
формуле (6) куб суммы, формуле (7) куб разности.
ПРИМЕР 12
Раскрыть скобки в выражении;
а) (2и + 36)’; 6) (х* - бф’)1.
Р»ш₽ни4»
я) (2л + ЗЛ)а = (2л>* + 3 . (2лр <ЗЪ> + 3 (2л) (38)* + (38)' =
- 8л' - 36л 'b + 54oh' + 27М;
б) (г* - 5/)' - (rV - 3 (г*)' (5/) + 3 (Р) (5JHH - (SpT -
- Р - 15РР - 75Р/ - 125И.
ПРИМЕР 13
Решить уравнение Р 118 - 149’ + Я • 14Я2.
Решение
Заметив, что 448 - 447 + 1 - 3 14» т 1 - 3 149 1» + I’,
перепишем данное уравнение следующим образом: Р -
- 149’ + 3 149' 1 + 3 149 1’ + 1’. В пражан части получился куб сум-
мы чисел 149 и I. т. е. приходим к уравнению Р (149 * 1)’. Получаем:
I 1->п I ISO.
В заключен иг еще раз подчеркнем, что кг полученные в атом па-
раграфе формулы (1 >—(7) используют как слева направо, так и сара-
на налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)—
(7) формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа
налево) говорят, что (1)—(7) — формулы разложения ни множители.
Вопросы для самопроверки
1. Чему равен квадрат суммы двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке
2. Чему равен квадрат разности двух выражений? Запишите
это утверждение ня математическом языке.
3. Можно ли данный многочлен представить в виде квадра
та суммы или квадрата разности? Если да. то сделайте это;
если нет. то объясните почему:
а) а' + tab + 48‘; в) х* + 2Оту + 25у';
б) х* 2 । 2х-у ( 2р*.
4. Чему раина разность квадратов двух выражений? Запиши-
те это утверждение на математическом языке.
5. Вычислите устно: и) 21 • 19; 6) 58 • 62.
П. Чему равна сумме кубов двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
7. Чему равна разность кубов двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
8. Какой из многочленов можно назвать полным квадратом, в
какой неполным квадратом: х2 - оху + ЯЬу2. х1 Юху +
+ 25у’?
162 ^двАЬ МНОГОЧЛЕНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ операции над многочленами
9. Чему ранен куб суммы двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
10. Чему ровен куб разности двух выражений? Запишите это
утверждение иа математическом языке.
§34
МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ
ПОЛНОГО КВАДРАТА
Во многих задачах бывает полезно преобразовать заданное вираже
ине так, чтобы, обнаружив в нем в разных местах три слагаемых
вида а1. Ъг и 2аЬ, объединить их в одну группу («-’ + ft2 t
(Я + 2ah>. что позволит ляписать эту группу слагаемых в пиде квадрата
суммы (о - Ь> *. В этом заключается определенный метод
метод выделения рассуждений. которым обычно называют метолом выде-
полеммоквадрата ленив полного квадрата. Рассмотрим ряд примеров.
ПРИМЕР 1
Найти наименьшее значение многочлена р(ж):
а) р(х) = г* - 6х + 8; 6) р(х) = 2г1 4 Зх - 5.
При каком значении х оно достигается?
Решены
я> Я*) “ х* - бх + К “ (х* - бх ♦ 9) - I “ (х - 3)’ - 1.
Теперь ясно, что наименьшее значение достигается мно-
гочленом при ж - 3: Я3> w -I- Почему? Потому что наименьшее зна-
чение выражения (х - 3)’ равно 0. оно достигается при х = 3.
6) pix^Zx1 + 3x-5 = 2^xJ +|*j-5-l|x* +2-| xj-5.
У выражения в скобках .тля полного квадрата ио хватает квадрата чяе
3 3
ла —. Заметив это. в скобках прибавим и вычтем квадрат числа —:
4 16 ' 8 4 1 8
Теперь ясно, что наименьшее значение достигается многочленом при
а) ДЗ) = -1:
Ответ
“> 44) -4
Мегад >нхл>нм полного
163
ПРИМЕР 2
Найти наибольшее эначение многочлена /их):
а» р(х) = 5 - 4х - 40; б) р(х) = Т 4- 4х - Зха.
При каком значении х оно достигается?
Решение
а) р(х) - 5 - 4х - 4х* - в (1 4- 4х 4 Чх') - 6 - (2х + 1)'.
Наибольшее значение достигается многочленом при х — —у;
в
. „ 1 4 4
1 - 2 -х »-----
3 9 9
4
3
1 - 2 -
3
-тТ -
3
д
3
„ _ 2
Наибольшее значение достигается многочленом при х -
Л
4
Ответ
“ в, ,|1|
Н-.
3
ПРИМЕР 3
Найти ту пару значений (х; 0, при которых многочлен р(х; 0 - 2х- *
+ Зху + 50 ♦ 4у + 3 достигает наименьшего значения при условии,
что х Зу “ 4.
Решение
Иа условия следует. что х • Зу + 4. Подставим выражение
Зу + 4 вместо х в данный многочлен:
Р(0-2(Зу + 4Н • 3(3у 4 4)у 4 60 I 4у 4- 3-
- 2 (90 + 24у ♦ 16) + Зу (Зу + 4) + 50 * 4у т 3 -
- 320 * 64у4 35 - 32(0 - 2у+1)+3-
- 32 (у т 1)1 4- 3.
Наименьшее значение многочлена равно 3. достигается оно при
У--1.
Если у
1.
164 МНОГОЧЛЕНЫ АГИФГИЕТИЧГ СКИ£ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
ПРИМЕР 4
Доказать, что многочлен Я®: *•> ~ 72оЬ 1ва'’ 8^t»2 при любых значе-
ниях переменных принимает неположительные значения.
Решение
р(а; Ь) - 72оЬ - 16<i-’ - 83b* - -(16а! - 72а* + В1М» -
- 2Ь! - -Не - 9Ь)’ - 2b1 - —((io - 9b)* + 21г). Выражение
(4а - 9b)’ т b2 -Р b’ как гумма трёх квадратов при любых значениях
переменных принимает неотрнцлтслы1ые яяачения. л потому выра-
жение -<(4u - 9b)1 4- 2b’) неположительно при любых значениях а
и Ь, что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 5
Какими должны быть размеры прямоугольного участка, периметр
которого ранец 60 м. чтобы площадь участка была наибольшей?
Решение
Участок представляет собой прямоугольник; пусть его дли-
на равна х м. ширина у м. тогда 2х +• 2у — периметр.
Рас. S1
Ответ
Из условия следует, что 2х + 2у - 60,
т. е. * + у - 30. у — (30 х) м тто ши-
рина прямоугольника (рис. 81). Площадь
S прямоугольника вычисляется по формуле
S х(30 - х) м1. Поработаем с выражением
для площади:
S - х (30 - х) - ЗОх - х2 - -(х2 - ЗОх) =
- (х2 ЗОх - 225) г 225 -225 (х - 15)’.
Значит, — 225 и достигается зто значение при X — 15. т. ».
когда участок представляет собой квадрат.
| Наибольшую площадь имеет квадратный участок ео сторо-
ной 15 м.
30 л
Вопросы для самопроверки
1. Какой одночлен нужно добавить к заданному многочлену,
чтобы получился полный квадрат суммы:
а) ж . <'» ж* I.
2. Какой одночлен нужно добавить к заданному многочлену,
чтобы получился полный квадрат разности:
а) 16Х2 + 25у‘; 6) х» + Збу"?
165
Снова, как к в начале S 31, сравним планы построения глав 5
и в. Вы. наверное. заметили. что эти планы почти одинаковы,
хотя полное совпадение нарушил предыдущий параграф (косая
ценный специфическим формулам сокращённого умножения), да
и в главе 5 мы рассмотрели возведение одиочлена в степень, а в
главе б соответствующего разговора о возведении в степень мно-
гочлена не было, за исключением случаев, когда двучлен возво
дится в квадрат или куб. Поете умножения одночленов в гла-
ве 6 шла речь о делении одночлена на одночлен. Вот н в главе 6
мы поговорим об аналогичной операции — делении многочлена иа
одночлен.
В ее основе лежит следующее свойство деления суммы на число:
(а + b - е): т - (а : т) * (Ь : гп) + (с : т).
Это позволяет сразу сформулировать правило деления многочлена
на одночлен.
Правило 4 Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каж-
дый член многочлена разделить на лот одночлен и полу-
ченные результаты сложить.
В § 27 мы отмечали, что не всегда можно разделить одночлен на
одночлен: чтобы деление было выполнимо, необходимо соблюдение
целого ряда условий вспомните их (или посмотрите н $ 27). пре-
жде чем рассматривать пример, который приведен ниже. Если задача
деления одночлена (простейшего многочлена) на одночлен не всегда
была корректной, то что же говорить о делении многочлена на од-
ночлен. Такое деление выполнимо достаточно редко.
ПРИМЕР 1
Разделить многочлен 2a2ft t (аб- на одночлен 2а.
Решение
(2а-Ь • 4а(>0 : 2а - (2<Н6 : 2н) ♦ (4а(Н j 2a) -
9 1 л
+ а. ь * 2 1 Ь1 - а* + 2(Н.
2 а 2 а
Здесь мы использовали тот способ записи, который обговорит
в $ 27. Л вот другой способ (можно применять и тот и другой, смотря
по тому, какой из них вам больше нравится): выделим в каждом члене
многочлена 2a-h ♦ 1аЛ- множитель, в точности равный делителю 2а
Получим:
2а'б ♦ lab2 - 2а ab + 2а 2Ь2.
Эту сумму можно записать в виде произведении 2а<аЬ ♦ 2й-'). Те
перь ясно, что если это произведение разделить иа 2а (на один мно-
житель). то в частном получится ab +- 2b1 (другой множитель).
ПРИМЕР 2
Разделить многочлен бг1 24х‘ на б г3.
Решение
Первый способ.
(fir’ - 24г3) : вх3 - (вх3 : «г*) - (24г* : вх3) -
«г* 21т2 _ б г* 21 ?
•г1 вг3 в Н 6 х3
1 - х - 4.
Limopou способ.
вх’ 24х3 - вх3 х - вх3 4 - вх3(х - 4).
Значит, частное от деления вх1 - 24х3 на вх3 равно х - 4
ПРИМЕР 3
Решение
Разделить многочлен Ио* + 6a:b - b на 2а*.
8в3 ♦ ва3б - b - 2а2 4а * 2а- Ы - Ь.
Поскольку в третьем члене заданного многочлена (речь
идет о члене 6) множитель 2а' не выделяется, деление невозможно.
Эта задача некорректна. Фактически мы снова, как н в конце § 27,
пришли к алгебраической дроби — на этот раз к алгебраической дро-
би в"1
Итак, деление многочлена на одночлен выполняется не всегда, а
если и выполняется. то требует определенных усилий. Деление же
многочлена на многочлен — еще более трудили (и еще более редко
выполнимая) операция, это нам пока не но силам.
Вопросы для самопроверки
1. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на
одночлен является корректным. Выполните это деление.
2. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на
одночлен является некорректным. Объясните почему.
116 Прздамтны* частоты
167
§36'
ПРОЦЕНТНЫЕ ЧАСТОТЫ
Среди 19 дивных 6. n, а. с. a. b. b. с. n, с. d, k. b. с. </. к, с. т. а не
которого измерения результат «с» встретился 5 раз. Значит, частота
результата аса рання i. Тут асе правильно. но работать с такими
дробями не всегда удобно. На практике чаще всего имеют дето с до
4
сятичными дробями. Например. — — 0.263157894.... или приб.ти
& *''
женио •> 0.2631. В статистике, как правило, десятичные дроби
умножают иа 100. переводя их тем самым в проценты. В данном слу-
чае получаем, что результат «с» составляет примерно 26,3% от коли
чества всех результатов Говорят также, что 26,8"; есть процентная
частота, или частота в процентах результата «с».
процентная
частота
Процентная частота - (Частота 100)'';
На самом деле с процентной частотой результата вы
уже встречались ранее, только называли ее процентной
долей. Правда, ранее ответы всегда были равны целому
числу процентов. На практике такие «хорошие» ответы довольно
редки. Кудл чаще приходится иметь дело с приближенными
значениями.
Разбором, например, вопрос о распределении «тлела переменных
в многочленах. Рассмотрим многочлены ху + г/, (а МЛ - с).
у ♦ ху1. (ах + 1)6х, ах1 * Ъх ♦ е, (х + 1)(х * 2), pqr», d 4 е ♦ f,
ах ~ by I d. ху, ху(и + о). x*y,x1iu;. (х + р)хр и выпишем в ряд числи
переменных в каждом из иих Вот что почучитея (проверьте!):
4, 3. 2. 3, 4, 1. 4, 3. 5. 2. 4. 5, 2
Получился ряд «нехорошего» объема 13. К сожалению, дробные
числа £- не могут быть записаны я виде конечной десятичиоп
1.1
дроби. Значит, при записи частот в десятичных дробях получатся
тишь приближенные значения этих частот. Но не будем опережать
события. Для начала составим таблицу распределения данных в
полученном ряду. Вот она:
Числа иереаеииык 1 2 3 4 5 Всего: 5 значсикП
Сколько раз вгтретилш-ь 1 3 3 4 2 Сумма: 13
1 Параграф написан II, В. Семеновым.
‘ В дальнейшем мы будем ограничиваться приближениями с точностью
до тысячных, т. е. до 3 го знака после «шитой.
168 МНОГОЧЛЕНЫ АГИФЫЕТИЧ1 СКИ£ ОЛ1РАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
Дописываем третью строчку из частот, сразу переводя их в
десятичные дроби. Для краткости оставляем только столбцы с
еущсствеииои информацией.
1 2 3 4 &
1 3 3 4 2
п И -. А..,2.1 та”-”" га ”‘и
Оставляем в третьей строке только десятичные дроби, умножаем
их на 100 и результаты выписываем в четвертую строчку.
1 2 3 4 &
1 3 8 4 2
0.077 >. ,1 0.231 0.308 0.15»
7.7 23.1 23.1 30.8 13.4
После заполнения четвертой строки сведения из второй и третьей
строки можно удалить, ведь они уже учтены. Останется таблица
распределения процентных частот.
распределения
процентные
ЧАСТОТ
Число вгремсипых 1 2 3 4 5 Всего: 5 значений
Члспгта (в %) 7.7 23.1 23.1 30.8 15.4 Сумма: 100.1 : (-100%)
Обратите «ниманне, сумма процентных частот равна
100,1%. Больше 100"'.!!! На первый взгляд — очень
странно. Воль мы умножили на 100 сумму всех (просто)
частот, т. е. умножили 100 на 1, а получили 100,1?!
Объяснение тут проего*.
Смотрите, частота результата равна 0,0769230"
13
- 0.077. Значит, ответ 7,7% является приближенным: мы немного,
ио увеличили точное значение. Небольшое увеличение получается
2
и для других частот: — - 0.15364... » 0,154. или 15,4%. При
сложении повеем результатам эти небольшие ошибки накапливаются,
и получается ответ 100.1%, Итак, давайте запомним: ответы для
процентных частот могут быть яг точными, а приближенными,
Соответственно, сумма всех процентных частот может оказаться
равной 100 % не точно, о лишь приблизительно.
169
В t r»Tiiniibt вместо термпвя частота результат» мету распрострамеи
и более сложный оборот отногительчол чоепозиа результата При этом
вбеаыатмой частотой результат» в.аыв.етса тот поизаатель. который мы
выписывали во второй строке таблицы распределения, г. е. количество вхож
депмй ре.пльтлта в имеющийся ряд данных. Мы ограничимся одним словим
•чистота».
Вопросы для самопроверки
1. Таблиц» распределения данных выглядит так.
Результат 0 □ Я •
Сколы» раз кгтретилг» 3 7 S < б
Найдите: а* объем полученных данных; б) моду данных;
в) частоту моды; г) процентную частоту моды. Заполните
таблицу распределения процентных частот.
Результат 6 □ Q Я •
П|и>Ц|*ктнав частота
2. В расширенной таблице распределения пятидесяти данных
некоторые сведения пропали.
Результат -5 -8 0 2 в
Сколько раз встретился 14 6
Час гита 0.2
Процента а я частота 24
Вычислите: а) что должно стоять в клетке под числом 0,2;
б> что должно стоять н клетке над числом 0.2; в) что должно
стоять в клетках выше числа 24; г) что должно стоять
в клетке под числом 0: д) значения во всех остальных
клетках.
Основные результаты
В этой главе мы мяучили еле дующие попятил:
многочлен, в частности двучлен. трехчлен;
— приведение подобных членов многочлена, взаимное
уничтожение членов многочлена:
стандартный вид многочлена;
— алгебраическая сумма многочленом.
