МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ zis 6 • 1975
Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Академии наук Союза Советских Социалистических Республик, ученым, 3
всем работникам советской науки Почин москвичей — пример для всех 5
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Об исследованиях по истории математики в Советском Союзе 8 Б. В. Гнеденко
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Об изучении математики в (X классе Применение элементов векторной алгебры к решению планиметрических
задач
К преподаванию алгебры и начал анализа О функциональной пропедевтике в IV—V классах Из опыта работы по решению задач повышенной трудности в V классе
Разложение чисел на множители
17
26 В. М. Клопский,
М. И. Ягодовский, 3. А. Скопец 35 Л. Ф. Пичурин ЗУ О. С. Кретинин 39 Д. В. Клименченко 46 М. М. Кутылев
Технические средства обучения. Учебное оборудование
О таблицах по алгебре для VII класса
Факультативные курсы
41 К. С. Муравин, В. Н. Руденко
Применение производной к выяснению истинности неравенств 47 М. Б. Балк
Эксперимент
К вопросу о геометрических преобразованиях в курсе V класса 53 М. Б. Волович
Проблемы и суждения
О символике школьного курса математики с точки зрения программирования © Издательство «Педагогика», «Математика в школе» 1975.
58 И. Н. Антипов,
Л. С. Шварцбурд


Внеклассная работа
Академии наук СССР 250 лет IX Всесоюзная математическая олимпиада
Неравенство Чебышева
Тетраэдр, вписанный в другой тетраэдр Некоторые примеры практического применения ортогонального
проектирования
Занимательная страница
Разные задачи
Задачи
Математический календарь на 1975/76 учебный год
Надежда Христофоровна Спатару
ХРОНИКА
Государственная научная педагогическая библиотека имени К. Д. Ушинского
Академии педагогических наук СССР
Некрологи
Александр Сергеевич Кованько Александр Петрович Доморяд Тематический указатель статей, помещенных в журнале за 1975 г.
61
62 Н. X. Агаханов, Н. Б. Васильев, И. Н. Клумова, Ю. И. Ионин 69 А. В. Никулин, Р. П. Шейнцвит 71 Э. Г. Готман
74 3. Н. Костина
87 А. И. Бородин
88 В. Д. Белоусов, Я. И. Нягу
91 А. Н. Костовский, И. Ф. Тесленко
92 А. И. Маркушевич, Л. Р. Хахамов
93
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: | И» К. Андронов |, в. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А, Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков,
А, Д. Семушин. К. Л. Сикорский, 3. А. Скопец, Л. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко
Редакционный совет (представители союзных республик):
А. М. Алиев (АзССР), И. А. Артемьева (ЛатССР), X. А. Асадов (ТаджССР),
Р. А. Балайшис (ЛитССР), Б. Д. Бердыев (ТуркмССР), Б. П. Бычков (МолдССР),
Д. И. Икрамов (УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), К. С. Муравин (РСФСР),
Р. К. Мхитарян (АрмССР), С. Ф. Рубанов (БССР), Д. С. Саламатов (КиргССР),
3. И. Слепкань (УССР), А. д. Телъвлсаа (ЭССР), А. М. хоштария (ГрузССР)


Академии наук Союза Советских Социалистических Республик, ученым, всем работникам советской науки
Центральный Комитет Коммунистической партии Советского Союза, Президиум Верховного Совета СССР и Совет Министров СССР сердечно поздравляют ученых, всех работников науки с 250-летним юбилеем Академии наук СССР. Создание Академии наук явилось знаменательной вехой в истории науки, просвещения и культуры нашей страны.
Академия наук прошла большой и славный путь и ныне по праву занимает ведущее положение во всей системе научных организаций в нашей стране, располагает широкой сетью научно-исследовательских учреждений самого различного профиля. Советский народ гордится своей академией, вписавшей немало ярких страниц в летопись научной мысли, высоко оценивает ее роль в развитии советской науки и ее участие в жизни страны. Празднование 250-летия Академии наук СССР вылилось во всенародный смотр достижений советской науки, продемонстрировало высокую общественную активность ученых, их нерушимое единство с партией, решимость воплотить в жизнь ее предначертания.
Великая Октябрьская социалистическая революция ознаменовала собой новую эру в истории человечества, пробудила могучую творческую энергию народных масс, получивших широкий доступ к знаниям. Наука и просвещение были поставлены на службу народу, Советской Родине, социалистическому строительству. У истоков советской науки стоял великий Ленин. Даже в тяжелые годы разрухи и гражданской войны вождь революции с большой теплотой и заботой относился к ученым, направлял научные силы на развертывание исследований, способствующих социалистическому преобразованию экономики и культуры первого в мире государства рабочих и крестьян.
Опираясь на постоянную поддержку пар¬
тии и народа, советские ученые широким фронтом развернули фундаментальные и прикладные исследования, всегда находились на переднем крае борьбы за индустриализацию страны, социалистическое переустройство сельского хозяйства, осуществление подлинной культурной революции, много сделали для исторической победы над фашизмом, для укрепления экономического и оборонного мо-= гущества нашей Отчизны.
Замечательные достижения советских ученых оказали большое влияние на развитие мировой науки и неотделимы от стремительного прогресса естествознания и передовой общественно-политической мысли XX в. Советская наука сыграла выдающуюся роль в превращении нашей страны в одну из самых мощных индустриальных держав. И сегодня она выступает важнейшим фактором научно- технического и социального прогресса, вносит весомый вклад в развитие современной цивилизации, способствует повышению международного престижа Советского Союза. Неизмеримо возрос международный авторитет Академии наук СССР, расширяется ее сотрудничество с зарубежными научными организациями, особенно с научными организациями и учеными социалистических стран. Широкое одобрение и поддержку получает активное участие советских ученых в борьбе за мир и безопасность народов, разрядку международной напряженности.
В настоящее время, когда наша страна решает грандиозные по своим масштабам народнохозяйственные и социально-политические задачи, особенно возрастает роль науки, которая на деле стала непосредственной про- избодительной силой. Органическое соединение достижений научно-технической революции с преимуществами социализма является характерной чертой современного этапа комт мунистического строительства и необходимой
3


предпосылкой создания материально-технической базы коммунизма, роста благосостояния советского народа, все более полного удовлетворения его материальных и духовных потребностей.
В нашем обществе созданы исключительно благоприятные условия для развития науки. Фундаментальные исследования в области естественных и общественных наук все в больших масштабах направляются на комплексное решение важнейших научно-технических и социальных проблем, определяющее быстрое развитие производительных сил, повышение эффективности производства и уровня жизни советского народа, на разработку актуальных вопросов общественного развития, формирование марксистско-ленинского мировоззрения трудящихся. Все большее значение для будущего человечества приобретает сейчас изучение и освоение земных недр, Мирового океана, охрана окружающей природной среды, исследование космического пространства.
Академия наук СССР — подлинный штаб
советской науки, ее ведущая сила. Она призвана определять стратегию научного поиска, открывать пути ускорения научно-технического прогресса, объединять для решения поставленных задач усилия ученых академий наук союзных республик, высших учебных заведений, отраслевых и других научно-исследовательских учреждений.
Всевозрастающий интеллектуальный потенциал развитого социалистического общества, активная творческая деятельность ученых, их высокая ответственность перед народом, постоянное внимание и неустанная забота Коммунистической партии — залог дальнейших успехов советской науки.
Центральный Комитет Коммунистической партии Советского Союза, Президиум Верховного Совета СССР и Совет Министров СССР выражают твердую уверенность в том, что Академия наук СССР, все работники советской науки встретят XXV съезд КПСС новыми творческими свершениями, внесут достойный вклад в строительство коммунизма.
Центральный Комитет КПСС
Президиум Верховного Совета СССР
Совет Министров СССР
«Правда», 8 октября 1975 г.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 сентября 1975 г. за заслуги в развитии советской науки и в связи с 250-летием Академии наук СССР награждены академики, члены-корреспонденты и сотрудники организаций Академии наук СССР. В том числе высокие награды получили ученые-математики:
ОРДЕН ЛЕНИНА
Александров П* С. — академик, Боголюбов Н. Н. — академик,
Векуа И. Н. —• академик,
Виноградов И. М. — академик, Владимиров В. С. — академик,
< Глушков В. М. — академик,
Келдыш М. В. — академик,
Колмогоров А. Н. — академик, Лаврентьев М. А. — академик, Марджанишвили К. К. — академик, Мусхелишвили Н. И. — академик, Соболев С. Л. — академик.
ОРДЕН ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
Дородницын А. А. — академик, Понтрягин Л. С. — академик,
Тихонов А. Н. — академик,
Лаврентьев М. М. — чл.-кор. АН СССР, Меньшов Д. Е. — чл.-кор. АН СССР, Самарский А. А. — чл.-кор. АН СССР.
ОРДЕН ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
Александров А. Д.— академик, Канторович Л. В. — академик,
Прохоров Ю. В. — академик,
Бицадзе А. В. — чл.-кор. АН СССР, Говорун Н. Н. — чл.-кор. АН СССР, Гончар А. А. — чл.-кор. АН СССР, Делоне Б. rt. — чл.-кор. АН СССР, Ершов А. П.-—чл.-кор. АН СССР, Ершов Ю. Н. —чл.-кор. АН СССР, Каргаполов М. И. — чл.-кор. АН СССР, Козлов В. Я.—чл.-кор. АН СССР, Леонтьев А. Ф. — чл.-кор. АН СССР, Люстерник Л. А. —чл.-кор. АН СССР, Марков А. А. — чл.-кор. АН СССР, Мергелян С. Н.— чл.-кор. АН СССР, Погорелов А. В. —чл.-кор. АН СССР, Фаддеев Д. К.— чл.-кор. АН СССР, Ширшов А. И. — чл.-кор. АН СССР.
ОРДЕН ДРУЖБЫ НАРОДОВ Гельфанд И. М.— чл.-кор. АН СССР.
ОРДЕН «ЗНАК ПОЧЕТА»
Большее Л. Н. — чл.-кор. АН СССР, Боровков А. А. — чл.-кор. АН СССР, Бусленко Н. П. — чл.-кор. АН СССР, Иванов В. К. — чл.-кор. АН СССР, Лупанов О. Б. — чл.-кор. АН СССР
Редакция журнала вместе с читателями сердечно поздравляет всех награжденных и желает им новых успехов в развитии советской науки.


Почин москвичей — пример для всех
КО ВСЕМ РАБОТНИКАМ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
Дорогие товарищи! Новый учебный год начинается в знаменательное время: страна готовится достойно встретить XXV съезд партии, съезд, который определит новые рубежи коммунистического строительства. Вместе со всем советским народом готовится к съезду сорокатысячная армия учителей Москвы. Наши помыслы и заботы обращены к дню сегодняшнему и завтрашнему.
Мы не производим материальных ценностей. Результаты нашего труда не определяются мерами веса или длины, не исчисляются в рублях. Но нет более ценной продукции, чем у школы. Это люди, молодые строители коммунизма.
Десять лет проводит человек в школе. Здесь, под нашим руководством, он не только изучает науки, приобщается к труду, к миру искусства, литературы. Здесь идет становление его личности. Отсюда, из стен школы, он выходит в большую жизнь. И мы обязаны воспитывать достойных сынов и дочерей Отечества. Поистине, в руках учителя будущее. Поэтому первое наше слово к учителю.
Учитель всегда был, есть и будет центральной фигурой народного образования. От его знаний, культуры, идейной убежденности зависит успешное решение задач, которые партия и правительство ставят перед работниками просвещения. И среди этих задач главная — повышение качества обучения и воспитания школьников.
За годы девятой пятилетки значительно окрепла материальная база народного образования столицы. Построены десятки новых школ, пополнено и модернизировано их оборудование. К услугам учителей разнообразные технические средства обучения, современные кабинеты, лаборатории, мастерские, учебно-производственные комбинаты. Все это создает благоприятные условия для осуществления всеобщего среднего образования и совершенствования учебно-воспитательного процесса. Призыв/ с которым после XXIV съезда партии передовые учителя Москвы обратились к своим коллегам: «Каждому
школьнику — глубокие и прочные знания!» — сыграл важную роль. В школах столицы трудятся подлинные мастера педагогического дела. Ими накоплен положительный опыт работы*
И все же нас не всегда удовлетворяют результаты нашей деятельности, далеко не все резервы нами используются. Прямое отношение к нам имеют слова Генерального секретаря ЦК КПСС товарища Леонида Ильича Брежнева о том, что «...все наши усилия не дадут желаемого результата, если мы серьезно не поднимем качество работы во всех звеньях нашего хозяйства, на каждом рабочем месте».
Вдохновленные заботой Коммунистической партии и Советского государства о развитии просвещения, мы, учителя десяти московских школ, призываем всех работников народного образования Москвы трудиться под девизом «Образцовому коммунистическому городу — образцовые школы». Это значит: надо лучше учить, лучше воспитывать подрастающее поколение, добиваться, чтобы московские школы стали образцовыми учебно-воспитательными учреждениями.
Качество и уровень общеобразовательной подготовки школьников определяются не только степенью совершенствования школьных программ, а всей организацией учебно- воспитательного процесса, вдумчивой работой педагогов. Каждому учителю следует тщательно продумать, как он будет действовать, чтобы внести свой личный вклад в движение «Образцовому коммунистическому^ городу — образцовые школы».
Очень важно иметь в виду, что понятие «качество работы» охватывает широкий круг проблем, таких, как творческое отношение к делу, совершенствование педагогического мастерства, трудовая дисциплина, взаимная требовательность, товарищеская взаимопомощь и ряд других. Пусть каждый урок, каждое внеклассное занятие, каждый час классного руководителя будет тщательно подготовлен, максимально эффективен.
По-прежнему урок — основная форма учебно-воспитательного процесса. Будем и впредь совершенствовать его, опираясь на достижения педагогической науки, психологии, методики, передовой опыт. Наш долг — вооружать детей глубокими и прочными знаниями, заботливо растить каждого ученика, помогать преодолевать трудности учения, поддерживать стремление к знаниям, воспитывать трудолюбие и ответственное отношение К занятиям. Мы "должны добиться, что¬
5


бы все подростки после восьми классов получали среднее образование. Неразрывна связь обучения и воспитания. Надо полнее использовать воспитательные возможности новых программ, внеклассной работы для всестороннего развития личности.
Советская школа призвана- формировать у молодого поколения марксистско-ленинское мировоззрение, воспитывать в духе социалистического интернационализма и советского патриотизма. Неоценимые возможности для этого открывает накопленный школами опыт изучения произведений Владимира Ильича Ленина, партийных документов. Надо развивать традиции патриотического воспитания, созданные в период подготовки и празднования 30-летия Победы в Великой Отечественной воййе, укреплять связи юных с представителями старшего поколения, носителями революционных, боевых и трудовых традиций Коммунистической партии, советского народа.
Надо всемерна использовать огромное воспитательное значение материалов Совещания по безопасности и сотрудничеству в Европе, выступления на нем товарища Леонида Ильича Брежнева, документа Политбюро ЦК КПСС, Президиума Верховного Совета СССР и Совета Министров СССР по итогам этого совещания. Наша задача — раскрыть перед школьниками историческое значение Совещания, показать ту поистине титаническую работу, которую ведут в борьбе за мир Коммунистическая партия, ее ленинский Центральный Комитет, Политбюро ЦК КПСС и лично товарищ Леонид Ильич Брежнев.
В обстановке разрядки международной напряженности, мирного сосуществования государств с различным общественным строем необходимо еще более наступательно и активно вести идеологическую работу, усилить пропаганду советского образа жизни.
Мы должны помнить: наши идеологические противники используют все средства, чтобы привить молодежи духовные стандарты буржуазного общества. Усилия педагогических коллективов должны быть сосредоточены на том, чтобы в стенах школы вырос политически зрелый, идейно убежденный, преданный Советской Родине борец за коммунизм.
Воспитание учащихся в духе уважения и любви к труду, подготовка молодежи к сознательному выбору профессии — актуальная задача педагогических коллективов. Необходимо разъяснять учащимся важность работы на производстве и в сфере обслуживания, систематически знакомить школьников с рабо¬
той предприятий промышленности, транспорта, строительства, сферы обслуживания. Надо воспитывать у учащихся желание встать в ряды рабочего класса Страны Советов.
Необходимо уделять больше внимания нравственному, эстетическому и физическому воспитанию учащихся, проявлять заботу об их досуге, в каждой школе расширить сеть кружков по интересам, спортивных секций, помочь каждому подростку найти дело по душе.
Учитель должен постоянно учиться сам. В постановлении ЦК КПСС «О работе по подбору и воспитанию идеологических кадров и партийной организации Белоруссии» подчеркивается, что учительство является одним из ведущих отрядов бойцов идеологического фронта. Мы призываем учителей Москвы в ближайшие пять лет получить высшее политическое Образование, глубоко изучать произведения классиков марксизма-лениниз- ма, партийные документы.
Мы призываем классных руководителей быть ближе к учащимся, изучать их интересы, склонности, способности, искать к каждому индивидуальный подход, прививать чувство рачительного хозяина своей школы, по- настоящему любящего свой дом, содержащее га в образцовом состоянии учебные помещения, пришкольный участок. Наша общая забота — сделать родителей своими верными союзниками и помощниками в этом важном и ответственном деле. Учителям надо постоянно опираться ,в своей работе на комсомольскую и пионерскую организации.
Мы обращаемся к руководителям народного образования, школ, представителям педагогической науки, педагогических вузов с призывом усилить помощь в повышении квалификации преподавателей, настойчиво передавать опыт и педагогическое мастерство молодым учителям, помогать разрабатывать теоретические проблемы коммунистического воспитания учащихся, воспитывать в будущих педагогах глубокое уважение к учительскому труду, любовь к детям.
В нашей стране школьное дело общепартийное, общенародное, общегосударственное. И решение задач, поставленных Коммунистической партией перед школой, невозможно без широкого участия общественности. Мы призываем коллективы промышленных предприятий, строек, учреждений активно помогать школам в завершении перехода ко всеобщему среднему образованию, в трудовом обучении и воспитании школьников, в их профессиональной ориентации.
6


Дорогие товарищи!
Сознавая свою высокую ответственность перед партией, перед народом, перед Родиной, мы обращаемся к вам: приложим все си¬
лы, чтобы встретить XXV съезд КПСС даль-; нейшим повышением качества и эффективности всей нашей деятельности.
Образцовому коммунистическому городу—j образцовые школы!
Педагогические коллективы школ: № 38 Гагаринского района, № 102 Черемушкинского района, ордена Трудового Красного Знамени школы
№ 201 имени Зои и Александра Космодемьянских Ленинградского района, № 296 Кировского района, № 470 Красногвардейского района, № 654
Люблинского района, № 679 Советского района, № 825 Волгоградского района, № 905 Перовского района, № 1140 Дзержинского района,
ПОСТАНОВЛЕНИЕ КОЛЛЕГИИ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР, ПРЕЗИДИУМА ЦК ПРОФСОЮЗОВ РАБОТНИКОВ ПРОСВЕЩЕНИЯ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И НАУЧНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Об Обращении педагогических коллективов школ г. Москвы
Коллегия Министерства просвещения СССР и президиум ЦК профсоюза работников просвещения, высшей школы и научных учреждений, рассмотрев Обращение педагогических коллективов школ г. Москвы, с удовлетворением отмечают, что новая патриотическая инициатива московских педагогов, одобренная Бюро МГК КПСС и исполкомом Моссовета, встретила широкий отклик на собрании актива учителей г. Москвы и в других городах и школах страны.
Коллегия Министерства просвещения СССР и президиум ЦК профсоюза ПОСТАНОВЛЯЮТ:
I. 	Поддержать инициативу педагогических коллективов школ № 38 (Гагаринского р-на), № 102 (Черемушкинского р-на), ордена Трудового Красного Знамени школы № 201 им. Героев Советского Союза Зои и Александра Космодемьянских (Ленинградского р-на), № 296 (Кировского р-на), № 470 (Красногвардейского р-на), № 654 (Люблинского р-на), № 679 (Советского р-на), № 825 (Волгоградского р-на), № 905 (Перовского
р-на), № 1140 (Дзержинского р-на), обратившихся ко всем работникам народного образования г. Москвы с призывом всемерно повысить качество обучения и коммунистического воспитания школьников, достойно встретить XXV съезд КПСС.
2. 	Министерствам просвещения (народного образования) союзных республик, областным (краевым) отделам народного образования, республиканским, областным (краевым) комитетам профсоюза организовать широкое обсуждение обращения московских учителей и разработать конкретные мероприятия по дальнейшему повышению качества учебно- воспитательной работы общеобразовательных школ.
Коллегия Министерства просвещения СССР и президиум ЦК профсоюза работников просвещения, высшей школы и научных учреждений выражают полную уверенность в том, что массовое движение за повышение качества обучения и коммунистического воспитания школьников будет достойным трудовым вкладом советского учительства во всенародное дело — подготовку к XXV съезду Коммунистической партии Советского Союза*
М. ПРОКОФЬЕВ,
председатель коллегии, Министр просвещения СССР
Т. ЯНУШКОВСКАЯ,
председатель президиума ЦК профсоюза работников просвещения, высшей школы и научных учреждений
7


ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Б. В. ГНЕДЕНКО
(Москва)
ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СОВЕТСКОМ СОЮЗЕ 1
Тема настоящей статьи необъятна по своим масштабам, разнообразию возникающих в ней вопросов и возможных подходов к их решению. Естественно поэтому, что придется оставить вне нашего внимания большое число интересных результатов, гипотез и даже целых направлений исследований.
Прежде всего мне хотелось бы обратить внимание на то, что последнее время интерес к вопросам истории математики резко усилился и ими занимаются не только специалисты в области истории науки, но и собственно математики. В связи с этим обстоятельством следует заметить, что за последние годы существенно расширился как диапазон исследований в области истории математики, так и их глубина. Если за период в 30 лет, с 1917 по 1947 г., в Советском Союзе было опубликовано около 250 работ по истории математики, то за следующее десятилетие появилось свыше 400 монографий и статей, а за десятилетие с 1957 по 1967 г.— уже более 500.
Причин для такого систематического роста внимания к истории математики (как и вообще к истории науки) много, и они далеко выходят за рамки только количественного роста той части общества, которая занимается научными исследованиями. Пожалуй, еще большее значение имеют иные причины, в том числе и следующие: отчетливое понимание того, что история науки является
1 Статья написана по материалам доклада, прочитанного на Международном математическом конгрессе в Ванкувере (Канада).
а) непременной составной частью всеобщей истории,
б) одним из важнейших условий современного развития науки,
в) методом совершенствования обучения,
5 г) базой научной методологии,
д) одним из важнейших источников анализа процессов мышления.
Для прогресса человечества исключительно важно ознакомление с тем изумительным путем ^побед знания над незнанием, который им пройден на протяжении всей истории. Для всего последующего развития человеческого общества ни с чем не сравнимую роль сыграло то, что в Древней Греции математика превратилась из сборника практических рецептов в логически безупречную, дедуктивно развивающуюся науку. На судьбу всей истории открытие законов Ньютона и создание дифференциального и интегрального исчислений оказали огромное влияние. Однако до сих пор в учебниках истории, которые изучают школьники всего мира, открытиям И. Ньютона и Г. Лейбница уделяют в лучшем случае несколько слов. Нужно думать, что здесь сказываются не столько неведение и отрицание роли физико-математических наук, сколько давняя традиция, которая владеет умами историков и отодвигает на задний план тот факт, что не только развитие точных наук обусловлено общестгенным прогрессом, но и сам общественный прогресс в значительной мере зависит от состояния точных знаний. Мы должны признать, что изложение общей истории нельзя отрывать, от истории науки, поскольку эта последняя является частью общей истории, и притом очень важной частью.
Относительно значения истории науки для современного развития самой науки установившегося мнения до сих пор нет. В научной среде мы можем встретить многочисленных представителей, придерживающихся того мнения, что занятия историей науки не полезны, а вредны для прогресса самой науки, поскольку они отнимают знания, силы- и время на изучение того, что бесконечно устарело и уже не имеет реального значения. Конечно, продолжают они, история науки необходима для изучения прогресса научных концепций, для философии и общего образования, но сама наука непрерывно обогащается новыми концепциями и областями исследования, новыми идеями и фактами. Как же в таких условиях знание прошлого может оказаться полезным для научных исследований наших дней? Нельзя ли скорее спросить: не оказывает ли груз прошлого тормозящего влияния на современные исследования, мешая появлению новых идей, отвлекая внимание исследо¬
8


вателей уже сошедшими со сцены вопросами?
Несмотря на столь убедительные аргументы, я считаю, что значение истории науки для развития самой науки со временем будет не убывать, а возрастать. Дело в том, что задача истории математики сводится не только к описанию пройденного математикой пути, но и к осмысливанию его. История математики, как любая живая наука, со временем изменяет свое содержание и по-новому подходит к своим прежним задачам. Если на первых порах ее развития основной интерес сводился к собиранию фактов, к изложению этапов жизни и творчества выдающихся математиков, то теперь сбор фактов и их описание являются лишь начальным шагом. Основное же содержание истории математики мы видим в выявлении причин возникновения руководящих идей, основных понятий и направлений исследования; в формулировке закономерностей развития математики; в установлении ее связей с другими науками и жизнью общества, а также в изучении тех факторов, которые оказывают тормозящее воздействие, приводят к краху прогрессивных начинанлй.
Естественно, что в таком плане особенно продуктивно могут заниматься те лица, которые сами близки к математическому творчеству. И действительно, в последние годы мы многократно наблюдали, как видные математики занимались историей своей науки и сделали в историю математики значительный вклад. К тому же в какой-то мере каждый математик вынужден обращаться к истории своей науки, знакомясь хотя бы с историей того вопроса, которым он занимается. Иначе велика опасность сделать меньше своих предшественников, повторить уже известные результаты. Пусть при этом творчески работающий математик и не уходит в глубину веков, а изучает лишь работы и идеи последних двухтрех десятилетий. Но он при этом погружается в ту интеллектуальную атмосферу, в которой рождались проблемы и в которой работали его предшественники. Постоянно происходит то, о чем в свое время красочно писал И. Ньютон: «Если я увидел больше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».
Собственно то же самое происходит постоянно с каждым исследователем: новое удается в значительной мере открыть потому, что используется опыт и результаты предшественников. А ведь история науки как раз и имеет своей целью собирание и обобщение этого опыта и открытие на этой базе закономерностей прогресса науки, толкающих ее вперед. Недаром сейчас каждой большой специальной работе предпосылают исторический
обзор. И делают это не потому, что такова традиция, а потому, что такого рода обзор позволяет глубже и полнее охватить предмет исследования, увидеть уже изученные аспекты.
Знание прошлого науки позволяет в концентрированном виде поручить сведения об истоках идей и фактов, о формировании научных понятий и полетах мысли, опередивших свое время, а потому, тогда забытых и нам оставшихся неизвестными. Немало того, что в свое время было найдено, вышло из научной моды и было прочно забыто, но затем в новых условиях заиграло всеми красками и оказалось нужным для современности. Во многих случаях подлинный смысл открытий выяснялся лишь на позднейших этапах развития науки. Так в свое время случилось с открытием теории относительности в работах А. Пуанкаре. На глазах нашего поколения возродилась и бурно развивалась математическая теория полетов в космос, созданная в конце прошлого —начале нашего столетия К. Э. Циолковским. Он значительно опередил свое время, и при жизни его работы не получили признания — слишком смелой оказалась его мысль. Но то, что история не забыла о них, оказало существенное влияние на развитие теории и практики расчетов космических полетов, сохранило фундаментальные идеи, которые удалось практически реализовать уже в наши дни.
Отметим, еще одну сторону дела. Как правило, в работах выдающихся ученых заложены идеи, которые не до конца бывают поняты современниками. В результате чтение работ классиков науки последующими поколениями ученых нередко позволяет найти то, что так долго не удавалось обнаружить при прямой атаке на проблему. Так, теперь при ознакомлении с работами А. де Муавра и П. Лапласа мы замечаем, что их можно с полным правом . считать первыми предшественниками создания теории случайных процессов. Точно так же в работах Л. Эйлера можно увидеть истоки множества идей, которые позднее стали ведущими в ряде ветвей математики.
Для воспитания новых поколений история науки важна сама по себе, безотносительно к ее ценности для развития современной науки. На примерах прошлого следует учить молодежь страсти к поиску нового, творчеству, научному упорству и научной честности. Примеры великих предстазителей науки прошлого, их упорство в преодолении трудностей способны вызвать у молодых людей стремление к подражанию прекрасным образцам. Талантливых представителей юношества такое воспитание может натолкнуть на выбор научной
9


карьеры, остальных же приучит к упорной работе, непрестанному поиску метода, отвечающего в максимальной мере специфике решаемой задачи. На примерах творческой жизни ученых, на примерах истории их открытий можно вдохновить учащихся на поиски неизведанного, привить им веру в их собственные силы, в их способности, а вместе с этим и вызывать желание испытать свои способности в решении задач, стоящих перед современной наукой.
История науки может и должна вводить учащихся в творческую лабораторию ученого и показывать, как постепенно возникали мысли об открытии, формулировки результатов, идеи доказательств. Для этого необходимо увидеть не только окончательный продукт работы ученого — оформленную статью, монографию, созданную им теорию, но и сам процесс творчества: возникновение вопроса, поиски результата, прикидки доказательства, метода решения и т. д. В этом плане мне хотелось бы обратить внимание на поучительное исследование Г. П. Матвиевской [1], посвященное неопубликованным записным книжкам Л. Эйлера, которые хранятся в архивах Академии наук СССР.
Я позволю себе привести здесь довольно большую цитату из заключительной части работы Г. П. Матвиевской: «Записные книжки показывают, что весьма* часто Эйлер приходил к своим результатам чисто экспериментальным путем, производя вычисления, которые поражают своей сложностью. Подтвердив свой окончательный вывод рядом таких числовых примеров, он констатирует полученный математический факт и зачастую этим ограничивается на первой стадии работы. Иногда он намечает пути дальнейшего исследования, а затем возвращается к заинтересовавшему его вопросу много раз на протяжении ряда лет. В соответствующих заметках из записных книжек Эйлер делает попытки доказательства высказанного утверждения, пробуя для этого различные пути и способы. Некоторые из полученных доказательств не являются строгими, и Эйлер обычно сам указывает на эту не- строгость. Но после нескольких попыток он приходит к окончательному строгому доказательству и только тогда считает вопрос исчерпанным».
Хорошо известно, что научная методология необходима не только для философского осмысливания накопленных знаний, но и для научного поиска. В выработке научной методологии история науки может и должна играть исключительно большую роль. Яркий пример того, что философские установки ученого могут оказывать решающую роль в на¬
учных открытиях, привел Л. д« Бройль в публичной лекции «Польза и уроки истории наук» [2]: «Несколько лет назад в связи с изучением трудов Анри Пуанкаре по математической физике я особенно заинтересовался... случаем несостоявшегося открытиц. Как случилось, что Анри Пуанкаре, который серьезно размышлял об относительности физических явлений, прекрасно знал преобразования Лоренца и пользовался в 1905 г. существенными результатами релятивистской кинематики и динамики, упустил возможность осуществить их великий синтез, обессмертивший имя Альберта Эйнштейна? Мне кажется, что я ответил на этот вопрос, когда писал: «Он (Пуанкаре) занимал довольно скептическую позицию в отношении физических теорий, считая, что вообще существует бесконечное множество различных, но логически эквивалентных точек зрения и образов, которые ученый выбирает лишь из соображений удобства. Этот номинализм, видимо, мешал ему правильно понять тот факт, что среди логически возможных теорий имеются, однако, теории, которые наиболее близки к физической реальности, во всяком случае, лучше приспособлены к интуиции физика и более пригодны содействовать его усилиям». Если эта точка зрения верна, то именно эта философская склонность к «номиналистическому удобству» помешала Пуанкаре понять значение идеи относительности во всей ее грандиозности». N ■
История математики убедительно, подчеркивает, что развитие науки всегда было связано или с решением больших задач практики, или со стремлением преодолеть теоретические затруднения принципиального характера. Зачастую оба эти момента выступают одновременно, и развитие-математической теории сливается с практическими потребностями. Признавая определяющую роль для развития науки уровня развития производительных сил общества, мы не можем сбросить со счетов исключительно важный фактор — внутренние потребности самой науки, а также свойственное человеку стремление познать явление ради самого познания. Забвение этого означало бы полное пренебрежение уроками истории науки. Создание неевклидовой геометрии в трудах Лобачевского едва ли можно считать вызванным общественной практикой. Ни
Н. 	И. Лобачевский, ни К. Ф. Гаусс, ни Я. Бой- аи, ни Б. Риман — творцы неевклидовой геометрии— практических целей перед собой не ставили. Ими руководило стремление чистого познания. Однако последействие их исследований на все области математики и на развитие физических концепций переоценить невозможно. Впрочем, нельзя упускать из виду то
10


обстоятельство, что Лобачевский имел в виду серьезные философские соображения — борьбу с кантовскими идеями априорного познания, с врожденными идеями.
Выяснение места каждого из факторов развития науки — запросов практики и требований внутренней логики развития — на базе лишь общих соображений невозможно. Для полноценного решения абсолютно необходимо привлечь данные истории науки, без этого любое решение будет построено без прочного фундамента реальных фактов.
До сих пор история науки была исключительно историей успехов человеческого разума. Хотелось бы думать, что наступает пора, когда история науки станет и историей мышления. Математика в силу своей специфики может дать и в этом отношении много полезного. В известных работах А. Пуанкаре и Ж. Адамара увлекательно изложены эпизоды творческой работы мысли, в которых авторы были сами действующими лицами. Каждому, кто испытал радость научного творчества, прекрасно известно, какой сложный и извилистый путь нужно предварительно пройти, прежде чем подойти к решению проблемы. Прежде всего должна быть та проблема, которая увлекает исследователя и заставляет думать о ней все время — и во время работы, и во время отдыха. Зачастую пути, которые приводили к успеху в других, казалось бы, близких вопросах, оказываются недостаточными. Мысль ищет решения, сопоставляет. Рассматриваются частные случаи, на которых делаются попытки уловить общий метод доказательства, общую формулировку результата. Проходят дни, месяцы и годы, пока простая мысль, простой геометрический образ или же физическое сопоставление не подскажут то, что так долго и безуспешно разыскивалось. Внезапное озарение, в котором содержится искомое решение, прекрасно описано А. Пуанкаре. Мне самому приходилось испытывать подобные внезапные приходы решения во время сна, на концерте, в поезде, в самолете. Эти случаи заслуживают внимания и подробной записи. После того как основная мысль найдена, начинается период жатвы, получение обильных следствий из общей концепции.
То, что только что было сказано, является лишь внешним описанием творческого процесса. Это еще не модель мышления, которая может быть подвергнута всестороннему исследованию. Для создания модели нужны наблюдения* и история математики может дать для этого буквально неограниченный материал.
Но история науки важна не только потому,
что она необходима для решения ряда научных и гГедагогических проблем. Она важна и сама по себе, как памятник человеческому гению, позволившему человечеству пройти великий путь от полного незнания и полного подчинения силам природы до великих замыслов о завоевании космоса и до первых шагов в их осуществлении. История науки является тем факелом, который освещает новым поколениям путь дальнейшего прогресса и передает им священный огонь Прометея, толкающий их на новые открытия.
О значении истории науки прекрасно сказал еще Лейбниц в одном из сочинений, оставшемся не опубликованным при его жизни [3]: «Весьма полезно познать истинное происхождение замечательных открытий, особенно таких, которые были сделаны не случайно, а силою мысли. Это приносит пользу не столько тем, что история воздает каждому cBQe и побудит других добиваться таких же похвал, сколько тем, что познание метода на выдающихся примерах ведет к развитию искусства открытия».
Естественно, что работа в области истории ' математики проводилась во многих планах. Во-первых, большое число исследований посвящено разработке конкретных вопросов истории математики. Во-вторых, в ряде работ изложены общие концепции истории математики. В-третьих, выполнено большое число исследований чисто биографического характера. Наконец, в-четвертых, опубликованы работы по истории математики специально для целей педагогики.
Исследования по истории математики, которые проводились в Советском Союзе, можно разбить на следующие группы:
1. Разработка вопросов истории Древнего Востока (Вавилон, Древний Египет и Китай).
2. Математика Древней Греции.
3. Математика средневековья, особенно Средней Азии и мусульманского Востока.
4. Математика нового времени.
5. Развитие математики в России, Армении, Грузии и других частях Советского Союза.
6. Издание трудов классиков математической науки с комментариями и творческими биографиями.
7. Разработка проблем отдельных математических дисциплин.
Из оригинальных работ, трактующих историю математики в целом, в первую очередь следует отметить фундаментальную статью А. Н. Колмогорова для Большой советской энциклопедии [4]. Этот сжатый очерк истории математики от ее возникновения до наших дней представляет значительный интерес.
В ней автор предложил периодизацию исто¬
11


рии математики. Согласно мнению А. Н. Колмогорова, в истории математики можно выделить четыре периода:
1. Зарождение математики как самостоятельной теоретической науки. Этот период заканчивается в VI—V вв. до нашего летосчисления.
2. Период элементарной математики, ^ или, иначе, период математики как науки о постоянных величинах. Этот период продолжался до XVII в.
3. Период математики как науки о переменных величинах. Продолжался до начала XIX в. '
4. Период современной математики. Характеризуется значительным расширением предмета математики и более высокой абстрактностью ее понятий2.
Влиянию практики на прогресс математики, на образование ее понятий и направлений исследований А. Н. Колмогоров уделяет большое внимание.
Высокой оценки заслуживает коллективный трехтомный труд «История математики» под редакцией профессора А. П. Юшкевича [5]. Изложение начинается со времен глубокой древности и доводится до начала XIX в. Авторы отдельных глав являются серьезными специалистами в соответствующих областях математики или же ее истории и сами внесли много нового как в трактовку известных ранее материалов, так и в изучение ряда новых сведений. Это относится ко всем трем томам. Специалисты заметят немало новых идей, которые были внесены при изложении материала.почти каждой из глав. Особенно это относится к изложению вопросов, касающихся истории математики в Древней Греции, древнем и средневековом Китае, в странах ислама на Ближнем Востоке и в Средней Азин. Полезные факты и трактовки содержатся в главах, посвященных развитию отдельных математических дисциплин. Это трехтомное сочинение нельзя считать учебником, оно выполнено как монографическое исследование, написанное с единых методологических позиций.
Несомненно, следует указать еще две монографии А. П. Юшкевича — «История математики в средние века» [6] и «История математики в России» [7]. В обеих этих книгах дана широкая картина развития математики. Первая из них посвящена развитию математики в средние века преимущественно в странах мусульманского мира. Этому в Советском
2 Подробное изложение особенностей каждого из этих периодов читатель может найти в указанной выше статье.
Союзе уделяется большое внимание, и над различными аспектами этой проблемы работает большой коллектив исследователей. Вторая дает последовательное изложение математической жизни в России со времен образования Древней Руси. Обе монографии основаны на тщательном исследовании многочисленных новых материалов, осуществленном преимущественно за годы, прошедшие v после окончания второй мировой войны.
Здесь мне хотелось бы несколько большее внимание уделить работам, посвященным истории математики средних веков, поскольку, пожалуй, именно в. этой области советским математикам принадлежит наиболее широкий фронт работ. В результате многочисленных критических публикаций текстов, принадлежащих авторам средних веков, в значительной степени математикам мусульманского Востока, Закавказья, Китая, Индии и Западной Европы, выяснилась впечатляющая картина серьезного математического прогресса именно в эпоху средневековья.
За короткий срок — несколько меньше трех десятков лет — в Советском Союзе появилось большое число переводов на русский язык математических произведений ученых Средней и Ближней Азии, писавших на арабском языке. Ряд из этих работ до последнего времени вообще не публиковался ни на одном из европейских языков. Математики Ближнего и Среднего Востока — арабы, иранцы, сирийцы, жители Средней Азии (узбеки, таджики) и др.—в первую очередь были учениками греков и в значительно меньшей степени индусов и китайцев. Но ученики не только продолжали традиции своих учителей. Значительного развития достигло также вычислительно-алгоритмическое направление, которое лишь намечалось в Древней Греции и не получило развития ни в эпоху расцвета, ни в эпоху распада Римской империи. Интерес к этого рода задачам тесно связан с исследованиями по астрономии и географии.
Я позволю себе вкратце коснуться некоторых из опубликованных работ. Большое внимание было уделено математическим работам Омара Хайяма, русское издание которых появилось в, 1962 г. Изучению его вклада в арифметику, теорию параллельных линий были посвящены работы А. П. Юшкевича, Б. А. уРозенфельда, С. А. Красновой. .Тщательному изучению были подвергнуты трактаты Насир ад-Дина ат-Туси в ряде статей Г. Д. Мамед- бейли, Б. А. Розенфельда, С. А. Ахмедова. Последний из только что названных исследователей заметил, что в арифметическом трактате ат-Туси имеется правило возведения в степень бинома, а также таблица биномиаль¬
12


ных коэффициентов для всех показателей степени бинома до двенадцатой включительно. Там же изложен алгоритм извлечения корней с любым натуральным показателем по способу Горнера — Руффини. Этим самым открытие как формулы бинома Ньютона, >так и способа Горнера — Руффини извлечения корней отодвинуто с XV на XIII в. Ранее это относилось к 1427 г., когда появился «Ключ арифметики» Гияса ад-Дина ал-Каши. Теперь же точно установлено, что эти результаты были известны уже в 1265 г.
Интересны результаты исследований «Ключа арифметики» ал-Каши и его же «Трактата об окружности», в которых содержатся исключительно тонкие и изящные методы вычисления числа я, а также вычисления синуса одного градуса посредством приближенного решения уравнения третьей степени итерационным методом. Содержательны работы М. И. Медового по изучению арифметических методов в трактате Абу-л-Вафы. Автор нашел, что этот ученый уже прибегал к использованию отрицательных чисел. М. И. Медовый также восстановил во всех деталях технику операций в деловой практике с дробями и подверг критическому анализу ряд ранее утвердившихся в истории математики положений на этот счет. Мы не останавливаемся на серьезных работах Г. П. Матвиевской, С. X. Сираж- динова и многих других исследователей математики средневековья в странах ислама. Это потребовало бы специальной большой статьи,
Конечно, сказанным не исчерпывается работа советских историков математики по изучению вклада ученых средних веков в прогресс математической науки. Большое число исследований было посвящено также анализу произведений математиков средних веков, живших в Армении, Грузии, Западной Европе, России.
Уже 90 лет прошло после первых публикаций В. В. Бобынина о русских математических рукописях XIV—XVII столетий, но до сих пор не было дано ни исчерпывающего сравнительного анализа их содержания, ни их полной публикации с комментариями. Подробное изучение имеющихся в хранилищах русских математических рукописей только в 1955 г. было завершено К. И. Швецовым. Позднее он же совместно с Ю. А. Белым опубликовал и ^ прокомментировал русскую геометрическую рукопись XVII в. Интересные работы, посвященные первой математической рукописи Кирика Новгородского, были выполнены В. П. Зубовым, Т. Н. Коншиной, Л. Е. Майстровым. Заслуживает также упоминания описание арифметических сведений,
содержащихся в найденных берестяных грамотах.
Несомненно, что советские историки математики не могли йройти мимо развития математики в новое время. Особенно интенсивно и разнообразно развивались наши знания о периоде, связанном с появлением и становлением математического анализа и аналитической геометрии. Значительное внимание привлекали такие титаны математической мысли, как И. Ньютон, Г. Лейбниц, Р. Декарт, Л. Эйлер, О. Коши, Ж. Лагранж, П. Лаплас. История и предыстория дифференциального и интегрального исчислений были предметом многочисленных исследований, в том числе таких крупных математиков, как А. Н. Колмогоров. Большой труд был вложен в издание на русском языке и комментирование работ классиков — И. Кеплера, Б. Ка- вальери, Р. Декарта, И. Ньютона, Г. Монжа, Л. Карно, Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского, Я. Бойаи, Б., Римана и др. Особенно много в этом отношении было сделано по наследию Л. Эйлера. В частности, были изданы его знаменитые «Введение в анализ», «Дифференциальное и интегральное исчисления»^ «Теория Луны» и др. Монографическому исследованию подверглись работы по дифференциальным уравнениям (Н. И. Симонов, Ф. И. Франкль), вариационному исчислению (Н. С. Кошляков, К. А. Рыбников), теории функций (А. И. Мар- кушевич, С. Е. Белозеров), теории чисел (Б. А. Венков, И. Г. Башмакова), механике (Ю. А. Крутков, Г. К. Михайлов) и т. д. Фундаментальный по характеру и содержанию коллективный труд, посвященный анализу творчества Л. Эйлера, был подготовлен и опубликован к 250-летнему юбилею Л. Эйлеру. Сделаны первые шаги по изучению рукописного наследия, хранящегося в архивах Академии наук СССР, этого титана математической мысли. Монографии о И. Кеплере, Б. Паскале, Г. Лейбнице, основанные на изучении архивных материалов и подлинников работ, уже появились в печати. Эти монографии содержат как новые трактовки творчества названных ученых, так и описание значительного свежего фактического материала.
Не остались в стороне и труды крупнейших ученых XIX—XX столетий. Естественно, что при этом большое внимание было уделено творцам неевклидовой геометрии — Н. И. Лобачевскому и Я. Бойаи. Изданы на русском языке собрания их сочинений с подробными и квалифицированными комментариями. Н. И. Лобачевскому посвящено несколько специальных монографий и биографических очерков. В настоящее время подготовляется к изданию том, включающий в себя до сих пор не опуб-
13


линованные материалы философского и педагогического характера, сохранившиеся в рукописном наследии Н. И. Лобачевского. Изданы собрания сочинений П. Л. Чебышева, М. В. Остроградского, Н. Е. Жуковского, Г. Ф. Вороного, С. Н. Бернштейна и ряда других ученых; трехтомник работ А. Пуанкаре; интересный, том, посвященный докладу Д. Гильберта о проблемах математики.
Издание собраний сочинений классиков математической науки является не только важным моментом в развитии историко-математи- ческих исследований. Не меньшее значение имеют и другие моменты их использования. Прежде всего я хотел бы указать на стимулирование научных исследований в определенных областях науки и на возрождение ценных идей, которые не были своевременно замечены, а тем самым остались без должного развития. Несколько позднее я позволю себе остановиться подробнее на одном из таких случаев. Но пожалуй, особое значение такого рода издания имеют для воспитательных целей. Действительно, широте взглядов и смелости мысли следует учиться не у тех, кто лишен самостоятельной мысли и только пересказывает мысли других, а у тех, кто их породил и развил. Сейчас же, в период массового занятия научными исследованиями, нередко внимание научной молодежи обращается не на действительно фундаментальные проблемы науки, а на доделку мелочей, оставшихся незавершенными от предшественников.
Я остановлюсь на одном примере того, как занятия историей науки возрождают из забвения превосходные идеи. В 1950—1952 гг. мне и моему коллеге Е. Я. Ремезу Академия наук Украины поручила в связи со 150-лет- ним юбилеем М. В. Остроградского изучить рукописный фонд, хранящийся в Государственной публичной библиотеке УССР. Рукописи М. В. Остроградского до этого были изучены недостаточно, находились в плохом состоянии и состояли из клочков и листов бумаги разной величины. Тщательное изучение их принесло нам множество неожиданных находок. Об одной из них я и хотел бы сейчас вкратце рассказать.
При изучении рукописей на глаза нам попались несколько клочков бумаги, на которых были записаны какие-то приближенные вычисления иррациональных чисел. Оказалось, что на числовых примерах М. В. Остроградский разработал два алгоритма приближения иррациональных чисел посредством рациональных дробей. Оба эти алгоритма обладают исключительно большой скоростью сходимости (значительно превосходящей ско¬
рость сходимости, свойственную непрерывным дробям). По-видимому, эти подсчеты проводились Остроградским в последние дни его жизни и потому не были доведены до публикации и даже не получили в его руках мало-мальски связного изложения. Е. Я. Ремезу [8] удалось расшифровать эти заметки М. В. Остроградского и подарить математике превосходные результаты, остававшиеся неизвестными минимум в течение 100 лет. Перейдем теперь к описанию этих алгоритмов.
Пусть число со таково, что 0<со<1. Представим это число в виде отношения двух отрезков А и В (А<СВ). Для некоторого целого ро имеет место равенство
В=РоА-\-А\, где Ai<zA. Далее последовательно В—р\А\-\-А2 (А2<СА\),
В = /?2^2"4"^3 (Аг <^2)
и т. д. Легко показать, что имеет место представление
о)== J J. _1
Ра PoPi Р0Р1Р2
где P0<P1<P2<P3<—. Это разложение единственно для всех иррациональных чисел. При аппроксимации числа со суммой первых членов погрешность будет меньше чем 1/(/г+2)!.
Из единственности бесконечных разложений указанного типа можно сделать выводы относительно иррациональности ряда чисел. Так, о числе
1 __ JL +J L+ = 1 --L
1 2! ' 3! 4! ' * * * 1 ^
можно сразу сказать, что оно иррационально, поскольку для него разложение ранее указанного типа бесконечно.
Второй алгоритм Остроградского состоит в следующем. Пусть q0, qu q2, ...— натуральные числа, определяемые посредством равенств Я = <7оЛ + Л1 (Л1 < Л), q0B = «^Л1 + Лп (Л»<Л>), qaqxB = q2A" + A'" (Л'»<Л«),
q0qiq2B = qzAw + Av (Лу < AIV)
Можно доказать, что
1 1 . 1 1 I
(° <7. <7. + Ъ Чг +
Величины qi при этом удовлетворяют нера¬
венствам 9i><7o(9o+l)> ?2><7i(?i-И),....
Погрешность, которую дает приближение
числа (о посредством суммы первых п членов разложения, не превосходит величины
= 2-2 . Мы видим, что точность приближения превосходит не только точность аппроксимации посредством аппарата непрерывных дробей, но и точность аппроксимации посредством первого алгоритма Остроградского.
14


