R&C

THEORY OF
ORDINARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS
EARL A. CODDEVGTON
Assistant Professor of Mathematics
University of California, Los Angeles
NORMAN LEVINSON
Professor of Mathematics
Massachusetts Institute of Technology
McGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
New York Toronto London
1955

Э. А. Коддингтон и Н. Лееинсон
ТЕОРИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Б. М. Лееитана
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — 1958

АННОТАЦИЯ
В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и
Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов
изложение современной теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существо-
существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая
теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на
собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре—
Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.
Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и
инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальны-
дифференциальными уравнениями.
Редакция литературы по математическим наукам
Заведующий редакцией Б. В. ШАБАТ

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона содержит подробное
изложение разнообразных разделов теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. Наряду с традиционными разделами этой
теории, например таким и, как теоремы существования и единствен-
единственности или теория линейных систем, авторы дают довольно подроб-
подробное изложение аналитической теории дифференциальных урав-
уравнений, теории самосопряженных краевых задач как для конеч-
конечного, так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию
несамосопряженных краевых задач.
Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII
включительно и, по существу, образуют первую часть книги, посвя-
посвященную линейным уравнениям.
Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена
нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений, перио-
периодические решения и теория возмущения систем, имеющих периоди-
периодическое решение, качественная теория систем второго порядка
(включая теорию Пуанкаре—Бендиксона) и, наконец, теория урав-
уравнений на торе. Более подробное представление о содержании книги
читатель может получить из оглавления.
Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет
систематическое применение в аналитической теории дифферен-
дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная
теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена
независимо от теории операторов в пространстве Гильберта.
К каждой главе приложено большое число задач; при этом
наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности.
В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются указа-
указаниями авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что
решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако
авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают.

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга является хорошим введением в большое число важных
разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и
может быть использована в качестве учебного пособия для сту-
студентов и аспирантов физико-математических факультетов, а также
может оказаться полезной для научных работников.
Б. М. Левитан.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Эта книга возникла из лекций, читанных авторами, и содержит,
вероятно, больше материала, чем обычно излагается в одногодич-
одногодичном курсе. Выбор материала частично обусловлен интересами
авторов.
Мы надеемся, что книга окажется полезной как в области прак-
практических применений дифференциальных уравнений, так и для
математиков, не занимающихся приложениями. Для чтения книги
необходимо знакомство с теорией матриц и с основами теории
функций комплексного переменного. Понятие интеграла Лебега
используется в главах II, VII, IX и X. Однако глава II необходима
лишь для некоторых параграфов главы XV, которые в части, отно-
относящейся к практическим применениям, полностью покрываются
главой XIII. В главе VII можно легко обойтись без интеграла
Лебега, что там и указано. Однако строгое изучение глав IX и X
требует известного математического развития и, во всяком случае,
предполагает понимание тех теорем теории интегрирования, которые
здесь используются. Другой подход состоит в применении теории
глав IX и X к ограниченному классу функций, как это указано в
доказательстве теоремы 3.1 гл. IX. Этот подход предполагает лишь
знание интеграла Римана—Стильтьеса.
Главы III—XII посвящены линейным уравнениям. Для линейной
теории теоремы существования решений гл. I не необходимы.
Теорема, необходимая для гл. III, намечена в задаче 1, помещенной
в конце этой главы. Для глав IV и V достаточны результаты § 7
гл. III. Задача 7 гл. I обеспечивает необходимые дополнительные
результаты существования для глав VII—XII.
Главы IV, V и VI не используются ни в одной из последующих
глав. Глава VIII также не нужна ни для одной из последующих
глав, не исключая глав IX и X. Глава VIII не зависит от
главы VII.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Для главы XII требуется лишь глава VII, а для § 5 — также
глава XI.
Для глав XIII и XIV нужны только главы I и III. Для большей
части главы XV и для глав XVI и XVII достаточна гл. I.
Не делается никакой попытки показать историческое возникно-
возникновение теории, и в конце-книги дано только ограниченное число
ссылок. В соответствии с этим авторы не делают указаний в тексте
в тех случаях, когда они излагают новые результаты.
Задачи в некоторых случаях дают дополнительный материал, не
рассмотренный в тексте.
Авторы выражают благодарность коллегам и студентам, про-
прочитавшим отдельные части рукописи, в частности Ф. Г. Брауэру,
проф. А. Хорну и доктору Дж. Дж. Левину.
Эрл А. Коддингтон,
Норман Лееинсон.

Глава I
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ
Пусть / — открытый интервал на действительной прямой
— оо < t < оо, т. е. множество всех действительных чисел t, удо-
удовлетворяющих неравенствам a <_t<Zb для некоторых действитель-
действительных постоянных а и Ь. Множество всех комплекснозначных функций,
имеющих к непрерывных производных на /, обозначается через
Ск{1). Если / — элемент этого множества, то пишут feCk(I) или
/ е Ск на /. Символ е читается так: «элемент множества» или «при-
«принадлежит к». Полезно расширить определение класса Ск на интер-
интервалы /, которые могут не быть открытыми. Действительные интер-
интервалы с < f < fc, a<Ct<Cb, a<_t < Ь и а < f <_b обозначаются
соответственно через (a, b), [a, b], [а, Ъ) и (а, Ь]. Если / е Ск на (а, Ь}
и в дополнение к этому правая к-я производная / существует в
точке а и непрерывна справа в а, то говорят, что / принадлежит
классу Ск на [а, Ь). Аналогично, если к-я производная непрерывна
слева в Ъ, то feCk на (а, Ь]. Если выполняются оба эти условия,
то говорят, что / е Ск на [a, b ].
Если D—область, т. е. открытое связное множество в (t, x) -плос-
-плоскости, то множество всех комплекснозначных функций, таких, что
все частные производные dkf/dtp дхч (р + q = к) порядка к суще-
существуют и непрерывны в D, обозначается через C*(D) и при этом
пишут / е Ck(D) или / е Ск на D.
Множества С°A) и C°(D) непрерывных функций на / и D будут
обозначаться через СA) и C(D) соответственно.
Пусть D — область в (t, х)-плоскости и предположим, что / —
действительная функция, такая, что / е C(D). Тогда основная
задача этой главы может быть сформулирована следующим
образом.
Задача. Найти дифференцируемую функцию <р, определенную на
действительном t-интервале I и такую, что
(О	(',?@)еД (tei),
00

10	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Эта задача называется обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением первого порядка и обозначается так:
x' = f(t,x) (* = -?-).	(У)
Если такой интервал / и функция <р существуют, то q> называется
решением, дифференциального уравнения (У) на I. Очевидно, что
если <р есть решение уравнения (У) на /, то <р е С1 на /, согласно (ii).
На геометрическом языке: уравнение (У) определяет наклон
f(t, х) в каждой точке области D. Решение <р на / есть функция,
график которой [множество всех точек (t, q>(t)), te I] для каждого
te I имеет угловой коэффициент f(t,(p(t)).
Задача (У) может иметь много решений на интервале /. Напри-
Например, простое уравнение
х'= 1
имеет для каждого интервала / решение
где с — произвольная постоянная. Существует, однако, только одно
решение, проходящее, например, через точку A, 1), а именно <po(t).
Поэтому, чтобы иметь возможность говорить о единственности
решений уравнения (У), следует рассматривать задачу определения
решения, проходящего через данную точку (t, х)-плоскости.
Пусть (т, f) — данная точка области D. Тогда начальная задача
для уравнения (У) и этой точки ставится следующим образом.
Начальная задача. Найти интервал I, содержащий точку т,
и решение <р уравнения (У) на I, удовлетворяющее условию
Эта задача обозначается так:
x' = f{t,x), х(т) = ?.
Пусть <р — решение этой задачи на /. Тогда, интегрируя (ii),
получаем следующее интегральное уравнение :
t
(tei).
Наоборот, пусть функция дэ е С удовлетворяет на / интегральному
уравнению. Тогда очевидно, что ^(т) = f, и, дифференцируя инте-
интегральное уравнение, мы убедимся, что <р есть решение уравнения
(У) на /. Иными словами, имеется соответствие между решениями
<р уравнения (У) на /, удовлетворяющими условию <р(т) = f, и
непрерывными решениями интегрального уравнения. Таким обра-
образом, начальная задача для уравнения (У) на / полностью экви-

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ	11
валентна задаче отыскания непрерывных на / функций ср, удовле-
удовлетворяющих интегральному уравнению.
Если дана непрерывная в области D функция /, то первый вопрос,
на который следует дать ответ, состоит в следующем: существует
ли решение уравнения (У)? Ответ утвердительный при надлежащем
/. Указание на необходимость ограничений в каждой общей теореме
существования можно усмотреть из простого примера
Легко видеть, что решение этого уравнения, проходящее через точку
A, —1), есть ^(О = —.f- Однако это решение не существует при
t = О, хотя функция f(t, х) = х2 в этой точке непрерывна. Этот при-
пример показывает, что каждая общая теорема существования необ-
необходимо должна иметь локальный характер, и существование в
целом может быть гарантировано лишь при дополнительных усло-
условиях, налагаемых на функцию /.
Доказательство локального существования решения осуществля-
осуществляется в два этапа. Вначале при помощи эффективной конструкции
показывается, что существует «приближенное» решение уравнения
(У) в смысле, который будет указан ниже. Затем будет показано,
что существует последовательность приближенных решений, схо-
сходящаяся к решению (У).
Пусть / — непрерывная действительная функция, определенная
в области D (t, х)-плоскости. Функция <р?С называется е-прибли-
женным решением уравнения (У) на /, если:
(О	(tMtyeD (tel);
(ii) <P € С1 на /, за исключением, быть может, конечного числа точек
S на /, в которых <р' может иметь разрывы первого рода1;
(НО	!<Р'@-/(Ы0I<е (tel-S).
Если функция ф"€ С удовлетворяет условию (ii) на /, то о ней
говорят, что она имеет кусочно непрерывную производную и это
обозначается так: <р€С?(/).
Если функция /еС в прямоугольнике
R: \t-r\<?a, \х-ё\^Ь (а,Ь>0)
с центром в точке (т, f), то она в этом прямоугольнике ограничена.
Пусть
М = max \f(t,x)\ ((t,x)eR)
и
1 Функция g имеет в точке с разрыв первого рода, если в этой точке суще-
существуют пределы функции g слева и справа и эти пределы между собой не равны.
В случае е = 0 предполагается, что множество S пусто.

12
ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Теорема 1.1. Пусть feC в прямоугольнике R. Каково бы ни было
?>0, на интервале |f—т|<а существует е-приближенное решение
ср уравнения (У), такое, что ф(т) = ?.
Доказательство. Пусть е > 0 дано. Построим е-прибли-
женное решение в интервале [т, т + а ]; аналогичную конструкцию
можно осуществить для интервала [т — а, г ]. Это приближенное
решение представляет собой ломаную линию, выходящую из точ-
точки (т, ?).
/
Nv *'
/
\
7
. ^*
	-^
и
т+а
Фиг. 1.
Так как функция / € С на Е, то она равномерно непрерывна, и
поэтому для данного е > 0 существует такое дЕ > 0, что
\Kt,x)-f(i,x)\<e,
A.1)
если
(t,x)eR и |/ —/j^a., |x-xj<4.
Разделим теперь интервал [т, т + «] на п частей точками
так, чтобы выполнялось неравенство
max ] tk - tk-± j < min fde, -^-] .	A.2)
Из точки (т, f) проведем направо прямую линию с угловьш коэффи-
коэффициентом /(т, f) до пересечения с прямой t = tt в некоторой точке
(flf Xj). Этот отрезок прямой должен лежать внутри треугольника Т,
ограниченного прямыми линиями, выходящими из точки (т, f) с
угловыми коэффициентами М и -WW, и линией f = т + а (см. фиг. 1,
на которой а принято равньш b/М). Это следует непосредственно из
определения а и неравенства | f(t, x) | <; М. В частности, построен-
построенный отрезок действительно встречает линию t = fx в треугольнике Т.

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ	13
Из точки (tv Xj) проведем направо от tt отрезок прямой с угловым
коэффициентом f(tlf хг) до пересечения с прямой t — /2 в точке
(t2, х2). Продолжая таким образом, найдем, что после конечного
числа шагов ломаная <р пересечет линию t = г + а. Кроме того, эта
ломаная линия лежит целиком внутри Т.
Функция ср есть искомое е-приближенное решение. Аналити-
Аналитически она может быть выражена следующим образом :
tk-!<t<tk, к =1,2,..., п.
Из построения q> очевидно, что <р € С* на [т, т + а] и что
rf-i\ (t,te[r,r + a]).	A.4)
Если t таково, что tk-i<t<.tk, то из A.4) и A.2) следует, что
| <p(t) — (p(tk-i) | < 6Е. Но из A.3) и A.1) получаем
i<PV) ~ f(t, <№\ = I /C*-i> 9<!*-i)) - /0.
Это неравенство показывает, что <р действительно является е-при-
ближенным решением уравнения (У).
Конструкция теоремы 1.1 иногда используется в качестве практи-
практического метода получения приближенного решения уравнения.
Действительно, нами найдена, в сущности, последовательность точек
(tk, <p(tk)), соединенных прямолинейными отрезками. Эти точки в
силу A.3) удовлетворяют конечноразностному уравнению
Хк — Xfc_x = D — ik-.
Для решения этого уравнения можно использовать, например,
цифровые вычислительные машины.
Теперь мы докажем существование решения уравнения (У). Для
читателей, которые интересуются главным образом приложениями,
другие доказательства существования при больших ограничениях,
налагаемых на/, будут даны в теоремах 2.3 и 3.1. Эти читатели
могут опустить конец настоящего параграфа.
Для того чтобы доказать существование последовательности
приближенных решений, сводящейся к решению уравнения (У) при
единственном предположении: /€С на R, необходимо ввести по-
понятие равностепенной непрерывности. Множество функций F = {/},
определенных на действительном интервале /, называется равно-
равностепенно непрерывным на /, если для любого в >• 0 существует
д? > 0, не зависящее от / е F и такое, что
1/@ -Я0К*. если|*-*|<в., tjel.
Фундаментальное свойство таких" множеств функций, ко торое нам
понадобится, дается в следующей лемме.

14	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Лемма (Асколи). Пусть F = {/}—равномерно ограниченное, равно-
равностепенно непрерывное множество функций, определенных на
конечном интервале I. Тогда F содержит последовательность
{/п}, п — 1,2,..., которая равномерно сходится на I.
Доказательство. Пусть {г*}, к = 1,2,..., — множество
рациональных чисел на /, занумерованное в произвольном порядке.
Множество чисел {/(r^}, / e F, ограничено, и поэтому существует
последовательность различных функций {/nl}, /ni е F, такая, что
последовательность чисел {/mfo)} сходится. Аналогично множество
чисел {/щ(г2)} содержит в себе сходящуюся подпоследовательность
{/nifo)}- Продолжая таким образом, мы получаем бесконечное мно-
множество функций fnk € F, п, к = 1, 2, ..., обладающее тем свой-
свойством, что последовательность {fnk} сходится в точках rlt r2,..., гк.
Положив /„ = /„„, покажем, что последовательность {/„} обладает
требуемым свойством.
Очевидно, {/„} сходится во всех рациональных точках I. Поэтому,
каковы бы ни были е>0и рациональное число гк € /, найдется
такое целое число Ne(rk), что
I fn(rk) — fm(rk)\ < e, если п, т > Ne(rk).
Для выбранного е существует 6е, не зависящее от /, t и / е F и
такое, что
Разделим интервал / на конечное число таких подинтервалов
Iv /2,..., Ip, что длина наибольшего из них меньше дЕ. На каждом
интервале 1к выберем рациональное число fk?lk. Если t e /,
то t принадлежит также некоторому 1к и поэтому
если только п, т > max {/^(rj), Ne(ra),..., Ne(fp)}. Это показывает
равномерную сходимость последовательности {/„} на /.
Теорема 1.2 (Теорема существования Коши—Пеано). Если /еС
в прямоугольнике R, то для \t—т| <? а существует решение убС1
уравнения (У), удовлетворяющее начальному условию <р(т) = f.
Доказательство. Пусть {еп}, п = 1, 2,..., — монотонно
убывающая последовательность положительных чисел, стремя-
стремящаяся к нулю при п->- оо. По теореме 1.1 для каждого е„ и |f—т|<;а
существует е„-приближенное решение <р„ уравнения (У), удовле-
удовлетворяющее условию фп(т) — f. Выберем для каждого е„' по одному
такому решению. Из A.4) следует, что
\<Pn(t)-<Pn(t)\<,M\t-f\.	A.5)
Применяя A.5) к/ = ти принимая во внимание, что \t — т | <, bjM,
легко усмотреть, что последовательность {<р„} равномерно ограни-

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ	15
чена числом | ? \ + Ъ. Более того, из A.5) следует, что последова-
последовательность {<рп} равностепенно непрерьюна. По лемме Асколи су-
существует подпоследовательность {<pnfc}, к = 1, 2,..., последова-
последовательности {фп}, сходящаяся равномерно на [т — а, т + а] к пре-
предельной функции <р, которая должна быть непрерывной в силу
непрерывности каждой функции <р„ (более того, из A.5) следует, что
Q 0M "
Эта предельная функция <р есть решение уравнения (У) при
данном начальном условии. Чтобы усмотреть это, запишем равенство,,
определяющее срп как е„-приближенное решение, в интегральной
форме:
t
, <pn(sj) + An(s)) ds,	A.6)
причем An(t) — (p'n(t) — f(t, q>n(t)) в тех точках, где <р'п существует;
и An(t) = 0 в остальных точках. Так как <рп есть е„-приближенное
решение, то | An(t) | < еп. Далее, так как / равномерно непрерывна
на В и q>nt-+ <р равномерно на интервале [т—а, т + а ], то f(t, cpnt(t)) ->•
-у f(t,<p(t)) равномерно на [т — а,т + а] при к —>¦ оо. Заменяя
в A.6) п на пк и полагая к-+ <х>, получаем
q>(s))ds.	A.7)
Из A.7) вытекает, что <р(т) = f. Так как f(t,q>(t)) — непрерывная
функция, то, дифференцируя A.7), получаем <p'(t) = f(t, ^@)- Отсюда
следует, что qc(O есть решение уравнения (У) класса С1 на интервале
I' — 7\<а-
В общем случае выбор подпоследовательности из последователь-
последовательности {q>n} в предыдущем доказательстве необходим, так как суще-
существуют полигоны {<р„}, расходящиеся на всем интервале около
/ = т ; см. задачу 12.
Если предположить, что решение уравнения (У), проходящее
через точку (т, f) (если оно существует), единственно, то каждая
последовательность полигонов {q>n}, для которой еп->-0, должна
сходиться на \t — т | < а и, следовательно, равномерно сходиться
к решению, ибо {срп} — равностепенно непрерывное множество на
!' — т\<,а.
Предположим противное. В таком случае Существовала бы по-
последовательность полигонов {<р„}, расходящаяся в некоторой точке
интервала \t —r \<,a. Отсюда следовало бы существование по
крайней мере двух подпоследовательностей {<рп}, сходящихся к
различным предельным функциям. Обе функции были бы решени-
решениями, а это ведет к противоречию. Поэтому, если предположить
единственность, то выбор подпоследовательности в теореме 1.2
излишен.

16	ГЛ. 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Может случиться, что выбор подпоследовательности излишен,
даже если единственность не имеет места. Пример уравнения
х' = к1''	A.8)
иллюстрирует это. На интервале [0, 1 ] существует бесконечно
много решений, выходящих из точки @, 0). Для каждого с, О <, с <, 1,
функция q>c, определенная равенствами
есть решение уравнения A.8) на интервале [0, 1]. Если применить
конструкцию теоремы 1.1 к уравнению A.8), то увидим, что един-
единственный полигон, выходящий из точки 0,0, есть <рг. Это показывает,
что рассмотренный метод не может в общем случае дать все решения
уравнения (У).
Теорема 1.3. Пусть /еС в области D (f, х)-плоскости и пусть
(г, ?) — точка D. Тогда существует решение ср уравнения (У) на
некотором t-интервале с центром в точке т.
Доказательство. Так как множество D открыто, то
существует г > О, такое, что все точки, расстояние которых от
точки (т, ?) меньше г, принадлежат D. Пусть R —замкнутый прямо-
прямоугольник, содержащий точку (т, f) и содержащийся в открытом
круге радиуса г с центром в точке (т, ?). Применяя теорему 1.2 на
R к уравнению (У), получаем утверждение теоремы 1.3.
§ 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Пример A.8) с решениями A.9) показьюает, что для того, чтобы
гарантировать единственность решения (У), проходящего через
данную точку, следует потребовать несколько большего, чем не-
непрерывность функции /. Простое условие, обеспечивающее единствен-
единственность решения, есть условие Липшица. Пусть / определена в области
D (t, х)-плоскости. Если существует постоянная к > 0, такая, что
для любых (t, х^) и (t, х2) из D
то говорят, что / удовлетворяет в D условию Липшица (относи-
(относительно х) и Пишут / € Lip в D; к называется постоянной Липшица.
Если сверх этого / е C(D), то пишут / е (С, Lip) в D. Если функция
/ € Lip в D, то она равномерно непрерывна по х для каждого t,
хотя ничего не предполагается о непрерывности / по t. Если D —
выпуклая область (т. e.D содержит отрезок прямой, соединяющей
любые две точки D), то применение теоремы о среднем дифферен-
дифференциального исчисления показывает, что существования и ограничен-

§' 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ	17
ности производной /х = 8//8х в D достаточно для того, чтобы
/ € Lip в D.
Прежде чем приступать к доказательству единственности, до-
докажем важное неравенство. В дальнейшем D — область (t, x)-
плоскости.
Теорема 2.1. Пусть f e (С, Lip) в D с постоянной Липшица к.
Пусть <plt <р2 — f г и е^-приближенные решения уравнения (У) класса
С* не некотором интервале (а, Ь), удовлетворяющие для некоторого
г, а < т < Ь, неравенству
B.1)
где о — неотрицательная постоянная. Если е = сх + е2, то
f e (а, Ь) выполняется неравенство
Теорема 2.1 имеет как практический, так и теоретический инте-
интерес, так как в процессе вычислений мы всегда получаем прибли-
приближенные решения дифференциальных уравнений.
Доказательство теоремы 2.1. Рассмотрим случай
т < / < b ; доказательство для случая а < / < т аналогично. Так
как сръ ср2 — ?!- и еа-приближенные решения (У), то
\<Pi(s)-f{s,<Pi(s))\<ei (г=1,2),	B.3)
за исключением конечного числа точек интервала т < s < b.
Интегрируя B.3) в пределах от т до t, получаем
t
19.@ - Ф) - J/(s> Vis))ds\< e,(< - г) (i = 1,2).
т
Пользуясь неравенством | а —J8 | ^ | а | + IJ8 |, отсюда находим
Пусть г — функция, определенная на интервале [т, b) равенством
r(t) = l<Pi@—<Ра(О I- Тогда последнее неравенство дает
t
r(t) ^ r(r) + J|/(s, n(sj) - f(s, <p2(s))\ ds + s(t - r).
T
Используя то, что / 6 Lip в D, получаем
t
r(t) < r(r) + k f r(s) ds + e(t - r).	B.4)
T
2 182.

18	ГЛ. 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Положим
t
Тогда неравенство B.4), если учесть неравенство B.1), принимает вид
Умножив обе части последнего неравенства на ?-*<'-*> и инте-
интегрируя затем от т до t, получаем
(\ w*>) - ¦? е~«*-*>{1 + k(t - т)) + ^ ,
или
Щ) < 4 (с*е-) - 1) - ? A + /,(/ _ т)) + JL ^-). B.5)
Комбинируя B.5) и B.4), получаем окончательный результат
r(t) <; 8 е*<'-т> + -f (е**'-*) — 1),
т. е. неравенство B.2) для интервала [т, Ь).
Важный частный случай теоремы 2.1 получается, когда фх = <р
есть решение уравнения (У). В этом случае из теоремы следует, что
если еа—>-0 и д—>0, то приближенное решение стремится к точ-
точному решению.
Неравенство B.2) является наилучшим в том смысле, что ра-
равенство может достигаться для нетривиальных <рг и <р%. Например,
пусть к, еъ е2 — произвольные действительные постоянные и пусть
pi '¦ (°i ^i)» ?2 '• (°« is) — Две точки (/, х)-плоскости. Пусть ^г@) = f г
и <р2ф) = f a и пусть 9?i и ф2 — решения уравнений
х' = кх — ег, х' = кх + е2
на интервале [0, 1 ]. Тогда очевидно, что <рх и <р2 представляют собой
?!- и еа-приближенные решения на этом интервале для уравнения
х' = кх.
Простое вычисление показывает, что если f 2 > ?1? то для ^ и р2 в
неравенстве B.2) должен быть знак равенства.
Неравенство B.2) означает, что если 5 и е малы, то разность
<Pi@ — 92@ также мала. В частности, если 6 = е = 0, то <рх = ^2>
и поэтому может существовать только одно решение уравнения (У),
проходящее через произвольно заданную точку (т, f) области D.
Это доказывает следующую теорему единственности.
Теорема 2.2. Пусть f 6 (С, Lip) в области D и (т, ?) € D. Если
(ргиср2 — два решения уравнения (У) на интервале (а, Ь), а < т < Ь,
такие, что фл (т) = q>2 (т) = ?, mo yx = уа.

§ 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ	19
В действительности, чтобы получить единственность, нет необ-
необходимости предполагать, что функция удовлетворяет условию
Липшица. Более общее изучение этой проблемы проводится в § 2
гл. П.
Из неравенства B.2) можно также получить доказательство
существования решения.
Теорема 2.3. Пусть /е (С, Lip) в прямоугольнике
R:\t-r\<a, \x-?\<b (a,b>0),
и пусть
М = max'/(/,*) j ((t,x)eR)
а
Тогда существует (единственное) решение ф^С1 уравнения (У) на
интервале \t—т| <, а, для которого <р(т) = f.
Доказательство. Пусть {еп} —монотонно убывающая
последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю
при п->- оо. Выберем еп-приближенное решение <рп для каждого е„.
Эти функции удовлетворяют соотношению
t
<Pn(t) = ? + J(/(s, <pn(s)) + An(sj) ds,	B.6)
X
где An(t) = <p'n(t) — f(t, <pn(t)) в тех точках, в которых <р'п существует,
и An(t) = 0 в остальных точках. Далее, An(t) —*¦ 0 при п —>- «=> на
! / — т | < а, по самому определению е„. Применяя B.2) к <рп и <рт,
получаем для | f — т | < a
где Л: — постоянная Липшица. Поэтому последовательность {q>n}
на интервале \t — т | <_ а сходится равномерно и, следовательно,
существует на этом интервале такая непрерывная функция <р, что
<pn(t)—>-<р@ равномерно при п—> оо. Из этого факта и из равномерной
непрерывности / на R следует, что
равномерно на | f — т | < a. Поэтому
I'm ("(/(s, <pn(s)) + ^„(s)) rfs = \f(s, tp(s)) ds
Г	Г
и, значит, из B.6) получаем, полагая п ->¦ со,
2*

20	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
что доказывает существование решения ^еС1 на интервале
Это решение единственно в силу теоремы 2.2. Очевидно, что
^-^-	B-7)
§ 3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Доказательство существования решения, данное в теореме 1.2,
неудовлетворительно в том отношении, что оно не дает эффектив-
эффективного метода для построения решения уравнения (У). Однако, как
было указано после этого доказательства, если решение, проходящее
через данную точку, единственно, то приближающие полигоны
могут быть использованы для построения решения, ибо в этом слу-
случае выбирать подпоследовательность не нужно. Если, в частности,
/ удовлетворяет условию Липшица, то неравенство B.7) дает оценку
ошибки, которую мы совершаем, заменяя решение уравнения (У)
^-приближенным решением.
В последующем будет рассмотрен очень полезный метод, извест-
известный под названием метода последовательных приближений, и суще-
существование решения будет получено с его помощью. В этом случае
также нетрудно оценить сверху ошибку, которую мы совершим,
ограничившись конечным числом шагов.
Результат будет получен для прямоугольника
R: \t-r\?a, \х-?\<?Ь,
где (т, ?) — некоторая точка (/, х)-плоскости, а > О, Ъ > 0. Мы
увидим, что аналог теоремы 1.3 также имеет место.
Если feC в R, то f в R ограничена. Пусть max | /1 на R равен
М и, как прежде, а = min (a, bjM). Очевидно, что решение ср урав-
уравнения (У) на интервале | / — т | < а, для которого <р(т) = ?, должно
удовлетворять интегральному уравнению
(U-r|<;a),	C.1)
и, наоборот, если <р удовлетворяет уравнению C.1), то она удовле-
удовлетворяет уравнению (У) и <р(т) = f. Последовательные приближения
<р0, <р!,... для (У) определяются следующим образом:
t
n+1(t) = f + J7(s, <pk(s)) ds (ft = 0,1,2,..., If - т| ;? a). C.2)
r
Ниже будет показано, что эти функции для 11 — г | <, а су-
существуют.

§ 3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ	21
Теорема 3.1 (Пикара—Линделёфа). Если f e (С, Lip) на прямо-
прямоугольнике R, то последовательные приближения для \t—т | <; а
существуют, непрерывны и сходятся равномерно на этом интер-
интервале к единственному решению уравнения (У), удовлетворяющему
начальному условию <р(т) = ?.
Доказательство. Рассмотрим интервал [т, т + а]; для
интервала [т — а, т] доказательство аналогично.
Покажем, что qik(t) существуют, принадлежат к классу С1 на
интервале [т, т + а ] и удовлетворяют неравенству
W0~f|^Af(f-T) (/е[т,т + а]).	C.3)
Очевидно, что <j?0, будучи постоянной, удовлетворяет этим условиям.
Пусть <pk(f) также удовлетворяет этим условиям. Тогда функция
f(t, фа@) определена и непрерывна на интервале [т, т + а]. Из C.2)
следует, что tpk+1 существует на [т, т + a], срк+г?Сх и | 9>л+х@ —
— f I <1 М(? —т)- Поэтому применима индукция и указанные
свойства справедливы для всех фк. Геометрически это означает, что
все кривые фк выходят из точки (т, f) и остаются в треугольной
области Т, ограниченной прямыми линиями х — ? = 4 M(t — т) и
t = т + а.
Остается доказать сходимость <рл. Положим
МП = |^+i@ - Ы01 (t 6 [г, г + а]) .
Учитывая, что / б Lip на R с некоторой постоянной с > 0, получаем
из C.2) при помощи вычитания :
-i(s)ds.	C.4)
Но C.3) дает для к = О
Ло@ = МО - <Ро@| ^ M(f - т).
Поэтому из C.4) по индукции легко находим
Эта оценка показывает, что члены ряда J^ /?ft@ мажорируются
членами степенного ряда для функции (M/c)eCQ, и поэтому ряд
^ Ak(t) сходится равномерно на интервале [т, т + а]. Итак, ряд
Z (vft+i@ - ЫО)
сходится абсолютно и равномерно на интервале [т, т + а] и,
значит, его частная сумма
<po(t)
к=о

22	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
стремится равномерно на интервале [т, т + а ] к непрерывному
пределу <р.
Покажем, что <р удовлетворяет уравнению C.1) и, следовательно,
является решением уравнения (У), удовлетворяющим условию
ф(т) = ?. Так как все tpk(t) лежат внутри Т, то то же самое справед-
справедливо и для <р@- Поэтому функция f(s, cp(s)) существует для
s е[т, т + а]. Очевидно, что
t	t
I J [l(s, 4<s)) - /(s, <pk(s))] ds | < j j f(s, ф)) - /(s, tprfs)) I ds <
<c$\<p(s)-<pk(s)\ds;
последнее неравенство следует из того, что / б Lip на R. Далее,
| <p(s) — pk(s) | -*¦ 0 равномерно на [т, т + а] при к-+ <=°, и поэтому
предыдущее неравенство показывает, что из C.2) при к-+<х> сле-
следует C.1).
Решение <р единственно в силу теоремы 2.2, и это завершает
доказательство.
Легко указать верхнюю грань ошибки при аппроксимации реше-
решения <р и-м приближением срп. В самом деле,
со	со
^—/ Y\ ^
(с а)^ ^^ М (са)п+1 ^ (с а)л _ М_ (с а)п+1 са
^ (са)+ ^ (ca) _ М_ (с а)	с
k\ - с (п +1I^-1 к\ ~~ с (п + 1)!
§ 4. ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ
Предположим, что / б С в некоторой области D (t, х)-плоскости
и что уравнение (У) имеет решение ср, которое существует в конеч-
конечном интервале (с, Ь) и проходит через точку (т, f) б Д с < т < 6.
Если величина | / | ограничена в D некоторой постоянной М <С °°,
то, как легко видеть, существуют оба предела
(р(а + 0) = lim cp{t), y(b — 0) = lim tp(t).
Это следует из уравнения
t
<p(t) = ? + $f(s,<p(s))ds (te(a,b)).
T
В самом деле, если а < ^ < t2 < b, to

§ 4. ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ	23
Поэтому, если tt и t2 стремятся к а + 0, то ф(^) — <f(f2) --»- 0, откуда
следует в силу критерия Коши существования предела, что ср(а + О)
существует ; аналогичное заключение справедливо для <р(& — 0).
Предположим, что точка (?>, <р(&— 0))eD. Если функция ф
определена равенствами
(t€(fl,b)),
то ф есть решение уравнения (У) класса С1 на интервале (а,Ь].
В самом деле,
(te(a,b]).
Отсюда следует существование левой производной <р'_ функции ф в
точке b и равенство
Функция ф называется продолжением решения <р в интервал (а, Ь].
Уравнение х' — х2 имеет решение <р@ == —1~\ проходящее
через точку (—1, 1), которое существует в интервале (—1, 0), но не
может быть продолжено в интервал (—1,0]. В этом случае <р не
остается в области D, в которой функция f(t, x) = х2 ограничена.
В действительности процесс продолжения можно вести и далее,
ибо в силу теоремы 1.3 уравнение (У) имеет решение у> 6 С1, прохо-
проходящее через точку (Ь, ф(Ь — 0)) и существующее в некотором интер-
интервале [b, b + /9], /5 >0. Если теперь функцию ф определить равен-
равенствами
(te(a,b\),
то ф есть решение уравнения (У) класса С1 на интервале (с, Ъ + § ]
и <р(т) = f. Единственно, что нуждается в доказательстве, — это
существование и непрерывность производной ф' в точке Ь. Пока-
Покажем, что
t
<?(/) = f + jf{s, f(s)) ds (t e(a,b + /9]).	D.1)
x
Для a < f < b это очевидно. Для t > b из определения <р следует, что
Но

24	ГЛ. 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
что и доказывает формулу D.1) для t > Ъ. Из непрерывности ф в D.1)
следует непрерывность /(s, ?(s)), и, дифференцируя это равенство
для <р, мы получаем, что ф'@ = f(t, <p(t)) для ? ё (a, b + /?). Есте-
Естественно ф назвать продолжением решения <р на интервал (с, b + /?].
Имеется столько же продолжений ф на (с, Ъ + /9 ], сколько решений
уравнения (У), выходящих из точки {b, ф(Ь — 0)) и существующих на
(b, b + /?). Если известно, что существует только одно решение,
проходящее через точку (р, ф(Ь—0)) (например, / б Lip в D), то
можно говорить о продолжении решения ср на интервал (а,Ь + Р ].
Вообще, если существует продолжение решения ф, определенного на
интервале (а, Ь), на некоторый интервал, содержащий (а, Ь), то гово-
говорят, что ф может быть продолжено или имеет продолжение.
Изложенные выше замечания подытоживаются в следующей
теореме.
Теорема 4.1. Пусть функция J, принадлежащая классу С в об-
области D (/, х)-плоскости, ограничена в D. Если ф — решение уравнения
(У), то существуют пределы ф{а + 0) и ф(Ь — 0). Если (а, ф{а + 0))
[или (Ь, фф — 0))] е Д то решение ф может быть продолжено на-
налево от а (или направо от Ь).
Более общий анализ проблемы продолжения дан в § 1 гл. II.
§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть п — целое положительное число и /х, ..., /„ — п действи-
действительных непрерывных функций, определенных в некоторой области
D действительного (t, хь ..., х„)-пространства. Аналогично случаю
п = 1 это записывается сокращенно так : /, б С в D, i = 1, . .., п.
Можно поставить следующую задачу.
Задача. Найти п дифференцируемых функций ф^..., фп, опре-
определенных на действительном t-интервале I и таких, что
(О	(t,n(t),...,(pn(t))^D (/6 7),
(И)
Эта задача называется системой п обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка и обозначается так :
x'i = iiU х1у...,хп) (i = 1,..., п).	(С)
Если такой интервал / и функции (фг,..., фп) существуют, то функции
(ф1? ...,фп) называются решением системы (С) на /.
Пусть (т, ? 1? ..., in) e D. Начальная задача заключается в оты-
отыскании решения системы (С) на интервале /, содержащем т, удовле-
удовлетворяющего УСЛОВИЯМ <р,(т) = В,:
Оказывается, что полученные выше результаты для случая
п = 1 могут быть успешно перенесены на систему (С). Пусть X —

§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	25
л-мерное эвклидово пространство с точками х, имеющими коорди-
координаты (хй,..., х„). В таком случае функции /,-, заданные на (t, х1г ..., хп)-
лространстве, порождают функции /| на (t, х)-пространстве, которые
определяются равенствами
/,</, X) = fi(t, Xlf...,Xn).
Далее, каждой точке х х-пространства сопоставляется матрица
состоящая из одного столбца, которая называется вектором, сопо-
сопоставляемым х; х,- назьюается f-й компонентой х. Очевидно, ра-
равенства
определяют функцию /,(/, х) переменного t и вектора х. Точке
(/, У) в (t, х)-пространстве соответствует вектор
Ut,x)
который в свою очередь порождает вектор /(/, х), определяемый
равенством
Если х, — дифференцируемые функции t, то х' — производная век-
вектора х — определяется следующим образом:
В этих обозначениях уравнение (С) может быть записано так
В действительности редко возникает опасность смешения точки х
с вектором х, и поэтому мы будем для них употреблять одно и то же

26
ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
обозначение. Это соответствует тому, что мы отождествляем про-
пространство X с пространством X всех одноколонных п-строчных
матриц, рассматриваемым как векторное пространство. Аналогично
никаких недоразумений не возникает при отождествлении функций
U> U и fh и это будет делаться во всем дальнейшем. Приняв это,
можно уравнение (С) написать в виде
x' = f(t,x),
(С)
где / можно рассматривать как вектор-функцию действительного t
и точки хбХ, или как функцию t и одноколонной матрицы
х =
Здесь
\fn(t,X)J
Решение уравнения (С) на интервале / есть вектор-функция <р с
компонентами <рг, ..., фп, определенными на / и удовлетворяющими
условиям:
(i)	(f, q>(f)) = (t, q>x(t) ,..., <pn(tj) 6 D (t 6 /) ,
00	9>'@ = /(*> 9<0)	(teI)-
Норма (или величина) \х\ вектора х € X с компонентами xv...,
хп определяется посредством равенства1
Эвклидова длина
равенства
х [| вектора х?Х определяется посредством
V.
1В качестве других определений нормы вектора можно использовать .
| х | = max (] xi |) (/ = 1, ... , п)
млн эвкяидову длину ||х||. Легко видеть, что между различными нормами имеют
место следующие неравенства :
|х|<|х|<п|х|, |x|<!!x!|<nV2|x|
!|x|!<!xi<nVsiJxij, п-Ч'\х\< \\x\\ <\х\.

§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ	27
Расстояние между векторами х, у б X, по определению, равно
\у — х \. Очевидно, что это расстояние удовлетворяет обычным
условиям:
(a)	\у-х\ = \х — у\;
(b)	)' — * | ;> О И! У — х j = 0 в том и только в том случае, когда у = х;
(c)	\y-x\<\y-z\ + \z-x\.
Так определенное расстояние позволяет рассматривать X как метри-
метрическое пространство ; последовательность векторов {хк} называется
сходящейся, если она сходится относительно этого расстояния.
Заметим, что здесь хк — векторы, а не компоненты вектора. Оче-
Очевидно, что {хк} сходится в том и только в том случае, когда сходится
каждая из последовательностей компонент {xkt} (xki, i = 1, 2, ...,
п, — компоненты хк).
Пусть g(t) — дифференцируемая вектор-функция на некотором
f-интервале (а, Ь), т. е. производная g' существует на (а, Ь), и пусть
г = | g | — функция, определенная равенством
г(О =
Тогда
где sgn a = aj\a\ для а 4=0. Если ни одна из компонент gt(t) вектор-
функции g(t) не обращается в нуль, то производная
существует и
k'(Ol
В любом случае (обращается ли некоторая компонента g(t) в нуль
или нет) всегда справедливо, что если g'(f) существует, то правая и
левая производные r'+(t) и rl(f) существуют1 и удовлетворяют не-
неравенству
\r'±(t)\<m-	E-2)
В саком деле, если t — изолированный нуль некоторой компо-
компоненты gi вектор-функции g, то непосредственное вычисление пока-
показывает, что правая и левая производные функции ] gt \ существуют
в точке t и не превосходят | g- ] ; если же t — неизолированный нуль
gi (это значит, что t есть предельная точка нулей g,), то приближение
к t по этой последовательности нулей показывает, что g'i{t) = О и,
значат, | g,-1'@ = О. В любом случае неравенство E.2) справедливо.
1 Заметим, что функция r(t) абсолютно непрерывна вместе с g и

28	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Если || o(t) II 4* 0 и || g || — функция, определенная равенством
|| ?||@ = ifg@ II, то производная ||?||'@ существует и легко
проверить, что
lllH
Для целей интегрирования норма | | более удобна, чем длина 11
Если функции g и г = | g | интегрируемы на интервале (а, Ь), то
E.4)
Ь	Ъ
где I g(f) dt — вектор, г-я компонента которого есть j gt(t) dt.
а	а
Предположим, чтс вектор / (который может иметь любое конеч-
конечное число компонент, не обязательно п) определен в области D
(t. х)-пространства. Если существует постоянная к > О, такая, что
для любых (t, х) и (t, х) б D
\f(t,x)-f(t,x)\<.k\x-x\,	E.5)
то говорят, что вектор / удовлетворяет условию Липшица (относи-
(относительно х) в области D, и пишут / 6 Lip в D.
Пусть / б С в области D (t, х)-пространства. Вектор-функция
ip6C, определенная на интервале /, называется е-приблишенным
решением системы (С) на /, если
(a) (t,<p(t))eD (tel);
(/3) <р б С1 на 1, за исключением конечного множества точек S б /;
(у) И0-/М0Ж* (tei-S).
Предыдущие определения позволяют перенести все теоремы
§ 1-—4 на векторное уравнение (С), причем в формулировках и
доказательствах теорем х, / следует заменить на векторы х, / и нор-
норму следует понимать в том смысле, в каком мы ее определили выше
для векторов. (Лемма Асколи для векторов также справедлива.)
Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что эти теоремы доказаны
для более общего векторного уравнения (С).
Особенно интересной системой является линейная система
xi = jta,№xj (i=\,...,n),	(Л)
где с,7- — непрерывные функции на некотором ограниченном зам-
замкнутом интервале [а, Ь]. Если / — вектор с компонентами /,-, опре-
определенными равенствами
2

§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	29
то /, очевидно, удовлетворяет условию Липшица на (п + 1)-мерном
множестве
D: a<,t<,b, |xj<co
(D не область, так как это множество не открыто). В самом деле,
если (f, x) и (t, х) принадлежат D, то
\f(t,x)-f(t,x)\<k\x-x\,
где	п
*	2K@l (te[b]jl)
Теорема 5.1. Для линейной системы (Л), в которой функции
пце С на [а, Ь], и любого начального условия <р(т) = ?, (т, ?) бD,
существует единственное решение <р системы (Л) на [а, Ь].
Доказательство. Так как вектор / удовлетворяет на D
условию Липшица, то существование и единственность решения у>,
проходящего через точку (т, f), на некотором интервале [с, d] Я.
с [а, Ъ ] обеспечено. Остается показать, что ip может быть продол-
продолжено до единственного решения <р на весь интервал [а, Ь].
Если ip есть решение (Л), проходящее через точку (т, ?) и суще-
существующее на каждом подинтервале интервала [а, Ъ ], то, применяя
неравенство теоремы 2.1 к решениям фг = ¦ф и <р2 = О, получим
|?И"-°>	E.6)
для t из области определения ip. Предположим теперь, что тр не
может быть продолжено на интервал [а, Ь J; пусть для определен-
определенности у> имеет продолжение ip до точки t < Ъ и не может быть про-
продолжено для t, болылих t. Из E.6) следует, что траектория (t, ip(t))
остается внутри ограниченного замкнутого подмножества мно-
множества D, где /6 С, и удовлетворяет условию Липшица. Поэтому
из теоремы 4.1 (применительно к системам) следует, что ip может
быть продолжено за точку I. Это противоречие показывает, что ip
имеет продолжение <р на [a, b ]. Оно единственно, так как / удовле-
удовлетворяет условию Липшица в D.
Теорема 5.2. Пусть функции a,; (i, / = 1,..., п) непрерывны на
открытом интервале I, который может быть неограниченным.
Тогда на I существует единственное решение <р системы (Л), удовле-
удовлетворяющее условию
9<r) = f (те/, |?|<оо).	E.7)
Доказательство. В силу теоремы 5.1 существует решение
системы (Л), удовлетворяющее условиям E.7) на каждом замкнутом
подинтервале интервала /, содержащем точку т ; используя те же
соображения, что и при доказательстве теоремы 5.1, можно показать,
что каждое такое решение может быть единственным образом про-
продолжено на весь интервал /. Более детальное изучение линейных
систем будет предпринято в гл. III.

30	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 6. УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА п
Пусть / — действительная непрерывная функция, определенная
в области D действительного (t, х1,..., хл)-пространства. Тогда
уравнение порядка п, соответствующее /,
{ = ¦?*),	(Ул)
определяется как следующая
Задача. Найти функцию <р, определенную на действительном
{-интервале I, имеющую на этом интервале п производных и удовле-
удовлетворяющую условиям:
@	{
(
(ii)	<Г®=1Ц,<№,ч>'®,---,ч>п-1Щ
Если такой интервал / и такая функция <р существуют, то <р назы-
называется решением уравнения (У„) на /. Если <р есть решение, то
очевидно, что <р 6 С на /. Заметим, что в этой задаче х, f и <р не
векторы.
Пусть (т, ?г, . .., ?п) б D. В таком случае начальная задача со-
состоит в отыскании такого решения <р уравнения (У„) на интервале
/, содержащем т, что ц,(т) = f.j, ф'(т) = f2, . .., ^"-"(т) = f„.
Теория уравнения (У„) может быть сведена к теории системы «
уравнений первого порядка. В самом деле, сопоставим уравнению
(У„) систему уравнений
Хц~- 1 — Хп ,
Хп = f(t, Xt , .. . , Хп) ,
которая определена для (t, х) = (t, х1; . .., х„) б D. Если вектор ф
с компонентами («>,, <»„, ..., <рп) есть решение (Уп) на /, то, так как
'	In	п__1
G?2 — Ф]} Фз — ф2 == ф1» ¦ ¦ •> Фп == (pi j
f(t, (рг({) ,.-.., <Pn(f)) = fit, 9?i@ , - . . , ^""^(О) = ^"ЧО »
и, значит, первая компонента ^i вектора ф есть решение уравнения
(У„) на /. Наоборот, если ^ — решение уравнения (Уп) на /, то
вектор ф с компонентами <р1? ф[, ..., ^"-1) есть решение системы
(Уп) на /. Система (У„) называется системой (или векторным урав-
уравнением), соответствующей уравнению (У„) порядка п. Если
^(т) = fls ..., ^""^(т) = fn> T0 вектор ф удовлетворяет условию
ф(т) = f, где f = (?•!, ..., fn), и наоборот.
Таким образом, очевидно, что все доказанное ранее для системы
(У„) переносится непосредственно на уравнение (У„) порядка п.

g 7 ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПАРАМЕТРОВ 31
В частности, если / е С в области D (t, х1} ..., х„)-пространства и Р—
точка D, то существует решение q> e С" уравнения (У„) на некото-
некотором f-интервале, проходящее через точку Р. Если, сверх того, / е Lip
Б д v. е. если
7 ... ,Хп) —
(¦= 1
с некоторой постоянной к >. О, то решение, проходящее через точку
Pt единственно.
§ 7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
И ПАРАМЕТРОВ
Решение дифференциального уравнения на интервале / можно
рассматривать не только как функцию t e /, но так же как функцию
координат точки, через которую решение проходит. Например, одно-
одномерное уравнение первого порядка х' = х имеет решение (p(t) = f e'~T,
проходящее через точку (т, f). Это условие определяет функцию
переменных (t, т, ?), которая также обозначается через1 q>, а именно
(p(t,r,€) = ?e'~T. В общем случае важно знать, каким образом
<р зависит от совокупности переменных (/, т, f) и, в частности, при
каких условиях <р непрерывна по (t, т, ?). В последующем будет
исследована зависимость решений от начальных данных для общего
случая системы.
Пусть D — область в (п + 1)-мерном действительном {t, x)-
пространстве и пусть / е (С, Lip) в D. Пусть ip — решение уравнения
х'= /(/,*)	(С)
на некотором интервале /. Таким образом, (t,ip(t))?D для t€I.
Из теоремы существования следует, что (С) имеет единственное
решение, проходящее через каждую точку (т, ?), достаточно близкую
к данному решению. Однако теорема существования гарантирует
существование решения только для некоторого малого f-интервала,
содержащего т.
На самом деле можно показать, что решение существует на всем
интервале / и является непрерывной функцией от (/, т, g). Дока-
Докажем следующую теорему.
Теорема 7.1. Пусть / е (С, Lip) в области D (п + \)-мерного
(t, х)-пространства и пусть у есть решение системы (С) на интер-
интервале I: а < / <; Ь. Найдется число 6 > 0, такое, что для (г, ?) € U,
где
U: а<т<Ь, !?-у(т)|<E,
1 Опасность смешения этих функций невелика. Если под q> подразумевается
функция от {t ,т, ?), то производная 9р/9< всегда обозначается как у'.

32
ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
существует единственное решение <р системы (С) на I, для которого
<р (т, г, t) = f. Кроме того, <р е С на (л + 2)-мерном множестве
V: a<t<b, (т,|)е(/.
Замечания. Во многих приложениях т бывает фиксировано,
и в этих случаях U можно рассматривать как множество точек f,
удовлетворяющих неравенству | f — у(т) | < б, а V — как область
fi</<b, fe?7. Доказательство для этого случая содержится в
доказательстве теоремы 7.1. Важным следствием доказательства
в этом случае является то, что отображение Tt, которое сопостав-
сопоставляет каждой точке (т, f), f е U точку (t, q,(t, т, f)) для некоторого
/, а < / <; ft, является топологическим1. Единственность решения
гарантирует одно-однозначность отображения Tt, а из непрерыв-
непрерывности ф по f следует непрерывность Т,. Так как f можно рассматри-
рассматривать как точку ? = <f(t, /, #), где J = ?;(/, /, |) = v(t, т, f), то из
непрерывности <р следует также непрерывность Тг1. На самом деле
единственность решения, проходящего через точку (т, f), f e [7,
достаточна для того, чтобы оо была непрерывна по f ; см. теорему
4.3 гл. II.
Часто у может быть продолжена вне интервала / ; в этих слу-
случаях U, V могут включать конечные точки a, b интервала /.
Доказательство теоремы 7.1. Выберем 6г > 0 так,
чтобы множество
U±: tel, |x-
принадлежало D. Пусть теперь 6 выбрано так, что 6 < e'W-^d^
где к — постоянная Липшица. Для этого 6 определим U так, как об
этом сказано в формулировке теоремы ; см. фиг. 2, выполненную для
случая п=1. Если (т, f) e U, то в окрестности этой точки суще-
1 Отображение Т множества S на множество T(S) называется топологи-
топологическим, если оно одно-однозначно и если оба отображения Т и Т~1 непрерывны.

§ 7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПАРАМЕТРОВ 33
ствует решение ф, проходящее через нее и удовлетворяющее урав-
уравнению
t
<p(t, т, f) = | + J /(s, <p(s, т, I)) ds	G.1)
для тех (t, т, f), для которых решение существует. Точно так же
v(s))<fc.	(V.2)
Поэтому из фундаментального неравенства B.2) при е = 0 следует,
что
icp(t, т, ?) - у@j < |l - v(t)I efc:'~T| < ^ .
Это неравенство доказывает, что решение <р не покидает ?/х и поэтому
в силу теоремы 4.1 может быть продолжено на весь интервал /.
Непрерывность <р на V мы установим, доказав, что <р есть равно-
равномерный предел непрерывных функций на V. Заметим, что <р удовле-
удовлетворяет уравнению G.1) на./. Определим последовательные прибли-
приближения {<?/} для G.1):
Vy+itt т, f) = f + j !{s, <pj(s, t, f)) ds (/' = 0,1,2, ...). G.3)
т
Тогда для (т, f) e U
откуда и вытекает, что (t, (fo(t, т, f)) e U1 для t € /. Очевидно, что
(р0 е С на V. Из G.3) для / = 0и G.2) следует, что
t
! 9>iC, т, I) - %(',r, I) I = J {/(«. %(s, r> О) - /(s, V(s))l ds
T
^ ft I |9>o(s. T. ?) - V(s)| dsj = A'jl — у(т)| |f - t},
T
и, значит,
если только / e /, (т, f)ei7. Так..м образом, (f, у^, т, ^)) е [7Х и
<рх е С на V. Рассуждая по индукции, получаем, что если (f0, g^,...,
<Pj все принадлежат [72 и непрерывны на V, то
\<Pj+i{t,т, |) — q>j{t,T, f)j ^ —г X~ni— 1^ — V(T)I» G-4)
3 182.

34	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
если t е / и (т, ?) е U. Отсюда следует, что
а это означает, что ((, <pj+i(t, т, f)) e иг. Из G.3) следует также, что
<?,+! е С на V. Поэтому в силу индукции (/, <p;(f, т, ?)) е Ьг1 и
<ру б С на V для всех /.
Из G.4) следует, что функции <ру сходятся равномерно на V к <р,
что доказывает непрерывность <р на V. (Заметим, что равномерная
сходимость cpj доказывает также существование <р на /.)
Установив существование и непрерывность <р как функции от
(t, т, f), естественно, а также важно для приложений, указать
достаточные условия для существования и непрерывности частных
производных дф/дт, дф/dgj (/ = 1, ..., п), где ?/ — компоненты ?.
Таким достаточным условием является непрерывность на D частных
ПРОИЗВОДНЫХ dfjdXj.
Обозначим через /х матрицу (в случае, если она существует) с
элементом Э/,-/Эх/ на пересечении г-й строки и /-го столбца (г, / =
= 1, ..., п). Точно так же, пусть q>f — матрица (в случае, если она
существует) с элементом Э<рг/Э?; на пересечении г-й строки и
/-го столбца (/, / = 1, ..., л). Матрица называется непрерывной, если
этим свойством обладают все ее элементы. Если А = (ац) — квад-
квадратная матрица порядка п, то ее определитель мы будем обозначать
п
через det.A, а ее след ^ап — через spA. Символ ехр и обозна-
чает е".
Теорема 7.2. Предположим, что выполняются условия теоремы
7.1, и пусть производная fx существует и fx e С на D. Тогда ^еС1 на
V и, сверх того,
det ч>&, г, |) = ехр J sp /x(s, <p (s, r, f)) ds.	G.5)
т
Замечания. Из того, что fx е С на D, следует, что / е Lip-
Поэтому это последнее условие в теореме было бы лишним.
Заметим, что det <pj(/, т, f) есть якобиан преобразования, пере-
переводящего f в <p(f, т, f), которое было рассмотрено в замечании, сле-
следовавшем за теоремой 7.1.
Для случая аналитической функции / теорема 7.2 легко следует
из теоремы 7.1, что показывается в § 8. Читатель, который интересу-
интересуется в основном только этим важным случаем, может поэтому опу-»
стать теорему 7.2.
Доказательство теоремы 7.2. Для доказательства
существования производной щ достаточно рассмотреть 9<p/9f lf где
? = (? 1;..., U). Пусть h = (К 0,..., 0), | = ? + h и пусть точки
(т, f) и (т, f) принадлежат U. Если обозначить через % функцию

§ 7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПАРАМЕТРОВ 35
для (t, т, ?) е V, то нужно доказать, что существует предел
,?,ft).	G.6)
л—о
Мы покажем, что предел G.6) существует равномерно на V и
что предельная функция на V непрерывна. Это и будет доказывать
существование и непрерывность Эф/б^ на V. Идея доказательства
очень проста : так как ф удовлетворяет системе (С), то
Поэтому, если <р и / достаточно дифференцируемы, то
причем последнее произведение есть обычное матричное произ-
произведение. Следовательно, дд>/д^1 есть решение линейной дифферен-
дифференциальной системы. Дальнейший ход доказательства состоит в об-
обосновании этой идеи.
Положим
Используя неравенство B.2), получаем
Щ, г, ?, Щ < \в(т, г, |,Л)| е*1'-'1 < 1^1 e"(f>-°).	G.7)
Поэтому, если /^-^О, то 6->-0 равномерно для (/, т, f) e V.
Так как <р есть решение (С), то
Щ, г, S, Щ = f(t, <p(t, r, §)).- f{t, <p(t, r, f)) -	G.8)
Используя теорему о среднем и вспоминая, что fxeC в D, получаем
в% г, ?, ft) = (/x(f, ,<*, г, f)) + Г) 6(t, т, f, Л) .	G.9)
Здесь Г= (Г,у) — матрица, обладающая тем свойством, что при
любом ех>0 существует д1г зависящее от ег и такое, что \Г\ =
п
= У \ Гц | < е1( если [ 0 | < бх и (f, т, ?) е V1. Поэтому в силу
'.7=1
G.7) | Г | ->-0 при hx-+ 0 равномерно для (/, т, f) e V.
Так как % = 0//ilf то из G.9) следует
Z'(f, т, f, ft) = Д«, <К/, г, f)) Z(f, т, f, Л) + у,	G.10)
где у = Г в 1^ и, следовательно,
1 Здесь используется тот факт, что для (t, т, f) € V точки (<, у (/, т, f))
образуют замкнутое ограниченное множество t/l. Поэтому производная /с
равномерно непрерывна на и1ш
3*

36	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Поэтому у-*0 при /^-э-0 равномерно на V. В частности, каково
бы ни было е > 0, существует такое 6е > 0, что | у | < е, если
| hx | < де. Из G.10) получаем, что % как функция t есть е-прибли-
женное решение линейного уравнения
y' = Ut,<p(t,T,?))y,	G.11)
если только | hx | < 6е. Начальное значение #(т, т, f, /i) равно elt
где ех — вектор с компонентами A,0, ..., 0).
Рассмотрим теперь для фиксированной точки (т, f) e U решение
Р системы G.11), которое принимает для t = т начальное значение ег.
Существование этого решения на / : a<^t<,b следует из теоремы
5.1. То обстоятельство, что % для | /^ | <бе есть е-приближенное
решение системы G.11), влечет за собой в силу теоремы 2.1 нера-
неравенство
для (/, т, f) € V. Очевидно, отсюда следует, что
равномерно на V. Это доказывает, что производная QcpjQ^x существует,
а также, что этот вектор есть такое решение системы G.11), которое
при t == т принимает значение ег. Равномерная сходимость % при
h —*¦ 0, а также непрерывность % на V влекут за собой непрерыв-
непрерывность дф/д^ на V.
Совершенно аналогично доказывается существование и непре-
непрерывность Э(р/Э?у, / = 2, ..., п, на V. Точно так же, если е/ — вектор
со всеми компонентами, равными нулю, кроме /-й, которая равна 1, то
[|(т,т,?) = еу (/=1,2,..., я),	G.12)
и дф/dgj есть решение системы G.11). Столбцы матрицы щ суть
векторы Э<р/Э?j. Поэтому справедливо следующее матричное урав-
уравнение :
q>'&, T, I) = fx(t, <p{t, Т, |)) %('. Г, |) ,	G.13)
где щ = дф?/ди Соотношение G.12) можно записать в виде
<ps(T,T,i;) = E,	G.14)
где Е — единичная квадратная матрица порядка п,
10
О 1
.. о
О . ..0 1

§ 7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПАРАМЕТРОВ 37
Соотношение G.5) является следствием общего факта, имеющего
место для матричных решений линейных систем. Так как это соот-
соотношение важно само по себе, то мы его доказываем в следующей
теореме. Мы получим G.5) из G.18), используя G.13) и G.14) и то
обстоятельство, что det Е = 1.
Повторяя предыдущие рассуждения, можно показать, что
8^/Эт является также решением системы G.11); одновременно заме-,
тим, что начальные условия имеют вид
G.15)
Последнее получается из следующих вычислений :
<р(т, т, ?) - 9>(т, т, f) = 9>(т, т, f) — f =
т
= 9?(т, г, |) - ф, т, |) = J /(s, «p(s, т, I)) ds.
т
Поэтому
Так как подинтегральное выражение для (s, т, f) e V непрерывно,
то предел при т -> т существует для (т, f) e U, и мы получаем G.15).'
Теорема 7.3. Пусть А — квадратная матрица порядка п с
непрерывными элементами на интервале 1: a <,t<^b, и пусть Ф —
матрица-функция на I, удовлетворяющая уравнению
Ф'@ = A(t) Ф@ (t е /).	G.16)
Тогда определитель det0 удовлетворяет на I уравнению первого
порядка
(det Ф)' = (sp A) (det Ф)	G.17)
и, следовательно, для т, t ? /
det Ф@ = det Ф(т) exp j sp A (s) ds.	G.18)
T
Доказательство. Пусть q>u, ац — элементы, стоящие на
пересечении г-го столбца и /-й строки соответственно матриц Ф
и А. Тогда из G.16) следует, что
2 а'М 9*Х0 (I, / =. 1, • ¦ •, п) .	G.19)

38
ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Производная определителя det Ф есть сумма п определителей :
(det<Z>)' =
<Pll 0>12
<рт
9m
<Р2„
<Рпп
4>2l 9>EE	•••	0>2П
<pm <Pn2 ¦ • ¦ <Pnn
<Pll <Pl2			<Plt1
Подставляя G.19) в первый определитель правой части, получаем
Ч>2П
<Рпп
Этот определитель не изменится, если из элементов первой строки
вычесть элементы второй строки, умноженные на с12, затем вычесть
элементы третьей строки, умноженные на а13, и, наконец, вычесть
элементы л-й строки, умноженные на а1П. В результате мы получим
<pra
flll <Pln
<Pnn
что равно flu det Ф. Поступая аналогично с остальными определит
телями, мы получаем в конце концов G.17). Уравнение G.17) есть
уравнение вида и' — a(t)u = 0, и поэтому
и ехр — I a(s) ds\ = const,
что дает G.18).
Аналогично предыдущему изучается случай, когда правая часть
/ системы (С) содержит вектор-параметр /г. Пусть /^-пространство
имеет действительную размерность к и /^ —область /«-пространства :
I Р — НI < с, где iM0 и с > 0 фиксированы. Как и прежде, D —
область (t, х)-пространства. Обозначим через D^ область (t, x, р)-
пространства :
?>„: (t,x)eD, (лЫц,

§ 7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПАРАМЕТРОВ 39
и пусть функция / е С на DM удовлетворяет по х условию Липшица
равномерно на DM. Мы будем рассматривать дифференциальное
уравнение
x' = f(t,x,r).	(С„)
Пусть у есть решение (С^.) на интервале a <,t <,b при фиксиро-
фиксированном /л = ц0. Докажем следующую теорему, которая содержит
теорему 7.1 как частный случай.
Теорема 7.4. Пусть у — определенное выше решение уравнения
(См). Можно найти число 6 > 0, такое, что для всех точек
(т, ё, р) е Up, где
и„: a<x<b, \$-ф)\ + \/г-/го\<ё,
существует единственное решение <р уравнения (С^) на интервале
Ц<Ь, удовлетворяющее начальному условию
Кроме того, <р?С в (п + к + 2)-мерной области
Замечание. Иное доказательство этой теоремы при несколько
более жестких ограничениях дается ниже в процессе доказательства
теоремы 7.5.
Доказательство теоремы 7.4. похоже на доказа-
доказательство теоремы 7.1. Как было там отмечено, метод последова-
последовательных приближений можно использовать для доказа тельства
всей теоремы. Выберем дг > 0 так, чтобы множество UlfJ. точек
(t, х,ц):
содержалось в D^. Определим приближения {<?,-}:
<P0(t, r, ?, ft) = y>(t) + ?- V<t) ,
f	•
<Pj+i it, т, ?, n) = 1+ J /(s, 95y(s, т, I, ^m), (i) ds.
т
Очевидно, что
, r, f, ^м) - <po(t, r, I, ^м) | = I J {f(s, <po(s, r, I, ,m), ^m) -
- G-20)
Из равномерной непрерывности / на UlfJL следует, что каково бы
ни было е > 0 существует такое де > 0, что
s, <po(s, х |, (i), /г) - f(s, y(s),

40	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
если только a<s<b, (т,f,/л)б?/1/и и
\?-vW\ + \f*-n>\<8-	G-21)
Поэтому из G.20) имеем
\<PiiU т> f.i") - %('»т, f, ,м)|< е |f - т|,
если справедливо G.21). Рассуждая аналогично, получаем
\vJ+i(f, r, s, И) - <р#, г, е,р)\<: -^.-^-'i ~,
где fc — постоянная Липшица. Выберем е так, чтобы
и пусть 6 = 6е < бх/2 выбирается, как.прежде, по этому е. В таком
случае легко заключить по индукции, что для всех / точка
(t, (pj(t, т, ?, /j)) принадлежит множеству a<t<,b, \х — ip(t) \ <_ 6г
для всех (т, f, /л) б Uju,. Из непрерывности и равномерной сходимости
ф/ на Уц следует теорема.
На уравнение (С^) обобщается теорема 7.2. Это следует непосред-
непосредственно из доказательства самой теоремы 7.2.
Теорема 7.5. Пусть выполняются условия теоремы 7.4 и пусть
/х?С, Zp.eC на D^ Тогда решение <р, определенное в теореме 7.4,
принадлежит классу С1 в области V^.
Доказательство. Рассмотрим (п + /с)-мерное «-про-
«-пространство, состоящее из точек с координатами
и определим вектор-функцию F — (Flt ..., Fn+fc) на D^, полагая
Fi+n(t,u) = O	(f=l,....ft).
Тогда, по теореме 7.1, система уравнений
u'=F(t,u)	G.22)
имеет своим решением вектор % = {%ъ ..., х^+k), определяемый
равенствами
X,(t) = ViV, т,ё,/л) (i = 1, ..., п) ,
Х,-+п(О = А*/	A = 1,....ft),
так как х удовлетворяет начальным условиям
xfa) = *i	(г = 1, ...,«),

§ 8. КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ	41
Таким образом, цг,..., [лк можно рассматривать' как часть компо-
компонент начального вектора для системы G.22), причем F в G.22)
удовлетворяет условиям теоремы 7.2. Поэтому частные производ-
производные первого порядка вектора х относительно т, f ,• и ц{ существуют
-л непрерывны на V^, что, принимая во внимание определение %,
доказывает теорему.
Из уравнения
t
<p(t, т, f, /л) = f + j f(s, <p(s, т, f, /л), ц) ds
т
следует, что
t
Ц (t, r, S, /«) = J [fx(s, <p(s, r, f, /.), /.) Ц (s, t, f, ^) +
Это показывает, что 8<р/8^- есть решение начальной задачи
У = HU <№, г, 5, м), /") У + |. (t, <f{t, г, f, /i), /г), у(т) = 0.
Условия, при выполнении которых существуют старшие произ-
производные ср по т, f, или цг, легко получить из того факта, что первые
производные являются решениями линейного уравнения. Например,
i есть решение /?, уравнения
G.23)
с начальным значением с,-. Очевидно, что 82<p/8gj 8f,- есть /^
если последняя производная существует. Но G.23) содержит f как
параметр. Если т и /л в G.23) фиксированы, то f в G.23) играет роль
/л в теореме 7.5. Поэтому, если /х(/, <р(/, т, f, /л), р) имеет непрерывную
производную по ?/, то 8/3,/8f/ существуют. Если / имеет непрерыв-
непрерывные частные производные второго порядка относительно компо-
компонент вектора х, то fx(t, (p(t, т, f, /*), /л) имеет непрерывные частные
производные первого порядка относительно ?/.
Почти так же, если / имеет непрерывные частные производные
второго порядка относительно компонент точки (х, ,и), то произ-
производные 92<р1д/л( дм, и смешанные производные 32<з?/3^ 8f j суще-
существуют.
Случай, когда частные производные берутся относительно компо-
компонент точки (т, f, /*), оставляется читателю в качестве упражнения.
§ 8. КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ
До сих пор мы предполагали, что в уравнении (С) величины
t, х, / действительны. Если / — непрерывная комплекснозначная
функция, определенная на открытом связном множестве D (t, w)-

42	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
пространства, где t действительно и w — комплексный «-мерный
вектор (действительной размерности 2л), то уравнение
обозначает задачу отыскания интервала / действительной f-прямой и
(комплексной) дифференцируемой функции q>, определенной на /,
таких, что
(О	{tMt))*D (tei),
00	4>XO=t{t,<p{fj)
Легко видеть, что все теоремы существования, единственности,
продолжения и зависимости, доказанные в § 1—7, справедливы для
(CJ, если только мы определим норму | w | комплексного вектора
w — (ivlf ..., wn) формально так же, как раньше, а именно :
Здесь | и>,|2 = (Rew,J + Aпш,J, где Reiv,- и Imw, —
действительная и мнимая части щ. Кроме того, теоремы 7.4 и 7.5,
в которых речь идет об уравнении
х' = П?,х,ц),	(С„)
очевидном образом обобщаются на случай комплексного параметра
/л, если / определена для комплексных х и /л. Линейные системы
представляют собой важный частный случай, к которому приме-
применимы предыдущие замечания.
Обычно функции, встречающиеся в дифференциальных уравнет
ниях и определенные на множестве комплексных чисел, бывают
аналитическими. Пусть F — вектор-функция, определенная в
области (открытое связное множество) D комплексного «-мерного
iv-пространства. Тогда F называется аналитической в точке а?Д
если в некоторой окрестности \w — ю | < g, e > О каждая компо-
компонента Fj вектора F непрерывна по совокупности переменных
и аналитична по каждой из переменных' ivfc при фиксированных
W, 14= к. Эквивалентное определение заключается в том, что Fj в
некоторой окрестности |и> — ю | < g, 5 > о может быть представ-
представлена в виде сходящегося степенного ряда
СО	ПО
F7(wlf ... ,wn) = ^ ¦ ¦ ¦ ^ Лт. • • • m»^i - wi)mi • • • (w« - ?0«)mn-
Здесь Amx. •. т„ — комплексные постоянные. Функция назы-
называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой
точке D.

§ 8. КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ	43
Напомним, что аналитическая функция в области D обладает в D
производными всех порядков. Фундаментальное свойство аналити-
аналитических функций заключается в том, что если последовательность
аналитических функций сходится равномерно в области D, то пре-
предельная функция аналитична в D.
Так как аналитическая функция F в D локально представляется
в виде степенного ряда, то она, очевидно, локально однозначна, т. е.
для каждой точки со е D существует такое q > О, что F однозначна
в окрестности \w — со | < д. Однако в целом она не обязана быть
однозначной. Например, функция F(w) = wv% где комплексная
размерность w равна единице, аналитична в кольце 1 < | w | < 2,
но двузначна в нем. Если выбрать значение н>1/» на интервале
1 < Re iv < 2 действительным и положительным и сделать обход
по замкнутому пути (например, по окружности | w \ — 3/2), то
w'l* примет отрицательные действительные значения, когда w пере-
пересечет действительную положительную ось с другой стороны. Функ-
Функция F(w) — wa, где а — действительное иррациональное число,
принимает бесконечное множество значений внутри кольца.
Важно распространить задачу (С) на случай комплексных t.
Предположим, что / —• аналитическая комплекснозначная вектор-
функция, определенная в области D комплексного (z, ^-простран-
^-пространства, где z- и w-пространства имеют соответственно комплексные
размерности 1 и п. Тогда уравнение
w' = f(z,w)	(C2)
обозначает задачу отыскания области Н в комплексной z-плоскости
и (комплексной) дифференцируемой локально однозначной функции
ср [решения уравнения (Cg) ] на Н, такой, что
(ze//),
Существование и единственность решения уравнения (Са) можно
вывести, применяя метод последовательных приближений. В самом
деле, пусть / имеет компоненты flt..., fn, w = (wly ..., wn), и пусть
/ аналитична в области
R2: \z — 20|<й, |iv —ivo|<ft (c,fc>0),
которую мы будем называть прямоугольником, хотя она имеет п + 1
комплексных измерений. Заметим, что w0 здесь вектор, а не ком-
компонента.
Теорема 8.1. Пусть функция f аналитична и ограничена на
открытом прямоугольнике R2 и пусть
М= sup \f(z,w)\, a =
(г )«

44	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Тогда для \z — zo\ < а существует единственная функция q>, которая
является решением уравнения (С^ и удовлетворяет начальному
условию q>(z0) = w0.
Доказательстро. Так как матрица /ш = (8/,/3iv,) ограни-
ограничена на каждом замкнутом прямоугольнике R2 с RZJ то / на R2
удовлетворяет условию Липшица. Поэтому можно определить
последовательные приближения
0,1,2,...), (8.1)
где интеграл можно брать по прямой, соединяющей точки z0 и z.
Рассуждая, как при доказательстве теоремы 3.1, получаем существо-
существование единственного решения q> в круге \ z — z0 | < а, удовле-
удовлетворяющего условию q>(z0) = iv0.
Легко видеть, что <р0 аналитична по z в круге \ z — z0 | < а, и
поэтому функция /0(z) = f(z, <po(z)), будучи аналитической функцией
от аналитической функции, также аналитична в круге | z — г0 | <.а.
Из „(8.1) следует, что ^ аналитична в круге \z — z0 | < а, и, рассу-
рассуждая по индукции, легко показать, что все приближения <рк анали-
тичны в круге \z — z0 | < а. Так как решение q> есть равномерный
предел последовательности {q>k} аналитических функций, то оно
также аналитично в круге \ z — z0 | < а. Это завершает доказа-
доказательство.
Замечание. Если не накладывать на / других ограничений,
то круг аналитичности | г — z0 [ < а не может быть расширен.
Для а <; Ь/М это иллюстрируется случаем, в котором f не зависит"
от iv и имеет особенность на окружности | г — zo\ =¦¦ а. Для а > Ь/М
это иллюстрируется примером
I/m
где w одномерно. Решение q> этого уравнения, для которого <р(О) = О
(здесь z0 = w0 = 0), равно
*>=»[(>
где
Очевидно, что / аналитична и ограничена* в круге | w | < b и
sup | f(w) | = М. Решение q> имеет особую точку z = —ст < — Ь/М,
||<6

§ 8. КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ	45
которая стремится кг = —bjM, если т-*-о°. Следовательно, для
каждого г > Ь/М решение <р имеет особенность в кольце
если только т достаточно велико..
Следующий результат является аналогом теоремы 7.1 для урав-
уравнения (C)
Теорема 8.2. Пусть функция / аналитична в области D (z, w)-
пространства и пусть у> есть решение уравнения (Cg) на Н, где Н —
выпуклая область z-плоскости. Найдется число 6 > О, такое, что
для каждой точки (С, co)eU, где
U: СеЯ, \co-y>(C)\<6,
существует единственное решение q> = q>(z, С, со) уравнения (Cg) на
Н, для которого <р (С, С, со) = со. Кроме того, ср аналитична в
(п + 2)-комплексномерной области
V: zeH, (C,to)et/.
Замечание. На самом деле не обязательно, чтобы область Н
была выпукла. Достаточно потребовать, чтобы Н была односвязна
и чтобы существовала постоянная с > О, такая, что любые две
точки области Н можно было бы соединить ломаной, все звенья,
которой принадлежат Н и длина которой меньше, чем с.
Доказательство теоремы 8.2 аналогично доказа-
доказательству той части теоремы 7.1, в которой речь идет о последователь-
последовательных приближениях. Путь интегрирования от точки С до точки z'
в последовательных приближениях в случае выпуклой Н может
быть взят в виде отрезка прямой. В любом случае путь интегрирова-
интегрирования можно выбрать в виде ломаной, длина которой меньше с. Рас-
Рассуждения, относящиеся к теореме 7.1, переносятся, если 'только
произвести очевидные видоизменения, вызванные тем, что перемен-
переменные комплексны. Все приближения q>j на V аналитичны. Поэтому
предельная функция, к которой приближения сходятся равномерно
на V, должна быть аналитической на V.
Так как <р имеет на V все производные по переменным z, Q, а,
то уравнение
(p'(Z, С, со) = f(z, <p(z, С, СО))
можно дифференцировать по щ, что дает
—— (z, Ct со) = ftu(z, w(z, Ci o^n n— •
Следовательно, Э<р/Эю/ есть решение линейного уравнения
(8.2)
с начальным условием (d<p/daj)(C, С, а) = е/. Таким образом, доказан

46	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
аналог главного результата теоремы 7.2. Аналог формулы G.5)
может быть получен почти так же, как была получена формула G.5).
Результат здесь таков :
de.t (pa{z, С, ш) = exp j sp fw(s, <p (s, С, ю)) ds,
с
причем путь интегрирования представляет собой дугу в области Н.
Из того, что производная Э<р/Э? существует, легко следует, что
она является решением уравнения (8.2) с начальным значением
— /(С, со) при z = С.
Случай уравнения
w' = f(z,wtft),	(С*.)
где / аналитична по (z, w, fi) и /л /с-комплексномерно, может быть
разобран аналогично. Пусть /^ — область ju-пространства, опреде-
определенная неравенством | ju. — ju0 | < с, где ju0 фиксировано и с > О,
и пусть D — область в (л + 1)-мерном комплексном (z, ^-простран-
^-пространстве. Пусть Dfj, — множество таких точек (z, w, ц), что (z, w) e D
и tJbtlfi. Следующий результат есть аналог для (С2А<) теорем
7.4 и 7.5.
Теорема 8.3. Пусть /—аналитическая функция в области D^,
и пусть v есть решение уравнения (С^) для ц = /л0, существующее
для z е Н, где Н — выпуклая область z-плоскости. Найдется такое
число й > О, что для каждой точки (С, со, р) е t/w где
существует на Н единственное решение q> = <p {z, С, со, ц) уравнения
(С2,,) с начальным условием .
Кроме того, q> аналитична в (п + к + 2)-комплексномерной области
VM: ztH, (Z,a>,/i)eUM.
Доказательство может быть получено либо используя метод
теоремы 7.4 либо — теоремы 7.5. Замечание, следующее за теоремой
8.2, здесь также применимо.
Если предполагать, что t действительно, a w, /x, / комплексны, то
получается теорема, которая является смесью результатов § 7 и 8.
Пусть D — область (t, ^-пространства, где t действительно, a w
комплексно п-мерно. Пусть /,, — множество] всех ц, удовлетворя-
удовлетворяющих неравенству | /х — ju0 | < с для с > О, где ^ — комплексно
/с-мерно. Наконец, пусть Д, — множество всех точек (t, w, /л), для
которых (t, w) e D и [х е /,,.
Теорема 8.4. Пусть / е С в области D^ и предположим, что для
каждого t функция f аналитична по переменным (w, /л). Пусть у> —

ЗАДАЧИ	47
решение уравнения w' = f(t, w, р0) на некотором интервале I:
a<Lt<,b [так что (t, y> (f)) eD для t e /], удовлетворяющее условию
%р{тс) =* ш0, где те/. Найдется такое число д>О, что для каждой
точки (со, fi) e Up, где
Up-. \со — юо\ + \р — /ло\<8,
существует единственное решение ср — (fit, со, р) уравнения w' =
= f(t, w, fj) на I, удовлетворяющее условию
Кроме того, ср непрерывна по совокупности переменных (t, со, /л)
для а <, t <, Ъ, (со, /л) е Up и для каждого фиксированного t e / явля-
является аналитической функцией переменных (со, ц) для (со, р) е иИ.
Доказательство очень похоже на доказательство теоремы 7.4 и
предоставляется читателю. Равномерная сходимость последователь-
последовательных приближений, каждое из которых аналитично по (а, (г) на иИ,
приводит к аналитичности <р как функции (a, ju).
Важным применением этих результатов является случай линей-
линейных систем, содержащих линейно одномерный параметр /л. Напри-
Например, пусть А, В — непрерывные комплексные квадратные матрицы
порядка п, определенные на некотором открытом f-интервале J.
Рассмотрим систему
Тогда вектор /, определяемый равенством f(t, w, ц) = (A(f) -f-
+ /a B(t)) w, непрерывен в области
и для каждого фиксированного t e J аналитичен по переменным
(w, ц) для |-iv | + I № 1 < то- Применяя теоремы 5.2 и 8.4, получаем,
что решение <р, проходящее через точку (т, а) (т е J, | а | < оо),
существует для всех t e J, непрерывно по совокупности перемен-
переменных (/, а, ц) для fej, | to | + I ju. I < °° и для каждого фиксиро-
фиксированного t еу аналитично по переменным (со, ^)для | со | + I ц I <°°-
В частности, при фиксированных переменных (т, со) ср есть целая
функция [х (см. также задачу 7).
Очень важный случай, к которому применимо, предыдущее рас-
рассуждение, встречается при изучении краевых задач, содержащих
параметр ; см. гл. VII—XII.
Задачи
I. Пусть <р, v, х — действительные непрерывные (или кусочно непрерьшные)
функции, определенные на действительном интервале /: a <,t<,b. Пусть
х@ > О на / и предположим, что для (е/ выполняется неравенство

48	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Доказать, что на /
J«) V(s) exp
s
t
Указание. Положить R(t) — I x(s) y(s) ds и показать, что R'—xR<XV-
a
2. Говорят, что функция /, определенная в области D действительной
(/, х)-плоскости, принадлежит к классу Lip (/) на D, если существует интегри-
интегрируемая функция к переменной t, такая, что для всех (/, х) е D и (/, х) е D
Пусть /1 Lip (t) на D. Пусть <рг и <р2 — две непрерывные функции на / :
a <t <b, такие, что (/,q>i(t)) eD для (е1и функция /(',?><(')) интегрируема
на / для i = 1,2. Положим
где (е/, и допустим, что | ^(т) — ^аМ 1 < 6- Доказать, что для г <t <Ь
t	t	t
* exp [ | k(s)ds j + ?(/) + j ?(s)fc(s) exp [ [ k(u) duj «fc,
где ?@ = | E^t) | + | ?2(/) |; аналогично — для а < t < т.
Указание. Использовать задачу 1.
3. Пусть функции ??!, 9?2, фигурирующие в задаче 2, принадлежат на /к
классу Ср и, сверх этого, пусть
- ял «"(О)! < еке, е(о = ^@+
Доказать, что
[e(s)exp[ |'fc(u)
r	T	5
t
Указание. E(t) < e(s) ds.
T
Ь
Если К = .1 /c(s) ds, то предыдущее неравенство дает
Ь
(« + I'
Очевидно, что эти неравенства могут быть использованы для доказательства
единственности решения уравнения
x'=f(t,x),
если / е Lip (t) на D.
4. В предположениях теоремы 3.1 пусть условие (С, Lip) на R заменено
условиями

ЗАДАЧИ	49
и	LiP @: W, х) - KU *)i
для точек (/, х) и (/, х) в /?. Предполагая, что функция / такова, что интеграл от
f(t, y@) имеет смысл для каждой непрерывной функции у>, показать, что суще-
существует интервал т < t < т + ах (etj >• 0), на котором последовательные прибли-
приближения сходятся равномерно к решению.
t
Указание. Пусть K(t) = | k(s) ds. Если A + | f I) (е*<'о> — 1) = Ь
X
для некоторого /0 из интервала (т, т + а), то положим /0 — т = аг. В противном
случае положим ах = а. Показать, что все последовательные приближения <pj
остаются в интервале | х — f | <; K(t) для t е [т, т + ^ ]. Показать, что для
te [т, t + «i]
Замечание. Если предьщущие предположения о / справедливы для
всех х,х и всех t е [а, Ь\ и если т е [а, Ь], то последовательные приближения
сходятся равномерно в интервале [а, Ь ]. Это имеет место, если функция / по х
линейна.
5. Пусть / е С1 на множестве точек (/, х, у), где 0 <; / <, 1 и х, у — любые.
Пусть <р"— решение уравнения второго порядка х" = /(/, х, х') на интервале
[О, 1 ] и пусть ?>@) = а, фA) == Ь. Предположим, что 9//Эх > 0 для / е [0,1 ]
и всех х, у. Доказать, что если /S достаточно близко к Ь, то существует решение
у> уравнения х" = /(/, х, х'), такое, что ^@) = а, уA) = /S.
Указание. Рассмотрим решение В [как функцию (/, а) ], удовлетворя-
удовлетворяющее начальным условиям 6@, а) = а, 6'@, а) = а. Пусть ^'@) = «о- Тогда для
малых | а — а0 | решение 6 существует для ' е [0,1 ]. Положим
Тогда
"" ~ Ц if, W), <P'(t))w -1| (f, W), <P'(t))u = о,
где и@) = 0, u'@) == 1. Так как Э//9х > 0, то и — неубывающая функция, и
поэтому ыA) = (Эб/Эа) A, а0) > 0; Таким образом, из уравнения 6A, а)—/3=
= 0 можно определить а как функцию /3 для всех (а, /3) из окрестности точки
6. Следующая задача показывает, что аналитичность по отношению к
начальным данным может иметь место даже в том случае, когда правая, часть
дифференциального уравнения разрывна. (Эта ситуация возникает на практике
тогда, когда кривая заменяется ломаной с целью получить линеаризацию в
каждой частичной области.)
Пусть F — действительная аналитическая функция, определенная на
(л + 1)-мерном действительном пространстве
R: \t\<a, \x\<b.
Здесь / имеет одно действительное измерение, х имеет п действительных изме-
измерений и под аналитичностью F подразумевается, что в каждой точке R функция
F может быть представлена степенным рядом, сходящимся в некоторой окрест-
окрестности, содержащей эту точку. Пусть поверхность S, определяемая уравнением
F(t, х) = 0, (/ х) е Я, делит R на Йг и Я2, так что
F(/,x)<0
F(t,x)>0 (t,x)eR2,
F(t, x) = 0 (/, x) e S.
182.

50	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Пусть /—действительная вектор-функция, аналитическая для (t,x) е /?tu S,
и g—действительная вектор-функция, аналитическая для (/, х) е /?2 и S.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
A)	X'^f(t,X)	(t, *)?/?!,
B)	x'=g(*,x) (Лх)е/?2.
Непрерывная функция <р, определенная на некотором интервале I, содер-
содержащемся в интервале 111 <; а, есть решение этого дифференциального урав-
уравнения, если (/, ?>(/)) е Я для / е /, а<р удовлетворяет уравнению A) для (', (p(t))
efijH уравнению B) для (', #>(')) t R2 n если <р имеет только конечное число
точек на S для t е I. (Можно значительно обобщить это определение, допустив,
что (/, 9>@) е S на одном или нескольких /-интервалах, содержащихся в /,
однако это вызывает необходимость дополнительных предположений отно-
относительно определяемых ниже функций Jt и J2.)
Пусть (tlt х,) е /?lf p2, х8) е А?2 и пусть <р есть решение на интервале р1( <2],
удовлетворяющее условиям
Предположим, что (/, <p(t)) принадлежит S для t — тх,..., тш, где tt < тх <
<т2 < ... < тт < /2, и более ни для каких других t e plf tz ]. Пусть Л и J2 —
функции, определенные на S равенствами
8F y9F
-'2~ Э/ +?[dxigij
и предположим, что (—l)i Jk(,*j, 4>{tjj) < 0 для к = 1,2 и / = 1,..., т. Дока-
Доказать, что для (ff, v) е /?! вблизи (fx, xj существует решение у> — y(t, a, rj) на
интервале a <t <,t2, удовлетворяющее условию y>(a, a, r])— rj, и доказать,
что функция v>2» определенная равенством у2{р, rj) = y(f2, a, t]), аналитична по
(a, ri) вблизи (flf X!).
Указание. Достаточно рассмотреть случай т = 1, так как для других
т/ рассуждения аналогичны. Таким образом, можно предполагать, что суще-
существует тольго одна точка (ти ^(jj)) данного решения, лежащая на S. Вначале
следует показать, что функция у аналитична относительно переменных (t, a, rj)
для (/, if(tr a, rj)) f /?, и S. Значение /, для которого кривая (', y(t, a, ifj)
пересекает поверхность S, получается в результате решения уравнения
F(t, y(t, a, rj)) — 0 относительно t. Так как ЛСп, <p(ti)) > 0, то существует
единственное аналитическое решение / = у(<?, rj), причем y(tlt xx) = тх.
Затем следует рассмотреть решение уравнения B) с начальным зна-
значением х = у>(у (в, у), a, rj) при t = y(o, rj). Эти функции аналитичны по
(a, rj). Так как 72(тг, ^(Ti)) > 0, то это решение не будет вновь пересекать S
вблизи (т17 (pirj). Так как оно остается вблизи (/, ?>(')), то его можно продол-
продолжить до tz. Решение аналитично относительно / и своих начальных значений.
Начальные значения аналитичны относительно (a, rj). Таким образом, функция
у> аналитична относительно переменных (i, a, rj) для тех (t, a, rj), которые доста-
достаточно близки к ('2, tlt Xj).
7. Пусть /—непрерывная функция, определенная на действительном
/-интервале а <; / <; Ь и для всех комплексных w и /и., где w комплексно п-мерно
и /х комплексно fe-мерно. Пусть для каждого фиксированного t функция / анали-
аналитична по переменным (w, ц) для | и> | + | /и. | < со. Пусть, наконец, для всех
w, w и t e [a, b ]

ЗАДАЧИ	51
где М — монотонно возрастающая функция. (Из этих условий следует, что
функция / относительно w линейна.) Доказать, что решение р начальной задачи
W = Щ, w, /a), w{a) = а> непрерывно по совокупности переменных (t, w, /а) для
t е [а, Ь] и | ю | + | ju. | < то. Таким образом, <р есть целая функция переменных
(W, ju.) для фиксированного t.
Замечание. Если предположения верны для ц.е D, где D — область
//.-пространства, а не все пространство | /а | < °°, то результат справедлив для
Указание. Последовательные приближения <pj, где <po(t,<», м) = ">,
удовлетворяют неравенству
1 <Pj+i(t. (о, и) - <Pj(t, со,м)\<. -v	L(/-f 1)!	— »
и каждая ^ есть целая функция от (со, /а) для любого фиксированного t. Резуль-
Результат следует из равномерной сходимости <pj (а также из теоремы 8.4).
8.	Пусть F — действительная непрерывная функция переменных (t, x, у)
в действительной области D, содержащей точку (@, х0, у0). Предположим, что
производные dF/dx и dF/dy существуют и непрерывны вДи пусть F(t0, x,,, уо)=О,
(dFfdy) {t0, х0, у0) ф 0. Доказать, что существует единственная функция <р [реше-
[решение уравнения F{t, х, х') = 0 ] на некотором интервале, содержащем t0, удовле-
удовлетворяющая условиям F(t, у@,9>'@) = 0, q>(t0) = х„, q>'(Q = у0.
Замечание. Предыдущая теорема может оказаться неверной, если
F(t, х,у) = 0 и (dF/ду) (t, х, у) = 0. Решение уравнения F(t, х, х') = 0 может
удовлетворять обеим дополнительным равенствам, но единственности может не
быть. Примером этого является уравнение (х'J — 2x'-j-4x = 4( — 1 в окрест-
окрестности точки @,0, 1) с решениями tut — P. j
9.	При доказательстве теоремы 7.2 было показано, что дф/dgj, / = 1,..., п,
являются решениями линейного уравнения у' = fj,{t,<p(t, т, f)) у, имеющими
начальные значения е/ при t = т. Доказать, что каждое решение этой линей-
линейной системы есть линейная комбинация с комплексными коэффициентами этих л
решений. Так как Эу/Эт есть решение с начальным значением— /(т, ?) при t — т,
то доказать, что	п
d
Указание. Если 6 — некоторое решение и б(т) = а, то а = Иapj с
некоторыми комплексными постоянными щ. Доказать, что 6 = Z о;(Э/9^)
10. Следующая задача иллюстрирует абстрактную идею, навеянную тео-
теоремой Пикара. Рассмотрим пространство Банаха 58 (полное нормированное
линейное пространство) с нормой элемента у>, обозначаемой через || у> ||. Пусть
Г—преобразование, определенное на множестве всех у>, удовлетворяющих усло-
условию ||^11 <,Ь ф > 0), причем 1| Ту> 11 < Ь, и пусть Т удовлетворяет условию
Липшица
с постоянной к < 1. Доказать, что существует элемент <р такой, что Тер = <р,
т. е. что Т имеет неподвижную точку. Сверх этого, доказать единственность <р.
Указание. Определить последовательные приближения q>0, <рг,...,
полагая q>0 = 0, g^+i = Т<рр и, используя условие Липшица, показать, что
I! <Pm-i — 4>i II < ^ь> а значит
Так как к1 +	+ k!+m~l есть разность Коши для сходящейся геометрической
прогрессии Zk1, то последовательность {<р,-} сходится в S3 и, значит, имеет
предел <р е 58. Так как \\<р>\\ <,Ь, то, очевидно, ||р|| <, Ь, и поэтому элемент
Т<р определен. Далее ||2> — у 1| ^ || Ту — Тп || + || Т<р, — <р || ^
<Lk\\(p — <pj || + || q>j+1 — ср || -»0 при / -» оо. Единственность следует из усло-
условия Липшица.
4*

52	ГЛ. I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
11. Пусть feC на (л + 1)-мерном действительном прямоугольнике R ;
111 <; а, | х | <; Ь, и пусть / удовлетворяет в R условию Липшица
\f(t,x)-f(t,x)\<,~\x-x\
с постоянной Л<1. Далее, предположим, что |/(<, x){<_b/a для (t, х)еЯ:
Начальная задача х' = f(t, х), хф) = 0 эквивалентна интегральному уравнению
t
x{t)=jf(s,x(s))ds.
о
Пусть S3 — пространство всех непрерывных для 111 <, а вектор-функций у> с
нормой ||^П= max | vCO I- Показать, что S3 есть пространство Банаха.
Пусть Т — преобразование, определенное для у> е S3, l|y||<;fc, равенством
о
Доказать, что || Ту>\\ <,Ь, если || у> || ^ Ь, и что Т удовлетворяет условию
\\Ту>-Ту>\}<,к\\у>-у,\\.
Применив сказанное в задаче 10, получить существование и единственность
решения начальной задачи х' = f(t, х), х@) = 0 для | /1 <, а.
12. Пусть х' = | х |—'/«х -s- f sin (л/0, зс @) = 0. Показать, что если поли-
полигональные приближенные решения строятся так, как в теореме 11, то они не
сходятся при е —»0.
Указание. Рассмотрим интервал t > 0, и пусть tk= kb, к = 0, 1, 2 ...,
'( \\—1
где 6= In +~2~\ для некоторого большого п. Показать, что при четном л
полигональные решения д>«@ удовлетворяют условиям 9>«F) = 0, ^B6) = б2,
ФпCд) > — б3!*. Если для некоторого? выполняется неравенствоуп@> t'^/6,ro
оно продолжает выполняться для t < 1/2000. В самом деле, для t > 4 6 и до тех
пор, пока <р„@ > /V./6, >А@ > 9>пЧ' — 6) — f > у (t — б)8/» — f > fV./Ю. Так
как (/'/в/10) > (d[dt) {t'iz/6), то получаем утверждение. Если п нечетно, то
<pn(t) < — f/./6 для 36 < t < 1/2000.

