/
Text
Л. Ф. ЛЕПЕНДИН
АКУСТИКА
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО
И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ
ТЕХНИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1978
ББК 22.32
Л48
УДК 534 @75)
Рецензенты: кафедра акустики МГУ им. М. В. Ломоносова
и проф., д-р физ.-мат. наук М. А. Исакович
Леонтий Федорович Лепендин
АКУСТИКА
Редактор Л. Н. Шалыгина
Художник С. А. Киреев
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор 3. А. Муслимова
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 1126
Изд. № ФМ—559. Сдано в набор 27.10.77. Подп. к печати 03 04 78.
T-03G73. Формат 60X90l/ie Бум. тип. № 3. Гарнитура литературная. Пе-
Печать высокая. 28 усл. печ л. Уч.-изд. л. 27,49. Тираж 20 000 экз
Заказ № 1581. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный
Двор» имени А. М Горького Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
Лепендин Л. Ф.
Л48 Акустика: Учеб. пособие для втузов. — М.: Высш. школа,
1978. —448 с, ил.
В пер. 1 р. 20 к.
В учебном пособии изложены основные вопросы курса акустики, включенные в
программу для студентов высших технических учебных заведений.
Пособие состоит из двух частей. В первой исследована теория колебаний меха-
механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами; колебания с
одной и двумя степенями свободы; методы электромеханических аналогий. Рассмот-
Рассмотрены также упругие волны в газах и жидкостях, законы отражения и преломления
плоских волн через границу раздела двух сред, а также законы прохождения и от-
отражения звука от границ и плоских пластин.
Вторая часть книги посвящена теории излучения сферическими, цилиндрически-
цилиндрическими и плоскими источниками, теории рассеяния. Изложены вопросы волноводного рас-
распространения звука, основы акустики помещений.
Книга снабжена приложениями, имеющими вспомогательное значение,
Л 20404~237 35-78 534
001@1)—78 ББК 22.32
© Издательство «Высшая школа», 1978.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге в достаточно полном объеме содержатся описания важ-
важнейших методов постановки и решения характерных акустических
задач. Она составлена на основании курса лекций по акустике, чи-
читаемого автором в течение ряда лет студентам, специализирующимся
по гидроакустике и ультразвуковой технике. Подбор материала книги
определялся обязательной учебной программой по курсу «Акустика»
для данной специальности в техническом вузе, а также степенью
физико-математической подготовки, которую имеют студенты к на-
началу изучения курса. В книгу не вошли вопросы акустических
измерений, основ гидроакустики, теории электроакустических преоб-
преобразователей и другие разделы прикладной акустики, входящие в си-
систему подготовки специальности в форме отдельных инженерных
курсов.
Мы стремились проводить изложение достаточно подробно, чтобы
книга могла быть использована в самостоятельной работе специали-
специалистами (не акустиками), и старались получать соотношения в таком
виде, который обеспечивает доведение решений задач до численных
результатов. Материал учебного пособия рассчитан на читателей,
имеющих подготовку по физике и математике в объеме первых двух
семестров технического вуза. Там, где это требуется, введены крат-
краткие дополнительные сведения из физики и математики, необходимые
для понимания дальнейшего изложения.
Автор благодарен С. Н. Ржевкину, М. А. Исаковичу, Л. К, За-
рембо, М. А. Миронову, К. В. Чернышеву и Н. А. Колмаковой за
ценные методические и другие замечания по улучшению рукописи
этой книги.
Автор
ЧАСТЬ I
ГЛАВА I
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ
СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 1.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебательные процессы охватывают обширный круг явлений,
для которых характерно повторение их характеристик через опре-
определенные промежутки времени. Всякое колебание связано с наруше-
нарушением равновесного состояния среды и проявляется в отклонении ее
параметров от равновесных значений (например, при мгновенном
сжатии столба газа в трубе— давление газа, температура, плотность,
смещение частиц).
Если колебания могут быть выражены в виде функции, значения
которой через равные интервалы времени повторяются, то такие ко-
колебания называют периодическими. Наименьший интервал времени
повторения процесса называют периодом. Общее математическое вы-
выражение периодического процесса задают функцией /(/), имеющей
свойство повторять свое значение через интервалы времени, равные
периоду Т. Это свойство выражают в форме соотношения
f(t) = f(t + T). (I.I.I)
В общем случае периодичность может существовать как во вре-
времени, так и в других независимых переменных. Например, рельеф
местности с буграми одинаковой формы, отстоящими на одинаковом
расстоянии, также описывается периодической функцией типа A.1.1),
только вместо независимой переменной t появляется координата г.
Роль периода в этом случае будет играть наименьшее расстояние Я,
соответствующее повторению значений функции. В этом случае пе-
периодичность структуры профиля не зависит от времени.
Могут быть периодические процессы, которые описываются одно-
одновременно временнбй и пространственной координатами:
fit, r) = f(t + T, r + X). A.1.2)
Наиболее простой периодической функцией является круговая:
Ее период равен Т = 2я/оо, в чем можно убедиться непосредст-
непосредственно, подставив в A.1.3) t + 2n/tt вместо t (?/0 — амплитуда коле-
колебаний; со = 2я/Т — круговая частота; cot — а — текущая фаза; а — фаза
колебаний в момент бремени i —0, или начальная фаза).
Если периодическая функция с периодом Т в интервале t, t + T
имеет конечное число максимумов и минимумов, а в точках разры-
разрывов удовлетворяет условию Дирихле
то она может быть представлена в виде
ряда Фурье
о
A.1.4)
m=l
. 2mnt
И J
г
1 г
И
п..
*
Рис. 1.1.1
где Ло, Bm, Cm —коэффициенты ряда, которые вычисляют по фор-
формулам:
т т
A^\f(t)dt\ Bm = ^\f @ cos ^ dt\
« о
г
sin
A.1.5)
Ряд Фурье A.1.4) часто записывают в форме
00
/@ = ^+2
/2mnt
cos J-jf- - a
A.1.6)
где Am = VB2m + C*mtgam=Cm/Bm) Ло, Bm, Cm вычисляют по фор-
формулам A.1.6).
В качестве примера проведем разложение в ряд Фурье прямо-
прямоугольного импульса (рис. 1.1.1) с периодом Т и длительностью им-
импульса Т/п (п?> 1). Пусть импульс задан функцией
/@ =
h при
О при
±-<t<(l+l)T,
где / = 0, 1, 2, ...
Вычислив Ао, Вт и Ст по формулам A.1.5), получим:
:iL<
¦ А Л 2тзт\
m«=— 1-cos—- .
mn
Отсюда следуют формулы для определения амплитуд и фаз отдель-
отдельных гармонически составляющих прямоугольного импульса;
Тогда для данной периодической функции ряд Фурье имеет вид
cos
тл
На рис. 1.1.2, а даны графики импульса в координатах и и t для
различных .значений л, а на рис. 1.1.2, б— спектры этой функции
для тех же значений п.
/7=2
X
2
-(О
10
5)
Рис. 1.1.2
Этот пример показывает, что с увеличением п (с уменьшением
частоты повторения прямоугольного импульса) увеличивается число
спектральных компонент, с помощью которых может быть представ-
представлена функция. В пределе, когда я-^оо, линейчатый спектр обра-
обратится в сплошной.
Другим примером гармонического анализа периодической функции
является разложение в ряд Фурье периодической последовательности
затухающих колебаний. Опуская аналитическое решение, приведем
основные результаты решения задачи. На рис. 1.1.3, а изображены
графики затухающих колебаний для разных" периодов повторения,
а на рис. 1.1.3, б—спектральные составляющие соответствующих
колебаний, вычисленные по формулам A.1.5) и A.1.6).
С уменьшением частоты повторения отдельных колебаний число
спектральных линий, необходимых для спектрального представления
процесса, постоянно возрастает. Необходимо иметь все большее и
большее число отдельных гармонических составляющих, чтобы вза-
взаимным уничтожением их ампли-
амплитуд при сложении изобразить
провалы между затухающими
колебаниями. Надо заметить,
что все линейные спектры, соот-
соответствующие различным частотам
периодической функции, при
надлежащем подборе масштаба
Ьрдинат имеют одну и ту же оги-
огибающую (рис. 1.1.3, б; пунктир).
Рис. 1.1.3
Рис. 1.1.4
Отдельное затухающее колебание не является периодическим про-
процессом. Оно соответствует предельному случаю, когда частота повто-
повторения рассмотренной периодической функции стремится к нулю.
В этом случае можно осуществить предельный переход от ряда Фурье
к интегралу Фурье. Если воспользоваться разложением в интеграл
Фурье одиночного затухающего процесса, то получим в итоге пред-
представление этого непериодического колебания в виде непрерывного
спектра (рис. 1.1.4).
§ 1.2. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ТРЕНИЯ
Рассмотрим движение простейшей колебательной механической
системы, состоящей из массы т, которая может перемещаться гори-
горизонтально вдоль направляющего стержня под действием двух пру-
пружин (рис. 1.2.1). Предположим, что деформация пружин подчиняется
закону Гука:
f в-|б. A.2.1)
где с—гибкость пружин; ? — смещение от положения равновесия,
прением и- сопротивлением воздуха пренебрегаем. В реальных си-
стемах закон Гука выполняется при малых деформациях; что же
касается сил трения и сил сопротивления воздуха, то ео многих
случаях они достаточно малы.
Допустим, что тело в начальный момент времени ^ = 0 имеет сме-
смещение от положения равновесия ?0 и скорость Но. В последующие
моменты времени смещение будет описываться некоторой функцией
времени ?, которую надо найти.
Под действием силы упругости пружин возникает ускорение, кото-
которое согласно второму закону Ньютона равно d%/dt2 = F/m. Учитывая
выражение A.2.1), получим дифференциальное уравнение движения
me
A.2.2)
Анализ уравнения показывает, что тело массой т под действием
сил упругости получает ускорение, значение которого пропорцио-
пропорционально отклонению тела от положения равновесия, а направление
противоположно смещению. Заметим, что масса т и гибкость с больше
нуля. Поэтому коэффициент —>0 и его можно записать в виде
тс
квадрата некоторого действительного числа:
тс
A.2.3)
где 0О не зависит от смещения ? и времени / и определяется только
параметрами системы, массой т и гибкостью с.
Используя коэффициент соЦ» запишем уравнение A.2.2) в виде
dt*
A.2.4)
Это выражение является однородным линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом. К подобным
уравнениям приводят многие задачи из различных областей физики.
При этом часто для их вывода используют закон сохранения энер-
энергии. Поясним это на примере движения стенок упругого тонкого
кольца. Пусть в начальный момент времени упругое кольцо с ра-
радиусом а, толщиной d и высотой h равномерно растянуто и имеет ра-
радиус я+?о> а затем освобождено. Под действием сил упругости стен-
стенки кольца придут в движение, во время которого сумма кинетичес-
кинетической и потенциальной энергии, если пренебречь потерями, остается
постоянной. В момент времени / кинетическая энергия равна 2nahdpi2/2,
а потенциальная — произведению плотности энергии растяжения Е&2/2
на объем кольца 2nahd. Здесь р — плотность; Е — модуль Юнга; е —
относительное удлинение периметра кольца, равное [2я(а+1) —
—2na]/2na = l/a; ?— мгновенное увеличение радиуса кольца.
Сумма энергий в момент времени / равна яаЫ(р|24-??2/#2), а при-
приращение полной энергии за время dt Unahd (p|f + Eg|/a)d^ =— 0.
После сокращения на множитель 2nahd\dt получим дифференциаль-
дифференциальное уравнение радиального движения стенок кольца. Оно имеет вид
A.2.4), только ©2--JL.
Рассмотрим процессы, протекающие в простейшем колебательном
контуре с емкостью С* и коэффициентом самоиндукции L. При этом
введем следующие ограничения для данной электрической системы.
Будем считать, что L не зависит от силы тока, электрическая емкость С
не зависит от заряда q, а сопротивления соединительных проводов
так малы, что их можно не учитывать.
Указанные ограничения в реальном колебательном контуре вы-
выполняются приближенно. Первые два характеризуют линейность про-
процессов в колебательной системе. Они выполня-
выполняются тем лучше, чем меньше сила тока. Что
касается предположения о малости сопротивле-
сопротивления, то примем его как первое приближение к
реальной электрической системе.
С помощью переключателя (рис. 1.2.2) за-
зарядим конденсатор С и замкнем цепь, содер-
содержащую катушку с индуктивностью L. Под вли- Рис. 1.2.2
янием разности потенциалов на обкладках кон-
конденсатора в контуре будет существовать ток, изменяющийся со вре-
временем. Применяя к контуру закон Кирхгофа, получим
где U =zC~xq — напряжение на конденсаторе; —L ~т- — электродвижу-
электродвижущая сила самоиндукции контура; /«=+-&-
* В пособии некоторые электрические и механические величины обозначены
одинаковыми буквами. В связи с этим условимся большими буквами обозначать
электрические величины, малыми —механические.
Тогда после простых преобразований получим дифференциальное
уравнение вида
S + rc<? = °- <L2-6>
Известно, что коэффициент самоиндукции L и электрическая
емкость С не могут быть отрицательными, поэтому коэффициент 1/(LC)
в уравнении A.2.6) больше нуля. В связи с этим обозначим егоза-
ведомо положительным числом 0§ = 1 /(LC) и запишем уравнение
A.2.6) в виде
?? 0. A.2.7)
При этом оно формально совпадает с A.2.4) для механических
колебаний. Что касается существа процессов, то эти два уравнения
описывают законы совершенно различных явлений. Механическое
уравнение дает законы смещения тела, на которое действует сила
упругости. Уравнение колебательного контура выражает закон изме-
изменения электрического заряда конденсатора, когда его обкладки замк-
замкнуты на катушку самоиндукции.
Остановимся на решении A.2.4) и A.2.7), обозначив искомую
функцию U. В A.2.4) эта функция выражает смещение |(/),
а в A.2.7)—электрический заряд q(t).
Итак,
Напомним, что для получения решения дифференциальных урав-
уравнений необходимо иметь начальные условия. В частности, для реше-
решения уравнения второго порядка необходимо знать в начальный мо-
момент времени значения искомой функции и первой производной от
этой функции по времени.
Допустим, что начальные условия известны и имеют вид
Решение A.2.8) ищем в виде
где Dx и D2 —корни характеристического уравнения
Решение A.2.10) дает два корня: Dx = /о)о, D2 = — /0О (/ = У—l).
Таким образом, решение A.2.8) имеет вид
U = ае!'*** + be-1®**. (I.2.11)
Используя A.2.9), получим систему для определения постоянных
интегрирования а и Ь:
b, Uo = /©о (а - 6).
10
Решая эту систему, найдем:
g = ?/o —/#о/Д>о ft_g/o + /#o/e>o A2 12)
После подстановки постоянных интегрирования из A.2.12)
в A.2.11) получим
(
По формулам Эйлера, выражения, стоящие в скобках, представ-
представляют собой круговые функции cosco0/ и sin (o0t. Таким образом, ре-
решение уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным
условиям A.2.9), имеет вид
(/ = (/0cosGy + -sinaH/. (I.2.13)
Заменим Uo и U0/(oQ тригонометрическими функциями:
U0 = Л 0 cos а, 00/щ = A sin а.
Решение A.2.13) примет вид
I/ = Ло cos (u)of - а), A.2.14)
где *
При движении тела под действием упругости пружины смеще-
смещение !• подчиняется гармоническому закону. Параметры системы (т, с)
вместе с начальными значениями смещения и скорости определяют
полностью колебательный процесс. Характеристики колебательного
процесса можно вычислить по формулам:
= %о (амплитуда);
— (круговая частота); A.2.17)
а = arctg \ тс (начальная фаза).
ъо
Точно так же определена полная характеристика колебаний за-
заряда q в случае простого колебательного контура:
= ~|/
Рассмотрим энергетические соотношения для гармонического про-
процесса. Их легко получить, если записать уравнение A.2.1) в виде
тщ? + тЬ = 0, A.2.19)
где первое слагаемое — сила инерции, второе— сила упругости.
и
Уравнение A.2.19) выражает принцип равновесия сил. Работа суммы
указанных' сил на пути d% равна нулю и выражается формулой
m^dg + ygdg = 0. (I.2.20)
Преобразуем первое слагаемое так, чтобы выделить приращение
скорости d\. Эти преобразова-
преобразования просты и сводятся к сле-
2С
дующей операции:
d2g ,t d (dl
= m|dE. (I.2.21)
С учетом A.2.21) запишем
уравнение энергии A.2.20) в
виде
или
Здесь первое слагаемое в
скобках представляет собой ки-
кинетическую энергию, а второе —
потенциальную.
Уравнение A.2.22) показы-
показывает, что при гармоническом
колебании изменение суммы потенциальной и кинетической энергий
равно нулю в любой момент времени. Интегрируя его, получаем
ТГ~ + |j==const-
Используя выражения для смещения и скорости при гармони-
гармоническом колебании
найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий коле-
колебательной системы без трения:
Как кинетическая, так и потенциальная энергия изменяются
с частотой, равной 2соо, около среднего значения ?о/Dс). Сдвиг фаз
12
между колебаниями кинетической и потенциальной энергий равен п
(рис. 1.2.3).
Аналогично, для колебательного контура
2 + 2С ^ C°nst'
где первое слагаемое выражает энергию магнитного поля катушки
самоиндукции, а второе —энергию электрического поля конденсатора.
Как видно, в изолированных системах полная энергия с течением
времени не изменяется.
§ 1.3. МЕХАНИЧЕСКАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ
СИСТЕМА С ПОТЕРЯМИ
В энергетическом отношении реальные системы характеризуются
изменением энергии вследствие частичной затраты ее на работу про-
против непотенциальных сил трения и излучения в окружающее про-
пространство. В динамических уравнениях потери энергии обычно учи-
учитывают введением сил вязкого трения, а в электрическом контуре —
введением падения напряжения на активном сопротивлении.
При выводе уравнения движения учтем, что кроме сил упругости
3 реальных системах действуют силы трения, которые в первом при-
приближении пропорциональны скорости:
/Чр —4 A.3.1)
где г. —коэффициент вязкого трения.
Заметим, что при нелинейной зависимости силы трения от ско-
скорости колебания тела имеют более сложный характер. В случае
линейной зависимости дифференциальное уравнение движения незна-
незначительно изменяется по сравнению с рассмотренным и имеет вид
Аналогично, для колебательного контура с омическим сопротив-
сопротивлением
^1 + ^ = 0. A.3.3)
Пользуясь методами решения линейных уравнений, получаем
решение в виде
I = Ле~6' cos (at — <р) = е~6' (В cos Ы + С sin tot),
g = e^[(C©-B6)cos©*-(C6 + B©sin©9]. A.3.4)
Здесь В = A cos ф, С = A sin ф, б = /7Bт),
со = у со* - б2 = ©0 у 1 - (б/(ооJ> A.3.5)
где со — собственная частота затухающих колебаний; б — коэффициент
затухания; (о0 — круговая частота системы без потерь; Ле~б/ — ампли-
13
туда, изменяющаяся со временем; А и ф или В и С —постоянные
интегрирования, которые определяют из начальных условий: ? (t) =
/ = о
= ?0; |(^)=10. Применяя их к A.3.4), получим:
A.3.6)
Ф = arctg -д- = arctg
Графики затухающих колебаний представлены на рис. 1.3.1.
Здесь приведена зависимость смещения затухающих колебаний от
времени в системах с различными коэффициентами затухания б.
#=0,003
1 ft fl ft ft n
ПППЛПППППППП
0.01
IHllll
<542
*
Рис. 1.3.1
Формула A.3.4) показывает, что затухающие колебания не являются
гармоническими, так как их амплитуда убывает со временем, а ча-
частота со зависит от коэффициента затухания. В частности, если
62>@o, т. е. (г/2тJ ^1/(тс), то колебания невозможны.
Для характеристики затухающих колебаний пользуются коэффи-
коэффициентом затухания б, логарифмическим декрементом в-и доброт-
добротностью Q.
Коэффициент затухания, как это следует из уравнения A.3.4),
определяет быстроту убывания амплитуды с течением времени. Если
обозначить время, в течение которого амплитуда уменьшается ве =
= 2,718 раза через т, то
14
Уменьшение амплитуды за один цикл характеризуется логариф-
логарифмическим декрементом, равным натуральному логарифму отношения
двух амплитуд, разделенных периодом:
Таким образом, логарифмический декремент равен отношению
периода колебаний ко времени затухания т.
Добротность системы —это величина, равная числу полных коле-
колебаний, соответствующих уменьшению амплитуды в еЛ раз.
Связь между названными характеристиками следует из простых
соотношений. Если обозначить время убывания амплитуды в еЛ раз
Q~6t
через хъ то _6(^+Г) =ебт* =ея, т. е. бтх = я, откуда
Число периодов, укладывающихся в промежуток времени т1э или
добротность Q, выражается формулой
т
Совершенно очевидно, что
ТГ /Л О sr? ? *V1 •¦Л I *M
A.3.8)
Характеристики затухания т, в и Q определяют через параметры
колебательной системы с помощью следующих формул:
2т г, я Т 2л яг -./-— -* Г с /т о Лч
т = —, 0 = ^ = — = = —Уст=лг\/—. A.3.9)
г Q r g)ot m r f m v y
Пользуясь понятием добротности механической системы, преоб-
преобразуем формулу собственной частоты затухающих колебаний A.3.5)
к виду
A/2QJ. A.3.10)
Очевидно, что при добротности превышающей несколько десят-
десятков (oo^l)» частота затухающих колебаний может быть заменена
собственной частотой о)о колебаний без потерь.
Обычно добротности акустических колебательных систем удовлет-
удовлетворяют условию A.3.10), и их можно рассматривать как квазигар-
квазигармонические. Например, добротность кварцевой пластины, употребля-
употребляемой в качестве излучателя ультразвуковых колебаний, равна 100 000,
а камертона—10000.
Найдем энергетические соотношения в системе с потерями. Умно-
Умножая A.3.2) на &\ и проводя преобразования [см. A.2.20) и A.2.21)],
получим
16
Подставляя первое и третье слагаемые в форме дифференциалов
кинетической и потенциальной энергий, найдем:
d ! m" ?2 \
Это значит, что убыль энергии системы -гл—?- + ¦%-) равна той
энергии, которую поглощает активное сопротивление в единицу вре-
времени. При этом надо иметь в виду, что активное сопротивление
обусловлено трением, излучением акустических волн и другими
потерями. Очевидно, что потери энергии за период могут быть оце-
оценены интегрированием A.3.12) в пределах от / до t + T:
t+T t+T
A.3.13)
Если начальная скорость равна ?0, а потенциальная энергия —
нулю, то начальный запас колебательной энергии т|о/2. Чем больше
отношение полного запаса энергии к энергии потерь за период, тем
больше полных колебаний успеет сделать система до остановки.
Поэтому отношение начальной энергии к энергии потерь за период
служит энергетической характеристикой затухания:
{ 2 ДГ~Т"/ "~ гТ ~~ 2пг • ii.a.ii;
Согласно A.3.8), величина оуп/г, входящая в формулу A.3.14),
равна добротности Q. Обозначив полную колебательную энергию
№д = т|о/2, а энергию диссипации за период WJl = rl0T/2t получим
Это соотношение позволяет найти добротность системы, когда
известны полная энергия Wn колебаний и потери энергии WA за
период.
§ 1.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Если на колебательную систему с потерями действовать перио-
периодической силой, то возникают вынужденные колебания, характер
которых в той или иной мере повторяет изменения внешней силы.
Рассмотрим простейшую механическую систему (рис. 1.4.1), на
которую действует внешняя сила, генерируемая магнитным полем
и изменяющаяся во времени по закону F(t). Применяя закон Нью-
Ньютона, получим
Ш
где m, /-, с —масса, механическое сопротивление и гибкость системы.
Если закон F (t) представляет собой сложную функцию времени,
то решение этого линейного неоднородного уравнения можно свести
к решению задачи о колебаниях под действием гармонических сил,
поскольку почти во всех случаях нестационарные силы, действую-
действующие на колебательную систему, описываются функциями, которые
можно представить в виде ряда или ин-
интеграла Фурье. Таким образом, сложная
задача о вынужденных колебаниях может
быть сведена к более простой — решению
дифференциальных уравнений вида
m
A.4.2)
где со — круговая частота возбуждающей
силы.
V////////////////////////A
Рис. I.4.J
Здесь и в последующих главах будем приме-
применять метод комплексных величин. Его сущность
состоит в том, что круговые функции, встречаю-
встречающиеся в некоторых задачах теории колебаний, заменяют комплексными экспо-
экспоненциальными функциями по формулам Эйлера:
= cos «/ + / sin со/,
1
1
A.4.3)
В результате получают решение в виде комплексной функции. Действитель-
Действительная часть этого решения является искомой функцией, если операции при реше-
решении задачи были линейные. Следует заметить, что при всех линейных операциях
(таких, как сложение, дифференцирование, интегрирование и др.) применение
комплексного метода значительно упрощает расчетные соотношения. Например,
требуется найти сумму нескольких гармонических функций:
cos at + cos (со/ + ф) + cos (a>t + 2ф) +... + cos [(со/ + (т — 1) ф].
Тогда вместо проведения довольно громоздких операций над гармоническими
функциями каждый член искомой функции заменяют соответствующей комплексной
(экспоненциальной) и проводят операцию суммирования над комплексными функ-
функциями:
/
Учитывая, что в скобках стоит геометрическая прогрессия со знаменателем
. ejmq _ 1
еДР, получим е№ >—: . Действительная часть этой комплексной функции есть
еАР— 1
сумма гармонических функций. При всех линейных операциях выполняется пра-
правило: сумма действительных слагаемых равна действительной части результата,
а^сумма мнимых слагаемых — мнимой части.
17
Нетрудно показать, что это правило не распространяется на нелинейные опе-
операции, в частности на умножение комплексных чисел, и комплексный метод
в этом случае неприменим. Однако, если необходимо вычислить квадрат ампли-
амплитуды, можно воспользоваться другим правилом: произведение комплексного числа
Л = яе^Ф на комплексно-со пряженное ?* = 6е~^Ф равно произведению модулей этих
чисел:
AB* = ab. (I.4.4)
Решение неоднородного уравнения A.4.2) будем искать в виде
суммы общего решения gx однородного уравнения
и частного решения |2 уравнения с правой частью A.4.2)
т\г + гB + - g,« F0cos ett.
С/ *
Первое совпадает с дифференциальным уравнением затухающих
колебаний. Его решение и представлено формулами A.3.4) и A.3.5).
Для нахождения частного решения уравнения A.4.2) запишем его
в виде уравнения для скорости
и воспользуемся методом комплексных функций. Согласно этому
методу, будем искать решение уравнения, отличающееся от A.4.5)
только тем, что сила F0cosa)^ представляется символически в виде
комплексной экспоненциальной функции Fq^, а искомая функция
заменяется в нем комплексной функцией i(t). Иначе говоря, вместо
A.4.5) будем решать уравнение с комплексными функциями:
Допустим, что решение A.4.6) существует в виде комплексной
экспоненциальной функции
1=4е"<, A.4.7)
где р — частота вынужденных колебаний.
Простой подстановкой A.4.7) в A.4.6) получим тождество
(U-8)
из которого следует, что частота р вынужденных гармонических
колебаний равна частоте со вынуждающей силы:
/7 = со, A.4.9)
т. е. частота вынужденных колебаний не зависит от параметров
системы.
is
Комплексная величина | определяется амплитудой FQ и частотой (о
вынуждающей силы и, кроме того, параметрами колебательной си-
системы т, г и с. Выражение для комплексной амплитуды скорости |0
легко получить из A.4.8) с учетом A.4.9):
^0= г+Ц(йт—\/((йс)] • A.4.10)
Комплексную величину, стоящую в знаменателе формулы A.4.10),
называют комплексным механическим сопротивлением, или механи-
механическим импедансом колебательной системы:
A.4.11)
где
A.4.12)
С учетом этих соотношений формула комплексной амплитуды ско-
скорости A.4.10) имеет вид
?0=^-= F° ft-УФ (I413)
а решение A.4.7) при р = (о представляется комплексной экспонен-
экспоненциальной функцией
| = |ое/^ = Ае;(^-ф). A.4.14)
Проводя операцию интегрирования A.4.14),. получим искомую
комплексную функцию для смещения
ft = Jo е/о/ _ ?о_ е/(а/-ф-я/2) /Т Л 15)
b /со сог0 # v • • /
Реальные части комплексных функций A.4.14) и A.4.15) пол-
полностью отвечают физическим процессам'при вынужденных стационар-
стационарных колебаниях:
— \/(щс)]2
Полное решение задачи «о вынужденных гармонических колеба-
колебаниях механической системы содержит решение для свободных коле-
колебаний A.3.4) и решение A.4.17):
где 6 = /7B/п); А и а— амплитуда и фаза, которые находят по на-
начальным условиям; соо — собственная частота свободных колебаний.
19
Первое слагаемое A.4.18) дает представление о переходном процессе,
который длится в течение времени т = 1/6. Спустя некоторое время
(/^>т), оно полностью обратится в нуль и наступят установившиеся
вынужденные колебания.
Анализируя выражение для амплитуды скорости колебаний A.4.16),
заключаем, что она максимальна при условии
com = 0,
(ОС
так как го= 1/ г2 + (сот ) =г.
Отсюда следует, что частота сор, при которой скорость имеет
максимальную амплитуду, совпадает с частотой собственных неза-
незатухающих колебаний механической системы:
©р=УТ/(тф A.4.19)
При этом максимальная амплитуда скорости равна |omax = Fo//',
а фаза ф совпадает с фазой внешней силы.
Явление, при котором амплитуда скорости достигает максималь-
максимального значения, называют механическим резонансом.
Для анализа характеристик вынужденных колебаний удобно
•пользоваться безразмерными величинами. Введем безразмерные импе-
импеданс z', частоту п и скорость |' как отношения соответствующих
величин, когда система имеет частоту со, к их числовым значениям
при частоте резонанса сор:
Тогда из A.4.11) с учетом A.4.19) следует
;, 1 , . com—1/(сое) _ 1 , . ирт / © ©«
ИЛИ
A.4.20)
где Q —добротность; у = со/сор — сор/со — частотная переменная колеба-
колебательной системы; z'o = zo/r = V^l +Q2V2 — модуль приведенного комп-
комплексного импеданса; ср = arctgQy — фаза импеданса относительно силы.
Отношение комплексной амплитуды скорости |0 к амплитуде ско-
скорости при резонансе может быть вычислено по формуле
w-f-FTr
fcOp
Учитывая A.4.20), получим
20
На рис. 1.4.2 даны резонансные кривые колебательных систем
с разными добротностями [|/|0 — отношение амплитуды колебательной
скорости к соответственной амплитуде колебательной скорости при
резонансе (а) и ф —сдвиг фаз между силой и колебательной ско-
скоростью (б)].
/
0,8
0,6
ол
_
-
^
i
0,96
А
1 1
0,98 1
i i"
1,02
L
100
п-200
№ Ц
Рис. 1.4
V
<р,град
90
0
^" -90
\
.2
Y/
o=wo
В отличие от свободных колебаний поведение колебательных
систем под действием гармонической силы определяется не только
параметрами системы, но и частотой внешнего воздействия. Мы ви-
видим, что смещение, скорость и ускорение вынужденных колебаний
имеют частоту, не зависящую от параметра колебательной системы, и
выражаются, формулами:
A.4.21)
|= — <og0 sin (со/ — а),
I = — co2?o cos (co? — a),
или при использовании безразмерной частоты:
? = ?0 cos (moo/— a),
|== — пщЪ0 sin (пщг — а),
| = — /г2соо?0 cos (ruo0t — а).
Для сравнения сил, определяющих поведение системы при раз-
различных частотах, подставим A.4.21) в A.4.1):
-г т?0А12соо cos (moo/ — а) — г10пщ sin (na)ot — а) +
Н—cos (n<dot — а) = Fo cos n(dot. A.4.22)
с
Первый член тождества — это сила инерции, второй— сила вязкого
трения, третий —сила упругости.
Тождество выражает условие динамического равновесия суммы этих
сил с силой внешнего возбуждения.
При частотах, значительно меньших резонансной (м<^1), роль
первых двух сил ничтожно мала, так как их сумма значительно
меньше силы упругости. В этом случае внешняя сила уравновеши-
21
вается практически только силой упругости и можно сказать, что
система управляется упругостью. Тогда A.4.22) принимает вид
Fo cos (пщг) = — cos (ti(oQt — a).
с
Если система управляется упругостью, то частота вынуждающей
силы меньше резонансной, фаза смещения совпадает с фазой силы,
а амплитуда смещения определяется формулой lo = cFo.
При частотах возбуждения со, близких к резонансной частоте
wp = co0, главную роль играют силы трения. Действительно, при
n=l (I.4.22) можно представить в виде
mcDo)?ocos {toot — a) — co0r sin (coo/ — a) =F0cos (coo?).
Так как coo=l/(mc), то первое слагаемое равно нулю. Остается
только слагаемое, выражающее мгновенное значение силы сопротив-
сопротивления:
соог sin ((x)ot — а) ?0 =а Fo cos co0/.
Полученное равенство должно выполняться при любом значении
времени t. Отсюда следует: sin (coo/~ a) = cos coo/ и/7о = соог^о. Из пер-
первого равенства получаем а — — я/2, а из второго следует, что если
частота совпадает с резонансной, то фаза мгновенного смещения
не равна фазе вынуждающей силы, а превышает ее на я/2 и ампли-
амплитуда смещения пропорциональна силе и обратно пропорциональна
частоте соо:
Точно так же можно показать, что при резонансной частоте (я=1)
фазы скорости | и вынуждающей силы F совпадают. Заметим, что
для систем, управляемы* трением, силы, возникающие на упругом
элементе, и силы инерции равны по модулю, но противоположны
по направлению, поэтому происходит их компенсация.
Наконец, при условии, когда частота внешнего воздействия
значительно больше резонансной (п^>1), действия сил упругости
и трения во время колебаний системы пренебрежимо малы и система
управляется массой. Можно показать, что в этом случае фаза уско-
ускорения совпадает с фазой силы, а амплитуда ускорения равна 10 =
= F0/m.
Итак, колебательные системы условно можно разделить на системы,
управляемые упругостью, трением и массой. Особенности подобных
систем полностью выявляются на основании анализа частотных
свойств импеданса:
io
где у — частотная переменная;
Y = tt--l/tt, n = co/co0, (p = arctgvQ. (I.4.23)
22
При низких частотах (п<^ 1)" частотная переменная у^—\1п,
откуда следует, что импеданс z обратно пропорционален приведенной
частоте п:
При этом колебательная скорость
где (p = arctgvQ^arctg(— оо) = — я/2 при я<^1*.
При частоте, близкой к резонансной, частотная переменная у?&
^Ои импеданс выражается только механическим сопротивлением г.
Тогда амплитуда и фаза скорости равны
и (p =
Это случай системы, управляемой трением.
Если частота больше резонансной (aiJ>1), to частотная перемен-
переменная, входящая в формулу импеданса, уя^я, и импеданс может быть
вычислен с помощью формул
где cp = arctg (Qri)
Соответственно комплексная скорость определяется формулой
fe rQn
Действительная часть ее является гармонической функцией:
Это случай системы, управляемой массой. Здесь скорость отстает
по фазе от внешнего воздействия на '90°.
Ускорение
. — - - COS ПОдЛ
* rQ °
совпадает с силой по фазе и имеет амплитуду, не зависящую от
частоты воздействия и определяемую амплитудой внешней силы и
параметрами колебательной системы.
Отметим еще раз следующие особенности колебательного движе-
движения перечисленных выше систем: для системы, управляемой трением,
амплитуда скорости колебаний не зависит от частоты, а скорость
совпадает по фазе с действующей силой; для системы, управляемой
* При низких частотах колебательная скорость опережает силу F по фазе
на +я/2 и имеет амплитуду FQ/(rQ).
23
упругостью, от частоты не зависит смещение; для инерциональной
системы ускорение не зависит от частоты. Эти закономерности
используют при конструировании приборов для измерения амплитуды
колебаний. Одним из условий для этих приборов является незави-
независимость их показаний от частоты. В связи с этим для измерения
амплитуды скорости используют системы, управляемые сопротивле-
сопротивлением (датчики скорости), в датчиках же смещения применяют систему,
управляемую упругостью; в датчиках ускорения — систему, у прав л яемую
массой.
Для характеристики остроты резонансной кривой существует
понятие ширина полосы пропускания, под которой подразумевают
область частот, где колебательная энергия больша половины энергии
при резонансе. Тогда скорость, соответствующая границам полосы,
равна io/V^-
Для практических вычислений удобно использовать формулу
импеданса A.4.23). Для области частот вблизи резонанса частотную
переменную можно привести к виду y^2Aco/coo.
Частотную переменную, соответствующую границам полосы про-
пропускания, получают из следующих соображений: импеданс границ
полосы пропускания равен г]/2, но ?гр = 1о/К2==/7о/(г]/2), поэтому,
взяв модуль от г из A.4.20) и приравняв его к г]/~2, получим
откуда следует
1 2Ао)
где 2Асо — ширина полосы пропускания на уровне 0,7079; 1/Q =
=* Yrp = Л — коэффициент потерь.
Согласно A.3.8), добротность равна отношению инерционного сопротивления
при резонансе к коэффициенту трения: Q = a)om/r.
Отсюда следует, что коэффициент потерь выражается формулой
^ A.4.25)
или, поскольку при резонансе инерционное сопротивление щт равно упругому
Г] = ГЩС
Покажем, что задача о вынужденных колебаниях, когда система
находится под действием нестационарной силы, сводится к задаче
о гармонических вынужденных колебаниях.
Для случая, когда функцию F(t) можно разложить в ряд Фурье,
S Dv*-(pv), (I.4.26)
V = 0
24
где
\
9 Г/7
г 1/2 при v = 0, 2я
— > г n. cdv = v-7F = vcd;
1 при
2 IT
j
т
\ F @ sin
Ф = arctg °f
^ F (t) cos cov/ d/
0
Тогда уравнение вынужденных колебаний запишем в виде
(L4'27)
Решение этого неоднородного уравнения состоит из решения
уравнения свободных колебаний и частного решения уравнения
с правой частью:
Функция ?j не зависит от вида закона вынуждающей силы. Она
представляет собой затухающие колебания и имеет вид A.3.4).
Для нахождения |2 поступим следующим образом. Перейдем
от A.4.27) к уравнению для скорости |:
i4vevCOS((Dvf-Vv). (I.4.28)
V
Воспользуемся символическим методом. С этой целью запишем
уравнение A.4.28) в комплексном виде:
- t +00
™§+4+4ji^= 2 ive'V) (I-4-29)
0 v = — oo
где Av = Ave~i(Pv — комплексная амплитуда силы: Лv = ^- i F(t)x
to
y = vo).
Решение A.4.29) ищем в виде суммы комплексных экспонен-
экспоненциальных функций:
i= Z love7^. (I.4.30)
V = — oo
Учитывая A.4.29), получим тождество
2 Ы
V = — go V = —oo
25
которое может быть выполнено при pv = cov. Тогда
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения A.4,29)
представляется рядом
V = — оо
откуда смещение определяется путем интегрирования:
d
d *_
/o>v{r + /[mcov~l/(covc)]}
V = —со
ИЛИ
+ 00
где Ф, = arctg
Действительная часть этой функции
+ 00
Ay
cos
есть искомое решение A.4.27), где Лу и 9V вычисляют по форму-
формулам A.4.26).
Пример. Найти функцию колебательной скорости вынужденных колебаний
груза массой т, подвешенного на пружине и находящегося под действием силы
р /л г Г . ,ч . sin (Зсо01
F (t) = /"о j^cos (соО + ^—^J.
Решение. Уравнение движения в этом случае имеет вид
-тг + ri ~\— \ i dt = F0\ cos (Ы) + -^ sin
at с J L «3
Сила F (f) содержит только две гармонические частоты: со и Зсо. Поэтому
ряд A.4.26) имеет только два слагаемых: v=l и v = 3. Для них Л1 = /70 и
Л3 = /7о/3, фо = О, фз = л/2. Подставляя эти величины в A.4.32), получим
! et'®tjL.f±. 1 /C0/-Я/2)
ol/{<oc)] ^3 + i [3mo)l/Ccoc)]
Определив действительную часть этой комплексной функции, получим реше-
решение задачи:
| = F°
cos (ю/ — ф!Н - /° sin (Зсо^ — ф3),
3|/> + [Зт1/(Зс)р
. com—1/(сое) , Зсот — 1/(Зсос)
где фх = arctg *—'-, ф3 — arctg —-
26
Анализ решения. Если частота со равна частоте свободных колебаний
системы сор = V11(тс) , то
3]/"/-2+(б4т2)/оJ
где arctg <р' =
Если функция F (t) не периодическая, то вместо разложения в ряд Фурье
для решения уравнения с правой частью используют интегральное преобразова-
преобразование Фурье. В этом случае F (t) можно представить в виде интеграла Фурье:
+
F(t) = ~ С
+ 00
С ^)d(D, A.4.33)
причем
S(to) = $ е-№ F (t) dt. (I.4.34)
— со
Интеграл A.4.33) называют обратным, а A.4.34) —прямым преобразованием
Фурье; 5 (со) называют изображением функции F (f).
Использование прямого и обратного преобразований Фурье — полезный метод
решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений.
Пусть имеется уравнение
Умножим его на е~№ и проинтегрируем в пределах от — оо до +оо:
4- оо . 4-°° 4-°°г* и 4- °°
т f~ ^Hf-e-Jn'dt + r Г ie-J<*fdt + — Г Г g (т) dx \e'Jat dt = [ F (t) е~№ dt.
— 00 — OO — 00 L 0 J —00
В результате интегрирования по частям первого и третьего интегралов слева
получим алгебраическое уравнение относительно изображения искомой функции g (t):
S (со) (/com + г + JL) = 5^ (со) A.4.35)
[5 (со) и Sf (со) — изображения A.4.33) искомой функции и функции возбуждения].
Уравнение может быть выполнено, если
Проводя обратное преобразование по A.4.33), восстанавливаем по изображе-
изображению S (со) оригинал | (t):
"V00 4 5F(co)
27
ГЛАВА II
КОЛЕБАНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ П.1. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Механические и акустические системы в практических расчетах
являются большей частью сложными упругими системами. Это
стержни постоянного и переменного сечений, пластины различной
формы, механические конструкции, содержащие полости, заполнен-
заполненные жидкостью или газом, трубы постоянного и переменного сече-
сечений, элементы электроакустических преобразователей и т. д.
Для полного определения деформаций, возникающих4 в таких
сложных системах при колебаниях, необходимо знать перемещения
всех точек системы. Иначе говоря, необходимо найти бесконечное
число функций координат и времени, определяющих состояние дви-
движения системы. Другими словами, мы имеем системы с бесконечным
числом степеней свободы.
В связи с этим изучение колебаний сплошных упругих систем
возможно только при введении определенных упрощений — идеали-
идеализации, позволяющих получить решение задачи с некоторым при-
приближением к действительности.
Обычно вместо реальной механической системы рассматривают
идеализированную модель,.в которой распределение масс и упругих
связей реальной системы заменено сходным, но более простым рас-
распределением, приводящим в то же время к расчетным результатам
искомых величин, не слишком отличающихся от действительных.
В результате такой идеализации система с бесконечным числом
степеней свободы заменяется эквивалентной системой с конечным
числом степеней свободы.
Рассмотрим несколько случаев приведения сложной системы к простой.
Груз расположен на пружине, нижний конец которой прикреплен к жесткому
основанию. Если учитывать массу пружины и упругость материала груза, то это
система с бесконечным числом степеней свободы, в которой упругость и масса
сложным образом распределены между ее элементами. Но если масса груза зна-
значительно больше массы пружины и в то же время деформации материала груза
значительно меньше деформаций пружины, то вместо реальной системы для нахо-
нахождения наименьшей собственной частоты можно рассматривать идеализированную
модель, в которой масса пружины и деформация материала груза не приняты во
внимание. В этом случае вместо параметров, непрерывно распределенных в дей-
действительной системе, вводят параметры по составным частям модели. В частности,
в данном примере массу целесообразно расположить вблизи центра масс груза;
гибкость системы сосредоточивают в пружинах." Если, кроме того, учесть воз-
возможности смещений груза в горизонтальной плоскости вдоль взаимно перпенди-
перпендикулярных осей, то получим представление о двух дополнительных степенях сво-
свободы движения вдоль осей X и У. В первом приближении реальная колебатель-
колебательная система может описываться как система с одной степенью свободы. Если
требуется учесть боковые качания груза, то она должна описываться как система
с тремя степенями свободы.
Рассмотрим систему, состоящую из стержня, на концах которого прикреп-
прикреплены два тела, массы которых значительно Польше массы стержня, Допустим,
28
что под воздействием одной и той же силы продольная деформация стержня зна-
значительно больше деформации присоединенных грузов. Если пренебречь изгибными
деформациями стержня, то данную систему можно принять за систему с одной
степенью свободы. В тех случаях, когда такое упрощение недопустимо, система
может быть заменена моделями, имеющими две или три степени свободы.
Если стержень выполнен иэ магнитострикционного материала, т. е. способен
деформироваться под действием магнитного поля переменного электрического
„тока, то колебательная система продольных колебаний масс может быть сведена
к электромеханической колебательной системе с двумя степенями свободы, причем
одна из них механическая, а другая — электрическая. Механические колебания
воздействуют на электрические колебания в контуре. С другой стороны, электри-
электрические колебания будут действовать на механические. Таким образом, колебания
различных степеней свободы взаимодействуют, образуя связанную колебательную
систему.
Прежде чем рассматривать колебательные системы со многими
степенями свободы, напомним некоторые общие положения теорети-
теоретической механики.
Механическую систему называют несвободной, если входящие
в нее материальные точки или тела при своем движении имеют
ограничения, которые называют связями. Для составления уравне-
уравнений движения несвободных механических систем часто пользуются
методами Даламбера и Лагранжа.
Метод Даламбера. Силу F, действующую на несвободную мате-
материальную частицу, согласно Даламберу, представляют в виде гео-
геометрической суммы сил Р, не вызывающей ускорения движения
частицы, и eF, сообщающей частице ускоренное движение, допусти-
допустимое связями:
F = P + «F, (II.1.1)
где <& = ma; a — ускорение частицы с массой т.
Сила Р уравновешивается-реакциями связей, т. е. силами — R,
вызывающими фактическое ограничение движения точки. Движущая
сила «f = ma, согласно принципу Даламбера, как бы уравновеши-
уравновешивается силой
4)=: — ^ = —та, (II.1.2)
которую называют силой инерции движущейся точки. Сам по себе
вектор Ф, изображающий эту силу, свободен. Но если его прило-
приложить к частице с массой т, то он будет представлять собой фик-
фиктивную, т. е. физически несуществующую силу, называемую далам-
беровой силой инерции, или просто силой инерции.
В результате введения в уравнение (II. 1.1) динамики материаль-
материальной частицы сил инерции Ф и реакции связей R получим
F = — R-Ф.
Тогда уравнения динамики приобретают форму уравнений статики:
F + R + Ф^О, (II.1.3)
где F — внешняя сила; R —сила реакции связей; Ф —сила инерции,
действующая на частицу, движение которой ограничено связями.
29
Если движется твердое тело, состоящее из п материальных то-.
чек, то система даламберовых сил инерции его частиц подчиняется
всем законам геометрической статики, относящимся к силам, при-
приложенным к телу, т. е. приводится к главному вектору F и глав-
главному моменту Мо:
= 2 фа = — 2 тааа =
а а
„ Moz),
где а== 1, 2, 3, ...; п — общее число материальных точек системы;
т — масса всей системы; а —ускорение центра масс; MQXt Moy и
Мог — проекции главного момента сил инерции относительно начала О;
Izz — момент инерции вращения тела вокруг оси Z; Iyz и /^ — про-
произведения момента инерции; е-угловое ускорение; со —угловая
скорость.
При этом в любой момент времени t между внешними силами Fa,
силами реакций связей Ra и силами инерции Фа, а также между
моментами этих сил должны существовать уравнения геометрической
статики:
i;-0, (II. 1.5)
a
где M0(Fa), M0(Ra), Мо (Фа) — моменты относительно точки О внеш-
внешних сил, сил реакций связей, сил инерции, действующих на отдель-
отдельную точку а системы.
Подставляя в (II. 1.4) и (II. 1.5) выражения главных векторов
и главных моментов соответствующих сил (F = ? Fa; R = ? Ra; Ф =
= ?Фа), получим уравнения движения несвободной системы:
(II.1.6)
Таким образом, для составления уравнений движения сложной
механической колебательной системы, состоящей из отдельных звеньев
с массами /пь моментами инерции /0* и ограниченными связями R/,
находят для каждой массы и каждого момента инерции выражения
результирующих сил и моментов сил, записывают для каждого узла
формулы сил инерции и моментов сил инерции и образуют уравне-
уравнения (II.1.6) и (II.1.7). В общем случае получают 6/ уравнений
(/ — число звеньев системы).
Метод Даламбера удобно применять для таких колебательных
систем, в которых не очень сложно найти выражения сил и моментов
сил реакций связей, например для колебательных систем, в которых
элементы массы, упругости и сопротивления расположены вдоль
системы.
30
В качестве примера использования метода Даламбера проведем
составление уравнений движения акустической системы, показанной
на рис. II. 1.1. Система состоит из узких трубок, соединенных объе-
объемами Vv V2, V3. Отверстие крайней трубки открыто и через него
действует избыточное акустическое давление p(t)> а отверстие трубки,
расположенной на краю системы с противоположной стороны, за-
закрыто пробкой. Размеры отдельных участков системы таковы, что
можно считать ее системой с массами, сосредоточенными в трубках,
и с упругостями, сосредоточенными в объемах. Обозначим массы
газа в трубках тъ т2, т3, т4,
а коэффициенты упругости объе- ^
мов — sl9 s2, s3. Зная плотность P~zz
p газа, длину // и площадь попе-
речного сечения S трубок, найдем
формулу для вычисления массы: Рис- 11ЛЛ
mi = liSip. Если известен коэффи-
коэффициент адиабатической сжимаемости рад газа, то коэффициенты уп-
упругости отдельных объемов могут быть вычислены по формулам
_ Si
Наконец, коэффициент сопротивления пробки приблизительно
может быть вычислен по формуле Пуазейля:
d* J N '
где r\ — вязкость газа; N — число выходов капилляров на единицу
площади поперечного сечения пробки; d — средний диаметр каналов.
Рассматриваемая система имеет центры масс, расположенные
в состоянии равновесия в средних частях трубок. При движении
каждая из масс получит смещение вдоль оси трубки. Обозначим эти
малые смещения от положения равновесия х19 х2У х3у х±. На массу тх
будут действовать составляющие упругих связей, возникающие вслед-
вследствие деформации объема V± за счет перемещений хг и х2. —s± (хх — х2).
Кроме того, на него действуют внешняя сила pS и сила инерции
— т^. Складывая эти силы, согласно принципу Даламбера, полу-
получим первое уравнение движения:
т1х1 + s1(x1 — x2) = pS.
На массу т2 действуют реакции упругих объемов Vx и V2:
— si(^i~~ X2)> —s2(x2 — x3) и сила инерции —т2Х2. В результате
получим второе уравнение:
ш2х2 + s2 (х2 — х3) + sx (хг — х2) = 0.
Аналогично составляют третье уравнение:
т3х3 + s3 (х3 — jc4) + s2 (x2 — х3) = 0.
При выводе четвертого уравнения к силам реакции, имеющим
упругий характер, необходимо добавить силы вязкого трения газа
31
в капиллярах пробки — ri4. В результате этого получим
s3 (хз - *4) + ПА = 0.
Метод Лагранжа. Для сложных колебательных систем удобно
пользоваться уравнениями в обобщенных координатах. Напомним,
что понимают под обобщенными координатами.
Материальные тела можно рассматривать как систему материаль-
материальных точек. В случае, когда связи наложены только на координаты
и выражаются уравнениями
// = //(г1, г2, ..., гл) (II.1.8)
(/ = 1, 2,3,..., s; п — число материальных точек, составляющих систему),
из общего числа 3/г координат, «определяющих положение системы,
независимыми оказываются 3/г —s. Остальные связаны уравнениями
(II. 1.8). Системы, подчиненные лишь геометрическим ограничениям,
т. е. уравнениям, в которые входят только координаты, но не вхо-
входят скорости перемещения точек, называют голономными. Радиусы-
векторы точек голономной системы при стационарных связях могут
выражаться через функции независимых переменных, которые назы-
называют переменными Лагранжа, или обобщенными координатами, %qx,
Яч> .. • у <]3n-s. Эти функции образуют п векторных уравнений
Га = Га(<71, <72» •••> fans), (II. 1.9)
которые называют уравнениями системы. Большое значение для тео-
теоретических исследований имеет общее уравнение голономных'систем
с удерживающими и совершенными связями. При этом под совер-
совершенными понимают такие связи, для которых работа реакции сил на
допустимых этими связями возможных малых перемещениях системы
равна нулю. Удерживающие, или двусторонние, связи те, которые
допускают перемещения как в одном, так и в противоположном
направлениях.
Для указанных механических систем сумма работ сил реакций
связей и даламберовых сил инерции на всех возможно малых пере-
перемещениях системы из любых положений, которые она занимает при
действительном движении, равна нулю:
j][Ri-(mf)]6r, = 0. (II. 1.10)
Соотношение (II. 1.10) есть общее уравнение движения материаль-
материальной системы с удерживающими совершенными связями. Оно позво-
позволяет, если воспользоваться (II. 1.9), вывести уравнения движения,
соответствующие методу Лагранжа. С этой- целью проведем преобра-
преобразования (II.1.10) к обобщенным координатам цъ q2, ..., qt. Для
сокращения записей сумм условимся опускать знак суммирования
во всех одночленах, множители которых имеют одинаковые индексы.
Например, выражение }^ AtBi = A±BX +... + AtBi согласно этому пра-
правилу будем записывать сокращенно, без явного знака суммирования*
32
i. В сокращенной записи общее уравнение движения имеет вид
г^О. (II. 1.11)
Если перейти в (II.1.11) к обобщенным координатам, то первые
члены, выражающие работу сил связи, преобразовываются к формуле
*'^%==<Э*б<7ь (И.1.12)
где Qk = R, ^- — обобщенная сила, соответствующая обобщенной коор-
координате qk и созданная силами, приложенными к точкам системы.
Проведем преобразование суммы работ, выполняемых силами
инерции:
(II.1.13)
Используя выражение кинетической энергии для всей системы
найдем от нее частные производные по обобщенной координате и
обобщенной скорости:
dqk y
Используя очевидное равенство dXildc\k — dVildqk, получим:
Сравнивая (II.1.14) с (II.1.13), выразим работу сил инерции в виде
Используя (II.1.11) и (II.1.15) в формуле (II.1.10), запишем
общее уравнение движения материальной системы в обобщенных
координатах:
Вследствие того что перемещения qk независимы, уравнение
(II. 1.16) разделяется на / уравнений:
^Ш~Ж^ <*-1.2.3 D. (Н.1.17)
которые называют уравнениями Лагранжа второго рода. Предполагая,
что силы Qk имеют потенциальный характер (Q=—dU/dqk)t и вводя
2 Л. Ф, Лепендиа 33
еще отдельно^силы вязкого трения <pft =—dW/dqn, выразим уравне-
уравнения движения в виде общих уравнений Лагранжа второго рода:
d ( дТ\ дТ dU dW F . ..
где U — потенциальная энергия сил реакции и объемных сил; W —
энергия рассеяния [№(<?)]; Fk(ty qi) — внешние силы, приложенные
к отдельным частям системы.
Энергия системы с двумя системами свободы. Для составления
уравнений движения механической колебательной системы необхо-
необходимо найти потенциальную, кинетическую энергии и функцию дис-
диссипации. Рассмотрим колебательную систему с двумя степенями сво-
свободы. Пусть уравнения системы известны и заданы функциями
*i = *i(<7i> <72)> x2 = x2(qly Яг)-
Тогда полная кинетическая энергия системы Т = (m1x2l~\-m2xl)/2
в обобщенных координатах получается путем следующих преобразо-
преобразований:
, о / ^хх ^a:i . дх2 дх2
\ dqx dq2 - l dq± dq2
Здесь а^ —функции обобщенных координат qx и ^2, которые можно
представить в форме степенного ряда относительно приращений обоб-
обобщенных координат от тех значений, которые они имели, когда
система была в состоянии равновесия:
Ограничиваясь только первым членом разложения, получим
®<lk — /o — ^fA-
Тогда кинетическая энергия колебательной системы с двумя степе-
степенями свободы выражается квадратичной формой:
4 (И. 1.19)
Поскольку кинетическая энергия всегда положительна, то
Он3*0, a223*0, ana22-a?2^0. A1.1.20)
Для получения формулы потенциальной энергии как функции
обобщения координат представим U (qly q%) в виде степенного ряда:
Я»
34
Известно, что потенциальная энергия системы, находящейся
в положении равновесия, имеет минимальное значение. Положим это
значение равным нулю: Uqou Q02 = 0. По условию минимума функции,
первые частные производные от потенциальной энергии по обобщен-
обобщенным координатам при q01, q02 равны нулю:
(
\ dqi )g0lt
q02
Отсюда следует: если отбросить в (II. 1.21) слагаемые выше вто-
второй степени, то получим выражение для потенциальной энергии
системы в виде квадратичной функ-
функции обобщенных координат:
(II.1.22)
Точно так же энергию дисси-
диссипации W (qv q2) можно предста-
представить в виде степенного ряда и,
ограничиваясь вторыми степенями,
получить с точностью до постоян-
постоянной:
т
(II.1.23)
Квадратичные формы (II. 1.22) и (II. 1.23) положительны, а потому
их коэффициенты удовлетворяют неравенствам типа (II. 1.20):
= 0,
sns22 -
0,
1.1 ,Z\j j
Собственные колебания системы с двумя степенями свободы.
Подставляя A1.1:19) и (II. 1.22) в уравнения Лагранжа второго рода
(II. 1.18) и положив W (qi) и F(ty qi) равными нулю, a k= 1, 2, полу-
получим систему дифференциальных уравнений:
a22q2
12
qx + s22q22 + s12qx = 0.
(II.1.24)
В качестве типичных примеров систем с двумя степенями сво-
свободы приведем механическую систему, представляющую два физиче-
физических маятника, связанных упругой пружиной (рис. П. 1.2), и элек-
электрическую, состоящую из двух LC-контуров, связанных общей элек-
электрической емкостью С12 (рис. II. 1.3).
В качестве обобщенных координат механической системы можно
взять углы отклонения 6г и 62 маятников от положения равновесия,
а в электрической схеме —электрические заряды на любых двух
конденсаторах.
2* 35
Парциальной системой одной степени свободы называют такую,
которая получается из системы с двумя степенями свободы при
закреплении одной из обобщенных координат. В электрической си-
системе—это колебательный контур, который получается из всей
схемы, когда осуществлен разрыв цепи одного из контуров.
Уравнение первой парциальной механической системы получится
из (II.1.18) при G2 = 0:
Видно, что собственная частота первой парциальной системы равна
n1 = yrs11/a11. Точно так же можно установить, что парциальная ча-
частота второй парциальной системы равна
п2 = У s22/a22.
Допустим, что решения (II. 1.18) имеют
вид
qx = A cos (Ы-\-а), д2 = В cos (со^ + а),
(И.1.25)
Рис. II.1.3 где Л, В, со, а —постоянные, определяемые
из начальных условий.
Решение типа (II. 1.25) называют нормальным колебанием, а со —
частотой нормальных колебаний. Подставляя (II. 1.25) в (II. 1.24),
получим
l + s12S = 0,
а12а>М
или
(sn - а12аJ) А + (s12 - а12со2) В = (
(s12- а12аJ) А + (s22 -а22а>2) В
-о. у
= 0. /
(ПЛ.2Ь)
Условие совместимости однородных уравнений (II. 1.26) позволяет
записать характеристическое уравнение частот:
su - аиоз2
s12 — а12со2
s12 - а12аJ
= 0.
Раскрывая определитель (II. 1.27) и обозначая со2
характеристическое уравнение в виде
(II. 1.27)
, найдем
(II.1.28)
— aus
us22, X3 =
где ^1 = a1ifla2""fliai ^2 = 2a12s12 Z2n u22 3 u22 i2
Обозначим левую часть уравнения (II. 1.28) в виде функции
F (?) = К?2 + ^2? + ^з> представляющей собой уравнение параболы.
Корни (II. 1.28) являются координатами точек пересечения этой пара-
параболы с осью ?.
Согласно (II. 1.20) и (II. 1.20'), Ях>0 и Я3>0, поэтому функция
F(?) при низких и при высоких частотах положительна. Таким обра-
образом, парабола F (I) имеет свои ветви, направленные вверх (рис. II. 1.4).
36
Если ? равно квадрату собственной частоты первой парциальной
системы, т. е. ? = sn/an = n*, то F(ri\) = — [fli2sii/flii~ s12]2<0. Точно
так же получим
2
Отсюда следует, что собственные частоты парциальных систем
расположены между частотами нормальных колебаний:
wj ^ п\ <; п2 ^ col.
и со2 из уравнения частот, находим два
Определив значения
значения В/А =К:
s12—
(II.1.29)
2 —«22^2
где Ki и /С2 — отношение амплитуд в каждом из нормальных коле-
колебаний, характеризующее формы этих колеба-
колебаний.
Из (II. 1.29) следует, что форма колеба-
колебаний не зависит от начальных условий и от
частоты колебаний, а определяется только
параметрами системы.
Запишем выражения для колебаний с
частотами со± и со2:
<7ilj = A ^
Подчеркнем следующие важные свойства
системы с двумя степенями свободы:
если система совершает одно из нормальных колебаний, то обе
обобщенные координаты qx и q2 совершают колебания по гармони-
гармоническому закону;
в каждом из нормальных колебаний амплитуды находятся в посто-
постоянном отношении Кг или /С2, которое не зависит от начальных
условий.
Общее решение системы уравнений получим путем суммирования
частных решений.
qx = q<; > + qf = A[l} cos (co^ + ax) + A\2) cos (a2t + a2), A1.1.30)
где A\1], A%\ ax и a2 определяют из начальных условий:
<7i = <7io> 4i = 4io, ^72 = ?2o, 92 = 42o при t = 0. (II.1.31)
Из общего решения (II. 1.30) следует, что результирующее колеба-
колебание системы с двумя степенями свободы не является гармоническим.
37
Пример. Два маятника одинаковой длины связаны пружиной, упругость
которой s. Пружина прикреплена к маятникам в точках на расстоянии d от точек
подвеса (см. рис.II.1.2). Массы маятников равны. Определить собственные частоты
малых колебаний и закон движения системы.
Решение. Обозначим физические координаты маятников Х\, у\ и х2> у2-
Тогда кинетическая энергия системы равна
у m (*? + #)+ ут(*| + #),
а потенциальная
Выберем в качестве обобщенных координат углы В± и б2. Тогда уравнения
системы имеют вид:
#! = / sin 0j ^ ldx, x2 = l sin 62^ /б2,
б 1
2l sin2-i^ у/aj,
t/2 = / —/ sin вя = 2/ sin2^f-^4"/ei*
Кроме того, координаты концов пружины:
xdl = d sin бх ^ Btd, xd2 = d sin б2 ==« 62d.
Тогда кинетическая энергия в обобщенных координатах 6j и б2 с точностью
до членов 2-го порядка выражается формулой
Г - у /я («'»+ М»в?) + у m AЩ + 1ЩЩ) =»|rf (8J + 61),
а потенциальная — формулой
Подставляя эти формулы в уравнения Лагранжа второго рода, находим сле-
следующие уравнения движения связанных маятников:
т/2'^ + (mgl + s d2) бх — s d202 = О,
т/2*ё2 + (mg/ + s da) e2 — s ^29Х == 0.
Полагая решение уравнений в форме' нормальных колебаний
0i = 6oi cos (со* + а,), б2 = ed2 cos (со/ + а2),
найдем характеристическое уравнение
(mgl + s d* — m/2co2J - s2d4 = О,
откуда получаем выражения для нормальных частот связанных маятников: cof =
-f + Tst. ч-f-
Зная щ и со2> находим:
e1 = 6J11) cos (со^ + аО + бй» cos (со2/ + а2),
ба^б^ cos ((о^ + аО + бй* cos (со2/ + а2).
Или, введя коэффициенты распределения /Ci = б^}/ВД» ^2 = %|;/6oi)» запишем
решение в виде
6^6^ cos (©^ + а1) + 6Й' cos (со2/ + а2),
б2 = /CiGii» cos (a>i* + аг) + КфЦ' cos (io2t + a2).
Подставляя найденные выражения для частот нормальных колебаний
в (II. 1.26) или (II.1.29), получим:
33
1 = 6Й' cos ((D^ + a^ + eiV cos
^%\} cos (©x^ + aO —ОД cos
Для нахождения Q'Q\} и 6^ воспользуемся начальными условиями. Пусть
При ^ = 0
а1 = ф1, б2 = о, б! = о, е2=о.
Тогда
ф! = 6{0\> cosах + ©оя* cos a2»
0 = 6;,}' cosax — 0$ cosa2,
0 = — 6$ сох cos ax — б^ ео2 cos а2,
0 = — б^о^ cos аг + e^l'cug cos а2.
Решая систему уравнений, находим в{0\\ 6J|', ax, а2. В результате получим:
/2 6^6^6/2
^бо sin ^ф^ ^cos ^=^i- Л (II.1.32)
sin
. Явление биений. Результат рассмотренного примера сводится к тому, что
колебания каждого маятника негармоничны, но если разность частот е нормаль-
нормальных колебаний невелика, т. е. е/(о1 = (со2 —cOi)/©! << 1, то колебания каждой
из парциальных частей (как первого, так и второго маятников) будут иметь
характер почти гармонических колебаний, но с амплитудой, периодически изме-
изменяющейся с течением времени. Решение (II. 1.32) в этом случае преобразуется
к виду
о о
бх = б0 cos -х-1 sin о)]/, б2 = б0 sin -x-1 cos cOj/.
причем е/2 —круговая частота изменения амплитуды, равная (со2 —o)i)/2.
Энергия колебаний первого и второго маятников:
m№\ i ml*a>*Bs cos2
г + Uг = у m№\ ^ -i ml*a>*Bsoi cos2
+-r- m/^fejj cos еП cos2 co^,
Г2 + (/2 = f -j- ml4)-filx — -j- m/2cof6^ cos e/j cos2 co^.
В момент времени, когда энергия колебаний первого маятника максимальна,
энергия вюрого будет равна нулю. Пусть этот момент времени равен нулю.
При т/2 == я/8 энергия первого маятника станет равной нулю, а второго —макси-
—максимальной. Таким образом, за время, равное т/2 = я/е, энергия от первого маят-
маятника передается ко второму. Спустя время (я/е) энергия от второго маятника
перейдет полностью к первому. За полный период, равный т = 2я/е = 2я/(со2 — щ),
передача энергии от одной парциальной системы к другой полностью будет
завершена. Здесь мы имеем дело с периодическими изменениями энергии связан-
связанных колебаний близких частот, называемыми биениями. Величину е = со2 — сох
называют круговой частотой биенийу а т = 2я/со2 — а^ — периодом биений.
В данном примере
Условием того, что биение еще реализуется, является выполнение неравенства
со2 mgt ^
Явление биений (общий случай). Допустим, что колебательная
система с двумя степенями свободы имеет очень близкие частоты
39
собственных колебаний й>2 = сю1 + е, s/o)i^l). В этом случае колеба-
колебания можно записать в виде следующих соотношений:
Яг = <7oV cos
= <7oV
аг) + q$ cos [К + г) t + <х2],
cos К* + ai) + qii K2 cos [(a)! + e) / + a2].
(II.1.33)
Путем геометрического сложения вращающихся векторов (рис.
II. 1.5) найдем: y1 = (a1t + a1, у2 = (<®1 + ъ) t + a2y 7^(co2 + e/2) i+Pi^
^©if + pjn <7i = ^i@cos(co1f + p1I^=^2(/)cos(cD1/ + pa)l (II.1.34),
где Лх и Л2 —амплитуды колебаний парциальных частей системы:
А\ @ =
А\ (t) -
cos
+ (<7Si/Ca)a
а2 - a
Kb) cos
(II.1.35)
Энергии колебаний парциальных частей системы пропорциональны
квадратам амплитуд (II. 1.35) и изменяются с течением времени
по гармоническому закону с круговой
частотой 8 = 0J — 0)!. За время, рав-
равное т/2 — л/8, энергия первой части
системы изменится от (q\l± — q^J до
(<7oV + <7ofJ> а энергия второй части
системы —от величины, пропорцио-
пропорциональной (qnKi-q'nK^2, ДО (<7oV Кг +
+ Яп ^J> причем полный цикл изме-
изменения завершится за время т = 2я/&.
Фазы колебаний энергии парциальных
частей сдвинуты так, что энергия ко-
колебаний периодически переходит от
одной части системы к другой.
Главные координаты системы.
Выбор обобщенных координат про-
произволен. Однако среди всех возмож-
возможных систем координат, которые могут быть приняты для решения
задачи, можно найти такую систему обобщенных координат т]1 и
тJ, которая позволит записать кинетическую и потенциальную энер-
энергии в виде выражений, содержащих только квадраты скоростей и
координат:
(II.1.36)
Рис. II.1.5
Указанную систему координат называют главной.
Можно показать, что между произвольными qx и q2 и главными
и г]2 координатами существуют следующие соотношения:
Яг =
Яг =
(II.1.37)
где Ki и Ко — коэффициенты распределения.
40
При этом параметры системы в главных координатах выражают
формулами:
Kb (II. 1.38)
So — ^11 —1— ^12^2 I 22^2*
Дифференциальные уравнения колебаний системы с двумя сте-
степенями свободы в главных координатах имеют вид двух независимых
уравнений второго порядка:
^i + Si1!! = 0» Я2Л2 + Vb = 0- (II.1.39)
Решениями этих уравнений являются формулы для нормальных
колебаний:
ц1= Qcos (coj/H-Pj), r]2 = C2cos (co2^ + p2), (II. 1.40)
где С1У С2, Pi и р2 — постоянные, определяемые из начальных усло-
условий
I'll == Л10» ^1 == ^llO> ^2 =~~ ^120» "Л2 == ^20 ПрИ X '==- U» ^11.1.41)
Собственные частоты колебаний системы в главных координатах
выражают формулами:
aI = Y"sJa'v oJ = |/s2/a2. (II. 1.42)
Частоты главных колебаний сох и со2 не зависят от системы коор-
координат, которая выбрана для расчетов, поэтому (II. 1.42) совпадает
с теми значениями частот, которые получают при решении характе-
характеристического уравнения (II. 1.28).
Решение (II.1.40) показывает, что каждая главная координата %
или т]2 подчинена гармоническому закону колебаний с частотой,
равной одной из главных частот системы сох или со2.
Введение главных координат, несмотря на сравнительную простоту
формул для колебательной системы, практических выгод в проведе-
проведении расчета колебательных систем не дает. Однако понятие о глав-
главных координатах имеет большое теоретическое значение, особенно
при изучении вынужденных колебаний системы.
Нахождение главных координат сводят к следующему: выбирают
обобщенные координаты, стараясь взять такие, в которых наиболее
просто выражаются кинетическая и потенциальная энергии системы;
находят параметры системы в этих обобщенных координатах; по
формулам (II. 1.29) и A1.1.38) вычисляют коэффициенты распределе-
распределения К г, К2 и параметры системы относительно главных координат;
наконец, по формулам (II. 1.37) находят главные координаты.
Затухающие колебания системы с двумя степенями свободы.
Пусть на механическую колебательную систему с двумя степенями
свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопро-
сопротивления, пропорциональные скорости. Требуется найти зависимость
координат этой системы от времени.
41
В качестве обобщенных координат системы используем главные
координаты гц и rj2. Тогда в выражения кинетической и потенциаль-
потенциальной энергий не войдут члены, содержащие произведения обобщенных
скоростей и обобщенных координах. При этом
Для характеристики сил сопротивления введем диссипативную
функцию, или функцию рассеивания, которая для малых колебаний
может быть представлена в виде однородной квадратичной формы
обобщенных скоростей:
W = \(b14l + 2h4142 + bMl). (II.1.43)
Запишем уравнения Лагранжа второго рода для данной механи-
механической системы:
дт ди dw
dt \дтJ/ дг\2 дщ drj2
Подставляя в эти уравнения выражения для кинетической и
потенцнальйой энергий и учитывая диссипативную функцию (II. 1.43),
получим уравнения движения системы:
+ &1Л1 + hr\2 + SiHi = 0, (И 1 45)
f M2 + S2Tl2 = 0-
Решения этих уравнений будем искать в форме экспоненциаль-
экспоненциальных функций:
г\ = С е^ г] = С е& (II 1.46)
Подставляя (II. 1.46) в (II. 1.45), получим:
Условием совместимости этих уравнений является равенство нулю
главного определителя:
Щ
Вследствие того что Т, U и W выражают положительными и
знакоопределенными квадратичными формами, параметры системы
удовлетворяют следующим неравенствам:
а1>0> а2>0, Si>0, s2>0, b1b2-h2>0,
из которых следует, что коэффициенты характеристического уравне-
уравнения (II. 1.47) положительны. Это уравнение четвертой степени. Его
решение состоит из четырех корней, попарно сопряженных.
42
Движение системы осуществляется с рассеянием энергии, а потому
координаты г\г и гJ должны убывать с течением времени. Из этого
следует, что вещественные части решений должны быть меньше нуля,
и комплексные величины р выражаются формулами:
Pi = — Si + M> Pi = —^-/Ч, /П ! 49)
Р2 = —б2 + /со2, р| = — б2-/со2, ,
где 6Х и б2 положительны.
Каждому корню рх, Р*; Р2, р| соответствуют два частных реше-
решения:
412 —U12e 1 422 — U12e » '|l-2 — и12е1- » Щъ —
Выделяя реальную часть этих, комплексных функций, находим
общее решение для первой и второй главных координат:
Т|1 = е-Ы {Ах1) cos ©^-'- B\l sin ©^) +
+ e-^HiB1cos©af + Bl18)sin©20, т - ,m
т)а = е-6^ (Л21) cos ©^ + Bl2l) sin ©^) + ^ ;
6^ (Л!22> cos ®2t - Bf sin (o20,
где ©1 = |/©i —б?, ©2 = уг@2~6|, ©! и со2 — главные частоты системы.
В общем случае, как это видно из (II. 1.50), колебание каждой
координаты (% или т]2) состоит из наложения двух затухающих
колебаний, соответствующих своим частотам и коэффициентам зату-
затухания.
Вынужденные колебания механической системы с двумя степенями
свободы. Если система с двумя степенями свободы находится под
действием внешних сил, то колебания будут состоять из наложения,
свободных затухающих колебаний и вынужденных. С течением вре-
времени свободные колебания полностью затухнут и система войдет
в режим установившихся колебаний.
Рассмотрим вынужденные установившиеся колебания.
Математическое решение задачи сводят к случаю отыскания решения
системы уравнений второго порядка с правой частью. Для системы
с двумя степенями свободы ими будут уравнения Лагранжа, когда
их правые части соответственно равны обобщенным внешним силам.
Когда в качестве обобщенных координат системы взяты главные
координаты % и т]2, система дифференциальных уравнений имеет
следующий вид:
^ + M + A^ + S^^itf). (П j 51)
= F2 {t).
Рассмотрим случай, когда обобщенные силы — гармонические
функции времени:
F(*) 4
= Ла cos{/* + «) (пл.ог)
43
и найдем решение (II. 1.51) для установившихся колебаний, т. е.
частное решение системы уравнений. Будем искать его в виде реаль-
реальных частей функций комплексного аргумента:
, (II.1.53)
где %в и гJв — комплексные амплитуды вынужденных колебаний.
Подставляя (II.1.53) в (II.1.52), предварительно представив обоб-
обобщенные силы в виде функций F1(f) = A1efpt, F2 (t) = A<$lpt, получим:
(— a2p2 + jpb2 + s2) г]2в + iphr\lB = A2.
Решив эту систему уравнений, найдем формулы для вычисления
комплексных амплитуд вынужденных колебаний:
— а2р* + \b2p + s2) A1—jhpA2
'2B (-
lP2 + jblP + SX) (- fl2p2 + jb2p + S2)
В частности, для случая, когда частота вынужденных колебаний
совпадает с одной из резонансных, например р2 = <u\ = s1/al9 возни-
возникает явление резонанса одного из колебаний и формулы (II. 1.55)
примут следующий вид:
~ == jb2pA1
lB jbip(~a2p2
l2Q jblP
Если система не содержит взаимозависимых сил трения, так что
в формуле функции рассеяния (диссипации) /z = 0, то
llB
|2B i
Формулы (II. 1.57) позволяют сделать расчет устройства, которое
в механике называют гасителем колебаний. Эта система с двумя
степенями свободы, причем на первую координату т]х действует сила,
частота которой равна первой собственной частоте, а на вторую
внешняя сила не действует. Тогда по (II. 1.57)
ц 1В = ——^Л\ , w л2в = 0. (II.1.58)
llB blP(— a2p*-\-jb2p + s2)' I2B v ;
Это значит, что данное устройство обладает свойством не про-
пропускать на вторую координату действия сил, приложенных к коор-
координате %, если частота действующей силы равна первой частоте
собственных колебаний системы.
44
Примерами таких систем являются двойной амортизатор, радио-
радиотехнический фильтр-пробка, успокоитель качки корабля и т. д.
В заключение заметим, что для получения окончательных фор-
формул вынужденных колебаний выражения (II. 1.55) —(II. 1.58) надо
преобразовать к виду, содержащему модуль и фазовый множитель
комплексной функции, по известным правилам преобразования ком-
комплексных чисел и оставить только вещественную часть этой функ-
функции. Например, по (II. 1.58)
=
(— а2р2 + jb2p + s2) ь\р V (s2 —
где а —начальная фаза внешней силы; р = arctg———=•
Вещественная часть решения имеет вид
тц = Аг -2- , , 1 . =¦ cos {pt + a- P).
Если колебательная система состоит из п частей с массами тп,
упругостями sn и сопротивлениями гП9 связанных друг с другом,
т. е. имеет п степеней свободы, то ее колебания отличаются от коле-
колебаний системы с двумя степенями свободы, в основном тем, что
вместо двух собственных частот и двух форм нормальных колебаний
она имеет п собственных частот и п форм нормальных колебаний.
При воздействии синусоидальной силы, приложенной к одной из
частей системы, во всей системе возбуждаются сложные колебания,
которые состоят из свободных колебаний с частотами, равными соб-
собственным частотам системы, и вынужденных колебаний с частотой
внешней силы.
При наличии сопротивления собственные колебания за небольшое
время затухнут и останутся только вынужденные. При этом ампли-
амплитуда и фаза будут определяться силой и отношениями частоты воз-
возбуждения к частотам собственных колебаний. При условии, что
частота возбуждающей силы равна одной из собственных частот,
может наступить резонанс. Таким образом, колебательная система
с п степенями свободы может иметь п резонансов. Из них могут
возбуждаться только те формы колебаний, ни одна из узловых точек
которых не совпадает с точками приложения возбуждающей силы.
Частота вынужденных колебаний, при которой точка приложения
силы совпадает с узловой точкой формы i-ro нормального порядка,
называется частотой антирезонанса *'-го порядка.
При заданной точке приложения вынуждающей силы и при уве-
увеличении частоты возбуждения колебательная система с п степенями
свободы последовательно проходит состояния резонансов и антире-
зонансов. В общем случае число антирезонансов в системе с п сте-
степенями свободы на единицу меньше числа резонансов.
45
Ниже мы увидим на простейших примерах, что для решения задач о меха-
механических колебаниях систем как с одной, так и со многими степенями свободы
удобно пользоваться методами теории электрических цепей.
В связи с этим в следующих параграфах рассмотрим метод электромехани-
электромеханических и электроакустических аналогий и основные теоремы из теории электри-
электрических цепей.
§ П.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Электрическая цепь состоит из ветвей, узлов, ячеек и контуров,
которые содержат сопротивления, индуктивности и емкости. На
рис. И.2.1 изображена цепь, состоящая из че-
четырех ячеек A — 4) и четырех узлов (I — IV).
Линии, соединяющие ячейки, называют ветвями
цепи.
Большинство цепей относят к плоским. Они
могут быть изображены на поверхности сферы.
Если плоскую цепь перевести на поверхность
сферы, то внешние границы цепи также об-
образуют ячейки, подобно любым внутренним
рис и 2.1 ячейкам. Токи и напряжения в электрических
цепях подчиняются двум законам Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа является следствием неуничтожаемости за-
заряда— сумма сил токов в узле равна нулю:
(ток считается положительным, если он направлен хк узлу).
Второй закон Кирхгофа — сумма мгновенных напряжений в любом
замкнутом контуре равна нулю:
Источник, питающий цепь, может быть представлен либо генера-
генератором напряжения, либо генератором,тока.
Генератором напряжения может быть источник э. д. с. %0, име-
имеющий внутренний импеданс Zt (рис. 11.2.2). Точки обозначают вход-
входные клеммы, к которым подсоединяется в цепи генератор напряже-
напряжения. Напряжение на входе цепи меньше электродвижущей силы на
падение напряжения на внутреннем импедансе и может быть вычис-
вычислено по формуле
Генератор тока следует рассматривать чисто математически. У иде-
идеального генератора тока бесконечно большой импеданс, поскольку
возбуждаемый им ток не зависит от нагрузки Z. Поэтому генератор
на схеме изображают в виде шунтирующей ветви Z, и стрелки, ука-
указывающей направление тока (рис. II.2.3). Очевидно, если Z/-^ao,
46
то /70~>оо. Однако отношение t/0//0 — величина всегда ограниченная.
Если генератор тока замкнуть накоротко, то G0 = 0 и
/Wo, (H.2.4)
где /0 — ток короткого замыкания.
Напряжение разомкйутого контура равно
00~70Ъ. (П.2.5)
Ток в нагрузке равен разности полного тока /0, генерируемого
источником, и тока U/Zi в шунтирующей ветви:
|, (П.2.6)
где G —входное напряжение; 00 — напряжение разомкнутого контура.
В теории цепей широко используют способы замены одной цепи
другой, эквивалентной ей. Эти упрощающие приемы основаны на
некоторых теоремах. К ним отно-
относят теорему об эквивалентном ге-
генераторе напряжения: простейшая
ветвь, имеющая две клеммы (в двух-
двухполюсниках) и содержащая источ-
источники, может быть представлена
как генератор напряжения, э. д. с.
которого равна напряжению на
его разомкнутых клеммах, а внут-
внутренний импеданс — импедансу двух- Рис. П.2.2 Рис. Н.2.3
полюсника, измеренному при ра-
разомкнутых внутренних генераторах тока и короткозамкнутых вну-
внутренний генераторах напряжения.
Справедливость этой теоремы непосредственно следует из линейности
электрических цепей: если при разных нагрузках двух цепей выходные
токи и выходные напряжения одинаковы, то токи и напряжения
должны совпадать и для других значений нагрузки.
На основании линейности электрических цепей может быть сфор-
сформулирована теорема об эквивалентном генераторе тока: цепь можно
заменить эквивалентным генератором тока, параллельно которому
включен внутренний импеданс Z/. Ток этого источника равен току
короткого замыкания, а импеданс равен импедансу Zi между клем-
клеммами, если источники напряжения заменены нулевыми импедансами,
а источники тока разомкнуты.
К способам введения эквивалентных цепей относится замена цепи,
имеющей форму многоугольника, цепью, имеющей форму звезды
(рис. П.2.4).
Это преобразование основывается на следующем положении: два
контура эквивалентны в том случав, если как в первом, так и во
втором контуре при одинаковых токах возникают одинаковые напря-
напряжения. Поскольку токи произвольны, положим /з = 0. В ячейках
сопротивления i?12, R13 и #23 соединены параллельно и напряжение
47
между двумя клеммами (/, 2) равно
UJ
/ТТ о 7^1
(IL2l7)
В звезде Rx и i?2 соединены последовательно, поэтому
tf« = /i(*i + *i). (И.2.8)
Если звезда и многоугольник эквивалентны, то эти напряжения
Рис.
я !Г
П.2.4
должны быть равны. Приравнивая правые части (II.2.7) и (II.2.8),
получим
Точно так же, полагая I1 = 0i а затем 1ъ~§, получим еще два
уравнения относительно Rl9 R2 и R3:
Н/?) /тт о 1П\
(П-2Л0)
^33
Решая систему уравнений, составленную из (II.2.8) — (II.2.10),
найдем:
Rl = ~b*' R2=zRTs' R3==RT*' (П.2.12)
где
П ^12^23^13 /ТТ О 1 Q\
— коэффициент перехода от одной эквивалентной схемы к другой,
Ом2.
Точно так же получают формулы для проводимостеи этих экви-
эквивалентных схем:
где
q= М*9. (П.2.14)
^ <71 + <72 + <7з V У
48
— коэффициент перехода от одной эквивалентной схемы к другой,
Ом Л
Указанные соотношения могут выполняться также для цепей
переменного тока, только вместо сопротивлений и проводимостеи в них
должны быть введены импедансы и комплексные проводимости.
Другим полезным примером построения эквивалентных схем
является способ замены данной цепи другой эквивалентной цепью,
в которой импедансы заменены комплексными проводимостями, токи —
напряжениями, напряжения —
токами. U с' R'
Допустим, что имеется схе-
схема с общим сопротивлением Z'
переменному току. Эквивалент-
ной схемой обратных сопротив-
сопротивлений будем называть такую, в
которой общее сопротивление Рис. П.2.5
для всех частот связано с со-
сопротивлением первой схемы соотношением Z" = Zl/Z' (Zo имеет раз-
размерность .сопротивления и называется степенью инверсии). Условие
такого тождества можно получить для общего случая каких угодно
сложных цепей.
Найдем условие эквивалентности перехода от последовательного
соединения индуктивного, емкостного и активного сопротивлений
к параллельному (рис. 11.2.5).
Из условия равенства сопротивлений эквивалентных схем и пре-
преобразования сопротивлений следует:
или
С' 721 " Т " 72Г" D"
°
(Н.2.15)
Таким образом, в инверсной схеме электрические емкости пропор-
пропорциональны индуктивностям L'\ индуктивности L"—емкостям С", а сопро-
сопротивления R" — проводимостям 1/R'. Во все эти соотношения входит
коэффициент пропорциональности Zo, размерность которого совпадает
с размерностью квадрата сопротивления.
В соответствии с этим в инверсной цепи токи пропорциональны
напряжениям, существующим в цепи последовательных импедансов,
а напряжения пропорциональны токам. При этом коэффициент про-
пропорциональности в первом случае равен 1/ZO, а во втором —Zo:
Для построения инверсных цепей обычно пользуются следующим
приемом. Внутри каждой ячейки импедансной схемы располагают
узел инверсной цепи. Кроме того, за пределами контура находится
еще один узел. Узлам и ячейкам, соответствующим друг другу, при-
49
сваивают одинаковый порядковый номер. Номера узлов обычно обоз-
обозначают римскими цифрами, а соответствующие номера ячеек — араб-
арабскими. Пронумерованные узлы соединяют линиями, проведенными
так, что каждая из них по одному разу пересекает элементы ветвей
импедансной схемы. Эти линии представляют собой ветви инверсной
цепи. При этом каждой точке пересечения линии с элементами ветви
исходной схемы ставится в соответствие элемент инверсной цепи, т. е.
импедансу Z' импеданс Z" = Z\Y\ напряжение V заменяют э. д. с.
инверсной цепи ((/" = Z0/'); ток /' заменяют током инверсной цепи
(/" = U'/Zo). Здесь Y' = l/Z' — комплексная проводимость исходной
цепи, Zo — коэффициент инверсии.
На рис. II.2.6, а показан пример построения инверсной цепи,
если задана импедансная. Схема содержит импедансы Z[% Z'% и ZJ и
представляет собой двухполюсник, на вход которого включены э.д. с.
Ш[ и %'ъ Цифрами /, 2 и /, //, /// обозначены номера ячеек и узлов.
Рис. Н.2.6
Цифра /// относится к узлу за границей контура. Пунктирные линии
соединяют узлы. Они проведены так, что каждая из них один раз
пересекает элемент ветви. На рис. Н.2.6, б представлена инверсная
схема, соответствующая исходной.
Исследуем свойства основных видов цепей. Сложную электриче-
электрическую цепь, рассматриваемую относительно ее двух любых зажимов,
называют двухполюсником. Их можно классифицировать по различным
признакам: по линейности элементов различают линейные и нелиней-
нелинейные двухполюсники; по числу элементов — одно-, двух-, трех- и много-
многоэлементные; по характеру элементов — реактивные и резистивные; по
наличию источников напряжения — активные и пассивные.
Частотные характеристики двухполюсника полностью определены
частотной зависимостью отношения комплексного напряжения к току
входного контура. Иногда частотные характеристики удобно выражать
функциональной зависимостью комплексной проводимости входного
контура.
Рассмотрим частотные свойства простых реактивных двухполюс-
двухполюсников:
1. Одноэлементный реактивный двухполюсник содержит только
один элемент — индуктивность или емкость. Их частотные характери-
характеристики, выраженные формулами импедансов и комплексных проводи-
so
мостей У, определяют функциями
/coC
(Н.2.18)
Значения частот, при которых входной импеданс Z(co) равен нулю,
в теории цепей называют нулями частотной характеристики. Полюсами
называют те значения частот, при кото- , г
рых импеданс неограниченно возрастает
Z,
Из (II.2.18) следует, что в одноэлемент-
одноэлементных двухполюсниках содержится по одно-
одному полюсу:
0
схэ
0
схэ
при
при
при
при
С02 = ОО, /и"^ ®
"(D1 = 0.
2. Реактивный двухполюсник (рис.
II.2.7, а), составленный из одной индук-
индуктивности и одной емкости, соединенных последовательно или парал-
параллельно, называют двухэлементным. Его частотные характеристики
можно получить при алгебраическом суммировании характеристик
отдельных элементов. В частности, частотные характеристики двух-
двухполюсника с последовательным соединением получают алгебраиче-
алгебраическим суммированием импедансов (II.2.18):
Zl2 = ZLl + ZCt = /coL
(II.2.19)
Приравняв нулю импеданс (II.2.19), найдем нули частотной характе-
характеристики:
Нули частотной характеристики равны частотам резонанса напря-
напряжения. Приравняв нулю комплексную проводимость входной цепи
1/Z', найдем полюса характеристики; их численное значение совпа-
совпадает с частотами резонанса токов. Для последовательной цепи получим
два полюса: со0 = 0 и со2 = оо.
Графики частотных характеристик этого двухполюсника и j\ZL\
и j\Zc\ изображены на рис. II.2.7, б, где \ZL\ = (oL и |ZC|== — -^г.
Учитывая выражение для резонансной частоты (II.2.20), можно
преобразовать формулу (II.2.19):
тг 0J-0)? (И.2.21)
L* со2 —cog '
где HL% = //-со, @! = "
51
Точно так же находят частотные характеристики с параллельным
соединением элементов. Эти характеристики могут быть приведены
к формулам:
7 И р2-^ V 1 СJ~@» П1 9 99^
2с2 = #с2-^т^, Yc*=TnrW=&' (И.2.22)
2 С-2 1
где Яс2=1/(/соС), а>! = 0, со2 = ]/ 1 /(LC).
Таким образом, для указанного двухполюсника при частоте со =
= со2 наблюдается резонанс токов.
3. Трехэлементные реактивные двухполюсники состоят из двух-
и одноэлементных двухполюсников. Можно составить четыре варианта
трехэлементных двухполюсников. Их частотные характеристики могут
быть найдены при сложении частотных характеристик соответствую-
соответствующих двухполюсников. Например, для трехэлементного двухполюсника
с последовательной индуктивностью, пред-
предку] [_7 ставленного на рис. II.2.8, а,
Zl. = Z<r -4- Zr = /
J
1 /G)L2+l/(/Q)C) '
(И.2.23)
( Приравнивая к нулю Zlz, найдем частоты
i | резонансов напряжений:
!/ „,_l/_k+|i> „1 = 0. (П.2.24)
Рис. Н.2.8
-г
тоту антирезонанса:
О)
|' Приравнивая к нулю 1/Zl$, получим час-
Учитывая выражения для резонансных (П.2.24) и антирезонансных
(П.2.25) частот, можно преобразовать частотную характеристику:
где Wl31 = /coL1; со3 и со2 выражаются формулами (П.2.24) и (II.2.25).
Частотная характеристика рассмотренного двухполюсника изобра-
изображена на рис. II.2.8, б. При увеличении частоты импеданс сначала
неограниченно возрастает (наступает антирезонанс), а затем проходит
через нуль, т. е. через точку резонанса.
Точно так же можно вывести формулу частотных характеристик
других вариантов трехэлементных двухполюсников. Так, для трех-
трехэлементного двухполюсника с последовательной емкостью, схема
которого изображена на рис. П.2.9, а, она выражается формулой
(Н.2.27)
со2 —с
1
График его частотной характеристики изображен на рис. П.2.9, б.
52
Обратим внимание на последовательность резонансов. В двух-
двухполюснике этого типа при увеличении частоты сначала наступает
резонанс, а затем антирезонанс.
Частотная характеристика трехэлементного двухполюсника с парал-
параллельной индуктивностью (рис. П.2.10, а) выражается формулой
(Н.2.28)
где
График этой характеристики изображен на рис. II.2.10, б. Приве-
Приведем выражения частотной функции последней из возможных схем трех-
I I
Рис. Н.2.9
О)
Рис. П.2.10
Рис. Н.2.11
элементного двухполюсника с параллельной емкостью (рис. II.2.11, а):
(П.2.29)
где #с32 =
,=/:
График этой частотной характеристики дан на рис. II.2.11, б. Эта
зависимость имеет емкостный характер: двухполюсник не пропускает
ток (со0 = 0), при некоторой частоте со3 возникает резонанс Zc3=0,
а затем при частоте со2 — антирезонанс, Zc3 = co. При бесконечно
большой частоте импеданс Zc3 вновь равен нулю.
В заключение обзора свойств простых двухполюсников можно
сделать следующие выводы:
1) все простые двухполюсники по отношению к постоянному напря-
напряжению (соо = 0) и напряжению высоких частот (со—>-оо) ведут себя,
как индуктивность или емкость. В первом случае двухполюсник
является идеальным проводником постоянного тока и изолятором для
тока высокой частоты; во втором — изолятором для постоянного тока
и идеальным проводником для тока высокой частоты;
2) с возрастанием числа элементов двухполюсника увеличивается
и число резонансов и антирезонансов. Одноэлементные имеют один
53
Рис. Н.2.12
вырожденный резонанс и один вырожденный антирезонанс; двухэле-
двухэлементные—три резонанса: два из них вырожденные, а третий может
быть резонансом напряжений или тока; трехэлементные — четыре резо-
резонанса: два из них вырожденные, а
другие два определяют резонанс на-
^ пряжения и резонанс тока (общее
J" число резонансных частот на еди-
единицу больше числа элементов двух-
двухполюсника). На рис. И.2.12 пред-
представлена типичная частотная харак-
характеристика многоэлементного двухпо-
двухполюсника. На этой схеме на оси частот кружками показаны нули
(резонансы) и полюсы (антирезонансы);
3) при увеличении частоты характеристики всегда имеют положи-
положительную производную по частоте dZ/dco>0, т. е. с ростом частоты со
импеданс Z(co) увеличивается: в точ- ., ,
ках, соответствующих полюсам (ре- i/' ''
зонансам токов), частотные характе-
характеристики имеют разрыв, импеданс ме-
меняет знак, а затем проходит через
нуль (в местах резонанса) и вновь j\z\t
возрастает.
Указанные особенности характе-
характеристик двухполюсника относятся не
только к простым двухполюсникам,
но и к сложным: четырехэлемент-
ным, пятиэлементным и т. д.
В общем случае сколь угодно
сложного двухполюсника зависимость
от частоты отношения напряжения
к току во входном контуре выража-
выражается одной из четырех частотных ха-
характеристик:
1) с двумя внешними нулями (с
двумя вырожденными резонансами
напряжения (рис. II.2.13, а));
2) с двумя внешними полюсами
(рис. П.2.13, б)\
3) с внешним нулем @0 = 0 и внешним полюсом при со2л = со
(рис. П.2.13, в);
4) с внешним полюсом оH = 0 и внешним нулем (аJ/г,= со)
(рис. II.2.13, г).
Более подробные исследования цепей привели к выводу, что
частотные характеристики сложных двухполюсников могут быть выра-
выражены обобщенной комплексной функцией
mzi
Рис. II.2.13
(со* — со») (со* — со») (со* — coj) ... (а>а-а>|п) •
54
(И.2.30)
Здесь Zo — комплексная величина, которая для случая характери-
характеристик с нулями при соо = 0 пропорциональна /со:
а для схем с одним полюсом при со = 0 выражается как емкостные
реактивные сопротивления;
Z0 = Z0C= 1/(/соЯсJ,
где Hi и Нс — функции всех емкостей и индуктивностей, входящих
в ветви двухполюсника.
Числа сох, со3, ..., щп-1> являются корнями уравнения Z = 0. При
совпадении частоты с одним из них наступает резонанс напряжений.
Числа со0, со2, ..., сэ2л — корни уравнения для комплексной проводи-
проводимости y == 0- При совпадении частоты с одним из этих чисел в системе
наблюдается резонанс токов.
Формула (II.2.30) показывает, что у двухполюсника с внешними
нулями число резонансов на единицу больше числа антирезонансов.
На рис. II.2.13 приведены графики частотных характеристик четырех
типов двухполюсников. На этих графиках видно, что нули и полюса
чередуются и что производная dZ/dco>0, т. е. положительна. При
каждом переходе через нуль в каком-либо полюсе знак импеданса
изменяется. Если частота со больше частоты антирезонанса (т. е. рас-
расположена справа от какого-нибудь полюса) и меньше частоты сосед-
соседнего резонанса (т. е. лежит слева от соседнего нуля), то импеданс,
соответствующий этой частоте, отрицателен. Для частоты, лежащей
левее полюса и правее следующего нуля, импеданс положителен.
Число нулей и полюсов сложного двухполюсника обычно опре-
определяют по числу независимых уравнений двухполюсников, но иногда
можно воспользоваться следующим правилом. В каждой ячейке цепи
поочередно вычеркивают одну емкость и одну индуктивность. Число
пар вычеркнутых элементов равно числу нулей входного импеданса
двухполюсника.
Выражение (II.2.30) широко используют при анализе цепей.
С помощью этой формулы легко построить частотную характеристику,
не проводя подробных расчетов. С этой целью необходимо найти вид
зависимости Zo от /со. Затем определить каким-нибудь способом свой-
свойство двухполюсника при бесконечно больших Частотах и численное
значение модуля функции Z(/co). Кроме того, необходимо знать сопро-
сопротивление двухполюсника при какой-либо промежуточной частоте, не
совпадающей с нулем или полюсом.
§ II.3. МЕТОД ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
В современной акустике широко применяются методы решения
задач, заимствованные из электротехники. Это стало возможным бла-
благодаря тому, что во многих областях физики, в том числе в акустике
и электротехнике, многие задачи описывают одинаковыми дифферен-
дифференциальными уравнениями. С другой стороны, бурное развитие электро-и
55
радиотехники привело к более полному исследованию электрических
систем. Кроме того, построение электрических моделей механических
систем сопряжено с меньшими трудностями, чем создание механиче-
механических; они более компактны, и, что особенно важно, измерения в них
более точны и удобны. Поэтому в некоторых случаях для решения
акустических и механических задач полезно пользоваться методами
теоретических и экспериментальных исследований электрических цепей.
Сходные математические законы, описывающие различные физиче-
физические явления, не означают их тождества, а отражают только то, что
математические модели этих явлений соответствуют одной и той же
степени приближения. Математические модели первого приближения,
подчиняются закону аддитивности, а следовательно, описываются линей-
линейными дифференциальными уравнениями. Так, например, ток и напря-
напряжение в одноэлементном двухполюснике, содержащем индуктивность,
удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению
U = -L§, (II.3.1)
если принять, что в первом приближении индуктивность L не зависит
от силы тока.
Указанному соотношению можно сопоставить связь между силой
и ускорением
Fm <IL32)
если считать, что масса т не зависит от скорости. Отсюда следует
прямая аналогия между напряжением U и силой F, индуктивностью L
и массой т, силой тока / и скоростью v. Эти аналогии сохраняются
и в энергетических соотношениях, а именно: работа, затрачиваемая
внешним источником при увеличении силы тока от 0 до /, равна
энергии магнитного поля тока проводника с индуктивностью L и
может быть вычислена по формуле А=Ы2/2. Аналогично, для слу-
случая поступательного движения работа внешних сил, вызывающих
увеличение скорости от 0 до у, равна кинетической энергии тела:
A =mv2/2-
Если электрическая цепь состоит из одной емкости, то при изме-
изменении заряда от q до q-\- Aq на клеммах цепи возникает разность
потенциалов Ш = -^- Aq = -^ -~ А/. Если процесс происходит непре-
непрерывно, то за время от 0 до t разность потенциалов на клеммах двух-
двухполюсника увеличивается от 0 до U:
t
^dt = ±-\ldt, (II.3.3)
О О
где / — сила тока смещения.
Таким образом, разность потенциалов U и сила тока / в двух-
двухполюснике, имеющем только один реактивный элемент — емкость С,
связаны простейшим линейным интегральным уравнением (II.3.3).
56
Работа внешних источников, идущая на преодоление сил электри-
электрического поля, при увеличении заряда на dq равна dA = ~^-q dq.
Полную работу при изменении заряда от 0 до q можно записать
в виде
q
^^.?., (Ц.3.4)
Эта работа равна энергии электрического поля данного двух-
двухполюсника. Аналогичные соотношения имеются и в механике.
Известно, что при малых деформациях почти все тела подчи-
подчиняются закону Гука, который в простейшем случае выражают
формулой
F = ~sx = — y* = — ~ \vdt% (II.3.5)
о
где s и с — коэффициенты упругости и гибкости; х — смещение точки
приложения внешней силы. Знак минус показывает, что направле-
направления смещения х и силы упругости противоположны.