Я убежден, что алгоритмы Остроградского
заслуживают более внимательного изучения, поскольку они могут быть использованы как для развития самой математики, так и для прикладных целей.
Естественно, что для развития интереса к истории математики необходимы содержательные, хорошо написанные учебники и монографии. За последние годы на русском языке появилось большое число книг по истории нашей науки, как оригинальных, так и переводных. Некоторые из книг советских авторов мной были названы, еще большую часть пришлось оставить вне поля зрения. Я назову еще две книги, заслуживающие упоминания по разным мотивам. В книге В. А. Медведева «Развитие понятия интеграла» [9] с большим знанием дела изучен вопрос о развитии понятия интеграла с глубокой древности до наших дней. Недавно вышло из печати многотомное сочинение большого коллектива авторов под названием «История отечественной математики» [10]. Как всегда, труд, в котором принимали участие десятки авторов, не может быть однородным по научным, литературным и фактологическим достоинствам, а также объективно выявлять место каждой из ветвей математики в ее историческом развитии. Однако для общего ознакомления с тем, что было сделано для развития математики в различных частях России, а позднее в различных республиках Советского Союза, эта монография может принести несомненную пользу.
К сожалению, в Советском Союзе до сих пор не создан учебник по истории математики, удовлетворяющий требованиям, которые естественно в наши дни к нему предъявить. Недавно появилось 2-е издание книги этого жанра, принадлежащей К. А. Рыбникову [11]. Несомненно, что работа по созданию учебника истории математики должна быть продолжена, и при этом хотелось бы, чтобы были представлены в разных книгах различные возможные научные подходы к их построению. О том, что могут быть существенно различные точки зрения на характер построения учебника истории математики, говорит хотя бы опыт публикации вводных лекций к курсу истории математики трех авторов [12] — [14]. Все предложенные . подходы заслуживают пристального внимания, хотя они существенно отличаются друг от друга по своим идейным устремлениям.
Я считаю нужным остановиться еще на вопросе о месте истории математики в школьном курсе математики. Конечно, никакого систематического изложения истории математики в школе не может быть, но беседы о развитии
математики, о великом вкладе математиков в культуру человечества и его техническую мощь абсолютно необходимы. На примерах великих ученых прошлого молодые люди должны научиться настойчивости в достижении цели, увлечению познанием нового и неизвестного, умению выбирать достойную цель в собственной жизни. Учебники математики для школьников и методические пособия для учителей полезно снабжать краткими, но яркими сведениями из истории математики. Для этих двух категорий читателей должны быть созданы книги для чтения по истории науки, книги о выдающихся ученых прошлого. Эти книги должны быть написаны увлекательным языком, содержать творческие биографии ученых, показывать, как тесно связана математика (в прошлом и настоящем) с требованиями жизни, а также с научной и житейской практикой.
Лет двадцать назад по моему предложению журнал «Математика в школе» начал систематически печатать календарь исторических дат. Своевременно за месяц-два преподавателю напоминают о событиях, которые происходили в далеком и недавнем прошлом. Этим в руки педагога дается серьезная возможность своевременно сообщать учащимся интересные исторические сведения о нашей науке.
Первоначально исследования по истории математики концентрировались в Московском университете около семинара по истории математики, который работал уже в 30-е годы. Позднее, в 1945 г., был создан Институт истории естествознания Академии наук СССР, где стал формироваться костяк исследователей в области истории науки, в том числе и по истории математики/ После Великой Отечественной войны 1941—1945 гг. интерес к истории математики возник и в других научных центрах страны — Киеве, Ереване, Тбилиси, Ташкенте, Баку, Ленинграде. Я счастлив, что мне довелось быть организатором семинара по истории математики в Киеве. Позднее руководство этим семинаром я передал И. 3. Щто- кало. В настоящее время фактическим сору- ководителем этого семинара является А. Н. Боголюбов.
Работы советских историков математики публикуются в различных изданиях, но в первую очередь в «Трудах Института истории естествознания и техники», «Историко-мате- матических исследованиях», «Нарисах з icTo- pii природознавства i техники», а также на страницах журналов «Успехи математических наук», «Математика в школе» и в изданиях университетов. Несомненно, что их труды раздвинули наши знания прошлого математики
15


в разных странах и позволили выявить как преемственность поколений, так и народов в развитии культуры.
Советские историки математики уверены в том, что они выполняют исключительно важную работу, поскольку человечество должно знать о взлетах мысли лучших своих представителей и хранить в памяти тяжелый и сложный путь прогресса научных знаний. Знание истории науки нам нужно не только для того, чтобы отдавать должное усилиям прошлых поколений, но и для того, чтобы, опираясь на знание прошлого, уверенно строить грандиозное здание науки. В этом труде крайне необходимо международное сотрудничество, и мы готовы участвовать во всех акциях, которые направлены на развитие науки, культуры и мирного совместного труда народов.
Литература
1. Матвиевская Г. П. О неопубликованных рукописях Леонарда Эйлера по диофантову анализу. «Исторцко- математические исследования», 1960, т. XII, с. 107—186.
2. Луи де Бройль. По тропам науки. М., И.зд-во иностр. литературы, 1962, с. 296—317.
3. Liebnitz G. Mathematische Schriften. Halle, 1858, S. 392.
4. Колмогоров A. H. Математика. БСЭ. Изд. 2-е, т. 26, с. 464—483.
5. История математики. Под ред. А. П. Юшкевича. Тт. 1—3. Изд-во АН СССР, 1970—1972.
6. Юшкевич А. П. История математики в средние века. М., Физматгиз, 1961.
7. Юшкевич А. П. История математики в России. М., «Наука», 1968.
8. Ремез Е. Я. О знаконопеременных рядах, которые могут быть связаны с двумя алгорифмами М. В. Остроградского для приближения иррациональных чисел. «Успехи математических наук», 1951, т. 6, вып. 5, с. 33—42.
9. Медведев Ф. А. Развитие понятия интеграла. М., «Наука», 1974.
10. История отечественной математики. Под ред. А. Н. Боголюбова, И. 3. Штокало, А. П. Юшкевича. Тт. 1—4. Киев, 1970.
11. Рыбников /С. А. История математики. Изд. 2-е, Изд-во МГУ, 1974.
12. Яновская С. А. Вводная лекция к курсу истории математики. «Историко-математические исследования», 1958, т. XI, с. 185—208.
13. Рыбников К. А. О предмете истории математики. «Историко-математические исследования», т. XI, с. 209— 224.
14. Гнеденко Б. В. Вводная лекция к курсу истории математики. «Математика в школе», 1963, № 1, с. 3—13.
ОТ РЕДАКЦИИ
Лицам, желающим принимать участие в решении задач, следует присылать в редакцию решения не позднее двух месяцев после выхода в свет номера, в котором помещены задачи. Решения, поступившие позже указанного срока, редакцией рассматриваться не будут. В сводку помещаются фамилии читателей, решивших не менее 5 задач.
Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, следующие правила, выполнение которых является обязательным:
1. Решения задач присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции.
2. Решение каждой задачи дается на отдельном листе и подписывается автором.
3. К решениям прилагаются на отдельном листе список номеров решенных задач и точный адрес.
4. Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой 4 из решаемых задач должен быть крупно выделен.
Редакция напоминает всем лицам, предлагающим задачи в «Отдел задач»:
1. Задачи должны присылаться вместе с решениями. Задачи, присланные без решений, редакцией рассматриваться не будут. Каждая задача должна быть представлена на отдельном листе.
2. Если задача заимствована, то должен быть указан источник, откуда она /взята.
3. По задачам, не принятым к напечатанию, переписка с авторами не ведется и текст задач авторам не возвращается.


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ОБ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В IX КЛАССЕ (Методическое письмо1)
В 1975/76 учебном году на новую программу по математике перешли" девятые классы с русским, украинским и белорусским языками обучения, с 1976/77 учебного года по ней будут работать девятиклассники всех
союзных республик.
Первый год перехода на новое содержание образования всегда вызывает известные трудности. Эти трудности связаны, в частности, с тем, что ко времени введения в том или ином классе новой программы учителя не знакомы с учебниками последующих классов, им трудно достаточно точно определить, где, когда, в каком объеме впоследствии будут использованы ранее приобретенные знания.
В первые годы введения новой программы по каждому классу реально существует опасность перегрузки. Одна из причин — неверное выделение учителем основного материала, неправильная расстановка акцентов при обучении решению задач. Как показывает анализ первых лет работы по новой программе, иногда учитель требует от учащихся заучить весь материал учебника, выполнять все приведенные к параграфу упражнения. При этом не учитывается, что материал учебника содержит и текст, необязательный для заучивания; в нем, как правило, дается избыточное число задач. Кроме упражнений, несущих основную нагрузку, содержатся упраж-
1 Методическое письмо Главного управления школ Министерства просвещения СССР и Научно-исследова- тельского института содержания и методов обучения АПН СССР публикуется э сокращенном зшде,
нения, преследующие какую-то «узкую» цель, упражнения повышенной трудности. Поэтому при отборе упражнений необходимо исходить прежде всего из «конечной» цели — какие знания, умения, навыки должны быть сформированы в результате изучения всего курса в целом, а также того или иного раздела.
Курс математики IX—X классов строится на базе восьмилетней школы. В учебнике IX класса повторительный материал органически связывается с новым: уточняются уже известные формулировки, вводятся новые символы. Хорошее знание учебников IV— VIII классов позволит учителю четко выделить в пунктах (параграфах), содержащих повторение, новый материал и лишь напомнить (а не объяснять заново) определения, правила, теоремы (в ряде случаев это напоминание можно провести на упражнениях).
Рекомендуется планировать изучение всей темы, не увеличивая числа часов, отведенных программой. {Естественно, что внутри темы в зависимости от конкретных условий можно несколько отступать от рекомендаций поурочного планирования.) Это время, как правило, соответствует требованиям к ббъему знаний и глубине изучения материала.
Перейдем к методическим рекомендациям по отдельным темам 2.
Алгебра и начала анализа
Программа курса алгебры и начал анализа IX класса включает шесть теу 3:
I. Принцип математической индукции.
II. Элементы комбинаторики.
III. Действительные числа, бесконечные последовательности и их пределы.
IV. Предел функции и производная.
V. Применение производной.
VI. Тригонометрические функции, их графики.
Как и в курсе алгебры восьмилетней школы, в курсе алгебры и начал анализа можно выделить три основные линии: линию тождественных преобразований, линию уравнений и неравенств, функциональную линию.
Формирование навыков тождественных преобразований в основном завершается в восьмилетней школе, в IX классе эти навыки систематически используются.
Линия уравнений и неравенств получает в
2 Методические рекомендации к темам I—III по алгебре и началам анализа и к теме I по геометрии, которые изучаются в первом полугодии, будут опубликованы дополнительно.
8 Почасовое планирование по алгебре и началам анализа и геометрии см. в журнале «Математика в школе», 1975, № 2.


IX и X классах дальнейшее развитие при изучении квадратного трехчлена (квадратные неравенства) и тригонометрических функций (тригонометрические уравнения и неравенства) и завершается при изучении систем уравнений и неравенств.
Центральное место в курсе IX класса отводится развитию функциональных представлений.
Учащиеся приступают к изучению начал математического анализа (появляется мощный метод исследования функций с помощью производной). Завершается знакомство с элементами анализа в курсе X класса.
Тема IV. Предел функции и производная
В п. 34 и 35 повторяется материал восьми- летией школы, определение понятия функции, области определения и множества значений функции и др. В связи с этим целесообразно рассмотреть упражнения № 265 и некоторые задания в упражнениях № 268—270, 272,
275 — 280, 282, 284, 288—291, 294, 295. Одной из задач этих пунктов является создание у учащихся наглядных представлений о непрерывных функциях.
В п. 36 обязательным является материал до слов «Рассмотрим два примера...», а также упражнения № 298 (в, г), 299—302, 305.
Заметим, что в упражнении № 305 доказывается интересное свойство линейной функции: «Приращение линейной функции f(x) = = kx + b пропорционально приращению аргумента, причем коэффициент пропорциональности равен А».
Остальной текст п. 36 и весь текст п. 37 важны для реализации следующей методической идеи: первое знакомство с производной (до введения понятия предела функции в точке) проводится на интуитивном уровне. Весь этот материал рассматривается в классе в форме беседы с активным привлечением учащихся.
При рассмотрении примера 1 (п. 37) полезно обратить внимание на то, что скорость изменения линейной функции y—kx-\-b постоянна и равна k (положительна, если функция возрастающая; отрицательна, если функция убывающая; равна нулю, если функция постоянна), полезно сопоставить графики функции и ее производной. После рассмотрения этого примера полезно сделать вывод: производная константы равна 0, производная функции у = х равна 1 и т. д.— и использовать его в дальнейшем.
При рассмотрении примера 2 (п. 37) также следует построить графики функции f(x) = —х2 и ее производной f'(x) =2х%
18
В случае, если примеры 2 (п. 36) и 3
(п. 37) учитель считает сложными, рассматриваемую в них функцию f(x) — хг — Зх можно заменить функцией f(x) = хг.
Задачу из текста п. 37 и упражнения № 307, 308 можно опустить.
Основное назначение п. 38 — введение понятия предела функции в точке. Учащиеся должны знать определение этого понятия и в простейших случаях уметь доказывать равенства типа lim f(x) —b (см. упражнение
х-^а
310, примеры 1—3 из п. 38). Разбор примера 3 полезно сопроводить графической иллюстрацией. Результаты, полученные в примерах 1, 2 из п. 38 и в упражнении № 313, знать обязательно, так как они используются в дальнейшем.
Учащимся необходимо знать формулировки теоремы о единственности предела (п. 39) и теорем о пределах (п. 40) и уметь применять их в упражнениях. Доказательство теоремы о единственности предела (п. 39) не обязательно.
Из числа упражнений к п. 41 могут быть опущены упражнения № 339—343 и некоторые из упражнений № 345—348.
В п. 42, 43 сформулировано определение производной функции и приводятся примеры нахождения производных некоторых функций на основе этого определения. К пониманию определения производной учащиеся подготовлены изучением п. 37, где отношение А/(*0) __ / (х0 + Ах) — / (*0)
A* Ajc
рассматривалось как средняя скорость изменения функции на промежутке [*0; х0 + + Д*], а предел этого отношения при Длг-^0 — как скорость изменения функции в точке х0.
Учащиеся должны уметь сформулировать определение производной и записать его в виде
f'(x0)= lim -/(•*«> .
Ajr ->■ 0
Усвоение определения достигается при выполнении упражнений на нахождение производной (см. примеры в тексте п. 43 и упражнения № 351—358). Заметим, что вначале рекомендуется находить производную в общем виде, а затем вычислять ее значение при конкретном значении аргумента. Результаты, полученные в примерах 1—3 п. 43, учащиеся должны запомнить, так как они применяются в дальнейшем.
Пример 4 из п. 43 показывает, что существуют функции, непрерывные в точке, но не имеющие в этой точке производной.


Упражнения на нахождение производной в точке х могут быть выполнены в следующем порядке:
1. Составить разность Af(x) = f(x-\-Ax)—
2. Найти отношение
Д/М _/(* +Д*) — f(x)
Ах 1х *
3. Найти предел lim .
Д.г -> 0
Например, упражнение № 354 выполняется так:
1. 	Ду (х) = V х + кх —- V х.
2 = Vх + Д* — e
Lx Ах \
= (/ * + Д*)2 — (уг'х)2 ___
Ах ( У х + Ах + л:)
1
jc -f Дл: + *
О. IH11 у. и, . . >- - Г /
Дл- О У X + АХ + у X 2у X
Здесь мы воспользовались тем, что 11m Vх + Дл = Ух
АХ -*• О
(см. № 313). Итак, у'(х) =
В упражнениях № 359—362 на построение графиков функций продолжается начатое в п. 37 предварительное знакомство с методом исследования функций с помощью производной. Не следует на данном этапе добиваться выработки навыков выполнения подобных упражнений. Здесь можно ограничиться рассмотрением одного или двух из этих упражнений и вернуться к остальным после изучения п. 58. Аналогичные замечания относятся к упражнениям № 374, 377, 387.
Доказательства теорем (п. 44, 45, 47) служат хорошими упражнениями для закрепления определения производной. При рассмотрении теоремы о производной степенной функции с натуральным показателем (п. 46) нужно обратить внимание на условие п > 1 (при п — 1 формула верна для хф 0). При доказательстве теоремы о производной степенной функции с целым показателем (п. 48) следует подчеркнуть, что здесь применяется метод полной индукции (рассматриваются все случаи: п > 1, п = 1, п = 0 и п < 0).
Учащиеся должны знать, что многочлен (целая рациональная функция) является всюду дифференцируемой функцией (п. 46), а дробно-рациональная функция, всегда пред¬
ставимая в виде отношения двух многочленов, дифференцируема во всей своей области определения (это следует из п. 46 и 47). (Так как с термином «дробно-рациональная функция» учащиеся встречаются впервые, то следует пояснить им, что это функция, заданная формулой вида
где f(x) и ср(л:)—рациональные функции ИфМ#.)
При изучении п. 49, 50 учащимся необходимо уметь находить область определения сложной функции в каждом достаточно простом конкретном случае; общие рассуждения не требуются. Текст п. 49, начиная со слов «Какова область определения сложной функции...» и до конца, можно опустить. Учащиеся должны знать и уметь применять формулу
(1) 	из п. 50 для нахождения производных функций в упражнениях № 389, 396, 397,399. Воспроизводить рассуждения, поясняющие вывод формулы, не следует. Приведем пример оформления следующего упражнения: «Найдите производную функции у—(х2— 5*)3».
^ Пусть х2 — 5x — g(x). Тогда у = (g(x))3, yi = 3 (g(x))*.g'(x) = 3(х2-5х)2(2х-5).
Тема V. Применение производной
Основная цель п. 51 — показать применение производной для приближенных вычислений. Здесь же уточняется понятие главной части приращения, о которой говорилось в п. 36. Вывод формулы для приближенных вычислений достаточно прост.
Известно, что
/'<*,)_ Ит J4£^A|-a£!L_
Длг->- 0 ах
Из определения предела функции следует, что для значений, близких к нулю, значения отношения
f(x0 + Ах) — /(■*„)
Ах
мало отличаются от числа f'(x0), т. е. для достаточно малых Дл: имеем приближенное равенство
/(*0 + &Х) — / (Х„) г, , у
Ах ■' '
Отсюда f(*o + A*)—/(*о) « f'(x0)Ax, или f (*o+Дх) « f (хо) -f-f' (-«о) Ах. (1)
Способ вычисления приближенных значений функций с использованием формулы (1) удобно продемонстрировать на следующем простом примере: «Найти f (2,001), если
f (х) = 2х3 — х2 + 5х — 6».
Имеем: f (2,001) = f (2 + 0,001) « /(2) +
+f'(2) - 0,001 = 16+0,025= 16,025.
19


, Затем можно перейти к рассмотрению примера 1 из п. 51. Упражнения № 449, 450 необязательны.
В результате изучения п. 52 учащиеся должны усвоить, что если функция f дифференцируема в точке *о> то к графику этой функции в точке с абсциссой х0 можно провести касательную. Не следует требовать, чтобы учащиеся по памяти записывали уравнение касательной. Достаточно знать, что уравнение касательной к графику функции у= —f(x) в точке (x0; Уо) 4 — это уравнение вида у = kx + bf где угловой коэффициент k есть значение производной функции / в точке хо.. Рассмотрим оформление упражнения № 455.
Уравнение касательной к кривой f(x) = х3 имеет вид у = kx + b. Задача сводится к нахождению коэффициентов k и Ь.
Как известно, k—f'(x0), где х0—2. Так как f'(x) = (xz)'=3x2, то k = 3-22=l2.
Таким образом, уравнение касательной принимает вид у — 12х + Ь.
Для нахождения b воспользуемся тем, что точка касания является общей точкой кривой и касательной.
Точка касания принадлежит графику функции f(x) = я3, поэтому ее ордината равна /(2)=23=8.
Так как точка касания (2; 8) принадлежит прямой у = 12* + Ь, то равенство 8 = 12- 2+6 верное, отсюда Ь=—16. х
Итак, уравнение,касательной у = 12*— 16.
Если учитель решит сообщить учащимся, что угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой к оси абсцисс, то нужно иметь в виду, что это верно только в том случае, когда на координатных осях выбран один и тот же масштаб.
Полезно обратить внимание учеников на связь между уравнением касательной у = =Уо+f (*о) (х — Хо) к графику функции у =f(x) в точке (*<>; Уо) и формулой f(x) « ~ f (Хо) +/' (Хо) (х — х0), в которой для нахождения приближенного значения функции в точке х используется значение этой функции в точке х0, мало отличающейся от х. Геометрический смысл этой формулы в том, что ордината точки графика функции y=f(x) заменяется ординатой соответствующей точки касательной (см. рис. 48 учебного пособия).
В результате изучения п. 53 учащиеся должны знать, что скорость механического движе¬
4 На первой строке с. 139 учебного пособия вместо слов «в точке х0» следует читать «в точке (х0; £о)».
ния есть производная пути по времени, а ускорение есть производная скорости по времени, а также уметь применять эти знания при выполнении упражнений типа № 459, 464. Для выполнения упражнений № 460, 462 нужно, чтобы они вспомнили известные из курса фи-
-> mv2
зики формулы F = та, Е = —g—• Упражнения № 456—458, 461 необязательны.
В связи с рассмотрением п. 54 целесообразно обратить внимание на то, что существуют функции, которые убывают (возрастают) в каждой точке своей области определения, но которые нельзя назвать убывающими (возрастающими) на всей области определения. Например,
функция у = JL убывает в каждой точке множества ] — со; 0[ U ]0; +оо[, но не является убывающей на этом множестве. Поэтому теорема 3 (п. 54) верна только для промежутков. Учащиеся должны знать, что эта теорема дает достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале.
При изучении п. 55 учецикам следует запомнить формулировки теорем 1 и 2 и уметь применить эти теоремы к упражнениям типа № 470—472, а также № 473—479 (без построения графиков).
В п. 56 применяется метод исследования функции с помощью производной для исследования квадратичных функций. Следует обратить внимание на формирование умения схематически показывать положение графика функции у = ах2 + Ъх + с по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков а и D. Заметим, что можно не требовать от учащихся знания формул для координат вершины параболы. Рекомендуем в каждом конкретном случае находить абсциссу вершины параболы с помощью производной.
В п. 58 дается общая схема исследования функций, которую не следует расширять введением дополнительных вопросов (четность, нечетность, интервалы знакопостоянства и т. д.), так как в этом пункте главное внимание уделяется, применению производной для исследования функций. Учащиеся должны усвоить схему исследования функций и уметь выполнять упражнения типа № 494, 495.
Следует заметить, что в примере 1 из п. 58 и аналогичных ему знак производной определяется при помощи следующих рассуждений: для всех лге] — оо; —1[ каждый из четырех сомножителей произведения отрицателен, следовательно, произведение положительно; для ] — 1; 0 [ три первых сомно¬
20


жителя отрицательны, а последний (*+1) положителен, значит, произведение отрицат тельно и т. д.
После изучения этого пункта можно рассмотреть упражнения № 359—362, 374, 377, если они не были рассмотрены ранее..
При рассмотрении примера 1 из п. 59 полезно показать учащимся, что на промежутке [—2; 3[ функция имеет максимум, но не имеет наибольшего значения. На этом и других аналогичных примерах следует добиваться, чтобы они четко различали такие понятия, как наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке и максимум (минимум) функции.
После изучения п. 59 ученики должны уметь выполнять упражнения типа № 497, 498, 500, 501, 502, 531.
Тема VI. Тригонометрические функции, их графики и производные
Изучение тригонометрических функций учащиеся начали в VIII классе, где были рассмотрены определения sin a, cos а, tg а как функций угла поворота, их графики, некоторые тождества для функцйй sin а и cos а:
sin (90°± а), cos (90° ± а), sin (180° — а), cos (180° — а), sin (360°+а), cos (360°+а).
Учащиеся знакомы (упр. 6 из п. 102) с формулами sin(180° + a), cos(180° + a), таблицами синусов и косинусов.
Заметим, что в VIII классе не ставилась задача создания формально-оперативных навыков в применении рассмотренных формул, в работе с таблицами.
В IX—X классах тригонометрические функции рассматриваются как функции числового аргумента. Это позволит использовать при изучении тригонометрических функций весь аппарат, с которым учащиеся познакомились в IV—V главах учебного пособия, что, в свою очередь, даст возможность с самых первых уроков X класса ввести производные тригонометрических функций, обеспечивая тем самым потребности курса физики.
Систематическое исследование поведения тригонометрических функций (нахождение максимумов, минимумов, промежутков возрастания и убывания) проводится в X классе.
Остановимся подробнее на содержании темы VI, изучение которой будет продолжено в X классе.
При рассмотрении материала п. 61 полезно вспомнить способ задания поворота (поворот полностью определяется заданием его центра О
и угла поворота а), его обозначение Rq (поворот с центром О на угол а), а также то, что поворот Ra0 получается вращением не только на угол а, но и на угол a + 360°-re, где « £ Z. Для выполнения упражнений полезно повторить сведения о композиции поворотов с общим центром (см. п. 98, 99 учебного пособия «Геометрия 8»).
В содержании п. 61 можно выделить следующие моменты:
1. Введение новой единицы измерения угло-
180
вых величин — радиана, равного — градусов.
2. Перевод градусной меры в радианную и радианной в градусную (с помощью таблицы и без нее).
3. Построение отображения множества действительных чисел R на множество точек единичной окружности Ра.
Целесообразность введения в этом пункте радиана как единицы измерения угловых величин объясняется тем, что для окружности радиуса г длина дуги в 1 радиан выражается проще, чем длина дуги в 1 градус, а именно:
'‘•"ТЯГ1’
10 180 а так как 1 = —, то
7С ’
т. е. li рад г.
Здесь же полезно отметить, что 1 рад — это величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна г — радиусу окружности. Позже ученики увидят, что если использовать радианное измерение угловых величин дуг и углов, то и другие формулы приобретают более простой вид (п., 62).
Радианная мера угловых величин в дальнейшем становится основной, поэтому важно, чтобы учащиеся знали, что такое радиан, умели переводить градусную меру в радианную и радианную в градусную. Полезно, чтобы они запомнили некоторые наиболее часто встречающиеся соотношения, такие, как
30° ==_?-, 45° = -j-, 60°=-|-ит. д.
При рассмотрении отображения множества действительных чисел на множество точек единичной окружности нужно обратить внимание на то, что любому действительному числу t ставится в соответствие поворот на t радианов (f->/?*)> а повороту на t радианов соответствует точка Pi единичной окружности (Rf-*-Pt). Поэтому мы говорим об отображен нии множества действительных чисел на мпо-


жество точек единичной окружности (t-*Pt), т. е. каждому действительному числу t соответствует точка Pt единичной окружности. Но точка Pt — образ не только числа t, но и всех чисел вида t-jr2nn) где п £ Z. Поэтому нужно заметить, что построенное отображение необратимо.
Среди упражнений к п. 61 можно выделить упражнения на перевод градусной меры угла в радианную и радианной в градусную (№ 546, 550, 551), на закрепление понятия об отображении множества действительных чисел на множество точек единичной окружности (№ 553—555, 557).
При записи ответа к упражнению № 558(a)
полезно указать не только угол а = , но
и множество углов а= + 2тг /г, где п g Z.
К этой задаче можно привести такое решение:
Зтс-
=7? 4 ,
Зтс
тс + а + 2 ш,
а = + 2ш, где n£Z.
При изучении п. 63 не следует требовать от учащихся дословного воспроизведения определений синуса и косинуса числа, главное — добиться, чтобы они понимали, что такое синус (косинус) заданного числа. Полезно предлагать вопросы типа: что такое
sin 1, sin 2, cos 1,5; какой знак имеет sin3, cos 3? Для работы в классе можно рекомендовать упражнения № 573, 575—577, 579, 580. Нужно обратить внимание учащихся на несколько способов выполнения упражнений № 575—577 и им подобных. Упражнения № 570, 571 знакомы им из курса геометрии VIII класса, однако следует пояснить, что эти задачи имеют два решения.
Изучение п. 64 «Графики синуса и косинуса» можно начать с упражнений № 582—584. В результате разбора этих заданий учащиеся будут правильно изображать на оси абсцисс значения аргумента и вспомнят, * как графически определить значения тригонометрических функций. Выполнение этих упражнений облегчит построение графиков указанным в учебнике способом. В упражнении № 590 учащиеся фактически впервые встречаются с тригонометрическими уравнениями. Следует обратить их внимание на то, что эти уравнения имеют бесконечное множество решений.
В п. 65 даются определения тангенса и котангенса числа и рассматриваются три тождества ((3), (4), (5)), связывающие тригонометрические функции. В качестве упражнений можно предложить учащимся выполнить доказательства тождеств (4) и (5) и решить упражнения № 594, /596, 597, 601, 604, 607, 609.
В п. 68 дается общее определение четной и нечетной функций. При доказательстве четности или нечетности нужно помнить, что должны выполняться два требования:
1) симметричность области ' определения относительно начала координат; ч
2) выполнение равенства f(—х) =f(x) или/(—х) =—f(x).
Ни одно из этих условий в отдельности не является достаточным для четности или нечетности функции. Можно привести примеры функций, для которых не выполняется хотя бы одно из требований, в этом случае функция не будет ни четной, ни нечетной. Например:
1. 	а) у = ах, где а>0 и аф\\
б) 	у=2х+\х\;
( х, если *>0,
В У \ Здг, если jc<0.
В область определения этих функций вместе с каждым значением х входит и —х, но Н~х)ф}(х) и f(—x)^—f{x).
2- у-*-£Ет-
Область определения этой функции не симметрична относительно начала координат (см. рис. 1), хотя для всех х из области определения, кроме х = —1, выполнено равенство f(—x) = f(x).
3. 	Для функции у = У~х не выполняется ни первое, ни второе требование.
При изучении этой темы полезно вспомнить с учащимися функции, рассмотренные в
(к
у — ах + Ь\ у = —; у =* = ах2; у =а*, где а^> О иа^1; у = lg;e^,
22


и ответить на вопрос об их четности или нечетности. Нужно остановиться на упражнениях № 631, 632, так как факты, сформулированные в них, необходимо помнить.
В результате изучения п. 69 учащиеся должны знать, что тригонометрические функции являются периодическими, понимать смысл равенств sin (х + 2ъп) = sin х, cos (х + + 2ш) = cos х, tg (х + ъп) = tg х, где п £ Z. В математике под термином «период», как правило, понимают наименьший положительный период. Поэтому говорят, что период синуса и косинуса равен 2я, а период тангенса и котангенса равен я.
Для доказательства формул сложения (п. 70, 71) пользуются операцией «поворот вектора», которая ранее не была определена. В учебник^ она поясняется сноской
(Ro (ОА) —ORo (Л)). Если у учащихся возникнут вопросы, то эту операцию можно
разъяснить следующим образом 5.
->
Пусть дан вектор п, его можно задать упорядоченной парой точек, причем всегда можно
выбрать пару так, чтобы первым ее элементом
—>• >- —>
была точка О, т. е. п = О А, где А = п (О). Рассмотрим поворот с центром в точке О на угол а, тогда 0 = Я”(0); Л1=/?“(Л). Говорят, что вектор ОАи полученный таким спо-
>•
собом, есть образ вектора О А при повороте на угол а.
При изучении п. 70 «Координаты вектора» следует повторить теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам (учебное пособие «Геометрия 9», § 21). Здесь же можно пояснить учащимся, что координаты вектора — это коэффициенты в разложении данного вектора по координатным векторам i и /. Доказательства формул sin (а + +Р) и cos(a + p), проведенные в п. 71, можно не требовать от всех учащихся.
По желанию доказательство формулы cos (a — р) учитель может изложить, используя скалярное умножение векторов, известное учащимся из курса геометрии. Приведем это доказательство.
1. 	Пусть 0°^а—р^180°.
н> —*
Возьмем единичные векторы еа и образующие с положительным направлением оси Ох соответственно углы аир (рис. 2), и най-
5 Более подробно с операцией «поворот вектора» можно познакомиться в журнале «Математика в школе», 1975, № 4, с. 15.
дем их скалярное произведение. Тогда
<V<?(j = l*l-cos(a — Р). (1)
Используя разложение вектора по коорди-
—» —>
натным векторам № и /, получим
-*■ *->• ——► ->■ —>-
еа‘ ер = (i cos a + У sin a) (i cos p -f j sin P) =
—>■ —>• —>■
= i2 cos a cos p + i j sin a cos P -|-
+ i j sin p cos a + J2 sin a sin p.
Отсюда
e« • ep = cos a cos P + sin a sin p. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что cos (a —р) = cos a cos p -j- sin a sin p.
2. 	Пусть 180°<a-p<360°.
Тогда 0° <[ a — p — 180° ^ 180° и для угла a — p — 180° можно применить доказанную формулу: cos (a — р — 180°) = cos (a — (180°+ P)) = = cos a cos (180° + P) + sin a sin (180° -f- P), откуда
cos (a— P — 180°) = — cos a cos P — sin a sin p. (3)
Используя формулы cos(—JC) = cosjc и cos (180° — x) = — cos x, получим cos (a — {3 — — 180°)== —cos (a — p). (4)
Из равенств (4) и (3) следует, что и в этом случае cos (a — (3) = cos a cos {3 + sin a sin p.
Итак, доказали, что формула cos (a — P) == cos a cos p -j- sin a sin p верна для 0°<a-p<360°.
Используя периодичность функции косинуса, можно показать справедливость этой формулы и для любого угла a — р.
Для доказательства формулы sin(a^-P) = = sin a cos p — cos a sin p можно воспользоваться соотношением sin x = cos (90° — д:).
Геометрия
Программа курса геометрии IX класса включает три темы:
I. 	Основные понятия стереометрии. Параллельность в пространстве.
23


II. 	Преобразования пространства. Векторы.
III. 	Перпендикулярность в пространстве.
Двугранные и многогранные углы.
Последовательно проводимая теоретико- множественная концепция, введение понятия отображения и векторного аппарата, более точной терминологии и современной символики, ■ усиление внимания к развивающему обучению серьезно повлияли на повышение теоретического уровня курса и систему изложения материалов.
В IX классе по сравнению с восьмилетней школой усиливается логическая сторона курса геометрии. Вместе с тем большое значение придается развитию пространственных представлений. Это достигается, в частности, тем, что на уроках наглядные иллюстрации предшествуют формализации материала (сначала демонстрируются параллельные плоскости, а затем дается определение). Развитию пространственных представлений способствует также построение изображений с использованием правил параллельного проектирования (§ 12, 13)6, решение задач на проекционном чертеже, рассмотрение большого числа упражнений на взаимное расположение фигур в пространстве, разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Тема II. Преобразования пространства.
Векторы.
Материал § 14 расширяет известные представления учащихся о пространстве. Поэтому перед его изучением целесообразно рассмотреть примеры обратимых и необратимых отображений (VI—VII классы); отображений, сохраняющих и несохраняющих расстояния. Желательно также заранее вспомнить с'учащимися термины, употребляемые в тексте параграфа. Эту работу можно начать при изучешги § 12, 13, используя, например, материал задач № 153, 154.
В § 15—20 в значительной мере повторяется уже известный из курса восьмилетней школы материал и дается его распространение на пространство.
В учебнике IX класса новым для учащихся является термин «преобразование пространства». Используя терминологию, принятую в восьмилетней школе, можно сказать, что преобразование пространства — это обратимое отображение пространства на себя.
6 Здесь и далее даны ссылки на учебное пособие «Геометрия 9». Под ред. 3. А. Скопеца. М., «Просвещение», 1975.
24
Поэтому определение перемещения в курсе IX класса (перемещение— преобразование пространства, сохраняющее расстояния) аналогично определению перемещения в курсе VI класса (перемещение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния).
Приступая к изучению §. 24, следует напомнить учащимся, что слово «угол» употребляется в геометрии в двух смыслах: угол как геометрическая фигура и угол как величина. После изучения этого параграфа учащиеся должны понимать, что подразумевается под словом «угол» в каждом конкретном случае. Допуская «вольность» в употреблении слов «угол» и «величина угла» в устной речи, учитель должен строго следить за правильностью символической записи. Усвоение новых терминов удобно проверять на упражнениях. Например, при выполнении упражнения №217 учитывается, что угол между прямыми может быть либо острым, либо прямым, а угол между направлениями или векторами может быть и острым, и прямым, и тупым, и углом в 180°.
Полезно отметить, что углы между направлениями, векторами, пересекающимися и скрещивающимися прямыми сохраняются при перемещениях пространства, а также разъяснить учащимся, что без доказательства теоремы 13 (§ 24) определения углов между направлениями, векторами, а также скрещивающимися прямыми были бы некорректными. Для понимания второй части доказательства теоремы 13 полезно вспомнить, что два луча с общим началом определяют два угла: один выпуклый, другой невыпуклый (или оба выпуклые, если лучи противоположно направленные) .
Один из основных вопросов, завершающих вторую тему,— скалярное умножение двух векторов. Введение скалярного умножения расширяет известный из восьмилетней школы векторный аппарат, что позволяет использовать его при изучении перпендикулярности в пространстве (например, доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости, свойства двух перпендикуляров к плоскости). Расширяется и круг задач, решаемых с применением векторов.
Определение скалярного произведения целесообразно сформулировать так: «Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению числовых значении длин этих векторов на косинус угла между векторами; если из двух векторов хотя бы один вектор нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю». Так учащимся лег¬


ко понять, что скалярное произведение определено для любых двух векторов. Усвоение этого определения, а также необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух ненулевых векторов (признак перпендикулярности), равенства а2 = |а|2, понимание связи между знаком скалярного произведения и величиной угла между векторами достигаются при выполнении упражнений типа № 219—223. Задачи № 224, 226 необязательны.
Задачу № 225 можно использовать для подготовки к изучению § 26. При решении следует обратить внимание учащихся на то, что «раскрывать скобки» при вычислении
(ОЛ + ОВ}(ОЛ — ОВ) нельзя, пока не доказаны законы скалярного умножения векторов. Для решения задачи нужно воспользоваться тем, что угол между векторами ОА +
+ ОВ и ОА — ОВ равен 90° (по свойству диагоналей ромба).
В результате изучения § 26 учащиеся
должны усвоить, что свойства скалярного умножения, вытекающие из его определения, вместе с рассмотренными ранее свойствами суммы векторов и произведения вектора на чисдо, дают возможность преобразовывать векторные выражения по правилам, аналогичным правилам алгебры.
Вместе с тем следует подчеркнуть особые свойства скалярного умножения векторов. Так, для чисел а и & из равенства а-Ь =0 следует равенство нулю хотя бы одного из сомножителей. Аналогичным свойством обладает и произведение вектора на число. В отличие от этого скалярное произведение век-
торов а и b может равняться нулю, когда и аф 0 и b Ф 0, но вектор а перпендикуля- рен вектору Ь. Поэтому, например, равенство а-b = а-с, даже если вектор а не равен ну- лю, нельзя сократить на а (действительно, из а-Ь=а-с следует, что а-(Ь — с) = 0, откуда либо b = с, либо вектор а перпендикуля- —*
рен вектору (Ъ — с).
Доказательства переместительного и сочетательного законов скалярного умножения можно использовать в качестве упражнений на усвоение определения скалярного умножения. Доказательство распределительного закона не является обязательным для заучивания всеми учащимися.
Параграфы 22, 27 «Применение векторов к решению задач» даются в основном в озна¬
комительном плане. Интересные задачи, помещенные в этих параграфах, являются примерами использования возможностей векторного аппарата.
При отборе задач, решаемых векторным методом, важно, чтобы применение векторов упрощало решение. Следует избегать задач, требующих громоздких преобразований выражений с векторами. В противном случае может быть дискредитирована общая цель введения векторного аппарата, позволяющего просто и красиво решать задачи, которые обычными способами или не решаются, или решаются сложно.
Обязательным минимумом для учащихся является умение решать простейшие задачи: найти длину вектора (или отрезка), используя
формулу | а |2 = а2 (например, задачи № 228, 233, 235); найти угол между векторами (отрезах
ками, прямыми), используя формулу cos (а, Ь) —
8=88 t (например, задачи № 231, 236); \а\\Ь\
доказать перпендикулярность векторов й прямых (например, задача № 232), используя признак перпендикулярности векторов (равенство нулю скалярного произведения).
Дополнительно к задачам, отмеченным знаком *, следует считать необязательными задачами № 158,196,206-210, 213—216, 237— 239, 248, 250, 251, 257. Учитель может использовать их для индивидуальной работы с учащимися.
Тема III. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 14, § 28) является хорошим- примером преимущества применения векторного аппарата в геометрии. Полезно разъяснить учащимся, что доказа- 1 тельство этой теоремы является в то же время доказательством существования перпендикуляра к плоскости.
При изучении материала § 29 можно предложить учащимся попробовать самим найти решения задач 1 и 2. Полезно напомнить им, что речь идет о «воображаемых» построениях, а в задачах № 271, 272 — о построениях на проекционном чертеже. Поэтому, чтобы чертеж был правильным, перпендикуляры к одной и той же прямой, лежащие в одной плоскости, на чертеже должны изображаться параллельными прямыми.
25


Задачи № 273, 277—279 следует считать необязательными.
Параграф 31 знакомит с понятием осевой симметрии пространства. Учащиеся должны знать, что осевая симметрия есть перемещение. Доказательство этого факта (теорема 17) не обязательно и может быть рассмотрено как упражнение. Из задач достаточно рассмотреть № 289—292.
При доказательстве теоремы 18 (§32) ссылку на теорему 17 можно заменить ссылкой на свойства осевой симметрии плоскости.
В § 34 вводится новое понятие «расстояние от точки до плоскости». Полезно разъяснить на примерах, что не во всех случаях можно говорить о расстоянии между двумя геометрическими фигурами. Например, не существует расстояния (в смысле определения, данного в § 34) между открытым кругом (множеством точек, лежащих внутри окружности) и точкой, лежащей вне этой окружности в одной с ней плоскости. Из задач к этому параграфу достаточно решить: две-три задачи на усвоение определения расстояния (например, № 310, 316, 318), две-три на вычисление расстояний (типа № 313, 314) и две-три из задач № 315, 319—322 на отыскание множества точек.
При изучении § 35 следует иметь в виду то же, что говорилось выше относительно § 29: целесообразно не давать сразу готовое решение задачи, а попытаться найти его с учащимися. Факт, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, учащиеся должны запомнить. Основное время на уроках, посвященных этому параграфу, следует отвести на решений задач (№ 329 — необязательная задача).
В § 37, 38 вводятся понятия: угол между
наклонной и плоскостью, двугранный угол,
линейный угол двугранного угла, угол между
двумя плоскостями и др. Полезно отметить, что и эти все углы сохраняются при перемещениях пространства.
При выводе формулы, связывающей косинусы трех углов, образуемых наклонной, проекцией ее на плоскость й некоторой прямой плоскости, фактически ссылаются на то, что косинус на промежутке [0°; 90°] убывает. Так как каждый из углов ср и у больше 0°. но не больше 90°, то из неравенства cosy<cos<p следует неравенство у > ф.
При изучении § 38 кроме овладения терминологией от учащихся требуется знание связи между конгруэнтностью линейных углов и конгруэнтностью соответствующих двугранных углов. Не следует доказывать традиционные для старого курса теоремы: «Равным
двугранным углам соответствуют равные...» и др., так как корректное их доказательство сложно.
Из задач следует выбрать наиболее важные для усвоения введенных понятий (например, № 352—355). Задачи № 356, 364, 365 полезны как подготовительные к курсу X класса. При работе над понятием многогранного угла следует обратить внимание учащихся на существенность требования, чтобы точка 5 не лежала в плоскости многоугольника ABC... М; если 5 лежит в плоскости многоугольника, то объединение всех лучей с началом в точке S, пересекающих этот многоугольник, будет не многогранным углом, а плоским (если S вне многоугольника) или плоскостью (если S внутри многоугольника).
Следует обратить внимание учащихся на то, что в решении задач № 391, 392 при доказательстве существования трехгранного угла используется достаточное условие, которое в тексте § 41 формулируется, но не доказывается.
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ К РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В1 М, КЛОПСКИЙ, М. И. ЯГОДОВСКИЙ
(г. Курск),
3. 	А. СКОПЕЦ
(г. Ярославль)
С элементами векторной алгебры учащиеся знакомятся впервые в курсе геометрии VII класса. Их знания о векторах в восьмилетней школе ограничиваются определениями
вектора, суммы и разности векторов, умножения вектора на число и рассмотрением свойств этих операций. На основе такой скромной теоретической базы (применительно к векторам на плоскости) весьма трудно подобрать содержательные планиметрические задачи, решаемые эффективно посредством векторов. Поэтому в восьмилетней школе учащиеся, овладевая необходимой символикой и терминологией, подготовлены к выполнению лишь простейших построений векторных выражений и решению незначительного количества простейших планиметрических задач.
26


В IX классе положение существенным образом меняется. При соблюдении полной преемственности с курсом геометрии восьмилетней школы учащиеся повторяют знакомый им материал о векторах из курса VII класса, но уже применительно к векторам в пространстве. Затем они приступают к изучению новых фундаментальных (с точки зрения теории и ее применения) положений о векторах, связанных главным образом с вопросами, стоящими перед курсом стереометрии.
Предполагается, что материал о векторах, изученный в VII классе, полностью усвоен учащимися. В связи с этим в IX классе, приступая к изучению вопросов векторной алгебры, повторение ряда основных понятий и определений следует провести довольно быстро.
Курс геометрии IX класса предусматривает изучение следующих трех важных вопросов, касающихся векторов: 1) разложение вектора по двум неколлинеарным векторам на плоскости; 2) разложение вектора по трем некомпланарным векторам в пространстве;
3) 	скалярное умножение векторов. Новые сведения о векторах не только расширяют знания учащихся о векторах (что само по себе имеет важное значение), но эффективно привлекаются и при построении самого курса стереометрии — при доказательстве многих, теорем и при решении различных планиметрических и стереометрических задач.
Вполне естественно эффективное применение векторов вначале показать на решении планиметрических задач. И лишь позднее наряду с решением планиметрических задач необходимо иллюстрировать применимость векторов к решению как простых, так и более сложных стереометрических задач. Поэтому вопрос о привитии навыков решения задач с помощью векторов связан с разработкой методики решения планиметрических задач. Если в этой области достигнут успех, то трудности, вызванные переходом к задачам стереометрическим, легко преодолимы, они носят преимущественно технический характер.
Приступая в IX классе к решению задач с применением векторов, необходимо в первую очередь сосредоточить внимание на рассмотрении различных возможных подходов к решению именно планиметрических задач. При этом мы не будем стремиться вводить новые термины и понятия, не предусмотренные программой, такие, например, как линейная зависимость и независимость векторов, линейная комбинация векторов, ортонормирован- ный базис, проекция вектора на ось и другие. Конечно, если бы программой было предусмотрено изучение этих исключительно важ¬
ных понятий, то многие формулировки, обоснования и приемы решения задач могли бы быть более компактными и лаконичными.
I. 	Прежде чем обсудить вопрос о векторном .решении конкретных планиметрических задач, о различных типах задач, необходимо четко представить себе весь арсенал сведений, которыми располагают учащиеся IX класса. Все основные сведения, известные учащимся, мы расположим по пунктам в определенной последовательности, на них будем ссылаться, комментируя решения анализируемых ниже задач.
Первые шестнадцать пунктов охватывают материал, изучаемый в восьмилетней школе; последующие шесть включают сведения, получаемые в IX классе.
1°. Определение вектора, длина и направление (ненулевого) вектора, задание вектора' упорядоченной парой несовпа-
дающих точек. \АВ\ — длина вектора АВ, направление луча [АВ) — направление вектора
АВ. Две пары несовпадающих точек А и В,
С и D задают один и тот же вектор (АВ =
= CD), если
\AB\ = \CD\,\AB)\\\CD). (1)
Вектор и параллельный перенос — тождественные понятия.
2°. Нулевой вектор 0. Длина нулевого вектора равна 0, нулевой вектор не имеет направления, нулевой вектор есть тождественное отображение плоскости на себя.
3°. Откладывание вектора от данной
точки. Чтобы отложить вектор а от данной точки М, необходимо построить такую точку
А, что МА = а.
4°. Сумма двух векторов. Определение
суммы двух векторов а и Ь:
0+6 = Ь°а, (2)
где Ь°а означает композицию параллельного
-> ->
переноса а и параллельного переноса Ь. Сумма двух векторов есть вектор. Если ABCD — параллелограмм, то
ЛС = Тя + AD. (2')
5°. Правило треугольника. Для любых трех точек А, В и С'выполняется равенство
Л£ + £С = Ла (3)
27