Глава II
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ РЕШЕНИЯ.
ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ РЕШЕНИЯ
В предыдущей главе было показано, что если / — непрерывная
функция в некоторой (/, х)-области D, то дифференциальное урав-
уравнение
х' = /(/,х)	(С)
вместе с начальным условием
х(т) = ?	A.1
эквивалентно интегральному уравнению
t
x(t) = ?+ \f(s,x(s))ds.	A.2)
г
Иначе говоря, если ср — такое решение уравнения (С) на некотором
интервале /, для которого ф(т) = f, то х = р@ удовлетворяет A.2)
на /, и наоборот.
Очевидно, что интеграл в уравнении A.2) существует для многих
не непрерывных функций. Напомним, что непрерывность функции /
гарантирует принадлежность решения уравнения (С) к классу С1.
Таким образом, если не требовать непрерывной дифференцируемое™
решений (С), то можно будет не ограничиваться непрерывными
функциями /.
Предположим, что / — действительная (не обязательно непре-
непрерывная) функция, определенная на некотором множестве S (/, х)-
пространства. В таком случае можно расширить понятие дифферен-
дифференциального уравнения (С), определив (С) как следующую задачу.
Задача. Найти абсолютно непрерывную функцию <р, определен-
определенную на действительном t-интервале I, такую, что
(О	(tMtyeS (tel)
(О	(tMtyeS (tel),
00
для всех tei, исключая множество лебеговой меры нуль.
Если такие интервал / и функция <р существуют, то ср называется
решением (С) на I в расширенном смысле. Заметим, что абсолютная
непрерывность решения гарантирует существование производной

54	ГЛ. II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
ф' почти всюду на / (т. е. исключая множество лебеговой меры нуль),
так что условие (и) имеет смысл.
Если /еС на S и <р — решение уравнения (С) в предыдущем
смысле, то из (ii) следует, что ср' еС на /, и, следовательно, более
общее понятие уравнения (С) и решения ср сводится к обычному
определению уравнения (С), когда / е С на S. Обычно из контекста
ясно, какой смысл приписывается уравнению (С) и решению <р, и
поэтому редко будет возникать потребность в словах «в расширен-
расширенном смысле».
Относительно существования решения уравнения (С) Кара-
теодори доказал следующую очень общую теорему в предположении,
что / ограничена интегрируемой по Лебегу функцией от t. Доказа-
Доказательство приводится только для случая п = 1 ; будет ясно, какие
изменения следует внести в случае системы (С). R будет обозначать
прямоугольник
||	\\
где (т, f) — фиксированная точка (t, х)-плоскости, а аиЬ — положи-
положительные действительные числа.
Теорема 1.1 (Каратеодори). Пусть функция f определена на
прямоугольнике Я; пусть она измерима по t при каждом фикси-
фиксированном х и непрерывна по х при каждом фиксированном t Если
на интервале \t — r\<,a существует интегрируемая по Лебегу
функция т, такая, что
\f(t,x)\<m(t) ((t,x)e$),	A.3)
то на некотором интервале \t — т| <; /? (/? > 0) существует реше-
решение у уравнения (С) в расширенном смысле, удовлетворяющее условию
<р(г) = ?.
Доказательство. Рассмотрим случай ? ]> т; в случае
t<_r ситуация аналогична. Если функция М определяется равен-
равенствами
M(t)=\m(s)ds (r^t^r + a),	A.4)
то легко видеть, что М непрерывна, не убывает [т>0 в силу
A.3)] и М(т) = 0. Поэтому (/, f ± M(t)) ER для некоторого интер-
интервала T<f<T-fE^T + u, где /? — некоторая положительная
постоянная. Выберем какое-нибудь из этих /5 и определим прибли-
приближения cpj (/ = 1, 2, .. .) следующим образом :
J f(s, <pj(s)) ds {r + f<t<.r + p). A-5)

§ 1. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ РЕШЕНИЯ .	55
Очевидно, что функция <рг определена на интервале т <; t <_ т + /б
так как она равна постоянной f. Для каждого фиксированного'
у ^ 1 первая формула A.5) определяет <pj для т <, t <; т + Pjj,
и так как (/,?)€/? для т <t<^r + /б//, вторая формула A.5)
определяет q>j как непрерывную функцию на интервале т + рЦ <
</<т + 2/5//. Далее, на этом последнем интервале
A.6)
в силу A.3) и A.4). Предположим, что q>j определена для r<Ct<,
<; т + к fijj, причем 1 </с</. Тогда вторая формула A.5) опре-
определяет <?; для т + /с /?// < f <; т + (/с + 1)/б//, так как знание
измеримой подинтегральной функции предполагается только для
т^/^т-1-f: /8//. Таким образом, q>j(t) удовлетворяет для т + к /?//<
< ? <; т + (к + 1) /5// неравенству A.6) в силу A.3) и A.4). Поэтому,
по индукции, A.5) определяет все q>j как непрерывные функции на
интервале т < t < т + Р, .удовлетворяющие условиям
A.7)
Если fx и f2 — любые две точки интервала [т, т + Р ], то в силу
A.3)—A.5)
Шг) - ^(УI 5C | М (^ - J-) - М (fa - j) |.	A.8)
Так как функция .М непрерывна на интервале [т, т + /S ], то она
на этом интервале равномерно непрерывна. Поэтому из A.8) следует,
что множество {дэу} на интервале [т, т + /J ] равностепенно непре-
непрерывно. Далее, из A.7) следует, что множество {cpj} на [t,t + /J]
ограничено. Поэтому из леммы Асколи получаем, что существует
подпоследовательность {$),.}, которая сходится при fc->-oo равно-
равномерно на [т, т -f- Р ] к непрерывному пределу <р.
Из A.3) следует неравенство
и так как / при фиксированном / no x непрерывна, то
для каждого фиксированного t из интервала [т, т + /? ]. Поэтому
из теоремы Лебега об интегрировании мажорируемых последова-
последовательностей следует, что '
t	t
lim J f(s, <pjh(s)) ds = | f(s, ф)) ds	A.9)

56	ГЛ. НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
для каждого t из [т, т + &]• Но
t	t
<Рп@ = ? + J /(s, W»(s)) ds - I /(s, 9>A(s)) ds,
причем очевидно, что последний интеграл при к-> оо стремится к
нулю. Итак, полагая к-> оо и используя A.9), получаем
lf(s,<p(s))ds,
откуда теорема следует непосредственно.
Интересно заметить, что первоначальные приближения A.5)
должны сходиться к решению, если известно, что оно единственно.
Это не имеет места для обычных последовательных приближений;
см. пример в § 3.
Для случая п = 1 можно показать, что решение уравнения (У),
выходящее из начальной точки (т, f), можно заключить между
двумя специальными решениями — верхним и нижним. Пусть
функция / определена на прямоугольнике Я, как в теореме 1.1.
Пусть срм — решение (У) на /, проходящее через точку (т, f) и
обладающее тем свойством, что любое решение ф уравнения (У)
на /, проходящее через точку (т, f), удовлетворяет неравенству
Тогда срм называется верхним решением уравнения (У) на /,
проходящим через точку (т, f). Аналогично, если <рт есть решение
(У), для которого <рт(т) = ?, и если для любого решения <р уравнения
(У), такого, что <р(т) = f, на / выполняется неравенство
то фт называется нижним решением '(У) на /, проходящим через
точку (т, f). Очевидно, что если функций <рм и <рт существуют, то
они единственны.
Докажем теперь существование функций <рм и <рт при пред-
предположениях Каратеодори.
Теорема 1.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.1. Тогда
существуют верхнее решение <рм и нижнее решение q>m уравнения
(У) на интервале \t-—т| <; р, проходящее через точку (г, ?).
Доказательство. Докажем существование <рм на интер-
интервале [т, т+/3]. Каждое решение <р уравнения (У), проходящее
через точку (т, f), должно удовлетворять уравнению
t
= ^+ \ f{sMs))ds	A.10)

§ I. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ РЕШЕНИЯ	57
для тех t, для которых оно существует. Из A.10) следует, что
для любых tx, t2, для которых ф существует. Напомним, что функция
М определена равенством A.4). Так как М непрерывна, то из A.11)
следует в силу критерия сходимости Коши и теоремы существо-
существования Каратеодори, что решение <р, если это необходимо, может быть
продолжено на весь интервал [т, т + /? ]. Детали этих соображений
вполне аналогичны деталям доказательства теоремы 4.1 гл. I.
Поэтому все решения уравнения (У), проходящие через точку
(т, I), существуют на [т, т + /J ] и должны удовлетворять на этом
интервале неравенству A.11). Из равномерной непрерывности М на
[т, т-f /S] и из A.11) следует, что множество всех решений {q>}
уравнения (У) на [т, т -f- Р ] равностепенно непрерывно, т. е. каково
бы ни было е > 0, существует такое 6е > 0, не зависящее от t и
от решения <р, что
e,	0-12)
как только | \ — } | < де и i, t е [т, т + Р ]•
Далее, из A.11) при /2 = т следует, что множество {<р} равномерно
ограничено на [т, т + Р ].
Пусть
где верхняя грань берется относительно всех решений ср уравнения
(У), проходящих через точку (т, f). Очевидно, что функция Ф су-
существует на [т,т+E] и непрерывна (следовательно, равномерно
непрерывна) на этом интервале. Поэтому для каждого е > 0 суще-
существует такое б6> 0, что не только неравенство A.12) имеет место
для этого де, но также для всех t, t из [т, т -f P ]
\0(i)-0(f)\<e, если \i-t\<dc.	A.13)
Покажем, что Ф есть решение уравнения (У), удовлетворяющее
условию Ф(т) = ?, и если принять функцию срм равной Ф, то не-
нетрудно видеть, что эта q>M удовлетворяет требованиям теоремы на
[т, т + Р\. Для данного е > 0 выберем де так, чтобы имели место
неравенства A.12)и A.13). Разделим интервал [r,r + P]nan интер-
интервалов точками T = ?0<f1<...<fn=T+/? так, чтобы было
max &-+1-*,)<&.
Для каждого U (i = 0, 1, .. ., п — 1) выберем решение <р,- урав7
нения (У), проходящее через точку (т, f), так чтобы было
и для *" ;> 1
Это возможно в силу определения Ф.

58	ГЛ. II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Выбрав е, определим функцию сре следующим образом :
Если (?„_! (tn-i) > (рп-2 (tn-i), то положим сре слева от tn-! равной
<?„_! вплоть до точки тп_2 (если она существует), которая заключена
в интервале (tn-2, tn-i), является ближайшей к точке гп-г и такова,
что
Если точка т„_2 существует, положим cpe(t) = срп-$) для 1п-г <,
<! t < т„_2. Если точка т„_2 не существует, положим сре = <рп-г на
[tn-2, /„_!>. Если (pn-.1(tn-1) = ^n-^n-J, положим <р?(/) = фП_2@
на [/„-2,1п-г). Продолжая таким образом, можно определить на
интервале [т, т -)- /S ] решение фе уравнения (У), проходящее через
точку (т, f), которое получается склеиванием решений уравнения (У)
и обладает свойствами
0<Ф(и)-<р&)<е (I = 0,1, ...,«).	A.14)
Так как разность между Ф и ^ в каждом интервале [f;, /,+1 ]
меньше е, то из A-14) следует в силу A.12) и A.13), что
Полагая е = 1/m (m = 1, 2,...), мы получаем последователь-
последовательность решений {<pi/m}, которая в силу A.15) сходится равномерно на
[т, T + /J] к Ф. Отсюда и из теоремы Лебега об интегрировании
мажорируемых последовательностей, применяемой кA.10) с заменой
ср на щт, следует
= ? + J /(«
т. е. Ф есть решение (У), удовлетворяющее условию Ф(т) = f; из
определения Ф ясно, что это есть верхнее решение дзм на [т, т + /?] •
Теорема 1.3. Пусть функция f определена в области D (t, x)-
плоскости, измерима по t при фиксированном х и непрерывна по х
при фиксированном t Пусть существует интегрируемая функция
т, такая, что | f(t, x) \ <, m(f) для (t, x) e D. Тогда, если у есть
решение уравнения (У) для t е (а, V), то предел (рф—0) существу-
существует, и если ф, срф — 0)) е D, то (р может^ быть продолжена
на интервал (a, b + д] при некотором д > 0.' Аналогичное утвер-
утверждение имеет место для точки а. Таким образом, решение <р мо-
может быть продолжено вплоть до границы области D. Более
того, точно так же может быть продолжено верхнее решение фМ
и нижнее решение фт.
Доказательство очень похоже на доказательство теоремы 4.1
гл. I.

§ 1. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ РЕШЕНИЯ	59
Следствие из теоремы 1.3. Пусть выполнены условия теоремы
1.1 и пусть фМ и фт — верхнее и нижнее решения, проходящие через
точку (г, f), — существуют на интервале [г, г + Р\, где /? < а.
Тогда для каждого числа с, удовлетворяющего неравенству фт (т +
+ /S) < с < фм{ъ + Р), существует на интервале т <; / <; т + Р по
крайней мере одно решение ф, проходящее через точку (г, ?) и такое,
что <р(г + Р) = с.
Доказательство. Возьмем решение, проходящее через
точку (т + /?, с), и продолжим его налево. Оно не может оставить
область фтA) <,х<, фМA), * <, t < т + Р, так как, если оно встретит
одно из экстремальных решений, его всегда можно продолжить
налево вдоль этого решения. Поэтому оно может быть продолжено
налево вплоть до точки (т, ?).
Теорема 1.4. Пусть выполняются условия теоремы 1.3 и пред-
предположим, что верхнее решение фм% уравнения (У), проходящее
через точку (г, g), существует на интервале [г, т + <*¦]• Тогда суще-
существует число б > 0, такое, что уравнение (У) имеет верхнее реше-
решение фмп для каждого t), f <; щ < ?, + д, на интервале [т, т + «],
причем фмч(г) —V- Более того, фМг,->фм$ равномерно на [т, т + а],
если rj-*-S + 0.
Доказательство. В силу теоремы 1.2, если разность
у] — ? достаточно мала, фМп существует, очевидно, на некотором
интервале с левым концом т. Из определения верхнего решения
легко получаем, что для щ > rj > f
Поэтому решение фМ7, монотонно не убывает по ц и снизу ограничено.
Следовательно, для каждого t на некотором интервале [т, т + /5 ]
существует функция
@ > ^лк@ •	A.16)
Так как фмп удовлетворяет A.11), то
и, значит, <P(f) непрерывна. Из уравнения
t
<Рм$) = V + J /(«> 4>Mn(s)) ds
г
следует при rj -> f -f 0, что
t
= ё+ [f(s,0(s))ds.
Это означает, что Фф есть решение уравнения (У), проходящее
через точку (т, f). Поэтому в силу A.16) Ф@ = фл«@ на [т, т + Л-
Равномерная сходимость решений фМ?, к q>MS следует из равно-

60	ГЛ. II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
степенной непрерывности фмп по /, что доказывается неравен-
неравенством A.11).
Предыдущие рассуждения, очевидно, справедливы в области
существования решения Ф, заключенной в интервале [т, т + а]-
Предположим, что для некоторого t0 < т 4- а и для каждого малого
h > 0 решение Ф существует на [т, t0 — h ] и не существует на
[ т, t0 + h]. Тогда для каждого данного е > 0 существует дЕ > 0^
такое, что
I	е) - <pMs(t0 - е) | ^ е,	A.17)
если 0 < г\ — f < дЕ.
Пусть Н — множество точек (t, х), которые удовлетворяют не-
неравенствам
I' -to\<y, \x- <pM*(t0 -y)\<.y + M(t) - M(t0 - у).
При у достаточно малом Н <zD. Каждое решение <р уравнения (У),
которое выходит из точек левой вертикальной стороны t = t0 — у
множества Н [т. е. \^0 — у) — ^м^ — у)\<,у], будет в силу
A.11) при возрастании / оставаться в И. Таким образом, каждое
такое решение может быть продолжено до t0 + у ¦
Полагая в A.17) е = у, получаем, что для 0 < iq — f < де реше-
решение фмг, может быть продолжено до t0 4- У- Отсюда следует существо-
существование решения Ф на [т, to-\- у], что противоречит предположению
о t0. Таким образом, fo> т + а, и поэтому Ф существует ца всем
интервале [т, т + а].
§ 2. УТОЧНЕНИЯ ТЕОРЕМ ЕДИНСТВЕННОСТИ
Много исследований посвящено проблеме единственности реше-
решений системы (С). Следующая'теорема дает критерий единственности,
достаточный для многих случаев, встречающихся на практике, и
включает как частные случаи многие известные критерии.
Теорема 2.1. Пусть у — у (t, г) — непрерывная, неотрицатель-
неотрицательная функция, определенная для
0</<д, г>0 (д>0)	B.1)
и нешрастающая по г при фиксированном L Предположим, что
для каждого числа а, 0 < а < а, функция q, определенная равен-
равенством е@ = 0, 0 < ^ < а, является единственной дифференци-
дифференцируемой функцией на интервале 0 < t < а, для которой существует
предел q'+@) = lim (g(f) — е@))/? при t->- + 0 и выполняются
уравнение
e'(O = v(*,e(O) @<*<а)	B.2)
и условие
о.	B.3)

§ 2 УТОЧНЕНИЯ ТЕОРЕМ ЕДИНСТВЕННОСТИ	61
Пусть функция / еС в (п + 1)-мерной области
R:\t-r\^a, \x-S\^b (a,b>0)
и удовлетворяет в R для 1Ч=т неравенству
\Ю,х)-К1,х)\<:ф-т\,\х-х\).	B.4)
Тогда для \t—т| <; а существует не более одного решения <р
системы (С), определенного в R и такого, что ф(т) = ?.
Замечание. Если гр — функция, определенная на мно-
множестве B.1) равенством
{) k
где к — положительная постоянная, то ip удовлетворяет условию
теоремы 2.1. Нетрудно показать, что для каждого а, 0<а<а,
функция, тождественно равная нулю, является единственной диф-
дифференцируемой функцией на интервале О <; t < а, удовлетворяю-
удовлетворяющей B.2) и B.3) для этого выбора у. В этом случае B.4) совпадает с
условием Липшица, и, следовательно, теорема 2.1 включает как
частный случай теорему 2.2 гл. I.
В действительности имеет место следующее обобщение теоремы
2.1, которое также легко доказать. Мы дадим доказательство только
этого обобщения.
Теорема 2.2. Пусть у — неотрицательная функция, определен-
определенная на множестве B.1), измеримая по Лебегу по t при каждом фик-
фиксированном г, непрерывная и неубывающая по г при фиксированном
t Далее, пусть для каждого ограниченного подмножества В мно-
множества B.1) существует функция %в, определенная для 0 < t < a
и такая, что
{(t,r)eB),	B.5)
и пусть %в интегрируема по Лебегу на интервале у < t < а для
каждого числа у > 0. Предположим, что для каждого числа а,
О < а < а, функция, тождественно равная нулю, является един-
единственной абсолютно непрерывной функцией на интервале 0 <; t < а ,
удовлетворяющей уравнению
(	B.6)
почти всюду на интервале 0 < t < а и условию : д'+@) существует и
о.	B.7)
Тогда, если для этой функции у> функция / удовлетворяет тем же
условиям, что в теореме 2.1, то справедливо заключение указанной
теоремы.
Доказательство будет дано для интервала т <; t <; т + а;
случай т — а <; t <, г аналогичен. Для упрощения предположим
также, что (т, ?) = @, 0).

62	ГЛ. II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Допустим, что существуют два решения <рг и <р2 класса С1 урав-
уравнения (С) на интервале 0 <; t < а, удовлетворяющие условию
= 0.	B.8)
Определим функцию p(t) равенством
Тогда существует а, 0 < о <; а, такое, что р(а) > 0. Из теоремы
1.1 следует, что существует абсолютно непрерывная функция qr
удовлетворяющая на некотором интервале слева от о уравнению
и начальному условию
6(а) = р(а).
Для тех t, находящихся слева от о, для которых q существует,
выполняется неравенство
ОО	B.9)
ибо в противном случае существовала бы слева от а такая точка С,
для которой g(t) = р(С) и - @ > P(t) Для всех достаточно близких
к С значений t < С (С = о не исключается). Далее, так как дэх и дэ2
являются решениями уравнения (С), удовлетворяющими B.8), то
|
и для достаточно малых h > О
о
Так как \и\ — | v | <. \ и — v |, то из B.4) следует неравенство
с
J [/(f,
<: JI/C vi@) - f(t,%@)l«^ f vC».pW)«я• С2-10)
Из определения g и условия р(С) = g(C) получаем уравнение
с
B.H)
причем здесь Л предполагается настолько малым, что g существует
в интервале [С — к, К ]. Так как tp как функция г не убывает, то
v(t,p{t))<,w{t,e(t)) (C-

§ 2. УТОЧНЕНИЯ ТЕОРЕМ ЕДИНСТВЕННОСТИ	63
а это вместе с B.10) и B.11) влечет неравенство р(С — И) <; р(С — /г),
противоречащее определению С. Тем самым установлено неравен-
неравенство B.9).
Далее, g(f) > 0 для тех t, 0 < t <; а, для которых ?(f) существует.
В противном случае g(o) = 0 для некоторого а, 0 < сг < а, и
функция {5, определенная равенствами
Q(t)=O	{0
была бы не равной тождественно нулю функцией на интервале
О < t <; а, удовлетворяющей B.6) и B.7). Это противоречит условиям
теоремы. Поэтому
0<6(f)<p(t)	B.12)
для тех t, лежащих слева от а, для которых q существует. Однако
в силу B.12) и теоремы 1.3 q может быть продолжено как решение
(обозначим его снова через q) на весь интервал 0 < t <; а. Поэтому
lim g(f), t-^ + 0, существует и в силу B.12)
Нш е@ = О.
Положим, по определению, г@) = 0.
Из B.12) следует далее, что
B.13)
так как <р?@) = <p'z@) = /@, 0), то отношение
стремится к 0 при t -> + 0. Из B.13) поэтому следует, что р'+@) = 0.
Это противоречит условиям теоремы, так как q — абсолютно не-
непрерывное решение уравнения B.6) для 0 < t < о, удовлетворяю-
удовлетворяющее B.7) и на этом интервале не равное тождественно нулю. Поэтому
р(а) неположительно для каждого а, 0 < а < а, и это доказывает
теорему.
Легко видеть из доказательства теоремы 2.2, что она справедлива
тогда, когда / удовлетворяет условиям Каратеодори (т. е. усло-
условиям, налагаемым на / в теореме 1.1), если только вместо B.7)
потребовать, чтобы ^@) = 0. Непрерывность^/ используется только
в точке @,0) для вывода равенства yi@) = <p'2(P)-
Доказательство теоремы 2.2 годится для теоремы 2.1, за исклю-
исключением того, что непрерывность у> в этом случае используется для
установления непрерывности функции (класса С1), удовлетворяющей
(	( ф))	)
рр	фу	(	) у
уравнению g'@ = %p(t, ф)) слева от точки (а, р(а)).
Теорема 2.1 может быть уточнена, если использовать понятие
нижнего решения.

64	ГЛ. II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Теорема 2.3. Пусть функции / и у удовлетворяют условиям
теоремы 2.1, исключая условие монотонности у> по г. В таком случае
остаются в силе заключения теоремы 2.1.
Доказательство. Единственное место в доказательстве
теоремы 2.1, в котором используется неубывание %р по г, —это дока-
доказательство неравенства
Q(t)<.p[t),	B.9)
где q — функция класса С1, удовлетворяющая условиям
6(o)=p(a)>0.	B.14)
Следующее рассуждение показывает, как можно доказать неравен-
неравенство B.9) для нижнего решения gm уравнения B.14), не используя
МОНОТОННОСТЬ у).
Рассмотрим задачу отыскания решения уравнения
проходящего через точку (о, р(о)). Для каждого такого е существует
по крайней мере одно решение де этой задачи на интервале о — о. <
<; ? <^о для некоторого положительного а, не зависящего от е.
Далее,
(o-a<t^a),	B.15)
ибо в противном случае слева от а нашлась бы точка С, для которой
е«(?) = р(О и е*00 > Р@ Для достаточно близких к С значений
t < С. В такой точке С существует левая производная р'_(?) и
Поэтому для достаточно малых h > О
что противоречит определению С. Это доказывает B.15).
Таким же образом получаем, что
lim sup e.@ < 6m(t).	B.16)
Далее,
с
Pip) - е.@ = J ?<*, е.@) й + Ф - 0,
и, следовательно, на интервале а — а < f <o (а>0) множество
функций {qc} равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.
Поэтому существует подпоследовательность {gejj, сходящаяся (при
?/<->-0) равномерно на интервале а — а<^}<_о к функции q,
причем g удовлетворяет B.14). Однако в силу B.16) это q должно
совпадать с qm и из B.15) следует неравенство
(o-a<t<o).

§ 3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ	65
Остальная часть доказательства совпадает с соответствующей
частью доказательства теоремы 2.1 с той лишь разницей, что всюду
следует о заменить на рт.
§ 3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Пусть R — (п + 1)-мерное множество
R:\t-r\^a, |x-?|<# {а,Ь>0).
Пусть / е С на R и пусть М = max | / | на R. В § 3 гл. I было пока-
показано, что последовательные приближения д:0, сръ щ, ..., определен-
определенные формулами
*'	C.1)
i
flWiW = f + j f{s, Ms)) ds (ra = 0,1,2,...),
г
сходятся к решению дэ уравнения (С) на интервале
\t-r\<a
удовлетворяющему условию <р(т) = f, если только / е Lip на R.
Следующий пример (п = 1) показывает, что одной непрерыв-
непрерывности функции / недостаточно для сходимости последовательных
приближений. Пусть / определена следующим образом :
0	(f = o, -
21	@<t<l, -oo<x<0),
2t-4*	(
-2t	(
На множестве 0 < / <; 1, — co<x<| <» функция / непрерывна
и ограничена постоянной 2. Для начальной точки (т, f) = (О, О)
последовательные приближения C.1) при О</<1 имеют вид
9?о@ = 0, 4>am-i(f) = t2, q>zm{t) = — t2 (га=1,2,...).
Поэтому последовательность {<pm(t)} для каждого t =h 0 имеет две
предельные точки и, значит, последовательные приближения не
сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследова-
подпоследовательностей {(p2m-i}, {<p2m} не сходится к решению, ибо
Так как условие Липшица гарантирует единственность решения
(С), можно поставить вопрос : не следует ли из непрерывности /
5 182.

66	ГЛ. П. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
и единственности решения сходимость последовательных прибли-
приближений? Ответ на этот вопрос отрицательный, что следует из преды-
предыдущего примера C.2), в котором существует справа от точки @, 0)
единственное решение, проходящее через эту точку, так как функция
/ монотонно не возрастает по х при фиксированном /. Нетрудно по-
показать, что из этого последнего условия следует единственность
справа от начала координат.
Также справедливо, что если последовательные приближения
сходятся, то полученное решение может оказаться не единственным.
Известный пример
х' = х""
показывает это. Для начальной точки @, 0) все последовательные
приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции,
равной тождественно нулю. С другой стороны, функция q>, опреде-
определенная равенством
2'
представляет собой другое решение, существующее справа от
начала.
Хотя из единственности не следует сходимость последовательных
приближений, условия общих теорем единственности 2.1 и 2.2
достаточны для этой сходимости.
Теорема 3.1. Пусть / б С на R и пусть выполнены условия тео-
теоремы 2.1 или 2.2. Тогда последовательные приближения {дэт}, опре-
определенные равенствами C.1), сходятся равномерно на интервале
|/ — т| < и к решению ср уравнения (С), удовлетворяющему началь-
начальному условию ср (т) — ?.
Доказательство проведем, используя условия теоремы
2.2 и предполагая, что (т, ?) = @, 0).
Последнее, очевидно, не нарушает общности рассуждений.
Из определения C.1) последовательных приближений следует,
что они удовлетворяют неравенству
9>m(fi)-<Mf2)i<?Mi*i-t2	(з.з)
для любых tlt t.2 из интервала \t\<.a, где М = max | /1 на R.
Отсюда следует, что множество {дэт} на этом интервале равностепен-
равностепенно непрерывно. Полагая в C.3) fx = t, t2 = 0, получаем
\<Pm{t)\<M\t\<,Ma<b,
и, следовательно, множество {^m} равномерно ограничено при
111 < а. По лемме Асколи существует подпоследовательность
\<ртк), сходящаяся равномерно при fc-> со на интервале 11 \ < а
к функции ф. Подпоследовательность {y^+i}, удовлетворяющая
равенству	t

§ 3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ	67
равномерно сходится для | / j < а к функции q>*, определенной
равенством
4>*(t)=\ f(s,<p(s))ds Ct<a),
ибо функция / равномерно непрерывна для | /1 < а, | х | < Ь.
Ниже будет показано, что для \t\<a
9m,-i{t) - <pm{t) -> 0 (m -> оо).	C.4)
Предполагая это, получаем
а отсюда следует, что дэ* = <р, т. е. дэ есть решение уравнения (С).
В силу единственности каждая сходящаяся подпоследовательность
последовательности {срт} сходится к тому же решению, и отсюда
следует, что первоначальная последовательность {дзт} для 11 | < а
сходится к решению <р. Эта сходимость равномерна при 111 < а,
так как последовательность {(рт} равностепенно непрерывна и
сходится.
Чтобы доказать C.4), обозначим через \ут разность
!Vra(f) = <рт+1® - 4>m(t)	( j t j < «) ,
и пусть
v(t) =\im sup \wm{t)\ {,t\<a).
Тогда i'(O) = 0 и функция v непрерывна для | ^ | < a, как верхний
предел равностепенно непрерывной и ограниченной последова-
последовательности функций. Доказательство равенства lim wm (t) = О
для ' t i < a эквивалентно доказательству равенства v(f) = 0 для
' /1 < а. Последнее равенство мы докажем для 0 < / < a ; для
— а < f < 0 доказательство аналогично.
Для каждого Л t > 0 положим
Из C.1) следует, что для всех t и t + A t из интервала [0, а] имеют
.место неравенства
И н>т-н@: < I l/(s, ^m+i(s)) - /(s, 9?m(s))] ds
и в силу B.4)
I v(s, Iwm{$) \)ds.	C.5)
Для каждого 6 > 0 существует такое целое число JVe, не завися-
зависящее ОТ S И ffl, ЧТО
iwm{s)| < v{s) + 6 (m>Ne)	C.6)

68	ГЛ. П. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
для всех s из интервала t < s < t + Л t. Чтобы в этом убедиться,
заметим, что v равномерно непрерывна и множество {wm} равно-
равностепенно непрерывно на интервале t < s < t -f- A t. Поэтому для
каждого б > 0 существует щ > 0, такое, что
|v(s)-uE)|<|, \wm(s)~wm(s):<~s,	C.7)
если только \ s — s ] < щ и точки s, s принадлежат интервалу
[t, t + At]. Разделим интервал [t, t-\-At] на конечное число под-
интервалов
так, чтобы было max (si+1 — s,) < щ. Из определения v как верхнего
предела следует, что для каждого s, (i = 0, 1, ..., к) найдется такое
целое число Ndi, что
v(s,H-3- (m>Ns,).	C.8)
Пусть Ne — max^j (i = 0, 1, ..., к). В таком случае неравенство
C.8) выполняется для т > Ne. Для фиксированного s из интервала
[t,t-\-At] найдется sh такое, что ] s — s,-1 < щ. Применяя C.7) к
этому s и s = S- и комбинируя с C.8), получаем неравенство C.6).
Так как функция у) по г не убывает, то из C.6) следует, что
ф, |wm[s) |) ^ v<s, v(s) + д) {т > TV.),	C.9)
и, следовательно, используя C.5), получаем
v(s) + 5)ds (m>Ne).	C.10)
Из определения v вытекает, что
\Av{t)\< Mm sup \Awm{t)\,
а отсюда и из (ЗЛО) следует неравенство
t+at
\Av(t)\^\y{s,v(s) + d)ds.	C.11)
t
В силу непрерывности функции у по г
ф, v{s) + д) -> y(s, f(s)) при ё->0.
Отсюда, из неравенства B.5) и теоремы Лебега об интегрировании
мажорируемых последовательностей следует, что
t+At	t+at
lim Г y(s, v(s) + S)ds= f yts, v(s)) ds.

§ 3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ	69
Последнее соотношение вместе с C.11) дает
Av(t)\< jy>(s,v{s))ds.	C.12)
t
ИзнеравенстваC.12)следует, что функция v абсолютно непрерыв-
непрерывна на каждом интервале, содержащемся в [0, а ], и, следовательно,
производная v' существует почти всюду на [0, а]. Из C.12) следует
также, что эта производная почти всюду на [0, а] удовлетворяет
неравенству,
\v'(t)\<v(t,v(t)).	C.13)
Предположим, что для некоторого а, О <о < a, v(a) =f= 0. Как
показано в теореме 1.1, из наложенных на у) условий следует сущест-
существование на некотором интервале а — у < 2 < <? (у > 0) функции q,
удовлетворяющей уравнению
и условию q(o) = i>(cr) > 0. Далее, на этом интервале
6(t)<v(t),	C.14)
и отсюда следует, что q может быть продолжена на весь интервал
0<f<o и
lim е@ = 0.
<->4-0
Доказательство этих фактов вполне аналогично выводу неравенства
B.12) из B.9) при доказательстве теоремы 2.2 и поэтому опускается.
В силу C.14) имеем
^	-	C-15)
Покажем теперь, что v(t)jt -> 0 при t -+ + 0. С этой целью рассмотрим.
при 0 < t ^ а разность
t
wm(t) = VmTl@ - <pm(i) = \[f(s, ym(s)) - /(s, 9Wi(s))] ds. C.16)
6
Так как / €C на R и | <pm(f) \ < Mt, то из C.16) следует, что для
каждого е > 0 существует такое r)s > 0, что
¦v>m(t)\<et @<t<f]e).
Поэтому
v(t)= li>(O[
если только 0 < / < ще, и, следовательно, v{t)jt^-Q при ?^- + 0.
Из C.15) следует теперь, что Q(t)/t^>- 0 при /->- + 0, или, так как
е@) = 0, что о'+@) = 0. Это противоречит условиям теоремы, ибо
о — абсолютно непрерывная функция, не равная тождественно нулю
на интервале 0 <; / < о, удовлетворяющая уравнению
о'@ = tft> ?@) {0<t<a)

70	ГЛ. П. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
и начальному условию
Поэтому v(or) = 0 для каждого а, 0 < о < а, что доказывает тео-
теорему.
§ 4. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
И ПАРАМЕТРОВ
В теореме 7.4 гл. 1 было показано, что если функция / непрерывна
по совокупности переменных (t, х, [л) и по х удовлетворяет условию
Липшица равномерно по /х, то решение начальной задачи
х' = f(t, х, /л), х(т) = ?
непрерывно по (t, цх). В действительности условие Липшица является
слишком ограничительным ; для того чтобы этот важный результат
имел место, достаточно единственности решения. Так же как в
теореме 7.4 х-пространство n-мерно и ^-пространство /:-мерно.
Теорема 4.1. Пусть D-область (t, х)-пространства, /,, — область
\ц — /ло\ < с, с > 0, и Dfl — множество всех точек (t, x, /j), удовле-
удовлетворяющих условиям (t, x) e D, [л е /,,. Предположим, что функция
/ на Dft непрерывна и ограничена постоянной М. Пусть для /л = [л0
задача
xr = 1(t,x,li), х(т) = *	D.1)
на интервале [a, b ] имеет единственное решение <р0, причем т е [а,Ь].
В таком случае существует б > 0, такое, что для каждого фиксиро-
фиксированного р., удовлетворяющего неравенству \р. — /ло\ < 6, существует
решение <р„ задачи D.1) на [а, Ь] и при /«^-/«0
равномерно на \а, Ь].
Замечание. Хотя задача D.1) при цх 4= ц0 может иметь
неединственное решение, тем не менее ее решения в точке у. = /и0
непрерывны по параметру /л.
Доказательство теоремы 4.1 проведем для случая
т € (а, Ь). Вначале установим результат для \t — т j < а при неко-
некотором а > 0. Выберем а настолько малым, чтобы множество
R : \t — т | < а, | х — f|< Ma принадлежало D. Все решения
уравнения D.1) с цх е /,, существуют на интервале [т — а, т -\- а]
и принадлежат R. Пусть ф„ — некоторое решение. Тогда множество
функций {(р„}, [г е /,„, равномерно ограничено и равностепенно
непрерывно на интервале | / — т | < а. Это следует из интегрального
уравнения
\( t - г < а)	D.2)
т
и неравенства | /| < М.

4. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПАРАМЕТРОВ 71
Предположим, что для некоторого i е [т — а, т + а ] решение
(pt,(t) не стремится к <po(i). Тогда существуют последовательность
fixfc}, к =1,2, ..., для которой ju,fc—>/j.o, и последовательность
решений {<p,,J, сходящаяся равномерно на [т — а, т + а] при
?_>. со к предельной функции у, причем ^(/) =?= ipo(i). Из того, что
f еС иг Dfl, грЕС на [т — а, т + а] и что (рИс-*-у> равномерно,
получаем уравнение
= f + J7(s, V(s), ^0) rfs ( г - т! <: а).
Поэтому у есть решение задачи D.1) с цг = ju.o. В силу предполо-
предположенной единственности решения имеем xp(t) = <po(t) на интервале
t — т | < а. Значит, ^(/) = <?о(?). Следовательно, все решения <р,,
при /х ->- ju0 стремятся при \t — т | < а к %. В силу равностепен-
равностепенной непрерывности эта сходимость равномерна.
Чтобы доказать теорему для интервала [a, b ], введем множество
И, аналогичное использованному в теореме 1.4. Рассмотрим интер-
интервал [т, Ь]. Предположим, что /0€ [т, Ь) и что теорема верна для
каждого малого h > Она интервале [т, /0 — /г] и не верна на интервале
[т, f0 -\- /г]. Очевидно,, что @>т + а. В силу сделанного предполо-
предположения для каждого малого е > 0 существует д, > 0, такое, что
Ы'о-?)-Ы'о-?);<?,	D-3)
если | [л — ц0 , < ав.
Обозначим через Я множество (f, х)-пространства :
\t-to\^y, \x-<po(to~y)\<y + M.tt-to + y., D.4)
где у настолько мало, что И с D. Каждое решение уравнения
- х' = f(t, х, jlc), принимающее в точке t = t0 — у значение х0, причем
! хо — <Ро('о — у) I < Y> остается в Н при возрастании /. Таким обра-
образом, все решения могут быть продолжены до ?0 + у.
Выбирая в D.3) е = у, получаем, что для ) и — м0 ] < Se все
решения ^ могут быть продолжены до /0 + е. Таким образом, на
интервале [т, t0 + е ] эти решения содержатся в D, так что заклю-
заключение <рм ->¦ <р0, полученное для \t — т | < а и основанное на D.2),
применимо также для интервала [т, /0 + е]. Итак, предположение
о существовании /0< b неверно. В случае to= b следует рассмотреть
интервал t0 — у < / < /0 ; в остальном рассуждения аналогичны.
Аналогичные соображения применимы слева от т, и поэтому теорема
верна для интервала [а, Ь].
Тот же результат верен, если / удовлетворяет условиям Кара-
теодори.
Теорема 4.2. Заключения теоремы 4.1 остаются в силе, если
условие feC заменить следующими условиями: функция f изме-
измерима по t на множестве D^ при любых фиксированных ц их; функ-

72	ГЛ. II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
ция f непрерывна по х при любых фиксированных tup; при фикси-
фиксированном t функция / непрерывна по совокупности переменных (х, ц)
при ц = ц0;
\Kt,x,F*)\<m(t),
где т интегрируема по Лебегу на интервале [а, Ь].
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.1 с
обычными изменениями, вызванными условиями Каратеодори, и
предлагается в виде упражнения читателю.
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Тогда суще-
существует 6 > О, такое, что для любых фиксированных чисел (а, ?], ц),
удовлетворяющих неравенству
\а ~ т| + |»? — ?I + |я — А*о! < ё'
все решения <р — <р (t, a, rj, p) задачи
x' = f(t,x,fi), x(a) = rj
существуют на интервале [а, Ь]. Более того, если (а, -ц, //,) —>¦
<P(t, о, 7], f?) -	(	)
равномерно на [а, Ь].
Доказательство может быть получено при помощи
незначительных изменений доказательства теоремы 4.1.
Важный результат, связанный с непрерывностью решений отно-
относительно начальных условий, содержится в следующей теореме.
Теорема 4.4. Пусть т0, гг (г0 < тх) — фиксированные действи-
действительные числа и (т0, ?г0) — фиксированная точка (п + 1)"мерного
(t, х)-пространства. Обозначим через Uo множество всех точек Ро:
(т0, i), таких, что
\?-?0\<Ъ0 (Ьо>0).
Предположим, что через каждую точку {t, x) множества
^:T0<f<T1; jx-fo|<ft (O<bo<b)
проходит единственное решение уравнения
дС = /(*,х),	(С)
причем функция f на V непрерывна. Пусть q> = q>(t, т0, f) есть реше-
решение уравнения (С), проходящее через точку Ро е Uo. Пусть число b
настолько велико, что (t, ц> (t, т0, f)) е V для |f — fo| < b0, т0 <_ t <,
<т1# Пусть иг — множество точек Рг: (rlt q> (т^ т0, f)), где (т0, f)
е G0. Тогда отображение Т, ставящее в соответствие каждой
точке Ро е Uo точку Рг е L/j, является топологическим отображе-
отображением Uo в Uv
Доказательство. В силу предположения единственности
ясно, что Т одно-однозначно. По определению иг для каждой точки

ЗАДАЧИ	73
Р1 е иг существует точка Ро е Uo, такая, что ТР0 = Р1г и, значит,
Т обратимо. Функция %р, определенная для | f — f0 | < Ьо равен-
равенством
(при фиксированных т1У т0), в силу единственности ср для | f — f 0| <
< b0 непрерывна по f. Поэтому отображение Т непрерывно. При-
Применяя то же рассуждение о непрерывности к точке тх, получаем
непрерывность обратного отображения Т~\ которое ставит в со-
соответствие каждой течке Рх е 17г точку Ро е Vo. Это завершает
доказательство.
Задачи
¦ 1. Пусть Ф — неотрицательная измеримая функция от t на интервале
O-=St<ca и F — неотрицательная измеримая функция от г на интервале
а	8
О < г < а. Пусть I Ф@ Л < оо и для каждого 6 > 0 dr/F(r) = то. Показать,
J	J
о	о
что если | f(t, х) — f(t, х) | < Ф@ F (|х — xj) для малых г и (х| и если / удовле-
удовлетворяет условиям теоремы 1.1, то решение <р уравнения (У), удовлетворяющее
условию <р@) = 0, единственно.
Указание. Если y>(t, г) = Ф(?) F(r), то из условий g'(t) = y(f, о@),
е@) = О. следует, что о@ = 0.
2.	Показать, что теорема 2.1 справедлива при y>(t,r) = гД.
3.	Пусть / е С (п = 1) в прямоугольнике 0 < t < о, | х | < fc, где а, Ь > О,
и пусть f(t, хг) < f(t, х2), если хг < х2 и /(/, 0) > 0 для 0 < t < а. Показать, что-
последовательные приближения C.1) сходятся к решению задачи х'=/(<, х),
х@) = 0 на интервале
где М = max | / | в указанном прямоугольнике.
4.	Пусть / е С на (п + 1)-мерном (t, х)-множестве 0 < t ч< а (а > 0),
| х [ < то и пусть ф есть решение системы х' = f(t, x), проходящее через точку
(О, ё) и существующее для 0< < < ?< о. Доказать, что либо предел <p{t—О)
существует и конечен, причем в этом случае ц> можно продолжить за точку i,
либо | ф@ | —> оо при t —> f — 0.
5.	Пусть /— такая же функция, как и в предыдущей задаче, и пусть, далее,
существует непрерывная на интервале 0 < г < то функция у. такая, что
! f(t, х) | < у>(\ х \) и для некоторого 6, 0 < 6 < оо, dr/y>{r) = оо. Доказать,
что каждое решение у системы (С), удовлетворяющее условию ф@) = f, суще-
существует на всем интервале 0 < t < a.
Указание. Использовать результат предыдущей задачи.

Глава III
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть А = (atj) — квадратная матрица порядка п, где а,, — ком-
комплексные числа. Определим норму А следующим образом :
Если п-мерный вектор х представлять как матрицу с п строками и
одним столбцом, то норма вектора, определенная в § 5 гл. I,
совпадает с нормой х, определенной по формуле A.1). Легко видеть,
что норма обладает следующими свойствами :
<0	\А + В\<\А\ + \В\,
(«О	|АВ|<|А|-|В|,
(Hi)	;Ax|<jA| • |х|,
где Аи В — матрицы, х — n-мерный вектор.
По определению, расстояние между двумя матрицами А и В
равно \ А — В \, и это расстояние удовлетворяет обычным свой-
свойствам метрики.
Нулевая матрица будет обозначаться через 0, а единичная —
через Е. В случае опасности смешения размерностей эти квадратные
матрицы порядка п будут обозначаться соответственно через 0„
и Еп. Заметим, что | 0„ | = 0 и | Еп | = п, а не 1.
Комплексно сопряженной матрицей для А = (ау) называется
матрица А = (а,7), где % — комплексно сопряженные числа для
о/у. Транспонированная матрица обозначается через А^ и опреде-
определяется так: А * = (ар). Сопряженная матрица для А определяется
так : А* = Ак = (а,-,)- Заметим, что \А*\ = |А1| = | А \ = | А |.
Далее, (АВ)* = В*А*. Определитель матрицы А обозначается
как det A.
Если det A = 0, то матрица А называется особой. Неособая
матрица имеет обратную матрицу А-1, которая удовлетворяет со-
соотношениям
Многочлен det (Ш—А) степени л от А называется характери-
характеристическим многочленом для матрицы А, а его корни — характери-
характеристическими корнями А. Если эти корни обозначены h (i = 1,..., п), то
п
det (А Е- А)=

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	75
Две квадтатные матрицы А и В порядка п называются подоб-
подобными, если существует неособая квадратная матрица Р порядка п,
такая, что
1
Если Аи В подобны, то они имеют один и тот же характеристический
многочлен, ибо
c\ei (Я Е-В) = det (Р(лЕ - А)Р1) =
= detP - det (/?- А) ¦ detP = det(ХЕ - А).
В частности, коэффициенты многочлена det (X Е — А) при степенях
/. инвариантны относительно преобразования подобия. Два наи-
наиболее важных инварианта — det А и: sp А — определитель и след А
соответственно.
Приведем следующий фундаментальный результат о канониче-
канонической форме матрицы.
Теорема 1.1. Каждая квадратная матрица А порядка п подоб-
подобна матрице вида
{'JB 0 0 ... О .
J = [0J.l0:::0)>
lo о о ... 7s/
где Jo — диагональная матрица с элементами А1; А2,..', Xq и
о о ... о о
о ... о о
Здесь Xj, i = 1,..., q + s, — характеристические корни А, не обя-
обязательно различные. Если Xj — простой корень, то он встречается
в JQ, и поэтому, если все корни различны, А подобна диагональной
матрице
(;.х о о ... о
о }.2 о ... о
оо о ... Ап
Из теоремы 1.1 непосредственно следует, что
det A = //*,-, spA^LX
где произведение и сумма распространены на все корни, причем
каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
Матрицы Ji имеют вид

76	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
щг
@
0
0
i порядка
1
о
0
О
0
1
0
0
0 ...
О . . .
0 ...
О ...
Ti
О
О
О
О
и
1
о)
Матрицы Ji можно представить также в виде А3+1-?г, -|~ У Zt, где
у — любая постоянная, отличная от нуля. Между прочим, в ZJ
диагональ из единиц по сравнению с Z,- передвинута вправо на один
элемент, а остальные элементы равны нулю. Отсюда следует, что
ZJ* есть матрица, все элементы которой равны нулю, за исключе-
исключением элемента, стоящего на пересечении первой строки и последнего
столбца и равного единице. Поэтому Z;5 есть нулевая матрица, и,
значит, матрица Z,- нильпотентна.
Последовательность матриц {Ат} называется сходящейся, если
для любогс е > 0 существует такое целое число Ne, что при p,q~> iVe
| Aq — Ap\ < e.
Последовательность {Ат} имеет своим пределом матрицу А, если
для любого е > 0 можно указать такое целое число Ne, что при
т > N,
\Ат- А,<е.
Очевидно, что последовательность {Ат} сходится в том и только
в том случае, когда сходится каждая из последовательностей
компонент, а отсюда следует, что {Ат} сходится в том и только в
том случае, когда существует предельная матрица, к которой и
сходится эта последовательность.
Бесконечный ряд
m=l
называется сходящимся, если сходится последовательность част-
частных сумм, а суммой ряда называется предельная матрица для
частичных сумм. Важное значение при изучении линейных уравне-
уравнений имеет специальный ряд, который называется экспонентой мат-
матрицы А, а именно :
где Ат есть т-я степень А. Ряд, определяющий еА, сходится для
всех А, ибо для любых положительных целых р и q
\ & А™ ! Р+? [АИ
! ~j mT\ ^ -^ ml '

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	77
а последнее выражение есть разность Коши для ряда е]Л, сходя-
сходящегося для всех конечных | А |. Далее,
\еА\<(п — ]) + е1А.	A.3)
Для матриц, вообще говоря, равенство еА+в = еАев неверно.
Это равенство верно, если А и В коммутируют. В теореме 4.1 будет
показано, что
A A	A.4)
и поэтому еА есть неособая матрица для всех А. Так как —А ком-
коммутирует с А, то е~А = (г4).
Каждая матрица А удовлетворяет своему характеристическому
уравнению det (А.Е—А) = 0, и это замечание часто бывает полезно
для эффективного вычисления еА. Вот простой пример : если
то det (А Е — А) = № — 0, и поэтому А2 = 0, откуда следует, что
Лт = 0, т> 1. Значит,
Пусть В — неособая матрица. Покажем, что существует матрица А
(называемая логарифмом В), такая, что еА = В. В самом деле, если В
имеет каноническую форму J теоремы 1.1, то А, очевидно, можно
представить в виде	/ л о о О
.. О
при условии, что еА> = Jj, j = 0, 1, ..., s. Легко также проверить,
что Ао можно представить в виде
(inя, о ... О
о in л, ... о
О	О ... In Я,
Далее,
где Zj — нильпотентная матрица, определенная в теореме 1.1. Так как
высшие степени Zj равны нулю, то ряд
содержит лишь конечное число членов и поэтому сходится. Поло-
Положим, по определению, сумму этого ряда, который на самом деле
является многочленом от 7^1,-Zh равной

78	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом,
есть многочлен от Xg}j Zj. С другой стороны, из тождества
1+'х = еШA -х) - 1 + (х - ' *2 + ¦ ¦ • ) + й (х - ix2 + • ¦
([х < 1)
следует после приведения справа подобных членов, что коэффи-
коэффициенты -при хк, к > 2, равны нулю, а коэффициент при х равен
единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому
exp [In {Ет, + Ijlj Ч\ = Er> + K+i zj ¦
Отсюда легко получаем, что А, можно представить в виде
Aj = (in V;) En + In [En + ~jZij .
Пользуясь тем, что для каждой матрицы М
(РМР-*)Н = РМк Р-1 (к = 1,2, ...),
нетрудно видеть, что
Рем Р ] = ?pMP~L
Отсюда следует, что результат, полученный для канонической мат-
матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В са-
самом деле, если J = еА и В = PJP~\ то Б = ел, где А = РАР-1.
Естественно, что матрица А не единственна. Например,
?А = ?А ?2*ikE = eA+iniUE	(ft = 0, ± 1, ± 2, . . . ) .
Если Ф — произвольная квадратная матрица порядка п из
функций, определенная на действительном /-интервале / (элементы
матрицы могут быть действительными или комплексными функци-
функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой или анали-
аналитической на /, если все элементы Ф соответственно непрерывны,
дифференцируемы или аналитичны на /. Если Ф на / дифферен-
дифференцируема, то через Ф' обозначается производная матрица. Заметим,
что если матрицы Ф, W дифференцируемы, то
= Ф'Ф ^ФЧ",	A.5)
и, вообще говоря, <P'W =j= Ч*Ф'.
Если в точке t производная матрица Ф'@ существует и матрица
Ф—неособая, то матрица Ф~г в точке t дифференцируема. Это следует
из равенства
det Ф '
где Ф = (фи), а у,-,- — алгебраические дополнения элементов ф,7.
Из равенств A.5) и'ФФ = Е следует, что
(Ф-1)' = _ Ф^ф'ф-1, det Ф ^ 0.	A.6)

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ	79
Напомним, что в § 7 гл. I было показано, что если матрица А на
^-интервале / непрерывна и Ф удовлетворяет уравнению Ф'@ =
=-- A(t) Ф@, то
d0	@)	A.7)
а в интегральной форме
detФ(т) = detФ(т)exp j'sp A(s)ds (t,rel).	< 1.8)
т
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
Пусть А — непрерывная квадратная матрица порядка п, эле-
элементами которой служат непрерывные комплексные функции,
определенные на /-интервале /. Линейная система
x' = A(t)x (tel)	(ЛО>
называется линейной однородной системой порядка п. В § 5 гл. I
было показано, что для любого % и для т?/ существует единст-
единственное решение <р системы (ЛО) на интервале /, удовлетворяющее
условию <p(t) = &1. В дальнейшем мы будем предполагать, что для
А выполняется по крайней мере условие (*).
Нулевая вектор-функция на / является решением системы (ЛО).
Это решение называется тривиальным. Если решение системы (ЛО)
равно нулю для некоторого т е /, то в силу теоремы единственности
оно равно нулю тождественно на /.
Теорема 2.1. Множество всех решений системы (ЛО) на интер-
интервале I образует п-мерное векторное пространство над полем комп-
комплексных чисел2.
Доказательство. Если <pi и ф2 — решения (ЛО) и с1г с2 —
комплексные числа, то q <pi + с2 <р2 также является решением (ЛО).
Это показывает, что решения образуют векторное пространство.
Чтобы показать, что это пространство n-мерно, следует пока-
показать, что существует п линейно независимых решений <рх. (р2,..., срп,
таких, что каждое другое решение системы (ЛО) есть линейная
комбинация (с комплексными коэффициентами) этих ср(. Пусть f,,
1	Общее, если каждый элемент матрицы А измерим на / и
',A(t)\<m(t) (/e/),	(*)
где функция т интегрируема по Лебегу на /, то из результата задачи 4 гл. I
следует существование и единственность решения <р системы (ЛО), удовле-
удовлетворяющего условию ф(т) = f. См. также задачу 1 в конце этой главы.
2	Читатель, не знакомый с терминологией зтой теоремы, обнаружит, читая
доказательство, что нетрудно сформулировать результат в более привычной
форме. Относительно векторных пространств см. Н а 1 m о s P. R., Finite dimen-
dimensional vector spaces, Princeton. (См. также Мальцев А. И., Линейная алгебра,
Гостехиздат, М., 1956. — Прим. перев.)

80	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
i = 1, 2, ..., п — линейно независимые векторы n-мерного х-про-
странства. Например, за f,- можно взять вектор со всеми компо-
компонентами, равными нулю, кроме г-й, которая равна 1. Тогда, по
теореме существования, если те/, то существуют решения <р,-,
i= 1,2,..., п, системы (ЛО), для которых <р,(т) = ?,-. Покажем,
что эти решения удовлетворяют поставленному выше условию.
Если бы решения <р,- были линейно зависимыми, то существовали
бы п комплексных чисел с,, не равных одновременно нулю и таких,
что
2
Отсюда следует равенство
противоречащее предположению о том, что векторы ?,- линейно
независимы.
Если <р — некоторое решение (ЛО) на /, такое, что <р(т) = f, то
можно найти (единственным образом определенные) постоянные с,-,
удовлетворяющие равенству
ибо векторы f ,• образуют базис n-мерного х-пространства. Поэтому
функция
Iе""
есть решение (ЛО), принимающее при t = г значение f, и, следова-
следовательно, в силу теоремы единственности
Итак, каждое решение <р есть (единственная) линейная комбинация
(ft и теорема 2.1 полностью доказана.
Всякое множество q>v <pa,..., дм линейно независимых решений
системы (ЛО) называется базисом или фундаментальным множест-
множеством решений системы (ЛО).
Если Ф—матрица, п столбцов которой являются п линейно не-
независимыми решениями (ЛО) на /, то Ф называется фундаменталь-
фундаментальной матрицей системы (ЛО). Очевидно, Ф удовлетворяет матрич-
матричному уравнению
Ф	^ (*е/).	B.1)
Под матричным дифференциальным уравнением, соответствую-
соответствующим системе (ЛО) на /, подразумевается задача отыскания квадрат-

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ	81
ной матрицы Ф порядка п, столбцы которой являются решениями
системы (ЛО) на /. Эта задача обозначается так:
X' = A(t)X (tel).	B.2)
Матрица Ф называется решением задачи B.2) на /,и Ф удовлетворяет
уравнению B.1). Из теоремы B.1) следует, что, зная фундаменталь-
фундаментальную матрицу системы (ЛО), которая является, разумеется, частным
решением уравнения B.2), мы будем знать полную систему решений
системы (ЛО).
Теорема 2.2. Для того чтобы решение-матрица уравнения B.2)
была фундаментальной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы
det Ф@ =h 0 для t е /.
Замечание. Если det Ф(?) ч= 0 для некоторого t € /, то в
силу A.8) det Ф@ •+> 0 для всех t € /.
Доказательство теоремы 2.2. Пусть Ф — фунда-
фундаментальная матрица, столбцами которой являются векторы дэ,, и
пусть ср — некоторое нетривиальное решение системы (ЛО). В силу
теоремы 2.1 существуют единственным образом определенные по-
постоянные с1У ..., сп, не равные все нулю и такие, что
или, выражая при помощи матрицы Ф,
где с — вектор-столбец с элементами сг, ..., с„. Это соотношение
при каждом т € / есть система п линейных уравнений с неизвест-
неизвестными сх, ..., сп, имеющая единственное решение для каждого <р(т).
Поэтому det Ф(т) 4= 0 и, по сделанному выше замечанию, det Фф 4= О
для каждого 1 € /. Заметим, что это доказывает линейную независи-
независимость векторов-столбцов фундаментальной матрицы для каждого
tel.
Наоборот, пусть Ф — матрица-решение уравнения B.2) и пусть
det Ф(?) ч= 0 для t € /. Таким образом, векторы-столбцы матрицы Ф
линейно независимы для каждого t e I.
Матрица из векторов-столбцов может иметь определитель,
тождественно равный нулю на интервале /, даже при линейно
независимых векторах.
Например, пусть
Р
для каждого действительного интервала /. Содержание теоремы
2.2 состоит в том, что этого не может случиться для векторов, кото-
которые являются решениями системы (ЛО).
6 182.

82	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теорема 2.3. Если Ф — фундаментальная матрица системы
(ЛО) и С — (комплексная) постоянная неособая матрица, то ФС
также является фундаментальной матрицей системы (ЛО). Каж-
Каждая фундаментальная матрица системы (ЛО) может быть пред-
представлена в такой форме при помощи некоторой неособой матрицы С.
Доказательство. Из B.1), если Ф — фундаментальная
матрица, вытекает, что
или
и, следовательно, ФС есть матрица-решение уравнения B.2). Так
как
det (ФС) = (det Ф) (det С) ф 0,
то ФС—фундаментальная матрица.
Наоборот, если Фх и Ф2 — две фундаментальные матрицы, то
Ф2 = Фг С, где С —¦ некоторая постоянная неособая матрица. Для
доказательства этого положим Фу1 Ф2= W(t). Тогда Ф2=Ф1У/.
Дифференцируя это равенство, получим, что Ф2 — Фх Ч" -+- Ф\ У.
Отсюда и из B.1) следует, что АФ2=ФХЧ" + АФг W, или Фх W = 0.
Поэтому W = 0 и, следовательно, матрица у> = С постоянна. Она
неособая, так как этим свойством обладают Фх и Ф2.
Замечания. Если предполагать только, что Ф2 — решение,
то матрица С может быть особой.
Заметим, что если Ф — фундаментальная матрица системы (ЛО)
и С — постоянная неособая матрица, то СФ, вообще говоря, не
является фундаментальной матрицей.
Две различные однородные системы не могут иметь одну и ту же
фундаментальную матрицу, ибо из уравнения (ЛО) следует, что
A(t) = Ф'@ Ф~а@- Поэтому матрица Ф определяет матрицу А
однозначно, хотя обратное утверждение и неверно.
Сопряженные системы. Если Ф — фундаментальная матрица
для системы (ЛО), то
(Ф-1)' = — ф-1ф'ф-х = _ ф-1 А,
или, переходя к сопряженным матрицам,
Поэтому Ф*-1 — фундаментальная матрица для системы
x'=-A*(t)x (tel).	B.3)
Система B.3) называется сопряженной для системы (ЛО) и матрич-
матричное уравнение
X'=-A*(t)X (tel)	B.4)
называется сопряженным для уравнения B.2). Это соответствие сим-
симметрично, ибо (ЛО) и B.2) сопряжены B.3) и B.4) соответственно.

§-2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ	83
Теорема 2.4. Если Ф — фундаментальная матрица для системы
(ЛО), то W есть фундаментальная матрица для сопряженной сис-
системы B.3) в том и только в том случае, когда
Ч>*Ф = С,	B.5)
где С — постоянная неособая матрица.
Доказательство. Если Ф — фундаментальная матрица
системы (ЛО) п*Р — фундаментальная матрица системы B.3), то,так
как Ф*-1 — фундаментальная матрица частного вида для уравнения
B.3),
где D — некоторая постоянная неособая матрица (теорема 2.3).
Поэтому
и можно принять С = D*.
Наоборот, если Ф — фундаментальная матрица системы (ЛО) и
удовлетворяет B.5), то W* = Сф-1, или W == Ф*~гС*, и, следова-
следовательно, в силу теоремы 2.3 W — фундаментальная матрица сопря-
сопряженной системы B.3).
Если А — —А*, то Ф*~\ будучи фундаментальной матрицей
для системы B.3), является также фундаментальной матрицей для
системы (ЛО). Поэтому в силу теоремы 2.3 Ф = Ф*-1 С, или
Ф*Ф = С,	B.6)
где С — постоянная неособая матрица. Из уравнения B.6), в част-
частности, следует, что эвклидова длина каждого вектора-решения
системы (ЛО) постоянна.
Понижение порядка однородной системы. Если известно т @ <т<
< п) линейно независимых решений системы (ЛО), то можно по-
понизить порядок системы на т единиц, и, следовательно, дело све-
сведется к решению линейной системы порядка п — т.
Предположим, что <pi, • • •, <рт — т линейно независимых век-
векторов, которые являются решениями системы (ЛО) на интервале /.
Пусть вектор <ру имеет компоненты щ- (г = 1, 2, ..., п). Тогда ранг
прямоугольной матрицы с элементами <р<7 (г= !>•••> п\ / =
= 1, ..., т) для каждого / € / равен т, так как ее столбцы линейно
независимы. Это означает, что для каждого t 6 / в этой матрице
найдется отличный от нуля определитель порядка т. Выберем
некоторое toe I и предположим для определенности, что в точке
t0 отличен от нуля определитель матрицы Фт с элементами <р,;-
(i = 1, ..., т ; / = 1,..., т). Тогда в силу непрерывной зависи-
зависимости определителя от его элементов щ и непрерывности функций
(fij в окрестности t0 получим, что det Фт@ =h 0 для / из некоторого
интервала /, содержащего t0. Пусть / — один из таких интервалов;
процесс понижения проведем для I. (Идея этого процесса является
модификацией метода вариации произвольных постоянных.)
6*

84	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть матрица U имеет своими первыми т столбцами векторы
ф1г ..., фт и своими последними п — т столбцами — векторы
ет+ъ ¦ • •, ?п, где е,- — вектор-столбец со всеми нулевыми элемен-
элементами, кроме4/-го, который равен 1. Очевидно, что U — неособая
матрица на /. Сделаем в (ЛО) подстановку
х = Uy.	B.7)
[Заметим, что решениям х = дэ,- (/ = 1, 2, ..., т) при подстановке
B.7) соответствуют решения у = е;- (/ = 1, 2, ..., т). Поэтому под-
подстановку B.7) можно рассматривать как систему относительно у,
которая должна иметь решения в], /= 1,2,..., т.] Подставляя
B.7) в систему (ЛО), получаем
U'y + Uy=AUy,
или, в координатах,
т	т	т п
2 <РцУ) + 2 Ч>иУ) = ^ 2 aik Wj Vi + 2! а* Ук 0" = !. • • •. т)>
j=l	j=l	j=lfc=l	;=m+l
т	m	m n	n
2! 4>'u yj+y'i+Z <pu y'j = X 21aik 4*1 У} + 21 a* Ук
;=1	j=l	j=1K=1	7t=m+l
(i = m+ 1, ...,«).
Выражая то обстоятельство, что векторы cpj с компонентами фу
являются решениями системы (ЛО), получаем
п
4>'а= 2пш<?к> 0" = Ь2, ...,«; /=1,...,т),
откуда следует, что
m	n
2^ ^ y'j = 2 ttik Ук О' = 1,2,..., m),
1 = 1	ft=m+l
B.8)
Vi + 2(Pijy'j=: 2 а'кУк (i = m+l,...,n).
Так как det Фт т*= 0, то из первых m уравнений B.8) можно выразить
производные у) (/ = 1,..., т) через фи, aik и yfc (к = m + 1,...,. п)
и затем эти значения у} подставить в остальные формулы B.8). Мы
получим совокупность уравнений первого порядка, которым удов-
удовлетворяют функции у,- (' = т + 1, ..., п) вида
Yi= 2 Ь&Ук (i = m+l,...,n),	B.9)
к=т+\
т. е. линейную систему порядка п — т.
Рассуждая в обратном порядке, предположим, что ym+i, ..., у>п
[ipj имеет компоненты y(J- (г, / = т + 1, • - •, п) ] есть фундаменталь-
фундаментальная система решений на / для системы B.9). Пусть Wn-m — матрица

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ	85
с элементами щA, j = т + \, ..., п). Очевидно, что det Wn-m (t) =h
Ф 0 на /. Для каждого / = т + 1, ..., п пусть трц (г = 1,..., т)
определяются с помощью квадратур из уравнений
т	п
? а*Щр	B.10)
к=т+1
Пусть у)р (р = т + 1, ¦ • •, п) обозначает вектор с компонентами
y,ip (j = 1, ..., п) и пусть у)р = ер (р = 1, ..., т). Так как у>р, р =
= 1, ..., п, удовлетворяют системе B.9) и первым т уравнениям
B.8), то они должны также удовлетворять остальным п — т уравне-
уравнениям B.8), и поэтому у р (р = 1,..., п) являются решениями систе-
системы B.8). Таким образом, если У* — матрица со столбцами у>р
(р= \,...,п) и
то Ф есть матрица-решение (ЛО) на /. U — неособая матрица.
Так как det W = det Wn-m на /, то Ф есть неособая матрица на
/ и, следовательно, является фундаментальным решением для си-
системы (ЛО) на /.
Предыдущие результаты резюмированы в следующей теореме.
Теорема 2.5. Пусть д^,..., <рт (т < п) — т известных ли-
линейно независимых решений системы (ЛО), причем cpj (/ = 1,2,..., т)
имеют компоненты <pi} (г = 1, 2,..., п). Предположим, что опре-
определитель матрицы с элементами (pi}- (i, j = 1,..., т) на некотором
подинтервале I интервала I не обращается в нуль. Тогда с помощью
подстановки B.7) задачу определения п линейно независимых реше-
решений системы (ЛО) на I можно свести к решению системы B.9)
порядка п—т и к квадратурам B.10).
Избавимся теперь от ограничения, что матрица Фт неособая на
некотором интервале. Ясно, что прямоугольная матрица с элемен-
элементами щг (г = 1,.. -, п; / = 1, ..., т) имеет ранг т в силу независи-
независимости решений<pj (/= 1, ..., т).Таким образом, для каждого t = t0
существует неособая квадратная матрица порядка т, которую мы
получим, выбирая т строк ilt..., im из прямоугольной матрицы с п
строками и т столбцами. В силу непрерывности эта матрица не-
неособая на некотором интервале /.
Хорошо известно и легко доказывается, что существует такая
постоянная неособая матрица Т, применив которую к любому век-
вектору х с п компонентами, получим матрицу Тх, имеющую своими m
первыми компонентами компоненты вектора х с номерами ilt..., im-
Полагая х = Тх, мы заменим (ЛО) аналогичной системой, для
которой выполняется первоначальное ограничение. Так как
х = Т-1 х, то утверждение для х следует из доказанного уже
утверждения для х.

86	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3. НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Пусть А — неособая квадратная матрица порядка п из непрерыв-
непрерывных функций, определенных на действительном f-интервале / и Ъ —
непрерывный вектор на /, не равный тождественно нулю. Система
уравнений
х' = A(t) х + b(t) (t € /)	(ЛН)
называется линейной неоднородной системой порядка п. Если эле-
элементы Аи b непрерывны или даже измеримы и мажорируются сум-
суммируемой функцией на /, то существует единственное решение <р
системы (ЛН), для которого
где т€/и |f|<oo.B случае непрерывных функций утверждение
следует из рассуждений § 5 гл. I, а в случае суммируемых функций —
из решения задачи 1. Единственность решения следует также из
того, что если бы существовало два решения <plt <p2, то их разность
9 — 4>г — Фъ была бы решением однородной системы (ЛО) на 1 при
<р(т) = 0. Но, по теореме единственности для (ЛО), разность <р должна
равняться на / нулю тождественно и, следовательно, <рх = <р2-
Если известна фундаментальная матрица Ф системы (ЛО), то
легко найти решение системы (ЛН).
Теорема 3.1. Если Ф — фундаментальная матрица для системы
(ЛО), то функция
t
tff)_=ui()§0-Hs)b(s)ds (t&l)	C.1)
есть решение системы (ЛН), удовлетворяющее начальному условию
<р(т) = О (те/).
Доказательство получается непосредственно при по-
помощи прямой проверки.
Интуитивные соображения, с помощью которых можно получить
выражение C.1), заключаются в следующем: для каждого постоян-
постоянного вектора с функция Фс является решением системы (ЛО). Метод
состоит в том, что мы рассматриваем с как функцию, определенную
на /, и находим, какой должна быть с (если она существует), для того
чтобы функция <р = Фс была решением неоднородной системы (ЛН).
Пусть ф= Фс — решение системы (ЛН). Тогда
qf =ф' с-\-Фс' = АФс + Фс' = А<р +	р + ,
где последнее равенство следует из (ЛН). Поэтому Фс' = Ь, или

§ 4. СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	87
Последнее уравнение всегда разрешимо, причем если с(т) = 0, то
(tel).
Итак, <р определяется по формуле C.1) .
Легко видеть, что в условиях теоремы 3.1 решение системы
(ЛН), удовлетворяющее условию
V(r) = i (те/, |f|< °о),
дается в виде
(fe/),	(з.2)
где q>h(t) — решение системы (ЛО), удовлетворяющее условию
Формула C.1) [или C.2)] называется формулой вариации постоян-
постоянных для системы (ЛН).
Заметим, что формулу C.1) можно записать в виде
t
<рф = W*~\f) J W(s) b(s) ds (tel),
X
где W — фундаментальная матрица системы
х'=- A*(t)x,
сопряженной системе (ЛО). Другая форма записи формулы C.1)
такова:	,
однако здесь необходимо ограничение W*(t) Ф({) = Е.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пусть А—постоянная квадратная матрица порядка п и рассмот-
рассмотрим соответствующую однородную систему
х' = Ах.	D.1)
Если п — 1, то D.1) имеет очевидное решение etA, и решение, кото-
которое при t = т равно f, имеет вид e(t~r)A f. Оказывается, что решение
имеет эту форму и в том случае, когда х, f являются векторами
произвольной конечной размерности и А — квадратная матрица
порядка п.
Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы D.1) дается
формулой
ФЦ е'А (|*|<~),	D.2)

88
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и решение <р системы D.1), удовлетворяющее условию
ф) = ? (!т|<оо, |?|<оо),
имеет вид
<p(t) = eV-*A? (\t\<oa).
Доказательство. Так как е<'+2"И
определения производной легко получаем, что
D.3)
то
Поэтому <P(f) = е'А есть решение системы D.1). Так как Ф@) = Е,
то из A.8) следует, что det0(f) = е^А. Итак, Ф — фундаменталь-
фундаментальная матрица. Теперь формула D.3) очевидна.	t
Замечание. Заметим, что выражение ехр ( f A(s)ds\ не
т
обязано быть решением системы х' = A(t)x, если матрицы A(t) и
Г A(s) ds не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица [Аф
г
либо постоянная, либо диагональная.
Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы
D.2). Пусть J — каноническая форма матрицы А, указанная в тео-
теореме 1.1, и предположим, что Р — неособая постоянная матрица,
такая, что
AP = PJ.
Тогда
и J имеет вид
PetjP-i
D.4)
(J« 0 0 ... О \
оло.-.oi
О 0 0 ... Js)
где Jo — диагональная матрица с элементами
(Xq+I 1 0 ... О 0
| 0 Ял-f 1	О
, Л, и
О
Далее,
О О О ... Xq+i 1
V0 О О ... О
(eVo 0
О е'
О 0
О
0
D.6)
D7)
и легкое вычисление показывает, что
/ e"i 0 ... О
\0 0 ... е

§ 4. СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
89
Так как J,- = lq+iEn + Z,-, то е'л = е***+* etzK Таким образом,
1 ' 2!
011
С-/- 1)!
РЧ-2
О 0 0 ...
D.9)
где Jt — квадратная матрица порядка г,- (п = q + гх + • • • + rs).
Поэтому, если известна каноническая форма D.5), D.6) матрицы А,
то фундаментальная матрица etA системы D.1) дается в явном виде
формулой D.4), в которой матрица etJ может быть вычислена из
D.7), D.8) и D.9).
Другая фундаментальная матрица системы D.1) такова :
W{t) = ёАР = Pe'J.	D.10)
Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы pv ..., рп.
Столбцы матрицы W, которые мы обозначим через y>lt..., чрп, образуют
совокупность п линейно независимых решений системы D.1) и из
D.10) и вида матрицы J получаем
= ^P9,
^ZTiyl РЯ+I +¦ ¦ •
Так как ЛР = PJ, то векторы pv
шениям
¦ • • + fPn-l + Pn) •
рп удовлетворяют соотно-
соотноРя+П-Х +

90	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
APn-r,+2 = Pn-r,+ l + ^q+sPn-r,+2}
АРп — Pn-i + K+s Pn •
Решения ipj выражаются посредством независимых векторов рь
Ръ ..., р„ из предыдущей последовательности уравнений. (Другой
вывод см. в задаче 13.)
Формула вариации постоянных C.1) в применении к неод-
неоднородной системе
x' = Ax + b(t) (tel),	D.11)
где А — постоянная матрица, дает для решения <р системы D.11),
удовлетворяющего условию <р(т) = 0, т € /, выражение
t	t
9>(f) = etA J e~sA b(s) ds = J eV-*Ab(s) ds (/€/).
т	г
Решение tp системы D.11), удовлетворяющее условию дэ(т) = f»
где т е /, | f | < оо, имеет вид
J
(f e 0.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим линейную однородную систему
X'=A(t)X	(-cx><f<oo),	E.1)
где А —матрица, элементами которой служат непрерывные ком-
комплексные функции, и
A{t + m)A{t)	E.2)
для некоторой постоянной а ¦+• 0. В этом случае E.1) называется,
периодической системой и ю — периодом А. Основной результат
для таких систем состоит в том, что фундаментальную матрицу
можно представить как произведение периодической матрицы с тем
же периодом ю и матрицы-решения для системы с постоянными
коэффициентами.
Теорема 5.1. Если Ф — фундаментальная матрица для системы
E.1), то тем же свойством обладает матрица
ФЦ + (О)	(— оо < t < оо) .
Каждой такой матрице Ф соответствуют периодическая неособая
матрица Р с периодом со и постоянная матрица /?, такие, что
Щ{) — P(t) • с'*:	E.3)

§ 5. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	91
Доказательство. Так как
Ф'@ = A(t) Фф (- оо < t < оо),
то в силу E.2)
со)= A(t + со) ФЦ + со) = A(t) У@ (- оо < t < оо).
Поэтому У7 есть матрица-решение системы E.1), и эта матрица фун-
фундаментальная, так как det ^(t) = det Ф(< + со) Ф О для — со <
<f<°°.
Следовательно, существует постоянная неособая матрица С,
такая, что
ФЦ + ) ФA)С	E.4)
и, сверх этого, как показано в § 1, существует постоянная матрица R,
такая, что
С = ГД.	E.5)
Из E.4) и E.5) получаем
фA + со) = ФA[)еах.	E.6)
Определим матрицу Р по формуле
P(t) = 0(t)e-t«.	E.7)
Тогда, используя E.6), получаем
P(t + со) = Ф(* + со) c-('+°')R = Ф@ ею/? е-('+«)« = ФЦ) e-tR = P(t).
Так как матрицы Ф(г) и e~tR для — со < f < оо неособые, то P(t)
такая же, и это завершает доказательство.
Значение теоремы 5.1 состоит в том, что знание фундаментальной
матрицы Ф на интервале длины со, например 0 <; t <, со, дает воз-
возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле,
матрица С в E.5) определяется как Ф~1(О)Ф(ю), а отсюда R опреде-
определяется как (In С)/со. Теперь матрица PQ) определена на интервале
(О, со) по формуле E.7), а так как P(t) имеет период со, то она определя-
определяется на интервале (— со, оо). Теперь матрица Ф определена на
интервале (— со, оо) по формуле E.3).
Если Фх — некоторая другая фундаментальная матрица системы
E.1), для которой выполняется E.2), то
Ф = ФХТ,
где Т — некоторая постоянная неособая матрица. Из E\б) следует,
что
или
&i(t +"<») = Фх@ (Те* Т-1).	E.8)
Таким образом, в силу E.8) каждая фундаментальная матрица Фг
определяет матрицу femRT~\ лодобную матрице е"'я. Наоборот,
если Т — любая постоянная неособая матрица, то существует

92
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
фундаментальная матрица Фг системы E.1), такая, что выполняется
E.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество
всех фундаментальных матриц системы E.1), а следовательно,
матрица А, определяет однозначно все связанные с R величины,
инвариантные относительно подобных преобразований. В частности,
множество всех фундаментальных матриц системы E.1) определяет
однозначно множество характеристических корней, а именно харак-
характеристические корни матрицы С = С*. Обозначим эти корни через
Лг,..., Хп и назовем их мультипликаторами, соответствующими
матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо
JJ li = det ewR 4= О. Характеристические корни матрицы R назы-
называются характеристическими показателями.
Интересно выяснить явный вид множества п линейно независи-
независимых векторов-решений системы E.1). Пусть Г —постоянная неосо-
неособая матрица, такая, что матрица Г RT — J имеет каноническую
форму, указанную в теореме 1.1, и положим Фг = ФТ, Рг = РТ.
Тогда из E.3) следует
Pi(t+a>)=Pi®.
E-9)
Поэтому, если gj — характеристические корни R, то матрица etJ
имеет вид
/Л/.	О	...04
\0	О	... е'Л/
где
V	О	... О
I 0	е*е>	. . . О
1
О
! = рЩ+t
t ..
1 ..
О ..
(г, - 1) !
tU-2
Очевидно, что А,- = еыв\ и поэтому, хотя сами корни g,- определя-
определяются не однозначно, но их действительные части определяются одно-
однозначно. Из E.9) следует, что столбцы <рг, .. .,фп матрицы Фг, кото-
которые образуют множество п линейно независимых решений системы
E.1), имеют вид:

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П	93
«WQ =
В зтих формулах рг, ..., pn — периодические векторы-столбцы мат-
матрицы Рг.
Из E.IO) очевидно, что если Re qi < 0 или, что эквивалентно,
I к | < 1, то при t -> оо решения (pt(f) экспоненциально убывают.
Из E.6) следует, что Ф(а) = Ф(О)ею/?, и поэтому Я,- можно рас-
рассматривать как характеристические корни матрицы Ф~1@)Ф(а).
В частности, если Ф(О) = Е, то emR = Ф{а) и к являются харак-
характеристическими корнями матрицы Ф(ю). Так как
detФ(со) = ^k,...ki = exp [ spA(s)ds,	E.11)
6
то «-й корень можно определить из E.11), если известны п—1
корней к-
Действительная неособая матрица С не обязана иметь действи-
действительный логарифм, т. е. не всегда существует действительная мат-
матрица В, такая, что ев = С. В самом деле, матрица с одной строкой
и одним столбцом С = —1 доставляет соответствующий пример.
Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы
С существует действительная матрица В, такая, что С2 = ев;
см. задачу 40.
Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно полу-
получить следующий результат: если е системе E.1) матрица A (t)
действительная периодическая с периодом со, то каждой действи-
действительной фундаментальной матрице Ф соответствуют действи-
действительная матрица Р периода 2т и действительная постоянная мат-
матрица R, такие, что
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П
Предположим, что п + 1 коэффициентова0, aly...,anпредставля-
aly...,anпредставляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на
действительном /-интервале /, и пусть Ln обозначает формальный
дифференциальный оператор
dr-

94
ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
это означает, что если функция g имеет п производных на /, то
Далее, предположим, что ao(t) ч= О для / е /. Тогда, по определению,
уравнение
Lnx = 0 (tel)
[ в подробной записи ao(t)x(") + а^)*'"-1) + • • • + ап(фс = О (t e /)}
есть дифференциальное уравнение
оно называется линейным однородным дифференциальным уравне-
уравнением порядка п. Соответствующая этому уравнению система (см.
§ 6 гл. I) есть векторное уравнение
у' — A(f\ у	(p. iv
где
0 1	0	0 ... (П
оо 1 о ... о
о
«о
0
Of,
о
fl/1-2
о
Ол_з
1
«о
F.2)
Так как F.1) —¦ линейная система с непрерывной на / матрицей
коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение ф
на / системы F.1), удовлетворяющий условию
где т е I, | f | < оо. Таким образом, ^2 — первая компонента
ф — удовлетворяет условиям
n.(r) = fi, %(т) = f«,..., ^"-'Чг) = in.	F.3)
Так как q>x — решение уравнения Lnx = 0, то это решение удовлет-
удовлетворяет условиям F.3).
Применим теперь остальные результаты, полученные ранее для
линейных систем, к уравнению Lnx = 0.
Если {рг, .. .,(рп — п решений уравнения Lnx = 0, то матрица
(Ч>\
<Рп
Ф =
F.4)
¦п—1) I
есть матрица-решение для F.1). Определитель этой матрицы назы-
называется вронскианом уравнения Lnx = 0, соответствующим реше-
решениям q>1}..., фП, и обозначается через W(q>lt..., q>n). При фиксиро-

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П	95
ванных <р1г..., <рп он является функцией t на / и его значение в точке
t обозначается через W(q>1}..., q>n)(f). Из того, что для линейной
системы вида F.1)
det Ф@ = det Ф(т) exp J sp A(s) ds (tel),
т
следует [замечая из F.2), что sp А = —
(tel). F.5)
Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие того, что-
чтобы п решений q>v..., q>n уравнения LnX — 0 на интервале I были
линейно независимы, заключается в том, что
Щ<Рг, ... ,<рп)ФО (t?I).
Каждое решение уравнения Ln х = 0 есть линейная комбинация
с комплексными коэффициентами любых п линейно независимых
решений.
Доказательство. Если решения фг,..., <рп на / линейно
зависимы, то существуют постоянные с1г..., сп, не все равные
нулю, такие, что
Отсюда следует тождество
и поэтому векторы <р с компонентами- <pt, <p'h ..., у'") (i = 1,
2, ..., п) линейно зависимы на /. Наоборот, если векторы ?,- линейно
зависимы, то тем же свойством обладают решения <р1( ..., <рп урав-
уравнения Lnx = 0. Из теоремы 2.2 следует, что необходимое и достаточ-
достаточное условие линейной независимости векторов ф1?..., фп заклю-
заключается в том, что det Ф(() Ф 0 на /, где Ф —матрица F.4). Но это
требование в точности совпадает с условием: W(<pv ..., <pn) (t) Ф О
на /. В силу F.5), если Wfa, ..., q>r)(r)=hO для некоторого
т е /, то U%1;..., <pn)(f)-f=O для любого / е /.
Так как каждый вектор-решение задачи FЛ), F.2) есть линейная
комбинация п линейно независимых векторов-решений, то каждое
решение уравнения Lnx = 0 есть линейная комбинация п линейно
независимых решений этого уравнения. Это доказывает теорему.
Ввиду свойства, указанного в теореме 6.1, множество п линейно
независимых решений уравнения Lnx = 0 называется базисом
или фундаментальным множеством для уравнения Lnx = 0.

96	ГЛ. HI. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теорема 6.2. Пусть <рг,..., <рп — п функций, имеющих на ин-
интервале! непрерывные производные порядка п, и пусть W (<р»...,фп)(()Ф
Ф 0 на I. Тогда существует единственное однородное диффе-
дифференциальное уравнение порядка п (с коэффициентом при хС"), рав-
равным единице), для которого эти функции образуют фундаменталь-
фундаментальное множество, а именно:
Замечание. Вронскиан W{x, <рг, ..., <р„) представляет собой
определитель матрицы, первая строка которой состоит из элементов
х,срг,..., <рп, а последующие строки являются последовательными
производными первой строки до порядка п включительно.
Доказательство теоремы 6.2. -Очевидно, что W{qn,
<рг,..., <рп) — 0 (i = 1,..., л), ибо в этом определителе имеются два
одинаковых столбца. Разложение числителя W(x, <рг, ..., <р^) левой
части уравнения F.6) по элементам первого столбца показывает, что
F.6) есть дифференциальное уравнение порядка п. Коэффициент при
х(") в W(x, 9=1, • • •, q>n) равен (—\)пУ/(срг,..., <р„), т. е.в F.6) коэффи-
коэффициент при х(") равен единице. Так как Wfa, ¦ ¦ ¦, фп) 4= 0, то из тео-
теоремы F.1) следует, что <рх,..., <р„ образуют для F.6) фундаменталь-
фундаментальное множество.
Единственность уравнения F.6) следует из того, что соответ-
соответствующие векторы ф{ с компонентами <ри q>h ..., q>\"~1'> определяют
матрицу коэффициентов F.2), соответствующую системе F.1), одно-
однозначно. Так как имеется взаимно однозначное соответствие между
линейными уравнениями порядка п и линейными системами вида
F.1), F.2), то доказательство завершено.
Если одно или более из решений уравнения Lnx = 0 известно, то
использование соответствующей системы F.1) позволяет понизить
порядок уравнения. Более прямо достигает цели следующий про-
процесс, который является методом вариации постоянных примени-
применительно к уравнению Lnx = 0. Пусть Lnyx = О и положим х = у<рг.
Тогда уравнение Lnx = О является для у линейным дифференциаль-
дифференциальным уравнением порядка п, которое имеет решение у = 1, ибо 9i
есть решение уравнения Lnx = 0. Поэтому в новом уравнении коэф-
коэффициент при у должен обращаться в нуль. Рассматривая это урав-
уравнение относительно переменной и = у', получим уравнение (п — 1)-го
порядка. Если д>2 не зависит от <рг и Ln(p2 = 0, то (9y<Pi)' есТь
решение уравнения (п — 1)-го порядка для и, которое может быть
аналогично сведено к уравнению (п — 2)-го порядка, и. т. д.
Сопряженные уравнения. С формальным оператором Ln тесно
связан другой линейный оператор L% порядка п, называемый
сопряженным для Ln и определяемый следующим образом :
(«о •) + (-l)-

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П	97
Иначе говоря, если g — функция на /, для которой произведение
akg (к = 0, 1, ..., п) имеет п — к производных на /, то
Ltg = (-1)" (^)(n) + (- О"'1 (ад)*1-* +-..+ang.
Уравнение
L+x = 0 (tel)
[в подробной записи
(- О" (Оо@^)(п +,(- I)" (OiW1' + • ¦ • + fln@ x = 0],
назьшаемое сопряженным для Lnx = 0 на /, определяется как
задача отыскания функции <р (решения), на /, такой, что произведе-
произведение ак <р (к = О, 1, ..., п) имеет п — к производных на /, и удовле-
удовлетворяющей на / уравнению
(- 1)" (яо9?)(п> + (-1)"-1 (flrff"-» + • • • + ап<р = 0.
Если ак 6 Сп~к на / Hip — решение уравнения L%x = 0, имею-
имеющее п производных на /, то, используя правило дифференцирования
произведения, получаем
разделив на (—1)(">оо, видим, что <р есть решение дифференциального
уравнения порядка п рассмотренного выше типа.
Рассмотрим тот специальный случай оператора Ln, когда а0 = 1.
Для системы F.1), F.2), ассоциированной с уравнением
Lnx = х<»> + с^"-1) + ... + апх = 0,	F.7)
сопряженная система имеет вид
x' = -A*(t)x (tel),	F.8)
где в силу- F.2)
О 0 ... о ап \
-1 0 ... О an
-А*= °-) ;;• ° ^ .	F.9)
	 О аг
[о О ... -1 ау
Записывая F.8) в компонентах, получаем в силу F.9)
v' — п v	v' — 	 v. _I_ /г	v llr	 О	и\	/fi 1 Г\\
ЛХ 	 иПЛП » -^Л 		лл — 1 | I* п — л . 1 ЛП \lv 	 ^> «. • t I *) .	V	/
Таким образом, если (р1( ..., <р„ — решение системы F.10), для кото-
которого ткк) и
существуют, то, дифференцируя к-е равенство F.10) к—1 раз'и
решая относительно qffl, получаем
9>(пп) +(ai <РпУ"~» + • •. + (-1)" (йп <рп) = 0.
7 182.

98	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поэтому фп удовлетворяет уравнению
= (—!)" х<"> + (— I)"-1 (о^"-1) + ... +а„х = 0,
которое является сопряженным к F.7).
Важность оператора L$ обусловливается интересным соотноше-
соотношением, связывающим Ln и L? и совершенно необходимым при
изучении краевых задач (см. гл. VII—XII).
Теорема 6.3 (Тождество Лагранжа). Предположим, что в Ln
Скна I (к = -0, 1,..., п). Если u,v — произвольные (комплекс-
(комплексные) функции на I, имеющие п производных, то
vLnu - uL+v = [uv]' (' = !),	F.11)
где [uv] — форма относительно величин (и, и',..., цс-1)) и (у, v',...,
vC-1)), задаваемая равенством
[UV\ =2 2 (~ У*» (On-mVp*.	F.12)
l jk	l
m—l
Доказательство. Пользуясь правилом дифференциро-
дифференцирования произведения,- имеем для т — 0, 1,'..., п
Таким образом, получаем
п	п
vLnu = v 2 ап-ти№ + vanu = 2 (an-mv) u^ + vanu =--
= 2 (— ])m(fln-nVY ) и + vanu +
2 2 (-\У*кЧап-п$р\ ,
m=l j+k = m—l	J
+
m=l /+^
0, fc>0
что доказывает формулу F.11).
Следствие (Формула Грина). Если ак в Ln и u,v такие же, как и
в теореме 6.3, то для любых tl7 t^€ I
J (vLnu - uL+v) dt = [uv] (Q - [uv] &),	F.13)
где [и, v](ti) — значение [uv] при t= U.
• Доказательство. Следует проинтегрировать тождество
F.11) в пределах от tt до 1г.
Если гр — известное решение уравнения L%x = 0 на /, то в силу
F.11) отыскание решения уравнения Lnx = 0 сводится к отысканию

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА п .	99
функции <р, удовлетворяющей следующему уравнению (я — 1)-го
порядка
2 2 (-l)W\an-mW= const.
l j+k	l
Неоднородное линейное уравнение порядка п. Предположим,
что на действительном /-интервале / а0 4= О, alt..., а„ и b — непре-
непрерывные функции, и рассмотрим уравнение
Lnx = flo@ х*> + Cl@ x<»-i) + ... + fin(f)x = Ь@ (* e /),
которое совпадает с уравнением
(„) ,
«„(О	-г • • • -г flo(o - flo(o •
Это уравнение [в случае b(t) •+• 0 ] называется неоднородным линей-
линейным уравнением порядка п. Соответствующая этому уравнению
система (см. § 6 гл. I) имеет вид
x' = A(Qx + ft(Q (tel),	F.14)
где А — матрица F.2) и b — вектор-столбец со всеми нулевыми
элементами, кроме последнего, который равен Ь/я0. Таким образом,
соответствующая уравнению Lnx = b(t) система F.14) есть линейная
неоднородная система ; существование и единственность решения
для системы F.14) обеспечивает, как обычно, существование и
единственность решения для уравнения Ln(x) == b(t).
Представляет интерес определить явный вид, который принимает
формула вариации постоянных C.2) для специального случая
системы F.14). Интересна только первая компонента гр = грг век-
вектора-решения у системы F.14), так как эта компонента есть решение
уравнения Lnx = b(t).
Теорема 6.4. Если срг,..., <fn — фундаментальное множество
для однородного уравнения
Lnx = х<"> + й^о-1) + ... + апх = 0 (акеСна1),
то решение у неоднородного уравнения
Lnx = b(t) (ЬеСна1),
удовлетворяющее условию
#т) = | (те/,|/к «о,
имеет вид
где fij(t) — решение уравнения Lnx = 0, для которого <ph{ i) = ?,
7*

100	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и Wu{<pv ¦¦-, q>n) — определитель, получаемый из W(<plt..., срл) в
результате замены к-го столбца на @,..., 0, 1).
Доказательство. В силу C.1) первая компонента чр — щ
вектора-решения гр системы F.14), для которого гр(т) = 0, имеет вид
где yln(t, s) — элемент, находящийся на пересечении первой строки
и «-го столбца матрицы Ффф-1^). Напомним, что на пересечении
i-й строки и /-го столбца матрицы Ф(/) стоит элемент <р9~1}@ и что
det Ф@ = W(q>lt..., q>n)(t). Далее, на пересечении i-й строки и
«-го столбца матрицы Ф~г стоит элемент
где фт —¦ алгебраическое дополнение элемента ф,"-1* в Ф. Поэтому
п
Щ<Р1, ¦¦¦ ,<Рп) («) YiniU S)=.2 <Ркф V/kD>!, . . . , <Pn) (S) ,
kl
k=l
где Wk((p!,..., <pn)(s) определен в формулировке теоремы. Таким
образом, решение гр уравнения Lnx — b(t), удовлетворяющее условию
$(т) = 0, имеет вид
и очевидно, что F.15) дает решение, удовлетворяющее условию
?>(т) = ?, если щ{г) = ?.
Линейное уравнение порядка п с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим тот случай, когда в Ln все коэффициенты
а0 = 1, аг,..., а„ — постоянные. В этом случае можно предполагать,
что / есть вся числовая ось. Далее, уравнению
Lnx = х<"> + ахх^~ч + ... + апх = 0	F.16)
соответствует система
х' = Ах,	F.17)
где А — постоянная матрица
А =
0
0
О
ап
1
О
О
—Оп-1
О ...
1 ...
О ...
—Оп_з . . .
0
0
1
	Q
F.18)
Можно предполагать, что для F.16) можно указать фундаментальное
множество решений, и точный вид этих функций зависит от харак-
характеристического многочлена /(Я) = det (Я ? — А) постоянной ма-
матрицы А в F.18).

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П
101
Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в F.18)
имеет вид
/(Я) = Я« + п1 Я"-1 + ... + ап.	F.19)
Заметим, что /(А) может быть получено из Ln(x) формальной
заменой x<fc) на Кк.
Доказательство проводится по индукции. Для п = 1
А — — йх ; значит det (Я Ег — А) = Я -f аг и, следовательно, F.19)
верно для п — 1. Предположим, что результат справедлив для п — 1.
Разложим определитель
det (Я?п — А) =
-1	О
л -1
о
о
о о
о
Л —1
по элементам первого столбца и заметим, что коэффициент при Я есть
определитель (п — 1)-го порядка, именно det (Я Еп-г — -Ах), где
О
о
О
1
о о
—Ол-1 —Ол_2
—аЛ
Поэтому A det (А Е^ — Ах) = X" + ах А"-1 + ... + ап-г Я. Един-
Единственный другой ненулевой элемент в первом столбце есть ап и его
алгебраическое дополнение равно 1. Поэтому det(A?n — А) =
= Хп + % Я"-1 + • • • + оп_! Я + ап, что и требовалось доказать.
Теорема 6.5. Пусть 2.v..., 2.s
ческого уравнения
/(Я) = Я« + М"-
различные корни характеристи-
характеристи+ ... + On = О
и пусть кратность корня Я,- равна ш, (/ = 1, ..., s). Тогда фунда-
фундаментальное множество для F.16) дается п функциями
Доказательство может быть основано на соответствую-
соответствующем результате для линейных систем с постоянными коэффициентами.
Однако мы дадим здесь прямое доказательство, которое основано
на том факте, что если число Я,- есть корень уравнения /(Я) = О
кратности т,-, то оно является также корнем для уравнений /'(Я) =
= 0, ..., /(т<-1)(Я) = 0. Легко видеть, что

102	ГЛ. III.' ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и вообще
Отсюда следует, что для каждого фиксированного i
= О (fc = o, 1, ...,ш,-1).
Тем самым доказано, что функции F.20) являются решениями
уравнения Lnx = О'.
Предположим, что функции F.20) не являются линейно независи-
независимыми. Тогда существуют постоянные с,-*, не равные все нулю, такие,
что
S 1Щ—1
i=l к=о
ИЛИ
где Pi(t) — многочлены и о ^ s выбрано так, что Ра Ф 0, в то время
как Po+i(t) = 0, i ^> 1. Разделим предыдущее уравнение на еп± и
продифференцируем достаточно много раз, ¦ так чтобы многочлен
Рх@ обратился в нуль. Заметим, что степень и свойство быть не-
неравными тождественно нулю у многочленов, стоящих множителями
при &**-*&, i>l, сохраняются при этой операции. Поэтому мы
получаем
где Qt(t) имеет ту же степень, что и Pt(t), для i ^ 2. Продолжая этот
процесс, мы получаем многочлен F(t) степени, равной степени Pa(t), и
такой, что F(t) = 0 для всех t. Это невозможно, ибо многочлен может
обращаться в нуль лишь в изолированных точках. Поэтому решения
линейно независимы.
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С АНАЛИТИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Предположим, что А — квадратная матрица порядка п и b —
п-мерный вектор, определенные и аналитические в односвязной
области D 2-плоскости, и пусть г0 е D. Используя метод последова-
последовательных приближений, нетрудно показать, что линейная система
iv'= A(z)w+b(z)	G.1)
при условии
ф(го) = а> (|й)|<оо)
имеет в D единственное аналитическое решение ф.

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ	103
В самом деле, пусть zx e D и пусть С — дуга длины L, лежащая
в D, соединяющая точки z0 и zx и имеющая непрерывно вращающуюся
касательную. Обозначим через s длину дуги вдоль С, начиная от
точки г0. Выберем постоянную К настолько большой, чтобы было
| A(z) |< К и | b(z) |< К для z e С. Пусть фо(г) = а и
причем интеграл берется вдоль С, так что приближения фп опреде-
определены на С. Нетрудно получить оценки
\Фг- Фо\^К(Щ+ \)8<^КЦ\ы\ + 1), ...,
Очевидно, эти оценки справедливы для всех точек z в D, дости-
достижимых из z0 дугой длины L, на которой | A(z) | и | b(z) | ограни-
ограничены постоянной К- Отсюда следует, что эти оценки справедливы
в каждом фиксированном замкнутом множестве R, содержащемся
в D. Так как каждая функция фп аналитична в R, то из равномерной
сходимости фп следует, что предельная функция ф также аналитична
в /?. Далее,
г	г
ф{г) - « + f А(С)Ф(С)йС + J
Это доказывает утверждение для /? и, следовательно, для D.
Кроме того, все теоремы, доказанные в §§ 2 и 3, будучи существен-
существенно алгебраической природы, справедливы для системы G.1).
Соответственно этому, если п + 1 функций av ..., ап, Ъ анали-
тичны в D, то линейное уравнение порядка п
иХ"> + fli(?) и*"-1) + • • • + an(z) w = b(z)	G.2)
имеет в D единственное аналитическое решение, удовлетворяющее
условиям
w(z0) = т1, 1^(г0) = «2, ... , нА" -^(Zo) = соп,
где шх, а>2,. -., ип — п данных комплексных чисел. Наконец, все
результаты § б распространяются очевидным образом на случай G.2).
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Если коэффициенты линейной системы дифференциальных урав-
уравнений при t-> оо стремятся к постоянным, то иногда возможно оха-
охарактеризовать поведение решений. В аналитическом случае эта про-
проблема разбирается в §§ 4 и 5 гл. V.