Интегральные уравнения для тока (II.3.3) и скорости деформа-
деформации упругого элемента (II.3.5) подобны, причем существуют прямые
аналогии между электрическим напряжением U и силой F, емкостью С
и гибкостью су силой тока / и скоростью v. Эта аналогия сохраняется
и дальше. Например, потенциальную энергию упругого элемента
вычисляют по формуле W = х2/Bс), подобной формуле (II.3.4) для
энергии заряженного конденсатора.
Рассмотрим одноэлементный двухполюсник в виде сопротивления
потерь. Напряжение на его зажимах прямо пропорционально силе
тока, если R не зависит от /. Эта независимость является первым
приближением, обеспечивающим линейную связь между силой тока
и напряжением. Активное сопротивление как элемент электрической
цепи имеет важную особенность по сравнению с реактивными эле-
элементами—индуктивностью и емкостью. Она состоит в том, что на
сопротивлении потерь происходит необратимое рассеяние энергии.
Обычно эти потери равны количеству теплоты, выделяющемуся в цепи
при прохождении тока. Согласно закону Джоуля —Ленца, эти потери
пропорциональны квадрату силы тока.
В механических системах всегда существует рассеяние энергии
движения. Обычно его связывают с силами трения, зависящими от
многих факторов и подчиняющимися различным законам. В меха
нических колебательных системах существенное значение имеет вяз-
вязкое жидкостное трение, внутреннее трение и сопротивление излуче-
излучения.
Вязкое трение возникает при относительном перемещении поверх-
поверхности тела и жидкости. При этом, если выполняются определенные
условия, то со стороны жидкости на тело действует сила сопротив-
57
ления, пропорциональная скорости перемещения и:
F^ — rv, (II.3.6)
где г — механическое сопротивление.
В первом приближении, как показывает опыт, при малых ско-
скоростях v коэффициент г не зависит от скорости и уравнение (II.3.6)
линейно. Коэффициент сопротивления вязких потерь в некоторых
случаях может быть рассчитан по точным формулам, но обычно
в большинстве прикладных задач его находят на основе экспери-
эксперимента.
Другой причиной необратимых потерь энергии при механических
колебаниях является внутреннее трение, возникающее в результате
действия различных факторов, приводящих к отклонению свойств
материала от закона Гука, а также возникновению градиентов-
температуры в местах, где деформация материала, возникающая при
колебаниях, неоднородна. Силы внутреннего трения также пропор-
пропорциональны скорости и могут быть
вычислены по формуле (II.3.6), при
этом с; —скорость деформации, а г —
механическое сопротивление, обус-
обусловленное внутренним трением, кото-
которое при малых скоростях также не
зависит от скорости, но, как пока-
показывает опыт, является функцией час-
Рис. Н.3.1 тоты. Наконец, потери энергии в меха-
механической колебательной системе проис-
происходят за счет излучения упругих волн. Этот вид потерь характеризуется
сопротивлением излучения, которое также пропорционально скорости.
Иногда это сопротивление излучения называют трением излучения.
Оно характеризует полную мощность акустического излучения, вы-
выделяемую колебательной системой в окружающее пространство.
Сравнение линейных законов, которым подчиняются одноэлемен-
одноэлементные электрические двухполюсники (L, С, /?), с линейными зако-
законами механики для механических элементов (т, с, г) и сопоставле-
сопоставление интегрально-дифференциальных уравнений для описания про-
процессов в простых электрических и механических системах показы-
показывает, что одноэлементный двухполюсник сходен с соответствующим
механическим элементом. В частности, индуктивности аналогична
масса, емкости— гибкость, электрическому сопротивлению потерь —
механическое сопротивление.
На рис. II.3.1 представлены схематические изображения электри-
электрических одноэлементных двухполюсников и подобных им механиче-
механических элементов.
Подобно тому, как сложную электрическую цепь можно предста-
представить в виде многоэлементного двухполюсника или многополюсника,
реальную механическую систему можно заменить некоторой идеали-
идеализированной системой, состоящей из большого числа соединенных
между собой механических элементов. Способ соединения элементов
58
определяется характером распределения сил и перемещений. Из мно-
многообразия возможных типов соединекия элементов полезно выделить
три типа:
а) соединение элементов, в котором скорость каждого элемента
равна скорости всей системы, а сила, действующая на всю систему,
равна сумме сил, приложенных к каждому элементу, — соединение
в узел (рис. II.3.2, б);
б) соединение элементов, в котором скорость системы равна сумме
скоростей отдельных элементов, а сила, приложенная ко всей
системе, равна силе, приложенной к каждому из них, — соединение
в цепочку (рис. II.3.2, а)\
^ч><ач><]ч><ь^|
Рис. 11.3.2
в) смешанное соединение элементов имеет такая механическая
система, в которой встречаются как соединение в цепочку, так и соеди-
соединения в узел (рис. II.3.2, в).
Примером устройства, где механические элементы соединены в узел,
является простая колебательная система, состоящая из массы и пру-
пружины (рис. II.3.3, а). Она может быть условно изображена в виде
механической цепи, представ-
представленной на рис. 11.3.3, б, где
механические элементы соеди-
соединены в узел. Уравнение этой
системы A.4.1) запишем в
виде
Рис. II.3.3
т
(П.3.7)
где v = d\ldt — скорость;
\vdt = | — смещение.
Сходное интегрально-дифференциальное уравнение получается для
электрической цепи с последовательным соединением электрических
элементов:
(И.3.8)
Сравнение этих уравнений приводит к заключению, что если
придерживаться аналогии сила — электрическое напряжение, то соеди-
59
нению механических элементов в узел соответствует последовательное
соединение элементов электрической цепи (рис. 11.3.3, в).
Для выяснения вопроса, какой электрической схеме можно сопо-
сопоставить механическую систему, элементы которой соединены в цепочку,
выведем уравнение для простой колебательной системы, схематично
изображенной на рис. II.3.4, б. Эта механическая система состоит
из пружины су сосуда Б, наполненного вязкой жидкостью, и устрой-
устройства, состоящего из штока В, проходящего через горловину сосуда,
и перфорированного поршня Г. Гибкость с пружины, механическое
сопротивление г вязкой жидкости и масса т сосуда являются меха-
механическими элементами данной колебательной системы, соединенными
Рис. П.3.4
в цепочку (рис. II.3.4, в). Трением сосуда о поверхность подставки
пренебрегаем. Допустим, что под действием силы F система совер-
совершает вынужденные колебания. Вследствие того, что элементы соеди-
соединены в цепочку, внешняя сила в каждый момент времени равна
силам, возникающим на каждом из перечисленных элементов, а ско-
скорость v равна сумме скоростей движения соответствующих элементов:
v = vc + vr + vm, (II.3.9)
где vc, vr, t^ — скорости элементов упругости (с), сопротивления (г),
массы (т).
На основании зависимостей (II.3.5), (II.3,6) и (II.3.2) найдем
скорости vc, vr и vm как функции силы F и после подстановки
в (II.3.9) получим интегрально-дифференциальное уравнение относи-
относительно этой силы:
dF , 1
СЖ
(И.3.10)
Аналогичное уравнение получается для напряжения (У, приложен-
приложенного к схеме с параллельным соединением электрических элементов:
(II.3.II)
Сравнение (II.3.10) и (II.3.11) показывает, что при сохранении
прямых аналогий между напряжением и силой соединению механи-
60
ческих элементов в цепочку соответствует параллельное соединение
электрических элементов (рис. Н.3.4,а).
Прямая система электромеханических аналогий не является един-
единственно возможной. Можно составить и другие системы аналогий, осно-
основанные на сходстве дифференциальных уравнений. Среди них
в электроакустике используют обратную (инверсную) систему анало-
аналогий. Она основана на сходстве уравнений (II.3.10) для простой меха-
механической системы с соединением механических элементов в цепочку
с (II.3.8) для электрической цепи с последовательным соединением
электрических элементов. Эти уравнения подобны, и можно постро-
построить систему аналогий, в которой механическим аналогом индуктив-
индуктивности является гибкость, аналогом сопротивления потерь — величина,
обратная механическому сопротивлению, аналогом напряжения — ско-
скорость. Такую систему называют инверсной. При этом параллельному
соединению электрических элементов соответствует в механических
системах соединение в узел, последовательному — в цепочку. Срав-
Сравнивая элекромеханические схемы одного и того же механического
устройства, составленные по прямой и инверсной системам анало-
аналогий, видно, что они дуальны: одна из них импедансная, а другая
представляет собой схему обратных сопротивлений. Пользуясь пра-
правилом перехода от одной дуальной цепи к другой, легко перейти
от схемы, составленной согласно прямой системе электромеханических
аналогий, к соответвующей инверсной схеме.
В табл. II.3.1 дана сводка основных величин-аналогов.
Таблица II.3.1.
Система
электрическая
прямых аналогий
обратных аналогий
Напряжение U
Сила гока /
Индуктивность L
Активное сопротивление R
Емкость С
Сила F
Скорость v
Масса т
Сопротивление г
Гибкость с
Скорость v
Сила F
Гибкость с
Величина, обратная коэф-
коэффициенту сопротивления
Масса т
Наряду с системой электромеханических аналогий широкое при-
применение нашла система электроакустических аналогий, где в прямое
соответствие электрическому напряжению на участке электрической
цепи ставится разность давлений на участке механического устрой-
устройства, содержащего элементы вязкого трения, инерции и объемной
упругости. Указанная система аналогий может быть названа систе-
системой электрическое напряжение — акустическое давление.
Для построения ее найдем акустические уравнения для механи-
механических систем, аналогичные уравнениям для простых электрических
61
двухполюсников!
AU^RI; (II.3.12a)
t
&U = -±-Aq=-±- J Idt\ (И.ЗЛ26)
о
о
Al/=-L^. A1.3.12b)
Рассмотрим поток жидкости через короткую трубку с узким кана-
каналом, для которой выполняется закон Пуазейля
кр^-к-Х* (II.3.13)
где г] — вязкость жидкости; / — длина трубки; S — площадь попе-
поперечного сечения; X — объемная скорость жидкости.
Очевидно, формула (П.3.13) подобна формуле ДG = /?/, выражаю-
выражающей закон Ома для участка электрической цепи. Поэтому электри-
электрическим аналогом объемной скорости X является ток / на участке
цепи, а электрическим аналогом 8r\ln/S2=-- гй — сопротивление R
участка цепи. Величина га может быть названа акустическим сопро-
сопротивлением трубки.
Таким образом, данной акустической системе соответствует одно-
одноэлементный электрический двухполюсник с сопротивлением R.
В качестве примера акустического устройства, аналогичного элек-
электрическому двухполюснику, содержащему только одну емкость,
исследуем замкнутый объем газа или жидкости. При изменении
внешнего давления в интервале /?, р-\-&р объем газа изменится
от V до V — Д1Л Если сжатие без теплообмена (адиабатическое), то
в линейном приближении можно записать
или
bp = —A-bV, (П.3.14)
Psv о
где 6^ = —тг-\-^—) —коэффициент адиабатической сжимаемости.
к 0 \ Op /s
Сравнивая (II.3.126) с (П.3.14), находим, что акустическим ана-
аналогом электрической емкости должна быть величина ca — $sVQ, назы-
называемая акустической податливостью объема.
Наконец, акустическим аналогом производной тока по времени
в этой системе аналогий должно быть полное объемное ускорение
потока жидкости или газа dX/dt. В соответствии с этим простейшим
акустическим устройством, в котором можно выделить это ускорение,
является небольшой отрезок трубки, в которой под действием зву-
звукового давления образуется ускоренный поток жидкости. Согласно
второму закону Ньютона, объемное ускорение этого потока опреде-
определяется формулой, вполне сходной с формулой, выражающей закон
62
Фарадея [см. (П.3.12в)],
pis dX
(П.3.15)
В связи с этим величина plS/S2 = ma является акустическим
аналогом индуктивности и называется акустической массой.
Таким образом, система электроакустических аналогий содержит
следующие соответствия: давление — электрическое напряжение;
объемная скорость — электрический ток; электрическое сопротивле-
сопротивление— акустическое сопротивление; электрическая емкость — полная
акустическая сжимаемость объема; индуктивность — акустическая
масса.
Многие задачи расчета низкочастотных акустических устройств
успешно могут быть решены с помощью электроакустических анало-
аналогий.
§ Н.4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Звуковой гриб представляет собой устройство для создания звукового поля
звуковых и инфразвуковых частот в жидкости. Он состоит из магнитострикционного
стержня, на концах которого прикреплены тх и т2. Одна из масс (например, т^
колеблется в воздухе, а другая (т2) дей-
действует на диафрагму находящуюся в
воде.
Механическая модель этого устрой-
устройства представлена на рис. П.4.1, а.
В обмотку магнитостриктора подают ток
подмагничивания и переменный ток, воз-
возбуждающий работу магнитострикционно-
магнитострикционного стержня. Масса т1 испытывает неболь-
небольшое сопротивление излучения, которым
можно пренебречь, а масса т2 — волно-
волновое сопротивление воды.
Зададим следующие конструктивные
данные: длина стержня / = 0,2м; его
поперечное сечение 5 = 10 см2=10~=3 м2;
добротность устройства Q = 500; частота
излучателя / = 30 Гц. Определим отноше-
отношение т1/т2 и значения масс.
Для решения задачи по условному
изображению устройства (рис.II.4.1, а)
построим символическую схему соедине-
соединения механических элементов (рис. П.4.1,б)
и составим эквивалентную электричес-
электрическую схему, по которой проведем расчет.
На рис. II.4.1,6 изображена механическая схема, состоящая из двух масс,
каждая из которых соединена со своими сопротивлениями гг и г2 в узел; между
массами расположен стержень с гибкостью с и сопротивлением потерь г, которые
соединены в узел. На упругий элемент с действует внешняя сила F.
Используя прямой метод электромеханических аналогий, по схеме рис. Н.4.1,6
составим электрическую схему (рис. II.4.2,а). Имея в виду, что сопротивлением
излучения в воздух можно пренебречь, эту схему легко упростить и представить,
как на рис. П.4.2,б. Далее удобно перейти к эквивалентной схеме с последова-
последовательным колебательным контуром. Это сделаем рядом преобразований: цепь с после-
последовательным соединением г% и /сот2 заменим параллельным соединением г| и /сот2
Рис. II.4.J
63
(рис. II.4.2, в). Так как
. J_ _____ — __
/com2
то при ->1 получим rt~ =.. После этого два импеданса, включенные
параллельно, заменим одним (рис. П.4.2, е):
1
откуда
/wm2
+
/com
Наконец, параллельно включенные импедансы л| и /сот2 заменим последова-
последовательно включенными г* и /com (рис. II 4.2, д). Из равенства --—-[—
получим при со2т2/л|2 !> 1
Учитывая выражения для т и rf, найдем
r* /com*
При
(
Таким образом, эквивалентное сопротивление нагрузки пропорционально
квадрату отношения масс.
Известно, что если сопротивление нагрузки равно сопротивлению внутренних
потерь, то устройство работает с максимальной отдачей. Для данного случая
сопротивление потерь есть потери в магнитострикционном стержне: г = г*, г =
(/J г*- Тогда
т2
г2
(II.4.1)
Сопротивления потерь г2 и излучения г рассчитаем по данным задачи. Заданы
добротность, частота и эквивалентная масса, равная m = mim2/(m1 + m2). Пользуясь
(П.3.6), получим
2f/Q (II.4.2)
Чтобы определить массу тъ воспользуемся формулой резонансной частоты:
1 1
/о
У cm 2п
с
(П.4.3)
64
Используем закон Гука для однородной деформации растяжения:
а = ??//,
где ? — продольное удлинение, Е — модуль Юнга, / — длина стержня.
Силу F найдем умножением напряжения а на площадь поперечного сечения S
стержня:
Тогда
с I I L
F (?5//) I ~ ES #
Воспользовавшись (II.4.3), получим
1 ES
' Bя/оJ/ т
На основании (II.4.2) определяем сопротивление потерь и, зная полное вол-
волновое сопротивление воды, находим отношение масс, обеспечивающее работу
устройства в заданном режиме.
Резонатор Гельмгольца представляет собой со-
сосуд с коротким горлом. Вследствие резонансных
свойств сосуда он действует как глушитель тех
частот, на которые приходится резонанс.
При воздействии звуковой волны жидкость
в горле сосуда колеблется как поршень, а объем
жидкости в сосуде создает необходимую упру-
упругость. Таким образом, резонатор Гельмгольца
представляет собой колебательную систему, состо-
состоящую из массы, упругости и сопротивления по-
потерь. Схематическое изображение механической
модели резонатора Гельмгольца дано на рис.
11.4.3, а. Масса колебательной системы, очевидно, равна массе жидкости, заклю-
заключенной в горле: т = р5/г E —площадь поперечного сечения горла, к — высота
горла, р —плотность жидкости). Жидкость, заключенная в объеме V, действует в
системе как упругость. В данном случае упругие свойства жидкости, замкнутой
в объеме, определяются величиной, обратной коэффициенту упругости:
где с0 — скорость распространения звука в жидкости.
Коэффициент сопротивления потерь для низкочастотных колебаний приблизи-
приблизительно может быть вычислен по формуле
где г]-*вязкость жидкости, а —радиус горла резонатора.
Все элементы соединены в узел (рис. II.4.3, б). Поэтому электрическим ана-
аналогом системы является последовательное соединение электрических элементов
(рис. II.4.4). Механический импеданс этого соединения выражается формулой
z = -^- = r + / com
Когда реактивная часть импеданса обращается в нуль, наступает резонанс:
/ (com — — ) = 0.
Отсюда следует, что резонансная частота определяется массой жидкости, со-
содержащейся в горле резонатора, и податливостью с жидкости, занимающей объем V
резонатора:
3 Л. Ф, Лепендин 65
Учитывая массу жидкости, находящейся в горле резонатора, и выражение
для упругой податливости с (II.4.4) жидкости, заполняющей объем 1/, получим
Найдем коэффициент усиления такого резонатора. Он равен отношению
силы Fc, возникающей у основания горла, к силе F, действующей на резо-
резонатор (рис. П.4.5):
(П.4.6)
(И.4.7)
(И.4.8)
Здесь
F Ьо
z0 = Yr* + (com - 1 Imcf = г У1
— модуль механического импеданса, где
Q = щт[г
— добротность; у — частотная переменная.
Принимая во внимание выражения (П.4.5), (П.4.7) и (II.4.8), получим фор-
формулу коэффициента усиления:
Q
где у — п— 1/д; д==со/со0; w0 —частота резонанса.
Если частота совпадает с резонансной (д=и=1), то N имеет максимальное зна-
значение, равное добротности резонатора: N = Q.
Рис. Н.4.4
jcom
Рис. П.4.5
Для анализа процессов в объемных полостях удобно от сил перейти к давле-
давлениям: F и Fc равны произведениям колебательных давлений у входа и основания
горла резонатора на площадь поперечного сечения горла. Поэтому коэффициент
усиления равен отношению колебательного давления в полости резонатора к коле-
колебательному давлению у входного отверстия: 7V = po/p.
Из этого следует, что звуковое давление в полости в N раз больше звуко-
звукового давления у входа в резонатор:
Если в полость резонатора вставить трубку, конец которой через разветвление
подведен к ушам, то можно убедиться, что уровень воспринимаемого звука выше
уровня в окружающем пространстве. Усиление будет максимальным на резонанс-
резонансной частоте.
Набор резонаторов различных размеров служил в свое время прекрасным
устройством для анализа звука. В технике объемные резонаторы широко исполь-
используют для звукопоглощения. Если в горле резонатора дополнительно поместить
слой звукопоглощающего материала, то поглощение звука резонатором при резо-
резонансе заметно возрастет (резонансный поглотитель). В строительной технике для
эффективного поглощения широко применяют облицовочные плиты с резонансными
полостями.
Исследования резонансных поглотителей, методы расчетов специальных зву-
звукопоглощающих резонансных устройств и их конструкции впервые были разра-
разработаны С Н. Ржевкиным, В, С. Нестеровым, М. С. Анциферовым и Г, Д. Малю-
женцем.
66
Виброизоляционный эффект различных амортизирующих устройств. Для
виброизоляции фундамента от колебаний различных механизмов (моторов, насосов,
двигателей внутреннего сгорания и т. д.) используют упругие амортизаторы
в виде пружин или прокладок из специальных сортов резины и различных амор-
амортизирующих устройств.
За меру виброизоляционного эффекта принимают отношение амплитуд коле-
колебательной скорости фундамента при введении амортизатора и без него.
Проведем расчет эффекта виброизоляции фундамента для различных видов
амортизации.
1. Виброизоляция с помощью введения упругих амортизаторов На рис 11.4.6, а
показана схема установки, где амортизация осуществляется от одного упругого
элемента. Здесь амортизируемый механизм с массой М отделен от фундамента
упругой прокладкой, коэффициент упругости которой задан и равен \/с. Фунда-
Фундамент имеет собственный механический импеданс гф, который может быть комп-
комплексным. В расчетах примем гф активным и равным сопротивлению потерь коле-
колебательной энергии в фундаменте. На механизм с массой М действует сила,
изменяющаяся во времени по гармоническому закону.
Рассмотрим случай, когда сила действует в вертикальном направлении. Задачу
будем решать с привлечением прямых электромеханических аналогий. Прежде
всего изобразим устройство в виде схемы соединения отдельных механических
элементов (рис. II.4.6, б). Здесь имеется смешанное соединение элементов меха-
механического устройства: гибкость с и импеданс фундамента гф соединены в цепочку;
масса и сила, а также цепочка, состоящая из гибкости с и импеданса гф, соеди-
соединены в узел. По электрической схеме прямых аналогий соединению в узел соот-
соответствует последовательное соединение электрических элементов, а соединению
в цепочку — их параллельное соединение. Отсюда следует, что аналоговая элект-
электрическая схема устройства должна содержать последовательное соединение импе-
импеданса, соответствующего массе М, с импедансом механической цепи с параллельным
соединением гф и 1 /(/шс) (рис. П.4.6, в). На схеме применены обозначения с исполь-
использованием символов механических величин. Обозначим для сокращения записей
включенные в схему механические импедансы z1==/coM, z2=l/(/wc), ^з^^ф и най-
найдем силу тока, текущего через импеданс z3 (токи обозначены символами механи-
механической скорости |). Так как параллельные ветви с сопротивлениями г2 и z3
находятся под одним и тем же напряжением, то токи g2 и 1з обратно пропорцио-
пропорциональны сопротивлениям соответствующих ветвей, а их сумма равна полному току
в цепи |х:
f —, I3
S2 ZZ
Решая эту систему уравнений, найдем
(Н.4.9)
(П.4.10)
67
Полный ток |j определяется полным сопротивлением цепи:
и напряжением F:
1з
F.
Подставляя A1.4.11) в A1.4.10), найдем
(II.4.11)
или, возвращаясь к начальным обозначениям и принимая, что |з —1гу — скорость
колебаний фундамента при амортизации упругостью, получим
* F F _ (II.4.12)
/соМ+гф+ 'Ш"К '""" "*"** ll
Амплитудное значение \гу есть модуль комплексного выражения (II.4.12):
. F
Обозначая
со
со0
туды скорости колебаний фундамента:
= Д2, W0=l/ -r-r-, Н
f Me
айдем выражение для ампли-
(Н.4.13)
При жестком креплении механизма М на тот же фундамент (рис. И.4.7, а)
сила F, масса М и импеданс z$ соединены в узел (рис. II.4.7, б). Соответствующая
этому устройству электрическая схема содержит последовательное соединение
аналогов силы и механических импедансов системы (рис. II.4.7, в). Механическим
аналогом тока является скорость колебаний общая как для массы М, так и для
фундамента. Она выражается формулой
l**~-i(aM4-ZA.' (П<4Л4)
Ее амплитуда
Отношение скорости колебаний фундамента при жестком креплении механизма
к скорости колебаний фундамента при наличии упругой связи выражается формулой
(И.4.15)
Виброизоляционный эффект упругой прокладки есть отношение скоростей
(II.4.15), выраженное в децибелах:
?Ц (\ «2^2 4-ГЛ2/И2л2
(Н.4.16)
Из формулы вибрационного эффекта упругих амортизаторов можно сделать
следующие выводы о роли упругого элемента в виброгашении фундаментов:
а) при низких частотах (д = со/юо<<1) виброизоляционный эффект упругих
амортизаторов равен нулю;
б) на резонансной частоте ВИу отрицателен и определяется формулой
<"-4Л7>
Это значит, что на резонансной частоте скорость фундамента при упругом
креплении механизма больше, чем при жестком креплении;
в) на высоких частотах, т. е. при выполнении условия
изоляции, BHV определяется формулой
1) вибрб-
В частности, если импеданс фундамента во много раз больше импеданса
виброизолируемого механизма, т. е. выполняется условие —^ <<1, то вибро-
Ч
изоляция, вносимая упругостью, может быть вычислена по формуле
BHv^201gn = 201g —. (И.4.19)
2. Виброизоляцияу вносимая массой Шф, подсоединенной к фундаменту. Если
механизм установлен на пластине (протяженная палуба корабля, крышка лабо-
лабораторного стола и т. п.) (рис. II.4.8, а) с прикрепленной к ней массой тф, то
нетрудно построить по механической схеме устройства (рис II.4.8, б) эквивалент-
эквивалентную электрическую схему (рис. Н.4.8, в). Она отличается от схемы для случая,
когда дополнительной массы нет (см. рис. II.4.7. в), только тем, что последова-
последовательно с 2ф включен импеданс /сотф (рис. 11.4.8, в). Таким образом, колебательная
скорость фундамента определяется формулой (II.4.13), где вместо массы М меха-
механизма надо подставить сумму ЛТ + тф:
В этом случае ослабление амплитуды колебательной скорости основания, вносимое
массой тф, определяется формулой
а виброизоляционный эффект, выраженный в децибелах,—соотношением
BH==1Olg
2
41-Ю lg(G
^ AМ>21)
3. Виброизоляция упругой прокладкой. На рис. II.4,9, а показана механиче-
механическая схема крепления механизма на пластину с дополнительной массой т^.
Между механизмом и пластиной имеются упругие прокладки, гибкость которых с.
Требуется рассчитать виброизоляционный эффект, вносимый упругостью прокла-
прокладок этого крепления, относительно жесткого крепления на ту же пластину с допол-
дополнительной массой,
Щ ' у///////////////////////л
а) 5) SJ
Рис. IL4.9
Составим механическую схему устройства (рис. II.4.9, б) и, пользуясь ею,
эквивалентную электрическую схему (рис. Н.4.9, в).
Виброизоляционный эффект, вносимый в систему с добавочной массой упру-
упругими прокладками, определяется как
BH = 201gi№<, (П.4.22)
bmy
гДе ктж* ?шу —амплитуды скорости колебаний фундамента с дополнительной мас-
массой гпф при жестком креплении механизма М и посредством упругого аморти-
амортизатора.
Амплитуда \тж рассчитана в п. 2 и выражается формулой (II.4.20). Для
нахождения амплитуды ?ту обратим внимание на то, что рис. II.4.9, в отличается
от рис. II.4.6, в только тем, что в разветвление второй схемы добавлен импеданс
/озтф, соединенный с импедансом г$ последовательно. Поэтому формулы для
колебательной скорости \ту легко получить из (II.4.12) заменой z§ на
. F
ъту*^ у^^ _|_ Bф + /со/Яф) A — @2Мс)'
Модуль этого выражения представляется в виде функции
(II.4.23)
где
Подставляя в (П.4.22) выражения для скоростей \тш и |ту, получим
zi A — я2J + fc^n2 Ш — гпл, № — I)]2
(П.4.24)
В частности, для высоких частот (д>1)
Щ' ^ 10 lg -
7Q
или
A1.4.25)
где ft = co/co0; а>о — У\/(Мс)\ гф —импеданс фундамента; /Пф —масса, присоединен-
присоединенная к фундаменту.
4. Виброизоляционный эффект при двухъярусном креплении механизма. Рас-
Рассмотрим эффект виброизоляции, когда к системе с упругим элементом с± присоеди-
присоединены дополнительная масса и дополнительная упругость (рис. II.4.10, а).
Здесь импедансы гф и 1/(/сос2), а также масса т1 и гибкость Cf соединены
в цепочку. Эти две цепочки соединены с массой т2 в узел (рис. II.4.10, б). Ско-
Скорости движения элементов системы и механические силы, действующие на отдель-
отдельные элементы, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям, которые
согласно правилам прямых электромеханических аналогий можно составить для
электрических напряжений и токов эквивалентной электрической цепи. Эта
электрическая цепь изображена на рис. II.4.10, в, где напряжение, индуктивность
и емкости отмечены символами механических сил, масс и гибкостей соответствую-
соответствующих элементов системы, причем соединению механических элементов в узел отве-
отвечает последовательное соединение электрической цепи, а соединению в цепочку—,
параллельное.
Рис, И.4.10
Найдем выражение колебательной скорости через механическую силу и импе-
импеданс 2ф для частот, лежащих выше частот резонансов. В этой области частот
можно пренебречь механическим трением в опорах и механическими импедан-
сами упругих элементов. Тогда виброизоляционный эффект двухъярусного креп-
крепления механизма по отношению к жесткому соединению выражается формулой
гДе \гж — скорость основания при жестком креплении, которая выражается фор-
формулой (II.4.14) при замене М на тх; |2Д—скорость при двухъярусном креплении.
Для вычисления колебательной скорости основания в случае двухъярусного
крепления (рис. П.4.10, в) поступим следующим образом: найдем импеданс, соот-
соответствующий скорости движения, массы т1 механизма при зажатой массе т2
(т. е. при |а = 0):
Для частот со > сох = V
71
Скорость движения механизма равна
г F F
Сила, действующая на упругий элемент сх при разорванной ветви соседнего
контура (т2, с2), определяется формулой
(О
где /ii = —, ©!=¦
Сила Z7!, действуя на массу т2 и последующие элементы цепи, вызывает дви-
движение массы т2. Скорость этого движения определяется выражением
где гэ — импеданс смешанного соединения элементов, входящих в правую часть
схемы рис. II.4.10, в:
г/(](йс2)
1 2П2+1/0<ОС2)
Если импеданс фундамента значительно больше импеданса упругого элемента
Сила, действующая на упругий элемент, при условии неподвижного основа-
основания D^ = 0) равна
Fz = l2zr^i2-r
, __ г (/) 1
где г-
Подставляя сюда выражения для |2 и Т7!, получим Т7-™!L
п\ (— (й2т2с2) п\п% '
Наконец, скорость колебания фундамента при двухъярусном креплении меха-
механизма для (о>©1, со > со2, г>-^ , j(am1^>- равна
&д*~~ г ~ п\п\г
Учитывая (II.4.14), находим для двухъярусного крепления виброизоляцию
при высоких частотах
1р_ ~ 201g. Л
пш>\ V(comlJ+^ nfcofmf + г*- (П-4.26)
Когда частота вынужденных колебаний близка к резонансной, расчет вибро-
виброизоляционного эффекта следует проводить по более точным формулам, которые
могут быть найдены при полном анализе схемы, изображенной на рис. II.4.10, б
[3]. Оказывается, эффект виброизоляции при двухъярусном креплении для низ-
низких частот может иметь отрицательный знак, т. е. привести к усилению колеба-
колебаний фундамента.
72
ГЛАВА III
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИХ
АНАЛОГИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА НИЗКОЧАСТОТНЫХ
АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
§ Ш.1. АКУСТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЗВУКОПРОВОДОВ
Многие акустические устройства выполнены в виде труб с раз-
различными сочленениями: расширениями, камерами, отводными кана-
каналами и т. д. Общая теория распространения звука в таких устрой-
устройствах сложна. Однако, если неоднородности звукопровода меньше длины
волны, их можно рассматривать как элементы с сосредоточенными
параметрами. Весь звукопровод в этом случае состоит из отрезков
волноводов, имеющих участки с сосредоточенными параметрами.
Отрезки труб, сужения, расширения, заслонки, щели и другие
части звукопроводов в приближенной теории называют акустическими
элементами. Каждый акустический элемент можно сопоставить
с электрическим аналогом в виде элемента электрической схемы.
Для отрезка трубы или акустического волновода применимы
понятия, установившиеся в теории длинных линий. Расчет полного
звукопровода ведут по методу входного акустического импеданса.
В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений: р —
комплексная амплитуда звукового, давления; | — комплексная ампли-
амплитуда колебательной скорости; X — амплитуда объемной скорости;
5, а— площадь поперечного сечения звукопровода; т — механическая
масса; см — механическая гибкость; са — акустическая гибкость; та —
акустическая масса; р — средняя плотность жидкости; / — длина тру-
трубопровода; Е — кинетическая энергия; Ф —потенциал скорости; /Са —
акустическая проводимость; z — механический импеданс; 2а — акусти-
акустический импеданс; У —объем; х\ — сдвиговая вязкость.
Согласно системе электроакустических аналогий, акустический
импеданс определяют, как отношение комплексных амплитуд давления
и объемной скорости:
Между акустическими и механическими параметрами системы суще-
существуют соотношения:
Рассмотрим формулы, определяющие указанные параметры для
некоторых частных случаев низкочастотных акустических систем.
§ Ш.2. АКУСТИЧЕСКИЕ МАССА И ПРОВОДИМОСТЬ
Акустические масса и проводимость участка трубы. Допустим,
что в трубе постоянного сечения распространяется плоская волна.
Если рассматривать участок трубы длиной во много раз меньшей,
73
чем длина волны, то на нем жидкость движется как одно целое, т. е.
она несжимаема. Кинетическая энергия жидкости, заполняющей
этот участок трубы, равна pS/?2/2. Введем вместо линейной скорости
| объемную X и получим
где /па=|, ~. (Ш.2.2)
По аналогии с обычной формулой кинетической энергии величину
та называют акустической массой отрезка / трубы, имеющей сече-
сечение So.
Соотношение (Ш.2.2) по своему виду напоминает формулу сопро-
сопротивления постоянному току участка проводника площадью попереч-
поперечного сечения S и длиной /.
Проводимость участка цепи аналогична величине, обратной аку-
акустической массе:
^==~Г- (Ш.2.3)
Отношение плотности р жидкости к акустической массе та назы-
называют акустической проводимостью элемента звукопровода. В частно-
частности, как это видно из (III.2.3), акустическая проводимость участка
трубы
tf, = y. (III.2.4)
Учет краевых эффектов. Если поместить в плоское акустическое
поле короткий отрезок трубы с открытыми концами, то возникает
искажение звуковой волны. Звуковая волна возбудит колебательное
движение жидкости так, что сама труба будет действовать как аку-
акустический диполь. Полная акустическая масса в этом случае состоит
из акустической массы (Ш.2.2) и присоединенной массы излучения.
Для низких частот присоединенную массу можно рассчитать,
пользуясь методами гидродинамики несжимаемой жидкости. С этой
целью найдем кинетическую энергию поля вблизи краев отрезка трубы:
где интегрирование проводят по объему внешних частей пространства,
для которых скорость v определяют формулами поля дипольного
источника.
Для трубы эллиптического сечения с фланцем (труба вставлена
в отверстие безграничного экрана) кинетическую энергию движения
жидкости, прилегающей к отверстию трубы, вычисляют по фор-
формуле [13]
где с — эксцентриситет эллипса.
74
Таким образом, присоединенная акустическая масса конца трубы
с эллиптическим отверстием равна
а акустическая проводимость
частности, акустическая проводимость круглого отверстия
Следовательно, акустическая масса конца круглой трубы
Акустическая масса отрезка трубы, вставленной в экран, состоит
из суммы акустической массы внутренней части жидкости т^ и аку-
акустической массы отверстия тао:
где К — полная акустическая проводимость отрезка трубы с учетом
краевых эффектов:
А= = /+1й74- (HI.2.8)
Из сравнения (III.2.8) и (III.2.4) видно^ что если в формуле
акустической проводимости участка трубы длиной / учесть краевые,
эффекты, то достаточно к / добавить отрезок, равный четверти пери-
периметра трубы.
В общем виде формулы проводимости неоднородного участка зву-
копровода можно получить, выполнив следующие операции. Исполь-
Используя граничные условия для области, лежащей вблизи неоднородности,
необходимо найти потенциал скорости для той части потока, которая
может считаться несжимаемой (линейные размеры этой области
меньше, чем длина волны).
Определив градиент потенциала, записываем формулу кинетиче-
кинетической энергии:
Зная распределение скоростей в области, занимаемой неоднород-
неоднородностью звукопровода, можно найти среднюю объемную скорость для
характерного сечения неоднородности:
) (Ш-2-9>
75
Представив кинетическую энергию посредством формулы Ек =
= уШаХ2 = -2^-Х2, найдем общую формулу для вычисления про-
проводимости, соответствующей той или иной неоднородности звукового
поля:
/1 С f дФ ,. ,_\8
ts __ рл* \ у г
С С С (дФ , дФ , дФ\2 . . .
\ \ \ Иг- + л—Ь т- dx dy dz
J J J \ ^ ^ ^ У ^
x у z
В частности, для проводимости круглого отверстия, расположен-
расположенного в прямой трубе, получена [13] формула
> (III.2.10)
где / (d/D) — функция Фока, имеющая следующий вид:
Нестеровым [13] проведена экспериментальная проверка теории
Фока. Эта проверка дала хорошее согласование выводов теории
с экспериментальными результатами.
§ Ш.З. АКУСТИЧЕСКАЯ ПОДАТЛИВОСТЬ
ЭЛЕМЕНТОВ ЗВУКОПРОВОДА
Входной импеданс трубы, закрытой жесткой, стенкой, равен
^вх у tg (Ы/с) '
Для случая, когда длина трубы / значительно меньше длины волны X,
тангенс можно заменить его аргументом:
"ВХ /СО//С
Сравнивая полученный результат с формулой емкостного сопро-
сопротивления 2=1/(/(ос), получаем
вх /сое
Следовательно, отрезок трубы, закрытой на одном конце жест-
жесткой стенкой, при низких частотах действует как механическая подат-
податливость:
dx
76
где
c^VKpc*) A11.3.2)
— акустическая податливость.
Таким образом, простейшим устройством, имеющим только меха-
механическую гибкость, является малый отрезок трубы с жестким дном.
Разумеется, в данном случае мы отвлекаемся от присоединенной
массы, возникающей за счет краевого эффекта и активного сопро-
сопротивления потерь и излучения.
Покажем, что формула (III.3.1) выполняется не только для корот-
короткого цилиндра, но и для объема произвольной формы, если его
линейные размеры значительно меньше длины звуковой волны.
Известно, что если замкнутый объем жидкости или газа уменьшается
на 6V/V, то стенки, ограничивающие этот объем, испытывают изме-
изменение давления
1 6
где C5 — коэффициент адиабатической сжимаемости среды, который
связан со скоростью звука соотношением Ps=l/(pc2).
Подставляя выражение коэффициента адиабатической сжимаемости
формулу для приращения давления, получаем
Ър = — <*9Щ-% (Ш.3.3)
Согласно системе электроакустических аналогий, электрическим
аналогом формулы (II 1.3.3) является выражение
где 8U — напряжение — аналог давления 8р\ заряд 8q на конденсаторе—
аналог объема 8V) С — электрическая емкость проводника — аналог
акустической податливости с&:
сл = -^. (Ш.3.5)
В качестве примера рассмотрим расчет вход-
входного акустического импеданса резонатора Гельмголь-
ца. Обозначим акустическое сопротивление в горле Рис. II 1.3.1
резонатора га; плотность газа в резонаторе р; объем
резонатора V; диаметр горла резонатора d\ акустическую проводимость горла /С;
площадь отверстия в резонаторе 5; длину горла /. Электрическая схема, соот-
соответствующая этому устройству, представлена на рис. II 1.3Л. Параметры схемы
следующие:
— -L. —Л. к s
(Ш.3.6)
77
Пользуясь ими^ находим комплексный импеданс резонатора:
§ III.4. ЭЛЕМЕНТЫ ПОТЕРЬ НА ВЯЗКОСТНОЕ ТРЕНИЕ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Затухание волн звукового диапазона частот, распространяющихся
в свободном пространстве, незначительно. Однако если волны рас-
пртэстраняются вблизи твердой -границы раздела, то даже при низких
частотах наблюдаются заметные потери, которые определяются боль-
большими градиентами скорости и температуры в пристеночном слое
и зависят от теплопроводности стенок и вязкости среды.
Известно, что сила вязкого трения определяется уравнением
Ньютона
dS ~~ ^~dzf
где z —координата, совпадающая с направлением нормали к границе
поверхности с жидкостью; | — тангенциальная составляющая скорости
движения частиц жидкости.
Функция g может быть определена, как решение уравнения
Навье —Стокса:
Если внутри жидкости частицы совершают гармоническое коле-
колебание ?(z, t) = ?Hef(Ot, то следует ожидать, что вблизи поверхности
скорость частиц является гармонической функцией времени вида
причем на границе 2 = 0 скорость частиц равна нулю, а функ-
функция |0 (г) должна удовлетворять уравнению
/^fo = O. (IH.4.2)
Решением (III.4.2), удовлетворяющим условиям |0 ,г =0 == 0
и loiz==h = uOJ является реальная часть комплексной функции ?0 =
= А&кг при k = У— /сор/т] и А = uoe-fkh. Принимая, что У— / =
= ]/"е- /я/2=е-/я/4=(cos -|— / sin ^-)=-^ A — /), получаем комплекс-
комплексное волновое число
где р =
Таким образом, колебательная скорость жидкости вблизи плоской
поверхности выражается функцией
/О], (Ш.4.3.)
где h — расстояние от поверхности, соответствующее значению ско-
скорости i(h) = u0.
78
Формула (III.4.3) описывает квазиволновой процесс с амплитудой,
уменьшающейся в е = 2,713 раза на расстоянии б = 1 /Р. Фазовая
скорость этого волнового процесса равна
(III.4.4)
Она зависит от частоты; ее числовое значение меньше, чем у ско-
скорости объемных волн. Направление колебаний частиц в рассматривае-
рассматриваемой волне перпендикулярно направлению распространения. Эти волны
впервые изучены Стоксом, поэтому их часто называют вязкими волнами
Стокса. Вязкие волны затухают очень сильно. На расстоянии 1/6,28
волны [1/Р =^7Bя)] амплитуда уменьшается в е раз. Например, при
частоте 500 Гц длина стоксовской волны составляет в воздухе к' =
=» 0,6 мм и затухание в е раз осуществляется в слое толщиной 1/р^
я^0,1 мм.
Найдем механический импеданс единицы площади поперечного
сечения трубы. Допустим, что длина волны больше, чем длина трубы.
В этом случае жидкость в трубе под действием градиента давления
движется как одно целое без деформации. Механический импеданс
единицы площади поперечного сечения трубы в данном случае есть
отношение разности давлений в начале и конце трубы к амплитуде
скорости и, усредненной по сечению:
* т
z
где Н — отрицательный градиент давления; (v) — скорость, усреднен-
усредненная по площади поперечного сечения.
Скорость движения несжимаемой вязкой жидкости в круглой
трубе подчиняется уравнению Навье —Стокса в цилиндрической
системе координат:
dv , 1 dp __ г] / d2v , 1 dv \
которое для установившихся колебаний (v = voef(df) при градиенте
давления dp/dz = — Не~№ преобразуется к виду
Решение (II 1.4.б) должно удовлетворять граничному условию на
стенке трубы:
()\0
где k = V— /cop/Ti = (l —/) р.
Для решения (III.4.5) введем новую переменную х — ka и получим:
1 dv , Я
+ ^
Это выражение имеет решение в виде суммы частного решения
уравнения с правой частью и решения однородного уравнения Бес-
79
селя нулевого порядка:
Используя граничное условие, определяем постоянную:
Н
A=-
Г0 (ka) k*x\ •
Таким образом, амплитуда скорости частиц и средняя скорость (v)
по сечению трубы жидкости равны:
4*U (Ш.4.7)
Разность давлений выражают через отрицательный градиент дав-
давления соотношением Ар = Н1. В результате получается формула
импеданса единицы поперечного сечения трубы длиной /:
z- „с ,,_, . (III.4.9)
Если разделить удельный механический импеданс на площадь 5,
то получим акустический импеданс участка / трубы:
(III.4.10)
Для низких частот при вычислении импеданса г можно пользо-
пользоваться приближенными выражениями функций <^0(х) и ^i(x):
при х = а]/B(ор)/г}A — /); |х| = 2а]
Тогда (II 1.4.9) сводится к приближенной формуле
где а-—радиус, / — длина участка трубы. Таким образом, импеданс
тонких трубок имеет активную составляющую, равную коэффициенту
Пуазейля (8г]//а2), и реактивную, которая равна инерционному сопро-
сопротивлению жидкости. При этом эффективная масса жидкости, состав-
составляющая инерционное сопротивление, больше, чем масса жидкости
в трубе: масса жидкости в трубе длиной / составляет на единицу
поперечного сечения р/, а эффективная масса 4/(Зр/); вязкость как бы
вносит в процесс колебания дополнительную массу.
При уменьшении радиуса трубы инерционное сопротивление остается
неизменным, в то время как активная часть импеданса увеличивается.
80
Если радиус трубы значительно меньше глубины проникновения
вязких стоксовских волн, то реактивной частью импеданса можно
пренебречь. В этом случае импеданс трубы имеет только активную
составляющую, которая не зависит от частоты:
М-
(Ш.4.12)
В прикладной акустике в качестве элемента активного сопротив-
сопротивления применяют активное сопротивление тонкой трубки (Ш.4.12).
Для случая, когда модуль фактора \ka\ удовлетворяет неравенству
<10, (Ш.4.13)
можно получить следующее приближенное выражение импеданса
трубы при условии, когда F/аJ<;1:
где /сор/— удельное инерционное сопротивление жидкости, запол-
няющей трубу; X = pc7(l + B6)/a)S; Yr = a>p/A + 6/a)S; с'=KBr)co)/p;
/(р)(л)
Выражение (III.4.14) показывает, что пристеночный слой вслед-
вследствие вязкости вносит дополнительное сопротивление cop/6/a. По-
Поскольку формула верна для отношений б/a, близких к 0,1, следует
считать, что это сопротивление не играет существенной роли: при
б/a я^ 0,2 приближение F/аJ<^1 не имеет места и формула теряет
смысл.
Наряду с инерционным сопротивлением пристеночный вязкий
слой создает активное сопротивление, которое приблизительно равно
удельному волновому сопротивлению стоксовских волн, умноженному
на длину трубы. Потери колебательной энергии, рассчитанные на
полное сечение трубы, определяют как
где | (v) |2 — квадрат средней скорости движения частиц.
§ Ш.5. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ КОНТУРЫ
И ИХ АКУСТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ
В электротехнике принято называть корректирующим контуром
дополнительную часть общей цепи, обеспечивающую сглаживание
частотной характеристики выходного сигнала. Отношение напряже-
напряжения на нагрузке к напряжению на входе цепи называют коэффици-
коэффициентом передачи напряжения:
81
Отношение силы тока в нагрузке к напряжению на входе назы-
называют коэффициентом передачи тока:
Между коэффициентами передачи тока и напряжения существует
связь:
к 1 к
Зная частотную зависимость коэффициентов передачи, легко
найти частотные характеристики напряжения и тока на выходе:
[/н (со) = КU (<*>) ^вх? ^н (©) = Kl (©) UBX. A11.5.1)
Существует два типа корректирующих контуров: параллельный
и последовательный. В первом типе осуществляется шунтирование
импеданса нагрузки цепочкой, состоящей из комбинации индуктив-
индуктивности, емкости и сопротивления. Во втором совершают последова-
последовательное подключение корректирующей цепочки.
Рис. Ш.б.1 Рис. III.5.2
Пусть электрическая цепь состоит из генератора и двух после-
последовательно включенных импедансов Zx и Z3 (рис. III.5.1). Первый
назовем входным, а второй — выходным.
Параллельный корректирующий контур Z2 шунтирует импеданс
нагрузки (см. рис. III.5.2, а). Выходной ток, протекающий через
импеданс Z3, до подключения корректирующего контура равен
и после подключения корректирующего контура определяется зави-
зависимостью
Коэффициент передачи параллельного корректирующего контура
(IIL5-2)
При последовательном подключении корректирующего контура
(рис. II.5.2, б) коэффициент передачи имеет вид
82
Из A11.5.2) и A11.5.3) следует, что при последовательном соеди-
соединении корректирующий импеданс влияет на характеристику коэффи-
коэффициента передачи тем больше, чем больше импеданс кдрректирующего
контура по сравнению с суммой входного импеданса и импеданса
нагрузки. При Zg^Zj^ + Zg характеристика коэффициента передачи
по току приближается к характеристике комплексной проводимости
корректирующего контура. В случае параллельного подсоединения
корректирующего контура действие последнего на характеристику
коэффициента передачи зависит от соотношения между комплексной
проводимостью корректирующего контура и суммой комплексных
проводимостей входа и нагрузки.
В частности, если -7-^-у +-у-, то характеристика коэффици-
Z2 Zj Z3
ента передачи близка к характеристике отношения импеданса кор-
корректирующего контура и произведению импедансов входа и на-
нагрузки. При малой проводимости корректирующего контура послед-
последний не влияет на характеристику коэффициента передачи.
Действие корректирующего параллельного контура на коэффи-
коэффициент передачи определяется Z2. Если Z2 больше, чем входной и
выходной импедансы, то частотная характеристика коэффициента
передачи параллельным контуром не корректируется. Лишь при
условии, когда Z2<Z3 и Z2<^Zly коэффициент передачи опреде-
определяется импедансом Z2. Если, например, импеданс Z2 имеет индук-
индуктивный характер, т. е. пропорционален частоте, то характеристика
коэффициента передачи имеет вид плавно возрастающей кривой.
Если корректирующий контур емкостный, то характеристика имеет вид
кривой, убывающей с ростом частоты. При последовательном соедине-
соединении емкости, индуктивности и сопротивления Z2 = /(coL ?г)+^
коэффициент передачи (III.5.2) имеет частотную характеристику
в виде плавной кривой с минимумом в области резонансной час-
частоты.
Пользуясь методом электроакустических аналогий, можно по-
построить акустические устройства, эквивалентные электрическим цепям
с корректирующими контурами. Примеры последовательных и парал-
параллельных электрических корректирующих контуров и их акустиче-
акустических аналогов приведены в табл. III.5.1.
Имея коэффициент передачи акустической системы по давлению,
легко найти и частотную зависимость амплитуды давления и объем-
объемной скорости на выходе системы по формулам:
Рз И = р±Кр (о)), Х3 = ~ Кр (ю) рг.
Если импеданс нагрузки не зависит от частоты, то частотную
характеристику давления нагрузки определяют частотной характе-
характеристикой коэффициента передачи.
Ниже приводим формулы для расчета корректирующих элементов
с последовательным корректирующим контуром для открытой трубы.
Если конец трубы снабжен фланцем, то za3 = ju>p/D. Входной аку-
83
1
электрическая
Система
!
акустическая
Таблица IIL5.1
Характеристика передачи
Короткая узкая трубка в широкой трубе
А1
Z2=JO)L
Z,-
*</=;
Ki = '.
T~^zd
Мембрана в широкой трубе
А2
22 >С
¦<
К! {<*) = ¦
/©С
Мембрана и трубка в широкой трубе, соединенные в узел
A3
L С
/соС
/ U
l-l,47d/D +
+ 0,47(d/D)s"
а2 ' а ' /
1
со0 = j
84
п/п
электрическая
Система
акустическая
(Продолжение табл. II 1.5.1]
Характеристика передачи
А4
Мембрана и трубка в широкой трубе, соединенные в цепочку
L
7 _^ /0)L
^ l-co2LC
i + Zs+1
J
\
/coma
0H
вУ ¦
com»
А5
Мембрана и трубка с потерями в широкой трубе, соединенные в узел
/ /С
/©с
co0 =
Мембрана и трубка с потерями в широкой трубе, соединенные в цепочку
А6
y/ rt
i?
+ х
jcaRL
zj
/*a — GJ/*aCa + /C0ma
corama
85
с
с
электрическая
Система
акустическая
(Продолжение табл. II 1.5.1)
Характеристика передачи
Ответвление в виде открытой трубки
Ы
LU Zz
J
кг
ftp (CD) =
1/га,
/coL ' Z3 Z±
Ответвление в виде трубки с закрытым объемом на конце
— + —
га, га3
Б2
1/г,
а2
/сота
/со/па
БЗ
CL
Ответвление в виде объема с открытой трубкой на конце
J/ IR L LR
/coL
1-CD2LC
/coma
СОо =
со
kp ((*)=--
/coma
aa
86
.в
с
электрическая
Система
акустическая
(Продолжение табл. II 1.5.1)
Характеристика передачи
Ответвление в виде закрытого объема
Б4
кин-
кинга,
етический импеданс трубы длиной
Аор/Р ,
tg«
pcJS
1— cojiD tg (co/c)//Dc)
1
l—cojtD
Таким образом, некорректированная передаточная функция имеет вид
со/
1
г
1+-
1 —
jiDco
_©/_
с
В табл. II 1.5.1 (А1) показан пример, когда контуром является акустическая
масса. Частотная характеристика К- имеет вид спадающей кривой. Последова-
тельное введение инерционного сопротивления осуществляется при введении
в канал трубы диафрагмы с отрезком трубы диаметром d и длиной /. Формула
акустической массы записана с учетом влияния на концах трубки.
Последовательное включение акустической гибкости осуществлено с помощью
упругой мембраны или тонкой пластины, перекрывающей трубопровод (А2). Если
известна механическая гибкость мембраны, то ее акустическая гибкость получа-
получается при умножении механической гибкости на квадрат площади мембраны. Под-
Подключение последовательного гибкого контура дает возрастающую характеристику
коэффициента передачи.
В A3 и А4 приведены примеры последовательных корректирующих устройств,
состоящих из последовательного и параллельного соединения гибкости и акусти-
акустической массы. В первом случае коэффициент передачи имеет максимум, во втором
минимум. Экстремальные значения коэффициента передачи возникают на резо-
резонансной частоте корректирующего контура. Активное сопротивление, подключен-
подключенное к корректирующему устройству (А5 и А6), сглаживает частотную характе-
характеристику.
Акустическая масса (табл. II 1.5.1), включенная параллельно импедансу на-
нагрузки, выполняется в виде открытого отверстия в трубе или патрубка. В этом
87
случае характеристика коэффициента передачи Кр представляет собой возрастаю-
возрастающую плавную кривую (Б1). Параллельно включенная гибкость (Б4) выражается
в форме утолщения канала трубы или дополнительной плоскости, сообщающейся
с каналом трубы. В этом случае реализуется спадающая частотная характеристика.
Параллельная (Б2) и последовательная (БЗ) комбинации в параллельном коррек-
корректирующем устройстве дают характеристику с максимумом (Б2) и минимумом (БЗ).
Экстремум характеристики в обоих случаях приходится на резонансную ча-
частоту корректирующего контура. Введение сопротивления в корректирующий
контур вызывает сглаживание частотной характеристики.
Формулы простейших корректирующих контуров, приведенные в табл. II 1.5.1,
позволяют найти амплитудные характеристики давления и объемной скорости на
выходе акустического устройства.
§ Ш.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, МЕХАНИЧЕСКИЕ
И АКУСТИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
Во многих технических устройствах необходимо подавить одни
частоты и выделить другие. Устройства, назначение которых состоит
в том, чтобы пропускать желательный диапазон и задерживать ко-
колебания нежелательных частот, называют фильтрами. В зависимости
от природы колебательного процесса фильтры могут быть электри-
электрическими, механическими и акустическими. Наиболее развита теория
электрических фильтров, поэтому механические и акустические
фильтры удобно рассматривать как аналоги электрических фильтров.
Идеальные электрические фильтры, т. е. фильтры, не вносящие
потерь, состоят только из реактивных сопротивлений-реактансов. Их
типичная схема представляет определенное включение параллельного
и последовательного корректирующих контуров. Иначе говоря, П-
или Т-образная цепочка, включенная в линию, обладает свойством
пропускать тот или иной диапазон частот (рис. III.6.1).
d
a)
Рис. III.6.1 Рис. Ш.6.2
В теории электрических фильтров показано, что П-образная
цепочка способна пропускать те или иные частоты, если отношение
последовательного и параллельного импедансов удовлетворяет усло-
условию
В зависимости от вида реактансов фильтр способен пропускать
тот или иной диапазон частот. В этой связи возможны четыре типа
простейших фильтров: нижних частот (полоса пропускания 0 ^ со ^со2р),
верхних частот (оJр^со), полосовой (gl^^ со ^; со2) и режекторный
@ )
88
Основные свойства фильтра определяют характеристикой коэф-
коэффициента передачи и граничными частотами. Остановимся подробно
на примерах расчета граничных частот для простейших идеальных
фильтров. При этом будем пользоваться терминами электротехники.
Фильтры нижних частот. На рис. III.6.2, а приведены схема и
эквивалентное акустическое устройство фильтра нижних частот (б).
В фильтрах нижних частот импеданс Zx имеет индуктивный харак-
характер, а шунтирующий импеданс Z2 — емкостный. В простейшем фильтре
нижних частот Z^/coL, Z2=l/(/coC).
Используя условие, пропуская полосы частот (III.6.1), записан-
записанное для определения граничных частот в виде двух уравнений
Z1(co) = 0, Z1(<d) + 4Z2(<d) = 0, получаем:
Zjl (со) = /coL = 0, «! = 0,
^0 ^
В акустическом фильтре акустические масса и гибкость анало-
аналогичны индуктивности и емкости:
0,25jid) V
С =
Отсюда формула граничной частоты акустического фильтра ниж-
нижних частот имеет вид _
2l^s (Ш.6.2)
Граничная частота фильтра нижних частот тем меньше, чем
больше объем У.
Фильтры верхних частот. Если последовательный импеданс Z1
имеет емкостный характер, а шунтирующий Z2 — индуктивный, то
фильтр пропускает все верх- ,
ние частоты, начиная от не- ^
которой граничной. Если, на- —1|—«—1|
пример, Z1=1/(/cdC), Z2= С
= /coL, то уравнения гранич- у-/2 у-/2
ных частот записываются в |
виде:
со^оо, со2= 1/B УЩ. Рис. Ш.6.3
Электрическая схема фильтра верхних частот (рис. III.6.3, а)
содержит последовательно соединенные емкости С, шунтированные
индуктивностями L/2. Акустический аналог (рис. II 1.6.3, б) этой
схемы представляет собой трубу /, разделенную мембранами на
участки с ответвлениями 2,
Для акустического фильтра верхних частот акустические массу
и гибкость выражают формулами
89
где I, d, 5j —длина, диаметр, площадь поперечного сечения ответв-
ответвлений; см — механическая податливость мембран; S —площадь
мембраны.
Граничная частота для акустического фильтра верхних частот
определяется формулой
со2 = 1/2 >^>
где Si —площадь поперечного сечения ответвления.
Полосовой фильтр. Если в последовательной цепи находятся
последовательно соединенные индуктивность и емкость, а шунтирую-
шунтирующим элементом является индуктивность, то имеем фильтр, пропу-
пропускающий полосу частот от о^ до со2. Граничные частоты этой полосы
определяют из общих уравнений граничных частот, если принять
ZjL Z или Z2 = jL +
Для упрощения считаем, что индуктивность L и емкость С везде
одинаковы. Если шунтирование осуществлено индуктивностью, то
Z2 = /coL, а граничные частоты определяют формулами
При емкостном шунте Z2==l//coC полоса прозрачности фильтра
иная:
/? (IIL6-4)
Если шунтирование осуществить LC-контуром, т. е.
7 __ L2coL/(coC) ___
7 ___J
2"~ /coL+l/(/coC) ~ / [coL
то при Z1 = /(oZ>+1/(/соС) граничные частоты имеют значения
Акустические полосовые фильтры различных типов показаны на
рис. III.6.4.
Акустические импедансы zai и za2 для полосовых фильтров выра-
выражают следующими формулами:
(рис. III.6.4, а; ^ — акустическая податливость мембраны; mai и
Ша2 — акустические массы ответвлений; рис. III.6.4, б; cat — акусти-
акустическая податливость мембраны; саа — акустическая податливость объема
в ответвлении);
90
mo -1
(рис. III.6.4,e; ma2 и са2 — акустические масса и податливость ответ-
ответвления; cai — акустическая податливость мембраны).
Из уравнений га1(со) = 0, zai («) + 4га2 (со) = 0 находим граничные
частоты для этих фильтров:
Рис* П1-6-4
Режекторные фильтры. Если
составить цепочки, в которых по-
последовательный импеданс Zx пред-
ставляет собой LC-контур, а шун-
шунтирующий состоит из комбинации индуктивности и емкости, то полу-
получаем электрический фильтр, способный задерживать некоторую по-
полосу частот. Такие фильтры называют режекторными. На рис. II 1.6.5
представлены схемы режекторных электрических (а) и акустических
(б) фильтров, составленных из однородных элементов. На рис.
III.6.5, в показан общий вид акустического фильтра. В акустическом
фильтре саг и таг — акустические гибкость мембраны и масса трубки,
соединенные в узел; с&1 и тах — акустические гибкость объема и
масса ответвления, соединенные в цепочку.
Предельные частоты определяются уравнениями
(III.6.6)
z2(co2)
В этом случае последовательный z3l и шунтирующий акустиче-
акустические импедансы гаг выражаются формулами
_ /<wnai
2 ^ /fcomaa -
COCQ
! ,A11,6,7)
Первое из уравнений (Ш.6.6) с учетом (III.6.7) дает
эткуда со1 = (
Li
¦ = о,
т т т
Рис. Ш.6.5
Второе из уравнений (Ш.6.6) приводит к
[(со/cooJ—
4^-4 = 0,
где ©0 =
(IIL6.8)
Рис. Ш.6.6
Решая (II 1.6.8), получаем выражения для граничных частот
режекторного фильтра:
Vm-.ca — 16ma ca +Vm~a
4т_
a
1/*тя ся + 16тя с.
4тя
a
На рис, Ш.6.6 изображена типичная частотная характеристика
коэффициентов передачи этих фильтров.
92
ГЛАВА IV
КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В предыдущих главах были рассмотрены системы, в которых параметры масса
и упругость разделены. При достаточно высоких частотах каждый элемент объема
упругого тела проявляет как инерционные, так и упругие свойства и во время
колебаний обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. В этом
случае масса и упругость распределены по объему колебательной системы. Поэ-
Поэтому ее называют системой с распределенными параметрами. В каких же слу-
случаях можно допускать идеализацию о сосредоточенных параметрах, а в каких
она недопустима? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к известным из курса
физики представлениям о распространении упругих- возмущений. Если на какой-
либо участок поверхности упругого тела воздействовать гармонической силой,
то вызванная деформация будет распространяться в теле с некоторой конечной
скоростью, определяемой формулой
где ?э —эффективный коэффициент упругости; р —плотность среды.
Очевидно, что состояние упругого возмущения распространится на расстоя-
расстояние / за время
Допустим, что время т значительно меньше, чем период колебания Т = 2я/со.
Это значит, что за время т фаза колебаний практически не изменится. Пусть
свойства среды таковы, что фаза ускорения частиц совпадает с фазой вынужда-
вынуждающей силы, тогда система ведет себя в колебаниях как масса, а упругими свой-
свойствами ее можно пренебречь. Если окажется, что смещение совпадает по фазе
с вынуждающей силой, то система ведет себя как идеальная упругость, влияние
массы на характер вынужденных колебаний незначительно. В связи с этим для
изучения поведения системы на низких частотах ее можно условно разделить
по характеру колебаний на отдельные части. В одних частях колебания управ-
управляются массой, а в других — упругостью. Главным условием возможности такого
разделения является то, что линейные размеры отдельных частей системы во мно-
много раз меньше длины упругой волны.
Если линейные размеры тела сравнимы или больше длины волны, то время
распространения в нем упругих волн сравнимо с периодом колебаний или больше
него. В результате отражений волн от границ и их суперпозиции в теле уста-
установятся сложные колебания с определенным распределением фаз. В этом случае
упругое тело можно рассматривать как колебательную систему с распределен-
распределенными параметрами.
В зависимости от отношения к длине волны линейных размеров колебатель-
колебательных систем их условно можно разделить на одномерные струны, стержни, тонкие
трубы, двухмерные тонкие пластины и оболочки, мембраны и трехмерные замкну-
замкнутые достаточно протяженные объемы. В одномерных системах размеры по длине
значительно больше поперечных размеров и в то же время сравнимы с длиной
волны или больше нее.
§ IV.1. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Вывод уравнения струны. Наиболее простым примером одномер-
одномерной системы с распределенными параметрами является гибкая струна,
т. е. нить, сильно натянутая между неподвижными точками. Натя-
Натяжение предполагается настолько большим, что силы, вызывающие
изгиб струны, значительно меньше сил растяжения. Сила натяжения
струны может быть вычислена на основании закона Гука для одно-
93
родных деформаций растяжения:
где Е — модуль Юнга; Л/ —удлинение нити; / — длина; 5 —площадь
поперечного сечения нити. Предполагается, что }/~S/l <^1.
Исследуем малые поперечные колебания струны около положения
статического равновесия. Расположим систему координат так, что-
чтобы ось ОХ совместилась с положением равновесия струны. Тогда
каждую точку струны будем характеризовать координатой X, а состо-
состояние ее движения в момент времени ^ — смещением от положения
равновесия и(х, f). Для попереч-
Т(х+дх) ных колебаний вектор u (x, t) пер-
_ C^jp^H пендикулярен оси ОХ и может быть
*— '"^^-%лг- г/* \ представлен двумя проекциями:
иу(х, t) и uz(x, t). Допустим, что
на струну действуют поперечные
силы, лежащие в плоскости XOY.
Тогда uz(x, t) = 0 и движение
струны будет осуществляться толь-
р ту 1 1 ко в плоскости XOY.
Обозначим компоненту вектора
смещения в плоскости XOY через
у(х, t). Эта функция определяет профиль струны в каждый момент
времени. Выделим участок профиля х1^х<Сх2 (рис. IV.l. 1). Пусть
на этот участок струны действуют внешние силы, результирующая
х2
которых ^f(x)dx, а сила трения, пропорциональная скорости дви-
хл
жения, 1 г (х) у d* ' dx. Кроме того, к концам участка струны
приложены силы натяжения, направленные по касательным к про-
профилю струны в точках хг и х2, Т (хх) и Т (х2).
Составим уравнение динамического равновесия проекций сил по осям
X и Y:
#2 Х% Х2
Ту (*i) + Ту (х2) - J г (х) Щ^- dx + ^f (х) dx = J р (х) *у]? ° dx;
(IV. 1.1)
Здесь х и у обозначают направления проекции. Величины этих
проекций, как это следует из рис. IV. 1.1, определяют следующими
формулами:
Ту (хг) =» | Т (хг) | sin (Т, х) = — Т fa) sin аъ
^(^) = |T(^2)|sin(T, x) = T(x2):
Тх(хг) = |Т (хг) \cosax== — T(хг) cosax = — Т(хг) Vl-si
(IV. 1.2)
Тх (х%)«| Т (х%) | cos аг = Т {х%) cosа% = Т(х У
94
Для упрощения дальнейших выкладок введем следующее огра-
ограничение. Допустим, что любой из возможных профилей струны
достаточно гладок, т. е. углы а (х), образованные между направ-
направлениями касательной в любой точке профиля и оси ОХ, настолько
малы, что с определенной степенью точности можно считать
Тогда
Ту{ь)-ТаЫ=Т{ь)%^хГТ(хД%]х_х1. (IV. 1.4)
При х2-*х1 правая часть (IV. 1.4) стремится к выражению для
поперечной составляющей силы натяжения, действующей на точку
струны с координатой х:
Для конечного отрезка х1^х^х2 составляющая силы натяже-
натяжения по оси Y выразится интегралом
Щ!]. (iv.i.6)
В рамках приближения (IV. 1.3) система уравнений (IV. 1.1)
имеет вид
f {
Если смещения частиц настолько малы, что (ду/дхJ<^1, то
из второго уравнения (IV. 1.7) следует, что натяжение струны посто-
постоянно для всех точек:
Т(х1) = Т(х2) = Т. (IV. 1.8)
Подынтегральная функция в первом уравнении должна быть
тождественно равна нулю, в противном случае найдутся такие значе-
значения х1 и х2, для которых равенство (IV. 1.7) будет невозможным.
Приравнивая к нулю (IV.1.7), получим дифференциальное уравнение
малых колебаний струны:
pS+'!-rg-/<*.Q. (iv. 1.9)
Для свободных колебаний [f(xt t) = 0 при г = 0] дифференциаль-
дифференциальное уравнение струны имеет вид волнового уравнения:
95
Уравнение (IV. 1.9) содержит вторые производные по координате х
и времени t. Поэтому для решения задачи о движении струны необхо-
необходимо иметь два начальных и два граничных условия. В качестве
начальных условий задают профиль струны и скорость его движения
в начальный момент времени:
? = Ф(*)
Граничные условия определяют законом движения концов струны:
у(х, t){x = 0 = y0(t)\ y(x, t)lx = i=yi(t). (IV. 1.12)
Они могут быть заданы также в форме импедансов границ струны:
Ь kbrZi{t)- (IV-U3)
Эта форма записи граничных условий особенно удобна для дей-
действия периодической силы F = Foe/u)/, приложенной к одной из гра-
границ струны.
Решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего
решения уравнения и частного решения уравнения с правой частью.
Известно, что волновое уравнение принадлежит к уравнениям гиперболичес-
гиперболического типа и может быть решено как методом Даламбера, так и методом Фурье.
Оба метода приводят к одинаковым результатам. Однако одни задачи проще
решать первым методом, другие — вторым. Поэтому полезно ознакомиться как
с тем, так и с другим методом.
К дифференциальному уравнению струны приводятся многие задачи матема-
математической физики. В таких случаях можно пользоваться методом аналогий —зная
решение одной задачи, можно записать решение задачи, относящейся к другой
области, но соответствующей одним и тем же дифференциальным уравнениям,
аналогичным граничным и начальным условиям. К подобному типу относят задачи
о распространении упругого импульса в трубах и стержнях, электрического
напряжения в двухпроводной длинной линии, плоских волн в свободном про-
пространстве.
Решение волнового уравнения методом Даламбера. Найти функцию # = (#, /),
непрерывную и имеющую непрерывные производные в области 0 ^ t ^ оо, — оо <;
<я< + оо и удовлетворяющую дифференциальному уравнению (IV.1.10) при
следующих начальных и граничных условиях:
y(t, x)lt = Q f() ()|^0 ФЙ
y(t, x)]x==0 = y0(t) y(t, x) = y(t) ( • • 4)
Для решения волнового уравнения введем новые переменные:
В этом случае операции дифференцирования выражают формулами
дх* ~ \Д дх + дц дх) '
В результате преобразований получим уравнение в виде
96
Интегрирование по переменной ц дает
После повторного интегрирования по переменной | найдем искомую функцию:
I
Обозначим первое слагаемое как /i(?), а второе как /2 (ц) и> возвращаясь
к исходным переменным, запишем решение волнового уравнения в виде
Для определения функций fx и /2 воспользуемся начальными условиями
(IV. 1.14). Применяя их к решению (IV. 1.15), получим систему уравнений
Интегрируя второе из уравнений (IV. 1.16), получим
X
Положив # = 0, найдем выражение для постоянной D:
Пусть D = 0. Тогда /2 @) — ft @) = 0. В итоге сумма и разность функций^
и /2 связаны с начальными условиями уравнениями:
х
— l f
0
Решения этой системы:
Подставим эти решения в формулу (IV. 1.15) и приведем к виду
x + ct
У{*> t) = ~[f{x-cf) + f(x + ct)\ + ~
Допустим, что в начальный момент времени скорость ф(#) = 0, а смещение
=/(х). Тогда решение (IV. 1.17) следующее:
Рассмотрим физический смысл первого из слагаемых (IV. 1.18). Если считать,
что у, х, / — координаты прямоугольной системы, то у = у(х, /) —уравнение
поверхности в пространстве. Ордината этой поверхности представляет смещение
точки струны с координатой х в момент времени t. Форма струны определяется
4 Л. Ф. Лепендин 97
полностью для момента t=t0 уравнением у = у(х> tQ). Геометрически это кривая,
полученная в результате пересечения плоскости t — t0 и поверхности у = у(х, t).
Для установления закона движения точки струны (х = х0) необходимо пере-
пересечь поверхность у(х, t) плоскостью х = х0. Допустим, что x = d. В плоскости
XOt построим прямую x — ct~d. Очевидно, y*=f(x — ct)/2 = f(d)/2, т. е. поверх-
поверхность у—у{х, t) имеет одну и ту же ординату у для всех точек, лежащих
в плоскости Xt на прямой x = ct + d, а именно такую, какую она имела для зна-
значения времени / = 0. Это значит, что если в начальный момент времени для точки
струны с координатой x — d смещение y=z-^-f(d), то и в последующие моменты
времени (t^>0) такое же смещение будет для тех точек струны, координаты кото-
которых удовлетворяют уравнению x~d-\-d. Смещение точек струны не остается
на месте, а распространяется со скоростью с=УТ/р в сторону -\-Х.
Точно так же можно показать, что второе слагаемое у(х, t) — f2(x + cf)/2
представляет собой смещение точек, распространяющихся в сторону —X со ско-
скоростью с=У'Т/р.
Подобный анализ можно провести значительно проще. Допустим, что в неко-
некоторый начальный момент времени ^=0 возникло возмущение, форма которого
задана функцией
у = а при —6/2 < х < 6/2,
Г — оо<#< — 6/2,
V-0 при [_г
причем в интервале — 6/2^*^6/2
/10 ==: /1 (Я — СЧ :==1 /1 (^о) > /20 == /
t = 0 t = U
X = Xq X = Хо
Что произойдет с этим возмущением к моменту времени т? Очевидно, вели-
величина и форма импульса не изменятся. Они заданы начальными условиями, т. е.
в момент времени / = 0. Поэтому в силу однозначности функций fx(x — ct) и
h(x~\-ct) их аргументы окажутся также неизменными, равными начальным значе-
значениям: х ± ct>t = Q=XQ.
Отсюда следует, что к моменту времени т координаты Xi и х2, для которых
функции Д и /2 имеют значения /10 и /20, определятся уравнениями
— cT = x0, т. е. ^ =
= х0, т. е. х2 = х0~~
Это значит, что импульс /10 переместится на расстояние сх в сторону поло-
положительных значений координаты X, а импульс /20 — на то же расстояние, но
в противоположную сторону. Скорости перемещения этих импульсов одинаковы
и равны с = 1/Г77р.
Решение волнового уравнения методом Фурье. Предположим, что решение
волнового уравнения состоит из произведения двух функций X (х) и Т (t):
y=X(x)T(t). (IV. 1.19)
Подставим это решение в волновое уравнение (IV. 1.10) и получим
где с2 = Г/р.
Разделив полученное выражение на произведение X (х)Т (t), преобразуем его
к виду
1 d*X (х) _ 1 1 d*T (t)
X (х) dx* ~~ c*T @ d/a *
Так как левая часть этого равенства зависит только от координаты х, а пра-
правая—от времени /, то их можно приравнять к некоторой постоянной — к2:
X (X) rfX2 "" ' Т (О С*
т. е.
(IV. 1.20)
Иначе говоря, функции X (я) иГ (/) удовлетворяют линейным однородным
уравнениям второго порядка.
Частные решения второго и первого уравнений имеют вид:
Т (/) = Л' cos (со/—<р,), (IV. 1.21)
X (*) = В' cos (Ь- <р*), (IV. 1.22)
где k = (u/c — волновое число, (o = kc—круговая частота.
Наконец, частное решение волнового уравнения определяется произведением:
у = X (х) Т (/) = A'Bf cos (kx — ф*) cos (со/ — ф,) =
= cos (kx — цх) [В cos со/+С sin со/]. (IV. 1.23)
Для определения четырех постоянных интегрирования k, yXi А и В восполь-
воспользуемся граничными (IV. 1.12) и начальными (IV.1.11) условиями. Пусть струна
закреплена на концах. Тогда первое граничное условие у (х, t)^Xs=s0==0f приме-
примененное к решению (IV. 1.23), приводит для произвольного времени / к уравнению
cos (— фд) — 0. Отсюда следует, что (рх—Bпг-{-1) я/2, и решение принимает вид
у = sin kx (В cos cot + C sin со/). (IV. 1.24)
Применяя к (IV.1.24) второе граничное условие у (х, /)jjf:==/ —0, получим для
любого времени / уравнение sin&/ = 0, из которого следуют допустимые значения
волновых чисел
^=4' (ПМ-25)
где /л=1, 2, 3, ...
Так как k = со/с, то из (IV. 1.25) находим допустимые значения круговых
частот:
com = jxmc//. (IV. 1.26)
Таким образом, частные решения волнового уравнения струны с закреплен-
закрепленными концами имеют вид
Ут (х> 0 = sin (я/и*//) [Вт cos (nmct/t) + Cm sin (лтсЦ1)]> (IV. 1.27)
где т=1, 2, 3, .,.
Этот результат показывает, что струна с закрепленными концами может
иметь только те частоты колебаний которые кратны основной частоте, и только
те волновые числа, которые кратны основному волновому числу:
km = mki> (IV. 1.28)
где С01 = яс//; ^ — к/l; т=1, 2, 3, ...
Общим решением волнового уравнения струны является сумма всех его част-
ных решений (IV. 1.27):
оо
У. тя /„ тле . . „ . тле
^ sin-j-^(^Cos^+Csm
т==1
4* 99
где урт (х) обозначает четное множество функций:
i /ч • тп 1 о о
\|?m (#) = sin -j—x. m=l, 2, 3, ...
(фундаментальных функций колебаний струны). Отметим что они обладают свой-
свойством ортогональности:
Г , м , .. , f . тп . пп , Г 0 при тфп;
\ ^т (х) Уп (х) dx = \ sin — х sin -г х dx = \
J j I I { 1/2 при m = n.
Постоянные Вт и Ст в общем решении (IV.I.29) определим из начальных
условий:
(IV. 1.28')
Здесь /(я) и ф (х) — заданные функции координаты х, непрерывные и имеющие
в области 0 ^ х ^ / кусочно-непрерывную производную. Чтобы воспользоваться
вторым из начальных условий, пользуясь общим решением (IV.1.29), найдем вы-
выражение для скорости движения частиц струны:
дУ- —
I
и подставим в (IV. 1.29) и (IV.1.30) вместо текущего времени t его начальное зна-
значение / = 0. Тогда согласно начальным условиям (IV. 1.28') получим:
00
Умножим правые и левые части равенств (IV. 1.31) на tym(x)dx и выполним
операцию интегрирования в пределах от 0 до /:
Pn(x)dx=* 2j ~Г"С'
т — \
Согласно свойству ортогональности, все слагаемые сумм правых частей ра-
равенств с тфп равны нулю, а слагаемые, имеющие т = м, получат значения
Вт1/2 и Стткс/2:
i i
/ С ткс
2"- *^/я> 1 ф \Х) Ym \Х) ®Х z==L'ffi jz .
J ^
О
Отсюда следуют общие формулы для вычисления коэффициентов Вт и Ст:
l i
. ч . тпс t о о
причем у\">т (х) = sin —т— х; т — \, 1г 3, ...
100
Амплитуда колебаний, соответствующая частоте
формулой
JU J / (х) «ж (х) dx\
г = mncjU выражается
11/2
УЛ Ф W
где /(х) и ф (х) — кусочно-непрерывные и дважды дифференцируемые функции.
В зависимости от вида начальных функций / (х) и ф (х) в струне будет реа-
лизовываться определенное распределение значений Вт и Ст. Так, например, если
струна возбуждается посередине щипком, то скорость в начальный момент вре-
времени для всех точек струны равна нулю, т. е. ф(;с) = О. Если подставить
е (IV, 1.32) это значение начальной скорости, то получим Cw = 0.
Рис. IV.1.2
Таким образом, согласно (IV. 1.32) колебания струны определяются членами,
содержащими только четные периодические функции времени:
тп тле ,„
~rxcos~Т~
причем будут реализоваться только те частоты, которые отвечают нечетным зна-
значениям номера частоты (рис. IV. 1.2, а).
Если начальные условия соответствуют удару посередине струны, то началь-
начальные смещения частиц струны будут равны нулю, поэтому все коэффициенты Вт
обращаются в нули. В решении останутся только члены с коэффициентами Ст:
2. тп „ тпе .
sin — хСт sin -j- t,
причем реализоваться будут только такие частоты, которые соответствуют четным
значениям т (рис. IV. 1.2, б).
Пример. Пусть струна возбуждается щипком в средней части, В этом слу-
случае начальными условиями будут
2hx/l при
— x)jl при
Этот случай соответствует тому, что коэффициенты Ст ряда Фурье равны
нулю. Для вычисления коэффициентов Вт разобьем предел интегрирования на
101
две части —от 0 до 1/2 и от //2 до /:
1/2 I
D 2 f 2A . тя , . 2 f 2Л „ , . тп .
/>w = 7" \ Т * sm "Г" * ^* + Т 1 -г* (* — *) sm —г- х ах~
8hm
3T2'
8h
=
S2 = 0
sin
"
1/2
m=l, 2, 3, ...;
8h n л „ 8/i
т. е. четные гармоники исчезают, а амплитуды нечетных гармоник уменьшаются
обратно пропорционально квадрату нечетных чисел.
Энергия колебаний струны состоит из кинетической и потенци-
потенциальной. Для вычисления кинетической энергии допустим, что линей-
линейная плотность струны р. Тогда масса элемента длиной dl равна
dm = pdl. Если скорость этого элемента длины dy/dt, то его кинети-
кинетическая энергия
^к = ^(|). (IV. 1.33)
Полная кинетическая энергия
с Р_^/%\2 С ±
к } 2 \0f/ J 2
Потенциальная энергия элемента струны составляет ту работу,
которую надо затратить для придания элементу dl данной формы
в том месте, где находится элемент. Для вычисления этой работы
введем безразмерную величину у, так что промежуточное смещение
элемента равно у'= уу, где у — коэффициент формы, изменяющейся
от 0 до 1. Сила, против которой производится работа при измене-
изменении формы струны в данном месте, равна проекции сил натяжения
на ось Y:
Подставляя в (IV. 1.35) значение промежуточного смещения у' =
= уу, получаем
Элементарная работа при изменении смещения на Ьу'=уЬу
d{dWn) = dFyby'~-
а работа при полном смещении
102
Так как работа равна изменению энергии, то потенциальная энер-
энергия всей струны
^y^ (IV. 1.36)
Интегрируя (IV. 1.36) по частям, получаем
Полная энергия струны, равная сумме кинетической и потенци-
потенциальной энергий, выразится в виде
Подставляя в (IV. 1.38) выражения для у в виде ряда
т= 1
получаем
r=2 ^«=2 if (-ту л- • (iv.i.39)
m=l m=l|_ * J
где W = plain Am — энергия колебаний осциллятора, имеющего массу
р//2 и колеблющегося с частотой сот и амплитудой Ат\ т = 1, 2, 3,...;
шт = тяс//.
Формула (IV. 1.39) дает следующий закон энергии колебания
струны: энергия колебаний струны равна сумме энергий осциллято-
осцилляторов с массами, равными половине массы струны, и частотами, рав-
равными собственным частотам струны.
Энергия Wmi приходящаяся на каждую гармоническую состав-
составляющую колебаний, пропорциональна квадрату частоты и квадрату
амплитуды. Так как с ростом номера гармоники амплитуда умень-
уменьшается, как 1/т2, а частота растет, как т, то энергия, приходя-
приходящаяся на m-й обертон, обратно пропорциональна номеру гармоники
в квадрате.
Колебания струны с учетом сил трения. Если силами сопротив-
сопротивления движению струны пренебречь нельзя, то в волновом уравне-
уравнении необходимо учитывать член, пропорциональный скорости dy/dt.
В этом случае волновое уравнение имеет вид
Граничные и начальные условия останутся прежними. Решение
данного уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
X (х) и T(t). Путем прямой подстановки легко показать, чтафунк-
103
ция X (х) удовлетворяет уравнению гармонических колебаний,
а функция Т (t) — уравнению затухающих колебаний с коэффициен-
коэффициентом затухания 6 = г/Bр). В результате использования начальных и
граничных условий можно получить общее решение в виде
оо
^^ 1 • /71JL у |гч| j | *^ • 7\ / 1 \ 7 Л А Г\\
т= 1
где Вт и Ст — амплитуды затухающих колебаний: Вт = Вте~'6т\
Ст = Сте т\ от = ц; о)т =
Энергия колебаний струны с учетом сопротивления потерь опре-
определяется формулой (IV. 1.39), где в качестве амплитуды Ат следует
иметь в виду амплитуду затухающих колебаний, т. е. энергия коле-
колебаний струны с учетом сил трения убывает со временем по экспо-
экспоненциальному закону.
Формы колебаний струны и способ возбуждения свободных коле-
колебаний. В заключение остановимся на физическом истолковании полу-
полученных результатов.
Функция ут(х, t) может быть записана в виде
Отсюда следует, что каждая точка струны совершает затухающие
колебания (IV. 1.41) с амплитудами Лте~~ 1г^/2р]/
и часто-
ТаМИ б)т = У (От —
Волновой процесс, описываемый функцией (IV. 1.41), называют
стоячей волной. Вся струна при наличии стоячих волн m-го порядка
разделена на отрезки равной длины неподвижными точками (узлами).
Координаты узлов определяются корнями уравнения
и имеют значения
х =— /• п = 123 т—\
(т—1— число узловых точек).
Между узлами расположены точки с наибольшей амплитудой ко-
колебаний—пучности. Координаты пучностей соответствуют числам
(т — число пучностей).
Каждой собственной частоте сот отвечает своя форма колебаний.
При этом звучание струны воспринимается как чистый тон. Высота
тона тем больше, чем больше частота.
104
Струна, возбуждаемая тем или иным способом, колеблется, имея
определенный набор собственных частот. Наибольшая энергия коле-
колебаний струны соответствует основной частоте. Энергия высших ча-
частот тем меньше, чем больше номер частоты. В соответствии с этим
струна излучает звук, характеризуемый основным тоном и оберто-
обертонами. Одновременное наложение близких частот воспринимается как
биение звука. Обертоны создают тональную окраску основного тона —
тембр, характерный для звучания того или иного струнного музы-
музыкального инструмента.
Способ возбуждения струны сообщает струнному музыкальному
инструменту специфику звучания. Так, например, при возбуждении
струны щипком энергия m-й гармоники обратно пропорциональна
квадрату номера гармоники.
Если струна возбуждается ударом в точке 1г с импульсом /С, то
смещение определится формулой (без учета затухания)
оо
л 2/С V 1 • tnzux • тпх . тле,
Ъ 1 5Ш8Ш Sln '
т 5ШГ8Ш Sln — '•
т = 1
а энергия, приходящаяся на отдельную гармонику, выразится соот-
соотношением
т. е. энергии различных гармоник, для которых интервал длины
струны ударом меньше, чем расстояние между узлами, будут незна-
незначительно различаться между собой. В результате этого тон струны
будет насыщен обертонами. В этом легко убедиться, если струну
монохорда возбудить ударом лезвия ножа.
Если струна возбуждается ударом в точке х = 1г плоским жест-
жестким молоточком шириной 2&, то колебания определятся функцией
m= 1
а энергия отдельной гармоники — формулой
ln /
При ударе струны выпуклым молоточком шириной 26 в центре
интервала xi — b<Cx<ix1-{-b удар сообщает струне большую скорость,
чем в крайних точках этого интервала; начальная скорость может
быть представлена функцией
1 ] при х — 11<Ь,
при a: — lx>b.
105
Решение волнового уравнения струны, удовлетворяющее началь-
начальному условию (IV. 1.42), имеет вид
mnb .
**"' л will
В этом случае энергия колебаний струны состоит из суммы энер-
энергий, соответствующих отдельным гармоническим составляющим коле-
колебаний струны: W = ]?Wm, причем
(тлЬ \ . 2 fna
\ / Уьш \ I
Если струна возбуждается не идеально жестким молоточком, то
колебания определяются не начальной скоростью, а силой, изменяю-
изменяющейся во времени. Это соответствует тому, что задано волновое урав-
уравнение с правой частью
-^sin^.* при
О при
Решение этого уравнения представляется в виде
л COS—т—COS-~-Sin—j-^-
^pT т [\-{2тЬЦу\ [\-{т1^ттЦУ\ Slfl ~ Sln ®m \l~l'
m= I
Приведенные примеры показывают, что характер удара оказывает
значительное влияние на энергию высоких тонов струны. Присут-
Присутствие множителя sin (mnljl) показывает, что m-я гармоника
не возбуждается, если центр удара приходится на один из ее
узлов.
Характер звучания имеет неприятный оттенок, если наряду с ос-
основным тоном возбуждаются обертоны высоких частот. При этом
возникают низкочастотные резонансные тоны, вызывающие биения
звука. Число этих биений в единицу времени достаточно велико, и
одновременное сочетание звуков создает ощущение неполной согла-
согласованности. Другими словами, наступает диссонанс; обычно это воз-
возникает, когда возбуждаются 7-я, 8-я гармоники и более высокие.
Наличие нижних обертонов вызывает ощущение приятной полноты
звучания. Поэтому чтобы уменьшить, например, в рояле влияние
высоких обертонов, располагают молоточки так, чтобы их удары
приходились в районе 7-го и 8-го обертонов, а чтобы увеличить
энергию нижних обертонов, подбирают соответствующим образом
ширину и жесткость каждого молоточка.
106
§ IV.2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Пусть на струну действует вынуждающая поперечная сила F(x, t).
Тогда на элемент струны Дх действует сила
, , ,ч dF (x, t)
где М*, t) = дх -
Колебания струны под действием гармонической силы. Рассмот-
Рассмотрим сначала решение неоднородного дифференциального уравнения,
описывающего колебание струны (IV. 1.9), когда функция fx(x, t)
имеет гармоническую зависимость от времени:
В этом случае уравнение (IV. 1.9) преобразуется:
где 6 = /7Bр) — коэффициент затухания колебаний струны; с0 = ]/Т/р—
фазовая скорость распространения изгибных волн в струне; / (х) =
= fiix)/p — ускорение, получаемое массой элемента струны длиной
dx/dm = pdx, когда на нее действует сила dF (x)=f(x) dx.
Допустим, что струна закреплена на концах. Это соответствует
граничным условиям
y{0,t)=y(l, 0 = 0. (IV.2.2)
Решение уравнения (IV.2.1) будем искать в виде суммы:
У(х, t) = yx(x, t) + y2(x, t)9 (IV.2.3)
где у (х, t) — общее решение однородного уравнения
{)y (IV.г А)
а Уъ(х> 0~"частное решение уравнения (IV.2.1).
Общее решение этого уравнения имеет характер затухающих коле-
колебаний:
с»
Ух (х> 0 = 2 е" V i|>m (х) Ат cos (amt - Фт), (IV.2.5)
т = 1
где 8т = гт/Bр) — коэффициент затухания колебаний с частотой сот =
=Jmnc/l\ tym (x) — фундаментальные функции струны; Ат — амплитуда
колебаний; фт —фаза этих колебаний.
Установившиеся колебания. Если время действия внешней силы
значительно больше, чем время затухания основного тона /^>т = 1/6,
то к моменту времени / собственные колебания прекратятся и оста-
останутся только вынужденные. Частота вынужденных колебаний при
этом равна частоте вынуждающей силы, а амплитуда колебаний от-
107
дельных точек струны зависит от амплитуды силы. Эту зависимость
можно найти, решив уравнение струны с правой частью (IV.2.1).
Для получения этого решения заметим, что смещение должно зави-
зависеть от времени по гармоническому закону с частотой вынуждающей
силы
(IV.2.6)
После подстановки функции у2(х, t) из (IV.2.6) в дифференциаль-
дифференциальное уравнение с правой частью получим уравнение для определения
функции
^О. (IV.2.7)
Решение уравнения (IV.2.7) будем искать в виде ряда Фурье
по фундаментальным функциям колебаний струны. С этой целью
подставим в это уравнение у (х) и / (х) в форме рядов Фурье:
УМ= S Уп$т(х)> f(x)= S /ЖМ. (IV.2.8)
т— 1 т= \
где tym (x) = sin ^j x\ fm — коэффициенты ряда Фурье, равные
i
о
В результате несложных преобразований получим
Уравнение (IV.2.10) может выполняться для любых значений
координаты O^x^lj для которых sin (mnx/l) Ф 0. Отсюда следует,
что для любого целого т выполняется равенство нулю выражений,
заключенных в фигурные скобки, т. е.
где m= 1, 2, 3, ...
В этих уравнениях fm определены^ если задана в явном виде си-
силовая функция f(x). Поэтому их можно рассматривать как уравне-
уравнения для коэффициентов разложения у (х) по фундаментальным функ-
функциям:
Таким образом, искомая функция у (х) представляется в виде ряда:
= 2
m-W/A* + /26co sinX
m== 1
108
I.
где fm = у \ / (§) sin — 5 dg; —— = co^ — квадрат круговой частоты
m-й моды колебаний.
Смещение участка струны с координатой х при установившихся
колебаниях определяют гармонической функцией частоты со вынуж-
вынуждающей силы. Амплитуда смещения зависит от соотношения частот
сот и со величины fm и координаты х:
, t) = \ / —9 ot o& sin -7- x cos cot. (IV.2.14)
\ i^ CO:L— CD2-f-/20CD / / v 7
Vrc = 1 /
Если частота вынуждающей силы совпадает с частотой одного
из обертонов (о)==соЛ), то из всех слагаемых суммы (IV.2.14) наиболь-
наибольшее значение амплитуды имеет слагаемое с т = п:
у(х, t)= -M^ sin у- х cos со? + слагаемые второго порядка. (IV.2.15)
Скорость смещения при вынужденных колебаниях струны выра-
выражается рядом
'm= 1
где zm — комплексное механическое сопротивление, приходящееся
на т~ю форму колебаний:
о /л com тле * /со com \ /(o/i т2зт2\
Здесь Qm = sg = 2^;-Добротность; ут = (__-^] = _-A _— J_
частотная постоянная моды колебаний струны; /ш определяется дей-
действующей силой ^-^- = f(x):
f« = у J / W sin -y- dx = ^ J Д (x) sin ~j- dx =
о о
1 f . M . mnx i лл
== ту V /i (*) sin -у— ах; /И — половина массы струны.
Допустим, сила fx{x) задана в точке f1{x)=f06(x — x0), причем
0 при х-фх^
1 при х = х0.
Тогда интеграл силовой функции отличен от нуля в окрестности
точки приложения силы:
/ хо + Ал;
I /1(x)sin-pd;c = /o \ о (х — х0) sin —f-dx = fosm —j-1.
О «о — A*
109
Частные случаи. 1. Периодическая сила действует в окрестности точки с коор-
координатой х0:
H) f() ffi()
причем б (л: — лг0) — импульсная б-функция.
Заметим, что для о-функции выполняется соотношение
ь t 0 при х<а,
S/©e(E-x)rfE=j 1/2/(дс) при х=а,
а [ f(x) при а<х<Ь.
В этом случае
i
о о
Подставляя это выражение в (IV.2.16), получаем:
, А . тлх0 . тлх 2/0/(п/)
v ix' 1) -sm Т-sin "Г 26(iV/Qlv)cos
Шт — тяс° Р — тясоР , __ со/ тяс0
26 "" / г "" г/ ' Тт~тяс0 со/
Скорость на резонансной частоте максимальна по амплитуде и совпадает по
фазе с действующей силой:
B/р/) /о s*n (mnx/l) . тял: . 2 , . / /иял:о \ . тпх
х,- Орез^ 26 sin"Т~"cos 7ifosln (—Г/sin-"T"
2, Сила действует на участок струны
/iW=/o ПРИ
f2(x) = 0 при х<хх и
Тогда
sin —Т-2- dl = -Ц- —^— f — cos ¦
/о/ ттг
cos —7-i- - cos |"y- (xi + Ал:) J j =
ртд \
Ал:
Подставляя эту формулу в выражение для скорости колебаний, получаем
Ал: \ mnl
Если частота со совпадает с частотой сот, то Ym = w/a)m — com/co = 0 и нахо-
находим выражение для колебательной скорости при частоте резонанса:
4/о * . [ тл f , Ах \1 . тп
Урез (^» 0 ^ -g^- А^ sin [-у- f *i H—j" j J Sin "Г ^ C0S %
110
§ IV.3. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Наряду со струной в акустике широко используют и другие одно-
одномерные колебательные системы. К ним относят стержни, т. е. упру-
упругие тела удлиненной цилиндрической формы. Концы стержня обычно
ограничены плоскостями, перпендикулярными образующей; центры
инерции поперечных сечений расположены на прямой линии, назы-
называемой осью стержня.
Колебания стержней бывают трех видов: продольные, крутильные
и поперечные. Исследуем продольные колебания, т. е. колебания
стержней, когда ось неподвижна, а поперечные сечения, оставаясь
плоскими, колеблются вдоль оси. Не-
Необходимо заметить, что при растяже- w^ Пх+Ах)
нии стержня происходит уменьшение д /* * /^ '
его поперечных линейных размеров
и точки поперечных сечений факти- \
чески перемещаются не только вдоль <¦—
оси, но и радиально. Однако если
линейные размеры поперечных сече-
ний значительно меньше обще» дли- ис< 1У-0Л
ны стержня и стержень целиком под-
подвергается растяжению, то продольное перемещение сечений стерлйня
значительно больше, чем поперечно-радиальное перемещение частиц.
Таким образом, при низкочастотных продольных колебаниях длин-
длинных стержней поперечные движения частиц можно не учитывать.
Вывод дифференциального уравнения. Предположим, что прило-
приложенные к стержню силы направлены вдоль его оси. Обозначим
mi (х) — погонную плотность стержня, Е — модуль Юнга и S(x) —
площадь поперечного сечения. Будем характеризовать процесс про-
продольных колебаний функцией ?(*, /), представляющей в момент вре-
времени t смещение частиц стержня, имевших в положении равновесия
координату х. Выбранная здесь геометрическая переменная назы-
называется переменной Лагранжа.
Выделим поперечными сечениями Ах и Вх+Ах (рис. IV.3.1) малый
участок длины стер^кня и найдем относительно^ удлинение элемента
ху х + кх в момент времени t в переменных Лагранжа. Координаты
концов этого элемента в момент t имеют значения
(x, t), x + kx + l(x + /ix, t),
а относительное удлинение равно
Ал: дх
При 0 < б ^ 1.
Рассмотрим условие равновесия сил, действующих на элемент
стержня ху х + кх при его продольных колебаниях. Этими силами
могут быть:
1) силы продольной внешней нагрузки. Если обозначить предел
отношения внешней силы к элементу длины f(x), то продольная
ш
внешняя сила, действующая на элемент стержня длиной Дх, равна
Д/^/(х, t)Ax; (IV.3.1)
2) результирующая сил упругости со стороны частей стержня,
расположенных левее сечения Л, равная
AF (х, /) = — ?(*) S (х) Щ^х, (IV.3.2)
и со стороны частей стержня, расположенных правее сечения 5,
§ (IV.3.3)
где д' \ —относительная деформация за счет смещения сечения
ОХ \х
с координатой х\ ~Д- —то же, но для сечения с координатой
Таким образом, результирующая сил упругости равна
AF' = [Е(х) S (х) §1+Ля - [Е (х) S (х) §1 ¦ (IV.3.4)
3) силы трения, пропорциональные скорости |:
(IV.3.5)
где г (х) — механическое сопротивление единицы длины стержня.
Результирующая внешней силы, сил упругости и силы трения
приложена к центру инерции отрезка стержня длиной Дх, и согласно
второму закону динамики эти силы вызовут ускоренное движение
массы участка щкх, так что выполняется уравнение
(IV.3.6)
В результате перехода к пределу Ад;->0 получаем дифферен-
дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня:
f(x, t), (IV.3.7)
где Е и S могут быть функциями от х.
К этому уравнению необходимо добавить граничные и начальные
условия:
Ъ(х, 9|,=о = /о@. 6(*,*)!,-* = /,(/), (IV.3.8)
Ъ(х, О,/-о = /(*), Т^„=0 = ФМ- (IV.3.9)
Уравнение (IV.3.7) аналогично волновому уравнению струны. Поэтому методы
его решения могут быть применимы к данному случаю, а если окажется, что и
граничные условия аналогичны граничным условиям задачи о колебаниях струны,
то решение соответствующей задачи о колебаниях струны может быть полностью
использовано как решение задачи о колебаниях стержня.
112
В акустике наряду с обычными приемами решения краевых
задач о вынужденных колебаниях (см. § IV.2) широко используют
импедансные методы, особенно удобные, когда на колебательную
систему действуют внешние периодические силы, сосредоточенные
в заданном сечении, в частности на краях системы, В этом случае
задача о вынужденных колебаниях стержня в установившемся
режиме сводится к решению однородного дифференциального урав-
уравнения, т. е. волнового уравнения (IV.3.7) без правой части, когда
на одной из границ заданы скорость {¦* и сила Ft как функции от
времени:
Кроме того, заданы начальные условия:
F(x, t)[t=0= F0(x), l(x, /),,=<> = to (*)• (IV.3.10')
Часто вместо силы Fo (t) на границе задают механический импе-
импеданс на конце стержня в виде комплексной функции отношения
силы F0(t) к скорости to(*)» T- е- вместо второго граничного усло-
условия (IV.3.10) в задаче задан механический импеданс на конце стержня
В этом случае вместо волнового уравнения
при граничных условиях (IV.3.10) удобнее решать два дифферен-
дифференциальных уравнения относительно двух функций: скорости смеще-
смещения |(дс, t) и силы F(x, t).
Для получения этих уравнений обозначим выражение, содержа-
содержащееся в квадратных скобках (IV.3.12), как
-F(x, t) = E(x)S(xKL (IV.3.13)
и заметим, что эта функция представляет собой силу упругости,
действующую в плоскости сечения с координатой х, x-\-dx. Тогда
(IV.3.12) можно записать в виде дифференциального уравнения
в частных производных относительно функций F (x> t) и %(х9 /):
Для составления второго уравнения системы используем (IV.3.13),
определив из него д\/дх, представляющее собой относительное про-
продольное перемещение частиц стержня:
дх ~~ ESr ^' 1)'
ИЗ
Очевидно, что уравнение, представленное в данном виде, выра-
выражает закон Гука без учета остаточной деформации. Однако при опре-
определенных условиях необходимо учитывать небольшие отступления от
закона Гука, которые проявляются в гистерезисных свойствах мате-
материала: при уменьшении силы F(x, f) до нуля деформация дЦдх не
исчезает, а стремится к некоторому зна-
di/dx чению (д1/дхH, называемому остаточной
деформацией (рис. IV.3.2).