Операция сложения двух векторов подчиняется следующим законам.
6°. Переместительный, закон. Для любых
двух векторов а и b выполняется равенство
а “f" Ъ = Ъ -(- а, (4)
7°. Сочетательный закон. Для любых трех векторов а, b и с выполняется равенство
(а + Ь) + с = а + (b + с). (5)
8°. Закон поглощения нулевого вектора. Для любого вектора а выполняется равенство
а + 0 = а. (6)
9°. Протиёоположные векторы. Вектор
— г>
Ь = В А называют противоположным вектору -> —>■ -> ->
а = /Ш. Вектор & обозначают символом —а
или — АВ. По правилу треугольника имеем: АВ+~ВА=АА^д, (7)
или
~АВ + (— ~АВ) = 0, а + (— а) =0. (7')
10°. Разность двух векторов. Разностью
двух векторов а я b называется такой вектор
с9 что с + b = а. Таким образом,
-> -*
yd — Ь = с) с -J- Ь — Л •
Имеют место равенства:
6 = а + (—6),
(8)
а
АВ =АГЯ - МА
(9)
(10)
для любых двух векторов а и Ъ и для любых трех точек А, В и М.
11°. Сумма трех и более векторов.
-> -> ->
Сумма любых трех векторов а, b и с определяется равенством
а + b + с = (а + 6) -f с.
(И)
Для любых четырех векторов а, Ь, с и d аналогично имеем
a + *+c + rf-(a + *+cj-M. (И')
Если даны п произвольных точек Аи А2, ... A„-i, А„, то имеет место равенство, называемое «правилом л-уголыша*#;
AiA2 + А2А3 + ... + А„—\А„ ” А\АП. (И*)
12°. Длина суммы и длина разности двух векторов. Для любых двух векторов
а и Ъ имеет место двойное неравенство
||а|Н6||<|а±£|<|а|-ИН (12)
-> ->
Для любых п векторов аи а2, ..., ап выполняется неравенство
—► —>■ —►
| + а2 + . • • + ап К | ах | +
+ I #2 I + • • • + \ап I» 02')
причем знак равенства в (12') имеет место
тогда и только тогда, когда все векторы
ах, а2, ..., а„ сонаправлены.
13°. Умножение вектора на число. Век-
-> , -> тор ka называют произведением вектора а на число k. По определению для любого ненуле-
вого вектора а и любого неравного нулю числа k выполняется:
1) 	\ka\ = |£||а|; 2) ka\\а при &>0,'
ka\\a при £-<0. (13)
Закон поглощения нуля и нулевого вектора. -> -> -> ->
Если а — 0, то ka =? 0 для любого А;
-> -> -»• ' *
если 6=0, то ka=0 для любого а.
Если а ф 0, то вектор ka называют колли-
неарным вектору а.
Вектор b коллинеарен вектору а при а ф 0 тогда и только тогда, когда
Ь — ka. (15)
14°. Сочетательный закон умножения вектора на число. Для любых чисел k и I
и любого вектора а выполняется равенство
k{la) = {kl)a. (16)
15°. Первый распределительный закон.
Ддя любых двух чисел k и I и любого век- ->■
тора а имеет место равенство
(& + /)а — ka + la. (17)
16°. Второй распределительный закон. Для любых двух векторов а и b и любого чис¬


ла k имеет место равенство
k(a + b) = ka + kb. (18)
17°. Разложение вектора по двум некол- линеарным векторам на плоскости. Если
а и b неколлинеарные векторы, а с — произвольный третий вектор, то
c = ka + lb, (19)
где k и / — однозначно определенные числа (коэффициенты разложения).
18°. Скалярное произведение двух векторов. Число, равное произведению длин двух
ненулевых векторов а, b и косинуса угла между ними, называют скалярным произведением век-
торов а и Ь:
a-b ==|a||6|cos(a, b), а^= 0, b 0. (20)
Если хотя бы один из векторов а и b нуле-
вой, то а • b = 0.
Для любых двух векторов а а b имеют место равенства:
(а + Ь)2 = а2 + 2а-Ь + Ь2, (21)
' (а - bf = а2 - 2а■% +12. (22)
—► —У
Для любых двух векторов а и Ъ имеет место двойное неравенство
— | а 1161 < а-% < | а 1161. (23)
Для любого вектора а выполняется неравенство а2 = | а |2 0.
19°. Переместительный закон скалярного умножения. Для любых двух векторов
а и 6 выполняется равенство
a-b = b'a. (24)
20°. Сочетательный закон скалярного умножения. Для любых двух векторов а, b и любого числа k выполняется равенство
а,'(Ъ + с) = а-Ь ±а-с. (26)
22°. Скалярный квадрат суммы трех векторов. Для любых трех векторов а, Ь и с выполняется равенство
(а + Ь+ с)2 = <Г2 +12 + с2 + 2а-Ь +
+ 2Ь’С + 2с*а. (27)
II. 	Приступим к решению планиметрических задач, используя только операции сложения векторов и умножения вектора на число. Заметим, что четкого разграничения между задачей на доказательство и теоремой указать невозможно. Поэтому первые приложения векторов проиллюстрируем на доказательстве трех известных теорем.
1. 	Доказать, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме. f
Решение. В трапеции ABCD проведем среднюю линию, соединяющую середину М боковой стороны AD с серединой N боковой стороны СВ (рис. 1).Согласно правилу многоугольника (11"), имеем:
MN — MD + DC + CN,
MN = МА + АВ + BN.
Сложив почленно эти два равенства и учитывая (7), т. е. что MD + MA=0, CN +
+ BN = 0, получим 2MN = АВ + DC. Но
——■ > — —>■
векторы АВ и DC сонаправлены, поэтому и вектор MN сонаправлен с ними. Это значит, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.
Далее, из сонаправленности всех трех векторов следует (см. (12')), что
21 MN | =■ | АВ + DC | = | АВ | +1 DC |, откуда
\MN\—XT(\AB\+\DC\).
(ka)'b = k(a-b).
(25)
21°. Распределительный закон скалярного умножения. Для любых трех векторов
а, b и с выполняется равенство
Рис. 1
29


Этим доказано, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
2. 	Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение. Пусть медианы АА\ и ВВ\ треугольника АБС пересекаются в точке М (рис. 2). Согласно пункту 4° и формуле (15), имеем
2~МА1 = 1ЙВ + ЖС = kMA,
2МВ1 = МА + ~МС = 1МВ.
Из этих равенств после почленного вычитания получаем
MB — ~МА = kMA — 1МВ.
Воспользовавшись единственностью разложения вектора по двум неколлинеарным векторам
МА и MB (см. (17)), найдем k = — 1, —1=1.
Следовательно, 2МАх = — МА, 2МВХ =
= — MB, откуда (согласно (13)) имеем
2\МА1\==\МА\, 2\~МВХ\ = \МВ\,
или
\МА\:\ МАХ\ = \МВ\:\МВХ\ = 2:1.
Так как k = — 1, то МА 4- MB + МС = 0,
или Ж^-(МА + МВ).
Но МА + MB = 2МСХ, где С х — середина
стороны АВ. Поэтому МС = — 2МСХ, откуда следует, что \МС\:\МС1\=2:\ и точки С, М и Сх принадлежат одной прямой. Это значит, что медиана ССХ проходит через точку М.
Обращаем внимание на то, что все векторы, которые рассматривались в этой задаче, были отложены от точки М. Это облегчило решение задачи, так как векторные равенства получились предельно простыми.
В дополнение к решенной задаче нами установлено, что если М есть точка пересечения медиан треугольника ABC, то
МА + МВ+МС=0. (28)
Верно и обратное утверждение: если дан треугольник ABC и выполняется (28), то М — точка пересечения его медиан. Это утверждение вытекает при внимательном рассмотрении проведенного выше решения.
Если О — произвольная точка плоскости
(рис. 3), то (согласно (3)) ОМ = О А + AM,
30
ОМ «= OB + ВМ, ОМ = ОС 4- СМ. После по членного сложения этих равенств, с учетом, формулы (28), получаем
ОМ=-У(ОА + дв + ОС). (29)
При решении задачи мы стремились не использовать свойства средней линии треугольника и не выполнять дополнительные построения. Приведенное решение целиком алгебраическое.
3. 	Доказать, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Решение. Пусть точка D — основание биссектрисы угла С треугольника ABC (рис. 4). Отложим на сторонах С А и СВ угла АС В от
вершины С единичные векторы СМ = еи CN =
= е2. Согласно (15) имеем:
У ->• У ->
С А = Ьех, СВ = ае2,
где b = | С А | и а = | СВ |.
nocTpQHM ромб CMPN. Очевидно, что точка Р принадлежит биссектрисе CD. Поэтому
CD = k(e1 -\-е2), £>0.
Нам предстоит найти отношение | AD \: | DB |. Другими словами, необходимо вычислить m из векторного равенства
AD = mDB.
Согласно (10) последнее равенство равносильно следующему:
CD — СА = m (СВ - CD).
Подставив вместо СА, СВ и CD их значения, получим:
-> -> —►. —у
k (ех + е2) — bet = m (ае2 -k(ex-\- е2)),
ИЛИ


(k — b) ex + ke<t = — mkex + (та — mk) ег.
Учитывая единственность разложения век-
*->■ ->
тора по двум неколлинеарным векторам ех и еъ из последнего векторного равенства получаем два уравнения, образующих систему с неизвестными тик:
k — b = — mk, k = та — mk.
Путем почленного вычитания исключаем k и находим та = Ь, откуда
т = Ь:а = \СА\:\СВ\.
Таким образом,
\AD\ : | DB | = | С А | :\СВ\.
Приведенное решение позволяет вычислить длину биссектрисы треугольника по длинам заключающих ее сторон^ и углу между ними. В самом деле, из полученной системы находим
, аЪ
k —* , 1 щ
а + b
——>■ ^ ^ —V —>•
Следовательно, CD = а + ь (ех + е2),
откуда \CD\=-^rs\el + e2\. Но|^+е2| = = | СР | = 2 cos . Поэтому
| CD \ = -^гь cos Т" * <3°)
По формуле (30) и вычисляется длина биссектрисы угла треугольника ABC, если известны длины двух его сторон а и b и величина угла С между ними.
Особенностью решения этой задачи является то, что все привлекаемые для решения векторы отложены от точки С. Кроме того, успех был достигнут введением единичных
векторов е\ и е2. В других случаях, когда в условии задачи фигурирует биссектриса угла, также целесообразно на сторонах угла отложить единичные векторы; направление суммы таких векторов совпадает с направлением биссектрисы угла.
При решении многих задач часто приходится встречаться с тремя точками, принадлежащими одной прямой, или доказывать, что три точки принадлежат одной прямой. Например, при решении задачи 2 пришлось доказывать, что третья медиана треугольника проходит через точку пересечения первых двух. Из
равенства МС =—2МС\ следовало, что точки С, М и' Ci принадлежат одной прямой.
4. 	Даны три, точки А, В, С и некоторая точка О. Доказать, кто равенство
ОС = (1 — k)OA + kOB, АФ В (31)
является необходимым и достаточным условием принадлежности данных трех точек одной прямой.
Решение. Необходимость. Пусть точки А, В и С принадлежат одной прямой (рис-. 5). В таком случае, согласно (15),
АС = kAB.
Воспользовавшись формулой (10), получим
OC-OA==k(OB-OA).
После упрощений найдем
ОС шш (1 — щ ОА + kOB.
Достаточность. Пусть выполняется равенство (31), тогда
ОС = ОА — k (ОВ - ОА), или АС = — kAB. Согласно (15), вектор АС
> s-
коллинеарен вектору АВ, так как АВ Ф 0; поэтому точки А, В и С принадлежат одной прямой.
Замечание. Оговорка АФ В существенна.
При А = В (рис. 6) из (31) следует ОС = О А и С — А, а между тем точки Л и С, вообще говоря, не совпадают.
Попутно отметим другой признак принадлежности трех точек А, В и С одной прямой:
АС = kAB, Ai= В. (32)
Если точки А, В и С принадлежат одной  ►
прямой, то вектор АС коллинеарен ненулевому
вектору АВ, и поэтому выполняется условие (32). Верно и обратное: если выполняется условие (32), то вектор АС коллинеарен вектору
--—у
АВ, и поэтому точки А, В, С принадлежат одной прямой.
Обращаем внимание на тот факт, что равен¬
31


ство (31) есть не только необходимое и достаточное условие принадлежности трех точек А, В и С одной прямой, но из него также следует, что \АС\ = \k\ \АВ\. Эта Дополнительная информация часто используется при решении задач (см., например, задачу 6).
5. 	Даны треугольник ABC и медиана СМ. Прямая I пересекает отрезки СА, СВ и СМ соответственно в точках Ах, Вх и Мх. Доказать равенство
\_f\CA\ ■ [СВ|\ \СМ\
2 KlCAti Т \CBt\J\ \СМг\ *
Решение. Рассмотрим векторы САи СВХ, СМХ (рис. 7):
САХ = kCA, CBX = пСВ, СМх = тС-\СВ .
Задача заключается в доказательстве истинности равенства
' _LY_!_ д. _1Л = —
2\k^nJ т Воспользуемся формулой (31):
СМг = (1 _ s) СВХ + sCAx.
Подставив в эту формулу указанные выше значения векторов САХ, СВХ, СМХ, получим
-j-(CA + СВ) = (1 - s) пСВ + skCA.
На основании единственности разложения вектора по неколлинеарным векторам СА и СВ получаем систему
т ,
2 SR)
-2L = ( 1_5)Л.
Отсюда
32
После их почленного сложения получаем
т ■ jn_ 1
~2k + 2п
ИЛИ
2 \ k ^ п ) т *
Поскольку в этой задаче отрезки, входящие в доказываемое равенство, имеют общий конец С, то вполне естественно было все рассматриваемые векторы отложить от точки С и выразить их через два других. Вместе с этим необходимо было привлечь формулу (31) применительно к точкам Ах, В\, М, принадлежащим прямой /, и воспользоваться теоремой о единственности разложения вектора.
6. 	На прямой, тх даны последовательно три точки, Ах, Вх, Сх, а на другой прямой т2 — последовательно три точки А2, В2, С2, причем
\АХВХ\ = k\AlCx\, | А2В21 = k | Л2С21.
Отрезки АХА2, ВХВ2, СХС2 разделены точками А0, Во, С0 в равных отношениях:
I -^1A) I = ^ I ^1-^2 I» I *1*0 I = 11 В\В21, ICAI-/ICAI.
Доказать: 1) точки Л0, В0, С0 принадлежат одной прямой; 2) | Л050| = k | Л0С0|.
Решение. Выберем произвольную точку О (рис. 8). Согласно (31) име.ем:
OBx=(\-k)OAx + kOCu OS2 = (l - k)OA2 + kOC2, oa0~(i-i)6a1 + ioa2,
OB0 = (1-1)ОВх + 10В2,
OC0 = (1 -l)OCx + lOC2. Необходимо доказать, что
бв0 = (i - k) оа0 + kdc0.
Вычислим правую часть доказываемого равенства:
(1 - k)OA0 Hj- kOC0 = (1 - k)((\ - l)OAx + + ЮА2) + k ((1 - /) бсх + /ОС,) =
= (1-/)((1-А)ОЛ1+АОС,) +
+ /((1 -k)OA2 + kOC2)*~
- (i - /) овх + юв2 = дв0.


Итак, доказано, что точки А0, В0, С0 принадлежат одной прямой, причем |Лобо| : |Л0Со| = k.
III. 	Перейдем к решению метрических задач с использованием скалярного умножения векторов. С этой целью подберем задачи, в которых требуется вычислять длины отрезков, доказывать перпендикулярность прямых. При этом, естественно, придется пользоваться не только скалярным умножением векторов, но и свойствами сложения векторов и умножения вектора на число.
7. На стороне АВ треугольника ABC дана точка D. Выразить расстояние |С£>| через а, Ъ, с — длины сторон данного треугольника и расстояния \AD\=m, \DB\=n.
Решение. Воспользуемся формулой (31):
сБ = (1 -k)CA + kCB, где k = -j- = (рис. 9). Отсюда
|CD|2 = (1 — k)2b2 + k2a2 + 2£(1 - k)CA-CB. Ho
2 CA • СВ = С A2 -f- СВ2 — (CA — CB)2 =
= a2 + 62-c2,
поэтому
|CD|2 = (1 - kfb2 + k2a2 ±
-f k(\ -k)(a2 + b2-c2) =
= £<z2 + (l - k)b2-k(\ -k)c2.
После подстановки значения k получим
|CDp-^a’ + -f
Этой формулой удобно пользоваться, например, для выражения биссектрисы треугольника через его стороны.
8. Выразить расстояние от заданной точки О до точки пересечения медиан М треугольника ABC через длины сторон треугольника и расстояния от точки О до вершин треугольника.
Решение. Пусть \ВС\=а9 \АС\=Ь,
\АВ\=с9 | ОА [ —аи \ОВ\=Ьи \ОС\=си \ОМ\ = d (рис. 10).
Рис. 9 Рис. 10
2 «Математика в школе» № в
В задаче 2 было выяснено, что
ОМ =-L(OA + ОВ + ОС).
Отсюда
d2 = (ОА + ОВ + ОС)2 —
= -§"(ai + Ь\ + с\ + 20А-ОВ +
+ 20B-0C+ 20С-0А).
Но 20А • ОВ = ОА2 + ОВ2 - (ОА - ОВ)2 = = а2 + Ь\ — с2.
Аналогично
2 ОВОС = Ь\ + с\-а\
2 ОС • О А = с\ -(- &i — b2. Следовательно,
d2=4- с*?+ь\+с\++щ -
- с2 + Ь\ + с\ - а2 + с2 + а2 - Ь2).
После упрощения получаем
й2^1-(а2 + Ь\ + сЪ-±-(а2 + Ь2 + с*).
Из полученной формулы следует, что
а\ + Ь\ + с\>±-(а2 + Ь2 + &).
Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Задача 6 решалась как планиметрическая. Но решение посредством векторов показывает, что данные две прямые могут быть и скрещивающимися. Аналогичное замечание можно сделать и относительно задачи 8. Полученная формула (известная как соотношение Лейбница) имеет место для точки О, как принадлежащей плоскости ABC, так и не принадлежащей ей.
9. 	В окружность (О; R) вписан четы- рехугольник ABCD. Доказать, что если
| АВ |2 + (CD |2 = 4/?2, то диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
Решение. Вычислим сумму | АВ |2 -j- | CD |2 (рис. 11):
| АВ |2 + | CD |2 = (ОВ - ОА?+ (ОЬ -ОС)2=
= 4/?2-2(04 -OB + OC-OD). Учитывая условие получим
ОА-дв + дС’бЪш* о. (I)
33


Рис. 11
/\ /\ /V
Отсюда cos АОВ -f cos COD = 0, или АОВ-{-
/\ /\ /\
+ COD = 180°, а поэтому и ВОС -{-DOА =
= 180°. Из последнего равенства следует, что
двое + 6doa = о. (Н)
Вычитая из равенства (I) равенство (II), полу» чим
ОВ-(ОА - ОС) - дЪ-(ОА - ОС) =0,
или
(ОА - ОС)-(ОВ - OD) = 0.
Итак, CA'DB = 0.
Этим доказано, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
10. 	Дан треугольник ABC, точка О — центр описанной около него окружности, Н — точка пересечения его высот. Доказать векторное равенство
ОН = ОА + ОВ + ОС.
Решение. Из условия задачи (рис. 12) следует, что АН'ВС= О, ОВ2 = ОС2, или (ОН - ОА)-(ОС — ОВ) = О,
(ОС + ОВ) • (ОС - ОВ) = 0.
После почленного вычитания получим
(ОС-О В)-(ОН -ОА — ОВ — ОС) = 0.
Аналогично из условий ВН-СА = 0, ОС2=ОА2 вытекает равенство:
(ОА - ОС) • (ОН — О А — О В-ОС) = 0.
■ " —>* —► "1 •>
Но векторы ОС — ОВ и О А — ОС — ненулевые; вектор, перпендикулярный к каждому из них, может быть только нулевым, поэтому
ОН ^ОА + ОВ + ОС.
Замечание. Если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, то учитывая (29), получим
ОН = 3-ОМ.
Итак, в неравностороннем треугольнике (0=£М) центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот принадлежат одной прямой, причем М£\ОН] и | ОН |: | ОМ | = 3. Эта прямая называется прямой Эйлера треугольника ABC.
11. 	Дан прямоугольный треугольник
ABC (С =90°). Найти множество точек Р, для которых 21 PC |2 = | РА |2 +1РВ |2.
Решение. Так как ЯЛ = PC + СА, РВ =
-РС + В (рис. 13), то 2РС2 = (PC + CAf+ + (PC + СВ)2. Отсюда 2 PC-(С А + СВ) + СА2+ СВ2 = 0.
Если М — середина гипотенузы А В, то СА2-\- + СВ2 = 4СМ2, СА + СЪ =2СМ. Поэтому последнее равенство принимает вид PC‘СМ +
_|_ СМ1 = 0, или СМ*(РС-\-СМ) = 0 и окончательно
Рис. 12
Р»с. 13
34


GM-PAf — 0.
Итак, множество точек Р есть прямая, проходящая через середину М гипотенузы АВ перпендикулярно к медиане СМ.
12. 	Найти зависимость между углами треугольника, если его медиана видна из центра описанной окружности под прямым углом.
Решение. Пусть О — центр окружности радиуса R (рис. 14), описанной около треугольника ABC. Если медиана ССг видна из
точки О под прямым углом, то ОС ■ ОСх — 0. Но OCt = -у (ОА + ОВ). Поэтому
-^OC-((M + Ofi)= 0,
Но ОС • ОЛ = Я2 cos 2£, ОС• ОВ = P2cos2А, следовательно, согласно (26), имеем
Д2 (cos 2А + cos 2В) =0,
откуда cos (А + В) * cos (А —В) == (X
Если cos ( А + В) = 0, то А + В= 90° и Сг = =0; в этом случае угол СгОС не существует.
Следовательно, cos (Л — В) = 0, или \А—
= 90°. Итак, разность двух углов треугольника ABC равна 90°.
Внимательно анализируя содержание решенных задач, приходим к выводу, что они, хотя и являются традиционными, однако не сводятся к непосредственному применению какой-то готовой формулы или теоремы. В каждой из них содержится пусть небольшой, но отличительный геометрический факт, развивающий, на наш взгляд, интерес к геометрии. Именно такие задачи должны стать наиболее характерными для современного преподавания геометрии. Но таких задач пока мало.
Задачи с чисто вычислительным содержанием, как правило, не поддаются решению посредством векторов. Для них оказываются более предпочтительными обычные средства элементарной алгебры и тригонометрии, а также метод координат. Вот почему проблема составления и отбора специальных учебных задач для их решения посредством векторов продолжает оставаться актуальной. Следует вместе с этим иметь в виду, что при решении таких задач не ставится цель применения векторов в «чистом виде». Допускается сочетание использования векторов с другими традиционными приемами решения.
Л. ф. ПЙЧУРИН
(г. Томск)
К ПРЕПОДАВАНИЮ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
В 1975/76 учебном году в девятых классах впервые вводится новая программа по математике. В курсе «Алгебра и начала анализа» трудности введения главного новшества — темы «Производная и ее применения» — в какой-то степени будут ослаблены тем, что многие учителя приобрели опыт преподавания аналогичной темы, работая в 1974/75 учебном году по переходной программе. Однако анализ этого первого опыта позволяет уже сейчас высказать определенные опасения по поводу методов преподавания не только названной, но и некоторых других тем школьного курса математики.
Обычно, говоря о введении новых вопросов в практику школьного преподавания, мы прежде всего думаем о научном уровне работы учителя. Проще говоря, мы прежде всего беспокоимся о том, чтобы учитель достаточно свободно владел новым материалом, глубоко понимал теорию вопроса и свободно решал задачи. И это, разумеется, совершенно необходимое требование.
Добиться его выполнения нелегко, но еще сложнее обстоит дело с другим необходимым требованием — учитель должен владеть методикой обучения новому материалу. Сложнее хотя бы потому, что частная методика, по крайней мере сегодня, опирается в основном на обобщение опыта, обобщать же нам пока почти нечего. Отсутствие серьезных методических рекомендаций к преподаванию новых тем создает своеобразный вакуум, который заполняется результатами индивидуального творче¬
35


ства учителей-практиков. Там, где это творчество носит достаточно глубокий характер, достигнуто то положение, тот уровень мастерства, к которому мы должны стремиться; но, к сожалению, часто дело обстоит не совсем так. Как правило, учитель что-то или кого-то копирует. Уже немало написано о вреде такого копирования, о том, как неправы учителя, которые механически переносят методы изложения, например, темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» традиционной программы (IX класс) в современный VIII класс, или методику построения и исследования графиков функций из старших классов — в нынешний VI. Но тут мы все-таки имеем дело с «параллельным переносом» школьной методики обучения более или менее известным темам. Иное дело — новые темы нового для школы курса.
В X классе (1974/75 учебный год) можно было наблюдать, как учитель, объявив название новой темы — «Некоторые тригонометрические неравенства и их использование при нахождении. пределов»,— сообщает, что «в дальнейшем изучении функций важную роль будут играть некоторые тригонометрические неравенства. Докажем одно из них:
Для любого острого угла х (выраженного в радианах)
sin х < х < tg х».
Далее следует более или менее уверенное копирование соответствующего параграфа из учебника «Алгебра и элементарные функции»,
ч. 	2, Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой (или из других пособий, благо, изложен этот вопрос всюду практически одинаково). На следующем уроке, посвященном изучению предела отношения
при JC—>0,
объяснение начинается с фразы: «Докажем, что
f, sin х Л v lim —— = 1»,
х -> 0 ■
а далее идет довольно четкое цитирование материала обычной вузовской лекции.
Но если в вузовских и школьном учебниках, по-видимому, не должно быть существенного различия между характером изложения одних и тех же фактов, то вузовская манера передачи информации никак не может и не должна служить эталоном, по которому строится школьный урок. И главная причина необходимости создания специальной школьной методики преподавания «бывших вузовских» тем вовсе не в различии форм, методов и традиций преподавания в высшей и средней школе и
даже не в возрастных особенностях обучаемых, а в целях обучения.
Здесь нет необходимости писать о существе этих различий, достаточно напомнить, что в принципе все они сводятся к обязательности общего среднего образования и избирательности специального высшего. Лектор в высшей школе имеет право и даже обязан верить в то, что все слушатели убеждены в необходимости изучать данную дисциплину, и, следовательно, довод «в дальнейшем важную роль будет играть такой-то факт» вполне оправдывает появление этого факта как темы для изучения, а требование «докажем следующую теорему» воспринимается студентами как вполне естественное и, разумеется, обязательное.
Иное дело — учащиеся средней школы, пусть даже и старших классов. Совершенно очевидно, что среди учеников есть те, кому по ряду причин математика дается не очень легко, есть и те, кто относится к ней без особого энтузиазма, да и сама по себе она понадобится далеко не каждому из них. А обучить надо всех, ибо основные идеи курса математики являются составным элементом духовного богатства всякого современного культурного человека. Овладеть же идеями труднее, чем запомнить набор фактов. Во всяком случае, добиться успехов в освоении идейного содержания математики всеми учащимися, применяя формальнологический подход, свойственный вузовским курсам, по всей вероятности, просто невозможно.
Видимо, при массовом обучении математике придется достаточно часто прибегать к кон-. кретно-индуктивному подходу в изложении наиболее сложных и ответственных разделов программы. Обстоятельное развитие этого тезиса потребовало бы много места, применительно же к упомянутым выше вопросам все сказанное должно означать примерно следующее.
Нельзя начинать с неравенств, которые «понадобятся потом». Как известно, весь смысл неравенств sin х < х < tg х состоит в подготовке к доказательству теоремы:
lim
х 0 х
а теорема эта, в свою очередь, нужна для изучения непрерывности тригонометрических функций и вычисления их производных. Именно эта «сверхзадача» и должна определять методику работы в классе.
К рассматриваемому уроку (по переходному плану и по новой программе этот материал изучается в первом полугодии X класса) учащиеся уже должны почувствовать важ-
36


ность понятия предела функции и получить некоторую практику в вычислении пределов. Более того, они должны отчетливо представлять, что это понятие является основой для изучения производной. Поскольку к тому времени тригонометрические функции известны, среди примеров на вычисление пределов в качестве полноправного может оказаться и такой: найти
llm
х^о *
Но ни одна из ранее изученных теорем не указывает путей для решения этого примера! Может быть, он и не нужен вовсе? Нет, нужен, ибо функция
sin х х
составлена простейшим образом из очень несложных, но важных функций. Если уж с ней мы не справимся, то с другими тригонометрическими функциями и их комбинациями и подавно.
Поставим эксперимент — найдем значения этой функции при ] 1; 0,1; 0,01 }■. Таблицы дают следующие приближенные значения: у е={0,8415; 0,998; 1,000}. Похоже, что при х ——► 0 у—► 1. Кстати, почти полное совпадение графиков функций j/=sinx и у—х в окрестности начала координат тоже дает основание предполагать справедливость выдвинутой гипотезы. Попытаемся доказать ее, для чего, естественно, сравним по чертежу характер поведения синуса и соответствующей дуги. Сравнение, как правило, есть установление соотношений «больше», «меньше» или «равно». Докажем неравенство sinx<*<tgA: более сильное, чем нам подсказала гипотеза (тут появился еще и тангенс), но это усиление, как мы немедленно убедимся, быстрее приведет нас к главной цели.
Только теперь можно приступать к общеизвестному доказательству. Кстати, само доказательство, по-видимому, тоже нельзя излагать столь кратко, как это сделано в учебниках. Ведь для среднего школьника рисунок
8
(рис. 306 учебника Кочетковых> ч- 2) уже достаточно убедителен и доказывает неравенство без перехода к площадям. Разве из него не видно, что если | ОА \ = | ОВ | = 1, то | BD | =
= sinх<АВ=х< |ЛС| =igxf И, действительно, то, что sinxCtg* следует со всей очевидностью из чертежа, «осложнения» возникают лишь в сравнении с длиной дуги. Спросите у любого ученика, бойко доказывающего эту теорему, почему он вдруг перешел к площадям, когда «и так все ясно», и почти наверняка вы не получите внятного ответа. Школьнику надо четко объяснить, что дело связано с использованием понятия длины дуги, а для сравнения длин дуг и хорд школьный курс геометрии пока не обеспечил нас убедительными теоремами. Значит, внешне «впечатляющая» картинка вовсе не дает доказательства, хотя и указывает верный путь к нему.
Конечно, подобное изложение потребует некоторого увеличения расхода времени. Но в том-то и дело, что это время нетрудно найти, если не изощряться в упражнениях на вычисление пределов, не стремиться к обязательному для каждого ученика умению воспроизвести на очередном уроке доказательство всех изученных теорем, т. е. если не ставить перед собой нереальных задач. Реально и необходимо другое — добиться хорошего понимания сути дела всеми школьниками.
Очевидно, несколько высказанных в этой заметке рекомендаций вовсе не исчерпывают затронутого вопроса, но представляется, что именно в этом направлении надо работать.
О. С. КРЕТИНИН
(г. Нижний Тагил)
О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПРОПЕДЕВТИКЕ В IV—V КЛАССАХ
Пропедевтика понятия сводится к раскрытию его содержания без введения соответствующего термина и формального определения.
Она осуществляется в ходе изучения программного материала, когда учащиеся встречают объекты, которые принадлежат объему этого понятия.
Для пропедевтики понятия функции в IV—V классах есть необходимые условия. Действительно, учащиеся IV—V классов постоянно встречаются с примерами функции. Понятия «множество», «элемент множества», отноше-
37


нйе принадлежности элемента множеству явно вводятся на первых уроках математики в IV классе и могут быть использованы для выявления существенных свойств функции в теоретико-множественной ее трактовке.
Так, всякий раз, когда на уроках в IV—V классах рассматриваются примеры функций, попутно можно проводить дополнительную работу по следующему плану:
1) составить списки двух конечных множеств, между элементами которых известен закон соответствия;
2) для данного элемента одного множества найти соответствующий элемент другого;
3) выяснить, что такой соответствующий элемент единствен;
4) установить, что каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого.
При рассмотрении примеров функции разъясняется и закрепляется правильное использование терминов «соответствует», «соответствующий».
I. 	Наиболее широкие возможности выполнения работы по намеченному плану представляются в связи с рассмотрением таблиц, которыми заданы конкретные функции.
Рассмотрим, например, таблицу к упражнению № 171 из учебника [1] К В таблице указан список учеников и их рост.
По этой таблице учитель может провести с учащимися дополнительную работу.
1. При помощи фигурных скобок запишите множество: а) фамилий учеников (множество Л), б) значений роста учеников (множество Б).
2. Гришину соответствует рост в 123 см. Будем говорить: «элементу «Гришин» множества А соответствует элемент 123 множества Б». Для элемента «Борисов» множества А укажите соответствующий элемент множества Б. Сколько элементов множества Б соответствует элементу «Борисов» множества А?
1 [1] «Математика Учебник для 4-го класса средней школы». Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1975.
3. 	Верно или неверно следующее высказывание: «Каждому элементу множества А соответствует только один элемент множества />»?
Аналогичные вопросы можно задать по таблице к упражнению № 98 из учебного пособия [2] А
В тех случаях, когда конкретные функции задаются другими способами — текстовой формулировкой, аналитически, графически — пропедевтику понятия функции целесообразно проводить после составления соответствующих таблиц. Для этого можно использовать задания из учебников. Например: № 244, 245, 357 и др. из учебника [1]; № 61, 378, 379, 390, 391, 650 и др. из пособия [2].
Пусть в упражнении требуется записать формулу зависимости пути от времени: «Из города вышел автобус со скоростью 50 км/ч. На каком расстоянии 5 от города будет автобус через х ч?» К этому упражнению целесообразно дать дополнительные задания.
1. Составьте таблицу значений s при хе {1; 2; 3; 4}.
2. Найдите, какое значение s соответствует значению х=2?
3. Выясните, каждому ли значению *е{1; 2; 3; 4} соответствует только одно значение se={50; 100; 150; 200}?
II. Функциональную пропедевтику позволяют осуществлять упражнения, в которых заданы уравнения или неравенства на конечных числовых множествах; их решения учащиеся находят путем подстановки элементов этих множеств в данное уравнение или неравенство (№ 260, 262, 386 и др. в учебнике IV класса).
Задание № 260, ш- «Испытайте числа 0, 1, 2 и 3, подставляя их в уравнение у-\-у=у-у. Есть ли среди этих чисел корни уравнения?»
После того как учащиеся выполнят это упражнение, можно перейти к дополнительным вопросам.
1. При каких значениях у получается истинное равенство и при каких ложное? Обозначая истинное равенство буквой //, а ложное—«Я, получим множество М={И\ JI}.
2. Какой элемент множества М соответствует элементу 3 из множества значений у (у^К, где /С={0; 1; 2; 3}).
3. Сколько элементов множества М соответствует элементу 3 из множества К?
4. Каждому ли элементу множества К соответствует только один элемент множества М?
III. На уроках математики в IV—V классах
2 [2] «Математика 5». Под ред. А. Я. Маркушевича.
М.* «Просвещение», 197
№ п/п
Фамилия
Рост в ем
1
Аксенов
124
2
Борисов
135
3
Володина
127
4
Г ришин
123
5
Демина
136
6
Петрова
141
38


учащимся часто приходится изображать числа точками числовой прямой или луча, а пары чисел — точками координатной плоскости (№ 93—95, 872, 892 и др. из учебника [1]; № 31, 32, 38, 42, 44, 45, 112, 115, 119—121
и др. из пособия [2]). Указанные в скобках упражнения легко дополнить пропедевтическим заданием, в котором от учащихся потребуется сделать следующее: а) рассмотреть конечное множество чисел (конечное множество пар чисел) и множество точек числовой прямой или луча (множество точек координатной плоскости); б) для заданных чисел (пар чисел), взятых из первого множества, указать соответствующие точки числовой прямой или луча (координатной плоскости);
в) 	выяснить, сколько точек соответствует каждому данному числу или паре чисел.
После этого можно формулировать общее утверждение: каждому числу соответствует единственная точка числовой прямой или луча, а каждой паре чисел — единственная точка координатной плоскости.
IV. 	Функциональную пропедевтику можно проводить на примерах бинарной операции: сложения и умножения, возведения в степень, нахождения наибольшего или наименьшего из двух чисел, наибольшего общего делителя или наименьшего общего кратного двух чисел из множества N и т. п.3.
Так, рассматривая в IV классе сложение натуральных чисел, полезно обращать внимание учащихся на то обстоятельство, что данной паре натуральных чисел (например, 5 и 3) соответствует единственное натуральное число (8).
3 Бинарная операция на множестве М есть отображение множества МХМ в множество М. Поэтому примеры бинарной операции являются примерами функции.
Аналогичные рассуждения для других троек натуральных чисел приводят к общему утверждению: любой паре натуральных чисел а и b соответствует только, одно натуральное число с, такое, что а’+& = с,
V. 	Знакомство учащихся V класса с параллельным переносом фигур, фигурами, симметричными относительно прямой, а также с поворотом фигуры вокруг точки, открывает возможности для функциональной пропедевтики при изучении геометрического материала* Каждое из указанных отображений одной фигуры на другую есть функция, у которой областью определения и множеством значений служат множества точек плоскости. Поэтому упражнения (№ 953—960, 966—972, 1049— 1054 из пособия [2]) на нахождение образа данной фигуры при заданном отображении дают возможность для работы по такому плану: а) рассмотреть два конечных множества точек двух фигур; б) для данных точек одной фигуры найти соответствующие точки другой фигуры; в) выяснить, что каждой данной точке первой фигуры соответствует единственная точка второй фигуры. После этого можно формулировать общее утверждение: каж¬
дой точке первой фигуры можно указать единственную соответствующую точку второй фигуры.
Рассмотренные примеры функций встречаются на уроках математики в IV—V классах настолько часто, что использование только части этих примеров позволяет проводить систематическую работу по пропедевтике понятия функции. Если данная работа в IV—V классах будет иметь место, тогда построение определения общего понятия функции в VI классе может служить некоторым итогом, а не первым этапом в работе по формированию этого важного математического понятия,
Д. В. КЛИМЕНЧЕНКО
(г. Бердянск)
ИЗ ОПЫТА
РАБОТЫ ПО РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
В У КЛАССЕ
В учебниках по математике для IV, V классов в особый раздел выделены задачи повышенной трудности. Как правило, их рекомендуется использовать для внеклассной работы, для индивидуальных заданий ученикам. Однако, как показывает наш опыт, отдельные задачи можно предлагать всему классу.
Не следует относить решение таких задач на конец учебного года только потому, что они помещены в конце учебника. Наиболее эффективно равномерное использование их в течение учебного года по мере отработки того или иного материала.
Практика работы с учебным1 и методическим2 пособиями по математике для V класса обнаруживает необходимость внесения ис-
1 [1] «Математика 5». Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1974.
2 [2] «Математика в V классе. В помощь учителю». Под ред. А, И. Маркушевича. М., «Просвещение»* 1973.
39


правлений в решения и условия некоторых задач.
Например, решение уравнения к задаче № 1071 в методическом пособии [2] содержит вычислительную ошибку: корнем уравнения 450+15я=45л: является значение х—15 {а. не 50, как указано в пособии).'
Задача № 1109. Докажите, что любую сумму денег, большую 8 коп., можно уплатить одними лишь трехкопеечными и пятикопеечными монетами без сдачи.
В пособии [2] решение дано на числовых примерах. А почему бы не представить числа относительно их делимости на 3 так: a) 3k;
б) 	3k+l=3(k—3) + Ю; в) 3k+2=3{k—l) +
4-5? Здесь &=3; 4; ... . Такой способ мы и рассмотрели с учащимися.
Безусловно полезными будут обобщения и в упражнениях № 1111, 1112. Приведем одно из них.
Задача № 1111. Найдите среди чисел вида Зп4~1 тРи числа, которые кратны 5.
После того как найдены три конкретных числа, переходим к общему случаю: Зя-Ь_1 = =3(п—3)4-10, роэтому если (п—3) кратно 5, то и (Зп+1) кратно 5. Найдем такие п, при которых (п—3) кратно 5: п—3—5/г, откуда п—5&4-3, а поэтому Зп4_1=:3(5&-|'3)4-1 =
= 15&4-10, где й=0, 1, 2, ....
Задача № 1112 приводит к равенству Зя-J- '4-2=15^4-5, где &=0, 1, 2, ... (n=5fc+l)-
Задача № 1126. Если между двумя цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число в 9 раз больше первоначального. Найти двузначное число.
Решение, предложенное авторами пособия
[2], громоздко, так как в нем не учтено, что в выражении ab-9=a0b при умножении однозначного числа & на 9 получаем число, заканчивающееся цифрой Ь. Этой цифрой может быть только 5. Тогда а5-9=а05, т. е. 9(10а-(-5) = 100а+5. Отсюда а=4.
Задача № 1128. К числу 10 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
Для решения полезно использовать признак делимости на 8. Если справа припишем цифру х, то число Юх кратно 8 и поэтому х=4. Слева надо приписать такую цифру у, чтобы сумма цифр числа у104 делилась на 9, тогда У=4.
Задача № 1076. В комнате стоят 10 больших ящиков. В некоторых из них есть еще по 10 меньших ящиков, а в некоторых из меньших ящиков есть по 10 совсем маленьких ящиков. Всего заполнено 54 ящика. Сколько всего ящиков находится в комнате?
40
Предлагаем более рациональное решение по сравнению с тем, которое приведено в пособии [2]. Известно, что заполнено 54 ящика, в каждом из них по 10 ящиков. Поэтому маленьких и наименьших ящиков будет 10-54 = 540 да больших 10, а всего 550 ящиков.
Требуют исправления или уточнения условия и требования некоторых задач пособия, например № 1074, 1078, 1079.
Рассмотрим задачу № 1074. Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные станции и создавать на них запасы пищи и воды. За сколько дней он сможет пересечь пустыню?
Здесь целесообразно изменить вопрос. Мы заменили его таким: «За какое наименьшее число дней он сможет пересечь пустыню?» Именно в этом смысл задачи.
Для учителя большое значение имеет умение предвидеть то, какие препятствия придется преодолевать ученику в работе над данной конкретной задачей. Тактичная, неназойливая помощь учителя не давит ка ученика, не подменяет его мышления, а только направляет.
Выполняя задание № 1056, ученики стремятся идти к цели наугад, заполняя пустые клетки таблицы. Это приводит к непреодолимым затруднениям. Поэтому необходимо сориентировать детей на установление закономерности, чтобы затем использовать ее для решения данной задачи. С этой целью предлагаем учащимся вспомогательную задачу: «Числа а\, а% аз, а4 таковы, что сумма первых трех равна сумме последних трех. Чему равно аА, если ai=3?»
По условию, а1+а2+аз=а2+аз+а4, поэтому a4=ai—3. Этот вывод и является ключом к решению задачи № 1056.
В упражнении № 1119 ученики, как правило, не учитывают двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами. Здесь уместно будет такое вспомогательное упражнение:'
<гСоставить все возможные двузначные числа из цифр 2, 3 и 5».
Среди написанных чисел должны быть и 22, 33, 55, поэтому всего будет не 6 таких чисел (как это часто думают учащиеся), а 9.
В работе с учащимися учителя используют задачи из журналов «Математика в школе», «Квант», специальных сборников; однако основным источником заданий все же остается учебник, и поэтому цель наших советов — сориентировать учителей на творческий подход к использованию учебника и методического пособия к нему.
{


ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВИЕ РАВЕНСТВА ДРОБИ НУЛЮ
Технические средства обучения. Учебное оборудование
К. С. МУРДВИН, В. Н. РУДЕНКО
(Москва)
О ТАБЛИЦАХ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ VII КЛАССА 1
Серия таблиц по алгебре для VII класса и методическое руководство к ним выпущены издательством «Просвещение». Таблицы предназначены в помощь учителю для более эффективной организации работы учащихся на уроке и составлены в соответствии с программой по математике и учебным пособием «Алгебра 7».
В серии 22 таблицы. Содержание их охватывает все основные разделы курса: алгебраические дроби, неравенства, квадратные корни и квадратные уравнения. В зависимости от основного назначения таблицы можно условно разделить на две группы: иллюстративные и таблицы-задания. Многие таблицы служат иллюстративным целям и в то же время содержат материал для различного рода учебных заданий: самостоятельных работ, математических диктантов, устных упражнений и т. д. Таблицы 6, 8, 12, 20, 22 данной серии представлены в форме карточек, использование которых позволит учителю приблизить наглядный дидактический материал к каждому учащемуся и более эффективно организовать познавательную деятельность школьников.
Таким образом, применимые на различных этапах урока, таблицы могут быть органически включены в учебный процесс. Целесообразно их также использовать и в VIII классе на протяжении всего учебного года для повторения, обобщения и систематизации знаний учащихся по алгебре за курс восьмилетней школы.
Рассмотрим конкретное содержание ряда таблиц и методику работы с ними.
Таблица 1 «Область определения и условие равенства дроби нулю» (рис. 1) содержит набор дробных выражений, позволяющий в
1 В связи с ограниченным тиражом выпуска таблиц по алгебре для VII класса редакция публикует по просьбе читателей эту статью, содержащую описание некоторых таблиц и краткие указания по методике их использования.
А
В
С
D
1
2х-2
25
20*-5
12дг-8
5х-20
8х+2
12
9х+12
2
2а-0,6
0Д2а+2,4
60
100а-0,5
0,3а+р
1£а-45
0,01а+4
72а
.3
Здс+1
(лг+10)(лг-5)
(5ДГ-1)1
(5лг+2)3
*(х-3)
5jc-1
х(2х+3)
(5jc-1)(jc+5)
4
2г+1
4у*-1
25^+ОД
2 tf+y
уг-100
у*+ 4
9tf-4
jf-025
Рис. 1
различных формах предлагать учащимся задания на установление области определения дроби и условия равенства дроби нулю. Возможны, например, такие задания 2:
\. Найдите область определения дроби Аи С2, ... .
2. 	При каких значениях переменной имеет смысл выражение В\, Z)2, Л3, ...?
Эту же таблицу можно эффективно использовать при рассмотрении материала об условии равенства дроби нулю, а также для постановки заданий на нахождение значений дроби при указанных значениях переменной. Задания, требующие письменного решения, можно давать в виде небольших работ (на
5—10 мин), содержащих 3 или 4 упражнения. Например:
1. При каком значении переменной значение дроби Вз(Сэ, D$, Л4) равно нулю?
2. Найдите значение дроби:
а) А\ при х = 7; б) Л2 при а = —1,8; в) С2 при а = 50; г) В3 при х = 11.
3. Найдите значение переменной, при котором:
а) дробь A\(Bh Ci) будет равна 1; б) дробь Л2 (Du Da) равна 2.
По таблице возможна и самостоятельная работа. Например:
Вариант I
1. Найдите область определения дроби Сз.
2. При каком значении х дробь D3 равна нулю?
3. Определите значение дроби Л3 при х = = 2,5.
Вариант II
1. Найдите область определения дроби D3.
2. При каком значении х дробь Сз равна нулю?
2 В записи Ay, С2, ...буква обозначает столбец, а
индекс — строку, в пересечении которых берется дробь.
41


ШЬПЬНЯ С ЦЕЛЬШК ПОКАЗАТЕЛЯМИ
№
ftrlr*
а*
'Шт
в*Х*
Уоа4х4
9ах3
(-Wxty
В^2>;
2Т1х*
ГЧГ1
а-х1
а2-х~2
(йГ2-Г2)-
М4
(<r4rf
А
в
с
D
1
2х<7
-2,5х>0
-0,01дг>1
0,2у< -1
2
-Щу
-ОЗ^гсЮ
3
-10#>-15
12,5х<0
-10>4х
^>-500
4
О
4
СМ
-0,2у<-2
J. г<_1 2 4
Of <-2,5
5
-«Г>1с
0,2 >iy
1
V
WjlO
1
0-у> -3
6
гу<- 2
-|л>-0,25
0<-100.г
1
00 Ч
V
1
Вое. 3
Рис. 2
3. При каком значении а дробь А2 принимает значение, равное —1?
Дроби первых двух строк таблицы 1 можно использовать и для решения неравенств. Так, можно определить, при каких значениях переменной дробь принимает положительные (отрицательные) значения.
Аналогично может быть организована работа по таблице 2 «Степени с целыми показателями» (рис. 2), назначение которой — закрепить и углубить знания учащихся по указанной теме.
Задания для устного выполнения
1. Представьте выражение в виде дроби:
А\\ В2\ Сi; D2; Е1.
2. Запишите в виде квадрата: Вь Л3, В3.
Задания для письменного решения
1. Преобразуйте выражение в дробь:
А\'А2\ В2'.В\\А2*В2\ Bz : Л3; Л4«54.
2. Сравните значения:
a) D\ и Е\ при а = 2/3 и х——1/3; б) D3 и Е3 при а = 0,1 и х = —1; в) D4 и £4 при а = —2 и х = 2.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
1 V2
№
4^
1^0
2 П
щ
№
з уИ
2ff
щ
0,4^6
4 У\б
0,5|^0
юУш
75Vf
Рис. 4
3. Запишите выражение в виде дроби: D\\ D\\ Dl
Самостоятельная работа (7—10 мин)
Вариант I Вариант II
Упростите выражение:
1) А\-В2-Си 1) А2 • В\ • С\9
2) D8-£3. 2) Z)4: Е\.
Работа, аналогичная описанной, предполагается и по таблицам 4, 15, 16 данной серии (рис. 3,4, 5).
Таблицу 3 «График функции у = ах~2» (рис. 6) удобно использовать при закреплении материала и при опросе учащихся. Изображение на одной таблице графиков функции вида у = ах~2 при а > 0 и при а < 0 позволяет провести их сравнение и проиллюстрировать ряд свойств функции у = ах~2.
Графическое решение неравенств с одной переменной иллюстрируется таблицей 5 «Графическое решение линейного неравенства», на которой изображен график функции у = —2х + 6. Ее использование целесообразно начинать задолго до изучения указанной темы, предлагая учащимся различные зада-
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ
ybjr-io
]/з-6д:
]4н-8
У&Х+2
)%-9
У*
г/ 5
У 2х+\
У 12-х
yil6-j:2
Ух2-49
]4г2+1
VlOO-je2
№
Yfa 5)
|^г(б -лг)
l/lz* f х+4
Вт &
48