104	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Здесь рассматривается проблема для действительного перемен-
переменного. Простые случаи разбираются в задачах 29 и 35, помешенных в
конце этой главы. Рассмотрим вначале пример
где v— действительная дифференцируемая функция, для которой
Mm v(t) = 0, г — интегрируемая функция и
для некоторого /0. [На самом деле достаточно, чтобы функция v
имела в интервале \t0, оо) ограниченную вариацию. ] Без ограни-
ограничения общности можно в дальнейшем предполагать, что t0 = 0.
Из доказанной ниже теоремы следует, что рассматриваемое уравнение
имеет два решения ср и %р, такие, что
t
О
при t^y оо, а у> имеет аналогичное поведение с заменой i на —i.
Этот результат показывает, что функция г нисколько не влияет
на грубую асимптотику. Однако случай
убеждает нас в том, что влияние v существенно. Эти асимптотические
формулы показывают также, что если положить в уравнении
функцию r(t) равной нулю, а 1 + КО — постоянной, то результат
будет отличаться от точного только членом оA) при /->- оо.
В дальнейшем будет рассматриваться линейная система
,	(8.1)
которая включает как частный случай предыдущий пример.
Теорема 8.1. Пусть А — постоянная матрица с различными
характеристическими корнями /j.j, /== 1, ..., п. Пусть матрица
V дифференцируема и удовлетворяет условию
<~	(8.2)
о
и пусть V(f)^O при /-»- оо. Пусть матрица R интегрируема и
<oo.	(8.3)

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ	105
Обозначим корни уравнения det (A + V(f) — Л?) = 0 через Д)
/ = 1,..., п. Очевидно, что можно, если это необходимо, переставить
lij так, чтобы lim A,(f) = щ. Для данного к положим
Допустим, что все /, 1 <, j <, п, попадают в один из двух классов 1г
и /2. где
t
/e/i, если I Dkj(t)dr-+ <х> при f-voo
о
и	<>
J Dkj(r)dr> -К (t^h^O),	(8.4)
и
и
/ е /2, если J DkJ(r) d т < К (f2 >. k > 0);	(8.5)
/с фиксировано и К — постоянная. Пусть ри — характери-
характеристический вектор А, соответствующий м, так что
Apk = ixkfpk.	(8.6)
Тогда существуют решение <рк системы (8.1) и число t0, 0 <;*0< °°>
такие, что
t
lim <pk(t) exp f- f 4(т) d rl = pk.	(8.7)
Доказательство. Если условия теоремы выполняются
для всех к, 1 <; к < п, иФ —матрица со столбцами <ръ	, q>n,
то Ф — фундаментальная матрица, так как det <P(f) Ф 0 для боль-
больших /, ибо рк линейно независимы.
Предположим вначале, что А + V(f) для t^>t0 имеет диаго-
диагональный вид A(t) причем /0 выбрано так, что
!dr<i-.	(8.8)
Пусть W(t) — диагональная матрица :
так что
W(t) = AW.	(8.9)
Пусть ек — вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, за исклю-

106	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
чением к-го, который равен 1, и щ—вектор, определенный равен*
ством
t
ЫО = ^@ ек = ехр [ J 4(s) ds\ ek.
При фиксированном к и Iv /2, определенных согласно неравен-
неравенствам (8.4), (8.5), положим
w = wt + w2,
где диагональные "матрицы Wx и *Р2 содержат элементы W, соответ-
соответствующие столбцам с индексами /, принадлежащими соответственно
1Х и /2. Тогда
V' AV (/=1,2).	(8.10)
Рассмотрим теперь уравнение
t
«КО = ЫО + J ^i@ У-Чт) /?(т) 9>(т) d т -
- J W2(t)W~\r)R(r)ф)dr. (8.11)
Можно непосредственно проверить, что если уравнение (8Л1)
имеет решение <р, то
(8.12)
Последнее уравнение имеет рассматриваемый нами вид (8.1).
Пусть ^о@ = 0 и
r) dr. (8.13)
Тогда ^@ = y>k(t) и для / ^> /0
«
\4>4f) — qf>(t)\ = ехр Г Г 4(s)ds\ I .	(8.14)
L J	J I
«0
Каждый элемент диагональной матрицы W^W-1^) имеет вид
МО = ехр [ j A/(s) ds] (I e /x)

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ	107
или равен нулю. Но для t0 <; т < t
t	t
j h,(t)\ = exp [ - j DM(s) ds] exp [ j Re 4(s) ds] <
T	T
t
^e*exp[ J Re4(s)ds].
г
Поэтому для to<r<t
t
I iF^Q У-Нт) /?(r) | ^ ^ |/?(r) I exp [ J Re Ms) ds] •
т
Точно так же для т > t получим
| У2@ ?-Ht)R(t)\ ^ ^|/?(r)| exp [-
Используя эти неравенства, получаем из (8.13)
«
|^+Ч0 - ^'@1 exp [- j Re his) ds] <?
t	CO	I
< eK [ J + J') |ВД| |у/(т) - ^-'(t)I exp [- J Re 4(s) ds] d т.
Из (8.8) и (8.14) теперь по индукции следует
Отсюда следует равномерная сходимость последовательности {q/\
на каждом конечном подинтервале интервала [/о,00)- Так как ср1
непрерывно, то предельная функция <р также непрерывна и, оче-
очевидно,
19*01 < 2 exp [ J Re 4(s) ds].	(8.15)
to
Покажем теперь, что
Jim {y(t) exp [ - j4(s) ds] ~ e^ = 0.	(8.16)
to
Это будет установлено, если мы покажем, что при f-> со
exp [— [ Re h(s) ds] j W^f) V-1 (r) R(r) <p(r) d r -> 0	(8.17)

108	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ехр [- j Re h(s) ds] J W2(t) W~^{r) R(r) <p(r) dx^ 0. (8.18)
to	t
Доказательство соотношения (8.18) срагу получается из (8.15) и
(8.5). Доказательство соотношения (8.17) основывается на равенстве
t
lim | ФХ(Щ ехр [- J Re h(s)ds} = 0,	(8.19)
to
которое является следствием (8.4). Каково бы ни было е > О,
можно подобрать такое tv что
Поэтому, обозначая левую часть (8.17) через J(t), получаем
t	и
\М\ ^ е + ехр [ - J Re4(s) ds] ^(Ql J>~\r) Щ <p{r)\dr.
to	К
Из (8.19) следует, что
lim sup |У@| < e.
Так как е произвольно, то (8.17) доказано. Таким образом, теорема
доказана для случая А + V(t) — A(f), если за <р взята <ри-
Доказательство теоремы 8.1 вытекает из следующей леммы.
Лемма. Пусть А и V удовлетворяют условиям теоремы 8.1.
Тогда существует матрица S(f), которая при f-*°o стремится к
постоянной неособой матрице Т, такая, что
S(A +V) = AS,	(8.20)
где A(t) — диагональная матрица с диагональными элементами
2.j(f), /= 1,2,..., п. При t-^>oo Xj(f)->/j.j, где щ—характеристи-
щ—характеристические корни матрицы А. Кроме того, для некоторого t0
со
f|S'(Qldf<~.	(8.21)
и
Доказательство леммы мы дадим после доказательства теоремы 8.1.
Доказательство теоремы 8.1. Так как S(t)-^- T при
f-»- оо и Т — неособая матрица, то S(t) — неособая матрица для всех
достаточно больших t. Выберем t0 настолько большим, чтобы не
только (8.21) выполнялось, но и S-^t) существовала для t ;> f0.
Тогда, полагая в (8.1) у = S(t)x, получаем
(8.22)

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ	109
Пусть # = SRS-1 + S'S'1. Тогда из (8.3) и (8.21) следует, что
норма | R | интегрируема. Таким образом, данное выше доказатель-
доказательство теоремы 8.1 для специального случая годится для уравнения
(8.22), так что (8.22) имеет решение вк, для которого
Iim 6k(t) exp [— J\(s);ds] = ek.
'*	и
Поэтому (8.1) имеет решение S~4k = <р ¦ Так как S^)-^ Т~г при
f-»- оо, ТО	к
exp [— j 4(s) ds ] ->¦ рк (t
где рк — к-й столбец Т~г. Так как AT'1 = r-M(co), то Лр& =
= i«kPt- Это завершает доказательство теоремы 8.1.
Доказательство леммы. Существует постоянная ма-
матрица Т, такая, что
ТАТ-1 = В,
где В — диагональная матрица с диагональными элементами [л,.
Пусть S = ST. Тогда
S(A + V) S-1 = ST(A + VQT-iS-1 =
= S(B + TVT-1) S-i = S(B + V) S-1 = Л,
где V — TVT-1. Так как элементы матрицы V представляют собой
линейные комбинации (с постоянным^ коэффициентами) из зле-
ментов матрицы V, то
и
И V(oo) = 0.
Рассмотрим матрицу
Af(A,O= B+V(t) — IE.
Тогда уравнение det M(X, 0 = 0 имеет своими корнями A;(f), при-
причем Aj(oo) = [ij. Обозначим через Cft(A, t) алгебраические допол-
дополнения элементов mik(X, t) матрицы М(Л, t). Положим
(8.23)
IJ <J*) — I4)
;=»
причем штрих обозначает, что пропущен член с / = i. Так как
С(Л@> 0 пРи f->°° стремится к алгебраическому дополнению

ПО	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
элемента матрицы (В — щ Е), стоящего на пересечении к-й строки
и г-го столбца, то
Обозначим матрицу с элементами slk@ через S(t). Тогда, очевидно,
S(oo) = Е.
Далее, для к = 1,..., п
2 Ch{4t), О [bjk + ijS) - 4№к] = 0.	(8.24)
Для i Ф к это верно, так как определитель с двумя одинаковыми
столбцами равен нулю. Для i = к это верно, так как Л@ есть
характеристический корень матрицы В + V~ (и, следовательно,
также матрицы А + V).
Поэтому из (8.23) и (8.24) следует, что
S(B+ V) = AS.
Так как S(co) = Е, то S существует для больших t и
S(B+
Наконец,
со
^^)\dt<^.	(8.25)
Это следует из того, что s# являются линейными однородными ком-
комбинациями элементов vik и Xt. Элементы vik абсолютно интегриру-
интегрируемы. Таким образом, остается только показать, что элементы tit
абсолютно интегрируемы. Пусть F{1, t) = det М(Л, t). Тогда, так как
F(A,@,0-O, то
д? (МО, t)W) + |f (Щ, 0 = 0.
Так как характеристические корни матрицы В различны, то про-
производные FF/6A) (k(t), 0 стремятся при t ->- оо к отличным от нуля
пределам. Выражение (8F/6A) (A,(f), f) линейно и однородно относи-
относительно % и поэтому абсолютно интегрируемо. Таким образом, А\
абсолютно интегрируемы, что завершает доказательство неравен-
неравенства (8.25).
Очевидно, что матрица S = ST удовлетворяет условиям леммы.

ЗАДАЧИ	111
Задачи
I. Пусть матрица А и вектор Ь — интегрируемые функции от t на интервале
го, 6]. Пусть
a
Пусть те [а, Ь ] и рассмотрим начальную задачу
х' = A(t)x + &@, х(т) = ?
Доказать, что существует единственное решение у на [о, & ] в том смысле, что
Ф еС и
= * + J Л(«)у (s)ds + I" b(s)ds
х	i
на [а, Ь ].
Указание. Использовать последовательные приближения. Пусть
= f + J ЛE)<р.(«)* + ^b{s)ds (/ ^ 0).
Т	Г
t
Доказать, что если k(s) ds = K(f), то
так что последовательность {^} сходится равномерно на [а, Ь ]. Если преды-
предыдущее имеет место для всех Ь <_Ь, то решение существует на [а, Ь). Случай
b = оо допустим. Аналогичная ситуация имеет место для левого конца. Для
установления единственности использовать задачу 1 гл. I.
2. В этой задаче определим норму матрицы так:
Тогда |А + В|^|А| + |В|й|АИ|^|А| -|В1- Пусть А на [а, Ь ] при-
принадлежит к классу С. Мультипликативный интеграл для х' = A(t)x определяется
следующим образом.
Разделим [а, Ь ] на т частей а = /„ < tt < ... < tm = Ь. Для данного t
найдем такое к, что tk<t<, te+i. Пусть Е — единичная матрица и
Фт@ = [Е + (t-tk)A(tk)] [Е + (fc-fc-i) A(fc_0
Очевидно, Фт@ непрерывна н Фт кусочно непрерывна на [а, Ь]. Если
^К, то
|Е + Vj-tj-i)A(tj-i)\ ^ 1 + (tj-tj-г) К
Поэтому
| Фт@! ^ еК(«-а) -< еК(р-а).
Из определения Фт@ следует
Фт @ = А(/л) [В + (/-/*) А{Щ~1 Фт{1).

112	ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Показать, что
Ф'т
где при данном е > О можно выбрать столь большое т, что | Jm(t) J <' е. Таким
образом, Фт(я) = Е и Фт есть е-приближенное решение для уравнения
х' = A(f)x. Используя это, доказать существование фундаментального решения
Ф, для которого Ф(а) = Е.
3. Пусть матрица А непрерывна на интервале @, со). Пусть фундаменталь-
фундаментальное решение Ф системы х' = A(t)x на @, со) равномерно ограничено и
lim inf Re j sp.A(s)ds >
Доказать, что Ф—1 равномерно ограничена на @; со). Кроме того, доказать,
что не может быть решений, не равных тождественно нулю и удовлетворяющих
условию q>(t) —> 0 при t —> °о.
Указание. Использовать формулу A.8).
4. Рассмотрим дифференциальное уравнение задачи 3 к дифференциальное
уравнение х' = B(t)x (В е С на @, со)); решение последнего обозначим через у>.
Предположим, что	га
6
Доказать, что у> ограничено на @, со) и что, если y>(t0) = q>(tB), lim (<p{t)
существует. (Здесь q> — решение системы х' = Ax.)
Указание. Использовать равенство
t
V(t) = 9>@ + | Ф@ Ф-Н«) (В(«) - A(s)) V(s) ds
f
и задачу 1 гл. I.
5.	Показать в задаче 4, что соответственно каждому данному <р существует
единственное у>, такое, что <p(t) — y(t) —> 0, если t —> 0.
Указание. Использовать равенство
со
?-@ = <р@ —J в>@ Ф-Ч?) (в(«)	A(s)) T(s) d«-
a>	f
6.	Если | B(t) | dt < с», то каждое не равное тождественно нулю решение
о
системы х' = B(t)x стремится прн 1->«к отличному от нуля пределу. Более
того, каков бы ни был постоянный вектор с, существует единственное решение if,
которое стремится к с при t —» со.
Указание. Использовать то, что А = 0 и Ф(со) = ?.
V	7. Пусть ид, о2 — непрерывные и периодические функции с периодом со.
Пусть ?>1 и ?>2 — решения уравнения х" + a±(t)x' + as(t)x = 0, причем ^@) = 1,
9?;@) = 0, ?>2@) = 0, 9>j@) = 1. Использовать приведение к системе и показать,
что мультипликаторы (или характеристические корни) являются решениями
ы
уравнения Я2 ¦— А Я + В = 0, где Л = 9>i(co) + ?>j(<w) и В = ехр — ax(f) dt I
о
V	8. Пусть о и 6 — действительные постоянные и р — действительная не-
непрерывная функция t периода со. Рассмотрим уравнение х" + [а + bp(t)] x = 0.
Пусть 9>i, ?>2 определены как в задаче 7, a F(o, 6) = tp^co) + ^(co). Показать,

ЗАДАЧИ	113
что F есть целая функция переменных (с, Ь). Показать, что если —2 < F (а, Ь) < 2,
то мультипликаторы комплексно сопряжены и по модулю равны 1 и все
решения вместе с их первыми производными равномерно ограничены на (—°°, оо).
Показать, что если F{a, Ь) > 2 или F(a, b) < — 2, то ни одно решение не может
быть равномерно ограниченным на (—оо, оо).
9.	Показать, что если в предыдущей задаче F(a, b) = 2, то существует по
крайней мере одно решение периода со, а если F{a, b) — — 2, то существует по
крайней мере одно решение периода 2о>.
10.	Показать, что если в задаче 8 а ф п2 ни для одного целого п и b = 0,
то —2 < F(a, 0) < 2. Пользуясь непрерывностью функции F(a, b), показать,
что если а ф п2 и b достаточно мало, то все решения равномерно ограничены
на (—<х>, оо).
11.	Положим в задаче 8 p(t) = cos 2t и рассмотрим случай, когда а близко
к 4п2 и Ь мало. Это можно записать в виде
х" + [4«2 + y(i + fi cos 2f\x = О,
где у действительно и /х — действительный малый параметр. Определить пове-
поведение кривой F(a, b) = FD л2 + у/л, /а) = 2 в окрестности точки (/а = 0, у = 0).
Указание. В векторной форме уравнение имеет вид х'= (А+/л P(t))x,
где
го 1-» р/л — С °	°\
А~1-4п2 0)'	КЦ 1-у-cos 2/ о''
Фундаментальное решение Ф, которое при t = 0 равно Е, есть целая функция от
/I, и поэтому
ФA )
где FDn2 + у/и, /a) = sp Ф (n, /a). Показать, что
t
о
где	'
Ф1(/)=еА( \t
б
При t = п
= fsp p(s) ds = 0
н, следовательно,
sp Ф-Jin) —
о
Поэтому
FDn2 + yfi,fi) =
и из поведения sp Ф2(я) получаем результат для малых /и..
12.	Дать прямое Доказательство формулы F.5), показав, что W =
= (— ajao) W; использовать F.4) и уравнение Ьпх = 0.
13.	Пусть Л — постоянная квадратная матрица. Дать аналог доказатель-
доказательства теоремы 6.5 для системы х' — Ах.
Указание. Пусть р — постоянный вектор. Тогда
:^-A)(e*tp) = e»(EX-A)p.
8 182;

114	ГЛ. HI. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Беря частную производную по К, получаем
(е J- -a) te»p = te»(EX-A)p + еи р.
Используя предыдущее соотношение, показать, что если
и Арг = 11рг + р1,
то eWpt и ehfpi + texyfpx являются решениями. Обобщая этот процесс, получить,
общий результат § 4.
14.	Пусть Lnx = х"» + с^х^-'Ч- • • -+ апх, где а$ — периодические функ-
функции периода а> на интервале (—<х>, °°). Найти вид решений на (—°о, оо).
15.	Показать, что если 9>х и уа — решения уравнения х" + ar{f)x' + a2(t)x =
= 0, то	(
<Pi@ %(t) — <pS) tp'S) = с exp j^- J
где с — постоянная. Показать, что если q>x — решение, то
есть независимое решение на том интервале, на котором ^i@ Ф 0.
16. В уравнении х" + OiP) x' + a2(t)x = 0 сделать замену переменной
t
s = F(t), где F'{t) = exp — (^^ds и положить / = G(s). Показать, что зто
приводит к уравнению
^	= O, где g(s) обращается в рШр ПРИ ' = G(s).
17. Положим в уравнении, приведенном в начале задачи 16, х =
t
= у exp I—^ ai(T)^T|- Показать, что уравнение принимает вид
18. Пусть a(t) > 0 и а е С2. Рассмотрим уравнение х" + о2@ х = 0. Пусть
s = F(t), где F (t) = о@, и / = G(s). Тогда уравнение принимает вид
dx ,
> + * 0
s
Положить x=y expl—^"l Oj^^) dsl и показать, что зто уравнение преобразуется
к виду
где b(s) равно
Если 6 е С2, то предыдущее преобразование может быть повторено. Заметим,
что если a2(t) — многочлен относительно t, то b(s) —»¦ 0 при s —» оо и имеет ограни-
ограниченную вариацию, так что применима теорема 8.1.

ЗАДАЧИ	115
19.	Показать, что комплексно сопряженные значения величин
Wk(<Pi> ¦ • •><Р")/Щ<Ри	i <Pn)i определенных в теореме 6.4, являются решениями
сопряженного уравнения h%x — 0.
Указание. Перейти к системе.
20.	Получить формулу F.15), используя непосредственно процесс «вари-
«вариации постоянных». То есть пусть
У =
где с/ рассматриваются как функции t, подчиненные условиям
У <fa$°= 0 (' = 0, 1,..., п -2),
в которых <р$} обозначает i-ю производную q>].
21. Пусть f=f(t,s) — решение уравнения Lnx = О, удовлетворяющее
начальным условиям xU>(s) = 0, / = 0, 1,..., п — 2, и xf-^s) = l/flo(s).
Показать, что интеграл
f(t,s)b{s)ds
есть решение уравнения Lnx = b(t), которое обращается в нуль вместе со своими
первыми п—L производными в точке t = т. Сравнив это решение с F.15),
показать, что
22. Пусть uj e C"-J [а, Ь ], так что оператор l^t определен. Пусть для
s < t K(t, s) = f{t, s), где функция fit, s) определена в задаче 21, и К —0 для
s > t. Показать, что К принадлежит к классу С"-2 [а, Ь ] как функция (s, t) и
что производная Э"-1 K/ds"-1 имеет в точке s = t разрыв первого рода со скач-
скачком (—If/Ooit), но непрерывна для а <; s <,t <b и a <t <; s <,Ь. Показать
также, что К как функция s есть решение уравнения LnX — 0 для s < t.
Указание. Пусть Н = H(t,s) — решение уравнения Litx = 0 для
' < *. удовлетворяющее при t = s условиям
для к = 0, 1,..., п — 2, и пусть 8"-W/8/"-« = (—ly-'/ooCs) при t=s:
Пусть Н = 0 для г > s. Тогда при любыхp,q?C [a,b] функции и и v, опреде-
определенные равенствами	>
(	Ь
(/, s) p(s) rfs, «(О =
Удовлетворяют уравнениям hnu = р и L^« = 9 соответственно и условиям
иФ(а) = ьФ{Ь) = 0, / = 0, 1,..., « — 1. Поэтому в силу формулы Грина
(р« — uq) dt = [u«] (fc) — [u«j] (я).
8*

116	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так как иЩа) = ъФ(р) = 0, то оба члена справа равны нулю и, следовательно,
ь	t
Так как это равенство имеет место для произвольных р и q, то K(f, s) = H(s, f),
и дифференцируемость К относительно s следует из дифференцируемое™ Н
относительно t.
23.	Записав форму F.12) в виде
п—1
j,k=o
определить вид матрицы В = (В/л) и доказать, что она неособая для всех
t е /. С этой целью вычислить ее определитель.
24.	Показать, что если и — решение уравнения Lnx = Оии — решение
уравнения L+x=O, то [uv](t) есть постоянная [м«], не зависящая от til.
Пусть ?>1,.. ., 9>л — фундаментальное множество для уравнения Ln х = 0 на /
и пусть yii ¦ • -, ч>п — аналогичное множество для уравнения L^x = 0 на /.
Показать, что матрица S = {s,k) = ([tpj щ ]) на / неособая. Пусть S—1 = (яД1) —
обратная матрица для матрицы S. Определим К посредством равенства
п
K{t,s)= J? sj*Vft(Qv./(s)
Доказать, что функция и, определенная равенством
есть решение уравнения Lnx = b, обращающееся в нуль вместе со своими пер-
первыми п — 1 производными в точке т. Сравнить этот результат с задачами 21 и 22.
25.	Доказать, что если Ln = Ln , то форма ра>] (t) кососимметрична, т. е.
Lu«] (Q = -[«](/).
Что отсюда следует для матрицы В задачи 23 и для матрицы S задачи 24 ?
26.	Пусть Р/ — многочлены, Я/ — постоянные и
2
7=1
Пусть m^luXj ф hk, j Ф к,и пусть ни один из многочленов Ру не равен тожде-
тождественно нулю. Показать, что если
а = max (Re Ay),
то
lim sup (c-°* |/@1) > 0.
Замечание. Это доказьшает линейную независимость функций Pj(t) e*jt.
Указание. Первый случай. Пусть Р] — постоянные и Я/ = i/o/, где
щ действительны, так _что
7=1

ЗАДАЧИ	1 Yl
Пользуясь равенством
т
lim^r|/@e-'"i'*=c1,
о
доказать, что
lim sup|/(f)|>0.
Второй случай. Пусть, по-прежнему, Я/ = i/uy и М — наибольшая степень
t для многочленов Р/. Тогда
№ = *МШ + tM~l Ш + ¦¦¦ + МО.
где /у — такие же, как и в первом случае, и/^О. Таким образом, для боль-
больших t
и, согласно первому случаю,
lim sup (г-м|/@1)>0.
Общий случай. Теперь
/(О = ertfjft + е-2'/2@ + ... + е
где ах > а2 > ... > ар, fj—такие, как во втором случае, и /х ф 0. Очевидно, что
для некоторого постоянного Q. Поэтому, согласно второму случаю,
lim sup |e-°i'/(Q| >O.
t_»oo
27.	Рассмотреть систему линейных уравнений
w<"> + -AjW'"-!) + ... + Anw = О,
где w — m-мерный вектор и At — постоянные квадратные матрицы порядка т.
Определить фундаментальные матрицы для таких систем и вычислить одну
из них.
28.	Пусть функция / интегрируема и
i
()[ <оо.
i
Доказать, что уравнение х" + f(t)x = О имеет решение q>, такое, что
lim ?>(/) =1, lim <p'(t) = О.
Доказать, что существует решение у>, такое, что
lim ^ = 1, lim v'@ = 1.
Указание. Использовать последовательные приближения для решения
уравнений

118	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
L	СО
yit) = t + J sf(s) v(s) ds +1J /(s
где а выбрано так, что t \ fit) | dt < 1/2. (Если существование у показано, то
a
другой путь для получения у состоит в использовании соотношения q>v' —
-9>>=1.)
Эта задача есть частный случай задачи 35.
29. Пусть А — постоянная матрица и R— интегрируемая матрица, такая,
что
Предположим, что каноническая матрица J, подобная А, диагональна, т. е.
J = Jo. (В частности, это всегда имеет место, если характеристические корни
А различны.) Доказать, что если Kj — характеристические корни Лиру—соот-
Лиру—соответствующие характеристические векторы, так что Apj — Xjpj, то уравнение
ЭС = Ах + R(i) х
имеет такие решения Vj, что
lim <pj(t)e- V = pj U = 1,2, -..., л)
(иными словами, для больших t решения ведут себя как решения при R(t) = 0);
Указание. Пусть / фиксировано, Re Л/ = о и еА1 = Y^t) + Y2(t)>
где Y^t) —• сумма членов вида A', Re %k< о, и Y2(t) содержит лишь члены
вида eh , Re Я& ;> а. Тогда существуют постоянные 6 > 0 и К1г К2, такие, что
Пусть voCO = eVpj и
t
V; i@ = eV pj + J V^ - s) ^ (s) v/(s) * - J V2(/ -
a
где о выбрано настолько большим, что
Пусть I уо@ I < Ко е, ' < 0. Показать, что
и тем самым доказать существование предельной функции 9>у, удовлетворяющей
неравенству
и уравнению
t	<"
<Pj(t) = е? Pj + (* Y& - s) R(s) <py(s) ds - [ Y& - s) R(s) <p;(s) ds.

ЗАДАЧИ	119
Отсюда
со
s>| R(s)\ ds + 2K0Kz J \R(s)\ds<
* '
что дает результат при t —> со.
ее
30.	Пусть х" + A + r(t))x = 0, где | r(t) \ dt < оо. Показать, что зто
1
уравнение имеет решения ?>i и д>2, такие, что
lim (vx@ — «") = 0, lim (^(f) — ie") = 0
и, аналогично, для ?>2 с заменой i на — /.
31.	Сформулировать и доказать результат, аналогичный предыдущему,
для уравнения х" — A + r(t)) x = 0.
32.	Пусть Lnx = #"> + К + гх@] х<"- '> + ... + [ап + rn(t)] х = 0, где од —
постоянные и
!<тс (*=1,...,п).
Пусть корни Xj уравнения Я" + ох Я"-' + ... + ап — 0 различны.
Тогда уравнение Lnx = 0 имеет такое решение q>j, что
= 0,1,..:,«
для / = 1, 2,..., п.
Указание. Использовать задачу 29.
33. Пусть матрица А непрерывная и периодическая периода со,
[
где /? — такая же матрица, как и в задаче 29. Предположим, что уравнение
у' == A(t)y имеет п независимых решений вида ев^ pj(t), где Pj имеют период со.
Доказать, что в эток случае данное уравнение имеет п решений q>j, таких, что
lim [<р/0е-я,<-Pj(t)\ =0 (/ = 1,...,«):
Указание. Уравнение у' = -А(ОУ имеет фундаментальное решение
P(t)eBt, где матрица В имеет диагональную форму В = JB. Очевидно, Р' + РВ =
= ЛР. Положим х = P(<)z. Тогда уравнение для z принимает вид
z'= Bz+ P-i
Теперь может быть использована задача 29, ибо В постоянна, и зто дает требуе-
требуемый результат. Заметим, что уравнение и' = Ви имеет решения ее*1 % где с/ —
постоянный вектор с /-й строкой, равной 1, и всеми остальными строками рав-
равными 0.
34. Сформулировать и доказать результат, аналогичный предьщущему, для
уравнения
Lnx = х<">+ [Й1@ + гх@] х<"-1> + ... + [яп@ + г„@] х = О,
где aj — периодические функции с периодом со.

120	ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
35. Рассмотрим случай х' = Ах + R(t)x, где матрица А постоянна ; од-
однако теперь каноническая форма А имеет, в терминологии теоремы 1.1, под-
подматрицы Jk, к>1, и максимальное число строк для всех матриц Jk, /c;> 1,
равно г + 1. Тогда ни один из полиномиальных множителей при экспонентах
в элементах матрицы eAt не имеет степени выше г. Здесь рассматривается случай
со
г ^> 1- (Для г = О см. задачу 29.) Предположим, что V | R(t) \dt < ~. Пусть
Л/ — характеристические корни А и пусть уравнение у' = Ау имеет решение
вида
e?tkc + 0{eVtk~1),
где с — постоянный вектор. Очевидно, что О < к <; г. Доказать, что уравнение
х' = Ах + Я@х имеет решение q>, такое, что
lim |>@ е~? t~k-c] = 0.
Указание. Пусть Re Я/ = а. Элементы матрицы еА*-» представляют
собой суммы членов вида eV'~s> f' sm, 0 <; / + т <; г. Пусть
где
[ YJt, s)\<,Kie°«-sl /*-» s^-*+i (/ ^ s ^ 1),
(s ^ < ^ 1).
Таким образом, матрица Yj{t, s) имеет все элементы, для которых экспонен-
экспоненциальные множители eV удовлетворяют условию Re Яр < а. Если Re Яр = а,
то Y± состоит из членов, которые имеют множителями степени t, меньшие чем к.
t
Доказательство аналогично случаю г = 0. В конце рассуждения интеграл ,
УГ
содержащий Vlf следует записать в виде
У
I 4- I.
36.	Сформулировать и доказать аналог предыдущего результата для урав-
уравнения п-го порядка Lnx = 0.
37.	Сформулировать и доказать аналог задачи 35 для г;> 1, когда А за-
заменена периодической матрицей A(t).
38.	Сформулировать и доказать аналог-предыдущего результата для урав-
уравнения п-го порядка Lnx = 0.
39.	Пусть А — квадратная матрица порядка п, А = ХЕ -\-Z, где Z =
= (zij), а гц = 1, если f=i+ 1, и zq = 0 в других случаях. Показать, что А
подобна матрице В = ХЕ -\- yZ, где у ф 0.
Указание. Положить Р = (ри), где р# = у1'-' 6у, и доказать, что
В = Р!АР
40. Пусть А — действительная квадратная матрица порядка п. Доказать,
что существует действительная неособая матрица Р, такая, что матрица
А = Р—1АР имеет действительную каноническую форму, состоящую из дей-
действительных квадратных матриц А1г	, Аи, В1?..., Вт, расположенных
вдоль главной диагонали. Каждая Aj имеет вид
Sj О2...О2 02
?а Sj... 02 02
V 02 02 ... Е2 Sj

ЗАДАЧИ
121
где 02 — квадратная нулевая матрица второго порядка, Е2 — квадратная еди-
единичная матрица второго порядка и
Bj имеет вид
1
О
V О
О
о
..О	0 \
..о	о
..о	о
.. 1	Ц I
41. Доказать, что если С — действительная неособая квадратная матрица
порядка п, то существует действительная матрица А, такая, что еА — С2.
Указание. Использовать задачу 40 и рассмотреть два случая:
Ц > 0, Лу < 0. Заметим, что
= ехр

Глава IV
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ.
ОСОБЕННОСТИ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой и следующей главах будет изучаться линейная система
и/ = A(z)w (z — комплексное),	A.1)
где А — /7-мерная квадратная (комплекснозначная) матрица с не
более чем одной изолированной особенностью в некоторой точке
z0, однозначная и аналитическая вблизи этой точки. Если предпо-
предположить, что А в точке z0 имеет только полюс, то можно получить
некоторые весьма специфические результаты о природе матрицы-
решения Ф системы A.1) вблизи г0. Однако имеется один общий
результат, который дает качественную картину поведения решения
Ф даже в тех случаях, когда А в точке 2^ имеет произвольную изоли-
изолированную особенность.
Пусть областью, в которой А аналитична и однозначна, яв-
является 0<|z — z0 | < а, где а — некоторая положительная по-
постоянная. Эта область неодносвязна и поэтому решение системы
A.1) неоднозначно. Например, рассмотрим уравнение w' = iv/2z,
где iv одномерно. Тогда (wzr-1^)' = 0 или w — cth, где с -^по-
-^постоянная. Это решение, исключая случай с = О, неоднозначно
для 0 < | z |< а.
Задачу можно снова рассматривать в односвязной области, если
допускать многолистные области. Пусть z — zo= ge'e, где р^Ои
в — действительные переменные. Пусть область D определяется
неравенствами
D: 0<е<а, — оо<б<оо.
Эта область односвязна. Метод последовательных приближений, как
он изложен в § 7 гл. III, легко приводит к доказательству существо-
существования аналитической фундаментальной матрицы для системы A.1).
Другой процесс заключается в подстановке z — zo = ec. Тогда
A.1) принимает вид
Очевидно, матрица В аналитична при С е D, где D—полуплос-
D—полуплоскость — оо < Re С < In а. Так как область D односвязна, то
существует фундаментальная матрица-решение W, аналитическая
при С е D. Поэтому Ф(г) = У (In (z — z0)) есть аналитическая фунда-

§ 1. ВВЕДЕНИЕ	123
ментальная матрица системы A.1) для z?D. Так как функция
In (z — z0) неоднозначна, то Ф—также неоднозначная функция z.
Пусть М — произвольная комплексная матрица. Определим
степенную матрицу zM следующим образом :
ZM — g(lnz)M_	A2)
Заметим, что для z 4= 0 матрица гм неособая при любом М и
(г")-» = z~M.
Теорема 1.1. Если матрица А системы A.1) однозначна и ана-
литична в области О < j z — z0 | < а, то каждая фундаменталь-
фундаментальная матрица Ф системы A.1) имеет вид
<Z>(z) = S(z)(z-zo)p @<|z-zo|<«),	A.3)
где матрица S однозначна и аналитична при О < | z — z0 j < а
и Р — постоянная матрица.
Доказательство, в сущности, такое же, как доказатель-
доказательство теоремы 5.1 гл. III, будет дано для случая z0 = 0. Рассмотрим
фундаментальную матрицу Ф для описанной выше бесконечно-
листной области D. В D
Так как A(ze2ni) = A{z), то
Таким образом, Ф(г) == Ф(ге2л') есть фундаментальная матрица и
поэтому
2B <Z>(z)C,	A.4)
где С — постоянная неособая матрица. Так как С — неособая ма-
матрица, то существует постоянная матрица Р, такая, что
С = е2я/Р	A.5)
(заметим, что Р не единственна), и из A.4) следует, что
Ф(гегл') = Ф(г)егл1р.	A.6)
Далее, пусть матрица S определяется из равенства
<Z>(z) = S(z)zp @<|z|<o).	A.7)
Очевидно, что матрица S аналитична для 0 < | z | < а ; покажем,
что она в этой области также однозначна.
С одной стороны, из A.7) следует
Ф{ге2п[) = S(ze2ni) (ze2m)p = S(ze2"() zp e2mP,	A.8)
а с другой стороны, из A.6) —
т) = S(z) zp e2mP.	A.9)

124 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
Сравнение формул A.8) и A.9) показывает, что S(ze27li) = S(z), и
поэтому матрица S однозначна при 0 < | z | < а, что доказывает
теорему.
Существует фундаментальная матрица, в которой матрица Р
заменена на ее каноническую форму J, причем J и Р связаны равен-
равенством РТ — TJ, где Т — некоторая неособая матрица. Очевидно,
S(z — zo)pT — также фундаментальная матрица, равная STT-^z—
— zo)pT = ST(z— zoy. Так как Т постоянна, то матрица U = ST
аналктична и однозначна для 0 < | z — zo\<a. Явный вид матрицы
(z — zoy дается формулами D.7) — D.9) гл. III, если заменить в них
t на In (z— z0). Если векторы-столбцы матрицы U обозначить через
щ, f — 1,..., п, то щ аналитичны и однозначны для 0 <С | z — 2^, |< а,
и столбцы ф;- фундаментальной матрицы U(z — z^ даются форму-
формулами, аналогичными приведенным в гл. III после формулы D.10):
<Pq+l (Z) = (Z - ZoI^ U4+1(Z) ,
9>g+2 (Z) = (Z - Zo)^« [iVl CO I" (Z - Zo) + Ug+a (Z)] ,
<pq+ri(z) = (z - z0)^ [^±l^ln^4z - z0) + ... + uq+ri(z)} (Ы0)
<Pg+r1+l (Z) = (Z - Zoy*+' Ug+ri+l (Z) , _
<pn(z) = (z - zoy^[^±^-ln^(z - ze) + ... + un(z)] -
В любом случае существует всегда хотя бы один вектор-реше-
вектор-решение, соответствующий каждому характеристическому корню h
матрицы Р:
y,	(l.ll)
причем матрица и аналитична и однозначна при 0 < | z — z0 | < а.
Как и в теореме 7.3 гл. I,
(det Ф)' = (det Ф) (sp А).	A. 12)
Так как
det <2>(z) = det S(z) det (z - zo)p == det S{z) (z - zo)spp ,
TO
Интегрируя по окружности Г с центром в точке z0 и радиусом,
меньшим чем а, получаем

§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ	125
где т — целое число. Если det S(z0) Ч- 0 или оо, то т = 0. Инте-
Интегрируя A.12), получаем
Z
det Ф(г) = det 0(Zj) exp ( J sp Л(С) d с) .	A.14)
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
Если матрица А в точке z0 имеет особенность, то z0 называется
особой точкой системы
W = A(z)w.	B.1)
Если А в точке z0 имеет не более чем полюс (т. е. либо А в точке z0
аналитична, либо имеет полюс) и аналитична в области 0 < | z — zo|<
< а,, а > 0, то А можно записать в виде
A(z) = {z-%)-*-* X(z),	B.2)
где fj, — целое и матрица А аналитична для \z — z0 | < а, а > О,
и A(z0) + 0.
Если ц <_ — 1, то Л в точке г0 аналитична и поэтому каждая
фундаментальная матрица системы B.1) аналитична для | z—z01 < а.
В силу этого, если р < — 1, то z0 называется аналитической точкой
для системы B.1). Если [i ;> 0, то целое число /w называется (по
Пуанкаре) рангом особенности. Оказывается, что имеется суще-
существенное различие между случаями ц = 0 и ц ;> 1. Поэтому соответ-
соответственно случаям /и = 0 или р ;> 1 точка г^ называется особой точкой
первого рода или особой точкой второго рода для системы B.1).
Случай z0 = оо будет разобран в § 6.
Приведенная классификация систем B.1), B.2) не учитывает
природу матрицы-решения системы B.1) в точке z0. Из сказанного
в § 1 следует, что каждая фундаментальная матрица системы B.1),
для которой матрица А имеет изолированную особенность в точке z0,
имеет вид <?>(z) = S(z) (z — zo)p, где матрица S однозначна и анали-
аналитична при 0<|z — zo|<c и Р — постоянная матрица. Если S
имеет-в z0 самое большее полюс, то z0 называется регулярной особой
точкой для системы B.1); в противном случае z0 называется
иррегулярной особой точкой для B.1). Эти наименования не очень
обоснованы, но общеприняты и поэтому будут нами применяться.
Если z0 — регулярная особая точка для B.1), то S может быть
записана в виде S(z) = (z — zo)~k S(z), где k — целое, матрица S
аналитична в точке z0, S(z0) 4= 0. Следовательно, матрица Ф может
быть записана в виде
*(z)=-3f(z)(z-z^-fc*.	B.3)
Теорема 2.1. Если z0 — особая точка первого рода для системы
B.1), то она — регулярная особая точка для B.1).

126 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
Доказательство будет дано для случая z0 = 0. По пред-
предположению система B.1) может быть записана в виде
= 2-1 A(z)w,
B.4)
где матрица А аналитична для 0 <; | z | < с, с >0 и Л@) =h 0.
Следует показать, что если Ф — некоторая фундаментальная ма-
матрица для B.4), то-в представлении Ф = Szp (см. теорему 1.1) матрица
S либо аналитична, либо имеет в точке z = 0 полюс. Мы получим
это, показав, что существует положительное целое число т, такое,
что матрица /"S ограничена в окрестности точки г = 0; в силу
теоремы Римана отсюда будет следовать результат.
Пусть ф — произвольный ненулевой вектор-решение для B.4)
и пусть ф(е, 6) == ф(ее'е), г = || ф ||. Тогда
и, следовательно,
Но как было показано в § 5 гл. I (где было t вместо q),
дф
Эё1Г
Поэтому, если || A(z) \\<,с для | z | <; дг < а, то
9г. | ^ сг
с
Отсюда следует, что
и, значит, для 0 < q <;
Если М обозначает максимум функции r(gx, 6) для 0 < в <,'2п, то
Таким образом, если Ф — фундаментальная матрица для B.4), то
существует постоянная й > 0, такая, что (z = ge'")
\Ф(?)\<,— @<б^2я, 0<|zj^ex).	B.5)
Остается оценить член z~p в представлении S = Ф z~p. Имеем
z~p = е-<1ш>р = e-(i"e)p е-'вр и> следовательно,
1?-р <Г |р-Aпе)Р| и-('вр|	О (\\

§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ	127
Далее,
|e-(
и если 0 < ? < 1, то
_ 1) + е-ипе!|Р|<Пр-|Р|.	B.7)
Точно так же, если 0 <; в <; 2щ то
\е~вр\<,(п- 1) + е2"!р!.	B.8)
Поэтому из B.6)—B.8) следует неравенство
если только О< g < 1, О <; в < 2 г. Комбинируя это неравенство
с B.5), получаем окончательно
ec+lpi \S(z)\<_d, 0<e<min(l,e1), 0<,в<12л,
где й — постоянная, не зависящая от z в области О < | z | <
< min A, дг). Итак, можно подобрать столь большое целое положи-
положительное число т, что матрица zmS будет ограничена в окрестности
точки z = О; это завершает доказательство теоремы.
Для систем (п > 1) обращение теоремы 2.1, вообще говоря,
неверно. Например, пусть п = 2 и рассмотрим систему
где
о о
16 °i	Vo о,
Эта система имеет в точке z = О особенность второго рода с рангом
ц — 1. Легко видеть, что фундаментальная матрица для этой систе-
системы имеет вид
Если матрицы S и R определены как
то, как легко видеть, Ф = SzR и из этого представления Ф следует,
что z = 0 есть регулярная особая точка.
Однако для уравнения порядка п можно указать необходимое и
достаточное условие, которое следует наложить на коэффициенты
уравнения, для того чтобы точка z0 была регулярной особой точ-
точкой ; см. § 5 этой главы, в особенности теоремы 5.1 и 5.2.
Может случиться, даже тогда, когда коэффициенты матрицы А
системы B.1) в точке z0 имеют особенность, что все фундаментальные

128 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
матрицы в z0 аналитичны. В этом случае z0 является кажущейся
особенностью для B.1). Например, рассмотрим систему
w' — z~
Очевидно, что фундаментальная матрица для нее имеет вид Ф =
= zE — zE и аналитична при z = 0. Заметим, что det Ф@) = 0. Это
положение является общим при данных обстоятельствах.
Теорема 2.2. Пусть в системе B.1) матрица А однозначна и
аналитична вблизи точки z0, но в z0 имеет особенность. Если Ф —
фундаментальная матрица, то или Ф имеет особенность в точке
z0, или det Ф(г0) = 0.
Доказательство. Предположим, что Ф аналитична в
точке 2b и det Ф (z0) -h 0. Тогда Ф существует в z0 и является анали-
аналитической функцией z в окрестности z0. Поэтому матрица Ф'ф-1
аналитична в z0. Но Ф'ф-1 = А, что приводит к противоречию.
§ 3. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Хотя теорема 2.1 и дает качественное описание решений для
системы с особенностью первого рода в точке Zq, однако она не только
не указывает явного вида матрицы Р — кЕ в формуле B.3), но даже
не дает алгорифма для вычисления этих решений. Это будет сделано
в настоящем параграфе. Мы будем рассматривать случай z0 = 0;
изменения, которые необходимо сделать в случае любого z0, будут
очевидны.
В качестве примера рассмотрим систему
о
Эта система легко приводится к уравнению второго порядка
iVg'—iv2/z=O. Используя то обстоятельство, что в силу A.11)
существует хотя бы одно решение вида zp(s0 + SjZ + ...), где
р, sc,... —¦ постоянные, получаем
р(р - l)soz"-2 + (р + l)pSlzP-i +...- SoZ^1 - Sizp - ... = 0.
. = 0.
Таким
р(р-\
Отсюда
образом,
)sozP-*+[(p+ 1)
• • • + [(Р 4
получается одно
)ps1 — s0]zP-
¦к)(р + к-
l)Sfc — Sfc-i]
из возможных решений
l s i -
1 2 ' 2 "
(Л!J (Л
223'
+ !)•
1
22324' ''

§ 3. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	129
Таким образом, ряд
zk+l
удовлетворяет уравнению и>»' — w2/z = 0. Возникает вопрос : пред-
представляет ли этот ряд действительно некоторое решение, или, что
эквивалентно, сходится ли ряд? В рассматриваемом случае очевидно,
что ряд сходится. В действительности, ряд, удовлетворяющий фор-
формально системе B.4), всегда дает истинное решение и это будет
доказано.
[Не всегда ряд, являющийся формальным решением уравнений
более общего класса, чем B.4), сходится. В самом деле, расходя-
расходящийся ряд
л = 0
является формальным решением уравнения второго порядка
z2 ту" + Cz — 1) ту' + w = 0,
где w — скаляр.]
Необходимо с достаточной общностью определить понятие фор-
формального ряда, с тем чтобы включить все возможные решения
системы B.4).
Под формальным рядом (Лорана) f мы будем понимать выра-
выражение вида
со
f = 'V1 Г 7т
1	Zj m '
171= — то
где ст — комплексные числа, причем все коэффициенты ст с отрица-
отрицательными индексами, за исключением конечного их числа, равны
нулю. Если
г= 2 d™zm
— другой формальный ряд, то, по определению, ряд / равен g в
том и только в том случае, когда ст = йт для всех т. Сумма / + g
и произведение / g двух формальных рядов определяются при по-
помощи равенств
со
т = — со
со
/с = ^Г1 h ?m	h — х1 /•, и.
т= — се	k+l=m
Заметим, что сумма, фигурирующая в определении коэффициента
hm, конечна, и, следовательно, произведение /g определено для всел
формальных рядов / и g. (Если бы с_т не обращались все в нуль для
9 182.

130 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
достаточно больших т, то сумма, определяющая hm, не была бы
конечной и поэтому могла бы не сходиться. Таким образом, проиэ-
ведение fg не было бы определено.) Если формальный ряд / таков, что
е_т = 0 для т = 1, 2, ..., то / называется формальным степен-
степенным рядом. Производной /' формального ряда / называется фор*
мальный ряд
" =
(m+l)cm+izm.
Если fjk — формальные ряды Лорана и #7 — комплексные числа,
то конечная сумма
р— Jr fjkZ"!-(Inzf, fjk = O для больших j + k,
j,k=O
называется формальной логарифмической суммой. Пусть
— также формальная логарифмическая сумма. Сумма р -\- q и
произведение pq определяются так, как если бы коэффициенты /;fc
и gjk были скалярами. Получающиеся коэффициенты могут 5ыть
приведены и дают формальные ряды Лорана. Таким образом, сложе-
сложение и умножение формальных логарифмических сумм приводит к
формальным логарифмическим суммам1. Производная формальной
логарифмической суммы р определяется посредством равенства
V= % Wk + HjfjkZ^ + (k+l)fj(li+1)z-4z»<(lnz)k C.1)
и также является формальной логарифмической суммой.
Говорят, что формальная логарифмическая сумма приведена,
если ни одна из разностей /*,- — ц}, i4=], не является целым чис-
числом. Очевидно, что формальная логарифмическая сумма всегда
может быть приведена. Говорят, что приведенная сумма р равна
нулю, в том и только в том случае, когда все коэффициенты f]k
равны нулю. Говорят, что формальная логарифмическая сумма
равна нулю, в том и только в том случае, когда ее приведенная
сумма равна нулю. Две формальные суммы называются равными,
если их разность равна нулю.
Формальной логарифмической матрицей L называется матрица
с элементами /у («", / = 1, ..., п), представляющими собой формаль-
формальные логарифмические суммы. Сумма, произведение и равенство
двух таких матриц определяются как обычные сумма, произведе-
1 Выражаясь алгебраически, формальная логарифмическая сумма есть
элемент алгебры над полем комлексных чисел, порожденной формальными
рядами Лорана, степенями z и целыми степенями In 2.

3. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	131
ние и равенство матриц. Производная L' такой матрицы определяется
как матрица с элементами /,'у.
Возвращаясь теперь к дифференциальным уравнениям, рас-
рассмотрим систему, имеющую особенность первого рода в точке z = О,
w' = A{z)w,	C.2)
где A(z) = ^? z™Am — ряд Лорана, сходящийся около точки
z = 0. Очевидно, А можно рассматривать как формальную лога-
логарифмическую матрицу. Под формальным решением системы C.2)
понимается формальная логарифмическая матрица Ф, которая
удовлетворяет системе C.2), рассматриваемой как равенство фор-
формальных логарифмических матриц.
Теорема 3.1. Если Ф — формальное решение системы C.2), тоФ
действительно представляет собой решение, т. е. формальные ряды,
встречающиеся в Ф, сходятся в области 0 < | z \ < а для некото-
некоторого а > 0.
Доказательство. В силу теоремы 2.1 существует фунда-
фундаментальная матрица Ф системы C.2), которая имеет вид
где матрица Р имеет каноническую форму, а матрица S однозначна,
аналитична для 0 < | z | < а и точка z = 0 является для нее не более
чем полюсом. Таким образом, S может быть разложена для 0 < | z | <
< а в сходящийся ряд Лорана с конечным числом отрицательных
членов. Из рассмотрения структуры S и zp ясно, что Ф можно рас-
рассматривать как формальную логарифмическую матрицу. Так как
матрица Ф~г = z~p S существует для 0 < | г | < а, то Ф~г также
можно рассматривать как формальную логарифмическую матрицу.
. Если Ф — произвольное формальное решение для C.2), то в
формальном смысле
(ф-1фу= _ ф-хф'ф 1ф + Ф Ф'= — Ф-1 АФ + Ф-1 АФ = О,
так как Ф и Ф — формальные решения C.2). Покажем теперь, что
отсюда следует, что формальная логарифмическая матрица Ф~г Ф
постоянна. Достаточно доказать, что если р — произвольная фор-
формальная (скалярная) логарифмическая сумма и р' = 0, то р —-
постоянная.
Пусть сумма р приведена. Так как р' = 0, то из C.1) следует, что
If'jk + Hjfjk г + (к + 1) fj(k+1) г-1 = 0	C.3)
для всех / и к. Пусть наивысший показатель степени In г в р с нену-
ненулевым коэффициентом есть N и предположим, что
g*

132 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
— этот коэффициент. При к = N из C.3) следует
fjN + /iifjNZ~1 = 0	0" =0,1,..., Г),
так как /y(V+1)= 0. Используя то обстоятельство, что fN
формальный ряд Лорана ^ <^jmZm, получаем
для всех т и / = 0, 1, ..., г. Отсюда следует, что щ при некотором
/ есть целое число, ибо в противном случае было бы с^ = 0 для
всех т и / = 0, 1, . .., г, а следовательно,' и fjN = 0 для всех / =
= 0, 1, ..., г, что противоречит выбору N. Так как сумма р при-
приведена, то существует по крайней мере одно целое fij. Пусть это
чксло есть (i0 и предположим, не нарушая общности рассуждений,
что ц0 = 0. Тогда
tJN = 0 (/>1),
'on ~ Lof> •
Предположим теперь, что N~^>1. Тогда из C.3) при k = N—1
следует, как прежде, что
Но последнее равенство может выполняться лишь в том случае,
когда 4N) = 0, что снова противоречит выбору N. Таким образом,
N = 0, и р = 4*о есть постоянная.
Теперь из равенства Ф~гФ = С, где С—постоянная матрица,
следует, что формально Ф = Ф С. Но так как Ф — истинная фунда-
фундаментальная матрица для C.2), то ФС есть истинная матрица-
решение для C.2). Поэтому Ф сама должна быть истинной матрицей-
решением для C.2), и все формальные ряды в Ф должны сходиться
для 0 < | z \ < а. Это доказывает теорему 3.1. В частности, каждый
формальный вектор-решение есть истинное решение, так как Ф
может иметь все одинаковые столбцы.
§ 4. СТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ МАТРИЦ
Вид решений системы B.4) известен из формул A.10) и теоремы
2.1. Здесь будет указан эффективный способ отыскания решений при
помощи рекуррентных формул для коэффициентов рядов. Система
iv' = A{z)w с особенностью первого рода в точке z = 0 может быть
записана в виде
W = (z~i-R+^zmAm)w,	D.1)
771=0
где R Ч* 0, Ат—постоянные матрицы и степенной ряд в D.1)
сходится для | z | < а, а > 0. Если все Ат = 0, то получаем систему
w' = г Rw, которая имеет фундаментальную матрицу Ф = zR,

4. СТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ МАТРИЦ	133
что может быть легко проверено. Дополнительный степенной ряд
в D.1) приводит в основном к введению в решение степенного ряда,
т. е. фундаментальная матрица для D.1) имеет вид Ф = Pz'R, где Р —¦
степенной ряд и R— постоянная матрица (см. теорему 2.1). В част-
частном случае матрица R совпадает с R из D.1).
Теорема 4.1. Если среди разностей характеристических корней
матрицы R в системе D.1) нет целых положительных чисел, то D.1)
имеет фундаментальную матрицу вида
<P = Pz* @<|z|<c, с>0),	D.2)
где Р — степенной ряд
Р(г)=2*аРт, Р0 = Е.	D.3)
т=0
Замечание. Из D.2) и D.3) непосредственно следует, что
фундаментальную матрицу можно задавать также в виде SzR°,
где Ro — каноническая форма матрицы R и S — степенной ряд с
неособой матрицей S@). Это дает представление решения в виде
A.10) с аналитическими вблизи точки z0 = 0 векторами и,.
Доказательство теоремы 4.1. Докажем, что D.1)
имеет формальное решение вида D.2), D.3), а по теореме 3.1 отсюда
будет следовать, что D.2) есть истинное решение. Так как Ро = Е,
то P(z) — неособая матрица для | z | < с при некотором с > 0, а
отсюда следует, что Ф — неособая матрица при 0 < | z | < с, кото~
рая, значит, в этой области является фундаментальной матрицей.
Пусть J — каноническая форма R. Тогда существует неособая
постоянная матрица Т, такая, что RT = TJ. Матрица J имеет вид,
указанный в теореме 1.1 гл. III. Пусть Qm — постоянные матрицы
и пусть
Ф(г) = Q(z) zJ = (Q0 + zQ1+ ...)zJ	D.4)
— формальная логарифмическая матрица. Подставляя ее в D.1),
получаем
+ l)zmQm+i = г-1 (RQ0 - Q0J) +
m=0
+ j? zm (tfQm+1 - Qm+1J) + ^zmCm, D.5)
//.=0	n,=0
где
Тождество D.5) будет иметь место тогда и только тогда, когда вы-
выполняются равенства
Qm+i[J + (m+l)E]=RQm+1 + Cm (m = 0,1,2,...). D.6)

•134	ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
Первому уравнению D.6) можно удовлетворить, положив Qo = Т.
Чтобы удовлетворить остальным уравнениям, удобно рассматривать
матричные уравнения по столбцам. Пусть столбцы матриц Qm
обозначены через ф?, / = 1,..., п. /-и столбец матрицы J содержит два
элемента, которые могут быть отличны от нуля : А,- (/-й характери-
характеристический корень матрицы R) в /-й строке этого /-го столбца и, для
/ ;> 2, д* в (/— 1)-й строке /-го столбца, где 6* равно либо 0, либо 1.
Во всем последующем всегда 8? — нуль. Беря /-й столбец равенства
D.6), получаем
[Я. + {т+ 1)] qO)+i + 8* фл-1) = Rqvv; + СО)
(j=\,...,n; /п = 0,1,2,...), D.7)
где с$ — /-й столбец матрицы Ст. Уравнение D.7) можно за-
записать в виде
[(A,- + m+l)E-R] qV>+1 = ctf - dj $+!>
(/=1,2,...,я; m = 0,l,2,...), D.8)
причем c^> зависят только от g(k°, / < /, fc < m. Полагая т = 0, полу-
получаем из уравнений D.8) рекуррентную последовательность для
<7(Л / = 1,2,..., п, так как Aj -f 1 не является корнем R. Полагая
т = 1, получаем из D.8) снова рекуррентную последовательность
для ФР, /=1,2,..., п, и, применяя индукцию, получаем, что
формальное решение D.4) определяется рекуррентно при помощи
формул D.8). (Ка самом деле можно находить последовательно
столбец за столбцом ; это означает, что могут быть найдены п
векторов-решений, составляющих матрицу.)
Очевидно, что матрица ФТ~г также является решением для
D.1). Это можно записать в виде
гдеP(z) = Q(z)T-1 = (T + zQ1 + ...)T-1 = E + zP1 + .... Это за-
завершает доказательство.
Общий случай, когда матрица R может иметь характеристические
корни, отличающиеся на целые числа, можно свести к теореме 4.1
при помощи следующей леммы.
Лемма. Предположим, что дг,..., qi< (к < п) — различные ха-
характеристические корни матрицы R (без учета их кратности) в си-
системе D.1). Существует матрица-функция V от z, неособая для
z+0 u линейная относительная z, такая, что преобразование
w = Vw переводит D.1) в систему для w того же вида, что и D.1):
w' = (г-1 R + JT zm Am) w, D.9)
причем матрица R имеет характеристические корни дг — 1 ,q2	gk.

§ 4. СТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ МАТРИЦ	135
Доказательство. Вначале предположим, что R имеет
каноническую форму и
Здесь /?! — квадратная матрица порядка рг, которая содержит всё
члены, содержащие корень дг в R :
в* о ... о
о о о ... ех/
причем б^ равно либо 0, либо 1. Определим матрицу V равенством
Очевидно, U — неособая матрица для г^-
1ЕР1	О
О	?n-
Тогда из подстановки w = Uw следует в силу D.1)
W = [г-1 V-XRU — U-1 Lf + J; /"(U-1 Лт Lf)J w. D.11)
m=o
Но JJ-^RU — R, и после несложных вычислений получаем
0 R2
Если
д.=
где Аг1 — блок матрицы Ао длины и ширины р1г то D.11) можно
записать как D.9), где
~\ О	R2 J •
Эта матрица R обладает требуемьши свойствами. Если R не имеет
предполагаемого вида, то преобразование U можно заменить на
преобразование TU, где Т выбирается так, что T~*RT имеет желае-
желаемый вид. Полагая V = TU, докажем лемму.
Теорема 4.2. Система D.1) имеет фундаментальную матрицу
Ф вида
Ф = Рг* @<|г|<с, с>0),	D.12)
где Р — степенной ряд:
Р(г)=^г'"Рт,	D.13)
т=0

136	ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
и R — постоянная матрица, характеристические корни которой
не отличаются один от другого на целые положительные числа.
Доказательство получается непосредственно последова-
последовательным применением предыдущей леммы и, в конце, теоремы 4.1.
В самом деле, применяя достаточно много преобразований Vir
i = 1,2,..., I, указанного в предыдущей лемме вида, получаем в
конечном счете представление Ф = Vt... ViPz^, где Р@) = Е
и R выражается через R явным образом. Итак, матрица Р =
= V1... ViP, и поэтому она представляется степенным рядом.
§ 5. УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА П
Рассмотрим уравнение порядка п
2 cn_m(z) w(m) = 0 (ao(z) - 1), E.1 >
m=0
где коэффициенты аи однозначны и аналитичны в окрестности точки
z0, исключая эту точку. Если какой-либо коэффициент ак имеет
особенность в точке z0, то Zg называется особой точкой для E.1);
в противном случае z0 называется аналитической точкой для E.1).
Аналогично определению особой точки первого рода для систем
первого порядка говорят, что z0 есть особая точка первого рода
для E.1), если г0 является особой точкой для E.1) и коэффициенты
уравнения E.1) имеют вид
afc(z) = (z - zo)-fc6fc(z) (k^l,2,...,n),	E.2)
где функции Ьн аналитичны в точке г„. Говорят, что уравнение E.1)
имеет в точке г0 особенность не более чем первого рода, если za
есть либо аналитическая точка, либо особая точка первого рода
для E.1).
Простейшее уравнение порядка п, имеющее начало координат
особенностью первого рода, имеет вид
w<"> + Ьг Z'11У<"-'> + b2 z~2 w<"-2> + ... + bnz~n w = 0,
где bi — постоянные. Очевидно, что ему эквивалентно уравнение
zn w(n) _|_ f,lZn-l w(n 1) + .. . + Йп IV = 0 ,
называемое уравнением Эйлера. Это уравнение можно преобразо-
преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами при помощи под-
подстановки z = es, ибо если w(s) = w(es), то
(ZIV)«_«. = -j- (S) , (Z2 W")z^ = ^ (S) - — (S)	И. Т. Д.
Преобразованное уравнение
+ сгiv<"->) + ... -f- cn w = 0

§ 5. УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА П	137
с постоянными коэффициентами и имеет фундаментальное мно-
множество решений, состоящее из функций вида
Sk enS>
где р — корень характеристического уравнения
и к — неотрицательное целое число, меньшее чем кратность корня р.
Исходное уравнение Эйлера имеет, стало быть, фундаментальное
множество решений вида
Легкое вычисление показывает, что характеристическое уравнение,
которому удовлетворяет {i, будучи записано при помощи постоян-
постоянных Ь/, имеет вид
Оно называется определяющим уравнением для уравнения Эйлера.
Другой способ получения решений уравнения Эйлера вытекает
из следующего замечания. Если положить
L(w) = z"u*"> + bxг"-1 uX"-1)-f ... + bnw,
TO
где / — определяющий многочлен :
= Я(А- 1)...(А-п+ 1) + А(А-
Следовательно, z" есть решение, если f(fi) = 0. Если все корни
К> • • •> -^п уравнения /(А) = 0 различны, то функции z\ ..., 2>
образуют фундаментальное множество для уравнения Эйлера. Если
^ы — корень кратности 2, то
Но
L g z») = L(z* In г) = |А L(^) = [/-(А) + (Ш г)
и, следовательно, г" In г является в этом случае другид! решением.
Продолжая таким образом, можно получить фундаментальное
множество для уравнения Эйлера. Эта идея может быть обобщена
для получения фундаментального множества решений произволь-
произвольного уравнения порядка п, для которого начало координат есть ре-
регулярная особая точка ; см. § 8.
Следует заметить, что если г0 — особая точка первого рода для
уравнения E.1), то z0 может не быть особой точкой первого рода для
соответствующей E.1) системы первого порядка (см. §6 гл.1).

138
ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРЧОГО РОДА
В самом деле, только в том случае, когда коэффициенты аи
имеют в точке г0 не более чем простые полюсы, это будет верно.
Однако существует соответствующая E.1) система первого порядка,
обладающая тем свойством, что если z0— особая точка первого
рода, то г0 есть особая точка первого рода для системы.
Предположим, что E.1) имеет в точке г0 не более чем особенность
первого рода, и пусть ip — решение уравнения E.1). Определим
вектор ф с компонентами <р1?..., tpn так :
П = {г~?№-*<г*к-п (к=1,...,п).	E.3)
Тогда, очевидно,
(k=l,...,n-l), E.4)
(Z — Zo) '<Pn = (n—l)<pn—j? fcn-m + l (Z) ^m •
m=l
Поэтому вектор $> является решением линейной системы
v/ = A(z) w,
где А имеет вид
о
О
О
О
О
Ьп
1
1
О
О
О
— Ьп—1
О
1
2
О
0
О
О
1
3
О
О
О
О
О
1
... (n-l)-ft.
E.5)
. E.6)
Очевидно, матрица (г — zo)A аналитична и не обращается в нуль
в точке z0 и поэтому система E.5), E.6) имеет в точке г0 особенность
первого рода. Из теоремы 2.1. следует, что z0 — регуляр-
регулярная особая точка для E.5). Так как элементы первой строки любой
фундаментальной матрицы для E.5) образуют п линейно независи-
независимых решений уравнения E.1) [см. E.3), E.4)], то каждое решение
E.1) вблизи z0 есть конечная линейная комбинация членов вида
E.7)
где г — постоянная (в общем случае комплексная), к — неотри-
неотрицательное целое число, не превосходящее п — 1, и функция р анали-
аналитична в точке z0, p(z0) Ч- 0.
Если каждое решение уравнения E.1) может быть представлено
вблизи z0 как конечная линейная комбинация членов вида E.7), где
т и р определены выше, то говорят, что z,, есть регулярная особая
точка для E.1). Таким образом, предыдущие соображения доказы-
доказывают следующий аналог теоремы 2.1.
Теорема 5.1. Если уравнение E.1) имеет в точке z0 особенность
не более чем первого рода, то z0 есть регулярная особая точка
для E.1).

§ 5. УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА И	139
Из результатов § 1 следует, что в любом случае решение урав-
уравнения E.1) должно быть линейной комбинацией членов вида E.7),
но с функциями р, имеющими, возможно, существенную особен-
особенность в точке Zq, так что р представляется рядом Лорана, а не обяза-
обязательно степенным рядом. В случае если функции р не могут все
быть выбраны аналитическими в точке г„, говорят, что уравнение E.1)
имеет в точке z0 иррегулярную особенность.
Имеет также место обращение теоремы 5.1.
Теорема 5.2. Если z0 — регулярная особая точка для уравнения
E.1), то E.1) имеет в z0 не более чем особенность первого рода.
Доказательство. Предположим, что коэффициенты а^
в E.1) связаны с bk посредством равенства E.2). Мы не предпола-
предполагаем теперь, что коэффициенты bk аналитичны в точке г0, но пред-
предполагаем, что bk аналитичны и однозначны в окрестности точки z0,
исключая эту точку. В таком случае очевидно, что система E.5),
E.6) удовлетворяет условиям теоремы 1.1. Так как элемент первой
строки любого вектора-решения системы E.5) есть решение урав-
уравнения E.1), то из этой теоремы и формул A.10), A.11) следует, что
существует решение <рх уравнения E.1), имеющее вблизи г„ вид
где функция р однозначна и аналитична вблизи z0) исключая эту
точку. Но так как г0 — регулярная особая точка, то это решение
должно иметь вид
E.8)
где s — постоянная и функция q аналитична в точке z0, q(z0) -h 0.
Если <р — произвольное решение уравнения E.1) вблизи z0 и
(вариация параметров), то функция f должна быть решением урав-
уравнения
J;	E.9)
m=0
где
= пптъ + (т + 1)ап-т-г<р\ + •••+(„ "~Li) «1 9^-т~и +
\М	= 0,1....,п). E.10)
Однако из E.10) следует
сп = ап<рг + ап-х<Pi + ¦ ¦ - 4- fli ФГ~г) + ?'i") -
что равно нулю, ибо срг удовлетворяет E.1). Таким образом, E.9 )

140 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
действительно представляет собой линейное уравнение порядка
п — 1 для w'. Полагая и = w' и деля E.9) на ух, получаем уравнение
Vdn _i(z)u<m>=0,	E.11)
m=0
где
do=\.
(fc=l",2,...,n-l). E.12)
Теперь доказательство проводится по индукции. Рассмотрим
случай и = 1 :
w' + fl1(z)H' = 0,	E.13)
где аг — аналитическая и однозначная функция вблизи г0, исключая
эту точку. Если решение ^ вида E.8) подставить в E.13), то получим
Поэтому функция (г — г,^ аналитична в точке z^, что доказывает
теорему для п = 1.
Предположим, что теорема верна для уравнений порядка п — 1.
Так как г0 — регулярная особая точка для E.1), то она остается
регулярной для E.11), ибо уравнение E.11) имеет своими реше-
решениями функции (ipi/tpi)', / = 2, ..., п, где <р1; ..., <р„ — и линейно
независимых решений E.1), a <pi—функция, определенная фор-
формулой E.8). Если бы функции (<p,/<pi)' были линейно зависимы, то
существовали бы постоянные с,-, такие, что ^ с,-^,/^)' = 0. Интегри-
1=2
руя это равенство, получаем линейную зависимость функций <р,-, i =
= 1,2,..., п, что невозможно. Таким образом, производные («р,/^)'
образуют фундаментальное множество для E.11). Эти производные
(ф/фгУ представляют собой, по предположению, суммы выражений
вида
B _ zo)« (In (z- ||
где а — постоянная, Ь — целое, p(z0) ¦?= 0, р — аналитическая функ-
функция в точке z0. Следовательно, по предположению индукции, коэф-
коэффициенты dk в E.11) имеют в точке z0 полюс не более /с-го порядка.
Полагая в E.12) к = 1, получаем, что аг имеет полюс не более пер-
первого порядка. Замечая, что cp^jtp^ имеет в z0 полюс не более /с-го
порядка, из E.12) по индукции находим, что ак должен иметь в
z0 полюс не более fc-го порядка, а это доказывает теорему. [Формула
E.12) справедлива для /с = п, если dn положить равным нулю.]
Если Zq — регулярная особая точка для E.1), то можно произ-
произвести эффективное вычисление фундаментального множества, рас-

§ 6. ОСОБЕННОСТИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ	141
смотрев соответствующую систему E.5), E.6) и применив затем
теоремы 4.1 и 4.2. Если система E.5) записана в виде
и/ = [(г - zoy !/? + J§ (z - zb)m Am] w,
т=0
где R и Лш — постоянные матрицы, то /? есть вычет матрицы А в
точке z0. Если функции fe в E.2) имеют вид
т=0
то характеристическое уравнение det (АЕ — R) = О для /? в развер-
развернутом виде записывается так:
+ &МА(А- l)...(A-n+2) + ... + fc(n-1)oA + fcnO = O. E.14)
Это уравнение называется определяющим уравнением для E.1)
относительно регулярной особой точки г0. Как показано в § 4, при-
природа корней определяющего уравнения определяет сложность ре-
решений уравнения E.1). Если корни А1; ..., Ап уравнения E.14)
различны и не разнятся на положительные целые числа, то мно-
множество п линейно независимых решений уравнения E.1) дается
в виде
СР,; = (Z - ZoY' p,:	(/=1,...,П),
где функции р( могут быть разложены вблизи z0 в степенные ряды
и р^) Ф 0. В более сложных ситуациях, когда в решениях появля-
появляются логарифмы, эффективный подсчет может быть облегчен исполь-
использованием методов, подобных методу Фробениуса, кратко описы-
описываемому в § 8.
§ 6. ОСОБЕННОСТИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ
Говорят, что функция / аналитична в °о, если ее можно пред-
представить степенным рядом
1=0
который сходится для достаточно больших \z\. Функция / имеет в
оо нуль порядка т, если ст ^ 0, a q = 0 при / < т, и имеет в со
полюс порядка т, если функция z~kf аналитична в оо при к = т,
но не при к < т. Таким образом, функция / аналитична в оо, если
функция g, определенная равенством g(z) — f{\jz), аиалитична в
точке 0, и имеет нуль или полюс в оо некоторого порядка, если g
имеет нуль или полюс в точке 0 того же порядка.
Чтобы изучить поведение системы
W = A(z)w	F.1)

142 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
или уравнения порядка п
2
m=0
F.2)
в окрестности изолированной особенности при z = оо, делают под-
подстановку 2=1/? и получают новую систему или уравнение с
функциями-решениями от ?, называемую порожденной под-
подстановкой 2=1/? системой или уравнением. Точка 2= оо назы-
называется особенностью некоторого типа для F.1) или F.2), если точка
? = 0 есть особенность того же типа для соответствующей поро-
порожденной системы или уравнения. Например, в случае системы F.1),
если 2= 1/?, w(?) = w(l/?)> ^@= ^(l/0> порожденная система,
соответствующая F.1), имеет вид
dw
Теорема 6.1. Для того чтобы система F.1) имела особую точку
первого рода при г = оо, необходимо и достаточно, чтобы матрица
А была аналитической при z= оо и А (оо) = о.
Доказательство. Порожденная система F.3) имеет при
? = 0 особенность первого рода в том и только в том случае, если
матрица А аналитична при ? = 0 и Л@) = 0. Так как ЛA/?) =
= Л(?), то это доказывает теорему.
Теорема 6.2. Для того чтобы точка z = оо была регулярной
особой точкой уравнения
j
m=O
необходимо и достаточно, чтобы каждый коэффициент аи был ана-
литичным при г = о° и имел в этой точке нуль не менее к-го порядка.
Доказательство. Если bk(z) = zkak(z), то предыдущее
условие для ак эквивалентно условию, что функции Ьк все аналитич-
ны при z = оо. Дифференциальное уравнение может быть записано
в виде
2; 2" bn-m (z) нК") = 0 (bo(z) = 1).	F.4)
т=0
Положим z = 1/?, й'(?) = w(l/?), Ьп-т(С) = fcn_m(l/0- Тогда по
индукции нетрудно получить, что
(гт w^Vi/c = (- l)m ?	?

§ 6. ОСОБЕННОСТИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ	143
где djm — постоянные. Поэтому F.4) в результате подстановки
z = 1/С преобразуется в уравнение
? cn-m (С) Й*т> = 0 (co(f) = 1),	F.5)
т=О
где
7wh
F.6)
Далее, ? = 0 — регулярная особая точка для F.5) тогда и только
тогда, когда каждый коэффициент Ск аналитичен при С = 0 ; в силу
же F.6) это справедливо тогда и только тогда, когда каждый коэф-
коэффициент Ьк аналитичен при С = 0. Но последнее утверждение имеет
место тогда и только тогда, когда каждый коэффициент Ьк аналити-
аналитичен при z — оо, что доказывает теорему.
Интересно выяснить структуру матрицы А в F.1) в том случае,
когда к + 1 различных точек zx, z2, ..., Zk, °° являются изолиро-
изолированными особенностями первого рода для F.1) и других особен-
особенностей система F.1) не имеет. Такая система называется системой
типа Фукса.
Теорема 6.3. Система F.1) имеет изолированные особенности
первого рода в различных точках z1,..., Zk, °° и не имеет других
особых точек в том и только в том случае, когда матрица А имеет
вид
A(Z)= jPiZ-Zm^Rm,	F.7)
где Rm — постоянные матрицы.
Доказательство. Во-первых, очевидно, что если А имеет
вид F.7), то F.1) имеет изолированные особенности первого рода в
точках гъ ..., Zk', так как матрица А аналитична при z — °° и
Л(оо) = 0, то из теоремы 6.1 следует, что F.1) имеет при z— °o
особенность первого рода. Очевидно, что в этом случае это един-
единственные особенности для F.1).
Наоборот, предположим, что F.1) имеет изолированные осо-
особенности первого рода в точках zx, ..., Zk, °° и не имеет других
особых точек. Таким образом, матрица А имеет простые полюсы в
точках zv ..., Zk\ пусть Rm — вычет А относительно zm. В таком
случае матрица-функция F, определенная равенством
F(z) = A(z) - 2; (z - zm)~1 Rm,	F.8)
должна быть целой функцией. Так как z = °о —также особенность
первого рода, то, по теореме F.1), матрица А аналитична при
z = оо и Л(оо) = 0. Из F.8) следует, что матрица F должна быть

144 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
аналитической при z = о°. По теореме Лиувилля F должна быть
постоянной, и, так как F(o°) = 0, F(z) = 0. Это доказывает теорему.
Для случая к = 1 система F.1), где матрица А определяется по
формуле F.7), имеет вид
Эта система имеет фундаментальную матрицу Ф = (z— Zi)Rl- Для-
случая к Ф 1 эта нелокальная задача много труднее и не будет здесь
изучаться.
Соответствующий результат для уравнения порядка п дается
в следующей теореме.
Теорема 6.4. Для того чтобы уравнение
? ап„т (z) и*"> = 0 (йо(г) = 1)	F.9)
т=0
имело регулярные особые точки в различных точках zx,..., Zk, <x> и
не имело других особенностей, необходимо и достаточно, чтобы
коэффициенты ah имели вид
fl"(z) = IJ (z - zmyh bh(z) (h = 1,..., п),	F.10)
где bh — многочлен не более чем h(k—\)-й степени.
Доказательство. Из теорем 5.1, 5.2 следует, что необ-.
ходимое и достаточное условие того, что точки гъ .. ., Zk являются
регулярными особыми точками уравнения F.9), заключается в том,
к
что функции bh(z) = If (z — zm)hah(z) аналитичны для всех конеч-
конечных z. Из теоремы 6.2 следует, что для того, чтобы точка z = <=°
была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы
функции ah = zhah были аналитическими при z = оо. Поэтому z = о°
есть регулярная особая точка для F.9) в том и только в том случае,
если
bh = z-\JJ(z-zm)hah,	F.11)
где функция ел аналитична при z = °° и функция bh аналитична в
каждой конечной части г-плоскости. Но F.11) эквивалентно равен-
равенству
т = \
к
и, так как функция /7A —Zmjz)hah аналитична при z = <x>, это
т=\
равенство может иметь место в том и только в том случае, когда
bh являются многочленами от z не более чем h(k — 1)-й степени. Это
доказывает теорему.

§ 7. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	145
§ 7. ПРИМЕР. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Проиллюстрируем предыдущий материал на случае линейного
уравнения второго порядка
w" + f(z)W + g(z)w = 0.	G.1)
В силу теоремы 6.4, для того чтобы различные точки zly..., zk, °o
были регулярньши особьши точками для G.1), необходимо и доста-
к
точно, чтобы имело место равенство ] — Tli? — г™)-1/, где / —
m=I
многочлен не более чем (к — 1)-й степени, а вид g указан ниже.
Таким образом, функция / может быть представлена в виде суммы
элементарных дробей :
к
/(z) = У ТГ^Т\ (вт - постоянные).	G.2)
m=l
Аналогично,
й 2^'	G-3)
где bm, cm — постоянные. Легко видеть, что для того, чтобы функция
z2g была аналитична при z= °°, необходимо и достаточно выпол-
к
нение равенства ^ ст = 0.
ТП=\
В случае, когда уравнение G.1) имеет две регулярные особые
точки, скажем х=0и2=соД=1и G.1) принимает вид
где ах, Ъх — постоянные. Это — уравнение Эйлера, рассмотренное
в начале § 5.
Предположим, что уравнение G.1) имеет в точности три регу-
регулярные особые точки zx = 0, z2 = 1 иг=оо. Тогда G.1) имеет вид
[см. G.2) и G.3)]
22(г— lJw" + (az + b)z(z— \)w' + (сг2 + dz + e)w = 0, G.4)
где а, ..., е — постоянные. Обычно рассматривают уравнение G.4)
в нормальном виде. Определяющие уравнения для G.4) относи-
относительно точек z = 0 и 2 = 1 имеют соответственно вид :
Щ-\)-ХЬ + е = О	G.5)
Щ-\) + Ца + Ь) + (с + A + е) = 0.	G.6)
Пусть г — корень уравнения G.5), так что G.4) имеет решение
вида
zT + Clz^ +		G.7)
То, что такое решение всегда существует, следует из теоремы 4.1
(или, более непосредственно, из рассмотрений начала § 8). Пусть s —
10 182.

146 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
аналогичный корень уравнения G.6). Пусть w = wz~r(z — l)~s.
Тогда дифференциальное уравнение для w, полученное из G.4),
должно иметь такой же вид, как и G.4), ибо подстановка переводит
все аналитические решения в аналитические, за исключением,
возможно, точек z = О, 1 или оо, и сохраняет регулярный характер
особенностей решений в точках z — 0, 1 и оо. Кроме того, так как
уравнение для w имеет соответствующее G.7) решение Рида 1 +
+ сгг + ..., то нуль есть корень определяющего уравнения в точке
2 = 0, соответствующего уравнению G.5). Таким образом, в уравне-
уравнении для w постоянная, соответствующая е, должна'равняться нулю.
Аналогичный результат имеет место для постоянной, соответствую-
соответствующей с + d + e в уравнении G.6).
В результате указанной подстановки уравнение G.4) примет вид
z(z — 1) w" + (az + b) vf + cw = 0,
а если ввести новые постоянные а, /5, у, то получим
2A - Z) w" + [у - (а + Р + l)z] W - а/5 w = 0.	G.8)
Это — гипергеометрическое уравнение, теория которого разрабо-
разработана детально1.
Положим в G.8) ? = § z, w(?) = w(?/j8). Тогда уравнение G.8)
преобразуется в следующее уравнение для w
-аЪ = 0 (' = ?). G.9)
Уравнение G.9) имеет регулярные особые точки при ? = 0, E,°°,
и если р -> оо, то из G.9) формально получаем
tw' + (y — Qvif — aw = O.	G.10)
Для этого уравнения ? = 0 есть регулярная особая точка, но
С = оо — иррегулярная особая точка. Других особых точек уравне-
уравнение G.10) не имеет. Уравнение G.10) представляет собой одну из
форм уравнения, называемого в силу очевидных соображений
вырожденным гипергеометрическим уравнением.
§ 8. МЕТОД ФРОБЕНИУСА
Обобщение на произвольные уравнения порядка п второго
метода отыскания решений уравнения Эйлера (§ 5) называется
методом Фробениуса. Если предположить, что начало координат
есть регулярная особая точка, то уравнение порядка п принимает вид
zn w("> + z"-1 ^м*"-1) + ... + Ьп w = 0,	(8.1)
1 См. С о р s о п Е. Т., An introduction to the theory of functions of a complex
variable, New York, 1935, Ch. 10. (См. также Уиттекер Е. Т. и Ватсон
Г. Н., Курс современного анализа, т. II, ГТТИ, М.—Л., 1934. гл. 14. —
Прим. перев.)

§ 8. МЕТОД ФРОБЕНИУСА	147
где коэффициенты bj аналитичны в окрестности начала. Пусть
L(w) = z" w<"> + 2*"-1) Ьг iv("- J> -+-... + bn w
и
bj(z)= jgbjbz* (j=\,...,n).
fc=O
Определяющее уравнение, соответствующее (8.1), имеет вид
1+ Ь10ЦХ - 1)... (А - п + 2) + ... + &(„_!)«, А + йл0 = 0.
Обозначим через /(А) многочлен, стоящий в левой части этого урав-
уравнения. Если для / = 1,..., п имеют место равенства
0 (Л=1,2,...),
то (8.1) — уравнение Эйлера. Мы видели, что в этом случае
и 2я есть решение уравнения L(w) — 0, если /(А) = 0. В более общем
случае уравнения (8.1) пытаются-найти формальный ряд
(со=1),
такой, что
Это является основной идеей метода Фробениуса.
Подстановка формального ряда для q> в L дает выражение
..., (8.3)
где функции gy зависят линейно от съ ..., С]-г с полиномиальными
относительно А коэффициентами. Уравнения
№ + l)cj = il 0 = Ь2,...)	(8.4)
образуют рекуррентную систему, из которой можно выразить
коэффициенты съ с2, ... как функции А при всех А, за исключением,
возможно, нулей функций /(А + /)• Очевидно, что так определенные
Cj представляют собой рациональные функции А, и (8.3) принимает вид
L(9>)=/(A)z.V	(8.5)
Если Ах — корень определяющего уравнения /(А) = 0 и /(Ах + /) ф О,
/;> 1, то из (8.5) следует, что <р есть формальное и, следовательно,
истинное решение уравнения L(w) = 0, которое мы обозначим
через <рх.
10*

148 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим равенство (8.5) вблизи точки Aj и [продифференци-
[продифференцируем обе части по А. Получим
и если принять во внимание формальную коммутативность :
9А
то придем к формальному соотношению
(8.6)
Если Ах — двойной корень уравнения /(А) = 0, то /(AJ = /'(AJ = О,
и (8.6) показывает, что значение производной 8^/бА при Х = Х^ есть
формальное, а следовательно, и истинное решение уравнения L(w) =
= 0. Это решение имеет вид
где
7=1
Если Ах — корень кратности т, то легко видеть, что для получения
т решений следует дифференцировать т — 1 раз относительно А.
В случае, когда А2 — также корень уравнения /(А) = 0 и
Ах — А2 = к — целое положительное число, предыдущие сообра-
соображения не могут быть использованы для корня А2, ибо функция
/(А2 + /) обращается в нуль при / = к. Пусть /(А2 + /) ф 0 для
1 <; / < к и для / > к. Пусть т — кратность корня Ах уравнения
/(А) = 0. Рассмотрим теперь формальный ряд
<p{z) = (А - A2)mz* + cxz>+1 + c2z*+2 + ... .
Тогда тот же процесс, который дал (8.5), теперь приводит к равенству
-AjjTz*.	(8.7)
Кроме того, уравнения (8.4) теперь определяют съ с2, • • -, Cfc-i с
множителем (А. —А2)т. Однако для Ск уравнение имеет вид
и (А — А2)т является множителем не только для gk, но и для /(A -f- к).
Таким образом, сн определяется как рациональная функция А и не
имеет своим попюсом А2. Теперь легко определить члены q, / > к,
которые также не имеют А2 своим полюсом.
Ряд для у имеет теперь в своих первых к членах множитель
(А — Ag), а последующие члены не обязательно содержат этот
множитель. Если А взять равным А2, то (8.7) показывает, что <р есть
решение. Однако первые к членов <р обращаются в нуль, так что <р

ЗАДАЧИ	149
может иметь своим первым членом относительно z только z*\
На самом деле решение, найденное этим способом, есть просто крат-
кратное решения сръ найденного выше.
Чтобы найти решение, действительно соответствующее корню
А2, следует рассмотреть т -ю производную относительно А равен-
равенства (8.7):
gg)	(8.8)
где функция / содержит разность (А— А2) в качестве множителя.
Полагая А = А2, получаем
Ц) = 0 ,
где фт+i—значение производной 8m<p/9Am при А = А2. Первый
член <pm+i есть m\z*°, и таким образом найдено решение, отличное
от любого решения, соответствующего Хх. Заметим, что в <pm+i
степени zli+i, j~^>k, могут быть умножены на степени In z вплоть
до т-й.
Если /(А) имеет Я2 кратным корнем, то высшие производные
функции <р относительно А дадут, очевидно, дальнейшие решения.
Случай, когда три корня Аг, А2, А3 отличаются на целые числа,
предлагается как упражнение, точно так же как общая формули-t
ровка метода.
Задачи
1.	Рассмотрим систему
2пи><"> + z"-1 Bjivc-D + ... + Bnw = О,
где Bi — квадратные постоянные матрицы порядка т и w — т-мерный вектор.
Вычислить фундаментальное множество для этой системы.
2.	Рассмотреть детально систему
'	= О,
где В,- — аналитические (вблизи начала) квадратные матрицы порядка miiw —¦
m-мерный вектор.
3.	Предположим, что уравнение E.1) имеет не более чем особенность пер-
первого рода в точке z0. Положить 2 — zB = es и найти затем систему, соответству-
соответствующую преобразованному уравнению. Показать, что она имеет вид
(z-zo)w'= A(z)w,
где
A(Z) = Ав + B-20) А± -г B-20J А2+ ... .
Подсчитать характеристическое уравнение для Д, и показать, что оно совпадает
с определяющим уравнением E.14).
4.	Рассмотрим уравнение второго порядка
w" + f(z)w' + g(z)w = 0.
Каким условиям функции / и g должны удовлетворять на со, чтобы эта точка
была аналитической для уравнения (*)? Показать, что если обе функции / и ;
не равны тождественно нулю (и аналитичны всюду, кроме начала) и оо — анали-
аналитическая точка, то начало должно быть особой точкой для уравнения (*
Изучить возможную природу особенности в начале.

150 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПЕРВОГО РОДА
5. Показать, что ряд
есть решение гипергеометрического уравнения. Вывести из G.8), что ряд
F(a, p,y; z) как функция z может иметь особенности только при 2= 1иг= «>.
6. Показать, что для надлежащим образом ограниченных значений р, у и z
1
о
7. В уравнении G.10) положим w = tfLI*>y e~^'^ й>. Показать, что урав-
уравнение для w имеет вид
1
где m = -^ G— 1) и & = — у — а (см. задачу 17 гл. III).
8. Уравнение Бесселя имеет вид
Показать, что если w = z-1'2 н, то
9. Показать, что если w = z"v, то уравнение Бесселя принимает вид
10.	Найти два ряда-решения для уравнения Бесселя, годных для малых
I z | в случае нецелого п.
11.	Классифицировать особые точки для уравнения Лежандра
A — z») w" — 2zw' + п(п + l)w = 0
и для присоединенного уравнения Лежандра
A —22) w" — 2zw' + [л(п + 1)— " J w = 0.
12.	Для уравнения, коэффициенты которого «почти» постоянны и которое
рассмотрено в задачах 29 и 35 гл. III, существует регулярная особая точка.
Показать это для регулярной точки при z = оо, преобразовав уравнение
dw
~dz~~
в уравнение.
13. Пусть A(z) = R/z 4- А + А2 + • ¦ •. гДе R, Аи • • • — постоянные
квадратные матрицы. Пусть ^ обозначает формальный ряд snz* + s12*+1+	,
где sj — векторы. Показать, что slt s2,... могут быть выбраны как рациональные
функции л так, что

ЗАДАЧИ	151
Пусть A,j — характеристический корень матрицы R, а числа Ях + /, / ;> 1,
не являются характеристическими корнями. Выбирая К= \ и so = pu где
рг — характеристический вектор :
показать, так же как при исследовании уравнения порядка п по методу Фро-
бениуса, что ч> становится при этом истинным решением щ уравнения
w' — A(z)w = 0.
Если в этой задаче Ях — кратный корень и если
-i. / = 2,3,...,/,
то последующее решение может быть получено при рассмотрении уравнения
Если в этом уравнении положено s0 = ри Л = кх и если 9v/9A обозначено затем
через 9>17 то
(Заметим, что ^ содержит ряд с множителем In z.) Из уравнения
[е~ А(г)] v = (АЕ -R) 50г^-1
следует теперь, если положить s0 = р2, Я == Я^ и обозначить у> через ф2, что
Итак, <рг + v>2 есть решение уравнения w' — A(z)w — 0. Распространить преды-
предыдущую процедуру на случай, когда / > 2.
Пусть Я2 — характеристический корень, такой, что разность Хг — Я2 = к
есть целое положительное число, а числа 7^ + j при 1 <; / < к и / > к не явля-
являются характеристическими корнями матрицы R. Показать, что если Л1 — корень
кратности т уравнения det (Я Е — R) — 0, то замена в выражении ^(г) коэффи-
коэффициента s0 на s0 (Я — Яг) ведет к определению решения с первым членом zh.

Глава V
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ.
ОСОБЕННОСТИ ВТОРОГО РОДА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Согласно классификации особых точек для линейных систем,
данной в гл. IV, точка z = 0 является особенностью ранга q, если
система имеет вид	w, = z_e_i B^ w >	^ ^
где матрица В аналитична при г = 0 и Б@) ф 0. Эта глава посвя-
посвящена изучению поведения решений линейных систем в окрестности
особенности второго рода, т. е. когда q — положительное целое
число. Удобнее будет рассматривать эту особую точку при г = оо, а
не в начале. Для этого необходимо сделать подстановку z= 1/C
(см. § 6. гл. IV). Вводя новые обозначения, получаем
W = zrA(z)w,	A.2)
где г —¦ неотрицательное целое число и матрица А аналитична при
Л()^0
, ()^
Оказывается, что изучение системы A.2) при г ;> 0 много слож-
сложнее, чем изучение этой системы при г = —1, т. е. в случае особен-
особенности первого рода при z= °°. Не легко даже доказать в общем
случае, что существуют «формальные» решения системы A.2) (будет
рассмотрен только частный случай). Возникающие здесь реальные
трудности объясняются отсутствием аналога теоремы 3.1 гл. IV.
Это было продемонстрировано в гл. IV при помощи простого при-
примера, который показывает, что формальное решение системы A.2)
действительно может быть расходящимся рядом. По-видимому,
Пуанкаре первый заметил, что даже эти «формальные» расходя-
расходящиеся выражения имеют некоторый смысл. Он показал для случая
уравнения порядка п, что соответственно формальным решениям
существуют истинные решения системы A.2), имеющие формальные
решения своими «асимптотическими разложениями». Эти факты
будут в дальнейшем уточнены.
Следующий пример дает некоторые указания на метод, исполь-
используемый в этой главе. Уравнение1
?) = 0,	A.3)
1 Система первого порядка, соответствующая уравнению A.3), имеет вид.
x'=A[t)x, где	,0	I"»
AW = (at-*-l OJ:
если рассматривать ее для комплексных t, то система будет типа A.2) при г = О.

§ 1. ВВЕДЕНИЕ	153
где а — постоянная и (— действительное число, ведет себя при
больших t почти как уравнение с постоянными коэффициентами,
получаемое при а = 0. Это обстоятельство вместе с результатами,
полученными в случае регулярной особой точки, подсказывает, что
для больших t решение следует искать в виде ряда
<p{t) = ё\Г + cJT1 + czr~2 +...)	A.4)
и аналогичного выражения, в котором i заменено на — i. Формаль-
Формальная подстановка ряда A.4) в A.3) дает а = 0и
' (Л^О, со= 1).	A.5)
Если a =h т(т+ 1) для некоторого целого т, то коэффициенты Ск
образуют бесконечную последовательность, для которой | Ск+г/Ск | ->•
-> оо} /с—>. оо. Поэтому ряд A.4) расходится для всех t =j= 0. Однако,
так как коэффициенты Ск, определяемые по формулам A.5), формально
удовлетворяют уравнению A.3), этот ряд называется формальным
решением A.3).
Если «усечь» два различных решения уравнения A.3), т. е. беско-
бесконечные* ряды заменить на конечные суммы, содержащие первые
члены, то можно надеяться, что уравнение второго порядка, кото-
которому удовлетворяют эти «усеченные» функции, отличается от A.3)
только, членами, содержащими большие степени 1/f. На этом пути
можно найти уравнение, «близкое» к A.3), при помощи формальных
решений. Однако для данного примера этот процесс улучшения мы
опускаем. Уравнение х" + х — 0 достаточно близко к уравнению
A.3) для того, чтобы получить некоторое представление об истинных
решениях уравнения A.3).
Уравнение A.3) можно записать в виде
х" + х = ~х.	A.6)
Если бы уравнение A.6) имело решение у, которое при f-> оо вело
бы себя как е'1, то метод вариации произвольных постоянных
дал бы
<p(f) = еи — а | sin (/ — т) ^(т) т-2 dr.	A.7)
t
В самом деле, если <р — непрерывная функция, равномерно ограни-
ограниченная при f->oo и удовлетворяющая A.7), то прямое вычисление
показывает, что <р должна удовлетворять A.6), а A.7) показьшает, что
«"-»" 0 (/->оо).
Чтобы показать, что уравнение A.7) имеет решение, можно при-
применить метод последовательных приближений:
9Wi@ = еа - a Jsin (f - т) уп(т) x-^dx (л ^ 0). A.8)

154 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Очевидно, что
и индукция показывает, что каждый из интегралов, стоящих справа
в A.8), существует при 1 < t < оо и
Итак, последовательность {фп} сходится равномерно при 1 <; t < ¦
к непрерывной предельной функции ср. Так как
Ы0! =
ш
для 1 <; t < оо, то функция q> равномерно ограничена и
Полагая теперь в A.8) «-> °°, получаем равенство A.7).
Это, решение уравнения A.7), которое, как было показано,
является также решением уравнения A.6), удовлетворяет в силу A.9)
и A.7) неравенству
Используя эту оценку в правой части A.7), получаем
оо
9>@ — в" + с Г sin (/ — т) е" т-
2\Р
Записав sin (f — т) в экспоненциальной форме и проинтегрировав
по частям, приходим к формуле
9® = e»(l+ ?]+(%-*) а-**),	A.10)
где O(t~z) представляет функцию g, такую, что выражение t2g(f)
ограничено при f-> оо. Формула A.10) показывает, что сумма пер-
первых двух членов формального (расходящегося) ряда, определяемого
равенствами A.4) и A.5), дает для больших t лучшую аппрокси-
аппроксимацию решения <р, чем один первый член. Используя в правой части
уравнения A.7) оценку A.10), найдем, что три члена A.4) дают еще
лучшую аппроксимацию для больших t. На самом деле, хотя ряд
A.4) и расходится, он дает информацию о решении ср в том смысле,
что для каждого целого п ;> О
<К0 - е» 2 М-к + 0{t-"-*) (f-* оо),
к=О
где коэффициенты сь определяются по формулам A.5).
В дальнейшем будет видно, что формальные ряды-решения рас-
рассмотренного типа типичны для особенности второго рода, и можно

§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	155
показать, что при помощи вариации произвольных постоянных фор-
формальные ряды могут быть связаны с истинными решениями, как это
было сделано в предыдущем случае.
Между прочим, уравнение A.3) имеет решения fi'JJt) и fl'YJt),
a Ja и Ya — решения уравнения Бесселя
В случае, когда а = т + 1/2 для некоторого целого т ;> 0, из
A.5) следует, что ряд A.4) обрывается, и, значит, в этом случае
формула A.4) дает истинное решение уравнения A.3), которое вы-
выражается через элементарные функции.
§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Формальные решения системы A.2), так же как и формальные
логарифмические суммы, введенные в § 3 гл. IV, содержат экспо-
экспоненты многочленов. Формальной логарифмически-экспоненциальной
суммой и называется конечное выражение вида
" = ?pje»,	B.1)
где pj — формальные логарифмические суммы, расположенные по
степеням 1/2, и fij — различные многочлены от z, причем ^@) = 0.
По определению, сумма и идентична с суммой, полученной при
помощи любой перестановки членов в B.1). Если
—• другая формальная логарифмически-экспоненциальная сумма, то
и, по определению, считается равной v в том и только в том случае,
если k = m и если для некоторой перестановки ilt..., ik индексов
1, ..., к имеем щ = vif и р} == qtj при / = 1,..., к. Если аъ ...,«„ —
различные многочлены, встречающиеся в множестве р1г..., ци,
*!,'¦¦•, vm, то очевидно, что суммы и и v можно записать в виде
причем некоторые из коэффициентов р;и ^могут равняться нулю,
Сумма и + v определяется так :
7=1

156 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Если а-у,,.., ог обозначают все различные многочлены, получаемые
из всех сумм pt + г,- ( z = 1, ..., к ; / = 1,..., т), то произведение
uv определяется так:
'¦=1 \jH+"t'=ak
Производной и' формальной логарифмически-экспоненциальной
суммы называется, по определению, формальная логарифмически-
экспоненциальная сумма
2	Р; №
7*0
Нетрудно проверить, что из этих определений следует справедли-
справедливость обычных правил алгебры и дифференциального исчисления
для сумм типа B.1).
Формальной логарифмически-экспоненциальной матрицей U на-
называется матрица, элементами которой % служат формальные ло-
логарифмически-экспоненциальные суммы. Сумма и произведение двух
таких матриц определяются по обычным формальным матричным
правилам. Производной V' матрицы U, по определению, называется
матрица с элементами щ. Из определения очевидно, что множество
формальных логарифмически-экспоненциальных матриц замкнуто
относительно операций сложения, умножения и дифференцирования.
Если V = (Vij) — другая формальная логарифмически-экспонен-
логарифмически-экспоненциальная матрица, то, по определению, V равна U тогда и только
тогда, когда иц = vtj (i, /=1,2,..., п).
Формальной матрицей-решением системы A.2) называется фор-
формальная логарифмически-экспоненциальная матрица, столбцы кото-
которой удовлетворяют A.2) в смысле равенства для таких матриц. Ясно,
конечно, что в A.2) матрица zrA(z) может рассматриваться как фор-
формальная логарифмически-экспоненциальная матрица ; в самом деле,
ее можно представить вблизи z = °° как сумму ряда Лорана по
степеням 1/z.
Теорема 2.1. Для неотрицательных целых чисел г рассмотрим
линейную систему
W = zrA(z) w,	B.2)
где А — сходящийся степенной ряд от г~г в некоторой окрест-
окрестности оо :
A(z)= jgz-kAk.	B.3)
h=0
Предположим, что матрица А0ф0 имеет различные характе-
характеристические корни 1г,..., А„. Тогда существует формальная мат-
матрица-решение для системы B.2) вида
Ф = PzRe9.	B.4)

§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	157
Здесь Р — формальный степенной ряд по Z'1:
P(z)=J?z-kPk, detPo^0;
R — диагональная матрица комплексных постоянных; Q — мат-
матрица-многочлен :
QM = f^Qo + TQi+---+zQr	B-5)
с коэффициентами — комплексными диагональными матрицами
(л«> о ... о \
о А«> ...0 A = 0,1,...,г; Xf=X,). B.6)
О 0 ... А<|>/
Замечание. Простейший случай системы с особенностью
второго рода в оо получим, когда
w' = Aw,
где А — постоянная матрица. Матрица-решение Ф дается в виде
Ф = егА.
Быть может, ближайшей по простоте является система
w' = z'Aw,
где г — целое положительное число и Л — постоянная матрица.
Легко проверить, что матрица-решение для этого уравнения имеет
вид
Отсюда ясно, что наличие членов низшей степени в выражении B.5)
для Q, матрицы R и формального степенного ряда Р в B.4) пол-
полностью обусловлено членами z~xAx + z~2A2 + ... матрицы А
системы B.3).
Доказательство теоремы 2.1. Во-первых, очевидно,
что если Р, R, Q — описанные выше матрицы, то произведение
PzReQ есть формальная логарифмически-экспоненциальная матрица,
так как каждый из множителей R, zR, e® обладает этим свойством.
На самом деле в этом случае нет логарифмических членов, так как
матрица R диагональная. Можно также предполагать с самого
начала, что Д, — диагональная матрица с элементами Яо, \,..., А„,
ибо простая подстановка w = Tw в уравнение B.2), где Т — такая
неособая постоянная матрица, что матрица Т\Т~г имеет диаго-
диагональную форму с диагональными элементами А1} ..., Дп, приводит
к этому. Заметим, что если предполагать матрицу Ао диагональной,
то из B.6), в частности, следует, что Qo = Ао.