Для многих материалов остаточная де-
деформация является интегральной функцией
действия силы F (х, т) dx и может быть
вычислена по формулам
Рис. IV.3.2
, %)dx,
F(x9 t) dEo = ft (*)<**>
где q1 (x) dx — механическая проводимость элемента длины стержня.
С учетом возможной остаточной деформации уравнение для пол-
полного относительного удлинения стержня примет вид
дх Е (х) S (х)j
Продифференцируем это уравнение по времени / и получим вто-
второе уравнение колебаний относительно функций ?(*, t) и F (x9 f):
1
С О
дх ~ Е (х) S (х)
dt
у t).
(IV.3.15)
Вместе с граничными и начальными условиями задачи в форме
(IV.3.10), (IV.3.10') уравнения (IV.3.14) и (IV.3.15) достаточны для
нахождения силы и скорости в любой момент времени и в каждом
сечении стержня.
Заметим, что система уравнений (IV.3.14) и (IV.3.15) аналогична
системе уравнений относительно напряжения U и тока / длинной
линии передачи электрических колебаний:
(IV.3.16)
Отсюда следует, что если есть уверенность, что эта аналогия
сохраняется (а она сохраняется всегда для линейных колебаний), то
можно для расчета колебании стержня с подходящими граничными
условиями пользоваться методами расчета электрических колебаний
в линиях передачи.
114
Выше было показано, что для линейных систем электромеханиче-
электромеханические аналогии полностью сохраняются. При этом если принять пря-
прямую аналогию «напряжение —сила», то можно считать, что существует
прямая аналогия между величинами, показанными в табл. IV.3.1.
Таблица IV.3.1
Электрическая линия
Электрическое напряжение U
Электрический ток /
Самоиндукция единицы длины Lj
Электрическая емкость единицы дли-
длины линии Сх
Электрическое сопротивление единицы
длины линии #!
Проводимость изоляции единицы дли-
длины линии Gi
Стержни
Механическая сила F
Колебательная скорость |
Масса единицы длины т1
Гибкость единицы длины стержня Cf
Механическое сопротивление единицы
длины стержня гх
Механическая проводимость единицы
длины стержня, возникающая за счет
внутреннего трения qx
На .основании указанной системы аналогий можно составить экви-
эквивалентную схему длинной линии, используя в ней обозначения меха-
механических величин вместо
"соответствующих электри- mjux Г/"х
ческих (рис. IV.3.3). , р-, .—
В частном случае, ког- /г* ^хтГ1^х т1
да на один из концов \_
стержня действует сила,
изменяющаяся по гармони- Рис iv.3.3
ческому закону от времени,
в стержне установятся колебания, также подчиняющиеся гармониче-
гармоническому закону от времени, а именно: сила и скорость могут быть
выражены функциями:
F (х, f) = F (х) е/™, I (х, t) = 1 (х) е"",
где F (х) и I (x) — комплексные функции координаты.
В этом случае система уравнений в частных производных преоб-
преобразуется к системе обычных линейных дифференциальных уравнений
с переменными комплексными коэффициентами относительно комп-
комплексных функций действительного аргумента:
dF
(IV.3.17)
dx
1
Здесь m1 = S(x)p\ cx == Е , * ^; qx = qx(x)\ F(х) и g(x) —комплекс-
—комплексные функции, обозначающие амплитуды и фазы силы ^(л:) и скоро-
скорости смещения частиц i(x):
115
§ IV.4. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Пусть на однородный стержень постоянного сечения действует
сила, определяемая гармоническим законом. Требуется найти силу
F(x> t) и скорость |(х, t) в каждый момент времени для каждой
точки стержня, имеющей в положении равновесия координату х>
x-\-dx.
Как было показано выше, искомые функции будут гармоническими
функциями времени с комплексными амплитудами F (х) и 1(х).
Из второго уравнения системы (IV.3.15) найдем
F(x)=—. \ -jL (IV.4.1)
Подставляя это выражение в уравнение системы (IV.3.14), получим
*L - /со^ (гг + /com^I = О, (IV.4.2)
где c1 = c1(l+q1/((oc^j)). В частности, когда нет необходимости учи-
учитывать остаточную деформацию (<7i = 0), q — q.
Решение однородного дифференциального уравнения (IV.4.2) ищем
в форме
l = A(F* + Be-r*9 (IV.4.3)
где А и 5 —постоянные интегрирования; Г —постоянная распро-
распространения, равная
(IV.4.4)
Формулу (IV.4.4) можно упростить последовательным преобразо-
преобразованием:
Для выяснения физического смысла ^ = со]/гт1с1 и б=~1/ ~
z f trii
исследуем только частное решение, соответствующее В = 0;
Из двух знаков сохраним тот, который отвечает уменьшению
фазы с ростом х, т. е. нижний:
Если учесть, что g — амплитуда скорости гармонических колеба*
ний равна
|1^
то
или
I (x, t) = A€~bxcos (at - kx). (IV.4.5)
116
Уравнение (IV.4.5) представляет собой выражение волнового про-
процесса с убывающей амплитудой Ае~6х (б — постоянная затухания —
физическая величина, обратная расстоянию, для которого амплитуда
бегущей волны уменьшается в е раз).
Величину (dt — kx~q> называют фазой. Фаза изменяется с тече-
течением времени t и зависит от координаты х. Координаты постоянной
фазы (фронт волны) распространяются с фазовой скоростью
<* = ?. (IV.4.6)
Величину
k= ".-* = * (IV.4.7)
называют волновым числом. Постоянная затухания и волновое чис-
число определяют параметрами стержня по следующим формулам:
Отсюда фазовая скорость волн растяжения
Постоянную затухания б можно выразить через фазовую ско-
скорость: _
где rQ — сопротивление на единицу массы стержня.
Постоянные А и В можно определить из следующих краевых
условий при х = 0, ?@) = |н, FX^O = FH. Подставляя в решение
(IV.4.3) х = 0, получаем
Так как -^Ik-
где T/(j(uC1) = z0 —волновое сопротивление стержня.
Учитывая Г, с19 тг и гх, получаем для волнового сопротивления
стержня
z° j^i ~v ^rv !2^rJ>
или, если учесть значения тг и съ
где г0 = гг1(т — вязкое сопротивление единицы массы стержня;
с0 = У Е/р — фазовая скорость звука.
117
С учетом (IV.4.12) получаем из (IV.4.11) и (IV.4.1T) систему
уравнений для определения постоянных А и В:
Решая эти уравнения, находим:
-4-—^ В=— (к — ^\
Окончательное выражение для амплитуды скорости имеет вид
i()
Воспользовавшись гиперболическими функциями
формулу (IV.4.15) легко привести к виду
| (х) = %К ch (Гх) + (FH / z0) sh (Гх). (IV.4.16)
Точно так же можно получить формулу для распределения ампли-
амплитуд напряжения:
1^ % = Fh ch (Гх) + ^" Sh fr*)- (IV.4.17)
Зная распределение напряжений и скоростей вдоль стержня,
найдем механический импеданс в любом сечении стержня:
Tx)
Для удобства расчетов формулу (IV.4.18) приведем к виду
г> м =
где г; (х) = z (х) Iz0, zH' = ^н W / zo-
Для входного сопротивления надо положить х = 1:
OV.4.20)
JB-стержнях без потерь 6 = 0; так как thI7 = th/?/ = /tg?/, то
формула входного сопротивления имеет вид
где z'BX(x) = z
Примеры расчета колебаний стержней при различных нагрузках. Стержневые
системы употребляют в ультразвуковой технике в качестве, волноводов, т. е.
устройств, с помощью которых колебания электромеханического преобразователя
118
передаются в технологический объект. Это необходимо, когда физические свойства
среды не допускают непосредственного контакта с преобразователем.
Практически трудно бывает учесть характер нагрузки, поэтому приходится
принимать определенные допущения.
Рассмотрим основные предельные случаи нагрузки.
1. Стержень, нагруженный на нулевое сопротивление. Это значит, что
^н/?н = 0» Т- е. у рабочего конца напряжение равно нулю. Такой случай реали-
реализуется, когда конец стержня свободен. Конечно, в этом случае он не является
передаточным звеном. Изучение колебаний свободного стержня (гн = 0) интересно
только с точки зрения исследования свойств материала, из которого этот стер-
стержень выполнен. На основании (IV.4.21)
при г„ = О,(рис. IV.4.1)
*;x«/tg#. (IV.4.22) ^q 1 * Z6x
В этом случае входное сопротив-
сопротивление— мнимая величина. рис ту 4 1
Из курса электротехники известно,
что система попадает в резонанс напря-
напряжения, когда мнимая часть импеданса обращается в нуль. Поэтому условием
резонанса стержня будет равенство нулю мнимой части входного механического
сопротивления. Из (IV.4.22) следует tg?/ = O, от-
откуда
я
или
1
Г6х
km-Ът —
(IV.4.23)
i-~^m (m=l, 2, 3, ...).
В этом случае в длине стержня укладыва-
укладывается целое число полуволн. Для частот согласно
(IV.4.23) выполняются следующие соотношения:
com==mco1, щ*=*пс/1. (IV.4.24)
Эти формулы выражают допустимые волновые чис-
числа и собственные частоты. Когда т=1, имеем ос-
основную частоту. Другие значения т дают частоты
высших порядков. Формула (IV.4. 24) показывает,
что любая частота кратна основной:
©m=:m©i, со1 = лс//. (IV.4.25)
В случае резонанса свободного стержня импе-
дансы на его концах равны нулю. Это значит, что
равны нулю силы (FH = FBX = 0). Из этого видно, что
собственные колебания свободного стержня харак-
характерны тем, что напряжения на обоих краях стерж-
стержня образуют узлы, а скорости — пучности. Разли-
Различные моды колебаний стержня изображены на рис.
IV.4.2, причем положительные ординаты соответст-
соответствуют фазам сжатия, отрицательные —растяжения.
Если известно, что ненагруженный стержень имеет основной тон со и длину /,
то по этим величинам можно определить фазовую скорость звука в материале
стержня:
^=»SL, (IV.4.26)
В том случае, когда стержень имеет заметные потери, построив резонансную
кривую стержня, можно получить значение удельных потерь в нем по формулам:
б=="^"==2^' Q==^'
где соА —ширина резонансной кривой на уровне |/~2/2.
Рис. IV.4.2
119
Го=="Со=="Т" У "
(IV.4.27)
Таким образом, удельный коэффициент сопротивления стержня равен
р "
2. Стержень, нагруженный на неподвижную абсолютно жесткую опору. В этом
случае амплитуда колебательной скорости у нагруженного конца равна нулю,
а напряжение отлично от нуля.
Поэтому приведенное сопротивление нагрузки
^н^00- (IV.4.28)
Подставляя это значение в формулу для входного сопротивления (IV.4.28),
получаем входное сопротивление стержня, нагруженного на неподвижную абсо-
абсолютно жесткую опору:
Кх^ — /ctg#. (IV.4.29)
Таким образом, в данном случае это сопротивление имеет также чисто реак-
реактивный характер. Поэтому при резонансе оно полностью должно обращаться
в нуль:
1 fnv Л
gz=<
т. е. FBX = 0. Это значит, что напряжение на входе равно нулю, т. е. у входа
реализуется узел напряжений. Напряжение у нагрузки по (IV.4.29) не равно
нулю, т. е. у нагрузки образуется пучность
напряжения (рис. IV.4.3).
Для определения собственных частот
надо решить уравнение
= 0. (IV.4.30)
(IV.4.31)
Очевидно, kml = Bm-{-\) к/2, или
W
или
Рис. IV.4.3
¦ = -j-Bm+l) (m = 0, I, 2, ...).
(IV.4.32)
Иначе говоря, когда стержень нагружен на бесконечно большое сопротивле-
сопротивление, при резонансных частотах на длине стержня укладывается нечетное число
четвертей волны. Типичным примером такого случая является четвертьволновый
стакан, используемый для крепления колеблющихся стержней.
3. Стержень, нагруженный на массу. Результаты этого примера могут быть
использованы для вычисления поправки к собственной частоте стержня, к кото-
которому присоединены накладки.
Допустим, что к концу стержня припаяна накладка, масса которой т
(рис. IV.4.4 а). Эта масса эквивалентна инерционной нагрузке zH = /a)/n. Таким
образом, приведенное сопротивление нагрузки
«-¦?¦¦ <""•*»
Входное сопротивление данного стержня определяют по формуле
com
у' -—
вх
jtgkl
l-^Srtga
или
? =
com + pc0S tg kl
» — com tg kl
(IV.4.34)
120
Как и в предыдущих случаях, входное сопротивление чисто реактивно и при
резонансе обращается в нуль. Это значит, что напряжение у входа равно нулю
(рис. IV.4.4, б), т. е. образуется узел механического напряжения, а скорость
образует пучность (рис. IV.4.4, в).
Резонансные частоты определяют из урав-
нения
т. е.
com
P^S"
(IV.4.35)
Так как & = со/со, то уравнение (IV.4.35)
можно записать в виде
или
,4
т
—
tga a-^j-,
(IV.4.36)
Рис. IV.4.4
где а = о)//со; M = plS— масса стержня.
Приближенное решение, достаточное в инженерной практике, легко получить
графическим методом. Для этого строят графики функций
й-tgo, У2 = -ос~- (IV .4.37)
и находят абсциссы точек пересечения этих кривых (рис. IV.4.5, а, б). Как видно
из этого рисунка, присоединение массы к данному стержню сдвигает резонансные
частоты в сторону их уменьшения.
Точками обозначены значения а в
случае свободного стержня, крести-
крестиками— в случае стержня этой же
длины, но нагруженного на массу т.
4. Стержень, нагруженный на
упругое сопротивление. Упругое соп-
сопротивление выражается формулой
где с0 — скорость звука в стержне;
с —гибкость нагрузки.
Поэтому входное сопротивление
имеет вид
В этом случав оно реактивно и по-
поэтому при резонансе обращается в
Рис. IV.4.5 нуль. Это означает, что у входа на-
напряжение равно нулю, а колебатель-
колебательная скорость максимальна, т. е. у входа имеется пучность скорости и узел на-
напряжения. У нагруженного конца эти величины имеют промежуточное значение
между максимумом и минимумом (рис. IV.4.6,а).
Для нахождения резонансных частот надо найти решение уравнения (IV.4.38):
или
(IV.4.39)
(IV.4.40)
121
Здесь c; = q/ = //(?S) — гибкость стержня длиной /; а — Ш/Со.
Решение этого уравнения можно провести аналитическим или графическим
методом. В случае графического метода используют графики функций y=tga и
ys=?L.l. (рИс. IV.4.6,6).
На графике видно, что упругая нагрузка смещает собственные частоты стер-
стержня в сторону их увеличения.
5. Стержень, нагруженный на активное сопротивление. Если стержень своим
рабочим концом погружен в очень вязкую среду, то он практически нагружен
на чисто активное сопротивление.
Обозначим его как rr ~r/(pc0S).
Тогда входное сопротивление стер-
стержня имеет вид
^ r4Jtgkl_ (IV441)
Освобождаясь от комплексно-
комплексности знаменателя, получаем
жня.
гвх = —
1 -j- Г"\g" RI
(IV.4.42)
При резонансе реактивная
часть сопротивления равна нулю.
Поэтому (IV.4.42) дает
tgkl(\— r'2) = 0. (IV.4.43)
Выражение (IV.4.43) распада-
распадается на два уравнения:
1— г'2 = 0 при tgkl^=O,
tgkl = O при \—г'2Ф0. (IV.4.44)
Первое уравнение имеет реше-
решение в виде
r = pc0S. (IV.4.45)
В этом случае сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению стер-
Рис. IV.4.6
Как видна-из (IV.4.42), приведенное входное сопротивление гвх равно еди-
единице, а входное сопротивление стержня равно его волновому сопротивлению:
(IV.4.46)
Здесь имеется полное согласование колебательной системы g нагрузкой, что
отвечает режиму бегущих волн, так как на нагруженном конце нет отражений
волны.
Второе уравнение соответствует случаю,
когда в стержне- укладывается целое число
полуволн — система находится в режиме сто-
стоячих волн.
Однако это не эквивалентно i лучаю
отсутствия нагрузки, где тоже образуются
стоячие волны. При нагрузке на произ-
произвольное активное сопротивление импеданс
нагрузки гн равен активному сопротивле-
сопротивлению г, а, стало быть, входной импеданс гв,
равен также этому сопротивлению. Это со-
соответствует распределению амплитуд напря-
'А
Рис. IV.4.7
жения, представленному на рис. IV.4.7. Колебания концов стержня, нагруженного
на активное сопротивление, равны по амплитуде, но противоположны по фазе,
если стержень содержит нечетное число полуволн. Если в длине стержня укла-
укладывается четное число полуволн, фазы колебаний концов совпадают (рис 1V.4.7).
122
Таблица IV.4.1
Уравнения
чтипа теле-
телеграфных
Общие
Для гармо-
гармонических
колебаний
Линия электропередач
~~ Ibc ^ W ~^~
dU uJ
, Т Ь; D J
~~ dx~~y(D~T~
dU
dx
Стержневая система
~~ dx == Cl dt
dF dl
4
dF .. . .
— -у— = {jCdflli -f- 7"x) t
Крутильные колебания
стержня
аё ам
~~ dr ~ C® ~dt У@
dM тд®,г л
d® - м
~~~dx~(}(DC&^~qe'
dM.
Продольные колебания столба
жидкости в тонких трубах
dV dp
~dx~^C*~dt + W
dp d]/
dx dt
dV
dp
~~ dx~~ ^@/Па • r*'
Обозначения: в — угловая скорость; Л1 — момент силы; <?@ — гибкость кручения единицы длины; <7@ — подвижность единицы длины; / — осевой
момент инерции единицы длины стержня; V—объемная скорость; р — давление; с&, т&, <7а, г —акустические гибкость, масса, сопротивление,
проводимость единицы длины.
Приближенные методы расчета продольных колебаний стержней переменного сечения даны в приложении П.6.
В предыдущем параграфе было показано, что между продольными колеба-
колебаниями стержней и колебаниями тока и напряжения в длинных линиях электро-
электропередач существует прямая аналогия. В связи с этим принцип аналогий с длин-
длинными линиями электропередач можно использовать для анализа колебательного
движения одномерных линейных систем, записав для них систему обобщенных
телеграфных уравнений относительно функций X (х, t), У (х, /), определяющих
процесс колебаний в одномерной системе:
дХ ЗУ , . v дУ и дХ , v .... л А^
- ш - * ж + b*Y> - ох-= h Tt + ^ (IV-4>47)
с граничными
Y(x, /)|*-о = Уо @ ( }
и начальными
условиями. Если граничные условия выражаются гармоническими функциями вре-
времени
Хо (/)= Хое^ и Ко (/) = ?oeJ<*t, (IV.4.50)
то уравнения (IV.4.48) приводятся к уравнениям относительно комплексной
функции действительного аргумента:
Ьд Y (х), -
Кроме продольных колебаний стержней телеграфным уравнениям подчиняются
колебания струны, воздушных и жидких столбов в жестких и нетеплопроводных
прямых трубах достаточно малого сечения, крутильные колебания стержней,
продольные колебания частиц в плоской волне и т. д.
Читателю предлагается провести вывод дифференциальных уравнений для
этих колебаний и убедиться, что эти уравнения аналогичны дифференциальным
уравнениям для линии электропередач.
В табл. IV.4.1 показана система аналогий с длинными электрическими линиями,
§ IV.5. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА
В УЗКИХ ТРУБАХ
Процессы распространения колебания частиц жидкости или газа
в трубе осложняются влиянием ее стенок. Косые отражения вдлн
от стенок трубы создают условия для образования радиальных коле-
колебаний. Поставив задачу исследования аксиальных колебаний частиц
жидкости или газа в узких трубах, мы должны учесть ряд условий,
при которых можно пренебречь радиальными колебаниями. Прежде
всего условие, раскрывающее понятие узкой трубы. В специальных
исследованиях теории колебаний в трубах любого профиля и сече-
сечения показано, что колебания частиц газа (или жидкости) будут
аксиальными, если выполняется определенное соотношение между
линейными размерами сечений и длиной волны, а именно: для ци-
цилиндрической трубы я<0,61 X (а —радиус трубы, X — длина волны).
Если труба имеет прямоугольное сечение со стороной L, то при
L<V2 ее можно рассчитывать как узкую трубу. Однако имеются
еще дополнительные условия, связанные с поглощением у стенок,
Касательная составляющая скорости частиц у стенки равна нулю,
а по мере удаления от нее она возрастает до максимального значе-
124
ния в центре сечения трубы. Наличие поперечного градиента ско-
скорости приводит к дополнительному поглощению энергии волны,
которое и вызывает искажение волнового фронта и связанное с ним
появление радиальных колебаний. Но так как поглощение тем больше,
чем больше вязкость газа и теплопроводность стенок трубы, то
приближенная теория аксиальных колебаний в тонких трубах будет
выполняться лучше, если стенки трубы очень гладкие и выполнены
из жесткого материала, обладающего малой теплопроводностью. Кроме
того, вязкость газа, заполняющего трубку, должна быть мала.
Если все перечисленные условия выполнены, то колебания газовых
столбов в трубах можно рассматривать как колебания в длинных
линиях.
Распространение звука в трубе конечной длины. На рис. IV.5.1
представлен отрезок трубы с координатами концов 0, /. К концу
трубы с координатой х = / при-
присоединен поршень с акустическим /z°/z
импедансом г0 и действует извне
сила давления poe/W. На другом
конце (# = 0) имеется поршень с
акустическим импедансом zt. Под
действием внешней силы в трубе рис> iy.5.1
устанавливается стационарное зву-
звуковое поле, которое является результатом наложения волн, много-
многократно отраженных от импедансов z0 и zt. Звуковое давление в общем
случае выражается функцией
р (*, t) = (aeVx + Ье~Гх) е/со', (IV.5.1)
где Г—постоянная распространения (Г= — /Л — б, ft = co Kmaca,
На основании соотношения X = S| = S — -~ получаем для волн
сор ох
объемной скорости
X = — (aeVx - be- Vx) e^, (IV.5.2)
сор ос
где гао = -щг^~$->
Определим постоянные на основании граничных условий:
Р(О, *
(, )H f
рA, /) + Х@, Ог/ = рое^. ( )
Используя (IV.5.1) и (IV.5.2), получаем систему уравнений
125
Решая уравнение (IV.5.4), находим постоянные а и Ь:
(IV.5.5)
где
1-гн,
1 —zi
Таким образом, давление и объемную скорость выражают форму-
формулами:
^ l)err*]9 (IV.5.6)
-1)е-г,]. (IV.5.7)
С помощью (IV.5.6) и (IV.5.7) можно найти звуковое поле
в любом сечении трубы.
У конца трубы (%=/), где действует возбуждающая сила, ком-
комплексные амплитуды давления и объемной скорости имеют вид:
га0Д
а у конца, присоединенного к нагрузке,
5
Х@, t) = XOtie^ =
Путем простых преобразований можно получить следующие соот-
соотношения:
Р1 = Ара + В%л, X/==CpH + DXH, (IV.5.8)
где Л-сЬ(П), B = zaosh(I7), C = ^i^, D=sh(I7).
Детерминант системы уравнений (IV.5.8) имеет значение, равное
единице:
ch(I7), zaosh(I7)
= ch2 (Г/) - sh2 (Г/) = 1. (IV.5.9)
Аф
-, ch(I7)
а0
Решая систему (IV.5.8) относительно pOli и ХОн, получаем:
y AXi — Cpi
Рви — ЛП__
AD — CB '
(IV.5.10)
или
{= ch (F/) Pl - zao sh A7) Xh X0H == - ^^ Pl + ch (Г/) *,.
126
Если нагрузку и источник силы поменять местами, что эквива-
эквивалентно замене /на —/, так как sh (—17) = — sh(I7), то из (IV.5.8)
получим (IV.5.11). Следовательно, для отрезка трубы выполняется
условие обратимости по отношению к давлению и объемной скорости.
Соотношения (IV.5.8), (IV.5.9) и (IV.5.11) выполняются для
электрических пассивных четырехполюсников, если заменить давле-
давления /?н0, и pi электрическими напряжениями (/н и Ul9 объемные ско-
скорости Хн0 и X/ —токами <&н и <&h акустические параметры трубы и
акустические импедансы — параметрами отрезка электрической линии
и электрическими импедансами. Поэтому в системе электроакусти-
электроакустической аналогии отрезок трубы эквивалентен пассивному четырех-
четырехполюснику, выполненному в виде отрезка линии электропередачи,
Заметим, что первый член (IV.5.6) представляет собой падающую,
а второй — отраженную волну. Отношение комплексных отраженной
и падающей волн есть коэффициент отражения
1 р6
В данном случае эта величина комплексная, поскольку приве-
приведенный импеданс нагрузки z'u в общем случае определяется ком-
комплексным числом.
Используя выражения (IV.5.6) и (IV.5.12), преобразуем формулу
(IV.5.1):
р(х, t)=eJ^a(^x + rei^-Vx). (IV.5.13)
Прибавим и вычтем из (IV.5.13) геГх:
р = а&ш [ег* - reVx + геТх
еГх A - г) + ге
= а&ш [вТх A - г) + 2rdb ch (Га: - /б)],
или
р = J (гЛ + 1) е*«* [A - г) е?х + 2re>6 ch (Tx - /б)], (IV.5.14)
где г = /^ + ^.
J с ' рс
Точно так же для объемной скорости
X (х, 0 = г^ (Й - 1) е^ [A - г) е?х - 2re/* ch (Гх - /б)]. (IV.5.15)
Если потерями в трубе полностью пренебречь (г1 = 0, T = j<o/c = jk),
то волновое акустическое сопротивление трубы zao — T/(j(ocS2) равно
действительной величине pc/S и выражения (IV.5.14) и (IV.5.15)
упрощаются:
^ J6cos(kx~8)l AУ.5Л6)
X = —¦ (z'H - 1) e/w/ [A - г) &кх - 2r&6 cos (kx ~ б)].
127
Формулы (IV.5.16) показывают, что в трубе имеются, бегущая
волна с амплитудой давления -г- (Zh+ 1) D — г) и стоячая волна
с амплитудой давления ~ (гн' + 1) 2/\ При kxm — 8 = tnn (m = ± О,
±1, ±2, ±3) получим л:т = (тя + б) у-=-о-Я + бп максимумы
давления стоячей волны. В случае абсолютно жесткой стенки первый
максимум лежит на конце трубы (х = 0). Сдвиг фазы между отра-
отраженной и падающей волнами равен нулю: 0= ^-^-, 6 = 0, поэтому
коэффициент отражения (IV.5.12) принимает значение, равное единице.
Если к трубе присоединен комплексный импеданс, то первый
максимум давления лежит в плоскости с координатой хо = 8Х/Bя),
При этом угол сдвига фаз б меняется в пределах — я/2 < б < + л/2,
в связи с чем координата максимума давления может находиться как
вне, так и внутри трубы. Если первый максимум лежит вне трубы,
то ближайший к концу максимум давления, находящийся внутри
трубы, соответствует т = ±\ и его координата имеет значение
^У + ТГТ- (IV.5.17)
Наряду с пучностями давления в трубе имеются области, где
амплитуда давления минимальна (узлы давления). Узлы давления
образуются в тех сечениях, для которых амплитуда стоячей волны
равна нулю. Из (IV.5.16) видно, что условие минимума давления
откуда
+ 2 J 2- + — 2 •
Ближайший к концу трубы минимум давления расположен в пло-
плоскости с координатой
44
Если б = —я/2, то хо = О', если 6 = +я/2, то хо = Х/2. Таким
образом, при изменении фазы от —я/2 до + я/2 положение первого
минимума изменяется от 0 до хо = к/2. Наибольшая амплитуда давле-
давления рыакс = А[A—г) + 2г] = АA+г), а наименьшая рмт=-А A -г).
Если нагрузка полностью поглощает звуковую энергию, то в трубе
существует только бегущая волна рмш/рмакг= 1. Наоборот, если волна
полностью отражается от нагрузки, то рмин/Рмакс^О-
Чем значительнее отношение рыш1рчакс, тем большую долю в трубе
составляет бегущая волна. Аналогично тому, как это принято в электро-
электротехнике, отношение давления в узле к давлению в пучности называют
коэффициентом бегущей волны:
128
Величина, обратная m, характеризует долю стоячей волны, или
степень рассогласования трубы с нагрузкой:
JL=sN=sI^si>s=sJL±La (IV.5.20)
Иногда эту величину называют коэффициентом стоячей волны (КСВ).
Зная Nt можно найти модуль коэффициента отражения:
Для создания материалов, хорошо поглощающих звук, необходимо
обеспечить условия, при которых звуковая энергия полностью погло-
поглощается в каналах материала вследствие наличия вязкости воздуха и
внутреннего трения самого материала. Для характеристики звуко-
звукопоглощения материала служит коэффициент звукопоглощения, который
определяют как отношение:
"-/отр. (IV.5.22)
'пад
Между коэффициентами звукопоглощения по энергии и отражения
по амплитуде давления существует простая связь:
а=\-г\ (IV.5.23)
Отсюда
В акустических измерениях большое значение имеет реализация
возможности получения плоских волн. Если измерение нужно про-
проводить на низких частотах, т. е. в области'частот слышимого звука,
то для получения плоской волны обычно используют трубу как
акустическую линию. Трубу, закрытую с одной стороны, обычно при-
применяют для измерения коэффициента отражения материала г = гр&96.
Для этого-возбуждают колебания в трубе, перемещая малый микрофон
вдоль оси трубы, находят зависимость давления от расстояния до
конца трубы, где установлена пробка из исследуемого материала.
Допустим, что на расстоянии xQ обнаружен первый минимум давления.
Тогда фаза коэффициента отражения согласно (IV.5.18)
(IV.5.25)
Расстояние между двумя соседними минимумами равно Х/2. Отно-
Отношение pUUKJpmu = N. Определив Af, по формуле r = (l—N)/(l+N)
найдем модуль коэффициента отражения и по формуле (IV.5.24) —
коэффициент поглощения материала. На основании (IV.5.13) по
известным гр и б можно вычислить отношение акустического импе-
импеданса материала к волновому сопротивлению трубы:
r^ l-rpe№ l-rpco8 26-/>sin26 _
рс ~~ 1 + Гре/2б — 1 + r cos 2б + Уг sin 26
б Л. Ф. Лепендин 129
Для облегчения вычислений пользуются следующими преобразо-
преобразованиями. Модуль г представим в виде гр = е~2ек В этом случае
г==17^Т==е"а* (Ф = е</6)- (IV.5.26)
Тогда, решая (IV.5.26), находим
откуда
X' - sh 2в У'- sin26 /тусг
ch2e —cos26' ~ch2e —cos26' ^iv.o..
ИЛИ
м2
По формулам (IV.5.27) или (IV.5.28) нетрудно вычислить приве-
приведенные активное и реактивное сопротивления X' и У, если измерены
значения величин N и б.
§ IV.6. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Вывод дифференциального уравнения. Допустим, что ось абсцисс
совпадает с осью недеформированного стержня. Рассмотрим только
малые колебания, при которых смещения точек оси стержня перпен-
-/ » дикулярны оси координат X, а восста-
| 2* ' навливающие силы находятся в преде-
пределах действия закона Гука.
_^ Пусть т1 — масса единицы длины
"X стержня, Е — модуль Юнга, У —момент
инерции площади поперечного сечения
'Fj(x+Ax) относительно нейтральной оси сечения,
перпендикулярной плоскости колебаний.
Рис. IV.6.1 Выделим элемент стержня длиной Да:,
его масса равна т^х, момент инерции
относительно оси, перпендикулярной плоскости колебаний, прохо-
проходящей через центр тяжести О, равен 10Ах (/0 — момент инерции еди-
единицы длины стержня). На этот элемент действуют: сила F1; пара
сил с моментом Мх ko стороны части стержня, расположенной справа
от этого элемента; сила F2 и пара сил с моментом УИ2 со стороны
части стержня, расположенного слева (рис. IV.6.1). Кроме того, на
него действует внешняя нагрузка / (х> t) Ax. В этом случае смещение
точек оси стержня будет являться однозначной функцией координаты х
и времени t.
По законам механики получаем уравнение сил
^ % t)Ax
и уравнение моментов
130
Разделив оба уравнения на Ах и переходя к пределу, находим:
где
M = -EJ%L. (IV.6.5)
Исключая из (IV.6.3) и (IV.6.4) Ми/7, находим:
Ж |/ Ж| = Ъ? \EJ uSJ + щ ~W " К*' У)'
где р = /0/т!; a4 = ?//m1 = ?x2/p; x —радиус момента инерции по-
пощади поперечного сечения стержня относительно оси, лежащей в этом
сечении и перпендикулярной плоскости колебаний YOX.
Для оценки вклада каждого слагаемого в уравнении (IV.6.6) под-
подставим функцию
где у — скорость распространения поперечных волн стержня
В результате получим
ИЛИ
Т I ,л \ 2 о2 / Лч \ 2
Момент инерции единицы стержня l{s'P^mxl2l\2, поэтому I0/m1p^
^/2/12. Пусть P/l2<(c<>/vJx\ т. е. (с/^>(//хJ. Тогда в (IV.6.6)
слагаемым, связанным с инерцией вращения, можно пренебречь и
привести уравнение к виду
Опыт показывает, что (cjvJ ~ 1/со, поэтому (IV.6.7) выполняется
для низких частот.
В этом приближении уравнение (IV.6.4) имеет вид
Р = -*5Г- (IV.6.8)
Оно должно быть дополнено граничными и начальными условиями.
Вследствие того что это уравнение содержит производные второго
порядка по времени и четвертого порядка по координате х9 возникает
необходимость задать два начальных и, кроме того, для каждого
конца стержня по два граничных условия.
б* 131
Начальные условия задаются соотношениями
у(х, 0) = и(х)\ у(х, О|/ = о = й(л:),
где и (х) и й (х) — некоторые функции х, задающие распределение
смещений и скоростей вдоль стержня.
Граничные условия определяются характером связей, существующих
на концах стержня.
В простейших случаях конец стержня может быть свободным,
зажатым и опертым.
В случае, когда конец стержня свободен, скалывающая сила F
и изгибающий момент М равны нулю, т. е. согласно уравнениям
(IV.6.8) и (IV.6.5) имеем:
п дМ Г7, д3у ~ dsy r.
р^=—шг^0-Е1А^=0' или А^=0;
М = -Е1<^ = 0, или % = 0.
Таким образом, граничные условия для свободного конца стержня
Если конец стержня жестко зажат, то угол поворота в месте
закрепления и смещения равен нулю, т. е. должны выполняться
следующие условия:
6|JC==0 = ^ =0, у(х, *)„«<> = 0.
Для опертого стержня смещение и изгибающий момент .равны
нулю, что соответствует следующим граничным условиям:
У1*-о = 0, U =0.
Собственные частоты и функции поперечных колебаний стержня.
Простым решением уравнения (IV.6.7) для случая, когда внешняя
сила равна нулю, является гармоническая функция вида
у(х, /) = ф
Чтобы получить уравнения для собственных функций ф(л;),
подставим (IV.6.12) в (IV.6.7). После сокращения на е/(со/+а) получим
где
Уравнение (IV.6.13) имеет .четыре независимых частных решения:
cos kx, sin kxy ch kx и sh kx. Общее решение представляет собой линей-
линейную комбинацию этих частных решений:
Ф (х) = Ах cos kx + Вх sin kx + Сх ch kx + Dx sh kx, (IV,6,15)
Ш
Постоянные Л, В, С и D определяют на основании граничных условий. Наи-
Наиболее простым из них соответствуют случаи, когда стержень:
а) свободен на краях;
б) зажат с одной стороны, свободен с другой;
в) зажат с обоих концов;
г) опирается с обоих концов;
д) опирается с одной стороны и зажат с другой.
Например, если стержень с одной стороны зажат, а с другой свободен, то
ф = ф' = 0 при х = 0 и ф"(/) = ф'//(/) при х = 1.
Если он зажат с обоих концов, то на концах осуществляется равенство нулю
как смещения, так и угла прогиба:
ф = ф'^=0 при х=0,
ф (/) = ф'(/) = 0 при х = 1.
Для решения конкретных задач об изгибных колебаниях стержней
удобно пользоваться функциями Крылова:
S (х) = — (ch х + cos х), Т (х) — y (sh х + s*n *)»
(IV.6.16)
U\
= -j (ch х — cos х), V (х) = у (sh x — sin я).
Первые четыре производные функции Крылова и значения этих
производных при х = 0 представлены в табл. IV.6.1.
Таблица IV.6.1
Функции
S(x)
Т(х)
Производные функции
I
V (х)
S(x)
и
U(x)
V (х)
ш
Т(х)
U(x)
IV
S(x)
T(x)
Функции
U(x)
V(x)
Производные функции
I
Т(х)
U(X)
II
S(x)
T(x)
ш
V (x)
S(x)
IV
U(x)
V(x)
Непосредственной проверкой можно показать, что
S @) - Г @) = [/" @) = V" @) = 1,
а все другие значения функций и их производных при х — 0 равны
нулю.
Посредством функций Крылова решение (IV.6.15) для распреде-
распределения амплитуд изгибных колебаний представим так:
Ф (х) = AS (kx) + ВТ (kx) + CU (kx) + DV (kx). (IV.6.17)
Рассмотрим стержень со свободными концами как пример расчета
колебаний стержней с различными типами закрепления.
Граничные условия для свободного конца стержня при х = 0
имеют вид ф" = ф"/ = 0. Взяв вторую и третью производные от
(IV.6.17), положив л: = 0 и воспользовавшись граничными условиями
при х = 0, получим С = ?>=^0. Таким образом, решение будет иметь
вид
. (IV.6.177)
Для определения постоянных А и В следует воспользоваться граничными
условиями для конца с х = 1. Полагая, что этот конец также свободен, получим
133
Воспользовавшись (IV.6.17) и граничными условиями для х~1, получим си-
систему однородных уравнений относительно коэффициентов Л и В:
AU (kl) + BV (kl) = 0, AT (kl) + BU (kl) = 0. (IV.6.18)
Эти уравнения имеют отличные от нуля и независимые решения при условии,
что детерминант системы
У(\ ~v{kl)T{kl)=Q- (IV'6-19)
Выражение (IV.6.19) представляет собой характеристическое уравнение для
определения собственных чисел k и частот со. Его решение имеет множество кор-
корней kml = $m (m=l, 2, ...). Первые три корня имеют значения: р1 = 4,73; р2 =
= 7,85; рз= 11,00. Зная значения корней рт, можно найти значения допустимых
собственных частот. Для (IV. 6.14) надо найти со=&2х 1/ — — k2c0x (с0 — стержневая
г Ро
скорость звука для продольных волн, х —радиус инерции площади поперечного-
сечения, ? —волновое число для изгибных волн).
Таким образом, собственные частоты колебаний стержня со сво-
свободными концами определяют формулой
com = kfnC0K =сох-§Ц или /л = -|^сох. (IV.6.20)
Используя значения корней pw, находим:
h= D,73J2-^lxc0, /2 = G,85J^lxc0. (IV.6.21)
Формулы (IV.6.21) показывают, что частоты высших обертонов
не кратны основной частоте:
Зная собственные частоты колебаний, можно найти функцию,
отвечающую возможным формам колебаний стержня. Из первого
уравнения (IV.6.18) находим В = — А п;^т\,, так что форма коле-
баний m-го обертона определится уравнением
(IV.6.23)
где т= 1, 2, 3, ...
Приравнивая нулю ф(л:) и решая полученные уравнения относи-
относительно ртх/7, находим координаты узлов колебаний.
Приравнивая нулю у(х) и решая полученные уравнения, найдем
координаты пучностей изгибных колебаний стержня. Так, например,
для первых двух мод координаты узлов имеют значения:
m=l; *u = 0,224/; *1а = A-0,224)/;
т = 2; *21 = 0,132/; д:22 = 0,500/; лг23 = A — 0,132) /.
На рис. IV.6.2 схематично показаны распределения узлов и пуч-
пучностей для первой (т = 1) и второй (т = 2) мод.
134
Аналогично рассчитывают и другие частные случаи поперечных
колебаний стержней и находят форму этих колебаний.
Фазовая скорость v распространения поперечных колебаний вдоль
стержня может быть вычислена с помощью формулы (IV.6.14):
со2 10 ?х2 ,-, Г~Ё ,
7) Ь I / V \tP Ь
С/ —— /v I/ /v /VL'/»V«
.Ро Г Po
о со2
V = 1 =
Здесь число k зависит от частоты:
Отсюда следует, что
= х^ у ^ =
(IV.6.24)
Если принять во внимание влияние вращения, т. е. не отбрасы-
отбрасывать в уравнении колебаний стержней член, пропорциональный мо-
моменту инерции единицы длины стержня /0, и, кроме того, учесть
777=7
0,8 1,2 1,6 2,0 а/А
Рис. IV.6.3
влияние сдвиговых деформаций, то получим точное выражение для
скорости изгибных волн:
(IV.6.25)
v*=
где б —поправка на сдвиг, равная poYa4/(G?); у —поправка на равно-
равномерность распределения напряжений по всему поперечному сечению;
для круглого стержня у =1,1; G —модуль сдвига.
При низких частотах поправками можно пренебречь, и мы полу-
получим приблизительную формулу для вычисления скорости изгибных
волн (IV.6.24).
На рис. IV.6.3 показан график отношения скорости поперечных
волн V в стержне к скорости продольных волн с0 в зависимости от
отношения радиуса а стержня к длине Л изгибной волны ij- =
135
Кривая 1 построена по приближенной формуле (IV.6.24), кри-
кривая 2 — по формуле (IV.6.25) без учета сдвига F->0) и кривая 3 —
по точной формуле (IV.6.25). На этих графиках ясно выражено то,
что при высоких частотах приближенная формула дает завышенные
значения скорости изгибных волн. Удовлетворительные результаты
получаются только при частотах, соответствующих а/Л ^1/8.
а.
ГЛАВА V
ДВУХМЕРНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ V.I. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
Вывод дифференциального уравнения. Мембраной называют ма-
материальную поверхность, не имеющую упругости формы. Хорошим
примером мембраны является лист бу-
бумаги, натянутый на жесткий каркас.
Для того чтобы натяжение было равно-
равномерным, перед монтажом необходимо
бумагу слегка увлажнить. После высы-
высыхания бумаги получится растянутая во
все стороны поверхность, свойства ко-
торой очень близки к свойствам идеа-
идеализированной мембраны.
Для вывода дифференциального
уравнения мембраны представим себе
немного деформированный элемент по-
поверхности dS (с поверхностной плотно-
плотностью р) со сторонами dSx и dSy в со-
состоянии смещения от положения рав-
равновесия (рис. V. 1.1).
На рисунке обозначим силы натяжения ТdSx^^Tdx, TdSy^Tdy.
Проекции этих сил натяжения на ось Z состоят из суммы проекций
сил, действующих в плоскости, параллельной YOZ, и суммы проек-
проекций сил, действующих в плоскости, параллельной XOZ. Из геомет-
геометрических соображений и на основании того, что проекцию каждой
силы вычисляют так же, как это было сделано для струны, получим
результирующую силу.
На рис. V. 1.1 показаны сечения /—/ и 2—2. Проекции сил,
действующих в сечении /—1,
— Т dy sin аг — dFx, T dy sin a2 = DF2,
а в сечении 2—2
— Tdx sin а3 = dF3, T dx sin а4 = dF4.
В сумме проекций сил dFly dF2, dF3, dF4 из-за малости углов
синусы можно заменить производными смещений по составляющим
координатам.
136
Таким образом, общая сила упругости натяжения, действующая
параллельно оси Z, имеет значение
(V.1.1)
На основании законов динамики эта сила создает ускорение,
равное
0» dF т (д* д*\
= (
dt2 pdxdy р \ дх*
)'
В результате получаем дифференциальное уравнение мембраны
в прямоугольной декартовой системе координат:
Пользуясь правилами преобразования частных производных функ-
функций двух переменных от одной ортогональной системы координат
чк другой, можно найти выра-
выражение (V.1.3) в полярной сис-
теме
координат г = У
Ф == arctg (у/х). Однако полезно
провести вывод уравнения в по-
' лярной системе координат непо-
непосредственно, пользуясь закона-
законами механики. Расположим на-
начало полярной системы коорди-
координат в центре мембраны с круг-
круглым краем и допустим, что сме-
смещение зависит только от расстояния г до полюса 0. Результирую-
Результирующее натяжение, по окружности направленное перпендикулярно плос-
плоскости мембраны, находящейся в положении равновесия, равно
6)
sin а
а =
(V. 1.4)
Разность напряжений на границах кольца шириной dr составляет
-э-Bяг ~ъ~)Тdr и дает результирующую силу упругости, перпенди-
перпендикулярную плоскости положения равновесия мембраны и действую-
действующую на кольцо с площадью 2nr dr и массой pdr-2nr (рис. V.1.2, а).
Ускорение, которое получит это кольцо,
о2г\ __
Т
2nrdrp
или
137
Выражение (V.I.5) представляет собой уравнение свободных коле-
колебаний мембраны в полярных координатах для случая, когда смеще-
смещение не зависит от полярного угла ф.
Если смещение г] зависит, кроме того, от полярного угла, то
необходимо рассматривать действие сил на квазипрямоугольный
участок мембраны, ограниченный двумя окружностями и двумя
радиусами. Стороны этого элемента поверхности равны dr и rdy = dS
(рис. V.1.2, б).
Напряжения на криволинейных сторонах дают результирующую
силу, параллельную Z
Результирующая сила, действующая на прямолинейные стороны,
-з- Т dr ~~ )dwr = 7r-(T dr —j- dw.
Сумма этих сил создает ускорение элемента поверхности
*П -^Г1 д(г*1\+ 1 ^1 /VI Ь\
~dft"-JlTd?\r дг') + 7*'дфУ (V.l.b)
Выражения (V.1.3) и (V.1.6) представляют собой волновые урав-
уравнения мембраны, записанные в прямоугольной XOY и полярной
фог системах координат.
Для решения волнового уравнения применяют обычно два метода:
замены переменных (метод Даламбера) и разделения переменных.
Первый удобен для неограниченной среды, второй —для ограничен-
ограниченной. В данном случае удобно пользоваться вторым методом.
Колебания прямоугольной мембраны. Пусть мембрана натянута
на прямоугольном каркасе со сторонами а и Ь. Краевые и начальные
условия формулируются следующими соотношениями:
tj(jc, у, f) = 0 при
т|(*, У, *)|*«о = *Ф, У), Жц = о = Х)(х* ^' (V.1.8)
Для изучения колебаний прямоугольной мембраны прибегают
к уравнению в прямоугольных координатах (V.I.3).
Постановка задачи состоит в том, что надо найти все функции,
удовлетворяющие дифференциальному уравнению (V.1.3), граничным
и начальным условиям (V.1.7) и (V.1.8).
Ограничим частные решения условием, что они должны быть
гармоничными функциями времени:
Л = Z (*, У) e**f Z (х, у) = Х (х) Y (у). (V. 1.9)
Подставляя это решение в волновое уравнение, получаем
__
X dx*
или
X dx* ~ с* Т dy* ' iv.i.u;
где с2 = Т/р — действительное положительное число.
В левой части уравнения (V. 1.11) стоит функция X, в правой — Y.
Так как эти функции равны одна другой, то они будут равны и
общему постоянному числу. Отсюда получаем:
или
Эти уравнения имеют решения в виде гармонических функций от
координат:
^-^у/2//-ф^, X=*A2cos(kx-q>x).
Частное решение волнового уравнения имеет вид.
г] (х, у, t) = A cos (kx - Ф,) cos [E - *2)V2 У - Ф„] ^. (V. 1.14)
Первая пара граничных условий (ц=^0 при х = 0 и у = 0) дает
возможность определить постоянные ух и ф^: ф^==я/2, ф^ = 2
Подставляя их в (V. 1.14), получим
г] = A sin fex sin {[(^-) -
Вторая пара (г] = 0 при л:==а и # = Ь) определяет допустимые
волновые^ числа и допустимые частоты.
При х = а имеем
Это уравнение возможно для любых у и t при условии sin?tf = O>
Отсюда следует
k = km = "^. (V.I.15)
При y = b
г] = 0 = Л sin — х sm |^—J - (-5-j J fc/ cos (®f ~ Ф*).
т. e. sin{[(<o/c)a
В результате допустимые числа kn определяются выражениями
139
(m, n=l, 2, 3, ...), а частоты
Таким образом, с учетом граничных условий частные решения
волнового уравнения мембраны представимы в виде
г] = A sin ~ х sin Уу у cos
— сртл),
или, обозначая
Л cos сртя = Втл, A sin qw =
получаем
тш
= sin ^ sin ^ [5тл cos ©тя/ + Стп sin
(V.I. 18)
]. (V.I.19)
Здесь, как и в случае решения задач о колебаниях струны,
остаются пока неопределенными постоянные Втп и Стп. Их находят
из начальных условий. Однако, прежде чем рассматривать этот
вопрос, обратим свое внимание на возможные формы колебаний
мембраны.
Для анализа вида колебаний частные решения удобно предста-
представить следующим образом:
где
Цтп = tymnAmn COS ((x)mnt - фт/г),
(V.I.20)
(V.1.21)
Рис. V.1.3
Функции tymn называют фундаментальными функциями задачи.
Каждому значению пары чисел тип соответствует своя фундаментальная
функция, которая дает математическое описание формы колебаний мембраны.
Например, для т, /г=1,1; 1,2; 2,1 и 2,2
. пх . лу
^ sin — sin -|- ,
. 2ях .ли
2i = sin — sin ~-,
. лх . 2лу
2 = sin — sin -f-,
22 = sin sin —т-.
Эти формы колебаний представлены на рис. V.I.3.
140
Общее решение уравнения мембраны состоит из суммы частных
решений:
оо оо
Ч = 2 2 *«л (*, У) (Я«л cos oW + Стя sin oW). (V.I.22)
m=ln=l
Постоянные ?ш/г и Стп определяют по начальным условиям. Допустим, даны
начальные смещение и скорость:
*](х, Уь 0|/«о — "^» У)' ^ д/' = t>(#> */). (V.I.23)
Их можно разложить в двойной ряд Фурье по фундаментальным функциям:
оо оо
и(*. у)= 21 И ВтпУт.п(х> У)> (V.1,24)
оо оо
V(x, у)= У) У) U>mnPmn$mn(x, у). (V.1.25)
Используя свойство ортогональности фундаментальных функций
т при ZZ™'
ab __
\ \ Ут'п' (х> У) ^тп (*» y)dxdy~\ ч " ^/^ (V. 1.26)
0 0
т' Ф т,
0 при
легко получить соотношения для вычисления коэффициентов Б^Л и СШЛ. Для
этой цели умножим правую и левую части рядов (V.1.24) и (V.1.25) на tym,n,dxdy
и проинтегрируем по х и у от 0 до а и от 0 до Ь. Вследствие условия ортогонально-
ортогональности в правой части будет отличаться от нуля только тог интеграл, у которого ин-
индексы фундаментальных функций совпадают, т. е.
а ь
\ \ и ( ) ^ ( ) d 1
о о
(*, У) ^тп (X, У) dx с1у = ~ Bmnt
о
а Ь
\ 1
о о
о
Тогда для вычисления коэффициентов имеем:
a b a b
Втп — -г \ \ и (х, у) $0П (х, у) dx dy — -T \ \ и(х, у) sin'""""" sin -^~- tfx tfr/,
^ J J a® J J at?
or и и и
(V.I.27)
a b a b
_ 4 f f / ч ,, 4СС... тял: . тяг/ , ,
Qmn — \ V x) (x, y)tymn dx dy — г \ \ v (x, y) sin sin —rf- dx dy .
Колебания круглой мембраны. Если мембрана натянута на круг-
круглом каркасе, то задачу о ее поперечном колебании удобно решать
в полярных координатах. Пусть уравнение мембраны (IV. 1.6) имеет
начальные условия
Ц(г, <р)|,-о = и(г, ф), Qit_o = v{r,<f>). (V.I.28;
141
Если положить частное решение в виде гармонической функции
времени ц = ? (г, ф) е/со/, то уравнение мембраны преобразуется
в уравнение Гельмгольца относительно функции ?(г, ф):
Функция ? (г, ф) — периодическая относительно угла ф с перио-
периодом 2я. Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье:
(V.I.30)
m = 1
В результате подстановки этого ряда в уравнение (V. 1.29) можно
убедиться, что каждый член ряда удовлетворяет данному уравнению
и является частным решением этого уравнения. Подставляя частное
решение
? #cp, (V.I.31)
получаем для функции Rm(r)
—rf* ~\ -тг- + [k w- )Rm = 0> (V.I.32)
ал2 т dv \ г2 у х
Считая, что r — z/k, уравнение (V. 1.31) приведем к уравнению
Бесселя /п-го порядка:
&Rn
Решениями его являются функции Бесселя и Неймана т-го
порядка. Функция Неймана при 2 = 0 обращается в — оо, поэтому
она не отвечает физическим условиям и в дальнейшем не используется.
Частное решение уравнения (V.1.32) представим только через функ-
функцию Бесселя:
Rm (г) = A m&m (z) = Am&m (kr)% (V. 1.32')
У (
7%
V "~ 2 Bm + 2) + 2-4 B
5! . I
2-4.6Bm+2) Bm+ 4) Bm+ 6) ' '"/'
Таким образом, частное решение имеет вид
lm A) = Am<&m (kr) COS Шф (m = 0, 1, 2, . . .).
Если В' качестве частного решения выбрать ?т B) = 5т8ттф и
определить, как и ранее, амплитуды Sm(kr), то мы убедимся, что
они выражаются также функциями Бесселя т-го порядка:
Sm = Bm&m{kr) (m=l, 2, 3, ...).
В итоге частное решение уравнения Гельмгольца имеет вид
U^^mikr) (Am cos my+ Bmsin mq) (m = 0, 1, 2,...).
142
На границе kr = ka, ? (г, ф) = 0, поэтому уравнению удовлетворяют
только те значения k> для которых o7m(ka) = 0. Решения этих урав-
уравнений:
ктпи — ^^утпч ктп— а >
где
р01 = 0,7655; р02 = 1,7571; (Зо3 = 2,7546;
ри= 1,2197; pla = 2,2331; р13 = 3,2383;
ра1 = 1,6348; р22 = 2,6792; р23 = 3,6988.
Собственным волновым числам kmn соответствуют собственные
частоты:
(п __ и с __ к$тпс
штп — К/ппу — а
Таким образом, частное решение колебаний мембраны можно
представить в виде
Цтп(г, ф, t)=^mtl(r, ф) COS (C*W + <*mn) =
= ^тп {г, Ф) [атя cos (to- /) + bmn sin (-to. t)], (V. 1.33)
где
/ ч or /и чСО5Шф or ( a r\COSm(p
Найдем узловые линии на поверхности мембраны, соответствую-
соответствующие тп-й моде колебаний. С этой целью достаточно решить урав-
уравнение tymn = 0 относительно г и ф, т. е. уравнение
где верхняя строчка относится к симметричным модам (с), а нижняя
к несимметричным (н).
Уравнения (V.4.13) распадаются на три группы:
&т№тпГ/а) = 09 (V.1.34)
со8Шф = 0, (V.1.35)
sinmq> = Of (V.1.36)
где т = 0, 1, 2,...
Корни первой группы уравнений (т = 0, 1, 2,... и п= 1, 2, 3, ...)
позволяют вычислить радиусы узловых окружностей: n$mnrmi/a =
= n$mh откуда
rmi=-a^y (V.I.37)
где корни должны удовлетворять неравенству pm*^fW
Очевидно, радиус гтп = $тпа/$тп = а при i = n. Если подсчитать
все узловые окружности, то получим для числа узловых окружностей
тп-й моды п— 1.
Таким образом, число узловых окружностей тп-й моды колеба-
колебаний мембраны не зависит от числа т и равно п— 1.
143
Корни уравнений (V.I.35) и (V.1.36) позволяют вычислить зна-
значения углов фш*(С) и фт*(д)» для которых образуются узловые
радиусы:
qw = ?, (V.I.38)
где t = 2/ — 1 для н-мод и i — 2/ для с-мод.
Отсюда следует, что число узловых диаметров равно т. На
рис. V.1.4 изображены формы колебаний круглой мембраны, отвечаю-
отвечающие следующим функциям:
^12 = ^1 (ЛР12 Г1п) C0S Ф-
Знаки «+» и «—» показывают направления отклонения плоскости
участков мембраны. Линии г01, ги, ф1э ф2 —места, где смещение
мембраны равно нулю (узловые линии).
Рис. V.1.4
Общее решение поперечных колебаний круглой мембраны может
быть найдено, если воспользоваться начальными условиями (V.1.28)
и свойством ортогональности фундаментальных функций круглой
мембраны:
i2" @ при
где
ф) =
COS
при n =
COS
при
Эти формулы выводят с учетом условий ортогональности три-
тригонометрических функций и функций Бесселя т-го порядка [см. прил.]
Общее решение уравнения круглой мембраны для симметричных
мод может быть выражено функциями смещения т](с) (г, ф, /) и
скорости dr\{z)/dt:
т
оо
0 т
оо
л cos
sin
144
Совмещая его с начальными условиями
Лс|/-о = и(г, Ф), *Ь^_о==1,(Г| ф), (V.1.39)
получим
" (^ Ф) = 21 "Фит (/•» ф) Отш,
(V.1.40)
^ (>% Ф) = 21 ^тл^тя (Л ф) Аи*.
т, /г
Умножим каждое из равенств (V.1.40) на tymk(r9 y)rdrd(p и
проинтегрируем правую и левую части в пределах от 0 до а и от О
до 2я. В результате использования свойства ортогональности функ-
функций tymn и tymk получим из первого равенства
оо а 2л
21 И Ы(Г> 4)^mk(r, ф)г
т =0 0 0
оо оо а 2я
= У У стп\\
т = 0 п = 1 0 0
оо
m =• 0
Тождество (V. 1.41) выполняется, если для каждого слагаемого
ряда применимо условие
а 2я
о о
Следовательно,
а 2л
о р г»
1 I и(г, ф) 1|?тлг dr dtp. (V. 1.42)
Пользуясь вторым начальным условием, нетрудно получить фор-
формулы для вычисления постоянных Dmn:
Б/71 = |
=
, (V.1.43)
1 при тфО,
2 при m = 0.
Аналогично получают формулы для общего решения несимметричных
форм колебаний мембраны.
Энергия колебания мембраны. Полная энергия колебаний мем-
мембраны состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий.
Выделим из поверхности цембраны элемент площади AS, смещенный
от положения равновесия на величину ц и имеющий скорость дц/dt.
145
Кинетическая энергия этого элемента поверхности равна
где р — поверхностная плотность мембраны, Ах Ау = А5 — площадь
элемента.
Переходя к пределу, получаем формулу для кинетической энергии
элемента мембраны:
(V.1.44)
Пусть в положении равновесия элемент площади АхАу
(рис. V.1.5, а) находится под действием сил натяжения ГАу и ГАх.
74 X
ТАу
ТАу
TAX
АХ
9(йх)
Рис. V.1.5
После смещения от положения равновесия произойдет растяжение
сторон этого элемента (рис. V.1.5, б), а силы натяжения произведут
работу растяжения:
Т (Ах + 26 Л*) 6 (Ау) , Т (Ал + 26 Ах) б (Ау) __
2 """^ 2 ~~
- Т (Ах + 26 Ах) = Г Ах б (Ау) + 2Г6 (Ах) б (Ау).
Полная работа сил растяжения равна
8А = Т Ах б (Ау) + Г Ау б (Ах) + 2Гб (Ах) б (Ау),
или, отбрасывая слагаемое второго порядка,
8А ^ Т Ах б (Ау) + Т Ауб (Ах).
146
Приращения б (Ay) и б (Ах) вычисляют по следующим формулам
(рис. V.1.5, в):
б (Ау) = У (Ayf + (Ах)'- Ау = Ау[]/" 1 + (|}J-
б (Ах) = V (АуJ + (АхJ - Д* «4 Д* Dj)' •
Таким образом, работа сил натяжения
Приравнивая работу бЛ изменению потенциальной энергии эле-
элемента мембраны при растяжении и переходя к пределу, получаем
Полная энергия элемента поверхности мембраны равна
Учитывая (V.1.45) и проинтегрировав dW по всей поверхности
мембраны, получим полную энергию
а Ь а Ь
г-М + ТГ/ \dxdy. (V.1.46)
о о о о
со оо
Используя общее решение ц (х, у, t) = У У Атп sin -^^ х
m=ln=l
cos (^|/ (-y-J + ^-g-j ^ + °WJ, приводим уравнение
х sin-
(V.1.46) к виду
т, /г
а 6
J J sin ^ si
х I isin^±sin^^^sin((om^ + amn)
7 / V л mjI
С С тях пял: \
л) \ \ cos—- sin—r— dxdy]
И ь I
a b
о о
147
Первая двойная сумма содержит попарные произведения:
л -ж Г ( fnnc \2 , / ппс \2 . .
Лтпу (-^-) +[—) s™(a
. а Ь
•*/7 т'пс \2 , f п'пс \2 . , , . v С С . тпх
>п'у (-J—) +(~X"j *1П(<йт'п4 + <*т'п') j J Sin~T
Г "
X
а Ь
W \ Q I ' \ О I V " '
0 0
X sin—r^-sin sin-
4 IJ Ц J О 11J i
b a b
Ввиду ортогональности фундаментальных функций из всех этих
произведений останутся только те, для которых т' = т; п' = п:
-2 [/тлс\2 , I ппс\2
* I \ Ь
Точно так же из всех слагаемых оставшихся двойных сумм сохра-
сохраняются , только те попарные произведения, для которых т=т' и
п = п\ так что каждая из них имеет слагаемыми члены
ab д* I тп
ab л о
Таким образом, полная энергия колебаний мембраны
ab
Заменяя силу натяжения Г величиной рс2, после группировки
слагаемых получим
_ abp 1 vi
где а>5ш = (ттсс/аJ + (ппс/ЬJ; рай —масса мембраны.
Полная энергия колебаний мембраны равна сумме энергий коле-
колебаний осцилляторов, каждый из которых имеет массу, равную ХД
массы всей мембраны, амплитуду и частоту, равные амплитуде Атп
и частоте сотл. Этот результат не зависит от формы мембраны, и его
можно получить в общем виде, если известно условие "ортогональ-
"ортогональности фундаментальных функций.
148
§ V.2. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
Частное решение волнового уравнения. В пластинах упругость
напряжения мала по сравнению с упругостью формы. Поперечные
колебания пластин описывают дифференциальным уравнением четвер-
четвертого порядка:
^ , 3P(l-q2) at
V Ц ^ Eh df*
где
'
дх* ^ ду* ) ~~ дх* ^ ду*
V4-— оператор производной четвертого порядка; а — коэффициент
Пуассона; р —плотность материала^ пластины; Е — модуль Юнга; h—
половина толщины пластины; т] —смещение в средней плоскости
пластины; t — время.
Пусть частное решение выражается гармонической зависимостью
от времени:
т) = К(х, у)еР*. (V.2.2)
В этом случае после подстановки в уравнение (V.2.1) получим
0, (V.2.3)
где
**4 /-ч2 Зр A —& ) А/ О Л\
Y^ = СО Туш • \\ ,Z,.4l)
Уравнение (V.2.3) можно представить как (у2 — у2) (у2 + V2) У = О
и привести к двум уравнениям второго порядка:
Дальнейший ход решения зависит от характера краевых условий.
Исследуем колебания круглой пластины. Для этого решение урав-
уравнений (V.2.5) будем искать в полярных координатах.
Для первого уравнения (V.2.5) решение конечное и при
имеет вид
где /я = 0, 1, 2, 3, ...
Решение второго уравнения (V.2.5) выражается через функцию
Бесселя от мнимого аргумента:
где <&т(]уг) — функция Бесселя первого рода m-го порядка.
Функции мнимого аргумента можно выразить через гиперболи-
гиперболические функции Бесселя по формуле Im(yr) = jm<^()
149
Всевозможные простые решения для круглых пластин представ-
представляют в виде суммы решений (V.2.7) и (V.2.6):
Ym =C°*my[Am&m(yr) + BJm (yr)l (V.2.8)
Ы11
где т = 0, 1, 2, 3, ...
Таким образом, в соответствии с числом значений т имеется
счетное множество возможных решений.
Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянных Ат,
Вт и допустимых значений параметра у необходимо задать граничные условия.
Примем условия для края, зажатого по окружности:
„„-О. (V-2.9)
где а — радиус пластины.
Применяя к (V.2.8) первое условие, находим
Производная
4г - 2 (
в применении второго краевого условия дает бесконечно большое число уравнений
(Уа)~^т (V«) l'm (^) = 0- (V-2.ll)
Собственные частоты и фундаментальные функции. Решение
каждого из уравнений (V.2.4) относительно уа может быть представ-
представлено в виде
Чтп^^Кп К /1 = 0, 1, 2, 3, ...), (V.2.12)
где ртл имеют следующие значения:
р01 = 1,015; Рад = 2,007; р03 - 3,000;
р1Х = 1,468; р12 = 2,483; р18 = 3,490;
ра1= 1,879; р22- 2,992; р23 =
При п-+оо $тп-+п-{-т/2.
Имея в виду, что параметр у зависит от частоты, по формуле
(V.2.4) получаем
_ (V.2.13)
или
3t2/t 02 "I / ^
откуда
f e «a» = i!i в^„ л/~ Е
lmn 2я 2д2 rmn у ЗрA—С
150
В частности,
fox = 0,9342 j-
/ 02== 3,309/01; /ц = 2,09/01;
/21 = 3,426/01; /22 = 5,983/01.
(V.2.14)
Простейшие формы колебаний пластины описывают фундаменталь-
фундаментальными функциями (V.2.8). Если вместо Ат и Вт подставить значения,
найденные из граничных условий, то получим два вида фундамен-
фундаментальных функций:
fflmn\
I
п(о = cos m<p \&m {n$mnr') - ffKl\ Ia
L 'т \кРтп)
п (н) = sin mcp f«7 (nf,mnr') f
L
(V.2.15)
(V.2.16)
причем (V.2.15) представляет собой четную функцию, a (V.2.16)
нечетную.
Рис. V.2.1
Фундаментальные функции
свойство:
1 2Л
/ со<<
и 1|;тл(н) имеют следующее
о о
г 0 при т! Фт, п'
= /П, /If = П.
Анализ колебаний круглой пластины показывает, что число, соот-
соответствующее порядку бесселевой функции, совпадает с числом узловых
окружностей, за исключением граничной. Число /г, соответствующее
порядковому номеру решения характеристического уравнения (V.2.11),
совпадает с числом узловых диаметров без единицы. На рис. V.2.1
показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.
15!
Общее решение уравнения пластины состоит из суммы всех част-
частных решений. Частные решения представим в виде
r, Ф) Атп е}ш = Ym (г, ф) А
тп
Используем только действительную часть этой комплексной функ-
функции. Подставляя вместо Ymn(r, ф) фундаментальные функции (V.2.15)
и (V.2.16), найдем частные решения:
т)]cos тф cos
п{и)(г, ф, 0 = ^ш \fm (п$т
т)]sin т*cos
для симметричных и несимметричных колебаний, где сот/г=—х
X
]/
ЗрA-а2) Р'™'
Введем в частное решение фундаментальную функцию tymn и
получим
Чтп = ^тл\|?отл (Яртпг', ф) COS (C*W — Фтп) =
= Цтп(п$тпГ'> ф) [Втя COS Ют^ +Стл sin @^], (V.2.18)
где
; 1§Фт/г = ^; (V.2.19)
1cos m(P
J sin тф>
яртп —корни характеристического уравнения (V.2.11), r' = r/a\ a —
радиус пластины.
Общее решение имеет вид двойного ряда
сю со
Ц{Г, ф, 0= 2 ? Цтп(П?>тпГ') [В тп COS (Omnt +С тп Sin 0>mnt]. (V.4.20)
Для нахождения коэффициентов Втп и Стл воспользуемся начальными
условиями
|?i,_/-С Ф> (V.2.21)
и условием ортогональности (V.2.17). В результате получим
1 2л
о о
152
''• Ф) tOTn фт/У df' d(f = T
откуда
2я
J I U{r'y)$Gi§mnr')r'dr'
Кроме того, на основании вто ого граничного условия получаем
! 2л
О О
Отсюда следует интегральная формула для Стп:
1 2л
JJy (''' Ф) ^>™ (яР/ияЛ ф)
Энергия колебаний пластины. Можно показать, что независимо
от контура полная энергия колебаний пластины, определяемая фор-
формулой
равна сумме энергий осцилляторов с частотами сотл, амплитудами
Y и массой, составляющей г/л массы пластины.
ГЛАВА VI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН
В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ VI.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В предыдущих главах были рассмотрены колебания ограничен-
ограниченных упругих тел с распределенными параметрами. На примере стру-
струны, закрепленной на концах, было показано, что смещение частиц
струны, возникшее в начальный момент времени в каком-либо месте,
распространяется вдоль струны в обоих противоположных направ-
направлениях в виде поперечных упругих волн, которые, многократно
отражаясь от противоположных концов, в результате сложения
образуют поперечные колебания с определенным набором частот,
амплитуд и начальных фаз. В этой главе будут исследованы основ-
основные законы распространения упругих волн в пространстве, когда
среду можно считать безграничной. Для начала в качестве упругой
среды примем жидкости и газы.
В отличие от упругих твердых тел жидкости не способны сдер-
сдерживать напряжения сдвига. В результате жидкости не имеют своей
153
формы, а принимают форму сосуда. Если к жидкости приложить на-
напряжение сдвига, то слои жидкости начинают перемещаться, перво-
первоначальная форма поверхности будет изменяться до тех пор, пока
действуют эти сдвиговые напряжения.
Количественно свойство сопротивления жидкости сдвиговым на-
напряжениям характеризуют вязкостью rj. Если вязкость равна нулю,
то сдвиговые напряжения в жидкости не возникают. Если внутри
невязкой жидкости провести поверхность S и выделить элемент по-
поверхности AS с нормалью п, а затем отнять от этого элемента ту
часть жидкости, которая расположена со стороны положительного
направления нормали, то, чтобы удержать оставшуюся часть жидко-
жидкости, следует приложить к элемен-
?Р2 ТУ поверхности AS силу, равную
г^ pAS (рис. VI. 1.1). Для невязких
,~?г жидкостей, находящихся как в со-
~ стоянии покоя, так и в состоянии
^гЗ движения, эта сила всегда пер-
~- пендикулярна площадке AS. Физи-
Физическую величину ру равную пределу
Рис. VI.1.1 отношения числового значения AFn
нормальной силы, действующей
на участок поверхности площадью AS, к величине AS при AS, стре-
стремящейся к нулю, называют давлением:
д^Р dp
В основу теории распространения упругих волн в жидкостях и
газах положены уравнения состояния жидкости, уравнения движения
Эйлера, уравнение непрерывности для плотности жидкости и урав-
уравнение, выражающее закон сохранения энергии,— всего шесть урав-
уравнений относительно давления р, плотности р, скорости v и темпера-
температуры Т. Все перечисленные величины характеризуют свойства и
состояние движения жидкости в том смысле, что они являются чис-
численными выражениями свойств элемента объема AV вещества, на-
настолько малого по своим линейным размерам, что в пределах этого
объема они не зависят от изменения координат точек пространства,
ограниченного этим объемом.
Состояние движения жидкости определено полностью, если из-
известны как функции времени и координат следующие физические
величины: плотность р, давление /?, компоненты скорости vXJ vyt vz
и температура Т. Для их нахождения необходимо иметь шесть неза-
независимых уравнений, содержащих эти функции и их производные.
Остановимся на составлении этих уравнений.
Уравнение состояния выражает зависимость давления от плотно-
плотности вещества и температуры. В общем виде оно может быть получено,
если известен один из термодинамических потенциалов. Выберем
в качестве независимых переменных плотность р или удельный объем
v = 1/р и температуру Т. Тогда уравнение состояния выражают через
свободную энергию единицы массы f(v, T) в виде ее производной
154
по удельному объему при постоянной температуре:
Обычно функция f(v, T) в явном виде неизвестна. Поэтому ее
выражают с помощью разложения в степенной ряд по отклонениям
независимых переменных от тех значений р0 и Го, которые они имели
в покоящейся жидкости:
lip, 7WK + »'. Т. + Г) = /„
Воспользовавшись выражением (VI. 1.1), получаем уравнение со-
состояния в виде степенного ряда:
где a(t)) — коэффициент объемного расширения, рг — изотермическая
сжимаемость.
Для адиабатических процессов уравнение состояния удобно выра-
выразить в виде функции давления от объема и энтропии s единицы массы;
р = 1-^-\ 9 где и —внутренняя энергия единицы массы. В этом слу-
случае для получения уравнения состояния в переменных s и v следует
внутреннюю энергию и (s, v) представить в виде степенного ряда
u(s, v) = u(vo + v'i
Тогда уравнение состояния будет иметь вид
Таким образом, в зависимости от характера процесса можно поль-
пользоваться как одной формой "уравнения состояния, так и другой.
Например, если процесс протекает при постоянной температуре, то
удобно применять уравнение (VI. 1.2). Если же во время процесса
остается постоянной энтропия, то используют уравнение состояния
в форме (VI. 1.3).
Уравнение энергии запишем в форме первого закона термодина-
термодинамики для обратимых процессов:
du = T ds — p dv.
В переменных v и Т приращение внутренней энергии имеет вид
155
(VI.1.5)
Согласно термодинамическим тождествам,
(ds\ _(др\ _ {р1
' — термический коэффициент давления; [^)m = cv/T0 {cv—*
(VI. 1.6)
где
теплоемкость единицы массы при постоянном объеме).
Исходя из этого, получаем
Выразив dv через плотность ldv = а
\ Ро
получим
du = cvdT-
dp - р dv,
или аи —
ф - Г ds = О,
cv dT
dp~T ds.
(VI. 1.7)
Для адиабатических процессов уравнения состояния и энергии имеют
вид
''-рЗГр'+-- ^dT"W^' (VLL8)
Для изотермических процессов имеют место иные уравнения,
а именно:
1
(VI. 1.9)
Уравнение непрерывности является математической формулиров-
формулировкой закона сохранения массы вещества. Пусть некоторый объем про-
пространства v ограничен поверхностью / (рис.
VI. 1.2), проницаемой для жидкости. Элемент
объема Ас содержит массу жидкости Am ==
г =рДи. Масса жидкости, ограниченная поверх-
поверхностью /, равна интегралу m^^pdv. Измене-
ние массы m жидкости в единицу времени
Рис. VI.1.2
Согласно закону неуничтожаемости массы, изменение массы в дан-
данном объеме должно компенсироваться массой жидкости, проникаю-
проникающей через поверхность. Обозначим элемент поверхности А/, единич-
единичный вектор п нормали к этому элементу, плотность жидкости р,
156
скорость потока жидкости через элемент поверхности v. Количество
жидкости, прошедшей через элемент площади Л/ в единицу времени
в Направлении нормали п, определяется формулой
Полный поток жидкости через поверхность /, охватывающую
объем v, определяется интегралом по поверхности:
Сумма изменения массы в единицу времени (VI. 1.10) и полного
потока массы через поверхность, ограничивающую данный объем.
{VI. 1.11), по закону неуничтожаемости массы должна быть равна
нулю:
$d?clV+Upvn)df = O. (VI.1.12)
Формула (VI. 1.12) выражает закон сохранения массы в интеграль-
интегральной форме. Используя теорему Остроградского — Гаусса
§(pvn)d/= \(Vpv)dV, (VI.1.13)
получаем уравнение непрерывности в дифференциальной форме:
g 0. (VI. 1.14)
Обозначим оси прямоугольной системы координат цифрами 1, 2,
3 и представим уравнение (VI. 1.14) в виде
где vx = vxt v2 = vy% v3 = vz-~ компоненты скорости по осям координат.
Условимся, как это принято в тензорном исчислении, операцию суммирования
Л -г—pvi записывать без знака суммирования, если индекс в первом и втором
*=i l
сомножителях повторяется. Так, например, обычная запись скалярного произве-
произведения векторов
в сокращенной записи имеет вид (АВ) = ^
На основании этога формулы записи векторных уравнений в компонентах
упрощаются, В частности, для уравнения непрерывности
157
Уравнения Эйлера. Выделим из пространства, занятого текущей
жидкостью, объем V, ограниченный поверхностью /. Внешнее давле-
давление р на поверхность f по закону Паскаля направлено по внутренней
нормали к поверхности. Сила давления dF на элемент поверхности df
с единичным вектором нормали п равна dF = — pndf.
Компонента силы по оси i (i=l, 2, 3 —номера координатных
осей) dF{ — — priidf. Полная сила, действующая на все элементы
поверхности в направлении координатной оси i, составляет &ptiidf.
f
На основании теоремы Остроградского — Гаусса этот интеграл пре-
преобразуется в объемный:
Fi^-fypnidf^-^dV. (VI.1.16)
Величина, стоящая под знаком интеграла, представляет собой
компоненту силы, действующей на жидкость, заключенную в эле-
элементе объема dV. Если ускорение частиц жидкости в пределах эле-
элемента объема dV есть dvt/dt, то согласно закону динамики Ньютона
dvj_ __ _ (др/dxj) dV __ __ 1_ др_
dt ~~ p dV p dxi '
Отсюда следуют дифференциальные уравнения движения
& + 7&-0- <VMJ7>
которые называют уравнениями Эйлера.
Здесь dvi/dt— полное ускорение частицы движущейся жидкости,
состоящее из мгновенного dvi/dt и переносного vkdvildxk ускорений:
dvt _ dvt , dvi
~dt-'m"YVkWk'
Переносное ускорение записано с использованием правила повто-
повторяющихся индексов. В развернутом виде оно представляется суммой:
dvi dvi , dvi , dvi
Vkdx~k~ Vldx^ + V2dx^ + V3dx^-
С учетом выражения для полного ускорения уравнение (VI. 1.17)
принимает следующий вид:
Последнее слагаемое уравнения Эйлера содержит произведение
удельного объема 1/р на компоненту градиента давления. Его можно
записать с помощью термодинамических соотношений (см. приложе-
приложение IV) в виде
1 dp dp __ dh rp ds
^1Щ ~Vlhci~~' ~dx~l~~ dxt'
где h и s — тепловая функция и энтропия единицы массы.
158
Используя указанную формулу, получаем
~zI-TVk 5^+л" = Т ч~. (VI.1.19)
5/ ' п dxk l dxi dxi v 7
Если энтропия вдоль всего пространства потока постоянна, то
уравнение (VI. 1.19) упрощается:
Выражения (VI.1.3), (VI.1.7), (VI.1.14) и (VI.1.18) составляют
полную систему уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Эти
уравнения сведены в табл. VI. 1.1.
В общем виде все записанные уравнения нелинейные. Для их
решения используют приближенные методы математической физики.
Одним из них является метод возмущений, или метод последователь-
последовательных приближений. Сущность этого метода состоит в следующем.
Искомые функции представляют в виде рядов Маклорена, состав-
составленных относительно малых отклонений параметров состояний от тех
значений, которые имеет система, когда находится в полном покое.
Значения этих параметров принимаются как решения уравнений
в нулевом приближении. Для отыскания решения задачи в первом
приближении подставляют в уравнения выражения искомых функ-
функций в виде разложений в степенные ряды, где отброшены члены,
содержащие степени переменных выше первой. В результате полу-
получают линейные уравнения для определения малых отклонений искомых
величин как функции от времени / и координат х, у, г.
Полученное решение первого приближения используют для отыс-
отыскания функций во втором приближении. С этой целью к решениям
первого приближения добавляют члены, содержащие вторую степень
независимых переменных. После подстановки в нелинейное уравне-
уравнение находят уравнение для определения добавочной функции. Эти
уравнения также являются линейными. Их решение вместе с реше-
решениями нулевого и первого приближений дает решение задачи во
втором приближении. Для нахождения более точного решения про-
процесс повторяют с привлечением членов ряда, содержащего третьи
степени, и т. д.
В акустике малых амплитуд ограничиваются только решениями
первого порядка. Найдем уравнение первого порядка. Для этого
каждую из искомых функций представим в виде ее значения для
покоящейся жидкости и небольшого приращения, зависящего от
малых изменений переменных относительно начальных значений.
В этом случае в уравнениях состояния и энергии останутся только
величины первого порядка. Что касается уравнения непрерывности,
то, принимая условие, что произведение производных от скорости
по координатам и малых приращений плотности — величины второго
порядка малости, и отбрасывая их, получим линейное уравнение
непрерывности относительно приращения плотности и малых значе-
значений Vil
159
Таблица VI. 1.1
Уравнение состояния и уравнение энергии
Общие уравнения
fdu \ /df \
Р (до).- Р [dvJT
CvdT ^ф Tds
Уравнения для адиабатических
процессов
Р Р» + РоР,Р'
C«dT P5Pr °
Уравнения для изотермических
процессов
р Р9 + рАр'
-—dp + Tods-0
РоРг
Уравнения непрерывности и уравнения Эйлера
В векторной форме
^ + (Vpv)-0
/^V 1
?y + (vV)v+-Vp = 0
В символической форме
теории поля
^- + div(pv)-0
^V 1
•щ + (v grad) v + — grad p = 0
В компонентах
dt l dxt
В уравнениях Эйлера переносное ускорение vkdvi/dxk является
также величиной второго порядка, если скорость vt — малая вели-
величина первого порядка и членами vxdvx/dx\ vydvx/dy можно пренеб-
пренебречь по сравнению с градиентом —-J-. Тогда уравнения Эйлера в
линейном приближении будут иметь вид
at ' ро dxt
Эти уравнения также являются линейными относительно малых
изменений давления р' и малых скоростей vt.
В векторной форме уравнения гидродинамики линейного прибли-
приближения имеют следующий вид:
aiV) dv , (VI.1.22)
Tbd? + ^ 0
гдер, о, p, T — величины первого порядка; p/po<Jl; ^ ppo^;
T/7O<<1; po, To, p0 — средние значения соответствующих величин;
а —скорость распространения других волн.
Потенциал скорости. Система уравнений идеальной жидкости
(см. табл. VI. 1.1) составлена в геометрических переменных Эйлера
относительно скалярных (р, ру Т) полей и векторного поля v.
В общем виде векторное поле представляет собой наложение потен-
потенциального и соленоидального полей: v = vn + vc.
Для потенциального поля rotvn = 0, т.е. линии этого поля не-
незамкнуты. Соленоидальное же поле —вихревое, его линии замыка-
замыкаются сами на себя, следовательно, дивергенция скорости vz равна
нулю (divvc = 0).
Покажем, что векторное поле скорости, входящее в акустические
уравнения (VI. 1.21) и (VI.1.22), состоит только из потенциального
поля. С этой целью представим уравнение Эйлера в виде интеграла
по времени:
t + t to+t
to
Проведем доказательство от противного. Предположим, что поле
вектора скорости (VI. 1.23) состоит из потенциального и соленоида-
соленоидального полей (v = vn + vc). Применим к этому полю дифференциаль-
дифференциальную операцию rot:
rotv-rotvn + rotvc. (VI. 1.24)
Из теории поля известно, что дифференциальная операция rot
над qrad ф равна нулю. Таким образом, в левой части (VI. 1.24)
имеем нуль, а в правой rot vn + rot vc. Но, по определению, rotvn = 0,
откуда следует, что rotvc = 0. Следовательно, vc = const. Однако для
бесконечно удаленных точек пространства vc = 0. Поэтому это
(М -+ОО)
поле равно нулю и для произвольной точки пространства,
б Л, Ф. Лепендин 161
Отсюда следует, что векторное поле v, удовлетворяющее линей-
линейному уравнению (VI. 1.23), имеет потенциальный характер. Интеграл,
входящий в выражение (VI. 1.23), называют потенциалом скорости:
t
Ф(*, У, г, г) = ^[рЛх- (VI.1.25)
Используя определение потенциала скорости (VI. 1.25) и уравне-
уравнения линейного приближения (VI. 1.22), можно показать, что все
функции р, /?, vi, T связаны с потенциалом скорости простыми соот-
соотношениями:
. д
T(Xk> 0='°" ™™'4. (VI.1.26)
ср ог
(xk = х, у у г)
Согласно этим формулам, все функции, характеризующие малые
изменения указанных величин, получаются из одной скалярной
функции путем ее дифференцирования.
Иногда полезно вместо шести уравнений для шести функций
иметь одно дифференциальное уравнение относительно какой-либо
из них (часто в ее качестве используют потенциал скорости). Полу-
Полученное дифференциальное уравнение относительно потенциала ско-
скорости будет содержать производные второго порядка по времени и
координатам и называется волновым уравнением для потенциала
скорости. Очевидно, что в зависимости of выбора функции, к ко-
которой сводят указанную систему, волновых уравнений будет не-
несколько. Рассмотрим одно из них.
§ VI.2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ
Подставим в уравнения (VI. 1.22) выражения искомых функций
через потенциал скорости (VI. 1.25) и после необходимых преобра-
преобразований получим вместо шести уравнений первого порядка для
/?, p, Vx> Vy, v*j Т — одно дифференциальное уравнение второго
порядка относительно Ф (#;, t):
Плоские волны. Когда потенциал скорости — функция одной
координаты х и времени t, то уравнение (VI.2.1) совпадает с волно-
волновым уравнением струны:
_ . _____ _____ —— С\ /\/Т ^У ^У\
Ot PoP.s OX
162
Частным
функция
решением уравнения (VI.2.2) (см.
Ф(*. t) = f(t-x/c).
п
гл. III) является
(VI.2.3)
где c=*VV(p<fis)-
Существенная особенность данного решения состоит в том, что
здесь время / и координата х определяют численные значения функ-
функции не раздельно, а в линейном сочетании: x\ — t — х/с. Каждому зна-
значению ц соответствует одно и только одно значение потенциала ско-
скорости. Величину, которая однозначно
определяет отклонение функции от сред-
среднего значения, называют фазой, а гео-
геометрическое место точек равной фазы —
фронтом волны.
В зависимости от формы поверхности
равной фазы волны разделяют на пло-
плоские, цилиндрические, сферические и др.
Пусть л^о- Тогда для момента
времени t получим уравнение фронта
волны
x = c(t-t0), (VI.2.4)
которое представляет собой уравнение
плоскости, параллельной YOZ и отстоя- Рис. VI.2.1
щей от начала прямоугольной системы
координат на расстоянии c(t — t0). Для текущего времени t фронт
волны перемещается вдоль оси X со скоростью с.
Для записи уравнения фронта волны в форме, не зависимой от
системы координат, используют векторные уравнения поверхностей.
В частности, для плоской волны — уравнение плоскости в векторной
форме. Пусть конец радиуса вектора г соответствует произвольной
точке плоского фронта волны, распространяющейся вдоль оси ОХ
(рис. VI.2.1). Обозначим п единичную нормаль плоского фронта в на-
направлении распространения. Тогда расстояние х от начала О до
фронта волны в момент времени t определится проекцией вектора г
на направление нормали п, т. е. скалярным произведением векторов г
и п. Следовательно, уравнение фазовой плоскости примет вид (гп) =
= c(t — t0), а фаза волны получит выражение, не зависимое от си-
системы координат:
Л = '-™. (VL2.5)
Пользуясь этой записью фазы, нетрудно получить формулу пло-
плоской волны, распространяющейся в любом направлении относительно
выбранной прямоугольной системы координат. Для этого достаточно
записать скалярное произведение (гп) в компонентах относительно
системы XYZ. Следовательно, (гп) есть расстояние от начала коорди-
координат до плоского фронта волны.
Цилиндрические волны. Для описания таких волн удобно поль-
пользоваться цилиндрической системой координат. Предположим, что по-
потенциал скорости Ф не зависит от координаты г и является функцией
6* 163
полярного вектора г, угла ф и времени /. Тогда волновое уравнение
будет совпадать с волновым уравнением мембраны [см. (V.1.6)]:
с2 =
Для частного случая, когда потенциал не зависит от угла ф,
уравнение (VI.2.6) принимает вид
!_r^Y] = 0. (VI.2.7)
dr dr /J v '
Для получения решения уравнения (VI.2.7) преобразуем его
к функции и = \^гФ и найдем
Одно из частных решений этого уравнения имеет вид
U (r, t) = f(t-r/c).
Отсюда следует выражение для функции Ф(г, t):
ф(г> t) = -7=-f(t — r/c). (VI.2.8)
Поверхность равной фазы в этом случае удовлетворяет уравнению
r\0 = t — г/с, или r = c(t — т]0), и представляет собой цилиндрическую
поверхность с круговым сечением, ось которой совпадает с осью Z
(рис. VI.2.2), а радиус г растет пропорцио-
пропорционально времени.
В отличие от плоской волны функция Ф
в данном случае обратно пропорциональна
корню квадратному из расстояния /*.
Сферические волны. Если потенциал ско-
скорости является функцией трех координат и
времени, то волновое уравнение имеет вид
Т) /J(Т) Я2(Т) \
или в сферической системе координат
1 д
дФ
дФ
Рис. VI.2.2
В частности, когда функция не зависит от угловых координат,
Нетрудно показать, что после замены функции Ф(г, t) выраже-
выражением U (r, t)[r из (V 1.2.11) получается уравнение
d2U 1 дЮ
164
Его частное решение:
U=f(t-r/c), Ф(г, f) = i/(f-r/c), (VI.2.12)
где с =1/4-, т10 = <-у-фаза.
Тогда уравнение для волнового фронта
r = c(t-r\Q). (VI.2.13)
Это уравнение сферической поверхности, радиус которой увели-
увеличивается пропорционально времени t. Таким образом, потенциал Ф
представляет собой сферическую волну, распространяющуюся со ско-
скоростью с = ]/1/(р[Ь). Значение потенциала уменьшается обратно про-
пропорционально расстоянию г.
Любую периодическую волну можно представить в виде совокуп-
совокупности синусоидальных волн с помощью рядов Фурье.
Разложение волновой функции в ряд Фурье. Если волновая функ-
функция плоских волн ф = /(т))=/(/ —я/с) имеет период Ги/^я/^ Д
то ее можно разложить в ряд по гармоническим функциям:
где Л0=
Обозначив периоды гармонических составляющих разложения
(VI.2.14) T/m = Tm, получим для гармонической составляющей перио-
периодического волнового процесса выражение
Am cos ~ (t - ~J = Am cos {aj - kmx),
~ (t - J
где com=~-; km = -f- ~x7"' ^т~длина волны, соответствующая гар-
гармонической составляющей периодического волнового процесса.
Часто ряд Фурье записывают в следующем виде:
оо
= у + 2 (Л« cos (D«»Tl + B"sin ютТ1), (VI.2.15)
T
где aOT = VAl + Bl; Am = | J / (t)) cos
0
165
При анализе волновых процессов иногда удобно использовать
представление гармонической функции с помощью комплексной
функции действительного аргумента:
ат cos (©m* - kmx- Фт) = Reame'<?*'-*"*), (VI.2.16)
где ат = ате'1Ц)ту х = (т).
При этом все линейные операции с тригонометрическими функ-
функциями заменяют на те же операции с функциями комплексными,
как это принято в теории колебаний.
Гармонические волны являются наиболее простым частным слу-
случаем периодических волн. Для плоских гармонических волн, рас-
распространяющихся в сторону положительного направления коорди-
координатной оси X. потенциал скорости может быть записан комплексной
функцией ф = А&{ш-кх).
Воспользуемся формулами для функций волнового поля (VI. 1.16)
и получим:
ср
/?Ф РР
Отношение давления р к колебательной скорости vx называют
удельным волновым сопротивлением. Для плоской волны эта величина
выражается формулой
р
20 = -т- = р0С.
Отсюда получают следующий вывод: в плоской звуковой волне
избыточное давление и колебательная скорость совпадают по фазе,
но опережают фазу смещения частиц на 90°. Это значит, что в тот
момент времени, когда в данном месте жидкости наступит максималь-
максимальное избыточное давление, частицы среды имеют наибольшую скорость,
причем направление скорости совпадает с направлением распростра-
распространения звука. Смещения частиц в этом месте равны нулю, т. е.
частицы среды в местах наибольшего давления проходят через поло-
положение равновесия в направлении распространения волны с макси-
максимальной скоростью.
В тот момент времени, когда в каком-либо месте среды волна
вызовет наибольшее уменьшение давления, частицы среды будут про-
проходить положение равновесия с максимальной колебательной ско-
скоростью, но только в направлении, противоположном направлению
распространения звука.
Что касается цилиндрической волны, то для нее потенциал ско-
скорости имеет вид
166
Соответственно этому ее колебательная скорость
давление
р = /сор0Ф.
Удельное волновое сопротивление для цилиндрической волны
является комплексной функцией расстояния и волнового числа:
« vr
При kr-^co сдвиг фаз между давлением и скоростью стремится
к нулю (г-->0), поэтому z^-^PqC и цилиндрическую волну на боль-
ших расстояниях можно считать плоской.
Для сферической волны (Ф = — е^-^М также не имеет места
совпадение фаз давления р и колебательной скорости vr:
(VI.2.18)
tga==—
Тогда удельное волновое сопротивление для сферической волны
выражают комплексной функцией
модуль которой p°g =, а фаза arctgr-. Это значит, что в сфе-
V 1 + \/(k2r2) Rr
рической волне колебательная скорость отстает по фазе от давления
на угол, тангенс которого l/(kr). При увеличении kr-^oo сдвиг фаз
между колебательной скоростью и давлением стремится к нулю.
В этом случае сферическая волна может быть приближенно принята
за плоскую. Увеличение произведения kr можно провести при уда-
удалении от источника или увеличении волнового числа, т. е. при
переходе к высоким частотам. Так как kr = 2nr/X является величи-
величиной относительной, то мерой удаления от источника может быть
отношение r/Х. Сферическая волна приобретает свойство плоской при
большом отношении г/К
§ VI.3. ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН
Поток энергии. Найдем скорость изменения полной энергии
потока жидкости в замкнутом объеме при нестационарном процессе:
167
С этой целью преобразуем производную, стоящую под знаком
интеграла, используя уравнение гидродинамики и уравнение энергии
для адиабатического процесса:
di ~ dxt WVl)i dt ~ Vk dxk p dxt'
m = Ti + ^'dh=TdS+Jd»-
; dvt 0 /l/2
Заметим, что h = и + - p, У;
Тогда
д Г / . и* VI dp/ , u2\ . fdu
^[p^+JJ^ + J + P^
a r, 4/ .
s; L(pt;f) lu +
a
а^
а
tt « „ /as , as n\
Для потока с постоянной энтропией (л7"г^ л~" ==^j получим
Отсюда следует
Используя теорему Остроградского — Гаусса, находим
И(т)]Н(?Ь^ (VL3-2)
Следовательно,
(е?+ри) dv=~ § (f + рл) 0|Я^. (VI.з.з)
Из формулы (VI.3.3) видно, что изменение в единицу времени
полной энергии текущей жидкости в объеме V равно полному потоку
мощности через поверхность, замыкающую объем.
Энергию, протекающую в направлении нормали к элементу поверх-
поверхности df в единицу времени, называют потоком мощности через
площадку df:
dI = (^Y + ph)(vn)df. (VI.3.4)
Отношение потока di к элементу площади df cos (nv) называют
плотностью потока энергии или вектором Умова — Пойнтинга:
(^ ) (f ). (VI.3.5)
168
Этот вектор совпадает по направлению с вектором скорости тече-
течения жидкости.
Интенсивность упругих волн. Найдем выражение вектора Умо-
ва —Пойнтинга для случая упругих волн. Пусть плотность р и теп-
тепловая функция единицы массы h отклоняются от своих средних зна-
значений на р' и Л'. При этом р'/Ро и h'lh0 — малые величины первого
порядка. Допустим, что скорость v удовлетворяет условию \v\lc<^\.
Кроме того, предположим, что процесс распространения упругой
волны подчиняется закону постоянства энтропии (ds = O). Подставим
в выражение (VI.3.5) значение функции, соответствующей линейному
приближению:
Р = Ро + Р'^Ро»
jdp.
Заменяя дифференциал давления на конечное приращение и учи-
учитывая, что, по условию, ds = O, найдем для тепловой функции еди-
единицы массы выражение
После подстановки в формулу (VI.3.5) этих выражений получим
Yi^^f + poho + p')vh (VI.3.6)
или в векторных обозначениях
). (VI.3.7)
Интенсивностью упругой волны называют среднюю по времени
вектора плотности потока энергии (VI.3.7).
Допустим, что волновой процесс определен частотой со и ско-
скоростью с распространения волны и что между колебаниями давления р
и скоростью v имеется сдвиг фаз а. Пусть эта гармоническая волна
плоская и распространяется в направлении оси X. Тогда колебатель-
колебательная скорость направлена по оси X и выражается формулой
Х)х = v0 COS (СО^ — kx).
В данном случае вектор потока энергии имеет только компоненту
на оси X и выражается нелинейной функцией общей фазы ц =
= at — kx:
Y = у vl cos2 (co^ — kx) + poho -f p0 cos (co^ — kx — a) \v0 cos (octf — kx) =
= ~ Vl COS3 (d)t — kx) + pohoVo COS (CO^ — kx) +
-\-p0v0cos ((dt — kx — a) cos((dt — kx). (VI.3.8)
Для получения общей формулы интенсивности гармонической
волны с частотой со = 2п/Т усреднение вектора Y надо проводить по
времени t, кратному периоду Т.
169
С этой целью необходимо вычислить интеграл по времени от выра-
выражения плотности потока энергии (VI.3.8) в пределах от 0 до IT и
результат разделить на IT (/ — целое число):
IT
<??= -L J ул = !(/! + /, +/8), (VI.3.9)
где
п
/i^-^Jcos3^/-,/
о
IT
h = Ро^о^о \ cos [-7F t — kx) dt:
J W /
о
/r
h = PqVq \ cos (-? / — /гл: — a I cos (-^ / — kx) d/,
причем /х и /2, как интегралы от нечетных функций, равны 0, а
интеграл /3 имеет четную функцию и равен
В результате интенсивность гармонической бегущей волны
^ (VI.3.11)
В частности, для плоских волн, распространяющихся без затуха-
затухания, а = 0 и o7 = p0v0/2.
Если воспользоваться связью между давлением р0 и колебатель-
колебательной скоростью v0 для плоской волны vo = ро/(рос), то
Для цилиндрической волны получаем следующую формулу при
расчете интенсивности:
Аналогично можно получить формулу для интенсивности сфери-
сферической волны:
^ PC (VI314)
Заметим, что согласно этим формулам интенсивность цилиндри-
цилиндрической волны убывает обратно пропорционально расстоянию, а интен-
интенсивность сферической обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Интенсивность стоячей волны можно получить как частный слу-
случай (VI.3.11). В стоячей волне между давлением и колебательной
170
скоростью сдвиг фаз л/2, откуда следует, что ее интенсивность равна
нулю.
Если давление и колебательная скорость волны выражаются
комплексными функциями действительного аргумента, то для вычис-
вычисления интенсивности (см. гл. I) достаточно взять реальную часть
половины произведения взаимосопряженных комплексных функций
скорости и давления. Например, для цилиндрической волны комп->
лексные выражения скорости и давления имеют вид:
в ^Ay
При замене / на — / образуем комплексно-сопряженное выраже-
выражение для функции давления. Половина произведения vp* имеет вид
комплексной функции у -у ?соро A — / ^ j. Отсюда интенсивность
равна
1 п \А1 * /, -
у Re[^ Ь)Ро A - / Wr
Если бегущая волна периодическая и состоит из нескольких
гармонических составляющих, то для вычисления интенсивности
необходимо просуммировать интенсивности всех гармонических
составляющих. Иногда интенсивность периодической, но не синусо-
синусоидальной, волны определяют как среднюю по времени, кратному
периоду, плотность потока энергии.
Для стационарной статистической зависимости звукового поля от
времени усреднение проводят за промежуток времени, больший по
сравнению со временем, соответствующим радиусу корреляции волны.
Интенсивность упругих волн является одной из энергетических
характеристик звукового поля. Преимущественно ее используют для
поля бегущих волн.
Плотность звуковой энергии. Другой энергетической характери-
характеристикой упругих волн является энергия волны, приходящаяся на
единицу объема и усредненная по времени. Для вычисления этой
величины найдем энергию волны в элементе объема:
Здесь [^- + ^2~") АV — кинетическая энергия жидкости в элементе
объема АУ; (ро^' + р'Ц)) АV — внутренняя энергия объема AV поля
упругой волны; pQu0AV — внутренняя энергия этого элемента объема
покоящейся среды.
Приращение внутренней энергии и' при адиабатическом измене-
изменении плотности от среднего значения р0 до ро + р' равно работе изме-
изменения объема единицы массы. В течение небольшого промежутка
времени удельный объем жидкости изменится на небольшое значение
171
dV. При этом изменится и плотность на dp — — у$ dV = — ро
Приращение внутренней энергии определится интегралом:
/ро+р;
/ро+р
Подставляя р = ро + р' и заменяя переменную р на р = с2 (р — р0) +
+ р0, получим
\2poc2 ,м
(VI.3.16)
Из этого следует, что в момент времени / полная энергия эле-
элемента объема равна
Пусть v и р' — гармонические функции времени: v = A cos (со/ —
— foe), р' =В cos (со/ — fix —а). Тогда среднее по периоду от энер-
энергии еолны в объеме AV получается в результате сложения сред-
средних значений функции, пропорциональной р', и функции, пропор-
пропорциональной cos2 (со/ — kx — a), cos3(o)/ —а). Известно, что средние
по периоду от cos3(orf — а), cos (Ы —• а) равны нулю, а для
cos (со/ — а) имеет значение 1/2. Из этого следует, что средняя энергия
упругой волны в объеме ДУ, если учесть, что р' = р'/с2 = pov/c, равна
Из (VI.3.18) получаем формулу для вычисления плотности энер-
энергии плоской гармонической волны:
В плоской звуковой волне средняя плотность потока энергии
= (pv) = pmvm/2. Используя связь между амплитудами давления
и скорости: pm = pcv0, получаем
^ = (Y)=pocvln = (W)cny (VI.3.20)
где п — единичный вектор нормали к фронту волны; (W) — средняя
плотность звуковой энергии.