график функции у=ах*
Рис. 6
ния по курсу VI класса, связанные с чтением графиков. Такие задания готовят учащихся к пониманию графического способа решения линейных неравенств и их систем.
Например, по графику линейной функции учащимся можно предложить ответить на вопросы:
1. При каких значениях х значение у равно нулю; больше нуля; меньше нуля; больше 2; -“5; 8; меньше 4; 5; —3?
2. На какое множество отображается промежуток [—1; 4] значений х?
3. Какое множество значений х отображается на промежуток [—2; 9} значений у?
В дальнейшем таблица используется при изучении пунктов учебника «Графическое решение неравенств с одной переменной» и «Решение линейных неравенств с одной переменной». По таблице можно предложить задание:
Найдите по графику множество значений переменной х, при которых значения функции, заданной формулой у = —2х + 6:
а) больше 1; —2; 6; б) меньше 4; 0; —3.
Таблица 5 применяется и для выполнения упражнений на графическое, а затем аналитическое решение двойных неравенств. Например:
Определите по графику множество значений х, при которых значение функции у = = —2х + 6 заключено в промежутке:,
а) 	] 1; 7]; б) [—3; 1]; в) [—5; 9].
Таблица б, как и таблица 5, составлена на тему «Графическое решение неравенств с одной переменной», но она отличается от таблицы 5 тем, что разрезается на карточки индивидуального пользования. На каждой карточке дан график линейной функции, варьирующий график таблицы 5. Карточки даны в четырех вариантах и предназначаются для проведения самостоятельных работ при изучении пунктов 22, 23 и 24 учебного пособия, а также для обобщения и систематизации материала этих пунктов.
Приведем примерные задания к самостоятельной работе по карточкам таблицы 6:
1. Найдите по графику множество значений переменной х, при которых значения функции у: а) больше 0; б) меньше 0; в) больше —2;
г) 	меньше —0,5; д) заключены в промежутке [—1; 0,5]. Проверьте ответ, составив соответствующее графику неравенство и решив его аналитически.
2. Напишите неравенство, имеющее множеством своих решений числовой промежуток ]—1; +°°[.
По карточкам могут быть предложены задания и для повторения.
1. Выясните, при каком значении х переменная у принимает значение, равное 0; большее 0; меньшее 0.
2. Проверьте, принадлежит ли графику точка: Л(0; —1,5); В(—1; 3); С(—1; 2).
3. Найдите по графику значение х, которому соответствует значение у, равное —2; 0; 1«
Таблицы 7—8 «Графическое решение системы линейных неравенств»: первая из них—- иллюстративная (рис. 7), вторая—таблица заданий; она разрезается на 36 карточек, которые предназначаются для проведения самостоятельных работ. Приведем примеры заданий для такой работы.
1. С помощью графиков функций (рис. 7) найдите множество значений переменной х, при которых обе функции принимают\ а) положительные значения*, б) отрицательные значениям в) значения, большие —5.
2. Составьте систему неравенств, имеющую множеством своих решений числовой промежуток ]—4; —2[. Проверьте ответы, решив систему неравенств аналитически.
По карточкам таблицы 8 можно провести самостоятельную работу и на определение множества значений х, при которых значение одной функции больше (меньше) соответствующих значений другой. Каждый ответ полезно проверить составлением и решением соответствующего неравенства.
По таблице 11 «График функции у = = уГ» (см. рис. 48 учебного пособия «Алгеб-
43


ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ра 7») можно продемонстрировать свойства этой функции и предложить ряд заданий:
а) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента х, если х = 0,5; 1; 2,6; 5; 8,5; 10.
б) Определите значение аргумента х, которому соответствует значение переменной у, равное 1,7; 3; 0,6; 2.
в) Укажите множество значений переменной у, соответствующее множеству значений аргумента х: [0; 3]; [2; 9]; [7; 9].
г) Найдите множество значений аргумента х, которому соответствует множество значений переменной у: [0; 2]; [1; 3]; [2; 3].
д) Найдите х, если:
1) 	У^ = 2,5; 2)^У~х = 1,6; 3) /Зс = 0,8;
4) 	Ух <2,2; 5) Vx<3; 6) \<Vx<2,6.
Таблица 13 (рис. 8) на примере неравенства Y х ^ х — 6 иллюстрирует графический способ решения неравенств. Работу по этой таблице можно начать с постановки следующих заданий:
1. Укажите область определения и множество значений функций у = У~х и у = — х — 6.
2. Найдите по графикам значение каждой из данных функций при х, равном —1; 0; 0,5; 2; 4,5; 6; 8; 9; 11, и сравните между собой эти значения.
3. Укажите множество Значений х, при. которых значение функции у =*У~х
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ]%>Х-6
меньше значения функции у = х — 6; больше значения функции у = х — 6; равно значению функции у — х — 6.
Выяснив, какой смысл учащиеся вкладывают в слова «решить неравенство», учитель предлагает найти множество значений переменной х, при которых верно неравенство V х — 6.
Таблица 14 «Графическое решение неравенства f(x) >g(x)» (рис. 9) позволяет проиллюстрировать общий принцип графического решения неравенства с одной переменной. Используя графики, изображенные на таблице, учащиеся должны уметь:
1. сравнить значения функций f(x) и g(x) при заданных значениях х\
2. найти значения х, при которых f(x) = = g(x);
3. указать на чертеже множество значений х, на котором график функции g(x) распола-
ГРАФИЧЕСК0Е РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА f{x)>g{x)
44


ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ
гается ниже графика функции f(x); выше графика функции f(x).
После этого можно перейти к решению неравенства f(x)>g(x) или f(x)<.g(x).
Принцип графического решения квадратных уравнений иллюстрируется таблицей 17 на примере уравнения х2 — Зх -f- 4. На таблице в одной и той же системе координат построены графики функций у — х2 и у — Зх-\-А. Вначале учитель может предложить отыскать по графикам значение каждой функции при х, равном —2; —1,5; —1; 0; 2; 3; 4; 4,5, а зд- тем установить, при каких из этих значений х
х2 и у = Зх -(- 4 будут
значения функций у равны.
Рассмотрев частный случай (графическое решение уравнения х2 — Зх -f- 4), можно подвести учащихся к общему выводу: чтобы графически решить уравнение вида f(x) = g(x), надо построить графики функций y = f(x) и У=8(х) и найти абсциссы* их точек пересечения.
Таблица 17 может быть использована и для графического решения неравенств х2 < Зх + + 4 и х2 > 3* + 4.
С помощью таблицы 18 (рис. 10) «График функции у = ах2 + Ьх + с» (лист 1) можно иллюстрировать графический способ решения неравенств вида f{x)>0 или f(x)<0 на примере неравенств второй степени. По левому чертежу таблицы подробно рассматривается графический способ решения неравенств 0,5лг2 + л: — 4>0 и 0,5л:2 + ^ — 4<0. Учащиеся показывают множество точек графика функции у = 0,5 х2 + х — 4, имеющих положительные (отрицательные) ординаты, и выбирают соответствующее множество решений данного неравенства.
Переходя к графику функции у = —х2 + + б (в правой части таблицы), можно
X.
0,5<$<1 Ub<2 2,5<&<3 5^10
0<а<1
2<л«2,5
10<га<20
шшшшшйшй
Рис. 11
предложить учащимся самостоятельно решить неравенства —х2 -+- х + б > 0 и —я2 + *+ -f- 6 < 0.
В дальнейшем графики функций, изображенные на таблице 18, могут быть использованы учителем при опросе учащихся, для проведения фронтальной работы с классом и для самостоятельной работы, связанной с чтением графиков (нахождение промежутков знакопо- стоянства, промежутков возрастания и убывания функции, наибольшего и наименьшего значений ее и т. д.).
Из четырех таблиц (19—22), посвященных теме «Г рафик функции у = ах2 + Ьх + с», 19 и 20 — демонстрационные, а 21 и 22 (дублирующие соответственно таблицы 19 и 20) предназначены для разрезания на карточки индивидуального пользования. Наличие карточек, повторяющих чертежи демонстрационных таблиц, позволит более эффективно организовать как фронтальную, так и самостоятельную работу с классом.
Примерная тематика заданий по предлагаемым таблицам и карточкам может быть определена следующим перечнем вопросов.
Используя график функции у=ах2-\-Ьх-\- + с, найдите:
а) значение функции, соответствующее данному значению аргумента;
б) значение аргумента, которому соответствует данное значение функции;
в) множество значений аргумента, на котором значения функции равны нулю; положительны; отрицательны;
г) множество значений аргумента, на котором функция убывает; возрастает;
д) значение аргумента, при котором функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;
е) множество значений функции;
45


ж) знак коэффициента а и значение коэффициента с в трехчлене ах2 + Ьх + с;
з) знак дискриминанта трехчлена ах2 + + Ьх + с и значения его корней (если они существуют);
и) уравнение оси симметрии параболы.
Исходя из данной тематики, учитель составляет конкретные задания по каждому графику.
В методическом руководстве к таблицам по алгебре для VII класса приводятся также примеры таблиц, которые полезно изготовить дополнительно к изданным типографским способом.
Так, при изучении темы «Применение неравенств к оценке точности приближенных вычислений» рекомендуется изготовить таблицу, изображенную на рисунке 11. Она предназначается для устных и письменных вычислений по оценке значения выражения. По этой таблице можно предложить несколько заданий.
1. Найдите границы значения вираже- ния3:
а) —а, За, а2, -|-а3 для 2; 15;
б) -2b, -\-Ь, -b2, -j-, 4Ь. 5b для 5; 12.
2. Укажите границы значения выражения:
а) 	а -+ Ъ для 1; 7; 18. б) аЪ для 5; 10; 14.
в) 	2а + ЗЬ для 3; 4; 6. г) а2 — b2 для 1; 6;
16. д)4- + 4- для 1; 7; 14.
В программе по алгебре большое внимание
3 Здесь и в аналогичных заданиях число обозначает два неравенства, одно из которых находится в соответствующей этому числу строке, а другое — в определяе-
мом им столбце.
М. М. КУТЛЫЕВ
(г. Ангрен УзССР)
РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ
НА МНОЖИТЕЛИ
При разложении достаточно большого числа на простые множители обычно применяет¬
ся запись «столбиком» (см. учебное пособие «Математика 5»). Мы практиковали другую
СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА
! А
В
■ЯКа
Е
Ц 2,7-10 8
6,410®
4,5*10 6
7,2-10*7
2,8-ЮГ1
Д4.8-109
8,2-Ю9
1,6-Ю10
6,5'Ю'10
30-ИГ*
Н5.410'8
$6-10~9
8,510^
1,5-10 6
8,5-10®
Нэд-Ю7
7,5-10"г
3,2-Ю6
9,510*
2.5-109
Рис. 12
уделяется представлению числа в стандартном виде, т. е. в виде а - 10п, где 1 < а < 10 и п gee Z. Умение оперировать с числами, представленными в стандартном виде, необходимо учащимся в теории десятичных логарифмов, в работе с логарифмической линейкой и в приближенных вычислениях. Эти умения нужны им также в физике и химии.
Для формирования прочных навыков оперирования с числами, представленными в стандартном виде, полезно иметь таблицу «Стандартный вид числа» (рис. 12).
Приведем примеры устных упражнений по этой таблице.
1. Укажите порядок суммы чисел А\ и В\\ произведения чисел С2 и £2; частного чисел В3 и Сз;... .
2. Представьте число А\\ С4; ...соответствующим целым числом или десятичной дробью.
Задания для письменной работы можно усложнить. Например, предложить учащимся представить в виде а- 10я, округляя а до десятых, выражение: А{-В{; Л32»‘ D\\E\\ и т. д.
из известных записей, а именно запись в строку, что давало учащимся лучшее понимание того, что они разлагают число на множители.
Примеры:
^зз^шжт-24-3-7-
2) —2а-Зг*5«7.
46


Факультативные курсы
М. Б. БАЛК
(г. Смоленск)
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ВЫЯСНЕНИЮ ИСТИННОСТИ НЕРАВЕНСТВ
Общие соображения. Введение в школьное преподавание элементов дифференциального исчисления дает учащимся в руки мощное орудие для решения многих трудных задач из разнообразных разделов традиционной «элементарной математики». К сожалению, в имеющихся ныне учебных руководствах по математическому анализу для средней школы и для педагогических институтов этому уделяется недостаточное внимание. Так, например, после выяснения возможности нахождения промежутков возрастания или убывания функции по знаку ее производной часто в школьной практике ограничиваются применением этих сведений лишь к разысканию таких промежутков для конкретных функций и для построения графиков. Между тем этот материал дает пищу для значительно более разнообразных и менее шаблонных приложений. Необходимо также учесть, что наличие разнообразных приложений, интересных и понятных школьникам, является серьезным стимулом для более глубокого изучения и более содержательного осмысления учащимися основных понятий, формул и теорем математического анализа.
В данной заметке ограничимся рассмотрением лишь некоторых задач (на выяснение истинности неравенств), которые были использованы автором на кружковых занятиях со смоленскими учащимися десятых классов. Автор благодарен преподавателям В. И. Во- лодченкову и В. А. Мосенковой за участие в опытной проверке материалов данной статьи на факультативных занятиях с учащимися смоленских школ № 26 и № 1.
Для успешного понимания учащимися приведенного ниже материала им следует предварительно знать: 1) определение производной,
2) 	основные правила дифференцирования (суммы, разности, произведения, частного, степени, сложной функции, многочлена и функций sin и, cos и, tg и, аи, In и), 3) неравенства sina<
a<iga при 0<;a<-^ (см. [1], 12]).
Однако понятно, что отдельные задачи из приведенных ниже могут быть использованы учителем в занятиях со школьниками даже на начальных этапах изучения темы «Производная и ее применение».
Дальнейшее изложение будет основано на следующем предложении, хорошо известном в мат-ематическом анализе (ср., например, [1],гл. IV, §3).
Теорема 1. Если функция f (х) на некотором интервале\ а; Ь\имеет производную и f,(x)'^>0 всюду на\а\ Ь{, то f (х) на] а; b [монотонно возрастает; если же f'(x)<^0 всюду на\а\ #[, то /(х) на] а; b [монотонно убывает. Если дополнительно известно, что f (х) непрерывна на отрезке [а\ Ь\ (или на полуинтерв але [а; Ь\у или на\а\ Ь\), то возрастание (пли, соответственно, убывание) имеет место на соответствующем множестве [а; Ь\ (или [а; b [, или ] а\ b]).
Несколько простых примеров. Теорема 1 позволяет единым приемом решать разнообразные задачи на выяснение истинности неравенств.
1. Пусть 0<£• Проверьте истинность неравенства
2° + > 5. (1)
Решение. Рассмотрим на]0; -^-J функцию
/(*) = 2х+±.
Найдем ее производную:
/'(•*) = 2-^- = з|-(д:3-1).
Видим, что /'(•*:)< 0 при Следо¬
вательно, / (х) на] 0; -^-1 убывает, так что \
при 0<<?<-2~
т>/(4-)-
Но / (с) = 2с -f = 5. Следователь¬
но, неравенство (1) верно.
2. Проверьте справедливость следующего утверждения: если х^>2, то
2(х3 + 6х)>9л:2 + 4. (2)
Решение. Рассмотрим функцию / (jc) = 2 (jc3 + 6х) — 9х2 — 4.
Найдем ее производную:
47


/' (*) - 6*2 + 12 - 18jc = 6 (х - 1) (х - 2). Отсюда видно, что /'(л:)> 0 при х>2, т. е. функция f(x) возрастает на [2; +оо[. Поэтому при х >2 имеем /(•*)>/(2), т. е. 2(л:3 +блс) — 9л:2 — 4>0. Итак, проверяемое утверждение справедливо.
3. Известно, что если числа а и § заключены между 0 в у в а<р, то cosa^>
> cos p.
Верно ли неравенство
а + cosa<;p -f cosfJ? (3)
Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию f {х) = х + cos х. Имеем:
= 1 — sin х >• 0 при 0 < х < Следовательно, /(л) на |0; возрастает, и поэтому
/(«)</(?) при 0<a<p< т. е. (3) верно.
4. Пусть р и q — положительные числа, p<iq■ Тогда, очевидно,
р'2 < q2,
1 ^ I
Р3 93 ’
Можно ли гарантировать, что неравенство
P2 + jr<q2 + ~? (4)
верно а) при /?> 1,5; б) при /?> 1?
Решение, а) Рассмотрим функцию /(л;) =
х1 + -т-. Имеем:
Л
/'(*)=. 2*-A - Jr (х5-1,5).
Отсюда видно, что при х>УТ~$ функция /(х) возрастает. В частности, она возрастает на интервале) 1,5; +оо|. Поэтому при q^>р^> 1,5 неравенство (4) справедливо.
б) 	На интервале | 1; ]/"1,5 |/'(^)<0, т. е. / (х) убывает. Поэтому при любых р и q,
5
для которых 1 < р < q <[ У\ ,5, неравенство (4) неверно, а верно неравенство противоположного смысла;
/>г + -£->?, + ^г-
От числовых неравенств — к функциональным. Иногда требуется решить задачу, которая связана с числовыми неравенствами и в условии которой о дифференцируемых функциях нет речи; и тем не менее
48
в подобной ситуации нередко оказывается выгодным перейти к надлежащим образом подобранной «функциональной» задаче, которая решается с помощью производной и из ее решения уже следует решение исходной задачи.
5. 	Что больше: 100101 или 101100; 107113 или 113107; 19742®01 или 200119?4; е* или *•; или (УЗК2?
Решение. Все эти задачи сводятся к такой вспомогательной функциональной задаче.
Если 0 < * < У, то при каких условиях справедливо неравенство
ху<У\ (5)
а при каких условиях верно неравенство
х>>ух? (6)
Неравенство (5) равносильно таким неравенствам:
у In х < х In у,
-J-ln.x:<-i-lny.
Рассмотрим вспомогательную функцию
/(*)—1-1п* (8)
и выясним, в каком промежутке она будет возрастать. Имеем
Понятно, что 1 — In лг > 0 при 0 •<*<> и 1 —In л: <0 при х^> е. Поэтому функция (8) возрастает на] 0; е] и убывает на [е; + оо[. Иными словами, если 0 <Г jc < у •< е, то 11
— 1пл:< — Inу, х*<ух\ если же <?<х<у,
1
то — lnx>> — In у, х* > у*. В' частности, (У2)у*<(УзУ*, но <?«>«*, 100101 > 101100,
107ПЗ >H31Q7, 19742ooi > 20011974.
Заметим, что мы не получили исчерпывающего решения поставленной выше вспомогательной функциональной задачиз при (Ххсе, у>е эта задача не решена. Однако и неполное решение вспомогательной задачи оказывается достаточным для получения ответа на все поставленные выше «исходные» вопросы, касающиеся сравнения чисел.
Неравенства с несколькими переменными. Рассмотрим задачу:
6. 	Выяснить, что больше при 0 < р< q;
(р +sq)6 или 32 (р6 + q6).
Решение. Нам предстоит сравнить с числом 1 дробь
(р 4- Ф*


Рассмотрим на [0; q] вспомогательную фуш- цию
ftx\— 1 <* + ?>'
1W 32 *• + ?• ’
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [0; q\. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби). После упрощений получим:
/'(■*) -i- приоос,.
В силу теоремы 1 функция / (х) возрастает на отрезке [0; q\. Поэтому при 0< p<jq / {рХ </(?). т. е.
(Р + ч)*
<1,
32 (/>• + ?•)
(р + q)* < 32 (р6 + q6) при 0 < р < q. (А)1
При решении последней задачи мы встретились с полезным методическим приемом: если нужно доказать неравенство, в котором участвуют несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в нашем примере это была буква р) считать переменной (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменили буквой х), а значения остальных букв (в нашем случае значение буквы q) считать фикси-1 рованными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.
7. 	Проверить, справедливо ли при любых положительных а, Ь, с неравенство
а3 + Ь3 -(- с3 — ЗаЬс >0. (9)
Решение. Пусть 0 < а Ь с. Рассмотрим функцию
/ (jc) = Xs -f b3 + с3 — ЗхЬс.
При 0<х<Ь имеем
/'(.*)=■ Зх2 — ЗЪс < 0.
Отсюда видно (см. теорему 1), что f (х) убывает на [0; Ь\. Поэтому при 0имеем /(л)>/(6), т. е. мы получили неравенство
а3 + Ь* + съ — 3 abc > 2 Ъ3 + с3 — 3 ЬЧ. (10)
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию
<p(jc) = 2л:3 4с3 — Зх2с.
При 0 имеем:
<р' (х) = 6х2 — б хс <С 0. Следовательно, <р(лг) убывает на [0; с], т. е. при 0<6<с, значит,
2Ь3 + с3-ЗЬ2с>0. (11)
1 Заметим, что неравенство (А) следует также из «выпуклости вниз» графика y=f{x) на [0; q], и учащиеся, знакомые с условием выпуклости, располагают другим способом для доказательства этого неравенства (Подробнее см. ь [!])•
Из (10) и (И) следует (9).
Примечание. Обратим внимание на то, что из (9) следует: при любом выборе положительных чисел х, у, z
I 3„
— (X + у + г) > У хуг.
Для доказательства достаточно заметить, что можно считать 0 < х ^ у ^ z и что можно подобрать числа а, Ъ, с так, чтобы а3 = х, Ь3 = у, с3 = г; затем привлекаем (9).
Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 22. Пусть функция f(x) непрерывна на] а\ Ь \и пусть имеется такая точка с из] а; Ь[, что f'{xX0 на]а\ с[ и f'(x)^>Q на]с; Ь [. Тогда при любом х из] а; Ь [справедливо неравенство
/(•*)>/(<?), причем равенство имеет место лишь при х = с.
8. 	Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
^5 + (1-^)5>^-. (12)
Решение. Выясним, где функция f(x) = x5 + (\-x)5 возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную
f’(x) —5х4 — 5(1 — х)4 =
= 5(jc2 + (1 — х)2) (2х — 1).
Отсюда видно, что /'(х)<0 на] — оо; ~ [ и /'(•*) >0 на ] ; + со [. Следователь¬
но, в силу теоремы 2 /(х)>/(4~)’ т* е' справедливо (12), причем равенство имеет место
лишь при х ■■
9. Пусть a, by р, q числа и
4-+4—1-
положите льные
(13)
Р • ч
Проверить справедливость неравенства
ab < -i- аР + -i- Ьч.
(14)
Решение. Неравенство (14) равносильно такому:
2 Формулировка (и доказательство) аналогичного
предложения—при условии, что /'(*)> 0 на] а; с [и
/'.(*) <0 на]с; b[—-может быть предложена учащим¬
ся в качестве упражнения.


т. е.
JL др-i ь-i + _1_ $*-i а-1 > 1. (15)
р ч v
Рассмотрим на] 0; + со [вспомогательную функцию
f \х) = -у jc р-1^-1 + -i- (16)
и выясним, где она возрастает, а где убывает.
/' (х) = L^-2^-i - — b*->x-2.
Р Я.
В силу (13) имеем (р — \)/р = \/q, и поэтому /' (х) = (*/> _ bq)/(qbx2).
Отсюда имеем, что f'(x)<C0 при С)<^x<Cbqfp и f'(x)^>0 при x^>bqlp. Поэтому функция f (х) на] 0; bq!p\ убывает, а на [bqlp; + оо[ возрастает. Следовательно, на| 0; +оо[ функция f (х) принимает свое наименьшее значение при х = bqlp. Поэтому
f{a)>f(bqtp\ (17)
причем равенство возможно лишь при a = bqip, т. е. при ар = bq.
Учитывая (13), нетрудно подсчитать, что f (bqfp) = 1, следовательно, справедливо неравенство (15), а значит, и (14).
Доказательство неравенства К о- ш и. Как известно, французский математик
О. 	Коши установил справедливость следующей теоремы.
Среднее геометрическое нескольких неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического; равенство этих двух величин возможно только тогда, когда все данные числа равны между собой.
Иными словами, если х1^09 х2^0,... ..., л:Л>0, то
п I
j/"х^х29 •. • хп (Х\ “|~ х2 • • • “f* ХПУ9 (18)
причем равенство в (18) имеет место только тогда, когда Х\ = х2 = ... = хп. Доказательство, данное Коши, основано на очень остроумном, но весьма частном приеме (оно приведено, например, в «Задачнике по алгебре» В. А. Кречмара. М., Физматгиз, 1961, с. 346).
Полагая хг = anv х2 = а",..хп = апп (а{^>0, а? > 0,..., ап 0), можно теорему Коши сформулировать так:
Пусть аг^0, л2>0,..аЛ>0. Тогда а&... аЛ<(а” + +. ..4- (19)
причем равенство имеет место только тогда, когда
а, = а2 =... = а„. (20)
Докажем это утверждение, используя теорему 1.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что 0 < аг -< а2 ■< • • • ап
^ ... ^ ^ Од.
Рассмотрим выражение
//(Д|, #2, •••, ап) — = паха2... ап — а" — а” —..апп. (21)
Пусть k — какой-либо номер, 1 < k -< п — 1, и пусть aft<a*+i. Рассмотрим на [ак; а*+х] функцию
/ (^) “ ^ (*^1 • • • X, • • • , йд) “Я
ft раз
*» ... ап — kxn — ank+x —... — а% (22)
f (х) = nk(xb-xat,+1-.. а„ — агл~1)>0 при < X Д^+1-
Следовательно, f (х) на [ak\ a*+i] возрастает и поэтому
/(я*Х/(я*+1), т. е. при a*<a*+i
*'1 an)<^
ft раз
<^// (flft+b flft+b»« « , flft+l, #ft+2>* • •, #„). (23)
ft+l раз
Кроме того, очевидно, что при ак = 1
Н (Д^, Q^,. • •» afty я„) =
ft раз
^ ^-/г + Ь* • •> ^^+1» ^ft+2»» • •» (24)
ft+l раз
Полагая в (23) и (24) £«1, 2,..., /г — 1, получим последовательно:
Н а2у я3, а^9..., ап—\, лд) ^
^(^2> ^2» ^3» ^4** • •> Ь Яп)<
П (а3, &3, Д4,. •., ^ • • •
• • • ^ П(а,,-ь, • •, ^
• •» > ^л) ===
т. е. #(аь а2, «п) С 0, (25)
причем если не все числа а\, а2, ..., ап-^ь равны между собой, то в (25) имеет место-— как видно из (23) и (24) «строгое неравенство »


Но тем самым доказано, что справедливо (19), причем равенство возможно лишь при выполнении (20).
Доказательство неравенств Гюйгенса. Для нахождения приближенных значений числа л геометры со времен Архимеда до середины XVII в. пользовались исключительно неравенствами
Рп<С<Рп, (26)
где С — длина окружности, рп и Рп — периметры правильных я-угольников, соответственно вписанного в эту окружность и описанного около нее.
В 1654 г. 25-летний голландский математик и физик Христиан Гюйгенс в трактате «О найденной величине круга» (см. [3], с. 105—168) указал более точные границы, между которыми заключена длина окружности, и тем самым дал более совершенный способ для нахождения приближений числа я. Вот эти неравенства Гюйгенса:
Р2п - -т'Рп< С < -§- Л„ + 4“ рчю (27)
Рчп + 4" (Pin ~ Рп) < с < Pin +
+ —(Р2п — Рп) 2р™+1р„ * (28>
Гюйгенс показывает, что при одном и том же п неравенства (28) позволяют найти примерно втрое большее число верных десятичных знаков числа л, чем можно получить с помощью неравенств (26). Доказательство неравенств (27) и (28) было проведено Гюйгенсом с помощью тонких и остроумных чисто геометрических рассуждений (которые весьма интересны и сами по себе). Аппарат дифференциального исчисления, разработанный Ньютоном, Лейбницем и другими математиками еще при жизни Гюйгенса, позволяет получить во много раз более короткие и более простые доказательства неравенств (27) и (28). Ограничимся рассмотрением неравенства (28) (доказательство неравенств (27) проще — см. упражнение 12).
Пусть R — радиус окружности. Тогда
С = 2тс/?, рп = 2nR sin ,
р2п =4/t/?sin^r;
неравенства (28) принимают вид (если положить ради краткости а = 7и/(2#)):
п . , 2 sin а — sin 2a ,
2 sin a ^ g < 2a < 2 sin a -f
, 2 sin а — sin 2ce 8 sin a -f sin 2a
• 3 * 4 sin a -j- 3sin 2a*
Или после упрощений:
sina(l + l^Eil)<a<
^ f i i I—COSa 4 + cos a \ /ППЧ
<sma^l + _ 24l3cosg j. (29)
Мы докажем, что неравенства (29) верны для всех чисел а из J0; (а не только для
чисел а вида тс/(2п)). После элементарных преобразований видим, что нам предстоит доказать следующие два неравенства ^при 0<
sin a (4 — cos a) 3a, (30)
sin a (10 + 6 cos a — cos2 a) >
> 3a (2 + 3 cos a). (31)
Доказательство неравенства (30). Рассмотрим на |Ъ; функцию
/ (х) = sin х (4 — cos х) — Зх. (32)
Найдем f'(x) на ]0;
/' (д:) = cos х (4 — cos jc) + sin2 x — 3 =
= — 2 cos2 x + 4 cos x — 2 =
= — 2 (cos jc — l)2 <0. Следовательно, /(jc) убывает на Jo; , так
что при 0<a<-|- имеем /(a)</(0), т. e.
sina (4 — cos a) — 3a <0. (33|
Доказательство неравенства (31). Рассмотрим на |\); -у-j функцию
F (х) = sin х (10 + 6 cos х — cos2 л:) —
— 3 jc (2 + 3cos x).
Если покажем, что F (х) на |0; -у-] возрастает, то получим, в частности, F(a)>F(0) при 0 <[ a <[ -у-, т. е. (31) будет доказано.
Вычислим F'(x) и выясним, будет ли F'(x)^>0 на ]0; .
F' (а:) = cos х (10 -f 6 cos х — cos2 л:)
+ sin х (— 6 sin х -f- 2 sin x cos x) —
— 3 (2 + 3 cos x) + 9 x sin x.
После элементарных упрощений находим (см. (32))
F' (jc) = — 3/(л:) sin л:, где / (л) определяется формулой (32). Так как /(jc)<0 при 0<jc<-|- (см. (33)), то
51


(x) > 0 крн 0 < x < -5-, т. e. F(x) возрастает на |0; -tj-J. Поэтому F (a) F (0) при
0<[a <С~7г- Но это означает, что неравенство (31) справедливо.
Упражнения
1. Если cud — положительные кисла и c<dd, то, очевидно,
с* + 1 ^ rfs + Г
Верно ли для указанных cud неравенство
Указание. Следует рассмотреть f(х) = = х 4- -тх' 1 и показать, что /'(.дс)>»0 при
X -f- I
2. Если числа а и р заключены между 0 и и а<[Р, то, очевидно, sina-<sinp,
tg«<tgp.
Проверъте справедливость неравенств для указанных а и р.*
а)
<
б)
>
sin a ^ sinp ’ v/ tga в) a — tg a > P — tg p.
Указание. Рассмотреть функции
X
tgp
sin X
tgx
1
X?
УК&В&ШЖ&. /Пользуясь производной, йока- жите, что функция ех — ех монотонно убывает на ] — 00; 1 [ и возрастает на ]1; +оо[. Следовательно, неравенство справедливо для всех х =f= 1.
6. Известно, что при 0<а<-^- справедливо неравенство sma<a. Докажите, что для тех же а верно соотношение
]
sina>a g-a3.
Указание. Рассмотреть функцию / (х) = = sin х — х 4- -g- хй и показать, что она на
J 0; £ монотонно возрастает. Воспользовать¬
ся тем, что из /' (0) — 0 и /,г(х)^>0 на
]0; ~г[ слеДУет- чт0 и /,(л)>° на ]0; -|-[ •
7. а) Справедливо ли двойное неравенство
<
а* — о + 1 aJ + а + 1
<3
и х — tg х и показать, что их производные сохраняют знак на Jo,
3. Верно ли, что при всяком действительном х из интервала j — 1; 1[ и любом т >• 1 справедливо соотношение
(1 4- х)т >• 1 + mxt
Указание. Рассмотреть функцию /(.*) = = (1 + х)т — 1 — тх и с помощью ее производной выяснить, будет ли f(x) монотонной на каждом из интервалов ] — 1; 0[ и ]0; 1[.
4. Верно ли, что для каждого х из интервала ] 0; 1 [ справедливо неравенство
3
для всех чисел а из [— 1; 11?
б) Верно ли оно для всех действительных •чисел?
Указание, а) Вычислить производную функции / (х) = (х2 — х + \)((х2 4- х + 1) и показать, что она сохраняет знак на ] — 1: 1 [.
б) .Показать, что на ] 1; 4- оо [ функция / (х) монотонно возрастает и меньше, чем 1. Показать, что f (х) на ] — 00; — 1 [ монотонно возрастает и меньше 3, но больше, чем 1.
8. Пусть а, Ь, т — какие-либо положительные числа, т^1. Проверьте справедливость неравенства
(а + Ь \т ^ ат + Ьт ^ —
(Ц±)
2 ) 2
Указание. Пусть 0<а<Ъ. Рассмотреть функцию
f(x)=’(x + b)m/(xm + bm)
и выяснить, будет ли она на [0; Ь\ монотонно возрастать.
9. Проверьте справедливость неравенства
я+1
Указание. Рассмотреть производную функ- 3 _________ 1
ции f (х) = Vl — х— 14- — л:при0<л:<1.
5. Для каких действительных х справедливо неравенство
е*>ехЗ
Vabn<
а + nb
п+1
при а^>0, 0, а=£Ь; п — натуральное
число.
Указание. Один из возможных подходов при а<С_Ь: рассмотреть производную функции
■ /w-oWY*"»


Показать, что /'(•*)!> О на ]л; £[, поэтому /(^)>/(л) == 1. При решение анало¬
гично.
10. Проверыпе справедливость неравенства
л4 + Ь4^ агЬ + аЬг.
Указание. Можно ограничиться случаем а <6. Рассмотреть на ] — оо; Ь [ функцию f (х) = х4 Ь4 — х3Ь — хЬг и ее производную f'(x).
11. Проверьте справедливость неравенства (для любых действительных яисел а, Ь, с).
(а + Ь + cf < 3 (а2 + ^2 + С2) #
Указание. Без потери общности можно считать, что а < b < с. Рассмотреть на ] — оо; b [ функцию
/(*) = (* + Ь + с)2 - 3(х> + Р + с*).
12. Проверьте справедливость неравенств (27).
Указание. Задача сводится к проверке неравенства (30) и неравенства 2 sin а + tg а >3а
при 0<а<-у.
Эксперимент
М. Б. ВОЛОВИЧ
(Москва)
К ВОПРОСУ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ В КУРСЕ V КЛАССА
В данной статье показаны результаты эксперимента, целью которого было доказательство возможности и целесообразности углубленного изучения вопросов, связанных с перемещениями, в курсе математики V класса. Эксперимент проводился в школе № 1 Москвы, а также в базовых школах НИИ ШОТСО АПН СССР. Кроме того, автор в течение четырех лет (с 1969 по 1072 г.) докладывал содержание изложенного в статье материала учителям, которые проходили переподготовку в Московском областном институте усовершенствования учителей. Так что при написании статьи учтен не только лич-
Рассмотреть функцию
<р(х) = 2 sin х + tg х — Зх и показать, что
?'(*) = 2 cos * + - 3 > 0
при 0<х<
Для этой цели воспользоваться тем, что среднее арифметическое трех положительных чисел cos х, cos х и 1 /cos2 х (0 < cos х <С 1) больше их среднего геометрического.
Литература
1. Виленкин Н. Шварцбурд С. И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1973.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1. М., «Наука», 1968.
3. Гюйгенс X. О найденной величине круга. Сборник «О квадратуре круга». Составитель Ф. Ридио. М.—-Л., ГТТИ, 1936.
ный опыт, но и многочисленные замечания, пожелания, предложения использующих этот материал учителей.
1. 	Известно, что первоначальное знакомство с понятиями имеет огромную, подчас решающую роль для успешного усвоения материала. Известно также, что программа V класса предусматривает знакомство с перемещениями фигур, а в VI классе вводится новая точка зрения: рассматривается отображение всей плоскости на ту же плоскость. Считается, что понятие отображения плоскости на себя непосильно для пятиклассников. Между тем существуют достаточно простые методические приемы, позволяющие уже при первоначальном знакомстве с параллельным переносом, осевой симметрией, поворотом оперировать с отображением плоскости на себя. Вот как, к примеру, может быть организовано знакомство с понятием параллельного переноса.
На разграфленной на клетки части плоскости (удобнее всего, чтобы клетки были нанесены на часть классной доски) предлагается выполнить 4—5 заданий следующего типа.
Учитель отмечает точку А и точку Аи указывая при этом, что А—первоначальное, А\—
53


новое положение точки. Формулируется правило, по которому отыскивается новое положение точки. Например, новое положение точки А получается, если переместиться на две клетки вправо и одну вверх. Подчеркивается, что по тому же правилу может быть найдено положение любой другой точки плоскости. Предлагается отыскать новые положения точек В, С, D и т. д.
Следующая группа заданий связана с отысканием нового положения геометрических фигур. В первых заданиях этой группы указывается несколько точек Л, В, ..., М, К, принадлежащих одной прямой. После того как новые положения точек найдены, проводится прямая AM и отыскивается ее новое положение. (Новое положение каждой точки находится по принятому правилу.) При проведении прямой А\М\ не следует ограничиваться уже построенными точками, необходимо найти новое положение точек прямой AM, ранее не отмеченных. При этом учащиеся убеждаются в том, что любая точка прямой AM переходит в соответствующую точку прямой А\М\.
Аналогично проводится работа по нахождению нового положения отрезка, луча, угла и т. д.
В ходе выполнения описанных выше заданий учащиеся могут «открыть», что отрезки АА\, ВВ\, СС\ и т. д. лежат на параллельных прямых, имеют одну и ту же длину, одно и то же направление. Чтобы помочь им в этом, учитель может предложить, например, провести прямые АА\, ВВ\ и т. д. и установить с помощью угольника и линейки, какие из них параллельны.
2. 	Описанная выше работа должна предшествовать введению понятия параллельного переноса, подготавливать его. Однако это понятие в соответствии с программой должно быть введено как перемещение фигуры.
Опишем модель, позволяющую, отыскивая новое положение фигуры как единого объекта, не упустить из виду возможность отыскания нового положения произвольной точки плоскости, т. е. подводящую к понятию параллельного переноса, как отображения плоскости на себя.
Будем представлять себе плоскость в виде двух наложенных один на другой листов (пусть, например, верхний прозрачен). На обоих листах «отпечатана» одна и та же фигура. Переместив прозрачный лист в новое положение, мы увидим как первоначальное положение фигуры (нанесенное на нижнем листе), так и новое ее положение (на прозрачном листе). При этом можно отметить по¬
ложение любой точки плоскости, как принадлежащей данной фигуре, так и не принадлежащей ей, и отыскать новое положение этой точки. Поэтому, оставаясь в рамках перемещения фигур, мы вместе с тем имеем возможность рассматривать любую точку плоскости. Кстати, работая с таблицами для V класса «Параллельный перенос», «Осевая симметрия», «Поворот» (см.: «Математика в школе», 1971, № 5, с. 58—67), полезно систематически пользоваться тем же методическим приемом: рассматривать не только точки изображенных на таблицах фигур, но и произвольные точки плоскости. Наблюдения показывают, что такая работа существенно помогает в дальнейшем: происходит уточнение и углубление изученного, а не переучивание.
3. 	Значение моделирования плоскости двумя наложенными один на другой листами не исчерпывается пропедевтикой точки зрения на перемещение как на отображение плоскости на себя. Покажем некоторые другие возможности использования этой модели.
Известно, что перемещения представляют собой группу преобразований, важнейшим инвариантом которой является конгруэнтность фигур. Разумеется, говорить это пятиклассникам не следует. Однако они должны почувствовать, что рассматриваемые перемещения при всей их несхожести имеют немало общего и прежде всего общим является сохранение конгруэнтности фигур. Добиться этого можно, например, следующим образом.
Сразу после того, как учащиеся освоятся с отысканием по заданному правилу нового положения любой точки на «клетчатой» плоскости, учитель чертит на клетчатом фоне произвольную фигуру и предлагает с помощью прозрачного листа проследить, куда переместится начерченная фигура. С этой целью фигура перечерчивается на прозрачный лист, а затем вся плоскость (лист) сдвигается по принятому правилу. После этого полезно взять несколько точек фигуры в первоначальном положении, отыскать точки, в которые их переведет принятое правило (последние-должны совпадать с соответствующими точками на прозрачном листе).
Введение «второго слоя» плоскости позволяет существенно разнообразить правила, по которым отыскиваются новые положения точек. Например, нетрудно организовать работу по следующему правилу. На плоскости проводится прямая /, которая «отпечатывается» вместе с отмеченной на этой прямой точкой О на прозрачном слое. Ученикам разъясняется, что прозрачный слой может не толь¬
54


ко скользить по второму слою, его можно перевернуть на другую сторону и снова наложить на нижний слой. При этом договариваются накладывать его так, чтобы прямая I и точка О оставались на месте. Другими словами, учащимся под видом еще одного правила дается представление о симметрии относительно прямой. Можно, конечно, уже здесь ввести соответствующий термин, но психологически детям легче освоиться еще с одним правилом отыскания нового положения точек, чем с новым (и уже потому пугающим) видом перемещения. Есть еще один веский довод в пользу того, чтобы учащиеся освоились вначале с описанным выше правилом отыскания симметричных относительно оси точек и только после этого узнали, что они научились выполнять осевую симметрию. Дело в том, что авторы учебника V класса стремятся как можно скорее перейти от наглядного представления о симметрии (описанного выше поворота плоскости или, как это предлагается в учебнике, перегибания плоскости по прямой /) к построению симметричных точек с помощью инструментов. Признавая правомочность такого стремления, мы вместе с тем считаем необходимым подчеркнуть, что и первоначальное знакомство с рассматриваемым понятием чрезвычайно полезно. Так, описанная работа с «двуслойной плоскостью» развивает геометрическое видение, подготавливает построение симметричных точек и фигур на глаз, позволяет учащимся открыть свойства симметричных относительно оси точек.
Следует отметить, что листы прозрачного материала (калька, полиэтилен и т. д.) удобно использовать лишь при индивидуальной работе. Для демонстрации осевой симметрии и других перемещений целесообразно пользоваться специальными приспособлениями, позволяющими, во-первых, познакомить учащихся с новым перемещением, во-вторых, коллективно обсудить вопрос, куда при рассматриваемом перемещении переходят указанные точки. Одно из таких приспособлений описано в № 6 журнала «Математика в школе» за 1973 г. (на 3-й с. обложки).
4. 	Остановимся подробнее на том, как описанная выше модель осевой симметрии может обеспечить знакомство со свойствами симметричных относительно оси точек. Кстати, именно эти свойства позволяют решить многие задачи на построение, составляющие основное содержание курса геометрии V класса. /
Работа может быть начата уже при первоначальном знакомстве с понятием осевой симметрии. Учащимся предлагается взять тоы&м О ш Мф принадлежащие прямой /, про¬
извольную точку А вне ее и построить отрезки, симметричные отрезкам ОА и МА относительно /. Затем следует предложить соединить точку А с симметричной ей точкой В и перечислить имеющиеся на чертеже симметричные (а значит, конгруэнтные) отрезки; симметричные лучи; симметричные (значит, конгруэнтные) углы.
Следует решить несколько аналогичных задач, по-разному располагая и обозначая ось симметрии и точки. Но каждый раз следует подчеркивать (например, выписывая), что конгруэнтными оказались все отрезки, соединяющие симметричные точки с точками оси, смежные углы, образованные осью симметрии и прямой, на которой лежат симметричные точки. Цель таких задач — обратить внимание учащихся на интересующие нас соотношения.
Рассмотрим следующую группу задач. Как и в приведенном выше случае, предлагается построить точку В, симметричную некоторой точке А относительно прямой I, но построение предлагается осуществить на глаз. Затем на прямой / учащиеся должны выбрать какую- нибудь точку О и установить, может ли случиться, что \АО\Ф\ОВ\. Если кто-либо из учеников считает, что у него в тетради \АО\ф\ОВ\, учитель может предложить проверить правильность вывода с помощью прозрачного материала. Если же ученик уверен, что указанные расстояния обязательно одинаковы, он должен доказать это. Учитывая, что учащиеся еще только знакомятся с доказательствами, учителю необходимо дать образцы рассуждений. (Если выполним осевую симметрию, точка А должна перейти в В, а точка О — в себя. Поэтому отрезки АО и ОВ симметричны, значит, они конгруэнтны.) Лишь после нескольких аналогичных доказательств учащиеся поймут, что такое рассуждение относится к любой точке оси. И тогда целесообразно сообщить, как это сделано в учебнике, что все точки оси симметрии одинаково удалены от двух точек, симметричных относительно этой оси. Поэтому, например, из равенства |С4| = |СВ| следует, что точка С принадлежит оси симметрии точек А и В.
Аналогично изучается свойство перпендикулярности оси симметрии двух точек и прямой, на которой лежат симметричные точки. Лишь доказав на нескольких чертежах равенство смежных углов, учащиеся поймут, что рассуждение справедливо для любой пары симметричных точек. Иногда учащиеся видят конгруэнтные смежные углы, но не могут сделать вывод о перпендикулярности соответст¬
55


вующих прямых. В этом случае полезно предложить найти величину одного из смежных углов, не используя транспортир.
Свойства симметричных относительно оси точек должны с самого начала восприниматься учащимися как необходимые. Например, установив, что расстояния от некоторой точки прямой / до точек А и В неодинаковы, ученики должны сделать вывод, что точки А и В несимметричны относительно прямой /. Вместе с тем учащиеся должны понимать, что точки, которые лежат на прямой, перпендикулярной прямой I, или точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от точки Об h могут быть как симметричны относительно прямой /, так и не симметричны относительно этой прямой. Полезно предложить учащимся построить точки, обладающие одним из этих свойств и симметричные относительно оси; обладающие одним из свойств и несимметричные. Здесь же целесообразно рассмотреть не одно условие, а два: точки расположены на одном перпендикуляре к оси и на одинаковом расстоянии от основания перпендикуляра; точки находятся на одинаковом расстоянии от одной точки оси и на одинаковом расстоянии от другой точки оси.
Программа V класса не предусматривает доказательства того, что точки, обладающие перечисленными выше группами свойств, симметричны. Достаточно, чтобы каждый ученик с помощью модели неоднократно убедился, что невозможно построить две различные точки таким образом, чтобы они обладали одной из перечисленных выше пар свойств и при этом оказались несимметричными. После этого необходимо выписать указанные пары свойств и предложить в дальнейшем устанавливать симметричность двух точек относительно прямой не только с помощью перегибания чертежа по этой прямой, но и с помощью каждой из этих пар свойств.
.Итак, в результате описанной работы учащиеся должны усвоить, что из симметричности точек А и В относительно прямой I обязательно следует, что 1) при перегибании плоскости по I точки А и В совместятся; 2) АВА-1\ 3) расстояние от какой угодно точки М прямой I до точек А и В одинаково; \МА\ = \МВ\.
Далее учащиеся должны усвоить, что установить симметричность точек относительно оси можно одним из трех способов: 1) убедившись, что точки совпадают при перегибании листа по оси; 2) установив, что точки лежат на перпендикуляре к оси и на одинаковом расстоянии от основания перпендикуляра; 3) установив, что расстояния от одной
из взятых на оси точек до двух данных точек одинаковы и расстояния от какой-либо другой точки оси до тех же двух точек одинаковы. Последнее свойство особенно важно для построения перпендикулярных прямых.
5. 	Приведем задания, выполняя которые учащиеся могут открыть способы построения перпендикулярных прямых. Работа ведется во время закрепления рассмотренных выше свойств и способов построения симметричных относительно оси точек.
1) Отметьте точки Л и В. Постройте с помощью циркуля одну точку, принадлежащую оси симметрии точек Л и В.
2) Постройте еще две точки, принадлежащие оси симметрии точек А и В.
3) Постройте ось симметрии точек Л и В. На основании чего можно утверждать, что точки А и В симметричны относительно построенной прямой?
. 4) Постройте ось симетрии отрезка А В. Какие выводы можно сделать относительно отрезка АВ и построенной прямой /? (Прямая I перпендикулярна прямой АВ; расстояния от любой точки прямой I до точек Л и В одинаковы; в частности, одинаковы расстояния от точки, в которой / пересекает прямую АВ, до точек Л и В, т. е. / проходит через середину отрезка АВ.)
5) На прямой а возьмите точку Л и постройте отрезок МК так, чтобы точка Л была его серединой. Постройте прямую АВ, перпендикулярную прямой МК.
6) Через точку К на прямой / проведите прямую, перпендикулярную прямой I.
Разумеется, последняя задача может оказаться посильной учащимся и без задачи 5. Однако, если она оказалась трудной для отдельных учащихся, надо вначале разобрать задачу 5.
7) Постройте точку В, симметричную точке Л относительно прямой I, используя один только циркуль. Какие выводы можно сделать относительно прямых АВ и /?
Проверяя правильность решения задачи 7, желательно добиться рассуждений, аналогичных следующим.
Нам не известна точка, симметричная точке Л относительно I, но зато известно, что нужная нам точка находится на таком же расстоянии от произвольной точки М оси, что и точка Л. Возьмем произвольную точку М оси, измерим расстояние \МА\ и построим дугу с центром в точке М и радиусом МЛ. Искомая точка лежит где-то на этой дуге.
Возьмем еще одну точку на оси и снова построим дугу, на которой должна лежать искомая точка. Точка, в которой пересекаются