158 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
А
Предположим, что Ф в B.4)—формальная матрица-решение
уравнения B.2), причем матрицы Р, Q, R обладают указанными в
теореме свойствами. Дифференцирование дает
ф, = р,гкея + z~1PRzReQ + PzR(zrQ0 + z'-K?! +...
и, используя то обстоятельство, что матрицы Q, и zR диагональные,
получаем
&=[P' + z-iPR + P(zrQ0 + zr-iQt +...+ Qr)] z?.
Но из B.2) следует, что
Ф' = zr APzR<f>
и, значит,
Р' + z-ipR + ppQo + zr~iQi +...+ Qr) = zrAP.
Используя то обстоятельство, что Ртл А — степенные ряды, получаем
отсюда
]?z-k-ipk(R - Щ + f J;z-*Pfc| (fQ0 + 2r-4?! +•••+ Qr) =
Сравнение коэффициентов при различных степенях z~x дает
PoQu-^o'>o = 0,
PkQ0 - AoPk = J; (AiPk-t - РЛ-КЙ) 0
( 2.7)
r
= ^ (AlPk+r+1-l — Pk+r+1-lQl) +
/4ч-1
Таким образом, необходимое условие для того, чтобы Ф в B.4)
была формальной матрицей-решением ураьнения A.2), заключается
в том, что матрицы Рк, Qk, R должны удовлетворять уравнениям
B.7). Наоборот, если существует некоторое множество матриц
Рк, Qk, R, которое удовлетворяет условиям B.7), то матрица Ф,
задаваемая посредством B.4)—B.6), будет формальной матрицей-
решением уравнения A.2). Мы получим это, проведя рассуждение
в обратном порядке. Таким образом, остается показать, что система
матричных уравнений B.7) разрешима.

§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	159
Так как, по предположению, матрица Ло диагональная, то
решение первого из уравнений B.7) имеет вид
<?о = Ам Р* = Е,	B-8)
где Е — единичная матрица.
Второе уравнение в B.7) для к — 1 имеет вид
PiQo- AJ>i = AiP0-PtQi,
или, используя B.8),
Р1Д,-ДРх = Л-(?1-	B.9)
Так как матрица Д, диагональная, то диагональные члены слева в
B.9) равны нулю, и поэтому диагональные элементы матриц Qt
и Аг должны совпадать. Это определяет диагональную матрицу Qa
однозначно. Недиагональные члены матрицы Рг определяются в
силу B.9) из уравнений
&-Х,)р® = (® (i^j),	B.10)
где p\f, с$ — элементы, стоящие на пересечении i'-й строки и /-го
столбца соответственно матриц Рг, Аг. Так как А, ф А7 (i Ф /), то
уравнения B.10) определяют недиагональные элементы матрицы Р1
однозначно. Обозначим через Рх матрицу с нулевыми диагональными
элементами и с элементами р$> на пересечение i-й строки и /-го
столбца (i=f= /). Тогда решение уравнения B.9) имеет вид
где Dx — произвольная диагональная матрица. При этом использо-
использовано то, что DXAO — АД( = 0, ибо Ао — диагональная матрица.
Заметим, что матрица Рг удовлетворяет уравнению
Р, А, - АД = АгР0 - P0Qt = Аг - Qx.
Пусть 1 < к <; г и предположим существование диагональных
матриц Qo, Qlt..., Qk-i и матриц Ръ ..., Pk-i вида
Pi = Pi + Pi-iDl+...+ P0Di,	B.11)
где Dlf..., D/c-i — произвольные диагональные матрицы, диаго-
диагональные элементы матриц Pt равны нулю и матрицы Pt удовле-
удовлетворяют уравнениям
5/ (/=1,...Д-1),	B.12)
в которых
S, = 2" (АР,-_, - Р,_М) (I = I,..., fc - -1; Ро = ?).
Так как матрица Д, диагональная, то из B.12) следует, что диа-
диагональные элементы каждой матрицы 5,- равны нулю.

160 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Подставляя выражение B.11) во второе соотношение B.7), полу-
получаем после приведения подобных членов
РкА0 - А0Рк = 2; {AiPk-i - Pk-iQi) + {Ak - Qk) +
7=1
+ Sic iD 4- Sk—zD + + 5 Dk—i. B 13\
Так как диагональные члены матрицы РлД — А0Рк равны нулю,
что имеет место также для матриц Slf..., Sk-i, то формулы B.13)
определяют диагональные элементы матрицы Qk однозначно, а сле-
следовательно, определяют однозначно и саму диагональную матрицу
Qk. Так же как в равенствах B.9) и B.10), решение Рк уравнения
РкА0 - А0Рк = 2? Wk-i - Pk-iQi) + {Ak - Qk) B.14)
определяется однозначно, исключая элементы главной диагонали
Элементы главной диагонали матрицы Рк принимаются равными,
нулю.
Тогда матрица
Pk = Pk + Pk-rP1+—+P0Dk,	B-15)
где Dk — произвольная диагональная матрица, будет решением
уравнения B.13), ибо
РкА0 - А0Рк = РкА0
... + (P0DkA0 - ДРоОл) = PkA0 -
так как Д, и Д- — диагональные матрицы. Используя B.12) и
B.14), легко показать, что матрица Рк, определяемая равенством
B.15), удовлетворяет равенству B.13). По индукции, соответственно
выбору Qo = Д,, Ро = ^i отсюда следует существование диагональ-
диагональных матриц Qlt ..., Qr и матриц Plf...,Pr с нулевыми диагональ-
диагональными элементами, удовлетворяющих B.12) для i = 0, 1, ..., г и
таких, что матрицы Р,- в B.11) удовлетворяют второму соотношению
B.7) для к = L
Полагая к = 0 в третьем соотношении B.7), получаем
Pr+1A0 - A0Pr+1 = j? (АгРг+1_г - Pr+i-iQi) + Ar+1P0 - Potf, B.16)
и именно в этом месте встречается матрица R. Если подставить Р,-,
определяемые равенством B.11), в правую часть соотношения B.16),
то получим
Pr+iA, - А0Рг+1 = ^(А,Рг+1_г - Pr+i-jQ/) + (Л+1 - /?) +
+ 5rD1 + 5,-iD2+.-.+ S1Dr. B.17)

§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	161
Диагональные элементы в левой части равенства B.17) равны нулю,
точно так же как диагональные элементы в сумме 8гОг -\- ...+ SiA-
Поэтому B.17) определяет однозначно диагональную матрицу R и,
как в B.13), получаем решение уравнения B.17) вида
Pr+1 = Pr+1 + PrDx +...+ P0Dr+1,	B.18)
где матрица Рг+1 удовлетворяет уравнению
Pr+iA0 - Л0Рг+1 = j? (APr+i-i - Pr+i-iQi) + Л+i - R B.19)
и имеет нулевые диагональные элементы, a Dr+i — произвольная
диагональная матрица.
Последнее соотношение B.7) для к = 1 отличается тем, что в
него не входят новые члены, содержащие Qk или R. Это уравнение
имеет вид
РГ+2ЛО - Л0Рг+2 = j
+ Ar+1P1+Ar+2P0 + P1(E-R), B.20)
и, используя выражения B.11), B.18) для Р„ получаем
^2-г - Pr+2-lQl)¦+ Л+lPl + Л+2 +
+ Рх(? - R) + \? (A,Pr+1-, - P,+i-iQ/) + ^r+i ~
+ SrD2+...+ S1Dr+1 + D1. B.21)
Но в силу B.19) выражение в квадратных скобках имеет диагональ,
состоящую из нулей, и так как все диагональные элементы левой
части B.21) равны нулю, то диагональная матрица Dt однозначно
определяется равенством B.21). Так же как прежде, можно найти
решение Рг+а уравнения B.20) вида
Рг+а = Pr+a +
где Рг+2 — решение уравнения B.20), в котором всюду Рк заменены
на Рк и справа добавлена матрица Оъ диагональные элементы мат-
матрицы Рг+2 равны нулю и Dr+2 — произвольная диагональная
матрица.
При следующем шаге матрица D2 определяется однозначно и
вводится новая диагональная матрица Д-+3. Таким образом, при
этом процессе всегда появляются г + 1 матриц Dk. Используя вторую
индукцию, заключаем, что все матрицы Рк и Dk определяются одно-
однозначно из уравнений B.7), и, следовательно, все матрицы Рк опреде-
определяются однозначно, если только сделан начальный выбор Qo = Ао,
Р3 = Е. Это завершает доказательство.
11 182.

162 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Напомним, как было установлено в § 1, что ряд
eit(l + c1t-1 + c.2t-*+...)	A.4)
есть формальное решение1 уравнения
= 0,-	A.3)
если только коэффициенты с* определяются рекуррентно из урав-
уравнений
ck+i = 2{ к+l )Ск (/c^U'co=1)-	V1-5)
Если постоянная а не имеет вида п(п -А- 1), то ряд A.4) расходится
для всех гфО. Однако было показано, что соответственно этому
формальному решению существует истинное решение q> уравнения
A.3), такое, что
±
в частности,
Лч>{1)-е»Уск1 к\^0 (/-со).	C.1)
= еи У скГк + О (Г
Соотношение C.1), характерное для обычной ситуации в случае
особых точек второго рода, выражает тот факт, что формальный ряд
A.4) есть асимптотический ряд для решения уравнения A.3).
Точнее, пусть S обозначает связное множество комплексной
z-плоскости, содержащее °°. Формальный степенной ряд относи-
относительно г~г
p=j?pkz-k	C.2)
с частными суммами
называется асимптотическим рядом (или разложением) на S для
функции / (при | z | -*¦ оо), определенной на S, если для каждого
к = 0, 1, 2,...
Zk(f-Sk)^O	(|2|-»-оо)
равномерно для zE S.
Если р — асимптотический ряд для функции / на S, то это соот-
соотношение записывается так:
/~р на S.
1 Строго говоря, определение формального решения уравнения второго
порядка не было дано. Его можно определить очевидным образом непосред-
непосредственно или как первую компоненту каждого формального вектора-решения
системы первого порядка, соответствующей уравнению A.3).

§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	163
Часто за S принимается часть сектора z-плоскости
S:
Например, если формальный ряд р сходится на этом множестве S,
то он представляет на S аналитическую функцию /, и очевидно, что
/¦ ~ р на S.
Если / имеет асимптотическое разложение р на множестве S,
то это разложение единственно, ибо коэффициенты рк в C.2) одно-
однозначно определяются из условий
f-^Po, z(/-Po)->Pi> zz(J-p0-p1z-1)->pz и т. д.
Тем не менее различные функции могут иметь одинаковые асим-
асимптотические ряды. Например, функция g = e~z, определенная на
множестве S : | г | > 0, — а <_ arg z <_ а, где а < л/2, имеет своим
асимптотическим рядом формальный степенной ряд, равный тожде-
тождественно нулю, т. е. е~г ~ 0 на S. Таким образом, если / — произ-
произвольная функция, имеющая на S некоторое асимптотическое раз-
разложение, то функция / + е~г имеет на S асимптотическое разло-
разложение, такое же, как /.
Если /, g, h — три функции, определенные для z e S, причем
h ф 0, и если
fc=O
то это иногда записывают в виде
/~g + hj?pkz~k на S.
Например, было показано для действительных t > 0 (т. е. S —
множество | z \ > 0, arg z — 0), что существует решение уравнения
A.3), такое, что
<Р~ elt(\ + cj-1 + c2f-2 +...) на S,
где коэффициенты ск определяются по формулам A.5).
Теорема 3.1. Пусть fug — функции, определенные на связном
множестве S, содержащем оо, и
f~p= jrptf-*, g~q= JTqkz-k на S.
Если а, р — два произвольных комплексных числа, то на S
(a) a	j
к
(ъ) /g ~ т = ^ ckz-k, ск =
и*

164 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Доказательство легко следует из определения асимпто-
асимптотических рядов и предоставляется читателю.
Следствие. Если ft (i = I,..., т) — т функций, ft ~ р„ zeS, и
g(z1;..., zm) — многочлен, то функция F(z) = ?(/х(г),..., /m(z))
имеет асимптотическое разложение на S, и оно вычисляется
так, как если бы все разложения были сходящимися рядами.
Доказательство получается с помощью повторного при-
применения свойств (а), (р), указанных в теореме C.1).
Применение. Если А — матрица из функций, компоненты
со
которой имеют асимптотические разложения, Л~^4z~k на S,
то определитель det А имеет в этой области асимптотическое разло-
разложение, первый член которого равен det Ао. Поэтому, если det Ao =f= О,
то (det А)-1 имеет в S асимптотическое разложение с первым членом
(det Д,)-1. Так как элементы матрицы А~г являются отношениями
алгебраических дополнений (п — 1)-го порядка матрицы А (которые
имеют асимптотические разложения) и определителя det А, то матри-
матрица А-1 имеет на S асимптотическое разложение, если det Ао ф 0.
со
Теорема 3.2. (а) Если f ~ ]?pkt~kи функция / непрерывна при
t ^> 'о С действительно), то
со
=f (/(*) -po-
(b) Если, далее, производная /' существует, непрерывна и имеет асимп-
асимптотическое разложение, то f~ — 2(k — 1) pk-it~k.
fc2
Доказательство, (a) tz(f — p0 — P!^2)->p2, t-> oo, и
поэтому интеграл F(t) существует для t > t0. Далее, для фиксиро-
фиксированного т ;> 1
1
где е(/)^-0, t^-oo. Следовательно,
где eM(t) = sup |е(т)|. Но емA)->0, f->-oo, и так как
fT-<m+ttdT== J_f-m
J	m '
то tm F— 2~^t~k ->0, t^-oo. Это доказывает (а).

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ	165
(Ь) Пусть 1'~^2qkt-k. Тогда
t	t
f = J>W dx + f(t0) = J(?o+ft T-i) dx +
или
/ = to* + Qi In * - j(f(T) - to - ft T-1) dr + с,
где с — постоянная. Так как функция / имеет'единственное асимп-
асимптотическое разложение, то из (а) следует, что q0 — q1 — 0 и qu =
= — (к — 1)pk-i, к^>2. Это доказывает (Ь).
Если функция / имеет асимптотическое разложение, то производ-
производная /' не обязана его иметь. Например, если / = е~{ sin ef, то / ~ 0;
/' = —е~* sin e' + cose' не имеет асимптотического разложения, ибо
Jim cos e\ t^> оо, не существует.
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ СВОИМИ
АСИМПТОТИЧЕСКИМИ РАЗЛОЖЕНИЯМИ ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
В этом параграфе будет показано, что соответственно каждому
формальному вектору-решению системы B.2) существует истинное
решение, которое имеет это формальное решение своим асимптоти-
асимптотическим разложением, причем последнее пригодно в некотором
секторе комплексной z-плоскости для достаточно больших z. Чтобы
показать это, необходимо сделать некоторые оценки.
В дальнейшем важно будет уметь различать формальные и
истинные решения. Истинная матрица-решение (или вектор-)
системы B.2) будет обозначаться через Ф (или <р), в то время как
формальные решения всегда будут обозначаться через Ф (или $>).
В этом параграфе, если не оговорено противное, предполагается
всегда, что рассматриваемая система имеет такой же вид, как и в
теореме 2.1, а именно :
D.1)
где матрица Ао имеет различные характеристические корни.
Если Р — формальный степенной ряд относительно г:

166 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
то Р(т) обозначает многочлен относительно г~г
т
Р(т)= 2z~kpk (m = 0,1,2, ...).
к=0
Если Ф = PzRfi [см. B.4) ] — формальная матрица-решение систе-
системы D.1), то обозначим через Ф(т) «усеченное формальное решение»
?	D.2)
А
Очевидно, матрицу Ф(т> можно также рассматривать как функ-
функцию z.
Наметим теперь в общих чертах используемый здесь метод. Так
А
как Ф — формальное решение системы D.1), то очевидно, что фор-
формально
ф'ф-1 = zrA
Можно проверить, что для усеченных формальных решений, если
матрица Б<т) определена равенством
низшие члены В(т) совпадают с таковыми же членами А. Это сле-
следует из доказанной ниже леммы 4.1.
А	А,	А
Так как матрицы Ф(т>, Ф(т> и Ф(т} существуют для достаточно
больших z как функции z, то Ф(т> есть истинная (а не только фор-
формальная) матрица-решение системы
W' = ZrJ3(m)W.	D.3)
Если систему D.1) представить в виде
w' = zrB(m)w + zr(A-B(ni))w,	D.4)
то, так как разность А—В(т> мала для больших z, уравнение D.4)
можно записать как интегральное уравнение, подобное уравнению
A.7), рассматривая последний член как данную функцию z и при-
применяя метод вариации произвольных постоянных. Так как решение
щт) однородного уравнения D.3), соответствующего уравнению
D.4), известно, то, как будет показано, интегральное уравнение мо-
может быть решено при помощи метода последовательных прибли-
приближений ; тем самым будет получено решение уравнения D.4) (а зна-
значит, и D.1)), которое ведет себя для больших z, как ф(т).
Лемма 4.1. Матрицы Ф'(т), Ф^ существуют для достаточно
больших z, и если матрица В(т> определена равенством
zrB(m) = Ф\т)Ф^,

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ	167
то
D.5)
где матрицы В{тъ z~rE(m) аполитичны для всех достаточно боль-
больших z (включая оо) и1
m-i) (|2|-> + со).	D.6)
Доказательство. Очевидно, что производная Ф\т) суще-
существует. Так как Р№> — многочлен относительно z-1 и det Ро =f= О,
то функция (det Р{т))~1 существует для достаточно больших z как
сходящийся степенной ряд относительно г*1. Значит, матрица Р{Л
существует и аналитична для всех достаточно больших z. Из D.2)
следует, что матрица
%& = е-*зг*Р&	D.7)
существует для достаточно больших z. Далее,
Ф{т) = {Р[т) + г-фщД + РыОО &#.	D-8)
так как/?, Q — диагональные матрицы. Из D.7) и D.8) следует соот-
соотношение
P(m)Q') P(U,	D.9)
а так как Q' — полиномиальная матрица
C = zrQ0 + zr-1Q1 + ... + Qr,
то очевидно, что матрица B(m> = z~r Ф[т) Ф^ аналитична для
достаточно больших z.
Так как det Ро ^= 0, то формальный степенной ряд Р имеет фор-
формальный обратный Р-1 и, следовательно, матрица Ф имеет формаль-
формальную обратную матрицу
Ф-1 = е-<г2-яр-1.
Далее, Ф' = (Р' + z-xPP + PQ') zR ^ и поэтому
Ф'Ф-1 = (Р- + z~lPR + PQ') P-1.	D.10)
Но из D.1) следует, что Ф'Ф-1 = /А, а так как матрица А анали-
тична для достаточно больших г, то матрица г~гФ'Ф~1 должна быть
для достаточно больших z сходящимся степенным рядом по степе-
степеням z и, следовательно, аналитической функцией для больших z.
Остается сравнить выражения D.9) и D.10). Формальный ряд
Р может быть записан в виде
,	D.11)
1 Запись D.6) означает, что \Е(т){г)\ • | г|т+1~г= 0A), |г| -» ~, причем
грань зависит от /п.

168 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
где/?т = ftp-fz-1 /?i + • • • — другой формальный степенной ряд nq
степеням z~x. Будем обозначать через Jk каждый формальный мат-
матричный степенной ряд относительно г~г, который имеет множи-
множителем z~k, так что
при некоторых постоянных матрицах Jo, ]ъ .... Используя это
обозначение, можно записать D.11) в виде
Р = Рш+и+1-	D.12)
Далее,
= detP(m) +
и отсюда следует, что
(detP)-i
Если adj P — такая формальная матрица, что
= (detP)?:,
то, так как матрица adj P имеет своими элементами алгебраические
дополнения элементов матрицы Р,
Поэтому
Р-х = Р^ + и+1-	D-13)
Из D.12) следует равенство
P' = P'(m) + Jm+z,	D-14)
и, комбинируя D.12) — D.14), получаем из D.9) и D.10)
Ф'ф-1 = Ф;ф-1 + ym+1_r.	D.15)
Число г в индексе последнего члена появилось из-за наличия мат-
матрицы PQ'P-1 в формуле D.10). Но из D.15) следует, что
zrA = zrB{m) + Jm+1-r,	D.16)
а так как матрицы А и В(т> обе аналитичны для достаточно боль-
больших z, то и матрица z~rJm+i-r обладает этим свойством. Обозначая
матрицу Jm+i-r в D.16) через ?(т>, мы видим, что Е(т) удовлетворяет
условиям леммы.
Асимптотическая природа формальных решений сперва будет
получена для случая, когда z= t действительно. Теорема 2.1 и
лемма 4.1 применимы в этом частном случае. Чтобы доказать ниже-
нижеследующую лемму 4.2, нам потребуются некоторые обозначения.
Для фиксированного целого т ;> 0 обозначим векторы-столбцы
матрицы Ф,т) через ?(m>,- (i = 1,..., п). Тогда
D.17>

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
где
P(m)i — '"й столбец матрицы Р(т) и g,- — элемент, стоящий на пере-
пересечении i-ro столбца и r-й строки матрицы R [см. теорему B.1)].
В дальнейшем будем считать число i фиксированным. Так как.
Re qj — многочлен, то его поведение при t —> оо определяется
старшей степенью t. Разделим целые числа / = 1,..., п на два класса.
/1; /2 по следующему правилу:
jeilt если Re(ft-^)-^oo (t-+~>),	D.19)
/6 /2, если Re (ф—q}) ограничена сверху (t-> °°).
Разумеется, классы /х, /2 зависят от выбранного L Пусть, далее,.
о = max Re p;.
Лемма 4.2. Пусть т — произвольное положительное число,
такое, что т — г — g + Re^>0 для всех j = 1,..., п. Соответ-
Соответственно каждому вектору-столбцу ф(ту матрицы Ф(т) существует
истинный вектор-решение <р(т),- системы
v/ = trA(t) w,	D.20)
такой, что
о) .
оо)
Доказательство. Решение (р(т); будет построено при
помощи метода последовательных приближений в комбинации с
одним вариантом формулы вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим две системы:
vf = fAw = f В(т)И; + E(miw,	D.21)
w'==fB(m)w.	D.22)
Из определения матрицы В(т) следует, что Ф(т>@ есть фундамен-
фундаментальная матрица для D.22), если / достаточно велико (det Роф 0).
Таким образом, если рассматривать D.21) как неоднородную систему,
для которой D.22) — соответствующая однородная система, то
при помощи метода вариации произвольных постоянных можно
выразить решения системы D.21) через квадратуры решений си-
системы D.22). Проделывая это, необходимо надлежащим образом
выбрать пределы интегрирования. Пусть t0 настолько велико, что
матрица Ф^@ существует для t ;> t0, и разобьем Ф(~^ - (t) на две
части ;
^т) — е ' МЧ — (т) 1 '{т) >
А A)	^ —1
где /-я строка матрицы ^(т) идентична с /-й строкой Ф(т ^или равна
тождественно нулю соответственно случаям /6 /j или /б/2 ; анало-

170 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
тично определяем ?/$>. Таким образом, ненулевые строки матрицы
Wi% состоят из тех строк матрицы Фщ\, которые имеют множителем
.е-**') для /e/fc, k= 1,2.
Интегральное уравнение, которое нам надлежит рассмотреть,
-имеет следующий вид:
МО = У(т)-@ + (" /Cx(f, т) Цт) dr + f K2(f, т) w(r) dr 0о ^ f < оо),
«о	-	D.23)
тде
Kx(t, т) = Ф(т)@ %)(т)?(т)(т),
D-24)
f, т) = Ф(т)@ УЩт) ?(т)(т).
"Непосредственная проверка показывает, что если функция w —
t
удовлетворяет D.23), причем интеграл сходится, то q> удовле-
со
творяет D.21).
Чтобы решить уравнение D.23), определим последовательные
приближения для / ^ /0 :
9^@-0,
t	t
I	i	D.25)
Необходимо доказать, что каждое из этих приближений существует.
Это будет опущено, так как доказательство вполне аналогично при-
приводимому .ниже доказательству, относящемуся к абсолютной вели-
величине последовательных разностей. Чтобы оценить эти последние,
:необходидимо оценить ядра Кх и К2. Имеем
т)| \E(m)(r)\,	D.26)
и из леммы 4.1 следует
\Elm>(x)\ = O{Tr-m-*) (т-».оо).	D.27)
.Далее, i, /-й элемент матрицы Ф(т)@^т)(т) имеет вид
чР-ЧР ¦ D-28)
В силу сходимости многочленов Р^ для достаточно больших t
! Рш«) |, |РЙ@1 = 0A) (/ -> оо).	D.29)

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ	171
Из D.26), используя D.29) и аналогичную оценку для Kz (t, т),
получаем, что существуют постоянная с = с (т) > 0 и достаточно
большое t0 [которое можно взять равным t0 из D.25) ], такие, что
| К At, т)! <, с 3 tHeei r'-m- '-Ree. еНещо-ор»	D.30)
(t,r^t0; /=1,2).
Предположим, далее, t0 настолько большим, что1
j?J	L	D.31)
1=1 to
и что
Re (g,@ - y,(Q) возрастает (/ e /j, / ^ g,	D.32)
Re (?i@ — 9/@) не" возрастает (/ e /2, f > g.
Из D.25) следует, что
и поэтому
I «рЧО - <Р°@1 < d"^*») (/ ^ g.
Допустим, что
\<pk(t)-<pk-1(t)\^c2~(k-1'>teeKe'bV (t^>t0).	D.33)
Тогда из D.25) следует
где	|9^+1@
А = J j К#, г)!! <рк(т)
Вследствие D.30) и D.33) имеем
и в силу D.32) Ref (9,(т)—д,(т) + ?,@ — д,(/) ^ 0 для to<,r<.t.
Поэтому
и в силу D.31)
1 Все интегралы в D.31) существуют в силу условия, наложенного на т.

172 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Аналогичные рассуждения показывают, что Г2 удовлетворяет тому
же неравенству, что и Гх. Таким образом, неравенство D.33) спра-
справедливо с заменой к на к -f- 1, и, будучи справедливым для к —• 1,
оно справедливо по индукции для всех к.
Следовательно, ряд
2
сходится абсолютно и равномерно к вектору-функции q> =
на каждом конечном интервале t0 <С t < Т <.оо. Далее,
jg	. D.35)
Используя стандартные соображения о последовательных прибли-
приближениях, получаем, что вектор ф(т),- удовлетворяет уравнению D.23)
и, следовательно, дифференциальной системе D.21), что доказывает
лемму 4.2.
Лемма 4.3. Для каждого достаточно большого т решение 9э(т),-,
указанное в лемме 4.2, удовлетворяет неравенству
(,'_> со),. D.36)
где jw — целое положительное число, не зависящее от т и i.
Доказательство. Насколько велико должно быть т,
видно из следующего. Из D.23) следует, что если t > 2/0 и т > г -f
fe — Re р,- (/ = 1,..., л), то существует решение q\m)i, такое, что
Q - Ф(т),<0: ^ Л + Л2 + Л3,	D.37)
где
Л
/;2	/
= f I Kx(f, r)' 9W(t) I Л, Л = [ I KxO, т)! I <pim)i(T); dr, D.38)
Рассмотрим вначале Л2. Из D.30), D.32) и D.35) следует, что
>" rTr-m-I+
'=3*2
Далее,
fe f Tr-m-I+e-Ree,^ = O(fr-.-r+2e-Rea) = Q(P>- +**&) (f _+ ю) |
«2
где /^ — произвольное целое положительное число, 'превосходящее

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ	173
r-f-2g—2 min Reg,. Выберем т настолько большим, что/*—m< 0 .
Тогда	'
Л2 = O(t^m+HeeteReg<t'>) (<->• oo).	D-39)
Аналогичные рассуждения показывают, что эта оценка имеет
место также для Л3.
Возвращаясь к Лъ применим D.30) — D.32), D.35). Получим
РНе =¦'<'> V г^еадо-вда+вс^-фда» #	D.40)
7
—
Обозначим через <гн высшую степень f, встречающуюся в выражении
Re(#i@—#@У Так как Re(#/—9() возрастает для t^>t0 (Ze/Д то
коэффициент р,7 при t"il в этом выражении положителен. Коэффи-
Коэффициентом при f* в выражении
служит число
так как <т«>0. Из D.40) поэтому следует, что член под знаком суммы
есть O(e~rt) для некоторого у > 0, а значит, в частности,
(f-j-oo).	D.41)
Комбинируя D.37) с D.41), получаем D.36), что доказывает лемму.
Лемма 4.4. Если число т достаточно велико, то для каждого
фиксированного целого т'~>т
I 9W)«@ - Пт)№, = 0(еЪ<Ю-<») (/н-оо),	D.42)
где а — положительная постоянная, не зависящая от m' u т.
Доказательство. Выберем m настолько большим, что
лемма 4.3 выполняется, и пусть т' = т + /, где / — целое положи-
положительное число. Из леммы D.3) получаем
<Р(т),<0 = 9»<@ + O(f«e««+''-'n г«е :*«) (/ -»- ~), D.43)
где т таково, что ^—/п<0. Следовательно, если Ф(т> — матрица
с векторами-столбцами (f(m)i. • • •, (г(т)п, то
-W > ГR = Ф(т)@
Так как, по теореме 2.1, det Роф0, то отсюда следугт, что
det Ф(т){1) =j= 0 для всех достаточно больших t, а значит, Ф(т) есть
фундаментальная матрица для системы w' = frAw при всех до-
достаточно больших /.

174 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Но Ф(т+1) — также фундаментальная матрица и, следовательно
п
9V>/@ = 2, Су 9
где Qj — постоянные. Напомним, что
D.45>
т
где P(m)i@ — i-й столбец матрицы P(m)@ = ^' f~fcPfc, имеющий вид
л=о-
т
P<w.<0=^'~fcP№.	D-46>
причем здесь ра — постоянные векторы. Напомним также, что
если матрица Д, предполагается диагональной, тс Ро может быть
выбрана как единичная матрица Е. Это предположение, очевидно,
не уменьшает общности рассуждений, и поэтому будет в дальней-
дальнейшем приниматься. В таком случае pio — вектор с единицей в 1-й
строке и нулями во всех других. В силу D.43) формула D.44) экви-
эквивалентна следующей оценке :
и, пользуясь D.45) и D.46), отсюда получаем
Пусть, как и прежде, 1Х обозначает множество всех целых
к(к= 1,..., п), таких, что Re(g,- — gft)->- оо (/-> -f oo) и /2— допол-
дополнительное множество относительно 1, 2,..., п. Из структуры выра-
выражений qh как многочленов без постоянного члена, следует, что
/се/2в том и только в том случае, когда или Re qt = Re qu, или
Re(g,—дл)-з— oo (*->-+ oo). Покажем теперь, что в D.44) с,-,- = 1,
и если fc ^= /, /се /2, то с,й = 0.
Пусть /21 — множество всех таких к, что Re(g,—д*)-э—оо
(f-> + оо). Предположим, что /*i —множество всех /с'е /21, таких^
что Re (<7Л — ^ft') ограничена сверху при f->- + оо для всех к е /21.
Пусть к" — произвольное целое число, принадлежащее /^ и такое,
что Rep^^Ree*' для всех /с'е/^. Разделим D.47) на *г*"е«*-(О
и пусть f-^- + оо. Если рассмотреть /с"-ю строку, то получим с,-*» == 0.
Продолжая таким образом, покажем, что ctk = 0 для всех к е /21.
Пусть /22 — множество всех к ф i, таких, что Re qi = Re qkr
и пусть к' е /22 таково, что Re дк' ;> Re qu для всех к е /22. Разделим

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ	175>
D.47) на /?*'??*'(') и пусть t-> + со. Рассматривая к'-ю строку, при
переходе к пределу получаем, что cik- = 0, если Re дк> > Re g,-.
При Re Qk' — Re Qt рассмотрение к-й строки показывает также, что
Сие = 0. Теперь, деля на /«?*('> и полагая f-э- + °°, легко получить,-
что с,-,- = J. Далее, в точности такие рассуждения проходят для
Re Qw < Re Qi, к' е /22. При этом т следует полагать настолько боль-
большим, чтобы было Re &—Re Qk- + /* — m < 0 для всех к' е /22, таких,,
что Reeft'<Ree,-.
Поэтому из D.44) следует
9W @ = 9{т+О1 (О + ^ Clj<p(m+l)j @ •
Отсюда вытекает, если использовать D.43) и D.45), что
9W @ = 9W0f @
где ?(/) = О(е~а1) для некоторой постоянной а > 0, которая He-
зависит от т или т'. Это доказывает оценку D.42).
Теперь можно выяснить асимптотическую природу формальных,
решений в действительном случае.
Теорема 4.1. Пусть ?,-= p/f^c*— произвольный вектор-столбец
формальной матрицы-решения Ф = PtReq системы D.20), гйе л/ат-
р«уа Л удовлетворяет условиям теоремы 2.1 для z = f. Тогда су-
существует для всех достаточно больших t истинный вектор-решение-
cpt этой системы, такой, что оценка
I<л@ - <Р(т)/ (91 = 0 (*Reа"т-' eRe*c>) (<-> + ») D.48)
имеет место для всех т = 0, 1,2,... . В частности, ф{ ~ ф,-.
Доказательство. Из леммы 4.3 следует, что для каждого-
достаточно большого т', скажем т' ^ тъ существует решение-
<P(m')i, такое, что
9W>« (9 = Фет')»(9 + О(/R'«+"—'^«@) (^ + со), D.49).
где /^ — целое положительное число, не зависящее от т'. Выберем,
целое число тг так, чтобы было тх > fi. По лемме 4.4 для достаточно-
больших т, скажем т~^т2~^>тх и т' > т,
<Р(тЛЪ = Пт')/(9 + О(с«е«»-»0 (f-+ + со) ,	D.50)
где а — положительная постоянная. Комбинируя D.49) и D.50),.
получаем для т = т2 и всех т! > т2
9W @ = Ф(т)«(9 + 0(fRe«+"—'^?4(o) (t_+ + со). D.51).
Но из определения решения ф(т'у(9 следует, что
Фею (9 = Ф<т'-м- О КО + О (?Re ft+""m' ^Re •») (*-»- + со). D.52)
Полагая m == m'—(л—1 и комбинируя D.51) и D.52), получаем для
всех т > т2 —fi — 1
9>(ms), @ = Von» @ + O(t^'"^ <**«*>) Q-++ со). D.53)

176 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Остается доказать D.53) для т = 0, 1,..., Щ—^—1. Так
то D.53) имеет место для m = mz—fi—1. Используя индукцию,
нетрудно видеть, что D.53) должно быть справедливо для т =
= 0, 1,2,... . Тем самым теорема доказана, если в качестве vpi выби-
выбирается решение
§ 5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В КОМПЛЕКСНОМ СЛУЧАЕ
Результат, высказанный в теореме 4.1, справедлив не только
для действительных z = t, но, очевидно, также на каждом луче
z — tew, каково бы ни было фиксированное в. Однако теорема не
•связывает решения вдоль одного луча с решениями вдоль другого
луча. В этом параграфе будет показано при помощи некоторых тео-
теорем теории функций комплексного переменного, что теорема 4.1
.может быть использована для доказательства того, что решение vpi
с асимптотическим разложением фг вдоль надлежащего луча на
•самом деле имеет ^,- своим асимптотическим разложением в некото-
некотором секторе z-плоскости.
Необходимые нам результаты из теории функций, формули-
формулируемые ниже, принадлежат Фрагмену и Линделефу и являются
¦обобщением теоремы о максимуме модуля1. При z = | z | ёе мы будем
пользоваться обозначением arg z = в.
Теорема А. Пусть / — аналитическая функция при
где k, 6V в2 — действительные постоянные. Пусть
Кг) = О{е**Г) (|z|-vco)
равномерно при 6Х <; arg z <; в2 для некоторых постоянных с и т,
.таких, что	.а а
m{6z — ег)< 71.
Если функция / ограничена при | z | -»¦ оо на лучах arg z = в1 и
arg 2 = в2, то / ограничена равномерно при | z | —>¦ оо в секторе
Теорема В. Пусть f — аналитическая и равномерно ограни-
ограниченная функция в области, определенной в теореме А. Кроме того,
предположим, что существуют постоянные аиЬ, такие, что j(f)-^-a
при | z | —>¦ со на луче arg z = вг и /(z) —>¦ Ь при | z | —>¦ оо на луче
arg z = в2. Тогда а = b и f(z) -> а равномерно в секторе вг ^
<, arg z <, в2 при | z | -> со.
1 Доказательства этих теорем см. в книге Титчмарш Е. К., Теория
•функций, Гостехиздат, 1951, стр. 203.

§ 5. АСИМТОПТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОМ СЛУЧАЕ 177
- Напомним, что рассматриваемая система имеет вид
v/ = zrA(z) w (г ;> 0),	E.1)
где
АG\ — V;-t Л,	(Р, О\
и последний ряд сходится при | z | > d для некоторого d > 0. Из
E.1) непосредственно следует существование такой постоянной
tj > 0, что каждое решение ср системы E.1) удовлетворяет для
больших | z | неравенству [ ср' \ <; сх \ z \r \ ср |. Если положить с =
= cjif -\- 1), то из последнего неравенства следует, что
<p(z) = О (^И^1) (j^i-^cx.)	E.3)
равномерно в каждом фиксированном секторе z-плоскости, огра-
ограниченном двумя лучами.
Выберем целое число i (I <[ i <, п) и зафиксируем его в даль-
дальнейших рассуждениях. Так как, по предположению, характеристи-
характеристические корни ЯД/= 1, ..., п) матрицы Д, различны, то уравнение
Re [(Я, — Яу) zr+1] = 0 (/ т^ 0	E.4)
определяет в z-плоскости конечное число направлений. Это —
направления arg z = в (mod 2 я), для которых
Обозначим через S, сектор
S,: a
такой, что все направления, определенные из уравнения E.4), на-
находятся вне Si. Докажем следующий результат.
Теорема 5.1. Если ф{ — pizQie4i — произвольный формальный
вектор-решение системы E.1), то существует в секторе Sh опреде-
определенном выше, для всех достаточно больших \ z | истинное решение
<pi системы E.1), такое, что
<Pi ~ Ф;
равномерно в S,-.
Легкид1 следствием этой теоремы является следующий результат.
Теорема 5.2. Если сектор S z-плоскости не содержит направ-
направлений, для которых
то существует для всех достаточно больших \ z \ фундаментальное
множество решений <pi{i= 1,..., п) системы E.1) в S, такое, что
<Pi~q>i (i = i., ...,п)
равномерно в S.
12 182.

1-78 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Доказательство теоремы 5.1. Для любого /= 1,2, .. .,л
q,{z) - gj(z) = (Я, - Ц ^ + ДО> - Af) f + ... + (Я</> - Я</>) г,
и ясно, что поведение Re (<?,—Qj) в S, для / =^= / при | z | -> <=о зависит
от поведения первого члена
так как | Я,- — Яу | ф 0. Из определения сектора S, следует, что
целые числа /= 1, 2,..., i—1, i-\~ I,..., п распадаются на два
класса /г и /2, для которых
Re (<?,-<?,)->-> (/?/,)	E.5)
равномерно в S, при | z | ->¦ °° и
Refe,-9y)->—оо (/е/2)	E.6)
равномерно в S,- при | z | —>- «зо.
Из теоремы 4.1 вытекает существование решения ф, системы
E.1) на луче arg z= а для всех достаточно больших | z \, облада-
обладающего тем свойством, что
9>«~9>i (argz = a).	E.7)
Из свойства единственности следует, что функция qn может быть
продолжена за пределы луча arg z = а, и, следовательно, можно
предполагать, что <р,- существует для всех достаточно больших | z |
и удовлетворяет оценке E.7) на луче arg z — а. Выберем теперь
число у так, чтобы
и y_a<F-pr.	E.8)
Можно также предполагать, что у выбрано так, что на луче
arg z = у имеем для любых I и /, I ф /, или
Re (qt - qj) ~> °° (arg z = у),
или
. Re {qt - qj) -> - ex, (arg z = y)",
Из теоремы 4.1 следует, что на луче argz= у существует для
достаточно больших | z | фундаментальное множество решений
У>ъ ¦ ¦ -> V" системы E.1), таких, что
V]~Vj (argz = y).	E.9)
Таким образом, для некоторых постоянных с1; ..., сп
Jt	E-Ю)
при всех достаточно больших \z\.

§ 5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОМ СЛУЧАЕ 179
Предположим, что существует такое ке /2, что ь,фО и что для
всех I е /2, для которых I Ф к и а =1= 0, имеет место соотношение
y)	E.11)
при |z|-*-oo. Если т > 0—произвольное целое число, то в силу
E.9) и E.IO) имеем в обозначениях теоремы 4.1
<Pi = СЛу(т)|1 + О ([zj
В частности, если
/B
ТО
где а — постоянный вектор, не равный тождественно нулю. На луче
arg z = а имеем, так как к € /2 и выполняется соотношение E.7),
Вспоминая E.3) и используя теорему А и затем теорему В для
каждой компоненты /, получаем, что а = 0, а это невозможно. Таким
образом, числа к с предположенньши свойствами не существует и
неисчезающие члены в правой части равенства E.10) таковы, что
/ е /х и / = L
Из E.7) следует, что вектор
g(z) = g>,-(z) е-ч*я z~ei
таков, что
g(z)-»-c (iz|-».oo, argz = a),
где с — постоянный вектор, определяемый равенством
с = lim <pim)t (z)
Из E.9) и E.10) имеем также
g(z)->c,-c (|z|-»-o
и в силу теоремы В отсюда следует, что с,= 1. Таким образом,
формула E.10) дает
В силу E.7) это соотношение, очевидно, справедливо для arg z = a.
Применяя к разности ф — ф(т); теорему А, заключаем, что оно
справедливо равномерно в области а <; arg z <, у. Это эквивалентно
асимптотическому равенству
Если у <С Р, то, повторяя предыдущие соображения конечное
число раз в секторах с углами меньшими тг/(г +1), получаем теорему
для сектора S,.
12*

180 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Следующее замечание показывает, что обычно сектор S,- может
быть расширен. Кривая, вдоль которой Re (qt — qj) = О для некото-
некоторого / =f= i, может заменить луч в условиях теорем А и В. Кроме
того, результаты, полученные в § 4 для z, изменяющегося вдоль луча,
вообще говоря, справедливы при изменении z вдоль такой кривой.
При помощи незначительного изменения предыдущих рассуждений
можно получить асимптотические соотношения в некотором сек-
секторе Si, ограниченном двумя такими кривыми, но не содержащем ни
одной такой кривой внутри. Далее, наши соотношения обычно могут
быть распространены на примыкающий сектор. Покажем это на
примере. Метод является вполне общим.
Рассмотрим уравнение A.3) при а = —1/4 и комплексной неза-
независимой переменной, так что мы имеем систему
1
w
с корнями i1=i и^ = — L Беря первую компоненту вектора w
и обозначая ее через и, получаем
E.12)
и, как видно из A.5), это уравнение имеет следующие два формаль-
формальных решения
Рассмотрим теперь решение (рг уравнения E.12), которое по
теореме 5.1 удовлетворяет для 6 <; arg z <; я— б, где б > 0, соот-
соотношению
<Pi~<Pi-	E.13)
Пусть ух и y>z — два решения уравнения E.12), которые на луче
arg z = 0 ведут себя асимптотически соответственно как фг и ф2.
Тогда для некоторых постоянных сх и с2
Умножая это равенство на ёг, получаем, что
**<№) = сгё^ +с2 + О {-^)	E.14)
на луче arg z = 6 при z-э- + °°- Используя E.13), находим
ei4<Pl(z) = ^(l+0^\	EЛ5)
на луче arg z = п\2 при j z j -э- о°.

§ 5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОМ СЛУЧАЕ 181
Пусть
где х0 — большое положительное число и интеграл берется в верх-
верхней полуплоскости по дуге окружности | s | = х0 до луча arg s =
= arg z, а затем вдоль луча arg s = arg z. Очевидно, что из E.14) и
E.15) следует4
lim F(z) = с2 (argz = 0),
z—>«>
lim F(z) = 0 (aigz = -J).
Таким образом, из теоремы А, применяя теорему В, получаем, что
с2 = 0. Рассматривая теперь функцию e~iz ^(z) на лучах arg z — 0 и
л/2, находим, что сг = 1. Итак,
на лучах arg г = 0 и л/2, откуда следует, что <рг ~ ^ равномерно в
секторе 0 ;< arg z <; зт/2. Эти соображения могут быть теперь
повторены для сектора [л/2, л]. Кроме того, их можно повторить
для секторов [тс, 2 т — 6 ] и [— л + 6, О J для некоторого 8 > О,
так что окончательно
9Ji~?'i (— я + <5<[argz<;2:rc — й).	E.16)
(В самом деле, z~lli<px (z), — с точностью до постоянного множи-
множителя, функция Ханкеля.)
Аналогичные результаты имеют место для решения <рг :
9>г~?2 (-2n + d^argz^7t-6).	E.17)
Уравнение E.12) имеет своим решением выражение z4*J0(z),
где у0 — функция Бесселя нулевого порядка. Так как решения
<рх и 9>2 независимы, то
для некоторых постоянных сг и с2. [Легко проверить, что сх = с2 =
= B/srI" е-™/4. ] Из E.16) и E.17) следует
Так как Jo — целая функция г, то она однозначна. Формальный ряд,
стоящий справа, также однозначен. Так как слева встречается мно-
множитель z\ то левая часть многозначна, так что предыдущая асим-
асимптотическая формула не может быть справедливой при—rc<;argz<;
<; л. Таким образом, полученный результат в некотором смысле
является наилучшим. Используя очевидное обобщение метода, при-
примененного в этом примере, часто возможно асимптотические формулы
распространить на секторы, большие, чем секторы в теореме 5.1.

182 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
§ 6. СЛУЧАЙ, КОГДА МАТРИЦА Ав ИМЕЕТ КРАТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ
Этот случай значительно сложней, чем рассмотренный в § 2.
Доказательство существования формального решения содержит
новые существенные трудности. Это можно проиллюстрировать в
действительном случае на примере уравнения
tw"+w'+w = O.	F.1)
Соответствующая уравнению F.1) система имеет вид
w'2 = — /-1 wx — t~x wz.
Если w — вектор с компонентами wu w2j то
W = {A0 + t-1AJw,	F.2)
где
*=Q- * = (-?-!)•	с")
Следовательно, матрица Ао имеет двойной корень Я = 0 с не-
непростым элементарным делителем. Если сделать подстановку t = sz,
то уравнение F.1) принимает вид
iv" + s-1 W + 4 w = 0 ('= ~)	F.4)
с соответствующей системой
где
Таким образом, матрица Во имеет характеристические корпи Я =
= ± 2j, и, следовательно, можно применить к системе F.5) теорему
2.1. Из этой теоремы вытекает, что F.4) имеет формальное решение
вида
(?	)	F.7)
Подставляя F.7) в F.4), найдем, что г = --1/2. Так как уравнение
F.4) действительное, то комплексно сопряженное к F.7) выражение
также должно быть формальным решением. Отсюда получаем,
полагая s = fu, что F.1) имеет формальное решение вида
w = Cl рг(г%) f-1/' е2иЧ' + сг pz(t%) t-1'' e~2iilh ,	F.8)
где q, сг — постоянные и р1г pz — формальные степенные ряды
по t~x. Итак, ясно, что в показательные члены и формальные ряды
могут входить дробные степени t.

§ 7. ИРРЕГУЛЯРНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П 183
Можно показать, что в общем случае, когда матрица Д, имеет
кратные характеристические корни, справедлива следующая тео-
теорема, однако ввиду сложности доказательство опускается.
Теорема 5.1. Рассмотрим систему
w' = zrA{z)w,	F.9)
где г — неотрицательное целое число,
A(z) = J?z-kAk
fe=O
и последний ряд сходится при \ z | > а для некоторого а > 0. Тогда
существует формальная матрица-решение для F.9) вида
0 = SeQ.	F.10)
Здесь Q — диагональная матрица с диагональными элементами qif
представляющими собой многочлены типа
где U и h — целые, и S — матрица, элементы которой Sij — фор-
формальные выражения вида
m=0
В этой формуле rtj — постоянные, а оцт — формальные ряды:
где Oijmi — постоянные. Кроме того, формальные определители
матрицы S не обращаются в нуль для больших \ z | < оо.
Далее можно показать, что существуют решения системы F.9),
которые имеют эти формальные решения своими асимптотическими
разложениями в,некоторых секторах z-плоскости. Доказательства
§§ 4 и 5 могут быть легко применены к этому более общему случаю.
§ 7. ИРРЕГУЛЯРНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П
Рассмотрим уравнение порядка п вида
2 z™am(z) u*"-m> = 0 (ao(z) = 1),	G.1)
m=0
где г ;> 0 — целое число и коэффициенты ат — аналитические
функции в окрестности точки z = оо, т. е.
р=О

184 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
и ряд сходится при | z | > а для некоторого а > 0. Пусть <р — неко-
некоторое решение уравнения G.1) и пусть компоненты <pfe имеют вид
щ = z-tf-o-yft-o (А:= 1	п).	G.2)
Тогда легко проверить, что
<Рк = — (к— l)rz-1yk + zr(pk+1 (k=\,...,n— 1).,
G.3)
4>'п= — (и— l)'*-1?/! —zr(an?'i + an-i9'2+ ... +а19>„)-
Следовательно, если <р — решение G.1), то вектор с компонентами
<рк, определенными по формулам G.2), есть решение системы
W = zrA(z)w,	G.4)
где
0	1	о ...	о
О — rz-r-i	1 ...
-2rz-r-i ...
О
1
¦fln-i(z)
G.5)
Наоборот, первая компонента каждого вектора-решения системы
G.4), G.5) есть реагение уравнения G.1). Поэтому теоремы 2.1, 4.1 и
5.1 могут быть применены к G.4), G.5) с тем, чтобы получить фор-
формальные решения и их асимптотическое поведение; рассматривая же
первую компоненту, получаем соответствующие результаты для
уравнения G.1).
Если матрицу А записать в виде
A(z)=r- 2z-"Ak,
где Ак — постоянные матрицы, то
( ° 1 0 ... О \
О О 1 ... О
о
I. — Оло
..О
Характеристическое уравнение для матрицы Ао, как следует из
формулы F.19) гл. III, имеет вид
Я" + о10Я"-1 + ...+опО = 0	G.6)
и его можно непосредственно получить, если заменить в G.1) произ-
производную w('{) на Як и zkra^z) на я,.о — постоянное слагаемое в разло-
разложении йк.

§ 8. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ	185»
§ 8. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
При доказательстве существования истинных решений системы
A.2), представимых асимптотически формальными логарифмически-
экспоненциальными рядами1, в основу может быть положен интеграл
Лапласа.
Здесь мы рассмотрим частный случай
(aoz + b0) n*»> + Kz + bj и**-» + ... + {anz + bn) w = 0, (8.1),
где a-, bj — постоянные. Положим
P(s) = aosn + axs"-1 + ... +an,
Q(s) = bosn + b1s"-1 + ...+bn.
Пусть F — аналитическая функция и
9(z)=
где С —¦ путь в комплексной плоскости, который будет ниже опре-
определен.
Предположим, что <р — решение уравнения (8.1). Так как фор-
формально
= j F(s)ske°*ds,
с
то уравнение (8.1) приводится к виду
J F(s)[zP(s) + Q(s)]eszds = O.
с
Очевидно, интегрирование по частям дает
J FP zesz ds = F(s) P(s) esz jc - J^ (FP) esz ds,
с	с
где FPe™ |c — вариация функции на контуре С. Таким образом,.
{{FQ — FP' — F'P] eszds + FPesz\c = 0.
с
Выберем F так, чтобы было
F'P+ F(P'-Q) = 0.
Следовательно,
1 См., например, А й.н с Е. Л., Обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения, Харьков, 1939.

186 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ 'СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО РОДА
Теперь условие, что интеграл <р удовлетворяет уравнению (8.1),
принимает простой вид.
Если slt...,sm — корни уравнения P(s) = 0 и они простые, то
где R(s) — многочлен и а, — постоянные. Таким образом,
и С выбирается так, что V = 0. Это может налагать ограничение на z.
В случае, когда степень многочлена P(s) равна п, R(s) = as,
где а — постоянная, и
V==e(z+a)s
i = l
Если Re afe > 0, то пусть
n(z)= e^i П (s - sjp-1 ds,	(8.4)
где интеграл берется вдоль прямой линии от точки s = sk до s = оо.
Если линия интегрирования образует с положительным направле-
направлением действительной оси s-плоскости угол -у, то интеграл в выра-
выражении для щ сходится для зт/2 < arg z + у < 3 я/2, и срк есть
решение (8.1). Область применимости представления может быть
изменена варьированием у.
Далее легко показать, что такие интегралы (которые являются
на самом деле преобразованиями Лапласа) представимы асимптоти-
асимптотическими рядами.
В качестве примера возьмем уравнение
zw" + {у — z) м/ — aw = 0	(8.5)
(рассмотренное в гл. IV). Здесь
P(s) = s2-s, Q(s) = ys-a.
Следовательно,
F(s) = sa-l(s- l)v-«-i
и
V = sa(s- 1у~ае<*\с.
.Если Re a > 0 и Re(y — a) > 0, то решение дается в виде

ЗАДАЧИ	187
Другое решение, годное для Re z < 0, Re(-y — а) > 0, представляет
собой интеграл
со
[sa~'(s- I)--" ¦' e^ds.	(8.6)
Решения могут быть также представлены интегралами по петле-
петлеобразному пути, который обходит точку s = 0 в положительном
направлении, а точку s = 1 — в отрицательном, и затем вновь
точку s = О — в отрицательном направлении, точку s = 1 — в
положительном.
Если s = а + 1, то решение (8.6) принимает вид
ez J (! + or)»' or>-°-' ef'da.	(8.7)
о
Для всех а > 0 (в действительности для всех а, таких, что
[ arg а | < ж — 6)
где функция Fк(а) равномерно ограничена.
Таким образом, решение (8.7) асимптотически равно
fzГДУ-«) i (а-1)Ду-а+1) , («~1)(а-2)Г(у- а + 2)	]
При помощи изменения направления пути интегрирования в а-
плоскости область применимости асимптотического разложения
может быть расширена до сектора — ч /2 < arg z < 5зт/2.
Задачи
1. Предположим, что матрица А системы D.1) аналитична в некоторой
области D комплексной г-плоскости и что
в D. Доказать, что теоремы 4.1, 5.1 и 5.2 справедливы при дополнительном
ограничении z e D.
2. Провести рассуждения, аналогичные проведенным в конце § 5, для
уравнения
*
где а и b — действительные постоянные.
3.	Выяснить зависимость между предыдущей задачей и уравнением (8.5),
разобранным в конце § 8 (см. задачу 7 гл. IV).
4.	Пусть для больших | г j
/(г) = ew«»'(«,„ + !• +...),
где g(z) = g0 гл+1/(я + 1) + . .. + gjiZ — многочлен степени п + 1, ju. — посто-

188 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ -ВТОРОГО РОДА
янная и bj — постоянные векторы. Пусть матрица A(z) такая же, как и в. фор-
формуле B.3). Показать, что система
w' = zrA(z)w + /B)
имеет формальное решение
у> =
[со + -7
где к = /л ¦— тг, если г <,п, и к = fx — г, если г > п. Предполагается также :
или ни один из характеристических корней Ао не равен g0, если г = п, или ни
одун из характеристических корней Ао не равен нулю, если г ~> л.
5. Пусть многочлены тц определены так, как в D.18). Пусть S — сектор
2-плоскости, в котором для каждого / = 1, 2,..., п или
Re(9j-g)-»oo,	(a)
или
Re (Qj - g) -» - °о	(b)
при \z\ —> оо. Показать, что дифференциальное уравнение задачи 4 имеет реше-
решение ф, такое, что
9 ~ у	(г 6 S).
Указание. Пусть ?>т — усеченная сумма, состоящая из т + 1 членов
ряда у. Пусть й1 = w — ц'т- Тогда
w' = z'A{z) w + /ш(г),
где
е-е/т = О (|z \i+k-m-1) (/ = тах(я,г)).
Показать, используя интегральное уравнение, аналогичное D.23), что вдоль
любого фиксированного радиуса в S существует решение w = x(z>m),
x(z, m)e-e = O(| z|*-m-!), но с решениями У7,™, и *P[mh которые определены
по условиям (а) и (Ь), указанным выше, а не по D.19). Затем использовать при-
прием § 5.

Глава VI
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ,
СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе будет рассматриваться линейная система диффе-
дифференциальных уравнений
x' = QrA{t,Q)x (a<t<b),	A.1)
где г > 1 — целое, А — матрица, непрерывная по совокупности
переменных {t, q) для a <_t < Ь и больших | q | и аналитическая
по q для больших | q |, так что
A(t,Q)= 2e-kAk(t)	A.2)
fc=O
для больших | q | с непрерывными матрицами Ак. Такие системы
встречаются в задачах на собственные значения, как будет показано
в гл. VII. (Результаты этой главы не используются в гл. VII.) Эти
системы встречаются также в тех случаях, когда старшая произ-
производная в линейном дифференциальном уравнении порядка п имеет
множителем малый параметр — например, в теории пограничного
слоя. Результаты и методы этой главы не изменяются, если соотно-
соотношение A.2) будет формальным с расходящимся рядом.
В некоторых случаях решения уравнения A.1) изучаются при
действительных t и больших комплексных q. В других случаях q
может быть действительным большим, at — комплексным или обе
переменные могут быть комплексными. Методы этой главы имеют
много общего с методами гл. V. Здесь будет рассмотрен случай
действительных t и комплексных д. Изменения, которые необходимо
внести в других случаях, достаточно тесно примыкают к методам
гл. V, и в настоящей главе мы этим не будем заниматься.^
Мы будем предполагать, что матрица Д)@ имеет различные
характеристические корни для / € [а, Ъ ] или по крайней мере, что
число различных характеристических корней AJt) не меняется,
если t пробегает значения от а до Ь. Это исключает из рассмотрения
некоторые очень интересные задачи. Одна из таких задач возникает
в случае уравнения второго порядка
+...)w = 0	A.3)

190 ГЛ. VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
в окрестности точки t = 0. Если использовать в этом случае переход
к системе, полагая w=w1 и w' = qw2, to для A.3) будем иметь
г = 1 и
Очевидно, что A0(t) имеет различные характеристические корни,
за исключением точки t = 0. Чтобы изучить уравнение A.3), следует,
используя метод вариации произвольных постоянных и решения
уравнения
которые выражаются в явном виде через некоторые функции Бес-
Бесселя, заменить его интегральным уравнением. По методу это очень
похоже на то, что было уже дано в гл. V, и на то, что будет дано
в этой главе. Однако в этом примере мы имеем более сложную
асимптотическую формулу ввиду наличия функций Бесселя. Гово-
Говорят, что уравнение A.3) имеет в точке t=0 точку ветвления.
Изучение точек ветвления здесь не будет проводиться.
§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
Для случая, который будет изучаться вначале, достаточно рас-
рассмотреть формальные ряды (Лорана) по степеням о с непрерыв-
непрерывными коэффициентами, т. е. ряды вида
где рк — непрерывные функции / на интервале a <C,t <^b и все
Рк с отрицательными индексами, за исключением конечного числа
их, равны нулю для a <_t < Ь. Ряд не обязан сходиться. Если
каждый коэффициент рк дифференцируем, то производная р' ряда р
определяется как формальный ряд
00
ь
Два формальных ряда называются равными, если коэффициенты
при одинаковых степенях о равны. Сумма, произведение и прочие
операции с формальными рядами определяются так, как было
указано ранее.
Пусть q — многочлен относительно q :
4 =
где qk € С на интервале a <,t<,b. Мы будем рассматривать формаль-
формальные выражения вида ре4. Два таких выражения равны в том и только
в том случае, когда многочлены q равны для а <[ t < b и формальные

§ 2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	191
ряды р равны. Если р и q дифференцируемы по t, то, по опреде-
определению,
Очевидно, (ре4)' есть выражение того же вида, что и ре4.
Мы будем рассматривать также формальные матрицы PeQ, где
Q — диагональные матрицы, элементами которых служат многочлены
от q рассмотренного выше типа, а элементами матрицы Р служат
формальные ряды. Две такие матрицы называются равными в том
и только в том случае, когда равны матрицы-ряды Р и диагональные
полиномиальные матрицы Q. Так как матрица Q диагональная,
то производная матрицы е® равна Q'eQ.
Из A.1) и A.2) ясно, что выражение qA(U q) можно рассматри-
рассматривать как формальный ряд. Формальная матрица Pfi называется
формальным решением системы A.1), если формально
{Ре®)' = (Р' + PQ') eQ = Qr A(t, о) Ре<?,
Теорема 2.1. Пусть матрицы Ак в A.2) бесконечно дифферен-
дифференцируемы на интервале a<.t<b и предположим, что характери-
характеристические корни А,(/) (i — 1,2,..., п) матрицы A0(f) различны при
a<t<b, так что
4t) - h (О Ф о (« ^ /, о < < < 6) •	B.0
система A.1) u/feem форматную матрицу-решение Pfi, где
р= 2 ^~k р*@' Q =
Кроме того, матрица P0(t) неособая на интервале a <t <b, a
Qo@ =A(f), где A(f) — диагональная матрица с диагональными
элементами Я,(<), /=1,..., п.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1, гл.
V. Из B.1) легко получаем, что из существования всех производных
матрицы Ао следует их существование для корней A,(f) и поэтому
для матрицы Л. Для каждого / в интервале a <^t <^b существует
неособая матрица B0(t), .такая, что Ba1(t)A0(t)B0(t) = Л (t). Важно
заметить, что из равенства А0В0 = В^Л вытекает в силу B.1), что
матрица Во может быть выбрана так, чтобы она имела на интервале
[a, b ] все производные. В самом деле, каждый столбец Во единстве-
единственен с точностью до скалярного множителя. С другой стороны,
k-vi столбец Во может быть выбран как кратное алгебраических
дополнений строки матрицы (Ло — Aft?). Так как, по условию B.1),
корни 2.J различны, то для любого фиксированного t алгебраические
дополнения каждой строки не могут все обратиться в нуль. Если
алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы (Ао — &кЕ)-
не все равны нулю в точке t, то по непрерывности это верно для

192 ГЛ. VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
некоторого интервала, содержащего /. По теореме Гейне—Бореля
существует конечное множество интервалов, объединение которых
равно [a, b ], таких, что на каждом из этих интервалов алгебраи-
алгебраические дополнения некоторой. строки матрицы Ао — АкЕ не все
равны нулю. Выбирая одну такую строку для каждого из интер-
интервалов конечного множества, убедимся, что алгебраические допол-
дополнения бесконечно дифференцируемы. Склеивая алгебраические
дополнения этих строк при помощи бесконечно дифференцируемых
скалярных множителей, возможно найти к-й столбец матрицы Во,
который не обращается в нуль на интервале [а, Ь] и имеет все
производные.-
Преобразование х = Воу дает для у систему того же типа, что
и A.1), с заменой Ао на Л. Таким образом, без какого-либо ограни-
ограничения можно предполагать, что матрица Ао диагональная. Из того,
что PeQ есть формальное решение системы A.1), следует
>	(j )¦¦¦+<?) =
о	U	;
j?e-*Pft . B.2)
•Следовательно, приравнивая коэффициенты при ог, получаем
"о У о —~ -"о *о •
Предполагая, что уравнение A.1) было преобразовано указанным
образом, так что матрица Ао имеет диагональную форму, находим,
•очевидно, что Q'o = Л = Ао, и Ро = Е есть решение этого уравнения.
Коэффициенты при д'-1 в B.2) дают
Pi Q'o + Ро Q'i = A, Pi + А Ро.	B.3)
Так как Ро = Е, а матрицы Ао = Q^ и Q^ диагональные, то эле-
элементы р$ матрицы Р[ при i ф / удовлетворяют уравнению
где й^}' — элементы матрицы Ах. Согласно B.1) это определяет
¦элементы р\)\ i ф /, однозначно. Пусть Рг — матрица с элементами
рЧЧ>, i ф /, определенными как выше, и с нулевыми диагональными
элементами. Для i = / равенство B.3) дает
Таким образом, матрица Q[ определяется однозначно. Матрицы
Qj(t) могут быть единственным образом определены по матрицам
Q'j(t), если потребовать, чтобы было Q7(a) = 0. Пусть Рг — Рг +
+ P0D0, где D0(t) — неопределенная диагональная матрица. Тогда,
очевидно, выполняется равенство B.3).
Этот процесс продолжается до приравнивания коэффициентов
при g-1 и появления члена Р[. То, что производная Pi существует,

§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ	193
есть, очевидно, следствие дифференцируемое™ матриц Ао и Аг.
При рассмотрении последующих степеней q будут появляться стар-
старшие производные матриц Аг Из уравнения, получающегося при-
приравниванием коэффициентов при q~x, следует также, что матрица
D'o определена. Тесная аналогия с доказательством теоремы 2.1
гл. V очевидна и дальнейшие детали опускаются.
Замечание. В случае когда матрицы Ак принадлежат
классу Ст, но не принадлежат классу Cm+1, предыдущие сообра-
соображения годны лишь до момента появления т-х производных. Таким
образом, в этом случае можно только доказать существование
младших членов формальных рядов.
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
Понятие асимптотического ряда было уже введено в гл. V.
Там были получены асимптотические ряды по переменной z. Здесь
будут рассмотрены асимптотические ряды по параметру q. Через
S будет обозначаться область g-плоскости, заключенная между
двумя дугами, каждая из которых стремится к °о и которые не
пересекаются, за исключением их общей начальной точки. Говорят,
что функция / = f(t, q) представлена в S формальным асимптоти-
асимптотическим рядом
для a<,t<_b, если для каждого неотрицательного т существует
постоянная Кт, такая, что
/(^e)-Z'
для всех достаточно больших qGS и для a<,t<,b.
Пусть функция q непрерывна по совокупности переменных
(t, q) для /е[с, Ь], g€S. Говорят, что функция / представляется
асимптотически в области S рядом
если для каждого т существует постоянная Кт, такая, что
\ф\^^-	C.1)
для достаточно больших QeSnte [a,b]. Аналогично функция /
представляется асимптотически выражением
13 182.

194 ГЛ. VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
если для каждого т
N	т	1
Если соотношение C.1) имеет место для т <.М, где М — целое
число, то это записывается в виде
В дальнейшем будет видно, что две граничные дуги области
S обладают тем свойством, что при | q | ->- оо на каждой из них
arg q стремится к определенному предельному значению.
Пусть элемент, стоящий на пересечении k-vi строки и А:-го столбца
диагональной матрицы Q теоремы 2.1, обозначен через qu. Тогда
^) * *()
Условие Н. Предположим, что существует область S комплекс-
комплексной Q-плоскости, ограниченная двумя дугами, стремящимися к
бесконечности, и такими, что для любых i и j, 1 <; i, j <; п, при
всех достаточно больших \q\, q€S, и a^t^b выполняется одно
из неравенств
№)№)]o	C.2)
C.3)
Область S не обязательно существует. Если, однако, интервал
[с, Ь ] заменить интервалом [а, с ], где с достаточно близко к а,
то S будет существовать. В самом деле, так как
то
or [Щ - Щ] =
где arge = 0 и <pu(f) = arg [A,-(Q — A;@1 • Очевидно,
C.4)
если cos[r9 + q>ij(t)] фО. Итак, если число с достаточно близко
к а, то функция <р,//) достаточно близка к постоянной <рц(а), так
что может быть найдена такая область изменения аргумента в,
в которой cos[rO-\-ф1$IФ0 для всех 1ф]. Отсюда следует
существование в ^-плоскости сектора, в котором имеет место C.4)
для всех i ф /. Так как для больших | q \ главным членом разности
<7, — qj будет gr(A,- — Я^), то легко заключить, что S существует.
Таким образом, если f-интервал достаточно мал, то область S суще-
существует.
То обстоятельство, что arg q = в стремится на граничных дугах
5 к определенному пределу при | q |-> оо; легко следует из того,

§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ	195
что выражение Re [а\ — а) ] есть многочлен относительно q и поэтому
его поведение при больших | q | в основном определяется содержа-
содержащейся в нем старшей степенью q. Обозначим столбцы матрицы Р
из теоремы 2.1 через ри\ j = 1,2,..., п. Тогда выражения р(/)е9«
будут формальными решениями системы A.1) для / = 1, 2, ..., п.
Теорема 3.1. Если выполняется условие Н, то для каждого
фиксированного целого т > 0 и для каждого целого к, 1 < к <, п,
существует решение q>$ системы A.1), такое, что
т
для q?S и a^t<,b.
Замечание. Если коэффициенты Аи принадлежат классу
CN для некоторого N > 0, то предыдущая теорема имеет место
для m<,N.
Доказательство теоремы 3.1 имеет много общего
с доказательством теоремы 4.1 гл. V. Усеченные ряды Рт, точно так
же, как и pffl, имеют все члены до степени о~т, совпадающие соот-
соответственно с членами матрицы Р и вектора р№), и обрываются на
членах со степенью Q~m. Таким образом,
Так как PeQ — формальное решение системы A.1), то
Существование формального ряда Р~г легко получить с помощью
тех же соображений, что и в лемме 4.1 гл. V.
Рассмотрим теперь матрицу Bm(t, q), определенную равенством
Легко установить тождественность матриц Вт и А вплоть до членов
со степенью g~(m+r), включая эту степень. Иными словами, суще-
существует постоянная Съ зависящая от т и такая, что
)-Bm(t,e)\<,j^rT	C.5)
А
для больших | q 1 и а <_ t <, b. Кроме того, матрица PmeQ есть истин-
истинное фундаментальное решение системы
x' = QrBm(t,e)x.	C,6)
Пусть к, 1 < к <; п, фиксировано в этом доказательстве. Пусть
о е S, и положим
Г, — уA) I
' т — » т \
13*

196 ГЛ. VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
где матрица V$ имеет столбец с номером /, совпадающий со столбцом
с номером / матрицы Рт, если для g€S и a<,t<,b
я*№>е)^яШ,9))>0-	C.7)
Столбцы с номером / в матрице V$, для которых C.7) не имеет
места, заполняются нулями. Это определяет также матрицу V$
Запишем систему A.1) в виде	ч
х' = огВт х + ог(А -Вт)х.
Очевидно, что p$V* есть решение системы C.6). Если интегральное
уравнение
b
:, g) eW.«> f e-«fr•> (Ри(т, о))-1 (Л(т, о)- Бт(т,<?)) 9?(т,
+ or V^(t,o)eQ(-t'e> \ С~с<1Г>е)(Рт(т,е))-1(Л(т,е) — Bm(r,Q))q>(r,Q)dt .
в	C-8)
имеет непрерывное решение <р, то легко заключить, что <р есть реше-
решение системы A.1). Ввиду обращения в нуль некоторых столбцов
матрицы V$, единственными экспоненциальными членами, встре-
встречающимися в элементах матрицы v^eQ^'^>"^r'e\ будут члены
g9/('.e)-?*(*,e)j где j удовлетворяет условию C.7). Аналогичный резуль-
результат имеет-место для матрицы
Пусть
т,6) - Bm(r,6)),
и пусть матрица К$ определяется аналогично с заменой V?> на V$.
При t<.T<^bi\QeS для каждого /, удовлетворяющего C.7), спра-
справедлива оценка
> е)-щ(т> e)-g*(t, e) +qk (r, e) I =
ехр { - J Re [q) (а, о) - q'k(o, q)] da J < 1.
Таким образом, для f <^ т <,b, q?S и больших [ q | существует
постоянная С2, зависящая от m и такая, что
)-йв.в)| < С2 ,	C.9)
Аналогично для а <^т <C,t
jplr+m+l |KB)(f) т_ р) g»(rie)-ft(I,e)| ^ Сз .	C.10)
где С3 — некоторая постоянная.

§ 4. СЛУЧАЙ РАВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ	197
Покажем, применяя метод последовательных приближений, что
интегральное уравнение C.8) имеет решение. Пусть po(t, g) = 0 и
пусть для I ;> О
ъ
Q) = Ши Q) ##• е> - Qr J К&% г, е) <рф, q) й т +
Очевидно, что для больших | о |, g€S, из C.9) и C.10) следует нера-
неравенство
max t(<P(ft — 9>(i-i))^"9k\ г
где максимум берется относительно интервала а <[ f <[ ft.
Если | p^(t, q)\ <,С0 и если | q | настолько велико, что
ф—а)(С2 + С3) <; A/2)| q \m+1, то нетрудно получить оценку
Отсюда следует равномерная сходимость последовательности {фA)}
к пределу q>, который является решением интегрального уравнения.
Кроме того, очевидно также, что
Из интегрального уравнения легко находим оценку
что доказывает теорему.
§ 4. СЛУЧАЙ РАВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
Случай, когда два или более характеристических корня в неко-
некоторой изолированной точке интервала [а, Ь ] совпадают, здесь не
будет рассматриваться. Однако большой интерес представляет
случай, когда несколько корней A,-(f) тождественны на интервале
[а, Ъ]. Иначе говоря, для каждого данного i или / либо Я,-(/) = ЯДО
на интервале [а,Ь], либо, наоборот, A,-(f) ф A,(f) для всех te[a, b].
Можно показать, что в этом случае на некоторых подинтервалах
интервала [а, Ь ] существуют формальные решения, однако теперь
вместо многочленов от q и рядов по степеням \/д решение содержит
аналогичные выражения от eVk, где к — некоторое целое положи-
положительное число. Таким образом, </,-(*, q) представляют собой много-
многочлены по степеням Qllk, a P(t, q) — ряды по степеням g~llk.

198 ГЛ. VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
Доказательство1 того, что формальные решения существуют,
значительно сложнее, чем в случае, рассмотренном в § 2. Однако
доказательство того, что в подходящих секторах существуют истин-
истинные решения, для которых формальные решения являются асимпто-
асимптотическими, очень похоже на изложенное в § 3.
Тривиальным примером является система
хх = х2, х2 = q хг.
Здесь г = 1, Кг == Я2 = 0. С другой стороны,} нетрудно видеть, что
истинное решение ф = (<рг, <р2) имеет вид
17е tU,
где сх и с2 — постоянные.
§ 5. УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА п
Рассмотрим уравнение порядка п
ы<"> + Qrax(t, о) ц("-0 + ... + Qnr dn(t, о) и = 0	E.1)
на интервале a <_t <,b, где
Если и — хг и
x{ = Qrx2, x2 = Qrx3, ..., x'n^-=Qrxn,	E.2)
то
If = QrX2, U" =QzrXs,..., u("-«) = O<"-')' Xn ,
и E.1) принимает вид
*, e) xx + ... + ox(f, e) х„].	E.3)
Таким образом, уравнения E.2) и E.3) образуют систему п урав-
уравнений первого порядка, и теория, развитая в .предыдущих парагра-
параграфах, применима.
Матрица системы с характеристическими корнями Щ) имеет вид
/О	1 ... о
о	о ... о
E-4)
О ... 1 ¦ '
-Я<«-1)о@ ••• -OioWJ
1Т и г г i t i n H. L., Asymptotic expansions of solutions of systems of ordinary
linear differential equations containing a parameter, Contributions to the theory
of nonlinear oscillations, vol. 2, Princeton, 1952.

§ 5. УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА П
Если все корни A,(f) различны, то можно использовать теорему 3.1.
Если выполняются условия теоремы 3.1, тб система E.2), E.3)
имеет п формальных решений р№>еч> и для каждого целого т > О
существует п истинных независимых решений уравнения E.1)
ipt = ipt(t, Q,m), i=\, ..., n, таких, что
Wi{U Q, m) ~ p?% q) e«»' и (i = 1, ..., n),
где 1 означает первую компоненту вектора р<(). Очевидно, что произ-
производные функций ipi удовлетворяют соотношениям
?AU Q,m)~Qr р<2% в) e*f.*> (i = 1,..., п),
V>"i(U Q, т) ~ фг pf(t, о) ем-^) (I = 1, - -., п)
и т.д.
Как пример рассмотрим уравнение
на интервале 0 ^ t <, 1, где функция q, по предположению, при-
принадлежит классу С". Полагая у = xlf у' = qX2 и используя E.4),
получаем
Таким образом, рассматривается формальное решение
«^'(аО + ЫОе-1+-••)¦
Это приводит к равенству
(Со + c'ie-1 +...) + 21 q(c'o + с'1в-*+ ...) + q(co + cl6~*+...) = 0.
Полагая со= 1, получаем, приравнивая нулю коэффициенты при
последовательных степенях q~1,
2ic'1 + q = 0,
с\ + 2/4 + qcx = 0
и т.д.
Определение сг((), c2(t), ... может быть произведено однозначно,
если учесть, что они обращаются в нуль при t = 0.
Замечание. Формальный ряд может быть также получен
из соотношения
(p{t,о) = е'е* + о-1 J sino(t — т)q(r)q>{r,o)dr,	E.5)
которое дает в то же время простое доказательство существования
решения, представимого асимптотически этим рядом. Здесь за S
можно взять верхнюю полуплоскость Im q ]> 0.

200 ГЛ. VI. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
В самом деле, используя последовательные приближения, в
которых ф0 — 0 и
9>z+i = eiet + е1 sing(t — т)д(т)<р,(т,в)йт,
t
получаем, если \q{t)\<,M, что
Таким образом, фп сходятся равномерно для больших | q | при
Im q ;> 0, 0 <_ t <^ 1, к решению <р. Далее, если | q | ^> 2M, то
для q€S, 0 <,t<C, 1. Последнее неравенство вместе с E.5) дает
Если эту оценку использовать в E.5), то получим
1	i
<P(U 6) = cie' + ~ J </(т) dr - Л. J e*^'-*) 9(r)dr + О (^~) .
Применяя во втором интеграле интегрирование по частям, имеем
Этот процесс можно продолжать неограниченно, что и доставляет
независимое доказательство асимптотической формулы для решения
<р в области S.
Задачи
1. Пусть
для больших | g | и a <t <b, где
м—_1
&(', е) = е" ^
J=0
Функции ft/и g/ принадлежат классу Сет и /и, — неотрицательное целое число.
Пусть
где Л,-еС™ на интервале [а, 6]. Показать, что дифференциальное уравнение
х' = ег Л(/, q)x + f(t, q) имеет формальное решение y>(f, g) = g-fc ее [co(t) +
+ ci@ e~' ¦+¦--¦]» где к = г, если i* <,г, и к = /л, если /л^>г, причем пред-
предполагается выполненным одно из следующих условий: A) ни один из харак-
характеристических корней матрицы Д,@ не обращается в нуль на интервале [a, b ]
при ц,<_г, B) ни один из характеристических корней матрицы Д,(*) не равен
g'0(t) для всех t е [а,Ь] при ц = г, C) g'Q(t) ф 0 для всех t e [a, b ] при /л> г.

ЗАДАЧИ	201
2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и пусть функции qj(t, j>) определены
как в § 3, выше формулы C.2). Пусть S — область ^-плоскости, в которой для
каждого / = 1,..., л или
или
Re [ф, Q)-gV,Q)]^O-
Показать, что дифференциальное уравнение задачи 1 имеет при каждом фикси-
фиксированном т > 0 решение <р = <p(t, q, т), где <p(t, о, /n)~ y>(t, j>) для t e [a, b ]
II Q € S.
Указание. Пусть фт(*, е) — усеченная сумма т + 1 первых членов
суммы у. Пусть у = х — ?>т. Тогда
у = егАу + Fm{t, в),
где
e-e Fm(f, е) = О(!е!'-Л-т->), / = max (r, /г).
Пусть матрица Рщ{1, е) такая же, как и в доказательстве теоремы 3.1, и пусть
Рт = Ulm + Um, где столбец встречается в U™ или fijjf в зависимости от того,
какому неравенству в задаче 2 удовлетворяет д).
Показать, что существует единственное решение % = %{t, q, m) уравнения
ь	ь
x(t, q, т) = JGm(t, т, q) Fm(T,q) dr +qT J Gm(/, т, е) [Вт(т, е) - A(r, B)] %{r, Q, m) dr.
Om(t, t, e) = U^(/, e) e*'*> е-««л) Р^ '(т, q)
где
для а <, т <; t, и функция От удовлетворяет аналогичному уравнению для
/ < т <; Ь, в котором только матрица Um заменена на —Um ¦ Показать, что
и что
<p{t, q, m) = fmil, q) + x(t, Q, m) -.

Глава VII
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Решение краевых задач для линейных дифференциальных урав-
уравнений с частньши производными в некоторых случаях может быть
сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений,
содержащих параметр и удовлетворяющих некоторым краевым
условиям.
Простой пример этого типа дает решение задачи
на интервале 0<^t <_ 1. Здесь I — комплексный параметр их —
скаляр. Решениями уравнения — х" == lx, удовлетворяющими
условию хф) = О, являются функции csin ?4, где с — постоянная.
Таким образом, задача A.1) может иметь нетривиальное решение,
т. е. такое решение, которое не равно тождественно нулю, тогда
и только тогда, когда sin №=0 или когда I = гг2/с2, где к = 1,2,
Эти значения / называются собственными значениями. Соответствую-
Соответствующие решения имеют вид
Ж*@ = У2 sin fen* (к =1,2,...)	A.2)
и называются собственными функциями. Легко видеть, что
djk,	A.3)
где 8д равно О, гели / Ф к, и равно 1, если / = fe. Очень важно (это
будет доказано в общем случае позже), что обширный класс функций
может быть представлен в виде рядов по этим функциям Хк- В самом
деле, это — ряды Фурье по синусам.
Еще проще другая задача этого типа
Lx = ix' = lx, х@) - х A) = 0.	A.4)

§ 1. ВВЕДЕНИЕ	203
Легко видеть, что собственными значениями здесь будут I = 2ттк,
к — 0> ± 1, ±2,..., и Хк(?) = е~2лШ. Аналогом условия A.3) теперь
является
\	ejk,	A.5)
где z — число, комплексно сопряженное г. Из A.3) видно, что
функции A.2) также удовлетворяют условию A.5). Последова-
Последовательность функций {%к}, удовлетворяющих A.5), назьюается оршо-
нормированной на интервале [0,1 ].
Основные результаты, относящиеся к задачам A.1) и A.4),
справедливы для всех функций из ?2@,1), т. е. для всех опреде-
определенных на интервале 0 <; t <_ 1 комплекснозначных функций /,
измеримых по Лебегу на этом интервале и таких, что
1
причем интеграл берется в смысле Лебега. Так как этот класс
функций содержит все непрерывные функции или даже кусочно
непрерывные, то результаты, естественно, справедливы и для них.
Поэтому читатель, не знакомый с интегралом Лебега, может пред-
предполагать всюду, что рассматриваемые функции непрерывны или
кусочно непрерывны.
Для функций /, ge?2@, 1) положим
Тогда, если /е?2@, 1), то для задачи A.2) имеет место равенство
m
*Ы1 = 0,	0-6)
и это же имеет место для функций %к, соответствующих задаче A.4),
если суммирование в A.6) производится от —т до т. Числа (/, Хк)
называются коэффициентами Фурье функции / относительно по-
последовательности {%/}. Ряд
назьюается сходящижя по норме к функции / в ?2@, 1), если выпол-
выполняется равенство A.6). Легко видеть, что A.6) эквивалентно равен-
равенству
il/IP-J'KAz,)!2,	0-7)

204 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
с заменой 1 на — оо для случая, соответствующего A.4). Равенство
A.7) известно под названием равенства Парсеваля. В этой главе
A.6) и A.7) будут доказаны при вполне общих условиях.
Рассмотрим несколько более общую задачу, чем A.4), а именно :
Lx = ix' = lx, x(l) = ах @),	A.8)
где а — постоянная. ПуЛь {Я^} — собственные значения и j
соответствующие собственные функции, которые существуют, но
явное вычисление которых для наших целей не необходимо. Ясно,
что
и
Далее в силу A.8)
1
(L Xj. Хк) — (Xj ,L%k) = ifo'jXu + XjXid dt = i [XjXkYo =
= i(aa-l)Zj(O)x№- 0-9)
Таким образом,
(Ay - h) (Xj, Xk) = Kaa - 1) %№)x№;
если aa= 1, то отсюда получаем при / = к, что h действительны,
а при / Ф к, что
(Xj,Xk) = 0.
Итак, если аа = \, то собственные значения действительны и соб-
собственные функции можно предполагать ортонормированными. Од-
Однако если аа ф 1, то легко видеть, что собственные значения не
обязательно действительны и что (xj> Хк) ф 0.
Если правая часть A.9) обращается в нуль, то собственные
функции можно выбрать ортонормированными. Таким образом,
если задача A.8) такова, что любые две функции и и v класса С1
на интервале [0,1 ], удовлетворяющие краевым условиям, удовлетво-
удовлетворяют также равенству
(Lu, v) - (и, Lv) = 0,	A.10)
то собственные функции задачи A.8) образуют ортонормированнук>
последовательность и собственные значения действительны. Условие
A.10) имеет фундаментальное значение и известно под названием
условия самосопряженности.
Легко проверить, что если функции и и v принадлежат классу
С2 на интервале [0,1 ] и удовлетворяют краевым условиям задачи
A.1), то (Lu, v) = (и, Lv), так что A.1) — самосопряженная задача.
С другой стороны, легко проверить, что с краевыми условиями
х@) = хA), х'@) = 2х'A) задача —х" — 1х несамосопряженная.

§ 2. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ	205
§ 2. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Пусть L — оператор порядка п, определяемый равенством
где pj — комплекснозначные функции классов С"~~' на замкнутом
интервале a <,t<_b и po(t) Ф О на [а, Ъ ]. Пусть
Utx=jg (Af/ftx<k-«(fl) + Njkx« -»(&)) (/ = 1, ..., п),
где Муь и iVy* — постоянные. Обозначим соотношения UjX = О,
/ = 1, ..., п, через Ux = 0. Задача
л: Lx = lx, Ux = 0
называется задачей на собственные значения (или краевой задачей).
Она называется самосопряженной, если
(L) (L)	B.1)
для всех u,veC" на [а, Ь], которые удовлетворяют краевым условиям
Если здесь /, g€?2(a, b), то
V,g)=$fZdt, il/f| = (/,/)*•
a
Число (/, g) назьюается скалярным произведением функций / и g, и
|! / || есть норма функции/в ?2 (a, b). Если (/, g) = 0, то функции
/ и g называются ортогональными.
Мы уже видели на примерах § 1, что класс самосопряженных
задач не пуст. Дальнейшие примеры таких задач даны в задачах 1, 2
и 3 в конце этой главы.
В гл. III, формула F.13), было показано, что оператору L соот-
соответствует сопряженный оператор L+ :
L+x = (- 1)"(Й,х)(п) + (- О"-1 (PixY"-» +... + pnx,
такой, что для любых и, v б С" на интервале [а, Ь ]
(Lu, v) - (и, L+v) = [uv](b) - [uv\ (a).
Очевидно, что если L+ = L и условие U таково, что из равенств
Uu = Uv — 0 следует равенство
[uv](b)-[uv](a) = G,
то задача п самосопряженная. Условие для того, чтобы U обладало
этим свойством, дается в теореме 3.2 гл. XI.
Задача п всегда имеет тривиальное решение в виде функции,
тождественно равной нулю. Если I таково, что задача п имеет нетри-
нетривиальное решение, то I называется собственным значением задачи ж,

206 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
и нетривиальные решения задачи для этого I называются собствен-
собственньши функциями. В следующем параграфе будет показано, что для
самосопряженной задачи собственные значения всегда существуют.
Теорема 2.1. Пусть задача ж самосопряженная. Тогда собствен-
собственные значения действительны и образуют не более чем счетное мно-
множество, не имеющее предельных точек на конечном расстоянии.
Собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть / = Я — собственное значение
с собственной функцией % для задачи п. Тогда ввиду равенства
L% = X% соотношение B.1) дает (Я— Я) (%, %) = 0. Так как
(х> х) > 0, то Я = Я, и, следовательно, собственные значения должны
быть действительными. Если Ху и 7^ — различные собственные
значения с собственньши функциями %г и %2 соответственно, то
{LXi,%2) ~{Xi,L*2) = (^ — -У (Xi,Хг)>
и в силу B.1) отсюда следует, что (%ъ %2) = 0.
Пусть (pj = (fj(t, t), j = 1,..., n, — решения уравнения Lx = lxt
удовлетворяющие начальным условиям
9//-»(с,О = <5№ (j,k=l,...,n)	B.2)
для некоторого с из интервала [a, b ]. По теореме 8.4 (см. также
задачу 7) гл. I, функции р/*—•> непрерывны по совокупности пере-
переменных \t, I) для t е [а, Ь] и всех I и при фиксированном / являются
целыми функциями I.
Так как функции ф}- линейно независимы, то задача п имеет /
своим собственным значением тогда и только тогда, когда существуют
п
постоянные cj, не равные все нулю и такие, что функция х = ^? q <pj
удовлетворяет уравнению Ux = 0. Это имеет место в том и только
в том случае, когда система уравнений
j?CjUk<Pj = O (k=\,...,n)
имеет нетривиальное решение. Эта система п уравнений для гнеиз-
вестных cj имеет нетривиальное решение в том и только в том
случае, когда определитель А матрицы с элементом С/од, стоящим
на пересечении fc-й строки и /-го столбца, равен нулю. Так как
vf'V — целые функции I при фиксированном /, в частности при
t = а и t = Ь, то Л — также целая функция I. Эта функция может
иметь только действительные нули, ибо задача ж не имеет мнимых
собственных значений. Таким образом, А — целая функция I, не
равная тождественно нулю. Ее нули, являющиеся собственными
значениями задачи тт, могут поэтому сгущаться только к точке
I = да. Это завершает доказательство теоремы.

§ 2. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 20Т
Рассмотрим теперь неоднородную задачу
Lx = lx + f, Ux = 0,	B.3)
где /€С[й, Ь]. Эта задача может быть решена при помощи метода
вариации произвольных постоянных теоремы 6.4 гл. III (см. также
задачу 21 гл. III). Пусть опять cpj — решения уравнения Lx = lxr
удовлетворяющие условиям B.2). Для т <; t положим
<рх{х,1) ... <р„(т,Г)
. *	1
B.4)
<Pn(t,t)
и для t < т пусть K(t, т, I) = 0. Вронскиан W(q>1,..., ф„), стоящий,
в знаменателе функции К в B.4), зависит только от т, ибо
что ясно из формулы F.5) гл. III. Очевидно, что производная
(BJE/dtJ) (т + О, т, /) = О для / = О, 1,..., (п — 2), так как опре-
определитель в B.4) обращается в нуль, если любые два столбца совпа-
совпадают. Таким образом, производная d'KjdV, j = О, 1,..., п — 2,
непрерывна по совокупности переменных (/, т, /) для t, т е [а, Ь] и
всех I и является целой функцией I при фиксированных (t, т). Кроме
того, для j — п — 1 и п она непрерывна по совокупности перемен-
переменных (t, т, I) для всех I как при a<_r<,t<,b, так и при а <_ t <_ т <, Ъ.
Далее,
д"'1к(т I П т А 8"~1кГт От ft l
Функция К по t удовлетворяет уравнению LK = 1К, если t=f=r;.
из теоремы 6.4 гл. III или из предыдущих замечаний следует, что-
функция и, определенная равенством
»	t
U{t,l) = \K(t,T,l)f(T)dr = \K(t,r,l)f(r)dr,	B.5)
a	a
принадлежит классу С" по t, no I — целая и 1м = Ш + /.
Видоизменим теперь функцию К так, чтобы условия Ux = О
также выполнялись. Пусть
G(t, r, I) = K(t, r, I) + JV cj ?#, 0,	B.6)
где коэффициенты cj выбираются так, что для фиксированного т
из интервала (а, Ь) функция G по t удовлетворяет условию UG = О.
Это означает, что

208 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
или, так как UkK можно продолжить непрерывно для a<_r <,b,
j	B.7)
Правая часть в B.7) непрерывна по совокупности переменных
(т, 0 для а <_ т <; Ь и всех I и является целой функцией I при фикси-
фиксированном т. Так как определитель А — целая функция / с нулями
в собственных значениях задачи п, то, если л не обращается то-
тождественно в нуль (что имеет место в случае самосопряженных
задач), условие B.7) определяет коэффициенты с,- как функции
(т, /), непрерывные для т из [а, Ь] и всех I, исключая собственные
значения задачи п. Кроме того, при фиксированном т коэффициенты
Су представляют собой мероморфные функции I. Таким образом,
функция О в B.6) определена всюду, за исключением собственных
значений задачи ж.
Из того, что B.5) есть решение уравнения Lx = lx + /, и вида
выражения B.6) ясно, что функция и, определенная равенством
»
u(t)=JG(t,r,l)f(r)dr,	B.8)
а
является решением задачи B.3), исключая собственные значения
задачи тт. В самом деле, имеет место следующая теорема. Заметим,
что в этой теореме не требуется самосопряженность задачи ж.
Теорема 2.2. Если хотя бы для одного значения I задача ж не
имеет решения, отличного от тривиального (что всегда верно для
самосопряженного случая), то существует единственная функция
G = G (t, т, /), определенная для переменных (t, т) в квадрате
а < t, т <[ Ь и для всех комплексных I, исключая собственные зна-
значения задачи тт, и обладающая следующими свойствами:
(i)Производные dkG/Btk(K = O, \,...,n—2) существуют и непре-
непрерывны по совокупности переменных (t, т, /) для всех точек (t, t) из
квадрата a<_t, r-^b и всех I, не совпадающих с собственным зна-
значением задачи п. Кроме того, производные 8kG/dtk для к = п—1
и п непрерывны по совокупности переменных (t, т, 0 для точек
(t, т), принадлежащих каждому из треугольников a<,t<, i<,b,
a<Lr<>t<Z,b, и значений I, не совпадающих с собственным зна-
значением задачи п. Для фиксированных (t, т) все эти 'функции меро-
морфны по I.
(Hi) Функция G no t удовлетворяет уравнению Lx = lx, если t =j= т.
(iv) Функция G no t удовлетворяет краевым условиям Ux = О
для а<,т<,Ь.
Решение уравнения B.3) дается функцией и, определенной по
формуле B.8).