Мы изучили следующие правила:
правило составлении алгебраическом суммы многочле
нов;
— правило умножении многочлена па одночлен;
— правило умножения многочлена ня многочлен;
правило деления многочлена на одночлен.
Мы изучили следующие формулы:
<а + ЬУ - а‘ 2uft ♦ Ь‘ (квадрат суммы);
— (а - ЬУ - о2 - 2аЬ + fta (квадрат разности);
— (а + ft) (а - Л) - а1 ft’ (разность квадратов);
— (и ft) (в2 ♦ aft + ft2) — a* ft2 (разность кубов);
— (а + ft) (и'' aft + ft2) — а* ♦ ft* (сумма кубов);
— (и + ЬУ “ а* + 3a’ft - ЗоЛ’ + Ь1 (куб суммы);
(и - ft? - a* - 3«2ft + 3aft’ - б* (куб разности).
Мы мучились складывать и вычитать многочлены, умно
жать и делить многочлен на одночлен, умножать много-
член на многочлен, применять формулы сокращенного ум-
ножения.
Мы позиакомитксьс понятием процентной частоты резуль-
тата измерения н с тем. как составлять таблицы рас вреде
тения процентных частот.
Темы исследовательских работ
Формулы гокрищеиного умножения.
Метод выделения полного квадрата.
Процентные частоты. Относительная к абсолютная частота.
171
ГЛАВА
РАЗЛОЖЕНИЕ
МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
# 37. Что такое разложение многочленов на
множители и зачем оно нужно
# 38. Вынесение общего множителя за
скобки
# 39. Способ группировки
# -10. Ра вложение многочленов на
множители с помощью формул
сокращённого умножения
# 41 Разложение многочленов на
множители е помощью комбинации
различных приёмов
# 42. Сокращение алгебраических дробей
# 43. Тождества
# 44. Среднее значение и дисперсия
§37
ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО
Для начала выполним знакомую операцию: умножим многочлен 2х-3
на многочлен к + 2.
(2х - 3|(х ♦ 2) = 2х* + 4х - Зх - 6 - 2х’ -I- х - в.
Итак, (2х 3> (х ♦ 2)— 2г1 ♦ х в.
Это равенство можно записать по-другому, поменяв его части ме-
стами:
2? * х 6 - (2х 3) (х 4- 2).
Такая запись означает, что многочлен 2х; + х - 6 представлен в виде
цроизаедеиия более простых многочленов 2х - 3 и х - 2. Обычно в
таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на мни
жители.
}пМд 7 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
На самом деле формулировка «разложение многочлена на множи-
тели» ним уже знакома. мы несколько раз использовали ее в главе 6,
ио там же мы говорили, что позднее более подробно обсудим эту про-
блему (проблему разложения многочлена на множители). Это пре
ми пришло. Однако сначала убедимся в том, что разложение мио
гочлена на множители — вещь полезная (иначе зачем нам этим зани-
маться?).
Представьте себе, что вам предложили решить уравнение 2х - 3 -
- 0. Вы справитесь с этим бе» труде: 2х - 3, * - 1,5, Затем вам пред
дожили решить уравнение г + 2 - О. И г ним вы справитесь легко:
х - 2. А теперь вам предлагают решить уравнение 2х* + х б - О,
т. С. дать ответ на вопрос, при каких значениях х трехчлен 2xJ + х - б
обращается в нуль, эти значения х называют корнями уравнения.
Для таких уравнений имеется специальное привило решения, но вы
его пока нс знаете. Как быть?
Воспользуемся полученным вьппе разложением многочлена
2л - + х 6 на множители: 2л* • х 6 - (2л 3) (л т 2). Тогда задан
ное уравнение можно переписать в виде
(2х - 3)(х т 2) - О,
Теперь остается воспользоваться следующим известным фактом:
если произведение двух множителей равно нулю, то один из мно-
жителей равен нулю. Значит, либо 2х - 3 « 0, либо х + 2 - О. Зада
ча свелась к решению двух более простых уравнений. Из уравнг
ния 2х 3 — 0 получаем х - 1,5. Ио уравнения х + 2 - О получаем
х -2. Уравнение решено, оно имеет два корня: 1.5 и -2.
Итак, разложение многочлена на множители может пригодиться
нам для решения уравнений.
Рассмотрим другую ситуацию. Пусть нужно найти значение чке
47j
левого выражения ———. Можно, конечно, проводить вычисле
ния «в лоб», но более эффективно дважды восполвловатъся формулой
разности квадратов:
5.1* - 47* ж (53 47)(53«47) ж Н 1 (Ml _ 6 ж Я
61* -39* 161 391(61-39) 22 100 24 1Г
Разложение на множители посшолило нам сократить дробь. Позднее
мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дро
бями.
Таким образом, разложение многочлена на множители исполь
з у-гтс я для решения уравнений, для преобразования числовых и ал-
гебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях,
как. скажем, в следующем примере, где ключ к успеху опять-таки в
разложении на множители.
i W Что «дир, Н1ЖИКМ. ммлгочпомоа на 1 173
ПРИМЕР
Решение
Доказать, что для любого натурального числа п выражение п* » 3nJ •
4 2 л делится без остатка на 6.
Пусть pin) - и* 4 3nJ 4 2л.
Вели л = 1. то р(1) - 1 + 342- 6. Значит. /М1) делится
на 6 без остатка.
Если л - 2, то р{2) - 2’ * 3 2‘ + 2 2 - 6 ♦ 12 + 4 - 24.
Следовательно, и р<2) делится на 6 без остатка.
Если н - 3. то р(3) - 3* - 33* 423 - 27+ 27 46 - 60. Поэтому
и р(Л) делится иа 6 без остатка
Но вы же понимаете, что так перебрать все натуральные числа
нам нс удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические ме-
тоды.
Имеет место равенство
я* * Зя* + 2л — я (л 4 1) (л + 2).
В гамом деле.
Л (л 4 1) — п‘ 4 Л,
(л* 4 л) (л т 2) - л’ + 2л* 4 я* 4 2л - л4 » Зл* 4 2л.
Итак,
р(л) - л (л + 1Нл » 2).
т. е. р(л) есть произведение трея идущих подряд натуральных чи
сел л. л + 1. л 4 2. Но иа трех таких чисел одно обязательно делится
иа 3. значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, ио край
ней мере одно из этих чисел — четное, т. е. делится на 2, значит, и
произведение делится на 2. Итак. р(л) делится и на 2. и на 3. т.е.
делится и на 6.
Все прекрасно, скажете вы. ио как догадаться. что л1 + Зл’ + 2л -
- л (л + 1) (я + 2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению мно-
гочленов на множители. К этому и перейдем: в каждом из следую-
щих параграфов этой главы мы будем изучать тот или иной прием
разложения многочлена на множители.
Вопросы для самопроверки
1. Используя материал данного параграфа. расскажите, для
каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен
на множители. Попробуйте привести примеры таких зада-
ний.
52^ - 34?
2. Вычислите без калькулятора: ' д .
174
ГЛАВА 1 РА 5 ЛОЖЕН НЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА множители
§38
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
ЗА СКОБКИ
Разложение многочлена на множители
с помощью вынесения за скобки общего
множителя
Прежде чем начинать научение этого параграфа. вернитесь к § 31.
Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить
многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Если такое
произведение удалось составить, то обычно говорят, что многочлен
разложен на множители с помощью вынгсгния общгго мнажитгля м>
скобки. Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1
Разложить на множители многочлен:
а) 2х + 6щ в) 4а* + ба'; д) 5а‘ — 10а* + 15а4.
6» а’ ♦ а1; г) 12аб‘ - ISu’h’c:
Решение
я) 2т + &у « 2(х + Зр). За скобки вынесли общий делитель
коэффициентов членов миогочлаыа.
б) а* + а’ = а3<а + 1). Если одна и та же переменная входит но все
члены многочлена, то се можно вынести за скобки в степени, равной
наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имею-
щихся показателей).
в) Здесь используем те же приемы, что и при решении при-
меров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель
(в данном случае число 2). для переменных — наименьшую степень
из имеющихся (в данном случае я’):
4а' + 6а’ - 2а' 2а * 2а‘ 3 - 2а‘(2а + 3).
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не
просто общий делитель, я наибольший общий делитель. Для комффш
циситов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит
в оба члени многочлена. при этом никмеиыиий показатель равен 1.
Переменная b также входит в оба члена многочлена, причём иаимеяь
ший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во вто-
рой член многочлена и не входит в первый член, значит, эту перемен
иую нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итше получаем:
12u/>‘ - ISoWe = Sab1 2Ь - 6аЬ‘ Зае бой'(2Ь - Зас).
д) за' — 10а’ ♦ 1эоь = ба3(а - 2 + За’).
вычсссние общвго множителя за ом**11
175
В этом примере мы фактически использовали следующий алто
ритм.
I АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
НЕСКОЛЬКИХ ОДНОЧЛЕНОВ
1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночле-
нов, входящих в многочлен, он и будет общим числовым мно
жителем (разумеется. это относится только к случаи» целочислен-
ных коэффициентов).
2, Найти переменные, которые входят я каждый член многочлена,
и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показа
гель степени.
3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и сте-
пеней. найденных на втором гпяге, является общим множите том.
который целесообразно вынести за скобки.
Следует понимать, что шаги 1 и 2 алгоритма имеют roecpttieiiito рвз
пиН статут. В реальных задачах коэффициенты почти никогда не бывают
целыми числами (а оказываются целыми благодаря усилиям составителей
задичвннов. подбирающих условия так. чтобы ответ быв покрасивее). Поэ-
тому mar 1 поевагцен лить получению наиболее приятной для глава запи-
си, тогда как ыыг 2 есть нечто содержательное.
В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего
множителя и дробный коэффициент. Например:
2.4* + 7.2ц - 2.4(* + Зр);
Разложить на множители многочлен
“ 2*V + 5*<
Воепользуемсл сформулированным алгоритмом.
1) Наибольший общий делитель коэффициентов 1, -2 н & ра-
вен 1.
2) Переменная х входит во псе члены многочлена с показателями
соответственно 4. 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки зг*.
Переменная ц входит не во все члены многочлена; значит, ее
нельзя вынести за скобки.
3) Вмят); ял скобки можно вынести ж1. Правда, в .данном случае
целесообразнее вынести за скобки -х*. Итак,
-*'/ - 2х’/ + 5*1 - -*4*V + 2л/ - 5).
176
ГПМЛ 7 ИЗЛОЖЕН К МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
ПРИМЕР 3
Можно ли разделить многочлен 5e* 10а3 • 15а3 на одночлен: а* 5а‘;
6) 2oaf? Если да, то выполнить деление.
Решение
а) В примере 1д) мы получили, что
Зо4 - 10и' ♦ 1ви* 5оя(о -2 4- Зя’).
Значит, заданный многочлен можно разделить на 5я’, при этом в
частном пол учится а 2 * Зя'.
6) 5п4 - 10а3 + 15а“ - 25п’|
1 । 2 3.1
5° -а - |.
Значит, заданный многочлен можно разделить на 25а'. при этом
1 , 2 3 ,
в частном получится -а -а + -а
2
Подобные примеры мы рассматривали в $ 35; просмотрите их, по-
жалуйста, еще раа. ио уже с точки арония выкасеяня общего множи-
теля за скобки.
Риз ложей не многочлена на множители с помощью вынесения об
щего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, ко-
торые мы изучали в 5 31 и 35. с умножениям многочлена на од
ночлен и с делением многочлена на одночлен.
Л теперь несколько расширим наши представления о вынесении
общего множителя за скобки. Дело в том. что иногда алгебраическое
выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя
может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов, т. е.
некоторый многочлен.
ПРИМЕР 4
Разложить ня множители
2х(х - 2) ♦ 5 (ж - 2Н.
I Введём новую переменную р — х - 2. Тогда получим:
2х(х - 2) 4- 5 (я - 2)’ - 2ху * 5р3.
Замечаем, что переменную у можно вынести ЯН скобки: 2ху +
4- 5 у — р(2х + 5у) А теперь вернёмся к старым обозначениям:
у(2х - 5у> ’ (г - 2)(2л - 5<х - 2» -
= (х 2)(2х 4- 5х 10) = <х 2)(7х 10).
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта мож
ио ие вводить новую переменную, а сразу использовать следующую
запись;
2х (х - 2) ♦ 5 (х 2)’ - (х - 2) (2х ♦ 5 (х 2)) -
-<х 2)(2х 4-5х 10) - (х 2)(7х 10).
ПРИМЕР 5
Решение
Вычислить (2 1(У + 3 - ММ fr 7 10 + 5) (9 ЮЧ 8 10 + 4) -
- 984 2365.
Числовое выражение п первых скобках это число 2375,
числовое выражение во вторых скобках это число 984
Заметив это. произведем вычисления:
2375 984 - 984 23вй - 98-1 (2375 - 23вй) = 984 10 - 9840.
ПРИМЕР Б
Доказать, что (71 4 11') ; 23 (напомним еше раз. что символ : озна-
чает «делится на»),
КЕЕШЯЯН Имеем 7е ♦ 14‘ - 7* 4 7* 2* - 7X7 + 2‘) - V 23. Делимость
11ЮЛУМ9М14ОГО произведения ив 23 Т₽пррк ИР ВЫЗЫВАЮТ никл*
кмх сомнений.
ПРИМЕР 7
Решить урнвиение (л 2) (х 4 ЗУ - (л > ЗНл 2У.
Ответ
Преобразуем ypaaueuue к виду
(х - 2) (х + ЗУ - (х + 3) (х - 2У - 0
н вынесем в левой его части за скобки общий множитель (ж - 2) <х * 3).
получим:
(х - 2)(х + 3)((х > ЗУ - (х - 2У) “ 0;
(х 2)(х ♦ ЗМх ♦ 3 4 х 2Хл 13 х » 2) — О;
5<х - 2)(х + 3)(2х 4 1)-0.
Значит, либо х - 2 — 0. откуда находим х - 2; либо х + 3 - О. откуда
находим г - 3; либо 2х ♦ 1-0. откуда находим х - 0.5.
3. -0.5. 2.
пример а
Решить систему уравнений
(х-2у)’ - 11(х-2у),
2х + р - 50.
178
ГПМА 7 РАJложЕЙНЕ МНОГОЧЛ1НОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Решена
Ответ
Преобразуем первое уравнение системы:
(х - 2tf - 11(х - 2ц) - О:
(х- 2уМх - 2у- 111-0.
Значит, либо х - 2у — О, либо х - 2у - 11 — О, а потому решение
заданной системы сводится к решению двух систем:
х - 2р - 0. | х - 2у - 11 - 0.
2х • у - 50; I 2х ♦ ц - 50.
Из первой системы получим х — 20, у - 10, из второй х — 22.2,
у - 5,в.
(20; 10), (22.2; 5.6).
ПРИМЕР 9
Решить систему уравнений
| х’ - 4у’ Зх ♦ бу = 4ху,
|8х + р - 21.
Решены
Преобразуем первое уравнение системы;
(х* - 4xjr т 4у’) - (Зх - вр) - 0;
(х - 2р)' 3 (х 2у) = 0;
(х - 2уНх - 2у - 3) - 0.
Значит, либо х 2у - 0. либо х 2у 3 - 0. а потому решение
заданной системы сводится к решению двух систем:
х - 2у - 3 - 0.
Зх + у - 21.
6. у - 3. из второй — X - 6^.
Ответ
(х - 2р - 0.
Зх * у - 21;
Из первом системы получим х
»«>.(«!; ’(
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте алгоритм отыскания общего множителя
нескольких одночленов.
2. Приведите пример трехчлена, у которого можно вынести за
скобки общий множитель Зх1.
3. Объясните, почему числовое выражение 2* t 3 2" делится:
а) на 13: б) на 26; в) на 52.
S39
СПОСОБ ГРУППИРОВКИ
Понятие о способе группировки
при разложении многочлена
на множители
Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следуют if (I
пример.
ПРИМЕР 1
Разложить на множители многочлен
2а‘ 4 ба + ab + ЗЬ.
Решение
Объединим одну группу первые два члена, а в другую —
последние два члена многочлена:
<2aJ + би) + (ab + ЗА).
Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а,
а во второй группе — Ь: получим 2а (а + 3) + й(а т 8). Теперь мы
видим, что «проявился, общий множитель 1а +• 3), который можно
вынести за скобки. В результате получим (а ♦ 3» (2а ♦ А).
Поскольку процесс преобразований в примере I перемежался
комментариями, приведем еще раз решение. ио уже без коммента-
риев:
2а1 + ба * ой ь 34» - (2 а- ‘ ба) ♦ (а4> • 34») -
- 2а (а + 3) + Ъ (а + 3) - (а +• 3) (2а + А).