дуги, и есть точка В: она находится на таком же расстоянии от двух точек оси, что и точка А.
Задача 7 позволяет найти способ построения перпендикуляра к прямой, проходящего через точку вне этой прямой. Однако этот способ несколько отличается от описанного в учебнике. Если же учитель захочет, чтобы учащиеся открыли именно описанный в учеб-. нике способ построения перпендикулярных прямых, он предварительно предложит найти такие две принадлежащие данной прямой точки М и N, для которых данная точка А была бы точкой оси симметрии. Ясно, что точка А должна находиться на одинаковом расстоянии от искомых точек М и N. Значит, достаточно произвольным радиусом с центром в точке А провести дугу, пересекающую данную прямую. После этого можно построить еще одну точку, принадлежащую оси симметрии построенных точек М и N, а значит, построить и перпендикуляр к прямой MN.
Нетрудно подобрать такие задания, которые подготавливают учащихся к построению биссектрисы угла.' Например, можно предложить построить точку В, симметричную точке А, лежащую на одной из сторон угла, относительно непроведенной биссектрисы, а затем точку, принадлежащую оси симметрии точек А и В (т. е. точку, принадлежащую биссектрисе угла). Правда, при таком подходе учащиеся чаще всего берут произвольный радиус и строят точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, в то время как учебник рекомендует построение дуги, которая проходит через вершину угла. Но думается, нет смысла доказывать, что построение, основанное на понимании математической сущности каждой операции, гораздо предпочтительнее.
6. 	Поворот удобно моделировать с помощью все той же двуслойной плоскости. Достаточно закрепить подвижный лист в центре поворота и повернуть его в указанном направлении на указанный угол. Например, если О — центр поворота, на неподвижном слое плоскости построен угол поворота ЛОЛь указано направление от луча О А к лучу ОА\, а на подвижном прозрачном слое прочерчен отпечаток луча ОА, то для отыскания нового положения фигуры F достаточно повернуть лист в указанном направлении, т. е. таким образом, чтобы отпечаток луча ОА совместился с лучом ОА\. При этом каждая точка В фигуры F переходит в точку В\, которая лежит на пересечении луча ОВ\, являющемся результатом поворота луча ОВ и окружности с центром О и радиусом ОВ. Усвоив это, нетрудно отыски¬
вать новое положение характеристических точек фигур и по ним осуществлять поворот фигур. Однако понимания сути дела недостаточно, чтобы быстро на глаз осуществлять поворот: трудно оценить угол и соотнести каждую точку с дугой окружности определенного радиуса. Задача упрощается, если выполнять поворот в полярной системе координат, как это сделано на таблицах V класса.
Желательно, чтобы учащиеся подготовили в своих тетрадях полярную систему координат (провели лучи из некоторой точки через каждые 10°, построили концентрические окружности через каждый сантиметр), а затем закрепили в центре поворота прозрачный лист и выполнили указанный поворот заранее начерченной в системе координат фигуры.
Использование одной и той же модели плоскости для знакомства с рассмотренными перемещениями способствует усвоению каждого из них, исключает появление нередко возникающего у учащихся недоумения: фигура
вместе со всеми точками плоскости перемещается указанным в данной задаче образом и вместе с тем остается на месте. Делается очевидным сохранение конгруэнтности фигур: учащиеся имеют дело с одной и той же фигурой, отпечатанной на различных слоях.
7. 	В заключение ответим на вопрос, который обязательно возникает у учителей, же-, лающих воспользоваться перечисленными выше рекомендациями: откуда взять время на их реализацию? Ведь на усвоение всего геометрического материала программа V класса отводит 35 часов.
Действительно, для знакомства с описанными моделями плоскости потребуется на 2—3 урока больше, чем это предусмотрено для первоначального знакомства с параллельным переносом. Однако этот перерасход времени с лихвой компенсируется при знакомстве с задачами на построение.
Важный резерв времени связан с предварительной подготовкой к введению перемещений при изучении геометрического материала IV класса. Остановимся на том, каким образом может быть осуществлена такая пропедевтика.
Важнейшей операцией при выполнении геометрических преобразований в V классе является выделение характеристических точек фигур. Иногда учителю кажется, что выделение концов отрезка, вершин многоугольника и т. п.— операция чрезвычайно простая, и потому не проводят специальной работы, обеспечивающей ее усвоение. В действительности, неумение выделять характеристические точки — одна из причин устойчивых ошибок.
57


Подготавливать учащихся к восприятию перемещений можно начинать с первых уроков математики в IV классе. Например, при знакомстве с обозначением отрезка двумя буквами учащиеся должны усвоить, что для выделения данного отрезка из множества всех других фигур достаточно указать положение его концов. Среди других заданий, с помощью которых организуется усвоение, предлагаются следующие:
1) На рисунке изображены отрезки АВ, ВС, МК, OD, РМУ FC. С помощью копировальной бумаги переснимите на лист наименьшее число точек, чтобы потом можно было начертить указанные отрезки.
2) На доску спроецирован кадр диафильма или диапозитив, на котором среди других фигур имеются отрезки АВ, ВС, МК, CD, FC. Отметьте наименьшее число точек, чтобы потом, когда проектор будет выключен, можно было начертить названные отрезки.
Аналогичные задания могут систематически даваться при знакомстве с обозначением прямых, лучей, углов, ломаных линий, многоугольников и т. д. Для учащихся такие упражнения не больше чем тренировка в обозначении соответствующих фигур. Однако одновременно они, сами того не подозревая, усваивают важнейшее понятие о характеристических точках фигуры. Заметим кстати, что «переснимать» изображение можно не только описанными выше способами, но и с помощью прозрачного материала. В этом случае минимальное число точек отмечается прямо на прозрачном материале.
Возобновить в памяти полученные в IV классе навыки полезно в связи с построением в V классе конгруэнтных фигур. Если же такая работа в IV классе не проводилась, полезно провести ее, выполнив задания, аналогичные описанным выше.
Проблемы и суждения
ОТ РЕДАКЦИИ
В пределах каждого языка программирования каждый знак имеет одно вполне определенное значение; избегается и употребление нескольких разных знаков с одним и тем же значением. Кроме того, соблюдается принцип линейности записи: каждый текст является последовательностью знаков, взятых из вполне определенного алфавита элементарных знаков.
Традиционный язык математических знаков далек от этого идеала. Авторы публикуемой далее работы отмечают, что для обозначения деления мы применяем три знака: двоеточие, наклонную черту и горизонтальную черту. Фигурные скобки в новой учебной литературе употребляются по преимуществу при обозначении множеств, но одиночная фигурная скобка указывает на объединение двух уравнений в «систему», т. е. является по существу знаком логической операции конъюнкции.
Нет оснований думать, что в обозримом будущем реальная практика математических записей, предназначенных не для введения в машину, а для непосредственного восприятия человеком, подчинится какому-либо одному универсальному математическому языку, удовлетворяющему требованиям, предъявляемым к языку программирования. Слишком велики преимущества пользования различными обозначениями в зависимости от их большей наглядности в каждом отдельном случае и временных соглашений, в силу которых уславливаются в определенной обстановке приписывать какому- либо знаку данный смысл, не запрещая придавать ему другой смысл в другой обстановке. Учащиеся подго¬
товлены к такому отношению к знакам, так как при изучении родного языка они уже имели дело с синонимами и омонимами.
Но несомненно, что система обозначений в школьных учебниках должна избегать излишнего разнобоя. Кроме того, очень важно, чтобы учащиеся сознательно относились к выбору системы записи. Их не должны смущать такие вопросы:
«Что здесь обозначает фигурная скобка? В каком смысле она употреблена здесь?»
«Как данную запись, где все действия деления обозначены двоеточием, записать, обозначая деление горизонтальной чертой? Что удобнее? Может ли быть удобнее всего смешанная запись?»
Желательно, чтобы учащиеся познакомились и с идеей строго однозначной и линейной записи, свойственной языкам программирования. Но чрезмерная унификация всех обозначений в школьных учебниках могла бы иметь и отрицательный результат: учащиеся оказались бы неподготовленными к пользованию существующей технической и справочной литературой.
С этими предварительными замечаниями публикуется в дискуссионном порядке статья И. Н. Антипова и JL С. Шварцбурд, которая представляется по своей теме весьма актуальной.
И. Н. АНТИПОВ, Л. С. ШВАРЦБУРД
(Москва)
О СИМВОЛИКЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ С ТОЧКИ ЗРЁНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Средства описаний, которыми пользуются в школьном курсе математики, непрерывно меняются и совершенствуются. Особенно серьезные изменения происходят в последние годы. Нововведения вызывают оживленные
53


обсуждения, и не асегда удается прийти к единому мнению. В таких случаях очень важно обращаться* к прикладной стороне дела.
Многие приложения математики связаны с программированием для ЭВМ. Поэтому целесообразно сопоставить некоторые средства математических описаний, используемые в школе, со средствами описаний в языках программирования, особенно- с теми средствами, которые в процессе формирования языков получили признание и приняты за основу. При этом необходимо учитывать ту роль, которую играют математические знаки, принимать во внимание историю их возникновения и эволюцию (см. А. Н. Колмогоров «Знаки математические», БСЭ, изд. 2-е, т. 17, с. 115—119).
Остановимся подробнее на некоторых конкретных примерах.
1. Употребление символов «,» и «;». Если в записи последовательности аи аь Д3, ..., ап вместо букв подставить целые числа или десятичные дроби, то возникают двусмысленности. В самом деле, как понимать запись 1,2? Это десятичная дробь или последовательность из двух натуральных чисел? Чтобы избежать неопределенностей такого типа, лучше вместо запятой писать точку с запятой. Аналогично в записи координат точек вместо М(х, у) следовало бы писать М(х\ у).
Запятая используется в обозначениях НОД (а, Ь), НОК (я, Ь). В том же смысле запятая употребляется в записи расстояния между точками т(А, В). Кроме того, длину отрезка обозначают так: \АВ |.
При обозначении промежутков, интервалов и т. п. иногда в математической литературе пользуются запятой и точкой с запятой:
(а, 6), (7; оо), (-5, 3; 7, 2).
В записях подобного рода перечисляются однородные элементы или указывается какой-либо список объектов. Здесь хорошо было бы придерживаться единообразия, закрепив для этого какой-нибудь один символ. В программировании для этих целей используется запятая. Хорошо бы и в школьном курсе использовать запятую для аналогичных записей. Но этому пока мешает употребление запятой для отделения целой и дробной частей числа.
В программировании целая часть числа отделяется от дробной символом «.» (точка). Кр$ме программирования точка используется для отделения целой и дробной частей в разных таблицах, в математической литературе, во многих зарубежных учебных пособиях и в быту (чеки, билеты, цены товаров и т. п.). Если бы в школьном курсе стали употреблять точку в указанных случаях, то можно было бы сохранить желаемое единообразие.
2. Употребление скобок. В арифметических выражениях используют скобки разного вида: круглые ( ),
квадратные [ 1, фигурные { }. Разнообразие скобок
служит наглядности изображения громоздких выражений. Для регулирования порядка действий вполне достаточно лишь одного вида скобок, например круглых. Остальные скобки могут быть высвобождены для других целей.
Отметим, что в учебниках математики IV и V классов для записи выражений употребляются лишь круглые скобки. Кстати, в этих учебниках нет громоздких выражений.
Выражение
{[7* (2+4а) • (7&-2)+с]: (3+6)} -2 записано с помощью трех видов скобок. Запишем его с помощью лишь одних круглых скобок
((7.(2+4а).(76-2)+с) : (3+Ь))-г.
Замена не изменила смысла. Произошла, правда, ка- кая-то потеря наглядности. С другой стороны, писать скобки одного сорта легче, чем трех сортов (более того, круглые скобки писать проше всего» а фигурные труд¬
нее), облегчается подсчет скобок, который при наличии разных вйдов скобок сложен.
Во многих алгоритмических языках для регулирования порядка действий используются только круглые скобки.
Если в школьном курсе математики пользоваться при записи выражений лишь круглыми скобками, то учащиеся смогут себе представить структуру выражения, отвлекаясь от конкретных чисел, переменных, знаков действий и обращая внимание на одни лишь скобки* Так, приведенное выше выражение можно схематически изобразить в виде следующей скобочной записи:
((( )(')>( ))•
Наглядности в преподавании можно достичь, употребляя круглые скобки возрастающих размеров:
((с )( ■))( >)
Вряд ли целесообразно запрещать в школе пользоваться скобками разных видов в одном выражении, хотя и следует избегать излишеств. Вообще говоря, квадратные и фигурные скобки вполне можно было бы исключить из записи выражений в арифметике и алгебре.
Общий подсчет скобок и учет баланса открывающих и закрывающих скобок помогает лучше понять структуру выражения и выявить ошибки. Навыки контроля за балансом скобок необходимы в широкой практике программирования.
Весьма разнообразно использование в школьном курсе квадратных и фигурных скобок.
Квадратные скобки применяются для обозначения:
а) функции «целая часть числа» у = [х]\
б) отрезков и полуинтервалов [a, b], [а, b), (а, Ь]\
в) совокупности корней уравнения Ух = а,
[х = Ь.
Фигурные скобки применяются для обозначения:
г) функции «дробная часть числа» у—{х}\
д) функции, по-разному заданной на разных отрезках
( 2х при х < 3,
у = < 5 при х = 3,
(4 — 2,5л: при х > 3;
е) систем уравнений и систем неравенств Зл:—4 у = 5, j Зх — 7у < 6,
2л: — Зу = 4, 1 2л: + у >3;
ж) множеств М—{а, Ьу с}.
Во многих случаях встречаются парные скобки (открывающая и закрывающая). Это естественно и логически оправдано. По-видимому, появление скобок и разумное их использование связано с необходимостью «окаймления» какого-то содержимого внутри скобок для обращения с ним как с нечто целым, единым. С этих позиций обращает на себя внимание нарушение указанного смысла употребления скобок при обозначении систем уравнений и неравенств, совокупности корней уравнения, записи типа д). В них употребляется лишь одна открывающая скобка.
В записи полуинтервалов используются разнородные открывающие и закрывающие скобки. Отметим, что в последние годы в учебной литературе (вслед за современной математической литературой) появились вывернутые квадратные скобки для обозначения полуинтервалов и интервалов. Например, пишут:
[а, Ь[ вместо [а, Ь)
\а% Ь\ вместо (я, Ь]
]а, Ь[ вместо (а, Ь)
Эти записи явно не согласуются с идеями «окаймления», замкнутости и с целями подведения баланса ско¬


бочных выражений. Кроме того, едва ли может легко восприниматься запись, в которой будут размещены в одну строку указанные выше полуинтервалы и интервалы, а именно:
[а, Ь[; ]а, Ь]\ ]а, Ь[
или
]а, Ь[\ ]а, Ь[; [а, Ь[
Посмотрим теперь, какой вид примет запись, если вместо а и b подставить числа 3,2 и 5,6 (при этом концы интервалов надо будет разделять точкой с запятой):
[3,2; 5,6[; ]3,2; 5,6]; ]3,2; 5,6[
или
]3,2; 5,6[; ]3,2; 5,6[; [3,2; 5,6[
Эти записи вряд ли закрепляют навыки учащихся в употреблении скобочных выражений.
Такие примеры подчеркивают актуальность введения точки вместо запятой в десятичной записи чисел.
В связи со сказанным представляется обязательным требование: во всех случаях, где скобки встречаются парами, «открывающие» скобки отличать от «закрывающих».
3. 	Знаки арифметических действий. Сложение обозначают знаком «+», вычитание «—», умножение «•» или косым крестом. При умножении знак можно опускать. Для деления используются знаки «:» (двоеточие), «—» (черта дроби произвольной длины) и наклонная черта «I». Таким образом, для обозначения деления есть 3 знака и их по-разному используют в обучении. Оправдано ли такое обилие знаков деления? Не целесообразно ли сохранить за делением лишь одну наклонную черту, а двоеточие оставить для других целей?
Обратим внимание на то, что, например, в записи
г а
5 • -у- нет однозначного предписания последовательности выполнения действий. Здесь возможны такие способы: а) (Ь-а)\Ь\ б) (Ъ\Ь)-а\ в) (а\Ь)-Ь. Если же употребить косую черту, то запись Ь-а/Ь (с учетом правила порядка выполнения действий) предписывает лишь один способ вычисления. Насколько важно такое уточнение записи, видно при приближенном вычисле-
г- а
нии значения выражения 5* -у . Ведь в трех случаях
а), б) и в) могут получиться 3 разных ответа.
За горизонтальной чертой целесообразно сохранить ее функции при записи громоздких дробных выражений только лишь в целях наглядности, хотя использование горизонтальной черты для обозначения деления выглядит чрезвычайно искусственно. Из-за произвольной длины черты дроби получается, кстати, ее «расплывчатое» изображение. В отличие от фиксированных знаков и символов горизонтальная черта не позволяет выделить соответствующего клавиша в печатающем устройстве. Неудобна горизонтальная черта из-за обильных случаев ее использования учащимися при переносе. Да и взрослым непонятно, как действовать, когда знаменатель не помещается в строку.
О переносах при записи выражений, не умещающихся в одну строку, в школьной практике нет четких указаний. Обычно если запись прерывается на знаке операции, то этот знак повторяют на новой строке; если же в записи знак был опущен, то его приходится писать дважды, когда он появляется в конце одной и в начале новой строки.
По-иному обстоит дело с использованием знаков арифметических операций в программировании. В языках программирования недопустимы разночтения арифметических выражений. Для полной определенности знаки четко закреплены за операциями и точно обусловлены правила их использования. В языке АЛГОЛ-60 употребляются знакж +8 —, X® /• Опускать знаки не¬
допустимо. При переносе выражений никакие знаки не дублируются.
Употребление скобок и знаков действий, перенос записей тесно связаны с «линейностью» записи в строку, принятой в программировании. В связи с этим встает вопрос о методической целесообразности употребления «многоэтажных» дробей, записей возведения степени в степень, образующих «лестницу» вверх и индексов с индексами, образующих «лестницу» вниз. В этих случаях желаемая наглядность не достигается, а техника выполнения записи усложняется. Чтобы не нарушать линейности, в программировании вводят специальный знак возведения в степень. Например, в АЛГОЛе-бО возведение в степень обозначается с помощью стрелки, направленной вверх f. Вместо а3 пишут af3, а вместо аъ пишут а\Ь. Из-за «расплывчатости» знака радикала (его длина неопределенна) вместо него в программировании употребляют или специальный знак операции, или многобуквенное обозначение функции.
Принцип линейности записи прочно вошел в программирование. Поэтому представляется целесообразным учесть его преимущества при обсуждении вопросов совершенствования и упорядочения символов математических действий в школьном курсе. Одновременно с употреблением скобок линейность записей способствует большей четкости в записях алгоритмов.
4. Деление нацело. С делением нацело в школе связаны разные задачи. Еще в начальной школе деление с остатком встречается часто, а для него нет удовлетворительной формы записи. В старших классах для деления нацело стал употребляться знак «• ». Запись «51 • 17» есть высказывание «число 51 делится нацело на 17». Таким образом, знак «• » употребляют для утверждений о делимости нацело. Этот же факт часто формулируют с помощью термина «кратно» — «51 кратно 17».
Однако символ « ; » не есть знак операции, и поэтому его не следует использовать при записи арифметических выражений.
В программировании дополнительно к четырем знакам арифметических действий часто вводится еще знак «деление нацело», изображаемый, например в АЛГОЛе-бО, символом «--». Операция «деление нацело» применима к целым числам и означает: найти целую часть частного от деления одного числа на другое. Так, например, результат действия 23-f-5 (разделить нацело 23 на 5) есть число 4. В связи с этим в программировании легко решаются задачи выделения целой и дробной частей значений выражений.
Если бы ввести знак деления нацело, то часть устных пояснений, которые плохо запоминаются учащимися, можно было бы записать и тем самым облегчить изучение алгоритма деления натуральных чисел, сделать его четче и доступнее. Употребление этого знака принесло бы пользу при решении и других задач. Обозначение делимости нацело, выбранное в АЛГОЛе-бО, удобно для типографии, его можно печатать на машинке, совмещая тире и двоеточие. Этим сохраняется линейность записи.
5. Знак « = ». В программировании специально выделяется указание «данной переменной присвоить значение» (числовое или какое-нибудь другое). В языке машина «МИР» для этой цели употребляется обычный знак равенства « = ». Например, запись «а=5» показывает, что переменной а присвоено значение 5. Поэтому в дальнейшем везде, где встречается буква а, надо понимать, что это 5. Значение 5 переменная а сохраняет до тех пор, пока ей не будет присвоено новое значение. Смысл записи «а=6+с» на языке машины «МИР»: «переменной а присвоить значение выражения «&+£».
В АЛГОЛе-бО для присвоения значений употребляется знак «:=». Поэтому приведенные выше записи принимают вид:
з:=5; а:


В ряде языков программирования, в том числе и в упомянутых выше, имеются операции отношения, которые обозначаются «=», «=т^», «О, «>», «^»,
Записи а=5; аФ0; 5<7; 6^6; а^З; 4=^4
и др. есть отношения. Так, а=5 есть высказывательная форма, которая становится истинным высказыванием, если к этому моменту а присвоено значение 5, и ложным, если а имеет другое значение. Истинность отношения а = Ь-\-с зависит от конкретных значений переменных, или, другими словами, а — Ь-\-с — высказывательная форма, которая может после подстановки значений переменных стать истинным или ложным высказыванием.
Из сказанного видно, что в программировании знак « = » может выполнять две функции: 1) «присвоить значение» и 2) «отношение равенства». В языке машины «МИР» эти разные функции знака «==» легко различают по конкретному тексту. В языке АЛГОЛ-бО для разных случаев применяются разные знаки «=» и
В школе эти различия не отмечают. По-видимому, учащимся полезно знать, что запись «х=5» в конце решения уравнения означает, что переменной * присвоено значение 5. Записи же вида а2-\-Ь2—0 и а2-\-Ь2-\-1=0 — это «отношения равенства», об истинности которых можно делать выводы.
Уточнение смысла знака « = » в школе помогло бы лучше усваивать сответствующий учебный материал. Возможно, что для этой цели потребовалось бы введение новых знаков.
6. Функции. Функциональная зависимость в общем виде обозначается так: y=f(x). За некоторыми функциями закреплены собственные имена: функция синус обозначается sin, косинус — cos, тангенс — tg, котангенс— с tg, секанс — sec, косеканс — cosec, логарифм — log, lg, In, экспонента — exp. При обозначении функции скобки употребляются не одинаково: когда пишут /(*), аргумент заключают в скобки, когда же .пишут cos лс, sin2x, tgnx и т. д., скобки не ставят, но уже cos(x-j-jx) без скобок писать нельзя. Скобки нужны и тогда, когда буквенная запись аргумента заменяется числовым значением, например при замене х на 20° в записи sin 2х приходится писать скобки: sin (2-20°). Не лучше ли всегда аргумент заключать в скобки?
Для верного понимания записей, в которых названия функций состоят из нескольких букв, а аргумент не заключен в скобки, требуется известное психологическое напряжение. Так, понимание записи asinbx как a*sin(b\x) достигается не без усилий.
Правильного понимания и прочных навыков употребления таких записей можно достигнуть, если обязательно использовать все знаки действий (например, не опускать знака умножения ни при каких обстоятельствах) и всегда заключать аргумент в скобки.
Для программирования эти условия особо важны, так как помогают четко выражать алгоритм. В алгоритмических языках часто применяют многобуквенные обозначения не только функций, но и переменных. Например, запись 4XsumXsin(*) следует понимать как произведение трех множителей: значений переменных At sum и функции sin*.
Многобуквенные обозначения некоторых из тех функций, которые в школе записывают с помощью знаков, также могут способствовать единообразию функциональных обозначений.
Так, если принять во внимание обозначения, применяемые в АЛГОЛе-бО, то функцию «целая часть числа», Ы, можно было бы записывать как entier (х); функцию |*| (абсолютная величина) как abs (х); квадратный корень, У*, как sqrt (х).
С этих позиций, записи НОК (а, 6, с) и НОД (х, у, г) также можно считать обозначениями функций. Возможно, целесообразно ввести в школьный курс математики символы max (a, b)\ min(a, 6, &), для наи¬
больших и наименьших значений двух или нескольких чисел и sum (а, Ьу с)—для суммы чисел а, &, с.
С помощью многобуквенных записей можно осуществить единый подход к функциональным обозначениям, облегчить их типографское исполнение.
Обсуждение и учет поднятых в данной статье вопросов использования символики в школьном курсе математики помогло бы, на наш взгляд, совершенствовать как язык, так и курс математики. При этом осуществлялось бы приближение курса не только к современной математической науке, но и к практике. Этому может помочь учет средств описаний, используемых в программировании.
Внеклассная работа
АКАДЕМИИ НАУК СССР 250 ЛЕТ (Материалы для внеклассной работы)
В октябре этого года в Москве состоялась юбилейная сессия Академии наук СССР, посвященная 250-летию ее основания.
Ниже публикуется список некоторых книг, газет и журналов, по которым учитель математики может подобрать материал для занятия кружка, классного собрания или сбора, посвященного празднованию 250-летия Академии наук СССР.
«Правда», 1973, 17 октября, 1 ноября; 1974, 8 февраля, 6 марта; 1975, 21 марта, 6 октября, 8 октября.
«Коммунист», 1975, № 13, с. 5—46.
А. 	В. Кольцов. Ленин и становление Академии наук как центра советской науки. Л., «Наука», 1969.
История Академии наук СССР. [Главный ред. акад. К. В. Островитянов]. М.—Л., изд-во АН СССР, тт. 1—2, 1958—1964.
Г. Д. Комков, Б. В. Левшин Л. К. Семенов. Академия наук СССР. 1724—1974. Краткий исторический очерк. М., «Наука», 1974.
Б. В. Левшин. Академия наух СССР — 250 лет. М., «Знание», 1974.
Академия наук СССР. Краткий очерк истории и деятельности. [О. М. Карпенко и др.]. М., «Наука», 1968.
Г. Д. Комков, О. М. Карпенко, Б. В. Левшин, Л. К. Семенов. Академия наук СССР — штаб советской науки. М., «Наука», 1968.
Ю. X. Копелевич. Возникновение научных академий. Середина XVII— середина XVIII в. Л., «Наука», 1974.
Б. В. Левшин. Академия наук СССР в годы Великой Отечественной войны (1941—1945 гг.) М., «Наука», 1966.
Е. С. Кулябко. М. В. Ломоносов и учебная деятельность Петербургской академии наук. М.—Л., изд-во АН СССР, 1962.
61


И. Н. Киселев. Сотрудничество Академии наук СССР с академиями наук стран — членов СЭВ. 1957—1967. М., «Наука», 1974.
/7. Я. Кочина. Воспоминания. М., «Наука», 1974.
«Вестник Академии наук СССР», 1972, № 12, с. 107— 117; 1973, № 10, с. 121—131; 1974, № 1, с. 3—8, № 2, с. 87—95, 103—140, 144—151; № 12, с. 3—10, 1975, № 5, с. 7—19.
«Природа», 1974, № 1. [Этот номер целиком посвящен юбилею Академии наук СССР]. 1975, № 4, с. 2—37; № 9, с. 2—9.
«Наука и жизнь», 1974, № 4. [Этот номер посвящен юбилею АН СССР]. 1975, № 5, с. 73—78.
«Мировая экономика и международные отношения», 1974, Ко 5, с. 4—18
«Вопросы истории», 1974, № 5, с. 3—49; № б, с. 148— 156. [Обзор новой литературы по истории Академии наук СССР].
«Новая и новейшая история», 1974, № 3, с. 3—24.
«История СССР», 1974, № 3, с. 3—62.
«Математика в школе», 1974, № 2, с. 3—14; № 6, с. 66—69 [Список литературы].
Н. 	X. АГАХАНОВ, Н. Б. ВАСИЛЬЕВ, И. Н. КЛУМОВА
(Москва)
ю. И. ионин
(Ленинград)
IX ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
В 1973/74 учебном году Министерство просвещения СССР внесло изменения в порядок проведения Всесоюзной олимпиады по математике. В каждой союзной республике теперь должна проводиться своя олимпиада, а победители этих соревнований приглашаются на заключительный тур (48 школьников VIII—X классов из РСФСР, 12 — из Украины, по 6 — из Белоруссии, Казахстана и Узбекистана, по 3 — из остальных союзных республик, городов Москвы й Ленинграда, города-устроителя олимпиады, ГПУСАиВМФ, МПС). В нем участвуют также лауреаты 1-й и 2-й премий предыдущей Всесоюзной олимпиады.
Таким образом, для основной массы школьников, в прежние годы имевших шансы попасть на заключительный тур, теперь участие во Всесоюзной олимпиаде заканчивается на уровне республиканской или областной, и именно этим этапам олимпиады следует уделять больше внимания. На всех республиканских (а в РСФСР — на областных) олимпиадах присутствовали в этом году представители Центрального оргкомитета. Они познакомились с особенностями проведения олимпиад на местах, участвовали в проверке работ, беседовали со школьниками и учителями. В целом республиканские олимпиады проходят организованно и выполняют свои основные задачи — привлечь школьников к систематическим занятиям математикой, познакомить их с новыми задачами и темами для размышлений, установить контакт между ними и работниками вузов, помочь в выборе специальности: Олимпиад разного уровня сейчас проводится так много, что придумывать интересные задачи с оригинальной идеей и в то же время не слишком сложные становится все труднее; к сожалению, иногда
«Советская педагогика», 1974, № 5, с. 3—9; 1975, № 6. с. 9—30.
«Народное образование», 1974, № 5, с. 5—10.
«Знание — сила», 1971, № 5, с. 14—15; 1974, № 5, с. 1—18.
«Квант», 1974, № 4, с. 2—17; № 5, с. 2—42.
«Новый мир», 1974, № 5, с. 202—221.
«Знамя», 1974, кн. 5, с. 185—198.
«Москва», 1974, N° 5, с. 17—37.
«Нева», 1974, № 5, с. 134—144; № 6, с. 156—161.
«Огонек», 1974, № 7, с. 12—13; 1975, № 40, с. 6—17.
«Правда», 1970, 18 декабря; 1971, 16 апреля; 1972, 20 января, 3 февраля, 10 декабря; 1974, 13 марта,
9 апреля, 21, 22 сентября, 27 декабря; 1975, 7 октября, 11 октября.
«Известия», 1971, 13 февраля.
«Труд», 1974, 8 февраля.
«Красная звезда», 1974, 8 февраля.
«Советская культура», 1974, 19 апреля, 1975, 10 октября.
Дополнительную литературу о значении Академии наук СССР в развитии науки в союзных республиках учитель может найти в республиканских изданиях.
предлагаются малоинтересные задачи экзаменационного типа, проверяющие не столько сообразительность и умение логично рассуждать, сколько просто знание школьной программы и технические навыки. Опыт показывает, что наиболее полноценно возможности олимпиады используются там, где в их проведении и подготовке принимает активное участие научная молодежь — наиболее сильные студенты, аспиранты, преподаватели вузов, работники научных институтов.
Наибольшие организационные трудности вызвало проведение республиканского этапа в РСФСР. Устроить очную олимпиаду (одну или несколько зональных, как первоначально намечалось) в этом году не удалось, и команда РСФСР была сформирована по результатам единой письменной работы, проведенной представителями Центральной комиссии в областях. (Проверка работ проходила в очень сжатые сроки в Мо.скве; в каждой области работу писало 6 школьников, т. е. всего было около 400 работ.)
Приведем несколько задач, предлагавшихся на областных и республиканских олимпиадах (они взяты из списка рекомендованных задач, составленного Центральной комиссией).
1. Двое пишут 2&-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Первый пишет первую цифру, второй — вторую, затем первый — третью, второй —
четвертую и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать а) &=10, б) £ = 15?
2. При каких п число 2п+65 — полный квадрат?
1 1 1
3. Какое из двух чисел больше: “2" “з“ + "4” ~
1 11 2
— 5 +-" — 999+ 1000 или 5 '
4. Докажите неравенство log45+loff56+log67+log78^ ^4,4.
5. В группе 30 человек. Каждому нравятся М людей из этой группы. При каком наименьшем М можно утверждать, что найдутся два человека из этой группы, которые нравятся друг другу?
6. Длина радиуса окружности, вписаиной в треуголь¬
62


ник, равна . I, длины высот -г целые числа. Докажите,
что треугольник правильный.
7. Обязательно ли треугольник равнобедренный, если центр его вписанной окружности одинаково удален от середин двух сторон?
8. Имеется много одинаковых квадратов. В эершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3, 4. Квадраты сложили в стопку и нашли сумму чисел, попавших в каждый из четырех углов стопки. Может ли оказаться, что сумма в каждом yrjjy равна: а) 1974; б) 1975?
9. а) 10 точек расположены на отрезке длины 25. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 точки, расположенные на отрезке длины 9?
б) 	На плоскости лежат 12 точек, попарные расстояния между которыми не больше 3. Можно ли утверждать, что из этих точек найдутся 4, попарные расстояния между которыми не больше 2?
10. Какое наибольшее число простых чисел может встретиться среди 17 последовательных натуральных чисел, больших 3?
11. Докажите, что 20-значное число, первые одиннадцать цифр которого — единицы, не может быть полным квадратом.
12. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?
13. Можно ли разместить на круглой тарелке радиуса 10 см прямоугольный кусок торта размером 8X28 см, предварительно разрезав его ножом (по , прямой) на два куска?
14. Машина может производить одну операцию: вычисление среднего арифметического двух целых чисел. Дано число 0 и два взаимно простых числа тип (m<Zn). Докажите, что с помощью машины можно получить: а) число 1; б) любое число от 1 до п.
15. Докажите, что длина биссектрисы, проведенной к наибольшей стороне треугольника, не больше длины высоты, опущенной на наименьшую его сторону.
Заключительный тур олимпиады проходил 17—23 апреля в г. Саратове. Два дня — 18 и 20 апреля — по 4 часа было отведено для письменной работы, в следующие дни — 19 и 21 — вечером проводился разбор, а 22 состоялось торжественное награждение победителей. Олимпиада была организована четко. Существенную часть забот, связанных с проведением олимпиады — проверкой работ, чтением лекций, организацией работы жюри — взяли на себя математики Саратовского университета.
На заключительном заседании жюри олимпиады, кроме утверждения списка победителей, было принято несколько рекомендаций по улучшению Положения об олимпиаде на следующие годы. В частности, предложено увеличить представительство Украинской ССР (ориентировочно до 18 человек) и объединить команды Москвы, Ленинграда и РСФСР. Это позволит пригласить на заключительный тур более ровный состав сильнейших участников республиканских олимпиад.
Всего в олимпиаде участвовало 144 школьника (50 — по X классу, 59 — по IX и 35 — по VIII). Из них 14 награждено дипломом I степени; 28 — дипломом II степени; 35 — дипломом III степени и 45 — похвальными отзывами. В приведенной таблице указано, сколько участников решило (правильно или с небольшими недочетами) отдельные задачи.
Трудность и характер заданий, а также уровень работ, удостоенных наград, остались примерно такими же, как в прошлые годы. При окончательном отборе задач (он проходил в Москве накануне олимпиады) жюри старалось включить в вариант каждого класса одну-две задачи, состоящие из «ступенек» разной степени трудности, а несколько сократить общее число задач.
Первый день ] Второй день
^чч№ задачи Класс
1
2
3
4
5
6а
66
6в
7а
76
7в
VIII
35 участников
3
21
10
2
14
7
11
17
-4
IX ,
59 участников
11
39
20
8
25
31
21
13
24
4
X
50 участников
24
25
19
1
21
27
18
19
6
Победители олимпиады1
VIII класс
Дипломы I степени: Гиматов Юрий (ФМШ, Москва), Кодряну Александр (№ 6, г. Рыбница МССР), Рыбников Григорий (№ 42, Москва), Самедов Джамал (№ 6, г. Красноводск), Хашин Сергей (№ 55, г. Иваново).
Дипломы II степени: Арбузов Леонид (№ 25, г. Норильск), Аузиньш Андрей (№ 1, г. Рига), Бальчи- тис Видмантас (№ 5, г. Шяуляй), Глезин Евгений (№ 533, Ленинград), Ослон Виталий (№ 173, г. Киев), Хобзей Павел (ФМШ, г. Киев).
Дипломы III степени: Балк Александр (№ 7, г. Смоленск), Боровиков Павел (№ 10, г. Ангарск), Вороневич Игорь (№ 1, г/пСопоцкин Гродненской обл.), Гольдвирт Константин (№ 9, Сланцы Ленинградской обл.), Горбунов Михаил (№ 1, г. Павловск Воронежской обл.), Димов Андрей (№ 6, г. Томск), Калина Игорь (№ 145, г. Киев), Кальян Сергей (№ 40, г. Сиглферо- поль), Кутерман Михаил (ФМШ, г. Алма-Ата), Машков- ский Владимир (№ 14, г. Могилев), Моциевский Сергей (№ 32, Калининград).
IX класс
Дипломы I степени: Гончаров Александр (ФМШ, Москва), Гриневич Петр (№ 204, Москва), Пасс Юрий (№ 121, Ленинград), Финашин Сергей (ФМШ, Ленинград), Хованова Татьяна (№ 444, Москва).
Дипломы II степени: Гусейнов Вилаят (№ 3, г. Нахичевань), Ландман Евгения (№ 30, Ленинград), Литвиненко Дмитрий (№ 1, г. Севастополь), Лукьяненко Сергей (ФМШ, Москва), Любашенко Владимир (ФМШ, г. Киев), Мельник Александр (№ 165, г. Новосибирск), Миронов Сергей (№ 6, г. Сафонов Смоленской обл.), Мухамеджанов Мурат (№ 110, г. Ташкент), Панин Иван (ФМШ, Ленинград), Соломяк Борис (ФМШ, Ленинград), Федоров Вячеслав (ФМШ, Москва), Хазанов Семен (№ 41, г. Куйбышев).
Дипломы III степени: Буров Юрий (№ 2, Москва), Варин Виктор (№ 58, г. Воронеж), Даян Рубен (№ 1, г. Ереван), Заигралин Григорий (ФМШ, Москва), Козадой Виктор (№ 165, г. Новосибирск), Кормильчен- ко Игорь (ФМШ, Москва), Лейдерман Аркадий (№5, г. Могилев-Подольский), Лоханов Михаил (№ 2. г. Нур- лат), Щергин Александр (ФМШ, Ленинград), Философов Юрий (№ 13, г. Саратов), Шульман Александр (№ 171, г. Киев), Шутенко Вадим (№ 13, г. Саратов).
1 После фамилий учеников указан номер школы и город.


X к л а с с :
Дипломы * I степени: Резников Александр
(№ 145, г. Киев), Рыбасов Константин (ФМШ, г. Киев), Шмелев Георгий (№ 20, г. Ярославль), Юнус Илья (№ 27, г. Харьков).
Дипломы II степени: Карабегов Александр
(№ 55, г. Ереван), Корнюшкин Александр (ФМШ, Москва), Кулиев Тофик (№ 27, г. Баку), Любич Михаил (№ 27, г. Харьков), Музыкантов Алексей (№ 130, г. Новосибирск), Неретин Юрий (№ 91, Москва), Рабинович Лев (№ 36, г. Тула), Романов Василий (№ 25, Димит- ровград), Рыбакина Елена (№ 30, Ленинград), Четвериков Владимир (ФМШ, Москва).
Дипломы III степени: Байсалов Ержан (ФМШ, г. Алма-Ата), Басманов Владимир (№ 58, г. Воронеж), Бураков Сергей (школа-интернат № 10, г. Донецк), Гей- зель Владимир (ФМШ, Москва), Громацкий Валерий (№ 34, г. Кишинев), Домбровский Александр (ФМШ, Москва), Ободовский Леонид (№ 1, г. Жданов), Пик- кат Тийт (№ 7, г. Таллин), Сафуанов Фарит (№ 114, г. Уфа), Тй Владимир (№ 39, г. Кировабад АзССР), Ткачук Владимир (ФМШ, Москва), Цалиев Виталий (№ 13, г. Саратов).
Условия задач
VIII класс
VIII. 	1. Из треугольника ЛВС поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший 180°, получили треугольник А\В\С\. Соответствующие друг другу при повороте отрезки [АВ] и [А\В{\ пересекаются в точке С2, [ВС] и [#iCi] —в точке А2, [СА] и [СИ*]—в точке В2. Докажите, что треугольники А2В2С2 и ABC подобны.
(3. Скопец)
VIII. 	2. Дан треугольник ABC площади 1. Первый игрок выбирает точку X на стороне АВ, второй — У на стороне ВС, затем первый — Z на стороне АС. Цель первого — получить треугольник XYZ наибольшей площади, второго — наименьшей. Какую наибольшую площадь может обеспечить себе первый?
(М. Бронштейн)
VIII. 	3. Какой наименьший периметр может иметь выпуклый 32-угольник, все вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги со стороной клетки 1?
VIII. 	4. В квадрате 13X13 клеток отметили центры 53 клеток. Докажите, что всегда найдутся 4 отмеченные точки, образующие прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам квадрата.
(С. Гашков и А. Григорян)
VIII. 	5. Три мухи ползают по сторонам треугольника ABC так, что центр тяжести образуемого ими треугольника остается на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром тяжести треугольника ABC, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника.
(С. Фомин)
VIII. 	6. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать вместо них цифру, отличную от стертых (вместо 0 и 1 — цифру 2, вместо 1 и 2 — 0, вместо Q и 2 — 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.
(С. Фомин)
VIII. 	7* См* задачу IX, 6,
IX класс
IX. 	1. В выпуклом шестиугольнике А1А2А3А4А5А6 середины диагоналей А6А2у Л,Л3, А2А4, Л3Л5, Л4Лб, А^АХ обозначим соответственно через Ви В2, £3, В4, В5, В6. Докажите, что если шестиугольник BiB2BzBaB^Bq выпуклый, то его площадь в четыре раза меньше площади A\A2A^A^A^Aq.
IX.2. См. задачу VIII.2.
IX.3. Докажите, что из цифр 1 и 2 можно составить 2п+х чисел, каждое из которых 2л-значно и каждые два из которых различаются не менее чем в 2'*—1 разрядах.
(С. Ф о м и н)
IX.4. В квадрате 7X7 клеток отмечены центры k клеток. При этом никакие 4 отмеченные точки не являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам квадрата. При каком наибольшем k это возможно?
(С. ГашковиА. Григорян)
IX.5. Можно ли составить куб размерами &Х&Х£ из белых и черных кубиков так, чтобы для любого кубика ровно два из его соседей имели тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.)
(А. Гей н)
IX.6. Дана горизонтальная полоса на плоскости, края которой — параллельные прямые, и п прямых, пересекающих эту полосу. Каждые две из этих прямых пересекаются внутри полосы и никакие три из них не имеют общей точки. Рассмотрим все пути, начинающиеся на нижнем крае полосы, идущие по данным прямым и заканчивающиеся на верхнем крае полосы, обладающие таким свойством: идя по такому пути, мы все время поднимаемся вверх; дойдя до точки пересечения прямых, мы обязаны переходить на другую прямую. Докажите, что среди таких путей:
а) есть не менее п/2 путей без общих точек;
б) есть путь, состоящий не менее чем из п отрезков;
в) есть путь, проходящий не более чем по -у- + 1 прямым;
г) есть путь, проходящий по всем- п прямым.
(В VIII классе предлагались вопросы а), б) и г), причем для п = 20; в IX классе — вопросы б), в) и г) для общего случая п прямых.)
(А. К а р з а н о в)
IX.7. Дан многочлен Р(х) с
а) натуральными коэффициентами;
б) целыми коэффициентами.
Обозначим через ап сумму цифр в десятичной записи числа Р(п). Докажите, что найдется число, которое встречается в последовательности аь а2, аз, — бесконечно много раз.
(И. Бернштейн)
X класс
X.1. В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что некоторая прямая пересекает все эти многоугольники.
(С. Фомин)
Х.2. Докажите, что для положительных а, Ъ, с имеет место неравенство'
а3+&3+с3+3а6с^а& (я+&) +6с(6+с) +яс(а+с).
Х.З. Из четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, поворотом вокруг центра на некоторый угол, меньший 180°, получили четырехугольник A\B\C\D\. До¬
64


кажите, что точки пересечения соответствующих друг другу при повороте прямых: АВ и А\Ви ВС и ВгСи CD и C\DU DA и DiAi служат вершинами параллелограмма.
(3. Скопец)
Х.4. См. задачу IX.4. В X классе она предлагалась для квадрата 13X13 клеток.
X.5. См. задачу VIII.6.
X.6. В чемпионате мира и Европы участвуют 20 ко- хманд. Среди них имеется k европейских команд, результаты встреч между которыми на чемпионате мира идут в зачет чемпионата Европы. Чемпионат проводится в один круг.
При каком наибольшем k может оказаться, что команда, набравшая строго наибольшее количество очков в чемпионате Европы, наберет строго наименьшее количество очков в чемпионате мира, если это: а) чемпионат по хоккею (допускаются ничьи); б) чемпионат по волейболу (ничьих не бывает)?
(Ю. Шрейдер)
Х.7. а) Даны вещественные числа аь а2, Ь\, Ъ2 и положительные числа ри р2, Я\, Q2- Докажите, что в следующей таблице 2X2
I р 1 4 Pi 4 q J
\ 4 ^1 cZo 4- Ь2 J
P‘i 4 Ri Рч 4 Qz *
найдется число, которое не меньше числа, стоящего с ним в одной строке, и не больше числа, стоящего с ним в одном столбие.
б) 	Даны вещественные числа аи а2у ат, Ьи Ь2, Ьп и положительные числа рi, р2, ..., рт> Я\, Я2, —, Яп. Составлена таблица тХя, в которой на пересечении i-й строки (1=1, 2, ..., т) и /-го столбца (/=1, 2, ..., п) стоит число
а -, 4- bj Pi + <Tj~'
Докажите, что в этой таблице найдется число, которое не меньше любого числа, стоящего с ним в одной строке, и не больше любого числа, стоящего с ним в одном столбце.
(В. Гринберг)
Решения задач
VIII.1 и X.3. Эти задачи легко решаются с помощью геометрических преобразований (впрочем, почти никто из участников этим понятием не пользовался). Пусть хорда Q\Q2 некоторой окружности получена из хорды Р\Р2 той же окружности поворотом на угол 2а относительно центра О окружности. Тогда середина X хорды Р\Р2 переходит в точку Y пересечения прямых Q\Q2 и Р\Р2 в результате последовательного выполнения двух преобразований: поворота на угол а относительно центра и гомотетии с тем же центром и коэффициентом 1 /cos а (рис. 1). При этих преобразованиях каждый многоугольник переходит в подобный ему. Теперь для решения задачи VII 1.1 осталось воспользоваться тем, что у любого треугольника середины сторон служат вершинами подобного ему треугольника, а для решения X.3 — тем, что у любого четырехугольника середины сторон являются вершинами параллелограмма.
VIII.2. Ответ: 1/4. Докажем два утверждения:
а) 	второй может обеспечить выполнение неравенства 5Д как бы ни H.rPajl первый; б) первый
может обеспечить выполнение неравенства S^XYZ^ ;> 1/4, как бы ни играл второй, а) Стратегия второго:
выбрать Y так, что (XY) Ц {АС). Тогда (независимо от положения точки Z)
S A xyz \XY\ H~h h{H—h) i
■^'д Авс = wr • —~~т < — <рис- 2)-
б) Стратегия первого: поставить точки X и Z в серединах [ЛБ] и [ЛС]. Тогда (независимо от выбора. К) XYZ == V4*
VIII.3. Представим себе контур 32-угольника АХА2А3..
...А32 как изображение суммы 32 векторов АгА2 4-
4- А2А3 4- 4- Л3,А32 + A32Aj = 0. Поскольку из лю¬
бых 32 различных по направлению векторов с сум-
мой 0 можно составить выпуклый 32-угольник, задача эквивалентна следующей задаче.
Найти 32 вектора, удовлетворяющих условиям:
а) начало и конец каждого вектора лежат в узлах клетчатой бумаги;
б) никакие два вектора не совпадают по направлению;
в) сумма всех векторов равна 0;
г) при выполнении предыдущих условий сумма длин векторов минимальна.
Удобно представить себе, что все векторы начинаются в одной точке. Система 32 Еекторов, удовлетворяющих условиям а), б) и г), содержит четыре вектора
длины 1, Четыре — у 2 и по восемь — j/~5 , >/40 и уг 13 (рис. 3,а). Эта система удовлетворяет также ус-
Q 5
3 Математика в школе № 6