Соотношение (VI.3.20) показывает, что интенсивность бегущей
волны есть вектор, совпадающий с направлением распространения
и численно равный произведению плотности энергии W на скорость
звука. Таким образом, энергия волны распространяется со скоростью
звука.
172
Формуле интенсивности звука (VI.3.20) можно сопоставить закон
Джоуля —Ленца для электрической цепи:
Здесь существует прямая аналогия между мощностью тепловых
потерь W в электрической цепи и интенсивностью звука <&\ между
амплитудой колебательной скорости v0 и амплитудой силы перемен-
переменного тока /0; между электрическим сопротивлением цепи R и удель-
удельным волновым сопротивлением рос.
§ VI.4. ЗАТУХАНИЕ УПРУГИХ ВОЛН
Коэффициент поглощения энергии упругих волн. В реальных
жидкостях и газах волновой процесс сопровождается рассеянием
энергии упругой волны, так что по мере удаления от источника
интенсивность плоской волны убывает. Это происходит как за счет
необратимого превращения механической энергии в энергию молеку-
молекулярного движения среды, так и за счет рассеяния энергии волны
на различных неоднородностях.
Процесс уменьшения интенсивности упругих волн, как это под-
подтверждается опытом, подчиняется закону, согласно которому умень-
уменьшение интенсивности плоской волны на пути распространения Ах
пропорционально интенсивности о? и длине отрезка Ал::
= — aJ7 Ах.
После перехода к пределу при Дл:->0 получаем
^=-а,Лс. (VI.4.1)
Интегрируя в пределах лс0, х9 найдем
^ = ^ое-аэ\ (VI.4.2)
Здесь ©70 — интенсивность упругой волны в плоскости с координатой
х = хо = О\ е^—интенсивность, соответствующая координате х\ аэ —
энергетический коэффициент поглощения упругой волны.
Коэффициент затухания. Согласно (VI.3.21), интенсивность пло-
плоской волны связана с амплитудой давления упругих волн соотно-
соотношением
L (VI.4.3)
Сопоставляя (VI.4.2) и (VI.4.3), получаем закон убывания ампли-
амплитуды давления:
(VI.4.4)
где а — коэффициент поглощения упругих волн.
173
Таким образом, плоская гармоническая волна может быть пред-
представлена в виде
р = Рое-™ cos (со* - ft*), (VI.4.5)
или комплексной функцией
р = рое-ахе^-кх\ (VI.4.6)
которую можно записать в виде формулы плоской волны с комплек-
комплексным волновым числом ft
p = Poe/W-Zx)9 (VI.4.7)
где ft = ft - /а = ft A + a2 Ik2) e~^ = со A + а2с2/оз2) е~^/с; tg ф = — a/ft ^
= — ас/(о.
Поскольку потенциал скорости гармонической волны связан с дав-
давлением соотношением Ф—/?/(/(ор0), можно записать формулу для
потенциала скорости волн с учетом затухания в виде
Ф=Фое'(а)'-**>. (VI.4.8)
Разумеется, функции (VI.4.7) и (VI.4.8) удовлетворяют волновому
уравнению, только в нем появится комплексный коэффициент с2:
g& (V..4.9,
Естественно, это относится также к двухмерным и трехмерным
волнам. Для описания затухающих волн в пространстве можно
использовать уравнения типа (VI.4.9) в виде
|-Ф-^ДФ = 0, (VI.4.10)
где ? = 1/р0 = ?' + /?" —комплексный модуль упругости.
Этому уравнению удовлетворяет функция (VI.4.8) при условии,
что
а.—в*2 — ю2
ИЛИ
й~ Ро+/ Ро -
где ft = со/с.
Уравнение (VI.4.И) можно решить относительно волнового числа
ад 1с и коэффициента поглощения а или в зависимости от поставлен-
поставленной задачи относительно действительной Ег и мнимой Е" частей
комплексного модуля упругости. В первом случае получается:
^ (ф=
174
во втором:
Заменяя k его выражением через фазовую скорость распростра-
распространения звука ?=(о/<;, получаем:
р, __ (l
Из этих формул следует, что, измеряя скорость с распростране-
распространения упругой волны и коэффициент затухания а, можно вычислить
комплексный модуль упругости. При малом затухании (cc2c2/ft>2<^ 1)
выражения (VI.4.13) можно упростить:
Е' ^ р0с2, Е" ъ* 2р0с2ас/а. (VI .4.14)
Иногда требуется вычислить акустические величины (скорость с
и коэффициент поглощения а) по измеренным значениям действитель-
действительной и мнимой частей комплексного модуля упругости. В этом случае
можно пользоваться формулами (VI.4.13). Нетрудно показать, что
отношение действительной части модуля упругости к мнимой его
части равно добротности колебательной системы:
Это соотношение полезно применять для вычислений акустических
параметров.жидкости при малых затуханиях.
§ VI.5. СКОРОСТЬ ЗВУКА В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ
Скорость звука в газах. Для вычисления скорости распростране-
распространения упругих волн можно применить формулу
где р.у — адиабатическая сжимаемость жидкости или газа.
Если учесть определение коэффициента адиабатической сжимае-
сжимаемости
"¦--¦
где v = 1/р — удельный объем, то формулу скорости (VI.4.1) можно
связать с уравнением состояния р(р, Т). С этой целью воспользу-
воспользуемся соотношением между адиабатической и изотермической сжимае-
мостями (VI.2.3): р^ = си/?рРг.
Заменим удельный объем через плотность р и после подстановки
формулы (VI.5.1) получим
175
Для вычисления скорости звука по этой формуле необходимо
иметь уравнение состояния вещества, т. е. функциональную зависи-
зависимость между давлением, плотностью и температурой. Опыт показы-
показывает, что газы и пары при низком давлении и достаточно высокой
температуре подчиняются уравнению состояния Менделеева — Кла-
Клапейрона:
Р = 9~, (VI.5.4)
где р —плотность газа; R = 8,3 ДжДмоль • К) — молярная газовая
постоянная; Т — температура; [х — молярная масса, кг/моль.
Пользуясь формулой (VI.5.3) и уравнением состояния газа (VI.5.4),
нетрудно получить для скорости звука в идеальном газе выражение
р0
(VI.5.5)
Эта формула содержит давление р и плотность р как функции
температуры. Как известно, р/р = (ро/ро) (l+a{v)t) (I +a{p)t) = (ро/ро) X
X A + //273J при а<*> = аМ = а =
1 /273 град-1 и вместо (VI .5.5) можно записать
С2,Ю5М2/С'<
78
75
72
> Ро
кг/м3
4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Igf
Рис. VI.5.1
(VI.5.6)
где / — температура, град.
Для воздуха (р0 = 1,293 • Ю-3
Ро= Ю,23 Па; cp/cv= 1,41), ср&1
+ 1,21/, м/с.
Скорость звука (см. ч. II, гл. IX),
вычисленная по (VI.5.3.), соответствует
волнам с периодом колебаний, во много
раз превышающим время установления состояния термодинамического
равновесия (время релаксации). Например, скорость звука в угле-
углекислом газе не зависит от частоты / и может быть вычислена по
(VI.5.5.), но при частотах ниже, чем 100 кГц; на более высоких час-
частотах скорость звука в СО2 увеличивается приблизительно на 4% и
при частотах, превышающих 1000 кГц, не зависит от частоты
(рис. VI.5.1). Для газа, удовлетворяющего уравнению состояния
= Д7\ (VI.5.7)
с учетом (VI. 5. 3) получается более сложная формула скорости звука:
с = /йГ^(?+1)-$- (VL5'8)
Для вычисления скорости звука в газе по этой формуле следует
знать постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь, а также теплоемкость при
постоянном объеме cv. Опыт показывает, что уравнение (VI.5.8)
неудовлетворительно отражает экспериментальные данные только
176
для области, лежащей вблизи критического состояния вещества.
Расхождение теории с опытом получается потому, что здесь применяют
неточное уравнение состояния.
Часто для реальных газов используют уравнение состояния
с вириальными коэффициентами:
? ?) (VI.5.9)
где В и С— второй и третий вириальные коэффициенты.
Учитывая лишь второй вириальный коэффициент и пренебрегая
его высшими степенями, получаем формулу для скорости звука
в реальном газе:
которая может быть использована для вычисления как скорости
звука, так и вириального коэффициента 5, а также для вычисления
отношения теплоемкостей Ср/Су
Скорость звука в жидкостях. При определении скорости в жид-
жидкостях по формуле (VI.5.3) можно воспользоваться значениями
изотермической сжимаемости жидкости и теплоемкостей Ср и Су,
полученными экспериментально. Можно также с помощью уравнений
термодинамики преобразовать формулу (VI.5.3) к виду
(дР \ Г, Су {др1дУ)тЛ . /vi 5 1П
\df)[l~ T(d/dT)\ (V1.D.H)
df)v[l~ T(dp/dT)v\
Однако для оценки зависимости скорости звука от структуры
жидкости полезно проанализировать выражение для скорости звука,
если в нем учесть уравнение состояния конденсированных сред.
Простейшее уравнение такого рода —уравнение, предложенное Френ-
Френкелем:
р=т-?. <VL5-12>
где ф — потенциальная энергия взаимодействия молекул в жидкости;
& —постоянная Больцмана: v — объем, приходящийся на одну моле-
молекулу. В качестве потенциальной энергии взаимодействия выбирается
приближенная формула потенциала, пригодная для молекул сфери-
сферической формы,— функция Ленарда —Джонса:
Применяя эту приближенную формулу к уравнению адиабатической
скорости, получим
с2 =kT у*д\
~~ m * m дФ '
Cp/Cy m m
ИЛИ
2^=Т + ^Я0- (VI.5.14)
177
Как известно, давление в газах определяется ударами молекул
о стенки сосуда, т. е. является результатом действия молекул,
находящихся в поступательном движении. В конденсированных средах
молекулы находятся вблизи одна другой и взаимодействуют, поэтому
следует учитывать силы молекулярного взаимодействия: общее дав-
давление складывается из давления, возникающего за счет поступательного
движения, и внутримолекулярного давления pt\
RT , NkT ,
В уравнении (VI.5.12) второе слагаемое, очевидно, обозначает
силу межмолекулярного взаимодействия, отнесенную к одной молекуле.
Поэтому в формуле (VI.5.14), где kT/2 — кинетическая энергия,
приходящаяся на одну поступательную степень свободы молекулы;
- v2 -д-у — потенциальная энергия на одну степень свободы.
В жидкостях второе слагаемое значительно больше, чем первое,
и поэтому формула (VI.5.14) для жидкости приблизительно имеет
вид
ЩГу"^ Ь?% (V1.5.15)
Наоборот, в идеальных газах силами взаимодействия молекул
можно пренебречь, и формула (VI.5.14) для идеального газа приоб-
приобретает вид
$1
В общем виде формулу (VI.5.14) можно преобразовать к виду,
удобному при вычислении скорости звука в жидкостях, для которых
известен потенциал взаимодействия сил. С этой целью подставим
вместо объема, приходящегося на одну молекулу жидкости, vp^roQ
(сг0 — площадь сечения молекулы, г — межмолекулярное расстояние)
и получим
Для температур жидкого состояния kT<^r2^> поэтому
V
Массу одной молекулы можно представить как произведение
средней плотности жидкости на объем, приходящийся цг одну моле-
молекулу: т^=?р0а0гя^р0г3. Тогда
Ср/Су ~ р0Г3 р0Г '
Скорость звука в жидкости с шаровидными молекулами можно
вычислить по формуле
178
впервые полученной Б. Б. Кудрявцевым при cp/cv=l. Здесь она
приведена для общего случая, когда отношение теплоемкости отли-
отличается от единицы.
Скорость звука в жидкостях связана с теми физическими харак-
характеристиками жидкости, которые непосредственно определяются энер-
энергией потенциального взаимодействия молекул. К этим характеристикам
относят параметры критического' состояния вещества, поверхностное
натяжение, теплоту испарения и т. д. В связи с этим для приблизи-
приблизительных вычислений можно найти выражения для скорости звука,
связанные с этими характеристиками жидкости. Например, можно
показать, что скорость звука выражается через коэффициент поверх-
поверхностного натяжения:
c2 = BmnYiV1/3)^r3 + Y^:, (VI.5.20)
где а — поверхностное натяжение; п и у — эмпирические постоянные;
т для всех жидкостей равно 2.
Имеется эмпирическая формула скорости звука, куда входит
эмпирическая константа — парахор *
cp (PoP\2(_N\l/Q (VI.5.21)
cv\ \i I \р2ц/
Здесь число 4,66-—постоянный коэффициент, определяемый экс-
экспериментально.
Аналогично можно получить приближенную формулу скорости
звука, выраженную через критические параметры вещества:
И?? = RT + AkNl/3(TK — Т^-Д), (VI.5.22)
7
где Л = D,66J; А = ТК —Гим^^0; Ти м — температура исчезновения
мениска; Тк —критическая температура; & = 2,1 —постоянная Этваша.
Эти формулы позволяют вычислить скорость звука в органических
жидкостях с небольшой точностью G—10)%. В некоторых случаях
этой точности достаточно. Для гидроакустики такие приближенные
формулы непригодны, здесь необходима точность порядка долей про-
процента. В связи с этим используют эмпирические формулы скорости
звука в морской воде. Например,
с = 1450 + 4,200-0,0370*+ 0,018р +1,14 fa-35), (VI.5.23)
где q — соленость, мг/л; р —давление; в —температура, °С.
* Парахор Р обладает аддитивными свойствами: молярный парахор является
суммой парахоров атомов (или атомных групп) и связей, образующих молекулу.
179
ГЛАВА VII
ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ЗВУКА
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
§ Vn.l. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ЗВУКА
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ПРИ НОРМАЛЬНОМ ПАДЕНИИ
Граничные условия. На границе раздела двух сред звуковая
волна частично отражается, частично проходит во вторую среду. При
этом должны быть сохранены условия непрерывности сплошности
среды на границе раздела и равенство сил по обеим сторонам гра-
границы раздела.
Допустим, что две среды разделены плоскостью Х = 0 так, что
по обеим ее сторонам имеются среды со значениями плотности и ско-
скорости звука рх, q и р2, с2. На границе раздела при Х = 0 смещения
частиц первой и второй сред вследствие закона неразрывности среды
равны:
l
Поэтому
i=4, (vii.1.2)
Вследствие равенства действия и противодействия должны быть
одинаковы на границе раздела и звуковые давления:
А = Рг (VII.1.4)
Что касается градиентов давления, то здесь надо воспользоваться
уравнением Эйлера и условием (VI 1.1.3):
dt "*"р1 дх
откуда по (VI.3.3) имеем
dpi pi др2 г\ /лги 1 с\
Чг~ = —-Р" — U, (V11.1.5)
d* p2 дл; ' v '
т. е. на границе раздела двух сред отношение градиентов давления
равно отношению плотностей.
Применение граничных условий. Расположим ось X так, чтобы
ее положительное направление было противоположно направлению
падающей волны. Первая среда находится в области отрицательных
значений X, вторая —в области положительных. Граница раздела
занимает плоскость х = 0 (рис. VII. 1.1).
Плоская волна в первой среде состоит из отраженной и падаю-
падающей волн:
180
Во второй среде имеется только проходящая волна:
12 = Н02е/^е/«', р2 - /?02e/W^.
На границе раздела (х = 0) для нормальных составляющих ско-
скоростей и давлений имеем:
Между давлением и колебательной скоростью существует соотно-
соотношение
где верхний знак берут для волны, распространяющейся в положи-
положительном направлении X; ниж-
нижний—в противоположном направ-
направлении.
Используя эти соотношения,
найдем:
? I ?' ?
Ъ01~ГЬ01 — feO2>
PA (loi ~ loi) = Р2^02- (VI1. 1 .6)
Поделив первое уравнение на
|01, а второе-на рл|01, получаем:
J
0
X
где Г| = ioi/loi ~" коэффициент отражения волны скорости; ? = ?02/^01 —
коэффициент прохождения; e=p2c2/(p1q) — приведенное волновое сопро-
сопротивление второй среды.
Коэффициенты отражения и прохождения. Решая (VII. 1.7), нахо-
находим:
' ^ттг- (VIU-8)
Аналогично можно, исключив скорость |, получить уравнения
для давления:
=Po2. I^r^oi-Poi) = ^. (VII. 1.9)
Обозначив Гр — poi/Poi» tp = Po2/Poi> e = p2c2/(p1q), преобразуем эти
уравнения к уравнениям относительно безразмерных величин tfp и е:
1+/р = 'р. еA-гр) = /р. (VII.1.10)
Тогда
Так как между давлением и интенсивностью имеются соотношения
^i = 2р01с * ^^^с"' то в связи с этим коэффициенты
181
отражения и прохождения звука по интенсивности определяют фор"
мулами:
G7 Г Г2 О/ 9
(VII.1.12)
G7 Г Г2 О/
^ 1 Р01 Г2 / ^ 2
Через приведенное волновое сопротивление е эти коэффициенты
выражают формулами
HJ ?р (VILL13)
Рассмотрим применение формул прохождения и отражения для крайних
случаев, когда е <; 1 и е>1. Это практически получается, когда звук проходит
из воздуха в воду или наоборот; рс для воздуха составляет 41 г/(см2-с), а для
воды 150 000 г/(см2-с).
При распространении звука из акустически жесткой среды в мягкую (е«^1)
коэффициенты звукового давления имеют значения гр^—1; tp^^0. Это значит,
что при прохождении волны давления из воды в воздух или из любой акусти-
акустически жесткой среды амплитуда отраженной волны давления приблизительно
равна- амплитуде падающей волны, но имеет противоположный знак. Иными сло-
словами, фаза давления при отражении от акустически мягкой среды изменяется
на я. В результате на границе раздела в жидкости общее давление равно нулю,
а в толще жидкости образуются стоячие волны давления с узлом у поверхности
раздела.
Коэффициент прохождения в этом случае приблизительно равен нулю, т. е.
во второй среде волна давления имеет очень маленькую амплитуду.
Если точно так же проанализировать значение коэффициентов отражения
и прохождения волн колебательной скорости, то получается следующий резуль-
результат. При прохождении звука в акустически мягкую среду волны колебательной
скорости практически не изменят фазы при отражении. Амплитуды падающей
и отраженной волн, находясь в одинаковой фазе на границе раздела, складываются,
и у самой границы образуется пучность колебательной скорости, а в акустически
жесткой среде стоячая волна колебательной скорости смещена по отношению
к стоячей волне давления на Л/4.
Во второй среде будет наблюдаться бегущая волна колебательной скорости,
амплитуда которой равна приблизительно удвоенной амплитуде падающей волны;
Что касается интенсивности звука во второй и первой средах, то она будет
ничтожно малой; коэффициент прохождения ^г^О:
, 4в 4 4
A+8J/8
Это происходит потому, что в жесткой среде образуется практически чистая
стоячая волна, в которой полная интенсивность равна e7f — e7i = 0. Во второй
акустической среде образуется проходящая волна, интенсивность которой
так как 8->0. В итоге интенсивность звука при падении звуковой волны на аку-
акустически мягкую среду практически равна нулю. То же самое получается при
распространении звука из акустически мягкой (например, из воздуха) в акусти-
акустически жесткую (например, воду) среду.
Коэффициент прохождения звука останется точно таким же, как и при про-
прохождении звука в обратном направлении. В самом деле,
4е
^ A + еJ
182
Очевидно, замена местами сред не повлечет за собой изменения в коэффи-
коэффициенте прохождения звука по интенсивности.
Что касается коэффициентов скорости и давления, то можно легко показать,
что при изменении направления прохождения звука на обратное эти коэффициенты
просто поменяются друг с другом названиями: коэффициенты для давления станут
коэффициентами для скорости, и наоборот.
В этом случае у границы раздела с жесткой средой образуются пучность
давления и узел скорости. Примечательно то обстоятельство, что на самой гра-
границе раздела будет наблюдаться давление, равное почти удвоенному давлению
падающей волны. Поэтому гидрофон или другой измеритель интенсивности, реаги-
реагирующий на давление, с размерами больше, чем длина звуковой волны, будет пока-
показывать завышенное давление. Чтобы гидрофон показывал такое же давление, какое
существует в свободной звуковой волне, надо или добиться отсутствия отражен-
отраженной от гидрофона волны, или выполнить его по размерам меньше, чем длина зву-
звуковой волны в данной среде.
§ УП.2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЗВУКА ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ
ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД ПРИ КОСОМ ПАДЕНИИ
Пусть две среды с плотностями и сжимаемостями pl9 Pls и р2, р25
имеют плоскую границу раздела. Рассмотрим распространение пло-
плоской волны из первой среды во вторую под углом 6 к нормали. Пло-
Плоская волна будет частично проходить через границу во вторую среду,
частично отражаться, в результа-
результате чего в первой среде образуется
звуковое поле, состоящее из пер-
первичной фх и отраженной (pi волн.
Во второй же среде должно су-
существовать поле прошедшей вол-
волны ф2.
Спрашивается, каков характер
поля в первой и второй средах?
Для количественного изучения
явлений выберем систему коорди-
координат так, чтобы плоскость раздела
была перпендикулярна координат-
координатной плоскости XOYy а направле-
направление распространения волн соот-
соответствовало направлениям, указанным на рис. VII.2.1 (АО — направ-
направление падающей, ОВ — отраженной, ОС — проходящей волн).
Отражение от жесткой неограниченной плоскости. Пусть пло-
плоская волна падает на границу под углом б к нормали и полностью
отражается под углом б'.
Падающую и отраженную волны можно представить с помощью
выражения (VI.2.5) для фазы плоской волны:
s
/
л
Рис. VII.2.1
__ Aiei (at — atx —
(VII.2.1)
где
a[ = k[x = К cos 6X'; b[ = k[y = kx sin 6^,
183
kix> kly, k'lxy k[y — проекции волновых векторов падающей и отражен-
отраженной волн на оси ординат X и Y (рис. VII.2.2).
На границе с жесткой плоскостью при Х = 0 из (VII.2.1) sinx =
= —у sin б; sin2 = — у sin 0' имеем условие равенства нулю колебатель-
колебательной скорости
или, используя потенциалы скорости ц>г и ф2 Ц = — д(р/дх), получим
дуг/дх + ду2/дх = 0. (VII .2.1')
После дифференцирования (VII.2.1) и подстановки в (VII.2.Г)
найдем
Аг cos е^-'^81* = 42cos G2e-/^sin4 (VI 1.2.2)
Условие (VII.2.2) удовлетворяется только в случае, когда
sin вх = sin 62f (VII.2.3)
откуда б1 = е2, т. е. A1cosQ1 = A2cosQ2> Аг = А2.
Таким образом, при отражении плоской волны от жесткой пло-
плоскости угол падения равен углу отражения, а амплитуды падающей
и" отраженной волн равны друг
другу.
Чтобы получить представление о
характере волнового поля, составим
сумму потенциалов скоростей и учтем
соотношение (VII.2.3), т. е. равенство
углов и амплитуд:
Рис. VII.2.2
I Д q]' (©/ -f- kx cos (й — ky sin G) __
= 2Аг cos (kx cos 6) e/^-^sin0).
(VII.2.4)
Волновое поле перед абсолютно отражающей плоскостью опреде-
определяют волновым числом К = со/с' = k sinQ, которое характеризует волну,
распространяющуюся в сторону возрастающих значений у с фазо-
фазовой скоростью
'i, (VII.2.5)
так как kr = со /с' = (со /с) sin G.
Амплитуда этих волн (такие волны называют волновым следом)
зависит от х. Она изменяется по закону 2Агcos (tocos 6). Очевидно,
что 2АХ cos (to cos G) при
kx cos G = ~ x cos G = Bn + 1) 5-,
где n==0, 1, 2, 3, ... — любое целое число.
Таким образом, нулевые значения амплитуды имеют координаты
" /п~ ' 1Ч к (VII.2.6)
184
и находятся на расстояниях друг от друга X/Bcos8). Только при
угле падения 0 = 0, т. е. при нормальном падении, расстояние между
узлами в точности равно Я/2.
Между двумя узловыми значениями амплитуды следа располагают-
располагаются максимумы амплитуд. Координаты максимумов амплитуд имеют
значения
Xfl ~
4 cos 6 *
Очевидно, что расстояние между двумя соседними максимумами
также равно Я/2 cos 6. При уменьшении угла падения до нуля, места
нулевых амплитуд обращаются в узлы, а места максимумов —в пуч-
пучности стоячей волны. Это обстоятельство имеет большое значение при
определении длины волны с помощью измерения расстояния между
пучностями или узлами в стоячей волне. Это расстояние равно Я/2
только при строгом падении луча по нормали к поверхности раздела.
При отклонении угла 0 от нуля за счет неправильности установки
отражателя возникает ошибка в определении длины волны, что вызы-
вызывает ошибку в измерении скорости звука. Исходя из этого, в при-
приборах — ультразвуковых интерферометрах — рефлекторы и источники
плоских волн устанавливают так, чтобы угол падения был точно
равен нулю.
Распространение плоских волн при наклонном падении на гра-
границу раздела. Пусть плоская граница разделяет две несмешивающиеся
жидкости 1 и 2 с плотностями р1? р2 и сжимаемостями $sl> $s2.
Допустим, что в первой среде по направлению 0Х в сторону к гра-
границе раздела распространяется плоская волна фх. Требуется опре-
определить волновое поле в обеих жидкостях, которое возникает в резуль-
результате преломления и отражения падающей волны фх от границы
раздела сред. Расположим ось х декартовой системы координат
по направлению нормали к границе раздела, а плоскость X0Y —
параллельно волновому вектору^ падающей волны (см. рис. VII.2.1).
Поля упругих волн в обеих жидкостях должны удовлетворять волно-
волновым уравнениям
д2ф1 1
и граничным условиям
(VII.2.9)
дх
* = 0'
дх
поэтому потенциал поля в первой среде будет состоять из потенциала
падающей волны, заданного функцией у = А1е/№-(к*г)], и потенциала
Ф' отраженной волны, а поле во второй среде —из потенциала ско-
скорости ф2 во второй среде. Функции поля отраженной и преломлен-
преломленной волн необходимо определить,
185
Предположим, что решения уравнений (VI 1.2.7) и (VI 1.2.8) таковы:
Фх = Ф -f q/ = Л хе}'^ ~ w -b^ + A \d
где a1 = A1cose1; a2 = &2cos02; a{ = ?'cos9i; bi = &isin81; b± =
= fe1sine1; b2 = &2sin02; ^ = 00/^; &2 = co/c2; ?'i = @/ci.
Путем подстановки (VII.2.10) в (VI1.2.8) получим тождества,
которые могут существовать, если сг = c'i = "]/7(р1рл) ис2 = У 1/(р2Р^)-
Решения (VII.2.10) должны удовлетворять граничным условиям
(VI 1.2.9), откуда следует:
{А гет Ял + A \
= р2Л 2е
Уравнения (VII.2.11) справедливы для произвольных значений
у у поэтому все экспоненциальные множители, содержащие в показа-
показателях степени переменную у, должны сокращаться, т. е. быть рав-
равными друг другу (b1 = b\ = b2). Подставляя сюда 61 = A1sin61, b\ =
= k± sin el, b2 = k2 sin 62, получим соотношение, называемое законом
преломления:
sin e^ = sin д\/сх = sin 02/^2. (VI1.2.12)
Сокращая в системе уравнений (VII.2.11) общие множители,
получим
^
^ ^ (VII.2.13)
а1А1 — аА[ аА )
Эта система имеет следующее решение:
л; __P2/Pi—fl2/fli ^2 __
Учитывая выражения для ах и а2 и преобразовывая А[/Ах и
А2/Аг, получаем:
где 8е = Р»са/ ^ 2 — приведенное волновое сопротивление для косого
падения плоской волны.
Так как р = /сорф*, | = — dq/dS = jkq>f то
_ Р2_ . ^2
или с учетом (VII.2.14) и (VI1.2.15):
I 2
pe0+r icos0a eo + l A.2.
186
Когда числитель в формуле (VII. 2.14) равен нулю/то ее=1 и
отраженной волны не будет. Совмещая это условие с законом пре--
ломления sinO1/sinB2 = c1/c2f можно найти формулу для угла падения,
при котором волны не отражаются от границы раздела:
Этот у гол существует только для жидкостей, у которых —
> —>1. Например, у этилового спирта р1 = 0,79 г/см3, q=l,
XlO5 см/с, у хлороформа р2=1,49 г/см3, с2 = 1,00- 105 см/с, поэтому
для границы раздела этиловый спирт — хлороформ угол, при котором
не существует отраженной волны, определяется ctg91 = 0,43, откуда
ех=б70.
§ VH.3. ПОЛНОЕ ВНУТРЕННЕЕ ОТРАЖЕНИЕ
Исследуем особый случай явлений на границе раздела двух сред,
когда волны полностью отражаются в первую среду.
Из закона преломления следует, что sin92 = (c2/c1)sin91 и, если
с9/с1>1, то угол преломления б2 больше угла падения б1# При угле
d1^dk = arcsin {cxlc2) (VII.3.1)
волна полностью отражается от границы раздела. Это явление назы-
называют полным внутренним отражением, а угол 9К — критическим.
Для углов бх > бк косинус угла преломления — мнимый:
cos 82 = У1 - sin2 б2 = ± / УКсъ/ъ) sin 0J2 - 1.
Нормальная компонента волнового вектора преломленной волны
c = аа = k2 cos 6 — также мнимое число. Обозначим его в виде
а2 ± /а = ± k2 У[{сг1сх) srn 9J2 - 1.
Тогда косинус мнимого угла
cos 82 = a2/k2 =
Относительный амплитуды отраженной и преломленной волн при
закритических углах определяются формулами:
К, == P2/Pi ± /tt/fli =
Лг P2/Pi + /«/«г
h. _. 2 = 2 — ^ (VII.3.2)
Ах "" pi/Pi + /а/ах K(p2/piJ + (a/Oi)a
где tgi|) = ap1/(a1p2).
В первой среде суммарная волна состоит из падающей и отра-
отраженной:
Фх = А х (е'(<0' "¦а^ ~ ь^> + ^(@^+«** - ^ +2^)),
187
Волна во второй среде
Сохраняя в показателе только знак «—», имеем (VII.3.3) —урав-
—уравнение бегущей волны вдоль возрастающих значений у. Амплитуда
этой волны изменяется по закону е"ах. Степень убывания амплитуды
определяется величиной а, которую можно преобразовать к виду
a = =Ji /sin2 8 - (V^)a- (VI1.3.4)
При критическом угле (sin 6кр = сг/с2) a = 0. Иначе говоря, ампли-
амплитуда вдоль фронта волны затухать не будет, возникает плоская волна,
бегущая вдоль границы раздела.
Если угол будет больше критического, т. е. sin6^q/^2, то а>
>0 и амплитуда быстро уменьшается с увеличением расстояния от
границы раздела. При д1 = п/2 значение а достигает максимума,
равного
2я ~
Когда arcsin(c1/c2)<61<jt/2, то а лежит в пределах между 0 и а0.
Допустим, что плоская волна падает из воздуха в воду под углом,
равным-критическому. В этом случае
сг/с2 = 0,23; а0 = BлД) A — 0,027) я^ 2п/К
Это значит, что на глубине к/2п амплитуда колебаний давления
в воде в е раз меньше, чем на границе раздела.
Скорость распространения во второй среде определяется из усло-
условия постоянства фазы волны (VI 1.3.3):
со/ — by = const,
-г. (со/ —- by) == 0, со —¦ Ъ —г = со — Ьсп = 0,
1 " ' Ь кг sin бх sin 02 sin 62' ^ ^ L ^ 2 7
при
Таким образом, если угол падения 8кр, то коэффициент ослабле-
ослабления пограничной волны равен нулю, а скорость распространения
волнового следа вдоль границы раздела c2 = q/sin бкр. Если угол
падения близок к 90°, то вдоль границы раздела будет распростра-
распространяться волна со скоростью, близкой к скорости в первой среде,
при этом коэффициент ослабления по фронту волны наибольший и
равен kxV\ — (cjc2J.
Зная потенциал скорости во второй среде при углах падения,
больших критического, можно вычислить давление и компоненты
188
колебательной скорости по осям X и Y. Для звукового давления
/?2 = /о)р2ф2. (VI 1.3.5)
Для колебательной скорости
| = — ду2/дх = аф2, ц - — дф2/% = ЬщегМ2. (VI1.3.6)
Таким образом, звуковое давление во второй среде пропорцио-
пропорционально потенциалу скорости ф2. Компоненты скорости также про-
пропорциональны потенциалу ф2, но фазы компонент скорости не совпа-
совпадают, а отличаются на 90°. Известно, что в случае сложения взаимно
перпендикулярных колебательных движений с разностью фаз 90°
возникает движение по эллипсу. Таким образом, в условиях полного
внутреннего отражения составляющие скорости движения | и г|
частиц сдвинуты по фазе на 90° и частицы, находящиеся во второй
среде вблизи границы раздела, движутся по эллипсам. Плоскость
этих эллипсов совпадает с плоскостью падения. Отношение диамет-
диаметров эллипсов зависит от угла падения и определяется формулой
При угле падения, равном критическому, а/Ь = 0 и волновой
след представляет собой чисто продольную волну, распространяю-
распространяющуюся вдоль границы раздела. Наоборот, при угле падения, близ-
близком к 90°, отношение диаметров эллипсов достигает наибольшего
значения и определяется формулой
§ VII.4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЗВУКА
ЧЕРЕЗ ПЛОСКИЙ СЛОЙ
Строгое решение задачи о прохождении звука через плоский
слой сводят к решению волнового уравнения для различных сред
1 — 3 (рис. VII.4.1) при граничных условиях обычного типа. Волно-
Волновые уравнения для этих сред имеют вид
/* 1OQ» AS' \
причем решения должны удовлетворять граничным условиям
дх
дх
дх
дх
(VII.4.2)
Решениями этих уравнений будут волновые функции для трех
сред:
Фх = А ^ w - °ix+ь^ + A \d{
189
Применяя к этим решениям граничные условия и решая систему
уравнений, находят коэффициенты отражения и прозрачности слоя:
rp = ^ = — 662"4ct 8gd, (VII.4.4)
U =ir = 2 (VII.4.5)
p Ai K4cos2a2cf + F-1 + 6Jsin2M>
где
Формулы прозрачности и отражения позволяют сделать следую-
следующие выводы:
1. Коэффициент отражения равен нулю в двух случаях:
а) б — 6 = 0 или рх/р2 = ctg Qi/ctg б2, что преобразуется к виду
*№-*' е=яР^Р^' (VH.4.6)
б) ctga2d->oo, при этом коэффициент отражения также равен
нулю. Это произойдет, если a2d = nny т. е. при толщинах слоя
dn==nX2/2cos02 (л=1, 2, 3,...). (VI 1.4.7)
Если 62==О» т0 сл°й совершенно не отражает, когда его толщина
кратна половине волны.
Однако при другом угле преломления и другой толщине слой
оказывается прозрачным. Например, если 92==30°, то
(I _ ^2 == ^2
1"~ 2 j//2 ~~ Кз '
т. е. слой прозрачен при толщине, кратной
2. Для очень тонкого слоя формула коэффициента отражения
упрощается. При условии
^ 2<1
можно пользоваться следующей формулой:
Этот результат показывает, что коэффициент отражения от тонкого
слоя d/X2 ^ 1 пропорционален частоте звуковой волны.
3. При углах падения больших, чем критический, на слое может
и не произойти полного внутреннего отражения. При угле большем,
чем критический, волны, бегущие параллельно передней границе
раздела (при малрм значении толщины d)> могут возбуждать колеба-
колебания на противоположной границе. Это может служить причиной
возникновения волн в среде, находящейся за пластиной.
190
Интересные результаты получаются для частного случая — нормаль-
нормального падения волны. Формулы (VI 1.4.4) и (VI 1.4.5) при бх = 0
принимают вид:
Rl/R-2 R2IR1 /Л7ТТ Л Q\
rn = _r-— . -, (V11.4.y)
+4 ctg k2 d
1
(sin k2 d/2)* +cos2 k2 d
(VII.4.10)
В гидроакустике часто приходится решать задачу о прозрачности
пластин. При этом наиболее важным является случай тонкой пластины,
сделанной из акустически более жесткого материала, чем морская
Рис. VII.4.1
вода. Это соответствует тому, что в формуле для коэффициента
прозрачности надо принять R2^Ri и i?2d<l, a
p~~V{RlRLhdl2y+/ ( '
Так как R2k2d = p2c2k2d~p2d(o1 то, обозначая р2 d = М2 — массу
слоя единицы площади пластины, получаем
_L = у~1~^ШЩ\ (VII.4.12)
Отношение интенсивности падающей волны к интенсивности
прошедшей называют коэффициентом звукоизоляции. Для плоского
тонкого слоя он равен
Коэффициент звукоизоляции эквивалентен отношению полной
мощности в последовательной цепи к мощности потерь на сопротив-
сопротивлении 2RV
Для пластин, употребляемых в обтекателях, при заданной частоте
выгодно брать материал меньшей плотности.
В качестве примера сделаем числовой расчет коэффициента звуко-
звукоизоляции стальной пластины толщиной d= 1 см, погруженной в воду.
191
Отношение волновых сопротивлений стали R2 и воды R±
Я^ = 27. (VII.4.14)
Для вычисления коэффициента прозрачности ц воспользуемся
(VII.4.10) и получим
т, = 1-^^Jsin2k2d + cos2k2d^ 182 sin2 A,25 • 10-5/) +
+ cos2(l,25.10-5/).
При частоте /<2 кГц т]=1, т. е. интенсивности прошедшей и
падающей волн одинаковы; при /=126 кГц и k2d = n/2 Цмакс=\26.
На рис. VI 1.4.2 показано изменение звукоизоляции слоя толщи-
толщиной d от частоты.
Для слоя из воздуха или губчатой резины G?2 = 40), находящейся
в воде, R±/2R2 = 1,88- 104. Отсюда получаем следующий коэффициент
звукоизоляции:
ц=~ = 3,53• 108 sin2&2d + cos2 k2d.
p
p
Минимумы и максимумы звукоизоляции возникают при тех же
значениях d/h2, что и для стали, но максимум составляет очень
большое число A,88-104J = 3,53 • 108, т. е. такой слой будет практи-
практически совершенным изолятором.
ЛИТЕРАТУРА
[1]. Андронов А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний.
М., 1958.
[2]. Бабаков И. М. Теория колебаний. М., 1965.
[3]. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М., 1965.
[4]. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. М., 1972.
[5J. Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории колебаний. М.,
1975.
[6]. Лосев А. К. Линейные радиотехнические цепи. М., 1971.
[7]. Клюк и н И. И. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах. Л.,
1971.
[8]. Скучек Е. Простые и сложные колебательные системы. М., 1971.
[9]. Харкевич А. А. Теория электроакустических преобразователей. Волно-
Волновые процессы. М., 1973.
[10]. Стретт Дж. В. (лорд Релей). Теория звука. М., 1955.—Т. I.
[11]. Лепендин Л. Ф. Методическое пособие по курсу акустики. Таганрог,
1967. (Изд. ТРТИ).
[12]. Исакович М. А. Общая акустика. М., 1973.
[13]. Ржевкин С. Н. Курс лекций по теории звука. М., 1960.
[14]. Михайлов И. Г., Соловьев В. А., Сырников Ю. П. Основы
молекулярной акустики. М., 1964.
[15]. Ноздрев В. Ф., ФедорищенкоН. В. Молекулярная акустика.
М., 1974.
[16]. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М., 1973.
[17]. Скучек Е. Основы акустики. М., 1976.—Т. I.
ЧАСТЬ II
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ.
СФЕРИЧЕСКИЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ
§ 1.1. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ИЗЛУЧЕНИЯ
УПРУГИХ ВОЛН
Постановка задачи. Рассмотрим закономерности излучения упру-
упругих волн, возникающих в результате периодического изменения
объема однородного тела в жидкости. Пусть объем тела выражается
периодической функцией времени так, что скорость смещения всех
участков поверхности направлена по нормали, построенной в соответ-
соответствующей точке поверхности, и определяется периодической функ-
функцией v(t). Под действием движения поверхности в жидкости возник-
возникнут периодические сжатия и разряжения, которые будут распростра-
распространяться в виде упругих волн. Будем считать, что поверхность совер-
совершает малые колебания. В этом случае задача об излучении упругих
волн сводится к решению волнового уравнения относительно потен-
потенциала скорости:
При этом необходимо найти решения волнового уравнения, кото-
которые удовлетворяют граничному условию на поверхности колеблю-
колеблющегося тела
%=-v(t) (I.1.2)
и условию излучения Ч^оо-^О.
Найдем полнук) мощность упругих волн в двух крайних случаях:
при низких частотах, когда волновые размеры колеблющегося тела
Bл/Д = со//с <^ 1) значительно меньше единицы, и в случае высоких
частот, когда Ы/с^> 1.
Излучение низких частот. Исследуем случай, когда длина волны
значительно больше размеров тела. Сначала найдем потенциал поля Y
в области пространства, расположенной вблизи поверхности тела,
т. е. на расстоянии большем, чем его линейные размеры, и в то же
время меньшем, чем длина волны (/=^r<JX). В указанной области
пространства потенциал скорости мало изменяет свое численное зна-
значение при изменении расстояния 8г на величину, имеющую порядок
линейного размера тела I. Поэтому величина ДЧ^ входящая в волно-
7 Л, Ф, Лепендин 193
вое уравнение A.1.1) и выражающая вторую производную от функции W
по расстоянию г, имеет значение W/12. Что касается второй величины,
входящей в то же уравнение, то она может быть определена как
^" " "д/Г ^ 1Т) связи с этим в условиях излучения низких
частот в области /^г<^Я, расположенной на расстояниях значи-
значительно меньших, чем длина волны, вторым членом в волновом урав-
уравнении можно пренебречь:
Таким образом, при излучении низких частот на расстояниях г,
определяемых условием г <;Я, движение жидкости подчиняется урав-
уравнению Лапласа и жидкость можно считать несжимаемой. На рассто-
расстояниях, имеющих порядок величины линейных размеров тела, решение
уравнения Лапласа не может быть записано в общем виде. Оно
зависит от формы колеблющегося тела. Только на расстояниях,
достаточно больших по сравнению с размерами тела, в жидкости
устанавливается равномерное и симметричное распределение скорости
движения.
Если провести вокруг тела сферическую поверхность радиусом г0,
то скорость движения жидкости в каждой точке этой поверхности
равна некоторой функции времени и имеет направление, совпадающее
с направлением радиуса сферы. В этом случае для области прост-
пространства, лежащей между г0 и г<^Я, можно записать решение урав-
уравнения Лапласа в виде произведения функции от координаты г и
функции времени t: W = \p(r)f (t). Функция г|;(г) удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению
После интегрирования этого уравнения получим:
где постоянные интегрирования Сг находят из условия -j-
= — vf (/); скорость течения жидкости vf (f) через сферическую поверх-
поверхность радиусом г0 определяют тем, что объем жидкости, протекающей
через поверхность сферы, ввиду несжимаемости жидкости равен
количеству жидкости, выталкиваемой телом за единицу времени, т. е.
скорости изменения объема тела dV/dt.
Отсюда следует, что линейная скорость жидкости, протекающей
через поверхность сферы, равна
и постоянная Сг может быть вычислена в формуле
dV/dt д\
_
194
ri
В результате потенциал скорости вблизи поверхности колеблю-
колеблющегося тела выражают следующей формулой:
Т(г, t)=V(t)/Dnr) + CJ(t). (I.1.6)
На больших расстояниях от тела решение должно удовлетворять
не уравнению Лапласа, а волновому уравнению A.1.1) и представляет
собой расходящуюся волну, т. е. должно выражаться функцией
Для нахождения колебательной скорости в дальней зоне по фор-
формуле A.1.7) найдем производную: — dW/dn = vn (r, /). При дифферен-
дифференцировании можно брать производную только числителя, так как
производная от Х/r дает на расстоянии г^>Х член второго порядка
малости. Выполняя операцию дифференцирования, получаем
Vn(r, *)»¦
где Q = V — объемное ускорение.
Звуковое давление определяют формулой
Q(t—r/c
Полная мощность излучения равна
Интегрирование проводят по поверхности сферы. Этот результат
показывает, что для низких частот полная мощность излучения про-
пропорциональна квадрату объемного ускорения. Объемное ускорение
при гармонических колебаниях пропорционально амплитуде смещения
и квадрату частоты. Таким образом, полная мощность излучения
длинных волн пропорциональна четвертой степени частоты: $\>/~со4.
Излучение высоких частот. Исследуем закономерности излучения,
когда длина звуковой волны значительно меньше линейных размеров
тела. С этой целью разделим всю поверхность излучателя на квази-
квазиплоские элементарные площадки, линейные размеры которых больше
длины волны. Каждая такая площадка будет излучать плоскую зву-
звуковую волну. Мощность, излучаемая элементарной площадкой, равна
pcvndS/2. Полная мощность определяется интегралом по всей поверх-
поверхности излучателя:
где ил — амплитуда скорости колебания.
Значение скорости vn пропорционально частоте и амплитуде сме-
смещения, поэтому мощность излучения при высоких частотах [см. A.1.8)]
пропорциональна квадрату частоты,
7* 195
Как показывает анализ, зависимость полной мощности излучения
от частоты для низких и высоких частот различна: при низких частотах
мощность пропорциональна четвертой степени частоты, а при высоких —
второй степени. Если сравнить акустическую мощность излучения для
высоких и низких частот при условии, когда амплитуды колебания
одинаковы, то отношение этих мощностей обратно пропорционально
четвертой степени низкой частоты.
Таким образом, излучение на низких частотах малоэффективно.
Это объясняют тем, что на низких Частотах слой жидкости, располо-
расположенной у поверхности излучателя, где жидкость можно считать несжи-
несжимаемой [см. A.1.3)], по своей массе может быть значительно больше
массы жидкости, вытесненной излучателем, и, как это будет показано
в § 1.2, присоединенная масса аккумулирует в форме кинети-
кинетической энергии движения значительную часть энергии колебаний
излучателя, так что волновому полю передается только небольшая
часть энергии колебаний.
§ 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ
Сила реакции акустического поля. Для того чтобы определить
эффективность излучения, найдем работу, которую совершает источник
упругих волн против сил реакции внешней упругой среды.
Пусть элемент поверхности df имеет нормальную составляющую
колебательной скорости vn cos о t и испытывает давление со стороны
акустического поля /? = /?mcos(o)/-j-cp), направленное в сторону, про-
противоположную нормали поверхности в точке df. Работа, совершаемая
при движении всей поверхностью излучателя против сил акустического
поля за время dt, равна
г*
dA = — dt ®v,pmoose>t cos (a>t + q>)df. (I.2.1)
f
Выберем точку в пространстве, к которой приводится результи-
результирующая сил давления,— точку приведения этих сил. Обозначим ско-
скорость движения этой точки v0. Скорость движения в любой точке
поверхности излучателя выразим с помощью отношения vn/v0 = Dn.
Если в качестве точки приведения окажется точка, имеющая макси-
максимальную амплитуду скорости, то безразмерный вектор Dn по модулю
равен или меньше единицы и имеет для каждого элемента поверхности
направление, совпадающее с направлением нормали. Используя век-
вектор Dn, запишем выражение A.2.1) в виде
dA = — vQ cos a>tdt§pmDncos (©f + <p)d/. A.2.2)
Проведя простые преобразования, получим:
dA = v0 cos (otR cos ((ot + a) dt,
_ /T О Q\
R = !/"(<§> pm Dn cos ф df)* + (ф pm D sin <pdfJ,
a = arctg (ф pm Dn sin <p df)/(§ pm D cos q> df),
I t
196
где R cos (со/ -f- а) имеет размерность силы и представляет собой инте-
интегральную силу реакции поля на поверхность излучателя. Частота
реакции поля совпадает с частотой скорости колебаний точки приве-
приведения v0coscot, но отличается по фазе на угол а.
Для облегчения дальнейших преобразований формул перейдем от
тригонометрических функций к комплексным. Выразим силу реакции
поля посредством комплексной функции
где F = FeJa = VR\ + #|e/a — комплексная амплитуда силы реакции
Г» г> п
поля; /?1 = Ф pmDncos уdf\ R2 = §fpmD
запишем F в виде комплексной функции:
Г г п
поля; /?1 = Ф pmDncos уdf\ R2 = §fpmDnsin q>df\ a = arctg~-, и
Таким образом, сила реакции поля содержит две составляющие:
косинусную и синусную. Первая образует действительную часть ком-
комплексного выражения силы реакции поля; вторая — мнимую часть.
Дальнейший анализ свойств излучения проведем, используя понятие
об импедансе излучателя.
Механический импеданс есть отношение силы реакции поля излу-
излучения, действующей на поверхность излучателя, к амплитуде ско-
скорости v0 точки приведения.
В общем виде механический импеданс излучателя выражают фор-
формулой
==--(§
т. е. является комплексным числом. Обозначая действительную и
мнимую части механического импеданса излучателя соответственно
d.2.6)
Pmnnsinq)df,
запишем импеданс в виде формулы
Используя выражения A.2.6), получим выражения для косинусной
и синусной частей силы реакции поля:
#1 = §f Рт Оя COS ф df = VQX,
I (I-2-8)
R2 = ^ pm Dn sin ф df = v0Y.
197
Найдем выражение для работы dA по формуле A.2.2) в следующем
виде:
dA = — v0 cos ®t [ф pm Dn cos (a)t + ф) d/] d/ =
= [— 0o#i cos2 coi + vQR2 sin coi cos cot] dt= A.2.9)
»(— Xvl cos2 coif + Yvl cos cotf sin co^) dt.
Мощность, выделяемая преобразователем против сил реакции поля,
равна
dA/dt = — Xvl cos2 at + Yvl cos co^ sin со/
и состоит из мощности, образованной за счет косинусной части реакции
поля, или, что то же самое, за счет действительной части механи-
механического импеданса, и мощно-
мощности, выделяемой в результате
действия синусной части ре-
реакции поля, или мнимой ча-
части механического импеданса.
Как первая, так и вторая
составляющие мгновенной мо-
мощности излучателя — квадра-
квадратичные периодические функ-
функции времени (рис. 1.2.1). На
рисунке наглядно показано,
что мощность, соответствую-
соответствующая косинусной составляю-
составляющей силы реакции (кривая
У), не меняет своего знака
за период и только проходит
дважды через значение, рав-
равное нулю. Что касается мощ-
мощности, соответствующей си-
Рис. 1.2.1 нусной составляющей мощно-
мощности поля (кривая 2), то харак-
характер ее изменения с течением времени иной. Мощность, выделяемая
излучателем против синусной составляющей силы реакции поля
(или в результате действия мнимой части импеданса), может быть как
положительной, так и отрицательной. В первую V4 периода (кри-
(кривые 3, 4) мощность положительна и идет на пополнение энергии ис-
источника излучения. При /=7/4 она изменяет знак. Это соответствует
тому, что излучатель сообщает жидкости некоторую энергию. Средняя
мощность, затрачиваемая источником за период, равна интегралу от
dA [см. A.2.9)] в пределах от 0 до 7, деленному на период Т.
Вычислим работу излучателя за один период колебаний, причем
все время от 0 до Г разобьем на 4 части. При вычислении исполь-
используем табличные интегралы:
/dA\ =
\dt/T 2
— -^ sin 2л:-f-у
cos х sin x dx = i> sin2 x.
198
Производя интегрирование A.2.9), найдем, что полная работа за
период Т выражается формулой
8 л "Г" о 2 ) + \ 8 ° 7 о
а средняя мощность А/Т равна
/тт\ — ^1
Этот результат показывает, что средняя мощность излучателя
зависит только от действительной части комплексного импеданса г
и определяется косинусной составляющей силы реакции поля:
где #!-§ pmDncos<pd/.
f
Эта мощность непрерывно расходуется, образуя полный поток
мощности акустических волн. Иначе говоря, поток мощности волн
равен
^M^l (I.2.10)
Знакопеременные слагаемые в формуле A.2.9') соответствуют работе
излучателя против синусной составляющей силы реакции поля
R2=:§Pm On sin ф df = v0Y
и выражаются формулами вида
и составляют кинетическую энергию присоединенной массы жидкости
М - У/©:
if_^L. A.2Л2)
Перемена знака в формуле A.2.11) указывает на то, что через каждые
четверть периода происходит попеременно накопление кинетической
энергии присоединенной массы жидкости и возвращение этой энергии
снова источнику движения поверхности излучателя.
Присоединенная масса может быть представлена посредством синус-
синусной составляющей силы реакции поля:
где R2 = §pm Dn sin ф df — синусная составляющая силы реакции поля;
г^о — амплитуда ускорения точки приведения.
Эта формула показывает, что под действием силы реакции R2
поля масса М в процессе колебаний получает ускорение, амплитуда
которого г?0 = соио = /?2/М.
199
Используя формулу A.2.13), запишем механический импеданс
излучателя в виде
Х М A.2.14)
Сравнивая выражение для механического импеданса A.2.14) с импе-
импедансом цепи переменного тока
можно еще раз подтвердить прямую аналогию между электрическими и
механическими (акустическими) процессами в цепях переменного тока.
Следуя этой аналогии, излучение можно представить в виде электро-
электромеханической цепи акустического излучателя, состоящей из комплекс-
йой силы F реакций поля, массы индуктивного сопротивления /соУИ,
активного сопротивления излучения X (vm — амплитуда колебательной
скорости на поверхности излучателя; рис. 1.2.2).
Предельный коэффициент эффективности акустического излучения.
В цепях переменного тока с последовательным соединением мощность,
расходуемая источником э.д. с, идет на нагрева-
ние активного сопротивления. Индуктивная на-
нагрузка накапливает энергию в форме энергии маг-
магнитного поля и периодически обменивается ею с
источником напряжения. Аналогичный процесс
осуществляется и в поле при излучении акусти-
акустических волн: мощность источника энергии излу-
излучателя поглощается в виде потока энергии аку-
стических волн или поглощается активной частью
механического импеданса. Кроме того, в процессе
работы излучателя вблизи него возникает присоединенная масса
жидкости М, которая накапливает кинетическую энергию, периоди-
периодически обменивается ею с источником движения преобразователя и
таким образом удерживается вблизи преобразователя.
Согласно A.2.10), полную мощность акустического поля выражают
формулой
^„ = Х^/2. A.2.15)
Работа преобразователя за время Т/4 есть
A»
Рис. 1.2.2
Работа, производимая за это же время синусной соста-
составляющей реакции поля, равна (У/со) (uq/2), а работа, производимая
за это время косинусной составляющей, может быть представлена
в виде
п 4 4о)
Назовем предельным коэффициентом излучения отношение работы
преобразователя за время Г/4, возникающей за счет действия коси-
косинусной составляющей реакции поля, к полной работе преобразователя
за то же время. Тогда выражение для предельного коэффициента
200
излучения будет
- A-2Л6)
С увеличением частоты отношение Y/X стремится к нулю, а предельный
коэффициент излучения —к единице.
Собственная частота нагруженного излучателя. Собственная частота
преобразователя, рассчитанная без учета нагрузки, всегда понижается
с увеличением реакции среды. Понижение частоты происходит за счет
активного сопротивления и влияния присоединенной массы. Учет
влияния нагрузки на собственную частоту преобразователя нетрудно
произвести для низких частот, когда преобразователь можно пред-
представить как колебательную систему с сосредоточенными параметрами.
Пусть тэ и сэ — эквивалентные масса и гибкость преобразователя,
а М — его присоединенная масса. Тогда резонансная частота ненагру-
женного преобразователя
где (о0 = г —резонансная частота преобразователя без учета при-
V тэсэ
соединенной массы; а— . - ,— поправочный коэффициент, учи-
У \ + М/тв
тывающий присоединенную массу.
Для преобразователя, нагруженного на активное сопротивление X,
собственную частоту определяют формулой для частоты свободных
затухающих колебаний
о)л = ]/оJ- о2,
где б = 2(т ^-м\— коэффициент затухания; со — резонансная частота
преобразователя с учетом присоединенной массы.
Выполняя простые преобразования, получаем
юя =
При высоких частотах М/тэ <J 1 коэффициент а равен единице,
тогда A.2.18) преобразуется к формуле собственной частоты затухающих
колебаний ненагруженного излучателя.
Характеристики направленности излучателя. Важное значение
в гидроакустике имеет понятие направленности излучения акустических
волн. Излучатели с резко выраженной направленностью позволяют
увеличить дальность действия акустических волн без дополнительного
увеличения мощности.
В различных направлениях от излучателя величины, которые
характеризуют звуковое поле в точках, взятых на одинаковых рас-
расстояниях, будут различными. Обозначим звуковое давление в точке
на расстоянии г с полярным углом б через /?ее/ф0> а давление на оси
излучателя на том же расстоянии г —через рее/ф0- Тогда согласно
201
определению полную характеристику направленности по давлению
выражают формулой
ф(е) = ^0-е/(фе"фо)- A.2.19)
Ро
Отношение амплитуд давления /?е//?о называют амплитудной харак-
характеристикой направленности, а разность фаз давлений (Фе~Фо)~
фазовой характеристикой.
Иногда пользуются характеристикой направленности по интенсив-
интенсивности
где е70 и е^0 — интенсивности на расстоянии г под углом б и на оси.
Между характеристикой направленности по интенсивности и ампли-
амплитудной характеристикой направленности по давлению существует связь:
Ф^(б) = Ф*F). A.2.20)
Коэффициент осевой концентрации. Для оценки энергетической
эффективности направленного акустического излучателя в технической
акустике широко используют коэффициент осевой концентрации излу-
излучателя—отношение интенсивности в некоторой точке звукового поля,
расположенной на оси этого излучателя, к интенсивности ненаправ-
ненаправленного излучателя в точке, находящейся на том же расстоянии,
когда мощности этих излучателей одинаковы:
к_ & (г, 0) (] 9 9П
где е7(г, 0) — интенсивность направленного излучателя, мощность
которого g?V, <2?уDяг2) — интенсивность ненаправленного преобразо-
преобразователя.
Выразим акустическую мощность аРй через интенсивность ненапра-
ненаправленного преобразователя о7(/\ 0):
0*а==ф^(г, О)Ф2@)Л = ^(г, 0) ф Ф2 F) d/. (I.2.22)
f f
Подставляя A.2.22) в A.2.21), получаем
A.2.23)
фз F) dt
f
Если звуковое поле имеет осевую симметрию, то элемент поверх-
поверхности можно взять в виде круговой полосы, расположенной на по-
поверхности сферы (рис. 1.2.3). Элемент площади dS = 2nr2 sin 8 d0;
площадь поверхности сферы S(r) = 4rcr2. Учитывая A.2.23), получим
К = - . A.2.24)
202
add
Иногда коэффициент осевой концентрации называют коэффициен-
коэффициентом направленности [2]. Этот параметр определяется, как отношение
квадрата звукового давления в свободном поле, измеренного в точке
на главной оси преобразователя, к среднему квадрату давления на
поверхности, проходящей через выбран-
выбранную точку сферы, в центре которой
находится излучатель.
Расчет акустического импеданса,
фактора направленности и коэффициента
осевой концентрации излучателей, при-
применяемых на практике, большей частью
может быть проведен по приближен-
приближенным формулам. Однако имеется не-
несколько типов излучателей, для кото-
рых задача о нахождении их харак-
характеристик решается вполне строго. К ним относятся пульсирую-
пульсирующие сферические источники.
В заключение приводим формулы основных характеристик излу-
излучателей:
1. Импеданс излучателя
Рис. 1.2.3
2. Активное и реактивное механические сопротивления излучателя:
X -= — § ртЪп eos cp df\
Y =-
3. Присоединенная масса излучателя
4. Предельный коэффициент излучения
1
^ ~ l + Y/nX •
5. Коэффициент поправки резонансной частоты с учетом присо-
присоединенной массы и реакции излучения
са"|Л-(-
Ха \2
а-
1
2тэсоо У ' " I +Ж/тэ *
6. Собственная частота нагруженного преобразователя
7. Полная характеристика направленности
Р@)
е/[ф(в)-ф@)]>
203
амплитудная характеристика
Ф
фазовая характеристика
(в)
характеристика направленности по интенсивности
8. Коэффициент направленности, или коэффициент осевой концен-
концентрации энергии,
^<л 0) _ 2
§ 1.3. ПУЛЬСИРУЮЩАЯ СФЕРА
Пульсирующей сферой называют шаровой излучатель, все точки
которого колеблются по закону
где vn (t) — скорость колебания точек по нормали; о = 2я/— цикли-
циклическая частота.
Звуковое поле вокруг сферы ^определяют волновым уравнением
в сферических координатах. Так как для пульсирующей сферы ско-
скорость поверхности не зависит от угловых координат, то это уравне-
уравнение имеет вид
г* дг V дг 1~~ с* дР
при граничном условии
v = HOL = v^e^ A3 2)
дг г=а ° \ • • /
Как известно [3], частное решение уравнения A.3.1) имеет вид
Радиальная составляющая скорости частиц и звуковое давление
выражаются формулами
лиг 1
» = —S- = i {[Л A + jkrflefW-w + BV - jkr) ejwn},
A.3.3)
р = i^P (Ле-^+'Яе/*0 е^*.
Из условий излучения следует, что В = 0, а из краевого условия
A.3.2) получаем выражение для А:
204
Подставляя А и В в формулы A.3.3), найдем для акустического
поля пульсирующей сферы:
где г^г —я.
Приняв фазу скорости v за начальную, получим:
где ф —фаза, определяемая соотношениями
kr 1
COS ф = -7===, sin<p = -7=
Интенсивность излучения выражается в виде
kr 11
COS ф = -7===, sin<p = -7==, tgф = т-. A.3.6)
Величину v0a2 принято заменять амплитудой объемной скорости
или производительности Qm источника: Vqu2 = —jr =~1я"' ^ставляя
в формулах поля сферического источника только действительные
части и заменяя v0a2 на объемную скорость Qm, получаем:
ockr
где Qm = 4na2y0; rx = r — а; ф — угол сдвига фаз между скоростью и
давлением в поле на расстоянии г от центра сферы; угол ф опреде-
определяется формулами A.3.6).
Для интенсивности излучения пульсирующей сферы имеем
1
^ -32^A+^2) '^--
Полная мощность излучения пульсирующего шара
Выразим объемную скорость через амплитуду смещения Л, вол-
волновое число через циклическую частоту со и представим формулу
205
полной мощности в виде
Для низких частот со2а2/с2<^1 из A.3.11) следует
АЫ, A.3.12)
С
т. е. полная мощность излучения пульсирующего шара при низких
частотах пропорциональна четвертой степени частоты и квадрату
амплитуды.
Для высоких частот (со2а2/с2^> 1) формула мощности преобразуется:
Зь^2пра2сА2(д\ A.3.13)
Иначе говоря, полная мощность излучения пульсирующего шара
при высоких частотах пропорциональна квадрату частоты и квадрату
амплитуды. Эти результаты полностью совпадают с выводами, полу-
полученными в § 1.1 относительно излучения низких и высоких частот.
Монополь, или точечный источник. Источник волн произвольной
формы, создающий ненаправленное излучение, при условии, если
длина волны значительно больше линейных размеров источника,
называют монополем, или точечным источником.
Поле точечного источника совпадает с полем пульсирующей сферы
малого радиуса. Таким образом, если в формулах поля пульсирую-
пульсирующей сферы перейти к пределу, когда ka->0, то получим формулы
поля точенного источника:
р0 = lim Pa = SLPckr cos И
QQ= lim Ana2vn = lim An(kaJ~-t A.3.14)
^Ф^ТлРт^т» sin(P:
Эти формулы можно получить и не прибегая к формулам пуль-
пульсирующего шара. Они непосредственно вытекают из общей теории
излучения.
Как показано выше, потенциал волнового поля низкочастотного
излучателя определяется функцией запаздывания
где Q —производительность источника как функция от t — r/c.
Для гармонического установившегося процесса эта функция имеет
вид Q = C
206
Таким образом, потенциал поля точечного источника есть реаль-
реальная часть комплексной функции
которая совпадает с предельным выражением функции потенциала
сферы A.3.4) при ka->§. Отсюда нетрудно получить формулы A.3.14)
и A.3.15).
Основные характеристики пульсирующей сферы.
1. Механический импеданс пульсирующей сферы. В формулу им-
импеданса любого излучателя входят скорость точки приведения, при-
приведенная нормальная составляющая скорости и комплексная ампли-
амплитуда давления на поверхности сферы. В данном случае точкой
приведения является произвольная точка поверхности сферы. Отсюда
следует, что безразмерная скорость D есть единичный вектор нормали
элемента поверхности df: D = п.
Подставляя в общую формулу импеданса A.2.4) комплексные
амплитуды v и р из A.3.4) при г=*а, получаем выражение для
механического импеданса пульсирующей сферы
Отделяя действительную часть от мнимой, находим активное и
реактивное сопротивления:
V А 2 k*a2
Л = рс4паг j , ,гт
Г \ _1_ Ь2л%
ka <L3-16>
+
Присоединенная масса пульсирующей сферы
где Мо —масса жидкости в объеме шара радиусом а.
Для низких частот присоединенная масса, как следует из A.3.17),
равна утроенной массе жидкости, вытесненной шаром.
На рис. 1.3.1 представлен график, поясняющий зависимость
составляющих Хг и Yx импеданса излучения пульсирующей сферы от
отношения диаметра сферы к длине волны в воздухе (d=»2#). Для
другой среды величины составляющих импеданса, представленные
на этом графике, следует умножить на рс/41,3 (рс — удельное волно-
волновое сопротивление среды).
2. Предельный коэффициент. излучения. Отношение реактивного
сопротивления пульсирующей сферы к активному равно
у д 1 д
Л " ka 7
207
Отсюда следует выражение для предельного коэффициента излу-
излучения J
1 + 1.-Л.
При Va = O,l значение \\ близко к единице. С приближением
отношения длины волны к радиусу сферы предельный коэффициент
х1;уикг/(м2-с) излучения медленно умень-
whnj i i пищ i i i mm i ( тип i i тми шается. Например, для
Х/а=Ю0 он составляет
9%.
3. Поправка к резонан-
резонансной частоте. Выведем
формулу поправки к ре-
резонансной частоте для
пульсирующего пузыря в
жидкости.
Для воздушного пузы-
пузыря с упругой оболочкой
радиусом а, толщиной /i,
плотностью ps и упруго-
упругостью растяжения Е резо-
резонансная частота пульси-
пульсирующих колебаний может
быть вычислена по приб-
приближенной формуле
100
10
0,1
0,01
1
2--
t- -
/
А
/
i
:: Щ
-.: : - '' »
7 в
: : ^Э
d/X
0,001 0,01
0,1
Рис. 1.3.1
10
0H;
где
эффективная акустическая гибкость; та = ^ = |^
эффективная акустическая масса пузыря.
При условии 4Eh/(Zpac) < 1 и ЗрД/(ра) > 1 получаем
Зр,Л/(рс)]-
Если пузырь погружен в жидкость с плотностью р0, то частота
собственных колебаний может быть вычислена по формуле A.2.11),
в которой Р — поправочный коэффициент к резонансной частоте*
причем *
Здесь а = A+хг) э Мэ — эквивалентная масса, М =
-т
X
ЗУИ0 = 4яа3р0 — присоединенная масса пузыря, X == 4яа2р0°с0 х
1Н-'((Ооа/со)]2 ^ "" активная часть импеданса излучения.
-208
После небольших преобразований получаем следующее прибли-
приближенное выражение для поправочного коэффициента:
hps , ар
(р —плотность газа, заполняющего пузырь). Например, при p/ps =
= 0,001; а/Л = 100; ps/p0 = 2 получаем C^а = О,14 и соя^0,14со0.
§ 1.4. ДВОЙНОЙ ИСТОЧНИК
ИЛИ АКУСТИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Акустический диполь представляет собой двойной источник, со-
состоящий из двух точечных источников, расположенных близко один
от другого и имеющих одинаковые
производительности и противополож-
противоположные фазы. В некоторой точке А про-
пространства каждый точечный источник
создает звуковое поле с потенциа-
потенциалами
ГА Г
Результирующее поле определяет-
определяется суммой этих потенциалов:
\jr _ _5_ /JL Q—ikr+ L е- /?/-_
4я \ г+ г-
A.4.1)
Рис. 1.4.1
Поскольку расстояние между точечными источниками диполя
очень мало, заменим разность в A.4.1) полным дифференциалом:
Q_ d_ ffJkr '
:An dr \
Производная вектора г по направлению / равна cosQ (рис. 1.4.1).
После дифференцирования получим формулу потенциала скорости
в точке А:
Ш " № I Л ! 1 \cr\et\cij{.<ut-kr) /T 4. 9^
4я r \ l jkr I x '
где В = Q81 — объемный акустический момент диполя.
Использование обычных соотношений приводит к формулам зву-
звукового давления и колебательной скорости диполя. Эти формулы
запишем в виде комплексных функций:
1
+ Jkr~
Bjk
A.4.3)
209
В отличие от поля точечного источника поле диполя имеет неко-
некоторую направленность. Нетрудно показать, что функция направлен-
направленности диполя
ф @) = р(г'У = cos б. A.4.4)
" Х 7 П I Г III ^ '
Коэффициент осевой концентрации численно равен трем:
2
¦3.
cos2 6 sin 6 dQ
§ 1.5. ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ СФЕРЫ
Осциллирующей сферой называют поверхность шара неизменного
радиуса, все точки которой могут совершать малые колебания в од-
одном направлении.
Для нахождения параметров поля и характеристик осциллирую-
осциллирующей сферы используем формулы акустического диполя, так как
характер движения окружающей среды вблизи этих излучателей
одинаков. Однако множитель В в A.4.3) будет иным, и его можно
определить на основании условия непрерывности скорости на поверх-
поверхности сферы.
Допустим, что амплитуда скорости центра сферы и0. Нормальная
составляющая скорости точки поверхности
шара, имеющей полярный угол 0, равна
y0cos9 (рис. 1.5.1).
На основании непрерывности нормальной
составляющей скорости
используя A.4.3) при г**а, получим
Рис. 1.5.1
Подставляя A.5.1) в A.4.2) и A.4.3), находим для поля осцил-
осциллирующей сферы:
у == ika v l + iIjjkr) • ^t__k{r_a)] q
vr- г vo
^J _
jkW JCOStl,
й ^ ika
p =—t
A.5.2)
A.5.3)
A.5.4)
A.5.5)
Основные характеристики осциллирующей сферы. 1. Механиче-
Механический импеданс. Для вычисления механического импеданса восполь-
210
зуемся общей формулой
где v и р — комплексные амплитуды скорости точки приведения и
звукового давления на поверхности сферы; Dn — приведенная ско-
скорость элемента поверхности сферы dS.
Примем в качестве точки приведения полюс сферы. В этом слу-
случае Dn= v°cos — cos 8. Подставив в формулу импеданса комплекс-
комплексно
ные амплитуды Ъг и р из A.5.3) и A.5.5) при г==а и выбрав в ка-
качестве элемента поверхности площадь кругового пояса шириной ad§
и радиусом a sin 6, получим
f
J
о
Присоединенная масса осциллирующего шара определяется фор-
формулой
— = -о- яа3р . 7.л . . A.5.7)
со 3 r 4 + ^4a4 v 7
Для низких частот соотношения упрощаются и принимают вид
м ~ 4jia3P 1
Таким образом, для низких частот присоединенная масса равна
половине массы жидкости, вытесненной шаром.
Для высоких частот ka*^>\\ Х = 4ла3рс/3; У = 0; М = 0.
Формула импеданса для акустического излучения осциллирующей
сферы показывает, что для низких частот осциллирующая сфера как
излучатель менее эффективна, чем пульсирующая.
На рис. 1.5.2 показан график активного х1 и реактивного ух
удельных импедансов осциллирующего шара для воздуха в зависи-
зависимости от отношения d/X.
2. Предельный коэффициент излучения. Отношение Y/(nX)> еГходя-
щее в формулу предельного коэффициента, найдем из A.5.8):
Отсюда предельный коэффициент излучения осциллирующей сферы
1 гтт?<1- С1-5-10)
211
Для случая Я/Bяа)=1 значение г)я^0,5. При том же значении
К/Bпа) предельный коэффициент излучения пульсирующей сферы
составляет я^0,75. В общем виде отношение предельных коэффици-
1000
100
10
/
—1
/
ltd
1
j
I
4-
>
s
d/X
0,01
0,1 1
Рис. 1.5.2
10
ентов излучения осциллирующей и пульсирующей сферических излу-
излучателей определяется следующей формулой:
я 2яа
у) __
=
Таким образом, осциллирующая сфера энергетически менее эффек-
эффективна, чем пульсирующая.
§ 1.6. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА ПРИ СЛОЖНОМ
КОЛЕБАНИИ ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ
Сферический источник может иметь колебания поверхности более
сложные, чем пульсирующие или осциллирующие. В результате этих
колебаний возникают звуковые волны, характер которых определя-
определяется сложными явлениями дифракции и интерференции волн, исхо-
исходящих от отдельных участков колеблющейся поверхности. Если
поверхность излучателя сферическая, то можно получить точное
решение задачи, используя классические методы- математической
физики; оно приведено в приложении III данной книги.
Для сферического источника с осевой симметрией колебаний
поверхности потенциал поля выражается в виде ряда [см. формулу G)
212
приложения III]:
OQ
J Amfi% (^ г) Рт (cos В), A.6.1)
где hm (z) — сферическая функция Ханкеля второго рода т-то по-
порядка; Рт — полином Лежандра m-то порядка.
Радиальную и нормальную составляющие колебательной скорости,
вычисленные из соотношения ц^ = — дЧ7д/, представляют выраже-
выражениями:
со w y dh™(z)
m = l d.6.2)
где со —частота; с —скорость звука в среде; z = kr, # = cos6; б —
полярный угол.
Волны давления, определяемые из ? по соотношению /?==р-^-,
выражают формулой
со
р = /юре/*' 2 л«л« & рт (х). A.6.3)
Коэффициенты Ат определяются граничными условиями задачи.
Рассмотрим некоторые типичные граничные условия.
1. На поверхности излучателя в каждой точке задана нормаль-
нормальная составляющая колебательной скорости
0,F, /) = u(8)e^w, (I.6.4)
где v (б) = v0 (б) е^'ф @) — комплексная амплитуда скорости.
В этом случае граничные условия сводят к соотношению
vr = v (б, t) при г = а,
или
Для того чтобы найти коэффициенты Ат* умножим левую и пра-
правую части этого уравнения на Pw(cos6)/(sin 6d6) и проинтегрируем
в пределах О^б^я:
я
^F)Pn(cos6)sin8d8 =
о
dhm
Pm (cos 0) Pn (cos 6) sin 8 d6.
dz
213
Учитывая свойства ортогональности полиномов Лежандра
!0 при тфп,
2
ПрИ
получаем
ь
откуда следуют общие формулы для вычисления всех коэффициентов:
где m = 0, 1, 2, ... ; го = а>а/с\ h' (zo) = dh(z)/dz при z = z0-
2. На некоторой поверхности сферической формы имеется опре-
определенное распределение звукового давления, создаваемого источни-
источниками звука, расположенными вне области, ограниченной поверх-
поверхностью. Пусть а —радиус поверхности, давление на этой поверхности
р(а> 8) е№ — функция, заданная определенным образом (в виде таб-
таблиц, графиков или аналитической формулы). Тогда согласно непре-
непрерывности давления на поверхности сферы (г=*а)
Р(в,а)~ /сор ^ АтК% (у а) Рт (cos 6).
m = 0
Как и в первом случае, функцию р (б, а) можно рассматривать
как разложение по зональным сферическим функциям с коэффици-
коэффициентами разложения
Вт = iwAmh% (j a) =
л
J р (9, а) Рт (cos 6) sin б def
поэтому искомые коэффициенты выражают формулой
1 e, A.6.6)
где zo = (ua/c\ m = 0, 1, 2, ...
От этих рассуждений можно перейти к общим формулам для
пересчета данных измерения звукового давления в ближнем поле
для получения параметров дальнего поля.
В установившемся режиме на поверхности сферы, охватывающей
антенну, будет существовать определенное распределение амплитуд
давлений. Эти амплитуды можно замерить и получить эксперимен-
экспериментальную зависимость p(a)R/cy 6). Тогда давление в дальнем поле
определится из A.6.3) и A.6.6) при z->oo.
214
Сферическая функция Ханкеля Km (г), входящая в общие фор-
формулы, и полином Лежандра Pm(cosd) определяются для любого
целого т рекуррентными формулами:
' J Z
dm
A.6.7)
A.6.8)
В табл. 1.6.1 приведены выражения этих функций для первых
трех порядков.
Таблица 1.6.1
m
0
1
2
3
hm («)
z
1
z3
/[15-2-2.з + /2A5-гз)]2.е^
Pw(cosS)
1
COS 6
1
-^(Scos2^—1)
-«- E cos 36 + 3 cos 0)
Для сферических функций Бесселя jm(z) и Неймана пт(г) име-
имеются следующие асимптотические представления:
i ^
гт
пт(г) ^ —sin Ь —тя(т+1I.
Для сферической функции Ханкеля второго рода
^ (г) = /„ (г) - jnm (г) ^ ,9mj.n,| г» + / '°"
/Jm (г) л* ve"
A.6.9)
A.6.10)
Соотношения A.6.2) —A.6.10) позволяют найти точные решения
многих задач об излучении звука сферическими источниками.
215
§ 1.7. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ
СФЕРИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ
Рассмотрим некоторые частные случаи применения общих формул предыду-
предыдущего параграфа.
Зональные излучатели различных порядков. Для пульсирующей сферы коле-
колебательная скорость поверхности постоянна по амплитуде и фазе. Звуковое поле
в этом случае определится формулами A.6.1) —A.6.3) с коэффициентами разложе-
разложения A.6.5). Подставляя р(б)=?=и0 в A.6.5), получаем
2т+\
2kh'm (ka)
Pm (cos 6) sin 8 dd.
Заменяя под знаком интеграла единицу полиномом Лежандра нулевою по-
порядка P0(cos6) = l и учитывая условия ортогональности, получим
при :
при т — О,
т. е. A0 = v0/[kh'0(ka)); Л1 = Л2= ... =0.
Следовательно, потенциал поля пульсирующей сферы
kh<*>-
{ka)
Подставляя сюда из A.6.7) h'o (z) при z =
при 2 = ^г, получим:
и формулы h@2) (z), h[2) (z) из табл. 1.6.1
777=/
_ Ура2 l+jkr
Vr-- j+jka ~T* ^
Таким образом, звуковое поле пульсирующей сферы определяется из общего
решения A.6.1) слагаемым нулевого порядка. Точно так же, пользуясь общими
формулами, можно показать, что при условии,
©когда поверхность имеет амплитуду нормальной
составляющей скорости [v (8) = v0 cos б], излучение
определяется слагаемым первого порядка (т=1).
Формулы скорости, давления и потенциала будут
совпадать с соответствующими формулами осцилли-
осциллирующего шара. Если нормальная составляющая
скорости определяется полиномом Лежандра m-го
(т — 0, 1, 2, 3,...) порядка [Pm(cos6)], то форму-
формулы для звукового поля такого излучателя опреде-
определяются только слагаемым m-го порядка. Поэтому
пульсирующий излучатель называют излучателем
нулевого порядка, осциллирующий — излучателем
первого порядка и т. д.
На рис. 1.7.1 схематически показаны распре-
распределения узлов и пучностей для сферических излу-
излучателей первых трех порядков. Нетрудно заметить, что характеристика направ-
направленности сферического излучателя m-го порядка представляет зональную сфе-
сферическую функцию, т. е. полином Лежандра m-го порядка. На рис. 1.7.2 изоб-
изображены характеристики направленности сферических излучателей первых трех
порядков.
Излучение частью сферы, совершающей пульсирующие колебания. Разберем
случай, когда одна часть сферы с угловым размером 2б0 совершает пульсирующие
/77
Рис. 1.7.1
216
колебания, а другая остается неподвижной:
Уо при 0<б<б0,
О при бо^е =^ л.
Звуковое поле данного излучателя рассчитывают с помощью общих формул
A.7.1)
Рис. 1.7.2
A.6.1) и A.6.3), где коэффициенты Лт определяют выражениями A.6.5). В резуль-
результате подстановки v (б) из A.7.1) получаем
00
A^-^Wryrn(cose)smede. (I.7.2)
Для вычисления интеграла воспользуемся свойствами полиномов Лежандра
P'm+i(x) = P'm_l (х) + Bm +1) Рт (х),
откуда
ь ь
Таким образом, коэффициенты Лт в данном случае имеют вид
Ат = 2kh'\ka) [РтЛ (C°S 0o) ~Pm+1 (C°S 0oI
(m = 0, 1, 2, ...).
Подставляя их в общие формулы для колебательной скорости A.6.2) и звуко-
звукового давления A.6.3), получаем:
A.7.3)
где г = ^л, г0 = /га, дс = cos 0,
217
Рщ (X) = [Pm-l (*о) — Рщ+1 (*о)] Рт (X), *о = С09 б0.
Для получения зависимостей A.7.3) в дальней области поля (г = #2->оо)
воспользуемся асимптотическими выражениями сферических функций Бесселя
A.6.10) и после небольших преобразований запишем формулы дальнего поля
в следующем виде:
щ^^-г, A _x*)m^j^Jj^t {UA)
0 ~ ML е/ш1-г> V ш+2 Fm(x)
" 2г ^ А?''(*оГ
Формулы A.7.3) и A.7.4) полностью характеризуют звуковое поле поршневого
излучателя,, помещенного на поверхности шара. С их помощью можно вычислить
интенсивность в любой точке пространства, импеданс излучения на поверхности
преобразователя и функцию направленности.
Из A.7.4) следует, что функция направленности поршневого излучателя
в экране выражается формулой
(В\ - L iPm-1 (C°S 6q) ^ Pm+1 (C°S 6qI ?m r(C0S 9)
{} ? [Pm-i (cos eo)-Pm+1 (cos e0)] pw
К }W ) ( » 'm W. в; B)-nep.
вые производные модуля Dm и фазы бт сферической функции Бесселя (см. табл.
ПН.З приложения).
Формула A.7.5) может быть применена для вычисления интенсивности
излучателя:
<?7 F, ka) = <?T @, ka) [Ф (б)]«. A.7.6)
На рис. 1.7.3 показаны полярные диаграммы направленности по интенсивности
A.7.6) от б для Ь=1, 2, 3.
Выведем формулу импеданса поршневого излучателя, занимающего часть сферы
с угловым размером 0, б0. Сила реакции поля, действующая на кольцевой элемент
сферы с угловыми размерами б, 6 + d8,
sin Qddt
а сила, действующая на часть сферы с угловыми размерами О, 60, равна
00
F=\ 2ш2р sin Odd.
Подставим под знак интеграла выражение для звукового давления из A.7.3)
и, заменяя sin б db на — dcosG, проведем интегрирование в пределах от 0 до cos б0:
/? = 4ла2ра>0е^ sin2 F0/2) (x + jy).
Здесь 4яа2 sin2 (Go/2) — площадь колеблющейся части сферы;
1Р-^(cos 6o)-^+i (cos 6o)J2
— активная часть безразмерного удельного импеданса излучения;
у-ъырХ^+ЧЪМГ lPuJl(c°s9o)~Pm+1 (c°sео)Р
— реактивная часть импеданса, где \D'n (^a)]2-- [jfm {ka)]2 + [nm (?а)]2,
218
На рис. I 7.4 изображены графики активной х и реактивной у частей импе-
импеданса. На оси X отложены х и у как функции отношения эквивалентного пери-
периметра поршня к длине волны 2яапорА = 2?а sin (80/2). Как видно из этих графиков,
для волн с большой " длиной волны (по сравнению с периметром поршня 2ла,тор)
активная часть импеданса меньше реактивной. Для коротких волн (ka <; 1) актив-
активная часть импеданса равна единице, а реактивная —нулю, так что полный импе-
импеданс поршня —действительная величина, равная произведению рс на площадь
поршня: яа^ор == 4яа2 sin2 F0/2).
Хотя здесь нельзя привести всех вычислений, тем не менее следует заметить,
что в пределе, когда радиус сферы стремится к бесконечности, формулы излучения
поршня на сфере переходят в фор-
формулы излучения поршня в беско-
бесконечном экране.
Точечный источник на поверх-
поверхности сферы. Рассмотрим частный
случай апор/а<^\, когда на поверх-
поверхности сферы излучаег поршневой
излучатель, размеры которого зна-
значительно меньше, чем ее радиус.
О '
Рис. 1.7.3
2 4 6 2Tiam/\
Рис. 1.7.4
Так как отношение апор/ая&Ь0 <^ 1, то во всех формулах sin0o^6o, за счет
чего они упростятся. В частности,
Pm (cos б) ^ Рт ([/l-sin260) ^ Рт A _-М-
Таким образом,
Pm-l (COS во) - Рт +1 (COS б0) = [Р'т + 1 (х) - Рт - 1 (*)] f
Кроме того, известно, что
dx [ m+1 K }
поэтому
Так как Рт (х) -> 1, то
Jl™ [Pm-i (cos 0о) - Ртн (cos в0)] = Bт + 1) -J-.
219
С учетом этих замечаний получаем формулы для излучения точечного источ-
источника, расположенного на поверхности сферы:
1
Dm(kr)
Тогда фактор направленности
где pm = , .:; :•
Dm (ka)
Точно так же получают формулы для импеданса точечного излучателя, рас-
расположенного на поверхности сферы:
4 (toJ
tn = 0
[Dm
В акустике существует положение, сформулированное Гельмгольцем и назван-
названное теоремой взаимности: если в пространстве, где имеются отражающие и пог-
поглощающие тела, расположить точечный излучатель и измерить с помощью прием-
приемника сигнал в некоторой точке простран-
пространства, то при взаимной замене мест прием-
приемника и точечного излучателя сигналы, ко-
которые зарегистрирует приемник звука при
прежней мощности излучателя, останутся
прежними.
Эта теорема позволяет рассчитать ди-
дифракцию на телах, для которых удается
вычислить излучение точечного источника,
находящегося на поверхности.
В частности, известно, что точечный
источник, расположенный на поверхности
сферы, создает давление в бесконечно уда-
удаленной точке, определяемой формулой
р(8)=РоФ(б),
где р0 —давление в направлении 6 = 0;
Ф(б) —функция направленности подавлению.
Если' поместить точечный источник в
бесконечно удаленную точку, а приемник
давления — на поверхность сферы, то давле-
давление, которое он будет воспринимать, равно
р0Ф0 [р0—давление, которое могло бы быть
зарегистрировано при 6 = 0; Ф (б) —функция
направленности точечного источника, рас-
расположенного на поверхности сферы].
На рис. 1.7.5 показаны графики распределения интенсивности звука вокруг
сферы, на которую падает плоская волна. Направления распространения волны
и полярный угол б изображены справа вверху рисунка. Различные кривые даны
для различных значений волнового фактора jn. Как видно, чем выше частота, тем
больше проявляется неравномерность звукового поля на поверхности сферы. При
очень высоких частотах часть шара, расположенная в области геометрической
тени, не охвачена волновым процессом.
220
ГЛАВА II
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ
§ П.1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ
БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Для анализа поля, создаваемого цилиндрическими системами,
исследуем излучение цилиндра бесконечной длины. Пусть на его
жесткой поверхности расположены источники звука, имеющие нормаль-
нормальную составляющую скорости, амплитуда которой зависит от азимута ср
и не зависит от координаты г:
vn = v0(<p)eW. (II. 1.1)
Поскольку колебательная скорость на поверхности цилиндра имеет
гармоническую зависимость от времени и не зависит от координаты,
то и потенциал скорости определяется гармонической функцией вре-
времени и не зависит от г:
Подставляя (II. 1.2) в волновое уравнение
получаем уравнение для амплитуды потенциала
Aip(г, <р)+ #*(/•, <р) = 0, (II.1.3)
где оператор Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид
\ д* /тт 1 .ч
^w {илл)
Полагая ty(r, ф) = Ф(ф)/? (г), получаем расщепление (II. 1.3) на
два уравнения:
** , im > - <IU-5>
Первое из них имеет однозначное решение при целом т\
Ф(ф) = Л со$(шф + а), (II.1.6)
а второе при введении новой переменной x = kr легко преобразовать
в уравнение Бесселя с целочисленным параметром т:
Как известно, решениями уравнения Бесселя являются цилинд-
цилиндрические функции. В данном случае удобно взять комплексные цилинд-
221
рические функции Ханкеля первого и второго рода:
и представить решение уравнения (II. 1.7) в виде
Rm (kr) - АтН% (kr) + BmH% (kr). (II. 1.8)
Из функций Нт и Нт при временной зависимости потенциала
скорости вида е/ш условию излучения удовлетворяет лишь Нт. Поэтому
для задач об излучении волн в (II. 1.8) оставим второе слагаемое
Rm(kr) = BmH%(kr). (И. 1.9)
Таким образом, частное решение поставленной задачи имеет вид
Y(r, ф, t) = Am cos (пир+ am)Hm)(kr)ef<« =
*~(А'т cos my + B'm sin пир) НЯ (kr) ef<*, (И.1.10)
где А'т = Ат cos am\ B'm = Amsinam.
Из функции (II. 1.10) составим общее решение:
Я (kr). (II.1.11)
т =0
Ниже вместо #т будем писать Нт.
Радиальная скорость и звуковое давление связаны с потенциалом
скорости Ч*1 известными соотношениями
откуда
со
2 ^ (II.l. 12)
(II.l.13)
m = 0
Постоянные А'т и В^ определяют с использованием условий на
границе.
Пульсирующий цилиндр. Определим звуковое поле и характери-
характеристики излучателя, если поверхность цилиндра имеет колебательную
радиальную скорость vn = v0ei(Ot (vQ — амплитуда скорости на поверх-
поверхности цилиндра, не зависящая от азимута ф и координаты г).
Используем решение волнового уравнения в форме (II. 1.12) и при-
применим к нему условие непрерывности радиальной составляющей ско-
скорости на поверхности цилиндра.
Очевидно, если в (II.1.12) подставить г = а (а — радиус цилиндра),
го должно удовлетворяться тождественное равенство радиальной ско-
скорости vn на поверхности цилиндра и радиальной составляющей коле-
колебательной скорости vr звукового поля, Сокращая на общий мнолщ-
223
тель е/ш, получаем
оо
dHn
dx
m = 0
(Ат COS /Лф + В'т Sin /Яф).
Это тождество выполняется, если А'т = В^ ¦= 0 при
при т = 0:
Отсюда
Таким образом, акустическое поле пульсирующего цилиндра выра-
выражается формулами:
Y - Aff J (кг) & -
Запишем формулы (П.1.15) для дальнего поля (г-*оо) и про-
проанализируем их в случае низких и высоких частот. Кроме того,
поскольку 'для вычисления импеданса требуется знать силу реакции
поля на поверхности цилиндра, необходимо найти также выражение
для давления при kr = ka.
С этой целью воспользуемся следующими соотношениями для
цилиндрических функций [5].
Цилиндрическая функция Ханкеля нулевого порядка второго
рода определяется рядом
НТ (х) = .^„ (х) - jN0 (х) = #0 (х) - j ~ X
*г
Здесь е^о (х) и yV0 (x) — функции Бесселя и Неймана нулевого порядка:
_<7 ,.л_, (*/2J , (*/2L W2N , .
[(in | +.С) ^0 (х) + 2^2 (х) - \ #4 (х
мул:
С= lim f У i-- In m)^0,577216...
Функция Бесселя m-io порядка определяется с помощью рекуррентных фор-
фор223
Предельные выражения функций Ханкеля при х;>1 и х <; 1 имеют следую-
следующий вид:
dx х < 1
*>1 У лх * dx x>\
Подставляя асимптотические значения Щ] и Щ' в (II. 1.15), нахо-
находим формулы акустического дальнего поля пульсирующего цилиндра:
-190
Интенсивность излучения можно представить как реальную часть
половины произведения комплексно-сопряженных функций давления
и колебательной скорости:
Следовательно, интенсивность пульсирующего цилиндра на боль-
больших расстояниях (kr^> 1) изменяется обратно пропорционально рас-
расстоянию.
Полная мощность излучения на единицу длины пульсирующего
цилиндра
" k\H'0(ka)\* '
Для высоких частот формулы поля (И.1.16) и (II.1.17) легко
приводят с помощью асимптотических свойств цилиндрических функ-
функций к виду:
/ — k(r — a)]
^ -o0pcl/r-7e/t^-*(f-e)]f (П.1.18)
224
Для низкочастотного пульсирующего цилиндра акустическое поле
определяется выражениями:
*7 К " К У6'
а/ ^ pcpj-j-- , (II.1.19)
r-юо
Сравнивая (II. 1.18) и (II. 1.19), приходим к заключению, что
акустическая мощность цилиндрического источника при излучении
им высоких частот не зависит от частоты и определяется волновым
сопротивлением среды и амплитудой колебательной скорости. Если же
пульсирующий цилиндр работает на низких частотах, то полная аку-
акустическая мощность, излучаемая им, пропорциональна не только
волновому сопротивлению, но и произведению волнового числа на радиус
цилиндра, т. е. величине, значительно меньшей единицы.
Рассмотрим импеданс пульсирующего цилиндра. Согласно опреде-
определению, z = F/vr (F = 2пар (ka) = — 2najpc c° ?,,?-r сила реакции
/7 У [h U) *
поля на единицу длины цилиндра).
Следовательно,
^ Яо (ka) __
4
vQH'o (ka) ъ*°* ~ Znup4 Щ (ka)
= — 2napcj ф0щ = pcsx (x + jy),
где pgjc = pc , у/ч°2Т /vm2° "^ активная часть импеданса, приведенного
(Q/ ь) ~Г VV 0/ or or, ,
к единице поверхности цилиндра: рсу = — рс ^ а °^ q — реактив-
(q/0) —(N 0)
ная часть.
Импеданс цилиндра конечной длины, заключенного между двумя
бесконечно длинными насадками того же диаметра, вычисляется
по более сложным формулам [28], согласно которым импеданс цилиндра
высотой b равен
где Zozls = рс f/г (ka) + jg (ka)]\ zt = [h* (kb) + jg (kb)], a - радиус.
8 Л, Ф, Леаендин 225
Функции h(y) и g(y) имеют вид:
g(</)=c
Функции А* (г) и g* (z) представлены в форме рядов:
со
Л W- Z
п = 0
2'
= О
где
Предельные значения этих функций:
JX
^-* 0 f/ ^ О
1
Л* (г) ^ |,
0 ^
2 — 0
2->0
/г* (г) ^ 1, g»(z) ^ 0.
г->оо г-» оо
Нетрудно видеть, что формула импеданса ограниченного цилиндра
при г->со переходит в формулу импеданса бесконечного цилиндра.
Ъ,д,кг/(м2-с)
Ю
уу
,<-A(кп)
¦и-
к,
SBSI-
hfg* кг/(м2*с)
Ю
1
1
> д*М
/
(
\
>
\
2
V 0,2 0,3 0,5 1 2 3 45 10 ,1 0,2 0,3 0,5 1 2 3 45 10
Рис. II.1.1
На рис. II. 1.1, а представлены кривые h(ka)y g(ka)y а на
рис. II.1.1, б — h* (kb) и g* (kb), с помощью которых можно найти
226
для известных ka и kb активное и реактивное удельные сопротивле-
сопротивления:
хг = рс [h (ka) /i* (kb) - g (ka) g* (kb)l
уг = P? [h (ka) g* (Й6) + g (ka) h* (to)].
§ II.2. ОСЦИЛЛИРУЮЩИЙ ЦИЛИНДР
Осциллирующий цилиндр ^представляет собой круглый стержень,
колеблющийся в направлении, перпендикулярном оси, с некоторой
частотой /. Радиальная составляющая скорости на поверхности
цилиндра v = и0 cos <pe;'2jt^ (ф — азимут образующей).
Из условия непрерывности нормальной составляющей скорости
звукового поля получаем следующие значения постоянных А'т и В'т
решения (II. 1.11):
Отсюда потенциал звукового поля осциллирующего цилиндра
T~ kH[(ka) СО
Используя выражение для потенциала поля, находим радиальную
и тангенциальную составляющие колебательной скорости:
^~ ^г ~" я;(И СОЬфе ' (h.^.zj
Звуковое давление определяют по формуле р = р-^-, откуда
щШcos фе/Ш* (IL2'4)
Воспользуемся предельными значениями функции Ханкеля пер-
первого порядка:
(Ц.2.5)
и найдем потенциал низкочастотного (йа <^ 1) осциллирующего цилиндра
в областях ближнего (kr->0) и дальнего (kr-+oo) поля:
0^
r
kr-*ka
а<
kr -+ oo
8* 227
Звуковое давление в ближнем и дальнем поле получаем при ka <^ 1:
р ^ 2я/р
PkS<i
kr -+со
При этом радиальная и тангенциальная составляющие скорости
имеют вид:
kr-^ka
Г~Т
vrF&2n2crv0/p I/ — cos i
f Ct
Тангенциальная составляющая скорости на больших расстояниях
убывает как l/(r|^r), поэтому ею можно пренебречь.
Поток мощности, приходящийся на единицу площади фронта
волны, равен произведению комплексно-сопряженных р и и2, а интен-
интенсивность <& периодической волны — среднему его значению за период.
Для низкочастотного осциллирующего цилиндра интенсивность равна
T+t
Мощность излучения, приходящаяся на единицу длины цилиндра,
выражается формулой
<ъ f ег , 2л4/3раЧ2 f 2 а 2я5/3ра4^о
Ць1=: \ G/rdq) — —' ^ ° \ С082фс!ф = —Ц—2-.
— л о
Сила реакции поля на единицу длины цилиндра в направлении дви-
движения равна
2л 2л
Ff = J /? cos ф dcp = j2nfpav0 ^ cos ф cos фа йф = jnfpa2v02n.
о о
Отсюда получаем импеданс единицы длины цилиндра при низких
частотах:
гц = Ц = jnfpa22n ъ /со (ряя2). (II .2.9)
Импеданс имеет инерционный характер. Активная часть импеданса
мала и в формулу (II.2.9) не входит. Однако если воспользо-
воспользоваться формулой 9*i = xvl/2, то получим активное сопротивление при
низких частотах:
л: = -^з-=—2^а—• A1.2.10)
228
Таким образом, низкочастотный полный импеданс осциллирую-
осциллирующего цилиндра кроме реактивной части (II.2.9) содержит еще актив-
активную часть (II.2.10):
^ jx2co3pa4 , . / 2 \
§ II.3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ЗВУКА ЦИЛИНДРОМ
Если поверхность длинного цилиндра колеблется так, что ампли-
амплитуда скорости его поверхности зависит от азимута <р по закону
^« = ^о(ф)» т0 имеем только те члены решения (II. 1.11), которые
удовлетворяют граничному условию
). (II.3.1)
m = 0
Рассматривая (II.3.1) как тригонометрический ряд Фурье, полу-
получаем:
a -f2jt
2я
kntim \ka)
(X/
\ о0(ф)со8тфйф, (Н.3.2)
а+2л
(m=l, 2, 3, ...).
Потенциал поля цилиндрического источника представляем как
cos/пф+ Ят sin mitftf^r) , (Ц.3.3)
J
где Ло» -^т и В'т — коэффициенты, определяемые по формулам (II.3.2).
Рассмотрим несколько частных случаев.
Излучение пульсирующей линии. Предположим, что радиальная скорость
поверхности цилиндра равна
Асе
o при ф^
Асе
0 при ф> -у
229
Тогда легко вычисляют интегралы, входящие в (II.3.2):
$ v0 (ф) dtp = j
а а
а+2я а-Ь Да/2
а а—Да/2
а+2я а-f-Да/2
$ у0 (ф) sin тф с?ф = у0 J sin /щр ^ф «s; y0 sin та Да.
а а — Аа/2
Коэффициенты ряда, представляющего потенциал скорости ^F в (II.1.11), при
этом имеют вид:
,, VQQosma Да
' т==
i»0 sin та Да
(Ла)
Таким образом, потенциал, создаваемый узкой полосой, расположенной на
жестком цилиндре, равен
Ф> 0--5теА»'До У //ffl,(fer) соб[(/н(ф-а)], A1.3.4)
я* ^п етЯш (Аа)
2 при
где ет '
\ 1 при
Для дальнего поля
поэтому формула (II.3.4) при kr^tn, kr^>\ упрощается:
Y(r, ф, 0^~^1/ уе;^/-^>г|;(ф~а)Да, (II.3.5)
CO J
где if (ф — а) = ~"
Для звукового давления и колебательной скорости найдем:
— e \ 2^(ф — а) Да,
т Га I(®t — kr4- — )
Vr^voy у* \ 2//Ф(ф —
ос) Да. (II.3.6)
Для численных расчетов, где встречаются функции Ханкеля, удобно пользо-
пользоваться их представлением через амплитудное значение и фазу:
Н'т (X) = Л (X)- jN'm (X) «- /Cm W e~7Vm (д° f
WH-ЛМ, (Ц.3.7)
Cm COS Ym (x) = Nm (x) #
230
Предельные значения амплитуд ст и фазовых углов ут задают следующими
приближенными формулами:
m+1/2 г Пка
1/2 г Пка ka>>m+\;2
у'т «а ка — я (т + -S-),
Af 1/2 \ z/
т\ /2\т+1 , ят
» Ут ^ —ТтПа"
ka<m+i/2 \™)*
cm^(m-\)\Bkar/nt (II 3.9)
4 (ka\*
ка<\/2пШ ка<\/2
Используя соотношения (II.3.7), получаем
, (и.з.,0)
Функция ^|?(ф~-а) определяет характеристику направленности линейного
источника, расположенного на поверхности цилиндра. Для малых ka на осно-
основании (II.3.9) находим
ОО
( ОО
— a) s^ I/ -т <-т-+ 7 тг —г cos [m (ф — ti
' У nka я |4 1 ^ \2/ ml l VY
I m=o
4я
Наибольший член в (II.3.10) будет при т = 0. В этом случае характеристика
направленности не зависит от (ф—ос). Следовательно, полоса на цилиндре доя
низких частот создает ненаправленное излучение. При высоких частотах исполь-
используем (II.3.8) и получаем потенциал скорости
1 VI
\jj (ф — а) ^ — е/*а / cos [/?2 (ф — а)]
и звуковое давление
Интенсивность излучения равна
Используя (II.3.6) и (II.3.7), получаем для интенсивности излучателя
y у Re (г(?