Объединение членов многоплана 2а1 + во -г att г Ah в группы мож-
но осуществить различными способами. Однако нужно учитывать,
что иногда такая группировка оказывается удачной для последующе-
го разложения на множители, а иногда нет. Проведём эксперимент.
Объединим в одну группу первый и третий члены рассматрипаемого
многочлена, а в другую группу — второй и четвёртый:
2а' 'Ла I ай ♦ 34» — (2аа ♦ ай) 4 (flu ЗА) -
- a (2а • ft) 4 3 (2а 4- !>) - (2а - Ь) (а + 3).
Разложение на множители получилось, группировка оказалась
удачной.
Теперь объединим в одну группу первый н четвертый члены, а в
другую второй и третий:
2а1 + ба 4 ab + 3ft - (2а1 4 3ft) + (6а + ab) - (2а2 - ЗА) + а(6 + А).
Эти группировка явно неудачна.
ISO
ГЛАВА 7 PA J ЛОЖЕН WE МНОГОЧЛ1 Hot НА МНОЖИТЕЛИ
П<н)ве<)ем итоги. Члены многочлена можно группировать гак,
способ
как нам хочется. Иногда удается такая группировка. что в каждой
группе после вынесения общих множителей а скобках остается один
и тот же многочлен, который, в свою очередь, может
быть ни несен за скобки как общий множитель. Тогда го
группировки
ею par. что разложение многочлена ни множители осу-
ществлено способом группировки.
ПРИМЕР 2
Решение
Ответ
Разложить на множители многочлен
др - в * Зх - 2р.
Первый способ группировки:
ху в t Зх 2у - (др 6) + (Зх 2р).
Группировка неудачна.
Второй способ группировки:
ху в 4 Зх - 2у - (ху Зх) ♦ (-6 - 2у) -
- х(у * 3) - 2 (у + 3) - (у - 3) (х - 2).
Третий способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у — (ху - 2у) + (-6 + Зх) =
- у(х - 2) ♦ 3 (х - 2) - (х - 2) (у + 3).
ху в ♦- Зх 2у — (х 2) (у г 3).
Как видите, не всегда с первого раза группировка бывает
удачной. Если группировка оказалась неудачной, то откажитесь от
псе. ищите иной способ. По мере приобретения опыта вы будете бы-
стро находить удачную группировку, как это сделано в следующем
примере.
ПРИМЕР 3
Разложить на множители многочлен
ub 2иЬ + Зв 4 2Ь‘ и> - б.
Решение
Составим три группы; а первую включим первый и четвёр-
тый члени, во вторую — второй и пятый, в третью —
третий и шестой:
ah’ - 2аб -г За + 2fc' - 46 т 6 - (об3 * 26') +- (- 2о6 46) т
+ |3е* в)- М(о 4 2) 2h(e ♦ 2) 4 3(о + 2).
1 »9 Сносов группировав
131
Ответ
Во всех группах оказался общий множитель (а » 2), который
можно вынести за скобки. Получим (а + 2) ((И - 26 + 3».
аМ - 2ab + За * 26’ - 46 + 6 - (а + 2) (М - 26 * 3).
Иногда полезно проверить себя. т. е. в полученном разложении на
множители выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть
скобки) и убедиться, что в результате получится тот многочлен, кото-
рый был задан. А если нет? Тогда надо искать ошибку в разложении
ня множители.
ПРИМЕР 4
Разложит!, на множители многочлен х1 7х + 12.
Решение
Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример
к способу группировки, ведь здесь и группироватъ-то нече-
го? Это верно, ио можно сделать небольшой «фокус»: волн продета
вить слагаемое 7х в виде суммы Зх 4х. то получится сумма уже
нс грех (как в заданном многочлене), а четырех слагаемых. Эти четы-
ре слагаемых можно распределить по двум группам;
X* - 7х т 12 - х3 - Зх - 4х * 12 - (х1 - Зх) - (-4х + 12) -
-ж(х 3) 4(х 3) - (х 3) (х 4).
ПРИМЕР 5
Рашение
Решить уравнение;
а) х* - 7х ♦ 12 - О; б) х’ - 2г* ♦ Зх - б - О.
а) Разложим трехчлен х‘ - 7к + 12 па множители так. как
это сделано в примере 4:
х1-7х4 12-(х - 3) (х - 1).
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (х 3)(х 4) - О.
Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два корня: х - 3, х - 4.
6) Разложим многочлен Xя - 2ха +• Зх - 6 на множители:
х1 - 2л1 + Зх 6 - (х1 Зх1) + (Зх в) -
- хл(х - 2) + 3(х - 2) - (х - 2) (х1 + 3).
Перепишем теперь заданное уравнение в виде
(х 2) (х1 ♦ 3) - 0.
132
ГПМЛ 7 pa 5 ЛОЖЕН ИС многочленов НА МНОЖИТЕЛИ
Ответ
Так как произведение равно нулю, то равен нулю одни из множите
лей. Но г1 ♦ 3 при любых значениях х является положительным чис-
лом. т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может выполняться
только равенство * 2-0, откуда получаем х - 2.
а) 3. 4; 6) 2.
ПРИМЕР 6
Построить в системе координат гОу график линейной функции
И - р‘ * Зрх, если иовестно, что этот график проходит через точку
(2: -5) и пересекает ось абсцисс в точке, расположенной левое точки
(1: О).
Решение
Поскольку трафик проходит через точку 12: 5). должно
выполняться соотношение -5 = р! •* Лр 2, т. е. р* + Ьр +
• б - 0.
Подобное уравнение, применив способ группировки, мы уже ре-
шили выше, в примере 5а). Здесь мы тоже применим способ группи-
ровки:
р* + 6р + 5 - 0;
(Р* + Р) + (5р * 5) - 0;
pip 3-1) + 6(р + 1) = О;
ip ♦ 1) (р + 5) - 0.
Значит, либо р +• 1 - 0, т. е. р — -1, либо
р •+ & « 0. т. е. р = -5.
Нели р ” 1, то заданная линейная функ
ним принимает вид у — 1 Зх: если р «* 5. то
заданная линейная функция принимает вид
у — 25 - 15г. Осталось из зтих двух линей-
ных функций выбрать ту. график которой
пересекает ось абсцисс в точке, расположен-
ной левее точки (1; 0).
Прямая у - 1 Зх пересекает ось абсцисс в тючке I ° I- в прямая
левее точки (1: 0) расположена лишь
линейная функция — лто у - 1 - Зх,
у - 25 - 15х — в точке | < О |.
точка | 0 |. Значит, искомая
её график изображён на рисунке 52.
< >* Слогов груППМрОВЬИ
113
ПРИМЕР 7
Построить графим уравнения г- » 2хр 8т бр ♦ 15 - 0.
Решение
В Разложим левую часть уравнения на множители, предвари*
гель но представив одночлен -8х в виде -Зх - 5х;
г* + 2ху - вх - вр - 15 “ х* - Зх •+• 2хр -вр-5х+15 =
“ (х* - Зх) + (2ху - бу) - (5х - 16) “
-х(« S) ’,<> S) '.(г Л)-(1 ЗЦл • 2р 5».
Значит, уравнение, график которого нам надо построить. можно
записать так:
(* ЗИХ
Рис. S3
' 2р 5) - 0.
График этого уравнения — объ-
единение двух прямых: прямой х - 3
(прямая, параллельная оси ордп
наг) и прямой х * 2f - 5 - 0. Для
построения второй прямой следу-
ет найти две точки, рп принадле-
жащие: если у - О. то х - 5; если
х - 1, то у - 2. Итак, строим вторую
прямую по тачкам (5; 0) и (1; 2).
График заданного уравнения (две
прямые) изобижен на рисунке 83.
ПРИМЕР8
Решение
Найти пары целых чисел (х; р), которые удовлетворяют уравнению
9у + 10х бху — 8.
Поработаем с левой частью уравнения:
9р + 10х - бхч “ («У - вху) + 10х 3у(3 - 2х) + ()0х - 15) + 15 -
-3р(3 2х)*5(2х 3) ♦ 15 - 15 Зу(2х 3) ♦ 5(2х 3)-
- 15 + (2х 3) (5 Зу) - 15 - (2х 3) (Зу 5).
Значит, заданное уравнение можно переписать так:
15 - (2х - 3) (Зр - 5) — 8. откуда следует, что (2х - 3) (Зу - 5) - 7.
Нас иятерсч-уют только целочисленные решения уравнения, зна-
чит. оба множителя в левой части уравнения должны быть целыми
числами, которые при перемножении дают в результате 7. Какие
два целых числа дадут 7 в произведении? Есть лишь 4 возможности:
1 и 7, 7 и 1, -1 и -7. -7 и -1. Рассмотрим каждый из этих четырех
случаев по отдельности.
1) 1 и 7. Это значит, что 2х 3 - 1, Зу - 5 - 7. Отсюда следует,
что х - 2. у - 4.
184
ГЛАВА ? РА У ЛОЖЕН И£ МНОГОЧЛ1НОВ НА МНОЖИТЕЛИ
2) 7 и 1. Это значит, что 2.» 3 - 7, Зу 5-1. Отсюда следует,
что х — 5. и - 2.
3) -1 и -7. Это значит. что 2х - 3 - -1. Зу - 5 ** -7. Отсюда еле-
дует. что х - 1, у -. Эта ияра кие ио устраивает, пае интересуют
только пары целых чисел.
4) 7 и 1. Это значит, 'по 2х 3 — 7. Зу 5-1. Отсюда сле-
дует, что х - -2. у - -j. Эт пара нас также не устраивает.
(2; 41 и (5: 21.
ПРИМЕР 9
Доказать, что при любом натуральном значении л выполняется со*
отношение (л* а- 6л* - 11л1 4- 6л) : 24.
Похожий пример, но попроще мы рассмотрели выше, и
Решение
§ 37. Теперь нам по силам более сложный пример. Порабо-
таем с многочленом и* 4- 6п:| 4- Пл’+ 6п. попытаемся разложить его
на множители — это всегда полезно при решении задач на делимость:
л* + 6пл + 11л1 + 6л — п (л* 4- л1 + 5л1 + in + 6п + 6) —
= Я <л’(л 1) 4* 5л (Л 4- 1) Т в (Л 4- 1)) = Я (Л 4- 1)(яг 4- 5л 4- в).
Теперь разложим на множители трехчлен л* ♦ 5л е в:
я* * 5л 4- 6 = л1 4- 2я 4- Зл 4- в = л (я 4- 2) - 3 (л 4- 2) =
-(л + 2)(л 4- 3).
Итак, л* 4- вл1 4- 11л’ 4* вл - л (л 4- 1)(д 4 2) (л 4- 3).
Среди четырех подряд идущих натуральных чисел л. п + 1. п 4- 2,
л + 3 обязательно присутствует хотя бы одно число, делящееся на 3,
и два четных числа, причем одно из этих четных чисел даже делится
на 4. Значит, произведение этих четырех чисел делится на 2 3 4,
т а. иа 24. Итак, (я4 4" вл1 + 11n’ 4 вл) 24.
ПРИМЕР 10
Имеются лая сплава с различным процентным содержанием меди,
один — массой 12 кг. другой — массой 8 кг. От первого и второго
сплавов отрезали куски равной массы и поменяли местами. В ре
аультате получилось два новых сплава с теми же массами, ио уже
с равным процентным содержанием меди. Какова масса каждого из
отрезанных кусков?
1S5
Р*ш«ии«
I ЭТАП. Cofmae."nur мат»матич*скоЬ jtodfju.
Введем три нерешенные: х кг — масса каждого на отрезам-
пых куеков: у % — содержание меди о персом сплаве, г % — содер-
жание меди во втором сплаве. После того как от каждого из не рвом а
чал иных сплавов отрезали по куску массой х кг и поменяли местами,
получились два новых сплава: их структуры схематически представ
лена на рисунке 84. Обсудим эти схемы.
На рисунке 84, о представлена структура третьего сплава: он со-
стоит из (12 х) кг первого сплава с /".-ным содержанием меди и из
х кг второго сплава e z"z>-hmm содержанием меди. Можно подсчитать
массу Л меди в третьем сплаве:
ж I кг.
На рисунке 84. б представлена структура четвертого сплава: он
состоит на (8 х) кг второго сплава с г",',, пым содержанием меди и на
х кг Первого сплава с у -ным содержанием меди. Можно подсчитать
массу меди В в четвёртом сплаве:
В —
’ 100
кг.
У
100
Наступил самый ответственный момент. Что значит, что процент
ное содержание меди в третьем и четвертом сплавах одинаково? Это
значит, что отношение маеты меди п третьем сплаве к массе третье-
го сплава равно отношению массы меди в четвёртом сплаве к массе
р
—. Из этой пропорции следует, что 24 — ЗЯ,
четвертого сплвва:
Лиг. Ы
S меда
• *• меда
модель задачи.
Это уравнение — математическая
11 ЭТАП. Работа с еостаа.гепмой моделью.
Умножим обе части уравнения на 100 и раскроем скобки в оГгеих
частях уравнения:
24у - 2ху • 2хх — 24г - Зхз + Эху;
(24у - 24х) + (Sxx - 5ху) = О:
186
СПАЛА 1 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕИОЯ ИА МНОЖИТЕЛИ
24 (у - Е) - 5лг (у - е) - О:
(р г) (24 &х) - О.
По условию у * г, по тогда из последнего уравнения следует, что
24 - 5х - О. т. е. х - 4.8.
111 ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Нам нужно было найти массу каждого из отрезанных от обоих
сплавов кусков, эту величину мы обозначили буквой х, так что ответ
ня вопрос зядячи уж* получая: от каждого из сплавов отрезали (и по
меняли местами) по 4,8 кг.
Обратите внимание, что в составленном уравнении было три пе-
ременных. из которых две вас не интересовали, да. впрочем, они и
исчезли в процессе преобразований.
| 4,8 кг.
Вопросы для самопроверки
1. Дан многочлен 2лг* < х‘а 2ах в*. Применяя для его раз
ложсиия на множители способ группировки, можно посту-
пить так:
а) сгруппировать 1-й и 2-й. 3-й и 4-й члены;
б) сгруппировать 1 й и 3 й. 2 й и 4 й члены;
в) сгруппировать 1-й и 4-й. 2-й и 3-й члены.
В каких случаях группировка окажется удачной и приве
дет к разложению многочлена на множители, а в каких —
нет?
2. Постройте график уравнения ху - х - у + у1 — О. Если ока-
жется. что гржркк состоит из двух прямых, то найдите точ-
ку пересечения этих прямых.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
В § 33 мы получили семь формул сокращенного умножения. Там же
мы отмети ли, что любой из этих формул можно пользоваться как для
сокращенного умножения многочлена па многочлен (если применять
формулы в том виде, в котором они были записаны в § 33), так и для
разложения многочлена на множители, если их переписать следую-
щим образом:
a1 - M - (a - b) (a т by.
a4 - bJ - (« - b) (e* + ab + b1);
a’ ♦ fc’ « (4 ♦ b) (e* ab ♦ b’)t
a* I 2ub i h - (u । b)1.
a* - 2ab + b; - (a - bH;
• ‘ + Sa!b + Sab* + b’ - (a + by*;
• ’ - 3«'b + 3ab*—b* - (< - bf.
(1)
(2)
<3>
(4)
(6
<©>
(?)
Парную из этих формул можно применять к выражению. пред-
ставляющему собой ралнпсть квадрата* (безразлично чего — чи-
сел. одночленов, многочленов), вторую и третью — к выражению,
представляющему собой раликть (сумму) кубов, четвертую и пя-
тую формулы применяют к трехчлену, представляющему собой пол-
ный квадрат. т. е. содержащему сумму квадратов двух выражений и
удвоенное произведение тех же выражений; шестую н седьмую 4юр
мулы применяют к многочлену, представляющему собой полный куй.
ПРИМЕР 1
Разложить на множители:
а) 64Х1 - 9;
6) х* 4и‘;
а) (2x - I)1 - 25;
г) (а + 3>; (Ь 2)-.
Решение
Во всех четырех примерах воспользуемся <|>ормулой (1)
(резвость квадратов):
а) б4х’ - 9 - (8х)' - 3’ - (8х - 3) (8х т 3);
6) ж" 4о‘ - (х*Н (2aV - (г* 2яг) (г* ♦ 2в-*);
в) (2х - 1р - 25 = (2х - 1Н - 5а = ((2х - 1) - 5) (<2х - 1I • 5) =
- (2х - в) (2х + 4) - 2 (к - 3) 2 (х ч 2) - 4 (х - 3) (х + 2).
Здесь, кроме формулы разности квадратов, мы использовали при-
ем вынесения общего множителя эа скобки — для двучленов 2х - 6
и 2х + 4.
г) (« + 3)’ - (Ь - 2)’ = ((а + 3) - (Ь - 2)) ((а + 3) + (Ь - 2)) -
* (о + 3 - b + 2) (а + 3 ♦ b - 2) *< <я - б + 5) (о + b t 1).