§ 2. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 209
Функция G называется функцией Грина задачи тг. Теорема
была уже доказана выше, за исключением утверждения единствен-
единственности. Если для некоторого I, не являющегося собственным зна-
значением, существуют две функции Грина О и G, то разность G — G
как функция / принадлежит классу С", и так как G — G также
удовлетворяет уравнению Lx = lx, t ф т, то она должна быть
класса С". Однако, ввиду того что I не является собственным зна-
значением, задача я имеет только тривиальное решение и, следова-
следовательно, G — Э = 0.
Легко проверить, что для задачи A.1)
и для задачи A.4)
Заметим, что последняя функция G при t = т двузначна. Это имеет
место в общем случае для производной dn~1Gjd1P-'1, так как, по
определению, эта функция непрерывна при a <^.t <^ т ^ 1 и
Предположим теперь, что I = 0 не есть собственное значение
для самосопряженной задачи п. Это не является ограничением,
так как в любом случае существует действительная постоянная с,
не являющаяся собственным значением; таким образом, если
Lxx = Lx — ex, то задача ггх: Lxx = lx, Ux — 0 также самосопря-
самосопряженная, ибо (си, v) = (и, cv). Кроме того, если Я — собственное
значение для задачи жх, то Я + с — собственное значение для
задачи тс, и наоборот, а собственные функции для задач л и щ одина-
одинаковы. Так как I = 0 не есть собственное значение задачи п, то функ-
функция G(t, r, 0) существует. В оставшейся части главы эта функция
Грина для / = 0 будет обозначаться через G = G(t, т) и будет пред-
предполагаться, что я — самосопряженная задача.
Соответственно этой функции Грина G пусть & — линейный
интегральный оператор, определенный для всех функций /еС на
интервале [а, Ь ] равенством
ь
®/(Q=fG(f,T)/(T)dT.
Если /, geC на интервале [а, Ь], то B.1) в применении к функциям
и = & /, v — ® g дает
(/©) (©/)
' 14 182.

210 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Из B.9) легко следует, что число (© /, /) действительно. Другое
следствие из B.9) заключается в том, что
что является также достаточным условием для самосопряженности
задачи п. В самом деле, пусть функции и, v e С" на интер-
интервале [а, Ь] и удовлетворяют условию Ux — 0. Пусть / = Lu,
g = Lv. Тогда функции и — Щ и v — ©g являются решениями
уравнения Lx = О, удовлетворяют условию ?7х='О и поэтому
равны нулю. Таким образом, и = ©/ и v = Щ и равенство (Lu, v) =
= (и, Lv) следует из B.9).
Оператор © является обратным к оператору L в том смысле,
что равенства
L©/ = /, &Lu = u
справедливы для всех функций /еС на [а, о] и иеС" на [а, Ь], для
которых Uu = 0.
§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ1
Если Я — собственное значение и q> — собственная функция
задачи *, то	<р = №<р,	C.1)
причем G и © определены как прежде. Наоборот, если ^еС на
[а, Ь], то ®q> — функция класса С" и L®(p = q>, так что из C.1)
следует равенство Lq> = A qo. Кроме того, Ucp — 0, так как UG — 0.
Если существуют .нетривиальная функция ф?С[а,Ь\ и комплекс-
комплексное число /л, такое, что & q> = /л у, то /л называется собственным
значением оператора ©, а ср — собственной функцией. Доказанное
выше можно выразить так : собственные функции оператора ® со-
совпадают с собственными функциями задачи п, а собственные значе-
значения оператора © обратны собственным значениям задачи п.
Уравнение B.9) выражает тот факт, что © — самосопряженный
оператор. Будет показано, что такой самосопряженный оператор
должен иметь собственные значения и, таким образом, мы получим
соответствующий результат для задачи тт.
В дальнейшем будет применяться неравенство Коши—Буня-
ковского
!(/,g)l<;l!/!l!|
и его следствие
Лемма 3.1. Множество всех функций {@и}, где иеС на [а, Ь]
и \\и ||<П> является множеством равномерно ограниченных и
равностепенно непрерывных функций2.
1	Другой подход см. в задачах 8 и 9.
2	Это доказывает, что оператор @ вполне непрерывен.

§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	211
Доказательство. При п ;> 2 функция О равномерно
непрерывна на квадрате а<Ц, т <] Ь. Следовательно, каково бы
ни было е > 0, существует 6 > 0, такое, что
\G(tltr)-G(fz,r)\<e, |/j-g<l
Отсюда следует, что если и б С и \tx — /2 | < 6, то
ь
|© U&) - © u(f2)| < е j!ц(т)I dx ^ ?(Ь - fl)i ||U||.	C.2)
a
Это доказывает равностепенную непрерывность функций {@u}.
Если | G(t, т) | < у для a<,t,T<,b, то
гF-с)*||и||,	C.3)
что доказывает равномерную ограниченность функций {©и}.
При п = 1 равностепенная непрерывность доказывается не-
несколько иначе, так как в этом случае функция G разрывна при
/ = т. В правой части неравенства C.2) появляется дополнительный
член 2у| t2 — tx p'-1| и ||. В самом деле, пусть tx < t2. Тогда
tt ь
® u(Q - ® и(У = ( J+ J ) (G(/2, r) - G(tlt r)) ц(т)dr +
a ts
+ j(G(tz,r)-G(t1,r))u(r)dr.
и
Первый член справа снова меньше, чем правая часть C.2). Второй
член меньше, чем 2у| /2 — tx fa || и \\.
Норма оператора @, обозначаемая через ||©||, определяется
следующим образом :
|| @|| = sup || © u|| (u с С на [а, Ь]).
!1«П=1
Из C.3) следует, что || ®и || <. у ф — а) || и || и, следовательно,
|| ® ||< оо. Ясно, что || ©и || <; || © || || и || для всех ыеС на [а, Ь].
Так как 1Ми = и, то || © || > 0.
Лемма 3.2. Норма оператора © удовлетворяет соотношению
||@||=sup|(@u,u)] (ueC на [а,Ь]).
Доказательство. В силу B.9) скалярное произведение
(©и, и) действительно. Если || и || = 1, то
и, следовательно, r\ = sup | (©и, и) \ < || © ||. Чтобы доказать обрат-
обратное неравенство, заметим, что
(@(и + v), и + v) = (© и, и) + (© v, v) + 2 Re (© и, v) <, г)\\и + v\\z
14*

212 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
и, аналогично,
(Щи - v), и — v) = (© и, и) + (@ v, v) — 2 Re (@ и, v) ^
^_4||u-v||».
Вычитая, получаем
\\* + \\v\1?).	C.4)
Функция ©и не равна нулю для ибС, если только и ф О, ибо в про-
противном случае функция ?©u = u равнялась бы нулю. Полагая
в C.4) v = ©и/|| @и ||, где || и || = 1, получаем неравенство || ©и || <;
<; rj, что завершает доказательство.
Теорема 3.1. Либо норма \\ @ ||, либо —1| @ || является собствен-
собственным значением оператора ®.
Замечание. Эта теорема не только доказывает существова-
существование собственного значения оператора @ и задачи ж, но также пока-
показывает, что соответствующая этому собственному значению соб-
собственная функция ф есть решение экстремальной задачи, заклю-
заключающейся в отыскании функции и?С на [а, Ъ], такой, что выра-
выражение
ь ь
(© и, и) = J ( [g(/, г) и(х) йт) п@ dt
а а
достигает своей точной верхней грани при условии || и || == 1 или
точной нижней грани, в зависимости от того, какая из этих границ
больше по абсолютной величине.
Доказательство теоремы 3.1. Пусть || © || =
= sup (@u, и) для || и || = 1, и е С на [а, Ъ]. В таком случае суще-
существует последовательность функций umeC на [a, b], || um || — 1,
такая, что
(®um, um)-
Пусть ju0 = || © ||. Так как {@um} — множество равномерно огра-
ограниченных и равностепенно непрерывных функций1, то существует
подпоследовательность (обозначим ее также через {©um}), сходя-
сходящаяся равномерно на [a, b ] к непрерывной функции ср0. Пока-
Покажем, что % — собственная функция с собственным значением ц0.
Так как
max \®ит — (ро\-*0 (m->-oo),
ТО
II ©Um-Poll-* 0 (т-^оо).	C.5)
Значит, || ®ит || -> || <р0 ||. Далее,
!|2 = ||@um||2 + ^||uml|2-2iMo(@um,um), C.6)
1 Доказательство теоремы Асколи см. в § 1 гл. I.

§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	213
и правая часть стремится к пределу ||<ро||2 — /хо при /л->оо.
Отсюда следует, что || ^ ||2 ;> (л%> О, и, следовательно, функция
Фв не равна тождественно нулю на интервале [а, Ъ ].
Из C.6) также следует, так как || ®ит ||2 <; $, что
|| © ит - [л0 ит ||2 <. 2 /4 - 2 fio(<?ит, um),
где правая часть стремится к нулю при т->оо. Таким образом,
||©um-AioUm||->O.	C.7)
Но
Отсюда получаем, используя неравенство || ©и || <_ || @ || || и || и
соотношения C.5) и C.7), что || @ ф0 — (м^0 || = 0, а это доказывает,
что ® <р0 = juoyo.
Если —1| © || = inf (@u, u), то доказательство аналогично.
Пусть Хо = <Ро1\\<Р«\\- ТогДа 11% 11= ! и говорят, что функция
% нормирована. Положим
G^t, г) = G(t, т) -
и определим оператор ©х для функций и е С на [а, & ] равенством
Тогда оператор @х обладает теми же свойствами, которые были
указаны в леммах 3.1 и 3-2 для оператора @. В частности, если
II©! \\ФО И
sup|(@1u,u)| =
где и е С на [с, 6], || и || = 1 и yix действительно, то ^ есть собствен-
собственное значение для @х и существует нетривиальная функция (pi6 С
на [a, b ], удовлетворяющая уравнению C1qI = /u,^!- Положим
Zi = q^/ll 9^i II- Так как (©!«,%) = О Для каждой функции «eG
на [с, & ], то функции Хг и Хо ортогональны. Поэтому
и, следовательно, Х\ есть собственная функция оператора @. Из
экстремального свойства следует, что | ^ | <; | /х0 |. Полагая
Д	)
и рассуждая как прежде, установим существование собственной
функции Xz и собственного значения ju,2, причем | /а2 | ^ | /ах | и
функция Xz ортогональна к Х\ и %• Таким способом устанавливается

214 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
существование ортонормированной1 последовательности {Хк}, к =
= 0,1,2,....
Этот процесс может закончиться лишь тогда, когда || ©т [[ = 0
для некоторого т. Но для каждой функции / класса С
2
Если бы было 11 ®т || = 0, то отсюда следовало бы, что
т—\
f=2Q,Xj)Xj.	C-8)
]=о
Так как функции Xj принадлежат классу С1, а / можно взять равной
i j
функции I /—2 (G + Ь) , не принадлежащей классу С1, то равенство
C.8) невозможно.
Таким образом, ||©т || >0для всех т и поэтому существует
бесконечное число собственных значений и собственных функций.
§ 4. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ И ПОЛНОТЫ
Теперь мы получим разложение функции / е С" на интервале
[а, Ъ ], удовлетворяющей краевым условиям Ux = 0, по собственным
функциям задачи т. Отсюда будет легко следовать равенство Пар-
севаля для функции / е С" и' распространение этого равенства на
любую функцию / е ?2(а, Ь). Вначале выведем важное неравенство.
Лемма. Если /е?2 (а, Ь) и {%к} — ортонормированием после-
последовательность задачи ¦к, то ряд
2
fc=0
сходится и
fc0
(неравенство Бесселя).
Доказательство. Для каждого конечного т > О
2
k=
что доказывает сходимость рассматриваемого ряда и неравенство
Бесселя.
Число (/, Хк) называется fc-м коэффициентом Фурье относительно
ортонормированной последовательности {Хк}.
1 Последовательность {Хк} называется ортонормированной, если (Я/, Щ =
= djk, где bjk — символ Кронекера.

§ 4. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ И ПОЛНОТЫ
215
Теорема 4.1. Пусть функция /е С" на интервале [а, Ь] удовле-
удовлетворяет краевым условиям Ux = 0. Тогда на [а, Ь]
/=
D.1)
причем ряд сходится на [a, b ] равномерно.
Умножая D.1) на / и интегрируя, получаем
то
Следствие. Если функция f удовлетворяет условиям теоремы 4.1,
11/!12= j?l(/»*fc)l2 (равенство Парсеваля).
ь=о
Это равенство называется также условием полноты.
Доказательство теоремы 4.1. Из равенства
следует, что k-й коэффициент Фурье функции g от т, определяемой
равенством g(r) = G(t, т) = G (т, /), где t фиксировано, есть [J-kXk(t).
Из неравенства Бесселя получаем
fc=O
для всех т. Интегрируя по / и полагая т-> <х>г получаем нера-
неравенство
2
к-0
где у = sup | G (т, /) | при а < t, т < Ъ. В частности, | fit I -> 0 при
fc-> ро.
Рассмотрим теперь для некоторого целого т ^> 1 функцию
m-l
Gm(f, т) = G(t, r)-
Из экстремального свойства оператора ®т следует, что || @т|| =
= | fim \. Таким образом, для любой функции и еС на [а, Ь]
\\®ти\\ =
т-1
k=0
или, так как \fim | -> 0 при m
!
Ит
т-1
fc=o
= о.
D.2)

216 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Для любых q > р
и, хк) хк =
j
к=р
\к=р
, **) хк\.
Так как | ®и | <_ у (Ь — аI'' || и ||, то
я
к~Р
Согласно неравенству Бесселя последняя сумма стремится к нулю
при р, q -> со. Таким образом, ряд
сходится равномерно на интервале [а, Ъ ] и поэтому представляет
на этом интервале непрерывную функцию. Так как функция ®и
также непрерывна, то из D.2) следует
D.3)
Пусть дана любая функция / е С" на [а, Ъ ], удовлетворяющая
условию Ux = O. Тогда u = L/eC на [с, fe] и /= ®и. Из D.3)
следует разложение D.1), ибо
= (А Хк) •
Замечание. Тот факт, что || &т \\->0 при т
зывает возможность разложения (так как [Лк = 1/А^)
о, подска-
подскаЭто разложение действительно имеет место, но здесь не будет дока-
доказано. Оно будет следовать из результатов гл. XII, которые будут
доказаны при гораздо менее ограничительных предположениях.
Распространим теперь теорему разложения и условие полноты
на все пространство ?2(а, Ь).
Теорема 4.2. Если f e ?2 (a, b), то
1=
к=0
причем равенство понимается в том смысле, что
lim
(Ьхк)Хк
= 0.
D.4)

§ 4. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ И ПОЛНОТЫ
217
Далее, имеет место равенство Парсеваля
_2
fc-0
Доказательство опирается на тот факт, что множество-
функций класса С" на [а, Ъ ], удовлетворяющих условиям Ux — О,,
всюду плотно в пространстве ?2(а, V), т. е. каково бы ни было
е > 0, существует функция /, удовлетворяющая неравенству
Следовательно,
н/-
D.5>
- 2 (/' **) X* Ы II/ - /II +
к=О
/ - 2 (/' **) Хк
D.6>
и легко подсчитать, что последний член равен
что, по неравенству Бесселя, не превосходит
II/- /II-
Применяя к функции / теорему 4.1, заключаем, что существует
такое целое М, зависящее от в, что
!| -	т „
< ? (т > М)
|,	fc=O
и, следовательно, в силу D.5) и D.6)
что доказывает соотношение D.4).
Равенство Парсеваля следует непосредственно из D.4), так как:
/
fc=O
Из равенства Парсеваля вытекает, что если (/, Хк) = 0 ДлЯ
к = 0, 1, 2, ..., то функция / почти всюду равна нулю и, в ча-
частности, если / непрерывна, то она всюду равна нулю на [а, Ь]. Мно-
Множество функций {у>} называется замкнутым в ?2(а, Ь), если для
каждой функции / е ?2(а, Ь) из равенств (/, гр) — 0 следует, что f
почти всюду на [а, Ь] равна нулю. Таким образом, множество {хк}
замкнуто на [а, Ь]. Отсюда следует, что если / б ? (а, Ъ) и (/, Хк) = О»

218 ГЛ. VI1. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
для к = О, 1, 2,..., то функция / почти всюду равна нулю, т. е.
множество {хк} замкнуто в ?(а, Ь) — множестве функций, интегри-
интегрируемых по Лебегу на интервале [а, Ь]. В этом можно убедиться
следующим образом. Предположим, что / б 2(а, Ь) и (/, Хи) = О,
к = О, 1, 2,	 Тогда существует непрерывная функция <р, удо-
удовлетворяющая задаче
L<p — f, U <р = О,
так как нуль не является собственным значением для задачи п.
Доказательство состоит в проверке того, что для / ? ? (а, Ъ) функция
.ср—@/ принадлежит классу С" для a<,t<_b и производная
¦Ф'С"-1) абсолютно непрерывна, так что почти всюду L <р = /. Оче-
Очевидно,
(V, Хк) = К \<t, L Хк) = А^ !(L у, х,) = Aft х(/, яА.) = О,
что означает ортогональность функции <р ко всем собственным
функциям. Но так как <р непрерывна, то она равна нулю, и отсюда
следует в силу равенства Lq>= f, что функция / почти всюду равна
нулю.
Соответственно каждой функции / е ?2(а, ь) существует един-
единственная последовательность комплексных чисел с = {ск}, где
Ск = (/, Хк) ¦
Определим норму с, обозначаемую \\с \\, как
а
12
Тогда равенство Парсеваля может быть записано так : ||/|| = ||с||.
Важным является тот факт, что соответствие /->с действительно
использует все последовательности комплексных чисел, для кото-
которых || с || < оо. Это — теорема Рисса — Фишера, доказательство
которой не имеет ничего общего с дифференциальными уравнениями,
и поэтому опускается1.
Теорема Рисса—Фишера. Пусть с = { Ск } — последователь-
последовательность комплексных чисел, такая, что || с || < оо. Тогда существует
функция /е?2 (а, Ь), для которой ск = (/, %к) и \\ f || = || с \\.
Задачи
1. Пусть Lx — — (рх')' + qx, где р — функция класса С1, a q — класса С
на интервале [а, Ь] и р ф О на [а, Ь]. Пусть условия Ux= О задаются равен-
равенствами
ах(а) + Рх'{а) = 0, ух(Ь) + ЬхЩ = 0.
Показать, что задача л является самосопряженной в том и только в том случае,
1 Доказательство см., например, в книге R u d i n W., Principles of mathe-
mathematical analysis, New Ycrk 1953. [См. также Натансон И. П., Теория
функций вещественной переменной, изд. 2. Гостехиздат, М., 1957, гл. VII, § 3.
— Прим. перев.]

ЗАДАЧИ
219
когда функции р, q действительны и 7 s = 7 s> a /8 = a /S, что эквивалентно
требованию: числа а, /9, у и S действительны.
2.	Если предыдущие условия С/х = О заменены на новые :
х(Ь) - ах(а) - Рх'(а) = О, х'ф) - ух(а) - дх'(а) = О,
то показать, что условия самосопряженности принимают вид
а = Cle''e, /3 = с2е'е, у = с3е'е, S = с4е'е,
где числа Cj и 0 действительны и РС&Хс^— С2сз) =
3.	Пусть
где функция Pn-j e C"-i действительна на интервале [а, Ь ] и po(t) ф О на
[а,Ь]. Пусть условия Ux = О имеют вид хО)(с) = хО")F) = 0, /" = О, 1,.. ., л — 1.
Доказать, что задача п самосопряженная.
4. Пусть п — самосопряженная задача с ортонормированными собствен-
собственными функциями {Щ. Если норма 11 F \ \ функции F = F(t, т) класса С для
(, те [а, Ь ] определена равенством
ь ь
то F(f, т) можно аппроксимировать в этой норме конечными суммами вида
где /; и g; — функции класса С", удовлетворяющие условиям I//,- = Ugj = О.
Показать, что для F имеет место равенство Парсеваля в том смысле, что если
ь ь
то
Показать, что отсюда следует соотношение
lim
= 0.
Замечание. На самом деле имеет место формула
ь=о
что следует из рассмотрений гл. XII.
5. Пусть [а, Ь] совпадает с интервалом [0,1 ] и пусть Lx = — (A —t2)x')'.
Условие Ux = О имеет вид х@) = О и A — 12}x'(t) -^ О при t-* I — О. Показать,
положив

220 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
что рассуждения настоящей главы можно видоизменить так, чтобы получить
полное ортонормированное семейство собственных функций.
Указание. Вместо леммы 3.1 показать, что оператор @ вполне непреры-
непрерывен по норме в S2 @,1). Это верно для каждой функции G, для которой
ь ь
j\G(t,r)\*dtdr<oo.
а а
6. Показать, что если задача л самосопряженная, то функция Грина
G(t, т, /) удовлетворяет равенству
Тем самым оообщается равенство G(t, т, О) = О(т, t, О), уже доказанное для
случая, когда / = О не есть собственное значение.
7. Показать, что если задача я самосопряженная, то полюсы функции
G(t, т, /) простые.
ь
Указание. Рассмотрим функцию g(t, I) = G(t, т, /) /(*¦) йт, опреде-
а
ленную для любой функции / класса С. Пусть g имеет полюс порядка m, m > 1,
в точке / = Кк. Тогда вблизи / = А*
| _»»г»@ i
Так как (L — Щ g = (/ — Щ g + / и Ug = О, то (L — ЛА) gm = О, (Ь—
= gm,..., и t/(gj) = О, / = т, т — 1,	Поскольку
i(gm, gm) = (gm, (L - Xk) gm-i) = ( (L - A*) gm, gm-i) = 0,
то gm = О. Так как это имеет место для всех функций /, то функция G имеет в
точке А* полюс не более первого порядка.
8. Доказать, используя функцию g(t,l) задачи 7, что если -я — самосопря-
самосопряженная задача, / е С на [а, Ъ ] и (/, Хк) = 0 для всех собственных функций
задачи я, то функция / равна нулю.
Указание. Используя метод задачи 7, показать, что из равенств
(Л хк) = О следует, что функция ^не имеет полюсов и поэтому представляет собой
с»
целую функцию переменного /, равную J? а$)Р. Используя равенства Ug — О и
Lg = !g + /, показать, что La,, = /, Lax = с0, La2 = а„ ..., Lfay = О, Показать,
что («/-]., flk) = (fl/, fifc-i), и, таким образом, что выражение W1+k = (flj, flfc)
зависит только от / + к. Показать, что
есть целая функция / так же, как и функция Г{[) = Wo + W2/2 + W4l* + ....
Показать, что
Итак, если IV2 #0, то
W2j
откуда следует, что Г не может быть целой функцией. Таким образом,
W2 = 0 и fli = 0, Lax = ао = 0, Lao = f = 0.

ЗАДАЧИ	221
Замечание. Заметим, что задача 8 дает независимое доказательство
замкнутости множества собственных функций задачи я.
9. Используя результат задачи 8, доказать теорему 4.1.
Указание. Пусть и = Lf. Тогда, как было показано в рассуждении,
следующем за формулой D.2), ряд
Сходится равномерно на интервале [а, Ь ]. Очевидно, что разность / — g орто-
ортогональна ко всем функциям *л. Таким образом, разность / — g в силу результата
задачи 8 равна нулю, что доказывает теорему 4.1.
10.	Если функцию Грина задачи A.1) разложить по собственным функциям,
то получим ряд
_. . 4^i 2 sin knt sin km
O(t, r, /) = 2, 	bsIIT	¦
k=l	K l
Основываясь на свойствах функции G{t, т, [), как функции переменного t, и на
свойствах сходимости рядов Фурье по синусам, показать, что ряд сходится
для 0 <; t <; 1, всех т и тех I, которые не являются собственными значениями.
Показать, что ряд для производной 90/9/ также сходится для всех t. (Заметим,
что производная dG/dt как функция / имеет ограниченную вариацию.)
11.	Пусть операторы L и U таковы, что задача тт самосопряженная. Рассмот-
Рассмотрим теперь вместо зг задачу Lx = Irx, Ux = О на [а, Ь ], где г в С и r(t) > 0 на
[а, Ь ]. Показать, что собственные функции {щ} могут быть выбраны так, что
функции {гЧгщ} образуют ортонормированную последовательность. Показать,
что эта последовательность полная.
Указание. Положить H(t, т) = г"/>(() гЧ* (т) 0(t, r) и показать, что
оператор §, определенный для всех функций / в С на [a, b ] равенством
ь
§/@ = "('» т) /(т) rfT> самосопряженный.
а
12.	Показать, что
где A(l)=det{Uj<Pk),
W.r.l) <Pi(t,l) . . . <pn{t,l)
V UnK Urtyi . . . Un<Pn
и К — функция, определенная равенством B.4).
13. Пусть Lx = poxm -\- PjX'"-1' + ... + рпх на интервале [а, Ь] и функ-
функции pj e C"-i [a, b ] действительны. Тогда L = L+ в том и только в том случае,
когда п — четное число (п = 2г) и функция Lx представима в виде
Lx = (?ох<»)<п + (q^v-hyr-v + .. . + qrXr
где функции Qj действительны и принадлежат классам C'-i [a, b ].
Указание. Показать, что если L = L+ и р0 — действительная функция,
то п = 2г и рх = гр'о. Таким образом, если д0 = р0, то
Lx = Йох(«)<« + Ltx,
где оператор Lt должен иметь порядок п ¦— 2. Показать, что из равенства L = L+
следует равенство Lx = Lf, и таким образом получить результат по индукции.

222 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
14. Пусть оператор Lx такой же, как и выше, но теперь пусть Pj(t) — ком-
комплексные функции. Показать, что если L = L+, то
ь
Lx = qo((?0Й„)))	fc( (hdhWY )
+ i^n-2 (qn-2 fen-sx)')' + iqn-i (qn-ix)' + gnx,
где qj e C"~i, функции (?j)"+W действительны и inq^+1 = p0.
Указание. Клшльзовать индукцию. Показать при помощи прямого
рассмотрения интеграла
ь
i"qB(...(q0{q<pyy...)'vdt,
а
что первый член выписанного выше оператора L самосопряжен.
15. Показать, что если L = L+, то существует по крайней мере одна сово-
совокупность краевых условий Ux = О, для которой задача Lx = lx, Ux = O само-
самосопряжена.
Указание. При п четном (п = If) положить
х(а) = х(Ъ) = х'(а) = х'(Ь) = . .. = х«-1Щ = х^-Ъф) = 0.
При л нечетном (п = 2г + 1) взять предыдущие условия и добавить условие
где ад = p'n(a), iCJ^-pTib).
16. Пусть А — квадратная матрица и /—вектор, причем оба они—непре-
они—непрерывные функции t для а < ( < &. Рассмотрим задачу
= /, Ux= Мх(а) + NxF) = О,
где М и N — постоянные квадратные матрицы. Пусть эта задача при / = О
имеет только нулевое решение. Показать, что существует матрица Q(t, т), не-
непрерывная для а < / <¦ т < Ь и для а<т<(<Ьи такая, что интеграл
б
есть единственное решение задачи.
Указание. Пусть Ф — фундаментальная матрица системы х' = A(t)x.
Положим
оа rt = 1 ф(°ф(т) + Ф(о J(T) (т < °'
I «WJW	(т>/>,
где матрица J принадлежит классу С[а,Ь]. Из условия Ux = О следует, что
МФ(а) J(r) +¦ N0F) Ф- >(т) + N0F) J(t) = О,
так что
J(t) = -(МФ{а) + N0F))-'
17. Пусть квадратные матрицы Ро и Рх порядка г непрерывны для а < ( < Ь.
Кроме того, пусть матрица Р'в непрерывна и det Ро@ Ф О. Пусть х — вектор с г
компонентами и пусть
Lx = Рох' + Ргх.
Пусть Р* обозначает матрицу, сопряженную для матрицы Р, и пусть

ЗАДАЧИ	223-
Если uhv — векторы с компонентами щ, vj, то положим
и ¦ v — и^г + ... + u,vr.
Показать, что если и, v е С1 [а, Ь ], то
Lu -v — u ¦ L+v = {Pffi ¦ v)'.
Пусть L = L+, т. e. Po+P* = О, PJ, = Рг — P*. Пусть М и N — постоян-
постоянные квадратные матрицы порядка г и пусть 1/х = Мх(а) + Nx(b). Предположим,,
что матрицы MuN таковы, что для всех функций и, v ь С1 [а, Ь ], удовлетворя-
удовлетворяющих условиям Uu = Uv = О,
ь	ь
Lu • ю й( = и
а	а
Доказать, что собственные функции {у>ф} самосопряженной задачи
Lx = /х, J7x = О
образуют полную ортонормированную последовательность. Таким образом,.
ь
если интеграл u-vdt обозначен через (и • v), показать, что для любого-
а
вектора /, удовлетворяющего условию (/•/)< °°,
и в 2* (а, Ь)
Замечание. Случаи Ро = iE и, для четных г,
особенно интересны.
Указание. Функция Грина есть квадратная матрица порядка г и
можно использовать метод § 4 или задачи 8.
18. Пусть х — вектор с г компонентами и пусть Ру, / = О,..., п, — квадрат-
квадратные матрицы порядка г класса Cn—i [a, b ], причем PB(t) ф О. Положим
Lx = Рох<")+ ... + Р„х
. L+x = (- 1)" (Р*х)<"» + (- 1)"-1 (Р*х)<«-1) + ... + Р*х.
Показать, что если и, v — векторы класса С" [a, b ], то
Lu-v — u- L+v = — \uv ,
где
п
["@=^' -3 (-^^^-"'•(Р/Т-т»)'/-1'-
m=l f+l
Пусть L = L+. Положим
l/x = Mpcw-i)(a) + ... + М„х(а) + N,x<"-i)(b) +... + Nnx(b),

224 ГЛ. VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
где Mj, Nj — матрицы с пг строками и г столбцами, и допустим, что для всех
функций и,v класса С"[а,Ь], удовлетворяющих условиям Uu— Uv= О,
Lu-vdt = u • Lvdt.
а	а
Показать, что самосопряженная задача
Lx = lx, l/x = О
имеет полную систему ортонормированных собственных функций {уф}.
Указание. Пусть ? — вектор с пг компонентами (х, х',..., х<"~ •>).
Тогда уравнение
Lx-/x = O
аиожет быть заменено уравнением первого порядка для f с пг независимыми
решениями с квадратной, порядка пг, фундаментальной матрицей Е. Обозначим
первые г строк матрицы S через Ф. Тогда ЬФ — /Ф = Ои каждое решение <р
уравнения Lx — lx = О имеет вид Фс, где с — постоянный вектор-столбец с пг
«троками. Можно построить функцию Грина O(t, т, /), которая является квадрат-
яой матрицей порядка г.
i 2.Пусть оператор I. такой же, как в задаче 13, т. е.
Lx = (9„х<")« + (^xi'-i'^-i» + ... + q,x,
где функции qj e Cr~J [а, Ь ] действительны и qo(t) ф О на интервале [a, b ].
Пусть q> — решение уравнения Lx = O и ю — вектор с компонентами в>,-, где
<ру = <рсу-1>(/=1, 2,..., г),
</ = 1,..., г). Показать, что вектор ф удовлетворяет формально самосопря-
самосопряженной системе
РоФ' + РгФ = О,
причем матрицы Ро = —Р%, Р% = Р* имеют вид
P°-[-Er Or}' Pi-
С)'
где Or, Er — соответственно нулевая и единичная матрицы порядка г и А, В,С —
квадратные матрицы порядка г, определяемые равенствами
f-Чг
qr-i
А =
•1 О,
. /О
с =
в которых неуказанные элементы равны нулю.

Глава VIII
ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ
В этой главе будет изучаться распределение нулей решений
действительных дифференциальных уравнений второго порядка.
Мы будем предполагать, что уравнение имеет вид
Lx = (p(t)xy + g(i)x = O (a<t<b).	A.1)
Заметим, что уравнение A.1) чаще будет рассматриваться на откры-
открытом интервале (а, V), чем на [а,Ь]. Уравнение х" + /@*' + W)x = О
можно привести к виду A.1) при помощи умножения на функцию
t
ехр | f/(Odn • В дальнейшем будет предполагаться, что p(f) >О и
что функции р, р' и g непрерывны на (а, Ь). (Предположение о непре"
рывности можно ослабить. На самом деле достаточно, чтобы g была
интегрируема, ар — абсолютно непрерывна.)
Нуль нетривиального решения уравнения A.1) изолирован.
В самом деле, если решение q> в точке t0 обращается в нуль, то
<р'('о) Ф О, ибо в противном случае cp(t) = 0. Это доказьюает, что
точка t0 — изолированный нуль.
Теорема 1.1. Предположим, что <р — действительное решение
на интервале (а, Ь) уравнения
+ glx = O,	A.2)
а яр — действительное решение на интервале (а, Ь) уравнения
+ ga* = o.	A.3)
Пусть g2(f) > gx(Q на (а, Ь). Если 1г и t2 — последовательные нули
функции q> на (а, Ь), то функция у) должна обращаться в нуль в
некоторой точке интервала (tv f2).
Доказательство. Предположим, что функция у не обра-
обращается в нуль на интервале (tv f2). В таком случае без ограничения
общности можно предполагать, что ip(f) > О и cp(t) > О на (tl312).
Умножая A.2) на у и A.3) на q> и вычитая, получаем
(P<P')'V - (PV')'9- (g2 -
15 182.

226	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
Интегрируя это равенство, получаем
Так как выражение, заключенное в квадратные скобки, равно произ-
производной функции pfo'ip — <ргр') и так как функция q> равна нулю
при / = tx и t = t2, то
Так как (p(Q = 0 и <p(f) > 0 слева вблизи от точки t2, то ^'D) < 0.
Аналогично, <p'(f]) > 0. Таким образом, первый член слева неполо-
неположителен так же, как и второй, а это показывает, что неравенство
A.4) невозможно. Итак, функция ip обращается в нуль внутри откры-
открытого интервала (tlf f2).
В случае, когда gx = g2 на (а, Ь), функции q> и ip являются реше-
решениями одного и того же уравнения. Если функции фитр независимы,
то A.4) имеет место с заменой неравенства равенством, и предыдущие
рассуждения показывают, что гр обращается в нуль между последо-
последовательными нулями (р. Так как функции ф и ip перестановочны, то
ср обращается в нуль между последовательными нулями ip. Таким
образом, нули двух действительных линейно независимых решений
действительного линейного дифференциального уравнения второго
порядка перемежаются.
Предыдущий метод допускает дальнейшее развитие, однако
следующий прием проще.
Пусть p(t)x' = у. Тогда A.1) принимает вид
Пусть
x = rsin0, у — r cos в.	A.6)
Дифференцируя равенства A.6) по t, заменяя х' и у при помощи A.5)
и решая получающиеся уравнения относительно г' и в', получаем
A.7)
A.8)
Решению <р уравнения A.1) соответствует решение г == ф), в = a(t)
уравнений A.7), A.8), причем из A.5) и (}.6) следует, что
Так как функции <р и ц> одновременно в нуль не обращаются, то
22@ > 0 на (с, Ь), и, таким образом, не нарушая общности, можно
предполагать, что g(/)>0. Следствием этого является то, что

§ 1. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ	227
функция ф) = g@sin a(t) может обращаться в нуль только тогда,
когда со@ есть целое кратное ж.
Так как функции cos2 в и sin2 в равномерно ограничены, то урав-
уравнение A.8) имеет решение на каждом интервале, на котором р > О
и функции р и g кусочно непрерывны. На самом деле достаточно,
чтобы р и g были интегрируемы. Так как правая часть A.8) диффе-
дифференцируема по в, то решение единственно в обычном смысле.
Из A.6) и A.5) следует, что
х@ cos 6-p(t)x'(t) sine = 0.	A.9)
В краевых задачах общий вид условия в конечной точке t — а
интервала таков:
х(а) cos а — р(а) х'(а) sin а = 0.	A.10)
Из A.9) ясно, что такое условие эквивалентно более простому
условию 6 (а) = a (mod зт). Легко видеть, что равенство A.10) не
может иметь места для решения х = cp(t) при двух различных зна-
значениях о, если только эти значения не отличаются на целое кратное
¦к или если (р\а) + (р <р'(«)J = е2(я) = 0.
Сравним теперь поведение решений двух уравнений вида A.1).
Для различения двух уравнений будут использованы индексы 1 и 2,
т. е. Lix = (ргх')' + gtx = 0, i= I, 2.
Теорема 1.2. Пусть функции р\ и gt кусочно непрерывны на
интервале [а, Ь] и пусть
на [а, Ь]. Пусть L1q>1=0, L2% = 0« «2(fl)l> mi(a) • Тогда
<M0><»i@ (a^t^b).	A.11)
Кроме того, если ga > g1 на (a, b), то
A.12)
Доказательство. Чтобы доказать неравенство A.11), вычтем
одно из уравнений
со,-= —cos2 со,-+ g, sin2 со,- (г = 1,2)	A-13)
из другого, в результате чего получим
(соа - сох)' = (gl - i) (sin2 co2 - sin2 сох) + ft, A.14)
где
= (й ~ Pi)
Очевидно, что Л;>0. Если положить со2 — аг= и, то из A.14)
получим
W = 1u + h,	A.15)

228	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
где
f(	) (m со, + sin щ
Таким образом, функция / кусочно непрерывна и равномерно огра-
ограничена. Так как Л > 0, то A.15) дает
ь
Если F(t) = I f(s)ds, то, умножая это неравенство на ер, получаем
eFu'+F'eFu^O.
Интегрируя в пределах (a, f), получаем
eF^u(t) > eF(o)u(c) ^ 0,	A.16)
что доказывает A.11).
Если неравенство A.12) не имеет места, то должно существовать
такое с > а, что
co2(t) = cox(t) (a^t^c).	A.17)
В самом деле, допустим противное. Тогда, по A.11), должна существо-
существовать последовательность точек {tj} с предельной точкой а, такая,
что a2(t/) > tojtj). Однако если применить A.16) с заменой а на tj,
то получим, что для t > tj имеет место неравенство co2(f) > co^t).
Так как точки tj можно брать сколь угодно близко к а, то отсюда
следует неравенство A.12). Поэтому должно выполняться равен-
равенство A.17).
Принимая во внимание A.17), заключаем, что A.14) возможно
при g2 > gx лишь в том случае, когда
<ях = ео2 = О (mod n)
и когда /?!= р2 на интервале (с, с). Однако в A.13) случай
юг = ео2 = О (mod n)
на интервале (а, с), очевидно, невозможен. Это доказывает A.12),
когда g2 > gx.
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В этом параграфе применим предыдущие результаты к урав-
уравнению
+ (lr-q)x = O,	B.1)
где А — действительный параметр, а функции р', г и q действительны
и непрерывны (или кусочно непрерывны) на интервале [а, Ь] и
р>0, г >О на [а, Ь]. [При помощи модификации доказательств
легко установить, что возможно допустить обращение г в нуль в
точках а и b точно так же, как в изолированных точках интервала
(Ь)}

§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	229
При данных действительных а и /5 значения Я, для которых
B.1)	имеет решение, не равное тождественно нулю и удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям
х(а) cos а - р(а) х'(а) sin а = 0,	B.2)
х(р) cos /3 - рф) x\b) sin /8 = 0,	B.3)
называются собственными значениями. Каждое из условий B.2) и
B.3) определяет решение уравнения B.1) с точностью до посто-
постоянного множителя. Нетривиальное решение, удовлетворяющее B.1),
B.2)	и B.3) для некоторого собственного значения, называется
собственной функцией.
Теорема 2.1. Существует бесконечно много собственных значе-
значений Яо, Яа, Я2, ..., образующих монотонно возрастающую последова-
последовательность с Д„^-оо при п ->- оо. Кроме того, собственная функ-
функция, соответствующая Хп, имеет точно п нулей на интервале (а, Ь).
Доказательство. Не нарушая общности, можно пред-
предполагать, что 0<^а<зг и 0</6<5г. Решение q> = q>{t, Я) урав-
уравнения B.1), определяемое начальными условиями
у(а, Я) = sin а, р(а) <р'(а, Я) = cos a,
удовлетворяет, очевидно, условию B.2). Собственными значениями
являются те значения Я, которые удовлетворяют условию B.3). Для
х = q>(t, Я) можно, очевидно, определить а так, чтобы функция
в = a (t, Я) удовлетворяла равенству а (а, Я) = а.
В силу теоремы 1.2, в = и (t, Я) для фиксированного t (a < t < b)
есть монотонно возрастающая функция Я. Если и = 0 (mod n), то
q> = 0. Из равенства A.8) получаем
б'= -*-cos2 0 +(Яг-?) sin2 6;	B.4
очевидно, что если а> = 0 (mod л), то а > 0. Это означает, что если
и = 0 (mod зг), то и есть возрастающая функция L Таким образом,
если для некоторого tk из интервала (a, b) m(tk, Я) = к щ то a(t, Я) >
> к ж для f>tk и a(t, Я) < /с от для f < fr<. Кроме того, так как
функция и по Я монотонна, то из предыдущего следует, что при
возрастании Я нули ср, если они вообще существуют, передвигаются
влево к точке t = а. Так как функция а непрерывна по t и Я и и' > О,
когда и = 0 (mod гг), то координата k-го нуля tk = ^л(Я) функции
Ф на интервале (а, Ь) есть непрерывная монотонно убывающая
функция К. В самом деле,
Для каждого фиксированного t = с из интервала {а, Ь\
т(с, Я) ->- оо при Я ->- оо ,	B.5)
а также
ю(с, Я) -» 0 при Я -> — оо .	B.6)

230	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
Вначале докажем B.5). Так как а ;> 0, то a(t, Я) ^ 0, ибо
со' > 0 для со = 0 (mod я). Таким образом, достаточно показать,
что для некоторого t0, а < /0 < с> и(с> ^) — ®(<о» А) ->- оо при Я ->¦ оо.
Пусть f0 = (с + с)/2.
Пусть Р, Q и R — такие постоянные, что на интервале (t0, с)
p(f)<P,
Тогда для решения ф уравнения
O,	B.7)
удовлетворяющего условиям cp(t0, Я) = <p(t0, Я), ф'@0, Я) = <р'#о. Я),
имеем ch(t0, Я) = co(t0, Я), и, таким образом, в силу теоремы 1.2
со(с,г2) - co(to, A) ^ S(c, Я) - eofo, Я) .	B.8)
Последовательные нули функции ф отличаются на величину
ж[Р}(ЛВ — Q)]1'8. Эта величина стремится к нулю при Я->-оо.
Поэтому в = 0 (mod л) для произвольно большого числа значений
t, и так как а' > 0 при й = 0 (mod л), то й ->- оо. Таким образом,
правая часть неравенства B.8) стремится к бесконечности при
Я -»- оо, а значит то же самое имеет место и для левой части. Это
завершает доказательство соотношения B.5).
Чтобы доказать соотношение B.6), используем уравнение B.4).
Выберем д > 0 настолько малым, чтобы было а < п — д. Если
d<,co^Tt — б,Я<Ои если 0<Р<.р, 0 <R ^,r vl Q~^ \q \, to
o/<-p--|A|/?sin»a + Q.
Таким образом, и'<0 для а = б, если —Я достаточно велико.
Более того,
¦ , ^ - Ю
/•—а
для 5 <[ ю ^ л: — S. Итак, со (с, Я) <; 6 для достаточно больших — Я.
Так как б произвольно, то получаем B.6).
При Я -»- — со имеем, что соф, Я) -»- 0. Так как /6 > 0 и так
как функция а(Ь, Я) по Я монотонно возрастает, то существует зна-
значение Я, обозначим его через Яо, для которого и (&, Яо) = /6. Так как
0<[а<:ги /5<;ji, тоО< a(t, ЯО) < я на интервале (а, Ь), так что
решение q>(t, Яо) удовлетворяет условию B.3) и не обращается в
нуль на (а, Ь). Полагая, что Я возрастает и принимает значения,
превосходящие Яо, получаем единственное Я1? для которого
Очевидно, что функция q>(t, Ях) удовлетворяет условию B.3) и имеет
в точности один нуль на интервале (а, Ь). Собственное значение
с номером п определяется равенством соф, Яп) = р -\- п -к. Это
завершает доказательство.

§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ	231
§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
В этом параграфе уравнение B.1) подчинено ограничениям,
состоящим в том, что р~>0, г > 0 на интервале [а, Ъ ] и функции
г, р' ад кусочно непрерывны. Будем предполагать, что р(а) = р(Ь).
Без ограничения общности можно считать, что а = О, Ъ = 1 и рф) —
= р(\)~ 1. Будем рассматривать краевые условия (см. задачу 4)
*'(!),	C-1)
а также условия
х@) = - хA), х'@) = - х\\).	C.2)
' Теорема 3.1. Собственные значения A,-, i ;> 0, для уравнения
B.1)	с условиями C.1) и A,-, г ]> 1, для уравнения B.1) с условиями
C.2)	образуют такие последовательности, что
-<*><h<\<h<h<h<h<h<h<h<--- C-3)
/(ля Я = Яо существует единственная собственная функция ср0.
Если A2/+1 < А2,+2 ^ля некоторого i ^ 0, /по существует единст-
единственная собственная функция q^t+i для К = A2(+i и единственная
собственная функция q^i+2 для А = А21+2. Если, однако, A2l+i =
= А2,+2, то существуют две независимые собственные функции
<P2i+i, gs2i+2 для А = A2,+i = Я2,+2. Аналогичные результаты имеют
место в случае A2i+i < А2,+2 и A2,+i = А2,+2, причем собственные
функции обозначаются здесь через <p2t+i и <ря+2- Далее, функция <р0
не имеет нулей на интервале [0,1]; g^+i и ды+2, i ^ 0, имеют
каждая точно по 2/ + 2 нулей на [0,1), а ф2/+1 и фа+2 имеют каж-
каждая точно по 2i + 1 нулей на [0,1).
Доказательство. Пусть <р и f — решения уравнения
B.1), удовлетворяющие начальным условиям
) = О.	C.4)
Из формулы F.5) гл. III [или из B.1)] следует, что
/КО Ыи A) yU Ц - у'С. ^) v<f, Щ = 1 •	C.5)
Для того чтобы выполнялось условие C.1), необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовали такие постоянные Сх и С2, не равные
одновременно нулю, для которых функция Сгср + C2ip удовле-
удовлетворяла бы C.1) ; это дает уравнения
Для того чтобы два независимых решения удовлетворяли C.1),
необходимо и достаточно, чтобы
rtU) = V"(U)=l, УA,Л) = у'A,Л) = 0.	C.7)

232	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
Система C.6) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда определитель из коэффициентов равняется нулю, откуда
следует, используя C.5) при f = 1, что
№ = 2,	C.8)
* ?(М)+ ?'(Ь Я).	C.9)
Соответствующее условие для C.2) имеет вид
№ = -2.	(ЗЛО)
Значения "к, удовлетворяющие уравнению C.8), являются собст-
собственными значениями для условий C.1) и, аналогично, удовлетворя-
удовлетворяющие уравнению C.10), — для C.2). Если уравнение C.8), но
не C.7) выполняется для некоторого значения X, то для этого Я
существует только одна собственная функция задачи C.1) и 1 назы-
называется простым собственным значением. Заметим, что / не только
непрерывная функция Я, но на самом деле даже целая функция, что
можно усмотреть из теоремы 8.4 (или задачи 7) гл. I.
Обозначим собственные значения уравнения B.1) при краевых
условиях
х@) = хA) = 0	C.11)
через fih i —0,1,2,.... Тогда следующий результат будет доказан
после завершения доказательства теоремы 3.1.
Лемма 3.1. Пусть щ — собственные значения для условий C.11).
Существует v0, такое, что
(/ = 0,1,...). C.12)
Если /(Я) = 2 или — 2 для некоторого Я ф ци то такое Я есть
простое собственное значение для условий C.1) или C.2), и для
такого Я
(i = 0, 1,...). C.13)
Если /Om2,+i) = 2 и df/dK ф 0 при Я = ^2i+i, то /<2/+1 есть простое
собственное значение для условий C.1). Если /(ягг+О = 2 и df/d Я = О
при Я = /И2/+1, то при Я = /<21+1 существуют две независимые
собственные функции для условий C.1). Кроме того, в этом случае
C.14)
Аналогичный результат имеет место для условий C.2), если ti^i) =
= — 2. В этом случае аналог неравенства C.14) имеет обратный
знак
знак.

§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ	233
Непосредственньш следствием этой леммы является существова-
существование последовательностей {А,} и {Я,}, удовлетворяющих C.3), и
существование соответствующих собственных функций. В самом
деле, очевидно,
lo<h<K><h<h<Vi<h<h<,^<h<h<.---- C-15)
Чтобы показать, что собственные функции имеют указанное
число нулей, используем теорему осцилляции 1.1. Из условия C.1)
следует, что собственные функции <р, имеют в интервале [0,1) четное
число нулей, а из C.2) — что функции ф,- имеют нечетное число
нулей. Собственными функциями для условий C.11) являются
ip(t,fti) с i нулями на интервале @,1) (по теореме 2.1). Так как
^6<Яо> то функция <?„ не может иметь двух нулей на [0,1). Так
как <р0 имеет четное число нулей, то это число должно быть нулем.
ПОСКОЛЬКУ (Л21 < Яи+i <? fai+2<f*2i+2, I ]> О, ТО фуНКЦИИ (p2i+l И
952г+2 имеют более 2г + 1 нулей на [0,1) и менее 2i -f- 4, т. е. точно
2i + 2.
Далее, Дх < \ < /<i и функции фъ ф2 имеют менее трех нулей
на [0,1) и в силу C.2) имеют по меньшей мере один нуль. Так как
общее число нулей нечетно, то должен быть точно один нуль. Для
функций ф21+1, <jp2i+2, i ]> 1, используя неравенства /mm_i < hi+i <.
<,hi+2<i*2i+u легко получаем, что на [0,1) существует точно
2i" + 1 нулей. Таким образом, остается только доказать лемму.
Доказательство леммы 3.1. Если /*, — собственные
значения уравнения B.1) для условий C.11), то ip(t, /it) — собствен-
собственные функции. Это означает, что щ>{\, &) = 0 и функции ip(t, яО
имеют i нулей на @,1). Таким образом, ^'A> Мд > О Для г нечетного
и < 0 для i четного. Из C.5) вытекает равенство ^A, /*;) у)'{1, pi) = 1,
так что
?Ч1№) +
Так как х + 1/х ]> 2 для действительных х >0, то получаем резуль-
результат C.12) для щ.
Если v0 —¦ наименьшее собственное значение уравнения B.1)
для условий х'@) = х'A) = 0, то cp(t, v0) есть собственная функция
и она не имеет нулей в [0, 1 ]. Таким образом, v0 < /л0 и <рA, v0) > 0.
Поскольку <р'(\, v0) = 0, из C.5) следует, что
Значит,
что завершает доказательство неравенств C.12).
Чтобы оценить производную йЦ&Х в тех точках, где / = 2 или
— 2, рассмотрим функцию и = 895/ЗА. Очевидно, что ы@, X) =
= и'@, А) = 0, и из B.1) следует
(pu')'+(lr-q)u=-r<p.

234	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
Следовательно, из формулы вариации постоянных (это можно и
непосредственно проверить) получаем
t
U{t, Я) = f [<p(t, Я) у(т, *) - <р{т, Я) V{t, Я)] r{r\ <р(т, Я) их.
б
Значит,
% A, Л) = J И1, Я) у(т, А) - <р(т, А) УA, А)] г(т) <р(т, A) dr C.16)
о
и, аналогично,
ил	J
о
Итак, не выписывая явно Я, получаем
df Г
Квадратная скобка в формуле- C.17), рассматриваемая как
квадратичная форма относительно ^(т), ф(т), не меняет знак, если
((рA) — у'О)J + 4 ^'(l) ?A) <, °- Используя C.5), это можно запи-
записать в виде
Таким образом, если —2 <_ /(Я) <; 2, то квадратная скобка в C.17)
имеет определенный знак. Если /(Я) = 2 или — 2, то, за исклю-
исключением возможного множителя — 1, квадратная скобка есть точный
квадрат и производная й\\дХ может обратиться в нуль лишь в
том случае, если квадратная скобка тождественно равна нулю
относительно т. Так как функции <р (т) и у> (т) независимы, то ква-
квадратная скобка тождественно равна нулю в том и только в том
случае, когда все коэффициенты обращаются в нуль ; вместе с
C.5) это дает условие C.7), если / = 2, и соответствующие условия,
если / = — 2. Итак, df/dA = 0 в точках, где / = 2 или — 2, в том
и только в том случае, когда собственное значение не простое.
Если Я < [i0 или если уц < Я < ju,-+i, то tp A, Я) =j= 0, а значит,
если / = 2 или — 2, квадратная скобка в C.17) не равна тождественно
нулю. Будучи полным квадратом, производная u\\dX имеет тот
же знак, что и — у> A, Я), а это доказывает неравенства C.13).
Остается только доказать неравенство C.14). При Я = ju2;+i
/ = 2 и df/d Я = 0, так что условия C.7) выполняются. Таким образом,
= 0, v>'( 1 > №+1) = <Р( 1. i,+i) = 1 • C.18)
Используя обозначения

§ if . ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ	235
(аналогично для <pj[, ip'x), получаем
$ = 4>и + ?н.	C-19)
Из равенства C.5), дифференцируя его по "к, имеем
xprf + гр<р'х — y'jfp — yfq>x = 0 .	C.20)
Принимая во внимание C.18), получаем
%0, jMai+i) = — 9>яA, /%+i) •	C.21)
Дифференцируя снова C.20) и используя C.18) и C.21), находим
2 Wa + 2 <pl — гр'и — <рп = О (А = /%+i) •
Подстановка в C.19) дает
Цг A, /*«+i) = 2 М( 1, rte+i) + V*( 1, №+1) УК 1 - №+i)] ¦ C-22)
Используя снова C.18), из C.16) получаем
о
и, аналогично,
= J v(t, jMaz+i) 9>(т,^2н-1) г(т)
1
C.23)
l
I*
о
Так как функции чр и <р независимы, то из предыдущих соотно-
соотношений и неравенства Коши—Буняковского следует, что правая
часть равенства C.22) отрицательна, что доказывает неравенство
C.14) и завершает доказательство леммы.
§ 4. ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этом параграфе будет рассматриваться действительное урав-
уравнение
(p(t)x'Y + [ar(t) + bq(t)\ x = 0,	D.1)
где а и Ь — действительные постоянные, р > 0, г > 0 и р, p',r, q —
непрерывные при 0 <; t < 1 и периодические с периодом 1 функции.
То есть r@) = r(l), q(O) = q(\) и, как можно принять без ограни-
ограничений общности, р@) = р(\) = 1. В § 5 гл. III было доказано суще-
существование характеристических показателей и мультипликаторов.

236	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
Если х = ip (t, а, Ъ) и х = cp(t, a, b) — решения уравнения D.1) с
условиями
у@, с, Ь) = <р'@, а,Ь) = О, у'@, а, Ь) = <р@, а,Ь) = \,
то при f фиксированном ip, ip', <p и <р' являются целыми функци-
функциями (с, fr) для всех йиЬ.
Чтобы определить мультипликаторы, рассмотрим решение х =
= С^ + Сггр, удовлетворяющее для некоторого а условиям
Нетривиальное решение (С1? С2) существует, если обращается в
нуль определитель из коэффициентов, что дает характеристическое
уравнение
о*- в[<р(\,а,Ь) +у>'(\,а,Ь)] + I = 0;	D.2)
при этом использовано C.5). Если обозначить
то корни аъ а2 уравнения D.2) будут различными, комплексно
сопряженными, по абсолютной величине равными 1, если
Р(а,Ь)'<4,	D.3)
и действительными различными, если
Так как ага& =1, то в последнем случае один корень всегда по
абсолютной величине больше 1, а второй — меньше 1.
Если корни различны, то существуют два независимых решения
х = ц^е' их= u2(f)e°2', где и± и и2 — периодические функции
с периодом 1 и е°* = о-,-, ? = 1, 2. Таким образом, в случае D.3)
все решения уравнения D.1) равномерно ограничены при — оо <; t <
< оо. В случае D.4) это, очевидно, не имеет места даже на интер-
интервале (— оо, 0) или @, оо). Поэтому в этом параграфе значения (а, Ь),
для которых выполняется D.3), будут называться устойчивыми, а
те, для которых имеет место D.4), — неустойчивыми. Из непрерыв-
непрерывности функции / следует, что границы областей устойчивости - и
неустойчивости (с, Ь)-плоскости состоят из точек, в которых
/2(й, Ь) = 4, или, иными словами, из точек, в которых либо
№,Ь) = 2,	D.5)
либо
f(a,b) = -2.	D.6)
Для каждого фиксированного Ъ уравнение D.1) имеет вид урав-
уравнения B.1), в котором Я заменено на а. Таким образом, условия
D.5) и D.6) в точности совпадают с условиями, рассмотренными
ранее в связи с собственными значениями задач C.1) и C.2). Если

§ 4. ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ	237
выполняется D.5), то уравнение D.1) имеет решение с периодом
1, в то время как условие D.6) соответствует решению, удовле-
удовлетворяющему условиям х@) = —хA), х'ф)~—х'A) и имеющему,
таким образом, период 2. Мы его будем обозначать как имеющее
полупериод 1. Из C.15) следует, что для каждого фиксированного
Ъ значения а, щ(Ь), i = 0, 1, 2,..., для которых выполняется D.5),
и Шф), i= 1,2,..., для которых выполняется D.6), связаны нера-
неравенствами
ахф) < Яо(Ь) < az(b) < агф) ^ /ф) ^
^ сф) < as(b) ^ (tz(b) ^ айф) < а3ф) ^ ... , D.7)
где ju,i(b) — собственные значения уравнения D.1) для фиксирован-
фиксированного b с условиями хф) = хA) = 0. То, что значения jjli для каждого
/ — непрерывные функции от Ъ, следует из того факта, что
(дгр1да)A,а,Ь)фО там, где ^A, а, Ь) = 0, так как, почти как в
C.23), при этих условиях
Остается теперь показать, что щ и й,- являются непрерывными од-
однозначными функциями Ъ, — оо < ь < оо. Прежде чем доказывать это,
рассмотрим следствия из этого факта. Для фиксированного b и всех
а, удовлетворяющих неравенствам a2i+i(b) < а < «21+2F), из C.12)
иC.15) следует, что /(с, Ь)>2 и, следовательно, что D.1) неустой-
неустойчиво. Точно так же неустойчивы значения azt+i < а < й2,+2.
Области устойчивости определяются неравенствами aZi(b) < а <
<azi+i(b), i>0, и аш+гФ)< а < aZi+i{t>), i^O.
Величины di(b) являются единственными решениями уравнения
/(Ci(b), b) = 2; аналогично обстоит дело для й,-(Ь). Таким образом, то,
что уравнение а = at(b) [или а = тф) ] определяет непрерывную кри-
кривую (с как функция Ь) в (с, Ь)-плоскости, следует непосредственно,
если только 9/(с,(Ь), Ь)/да ={= 0. Так как /(d(b), b) = 2, то из леммы
3.1 следует, что неравенство 9//9с ф 0 может не выполняться только
тогда, когда i есть одно из двух чисел 2/ + 1, 2/ + 2, которые
удовлетворяют условиям
D.8)
Пусть b = /3 обозначает значение Ь, для которого выполняется D.8).
Тогда оба числа aZj+i{§—0) и аъ}+ъ{§—0) должны равняться
значению ju.2;+i(/3). В противном случае имело бы место неравенство
bj-ri{b) =a<jMay+i(/J),
6—/5-0
а, следовательно, в силу непрерывности /(а, /3) равнялась бы 2, так
что мы имели бы ju,2j(/S) <^ C2y+i(j6) = а < ju2y+i(/3), что противо-
противоречит D.8). Аналогичные соображения имеют место для й2у+г и для

238	ГЛ. VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ
/3 + 0. Итак с,- — непрерывная функция от b для всех значений Ъ.
Аналогично, й,- — непрерывная функция Ь.
Важные известные примеры уравнений типа D.1) встречаются
при р = г=1. В уравнении Матье q(t) — cos Ъй, а в уравнении
Хилла q — любая периодическая функция с нулевым средним зна-
значением. В случае уравнения (Мейсснера), в котором q(t) = 1,
О < / < A/2), и q{t) = —1, A/2) < f < 1, можно легко произвести
явное вычисление функции /(с, Ь).
Задачи
1.	Показать, рассматривая производную (<р/у)', что если <р и у — незави-
независимые решения уравнения A.1), то нули функций <р и у перемежаются.
2.	Пусть выполняются условия теоремы 1.1. и пусть существует некоторое
Ь > 0, такое, что <p(t) > 0, у@ > 0 на интервале (а, а + й). Пусть
lim
t->a+O
Доказать, что если <p(tj) — 0 для некоторого tr из интервала (а, V), то существует
такое t2 из интервала [a, tj, что у (f2) = 0.
3.	Рассмотрим задачу B.1)—B.3) на интервале [а,Ь], но пусть теперь
q < 0 на интервале (а, 6), и предположим, что функция г меняет знак на (а, Ь),
хотя, как и прежде, р > 0 на [а, 6 ]. Показать, что собственные значения имеют
предельными точками А = — юиА=оо.
Указание. Для случая А > 0 рассмотрим уравнение
Тогда, если Я возрастает, то р/Я убывает иг — q/k возрастает. Пусть <р(а, Я) =
= sin а, р(а) <р' (а, Я) = cos а. Пусть, далее, уравнению в = w(t, Я) удовлетворяет
ы(а, Я) = а. Очевидно, что еоF, Я) — возрастающая функция Я и функция
еоF,0) ограничена. Чтобы показать, что <оф, Я) —> ~ при Л -¦ ~, рассмотрим
интервал [ f1( f2 ], на котором r(t) > ^ > 0, где R — постоянная. Пусть p(t) < Р
на интервале (flt t2). Тогда для больших Я решения уравнения A/Я)Рх"+A/2)/?х=
= 0 имеют нули, расстояние между которыми на интервале Пг, ts ] равно
BР\Ч*
л Т5 -Таким образом, соF, Я) > с Я1/» для некоторой постоянной с. Аналогич-
ные соображения применимы при Я—»—•».
4. Рассмотрим уравнение B.1), где функции р', q и г непрерывны и р > О,
г > 0 на интервале [0,1 ]. Получить результаты, аналогичные теореме 3.1,
для краевых условий
где а,Ь,с и d — действительные постоянные, причем (ad — bc)p(O) = p(l).
Указание. Показать, что собственные Значения являются корнями
уравнения /(Я) = 2, где
. /(Я) = а<р A, Я) + 6?)' A, Я) + су> A, Я) + dy' A, Я).
Показать, что если щ — собственные значения для условий х@) = 0, яхA) +
+ foc'(l) = 0, то /2(jai) ^4 и значения /(м) имеют чередующиеся знаки.

ЗАДАЧИ	239
5. Пусть в теореме 3.1 А21+г < Аа+г. Показать, что уравнение B.1) при
к = Ла-+г имеет решение yai+ъ независимое от q^si+i и такое, что
?>2i+l @ = Р21+1 @ + t<fbl+l (f),
где p2i+i — периодическая функция с периодом 1. Показать, что аналогичные
результаты имеют место для значений А21+г, Лгг+ь Лц+2.
6.	При обозначениях § 4, могут ли кривые щф) и а,(Ь) где либо пересечься?
Как выразить задачу 10 гл. Ш в терминах § 4? Наметить возможные располо-
расположения кривых а;F) и 6jF), показав устойчивые и неустойчивые области в (о, Ь)-
плоскости для уравнения D.1) при p(t)^r(t) = 1.
1
7.	Пусть в уравнении D.1) а > 0 и q(t) Л = 0. Показать, что если и —
о
действительное решение, удовлетворяющее условию u(t + 1) = Яон(/), гдеХ0 —
постоянная, то функция и должна обращаться в нуль хотя бы в одной точке
интервала [0,1 ].
Указание. В противном случае
1	1
о	о
Показать, что функция и обращается в нуль в двух точках tlt t2, где \tz — tx \ < 1.
8. Пусть / — действительная функция класса С2 на интервале [a, b ] и
пусть /(а) = /F) = 0 и / > 0 на (а, Ь). Доказать, что
a
Указание. Пусть функция / достигает своего максимума при t = с
Тогда для некоторых тх и т2
1 _J_ = J_ Г/(с)-/(°) _ ДО)-/(СI = Г(Ч) - (/1та) <• Г'[ПО I ^
с-а + 6-с /(с)[ с-а	6-с J	/(с) -J /(с) "
».
9. Пусть г—неотрицательная функция, непрерывная и периодическая с
периодом 1. Показать, что если
1
r(t)dt<4,
о
то уравнение х" + r(t)x = O имеет устойчивые решения на интервале (—°°, оо).
Указание. Использовать задачи 7 и 8.

Глава IX
СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Рассуждения гл. VII не применимы в случае, когда конечный
интервал (а, Ь) становится бесконечньш, или в случае, когда коэффи-
коэффициенты дифференциального оператора имеют существенно особое
поведение в точках а или Ь. Все эти случаи рассматриваются как
сингулярные, и в этой главе будет изучаться сингулярный случай
для уравнений второго порядка.
В качестве предварительного примера рассмотрим задачу
-х" = 1х, х@)=0 ('=-*)
для 0 <^ / <; оо, как предельный случай задачи в конечном интервале
О <,t<,b с дополнительным условием
х{Ь) = О
и последующим предельным переходом fr—»-оо. Задаче с конечным
интервалом соответствует, конечно, ортонормированная система
{} где	. .
Каждая функция /, непрерывная на интервале 0 <_t <_са равная
нулю при / > с, удовлетворяет условию полноты
с	с
О	О
в предположении, что b > с. Если
с
g(s) = \ sin stf(t)dt,	A.1)
б
то условие полноты принимает вид
причем слева с заменено на оо, так как функция / обращается в нуль
для t> с. Пусть 6Ь — неубывающая функция скачков, которая

§ 1. ВВЕДЕНИЕ	241
возрастает на величину 2jb, когда аргумент s проходит через точку
lijzfb (к = 1, 2,...), и в остальных точках постоянна. Предположим
также, что функция дь нормирована так, что дь@) = 0. Тогда
условие A.2) перепишется так:
5).	A-3)
о	6
Очевидно, что если 6->оо, то cb(s) -> 2s/-. Таким образом, рас-
рассуждая нестрого, получаем из A.3) при 6-> оо
fds.	A.4)
Это, конечно, равенство Планшереля для синус-преобразования
Фурье при наложенных выше ограничениях на функцию.
Легко дать строгое доказательство равенства A.4). Предпо-
Предположим, что /@) = 0 и что / имеет непрерывную первую производ-
производную на интервале [0, с]. Тогда из A.1) при помощи интегрирования
по частям получаем, что
с
М
| f'(t)! dt = — (s ^> 0),
о
где М представляет интеграл. Таким образом, для s ;> 1
Так как функция g непрерывна, то для каждого фиксированного
большого /х
Hm J |g(s)|« dQb(s) =|J|g(s)|2rfs.	A.6)
b^ca о	.	о
Пользуясь неравенством A.5) и интегрируя по частям, находим
оо
§d6b(s) ^^Js-2ds = ^. A.7)
/it	ц
Аналогично,
js<I~.	d-8)
J
Таким образом, используя соотношения A.6)—A.8) и полагая
jll->oo, получаем обоснование формулы A.4) для функции / при
ограничениях, указанных выше. Такие / плотны в пространстве
22@, оо) и, используя стандартные теоремы теории интеграла
Лебега, можно доказать A.4) для любой функции /е?2@, оо).'
Следовательно, для рассмотренного простого примера справедлив
16 182.

242 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
аналог теоремы полноты § 4 гл. VII. Читателю будет интересно
повторить предыдущие рассуждения для задачи
- х" = lx, х'@) = О
и посмотреть, каким образом теорема для косинус-преобразования
связана с тем же дифференциальным оператором, но с другим крае-
краевым условием.
Метод предыдущего примера, с необходимыми значительными
усовершенствованиями, позволяет рассмотреть общую сингулярную
задачу второго порядка. В оставшейся части этой главы L обозна-
обозначает формально самосопряженный дифференциальный оператор,
определенный равенством
Lx =
причем предполагается, что функции р, р', q действительны и непре-
непрерывны и p(t) > 0 на каждом рассматриваемом действительном
интервале1.
Фундаментальное значение для всего последующего имеет фор-
формула Грина, которая гласит, что если [tltta] — любой конечный
интервал, на котором оператор L определен, и /, g — две произ-
произвольные функции, для которых выражения L/, Lg имеют смысл, то
и
j (gЦ - \Ч) at = [fg] (у - [fg] (h),	(i.9)
и
где
= p(t){№g'(t)-f'(t)g{t)).
В частности, если / и g — решения того же уравнения Lx = lx, где
I — комплексное число, то формула Грина в применении к функциям
/ и g показывает, что выражение [fg](f) есть независимая от / посто-
постоянная, которая, следовательно, может быть обозначена просто
через [fg].
Вначале будет рассмотрен случай полу бесконечного интервала
О <; / < оо, а затем случай интервала — оо < / < оо. В случае
открытого конечного интервала (а, Ь) рассуждения предыдущих глав
остаются в силе, если величины | р'/р |, | qjp \ и | I/p | имеют
конечные интегралы на (а, Ь). Если на одном из концов, например Ь,
их поведение хуже, то можно рассматривать задачу в интервале
[a, S], а < Ъ < Ъ, а затем изучить характер задач при b->b — 0.
Последнее вполне аналогично изучению задачи на интервале [0, °о),
и мы увидим, что все результаты, полученные для интервала [0, °°),
справедливы в случае интервала [а, Ь), когда коэффициенты в L
имеют особенности в точке Ь. Аналогичное замечание справедливо
в случае, когда коэффициенты имеют особенности в точках а и Ь,
и результаты аналогичны случаю (— оо, оо).
1 На самом деле достаточно, чтобы функция Р была абсолютно непрерывна,
а д — интегрируема на каждом конечном подинтервале.

§ 2. СЛУЧАИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА 243
§ 2. СЛУЧАИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА
В этом параграфе рассматривается интервал [0, со). Если для
некоторого комплексного числа Z,, каждое решение <р дифферен-
дифференциального уравнения
Lx = /ох
со
удовлетворяет условию I | q> |2 dt < <=о, т. е. <р € ?2@, оо)} то
о
говорят, что для оператора L имеет место случай предельного
круга в бесконечности1; в противном случае для L имеет место
случай предельной точки в бесконечности. Чтобы оправдать это
определение, необходимо показать, что эта классификация зависит
только от оператора L и не зависит от выбранного частного значе-
значения /0.
Теорема 2.1. Если каждое решение уравнения Lx = lox для не-
некоторого комплексного 10 принадлежит классу ?2@, о°), то для
произвольного комплексного I каждое решение уравнения Lx = lx
принадлежит классу ?2@, <=о).
Доказательство. Дано, что два линейно независимых
решения <р и %р уравнения Lx — lox принадлежат классу ?2@, °о).
Пусть х — произвольное решение уравнения Lx = lx, причем по-
последнее можно записать в виде
Lx = lox + (/ - /0) х .
Умножая ф в случае необходимости на постоянную (чтобы иметь
[]= 1) и применяя формулу вариации постоянных, получаем
X(t) = Ч. № + % W) + (/ - У JfrC) VM - 9»W W(t))^т) dx, B.
с
где с, сг, с2 — постоянные. Если использовать обозначение
и если М таково, что \\q>\\c<,M, || у> \\с < М для всех t^>c, то
неравенство Коши—Буняковского дает
1 Геометрическое значение терминов предельный круг и предельная точка
вскоре выяснится.
16*

244 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Применяя это неравенство в формуле B.1) и неравенство Минков-
ского, получаем
Если с настолько велико, что | / — /„ | М2 < 1/4, то
Так как правая часть этого неравенства не зависит от t, то
X е ?2@, <=о) и теорема доказана.
В случае предельной точки, очевидно, не более одного линейно
независимого решения уравнения Lx = lx принадлежит классу
?2@, со). Сейчас будет показано, что в этом случае для каждого /,
для которого Im I =f= О, существует в точности одно решение уравне-
уравнения Lx = lx класса ?2@, со).
Пусть <р, у) — два решения уравнения Lx — lx, удовлетворяющие
условиям
<р@,1) = sin а,	у@,1) = cos а,
р@) ?'@,1) = - cos а, р@) ^@,1) = sin а,	B-2)
где 0 <; а < зг. Тогда, очевидно, <р, хр — линейно независимые реше-
решения, и из теоремы 8.4 или задачи 7 гл. I следует, что <р, <р', у>, у>'
являются целыми функциями I и непрерывны по совокупности пере-
переменных (/, I). Кроме того, так как [<рц>\ @) = 1, то [q>гр] (/) = 1 для
всех t. Эти решения действительны для действительных I и удовле-
удовлетворяют следующим краевым условиям в точке 0 :
cos a <p@,1) + sin а р@) <р'@,1) = 0,
sin а у@,1) — cos ар@) ^@,1) = 0.
Каждое решение х уравнения Lx = lx, исключая %р, имеет, с точ-
точностью до постоянного множителя, вид
B.3)
с некоторым т, зависящим от I.
Рассмотрим теперь действительное краевое условие в некоторой
точке Ъ, 0 < b < оо, например,
cos ? х(&) +sin ?рF) *'(&) = О @^/8<я)	B.4)
и поставим вопрос, каким должно быть т, чтобы решение B.3)
удовлетворяло условию B.4). Очевидно, т должно иметь вид
_ ctgмь,0±рФ)ViP,О
При изменении величин I, Ъ, /5 изменяется в зависимости от них
т = m(l, b, /S), и так как ср, tp', у>, у>' — целые функции /, то m —
мероморфная функция I, принимающая действительные значения для

§ 2. СЛУЧАИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА 245
действительных /. Если z = ctg /5 и значения (/, Ь) фиксированы, то
B.5) можно записать в виде
где А, В, С, D фиксированы, a z пробегает действительную ось при
изменении /5 от 0 до ¦л. Из хорошо известного свойства отображения
B.6) следует, что действительная ось z-плоскости имеет своим от-
отображением окружность Сь в m-плоскости. Таким образом, функция %
удовлетворяет условию B.4) в том и только в том случае, когда т
лежит на Сь.
Из равенства
	 В + Dm
2 ~ ~ А + Cm
следует, что уравнение образа действительной оси, Im z — О, имеет
вид	_ _
{А + Cm) {В + Dm) - (А + Cm) (В + Dm) = 0;
это и есть уравнение окружности Сь. Легко показать, что центром
Сь является
~ AD-BC
ть = =	—
CD-CD
и радиусом —
\АР-ВС\
"~ \CD- CD\
Из того, что
А = ф, I), В = р(Ь) <р'ф, I),
С = ip(b,I), D = p(b)tp'{b,I),
легко следует, что уравнение Сь имеет вид
\ХХ]Ф) = О	B.7)
и что
AD - ВС = [<pv](b),
AD - ВС = [<рЩ(Ь) = 1,
а следовательно,
Так как коэффициент при mm в B.7) равен [улр ] (Ь), то внутрен-
внутренность Сь в m-плоскости определяется неравенством
ЪсхШ
Г2 9)

246 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В силу формулы Грина [A-9)]
6
[**]№) = 2 nm/J|jf<ft+bal(O)
Так как [%%] @) = — 2 i Im m, то неравенство B.9), определяющее
внутренность Сь, принимает вид
Точки т лежат на окружности Сь в том и только в том случае,
когда
ь
Uls* = ^T (Im/^0).	B.11)
о
Радиус Гь в формулах B.8) определяется для Im I > 0 равенством
ь
\y\*dt.	B.12)
о
Пусть теперь 0 < а < 6 < оо. Тогда, если m лежит внутри
или на Сь, то
а	ь
и, значит, т лежит внутри Со. Это означает, что Са содержит внутри
себя Сь, если а < Ь. Таким образом, для данного I (Im I > 0) при
Ь—>¦ со круги Сь сходятся либо к кругу Соо, либо к точке moo. Если
Сь сходятся к кругу, то его радиус Гоо = lim гь положителен, и из
B.12) следует, что у е ?2@, оо). Если тм — любая точка на С<х>,
то moo лежит внутри любого круга Сь для b > 0. Следовательно,
и, полагая 6—>-оо, получаем, что ф + w°° у е ?2 @, °°). Те же
соображения имеют место, если moo сводится к точке Шоо. Поэтому,
если Im I ф 0, то всегда существует решение уравнения Lx = lx
класса ?2@, оо). В случае Сь —*¦ Соо все решения принадлежат
классу 22@, ос) при Im I =f= 0, ибо. таковы функции у> и <р + т°° у>,
и это отождествляет случай предельного круга со случаем существо-

§ 2. СЛУЧАИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА 247
вания окружности Соо. Соответственно, случай предельной точки
отождествляется со случаем существования точки тм. В случае
Сь->тоо имеем lim rb = О и из B.12) следует, что функция у не
принадлежит классу 22@, оо). Поэтому здесь имеется только одно
линейно независимое решение класса ?2@, оо) для Im / =j= 0.
В случае предельного круга т лежит на Сь тогда и только тогда,
когда выполняется равенство B.11). Так как % = <р(*> 0 + т У>(*> О»
то т лежит на См тогда и только тогда, когда
Im/j \x\2dt=lmm.
о
Так как [%% ] @) = — 2i" Im m, то из формулы B.10) следует, что т
лежит на предельной окружности в том и только в том случае,
когда [хх ] (°°) = 0. Нами доказана следующая
Теорема 2.2. Если Im I =j= 0 и <р, у> — линейно независимые реше-
решения уравнения Lx = lx, удовлетворяющие условиям B.2), то реше-
решение % = <р-\- ту> удовлетворяет действительному краевому усло-
условию B.4) в том и только в том случае, когда т лежит на окруж-
окружности Сь комплексной т-плоскости, имеющей уравнение
Если Ь ->- оо, то либо Сь стремится к предельной окружности Соо,
либо к предельной точке тм. В первом случае все решения уравне-
уравнения принадлежат классу ?2@, <=о). Во втором случае в точности
одно линейно независимое решение принадлежит классу ?2@, оо),
если Im / Ф 0. Кроме того, в случае предельного круга точка лежит
на предельной окружности С<х,A) тогда и только тогда, когда
hx) M = о.
В случае предельной точки, если т — любая точка на Сь, то т
стремится к предельной точке Шоо, и это имеет место независимо
от выбора Р в краевом условии B.4). В частности, это имеет место,
когда /5 = 0, и, таким образом, предельная точка определяется
равенством
"^"SSsi	BЛЗ)
Функция Грина, соответствующая краевой задаче
Lx = lx,
sina x@) — cos a p@) x'@) = 0,
cos p x(b) + sin p p(b) x'(b) = 0,
очевидно, имеет вид
O(f'T'Z) - w(t, I) Mf, 0 + m(l, b, P) v(t, 0} (t > r).

248 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Непосредственно из теоремы 2.2 следует, что в случае предельной
точки функция Грина стремится к единственному пределу при
Ь—*¦ оо, задаваемому той же формулой с заменой т на Шоо. В случае
предельного круга существует бесконечно много предельных функ-
функций, к которым функция Грина может стремиться в зависимости от
того, как меняется /5 при возрастании Ъ. В любом случае предельная
функция, к которой стремится G, принадлежит классу ?2@, оо) как
функция t.
Теорема 2.3. В случае предельной точки аффикс т^ предель-
предельной точки есть аналитическая функция I для Im I > 0 (и Im I < 0).
Если Im I > О, то Im т^ ~> О, и если функция тм имеет нули или
полюсы на действительной оси, то все они простые.
Доказательство. Из формул B.8) следует, что центр и
радиус круга Ct являются непрерывными функциями I для Im I > 0.
Таким образом, так какСь находится внутри Сг для Ь > 1, если / при-
принадлежит конечному замкнутому подмножеству Л полуплоскости
Im I > 0, то точки т = m(l, b, /S) на Сь равномерно ограничены при
b -> оо. функции ть, где m*(/, /3) = т{1, b, /S), будучи мероморфными
и ограниченными на Л, аналитичны на этом множестве. Следователь-
Следовательно, в силу теоремы Коши функции ть образуют равностепенно не-
непрерывное множество на Л, и ть сходится равномерно ктю. Будучи
равномерным пределом аналитических функций, moo сама анали-
тична на Л и, следовательно, в полуплоскости Im / >¦ 0.
Так как Шоо лежит внутри Сь, то из B.10)-следует, что Im moo > 0
для Im I > 0. Это доказывает, что если moo имеет нули или полюсы
на действительной оси, то они простые и полюсы имеют отрицатель-
отрицательные вычеты. Это замечание, разумеется, применимо также к меро-
морфной функции ть переменного I.
Важно знать, когда для данного оператора L имеет место случай
предельной точки или предельного круга. Полезное достаточное
условие того, чтобы для L имел место случай предельной точки,
доставляет следующая
Теорема 2.4. Пусть М — положительная дифференцируемая
функция и kt, kz —• две положительные постоянные, такие, что
для больших t
q(t) ^ - kxM{t), \(рМ)-У> dt = ~>,
t	B.14)
\p4t)M'(t)M-'iit)\<k2.
Тогда для L имеет место случай предельной точки в бесконечности.
Доказательство. Покажем, что уравнение Lx = 0 не
имеет двух линейно независимых решений класса ?2@, оо). Пред-
Предположим, что х — действительное решение уравнения Lx = О,

§ 2. СЛУЧАИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА 249
и пусть У. € ?2@, оо). Из равенства (р %')' = q X получаем для
некоторого с > О
Интегрируя по частям и используя то обстоятельство, что
X е ?2@, оо), докажем существование постоянной к3, такой, что
м '
с
Пусть
Тогда, используя условия B.14) и неравенство Коши—Буняков-
ского, получаем
Таким образом, в силу B.14) и B.15) существует постоянная ка,
такая, что
	РХ X ¦ it	 и iii/ ^- и	/о \рл
Если H(t)-> оо при f-> оо} то из B.16) следует, что р%'%\М > И/2
для всех больших /. Это означает, что функции % и %' имеют одина-
одинаковый знак для больших t, а это противоречит тому, что X е ?2@, оо).
Таким образом, величина И остается конечной, так что ,
о.	B.17)
Предположим, что ср и у> — два линейно независимых решения
уравнения Lx = 0 класса, ?2@, оо)) т. е. предположим, что для L
имеет место случай предельного круга. Можно предполагать, что
эти решения действительны и что
[<PV\ = Pi<PW' — W) = 1 •
Отсюда следует равенство
рЧ у)'	рУг <р'	1
т	1 / "	г
В силу неравенства B.17) и неравенства Коши—Буняковского левая
часть этого равенства интегрируема на интервала (с, °о). По условию
B.14) правая часть не интегрируема. Таким образом, случай пре-
предельного круга не может иметь места.

250 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В случае M(t) = 1 для 0 <; t < оо получаем следствия :
Следствие 1. Если q(t) ;> — к, где к — положительная постоян-
постоянная, и
то для L имеет место случай предельной точки в бесконечности.
Для многих дифференциальных операторов второго порядка
практический интерес имеет случай p(t) — 1 для 0 <; t < оо (при
• помощи простого преобразования всегда можно достичь этого).
В этом случае из теоремы 2.4 получается следующий простой кри-
критерий.
Следствие 2. Если p(f) = 1 для 0 <; t < оо и q(t) ;> — kt2, где
к — некоторая положительная постоянная, то для L имеет место
случай предельной точки в бесконечности.
§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ
В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ
В качестве необходимой предпосылки сформулируем несколько
иначе результаты для конечного интервала 0 <; t <, b < оо. Рас-
Рассмотрим задачу
Lx = — (рх'У + qx = lx,
sin а х@) — cos а р@) х'@) = 0,	C.1)
cos /5 хф) + sin /5 рф) х'ф) = 0,
где 0 <; а, /5 <; -г. Это самосопряженная краевая задача на интервале
О <; / <; Ь, и, следовательно, существует последовательность {АЬп},
п — 1,2,..., действительных собственных значений и, соответствен-
соответственно, полная ортонормированная последовательность {вьп} собствен-
собственных функций.
Как и в § 2, пусть <р, ip — решения уравнения Lx = lx, удовле-
удовлетворяющие условиям B.2). Тогда ip удовлетворяет первому краевому
условию C.1) и ни одно линейно независимое от ip решение уравнения
Lx = lx не может удовлетворять этому условию. Поэтому
"bn\l) — ?bn Vv> л(,п) j
где гЬп — постоянная, не зависящая от L Теорема полноты в при-
применении к любой непрерывной функции, определенной для 0 <; t <oo
и обращающейся в нуль вне интервала 0 <; / <[ с, где 0 < с < Ь,
дает
ь	ь
C.2)

§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 251
Пусть
Aj/O(U	C.3)
и пусть Qb — монотонная неубывающая функция скачков, имею-
имеющая скачки, равные | гЬп I2 в каждом собственном значении ЯЬп,
а в остальных точках постоянная. Предположим, далее, что
?Ь(А + 0) = ?Ь(Я) и дь@) = 0. Тогда равенство Парсеваля C.2)
может быть записано в виде
j! /(О!2 ut= J|g(A)j2<W).	C.4)
Функцию (Эь(А) назовем спектральной функцией задачи 3.1.
Основная идея обобщения формулы C.4) на случай интервала
¦О <L t < оо заключается в доказательстве того, что при Ъ -*¦ <=°
функция рь(Я) стремится к определенной монотонной неубываю-
неубывающей функции q (которая не обязана быть функцией скачков), при-
причем равенство C.4) остается справедливым в некотором смысле, если
заменить дь на р.
Пусть о — произвольная монотонная неубывающая функция при
— оо < Я < оо. Обозначим через ?2(ег) множество всех функций h,
измеримых относительно меры Лебега—Стильтьеса, определяемой
функцией сг, и таких, что
оо .
Теорема 3.1. Пусть для оператора L имеет место случай пре-
предельной точки в бесконечности. Тогда:
(i) Существует монотонная неубывающая функция q при
— со < я < оо, такая, что
- е(/0 = Нт (еь(А) - <?„(/*))	C.5)
6->со
в точках непрерывности К, /л функции q.
(ii) Если /€?2@, со), то существует функция g€?2(g), такая,
что
со	а
Нт Г |g(A) - (/(/)V{t,Я)dt 2 de(A) = 0	C.6)
f= J|g(A)|»de(A).	C.7)
и
б
(iii) Интеграл
со
Jg(A)y(f,A)de(A)

252 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
сходится в пространстве ?2@, °°) к функции /, т. е.
СО	V
lim Г I f(t) - f g(A) W, A) de(A) |'fl = 0.	C.8)
I—»(—с0,10) J 1	J	I
<"*>-<-°. -о
(iv) ?c/zu moo — аффикс предельной точки, рассматриваемый как
функция I, то
е(А) — q(/i) = lim — Г Im moo(r + * «0 dr	C.9)
e_o+ я J
j"
в точках непрерывности Я, ^ функции q и наоборот
00
где1 с — неотрицательная постоянная и Im /0 ф 0.
Функция q называется спектральной функцией задачи
Lx = lx, sinax(O) — cosap(O)x'(O) =0.
Интеграл
будет пониматься как значение в точке Я функции g, определенной по
формуле C.6). Таким образом,
о
)df	C.11)
и g можно рассматривать как преобразование функции / при помощи
функции ip. Соотношение C.7) есть аналог формулы C.4) и называ-
называется теоремой полноты или равенством Парсеваля. Далее,
со
№= jg(W,A)de(A),	C.12)
если это равенство понимать в смысле соотношения C.8), и равенство
C.12) называется теоремой разложения. Если, например', функция /
непрерывна и обращается в нуль для всех больших t, то интеграл
в C.11) существует в обычном смысле.
Соответствие /->g отображает пространство ?2@, <=о) в про-
пространство ?2(е), и важным дополнительным фактом является то,
1При помощи оценки более точной, чем та, которая будет здесь дана,
можно показать, что в C.10) с = 0.

§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 253
что это есть отображение ?2@, со) на ?2(е), т. е. в этом процессе
используются все функции класса1 ?2(е).
Теорема 3.2. Если g € ?2(е), то существует функция / е ?2 @, со),
удовлетворяющая соотношению C.8), и с помощью f функция g мо-
может быть представлена в виде C.11).
Прежде чем доказывать теорему 3.1, сформулируем следующие
результаты, используемые в доказательстве. Первый результат пред-
представляет собой разновидность теоремы Хелли о последователь-
последовательностях монотонных функций, приспособленной для бесконечного
интервала, а второй — одну из теорем теории интегрирования.
Теорема выбора. Пусть {hn}, /1=1,2,..., — последователь-
последовательность действительных неубывающих функций при — оо < я < оо
и пусть Н — непрерывная неотрицательная функция на том же
интервале. Если
ЫЩ^Н{Х) (п = 1,2,...; -со<А<со),
то существуют подпоследовательность {fink} и неубывающая функ-
функция h, такие, что
\h(l)\<,H{l)	(-со<Я<со)
и
lim hnk(X) = Л(Я).
Теорема интегрирования. Предположим, что {hn} — равно-
равномерно ограниченная последовательность действительных неубываю-
неубывающих функций, определенных на конечном интервале с <[ А <; с, и
пусть
lim hn{X) = Л(Я)
Если f — произвольная непрерывная функция на интервале а <. Я
<. с, то
lim J/(A) dhn{?i) = J/(A) Щ1).
~"° a	a
Доказательство теоремы 3.1. Пусть mb(l) — точка на
окружности Сь, причем Im I > 0. Тогда теорема полноты C.2) в
применении к решению хъ— ф + тыр уравнения Lx = lx дает
"-»	о
1 Пространства S2@, ~) и?г(д) являются гильбертовыми пространствами, и
содержание теорем 3.1 и 3.2 можно суммарно выразить, сказав, что соот-
соответствие /«—»g есть взаимно однозначное отображение ?2@, ~>) на S2(e), сохра-
сохраняющее нормы, т. е. унитарное отображение.

254 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Применяя формулу Грина к функциям %ь и гр, получаем
ъ
(I ~ hn) \xbit) W,hn) dt = [ХъУъп]{Ь) -
где yibn(t) = ip(t, ЯЬп). Простое вычисление показывает, что [х у ]()
= О, ибо обе функции %ъ и грЬп удовлетворяют одному и тому же
краевому условию в точке b и [хьу>ьп]ф)= 1. Поэтому из C.13)
следует равенство
W
если принять во внимание определение монотонной функции
То обстоятельство, что ть лежит на Сь, дает в силу B.11)
ь
Im 1
Im/
о
Из этих соотношений следует важное равенство
Пусть в C.14) I — L Так как Сь лежит внутри Сг для b > 1, то
существует постоянная к, такая, что Im mb(i) меньше к для b > 1.
Таким образом, из формулы C.14) получаем неравенство
¦ или для v > О
Это, вместе с условием гь@) = 0, дает
Выберем последовательность Ьп -> оо и для каждого й„ выберем
Pj 6 < j6 < jt. Из теоремы выбора следует, что существует подпо-
подпоследовательность последовательности {дь}, сходящаяся к предель-
предельной функции q, причем последняя монотонна, не убывает и удовле-
удовлетворяет условию
Пусть теперь функция / имеет непрерывную вторую производную
при 0 < t < оо и обращается в нуль вблизи t = 0 и для всех боль-

§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 255
ших t. Применяя формулу C.4) к функции L/, получим для доста-
достаточно больших b
со	оо со
j \(Lf)(t)fdt = J | J(L/)(Qy(t,Я)dt\2d6b(X).	C.16)
6	о
|
-•» о
Применяя формулу Грина к функциям / и гр, получаем
о
и, следовательно, равенство C.16) принимает вид
О	—со
Отсюда следует, что для достаточно больших ^ > О
, C.17)
где ^1 = (— со, оо) — (— [л, /л). Применяя условие полноты к самой
функции /, получаем
Заставляя b стремиться к бесконечности по найденной выше
подпоследовательности, получаем, используя C.17) и теорему инте-
интегрирования,
Полагая теперь /л -> оо} получим равенство Парсеваля
C.18)
для любой функции /, удовлетворяющей указанным выше ограни-
ограничениям.
Теперь, чтобы получить равенство Парсеваля для любой функции
/ б ?2@, оо), достаточно применить стандартные соображения.
Предположим сначала, что /€?2@, оо) и обращается в нуль для
больших t > 0. Тогда существует последовательность функций
/п € ?2@, оо), обладающих непрерывными вторыми производньши

256 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
и обращающихся в нуль вблизи точки t = 0 и для больших t, та-
такая, что
lim Г|/„-/|«Л = О.	C.19)
"—о
Применяя равенство C.18) к разности fn — fm, получаем
со	со
f\fn-fm\*dt= J|&,(A)-gm(A)|»de(A),	C.20)
О	-со
где
со
j	C.21)
Так как левая часть равенства C.20) стремится к нулю при п, т-+ <х>г
то последовательность {g«(A)} сходится в среднем в ?2(е), а так как
последнее пространство полно, то существует функция ge?2(g), к
которой эта последовательность сходится в среднем. Из C.21) оче-
очевидно, что g — непрерывная функция, определяемая равенством
о
Используя C.18) снова, получаем
со	оо	со
f[/(Q|«<ft - Mm Г|/„@|*Л = lim f|gn(A)|»de(A) =
со
= J|g(A)i8de(A),
— со
что доказывает равенство Парсеваля для любой функции / € ?2@, со),
обращающейся в нуль для всех больших />0.
Пусть / — любая функция класса ?2@, оо) и положим,
и
о
Так как
со	d
&»(А) = J/«@ V(*. А) Л = j /@ у(*. А) Л.
о	о
со	d
)'|go(A)-gd(A)|»de(A)= \\f{t)\Mt (a<

§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 257
то множество {ga} сходится (при й->- со) в среднем в ?г(е) к неко-
некоторой функции g € ?2(g). Полагая а-*оов равенстве
получаем равенство Парсеваля для любой функции / б ?2 @, со).
Дадим теперь доказательство теоремы разложения C.12) [в смысле
соотношения C.8)]. Пусть Л = (/г, А] и
C.22)
где g — функция, фигурирующая в соотношении C.6). Из равенства
C.7) следует, что если /lf /2 С ?2@, со) и glt g2 — соответствующие
преобразования, то1
со	со
l	J	C.23)
Пусть функция Р б ?2@, со) обращается в нуль для * > а > О
и пусть Q — преобразование Р. Тогда из C.22), после умножения на
Р и интегрирования, получаем
J /40 Р(о л = | (J g(A) v<f, я)
6
= Jg(A)Q(A)dg(A).
j
Полагая в формуле C.23) /х = / и /2 = Р, имеем
со	со
J/P<»= Jg(A)Q(A)de(A).
о	— <»
Вычитая из этого равенства предыдущее и полагая Лс = (— со, оо)
— Л, получаем
1 4Д/, = \h + /2i2-!/i-/2|2 + i\h
17 182.