ловию в). ОтЪет: 4 -f 4 2 + 8 У'Ь + 8 уА10 -f
+ 8 ^ 13 . (Четверть соответствующего 32-угольника изображена на рис. 3,tf.)
VIII.4, IX.4 и Х4. Ответы: 1X4. £ = 21, Х4. 6 = 52. Примеры расположения такого количества точек даны на рис. 4.
• • •
+ 156.
Поскольку, как легко проверить, всегда п п
\ 2 ,
S^2>( 2*01п-
VIII.5. Если одна из мух находится в вершине Л, то центр тяжести «треугольника мух» находится внутри треугольника ADE, где \AD\ : \DB\ = \AE\ : \ЕС| ~2 (рис. 5). Одна из мух побывала во всех вершинах, стало быть, центр тяжести находится в пересечении трех треугольников, заштрихованных на рисунке.
Рис. 4
Докажем, что в квадрате 13 X 13 нельзя отметить более 52 точек так, чтобы они удовлетворяли условию задачи (для квадрата 7 Х7 доказательство аналогично). Прздположим, что в i-й строке отмечено xi точек, 13
и пусть = М. Если в некоторой строке отме-
/=1
чены центры /?-й и q-Pi клетки, то будем говорить, что эта строка содержит пару (/?, q). Тогда i-я строка содержит Cj пар. Так как никакая пара не содержится
в двух разных строках (иначе образовался бы прямоугольник с вершинами в отмеченных точках), то суммарное число пар, содержащихся во всех строках, не превосходит С\ъ = 78:
откуда
Рис. 5
VIII.6, Х.5. Пусть х —число нулей, у — число единиц, ^ — число двоек. После каждой операции каждое из чисел ху г/, z меняет четность. Когда на доске останется одна цифра, одно из чисел *, г/, г будет нечетным (равным 1), два других — четными (равными 0). Следовательно, в самом начале четность одного из чисел х% у, 2 отличалась от четности двух других чисел. Поэтому можно сразу узнать, какая цифра останется последней.
VIII7 и IX.6. Эта несколько необычная по тематике задача’ требует для решения только интуитивно очевидных свойств связности (каждый путь делит полосу на две области, каждая прямая — тоже). К строгости обоснований не предъявлялось чрезмерных требовании: достаточно было точно сформулировать основные идеи
доказательств.
а) 	Путей всего п, и каждый определяется начальны отрезком. Занумеруем их по порядку ^рис. 6). Тогда для каждого k (2^.k^n—1) (k 1)-й и (&+1)-и пути лежат по разные стороны от &-го (из условия вытекает, что один путь не может перейти через другой). Значит, пути с нечетными номерами не имеют общих точек.
i= 1 i~ 1
то Af2/13< М + 156. Решая это неравенство, получаем М < 52.
Большинство участников предлагали другие доказательства, требующие некоторого перебора (рассматривались случаи, когда максимальное число отмеченных клеток в строке 13, 12, 11 и т. д.). Но самым трудным для девяти- и десятиклассников было, конечно, найти ответ и построить пример: здесь не обойтись, видимо, без каких-то интуитивных соображений симметрии (в каждой строке и каждом столбце должно быть поровну клеток и т. п.).
Заметим, что искомые таблицы 7X7 и 13X13 представляют собой матрицы инциденций прямых и точек конечных проективных плоскостей над полями из 2 и 3 элементов.
Рис. 6
б) 	Это следует из пункта г). Есть и простое независимое доказательство: каждая из п прямых делится другими на п отрезков, так что всего отрезков п2, поэтому один из п путей должен содержать не менее п отрезков.
в) 	Поскольку каждые две прямые пересекаются внутри полосы, то точки пересечения прямых с нижним и верхним краями полосы идут в противоположном порядке: прямая, пересекающая нижний край в самой левой точке, верхний пересекает в самой правой, и т. д.
Рассмотрим два крайних пути: 1-й и гг-й. Каждая из двух крайних прямых имеет с этими путями по одному общему отрезку, а каждая из остальных п — 2 прямых имеет не более одногог общего отрезка с крайними путями (если прямая прбходит слева от точки пересечения крайних прямых, то она заведомо не имеет общих точек с крайним правым путем, а если справа —то


с крайним левым путем). Таким образом, всего в крайних путях не более 4-|- (гг -— 2) отрезков, значит, в одном из них не более 1Н~я/2.
г) 	Рассмотрим средний по номеру путь (если п четно^— один из двух средних). Каждая прямая начинается по одну сторону от этого пути (или на самом пути), а заканчивается — по другую. Значит, она имеет с ним общую точку, а стало быть, и общий отрезок.
IX. 	1. Наиболее короткое решение из известных жюри таково: площадь четырехугольника B\BABsBQ в четыре раза меньше площади четырехугольника ЛИ2Л3Л4 (рис. 7), поскольку диагонали первого параллельны соответствующим диагоналям второго и их длины вдвое меньше (как средние линии в треугольниках); точно так же площадь B\B2BzBA в четыре раза меньше площади Л1Л4Л5Л6.
К сожалению, многие участники пытались здесь доказать, что шестиугольники В\В2Вз,ВАВф& и AiA2A3A^A5Aq подобны.
IX.3. Начав с « = 1 (здесь нужные четыре числа: 11 12, 21, 22), докажем утверждение задачи по индукции.
Обозначим через а число, полученное из а заменой цифр (1 на 2, 2 на 1), через ab — число, полученное приписыванием b к а. Нетрудно проверить, что если множество Ап из 2"-значнь:х чисел, в котором
каждье два числа отличаются не менее чем в 2Л—1 разрядах, построено, то за Л„+, можно принять множество из всех чисел вида аа и аа, где а£Ап. (Заметим, что для любых чисел а и b с одинаковым количеством цифр числа аа и bb отличаются ровно в половине разрядов.)
IX.5. Ответ: при k четном можно, при k нечетном нельзя. Пример для четного k построить нетрудно: мож-
Рис. 8
а 6
но, например, составить куб из чередующихся черных и белых блоков 2X2X1 или из чередующихся слоев, изображенных на рис. 8.
Предположим, что для нечетного k составить нужный куб можно. Соединим центры соседних белых кубиков отрезками. Из каждого центра будут выходить два отрезка. Таким образом, мы получим одну или несколько замкнутых ломаных, звенья которых параллельны ребрам куба, а общая длина равна числу белых кубиков. Но длина замкнутой ломаной, составленной из единичных отрезков трех взаимно перпендикулярных направлений, очевидно, четна. Таким образом, белых кубиков— четное число. Точно также докажем, что и черных кубиков — четное число. Но общее число kz кубиков нечетно. Получили противоречие.
IX.7. а) Возьмем п = 10^, где 10^ больше наибольшего из коэффициентов Р {х). Тогда al0N — сумма
цифр числа Р (10N)—равна одному и тому же числу, £умме всех цифр всех коэффициентов Р (х).
б) 	Чтобы свести дело к случаю а), докажем, что если первый коэффициент Ь0 многочлена Р (х) = = bQxm -f- blxm~1 -f ... -f- bm положителен, то при достаточно большом М > 0 все коэффициенты сдвинутого многочлена Я* (л') = Р {х 4- М) положительны. Это верно уже при М > шах (— bfi 1.
Действительно, у многочлена F (х) = Р (*)—QM> где
Q (х) = хп — (М — \)хп~' —
— (М — 1) хп~2 — ... — (М — 1),
а следовательно, и у многочлена F* (х) = Р (х М)— — Q (х + М) коэффициенты неотрицательны, а у Q*(jc) =
п
= Q(,r + Af)= 2 ((•*■ + М)*— М(х + Af)*-1) + 1 =
k=\
П
= х 2 (х + M)k-' + 1 они положительны, следоса-
тельно, они положительны и у Р* (х) = F* (х) + Q*(.r).
Теперь, так же как в а), можно утверждать, что
если каждое из чисел М и 10^ больше шах | bt |, то
о
члека^+1о^у одинаков при всех таких N (для фиксированного М).
X.1. Спроектируем все многоугольники на некоторую прямую /. Каждая из проекций является отрезком, причем любые два из этих отрезков имеют общую точку. Отсюда следует, что все эти отрезки имеют общую точку (достаточно превратить прямую I в числовую ось и взять точку, расположенную между наибольшим из левых и наименьших из правых концов данных отрезков). Перпендикуляр к прямой /, проходящий через эту точку, пересекает все многоугольники.
Х.2. Не теряя общности, можно предположить, что а^Ь^с. Тогда
с (а — с) (Ь — с) > 0,
откуда
с3 -f abc ;> ас2 -f be2.
Теперь достаточно установить справедливость неравенства
а* + Ь* -Ь 2abc > ab(a + £) + а2с + Ь2с, которое преобразуется к виду
(а — bf{a + Ь— с)>0.
3*
67


00
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
1 12
13
14
15
16
17
18
19
20
]
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
l
1
1
1
1
I
1
t
1
•2
1
I
i
1
1
1
1
I
1
l
)
1
1
1
1
1
1
0
'
0
0
1
i
1
1
1
J
1
i
I
1
1
i
1
1
1
1
2
»
1
1
1
1
1
1
I
1
i
i
i
1
1
1
1
S
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
t)
1
1
1
1
■
1
1
1
1
1
I
1
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
i
I
1
1
8
1
I
i
1
1
1
t
1
1
1
i
1
1
1
1
1
I
1
1
ч
I
1
1
1
1
1
!
1
1
1
I
1
I
i
I
i
1
1
1
10
1
1
1
]
1
1
1
l
1
1
1
1
i
i
i
1
1
1
• 1
1
1
i
i
1
1
i
1
1
1
t
I
1
1
i
I
1
а
!
1
i
I
■
1
1
1
1
i
■1
1
I
!
i
i
1
1
13
1
!
«
1
1
1
1
1
i
)
1
1
)
I
. 1 '
1
1
1
1
,4
1
1
i
■
1
1
1
1
1
1
i
1
I
1
1
I
1
1
1й
1
i
l
1
i
1
1
1
1
i
■l‘
•
I
1
1
1
1
is
1
1
!
I
1
1
1
1
i
i
■
i
1
1
1
1
1
17
i
1
1
1
1
l
i
i
1
i
l
!
1
1
1
1
18
1
>
I
1
1
i
1
i
•
1
1
•
‘
i
1
1
1
19
1
*
■
1
■
j
1
1
i
1
1
1
1
1
1
1
20
•
ii
i
1
i
i
I
I
1
1
*
1
I
1
1
1
-20 — европейские кома!
ды , о — чемпион Европы.
Рис 9а
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
3
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
4
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0 j 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
6
0
0
0
о
о
1
0
1
0
I
0
1
0
1
0
1
0
1
1
7
1
I
0
°
о
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
8
0
0
1
1
0.
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
9
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
10
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
11
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
12
.0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
:i3
1
I
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
14
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1 j 0
1
0
1
0
1
0
15
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
16
0
0
1
1
0
1
С)
1
. 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
17
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
'0
1
0
1
0
1
0
1
18
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
.0
I
0
1
0
1
0
1
0
19
1
1
0
0
0
0
1
0
I
0
1
<)
1
0
1
0
1
0
1
20
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
<
!
0
I
0
1
0
С—20— еБропсГсьие команды, 6— чемпион Европы.
Рис. 96


Х 6 а) В чемпионате Европы должно участвовать не более восемнадцати команд. Пример чемпионата с восемнадцатью европейскими командами приведен на рис. 9 а.
б) 	Предположим, что чемпион Европы набрал х очков во встречах с европейскими командами, у очков во встречах со всеми участниками чемпионата мира, так что х^у.
Так как чемпион Европы занял в чемпионате мира последнее место, то каждый из остальных участников чемпионата мира набрал не менее у -j- 1 очков. Следо-
/ 20-19
вательно, у + 19 (у + 1) < 190 ( 190 = —^— — общее
число очков, разыгрываемое в чемпионате^, откуда
у <8. Аналогичное неравенство для чемпионата Европы имеет вид:
х -f (k — 1) (х — I) >
k(k
откуда
(* -!)(* + 2)
2k
О)
(2)
Но дг < у < 8. Решая неравенство (*-!)(*+ 2)
2k
<8,
получаем k < 15. Пример для k = 15 приведен на рис. 96.
Х.7. а) Пусть, например, ^4—г — наибольшее число
Р
в первой строке. Предполагая утверждение задачи неверным, получаем последовательно неравенства
fli-h aj^r bj й\ 4» Ь\ Дг-Ь
Р\Л~Я 1 ^ Р\Л~Яг Р\Л~Я\ р2~\~Я 1*
Д2~Ь^2 а2 4~ ^1 #г4~ ^2 tii 4“ &2
р2~\~ Я 2 Р2 4" Р2Л-Я2 Р\Л~Я2
Освобождаясь во всех четырех неравенствах от знаменателей и складывая получившиеся неравенства, придем к противоречию.
б) 	Выберем в каждой строке наибольшее число и затем из всех выбранных чисел выберем наименьшее. Пусть это hi и- В k-м столбце выберем наименьшее число. Если это Xik, задача решена. Предположим, что это Kjk, где В /-й строке выберем наибольшее число.
Если это Xjk, задача решена. Предположим, что это hjij где l^k. Таблица
f^lk
\^jk *jl)
удовлетворяет условию задачи а). Следовательно, в ней должно встретиться число, являющееся одновременно наименьшим в своем столбце и наибольшим в своей строке. В силу неравенства > \jk и < Ху/ таким числом не является ни ни Xjk. Если Xik > \ц, то таким числом может быть лишь Ху/, так что Ху/ < Хц, откуда Ху/ < Х/д., что противоречит определению числа Х^. Следовательно, = Кц и Ху/ > "кц. Проделывая с неравенствами
<4 + Ьк а-1 + h a-i + Ьк аj + bk '
Pi 4- Як ^ Pi 4- Я1 * Pi 4- Rk Pj + Як
&j + bi cl j -f- bk a,j -f bi сцЛ~ bi
Pj + <7/ > Pj + 4k’ Pi + 4i> Pi + <11
те же операции, что и в решении задачи а), вновь придем к противоречию.
А. 	В. НИКУЛИН, Р. П. ШЕЙНЦВИТ
(г. Киев)
НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА
Мы рассмотрим неравенство, названное в честь выдающегося русского математика П. Л. Чебышева (1821 — 1894).
Как показывает наш опыт, это классическое неравенство может быть с успехом изучено на занятиях математического кружка VIII—X классов.
Определение. Две конечные последовательности действительных чисел {a*}, {bi} (i = 1, 2, ..., ri) называются одинаково упорядоченными, если для любых k, р, не больших п,
(ак — ар)(Ьк — Ьр)> 0, (1)
и обратно упорядоченными, если (а& — ap)(bh—bp) ^
0.
Так, например, две конечные неубывающие числовые последовательности с одинаковым числом членов одинаково упорядочены. Если же одна из них не убывает, а другая не возрастает, то эти последовательности обратно упорядочены. В частности, конечная постоянная последовательность одновременно и одинаково и обратно упорядочена с любой другой последовательностью, имеющей с ней одинаковое число членов.
Теорема 1. Пусть {а*}, {bt} (i = 1, 2, ..., /г)—одинаково упорядоченные последовательности и положительные числа rrii (t'=l, 2. ..., п) таковы, что
п
2 mi = 1,
/=1
тогда
п п п
(2 nti a,i Ms mi £>«•)< 2 miaibi, (2)
/=1 ’ ' /=1 i-1
причем равенство достигается в том и только в том случае, когда я, = а2=... = ап или Ьх = Ь2 = ... = Ьп, Доказательство. Если последовательности {я/}, {bt} одинаково упорядочены, то из неравенства (1) получаем
^к^к 4* &pbp ^ fi'kbp 4~ Qpbk
или
mkmpakbk 4- tnkmpapbp > mkmpakbp -f mkmpapbk (3)
для любых k, р, не больших п. Зафиксируем в неравенстве (3) индекс k, а индекс р будем изменять от 1 до п. Суммируя все такие неравенства, получим
п п п
ткакЬк 2 тр + тк 2 трарЬр> ткак 2 трЬр +
P=z I р-1 р-1
П
+ *ПкЬъ Ултрар- (4)
р=1
69


Учитывая, что
получим из (4)
Тогда
1,
р=1
k=\
>
к—\
р~ 1
откуда
п П п
2 ml aibi'> (j^miai Ms-4
/=1
/=1
i=1
что и требовалось доказать.
Ясно, что при а\ — а2 — ... — ап или Ьх ~Ь2 = ... ==
— Ьп в (2) достигается равенство.
Обратно, пусть в (2) достигается равенство. Доказательство неравенства (2) получено в результате суммирования неравенств (3) по индексам k п р. Отсюда ясно, что равенство в (2) достигается лишь тогда, когда достигаются равенства в (3) при любых k, р, не больших п.
Значит, при любых k, р, не больших м,
mkmpakbk -f mkmpapbp = mkmpakbp 4 mk.npapbk
или akbk + apbp = &kbp 4- &pbk* откуда (ak — ap)(bk — bp) — 0.
Покажем, что это возможно лишь при а{ = а2= ... = = ап или Ь\ — Ь2 — ... — Ьп.
Предположим противное. Тогда найдется индекс t ^ п такой, что ах Ф at. Из равенства (ах —at)(bi —
— bt)—0 теперь следует, что b\=bt. Аналогично найдется индекс s ^ п такой, что Ьх Ф ЬЯу и, значит, Ья Ф bt. Из равенства (tit — as) (Ьх — Ь8) = 0 теперь следует, что а\ = ав, и, значит as Ф at. Рассмотрим произведение (а8 — at)(b9 — bt). Оно не равно нулю, и мы приходим к противоречию.
Таким образом, для достижения равенства в (2) для одинаково упорядоченных последовательностей {а*-}* {£<} необходимо и достаточно, чтобы либо а\ = а2 = ... = ап, либо Ьх = Ъ2 = ... = Ьп.
Теорема 2. Пусть {at}, {<b\} (i — 1, 2, ..., n) — обратно упорядоченные последовательности и положительные числа nti таковы, что
п
i=l
i* П 91
( 2 mtai) ■ (2mibt)> 2
(6)
/=l
/=l
/=1
тьйьЬь + тк 2 mpapbp > mkak 2 mpbp +
P=l p=i
П
+ mkbk 2 mpap. (5)
p=l
Теперь будем изменять индекс k от 1 до п в неравенстве (5) и, сложив все такие неравенства, получим
п п п
2 тьаьЬк + (2 т*) • С 2 тРаРЬР) >
*=1 р-1
П п
(2 тьаь) * ( 2 трьр) +
k-\ р-1
п п
+ (2 «*.**) • (Jbmpttp).
равенство достигается в том и только в том случае, когда а\ — а2 = ... = ап или Ьх — Ь2 — ... — = Ьп.
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
Неравенства (2) и (6) называются неравенствами Чебышева для одинаково или обратно упорядоченных последовательностей соответственно.
Полагая в (2) mi = получаем неравенство
(2а0 ' (2&0<п' 2*/*'
i=1
t = \
для одинаково упорядоченных последовательностей.
Из неравенства (6) получаем неравенство
п п п
(2 ai)' (2 bi) >п' 2 aib‘
/=1 i=1 /=1
для обратно упорядоченных последовательностей.
В заключение предлагаем несколько упражнений.
I. Докажите следующие две леммы.
Лемма I. Если последовательности {a7}, {bi} одинаково упорядочены, то существует индекс k такой, что afc = min{ai}, bu ~min{bi}.
Лемма 2. Для того, чтобы последовательности {ai}, {bi} были одинаково упорядочены, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая перестановка индексов t\, t2> ..., tn, что
at, < at, < • • • < at„ и */,<*/,<•••< ь,п.
II. Докажите теоремы 1и 2 методом полной математической индукции.
Указание. Используйте лемму 2.
III. а, 6, с —длины сторон, А, В, С — величины углов (в радианах) треугольника ABC. Докажите, что
а)
б)
а А тЬ ЬВ + сС гс а'+ b с ^ 3 *
уч. /Ч А
acos А+ b cos В -Ь с cos С а -Ь b + с
<-
ABC fltg— 4-^tg — 4-ctg— ^ ^з
в) , , —: >
a 4- b + с ^ 3
Указание. Используйте одинаковую упорядоченность последовательностей
{а, Ь, е) и {X В, С}; {а, Ь9 с] и
А
‘g—
в с
tg—. tg
и обратную упорядоченность последовательностей
А А А
{а, Ь, с) и {coSi4, cos В, cos С},
IV. Найдите максимум функции
jk—1
/=1
24
<=i
70


если
х,>0, '^Ua-N , k> 1. / = 1
V. Докажите, что
если Х( > 0.
У казани е. Используйте одинаковую упорядоченность последовательностей {xi) и {lg xi}.
Э. Г. ГОТМАН
(г. Арзамас)
ТЕТРАЭДР,
ВПИСАННЫЙ В ДРУГОЙ ТЕТРАЭДР
При изучении свойств тетраэдра часто пользуются вспомогательным построением: около тетраэдра описывают параллелепипед Этот прием позволяет получить изящные и экономные решения некоторых задач. Недостатком его следует считать сложность и малую наглядность чертежа.
Рассмотрим другой прием, который состоит в том, что около данного тетраэдра описывается другой тетраэдр так, что три ребра первого являются медианами граней второго (рис. 1).
1 См.: М. Л. Крайзман. О параллелепипеде, описан¬
ном вокруг треугольной пирамиды. «Математика в школе», 1972, ЛЪ 1, с. 66.
По теореме косинусов из треугольников DAY и DAZ найдем:
у2 = а2 + а2 — 2аах cos <ои
г2 = a2 -f а\ + 2аа1 cos <р1в
Отсюда
Аналогично
■ у1 + г2 .
■ 2 (а2 + а2).
г1 + х1 = 2 (б2 + 62), х* + г - 2 ( с2 + с\).
Сложив почленно последние три равенства, получим x2jr У2 + г2 = а2 + Ь2 -f с2 + а\ + b\ -f с\. Учитывая, что у2 + z2 — 2 (а2 + a\)t найдем
х* = Ь* + b2 + c2 + q — а2
О)
Так как
cos <р, =
а2 + а\ — у2
то
2ааг
у2 = а2 + а\ + с2 + с\ — b2 — b\, Ь2 + Ъ\ — с2 — с\
cos <Pj
2 ааг
(2)
Рис. 1
Пусть вершины А, В, С тетраэдра ABCD являются серединами ребер YZ, ZX и XY тетраэдра DXYZ. Будем говорить, что тетраэдр ABCD вписан в тетраэдр DXYZ, а тетраэдр DXYZ описан около тетраэдра ABCD. Если дан один из этих тетраэдров, то второй всегда можно построить.
I. Найдем соотношения между некоторыми элементами этих тетраэдров, для чего введем обозначения: | ВС | - а, \ СА\ = Ь, I АВ | = с, \DA I = аъ \ОВ | - Ьъ
I DC | = cv Тогда | YZ | = 2а, | ZX | = 2Ь, \XV\~ 2с.
1<роме того, обозначим: | DX [ = jt, | DY | = у, | DZ | =*
/\ /\ /\
«= z, DAY — <р,, DBZ = <р2 и DCX = ср3.
Заметим, что угол между противоположными ребрами AD и ВС тетраэдра ABCD равен <р,.
Ввиду того что площадь S, треугольника XYZ в четыре раза больше площади S треугольника ABC, объемы К, и V тетраэдров DXYZ и ABCD связаны аналогичным соотношением: Vx = 4V.
И. Треугольники ABC и XYZ имеют общий центроид <3,. Обозначим через F, L, N соответственно середины сторон ВС, С А и АВ треугольника ABC. Тогда
GXF
—> ] —► —у 1 —>
Аналогично 0,1=— (7, Y и GtN - — GtZ. Построим
еще точку G, такую, что GyG -■
4-0,0-
Покажем, что отрезки EF, KL, MN, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра ABCD, проходят через топку G и делятся в ней пополам.
71


Произведем гомотетию с центром G% и коэффициентом —. При этом тетраэдр DXYZ перейдет в тетраэдр GFLN. В силу свойства гомотетичных отрезков получим
—>. ] —>-
GF - — DX.
А так как [EF] есть средняя линия треугольника ADX, то
EF
-jDX.
Следовательно, EF = 2GF, или EG = GF.
Если обозначить | EF | = tXi то
t j •
1
х.
1 1
Аналогично; t2 = -гг У. ~
III. 	Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. В школьном курсе геометрии часто приходится иметь дело с тетраэдром, боковые ребра которого конгруэнтны. Вершина такого тетраэдра ортогонально проектируется в центр окружности, описанной около основания, что позволяет упростить вычисления.
Поставим вопрос: каковы свойства тетраэдра A BCD, если боковые ребра описанного тетраэдра DXYZ конгруэнтны?
На основании формул (1) и (2) запишем равенства:
г2 — у2 = 2 (b2 4- Ь\ — с2 — cf) = 4да, cos <рь z2 - ^«2 (а2 -f а\ — с2 — с\) = 4ЬЬг cos <р2,
(5)
где ср,
. (AD, ВС) и ср2
(£D, СА).
Отсюда следует, что если (AD) ± (ВС), т е. <р, = —.
то у — г, и обратно.
Если же (AD) х (ВС) и (BD) ± (СА), то y=z и лг—г. Обратно, если х «■ у — г, то (AD) 1 (ВС). (££>) X (СЛ).
а также (CD) 1 (Л£) ^поскольку из равенства х — у
вытекает, что ср3
/\
► ► тс \
(CD, АВ)-—).
(3)
Аналогично найдем, что KG = GL и Л4С = GW, т. е. отрезки £/\ KL, A/IN имеют общую середину G
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра.
—>■ 1 —►
Векторное равенство GXG = — означает, что
точка G делит медиану DG, тетраэдра в отношении 3:1, считая от вершины. Поскольку D — произвольная вершина тетраэдра ABCD, то точка G принадлежит также трем другим медианам тетраэдра и делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины.
Точка G называется центроидом тетраэдра.
Итак, четыре медианы тетраэдра проходят через одну точку и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины.
Три отрезка, каждый из которых соединяет середины противоположных ребер тетраэдра, также проходят через ту же точку и делятся в ней пополам.
(4)
где t2 = \KL\
Итак, мы установили, что боковые ребра описанного тетраэдра DXYZ конгруэнтны (x — y — z) тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра ABCD перпендикулярны.
Попутно выяснилось, что если две пары противоположных ребер тетраэдра взаимно перпендикулярны, то и третья пара тоже перпендикулярна.
Тетраэдр, противоположные ребра которого попарно перпендикулярны, назовем ортоцентрическим.
Из равенств (4) и (5) вытекают следующие характеристические признаки ортоцентрического тетраэдра:
а) t\—t2 — h, т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, имеют одинаковую длину;
б) а2 + а\ = Ь2 -}- Ь\ = с2 + с\у т. е. суммы квадратов длин пар противоположных ребер тетраэдра равны
Без доказательства отметим важное свойство ортоцентрического тетраэдра: его высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре тетраэдра (см. [1] и [2]).
Исследуем теперь условия, при которых тетраэдр DXYZ является прямоугольным с прямыми плоскими углами при вершине D.
/\ TZ 1
Пусть YDZ = —. Тогда \DA\ *=* —\YZ\, или
аг а, так как медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе, вдвое короче гипотенузы. Обратно, если ах = а, то | DA | = | AY | = ) AZ | и
/\ я YDZ = —.
Следовательно, боковые ребра DX, DY и DZ описанного тетраэдра попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра ABCD конгруэнтны.
Тетраэдр ABCD называется равногранным. Он имеет ряд свойств, аналогичных свойствам равностороннего треугольника.
а) Прямые, проходящие через середины противоположных ребер равногранного тетраэдра, являются его осями симметрии.
Действительно, ребро DX тетраэдра DXYZ перпендикулярно плоскости DYZ и, следовательно, перпендикулярно прямым AD и KZ, лежащим в этой плоскости. Прямая EF, проходящая через середины противоположных ребер AD и ВСУ согласно (3), параллельна ребру: DX, вследствие чего она перпендикулярна ребрам AD и ВС. Тем самым доказано, что прямая EF является осью симметрии тетраэдра ABCD.
Очевидно, верно и обратное предложение: если прямые, проходящие через середины противоположных ребер тетраэдра, являются его осями симметрии, то тетраэдр — равногранный.
Из доказанной теоремы вытекает еще одно характеристическое свойство равногранного тетраэдра.
б) Центроид равногранного тетраэдра совпадает с центром описанной около него сферы.
Действительно, центроид G равногранного тетраэдра есть общая точка его осей симметрии и, следовательно, одинаково удален от вершии тетраэдра.
Обратно, если центроид тетраэдра совпадает с центром описанной сферы, то тетраэдр является равногранным.
Пусть \BG\ = \CG\. Так как медиана GF равнобедренного треугольника BCG является его осью сим!мет- рии, то (EF)±(BC), Аналогично найдем, что (EF) J- (AD) Следовательно, прямая EF, проходящая через середины противоположных ребер ВС и AD тет¬


раэдра, является его осью симметрии. Аналогично докажем существование еще двух осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер. Следовательно, тетраэдр ABCD — равногранный.
IV. Используем описанный тетраэдр для решения нескольких задач на доказательство и на вычисление.
1. 	Доказать, что если основание одной из высот тетраэдра есть ортоцентр соответствующей грани, то тетраэдр — ортоцентрический. Обратно, если тетраэдр является ортоцентрическим, то основание любой его высоты совпадает с ортоцентром соответствующей грани.
Решение. Пусть основание Н высоты DH тетраэдра ABCD является ортоцентром треугольника ABC (рис. 2). Тогда (АН) _L {ВС) и, следовательно,
Рис. 2
(AH)l(YZ). Точно так же (ВН) 1 (ZX) и (CH)±(XY), т. е. точка И есть центр окружности, описанной около треугольника^ KZ, Следовательно, боковые ребра тетраэдра DXYZ конгруэнтны как наклонные, проекции которых конгруэнтны, и тетраэдр ABCD является ортоцентрическим.
Для доказательства обратного предложения следует провести те же рассуждения в обратном порядке.
2. 	Дан ортоцентрический тетраэдр ABCD. Вычислить длины отрезков, соединяющих середииы противоположных ребер тетраэдра, если \AD\—ax и \ВС\—а.
Решение. Воспользуемся формулой (1) и соотношением
а2 + а\ = b2 -f b\ = с2 + с\
Получим
х2 = Ь2 + b\ + с2 -f с\ — а2 — а\ = а2 + а\.
А так как х = у = z, то, используя (4), найдем
г, = — tt = ~yV аг + а].
3, Найти кратчайшее расстояние между противоположными ребрами AD и ВС тетраэдра ABCD, если \AD\ = \BC\=a, \BD\ = \СА\~Ь и |СЯ| = |ЛВ|=с.
Решение. Так как отрезок EF, соединяющий сере-. дины ребер AD и ВС равногранного тетраэдра ABCD, есть общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым AD и ВС, то кратчайшее расстояние между ними равно t\. На основании (1) и (4) получим
Ь2 + с2-
4. 	Найти объем тетраэдра ABCD, если |£С|=а, |ЛЯ|=аь \BD\ = \CA\=by \CD\ = \AB\=c.
Решение. Вычислим объем V\ тетраэдра DXYZ (рис. 2). Так как \BD\-\CA\ и \CD\-\AB\, то (DX)±.{DZ) и (DX)_!_(£>У). Поэтому если грань DYZ считать основанием тетраэдра DXYZ, то ребро DX будет его высотой.
Площадь 5, грани DYZ можно вычислить так: Si = | AD | • | AY | sin <pi = aax sin <pb
где, как и прежде, =
Следовательно,
V1 = • | DX | = -g- аахх sin <ple
Согласно (1) и (2), имеем:
хг =2 (62 + с2) — а? — а2и
62-
COS cpi = —
аа.
Выполнив несложные преобразования, получим
Vt = х Y(ааг -f- Ь2 — с2) (аах + с2 — Ь2).
Следовательно, объем V тетраэдра ABCD можно вычислить так:
1
V - — Vi =
-^2 У (262-f 2с2—а2+а^(ааг -\-Ь2— с2) (аах -f с2 — Ь2).
В частности, если а — а{, то у = 1-/2 (а2+ Ь2 — с2) (а2 + с2
- b2) (b2 + с2 — а2)
5. Доказать, что если V — объем тетраэдра ABCD,
a tl9 t2, h — длины отрезков, соединяющих середины его
противоположных ребер, то
1
у ^ з ^1^з*
Решение. Если плоские углы при вершине D тетраэдра DXYZ прямые, то удобно грань DYZ считать основанием тетраэдра, а ребро DX — соответствующей высотой. Так как площадь грани DYZ равна
—уz, то xyz и
1 1 1
V = ^ Vx = 24 xyz = 0 tJJ*
причем тетраэдр ABCD является равногранным.
Если же тетраэдр DXYZ ке является прямоугольным, то и вписанный тетраэдр ABCD не является равногранным. В этом случае имеем 1
Vx = -g- xyz sin a sin p,
где a —YDZ и |3 — угол наклона ребра DX к плоскости DYZ.
1
Следовательно, Vt <Г “g" xyz и
I
Построение описанного тетраэдра также целесообразно при решении задач 147, 173, 219, 222 из раздела «Задачи по общему курсу математики» учебного пособия [3].
Литература
1. Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии,
ч. 	II. М., Гостехиздат, 1949.
2. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. III. М., Гостехиздат, 1954.
3. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 10 кл. Сборник статей. Составитель 3. А. Скопец. М., «Просвещение», 1974.
73


3. 	М. КОСТИНА (Москва)
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
I. 	К понятию о плоской горизонтальной проекции
Где бы ни находился наблюдатель — на колхозном поле, на корабле в море, на вертолете в воздухе, — везде он может использовать для работы некоторое определенное направление для данной точки М, а именно направление отвесной или вертикальной прямой, соответствующее направлению силы тяжести.
Отвесная прямая принимается за основу при всех геодезических и астрономических измерениях и наблюдениях, и многие приборы снабжены приспособлениями для уточнения ее направления Особенно важно то обстоятельство, что все точки, принадлежащие одной отвесной прямой (будет ли точка обозначать место маяка на горе или место вертолета, висящего в воздухе над маяком), имеют одни и те же географические координаты (широту и долготу). Далее мы рассмотрим, как это свойство используемся на практике.
Представим себе поверхность моря в спокойном состоянии. Небольшой участок этой поверхности примем за часть горизонтальной плоскости Q (рис. 1). Над
морем появился вертолет, который ведет поиск. Накануне внезапный сильный порывистый ветер оторвал льдины от берега залива и унес их в море вместе с рыбаками. В точке А летчик останавливает вертолет и повисает над льдиной, на которой увидел несколько человек. Но он не может взять на борт своего вертолета всех этих людей, и ему необходимо вызвать с аэродрома второй вертолет, сообщив туда координаты льдины. Координаты точки А (место вертолета) он определяет по приборам и по карте По показаниям прибора отвесная прямая, проходящая через точку А, пересекает плоскость Q (плоскость льдины) в точке Аи и точка А\ будет иметь те же координаты, что и точка А, так как они обе находятся на одной отвесной прямой ЛЛ,. Та ким образом, точка А как бы перенесена в точку Ах на плоскость Q по отвесной прямой. В этом случае говорят, что точка А\ — горизонтальная проекция точки А на плоскость Q.
Точно так же можно вообразить точку Вi — горизонтальную проекцию точки В, в которой оказался вертолет через некоторое время после первого мсмейха.
Точки А и В соответствуют месту вертолета в первом и во втором зафиксированных моментах времени. Расстояние между этими точками — длина отрезка АВ% а горизонтальная проекция этого отрезка на плоскость Q — отрезок А\В\.
Вообще горизонтальные проекции точек, каждая из которых соответствует месту вертолета в пространстве в разные моменты времени, позволяют представить на горизонтальной плоскости в виде ломаной или кривой линии след его продвижения, и эти линии могут быть отображены на карте (плане) в выбранном масштабе.
Плоскость Q называется плоскостью проекций. Если точки (например, С и L на рис. 1) лежат выше или ниже этой плоскости, то они на нее проектируются. Если точка D принадлежит этой плоскости, то сама является своей проекцией. И во всех случаях проектирующими прямыми являются отвесные прямые. Но проектирование производится на горизонтальную плоскость, к которой, согласно ее определению, отвесная прямая перпендикулярна Поэтому эту проекцию можно назвать ортогональной. Необходимо заметить, что проектирующая прямая точки Л, определяемая отвесом или прибором, его заменяющим, показывает действительное направление силы тяжести в точке Л, а для тех точек прямой АВ, в которых прибором не пользуются, за проектирующие прямые принимаются перпендикуляры к горизонтальной плоскости.
Вопросы: 1. На море появился пароход (рис. 1).
За место парохода принимаем точку D. Какова будет горизонтальная проекция точки D, если высота точки D над поверхностью воды не учитывается?
2. Как получить горизонтальные проекции С\ и L\ — основания С маяка, стоящего на скале, и точки L подводной скалы (рис. 1)? Зависит ли положение точки С\ от того, как высока скала, и точки L\ от того, как глубоко точка L находится под водой?
3. Изменится ли горизонтальная проекция АВ, если:
а) точка В окажется на той же отвесной прямой, что и ранее, но выше или ниже своего первого положения;
б) точки А и В окажутся на одной отвесной прямой?
4. Почему горизонтальную проекцию можно назвать ортогональной?
II. 	Горизонтальные проекции и план
При вычерчивании каждого плана некоторая горизонтальная плоскость принимается за основную, и поверхность листа бумаги изображает эту плоскость.
Пусть требуется начертить план класса, — тогда за основную плоскость можно взять горизонтальную плоскость его пола (назовем ее Q) Выбрав масштаб, в котором должен чертиться данный план, на бумагу в масштабе плана наносят подобное изображение прямоугольника, соответствующего полу класса; в контуре этого прямоугольника размещаются подобные изображения фигур, показывающих, какое место занимают на полу класса шкаф, дверь и т. п. При черчении подобных фигур сохраняется равенство углов, а отрезки уменьшаются в одно и то же число раз по масштабу 1.
Как же изобразить на плане класса точки, отрезки, фигуры, которые лежат выше или ниже плоскости пола, принятой за основную? Например, как изобразить месте окна? Для пояснения приведем такой вариант.
В края подоконника втыкают две кнопки, которые обозначают две точки А \\ В (рис. 2). Затем шнур отвеса прикладывается к подоконнику так, чтобы см прошел через точку Л. На полу мелом, или кнопкой, или жетоном отмечается точка, в которой коней грузика отвеса коснулся пола. Так получается точка Ах на плоскости Q, на которую как бы перенесена (спроектиро¬
1 Расположение каких-либо фигур на плане можно определить при помощи координат некоторых ее точек.
74


вана) точка А. Точку А\ можно назвать горизонтальной проекцией точки А на плоскость Q. Так же переносится (проектируется) на плоскость пола точка В> и получается точка В\. Плоскость, содержащая прямые ААi и ВВ\, пересечет плоскость Q по прямой А\В\, отрезок которой А\В\ и является горизонтальной проекцией отрезка АВ на плоскость пола Q.
На плане обычно изображается горизонтальная проекция фигуры, но так как | А\ВХ | = \АВ |, отрезок АхВи выраженный в масштабе плана, в то же время будет изображать соответственно уменьшенный отрезок АВ.
Упражнения (коллективная работа):
1. Покажите при помощи отвесов, как на основной плоскости отобразится место* а) стола учителя;
б) 	классной доски, висящей на стене; в) столов и скамеек для учащихся.
2. Работа с моделями фигур. Покажите, как получается при помощи отвесов горизонтальная проекция: а) лестницы со ступенями; б) будки собаки; в) лестницы, приставленной к стене.
Примечание. Основной плоскостью служит лист миллиметровой бумаги. Если убрать модели с основной плоскости, на листе получатся их горизонтальные проекции в масштабе 1:1.
Из предыдущего следует, что горизонтальные проекции окна, доски, висящей на стене, на плане отображаются отрезком. Так же, в виде отрезка или кривой линии, отображается на плане отвесный обрыв местности, только выделяется штриховкой (см. АВ на рис. 3). Сравните отображение лестницы со ступенями и уступов террасы.
В результате обсуждения работы делаются выводы.
1—2. Если фигура находится на основной плоскости или принадлежит другой горизонтальной плоскости, то на плане дается ее подобное изображение в масштабе. В первом случае фигуры сами являются своей горизонтальной проекцией, а во втором — горизонтальные проекции фигур конгруэнтны самим фигурам.
Рис. 3
Рис. 4
3. 	Если плоскость, на которой лежит фигура, имеет наклон к горизонтальной плоскости (лестница, прислоненная к стене), то горизонтальная проекция данной фигуры ей не конгруэнтна, и на планов масштабе наносится подобное изображение не самой фигуры, а ее горизонтальной проекции. Поясним это на примерах.
Рассмотрим следующее пособие. Пусть поверхность листа миллиметровой бумаги, наклеенного на кусок фанеры или на доску, обозначает основную горизонтальную плоскость Q (см. рис. 4). На переднем плане показаны часть реки, а за ней ближе к склону часть луга. Далее в виде прямоугольника ABCD изобразим наклонный участок склона холма, опускающийся к лугу так, что сторона АВ этого участка лежит на основной горизонтальной плоскости на границе с лугом.
Прямая МКу отрезок которой лежит на поверхности склона холма, перпендикулярна к прямой АВ, являющейся основанием склона и принадлежащей горизон- тальной плоскости Q. Эта прямая показывает направление, по которому течет (скатывается) по склону вода, попадающая на поверхность холма во время дождя или получившаяся при таянии снега. Отобразим отрезок МК на основной плоскости Q: точка М проектируется в точку Ми точка К сама является своей проекцией, а отрезок М\К является горизонтальной проекцией отрезка МК. Отрезок М]К и Наносится на план в масштабе плана. Таким образом, по плану можно определить длину отрезка М\К. Подобно предыдущему на план участка наносятся вместо отрезков MEь МЕ2 их горизонтальные проекции М\Еи МХЕ2. Все указанные выше проекции называются заложениями соответствующих отрезков холма (МК, МЕ\ и МЕ2).
Допустим, что участок ABCD занят огородом. Преподаватель обращает внимание учащихся на то, как при проектировании фигуры A BCD получается на основной плоскости прямоугольник ABC\D\2, и, следовательно, на плане месту огорода будет соответствовать подобное изображение этой фигуры в масштабе плана, а не прямоугольника ABCD.
При этом преподаватель может задать учащимся ряд вопросов: 1) Лежат ли в основной плоскости фигуры, изображающие место части реки и место луга? Можно ли назвать планом их подобное уменьшенное изображение? 2) Как получился в основной плоскости прямоугольник ABC\D\? Почему \AD\\<i\AD\ и \ВС\\<С < |£С|? Равны ли площади этих фигур? 3) Допустим, что на плане место огорода будет обозначаться подоб¬
2 Доказательство, что четырехугольник ABC\DX — прямоугольник, привести Можно только в пбеледующих классах, а здесь можно проверить измерением, что углы этого четырехугольника — прямые.
75


ным изображением прямоугольника ABCD. Где окажется место изгороди, изображенной отрезком АВ? Хватит ли на плане места для изображения луга и реки?
Примечание. Если при составлении плана большого участка вместо горизонтальных проекций малых участков взяты их действительные размеры, то отображение озера на участке одного колхоза может перекрыть отображение участка, занимаемого полем или лесом другого колхоза, и т. д.
Говоря о плане, необходимо остановиться на измерении горизонтальных углов, т. е. на горизонтальной проекции угла.
На рис. 5 /LAMB — это угол, стороны которого МА и MB. Пусть линия АМВ изображает изгородь, делающую в точке М резкий поворот. Как нанести эту изгородь на план^
Можно воспользоваться угломерным прибором, например астролябией, на градуированном (т. е. разделенном на градусы) круге которой имеется компас и линейка с диоптрами. Этот прибор устанавливается так, чтобы центр О указанного выше круга находился в какой-либо точке отвесной прямой, проходящей через вершину М угла АМВ, и самый круг устанавливается в горизонтальной плоскости при помощи уровня. Кроме того, прибор ориентируется, после чего луч, соответствующий северному направлению меридиана центра О круга, проходит через нулевое его деление.
Затем при помощи линейки с диоптрами берут направление на какой-либо предмет (например, столб А) на луче МА и намечают полуплоскость R, которая пересечет плоскость круга по радиусу Оа. Таким образом на плоскости круга намечается горизонтальная проекция стороны МА угла АМВ.
Заметив на круге соответствующее этому направлению число градусов (например, 50°), подобно предыдущему, устанавливают линейку в направлении на дерево В на линии изгороди и намечают вертикальную полуплоскость Я, которая пересечет плоскость круга по радиусу Ok и таким образом спроектирует на плоскость круга другую сторону MB угла АМВ.
Если прямая MB пооходит через деление, обозначен- /\
ное 80°, то аОЪ = 30° (80° —50° = 30°). Угол аОЬ, величина которого равна 30°, является горизонтальной проекцией угла АМВ — он и наносится на план.
Z. АМВ конгруэнтен /L аОЪ только в том случае, если лежит в горизонтальной плоскости. Таким образом, на плане отображается и измеряется не данный угол АМВ, а его горизонтальная проекция.
BII. Крутизна линий ската. Крутизна ската. Связь крутизны с заложением (при одной высоте)
Пусть уровень, положенный на плоскость доски или куска картона, показывает, что эта плоскость Q горизонтальна. На ней обозначим точку М и несколько лучей МА, MB, МС и т. д. Через точку М проходит стержень (кусок палочки, проволоки), изображающий прямую ME, наклонную к плоскости Q. Наклонная ME образует с лучами МА, MB и т. д. углы АМЕ, ЕМВ и др. Но они могут быть различны по величине, поэтому углом между прямой (ME) и горизонтальной плоскостью называется угол между этой прямой и ее горизонтальной проекцией на эту плоскость. Угол строится следующим образом. Из произвольной точки А прямой ME проводится отвесная прямая, которая пересечет плоскость Q в некоторой точке Ах. Получим AA\±.Q. Вертикальная плоскость, содержащая прямые ME и ААХ, пересечет . плоскость Q по прямой МА\, которая является горизонтальной проекцией наклонной прямой ME на эту плоскость Q. Согласно определению, приведенному выше, /LEMAX (или Z^AMA\) можно назвать углом между наклонной ME и плоскостью Q.
Допустим, что отрезки МК, МЕХ и МЕ2 (рис. 4) изображают дороги или тропинки на скате ABCD. Прямые МК, МЕ\ и МЕ2 образуют с их горизонтальными проекциями (Mi/(, М\Еи МХЕ2), а следовательно, и с плоскостью Q, углы а, р и у. По величинам этих углов можно сравнивать крутизну дорог, тропинок, изображенных упомянутыми выше отрезками.
Остановимся на зависимости между крутизной линии ската и ее горизонтальной проекцией (заложением) при одной высоте.
Пусть требуется изобразить (отобразить) на плане в масштабе 1 : 1000 отрезок МК длиною в 200 м (рис. 4)). Без учета угла крутизны учащийся получит: длина отрезка на плане равна 20 см, но в действительности эта задача имеет множество решений в зависимости от угла а наклона линии МК и горизонтальной плоскости. При угле а, величина которого равна 30\
|MtК| =200 - cos 30° = 200 • 0,866= 173,2 (м). Первое решение остается для случая, когда углом а можно пренебречь.
Коротко остановимся на следующих вопросах:
1. Отрезок МК Л-АВ (рис. 4) , поэтому он меньше наклонных МЕ\ и ME2.
2. Докажем, что меньшему отрезку соответствует меньшая горизонтальная проекция (заложение) Если \КМ\ < \ЕХМ\ и \КМ\ < |£2М|, то |m| < |£iA'4< <\Е2М{\.
Доказательство: Рассмотрим Л МКМ\ и
AMEiMi. Эти треугольники при точке М\ имеют прямые углы (отвесная прямая ММХ перпендикулярна к любой горизонтальной прямой). Совместим плоскость первого треугольника с плоскостью второго, вращая первую плоскость вокруг ММ} В полученной фигуре (рис. 6) |Mi/C| <\M\E\ | (так как меньшая наклонная (отрезок) на плоскости имеет меньшую проекцию)
Пользуясь предыдущим выводом, докажем, что при одной и той же высоте меньшему заложению соответ*
76