ПРИМЕР 2
Разложить па множители:
а) I2&aj 8b’; б) о* + 2?Ьа; в) х* - а‘.
Решение
Здесь воспользуемся формулами (2) и (3) (разность и сумма
кубов).
а) 125a’ - 8b* - (5a)’ - (2*)* - (5a - 2b) ((5a)’ 4 5a 2b + (2b)’) -
- (5a 2b) (25a? 4 10ab • lb').
188
СПАВ* 1 РЫПОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ИА МНОЖИТЕЛИ
6) О* 4 27^ - (а-у е (3*1* - (а* е 36) • ((«у о* • 36 ь (36)*) -
- (<? + 36) (а4 ЗагЬ + 96‘).
а) Играми способ:
х* а4 - (х*)1 («у - (х‘ а') ((х1)* ♦ х! л* ♦ (а - И) -
• (х - а) (х 4 а) (г4 4 х’а1 + в*».
Нторои слпсоп:
х* - а4 — (ху - («у - (х4 в*) (X4 4 л«) -
- (х - а) (х1 - ха т а’) (х - а) (х* - ха 4 а*).
В примере 2в) при одном способе решения получилась разложе-
ние
(х - а Их 4 «Их4 + х‘аг 4 а4),
а при другом способе разложение
(х - а) (х + а)(х' + ха + а’)(х* - ха 4 а’).
Разумеется, это одно и то же: и следующем параграфе мы по
кажем, как от многочлена х4 4- хяа‘ 4 в* переНти к произведению
(х* + ха т а*)(х' ха 4 а'). Впрочем, и сейчас вы можете убедиться,
что
х‘ 4 х’а2 4 а4 = (х* 4 ха 4 а4) (х* - ха 4 в*).
Для «того достаточно раскрыть скобки в правой части равенства
(сделайте это).
ПРИМЕР Э
Разложить па множители:
а) а* - lab 4 46’; в) 4х4 - 4 9р4;
6) х4 4 2х* 4 1; г) 25а’ 4 Юаб 4 46’.
Решсни
| В этих примерах доны трехчлены, для их разложения на
множители будем пользоваться формулами (4) и (5), если,
конечно, убедимся I» том. что трёхчлен является полным квадратом.
а) аг 4аЬ 4 46- а- 4 (26? - 2 а 26 - (а - 26)*.
Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов од-
ночленов о и 26. а также удвоенное произведение этих одночленов
Значит. Вгто полный квадрат, причём квадрат разности.
6) х4 * 2х* - 1 «Х-1- • 1- - 2 х4 1 (X* 1> :
в) Чх* 12х’м • 9/ (2г2)4 4 (Зу)1 2 2х* Зу - (2х4 ЗрН;
г) 25а1 4 Юаб 4 46* - (ба)4 4 (26)* 4 ба 26.
Так как 1(К16 лто нс удвоенное произведение одночленов 5а
и 26. то данный трехчлен не является полным квадратом. Раз-
ложить его иа множители с помощью формул (4) или (.>) мы не
можем.
Л4° Ьшпдц щ, многочдвнр, ма множители с оимочь^10 <*>о*> -^^^4 1S9
Подчеркнем еще раз: если хотите воспользоваться «рормулами (4)
или (5). го сначала убедитесь, что заданным трехчлен есть полный
квадрат. В противном случае формулы (4) и (5) применять нельзя —
именно так обстояло дело в примере Зг).
ПРИМЕР 4
Решение
Доказать, что (27* + 28') 55.
27’ + 28’ - (27 - 28) (27* - 27 28 + 28’) -
- 55 (27' 27 28 ;
Получение* произведение делится на 55, что и требовалось доказать.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из мно-
жителей равен нулю. Значит, либох- 5у-0, либо х~ 6 -О. либо х + в —О.
Соответственно, заданная система «распадается» на три случая:
| я - зу - О, |х - 6 - О, J х + 6 — О,
Кх-Зр + 12-0; |4*-Зр -12-0; I 4х - Зр + 12 - 0.
В первой системе из первого уравнения находим х = 5р; подста-
вив выражение 5р вместо х во второе уравнение, получим 2()</ - Зу +
6CI
+ 12 0; у “ —; соответственно, х • - —. Из второй системы нахо
дим х ~ 6, у - 12; из третьей системы находим х —6, у - 4.
Решение
Преобразуем заданное уравнение к виду
(2х - у)(2х + у) 7.
190
гПККA 7 РАЗЛОЖЕНИЕ многочленов на МНОЖИТЕЛИ
Поскольку речь идет об отмен* ин и целочисленных решений ура в
некий, мне интересуют только целочисленные значения множителей
2х - у и 2х ¥ у. Произведен иг двух целых чисел равно 7, если множи-
тели составляют такие пары: 1 и 7. 7 и 1, I и 7, 7 u 1.
Таким образом, задача сводится к решению четырех систем урав-
некий:
| 2х и ~ 1.
2х + р - 7;
:2х р-7.
*Ь*7 - 1;
,2х у - L ,2х р- 7.
!2х*р--7; 2I-P--I.
В итоге получаем четыре пары решений ладанного уравнении;
(2; 3>, (2; -3), (-2; -3), (-2; 3).
Вопросы для самопроверки
1 Приведите пример разложения многочлена на множители
по формуле разности квадратов двух выражений.
2. Приведите пример разложения многочлена на множители
по формуле разности кубов двух выражении.
3. Приведите пример разложения многочлена иа миожители
по формуле суммы кубов двух выражений.
4. Приведите пример трехчлена, который является полным
квадратом суммы, и разложите его на множители.
5. Приведите пример трехчлена, который является полным
квадратом разности, и разложите его на множители.
6. Объясните, почему числовое выражение 2 И4 4 2 18* де
зится:
а> на 3; б) на в; а) па 48: г) на 147.
§41
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ
КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЁМОВ
Понятие о комбинации различных
приёмов
Не так уж часто бывает, чтобы при решении математического примера
применялся только одни прием, '|аще встречаются комбинированные
примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т. д.
Чтобы успешно решать такие примеры, мало знати сами приемы.
многочленов на —пошит«пи раыв* 1>*^пр*и?
надо еще уметь выработать план их последовательного применения
Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот та-
кие комёииирооиииыс примеры мы и рассмотрим в этом параграфе.
ПРИМЕР 1
Разложить на множители многочлен
36а‘М - Эба'Ь* + 64аа6:.
1) Сначала займемся вынесением общего множителя за
скобки. Рассмотрим коэффициенты 36. 96. 64. Все они де-
лятся на 4, причем это — наибольший общий делитель, вынесем его
за скобки. Во все члены многочлена входит переменная о (в пер-
вый а*, во второй а4, в третий а1), поэтому за скобки можно выне-
сти а'. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b
(в первый 6Л. во второй 6‘. в третий б4) — за скобки можно выне-
сти (г.
Итак, за скобки вынесем 4а3Ь‘:
36а*6' 96а *6* + 64а W - 4а'?г'(9а* 24a4?» + 16/r).
2) Рассмотрим трехчлен 9a* - 24а??» + 166J. Выясним, не является
ли он полным квадратом. Имеем:
9a‘ - 24a4?» + 16?И - {За4)4 ♦ <4бР - 2 3a1 th.
Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно.
'4,1 В - 166 - i3aJ - 4*)’.
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за
скобки и использование формулы сокращенного умножения), полу-
чаем окончательный результат:
36a4?»1 96a'Z>' 4 64a'fr4 - 4a4»,(3a> 4?»И.
ПРИМЕР 2
Решение
Разложить на множители многочлен а1 с2 i h3 » 2ah.
I) Сначала попробуем воспользоваться способом группиров
ки. До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на группы
по парам (см. § 39). Попытаемся и здесь сделать так же:
а2 - с* ♦ Ь* - 2аЬ - (а‘ - г4) * (Ь1 * 2u?»> -
- (a - е) (a * е) + Мб + 2a).
Эта группировка неудачна, йот общего множителя.
Попробуем по-другому:
а’ - с’ + Ь' * 2аЬ - (а* + ?>*) + (-г3 + 2аб).
здесь также ничего хорошего нет.
192
ГЛАВА ? РАУЛОЖЕНИ£ МНОГОЧЛ1 НОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Третья попытка:
а‘ - с* 4- Ь1 4- 2аЬ - (в2 4 2аЬ) + (с2 -4 б2) —
- я (о т 2Ъ> + (Ь - с) (Ь 4- с).
и здесь нет общего множителя.
Однако все-таки способ группировки в этом примере сработает.
Ведь ниоткуда не следует, что гртттпироялть глагяомыя можно только
по парам, это можно сделать и так:
в* - е* + М + 2<б - (аг т 2ah + А2) - с* — (а ♦ ъу* - е*.
Теперь вы отчётливо видите структуру данного многочлена: раз
ность квадратов.
2| К полученному выражению применим формулу разности ква-
дратов:
(а 4 6)1 - г2 • ((о + W - г) |(e + М с с) • (а •* * - г) (о + Ь > с).
Итак, комбинируя два прием» (группировку и использование
формул сокращенного умножения квадрат суммы и разность ква
драток), мы получили окончательный результат:
д’ — с* + о2 4- 2аЬ - (а + b - е) (а -г b 4- с).
ПРИМЕР 3
Разложить на множители двучлен X* 4- 4у*.
Решение
Проанализируем структуру данного двучлена. Что такое
*’? Это (х2)2. Что такое 4у’? Это (2jr)’. Значит. имеем сум
му квадратов (ж1)2 ♦ (2у)'. Обычно, увидев сумму квадратов двух вы
ряжений (чисел, одночленов, многочленов), математик ищет удвоен-
ное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный
квадрат (об этом мы уже говорили выше, в § 34). В данном случае
таким удвоенным произведением будет 2 • ж2 2у2, т. с. 4xiyt. Но его
в примере нет. Что же делать?
Прибавим к заданному многочлену то. что нам нужно, по, чтобы
ничего ие изменилось, тут же и вычтем:
(г2)2 ♦ (2у-'Н * 4я-У 4х>’.
Это дает возможность сгруппировать первые три члена так, что выде
лится полный квадрат. Дальнейшее решение идет по плану примера 2:
х* * 1у‘ - (г2)2 < (2|Г)-’ - ((х2)’ 4 (Зу2)2 4- txJjr’) 4х-у -
- (х2 • 2у’)2 - (2ху)! - (х2 4 2у’ - 2хр) (х2 -• 2у-’ 4 2х«).
——сочленов на —пошит«пи равлимиыЮ^2У* '^^92
ПРИМЕР 4
Решение
Разложить на множители трехчлен
ж* + Не* +• о4.
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого
представим На* в виде 2хаа: — Но*. Получим:
И + На1 + а4 - И + 2На* - Но1 + Н - (И + 2НН + о1) - Но* -
- (ж* + oV (до)1 - (Н + а’ ха) (Н + а’ + ха).
Это разложение мы уже фактически получили при решении при
мера 2а). § 10.
ПРИМЕР 5
Решение
Решить уравнение Н бх + 5 - 0.
Первый способ. Представим -бх в виде суммы -х — 5х,
а затем прикопим способ группировки:
Н-6х+-5“Н — х-5х + 5 — (Н — х) ♦ (-бх + 5) ••
- х(х - 1) - 4<х - 1) - (х - 1) (х - 4).
Тогда заданное уравнение примет ВИД
(X — 1) (X - 4) - 0,
откуда находим, что либо х - 1, либо х - 5.
Лпюрой способ, Применим метод выделения полного квадрата,
для чего представим слагаемое 5 в виде 9 - 4:
Н-6х-5~Н-6х49-4 — (Н - бх - 9) - 4 ~
- (х - ЗУ* 2’ - (х - 3 - 2) (х 3 т 2) - (х 4) (х - I).
Снова пришли к уравнению (х 1) (х 5) - 0. имеющему корни
явится возможность представить одну группу слагаемых в
Blue Н - Н. а другую — в виде 2Н + 2х + 2. Что иго даёт? Смотрите:
Н + Н + 2х + 2«(Н-Н) + (2Н ♦ 2х ♦ 2) - Н(Н -1)>
+ 2(Н ♦ х г 1) х*(х 1)(Н 1- ж ♦ 1) + 2(Н ♦ х + 1)
- (х* + х т !)(?-?+ 2).
194
ГПМЛ 7 РАТПОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
ПРИМЕР 7
Решить уравнение: а) х* 13х2 4 36 - О; 6, х* ♦ 14х2 15-0
Решение
а) Представим -13х* в виде -9х* - 4х*:
х‘ - 13г2 + 36 = х* - вх2 - 4т2 ' 36 = (х‘ - Ох2) - (Дх2 - 36) =
-х^х2 9) Их2 ei-tx2 9)(х2-1)-(х 3)(х3|(х 2)(х • 2).
Значит, задан мое уравнение нам удалось преобразовать к следующс
му виду: (х - 3)(х 4 8)(х - 2) (х 4- 2) - О. Теперь можно без особого
труда указать корна данного уравпеиил: 3. 3. 2. 2.
б) Здесь можно использовать ту же идею, что и в пункте а): пред
ставить 14х2 в виде 15х2 х2; предоставим вам возможность самим
довести чту идею до логического завершения. А мы. ряди разнообра-
зия. воспользуемся методом выделения полного квадрата:
х‘ 4- 14х* - 15 - (х4 4 Их2 4 4») - 49 - IS - (х2 + Т)*- 64 -
— (х* + 7-8)(х* + 7 4 8) = (х2 - iMx2 4- 15) = (х- 1)(х+ 1ЦХ2 4- 15).
Значит, шляпное уравнение ним удалось преобразовать к следу-
ющему виду: (х 1) (х 4 Шх2 4 15) - О. Уравнение х2 4 15 - О нс
имеет корней, значит, заданное уравнение имеет два корня: 1,1.
Ответ
а) 3, -3, 2, -2: 6) 1. -1.
©
Приоткроем секрет, как в примере 7а) мы догадались предела
нить 13л2 в виде Зх2 4г2, а в примере 76) нредстанить 14х2 в виде
ISx2 х2. Обратите внимание: 9 4 - 36, а 15 (1) - 15; в обо
их случаях произведение равно свободному члену уравнения. Между
прочим, ту же идею мы использовали в примерах 4 и 6 из § 39 (про
верьте!).
ПРИМЕР 8
Решение
Решить уравнение г* Эх2 » 27х ♦ 19-0.
Этот пример несколько сложнее, здесь придется применить
не уже привычный вам метод выделении полного кнадрата,
а похожую идею — выделить полный куб:
х* ♦ 9х’ - 27х * 27 - 8 - (х * З)1 - 8.
А теперь воспользуемся формулой разности кубов:
(х + З)2 2’ - ((х 4 3) 2)((х 4 З)2 • 2(х 4 3) ♦ 22) -
- (X 4- 1)(? 4 8х + 19).
Значит, заданное уравнение можно переписать гак:
(х * 1)(х2 + 8х+ 19) О.
142 Coi
алгавраичесвиа др«б»и
195
Ответ
Отсюда следует, что либо х * 1 ~ О, т. е. х - 1, либо хл ♦ вл +
+ 19-0. Последнее уравнение не имеет корней. Чтобы в ЭТОМ убедить-
ся, перепишем квадратный трехчлен х* + 8х + 19 в виде (х + 4)* + 3.
Это выражение положительно (т. е. отлично от пуля) при любых зна
чейиях переменной.
х - -I.
Вопросы для самопроверки
1. Почему прочитанный вами параграф носит такое название?
2. В чем заключается метод выделения полного квадрата?
3. Расскажите, о комбинации каких приемов идет речь в этом
параграфе.
§42
СОКРАЩЕНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Новое понятие в математике редко возникает из ничего, на пустом
месте. Оно появляется тогда, когда и нем ощущается объективная
необходимость. Именно гак появились в математике отрицательные
числя, гак появились обыкновенные и десятичные дроби.
Предпосылки для введения нового покатил «алгебраическая
дробь» у нас имеются. Давайте вернемся к § 27. Обсуждая там деле
пне одночлена на одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим
два из них.
1. Разделптв одночлен Зва’б* на одночлен 4аМ (см. пример 1в*
ИЗ $ 27>.
Решали мы его так. Выражение Яве’»1 : 4аЬ' записали, используя
3«aV ______« .
черту дроби: (ведь Л : Я и —
4а» В
— одно к то же>. Это позволило
выражения 36 : 4. в* : и. б5 : tr также записать с использованием
черты дроби, что сделало решение примера более наглядным:
™
4a»2 4 а
2. Разделить одночлен 4х" па одночлен 2хр (см. пример 1 дI из J 27).