Полная мощность, излучаемая единицей длины цилиндра,
2л
231
После интегрирования получаем
<« рс2 {v0daJ
d l 2jt3/
(П.3.12)
На рис. II.3.1, а представлены полярные диаграммы интенсивности акусти-
акустического излучения линии на цилиндре, рассчитанные по формуле (II.3.11) для
различных ka. Слева схематически изображен поперечный разрез цилиндра.
Видны направления излучения от линии. На ртсс. II.3.1, б показано, что излуча-
излучаемая мощность в области низ-
Ав5'71а А~2Яп ких частот возрастает пропор-
пропорционально фактору ka = 2na/X.
Па мере увеличения отно-
отношения длины окружности попе-
поперечного сечения цилиндра к
длине волны полная излучае-
излучаемая мощность растет и излуче-
излучение становится направленным.
При низкой частоте {2па <; X)
полная излучаемая мощность,
приходящаяся на единицу дли-
длины цилиндра, очень мала и
излучение происходит равномер-
равномерно во все стороны. Это объяс-
объясняют тем, что когда длина вол-
волны больше, чем поперечные
размеры цилиндра, волны, из-
излучаемые узкой полосой, лежа-
лежащей на поверхности жесткого
цилиндра, легко охватывают ци-
цилиндр. При уменьшении длины появляется характерная направленность излуче-
излучения: например, при ka—\ интенсивность максимальна в направлении ф = а и
близка к нулю для ф = а + л. При еще меньшей длине волны интенсивность мак-
максимальна в направлении ф = а и близка к нулю в области геометрической тени.
Излучение полосы на цилиндре. Если на поверхности цилиндра имеется участок
с некоторым амплитудно-фазовым распределением скоростей v (а) = v0 (а) е/'Ра, то
звуковое поле можно рассматривать как суперпозицию полей отдельных линейных
излучателей на поверхности цилиндра:
оо 2л
47 (г, ф, /) = — \d<*1 У Hn}kr^ С y0(a)e/P(a>cos[n(9 — a)]da. (II.3.13)
n=o v ' о
Например, пульсирующий участок с угловой шириной 2а0 амплитудной ско-
скорости v0 образует звуковое поле в точке с координатами /-, ф:
На
Рис. И.3.1
+ ССо
4
Вычислим интеграл:
п {ka)
\ cos [п (ф — a)] da = — \ cos nz dz~—sinna0cos/i9.
Тогда потенциал легко привести к виду
г^ 2vo cyw I Ho №) ао
'{ka)
п (kr) cos п(р sin na0
']¦
(II.3.15)
232
Пользуясь A1.3.15), можно найти давление, колебательную скорость и другие
характеристики поля. В частности, интенсивность излучения и полная мощность
рассчитываются по формулам:
оо
sin ma0 sin na0 cos тф sin пф
тпСт {ka) Cn {ka) С
Cl(ka)
оо
у
2аI у sin2 та0
l
т= 1
Используя приближенное значение выражения для Ст (II.3,9), получаем:
4jxr 8jx/" 2 '
2 Л'
где s = a2a0 — площадь единицы длины полосы.
Активная часть импеданса полосы при низких частотах равна
4 2
Интенсивность излучения полосы на цилиндре пропорциональна квадрату
площади единицы длины и обратно пропорциональна расстоянию от излучателя.
Удельный импеданс пропорционален ka, т. е. значительно меньше единицы.
§ II.4. ИЗЛУЧЕНИЕ КОЛЬЦА, РАСПОЛОЖЕННОГО
НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
В предыдущем параграфе мы изучали цилиндрические излучатели,
у которых колебания не зависят от координаты г, ориентированной
вдоль оси цилиндра. Однако большей частью реальные цилиндри-
цилиндрические излучатели и приемники имеют активные элементы, ограни-
ограниченные по оси Z.
Простейшим акустическим излучателем такого типа является коль-
кольцевой пьезоэлектрический преобразователь, вставленный в жесткий
цилиндрический экран. Для расчета поля такого преобразователя
допустим, что цилиндрический экран имеет неограниченную длину,
а активный элемент высотой 2h пульсирует с колебательной ско-
скоростью i>oe/W. Цилиндрическую систему координат расположим так,
чтобы плоскость Z = 0 проходила посередине высоты этого элемента.
В пространстве, окружающем цилиндр, возбуждается акустическое
поле, потенциал которого
Т(г, г, t) = yp(r, г)е*** (И.4.1)
должен удовлетворять волновому уравнению непрерывности радиаль-
радиальной скорости на поверхности цилиндра и условию излучения. После
подстановки (II.4.1) в волновое уравнение получаем уравнение Гельм-
гольца в цилиндрических координатах
233
с граничным условием
-SU,-M*>. (H.4.3)
где vQ (z) — комплексная амплитуда скорости поверхности цилиндра.
Для того чтобы функция \|) удовлетворяла граничному условию
(II.4.3), необходимо, чтобы она не зависела от азимута ф. В этом
случае волновое уравнение (II.4.2) приобретает вид
(П.4.5)
при граничном условии
j 0 при
дг
О при \г\ >
Можно было бы пытаться искать решение (II.4.4) при условии
(П.4.5), применяя метод расщепления, положив ty=r{z)R(r). Как
было показано выше, этот метод приводит к тому, что Z (г) оказы-
оказывается гармонической функцией. А так как на границе раздела гра-
градиент функции \f>(z, г) на участке —h<Cz<h постоянен, то про-
произведение t|? = Z (г) R (г) не может удовлетворять граничному условию
(П.4.5). Таким образом, функция ty = Z(z)R(r) не является реше-
решением.
Поэтому надо искать другие варианты решения задачи. Исполь-
Используют, например в [21], применение к (II.4.4) и (П.4.5) метода пря-
прямого и обратного интегральных преобразований Фурье. В связи
с этим представим искомую функцию в виде интеграла Фурье:
оо
!>(/¦; г) = ~ J F(r, x)ef»dx A1.4.6)
—ОО
с коэффициентами разложения
со
F(r, т)= J ф(г, z)e-/x*dz. (II.4.7)
— ОО
Умножив (II.4.4) и (П.4.5) на е~/Хг и проинтегрировав в области
— co^^^-f00» получим:
00 , ОО
I 1
— 00 —ОО
00
J si
J $e~<r*dz = O, (II.4.8)
-ОО
при |z|s^A,
(IL4-9)
0 при \z |>A.
Второе слагаемое (II.4.8) повторным интегрированием по частям
сводят к выражению
ОО
— т2 U я!> (г, z)e->x*dz = — T2F(r, т).
~00
234
Кроме того,
1 д Г д
— oo —Л
= 2^sinTft.
Таким образом, уравнение Гельмгольца относительно функции
двух переменных путем прямого интегрального преобразования Фурье
сводят к уравнению для трансформанты ^ (г, т)
с граничным условием
2v
° sin т/г при
О
(П.4.11)
Введением новой переменной к = г
(П.4.10) и (П.4.11) к виду
при \z\>h.
легко преобразовать
-О, (Н.4.12)
дх
л = а у k* -
I 0 при \z\>h
(—со <т<со).
Решением уравнения (II.4.12), удовлетворяющим условию излу-
излучения, является функция Ханкеля нулевого порядка второго рода:
Граничное условие (II.4.13) для функции «F (х, т) имеет вид
=? A (r^L I _ а ^_ = ^ sin (Щ,
откуда
Л(х) =
у0 sin
235
Таким образом, трансформанту интегрального преобразования
Фурье, удовлетворяющую поставленной задаче, выражают соотноше-
соотношением
(r T)=
Для нахождения первообразной функции -ф(г, г) применим
к трансформанте «F (г, т) обратное преобразование Фурье:
^о Г sin (т/Q Я0 (г V*-*j#L
Пользуясь формулами для вычисления производной цилиндри-
цилиндрических функций, получаем
— ОО
где k — волновое число; Но и HL — функции Ханкеля нулевого и
первого порядка; т —некоторый параметр,
т'
Рис. П.4.1
Подынтегральная функция (II.4.14) — комплексная и имеет особен-
особенность в точках x = ±k. Интегрирование здесь проводится по дейст-
действительному переменному т.
Рассматривая плоскость комплексного переменного t + tV, про-
проведем интегрирование вдоль действительной оси плоскости комплекс-
комплексного переменного. В области, где т = — й, обход особой точки
сверху, а в области т = -|- k — снизу. Обход выполняется по контуру
малого радиуса (рис. П.4.1). В этом случае при числовом определе-
определении интеграла особенности исключаются и с помощью электронно-
вычислительных машин можно вычислить потенциал поля точек
пространства при тех или иных параметрах излучателя. Для области
дальнего поля интеграл (П.4.14) может быть преобразован к более
удобному виду. Используя асимптотическое выражение функции
H0(rYk2 — т2), новую переменную r = ksins и сферическую систему
координат R = ]/~r2-\-z2y 6 = arctgz/r, после несложных преобразова-
преобразований получаем
у щ* \ f (s)
nk \ Rkn J
где v(s)= / cos(s + 6), f(s) =
^W ! V ^ h /W si
k \ Rkn
sin (kh sin s)
/
sinsHx(kacoss)Kcos6 sins
236
Контурный интеграл Jj / (s) e^v <s) ds вычислим с помощью метода
с
перевала. Решая уравнение /'(s) = 0, находим седловую точку s = —9.
Для определения направления наиболее крутого спуска, проходящего
через седловую точку, разложим функцию y(s) в ряд:
Определяя окрестность седловой точки равенством s = — б + ее/ф
для малых значений е и 0^ф^2я, можно записать
Y(s,
y sin2cp+/(l -у
Остальные члены отброшены в силу малости значений е. Из послед-
последнего соотношения видно, что
вещественная часть функции \ф(в)\
y(s) в окрестности седловой
точки остается отрицатель-
отрицательной и наиболее быстро из- 0,9
меняется на плоскости комп-
комплексного переменного в на- д6
правлении ф =— я/4.
Для вычисления несобст-
несобственного интеграла (II. 4.15) W
по методу перевала деформи-
деформируем контур интегрирования q
так, чтобы он прошел через
седловую точку в направле-
направлении ф = я/4. Ограничив ма-
малым участком путь интегри-
интегрирования в окрестности седловой
интеграла (II.4.15) равенство
5 20 35 50 65 80 6,град
Рис. Н.4.2
точки, получим для значения
чим:
Подставив в правую часть s = —б, y(so) = j и yn(s0) = — /, полу-
2р0 sin (hk sin 6) , {Rk + я/2) ш
' Rnk2 sin 6 cos 6//i (ak cos 6)
(Н.4.16)
Отсюда функция направленности
, \V(R, 6, Ql [sin (^ sin 6) Яг (^) 1
I Y (R, 0, 0 I hk\ cos б sin 6 (Ях (a* cos 6))
| sin (hk sin 6) | Cx (ak) e •
) - /б* ^fl cos e)
~" hk | cos 6sin б | Сг (akcos6) ' (II.4.17)
где Сх —модуль и Si —фаза первой функции Ханкеля первого порядка.
На рис. II.4.2 приведены диаграммы направленности ФF)
в вертикальной плоскости для цилиндра с радиусом а = 24/k (ak = 24) и
/i& = 3; hk=\2 и hk~ 24, из которых следует, что увеличение пара-
параметра hk (т. е. волнового размера высоты кольца) сопровождается
возрастанием направленности излучения и появлением добавочных
максимумов. Расчеты, произведенные для других значений ka, позво-
позволяют отметить, что диаграмма направленности мало изменяется
с изменением радиуса цилиндра. Например, при агк= 12~диаграмма
направленности кольца высотой h = 12/Л такая же, как и для кольца
той же высоты, но на цилиндре с радиусом, в два раза большим,
т. е. а2='24/Л.
§ II.5. ИЗЛУЧЕНИЕ СИСТЕМЫ КОЛЕЦ,
РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ЦИЛИНДРЕ
Акустическое поле системы пульсирующих колец на цилиндре
получается путем суперпозиции полей отдельных колец.
Допустим, что имеется п (лг = 1, 2, 3,...) несинфазно пульсирую-
пульсирующих колец, расположенных на расстоянии d одно от другого. Пред-
Предполагается, что кольцо 1 рас-
расположено симметрично плоско-
плоскости z = 0, а все остальные B,
3,4) —ъ положительном направ-
направлении оси Z (рис. II.5.1). При
таком расположении колец со-
соотношения
РИС. II.5.1
A=1, 2, 3, ..., m, ...)
определяют участки поверхно-
поверхности цилиндра, занятые излуча-
излучателями. Будем считать, что
каждое кольцо пульсирует со
и создает в направлении б звуковое поле. Пер-
Перб
скоростью voe~}' р
вое кольцо создает в направлении б потенциал
2v0 sin (kh sin б) е <** fn/2>e- ' (co/ + a
W /D Q A
sin б cos Mx (ka cos 6)
(II.5.1)
Потенциал 1-го кольца в направлении б имеет отставание по фазе
на АВ = k d (I — 1) sin б, а потенциал поля, создаваемого этим кольцом,
отличается от (II.5.1) фазовым множителем e~/k {1~1} d sin e. Поле,
создаваемое системой т колец, является суперпозицией полей (II.5.1)
и выражается формулой
т
' (kr 4- л/2) 1 «--,
2и0 sin (kh sin i
nk2 cos 6 sin e#x (ka cos 6)
— л </ — i) or sin
(II.5.2)
238
где ai = kBC = kd(l— 1) sin у; /=1, 2, 3,..., m; у — угол компенса-
компенсации.
Сумма, входящая в равенство (II.5.2), приобретает вид геометри-
геометрической прогрессии со знаменателем е/2А Д = -о" (sin б — sin у) . Тогда
(II.5.2) преобразуется к виду
2Vj el\ (kr + я/2 - дт 4- A) sjn /тдч S]-n /^ sjn q\
Y(r, 9, f) = лг/^2 sin Д sin 6 cos ЬНг (ka cos 6) * (II-5-3)
В направлении б = у потенциал имеет максимальное значение,
л. sin (mA)
поскольку ит —. Л я^т.
А -, 0 Sin Л
Характеристику направленности многоэлементной излучающей
системы берут от у. Угол отсчета можно изменять с-помощью электри-
электрических устройств, выполняю-
выполняющих в питании отдельных
кольцевых излучателей за-
задержку поступающего сигна-
с j k d sin v d . r>
ла ot = x- — —- sin у. Сле-
(O С '
довательно, угол компенса-
компенсации у определяют временем
задержки сигналов, поступа-
поступающих от генераторов элект-* од°
рических колебаний:
= ~. (II.5.4} Рис. Н.5.2
В направлении угла компенсации комплексное выражение потен-
потенциала
! т + Я/2)%т Sin ^ d Sin Q) r-/'co^
Sinтcos7ях (Nacosy) e '
откуда характеристика направленности системы колец на цилиндре
где м=
j
sin (kh sin 7) /
= sin>m * e~ /a (m - !> —
_ й МНОжитель;
характеристика напракленности линейной
системы точечных излучателей, расположенных на расстоянии d один
от другого, когда их излучение скомпенсировано в направлении
угла* у; Ф2 F) = toZf^H^taMV) " хаР^теристика направленности
>
пульсирующего кольца, расположенного на жестком цилиндре.
Таким образом, характеристика направленности системы колец
на цилиндре пропорциональна произведению характеристик направ-
направленности линейной системы точечных излучателей и характеристики
направленности кольца на жестком цилиндре. На рис. II.5.2 и II.5.3
239
показаны характеристики направленности системы пульсирующих
колец на цилиндре (/71=10), рассчитанные по (II.5.5) при значениях
параметров ka=H; kd = n\ &/i = 0,49jx; Yi = 20c; у2 = 80° и ka=H\
Ы = 0,5я; ?/i = 0,24jx; у1 = 20°; у2 = 88°. Пространственную картину
направленности системы получают при вращении фигур вокруг оси Z.
Из графиков видно, что с приближением направления компенсации
к оси цилиндра (у = 80°) возникает излучение по направлению оси
30
20
60'
Рис. П.5.3
цилиндра (пунктирная кривая). При d = JtV4 существует только
одностороннее излучение. Если d = ty2, то излучение по оси цилиндра
направлено в противоположные стороны. Характеристики направлен-
направленности сужаются тем сильнее, чем больше kh. Если создать угол
компенсации, близкий к 90° (направление совпадает с осью цилиндра),
то возникает следующая закономерность направленности вдоль оси:
с увеличением ka острота диаграммы направленности увеличивается.
ГЛАВА III
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ
§ Ш.1. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО—ГАУССА.
ФОРМУЛА ГРИНА
Для непрерывной, однозначной и конечной функции, имеющей
непрерывные и конечные производные, справедлива теорема Остро-
Остроградского — Гаусса:
J (\A)dV - § (An)d/\ (III.1.1)
V (У)
где У —объем области G, в которой определена функция А; (V) —
поверхность, ограничивающая этот объем; df — элемент поверхности
с единичной внешней нормалью n; V = ix ^ + h^f + ^^z ~~ ДиФФеРен"
240
циальный оператор первого порядка в прямоугольной системе коорди-
координат.
Здесь принято обозначать замкнутую поверхность, охватывающую
объем Vy символом (V).
Когда векторная функция выражается через скалярный потен-
потенциал [А==~ n = V<pj, теорема (II 1.1.1) приводится к виду
§§?#• (III. 1.2)
(V)
Интегральное соотношение A11.1.2) называют первой формулой
Грина. В таком виде теорема Остроградского — Гаусса может быть
применена при расчете статистических полей. Для приложения
к расчету динамических полей первая формула Грина должна быть
преобразована. С этой целью определим два потенциальных поля А
и В посредством формул A = (pVi|), B = i|)Vcp и проведем над ними
операции (III.1.1). Интегралы по объему для полей А и В равны
\ J $
V V V
Тогда из A11.1.1) получаем
J {(Vq>) (Vip) + cpVVi dV ^ \ ф (Vt|>n) df;
V (V)
\ [(Vip) (Vcp) + i|)V29] dV = J г|) (?фп) d/.
v (V)
Вычитая из первого интегрального выражения второе, получаем
вторую формулу Грина
^jg (in.1.3)
(V)
Предположим, что функции ф и ф, входящие в (III.1.3), удов-
удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:
Л2ф = -^^2ф, V2\|) = — Лаф. (III.1.4)
Тогда интеграл по объему в (III. 1.3) исчезает и вторая формула
Грина принимает вид
дп
(V)
Отметим, что ф9рмула (III. 1.5) справедлива не только для вол-
волновых функций ф и г|\ но и для функций, удовлетворяющих урав-
уравнениям Лапласа и теплопроводности.
Применительно к акустическим полям вторая формула Грина
(II 1.1.5) имеет следующий физический смысл. Допустим, что потен-
потенциалы ф и г|з создаются независимыми источниками а и Ь. Звуковое
241
давление и колебательная скорость на участке поверхности n df,
создаваемые источниками а и Ъ, выражаются формулами
Отсюда следует:
ра =
рь =
(III.1.6)
Используя формулы (III. 1.6), преобразуем формулу Грина
к виду, удобному для физической интерпретации:
if. (III.1.7)
(V) (V)
Нетрудно видеть, что каждый из интегралов (II 1.1.7) имеет
размерность мощности, а уравнение выражает математическую запись
^следующего положения: мощность, выделяемая силами звукового
давления источника а против движения жидкости, создаваемого
источником Ъ, равна мощности, выделяемой на этой поверхности
звуковым давлением, создаваемым источником Ь против движения
жидкости, вызванным полем источника а.
§ III.2. ИНТЕГРАЛ ГЕЛЬМГОЛЬЦА—КИРХГОФА
Вторая формула Грина (II 1.1.5) дает возможность вывести
интегральное уравнение для вычисления потенциала поля в любой
точке пространства, если известны по-
потенциал и его производная по нормали
на некоторой достаточно гладкой замк-
замкнутой поверхности. Это уравнение вы-
выведено Гельмгольцем A857 г.) и назы-
называется интегральной теоремой Гельм-
гольца.
Найдем это уравнение для области
G, внутренней относительно замкнутой
поверхности /. С этой целью исключим
из области, ограниченной поверхностью
/, произвольно выбранную точку Л10.
для чего построим вокруг нее сфериче-
сферическую поверхность а с центром в Мо и
радиусом р. Пусть поверхности а и / не
пересекаются (рис. III.2.1). Поверх-
Поверхность, по которой надо проводить ин-
интегрирование (III.1.5), состоит из двух частей: поверхности / с
внешней нормалью пх и поверхности малой сферы а с внутренней
нормалью п2. Область, в которой функции ф и г|) удовлетворяют
условиям непрерывности и дифференцируемости, является внешней
242
Рис. III.2.1
no отношению к а и внутренней по отношению к /, включая точки,
лежащие на этих поверхностях. Для данного случая формула Грина
(III. 1.5) преобразуется к следующему виду:
_ J[,(p
где Р — точка на поверхности /; Ро—-точка на поверхности сферы ст.
Элемент площади сферической поверхности выражают с помощью
телесного угла Q формулой do — p2dQ, поэтому
Перепишем (Ш.2.1) в виде интегрального соотношения:
Функции ф и г|э непрерывны и однозначны в области G и удовлет-
удовлетворяют волновому уравнению. Для того чтобы с помощью выражения
(III.2.2) можно было найти функцию ф(г) в точке Мо, наложим
на функцию г|;(р) дополнительное условие
] (Ш.2.3)
Напомним, что if (p) одновременно является решением волнового
уравнения. Простейшим решением, удовлетворяющим условию (Ш.2.3),
является волновая функция, модуль которой изменяется как 1/р:
*(p)=V"- (IIL2-4)
В самом деле, второе слагаемое (Ш.2.3) при р^О обращается
в нуль, а первое равно
lim |ф(р)-^^р2| = Нтф(р)(-
(III.2.5)
Используя этот предел, запишем (III.2.2) для р->0. В резуль-
результате получаем интегральную теорему Гельмгольца для внутренней
243
краевой задачи:
(III.2.6)
Здесь Мо — произвольная точка внутренней области, поэтому (III.2.6)
выполняется для всех точек области G, ограниченной поверхностью /.
Покажем, что интегральная теорема (II 1.2.6) верна и для внеш-
внешней области, но при этом искомая функция ф(М) должна удовлетво-
удовлетворять условиям излучения.
Как и для случая внутренней области, окружим точку Мо сферой
малого радиуса р и, кроме того, поверхность / и сферу охватим
2 сферической поверхностью 2 большего ра-
радиуса (рис. II 1.2.2). В этом случае фор-
^ ^ мула Грина содержит три интеграла:
где
f о 2
—интегралы по поверхностям
/
Л а и 2.
Как было показано выше, если ty (p) =
= е~//ф/р, то интеграл \ при р->-0 стремится
Рис. Ш.2.2 а
К — 4яф(М0).
Радиус поверхности 2 ничем не ограничен, поэтому интеграл
по поверхности 2 при достаточно большом радиусе R имеет вид
= 4я[-ф(#)е-'**A + /*Я)-
Таким образом, при р->0,
+ 4лф(М0) - 4я [
= О,
+;*q> (/?)]-
о
и функция ф, определенная в области, внешней относительно поверх-
поверхности / и внутренней относительно 2, равна
(III.2.7)
244
где
F(RMoa) ** ф (Rm.
01<МоА
(Ш.2.8)
Для того чтобы функция Ц)(М0) была определена для всей внеш-
внешней области, включая бесконечно удаленные точки Л, необходимо
наложить дополнительные условия на ее характер в области Rmoa ->
->оо. Условие, при котором (Ш.2.8) при неограниченном возраста-
возрастании расстояния Rmoa стремится к нулю, т. е.
= О, (III.2.9)
называют первым условием излучения. При его выполнении
как R~n, где п>\. Кроме того, чтобы q>(M0)R p_^°> необходимо
выполнение второго условия излучения:
=* О A)^0, (III.2.1I)
как R-1.
Используя (III.2.10), получаем интегральное уравнение Гельм-
гольца для внешних точек пространства
(Ш.2.12)
Нетрудно показать, что (Ш.2.12) может быть записано для звуко-
звукового давления:
МР гМР дп
(Ш.2.13)
Интеграл (Ш.2.12) определяет потенциал скорости в любой точке
пространства по граничным значениям ф, -S, а также по значениям
функции -^- и ^(-jjjt")- Вспомогательная функция • 4 представ-
представляет собой элементарные сферические волны, входящие в граничную
245
поверхность ( + jkr) или исходящие из нее ( — /?/-). Второй интеграл
в (III.2.12) дает вклад в общее поле, который вносят точечные излу-
излучатели, расположенные на поверхности и имеющие производитель-
производительность vndf = — -^df. Первый интеграл выражает потенциал поля,
создаваемого диполями, распределенными по поверхности:
где а—-угол между направлениями из точки Мо на элемент поверх-
поверхности df(P) и нормали к поверхности п.
Для нахождения поля по (II 1.2.12) необходимо знать ф и д(р/дп
на поверхности преобразователя. Для того чтобы иметь эти два
граничных условия одновременно, необходимо рке иметь решение
задачи. В связи с этим интегральное уравнение Гельмгольца (II 1.2.12)
не дает решения задач об излучении. Однако для высоких частот
эта формула дает соотношения, которыми удобно пользоваться в прак-
практике инженерных расчетов.
Если длина волны значительно меньше линейных размеров поверх-
поверхности, то сохраняется только одно граничное условие, В этом слу-
случае каждый участок поверхности df может быть выбран достаточно
большим, чтобы считать, что каждая элементарная площадка испус-
испускает квазиплоские волны, и поэтому для них выполняется обычная
связь между давлением и колебательной скоростью плоской волны
p = pcvn. Кроме того,
гп - -L л — Р^« — -L я ?! - п
ф ~ /сор р ~~ /сор -~ \k Vn> дп ~~ Vnt
Подставляя эти формулы в интегральное уравнение Гельмгольца,
получим его приближенное выражение для высоких частот — интеграл
Кирхгофа:
Jk
X cos ое-/л' + ~ vn) df = - ~ J vn A - cosa) ^f- df.
Изменяя начало координат так, чтобы направление гмор изме-
изменялось на 180°, получаем формулу Кирхгофа, удобную для расчетов
поля высоких частот:
где интегрирование проводится по поверхности излучателя.
246
§ Ш.З. ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКОВ
Необходимость задания двух граничных условий для решения
краевой задачи с помощью интеграла (III.2.12) можно устранить,
если подобрать вспомогательную функцию if>(/W0).
Допустим, что потенциал в точке Мв определяется интегралом
Кирхгофа:
(III.3.1)
Запишем для рассматриваемой области формулу Грина:
где я|) — некоторая вспомогательная функция, удовлетворяющая урав-
уравнению Гельмгольца.
Складывая (III.3.1) и (III.3.2), получаем
f, (Ш.3.3)
где
Р(гМоР) = Ц(гм0р) + е-!кгм°р/DлгМор). A11.3.4)
Пользуясь некоторой неопределенностью в выборе вспомогательной
функции ^(гмор)у можно в интегральном выражении (Ш.3.3) освобо-
освободиться от одного из граничных условий. С этой целью определим
функцию" выражением
F(rM0Ai) = ^(/*Af0Af) + e ; гм°м /Dя/-^foлj)•
Нетрудно показать, что данная функция удовлетворяет уравнению
Гельмгольца и конечна для всех точек МфМп.
Если имеется первая краевая задача, т. е. на поверхности / задана
функция Ц)(гмор)у то для упрощения интегрального решения (Ш.3.3)
надо подобрать функцию 1$(гмом)м-*р = ^>(гмор) так, чтобы
F (гМом) = Gi (гмор) = ^ (гмор) + ё~1кгм°р/Dя/-мор) = 0. (И 1.3.5)
Здесь Р — точка на поверхности /; М — точка внешней области; Мо-
Моточка, где F-+-CO (рис. III.3.1).
Тогда интеграл (Ш.3.3) примет вид
Функцию Gx (rMop) называют функцией Грина первой краевой задачи.
247
Если имеется второе краевое условие, т. е. на поверхности
задана производная потенциала по нормали, то в качестве функции
F (гмйм) находят такую, чтобы на поверхности исчезала ее производная:
дп
дп
дп
При этом условии интегральное решение принимает вид
(Ш.3.7)
Функцию G2 (гмор) называют функцией Грина второй краевой
задачи.
Функции Грина, или функции источников, обладают следующими
свойствами:
1. Функции Gx и G2 должны быть решениями уравнения Гельм-
гольца во всех точках пространства, исключая Мо, где они обра-
обращаются в бесконечность.
2. Функция Gt первой краевой задачи для точек поверхности /
обращается в нуль. Функция Грина второй краевой задачи на поверх-
_^ ности / отлична от нуля. Однако исчезает
"*" производная по нормали (dG2/dn = 0).
3. Каждая из функций Грина Gx и
G2 содержит суперпозицию двух полей:
точечного источника с производитель-
производительностью, равной 1, и г|)(/*мор), представ-
представляющего собой поле сферической волны,
рассеянной на поверхности /. Поля
^ (М0Р) и точечного источника долж-
цы удовлетворять тому или иному гра-
граничному условию.
4. Функции Грина должны удовлетворять условиям излучения
и, кроме того, быть непрерывными в любой точке пространства,
не занятой источником.
Для построения функции Грина необходимо решить задачу о рас-
рассеянии поля точечного источника на заданной поверхности. Матема-
Математическая формулировка этой задачи сводится к следующему: найти
решение амплитудного волнового уравнения
Рис. III.3.1
b(rMoM)
°
со при Мо =
удовлетворяющее одному из граничных условий G\f = 0 i\nudG/dn\f =
— О, условиям излучения и условию того, что это решение содержит
суперпозицию поля точечного источника и некоторого дополнительного
поля: G =
r
248
§ III.4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
для плоскости
Найдем функцию Грина для полупространства, ограниченного
плоскостью Z = 0. Точечный источник Мо (рис. III.4.1), помещенный
в свободное пространство, создает сферическое поле. На безгранич-
безграничной плоской поверхности N±N2 сферические волны отражаются и
создают дополнительное поле, являющееся полем зеркального изобра-
изображения на плоскости действительного источника. В результате супер-
суперпозиции первичного и рассеянного полей получается полное поле
точечного источника при наличии плоской поверхности
F (гмом) = '
¦ + A<
(III.4.1)
где М — точка полупространства; Мо — положение точечного источ-
источника; Mi —положение зеркального изображения точечного источ-
источника; Л— постоянная, которую можно определить из граничных
условий.
м
Рис. III.4.1
Рис. Ш.4.2
В зависимости от характера граничного условия из (III.4.1)
получается первая или вторая функция Грина для полупространства.
Для первой функции Грина должно выполняться условие (III.3.5).
Расположив точку М на плоскости, получим
-Л, (Ш.4.2)
*пгМ0Р ™ГМХР
где гмор — расстояние между точками Мо и Р, лежащими на пло-
плоскости NXN2; Гмхр —расстояние от точки М (изображения источника)
ДО Р.
e-!'krM0P
Так как rMQp^rMlp (рис. Ш.4.2), то -^ A+Л) = 0,
следовательно А = — 1.
Таким образом, первая функция Грина для полупространства
имеет вид
гмом
гмхм
(III.4.3)
249
Производная по нормали от этой функции есть
- е
дп
гмор
дп
е
rMiP дп
Здесь каждая из производных дгМор/дп и дгм^/дп является
косинусом угла между направлениями нормали п и векторами Гмор
и тмхр- Заметим, что угол пгмор тупой, а угол пгмгр острый, допол-
дополняющий первый до 180°. Поэтому
дгмор ___ дг
дп ~~ дп
Принимая во внимание равенство гмор =гмхр, получаем произ-
производную функции Грина для полупространства в точке Р:
мор ___ дгмхр ПП 4
A11.4.
Интегральное представление решения первой краевой задачи
имеет вид
1 Г» -t'krM0P //N N
j (вР) rh р A + jkrMop) cos{nrMop)df.
Формула (II 1.4.6) представляет собой суперпозицию полей диполей,
расположенных на плоскости и излучающих в пределах телесного
угла 2я.
Для второй краевой задачи функцию Грина полупространства
строят аналогично. В этом случае F (М) должна удовлетворять вто-
второму граничному условию (II 1.3.6).
Производную от Go представляют формулой
*Л ~ 4j^ rh.M " "ui +
(Ш.4.7)
Для точек поверхности эта производная должна обращаться
в нуль. Учитывая, что дгм ор/дп = — дгм,р/дп (Р — точка поверх-
поверхности), находим
Уравнение (III.4.8) может быть выполнено при дгм0р/дпф0у если
Л = 1. Таким образом, выражение (III.4.2) при Л=1 и еёть вторая
функция Грина для полупространства. Для любой точки плоской
поверхности эта функция имеет вид
250
Используя A11.4.9), получаем решение второй краевой задачи
для плоских источников:
Формула (III.4.10) имеет простой физический смысл и выражает
принцип Гюйгенса —Френеля для плоских источников с бесконечно
протяженным плоским экраном. Поле (III.4.10) представляет собой
суперпозицию полей точечных источников, расположенных на участке
безграничной поверхности и излучающих в область телесного угла 2я.
В акустике выражение (III.4.10) называют интегралом Рэлея.
§ Ш.5. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
ДЛЯ СФЕРЫ
Согласно определению, функция Грина внешней краевой задачи
представляет собой функцию потенциала скорости поля точечного
источника Мо и поля, отраженного
от заданной поверхности: М0(г0,90,у0)
M(r,6,f)
б, ф).
(Ш.5.1)
Проведем расчет акустического
поля в М (г, 6, ф), создаваемого то-
точечным источником, помещенным в
точке /И0(г0, б, ф0) при наличии аку-
акустически жесткой сферы (рис. Ш.5.1);
г, б и ф — сферические координаты
точки наблюдения, г0, б и ф0 — коор-
координаты точки источника; R — расстоя-
расстояние между источником и точкой на-
наблюдения.
Функция, описывающая поле, должна удовлетворять уравнению
*8(М0М), (III.5.2)
(Ш.5.3)
(III.5.4)
Рис. Ш.5.1
условию затухания на бесконечности
и для жесткой сферы краевому условию
dG i -о
где k — волновое число; б (М0М)~- функция Дирака.
Полагая решение в виде суперпозиции сферического и рассеян-
рассеянного поля (Ш.5.1), получаем краевое условие для функции -ф (г, б, ф):
- jkR
дг
дг\ 4л/?
^i =0,
251
откуда
При этом функция -ф должна удовлетворять уравнению Гельм-
гольца. Как известно, общее решение этого уравнения в сферических
координатах представляет собой суперпозицию сферических волн
всех порядков:
оо
*(/-, 6, Ф)= 2 AJim(kr)P^(B, ф), (Ш.5.6)
т = 0
где hm — вторая сферическая функция Ханкеля; Р%) (б, ф) —присое-
—присоединенный полином Лежандра.
Для отыскания всех коэффициентов Ат воспользуемся разложе-
разложением сферической волны:
n(kro)hm(kr) (r>r0),
I / (ip f\ Pi (I? f \ ( v ^""*" f \
v Jtfl y*' ) ^tn 1*^» О/ \ ^*1<*<» О/ у
1 при я = 0,
ГДее« = 12прип#0.
Подставляя в (III.5.5) вместо e~jkR/R ряд (III.5.7), а вместо
ур(г, б, ф) ряд (III.5.6), получаем функцию Грина для сферической
поверхности:
|( ф) р
поверхности:
оо
2 2m +1)
т — 0
X Р? (cos б0) hm (kr) [}m (kr0) h'm (ka) - j'm (ka) hm (kro)]-p±-r. A11.5.8)
Функция (I II.5.8) позволяет записать интегральное решение
задачи об излучении упругих волн жесткой сферической поверх-
поверхностью, если задана нормальная составляющая скорости на поверхности
сферы:
-{-Л Ji
<ф(г, б, ф)= \ \ ^о(Фобо)^2(г, б, ф, ro = a)smBod%dBo.
В то же время (II 1.5.8) является решением некоторых частных
задач. Например, приняв r = a, из (III.5.8) получим формулу потен-
потенциала поля точечного источника. Как показано в [24], с помощью
функции Грина для сферы сравнительно просто рассчитывается поле,
создаваемое кольцевым излучателем при наличии отражающей сферы.
С этой целью достаточно функцию (II 1.5.8) проинтегрировать по ф
в пределах от 0 до 2д, В результате получим формулу потенциала
252
поля кольцевого источника при наличии сферы:
оо
i|) = — 2nkr0 2 Bm +1) emPm (cos 80) Pm (cos 90) Лот (kr) x
Для акустически мягкой сферы функция Грина имеет вид
га
Bт +1) У е„ -feSf cos [«(Ф ~ Фо)]p™ (cos 9) X
m = 0 гс = О
Поле кольцевого источника в присутствии мягкой сферы имеет
вид
г|>(г, б, ф, /)-е^ ^ Gi(>% Ф. 6)rosin0o^o
— я
[г0, 0О и ф0 — координаты точек кольцевого излучателя; г, G и <р —
координаты точки наблюдения; Gx(r, б, ф)—функция, определяемая
формулой (III.5.10)].
Определив функцию давления на поверхности сферы
р(а, б, ф0) = /сор-ф(а, 8, ф0),
получим формулу для звукового давления, создаваемого движением
поверхности мягкой сферы:
р(г, б, ф, t) = e^ Jp(flf 8, cpo)^L
§ Ш.6. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
ДЛЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Использование метода функций Грина для решения краевых
задач позволяет произвести расчет дальнего поля по измерениям
звукового давления или колебательной скорости в ближнем поле.
Допустим, что функция, описывающая распределение давления
вблизи излучателя, экспериментально найдена в виде f(M*). Кроме
того, известна функция Грина для данной поверхности. В этом слу-
случае поле, создаваемое поверхностью а*, в точке М определяют фор-
формулой
^*0^*) do*. (ш.6.1)
В качестве излучателей часто применяют цилиндрические системы,
поэтому построение функции Грина для цилиндра представляет собой
важную задачу.
253
В цилиндрической системе ^координат р, ф и z функция Грина
должна удовлетворять уравнению
6(*} б(Ф-Ф*N(г-г*) (Ш.6.2)
б(ФФN(гг)
в областях а^р<оо, я<1ф^я и —оо<г<оо, условию излу-
излучения и краевому условию
G 0
Здесь р*, ф* и г*— координаты источника; р, ф и г —координаты
точки наблюдения.
Выполнив интегральное преобразование Фурье над (III.6.2) и
(III.6.3) по координате г:
оо
= 5 Ge~'xzdz,
— оо
получим уравнение задачи:
AG + v2G - — J(P-P*> б (Ф - Ф*) е-1
A11,6.4)
где v2 = /e2 — T2.
Решение (III.6.4), имеющее разрывы при р = р* и ф~ф*, может
быть представлено в виде
С= + — У е-/т(ф-ф^)е/тг* [gy /vp) _^m М Ят (vp)j
/n = -—oo
xWm(vp*) (p<p*), [&m (vp*) -#m (^УР<)']Я„(vp) (P>P*).
Выполняя обратное преобразование Фурье, получаем искомую
функцию:
Этот интеграл для дальнего поля преобразуется к виду, удоб-
удобному для анализа:
Jkr *°° ¦
/Я = — СО
2 e-^
<??т (ka cos 6) Hm{fy>* cos 6)] /m fi -.
Hm(ka cos 6) J- (lll.b.5)
Как и ранее, функцию (III.6.5) можно применять для ряда задач,
например, вычислить потенциал поля системы точечных излучателей,
образующих кольцо, соосное с цилиндром. Очевидно, дальнее поле
254
определится интегралом
(#0 (ka cos 6) tf0 (kp cos 6)
#0 (?a cos 6)
]¦
(Ш.6.6)
где / — линейная плотность излучателей на кольце.
Наконец, дифференцируя (III.6.5) по р* и подставляя р*=а,
получаем
—
dp*
2 У
. e-/?z*sin6
ф*)е
(?а COS б)
-. (III.6.7)
Таким образом, если известно распределение звукового давления
в непосредственной близости к поверхности цилиндра, то, применяя
формулу поля первой краевой задачи (III.6.1), получаем формулы
для пересчета функции ближнего поля в функции для областей,
удаленных от поверхности излучателя.
ГЛАВА IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ
§ IV.1. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПЛОСКОГО
ПОРШНЕВОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ
Допустим, что в плоский жесткий экран на одном уровне с ним
вставлен плоский излучатель, все точки которого имеют нормальную
составляющую скорости, соответствующую реаль-
реальной части функции vne№. Требуется найти зву-
звуковое поле в полупространстве, ограниченном
плоским экраном.
Для решения задачи воспользуемся интегралом
Рэлея (II 1.4.10). Сначала найдем потенциал поля
а точке Р, находящейся на большом расстоянии
от источника.
Если точка наблюдения лежит от плоского ис-
источника на большом расстоянии, то направления
из этой точки на любой элемент поверхности излу-
излучателя составляют с нормалью одинаковый угол.
На рис. IV. 1.1 показано общее для всех эле-
элементов направление на точку наблюдения N. Обо-
Обозначив расстояние от начала координат через г0,
элемента Да— через r = ro + Ar, получим интеграл
п
Рис. IV. 1.1
расстояние
в виде
от
¦da.
(IV.1.1)
255
Поскольку Ar/ro<Jl, то величиной Аг/г0 в знаменателе го4-Аг=^
= г0 A — Дг/г0) можно пренебречь, но в показателе степени такое
пренебрежение недопустимо, так как небольшие значения Аг вызы-
вызывают значительные изменения фазы.
Исходя из этих соображений, (IV. 1.1) можно представить в виде
Y (г t) = — ^— — С е-'ЛД' da
где а —площадь источника.
Обозначая объемную скорость поверхности источника Q — vno,
получаем
?(/-, t, 6) = I-6— ije^da. (IV. 1.2)
a
Если направления нормалей к плоскости и на источник совпадают, то
Дг = 0 и потенциал в точках, лежащих в области дальнего поля на
оси преобразователя, определяется формулой
Исходя из этого, легко определить общее выражение для функции
направленности плоского поршневого излучателя в экране:
ф F) = -J- = 1 f е-№ da. (IV. 1.4)
a
Используя (IV. 1.4), записываем простые соотношения для основных
характеристик дальнего поля плоского преобразователя в жестком
экране;
х? (г, в, 0 = -^г Ф (б) cos (со/ - kr)% (IV. 1.5)
у (г, б, t) = 4-ф (б)si" (w^ - *^), (IV-1 -6)
р(г, б, t) = pc^O(B)sin((xit--kr)J (IV. 1.7)
7(/-, б, t) = ^\pvdt = -^QP(B)9 (IV. 1.8)
и
02sin6d8, (IV. 1.9)
—
где v (г, 6, /) — колебательная скорость среды; X — ш/Bя) — длина
волны; р(г, б, ^ — звуковое давление; <а7(г, б, ^ — интенсивность;
^ — акустическая мощность поршневого излучателя.
Нетрудно показать, что применение формул (IV. 1.5) и (IV. 1.9) для
вычисления коэффициента осевой концентрации Ц~<&1<&т приводит
256
к общей формуле
Ф2 F) sin б dd
(IV.1.10)
Внимательное исследование этих соотношений позволяет сделать
следующие выводы о свойствах дальнего поля поршневого плоского
излучателя в экране: амплитуды колебательной скорости и звукового
давления убывают с расстоянием по такому же закону, который имеется
для сферической волны, возбуждаемой пульсирующим шаром. Отличие
от закона шаровой волны заключается в том, что амплитуда волны
поршневого излучателя зависит от направления. По осевому напра-
направлению амплитуда имеет наибольшее значение: она вдвое больше, чем
амплитуда волны, создаваемой пульсирующим шаром той же произ-
производительности, но без экрана. Это значит, что фаза волн, отраженных
от экрана в направлении оси, совпадает с фазой бегущих волн, так
что в результате интерференции амплитуда волны удваивается. В дру-
других направлениях такого совпаде-
совпадения фаз не существует, поэтому
интерференция волн приводит к оп-
определенной зависимости амплитуды
от направления, выражаемой харак-
характеристикой направленности Ф(б).
§ IV.2. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ
КРУГЛОГО И ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В ЭКРАНЕ
Формулы (IV.1.5) —(IV.1.9)
применимы к плоским поршневым
излучателям: круглому, прямо-
прямоугольному, эллиптическому и др.
При этом необходимо, чтобы из-
излучатель был вмонтирован в бес-
бесконечно протяженный жесткий зву-
звуконепроницаемый плоский экран.
Отличие полей излучения в
дальней зоне, создаваемых различ-
различными плоскими излучателями, состоит в различии функций направ-
направленности. Функции направленности круглого, прямоугольного, эл-
эллиптического, щелевого и других излучателей можно вычислить с
помощью (IV. 1.4).
Найдем функции направленности круглого и прямоугольного излу-
излучателей.
Функция направленности круглого поршневого излучателя в экране;
Наг рис. IV.2.1 показано геометрическое построение, из которого сле-
дУет: л
257
Рис. iv.2.1
Ar = DB = AC = OA sin б, О A =pcos ф, Дг = pcos <psin 0.
9 Л. Ф, Л е пен дин
Подставляя do, о и Аг в (IV. 1.4), получаем
а 2л
1 Г 1
» = — \ е /Мг do = —
a J ля
а
Для определения интеграла воспользуемся преобразованием
2л 2л 2л
^ e-/7?Psin0cos<P d<p = ^ cos (kp sin б cos <p) dy — j $ sin (?p sin 6 cos ф) dy
0 0 0
(IV.2.2)
и соотношениями из теории специальных функций:
л/2
Zm (г) = 2{z/2)m f cos (z cos 0 sin^ / dty (IV.2.3)
|/ л Г (fti -j-1 /2) J
о
Л/2
sin(zcos/)sin2wM/, (IV.2.4)
lzZ0(z)dz = zZ1(z)9 (IV.2.5)
где Zm — символ цилиндрических функций m-ro порядка; Sm — символ
функций Струве m-ro порядка; Г — гамма-функций [ГA/2) = |Ах;
Для нахождения амплитудной характеристики направленности огра-
ограничимся действительной частью комплексной функции (IV.2.2):
2л 2л
Re J еч'*Рз1песоз<р^ф= J cos(^p sine cos ф) ф =
о о
л/2
= 4 $ cos(?psin6o^)<^. (IV.2.6)
о
Т
2 Г
Если положить в (IV.2.3) т = 0, то <^0 (*) = ~ \ cos (zcos 0 ^*
о
Таким образом,
2л
О
Используя (IV.2.7), получим (IV.2.1) в виде
е
&asin8
2 1 Г en , ч л 2ka sin 6
258
График функции \2^1{х)\/х представлен на рис. IV.2.2, где зна-
значения функции при 0^x^3,5 представлены кривой /, а значения
при 0 ^х^ 14— кривой 2. На рис. IV.2.3 изображены полярные
диаграммы направленности круглого поршневого излучателя в экране
для различных значений отношения диаметра излучателя к длине
волны. Аргумент функций на-
направленности существенно зави-
зависит не только от угла б, но и
от волнового фактора ka, так
что диаграмма направленности
в полярных координатах пред-
представляет собой ту или иную
кривую в зависимости от чис-
численного значения параметра ka.
Например, при &а = 0,5 аргу-
аргумент функции направленности 0,2
меняется от 0 при 6 = 0° до 0,5
при 6 = 90°, а сама функция
уменьшается от 1 до 0,97. Диа-
Диаграмма направленности имеет
вид, близкий к полусфере. При
ka = 1 аргумент меняется от 0 до 1 и диаграмма направленности
представляет собой слегка вытянутую полусферу. При 8 = 90°
Ф F) = 0,87. При ka = b аргумент функции изменяется от 0 до 5,
а функция при ka sin 6 = 3,83 обращается в нуль и достигает 0,13
при угле 90°. Диаграмма имеет вытянутую форму.
0,4 г
Рис. IV.2.2
Рис. IV.2.3
При дальнейшем увеличении параметра ka острота диаграммы
направленности увеличивается. Угол раскрытия главного направления
излучения определяют первым корнем функции 2<&1(х)/х:
Zx = ka sin 6X = 1,2я; sin Вг = 0fiK/a.
Если, например, отношение длины волны к радиусу излучателя
составляет малое число (допустим, 0,1), то
sin
0,06 рад = 0,06 4?J- = 6
3,5°.
9*
259
Основное излучение происходит в телесный угол с раскрытием
— arcsin @,61 Va) < б < + arcsin @ fill/a).
Кроме основного направления излучения (9 = 0) плоский излуча-
излучатель создает волну под углами, ограниченными добавочными лепе-
лепестками. Это излучение, хотя и составляет небольшую часть от пол-
полного G%)» во многих случаях нежелательно. Дополнительные лепестки
на плоской диаграмме направленности можно устранить, если обеспе-
обеспечить определенное амплитудное распределение колебаний поверхности
плоского преобразователя.
Подставляя в формулы поля плоского излучателя (IV. 1.5) —(IV. 1.9)
найденную функцию направленности, получаем формулы поля круг-
круглого поршневого излучателя в
экране.
Прямоугольный поршневой
излучатель. Для нахождения
функции направленности прямо-
прямоугольного поршневого излуча-
излучателя расположим прямоуголь-
прямоугольную систему координат так, что-
чтобы начало лежало в центре пре-
преобразователя, а ось была направ-
направлена по нормали (рис. IV.2.4).
Построим плоскость, прохо-
проходящую перпендикулярно поверх-
поверхности преобразователя через на-
начало координат О и элемент
поверхности do(x, у). Направле-
Направление на точку наблюдения будет
составлять некоторый полярный угол 6, лежащий в этой плоскости.
Выберем в виде прямоугольника dxdy элемент площади da и выра-
выразим разность путей луча dr через углы бгу и координаты точки х, у.
Из геометрических построений следует Аг = / sin б, / = у cos у + х sin у,
откуда
Ar==xsin у sin б -\-у cos у sin б
и функция направленности для прямоугольного излучателя в экране
имеет вид
Рис. IV.2.4
+ а/2
- S
-а/2
+ Ь/2
= —г I ехр (—jkxsinysinb) dx i ехр (—jky cos у sin
-6/2
sin [(/га/2) sin 7 cos 6] sin [(kb/2) cos 7 sin 6]
(ka /2) sin y cos б (/г&/2) cos у sin б
(IV.2.9)
Можно показать, что- sin у sin б == sin a, cos 7 sin 6 = sin p (аир —
проекции полярного угла на плоскостях ZOX и ZOY соответственно).
Если воспользоваться этими соотношениями, то получим выражение
260
для функции направленности через углы ol и р:
(Ь(п R\ __ sin [(л/К) a sin a] sin [(лД) 6 sin ft]
^l« P; (л/l) Ь sin p
Формула (IV.2.10) совпадает с формулой распределения амплитуды
светового вектора (напряженности электрического поля) при дифракции
света на прямоугольном отверстии.
§ IV.3. ИМПЕДАНС И КОЭФФИЦИЕНТ ОСЕВОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ
ДЛЯ КРУГЛОГО ПОРШНЕВОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ В ЭКРАНЕ
Согласно определению, импеданс излучателя есть отношение ком-
комплексной реакции поля излучения, действующей в направлении дви-
движения, к колебательной скорости точки приведения.
Применительно к поршневым излучателям в экране точкой приве-
приведения может быть любая точка поверхности излучателя. Движение
излучателя осуществляется по направлению его оси, поэтому вектор
приведенной скорости точек поверхности равен единице. Исходя из
этих соображений, вычисляем импеданс плоского преобразователя как
отношение
где vn — амплитуда скорости поверхности преобразователя; р — ком-
комплексное звуковое давление на поверхности.
Вообще говоря, амплитуда и фаЗа давления р в различных точках
поверхности излучателя различны и являются функциями координат
точек поверхности. Для нахождения этой функции воспользуемся
интегралом (Гюйгенса — Френеля) Рэлея:
1 AB
и
где А и В —точки, лежащие на поверхности излучателя.
Для того чтобы при интегрировании по формуле (IV.3.1) избежать
особенностей (они возникнут, когда точки А и В совпадут), разобьем
всю поверхность излучателя на области точек действия звукового
давления (В) и излучателей (А) (рис. IV.3.1, а).
Очевидно, сила реакции поля на область В выразится двойным
интегралом поверхности, занятой точками В:
Z7 С а Г Л 9™п С еЧкГАВ , \ ,
г в = \ Рв аов = \[] —у— \ — da A daB =
i i\ K i Гав j
~JkrAB \
7
J
Однако FB составляет только часть реакции поля. Она предста-
представляет собой реакцию поля источников (занимающих область Л),дей-
261
ствующую на область поверхности В. Для получения полной реакции
поля необходимо к реакции FB прибавить реакцию F А поля источ-
источников, находящихся в области В и действующих на площадь, занятую
областью А. Нетрудно видеть, что
(IV.3.3)
Таким образом, полная реакция поля может быть рассчитана по
формуле
АЯ doЛ da-B. (IV.3.4)
°л
±—
На рис. IV.3.1, б изображена поверхность круглого излучателя.
Она разделена на две части: кольцевую В и центральную А с радиу-
Рис. IV.3.1
сом и. Расположим элементарную площадку doB так, чтобы она при-
примыкала к окружности, разграничивающей области Л и В. Звуковое
давление в точке doB, создаваемое источниками, расположенными
в пределах центральной области, равно
PdoB — j
2pcvn С е
do А.
Х J ГАВ
Элемент площади daA = rABd(pdrAB, поэтому
°А
'АВ
-\- я/2 2« cos ф л/2
f q J e-^r dr = f
— Л/2
л/2
= 2 f
О
262
Л/2
где /1== J е 2/*исо8ф^ф„ комплексная функция от ku Действительная
о
часть этой функции согласно (VI.2.3) и (IV.2.4) равна уе70B&^),
мнимая ~S0Bto), S0Bku) — функция Струве нулевого порядка, т. е.
л/2 л/2 л/2
$ cos (zcoscp) d(p — j $ sin (гсоБф) dcp= § e~^C0S(p б/ф,
о oo
Я/2
cos (z cos Ф) dcp=-J ^0 (г), (IV.3.5)
/
J
Л/2
I sin (zcos <p)dcp = y 50 (z).
6
Используя интегральные представления функций ^ и 50 (IV.3.5),
получаем
.2pcvn 2/ Г я ^ /пи ч . л о /п, > я]
А**в = /~Т^ "F [Т ^о B*м) - / у 50 BАм) - у] -
- рсул [ 1 - <^0 BЬ) + /So Bfc/)]. (IV.3.6)
Полная реакция поля на всю поверхность излучателя выражается
интегралом рв, взятым по всей области J5:
F = \ Pda{B) da (В) - 2л J ра,я [1 _ ^о B*М) + /So B*«)] udu =
. (IV.3.7)
Разделив (IV.4.7) на амплитуду скорости vni получим формулу
импеданса поршневого излучателя в экране:
ИЛИ
где
X 1 Ci
(ka)*
2ka 2 L 6 ' 72
_ 2SxBka) __ ^ka_\ л 4 (kaf 16 (kaf 1 (IV.3.9)
У " Ш ~ ~3JT L 15 ' 525 * * "J
*— безразмерные активная и реактивная составляющие импеданса.
Для низких частот (&а<2) в формулах импеданса можно огра-
ограничиться первыми тремя членами (IV.3.9), а при ka<^\— только
(kaf 8ka u
первым членом х?^ л -, у^-к—. Для средних и высоких частот
следует пользоваться таблицами [6].
263
В пределе &а->оо формулы импеданса упрощаются, поскольку
в них войдут асимптотические выражения функций Бесселя и Струве:
Таким образом, импеданс - круглого поршневого преобразователя
высоких частот определяется формулами
х ?& 1; у я« 0.
2ka-+co 2ka-+co
На рис. IV.3.2 даны графики составляющих хх = рсх, уг = рсу
импеданса пульсирующей круглой шайбы в экране. При больших
значениях ka значения хг и у1 приближаются к предельным.
ка, кг/(м2-с)
100
10
1
0,1
пт
у
/
У
у
/1
-/
4
/
1—
Hi
d/A
0,001
0,01
0,1
Рис. IV.3.2
10
Предельный коэффициент излучения рассмотренного источника
1 1
1 + YI(nX) I + Bka) Sx/ln Bka) — 3\ Bka)]'
При высоких частотах т]=1, а при частотах, когда ka<.\,
264
Коэффициент осевой концентрации излучателя можно, вообще
говоря, вычислить по формуле (IV. 1.10). В этом случае задача сво-
сводится к вычислению интеграла
[(b/2)sinep sin e M-
Однако в данном случае удобнее воспользоваться тем обстоятель-
обстоятельством, что активная часть импеданса уже известна, поэтому можно
непосредственно найти среднее значение интенсивности, а затем вос-
воспользоваться определением коэффициента концентрации A.2.24).
На основании (II1.2.8) интенсивность равна
<1У-ЗЛ1)
и акустическая мощность излучателя
где х — приведенное значение реальной части импеданса.
Для круглого преобразователя х можно взять из (III.3.9) и под-
подставить в (III.4.12):
Подставляя <^@) и Р в общую формулу коэффициента осевой
концентрации, получаем
™У1(IV.3.14)
У
где d — 2a — диаметр поршневого излучателя.
Для числовых расчетов коэффициента концентрации энергии при
различных d/X удобно воспользоваться графиком, изображенным на
рис. IV.3.1.
§ IV.4, ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ КРУГЛОГО
ПОРШНЕВОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ НА ОСИ
Расчет звукового поля для любой точки пространства удается
провести приближенными методами с применением бесконечных рядов.
Выполним расчет поля круглого поршневого излучателя только в
точках, лежащих на его оси. Как это будет видно, здесь можно использо-
использовать точные фррмулы.
Ось излучателя совместим с осью Z (рис. IV.4.1). Обозначив рас-
расстояние от центра О до элемента площадки do через О А = jc, а рас-
расстояние от точки А до точки наблюдения N — через г, запишем
интеграл Рэлея для давления pN в точке N на оси:
265
Примем площадь узкой кольцевой полосы, ограниченной окруж-
окружностями с радиусами х, x-\-dx, за элемент площади da и выразим
расстояние г через радиус кольца х и расстояние до точки N. Тогда
г = У~х2-\-г2. При этом давление на оси
Pn
- j(opv J
-xdx,
(IV.4.1)
где а—радиус излучателя.
Введем новую переменную и =
pN =
Обозначив
I e-'*«w du = ро>яе->** (l ~ е-/^^^2-*). (IV.4.2)
— z) = a и воспользовавшись формулой
N Z
Рис. IV.4.1
Эйлера, после элементарных преобразований получим
1 _ е-/« = 2/
Тогда давление на оси
sin
р (г) = 2ра;л
sin •
где
ф __
(IV.4.3)
(IV.4.4)
Как следует из (IV.4.3) и (IV.4.4), давление на оси выражается
сложной функцией от расстояния z, отличающейся от той, которая
описывает плоскую волну, тем, что ее амплитудное значение перио-
периодически меняется от 0 до 2pcvny а начальная фаза (р зависит от z/X
и а/к.
Введем обозначения: р' = p(z)/po\ z'=z/k\ a'=a/k и представим
(IV.4.3) в форме безразмерной функции от безразмерных переменных:
= [ sin
а (г', а')
_
(IV.4.5)
266
Здесь
а (г', a') =
- l);
(IV.4.6)
z' — координата точки N в длинах волн; а' —радиус излучателя
в длинах волн.
Выражение (IV.4.5) можно рассматривать как функцию, описы-
описывающую квазиплоскую волну с амплитудой, изменяющейся в преде-
пределах от 0 до 1, и начальной фазой, изменяющейся в зависимости от
координаты г' и параметра а'.
Экстремальные значения амплитуды соответствуют координатам
г\ удовлетворяющим уравнениям
sin
а (г\ а')
= 0,
sin
ос (г', а')
которые имеют решения общего вида
Отсюда координаты точек (где pN^=0 или
Zn = -
п
Т'
= 1,
2, 3, ...). (IV.4.7)
(IV.4.8)
Четные целые значения п соответствуют точкам, где давление
равно нулю, нечетные —точкам, где давление равно единице.
Наиболее удаленная точка, для которой р' = 0, имеет координату
z'->oo (лг = 0). Наиболее удаленная точка, где звуковое давление
имеет максимальное значение, расположена на расстоянии z'n при
п=\ (z[ — a'2— 1/4). Если пользоваться обычными единицами длины,
то расстояние до наиболее удаленной точки с максимумом ампли-
амплитуды равно
*=-?--¦?• (IV-4-9)
В геометрическом центре поверхности излучателя амплитуда дав-
давления может иметь значение, лежащее между 0 и 1; в размерных
величинах — между 0 и 2рип. Точное давление в центре при z' = 0
определяется формулой (IV.4.5)
, а @, а')
sin
sin ла
При целом а'=а/к амплитуда давления равна нулю; при о!
полуцелом амплитуда |pj|=l.
Рассмотрим значения фазы cp(z', о!) в экстремальных точках
(IV.4.8). Согласно (IV.4.4) и (IV.4.7),
г0 ^Л - ( _ \
^п ~ 2 2 \ 2 1) 2 '
Для точек, где имеется максимум давления п, равно нечетному
числу (п = 2т+ 1):
(^hi-l)j = Bm-l) J (m = 0, I, 2, ...),
267
т. е. фаза кратна нечетному числу я/4. Для точек, соответствующих
нулевому давлению, п равно четному числу (п = 2т)\
[ 2т - \
i = —к~ -
Ф'2
(
f = 2(m-l)| (т = 0, 1, 2, ...),
т. е. фаза кратна четному значению я/4.
На рис. IV.4.2 даны кривые изменения амплитуды приведенного
давления р' на оси поршневого круглого излучателя для случаев
а' = 5 (а) и а'=10 (б). Следо-
Следовательно, вблизи излучателя
волновой процесс очень сложен.
В области от z'0 = 0 до z' = z[ =
= а'* — 1/4 амплитуда и началь-
начальная фаза изменяются в зависи-
зависимости от расстояния z' и пара-
параметра а. В связи с этим эту
область поля можно назвать
ближним полем. Его протяжен-
протяженность равна z[ = a' —1/4 или
Для расстояний больших,
чем z'u начинается область по-
поля, когда амплитуда давления
медленно убывает с расстоя-
расстоянием, а фаза монотонно изменяется, стремясь к я/2. При этом
— 1 [ = sin я
2г'
Иначе говоря, амплитуда уменьшается с расстоянием как
sin
/я а*
(--—
, а фаза — по закону
2 2 \2zf
С увеличением zr фаза приближается к своему постоянному зна-
значению — я/2. На некотором расстоянии г' от излучателя величина
па' /Bzf) может оказаться настолько малой, что без существенной
ошибки можно воспользоваться приближением sin|3^p. Закон изме-
изменения амплитуды принимает вид
sin
па»
л а'
~2 ~
В данном случае фаза будет постоянной и равной —я/2. Начи-
Начиная с этого расстояния, звуковое давление на оси излучателя изме-
изменяется по закону рлг^-тг —т^~~
pN = 2npcvna2 2^- е
или
2л a-ikzJ 2
(IV.4.11)
268
где Qn = na2vf — объемная скорость, или производительность, источ-
источника.
Эту область Называют областью дальнего поля или волновой.
Впервые в истории науки область ближнего поля изучена Фре-
Френелем, а область дальнего поля — Фраунгофером. Поэтому ближнее
поле иногда называют областью Френеля, а дальнее — областью Фраун-
гофера.
Следует заметить, что ближнее поле отделено от дальнего некото-
некоторой переходной областью, которая имеет протяженность от г[ до гА
(где гд —- .координата начала области дальнего поля). Величина г'Д
условна и определяется степенью приближения, по которому можно
принята sinp^|3. Для оценки этого приближения запишем sin p
в виде ряда
Ограничиваясь первым членом ряда, допускаем относительную
ошибку в определении sin p, равной отношению отброшенных членов
Q d sift 6 б3 В2
ряда к р, т. е. гъ-^ъ-^**-^-, или
(IVA12)
Решая (IV.4.12) относительно г'я, находим приблизительную длину z'A:
2Л
Сд 2/3V
Например, для е = 0,01
яа'21О nd'*
или z
ЛД 2-1,7 ^ 0,8-1,7 •
(d — диаметр излучателя).
Таким образом, расстояние до начала области дальнего поля превышает
длину ближней зоны в z^/zj раз:
г[ 2^38
причем z'fz[ слабо зависит от параметра а' > 1. В частности, при а'
Тогда
г: Юя
^ ^2,85я.
г[ 2\ГЪ
Между ближней и дальней областями поля, очевидно, существует переходная
область, протяженность которой составляет
1 2КЗе
269
На рис. IV.4.3 показана зависимость приведенного давления р на оси излу-
излучателя от расстояния 5 = гХ/а2, где указана протяженность переходной зоны,
когда аД = 5,8.
Если снимать диаграмму направленности без учета переходной области, то
можно допустить значительную ошибку. Оценим ошибку, полагая, что дальняя
зона непосредственно примыкает к ближ-
ближней. Для этой оценки решим уравнение от-
относительно е:
Р'1
1,0
0,15
0,5
0,25
О
Переходная
и получим
При а'> 1
3Dа'2-1J *
iL
Рис. IV.4.3
т. е. относительная ошибка близка к единице.
§ IV.5. БЛИЖНЕЕ ПОЛЕ ПЛОСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ
Вычисление амплитуды и фазы звукового давления, создаваемого
плоским излучателем, представляет собой довольно сложную дифрак-
дифракционную задачу. Мы ознакомимся с решениями задачи для излуча-
излучателя круглой формы, вставленного в бесконечный жесткий экран.
Как будет видно из дальнейшего изложения, решение задачи по-
получается в виде бесконечных рядов, сходимость которых зависит от
расстояния до излучателя. Для точек, расположенных вблизи излу-
излучателя, получаются слабо сходящиеся ряды. Для удаленных точек
можно найти решение с помощью интегралов Френеля или рядов
Ломмеля. Для очень удаленных точек пространства можно пользо-
пользоваться асимптотическими приближениями. В соответствии с изложен-
изложенным выше поле излучателя можно разделить на несколько областей:
непосредственно примыкающую к поверхности излучателя, френелевой
дифракции, переходную и дальнего поля.
Область поля, примыкающая к излучателю. Интеграл Рэлея
(III.4.10) дает принципиальную возможность вычислить потенциал
поля в любой точке полупространства. Однако выражения интеграла
в виде аналитической функции не существует. Его представление
в виде бесконечных рядов позволяет найти численные значения ха-
характеристик поля с какой угодно точностью.
В основу указанного представления положена теорема сложения
для сферической функции Ханкеля нулевого порядка. Сущность этой
теоремы состоит в следующем.
Если известны сферические координаты R, б и <р двух точек про-
пространства M1(R11 6lf ф2) и M2(R2, б2, ф2) (рис. IV.5.1, а), то рас-
расстояние между ними определяется из формулы
(М±М2)* = d2 = /?? + tfi - 2R,R2 cos y, (IV.5.1)
где у — угол между ОМХ и ОМ2; cos у = cos бх cos б2 -f sin бх cos (фх-—ф2).
Если известна сферическая функция Ханкеля нулевого порядка
с аргументом ad (d — расстояние между указанными точками), то
270
возможно следующее представление этой функции в ряд по полиномам
Лежандра [27]:
~ hm (aRx) jm (a/?2)
nQ(ad)= 2 Bm+l) m x "" n2 [Pm(cosy)9 (VI.5.2)
где верхняя сумма относится к случаю RX>R2; нижняя —к случаю
/?1</?2.
Пусть точка Я элемента dS площади излучателя имеет сфериче-
сферические координаты р, л/2, ф, а точка М, в которой необходимо найти
zi
Рис. IV.5.1
звуковое давление, — координаты /?0, 9, 0 (рис. IV.5.1,6). В этом
случае по формуле (IV.5.1) расстояние между этими точками
R2 = RI-|-р2 — 2Rop cosy, (IV.5.3)
где cos Y = sin 6 cos ф.
Если считать, что нормальная составляющая скорости по всей
поверхности одинакова и равна v0J то звуковое давление в точке М
•dS.
(IV.5.4)
Как известно из теории бесселевых функций, выражение, стоящее
под знаком интеграла (IV.5.4), есть не что иное, как сферическая
функция Ханкеля нулевого порядка:
kR '
(IV.5.5)
Учитывая сферические координаты концов отрезка R [см. (IV.5.2)],
получаем
У Bт +1) т ° lm 9 Pm($i
где верхняя строчка соответствует случаю jR0>P» a нижняя— слу-
случаю #
271
Таким образом, формулу (IV.5.4) можно записать в виде
hm (kR0) jm (kp)
Bm+l) -. Pm(sin6cos(p)dS. (IV.5.6)
, К (kp) Im (kR0)
Известно, что для равномерно сходящихся рядов операции интег-
интегрирования и суммирования можно менять местами. На основании
этого интеграл (IV.5.6) представим в виде суммы интегралов следую-
следующего типа:
2л а
Bm+\)hm(kR0) \ $/m(?p)Pm(sin9cosq))p2dpdcp|Ro>p,
:: . dv.5.7)
Bm + I) jm (kR0) $ jj hm (kp) Pm (sin 8 cos cp) p2 dp dф \Rq< p.
о о
Можно показать, что интегралы в (IV.5.7) от полиномов Лежандра
нечетных порядков обращаются в нули, а для полиномов четного
2л
порядка приводится к виду $ Рш (sin 6 cos ф) d(p = 2jiP2m (cos 6). Что
о
а а
касается интегралов $ j2m (kp) p2 dp и $ h2m (kp) p2 dp, то они могут быть
о о
вычислены с применением численных методов интегрирования. Таким
образом, для каждой точки поля следует найти численные значения
суммы:
2 2лDт+1)Р2.@)Р2т(со5б) у2 * ' °, (IV.5.8)
где
Ф. Уш = $ Л2т (*р) Р2 ф. (IV.5.9)
о
Штенцель [И], используя подобные ряды, получил таблицы и
графики звукового давления вблизи поверхности плоского излучателя
круглой формы. На рис. IV.5.2 приведены линии равного звукового
давления в плоскости, параллельной плоскости излучателя. Здесь
изображены линии равного давления. Цифры на графиках обозначают
отношение давления рм к давлению в плоской волне. Плоскость,
к которой относят указанные кривые, находятся на небольшом рас-
расстоянии от излучателя. Характерно, что в различных точках плоско-
плоскости, параллельной поверхности'излучателя, давление и фаза не по-
постоянны, как это было бы в идеальной плоской волне. Равные ампли-
амплитуды давления расположены по замкнутым линиям. На одцой и той
же плоскости имеется несколько изобар.
Таким образом, вычисление амплитуды звукового давления по
точным формулам дало следующий результат: вблизи поверхности
круглого поршневого излучателя в экране излучатель создает слож-
сложное звуковое поле, значительно отличающееся от идеального плоского.
272
У реального поля вблизи излучателя фазовая поверхность имеет мно-
множество бугров и впадин. Сечение этой поверхности плоскостью дает
на ней изобары в виде замкнутых кривых. На этой плоскости видны
изобары, относящиеся к различным волновым поверхностям.
В изотропной среде поток звуковой энергии перпендикулярен
поверхности волны, т. е. совпадает с направлением нормали к по-
поверхности. В данном случае линии потока звуковой энергии изогнуты.
Поток энергии обходит области, в которых звуковое давление равно
нулю, и концентрируется там, где давление максимальное.
1,0 0,15
0,25 0,№ 0,25 0,5 0,15 1,0
Рис. IV.5.2
Другой особенностью звукового поля вблизи плоского излучателя
является постепенное сглаживание волновой поверхности по мере
удаления от источника.
Область френелевой дифракции. Для точек поля, расположенных
на значительных расстояниях по сравнению с размерами излучателя,
можно найти более простые выражения, чем громоздкие ряды, рас-
рассмотренные ранее. Возможность упрощения расчетных формул свя-
связана с тем, что расстояние между точками МиР согласно (IV.5.3),
записанное в виде
Г / л \ 9. Ол 1 1 /О
(IV.5.10)
определяется выражением (p/R0J — 2pcosy/R0, которое при 0
стремится к нулю. Поэтому расстояние R представим в виде степен-
степенного ряда по возрастающим степеням малой величины (^-j — -? cos у:
Область поля, для которой можно ограничиться в разложении
[IV.5.11) приближением второго порядка, называют областью френе-
273
левой дифракции. Для нее ряд (IV.5.11) запишем в виде приближен-
приближенной формулы
Используя приближение второго порядка &/?<^1, представим
интеграл Рэлея в виде
В знаменателе выражения (IV.5.13) квадратичные члены опущены,
так как они слабо влияют на амплитуду давления. Однако эти члены
сохранены в фазовом множителе, поскольку небольшое изменение
фазы вызывает заметное изменение звукового давления.
Для удобства вычисления интеграла по поверхности перейдем
к цилиндрической системе и перенесем начало системы координат из
центра излучателя в точку М', являющуюся проекцией точки М
наблюдения на плоскость излучателя и экрана (см. рис. IV.5.1,6).
В новой системе координат угол у = тс/2, a R$ = z0. Тогда (IV.5.13)
запишем в форме, легко преобразуемой к интегралам Френеля и рядам
Ломмеля [26]:
В прямоугольной декартовой системе координат (р/2 = х2-{-у2) фор-
формулу (IV.5.14) можно преобразовать:
рм = /
e/(co/-^o) f е"//г ^ dx f e~ik ^ dy.
Уг
Произведем замену переменных: k~ = у ^2, * 2^~ = У1*2' после
чего получим выражение звукового давления через интегралы Френеля:
J еУ* dt J e;2
Введем безразмерные расстояния х'—х/Х, y = y/h и представим
(IV.5.15) в форме, удобной для практического использования:
Интегралы Френеля приведены в форме таблиц в [6]. Кроме того,
их можно с достаточной степенью точности находить графически,
если имеется хорошо выполненная в крупном масштабе спираль Корню.
274
На рис. IV.5.3 она изображена в масштабе, позволяющем с неболь-
небольшой точностью находить амплитуду звукового давления плоского из-
излучателя в области френелевой дифракции. Спираль Корню изобра-
жает модуль и фазу интеграла Френеля в зависимости от параметра
Y2/(kzo)x1: Используя этот график, можно проследить, как изме-
изменяется комплексная амплитуда давления поля прямоугольного излу-
излучателя в зависимости от расстояния z0, координат хъ х2 и yv y2
краев прямоугольного излучателя.
Й
/
\f
\
4
7
V
a
С
>*.—
Jv
Л
s
\
t
/
0,
. ft
ккм /)
.5 ;
0,
A
i_
a
Or
o,
o,
7
5
3
7
iA
1
3
5
7
I-
==
o,
f
\
Ь5
С
-К-
iL
1
0,5 0,
7
Pm. IV.5.3
Рассмотрим частный случай.
Пусть точка наблюдения лежит на оси прямоугольного излучателя. Стороны
излучателя имеют размеры а и Ь. При этом комплексную амплитуду давления
определяют формулой
pcvn
d^
ds
Проследим за модулем амплитуды давления с изменением расстояния z0 для
квадратного излучателя а — Ь. Модуль давления в этом случае определяют квад-
квадратом отрезка линии на спирали Корню, проведенного между точками спирали:
s=---l/"-^ S9==±-\/"]L
2 У %Zq ' 2 У Kzq
1/ z—-«- = ±2,5 для некоторого значения. Тогда модуль
Пусть Si, 2 =
Давления
275
По мере увеличения расстояния г0 точки концов отрезка Л буду г скользить
по спирали, пробегая значения параметров от ±2,5 До 0. Модуль давления сна-
сначала будет то увеличиваться, то уменьшаться, достигнув минимального значения
при 51,2 = ±1,9, затем увеличиваться. Когда z0 станет таким, что параметр slf 2
примет значение ^ нн 1,4, модуль Л достигнет снова максимального значения.
При дальнейшем увеличении расстояния модуль плавно уменьшается по мере
того как концы отрезка проходят точки с параметрами спирали от 1,4 до 0.
Изменение^ модуля давления на оси квадратного поршневого излучателя
в экране в зависимости от расстояния z показано на рис. IV.5.4. Осевое распре-
распределение модуля звукового давления квадратного поршневого излучателя при из-
изменении расстояния по оси Z, как и для круглого излучателя, имеет характер-
характерные осцилляции. Однако они менее ярко выражены па сравнению с осцилляциями
давления на оси круглого излучателя.
Расстояние до последнего максимума модуля давления определяется форму-
формулой zQ^a2!k (а —сторона квадрата излучателя).
a2/BXj пЩ z
Рис. IV.5.4
Формула (IV.5.16) удобна при нахождении давления в области френелевой
дифракции, когда излучатель имеет форму прямоугольника. Однако для круглых
преобразователей она не применяется. В этом случае пользуются представлением
интеграла Рэлея в виде степенных рядов. В частности, можно вывести следую-
следующее выражение:
(IV.5.17)
где
Обозначая m = co/ — kzQ, a = k(x2-{-^2)/BzQI получаем
Рм = — pcvoefm [е~/а (Vo + /Vi) — 1],
или,.имея в виду только действительную часть комплексной функции,
р (г, б, t) = pcvo(X cos m-\-Ysinm) = pcvQ У X2-\-Y2 cos (m — y),
(IV.5.18)
где
= V0cosa+ V^siim— 1,
v t/ ¦ i/
Y = 70sina— V-t
(IV.5.19)
Нетрудно показать, что формула (IV.5.18) для оси излучателя
6 = 0 имеет вид
Ply I) т I )С\П1У С 1 П ——
-|). (IV.5.20)
276
Как и в случае точного решения, амплитуда давления на оси
осциллирует при удалении от излучателя. Координату наиболее уда-
удаленного максимума определяют по формуле
z = а2Д.
Доказательство этой формулы можно провести методом преобра-
преобразований с учетом следующих выражений:
j6-0
=1,
ее = -
_ яа2
|б-о ~~ kz0 '
=0,
Для описания характера изменения амплитуды и фазы давления
в зависимости от z0 достаточно найти экстремальные точки функции
yX2jrY2, входящей в (IV.5.18). Проведем исследование этой функ-
функции. Поскольку выражения
для X и Ь (IV.5.19) со-
содержат осциллирующие огра-
ограниченные функции, то
2 также ограничена
и осциллирует между макси-
максимальными и минимальными
значениями. В зависимости
от расстояния б до оси из-
излучателя частота осцилляции
и их глубина изменяются.
При некотором значении zo =
= год функция уО^2+ Y2 име-
имеет последний из возможных
максимумов. Начиная с этого
значения с увеличением z0
амплитуда УХ2-\-У2 с рос-
ростом г0 уменьшается по зако-
закону l/z0.
На рис. IV.5.5 приведены
графики зависимости ампли-
туды (слева) и фазы (справа)
давления от отношения б/а
для различных безразмерных расстояний s = zo/(a2/X), обозначенных
цифрами от 0,74* до 1,58. На графиках амплитуды отложены
0,2 0ЛО,6х,см 0,6 0,4 0,2
Рис. IV.5.5
0,6х,см
Y% — безразмерные амплитуды звукового давления, а на гра-
графиках фазы — у/Bп) = A/2я) arctg ~, или Az/A, (Дг0 — отклонение фазо-
фазовой поверхности от плоской).
При s=l давление на оси максимально и уменьшается с увели-
увеличением s. На расстоянии б=^0,За при s=l давление меньше, чем
На рис. эта цифра по ошибке заменена на s = 16.
277
при s = 0,78, т. е. при s=l амплитуда давления имеет слабо выра-
выраженный минимум. При других значениях параметра б/а характерные
максимумы и минимумы смещаются.
Фаза волны на всем интервале изменений s и б/а изменяется не-
незначительно. Наибольшее изменение фазы у/Bп) = 0у2. Это значит,
что волновая поверхность отличается от плоской в пределах от 0 до 1
на 0,2А,. Радиус излучателя в ультразвуковых установках равен
нескольким десяткам длин волн, поэтому вблизи оси волну можно
считать приблизительно плоской. Однако при точных исследованиях
отклонение волновой поверхности от плоской необходимо учиты-
учитывать.
Переходная область. Область поля вблизи излучателя, где зави-
зависимость амплитуды квазиплоской волны от расстояния z0 определяется
монотонной функцией, отличной от закона сферической волны l/z0>
условно можно назвать переходной областью поля. Для ее определе-
определения проведем исследование модуля давления на максимум и ми-
минимум.
Подставляя выражения X и У, имеем
у X2 + Y2 = ]/ VI + VI + 1 - 2 A/0 cos a + Vx s in a) - f (х).
Приравнивая к нулю производную по х от f(x), получаем урав-
уравнение, корни которого являются точками максимума или минимума
амплитуды давления.
Для проведения операции дифференцирования необходимо знать
несколько свойств рядов Vo и Vv
1. Рады Vo и V1 являются частными случаями общих рядов
Ломмеля:
где т — число, которое может быть положительным или отрица-
отрицательным.
Ряд Vm(x) сходится при любых х/у9 поэтому его можно диффе-
дифференцировать и интегрировать.
2. Производная по х от ряда Ломмеля равна
1ж у
дх - у ym-i
3. Производная п-то порядка от V
п2 х дп~г
п^ Kw-i"T" у дхп-* Vml'
дхп ~ у дхп^ Kw-i"T у
4. Производная от функции а(х)
дх ~ дх \2у "*" ZyJ~~ у
278
После этих замечаний легко произвести преобразование первой
производной от }/~X2-\-Y2:
V0Vq + VxV[ — V'o cos a — Voaf sin a — Vx sin a — Vxar cos a
оУо + ViV[ - (V'o + Vi<*') cos a-(V[-V,ar) sin a
sin a)
Подставив в числитель первую производную ряда
и первую производную ряда
получим условие экстремума:
Таким образом, экстремальные точки модуля давления являются
корнями уравнений
или
Начало переходной зоны определяется наименьшим из корней
полученных уравнений, исключая нуль. В зависимости от соотноше-
соотношения между б и а можно отметить три случая.
1. Если поле рассматривать на оси излучателя F = 0), то первое
из уравнений (IV.5.21) обращается в тождество, а второе дает
ka2
cos л— =1, наименьший корень которого, отличный от нуля, я.
Таким образом, начало переходной зоны при 6 = 0 определяется
координатой оси гол = а2/Х.
2. Если расстояние от оси равно радиусу излучателя F = а)> то
первое уравнение (IV.5.21) имеет вид еЗ^—j = 0. Его первый корень
ka2/z01 = 3,832, откуда zon = g—^"X"• Второе из уравнений (IV.5.21)
при &~а содержит функцию V0(ka2/z0)\
ka2 лт fka?\ or fkcP\ or fka2 \ , or (kcP\
279
Первый корень этого уравнения меньше, чем 3,83, и начало пере-
переходной зоны определяется этим корнем. Обозначим его Av Отсюда
/га2 2яа2 - , ч 2я Ф
причем 2я/Л1>1, поэтому переходная область на линиях 6 = а на-
начинается дальше, чем осевая переходная область.
3. Можно показать, что при любом соотношении б/а первый ко-
корень <&1(х) всегда больше первого корня уравнения cos а(х) = Vo (х).
Поэтому начало переходной области для б/а Ф О расположено дальше,
чем начало переходной области на оси.
§ IV.6. ДИФРАКЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ
СКОРОСТИ И ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКА
Наиболее точные методы измерения скорости распространения и
коэффициента поглощения звука в веществе основаны на предполо-
предположении, что в экспериментальной установке создается плоская волна.
Однако излучатели конечных размеров создают в ближней области
плоское поле, искаженное дифракционными эффектами на краях излу-
излучателя даже в случае, если излучатель вставлен в бесконечный жест-
жесткий экран. Обычно в измерениях скорости распространения и коэф-
коэффициента поглощения звука в веществе используют пьезоэлектриче-
пьезоэлектрические пластины. В эхо-методах и в методе акустического интерферометра
излучающая и приемная пластины могут быть совмещены.
Рассмотрим в общем виде возможные ошибки в определении ско-
скорости и поглощения звука, которые вносятся дифракционными иска-
искажениями плоской волны, действующей на пьезоэлектрический датчик
давления.
В эхо-методах измерения скорости и поглощения звука отражен-
отраженная от рефлектора волна, искаженная дифракционными явлениями
на краях рефлектора и излучателя, возвращается к передающему
кристаллу и возбуждает на его клеммах электрическое напряжение,
пропорциональное среднему давлению на поверхности пьезоэлемента.
Это давление отличается от давления р, усредненного по поверхности
перпендикулярной направлению распространения волны. Между этими
величинами существует линейная зависимость
где D-—коэффициент дифракции, который определяется размерами и
покрытием приемного преобразователя и практически не зависит от
расстояния между излучателем и приемником звуковых волн.
Для неискаженного плоского поля величина р, очевидно, выра-
выражается формулой идеальной плоской волны в среде с затуханием
где а — коэффициент поглощения волн. Для поля, искаженного диф-
дифракционными эффектами на краях излучающей и приемной пластин,
выражение давления р можно получить путем усреднения по поверх-
280
йости приемной пластины звукового давления, соответствующего ближ-
ближней зоне излучения:
P^-S' \ PMdSv
В результате интегрирования и последующих преобразований по-
получается выражение давления р, которое отличается от формулы
идеальной плоской волны тем, что амплитуда имеет дополнительную
зависимость от z и появится дополнительное искажение фазы, которое
является функцией расстояния г:
В этом случае зависимость от расстояния z электрического напря-
напряжения на приемном кварце определяется формулой
где В — коэффициент пропорциональности, включающий коэффициент
дифракции D и параметр преобразования механических величин
в электрическое напряжение.
При изменении расстояния от гх до г2 напряжение изменится от
Ux до U2. Отношение этих напряжений определяется формулой
где
Для получения формул коэффициента поглощения и скорости рас-
распространения с учетом поправок на искажение идеальной плоской
волны преобразуем величину В (zv z2) к виду
-), (IV.6.2)
а дополнительное изменение волнового числа запишем с учетом зави-
зависимости k = — как
с
Ak = ((о/с) (Ас/с) = [aj) (г2) - ф Bl)]/(za - гх). (IV.6.2')
Очевидно, второе слагаемое (VI.6.2) содержит поправку на коэф-
коэффициент поглощения, которая выражается формулой
Да = [In A (Zl) - In A (z2)]/(za - гх). (IV.6.3)
Из (IV.6.2') следует относительная поправка к фазовой скорости
(IV.6.3')
Формулы (IV.6.3) и (IV.6.3') позволяют произвести вычисления
поправок к коэффициенту поглощения и скорости распространения,
281
которые необходимо учитывать в измерениях по методикам, где до-
пускается, что в установках распространяются идеальные плоские
волны. Для получения окончательных формул допустим, что форма
датчика представляет круг с радиусом Ь. Используя формулу (IV.5.20),
получаем
ь
U (г) = DBX (р) = Bxe-*k**~ Г pM2n8 d&. (IV.6.4)
о
Здесь D — коэффициент дифракции приемной пластины, рм — звуко-
звуковое давление на ее поверхности (IV.5.17):
Г я (а»+ 6») "|
рЛ = —ретое/<«<-**•> [е **• (Ko + /V\) — 1J, (IV.6.5)
где Vo и Vx — ряды Ломмеля (IV.5.17).
Интеграл, входящий в (IV.6.4), приводится к следующей формуле:
J 8 = pcvonb2l (z0),
о
где
1 ^ = 1 ~ Ш е
| / (z0) \ = [(A - cos vJ + (B_
— модуль этой функции, tf = — arctg[(# соз y + A sinv)/(l—A cosy +
+ Bsinv)]-ee фаза, Л = [(z0X/(nb2)] Vx (kab/zo)y
В = [zMnb2)] [Vo (kab/z0) - ^0 (kab/zo)l
Подставляя (IV.6.5) в (IV.6.2) и (IV.6.3), находим дифракцион-
дифракционные поправки на поглощение и скорость распространения упругих
волн:
Лгу = — In ^i
2Дг m(A2
i4asiny2 —B2cosY2 1 ' ' '
J
где Лх, Л2, Bi, B2 и 7i» У2~~значения величин при z = zv z = z2.
На рис. IV.6.1 представлены графики отношения среднего давле-
давления на приемном преобразователе (р) к давлению р0 в идеальной
плоской волне в зависимости от расстояния s = (xK)/a2 до излучателя
для ka = 40Q (кривая /) и ka = 4Q (кривая 2). Значения давления
рассчитаны для случая, когда радиусы приемного Ьи передающего а
282
преобразователей равны b~a— 10 мм; частота /= со/2я = 1 мГц; ско-
скорость звука с= 1,6-103 м/с.
На рис. IV.6.2 показаны графики зависимости (рIр от s для
различных размеров b прием- i,^/pi
ного преобразователя [26].
Приведенные кривые (рIр
позволяют оценить дифрак-
дифракционные поправки к коэффи-
коэффициенту поглощения.
Например, если при из-
измерении поглощения изме-
изменять положение кварца меж-
)<Р>/д1
0,82
0,78
'' '
0,70
1-
2-
\л
—VT
\л
-$-
\
V
s
\
\
0 0,Ь 1,2 2,0
Рис. IV.6.1
2,8
10
'
0
1,д
0,9
0,5
0,5
0,5
0 1\
шг
\ 11/
I и
11
л/
\
ч
ч
У
\
ч
*ч
Ч^
ч.
«V
^-
Ь=0,5а
h~lt5d
ч
к.
Ч
2 3 4
Рис. IV.6.2
ду sx = 1,05 и s2 = 2,4 (см. рис. IV.6.1, кривая /), то амплитуда
давления на этом расстоянии изменится от 0,81 до 0,76, т. е. от
1,8 до 2,3 дБ. В этом случае ди-
дифракционная поправка (в децибе- Ас, м/с
лах) к коэффициенту поглощения 6
составляет 4
__ 1,5 1 , дБ
-*— -j -j Я5а/ 1 ¦ ,
l,*t 5j 5g
где so = a2/K.
В частности, для измерений
затухания в жидкости при частоте
/=15 мГ, когда а == b = 0,1 см,
длина so = a2A=15O см. Подстав-
Подставляя это значение в формулу диф-
дифракционного затухания, получаем
а 1 дБ
25
50 75 100
Рис. IV.6.3
125
Экспериментально установлено, что средняя поправка при измере-
измерениях коэффициента затухания в эхо-методе, когда приемный пьезо-
283
кварц перемещается в области s = 1, составляет 1 дБ на едини-
единицу а2А.
На рис. IV.6.3 приведены абсолютные значения дифракционной
поправки к длине волны Я, к скорости звука идеальной плоской
волны в зависимости от отношения диаметра излучателя D, вычислен-
вычисленные при различных расстояниях между преобразователями для слу-
случая а = Ь= 10 мм и с= 1,6- 103 м/с. Графики /—5 соответствуют
расстояниям, соответственно равным 50, 100, 150, 200, 250 мм [26].
Видно, что поправки тем больше, чем меньше радиус излучателя.
С уменьшением расстояния поправки к скорости также увеличиваются.
Обычно измерение скорости звука проводят при расстояниях
xX/oPf&I и при волновых размерах излучателя я^ 100. Это соответ-
соответствует D/X^ 30. При этом абсолютная ошибка в измерении скоро-
скорости звука в воде равна, как следует из рис. IV.6.3 (кривая 5),
0,4 м/с, что составляет 2,5-10%.
ГЛАВА V
РАССЕЯНИЕ ВОЛН
Среда, в которой распространяются волны, не бывает однородной. В жид-
жидкости или газе всегда имеются отклонения от средних значений температуры,
плотности, сжимаемости и других физических параметров. Эти флуктуации вызы-
вызывают местные изменения свойств среды. Если в среде будет распространяться
волна, то вследствие нерегулярных изменений свойств среды возникают вторич-
вторичные волны, исходящие от областей, где появились неоднородности. Эти волны
называют рассеянными, а процесс их образования—явлением рассеяния волн.
Рассеянные волны, складываясь в точке наблюдения с падающей волной,
создают в каждый момент времени интерференционную картину. Вследствие
нерегулярности распределения рассеивателей в пространстве и во времени рассе-
рассеянные волны, исходящие от отдельных рассеивателей, некогерентны между собой
и с падающей волной, так что за время измерения интерференционная картина
смазывается. Вместо образования устойчивой интерференционной картины в каж-
каждой точке происходит сложение интенсивностей волн.
К явлениям рассеяния волн относятся также процессы рассеяния от непод-
неподвижных неоднородностей, хаотически распределенных в сплошной среде. Вследст-
Вследствие неизменного характера неоднородностей все они являются источниками коге-
когерентных волн, которые дают четкую интерференционную картину. Явление коге-
когерентного рассеяния, строго, говоря, следовало бы назвать дифракцией на сово-
совокупности стационарных неоднородностей. Однако поскольку при некогерентном
и когерентном рассеянии существенную роль играют статистические закономерно-
закономерности, в обоих случаях применяют термин рассеяние волн.
В литературе часто к явлениям рассеяния волн относят также процессы обра-
образования вторичных волн на отдельных стационарных неоднородностях, например
явления отражения звуковых волн от подводных объектов, электромагнитных
волн от радиолокационных целей и т. д. Эффект рассеяния зависит от соотноше-
соотношения между длиной волны и размерами рассеивателя. Если длина волны сравнима
с размерами рассеивающего предмета, то в этом случае рассеяние, по существу,
есть дифракция волн.
К дифракции принадлежит рассеяние на периодических структурах, а также
на периодически шероховатых поверхностях. Среди исследований этого направле-
направления известны работы [18], [19], [20] и др.
Некогерентное рассеяние, т. е. рассеяние на случайных неоднородностях
с установившимся распределением, а также с распределением, меняющимся
во времени, проявляется в другой области явлений рассеяния, где преимущест»
284
венное значение имеют статистические закономерности (рассеяние звука на пузырь-
пузырьках воздуха в воде [6], на случайных слабых неоднородностях [21], на поликри-
поликристаллах [22], [23], в твердых неоднородных средах и рассеяние на турбулентно-
стях в атмосфере [24]).
§ V.I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Звуковая плоская волна не может оставаться прежней, когда
в пространство, где она распространяется, внесено тело, свойства
которого отличны от свойств среды. На поверхности тела возникают
отражение и преломление плоской волны. В объеме тела появляется
колебательное или волновое движение, а во внешнем пространстве —
дополнительное поле за счет отраженных волн. В результате волно-
волновое плоское поле изменится. (Степень искажения волнового поля
инородными предметами играет большую роль в технике измерений,
так как прибор, который выполняет ту или иную функцию измере-
измерений, сам искажает первичное поле.) Волновое поле в присутствии инород-
инородного тела должно удовлетворять волновому уравнению, граничным
условиям и условиям излучения. Действительно, плоская волна, хотя
и подчиняется волновому уравнению, не может быть единственной
в пространстве, как это было до внесения инородного тела, поскольку
не выполняются граничные условия. Функция, удовлетворяющая
волновому уравнению и граничным условиям, в этом случае состоит
из функции, выражающей плоскую волну, и некоторой функции,
определяющей рассеянную волну.
Существует множество ситуаций, которые приводят к явлениям
рассеяния. Однако только немногие из них поддаются строгому
математическому анализу. Математически полно задачу о рассеянии
звука удается решить только для тел правильной геометрической
формы, не имеющих острых краев, например для сферы бесконеч-
бесконечного длинного цилиндра, сплющенного эллипсоида вращения и др.
По типу граничных условий различные случаи могут приблизи-
приблизительно подходить к условию Дирихле, когда »на поверхности тела
давление обращается в нуль (в дальнейшем это граничное условие
обозначим буквой Д), или к условию Неймана, по которому на
поверхности в нуль обращается нормальная составляющая скорости
(Н). Могут быть промежуточные случаи граничных условий.
Математические задачи о рассеянии на одиночных рассеивателях
формулируются следующим образом.
На тело определенной формы падает плоская волна, заданная
потенциалом с единичной амплитудой:
Требуется найти потенциал поля рассеянной волны, а также
потенциал ^(г, /) полного поля, возникающего в результате нало-
наложения падающих и рассеянных волн:
,(r, t).
285
Полное поле должно удовлетворять волновому уравнению
(V.1.1)
н одному из типов граничных условий на поверхности тела:
1г-г. = 0 (Д), ^
= 0 (H)
ИЛИ
дп
дп '
где W и Wo — потенциалы поля во внешней среде и внутри тела.
Кроме того, рассеянное поле должно удовлетворять условиям
излучения
О-М.
§ V.2. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
НА ЦИЛИНДРЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Допустим, что на цилиндре бесконечной длины перпендикулярно
оси падает плоская волна (рис. V.2.1). Выберем цилиндрическую
систему координат с началом в точке О,
к лежащей на оси цилиндра. Тогда
Ч?. = е7 № ~~ (кг^ = & (®* ~kr cos v) (V 2 1)
где к —волновой вектор, ф —угол меж-
между к и г.
Потенциал скорости рассеянной вол-
волны представим в виде суперпозиции ци-
цилиндрических волн (II. 1.10), исходя-
исходящих из точек оси цилиндра:
Рис. v.2.1 ^s = e;W H Am cos (тф + ат) Н(% (kr).
(V.2.2)
Потенциал общего поля определяется суммой потенциалов полей
(V.2.1) и (V.2.2):
= е/со/ [е
Ат cos
ат) Н% (kr)]. (V.2.3)
Постоянные Ат и ат определяются на основании граничных усло-
условий; из двух ханкелевых функций в решении (V.2.3) выбрана вто-
вторая Нт {kr)9 которая для выбранной временной зависимости потенциала
удовлетворяет условиям излучения.
Рассмотрим рассеяние волн на жестком цилиндре, когда выпол-
выполняется граничное условие (Н). Для того чтобы воспользоваться гра-
граничным условием и определить постоянные Ат и Вт, необходимо
разложить функцию, соответствующую плоской волне, в ряд Фурье.
286
Известно, что это разложение имеет вид
оо
е-izcos» = ^(z)x2 ^ /»#m (г) cos 1Щ = ? em/-«d7m (г) cosmcp,
m= 1
| 1 при m = 0;
где em = |2 n^ m=lf 2f 3, ...
Исходя из этого, потенциал поля (V.2.3) представится как
ew^m (kr) cos /пф/"» + Лт//Й1 (kr) cos (mcp + am). (V.2.4)
Запишем также формулы для скорости г/г и давления р:
; (kr) cos шФ + Л^й'' (kr) cos (mcp + aw)]; (V.2.5)
X 21 e«/"w ^ (И cos тФ + ЛmH%(kr) cos (mcp + am)l (V.2.6)
Lm = 0 J
Если выполняются граничные условия типа (Н), иначе говоря,
если при г = а радиальная скорость на поверхности обращается
в нуль, то из (V.2.5) получаем тождество
ътГт З'т (ka) cos тф + АтН%' (ka) cos (тф + ат) = О,
Это тождество справедливо при
<&' (ka) гт
Ат^А'т = ~гт ^,'ka) , am = 0. (V.2.7)
Если выполняется граничное условие типа (Д), то, приравнивая
к нулю давление при г = а, получим из (V.2.6)
А — р ;-т ^rn (ka) п —О (V О к\
Лт— bmj H{2) (ka) y am — V- [V .Z.6)
Подставляя (V.2.7) в (V.2.4), получаем потенциал поля искажен-
искаженной плоской волны для акустически жесткого цилиндра;
j -Г [ (» w/(ka) ] C0S
(kr) -&'m (ka) ^§~\ cos тФ. (V.2.11)
Для акустически мягкого цилиндра формулы такие же, только
вместо производных е7'т(ka) и Нт' (ka) следует брать <з7т(ka) и
287
H'm(ka). Наконец, формулы поля рассеяной волны имеют вид:
?, = - е>« У еш/ » ?7т (ka) ^~-r cos шФ, (V.2.12)
»i = О
У ЪтГт#т№ "Ч(*'\ cosm9. (V.2.14)
Поскольку давление в плоской волне pt = p-^- = /cope/co/e~^rcos^,
то множитель /соре^, входящий в (V.2.11) и (V.2.14), выразим
через pf:
Тогда
^ rra Wm (kr) H'm (ka) - &'т {ka) Hm (kr)] ^|L.l(v.2.15)
щ = 0
где R — комплексный коэффициент отражения:
= 2 -е^^^-й-^^созтф^е^-ф. (V.2.17)
Большой интерес в измерительной технике представляет расчет
искажения волны, которое вносится жестким цилиндром. Судить
о степени этого искажения можно, если вычислить отношение давле-
давления при наличии, цилиндра к давлению в свободном поле. Давление
возмущенной плоской волны представим как
P = Pi + Ps = Pi + Pi
Для kr>2 воспользуемся асимптотическим представлением функ-
функции Ханкеля:
и представим коэффициент отражения R в виде
оо C7f
^гу о/ {ka)
О ^^ у g COS TYl
00 су/
= — Кс (йа, ф) е-jkr (l -соь
288
где Yc(ka, ф) —фактор возмущения для цилиндра;
С введением фактора возмущения отношение давлений возмущен-
возмущенного поля к свободному для kr>2 имеет вид
f. Yc(ka,
(V.2.19)
где k — м/с — волновое число; г —расстояние от оси цилиндра до
точки наблюдения; ф —угол, составленный между направлением рас-
распространения плоской волны и направлением от оси цилиндра до
точки наблюдения; а —радиус цилиндра.
2,0
Ъ6
Ь2
0,8
-o,8\—
-12
-16
5 6 7 8 9 На
-2,0
s
-
/
\
\
/
у
{*
"*•
IVcI-
г
I
-*•
Рис. V.2.2
О / 2 5 4 5 6 7 8 9 к а
Рис. V.2.3
Минимальное искажение плоского поля при данном волновом
факторе ka определяется формулой
min
(V.2.20)
На рис. V.2.2 и V.2.3 приведены графики модуля \YC\ вещест-
вещественной /?с и мнимой /с частей фактора искажения. Графики на рис. V.2.2
даны для точки А, а графики рис. V.2.3 —для точки В цилиндра
(см. рис. V.2.1). Они показывают, что наибольшее искажение волны
возникает со стороны затененной части.