258 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Применение неравенства Коши—Буняковского дает
J
f
At
Применяя теперь это неравенство к функции Р, определенной
равенствами
= о
получаем
f|g(A)|»de(A).	C.24)
Так как правая часть от а не зависит, то последнее неравенство
имеет место при а->- со. Полагая А-+(— оо, со), получаем формулу
разложения C.8).
Очевидно, соотношение единственности C.5) непосредственно
следует из C.9). Таким образом, остается доказать соотношения
C.9) и C.10). Из C.14) видно, что при любом фиксированном I,
Im I > 0, существует постоянная к, такая, что
rjM
для d>l и всех /л ^> 0. Полагая Ь-> оо по подпоследовательности,
которая была выбрана ниже формулы C.15), получаем, что это
неравенство остается справедливьш, если gb заменить на q. Так как
оно имеет место для всех /л, то
Из C.15) следует, что существует такая постоянная к, что для ju, > 1
и Ь> 1
Г йеь{1) ^ к .
аналогичное неравенство имеет место для интеграла, взятого в
пределах (— оо, — у). Пусть Im IФ 0, Im /0 ^= 0. Рассмотрим
интеграл
1(^^)	C.25)

§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 259
как сумму интегралов по интервалам (—°°, —,/а), (—/*,/*) и
(ix, °o). Полагая Ъ -> со по выбранной подпоследовательности и
затем ju, ->- со, получаем в пределе из C.25)
Однако интеграл C.25) равен
Im ть([) _ 1тть(/0)
Im/	Im /0 '
При й->- со это выражение стремится к пределу
1т/Лсо(/0)
1т/
Поэтому
1тши(/)
1т/~:
C-26)
где с — постоянная, не зависящая от I, если только Im I > 0 (или
Im I < 0). Из теоремы 2.3 следует, что Im m,»(Z)/Im I > 0. Полагая
в C.26) Re I = 0, Im I -> то, легко получаем, что с ^> О1. Из C.26)
имеем
со
Im @700@ - moo(f0)) = Im ( | (^ - j^j de(A)) + с Im (/ - /0).
C.27)
Так как функция т™ по I аналитична для Im I >0 (или Im Z <0), то
Im m<» определяет Re tn<*- с точностью до аддитивной постоянной.
Мнимая часть аналитической функции от / (для фиксированного /0,
ImZo^=O), определенной правой частью формулы C.10), равна в
силу C.27) Im (mM(Z) — rrico(l0)). Таким образом, сама функция должна
равняться т«,A) — т~(/0), что доказывает формулу C.10).
Пусть Я, (л — точки непрерывности функции д. Тогда из равенства
C.26) следует, что
е-.0+
Нт 11т т-С + Щ *> =JJn J J ^^ * =
= lim J [arctg (^) - arctg (^)] do(cr) = л(е(А) -
e-,0 +
что дает соотношение C.9) и, следовательно, завершает доказатель-
доказательство теоремы 3.1.
При доказательстве теоремы 3.2 будет использована следующая
1 Как было уже замечено, оценивая й>, можно показать, что на самом
деле с = 0.
17*

260 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Лемма 3.1. Пусть ge?2(g) и
где А — конечный k-интервал. Тогда при А ->• (— ©о, оо) функция
fa сходится в ?2@,оо) и, значит, сходится в среднем к функции
/€?«@F~).
Доказательство. Пусть At э А2 и пусть Р € ?2@, со) —
функция, обращающаяся в нуль для больших t. Тогда, если Q —
преобразование Р, то
Используя неравенство Коши—Буняковского почти так же, как
выше при доказательстве C.24), и полагая
для 0^*^сиР = 0 для / > 0, получаем
Так как правая часть от а не зависит, то это неравенство имеет место
при й = со. Полагая Ах,А2-*-(—со, оо), завершим доказательство.
Замечание. Основываясь на этом, можно доказать само-
самосопряженность оператора L в случае предельной точки. Это сделано
в задаче 13.
Доказательство теоремы 3.2. Принимая во внимание
лемму 3.1, остается показать, что функция g получается из / при
помощи преобразования C.11), т. е.
C.11)
где равенство понимается в среднем в &%q). Из теоремы 3.1 следует,
что существует функция g??2(e), такая, что C.11) имеет место,
если заменитв g на g. Таким образом, проблема сводится к доказа-
доказательству равенства
со
J|g(A)-g(A)|»de(A) = O.
— со
Пусть r=g — g; очевидно, г € ?2(е). Используя то обстоятельство
что / есть предел в среднем функции ]а, где
Ш = Jg(ff) V(t.") dQ{o), A = Си, Я],

§ 3. ТЕОРЕМЫ ПОЛНОТЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ 261
получаем, что функция На = U — U '¦
А
стремится в среднем к нулю, т. е.
lim J|fa(Q|adf = O.	C.28)
-»(-". °°) 0
Покажем, что На есть нулевая функция.
Пусть / — комплексное число, Im I > О, и положим
U 0 = jS ?>(<> *) <*е№ •	C.29)
Тогда, так как Ly> = Xyt
LHa = tffc + hA .	C.30)
Из формулы C.29) легко следует, что На удовлетворяет в нуле тем
же краевым условиям, что и у>, а именно :
sin а На@, I) — cos а р@) Н'а@,1) = 0.
Согласно формуле вариации постоянных, из равенства C.30) вытекает
t
/Ь(*, 0 =. J Ыи I) У(т, 0 - <Р(т, I) y(t, I)] Ыг) йт + са wif, I), C.31)
о
где са — постоянная (которая может зависеть от Л). Из того обстоя-
обстоятельства, что г 6 Й2(о), следует, что г/(А — I) e ?2(g), и, следо-
следовательно, На как функция f для.фиксированного I, Im/>0, схо-
сходится в среднем в Й2(О, оо) при Л ->- (— оо, оо) к функции Н.
Используя это в равенстве C.31), из C.28) получаем, что существует
постоянная с, такая, что
Hl) = cW(t,l).
Так как функция гр не принадлежит классу Й2(О, со) для Im I > О,
то постоянная с должна равняться нулю и, следовательно, H(t, Г) =-0
для Im I > 0. Таким образом, На стремится к нулевой функции в
?2@, оо) для Im / > 0.
Пусть	„s
ВД j U)f
т. е. Г5 — преобразование функции, равной единице для 0 <; t <_ s
и нулю для t > s. Таким образом, Г5 ? 2%о). Интегрируя равенство
C.29) по t и используя то, что На -»¦ 0 в Й2(О, со), получаем
0.	C.32)

262 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Так как Г8е ?2(@), то из неравенства Коши—Буняковского сле-
следует, что интеграл в левой части равенства C.32) сходится абсолют-
абсолютно. В самом деле,
|оо.	C.33)
Формула C.32) может быть обращена почти так же, как это было
сделано при доказательстве формулы C.9) для д. С этой целью пред-
предположим, что функция g и, следовательно, г действительна. Это не
нарушает общности, так как каждая g есть сумма g1 + ig2, где
функции gx и g2 действительны. Беря мнимую часть C.32) и инте-
интегрируя, получаем
!й.JI (^+pr(or) Fs(G) d6{G) dv=
It -co
= J гИ i»?m [arctg(^) - arctg
Off
= ж \ r(o) Г8(а) uq(g) = 0. C.34)
Так как для Л = (ц, 2]
s	s
or) = jV(or) $V(t,0)dtdQ@) = J ( \r(G)y>(t,O) (fe(ff)) Й,
то функция к, определяемая равенством
k(s)=
имеет непрерывную производную, а из C.34) следует, что эта про-
производная должна быть равной нулю. Итак,
МО = J г(А) v(*. A) dg(A) = 0.]	C.35)
А
Так как ^@, Я) == cos а, то из формулы C.35) при t = 0 следует,
что если cos а ф 0, то
|	C.36)
Если cos а = 0, то sin а =^= 0 и, дифференцируя C.35) по t и полагая
затем t = 0, получаем C.36). Таким образом, равенство C.36) всегда
справедливо. В силу произвольности Л из C.36) следует, что для
любого а > О
а
J	C-37)

§ 4. СЛУЧАЙ ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА В БЕСКОНЕЧНОСТИ	263
для каждой функции скачков у. Функции скачков плотны в ?2(е),
и так как г ? S-Xq), to у можно выбрать так, чтобы левая часть
равенства C.37) сколь угодно мало отличалась от интеграла
который поэтому должен обращаться в нуль. Так как это имеет
место для всех а, то теорема доказана.
§ 4. СЛУЧАЙ ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА В БЕСКОНЕЧНОСТИ
Если для оператора L имеет место случай предельного круга в
бесконечности, то окружности Cb(t) сходятся к окружности Coo(Z) при
Ь-*-оо для каждого I, \т1фО>. Каждая окружность СьA) описы-
описывается точками т = тA, Ь, Р), когда р меняется в пределах 0 <, Р < п
при фиксированных b и I. [В случае Im I = 0 окружность СьA) пре-
превращается в прямую линию. ] Пусть 10 фиксировано, Im /0 ф 0.
Точка /йоо(/0) на окружности Coo(Z0) есть предел последовательности
m(lo> bj, Pj), ] = 1, 2,..., для которой bj-*- °° при /-»- оо.
Обозначим через ш; функцию от Z, определяемую равенством
m/Z) = m(Z, bj, /S;). Это — мероморфная функция от I, действительная
при действительных I; как мы видели, из неравенства Im m/ImZ > 0
для Im / ф 0 следует, что ее полюсы просты и могут лежать только
на действительной оси. Обозначим через qj функцию скачков Qb,
соответствующую условию Cj в точке bj. Докажем следующую
теорему.
Теорема 4.1. Пусть /7Ьо(/0) — точка на окружности Соо(/0) и
{*/> Pj} — такая последовательность, что точка m(l0, bj, Pj) — mj{1^
с тремится при j -»- оо к mc=o(Z0). Тогда для всех I
lim mj(l) = fhjl)	D.1)
и [в смысле сотношения C.5)]
lim^A) = e(A),	D.2)
г^е moo — мероморфная функция I, действительная для действи-
действительных I, с простыми нулями и полюсами. Кроме того, q — функция
скачков, разрывная только в полюсах I = Xk, к=\,2,..., функции
т оо со скачками в h, равными вычетам с обратным знаком, взятым
для полюсов функции /Поо в точках fa. Функции щ, где щф = f(t, fa),
образуют полное ортогональное семейство на интервале @, °о).
Если '%<*> — функция, определенная равенством х°°Ф = фЬ, Zq) +
(/)(f /) то
(~) = O	D.3)

264 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
для всех к. С другой стороны, для функций щ, где y>i{f) = rp(t, I),
Условие D.3) фактически является краевым условием, которому
удовлетворяют функции щ в точке t — <=°. С каждой точкой на пре-
предельной окружности Соо(У связано такое краевое условие. В про-
процессе доказательства теоремы 4.1 будут установлены две другие
теоремы, которые вделают более ясной природу этого краевого
условия.
Доказательство теоремы 4.1. Пусть
D.4)
Применим формулу Грина к функциям у ft, l) и %j(t, l0). Так как обе
функции удовлетворяют одному и тому же условию в точке bj, то
ь,
J
тЛ!) - Щ (Щ = {l- g J Xj(t, I) xAU If,) dt.	D.5)
о
Используя выражение D.4) в формуле D.5), получаем
b
щСо) + (i - 'о) J WA xfi.h) dt
°D.6)
b
-(/-'o) \'y>(t,l)Xj(t,lo)dt
б
\
б
В случае предельного крута. все решения уравнения Lx = lx
принадлежат классу Й2(О, о°). Поэтому при /'->- оо целая функция /,
значение которой в точке I равно интегралу
bj	ft,
f v(t, 0 xAt, g m = j y(t, i) [<p(t, g + mj(i0) w, g] dt,
6	0
фигурирующему в числителе дроби D.6), стремится к пределу
, g + й„ <g w, g] д.	D.7)
Если l заключено в некоторой конечной части А /-плоскости, то,
как было показано в процессе доказательства теоремы 2.1, функции
<р и ip имеют нормы в Й^О, <=°), равномерно ограниченные на Л.
Таким образом, в силу неравенства Коши—Буняковского интеграл
D.7) сходится равномерно относительно I, когда I пробегает любую
конечную часть Z-плоскости. Отсюда следует, что D.7) определяет
целую функцию I. То же самое справедливо для знаменателя дроби
D.6). Итак, при /->- оо мероморфная функция nij стремится к пре-
пределу moo, который также является мероморфной функцией, и это

§ 4. СЛУЧАЙ ПРЕДЕЛЬНОГО КРУГА	265
доказывает соотношение D.1). Свойства функции moo следуют
из того, что Im moo(Z)/Im I > О для Im I =f= 0. Из D.6) получаем
т„ (/„) + (/ - /о) J ?>(*, /)*=,(f, g л
*М0 =	J	 .	D.8)
о
Как и при доказательстве теоремы 3.1, теорема выбора Хелли по-
показывает, что существует подпоследовательность последовательности
{qj}, сходящаяся к пределу д. Так как равенство C.14) справедливо,
то рассуждения теоремы 3.1 показывают, что соотношение C.9)
имеет место с заменой q на q и Шоо на пи*,. Это доказывает, что q не
зависит от выбора последовательности и, значит, что имеет место
соотношение D.2). Так как функция riko действительна на действи-
действительной оси, то соотношение C.9) доказывает также, что g есть
функция скачков, разрывная только в точках fa, со скачками, рав-
равными вычетам с обратным знаком, взятым для полюсов функции /йоо
в этих точках.
Полнота множества {щ} следует из соотношений C.6)—C.8) с
заменой q на д. Ортогональность будет установлена после доказа-
доказательства теорем 4.2 и 4.3.
Из формулы D.8) следует, что в каждом полюсе fa функции rhoo
знаменатель должен обращаться в нуль, т. е.
{fa- /0) [ y>(t, fa)x^(Uh)dt=l.	D.9)
б
Из формулы Грина легко усмотреть, так как функция ip(t, fa)
действительна, что
ь
(fa - У J W, h) %ли k) Л = 1 - [*„ щ) Ф).
о
Используя D.9) и полагая b —*¦ °°, получаем, что соотношение D.3)
справедливо.
Обозначим через ® множество всех функций и, удовлетворяющих
условиям :
(i) Функция и дифференцируема и производная и' абсолютно
непрерывна на интервале 0 <^ t <^ b для всех fc<oo.
(ii)	и и L«e?2@, оо).
(iii)	sin а и@) — cos а р@) и'@) = 0.
(iv)	[uJU(~) = O.
Положим
G(t,x,l6) =
D.10)

266 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
и для любой функции / ? Й2(О, оо) пусть
©(«/№= JG(f,T,/0)/(T)dT.
о
Интеграл здесь сходится абсолютно, так как обе функции / и
?те принадлежат классу Й^О, оо).
Теорема 4.2. %ля каждой функции /е?2@, оо) функция и =
= ©Со)/ 6 ® u (L—lo)u = /. Наоборот, если ие ©, то / =
= (L-Zo) u 6 Й2(о, оо) и и = © (/„)/1.
Доказательство. В теореме 2.2 было показано, что
[*-*-] (~) = 0.	D.11)
Пусть <р, чр — функции, определяемые равенствами cp(t) = <p(t, /„),
ip(t) — ip(t, l0). Из B.3) легко следует, что если rhco — аффикс центра
ОКРУЖНОСТИ Соо(/0), ТО
М(~) + йо>Ы(~) = 0 .	D.12)
и обратная величина радиуса окружности Соо(У равна
Так как х°° = <р + "^°° Ъ то из D-12) следует, очевидно, что
\ШЛ (°°) = (т„ — Шоо
а значит,
D.13)
Доказательство первой половины теоремы получим, используя
формулу D.10). В самом деле, если и = @(Z0)/, то
t	со
Щ) = Ш 'о) J ?>(*,« /W ^ + Пи k) J i-K /о) /М dt.
О	f
Отсюда следует, что условие (i) выполняется и
(	со	_
w\t) = хЖ g JУ(т, g /(r) dr +V"(f, g J^ra(r, y/(r) dr + ЕМ^|Ш).
Так как [гр ^тс]@ = [у icJ @) = — 1, то легко видеть, что Lu =
= Ifju + /• То, что и ? ?2@, оо), получаем из того обстоятельства,
что функции ip, x^o принадлежат классу S2@, oo)? используя нера-
неравенства Коши—Буняковского и Минковского. Так как Lu =
= lou -j- /, то Lu 6 Й2(О, оо) и условие (Н) выполняется. Условие
1 Утверждение теоремы 4.2 совпадает с утверждением, что ©(/0) есть обра-
обращение оператора L — /0 с областью определения S).

§ 5. СИНГУЛЯРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ИНТЕРВАЛА 267
(iii) выполняется, ибо у> удовлетворяет условию (Hi), a (iv) проверя-
проверяется при помощи D.11).
Докажем теперь вторую половину теоремы. Пусть f — Lu — lou.
Тогда /6 ?2@, оо), и из первой части теоремы следует, что @(/0)/ —
функция класса ©. Таким образом, w = и — ®(lo)f есть функция
класса © и удовлетворяет уравнению Lw — /oiv = 0. Следовательно,
w = сг у) + СрХсо с некоторыми постоянными сг и с2. Подставляя это
в условия (iii) и (iv), получаем, что с2 и сг соответственно' должны
равняться нулю, ибо у^ не может удовлетворять условию (iii) и в
силу D.13) ip не может удовлетворять условию (iv). Это завершает
доказательство.
Полученный результат можно теперь использовать для доказа-
доказательства следующей теоремы.
Теорема 4.3. Краевая задача
Lx = lx, sinax(O) — cosap@)x'@) = 0, [x?M](oo) = 0 D.14)
самосопряжена, т. е. для всех функций uuv класса ©
со	оо
[ (Lu) vdt = Г u(Lv) dt.	D.15)
6	о
Доказательство. В силу формулы Грина и того обстоя-
обстоятельства, что [uv](O) — O, равенство D.15) эквивалентно равенству
[uv](oo) = 0.	D.16)
В силу теоремы 4.2 существуют такие функции /, g е ?2@, оо), что
и = ©(/„)/ и v = &(lo)g. Выражая величину [uv ](b) через интегралы,
содержащие функцию Грина D.10) и функции /, g, и полагая &-»¦ оо,
получаем из D.11) равенство D.16), что доказывает теорему.
Из соотношения D.3) следует, что функция щ принадлежит
классу ®. Из формулы D.15) непосредственно вытекает ортогональ-
ортогональность функций щ. Никакая функция щ 1ф%к для всех к, не может
удовлетворять условию [ад^ ] (оо) = 0, ибо это означало бы, что Wi
принадлежит классу ® и, значит, ортогональна ко всем щ. Послед-
Последнее невозможно, ибо функции щ образуют полную систему.
§ 5. СИНГУЛЯРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ИНТЕРВАЛА
Случаи, когда коэффициенты оператора L имеют особенности на
обоих концах интервала, или когда имеется особенность на одном
конце и интервал полубесконечен, или когда интервал совпадает
со всей /-осью •— трактуются аналогично. Здесь мы рассмотрим слу-
случай, когда оператор L определен на интервале — °° < ' <С °°-
Напомним, что
Lx=-(px'Y + qx,

268 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
причем теперь предполагается, что функции р, р', q действительны и
непрерывны, p(t) > 0 для — <=° < t < °°. (Эти ограничения, нала-
налагаемые на р, q, могут быть несколько ослаблены.) Обозначим через
<Рх> Фъ решения уравнения Lx = lx, действительные для действи-
действительных I и удовлетворяющие начальным условиям
Тогда <р1} <р2 — целые функции I при фиксированном t.
Обозначим через 6 : a<,t<,b любой конечный интервал, со-
содержащий нуль, и рассмотрим на 6 самосопряженную краевую
задачу
Lx = lx,
cos a x(a) + sin а р(а) х'(а) = 0,
cos /S x{b) + sin /5 p{b) x'(b) = 0,	^
где 0 <[ а, "/5 < тт. Для этой задачи существует последовательность
действительных собственных значений {fan}, п= 1, 2,. .., и полная
ортонормированная последовательность собственных функций {hsn}-
В этих обозначениях для каждой функции / ? ?2(б) имеет место
равенство Парсеваля
j\№\2dt= J|J/@'M0^|2-	E.2)
а	"-=! а
Если Д,/^ ?2C), То
J7i@ Ш) dt = 21 JA(O МО df J/2@ МО л • E.3)
Так как функции <рх, <р2 образуют базис решений уравнения Lx =
= /х, то
= Гапх <Pi(t, fan) + Гапг ЫЪ fan),	E.4)
где гвл и гапъ — комплексные постоянные. После подстановки вы-
выражения E.4) в равенство E.2) последнее примет вид
то
Г | f(t) |« Л = f У gsjW gakW dQajkW ,	E-5)
где
Матрица рв = (е«;Д называемая спектральной матрицей, со-
соответствующей самосопряженной задаче E.1), состоит из функций
скачков со скачками в собственных значениях fan, задаваемых
равенством
Qdjk(fan + 0) — Qg]k(fan — 0) = J

§ 5. СИНГУЛЯРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ИНТЕРВАЛА 269
где сумма берется по всем таким т, для которых fam — Лвп- Пусть
0) = ев(Д)
и пусть Qe(O) — нулевая матрица. Очевидно, матрица Qe обладает
свойствами :
(i) Матрица qs эрмитова foyk = Qskj).
(ii) Матрица Qe{A) = q6{X) — q6(ji) для I >jc (A = (ji, X ]) не-
неотрицательна.
(iii) Полная вариация элементов щк конечна на каждом конеч-
конечном А-интервале.
Каждая матрица q», удовлетворяющая условию (ii), назьюается
неубывающей. Матрица Qg является аналогом на интервале б
неубывающей спектральной функции Qb задачи C.1).
Применяя равенство Парсеваля E.5) к произвольной непрерыв-
непрерывной функции / при — оо < t < оо, обращающейся в нуль вне со-
содержащегося внутри д интервала д1г получаем
со	2
= Г 2;
УА1
где
&(А) =
Можно показать, что если Для оператора L имеет место случай
предельной точки в — оо и оо, то при б ->- (— оо, оо) (т. е. при
а ->• — оо, b ->- оо) существует матрица g, обладающая свойствами
(i)—(iii) и такая, что q» -»• р, и для каждой функции / б ?2(— оо, оо)
имеет место соотношение E.6). Если для L имеет место случай пре-
предельного круга в одной или в обеих точках — оо и оо, то предельная
матрица по-прежнему существует и E.6) имеет место, но в этом
случае она обычно не единственна.
Ключ к доказательству существования предельной матрицы q
дает равенство для да, заменяющее равенство C.14) для gb. Пусть
Уа = (рг -f та <р2 — решение уравнения Lx = lx (Im I =j= 0), удовле-
удовлетворяющее краевому условию
cos a x(c) + sin а р(с) х'(а) = 0,
и, аналогично, пусть %ь = <рх + 7"ь <р2 — решение того же уравнения,
удовлетворяющее условию
cos § x(b) + sin /3 p{b) x'(b) = 0.
Тогда, как было показано в теореме 2.2, точки гпа, mb лежат на
окружностях Са, Сь комплексной m-плоскости, уравнениями кото-
которых соответственно служат
0, [ХъХь](Ь) = О.	E.7)

270 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Легко видеть, что функция Грина Ов для задачи E.1) существует,
если только Im / =f= О, и имеет вид
Ge(t,r,l) =
Xa(t,l)xb(r,l)
(t>r).
Применяя теперь условие полноты в форме E.3) к функциям
получаем
2 J Ж ('• °'/) h»»V>dt I Ч? & °' О МО dt. E.8)
Из определения функции Gs следует, что
E'9)

тп(Г) -
9Gi {t 0 /} =
9т
0) 5
Используя выражения E.9) и E.10) и формулу Грина, можно
вычислить интегралы в формуле E.8). Например, используя равен-
равенства E.7), получаем
2ZIm/
Ы @) - [йй] @)} =
Поэтому
= 2/
«, О, Z) |« Л = IE.M ^toW)- .
E

§ 5. СИНГУЛЯРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ИНТЕРВАЛА 271
Аналогично
§6(t, О,1) hen(t) dt =
= [Xblkn] Ф) - [ХьЫ @) + [хаЫ @) - [xchen] (a) =
= [(Ха - Хъ) hen] @) = (пЦ1) - тъA)) [<pzhdn] @) =
= (mb(l) — tna(l))fenl,
и, следовательно,
J Ge(t, 0,1) hen(t)dt = ^^7.	E.12)
Здесь использован тот факт, что \хь Ып ] (Ь) = 0, ибо обе функции
Хъ и hm удовлетворяют одному и тому же условию в точке Ь ; ана-
аналогично, \ха htn ] (о) = 0. Теперь соотношения E.8), E.11) и E.12)
дают для / = к = О
Г dQsa(X) 	1тМдц(/)
Im/
— со
где
).	E.13)
Далее, аналогичные вычисления показывают, что
Г deejkW _ i
Г
J |^"-/|2 "~" Im/
— со
где Меи определяется по формуле E.13) и
Мв12A) = Mm(/) = ~(ma(l)
Af««(/) = mo@ mb(l) (ma(l) -
Формула E.14) заменяет формулу C.14) для функции о
Так как
о	ь
lml\\xa(t,l)\?dt=- lmma(!), Im/ f \%b{t,l)\*dt=\mmb(l),
а	6
то для фиксированного I, Im I =f= 0, точки та(Г) и тьA) лежат в разных
полуплоскостях. Пусть в формуле E.14) / = /. Тогда точки mJJ)
лежат на окружностях Са, которые содержатся внутри C_i для
а < — 1, в то время как точки mb(i) лежат на окружностях Сь,
которые содержатся внутри Сх при b > 1. Таким образом, существует
постоянная с>0, такая, что | ma(i) — mb(i) \ > с для с< — 1,

272 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ь~> 1. Так как функции та({) и mb(i) равномерно ограничены при
а < — 1 и Ь > 1, то из E.14) и из определения Msjk(t) следует, что
где К — некоторая постоянная. Так как
2 j fdnj Тдпк | <! | fenj j2 + | Гбпк !2 ,
то неравенство
oo
Г И
J i
— 00
имеет место также для / =? к.
Пользуясь теоремой выбора Хелли, которая применима также к
функциям с равномерно ограниченной полной вариацией, получаем,
почти так же, как и при доказательстве теоремы 3.1, что существует
последовательность интервалов бп=[ап, Ь„], 6„->(—оо, с»), и
соответствующих краевых условий, определяемых числами ап, /5П,
такая, что матрицы Qenjk(X) стремятся при п->юк пределу e;-fc(A).
Матрица р = (Q}k) обладает теми же свойствами (i) — (iii), что и ?в.
Если для оператора L имеет место случай предельной точки
в — ооиоо, то матрица q единственна, ибо в этом случае обе точки
та, ть стремятся соответственно к точкам т-оо, тх и, как при
доказательстве теоремы 3.1, можно получить формулу
я
— Qjk(p) = Hm — Г Im Mjk(v + i e) dv.
Здесь Mjk(f) — предел (который существует) функций MSjk при
6 —> (— оо, оо).
Имеет также место соответствующая теорема разложения и
полноты, доказательство которой аналогично доказательству тео-
теоремы 3.1 и здесь опускается.
Теорема 5.1. Пусть для оператора L имеет место случай пре-
предельной точки в — оо и оо. Существует неубывающая эрмитова ма-
матрица q = (Qjk), элементы которой имеют ограниченную вариацию
в каждом конечном ^.-интервале и которая существенно единственна
в том смысле, что
— ев]к(/л) -> е;*(А) — Qjk([x) (д -> (— оо, оо))
в точках непрерывности Я, /л функций Qjk. Далее,
л
Gjk№) - Qjkif*) = Пш ~ Г Im M]k(v + i e) dv,	E.15)

§ 5. СИНГУЛЯРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ИНТЕРВАЛА 273
где
Ми(/)=.(т_„(/)-/77„(/))-1,
М12(/) = Ма{1) = 2 (т—@ + mM@)(m_M(Z) - m^/)), E.16)
М22(/) = т.„(О me(/) (m_»@ - iMO)-1.
• Аналогичные результаты справедливы, если для оператора L
имеет место случай предельного круга на одном или на обоих кон-
концах интервала. Чтобы получить единственную спектральную ма-
матрицу, необходимо добавить краевые условия в той конечной точке,
в которой для L имеет место случай предельного круга, аналогично
тому, как это было сделано в § 4. Если на обоих концах имеет место
случай предельного круга, то функции тх и т_оо мероморфны и
такими же будут функции Мп, М12 и М22.
Для каждой предельной матрицы о обозначим через ?2(@)
множество всех таких векторов g с компонентами g1; g2 — функциями
от А, что
(' J
Матрица q не убывает и это гарантирует, что написанный интеграл
неотрицателен.
Теорема 5.2. Пусть q — любая предельная матрица множества
{os}. Если f е ?2(— оо, оо), то вектор g = (g1( g2), где
сходится в &2(q), т. е. существует функция g€?2(e), такая, что
\\S-Su\\-*0	(С^-ос,,?/^оо),
где
d
gccjM = J f{t) <Pj(t,Ddt	( - оо < С < d < оо ) .
с
Имеет место равенство Парсеваля, записываемое при помощи
этого вектора g,
f |/(*)|a<ff= Г 2
и разложение
™ 2
/@= | ^ ^
последний интеграл сходится в среднем в ?2 (— °°,
18 182.

274 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Спектром, соответствующим задаче, для которой матрица q одно-
однозначно определена, называется множество точек роста матрицы о,
т. е. множество всех точек роста всех элементов Qjk матрицы д. Так
как матрица д эрмитова и не убывает, то
где
Qjk(A) =
Таким образом, множество точек роста всех элементов матрицы q
совпадает с множеством точек роста диагональных элементов оц
матрицы q. Очевидно, спектр есть замкнутое множество. Точечным
спектром называется множество всех точек разрыва матрицы о,
а непрерывным спектром — множество точек непрерывности q,
принадлежащих спектру. Точки в точечном спектре называются
также собственными значениями, а решения задачи для таких точек
называются собственными функциями1.
Пример 1. Простейшим, пожалуй, является случай
Lx — — х".
Здесь
и очевидно, что для оператора L имеет место случай предель-
предельной точки на обоих концах —оо и °°. При Im Z>0 решение
е~ ''" € ?2 (— с», 0) и, следовательно,
cos УЙ + /л_ M(Q si|l- = с (cos fit - i sin ]/Г t)
для некоторой постоянной с. Полагая t == 0, получаем с = 1, и
поэтому
т_4/) = -/у/.
Аналогично,
Таким образом,
^@ м(/) = о
и, следовательно, из E.15) получаем
= 0	(Я<0),
1 Каждая собственная функция принадлежит классу ?2 (—°°, °°).
См. задачи 6 и 7.

§ 5. СИНГУЛЯРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ИНТЕРВАЛА 275
= 0	(A<0),
Теорема разложения принимает для любой функции / е Й2(— оо, оо)
следующий вид:
ДО = -L J cos У%(А)dl + ^ f ^*-g2@dX,
71 о	л 6
где
gi(A) =
и интегралы понимаются так же, как и в теореме 5.2. Это — в точ-
точности интегральная формула Фурье для функций / е ?2(— со, оо).
(Спектром задачи Lx — — х" = /х на интервале — оо < t < оо
является множество 0 <; Я < ос.)
Пример 2. В другом интересном случае оператор Эрмита L
задается равенством
LX=— X" + t2X	(— oo<f<oo).
Из следствия 2 теоремы 2.4 вытекает, так как q(t) = ?2 ->- оо при
/ ^- -J- оо, что при — оо и оо имеет место случай предельной точки.
Рассматривая этот оператор на интервале — оо < t < 0 и
0 < f < оо, получаем, что спектр любой краевой задачи с краевым
условием в нуле дискретен; см. задачу 1. Отсюда следует, что функ-
функции m_oo, moo 1иероморфны с простыми полюсами на действитель-
действительной оси. Для Im I ф 0 точки т-^A) и т<х>A) лежат в различных
полуплоскостях; отсюда находим, что разность ra_oo(Z) — moo(Z)
имеет только изолированные нули. Из формул E.15) и E.16) выте-
вытекает, что ojk — функции скачков с разрывами в счетном множестве
точек {А„? л = 1, 2, .... Ортонормированные собственные функ-
функции {Лп}, являющиеся решениями уравнения Lx = Хпх класса
i>2(— оо, оо), с точностью до постоянного множителя имеют
вид e~PhHn{t), где Hn(t) — многочлены Эрмита. В самом деле,
пусть х = е~'2/г у. Тогда уравнение Lx = lx принимает вид
Если и = JV ak tk — решение этого уравнения, то
аи
IS*

276 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Таким образом, существуют два решения : четное их и нечетное «2,
и если I не есть нечетное целое положительное число, то из E.17)
следует, что
Значит, выражение (q их + с2 н2)е~'2/2 не ограничено при всех cv c2,
не равных нулю. Итак, ие~~'2/2 € ?2(— оо, оо) в том и только в том
случае, когда I — нечетное целое положительное число ни — много-
многочлен относительно t.
Задачи
1. Пусть Lx = —х" + qx, где функция q действительна и непрерывна на
интервале [0, оо) и q(f) —> + °° при / —> со. Показать, что для оператора L имеет
место случай предельной точки. Показать, что спектральная функция q задачи
Lx = lx, sin a x @) — cos a x'@) = 0 есть функция скачков с разрывами в
точках р.к}, к = 0, 1,..., где Ао < Х1 < ... . Показать, что собственные функ-
функции ук, где
имеют в точности к нулей на интервале 0 < t <; <=>.
Указание. Использовать задачи 1(а)—(е).
(a)	Показать, что для каждого данного действительного X функция у?,
где 1рл@ = y(t, Я), при t —> со удовлетворяет одному из следующих трех условий :
VA И If). —> оо, 	оо ИЛИ 0.
Указание. Пусть fo= @(Я) выбрано так, что <?(?) — Я> 1 для t~>tQ.
Использовать равенство y>'i=(q — Я)ул и показать, что функции ^д и щ.
могут иметь не более одного нуля при t > ?0.
(b)	Показать, что существует монотонно возрастающая последовательность
Яо, кх,..., где Яп —» оо при п —> оо, такая, что функция у;, имеет точно п нулей
на интервале 0 < t < оо при Я.п_1 < ^ < ^-п, где Л_л = — со.
Указание. В силу результата задачи 1(а) функция у,, имеет конечное
число нулей на интервале @, со). Из доказательства теоремы 2.1 гл. VIII сле-
следует, что функции if), и щ для каждого данного i > 0 при Я —»— оо имеют
один и тот же знак; таким образом, в силу результата задачи 1(а) функция
грх не имеет нулей для Я, стремящихся к — оо [и \ip(t, Я)] —> оо при / —> оо, так
что для L имеет место случай предельной точки ]. По той же теореме функция
уд имеет нули на интервале @, оо), если Я достаточно велико, и нули передви-
передвигаются непрерывно влево, когда Я возрастает, и вправо, когда ?. убывает.
Таким образом, существует такое Я„, что для h<z Х„ функция щ имеет не более
п нулей на интервале @, оо), а для Х> К — не менее п + 1 нулей на интер-
интервале @, оо). Если е достаточно мало, то функция Wx,,+e имеет в точности
п + 1 нулей, ибо если бы было п + / нулей, то при е —> 6 + последние / нулей
должны были бы двигаться в бесконечность. Следовательно, в случае достаточно
большого (п + 1)-го нуля метод задачи 1(а) показывает, что других нулей нет,
и также, что п-й нуль не лежит справа от точки tu(.hn). Значит, функция у>п
имеет не менее п нулей. С другой стороны, если бы у>„ имела точно к нулей, то то
же самое имело бы место для функции у>; _е при достаточно малых с. Таким
образом, функция щ имеет точно п нулей.
(c)	Спектральная функция q есть функция скачков, которая может иметь
разрывы только в точках л0, Я1?....
Указание. Рассмотрим задачу на интервале (О, Ь) с условием х(р) = О
и собственными значениями Хц. Тогда, так как функция ц>ц, где уь/(О = y(t, Яьу),
имеет точно / +1 нулей на интервале (О, Ь], то Ау > а.;-. С другой стороны,

задачи	277
/>*n < *л + ? при достаточно больших Ь, каковы бы ни были t > 0 и п, так как
функция У;.„+е имеет п+ 1 нулей на интервале (О, оо). Использовать, что
?«(*) -> е(Л) при 6 -» оо.
(d)	Показать, что функции у/с е ?2 @, оо) и ортогональны.
Указание. В силу результата задачи 1(а) щ —> 0 при ( —> со, ибо если
бы \щ\ —» оо, то число нулей функции yfc на интервале @, с») не могло бы
измениться при .малой вариации я^. Используя, что щ и уи-^О монотонно,
показать, что j [у'к, <Л < оо и поэтому f \щ\ dt < оо, а значит, у/с с S2 @, °о).
Для доказательства ортогональности использовать формулу Грина и соотно-
соотношение : yjipic — у>']Ч>к —» 0 при f —> со.
(e)	Спектральная функция разрывна для всех /*, к > 0.
Указание. Если бы функция е не имела скачка в точке Яп, то в силу
ортогональности функции хр„ ко всем щ, / Ф п, равенство Парсеваля не имело
оы места.
2.	Пусть р = 1, а функция g действительна и непрерывна на интервале
[О, оо) и"
lim inf q(t) = /^
(-.со -
для некоторого ju, — оо -^ ц. < оо. Для Я. < /п. спектральная функция о задачи
Lx = lx, sin a x @) — cos а р@) х'@) = О
есть функция скачков со скачками только в точках возрастающей последова-
последовательности а0 </¦!<;... < /х. Число точек Ц (в случае, если оно конечно) равно
числу нулей функции .$>,, на интервале 0 < / < оо. Если эта последователь-
последовательность не пуста, то функция у>п имеет в точности п нулей на интервале 0 < t <oo.
Указание. См. задачу 1.
3.	Показать, что если п — число нулей решения задачи — х" 4- Qx = О,
х(р) = 0 на интервале @, оо), где функция д действительна, то
n<\t\q(t)\dt.
О
Указание. Пусть \q(t)\ = h{t). Если а и j8 — последовательные нули
решения <р уравнения
х" + hx = О,
то
t
<p(t) = a(t - а) - С (f - s) ft(s) y(s) ds.
a
Исходя отсюда, показать, что ]у@1 < М (t — а) для a < f < /3 и
4. Пусть функция д действительна и интегрируема на интервале @, оо), т. е.
|9@1 Я< со.
Пусть Lx = — х" + дх и рассмотрим задачу Lx — Zx, x@) = 0. Показать, что
для оператора L имеет место случай предельной точки и- что для Я > 0 спект-

278 гл. ix. сингулярные задачи для уравнений второго порядка
ральная функция принадлежит классу С1. Далее показать, что если I = s2, то
функция y(t, s), где у@, s) = 0, у>'@, s) = 1, удовлетворяет соотношению
у(/, s)	— sin (st — a(s)) —»О
при / —> оо, где функция А непрерывна и положительна, а функция о. непрерыв-
непрерывна и действительна. Докгзать, что для А > О
Указание. Для s >¦ О показать при помощи последовательных при-
приближений, что уравнение
<?(т) <Pi(T> s) ^T
имеет ограниченное решение и, следовательно, что <px(t, s) — eits —> 0 при t —» оо.
Показать, что L <pt = s2 gjj. (Заметим, что решение ^i существует при Im s > 0.)
Показать аналогично, что существует функция <р2. соответствующая е its.
Ни щ, ни q>2 не принадлежат классу ?2 @, оо). Показать, используя задачу
1 гл. I, отправляясь от уравнения
.. . sin st С sin s(t — т)
V(f, s) = —-- +	^-	' v(t, s) g(t) At,
Ъ	«,"	Л
о
что функция Jv*l ограничена при ( —» оо и, пользуясь этим, что при t —» оо
у(?, s)	— sin (st — a(s)) —* О,
где
со
A(s) eia = l+j eisz q(r) у>(т, s) dr
6
и интеграл сходится равномерно. Так как у = с^ ~ с2<р2, то показать, пола-
полагая f —> оо, что Cj = Ae-'aft2is) и с2 = сх. Следовательно, из равенства A(s) = О
следует, что y>(t, s) = 0 для всех /. Рассмотрим задачу Lx = Zx, x@) = хF) = 0.
Тогда собственные значения совпадают с теми значениями s, для которых
y)(b, s) = 0. Для больших Ь в интервале (slt s2) содержится (s2 — sJbJTi ~- с
собственных значений, где \с\ ¦< 4 и
о
причем ? —¦ 0 при Ъ —> оо. Таким образом, для больших Ь
e*(s.) №(si) (
где s содержится в интервале (slf s2). При Ь
для некоторого s из интервала (slf s2)- Итак,
dS^~^A2E)
где ё(«) = е(«2)-

задачи	279
5. Показать, что если в задаче 4 s комплексно, то функция F, определенная
равенством
= A(s) e'«s>,
аналитична по s для Im s > О. Показать, что функция F(s) может обращаться
в нуль для Im s > 0 только тогда, когда Re s = 0. Показать, что там, где F(s) =
= 0, y>(t, s) = O(e—',s.t) и, следовательно, существует собственное значение.
6. В случае краевой задачи на интервале 0 < t < оо со спектральной функ-
функцией q показать, что если Я принадлежит точечному спектру, то функция у,
где y(t) — v>(t, А), принадлежит классу ?2 @, оо).
Указание. Пусть / = ij> для t < а и / = 0 для ' > а. Пусть
|/@ v(<,
6
Тогда
Пусть е(Я + 0) — е(Я — 0) = г. Показать, что
о
7.	Для задачи Lx = lx, — оо <; t < оо доказать, что из разрывности ма-
матрицы о при Я = л следует, что по крайней мере одно решение уравнения Lx = Ах
принадлежит классу ?2 (— °о, оо).
Указание. Пусть скачки функций gu, о12 и g22 б точке Я равны соответ-
соответственно г11; г12, г22. Если функция / е ?2 (— оо, оо) и действительна, то
а	а	а	а	с
| f л > га () fVl л]2 + 2г1? (| }<рг at} ( (/я, д) + г2
—а	—ct	—а	—^g	—a
Полагая /= г\* <рх + Ьа>2, где b = /W^li2, доказать, что /е?2(—оо, оо).
Если ru = 0, то доказать, что <р2 е ?2 (— оо, со).
Замечания. Если г\„ < ru r22, то существуют два независимых решения
в классе ?2 (—¦ оо, оо).
8.	Для краевой задачи на интервале 0 < t < оэ, для которой имеет место
случай предельной точки, спектр зависит от а в граничном условии при t = О
и будет обозначаться через S(a). Обозначим через S'(a) производное множество
множества S(a). Доказать, что S'(a) не зависит от а.
Указание. Обозначим через S*(a) дополнение множества S'(a) на
интервале — оо < Я < оо. на множестве S*(a) матрица д постоянна, исключая
изолированные скачки, так что из C.10) и C.9) следует, что функция гп„, где
т„A) = тю (I, а), есть мероморфная функция /, действительная на множестве
S*(a). Тогда для о- = «1 функция т„,, где тга1 (/) = та, (I, аг), мероморфна на
.множестве S*^). Если у = аг — а, то
Итак, функция Ша, мероморфна и действительна на множестве S*(a1). Это
доказывает, что S*(a)^S*(a1). Так как а и а± можно поменять местами, то
теорема доказана.

280 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
9. Множество S* — дополнение множества S', определенное выше, открыто
и, следовательно, является объединением интервалов. Из приведенной выше
формулы для функции тюA, а) ясно, что каждая точка Я интервала есть полюс
та, при некотором выборе а., а именно при ctg(ax — a) = тю(Л, ax). Таким
образом, каждая точка интервала принадлежит точечному спектру Р(а) краевой
задачи для некоторого а. Тогда на каждом интервале а можно рассматривать
как функцию К с такими значениями «(А), что Я е -Р(а). Доказать, что эта функ-
функция Я. регулярна на каждом интервале множества S* и монотонно возрастает.
Указание. Из формулы C.10) следует, что (dmoold?C)(k,a1)>0. Из
условия ctg (<*! — a) = тю (Я, ах) получаем
10. Пусть Lx =—х" + Q(t)x на интервале 0<?<оо7 где функция q
действительная, непрерывная и периодическая с периодом 1. Доказать, что S' есть
объединение замыканий интервалов прямой— оо < А < оо, на которых уравне-
уравнение х" + (Я — q)x = 0 устойчиво, т. е. доказать, в обозначениях § 3 гл. VIII, что
S' состоит из тех точек, для которых /2(Я) <; 4.
Указание. Для оператора L имеет место случай предельной точки [по
теореме 2.4 или из того факта, что на интервале устойчивости ни одно решение не
принадлежит классу ?2@,оо)]. Таким образом, для Im / ф 0 один характеристи-
характеристический мультипликатор у(Х) удовлетворяет условию !у(Я)| < 1. Мультипли-
Мультипликаторы являются корнями уравнения tf2 — of([) +1=0, где
в обозначениях гл. VIII, и у{1) — одним из корней (/± I'/2 — 4)/2. Для
задачи с условием х@) = О функция <ю + vn.a,\> e ?2 @, °°) и является поэтому
решением с мультипликатором у. Итак, <рA, V) -j- m^Z) y>(\, I) = у и поэтому
/п„@ = (у — <рA,1))/у>A,1). Внутри интервалов устойчивости /2 < 4 и у(/)
стремится к комплексному числу, равному по модулю единице при Im I —<¦ 0.
Значит, Im гп„ ф Она интервалах устойчивости. На интервалах неустойчивости
1ттю —> 0, за исключением тех точек, где целая функция уA,0 равна нулю.
11.	Пусть оператор L такой, как и выше, но возьмем теперь интервал
—	оо <; t < оо. Показать, что в этом случае спектр S тождествен с множеством
S' задачи 10 и S непрерывен.
Указание. Мп = v(l, 1)Цу^~ у) и М22 = A — q>f + Ф2) / ((у1 —
—	У) If)- Так как ни одно из решений уравнения Lx = lx не принадлежит
классу ?2(— со, оо), то из результата задачи 7 следует, что S непрерывен.
12.	Пусть / е ?2 @, оо) и пусть для оператора L имеет место случай пре-
предельной точки на интервале 0 < t < оо, как в теореме 3.1. Если / не принадлежит
спектру (в частности, если Im I ф 0), то задача Lx = lx 4- /, sin a x @) —
—	cos a p @) x'@) = 0 имеет единственное решение ft в классе ?2@, оо). Если
то
где интеграл сходится в ?2@, оо). (Таким образом, Оператор L — Z имеет обрат-
обратный, если / не принадлежит спектру.)
а
Указание. Пусть ftc = Jgyйо/(Я — /). По лемме 3.1 (или по теореме
—а
3.2) функции ha сходятся в ?2 @, оо) к пределу h при а —> оо. Очевидно, что ha

ЗАДАЧИ	281
удовлетворяют краевому условию при t = 0. Далее, Lha = lha + fa, где
а
/а = I SV^q, и отсюда следует, что
—о
t
ha = [^(f, /) у(т, Г) — yi(t, I) <р(т, /)] /а(т) cfr + c(g) y>,
.6
где с(о) — постоянная. Таким образом, при а —> со
Л =
с
причем постоянная с(оо) должна существовать, так как ha —» Л, /0 —> /• Итак,
Lh= lh + f и функция Л удовлетворяет условию при t = 0. Остается доказать
единственность Л. Для Im / # 0 это следует из того факта, что функция у> не
принадлежит классу ?2@, оо) при Im / # 0. Для Im / = 0 пусть /= X. Очевидно,
V1 = ?"(') = V>(t> Ц есть собственная функция, соответствующая некоторой функ-
функции & для некоторого условия § в конце Ъ, ибо функция у> действительна. Если
у> е ?2@, со), то скачок функции ^6 в точке X не стремится к нулю при b —» оо
и X принадлежит спектру g. Итак, значение л не принадлежит спектру, функция
ijj не принадлежит классу ?2@, оо) и, следовательно, функция h единственна.
13. Пусть 2) обозначает класс функций, удовлетворяющих условиям (i),
(ii) и (Hi), приведенным ниже равенства D.9). Краевая задача Lx = lx, sina x@) —
— cos а р@) х'(О) = 0 называется самосопряженной, если для любых функций
и, v € 5)
(Lu, v) = Г (Lu) г>Й = Г иAл7) dt=(u,Lv).
Показать, что если для оператора L чмеет место случай предельной точки, то
задача самосопряжена.
Указание. Пусть Im / Ф 0, Lu — lu = / и Lv — lv — р. Тогда
/, p e ?2@, оо). Пусть g = § fy> dt и пусть функция ? аналогично связана 'с
о
а
функцией р. Пусть ив= f y>g (%'(?- — /). Тогда в силу результата задачи 12
—а
иа —> ц в ?2@, со). Пусть функция «о определена аналогично. Имеем
о —о
Полагая /а —» со, получаем
Но выражение (иа, р) также равно интегралу, стоящему справа. Таким .обра-
.образом, (/, va) = (иа, р). Полагая а —» оо, получаем равенство {Lu, v) = (и, Lv).
14. В теореме 3.1 было показано, что функция q единственна в том смысле,
что все е» —> Q ПРИ Ь —* оо. Доказать следующий более сильный результат. Если
условия C.6) и C.8) выполняются с заменой функции q на некоторую функцию "
то q должна быть равна функции q, определяемой соотношением C.9).

282 ГЛ, IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Указание. Пусть / е ?2@, <=о). Тогда единственное решение И задачи
12 может быть представлено двумя способами, так что для Im I > 0 интеграл
—a
s
сходится в ?2@, оо) к 0 при а -> оо. Пусть -Г(Х, s) = f y>(t, X) ей. Очевидно,
о"
s
Г е ?2(е) и ?2(?), будучи вида C.11). Беря интеграл j JFa dt и полагая а —> оо,
о
получаем
Такое же равенство имеет место, если I заменить на /. Если I = \х + iv, то
-1	"-1 2iv
Таким образом,
Интегрируя по /а в пределах от ^ до /а2 и полагая v —> 0, получаем
для всех jux и н... Дифференцируя это равенство по s, находим
Пусть /@ = 1 для 0<(<ги /@ = 0 для / > т. Тогда g(X) равно Г(Я, т), и
дифференцируя по т, получаем
Если а ф л/2, полагаем s = т = 0 и используем равенство у (О, X) = cos ct.
Если а = л/2, дифференцируем по т и s и затем полагаем т = s = 0. В любом
случае
что доказывает результат.
15. В случае предельного круга теорема 4.1 показывает, что 27'
где штрих означает пропуск нулевого собственного значения.

ЗАДАЧИ	283
Указание, щ = (}~к — /0) @(/0) щ. Значит, по неравенству Бесселя,
примененному к функции G(t, 1, /0) при фиксированном т,
N
II
для всех N, где ги — нормирующий множитель. Интегрируя по т, получаем
результат.
16. Для оператора Lx = — х" 4- (г2 — -т-1 /t2 х, 0 < г < 1, при I = О
имеет место случай предельного круга. Если I = s2, то решения уравнения
Lx = lx имеют вид f1/2jr(sf) иг1'2 J_r(sO, где J,-nJ_r — функции Бесселя. Пусть
.\'A) = 0 и рассмотрим краевое условие при t — а < 1. Определить функцию
/пй(/) и показать, что
где с — любая действительная постоянная.
17. Показать, что если для оператора L имеет место случай предельной
точки в оо и — оо, то задач? Lx = lx самосопряжена в том смысле, что
I (Lu)vdt = i u(Lv)dt
для всех функций и, v е ?2(—со, со), которые имеют абсолютно непрерывные
первые производные в каждом замкнутом подинтервале интервала (— со, со)
и для которых Lit, Lv е ?2 (— со, оо).
Указание. Модифицировать метод задачи 13.
18.	Сформулировать и доказать аналог теоремы 3.2 для случая интервала
(— оо, оо), если для оператора L и-меет место случай предельной точки на обоих.
КОНЦаХ 	 со и со.
19.	Опираясь на замечание, следующее за формулами E.16), сформулиро-
сформулировать и доказать точные теоремы.
20.	Пусть х — вектор с компонентами хг и х2. Пусть Lx — вектор с ком-
компонентами
Lxx = р*КрЧ--хг)' + гх2 + 9А ^ = ~ J ,
L2x = - рМрЧ* xj + rxx + ?2х-2,
где функции pup' непрерывны, р > 0 и функции г, qlt ц.г действительны и не-
непрерывны для 0 < t < оо. Пусть и и v — векторы класса С1 на интервале
О < t < оо. Пусть u-v обозначает величину н^ + Щг>2. Показать, что
h
| (Lu v-u-Lv) dt = [uv] (tz)- uv] ft),
где [uv] @ = /7@ (н2@ «i@ - «i@ 5s@) ¦
Пусть f и у — решения уравнения Lx = lx, удовлетворяющие условиям
Р'НО) Vi@,1) = sin a, pVE(O) v2@, /) = cos a,
/?'/2@) ^@, 0 = — cos a, /?гЦ0) ^2 @,1) = sin a.
(а) Развить теорию § 2 для задачи Lx = /х, хх@) cos a — хг@) sin a = 0.

284 ГЛ. IX. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(Ь) Развить теорию § 3 для этой задачи в случае предельной точки (опреде-
(определить последнее понятие). В частности, показать, что если вектор / принадлежит
классу ?2@, со), т. е. ( J-fdt < 00, то найдется такая матрица с, что интеграл
о
существует и
(c)	Развить теорию § 4 для этой системы.
(d)	Формулировать результаты § 5 для этой задачи.

Глава X
СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА п
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе теория гл. IX будет распространена на случай урав-
уравнений порядка п. Определим формальный дифференциальный опе-
оператор L равенством
Lx = /?ох<"> + р^"->> + ... + рпх.
Предполагается, что рк — комплексные функции с п — к непрерыв-
непрерывными производными на открытом интервале а < / < Ь, причем
случаи а = — со,Ь = °° или одновременно оба допускаются. Далее,
po(t) =f= 0 при а</<Н оператор L совпадает со своим сопряжен-
сопряженным L+ по Лагранжу
L+x = (- 1)"(Ро*)(п) + (- И" (РхХУ"-" + • • • + рпх.
Заметим, что п может быть нечетным и что при п > 2 могут теперь
появиться комплексные коэффициенты.
Вначале будет доказан общий результат о разложении и равен-
равенство Парсеваля, а затем — теорема обращения для двух важных
случаев. Далее будет установлено существование функции Грина и
ее связь со спектральными матрицами.
Простейший пример, иллюстрирующий излагаемую теорию,
доставляет оператор Lx = ix' на интервале — со < / < со. Здесь
уравнение ix' = lx имеет своим решением е~ш и теорема разло-
разложения для этого случая совпадает с теоремой Планшереля.
Как и прежде, используемый метод опирается на постановку
самосопряженных краевых задач на замкнутых интервалах.
<5: а < t <С Ь, где а < а < Ъ < Ъ. Таким образом, предполагается,
что на д даны п линейно независимых самосопряженных краевых
условий
Uej х = У; (Ms]k x(ft- •> (с) + Nejk хО<-о E)) = 0 (/ = 1, ..., п). A.1)
(То, что такие условия всегда существуют, когда L = L+, показано
в задаче 15 гл. VII.) Условия A.1), определяемые матрицами Me =
= (Msjk) и Ne = (Ndji), сокращенно записываются в виде Usx = 0.
Краевая задача на <5
0	A.2)

286	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ Д/7Я УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА 11
самосопряжена и поэтому существует полное ортонормированное
множество собственных функций {%sk} и соответствующие собствен-
собственные значения {ЛВк}.
Для функций и, v из пространства ?2(i3) скалярное произведение
и норма определяются равенствами
(и, v)i=\uvdt, || и |! в = (и, иI'\
д
Эти величины для функций из ?2(g, b) будут обозначаться через
(u,v) и ||ц||, т. е.
b
(U,V)= j UVdt,	||uii = (U,»I'^.
§ 2. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ И РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ
Равенство Парсеваля для самосопряженной задачи A.2) имеет
вид
где и б ?2 (б). Пусть q>j = q>j{t, I) (j = 1, ..., л) — решения уравнения
?х = Zx, которые для некоторого фиксированного с, а < с < ft,,
удовлетворяют условиям
99</-»(с, 0 = 5;ft (/, fc = 1, ... , п),	B.2)
где dJk— символ Кронекера. Производные <р^~г) при фиксированном
t являются целыми функциями I. Так как решения (f; независимы, то
где rsitj — комплексные постоянные. Подставляя B.3) в формулу
B.1), запишем равенство Парсеваля в виде
со „
где
B.5)
и матрица g« = (овд) состоит из функций скачков со скачками в
собственных значениях. Скачки в собственных значениях опреде-
определяются равенством
QSjktf-p + 0) — QS]k(h — 0) = V1 Ttmjfemk,	B.6)

§ 2. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ И РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ	287
где сумма берется по всем таким т, что A>m = hp- (Заметим, что
различные функции %вт могут соответствовать одному и тому же
собственному значению Яйр.) Очевидно, эта матрица обладает следую-
следующими свойствами:
(i) Матрица де эрмитова.
(ii) Матрица t ь(Д) = ?е(Л) — ?a(ft) неотрицательна, если Я > /л,
(iii) Полная вариация функций ?Sjk конечна на каждом конечном
Я-интервале.
Предположим, далее, что сеф) — нулевая матрица и гй(Л -f- 0) =
= Qt(ty. Ввиду условия (ii) матрица де неубывающая. Матрица г«
называется спектральной матрицей. Заметим, что она зависит не
только от задачи A.2), но также от выбора независимых решений
уравнения Lx = lx.
В этом параграфе будет показано, что соотношение B.4) остается
справедливым, если всюду заменить б на (а, Ь). Следующая теорема
показывает существование по крайней мере одной предельной
матрицы q при б —>¦ (а, Ь).
Теорема 2.1. Пусть {6} — множество интервалов, сходя-
сходящихся к интервалу (а, Ь), и {Usx = 0} — соответствующее мно-
множество самосопряженных краевых условий. Тогда {6} содержит
последовательность {6j}, сходящуюся к интервалу (а, Ь) при /->оои
такую, что предельная матрица
= lim
существует на интервале — со < Я < оо. Кроме того, предель-
предельная матрица q удовлетворяет сформулированным выше условиям (i),
(ii) и (iii).
Доказательство непосредственно следует из теоремы
выбора Хелли и следующего факта : для данного ц >¦ 0 существует
число М{[л) < оо; не зависящее от 6 или V», такое, что для |Я| <^ [л
B.8)
Чтобы доказать неравенство B.8), достаточно взять / = к, так как
из формулы B.6) следует, что
Функции <р\к г) непрерывны по совокупности переменных (/, Я) и при
t = с равны djk. Таким образом, для данного (г существует такое
h > 0, что
;9^-i)(/>A)_^|<_^.	B.Q)

288	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
для с < t < с + h и \Ц < ц. Пусть / — неотрицательная функция
класса С" на интервале (а, Ь), обращающаяся в нуль вместе со своими
первыми п —¦ 1 производными вне интервала (с, с ~\- h) и нормиро-
нормированная так, что
c+h
jl.	B.10)
Неравенство Бесселя в применении к функции (
(т = 1, ..., п) при фиксированном m дает
c+h
Г \p»-»\*dt^ \ ? Ш&&)йе*п№,	B.11)
где
c+ft	c+h
gft(A) = (- I)-' j %(/,Я)/(--О @dt = J ^-» (f,
с	с
В силу соотношений B.9) и B.10)
что вместе с B.11) дает
c+h
J |/>-'>Nf>-
С	-/1	-« /=1
Суммируя предыдущие неравенства от m = 1 до т =^ п, получаем
оценку B.8) и, следовательно, теорему 2.1.
Для каждой такой предельной матрицы о пространство ?2(е)
определяется как множество всех вектор-функций g = (g;), / = 1,...
.. ., п, измеримых относительно q и таких, что
ii g ll2 = f JS &(Я) &(A> de;^) < - -
-co j fc=l
Теорема 2.2. Пусть q — предельная матрица, определенная в
теореме 2.1. ?с./г« / € ?2(о, Ь), то существует вектор g € ?2(g), такой,
что если
g'tf) = J %ft Я) /@ dt F С (о, fc)),	B.12)
б
то
!!g-g«!i-^O F^(a,b)).	B.13)
Имеют место выраженные при помощи этого вектора g равен-
равенство Парсеваля
i7;i=jg!i	B.14)

§ 3. ТЕОРЕМА ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	289
и разложение
/@ = J
п
2<Pti,X)gHV)dQjk{X),	B.15)
причем последний интеграл сходится к функции f no норме в про-
пространстве ?2(g, b).
Доказательство проводится так же, как и в теореме
3.1 гл. IX, соотношения C.16)—C.24).
Как и в гл. IX, под интегралом
б
понимается /-я компонента вектора g, существование которой дока-
доказано в теореме 2.2.
Аналоги остальных частей теорем 3.1 и 3.2 гл. IX будут доказаны
ниже в §§ 3 и 4.
§ 3. ТЕОРЕМА ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
Теорема обратного преобразования утверждает, что каждый
вектор g € ?2(о) порождается функцией / б ?2(с, Ъ), как в теореме
2.2. Это справедливо при некоторых дополнительных предположе1-
ниях об операторе L, которые соответствуют в случае п = 2 гл. IX
случаю предельной точки в точке Ъ, как в § 3, или случаю предельной
точки на обоих концах а и Ъ, как в § 5. В основном доказательство
такое же, как в теореме 3.2 гл. IX. Как и в этом доказательстве,
используется следующая
Лемма 3.1. Пусть ge?2(g) и
/40 = J J
A j,k=l
где Л — конечный ^.-интервал. Тогда при Л -*- (— оо, оо) функции
\л сходятся в ?2(с, Ь) к функции f e ?2(o, b).
Доказательство такое же, как для леммы 3.1 гл. IX.
Используется в доказательстве также явное представление
обратного оператора для оператора L — I, \т1фО.
Лемма 3.2. Предположим, что для некоторого I, \m l=j= 0, урав-
уравнение Lx ~ 1% не имеет нетривиальных решений в классе ?2 (а, Ь).
Если f € ?2(с, Ъ) и g — любой вектор в классе ?2(е), такой, что
г "
/@= 2
j, к— 1
19 [82.

290.	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА Л
где интеграл сходится в й\а, Ь) к функции /, то уравнение
(L — 1)х = / имеет единственное решение F в классе ?2(я, Ь), опре-
определяемое равенством
со
= f i (А - О«(', ^) g*(A) d&
Л
причем последний интеграл сходится в ?2(g, b) к F.
Доказательство. Если для каждого конечного Я из интер-
интервала Л
wo=J is'Pv-
^@ = j i (* - О ч>#,
/1 /,k=l
то (Z — l)FA — U- По лемме 3.1 существует функция F € ?2(о, b),
такая, что \\Fa — F\\ ~> 0 при ^1 —>¦ (— со, оо). Далее, по условию,
WU — /11-*-0 ПРИ Д~*-(—°°, °°)- Из формулы вариации постоян-
постоянных следует, что существует непрерывная функция б/, для которой
МО = v<pj{t, о Г 6j{t)U(r)dr+j> cj(A)9l(t, l),
7=1	e	J=l
где cj(A) — постоянные и а < с < ft. Так как функции F4 и '/j
сходятся в ?2(с, Ь) и так как функции <?,- независимы, то предел
сДоо) = lim Cj(A)
а^(- со со)
существует (здесь предел берется по надлежаще выбранной последо-
последовательности Лк) и
F@ = J 9$, О I" вДт) /(т) d т + J с .(со) <рД /).
Р»	с	У=1
Это — формула вариации постоянных, и она показывает, что F —
решение уравнения (L — l)x=f. Так как F € ?2(g, b) и так как
уравнение Lx = Zx не имеет нетривиальных решений в классе
22(о, Ь), то решение F единственно.
Теорема 3.1. Предположим, что ни одно из уравнений (L ± 0х==
= 0 не имеет нетривиальных решений в классе ?2(g, b). Если
g e ?2(е), то существует функция /е?2(с, ft), такая, что
/@= 2

§ 3. ТЕОРЕМА ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	291
причем интеграл сходится к f в ?2(а, Ь) и
ь
Замечания. Если п = 2 и функции рк действительны, то
условие, наложенное на решения уравнений (L ± 0х — 0> экви-
эквивалентно утверждению, что для оператора L имеет место случай
предельной точки в а и Ь. Можно показать, что если ни одно из
уравнений (L ± 0х = 0 не имеет нетривиальных решений в классе
У2(о, Ь), то уравнение (L — /) х = О не имеет нетривиальных решений
в классе ?2(а, Ь) для любого I, Im I =f= 0 ; см. § 4.
Равенство C.1) можно интерпретировать обычным образом.
Именно, если
то jig — gejj -v 0 при д-v (a, ft).
Доказательство теоремы 3.1. Существование функции
/ обеспечивается леммой 3.1. Для этой / существует, по теореме 2.2,
вектор g б ?2(е), такой, что
/-@ = I J w(«, А) МА) Фм№,	C.2)
i Л1
и если
/-@ = J
то ||/ — /j11 -v 0 при /1 -v (— со, оо). Нужно показать, что
Если функция 1л определена как в C.2) с заменой g на g, то
'¦;/ — /j||—>-0 при А —> (—оо, оо). Используя лемму 3.2, получаем,
что единственное решение F уравнения (L — i)x — /, принадлежа-
принадлежащее классу S2(a, b), имеет вид
F(o = J jf (A-i)-1?*
= | ^ (Я - 0"
Аналогично, единственным решением уравнения (L — i)x = F,
принадлежащим классу $12(а, Ь), является
19*

292	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
l= J .
-m J
Повторяя этот процесс, получаем для р — 1,2,...
J
f J (Я - i)-" ?Д*, Я) r*(A) d6jkQ) = 0,	C.3)
Jco J, fc=l
где г = g — g.
Пусть Г — преобразование функции, равной единице на интерва-
интервале (с, с + s) и нулю в других точках, т. е.
Интегрируя равенство C.3) по t от с до с + 5, получаем
со
Г j? (Я - 0 " ГДЯ, s) /„(Я) ф>/((Я) = 0.	C.4)
1 'Л^1
Так как функции Гиг принадлежат классу S2(g), то функция Н
переменной I, определенная равенством
аналитична для Im Z > 0. В силу соотношения C.4) функция И
и все ее производные при I = i обращаются в нуль. Таким образом,
Н([) = 0 при Im I > 0. Аналогичный результат имеет место для
нижней полуплоскости, т. е. если заменить I на I. Если I = fi -\- iv, то
1	1 _ 2/>_
Я — / А — / (Я — /jJ + j>2 '
Итак, используя равенство Я(/) — Я(Г) = 0, получаем
.Если Ях и Я2 — точки непрерывности матрицы (?, то, интегрируя
C.5) по /< от Аг до А2 при фиксированном v и полагая затем v->0,
приходим к равенству

§ 3. ТЕОРЕМА ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	293
Дифференцируя это равенство по s, получаем
г2 «
Беря производные по s и полагая затем s — 0, из B.2) имеем
J 2 rk{X) dojh(X) = 0 (/ - 1,..., п).	C.6)
Так как значения Ях и Я2 произвольны, то для yj — функции скачков,
обращающейся в нуль при больших |А|, находим
| 2 У;(
Отсюда следует равенство ||г|| = 0, которое и требовалось доказать.
Теорема 3.2. Пусть ни одно из уравнений (L ± 0 х = 0 не имеет
нетривиальных решений в классе ?2(а, ft). Тогда матрица q единст-
единственна в том смысле, что если q — любая другая матрица, для кото-
которой справедлива теорема 2.2, то
в точках непрерывности матриц q и q.
Замечание. Непосредственным следствием теоремы 3.2
является то, что для любых точек непрерывности Я, ,и функции о
при 6 -> (а, Ь) независимо от того, как меняется условие Us с изме-
изменением д. Таким образом, если ни одно из уравнений (L ± i) x = О
не имеет решений в классе ?2(о, Ь) (ФО), то g называется спектраль-
спектральной матрицей задачи Lx = lx на интервале (а, Ь). Сепктр, точечный
спектр и непрерывный спектр для этой задачи определяются с.
помощью д, как и в § 5 гл. IX.
Доказательство теоремы 3.2. Пусть /(/) = 1 при
с < / < с + т и /@ = 0 для других t и пусть
Тогда, почти как в доказательстве теоремы 3.1, F — единственное
решение уравнения Lx = ix + / — имеет вид

294	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА 11
Далее, если обозначить а,к = QJk — ?д., то функция
со
= J J (А - О Г&, s) gl;(k, т) й6,кЩ
,k=l
должна обращаться в нуль для Im I > 0, и отсюда вместо равенства
C.6) имеем
Дифференцируя по т левую часть этого равенства, получаем
г2 «
Дифференцируя т — 1 раз по т и полагая т = 0, приходим к
равенству
которое доказывает теорему.
В другом случае, для которого будет доказана теорема обратного
преобразования, а также единственность матрицы д, открытый
интервал (а, Ь) заменяется на интервал [а, Ь), — <=о <; а < t < b ;
теперь роль интервала д = [а, Ь] играет интервал [а, 6]. Пред-
Предполагается, что рк € С"~к и pj(f) Ф 0 на [а, Ь). Предполагается, что
краевые условия UeX = 0 содержат т линейно независимых условий
вида
2МцхО- " (а) = О (I = 1,2,..'. , т),	C.7)
где Mij — постоянные, не зависящие от 6, т. е. от Ь. Условия C.7)
будут обозначаться через С/A)х = 0, а остальные условия, которые
могут зависеть от <5, — через Ufh = 0. Будет рассмотрен случай
п = 2т и будем предполагать, что условия ?7A)х позволяют опре-
определить условия Uf\ так что условия ?7«х = 0 будут самосопря-
самосопряженными.
В этом случае удобно положить с = а. Так как ранг матрицы
М = (Mi/) равен т, то существует точно п —т = т линейно неза-
независимых решений щ, . .. ,у>т уравнения Lx = lx, удовлетворяющих
условиям C.7). Пусть у>т+\, ¦ - ¦ ,ipn — m таких решений урав-
уравнения Lx = fcc, что 1рг,..., у>п образуют фундаментальное мно-
множество с начальными условиями в а, независимыми от I. Собствен-
Собственные функции {%6к} задачи Lx = lx, V6x = 0 имеют вид
= Д'hkjV>j(t, fok),

§ 3. ТЕОРЕМА ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	295
так как только решения %ръ ..., грт удовлетворяют условиям C.7),
и равенство Парсеваля для функции и 6 ?2E), выраженное через
щ,..., грт, имеет вид
где
Так как
п
<Pj= JgCujVk (/=1, ..-,«)
для некоторой постоянной неособой матрицы С = (cjk), то матрица
q6 связана с матрицей g« равенством qg — СдвС*. Здесь матрица
ов = (oajk) такова, что ?«д = 0 для j,k~>miAQs имеет все те свойства,
которые имеет матрица 9в. Если g — любая предельная матрица,
получаемая при предельном переходе д -> [а, Ь) по некоторой после-
последовательности интервалов, то, очевидно, q = CqC* — матрица, у
которой строки и столбцы с индексами, превосходящими т, равны
нулю. Выраженные при помощи g равенство Персеваля и теорема
разложения принимают для произвольной функции / б ?2(й, Ь) вид
со
где
ь
C.9)
/@= j V#
причем интеграл, стоящий справа в формуле C.9), сходится по
норме в пространстве Й2(ё), а интеграл, стоящий справа в формуле
C.10), — по норме в Ща, Ь).
Далее, имеет место аналог леммы 3.1, т.е. если ge?2(p), то
существует функция / € ?2(й, Ь), для которой справедливо равенство
C.10). Аналогично представление / при помощи q приводит к сле-
следующему аналогу леммы 3.2.
Лемма 3.3. Предположим, что для некоторого I, Im 1фО,
задача
Lx = lx, t/«x = O	C.11)

296 ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
не имеет нетривиальных решений в классе ?2(о, Ь). Если /б?2 (а, Ь)
и g— любой вектор из класса 2%q), такой, что равенство C.10)
имеет место, то задача
(L - /) х = /, U™ х = 0
имеет единственное решение F е ?2(а, 6), определяемое равенством
^ (А - О
М1

причем последний интеграл сходится в ?2(а, 6) к F.
Доказательство такое же, как и для леммы 3.2, если
заметить, что для каждого конечного интервала Л функция Fa,
определенная равенством
удовлетворяет уравнению (Z — Z)Fj = /j и условию C/A)Fj = 0, ибо
функции ^у удовлетворяют условию С/A)х = 0. Таким образом,
для некоторых постоянных Cj(A) и непрерьюных функций в,
t
п	т.
Fa® = 2 HU 0 | бДт)/(т) d т + 2 Cj(A)y>j(t, I).
Теперь непосредственно получаются аналоги теорем 3.1 и 3.2.
Теорема 3.3. Предположим, что ни одна из задач
(L±i)x = 0, U(-1\x) = 0
не имеет нетривиальных решений в классе ?2(а, Ь). Если g 6 ()
то существует функция f 6 ?2(а, Ь), определяемая равенством (ЗЛО),
и с помощью этой / вектор g представляется равенством C.9). Кроме
того, матрица q единственная в том смысле, что если q — любая
другая матрица, для которой имеют место равенства C.8) —
C.10), то
в точках непрерывности А, ^ матриц q и q.
Таким образом, если А, [л — точки непрерывности матрицы о,
то
при д = [a, b\ -> [a, b) независимо от того, как изменяется условие
?Л2) с изменением д. Матрица о называется спектральной матрицей
задачи C.11) относительно множества {}

§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА	297
Два случая — случай теоремы 3.1 и случай теоремы 3.2 — в
дальнейшем будут называться соответственно случаем I и случаем II.
Теорема обратного преобразования и единственность спектраль-
спектральной матрицы имеют также место для других случаев, если граничные
условия добавляются таким же образом, какой был указан в гл. IX
для случая предельного круга, но здесь это не будет рассматриваться-
Обозначим через 3) множество функций и б ?2(а, Ь), удовлетво-
удовлетворяющих условиям: они принадлежат классу С"~ г на интервале
(а, Ь), производные и(п~'г> абсолютно непрерывны на каждом замкну-
замкнутом подинтервале и Lu б ?2(а, Ь). Если а конечно, то пусть % — мно-
множество тех функций и е % для которых и 6 С" на интервале
[а, Ь) и ?7A)и = 0. В случае I задача Lx = lx на интервале (а, Ь)
и в случае II задача Lx = lx, C/(% = 0 на интервале [а, Ь) самосо-
самосопряжены в том смысле, что в случае I (Lu, v) = (и, Lv) для всех
и, и€®, а в случае II это верно для всех и, «е®. Доказательство
в каждом случае может быть проведено, следуя рассуждениям
задачи 13 гл. IX.
§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА
В рассмотрениях гл. IX, в которой изучался случай п = 2,
существование функции Грина в случаях предельной точки и пре-
предельного круга было непосредственным побочным следствием при-
примененного метода. Существование функции Грина G» для самосопря-
самосопряженной задачи Lx = lx, Vax = 0 было доказано в гл. VII. Будет
показано, что существует последовательность интервалов 8т -> (а, Ь)г
такая, что соответствующие функции Грина Gsm сходятся к функции
G, которая является функцией Грина в случаях I и II, разобранных
в § 3. В этом разделе будет также показано, что связь функции Грина
со спектральной матрицей, указанная в § 5 гл. IX, имеет место
в общем случае.
Мы используем существование функции К = K(t, т), опреде-
определенной для а < /, т < Ь, которая служит ядром в формуле вариации
постоянных для решения уравнения Lx = f. Эта функция такова,
что преобразование
есть решение уравнения Lx = / на каждом подинтервале 8 интер-
интервала (а, Ь), и К имеет такие же дифференциальные свойства, как и
любая функция Грина, соответствующая оператору L. В частности,
производная dtl~1Kldtn~1 имеет тот же разрыв при t = т, что
и функция Грина. Существует много таких функций К и существо-
существование одной из них доказано формулой B.4) гл. VII для случая
Lx = lx -f- /; см. также задачу 22 гл. III.
и В дальнейшем будет удобно обозначать такие функции, как К,
рассматриваемые как функции / при фиксированном т, через К( ,т)
аналогично при фиксированном / — через K(t, ).

298	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
Лемма 4.1. Множество функций {Ge} равномерно ограничено и
(для «>1) эти функции равностепенно непрерывны на каждой
компактной ' (t,t,l)-o6ласти, где Im 1фО (если п=\, прямая
t — т исключается).
Доказательство. Пусть замкнутый интервал <50 полностью
содержится внутри замкнутого интервала <51; который в свою оче-
очередь содержится внутри интервала (а, Ь). Пусть [л — любая действи-
действительная функция класса Сп на (а, Ь), такая, что fj,(t) = 1 для t б д0
и /u(t) = 0 для t вне <5Х. Определим функцию J равенством
Пусть 8Z) 8г и т б 80. Функция и = G«( , т, I) — J ( , т) при-
принадлежит классу С" на 8 и удовлетворяет краевым условиям Ueti — 0.
Поэтому, так как (L — I) и = — (Lt — l)J, где Z* обозначает
оператор L, примененный к функции /, которая рассматривает-
рассматривается как функция t,
Ge(t, r, I) = J(t, т) - f Ge(t, s, /) [Ls J(s, r) - / J(s, t)] ds. D.1)
Применяя к D.1) неравенство Коши—Буняковского, получаем
т)-/у( ,T)ik- D.2)
Равномерная ограниченность функций G« для /, т е й0 и Z, изменяю-
изменяющемся на некотором компактном множестве Л с ImZ=^=0, будет
непосредственно следовать из D.2), если мы покажем, что норма
||G( , Ще равномерно ограничена для txed0, 1еЛ.
Однако это вытекает из того, что если и = &s(J) f, где
D.3)
= \Gs{t,r,l)i(r)dr
и / € ?2(E), то
H
В самом деле, функция и удовлетворяет уравнению (L — 1)и = /
и условиям E/gu = 0. Применяя формулу Грина, получаем
или
j (Lu) U dt — J u{Lu) dt = O,
Й	6
21 Im/Iju||S = \<ju-tu)dt.
Используя неравенство Коши—Буняковского, получаем отсюда
неравенство D:3).
Применяя неравенство D.3) к функции и = Gb{ ,r,l) — /( , т)
для т б 80} имеем
,r)-lj( ,т)!|Й1. D.4.)

§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА	299
Таким образом, норма ||G&( ,т,Г)\\ь равномерно ограничена для
т б <50, I б Л и &э <5Х. Из симметрии функции Gs(t, т, I) = Об(т, t, I)
следует, что норма \\Gd(t, ,1)\\д также равномерно ограничена и,
следовательно, в силу D.2) этим же свойством обладают функции
{Gb} Для t, т б д0, I б Л и ё з йг
Из формулы D.1) вытекает (для « > 1), что
f/ (f, т, /) = % {t, т) - \ G4f, s, I) | [Ls(s, r) - lj(s, r)]ds, D.5)
4
и, применяя неравенство Коши—Буняковского к написанному ин-
интегралу, получаем равномерную ограниченность множества {aGs/Эт}
для t, т € <50 и /6 Л. (Если' « = 1, то интеграл в формуле D.1)
берется как сумма интегралов от ^ до т и от т до Ь1} причем
ё1 = [av Ьг].) Из симметрии функции G& следует также равномерная
ограниченность множества {ВОо/Щ- Равномерная ограниченность
множества {двь/Щ следует из аналитичности функций Gs no l и
равномерной ограниченности множества {Gb}- Из равномерной
ограниченности всех первых частных производных функции Gb
следует равностепенная непрерывность функций множества {Сь}-
(Если п = 1, то функции множества {G& — J} равностепенно
непрерывны.) Это завершает доказательство леммы.
Эта лемма вместе с леммой Асколи доказывает, что существует
последовательность интервалов дт с (а, Ь) (т = 2, 3,...), где бт ->
-> (а, Ь) при т —v со, таких, чтв соответствующие функции Грина
Gm = Gbm сходятся равномерно на каждом фиксированном ком-
компактном подмножестве Лх множества а < t, т < Ь, \т1фО, к пре-
предельной функции. Некоторая подпоследовательность этой последо-
последовательности будет стремиться к предельной функции равномерно
на компактном подмножестве Лг ц> Лх. Выбирая последователь-
последовательность {Л,}, сходящуюся к множеству а < t, г < Ь, \п\1фО, и
используя диагональный процесс, докажем существование после-
последовательности функций Грина, сходящейся равномерно на каждом
компактном подмножестве множества а < t, т < Ь, \т1фО, к
предельной функции G. Эта функция G определена для а < t, т < Ь,
Im l ф 0 и непрерывна, так как является равномерным пределом
непрерывных функций. Так как функции Gm аналитичны по I для
Im I ф 0, то это же верно для функции G. Из равенства Gm(t, г, I) =
= Gm(T, t,l) следует равенство G(t, т, I) = G(t, /, Z).
Теорема 4.1. Пусть G — предел любой сходящейся последова-
последовательности {Gm} из множества {Gs} функций Грина, соответ-
соответствующих данной самосопряженной краевой задаче
Lx = lx, U в х = О
на ограниченных замкнутых подинтервалах д интервала (а, Ь).
Тогда функция G непрерывна для а < f, т < b Цфт для п = 1),
Im 1фО, аналитична по I и обладает свойствами:

300 ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
(i) Производные 8kGjdtk (к = 0,1,..., /7—2) существуют и
непрерывны для a<t, r<b, а производные 8" G/dt"'1, d"G/dtn
непрерывны в каждой из областей f < т, т < t.
(И) д^-(г Н-0,тЛ)-|^?(т-0,т,0 = ро^ (а<т<Ь).
(iii) Функция G по переменному t удовлетворяет уравнению Lx =
= lx, если t =f= т.
равномерно на каждой компактной (t, т, 1)-области, где Im / Ф 0 и
t ф т, если j или к равно п—1.
(v)	G{t,r,l) = G(r,t,i). .
(vi)	G(t, ,l)?&(a,b) (a<t<b).
(vii) Если f 6 ?2(a, b), mo функция v, определяемая равенством
ь
40= j' G(t,r,l)f(r)dr
есть элемент множества 2) и
Lv = lv + j.
Доказательство. Представление D.1) дает при t,т?<507
\т1ф0 и д0 сЛ ей
S	j^^)-Wfef)]* D-6>
для / = 0, 1,..., « — 1.Напомним,так как производные9"-'Gs/Qt"
и дп-1К1дт;"-' имеют одни и те же разрывы при t = т, что их раз-
разность всюду непрерывна. Кроме того, из формулы D.6), если t Ф т,.
следует
{f г Л - ^ (t т\ Л. (-WlG*t,T,l)
дтп V> т> Ч — эг« ^r' х> ~"	ро(г)	"г
+ |Ge(f>S,0gj[/y(s,T)-Ls7(s>V)]dS. D.7>
Полагая в D.1) <5 = йт и полагая затем m-з- оо, получаем
G(f, г, /) = К(г, т) + \ G(t, s,l)[l J(s, т) - Ls J(s, т)] ds ; D.8)
следовательно, частные производные Q'GjQt' существуют и
д§1 (U г, /) = 0 (/, т) + JG(f, s, 0 ?г [/ J(s, т) - Lsy(s, т)] ds D.9)

§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА	301
для / = 0, 1,..., п — 1 ; а0 < t,r < b0, Im I -ф 0. Кроме того,
+ \0(t, s, I) §, [1J(S, r) - L,J(S, I)) ds D.10)
д
для t ф т. Так как свойство (v) было доказано, соотношения D.9)
и D.10) доказывают свойство (i).
Очевидно, производная d"~xG/dt"~} имеет тот же скачок при t — т,
что и производная d^^Kjdt", что доказывает свойство (ii). Из D.8)
следует, что функция G по переменному / удовлетворяет уравнению
Lx = lx, если только t Ф т, что доказывает свойство (iii). Так как
правые части равенств D.6) и D.7) с Ь = ёт стремятся при
/л->оо к правым частям равенств D.9) и D.10), то
ЪГ^ЪГ (/ = 0,1,...,,)	D.11)
равномерно в каждой компактной (t, г, /)-области, где Im / =j= О,
и при условии 1ф г, когда / = п — 1, п. Соотношения симметрии
дают
а/От а/о /7 о 1 ;?)
при тех же условиях, при которых справедливо соотношение C4.ll).
Возвращаясь к равенствам D.6), D.10), легко видеть, что смешан-
смешанные производные di+kG/dt'drk (j, к — О, I, ..., п — 1) существуют и
обладают свойством (iv). Соотношение (v) было доказано.
Доказательство свойства (vi) основано на неравенстве D.4).
Из этого неравенства следует, что существует постоянная сх (завися-
(зависящая только от д0 и <5Х), такая, что
Но |jG6( , т, 1)\\ъ < [|Сй( , т, /)||й для Й с ^, и полагая сперва
<5 -> (а, Ь) по последовательности йт, а затем <5 ->- (с, Ь), получаем,
что для любых фиксированных (т, I), lml=f=0,G{ , т, I) € S2(c, Ь).
Отсюда также следует для фиксированных (t, I), Im / =f= 0, что
G(f, , 0 € S*(c, 6).
Остается доказать свойство (vii). Если / € ?2(с, Ь), то интеграл
ь
| G(t,r,i)f(r)dr (a<t<b,
сходится абсолютно в силу свойства (vi) [и равномерно для t из
любого конечного подинтервала (а. Ь) ]. Он определяет функцию
v, и, используя изложенные выше свойства функции G, нетрудно
видеть, что v имеет непрерывные производные до (п — 1)-го порядка,

302	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
производная г?("->) абсолютно непрерывна на каждом замкнутом
подинтервале интервала (а, Ь) и
Например, для доказательства существования и непрерывности
производной v' вначале покажем при помощи равенства
«'@= ""
и преобразований равенства D.5), аналогичных преобразованиям
равенства D.1), сделанным при выводе равенства D.4), что норма
\\dG(t, ,l)idt\\ ограничена для фиксированных /, 1т/=^=0, равно-
равномерно по t на каждом конечном подинтервале интервала (а, Ь).
Таким образом, интеграл
сходится равномерно по t на каждом конечном подинтервале интер-
интервала (а, Ъ) и, следовательно, представляет непрерывную функцию
на (а, Ъ), которая, как легко проверить, и есть v'. Из неравенства
D.3) при д = ёт, полагая т ->¦ оо, получаем, что
.iviKlim/!-1!!/;;,	D.12)
откуда и следует, что ve ?2(с, b). Так как Lv = lv + /, то
откуда вытекает, что Lv € 22(а, Ь), и тем самым завершается доказа-
доказательство того, что v € 2).
Для каждой функции / € ?2(с, Ь) обозначим через ©(/)/ функцию,
определенную в пункте (vii) теоремы 4.1.
Рассмотрим теперь функции G, возникающие в случаях 1 и II.
Предположим, что в случае II функция G получается, когда So, <5L
и 8 — интервалы, замкнутые в точке а. Таким образом, ё = [а, Ъ ].
В этом случае предполагается, что краевые условия С/йх = О,
которые определяют функцию G», включают условия U^x = 0.
Итак, в случае II Go как функция t удовлетворяет условиям С/AЬс = 0.
Можно показать, что все свойства сходимости теоремы 4.1 имеют
место равномерно на множестве а < t, г < Ьо для любого Ьо < Ъ.
Таким образом, предельная функция G также удовчетворяет усло-
условиям С/A)х = О, и, следовательно, для таких G функция v из условия
(vii) есть элемент множества 5).
Покажем теперь, что в случаях I и II из предположения о том,
что уравнения
Lx + ix = 0, Lx — ix = О

4. ФУНКЦИЯ ГРИНА	303
не имеют нетривиальных решений классов Ф, Ф соответственно,,
следует, что для любого 1,1т 1ф О, уравнение Lx — lx — О не имеет
нетривиальных решений в классах Ф, Ф соответственно. Рассужде-
Рассуждения по существу одинаковы для обоих случаев и будут проведены
для случая I. .
Предположим, что для некоторого l0, Im /„ > 0, уравнение
(L — /0) х = 0 имеет только тривиальное решение в классе ?2(с, Ь)~
Пусть |/ —/0| < Im /0 и предположим, что v € ф и (X — /) v = 0.
Если
v,	D.13)
то и € Ф. Очевидно, (L — /0) « = (L — 1) v = О. Таким образом,
« = 0 и из формулы D.13) при помощи неравенства D.12) полу-
получаем, ЧТО	I — 1 ]
если \\у\\фО. Значит, v = 0 и результат доказан для |/ — /0| <
< Im /„, а следовательно, и для Im I > 0. Для Im I < 0 доказатель-
доказательство аналогично.
Предположим теперь, что в случае I или II функция G для
Im I ф 0 не единственна, и пусть функция G имеет те же самые
свойства, что и G. Тогда разность G — G как функция t принадлежит
классу С"(а, Ь), а значит, и классу ф или Ф соответственно и является
решением уравнения (L — /) х = 0. Это невозможно, и тем самым
доказана следующая
Теорема 4.2. В случаях I u II
G6-+G [S->(a,b) в случае I],
Ge^G [д-+[а,Ь) в случае II и l/A>Ge = 0]
равномерно в каждой компактной (t, т, 1)-области, где Im / =? О,.
независимо от выбора краевых условий t/g e случае I и (Д2) в случае
11. Функция G единственна в том смысле, что она является един-
единственной функцией со свойствами, перечисленными в теореме 4.1 (ив
случае П удовлетворяющей условиям t/Abc = 0).
Функция G называется функцией Грина для задачи Lx = lx
на интервале (о, Ь) в случае I и для задачи Lx = /х, Е7(% = 0 на
интервале [а, Ь) в случае II. В любом случае обозначим через ©(/)¦
оператор, определенный для всех функций /€ ?2 (с, Ь) равенством
Тогда из теоремы 4.2 следует: оператор ©(/) является обратным
для оператора L—I с областью Ф в случае I и с областью-
Ф в случае II.

304	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ГРИНА
В этом параграфе существование спектральной матрицы q будет
установлено независимо от рассмотрений § 2 при помощи метода,
родственного методу гл. IX. В частности, спектральные матрицы
и функции Грина будут связаны формулами, аналогичными форму-
формулам C.9), C.10) гл. IX.
Рассмотрим сначала несингулярный случай. Пусть Ge — функ-
функция Грина, соответствующая самосопряженной краевой задаче
Lx = lx, Ub x = 0 на интервале S. Пусть
Ht(t, т, I) = Gdt, г, I) - Gd(t, г, Г).
Теорема 5.1. Спектральная матрица о>, определенная соот-
соотношением B.6), удовлетворяет равенству
2i\ml Г^^ = ^1-^ (с с 1)	E П
Im I ф 0 « /, /с = 1,..., п.
Доказательство. Если Im m ^ 0, ImZ^=0, то
(l — m) \ Ge{t, s, I) Ge(s, т, т) ds = G^f, т, /) — &(;, т, т). E.2)
a
Чтобы это показать, обозначим через и решение задачи
(L~l)u = Gs( , г, т), UA и = 0.
Тогда, очевидно,
u(t) = [ G,5(f, s, /) C(s, т, m) ds.
Пусть v = Gc( ,т, Z) — Ge( ,т, m). Тогда v€C"(<5) и Z76v = 0. Кроме
того, ясно, что Lv = lv + (Z—m)Ge ( , т, m). Таким образом, v =
= A—т)и, и это доказывает равенство E.2). Положим в E.2) m = I.
Получаем
2 / Im I Г Ge(/, s, /) G«(s, т,7) ds =
Так как Gfc(s, т,Т) = вг(т, s, /), то
^(*,г,0 E-3)
6
для /,/с = 0, 1,..., н—1.

§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ	305
• Обозначая через {х$к} и {AgJ собственные функции и. собствен-
собственные значения для задачи Lx = lx, t/g x = 0, получаем из равенства
что
Xem(t) = (Л,т — О J Gs(t, S, I) Xsm(s) dS ,
и, таким образом, для к = О,..., «—1
= (Avn — ) I"
Итак, m-й коэффициент Фурье функции dkGb{t, ,l)jdtk относительно
системы хеш равен ~Xukl(t)j(hm — /)• Применяя к левой части формулы
E.3) равенство Парсеваля, получаем
Используя определение матрицы ?S, можно это равенство перепи-
переписать в виде
2/Im/ J
_~ /,9=1
Полагая /= т = с и используя B.2), докажем E.1).
Пусть G — предел сходящейся последовательности {Gm} из мно-
множества {G*} и пусть
Далее, пусть
для/, к = 1,..., п.
Теорема 5.2. Пусть {Gm} — любая сходящаяся последователь-
последовательность из множества {Gb} и пусть дт = (ртд) — спектральная
матрица, соответствующая функции Gm. Тогда существует эрми-
эрмитова неубывающая матрица q = (Qjk), элементы которой имеют
ограниченную вариацию на каждом конечном К-интервале, такая,
что
Qm{%) — 6т{,И) —*" e(ty — ??(/*) (т ~^*~ °°) >	E-4)
20 182.

306 ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
если. A, ii — точки непрерывности матрицы д. Далее, для таких
точек h, ft	я
J
E-5)
Замечания. Теорема 5.2 дает не только другое доказатель-
доказательство существования матрицы q, но и новый результат, содержащийся
в формуле E.5). Очевидно, что в случаях I и II нет необходимости вы-
выбирать последовательность из множества {б}, но для ое-* о доста-
достаточно взять соответственно ё-+ (а, Ь) и д —>- [о, Ь). В этих случаях
функции G, Н, а следовательно, и Р}к единственны, и в силу E.5) все
предельные матрицы о совпадают.
Доказательство теоремы 5.2 аналогично во многом
доказательству теоремы 3.1 гл. IX и будет только кратко намечено.
Из соотношения E.1) имеем-
2/ Im / J f^r = Pmjk{l)
И ДЛЯ I = I
27
ибо функция emj7 монотонна. Правая часть неравенства E.6) ограни-
ограничена, так как по пункту (iv) теоремы 4.1 Рт//0 -> ЛХО- Таким
образом,
где Л—постоянная, и
Так как
где Qmjk(A)= QmjS) — ?mjk(f), A = (и,Ц, т» полная вариация
функции Qmjk на каждом конечном Я-интервале ограничена неза-
независимо от т. Из теоремы выбора Хелли следует существование под-
подпоследовательности {Qm}, сходящейся к матрице q, которая обла-
обладает указанными в теореме свойствами. Кроме того, соображения,
связанные с формулами C.25) и C.26) гл. IX, легко показывают, что
разность
f
2i Im /
J |Я- /p
является независящей от I постоянной при 1т1ф0. Формула
обращения дает E.5). Так как Pmjk-^Pjk, то соотношение E.4)
следует из E.5).

ЗАДАЧИ	307
Задачи
1. Пусть L — дифференциальный оператор, определенный для г-мерных
векторов х равенством
Lx = Рох<"> + Ргх<"- »+...+ Рпх,
где Рк — квадратные матрицы порядка г из комплекснозначных функций
класса С"~к на открытом интервале (а, Ь). Предположим, что det P0(t) ф О
для a <zt < b и что L формально самосопряжен, так что он совпадает с сопря-
сопряженным по Лагранжу оператором L+, определяемым равенством
Сформулировать и доказать аналоги теорем разложения, равенства Парсеваля
и теоремы обратного преобразования в случаях I и II. Доказать также существо-
существование матрицы Грина в этих двух случаях и аналог теоремы 5.2.
2.	Доказать, что задача Lx = ix' + a(t)x = lx, где а — непрерывная дей-
действительная функция в интервале — °° < ? < °°, самосопряжена в указанном
интервале. Показать, что спектр есть А-ось, — оо < А < оо. Получить теорему
разложения для этого случая.
3.	Рассмотрим оператор L, определенный для вектор-функций с г ком-
компонентами,
Lx = ix' + A(t) x,
где А — квадратная матрица порядка г из непрерывных функций в интервале
— оо < t < оо, такая, что A*(t) — A(t). Тогда L формально самосопряжен.
Доказать, что задача Lx = lx самосопряжена на интервале (— оо, оо) (нет
никаких краевых условий).
Указание. Доказать, что каждое решение <р уравнения Lx = lx имеет
вид <p{t, I) = e-'"v>@> гДе У — решение уравнения х' = — iA(t)x. Пусть
г
f-g = J? fjgj р,ля векторов f,g. Показать, что (у-у)' = 0, такчтоу@-у@ =с,
7 = 1
где с — постоянная, и
(рA, Г) ¦ <p(t, 0 = e2Im "v @ • W) = ce21m".
Поэтому для любого комплексного I уравнение Lx = lx не имеет нетривиаль-
ных решений класса й?(— оо, оо), т. е. таких, что j <p-q> dt < оо.
— оо
Вычислить в этом случае спектральную матрицу и доказать, что спектр
есть вся Я-ось, — оо <; я < оо. Эта задача представляет собой обобщение
задачи 2 на случай систем.
4.	Пусть L ¦— оператор, определенный на вектор-функциях с г = 2 s
(s> 1) компонентами равенством
Lx = Ix' + Ax,
где / — кососимметричная матрица, / = — Г = ¦— 1-\ вида
Е
Es o
р,
~ {-E
Es и Os — соответственно единичная и нулевая квадратные матрицы порядка
s и А ¦— действительная постоянная матрица, такая, что А = А\ Таким обра-
образом, оператор L формально самосопряжен. Доказать, что для каждого ком-
комплексного I уравнение Lx = lx не имеет нетривиальных решений класса
?J(— оо, оо). Доказать, что для Im I Ф 0 существует точно s линейно незави-
независимых решений класса ?? (О, оо).
20*

308	ГЛ. X. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА П
Указание. Уравнение Lx = lx есть уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами и фундаментальная матрица имеет вид
Ф(г, /) = exp \tl( A — IE)],
откуда видно, что не существует решений класса й? (— оо, оо). Природа
решений зависит от характеристических корней матрицы 1(А — IE). Харак-
Характеристический многочлен для этой матрицы имеет вид
/(/*, /) = det [ftE - I(A-IE)],
так что /(,<х, I) = f(jl, I). Исходя иэ равенства
Яа.,1) = det [/-> (tiE-I(A-lE))I],
показать, что Дм, /) = /(— м, /)• Так как матрица А + ,uJ эрмитова при
Re ^ = 0, то для Im / Ф О ни один из характеристических корней матрицы
1(А — IE) не может быть чисто мнимым.	ч
Таким образом, задача Ixf + Ах = lx на интервале (— оо, оо) самосопря-
самосопряжена. Доказать, что для 0 < t < оо уравнение 1х' + Ах = lx вместе с подходя-
подходящим множеством s однородных краевых условий при t = О дает самосопряжен-
самосопряженную задачу. Изучить природу спектра в этих двух случаях.
5. Показать, что другой путь для получения самосопряженной задачи в
условиях задачи 4 на интервале 0 <' < °° состоит в использовании соотнр-
шения
верного для каждого решения <р уравнения 1х' + Ах = lx.
Указание. Присоединить s условий l/Wx = 0 при t = 0 так, чтобы
для каждого решения <р, удовлетворяющего условиям №)ф = 0, имело место
соотношение <р* 1<р = 0 при t = 0.
6. Пусть L — оператор, задаваемый равенством Lx = lx' + A(t)x, где / —
матрица, определенная в задаче 4, и А—квадратная матрица порядка г (г = 2s,
s ;>1) из непрерывных на интервале — °° < /< оо функций, периодических
с периодом 1,т. е. A(t + 1) = A(t) и А = А'. Доказать, что задача Lx = lx на
интервале — оо < t < оо самосопряжена без всяких краевых условий. Рас-
Рассмотреть самосопряженные задачи на интервале [0, оо).
Указание. Из рассуждения § 5 гл. III следует, что фундаментальная
матрица Ф уравнения Lx = lx, удовлетворяющая условию Ф@,1) = Е (Е —
единичная матрица), имеет вид Ф{1,1) = P(t, I) ?*<'>, где
и /?(/) — постоянная матрица при фиксированном /. Это показывает, что не
существует решений класса йг(—оо, оо) и нет точечного спектра. Задача на
интервале [0, оо) может быть рассмотрена методом задачи 5.
7. Если (а, Ь) — открытый действительный интервал, то Я2(а, Ь) есть про-
пространство Гильберта со скалярным произведением
ь
(u,v) = uvdt.
Обозначим через 5 множество всех функций, удовлетворяющих условиям:
UB%a,b), ueC"-1 на {а, Ь), производная нС"-1) абсолютно непрерывна на
каждом замкнутом подинтервале интервала (а, Ъ) и Lu е Я2(а, Ъ), где L —
формально самосопряженный дифференциальный оператор, определенный
в § 1. Пусть Т — оператор в ?2(а, Ь) с областью ©, и Ти = Lu для иеЭ.
Обозначим через %s множество всех функций ueS, таких, что и = 0 вне неко-
некоторого замкнутого ограниченного подинтервала интервала {а, Ь),' причем интер-
интервал может зависеть от и, и пусть S — оператор в Й2(о, Ь) с областью %&, опре-

ЗАДАЧИ	309
деленный равенством Su = Lu для и е ©s. Доказать, что S — симметричный
оператор и его замыкание ?—сопряженный оператор Т* для оператора Г.
Указание. Использовать, формулу вариации постоянных.
8. Предположим, что Т =Т* т. е. оператор Т самосопряжен. Обозначим
для каждого замкнутого подинтервала 6 интервала (а, Ь) через ©в множество
всех функций и € Я,2 (а, Ь), обладающих свойствами : и е С"-1 на S, произ-
производная u("-i) абсолютно непрерывна на 6, Lu е Й2F), функция и удовлетворяет
системе самосопряженных краевых условий l/в и = 0. Пусть Тд — оператор с
областью Ds, определяемый соотношениями Te,u{t) = Lu[t) для t e 6 и Te u(*) = О
для < не из 6. Показать, что оператор Тд самосопряжен. Пусть спектральные
разложения операторов Т, Т6 имеют вид
Т =
= ГасГЕ(А), Тё=\мЕё(Х).
Доказать, что ||?e(A) u — ?(л)и||—»0 при Ъ-*{а,Ъ) для каждой функции
«ей2 (а, Ь), если Л не есть собственное значение оператора Т.
Указание. Пусть Т„ — точечный предел Гд. Доказать, что замыкание
tv, оператора Тю как раз равно Т. Применить результат Реллиха [см. В. v.
Sz.-Nagy, Spektraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes,
Ergeb. Math., 5 A942), 561].
9. Используя результат задачи 8 и теорему 2.1, доказать, что
где /ей2 {а, Ь), Л = (^, Л ], JS(Zl) = J5(A) — J5(ju,) и функции <pj, gk определены
в теореме 2.2. Пользуясь этим, доказать равенство Парсеваля и теорему раз-
разложения.
10. Сформулировать и доказать аналогичные результатам задач 8 и 9
теоремы, соответствующие случаю II.
1 См. также Рисе Ф. и Секефальви-НадьБ., Лекции по функ-
функциональному анализу, ИЛ, М., 1954, стр. 397. — Прим. перев.