Действуя по тому же образцу, мы получили:
4л4 : 2ху -
1г' 4
2хр 2 т
- - 2х‘
V
1 _ 2к*
Й I/ ‘
1»6
гпМд ? РЖТЛОЖСНИЕ МНОГОЧЛ1НО! НА МНОЖИТЕЛИ
В § 27 мы отметили, что одночлен 4г* не удалось разделить иа
одночлен 2ху так. чтобы получился одночлен. Но ведь математиче-
ские модели могут содержать операцию деления любых одночленов,
не обязательно таких, что один делится иа другой. Поэтому метем»
тики ввели новое понятие понятие алгебраической дроби. В част
иостн, — алгебраическая дробь.
Теперь вернёмся к $ 35. Обсуждая там операцию деления мио
гочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выпол
нима. Так, в примере 2 из § 35 речь шла о делении двучлена
бх' 24г на одночлен 6xJ. !)га операция оказалась выполнимой, и в
результате мы получили двучлен х 4. Значит,
бх3 24х“ _ ,
Иными слонами, алгебраическое выражение fiT ^4г~ удалась
заменить более простым выражением — многочленом х - 4.
В то же время в примере 3 из § 35 не удалось разделить мно-
гочлен Вл* * ба-’б - б на 2а!. т. е. выражение ——* ~ Удалось
заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в
виде алгебраической дроби.
Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то
единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно
разделить на другой, ясли этот другой многочлен является одним из
множителен в разложения первого многочлена на множители.
Например, х* 1 - (х I) (х3 + х + 1). Значит, х* 1 можно раз
делить на х- * х ♦ 1, получится х 1; г* 1 можно разделить на
чится х* + х +• 1.
Алгебраической дробью называют отношение двух
р
многочленов Р и У При этом используют запись —, где
Р числитель, У — знаменатель алгебраической 4роби,
Примеры алгебраических дробей:
2х' Ла1 г &г*Ь - Ь г • у
V ’ *г* ' г- у'
Как сократить алгебраическую дробь
Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. На-
пример, как мы уже установили ранее.
-X 4
(многочлен 6r* 24 хл удалось разделить па бх:, при этом в частном
получается л 4); мы также отмечали, что
Но так бывает сравнительно редко.
Впрочем, похожая ситуации уже встречалась вам при иду-
24
чении обыкновенных дробей Например, дробь — можно ламе-
6
. 10 , .
нить целым числом 4, и дробь — целым числом 5. А вот
дрооь — целым числом заменить не удается, хотя эту дробь мож-
но сократить, разделив числитель и зпамспатель на число 8 — об-
щий множитель тпелителя и знаменатели:
32 4 _
— — —. Точно так же
24 а
можно сокращать алгебраические дроби, раздета одноаремен
но числитель и знаменатель дроби на их общий множитель.
Л для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на
множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго об-
суждали в этой главе.
ПРИМЕР 1
Решение
Сократить алгебраическую дробь:
. 12лУ . .. о3 - 2а> - М х3 - лу
’ (а ♦«(•-М1
а) Найдём общий множитель для одночленов 12х’р4 и
8л*.в'; это 4хУ. Тогда
12х3/ - 4хУ Зх; 8л У - 4хУ 2р.
Значит.
щу _ 1?/ Зл _ Зх
8хУ 4хУ 2и 2н'
Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби сокра-
тили на общий множитель Ax'it*.
Решение этого примере можно записать по другому:
12лУ _ 12 х^ ^__31_3х
8»-У 8 г1 у5 2 р 2р
б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знаменатель
ио множители:
о3 т 2аЬ т Ь3 _ (о г М~ _ (а tH(a* В) _ а * 1>
(<•**)(« М " (а 7 Ы(« - А) ” (а ‘ *)(« ») " а - »
(дробь сократили ня общий множитель а + 8).
198
ГПАвд 7 М1ЛОЖСНИЕ МНОГОЧЛ1НОВ НА МНОЖИТЕЛЯ
Л теперь вернитесь в § 1 (см. с. 10). Видите, данное гам обещание
мы наконец-то смогли выполнить.
В) х3 - гр _ х(х - ц) ________х(х - у) _ I
х* - хр" ха1 - р1) х(х - /Их* ♦ X» 4 /) х’ + XJ) -
(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя,
т. е. иа х(х - р))
Итак, для того чтобы сократить алгебраическую дробь, следует
сначала разложить на множители ей числитель и знаменатель (если
они не совпадают). Так что ваш успех в этом новом деле (сокращенны
алгебраических дробей) и огклпиом зависит пт того, как вы усалили
материал предыдущих параграфов этой главы.
ПРИМЕР 2
Сократить алгебраическую дробь:
. a* I tf1
2«’ 2об‘!
а< 1О«2 + 169
6‘ . Ы1 ч (3 =
. <г* - ь<72 - 12а М
а4 - Зе’ - За*
Решеим
а) Разложим па множители числитель дроби:
и* -Г 8* = (eV т (8»)’ = (а3 - 8») (а* - а’83 * 8‘).
Разложим на множители зпамеиаттль дроби:
2о“ - 8* - я28 + 2и8* = (2а4 + 2а/>2) - (aJft + 81) = 2а (а* + 8*) -
- На1 + Н) - (а* - М)(2а - 8).
Теперь можно сократить данную дробь:
Я* л 8*_______(о1 4- б'На* - вУ 7 8*) _ а* - eV > 81
Зя* - 8* а’6 4 Зой2 " (а3 * 8х) (2а 8) ’ 2а Ь
6) Разложим на множители числитель дроби:
а' Юа2 4 169 - ((«V » 132 t 2«а2) 26а2 10а2 -
-(а2 4 13)*- 36а2-(«г1 4 13-Яв)(а* + 13 ’ ба)
Обращаем ваше внимание, что здесь мы в очередной раз вое ноль
ловились методом выделения полного квадрата.
Что касается заданной дроби, то ее уже можно сократить:
а* 10о2 - 169 _ (а2 ба г 13Н.И * 6а - 13) _ ° + ,8
в* 4 ба 4 13 4 ба 4 13
143 тождасгаа
199
в) Разложим иа множители числитель дроби; для этого, как в
примере 8 иа предыдущего параграфа, выделим полный куб:
а1 6а‘ + 12а - 9 - (а4 - ба4 ♦ 12а - 8) - I - (а - 2)’ - 1 -
- ((а - 2) - 1)((в - 2>* е (а - 2) * 1> - (я - 3)(а1 - Зе * 3).
Разложим на множители знаменатель дроби:
а* - За' + За’ — а4(а’ - За + 3).
Теперь можно сократить данную дробь:
и* ti' > 12д 9 _ (а - ЗЦо4 - За » 3) _ а - 3
в* - За' ё За2 а*(а*-За еЗ) а*
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение алгебраической дроби.
2. Используя переменные а и Ь. запишите алгебраическую
дробь, числитель которой представляет собой трехчлен, л
знаменатель одночлен.
3. Что означает задание сократить алгебраическую дробь?
Что вы для этого должны сделать?
4. Может ли в результате сокращения алгебрам ческой дроби к
ответе получиться одночлен? число?
5. Приведите пример алгебраической дроби, в результате со-
кращения которой получается двучлен.
§43
ТОЖДЕСТВА
В этом параграфе мы познакомимся еще с одним алгебраическим тер-
мином. Мы знаем, например, что:
а2 - fr’ — (а А) (а ~ 4).
? - U К 4 >(х 2)'.
<а + Мс - ас + be.
Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их
состав переменных. Такие равенства и алгебре называют ин»
tfrcntoaMU. Левею и правую части тождества называют выражения
ми. тпждеетлсимо ранны.чи друг другу (или просто тоягдестаеи
мымм). Например, а4 Ми (а 6) (а + б) тождественно равные
выражения. Всякую замену одного выражения другом, тождествен
200
}пМд 7 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
ио равным «му. называют тождественным преобразованием выра
женил.
Все, чем мы занимались в главах 4—7: действия со
степенями, с одночленами, с многочленами, — всё это
7 било изучением тождественных преобразования.
тождественное В математике часто бывает так, что. используя неко-
преобраюватее торы и термин, вдруг обнаруживают, что к новой ситу-
ации он становится не очень приспособленным. требует
уточнения. Это относится и к термину •тождество». Для работы с
многочленами данное выше определение абсолютно точное. Однако
уже для работы с алгебраическими дробями в понимании этого тер
мина понадобится корректировка, придется сделать некоторые уточ-
нения.
Рассмотрим алгебраическую дробь j—1~|~- Ее можно сокра-
тить иа х 1 общий множитель числителя и аиамсиатсля. Таким
образом, имеет место равенство
х(т - 1)
(з 2Ш 1»
(1)
Является ли это равенство тождеством.’ Введя выше этот термин,
мы отметили, что тождество — зто равенство с переменными, верное
при любых значениях переменных. Но про равенство (1) этого сна
жать нельзя, оно нс имеет смысла при х - 1. при х — 2, т. е. оно верно
уже не при любых значениях переменной х. Указанные значения не
являются допустимыми для выражений, входящих и состав равен-
ства (1). Если же ограничиться только допустимыми значениями пе
ременной х, то при любых таких значениях равенство (1) окажется
верным.
Учитывая подобные ситуации, математики уточнили
’ понятие тождества.
Тождество — это раиенство. верное при любых допустимых лилчо-
инах входящих в его состав переменных.
В этом смысле равенство (1) — тождество. Вот та корректировка ПО-
НЯТИЯ • тождество •, о которой мы упоминали выше.
Вернёмся к последнему примеру § 42. В пункте а) мы видели, что
<!*• • fc"____(а3 -> а^но* - aW Т б‘> _ и1 - оОг . »’
2а1 - б1 - <Л> ♦ 2аб* (в* * 6s) (2а - М *
в" • б» М ,
лучили тождество ;-----;---------------------т--. Каковы здесь
2ал - Н - «*» + W? 2е - »
допустимые значения переменных? Во-первых. должно выполняться
условие 2а -б * О. Во-вторых, дробь мы сократили ил а‘ + Ьг, зна-
чит, должно выпогнятьгя условие а1 4 б1 * О или. что то же самое,
(а; Л) * (О; 0). Впрочем, если 2а б » 0, то, в частности, (а; б> * (О; 0).
Первое условие более ограничительное, чем второе, так что достаточ-
но оставить первое условие: 2а - Ь * 0.
Н пункте б) мы видели, что —---*, ,а- |J---**** ' ' - о3 - бн т
а1 ч 6а * 13
♦ 13. Каковы здесь допустимые значения переменной? Должно вы-
полняться условие н* т 6а - 13 / 0. Но оно автоматически выполня-
ется. поскольку ’ 4 ба 4 13 (а 4 3)’ 4 4 • 0. Что это значит? t>ro
значит, что <а ~ ** * ч><<Н • 1<> _ в,- (р, t является тожде
аг • fiu 4 13
стили при любых значениях переменной.
ПРИМЕР 1
Доказать, что при х * 1 имеет место тождество
х - 2т3 4 Зх» 4 4х‘ 4 5х* - J . (2)
<з 1Н
Решение
Чтобы доказать, что А - —. достаточно установить, что
АС — В. Воспользовавшись этим замечанием, рассмотрим
произведение многочленов (г 4 2л3 * Зх3 4 4г‘ +• 5х‘Мт — !>’. Имеем:
(ж 4 2х‘ * Зх3 ♦ 4х‘ ♦ 5х*)(х - I)1 -
- <х г 2х3 4 Зх’ + 4х3 + Зх’Нх3 - 2х 4 11 -
- х» + 2х‘ 4 Зх3 + 4х* + 5х7 - 2л3 - 4л4 - вх3 - 8х’ - 10х* 4x4
+ 2л3 - Зх3 + 4х* 4 5х».
Осталось привести подобные члены: получим х вх41 4 5х'. Тож-
дество (21 доказано.
ПРИМЕР 2
Решение
Доказать, что если о 4 б 4 с - О, то о’ + б3 4 с’ - Зобе.
а* 4 б3 4 с3 - (и3 4 За2Ь + Зоб2 + б3) - За-'б Заб3 4 е3 -
- (и + б)3 - Зеб (а + б) » с3. Сгруппируем в полученной сум-
ме слагаемые (а 4 б)4 и е3: это позволит применить формулу суммы
кубов:
(а 4 Р13 - Зоб (и 4 б) 4 с8 - Цо + Ы3 * с3» - Зоб (а + б)
» Цо * б) + с>Цо + б>* - (о -t- б)с + г3) - Зоб<а 4 8) >
- (а * б ► с) (и3 е б3 ♦ с* » 2<|б ас бе) Зоб (а 4 б).
202
Тлаял ? разложение многочленов на множители
Но по условию а • Л • е — 0. значит, в полученном выражении
норное произведение равно нулю, а во втором произведении вместо
а ♦ b можно на писать -е, т. в. -ЗиЛ (а + Л) - -'dab (~е) - ЗаЛе. В итоге
получаем, что о* т М + с* - ЗиЛе.
ПРИМЕР 3
Построить графин уравнения:
eg 4г 2ц _ ft ^-Hf-lx-x» ж 0
х-Я х у
Решение
а) Рассмотрим числитель алгебраической дроби в левой ча-
сти уравнения:
хр + 4х - 2л1 - 2у - (ху - 2у) - (Zx1 - 4х) - у(х - 2» - 2х (х - 2) -
- (х - гну 2х).
п хи + 4х - Zr1 - 2и (X - 2) (и - 2л) „ „
Значит. -2-----— -----с. = а--~^~2---L = р - 2х- Подчеркнем,
чти тождество ~У — у - 2г имеет место лишь при * г 2.
Проведенные рассуждения позволяют
переформулировать условия задачи: вам
нужно построить график уравнения у- 2т» 0
при условии, что х * 2. Графиком уравпе
пня у - 2х - О является прямая, а условие
л < 2 означает, что на этой прямой ведь
зя брать точку с абсциссой х - 2. График
заданного уравнения изображен на рисун-
ке 85. Обратите внимание: точка (2; 4>отме
чеян светлым кружочком — «выколотая»
точка.
Рис. в£
6) Как и в пункте а), начнем с числителя алгебраической
дроби:
у* 2у 2г ? - (г X*) г (2р 2х) -
- (л - х)(1/ + х> 2 (у - х) - (у - х)(у * х + 2).
Значит. - (у-Жу + х + Я) _ .{jf + ж + 2),
х - 9 х - у
Подчеркнем, что тождество
-(у + х 4- 2) имеет
место лишь при х - и г 0.
Pur «41
Проведенные рассуждения поз
воля ют переформулировать условия
задачи: ням нужно построить график
уравнения (у + дг У 2) — 0, Т. е. гра
фи к линейной функции у — х 2
при условии, что ц * х. Графиком ли
войной функции у - -х - 2 является
прямая, а условие р * х означает, что
на этой прямой нельзя брать точку*,
координаты которой удовлетворяют
условию у - х. т. е. принадлежащую
прямой у “ х. График заданного уравнения изображен ня рисунке Н6;
обратите внимание: точка пересечения прямых у - х 2 и у - х
• выколотая» точка.
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
Что такое тождество?
Приведите пример тождества, верного при любых апачеин
ях переменных.
Приведите пример тождества, верного не при всех, а лишь
при допустимых значениях переменных.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
Если данных имеется много (несколько десятков, сотен, тысяч...), то
работать со всеми этими данными целиком затруднительно. Поэтому
от всей первоначальной информации стараются оставить небольшое
количество лишь самых важных показателей. Они описывают распре
деление данных я самых общих чертах, «забывая» многие первона-
чальные детали. Т. е. кратко: выигрываем в уменьшения информа-
ции. но проигрываем в ее точности.
С некоторыми на таких показателей мы уже знакомились ранее.
Это — объем, размах, мода и медиана данных. Но, пожалуй, самой
распространенной является еще одна статистическая ха-
среднее рактеристика ряда числовых данных — среднее арифмг
значение тическог иначгниг. кратко: ергдпгг значение, или просто
среднее.
Правило Для того чтобы на яти среднее арифметическое (среднее)
нескольких чисел, следует их сумму разделить па их
количество.
’ Параграф написан П. В. Семеновым.
204
СПАЛА 1 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛ1НО» ИА МНОЖИТЕЛИ
Несколько примеров вычисления среднего соберем в таблице:
Числа Сумма Количество Срезает
20. 16 20 • 16-36 2 18
20. 1. 6 30 + 1 + в - 27 3 9
2. 0. 1. 6 2*0+146-9 4 2,25
2.0. 1, 6. 2016 2 + 0-+1 +6 + + 2016 - 2025 5 10Г.
2. 0. 0. 0. 1. 1. 1, 6. 6, 6 2 ♦ 3 + 18 = 2Я 10 2.3
Отметим, что ни в одном из этих случаев среднее значение ряда
чисел не совпадает ни с одним из чисел ряда. Это весьма тип ич и ля
ситуация, хотя так бывает не всегда.