Значение R, определенное из (V.2.17), зависит от расстояния от
оси цилиндра до точки наблюдения. Для поверхности цилиндра R
определяется соотношением
Ra = -
COS
(V.2.21)
10 Л. Ф. Лепендин
289
Используя (V.2.17) при г— а, находим отношение давления на
поверхности цилиндра к давлению в свободном поле:
и модуль этой величины:
Pi
Ра_
Pi
(V.2.22)
(V.2.23)
На рис. V.2.4 представлены полярные диаграммы \pjpi\ в деци-
децибелах. Левая и правая стороны каждой диаграммы соответствуют
180°
Рис. V.2.4
различным ka. Для каждого значения ka диаграмма должна быть
продолжена симметрично прямой 0—180°. На диаграммах построены
углы б = ф + я, т. е. углы между направлениями на источник плос-
плоской волны и точку наблюдения. При малых частотах давление прак-
практически не отличается от давления в свободном поле, но по мере
увеличения частоты оно на поверхности цилиндра все больше и
больше зависит от угла между направлениями на источник плоской
волны и точкой наблюдения.
Полярные диаграммы при высоких частотах характеризуют почти
равномерное давление в пределах освещенной части. В области гео-
геометрической тени возникают узкие участки минимума давления; при
6=180°, т. е. по направлению распространения плоской волны,
имеется острый пик, максимум которого соответствует давлению
свободного поля.
290
Давление, измеряемое микрофоном, если его размеры сравнимы
или больше длины волны, значительно отличается от давления в-сво-
в-свободном поле и, как это видно из диаграммы (рис. V.2.4), зависит
от угла ф. Это давление, усредненное на поверхности актовой части
микрофона, пропорционально давлению в свободном поле:
|</?а> |=Z> |Л|. (V.2.24)
где | (ра) | — амплитуда усредненного давления по поверхности микро-
микрофона; D — дифракционный коэффициент, зависящий от формы, раз-
размеров, конструкции микрофона и граничных условий; |#| —ампли
туда давления в свободном поле.
Для расчета величины D цилиндрического микрофона найдем
^давление, усредненное по поверхности цилиндра:
(V.2.25)
где ра (ф) — давление на поверхности.
Подставив в (V.2.11) г = а, получим
/>а =/соре/*'
т = 0
Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть определитель
Вронского для уравнения Бесселя. В теории специальных функций
доказывается, что в данном случае это выражение не равно нулю и
для /гафО определяется формулой
&т {ka) H'm (ka) - &'т (ka) Hm (ka) = ~,
откуда полное давление на поверхности цилиндра
(V-2.26,
Подставляя ра из (V.2.26) в (V.2.25) и учитывая, что
2f ( 0 при тфО,
J \ 2я при т = О,
получаем
2 1 2 1
(Рт) = A^' Р^
*. H'o(ka) '
На основании соотношения для цилиндрических функций
-~r~Z{x) = — Zx(x) имеем
Ш
10* 291
Зная среднее значение полного давления на поверхности цилиндра,
получаем дифракционный коэффициент
р =
рс
nka
(V2.28)
Расчет чувствительности ленточного микрофона. На основании формулы об-
общего давления на цилиндр можно ориентировочно рассчитать силу давления на
чувствительный элемент ленточного микрофона. Ленточный микрофон представляет
собой датчик скорости, состоящий из легкой неферромагнитной металлической
ленты, способной перемещаться в поперечном магнитном поле. Под действием
звуковой волны лента перемещается со скоростью
V = -
К
где FOx — амплитуда силы звукового давления в направлении распространения
волны; К — коэффициент, зависящий от
конструкции микрофона.
Поскольку это движение осуществля-
осуществляется в поперечном магнитном поле, то на
концах металлической ленты наводится
электродвижущая сила индукции, про-
пропорциональная силе бокового давления:
кп
где В — индукция магнитного поля; / —
длина ленты.
Чувствительность микрофона, т. е.
отношение напряжения на выходе к дав-
давлению в свободном поле такого микрофо-
микрофона, пропорциональна силе звукового дав-
давления jFOv. При ориентировочной оценке
р рр
чувствительности ленточного микрофона от частоты можно рассчитать такую
зависимость для цилиндра, диаметр которого равен ширине л'енты микрофона.
Нетрудно показать, что для цилиндра сила давления волны в направлении ее
распространения равна
где сJ —модуль; у[ — фаза первой производной цилиндрической функции первого
порядка.
Результат расчета отношения F0x!Dp0a) изображен на рис. V.2.5. Чувстви-
Чувствительность ленточного микрофона при низких частотах увеличивается с частотой
линейно и при со = с/а (соа/с—1) достигает максимума, а затем уменьшается.
§ V.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ РАССЕЯННОЙ ВОЛНЫ
НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ ОТ РАССЕИВАЮЩЕГО ЦИЛИНДРА
Используя асимптотические значения функций Ханкеля, получаем
для потенциала скорости рассеянной волны:
е'{а"
sin Ь'т il6m cos т<Ь
292'
или
оо
el w -kr^ e'^'4 21 ггп sin 6^ е/б™ cos mq>.
m = 0
Давление рассеянной волны
на больших расстояниях от цилиндра
. 3 оо
ps = l/ 2 ©ре4" У ewsin6;e/e«cosmVe/(fl)'-*r). (V.3.2)
k^\ nrk ^
Колебательная скорость частиц в радиальном направлении
оо
~ дг ^^ У nkr Zu т т ' '
т. = О
Интенсивность рассеянной волны вычислим как Replvs/2:
1
= ~2 ~nkr
т = 0 м = 0
= —- У У ет8л sin Ьт sin б« cos (Ь'т — б«) cos тф cos пф. (V.3.4)
Имея в виду, что интенсивность плоской волны, у которой ампли-
амплитуда потенциала скорости равна единице,
^ = yRepfi/t~ cop?, (V.3.5)
выразим интенсивность рассеянной волны через интенсивность па-
падающей:
ф 2 8>Аsin б™sin ^ cos (^"" б«) cos m(P cos Д(Р ^
=="пН"("") / 8me/iSin6/nSin6^ COS Fm — Ь'п) COS Шф COS Яф, (V.3.6)
где
1 при m = О, Г 1 при п = О,
при т^=0, B при м:
Отношение интенсивности рассеянной волны к интенсивности па-
падающей является коэффициентом отражения по интенсивности и
293
выражается формулой
I)
(ф) = -ST- = I") — У гтгп sin b'm sin бп COS (8m ~ 8«) COS Шф COS
^i \ r J nka ***
m% n
(V.3.7)
Удобной характеристикой описываемых процессов является пол-
полная рассеянная мощность. Для вычисления рассеянной мощности
отрезком цилиндра h проинтегрируем функцию &s по площади ци-
цилиндра радиусом г и высотой h:
2Л
~p/ir 2 8m^n sin 6^ sin б; cos (Ь'т - б^) х
т, п
2л
X J COSA^COS
О
Для вычисления интеграла воспользуемся условием ортогональ-
ортогональности
О при тфп,
cos тф cos пф йф = 2 i
о
(т, п-0, 1, 2, ...)•
я при т =
2я при т = п =
На основании свойства ортогональности функции cos/пф члены
суммы с перекрестными индексами тип исчезают. В результате
получаем
i2Ln2
2
sin2
где
( 1 при т = О,
( 2 при тфО.
Рассеянная мощность, приходящаяся на единицу длины цилиндра,
Отношение рассеянной мощности волны, приходящейся на еди-
единицу длины цилиндра, к интенсивности падающей волны имеет раз-
размерность длины и называется эффективной шириной цилиндра. Из
(V.3.8) эта величина определяется формулой
fr 2 msin*l6'm(ka)l (V.3.9)
294
Если бы не было дифракционных явлений, то из плоской волны
переизлучалась бы мощность, задержанная полоской, ширина которой
равна удвоенному радиусу цилиндра. Однако в волновых процессах
существенную роль играют процессы дифракции и интерференции
волн. Поэтому эффективная ширина рассеяния зависит от ka, т.- е.
от отношения длины окружности поперечника сечения к длине волны.
Эффективная ширина цилиндра может быть как больше, так и меньше
геометрического поперечника. Для того чтобы в этом убедиться,
вычислим эффективный поперечник рассеяния для длинных и корот-
коротких волн.
Для волн с большой длиной волны воспользуемся значениями
функции б' (ka) при ka<^2m+l:
80(ka)
Отсюда
5(Ф) ъ* ~(ka)sA-2cosy)*, (V.3.10)
f k \ 16
или
Согласно (V.3.10) и (V.3.11), при низких частотах относительная
интенсивность зависит от угла ф по закону кардиоиды, а эффектив-
эффективная ширина рассеяния во много раз меньше диаметра цилиндра.
Для высоких частот воспользуемся асимптотическими представ-
представлениями. Тогда в качестве приближенного значения эффективной
ширины цилиндра при ka^> 1 можно ограничить сумму (V.3,9) и
учитывать только m = ka членов:
ka
m==0
4 sin2 ka у
И-2+122+ ...+1*)= ^*" (l + 2feg),
Qя^ 2ka -', = 4a > (V.3.12)
Здесь при выводе принимаем значение sin2&a я« 1/2 (среднее по
ka>\
периоду).
Представим ряд 2 ет sin [6m (ka)] в виде суммы трех рядов:
ka—-n ka-\-n oo
295
m = 0 Aa •— n -j-1 m = ka -f-« -f 1
(&a > л > 1 j
Очевидно, что каждый член первой суммы удовлетворяет условию m<^ka,
а члены третьей суммы соответствуют т^>ка. Используя асимптотические значе-
значения функций b'm{ka) для этих рядов, найдем
ka-\-n
m — Q m^=ka — n-\-\
со
+ I emsi,
m = ka + л + 1
Вследствие того что число слагаемых в первой сумме равно ka — /i+l, а во
второй 2п и не зависит от ka, вклад, вносимый в* общую сумму вторым рядом,
при /еа> 1 исчезающе мал; третья же сумма стремится к нулю, поскольку
.. тп ( ka\2m
lim -7—TTF ~o
m>ka О*'J \ 2
ka -*oo
В результате получаем
оо Ла
г = о т = 0
. . Г л / 1 М
значе-
Наконец, заменяя квадраты синусов sin2 /га—о"(т~Ь"о") средними
ниями по периоду, получим при
со ka
1 1
т—0 т=О
Отсюда эффективная ширина рассеяния плоской волны цилиндром при высо-
высоких частотах
Таким образом, при высоких частотах эффективная ширина ци-
цилиндра равна удвоенной геометрической ширине. Такой результат
несколько неожидан. В самом деле, если имеются волны с очень
малой длиной волны, то можно не учитывать дифракцию плоской
волны на краях цилиндра. В геометрическом приближении естест-
естественно ожидать, что часть волны шириной, равной диаметру, будет задер-
задержана цилиндром. Однако в случае коротких волн цилиндр значи-
значительно искажает плоскую волну: часть плоской волны идет на
формирование области тени. Другая часть рассеивается по всем на-
направлениям.
Физически образование тени можно объяснить тем, что часть
рассеянной волны имеет резко выраженную направленность в область
тени и там, интерферируя с падающей волной, образует тень. Эти
две рассеянные волны отбирают от плоской волны часть мощности,
соответствующей удвоенной геометрической ширине цилиндра. Под-
Подтверждение справедливости указанных выше рассуждений показано
в [6], где получена формула коэффициента рассеяния по интенсив-
296
ности для предельно высоких частот:
5 (Ф) = ? sin (f j + —^ ctg2 (f) sin* (to sin ф). (V.3.13)
Первый член формулы (V.3.13) представляет собой относительную
интенсивность волны, отраженной от той части полуцилиндра, на
которую падает плоская волна. Второй член имеет резко выраженный
максимум в направлении ф = 0 и малую величину в других направ-
направлениях. Этот член выражает интенсивность тенеобразующей волны.
Кривые углового распределения относительной интенсивности рас-
рассеянной волны от жесткого цилиндра представлены на рис. V.3.I.
Для низких частот (ka<^l) вся рассеянная
волна отражается навстречу падающей, рав-
равномерно распределяясь по углам в пределах
азимута: я/2<ф<Зя/2. Со стороны зате-
затененной части поверхности заметен небольшой
максимум интенсивности. При увеличении ча-
частоты равномерное распределение интенсив-
интенсивности в сторону, противоположную направ-
направлению падающей волны, нарушается, а в
направлении облучения выступает резко вы-
выраженный максимум интенсивности. По мере
дальнейшего увеличения волнового фактора Рис. V.3.1
ka разделение рассеянной волны на отражен-
отраженную и тенеобразующую выступает все резче и резче. В пределе,
когда ka стремится к очень большому числу, тенеобразующая волна
имеет небольшой угол раскрытия, стремящийся к нулю.
Экспериментальная проверка теории возможна только для области
пространства, лежащей вне геометрической тени. Для средних зна-
значений волнового фактора тенеобразующая часть рассеянной волны
имеет достаточно широкую диаграмму направленности и еще можно
произвести экстраполяцию результатов на области, где угол ф бли-
близок к нулю. Наоборот, при больших частотах такая экстраполяция
невозможна. Поэтому измеренные значения эффективной ширины
рассеяния Q как функции ka стремятся не к 4а, на что указывает
теория, а к 2а, т. е. экспериментальное значение ширины рассеяния
при предельно высоких частотах вдвое меньше, чем это следует из
теории.
Если рассеяние осуществляется от мягкого цилиндра (см. § V.2),
то на поверхности цилиндра исчезает давление и в формулах, харак-
характеризующих рассеянную волну, вместо функции 6^ (ka) появятся
функции bm(ka). Это обстоятельство существенно изменит резуль-
результат, особенно для низких частот. В выражениях (V.3.7) и (V.3.12)
при ?а<^1 можно ограничиться только первыми членами суммы и
получить для акустически мягкого цилиндра:
j, (V.3.14)
ка<\
In2
<Э(Ф)
ka<\
ka\rP[\l(ka)Y
(V.3.15)
297
Рассеянная волна в этом случае равномерно распределена по всем
направлениям, а эффективная ширина рассеяния значительно больше
геометрической ширины. Это явление связано с тем, что, как бы
ни был мал радиус цилиндра по сравнению с длиной волны, диаметр
области, где возникает существенное искажение плоского поля, имеет
порядок длины волны.
$ V.4. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА СФЕРЕ
Внесем в однородную среду, где имеется плоская волна
тело сферической формы и определим результирующее поле.
Ясно, что при наличии сферы уравнение плоской волны не может
удовлетворять граничным условиям на поверхности сферы, а поэтому
надо допустить, что с внесением сферической неоднородности обяза-
обязательно появится вторичная волна, удовлетворяющая волновому урав-
уравнению. Причем полное поле, образованное из плоской и дополнитель-
дополнительной волн, должно полностью отвечать граничным условиям.
В результате возмущающего действия сферы в среде будет сущест-
существовать волна, состоящая из плоской и сферической:
J
AJi%(kr)Pm(cos9)\.(yA.2)
Для того чтобы можно было при тех или иных граничных усло-
условиях найти коэффициенты Лт, необходимо разложить плоскую волну
в ряд по полиномам Лежандра Pm(cosB). Будем отсчитывать поляр-
полярный угол от положительного направления волнового вектора к.
Обозначим г расстояние от центра шара до точки наблюдения. Тогда
(кг) = kr cos 0 и функция потенциала скорости плоской волны имеет
вид
Ч1",- = е~ I <kr> = е~ ikrcosQ=: e~ /*c0S6 (z = kr).
Разложение плоской волны в ряд по функциям Pm(zo$)§ пред-
представляют формулой
| (V.4.3)
где \т (г) — сферическая функция Бесселя т-го порядка.
оо
Таким образом, потенциал скорости поля ^ = ^ 2 Bт
т = 0
X rmjm (z) Pm (cos б), искаженного плоской волной, представляется
формулой
1) imim(kr) + Amh% (kr)]Pm(cosS). (V.4.4)
m=0
298
Коэффициенты Ат в решении (V.4.4) определяют с помощью гра-
граничных условий.
Допустим, что выполняется условие Дирихле, т. е. ?(г, 6)|,.-a = 0.
Тогда
Гт B/п + 1) \т (ka) = - Amh% (ka)f (V.4.5)
откуда
^j*!$y (V.4.6)
Если выполняется условие Неймана (dW/dr\rmma = 0), то путем
тех же рассуждений легко прийти к уравнениям, аналогичным (V.4.5),
с тем лишь отличием, что вместо значений функции \т (г) и Н& (г)
появятся значения их первых производных при z = ka. Соответственно
изменятся и коэффициенты Ат. Обозначим их А'т и определим фор-
формулой
-1ifI±. (V.4.7)
В результате подстановки в (V.4.4) выражений (V.4.6) и (V.4.7)
получим для мягкой и жесткой сфер:
+ 1) ГтРт (9) [/«(kr) - ]f^hm (kr)], (V.4.8)
. (V.4.9)
Используя эти формулы, можно решить различные задачи, свя-
связанные с рассеянием звука на сфере. Полезно также использовать и
другую формулу потенциала полного поля, в которой падающая
волна отделена от рассеянной:
1-
(V.4.10)
W _ р/ (Ш — kr cos 9) v
оо
xll-2
т — 0
Давление на поверхности жесткой сферы. Формулу для давления
на поверхности жесткой сферы получим, если воспользуемся извест-
известным соотношением
где р0 = /сор — амплитуда давления плоской волны.
Подставим в выражение (V.4.9) г = а:
X [/m (to) h'm (ka)-j'm (ka) hm (ka)] Pm F) (V.4.12)
(p с индексом а обозначает давление при г = а, т. е. на поверхности сферы).
299
Величины, заключенные в квадратные скобки, представляют собой определи-
определители Вронского, составленные из линейно независимых решений уравнений Бес-
Бесселя порядка т+1/2, поэтому все они отличаются от нуля и выражаются фор-
формулой
1
/' (ka) h' (ka)—j' (ka) hm (ka) — -r-—. (V.4.13)
Учитывая (V.4.13), найдем формулу давления на поверхности жесткой сферы:
оо со
(V.4.15)
где Dm и 6m —модуль и фаза первой производной сферической функции Хан-
келя m-го порядка.
Рис. V.4.1
Используя предельные значения Dm и 6т, получаем для низких частот
Ч 1—/" ЬасхяЪ).
(V.4.16)
Формула (V.4.16) позволяет оценить разно«ть давлений, оказываемых на уши
со стороны низкочастотного звукового поля. В качестве примера определим отно-
отношение давлений звуковой волны на уши, если волна падает сбоку. Радиус го-
головы 8 см, частота 1000 Гц. Найдем разность фаз давлений в точках со стороны
освещенной (б = я) и затененной F = 0) частей.
Согласно (V.4.16),
р «= | р0 |
^ ^ | р0 \ 1/ 1 +~
cos2 8 {kaf
при сс = —arctgC/2)(^acos6).
Отсюда давление в точке А (рис. V.4.1) равно
а в точке В
р @) = | р0 1
,Аа) #
300
Отношение амплитуд р(я)/р@) = 1, а разность фаз составляет заметную ве-
величину
/3 \ 3 8 • 3 3 . 104
ал — aR = 2arctg f -тг ka = 2 arctg -= 77-i ;=^ 3,6 рад.
л n \ I I l Ш4
На рис. V.4.2 представлены полярные диаграммы модуля отно-
отношения давления на поверхности сферы к амплитуде давления в сво-
свободном поле для различных значений ka. Как видно из графиков,
Рис. V.4 2
по мере увеличения ka максимум давления, расположенный в области
освещенной части сферы (8 = я), увеличивается. Например, для ka = 10
давление в передней части сферы на 6 дБ выше уровня давления свобод-
свободного поля, а давление в затененной части ^
на 8 дБ ниже. —-
Дифракционная поправка к сферическому —*-
микрофону. Если размеры корпуса микрофона ^
сравнимы или больше длины падающей волны, *
то возникает искажение свободного поля и дав- —^
ление, измеренное с помощью микрофона, мо- —*-
жет значительно отличаться от давления па- *"
дающей волны. Микрофон регистрирует сред- **
нее давление на поверхности. Амплитуда сред-
среднего давления пропорциональна амплитуде
свободного поля. Отношение амплитуды среднего давления на поверхности
микрофона к амплитуде свободного поля называют дифракционным коэффициен-
коэффициентом. Для его вычисления в сферическом микрофоне, имеющем диафрагму с
угловым размером я — б (рис. V.4.3), найдем среднее давление полного поля на
участке сферы, занимаемом входным отверстием микрофона.
Как известно, площадь поверхности сферического сегмента
S = 2na2(l—cos0o),
Рис. V.4.3
301
поэтому среднее давление по поверхнрсти - этого сегмента есть
f
Я
Л—6о
2J*m W 2
-1-7 \ Bm+l)Pm(cose)sinede. (V.4.17)
Л—0o
Согласно соотношению для полиномов Лежандра
Bт +1) Рт (х) = ~ [Рт„2 (х) - Pm+i (jc)]
интеграл, входящий в (V.4.17), равен Pm~i (cos 60) — Pm+i (cos 80), если т>0, и
I—cos0О» если т = 0. Поэтому среднее давление поля
3' (*а)
+ А -т„' ,. [Р^-г (C0S 6°) -P"*+! (COS 6°)i • (У'4Л8)
При низких частотах (ka <^ 1) вместо е7 т можно ограничиться двумя сла-
/ /б' /
гаемыми разложения этой функции по степеням Ьт, т. е. е т&& \+j6m- Исполь-
Используя асимптотические значения 6т (ka) и Dm (ka), получаем
{р) ъ е^ | Ро | [l _ А у^а A _ Cos 60I. (V.4.19)
ka< I L 4 J
Таким образом, дифракционный коэффициент для сферического микрофона
с углом раскрытия 0О выражается формулой
i6'o(ka)
Dm-i(cose0)-/Vfi(cose0)] .
В частности, для низких частот
о
1 +т^ к2а* A — cos 0OJ. (V.4.20)
lb
Для сферического жесткого микрофона поверхность не ограничивается пло-
площадью диаграммы, а составляет поверхность полной сферы. При выводе формулы
среднего давления необходимо расширить пределы интегрирования и вычислить
интеграл формулы (V.4.17) в пределах от 0 до я. В связи с этим необходимо
л
вычислить \ Bт + 1) Рт (cos б) sin б dd. На основании свойства ортогональности
полиномов Лежандра (см. приложение I) получаем
л
f Bm+l)Pm(cose)sin6d0 =
- Bт + 1) j Pm (cos e) pn (cos 6) sin б dd = I
1 при т — 0,
0 при тфО.
302
Среднее давление на всю поверхность сферы равно
, , /6' (ka) + /©/
D'Q (ka)
Если воспользоваться формулой D'Q(z)— ——i—, то лолучим
j [Ш + 6'{ka)]
е! '*' /(e/ + 4) (V.4.21)
Отсюда дифракционный коэффициент сферического микрофона
J
(V.4.22)
Дифракционные коэффициенты, рассчитанные по формулам (V.2.28) и (V.4.22),
относят к микрофонам, когда выполняются граничные условия Неймана. Обычно
микрофоны отвечают этим граничным условиям, если чувствительный элемент
выполнен из пьезокристалла. Но если в микрофонах применяют подвижные эле-
элементы (например, ленточный микрофон), то необходимо все расчеты изменить и
учесть импеданс активной части его поверхности.
Теорема взаимности в акустике. Если известно давление на поверх-
поверхности цилиндра и сферы в плоском звуковом поле, то можно выяс-
выяснить, выполняется ли акустическая теорема взаимности для цилиндра
и для сферы.
В формулировке Гельмгольца теорема взаимности гласит: если
в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном про-
простирающимися на конечное расстояние неподвижными телами, в какой-
либо точке А возбуждаются звуковые волны, то обусловленный ими
в какой-либо другой точке В" потенциал скорости и по значению и
по фазе совпадает с тем, который имел бы место в А, если бы в В
находился источник звука.
Допустим, что в точке А находится точечный источник с произ-
производительностью dQo = vodS. На расстоянии R от А в В поместим
жесткий шар с радиусом а. Давление на поверхности этого шара
будет обусловлено давлением падающей и рассеянной волн и опреде-
определяется формулой (V.4.15), где р0 — амплитуда свободного звукового
поля простого источника:
Давление на поверхности шара равно
/сор JB<L е/ <«*-**) -J_ У j-m Pm(cose)Bm+l) ib>m (ka)
J Г 4лЯ k*a? ^J jDm {ka) V ;
При этом В находится на поверхности шара. Радиус-вектор а,
проведенный от центра шара до В, с направлением R составляет
угол б (рис. V.4.4).
Поместим точечный источник, ранее находившийся в точке Л,
в точку В на поверхности сферы. На основании формулы излучения
точечного источника, расположенного на поверхности сферы, давление
303
в точке А
iD'm (И
/6' (ka)
em Pm(8)x
xe'
ka> 1
X
поскольку Dm(kR)e~;6m{kR)
i (cos б) е
jDm (ka)
Точечный источник, помещенный в В, занимает площадку на
поверхности сферы dS = па2 sin2 %^^ па%, следовательно, объемная
скорость dQo = vodS = vona2%. Выразив v<fil через объемную скорость,
получим
~ - 1) ;-m Pm (COS 6) ^ (Ла) ,у 4 24)
jDm{ka) ' V ' ' ;
Из сравнения (V.4.23) и (V.4.24) видно, что давление, создаваемое
в удаленной точке А малым источником, расположенным в точке В
на поверхности сферы, как по амп-
амплитуде, так и по фазе равно звуко-
звуковому давлению на поверхности сфе-
^r_ ры в точке, ранее занимаемой источ-
\R\ ником, если источник находится в
точке А.
Этими рассуждениями полностью
подтверждается акустическая теорема
взаимности для точечных источни-
источников, один из которых расположен
на поверхности сферы, а другой — в достаточно удаленной точке
пространства.
Аналогично можно показать применение акустической теоремы
взаимности для пульсирующей линии и образующих цилиндра. Строго
говоря, теорема взаимности доказана для конечных источников и
использовать ее для данного случая некорректно. Однако если рас-
рассуждения применить для единицы длины линии, считая, что волна
строго цилиндрическая, то получается полная тождественность полей,
если линейный источник и образующую цилиндра поменять местами.
Рис. V.4.4
§ V.5. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ
РАССЕИВАЮЩЕГО ШАРА
Для дальнейших преобразований полученных формул и их анализа
удобно выразить комплексную функцию hm(z) через модуль и фазу:
> = \т (z) - jnm (z) = Dm (z) e
где
(г)
im (^ *
304
Однако, чтобы воспользоваться табл. П.Н.З приложения II для
этих функций, следует вместо фазовой функции гт (г) ввести 6m(z) =
() + 2. Тогда
где
sin[6m(*)] = ^a|L: cos[8m(z)] = -^T. (V.5.2)
Модуль Dm(z) и фазу 6m (z) производных цилиндрических функций
Бесселя
dhm _. djm . dnm ___ ,п, -б'т(г) А/ г о\
выражают формулами:
D'm^V[j'm(z)r + [n'm(z)f,
Д^ S,(z)] = ^, (V.5.4)
D (z)
где
() %^ - [mjm , (z) - (m + 1) /m41 (г)];
[/плж(г)-(т+1)п№
Асимптотические значения сферической функции
~/*-/m \?}i um <~^ um /^-^
(при г>т, г> 1)
т'~^ у '~v~/*-/m \?}i um <~^ um /^-^ ? о '
(V.5.5)
От-—
причем Bт-1I! = 1 • 1 -3-5-7 ... Bт- 1) и г<2т-1.
Основные формулы поля (V.4.9), выраженные через модуль и
фазу h'm(ka), имеют вид:
00
YM = et°» У Bm+l)/-"'Pm(cos9) /m (И
cos Д,,
Bm + 1) rmPm (cos 6) [/ {kr) cos 6m (ka) +
+ n(B(ftr)sin6^(fci)]e/e"(*e). (V-5-6)
У Bm + 1) /-^+1)e;6m<Afl)/im (*r) sin 6;
305
Для дальнего поля (kr^> 1)
со
"Ф* р/(о/ V^ /Off}л. \\ j~mP
Am
= - еУХ~*Л 21 Bm+l) Pw (cos 9)sin6^(te). (V.5.7)
Давление, колебательную скорость и интенсивность определяют
формулами:
со
Л ^ -/-?г */«*-*') f-f) V Bm+l)Pm(cos8)sin6;e/e-(/'a))
kr-+co
(V.5.8)
i* e/«*-*'>D) У Bm+l)POT(cose)sin6^
ka
~~ ''^^^ ^ П (V.5.9)
Xpm (COS 9)/7Я (COS в) Sin 6m sin 6« COS Fm - 6^),
где <??i = сорй/2 — интенсивность плоской волны.
В теории рассеяния звуковых волн результат анализа приводит
к нескольким функциям, характеризующим рассеяние. Этими функ-
функциями являются: коэффициенты отражения rs и гр, рассчитанные по
давлению и отнесенные к единице расстояния; коэффициент рассея-
рассеяния 5, рассчитанный по интенсивности и отнесенный к одному метру
расстояния, и площадь эффективного сечения рассеяния Qs.
Коэффициент отражения по давлению rs есть отношение давления
в рассеянной волне к давлению в волне падающей:
f'L
_/<ope'<arf-*rcos9) гр{т
(V.5.10)
где rD = Хр -\- j Yp;
iPm(cose)sin[26;(*a)];
f) 2Bm+]}P»>(cos e) sin
Штенцель [15] провел подробные расчеты параметров рассеянной
волны для значений волнового фактора ka в пределах от 0,5 до 10.
Расчеты сделаны с использованием других функций и содержали
вычисления -комплексного коэффициента отражения по давлению гр.
Отношение интенсивности рассеянной волны к интенсивности падаю-
падающей называют коэффициентом рассеяния по интенсивности S. Для
306
волны, рассеянной на сфере,
S = ^= -)—y{2m+l)Bn+l)Pm(cose)Pn(cosb)cos(8'm-8n)x
о/1 \ r j (kaJ iad
m, n
X sin Ь'т sin 6«e
(V.5.11)
Коэффициент рассеяния зависит от отношения размеров сферы
к длине волны Bла/Я) и от угла я — 0. На рис. V.5.1 показаны поляр-
полярные диаграммы Sr2 для рассеянной волны на сфере при выполнении
условия Неймана.
0,8 12 1,5 2,0 2Л 2,8 3,2 3,6 k,0
270
Отношение полной рассеянной мощности к интенсивности падающей
волны имеет размерность площади и называется эффективным попереч-
поперечником рассеяния:
Q5 = -^-. (V.5.12)
Чтобы вычислить полную рассеянную мощность, необходимо про-
проинтегрировать интенсивность по поверхности сферы радиусом а. Выбрав
элемент поверхности в виде полоски с угловой шириной df = r sin 62л d8,
307
получим
n)x
+ 1
X
((л) />л
— 1
+ i
так как \ Рт {]*) Рп
1
= ^± in 2Bm + 1) sin2 8'm,
0 при пфт,
Отсюда эффективный поперечник рассеяния сферы
оо
(V.5.13)
Формулы коэффициентов (V.5.10)— (V.5.13) рассеяния и эффектив-
эффективного поперечника рассеяния точные. Чтобы провести вычисления по
ним, необходимо воспользоваться таблицами и электронно-вычисли-
электронно-вычислительной техникой.
При малых значениях ka можно воспользоваться приближенными
выражениями для функций &m(ka) и 8'(ka) (V.5.5) и преобразовать
точные формулы (V.5.10), (V.5.11), (V.5.13) к приближенным для
низких частот (см. табл. V.5.1).
Таблица V.5.1
Параметр
ГР
S
Qs
Формулы г , 5 и Qs для низких частот при выполнении
граничного условия
Дирихле
1
(уУ (\+k2a*cosQ)
4яа2
Неймана
j(*a)*[l—g-cosej.
(тI-г<*в>4[1-т«-в+^«»1в]-'
^ {ajrf A6/9) {ka)* \\ -|- cos el
1,85 (/гаL4яа2
Из таблицы видно, что на низких частотах коэффициенты рассеяния
по интенсивности и давлению значительно больше для мягкой сферы,
чем для жесткой. В соответствии с этим эффективный поперечник
рассеяния мягкой- сферы равен учетверенной площади сечения сферы,
в то время как для жесткой поперечник рассеяния во много раз
меньше геометрического сечения. Исходя из этого, надо ожидать,
что при условии, когда линейные размеры рассеивателя меньше длины
волны, рассеяние на газовых полостях жидкости при всех прочих
308
равных условиях значительно больше, чем рассеяние на твердых
частицах гидрозоля. При средних частотах вычисления коэффициента
рассеяния и эффективного поперечника надо производить по точным
формулам.
Как показывают расчеты, коэффициенты рассеяния плоской волны
на жесткой сфере имеют характерное угловое распределение; при низ-
низких частотах угловое распределение коэффициента рассеяния становится
равномерным (рис. V.5.1; направление распространения плоской волны
соответствует б = 180°).
При ka = 1 коэффициент отражения имеет большую величину в
направлении, противоположном направлению распространения волны.
При увеличении числа ka полярная диаграмма постепенно деформиру-
деформируется, превращаясь в фигуру, вытянутую в направлении распространения
плоской волны.
Рассеяние коротких волн. Исследуем закономерности рассеяния
сферической неоднородностью коротких волн. С этой целью найдем
эффективный поперечник рассеяния Qs и коэффициент S рассеяния
сферы для случая ka^l.
Для вывода формулы Qs для мягкой сферы при ka ^> 1 представим
(V.5.13) в виде трех слагаемых:
оо ka — n
m=0 m=0
ka-\-n oo
+ W 2 Л-^+да- 2 '«¦(*«). (V.5.H)
m = ka—n-\-\ m — ka-j-n+l
где fm {ka) = Bm + 1) sin2 [bm (ka)], ka > n > 1.
В формуле для первого слагаемого числа т меньше аргумента ka,
поэтому функция bm(ka) может быть заменена ее приближенным
выражением
Ьт (ka) я^ ka — m~i^ka,
ka>\ z
kco-m
Тогда
ka—n ka — n
m=0 m=0
(V.5.15)
где ^(Ла)~1/(*а) + 1.
Численное значение sin2&a при ka^>l примем равным среднему
за период: {sin2 ka) = 1/2 и, переходя к пределу при ka-*-oo, получим
(V.5.16)
ka-{-n
Составляющая эффективного сечения QSi = -~^ У не больше,
ka-n+l
309
т == 0
чем ее значение, при условии, когда sina8m(Aa)= 1, т. е.
где Fa^ 1/Ла.
Отсюда следует, что при неограниченном возрастании ka функция
Qs2 (ka) стремится к, нулю.
Величина QS3 также стремится к нулю при /га->оо, так как для
каждого m J> ka
8m (ka) =
Bm+1I1 Bm-1I1
ka<m
Таким образом, при предельно высоких частотах эффективное попе-
поперечное сечение рассеяния мягкой сферы стремится к величине, равной
удвоенной площади поперечного сечения шара:
Тот же результат можно получить, если исследовать предельное
выражение поперечника рассеяния .жесткой сферы:
(V.5.17)
При этом необходимо воспользоваться следующими приближен-
приближенными выражениями производных фазовых функций Ханкеля:
b'm(ka) ^ *а-A/2)(т-1)я; Ь'м(ка) ъ* -^тЬ
ka>m ka<2m+l '""Г1
^ 1 ^1
Сравнивая эти результаты с выражением Qs для низких частот,
заметим, что поперечник рассеяния для мягкой сферы при низких
частотах вдвое больше поперечника рассеяния для частот высоких.
Это можно объяснить тем, что при низких частотах падающая зву-
звуковая волна возбуждает колебания, равномерно распределенные по
поверхности сферы, так что на преобразование мощности плоской ёол-
ны в рассеянную используется площадь, равная площади поверхности
шара.
Что касается рассеяния высоких частот, то рассеянная мощность
возникает в результате неравномерного возбуждения сферической по-
поверхности плоской волной. Рассеянная волна в связи с этим разде-
разделена на две — отраженную и тенеобразующую. Для каждой из них
эффективное поперечное рассеяние равно геометрическому поперечному
сечению сферы.
Для вывода формулы коэффициентов рассеяния г и S при высо-
высоких частотах воспользуемся дифракционным интегралом Кирхгофа —
310
Гюйгенса (IV.2.12):
*•«—i J [*•
4
J
/4
где Л — поверхность рассеивателя; я0 — единичный вектор внешней
нормали к поверхности рассеивателя.
Для жесткой сферы нормальная составляющая производной потен-
потенциала скорости полного поля на поверхности сферы равна нулю:
Следовательно,
^L =-^ . (V.5.19)
дпо\г=а дп0 \г = а v ;
Поэтому выражение (V.5.18) можно записать так:
А
где ЧГ, = Ce-Mkr) _ плоская волна; С = Сое~№.
Для коротких волн, падающих на выпуклую поверхность, часть по-
поверхности затенена; для нее направления нормали п0 и волнового век-
вектора к{ составляют между собой острый угол. Для освещенной части
поверхности угол между к* и п0 тупой. При этом под затененной частью
понимают область, в которой как потенциал поля падающей волны,
так и его градиент почти полностью компенсируются полем волны
рассеяния. Под освещенной частью понимают ту часть поверхности,
где имеется полное совпадение как по амплитуде, так и по фазе
падающей и, рассеянной волн. В связи с этим рассеянная волна может
быть представлена в виде суммы интегралов по обеим частям поверх-
поверхности: для освещенной части поверхности подставим в (V.5.19) 4fJ = 4fl-,
а для затененной Ws = — Ч^:
-jkR
VJ
Первый интеграл представляет собой отраженную волну, второй г—
волну тенеобразующую.
Для анализа второго интеграла к существенному упрощению при-
приводит так называемое преобразование Маджи. Суть этого преобразо-
преобразования состоит в следующем. Заметим, что под знаком интеграла стоит
векторная функция
(G = e-jkR/R; 4^ —функция плоской волны.)
Дивергенция вектора В для точек с координатами г, не лежащих
на поверхности Л, равна нулю:
div В = G4*% + VGVT,. - %Ч*в - V^VG = GV2?,- - Y,V2G = 0.
311
На основании известного тождества divrotD = 0 можно принять век-
вектор В за ротор некоторого вектора D: B = rotD. Применив теорему
Стокса, получим
где контурный интеграл берут по линии на поверхности, отделяющей
теневую часть от освещенной (по теневой линии). При этом вектор-
векторная функция D зависит от функции Грина G, интеграла тенеобра-
зующей волны, формы падающей волны, но не зависит от геометри-
геометрической формы отражающей поверхности. Отсюда следует интересный
вывод: тенеобразующая волна одинакова для всех поверхностей, имею-
имеющих одинаковую теневую линию. Она совершенно одинакова как для
плоского, так и для выпуклого рассеивателя при условии, что тене-
теневые линии этих тел совпадают. Поэтому ниже приведены расчеты
рассеяния для плоского диска. Результаты этих расчетов применимы
для рассеяния на сфере того же диаметра.
Тенеобразующая волна обратна по знаку волне, излучаемой круг-
круглой пластиной, колеблющейся с той же фазой и амплитудой, что и
у падающей волны. Пластина имеет радиус шара (г = а)} центр диска
совпадает с центром шара, нормаль совпадает с направлением распро-
распространения падающей волны. Для того чтобы произвести интегрирова-
интегрирование по поверхности пластины в асимптотическом приближении
(fer-^oo), выберем полярные координаты г0, ф0, лежащие в плоскости
пластины. Плоскую волну определяют формулой e~ikr cos e == ?,-;
e~ikR/R можно представить в виде
г — Аг
где к5—вектор, характеризуемый волновым числом ky углами 6 и
Ф и направленный к точке наблюдения.
Тогда потенциал тенеобразующей волны может быть найден при
преобразовании второго интеграла (V.5.20) в приближении Кирхгофа
[см. (Ш.2.14)]:
А2 А2
Здесь градиент потенциала дЧ^дп^ взят по направлению нормали
к поверхности диска и равен
дщ дх '* ° J
Следовательно,
1 (* /кг
( jk)(l+osb) ^ ei^ЫА е
Г*
А2
Ранее было показано, что
а /2я
$ I $ е+/*г. sine cos Ф </ф Го dr0 = 2я \ #0 (kr0 sin 6) r0 dr0.
о \ о / о
312
С учетом этого выражения получим
ЧЧ - ^ A + cos 6) 2я J ^0 (kr0 sin
Наконец, пользуясь известным интегральным соотношением
^0 (г) dz = &г (г), найдем
a)
В результате получим формулу потенциала тенеобразующей волны:
ш •*, а2 /1 i оч ^i (^a sin 6) e'J'kr
Что касается интеграла, соответствующего волне, отраженной от осве-
освещенной части сферы, то его преобразование здесь не приведено
(см. [6]). Ограничимся лишь окончательным результатом:
Отсюда видно, что амплитуда отраженной волны не зависит от угла 6,
а фаза отличается от фазы падающей волны на 2kasin(B/2) — п.
Таким образом, полная рассеянная волна (V.5.20) при ka^ 1 опреде-
определяется формулой
2/*asin т , и 1 +cos 8
В соответствии с этим выражением находим звуковое давление, коле-
колебательную скорость и интенсивность полной рассеянной волны:
Наконец, заменяя сор&/2 на о?г (интенсивность падающей волны),
получим формулу коэффициента рассеяния сферы при высоких часто-
частотах:
{[l+" f&rn (V-5-21»
Здесь первое слагаемое выражает часть коэффициента рассеяния для
волны, отраженной от освещенной части сферы, а второе — часть,
соответствующую тенеобразующей волне.
Эффективное поперечное сечение жесткой сферы при высоких
частотах
q=J-; ~ [Й-+5- ctga 1#» (*a sin
Первый член этой формулы соответствует отраженной волне, рас-
распределенной по всем направлениям с равномерным амплитудным рас-
313
пределением, но с фазой, изменяющейся по закону 2^а sin @/2); вто-
второй характеризует тенеобразующую волну. Он имеет ярко выражен-
выраженную асимметрию: при угле 6 = 0 величина второго члена соответствует
р
По мере увеличения угла б, т. е. по мере отклонения от направ-
направления падающей волны, интенсивность тенеобразующей волны быстро
убывает и вскоре весь второй член становится меньше первого. Как
уже сказано, тенеобразующая волна имеет в каждой точке простран-
пространства амплитуду, одинаковую с амплитудой падающей волны, как бы
проходящей через отверстие в жестком экране, площадь которого
равна площади поперечного сечения тела, причем фаза волны про-
противоположна по отношению к фазе падающей. В результате интер-
интерференции этих волн за рассеивающим телом образуется тень с ха-
характерными особенностями на границе, связанными с дифракцией на
краях колеблющегося диска.
§ V.6. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
НА ПУЗЫРЬКАХ ГАЗА В ЖИДКОСТИ
Постановка и классификация задач о рассеянии волн. Задача о дифракции
на многих телах относится ко многим физическим явлениям, связанным с рас-
рассеянием волн на неоднородностях. (В оптике —критическая опалесценция смесей
жидкостей, явление красной зари и голубого цвета неба, явление Тиндаля, когда
ярко проявляется рассеяние поляризованного света в определенных направле-
направлениях, и-т. д.; в ядерной физике —рассеяние нейтронов; в теории металлического
состояния —рассеяние электронных волн, Сюда же относят все случаи дифракции
рентгеновских лучей.) Несмотря на то что эти явления принадлежат к различ-
различным областям физики, методы изучения рассеяния на совокупности неодиородно-
стей сходны, поэтому повсюду применяют одинаковую терминологию. Рассмотрим
основные понятия общей теории рассеяния волн на совокупности рассеивателей.
Задача о рассеянии волн на многих частицах сложна и поддается анализу в двух
крайних случаях. Когда поперечник рассеяния меньше геометрического сечения
частицы (например, рассеяние длинных волн на жестких частицах, взвешенных
в воде), то следует говорить о слабом рассеянии. Если поперечник рассеяния зна-
значительно больше, чем геометрическое поперечное сечение отдельных неоднородно-
стей, то следует говорить о сильном рассеянии (например, рассеяние звука на
газовых пузырьках в жидкости).
При достаточном удалении друг от друга неоднородностей можно не прини-
принимать во внимание влияние на процесс рассеяния соседних рассеивателей и счи-
считать их действие независимым.
Если же расстояние между центрами рассеивателей небольшое, то это требует
другого подхода, так как волна, рассеянная одним рассеивателем, будет повторно
рассеиваться другими, что создает довольно запутанную картину суммарного
эффекта.
Рассмотрим случай рассеяния звука на пузырьках газа в жидкости, считая,
что рассеяния на отдельных пузырьках независимы.
Пусть на газовый пузырек, взвешенный в жидкости, падает
волна, потенциал скорости которой
Т| = Be- ikr cos ee'®'. (V.6.1)
При этом частота звуковой волны удовлетворяет условию coa/Cj <^ 1,
т. е. длина волны в жидкости 1к1*^>2па. Под действием этой волны
газовый пузырек будет испытывать периодические всесторонние сжа-
314
тия и разряжения. Внутри пузырька давление испытывает периоди
ческие изменения относительно среднего давления р0. Если допустить,
что газ внутри пузырька подчиняется адиабатическому закону, то
8p = ~yp8V/V.
Заменяя ур = рс2 и 8У = 4ла28а, получаем:
д * . л 2 4з™2 дFа) 2^^Ш лт а оч
|^ (V.6.3)
где Ьр — добавочное давление внутри пузырька; voe№ — радиальная
скорость поверхности; у~~отношение теплоемкостей при постоянном
давлении и объеме; р — плотность газа внутри пузырька.
Поскольку речь идет о низких частотах, можно считать, что рас-
рассеянная волна представляет собой сферическую волну нулевого по-
порядка, исходящую от пульсирующей сферы:
Tfs=*A.efW-*r\ (V.6.4)
На поверхности сферы должны выполняться условия непрерыв-
непрерывности давления и радиальной составляющей скорости. Обозначим плот-
плотность жидкости plt Тогда давление на поверхности сферы за счет
падающей волны
а давление, возникающее за счет отраженной волны,
dVs ___ Л/со1Р1 w jka Aj(o9l w
ж. __ _______ —у —; S-<Z> —————— —;у
И dt a k\ a
dt a ka<\
Давление внутри воздушного пузырька определяется формулой
(V.6.3), а на поверхности пузырька равно сумме внешних давлений
fA- <v-6-5)
Радиальная скорость равна
дг г=?а дг г==а ау
Для плоской волны
^ ?_ == — jkcosBBe-i'kacosb ^ — jkcose,
поэтому уравнение для низких частот можно привести к виду
05б=="о (V.6.6)
315
Согласно (V.6.3), радиальная скорость при низких частотах
не зависит от угла б, поэтому для них Bk~Q. Следовательно,
1 . /оз\ (уб<7)
Решая систему уравнений (V.6.5) и (V.6.7) относительно Л, полу-
получаем
А =(шо/ш)»-1-/Л/а>' (V-6'8)
где D = Ърс%1(архс^ — постоянная затухания пульсирующих колеба-
колебаний пузырька за *счет излучения; cog = Зрс2/(а2р!) — резонансная частота
колебаний пузырька.
Подставляя (V.6.8) в формулу потенциала рассеянной волны,
получаем
То, что со0, входящее в (V.6.9), действительно является собствен-
собственной частотой колебаний пузырька, следует из простых соображений.
Сферический пульсирующий пузырек представим как колебатель-
колебательную систему с сосредоточенными массой тэ и гибкостью съ. В качестве
эквивалентной массы здесь следует принять присоединенную массу
пульсирующих колебаний сферы для низких частот. Присоединенная
масса колебаний сферы равна утроенной массе жидкости, вытеснен-
вытесненной сферой:
тэ = ЗУИсф = 4яа3рх.
Эквивалентная гибкость сэ есть отношение изменения радиуса
сферы к общей сжимающей силе: сэ = — 8a/(8F). Для получения экви-
эквивалентной гибкости умножим (V.6.2) на 4яа2 dt:
8F = 4яа2б/7 = — Зрс2а8а,
откуда
э 4яа • Зрс2'
Резонансная частота данной системы определяется формулой
«п = ¦
Производя простые преобразования, получаем
= 1,/" 1 = Л Г Ъ^
0 у 4а3рх Dла2 • Зрс2) У 4jxa2pi
Таким образом, частота со0, входящая в (V.6.9), действительно
имеет смысл резонансной частоты пульсирующих колебаний сфери-
сферического объема газа, погруженного в жидкость.
Удобно в формулу резонансной частоты вместо рс2 ввести значе-
значения этой величины для идеального газа;
316
где р01 —общее давление в, воздушном пузырьке, состоящее из атмос-
атмосферного давления, давления столба жидкости, т. е. гидростатического
давления и давления Лапласа.
В этом случае формула резонансной частоты для воздушного
пузырька жидкости имеет вид, удобный для численных оценок резо-
резонансной частоты:
Если пренебречь гидростатическим давлением и давлением за счет
искривления поверхностей пленки и подставить в эту формулу вместо
общего давления атмосферное (дин/см2), отношение теплоемкости у =
= ср/св=1,4, плотность воды р!=1 г/см3, то получим
/оа = 326 Гц-см. (V.6.11)
Эта формула довольно хорошо подтверждается экспериментальными
данными.
Резонансный радиус пузырька всегда значительно меньше длины звуковой
волны в воде. Например, для частоты 1 кГц длина волны в воде составляет
1,5 м, резонансный радиус пузырька 0,33 см. Для частоты 50 кГц длина волны
в воде 3 см, а резонансный радиус воздушного пузырька составляет всего
0,006 см. Таким образом, формула (V.6.9), полученная в предположении, что
длина волны в жидкости во много раз больше радиуса пузырька газа, может
быть применена к области резонансных частот.
Коэффициент рассеяния волн давления для одиночного воздуш-
воздушного пузырька есть отношение потенциала рассеянной волны (V.6.9)
к потенциалу падающей (V.6.1). После выполнения простой опера-
операции деления Ws на Ч^ получим
| п 1 (V.6.12)
где г , = — модуль коэффициента рассеяния; а —фаза.
Эффективный поперечник рассеяния, т. е. полная мощность рас-
рассеянной волны, отнесенная к интенсивности волны падающей, опре-
определяется формулой
П P*Ps Л~<& 4ЛО2 A7C1Q\
& = _4яг* = [(мо/юJ_1р + (р/(йJ. (V.6.13)
Выражение (V.6.13) показывает, что для частот со<^соо, «значи-
«значительно меньших резонансной, эффективный поперечник рассеяния
близок к нулю. При частоте, совпадающей с частотой резонанса,
эффективный поперечник рассеяния
Qo^-^-. (V.6.14)
Учет видов потерь в объеме пузырька осуществляют введе-
введением эффективного поперечника поглощения Qa, т. е. отношения
317
средней мощности, поглощенной пузырьком, к интенсивности падаю-
падающей волны.
Полное эффективное поперечное сечение есть сумма эффективных
сечений поглощения и рассеяния: Qt — Qs-\-Qa»
Можно показать, что
где б (со) —величина, характеризующая затухание колебаний пузырька
за счет поглощения и излучения; kxa — ^ajc{, q —скорость звука
в жидкости.
Допустим, что в жидкости имеются пузырьки газа одинакового
размера. Число пузырьков в единице объема п. Найдем интенсив-
интенсивность плоской волны, которая пройдет через слой пузырьков толщи-
толщиной d, если известна интенсивность падающей волны е70.
В слое площадью dS и толщиной dx, имеющем координаты х,
x + dx, содержится n(x)dxdS пузырьков воздуха. Мощность, погло-
поглощаемая пузырьками слоя, равна d& dS =— п(х) dxQt<& dS. Отсюда
получаем дифференциальное уравнение
решая которое находим интенсивность звуковой волны, прошедшей
через слой толщиной d:
d
~Qs\n <*) dx
d
Интеграл |j n (x) dx — Nxd представляет собой общее число пузырьков
о
в объеме цилиндра единичного сечения с толщиной d.
Обозначив среднее число частиц, приходящихся на единицу длины,
d
через -j \ n(x)dx = Nly получим
Отсюда следует, что ослабление интенсивности волны слоем пузырь-
пузырьков толщиной 1 см составляет
D= 101g^=101geJV1Q/ = 4,34JV1ft (дБ), (V.6.16)
где N1 — число резонансных пузырьков, Qt—-их поперечное сечение
рассеяния.
Если размеры пузырьков неодинаковы и их можно разделить
по размерам на некоторое число групп, то полное ослабление есть
сумма ослаблений на пузырьках каждого размера:
318
В общем случае размеры пузырьков в воде подчиняются закону
распределения Пуассона: число пузырьков в единице объема, имею-
имеющих радиусы a, a-\-da,
п(а) = ~ = АAаГе~1«у
где Л, / и т — экспериментально определяемые числа.
Доля поглощения за счет пузырьков размером от а до a+rfa
со
составляет dD = п (a) daQt (а). Полное ослабление Z)= jj n(a)Qt(a) da.
о
Практически основная часть поглощения приходится на пузырьки
резонансных размеров. Поэтому последняя формула сводится к (V.6.16).
ГЛАВА VI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В КАНАЛАХ И ТРУБАХ
§ VI.1. ВОЛНОВОДНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА
Волноводное распространение акустических колебаний происходит
при условии, когда акустические волны возбуждаются в среде, огра-
ограниченной незамкнутой поверхностью, по обе стороны которой вещество
имеет различные акустические свойства. В отличие от открытого
пространства, для которого характерно ослабление волнового поля
из-за геометрического расхождения волн во все стороны, при волно-
водном распространении этого ослабления не происходит.
Волноводное распространение звука наблюдается как в природ-
природных условиях, так и в различных технических устройствах.
К" естественным волноводам (их часто называют каналами) относят
различные слоистые среды, ограниченные поверхностями, имеющими
большую отражательную способность для звуковых волн. Это моря и
океаны, для которых верхней границей является воздух, а нижней—
донные отложения. Кроме того, в природе встречаются также волно-
волноводы, в которых границы выражены не резко. Эти волноводы обра-
образуются в толще атмосферы, а также в море за счет особого распре-
распределения значений скорости звука с высотой. При некоторых условиях
температура воды и соленость изменяются с высотой так, что на неко-
некоторой глубине фазовая скорость имеет минимальное числовое значение.
На уровнях, лежащих выше и ниже поверхности с минимумом скорости,
среда акустически неоднородна: скорость звука с увеличением рас-
расстояния от этого уровня увеличивается. В связи с этим звуковые
лучи, проходящие через поверхность минимума скорости звука,
испытывают рефракцию, в результате чего периодически искривляются.
К простейшим искусственным волноводам принадлежат трубы и
щели с жесткими стенками.
Характер волноводного распространения довольно сложен.. Он
определяется геометрической конфигурацией волновода, свойствами
граничных поверхностей и способом возбуждения акустических колеба-
колебаний. При этом волноводное распространение имеет несколько осо-
319
бенностей. К ним относят наличие дисперсии скорости для высших
форм волны, способность возбуждения в волноводе одновременно
нескольких видов волн заданной частоты. Для подробного ознакомле-
ознакомления с этими особенностями рассмотрим несколько простейших случаев
волноводного распространения звука.
Плоский одномерный жидкий волновод. Рассмотрим распростране-
распространение гармонических волн в жидком слое, ограниченном плоскими
стенками, расположенными на некотором расстоянии друг от друга.
Предположим, что звуковое поле в жидком слое зависит от коор-
координат х} г и времени U так что потенциал скорости выражается
гармонической функцией времени:
После подстановки этой функции в волновое уравнение приходим
к уравнению Гельмгольца относительно функций ty(x, г):
H+fi-O. (VI.1.1)
g + H+f
Его решение должно удовлетворять условию излучения волны
вдоль координаты х. В связи с этим представим функцию ty(x, z)
в виде волны, распространяющейся в сторону положительных зна-
значений оси X:
-/V. (VI. 1.2)
После подстановки в уравнение Гельмгольца получим обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение относительно (p(z):
0 =О, (VI.1.3)
где
k\ = %-k\. (VI.1.4)
Решением этого уравнения является функция cp(z), соответствующая
волнам, распространяющимся навстречу друг другу перпендикулярно
оси волновода:
Ф (г) = Ле-'V + Be'**2. (VI. 1.5)
В итоге находим, что волновая функция Ф(л*, z, /) имеет вид
Ф(х9 z, O^e-'^ + Be'Vy^-VO. (VI.1.6)
Пользуясь формулами P = Pj^^ &л = — gp s* = — ^» найдем
выражение для звукового давления и колебательной скорости в вол-
волноводе:
р я /сор (Ле-'V + Be'V) ^(ш~кЛ\
t = \kz (Ае~1к*г - Beik*z) е;(ш/- М. (VIЛ Л)
Для нахождения постоянных интегрирования, как всегда, следует
использовать граничные условия. Рассмотрим случай, когда жидкий
320
слой ограничен двумя плоскостями, на которых нормальная состав-
составляющая колебательной скорости равна нулю. Используя граничное
условие для уровня z = 0 и выражение для \г из (VI. 1.7), получим
(А — В) е; (ш~~кхх) = о, откуда А = В. С учетом этого результата найдем:
Ф (*, z, t) = 2Л cos (kzz) е' (ш " кЛ щ
где | — составляющая колебательной скорости по оси Z.
Чтобы удовлетворить второму граничному условию, приходится
подбирать специальные значения волнового числа kzy а именно такие,
чтобы на границе z = h колебательная скорость также ббращалась
в нуль. Это приводит к дисперсионному уравнению для жидкого
слоя, ограниченного жесткими стенками:
sin(kzh) = O. (VI Л.9)
Решением является дискретный ряд значений волнового числа:
Из соотношения (VI. 1.4) следует, что поскольку волновые числа
kz могут принимать только вполне определенные значения, кратные
т, то волновые числа распространения kX9 кроме того что они зави-
зависят от частоты со, определяются также целочисленными значениями
т и геометрическим размером волнового слоя:
где
Это значит, что из всех возможных функций, являющихся решением
волнового уравнения, отвечает возможным волновым процессам в жид-
жидком слое только дискретный набор гармонических волн с частотой со:
Таким образом, вдоль жидкого слоя с жесткими стенками могут
распространяться волны, амплитуда которых не постоянна по попе-
поперечному сечению слоя (вдоль фронта волны), а определяется гар-
гармонической функцией z\ cos (ткг/h). Каждая из волн при распро-
распространении не меняет своей формы, а фазовая скорость распростра-
кения является функцией частоты:
1 Л. Ф, Лепендин 321
где
coffl = ^ (VI.1.14)
— критическая частота волны m-го порядка.
Волны, форма которых не изменяется при распространении, назы-
называют нормальными. В данном случае волны, описываемые волновыми
функциями (VI. 1.12), представляют собой нормальные волны плос-
плоского жидкого волновода с жесткими стенками. На рис. VI. 1.1
показаны поперечные резонансы волн давления в слое с толщиной
/г, ограниченной жесткими стенками.
Необходимо отметить, что в данном случае эти резонансы опреде-
определяются только волновым числом kz = nm/hy они не зависят от частоты
со, а также от упругих свойств среды, в которой распространяются
нормальные волны.
Среди всех допустимых нормальных волн существует волна нуле-
нулевого порядка. Для нее волновой фронт плоский и совпадает с попе-
поперечным сечением слоя, а фазовая ско-
/77=2 /77=J рость не зависит от частоты и равна
скорости распространения волн в сво-
свободном пространстве. Волна нулевого
порядка не характерна ^для волновод-
ного распространения. Особенностями
волноводного распространения для волно-
Рис VI j j вода с жесткими стенками обладают
нормальные волны более высоких по-
порядков (т>0). Для этих волн ха-
характерно наличие дисперсии скорости распространения и то, что
поверхность равной фазы не плоская, а имеет волнистую форму,
которая при распространении волны не изменяется.
Если колебания в волноводе возбуждаются с частотой со, то в нем
возможно одновременное существование нормальных волн всех поряд-
порядков, для которых критические частоты меньше частоты возбуждения,
включая нормальную волну нулевого порядка. Нормальные волны,
у которых критическая частота сот больше, чем частота возбужде-
возбуждения, не могут распространяться вдоль слоя: для них фазовая ско-
скорость и волновое число распространения —мнимые величины:
Это значит что вместо бегущих волн высшего порядка в волно-
волноводе существуют неоднородные стоячие колебания с амплитудой,
быстро уменьшающейся с увеличением расстояния х:
-lj -.
Идеальный волновод с граничными поверхностями, одна из кото-
которых жесткая (например, скальное дно моря), а другая абсолютно
322
податливая (например, поверхность моря), подчиняется иному дис-
дисперсионному уравнению, чем плоский слой с жесткими стенками,
а именно: на основании граничных условий для указанных границ
р _. р ^? — /рсоФ = 0; \z = — ~- = 0 нетрудно получить дисперсионное
уравнение вида coskzh = 0. Его решениями будут следующие значе-
2т +1 / л 1 о \
ния волновых чисел: kz(ffl) = 2{г п (m = u, l, z,.../.
Формула нормальной волны m-ro порядка в этом случае
J f '
где тт = {1-[
На рис. IV. 1.2 показаны поперечные резонансы волн давления
в слое жидкости с плоским дном и свободной поверхностью. При-
Примечательно то, что в отличие от
слоя с жесткими стенками здесь все т=0 т=1 т=2 m=J
нормальные волны, включая и волну
нулевого порядка, содержат диспер-
дисперсию скорости и все другие особенно-
особенности волноводного распространения.
Аналогия с дифракционной ре-
решеткой. Возвращаясь к решению Рис> vll 2
задачи о распространении нормаль-
нормальных волн в жидком слое с жесткими
стенками в формуле (VI. 1.5) и записывая потенциал скорости в виде
ф = Аеп°'~{к*х + к1гП + ВеП»*-(ь}1*-ь1г*)\ (VI.1.15)
замечаем, что волны в слое можно рассматривать как результат
суперпозиции плоских волн, распространяющихся по направлениям,
образующим с осью X острые углы б и ~ — б. При этом компоненты
волнового вектора этих волн таковы:
, /г" = Л sine,
Где б —угол, между направлениями нормали к верхней поверхности
и волнового вектора плоской волны (рис. VI. 1.3).
Волны, изображенные на рис. VI. 1.3, обозначены / — /,// — //. Они
определяются волновыми векторами ki и кн. Запишем каждую из них
в виде комплексных функций:
ge/[^(kIIr)]=_5e/[(u/-/feA;sine —A?2cose)]# \ • ' )
Сравнивая с формулами первой и второй волн по (VI, 1.15), найдем:
ft, = ft sin 6 =-у sin6f ft* = ft cos 8=-у cos 6, (VI.1.17)
U* 323
Таким образом, волновые числа kx и kz являются проекциями к на
координатные оси X и Z.
Но на основании дисперсионного уравнения волновое число kz в дан-
данном идеальном волноводе может принимать только дискретный ряд
значений kz{m) = mn/h. Отсюда следует, что углы 0, под которыми
могут распространяться в волноводе плоские волны, имеют дискрет-
дискретные значения:
У///////////////////////////////////
Заменяя с/со его выражением через длину волны Х/2п, получим
2/icos6m = mX. (VI. 1.18)
Это выражение напоминает формулу Брэгга для дифракционной
решетки с постоянной 2ft. В данном случае бш дает направление т-го
порядка, под которым звуковые волны от цепочки точечных источни-
источников дают максимум интерференцион-
интерференционной картины; 2ft —расстояние меж-
между источниками при толщине слоя
ft. Сами же источники можно во-
вообразить как вторичные, возни-
возникающие после многократного от-
отражения лучей, идущих от источ-
источника звуковых волн, расположен-
расположенного между границами слоя.
Согласно (VI. 1.17), kx явля-
является проекцией волнового вектора
свободной плоской волны на ось X, поэтому характеристические нап-
направления вт можно определить формулой
/\
Ргкг
V///////////////////////////////////
Рис. VI.1.3
kx
k
откуда
(VI. 1.19)
(VI. 1.20)
Из этого следует, что фазовая скорость ст есть, по существу, фазовая ско-
скорость волнового следа для горизонтального направления распростране-
распространения свободных волн, разрешенных дисперсионным уравнением. Эти
рассуждения показывают, что дисперсия в идеальных волноводах опреде-
определяется геометрическими свойствами волновода и не зависит от молеку-
молекулярных и термодинамических свойств вещества.
Групповая скорость. Практически волновое распространение сиг-
сигналов и энергии никогда не происходит с помощью чистой гармони-
гармонической волны. Реальные сигналы имеют более или менее сложную
форму. Однако волну любой формы можно разложить в спектр по
гармоническим составляющим, в частности для волноводов этими со-
составляющими являются нормальные волны. Поскольку в волноводах
наблюдается дисперсия скорости, то отдельные составляющие, имею-
имеющие различные частоты, будут распространяться каждая со своей
324
фазовой скоростью. В результате форма сложного сигнала будет иска-
искажаться. В этом случае понятие фазовой скорости для всей совокуп-
совокупности волн неприменимо и должно быть заменено другим.
В связи с этим для волн различной сложной формы часто исполь-
используют такие понятия, как скорость распространения переднего фронта,
скорость распространения сигнала, скорость распространения энергии,
групповая скорость и др.
Ко многим типам волн применимо понятие групповой скорости.
Приближенно она характеризует распространение возмущений в линей-
линейной среде, представляющее собой волну с достаточно медленными
отклонениями от монохроматичности, и равна скорости перемещения
в пространстве огибающей всех гармонических составляющих волн.
Это значит, что понятие групповой скорости имеет смысл только
для волн, когда амплитуда настолько плавно изменяется в простран-
пространстве и со временем, что можно говорить об определенной огибающей.
Эти волны можно представить как
суперпозицию нескольких волн близ-
ких частот. В зависимости от соот-
соотношения между фазами отдельных
составляющих в каждой точке прост-
пространства наблюдается^ в данный мо-
момент времени то или иное значение Рис. VI. 1.4
результирующей амплитуды. В тех
местах, где фазы совпадают, получается максимум амплитуды; в
точках же, где имеются колебания противоположных фаз, наблюда-
наблюдаются минимумы или нули амплитуды результирующей волны (рис.
VI. 1.4). Положение максимума амплитуды такой группы волн на-
называют центром группы. С течением времени соотношение между
фазами колебаний в точке, где находился центр группы волн, изме-
изменится и он переместится в пространстве с некоторой скоростью, совпа-
совпадающей со скоростью и перемещения огибающей. Для нахождения
связи между групповой и фазовой скоростями в диспергирующей
среде заметим, что в центре группы совпадают фазы колебаний раз-
различных, но близких по частоте отдельных волн. Поэтому фаза коле-
колебаний в центре группы не зависит от частоты и длины волны, т. е.
для узкой полосы частот является практически постоянной:
Ф = 2л (-^— у)=
где л —длина волны, изменяющаяся в пределах полосы частот, состав-
составляющей данную группу волн.
Из условия постоянства фазы вблизи центра группы волн следует,
что производная по длине волны равна нулю:
d /с\ , * о
а координата центра группы волн перемещается в пространстве по
закону
325
Скорость перемещения центра группы волн, т. е. групповая скорость,
равна
Заменив в этом выражении Я на 2n/k и с на со/&, получим
dc d . /ч rfco /UT
Если имеется сигнал, образующий сплошной спектр частот, то его
можно представить вблизи средней частоты соо интегралом Фурье
Рис. VI. 1.5
ФК,*)= \ G(o))e'^-V»,
(Оо —6@
который для узкополосного сигнала описывает последовательность
групп волн с различными амплитудами (рис. VI. 1.5). По мере рас-
распространения сигнала фаза волны изменяется: dq> = (udt — kxdx. Оче-
Очевидно, что из точки на огибающей, составляющей местоположение
центра группы волн, это изменение фазы при небольших изменениях
со и kx постоянно и приращение ср равно
нулю: d(dq>) = dadt — dkxdx. Отсюда
следует, что скорость перемещения оги-
огибающей группы волн, т. е. групповая
скорость равна и [см. (VI. 1.22)].
Формула (VI. 1.21) показывает, что
при условии, когда дисперсии нет
(dc/dX = 0), групповая и фазовая ско-
скорости совпадают.
Энергия волны пропорциональна
квадрату амплитуды волны. Отсюда
следует, что в месте, где расположен центр группы волн, сосредо-
сосредоточена энергия волны и она распространяется в пространстве вместе
с максимумом амплитуды огибающей, т. е. с групповой скоростью.
Итак, при наличии дисперсии энергия волны, сосредоточенная
вблизи средней полосы частот, распространяется в пространстве
с групповой скоростью и, в то время как фазы отдельных гармони-
гармонических составляющих распространяются с фазовыми скоростями с.
Это налагает на групповую скорость определенные физические огра-
ограничения, а именно: она не может быть больше скорости света. Для
фазовой скорости этого ограничения нет. Она может быть больше
групповой, как это имеет место в идеальных волноводах постоян-
постоянного сечения. Иногда фазовая скорость имеет обратное направление
по сравнению с групповой. Это случаи так называемых обратных
волн в различных волноводах.
Найдем формулу групповой скорости для идеального плоского
волновода с жесткими стенками. Для этого проведем дифференциро-
дифференцирование соотношения между волновыми числами (VI. 1,4) и получим
dkz
dkx
326
так как kz от частоты не зависит (dkz/d(o = 0), то
Учитывая (VI. 1.19), получим
ит^с^\-[~") • (VI. 1.24)
На рис. VI. 1.6 * показана зависимость фазовой и групповой ско-
скоростей от частоты для пер-
первых нормальных волн плос- cmvm
кого жидкого волновода с
жесткими стенками. При уве-
увеличении частоты фазовая ско-
скорость каждой нормальной
волны монотонно убывает до
скорости свободных волн в
среде, а групповая возрас-
возрастает от значений, близких к
нулю, которые она имеет
вблизи критических частот,
до с. Горизонтальная линия
соответствует скорости нор-
нормальной волны нулевого по-
порядка.
§ VI.2. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ТРУБАХ
Задачу о распространении упругих волн в трубах во многих случаях сводят
к решению волнового уравнения при условии, что искомые функции должны удов-
удовлетворять граничным условиям и условию затухания при увеличении одной линей-
линейной координа!ы до бесконечности. Обычно решение удается провести полностью
для случаев простейших граничных условий и когда контуры поперечного сече-
сечения труб могут быть совмещены с координатными линиями ортогональной системы.
Остановимся на решении задач о распространении волн в трубах прямоуголь-
прямоугольного и круглого сечений.
Волны в трубах прямоугольного сечения. Используем прямоу-
прямоугольную систему координат. Расположим ось Z по направлению
одного из ребер трубы, а плоскость XOY совместим с плоскостью
поперечного сечения. Предположим, что труба имеет абсолютно
жесткие стенки. Тогда в качестве граничных условий для потенциала
скорости Ф(х, уу z, t) имеем выражения:
к|.-.-°. 51...-°- <VI-2-"
*=а у — Ь
Для гармонических колебаний Ф = г|э (x, yy z) e;W из волнового
уравнения следует, что функция г|з(я, у, г) должна удовлетворять
уравнению Гельмгольца
а$ + l? + dS + 5 * = °- (VI -2-2)
На рис. VI. 1. 6 групповая скорость обозначена V
327
Подставляя решение в виде ^{ху у, z) = cp(x, y)e~/yzy найдем,
что амплитудная функция ф(дс, у) пропорциональна произведению
гармонических функций:
Ф (х< У)~ cos (kxx — ах) cos (kyy — ау)9
где волновые числа kxy kyy y> ю/c удовлетворяют соотношению
Для нахождения допустимых значений аху ау, kxy ky восполь-
воспользуемся граничными условиями (VI.2.1) при х = 0 и у = 0. Это дает
значения фаз ах = ау=^л. Граничные условия при х = а и х = Ь
образуют дисперсионные уравнения:
= 0i s\mkyb = 0.
Их решениями являются спектры допустимых значений волно-
волновых чисел:
кХ(т)=™, ky{n) =f (m = 0, 1, 2, ...; л = 0, 1, 2, ...)•
Таким образом, собственные функции, описывающие распростра-
распространение гармонических волн в трубе прямоугольного сечения, имеют
следующий вид:
^^ W« , (VI.2.3)
\*V/2 Г, /com\2 /«„\2li/2 тле
[() (JJ и
©я = ^. —критические частоты.
Эти формулы показывают, что в широких прямоугольных трубах
может распространяться дискретный набор нормальных волн. Для
всех номеров нормальных волн, кроме т = 0 и я = 0, фазовая ско-
скорость с увеличением частоты уменьшается:
а групповая, наоборот, растет: итп = с\1 — (—) — ( —) 1 .
Если в волноводе возбуждается частота, совпадающая с одной
из критических, например со = сот, то фазовая скорость оказывается
мнимой стп = + /ccom/GV, мнимым будет также и волновое число
утп~ — /g)w/?. В этом случае вместо бегущих волн будет наблюдать-
наблюдаться колебательный процесс с амплитудой, убывающей с увеличением
расстояния г по экспоненциальному закону.
Если частота возбуждаемых колебаний меньше, чем наименьшая
критическая частота, например со<яс/Ь при a<Cby то в волноводе
будет распространяться плоская волна, амплитуда которой не зави-
зависит от координат точек поперечного сечения трубы, а фазовая ско-
скорость не зависит от частоты, Условие распространения плоской волны
328
в трубе прямоугольного сечения сводится к неравенству
&<^ = Й7Я==Т' (VL2-4)
где Ь — наибольшая ширина трубы.
Если частота возбуждения меньше критической, то в трубе уста-
установятся колебания с неоднородной амплитудой, уменьшающейся
с увеличением г по экспоненциальному закону. Для частоты боль-
большей, чем критическая, наряду с неоднородными колебаниями могут
наблюдаться нормальные волны низших порядков, вплоть до нуле-
нулевого включительно.
Труба с круглым сечением. Для изучения законов распростра-
распространения упругих волн в круглых широких трубах целесообразно
использовать цилиндрическую систему координат, где волновое урав-
уравнение имеет вид
1 д
Его решение должно представляться конечными и дифференци-
дифференцируемыми функциями координат для области О^г^а; 0^ф^2я;
— оо^г^ + оо. Причем для жесткой трубы эти функции должны
удовлетворять условию исчезновения радиальной составляющей ско-
скорости на поверхности трубы, т. е.
fa=0. (VI.2.6)
Для установившихся гармонических колебаний представим потен-
потенциал скорости Ф(г, г, <р, t) в виде
ф = <ф(г, ф, г) е/^
и после подстановки в волновое уравнение получим уравнение Гель-
мгольца относительно амплитудной части г|) (а*, ф, г) в цилиндри-
ческих* координатах:
Если искомую функцию представить в виде
4>(г, Ф- 2) = R(r) Х(ф) Z(z),
то уравнение Гельмгольца расщепляется на три обыкновенных диф-
дифференциальных уравнения второго порядка относительно функций R,
X, Z:
^ 0, (VI.2.8)
(VI.2.9)
где ^ + Y2 = a»2/c2; m = 0, I, 2 со. (VI.2.11)
329
Первое из этих уравнений имеет решения в виде гармонических
функций sinmcp и cos mcp при целочисленных значениях параметра
т; второе ищем в виде Z = Ae~^z-\-Be^z. Оно представляет собой
сумму двух волновых функций, соответствующих волнам, распрост-
распространяющимся по направлению оси Z трубы навстречу друг другу.
Ради упрощения ограничимся только слагаемым Ле~/уг, отвечающим
распространению в сторону положительных значений Z. Что касается
уравнения (VI.2.10), то его при целочисленных значениях параметра
т можно привести к уравнению Бесселя m-го порядка относительно
переменной x = krr. Частное решение этого уравнения, как известно,
есть сумма, содержащая функции Бесселя и Неймана m-го порядка.
Но поскольку функция Неймана при z = 0 равна —со, то второе
слагаемое отбрасываем, как не отвечающее условию конечности функ-
функции Ф(г, ф, г, t). В итоге приходим к выводу, что все возможные
типы волн в трубах круглого сечения могут описываться следующими
волновыми функциями:
cos
sin
Используя (VI.2.7), получим дисперсионное уравнение
^кМ. =о. (VI.2.13)
Его корни представлены в табл. VI.5.2.
Заметим, что если бы потребовалось найти решение задачи о рас-
распространении нормальных волн в трубе с абсолютно податливыми
стенками, то вместо (VI.2.7) действовало бы условие, по которому
на поверхности трубы давление равно нулю: Ф(г, ср, z, f)|r==fl = 0.
В этом случае дисперсионное уравнение имело бы вид
Для справок в табл. VI.6.1 приведены корни этого уравнения.
Обозначая корни дисперсионного уравнения (VI.2.13) как патп,
находим дискретный спектр волновых чисел kr\
(VI.2.15)
Волновые числа распространения имеют дискретные значения и
зависят от частоты:
где
Нетрудно получить формулу фазовой скорости нормальных волн
тп-то порядков. Эта величина равна отношению частоты со к волно-
волновому числу утп. Пользуясь (VI.2.16), получаем стп = <й/утп = с/хтп,
330
или
где ытп = патпс/а — критические частоты нормальной волны.
Отсюда следует, что фазовая скорость зависит от частоты и опре-
определяется размерами трубы.
Таким образом, возможные нормальные волны в круглых трубах
выражаются следующими волновыми функциями:
Каждой критической частоте с т = 0 соответствует своя волновая
функция, описывающая нормальные волны с волновыми фронтами,
модулированными по радиусу г:
Для критических частот сот/г (тФО) волновые функции зависят
не только от г, но и от угла ср. При этом одному значению крити-
критической частоты отвечают две волновые функции. Одна из них про-
пропорциональна cos mcp и описывает симметричные относительно диаметра
колебания:
®mn(s) = Amn(s) COS /my a/ mn i
а другая пропорциональна sinmcp. Она описывает колебания антисим-
'метричные:
Фтп(а) = Атп{а) sin т
В цилиндрической трубе определенного радиуса в зависимости от
возбуждения могут существовать различные формы нормальных волн.
Если частота колебаний меньше наинизшей критической, то в трубе
могут существовать бегущие плоские волны, которые распространяются
с фазовой скоростью с, не зависящей от частоты. Труба по отноше-
отношению к этим волнам считается узкой. На основании неравенства со<
<С озО1 нетрудно получить критерий узкой трубы. Для этого достаточно
записать выражение для критической частоты со01 = naolc/a и решить
неравенство относительно радиуса трубы а. В результате получаем
критерий распространения в круглой трубе чистой плоской волны:
а<а01У2. Подставляя аО1?^1,21 (см. табл. VI.5.2), находим а<
<0,6U.
Если частота возбуждения удовлетворяет неравенству оз01 < оз< озО2,
то в трубе могут возбуждаться нормальные волны нулевого порядка
(они распространяются без дисперсии) и нормальные волны 01-го
порядка. Фазовая скорость этих волн зависит от частоты:
1 \211/2
331
В общем случае, когда частота возбуждения больше, чем крити-
критическая сотл, в трубе могут возбудиться нормальные волны с критиче-
критическими частотами порядка меньшего, чем тп.
Из всех возможных нормальных волн в трубах возбуждаются не
все. Подобно тому, как способ возбуждения определяет реализацию
тех или иных допустимых мод колебаний струны, реализация тех или
нормальных волн в трубах определяется способом введения в упру-
упругую среду, заполняющую трубу, акустических колебаний.
§ VI.3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗВУКА В ТРУБЕ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
В трубах прямоугольного сечения могут распространяться раз-
различные нормальные волны, разрешенные дисперсионными уравнениями
труб. Покажем, что в зависимости от способа возбуждения реали-
реализуются только некоторые из возможных нор-
нормальных волн.
Предположим, что на одном конце прямо-
прямоугольной трубы имеется излучатель (мембрана,
пластина или слой воздуха), колеблющийся
под действием внешней силы так, что нор-
нормальная колебательная скорость его поверхно-
поверхности определяется некоторой комплексной функ-
функцией от координат х, у и времени /. Допустим,
что режим колебаний установившийся:
ип — и0 \лу У) е е »
где (о = 2я/; / — частота вынуждающей силы.
Предположим, что труба прямоугольного
сечения имеет жесткие стенки и заполнена иде-
идеальной жидкостью или воздухом. Расположим
оси координат, как показано на рис. VI.3.1. Здесь а и Ь — размеры
поперечного сечения трубы.
Для определения движения газа в такой трубе необходимо найти
решение амплитудного уравнения в прямоугольных координатах:
Рис. VI.3.1
дх2 "t" ду2 ~г dz2 "
удовлетворяющее граничным условиям
(О \2
с
dz\2 = i
О
дх~\х=0~~"* ду у=2~ '
\х — а у = Ь
при
при
(VI.3.1)
(VI.3.2)
где и0 (х, у) — колебательная скорость в сечении XYO.
Кроме того, решение должно удовлетворять условию излучения
в направлении оси Z. Применяя метод расщепления уравнения, полу-
332
чаем общее решение:
?(х, у, z) = 2Е Атп cos (kmx) cos (?„*/) e~'V. (VI.3.3)
Между числами km, kn и 'kp существует связь:
к = km-\- kn -\-kp>
где k = (o/c\ km = nm/a\ kn = nn/b.
Отсюда следует, что волновое число kp не может быть произволь-
произвольным, оно зависит от значений &, km и kn согласно формуле
Л/ 1 —
k*m+k*n
В дальнейшем будем применять для волнового числа kp обозна-
обозначение kmn.
Подставляя в (VI.3.2) двойной ряд (VI.3.3) и положив после
дифференцирования 2 = 0, получим
***** cos B?) cos (ф) - v (х, у)
т, п
ИЛИ
2 Amnkmn COS (SL jc) COS
m, /г
(VI.3.4)
Формула (VI.3.4) представляет собой разложение функции
v(x, y)ellv{xty)-ni2 B двойной ряд Фурье, где Amnkmn — коэффициенты
разложения:
6
а
ДшЛш. = %^ J f »(л:, у) е/[^. *>-«/Ч cos (^) cos
о о
(VI.3.5)
где ет и еп — числа, имеющие значения у, если т, п = 0, и 1, если
/пи дне равны нулю.
Рассмотрим частные случаи.
Основная волна. Наиболее простой результат получается, когда у основания
трубы возбуждаются колебания с одинаковой амплитудой и фазой во всем сечении
г = 0, т. е. v (х, у) е/ф^' y^ = v0. В этом случае
а ь
fmnx\ /ппч\ . . . sin
cos(—)cos(?)d«dy4ee0
JO п и т, л =
Ьо при m = 0; n=sO.
Отсюда следует, что когда m или п не равны нулю, то Атп = 0. Таким
образом, поршень, полностью перекрывающий сечение трубы, создает в нем неза-
независимо от частоты колебаний одну плоскую волну. В этом случае из всех членов
двойной суммы (VI.3.3) остается лишь Л0ое~~/Ч!оог, причем 43i^ = rr, kQ0 =
333
= k — (d/c. Следовательно, для основной волны (т = 0, л = 0) получены формулы
поля:
/со
^=~ = иое!№-<»г/с\ (VI.3.6)
Возбуждение колебаний внутри трубы прямоугольной мембраной. Если в осно-
основании трубы натянуть мембрану и возбудить в ней колебания основного тона,
то функция, определяющая граничные условия, представляет распределение ампли-
амплитуды колебаний мембраны;
F(xt
Собственная частота мембраны определяется натяжением и поверхностной
плотностью мембраны:
f -1 -\Гтл[(х
где а — поверхностная плотность мембраны.
В этом случае
a b
Пользуясь формулой cos(/i#)=^(—^)р\о ) sin^^cos71^2^ и табличным интег-
ралом
о
можно определить все коэффициенты Лтп:
4 ab _ 4 л_л__л
8 , А12 = 0,
где
334
В этом случае потенциал
4л2/а2
92^^42/2 + 2/^
Назовем слагаемое в потенциале скорости, содержащее индексы m и /г, /п/г*
волной. Для некоторых значений тип волновое число kmn = 0. Эту моду назы-
называют критической. Для критической моды выполняется условие
м2\ со2 /2л\2
Если числа тип таковы, что
то &т/г— действительное число. Волна, соответствующая этому действительному
числу, имеет фазу, изменяющуюся пропорционально ы/стп, и представляет собой
бегущую волну с фазовой скоростью
_ с
тп~ V1 — (яс/соJ (т2/а2 + д2/62) '
Волны, для которых выполняется условие л2 (т2/а2 +/г2/62) > k2, соответствуют
мнимым значениям волновых чисел
Фазовые множители указанных волн имеют вид
е-' W в е-/ (~ 1'6тп) ^ e-bmnzf
где
6^ = ]/"^2(-5- + -g)-~^. (VI.3.80
Это стоячие волны, амплитуда которых уменьшается по экспоненте с коэффи-
коэффициентом Ьтп (VI.3.8').
Если мембрана занимает всю площадь сечения трубы и колеблется на своей
основной частоте, то в трубе может возбуждаться только основная волна. Это
можно доказать следующими рассуждениями.
Подставив в условие существования бегущей волны (VI.3.8) вместо/ собствен-
собственную частоту мембраны /рез = -у j/ ^ + р- = у ]/ ^(^ +б2")' получим нера-
нераtrfi . п2 \ - jx2 / 1 , 1
а2 ^2/ ^ \^ + ^
венство
или
Огношение скорости звука в газе или жидкости к скорости распространения
изгибных колебаний в мембране значительно больше единицы: тип могут при-
принимать значения 0, 1, 2, ... Поэтому неравенство (VI.3.9) может быть выполнено
только для т = 0 и я = 0. Отсюда следует, что в данном случае в трубе могут
335
распространяться только плоские продольные волны типа ?00. Другие члены ряда
имеют мнимые значения kmn = j&mn\ их амплитуды уменьшаются с возрастанием г
по экспоненциальному закону. Коэффициент ослабления
или
Например, при натяжении r=105 дин/см, поверхностной плотности а =
= 1 г/см2 и скорости звука в воздухе 33 000 см/с, можно считать, что отношение
Т/(ас2) <; I. Поэтому коэффициенты ослабления определяют только параметрами
трубы: 6т/г^яТ/ -у + тг"- Все волны такого типа имеют структуру
1Т. л . — б г tnnx nny
4^^ = Лтл/е mn cos COS — .
Амплитуда этих волн убывает по закону е тп , т. е. уменьшается на расстоянии
z—\/?)mn в е раз. Кроме того, по оси X амплитуда обращается в нуль при зна-
значениях хр/а — Р (хр<а; /7 = 0, 1, 2, ...). Амплитуда по оси У также обра-
обращается в нуль при */r/6 = (r+l/2)/m; yr<b\ г = 0, 1, 2, ...
Иначе говоря, вблизи мембраны существует система поперечных стоячих волн
с узловыми плоскостями, параллельными стенкам канала. Число узловых пло-
плоскостей равно т.
Общий случай. Поверхность мембраны имеет амплитудное распределение F =
= v{x, у). Для функции v (х, у), более сложной, чем для пульсирующих колеба-
колебаний или колебаний мембраны на основной частоте, звуковое поле в трубе опреде-
определяют следующими общими формулами:
tttiX ППу —\k
cos cos —-rf- e '
a b
abjkmn и и
т, п
4ет8« пт , . nmx nny —\k г
—~2- — lmn sin cos ——- е J mn*
ab a mn a b 3
т, п
j?gg& пи пи
nmx
т, п
р= j "r ГУ"'" /m^cos—— cos^-e jkmnz
н 7l abkmri mn a b
tn, n
где
1/2 при m = 0, j 1/2 при n =
1 при тфО; n \ 1 при п Ф 0;
-{
а и
¦»•¦
cos —^ dx dy;
Допустим, что источник звука "создает внутри канала колебания, у которых
частота со = со0 = 2зх/:00. Критическая частота, при которой возникают поперечные
резонансы [см. (VI .3.7)],
336
Она имеет различные значения в зависимости от номера моды волны: со^ = О
для тп = 00, со^^лга для тя— 10, со^ = лс\/ГаЬ1(а + Ь) для тп=\\ и т. д.
Если частота возбуждаемых колебаний окажется меньше критической для т'п',
то в канале будут лишь такие моды бегущих волн, для которых
Например, если co()<clAk1), to могут быть следующие моды бегущих волн: 00,
01, 10. Высшие моды колебаний образуются в поперечных сечениях волновода
в виде стоячих волн с амплитудами колебаний, уменьшающимися с ростом коор-
координаты z сечения по экспоненциальному закону.
Для получения координат узловых плоскостей найдем корни уравнения
птх ппу Л
cos cos—г-^-^0. откуда
*р = р+1/2 л У1 = 1+1/2
а т ' Ъ п у
где l/2 + P^w; l/2 + /^n; n, m==l, 2, 3. ...; р = 0, 1, 2, ...
Число узловых плоскостей по осям X и Y равно тип соответственно. На-
Например, для моды 23 число узловых плоскостей по оси X равно двум, а по оси Y —
Трем; для моды 10 число узловых плоскостей по оси X равно единице, а по оси
Y — нулю.
Иногда для описания звукового поля используют понятие удельного акусти-
акустического импеданса данной точки поля zn — np/vn (n — единичный вектор к нормали,
построенной к волновому фронту; р —давление; vn — колебательная скорость по
направлению волнового вектора nk). Очевидно, для каждой волны с модой тп
можно составить формулу импеданса. Импеданс в направлении оси Z для бегущей
волны
^ (VI.3.10)
итп ктп
где пт„ — — —фазовая скорость бегущей волны, соответ-
1/^1(/J(а/2+а/^а
ствующей индексам тип.
Для тех мод колебаний, которые ниже, чем мода, соответствующая критической
частоте, скорость стп — действительное число и импеданс (VI.3.10) содержит только
действительную часть гтп = хтпу причем хтп = —7=====г. Для высших мод
V 1 (oWK
\{т! \а? + (п1 \Ъу\ -1'
поэтому импеданс содержит только реактивную часть:
2тп~Н mm
где Ymn=z— Р fi^ —критическая частота для моды тп.
/(«4»2-i
Импеданс в случае стоячих волн имеет инерциальный характер; он аналоги-
аналогичен импедансу чистой индуктивности. Поэтому такой волне соответствует некото-
некоторая инерциальная нагрузка в форме присоединенной массы, приходящейся на
единицу площади поперечного сечения:
337
Импедансы моды тп для направлений распространения волн вдоль осей X и
Y выражаются формулами:
zmnix) — /
nrn
tin
ctg
a
mny
Нетрудно видеть, что на узловых плоскостях (для
в нуль.
импедансы обращаются
§ VI.4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА ПУЛЬСИРУЮЩИМ КОЛЬЦОМ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КАНАЛ С ЖЕСТКИМИ СТЕНКАМИ
Рассмотрим, какие виды волнового движения можно ожидать
в цилиндрической трубе, если колебания возбуждаются с помсщью
пульсирующего кольца, являющегося частью поверхности цилиндра.
Высота кольца 2ft. Расположим систему цилинд-
цилиндрических координат так, чтобы плоскость z = 0
проходила посередине высоты пульсирующего
кольца (рис. VI.4.1). Колебательная скорость
пульсирующего кольца vn= vQeJ'm. Предположим,
что другие точки поверхности цилиндра остаются
неподвижными. Так как колебания симметричны
относительно оси цилиндра, то волны внутри ци-
цилиндра не зависят от азимута ф. Постановка за-
задачи в данном случае не отличается от той, кото-
которая решена в § II.4, однако необходимо найти
звуковое поле внутри цилиндрической трубы.
С математической точки зрения нужно решить
уравнение (II.4.4) при граничном условии (II.3.5)
и условии излучения гр(г, z)~-r^N. При проведении интегрального
преобразования Фурье получим функцию
F (г, т) = jj ty (r, z) eJ'X2 dz9
— oo
уравнение A1.4.10) в виде
т)=*=0 (VI.4.1)
Рис. VI.4.1
и граничное условие (II.4.11) в виде
( 2v0 sin (т/i)
V
dF_
дх
о
при
при
(VI.4.2)
где v = ~\/~№ — т2; х — vr\ xo~va\ k = со /с — волновое число; а — радиус
цилиндра; с — фазовая скорость в свободном пространстве.
Решением (VI.4.1) является линейная комбинация цилиндрических
функций <&0(х) и N0(x), но поскольку F(x, г)фоо при х = 0, то
в решение не должны входить функции Неймана»
338
Полагая, что F(x, т) = А (т) <з70 (#), и используя граничное условие
(VI.4.2), получаем
2(/0
Искомая функция, удовлетворяющая условиям задачи, имеет вид
F( , = 2dq sin (rfy q7q (x) = 2p0 sin (т/г) #Q (r K^11^)
^ ' tv#0'(x0) т K^ZTta ^; (fl J/"^Z^2)'
После обратного преобразования Фурье получаем
+ 00
+
1 Г 2,ВД^*. r/g-gl ^ (VL4<3)
Несобственный интеграл (VI.4.3) можно преобразовать с помощью
теории вычетов:
^(г 7\-v* X sin (komh) #о (naomr/a) - jkfimz fVI 4 4)
= 1
где
*<ш- у «• -г^—J-) -— у 1 -\2лГ
/ — частота колебаний; аот — корни уравнения: —^р—- = 0; с — фазо-
фазовая скорость в свободном пространстве.
Если не учитывать естественное затухание колебаний, то потен-
потенциал ty(rf z) при частотах, соответствующих kQm = 0y неограниченно
возрастает. Такие частоты называют частотами радиальных резонан-
сов трубы. Они могут быть вычислены по формуле
fn = — аЛ (VI 4 6)
Чтобы исключить разрывы функции г|)(г, z) при резонансных
частотах, достаточно формально дополнить волновое число kom неболь-
небольшой мнимой частью и вместо него подставить в формулу потенциала
kom = kQm — j&m, а вместо квадрата волнового числа k\m~квадрат
модуля k'omj т. е. ?om = &om + 8om, где по-прежнему km определяется
соотношением (VI.4.5).
С учетом естественного затухания потенциал скорости if (r, г) не
имеет при резонансных частотах (kom = O) бесконечно больших значе-
значений и выражается формулой
оо
ь (г <*\ — fo ^V [sin (hmh) ch Fo_mh) + cos (kOmh) sin (бОт/г)] g^0 (яаОтг/а)
Xe±6omze±jkomz. (VI.4.7)
При частоте fp = ca0p/Ba) члены суммы (VI.4.7) с номерами m<;
—1 будут содержать действительные волновые числа &от, а сла-
339
гаемые, у которых т>р—1 — мнимые (kQm = jkom). Для удоб-
удобства анализа запишем (VI.4.7) в виде т>р — \
р — 1
[sin (feQm/Q ch FQm/z) + cos (/eQm/Q sh F0mft)] <s^0 (ziaOmr/a) ^
-V ¦
sh [(?Om + 6Om) /г] q7q (яаОтг/a) g- (^ + 6n J
, _uo у sh [(?Om + 6Om) /г] q7q (яаОтг/a) g- (^ + 6n J * (VI 4 8)
где p = 2, 3, 4, ...; 60m — коэффициент естественного затухания среды
от 0^-й волнм; аот — корни уравнения <&Qn (па) = 0; ^от =
уГ
к2 _ J?^l j2 = ?*L Y1 - (-^K; /-частота; ^-волновое
^ — 1/ (Д°^т ) — ^2 >
число; а —радиус цилиндрического канала;
если т ()
Составляющие первой суммы описывают бегущие волны с фазой
— komz и амплитудой
sin (kOmh) ch FQmft) + cos (komh) sh
__ .——
Каждая из этих волн распространяется с фазовой скоростью
сот = с/У1 — [a0mc/Baf)]2 в положительном и отрицательном направ-
направлениях по оси Z. Амплитуды этих волн неодинаковы по фронту.
Для волны, соответствующей индексу От, амплитуда потенциала
скорости (а значит, и амплитуда давления) на различных расстояниях
от оси цилиндра различна: она пропорциональна функции Бесселя
нулевого порядка е7о(яаотг/а) и имеет нули для тех значений г/а,
для которых #0 (паотг/а) = 0.
Пусть аш rOi/a = tt$oi — корни этого уравнения (/=1, 2, 3, ...).
Тогда формула радиусов нулевых амплитуд: ашг^1а = ро/, откуда
$
$Oi/om
Вторая сумма состоит из членов, которые выражают собой коле-
бательный процесс с амплитудой (бш + ПшJ ^ {лоСш) е U» о»)«,
имеющей нулевые значения в тех местах, для которых отношение г/а
определяется формулой гы/а = ро//аот (/ = 1» 2, 3, ...; - m = р + 1,
р + 2, ...). Амплитуды колебаний убывают по экспоненциальному
закону: на расстоянии \г\ = 1/(8от + кот) она уменьшается в е раз.
Кроме рассмотренных сумм в (VI.4.7) выделен член с заметно
ЪфОрН)^оЫор^)
большей амплитудой — а v Le <>p , слабо уменьшающейся
я боре/о (яа)
р р)
с увеличением |г| и образующей узловые цилиндрические поверх-
340
ности, радиусы которых г0/ = a$0i/a0p. Этот член дает явное выра-
выражение для колебаний при радиальном резонансе.
При заданном отношении с/а имеется возможность получить чистые
плоские волны с обычной скоростью с. Для этих волн частота /
должна быть меньше: fO2 = caO2/Ba). При больших частотах наряду
с плоской продольной волной появятся еще продольные волны, моду-
модулированные по фронту, скорость распространения которых больше
скорости звука в свободном пространстве.
Таким образом, для плоских волн в трубе действует следующий
критерий:
~а02; аО2= 1,2197. (VI.4.9)
§ VI.5. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОРШЕНЬ НА БОКОВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Обобщением рассмотренной задачи является задача об излучении
волн внутрь цилиндрического канала, создаваемых прямоугольным
поршнем, расположенным на боковой по-
поверхности цилиндра.
Пусть Фо = О, го = О и го = а — цилинд-
цилиндрические координаты прямоугольного пор-
поршня; 2ft и 2d — его линейные размеры.
Допустим, что поршень пульсирует со
скоростью ио&®*. При установившемся ре-
режиме амплитуда потенциала в области —
— я^ф^я; —оо<г<<+оо должна удов-
удовлетворять уравнению
у=о
Ф,
Рис. VI.5.1
граничному условию на внутренней поверхности цилиндра, условию
конечности величины if и условию излучения по оси Z. Граничное
условие можно сформулировать так:
(VI.5.2)
где
О при | z | >ft,
v0 при | z|<;й,
О при | z | ^ А,
Здесь a = d/a', а —внутренний радиус цилиндра (рис. VI.5.1).
Представим функцию v (г, ср) в виде ряда Фурье по ф в проме-
промежутке — я^ф^я:
v (ф, г) = ^Р~ + ^ вт (г) cos тф = ^ гтВт (z) cos тф,
т=\
где еш =
1/2 при т = 0;
1 при i
¦f П
t (г) = — \ v (ф, z) cos пкр dy.
341
Тогда граничное условие (VI.5.2) примет следующий вид:
д^(г, ф, г)
дг
2*p у,
Я jUi
0 при | z , >Л,
= / я ^Acosmcp при |г|<й, (у1_5_3)
где
sin ma
при т=1, 2, 3, ...
Применив к выражению (VI.5.1) и граничному условию (VI.5.3)
интегральное преобразование
+ 00
\ ф(г, ф, z)ex*dz = F(r, ф, т),
— со
получим уравнение
с граничным условием
CQS
При
| 1» (VI 5 5)
^1™ I 0 при \z\>h.
Как было показано выше, оно имеет решение в виде комбинации
произведений цилиндрических и тригонометрических функций.
Чтобы удовлетворить граничным условиям и условию ограничен-
ограниченности потенциала при 2 = 0, в качестве цилиндрической функции
следует взять функцию Бесселя m-го порядка. Общее решение будет
иметь вид
F(r, ф, т)=
(VI.5.6)
После подстановки (VI.5.6) в условие (VI.5.5) получим для про-
произвольного значения угла ф тождество
vn sin т/г
COS ШЦ) =
^^ cos
(VI.5.7)
Коэффициенты Ат должны удовлетворять равенству
Ат = ^етЬт —
Проведем над функцией (VI.5.6) обратное Фурье-преобразование:
+ ю
э = о- 1 Fe~J'zXdXy и получим искомую функцию
+ОО
Г
т — 0
г-. (VI.5.8)
342
Каждый член этой суммы может быть преобразован:
sin (hT) #m {r VW=^) e_fzx d% =
sin (hkmn) 3'm {na.mnrla) e+ikmnz^ ,yj g дч
kmn Q/ m (R&mn)
n= 1
Таким образом, потенциал скорости внутри канала, возбуждае-
возбуждаемый прямоугольным поршневым излучателем, определяется двойным
рядом:
~ / г \
СО СО rf/ ъг, \
«Р-^У, ?ie+'W, (VI.5.10)
где «„-{ f , ,
[ 1 при т= 1, 2, 3, ...;
атп — корни уравнения о7т(яа) = 0; Ьш =
Точно так же, как это сделано для излучения кольца, введем
в (VI.5.10) вместо волновых чисел kmn комплексные волновые числа
kmn — jbmn, с помощью которых формально учитывают затухание.
После соответствующих преобразований получим
- -^ _ Fmn+jkmnJ j ; \ ' " / —О; Z I
f У
(VI.5.11)
1/2 при т = 0,
| P
1р = 0, 1, 2, ...; а/р —корень уравнения о^/(яа) = 0; 8тп — коэффи-
коэффициент естественного затухания в жидкости, относящийся к тп-и ком-
компоненте поля; /, р — индексы компонент поля, соответствующие ради-
радиальным резонансам жидкости в трубе.
Потенциал поля (VI.5.11) для случая d/a = n легко преобразо-
преобразовать к (VI.4.6), если воспользоваться равенством
__ sin тл __ ( Я при т = 0,
Если угловой размер излучателя меньше, чем я/m, например,
/a = Jt/2, я/3, я/4, ..., я//, то сомножители, содержащие bmt из
343
суммы по т выпадают, обращая в нули члены, кратные /. Каждая
бегущая волна, входящая в первую сумму (VI.5.11), определяется
по формуле
__ 2v sin md/a coscp sin (kmnh) ch (dmnh) + cos (kmnh) sh {bmnh)
В частности, для т = 0
где Аоо(о)
Коэффициенты Аоп обращаются в нуль на цилиндрических узло-
узловых поверхностях, т. е. при
Обозначим корни уравнения (VI.5.13) паоп(г/а) = п$ы. Таким обра-
образом, для радиусов цилиндрических узловых поверхностей получим
выражение
г — а ^0/
При т= 1
где коэффициенты А1п ~ <?/ т {пщ_п г/а) обращаются в нуль при условии,
если <??! (па1тг/а) = 0.