ствует больший угол наклона к плоскости Q, т. е. а>*р и а>у, внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного).
Таким образом, подъем по прямой МК самый крутой. И если бы надо было проводить дорогу, то лучше было бы ее провести по линии /И£, или МЕ2, хотя в этом случае она была бы длиннее. А самый короткий путь по отрезку М/С, как уже говорилось, прокладывает вода, скатывающаяся со склона.
Отрезок МК (рис. 4), перпендикулярный основанию склона, является в то же время линией наибольшей крутизны, а величина Z. МКМь образованного прямой МК и ее горизонтальной проекцией на плоскости Q, служит мерою крутизны самого ската ABCD. Подобным образом определяется крутизна других скатов. Исследование их крутизны и сравнение ее имеет большое практическое значение (например, скаты менее 15° допускают свободное передвижение пешехода и видов транспорта).
Примечание. Поскольку сравнение крутизны скатов состоит в сравнении их углов наибольшей крутизны, то обычно каждый из этих углов, взятых в вертикальной плоскости, называется крутизной ската.
Упражнения.
1. Покажите, как получить угол наклона прямой к горизонтальной плоскости.
2. Какой угол называется крутизной ската?
3. Как получить этот угол из различных точек отрезка CD? (См. рис. 4.)
' Докажите, что все эти углы равны, используя конгруэнтность треугольников по гипотенузе и катету.
4. Решите задачу: определить заложение для отрезка в 20 см при а = 20°.
5. Какая зависимость между заложением и крутизной линии ската при одной и той же высоте?
IV. 	Горизонтальная проекция и способ горизонталей
Способ горизонталей, с которым учащиеся знакомятся на уроках географии в V классе, неразрывно связан с понятием о горизонтальной проекции. В математическом кружке можно воспользоваться плакатом с схематическим изображением холма (рис. 7). За основную плоскость Q при проектировании принимается плоскость подошвы холма, F] — горизонтальная проекция вершины /\ Длина отрезка FF\ в то же время является высотой F (здесь для плана имеется в виду не высота точки над уровнем моря, а превышение над точкой F\ плоскости Q).
О горизонталях можно сказать следующее: 1) горизонтали, изображающие холм, — это линии равных вы¬
Рис. 7
сот. Над каждой из них имеются цифры, показывающие высоту горизонталей (5 м, 10 м, 15 м); 2) горизонтали на основной плоскости — проекции линии равных высот; 3) горизонтали на плане — отображение на чертеже упомянутых выше проекций, уменьшенных по масштабу плана (во втором и третьем случае на горизонталях ставятся те же цифры, что и в первом случае).
Примечание. Необходимо напомнить учащимся: 1) чтобы отличить горизонтали холма от горизонтали котловины, на горизонталь ставится штрих в сторону понижения; 2) для одной карты расстояния между соседними горизонталями по высоте (на местности— высота сечения) равны и обычно указываются внизу карты, например: «Высота сечения 10 м».
Возьмем для примера линии" ската, изображенные отрезками КА и АВ в левой части холма (рис. 7), и отрезком СЕ в правой его части. Их горизонтальные проекции /04ь А\В\ и С\Е\. Эти проекции называются заложениями. Покажите на чертеже, что при одной высоте большему заложению соответствует меньшая крутизна ската, а меньшему — большая крутизна.
V. 	Азимут, пеленг, курс (корабля, самолета) и горизонтальные проекции 3
1. 	Азимут
Если луч MN (рис. 8) соответствует северному направлению меридиана точки М местности, а предмет С находится в той же горизонтальной плоскости Q, что и точка М, то азимутом луча МС является величина угла NMC. Но чаще точка В находится или выше плоскости Q (домик на горе, рис. 8) или ниже ее (дерево или дом в овраге), тогда азимутом луча МБ в точке М
Рис. 3
У
является не величина угла NMB а величина угла NMB\ между лучом MN и лучом МВ\Ч представляющим горизонтальную проекцию луча MB на плоскость Q (при этом, как обычно, отсчет производится от луча MN по ходу часовой стрелки от 0 до 360°).
2. 	Пеленг, курс (корабля, самолета)
При помощи азимута определяется направление на предмет или направление движения. В морской и авиационной практике первому азимуту соответствует пеленг предмета, а второму — курс (корабля, самолета). Они также представляют величины углов, которые определяются при отсчете от луча MN, соответствующего
3 Здесь имеются в виду азимут, пеленг, курс (корабля, самолета), определяемые при помощи магнитного компаса.
77


северному направлению меридиана точки М, по ходу часовой стрелки от 0 до 360°.
Пеленгом предмета В из точки М называется величина угла между лучом M\N и горизонтальной проекции М\В луча MB (рис. 9).
Пеленг определяет направление из какой-либо точки В берега, местности на скалу, судно в. море, на самолет в воздухе, или направление из точки М корабля (самолета) на предмет В, находящийся на местности, на море или в воздухе.
Рис. 9
Примечание. Морские (воздушные) течения, ветер могут отклонить судно, самолет от заданного направления. Чтобы корабль (самолет) шел по заданному пути, необходимо во время плавания (полета) делать расчеты и вносить поправки в курс, учитывая действие морских (воздушных) течений и ветра,' а также ошибки магнитного компаса, происходящие под влиянием масс железа, содержащихся в корпусе корабля (самолета) и в находящихся на них предметах.
3. 	Пеленги в радиолокации Наряду с пеленгами, определяющими направления при помощи зрения, используются пеленги, которые определяют направление на источник звука (подводную лодку, самолет и пр.), на источник радиоволн (радиостанция, рация самолета и др.), а также пеленги в радиолокации, основанной на отражении радиоволн. Остановимся на радиолокации.
Радиоволны главным образом отражаются от материалов и предметов, проводящих электрический ток, и особенно от металлических предметов. В первых радиолокационных установках получение отраженного сигна¬
ла свидетельствовало о том, что где-то в зоне их действия появился предмет (корабль, самолет). В дальнейшем, постепенно совершенствуясь вместе с радиотехникой, эти установки стали отвечать на вопрос о направлении на предмет, о расстоянии до него и, вообще, определяли его место в пространстве (латинское слово «локус» в переводе значит «место»). При этом ни темная ночь, ни туман, ни метель не препятствовали появлению отраженных сигналов на экране радиолокатора. Радиолокатор «видит» впотьмах. Радиолокационные станции имеют сложное устройство, которое видоизменяется в зависимости от ее назначения. Станция, направив электромагнитные волны узким пучком, исследует, подобно прожектору, определенный сектор пространства. Отразившись от поверхности оказавшегося на их пути самолета, часть этих волн тем же путем идет обратно к станции. На станции не только отмечается отраженный сигнал, но определяется расстояние до самолета и другие данные. Полученные координаты определяют место самолета в пространстве (рис. 9):
1) 	расстояние (длина М3), 2) азимут (пеленг) луча MB (величина угла NM\B), 3) величина наклона луча MB к горизонтальной плоскости Q (Z МВМ{). Все эти данные получаются при помощи изображения на экране радиолокатора и приборов в малые доли секунды. При помощи таких изображений предотвращаются столкновения судов и самолетов.
На экране на фоне моря видны корабли. Пусть это небольшие светлые пятнышки, но они движутся, и штурман может следить за ними в радиусе нескольких десятков километров. Если какой-либо из кораблей идет навстречу, штурман намечает курс, исключающий столкновение.
В Великую Отечественную войну те летчики, которые были вооружены радиолокационными приборами, называли их своими вторыми глазами. Они позволяли им следить за неприятельскими самолетами с момента их вылета.
За годы, прошедшие после Великой Победы над фашизмом, чрезвычайно возросло применение радиоло- кации в различных областях практики вплоть до освоения космоса.
К изложенному выше об азимуте, пеленге, курсе корабля или самолета добавим следующее: определение этих величин приводит к одним и тем же геометрическим построениям (рис. 9). Однако здесь имеются в виду плоская горизонтальная проекция и построение в тех пределах, в которых без ощутимых ошибок можно не учитывать кривизну земной поверхности.
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1606. При каких а. b. с справедливо равенство
abc*abc abc = abcbcbai
К. В. Ветров (г. Братск)
1607. Сколько решений имеет система у равнений
('ab -f cd efg,
1 {a, d} — {e, /, el?
В. 	А. Юдаков (Крымская обл., г. Армянск)
1608. Существует ли квадрат, у которого длина стороны— целое число, а площадь равна 1И...1?
1977
1609. Сколько существует трехзначных чисел, имею- щих ровно пять делителей?
1610. Однажды несколько друзей обменивались рукопожатиями. В некоторый момент времени оказалось, что среди любых четырех из них имеется хотя бы один человек, который уже успел пожать руки трем осталь* ным. Докажите, что друзьям еще осталось сделать всего не более трех рукопожатий.
С. Г. Губа (г. Вологда)


ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1611. Через вершину А параллелограмма ABCD проведен луч, пересекающий диагональ BD в точке М, сторону CD в точке Р, продолжение стороны ВС в точке
Q. Доказать, что \MA\2=\MP\»\MQ\.
М. X. П р и е д е (г. Даугавп.илс)
1612. В трапецию ABCD вписана окружность с центром О. Доказать, что
1111 | О А I + | ОВ |2 = | ОС |2 + 10D |2>
где [АВ] и [CD] — боковые стороны трапеции.
Б. И. Кашин (г. Осташков, Калининская обл.)
1613. В окружность рйдиуса R вписана трапеция ABCD, у которой \АВ\ = |CD| — R. Доказать, что середины радиусов О А и OD и середина основания ВС являются вершинами равностороннего треугольника.
П. И. Горнштейн (г. Киев)
1614. Доказать, что для прямоугольного треугольника выполняется неравенство
3 — /8
г-
<
та г т-ь ' 5 ’
где та, ть — длины медиан, проведенных к катетам, г — радиус окружности, вписанной в треугольник.
Т. А. Иванова (г. Горький)
1615. Даны равносторонние одинаково ориентированные треугольники ЛВС и А\В\СХ. Прямые АВ и А\ВХ, ВС и В\С ь С А и С\А\ пересекаются в точках М, N, Р соответственно. Доказать, что окружности, проходящие через тройки точек М, А, Ах; N, В, В у Р, С, С\, имеют общую точку.
Л. И. Кузнецова (г. Горький)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1616. Пусть А некоторое множество, состоящее из положительных рациональных чисел. Будем говорить, что число х£А предшествует
р
числу у£А, если в представлении чисел х = —- ,
ч
у = в виде несократимых дробей с положительными числителями и знаменателями выполняется не равенство р<^г. Задает ли это правило порядок на множестве А? Если нет, то привести примеры.
1617. Пусть Л={ 1, 2, ..., п), В = {1, 2, ..., k}.
Сколько существует подмножеств С а А таких, что СП В ф 0?
1618. Найти хотя бы два иррациональных числа а и $ таких, что аР — число рациональное.
1619. /7 оследовательность (ап) задана правилами:
а\ — Ау #2 — В, п —
1 1
п—1 ап +1
(А>В> 0).
Доказать, что lim ап = 0.
1620. На какие две цифры оканчивается двадцатая Степень четного числа?
С. И. Майз ус (г. Запорожье)
1621. Доказать, что если многочлен
а0хп + а,лг"-1 + агхп~~ + ... + ап равен нулю при любом значении х, то
ао = ах = а2 — ... — ап — 0.
1622. В пространстве даны две прямые. Указать все осевые симметрии, отображающие одну из данных прямых на другую (рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямых).
1623. В круге проведена хорда AD. Построить параллельно ей хорду ВС так, чтобы трапеция. ABCD имела наибольшую площадь. С. И. М а й з у с
-1624. Построить сферу, проходящую через две данные точки и касающуюся двух данных плоскостей.
Л. И. Кузнецова
1625. Одна из высот треугольника видна из центра описанной около него окружности под прямым углом. Найти зависимость между углами этого треугольника.
Т. М. К о р и к о в а (г. Ярославль)
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Интеграл
1626. Доказать, что если 0 < а < Ь, то
а
- >> v -—-
а
Ь Ь- 1п —> 2 -
b а ‘
С. Т. Берколайко (Белгородская обл.,
с. Котово)
Поля
1627. Доказать, что число 345 876 4- 266 343 j/2 не является квадратом числа вида m + п 7/ 2, где m,n£Z.
С. И. М а й з у с
Применение векторов
1628. Дан тетраэдр МАВС, у которого все углы при вершине М прямые. Доказать, что для любой точки D, принадлежащей грани ABC, имеет место равенство
S2asc I MD |2 = S2bcd I МА |2 +
+ $mad I MB |2 + S
abd I
| MC p.
окружности,
вписаннои
В частности:
1) если D — центр в грань ABC, то
а\а2 + b\b2 + с:с2 ,Ш)Р“
где а=\МА\, Ь = |ЛШ|, с = \МС\, а, = |ВС|, Ь\ == |СЛ |, Ci = |ЛВ|, 2р\ = а\ + Ъ\ -{- С\\
2) если D — центр описанной окружности, то
4 пб л л ^
I MD I2 = -775-у (a2 sin2 2А + Ь2 sin2 2В + с2 sin2 2С), а\Ь\с\
где R—радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Коническая поверхность
1629. Прямая I пересекает плоскость а в точке М. Для прямой I и каждой прямой т, лежащей в плоскости а и проходящей через точку М, построены две оси симметрии. Доказать, что множество точек, принадлежащих всем этим осям, есть коническая поверхность второго порядка.
3. 	А.’ Скопец (г. Ярославль) Аффинные преобразования
1630. В пространстве даны пять точек Аи А2, А3, Л4, Аъ, таких, что существует аффинное преобразование пространства, при котором А\ отображается на А2, А2 — на А3, А3 —на А4, А4 — на А5; Аъ—гна Ах. Доказать, что данные пять точек принадлежат одной плоскости. 3. А. С к о п е ц
79


РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1975 Г.
1456. Номера автобусных билетов — шестизначные числа. Будем считать билет счастливым, если сумма первых его трех цифр равна сумме трех последних. Достаточно ли купить 1000 билетов подряд, чтобы среди них наверняка нашелся хотя бы один счастливый билет?
Решение. Нет, недостаточно. Например, среди номеров от 000 001 до 001 000, или среди номеров от 998 999 до 999 998 нет счастливых.
1457. Может ли среди 10 идущих подряд билетов найтись два счастливых? А среди 9 билетов?
Решение. Среди 10 идущих подряд билетов с номерами от 100 001 до 100 010 первый и последний счастливые, поэтому ответ на первый вопрос задачи утвердительный.
На второй вопрос ответ отрицательный. Действительно, пусть билет с номером xyzabc счастливый. Если ~ahc 4 9 < 1000, то следующим счастливым может быть только десятый билет после данного, так как сумма цифр может восстановиться только тогда, когда к abc прибавляется не менее 9 единиц; например, 527 4 9 = 536. Если аТс + 9 > 1000, то я == 6 = 9 и хН- у -Ь.£>18, и поэтому, гем более, новый счастливый номер встретится не ранее, чем через 10 номеров (включая данный).
1458. Всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы различных степеней числа 2; например:
231 = 27 4 2б 4 25 + 22 4 21 4- 2°.
Для каких трехзначных чисел такое представление имеет наибольшее число слагаемых?
Решение. Поскольку 29 4 28 4 ... +22 4 21 4 -f-2°=1023, то представления трехзначных чисел в виде суммы степеней числа 2 не могут содержать более 9 слагаемых. Трехзначные числа, в представлении которых содержится 9 слагаемых, могут быть получены из рассмотренного представления числа 1023 путем вычеркивания любого слагаемого, большего 23. т. е. при вычитании из 1023 чисел 32, 64, 128, 256, 512.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа 991, 959, 895, 767, 511.
1459. Вычислите значение выражения
J_ J_ II? 11? JL
3117‘4 119 1 117'5 119 ~ 119-
1 1 1
Решение. Пусть j-jy = йи уТд = b, тогда 3 ур7 *
1 „ 116 118 5 * ^ 119 — И7 *^ П9 — П9 = 4 #) (4 4 — аJ *
10
X (6 — Ь) — ЪЬ = 10а «== Ylj-
1460. Упростите выражение
70(719 4 718 4 717 4 ... + 712-f 72) + 1.
Решение. Обозначим число 71 для краткости через а. Тогда
(а —1 )(а9 +й8 +д7 +... +а2 + я-Ь 1)4 1 - — (л10 4 а9 + а8 4 ... 4 а* + a2 4 а) —.
— (а9 4 д8 + я7-Ь ... +-а* + а + 1)+1 - д,а.
Итак, данное выражение равно 71,0.
1461. Докажите, что если x + y + z + t — Q, то x* + y* + z* + t* = 3 (ху — zt) (г 4 t).
Решение. Учитывая условие, имеем последовательно:
*4 У = — (*4 0,
{Х + УУ- + х3 4 у3 4- 3*у (х -f у) = —zb — tb — 3zt (z 4t), xs 4- у3 — 3xy (z 4 t) = — z* — t3 — 3zt (z 4 t), xb 4- У3 4- z* 4-1* = 3 (xy — zt) (z 4-1),
что и требовалось доказать.
1462. Решите в целых числах уравнение
(х 4 у)2 4 * 4 4у = 0.
Решение. Данное уравнение перепишем в виде (х 4- У) (х 4 у 4 1) = — Зу.
Отсюда следует, что либо *4 у, либо х 4 у 4 1 делится на 3. Если х 4 у = 3/е для некоторого целого /г, то у — —3k2 — k и х — 3k2 4 4/г. Если х 4 У 4- 1 = 3k, то у = — 3k2+k и x = 3k2-{-2k — 1.
Таким образом, данное уравнение имеет две серии целочисленных решений
х = 3k2 4 4k, j x = 3k2 + 2k — 1,
У = —ЗА2 — k 11 | у - — Ш + k,
где k — любое целое число.
1463. В окружность вписаны конгруэнтные противоположно ориентированные треугольники А ВС и AxBxCi. Докажите, что точки пересечения прямых АВ и А\ВХ, ВС и В[С ь С А и С\А j принадлежат одной прямой.
Решение. Так как треугольники ABC и А{В\С\ конгруэнтны и противоположно ориентированы, то существует единственное перемещение второго рода, отображающее треугольник ABC на треугольник А\В\С\. Этим перемещением может быть либо осевая симметрия, либо переносная симметрия. Поскольку окружность, описанная около треугольников, отображается при этом перемещении на себя, то центр окружности — неподвижная точка. Тогда искомое перемещение — осевая симметрия. Соответственные прямые при осевой симметрии либо параллельны оси, либо пересекаются в точке, принадлежащей оси.
Итак, либо три точки пересечения соответственных прямых принадлежат одной прямой (общий случай), либо прямые, которым принадлежат две соответственные стороны, параллельны прямой, проходящей через точки пересечения двух других пар соответственных сторон.
1464. В треугольнике ABC на продолжении каждой из сторон АВ, ВС и С А отложены соответственно отрезки В К, CL и AM так, что [£АГ] ^ [СЛ|, |С£| ^ ^ [АВ], \АМ) ^ |ВС]. Выразите углы треугольника
KML через А, В, С треугольника ABC.
Решение. Пусть вписанная в треугольник ЛВС окружность с центром О касается сторон АВ. ВС, СА соответственно в точках D, Е, F (рис 1). Обозначим точки пересечения с окружностью отрезков ОК. OL, ONI соответственно через Р, Q, R. Нетрудно заметить, что каждое из расстояний |/Ж|, \EL\, |FMj равно полупериметру треугольника А ВС. Следовательно, треугольники ODK, OEL и OFM конгруэнтны. Пусть
А /\ /\
DOK — EOL = FOM =* а. Очевидно, треугольник PQR может быть получен из треугольника DEF при повороте вокруг точки О на угол а. Значит, треугольники PQR и DEF конгруэнтны.
Поскольку треугольники PQR и KL \i гомотетичны
м* * \°К\
при гомотетии Н£, где k — jjjpp т0 для определения
80


Рис. 1
К
углов треугольника KLM достаточно определить углы треугольника DEF.
Приняв во внимание, что треугольники ADF, BED и CFE равнобедренные и их углы при вершинах равны соответственно А, В и С, находим:
/\ /\ /\ LKM - QPR - EDF
А+ В
/\ /\ /\ В + С
MLK = RQP » FED - —5
С + А
/\ /\ /\ KML = PRQ = DEF
1465. Найдите зависимость между радиусами ra, гь, гс вневписанных окружностей прямоугольного треугольника ABC (С = 90°).
Решение. Пусть окружность (ос радиуса гс касается прямых АВ, СА, СВ соответственно в точках С0, Сь Сг, а окружность ш0 радиуса га — в точках Ль А2, А0 (рис. 2).
Имеем: а 4* I ВСг \ — гс, Ъ 4- | ЛСг | « равенства, получим
2rc — a -f- b 4* | ВС21 -f-1 ЛСХ | > 4 I &С01 -f" I АС01 — а 4 b 4- с — 2р.
Итак,
Так как I АА,
| В At | = I ВА01 = а -
(3)
Г С = Р (1)
|Л.4,|, то Ь +га -с+ \BAt\. НО - га, поэтому 2га = а + с — Ь, т. е.
Га = р — ь. (2)
Аналогично доказывается, что
гь = Р — а.
Из (1), (2) и (3) имеем: а = rc — r&, b*=rc — ra,c га 4- гь. Но с2 = л2 4 Ь2, поэтому (г0 4 гь)2 = (<> — ГаУ + (Гс — ГЬ)\ ИЛИ rarb + rb-re+ г с-г а
= Гс-
1466. Решите у равнение
Ъх 4 2*+1 • 3* — 32Х 4 22*
Решение. Преобразуем данное уравнение;
5х 4- 2-2*-3А' — (3х)2 4 5х - (3* — 2х)2,
(v'~£>y = i з*—2х \.
Если х >- 0, то (к^5)л = 3*— 2х, т. е.
'5\ж
Г_5 , Г1У1 ,
з / +V з ) -1*
Легко видеть, что х = 2 является корнем уравнения. Этот корень единственный, так как левая часть уравнения — убывающая функция.
Если х < 0, то 3 n*
; /5)х = 2х — 3х, т. е.
№
+
монотонно
+(4) •
Функция / (х) = + (■§*) ~1
возрастает, а поэтому уравнение /(л:)=-0не может иметь более одного корня. Неравенства /(—3)<0 и /(—2)>0 показывают, что корень существует и лежит в интервале (—3; —2). Этот корень можно вычислить приближенно с любой степенью точности.
Итак, данное уравнение имеет два корня.
1467. Решите в нашуральных числах уравнение (х2 4- 1)у — U2 — 1)У - (2х)У.
Решение. Данное уравнение перепишем в виде ( 2х V A*2 — IV .
U2 + iy +Ua + i) =1-
Если х = 1, то у — любое натуральное число. Если х > 1, то у ф\, так как при у *=* 1 х — 1 Если х > 1 и у = 2, то уравнение превращается в тождество. При
2х х2 — 1
х > 1 и у > 2, поскольку V2 Л*2— IV
\) -1,
/2* у Лг_1У ,
\х2 + 1/ + \лг2 + 1/ <
■<1.
0^т)' + & + -
JC2+ 1 выполняется
* + Г<1 и
неравенство
показывающее, что для
= гс. Сложив эти = а 4- о 4*^
х > 1 и у > 2 нет решений.
Итак, данное уравнение имеет решения х =* 1, у — любое и х > 1, у = 2.
1468 Является ли сумма квадратов 1974 после- довательных натуральных чисел полным квадра- том?
Решение. Для натуральных я и Л имеем а* + (л + 1)*+... + (* + *)*- + (fl2 + 2л + 1) + ... 4- (Я2 4- 2ak + &) -
/5 (/г -4- 1)(2Лг -h 1)
(Л 4-1) а2 4* А? (Л 4* 1)я 4* 5 •
81


При k — 1973 получаем
5 - а2 + (а + I)2 + ... + (а + 1973)2 =
^ 1973.1974.(2.1973 + 1)
= 1974л2 + 1973- 1974а + g —L =
« 7.47 ((7 — 1) а2 + (7 —-1) (7-282 — 1) а + (7-282 — — 1) (7-564 — 1)) = 7*47 (7п — (а2 —а — 1)).
Рассматривая возможные остатки от деления а на 7, легко проверить, что а2—а—1 ни ири каком натуральном а не делится на 7; поэтому S делится на 7, но не делится на 72, а следовательно, не является квадратом натурального числа.
1469. 	Найдите угол Р, если числа а, р, 7 и cos2 а, cos2 р, cos27 составляют арифметические прогрессии.
Решение. По условию а + 7 = 2р и cos2 а -f- + cos2 7 = 2cos2p, откуда
1 4- cos 2а 1 4- cos 27
- . _j_ - -
1 4- cos2p,
cos 2а 4- cos 27 == 2 cos 2p, cos (a 4- 7) • cos (a — 7) = cos2p, cos 2p- cos (a — 7) = cos2p, cos 2p (1 — cos (a — 7)) = 0.
Если cos2p = 0, то p = -4- (2k + 1); если cos (a —
.— 7) = 1, to a — 7 = 2nk.
Таким образом, если разность арифметической прогрессии а, р, 7 равна nk, то р — любое, а если она от-
it
лична от тМ, то р = — (2k 4- 1) для любого натурального k:
1470. 	Докажите, что при п > 2 выполняется неравенство
k= 1
3 п 2л 4-1 *
Решение. Для любого натурального k
1
1
3ft2 > 4ft2 — 1
ft — 1
2ft + 1
2ft — 1
поэтому
k — \
k=l
k=l
^r)-
2k 4-1 2k-
/ n n — 1 \ n
+ V. 2л+ 1 ~ 2o-lJ“ 2«+l *
3 n
2/t+l *
Рис. 3
Решение. Пусть /Сь К2, . Кп — проекции ..точки М окружности на касательные, проведенные через точки Ai, А2. ..., Ап (рис. 3), а S2, Sn — проекции точки М на прямые АХА2, А2А3, ..., АпА\. Имеем:
dZki,
где /
то
| MKi | = | MAi I - sin MAi
I MS11 = I MAi I * sin MAiSi,
= 1, ..., п. Но так как
/\ 1 — /\ 1
MAiKi = — MAi} MAiSi = — MA
i+i
(I — 1, ..n, At2+1 — Л1),
■ I Af/C, l-I Af/C, I -. -. • I —
= I MSt\- I MS2| •... .\MSn\.
1472; Медиана BM треугольника ABC образует со стороной ВС угол <p. Докажите, что
2 у2 — 3 cos <р
cig А >
sin ср
Решение. Построим точку D, центрально симметричную точке В в симметрии с центром М (рис. 4). Обозначив | ВС | = а, | ВМ | = /га, из треугольников ABD и AMD находим:
| АВ |2 = а2 4 4m2 — 4am cos ср,
| AM |2 = а2 4- т2 — 2am cos 9.
В
отсуда
k=l
1471. 	Через точки Аг, А2, Ап, принадлежащие окружности, проведены к ней касательные. Докажите, что произведение расстояний любой точки окруоюности до касательных равно произведению ее расстояний до прямых АЛА2, А2А3, ... • •АцА\.
Рис. 4
82


Из треугольника ABM
~ \АВ\2 + \АМ\2 — | ВМ |2
ctgA — 2S >
где S — площадь треугольника ABC.
Подставляя в последнее выражение найденные значения | АВ | и | AM | и учитывая, что S = am sin cpt получим
a2 -f- 2т2 — 3am cos ср ctgi4 = ат sjn ^ ,
ct gA =■
m sin <p
2 m
a sin cp
■ 3 ctg cp.
2 m
2 j/* 2
ctg Л >
sin cp
C,
л -ь в
p-r
( fi+C , , С + Л J4 4-S ^
Pi - r [ctg 3 + ctg j + ctg j }'
(рис. 5). Тогда
в
+ ctg -у + ctg
—) 2 /’
Рис. 5
Легко проверить, что
А В С А ±> о
ctg — + ctg — + ctg— - ctgctg-у ctg —,
в-ьс с + Л
ctg 4 + Ctg 2 + ctg
В С — ct)
A -f В
На основании неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем:
£l
Р
ctg (45° — ctg (45° — ctg (45° — ф).
авим отношение —ч
ctg (45° - 4-) ctg (45° - 4-)ctg (45° ~ 4.)
ABC ctg — ctg ~2~ ctg -g-
m sin cp ^ a sin cp sin cp •
Равенство имеет место при а*=*ту/Г2, т. е. когда слагаемые, стоящие в левой части неравенства, равны.
Таким образом,
2 >/*2 — 3 cos ср
sin -
sin
В_
2
sin
1 — sin-^) (l — sin-Jp) (l — sin-^-j Воспользовавшись известным неравенством
ABC sin “2” sin -”2“ sin —
1473. В треугольник ABC вписана окружность с центром О. В точках пересечения окружности с лучами О А, О В и ОС проведены к ней касательные. Докажите, что эти касательные определяют треугольник, периметр которого не превосходит периметра данного треугольника.
Решение. Если А, В, и С — величины углов А, В
^ ? В С ~ С -f- Л
и С соответственно, то At = к , Вх — 9 ,
получим
р±<-
р
•) (! -sin т-)
8 (l — sin -ф-j (l — sin Произведение
(i ^ Vi ^ Vi с)
[I — sin — J [I — sin —J [I — sin —J принимает наибольшее значение при
1 — sin
! 1 — sin
В
т. е. при А ’ «• В= С. Тогда < 1, или рг К Pi Pi ю Р> если треугольник равносторонний.
1474. Опишите множество точек пространства, при- надлежащих прямым, проходящим через данную точку М и одинаково удаленным от двух других данных точек А и В (точки А, В и М не принадлежат одной прямой).
Решение. Если прямая равноудалена от точек А и В, то она перпендикулярна к оси симметрии отрезка АВ и пересекает ее. Докажем это*
Пусть прямая m равноудалена от точек А а В, т. е. |Л/У| = |/Ш|, где [AN] ±пг и [BAf] JLm (рис. 6). Через середину Q отрезка MN построим плоскость, перпендикулярную к прямой т. Так как эта плоскость параллельна прямым NA и MB, то она пересекает отрезок АВ в его середине Р. Из конгруэнтности треугольников NAQ и MBQ следует, что \AQ\ = |£Q|. В равнобедренном треугольнике A QB отрезок QP — медиана и высота, а значит, прямая I — ось симметрии отрезка АВ. Прямая пг перпендикулярна к I.
Множеством осей симметрии отрезка АВ является пучок прямых с центром в середине Р отрезка АВ, лежащих в плоскости, перпендикулярной к [АВ]. Тогда множество прямых, удовлетворяющих условию зада¬
ет
• sin —>
где р и рг — полупериметры треугольников ABC и AiBiCi соответственно.
83


Рис. 8
чи, — все прямые, проходящие через точку М и пересекающие прямые пучка под прямым углом.
Если а — плоскость, содержащая оси симметрии точек Ли В, a Mq — ортогональная проекция точки /VI на эту плоскость (рис. 7), то окружность, построенная на отрезке МоЛ как на диаметре, есть множество оснований перпендикуляров, проведенных из точки М на оси симметрии точек А и В (теорема о трех перпендикулярах).
Искомое множество точек есть множество точек конической поверхности с вершиной М и направляющей — окружностью, построенной на отрезке М0Р. как на диаметре в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к нему.
Если точка М принадлежит плоскости, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину, то искомое множество точек есть эта плоскость.
1475. В пирамиде SABC ребро SC равно ребру АВ и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60°. Вершины А, В, С и середины боковых ребер пирамиды лежат на сфере радиуса 1. Найдите высоту пирамиды.
Решение. Пусть Ль Ви С]—середины боковых ребер пирамиды (рис. 8). Тогда плоскость (Ль Ви Ci) параллельна плоскости основания и данная сфера описана около усеченной пирамиды АВСА\В\С\. Это значит, что боковые ребра усеченной пирамиды равны.
Отсюда следует, что боковые ребра данной пирамиды равны и одинаково наклонены к плоскости основания. Вследствие этого вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания — точку S\.
По условию \SC\ = |Л5|, значит, треугольник SAB равносторонний.
• Учитывая, что угол наклона ребра SC к плоскости основания равен 60°, ребра 5Л, SC, SB одинаково на-
/\ А
клонены к плоскости основания и SAB = SBA = 60°, получаем, что точка S\ есть середина ребра
АВ. Следовательно, плоскость ABS перпендикулярна плоскости основания, а центр данной сферы принадлежит прямой SS\. С другой стороны, центр этой сферы есть точка, равноудаленная от точек Л, А\, Вь В. Легко заметить, что AA\S\ и BSiBy конгруэнтные равносторонние треугольники, т. е. |SH| = \S\Ai \ = |Si£i| = \S\B\.
Точка Si является центром данной сферы, а отрезок
АВ — ее диаметром. Тогда \АВ\ = |SC| = 2.
Из прямоугольного треугольника SStC находим |SS,| = -/3-
1476. Найдите наименьшее число а £ N, при кото- ром 342Л+1 -f- а- 132Л+1 делится на 1974.
Решение. 342«+1 + а-\32П+' = 342/г+1 + lS2^1 -f
_j_ (д _ j) 1 32/2+1 = 342/2+1 _ 132/2+1 (д _|_ 1) 132/2+1
Поскольку 1974 = 2.21*47 и 342«+> + 132"*1 делите*
на 34 + 13 = 47, а 342Л+1 — 132п+г делится на 34— 13 = “21, то а = 2t, а — 1 = 47т, а + 1 = 2\k для некоторых натуральных t, т и k.
Так как a = 2t = 47m -f- 1 = 2\k — 1, то 47m -j- 1 = = 1 (mod 21), откуда
47m =— 2 (mod 21),
5m — — 2 (mod 21).
20m = — 8 (mod 21),
— m~ — 8 (mod 21), m= 8 (mod 21),
т. e. m = 8-J-21 s. Наименьшее значение a, удовлетворяющее всем условиям, получается при 5 = 1 (при s = 0 а — нечетно) и равно 47*29 + 1 = 1364.
Итак, число 1364 и является искомым.
1477. 	Докажите неравенство Гюйгенса: если
71
0 < а < -Tjr, 2 sin a -f- tg а > За.
Решение. Р; ссмотрим функцию / (л:) = 2 sin х + Н- tg х — Зх. Тогда
/'(*>-2 cos х +j^—3-
(cos х — I)2 (2 cos х Ч- 1)
cos2 х
7t
для 0< х < —, причем /' (х) = 0 только при х = 0.
71
Поэтому f{x) возрастает в области 0<л:<—,
71
а следовательно, / (0) < / (а) для любого ч0 < а < —,
т. е. f (а) > 0, откуда 2 sin a -f tg а > За.
1478. Докажите. что для любого четырехугольника со сторонами аъ а2, я3, а4 имеет место соотношение
9 9 2^2
a j -f- #2 Н~ ад ^ а4.
—> > -> —► —>
Решение. Пусть АВ = аъ ВС — а2, CD — аъ,
DA = а4 (рис.9), где | АВ | = аъ | ВС | = а2,
\CD\ = аг> | DA | = По правилу сложения векторов имеем
-#■ —>• —^
-J- а% Н- а$ = — а±.
84


Рис. 9
Тогда
откуда
{ах 4 <z2 4- аг)2 — а^ 4* я? "Ь
4 2(<3j• а2 4 Л\таг 4" а2-а3),
3 (л { 4 Д‘2 4- аз) — й4 “Ь (Д1 — аг)2 "Ь
->
+ (а, — а,)2 + (аг — а3)2.
Но
Л — А + рхе,
В\ = В -j- Р2 6, 0)
-*■ -> -+
С, — С + р3е. ^
—v
Умножив равенства (1) скалярно на л, получим
л- Л 4 ру е п = 0, пВ 4* р2е-п = 0, л* С 4- ^Зе?- л — 0.
Отсюда
Р\
п-А
Р 2 !
л-В
’ > Рг '
пС
(2)
л
лг
Найденные значения ръ р2> р3 подставим в соотношения (1):
-+ Т п А+ -± п-В ^ *t п-С +
= А—е, В\ = В — -ц— е, Сг — С — ;е .
л-£
л г
п е
Тогда
(ал — а2)2 > 0, (ai — а3)2 > 0, (а2 — а3)2 > 0,
/г4
поэтому 3 (д| 4~ 4~ *^з) ^ ^4 И ~Ь а2 ~з~•
1479. Куб с ребром а спроектирован параллельно прямой I на плоскость. Вычислите сумму квадратов проекций всех ребер куба на данную пло- скость. если прямая I образует с плоскостью проекций у юл 9
Решение. Найдем сумму квадратов проекций трех ребер О А, О В. ОС Пусть плоскость проекций а проходит через О, Аъ С\ — проекции точек А, В, С на плоскость я (проектируем параллельно I) и пусть
л — единичный нормальный вектор плоскости, а е — единичный направляющий вектор прямой / (рис 10). Тогда
(для краткости, например, вместо ОАх употребляется
запись Ах)
Рис. 10
| ОАх |2 + | О В, |2 + | ОСх |2 - Л2 4- В2 4- С2 + (л А)2 4 (л - В)2 (п-С)2
(л- е)2
(л А) (X е) 4 (п • В) (В.7). 4- (п С) (С Z)
— 2
л е
Но
(л А)2 4 (л Б)2 4 (л • С)2 (л*£)2
/\ /\ /\
(a cos {А, п))г + (a cos (5, п t)2 + (a cos (С, ft))2 /\ cos?(n, е)
_
_ Stn2 ср *
так как сумма квадратов направляющих косинусов вектора п в базисе ОЛ, ОВ, ОС равна 1. Далее
(л • Л) (7* Л) + (л. В) (7- В) 4- (л • С) (*• С) — а2 (л 7). Следовательно,
|ОЛ1|24-|ОВ112 4-1 OCi |2 — Зя; 4-
+
sin2 ср
• 2л2 « л2 4-
sin2 ср '
Если 2 — искомая сумма квадратов проекций ребер 4я2
куба, то 2=4а2 +
1480. 1) Дан пятиугольник, у которого все стороны конгруэнтны и все диагонали конгруэнтны. Докажите, что он плоский.
2) Все стороны семиугольника конгруэнтны, все диагонали, отсекающие от семиугольника треугольники,
85


конгруэнтны и все диагонали, отсекающие четырехугольники, конгруэнтны. Докажите, что семиугольник плоский.
3) Убедитесь, что для многоугольника с четным числом сторон аналогичная теорема не имеет места.
Решение. 1) Пусть ABCDF — пятиугольник, удовлетворяющий условию задачи. Пятиугольники ABCDF и BCDFA конгруэнтны (сравните расстояния соответственных пар точек). Тогда существует перемещение (о пространства, отображающее точки А, В, С, D, F на точки В, С, D, F, А соответственно, т. е (o(ABCDF) = = BCDFA. Но (ABCDF) — ABCDF. Если о — перемещение первого рода, то со5 является тождественным преобразованием и в этом случае а) — поворот вокруг оси. Тогда отрезки АВ, ВС, CD, DF, FA перпендикулярны к оси поворота и, следовательно, лежат в одной плоскости.
Если со5 — перемещение второго рода, то со — либо плоскостная симметрия, либо поворотная симметрия с углом поворота 72°. И в том, и в другом случае неподвижные точки о5 принадлежат плоскости симметрии.
2) Для семиугольника рассуждения аналогичны.
3) Если многоугольник имеет четное число сторон и со — перемещение первого рода, то со6 — тождественное преобразование, сo==R^ и поэтому шестиугольник плоский. Если же о — перемещение второго рода, то со либо осевая симметрия, либо поворотное отражение. В первом случае шестиугольник плоский, во втором — не всегда.
Примечание. В этой задаче термин «неплоский многоугольник» означает «неплоская замкнутая ломаная».
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1975 Г.
Аляев А. В. (Пензенская обл.) — 1457—1462, 1465— 1470, 1475. Андриевский С. А. (Омская обл.) — 1459— 1462, 1466—1470. Ахматов М. А. (г. Ейск) — 1457, 1459— 1461, 1463, 1466, 1467, 1469, 1470. Багдасарян С. С.
(АзССР, пос. Гадрут) — 1456-1463, 1465, 1470. Баги- ров М. М. (АзССР, Физулинский р-н) — 1459—1462, 1466, 1467, 1469. 1470. Баламетов И. Г. (АзССР, г. Ку- сары) — 1457—1462, 1466—1468, 1470. Богомолов А. П. (г. Петропавловск) — 1456—1462, 1465—1470, 1472, 1473, 1475. Бортная М. И. (г. Тетиев) — 1457—1461, 1466— 1469, 1476. Будагов М. Б. (АрмССР, с. Полад) — 1457, 1459—1461, 1467, 1469, 1470. Будагов Р. А. (АрмССР, с. Полад) — 1457—1461, 1467—1470. Ветров К. В.
(г. Братск) — 1457—1462, 1465—1470, 1473. Владими¬
ров А. С. (г. Асбест) — 1456—1471, 1473, 1475—1479. Воронович Л. М. (Львовская обл.) — 1459—1461, 1465, 1466, 1469. Гемуев А. А. (г. Нальчик) — 1457—1470,
1475, 1477, 1478. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) —
1457—1462, 1466—1473, 1475—1478. Гутцайт Э.
(г. Брест) — 1456—1460. Жохов Н. И. (Москва) —
1456—1461, 1466—1470. Злобина Л. Н. (г. Брест) —
1457, 1459—1462, 1465, 1467, 1469, 1473, 1477, 1478. Зу- билин Н. И. (Орловская обл.) — 1457, 1459—1461,
1465—1470, 1473, 1477. Исаев Э. И. (АзССР, Казахский р-н) — 1459—1461, 1466—1470, 1476, 1477. Кади- ров Ф. Г. (АзССР, Исмаилинский р-н) — 1457, 1460, 1461, 1466, 1467, 1477. Карагезов Б. Ф. (ГССР, с. Джинне)—1456—1462, 1466—1470, 1475, 1476. Касумов С. А. (г. Баку) — 1459—1462, 1470. Курбанбаев Б. (Таш¬
кентская обл.) — 1458—1462, 1466, 1469, 1477. Курганов Т. К. (г. Чирчик) — 1458—1462, 1464, 1466—1470,
1476, 1477. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 1457— 1461, 1463, 1467, 1475. Мамедов Н. (АзССР, Варташен- ский р-н) — 1457—1461, 1466—1469. Мамедов X. (г. Баку) — 1459—1462, 1466, 1467. Мамедов Э. О. (АзССР, с. Азизбеков) — 1459—1461, 1466, 1470. Млкаелян Г. (г. Кафан) — 1461, 1462, 1465—1467, 1469, 1476. Мир- зоев А. Д. (АзССР, Лачинский р-н) — 1459—1461, 1466, 1468, 1470. Мосян М. А. (г. Краснодар) — 1456—1462,
1465—1469. Муминов Г. М. (Андижанская обл.) —
1457—1462, 1465—1468, 1470, 1476—1478. Мун В. К. (г. Чиназ) — 14.56—1461, 1463, 1465—1473, 1476, 1477. Невзоров А. Л. (г. Кременчуг) — 1456—1461, 1463, 1465, 1466, 1469, 1470, 1472. Панченко Я. Е. (г. Невинно- мысск) — 1459—1461, 1467, 1469, 1470, 1477, 1478. По- велий В. И. (Ровенская обл.) — 1457—1473, 1475, 1477, 1478. Пушкарев И. (Новгород) — 1457—1461. Романеи В. А. (Тернопольская обл.) — 1457—1460, 1462. Саргсян Г. А. (г. Иджеван) — 1458—1462, 1466, 1470,
1478. 	Сысуев Г. Я- (Хабаровский край, прииск Херпу- чи) — 1458—1461.. 1466—1468, 1470, 1472. 1476, 1477.
Твалавадзе Л. Е. (ГССР, Самтредский р-н) — 1459— 1461, 1466—1469. Тимошенко Н. Р. (Черниговская обл.) —
1456—1479. Урбан Н. Т. (г. Наманган) — 1457—1461, 1467—1469. Утемов В. А. (г. Красноуфимск) — 1456— 1480. Фесенко В. Д. (Николаевская обл.) — 1457, 1459, 1461, 1463, 1466—1469. Хайруллин X. Н. (Татарская АССР, Октябрьский р-н) — 1457—1461, 1463. Хэбэше-
ску Г. М. (МССР, Рышканский р-н) — 1456—1463,
1465—1470. Цоцонава А. К. (г. Тбилиси) — 1459—1461,
1466—1469. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 1457—1473,
1475—1478. Шакаралиев А. (г. Кафан) — 1459—1461,
1466—1469. Шнипор Б. Н. (г. Литин) — 1457—1462,
1465—1467, 1469. Щуренко Ф. А. (Черкасская обл.) —
1457—1463, 1466—1469, 1477. Юсупов В. К. (Северо-Ка- захстанская обл.) — 1459—1461, 1466—1470.
Буюклиев Н. П. (Болгария, г. Габров) — 1458, 1460— 1463, 1470. Тодоров М. Д. (Болгария, г. Габров) —
1458—1463, 1465.
Математические кружки: 31-й шк. Чимбайского р-на Каракалпакской АССР (рук. К. А. Амирбаев) — 1457, 1460, 1461, 1463, 1466—1470, 1477; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) — 1457—1462, 1468—1470, 1476; 10-й шк. г. Ангарска (рук. В. А. Васильева) —
1457—1463, 1465—1469, 1471—1473, 1475—1478; Кары- кышлакской шк. Лачинского р-на АзССР (рук. Э. X. Ка- зымов) — 1457, 1459—1461, 1466—1470; 71-й шк. г. Киева (рук. И. А. Кушнир) — 1458—1461, 1463, 1466, 1468,
1469; Мичуринской шк. Чамзинского р-на Мордовской АССР (рук. А. П. Филиппов) — 1456—1461, 1463, 1466; 173-й шк. г. Киева (рук. Р. П. Шейнцвит) — 1456—1465,
1467—1473, 1475—1478.
ОПЕЧАТКА
В № 5 журнала за 1975 г. на с. 65 условие задачи 1594 следует читать так: Доказать, 4fo при m, п> 1
mVn—l + nVт—\ < тп.
86


Математический календарь на 1975/76 учебный год
Январь
4 января—150 лет со дня смерти русского математика и педагога, " академика Петербургской АН (с 1800 г.— ее непременный секретарь), члена академий в Берлине, Стокгольме и Копенгагене Николая Ивановича Фусса (1755—1826). Он родился в Швейцарии. В возрасте 17 лет был приглашен в Петербург, чтобы помогать Эйлеру в качестве секретаря. Фусс прожил у Эйлера 10 лет, работая с ним ежедневно по 8—9
часов. Его перу принадлежит более 100 мемуаров по различным вопросам математики, механики, физики, астрономии и геодезии, которые
примыкают к тематике Эйлера.
В начале XIX в. Н. И. Фусс принял деятельное участие в реформе системы образования в качестве
члена Главного правления училищ. Его учебники по элементарной
и высшей математике, написанные под влиянием трудов Эйлера, стояли на уровне европейских учебников и способствовали развитию математического образования в России (см.: «Историко-математические исследования», вып 10. М., 1957;
«История отечественной математики», т. 1—2 Киев, 1966—1967;
А П. Юшкевич История математики в России. М., 1968).
11 января — 150 лет со дня рождения итальянского математика, одного из передовых и наиболее активных сторонников геометрии Лобачевского, Джузеппе Б а т а л ь и- ни (1826—1894) Он родился в Неаполе, был профессором высшей геометрии в университетах Рима и Неаполя Основанный и редактируемый им математический журнал в Неаполе сыграл значительную роль в распространении
идей неевклидовой геометрии на Западе. Из работ Батальини помимо его переводов основных работ
Н. 	И. Лобачевского и Я. Бойаи по неевклидовой геометрии имел значение его мемуар «О воображаемой геометрии Лобачевского», в котором он дал новый, чисто аналитический вывод формул Лобачевского (см.: «Историко-математи¬
ческие исследования», вып. 2. М—Л., 1949).
13 января — 75 лет со дня
рождения советского математика Владимира Абрамовича Т а р т а- ковского (см.: «Математика
в школе», 1970, № 6).
18 января — 75 лет со дня
рождения выдающегося советского' математика, общественного и государственного деятеля, Героя Социалистического Труда, академика Ивана Г еоргиевича Петровско- г о (см.: «Математика в школе», 1961, № 3; 1973, № 4)
31 января — 80 лет со дня
рождения советского математика Софьи Александровны Яновской (см.: «Математика в школе»,
1965, № 2).
Февраль
2 февраля — 80 лет со дня рождения польского математика, члена и вице-президента Польской АН, иностранного члена АН СССР Казимежа Куратовского. Он родился в Варшаве, окончил университеты в Глазго и Варшаве. С 1934 г.— профессор Варшавского университета, директор Института математики в Варшаве Основные труды Куратовского посвящены теории множеств, а также топологии, теории функций действительного переменного, математической логике, теории графов и др. Он возглавляет польскую школу в области топологии и теории множеств, является редактором известного польского журнала «Fundamenta mathematical», специально посвященного теоретико-множественным
отделам математики. На русский язык переведена его «Топология» т. 1—2. М., 1966—1969 (см.: БСЭ,
3-е изд.).
8 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика Исидора Павловича Натансона (см.: «Математика в школе»,
1966, № 1).
17 февраля — 80 лет со дня рождения советского математика члена-корреспондента АН УССР Евгения Яковлевича Ремеза (см.: «Математика в школе», 1966, JSfe I).
19 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика, академика АН БССР Федора Дмит¬
риевича Г а х о в а. Он родился в станице Баталпашинская, ныне, г Черкесск Ставропольского края. Окончил Казанский университет (1930), доктор физико-математических наук (1943), профессор (1945). Работал в вузах Свердловска, Казани, Орджоникидзе, Ростова-на-Дону. С 1961 г. работает в Белорусском (г. Минск) университете. Основные труды Ф. Д. Гахова относятся к краевым задачам Римана, интегральным уравнениям и теории функций комплексного переменного. Он впервые в СССР рассмотрел задачу Римана-Гильберта со многими неизвестными функциями. Многие результаты, полученные Ф. Д. Гаховым, вошли в его монографию «Краевые задачи» (2-е изд. М., 1963) (см.: «Успехи математических наук», 1967, 22, № 4;
«История отечественной математики», т. 3—4; «Ученые записки Ростовского-на-Дону университета», т. 43, вып. 6, 1959).
24 февраля — 70 лет со дня рождения советского механика и математика, члена-корреспондента АН СССР, дважды лауреата Государственной премии Василия Захаровича Власова (1906—1958). В 3. Власов окончил Московское высшее инженерно-строительное училище С 1946 г. работал в Институте механики АН СССР. Его оснорные труды относятся к механике и математическим методам в механике (см.: «История отече¬
ственной математики», т. 4).
24 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика Бориса Александровича Рымаренко. Он родился в г. Ека- теринославе (ныне г. Днепропетровск), окончил Харьковский университет (1926), доктор физико- математических наук (1953), профессор (1953). Работал в различных вузах Харькова, с 1945 г. работает в вузах Ленинграда. Основные труды Б. А. Рымаренко относятся к теории функций действительного переменного (см.: «История отече¬
ственной математики», т. 3—4).
А. 	И. БОРОДИН
(г. Донецк)
87


С. Д. БЕЛОУСОВ (г. Кишинев) Я. И. НЯГУ
(г. Бельцы)
НАДЕЖДА ХРИСТОФОРОВНА СПАТАРУ
(К 70-летию со дня рождения)
20 июня 1975 г. в помещении НИИ педагогики MHO МССР состоялось торжественное заседание расширенного Ученого совета института, посвященное 70-летию ветерана института, старшего научного сотрудника отдела естественно-математических наук Н. X. Спатару. Поздравить юбиляра пришли ответственные работники ЦК КП Молдавии, Министерства народного образования республики и Государственного Комитета по профессионально-техническому образованию при Совете Министров МССР, ученые АН МССР, преподаватели Кишиневского государственного университета имени В. И. Ленина, Бельцского и Тираспольского пединститутов, представители Республиканского института усовершенствования квалификации учителей и школ г. Кишинева, а также многочисленные ученики Надежды Христофоровны.
С докладом о большом, сложном жизненном и творческом пути Н. X. Спатару выступила зам. директора НИИ педагогики Н. И. Губарева.
Надежда. Христофоровна родилась 20 июня 1905 г. в с. Рашково Каменского района (ныне Молдавская ССР).
Свою трудовую деятельность Надежда Христофоровна начала в 1928 г. После окончания с отличием Клужского университета она стала учителем математики в гимназии г. Кишинева.
Трудно было работать учительницей в оккупированной королевской Румынией Бессарабии, когда штыкеми подавлялось любое проявление против насильственной румынизации края.
Рискуя остаться без работы, Надежда Христофоровна открыто выступала против атмосферы недоверия, господствовавшей в гимназии, против молитв, которыми начинался каждый урок в школах того времени.
В 1932 г. Н. X. Спатару начинает изучать марксизм-ленинизм, ее взоры направлены к Советской стране.
В 1934 г. она вступает в общество «Друзья СССР» (г. Кишинев), одним из основателей и членом которого
являлся активный участник революционного и антифашистского движения в Бессарабии, профессор, почетный доктор исторических наук МГУ Петре Константинеску-Яшь.
Здесь она нелегально изучает марксистскую литературу, а также художественные произведения советских педагогов и писателей, в которых воплощены их педагогические взгляды, в частности «Педагогическую поэму» и «Флаги на башнях» А. С. Макаренко.
В 1940/41 учебном году, в результате возвращения СССР насильственно отторгнутой Бессарабии, здесь развернулась советская система школ и культурно-просветительных учреждений. Надежда Христофоровна, работая в школе № 2 г. Кишинева, полностью отдает свои силы детям трудового народа, которым советская школа открыла доступ к знаниям.
В годы Великой Отечественной войны Н. X. Спатару продолжает педагогическую деятельность в далеком братском Узбекистане.
Ученики Надежды Христофоровны не могут забыть вдохновенных уроков, на которых сухозатые математические формулы начинали звучать, как строчки любимой песни. Многие из них стали учителями математики.
В послевоенные годы органы народного образования Молдавской ССР уделили особое внимание вопросам повышения качества обучения учащихся, обобщению и распространению передового педагогического опыта наиболее творческих учителей. С этой целью в 1946 г. был создан Научно-исследовательский институт школ Наркомпроса МССР. Одним из первых сотрудников этого института была Н. X. Спатару. Долгие годы она занималась изучением и обобщением в печати опыта передовых учителей, осзещением путей и методических средств, способствующих улучшению математической подготовки учащихся.
В конце 50-х годов в ряде школ республики под руководством Н. X. Спатару проводились эксперименты по изучению десятичных дробей ранее обыкновенных. На основе положительных результатов этих экспериментов в 1962 г. группой авторов под редакцией Н. X. Спатару был издан новый оригинальный учебник для V класса («Арифметика. Учебник для V класса. Под редакцией Н. X. Спатару». г. Кишинев, 1962). Позже, в 1963 г., также под редакцией Надежды Христофоровны, издается на молдавском языке учебник для VI класса.' Эти учебники,
впервые содержащие как теоретическую часть, так и практическую, выдержали много переизданий.
Начиная с 1963 г. на протяжении многих лет в ряде школ г. Кишинева и г. Тирасполя под руководством Н. X. Спатару был проведен педагогический эксперимент по вопросу изучения начал алгебры в IV—V классах общеобразовательной школы.
В ее книге «Решение задач в IV—V классах методом составления уравнений», в которой обобщаются результаты эксперимента, показано, как введение в IV—V классах понятий уравнение и решение уравнения первой степени с одним неизвестным, а также решение задач методом составления уравнения развивает у учащихся способность к абстракции и обобщению. Органическое соединение арифметического и алгебраического материала в этих классах, по утверждению автора книги, создает благоприятные условия для изучения как алгебраического, так и арифметического материала, а также для успешного изучения математики и смежных дисциплин в последующих классах.
Большая заслуга Н. X. Спатару и в переходе школ республики на новое содержание математического образования. Множество брошюр, десятки статей Надежды Христофоровны, освещающих этот вопрос, изучаются учителями математики с большим воодушевлением.
Благодаря высокой эрудиции, неиссякаемой энергии, душевной щедрости Н. X. Спатару снискала себе глубокое уважение со стороны учителей математики, преподавателей математических кафедр вузов Молдавии и многих своих коллег в различных городах нашей страны.
Жизнь и деятельность Н. X. Спатару — яркий пример того, как благодаря осуществлению ленинской национальной политики в нашей стране открылись возможности для расцвета творческих сил выходцам из народных масс, представителям всех национальностей.
Плодотворная научно-педагогиче- ская деятельность Н. X. Спатару получила высокую оценку. Ей присвоено почетное звание заслуженного учителя школы Молдавской ССР, она награждена орденом «Знак Почета», многими медалями.
Пожелаем дорогой Надежде Христофоровне доброго здоровья, многих лет счастливой жизни и выполнения всех творческих планов в ее научно-методической деятельности.