ПРИМЕР 1
Решение
Для ряда чисел 7. 2, -3, 5. 3, 5, 2. 30. 4. 2, -2. 6. 4 найти наимень-
шее число и наибольшее число. Вычислить размах, моду, медиану,
среднее.
Наименьшее число равно -3, наибольшее равно 30. размах
равен 33. Упорядочим ряд: -3, -2. 2. 2. 2, 3. 4. 4, 6. 5. 6.
7. 30. Мода равна числу 2. которое встречается три раза. Медиана
равна числу 4. которое стоит на «среднем», седьмом месте. Осталось
вычислить среднее арифметическое
3 2- 2»2+2сЗ> 4 >1 < 5f tii - 34 _ 65 _ ,
13 “ 13
Размах 33. мода 2. медиана 4. среднее 5.
Ответ
Мы видим, что мода, медиана ц среднее — это различные харак-
теристики ряда данных. Они по разному описывают распределение
данных.
Вернемся к среднему. В общем виде средне* двух чисел а и h рав-
я + Ь . небес
но их полусумме , среднее трех чисел а. п и с равно
£ «1
н т. д, А как записать формулу среднего для произвольного коли-
чества чисел? Для этого сначала нужно научиться записывать про
нзво.тьиое количество чисел. Так как количество чисел никак не
ограничено, то букв какого-либо разговорного языка для такого пе
рсчиелеиия может не хватить. В математике действуют так: исиоль-
205
зуют для обозначения только одну букву, но снабжают ее индексом,
который будет нумеровать нншм числа. Например.
Л|, аг. а, — набор (ряд) мн трех чнеол; <it — первое число и этом
ряду;
>1, б.|. набор (ряд) из четырех чисел; 6, третье число в
этом ряду;
х1( *з. *а» 2с *>• 2: — побор (ряд) из семи чисел; ха — шестое
число в этом ряду;
*1> Xi> —. х. |> х, набор (ряд) из л чисел.
Теперь приведенное ранее правило вычисления среднего можно
записать формулой, ка математическом языке:
_ _ Х| ч xt + х, т т г, , т х.
л
В статистике используют разные обозначения для среднего эка
меняя. Одно из наиболее употребительных та буква, которой обо*
зиачепы сами данные, ио е черточкой вверху и без индексов: X, а.
h и т. п.
ПРИМЕР2
Решений
Зя первые два месяца учебного года Петя получил по русскому языку
такие отметки: 4. 2. 4, 4. 5. S. В ноябре он подряд получил несколько
пятерок, и его средняя отметка после этого стала равной 4.4. Сколько
пятерок подряд Петя получил в ноябре?
Предположим, что к имеющимся отметкам добавлены п
пятёрок. Тогда количество всех отметок равно 6 ♦ л. а их
сумма равна 4 + 2 + 4 + 4 + 5 + 5-*-5л — 24 - 5л. Тогда среднее будет
равно * д'* - Составляем уравнение: *** д'* 4,4, Решаем его:
24 + 5я — 4,4 (6 + л). 24 + 5л - 26.4 + 4,4л, 0,6л - 2,4, л - 4.
4.
Ответ
Джа следующих свойства среднего зпачепмя иногда позволяют
упростить вычисления.
ТЕОРЕМА 1
Если каждое число ряда увеличить (уменьшить) па постоянное
число а, го среднее ряда также увеличится (уменьшится) на то же
число.
ТЕОРЕМА 2
Если кв ж дог число ряда умножить на постоянное число Ь, то
среднее ряда также умножится на то же число.
206
глава 7 разложение многочленов на множители
Доказательство
Докажем теорему 1. Сначала были числа Х|, Х(, х3,х,
х,- Их среднее равнялось х. Из них получились числа
+ а. х, - а, х, । * а. х„ ♦ а. Среднее новых л чисел равно
_ *1 * Jj * « Хл * а _ - + а
п
т. е. они на а больше среднего первоначал иных чисел. Теорема дока*
хана.
Попробуйте по аналогии доказать теорему 2.
ПРИМЕР 3
Измерили рост команды баскетболистов седьмых классов, включая
запасом*. Получили ряд (в см): 161, 162, 159, 154, 161, 156, 153,
155, 155. 160. 154, 153. Найти средний рост команды.
Уменьшим каждое число на 155. Получим ряд: 4.7,4, 1,
Решение
6, 0, -2, О. О, 5, -1, -2. Сумму чисел в новом ряду можно
сосчитать устно. Получится 12. Значит, среднее нового ряда равно 1.
Теперь вернемся к прежнему ряду, т. о. добавим к числам нового
ряда по 155. По теореме 1 получаем, что среднее первоначального
ряда ровно 1 4 155 - 156.
Ответ
156 см.
Познакомимся еще с одним статистическим показателем. Он иа-
зывается «страшным, словом дисперсия1. Дисперсия ряда (набора)
чисел х>, xJr х», .... х. t, r„ показывает, насколько тесно зти числа
распределены, риссеяны вокруг своего среднего значе
дисперсия имя х
Вычисление дисперсии непростая задача. Сиама
ла вычисляют среднее х. Затем вычисляют все отклонения х1 - J,
Г) - х... t„ х чисел ряда пл среднего Г Зги отклей . и
в квадрат: (Х| - X)’, (Х2 - хН. —, (х, - Наконец, находят среднее
полученных квадратов отклонений.
Итак, дисперсия D вычисляется по следующей формуле:
lxi If’ t (х, - хГ t ... t u„ - ~IJ
n
Дисперсия всегда неотрицательна. Дисперсия ряди чисел равна
нулю только в том случае, когда все эти числа ровны между собой
(и, значит, равны среднему ?). Чем ближе дисперсия к нулю, тем тес
От Mnuivxurv (//«•ГПЙ* врбНСГЯВВГ’.
нее числа Х|. xJt х>.хл h х. расположены вокруг своего среднего
значения х. Если дисперсия заметно отличяется от нуля, то какие-то
и> чисел рядя иамятио отличаются от среднего х.
ПРИМЕР 4
Четыре контролёра независимо друг от друга взвесили опытный
образец. Получились такие результаты (в граммах): 14.1; 13.66;
14.15; 13.9. Для того чтобы образец прошел проверку, требует-
ся. чтобы дисперсия была меньше 0.04. Пройдет ли проверку этот
образец?
Решение
Ответ
Так как 14.1 ♦ 13.85 ♦ 14.15 + 13.9 - (14.1 ♦ 13.91 4
+ (13.85 + 14,15) - об. то среднее равно 56 : 4 - 14.
Выпишем отклонение: 0.1; -0.15: 0.15; -0,1 и квадраты отклонений:
0.01: 0,0225: 0.0225; 0.01. Их среднее равно 0.065 : 4 - 0.01625. Это
н есть дисперсия. Она меньше 0,04.
Да. пройдёт.
Вопросы для самопроверки
1. Вычислите среднее следующих рядов чисел:
а) 1. I. 1. 1. 2: 6) 1. 2. 2. 2. 2; в) 1. 2. 11. 12. 21. 22
2. Почему среднее ряда и среднее соответствующего упорядо
цепного ряда раниы между собой?
3. Какое число следует добавить в набор 9. 1. 4. 5 для того,
чтобы среднее стало равняться 5?
4. Из оценок 9.1; 9.5; 8.7: 8.9; 8,5; 9.3; 9.0 отбросил» худ
шую и лучшую, а итоговую оценку вычислили, как среднее
□ставшихся оценок. Чему равна итоговая оценка?
5. Пр» каком значении п среднее ряда на я единиц н одной
двойки будет равно 1.02?
6. При каком значении л среднее ряда из л двоек и одной еди
ниша будет равно 1.95?
7. Есть несколько чисел, больших 3. по меньших 5. Проверь
те. что их среднее тоже больше 3. но меньше 5.
8. По определению дисперсия равна
h-4!*h-.y.b-Ah-y.
Проверьте. что если дисперсий равна нулю, то х, — х. —
~ X, “ ... - - X, - * .
208
ГЛАВА ? РА J ЛОЖ ЕН НЕ МНОГОЧЛ1НОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Основные результаты
• В »тоЙ главе мы ввели новые (для вис) яокятмя матгмдтм-
ческопо языка:
— разложение многочлена мн множители;
— алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дро-
би;
— тождестве, тождественно равные выражения, тож-
дественное преобразование выражения.
• Ми познакомились со следующими приемами ра гл оженил
многочлена на лнплгители:
вынесение общего множителя за скобки;
— группировка:
использование формул сокращённого умножения;
— выделение полного квадрат».
• Мы познакомились е новыми стилистическими показателя
мм: среднее значение, дисперсия.
• Мы научились:
раскладывать многочлен но множители, используя раз
личные приемы;
— сокращать алгебраические дроби;
— вычислять среднее значение и дисперсию ряда дан
ных.
Темы исследовательских работ
1. Рад ложен иг многочлене по множители способом группиров-
ки.
2. Разложение многочлене на множители с помощью комби
Цицин (маличных приемов.
3. Различные применения метода разложения на множители.
'I. Среднее арифметическое числовых данных. Дисперсия чис-
ловых данных.
209
8
ФУНКЦИЯ у = х1
$45. Функция у = Xs и её /рафик
$46. Графическое решение уравнений
$47. Что означает в математике atmuck
У = /<«)
$48. Группировка данных
ГЛАВА
§45
ФУНКЦИЯ у = х2 И ЕЁ ГРАФИК
Парабола — график функции у = х1
В главе 2 мы ввели термин «линейная функция>, понимая под этим
линейное уравнение вида у - kx + т с двумя переменными х, у.
Правда, переменные х, у. фигурирующие в этом уравнении (в этой
математической модели), считались неравпоправными: х — незави
симая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые
значения независимо пи от чего: у — зависимая переменная, по
скольку ев значение зависело от того, какое значение переменной х
было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не ветре
чаются ли математические модели такого же плана, ио такие, у ко-
торых у выражается через х не по формуле у — kx + т. а каким-то
иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например,
X — сторона квадрата, л у — его площадь, то у “ х3. Если X — сторо-
на куба, а у его объем, то р - г'. Если х одна сторона прямо
угольника, площадь которого равна 100 см3, ар — другая его сторо-
на. то у------. Поэтому, естественно, приходится изучать и молель
2 1<ю
у = х. и модель у “ х, и модель у ------. и многие другие модели,
имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится пере
меиная у, в в правой — какое-то вы рижские с переменной х. Для та-
ких моделей сохраняют термин «функция*, опуская прилагательное
• линейная».
210
ГЛАВА • ФУНКЦИЯ v jH
Выш* мы уж* не раз говорили о том. как обстоит дело а математик* <
новыми понятиями, новыми терминами. Часто бывает так: ввели новое по-
нятие. работают с ням. ко ватам, по мера дальв*Яш«го изучения матемзгиии,
начинают осознавать, что введенное понятие требует уточнения, развития.
Имении так обстояло дело с понятием .тождество. (см. $ 43). Точно так же
обстоит лело и с помятнем «фуякчии». Мы еще допа чьи о долго Аулом пряны-
кзть к нему, пабирпться опыта, работать с этим понятием, пока не придем и
строгому определению (это будет в 9-м классе).
В этом параграфе мы рассмотрим функцию у - х' п построим её
г рифм к.
Дадим независимой переменной х несколько конкретных знаке
имй и вычислим соответствующие значения заниенмой переменной у
(ио формуле у - х'):
если х - 0, то р - СИ - 0.
если х - 1, то р — 1* - 1;
если х - 2, то у - 2е - 4;
если х - 3, то У - 3* - 9;
если х = -I, то у - (-1)1 = 1;
если х = -2, то у = (-2)’ = 4:
если х • -1, то р - (-3)’ - 9.
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
X 0 1 2 3 -1 г 3
я 0 1 4 9 1 4 9
Построим найденные точки (0; 0). (1; 1), (2; 41, (3; 9). ( 1: 1).
(-2: 4). (- 3; Я) ия координатной плоскости тОу (рпс. Я", о). Эти точки
расположены на некоторой линии, начертим её (рис. 87, (Я. Эту ли
ЬЯ ипю налы ил ют параболой.
Конечно, в идеале надо было дать аргументу х псе воз
парабола новгмые .течения. вычислит!, соответствующие значения
переменной р и построить полученные точки (х; у}. Тогда
график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нере-
альна. ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики по-
ступают так: берут конечное множество точек, строят их на коорди-
натной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точка-
ми. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо, то
эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и
надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были возмож
ногти избегать ошибок.
Попробуем, гляди па рисунок 87.6. описать геометрические свой
стал параболы.
Во первых, отмечаем, что парабола обладает симметрией. В са
мом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную
445. фунжиин у X* И Греф**
Fur «7 а б
Рис. кк
оси х, то эти прямая пересечет параболу а двух точ-
ках. расположенных ня равных расстояниях от оси
р, но по разные стороны от нее (рис. 88). Кстати, то
же можно сказал, и о точках, отмеченных на рисун-
ке 87. а. (I; 1) и ( 1: I); (2; 4) и ( 2; 4): (3; 9) и
(-3: Я). Говорят, что ось у является осью симметрии
параболы у - или что парабола симметрична от
касательно оси у.
Во вторых. замечаем, 'сто ось симметрии как бы
разрезает параболу иа две части, которые обычно
называют ветвями параболы.
В-третьих, отмечисм, что у параболы есть особая
точка, в которой смыкаются обе ветви и которая ле-
жит па оси симметрии параболы, — точка (О; О).
Учитывая ее особенность, ей присвоили специальное название вер-
шина параболы.
В-четвёртых, когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с
другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы
• прижимается* к оси абсцисс. Обычно говорят: париболи
ось смывыгрии
параболы
ветви параболы
веры ина
параболы
касается оси абсцисс.
Теперь попробуем, глядя на рисунок 87.6. описать не-
которые свойства функции у - ха.
Во первых, замечаем, что у - О при х - 0, у • О при х '• О
и при х < 0.
Во-вторых, отмечаем, что у„„„, ~ 0, а ])аые ио суще-
ствует.
В-третьих, замечаем, что функция у - х1 убыаает на луне
(-ос; 0]. при этих значениях х. двигаясь по параболе слева направо,
мы •спускаемся е горки*. Функция у х‘ аолрастает на луче (О; 4оо) —
при этих значениях X, двигаясь по параболе слева направо, мы •под-
нимаемся в горку*.
Отметим еще одно любопытней* свойство параболы. Если рассма-
тривать параболу у - х* как экран, как отряжающую поверхность. а в
212
ГЛАВА • ФУНКЦИЯ у . ж»
fur И9
I
течке | О: - | поместить источник свети (рис. 89),
то лучи, отражаясь от параболы-экрана. образу
ют параллельный пучок света. Точку | О. | на-
зывают фокусом параболы. Эта идея использу-
ется в автомобилях: отражающая поверхность
фары имеет параболическую форму, а лампоч-
ку помещают в «рок у ее — тогда свет от фары
распространяется достаточно далеко.
Функция у = ~х2 и её график
Построим график функции у - -хг. Для этого сравним функции у х4
и у — -х1. При одном и том же значении аргумента, например при
X - а, первая функция принимает лнлчонне аг. а вторам значение
а‘. Значит, на графике первой функции есть точка (а; а4), а на гра
фике второй функции — точка (а: -а*). >ти точки расположены ня
координатной плоскости хОу симметрично относительно оси абсцисс
(рис. 90) Значит, «рафии функции у — X* симметричен графику
функции у - х1 относительно оси абсцисс (рис. 91). Эго та же пара
бола с той же вершиной и с той же осью симметрии, ио только ветвя
параболы направлены не вверх, а вниз.
143. Фуманмв у
X* м граф»*
213
Решение примеров
ПРИМЕР 1
Найти наибольшее н наименьшее значения функции у - дг1:
а) на отрезке [1; 3];
6) на отрезке |-3; -1,5);
в) на стрелке | 3; 2).
Решение
а) Построим параболу у - х3 и выделим ту ее часть, кото-
рая соответствует значениям переменной х из отрезка (1; 3]
(рис. 92). Для выделенной части графика находим у..,» * I (при
Ж 1К V«M<> “ в (при « = «»
6) Построим параболу у — г2 и выделим ту ее часть, которая со-
ответствует значениям переменной х ио отрезка [ 3; 1.5] (рис. 93).
Для выделенной части графика находим у,„„, * 2.25 (при х * -1.5),
Мыаа - 9 (при X - 3)
в) Построим параболу у - х1 и выделим ту ее часть, которая со
ответствует значениям переменной х из отрезка (-3; 2] (рис. 94). Для
выделенной части графика находим у»,«. О (при х О), уиИ О
(при т ~ -3).