Радиусы узловых поверхностей
где jtPi/ — корни уравнения ех(Р)
Наконец, члены сумм с индексом тп
цтп = у± ™ Wo) cos тФ д^- Fmn + jkmn) г
имеют амплитуды, пропорциональные <&тп (яатя г/а)у и соответст-
соответствуют волнам, также имеющим цилиндрические узловые поверхности,
радиусы которых гш = а — [$ш и аш — корни уравнений о?т{п$) = 0
и ^т(па)]. Для числовых оценок узловых радиусов труб
в табл. VI.5.1 приведены корни уравнения <з7т(л$) = 0, отнесенные
к я. Табл. VI.5.2 содержит корни уравнения с1&х/с1х = 0, отнесенные
к п(атп = хтп/п).
Обратим внимание на сомножитель
п sin (md/a)
Вт = —^-^cosmq>,
входящий в выражение (VI.5.12).
344
Таблица VI.5.1
0
1
2
3
4
Корни Втп уравнения q?(x) = 0
1
0,7655
' 1,2197
1,6348
2,0308
2,4153
2
1,7571
2,2331
2,6792
3,1070
3,5221
3
2,7546
3,2383
3,6988
4,1428
4,5748
4
3,7535
4,2411
4,7097
5,1639
5,6073
5
4,7527
5,2429
5,7168
6,1781
6,6294
Таблица VI.5.2
т ^""^^^
0
1
2
3
4
1
0,0000
0,5861
0,9722
1,3373
1,6926
Корни
2
1,2197
1,6970
2,1346
2,5513
2,9547
/равнения <?/т
3
2,2331
2,7140
3,1734
3,6115
4,0368
х)=0
4
3,2383
3,7261
4,1923
5,6428
5,0815
5
4,2411
4,7312
5,2036
5,6624
6,1103
Для волн с индексом т = 0 множитель Во равен
sin (md/a)
m
d_
a
и не зависит от угла ф. Для т = 1
B1 = sin — coscp.
Очевидно, для углов ф = я/2, Зя/2, 5я/2,... множитель Вх = 0.
Таким образом, в трубе для волн с индексом т= 1 существует одна
диаметральная узловая плоскость (рис. V.5.2). Для волн с индексом
т = 2 множитель равен В2= ^sin — соз2ф. Очевидно, при ф2« = я/4;
Зя/4; 5я/4; ... этот множитель обращается в нуль. В трубе обра-
образуются две диаметральные плоскости. При т = 3 образуются три
диаметральные узловые плоскости.
Сомножитель Вт обращается в нуль при sin (md/a)/m, если углы
Ф определяются уравнением cos/mp = 0, т. е. при ф = B/+ 1) я/Bт),
В этом случае образуется т узловых плоскостей.
Заметим, что в случае поршневого излучателя в трубе возникает
плоская звуковая волна, если между диаметром трубы и частотой
выполняется соотношение (VI.4.9),
345
Возбуждение в трубах плоских звуковых волн с помощью порш-
поршневого излучателя ограниченных размеров имеет некоторое преиму-
преимущество перед способом возбуждения плоских волн с помощью коль-
кольцевого преобразователя. Если необходимо возбуждать звуковые волны
на резонансных частотах, то для цилиндрического преобразователя,
вмонтированного в трубу диаметром d, имеется только одна возмож-
возможная частота f = co/Bna) (c0 — скорость звука в материале преобразо-
преобразователя). Сравнивая эту формулу с (VI.4.9), можно видеть, что коль-
кольцевые преобразователи возбуждают плос-
плоские волны в цилиндрических трубах при
выполнении определенного соотношения
между скоростями звука в материале пре-
преобразователя и в веществе, заполняющем
777=7 трубу. Это соотношение следует из нера-
неравенств
-*cp
n- 2L <^ 1 91 Q7rr -— ~ Ч Я —
(VI.5.14)
777=J
Рис. VI.5.2
Для преобразователя из магнитострик-
ционного материала с0 я^ 5000 м/с; аср/а ^ 1;
для воды с =1500 м/с; со/ся^3,3. Однако
если труба заполнена воздухом, отношение со/с не удовлетворяет
условию (VI.5.14), т. е. плоская волна не будет возбуждаться.
Значительно большими возможностями обладает способ прямоу-
прямоугольного поршня: во-первых, резонансная частота поршня не зави-
зависит от диаметра трубы и определяется толщиной преобразователя.
Изменяя толщину преобразователя, начиная со стержневых систем
и кончая пластинами, можно в пределах от небольших частот, вплоть
до первой критической, изменять частоту возбуждения плоских волн
в трубах. Кроме того, способ возбуждения плоских волн с помощью
прямоугольного поршня универсален относительно вещества, запол-
заполняющего трубу.
ГЛАВА VII
ЭЛЕМЕНТЫ АКУСТИКИ ПОМЕЩЕНИЙ
§ УП.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Звуковые волны в закрытых помещениях, многократно отражаясь
от границ, образуют сложное поле колебательного движения воздуха.
Законы распределения колебательной скорости частиц воздуха, доба-
добавочного давления и потока акустической энергии в закрытых поме-
помещениях определяются не только свойствами источника звука, но также
геометрическими размерами, формой помещения и способностью стен,
потолка и пола поглощать акустическую энергию.
346
Таким образом, звуковые поля в закрытом помещении и свобод-
свободном пространстве существенно отличаются. В частности, в свободном
поле интенсивность звука есть средний за период поток мощности
в направлении распространения волны и является энергетической
характеристикой поля бегущей волны. Для звукового поля в поме-
помещении, если поглощение незначительно, понятие интенсивности теряет
смысл, поскольку в каждый момент времени существуют потоки мощ-
мощности различных направлений, поэтому в некоторых случаях они
компенсируются, тогда как в этот момент уровень звуковых колеба-
колебаний воздуха в данной точке пространства может достигать значитель-
значительной величины.
Вместо интенсивности звука для акустического поля помещений
используют поток • звуковой мощности, падающей на единицу пло-
площади во всех направлениях полупространства. Эту величину назы-
называют удельной мощностью облучения границ.
Универсальной энергетической характеристикой поля является
плотность акустической энергии, характеризующая как поле закрытого
объема, так и поле бегущих волн. Для свободного пространства вдали
от источника она убывает с расстоянием и пропорциональна акусти
ческой мощности источника. Для звукового поля помещения эта за-
закономерность не выполняется. В некоторых случаях плотность зву-
звуковой энергии в помещении не зависит от расстояния до источника
(если не включать небольшую область вблизи источника), иногда
с увеличением расстояния плотность звуковой энергии может увели-
увеличиваться. Плотность звуковой энергии помещений зависит не только
от акустической мощности источника, но и от акустических свойств
помещений.
Диффузное поле. Звуковое поле помещения в каждой точке про-
пространства можно представить как совокупность волн, приходящих
непосредственно от источника, и волн, попадающих в данную точку
не по прямому пути, а после одного или нескольких отражений.
Направления потоков мощности отраженных волн зависят от геомет-
геометрической формы помещения и степени поглощения акустической энер-
энергии границами помещения.
При изменении соотношения между длиной волны и размерами
помещения, структурой и формой отражающих поверхностей харак-
характер звукового поля помещения изменяется. Если помещение не со-
содержит фокусирующих сводов и геометрически симметричных сечений,
а размеры помещения значительно больше, чем средняя длина волны,
и если стены не сильно поглощают звуковую энергию, то через про-
произвольный элемент объема помещения при непрерывном действии
источника звука в каждый момент времени будет проходить большое
число отдельных волн. В результате этого звуковое поле будет иметь
следующие свойства: во-первых, все направления потоков энергии
этих волн равновероятны; во-вторых, плотность акустической энергии
такого поля по всему объему помещения постоянна. Назовем первое
свойство изотропией, второе — однородностью. Звуковое поле, изот-
изотропное и однородное, называют диффузным.
Для диффузного поля постулируется еще одно важное свойство:
347
все элементарные волны этого поля некогерентны, поэтому в нем
отсутствуют устойчивые явления интерференции.
Энергетической характеристикой диффузного поля наряду с плот-
плотностью звуковой энергии является удельная мощность облучения гра-
границ. Эта величина определяет энергетические свойства поля и пред-
представляет собой поток мощности, проходящей через площадь со всех
направлений, лежащих в пределах 2я. Плотность акустической энер-
энергии % и удельная мощность облучения границ Ig связаны между
собой некоторой зависимостью, которая выводится следующим образом.
Из свойств однородности и изотропности диффузного поля сле-
следует, что поток dW звуковой энергии, переносимой от элемента
п я
г sin 9
Рис. VII.1.2
объема dV в направлении к площади dS, равен произведению аку-
акустической энергии объема Ш dV и вероятности c^q распространения
волн от выбранного элемента объема к границе объема площадью dS:
Вероятность того, что энергия переносится в направлении пло-
площади dS, равна отношению телесного угла d?2, под которым виден
элемент площади dS, к углу 4я ср:
В результате
На рис. VII. 1.1 показаны элементы объема dV в точке А и те-
телесный угол dQ, под которым из точки А виден элемент площади dS.
Поместим начало сферической системы координат в центр элемента
площади dS, полярную ось совместим с направлением нормали. Тогда
<r\ dS cos 6
г2
где г —О А.
Поскольку диффузное поле изотропно, то элемент объема dV можно
представить в форме элементарного тороида (рис. VII. 1.2):
dV = 2nr sin Or db dr.
348
Полный поток мощности облучения площадки dS определяется
интегралом выражения для dW, взятым по полярному углу б в пре-
пределах от 0 до я/2 и по расстоянию г в пределах от 0 до г0:
Если с — скорость звука, то ro — cAt. После выполнения интегри-
интегрирования получаем
/i-шг-т- (уплл)
Таким образом [см. (VII. 1.1)], удельная мощность облучения гра-
границ диффузного поля в 4 раза меньше интенсивности бегущих зву-
звуковых волн при той же самой плотности акустической энергии.
Коэффициент поглощения. Звуковые волны, попадая на различ-
различные предметы, находящиеся в помещении (стены, пол, потолок),
частично поглощаются. Мощность звуковых волн, поглощенных еди-
единицей поверхности, называют удельной мощностью поглощения,
а отношение мощности поглощения к мощности облучения — удельным
коэффициентом поглощения:
Удельный коэффициент поглощения а зависит от физической при-
природы докрытия границы и частоты. Если границы имеют различные
покрытия с удельными коэффициентами поглощения аг, а2, а3, ... и
площади этих покрытий 5Х, 52, 53, ..., то полная энергия, погло-
поглощаемая границами помещения за единицу времени, равна
AWg = («А + а252 + а353 +...) Ig = AIg9
где А = 2 aSi — полный коэффициент поглощения для данного по-
i
мещения. Идеально поглощающее покрытие площадью 1 м2 имеет
коэффициент поглощения, равный единице.
Коэффициенты поглощения зависят от частоты звуковых волн и определяются
главным образом упругими свойствами материала. В звуковом диапазоне частот
коэффициенты поглощения неупругих материалов больше, чем упругих.
Например, бетон, штукатурка на кирпичной с гене имеют коэффициенты
поглощения ^ 0,015 — 0,025, тогда как у облицовки из сосны 0,061. Толстый ко-
ковер, шторы из мягких тканей хорошо поглощают звук, для них коэффициент
поглощения на порядок больше, чем для твердых покрытий (например, коэффи-
коэффициент поглощения при 512 Гц толстой ковровой ткани равен 0,30).
Более подробные сведения о коэффициентах поглощения можно найти в спе-
специальной литературе, посвященной акустике помещений.
Стандартное время реверберации. В больших помещениях со сла-
слабым звукопоглощением стен легко наблюдать явление послезвучания.
После прекращения действия источника звук исчезает не мгновенно,
а постепенно замирая. Явление послезвучания называют ревербера-
реверберацией, время замирания звука — временем реверберации.
349
В акустике принято измерять время реверберации как время, про-
прошедшее с момента выключения источника до момента, когда уровень
плотности звуковой энергии уменьшается на 60 дБ или когда плот-
плотность акустической энергии в данной точке помещения уменьшается
в 106 раз. Это время называют стандартным временем реверберации,
§ VII.2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕВЕРБЕРАЦИИ
Мощность источника и плотность энергии диффузного поля.
Составим уравнение энергетического баланса акустической энергии
в помещении, где действует источник звука и на границе имеется
поглощение.
Обозначим акустическую мощность источника с^а, поток погло-
поглощенной мощности Д/^, плотность акустической энергии &, объем
помещения V.
Акустическая энергия, которая излучается за время At источни-
источником звука, равна приращению акустической энергии всего объема
помещения и той энергии, которая поглощается границами объема
за это же время:
3b(t)At A(Ve) + AWAt. (VII.2.1)
Заменив в (VII.2.1) мощность Л IF, теряемую на границах поме-
помещения, на А и Ig (AWg = AIS = A -?), получим дифференциальное
уравнение относительно плотности энергии:
^| + ^? = ^.(*). (VII.2.2)
Его решают с помощью интегрирующего множителя eAct^iV):
Art & Art Act
Левая часть (VII.2.3) представляет собой производную от
Таким образом,
Act
Act А ст
Формула (VII.2.4) показывает, что плотность звуковой энергии
помещения определяют не только акустической мощностью в данный
момент времени, но и зависимостью мощности от времени в прошлом.
Зависимость Ш (t) от мощности, которую имел источник в предыду-
предыдущие моменты времени, существенна только для интервала времени
начиная с ^ = — 4У/(ЛС). Исследуем несколько частных случаев
формулы (VII.2.4).
350
Допустим, что источник звука включен в момент времени t = 0 и
действует постоянно. Пусть акустическая мощность <^а(т) источника
при т>0 меняется значительно медленнее, чем ехр [Лст/DУ)]. За-
Запишем эти условия в виде
| 0 при -со<т<0,
aV ' \^а(т) при
Кроме того, ^~<4~ел^/<4^>. При этих условиях в (VII.2.4)
пределы интегрирования ограничивают областью 0<i^t0. Функ-
Функцию ^а(т), как медленно изменяющуюся, можно вынести за знак
интеграла:
h t
(T) dx = ^a (f) J e4*^) dr.
о о
Для плотности энергии получаем
Процесс установления звука, описываемый формулой (VII.2.5),
определяют временем, прошедшим после включения источника сиг-
сигнала и достаточным для нарастания плотности энергии звука от О
до 4^@ A — е-^(Л)
Пусть за время от 0 до t0 источник звука остается включенным.
В этом случае при достаточно большом tQ второй член в формуле
(VI 1.2.5) очень мал, поэтому
«@=^#, (VII.2.7)
т. е. при достаточно большом времени t0 плотность акустической
энергии пропорциональна мощности источника звука и обратно про-
пропорциональна коэффициенту поглощения А.
Допустим, что источник звука изменяет акустическую мощность
по закону
0 при to<x<t,
где с^а (/) — слабо изменяющаяся функция времени.
В этом случае
361
Подставив это выражение в формулу плотности акустической
энергии, найдем
# @ = ^а (t0) Тс е~ Ас (We)/DV). (VI 1.2.9)
Выбрав в качестве начала отсчета времени момент включения
источника (to=zQ), получим
% ± I.2.10)
Если в помещении действует источник, у которого зависимость
мощности от времени имеет характер прямоугольного импульса, то
плотность акустической энергии помещения после включения источ-
источника нарастает до некоторого значения и к моменту выключения
уменьшается до нуля, причем ее подъем и спад подчиняются экспо-
экспоненциальной зависимости от времени. Время уменьшения плотности
звуковой энергии в /z раз называют временем реверберации.
Стандартное время реверберации. Формула Сэбина. Время ревер-
реверберации для л=106 называют стандартным. Найдем формулы зави-
зависимости стандартного времени реверберации от свойств помещения.
Подобно тому, как это принято для интенсивности, плотность энер-
энергии звукового поля в помещении выражают в децибелах. За нулевой
порог или нулевой уровень плотности звуковой энергии принята
плотность . энергии, соответствующая нижнему порогу слышимости.
Плотность энергии послезвучания (VII.2.10) определяют в децибелах
tf=101g^-, (VII.2.11)
где Ш (t) — величина, определяемая формулой (VII.2.10); &0 =
= 10~9 эрг/см3 — плотность энергии нижнего порога слышимости.
Подставим в (VII.2.11) выражение для плотности акустической
энергии S(t) (VII.2.10) и, выполнив необходимые преобразования,
получим
/V= Ю lgi^W+90-4,34^. (VII.2.12)
Уровень послезвучания изменяется по линейному закону (VII.2.12).
Поэтому разность N (t) — N (t-{- tQ0) равна
60 = 4,34 ^
По-
ПоСледовательно, стандартное время реверберации
t -60 4 V
где У —объем помещения, м3; А — коэффициент поглощения, м2.
Если принять скорость звука в воздухе с = 330 м/с, то 60^-^ =
= 0,162 с/м. В результате стандартное время реверберации выра-
352
зится формулой Сэбина
V
;б0=0,162~,с. (VII.2.13)
Метод мнимых источников. Формула Эйринга. Формула (VII.2.13)
выполняется точно, если имеется диффузное поле, т. е. если в поме-
помещении будет достаточно большое число волн. Если средний коэффи-
коэффициент отражения больше, чем 0,2, то формула (VII.2.12) приводит
к несоответствию с данными эксперимента.
Более строгая теория разработана Эйрингом. Она основана на
применении методов геометрической оптики. Согласно этой теории,
звуковое поле, создаваемое в помещении точечным источником звука,
можно представить как звуковое поле множества мнимых источни-
источников, возникающих в результате
зеркального отражения звуковых
пучков от границ помещения.
Система некоторого числа мни-
мнимых источников, полученных в ре-
результате зеркального отражения
точечного источника О от плоских
границ помещения, представлена
на рис. VII.2.1.
Здесь / — изображение источни-
источника О, полученное в результате пер-
первого отражения; 2 — изображение,
полученное в результате второго
отражения, и т. д.; отрезки ОЛ, АВ и ВС и т. д. — расстояния про-
пробега звукового пучка между двумя последовательными отражениями.
Для расчетов введем среднюю длину (/) свободного пробега пучка.
Для помещения прямоугольной формы средний путь- пробега (/) =
= 4V/S (где S — суммарная площадь границ).
Средняя длина свободного пробега звукового пучка связана со
средним временем свободного пробега соотношением т = A)/с (с — ско-
скорость звука).
Поле мнимых источников обладает двумя важными свойствами.
Одно из них состоит в том, что при внезапном включении источника
звука мнимые источники появляются последовательно друг за дру-
другом. После выключения источника звука мнимые источники исчезают
в той же (начальной) последовательности.
Другой особенностью поля мнимых источников является свойство,
согласно которому акустическая мощность каждого мнимого источ-
источника зависит от коэффициента отражения и кратности отражения.
Очевидно, акустическая мощность мнимого источника, возникшего
после первого отражения,
Акустическая мощность второго мнимого источника
12 Л, Ф, Лепендин 353
Наконец, акустическая мощность п-го мнимого источника
Плотность акустической энергии, запасенной объемом помещения
за некоторое время действия основного источника, можно представить
как сумму энергий, вносимых в объем всеми мнимыми источниками.
С учетом (VI 1.2.14)
Спустя время / после выключения основного источника мнимые
источники первых номеров замолкнут, останутся лишь источники,
соответствующие номеру n = t/T. К этому моменту плотность акусти-
акустической энергии
Представляя число q в виде q = eln^1 получаем
Введем в это выражение коэффициент поглощения а=1 — q и, кроме
того, кратность отражения n = tc/L Учитывая выражение для средней
длины свободного пробега l = 4V/S9 имеем
0 W "Sac
Уровень плотности акустической энергии
Отсюда для стандартного времени реверберации получаем формулу
Эйринга
_ 0,161V
где V— объем помещения; S — площадь поверхности, ограничивающей
помещение; а—средний коэффициент поглощения локрытий границ.
Оптимальное время реверберации. Изменяя в данном помещении отношение
A/V по своему усмотрению, можно построить зал с тем или иным временем ревер-
реверберации. Выбор времени реверберации во многом определяется субъективным
восприятием процессов нарастания и спадания уровня интенсивности. Например,
если время реверберации велико, то при воспроизведении речи или музыки оста-
остаточный звук может перекрыть последующие элементы звучания. Вследствие этого
звучание музыки будет нечетким, речь неразборчивой. При малом времени ревер-
реверберации сигнал воспринимается четко, но без своеобразной фоновой окраски.
Относительно того, какое время реверберации оптимально, нет единого мне-
мнения. В основу определения оптимального времени реверберации различные авторы
положили те или иные постулаты. Так, например, Кнудсен исходил из требования,
по которому время реверберации должно быть таким, *чтобы все частотные компо.
ненты звучания одновременно достигали порога слышимости. Однако его условие
354
приводит к тому, что оптимальное время реверберации больше для низких частот, чем
для высоких. Согласно Дрейзену, для выбора оптимального времени ревербера-
реверберации необходимо ограничивать флуктуации процесса затухания звука в таких пре-
пределах, чтобы при всех частотах эти флуктуации находились на равном уровне
физиологического восприятия.
Если строить график зависимости оптимального времени реверберации от час-
частоты, положив в основу те или другие постулаты [18], то получаются кривые,
которые показывают, что оптималь-
оптимальное время реверберации на низких + с
частотах E0 Гц) имеет значение
%1,8с и^2,8с, затем уменьшает-
уменьшается. На частотах 200—1500 Гц
оптимальное время реверберации
остается постоянным (^ 1 с) и да-
далее с повышением частоты медлен-
медленно увеличивается.
При строительстве залов и
студий не всегда строго руковод-
руководствуются рекомендациями об оп-
оптимальном времени реверберации.
Время реверберации хороших в
акустическом^ отношении помеще-
помещений приведено на рис. VII.2.2.
Эта диаграмма времени ревербера-
реверберации получена в результате обсле-
обследования большого числа залов.
Кривые дают полное представле-
представление о времени реверберации дейст-
действующих залов и студий верхних и нижних частот. Из рассмотрения диаграммы
видно, что реальное время реверберации зависит от объема помещения и харак-
характера передач.
Для речевых студий значение времени реверберации на нижних и верхних
частотах лежит в пределах 0,3 — 0,5 с, на средних — 0,4 и 0,5 с. Малое время ревер-
реверберации в речевых студиях связано с необходимостью четкого восприятия речи
диктора.
В студиях общего назначения время реверберации на низких и высоких
частотах лежит в пределах 0,5 — 1 с, на средних — 0,78 — 1 с. Музыкальные студии
и залы для низких частот имеют время реверберации в пределах 1,6 —2 с; для
средних—1,65—1,8с; для высоких —в пределах от 0,5 до 1с.
Согласно основным принципам получения оптимального времени реверберации,
принадлежащим различным авторам, оптимальное время реверберации должно
уменьшиться при переходе к средним частотам. Например, по Дрейзену, время
реверберации на частоте 100 Гц примерно 1,4 с; на средних частотах —1 с [18].
Рис. VII.2.2
§ УП.З. ХАРАКТЕРИСТИКИ АКУСТИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ ПОМЕЩЕНИЙ
Акустическое отношение и эквивалентная реверберация. Плот-
Плотность звуковой энергии в помещении можно представить в виде
плотности энергии Ш1% образованной волнами, идущими от источника
в точку приема по кратчайшему пути, и плотности энергии %2, воз-
возникающей за счет волн, дошедших в точку приема в результате
многократных отражений. Допустим, что источник звука создает
сферические звуковые волны и имеет акустическую мощность <^а.
В этом случае плотность энергии
12*
355
Здесь g1 = $PjDnr2c); g2 = &J(Ad)% где А — коэффициент поглоще-
поглощения.
Отношение плотности акустических волн диффузного поля Ш2
к плотности энергии прямой волны gx называют акустическим отно-
отношением R:
(VII.3.1)
А
где г — расстояние от источника до точки приема.
Полная плотность акустической энергии в точке приема
Рис: vn.3.1
Если акустическое отношение значительно больше единицы, то
плотность акустической энергии "поля Ш = Шг. Иначе говоря, при
большом акустическом отношении звук, воспринимаемый в точке
приема, определяется резонансными и
реверберационными свойствами помеще-
помещения. Наоборот, если акустическое отно-
отношение значительно меньше единицы, то
воспринимаемый сигнал характеризует-
характеризуется только свойствами источника звука,
а не свойствами помещения.
Согласно (VI 1.3.1), акустическое от-
отношение пропорционально квадрату рас-
расстояния до излучателя. Поэтому с уве-
увеличением расстояния от источника зву-
звука увеличиваются эффекты ревербера-
ционных искажений излучаемого звука.
Так, например, при восприятии звуча-
звучания громкоговорителя, расположенного вдали от слушателя, всегда
имеются ярко выраженные реверберационные эффекты помещения.
Эти эффекты значительно ослаблены, если слушатель находится
вблизи громкоговорителя.
Особенно большое значение имеет учет акустического отношения
при организации вещания с помощью каналов усиления. Если дик-
диктор (или оркестр) находится вблизи микрофона, то на звуковые сиг-
сигналы, передаваемые по радиоканалу, реверберационные свойства по-
помещения студии не оказывают влияния. При увеличении расстояния
Ьт диктора до микрофона акустическое отношение увеличивается и
звук, передаваемый из студии, содержит реверберационную окраску.
Для количественной оценки явления реверберации с учетом акусти-
акустического отношения вводят понятие эквивалентной реверберации.
Допустим, что стационарный сигнал выключается в момент времени
/ = 0 (рис, VII.3.1). Вдали от источника звука (R^> 1) уровень после-
звучания уменьшается по прямой А на 60 дБ спустя время t6Q9
Вблизи источника начальный уровень сигнала имеет 60 дБ:
f
lOlgf. ^lOlgA
©о &о
366
и в момент выключения звука мгновенно уменьшится на 10 lg —~-дБ,
поскольку исчезнут прямые сигналы. С уровня 60—10 lg -i-Ы?-
сигнал уменьшается по прямой А'. Ее наклон совпадаете Л, поскольку
наклон кривой определяется объемом и полным коэффициентом по-
поглощения помещения.
Как показывает опыт, затухание послезвучания А1 со скачком
уровня в начальный момент и затухание без скачка оцениваются
слухом, как эквивалентные по гулкости, если оба процесса послезву-
послезвучания достигают одного и того же уровня через время ?0я^0,2 после
выключения источника. Время, в течение которого уровень сигнала
в эквивалентном процессе уменьшается на 60 дБ, называют эквивалент-
эквивалентным временем реверберации. На основании построений, приведенных на
рис. VII.3.1, составим два уравнения:
? = _60. x + \0\g[(\+R)/R) __ 60
Исключая из уравнений х, находим формулы эквивалентного вре-
времени реверберации:
из которых следует, что при изменении акустического отношения
можно уменьшить эквивалентное время реверберации.
В частности, при R^> 1, т. е. на больших расстояниях от источ-
источника tB^t60t а вблизи источника, где /?^0, оно приблизительно
равно нулю. На других расстояниях, для которых 0<7? <оо, эквива-
эквивалентное время реверберации может иметь значения в пределах от 0 до /60.
Например, при t60 = 1,5 с yl R = 1
^э === 6,02 + 1,5 lg 2 === *'* С'
Для микрофона, обладающего направленностью, формула эквива-
эквивалентного времени реверберации имеет вид
t t бг & R '
где Ф = Ф (б) — функция направленности микрофона, которая выра-
выражается отношением чувствительности микрофона для прямых звуков
Е1У к чувствительности для звуков диффузного поля ?2:
Коэффициент четкости. Качество звучания источника в отдельных
местах помещения большей частью бывает различным. Для количест-
количественной оценки этой величины используют коэффициент четкости,
В реверберационном сигнале можно выделить полезную часть. Условно
считают, что она имеет длительность не больше 50 мкс. Коэффициен-
Коэффициентом четкости называют отношение средней плотности акустической
357
энергии полезной части реверберационногс сигнала к средней плот-
плотности акустической энергии полного реверберирующего сигнала:
т0 = 50
Го $
^ — т
lim— \
о
Наблюдения субъективных эффектов, вызываемых у слушателей
явлениями реверберации, показывают, что реверберационный сигнал
неоднороден. Полное время послезвучания делится на две части:
время от начала послезвучания до /0 = 50мкс, в течение которого
эффект реверберации создает ощущение четкости звукового сигнала,
и время от 50 мкс до оо, в течение которого последующие сигналы
воспринимаются с фоном предыдущих реверберационных сигналов,
причем этот фон является помехой и ухудшает разборчивость. Чем
ниже коэффициент четкости D, тем слабее четкость. Допустимые зна-
, чения коэффициента четкости лежат в пределах от
70 до 30%.
Коэффициент диффузности, или индекс диффуз-
диффузности поля. Мерой количественной оценки диффуз-
диффузности звукового поля в помещении является индекс
диффузности. Эту величину экспериментально опре-
определяют в некоторой точке объема помещения сле-
Рис. VI 1.3.2 дующим способом. В помещении возбуждают сигнал
переменной частоты (воющий тон) и в исследуемом
месте зала помещают микрофон с острой характеристикой направ-
направленности. Сигналы, принятые микрофоном при его ориентации в
пределах изменения телесного угла 0 —4я, наносят на пространст-
пространственную полярную диаграмму и получают систему отрезков, сходя-
сходящихся в одной точке.
На рис. VI 1.3.2 приведена схематическая диаграмма пространст-
пространственного распределения интенсивности звука для закрытого помещения.
Длины отрезков пропорциональны интенсивности звука,
принятого со стороны направления Й, Й+ДЙ. В пределах угла 4яср
средняя интенсивность звука ^ = ~~\Л (// — интенсивность по i-му
i
направлению; п — число взятых направлений). Абсолютное отклоне-
отклонение от среднего значения Д/,-= /,• — /, а среднее абсолютное отклоне-
п
ние А/ = — У А/,-. Относительное отклонение интенсивности, усред-
t=i
ненное по всем направлениям, /и = Д///. Индекс диффузности звуко-
звукового поля в помещении равен
id=l-m/mQy
где ш0 — относительное отклонение интенсивности от среднего, изме-
358
ренное в реверберагшонной . камере, т. е. в помещении с заглушён-
заглушёнными границами.
При полной заглушенности помещения (т = т0) индекс диффуз-
ности равен нулю. Наоборот, если т = 0, то индекс диффузности ра-
равен единице и поле абсолютно диффузно.
Для большего числа залов проведенные измерения величины id
дают ее среднее значение я^65%. С увеличением объема помещения
(V> 10 000 м3) id уменьшается. Увеличение индекса диффузности
достигается при установке звукорассеивающих колони, рельефов,
расчленяющих элементов и т. д.
§ VII.4. РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТОГО ОБЪЕМА
В результате многократного отражения звуковых волн от границ
помещения возникает замкнутое трехмерное волновое поле. Обычно
линейные размеры помещения значительно больше длины звуковых
волн. Замкнутый объем помещения представляет собой колебательную
систему со спектром собственных частот, при этом каждой собствен-
собственной частоте соответствует свой декремент затухания. Если источник
звука создает звуковые сигналы с меняющимся спектральным и ампли-
амплитудным распределением, то эти сигналы возбудят колебания воздуха
в помещении с частотами, близкими к резонансным, и по мере изме-
изменения спектра будут возникать все новые и новые моды собственных
колебаний замкнутого объема, которые, накладываясь на ранее воз-
возникающие и имеющие уровни выше порога слышимости, в большей
или меньшей степени исказят начальный сигнал. Поскольку декремент
затухания составляющих спектра частот различен, то каждая из со-
составляющих частот имеет свое время реверберации.
Изучение волновой теории реверберации начнем с собственных
частот замкнутого объема в предположении, что границы помещения
отражают звук без поглощения и что поглощением в объеме можно
пренебречь.
Фундаментальные функции и собственные частоты закрытых по-
помещений. В зависимости от формы помещения в замкнутом объеме
могут возникнуть собственные колебания с различным набором соб-
собственных частот, соответствующих плоским, цилиндрическим или сфе-
сферическим волнам. Рассмотрим подробно фундаментальные функции и
резонансные частоты прямоугольного объема. Для этого необходимо
найти решения уравнения Гельмгольца:
удовлетворяющего граничным условиям
-—-^- =0, v- = U, =г- = U. (VII. 4. z)
дХ)х=1х ду у=1 * ^2 г=1г V 7
Нетрудно показать, что такими решениями будут частные реше-
НИЯ ВИДа , л тш ппу pnz ,vn . „,
^«mp == ^mnp COS -j- COS -^ COS ^-. (VI1.4.3)
359
Таким образом, в прямоугольном помещении, ограниченном иде-
идеально жесткими стенками, существует дискретный спектр резонанс-
резонансных частот, определяемый выражением
(VH-.4.4)
Формула собственных частот допускает следующую геометрическую
интерпретацию. Отложим на осях прямоугольной системы координат
отрезки, пропорциональные /т = у^> /л = уу- и /р = у~- Тогда
собственйая частота в этой системе координат изобразится точкой
с координатами fm, fn и fp или концом вектора fmnpy длина которого
fmnp = Vfm + Fn + fp> а направление определяется направляющими
косинусами:
: ? \ fm m
cos(/, /я) = - Ы
cos(f, /р)=7
Yfm+fn+fP h V{mllxY + (nllyf
Назовем такое представление собственных частот пространством
частот. Известно, что каждой собственной частоте соответствует
волновое число
YWWШ (VIM-5>
Волновой вектор ктпр совпадает по направлению с нормалью
к фронту волны и имеет компоненты km = nm/lXi kn = nn/ly, kp =
= яр/4. Направляющие косинусы этого вектора:
mnp,X)
У k
cos(kmnp,y)=
У k
cos(kmnp, z) =
V km +
Таким образом, направляющие косинусы волнового вектора,
построенного в геометрическом пространстве, совпадают с направля-
направляющими косинусами вектора собственной частоты, построенного в про-
пространстве частот. Этим установлено взаимное соответствие между
множествами собственных частот и пространственных мод колебаний.
Все моды свободных колебаний закрытого объема можно разде-
разделить на три группы: осевые, кососкользящие и косые.
Осевыми называются волны, для которых направление волнового
вектора параллельно одному из ребер прямоугольного помещения.
Имеется три в#да осевых волн: я-осевая волна [к(кл; 0; 0)]; у-осевая
360
волна [к @, ky, 0)] и z-осевая волна [к @, 0, kz)]. В пространстве
частот этим волнам соответствуют те частоты, радиусы-векторы кото-
которых совпадают с соответствующей осью координат пространства
частот.
Кососкользящими называют волны с волновым вектором, парал-
параллельным одной из координатных плоскостей. Такие волны делят
на следующие группы: ху-касательная волна [k(kxy ky% 0)]; xz-каса-
тельная волна [k(kXi 0, kz)] и yz-волна [k@, ky, kz)]. В простран-
пространстве частот касательным волнам соответствуют векторы \тпр> парал-
параллельные координатным плоскостям пространства частот. Для косой
волны ни одна из компонент волнового вектора не равна нулю.
fpl
Ряс. VII.4.1
На рис. VI 1.4.1 приведено схематическое изображение фронта
плоских волн по отношению к ребрам прямоугольного помещения
с разной ориентацией волновых векторов ктпр и \тпр.
В зависимости от геометрических размеров прямоугольного поме-
помещения можно провести расчет собственных частот по формуле (VII.4.4).
Рассматривая все тройки чисел m, n и р, обычно находят собствен-
собственные частоты в пределах от / до / + ^/-
Например, собственные частоты прямоугольного помещения разме-
размером 3x4, 5x6 м, лежащие в пределах 1—100 Гц, изображены
на рис, VI 1.4.2. В распределении собственных частот прямоугольного
объема наблюдаются следующие особенности: во-первых, спектр
собственных частот с увеличением частоты сгущается; во-вторых,
некоторые собственные частоты вырождены, т. е. одной частоте соот-
соответствует несколько мод колебаний. На рисунке эти частоты изображены
удлиненной линией с цифрой, указывающей кратность повторения
частоты.
361
Найдем общее число собственных частот в заданном интервале
4 22
О
25
50 75
Рис. VII.4.2
/
Для решения этой задачи воспользуемся понятием пространства
собственных частот. Каждую собственную частоту можно рассматривать
как вектор в пространстве собственных частот.
Если компоненты этого вектора откладывать по трем взаимно
перпендикулярным осям, то каждой частоте будет соответствовать
конец вектора fmnp, лежащий в первом октанте прямоугольного про-
пространства частот. Поскольку m, n и р — целые числа, то при их
изменении конец \тпр будет изменять длину и направление не непре-
непрерывно, а скачками, поэтому пространство собственных частот нельзя
представить состоящими из сплошного числа точек подобно геометри-
геометрическому. Пространство частот состоит из ячеек с ребрами с/B1х),
с/B1у), с/B1г)\ объем каждой
ячейки равен cs/(8V0), где Vo =
= Uylz, так что каждому значе-
значению собственной частоты соот-
соответствует по крайней мере, одна
ячейка. Эти соображения позво-
позволяют вычислить полное число
собственных частот объема, ле-
лежащих ниже некоторой заданной
частоты. В самом деле, если известны объемы частотного пространства
с максимальной частотой / и элементарной ячейки, то число собствен-
собственных частот можно получить при делении общего объема пространства
частот на объем ячейки. Подсчет числа собственных частот будем
вести для каждой группы волн.
Для осевых волн общий объем ячеек фазового пространства на оси
fm равен длине /, умноженной на площадь c2/(ilylz). Точно так же
общие объемы пространства частот по осям fn и fp соответственно
равны c2/(ilylz) и c2/Dljy). Таким образом, полный объем для собствен-
с2 / 1 1 1 \
т" гг + гт~ + г~г /• Разделив эту
получим общее число
100 V, Гц
ных частот осевых волн равен
q Vylz 1
величину на объем одной ячейки сг/(81х1у
осевых волн:
8c'
где L =
В интервале от / до / + Д/ содержится осевых частот
^vi~ 8c ''
Для касательных волн векторы собственных частот лежат в коор-
координатных плоскостях пространства частот. В каждой из координатных
плоскостей пространства частот построим четвертую часть окружности
с центром в начале координат и радиусами, равными граничной
частоте /. Построенные таким образом кривые ограничат на коорди-
координатных плоскостях площади пр/4.
Собственные частоты касательных волн соответствуют ячейкам,
расположенным на координатных плоскостях. Высоты слоев ячеек
362
собственных частот, расположенных на координатных плоскостях
топ, тор, пор, соответственно равны с/B1г), с/B1у), с/B1х). Объем
каждого слоя, лежащего в пределах измерения частоты от 0 до /,
равен nf2c/(8lz), л/2с/(8/А), яJс/(81х). Общий объем ячеек, соответству-
соответствующих волнам,
v 4 \21г ^ 21 у ^ 2 х]
Объем одной ячейки V0 = c3/(8lJLllz), поэтому число частот этого типа
волн
где S — общая площадь поверхностей, ограничивающих помещение.
Число косых мод с частотами меньшими, чем заданная, равно
общему числу ячеек пространства частот, находящихся в октанте
сферического объема радиусом /. Объем шара радиусом / равен 4я/2/3,
объем октанта составляет я/3/6, поэтому число косых мод равно
Общее число мод колебаний прямоугольного помещения для час-
частот меньших, чем граничная /, выражается суммой всех частот:
Число собственных мод колебаний прямоугольного объема, лежа-
лежащих в интервале частот /, f + A/, равно
f) (VH.4.7)
Фундаментальные функции и собственные частоты цилиндричес-
цилиндрического объема находят как решение волнового уравнения в цилиндри-
цилиндрических координатах при граничных условиях
дУ (г, eg, г, t) __ п. дУ(г, Ф> г, t) _п
В результате получают, что в цилиндрическом объеме возможны
колебания, определяемые следующими функциями:
COS Шф COS (рп ~j COS (®mnpt + C^яр),
(VII.4.8)
COS тф COS ( РП — ) COS {(dmnpt + Pmnp)i
(VII.4.9)
где У'тпр и ЧТшр — потенциал скорости симметричных и несимме-
несимметричных колебаний; патп — корни уравнения <??'т (х) = 0; г и ф — поляр-
363
ная и угловая координаты точек цилиндрического объема; г — коор-
координата по оси Z; а —радиус цилиндра; h — его высота; $тпр — фазы
колебаний; (отпр = псТ/ (^М +(—) —собственные частоты цилинд-
цилиндрического объема; с —фазовая скорость распространения упругих
волн в свободном пространстве, т = 0, 1, 2, 3, ...; п= 1, 2, 3, ...;
п — 1 9 ч
и — А» А ^»
Каждая собственная частота щпр соответствует форме колебаний
с индексами 0, п, /?, имеющей п— 1 узловых цилиндров, р— 1 узло-
узловых поперечных плоскостей. Частоты, у которых тфО> двукратно
вырождены, т. е. каждой частоте ытпр при тфО соответствуют две
формы колебаний — симметричная и несимметричная. У этих форм
п— 1 узловых цилиндров, р— 1 поперечных и т диаметричных узло-
узловых плоскостей.
На основании представления о пространстве частот цилиндричес-
цилиндрического объема можно провести расчет числа мод колебаний всех типов.
Число собственных частот цилиндрического помещения в области
изменения частоты от / до / + Д/ определяется формулой
/, (VH.4.10)
где V — объем цилиндрического помещения; S — площадь стен потолка
и пола; L = 4яа + 4/г — линейный параметр.
За исключением слагаемого L/(8c), формула (VII.4.10) для цилинд-
цилиндрического помещения совпадает с соответствующей формулой для
прямоугольного помещения. Для очень высоких частот можно огра-
ограничиться первым членом (VII.4.10): АЛ^ =—rP^f-
Сферические помещения. Фундаментальные функции и собствен-
собственные частоты для сферического объема можно найти, решая уравнение
Гельмгольца в сферических координатах г, б, ф при граничном усло-
условии дЧг/д/>„я==0.
Решение этого уравнения (см. приложение III) выражается
посредством сферических функций Yт и функций Бесселя полуцелого
порядка:
Т(г, б, Ф, f) = AmYm(99 <f>)jm(kr)ef«*9
т
где Ут (б, ф) = Рт (cos б) + V (атп cos пц + а'тп sin лф) Р{т (cos б) —
0
сферическая функция m-го порядка.
Собственные частоты колебаний сферического объема
(VIM. И)
где п$тп — корни уравнения j'm(x) = O9 а —радиус шара, с —скорость
звука.
Каждому значению числа т соответствует множество типов коле-
колебаний сферического объема. Частоты соо„ возможны у колебаний
364
с узловыми сферами. Число узловых сфер п— 1. При этом каждой
частоте отвечает только одна форма колебаний. При тфО каждой
частоте ытп будут соответствовать несколько дополнительных форм
колебаний. Например, при т=\ одной частоте соответствуют две
формы, при т = 2 — четыре. Вообще, если т = /, то одной частоте
соответствует /2 форм колебаний.
Частоты, для которых существует несколько форм колебаний,
называют вырожденными. В цилиндрическом и сферическом объемах
наблюдается много вырожденных частот. Реализация той или иной
вырожденной моды подчинена закону случая, что создает благоприят-
благоприятные условия для флуктуации уровня звучания. Поэтому цилиндри-
цилиндрические и сферические помещения непригодны для залов и студий.
Сравнивая распределения собственных частот в прямоугольном
цилиндрическом и сферическом помещениях, видим, что с повыше-
повышением симметрии помещения увеличивается число вырожденных мод.
В результате частотный спектр становится все более и более нерав-
неравномерным, что вызывает значительное искажение в передаче сигнала
как за счет неравномерного усиления отдельных частотных состав-
составляющих, так и за счет флуктуации уровня реверберации для различ-
различных частот.
Подсчет полного числа форм колебаний для сферического объема
показывает, что для высоких частот различных мод колебаний, ле-
лежащих между-/ и / + А/, число собственных колебаний пропорцио-
пропорционально квадрату частоты:
Можно доказать, что формула (VII.4.12) выполняется для объема
любой формы.
С учетом вырождения мод формулы числа собственных частот для
прямоугольного, цилиндрического и сферического объемов дают за-
завышенные результаты. Чтобы получить точный результат, необхо-
необходимо из полного числа собственных частот, укладывающихся в спект-
спектральный интервал от / до / + А/, вычесть число случаев вырождения.
§ VIL5. УЧЕТ ПОГЛОЩЕНИЯ
Для того чтобы расширить результаты, полученные для помеще-
помещений с границами, способными поглощать звуковую энергию (см.
§ VII.4), достаточно идеализированные граничные условия заменить
граничными условиями, в которых учитывается комплексный импе-
импеданс границы:
Тогда _ _
-- = хр_,
где х = 1/г¦— комплексная механическая проводимость поверхности.
365
Решение волнового уравнения AY =-g--^- должно удовлетворять
комплексному граничному условию. Поэтому решение будем искать
в форме комплексной периодической функции:
^ = (Ф —/?)е-<б-'Шй)>',
V = (<D-/1F)e-/<e)-W'. (VII.5.3)
При подстановке решения (VI 1.5.3) в волновое уравнение полу-
получаем для действительной и мнимой частей амплитуды:
69-ф 2*0 у
с2 с2 '
с2
Граничные условия (VI 1.5.2) приводят к уравнениям:
(VII.5.5)
Ограничимся приближением первого порядка. Иными словами,
будем считать, что величины б, к и амплитуды функций Ф nf^l
(малы). В этом случае уравнения (VII.5.4) и (VII.5.5) приводятся
к линейным:
^Ф, (VII.5.6)
й? ? (VH-6.7)
Заменяя со/с волновым числом k, получаем:
Для нахождения формул коэффициента затухания б воспользуемся
формулой Грина
С этой целью подставим в (VII.5.10) значения лапласианов и
производных по нормали на поверхности. Тогда после преобразова-
преобразований найдем
&
(VIL5-n)
366
Известно, что волновые функции для прямоугольного помещения
без учета затухания имеют вид
Фл тпх пщ рпг
тпр = Amnp COS -r- COS _* COS ^- .
lx Ly h
При наличии затухания на стенках эти функции должны быть
дополнены экспоненциальным множителем. Таким образом, амплитуда
отдельной плоской волны должна уменьшаться со временем по экспо-
экспоненциальному закону с коэффициентом затухания 8тпр:
^ л — б / tnnx пщ рпг
Фтпр = Лтпре imp Cos -г- COS -f- COS Zj-.
lx ly h
Плотность энергии звукового поля пропорциональна квадрату
амплитуды, поэтому $тпр^%ое~26тпР*. Сопоставляя это выражение
с формулой плотности энергии диффузного поля статистической теории
(VII.2.10) [g =
Отсюда коэффициент поглощения по волновой теории
1
Согласно статистической теории, коэффициент поглощения зави-
зависит только от свойств покрытия. Волновая теория показывает, что
коэффициент поглощения поверхности зависит не только от физи-
физической природы материала, но и от типа волны.
Проведем вычисление коэффициента поглощения <сатпр > для трех видов волн.
Коэффициенты для л>, у- и 2-осевых волн. Для %-осевой волны
((I)moo=:^moocos~/—) предположим, что каждая стенка имеет известные значения
\ lx I
проводимостей yiyiy> кх0, kxix, ку0, kz0, kziz. Обозначив площадки стенок Sx0,
$xlx, Sy0, Syiyt S20, Szlgt получим [см. (VII.5.12)]:
lx l lxlg
с с л trinx f* с
) хФ2 dS = \ \ (kz0 + xziz) A2m0 cos2 -j— dxdy + \ \ (ки0 + xull) A2m00 X
y z
dx dz + \ J (x*o + *xix) A2mm cos
lx ly lz
AmOG COS2 —r1- dx dy d2,
1-х
V = lxlylz, S = S Si = 2 (lxly + ljt + lylz).
367
Интегралы, входящие в выражения &хФ2<1$ и \(SIdV, сводятся к типу
^ V
поэтому
л у
и
о о
Аналогично,
х г
^moo cos2 ?~-
Amoo t
Лтоо /-
O — >W.v V **/ = Kzl
3
тоо cos2 ~- dxdy = -|
Что касается третьего интеграла, то здесь надо брать значения cos (mnx/lx)
на стенках # = 0 и к — 1х. В результате получаем:
кл0 cos2
cos2
Интеграл по объему, стоящий в знаменателе,
АтОО \\\ COS2
0 0 0
Таким образом,
,_8рс/
Каждая стенка вносит свой вклад в коэффициент поглощения. Этот вклад
пропорционален полной проводимости стенки. Однако те стенки помещения, по
которым скользит волновая поверхность, вызывают меньшее поглощение при рав-
равных проводимостях, чем те, на которые волновой фронт набегает прямо.
Можно было бы так же подробно произвести вычисление у- и^ г-осевых волн.
Однако в этом нет необходимости, так как результат легко записать сразу:
8рс / 1 _
5 (у х*
1
1 _ \
y Kxilу
> — у о (
где Ц S;-~ полная поверхность стен и потолков помещения;
стен.
—проводимость
368
Коэффициент поглощения для тангенциальных волн. В этом случае для волн
следует вычислить коэффициенты
тпх ппу
no cos -— cos -r^-
я тпх
, АтОр cos -=— cos
Lx
ппу pnz
Двукратные интегралы в числителе (VI 1.5.12) дают:
-2
AmnO
тпх
—
— dx
X 2
, С С / , о тпх _ ппу , , ,
+ \ \ (^0+Vi/)COS ~l COS2 ~j^dxdz +
V*
и
i
+ ^j
о ППХ
cos2 —
l
~т" "9 W>zl г ^^/0 ~г ^г// ~г ^it/0 T" ^гу/ »
Интеграл по объему для Фт/г0-волны
0 0 0
После определения всех элементов формулы (VI 1.5.10) нетрудно получить
коэффициенты а для всех трех касательных волн:
Ы^ +
^
8рс /_
1 _
Эффективность поглощения для тангенциальных волн отдельными поверхно-
поверхностями прямоугольного помещения зависит от ориентации волнового вектора по
отношению к поверхности стены. Для тех поверхностей, где волновой вектор
с нормалью к грани составляет угол 90°, эффективность поглощения вдвое меньше,
чем для всех других.
Коэффициент поглощения для косых волн. Вычисление коэффициента погло-
- „ тпх ппу pnz
щения для волн ФтПр — ^тпрС0^—}—cos —— cos ——, косых по отношению к къж-
1>х ly lz
дои из грани, приводит к следующему результату:
8рс ._ ,
тпр — ^TF v^zO T"
369
Время реверберации для волн в прямоугольном помещении. Вы-
Выражение (VII.5.12) дает коэффициент поглощения для единицы пло-
площади поверхности. Чтобы найти время реверберации, необходимо
знать полный коэффициент поглощения для того или иного типа
волн. При наличии поглощения плотность энергии звукового поля
уменьшается по закону &тпр = &ое rnnPty отсюда следует, что стан-
стандартное время реверберации удовлетворяет уравнению
60 = 10 lg -^- = 208mnpt lg e - 4,34 • 26mnpt
и определяется формулой
__ 60
Согласно (VI 1.5.12),
2fi = ос
откуда
, 60-4F 0,162
тпр
/VTT - -^
(VII.5.13)
Время реверберации для различных типов стоячих волн выра-
выражается формулами:
,т00 __ 0,162V7
8рс (nZ
60
,тпр ^0,1621/
60 Spc(
Они показывают, что если границы помещения вносят в погло-
поглощение энергии равный вклад, т. е. проводимости всех стен примерно
одинаковы, то затухание будет наибольшим для косых волн. Мень-
Меньшее затухание свойственно касательным и осевым волнам. Случай
косых волн соответствует диффузному полю. Формула времени ре-
реверберации для этих волн совпадает с классической формулой
Сэбина.
При низких частотах, где небольшое изменение частоты может
вызывать резонансы на соседних формах колебаний, наблюдается
резкое изменение времени реверберации в зависимости от изменения
частоты. На средних частотах кривая уровня интенсивности может
иметь изломы и отклонения от прямой: сначала кривая спадает
быстро (действие осевых волн); при высоких частотах, когда плот-
плотность спектра высока и преобладающая роль в затухании принадле-
принадлежит косым стоячим волнам, затухание звука в широком диапазоне
уровней (я^ 30 дБ) имеет логарифмический характер.
370
ГЛАВА VIII
ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ VIII.1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Поток импульса идеальной жидкости. Для изучения затухания
волн в вязких и теплопроводных жидкостях необходимо напомнить
некоторые законы гидродинамики.
Допустим, что имеется поток идеальной жидкости. Обозначим в эле-
элементе объема dV плотность через р, скорость через v. Весь объем
жидкости, ограниченный проницаемой поверхностью f, имеет импульс,
определяемый интегралом по объему: ^ pvdV.
Найдем изменение импульса в единицу времени:
pVidV.
dt
Поскольку объем Vo не изменяется, то производную по времени
можно внести под знак интеграла j \ pvidV = \-~r(pvi)dV. Частная
производная по времени от плотности импульса pvt с помощью урав-
уравнений непрерывности и Эйлера преобразуется к виду
—¦ (pvi) =—^— (pViVk + p). (VIII. 1.1)
Скалярную величину р можно представить в форме тензора второго
ранга, если воспользоваться понятием единичного тензора:
( 1 при i = k,
ik==\ О при 1фк.
Очевидно, pik — p^ik- Такое представление позволяет записать
величину, заключенную в скобки правой части выражения (VIII. 1.1)
в форме тензора второго ранга:
pv±v2 p\
\ l + p pv2v3\. (VIII.1.2)
\pv3vt pv3v2 pvl + p/
После введения тензора Flik найдем изменение импульса в единицу
времени:
371
Согласно теореме Остроградского —Гаусса, объемный интеграл
вида \^nikdV преобразуется в интеграл по поверхности:
f
Таким образом, изменение импульса жидкости
~ j pvidV = — § niknkdf. (VIII. 1 3)
Уравнение (VIII. 1.3) выражает закон сохранения импульса: изме-
изменение в единицу времени импульса в замкнутом объеме равно полному
потоку импульса через поверхность, охватывающую объем. Вели-
Величину Uik называют тензором потоку импульса. Из уравнения (VIII. 1.3)
следует одна из форм уравнения Эйлера:
(VIII.1.4)
Разумеется, уравнение Эйлера, взятое в форме
dvj ___ dp
" dt dxi
ИЛИ
dvi . dvi dp
можно выразить в виде (VIII.1.4), если представить р^? как ^
— и^, а вместо ~ подставить ее выражение из уравнения непре-
непрерывности.
Внутреннее трейие. Между слоями жидкости, движущимися
с различными скоростями, возникают силы внутреннего трения. Со-
Согласно закону, установленному Ньютоном для некоторых жидкостей,
сила внутреннего трения между слоями пропорциональна разности
скоростей, площади соприкосновения слоев и обратно пропорциональна
расстоянию между слоями:
1 /la —«1
ИЛИ
Силы вязкого трения тангенциальны. Они не связаны с изменением
объема. По аналогии с этими силами можно предположить существо-
существование объемных сил неупругого характера — объемных сил внутреннего
трения, которые должны быть пропорциональными скорости изменения
объема:
372
Коэффициент пропорциональности g называют объемной вязкостью
или второй вязкостью. Объемная вязкость имеет ту же размерность,
что и сдвиговая.
Тензор вязких напряжений. Для того чтобы написать уравнение
движения вязкой жидкости, достаточно дополнить уравнение (VIII.1.4)
силами вязкого трения и представить его в виде
d (Vjp) ! у*-* in (J^i/г A/TTT 1 fi\
~~~di *~ ~дх^ ~~ ~дх^ ' (Vlll.l.Oj
где oik — тензор вязких напряжений.
Можно показать, что наиболее общим выражением для тензора
вязких напряжений, содержащим как сдвиговую, так и объемную
вязкости, является формула
dv( . dvk 2 о dvr\ i с.* dvi /UTTT t «4
Z + ^7 ~*°ikin-) + lOikjr- (Vlll.1.7)
где
Г 0
= \ л
{ 1
0 при 1фк,
ik = \ л . ,
{ 1 при i = k.
Здесь первое слагаемое содержит только компоненты тензора,
для которых гфк. При i=k это слагаемое обращается в нуль.
Второе слагаемое содержит только компоненты тензора оа. Оно
выражает эффекты внутреннего трения за счет объемной вязкости.
Проведем дифференцирование (VIII.1.7) по xk и, замечая, что по
правилам замены повторяющихся индексов д ' == д д1 , получим
daik _ d*vi
ч
fl
dxk ч ^4 ^ \3 r|
Подставляя это выражение в (VIII. 1.6), найдем уравнение движения
вязкой жидкости:
dvi . dvi . 1 dp d2vi , /1 .Л d2vi
Ж + **Щ + рЩ = ^ + [^ + 1)щ&;. (VIII.1.8)
Для случая, когда dvi/dxi = Ot из (VIII.1.8) получаем уравнение
Навье —Стокса
1 dp d2V(
Qd^i~"r]d4' (VIII.1.9)
Если р — pQ = pf, p — po = p' и ^ — величины первого порядка
малости, то уравнение (VIII. 1.8) для этих функций после отбрасывания
членов второго порядка приводится к линейному относительно р',
Это выражение называют акустическим уравнением движения
вязкой жидкости.
373
Полная система уравнений вязкой жидкости в акустическом
приближении состоит из уравнений движения (VIII. 1.8), уравнения
до , dvt г\
непрерывности ~- _[_ р0 _i = {jy одного из уравнении состояния
QX OX I
р = 12р или Т = Щ^- (VIII.1.11)
и уравнения энергии с учетом необратимых потерь.
Диссипация механической энергии. Распространение упругих волн
в реальных жидкостях и газах следует представлять как некоторый
неравновесный процесс. Согласно основным положениям термодина-
термодинамики, механическая энергия термодинамической системы равна мак-
максимальной работе, которую можно получить при переходе системы
из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического
равновесия с первоначальной энтропией:
где UQ — начальная внутренняя энергия системы, находящейся
в неравновесном состоянии; U (S) — энергия системы, находящейся
в состоянии термодинамического равновесия с той же энтропией.
Скорость уменьшения механической энергии, т. е. диссипация
энергии, определяют производной механической энергии по времени
Заменяя dU/dS = То, получаем ?/мех = — T0S. Воспользуемся фор-
формулой изменения энтропии системы [I]
и получим общее выражение диссипации механической энергии:
мех То) [ J } aV ™ J dxk \dxk ^ dXi 3
V V
v
где г] и ?—-сдвиговая и объемная вязкости; Х\ (хх = х\ х2~у\ x3 = z).
) [i Vi (VIII.1.12)
v
§ VIII.2. ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ УПРУГИХ ВОЛН В ВЯЗКИХ
И ТЕПЛОПРОВОДНЫХ ЖИДКОСТЯХ
Допустим, что в жидкости распространяется плоская волна
в направлении оси х (л:1 = л:):
v1 = vx = vQ cos (со/ — - i
374
При подстановке компонент скорости плоской волны в формулу
(VIII. 1.12) получим для членов с коэффициентами ц и ? выражение
Первый член (VIII. 1.12) соответствует диссипации энергии за счет
теплопроводности, определяемой градиентом температуры V7\
Найдем VT для плоской волны. С этой целью преобразования
уГ для плоской волны воспользуемся линейным уравнением состояния
гр, (дТ\ , (дТ\
\djH Ad
^-J =-аг)-, нахо-
находим Tf = Tavcvx/cp. Подставив выражение для скорости колебаний
частиц vx = v cos (со/ — сох/с), получим
Отсюда градиент температуры в плоской волне
/ , со
= = — и0 sin ю/ л:
дх с ° \ с
Таким образом, первый член в (VIП. 1.12) имеет вид
— ^- \ (VrJ^^^—х \ sin2 Ш х dV -?—-—vl
yoJ J \ Cp J c-p
Воспользовавшись (VIII.2.1) и (VIII.2.Г), получим формулу дис-
диссипации механической энергии, которая определяет рассеяние энергии
плоской волны при наличии теплопроводности и вязкости:
Среднее значение @мех) по периоду 2я/ю равно
]
Среднее значение механической энергии
/// \ „ Руо т/
\иыех/ ~~~2~ V О-
После указанных преобразований нетрудно найти формулу коэф-
коэффициента поглощения упругих волн для вязкой и теплопроводной
375
жидкости:
Из этого выражения следует, что в реальных жидкостях полный
коэффициент поглощения а упругих волн состоит из суммы коэффи-
коэффициентов поглощения, определяемых сдвиговой вязкостью
^ = -$4^ (VIII.2.5)
теплопроводностью жидкости
«"Hsr^lV)* (VIIL2-6)
и второй вязкостью
Ч = ~Ь (VIII.2.7)
Формулу для коэффициента поглощения ак обычно записывают
в ином виде. На основании термодинамических соотношений
можно показать, что выполняется следующее тождество:
ср
Отсюда получаем 0^ = 5-5 (_-_],
Коэффициент поглощения ац (VIII.2.5) впервые был выведен Сток-
сом из уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Коэффициент ак
(VIII.2.6) получен Кирхгофом. Поэтому формулу коэффициента погло-
поглощения с учетом вязкости и теплопроводности называют формулой
Спюкса — Кирхгофа.
В современной акустике принято приписывать действию объемной
вязкости все избыточное поглощение, т. е. аэкс — акл.
Коэффициент объемной вязкости входит в формулу диссипации
энергии:
1= I fiexXU-л-о (VIII.2.9)
v
Следовательно, коэффициент объемной вязкости I появляется только
в таких процессах, для которых divuy=0, т. е. скорость изменения
удельного объема жидкости не равна нулю. В обычных гидродина-
гидродинамических процессах жидкость считается несжимаемой, поэтому коэф-
коэффициент объемной вязкости в уравнения обычной гидродинамики не
входит. Этим можно объяснить то обстоятельство, что не существует
прямых методов измерения коэффициента объемной вязкости. Един-
376
ственный способ определения g имеет косвенный характер. Этот способ
основан на гипотезе, согласно которой разность между измеренным
коэффициентом поглощения и вычисленным по классической формуле
равна коэффициенту поглощения за счет объемной вязкости:
аэкс акл —
Отсюда
Различные вещества имеют различное отношение а^/а^. Однако
анализ, произведенный на основании использования таблиц термоди-
термодинамических параметров веществ, показывает, что для жидкостей коэф-
коэффициентом поглощения ак можно пренебречь. Исключение составляют
металлические жидкости.
§ VIII.3. СРАВНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Согласно классической теории поглощения, отношение коэффи-
коэффициента поглощения к квадрату частоты для всех жидкостей и газов
не зависит от частоты и является функцией физических параметров
жидкости. Многочисленные измерения коэффициента поглощения жидко-
жидкостей и газов в широком диапазоне частот, давлений и температур
показали, что классическая теория не укладывается в рамки резуль-
результатов эксперимента [14, 15].
Поглощение ультразвуковых волн в газах впервые измерено рус-
русским ученым Неклепаевым. Им было обнаружено, что при частоте
400 кГц коэффициент поглощения звука в воздухе значительно больше,
чем следует по классической теории. Позже коэффициент поглощения
в газах был измерен многими другими учеными. Во всех случаях
коэффициент поглощения в газах превышает значение, полученное из
вычислений по классической теории. Кроме того, для газов отноше-
отношение a/v2 не остается постоянным, а имеет характерную зависимость
от частоты.
Коэффициент поглощения (VIII.2.4) в классической теории полезно
представить в виде произведения коэффициента поглощения на длину
волны:
Поскольку для газов с2 = — — -, то
cv Р
4 , о , ( \ 1 \1 /лгттт о i\
+г+)] (VIILJU)
Формула (VIII.3.1) показывает, что коэффициент поглощения на
длину волны аХ пропорционален v/p0. Однако эксперимент этого не
подтверждает. Измерения, выполненные для многоатомных газов,
показывают, что существует область частот, для которой коэффициент
377
поглощения на длину волны имеет ярко выраженный максимум. Для
разных газов максимум аХ наблюдается не при одном и том же зна-
значении v//?0. Так, например, для углекислого газа при температуре
300 К максимум аХ соответствует v/p0 = 35, для окиси азота v/p0 = 237,
для сероуглерода v/po=^287.
Наряду с указанными особенностями поглощения в газах экспе-
эксперимент обнаруживает слабую зависимость фазовой скорости от частоты.
Согласно классической теории, -фазовая скорость от частоты не
зависит. Многочисленные измерения скорости при различных отноше-
отношениях v/po Дают следующий результат: при v/p0 меньших, чем значения,
соответствующие максимуму поглощения, экспериментальная скорость
звука совпадает с числовыми значениями, полученными по классиче-
классической теории. При увеличении отношения v/p0 на некотором интервале
значений наблюдается слабое увеличение скорости звука. С возраста-
возрастанием частоты скорость звука стремится к постоянному значению Соо.
Разность Cco — Cq, отнесенная к (v/p0)oo — (v/po)o> незначительна и состав-
составляет, например, для СО2
= 0,13 м-ат.
-(v/Po)c
По данным многочисленных измерений, коэффициенты поглощения
звука в жидкостях значительно отличаются от значений, предсказан-
предсказанных теорией Стокса — Кирхгофа и лишь в некоторых случаях они
приблизительно соответствуют ей.
Как показывают результаты анализа экспериментальных данных,
поглощение звука зависит от структуры жидкостей и часто определя-
определяется релаксационными процессами.
Большой экспериментальный материал по поглощению и скорости
звука в жидкостях собран в монографиях [14, 15, 17].
Приведем некоторые данные о поглощении акустических волн в морской воде.
Согласно [29], поглощение в морской воде можно вычислить по формуле
„ = 4,3.105 -^^-+5,0» «Н-, (VIII.3.2)
\ 1 + со2т2 I км ' v '
где А = 2,9 • 10-ю с/см; Б= 1,2 • 10~i7 с2/см; т= 1,1 • Ю~6 с.
Значения коэффициента поглощения в воде, вычисленные по формуле (VIII.3.2),
гтзоттаиит тз 'ГЯ^тт \/ТГТ Л 1
Значения коэффица
приведены в табл. VII 1.3.1.
Таблица VIII.3.1
Частота,
кГц
120
230
Коэффициент поглощения
звука в воде
пресной,
Нп/км
0,6
морской
Нп/км
5,3
12,5
дБ/км
45
108
Частота,
кГц
480
940
Коэффициент поглощения
звука в воде
пресной,
Нп/км
4,15
16,5
морской
Нп/км
20,0
29,0
дБ/км
170
250
Коэффициент поглощения звука в морской воде зависит о г давления, темпе-
температуры, солености. Кроме того, непосредственные измерения затухания звука
в море дают суммарный коэффициент поглощения, который включает как погло-
поглощение в однородной воде, так и рассеяние на неоднородпостях, встречающихся
378
на пути прохождения звука. Суммарный коэффициент поглощения (в Нп/м)
определяют эмпирической формулой
' 2,34 • 10~6vrv25 3,38 • 10~6v2 \
v4p_vl + j О -6,54 • 10-4р),
где S — соленость, %; v^ = 21,9 • Ю кГц; Г —температура, К; v —частота, кГц;
р — гидростатическое давление, ат.
Для перехода к децибелам надо иметь в виду, что 1 Нп = 8,686 дБ.
Для большинства случаев можно пользоваться следующей эмпирической фор-
формулой коэффициента поглощения звука в море:
а*»0,036v3/2 дБ/км. (VIII.3.3)
Измерение затухания звука в морской воде можно осуществлять различными
методами. При непосредственном способе измерения затухания проводят опреде-
определение уровня звукового давления на различных расстояниях от источника звука.
Полученную экспериментальную зависимость представляют в виде некоторой
функции от расстояния, например
Затем, пользуясь теми или иными способами, измеряют амплитуду звукового
давления на различных расстояниях и по данным измерений находят аъ п и а.
На больших расстояниях график функции р (г) в логарифмическом масштабе пред-
представляет собой прямую. Тангенс угла наклона этой прямой равен коэффициенту
затухания 0,1а.
§ VIII.4. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ
Классическая теория поглощения Стокса—Кирхгофа, как пра-
правило, дает значения коэффициентов поглощения звука для различных
жидкостей, которые занижены по сравнению с экспериментальными.
Кроме того, часто наблюдается явно выраженная частотная зави-
зависимость коэффициентов поглощения жидкостей; при некоторых час-
частотах поглощение на длину волны имеет максимум. Иногда наблю-
наблюдают несколько максимумов. Например, в растворах MgSO4 макси-
максимум имеется на частотах 150 кГц и 5 Мгц.
Все особенности поглощения в реальных жидкостях и газах
объясняет релаксационная теория поглощения, основанная иа пред-
представлении о распространении звука как о неравновесном процессе
структурных, химических, термических и других изменений, проис-
происходящих в звуковой волне. Макроскопическим проявлением этих
процессов является дополнительное затухание за счет объемной
вязкости. При этом все релаксационные эффекты, наблюдаемые на
опыте, полностью могут быть объяснены релаксацией объемной
вязкости.
Гидродинамическая теория распространения звука не учитывает
статистических процессов перераспределения состояния движения
атомов или молекул реальной среды. Для полного описания зако-
законов распространения упругих волн в веществе необходимо кроме
законов гидродинамики использовать также законы молекулярно-
кинетической теории вещества. Впервые такой подход к проблеме
распространения звука в газах осуществлен в 1931 —1933 гг. Кне-
зером. Позже его идеи были развиты Герцфельдом и др.
379
Как известно, состояние термодинамической системы определя-
определяется термодинамическими параметрами. Система термодинамических
параметров описывает равновесное состояние. Однако традиционная
термодинамика не имеет аппарата, с помощью которого можно было
бы количественно описать кинетику процессов перехода системы от
одного равновесного состояния к другому. Для этого необходимо
использовать молекулярно-кинетическую теорию состояния вещества.
Кинетика перехода от одного состояния к другому характерна
тем, что при изменении одного из параметров системы другие изме-
изменяются с некоторым отставанием во времени. Это отставание опре-
определяется молекулярными механизмами восстановления статистичес-
статистического равновесия между молекулами вещества. По аналогии с меха-
механикой явление отставания изменений одного параметра от другого
называют релаксацией, а время отставания—временем релаксации.
Рассмотрим, изменения одного из параметров идеального много-
многоатомного газа с учетом молекулярных процессов.
Пусть некоторое количество газа определяется параметрами у,
р и Г. Каждый из них имеет следующий' смысл. Обозначив массу
отдельной молекулы через т0, общий объем, занимаемый п молями
газа, через V и NA—постоянную Авогадро, получим выражение
для удельного объема v
0 = =
которое показывает, что удельный объем равен отношению объема у0,
приходящегося на одну молекулу к массе молекулы т0.
По теории Больцмана, внутренняя энергия газа определенным,
образом распределена между степенями свободы газа. При не слиш-
слишком низких температурах на каждую поступательную и вращатель-
вращательную степени свободы приходится 1/2 kT (k—постоянная Больцмана),
на каждую колебательную степень свободы kT.
Таким образом, газ в состоянии статистического равновесия имеет
определенное распределение энергии между поступательными, вра-
вращательными и колебательными степенями свободы:
При этом температура Т определяется не полной внутренней энер-
энергией, а только энергией внешних степеней свободы, т. е. Un-\-UB?.
Давление есть средний импульс силы ударов молекул в расчете
на единицу площади и равно энергии поступательного движения
молекул, рассчитанной на единицу объема:
P = UJV. (VIII.4.3)
Когда производится адиабатическое сжатие газа, то работа сжа-
сжатия первоначально идет на увеличение энергии поступательного
движения молекул, в результате чего температура и давление газа
увеличиваются и в первый момент времени станут несколько больше
своих равновесных значений. Затем после многих столкновений мо-
молекул часть энергии поступательного движения будет передана внут-
380
ренним (колебательным) степеням свободы. За счет этого произойдет
уменьшение энергии поступательного движения (температуры и дав-
давления) до некоторого равновесного. Вместе с тем повышается энергия
вращательных степеней свободы. Указанный процесс будет продол-
продолжаться до тех пор, пока не установится начальное распределение
между энергиями поступательных, вращательных и колебательных
степеней свободы.
На рис.VIII.4.1 показаны графики зависимости параметров газа
от времени при воздействии импульсов: удельного объема газа и внут-
внутренней энергии (а), энергии внешних (поступательных и вращатель-
вращательных) степеней свободы (б), энергии внутренних степеней свободы (в),
Рис. VIII.4.1
давления (г), температуры, соответствующей поступательному движе-
движению молекул (д), температуры, соответствующей внутренним ступеням
свободы (е).
После завершения сжатия (/0 = 0) происходит увеличение общей
внутренней энергии на работу сжатия. На эту же величину повы-
повышается энергия внешних степеней свободы (рис.У1Н.4.1,б). Энергия
внутренних степеней свободы в начальный момент останется неизмен-
неизменной (рис.VIII.4.1,в). С течением времени (tx —10) энергия внешних
степеней свободы уменьшается по экспоненциальному закону, а энергия
внутренних степеней свободы увеличивается. В каждый момент вре-
времени сумма иа + щ остается постоянной, равной начальной внутрен-
внутренней энергии и работе сжатия.
Температура, соответствующая внешним степеням свободы в
первый момент сжатия, выше температуры внутренних степеней сво-
свободы (pHc.VIII.4.1,2,e). С течением времени в результате многих
столкновений молекул эти температуры выравниваются до того зна-
значения, которое соответствует новому состоянию равновесия.
Следует еще раз отметить, что установление равновесия проис-
происходит вследствие многократных столкновений молекул, т. е. является
381
молекулярно-статистическим процессом. Важным результатом этого
процесса является как бы самопроизвольное изменение параметров
системы (температуры, давления, энергии внешних степеней свободы).
Явления релаксации играют большую роль в процессах периоди-
периодического сжатия и разрежения газа, которые происходят при распрост-
распространении звука. При периодическом сжатии и разрежении газа, если
период волны значительно больше времени релаксации, за каждый
период произойдет полное восстановление равновесного состояния
системы. Пр^ этом звуковые волны в газе распространяются при
температуре равновесного состояния. Если период волны меньше, чем
время релаксации, то за время одного периода состояние системы не
п,Ъ
Рис. VIII.4.2
Рис. VIII.4.3
приходит к равновесию, температура газа имеет значение неравно-
неравновесной, температуры, т. е. немного выше, чем температура состояния
статистического равновесия. В этом случае звуковые волны распрост-
распространяются при повышенной температуре. Поскольку скорость звука
в идеальном газе пропорциональна со2, то можно ожидать, что при
высоких частотах она больше, чем при низких. Кроме того, релак-
релаксационный процесс приводит к дополнительному поглощению звука.
На рис.VIII.4.2 показана диаграмма зависимости от акустического
давления удельного объема при условии, когда период Т волны зна-
значительно больше или меньше времени релаксации т.
В этом случае площади цикла малы. На рис.УП 1.4.3 изображе-
изображена р-у-диаграмма акустического давления и удельного объема при
условии, когда период звуковой волны совпадает со временем релак-
релаксации. При этом площадь цикла максимальна, что соответствует
наибольшему поглощению звуковой энергии.
§ VIII.5. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
Релаксационная теория поглощения звука в общем виде была раз-
разработана в 1937—1938 гг. Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонто-
вичем [15]. В последующих параграфах дается сокращенное изложение
общей релаксационной теории.
Все релаксационные процессы, наблюдаемые в газах, проявля-
проявляются и в жидкостях. Однако некоторые из них, например процессы
кнезеровского типа, имеют частоту релаксации, лежащую'в области
гигагерцевого диапазона и поэтому недоступную для эксперименталь-
382
ного исследования обычными ультразвуковыми методами. В жидкос-
жидкостях проявляются механизмы релаксации, не имеющие места в газах.
Например, в растворах может происходить химическая релаксация,
в органических жидкостях—релаксация перестройки структуры мо-
молекул и т. д. При этом частота релаксации может находиться в
области ультразвуковых частот. Особенно большое число релаксаци-
релаксационных частот имеется в растворах полимеров. Теория релаксации
Кнезера ограничена и непригодна для конденсированных сред. Для
жидкости необходимо провести общий подход к решению задачи,
который не содержал бы условий, ограничивающих тип возможных
релаксационных процессов. Такой подход основывается на положе-
положениях термодинамики необратимых процессов, которая разработана
применительно к химическим реакциям. В общей релаксацион-
релаксационной теории Мандельштама—Леонтовича термодинамика необходимых
процессов получила дальнейшее развитие и применена для исследо-
исследования распространения звука в жидкостях.
В основе термодинамики необратимых процессов лежит представ-
представление о том, что термодинамическое состояние вещества (жидкости
или газа) определяется набором некоторых дополнительных парамет-
параметров неравновесности ?;, с помощью которых можно количественно
охарактеризовать кинетику неравновесных процессов. Например, ес-
если в веществе под действием внешних причин возникает перераспре-
перераспределение энергии между внешними и внутренними степенями свободы,
то в качестве параметра неравновесности удобно принять концент-
концентрацию молекул с возбужденными внутренними степенями свободы.
В смеси реагирующих веществ параметром неравиовесности может
быть принята концентрация одного из компонентов. В общем случае
в веществе может существовать одновременно несколько механизмов ?
нарушения статистического равновесия. При этом неравновесные про-
процессы описывают с помощью нескольких параметров неравновесности.
Для упрощения ниже приводятся рассуждения в предположении
одиночного релаксационного процесса с параметром неравновесности.
Как известно, все равновесные процессы можно описать с по-
помощью термодинамических потенциалов. В зависимости от выбран-
выбранных независимых переменных в качестве термодинамических потен-
потенциалов используют следующие функции: удельные внутреннюю энер-
энергию м(р, s), свободную энергию /(р, Г), энтальпию Л(р, s) и термо-
термодинамический потенциал Гиббса g(p, T). В термодинамике неравно-
неравновесных процессов наряду с обычными независимыми переменными
термодинамических потенциалов введем параметр неравновесности ?.
Таким образом, неравновесные значения термодинамических потенци-
потенциалов имеют вид функции обычных независимых переменных и пара-
параметра неравновесности:
и(р, s, Q; /(р, s, Q; А(р, s, ?); g(p, 7\ ?).
Если система вновь придет к равновесному состоянию, то параметр
? примет свое равновесное значение и потенциалы возвратятся к потен-
потенциальным функциям равновесной термодинамики. Приращения термо-
термодинамических функций в неравновесном процессе выражают форму-
383
лами равновесной термодинамики с добавлениями к ним слагаемого,
соответствующего работе возвращения системы к равновесному состо-
состоянию:
du = Tds + — pdp —
(VIIL5.1)
~dp
В выражениях (VIII.5.1) полные дифференциалы термодинамичес-
термодинамических потенциалов относятся к неравновесным процессам изменения
независимых переменных. Они содержат произведения обобщенных
сил на приращения обобщенных координат. Добавочный член — ipd?
представляет собой произведение обобщенной релаксационной силы \\)
на приращение релаксационной обобщенной координаты. Физический
смысл г^ состоит в том, что эта сила численно равна работе, которую
должна совершить система, чтобы возвратиться в равновесное состоя-
состояние (параметр ? имеет нулевую размерность). Отсюда следует, что
релаксационная сила равна нулю, если ? = ?(/) (система находится в
состоянии статистического равновесия).
В зависимости от того, какие переменные приняты независимыми,
релаксационная сила г|) выражается производной от соответствующе-
соответствующего- термодинамического потенциала по параметру ?:
(s, р, ?)== -(¦—¦
stp'
•ф (s, p, Q = — -^ .
г|> G\ p, ?)=-"
Так как при С = С(/) релаксационная сила равна нулю, то из
(VIII.5.2) следует, что равновесные состояния соответствуют минимуму
термодинамических потенциалов.
§ VHI.6. УРАВНЕНИЕ РЕЛАКСАЦИИ
Процессы восстановления статистического равновесия определя-
определяются движением отдельных атомов и молекул, а не перемещением
больших масс вещества. Поэтому эти процессы безынерционны и,
следовательно, релаксационная сила г|) пропорциональна скорости
изменения ?:
*=^-? • (VIII.6.1)
384
В дальнейшем изложение будем вести, используя понятия обоб-
обобщенных сил X и Y и обобщенных координат х и у. В этой форме
обозначим любой из термодинамических потенциалов символом обоб-
обобщенного термодинамического потенциала L(x, у, ?) так, что формулы
(VIII.5.1) запишем в виде одной—применительно к обобщенным тер-
термодинамическим величинам
dL(x, у у ?)== — Xdx—Ydy — ^
— обобщенные силы; х, у и ? — обобщенные координаты.
Для облегчения изучения, материала приводим табл. VII 1.6.1
значений обобщенных величин и обобщенного термодинамического
потенциала для простой термодинамической системы.
Таблица VIII 6.1.
Обобщенные
величины
Обобщенные величины простой термодинамической системы в (VIII. 5.1)
X
У
С
-У
L
s
Р
I
Т
Р/Р2
u(s, p, Q
Т
Р
I
— s
Р/Р2
Т, р, О
S
р
с
г
1/р
h (s, p,
Р
С
— s
-1/р
г (г, р. о
Разложим релаксационную силу в ряд Тейлора по обобщенным
координатам и ограничимся линейными членами:
Имея в виду, что равновесное значение ?^ = 0, получаем
I. (VIII.6.2)
= 0.
Отсюда изменение 6?(" при равновесных процессах равно
(VIII.6.3)
Для равновесных процессов ? = 0, поэтому
Г,
Учитывая (VIII.6.2), получаем формулу линейного приближения
для релаксационной силы:
^ = (^-)^(б?-б?<'>). (VIII.6.4)
13 Л. Ф. Лепендин 385
Используя (VIII.6.4), преобразуем уравнение релаксации (VIII.6.1)
в линейном приближении:
Если система находится в состоянии нарушенного равновесия, то
согласно второму закону термодинамики внутри системы развиваются
процессы, в результате которых система возвращается в равновесное
состояние. Поэтому производная {d^/dt)^ отрицательна, т. е.
b (d^?/d^)Xt у = —l/xXiy. Таким образом,
? = -;Г-(бе
lxt у
где
. у = _(dV/dQx.у Ь = (&L/dQXt у Ь
^(/ — величина, имеющая размерность времени.
Если параметры х и у не изменяются, то не изменяется значе-
значение б? (/), поэтому можно записать ? = ^- F? — 8?(/)) в виде ?==б(б^ —
и уравнение (VHI.6.6) имеет решение
где тЛГ} ^ — интервал времени, необходимый для того, чтобы отклоне-
отклонение б? от равновесного значения 8?(/) уменьшилось в е раз.
В зависимости от того, какие выбраны обобщенные координаты,
время rXty имеет различные названия: тр, s = т — время релаксации
при изох'орическом и адиабатическом процессах, или адиабатическое
время расслабления; тР) т = %' — время релаксации при изотермическом
и изохорическом процессах, или изотермическое время расслабления;
V s = г — время ретардации при изобарическом и адиабатическом
процессах, или адиабатическое время задержки; xPf т = г' — время
ретардации при изотермическом процессе, или изотермическое время
задержки. Наряду с этим часто используют обратные величины вре-
времен релаксации и ретардации. В этом случае соо=1/т и со^ = 1/т'
называют частотами релаксации при адиабатическом и изотермиче-
изотермическом процессах; fo=l/r и f'Q=l/г'— частотами ретардации при
адиабатическом и изотермическом процессах.
Частоты релаксации и ретардации в общем виде определяют фор-
формулами:
Wl, "•-«lapji- (VIH69)
В общем случае четыре времени отставания т, т', г и /-' не сов-
совпадают. Между частотами (VII 1.6.9) существует связь, которую
можно получить, если провести в указанных формулах соответствую-
соответствующую замену переменных [15]. При этом можно получить следующие
886
соотношения:
О)о = ^^й)о> Vo:=§r-?>v°' (VHI.6.10)
где с^\ 4°°* и /Cs°0) — теплоемкости и адиабатический модуль упру-
упругости при высоких частотах ((о^>со0); 4?\ 4°} и ^0) — теплоемкости
и адиабатический модуль упругости при низких частотах (g)<^cd0).
При распространении звука параметр ?(/) периодически изменя-
изменяется около своего среднего значения. То же самое относится и к не-
неравновесному значению этого параметра. Изменения ? и ?(/) выра-
выражают формулами:
Подставляя эти выражения в линейное уравнение релаксации
(VIII.6.6), получаем
h> (VIIL6-12)
т. е. между б?^ и б?0 имеется сдвиг фаз, определяемый произведе-
произведением частоты колебаний и времени релаксации rXt Ут
§ VIII.7. РЕЛАКСАЦИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Основное свойства чистых жидкостей определяют следующими
термодинамическими величинами:
1) изотермическим и адиабатическим модулями упругости
2) теплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении
«.-да.. *-(*)/
3) термическими коэффициентами объема и давления
4) коэффициентами сдвиговой и объемной вязкости
^-[m -f^iJ- (VIII 7 4)
divv LUp/5 \dp/5Jdivv» iviii./.-*;
5) коэффициентом теплопроводности
Исследуем эти величины с точки зрения неравновесной термоди-
термодинамики.
13* 387
Поскольку независимые переменные являются функциями пара-
параметра неравновесности ?, то каждый из перечисленных коэффициентов
может иметь как равновесные, так и неравновесные значения. Нерав-
Неравновесные значения указанных величин соответствуют процессам, про-
протекающим в условиях нарушенного статистического равновесия; их
будем обозначать обычными символами этих величин, равновесные —
индексом, поставленным вверху справа от символа, обозначающего
ту или иную величину. Например, неравновесное значение адиаба-
адиабатического модуля обозначим Ks> равновесное К[\
Найдем формулу объемной вязкости для периодического процесса
изменения плотности:
Из уравнения непрерывности dp/dt + podivv = 0 получаем
/собр = — podivv
или
divv = — /(d-^-.
Тогда с учетом (VIП.7.6) приводим (VIII.7.4) к виду
Is \ dp js J div v " Ц Ф Is \ dp Jsl /о) •
Принимая во внимание (VIII.7,1), получаем
Таким образом, коэффициент объемной вязкости | равен нулю,
если /Cs = /С^/}, т. е. при равновесных процессах.
Термодинамические коэффициенты определяются первыми произ-
производными от термодинамических сил или потенциалов по термодина-
термодинамическим координатам. Поскольку термодинамические координаты
являются функциями параметра ?, то
0L\ = (E?L\ jl № д?\
дх )у \дх /у,1 + [д1 ~дх)у #
Воспользовавшись (VIII.6.12), получим
1 дХ
\ дх jy \oxjy, l ~ dl дх I +/@T '
После алгебраического преобразования производная (дХ/дх)у опре-
определяется формулой
дХ\ __ 1 [(дХ\ . дХ д^01) (дХ\
дх )у ~ 1 +/СОТ L\ дх )у, i + di дх + •'С0Т\ дх )у,
Сумма двух первых членов выражает полную производную X с учетом равно-
равновесного значения параметра ? = ?^. Обозначим эту величину (дХ/дх)®%
Производная от обобщенной термодинамической силы X, взятая при постоян-
постоянных значениях координаты у и параметра ?, соответствует тому числовому ее
388
значению в акустической волне, которая может наблюдаться при мгновенных
изменениях состояния, т. е. при бесконечно больших частотах. Обозначим эту
производную при помощи символа со:
(д?\ _(дХ^
\dxjy, i ~ \дх
Таким образом, дифференцирование термодинамической величины X
по независимой переменной с учетом параметра неравновесности при-
приводит к следующему комплексному выражению:
дА
'дх
Далее, назовем величину Q = l/xXiy частотой релаксации при
условии, когда восстановление равновесия происходит при постоян-
постоянных значениях независимых переменных х и у. В этом случае
соТд; у = (o/Q представляет собой безразмерную частоту колебаний. Кроме
(дХ1дх)
того, введем безразмерную величину —= ^- = п и преобразуем
[О Л. /ОХ) у
(VIII.7.8) к виду
Выражение (VIII.7.9) является математической формулировкой
закона релаксации производной обобщенной силы по независимой
переменной х при постоянной другой независимой переменной.
Разумеется, производные (дХ/дх)у, (дХ/дхI и п можно записать,
используя обобщенный термодинамический потенциал L:
dL(x, у, 0= -Xdx-Ydy-4di,
где Х= -()ytz (y)9$ (^y
Следовательно, равновесная производная (дХ/дх)°у и относительное
значение мгновенной производной п выражаются вторыми производ-
производными от термодинамического потенциала. Формулу производной по
независимой переменной можно применить в случае, если в качестве
функции X взять любую термодинамическую функцию независимых
переменных х, у и ?. В частности, ее можно записать для обобщен-
обобщенного термодинамического потенциала:
где п—г
Применим (VIП.7.9) для вывода частотной зависимости комплексных
упругих модулей, теплоемкостей и термических коэффициентов в
веществе, имеющем частоту релаксации ©0J.
Комплексный адиабатический модуль упругости получают из
(VIII.7.9) при замене обобщенной силы X давлением р% обобщенной
389
координаты х плотностью р, обобщенной координаты у энтропией s:
где т — а)/(о0s — частота звуковой волны, отнесенная к частоте релак-
релаксации; п = /Cioo>//Cs°> — отношение мгновенного модуля к модулю рав-
равновесного процесса.
Аналогично получаем формулу для комплексного изотермического
модуля упругости:
Здесь m = G)/G)or и /г = /Сго)/^Сг.
Преобразуем коэффициент объемной вязкости (VIII.7.7) с помощью
выражения (VIII.7.11):
х/СС0) (/г— 1)
6*° 'i+/m » (VIII.7.12)
где т = со/со0; я = КТЬкТ = с^ /с*.
Подобно получаем формулы комплексной теплоемкости при по-
постоянном объеме и постоянном давлении:
l+jm
Точно так же получают комплексные выражения для коэффици-
коэффициента объемного расширения и термического коэффициента давления:
Ро
l+jm
m = ;)
§ VIII.8. ЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ВЕЛИЧИН ОТ ЧАСТОТЫ
Для выяснения физического смысла действительной и мнимой
частей модулей и термических коэффициентов необходимо вспомнить
назначение этих величин.
Модуль упругости дает первое приближение для вычисления
дополнительного давления в случае, если плотность получает неболь-
390
шое приращение бр:
где Ks/po — квадрат фазовой скорости распространения звука.
Адиабатический модуль является комплексной величиной, следо-
следовательно, квадрат фазовой скорости распространения звука —также
комплексная величина. Однако физический смысл квадрата скорости
распространения имеет только ее действительная часть:
Таким образом, при одиночном релаксационном процессе имеется
зависимость фазовой скорости от частоты. Мнимая часть квадрата
фазовой скорости сама по себе лишена физического смысла. Однако
отношение мнимой части к действительной в первом, приближении
дает коэффициент поглощения на длину волны. В данном случае это
тот вклад в общий коэффициент поглощения, который вносит релак-
релаксационный процесс:
оЛ~я'п
При /г-1<1
Рассмотрим физическое содержание комплексной объемной вязкости.
Предположим, что вклад в поглощение звука релаксационных
процессов определяется только реальной частью комплексного выра-
выражения коэффициента объемной вязкости (VIII.7.12):
т
"~2Poc$ хч"ъ 2Poc} coo m^+1 ~ 2^0
Коэффициент поглощения на длину волны равен
ал = яш -
т2+1 '
т. е. получаем формулу (VIII.8.2). Мнимая часть комплексного коэф-
коэффициента поглощения дает добавление к волновому числу:
Таким образом, фазовая скорость с учетом поправки на влияние
объемной вязкости определяется из формулы
1
° =С" 1— т2(п— 1)/A+т2) '
Так как л-1<1, то 1—2{{ + J} ^|/ 1 i + m* ' Ква^Рат ско*
роста звука
391
Формула (VIII.8.3) полностью совпадает с (VIII.8.1). Значит,
коэффициент объемной вязкости можно рассматривать как макроско-
макроскопический параметр релаксационных процессов, происходящих в веще-
веществе под действием упругих волн.
Если действует несколько процессов релаксации, то вместо одного
параметра неравновесности имеется несколько (?х, ?2, ?3> • • • > Хп)- Тогда
приращение термодинамического потенциала содержит сумму работ
нескольких сил релаксации:
при этом отдельная релаксационная сила Ч^ = — (дЬ/д^)*^. Разлагая
ее в ряд Тейлора вблизи невозмущенного состояния, получаем
u ,(
(VIII.8.3')
Первый член этого разложения равен нулю, так как в невозбужденном
состоянии релаксационные силы исчезают.
Релаксационные силы Wk, как и в случае одиночного релаксацион-
релаксационного процесса (VIII.8.1), связаны со скоростями изменения параметров
релаксации ?у линейными уравнениями
k= 1
которые после подстановки выражений Wk из (VIII.8.3') приводятся
к виду
где bj = ?i> ^2» •••» Sn» Sv===:Si> Ъ2> •••> См» ^+i» •••» Сл-
Здесь каждое уравнение содержит изменение всех параметров &.
Однако систему дифференциальный уравнений (VII 1.8.4) можно упро-
упростить введением новых параметров &, связанных со старыми линейными
соотношениями. Тогда система линейно зависимых уравнений преоб-
преобразуется к уравнениям линейно независимым:
Для релаксационных сил, записанных в виде функций термодина-
термодинамических координат и нормальных параметров релаксации ?, можно
применить линейное приближение в виде первых степеней степенного
ряда:
д
392
В невозбужденном состоянии релаксационные силы равны нулю,
поэтому
где 6?Ф' — отклонение равновесного значения параметра от его зна-
значения в невозмущенной среде ?<°>'в
С учетом (VIII.8.5) дифференциальные уравнения (VII 1.8.4') пре-
преобразуем к виду
где
Для гармонических процессов с частотой со решения уравнений
относительно независимых релаксационных параметров имеют вид
где mi = сот* = со/соо; (i = 1, 2, 3, ...).
Производная по независимой переменной от обобщенной термоди-
термодинамической силы теперь имеет вид
дХ\ (дХ\ , VI дХ
дх
Производная при постоянных параметрах релаксации соответствует
ее значению при бесконечно больших частотах (дХ/дх)°°. В результате
получаем следующее выражение для релаксирующей производной:
дХ\ дХ
\)ущ
Пользуясь этим выражением, запишем формулу для комплексных
адиабатического и изотермического модулей:
(оо)
где KSi = ро ("^—т-~) » Кп = Ро I -др) -з~^> теплоемкости при постоян-
постоянном объеме
да д?
393
теплоемкости при постоянном давлении
коэффициенты объемного расширения
Как и в случае одиночного релаксационного процесса, относи-
относительные частоты trii равны отношению частоты колебаний к частоте
соответствующего релаксационного процесса.
Например, для формул адиабатического и изотермического модулей
в качестве частот приведения используют частотй адиабатической со01
и изотермической релаксации (oJi, т. е. относительные частоты тг
соответственно равны со/(% и (о/со^-.
В реальных релаксационных процессах с несколькими частотами
релаксации отдельные физические релаксационные процессы взаимно
независимы, поэтому все отношения, которые были записаны для
нормальных параметров релаксации, справедливы для физических
релаксационных параметров.
В [15] изложена общая теория релаксационных явлений Ман-
Мандельштама— Леонтовича, которая позволяет использовать акустиче-
акустические измерения для исследования различных релаксационных процес-
процессов в жидкостях и газах.
Формулы релаксационной теории настолько сложны, что непосредственное их
применение ограничено небольшим числом простых случаев. Тем не менее можно
сделать важные заключения о характере молекулярных процессов на основании
следующих соображений.
Согласно косвенным данным, вводят предположение о том, какой именно
релаксационный процесс имеет место в данном случае, и выбирают параметр ?.
Исходя из молекулярной модели процесса и пользуясь дополнительными данными,
вычисляют параметры, характеризующие релаксационный процесс: релаксационную
частоту, адиабатический релаксирующий модуль и др. Затем вычисленные пара-
параметры сравнивают с полученными на основании измерений скорости распростра-
распространения и поглощения звука в широком диапазоне частот. Эти величины дают
возможность вычислить т/, rf и Ь в уравнении релаксации.
Таким образом, на основании акустических измерений можно определить
скорость протекания релаксационного процесса.
Измерения релаксационного модуля упругости можно использовать для про-
проверки молекулярной модели процесса. Определение релаксационных процессов
возможно и тогда, когда область частот релаксации недоступна для непосредст-
непосредственного эксперимента. В этом случае удается измерить только т (К^° — /С|!). Если
известна разность K^~K°S, то можно найти время релаксации, а по нему опре-
определить тип релаксационного процесса. Многочисленные примеры применения
релаксационной теории поглощения звука в жидкостях и газах приведены в [14, 15].
ГЛАВА IX
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
§ IX. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Тензор деформации. Пусть в результате деформации две фикси-
фиксированные материальные точки тела сместятся из положения АВ в
А'В'. Если координаты точек А и А' обозначить соответственно х{
и X/, а координаты точек В и В' — Xi + dxt и x'i-\-dxl, то расстояние
между материальными точками после деформаций
&у = dxf = (dxt + dutf = (dx, + -g^ dxkj.
После возведения в квадрат этого выражения получаем
Обозначим
где и^-—тензор второго ранга; дщ/дхь — относительная деформация
по направлению координаты ? в отношении dxk, ориентированной
в направлении координаты k. Например, производная дах/дх есть
величина относительного удлинения в направлении оси X; дих/ду—
сдвиговая деформация в направлении оси X по отношению к рас-
расстоянию dy, и т. д. Для малых деформаций члены с произведением
dui/dxh duildxk являются величинами второго порядка, поэтому ими
пренебрегают.
Таким образом, формула тензора деформации в линейной теории
упругости имеет вид
1 (дщ duk\ ny - -
s'2 ДГ + 1Г* (IX.1.1)
Он обладает свойством, согласно которому Щи — и-ы, т. е. компоненты
этого тензора симметричны относительно диагональных членов.
В линейном приближении расстояние между точками деформиро-
деформированного тела составляет
dlf = Vdl2 + 2uikdxidxk. (IX. 1.2)
Из физических соображений следует, что расстояние между точками
не зависит от выбранной системы координат. Можно найти такую
прямоугольную систему координат, в которой все недиагональные
компоненты симметричного тензора исчезают. Эту систему координат
называют главной. Тензор деформации, приведенный к главной системе,
называют главным тензором деформации. Если привести (IX. 1.2)
395
к главной системе координат, то
V (IX. 1.3)
где
/ U
= о
\о
0
0
0
0
— главный тензор деформации.
Относительное увеличение расстояния (dV — dl)/dl = Y1 + 2а(*} — 1.
Приближенные значения квадратного корня в (IX. 1.3):
dl'-di
или
dx', —
Формула (IX. 1.4) показывает, что если в произвольной системе
координат деформация складывается из деформаций сдвига и растя-
растяжения, то методом преобразования координатных осей можно эту
деформацию представить в виде совокупности трех деформаций рас-
растяжения.
Деформация объема. Запишем изменение объема тела при дефор-
деформации. Расчет проведем относительно главной системы координат.
Изменение элемента объема dV' — dV, где dV — элемент объема
деформированного тела; dV — начальный элемент объема, причем
dV = dx\ dx'i dx'z = (и{1> + l) (ИB> + 1) (u^ + 1) dxx dx2 dx3,
или
dV = (u^u^u^ + Ъи^и.™ + 3u{1)u^ + Ъи^и^ +
+ 3aA> + 3u{2) + 3u{s)) dxx dx2 dx3 + dxx dx2 dxs.
При малых деформациях произведениями и{1)и^2)и{3)\ aA)i/B); и
т. д. можно пренебречь, так что dV' = dV+(u{1)JrU{2)Jru{®) dV. Поэтому
dV'~dV =u<l> + uW + ui*K (IX.1.5)
Относительное изменение объема при малых деформациях равно
сумме диагональных членов главного тензора деформации. Из алгебры
известно, что сумма диагональных членов симметричного тензора
инвариантна относительно преобразования координат
В формуле (IX. 1.5) в левой части стоит инвариантная величина
(относительное изменение объема не зависит от выбора системы коор-
координат).
Таким образом, если известен тензор малых деформаций в какой-
либо системе координат, то сумма его диагональных членов равна
относительной деформации объема.
396
Тензор напряжения. Если в свободном теле представить себе
плоскость, отделяющую одну часть тела от другой, то через эту пло-
плоскость действуют силы сцепления частей тела. Эти силы взаимно
компенсируют друг друга и определяются только внутренней природой
тела. Однако если тело деформировано, то равновесие внутренних сил
нарушается и сумма сил, действующих внутри тела, не равна нулю,
а должна компенсироваться суммой тех сил, которые возникают
вследствие воздействия со стороны внешних тел. Пусть в элементе
объема тела действует сила с компонентой FtdV. Полная объемная
сила, когда воздействий нет, выражается интегралом^ FidV = 0. Если
v
со стороны внешних тел к данному объему V тела приложены силы,
то этот интеграл не будет равен нулю
и должен преобразоваться к силам,
действующим через поверхность, огра-
ограничивающую объем V:
dV.
Это значит, что сила, отнесенная к
единице объема, может быть представ-
представлена в виде градиента тензора oik:
1 = -^-. (IX.1.6)
Рис. IX.1.1
Только в этом случае объемный интеграл может быть сведен
к интегралу по поверхности:
г» з« с»
f. (IX.1.7)
Тензор oik называют тензором напряжения. Между объемной
силой и тензором напряжения существует связь (IX. 1.6). Компоненты
тензора напряжения изображены на рис. IX. 1.1.
Главное свойство тензора напряжений. Для выявления главного
свойства тензора напряжений обратимся к задаче о вычислении
момента сил, действующих на объем тела.
Как известно, момент силы определяется формулой
или в координатной форме
Иначе говоря, момент силы выражается тензором второго порядка.
Пусть в написанных выше формулах Ft — компоненты силы, прихо-
приходящейся на единицу объема. Тогда Mik есть компонента тензора
момента силы, приходящаяся на единицу объема, a Mik dV — компо-
компонента тензора в элементе объема dV. Компонента момента силы,
действующей на весь объем, § MikdV = $ {FiXk
v v
397
Учитывая выражение для Fi через компоненту тензора напряже-
напряжения, получаем
dxi
С д С [ дх
J д*1 J \ дх
Первый интеграл с помощью теоремы Остроградского — Гаусса преоб-
преобразуем в интеграл по поверхности. Второй интеграл, используя соот-
дхк « A ПрИ i=k,
ношение -тГ?- = о/ь = < представим в виде
dxt \ 0 при гфк,
п
Jik — GkdbikdV.