Глава XI
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ!
Пусть a <^t < Ь — замкнутый конечный интервал и пусть L —
линейный дифференциальный оператор порядка п (я ;> 1), опре-
определенный равенством
Lx = р„Х<"> + ?!*<"-'> + . . . + Pn-iX' + рпХ,
где рк — комплекснозначные функции класса С"~к на интервале
[а, Ъ ] и po(t) фО на [с, 6 ]. Основное содержание этой главы свя-
связано с краевыми задачами, такими, как исследование решений урав-
уравнения Lx = 0 на интервале [а,Ь], удовлетворяющих системе одно-
однородных краевых условий вида
= О (/ = 1, ... , т), A.1)
где Mjk и Njk — комплексные постоянные. Каждой однородной крае-
краевой задаче соответствует «сопряженная» задача, которая связана с
сопряженным по Лагранжу оператору L оператором L+, опре-
определяемым равенством
L+x = (- 1)"(рох)<"> + (- I)" (РхХ)"-' + ...+рпх,
и множеством краевых условий, «дополнительных» в некотором
смысле к краевым условиям задачи, соответствующей оператору L.
Будет показано, что многие свойства первоначальной задачи отоб-
отображаются в «дополнительные» свойства сопряженной задачи. Эта
глава в основном алгебраическая.
Основные результаты следуют из двух важных формул — фор-
формулы Грина и формулы краевых форм. Последняя будет рассмотре-
рассмотрена в § 2. Напомним, что если, например, и, v?Cn на интервале
а <; t <; b, то справедлива формула Грина
[ (Lu)vdt- Г и(Ц) dt = [uv] (t2) - [uv] (h),	A.2)
1 Только в § 5 гл. XII используются результаты гл. XI и для этой цели
теоремы 3.1, 3.2 н 4.1 могут быть опущены.

§ 1. ВВЕДЕНИЕ	311
где c^/1</a<;fc> a [uv](f) — форма относительно .величин (и,
и',..., и*"*) и (v, v',..., tA")), определяемая равенством
2
m=l j+k=m—l
Если записать форму [«v](f) в виде
[uv](t)= J1 BJk{t)u
j,k=i
то очевидно, что Bjk(t) = 0 для /+/с>л+1и
для j + к= п-\- I. Поэтому матрица Ш) с элементами BJk(t) есть
треугольная матрица вида
Вц в1г ¦ ¦ ¦ ¦ Ро(о х
-р»@ о
V(-i)«-ip0(o о ¦•• о о
Таким образом, det B(t) = (po(t))n, и, следовательно, матрица B(t)
неособая для a <^t <,b.
Введем теперь понятие билинейной формы. Такой формой назы-
называется комплекснозначная функция ©, определенная для пар
/с-мерных векторов /, g и удовлетворяющая условиям
©(/,« ? + j8 Щ = а ©(/, g) + Д ©(/, ft)
для любых комплексных чисел а, ? и векторов /, g, /г. Если / =
= (Л.¦ • •: fk) и g = (gx,. -., gk), то скалярное произведение / • g опре-
определяется равенством	к
i=\
Если S — квадратная матрица порядка к с элементами s,y, то Sf • g
есть билинейная форма
@(/,g) = @/-g= J *y/yft.	A-3)
Очевидно, что [uv](/) есть билинейная форма с матрицей B(t).
Выражение, стоящее в правой части формулы Грина A.2), также
можно рассматривать как форму относительно величин («(/Д
)(	?	,
..., v(n-1)(/2)). Квадратная матрица 2л-го порядка В, соответству-
соответствующая этой форме, имеет вид
(В(к) 0„
0„ B(/2

312 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
где 0п — нулевая матрица. Очевидно, det В = (—1)" det B(tj) det B(t2).
Следовательно, матрица В неособая для всех tl312 из [а, Ь \.
§ 2. ФОРМУЛА КРАЕВЫХ ФОРМ
Произвольно заданное множество 2тп комплексных постоян-
постоянных Mij, Ntj (i = 1,..., т ; j—\,...,n) определяет т краевых
операторов Vlt..., Um для функций х на интервале a<,t<^b, для
которых производные x(J> (/= 1,..., п — 1) существуют в точках
с и Ь, при помощи равенств
U,x = J2(MtjxU-l4a) + ЩхУ-Ъ{Ь)) (i = 1,..., т). B.1)
Очевидно, что если а и /3 — комплексные числа и xlf x^C"'1 на
интервале [а, Ь], то Ut{a хг + /6 х2) = a Uix1 + Р и{х2, т.е. Ut —
линейные операторы. Операторы Ut будут также называться крае-
краевыми формами. Они называются линейно независимыми, если един-
единственным множеством комплексных постоянных clt...,cm, для
которых равенство
выполняется для всех функций х е С" на интервале [а, Ъ ], являет-
является множество сг = ... = ст = 0.
Формы B.1) можно описать короче, обозначив через I вектор,
соответствующий функции х, с компонентами х, х',..., х("-1) и через
М, N — прямоугольные матрицы с т строками и п столбцами, с
элементами Мц, Щ соответственно. Далее, обозначим через U
векторную краевую форму с компонентами Uv..., Um. В этих обо-
обозначениях выражение B.1) принимает простой вид
B.2)
Если (М: N) обозначает матрицу с m строками и 2л столбцами:
Мц • • • М\п TVu ¦ • • TVm \
(M:N)=.\
Nrra. • • ¦ N,
mn
то, как легко видеть, формы U1}..., Um линейно независимы в том
и только в том случае, если ранг матрицы (М: N) равен т. Если
последнее-условие имеет месте в выражении B.2), то говорят, что U
имеет ранг т. Мы будем предполагать всегда, что для каждой век-
векторной формы U число компонент равно ее рангу.
К любым т линейно независимьш краевьш формам 17г,..., Um
всегда возможно присоединить (многими способами) 2л—т линейно
независимых форм Um+i,..., U2n так, что комбинированная система

§ 2. ФОРМУЛА КРАЕВЫХ ФОРМ	313
иъ..., U2n будет состоять из 2л линейно независимых краевых
форм. Это эквивалентно включению матрицы (М: N) в неособую
квадратную матрицу порядка 2п. Пусть Vc — векторная форма с
компонентами Um+1,..., U2n- Если V — любая форма ранга т и
Uс — любая форма ранга 2л—т, такие, что векторная форма с компо-
компонентами U!,..., U2n имеет ранг 2л, то U и Uc называются допол-
дополнительными краевыми формами.
Замечание. Результаты этой главы будут применяться
лишь для случая т = л, и поэтому читатель, если он желает, может
ограничиться этим случаем.
Формула краевых форм покажет, каким образом форму, стоящую
в правой части формулы Грина A.2), можно рассматривать как
линейную комбинацию- краевой и дополнительной форм. Чтобы
доказать это, необходимо сделать два замечания относительно били-
билинейных форм A.3). Напомним, что сопряженной матрицей матрицы
А = (с,;) называется транспонированная комплексно сопряженная
матрица А* = (с^,). Таким образом,
Пусть теперь ©—билинейная форма, соответствующая неособой
матрице S, и пусть / = Ff, где F — неособая матрица. Существует
единственная неособая матрица G, такая, что если g = Gg, то
©(/> ё) = / * ё для всех векторов fug. Чтобы увидеть это, заметим,
что ©(/, g) = Sf-g = SF-1} • g. Следовательно, матрица G = (SF-1)*
удовлетворяет условию и однозначно определена.
Предположим, что форма © определяется единичной матрицей
Е, т. е. ©(/,g) = / • g. Пусть F — неособая матрица, такая, что пер-
первые / A <^ / •< к) компонент вектора /"= Ff совпадают с соответ-
соответствующими компонентами вектора /. Тогда единственная неособая
матрица G, такая, что g = Gg и / - g = /. g, обладает тем свойством,
что последние k—j компонент вектора g являются линейными ком-
комбинациями последних к—/ компонент вектора g с неособой матри-
матрицей коэффициентов. Чтобы доказать это, заметим, что матрица F
должна иметь вид
B-3)
где 0+ — нулевая матрица с / строками и к—/ столбцами. Пусть
где Gj — квадратная матрица порядка /. Очевидно, равенство
должно выполняться тождественно относительно векторов fug.
Таким образом, G*F = Ek, и это означает в силу B.3) и B.4), что
GtFk4 = 0+. Так как det Fk-j = det F^G, то Gt = 0+ или <?= = 0=

314 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
есть нулевая матрица с к—/ строками и / столбцами. Отсюда следует,
что матрица Gk-j неособая, ибо матрица О неособая, и это завер-
завершает доказательство.
Теорема 2.1 (Формула краевых форм). Для любой краевой фор-
формы LJ ранга т и любой дополнительной формы Uc существуют
единственные краевые формы U+, U+ рангов соответственно т и
2л—т, такие, что
[ху] ф) - [ху] (a) ^Ux-U+y+UcX-U+y.	B.5)
Если Ос — любая другая дополнительная форма для формы U и
U?, LJ+ — соответствующие формы рангов т и 2л—т, то
U+y=C*U+y
для некоторой неособой матрицы С.
Доказательство. Левую часть формулы B.5) можно рас-
рассматривать как билинейную форму <3 для векторов /, имеющих
компоненты (х(а),..., х("~х) (а), хф),..., х^^ф)), и g, имеющих
компоненты (у(а),..., /""^(с), уф),- ¦ -, У^^ХЬ)), с неособой матри-
матрицей В. Таким образом, если
то Vx = (М : N) /. Точно так же Vc х = (М : N)f для двух подходя-
подходящих матриц М, N, для которых матрица
IM N\
Н — ~ ~
имеет ранг 2л. Итак,
и, согласно утверждению, отмеченному курсивом на стр. 313, суще-
существует единственная неособая квадратная матрица J порядка 2п,
такая, что ©(/, g) = Hf • Jg. Если принять
u+yj
то соотношение B.5) выполняется.
Второе утверждение теоремы следует из замечания, отмеченного
курсивом на стр. 313 выше формулы B.3), но теперь векторы Hf
и Jg соответствуют векторам / и g в этом замечании.
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И СОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Каждой краевой форме U ранга т соответствует однородное
краевое условие
Ш = 0	C.1)
для функций хеС" на интервале [а, Ь\\ если U+ — любая краевая

§ 3. ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	315
форма ранга 2п—т, определенная как в теореме 2.1, то однородное
краевое условие
U+ х = О	C.2)
называется сопряженным краевым условием по отношению к условию
C.1). Из формулы Грина и формулы краевых форм, положив (и, v) —
b
[uvdt, получаем, что
для всех функций и € С" на интервале [a, b ], удовлетворяющих
условию C.1) и всех функций v?Cn на [а, Ь], удовлетворяющих
условию C.2).
Обозначим *:ерез D и D+ линейные подмножества множества всех
функций иеС", удовлетворяющих условиям C.1) и C.2) соответ-
соответственно. Тогда теорема 2.1 показывает, что D+ однозначно опре-
определяется через U, хотя форма U+ и не определена. Если применить
теорему к форме V+ вместо U, то получим, что C.1) есть сопряжен-
сопряженное условие к условию C.2), и D однозначно определяется через U+.
Форме LJ+ соответствуют две матрицы из комплексных постоян-
постоянных Р и Q, каждая с п строками и 2п—т столбцами, такие, что ма-
матрица (Р* : Q*) имеет ранг 2п—т и
Интересно охарактеризовать сопряженное условие C.2) непосред-
непосредственно при помощи матриц М, N, P, Q.
Теорема 3.1. Краевое условие U+x = 0 сопряжено к условию
Ux = 0 в том и только в том случае, когда
МВ-\а) Р = NB-Щ Q,	C.3)
где B(t) — матрица, соответствующая форме [xy](t).
Доказательство. Пусть щ — вектор с компонентами
(у, у',.... у<"-1>). Тогда [ху] (/) = B(t) I (/) • v(t).
Предположим вначале, что U+x = 0 — сопряженное краевое
условие к условию Ux = 0. Из теоремы 2.1 следует, что существуют
формы Uc, Ut рангов 2п—т и т соответственно, такие, что имеет
место формула краевых форм. Положим
Ucx = Mc|(с) + NcЩ, где ранг (Мс: Nc) равен 2п — т,
U+ у — Р* г](а) + Q? ф), где ранг (Р*: Q*) равен т.
Выписывая формулу краевых форм, получаек следующее тожде-
тождество относительно векторов ?(а), |(Ь), щ(а), г)(Ь):
(РсМ + РМС) Щ ¦ ф) + (QCM + QMC) ((a) ¦ ф) +
+ (PCN + PNC) Щ ¦ ф) + (QCN + QNC) Щ ¦ ф) =
= В(Ь) Щ ¦ ф) - В(а) ?(с) • ф).

316 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Таким образом,
QcM+QMe = On,	QcN
Так как матрицы В(а), В(Ь) неособые, то отсюда следует, что
(- В-Ца)Рс - В-Ца)РЛ (М N Л _ ГЕ„ 0п ]
I В-ЩЯс B'WQ) {Мс Nc) {On En)'
Матрица, содержащая матрицы М,..., Nc, неособая и, следователь-
следовательно, такой же будет матрица, стоящая слева. Так как последняя
является левой обратной матрицей для матрицы, содержащей М,...
...,NC, то она также является правой обратной. Таким образом,
(М ИЛ(-В-*{а)Рс -В-ЩРЛ ГЕт 0- ^|
{Me Nc) { B-Hb)Qc B-i(b)Q)~~ lo_ JS3n_mJ '
где 0-r, 0- — матрицы со. всеми нулевыми элементами. Поэтому
- МВ-\а) Р + NB-Цр) Q = 0+ ,
а это и есть соотношение C.3).
Наоборот, предположим, что U?—форма ранга 2л—т, причем
U+у = Р*ф) + Q*Mb),
и что имеет место соотношение
/ МВ-Ца) Рг = NB-^b) Qx.	C.5)
Так как ранг матрицы (М : N) равен т, то существует точно 2л—т
линейно независимых 2л-строчных векторов-решений линейной
системы (М : N)u = 0. Из соотношения C.5) видно, что 2л—т столб-
столбцов матрицы
в
являются решениями этой системы. Так как ранг матрицы (Р% : Q%)
равен 2п — т, то
ранг S
и так как В(а), Вф) — неособые матрицы, то ранг матрицы Нг в
C.6) равен 2л—т.
Если U+x = Р*?(а) + N*?(b) = 0 — краевое условие, сопря-
сопряженное к условию Ux = 0, то матрица, стоящая слева в формуле
C.4), неособая, и отсюда следует, что если
( В-Ца)Р\
" ~~ {вщя)
то ранг матрицы И должен быть равен 2л—т. Поэтому в силу усло-
условия C.3) столбцы матрицы Н также образуют 2л—т линейно неза-
независимых решений системы (М : N) и = 0. Следовательно, суще-
существует неособая квадратная матрица А порядка 2л—т, такая, что из

§ 3. ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	317
равенства Нг = НА следует, что В-\а) Рг = В-Ца) PA, B~1(b)Q1 =
= В-ЩС}А, илиР1 = PA, Qt = QA. Значит, U?y = A*U+y, и это
доказывает, что V^y = 0 есть условие, сопряженное к условию
Если U — краевая форма ранга т, то задача отыскания решений,
удовлетворяющих равенствам
ят: Lx = 0, Ux = О
на интервале [а,Ь], называется однородной краевой задачей ранга
т. Задача
я?_т: L+ х = 0, U+ х = О
на интервале [а, Ь] называется сопряженной краевой задачей к
задаче жт. Очевидно, что пт —¦ сопряженная задача к задаче Щп-т-
Функция, равная тождественно нулю на интервале [a, b ], есть реше-
решение обеих задач itrr и ittn^m и ЭТУ функцию мы будем называть три-
тривиальным решением.
Непосредственным следствием теоремы 3.1 является следующая
. Теорема 3.2. Если т = п, то краевое условие Ux = 0 сопря-
сопряжено само себе в том и только в том случае, когда
МВ-^а) М* = NB-Щ N*.
Таким образом, если выполняется предыдущее соотношение и L+ =
= L, то краевая задача пп самосопряжена, т. е. если функции u,v?
е С" на интервале [а, Ь] и удовлетворяют условию Ux = 0, то
(Lu, v) = (и, Lv).
Последнее равенство следует из формулы Грина и формулы краевых
форм.
Пусть 9»i,. •., <Рп — фундаментальное множество для уравнения
Lx = 0 и пусть Ф — неособая матрица :
ш Р[	<Рп
ф =
Эта матрица называется фундаментальной матрицей, соответствую-
соответствующей уравнению Lx — Q. Аналогично, пусть у>1г..., у>п — фунда-
фундаментальное множество для уравнения L+ х = 0 и W — соответ-
соответствующая матрица:
V Vi ¦ • ¦ vn ' )
Операторы U и U+ распространяются на матрицы при помощи
равенств
U Ф = М Ф(а)'+N Фф),

318 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Теорема 3.3. Задача пт имеет точно к (О <, к <; п) линейно
независимых, решений в том и только в том случае, когда матрица
U0 имеет ранг п — к, где Ф — любая фундаментальная матрица,
соответствующая уравнению Lx = 0.
Доказательство. Функция <р удовлетворяет уравнению
Lx = 0 в том и только в том случае, когда вектор ф с компонентами
q>,q>',..., q}(-n~r> представим в виде ф = Фс, где с — постоянный век-
вектор. Таким образом, U<p = 0 тогда и только тогда, когда
Число линейно независимых векторов, удовлетворяющих уравне-
уравнению A1Ф) с = 0, равно п — рангу матрицы A7Ф).
Если Фг — любая другая фундам стальная матрица, соответ-
соответствующая уравнению Lx = 0, то Ф1 = ФС, где С — неособая по-
постоянная матрица. Поэтому
ранг (G0!) = ранг (t/Ф),
что завершает доказательство.
Если задача лт имеет точно к линейно независимых решений
к
<Ръ ¦ ¦ ¦. <Рк, то каждая линейная комбинация Jg сщ, где с,- — ком-
i —-1
плексные числа, также является решением. Кроме того, если <р —
к
любое решение задачи пт, то <р = J? с,-дг,- при некотором выборе
постоянных С/. Таким образом, решения задачи пт образуют
векторное пространство размерности к над полем комплексных
чисел.
Существует определенная двойственность между числом нетри-
нетривиальных решений задач пт и п^п_т.
Теорема 3.4. Если задача лт имеет точно к линейно независи-
независимых решений, то задача л2^_т имеет точно к-\-т—п линейно неза-
независимых решений.
Доказательство. Пусть щ,..., фк — к линейно неза-
независимых решений задачи лт. Предположим, что форма Uc, где
есть краевая форма ранга 2п—т, дополнительная к форме U. Вна-
Вначале докажем, что векторы Ujfi (i = 1,..., к) линейно независимы.
Предположим противное. Тогда для некоторых постоянных alt..., ак,
из которых хотя бы одна не равна нулю,
и отсюда следует, что
1 = 0.	C.8)

§ 3. ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	319
далее>	?/AН=0	C-9>
ибо каждый вектор <р* удовлетворяет условию Ux = 0. Таким обра-
к
зом, если ф = JP а,ф; и f — соответствующий I вектор, то C.8) и
C.9) совместно дают
c{) + c()
Так как
paHrU Nt)=2n*
то 1(а) = ?(&) = 0. Но Ltp = 0 и, следовательно, в силу единствен-
единственности ?(/) = 0 для a<_t <_b. Это противоречит определению ф как
нетривиальной линейной комбинации решений фг,..., фк. Итак,
«1 = «2 = • • • = ак = 0 •
Пусть iplt..., ц)п — п линейно независимых решений урав-
уравнения L+x = 0 и предположим, что W — соответствующая фунда-
фундаментальная матрица. Формула Грина дает
|0 = (L <pi, Wi) - (sn, L+ w) = [й vA (b) - [VtVj] (a)
для i=l,..., к; j — 1,..., п. В силу формулы краевых форм это
равно выражению
U
Так как U(pi — Q (i = 1, ..., к), то
или, так как / • g = g* • / для всех векторов-столбцов / и g,
Следовательно, система (?/+ S7)* г> = 0 имеет своими решениями /с
линейно независимых Bп—т)-мерных векторов TJdfi> • • •, Uьфк-
Поэтому
ранг A7+ W) =ранг A7+ S7)* ^ Bл - т) - /с.
Предположим, что ранг, матрицы (U+ У), равный г, меньше
Bл—т)—/с. Тогда можно показать аналогичными рассуждениями,
что если Ф — любая фундаментальная матрица, соответствующая
уравнению Lx = 0, то ранг матрицы A1Ф) не превосходит числа
т—(п — г) < л—/с, что является противоречием. Поэтому ранг
матрицы (U + У) равен 2п—т—к и отсюда следует в силу теоремы
3.3, что существует точно к + т—п линейно независимых решений
задачи «. ?п-т.
В частности, задачи жп и nt имеют одинаковое число линейт
независимых решений.

320 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 4. НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ФУНКЦИЯ ГРИНА
Неоднородная краевая задача, соответствующая задаче ят, есть
задача вида
Lx = f, Ux = y	D.1)
на интервале a <^t <,b, где / — комплекснозначная непрерывная
функция на [а, &) и у — комплексный постоянный вектор, причем
либо /—ненулевая функция, либо уфО. Здесь будет предполагаться,
что U — краевая форма ранга т. Очевидно, что если <р и ф — два
решения задачи D.1), то .разность <р—ф есть решение задачи г т.
Следовательно, если задача тгт имеет к линейно независимых реше-
к
ний уц•¦-,<Рк, то (р = ф + ^ci(fi при некоторых постоянных
clt...,ck.	i=i
Задача D.1) не всегда имеет решение ; теорема, сформулирован-
сформулированная ниже, дает необходимое и достаточное условие для существо-
существования решения. Будет использован следующий результат. Пусть
А — матрица и b — вектор. Тогда уравнение Ах = b :шеет решение
тогда и только тогда, когда b - и = 0 для каждого решения и урав-
уравнения А*х = 0.
Теорема 4.1. Неоднородная задача D.1) имеет решение в том
и только в том случае, когда равенство
(l,V) = yU+y>	D.2)
справедливо для каждого решения у однородной сопряженной задачи
Если у = 0, то условие D.2) означает, что функция / должна
быть ортогональна всем решениям ц> задачи я^,_т.
Доказательство теоремы 4.1. Если <р — решение
задачи D.1) и функция гр удовлетворяет задаче эт^-т. то формула
Грина и формула краевых форм дают
(L<р, чр) -(<
и равенство D.2) получается непосредственно.
Наоборот, предположим, что равенство D.2) выполняется для
всех функций чр, удовлетворяющих задаче г.?п_т. Каждое решение
<р уравнения Lx = / имеет вид
где <р1;.. .,срп — фундаментальное множество для уравнения Lx = О,
с, — постоянные и ф — частное решение уравнения Lx = /. Таким
образом, задача D.1) имеет решрние тогда и только тогда, когда суще-
существуют постоянные с1г..., сп, такие, что
7,

§ 4. НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	321
ИЛИ
(иФ)с = у-иф,	D.3)
где Ф — фундаментальная матрица, соответствующая решениям
q>lt..., q>n, и с — постоянный вектор с компонентами clf..., с„. Далее,
уравнение D.3) имеет решение с тогда и только тогда, когда вектор
у —~Ug> ортогонален каждому решению и соответствующей сопря-
сопряженной однородной системы:
([/Ф)*ц = 0,	D.4)
т. е.
(у—иф)-и = 0.	D.5)
Пусть задача т^_т имеет точно к+ линейно независимых решений
у»!,..., у>к+. Используя в точности те же соображения, что и
при доказательстве теоремы 4.3, можно показать, что к+ векторов
Ufipi,..., U?ipk+ представляют собой линейно независимые
m-мерные векторы, являющиеся решениями уравнения D.4). Число
линейно независимых решений уравнения D.4) равно т — ранг
(t/Ф) = т — (п—к), где к — число линейно независимых решений
задачи -т. Но из теоремы 3.4 следует, что к+ = т—п + к. Следо-
Следовательно, равенство D.5) имеет место для каждого вектора и, удов-
удовлетворяющего уравнению D.4), в том и только в том случае, когда
(y-Uq>)-U+y>i = Q (i=l,...,fc+).	D.6)
Применяя к решениям ф и ад формулу Грина и формулу краевых
форм, получаем
(U) UUtVi,	D.7)
и вместе с D.2) это дает равенство D.6). Поэтому существует по-
постоянный вектор с, такой, что имеет место равенство D.3), а это
доказывает существование решения задачи D.1).
Следствие. Если т = п, то задача D.1) имеет единственное
решение и задача эт„ имеет единственное тривиальное решение.
Доказательство. По теореме 3.4 задача ?г+ имеет только
тривиальное решение, так что только функция ip = 0 может удо-
удовлетворять условию D.2). Более прямое доказательство состоит в том,
что матрица t/Ф в D.3) должна иметь ранг п, что и ведет непосред-
непосредственно к результату.
Предположим, что т= п. По теореме 3.4 отсюда следует, что
задачи жп и ж+ имеют одно и то же число к линейно независимых
решений. Если к = 0, то можно явно решить неоднородную систему
D.1) при у = 0 посредством функции Грина.
Существование функции Грина G(t, т, I) для задачи
Lx — lx = /, Ux = О
было установлено в гл. VII. Там было показано, что если однородная
задача не имеет решения при данном I, то функция G существует.
21 182.

322 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(Было также показано, что если для одного значения I однородная
задача не имеет решения, то она может иметь решения только для
такого множества значений I, которое является множеством нулей
некоторой целой функции.) Здесь I берется равным нулю и будет
предполагаться, что задача тг„ имеет только тривиальное решение.
Функция G(t, т, 0) будет обозначаться через G{t, г). Единственное
решение задачи D.1) при у = 0 дается в виде ® /, где
Если задача.^ имеет только тривиальное решение, то очевидно,
что задача ж? имеет только тривиальное решение, и, следовательно,
функция Грина G+ задачи тт? существует и единственна.
Теорема 4.2. Если задача пп имеет только тривиальное решение,
то функция Грина G+ для задачи ж% дается в виде
G+(t,r) = G(r,t).	D.8)
Доказательство. Пусть а < гх < т2 < b и рассмотрим
функции Gx и Gt, определяемые равенствами G1(t)=G(t.) тх), G?(t) =
= G+(t, т2). Тогда, применяя к каждому из интервалов [а, тх —0 ],
[тх + 0, г2 — 0], [г2 + 0, Ь] формулу Грина, получаем
[G&] (тх - 0) - [G&] (а) + \Gfii] (т, - 0) -
~ [G&] (тх + 0) + КВД] (Ь) - [GjPZ] (та + 0) = 0. D.9)
По формуле краевых форм
\Gfif] (Ь) - [GjGft (а) = 0.	D.10)
Из вида выражения [xy](f) следует, что единственными членами в
равенстве D.9), представляющими интерес, являются члены,
содержащие (п—1)-е производные ; это будут
ло(о к -1 г1 *(о ?п-щ+*n-°(t) пт ¦ D.11)
Далее, функция G удовлетворяет уравнению
9^п-(* + 0,т)--ай=Г(т-0,т) = ш, .	D.12)
и, аналогично, G+ — уравнению
w <т+°- т> - w (т ~ °' т> = (-^ikw • D13)
Из формул D.9)—D.13) легко получаем, что G+(rx, т2)—G(t2, тх) =
= 0. Аналогичные рассуждения показывают, что это справедливо
для тх > г2, и это доказывает теорему.

ЗАДАЧИ	323
Чтобы рассмотреть функцию G(t, т, Z), следует вместо L рас-
рассмотреть дифференциальный оператор (L—Z). Пусть Lx = L—I и
рассмотрим задачу
L1x = 0, t/x = O.	D.14)
Сопряженная задача задается при помощи оператора Lf = L+ — 1
и формы U+. Применяя к D.14) теорему 4.2, получаем, что
D.15)
Для самосопряженной задачи, где L+ = L и формы U и U+ экви-
эквивалентны, имеем	__
G(t,r,l) = G(r,t,l),
что было уже доказано в гл. VII.
Задачи
1. Пусть Lx — — (рх'у + qx, где функция р положительна, производная р'
абсолютно непрерывна на интервале [a, b],a функция q непрерывна и действи-
действительна. Пусть
n21 nj \x'{b)! '
Показать, что формы V самосопряжены тогда и только тогда, когда
р(а)	р{Ь)
2 —
№
P(a)	" №
Отметим, что если матрицы М и N действительны, то требуется только послед-
последнее условие.
2. Доказать равенство D.15), используя формулу (Lu, ®) = (ы, L+ ®) для
функций и, v е С" [a, ft ], удовлетворяющих условиям U ы = О, U+ v = О.
Указание. Для функций /, g е С [а, Ь ] пусть
б	ь
11@ = [0(t,T,/)/(r)dT, КО = J GL(',T,
а
Тогда
Lu = h + f, L+v = lv + g, [/« = 0,
3. Пусть сопряженным для оператора L является оператор L+; пусть
краевая форма U имеет ранг п и сопряженную форму L/+. Предположим, что
для всех функций и, v е С" [a, ft ], удовлетворяющих условию t/x = О,
{Lu, v) = (ы, Lv).
Показать, что тогда L+ = L и что форма U самосопряжена, т. е. условие
U+x = О эквивалентно условию Ux = О.
Указание. Для всех функций и, v е С" [a, ft ], исчезающих тождественно
вблизи а и ft, (ы, Lv) = {и, L+v). Отсюда следует, что (L — L+) v = О для всех
21*

324 ГЛ. XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
таких v и, таким образом, L = L+, так как линейное однородное дифферен-
дифференциальное уравнение не может иметь решений, исчезающих на интервале и не
равных тождественно нулю. Если U+ — сопряженная форма для U, то
(Lu, v) — (и, Lv) = Uu-U?~v + UcU- U+v,
так что для всех функций и, v, удовлетворяющих условию Ux = О, Uc и ¦ 1/+ v = 0.
Отсюда следует, что L/>v = О для всех v, удовлетворяющих условию Vv= О.
Так как ранги матриц, соответствующих формам U и V+, равны п,- то отсюда
следует требуемый результат.
4.	Пусть операторы L, L^ и форма V определены как в задаче 18 гл. VII,
но теперь не предполагается -более, что самосопряженность имеет место. Пока-'
зать, что форма U+ и задача, сопряженная к задаче Lx = lx, Ux = О, опреде-
определены.
5.	Так как выше предполагается, что матрица U имеет пг компонент, то
показать, что предыдущая задача и ее сопряженная имеют одинаковое число
линейно независимых решений.
6.	Показать, что если оператор L и форма U такие же, как и в задаче 4,
и U имеет пг компонент и если квадратная матрица G(t, т, /) порядка г есть
функция Грина для задачи Lx = lx + /, Ux = О, a O+(t, r, t) — функция Грина
для сопряженной задачи, то

Глава XII
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В случае когда краевая задача на конечном интервале не является
самосопряженной, методы гл. VII недостаточны и для получения
теоремы разложения необходим новый подход. Такой подход дает
интегральный метод Коши. Этот метод применим также к само-
самосопряженным задачам, рассмотренным уже в гл. VII, и дает исчер-
исчерпывающую информацию о сходимости разложений для каждой
интегрируемой функции.
Сущность метода можно легко увидеть, рассматривая теорему
разложения в самосопряженном случае в несколько ином свете.
Пусть L — обыкновенный формально самосопряженный диффе-
дифференциальный оператор порядка п и рассмотрим самосопряженную
краевую задачу
я: Lx = lx, Ux = О
на конечном замкнутом интервале a<_t<^b. Тогда для уравнения
Lx=lx существует полное ортонормированное множество собствен-
собственных функций {%к} и функция Грина
если только I не есть собственное значение 1к, к = 1,2,.... Теорема
разложения гл. VII. гласит, что для каждой функции /?Й2(а, Ь)
к=1
где
и ряд сходится в среднем к /. Пусть
(/,T, Z)/(T)dT.
Тогда, так как L%k = Хк%к = 1%к + D — 0 Хк >
(©(О/, хк) = (/, Щ)Хк) = D -1)-1 (/,

326	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
и, следовательно, ряд Фурье для функции ©(/)/ имеет вид
Используя теорему о вычетах, получим интегральную формулу
Коши для разложения в ряд функции /:
2 (/> Xk) Хи
где Ст — простая замкнутая- кривая в /-плоскости, окружающая
каждый из полюсов Aj,..., Am в точности один раз в направлении
против часовой стрелки.
В несамосопряженном случае возможно, как показано в гл. VII,
определить функцию Грина G(t, т, t), если только целая функция
А = АA) не обращается в нуль тождественно. Далее, имеет смысл
рассматривать интеграл
где Cm — простая замкнутая кривая, окружающая собственные
значения Aj, ..., Ат, которые могут быть комплексными. Тогда
теорема разложения получится, если мы покажем, что, ограничи-
ограничиваясь надлежащими функциями /,
/Пт [©(/)/dl.	A.1)
Таким образом, функция / представляется как сумма с обратным
знаком вычетов функции ©(/)/•
В этой главе вначале будет рассмотрена задача второго порядка
Lx = — х" + q{t)x = lx,	A.2)
= аЛ х@) + а«2 х'@) + аа х(я) + ам х'(л) = 0 (г == 1,2).
Здесь g — непрерывная1 комплекснозначная функция на интервале
О <; f <_ л и a,j — комплексные постоянные. При помощи преобра-
преобразования вида t = at + Р любой замкнутый конечный интервал
a<^t<^b может быть преобразован в интервал 0 <; t <. я, так что,
не ограничивая общности, можно рассматривать последний интер-
интервал. Обобщение на случай, когда L — оператор горядка и, полу-
получается непосредственно и будет намечено в § 4.
Матрица А = (а,-Д состоящая из двух строк и четырех столб-
столбцов, задает краевые условия. Будем предполагать, что ее ранг
443 доказательств будет видно, что ограничение, согласно которому
функция q должна быть непрерывной, может быть значительно ослаблено. На
самом деле все результаты имеют место, если потребовать, чтобы функция q
была интегрируемой на интервале О <; I <, зг.

§ 2. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х"	327
равен 2 ; в противном случае существовало бы только одно линейно
независимое краевое условие. Пусть щ, ф3 — линейно независимые
решения уравнения Lx = lx, удовлетворяющие условиям
<Р?-1) @,/) = «,*
для /, к — 1, 2. Эти функции непрерывны по совокупности перемен-
переменных (/, I) для 0 < / <; тг и всех I, а при фиксированном t являются
целыми функциями I. Для данного / нетривиальное решение суще-
существует в том и только в том случае, когда определитель
обращается в нуль. Как функция / определитель А есть целая функ-
функция, и ее нули являются собственными значениями для задачи A.2).
Мы видели, что в самосопряженном случае функция А не может
обращаться в нуль тождественно, ибо все собственные значения
действительны. Более того, функция А обращалась в нуль только в
счетном множестве точек действительной оси. Для несамосопряжен-
несамосопряженного случая положение может быть совсем другим. Например, если
q — нулевая функция на интервале 0</^ли
А = \о i о -ij'
то элементарные вычисления показывают, что функция А обраща-
обращается в нуль для всех /. С другой стороны, если
. A О 2 ' СГ|
(о 1 о -2)
при той же функции q, то А — постоянная, не равная нулю, и поэтому
не существует собственных значений. Очевидно, необходимо дать
достаточные условия, которые гарантировали бы отсутствие этих
случаев вырождения.
Метод этой главы покажет, что в большом числе случаев общая
задача A.2) может быть сведена к изучению той же задачи при
q{t) = 0 для 0 <; t <[ л. В последнем случае функция А от / может
быть указана в явном виде, так же как и функция Грина.
Если указанный метод оказывается недостаточным, то задачу
A.2) изучают непосредственно, используя результаты гл. VI для
получения асимптотического поведения ее функции Грина при
j/| ->- оо, как указано в конце § 3.
§ 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
И ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х"
Так как в дальнейшем интерес будет сосредоточен на задаче
A.2) с соответствующей функцией Грина G, то будет удобно обозна-
обозначить через Л специальный оператор, задаваемый равенством
Лх = - х",

328
ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
и через Г — функцию Грина (если она существует) для задачи на
интервале О <; t<, ж
Лх = 1х, t/1x = O, U2x = 0.	B.1)
Полагая / = q2, получаем, что eiet и e~iet — независимые решения
уравнения Лх = @2х, исключая случай q = 0. Нули функции а от
q, определенной равенством
B.2)
— это те значения q, для которых задача B.1) имеет нетривиальные
решения при / = @2, исключая q = 0. Функция Грина задачи B.1)
существует для тех е,-для которых а(о)фО, и при Q=j=O имеет
вид
1 it, т. р^) =	у——-	B.О
B.4)
где функция М определяется равенство;*!
y(t, г, q) е'е' e~'sl
M(t,r,6) =
UlV
причем у есть фундаментальное решение уравнения Лх= q2x.
Его можно определить как такое решение этого уравнения [рас-
[рассматриваемое как функция t для фиксированного г @ < т < тт) 1
при 0 < % < t <, щ которое удовлетворяет условиям у(т + 0, т, q) =
= 0, (8y/8Q (т + 0, т, е) = — 1 и y(t, т, о) = 0 для 0 <, t <, т.
При таком определении функции у решение <р уравнения Лх —
— е2* + /» гДе функция / интегрируема на интервале 0 <_ t < щ
имеет вид
Формула B.3) может быть проверена непосредственно, исходя из
определения функции Г, или с ссылкой на задачу 12 гл. VII. Так
как Г —мероморфная функция / и, следовательно, g, то она должна
определяться по формуле B.3) также для q = 0.
Изучим теперь явный вид функции Г. Из определения функции
& следует, что
co(q) = — eIG
аи +
Используя обозначение
2i6
«21

§ 2. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х"	329
можно записать это выражение в виде
ш(р) = - Р(в) eie" + Р(- е) е~^ - 2г(Л12 + Л34) q , B.5)
где
ffe) = А* е2 + г(Л14 - Аз) е + ли •	B.6)
Другой вид формулы B.5) таков:
°Ко) = — 2г'( А>4 е2 + ^и) sin щ + 2г'(Л2з — Ам) q cos яр —
-2i(A12 + AsiN. B.7)
Отсюда очевидно, что со есть целая функция с бесконечным числом
нулей, исключая случаи Ам = О, Л13 = 0и Л23 = Л14.
Легко видеть, что функция у выражается так:
y(U г, е) = --g-i sin e(t~r) (т<0,
= 0	"	(t<,r).
После несколько утомительного вычисления найдем, что функция
М удовлетворяет для t <; т равенству
—	2ipM(f, т, е) = P(e)e'^-T+() + Р(— е)с-'вс-т+') + B(е)е'г<л-т-(> +
+ (?(-е)е-'г<л-т-') + 21Л34е[е'г('-т) - ?-«'-»)],	B.8)
где функция Р определяется формулой B.6) и
Qfe) = ^4 е2 - ЦАи + a23)q-aJ3.
Для f > т
—	2igM(f, т, е) = Р(е)е''е(л-(+т) + Р(— е) e-tei"-t+T) + Q(e)e'^-'-T) +
+ Q(- е)е-'е(л-'-т) + г^аеИ1-*"*-'*!.	B.9)
При помощи тригонометрических функций равенство B.8) для t <; т
выражается следующим образом :
—	igM(t, т, q) = (Аы ра + Аи) cos д{п — т + 0 —
— (Л14 — A^Qsingin — х + t) + (Л^р2 - A^cosQin — т — 0 +
+ (Л14 + Лаз) е sin е(я - т - 0 - 2р Л34 Sin g(t - г).	B.10)
Аналогичная формула для — iqM(t, т, g) получается при |>тс по-
помощью перестановки t и т и замены Л^ на Л12 в правой части равен-
равенства B.10).
Если Ам Ф 0, то из выражения B.7) легко находим, что нули
функции со для больших \е\ лежат вблизи точек о = ± т, где т
¦ пробегает целые положительные числа. Окружим каждое целое
число ± гп окружностью радиуса 1/4 с центром в этом целом числе.
Обозначим множество точек, внутренних для этих кругов, через Е.
Тогда окружности Ст с уравнениями \д\ = т + 1/2 не пересекают
множество Е (и, таким образом, не встречают нулей со) для больших
целых т. Следовательно, они могут быть взяты в качестве простых
замкнутых кривых, окружающих нули со. Так как I = q2, to окруж-
ности Ст переходят в окружности Ст : |2| = I т + -тИ в /-плоскости.

330	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Определим функции ат для интегрируемых функций / на
0 <_ t <, ж равенством
о» о
причем каждая окружность обходится один раз в положительном
направлении. Будет показано, что в случае Ам Ф О разность между
ст и гл-й частной суммой косинус-разложения. Фурье функции /
стремится к нулю при т ->- со равномерно на интервале 0 <; t <; гг.
Частные суммы sm косинус-ряда даются равенством
т
Sm(f)= J^Ck COS kt,
где
Теорема 2.1. Если Л^^О, mo разность ат — sm стремится к
нулю при т -> оо равномерно на интервале 0 < f < я.
Замечание. Последовательность {<тт} называется равно-
сходящейся с последовательностью {sm} на некотором интервале,
если <тт — sm->0 равномерно на этом интервале при т-> оо.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть q = u -f- iv,
где и, » действительны. Из B.7) следует, что
•ш(е) = - ЪАп б2 sin щ + О(\е\е"т) (|е| -> со) ;
и если q лежит вне множества Е, определенного выше, то (sin тгд| >
> const е^*'. Таким образом, если q лежит вне Е, то
1	1
+°fi?) (^TC)-
co(e) -21Лмеа8,пяе ¦ ~ Uel3 J 4iCl ''
Так как F(t, т, g2) = M(/, г, @)/а(е), то из B.10) следует, что для
больших |@|, когда q лежит вне Е,
l_ cos е(я — т + 0 + cos е(я —т — <) _^ Л |-е-1^(т-0\
+0( w—
ИЛИ
(|<1). B.12)

§ 2. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х"	331
Аналогичная оценка для функции Г имеет место при t > т, един-
единственное изменение состоит в том, что t и т следует поменять местами
в формуле B.12). Таким образом, из B.11) следует, что ат можно
рассматривать как сумму двух слагаемых oty и о®>, причем
_ ! Г f Г
- ~ъи J \ J
t
f Г cos e(" ~ 0 cos ^
J
ст о
.1	sin яр
t
'v > j
Меняя порядок интегрирования и используя теорему о вычетах,
получаем
«И? (О = ^ J A + 2 J1 cos Й cos /ст | /(г) dr = sm@,
о	к~1
что является частной суммой т-го порядка косинус-разложения
Фурье функции f(t).
Остается только показать, что член o$(f) стремится при т -> со
к нулю равномерно на интервале 0<i*<^. Из B.12) получаем
оценку
Z^~m<fr'dQ\.	B.13)
Если 6 > 0, то эта величина порядка
ст ¦
Так как окружность Ст имеет радиус гт = т + 1/2, то простое
вычисление показывает, что
fc-!.i* *± < L6_.	B.14
ст
t+e
Выбирая 6 достаточно малым, можно сделать интеграл J |/(т)| dr
t
t
сколь угодно малым независимо от t, так как функция \f(r)\dr
6
равномерно непрерывна на интервале 0 <; / < тт. Выбрав «5, можно
затем сделать целое число тп настолько большим, что интеграл в
неравенстве B.14) станет сколь угодно малым. Таким образом, выра-
выражение B.13) стремится к нулю равномерно по t при ;гг-> оо. Совер-
Совершенно аналогичные рассмотрения применимы к последнему члену
в формуле B.12) с той лишь разницей, что вместо интеграла по про-

332	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
межутку (t, t + 8) появляется интеграл по промежутку (я — «5, я).
Члены для t > т оцениваются аналогично, и это доказывает теорему.
Случай А^Ф 0 не единственный, при котором имеет место тео-
теорема типа теоремы 2.1. Например, если Л^ = 0 и Л14—Л23=^0,
то равенства B.7) и B.10) обеспечивают существование окружностей
Ст и множества ?, таких, как прежде, причем Ст не пересекает Е
для больших /п. Имеют место оценки, аналогичные B.12). Для изу-
изучающего будет полезно сформулировать и доказать аналог теоремы
2.1 для этого случая, а также для случая, когда А13 ф 0 и все осталь-
остальные определители Aij равны нулю.
Можно доказать непосредственно, что если функция / дифферен-
дифференцируема на интервале 0 < / <>>, то функции ат, определенные фор-
формулой B.11), сходятся к / при m-> со, исключая, возможно, точки О
и зт. Так как М — линейная сумма экспонент относительно т, то
интеграл
представляет собой сумму с типичным членом
Этот член можно проинтегрировать по частям, что дает
Ще** _ ?>*. ^_ Г ,,(я_г+0 (т)rfT
t
Интегрирование по р дает из членов, аналогичных первому, функ-
функцию /(/). Второй и третий члены стремятся к нулю, в чем убеждаемся
почти как при доказательстве теоремы 2.1.
§ 3. ФУНКЦИЯ ГРИНА
И ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х" ± q(Qx
Пусть О — функция Грина задачи
Lx= -x" + q(t)x = lx, игх = 0, U2x = 0,	C.1)
где условия Uv U2 даны в A.2) и у — непрерывная комплексно-
значная функция на интервале 0 <; t <, ж. Как и в § 2, пусть Г —
функция Грина для задачи
Лх = — х" = lx, UjX = 0, U2x = 0.	C.2)
Так как производные dGjdt и дГ/dt имеют один и тот же разрыв при
t = т, то разность О—Г, рассматриваемая как функция t, принад-
принадлежит классу С1 и, исключая, быть может, t = т, — классу С2.
Более того, так как G удовлетворяет уравнению Lx = lx (исклю-

§ 3. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х" + q(t)x	333
чая t — т) и -Г удовлетворяет уравнению Ах = ?х (исключая / = т),
то разность G—Г на самом деле принадлежит классу С2, ибо
- Г) - /(G - Г) = -
Из этого уравнения и из условий Ut(G—Г) = 0, i = 1,2, следует,
что, исключая полюсы функций G и Г,
G(t, г, 0 - ГA, т, 0 = - [ Д/, s, 0 tfs) G(s, т, ft ds. C.3)
6
Мы увидим, что интегральное уравнение C.3) в основном выра-
выражает поведение функции G через известное поведение функции Г.
Ниже будет показано, что если Г для больших |/| удовлетворяет
некоторым требованиям, то уравнение C.3) имеет решение G, и из
C.3) непосредственно следует, что эта функция G имеет все необ-
необходимые свойства функции Грина для больших |/| и поэтому должна
быть функцией Грина. Таким образом, при выполнении этих усло-
условий для каждой непрерывной функции q функция G существует и
мероморфна, ибо если G существует хотя бы для одного I, то А ф 0.
Из B.12) и аналогичного соотношения для />т следует, что
для больших |g|, причем q лежит вне Е, при предположении A2i =f= О,
где к — постоянная, зависящая только от краевых условий, и
hc(t,r) = е-!«|'-ч + е-|"Я»-и-'!).
Существование решения G уравнения C.8) будет доказано в пред-
предположении, что Г удовлетворяет неравенству C.4).
Очевидно, что случай А^ =ф=0 не единственный, когда неравен-
неравенство C.4) выполняется. Если Аи = 0 и A23—Au4=0, то из B.7)
и B.10) следует существование множества Е, вне которого неравен-
неравенство C.4) справедливо, а также существование семейства окруж-
окружностей Ст с радиусами, возрастающими на 1 при возрастании т
на 1, причем для больших т окружности Ст не пересекают Е. В
другом случае, в котором выполняется неравенство C.4), Агз =$= 0 и
все другие Ai}= 0.
Теорема 3.1. Если функция Грина Г задачи C.2) удовлетворяет
неравенству C.4) для всех достаточно больших |gj, то для всех до-
достаточно больших |g| и у, лежащих вне множества Е, существует
решение G интегрального уравнения C.3).
Доказательство. Можно использовать метод последова-
последовательных приближений. Пусть G0(t, т, /) — функция, равная нулю ;
определим функции Gp+1, р = 0, 1, 2, .. ., равенствами
GP+1(t, г, I) = ГЦ, г, I) - J ГЦ, ?, 1) q(s) GP(s, r, ft ds	C.5)

334	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
для всех достаточно больших \д\, где / = о2. Пусть
max \Gp+1(t, т, е2) - Gp(t, т, fl\ \hv(t, г)] \в\ = кр, C.6)
где максимум берется для 0 <; t <; ж при фиксированном т и доста-
достаточно больших \q\, причем р лежит вне Е. В силу C.4) и C.5)
очевидно, что равенство C.6) выполняется для р = 0 при ко= к.
Предположим теперь, что неравенства
*;<:!' (/ = 0,1,.., ,р)	C.7)
уже доказаны. Тогда будет показано, что C.7) имеет также место
для / = р + 1. В самом деле, из равенства C.5) следует, что
kp+i <; ккр |gj -1 max f \q(s)\ hv(t, s) hv{s, r) (hv(t, т))-1 ds.
Используя неравенства \s —1\ + |T — s\ ^ \t — т|, эт — \t — s\ +
+ |t — S\^n — \t — т|, rr — |t— sj+|f — s|^7t — |f — т| И 2к —
— \t— s\ — |t — s\ ^ \t — т|, получаем
hv(t,s)hv{s,r)<i2hv{t,r).
Таким образом,
kp+1<2kkp\e\-^\q(s)\ds,	C.8)
6
и если |g| достаточно велико, то
Используя это в неравенстве C.8), получаем неравенство C.7) для
/ == р + 1 и, следовательно, получаем по индукции неравенство
C.7) для всех /.
Теперь легко доказать равномерную сходимость последователь-
последовательности {GP} к предельной функции О. Эта функция G удовлетворяет
C.3) для всех достаточно больших |/|, что доказывает теорему.
Из неравенства C.7) также следует, что \G\ удовлетворяет тому
же неравенству C.4), что и Г, с заменой к на 2к. Используя эту
оценку снова в уравнении C.3), получаем
G(t, г, & - ГA, г, е*); <4 №q\-* hv(t, r) j \q(s)\ ds.	C.9)
б
Пусть / — интегрируемая функция на интервале 0 < t <, it и
Ст О

§ 3. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ Lx = — х" + q(t)x	335
Напомним, что от — соответствующая сумма для функции /, состав-
составленная с использованием Г:
71
am(t) = - Jf j ( | ГЦ, т, ф) /(г)
6
Можно показать, что если Г удовлетворяет неравенству C.4), то
последовательность {Sm} равносходится с последовательностью
{от}, а это означает, что Sm — от -> 0 при т -> оо равномерно по
t, 0 < t <? 71. Тем самым изучение сходимости последовательности
{5т} будет сведено к простому случаю, рассмотренному в § 2.
Теорема 3.2. Если функция Г удовлетворяет неравенству C.4),
то последовательность {5т} равносходится с последовательностью
ы.
Доказательство. Из неравенства C.9) следует, что для
малых 8 > О
t-d п-6
2n\Sm{t) - am{t)\ < 2fcx ( J + j ) |/(r)| dx J
(r)|dT, C.10)
где
если f < в или t > я — <5, то необходимо сделать очевидные изме-
изменения пределов интегрирования. Каково бы ни было е > 0, можно
выбрать д настолько малым, что последний член правой части нера-
неравенства C.10) может быть сделан меньше е/2 независимо от t на
интервале 0 < t <;: . Выбрав такое д, можно затем взять т настолько
большим, чтобы сделать первый член правой части неравенства
C.10) меньше е/2, используя B.14). Это доказывает равносходимость
последовательностей {5т} и {от}.
В частном случае, когда теорема 3.2 справедлива, Аы Ф 0.
Сопоставляя это с теоремой 2.1, получаем, что в этом случае после-
последовательность {Sm} будет равносходящейся с косинус-разложением
Фурье функции / на интервале 0 <[ t < т.
В случае когда неравенство C.4) не имеет места, построение
функции О при помощи функции .Г усложняется. Поведение функции
G(t, т, Г) при |/|-»- оо может быть получено из теоремы 3.1 гл. VI.
Для уравнения порядка п это связано с § 5 гл. V, а случай Lx = lx
задачи C.1) рассмотрен как пример в конце § 5. При I = g2 уравне-
уравнение Lx = lx имеет для lm q ;> 0 два решения tpx и <р2 с асимптоти-
асимптотическим поведением

336	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
1
, е) ~ eiet [l + -щ- jq(s) ds + O Щ] ,
г Л'	ми	<ЗЛ1>
С) ~ е~* [l -^ Jtfe) ds + О (j^)] .
о
Кроме того,
t
[ /е + jJ?(s) ds + о A)],	C.12)
и аналогичное соотношение имеет место для g?( ??)
Выражая функции А, КA, т, /) гл. VII и G(f, т, Z) через ^ и <р2
и используя C.11) и C.12), определяем поведение А и G для больших
Igl (при Im д ^ 0). Так как / = р2, то это определяет по'ведение О
для больших \Ц, и таким образом может быть изучена сходимость
последовательности
при т—>¦ оо.
§ 4. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА «
Метод, развитый в § 2 и 3, непосредственно обобщается на случай
линейного дифференциального оператора порядка п. Рассмотрим
оператор L, где
Lx = х<"> + рх@ ^("-х) + • - • + Pn(t) х
и ру —• непрерывные комплекснозначные функции на некотором
замкнутом конечном интервале, который без ограничения общности
можно считать интервалом О <С t < я. Пусть U — краевой оператор
с компонентами
U,,х = J- (й,;- хО-»@) + btJ хО-«(я)) (I = 1,..., л),
i=i
где й;,-, 6у — постоянные. Рассматривается краевая задача. Zx= /x,
f7x = 0. Несколько более общая задача
Lx = lr{t)x, t/x = O,
где функция г фО на интервале 0 < t < n и принадлежит классу
С" на этом интервале, может быть сведена к случаю, когда r(t) = 1
при 0 <; / < п с помощью подстановки <fc=(r(f)I/n й. Можно также
предполагать, что рх(/) = 0 при 0 <; f < я, если рх — функция
класса С", ибо подстановка х = qy, где q — решение уравнения

§ 4. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА П	337
Щ' + РхЯ — 0, приводит к этому случаю. Таким образом, мы будем
предполагать, что краевая задача имеет вид
Lx = yfn + p2(t) xC-» + • • • 4- pn(t)x = lx, Ux = 0, D.1)
где р2, ..., pn — непрерывные функции на интервале 0 <; t < я.
Рассмотрим соответствующую упрощенную задачу
Лх = х<"> = 1х, Их = 0.	D.2)
Если п корней из 1 обозначены через av ..., а„, то линейно незави-
независимыми решениями уравнения Лх — lx для I ф О будут функции
e°iS', еаае', ..., еа»э', где Z = р". Используя эти решения, можно из-
изучить, как и в § 2, явное выражение функции Грина Г для задачи
D.2) и получить аналогичные результаты о разложениях.
Соотношение между функциями Грина G для задачи D.1) и -Г
получается следующим образом. Так как О и Г как функции t
принадлежат классу С"~2 и так как их (п — 1)-е производные имеют
один и тот же разрыв при t = т, то разность О — -Г как функция
/ принадлежит классу С". Из дифференциальных уравнений D.1)
и D.2) следует, что п-я производная разности О — Г непрерывна
при t = -г, так что в действительности G — -ТеС" по / на интервале
О <[ t < ~. Очевидно, имеем равенство (исключая t = т)
A(G -Г)-Цр-Г) = - p2G<"-2> -... - pnG, D.3)
где О(к) обозначает к-ю производную функции О относительно t.
Так как U(G — Г) = 0, то из D.3) следует, что
Git, г, I) - Щ, г, I) = J ГЦ, s, I) f(s, r, I) ds,	D.4)
о
где
l(s, r,l) = - p2(s) G(">(s, r, I)-...- pn(s) G{s, x, I).
Из D.4) следует, что
GW(f, г, 0 - r«>(t, r, /) = J rc)(f, s, /) /(s, т, Z) ds.	D.5)
о
В тех случаях, когда функция Г имеет достаточно хорошее поведе-
поведение, уравнения D.4) и D.5) могут быть использованы при больших
| g | (J = е") для определения функции О. Как и в § 3, уравнения
D.4) и D.5) могут быть рассмотрены при помощи метода последо-
последовательных приближений* Это дает также оценку для \в — Г\,
которая может быть использована, как в § 3, чтобы получить
теорему равносходимости для представлений функции при помощи
функций G и Г.
В случае когда функция Г имеет более сложное поведение,
поведение функции G при больших \1\ может быть изучено непосред-
непосредственно, используя результат гл. VI, как это было уже указано в
конце § 3 для случая п — 2.
22 182.

338	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЁ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 5. ХАРАКТЕР РАЗЛОЖЕНИЯ
Прежде чем доказывать теорему разложения, рассмотрим харак-
характер разложения. Ортогональность собственных функций, которая
имеет место, когда задача ж самосопряжена, не сохраняется более
в случае несамосопряженной задачи ж. Она заменяется соотноше-
соотношением биортогональности, содержащим собственные функции задачи
л и собственные функции сопряженной задачи л+, определенной
в гл. XI.
Пусть / = 1 — собственное значение задачи ж; это означает,
что задача
(L-X)x = O, Ux = 0	E.1)
имеет к независимых решений, /с^> 1. В силу теоремы 3.4 гл. XI
отсюда следует, что задача
(L+ -1) х = 0, U+x = 0	E.2)
также имеет к независимых решений. Пусть Яр и Ад — собственные
значения задачи л и %р — собственная функция задачи л для / = Яр.
Пусть y>q — собственная функция задачи ж+ для / = Яч. То, что
ь
(Хр, Vq) = \XpVqdt = O,	E.3)
о
следует непосредственно при Хр Ф Xq из соотношения сопряжен-
сопряженности
установленного выше в гл. XI после формулы C.2).
В случае Лр — Xq связь между функциями % и ip дается в одном
важном случае следующей теоремой.
Теорема 5.1. Если функция Грина G = G (t ,т, /) задачи ж
имеет простой полюс в точке I = Лр, то вычет G в этом полюсе
равен
E.5)
где xj « V/ — собственные функции задачи ж при I = Ар и задачи
л+ при 1 = Хр соответственно. Кроме того,
и функции %j, mp <; / <; пр, образуют полное множество собствен-
собственных функций для задачи л при 1 = Яр, а функции y>j аналогично — для
задачи л+ при I = 1Р.

§ 5. ХАРАКТЕР РАЗЛОЖЕНИЯ	339
Отсюда и из равенства E.3) следует, что функции хи соответ-
соответствующие собственному значению Лр, ортогональны ко всем собствен-
собственным функциям задачи я+, за исключением одной. Исключением
является функция щ, соответствующая собственному значению 1Р,
и (Xh У>д = Ь Отсюда следует
Теорема 5.2. Если все полюсы функции G простые и если {#
собственные функции задачи л, то собственные функции задача
могут быть расположены в последовательность {у>у} так, что
При этом, если # соответствует собственному значению Хр, то
щ соответствует собственному значению Др.
В этом случае в силу того, что E.5) имеет место во всех полюсах,
разложение A.1) принимает вид
ъ
[dT;	E.6)
в самосопряженном случае, разумеется, это разложение принимает
вид- известного разложения по ортогональным функциям с щ = xj-
Разложение A.1) не имеет простого вида E.6), если функция в
имеет полюсы порядка выше первого.
Доказательство теоре.мы 5.1. Пусть вычет функции
О в простом полюсе I — Хр равен O0(t, т). Пусть Xj — собственная
функция задачи п при 1 — Лр. Тогда
так что
Полагая / -> Ар, получаем (/ — AP)G(t, r, I) -> O0(t, т). Таким образом,
ъ
Xj{t) = -$G0(t,T)Xj{T)dT.	E.7)
а
Из формулы B.6) гл. VII следует, что разность G(t, т, /) — K(t, т, /)
как функция (принадлежит классу С"[а, Ь].Кроме того, Щ, т, I) —
целая функция I. Значит, G0(t, т) есть также вычет функции О — К
при I = Др и, следовательно,
г> *» dl'
где интеграл берется по малой окружности с центром в точке ЛР.
Таким образом, О0 = G0(t, т) принадлежит классу С" как функция /.
22*

340	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Из равенства (L — l)G = О, t=f= т, где оператор L применяется к G'
как функции t, следует
(L-AP)G = (/-AP)G, t/G = O.
Разлагая функцию О в ряд Лорана в окрестности точки / = Xv;
получаем для t =f= r
(L-*P)GO = O, t/Go = O.	E.8)
Так как Go e С" как функция t, то равенства E.8) также справедливы
при t = г, и поэтому
)= 2Cj(T)Xj(t),	E.9)
Где Xh Щ <, j <, пр, — независимые собственные функции задачи
ж при I = Ар и Cj — функции т.
Так как G+(t, т, I) = O\r, t, I), то G0(r, i) есть вычет функции
0+ в точке / == \; эта функция по t также принадлежит классу
С", так что аналогом системы E.8) для задачи я+ является
(L+ - lp)t G0(t, 0 = 0, UtG0(r, 0 = 0.	E.10)
Таким образом, так как функции Xj независимы, каждая функция
Су(О в E.9) должна быть собственной функцией задачи я+ при
I = ~кр. Обозначая эти собственные функции Cj(f) через —y>j(t), полу-
получаем разложение E.5).
Подставляя разложение E.5) в формулу E.7), получаем
Так как функции Xj независимы, то соотношение (Xj, y>i) = dji
получается непосредственно. Это соотношение показывает, что ни
одна из функций щ не равна тождественно нулю, и, таким образом,
все собственные функции Xj задачи ж при / = Лр встречаются в
разложении E.5). Если бы функции %pi были не независимы, то
соотношение (xi, yj) = йц было бы невозможно. Это завершает
доказательство теоремы 5.1.
Функция Грина может не иметь простых полюсов. В задаче
— х" = 1х, х@) = О, х'@) + х'(ж) = О
она имеет полюсы второго порядка при всех собственных значениях
Хк = Bк + IJ. В самом деле, здесь
r-r)	°	('<^'
cos2

ЗАДАЧИ	341
Задачи
1.	Определить характер вычетов функции G(t, т, I) в кратных полюсах О.
2.	Рассмотрим систему
Lx = х' - A(f)x = lR(t)x
на интервале a <_t <,b, где х — вектор, а А и R — непрерывные квадратные
матрицы порядка п, причем характеристические корни R различны на интервале
a<,t <,b. Пусть М и N — постоянные матрицы и Ux = Мх(а) + Nx(b) = О —
краевое условие для решений системы Lx = lR(t)x. Существует непрерывная
неособая матрица Т на интервале a <,t <Ь, такая, что Т~ЩТ = D есть диа-
диагональная матрица. Полагая х = Ту, получаем
у - (Т-ЫТ — Т-гТ) у = Юу,
если только производная Т' существует. Итак, предположим, что матрица R
диагональная. Пусть А = Аг + Л2, где Аг — диагональная матрица, состоящая
из диагональных элементов матрицы А, и пусть
так что Р'е = АгРе. Предположим, что Рг — единственная матрица с нулевыми
диагональными элементами, удовлетворяющая равенству P-JR — RP± = AJPa.
Пусть
W(t, I) = (Р0@ + РМ-1) ехр [М(/)Ь
где
t
A(t) = I R(s) ds.
Показать, что W есть фундаментальная матрица для системы
х' - A(t)x = lR(t)x + B(t, [) l-*x,
где величина | B(t,l) | огганичена для a <,t <^b и больших j/|. Так как
матрица V известна, то можно выразить в явном виде матрицу Грина Г задачи
Lx = lR(t)x + B(t, 1) l~*x, Ux = 0.	(*)
Сделать это. (См. задачу 16 гл. VII.) Пусть О — матрица Грина для задачи
Lx = lR(t)x, Ux = 0. Доказать, что
ь
O(t, г,I) = ГЦ,г,Г)-/-1 jГA, s,I) B(s,I) G(s, r,I)ds
а
и получить для задачи (*) результаты, аналогичные полученным в §§ 2 и 3.
3. В задаче 4 гл. IX решение <рх может быть использовано для построения
функции Грина O(t, т, s2) на интервале 0 < / < °о при Im s > 0. В самом деле,
если Aeia — F, как в задаче 5 гл. IX, то
(
F(s)
V(t,
~F(s)

342	ГЛ. XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Теперь функция Jod/ соответствует функции 2 J Gs ds. Пусть рт,я фучьи-.и
класса С1, равной нулю для малых / и для больших t,
J(t)= t
С О
где С — путь в s-плоскости, состоящий из прямой линии от — R + is до R + «е
и полуокружности ге + Rete, О <, в <; я. Показать, что если существует такое
00
в > 0, что §est\q(t)\dt < °o (можно потребовать гораздо меньшего), то
о
функция F аналитична при Ims> —а и F -> 1 при \s\ -» оо. Таким образом,
функция F имеет конечное число нулей для Im s ;> 0. Рассмотрим функцию
j при е —»0 и R —> оо. Та часть J, которая соответствует полуокружности,
может быть оценена при R —> оо. Заметим, что tp(t, s) ~ (sin ts)/s при \s\ -* оо.
Поступить аналогично при Im s < 0. Комбинируя эти случаи, получить теорему
разложения задачи 4 гл. IX. Ослабить условия, наложенные на /. Задача
х'@) + ах @) = 0 для действительных а может быть решена так же, как выше.
Как показывает несложный анализ, этот метод интересен тем, что он
годен для комплекснозначных функций q(t) и комплексных а. Рассмотреть случай
х@) = 0 с комплексной функцией q(t) и получить теорему разложения для
этого случая. Заметим, что задача уже не самосопряжена и, таким образом,
функция F может иметь нули на мнимой оси. Собственные функции в этом
случае не обязательно ортогональны.

Глава XIII
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
В этой главе мы ограничиваемся изучением локального поведения
нелинейных систем, т. е. поведением решений, начинающихся
вблизи известного решения системы.
Решение гр системы
определенное для / ;> 0, называется устойчивым, если для любого
е > 0 существует д > О, такое, что каждое решение у системы,
удовлетворяющее неравенству
удовлетворяет также неравенству
Заметим, что это определение предполагает, что решения, начинаю-
начинающиеся вблизи у>@), существуют для всех t > 0. Решение у назы-
называется асимптотически устойчивым, если в дополнение к устойчи-
устойчивости
Следующий результат Перрона дает простейший пример асимпто-
асимптотической устойчивости.
Теорема 1.1. Пусть дана система
* = Ax + ftt,x),	A.1)
где А — действительная постоянная матрица, все характеристи-
характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части.
Пусть матрица f действительна, непрерывна для малых \х\ и
и
равномерно по t, t^> 0. Тогда решение, равное тождественно нулю,
асимптотически устойчиво.
Условия, что матрицы Anf действительны или что / непрерывна,
могут быть заменены любыми другими условиями, обеспечиваю-

344 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
щими локальное существование решения системы A.1) при малых
!х| и />0.
Условие, что характеристические корни матрицы А имеют
отрицательные действительные части, обеспечивает асимптотическую
устойчивость тривиального решения для линейной системы у' — Ау.
Доказательство теоремы 1.1. Решение <р системы
A.1), для которого |<js(O)| мало, может быть продолжено для воз-
возрастающих t, если только величина \<p(t)\ остается малой. Если
решение qp(f) существует, то из A.1) следует, что
t
<p(t) = е*А ф) + j e^s)A f(s, <p(s)) ds.	A.2)
0
Так как действительные части характеристических корней матрицы.
А отрицательны, то существуют постоянные К и а, такие, что
\etA\<,Ke~at (f>0).	A.3)
Используя A.3), получаем из A.2)
t
W>\ < К\№\ e~« + К\е-°«~* \f(s, 9(s))\ ds.
Для любого е > 0 существует 6, такое, что \f(t, x)\ <; е\х\/К для
IjcJ <; д. Таким образом, до тех пор пока () 8
С К \№\ + е j fs Ш\ ds.
о
Из этого неравенства следует в силу результата задачи 1 гл. I, что
или
№\<К\№'е-<-а-* (/>0).	A.4)
Если е выбрано так, что е < а, то неравенство A.4) показывает,
что \4>(t)\ <, ^195@I, если только \y(t)\ <^ 6. Таким образом,
если ^(О)! < д/К, то неравенство A.4) выполняется для всех
t ^ 0, что завершает доказательство теоремы 1.1.
Обозначим характеристические корни матрицы А через ЯА.,
к — 1,2, ... ,п, и пусть
= —/м<0.	A.5)
Тогда каждое решение у системы A.1), которое стремится к нулю
при t-+oo, удовлетворяет условию
..	1П \<p(t)\ _,	,, ~v
hm sup —!p^- < — /л.	A.6)
Таким образом, по теореме 1.1, все решения, для которых |9?@)|
достаточно мало, удовлетворяют неравенству A.6).

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	345
Чтобы доказать неравенство A.6), заметим, что а в A.3) можно-
положить равным (л — е для любого данного е > 0. При этом
может возникнуть необходимость считать К — Кг большим, чем.
прежде. Так как <p(t)->-0, то, выбирая /О достаточно большим,.,
можно сделать \(p(to)\ сколь угодно малым. Таким образом, применяя;
теорему 1.1 для t^t0, получаем, как в A.4), что
g(o-.X*-»o) \(p(t)\ = О( 1)	(t -> оо) .
Так как а = /и — е, то
Поскольку е сколь угодно мало, получаем неравенство A.6).
При более общей формулировке теоремы 1.1 требование |/| =
= о(\х\) ослабляется. Достаточно предполагать, что для неко-
некоторого к > О
\f(t,x)\<,k\x\ (f->0)	A.7)
при малых |х| и что, каково бы ни было е > 0, существуют д и Т,
для которых
\Kt,x)\<_s\x\ (\х\<,д, t^>T).	A.8)
Чтобы показать достаточность условий A.7) и A.8), заметим, что-
применение неравенства A.7) к системе A.1) дает
где llvil — эвклидова длина вектора (р. Здесь использовано, что
гг112 \х\ <, \\x\\ <; \х\, где х имеет п компонент. Таким образом,,
если только эвклидова длина ||9?@П мала,
или
\<P(t)\ <, п1''2 \<р@)\ e^+knl:** (/ 2> 0),
когда \<p(t)\ мало. Точно так же
Выбрав е, используем условие A.8) при /^Ги применим теорему
1.1 к интервалу t>T, предполагая, что |9>(Г)| мало. Но, согласно
неравенству A.9), \<р(Т)\ мало, если |9>@)| достаточно мало. Это
доказывает, что условия A.7) и'A.8) могут заменить в теореме A.1I
условие |/| = о(\х\). В этом случае справедливо также нера-
неравенство A.6).
Неравенство A.9) и следующее за ним показывают, что устой-
устойчивость на интервалах [0, оо) и [Г, со) эквивалентна.
Интересный частный случай, в котором выполняются условия
A.7) и A.8), — это случай, когда матрица f(t, x) в A.1) заменяется
на матрицу B(t)x + g(t, х), где B(t)^- 0 при f^-оои \g(t, x)\ = о(|х|>

346 I Л. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
.для малых |х| равномерно при t ;>0. В этом случае система A.1)
может быть записана в виде
x'=Ax + B{t)x + g(t,x).	A.10)
Чтобы теорема 1.1 была справедливой для t~^>T, достаточно,
чтобы условие A.8) было выполнено не для произвольно малых е,
а только для е < а/К, причем а и К — те постоянные, которые
¦фигурируют в неравенстве A.3). При этом менее ограничительном
условии неравенство A.6) может не выполняться.
В случае, когда матрица А в A.1) имеет один или более харак-
характеристических корней с положительной действительной частью,
решение q> = О не может быть устойчивым. В этом смысле теорема
1.1 и следующие из нее результаты являются наилучшими.
Теорема 1.2. Пусть хотя бы один характеристический корень
матрицы А в A.1) имеет положительную действительную часть.
Пусть матрица f(t,x) удовлетворяет условию A.8). Тогда решение
(р = 0 системы A.1) неустойчиво.
3 а м е ч а ни е. При несколько более ограничительных усло-
условиях этот результат является следствием теоремы 4.1 этой главы.
Доказательство теоремы 1.2. Чтобы доказать теорему,
заметим, что преобразование х = Ру, где Р — постоянная матрица,
приводит к уравнению
y=By + g{t,y),	A.11)
где В = Р1АТ. Мы покажем, что нулевое решение системы A.11)
неустойчиво, а отсюда, очевидно, следует, что решение у = О неу-
неустойчиво для системы A.1). Выбирая Р частным образом, можно
привести матрицу В к виду
D
=¦(??!•	<112>
где Вг — каноническая матрица порядка к, все характеристические
корни которой имеют положительные действительные части, в то
время как В2 — каноническая матрица, все характеристические
корни которой имеют неположительные действительные части.
Характеристические корни находятся на главной диагонали. Можно
предполагать, что не равные нулю элементы вне главной диагонали
равны у. > 0, причем у может быть сделано меньше любого наперед
заданного числа при надлежащем выборе матрицы Р. Хотя вектор у,
соответствующий действительному х, может быть комплексным,
вектор Ру должен быть действительным. Таким образом, матрица
•определена.
Обозначим компоненты вектора <р через <pj и пусть
1—1	i=k+l

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	347
Пусть действительные части характеристических корней матри-
матрицы В1 превосходят некоторое а > 0. Выберем е < о/10 и выберем
щ и Т так, чтобы было
для \\у\\<,г].
Предположим, что нулевое решение системы A.11) устойчиво.
Таким образом, для выбранных выше щ и Т существует 8 > О,
такое, что если д? — решение системы A.11) с q(T) + В(Т) < <5, то
g(t) + Щ) <«? для t~>T. Возьмем такое решение 95 с В(Т) =
= 2е(Г)>0.
Выбирая о как выше, получаем, используя A.11), A.12) и A.13),
что для t ;> Т
1=1
Следовательно, так как у может быть выбрано меньше оу'20 и так
как е выбрано меньше «у/10,
^сгЯ-ее.	A.14)
Точно так же
е'< Ф + /?) + |зе-	AЛ5>
Из A.14) и A.15) следует, что
(Я-е)'>| *(/?-<?).
Итак,
- е(Г)) ес«-Т) 4.
Так как Л(Г) = 2о(Т), то Л@.> e(T)ea(f~тш • Это невозможно, ибо
в предположении устойчивости g(t) + B(t) < »? для / ;> Г, и, следо-
следовательно, теорема доказана.
Пусть матрица /(f, x) состоит из линейного члена B(t)x и члена,
который для малых |х| есть О(\х\1+а), а > 0. Предположение такого
типа о / ведет к возможности, что /(/, х) как функция / при фиксиро-
фиксированном х может неограниченно расти при / —>- оо, не нарушая асимпто-
асимптотическую устойчивость. Этот случай рассмотрен в следующей тео-
теореме.
Теорема 1.3. Пусть в теореме 1.1 условие \f(t, x)\ = о( х\)
заменено условиями, состоящими в следующем: для малых \х и
всех t > О
~~	\№,х)\^к>х\ + 1>х\1+аР,	A.16)
где а > 0, b и к — постоянные, и, каково бы ни было е > 0, суще-
существуют д > 0 и Т ;> 0, такие, что для \х\ <, 8 и t ;> Т
W,x)\<e\x\ + \x\1+af>.	A.17)
Тогда решение q> = 0 системы A.1) асимптотически устойчиво.

348 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Доказательство. Для постоянных К и а, определенных
как в A.3), выберем у < о. Выберем е в A.17) так, что еК < A/2) rj.
Выбор е определяет д и Т. Из A.16) для |х| < 1 и 0 <; t <; Т сле-
следует, что
W,x)\<:(k+Tb)\x\.	(i.i8)
Используя A.18) почти так, как A.7) было использовано при
выводе A-9), получаем, что \ф(Т)\ может быть сделано сколь угодно
малым, если взять |<?>@)| достаточно малым. Пусть |9>@)| настолько
мало, что
и для
K1+a\(P(T)\ae-^a-^t-Tnb <~v-	A-20)
Это требование заведомо может быть выполнено, так как а > г}.
Из неравенства A.3), примененного для /^ Г, и A.17) получаем
t
. К\<р(Т)\ е-*'-" + еК )*e-o('-s) '<p(s)\ ds +
т
t
+ К \e-a«-s>\<p(s)\l+asbds, A.21)
если только \срA)\<,8. Из (J.3) для / = 0 находим, что К ;> L
Если только
щ,	A-22)
то из A.16), используя неравенство еК < A/2) ij, получаем
(s)j ds,
ч J
причем это и следующие неравенства справедливы, если только
№@1 <L & и имеет место неравенство A.22). Применяя результат
задачи 1 гл. I, получаем из этого неравенства
«*Ш\ <, К\<р(Т)\есТе*-т>,
или
-^^t-TK	A.23)
Так как A.19) выполняется, то из неравенства A.23) следует, что
|95(О1 < <5 для / > Т. Из A.20) и A.23) следует, что неравенство
A.22) также вьшолняется для всех t^T и, таким образом, нера-
неравенство A.23) имеет место для всех /> Т, что доказывает теорему.
Легко показать, что неравенство A.6) справедливо при условиях
теоремы 1.3 для всех решений системы A.1), которые стремятся
К НуЛЮ При t-+ со.

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	349
Из доказательства очевидно, что для справедливости теоремы
1.3 не необходимо, чтобы е в условии A.17) было сколь угодно малым.
Достаточно, если е < а/К.
Важным случаем применимости теоремы 1.3 является система
*L = (sr -Vs-mA )x + e(s x)	A 24}
ds { ¦*&	ml "' ''	\ • )
где Am — постоянные матрицы, г — постоянная (г > — 1) и
g(s, x) — степенной ряд по х,- для малых |х|, начинающийся с членов
по крайней мере второй степени, с коэффициентами порядка
O(sP) для больших s при постоянном Ь. В результате замены t —
= sr+1/(r + 1) система A.24) принимает предполагаемый в теореме
1.3 вид с Ао= А. Система A.24) представляет собой некоторое
обобщение на нелинейные системы случая иррегулярной особой
точки на бесконечности. Изучение системы A.24) для комплексных
s. в случае аналитической матрицы g требует небольшой модифи-
модификации рассуждений.
Результаты, полученные для системы A.1), могут быть легко
распространены на случай
х' = Ах -Г- fit х х').	A.25)
В теореме 1.1 необходимо лишь потребовать, чтобы матрица f(t, x, w)
удовлетворяла условию
/(/, х, w) = о(\х\ + \w\)	A.26)
равномерно по /2>0 для малых |х| + М- Заключение состоит
в том, что если \<р@)\ и \<р'@)\ достаточно малы, то 9?(/)->-0 при
i—>-оо. Различные обобщения, справедливые в случае A.1), приме-
применимы также к системе A.25).
Чтобы доказать это утверждение, определим а. и /6 < 1 так,
чтобы при К и а таких, как в A.3), выполнялось неравенство
<<о.	A.27)
Из условия A.26) следует, что существует <5 >0, такое, что для
Пусть .величины |^@)| и \<р'@)\ малы. Тогда, если только \(p(t)\
и \<p'(t)\ малы, из A.25) следует, что
ИЛИ
<p\<,Tzrp-m-	С-28)

350 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Таким образом, величина |?>'@1 остается малой, если только мала
величина |9>@1- Из A.3) следует, что
t
Ш < К\ф)\ ег« + К je—с s>(«;v(s)i + py(s)\)ds.
о
Используя A.28) и A.27), получаем
WQI < к \<рШ «"* + у | e-a(f-s) №)\ ds.
6
Но отсюда вытекает, что
Итак, если \<р@)\ и \<р'@)\ достаточно малы, то \q>(t)\ и \q>'(t)l
остаются малыми, и теорема доказана.
Теорета 1.4. Теоремы 1.1, 1.2 и 1.3 применимы также в том
случае, когда постоянная матрица А заменена на действительную-
периодическую матрицу P(t) и все п характеристических показа-
показателей системы
A.29)
имеют отрицательные действительные части.
Доказательство. Фундаментальная матрица Ф решений
системы A.29) имеет вид (теорема 5.1 гл. III)
где Z — периодическая неособая матрица и В —- постоянная матрица,
все характеристические корни которой имеют отрицательные дей-
действительные части. Подставим выражение х = Z(t)w в систему
) + f(t,x).	A.30)
Тогда получим
W = Bw + Z-ЧО f(t, Z(t)w),	A.31)
так что все теоремы применимы к системе A.31) и, следовательно,
также к решениям системы A.30). В самом деле, действительное
решение у системы A.30) порождает решение ip = Z~1(p системы
A.31), для которого можно показать, как в теоремах 1.1 или 1.3,
что оно стремится к нулю. Отсюда следует, что у также стремится
к нулю.
Условия, что матрицы / и Р в A.30) действительны, были исполь-
использованы лишь для того, чтобы получить локальное существование
решения, и могут быть заменены любым другим условием, обеспечи-
обеспечивающим локальное существование решений, например аналитич-
аналитичностью / по х.

§ 2. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ	351
§ 2. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ.
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ (ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ)
Пусть р — действительное решение системы
x- = F(t,x)
для О <С t < оо, где F — действительная непрерывная функция,,
имеющая непрерывные частные производные первого порядка по
переменным xiy i = 1,"..., п, в области (t, ^-пространства, содер-
содержащей интегральную кривую (f, p(t)), 0<f<oo. [Требование
действительности р и F может быть заменено любым другим усло-
условием, обеспечивающим локальное существование решений системы.
B.1). Так, достаточно, чтобы F была аналитична по х для каждого L]
Пусть z = <p — p, где 9> удовлетворяет системе B.1), и обозначим,
матрицу со столбцами (dF/dxt) (t, p(t)) через Fx(t, p(t)). Тогда
z' = F(t, z + p(t)) - F(t, p(t)) = F^t, p(t)) z + f(t, z), B.2)
где, по теореме о среднем,
f(t,z) = o(\z\)	B.3).
для малых \z\ равномерно по f в каждом конечном f-интервале.
Если отбросить в B.2) матрицу /, то получаем линейную систему
C2-4)-
которая называется первой вариацией системы B.1) относительно-
решения p(t). Первая вариация определяет в некоторых случаях
природу устойчивости решения р системы B.1).
Важный случай возникает, когда функция F периодична по ?~
Пусть решение р периодично с наименьшим периодом а и пусть F
периодична по t с периодом а. [Заметим, что а может не быть наи-
наименьшим периодом F. Если наименьший период F по t есть а/т,
где т — целое и /п> 1,то р называется субгармоническим решением
системы B.1).] Таким образом, уравнение B.4) имеет периодическую
матрицу коэффициентов с периодом а. Оценка B.3) выполняется
равномерно по t, 0 < t < оо. Уравнение B.2) имеет вид, рассмотрен-
рассмотренный в теореме 1.4. Действительно, следующий результат непосред-
непосредственно вытекает из теоремы 1.4.
Теорема 2.1. Если все характеристические показатели, соот-
соответствующие уравнению первой вариации B.4), имеют отрица-
отрицательные действительные части, то периодическое решение р сис-
системы B.1) асимптотически устойчиво.
Значительно более тонкий случай возникает, когда правая
часть системы B.1) не зависит от t В этом случае
Г = F(x).	B.5>
Система B.5) встречается в классической механике, например как
уравнения Гамильтона.

352 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Предположим, что р — периодическое решение системы B.5)
периода Т и что функция F действительна и принадлежит классу
С1 в некоторой области х-пространства, содержащей замкнутую
кривую х = p(t), 0 < t < Т. Случай аналитической функции F
(и, таким образом, не обязательно действительной) имеет особый
интерес и будет упомянут позже. Так как р — решение системы
B.5), то p'(t) = F(p(t)). Дифференцируя это равенство, получаем,
что p'(t) есть решение уравнения первой вариации
У = Р*{Р(Ф-	B-6)
¦Очевидно, решение р' имеет период Т и поэтому соответствующий
этой функции, как решению линейной системы B.6), характеристи-
характеристический показатель можно взять равным нулю. В этом случае урав-
уравнение B.6) не может иметь более чем п — 1 характеристических
показателей с отрицательной действительной частью, и, таким
образом, условия теоремы 2.1 не могут выполняться. В самом деле,
заключения теоремы 2.1 не имеют места в этом случае. Чтобы убе-
убедиться в этом, заметим, что pe(f) = p(t + 6) для любого постоянного
6 есть решение системы B.5). Выбирая 8 достаточно малым, можно
сделать решения pvi.pt сколь угодно близкими при t = 0. Несмотря
на это, очевидно, что величина \p(t + б) — p(t)\ не стремится к
нулю при ?—>-со, так что асимптотической устойчивости не может
быть.
В этом случае имеет место, однако, асимптотическая устойчивость
другого типа, имеющая большое значение. Решение х = p(t) можно
рассматривать как замкнутую кривую, или траекторию в х-простран-
стве с параметром t. Если п — 1 характеристических показателей
системы B.6) имеют отрицательные действительные части, то замкну-
замкнутая траектория асимптотически устойчива в том смысле, что каждое
решение системы B.5), которое проходит вблизи траектории, стре-
стремится при t->- оо к траектории. Это называется асимптотической
устойчивостью траектории (асимптотической орбитальной устой-
устойчивостью). В самом деле, имеет место следующая
Теорема 2.2. Пусть п—1 характеристических показателей си-
системы B.6) имеют отрицательные действительные части. Тогда
существует е > 0, такое, что если решение <р системы B.5) удовле-
удовлетворяет неравенству \<p(t^)—p(to)\ < е для некоторых t0 и tx, то
существует постоянная с, такая, что
lm\<p(t)-p(t + c)\ = O.	B.7)
Итак, не только имеет место устойчивость траектории, но каждое
решение вблизи траектории обладает асимптотической фазой с.
В доказательстве, приводимом ниже, будет показано, что суще-
существует поверхность S в х-пространстве, имеющая размерность п — 1
и такая, что все решения системы B.5), которые начинаются при

§ 2. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ .	353
f = 0 на S, стремятся при ?->-оо к кривой x = p(f). Отсюда
легко получается наш результат.
Доказательство теоремы 2.2. Предположим, что
сделано такое преобразование координат (перенос и поворот), что
рф) = 0 и р'ф) — вектор со всеми компонентами, равными нулю,
кроме первой. Таким образом, вектор р'ф) кратен единичному
вектору е1 с компонентами A, 0, 0, ..., 0).
Далее, уравнение B.2) имеет вид
z' = Fx(p(t))z + f(t,z).	B.8)
Так как
то из непрерывности производной Fx следует, что
Л = оA) (|z|-*0) '	B.9)
равномерно по t.	^
Каждое фундаментальное решение У7системы B.6) удовлетворяет
соотношению
где С — действительная неособая матрица. Так как р' — решение
системы B.6) с периодом Т, то один характеристический корень
матрицы С равен 1. Все другие характеристические корни по
абсолютной величине меньше единицы, так как, по предположению,
п — 1 характеристических показателей системы B.6) имеют отри-
отрицательные действительные части. Таким образом, существует дей-
действительная постоянная неособая матрица М, такая, что
где Сг — квадратная матрица порядка п — 1, все характеристи-
характеристические корни которой по абсолютной величине меньше 1. Матрица
У/= WM также является фундаментальной матрицей системы B.6)
и удовлетворяет соотношению
{l°j	B.Ю)
Обозначим через чрх первый столбец матрицы W. Тогда из соотно-
соотношения B.10) следует, что грг(Т) — щф), так что %рг имеет период Т.
Так как п — 1 характеристических показателей имеют отрицатель-
отрицательные действительные части, то не может существовать двух независи-
независимых решений системы B.6) с периодом Т. Поэтому щ = кр' для
некоторой постоянной к. Таким образом, без ограничения общности
можно принять, что первый столбец матрицы ?Р@) равен е1г где
ех — вектор с первой компонентой, равной 1, и всеми другими ком-
компонентами, равными нулю.
Матрица-решение ? может быть представлена в виде
W(t) = Z(t)eB,	B.11)
23 182.

354 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где матрица Z имеет период Т, етв = М-1 СМ, так что
R 1°
причем Вг = In CJT и все характеристические корни матрицы Вх
имеют отрицательные действительные части. Следовательно,
Пусть
Очевидно, матрица
UJiU s) + US, &) = Щ) V-4s)	B.12)
действительна и как функция t при фиксированном s есть решение
системы B.6). Так как первый столбец матрицы
совпадает с первым столбцом матрицы ^(t), то эта матрица действи-
действительна и является решением системы B.6). Первая строка матрицы
совпадает с первой строкой матрицы ?P-1(s) и, следовательно, дей-
действительна. Так как матрица U2(t, s) — произведение матриц B.13)
и B.14), то J72(f, s) есть действительная матрица, являющаяся при
фиксированном s решением системы B.6). Поскольку в силу B.12)
^1+^2 — действительное решение, матрица Ux есть также
действительное решение системы B.6) при фиксированном s.
Пусть действительные части характеристических корней матрицы
Вх все меньше — а, где о > 0. Тогда существует постоянная К,
такая, что
Ш1,5)\<Ке-°«-* (t^s),	B.15)
jt4a,s)|<K.	B.16)
Рассмотрим интегральное уравнение
6@ = W(t)а+\их(иs)/(s,Щ)ds - $UJf,s)f(s,6(s))ds, B.17)
о	t
где а — постоянный вектор с первой компонентой, равной нулю.
Из представления B.11) следует, что для 11>0 существует постоян-
постоянная Кг, такая, что
№Ц)^К\\ы	B18)
B.18)

§ 2. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ 355
Легко проверить, используя формулу B.12) и тот факт, что
матрицы Uj являются решениями системы B.6), что если интегралы,
стоящие справа в уравнении B.17), и их производные сходятся, то в
есть решение уравнения B.8). В силу B.9) существует ё, такое, что
№) - №\ <w\z~z\ A4 И < б).	B.19)
Покажем при помощи последовательных приближений, что если
|с| < E/B1^), то уравнение B.17) имеет для t > 0 решение
в = 6(t, а) и
\e(t,a)\^2K1\a\e"i"t.	B.20)
Пусть 6(о)(?, й) = 0и пусть функция 6(k+1)(t, а) получается при помощи
замены в правой части уравнения B.17) функции 6(t) на 9(k)(t, a).
Очевидно в силу B.18), что
, а) - e@)(t, а)\ ^ Кх\а\ е-*<*
для t ;> 0. Легко доказать, что если при t ^> О
\вф, а) - ва_г)(и а)\ < &®?^-	B.21)
для j<. к, то \6ф(г, а)\<2К1\а\<8 для f<,k.. Используя B.15),
B.16) и B.19), получаем
|6a+i)(f, а) - eik)(t, о)| < К J^"a('"s)^ \0(k)(s, a) - 0(fcT-i)(s, a)\ ds +
о
+ К J-^ \6(k){s, a) - ea-i)(s, o)| ds.
t
Применяя неравенство B.21) с / = к, имеем
, а) -
что доказывает неравенство B.21) по индукции. Из B.21) вытекает,
что последовательность {в^} сходится равномерно для 0 < f < со
и \а\ < Ь\2Кг к пределу в = 6(t, а), который удовлетворяет нера-
неравенству B.20). В силу равномерной сходимости в —. непрерывная
функция по совокупности переменных (t, а) для 0 <| f < °о и малых
|о|. Это, а также применение оценки B.20) в уравнении B.17)
показывает, что в есть решение уравнения B.8), стремящееся
к нулю равномерно по а при t~+ <x>.
23*

356 ГЛ. ХШ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Согласно представлению B.11) Z(Q) = ?Р@), так что первый
столбец матрицы Z@) есть ег. Полагая в B.17) t = 0 и используя
определение матрицы V'ъ получаем
со
0@, а) = У@)« — (о о) J Z(s) /(s> 6<s'fl» ds' <Z22>
о
Интеграл в равенстве B.22) ничего не вносит в последние л — 1
компонент векторного уравнения. Беря последние п — 1 компонент
уравнения B.22) и замечая, что алгебраическое дополнение первого
элемента первого столбца матрицы ?Р@) должно быть отлично от нуля,
получаем, что компоненты 6,@, a), j = 2,..., п, являются линейными
комбинациями величин щ, /= 2,..., п, и наоборот. Если начальные
значения 0@, а) представить как точки г-пространства, то в урав-
уравнение B.22) следует вместо вектора 6@, а) подставить z. Беря первую
компоненту уравнения B.22), получаем, что начальные значения
Zi = 0,-(O, а) удовлетворяют уравнению
Ч + 2 bi ZJ + H(az,...,an) = 0,	B.23)
где bj — постоянные и Н — первая компонента интеграла, стоя-
стоящего справа в B.22). В силу B.9) и B.20)
- "	Н(а2,..., ап) = о{\а\) (\а\ -^ 0).	B.24)
Так как выражения as, j ;> 2, относительно zs линейны и однородны,
то
H(az>.. .,ап) = H(zz,.. .,zn).
Таким образом, уравнение B.23) принимает вид
b + jtbjZj + H(z2,...,zn) = 0,	B.25)
7=2
где Н — o(\z2\ + ... + И). Уравнение B.25) есть уравнение
поверхности S в z-пространстве, из которой выходят решения при
/ = 0, стремящиеся к нулю при ?-»- со. Эта поверхность определена
лишь вблизи точки 2=0. Очевидно, что касательная плоскость к
S в начале координат дается уравнением B.25) с заменой Н на 0.
Так как х — г + P(t), то в силу равенства р@) = 0 начальное много-
многообразие в х-пространстве, которое мы также обозначим через S,
имеет то же уравнение, что и в z-пространстве, т. е.
7=2
Так как вектор р'@) параллелен оси х1г то кривая х = p(t) пере-
пересекает поверхность S при х = 0 и не касательна к S.
Если решение <р системы B.5) удовлетворяет неравенству
\4>(ti) — P(Q\ < е Для некоторых fx и t0, то, поскольку y>(t) =

§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМЫ	357
= q>(t — to + Q — также решение, \ip(t0) — p(to)\ < e. Так как решение
p имеет период Т и так как обе функции tp и р являются решениями
системы B.5), то величина \ip(t)—p(t)\ остается малой для |f — fol< 27,
если е мало. Таким образом, решение гр пересекает поверх-
поверхность S для некоторого i, где \t — to\ < 27. Но решение ip системы
B.5), где ip(t) = ip(t + t), для которого ф@) лежит на S, удовле-
удовлетворяет условиюу(?)—р(?)-?-0.Значит, q>(t —10 + tt + i) — p(t)-^Oy
так что получаем теорему 2.2, причем с — t0 — tx — t.
Если функция F по х аналитична, то из равномерной сходимости
последовательности {0(;->} легко следует, что поверхность S анали-
аналитична вследствие аналитичности вектора 6@, а) по (а2, ..., ап);
отсюда следует аналитичность функции И по (х2, ..., хп).
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМЫ
Теорема 3.1. Пусть в системе
матрицы} и g непрерывны для малых \х\ и f^>0. Пусть для малых\х
g(t,x)-+O при t-^oo	C.2)
равномерно по х. Пусть характеристические корни матрицы А
имеют отрицательные действительные части и для любого е > О
существуют ё и U, такие, что |/| < e|xj для |х| <_ ё и t~>te.
Тогда существует такое Т, что если \<р (Т)\ достаточно мало, то
каждое решение q>(t) ->- 0 при t->- со.
Замечание. Несмотря на то, что ^@->-0 при t->-со, функ-
функция <р = 0 не является решением системы C.1), исключая случай
g(t, 0) = 0. В частности, функция g может не зависеть от х.
Доказательство теоремы 3.1. Чтобы доказать
сформулированный результат, понадобятся постоянные К и а из
неравенства A.3). Выберем 8 а Т так, что для |х| < ё
\f(t,x)\<e\x\<^ (t>T);
увеличим 7 в случае необходимости так, чтобы для f^>T существо-
¦ вало а > 0, такое, что
\g{t,x){<a<^-^8.	C.3)
Почти как в теореме 1.1, если <р — решение системы C.1), то
\<p(t)\ < К\<р(ТУ\ (.-«с-Т) + Ке \e-°«~vl<p(s)\ ds
т
t

358 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
если только \<p(f)\ <_ д. Обозначим max|9>(s)| для Т <; s < / через
M(t). Тогда
или
^ + ^Ke-	<3-5)
Так как Ка/(а — Ке) < <5, то, очевидно, при \у(Т)\' достаточно
малом M{t) < Ь для всех t^>T.
Пусть
¦у = l«m sup J9>@i •
Ясно, что 0<у<E<со и существует последовательность {*,-},
/ = 1, 2,..., такая, что fy-^ со и J9?(f/)K->- У при /-»- со. Из C.4)
следует, что
J ft-*> |9>(s)| rfs +
J
J
К J
Каково бы ни было ц > 0, существует целое число уч, такое, что
Ш})\>У — V Для всех /^Л и \<p(t)\<Y + V Для t^tj/2.
Таким образом, для / ^ уч
е-*»-** + ~~е 2"'
Полагая /-> со, получаем
так как /1е,о- < 1/2, то у < 3»?, откуда следует, что у = 0.
Замечание. Если функция g не обязательно удовлетворяет
условию C.2), но удовлетворяет неравенству C.3), то из неравенства
C.5) следует, что д> существует и ограничена в интервале (Т, со),
если величина \<р(Т)\ достаточно мала.
Теорема 3.1 может быть применена к случаю уравнения первого
порядка, имеющего классический интерес. Пусть у и s — скаляры
и пусть
g = s-m[cy + ta + ft(sfy)]	C.6)

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	359
для малых s^Oh калых у. Пусть а > 0 и b — постоянные и пусть •
h(s, у) — степенной ряд по 5 и у, содержащий члены второй и более
высоких степеней. (Как будет видно из доказательства, на функцию
h достаточно наложить гораздо менее ограничительные условия.)
Предположим, что т>1 и пусть (т—l)sm~l = \jt. Тогда C.6)
принимает вид
для больших t и малых у, где g и / (скаляры) удовлетворяют усло-
условиям, наложенным на систему C.1) при t > 0. В самом деле, функция
g@ возникает из функции — bs — h(s, 0), а функция f(t, у) — из
функции —h(s, у) + h(s, 0). Таким образом, каждое решение <р
уравнения C.6) с достаточно малым | cp(s0) | для некоторого s0 > О
удовлетворяет условию <p(s)—>0 при s—>-0+-
Случай т — 1 исследуется при помощи подстановки s = е~*.
(Случай т < 1 не является особым в начале координат, уравнение
относится на самом деле к классу Lip(s) и, таким образом, в этом
случае применима теорема существования задачи 4 гл. I.)
Ясно, что функция sm в C.6) может быть заменена на произволь-
произвольную положительную функцию p(s) от s, определенную для s > О,
для которой
1
но
1
Г ds
о
В этом случае можно сделать подстановку I dsjp(s) — t. Член bs
s
в числителе правой части уравнения C.6) может быть также заменен
на член более общего вида.
§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Если некоторые, но не все, корни характеристического уравнения
матрицы А имеют отрицательные действительные части, то неко-
некоторые, но не все, решения <р системы
x' = Ax + f(t,x),	D.1)
для которых |9>@)| мало, стремятся к нулю при t-+ po при условии,
что на функцию / наложены надлежащие ограничения.
Здесь будет предполагаться, что функция / непрерывна по
совокупности переменных (t, х) для малых |х| и t > 0; кроме
того, для заданного е > 0 существуют 6 и Т, такие, что для t ^> T
\f(t,x)-f(t,x)\<e\x-x\	D.2)

360 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
при \х\ <^ ё, \х\ <, д. Для того чтобы условие D.2) выполнялось,
достаточно, чтобы существовала матрица /х и чтобы при \х\ -> О
равномерно по t ^> 0. Будем предполагать, что /(?, 0) = 0. Будем
также предполагать, что Аи/ действительны, однако так же,
как и в предыдущих результатах этой главы, это требование может
быть опущено, если, например, функция / аналитична.
Теорема 4.1. Пусть выполнены высказанные предположения и
пусть к характеристических корней матрицы А имеют отрица-
отрицательные действительные части, а п—к — положительные действи-
действительные части. Тогда для любого большого t0 в х-пространстве су-
существует действительное к-мернсг многообразие S, содержащее
начало координат и такое, что каждое решение <р системы D.1),
для которого $>%) лежит на многообразии S, удовлетворяет усло-
условию: q>(f)-*-0 при f->-co. Кроме того, существует такое щ, что
каждое решение <р, находящееся при t = ^ вблизи начала координат,
но не на многообразии S, не может удовлетворять условию \<рЩ<, у,
t > t0. Если функция f аналитична по х для каждого f> О и
малых \х\, то S — аналитическое многообразие1.
Точнее, будет показано, что существует действительная неособая
постоянная матрица Р, такая, что если у = Рх, то существуют
п — к действительных непрерывных функций чр} = ipfylt.. ¦, yft),
определенных для малых |у,|, i <; к, и таких, что уравнения
определяют /с-мерное многообразие S в у-пространстве. Многообразие
S в х-пространстве получается из S применением преобразования
Р~г к у, так что выражение
Ук
V>n
определяет многообразие S посредством к криволинейных коорди-
координат уг,..., Ук.
Если существует постоянная с, такая, что для каждого фикси-
фиксированного t ;> t0 матрица / аналитична по х для |х| < с, где х — век-
вектор с комплексными компонентами, то будет показано, что функции
tpi аналитичны по (уг,..., ук).
хСм. также задачу 11.