©
Чтобы каждый раз не строить график функции у ” х1 по точкам,
вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы
будете очень быстро чертить параболу.
Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы гравии
наем в правах функцию у — х* И линейную функцию у - kx * т. Ведь
графиком линейной функции является прямая, а для изображения
прямой используется обычная линейка — зто и есть шаблон графика
214
ГЛАВА В ФУНКЦИЯ 9 - к»
функции у - Ах • т. Так пусть у вас Судет и шаблон графика функ-
ции у - хг.
ПРИМЕР 2
Найти точки пересечения параболы и - хг и прямой у - ж + 2.
Решение
Построим в одно* системе координат параболу у — х‘ и пря-
мую у - х 2 (рис. 95). Они пересекаются о точках 4 и В,
причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В; для
точки А имеем х - -1, у I, а для точки В имеем х - 2, у - 4.
Ответ
Парабола у - х1 и прямая у - х 4 2 пересекаются в двух
точках: Al 1; 1) и Ш2; И
До сих пор мы с вамп довольно смело делали выводы е помоецью чертежа.
Однако математики ие слишком доверяют чертежам. Обнаружив иа рисуй
Pur S.5
и» 4f> два точки пересечения параболы и прямое
и определив с помощью рисунка координаты отих
точек, математик обычно проверяет себя: на са-
мом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой,
так и пи параболе; действительно ли точка (2; 41
лежит и иа прямоП. и на параболе? Для «того нуж-
но подставить координаты точек А и В в уравнение
прямой и в урапнеяпе параболы, а затем убе-
диться. что и в том и в другом случае получите»
верное равенство. В примере 2 а обоих случаях
получатся верные рам-нетвя. Особенно часто про-
полит такую проверку, когда сомневаются в точно-
сти чертежа.
Вопросы для самопроверки
1. Как навыкают график функции у - г2? функции у - -x*t
2. Как л я прямая является осью симметрии графика функции
у ” г*? графики функции у " -г!
3. Какая точка является вершиной графика функции у = д4?
графика функции у — —г*?
4. Даны функции у - к* и у - х4. Какая №> них возрастает
при х < О и убывает при х > О? Какая из них убывает при
х < О и возрастает при х > О?
5. Что можно сказать о взаимном расположении графиков
функций у - х1 и у - х1?
215
б. Дайл функция у - я1. Придумайте линейную функцию
у - кх - т таку», чтобы графики обеих функций:
4) яс пересекались;
б) пересекались в двух точках;
в) имели одну общую точку.
7. Дана функция у -хл. Придумайте линейную функцию
у - кх + т такую, чтобы графики обеих функция:
а) не пересекались;
б) пересекались в двух точках;
я) имели одну общую точку.
§46
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Подытожим наши знания о графинях функций. Мы е вамп научи-
лись строить графики следующих функций:
у - к (прямая, параллельная оси г);
у - кх (прямая, проходящая через начало координат);
у - кх + m (прямая);
у “ jr*. и “ ~хг (параболы).
Знание этих графиков позволит ним в случае необходимости
заменить аналитическую модель геометрической (графической),
например. вместо модели у - х* (которая представляет собой равенство
с двумя переменными х и р) рассматривать параболу в координатной
плоскости. В частности, это иногда полезно для решении уравнений
Как это делается, обсудим пи нескольких примерах.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение х* = х + I,
Решение
Рассмотрим функции у - х* и у™ х + 2\ построим их графи-
ки и найдём точки пересечения графиков. Эту задачу мы с
вами уже решали (см. пример 2 из § 45 и, соответственно, рис. 95).
Парабола у ~ хг и прямая у “ х - 2 пересекаются в точках А(-1: 1) и
В0| 4).
Как же найти корни уравнения х4 — х + 2, т. е. те значения г, при
которых выражения х‘ и х + 2 принимают одинаковые числовые она
чеиия? Очень просто, эти значения уже найдены: х1 - —1. Xj • 2. Это
абсциссы точек Л и И. п которых пересекаются построенные графики.
Ответ
xi - -1. хг - 2.
216
ГЛАВА » ФУНКЦИЯ v - *•
Фактически мы использовали следующий алгоритм.
1. Ввели в рассмотрение функции д - х1. д — х + 2 (для другого
Уфа в ней ня будут, разумеется, иные функции).
2. Построили в одной системе координат графики функций д — х‘,
д - х ♦ 2.
3. Нашли точки пересечения графиком.
4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни урав-
нения.
ПРИМЕР 2
Решить уравнение х‘ г 1 4 - 0.
Решение
Здесь придётся дополнить выработанный алгоритм еще од
ним шагом (подготовительным): надо переписать уравнение
Ответ
в виде, для которого имеется алгоритм.
Этот вид таков: х* = х - 4. Теперь асе в
порядке, действуем в соответствии с ал го
ритмом.
I) Введем две <|>ункции: р “ х*. у - » -
- 4.
2) Построим в одной системе коорди-
нат графики функций у - х1 н д - х 4
(рис. 96).
3) Точек пересечения у построенных
параболы и прямой нет.
Как вы думаете, что означает этот
геометрический факт для данной Алге-
браическом задачи (для данного уравие
ния)? Догадались? А теперь сопоставьте
свою догадку с тем. что ниже записано в
ответе.
Уравнение не имеет корней.
Существуют так называемые квадратные уравнения уравнения
вида ах1 •+ Ьх ♦ с — О. где а.Ъ.е — числя. о»0, Оии решаются по специ-
альным формулам для отыскания корней, но этих формул вы пока нс
знаете Тем не менее некоторые квадратные уравнения мы уже решили.
Так. в § 41 мы решили уравнение хг 6х + 5 - 0 методом разложения
itu множители. А и настоящем параграфе мы решили еще дни квадрат-
ных уравнения графическим методом. Эго уравнение X1 X 2 - 0
(см. пример I; правда, там уравнение было записано по-другому:
х1 - х t 2 по вы же понимаете, что это то же самое) и уравнение
?-«• I • О (см. пример 2).
Чт» OMwwat « швтамлма,., ыпи<.» к ~ . 2(7
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите все функции, которые мы с ними изучили в
курсе алгебры 7-го класса.
2. Что нужно сделать, чтобы графически решить уравнение
вида х* - *х +• т'1 Прокомментируйте спои ответ па приме-
ре решения уравнения х* — 2х + 3.
3. Используя графический метод, ответьте иа вопрос, сколько
корней имеет уравнение:
») хЧ т - I - 0; 6)? + т + 4 - О?
§47
ЧТО ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ
ЗАПИСЬ у = f(x)
Знакомство с символом f(x)
Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают вни-
мание на две величины, участвующие в процессе (в более слож-
ным процессах учапьуют не две величины, а три, четыре и т. д.,
ко мы пока такие процессы не рассматриваем): одна на них меня
етея произвольно, независимо ни от чего (такую переменную чаще
всего обозначают буквой х). а другая величина принимает эна
ченпя, которые зависят от выбранных значений переменной х
(такую зависимую переменную чаще всего обозначают буквой у). Ма-
тематической моделью реального процесса как раз и является запись
на математическом языке зависимости у от X. т. е. связи между пере
менными тар.
Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили сле-
дующие математические модели: у - 1>, у = Лх. у - Ьх +• т, у ~ г1,
у — ~х! . Есть ди у этих математических моделей что-либо общее?
Есть! Их структура одинакова:
У ’ Дх).
Эту запись следует понимать так: имеется выражение Пх) с пе-
ременной х. с помощью которою мы находим значении перемен-
ной у.
Математики предпочитают запись у - /4х) не случайно. Пусть, на-
пример, Лх) - х1, т. е. речь идет о функции у - Xе. Пусть нам надо
выделить несколько значений аргумента и соответствующих значе-
нии функции. До сих пор мы писали так:
если х - 1, то р — I* - 1;
если х —3, то у - (-3)1 - 9 и т. л.
218
ГЛАВА • ФУНКЦИЯ у *•
Если же использовать обозначение Лх) - х4. то запись становится
более экономной:
Д1)-Р-1;
П 3> - ( -З)4 -9.
Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математике
екого языка: фраза «значение функции у — х* а точке г = 2 рляпо 4»
записывается короче; «если Лх) — х4, то Л2) — 4».
А вот образец обратного перевода: если /(х) - х4, то Л-3) - 9.
По-другому — значение функции у - jr! « точке х — -3 равно 9.
ПРИМЕР 1
Дана функция у - Лх), где /(х) - х*. Вычислить:
а) ЛI); д) Ла - I);
б) Л-4): е) ЛЗх);
в) Ла); ж) Л-х).
г) Л 2а);
Решение
Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в вы
раженне Лх) подставить вместо х то значение аргумента,
которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисле-
ния и преобразования.
•)Л1)“ Р-1;
6) Л 4)-1-4)*- 64:
в) /(о) - а4;
г) Д2а) = (2а)4 = 8а4;
Д) Ла - 1) - (а - 1р:
с) /(Зх) - (Зх)4 - 27л4;
ж) Л-х) - (-хр - -х*.
3«м«чачи« Рллумягтгя. вместо буквы / можно нгпалыюмтъ любую другую букву <в
основном m латинского алфавита): Ж-Г). М*>. *<х) и т. д.
ПРИМЕР 2
Решение
Даны две функции: у - Лх). где Лх) - х4. и у - Ж»), где g(x) - г’.
Доказать, что:
а) Л-х) - Лх); б) Ж-х) - ЖП
а) Так как Лх) - г4, то Л_х) = (-х)* = г4. Итак. Лх) = х4,
Л-х) - х4. значит. Л-х) - Лх).
б) Так как Жх) - х4. то Ж-х) - (-х)4 - -я*. Итак, Жх) - х*,
gt-x) — -х*. т. е. Ж-х) - -Жх).
I <7, Что оамочм!
Использование математической модели вида у — /(л) оказывается
удойным во многих случаях, в частности тогда, когда реальный про-
цесс описывается различными формулами на разных промежутках
изменения независимой переменной.
ПРИМЕР Э
Дана функция а “ /(х). где
Нх) -
2х. если х < 0;
х’, если х > О.
а) Вычислить: Л 5). Л 2), Л1.5). /(4), Л0)-
6» Построить график функции и Лх).
Решение
а> Что такое Д-5)? Это значение задан ной функции в точке
х — —5. По функция задана не одним выражением, а двумя:
2х и г3. Каким их них воспользоваться? Эго зависит от выбранного
значения аргументе. Мы выбрали х - 5, а число 5 удовлетворяет
неравенству х - О: в этом случае функция задается выражением. сто-
ящим в первой строке, т. е. /(х) ~ 2х. Тогда fl-5) — 2 (-5) = -10.
Аналогично вычисляем Д-2): если х -2, то х «- 0 и. значит,
Лх) - 2х. т. е. fl 2) - 2 ( 2» - 4.
Вычислим /(1.5). т. е. значение функции у ~ /(х) в точке
х ” 1,5. Это значение х удовлетворяет условию х ** 0. и, следователь
но, функция задается выражением, стоящим во второй строке, т. е.
flx) - Позтому fll.-'l 2,23
Аналогично находим /1(4): если х - 4, то х ? 0 и. значит,
Л-Г) = X1. Т. е /(4» 4’ - 16.
Осталось вычислить flO). Значение х - О удовлетворяет условию
х > 0. следоюп ЫН I. е. flO) - 0? - 0.
Рие »7
Рыс.
Рас 1>9
220
ГЛАВА В ФУНКЦИЯ у -
61 Мы умеем строить графики функций у - 2х (рис. 97) и
у — х1 (рис. 98) Заданная функция у — Дх) совпадает с фу икни
ей j ' 2х при х - 0 — эти часть, графика выделена иа рисунка 97.
Заданная функция р - /(х) совпадает с функцией р « х* при х > О
эта часть графика выделена на рисунке 98. Если мы теперь изобра-
зим обе выделенные части н одной системе координнт. то получим
требуемый график функции у - Дх) (рис. 99).
Конечно, математики на строят подобные графики так долго.
*>с Обычно всё делается граду в одной системе координат. Только. есте-
ЬЯ ствеянс. прямая у ~ 2х берется не целиком, а лишь при условии
^7 х < 0. т. ». иа промежутке (-во; 0). и парабола у - л’ бе-
кусочная функция рется не целикам, а лишь при условии ж > О, т. е. иа про-
ме.жутке (0; • »). Вот так по кусочкам и воспроизводится
весь график. Поэтому функции такого типа, как в примере 3, налы
аают кусочными функциями.
ПРИМЕР 4
Дана функция у - Дх), где
Г(ж) -
х + 2, если -4 < х < -1;
х’, если -1 < х < 0;
4, если 0 < х < 4.
а) Вычислить: Д-4), П~2), Д-0,5), ДО), /(1), /(5)-
б) Построить график функции у — fix)
в) Сколько корией имеет уравнение Дх) - а для различных зиа
пений at
Решение
а) Значение ж = -4 удовлетворяет условию -4 С X С -1, а В
этом случае Лх) - х + 2. Поэтому Л~4) “ 4 + 2 “ 2.
Значение х - 2 удовлетворяет условию -4 С х С 1, а в этом
случае Лх) = х + 2. Значит. Д-2) - -2 + 2 - 0,
Значение х ~ -0,5 удовлетворяет условию -1 « х t 0, a s этом
случае Лх) = ж3. Следовательно, Л“О.б) “ (-0.5)3 •= 0,25.
Значение х - 0 удовлетворяет условию -1 < X <• 0, ав этом случае
Дж) - ж3. Тогда ДО) - О’ - 0.
Значение ж — 1 удовлетворяет условию 0 - ж < 4. а в этом случае
Дх) • 4: в частности, и Д1) - 4.
Значение х - 5 не удовлетворяет ни одному из имеющихся условий:
нм первому -4 < X < -1, ИИ второму -1 < х < 0, ин третьему 0 < ж < 4.
Поэтому вычислить До) мы не можем, то ладание некорректно.
6) График функции у “ Дж) построим «по кусочкам«. На рисун-
ке 100 изображён график функции у - х -* 2. где х е ( 4: 1].
На рисунке 101 представлен график функции у - х'. где х £ (-1; О]
in. Что • меме т м<
шнк» У* Аг|
На рисунке 102 изображен график функции у 4. где х € (0; 4]. На
конец, на рисунке 103 все «кусочки» воссоединены в одно целое — в
график функции у - Лх).
Рис. 104
Гис. ЮЛ
в) Ответ на поставленный вопрос мы сможем получить с помощью
графика функции у — Дх), представленного на рисунке 10.3. Фактиче
ски речь идёт о том, сколько точек пересечении имеет этот график е
прямой у — а, параллельной оси абсцисс. Мы видим, что если а < -2,
или 1 < а - 4. или о - 4. то график функции у - Дх) не пересекается
с прямой у - а (три такие прямые проведены на рис. 101): при ука-
занных значениях а уравнение Дх) а не имеет корней.
Если -2 < J < 0 или а = 1, то прямая у = a е графиком
функции у - Дх) одну точку пересечении (рис. 105); соответственно,
уравнение Дх) - а имеет один корень.
Если 0 < а < 1. то прямая р - и имеет с графиком функции у • Дх)
две точки пересечения (рис. 106): соответственно, уравнение Дх) - а
имеет два корня. Наконец, если а — 1. то уравнение Дх) - и имеет
222
ГЛАВА • ФУНКЦИЯ у . к»
бесконечно много корней — корнем будет служить любое число из
полуинтервала (О; 4| (рис, 107).
Подведём итога:
если а < -2. 1 - о < 4. а > 4. то уравнение Лх) - а не имеет кор-
ней: если -2 s в « О или о - 1. то уравнение Дх) - о имеет одни
корень: если 0 < а • 1, то уравнение Дх) — а имеет два корня: если
а - 4, то уравнение Лх) — а имеет бесконечно много норией.
Опишем с помощью построенного на рисунке 103 графика некого
рма свойства функции у * Лх) — тако* описания свойств обычно ня-
КП зывают чтением графика. Чтение графика — ото своеобразный пере
ход от геометрической модели (от графической модели) к
чтение словесной модели (к описанию свойств функции). А по
графика строение графика — это переход от аналитической модели
(она представлена в условии примера 4) к геометрической.
Итак, приступаем к чтению графика функции р - Лх)
(см. рнс. 103).
1. Независимая переменная х • пробегает• все значения от -4
до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка ( I; 4|
можно вычислить значение функции Лх). Говорят гак:
область |-4; 4| — область определения функции.
определения Почему при решении примера 4 мы сказали, что няй
функции т1| ^5) нельзя? Да потому, что значение х - 5 не принад
лежит области определения функции.
2. Мм» “ “2 (этого значения функция достигает при х “ -4);
у...ч • 4 (этого значения функция достигает в любой точке полуин-
тервала (О; 4]).
3. у — 0, если х - 2 и если х — 0: в этих точках график функции
у - Л») пересекает ось х.