т
ХРОНИКА
ГОСУДАРСТВЕННАЯ
НАУЧНАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИМЕНИ К. Д. УШИНСКОГО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР (К 50-летию со дня основания)
Государственная научная педагогическая библиотека имени К. Д. Ушинского Академии педагогических наук СССР — крупнейшая педагогическая библиотека мира и одна из ведущих отраслевых библиотек в стране. Широким библиотечно-библиографическим обслуживанием специалистов в области педагогики эта библиотека содействует развитию педагогической науки, народного образования и коммунистическому воспитанию подрастающего поколения. Она выполняет функции центра по координации справочно-библиографической работы в области педагогики и народного образования, а также функции Всесоюзного отраслевого центра в единой общегосударственной системе межбиблиотечного абонемента в СССР.
Важное место в осуществлении культурной революции В. И. Ленин отводил библиотекам. В 1925 г. по инициативе и при непосредственном участии Н. К. Крупской была организозана справочная библиотека Нар- компроса. В числе ее первых читателей были
А. 	В. Луначарский, М. И. Покровский, В. П. Потемкин и другие видные деятели.
Н. К. Крупская уделяла большее внимание развитию и формированию фондоз этой библиотеки.
Уже к 1932 г. фонд и функции справочной библиотеки настолько расширились, что приказом по Нарком- просу от 13 февраля 1932 г. она оеорганизована в Центральную библиотеку по народному образованию с самостоятельным бюджетом.
В 1939 г. ранее распыленные богатства педагогической литературы влились в фонд Центральной библиотеки по народному образованию, и ока стала Государственной библиотекой по народному образованию — крупнейшей педагогической библиотекой в Советском Союзе.
Концентрируя в фондах богатства педагогической мысли, библиотека отдавала их тем, кто осуществлял на практике задачу образования и воспитания строителей нового общества. Неразрывными нитями библиотека была связана с массами учительства, деятелями просвещения, учеными-педагогами. Все эти годы библиотека активно обслуживала ЦК КПСС, ЦК ВЛКСМ,
Совнарком, ВЦСПС, Наркоматы и редакции централь* ных газет.
В трудные годы Великой Отечественной войны библиотека широко пропагандировала книги о героическом прошлом народов СССР, по патриотическому воспитанию.
Была оказана помощь библиотекам Украины, Белоруссии и областей РСФСР, подвергшихся оккупации. Им были посланы большие партии книг.
В 1944 г. библиотека решением Правительства была включена в систему -научно-исследовательских учреждений вновь созданной Академии педагогических наук РСФСР, что определило характер и направление ее деятельности на весь последующий период. Первый президент АПН РСФСР, народный комиссар просвещения В. П. Потемкин придавал особое значение библиотеке, и по утвержденному им Уставу она получила права научно-исследовательского института.
В 1945 г. в ознаменование 75-летия со дня смерти великого русского педагога К. Д. Ушинского библиотеке было присвоено его имя. Послевоенные годы — период быстрого роста и расширения деятельности библиотеки. Из года в год растут ее фонды, увеличивается количество читателей, растет число научно-биб- лиографических трудов, укрепляются связи с педагогическими библиотеками страны и за рубежом.
В связи с преобразованием АПН РСФСР во Всесоюзную Академию библиотека с 1966 г. входит в ее состав и именуется с 1970 г. Государственной научной педагогической библиотекой имени К. Д. Ушинского Академии педагогических наук СССР.
За 50 лет фонды библиотеки выросли до 2 млн. единиц хранения и по своему содеожанию являются уникальными фондами педагогической литературы. Они включают памятники древнерусской письменности и первопечатные книги XV—XVI вв., сочинения как отечественных, так и иностранных классиков педагогики: К. Д. Ушинского, Н. К. Крупской, А. С. Макаренко, Коменского, Песталоцци и др.
Большую ценность представляет коллекция букварей и других учебников. В фондах весома полно представлена литература по истории школы и просвещения в России, по развитию западноевропейской и американской школы, педагогические энциклопедии и словари. Имеются все издания Академии педагогических наук, «Труды» и «Ученые записки» педагогических институтов и университетов, республиканские и областные издания, отражающие опыт работы местных школ, программы и методические пособия для средних школ, педагогических институтов за весь советский период и дореволюционные годы. В фонды библиотеки вошли личные собрания В, П. Потемкина, А. П. Киселева, П. О. Немцова, О. П. Афанасьева, Н. В. Чехова и других деятелей просвещения и известных советских педагогов.
Ежегодное пополнение фондов составляет 60— 70 тыс. книг и периодических изданий.
Значительную часть фонда (до 300 тыс. ед. хр.) составляет иностранная литература: педагогические монографии, методические пособия, учебники, энциклопедии на многих языках мира.
В своей деятельности библиотека руководствуется Программой партии, решениями XXIV съезда КПСС, постановлениями партии и правительства по вопросам педагогики, народного образования и библиотековедения.
Строя свою работу в соответствии с планами науч- но-исследовательской деятельности АПН СССР, библиотека предоставляет свои книжные богатства, библиографические материалы по вопросам обучения и коммунистического воспитания подрастающего поколения учителям, работникам неродного образования, государственным, партийным и общественным органи¬
89


зациям Союза. Неоценимый вклад библиотека внесла в дело подготовки педагогических кадров. Многие руководители народного образования, видные советские и зарубежные ученые^-педагоги работали долгие годы 9 читальных залах библиотеки. Читальными залами пользуются академики, профессора, доктора и кандидаты наук. Среди читателей можно увидеть представителей почти всех национальностей и народностей Советского Союза.
С каждым годом увеличивается число читателей библиотеки: 1944 г. —1600 читателей, 1966 г. — 8261 читатель, 1974 г. — 24 000 читателей.
Соответственно растет выдача книг и посещаемость.
В библиотеке ведется сложная и разнообразная справочно-библиографическая работа. В 1966 г. библиотека выполнила 13 383 справки, а в 1974 г. — свыше 22 тыс. Тематика библиографических справок — актуальные вопросы педагогической науки, народного образования, коммунистического, воспитания.
Письменные библиографические справки высылаются в НИИ педагогики (школ) союзных республик, пединституты, институты усовершенствования учителей, педагогические учреждения зарубежных стран. Все чаще поступают запросы от педагогических коллективов городских и сельских школ. Много запросов поступает из-за границы.
В библиотеке имени К. Д. Ушинского Стремятся не только дать справки по запросам читателей, но и вооружить их знаниями основ библиографии и библиотечного дела, научить их самостоятельно ориентироваться в книжных богатствах. С этой целью проводятся лекции, семинары, библиографические обзоры для читателей.
Массовые формы пропаганды общественно-политической и педагогической литературы осуществляются путем организации книжных выставок, обзоров, лекций, конференций.
Библиотека осуществляет научную информацию в области педагогики и является центром педагогической библиографии в стране. Выпускаются различные виды и типы педагогической библиографии и информационные издания.
Заканчивается работа над созданием четырехтомного библиографического свода советской педагогической литературы за 1924—1950 гг. «Педагогическая библиография» Вышло 3 тома.
За 50 лет в библиотеке создана система каталогоа и библиографических картотек, раскрывающая ее фонды. С первых лет существования библиотеки ведутся ставшие уникальными по своему содержанию основные библиографические картотеки «Законодательные материалы по народному образованию СССР», фундаментальная систематическая картотека «Народное образование и педагогические науки в СССР и зарубежных странах». Библиотека получила широкую известность за рубежом. С каждым годом расширяются научные связи с зарубежными библиотеками и научными учреждениями путем международного книгообмена и обмена опытом работы. С 1955 г. библиотека получила право международного книгообмена.
Международный книгообмен, который ведет библиотека со 165 учреждениями 31 страны, имеет большое значение не только для комплектования иностранной литературой и восполнения пробелов в 4)ОНДе» но и для продвижения советской педагогической литературы к зарубежному читателю.
Большую роль библиотека играет в подготовке руководящих кадров стран социализма. В библиотеке имени К. Д. Ушинского подготовлено и написано большое количество кандидатских и докторских диссертаций. На ее материалах разрабатываются актуальные проблемы в области педагогики и народного образования. За свою 50-летнюю деятельность библиотека внесла огромный вклад в становление и развитие первой в мире социалистической системы народного образования и коммунистического воспитания трудящихся нового, созданного Октябрьской социалистической революцией государства.
За заслуги в развитии народного образования и педагогической науки Президиум Верховного Совета СССР 20 августа 1975 г. наградил Государственную научную педагогическую библиотеку имени К. Д. Ушинского орденом Трудового Красного Знамени.
1 Этот труд восполнит пробел в своде советской педагогической литературы с момента выхода в свет систематического указателя советской литературы по вопросам народного просвещения под ред. В. Ф. Лебедева (1917—1924) до издания с 1950 г. указателя «Литература по педагогическим наукам и народному образованию».
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Ученики М. Степаненко (пос. Зеленый Гай, Харьков- ской обл.) предлагает две занимательные задачи.
1. Прямоугольник с шестью отмеченными клетками (см. рис.) требуется разрезать по сторонам клеток на шесть конгруэнтных частей так, чтобы в каждой части было по одной клетке с точкой.
2. (О числе, характеризующем запись предстоящего календарного года.) Рассеянный ученик при списывании с доски в левой части равенства 1 234567890 =
= 1976 опустил знаки математических действий. Помогите ему восстановить верную запись на доске.
Ответ. — I —2 + 345-6 + 7 —8 — 90 = 1976.
В методических разработках по устному счету упоминают тождество
а2= (а — 25)-100 + (50 —а)2, которое еще С. А. Рачинский рекомендовал применять для ускорения процесса отыскания квадратов натуральных чисел, если знаешь напамять квадраты чисел, не превышающих 25. Но для чисел а > 75 этот способ не эффективен.
А. 	К. Давыдов (г. Мелитополь), предлагает использовать эту формулу в следующем виде:
а2 = (а — 25п) • 100л + (50 — а)2,
где
Например, пусть а — 417, тогда 4172 = (417 — 200) X Х800 + (400 — 417)2 - 217-800 4- 289 173889.
90 |


Некрологи
АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ КОВАНЬКО
20 мая 1975 г. после продолжительной болезни скончался крупный советский математик, доктор физико- математических наук, профессор Львовского университета Александр Сергеевич Кованько.
Александр Сергеевич родился 18 (6) июля 1893 г. в г. Константинова- де Харьковской области. После окончания реального училища он поступает на физико-математический факультет Московского университета. Студенческие годы А. С. Кованько совпали с периодом зарождения и расцвета крупнейшего математического коллектива России — теорети- ко-функциональной школы Н, Н. Лузина. Александр Сергеевич принимает активное участие в работе семинара по теории последовательностей, которым руководил Д. Ф. Егоров. В этот период начинаются его исследования по теории функций действительного переменного.
В 1915 г. Александр Сергеевич окончил университет с дипломом первой степени и по предложению профессора Д. Ф. Егорова был ос¬
тавлен при университете для подготовки к профессорскому званию.
После успешной сдачи магистерских экзаменов А. С. Кованько переезжает в г. Киев и начинает работу ассистента кафедры механики Киевского политехнического института (1918—1919). В 1920 г. он избирается приват-доцентом Крымского университета (г. Симферополь), в котором работает с 1920 по 1926 г. С 1926 г. по 1945 г. А. С. Кованько работает в различных высших учебных заведе- ■ ниях Советского Союза: Азербайджанском университете (1926—-1932 и 1936—1938); Ленинградском университете (1932—1935); Томском университете (1935—1936); Ивановском текстильном институте (1938—1945). 8 1945 г. Александр Сергеевич был направлен на работу во Львовский университет имени Ивана Франко, в котором проработал до выхода на пенсию в 1973 г. На протяжении всего периода работы во Львове А. С. Кованько заведывал кафедрой математического анализа в университете и продолжительное время работал по совместительству во Львовском политехническом институте. Последние три года, уже будучи на пенсии, Александр Сергеевич не ' порывает связи с университетом, принимая активное участие в работе научных семинаров кафедры и факультета.
Докторскую диссертацию А. С. Кованько защитил в 1936 г., а звание профессора получил еще в 1926 г. За 55 лет своей научно-педагогической деятельности в различных высших учебных заведениях страны Александр Сергеевич опубликовал в нашей стране и за рубежом более 120 научных работ, среди которых имеется несколько монографий и учебных пособий.
Научные исследования А. С. Кованько относились к таким важнейшим направлениям: а) теория почти периодических функций, б) теория квадрируемости поверхностей и в) теория функциональных последовательностей.
Исследования в области почти периодических функций Александр Сергеевич начинает в 1927 г. под влиянием докладов, прочитанных на Всероссийском съезде математиков в Москве. Он публикует серию фундаментальных работ по этому вопросу, получивших широкую известность как в СССР, так и за границей.
Следующим направлением научных интересов Александра Сергеевича является теория квадрируемости поверхностей заданных параметриче¬
ски; это исследование тесно связано с новыми обобщениями интеграла Стильтьеса — Римана и Стильтьеса — Лебега для функций двух переменных с двумя добавочными функциями. Здесь, наряду с указанными обобщениями, дается новое определение меры поверхности, примыкающее к определению С. Банаха, но не зависящее от системы координат.
Много внимания А. С. Кованько уделял подготовке научных кадров через аспирантуру. Ряд его учеников защитили кандидатские и докторские диссертации.
До последних дней жизни сохранил Александр Сергеевич интерес к вопросам методики преподавания математики в средней школе. В 1930 г. вышел из печати «Курс высшей математики» А. С. Кованько — пособие для студентов вузов; в сборниках «Элементарная математика в средней школе» (под ред. С. Е. Ляпина) опубликованы следующие статьи Александра Сергеевича: «Иррациональ¬
ные числа», «Обоснование теории измерения поверхностей», «О правильных многогранниках», «О принципе Кавальери» и др.; в № 6 журнала «Математика в школе» за 1940 г. опубликована его интересная статья «О видоизменении некоторых выводов, касающихся теории объемов фигур»; в издательстве Львовского университета в 1965 г. вышли «Избранные главы элементарной математики» А. С. Кованько.
Александр Сергеевич был не только увлеченным исследователем-ма- тематиком, но и блестящим лектором. Он неоднократно выезжал читать специальные курсы в различные города нашей страны и за рубеж.
За заслуги в развитии науки и в деле народного образования Александр Сергеевич был награжден орденом «Знак Почета».
Интересы А. С. Кованько не ограничивались одной математикой. Его хобби были музыка и рисование. Более 70 его музыкальных произведений, к сожалению, так и остались неопубликованными.
Личное обаяние, скромность и доброжелательность, принципиальность и требовательность снискали Александру Сергеевичу любовь и уважение его учеников и всех, кому приходилось работать с ним.
А. 	Н. КОСТОВСКИЙ
(г. Львов), И. Ф. ТЕСЛЕНКО
(г. Киев)


АЛЕКСАНДР ПЕТРОВИЧ ДОМОРЯД
23 июля 1975 г. скоропостижно скончался известный математик, педагог, заслуженный учитель УзССР, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики Ташкентского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени
В. 	И. Ленина Александр Петрович Д о- м о р я д, проработавший 45 лет на поприще математической науки и математического просвещения, учитель и воспитатель молодого поколения ученых-математиков и математиков- педагогов Узбекистана и других республик Средней Азии.
Александр Петрович Доморяд родился в 1907 г. в Ташкенте, где в 1930 г. окончил Среднеазиатский государственный университет (САГУ). Молодому университету нужны были специалисты по самым различным разделам математики, и выпускник
А. 	П. Доморяд выбрал темой своих исследований численные и графические методы решения ряда математических проблем. По этой теме он в 1938 г. защитил диссертацию на степень кандидата физико-матема- тических наук, в том же году ему было присуждено звание доцента.
Немалый вклад внес А. П. Доморяд в разработку и развитие приближенных методов анализа и алгебры. В указанном направлении вычислительной математики им опубликова¬
но в «Трудах» ТашГУ (САГУ), ТашГПИ, журнале «Математика в школе» и других изданиях более 30 работ по квадратурным и кубатурным формулам, интерполированию, приемам решения разных типов алгебраических и трансцендентных уравнений и их систем, итерационным процессам и вопросам, связанным со школьным изложением приближенных и графических методов математики.
В 1957 г. в Ташкентском университете началась подготовка специалистов по вычислительной математике, новой кафедрой в течение десяти лет руководил А. П. Доморяд. Здесь он вел успешную работу по подготовке кандидатов физико-мате- матических и педагогических наук. Ученики А. П. Доморяда в настоящее время заведуют кафедрами и работают доцентами в университете и других вузах Узбекистана.
Параллельно с основным направлением своей научной и педагогической деятельности А. П. Доморяд являлся большим энтузиастом популяризации математических знаний среди учащихся школ республики. Инициатива ленинградских математиков по организации воскресных кружков при ЛГУ и проведению первой Ленинградской олимпиады весной 1934 г. сразу же была подхвачена А. П. До- морядом; в Ташкенте под его руководством такой кружок начал работать уже осенью 1934 г., а весной 1935 г. в Ташкенте была проведена первая математическая олимпиада школьников. С тех пор более 30 лет
А. 	П. Доморяд руководил этим кружком и был организатором более 20 городских и республиканских олимпиад. Десятки его учеников и последователей продолжают его дело, и кружок плодотворно работает уже на двух языках. Большая часть ныне работающих ученых-математиков и математиков-педагогов Узбекистана и других республик являются воспитанниками кружка ТашГУ.
Педагогическая деятельность А. П. Доморяда, плодотворная работа в школьных кружках и курсы лекций, прочитанные им в разное время в республиканском и ташкентском городском институтах усовершенствования учителей, оказали большое влияние на развитие математического образования в республике. Высокая математическая культура, ясность и четкость изложения материала вызыва¬
ли глубокий интерес слушателей к читаемым им общим и специальным курсам. А. П. Доморяд разработал специальный курс «Внеклассная работа по математике», который он читал в ТашГУ и ТашГПИ будущим учителям математики, а для уже работающих учителей под его руководством при ТашГПИ проводился специальный семинар.
Подготовленнная им диссертация на степень доктора педагогических наук по этой теме, к сожалению, осталась на его письменном столе.
А. 	П. Доморяд — автор большой статьи «Численные и графические методы решения уравнений» в «Энциклопедии элементарной математики» (кн. 2. М.— Л., Гостехиздат, 1961), а также статьи «Счетные приспособления» в «Детской энциклопедии» (т. 3. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959).
Его книга «Математические игры и развлечения», изданная в 1961 г.,
пользуется огромной популярностью не только в нашей стране, но и за рубежом. Переводы этой книги предложили читателям не только издательства республик нашей страны, но и ряда социалистических стран. Она переведена также на японский, английский и другие языки. Напомним, что «Математические игры и развлечения» и некоторые другие статьи в БСЭ (изд. 2-е) также принадлежат перу А. П. Доморяда.
С 1940 г. в течение 15 лет А. П. Доморяд являлся членом УМС Министерства просвещения УзССР. За плодотворную научно-педагогическую и общественную деятельность
А. 	П. Доморяд был отмечен высокими правительственными наградами.
Друзья, коллеги и ученики знали и ценили Александра Петровича как обаятельного человека, трудолюбивого, жизнерадостного, благожелательного, очень доброго и вместе с тем строгого, принципиального борца против косности и брака в научной и учебной работе, ярого противника «дельцов от науки».
Светлая память об этом замечательном педагоге и ученом, человеке большой души остается в сердцах всех, кто его знал.
А. 	И. МАРКУШЕВИЧ
(Москва), Л. Р. ХАХАМОВ
(Ташкент)
28 сентября 1975 г. на 91-м году жизни скончалась заслуженный деятель мауки РСФСР, профессор Ольга Николаевна Цубербиллер, талантливый педагог, автор широкоизвестного сборника «Задачи и упражнения по аналитической геометрии» и многих научных работ (см.: «Математика в школе», 1969, N2 2).


ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ ЗА 1975 г.
Передовые
Академии наук Союза Советских Социалистических
Республик, ученым, всем работникам советской науки,
№ 6, с. 3.
Воспитывать патриотов-ленинцев, № 1, с. 3.
За качество обучения, № 5, с. 3.
К 30-летию Победы советского народа в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг., № 2, с. 3.
А. Г. Конфрович. Советские математики в годы Великой Отечественной войны, № 2, с. 4.
Навстречу XXV съезду КПСС, № 4, с. 3.
Почин москвичей — пример для всех, № 6, с. 5.
Успех всеобщего среднего образования решает учитель, № 3, с. 3.
Международный год женщины
О. А. Олейник. Теорема С. В. Ковалевской и ее роль в современной теории уравнений с частными производными (К 125-летию со дня рождения С. В. Ковалевской), № 5, с. 5.
Учителя математики — ветераны
Великой Отечественной войны
A. М. Алиев. Кара Шошу оглы Гаджиев, № 2, с. 14.
М. Ахмедов. Махамаджан Алиджанов, № 2, с. 13.
B. П. Бабенко. Алексей Иванович Волхонский, № 2, с. 10.
Б. Бердыев. Ягмыр Овезов, № 2, с. 12.
О. Володин. Сергей Федорович Рубанов, № 2, с. 9.
В. 	Доморацкий. Леонид Васильевич Тимохович, № 2, с 11.
B. А. Жаров, В. М. Майоров, З. А. Скопец. Ольга Ивановна Шендеровская, № 2, с. 15.
C. X. Мяэ. Пауль Антонович Мазинг, №  2,  с.  11.
С. Салыков. Саламат Мусаевич Мусаев,  № 2,  с.  15.
A. М. Хоштария. Александр Иосифович Шарашенидзе, № 2, с. 13.
Научно-популярный отдел
И. Я. Бакельман. Выпуклые многоугольники и выпуклые многогранники, № 3, с. 5.
Б. В. Гнеденко. Теория отражения и математика, № 4, с. 4.
Методический отдел
Ф. М. Барчунова. Из опыта изложения темы «Элементы комбинаторики», № 4, с. 17.
B. Г. Болтянский. Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ, № 5, с. 10.
В. 	П. Борисенко. Построение касательных, № 4, с. 35.
М. П. Бортникова. Из опыта проведения самостоятельных работ в VIII—IX классах, № 2, с. 42.
А. 	Д. Ботвинников, Л. М. Эйдельс. О некоторых вопросах взаимосвязи математики и черчения в условиях работы по новым программам. № 3, с. 47
Н. Я. Виленкин, К. И. Пешков, С. И. Шварцбурд. Об учебнике математики для IV класса, № 3, с. 36.
М. Г. Гарунов. О видах самостоятельных работ в VI классе, № 4, с. 30.
Ю. П. Дудницын. К методике изучения необходимых и достаточных условий на уроках геометрии, № 5, с. 25.
Ю. П. Дудницын, Е. В. Ерохина, Н. Г. Саакян. Примерные контрольные работы по алгебру в VI—VIII классах, № 5, с 40.
О. С. Ивашев-Мусатов. Предел функции и производная, № 3, с. 16.
О. С. Ивашев-Мусатов. Применение производной, № 3, с. 23.
К. И. Кабанова. Графическое решение геометрических задач, № 3, с. 44.
Е. С. Канин. К изучению соответствия и функции в VI классе, № 5, с. 22.
Д. В. Клименченко. Дополнительные упражнения к первым урокам геометрии в VI классе, № 3, с. 41.
Д. В. Клименченко. Из опыта работы по решению задач повышенной трудности в V классе, № 6, с. 39.
В. 	М. Клопский, М. И. Ягодовский, З. А. Скопец. Об особенностях учебного пособия по геометрии для IX класса, № 1, с. 14.
В. 	М. Клопский, М. И. Ягодовский, З. А. Скопец. Применение векторов в курсе геометрии IX класса, № 3, с. 27.
B. М. Клопский, М. И. Ягодовский, З. А. Скопец. Применение элементов векторной алгебры к решению планиметрических задач, № 6, с. 26.
А. 	Н. Колмогоров. Элементы комбинаторики, № 2, с. 16.
А. 	Н. Колмогоров, О. С. Ивашев-Мусатов. Действительные числа. Бесконечные последовательности и их пределы, № 2, с. 25.
А. 	Н. Колмогоров, С. И. Шварцбурд. Алгебра и начала анализа. Метод математической индукции, № 1, с. 8.
М. Л. Крайзман. О развивающем обучении в преподавании математики, № 4, с. 34.
О. С. Кретинин. О функциональной пропедевтике в IV—V классах, № 6, с. 37.
C. Н. Кузнецов. Об устном решении задач по чертежам, № 3, с. 43.
Л. М. Лоповок. Варианты доказательства геометрических теорем, № 5, с. 29
Л. М. Лоповок. Геометрические задачи в VII классе, № 1, с. 31.
А. 	М. Лурье, Д. С. Людмилов, Е. А. Дышинский. К методике решения задач, № 5, с. 38.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин,
С. 	Б. Суворова. Показательная функция и логарифмы в  курсе алгебры VIII класса, № 1, с. 21.
З. 	И. Моисеева, Е. Г. Глаголева, Н. Г. Миндюк. О некоторых результатах работы восьмых классов по новым программам и учебникам. № 4, с. 19.
A. Г. Нудельман. Опыт работы Омского отделения Педагогического общества РСФСР по оказанию помощи учителям сельских школ, № 3, с. 49.
Об изучении математики в IX классе. (Методическое письмо), № 6, с. 17.
От Главного управления школ Министерства просвещения СССР, № 1, с. 43.
B. А. Павлов. О контроле за усвоением учащимися элементарных логических понятий, № 4, с. 33.
И. С. Петраков, Н. В. Романько. Об изучении математики на первых курсах педучилищ, № 4, с. 42.
Л. Ф. Пичурин. К преподаванию алгебры и начал анализа, № 6, с. 35.
Примерные контрольные работы в IX классе на 1975/76 учебный год, № 2, с. 37.
Примерный тематический план по курсу «Геометрия» в IX классе, № 2, с. 36.
Рекомендации по организации учебно-воспитательного режима школьника, № I, с. 5.
Н. М. Рогановский. О функциональной трактовке геометрических преобразований, № 1, с. 38.
Н. М. Розенберг. Задания с выборочными ответами при проверке знаний, № 5, с. 34.
П. И. Самойленко. Переход средних специальных учебных заведений на новое содержание обучения математике, № 4, с. 40.
93


Г. И. Саранцев. Из опыта изучения гомотетии, № 1, с. 35.
Г. И. Саранцев. Некоторые свойства центра поворота, № 5, с. 31.
А. 	Д. Семушин. Об изучении геометрического материала по новым учебникам в IV—V классах, № 5, с. 16.
З. 	А. Скопец. О понятии поворота вектора на плоскости, № 4, с. 15.
Тематическое планирование курса «Алгебра и начала анализа» в IX классе, № 2, с. 35.
М. М. Фирсова. Задачи на наибольшие и наименьшие значения в IV классе, № 4, с. 31.
Р. Г. Чуракова. О тематическом повторении курса алгебры в VIII классе, № 4, с. 24.
К. И. Шалимова, Р. Г. Чуракова. Из опыта проведения экзамена по алгебре в VIII классе, № 1, с. 27.
Дж. Шарифов. О самостоятельных работах по теме «Векторы», № 2, с. 40.
С. 	И. Шварцбурд, С. В. Кудрявцев. Изучение тригонометрических функций в IX классе, № 4, с. 13.
Э. 	Г. Якуба. Примеры повторения материала по алгебре в VI—VIII классах, № 4, с. 28.
Заметки с уроков
Б. З. Гольдштейн. К доказательству теоремы синусов, № 2, с. 47.
Д. П. Дорохин. Тригонометрические подстановки в алгебраических упражнениях, № 5, с. 48.
Еще раз о теореме синусов, № 5, с. 49.
Г. Г. Кугель. О первых уроках геометрии в VI классе, № 5, с. 47.
М. М. Кутлыев. Разложение чисел на множители, № 6, с. 46.
Э. 	А. Орлова. К формированию понятия «множество решений» в IV классе, № 2, с. 43.
Л. Д. Полянский. Теневые демонстрации на уроках геометрии, № 2, с. 47.
Г. А. Румич. О доказательстве одного свойства параллелограмма, № 2, с. 46.
К. П. Сикорский. К заметке А. Я. Хинича, № 2, с. 46.
П. Т. Тимофеев. Построение точек Vп на числовой оси, № 5, с. 46.
A. Я. Хинич. К задачам на повторение геометрии в VIII классе, № 2, с. 45.
О вступительных экзаменах в вузы
Е. М. Белоногова, М. М. Чернецов. Об экзаменах в педагогические институты РСФСР, № 3, с. 56.
Г. В. Бушманова. К итогам вступительных экзаменов по математике в Казанское высшее военное инженерное училище, № 3, с. 58.
В помощь самообразованию учителей
B. Г. Болтянский, Н. Я. Милин. О преподавании стереометрии на основе векторной аксиоматики, № 2, с. 48.
Педагогические институты и сельская школа
В. 	А. Горбунова, Ю. В. Ломакин, Т. Е. Савелова. Летние математические школы для учащихся сельских школ, № 3, с. 68.
Г. И. Михалевская. Одна из форм участия студентов в организации математических вечеров в сельской школе, № 3, с. 66.
А. 	Н. Чалов. Кафедры математики педагогических институтов южной зоны РСФСР, № 3, с. 61.
И. М. Шапиро, П. К. Одинцов. Б. Д. Пайсон. Барнаульский государственный педагогический институт, № 3, с. 64.
И. Б. Юдина. Коломенский педагогический институт, № 3, с. 65.
В помощь учителям вечерних (сменных) школ и профтехучилищ
Н. К. Беденко, М. С. Вольдман. Некоторые задачи с техническим содержанием по теме «Производная и ее применение», № 5, с. 49.
Н. К. Беденко, Н. М. Райский, С. И. Шварцбурд. О переходе на новые программы по математике первых курсов средних профтехучилищ, № 4, с. 38.
Н. К. Беденко, С. И. Шварцбурд. К проведению выпускных экзаменов по алгебре и началам анализа в средних профтехучилищах, № 1, с. 50
Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян. О преподавании математики в IX классе вечерней (сменной) школы по новой программе, № 3, с. 51.
Технические средства обучения.
Учебное оборудование
A. М. Борухов, Г. Г. Левитас. Учебное оборудование на уроках алгебры в VIII классе, № 5, с. 59.
М. Б. Волович, Г. Г. Левитас. О настенных таблицах по алгебре для VI класса, № 4, с. 45.
И. Н. Голайдо. Из опыта применения перфокарт, № 2, с. 58.
П. П. Головин. Модель тригонометрического круга с графиком, № 1, обложка.
П. Е. Изотов. Из опыта применения программно- контрольного устройства «Огонек-1», № 3, с. 72
С. 	М. Кушуль. Наглядное пособие по теме «Элементы комбинаторики», № 2, обложка.
Г. Г. Левитас. Комплект кривых для магнитной доски, № 3, обложка.
Г. Г. Левитас. Модель числовой прямой и комплект цифр, букв и знаков с магнитным креплением, № 3, обложка
Г. Г. Левитас. Об оформлении материалов с индивидуальными заданиями, № 3, с. 70.
Г. Г. Левитас. Трафареты по геометрии, № 2, обложка.
Г. Г. Левитас. Электросветовое табло, № 5, обложка.
Г. Г. Левитас, В. Н. Толяров. Новая кассета для диапозитивов, № 6, обложка.
К. С. Муравин, В. Н. Руденко. О таблицах по алгебре для VII класса, № 6, с. 41.
B. В. Попов. Элементы программированного контроля в VII классе, № 4, с. 52.
В. 	С. Проценко. Шар и его элементы, № 4, с. 51.
В. 	П. Пустовойтов, А. В. Зайцев. Об изготовлении кодопозитивов и электретных аппликаций, № 3, с. 73.
В. 	П. Севастьянов, Н. Л. Севастьянова. Кинофильм «Осевая симметрия на плоскости» на уроках в V—VII классах, № 4, с. 49.
П. В. Стратилатов. Об использовании технических средств на уроках геометрии, № 1, с. 44.
Т. Л. Сытина. Новый вариант использования диапроектора, № 4, обложка.
Факультативные курсы
И. Н. Антипов. Язык программирования ФОРТРАН, № 1, с. 55.
94


М. Б. Балк. Применение производной к выяснению истинности неравенств, № 6, с. 47.
A. П. Громов, В. А. Громов. Комбинаторные принципы и операции над множествами, № 2, с. 60.
Программа факультативного курса «Основы кибернетики», № 1, с. 51.
B. В. Фирсов, К. И. Шалимова, С. И. Шварцбурд. О факультативных занятиях по математике в 1975/76 году в школах РСФСР, № 4, с. 54.
Эксперимент
И. Н. Антипов, Н. Б. Бальцюк. Из опыта преподавания программирования на ЭВМ «Мир-1», № 4, с. 60.
Г. Н. Бычкова. Применение графов Кэли при изучении элементов теории групп, № 5, с. 56.
В. 	Ф. Волгина. Графовый подход к закреплению геометрического материала, № 2, с. 64.
М. Б. Волович. К вопросу о геометрических преобразованиях в курсе V класса, № 6, с. 53.
Н. Г. Евсин. Об использовании скалярного произведения векторов при решении задач стереометрии, № 5, с. 52.
В. 	П. Кацева. Опыт использования ЭВМ в преподавании программирования, № 1, с. 59.
В. 	С. Копылов. Об изучении качества знаний по алгебре учащихся VI класса, № 4, с. 65.
Н. В. Рывкус. Об изучении процесса решения геометрических задач на доказательство с помощью ЭВМ, № 4, с. 62.
A. А. Юрьева. О преемственности в обучении геометрии в IV—V классах, № 4, с. 58.
Проблемы и суждения
И. Н. Антипов, Л. С. Шварцбурд. О символике школьного курса математики с точки зрения программирования, № 6, с. 58.
Ю. К. Василенко. К вопросу о вероятности завышения оценок в контролирующих устройствах, № 2, с. 68.
Н. Я. Виленкин. Выражения, значения и числа, № 1, с. 61.
B. Г. Житомирский. Об унификации критериев оценки знаний с помощью ЭВМ, № 2, с. 67.
Внеклассная работа
Н. X. Агаханов, Н. Б. Васильев, И. Н. Клумова, Ю. И. Ионин. XI Всесоюзная математическая олимпиада, № 6, с. 62.
Академии наук СССР 250 лет (Материалы для внеклассной работы), № 6, с. 61.
Э. 	Э. Балаш. Использование поворотов векторов при доказательстве тригонометрических формул, № 1, с. 74.
З. 	А. Борисова, П. И. Масарская, Г. Б. Юсина. 10 лет ВЗМШ, № 1, с. 68.
Н. Я. Виленкин, В. А. Коротина. О связи некоторых понятий линейной алгебры с курсом математики IV и V классов средней школы, № 3, с. 76.
М. С. Гельфанд. Еще раз о замечательном квадратном трехчлене Эйлера, № 2, с. 74.
Э. 	Г. Готман. Тетраэдр, вписанный в другой тетраэдр, № 6, с. 71.
Н. А. Григорьев. Применение барицентрических координат для решения задач элементарной геометрии, № 1, с. 76.
И. Г. Зенкевич. Учим понимать красоту математики, № 2, с. 71.
C. И. Зетель. Построения одной линейкой при данном в плоскости чертежа правильном шестиугольнике, № 4, с. 74.
Д. Ф. Изаак. Дополнительные задачи по геометрии для IX и X классов, № 1, с. 71.
З. 	Н. Костина. Некоторые примеры практического применения ортогонального проектирования, № 6, с. 74.
А. С. Ломакина. Кинематика на уроках математики, № 4, с. 66.
С. 	В. Мирон. Выпуклые функции и их непрерывность, № 3, с. 83.
A. В. Никулин, Р. П. Шейнцвит. Неравенство Чебышева, № 6, с. 69.
С. 	Т. Обиднык. Об изучении двуместных отношений на занятиях кружка, № 3, с. 80.
Я. П. Понарин. Построение двумерной флаговой геометрии на основе системы аксиом Вейля, № 1, с. 81.
B. А. Скворцов, З. И. Моисеева. XVI Международная математическая олимпиада, № 1, с. 64.
Д. И. Хан. Некоторые приложения векторной алгебры к решению задач, № 4, с. 70.
П. Т. Черевичный. Объем икосаэдра и додекаэдра, № 1, с. 70.
А. В. Шахпаронян. Об аналитическом представлении геометрических фигур, № 2, с. 72.
Т. Л. Ширяева. Материалы по внеклассной работе. (К знаменательным датам) № 2, с. 70.
А. М. Янченко. Применение композиции симметрии при решении задач, № 5, с. 61.
Занимательная страница
Ю. А. Аленков. «ОДИН» плюс «ОДИН», № 4, с. 77.
А. В. Нестерчук. Сколько решений?  №  4, с.  76.
A.  Н. Прокофьев. Решение задачи в  общем виде,
№ 4, с. 76.
Разные задачи, № 6, с. 90.
Б. Д. Шнайдер. Выражение натуральных чисел через сложные радикалы, № 5, с. 73.
Задачи
№ 1, с. 86; № 2, с. 74; № 3, с. 82, 87; № 4,  с.  78;
№ 5, с. 65; № 6, с. 78.
Ученые-математики.
Педагоги-математики
B. Д. Белоусов, Я. И. Нягу. Надежда Христофоровна Спатару, № 6, с. 88.
М. Б. Волович, Г. Г. Левитас. Владимир Григорьевич Болтянский,. № 1, с. 90.
Б. В. Гнеденко, А. Я. Маргулис, Г. Г. Маслова. Алексей Дмитриевич Семушин, № 1, с. 89.
В. 	Л. Минковский. Василий Алексеевич Латышев, № 5, с. 81.
Ф. Ф. Нагибин. Семен Алексеевич Пономарев, № 1, с. 88.
В. 	И. Нечаев. Александр Адольфович Бухштаб, № 5, с. 75.
П. 	В. Стратилатов. Чествование И. К. Андронова, № 4, с. 85.
И. М. Тумаков. Анри Лебег (К 100-летию со дня рождения), № 5, с. 76.
Из истории математики
Б. В. Гнеденко. Об исследованиях по истории математики в Советском Союзе, № 6, с. 8.
А. Кубесов. Выдающийся методист-математик средневековья, № 5, с. 83.
Б. А. Розенфельд, А. К. Таги-Заде. Формула Ньютона в работах XI в., № 4, с. 86.
А. 	К. Таги-Заде. Ариабхата — «Коперник Востока» (К 1500-летию со дня рождения), № 4. с. 87.


Математический календарь
Хроника
Математический календарь на 1974/75 учебный год, март — апрель, № 1, с. 87; май — июнь, № 2, с. 82; июль — август, № 3, с. 94; на 1975/76 учебный год, сентябрь— октябрь, № 4, с. 84; ноябрь — декабрь, № 5, с. 75; январь — февраль, № 6, с. 87.
Критика и библиография
М. Б. Балк. Увлекательные математические очерки и задачи, № 5, с. 85.
Библиографический указатель «Литература по педагогическим наукам и народному образованию», № 5, с. 9.
Вниманию преподавателей математики и физики, № 2, с. 94.
Д. Н. Зельцер. Пособие нового типа, № 5, с. 87.
План выпуска литературы издательства «Педагогика» на 1976 г., № 5, с. 89.
Д. К. Тренихин. Пособие, полезное для самообразования, № 1, с. 91.
Р. А. Хабиб. О двух брошюрах издательства «Знание», № 1, с. 92
Р. А. Хабиб. О новых книгах по математике издательства «Просвещение» в 1975 г., № 2, с. 86.
За рубежом
B. М. Боцу, Н. К. Николов. По страницам болгарского молодежного журнала «Математика» (1973— 1974), № 4, с. 93.
Б. П. Бычков. Румынский журнал «Gazeta matematica», № 5, с. 93.
А. 	И. Верченко. Подготовка перехода средней школы Франции на новое содержание математического образования, № 2, с. 92.
C. Ф. Рубанов. О преподавании математики в английских школах, № 4, с. 88.
А. 	Б. Сосинский. Новые учебники математики во французской средней школе, № 2, с. 88.
X. 	А. Асадов. «Педагогические чтения» в Таджикистане, № 3, с. 15.
Н. К. Беденко. Конференция по проблемам преподавания математики в средних ПТУ, № 1, с. 94.
В. 	М. Боцу, А. Я. Маргулис. На Всесоюзном совещании председателей республиканских научно-методических советов общества «Знание», № 2, с. 85.
Государственная научная педагогическая библиотека имени К. Д. Ушинского АПН СССР (К 50-летию со дня основания), № 6, с. 89.
О. А. Жаутыков, Н. X. Розов. Республиканский семинар для учителей, № 2, с. 96.
B. Г. Житомирский, В. В. Щенников. Совещание преподавателей пединститутов по вычислительной математике и программированию, № 1, с. 93.
А. Я. Маргулис. В секции средней школы Московского математического общества (Год двадцать седьмой), № 5, с. 92.
И. Л. Михольский. Встреча с читателями, № 2, с. 93.
Н. Н. Степанец, И. Б. Юдина. Встречи с читателями, № 4, с. 95.
И. Е. Шиманский, З. И. Слепкань. Встреча с читателями, № 5, с. 91.
X. 	Ш. Шихалиев. О научно-методической конференции преподавателей педвузов Южной зоны РСФСР, № 5, с. 92.
Некрологи
C. И. Адян, Н. Д. Гиленко, В. А. Успенский, Е. А. Щегольков. Петр Сергеевич Новиков, № 2. с 83.
И. К. Андронов, А. Ф. Спасский, А. Ф. Сычиков. Владимир Модестович Брадис, № 4, с. 96.
Н. М. Бескин. Василий Алексеевич Ефремов, № 3,
с. 	95.
А. А. Бухштаб. Алексей Петрович Дицман, № 1,  с. 95.
А. Н. Костовский, И. Ф. Тесленко. Александр Сергеевич Кованько, № 6, с. 91.
А. И. Маркушевич, Л. Ф. Хахамов. Александр Петрович Доморяд, № 6, с. 92.
И. С. Петраков, С. А. Пономарев. Яков Федорович Чекмарев, № 3, с. 95.
А. Д. Семушин, В. В. Фирсов. Александр Абрамович Шершевский, № 1, с. 96.
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор JI. С. Владимирская Корректор И. В. Симакова
Сдано в набор 22/Х 1975 г. Подписано в печать 27/XI 1Э7Г> г. Объем 6 (10,08) п. л.
Учетно-изд. 11,80. Бумага типогр. № 2. 84Х108'/ю. Тираж 420 420 экз. Зак. 497. Цена 45 коп.
Адрес издательства. 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8.
Телефон редакции 283-85-83 Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли г
Московская типография № 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете* Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 107005, Москва, Б-5, Денисовский пер.. д.. S3.


НОВАЯ КАССЕТА ДЛЯ ДИАПОЗИТИВОВ
Студия «Диафильм», как правило, выпускает серии по 10 и 20 диапозитивов, что и учитывалось нами при определении емкости этой кассеты.
Изготовив в школьной мастерской столько кассет, сколько десятков диапозитивов находится в нашем распоряжении, мы можем не распаковывать кассеты, используя их для хранения диапозитивов и для их демонстрации.
Кассета (рис. 1) изготовляется из двух листов оргстекла размером 287,5 X 105 мм. К ним приклеиваются перегородки сечением 3,5 X 5 мм. В результате получается кассета из двух рядов отделений, по 5 в каждом ряду. В каждое отделение с одной стороны (сверху или снизу) закладывается по одному диапозитиву, после чего кассета закрывается двумя металлическими крышками. Одна из них
Н-
т
■I
51,5
ш
не
11 II
II
-U-
тг
п я\у
и
ii
г\
12
У\.
.ГЧ.
Ч-э
287,5
И
ГГ
Рис. I
НЕ
ш