Поскольку некомпенсированные вращательные моменты могут
действовать через поверхность тела, то интеграл, который не приво-
приводится к интегралу по поверхности, должен быть равен нулю:
v
Отсюда следует
oik = akh (IX. 1.8)
Соотношение (IX. 1.8) выражает главное свойство тензора напря-
напряжения: тензор напряжений симметричен относительно диагональных
членов.
Условия равновесия. Если на поверхность тела не действуют
внешние тела, а внутри действуют объемные силы, то условие равно-
равновесия
^ <1ХЛ-9)
Если на тело действуют внешние силы pt df, то они должны быть
уравновешены силами внутреннего напряжения так, чтобы
или
Pt = otknk. (IX. 1.10)
Наконец, условие динамического равновесия получается на осно-
основании принципа Даламбера, если объемную силу Ft в (IX. 1.9) заме-
заменить эффективной объемной силой:
Тогда из уравнения (IX. 1.9) следует уравнение движения при
деформировании:
398
Деформация и механическая работа. При деформировании тела
внешние силы производят работу. Работа деформирования dui9 совер-
совершаемая под действием внутренних сил FtdV, записывается как про-
произведение силы на деформацию: FidukdV.
Работа, произведенная во всем объеме тела, представляет собой
сумму всех элементарных работ деформирования:
= \ JL (aik dut) dV - С aik ¦?- {dud dV.
v v 'l
В полученном выражении работы первый интеграл приводится
к интегралу по поверхности
V
а второй преобразуется к виду
Таким образом, работа сил упругости во всем объеме тела равна
А - I aik duitik df - \ aik duik dV.
(V) V
Полученное выражение должно быть справедливо для любых объемов.
Необходимо считать, что при увеличении объема до бесконечности
работа должна оставаться конечной величиной. Вследствие затухания
любого действия в бесконечно удаленной точке полагаем, что первый
интеграл равен нулю. Таким образом, работа деформированного тела
Отсюда работа, отнесенная к единице объема,
6A = — oikduik. (IX.1.12)
Термодинамические потенциалы деформированного тела. Будем
иметь в виду, что в качестве обобщенных сил принимаем компоненты
тензора напряжения xik = eiki а в качестве обобщенных термодинами-
термодинамических координат — компоненты тензора деформации. Поэтому функции,
записанные на основе (IX. 1.9) с учетом (IX. 1.12), являются термо-
термодинамическими функциями единицы объема. В табл. IX. 1.1 приведены
формулы термодинамических потенциалов и уравнений состояния для
изотропного твердого тела.
399
Таблица IX.П.
Термодинамический
потенциал
Внутренняя энергия
единицы объема
Тепловая функция
единицы объема
Свободная энергия
единицы объема
Термодинамический
потенциал Гиббса
Приращение
dh = Tds -j- tiifc do(^
df = — s dT — O(x du(fc
dg = — sdT -\- Uik do 1^
Уравнение состояния
Зная термодинамический потенциал, можно получить уравнение
состояния. Обычно явных выражений для термодинамических потен-
потенциалов не существует, поэтому составить уравнение состояния, поль-
пользуясь табл. IX. 1.1, на первый взгляд невозможно. Однако в линейной
теории упругости дело значительно упрощается, поскольку все изме-
изменения параметров принимаются малыми. На основании этого можно
получить приближенные выражения термодинамических потенциалов
при разложении той или иной функции по малым параметрам. Тогда
для твердого тбла можно найти восемь линейных уравнений состояния:
4 механических и 4 калорических.
Закон Гука. Механические уравнения состояния твердого тела
в линейном приближении известны как различные формы закона
Гука. Простейшая форма закона Гука, широко применяемая в техни-
технических приложениях, относится к однородной деформации стержней.
Для выявления многообразных видов упругих волн необходимо иметь
ясное представление о линейных уравнениях состояния в общем виде.
Рассмотрим изотермическую деформацию упругого тела. При ней
изменение свободной энергии единицы объема выражается функцией
компонент тензора деформации и ее можно представить в виде сте-
степенного ряда по малым приращениям этих компонент:
400
Здесь /о — удельная свободная энергия при нулевых деформациях;
dn\ldunik — производные, взятые при значениях независимых перемен-
переменных, равных нулю.
Из сравнения коэффициентов разложения с механическим урав-
уравнением состояния, составленным на основе свободной энергии, видно,
что первый коэффициент df/duik является компонентой тензора напря-
напряжения. Однако он взят при нулевой деформации. Поэтому второе
слагаемое рассматриваемого ряда равно нулю. Следующие слагаемые
преобразуются так, как показано ниже:
1 а2/ _ 1 doik I dsf 1 d2oik
dufk[Uik==0~ 2 duik 5 3! du\k "! du\k ,H^=0.
Опустив первый член в (VIII.5.13), как несущественную постоян-
постоянную, находим
4
uik \uik=0
Согласно (IX.1.14), механическое уравнение состояния получаем
в виде
df I dJu? \ ? , 1
аи ^«у ^^2
Ограничившись линейными членами, запишем наиболее простое
механическое уравнение состояния, называемое законом Гука:
Приращение тензора деформации можно выразить через прираще-
приращение диагональных членов, поэтому в правой части этой формулы
выделим отдельно сумму диагональных членов тензора деформации.
В результате закон Гука принимает вид
oik = huu8ik + 2iiuiki (IX. 1.15)
где X и (л — модули упругости (X и |х — первый и второй коэффици-
коэффициента Ламе); 6ik = 1 при i = k и б^ = 0 при i Ф к.
Уравнению (IX. 1.15) можно придать форму, в которой четко
разделены сдвиговая и объемная деформации. Одной из возможных
форм такого рода является выражение
l (IX. 1.16)
где G и К — модули упругости.,
Постоянную G называют модулем сдвига, поскольку для деформаций без изме-
изменения объема могут существовать только сдвиговые напряжения: oik~20uik
(щк==0 при i = k).
Если деформация тела не сопровождается сдвигом, то для изотропного тела
(мц = «22 =?= мзз) получаем
C
«11 — "о" "
6
т. е. имеем чистое расширение или сжатие: u11 = o1i/Ck)=p/3k.
401
При этом относительное изменение объема
А К р
«11= у =-?-
Коэффициент /С называют изотермическим модулем объемной упругости.
Между постоянными Ламе и модулями G и К существует связь:
(IX. 1.17)
В выражениях (IX. 1.15) и (IX. 1.16) компоненты тензора напряжения являются
линейными функциями компонент тензора деформации. Иногда удобно пользо-
пользоваться обратной зависимостью, т. е. линейными функциями компонент тензора
деформации от компонент тензора напряжений. Чтобы получить эти зависимости,
в каждом из уравнений (IX. 1.15) и (IX. 1.16) найдем тензор оц. Например, поло-
положив в (IX. 1.15) / = /> = /, получим
Следовательно,
Подставляя выражение для иц в формулу (IX. 1.15) и решая уравнение относи-
относительно uik, получаем
^() AХЛЛ8)
Точно так же можно вывести аналогичную формулу:
) (IX.1.19)
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Одним из видов дефор-
деформации является простое растяжение стержня. На основе описания
деформации растяжения введены технические модули: модуль Юнга Е
и коэффициент Пуассона а. Допустим, что стержень прочно закреплен
одним основанием и подвергнут растягивающему усилию Р. Если
сечение стержня /, то средняя внешняя сила, приходящаяся на единицу
Р
площади, численно равна /?=-г-. При не слишком больших усилиях
возникает небольшое удлинение стержня и уменьшение его попереч-
поперечного сечения. Продольная деформация стержня равна А///, попереч-
поперечная — Ad/d (здесь / — начальная длина стержня; d — начальный линей-
линейный размер поперечного сечения; А/ и Ad —изменения этих величин
при деформации). Оставаясь в рамках линейного приближения, можно
записать два уравнения:
Д/ 1 Ad A/ /TV I oa\
— = ТР> Т==~а~Г' (IX.1.20)
Оба выражения представляют собой закон Гука для однородной
деформации растяжения.
Формулы (IX. 1.20) удобны для нахождения из опыта модулей
упругости материалов. Чтобы использовать в общем законе Гука
модули ? и а, необходимо найти выражения модулей |.i, Я; К и G
через технические модули упругости ? и a. Для этого запишем
402
отдельно все компоненты тензора деформации (IX. 1.18) при простом
растяжении.
С этой целью расположим прямоугольную систему координат так,
чтобы ось Z совпадала с осью стержня. Допустим, что сила растя-
растяжения направлена в сторону положительных значений г. На основе
граничных условий среднее значение силы растяжения, отнесенной
к площади /, равно zz-й компоненте тензора напряжения:
р _ _
Боковые грани стержня свободны, поэтому Gxx = eyy = Q; внешние
моменты сил также равны нулю, поэтому сдвиговые напряжения аху —
= (Ухг = ayz = 0.
Подставляя компоненты' напряжения в (IX.1.18), получаем ком-
компоненты тензора деформаций простого растяжения в виде
____ 1 Г К , , , Л 1 К
Uxx "" 2ц Гхх "" 2ii + 3l {Охх + °уу + °**'\ e " 24u
С учетом (IX. 1.20) и (IX. 1.21) находим, что отношение продоль-
ного напряжения р к продольной деформации, называемое модулем
Юнга, выражается формулой
Е = ?^+^ , (IX.1.22)
а отношение поперечной деформации ихх = иуу к деформации удлинения
(коэффициент Пуассона)
W AХЛ-23)
Точно так же можно показать, что справедливы следующие формулы:
9KG 1 3/C-2G
0f==Tl[FX9?r» AA.1.24)
^ 3/C + G ' 2 3/C + 2G
где G —модуль сдвига.
Поскольку /С и G всегда положительны, то коэффициент Пуассона
может изменяться от 0 (/С = 0) до 1/2(G = 0). Полезно иметь в виду,
кроме того, следующие соотношения:
1 ^ „Х.,.25)
3A-2а) ' /v~ A_2
где К — модуль упругости объема, а — коэффициент Пуассона, Е —
модуль Юнга.
Физический смысл первого коэффициента Ламе Я. Деформация
одностороннего сжатия проявляется в случае, когда размеры стержня
изменяются только в одном направлении. Допустим, что стержень зажат
снизу и с боков неподвижными стенками. На свободную грань стержня
действует сила, которая вызывает деформацию вдоль оси стержня,
403
равную At/l = uzz. Найдем напряжения, возникающие в стержне. В дан-
данном случае удобно воспользоваться формулами закона Гука, в которых
независимыми переменными являются компоненты тензора деформации
(IX. 1.15) или (IX. 1.16). В эти формулы подставим компоненты тен-
тензора деформации: ихх = иуу = 0, игг = &1/1. В результате получаем
выражения компонент напряжения при односторонней деформации:
(У хх = №xxUzz +
Gljy == Xbyyuzz + 2\шиу = XuZZi (IX. 1.26)
<*zz = №ggtlzz + 2liUzz = (X + 2|X) llZZt
или
Знак минус в последних формулах показывает, что напряжения при
сжатии направлены внутрь образца. Наоборот, если бы односторонняя
деформация была положительной, то напряжения, возникающие при
этой деформации, были бы направлены в сторону внешних тел. В дан-
данном случае рассматриваем деформации как причину возникающих
напряжений.
Формулы (IX. 1.26) раскрывают физический смысл первого коэф-
коэффициента Ламе X. Очевидно,
Х = -2*?. (IX.1.27)
uzz
Иначе говоря, модуль X равен отношению поперечного нормаль-
нормального напряжения к удлинению стержня при одностороннем растяжении.
§ IX.2. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
Деформации, рассмотренные в § IX. 1, соответствуют изменениям
состояния тела при постоянной температуре. Поэтому модули упру-
упругости, встречающиеся в тех или иных формулах закона Гука, характе-
характеризуют связь между деформациями и напряжениями при изотерми-
изотермических процессах. Эти модули называют изотермическими. Однако
изотермическое изменение состояния твердого тела является идеали-
идеализацией. В природе деформации большей частью осуществляются при
условиях, когда температура тела по тем или иным причинам не
остается постоянной. В таком случае также можно записать закон
Гука, но модули упругости в этом законе будут отличаться от изо-
изотермических. Особенно интересен случай динамических деформаций,
когда процесс деформации осуществляется в условиях теплоизоляции.
Итак, чтобы получить адиабатический закон Гука, воспользуемся
механическим уравнением состояния на основе внутренней энергии:
Формально внутреннюю энергию при малых деформациях можно
представить в виде ряда (X. 1.13), но для внутренней энергии и (s, uik) —
в виде ряда, коэффициенты которого будут производными компонент
напряжения по переменным щк при постоянной энтропии. Тогда
404
получим формулы закона Гука, содержащие адиабатические модули.
Все адиабатические модули отличаются от изотермических. Связь
между ними можно проследить с помощью термодинамического соот-
соотношения
1 l
Поскольку при сдвиговых деформациях не происходит измене-
изменения объема, адиабатический модуль сдвига равен изотермическому:
GS = G. (IX.2.2)
Выражения (IX.2.1) и (IX.2.2), дополненные формулами связи
между различными модулями, позволяют найти соотношения:
Е <УJ/
E
Для оценки порядков величин обратимся к числовым значениям для моду-
модулей железа: Е^2\ - 1019 дин/см2; а = 0,287. При температуре 7"==400 К удельная
теплоемкость железа ср^2,1 • 107 эрг/(г • град).
Однако в формулы (IX.2.3) входит теплоемкость единицы объема вещества
ср = рср— 1,6 • 108 эрг/(см3 • град). Коэффициент объемного расширения железа
afz>> = 3. 10-5 1/град
Величина Еа^*/Ср, входящая в формулы (IX.2.3) для Т = 400 К, имеет чис-
числовое значение я» 1,6 • 10~2. Поэтому можно пользоваться приближенными фор-
формулами:
^} oo + (\ + )E^ (IX.2.4)
В частности, для железа
ES^E A + 1,6- 10-2); as^o + (\+a)' 1,6-
Для других металлов адиабатические модули также мало отличаются от изо-
изотермических.
Уравнения динамического равновесия. Преобразуем уравнение ди-
динамики деформации
р-ж-¦?!?¦+№> <1Х-2-5>
используя закон Гука:
Непосредственное дифференцирование по xk правой части (IX.2.5)
составит:
где
dxt ' Щк~ 2 \dxk "*" dxt }> dxk ~ dx
xk
dxdxl 2 W4 dxdj
^ 2 \ dxl dxkdxil 2 W4 dxkdxj'
После несложных преобразований получим
405
Теперь можно записать уравнения динамики деформированного
тела в линейном приближении. Для этого в уравнение (IX.2.5) подста-
подставим doik/dXk из (IX.2.6). В результате получим
^ (IX.2.7)
К уравнениям (IX.2.7) необходимо добавить уравнения, состав-
составляющие граничные и начальные условия. Если обозначить через pt
компоненту внешней силы, действующей на единицу поверхности
тела, а через nk компоненту единичной внешней нормали, то в каче-
качестве граничного условия следует взять oiknk = pi.
Например, на свободной поверхности aik = 0 и поэтому гранич-
ное условие имеет вид /?* = 0.
Если тело зажато, то в качестве граничного условия используют
щ = 0.
Наконец, в общем случае в качестве граничного условия задают
Pi/uk = qik, т. е. отношение напряжения к деформации.
§ IX.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ТРЕХМЕРНОЙ СРЕДЕ
Плоские волны. Как известно из § IX. 1, уравнение движения
(IX.2.7) в упругой среде соответствует малым деформациям. Поэтому
для периодических процессов это уравнение пригодно лишь для малых
амплитуд. Применим его для выяснения закономерности распростра-
распространения плоских волн.
Представим себе плоскую волну, которая распространяется вдоль
направления координаты х = хг. Смещение и не зависит от у — х2 и
z=x3, следовательно, зависит только от хх, т. е. компоненты сме-
смещения и19 и2 и us являются функциями только координаты хх и вре-
времени t. Для этого случая' уравнение (IX.2.7), записанное для ком-
компонент смещения и1У и2 и м3, имеет вид
или, введя обозначения fi/p = c|, ?i + 2ji/p = C/, получим волновые урав-
уравнения:
— U д2а2- — й диз - 1 и
EHL — U — й и
дх\ "" cf u» ~3х|"~ с\ и*> Щ~\и*'
Первое из трех уравнений (IX.3.1) является уравнением смещения вдоль
распространения волны; оно характеризует продольную волну; вторые два содер-
содержат смещения и2 и щ, которые перпендикулярны направлению распространения
волны и соответствуют поперечным волнам. Постоянные ct и сх имеют размерность
скорости и представляют собой фазовые скорости распространения продольной и
поперечной (сдвиговой) волн:
406
Между фазовыми скоростями продольной и сдвиговой волн существует связь:
Cx
Это отношение для различных металлов изменяется в больших пределах.
Например, для цинка (а ^0,25) и свинца (а = 0,44) отношения скоростей, вычис-
вычисленные по (IX.3.4), определяются числами 1,74 и 3,3.
Волновые уравнения (IX.3.1) имеют решения в виде функций:
«1 = fx (C[t - *i) + f'x (Ctt + Xj),
Щ = fy (Cxt - Хг) + f'y (Cxt + Xx),
1f f lp / Y \ I f' (p j I у \
U3 — / г \Lxi Л1/ ~г/2 V'X1' \ Л1/ •
Каждая из этих функций описывает распространение плоских
волн в противоположных направлениях. Первая функция дает пред-
представление о распространении продольной волны, вторые два описы-
описывают распространение поперечных волн. Следовательно, произволь-
произвольная плоская волна в изотропной упругой среде состоит из продоль-
продольной и поперечных волн, причем фазовая скорость продольной больше
фазовой скорости поперечной волны.
Для продольной волны дивергенция смещения, т. е. относительное
изменение объема, не равна нулю: divw/^О. В поперечной волне
изменений объема не происходит: d\vux = 0. В связи с этим про-
продольные волны иногда называют объемными; поперечные — сдвиговыми.
Частным случаем плоской волны является синусоидальная пло-
плоская волна, распространяющаяся вдоль оси X:
u1 = Al cos ((ot — kix^, u2 = Ax cos ((ut — kxx^), u3 =AX cos (со/ — kxxx),
где
Рассмотрим распространение упругой волны произвольной формы.
Известно, что любую малую деформацию можно представить как
сумму деформации растяжения и сдвига:
u = u, + iit, (IX.3.5)
где U/ и ut имеют следующие свойства:
rot U/ = [VuJ - 0, div их - (VuT) - 0. (IX.3.6)
Поэтому разделение волны произвольной формы на объемную и
сдвиговую не зависит от формы волнового фронта: оно существует не
только для плоских волн, но и для сферических, цилиндрических
и других волн.
Покажем, что уравнение динамики для волн произвольной формы
распадается на два волновых уравнения: одно для продольных, дру-
другое для поперечных волн. Для этого в уравнении движения выра-
выразим постоянные [х и К через скорости ct и сх\ |л = рс|, Х = р(с? — 2с\).
Тогда
(IX.3.7)
407
При подстановке в (IX.3.7) суммы (IX.3.5) с учетом (IX.3.6)
получаем
U/ — с\ Ли, — (с* — с\) grad div u, = с\ Aut — ut. (IX.3.8)
Из известной формулы векторного анализа
grad div щ = rot (rot щ) + Диг = Аи,
с учетом (IX.3.6) находим
grad divu/ = Au/.
В результате уравнение (IX. 1.8) преобразуется к следующему
виду:
u,-q2AU/ = — (ut-cSAut). (IX.3.9)
Выше было отмечено, что смещение пх подчиняется свойству
(Vut) = 0. Следовательно, вектор uT можно представить как ротор
некоторого вектора А:
ut = rotA = [VA].
С другой стороны, поскольку rotu/ = 0, вектор щ может быть
выражен как градиент ср:
= Vcp.
Отсюда следует, что векторы \xt и их взаимно перпендикулярны,
на основании чего уравнение (IX.3.9) может быть удовлетворено при
условии, что левая и правая части равны нулю. Тогда для волны
с произвольным волновым фронтом получаем:
где ut — соленоидальный вектор (divi>t = 0); щ — потенциальный век-
вектор (rotw/ = 0); с* и с\ — квадраты фазовых скоростей объемных и
сдвиговых волн.
§ IX.4 ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ
ЖИДКОСТЬ — ТВЕРДОЕ ТЕЛО
В § VII. 1 ч. I приведено решение задачи об отражении и пре-
преломлении плоской волны на плоской границе между различными
жидкостями. Рассмотрим задачу об отражении и преломлении пло-
плоской волны на плоской границе между жидкостью и изотропным
твердым телом.
Известно, что в жидкости могут распространяться только про-
продольные волны. В твердом изотропном теле существуют лишь про-
продольные и поперечные волны. Поэтому явления отражения и пре-
преломления на границе раздела жидкость--твердое тело сложнее ранее
разобранного случая.
Если плоская волна падает на границу жидкость — твердое тело,
то в результате взаимодействия падающей волны с неоднородностью,
408
обусловленной границей, могут возникнуть следующие дополнитель-
дополнительные волны: продольная в жидкости, продольная в твердом теле и
поперечная в твердом теле.
Расположим систему декартовых координат так, чтобы нормаль
щ к фронту NN падающей волны составляла с нормалью п2 к по-
поверхности угол 180° —б (рис. IX.4.1). По-
Потенциалы падающей и отраженной волн л/
Ф = АЫше~~}k (•« sin 9 — 2 cos 0)
ф'=,
образуют звуковое поле в жидкости с по-
потенциалом
. (IX.4.1)
Потенциал продольной волны в твер-
твердом теле
Ф =А QJ^Q—iki (tfsin©! — zcos 0t) (IX 4 2)
Кроме того, в твердом теле появляется сдвиговая волна, опреде-
определяемая векторным потенциалом А. Векторный потенциал сдвиговой
волны и вектор сдвиговой деформации взаимно перпендикулярны.
Вектор сдвиговой деформации лежит в плоскости падения, поэтому
из трех компонент векторного потенциала в твердом теле отличается
от нуля только компонента по оси Y:
(IX.4.3)
Комплексные амплитуды А'и Аъ В и углы б', бх определим из
граничных условий. При г = 0 норкальные составляющие деформа-
деформации в жидкости и твердом теле равны друг другу:
дф дФг дАи
дг ~~ дг +'
дг
Учитывая (IX.4.1) —(IX.4.3), получаем
k[ cos ee-'**sin9 — cos 6' 4r~
\ a
= К cos
:J k2 sin
(IX.4.4)
Уравнение (IX.4.4) может иметь решения для- всех значений х,
если экспоненциальные множители равны друг другу:
' е— i'kix si n ei -_. e— l'kx sin ет
ИЛИ
е- jkx sin 0 =
k sin б = — k sin 6' = kx sin 6j = kx sin 6t.
(IX.4.5)
Таким образом, при прохождении плоской волны через границу
жидкость — твердое тело возникает трансформация продольной волны:
409
в твердом теле появляются продольная и сдвиговая волны. Для
углов преломления этих волн выполняются следующие равенства:
sin б-, — — sin 0, sin 6T = — sin 91t
1 с т с х
Так как ct>cXl, то угол преломления продольной волны больше
угла преломления волны сдвига и является функцией коэффициента
Пуассона:
sin 0х __ -| /~ с) 1 — (У
sin дх ~~ У 1 — 2а "
Используя закон преломления (IX.4.5), получаем из (IX.4.4)
первое уравнение для нахождения амплитуд A'/Al9 AjA и В/А:
^cos 9A — -j-) = k1 cos 81-~ + ^tSin 6t -—-. (IX.4.6)
Для составления недостающих уравнений воспользуемся гранич-
граничными условиями при z = 0:
где а^ = Хм/Д-^ + 2|1^ —напряжения, определяемые законом Гука.
В частности, ахг = 2|iw^ = ji ^-^ + -g/j; <*** = (^ + 2fx)-g^-+ ^
Для жидкости модуль сдвига равен нулю: ji = 0. Поэтому гра-
граничные условия записываем в виде системы уравнений
U~Z дхдг ~^ дх* дг* %
Заменив в уравнениях (IX.4.7)
Дф = _ со2ср/с2, Афх = — (o^x/cf, (IX .4.8)
получаем
со2 ^со2 /а2ф! (92Лг/ \
U ~ Z дх дг "^ ад:2 а22 #
Представляя упругие постоянные в виде
а о СО2 л , о i СО2 СО2
k2 k\ kx
и воспользовавшись (IX.4.1) — (IX.4.3), из (IX.4.9) найдем:
m\ х А ) { k% V А А > (IXA10)
/Ч -1 sin 29Х + ft? -f- sin 29, = 0.
410
Выразив в (IX.4.5) и (IX.4.10) амплитуды Л', Ах и Вх через
коэффициенты отражения и прохождения (r = A'/A, t1 = A1/A, tx =
= ^/.4), получим систему уравнений относительно г, tx и fT:
ft cos 9A — г) = (fex cos бх) /х + (fet sin 0t) tx,
-1 A + r) = M - 2 4 sin2 0X] ^ = (sin 26t) ft, (IX.4.11)
ftl \ fix I
0 = (k\ sin 26J tx + (fej cos 26t) tx.
Ее решением являются следующие зависимости для искомых коэф-
коэффициентов:
AХ-4ЛЗ)
где г1 = г1/г\ et = 2t/z; z1 = p1c1/cos61; zT=p1ct/coseT; r =
P = cos20t; a = sin20t.
Если в формулах (IX.4.12) — (IX.4.14) обозначить eip2
то коэффициент отражения будет иметь вид
ее+1 •
Рассмотрим некоторые случаи прохождения звуковых волн через плоскую
границу раздела жидкость — твердое тело.
При нормальном падении плоской волны 6 = 0; бх = ет = 0. Отсюда следует,
что a = sin 26t = 0, p = cos 26t = 1. Таким образом, коэффициенты отражения и
прохождения при 6 = 0
_ е — 1 __ р 2е
Г~ е+1 J к~~^ е+1 J ^~°'
где e = piCj;/(pc).
Следовательно, при нормальном падении коэффициент отражения г опреде-
определяется только отношением удельных волновых сопротивлений твердого тела vC
жидкости, коэффициент прохождения t± для продольных волн, кроме того, зависит
от отношения плотности, коэффициент прохождения tx сдвиговых волн равен нулю.
Дальнейший анализ требует уточнения соотношения между с, с± и сх. Обычно
c<Zcx<:ci. Этому случаю соответствует соотношение между углами 6 < Вх < 6i.
При увеличении угла падения углы 6 и Вх также увеличиваются, поэтому можно
найти такое значение угла падения 6Of, при котором угол преломления б! = 90°.
Очевидно, 6oi удовлетворяет следующим соотношениям:
sin eOi __ 1 __ .с
с ~~~ciy 01 —arcsin —.
Угол 0О1 называют первым углом полного внутреннего отражения.
При условии б>б01 угол преломления для продольной волны удовле-
удовлетворяет неравенству sin 0Х > (cjc) sin б > 1, откуда следует, что cos 0Х =
=/ V[Ci/(c sin Q)]2 — 1 и поэтому угол мнимый. В этом случае амплитуда
4П
потенциала прошедшей продольной волны принимает следующий вид:
— sin9- гЛ/ 1 — (--У sin* 9i)
При удалении от границы (z->co) потенциал ф->0, поэтому из
двух знаков перед квадратным корнем имеет смысл знак минус, а вместо
г —расстояние \г\\
„ - У -~ sin29 — 1 | 2 | — jx — sine . .
Ф1 = Л1е с3 е с С®*, (IX.4.15)
где Лхе с — амплитуда волны; множитель е
указывает на то, что волна распространяется с фазоЕой скоростью
c/sinB в положительном направлении X. Иначе говоря, волна скользит
по поверхности раздела. У самой поверхности амплитуда равна Л1в
С увеличением расстояния | г \ амплитуда уменьшается по закону
Л1е"2'/Л, причем
— глубина проникновения волны.
Если угол падения достигнет значения, при котором для сдвиго-
сдвиговой волны
sin 6t = (ct/c) sin602 = 1 (IX.4.17)
при 602 = arcsin(c/ct), то возникает явление полного внутреннего отра-
отражения сдвиговой волны. Однако в жидкости сдвиговая волна не
распространяется, поскольку для нее модуль сдвига равен нулю.
Если угол падения 0^бО2, то вдоль границы раздела кроме продоль-
продольной неоднородной волны будет распространяться также сдвиговая
неоднородная волна с фазовой скоростью cx/sin б.
Интересно рассмотреть условия возникновения в твердом теле
только одной сдвиговой волны.
На основании (IX.4.13) коэффициент прохождения продольных
волн ^ = 0, если p = cos26t = 6 или 6t = 45°, т. е. при угле прелом-
преломления сдвиговой волны, равном 45°, продольная волна во вторую
среду не проходит. В этом случае угол падения определяется фор-
формулой
sine = — sin 45°= — К^. (IX.4.18)
сх сх ?
Если угол падения больше, чем угол полного внутреннего отра-
отражения, т.е. 6>arcsin(c/c1), sin61>l, то cos бх = |/^1 — sin2 ex =
= — /]/"sin261— 1. Поэтому приведенный импеданс границы раздела—*
4J2
также мнимая величина:
или
pc/ I cos б !
где IcosGJ-y ^j sin26— 1.
В этом случае коэффициент отражения является комплексной вели-
величиной:
Т ~~~~ "
/*. (IX.4.19)
Здесь P = cos26t; a = sin26t; cp^arctg
0
5
10
15
*\
7
II
L
11
1
Л
10 20
6, epnS
Рис. IX.4.2
JO
На рис. IX.4.2 показаны графики зависимостей амплитуды / и
фазы 2 коэффициента отражения на границе вода — алюминий от угла
падения. Графики построены согласно
(IX.4.19); кружками обозначены экспери- р,ВБ
ментальные данные. На кривых видны "~
особенности при 13° и 29°. Первый угол
совпадает с arcsin (c/q), второй — с
arcsin (c/cx).
§ IX.5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Волны, распространяющиеся вдоль гра-
границы раздела двух различных сред, нашли
широкое применение в нау^е и технике.
Распространение электромагнитной вол-
волны вдоль металлического проводника яв-
является примером волн такого типа. Электромагнитная волна низкой
частоты распространяется вдоль поверхности земли, чем и обуслов-
обусловлена возможность дальнейшей связи на низких частотах. Хорошая
радиосвязь на средних частотах обеспечивается волноводными свойст-
свойствами ионизированного слоя атмосферы. Не меньшее значение имеет
распространение упругих волн вдоль граничных поверхностей упру-
упругих тел. В частности, поверхностные упругие волны все чаще находят
применение в ультразвуковой дефектоскопии.
Познакомимся с классическим методом изучения поверхностных
волн. Рассмотрим следующую двумерную задачу: найти условия рас-
распространения вдоль свободной плоской поверхности упругого полу-
полупространства волн малой амплитуды.
Для решения задачи расположим прямоугольную систему коорди-
координат так, чтобы ось X совпадала с направлением внешней нормали
к поверхности.
Известно, что для малых колебаний в упругой среде процессы
подчиняются волновому уравнению типа
(IX.5.1)
413
В соответствии с поставленной задачей будем искать решение урав-
уравнения (IX.5.1) в виде плоской волны, распространяющейся вдоль
оси X с фазовой скоростью cR:
u = f(z)e'«°<-**>t (IX.5.2)
где & —некоторая функция от cR.
Задача состоит в отыскании функции f(z) и зависимости фазовой
скорости от частоты и материальных констант среды при условии,
что смещение (IX.5.2) удовлетворяет волновому уравнению (IX.5.1),
граничным дополнительным условиям для компонент смешения. (Гра-
(Граничные и дополнительные условия сформулируем по ходу решения
задачи.)
Подставив предполагаемое решение (IX.5.2) в волновое уравнение,
получим уравнение для функции f(z):
) (IX.5.3,
В данном случае оцределяем волну, распространяющуюся только
в направлении X, поэтому искомая функция f (г) не должна быть
периодической относительно координаты г. Следовательно, волновое
число искомой поверхностной волны должно удовлетворять неравенству
?2-$>0. (IX.5.4)
В этом случае зависимость i(z) определяется экспоненциальной
функцией е±б2 (б = У k2 — co2/?2)- Искомое смещение частиц среды имеет
вид
u = uoe/^-^)e±6z. (IX.5.5)
Из двух знаков выберем тот, который обеспечивает убывание
функции иоебг до нуля при неограниченном отрицательном значении
г, т. е. знак плюс (+):
и = иое**е'<«*-**> (г < 0). (IX.5.6)
Известно, что вектор смещения в изотропном твердом теле может
быть представлен в виде суммы деформаций сдвига ut и растяжения и^:
причем каждое из смещений \хг и ut подчиняется волновому уравне-
уравнению типа (IX.5.1). Отличие этих волновых уравнений друг от друга
состоит лишь в том, что в уравнениях для смещений щ фазовая ско-
скорость с = q = У"B|л + Я)/р , а в уравнениях для ut она равна
с = ст="|/"[х/р. Таким образом, для граничной волны закон смещения
можно записать в виде
u = (u0/eV + uoteV)e А") (г < О), (IX.5.7)
где 6/ = у кг — (o'/ct; ot =
В решении (IX.5.7) остается все еще неизвестной связь волнового
числа k поверхостной волны с волновыми числами продольной и
414
поперечной волн. Кроме того, не определены соотношения между
компонентами амплитуд смещений и0, и uot., Для дальнейшего разви-
развития решения задачи обратимся к граничным условиям на свободной
поверхности
oiknk = 0 (i = l, 2, 3; Л=1, 2, 3) (IX.5.8)
и к условиям, определяющим свойства сдвиговой и продольной состав-
составляющих смещения:
divut = 0, rotu^-O. (IX.5.9)
Условия (IX.5.8) для данной задачи при z = 0 представляются
в виде
Охг = Оу? = ахг==09 (IX.5.10)
где
fdux , Зи
дих диу duz
дх * ду ' дг
Так как функция (IX.5.7) не зависит от координаты у, то
диг/ду = дих/ду = О и согласно (IX.5.10) диу/дг = Оу т. е. смещение,
перпендикулярное направлению распространения, не зависит от глу-
глубины г. Из физических соображений следует, что иу = 0 при z->oo,
поэтому она равна нулю для всех значений г.
Таким образом, в поверхностной волне не существует смещения,
которое было бы перпендикулярно нормали поверхности и направле-
направлению распространения волны: иу = 0. Следовательно, граничные усло-
условия (IX.5.10) при г==0 сводятся к уравнениям
дих duz п дих duz п AY Ъ ]9\
дг l дх ' дх ' дг * v ;
а условия (IX.5.9) сводятся к уравнениям
дихх duxz duiz duiy
дх ' дг • ду дг '
duix duiz duiy duix
дг дх ~~ ' дх ду ~~ '
Учитывая, что смещение и не зависит от у, получаем:
Подставив компоненты смещения щ и их из (IX.5.7) в уравне-
уравнения (XI.5.12) и (IX.5.13), получим однородную систему алгебраиче-
алгебраических уравнений:
415
где A1 = uoix; A2 = u0XX; AB = uOiz; А^ = иохгу с главным детерминантом
6/ — yfe bx-jk О О
— jk — jk б/ 8Х
О 1 1
6Z
О
Приравнивая определитель системы (IX.5.14) А к нулю и обозна-
обозначая cR/cx = (d/cxk = l, получаем дисперсионное уравнение
ge_i
3 —2^ — 16 1—^ =0.
(IX.5.15)
Отсюда следует, что число ? зависит только от отношения сЦс),
которое является функцией коэффициента Пуассона: с\1с\ =
A2)[2A)]1
Из физических соображений величина ? должна быть веществен-
вещественной и положительной, причем k2 — а>2/с?>1, т. е. оэ2/(?2с?) = ?2 < 1.
Исследование уравнения (IX.5.15) показывает, что оно имеет
только один корень, удовлетворяющий указанным требованиям, так
что для каждого отношения cx/ct получается
только одно вещественное значение ?.
Скорость распространения поверхностной
волны пропорциональна числу ?.
cR/Cz
0,95
0,90
0,85
Vt
Рис. IX.5.1
Зависимость ? отношения скорости волн Рэ-
лея cR к скорости сдвиговой волны сх в твердом
теле от коэффициента Пуассона а изображена
на рис. IX.5.1. По найденному параметру ?
можно найти волновое число. Поскольку корень
?# дисперсионного уравнения не зависит от частоты, произведение t,Rcx
также не зависит от частоты и является скоростью волны Рэлея
cR = ?Rcx, где ?# определяется из приведенного графика или может
быть вычислено по приближенной формуле
г 0,874+1,12а
1+0
(IX.5.16)
При изменении а от 0 до V2 значения ? изменяются от 0,87
до 0,955.
§ IX.6. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАСТИНАХ
Нормальные волны распространяются в протяженных упругих
телах, ограниченных свободными поверхностями, причем направление
волнового вектора этих волн перпендикулярно нормали свободной
поверхности.
Рассмотрим общую схему решения задачи о распространении нор-
нормальных волн.
416
Вектор деформации может быть представлен в виде суммы двух
векторов — потенциального щ и соленоидального ut:
Выражая вектор продольной деформации ut через скалярный потен-
потенциал ф, а вектор деформации сдвига ut через векторный потенциал А,
найдем
u = Vq>+[VA].
Подставив смещение и в виде суммы (IX.6.1) в уравнение дина-
динамики (IX.3.1), найдем уравнения для функций <р и А:
'¦^Г. (IX.6.3)
где с] = , с\ = —.
Кроме того,
divA-0. (IX.6.4)
Система уравнений (IX.6.2) и (IX.6.3) содержит четыре уравне-
уравнения относительно четырех функций ф, Аху Ауу Az. Уравнение (IX.6.4)
дает зависимость между тремя функциями AXi Ау, Az, поэтому
из четырех функций линейно независимыми остаются три.
Из множества решений уравнений (IX.6.2) и (IX.6.3) реализуются
только функции, которые удовлетворяют граничным условиям и усло-
условию затухания на бесконечности. Если изотропное упругое тело огра-
ограничено свободной поверхностью, то в качестве граничных условий
используют равенство нулю нормальных компонент тензора на-
напряжения: Giknk = 0.
В зависимости от формы свободной поверхности в качестве реше-
решений выступают те или иные волновые функции, характеризующие
различные виды волн, поэтому дальнейшее изучение вопроса должно
быть связано с конкретным видом граничной поверхности. Рассмот-
Рассмотрим случай распространения нормальных волн при условии, что огра-
ограничивающая поверхность состоит из совокупности двух безграничных
плоскостей.
Пусть пластина ограничена плоскостями x = dzb ив направле-
направлениях Y и Z безгранична. Условия исчезновения напряжений на гра-
границе сводят к шести уравнениям (трем уравнениям для поверхности
х = Ь и трем для поверхности # = — Ь):
охх = 0, аух = О, ozx = о- (IX.6.5)
В качестве решений (IX.6.2) и (IX.6.3) рассмотрим следующие
функции:
Ф = (A cos ax + В sin ax)
Ау = (Е cos $x + F sin $)\
Az = (G cos $x + H sin fix) e^-**).
14 Л,Ф, Лелендин 417
Непосредственная подстановка этих решений в волновые уравне-
уравнения (IX.6.2) и (IX.6.3) дает следующие соотношения между величи-
величинами а, р, 7» частотой со и скоростями сь и сх\
P2-y2=1|-; (ix.6.7)
«2-V2 = ^-- (IX.6.8)
Найдем формулы для компонент смещения и. Учитывая, что потен-
потенциальные функции не зависят от координаты у, из (IX.6.1) получаем:
дц> дАу дАг дАх
аФ дАу
It t ^ " —^ .
dz ' дх
Компоненты тензора напряжения связаны с компонентами смеще-
смещения законом Гука:
duz dtiy
а
z l дх )
dz l дх
Заменяя по формулам (IX.6.9) компоненты смещения, получаем:
д2Аи д*Аи \
дх2 дхдг V
tf--t dydz -Z dxdz
После подстановки в уравнения (IX.6.5) и (IX.6.4) потенциаль-
потенциальных функций (IX.6.6), положив х = ± Ь, получим систему из восьми
однородных линейных уравнений относительно восьми коэффициен-
коэффициентов^, В, С, ?>, Е, F, G, Я):
ccosaM -\-csinabB — f sin fibE + f cos
с cos abA - с sin abB + f sin pfr? + / cos pbF = 0,
A sin $bC + h cos pbD + p2 cos pbG + p2 sin pbtf = 0,
— d sin abA +dcosabB + gcos $bE + g sin $bF = 0,
d sin аЬЛ + d cos abB +g cos $bE — g sin §bF = 0,
- p sin pbC + p cos pfrD - /y cos pbG - /7 sin Р&Я = 0,
p sin pbC + p cos p^D - /7 cos pfrG + /7 sin рШ - 0,
где с =
Л = —/
418
Однородные линейные уравнения имеют независимые решения,
если главный определитель системы равен нулю. В данном случае,
приравнивая к нулю определитель системы (IX.6.12), находим усло-
условия существования отдельных независимых решений для искомых
коэффициентов.
Главный определитель системы уравнений (IX.6.12) легко пред-
представить в виде произведения четырех определителей второго порядка:
¦ /ycos fib fi cos fib
P2cospb hcos fib
— P sin P& —/у sin f
— ft sin fib
csinab
— dsinab
A -
An -
A =
Aiv =
P2sin
fcos fib
g sin fib
acosab
(IX.6.13)
(IX.6.14)
(IX.6.15)
(IX.6.16)
gcos pb
fsinfib
Таким образом, условие существования независимых решений
системы (IX.6.12) таково:
Ai .Дц-Дш-Aiv^O.
Оно выполняется при равенстве нулю одного из четырех детерми-
детерминантов. При этом получаются следующие соотношения между компо-
компонентами смещения:
иу = (fiG - jyD) sin
при Ai =0;
при Ац — 0;
uy = (— fiH - jyC) cos
x = — (aA sin ax + jyF sin fix)
uy = 0,
uz = (fiF cos fix - jyA cos ух) &№-
(IX.6.18)
при
ux = (aB cos ax + jyE cos fix) d
uy = 0,
uz = (— fiE sin fix - jyB sin ax) o/
при Aiv =
14*
(IX.6.19)
(IX.6.20)
419
Первые два случая характерны тем, что смещение и направлено
по оси Y, т. е. перпендикулярно направлению волны и расположено
параллельно граничным плоскостям. Поэтому эти волны называют
горизонтальными. С другой стороны, это сдвиговые волны. Их обо-
обозначают SH, что значит «сдвиговая горизонтальная» (термин заим-
заимствован из сейсмологии, где граничная поверхность горизонтальна).
Волны SH, для которых смещение частиц пропорционально sin ^х,
называют антисимметричными; их обычно обозначают SHA (сдвиго-
(сдвиговая горизонтальная антисимметричная). Смещение, соответствующее
Ди=0, пропорционально cospx, поэтому такие волны называют сим-
симметричными. Их обозначают SHS (сдвиговая горизонтальная симмет-.
ричная); наглядное представление о волнах SHA и SHS дает рис. IX.6.1.
JxM
Рис. IX.6.1
Рис. IX.6.2
Здесь изображены векторы сдвиговой деформации для верхней части (+х)
и нижней части (—~х) пластины; направление распространения волны
совпадает с осью Z.
Волны, для которых выполняются дисперсионные уравнения Аш=0
и Aiv = 0, имеют две компоненты смещения: сдвиговую их и объем-
объемную иг (рис. IX.6.2).
Волны, выражаемые (IX.6.19), имеют амплитуду сдвиговой компо-
компоненты смещения, пропорциональную sin fix. Зти волны антисимметричны,
поскольку знак смещения при замене знака координаты х изменяется.
Волны, соответствующие (IX.6.20), содержат сдвиговую компоненту
смещения, но ее амплитуда пропорциональна cos р*, поэтому их
называют симметричными. Антисимметричные и симметричные волны,
содержащие объемную составляющую деформации, обозначают симво-
символами SLA и SLS. В плоскости симметрии может распространяться
только поперечная (SLA) или только продольная (SLS) волна.
Дисперсионные уравнения
Горизонтальные нормальные волны.
Смещения частиц среды при распространении горизонтальных
волн в пластинах определяются формулами (IX.6.17) и (IX.6.18):
иу = (PG ~ jyD) sin
420
для антисимметричной волны;
их = О, иг = 0,
иу = (— jH - jyC) cos
для симметричной волны.
Эти волны содержат только сдвиговую компоненту смещения.
Для антисимметричной волны условием независимости коэффици-
коэффициентов G и D является равенство нулю детерминанта
— /у cos pb p cos pb
P2cospb jyn ' "~ '
или
Нетривиальными решениями полученного уравнения являются
T (P = l. 2, 3, ...). (IX.6.22)
Таким образом, сдвиговая горизонтальная антисимметричная волна
определяется формулой
^G- JyD) sin -2Н5- *е/<«Игт*> (IX .6.23)
(т = р-1/2; р=1, 2, 3, ...).
Например, возможны следующие SHA-волны:
uy(i) =
sin "IF" cos И - Yaz -
§ f sin "^ cos (arf - 73г - a3),
= К (^^"nGJ + fr#J sin ("^F" H cos W ~ W ~
BypDb 1 \
Здесь ap = arctg^^TTHG/-
Для симметричных поперечных сдвиговых волн получаются фор-
формулы, отличающиеся от (IX.6.23) и (IX.6.24) только значениями
числа т. Из Дп = 0 получаем для StfS-волн р (у2 -J- p2) sin2 $b = Q.
Его решения
Pm-m^- (m«0, I, 2, ...).
Между Р и y для всех сдвиговых волн существует связь (IX.6.7).
В данном случае зависимость ут от частоты представлена в виде
(IX.6.24)
421
Зависимость между значениями утЬ и частотой со для некоторых
волн типа SH дана на рис. IX.6.3. На графиках по оси X вправо
от нуля отложены реальная Re (ymb) волнового размера пластины (yb),
а влево от нуля —мнимая часть [lm(ymb)]\ по оси У— безразмерная
частота cob/cx, т. е. отношения частоты со к основной частоте попе-
поперечного резонанса пластины для сдвиговых волн.
Как известно, отношение частоты со к постоянной распростране-
распространения у равно фазовой скорости монохроматической волны. В данном
случае фазовая скорость определяется
из уравнения
Удобно фазовую скорость с пред-
представлять по отношению к скорости сх.
Тогда (IX.6.25) для безразмерной ско-
скорости преобразуется к виду
(IX.6.26)
откуда
с =-
==. AХ.6.27)
Рис. IX.6.3
Здесь с' = — ; Са=
Таким образом, для данного типа волн существует условие рас-
распространения озЬ/ст<тя. Наряду с фазовой скоростью эти волны
характеризуются также групповой скоростью, которая выражается
формулой
с =l/l-(l/4J^, (IX.6.28)
или в безразмерном виде
(IX.6.29)
Формула групповой скорости получается при дифференцировании
(IX.6.24) по параметру у.
Продольные и изгибные нормальные волны. Из общего решения
задачи следует, что если детерминант Дш = 0, то вектор смещения
материала пластины определяется формулами:
их = — (Аа sin ах - yjF sin p
и2 = (pf cos Рх - jyA cos ax)
(IX.6.30)
т. е. вектор смещения и антисимметричен относительно плоскости X = 0.
Опуская промежуточные преобразования, запишем окончательное
уравнение, к которому приводится (IX.6.30):
__ 4 (Уьр W
~~ rr^2rfi
(IX.6.31)
422
Если Aiv = O, то формула смещения для симметричной продольно-
изгибной волны имеет вид, определяемый (IX.6.20). В этом случае
после преобразования (IX.6.16) получаем дисперсионное уравнение
igab ~* 4 (yb)*($b) (ab) '
Поскольку P2 + y2 = gJ/^t, a2 + Y2-oJ/^2, т. е.
= l-T^a * т0 П0ЛУченные Дисперсионные соотношения между уЬ и
озЬ/ст рассматривают как уравнения с параметрами а и называют их
дисперсионными уравнениями Рэлея — Лэмба.
Для невзаимодействующих волн они имеют вид
где ab = 0, я/2, я, ..., qn/2\ pb = 0, я/2, ..., ^, K
При мнимых значениях уЬ уравнение для а описывает последова-
последовательность окружностей, каждая из которых соответствует своему
значению q = 0, 1, 2, ..., уравнение для р соответствует эллипсам
при р = 0, 1, 2, ...
При действительных значениях yb первое уравнение описывает
гиперболы с асимптотами ыЬ/сх = КуЬ, где K,~ctlcx и зависит только
от ст. Из этих уравнений получаются также две асимптоты, если по-
положить ab = 0 и pb = 0.
Если параметр yb — мнимый, то вместо волнового процесса наблю-
наблюдаются колебания, которые имеют амплитуду, уменьшающуюся с уве-
увеличением z по экспоненциальному закону. Если yb = O, то амплитуда
смещения не зависит от г. Если pb = O и ab = 0, как это следует из
(IX.6.19) и (IX.6.20), то колебания не зависят от х.
Дисперсионные уравнения описывают все типы нормальных и
других волн в изотропной пластине. В частности, если выделить
только первую продольную и первую изгибную составляющие и взять
предельное значение фазовой скорости при высокой частоте, то полу-
получим скорость рэлеевской волны. В пределе дисперсионное уравнение
в этом случае совпадает с дисперсионным уравнением для рэлеевских
волн.
Кроме скорости рэлеевских волн, примечательна еще скорость
сдвиговых SV-волн в пластинах. Эту скорость называют скоростью
волн Ламе:
Среди предельных волн имеется также пластиночная волна. Ее
скорость равна пределу скорости первой продольной волны при наи-
наинизшей частоте;
2 \1/2
423
§ IX.7. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СПЛОШНОМ ЦИЛИНДРЕ
Вывод основного дисперсионного уравнения. При исследовании
упругих нормальных волн воспользуемся представлением смещения
через векторный и скалярный потенциалы и записью системы диф-
дифференциальных уравнений относительно потенциальных функций. Для
решения задачи о распространении упругих волн в сплошном кру-
круговом цилиндре представим уравнения движения (IX.6.2) и (IX.6.3) в
цилиндрических координатах г, 6, г. Условимся ось Zсчитать совпадаю-
совпадающей с осью цилиндра. Предположим, что решения уравнений выражают-
выражаются функциями:
ф = /(гM1п«
' w cos nb
cos
' cos nb
После подстановки (IX.7.1) в уравнение движения (IX.6.2) получим
уравнение для функции f(r):
f' + (*%)f O (IX.7.2)
После замены переменной х = аг (IX.7.2) приводится к уравне-
уравнению Бесселя:
Решением данного уравнения является / (г) = Aln (ar) + BNn (ar).
Так как f(r) внутри цилиндра не может неограниченно возрастать,
слагаемое с функцией Неймана (BN (г) |г=о = — °°) должно быть
отброшено. Поэтому
f(r) = A#n(ar). (IX.7.3)
Если бы рассматривалась задача о распространении упругих
нормальных волн вдоль полого стержня, то необходимо было бы
к этому решению добавить цилиндрическую функцию Неймана.
Для функции hz (r) дифференциальное уравнение имеет точно
такой же вид, как и для функции /(г):
! (?), = О, (IX.7.4)
где P2^(d2/c2-y2.
Решением (IX.7.4) является также функция Бесселя порядка п\
hs = B4&aftr).t (IX.7.5)
424
Для функций hr (8) и /ie F) получается система дифференциальных
уравнений
h;+±K + ±(—n% + 2nhl-hr) + ?hr = 0f
\ (IX.7.6)
A 0
Вычтем из второго уравнения (IX.7.6) первое:
(hh) + (h
ir-he) = O. (IX.7.7)
Затем произведем сложение этих уравнений:
ттФ>г + Ы-{—-г (hr + fte) + Р2 — ( П~1 ) (^г + Ы^О- (IX.7.8)
аг т ш [_ \ z I j
Уравнения (IX.5.7) и (IX.5.8) имеют решения в виде цилиндри-
цилиндрических функций.
Отсюда следуют выражения для функций hr и /ге:
Как известно, произвольный вектор смещения определяется тремя
константами. При использовании потенциальных функций имеем для
определения вектора смещения четыре константы. Лишнюю константу
можно положить равной нулю. Для удобства положим равной нулю
постоянную Bv На основании этого допущения получим
Следовательно, поле смещения в цилиндрическом упругом стержне
выражается функциями:
иг = (/' + nhjr + yhr) cos nb e^~^,
щ = (_ nflr + yhr - hz) cos пЬ еН*^ж\ (IX.7.11)
ug = (— yf + hr - (n + 1) hrr/r) cos nb е№-ч*),
Для составления дисперсионного уравнения воспользуемся усло-
условием, согласно которому на свободной поверхности цилиндра компо-
компоненты тензора напряжения равны нулю:
Компоненты тензора напряжения связаны с компонентами тензора
деформации законом Гука. В цилиндрической системе координат
закон Гука выражается уравнениями:
(IX.7.13)
425
Подставляя в (IX.7.13) функции иг, ив, uz из (IX.7.11), получаем:
аи = {- % (а* + у2) / + 2ц [/" +1 [К - у h,) + у^]} cos «9,
°* = Ц [~ т1 (/' ~ У /) - № - Р2М - У (^ Лг - h'r)] sin йб,
j - -^ /г,} cos пб.
Используя граничные условия (IX.5.12), получаем при г = а сле-
следующую систему уравнений относительно постоянных Л, В2 и Б3;
+а22В2 + а23В3 = 0, (IX.7.14)
+ а32В2 + as3B-s = О,
где Л, В2 и В3 — коэффициенты, входящие в формулы (IX.7.3),
(IX.7.5) и (IX.7.9); aik — девять коэффициентов, определяющих ди-
дисперсионное уравнение, которые выражаются следующими формулами:
п(аа),
а21 = п [(аа) <??'п (аа) - &п (аа)],
«и = - [п2 - ФаJ] &п фа) - Ря#; фа)>
а2Ъ = - [2/г2 - (paJ] ^я (Pa) + 2 фа) ^ фа),
'п фа), а33 = п^п фа).
Условием существования независимых решений однородных урав-
уравнений (IX.7.14) является равенство нулю детерминанта:
|я*л| = °- (IX.7.16)
Выражение (IX.7.16) представляет собой основное дисперсионное
уравнение сплошного цилиндрического стержня, которое справедливо
для всех целых п^О. Уравнение (IX.7.16) определяет различные
семейства нормальных волн. В частности, если /1=1, то имеется се-
семейство изгибных нормальных волн, аналогичное семейству изгибных
волн в пластине. При п^2 имеется семейство изгибных нормальных
волн кругового порядка. Для п = 0 дисперсионное уравнение сво-
сводится к произведению двух сомножителей — элемента второй строки
третьего столбца и его минора. Первый сомножитель дает диспер-
дисперсионное уравнение для крутильных волн, второй — дисперсионное
уравнение для семейства продольных нормальных волн в твердом
цилиндре.
Крутильные и продольные волны. Исследуем семейства крутиль-
крутильных волн. Оно получается из решения (IX.7.1), когда л = 0. В этом
426
случае отдельные коэффициенты aik (IX.7.15) упрощаются;
+ tl(aaJ + («*)¦] ^о («а) +аа ^ (аа),
flai = 0, «si = -
а22 = 0, а33 = 0
, «32 = — ^=^ (Ра) ^ фа),
и дисперсионное уравнение (IX.7.16) сводится к следующему:
«U «12 О
О 0 а0, =а,
«23
«31 «32 0
23
11
«
12
31
«32
= 0.
(IX.7.17)
Первый сомножитель содержит только параметр Ра. Приравнивая
его к нулю (а23 = 0), получаем дисперсионное уравнение
Воспользовавшись соотношением (известным из теории цилиндри-
цилиндрических функций) <o7J(x) = — <??x (я), получаем сокращенную запись:
Ра ^0 (Ра) = 2#! (Ра). (IX .7.18)
Первые три корня уравнения (IX.7.18) имеют значения:
*oi = Poi« = 5,136; хО2 = Ро2« = 8,417; хоз = роза= 11,62.
В общем виде корни обозначают с помощью целочисленного ин-
индекса р. Например, р-й корень обозначим $Op = xQp/a. Целочислен-
Целочисленный индекс р указывает на порядок волны, соответствующий диспер-
дисперсионному уравнению (IX.7.18). Из всех нормальных волн смещения,
выражаемых (IX.7.1) при /г = 0, остается только компонента вектор-
векторного потенциала ^Pe» которая определяет крутильное смещение стержня:
хор -
Таким образом, амплитуда крутильных волн пропорциональна
произведению х0ро71(х0рг/а).
Между постоянной распространения у для крутильных р-волн и
волновым числом ы/сх чистого сдвига существует соотношение, кото-
которое используется в теории нормальных волн в пластине:
В данном случае, выражая рОр через корни (IX.7.19), получаем
На рис. IX.7.1 схематически представлены дисперсионные кривые
первых трех мод круглого твердого волновода. Мода для р = 0 соот-
427
ветствует прямой линии, проходящей через начало. Очевидно, для
частот, удовлетворяющих неравенству ш/ст<#01 = 5,136, крутильные
волны возникнуть не могут.
Дисперсионное уравнение для крутильных волн имеет также дру-
другое простейшее решение: ря = О, откуда следует р = 0.
Таким образом, простейшие крутильные сдвиговые волны выра-
выражаются формулой
А2 = Br2d w - v«>, uq == Br& № - v*>.
Среди множества крутильных волн в стержнях только волны низ-
низшего порядка не обладают дисперсией. Дисперсионная кривая для
этих волн проходит через 0 под углом 45°
соа/ст и представляет собой прямую линию.
Продольные волны в круглом стержне
имеют две компоненты смещения: продоль-
продольную иг и сдвиговую иг. Для этих волн
отличны от нуля скалярный потенциал Ф
и компонента векторного потенциала Л0.
Для продольных волн в прямом цилиндре
легко получить дисперсионное уравнение
из (IX.7.16):
ап а12
6 8 10 12
Рис, IX.7.1
Р
или
-О,
апа32 - аВ1а12 = 0.
Подставляя в это уравнение из (IX.7.15)
выражения для ап, а12, а31 и а32 при д = 0,
получим дисперсионное уравнение для продольных нормальных волн
в сплошном цилиндре (уравнение Пахгаммера):
Т (Р2 + Y2)
г фа) - (Р2 - Y2
(аа) <&0 фа) = 0.
фа) -
(IX.7.20)
Отметим некоторые свойства продольных волн в цилиндре.
1. При уменьшении частоты колебаний в цилиндре данного ра-
радиуса фазовая и групповая скорости продольной волны стремятся
к общему пределу — фазовой скорости стержневых волн: с = УЕ/р.
2. При некотором значении коэффициента Пуассона @,2833) для
цилиндра частоты сдвигового и радиального продольного резонансов
совпадают.
3. При изменении частоты фазовая скорость нормальной волны
изменяется и с увеличением частоты приближается к фазовой ско-
скорости рэлеевской волны.
Смещение продольной волны состоит из смещений растяжения и
сдвига. Отношение амплитуд этих смещений является функцией ча-
частоты.
ЛИТЕРАТУРА
[1]. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.,
1954.
[2]. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., 1973—Т. 1.
[3]. Международный электротехнический словарь. Гр. 08. Электроакустика. М.,
1963.
[4]. Морс Ф., Фешбах Г. Методы математической физики. М.,
I960.—Т. II.
[5]. Свешников А. Г., Тихонов В. А. Теория функций комплексного
переменного. М., 1967.
[6]. Я н к е Э., Э м д е Ф., Леш Ф. Специальные функции, формулы, графики,
таблицы. М., 1967.
[7]. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М., 1971.
[8]. Чернов Л. А. Волны в случайных неоднородных средах. М., 1975.
[9]. Тюлин В. Н. Введение в теорию излучения и рассеяния звука. М.,
1976.
Скучек Е. Основы акустики. М., 1976—Т. I, II.
Р ж'е в к и н С. Н. Курс лекций по теории звука. М., 1960.
Римский-Корсаков А. В. Электроакустика. М., 1973.
Бабуркин В. Н., Гензель Г. С, Павлов Н. Н. Электроа-
ур , ,
кустика и радиовещание. Акустические вопросы вещания. М., 1967.
[14]. Ноздрев В. Ф., Федорищенко Н. В. Молекулярная акустика.
М., 1974.
[15]. Михайлов И. Г., Соловьев В. А., С ы р н и к о в Ю. П. Основы
молекулярной акустики. М., 1964.
[16]. П р и г о ж и н Н. Введение в термодинамику необратимых процессов,
М., 1960
[17]. Физическая акустика. Методы и приборы ультразвуковых исследований.
Ч. А./Под ред. Мэзона У. М., 1966—Т. I.
[18]. Дрейзен И. Г. Электроакустика и звуковое вещание. М., 1961.
[19]. Исакович М. А. Общая акустика. М., 1973.
[20]. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную
акустику. М., 1966.
[21]. Алексеев В. К., Лепендин Л. Ф. Акустическое поле пульсирую-
пульсирующего кольца на цилиндре. — Акуст. журнал, 1967, 14, вып. 4 A26).
[22]. Алексеев В. К-, Лепендин Л. Ф. Акустическое поле системы
пульсирующих колец на цилиндре. — Акуст. журнал, 1967, 14, вып. 1, 37.
J23]. Колмакова Н. А., Лепендин Л. Ф. Об условной границе дальнего
поля излучателей. —В сб.: Прикладная акустика. * Таганрог, ТРТИ, 1973,
вып. V, 24.
[24]. Лепендин Л. Ф., Переварюха А. П. К расчету полей излучения
сферических и кольцевых преобразователей. — Веб.: Прикладная акустика.
Таганрог, ТРТИ, 1969, вып. II.
[25]. Колмакова Н. А., Лепендин Л. Ф. К вопросу об оценке диф-
дифракционных постоянных преобразователей.— В сб.: Прикладная акустика.
Таганрог, ТРТИ, 1975, вып. 1, 3.
[26]. Г и тис М. Б., Химунин А. С. О поправках на дифракцию при
измерении коэффициента поглощения и скорости звука. —Акуст. журнал, 1968,
14, вып. 3, 363 — 370.
[27]. Моделунг. Математический аппарат теоретической физики. М.,
1961.
[28]. Иоффе В. К., Ямпольский А. А. Расчетные графики и таблицы
по электроакустике. М., 1954.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Дифференциальное уравнение
A— г2) со' — 2zco' + m(m+l)co = 0
удовлетворяет функциям со (г), однозначным и аналитичным для действительных
значений z = x^(—1, 1).
Указанные функции имеют вид степенных рядов и называются полиномами
Лежандра т-то порядка Рт(х) (т — наивысшая степень многочлена). Они удовле-
удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки:
при тФ п,
Для полиномов Рт (х) имеются следующие рекуррентные формулы:
Pm+l (*) = xPm М+ -""}- Рт (*),
1 dm
т~ 2тт\ dxm KX Ч '
Приведем первые пять полиномов Лежандра:
Р2 (х) == Cx2 ~ 1)/2 = C cos2 б + 1)/2;
р3 (х) = Eл;3 - 3*)/2; Р4 М == C5^ - 2>0х2 + 3)/8;
Р5 (х) == F3л;5- — 70л; + 15*)/8.
Числовые значения полиномов Лежандра приведены в табл. П.П.1.
2. Функции w(z)y удовлетворяющие уравнению
называют присоединенными полиномами Лежандра степени т и порядка п. Для
целых тип функции w (г) однозначны и аналитичны при z = x<=(—I, 1)
(х — действительная переменная). Эти функции удовлетворяют условиям ортого-
430
нальности и нормировки:
— 1
(m, /-==0, 1. 2, ...; л = 0, 1, 2, ..., m),
0 при тФ г,
1 при т = г,
1
f f
J
о
J 2т+1 (т-п)! •
о
[рт W]2 ,г 1 (т + п)!
о
J 2т (т~п)\
о
(т = 0, 1, 2, ...; л = 0, 1, 2, ... , т)
и могут быть получены с помощью рекуррентных формул
, ап (\ v4\ni'1 Ит+п
Приведем первые шесть присоединенных функций Лежандра:
Ря1' (а;) = Зх КТ^73 - -| sin 26;
2»' (*) = 3 (I -^2) = |- (I -cos 26);
РТ W = | Ex2-1) /п"^^ |. (sin 6-cos36);
Р<2) (Х) = !5 A _д;2) = 15/4 cos6 (cos 6 — sin 36);
р8з) (л:) = 15 A —л:2) У\—х*= 15/4 C sin 6 —sin 36).
Кроме того,
рИ) (л;) =1-3. 5 ... Bm~l)(l-A;2)^=m!!(sin6)m
(m = 0, I, 2 ...).
3. Цилиндрические функции со (г) — Zm (г) порядка т составляют решение
уравнения Бесселя
и могут быть получены на основании рекуррентных формул
Существует несколько видов цилиндрических функций:
' Z
k\T(m
(I arg I <c л)
— функции Бесселя порядка т;
431
Nm (г) = Ж
ЖШ
z) cosm~
Nm{z) = (- 1)«iV_m(г) = ~e7m(г) (in | + Сj -
oo Ik m-\~k \
л \2j Zi k\(tn + k)\ \2) \Zi l "Г L IJ
n \ 2 ) jLi ft! (m + ft)!
CO
/ 1 г \-« V (m+ife —1I
~U- 2
(m = 0, 1, 2, ...; argz <я)
—-функции Неймана порядка т;
{z)^jCm (г) е/б™B) = /Ст (г) [cos 6m + / sin 6n],
(z) = — Cm (z) sin [бт (г)], Nm = Cm cos [бт B)]
dHm
= <&т (г) +yyVm (г) = ]Ст (г) е
-—
—функции Ханкеля первого рода и их производные, где Ст(г)уСг^(г) — модули
функций и их производных.
— фазы функций Ханкеля и их производные;
Ст (г)
(г) = -arctg
dHm
= е^т (г) - / tf т (г) = - /Ст (г) е
— функции Ханкеля второго рода и их производные.
Каждая цилиндрическая функция Zm (z) может быть представлена как линей-
линейная комбинация функций <?7т (г) и Nm (z) или Нт (z) и Нт (z):
Zm (z) = а^т (z) + BNm (г) = aH% (г) + р#^ (г).
Определители Вронского указанных систем равны:
?т (z) Nm (г);
(г) С„ (г) sin [вт (г) -6^ (г)];
(г)
(г)
~Г-Нт (Z) — Нт (Z)
nz
4. Многие задачи математической физики приводят к цилидрическим функ-
функциям полуцелого порядка. В этом случае в уравнении Бесселя т = п+\/2, и его
432
решение может быть представлено в виде линейной комбинации функций Бесселя
полуцелого порядка o7_m(z) (m=rt: 1/2, ±3/2, it 5/2, ...), которые выражают
с помощью тригонометрических функций:
~y -
' d у sinz
\ г dz) z
(ft=l, 2, ...)
или с помощью функций Ханкеля полуцелого порядка:
n i V z f n V z
5. Решениями уравнения Бесселя при т2 — п(п-\-\) являются сферические
функции Бесселя первого —четвертого рода:
«„ W =
(г), А«' (г) = |/"-g- Я^'+1/4 (г).
Сферические функции Бесселя нулевого порядка имеют вид:
... sin г , ч cos г гм. , N jdz ,,«,,, ч /е~^
/0(«) = -5-. %(г) = —, ^"(г)=-У—, A;2)B)=-L7-.
Сферические функции Бесселя любого порядка
]т (г) = г» (- | "^-)т "^ ' ""> = <- ')т+1/-т-1 (г),
Л^1 (г) = /Dm (г) е76™ (г), А* (г) = - jDm (г) е"/6т (г).
Сферические функции Бесселя первого и второго рода выражают посредст-
посредством модуля Dm и фазы бт (г):
\т W = Dm (г) sin бт (г), пт (z) = Dm (z) cos бт (z).
То же относится к производным сферических функций:
/т (г) = -°т (г> ^ 6т (г)- «т W = »« W COS 6^ (г),
Аи" (г) = jD'm (z) ^ W, ААГ (г) = - iD'm (г) е-''6^ (г).
Сферические функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным формулам:
6. При z->oo цилиндрические функции <?7m(z) и Wm B) могут быть пред-
представлены в виде асимптотических разложений:
433
где
л <л-\ [B«)а-Ч[Bт)»-У]
, fBm)« -1 ] [Bт)« - 3«] [Bт)« - Б»] [Bт)« - 7»] ,
, [Bт)-1][B/пK][BтM1 ... [Bт)B2я1)^
•¦• н 2п! (8гJ« h •••¦
W— 8г 5!(8гM.
, [Bm)«-l][Bm)»-9j ... {Bст)»-[2Bя+1)»-1р}
н Bп+1)! (8гр-1 h '••
формулы дают предельные выражения функций Бесселя. Например,
г —> оо 2 г —>• оо
/я (г) «* у cos (г ¦!-- nj , /гот (г)
-~ sin (г
7. Функции Бесселя удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки:
если Х( и Xk—действительные корни функции (??т(х)> то условия ортогональности
и нормировки
0 при i ф k,
&'m (xf)]2/2 при i = k.
Кроме того,
6
Полезно иметь в виду интегральные соотношения:
к t
& (z) = (rzDUL \ е/2 cos * cos mtdt=^- f e"iz cos * cos mt dt,
m я J я J
о о
<^m B) == — 1 cos (mt — z sin t) dt
m w я .)
интегральную формулу Бесселя:
-O, 1, 2, ...),
) a2^pa (fx) #m+i (ax) - P^m (ax)
о
и интегралы Ломмеля:
x
434
8. К полиномам Лежандра и цилиндрическим функциям применимы следую-
следующие теоремы сложения:
Теорема сложения для цилиндрических функций. Пусть Рх и Р2 — точки пло-
плоскости с полярными координатами рь ф^ и р2, ф2. Допустим, что 0 ^ | \р | < л/2
(рис. П.1.1). Тогда
r ni-n
а = Vp\ + Pi - 2Plp2 cos (ф1 - ф2); eV* = Pl ^ е
В этом случае для каждой цилиндрической функции Zm (ad) выполняется
соотношение
(«Pi)
е'* (ф'
где ос —произвольное комплексное число.
Рис. П.I.I
В частности, если фх — ф2 = л;, то
Zm [«(Pl + P2)] =
Рис. П.1.2
m-k («pi) •
Теоремы сложения для сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра.
Пусть Pi и Р2 —точки пространства со сферическими координатами г^, 6Ь ф! и
'"г» б2> фг- Допустим, что е1 + б2<зх (рис. П.1.2). Тогда выполняются следующие
соотношения:
г\ — 2ггг2 cos 7, cos у = cos ex cos 62 + sin бх sin б2 cos (ф2 —
оо
/o(ad) = -
ОО
CD— eJad — \
0 "~ /ad ~ iL
о
> /ft (arO /й (ar2) Pk (cos 7)
.L(ar,)^(cosv) (/•, <
Теорема сложения многочленов Лежандра. Полином Лежандра m-го порядка
от cos у = cos бх cos б2 + sin Q± sin 62 cos (ф2 — фх) может быть вычислен по формуле
Рт (cos у) = Pm (cos 6х) Рт (cos 62) +
оо
^' (cos et)
cos т(Ф1-
435
ооюслоспоспослоспоспослосло
+ 1 I I I I I
Э©©©©©©©?
эорррор^
>-чЛ 4^ 00 4^ О
>^O^^^6b06 6l-^JI-^4'^C0C0C7l»--O--4O
AxkiooooooiAxLixL
мм +м i i
ooooooooooooc
poop <эсэсэс>с><2>а),а>& op о о oj-
"to "to ©t—"КэТо o^— lo'to"*—* ~-*c
¦~*J C5 Ю "*^1 "»J 4^ "^J 4^ CO CD CO »-^ С
+ 1 I I I +1 I I I
ppoopopopooooppop©^
o^To^ o'toTo^—'^—ToTo o^—'Co со о^Ъо <
СОО)ЮОООСОСОООООСЛ4^ЮСО<
^^ j c© ^ Qj\ ^p Qj c?^ CO bO ^O СД (
cDoooo-^-^a5a>o^cпt^^coco^o^o — ~—
ОСлОСпОСпОСпОСпОСпОСпОСпОСЛО
^5 ^D C3 ^5 ^5 CD ^D С
Ъз 1\Э ^— О "•— lo ~00 "СП "О5 Vl Ъо Ъо ~СО
tocotoo^cnoootocotocooi
^tooic^cDOoaigto^g^
МММ
— — — ~oo _ _
"*— О "*— Ъз Ъ1Ъ^ Ъо ~С?> "СО "с
I М + М II II
рррр.о.о .© о.о.о
СЛСЛ СЛС
О 00 С~
g
со
S
р
S
S
I
5е
¦t
о
о
1
к
CM,
I
С01О*ГО
Г- О^Ю^Ф ОО ОО СО Ю СО Ю^СМ '—'
Г Г г
ОСХЗЮСОЮС(>(>О^ЮСОЮСО(>3(>ЗСОСО(>3^00^
^^ r-^см со оо со со о^со^г^ ю^со о^т^^-^с^оо г- г^- оо^о о см т^со^оо ^-
Г сГ ^—г со" со" о^ см со"о" -^ с^ оо" оо" <хГ об* сгГ сГ сГ —I4см" со4 "^ю'г-^осГо^'сГ^оо'^ю
— —< CM CM CM CO Tf Ю СО Г— О> О »— СМ СО ^ Ю СО t— 00 О *— СМ СО ^
>-< ^—|*—.^^,_» г— —«т—сСМСМСМСМСМ
>^—'ОООЮСМОСО^СЛ^СМСМСООЮСО'—'ЮСОСМСМСОСО
" —" ^ "~ """ — -~ -— — —- -^ -— — —^ ¦<0300ts*r^OOO>OC4
co^co'cm'
>coNOt^^^r-^o<r>ooow^coooOirH
> Ю Г- Ю 00 CM —i <
8СОСОСОСОСОСООЮОГ— ОЮ*— ..
OO^CN^^OOCOC)CiOO_h-_t-^CO_CO_lO^
о о о
о о о
осГо
о
> о о
5ОО
5 05^4»
СО 00
goo
— CM Tf
о*чо"о'
Продолжение
X
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
л:
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
С2(х)
3,8930
2,3598
1,6547
1,2733
1,0432
0,8927
0,7879
0,7111
0,6526
0,6065
0,5691
0,5381
0,5119
0,4894
0,4698
0,4525
0,4371
0,4233
0,4108
0,3995
0,3891
0,3795
0,3706
С,(х)
1209,7
245,02
78,751
33,278
16,686
9,4432
5,8564
3,9060
2,7662
2,0609
1,6037
1,2954
1,0805
0,9261
0,8122
0,7260
0,6593
0,6065
0,5640
0,5291
0,5000
0,4753
0,4542
0,4359
62 (х),
град
0,64
1,84
3,98
7,19
11,46
16,73
22,87
29,75
37,26
45,29
53,76
62,59
71,74
81,14
90,77
100,58
110,55
120,67
130,90
141,24
151,68
162,19
172,78
град
00,00
0,00
0,00
0,00
0,02
0,05
0,15
0,34
0,70
1,32
2,30
3,72
5,67
8,20
11,34
15,11
19,47
24,42
29,90
35,87
42,29
49,12
56,32
63,84
cUx)
11,716
4,9215
2,5289
1,5025
1,0117
0,7627
0,6309
0,5573
0,5130
0,4836
0,4624
0,4457
0,4319
0,4198
0,4090
0,3992
0,3901
0,3816
0,3737
0,3662
0,3592
0,3525
0,3462
С[{х)
12016
1595,5
3$2,94
127,29
52,031
24,539
12,851
7,2904
4,4045
2,8012
1,8612
1,2872
0,9265
0,6965
0,5496
0,4566
0,3987
0,3631
0,3412
0,3275
0,3187
0,3126
0,3081
0,3044
в2<*),
град
0,69
2,09
-4,77
8,91
14,06
19,03
22,49
-23,69
22,56
19,45
14,75
8,84
-1,99
+5,59
13,73
22,33
31,29
40,55
50,06
59,77
69,66
79,70
89,87
б1 (х),
град
00,00
0,00
0,00
0,00
-0,02
0,06
0,16
0,37
-0,79
1,55
2,80
4,73
7,46
— 11,01
15,13
19,29
22,81
25,11
-25,90
25,14
22,95
19,54
15,10
—9,81
С3 (х)
24,692
10,815
5,8216
3,5901
2,4425
1,7911
1,3931
1,1351
0,9597
0,8354
0,7441
0,6749
0,6209
0,5778
0,5426
0,5132
0,4884
0,4671
0,4486
0,4322
0,4178
0,4048
0,3931
Сь{х)
24114
3215,6
776,70
260,41
107,65
51,519
27,492
15,970
9,9360
6,5462
4,5296
3,2717
2,4550
1,9064
1,5270
1,2576
1,0619
0,9167
0,8067
0,7219
0,6553
0,6022
0,5590
0,5235
град
0,01
0,05
0,19
0,52
1,18
2,32
4,07
6,52
9,74
13,72
18,43
23,83
29,85
36,42
43,49
50,98
58,86
67,06
75,56
84,32
93,30
102,49
111,85
6.4*),
град
00,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,10
0,21
0,41
0,75
1,29
2,11
3,27
4,84
6,88
9,42
12,49
16,09
20,21
24,83
29,92
cUx)
119,57
38,196
15,814
7,7118
4,2116
2,5037
1,5963
1,0860
0,7898
0,6158
0,5136
0,4535
0,4175
0,3952
0,3804
0,3698
0,3617
0,3549
0,3489
0,3434
0,3383
0,3334
0,3287
с'ъ (*)
300210
26554
4775,6
1268,8
431,86
174,55
80,057
40,455
22,074
12,817
7,8343
4,9989
3,3086
2,2607
1,5896
1,1486
0,8534
0,6539
0,5190
0,4287
0,3693
0,3312
0,3071
0,2921
в1<*>,
град
-0,01
0,06
-0,20
0,57
1,35
2Л77
5,08
-8,44
12,71
17,32
21,41
24,15
-25,09
24,19
21,64
17,71
12,66
—6,72
-0,04
+ 7,22
14,97
23,13
31,62
6,'(л),
град
00,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
—0,01
0,02
—0,04
0,10
0,22
0,45
0,86
-1,53
2,59
4,18
6,41
9,35
-12,92
16,83
20,62
23,74
25,76
-26,44
438
50000000000—' —'CM *¦*
500000000000000
_ soodddddc*
о
СМ К
смс
Ю'—'СО-СМ ^^С^^СОСОСМ'-^СОЮСОСМ'-
88888888888888SSSS
о"<
о
. r<i л см о> h- оо г- in i^- ее
ООООООООООО—чСМ^оо^ЮСМ
"©сГоо'сГо'сГ
! ! I
. , , „« f- CD CO Г— ^ЮСО
Г ^Ю СО 1О О5 С^ <^ ОО СО ¦*^f CO СМ С^ ^5
>^а>т ю^^см'см0.00.^^0^^ Й С; Й
-^OO — O^tCMOO — CM00 1OCD05CM O1C4^VC4
_ _5ОООООО—'CM^r-OOCMh-
с^) <?^i <?^i ^^ ^^ (~*) (~*ь с^> (^*ь (~*ь (^) ^^ С^ (~*ь *CD r~~* С4^ СО
о"<
о
75 СО Tt* ОО СО О СМ О> СМ СО •—• 1О CM CO lO O5
¦y^OS O^CDJXMO СМСМ—«^Г-О^СОЮО
о ^- оо О5 со ю Tt* г^^Г1о'со"со"--Г!:Я'~1,Чю^0Ч1
—1^-чОО^СМ*—<О0ЮСОСМ—- '—'ООСО^СОСМ
г-Г,-ГСМ"СМ" <>? СМ" СМ" СО"СО"СО"СО"СО" -Ф""Ф"г^Г-4jT^"ю"
Г— СМ СО СО Г- СЗ *— 00
ООСМООЮГО^
-Го »^ оосм — со
c^§ оо"о"ю" со" о
СМСО^СМС
ОООО
союг-со — оосмюооо
^—^СМ^ "* ОО ^t СО СО^^ОО^О^^
ОООО-С.СОЮГ-0^
ОО^С^СМГ^СМ'^ЮОСОСМ'-^Г-ООГ^
^ сог-ососмсмооюоосмсоо —
ОО^00С0(М
OOOOO—'
ООООООООО—'СМ^Г-'—'ОООО'—'Г-ООСО
ЗС2ГС2ОСМСМГ
rTOO О5СОСМСМО5(Г0Г—С5 —
см^соооосм^сооо о^см^со^оо о^см^^со^оо^о^
Г г-Г —Г г-Г ^-Г см1 см4 см" см" см" со" со" со" со" со" "ф" -ф4 "^ "^ *Ф\О
Табл ица П.П.З
Амплитуды и фазы сферических функций Бесселя
При
п _Ы-3... Bm-1) _^+l
При
. -3-5 ...Bm+l) • Ы -3... Bm+l) '
D0—\/xf 60 = 57,296л:, 6J= 19,098л;3.
К = -
т
оо
t, б'т^лг —A/2)
я0.
л:
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
0,1
0,2
0,4
0,6
D0(x)
10,000
5,0000
3,3333
2,5000
2,0000
1,6667
1,4285
1,2500
1,1Ш
1,0000
0,8333
0,7143
0,6250
0,5556
0,5000
0,4545
0,4167
0,3846
0,3571
0,3333
0,3125
0,2941
0,2778
0,2632
0,2500
0,2081
0,2273
0,2174
0,2083
0,2000
D2(x)
3005,0
377,53
48,174
14,793
град
05,73
11,46
17,19
22,92
28,65
34,38
40,11
45,86
51,57
57,30
68,75
80,21
91,67
103,13
114,59
126,05
137,51
148,97
160,43
171,89
183,35
194,81
206,25
217,72
229,18
240,64
252,10
263,56
275,02
286,48
б2 (х),
град
00,00
0,00
0,01
0,09
Do (х)
100,50
25,495
11,600
6,7315
4,4721
3,2394
2,4911
2,0010
1,6609
1,4142
1,0848
0,8778
0,7370
0,6355
0,5590
0,4993
0,4514
0,4121
0,3792
0,3514
0,3274
0,3066
0,2883
0,2721
0,2577
0,2448
0,2331
0,2225
0,2128
0,2040
Di(x)
90050
5637,4
354,57
70,730
во <*),
град
00,02
0,15
0,49
' 1,12
2,08
3,41
5,10
7,18
-9,58
12,30
18,56
25,75
33,68
42,19
51,16
60,49
70,13
80,01
90,08
100,32
110,70
121,20
131,79
142,47
153,22
164,03
174,91
185,83
196,78
207,79
град
00,00
0,00
-0,01
0,06
?>i (х)
100,50
25,495
11,600
6,7315
4,4721
3,2394
2,4911
2,0010
1,6609
1,4142
1,0848
0,8778
0,7370
0,6355
0,5590
0,4993
0,4514
0,4121
0,3792
0,3514
0,3274
0,3066
0,2883
0,2721
0,2577
0,2448
0,2331
0,2225
0,2128
0,2040
D,(x)
150150
9412,6
595,44
120,04
град
00,02
0,15
0,49
1,12
2,08
3,41
5,11
7,18
9,58
12,30
18,56
25,75
33,68
42,19
51,16
60,49
70,13
80,01
90,08
100,32
110,70
121,20
131,79
142,47
153,22
164,03
174,91
185,83
196,78
207,79
б3 (х),
град
00,00
0,00
0,00
0,00
D[ (x)
2000,0
250,05
74,149
34,350
16,125
9,4081
6,0034
4,1014
2,9599
2,2361
1,4262
1,0205
0,7931
0,6529
0,5590
0,4918
0,4411
0,4011
0,3686
0,3415
0,3184
0,2985
0,2811
0,2657
0,2519
0,2396
0,2285
0,2184
0,2091
0,2006
d'3(x)
6003000
187875
5906,2
785,47
вГ (х),
град
—00,01
0,08
0,25
0,58
—1,10
1,82
2,73
3,80
4,96
—6,14
8,11
8,97
8,25
5,87
-1,97
+3,21
9,44
16,50
24,23
32,49
41,18
50,23
59,57
69,15
78,92
88,88
98,97
109,20
119,55
129,98
бз (*),
град
00,00
0,00
0,00
0,00
440
Продолжение
к
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3^8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
D2 (х)
6,5741
3,6056
2,2705
1,5768
1,1768
0,9268
0,7603
0,6434
0,5578
0,4927
0,4416
0,4006
0,3669
0,3388
0,3149
0,2943
0,2764
0,2607
0,2468
0,2343
0,2231
0,2130
DA(x)
1385,7
335,57
112,90
46,879
22,559
12,121
7,0994
4,4613
2,9741
2,0859
1,5294
1,1660
0,9201
0,1483
0,6248
0,5336
0,4646
0,4112
0,3690
0,3350
0,3071
0,2838
0,2642
62 (X),
град
0,36
0,9
2,18
4,12
6,91
10,59
15,13
20,47
26,54
33,23
40,48
48,20
56,32
64,80
73,59
82,62
91,89
101,36
111,00
120,79
130,72
140,77
64(*),
град
00,00
.0,00
0,00
0,00
0,01
0,03
0,08
0,18
0,38
0,74
1,32
2,22
3,50
5,25
7,51
10,33
13,72
17,68
22,19
27,22
32,73
38,69
45,06
dUx)
22,667
9,4340
4,6457
2,5833
1,5836
1,0572
0,7629
0,5901
0,4837
0,4148
0,3676
0,3333
0,3071
0,2862
0,2688
0,2540
0,2411
0,2296
0,2194
0,2101
0,2016
0,1939
dUx)
11427
2058,2
547,85
186,90
75,742
34,839
17,661
9,6689
5,6351
3,4594
2,2198
1,4811
1,0242
0,7334
0,5443
0,4195
0,3364
0,2807
0,2432
0,2174
0,1994
0,1863
0,1764
62 (х),
град
0,25
-0,70
1,59
3,07
5,19
7,77
— 10,40
12,49
13,51
13,14
11,31
-8,11
—3,73
+ 1,65
7,86
14,75
22,20
30,12
38,44
47,08
56,00
65,16
град
00,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,02
0,06
—0,15
0,32
0,64
1,18
2,02
-3,27
5,00
7,23
9,83
12,58
-15,10
17,00
17,95
17,79
16,47
— 14,04
D3 (х)
39,102
16,643
8,4253
4,8265
3,0376
2,0803
1Г4856
1,1268
0,8913
0,7298
0,6149
0,5303
0,4661
0,4161
0,3762
0,3437
0,3168
0,2941
0,2747
0,2579
0,2433
0,2303
?>б(*)
20665
3736,4
999,44
343,17
140,20
65,140
33,437
18,591
11,042
6,9354
4,5716
3,1446
2,2471
1,6622
1,2690
0,9972
0,8045
0,6648
0,5613
0,4831
0,4228
0,3755
0,3378
63 (х),
град
0,01
0,03
0,10
0,28
0,64
1,29
2,34
3,92
6,10
8,94
12,46
16,66
21,52
26,95
32,94
39,43
46,36
53,68
61,36
69,36
77,63
86,16
б5 (х),
град
60,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,02
0,05
0,11
0,22
0,42
0,74
1,25
1,99
3,05
4,47
6,30
8,60
11,38
14,66
18,43
?>з (х)
188,94
62,968
25,816
12,217
6,4256
3,6669
2,2361
1,4436
0,9823
0,7036
0,5308
0,4214
0,3508
0,3042
0,2723
0,2496
0,2326
0,2193
0,2084
0,1992
0,1912
0,1840
D'b(x)
205264
27685
5883,7
1668,9
578,29
232,16
104,36
51,313
27,141
15,253
9,0209
5,5733
3,5758
2,3714
1,6198
1,1367
0,8183
0,6043
0,4583
0,3577
0,2881
0,2399
0,2065
град
-0,01
—0,02
0,08
0,22
0,51
1,05
-1,97
3,38
5,34
7,80
10,54
— 13,16
15,17
16,17
15,94
14,41
—11,67
7,84
—3,08
+2,47
8,70
15,48
б?(*),
град
00,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,01
0,02
0,04
0,10
0,20
—0,37
0,68
1,16
1,91
2,99
-4,48
6,43
8,79
11,45
14,15
— 16,56
441
:>ООООООООООО — СМ СО CD СМ СМ Г— —<
>_ о_ о_ о^ о_ о^ о_ о_ о^ о^ о^ о^ о^ о_ с^ о_ —^ см^ оо^ со.
5 !
^3
5OOOOOOOOOO — С
---------->o©c
5OOOOOOOOOOOOOO—- CM CO CO С
^ ггГ irC—ГО COCDOiOh- СМ
СО— СПЮ^ООСПОО CM ^L^l^^
*—'CDCM»—'OO^CM'—• —'ООЮООСМСМг—i
2 К S ^ соса\п
Ю К Я S S? СМ В Oi CO TjTrjr
ГОГООГ^СЧ
5ООООООО—'—^COCDOO
5ООООООООООО —
3 — О СО Ю СМ ОО С5
"т-Гс^Гсо'ю"
jo"of ьсчозсоо-ноооооюо^'-!
CO ОО^О СМ ^СО 00 О
СМ" СМ"СМ"СхГсм" ГО СО СО СО СО -zf'^'rf'^-rplO
ООООООООООООООО'—'
о о о о о о о о о о о о с - - -
ry^i^f^OO^O'—'CM—«ЮО
aoootococoo
ОООООООООООООООС
— CN1COO —
) — Ю '—' ^ (У> С5 Ю
_сю
СЧЮСО^С^ЮО
'—«ООЮСОСМ»—<—'t
ООООООООООО — СМ-^Г—СМ
о^о^о^о^о^о^о^ о о о о^о^>-^
OOOOQOOOOOOOOOOO
SooSooooooooc
см cm4 смп cm" cnT со'' со" со" оо" со" "чН" «Ф~ ^ ri^ rfirT
9 ^
S ^—^
к
CU
X
CQ
о*
S
CU
1
ЕС
•е-
3 Ы
о
§
•9*
Си,
8
L
Умножая левую часть уравнения Гельмгольца на г2 и обозначая
со2 1 а / . о а \ , i a
¦ ^h^j +
после подстановки решения в виде v = R (г) У (9, ф) получаем
АгК (г) А9,ФУ
/? (г) + Y ~°'
или
Из ?того следует, что функция /? (г) удовлетворяет уравнению
а для определения К (б, ф)~ уравнению
^) ^ о. B)
Положив К = О (б) Ф (ф), получаем уравнение для Ф (ф):
Из условия периодичности Ф(ф + 2л)=Ф(ф) следует, что уравнение для
Ф (ф) имеет решение только при целом ц, = я2. Линейно независимыми решениями
являются функции sin ф и cos лф:
Ф_я = А„п cos, пф, Фп — Ап sin пф.
Функция в (б) определяется из уравнения
для условия ограниченности О (б) при 0gO, nn.
Введем переменную x = cos6 и обозначим в (б)=Х (х). Тогда
Уравнение допускает ограниченные решения только при X = m (m-f-1)* Этими
решениями являются присоединенные полиномы Р$ (х) при п^пг.
Таким образом, функции У (б, ф) = X (cos б) Ф (ф) представляются в виде
Sin
Условимся приписывать положительный верхний индекс тем сферическим функ-
функциям Ш'ГО порядка, которые содержат cos mp, отрицательный — тем, которые
содержат sin mp. Тогда
л==0 Ym (б, ф) = Ят(С08б),
^г = 1 Km (б, ф) = Pm (cos б) cos Ф, Yml) = Рт (cos б) sin ф,
п = 2 Km (О, Ф) == Ят* (cos б) cos 2ф, Km2' = Pm (cos б) sin 2ф,
п «Л? К^} (б.; ф) = Р<*> (cos б) cos Лф, К<~ ^> (б, ф) = Р(~к) (cos б) sin top,
т. е. имеем 2т+1 различных сферических функций т-ro порядка.
443
Линейная комбинация всех различных решений уравнения B) является также
решением этого уравнения:
т т
Ут (в, Ф) = 2 <Лт« соз п<? + Втп sin пф) PW (cos в) = 2 Ст„к?> (9, Ф),
п==0 п = —т
Атп при rtss0>
Втп при „>0.
Преобразуем уравнение к виду при условии А, =
С помощью подстановки R (/-)== У (г)/\f r получаем уравнение
Г*
которое после замены переменной r — zjk сводится к уравнению Бесселя полуце-
полуцелого порядка:
г dz • L *2 J
вляк
, (z). Таким образом,
Решением этого уравнения являются цилиндрические функции полуцелого порядка
K Z (). Та б
При этом вид цилиндрической функции определяется так, чтобы выполнялись
условия ограниченности функции при z = 0 и условия излучения на бесконеч-
бесконечности.
Запишем частное решение волнового уравнения A):
п — — т
Для внутренних краевых задач на сфере
/
-\-т
= 2у \
lrni*)
Если функции ит не зависят от азимута ф, то
\ im(z) Рт (cos Ь).
Для внешней краевой задачи функция Zm^_l^2(z), удовлетворяющая условию
излучения, есть вторая цилиндрическая функция Ханкеля полуцелого порядка
Нт+1/2 (z), которая выражается через сферические функции Ханкеля второго
рода с помощью формулы
444
Таким образом, амплитудная функция для внешней краевой задачи имеет вид
т т
Vm - 2 Y{ К (*> ^ CmnYim) № Ф) = 2 |/ { *# (г) J C^S? (б, ф) ™ щр,
-от /i = -m р)
где числа я^О—для членов суммы, содержащих cosmp; n>-0—для членов
суммы, содержащих sin ф.
Часто используется и другая формула часгного решения A):
т
vm (br, б, ф) = /^ (г) 21 лтп cos шр + Ядал sin тр. D)
п = 0
Общее решение задачи представляет собой сумму всех частных решений:
оо -\-т
или m==O/i = —m
или со m
V (kr9 б, ф) - 2 И (Лтп С09 Пф + Втл Sin /up) Р% F, ф) А«» (Лг). F)
В частности, для симметричных (зональных) колебаний поверхности сферы
функции v не зависит от ф:
v (kr, 8) = 5 Лт0Рт (cos б) А<» (Лг). G)
т = 0
Формулы C) —G) применимы к области, лежащей вне сферы (а^г<оо).
Функции Лт (kr) удобно представить с помощью модуля Dm (kr) и фазы 6m (kr).
IV. ПРОИЗВОДНЫЕ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПОЛЕЙ
В декартовой системе координат XYZ
дг '
dAz дАу\ 1дАх дАЛ (дАу дА
В цилиндрической системе
дФ , 1
Id 1 дЛ
. д , ~ v, , , лр дА*\ , Г* д , л ч ! мр \
rot А = ! ^ g—) ep + i ~з ^-j еф + — j" (P^p) ^—) ее-
В сферической системе гфб
дФ 1 ^ф 1 аФ
дг r*~ r sin б дф ф г ^б 0>
1 д 1 алф ia
div A = -=- з" (f2Ar) -\ г—— а Н ^-тг- -^г (Ла sin б);
г2 дг у п г sm б ^ф ' г sin б дб D ;
! Г_1_ M^ д / /i Л
Т [ШТ ~д^"~ а7 (гЛ(р) Jее*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............ 3
ЧАСТЬ I
Глава I. Колебательные системы с одной степенью свободы 4
§ 1.1. Периодические и гармонические колебания 4
§ 1.2. Колебательная система без трения 7
§ 1.3. Механическая колебательная система с потерями 13
§ 1.4. Вынужденные колебания 16
Глава II. Колебания с несколькими степенями свободы 28
§ II. 1. Системы с конечным числом степеней свободы 28
§ II.2. Некоторые сведения из теории электрических цепей 46
§ П.З. Метод электромеханических аналогий ' 55
§ II.4. Примеры расчета некоторых колебательных систем 63
Глава III. Применение метода электроакустических аналогий для расчета
низкочастотных акустических волноводов 73
§ II 1.1. Акустические элементы звукопроводов 73
§ II 1.2. Акустические масса и проводимость 73
§ II 1.3. Акустическая податливость элементов звукопровода 76
§ II 1.4. Элементы потерь на вязкостное трение и теплопроводность ... 78
§ II 1.5. Корректирующие контуры и их акустические аналоги 81
§ II 1.6. Электрические, механические и акустические фильтры 88
Глава IV. Колебания одномерных систем с распределенными параметрами 93
§ IV.1. Поперечные колебания струны 93
§ IV.2. Вынужденные колебания струны 107
§ IV.3. Продольные колебания стержней 111
§ IV.4. Колебания стержней постоянного сечения 116
§ IV.5. Колебания жидкости или газа в узких трубах 124
§ IV.6. Поперечные колебания стержней 130
Глава V. Двухмерные колебательные системы с распределенными параметрами 136
§ V.I. Поперечные колебания мембран , 136
§ V.2, Поперечные колебания пластин . . . . , , , 149
446
Глава VI. Распространение упругих волн в жидкостях и газах 153
§ VI. 1. Основные уравнения 153
§ VI.2. Волновое уравнение и его решение 162
§ VI.3. Энергия упругих волн 167
§ VI.4. Затухание упругих волн 173
§ VI.5. Скорость звука в газах и жидкостях 175
Глава VII. Отражение и прохождение звука через границу раздела двух сред 180
§ VI 1.1. Отражение и прохождение звука через границу раздела при
нормальном падении 180
§ VI 1.2. Прохождение звука через плоскую границу раздела двух сред
при косом падении 183
§ VI 1.3. Полное внутреннее отражение 187
§ VI 1.4. Прохождение звука через плоский слой 189
Литература 192
ЧАСТЬ II
Глава I. Элементы теории излучения. Сферические излучатели 193
§1.1. Анализ условий излучения упругих волн 193
§ 1.2. Характеристики излучателей 196
§ 1.3. Пульсирующая сфера 204
§ 1.4. Двойной источник или акустический диполь 209
§ 1.5. Звуковое поле осциллирующей сферы 210
§ 1.6. Излучение звука при сложном колебании поверхности сферы ... 212
§ 1.7. Несколько задач об излучении сферическими источниками . , . . 216
Глава II. Цилиндрические источники . , , 221
§ II.1. Цилиндрический излучатель бесконечной длины 221
§ II.2. Осциллирующий цилиндр 227
§ П.З. Общая теория излучения звука цилиндром 229
§ II.4. Излучение кольца, расположенного на поверхности цилиндра . . . 233
§ II.5. Излучение системы колец, расположенных на цилиндре 238
Глава III. Интегральные методы решения задач об излучении 240
§ II 1.1. Теорема Остроградского—Гаусса. Формула Грина 240
§ II 1.2. Интеграл Гельмгольца—Кирхгофа 242
§ II 1.3. Функция источников 247
§ II 1.4. Построение функции Грина для плоскости 249
§ II 1.5. Построение функции Грина для сферы 251
§ II 1.6. Построение первой функции Грина для кругового цилиндра . . . 253
Глава IV. Излучение плоскими источниками 255
§ IV. 1. Дальнее поле плоского поршневого излучателя 255
§ IV.2. Дальнее поле круглого и прямоугольного преобразователей
в экране : 257
§ ^.З.^Импеданс п< коэффициент осевой концентрации для круглого
поршневого излучателя в экране 261
§ IV.4. Звуковое поле круглого поршневого излучателя на оси 265
§ IV.5. Ближнее поле плоского излучателя 270
§ IV.6. Дифракционные поправки при измерении скорости и поглоще-
поглощения звука 280
Глава V. Рассеяние волн 284
§ V.I. Волновое уравнение и краевые условия 285
§ V.2. Рассеяние плоской волны на цилиндре бесконечной длины , . , . 286
447
§ V.3. Интенсивность рассеянной волны на далеких расстояниях от рас-
рассеивающего цилиндра 292
§ V.4. Рассеяние плоской волны на сфере 298
§ V.5. Дальнее поле при наличии рассеивающего шара 304
§ V.6. Рассеяние плоской волны на пузырьках газа в жидкости .... 314
Глава VI. Распространение звука в каналах и трубах , 319
§ VI. 1. Волноводное распространение звука 319
§ VI.2. Нормальные волны в трубах 327
§ VI.3. Возбуждение звука в трубе прямоугольного сечения 332
§ VI .4. Излучение звука пульсирующим кольцом в цилиндрический
канал с жесткими стенками 338
§ VI.5. Прямоугольный поршень на боковой поверхности -цилиндра . . . 341
Глава VII. Элементы акустики помещений 346
§ VII.1. Основные понятия 346
§ VI 1.2. Статистическая теория реверберации 350
§ VI 1.3. Характеристики акустических свойств помещений 355
§ VI 1.4. Резонансные свойства замкнутого объема . . . 359
§ VI 1.5. Учет поглощения 366
Глава VIII. Поглощение звуковых волн в жидкостях и газах 371
§ VII 1.1. Некоторые вопросы гидродинамики вязкой жидкости 371
§ VIП.2. Поглощение энергии упругих волн в вязких и теплопроводных
жидкостях 374
§ VII 1.3. Сравнение классической теории с экспериментом 377
§ VIII.4. Релаксационные процессы в газах 379
§ VIII.5. Основы термодинамики необратимых процессов 382
§ VIII.6. Уравнение релаксации 384
§ VIII.7. Релаксация термодинамических величин 387
§ VIII.8. Зависимость термодинамических величин от частоты 390
Глава IX. Распространение упругих волн в твердых телах 395
§ IX. 1. Элементы теории упругости 395
§ IX.2. Адиабатические деформации 404
§ IX.3. Упругие волны в трехмерной среде 406
§ IX.4. Отражение и преломление на границе жидкость — твердое тело 408
§ IX.5. Поверхностные волны 413
§ IX.6. Нормальные волны в пластинах ' 416
§ IX.7. Нормальные волны в сплошном цилиндре 424
Литература 429
Приложения 430
I. Некоторые специальные функции 430
II. Сокращенные таблицы специальных функций . 436
III. Решение волнового уравнения в сферических координатах 442
IV. Производные скалярного и векторного полей 445