4. у 0, если х е < 2; 0) пли если х е (0, 4|; на этих промежутках
график функции у - f(x) расположен выше оси г.
5. у < 0. если ж е | 4: 2); па этом промежутке график функции
у - Л») расположен ниже оси х,
6. Функция возрастает иа отрезке [-4; -1]. убывает па отрезке [ 1; 0J
и постоянна (ии воз растает, ни убывает) иа полуинтервале (0; 4).
Чтя еэчемч и мапмагмме 221
По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функ-
ций. процесс чтения срафнкн будет становиться более насыщенным,
содержательным и интересным.
Обсудим одно на таких новых свойств. График функции, рас смог
реииой в примере 1, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»).
Первая и вторая ветви (отрезок прямой у ~ х * 2 н чисть параболы)
«состыкованы» удачно: отрезок заканчивается а точке
непрерывная (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке,
функция А пет вторая и третья ветви менее удачно «состыкова
ны«: третья ветвь («кусочек, горизонтальной прямой)
начинается нс в точке (О: 0). а в точке 10; 4). Математики говорят
так: «функция у “ fix) npfmfpneeafm pajpux при х - О (или и точке
х - 0)». Если функция не имеет точек разрыва, то её называют не пре
рыннпУ. Так. псе функции, с которыми мы познакомились а преды-
дущих параграфах (р = Ь. р = кх. у = кх + т. у = х2, у = х2).
непрерывные
График с «выколотой» точкой
ПРИМЕР 5
Даня функция р - —
Построить и прочитать ее график
Решение
Как видите, здесь функция задана достаточно сложным вы
раженнем. Но математика единая и цельная наука, ее
разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем. что мы
_ Q fi
изучали в главе 7. и сократим алгебраическую дробь fix)-----
fix) = i—- «У-Э - х2.
" ' х 2 х 2
Итак, на самом деле fix) — х1. Правда, надо учесть, что тождество
- 9 Г*
~ - х* справедливо лишь при ограничении х * 2. Следователь-
по, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции
- 2л-
у------—— будем рассматривать функцию у — х2, где х е 2.
Построим из координатной плоскости хОу параболу у ~ х1. Пря
мяя г - 2 пересекает ея я точке (2: 4). Но по условию х я 2. значит,
точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для
чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком. Таким обра-
зом. график функции построен — это парабола у ~ х1 с «выколотой»
точкой (2; 4) (рис. Н№).
224
ГЛАВА • ФУНКЦИЯ у х*
Рис. 10в
Перейдем к описанию свойств функции
у — Лх). Т. е. к чтению ее графика.
I. Независимая переменная х принимает
любые значения, кроме х - 2. Значит, об
ласти определения функции состоит из двуж
открытых лучей (-°°; 2) и <2; +°о).
2. Уша ~ ° (достигается при х = О), у„.|И
не существует.
3. Функция претерпевает разрыв при х - 2
(в точке х " 2): нн 2) и на (2; +») она
непрерывна.
4. у - О, если х • О.
5. у > 0, если х е (-*; 0), если х е (0; 2)
и если х £ (2; +»).
в. Функция убывает на луче ( <»; 0|. возрастает на полунитерва
ле [О; 2) и па открытом луче (2; тоо).
Вопросы для самопроверки
1. Как вы понимаете, что такое кусочная (функция?
2. Приведите промер кусочной функции у - fix). в котором
задание вычислить /(17) является некорректным.
3. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит
из части параболы и луча графика линейной функции. За-
дайте ее аналитически (с помощью формул).
4. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит
иа части параболы и двух отрезков графиков разных ли
нейпых функций. Задайте ее аналитически.
5. Приведите пример функции, которая претерпевает разрыв
при х ” 1.
б. Сколько свойств функции мы можем записать, когда вы-
полняем чтенне графика? Перечислите эти свойства.
ГРУППИРОВКА ДАННЫХ
Если данных имеется много (несколько десятков, сотен, тысяч.-), то
работать со всеми лтими данными целиком затруднительно. Один из
способов выхода из ситуации мы рассматривали в $ 44. Он состоял в
том. что от всей первоначальной информации оставляет небольшое
количество лишь самых важных показателей. Среди них объём,
размах. мода, медиана, среднее, дисперсия.
’ Параграф шшисам II. В. Семеновым.
Ъ Сруплироахл — *п 225
В этой главе мы рассмотрим другой способ преобраэоваияя данных.
Он состоит в их группировке. Если различных данных слишком
много, то их объединяют в группы. При группировке индивидуальные
особенности первоначальных данных. как правило, пропадают.
Точнее, они смешиваются с особенностями других данных па той же
группы. Уже Hi этого общего описания следует важное наблюдение:
при группировке информация становится менее точной!
Рассмотрим конкретный пример. В конкурсах по литературе,
по истории и по математике участвовали: команда «А» (Аня, Лея,
Антой), команда «В* (Белли. Боря. Богдан) и команда «В» (Вера,
Вита. Витя). Вот данные о набранных очках.
Н1РО» Аня Ага Литии Белла Бора Богдан Вера Вита Нита
Литература в 4 3 2 8 7 5 9 1
НгТ1ф«« 1 а 4 9 5 в 2 2 7
Математика 7 5 9 4 8 2 1 в 3
Иа этой таблицы можно получить разнообразную информацию.
Например, больше всех очков п сумме набрал Боря (21 очко). Хуже
всех выступила Вера Я очков. Суммы очков каждого участника
можно изобразить на столбчатой диаграмме (рис. 109).
Pur too
Упорядоченным ряд данных выглядит так: 8, 11, 14. 15. 15, 16,
17. 18. 21. Мода суммы очков по трем предметам равна 15. медиана
также равна 15, и т. п.
Но соревнование было командным, и в итоге нам важны
командные результаты.
Команда .Л. .Б. .В.
Сумма 47 51 37
226
ГЛАВА • ФУНКЦИЯ у ж»
Столбчатая диаграмма (рис. 110) ко
мандмых результатов проще и нагляднее.
Те же первоначальные данные можно
сгруппировать и по другому. Например,
по результатам девочек и мальчиков.
Кто Девочки Мальчики
Сумма очко» 72 63
В сумме девочки набрала очков
больше, чем мальчики. Но девочек
пятеро, в мальчиков четверо. Среднее
результатов девочек равно
72 63
— = 14.4. >1 среднее результатов мальчиков равно —- = 15.75. Зна-
э -I
чит. в среднем мальчики выступили успешнее девочек.
Повторим еще раз: при группировке дан вых мы выигрываем в
краткости и наглядности ответа, но промгрынятм я точности. Вопрос
о том. ’гго важнее, следует отдельно решать в каждом конкретном
случае.
ПРИМЕР 1
Выписать в ряд все переменные, встречающиеся (с повторениями) в
многочленах
п ♦ abx + ер. kx (х + б), ахуг * k - е. та (х р) хг,
я + с 4 1, и + хг. сп - 2и.
Составить таблицу распределения переменных в этих многочленах и
таблицу распределения переменных по трем группам;
{а. Ь. 1. у). (А. /. т. _.. в). И, а. ._. р. <}.
Решение
В перечне многочленов пропустим опаки арифметических
операций, пропустим числа и скобки, а между переменны-
ми расставим запятые:
л, а. Ь, х, е, у. Л, х, х, Ь, а, х, у, з, k, е, т, а, х, у, х, г, п.
с. у. х. г. с. я. у.
Таблицу распределения переменных составим, перечисляя бук-
вы по алфавиту. «о» встретилась трижды. «!>• — дважды
и т. д. Получаем такую таблицу
Персмеппа» U ь С к т л X ч Всего: 9
Сколы.» раз встретилась 3 2 4 2 1 3 т 5 3 Сумма: 30
227
В первую группу (л, Л, .... I, /) вошли а. 1> и с. Всего 3*2 +
+ 4 — 9 вхождении. Во вторую группу [к. I. т. а) вошли к. т и п;
6 вхождении. Наконец, в последнюю группу 15 раз вошли х, у млн г,
Эти буквы чаще всего используют для обозначения переменных.
Группа Первая Второй Третьи Всего: 3
Сколько раз встретилась 9 б 15 Сумма: 30
Наш эксперимент показал, что в данном примере последние бук-
вы л 1«тннекого алфавиты чаще других (и половине случаен) испольиу-
юте я в алгебре для обозначения переменных.
ПРИМЕР 2
а) Заполнить таблицу значений функции у — xJ для х - О, 1. 2, 3,
.... В. 9.
6) Сколько значений лежит в пределах от О до 50?
в) Составить таблицу распределения значений по группам «от О
до 50» и «от 51 до 100».
г) По таблица из пункта в) составить таблицу распределения про-
центных частот.
а) Надеемся. «это для вас — нетрудный устный счет. Вот от вег:
Ж 0 1 2 3 4 О « 7 8 9
V 0 1 4 • 16 га м 49 Л+ «1
6) Видим, что восемь первых значений О. 1,4. .... 49 лежит в пре-
делах от О до 50.
По этой причине таблицы в пунктах в) и г) выглядят очень про-
сто. Мы объединим их.
Группа от 0 до 50 от 50 до 100
Сколько зоачмшВ в группа 8 2
Частота (в %) 80 20
228
ГЛАВА В ФУНКЦИЯ у лН
Вопросы для самопроверки
1. В каких случаях при обработке информации применяют
группировку данных?
2. Как изменяется точность информации при группировке
данных?
Основные результаты
• Мы пополнили наш словарный запас математического
языка следующими терминами-.
парабола, ось (ось симметрии) параболы, ветви
пи работы, вершина параболы;
непрерывная функция, разрыв функции;
— кусочная функция;
область определения функции;
— чтение графика.
• Мы познакомились с тремя математическими моделями'.
— р - х’. р - -х’;
И - /(л).
• Мы получили следующий релулыпат-
графиком функции ц - х3 (и функции р - г1) является
парабола.
• Мы разработали алгоритм графического решения ураппе
пня пила Пх) - в(х).
• Наконец, мы познакомились с гем, как строить графики
кусочных функций.
Темы исследовательских работ
1. Графическое решение уравнений.
2. Кусочная функция.
3. Группировка дмппых.
229
Предметный указатель
A бсцисса 13
а тгеб(>« плеская дробь 196
«.иеЙ|ИМ1'СК«' BblMAriUll 6
алгоритм 18
отыскания координат тон-
ки 44
— — общего множителя олиоч
ленов 175
построения г-рафнка ура «не
ним 53
тонки по координатам 16
решения системы методом
подстановки 90
аналитическая модель 17
П имолпльиос раегцеделеаис 105
II ереггипа параболы 211
ветви параболы 211
воаведеиие а степень 110
выпееенпе общего множителя за
скобки 151. 174
Г олметричесвал модель 17. 51
графический метод решении пяти-
мы уравнений Яб
Д пушен 144
дисперсна 206
допустимые, аедопуетнмыс >начс
нпл переменных 10
3 лппсимяя переменная 62
значение алгеброй четкого цы раже
поя S
И вттрвал 34
К ведра г раашхти 154. 187
квадрат гуммы 154, 187
комбинаторика 39
координата точки 32
координатная прямая 31
координатные углы 42
коэффициент плавима 130
куб разности 160. 187
куб суммы 160, 187
кусочная функция 220
Л инейная функция 81
ншрастающ.ля 72
убывающая 72
, наибольшее значение 68
-, наименьшее значение 68
линейное ураапение с двумя пере-
менными 48
------с одной переменной 18
луч 34
М едлапв ряда данных 78
метод алгебраического сложе-
ния 94
— введения аивиН перемен
ной 132
выделения полного квадри-
га 162
— подстановки 90
многочлен 144
—. стандартный вид 145
мола 37
И ячМО координат 42
неаааисимая переменная (аргу-
мент* 62
ш«пр<<Л1'те1111ая система уравне-
ний 88
непрерывная функция 223
230
ПРСДМГГННЙ УКАЗ АП Ль
песовместиая система гравия-
нпй ЛЯ
НОМИНЛТПВИЫЙ ряд 103
О ЛЛЛСТЬ ОН|М>ДГЛеИИЯ функ-
ции 822
обы-м ряда МНИЫ1 37
одночлен 129
ордината 43
оси координат 42
оспсеинпе степени 108
открытый луч 34
отрезок 34
II арабета 210
—. ось симметрии 211
подобные одночлены 132
показатель степени 108
полуинтервал 35
проняло деления многочлене па
одночлен 165
нахождения произведения
многочлена иа одночлен 150
— — — многочленов 152
------среднего 203
------суммы миоссислеиов 118
подсчета вероятности 104
— умножения 39
приведение подобных членов 145
процентная частота 167
прямоугольная система коорди-
нат 42
I* замах рила данных 37
разность квадратов 157.187
кубов 159. 187
решение системы уравпенкп 85
ряд данных 37
С нойство степенен с натуральным
показателем 114. 115. 116. 121
система сравнений 85
словесная модель 17
способ группировки 180
среднее значение 203
стандартный вид одвочлеиа 130
степень 108
— С нулевым показателем 123
сумма кубов 159. 187
Т «блица распределения лав
ИНН 79
процентных частот 168
— — частот 141
теорема о вмимиом расположении
графиков линейных функций 74
— о виде графика линейной
функции 52. 64
теоремы о среднем значении 205
тождественное нреобраэом
ине 200
Г"ТДе-л« 200
трехчлен 144
У еловой коэффициент 64
упприлоченный ряд данных 77
Ч астота результата 140
числовое выражение б
числовой промежуток 35
чтение графика 222
231
Оглавление
Предисловие ..................................... 3
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
$ 1. Числовые и алгебраические выражения..... 5
5 2. Что такое математический язык ......... 11
<j 8. Что такое математическая модель ...... 12
| 4. Линейное уравнение е одной переменное! ........ 17
§ 5. Задачи на составление линейных уравнений
с одной переменкой ......................... 21
$ б. Координатная прямая ....___..........___ 31
$ 7. Данные и ряды данных .................. 36
Основные результаты ........................ 40
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
S 8. Координатная плоскость ................. 42
5 0. Линейное уравнение с двумя переменными
и его график ........................... 18
< j 10. Линейная функция и ее график ...... 60
$ 11. Взаимное расположение графиков
линейных функций ..................... 74
$ 12. Упорядочение данных, таблицы распределения ... 77
Основные результаты ................. 82
ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
j 13. Основные понятия ..................... 84
$ 14. Метод подстановки .................. 89
S 15. Метод алгебраического сложения ........ 92
16. Системы двух линейных уравнений с двумя
переменными как математические модели
реальных ситуаций ...................... 97
J 17. Нечисловые ряды данных ................103
Основные результаты ....................106
ГЛАВА 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
И ЕЁ СВОЙСТВА
S 18. Что такое степень с натуральным показателем . .. 107
$ 19. Таблица основных степеней..............Ill
$ 20. Свойства степени с натуральным показателем ... 113
$ 21. Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями ..................120
j 22. Степень с пулевым показателем ....... 123
232
0ГЛАВЛ1НМ»
$ 23. Работа с таблицами распределения......12-1
Основные результаты ...................... 127
ГЛАВА 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
4 24. Поиятие одночлена.
Стандартный вид одночлена .................. 129
$ 25. Сложение и вычитание одночленов...... 131
4 26. Умножение одночленов. Вознеденне одночлена
п натуральную степень...................134
$ 27. Деление одночлена на одночлен .........137
4 28. Таблицы распределения частот...........140
Основные результаты ....................143
ГЛАВА 6. МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
4 28. Основные понятия .................. 144
i 30. Сложение и вычитание многочленов .... 147
$ 31. Умножение многочлена на одночлен .... 149
4 32. Умножение многочлена на многочлен .....151
4 33. Формулы сокращенного умножения.........154
4 34. Метод выделения полного квадрата ......162
4 35. Деление многочлена на одночлен ...... 165
4 36. Процентные частоты ................ ..167
Основные результаты .................. 169
ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
4 37. Что такое разложение многочленов на множители
и зачем оно нужно .........................171
4 38. Вынесение общего множителя .га скобки.......174
4 39. Способ группировки .......................179
4 40. Разложение многочленов па миожите.чк
с помощью формул сокращенного умножения ... 186
4 41. Разложение многочленов на множители
с помощью комбинации различных приемов..........190
4 42. Сокращение алгебраических дробей ........195
4 43. Тождества.................................199
4 44. Среднее значение и дисперсия................203
Основные результаты ........................ 208
ГЛАВА 8. ФУНКЦИЯ у X*
4 45. Функция 4 х1 я w график ..................209
4 46. Графическое решение уравнений ..............215
4 47. Что одна чает и математике запись р - Лх) .217
4 48. Группировки данных .........................224
Основные результаты..........................228
Предметный указатель ...................... 229
Алгебра