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	361
Доказательство теоремы 4.1. Существует действи-
действительная неособая постоянная матрица Р, такая, что
где Вг — квадратная матрица порядка к, все характеристические
корни которой имеют отрицательные действительные части, и
В2 — квадратная матрица порядка п — к, все характеристические
корни которой имеют положительные действительные части. В ре-
результате подстановки у = Рх система D.1) принимает вид
y' = By + g(t,y),	D.4)
где g = Pf(t, P~ 1y). Таким образом, из условия D.2) следует, что,
каково бы ни было е, существуют д и Т, не обязательно равные тем,
которые фигурируют в D.2), такие, что
\Z(Uy)-g(Uy)\<s\y-y\	D.5)
для |у| <д, \y\^d,t^>T. Пусть
о)'
=(о Л)-	D-7)
Тогда ёв = Ux(t) + U2(t) и
U'j = BUj (/=1,2).	D.8)
Пусть а > 0 выбрано так, что действительные части характеристи-
характеристических корней матрицы Вг меньше. — а. Тогда существуют поло-
положительные постоянные К и о, такие, что
D.9)
D.Ю)
Рассмотрим интегральное уравнение
t
6(t, a) = U& -Qa+\ C/i(i - s) g(s, 6(s, a)) ds -
(fo^T), D.11)
где а — постоянный вектор. Пусть е в D.5) выбрано так, что
2bKjo < 1/2, и пусть величина \а\ удовлетворяет неравенству
2К\а\ < д. Используя для решения уравнения D.11) последова-
последовательные приближения с 0(о)(/, а) = 0, легко получаем, что

362 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Эта оценка приводит к существованию для уравнения D.11) решения
в, удовлетворяющего неравенству
\6(t,a)\<2Ka[e~««-'°).	D.12)
Из D.11) ясно, что последние п — к компонент вектора а не входят
в решение и могут быть взяты равными нулю. То, что в есть решение
уравнения D.4) для малых \а\, получается непосредственно, ибо.
в силу неравенства D.10) интеграл в D.11) сходится. Из равномерной
сходимости последовательных приближений вытекает также, что
функция в непрерывна по совокупности переменных (t, а) для
t ]> t0 и малых |а|.
Из D.11) следует, что первые к компонент Gj{to,a) имеют вид
а последующие компоненты даются равенствами
о ~ s)g(s, 6(s, a)) ds\ (/ = к + 1, ..., п),
где символ ( )] обозначает /-ю компоненту. Если функции ^у опре-
определены для / = к + 1, ..., п равенствами
vAfh, ...,ak) = - J U2(t0 - s) g(s, 6(s, a)) ds\ ,
U,	Jj
то очевидно, что начальные значения Vj = в$0, а) удовлетворяют в
у-пространстве уравнениям
У1 = Wtyi, ¦¦•¦.Ук) (j = k+l,...,n),
которые определяют в у-пространстве многообразие S. Из условий
D.5) следует -единственность решений системы D.4), начинающихся
вблизи начала. Поэтому, если р — любое решение системы D.4),
для которого |р(/0)| мало и p(t0) лежит на S, то p(f) = 6(t, а) для
некоторого а, где в — решение уравнения D.11), удовлетворяющее
условию 6(t0, а) = p(t0), и р@->-0 при /-> оо.
Теперь мы покажем, что не существует решений р системы D.4),
для которых \p(to)\ мало и p(t0) не лежит на S, удовлетворяющих
неравенству \p(t)\ <; б для t ;> t0, где б — то же самое, которое
было в неравенстве D.5). В самом деле, предположим, что \p(t)\ <, б
для t ]> t0. Тогда из D.4) легко следует, что
t
Pit) = ^-'^ p{t0) + J e«-*B g(s, p(s)) ds.

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	363
Используя D.6) и D.7), можно записать это равенство в виде
t
p(t) = Utf -10) p(t0) + U2(t - t0) с + J Ujit - s) g(s, p{s)) ds -
CO
- J' U2(t-s)g(s,p(s))ds, D.13)
t
где с —• постоянный вектор,
с = j UJf0 - s) g(s, p(s)) ds + p(t0);
зтот интеграл сходится в силу неравенства D.10) и того обстоя-
обстоятельства, что, согласно D.5), величина \g(s, p(s))\ ограничена для
\p(s)\<6us^t0.
Очевидно, что все члены правой части равенства D.13) ограни-
ограничены при f-> оо, исключая, быть может, член U2(t — to)c. Покажем,
что если не все компоненты с,-, / > к, вектора с обращаются в нуль,
то этот член не ограничен при /->оо. Каждая компонента выра-
выражения U2(t — Qc есть сумма многочленов, умноженных на экспо-
экспоненциальные члены с возрастающим модулем. Таким образом^
в силу результата задачи 26 гл. III каждая компонента не ограни-
ограничена, если только она не обращается тождественно в нуль. В силу
D.7) все компоненты могут обращаться в нуль только тогда, когда
все Cj равны нулю для / > к. Так как левая- часть равенства D.13)
ограничена при f->-oo, то правая часть должна быть также огра-
ограниченной, и, таким образом, все компоненты с,-, / > к, вектора с
равны нулю, так что функция р удовлетворяет уравнению D.11).
Покажем теперь, что если в — решение уравнения D.11), удовле-
удовлетворяющее неравенству \e(t, а)\ <, б для t ;> t0, то это решение
единственно. Тем самым будет доказано, что если р — любое решение
системы D.4), для которого \p(t)\ <; д, t > /0, то p(t) совпадает с
6(/, а) при некотором а, где 6 — построенное выше при помощи
последовательных приближений решение уравнения D.11). Таким
образом, точка p(t0) лежит на многообразии S, что противоречит
предположению о том, что p(t0) не лежит на S.
Чтобы доказать единственность решений уравнения D.11),
обозначим через 0 и в решения для одного и того же с и пусть
\C{t, а)\ <, & и |?('j G)l <i ^- Тогда уравнение D.11) вместе с нера-
неравенством D.5) дает
Щ, а) — 6(t, а)\ <, Kee-at [ eas |e(s, a) — 0(s, c)| ds +
-"s \fi(s, a) — 6(s, a)\ ds.

364 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Если sup |0(/, а) — 6(t, а)\ = M{t~^> t0), то М^ 2КеМ/а) откуда
в силу неравенства е < а\2К следует, что М = 0, а это доказывает
единственность.
В случае функции /, аналитической по х для каждого f^O и
малых |х|, из равномерной сходимости последовательных прибли-
приближений для уравнения D.11) обычным образом получаем, что функ-
функция в аналитична по а для фиксированного t, и поэтому S есть ана-
аналитическое многообразие. Это завершает доказательство теоремы 4. Г.
В случае когда функция / имеет непрерывные первые произ-
производные по х„ многообразие S будет класса С1, как это показывает
следующая
Теорема 4.2. Многообразие S теоремы 4.1 дифференцируемо,
если производные df/dXi существуют и непрерывны для i= \,...,n
и достаточно больших t0. Точнее, функции у,, j = k + 1, ..., п,
принадлежат классу С1 для достаточно малых \yt\, /<;&. Кроме
того, Щ/ду, = 0 при уг= ... =ук = 0.
Доказательство сводится к проверке того, что произ-
производные (ЭЗ/Эа,) (/0, а), i = 1,..., к, существуют и непрерывны для
малых \а\.
Пусть h — скаляр и / фиксировано и пусть a -f- h применяется
для обозначения вектора а + Щ- Пусть p(t) = \6(t, a -\- h) — 6(t, a)\.
Тогда, используя неравенство D.5) в уравнении D.11), получаем
для малых |/г|
*	га
p(t) ^ КЩ + Ке J e—('-^ p(s)ds + Ke J «-"<«-«) p(s) ds.
и	t
Пусть М = sup \p(t)\ для t ^ t0. Тогда из предыдущего следует, что
Так как 2Ке/о < 1/2, то М <,2К\п\ или \p(f)\ <_
Пусть q(t, a, h) = [6{t, a + ft) — 6(t, a) ]jh. Тогда предыдущий резуль-
результат показывает, что
\q\<2K.
Из уравнения D.11) получаем
t
q{t, a, h) = U-Sf — t0) ej + [ Uj{t — s) [gy(s, 6(s, a)) q(s, a,h) + A]ds — .
i.
CO
- J U2(t - s) [gy(s, 6(s, a)) q(s, a, h) + A]ds, D.14)
t
где gy — матрица (dgijQyj) и

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	365
Каково бы ни было г} > 0, можно выбрать \h\ настолько малым,
что из теоремы о среднем, непрерывности gy для малых s и из нера-
неравенств D.5) и D.12) для больших s будет следовать
а так как \q\ <; 2К, то
Щ<2К	D.15)
Если \а\ мало, то из неравенств D.5) и D.12) получаем
\gy(s,6{s,a))\<,en.	D.16)
Пусть е настолько мало, что 2Ken/o < 1/2. Пусть
tff, a) = l^f - g a + J ад - s) gyfs, 6(s, а)) ф, a) ds
/2(* - s) gy(s, 6(s, c)) v<s, a) ds . D.17)
Существование непрерывного решения у> линейной системы D.17)
получаем, применяя последовательные приближения. Вычитая
D.17) из D.14), обозначая sup \q — гр\ для t ;> t0 через т(/г) и исполь-
используя D.16), приходим к неравенству
m(h)^Kenm(h)~ + 2K2r]^,
причем последний член получается благодаря оценке D.15). Так как
2Кеп1а < 1/2, то
Так как rj—^-О при Л->0, то m(h)->0 при Л->0. Таким образом,
q->tp при h -»- 0. Это означает, что производная 90/9оу существует
и совпадает с решением у уравнения D.17).
Из неравенства D.12) и уравнения D.11) следует, что
2 1еЛ'о, а)\ < Ж* \а\	?^M
Так как е можно сделать произвольно малым, выбирая \а\ доста-
достаточно малым, то в предположениях теоремы4.1 (Эу;/Эу,)(О,...,О) =
= О, /> к. Это, разумеется, также верно при более ограничитель-
ограничительных предположениях теоремы 4.2. Тем самым доказательство тео-
теоремы 4.2 завершено.
В следующей теореме условие D.2) может быть заменено более
слабым условием, которое есть не что иное, как условие D.2) при
х = 0. В этом случае решения системы 4.1 не обязательно един-
единственны.

366 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Теорема 4.3. Пусть у — решение системы D.1) и пусть
ft<0.	D.18)
Пусть для любого е > 0 существуют д > 0 и Т, такие, что
№,х)\<,е\х\
для \х\ < <5 и t~^>T. Пусть к характеристических корней А,-,
i ={,..., к, матрицы А имеют отрицательные действительные
части, а остальные п—к корней имеют неотрицательные действи-
действительные части. Пусть ReA,- = /*,- и ^ <, ,м2 <1 • • • <, Рк < 0.
Тогда либо b = р} для некоторого j <, к, либо <p(t) = 0.
Доказательство. Предположим, что /Mm < b < /Mm+i для
некоторого т <,к — 1. Пусть матрица Вх имеет характеристиче-
характеристические корни Я1(..., Ят, а матрица В2 — остальные n—m характе-
характеристических корней с действительными частями, превосходящими
/лт. Как и при доказательстве теоремы 4.1, существует матрица Р,
такая, что
-1 = и B °
Пусть а > 0 и а > 0 выбраны так, что
D.19)
И
— a — i-(T<^< — а.	D.20)
При определенных выше ^и В2 пусть матрицы С7Ж и U2 определяются
равенствами D.6) и D.7). Тогда соотношение D.8) выполняется,
однако вместо D.9) и D.10) имеют место неравенства
D.21)
(t<,0).	D.22)
Полагая у = Рх, получаем аналог уравнения D.4), и соответ-
соответственно решению <р системы D.1) решением аналога уравнения D.4)
является Р<р = <р. Выберем е так, что 2Ke/a < 1/2. Это фиксирует
6. Из формулы вариации постоянных следует, что для каждого фик-
фиксированного tx ;> Г существуют такие векторы сA) и сB), причем по-
последние п—т компонент вектора сA) и первые т компонент вектора
сB) равны нулю, что
<Kt) = U& - у cm + Uz(t - у с« + f L/^ - s) g(s, фE)) ds -
со
- f UJf-s)g(sMs))ds. D.23)

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	367
Простая оценка членов уравнения D.23) показывает, что все
члены, исключая U2(t — fi)cB), имеют экспоненциальный рост не
более чем e~at, в то время как рост величины U^t- -fj) не менее чем
e-(a-o)f Таким образом, уравнение D.23) может иметь место лишь в
том случае, когда с<2) = 0.
. Используя D.23), вспоминая, что с<2) = 0, и обозначая \&г)\
через с, получаем
\Ч>Щ <, cKe-<a+a>«-« + Ке J e-fa+C)((-S) j^(s)| ds +
со
+ Ке J «<«-«') <«-0 |9>(s)| ds. D.24)
t
Пусть
max en<-« \g>(s)\ = M(Q •
Тогда, согласно D.20), M(f) существует и монотонно не возрастает.
Для каждого t существует t ;> t, такое, что
Таким образом, оценка D.24) дает при t = t
"t	со
М(Ь^ cKe-«f-u + Ке J e-c<t-s>M(s)ds + M(i) Ке |"е—(»-o rfs.
Так как M(s) — M(t) = M(t) для t <, s <, i, то отсюда следует, что
f
J	^
Так как 2#е/а < 1/2, то
МЩе* <, 2cKeati + 2Ke f easM(s)ds.
Используя неравенство, полученное в задаче 1 гл. I, имеем
Так как 2Ке < A/2)<т, то отсюда получаем
или
|^@| < 2cKe-(Q+^>(f-«,
откуда, согласно D.18), следует неравенство Ъ <. — fa
противоречащее неравенству D.20). Это доказывает, что Ъ <, цт,
что противоречит предположению цт < Ь < Цт+i. Поэтому, если
Pi <, b <, [лк, то b = ftj для некоторого / <, к.

368 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В случае Ъ < О легко находим, что
D.25)
а в случае b < /лг — что <р = 0.
Следующее обобщение теоремы 4.1 получается при помощи лишь
небольших изменений в доказательстве.
Теорема 4.4. Обозначим действительные части характеристи-
характеристических корней Я,- матрицы А через /*,- и пусть щ <. ft+i. Пусть т
таково, что
D.26)
а в остальном пусть выполняются условия теоремы АЛ. Тогда для
каждого большого t0 существует действительное т-мерное открытое
многообразие Sm, содержащее начало координат и такое, что каж-
каждое решение <р системы D.1), для которого <p(t0) лежит на много-
многообразии Sm, удовлетворяет условию
*-»¦»
D.27)
Кроме того, существует щ > 0, тахое, что каждое решение, удов-
удовлетворяющее неравенству \<p(t)\ < щ при t^>t0, но не лежащее на
Sm при t = t0, удовлетворяет неравенству
Ит sup!l1^^ ^ /гт+1 > /tm.	D.28)
Если для каждого i существует производная 3//Эх„ непрерывная по
совокупности переменных (t, x) при t~^>t0 и малых |х|, то имеет
место аналог теоремы 4.2 для многообразия Sm. Если для каждого
t функция f аналитична по х для малых \х\, то Sm — аналитиче-
аналитическая поверхность.
Доказательство. Следует изменить доказательство тео-
теоремы 4.1, определив матрицы Вг и В2 как в доказательстве теоремы
4.3. Предполагается также, что выполняется неравенство D.19).
При U1 и U2, определенных выше, выполняются также неравенства
D.21) и D.22). Рассмотрим теперь уравнение D.11), где JJX и Uz —
определенные выше матрицы и вектор а таков, что последние п—т
его компонент равны нулю. Как и прежде, последовательные при-
приближения легко приводят к решению в = e(t, а). Аналогом D.12)
является оценка
\6(t, а)\ ^ 2К|а|е-п<'-«,	D.29)
где \а\ достаточно мало, так что 2К\а\ < д. Существование много-
многообразий Sm и, следовательно, Sm получается как прежде.
Так как — а < /Wi, то теорема 4.3 показывает, что из D.29)
следует неравенство D.27) для в. В силу теоремы единственности
решение системы D.4), выходящее при / = /0 из многообразия Sm,

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	369
совпадает при некотором выборе а с функцией 6A, а). Это завершает
доказательство неравенства D.27).
Предположим, что решение у системы D.1) при t = Ц не лежит
на многообразии Sm и что неравенство D.28) не выполняется. Тогда,
по теореме 4.3, должно выполняться неравенство D.27), а поэтому,
как было, доказано ранее (ниже D.23)), решение Ф = Р<р системы
D.4) должно удовлетворять уравнению D.23) с сB) = 0. Выберем
в D.23) /2 равным t0. Тогда ф будет решением интегрального урав-
уравнения D.11) (где U1} U2 и а модифицированы как указано выше).
Так как |9>@l < V и V можно выбрать достаточно малым,
Пусть первая компонента вектора а в D.11) равна первой компо-
компоненте вектора ФA0). Предположим теперь, что интегральное урав-
уравнение D.11) имеет два решения в и в для одного и того же а, причем
|0| и |0| меньше д для / ;> t0. Тогда, вычитая из одного равенства
другое и используя D.21) и D.22), получаем
t	оэ
|в - б| eat <, KeJ e-°ff™s) [0 - б| ?« ds + KeJ e~a(s '> |6> - 6| ens ds.
f.	t
Обозначая sup |0— в\ею, s ^ /0, через М, находим, что М<_ 2KeMja,
откуда следует, что М = О, ибо 2Ке/о < 1. Итак, решение q>(t)
совпадает с 6(/, а) и поэтому лежит на многообразии Sm при t = t0.
Это доказывает неравенство D.28).
Доказательство аналога теоремы 4.2 получается теперь непо-
непосредственно. Замечание об аналитичности получается так же, как
и в конце доказательства теоремы 4.1.
Теорема 4.5. Пусть выполняются условия теоремы 4.3 и суще-
существует Л > 0, такое, что для малых \х\
Ю,х) = (К\х\1+Л)	D.30)
равномерно при t ;> 0. По теореме 4.3 существуют целые числа р
и Q> 1 < Р <, Q <, fc> такие, что
Re Ap_! < Re ),p = Re. Лр+1 = ... = Re 7,q = b <
Существуют такое д > 0 « /покое решение у системы х' = Ах:
*,	D.31)
где Qy(f) — векторы-столбцы, не все равные нулю, являющиеся много-
многочленами относительно t, что при t^-'oo
<p(t) = y>(t) + О (<*>-*>').	D.32)
24 182.

370 ГЛ. ХШ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Наоборот, если выполняется условие D.2), то соответственно каж-
каждому решению у системы х' = Ах вида D.31) существует решение
<Р системы D.1), удовлетворяющее соотношению .D.32). Кроме того,
если р = 1, то (р однозначно определяется через у>.
Таким образом, соотношение D.32) показывает, что решения
системы D.1), стремящиеся к нулю при t—><x>, равны с точностью
до экспоненциально убывающих членов решениям системы х' = Ах.
Доказательство теоремы 4.5. Существует действи-
действительная неособая матрица Р, такая, что
(в1 о о\
РАР-1 = \ 0 в2 о =?,
10 О В3)
где действительные части характеристических корней матриц
Въ В2 и В3 соответственно меньше, равны и больше Ъ.
Пусть z = Рх. Тогда система D.1) принимает вид
z' = Bz + g(t,z),	.D.33)
где g(/, г) = Piit, P-*z). В силу D.30)
git,z) = O(z^).	D.34)
Пусть Ф = Р<р. Тогда ф есть решение системы D.33) и
Ь = Ир,	D.35)
где Pp—R.t).p. В силу соотношений D.34) и D.35) существует
г) > 0, такое, что для больших /
g(,(Q) D*) •	D-36)
Пусть
('B 0 ^
i@	Ь
V о о о;
/о о о\
U2{t) = 0 е'в* 0 }
1о о о;
и аналогично для U3(t), так что ёв = Ux-\-U2-\- Ua. Кроме того,
U'j = BUj (/=1,2,3).
Из определения матриц В1У В2 и В3 следует, что существует
&, 0 < <5 < г), такое, что
^) (t>0),	D.37)
Uj{t) = О(е("-^) (t < 0, / = 2,3).	D.38)

§ 4. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	371
Так как у — решение системы D.33), то легко видеть, что
t
= etB с0 + J e«-*B g(s, fts)) ds,
J
t.
где с0 = е~*°вуA0) — постоянная. Это может быть записано в виде
9>@ = Ux@ с0 + U2(t) с + ух + J2 + у3,	D.39)
где с — постоянный вектор и
= J ^-s)g(s,^
to
= - J W - s) + C/,(t - s)] g(s,
Из D.36) и D.37) легко следует, что
при /-> ос, а из D.36) и D.38) — что
Член ух, стоящий справа в равенстве D.39), либо тождественно
равен нулю, либо
Это, последнее, однако, невозможно в силу оценки всех остальных чле-
членов в правой части равенства D.39), так что ух тождественно равен
нулю. Таким образом, в силу оценки D.37) и оценок для У2 и J3
= U2(t) с + O(e<*-*><)	D.40)
при f->-oo. Так как <р = Р~1ф, то получаем соотношение D.32).
То, что не все Q/Q могут обращаться в нуль, следует из теоремы 4.3.
Каково бы ни было решение у>, матрица Py>(f) совпадает с U2(t)c
при некотором выборе вектора с. Так же, как при доказательстве
существования решения уравнения D.11), можно доказать, что
существует решение уравнения D.39), такое, что ух = 0, и, как
прежде, соотношение D.40) следует отсюда. Это доказывает, что
существует по крайней мере одно решение <р, соответствующее дан-
данному решению у.
Наконец, иг = 0 в случае р=1. Каждое решение системы
D.1), удовлетворяющее соотношению D.32), должно удовлетворять
интегральному уравнению D.39) при Jx = 0. Теперь невозможность
существования двух решений интегрального уравнения получается
почти так же, как при доказательстве единственности в конце
рассуждения, относящегося к теореме 4.4.
24*

372 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 5. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВНЕ УСТОЙЧИВОГО МНОГООБРАЗИЯ
В этом параграфе необходимо ввести действительную канониче-
каноническую форму действительной матрицы А. Существует действитель-
действительная неособая матрица Р, такая, что
РАР-1 = В,
где
/ D1 О ¦ • • 0 \
в=\ ° °* ;;; ° ,	E.1)
V 0 0 • • • Dm)
Dj — действительные квадратные матрицы и остальные элементы
матрицы В равны нулю. Каждая матрица D7 представима либо в
виде
li 0 0 • • • О
у Ц о
О у Я/
о
о
E-2)
\ 0 0 0 ¦ -у
где у может быть любым не равным нулю действительным числом,
либо в виде
о
О D
О
о
S]
E.3)
• уЕ2
где матрицы S,- действительны,
_[щ -ft
и Е% —• единичная матрица второго порядка.
Матрица E.2) может состоять из одного элемента. Она соответ-
соответствует, разумеется, характеристическому корню Яу, в то время как
матрица E.3) соответствует сопряженным характеристическим
корням рс,- ± ij8y. В простейшем случае матрица E.3) совпадает с Sj.
Очевидно, что
мв — О
Для случая матрицы E.2)
0
ею
О
1
yt
О
1
¦ •
О
О
О
О
. - .
.
1
О
О
E.4)
(уЛ
2!
yt 1
E.5)
¦yt 1

§ 5. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВНЕ УСТОЙЧИВОГО МНОГООБРАЗИЯ 373
а для E.3)
о
о
2!
о
о
о
где
— sin
cos
E.6)
E.7)
Доказательство формулы E.6) легко следует из равенства
,о ••• о л	/О о -•¦ о оА
s, ... о I |?,о ... о о
+
О Е,
о о
,0 О
,0 О
из того факта, что две выписанные матрицы коммутируют, и из
равенств
о
Е2
О
О
О - - •
О • • •
Е2 ¦ ¦ ¦
О
О
О
о
Е2
0\2
о\
0 =
0/
0
0
Е2
0
¦
0
0
0 ¦ • •
Е2 ¦ ¦ ¦
0
0
0
0
•
о
и т. д.
Большой интерес представляет случай, когда f(t,x) в D.1) является
функцией только х. В этом случае/с-мерное многообразие начальных
значений, существование которого показано в теореме 4.1, очевидно
инвариантно относительно /, и, более того, каждая точка много-
многообразия, достаточно близкая к началу, остается на. многообразии
при возрастании /. В случае когда / зависит только от х, система
называется автономной и решения могут рассматриваться как кри-
кривые в х-пространстве с параметром /. Через каждую точку х-про-
странства проходит единственная интегральная кривая. В автоном-
автономном случае при выполнении условий теоремы 4.1, изменяя знак t,
убеждаемся, что существует (п—/с)-мерное многообразие, содер-
содержащее начало и такое, что каждая точка многообразия, близкая к
началу, стремится при /—э— о<= к началу ; каждое решение, начи-
начинающееся вне этого многообразия, не может сколь угодно близко
приближаться к началу при t-^>	<=о. Высказанный результат
можно сформулировать более точно. Это будет сделано для авто-
автономного случая, но может быть также обобщено на случай, когда /
зависит как от /, так и от х.
Будем предполагать, что преобразование у = Рх уже было
выполнено и система имеет вид
E.8)

374 ГЛ. XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где
и матрица JS имеет вид E.1). к характеристических корней матрицы
Вг имеют отрицательные действительные части и п—к корней мат-
матрицы JS2 — положительные действительные части. Постоянная у
будет выбрана позже.
Нам будет удобно положить
У = УA) + УB),
где УA)— вектор, первые к компонент которого совпадают с первыми
к компонентами вектора у и уB) = у—уA). Устойчивое многообра-
многообразие, введенное при доказательстве теоремы 4.1, может быть задано
векторным уравнением
УB) = vCtt)),	E.9)
так как оно не зависит от t0. Заметим, что первые к компонент у
равны нулю. Рассмотрим теперь любое решение <р системы E.8),
для которого |9>@)| мало. Пусть у = <pw -f <p^ и
f@ = W2)@-v(9'(i)@)-	E-Ю)
Теорема 5.1. Пусть f в системе D.1) является функцией только
х и пусть выполняются условия теорем 4.1 и 4.2. Пусть \уф)\мало
и предположим, что решение <р не лежит при f = 0 на многообра-
многообразии E.9). Тогда, если только \<рЩ остается малым, эвклидова
длина вектора ?(Q, определенного выражением E.10), есть экспо-
экспоненциально возрастающая функция L
Эта теорема показывает, что расстояние решения <p{t) от устой-
устойчивого многообразия, измеренное по нормали к поверхности уB) = О,
есть экспоненциально возрастающая функция t.
Доказательство теоремы 5.1. Очевидно,
?'@ = S>w(Q
где ipy — квадратная матрица порядка п со столбцами 8у/8у7-. Заме-
Заметим, что последние п—к столбцов матрицы ipy равны нулю. Если
g = g(D + gB)» то из E-8) следует, что
V'u) = В Щ) + g(dv) 0=1,2).
Таким образом,
Г = В пг) + gB)(9>) - V^d)) (В Щ) + g(i)(9))).	E.11)
Для решений, лежащих на устойчивом многообразии, f тожде-
тождественно равно нулю. Для таких решений в имеет место равенство
E.11) при f = 0, что дает
о = у(A)) + gB)((i) + v<ci)))
[ + g(i)(e(D +1 ;e;i)))]. E. i

§ 5. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВНЕ УСТОЙЧИВОГО МНОГООБРАЗИЯ 375
Ввиду того что это равенство выполняется для всех решений в
на многообразии и существует решение, проходящее через каждую
точку многообразия, оно является тождеством и выполняется, таким
образом, если вA) заменить на уA) с малым |уA)|. Подставляя в
равенство E.11) у = <ра) + 9?<2) и вычитая из него равенство E.12),
в котором ?/A) заменено на 9>A), получаем
• E-13)
Если I*—транспонированный вектор для вектора !,тоу = !*?
есть квадрат эвклидовой длины вектора f, и, очевидно, J' = ?*?' +
+ I*' f. Так как ?>B) = f + ?>(9?A)), T0
IgO)(«« + У'сг)) - g(n(WD + У(9>A)))| ^ «jf | (/ = 1,2)
для l^l <^ б, почти как в неравенстве D.5). Используя это в E.13),
получаем
V' = f*(B + B*)f + ylf	E-14)
где
E.15)
для некоторой постоянной К. Так как первые к компонент векторов
? и f * равны нулю, в оценку выражения f *(Б + В*) f входят только
матрицы Вг и В|. Элементы главной диагонали матрицы В2 + В%
все действительны, положительны и превосходят некоторое число
2d. Остальньши отличными от нуля элементами матрицы В2 + В%
являются не более чем 2(п—к—Л) постоянных у. Итак, из E.14) и
E.15) получаем
J'^Bd-2(n-k-\)y-Ke)J.
Таким образом, если при помощи подходящего выбора матрицы Р
постоянная у сделана малой и при помощи подходящего выбора д
число е сделано малым, имеем
что доказывает результат, если только \q>(t)\ <. 8.
Следствие из теоремы 5.1. В предположениях теоремы 5.1
существует (п—к)-мерное многообразие
решений, устойчивых при f-> — оо. При помощи изменения знака
t теорема 5.1 дает: для решения tp, такого как прежде, вектор
имеет убывающую при возрастании t эвклидову длину, если только
\<p(t)\ остается малым.

376 ГЛ. XIII, АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Задачи
1.	Пусть все решения линейной системы с постоянными коэффициентами
у' = Ау ограничены для t ;> О, т. е. пусть 1е'л| < М, t 2> 0, для некоторой
постоянной М. Пусть /—-функция класса С и путь существуют постоянная а
и функция g(t), такие, что \f(f, x)\ < g(t)\x\ для |х| <; а и t > 0; пусть также
f g@ dt <oo. Показать, что существует постоянная М1( чакая, что любое реше-
о
ние <р системы х' = Ах -f /(f, x) удовлетворяет неравенству j^(OI < Мг \<р(Щ,
если |9з @)| < а/Мх.
<
Указание. Показать, что \<p(t)\ < М|^@)| exp [M j g(s) cfs].
6
2.	Ясно, что в задаче 1 е'А — fj^f) _|_ L/2@, где матрица U^t) содержит
элементы, которые являются суммами экспоненциальных членов е';?* для
действительных Я,-, 11/^I < К1( — со < < < со, a |U2(<)| < K2 е-<*,
О < ' < со, для некоторого о > 0 ; здесь Kj и К2 — постоянные. Показать, что
решению <р соответствует постоянный вектор р, такой, что <p(t) ¦— Uj{t)p —> О
при t —> со.
Указание. Показать, что существует вектор р, такой, что
t	со
<p(t) = е'^р + j U ^ - s) /(s, V(s)) ds~l Uz(t - s) /(s, ф)) ds.
о	i
3.	Другой метод изучения уравнения C.6) и даже получения дальнейших
результатов основан на формуле вариации постоянных
1	1
ф) = cE(s) -bE(s)yE~ da-E{s)\ Ч^Ш11Л d(c),
s	s
где E(s) = e~as~m^iKm-v> для т > 1 и, аналогично, E(s) =-sa для /n-= 1.
Это уравнение используется с малой постоянной с и применяется метод последо-
последовательных приближений, получающийся при замене <р(а) в правой части на
q>n-i(o) и <p(s) в левой части на q>a(s). Член po(s) полагаем тождественно равным
нулю. Показать, что процесс сходится для малых с и s > 0 и приводит к дока-
доказательству существования ^(s), а значит, и к тому факту, что <p(s) —> 0 при
s->0 +.
4.	Показать, что результаты § 3 и 4 применимы к тому случаю, когда
постоянная матрица А заменена на действительную периодическую матрицу Р
периода о.
Указание. Положить х = Z(t)y, где Z{t)etB — решение системы
х' = P(t)x, а матрица В и периодическая матрица Z(<) могут быть выбраны
действительными для действительных P(t). Другой подхэд состоит в том, что в
качестве матрицы Z(t)etB, о которой идет речь, принимают ту, которая имеет
начальное значение Е, и разбивают матрицу е'в> если необходимо, на несколько
частей, например U^t) + U2(t), причем каждая часть определяется порядком
роста экспоненциальных членов, входящих в нее. Так как матрица Ze(B действи-
действительная, то действительны и матрицы ZU1 и ZU2. Следовательно, в формуле
вариации постоянных появляются члены
Vj(t, т) = Z{t) U0 - т) Z-i(r) (/ = 1,2).
5. Рассмотрим действительную систему
xi = am + fi(xlt xz) (/ = 1,2),
где at < a2 < 0. Пусть /,• — функции класса С1 и пусть /,¦ и их частные производ-

ЗАДАЧИ	377
ные первого порядка обращаются в нуль в точке @,0). Используя теорему 4.4,
показать, что, исключая переносы по оси t, система имеет точно Одно решение
<Р = (<Pi> <Рг)з удовлетворяющее условию
f-.cc	'
Кроме того, показать, используя обобщение теоремы 4.2 на случай теоремы 4.4,
что это решение лежит на кривой х2 = у(хг) класса С1 с у>'@) = Ои что у> •—
аналитическая функция, если функции // аналитичны.
6. Показать, опираясь на теорему 4.5, что если
то для каждого выбора постоянной с дифференциальное уравнение задачи 5
имеет решение <р = (<рх, <р2), удовлетворяющее условиям ^i@ = О(е(ог-|5H
и <p2(t) — ceasf + О(е(в2-«)') для некоторого 6 > 0 при t —> оо. Так как случай
с = 0 должен совпадать с разобранным в задаче 5, то показать, что все другие
решения должны удовлетворять предыдущим уравнениям. Показать, опираясь
на это, что для всех решений, отличных от решений .°адачи 5,
lim
Выразить результаты задач 5 и 6 в терминах геометрического расположения
решений как кривых в (xlf х2)-плоскости в окрестности начала.
7.	Используя теоремы 4.1 и 4.2, показать, что действительная система,
рассмотренная в задаче 5, но с а2 > 0 > а1г имеет, исключая переносы по /,
в точности одно решение, стремящееся к нулю при t —»оо, и что это решение
лежит на кривой х3 = v»(Xj) класса С1, у>'@) = 0. Показать, что для t —> — со
имеет место аналогичная ситуация, но х, и х2 меняются ролями. Это случай
сёдла. Выяснить, что изложенное в § 5 для этого случая имеет место. Показать,
что у> — аналитическая функция, если функции fa аналитичны.
8.	Рассмотрим действительную систему
2 — "l	2 ~Г /2\Л1» ^tll
где а > 0 и /,¦ — функции класса С1, исчезающие вместе со своими частными
производными первого порядка в начале. Пусть /,• = О [(|x,J + |x2|)i+^] для
некоторого А > 0. Используя теорему 4.5, показать, что существует 6 > О,
такое, что соответственно любому выбору постоянных с и у существует един-
единственное решение <р = (<рг, <р2), где
= ce~ai cos (fit + у) + O(e-<a+ffl') ,
i = ce-al sin Ft + у) + О(е-<«+«>')
при t —> со. Для /8 ф 0 это случай фокуса и для /8 = 0 — случай узла в начале.
9.	В задаче 8 показать, что если со = arctg {q>2l<pj) и если q = (<р\ +<р2I'2, то
[Я	~\	Й
C0(t) + — 1П Q(t) = у + — In С.
Показать, что, исключая переносы по t, постоянная, стоящая справа, определяет
решение задачи 8 однозначно. Заметим, что случай /8 = 0 также возможен.
Показать, что знак предела можно опустить, если /х s= /2 = 0.
10.	Рассмотрим действительную систему

378 ГЛ. ХШ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где Я > 0 и функции fa такие же, как в задаче 8. Показать, что для любого
выбора постоянных сг и с2 существует единственное решение <р = (<pj, ^2), где
и 6 > 0. Наоборот, показать, что для каждого решения существуют постоян-
постоянные clt с2, для которых выполняются предыдущие соотношения. Показать, что
Л ) tj	Л
и что, исключая переносы по t, постоянная, стоящая справа, определяет реше-
решение однозначно. Показать, что знак предела может быть опущен, если Д s=
11.	Пусть условия теоремы 4.1 видоизменены так, что п^—к характеристи-
характеристических корней матрицы А, имевших положительные действительные части-
имеют теперь неотрицательные действительные части. Показать, что заключения,
теоремы 4.1 остаются в силе со следующим изменением : не существует решений
<р, не лежащих при t = t0 на многообразии S и удовлетворяющих неравенствам
..	In <p(t)\ -
lim sup —', " < 0.
f->co	Г
Указание. \Uj\ < Ke-(.<*+°)t при t > 0, \U2\ < Ke-<" при t < 0.
12.	Пусть функция F = F(t, x) no t имеет период Т. Пусть уравнение
х' = F(t, х) [B.1)] имеет периодическое решение р периода Т и пусть функции
F и Fx принадлежат классу С в области (*, х)-пространства, которая содержит
кривую (t,p(t)), 0<<<oo. Пусть q> = <p{t, a) — решение уравнения B.1) с
<p(Q, а) = р@) + о, где а — вектор с п компонентами. Покааать, что уравнение
первой вариации B.4) имеет матрицу <pa(t, 0) своим фундаментальным решением.
13.	Предположим, что F и р такие, как в задаче 12. Пусть f = ft(x) — одно-
однозначное преобразование с неисчезающим якобианом области х-простран-
ства, содержащей замкнутую кривую х = p(t), в f-пространство. Пусть
х — g@ и пусть ft и g — функции класса С2. Тогда уравнению B.1) соответ-
соответствует уравнение
которое имеет периодическое решение h(p(f)). Показать, что h{<p(t, а)) есть
решение уравнения (*) для малых \а\. Показать, что hx(<p(t, a)) <po(t, а) для а = О
есть фундаментальное решение уравнения первой вариации для уравнения (*)
относительно решения h(p(t)). Показать, что характеристические показатели
одни и те же для преобразованного и первоначального случаев.
Указание. Так как hx(p(t))<pa(t,0) — фундаментальная матрица, то
характесистические показатели получаются из логарифма матрицы
<Ра\О,0) ftJT^pCP» Лх(р(Г)) Mr, 0),
которая совпадает с матрицей ^а1 @, 0) <ра (Г, 0).
14. Пусть V — функция класса С1 в х-пространстве для малых |х|.
Пусть V(x)>0 для х^О и V@) = 0. Показать, что если |f| мало, то
решения задачи
x' = f(t,x), x(O) = i
стремятся к нулю при (—¦ оо7 если существует постоянная к > 0, такая, что
для />0и малых |х|.
Указание. Пусть <р — решение системы х' = Щ, х). Пусть Flf) =
	 Тогда dF/dt < — kF.

Глава XIV
ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ,
ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
§ 1. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Большое значение имеет изучение поведения системы
x' = g(t,x)i ,uh(t,x,,u)	A.1)
при малых \/i\, основывающееся на известном поведении этой системы
.для ,и = 0. Система A.1) является частным случаем системы
JC = fl/,xf/i).	A.2)
В системе A.2) /л может быть действительным вектором. Общая
характеристика зависимости решений от параметра ,и была рас-
рассмотрена в § 7 гл. I. Здесь будет рассмотрен случай особой важности,
в котором система A.2) при /л = 0 имеет действительное периоди-
периодическое решение р с периодом Т. Предполагается, что функция / по t
периодична с периодом Т. (Заметим, что Т не обязательно наимень-
наименьший период р или /. Заметим также, чтс / не обязательно зависит
от t.)
В теореме 7.5 гл. I, в которой доказано существование частных
производных 8<р/8?,- решения <р относительно начальных значений
?,-, предполагалось, что производная /,, непрерывна, точно так же
как производная fx. Однако если использовать метод теоремы 7.2
гл. I, то существование производной q>$ получается при единствен-
единственном предположении, что производная fx непрерывна. Здесь мы сде-
сделаем это предположение, хотя на практике производная /,, обычно
существует и более того, обычно функция / аналитична по совокуп-
совокупности переменных (х, ,м).
Будем предполагать, что функция / непрерывна по совокуп-
совокупности переменных (/, х, ,м), когда точка (t, x) находится в некоторой
области V (t, х)-пространства, содержащей кривую (/, p(t)), и когда
\ц\ мало. Предполагается также, что / имеет частные производные
первого порядка относительно компонент х,- в'ектора х, которые
непрерывны по (t, x,,u).
В этой главе будет встречаться первая вариация, определенная
в § 2 гл. XIII.
»¦ Теорема I.I. Если функция f удовлетворяет высказанным усло-
условиям и если первая вариация системы A.2) для ц = 0 относительно
решения р не имеет решений с периодом Т, то для малых [и\ си-

380 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
стема A.2) имеет решение q = q(t, у), периодическое по t с периодом
Т, непрерывное по совокупности переменных (/, [л) и такое, что
q(t, 0) = pit). Существует только одно такое решение.
Первая вариация есть линейная система с периодическими коэф-
коэффициентами	п
У = 2щ&№,о)У1 = U{t,P(t),o)y,	A.3)
где матрица fx(t, pit), 0) имеет период Т. Условие, что-система A.3)
не имеет решений с периодом Т, эквивалентно тому, что линейная
система A.3) не имеет характеристических показателей, кратных
2ni/T.
Доказательство теоремы 1.1. Обозначим через
95 = 9)(f,a,i«)
решение системы A.2), которое принимает при / = О начальное зна-
значение р@) 4- а, где |а| мало. Из единственности решения <р следует,
что для того, чтобы оно имело период 7, необходимо и достаточно,
чтобы <р(Т, а, /и) = 9>@, а, ц), или
9>(Г,а,/0-/?@)-а = 0.
Для ц = О эта система имеет решение a = 0. Если якобиан этой
системы, взятый относительно а, не обращается в нуль при ц — О,
a = 0, то эта система в окрестности точки ju, = 0, a = 0 имеет
единственное решение a = a{jx\ причем функция а непрерывна по
1х и а@) = 0. Якобиан является определителем матрицы"
<ро(Т,0,0)-Е.	A.4)
Если якобиан не обращается в нуль, то существование периодиче-
периодического решения q системы A.2)-для малых \/л\ получим, положив
<p(t, a(fi), /и) = q(t, ц). Кроме того, в окрестности кривой х = p(t)
это решение определяется однозначно, ибо функция а(ц) един-
единственна. Важным обстоятельством является то, что якобиан зависит
только от /(/, х, 0), ибо в A.4) ц == 0. Таким образом, в случае си-
системы A.1) якобиан не зависит от п.
Якобиан тесно связан с первой вариацией A.3) системы A.2)
относительно решения р. В самом деле, если уравнение
продифференцировать относительно компонент а,- вектора о, то
получим при ц = 0, о. = О
V'At, 0,0) = /*(/, (p{t, 0,0), 0) Va(t, 0,0) ,
или, так как <p{t, 0, 0) = pit),
Таким образом, матрица У7, определяемая равенством
= ?«(*, 0,0),	A.5)

§ 1. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ	381
есть матрица-решение системы A.3), и, так как уа@, О,0) = Е, эта
матрица фундаментальная. Следовательно, соответствующие A.3)
мультипликаторы являются корнями уравнения
0.	A.6)
Но, согласно A.5), матрица (Ч/(Т)-^Е)в точности совпадает с матри-
матрицей A.4), определитель которой равен якобиану. Таким образом,
якобиан обращается в нуль в том и только в том случае, когда
уравнение A.6) имеет своим корнем А = 1. Необходимое и достаточ-
достаточное условие того, что уравнение A.3) имеет решение с периодом Т,
состоит как раз в том, что А = 1 есть корень уравнения A.6), так
что теорема установлена.
Если характеристические показатели системы A.3) все имеют от-
отрицательные действительные части, то решение р системы A.2) для
/г = 0 асимптотически устойчиво. Имеет место следующий результат.
Теорема 1.2. Если действительные части характеристических
показателей системы A.3) — первой вариации системы A.2) для
/1 = 0 относительно решения р — все отрицательны, то система
A.3) не может иметь периодических решений, так что заключение
теоремы 1.1 справедливо. Кроме того, в этом случае периодическое
решение q = q(t, /j) системы A.2) асимптотически устойчиво, если
только |уи| мало.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. Чтобы
доказать устойчивость решения q, заметим, что первая вариация в
этом случае является системой с периодическими коэффициентами
y = Mt,q(t,f*),f*)y,	A.7)
причем система A.7) при /и = 0 принимает вид A.3). Таким образом,
если 5/ = 5/(/, р) — фундаментальное решение системы A.7), удо-
удовлетворяющее условию ^(О, /и) = Е, то мультипликаторы системы
A.7) являются характеристическими корнями матрицы Т{Т,ц).
Так как матрица W при малых \/л\ по ц непрерывна, то, поскольку
характеристические корни матрицы 5/(Г, 0) по абсолютной величине
меньше единицы, это же самое заключение верно для матрицы
^{Т, у«)при малых |уи|. Теперь доказательство теоремы 1.2 получим,
используя теорему 2.1 гл. XIII.
Пусть, далее, функция / для каждого t аналитична по перемен-
переменным (х, /л) для точки (t, x) из V и малых |^|. Тогда из теоремы суще-
существования 8.4 гл. I следует, что функция <р = <p(t, а, /л) аналитична
по а и р. для малых \а\ и \ц\ на интервале 0 <; t <, Т. Необра-
Необращение в нуль якобиана матрицы A.4) теперь обеспечивает не только
существование и единственность функции а = a(fi), но также ана-
аналитичность а по /и. Таким образом, функция q аналитична по /и для
малых \fi\ и любого t.
Для упрощения предположим теперь, что вектор ц, имеет только
одну компоненту, т. е. является скаляром. В силу аналитичности

382 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
функция q разлагается в ряд по степеням ц с непрерывными по t
коэффициентами, ибо q непрерывна по совокупности переменных
(t, fi). Степенной ряд имеет вид]
q(t,p) = p«\t) + щРЦ) + №Щ +... ,	A.8)
где р@)@ = p(t) и в силу периодичности q коэффициенты р(у) для
всех / также имеют период Т.
Используя ряд A.8) в дифференциальном уравнении A.2), полу-
получаем
Так как правая часть для малых |#| аналитична по fi, то ее можно
разложить по степеням р. Приравнивая коэффициенты при одина-
одинаковых степенях ц, получаем при p@\t) = p(t) последовательность
уравнений
@ = №, р<°>@, о) Pv(t) + =| (f, pco)@> о),
@ = HU P(o)@,
где функция FB) определяется через коэффициенты р@) и рA) и,
вообще, функция F(m) определяется через коэффициенты р0), / = 0,1,
..., т—1. Таким образом, эта процедура ведет к формальному про-
процессу определения каждого коэффициента p(h) через коэффициенты
р°>, / < к, при помощи решения линейной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Так как существование q как аналитической функции ц было
доказано, то система A.9) имеет своими решениями нужные перио-
периодические функции /?(^, / ;> 1. Справедливо также, что не существует
других решений с периодом Т для системы A.9); докажем это по
индукции. Так как р™@ = Р, что является одним из предположе-
предположений, то здесь не возникает вопроса о единственности. Предположим,
что следующее уравнение системы A.9) имеет два различных реше-
решения рA) и рA) периода Т. Тогда очевидно, что разность рA)— рA)
есть решение уравнения A.3) первой вариации. Но, по предполо-
предположению, это уравнение не имеет периодических решений периода Т.
Таким образом, рA) = ры.
Предположим теперь, что функции p(j) определены для всех
/ < m для некоторого т. Тогда
^ @ = fx(t, р(°)(о, о) ре-ЧО + ят>@,	О ¦ ю)
где функция F(m) однозначно определяется через функции р0),
/ < т. Таким образом, из тех же соображений, как и в случае т = 1,

§ 2. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ	383
следует, что функция pim\t) однозначно определяется посредством,
уравнения A.10) и того обстоятельства, что она периодична с перио-
периодом Т. Это доказывает утверждение о том, что система A.9) имеет
одну и только одну систему периодических решений p(j), /^> 1,
периода Т и что эти решения могут быть получены при помощи ре-
решения последовательности линейных дифференциальных уравне-
уравнений A.9) для /"= 1,2,....
§ 2. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Примером изучаемых здесь систем является
3C = /(x) + /ig(xf/i),	B.1)
где \ц\ мало. Более общая постановка, в которой ц может быть
вектором,такова :
* = f(x,p).	B.2)
Система B.2) действительна для действительных х и р. Здесь пред-
предполагается, что для /и = 0 система B.2) имеет периодическое реше-
решение р с периодом То. Это решение х = p(f) может рассматриваться
как замкнутая кривая в х-пространстве. Пусть V — область в х-
пространстве.содержащая кривую х = p(t). Пусть / — функция
класса С1 по (х, /г) для х из V итиалых \/и\. На самом деле достаточно
существования и непрерывности производной /х для х из V и
малых |/и|.
Первая вариация системы B.2) для /л — 0 относительно решения
р имеет вид
Ш0)	B.3)
Система B.3) имеет периодическое решение с периодом То, а именно
р'. Таким образом, в случае системы B.2) условия теоремы 1.1 не
могут выполняться и требуется другой результат.
Пусть W —фундаментальная матрица для системы B.3), удо-
удовлетворяющая условию ^@) = Е. Факт наличия у системы B.3) ре-
решения с периодом То эквивалентен тому, что для матрицы ^(То)
единица является характеристическим корнем.
Теорема 2.1. Если функция / удовлетворяет сформулированным
вьиие условиям и если для системы B.3) матрица ^(Т^) имеет еди-
единицу простым корнем, то для малых \fi\ уравнение B.2) имеет реше-
решение q = q (t, р) с периодом T(ji). Как q, так и Тпо ц непрерывны для
малых \и\; Я (t, 0) = p{t) и 7@) = То. Функции q(t, /j) и Т(/л) опре-
определяются однозначно.
Чтобы пояснить излагаемое ниже доказательство, приведем сле-
следующую геометрическую интерпретацию. При помощи вращения
и переноса х-пространства можно добиться того, что касательный
вектор р'@) будет параллелен оси х1 и первая компонента рх@)
вектора р@) будет равняться нулю. Таким образом, рх@) = 0 и

384 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
p'j(P) = 0, /= 2,..., п. Решение системы B.2) для малых \р\г
близкое к некоторой точке кривой х = p(t), будет оставаться
в силу непрерывности решения относительно начальных значений
и параметра ц вблизи х = p(t) на интервале изменения t длины 2Т0.
Так как кривая р должна пересечь плоскость хх = 0 в этой области
изменения /, то это же произойдет и с решением системы B.2). Так
как система B.2) не содержит явно t, то интегральная кривая в
х-пространстве однозначно определяется координатами точки пере-
пересечения с плоскостью хх = 0. Таким образом, чтобы определить
при фиксированном fi решение системы B.2) как кривую в х-про-
странстве, следует задать только п—1 параметров.
Доказательство теоремы 2.1. Как и прежде, пред-
предположим, что вектор р'@) параллелен оси хг. Рассмотрим для малых
\/л\ решение системы B.2), которое принимает при t = 0 значение
р@) + а, где \а\ мало и а^ = 0. Обозначим это решение через
q> = qj(t, а, /л). Чтобы это решение было периодическим с периодом
Т = То + т, где |т| мало, необходимо и достаточно, чтобы
<р(Т0 + т, а, р) - р@) - а = 0.	B.4)
Уравнение B.4) имеет при ц = 0 решение а = 0, т = 0. Если яко-.
биан относительно переменных (т, а2,..., ап) не обращается в нуль
при о. = 0, т = 0, fi = 0, то B.4) имеет единственное решение для
-„О,О) = рТО = Р'(О),
B.5)
р	f	()
малых И, \а\ и |т|. Так как /)
то якобиан равен определителю матрицы
dt
О |^-1 ...
дап
дап
О
да,
Ьа„
1
где производная Э^/Эа,- берется в точке (То, 0,0). Если якобиан не
обращается в нуль, то'а и т однозначно определяются как непре-
непрерывные функции fi для малых \/л\. Далее, а@) = 0, т@) = 0. Та-
Таким образом, (p{t, а(/л), /л) — q(t, /л) есть периодическая функция с
периодом То Ц- т(^и). Так как pj(O) =j= 0, то необращение в нуль
якобиана эквивалентно необращению в нуль алгебраического дог
полнения элемента dpjdt матрицы B.5).
Если аг не фиксируется, то фундаментальное решение W даетсяг
матрицей q>a(t, 0, 0) с элементами Э^/Эсс,-. Таким образом, уравнение
для определения характеристических корней матрицы ^\То) имеет
вид
det(9»,,(rOfO,O)-AE) = O.	B.6)
Так как (Э^/Эа^О, 0, 0) = 0 для />2и так как (ду/да-,)^, 0,0)
есть решение системы B.3), то решение (89>/8a1)(f, 0, 0) есть неко-
некоторое кратное р' и поэтому периодично с периодом То, так что

§ 2. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ	385
(jjj) (o, 0,0) = 0, / ^> 2. Значит, только первый элемент в первом
столбце матрицы, стоящей слева в уравнении B.6), не равен нулю.
Так как (dtpjdaj) @,0,0) = 1 = (dyjdaj (To, О,0), то алгебраическое
дополнение элемента dpjdt матрицы B.5) может обращаться в нуль
лишь в том случае, когда Я = 1 является кратным корнем урав-
уравнения B.6). Это доказывает теорему.
Так как р' — решение уравнения первой вариации B.3), то
1 есть характеристический корень матрицы ^(Т^), что уже было уста-
установлено. Если остальные п—1 характеристических- корней все по
абсолютной величине меньше единицы, то решение р имеет асимп-
асимптотически устойчивую траекторию (асимптотически орбитально
устойчиво) и справедлив следующий результат.
Теорема 2.2. Если п—1 характеристических корней, соответ-
соответствующих первой вариации B.3) системы B.2) с ц = 0, по абсолютной
величине меньше 1, то, очевидно, утверждение теоремы 2.1 должно
выполняться. Кроме того, периодическое решение q = q(t,/j) си-
системы B.2) для малых \р\ имеет асимптотически устойчивую
траекторию.
Доказательство очень похоже на доказательство тео-
теоремы 1.2. Вкратце, если Ч1— Wty, р) — решение системы у' =
= fx(q(t, н), /л)у с Ч*@, /л) — Е, то матрица W{T 0«), ц) для малых ц
непрерывна и 4?(JT0, 0) = ^(Tq) для /л = 0. Поэтому, так как матрица
*F(T0) имеет п—1 характеристических корней, меньших по абсо-
абсолютной величине единицы, это же должно выполняться в силу
соображений непрерывности для матрицы W(T(iu), /г).
В случае если функция / в B.2) аналитична по переменным
(х, /л) для х из V и малых \/л\, из теоремы 8.1 гл. I следует, что функ-
функция р аналитична по t, и при помощи легкой модификации теоремы
8.4 гл. I получаем, что функция
акалитична по переменным (t, а, /и) для малых \а\, \/л\ и фикси-
фиксированного конечного интервала изменения t. Из необращения в
нуль якобиана [определителя матрицы B.5)] следует, что функции
о. и т аналитичны по /л. Итак, q аналитично по переменным (t, /л)
и Т аналитичен по [л для малых \/л\.
Для упрощения предположим, начиная отсюда, что [л — скаляр.
В силу аналитичности функций q и Т, если t = sTfa), то функция
t) = r(s, ja)
по /л аналитична для малых Щ и по s периодична с периодом 1.
Таким образом,
r(s, ft) = /<°>(s) + 1л rW(s) + ft* rV\s) + ...,	B.7)
TQt) = T0 + nT1 + i^Tt + ...,	B.8)
где коэффициенты r(i)(s) периодичны с периодом 1, ибо такова функ-
25 182.

386 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ция г. Полагая /л ->- 0, получаем, что r^°\s) = p(sT0). Система B.2)
принимает вид
Так как г — решение, то для малых \/л\
Разлагая правую часть по степеням [л, получаем
7\/(г<°>,0) + То|- (/<«, 0),
B.9)
где функция F(m) зависит только от г(^, / < /л, и Г,-, / < т. Кроме
B.9), имеем равенство гх@, уи) = рх@). Таким образом, r<J>@) = О,.
/=1,2,....
Выражения r(s, /и) и Т(уи), определяемые равенствами B.7) и
B.8), являются решениями системы B.9). Покажем, что система
B.9) определяет функции r(j) и Tj однозначно. Таким образом, если
функции г0) и Tj, / ^ 1, найдены как решения системы B.9) при
условии, что /"i(J)@) = 0 и г(Л — периодическая функция с перио-
периодом 1, то в результате получаем г и Т. Система представляет собой,
следовательно, удобное средство для получения функций г и Г.
Так как г@) и То даны, то доказательство начинается с гA> и 7\.
Пусть существуют два решения системы B.9) для m = 1 : (г*1*, 7\)
и (гA), 7\). Обозначим разность гA) — гA) через Л и разность 7\—Тх
через йТ0. Тогда h периодична с периодом 1 и /гх@) = 0. Вычитание
соответствующих уравнений показывает, что h является решением
уравнения
J = P(s) w + аТ0 /(r<»)(s), 0),	B.10)
где P(s) = 70/x(r@)(s), 0) — матрица коэффициентов уравнения первой
вариации для системы B.2) с заменой t на sT0. В самом деле, урав-
уравнение первой вариации имеет вид
% = Р®У,	B-П)
и периодическим решением системы B.11) является y>w = drm/ds.
Кроме того, по предположению, характеристический корень 1, соот-
соответствующий периодическому решению, является простым. Осталь-

§ 3. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА В НЕАВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ	387
ные п—1 корней все отличны от единицы. Используя первое урав-
уравнение B.9), придадим уравнению B.10) вид
g = P(s)W + av(l)(s),	B.12)
где w = h(s) будет решением. Поскольку vA) — решение уравнения
B.11), легко проверить, что если
V(«) = h(s) - asyM(s),	B.13)
то f — решение уравнения B.11).
Если решениями уравнения B.11) в канонической форме явля-
являются уA), где у№ уже определено, и
= к у@@) + dt гр^Щ (I = 2,...,«),
то da = 0, так как Хх = 1 — простой характеристический корень.
Используя, что
и периодичность функции h, получаем
2 k'd' ?'-гЩ + а ^«@) = 0. B.14)
1=3
Так как решения линейно независимы, то отсюда следует, что а = 0.
Таким образом, из B.13) находим, что h = у. В силу периодичности
h это означает, что у> должно совпадать с kyW для некоторой по-
постоянной к. Так как /гх@) = 0 и у?°@) =? 0, то к = 0. Таким образом,
h(s) = 0 и единственность решений гA) и 7\ доказана. Единствен-
Единственность решений гB) и Т2 и т. д. получается аналогичным образом, и
доказательство проводится по индукции.
§ 3. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМ РЕШЕНИЕМ В НЕАВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
,Wtfi),	C.1)
где / — периодическая функция по t с периодом 2 л. Первая вариа-
вариация- для случая /л — 0 есть просто уравнение и" + и = 0, которое
имеет два независимых решения периода 2л. Таким образом, если
записать C.1) как систему, то ни теорема 1.1, ни теорема 2.1 (в слу-
случае, если функция / не зависит явно от времени) не может быть
применена, так как соответствующий якобиан обращается в нуль.
Тем не менее уравнение C.1) имеет большое значение.
Вначале будет намечен метод для изучения уравнения C.1), а
затем будет рассмотрен случай общей системы. Небольшое упро-
упрощение может быть сделано при помощи переноса по t в C.1)
25*

388 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
на у, где постоянная у будет выбрана позже. Таким образом, C.1)
принимает вид
f( ytu,W,li).	C.2)
Пусть а — постоянная, и рассмотрим решение q>(t) = (p(t, а, у, р)
уравнения C.2), удовлетворяющее условиям у@) = а, у'@) — 0.
Очевидно, что из C.2) получаем уравнение
t
<p(t) = a cos t + fx J sin (t - s) f(s + y, <p(s), <p'(s), pi) us. C.3)
6
Для того чтобы функция у имела по t период 2тг, необходимо и доста-
достаточно, чтобы q>Bn) — an q>'Bn) = 0 или чтобы
Hj(a,y,(t) = O (/=1,2),	C.4)
где
Що, У, Н) = J sin sf(s + у, cp(s, а, у, /л), <p'(s, а, у, /л), fi) ds;
о
выражение для Н2 аналогично, но с заменой sins на coss.
Предположим, что уравнения C.4) для /и = 0 имеют решение
а = аок у = у0, так что Я/йд, у0, 0) = 0, / = 1, 2. Тогда, если' яко-
якобиан удовлетворяет условию
щ?{а°>Уо'о)фо>	C'5)
то а и у однозначно определяются как непрерывные функции ц
вблизи точки /л = 0. Так как якобиан вычисляется при ц = 0, то
явный вид функций Нг и Н2 для использования в уравнении C.5)
находится из C.3) при /л — Q. Таким образом,
2п
Нг(а, у, 0) = J sins/(s + y,a cos s, — a sin s, 0) ds,	C.6)
.0
и аналогичное выражение имеем для Н2(а, у, 0).
Если f(t, и, и', /и) = аи + Р «3 + с cosf, где а, /5 и с — действи-
действительные постоянные, то с и у являются функциями от а, /3 и с и также
от /л. Легко видеть, что уравнение Н1 = 0 при этом выборе / дает
у0 = 0 и уравнение Н2 = 0 принимает вид
«G + ^-G3 + C = 0,	C.7)
что является уравнением для определения й0. Легко проверить, что
C.5) теперь эквивалентно условию : й0 есть простой корень урав-
уравнения C.7).
Уравнение C.1) есть частный случай системы
ylu),	C.8)

§ 3. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА В НЕАВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ
389
где А — постоянная действительная матрица с характеристическим
корнем iN для некоторого целого N и / — действительная функция,
периодическая по t с периодом 2л. (Заметим, что 2тг не обязательно
наименьший период функции /.) Невозмущенная система при /л = О
х' = Ах	C.9)
имеет тогда решение периода 2п, так что теорема 1.1 неприменима.
Пусть 9>ОO /= 1,2,..., fc, — решения системы C.9) периода 2т.
Тогда для любых постоянных с7- и у} сумма
(ЗЛО)
также является периодическим решением для C.9). Не очевидно,
для каких Cj и yt система C.8) может иметь периодическое решение,
стремящееся при ^м-э-0 к выражению C.10), если вообще такие
Cj и yj существуют. Сейчас будут указаны достаточные условия
для того, чтобы система C.8) имела периодическое решение.
Полагая х = Ру, где Р — действительная неособая постоянная
матрица, можно заменить систему C.8) на систему для у, в которой
матрица коэффициентов В = Р~МР при /и = 0 имеет действитель-
действительную каноническую форму. Более того, эта новая система удовле-
удовлетворяет тем же условиям, что и C.8). Поэтому будет предполагаться,
что матрица А уже имеет следующую действительную канониче-
каноническую форму:
А,
C.11)
вп
где неуказанные элементы равны нулю. Каждая матрица Ajy j —
= 1,..., к, есть квадратная матрица четного порядка а, вида
C.12)
E',
o2
\o2
o2 ¦
Sj ¦
E, ¦
02 •
•¦ o2
¦ ¦ o2
• ¦ o2
¦ ¦ E2
\
o2 ,
J

390 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
где 02 — нулевая квадратная матрица второго порядка,
с._@ -N/\ р _п о\
bj-{Nj о)' L*- 10 i) '
Nj — положительное целое число. (В дальнейшем Ек всегда будет
обозначать /i-мерную единичную матрицу, 0 < к < п, и Е = Еп.)
Матрица Л, может иметь только две строки и два столбца ; в этом
случае она равна Sj. Каждая матрица Bj, /= \,...,т, есть квад-
квадратная матрица порядка /3,- и имеет вид
0	о ¦ • ¦ о
1	о • • ¦ о о
Bj=\ 0 1 ¦ - - 0 0 |,	C.13)
1 О-
причем Bj может иметь только одну строку и только один столбец -
в этом случае Bj состоит из одного элемента 0. Матрица С есть квад;
к	т
ратная матрица порядка у = п — J? a.j — ^"/S,- и не имеет характе-
ристических корней вида iN, каково бы ни было целое число N,
включая N = 0. Полезно заметить, что матрица С не обязана иметь
каноническую форму.
Фундаментальная матрица для системы C.9) имеет вид
etA*
etA*
etB.
etBm
C.14)
Здесь
где а.
= 2р,
и
(ft " 1)!
t?
(Р
о2
?'.S
j~
... о2
¦ • • 02
2)! J
C.15)
MSi== (cos Njt -si
{si
sin Njt cos Njt) '
C.16)

§ 3. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА В НЕАВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ	391
в то время как
1	О
C.17)
Что касается матрицы е*с, то из того факта, что характеристические
корни С не имеют вида Ш, где N — целое, следует, что
det(^c-?y)^O.	C.18)
Предположим теперь, что система C.8) имеет единственное ре-
решение <р = q>(t, /и, с), где 9?@, [л, с) = с, которое существует для /
из некоторого интервала, содержащего интервал 0 < t < 2л, и
непрерывно по /и для ц, достаточно близких к fi = 0. Используя
формулу вариации постоянных, получаем из C.8)
t
<p(t, ц, с) = etA с + [л J (*'-*А f(s, <p(s, /i, с), /i) ds.	C.19)
о
Из C.19) и из единственности непосредственно следует, что необхо-
необходимым и достаточным условием периодичности функции ц> с перио-
периодом 2л является условие
2л
(еЫА _ ?) с + р J eBn~s)A Д5> ^ (ltC),(t)dS = O.	C.20)
Это — система п уравнений для п неизвестных компонент вектора с.
•Для того чтобы указать достаточные условия для существования
вектора с, необходимо проанализировать более детально струк-
структуру системы C.20). Если бы существовала функция с = см непре-
непрерывная по [л для малых \ц\ и такая, что <p{t, ц, cfJ) имеет период 2тс,
то из C.20) при ц -> 0 мы получили бы
(е2яА-Е)с0 = 0.	C.21)
Таким образом, условие C.21) необходимо для существования такого
периодического решения <р = <p(t, /n, с„). Заметим, что из C.19) мы
имеем y(t, 0, Cq) == etAc0, и, значит, C.21) выражает необходимое и
достаточное условие того, что <p(t, 0, с0) есть периодическое решение
системы C.9) с периодом 2п.
Из C.15) и C.16) имеем
os
2nEz
Bn)Pi~x E2
o2
o2
Bя)»-
• • o2
¦• o2
• • n.
C.22)
	I ... П. I
V to-1)! to-2)!

392 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЕ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
и из C.17) —
О
О
C.23)
i
v(ft-l)f " -"¦	0
Как показывают теперь соотношения C.22), C.23) и C.18), из
C.21) следует, что все компоненты cOi вектора с0 равны нулю, за
исключением, возможно, компонент с индексами i, соответствую-
соответствующими двум последним строкам каждой матрицы Л,- или последней
строке каждой матрицы Bj. Все эти индексы имеют следующий
вид:
i = at — 1. at.
ak-l,al+...+ak,	C.24)
ак + /?!,
Индексы i, имеющие вид C.24), будут называться исключительными
индексами, а соответствующие ч компоненты любого вектора будут
называться исключительнымиN компонентами. Их число равно
2к + т и исключительные компоненты сьг вектора с0 не определя-
определяются равенством C.21).
Чтобы пойти дальше, рассмотрим компоненты вектора, стоящего
слева в уравнении C.20), с индексами
/=1,2,
/ = <*! + ... + a/t._i + 1, ах + • • • + a/t._i + 2 ,
/ = О! + ... + ак + 1 ,	C.25)
/ = ах + ... + a/t. + & + ... + ?„,_! + 1.
Эти 2к + т индексов будут называться сингулярными индексами и
соответствующие компоненты вектора — сингулярными компонен-
компонентами. Из C.22) и C.23) очевидно, что все сингулярные компоненты
вектора (е2пА —Е)с„ равны нулю. Таким образом, все сингулярные

§ 3. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА В НЕАВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ	393
компоненты интеграла в C.20) должны обращаться в нуль для
всех (х, достаточно близких к ц = 0. Это дает уравнения
2 л
[J e^-*Af(s,ф,/л,с),(л)ds].= О	C.26)
о
для / из множества C.25), где [ ], обозначает /-ю компоненту.
В частности, если ц = 0, то y(s, О, с0) = esAc0, и таким образом, для
' сингулярных индексов
2п
Hjicj = [J e^^Af(s,eSAco,O)ds\ = 0.	C.27)
о
Если использовать периодичность eSj4c0 и /, то C.27) можно заменить
равенством
^у (Со) = [J ^sA/(- s, e~SAc0,0) ds ] = 0.
0
Для ц = 0 все компоненты вектора с,,, отличные от исключительных,
равны нулю. Таким образом, C.27) есть система 2к + т уравнений
с 2к -f- т неизвестными, а именно с компонентами cOi вектора с с
исключительными индексами /. Если q> = y>(t, /n, с„) существует
как периодическое решение, то необходимо, чтобы уравнение C.27)
имело решение. Заметим, что уравнение C.27) может быть явно
выписано без решения нелинейной системы C.8).
Предположим, что система C.27) имеет решение для исключи-
исключительных компонент вектора с0, скажем coi = щ. Обозначая через а
вектор с компонентами я,- для исключительных индексов и нулями
для остальных, получаем, что функция
есть периодическое решение системы C.9) с периодом 2jr.
Чтобы доказать существование периодического решения системы
C.8) для малых |/*|, сделаем следующие предположения :
(i) A — действительная постоянная матрица с канонической
формой C.11) — C.13), по меньшей мере с одним характеристическим
корнем вида iN, где N — целое.
(¦') Параметр ц и функция / действительны и / имеет по t период 2тг.
(Hi) Существует вектор а, удовлетворяющий уравнениям C.21)
и C.27) для с0 = а.
(iv) Функции /, fx непрерывны по совокупности переменных
(t, х, ц) для (t, x) из области V, содержащей внутри себя периоди-
периодическое решение p(f) = etAa системы C.9), 0 < t <, 2я, и для \ц\ < б
при некотором ё > О1.
(v) Якобиан 2к + тп функций Hh определенных в C.27), где
/ — сингулярные индексы, относительно 2к + тп переменных с0/,
у которых i — исключительные индексы, при сш = щ не равен нулю.
1 См. второй абзац § 1.

394 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Теорема 3.1. При предположениях (i) — (v) существует един-
единственное периодическое решение q = q{t, ц) системы C.8) периода 2тг
по t, которое непрерывно по совокупности переменных (t, /л) для всех
t и достаточно малых \/и\ и которое для /л = 0 сводится к реше-
решению q(t, O) = p(t).
Замечание. Если предположение (v) не выполняется, то
необходим более детальный анализ, который здесь не проводится.
Доказательство теоремы 3.1. Будет показано, что
для достаточно малых \/л\ система C.20) имеет единственное реше-
решение с = с^, непрерывное по /л и такое, что с0 = с. Отсюда непосред-
непосредственно следует, что q(t, ц) = y(t, /л, с,,) — нужное решение.
Существование и единственность решения (p(t, ц, с) системы C.8)
для достаточно малых \ц\ и [с — с^\ такого, что <р@, /л, с) = с,
прямо следует из предположения (iv).
Чтобы показать существование с = с,,, заменим систему урав-
уравнений C.20) системами S^, с) и S2(n, с), где Sx(fi, с) состоит из
компонент уравнения C.20) с несингулярными индексами, a S^/t, с)
— из уравнений C.26) с сингулярными индексами. Как было уста-
установлено выше, после формулы C.23), Sx@, с) — линейная однородная
система для неисключительных компонент с,- вектора с, и так как
определитель А из коэффициентов не обращается в нуль, то един-
единственным решением будет со,=О, где i — неисключительные индексы.
Система S2@, с) — это в точности система уравнений C.27) с с = с0,
и, по предположению, эта система имеет решение с0,- — а,, где
/—исключительные индексы. Частные производные первого порядка
левой части системы S^/n, с) относительно исключительных компо-
компонент вектора с все равны нулю при ц == 0, с = а. Таким образом,
совместный якобиан D(/t, с) левых частей систем S^/л, с) и S2(/«, с)
относительно компонент вектора с, вычисленный при ц = 0 и с = а,
есть произведение якобиана D^/л, с) левой части системы S^, с)
относительно неисключительных компонент вектора с, вычислен-
вычисленного при /л — 0, с = а, и якобиана D2(fi, с) левой части системы
C.26) относительно исключительных компонент вектора с, вычислен-
вычисленного при ц = 0, с = a. HoD^O, a) —это в точности определитель А,
который не равен нулю, и D2@, a) — в точности якобиан, о котором
говорится в предположении (v) и который не равен нулю. Поэтому,
по теореме о неявной функции, комбинированная система S^, с),
S2(iu,c) имеет для достаточно малых \/i\ единственное решение
с = cw непрерывное по ц и, такое, что с0 = а. Это завершает до-
доказательство.
Что касается аналитических возмущений /, то ситуация такова :
Теорема 3.2. Предположим, что условия (i)—(v) выполнены, и
в дополнение пусть f — аналитическая функция по переменным
(х, ц) для (t, х)е V и \р\ < ё. Тогда функция q no ц аналитична
для достаточно малых \/г\.
Доказательство. Для (ц, с), достаточно близких к @, q,),
решение у = q>(t, ц, с) системы C.8) аналитично по /л и с, согласно

§ 3. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА В НЕАВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ	395
теореме существования для таких систем. Далее, функция с„ ана-
литична по /и, согласно теореме о неявных функциях для аналити-
аналитических систем. Таким образом, функция q(t, /л) = (p(t, /л, с,,) анали-
тична по /и.
С точки зрения практики важно знать (в аналитическом случае),
могут ли быть периодические коэффициенты ф'Щ (с периодом 2 я)
сходящегося степенного ряда
J	C-28)
. =о
вычислены рекуррентно. Как будет показано, это действительно
так. Обозначим /-ю компоненту вектора ф1) через фр. Подставляя
выражение C.28) в C.8) и сравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях ц, получаем
= et
A
@ = АфЩ + Ш, фЩ, 0) ^0 + j| (t, фЩ, 0), ... , C.29)
@ = АфЩ + Ш, фЩ, 0) ф^Щ
где функция Fa) зависит только от ф1) для 0 <. I < / — 2. То, что
существуют решения ф^ системы дифференциальных уравнений
C.29), следует из существования решения д.
Покажем, что каждое уравнение в системе C.29) имеет не более
одного решения периода 2л-, и, таким образом, формальный про-
процесс рекуррентного отыскания ф1) дает q. Очевидно, $A> определяется
вторым уравнением C.29) с точностью до периодического решения
однородного уравнения C.9). Однако требование, что следующее
уравнение системы C.29) имеет периодическое решение <7B), опре-
определяет дA) однозначно. В самом деле, предположим противное.
Тогда существуют два различных решения фг\ каждое из которых
позволяет получить из следующего уравнения периодическое реше-
решение дB). Обозначая разность между двумя фг) через ф1) и между
двумя <7B) — через ф®, получаем, вычитая одно из уравнений для
<7A) из другого и поступая так же с уравнениями для ф2),
(з.зо)
|	C.31)
Если ^2)@) = йB), то из C.31) следует, что
t
= ёА йB) + Г e('"s)A /x(s, esA a, 0) ^A)(s) ds.

396 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Так как ^B) имеет период 2п, то отсюда получаем
2я
о
Беря компоненты этого равенства с сингулярными индексами /
имеем
2л
[ j e<^'^A fx(s, <?А а, 0) qm(s) ds]. = 0.	C.32)
о
Очевидно, что gA)(s), будучи периодическим решением системы
C.30), имеет вид
где неравными нулю компонентами off* вектора йA) являются компо-
компоненты с исключительными индексами. Далее, система C.32) относи-
относительно этих компонент а(р линейна и однородна; определитель из
коэффициентов левой части системы C.32) относительно cj1) — это
в точности якобиан 2к + т функций Я,- теоремы 3.1, который,
по предположению, не равен нулю. Следовательно, йA) = 0, а зна-
значит, и дA)@ = 0. В точности такие же соображения показывают,
что если векторы д@ однозначно определены для Z</, где /> 1,
то вектор <7(J+1) также однозначно определен, что и дает результат по
индукции.
Теорема 3.3. Если выполняются условия теоремы 3.2, то ана-
аналитическое решение q системы C.8) может быть получено рекур-
рентно при помощи решения системы C.29) для периодических коэф-
коэффициентов ф*> периода 2п сходящегося степенного ряда C.28). Каж-
Каждый коэффициент ф^, i ;> 1, определяется однозначно i-м уравнением
системы C.29) и тем фактом, что (i + \)-e уравнение имеет перио-
периодическое решение.
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЕ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
С ОБРАЩАЮЩИМСЯ В НУЛЬ ЯКОБИАНОМ
Здесь будет рассматриваться действительная система
!u),	D.1)
где А — действительная постоянная матрица, \/г\ мало и / — дей-
действительная функция, непрерывная по совокупности переменных
(х, /л) для малых Щ и х из области V, которая будет описана позже.,
В действительности будет предполагаться, что производная fx непре-
непрерывна по совокупности переменных (х, /л) для х из V и малых \/г\.
При /л = 0 система D.1) принимает вид
Г = Ах.	D.2)

§ 4. АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА С ОБРАЩАЮЩИМСЯ В НУЛЬ ЯКОБИАНОМ 397
Предполагается, что система D.2) имеет периодическое решение
периода 2л. Заметим, что 2 г не обязательно наименьший период
решения. Предполагается также, что матрица е2 не имеет единицу
простым характеристическим корнем. Это последнее требование
эквивалентно обращению в нуль якобиана, соответствующего
матрице B.5).
Как и в § 3, можно предполагать без ограничения общности, что
матрица А имеет действительную каноническую форму, опреде-
определяемую формулами C.11)—C.13). Таким образом, соотношения
C.14)—C.18) также выполняются. Как и прежде, матрица С не
обязательно имеет канонический вид.
Пусть система D.1) имеет единственное решение <р = <p(t, ц, с),
где <р@, /и, с) = с, которое существует для t в некотором конечном
интервале и непрерывно по ц для ц, близких к /л = 0. Тогда, как
прежде,
t
<p(t, ц, с) = ёА с + ^ J>~s>^ f(<p(s, и, с), 1л) ds.	D.3)
о
Чтобы функция <р была периодической с периодом 2т + т, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
2л+г
6
ИЛИ
(еглА _ щ с
Г е®л+т-°>А Нф,ц, с), f)
о	D-4)
Если функция <р = (p(t, [л, с) периодическая с периодом 2п -f- т
и если функции с = с„ и т = т(/и) непрерывны для малых \/i\
и т@) = 0, то, так как q>{t, 0, с^) — e*ACf,,-
(е2«А ~Е)со = О.	D.5)
Как и в § 3, отсюда следует, что только компоненты вектора с0
с исключительными индексами могут быть отличны от нуля. (Оче-
(Очевидно, что в действительности т и ц должны существовать лишь
для малых (М>0и иметь пределы при ц-> 0 +-)
Предположим, что в канонической форме матрицы А встречается
хотя бы одна матрица типа Д-. Исключительными индексами,
соответствующими А1} являются ах — 1 и аг. Компонента вектора
е^с,) с индексом ах равна (co)Ql_i sin Ntt -\- (co)ai cos Ntt и, следова-
следовательно, для каждого частного выбора коэффициентов (co)a,-i и
(co)ai эта синусоида обращается в нуль при некотором / и имеет
для этого значения не равную нулю первую производную; в про-
противном случае оба коэффициента (co)ai-i и (co)Ql обратились бы в
нуль. В силу непрерывности компонента 94 вектора <p(t, /л, с„)
также должна пересекать ось t для некоторого значения t. Система

398 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
D.1) инвариантна относительно переносов по t. В дальнейшем будем
предполагать, что компонента 94 обращается в нуль при t = 0.
Это означает, что
94@» Л с„) = (с„к = О
для достаточно малых \ц\, включая ц — 0. Таким образом, задача
сводится к отысканию условий, достаточных для существования
функций с = Сц и т = т(^) с (с,,)а1 = 0, удовлетворяющих урав-
уравнению D.4).
Как в § 3, все компоненты вектора (е2лА — Е)с^ с сингулярными
индексами равны нулю. Таким образом, уравнение D.4) дает для
компонент с этими индексами
1
= 0.
D.6)
6	Jj
Пусть в D.6) (л -> 0; член с интегралом стремится к пределу и,
следовательно, другой член также приближается к пределу. Так как
т->0 при jU-vO, то D.6) дает для компонент с сингулярными
индексами
е^А Ас0 lira (-) + f сР»-^/^ С()> 0) ds = 0.	D.7)
Заменяя s на 2л — s и используя периодичность матрицы esAc0,
получаем равенство
е2лА Ас0 Iim f—) + f esA fie~sA c0,0) ds = 0,
которое может быть использовано вместо равенства D.7).
Если хотя бы одна сингулярная компонента вектора е2пААс0
отлична от нуля, то из D.7) следует существование предела отно-
отношения -г//* при ц -э- 0, в то время как существование эт^го предела
не следует из D.7), если все компоненты вектора е2пААс0 с сингуляр-
сингулярными индексами равны нулю. Систему D.7), которая содержит
уравнения только для сингулярных индексов, можно рассматривать
как систему 2к + т уравнений для 2к + т неизвестных, которыми
являются 2к -}- т —1 компонент вектора с0 с исключительными
индексами ((со)а1 = 0) и неизвестный предел отношения т//* при
Пусть т = nv и пусть
Л/Со, *) = * ^А Асо + f еР*-»А }{<*А cv, 0) ds ,	D.8)
где / пробегает сингулярные индексы. [Заметим, что Hj дается
явно формулой D.8) как функция с^, и v, причем не требуется, что-
чтобы система D.1) былс решена.]

§ 4. АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА С ОБРАЩАЮЩИМСЯ В НУЛЬ ЯКОБИАНОМ 399
Для следующей теоремы существования предполагается :
() А — действительная постоянная матрица с канонической
формой C.11)—C.13).
(и) Параметр ц и функция / = f(x, ц) действительны.
(iii) Существуют вектор а, такой, что ап1 = О, с равными нулю
неисключительными компонентами и число v0, удовлетворяющие
уравнениям Hj(a, v0) = 0, где / — сингулярные индексы.
(iv) Функции /, \х непрерывны по совокупности переменных
(х, /л) для х из области V, содержащей периодическое решение
ёАа периода 2л системы D.2), и для \ц\ < ё при некотором ё > О.1
(v) Якобиан 2к + т функций Hj [D.8) ] относительно 2к + т — 1
переменных (с0),-, где i — исключительные индексы (i =f= <h), и отно-
относительно переменной v не обращается в нуль для (с,,),- =щ ((со)а1 = 0)
Теорема 4.1 В предположениях (i)—(v) существует перио-
периодическое решение q = q(t,n) системы D.1) с периодом 2ж + я(/и),
причем функция q непрерывна по совокупности переменных (t, ц)
для всех t и достаточно малых \ц\, функция т = т(^) непрерывна
по ц, q(t; 0) = etAa, r{n)jn ->¦ v0 при ц -> 0 и qOl@, ц) = 0. Не
существует другого периодического решения системы D.1), которое
при Ц-+0 обращается в etAa.
Замечание. Роль aL может играть сумма ах -\- ... -f a.j для
любого / <. к.
Доказательство теоремы 4.1. Так как v входит в
Hj линейно, то якобиан будет, очевидно, обращаться в нуль, если
коэффициенты (е2пА Aa)j = O, где /' — сингулярный индекс. Заметим,
что так же, как и в § 3, все. а,- с неисключительными индексами долж-
должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что члены (eZKAAa)J-, где
/—сингулярные индексы, могут отличаться от нуля только для тех
индексов /, которые соответствуют матрицам Д-, имеющим в точ-
точности две строки и два столбца, и равны нулю, если индекс / соот-
соответствует любой матрице Д-. Таким образом, из предположения
(v) действительно следует, что существует по крайней мере одна
матрица At, которая должна иметь две строки и два столбца.
Доказательство в дальнейшем тесно примыкает к доказательству
теоремы 3.1 и поэтому опускается.
Теорема 4.2. Пусть / — аналитическая функция по перемен-
переменным {х, ц) для х из V, |/*| < ё, и предположим, что выполняются
предположения теоремы 4.1. Тогда периодическое решение q анали-
тично по переменным (t, ц) для всех t и для достаточно малых \ц\,
а функция т аналитичш по ц для достаточно малых \ц\.
Доказательство очень похоже на доказательство тео-
теоремы 3.2.
1 См. второй абзац § 1.

•400 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
В аналитическом случае коэффициенты степенных рядов для q
и т могут быть вычислены рекуррентно. Удобно будет заменить t
на s, где t = s(l + т/2я), и пусть q(s(\ + т/2я;), ц) — p(s, [л). Оче-
Очевидно, функция р аналитична по ц для малых \ц\ и периодична
по s с периодом 2п. Поэтому существуют разложения
P(s,i") = ^>'>(l)(s),	D.9)
*=2/11Ь,	D.10)
причем оба ряда сходятся для достаточно малых \ц\. Ясно, что
2..b1 = v0 и p(°)(s) = esAa. Так как компонента вектора q(O,/n)
с индексом аг обращается в нуль, то должны обращаться в нуль
компоненты с этим же индексом векторов рA)@) для всех i I> 0.
Дифференциальное уравнение D.1) принимает вид
Если выражения D.9) и D.10) подставить в уравнение D.11) и срав-
сравнить затем коэффициенты при одинаковых степенях ц, то получим
¦следующую систему уравнений :
D.12)
, 0),
Apt® + /х(р(°), 0) pU
где функция 770) зависит от переменных р@), рA>,..., рО"-г) и ^
.., fc,-_i. Ясно, что система D.12) имеет решения относительно
Теорема 4.3. В предположениях теоремы 4.2 аналитическое
решение q системы D.1) может быть получено с помощью последо-
последовательного решения уравнений D.12) для периодических коэффи-
коэффициентов pi периода 2л степенного ряда D.9) функции
pis,/t) =-

I 4. АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА С ОБРАЩАЮЩИМСЯ В НУЛЬ ЯКОБИАНОМ 401
и для постоянных bt из разложения D.10) функции t/2jt. Коэффи-
Коэффициенты рA) и bi однозначно определяются системой D.12) и усло-
условиями : р<%) = еАа, 2nbx = v0, p<'>(s + 2п) = pW(s) и р<?@) = 0.
Доказательство. Предположим, что существуют две
функции рA), рA), удовлетворяющие второму уравнению D.12), и две
постоянные Ь2, Ь2, такие, что парам (рA), Ь2), (рA), Ь2) соответствуют
функции рB), рB), удовлетворяющие третьему уравнению D.12).
Вычитая третье уравнение для одного случая из третьего уравнения,
для другого случая и обозначая рA) = рA) — рA), рB) = рB) — рB),
fc2 = b2 — b2, получаем
-^— = ЛрB) + bi ApW -\- bs Лр@) + /х(р@), 0) рA).
ds	a
Из второго уравнения для обоих случаев вытекает
ds - " '
Пусть рA)@) = аг и рB)@) = йB). Компонента с номером аг каждого
вектора равна нулю. Так как функция рA) периодическая, то
где только исключительные компоненты вектора йA) могут отли-
отличаться от нуля. Таким образом, вектор йA) имеет не более 2fe + m — 1
компонент, которые могут быть отличны от нуля.
Из дифференциального уравнения для функции рB) и того факта,
что
рй)@) = рB>Bгг),
получаем
2л	2л
-a) a /x(p(o)(a), 0) p4)(a) da.
Так как сингулярные компоненты левой части обращаются в нуль,
то то же верно для правой части. Полагая fP\a) = е°Аа и 2nbx = ve,
получаем, что
v0 е2лААа(^ + 2п Ь2 е2пААа + ) <*2л^А fx(ecA a, 0) еаА йA) da = О
для всех сингулярных индексов /. Эти 2к+т уравнений линейны
и однородны относительно 2к + т членов, которыми являются
постоянная 2пЬ2 и 2к + тп — 1 компонент вектора йA), возможно
отличных от нуля. Однако определитель из коэффициентов при
этих 2к + т членах является в точности якобианом 2к + т функций
26 182.

402 ГЛ. XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Hj(c0, v) относительно переменных (с0, v), взятым при v = v0J c0 = с.
Этот якобиан не равен нулю. Таким образом, Ь2 = 0 и йA) = 0,
и это доказывает, что Ъг и р™ однозначно определяются посредством
системы D.12). Точно также, если функции р@),..., р0-1) и постоян-
постоянные bv ..., bj (j > 2) однозначно определены, то система D.12)
однозначно определяет р(л и bj+lt доставляя тем самым результат
по индукции.
Можно рассмотреть пример, аналогичный примеру C.1). Случай
где и, /л — скаляры, в качестве уравнений периодичности D.6) дает :
-I) г
т . Г	,
'	р 1 COS yt —
О
причем см здесь представляет скаляр. Полагая /л->-0 и вспоминая,
что т@) = 0, получаем
j sin sf(c0 cos s, — c0 sin s, 0) ds = 0,
2л
j cos s/(c0 cos s, — c0 sin s, 0) ds = 0.
0
2л
Задачи
1. Показать, что уравнение
и" + и = flf(u>t, и, и', /г),
где а) близко к 1, .может быть преобразовано к случаю C.1) при помощи под
становок т = cot и
h- 	 	~	 •
002fi
которые дают
du
где g = kit + A — кц) f (t, u, to dujdz, fi). Показать, в частности, что если
/ = аи + flu3 + с cos tot,
то влияние, оказываемое на а0 изменением со, такое же, как и от изменения
а в уравнении C.7). Показать, ч'ю 1^1 может быть разрывно при непрерывном
изменении а.

ЗАДАЧИ	403
2. Рассмотрим систему
где А — постоянная матрица, функция / непрерывна по совокупности пере-
переменных (t, х) для малых |х| и всех t и периодична по t с периодом Т, функция
F непрерывна и периодична с периодом Т и ц — постоянная. Пусть производ-
производная /х существует для малых |х| и всех t и непрерывна по совокупности
переменных (t, х). Пусть уравнение у' = Ау не имеет решений периода Т.
Пусть fx(t, О) = О и пусть f(t, О) = 0. Доказать, что для малых ц существует
единственное решение tp = tp(t, /i) периода Т, которое непрерывно по совокуп-
совокупности переменных (t, /i) для всех / и малых |/и|. Показать, что tp(t, О) = О.
Указание. Использовать теорему 1.1.
3. В задаче 2 пусть функция / не зависит от t и, таким образом, имеет вид
/(х), и пусть F — почти-периодическая функция. Пусть матрица А не имеет
характеристических корней с нулевой действительной частью. Показать, что
для малых /I дифференциальное уравнение имеет единственное почти-периоди-
почти-периодическое решение <р = <p(t, /л).
Указание. е^= Щ1) + V2(t), где ^(fll <. Ke~at, t ^ 0, |S»,(Q| <,
<,K?at, t<.0. При помощи последовательных приближений показать, что
если г — с/D/С) и |^| <, eaj(AKM), где М — max |F(')I» то система i
со
9>@ = J Щ - s) /(9,E)) ds:+ Mg(f)	(*)
имеет решение. Здесь Щ) = V^t) для t > О, H(t) = — Ф2(() для t < О и
Показать, что Up{t, ^)| <, 4КМ\р[/о. В уравнении (*) g — почти-периоди-
почти-периодическая функция. Пусть L — почта-период для данного ij > О функции g, т. е.
\g(t + L) — g(t)\ < г]. Показать, исходя из уравнения (*), что \w(t + L) —
— ?>@1 < 4К»?/с и, значит, что ф — почти-периодическая функция. То, что
решение ^ единственно, следует из того факта, что каждое малое, равномерно
ограниченное решение дифференциального уравнения на интервале (—о°,°°)
есть решение уравнения (*).
4. Сформулировать и доказать аналоги теорем 3.1, 3.2 и 3.3 для случая,
когда матрица А в системе C.8) заменена периодической матрицей A(t) пе-
периода Т.
26*

Глава XV
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. ДВУМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим действительную линейную систему
где a, b,c,d — действительные постоянные, такие, что определи-
определитель ad — be отличен от нуля. Очевидно, что (xlt Xg) = @,0) — един-
единственная особая точка этой системы, т. е. единственная точка, где
правые части уравнений A.1) обращаются в нуль. Обозначим
матрицу коэффициентов системы A.1) через
Тогда система A.1) может быть записана в виде х' = Ах, где
X — (Х1? Х%).
Пусть матрица А имеет характеристические корни Я, ц. Эти
корни могут быть действительными или комплексными, но если
один из них комплексный, скажем X = a-\-iC {a,C — действи-
действительные, р Ф 0), то другой корень имеет вид /г = а — f/5, ибо коэффи-
коэффициенты характеристического уравнения для матрицы А действи-
действительны. Известно, что существует такая действительная неособая
постоянная матрица Т, что если у = Тх, то преобразованная система
у' = (ТАТ~г)у имеет действительную матрицу коэффициентов J =
= (ТАТ~г), которая имеет одну из следующих действительных
канонических форм:
(О (о 5) <Я^°)'	(») (о I)
(Ш) (J J) Aф0Л>0), 0V)
5) <^)'	() (о I) (Л<< или
J J) Aф0Л>0
Таким образом, изучая природу траекторий системы A.1) вблизи
точки @,0), можно предполагать, что матрица А имеет одну из
форм (I)—(VI).

§ 1. ДВУМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
405.
Прежде чем рассмотреть отдельно каждый из этих случаев,
условимся в следующих обозначениях. В общем- случае решение
двумерной системы
будет обозначаться через <р == (<ръ ср^ и. часто будет удобно рас-
рассматривать полярные функции q, со, соответствующие решению <р
ФII г. 3.
(I). Правильный узел, Л < 0.
и определяемые равенствами
Фиг. 4.
(I). Правильный узел, Я>0.
, со@ = arc tg
Следует подчеркнуть, что функции о, со определены по отношению
к частному решению у системы A.2) и, следовательно, являются
функциями t. Таким образом, функции о, со. следует отличать
от полярных координат г, в в (х1)х2)-плоскости; определенных
равенствами
так'же как координаты ср1г <р2 решения следует отличать от декарто-
декартовых координат хъ х2 в плоскости.
(I). В этом случае система имеет вид
Xj = A Xi,	Хй = я Xg
и поэтому, если (с1г с2) — любая точка, исключая @,0), решение,
проходящее через эту точку, имеет вид ^@ = схеи, ф2@ = с^еи.
Если А<0,Too(f)-^-0 при /->• + оо,иесли Я >0, то е(/)->• 0 при
/_,— оо. Траектория, проходящая через точку (си с2), есть открытая
полупрямая, проходящая через эту точку с конечной точкой в @,0).
См. фиг. 3 и 4, на которых стрелками указано направление роста /.
Этот тип особой точки называется правильным узлом1. Ее отличи-
отличительная особенность состоит в том, что каждая траектория
стремится к началу в определенном направлении при f -»- + °°
 В оригинале употреблены термины «proper node» и, ниже (см. стр. 406),
«improper node». В русской литературе правильные узлы чаще называют дикри-
тическими. — Прим. перев.

406
ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕЛ4
(для % < 0) или при t -> — со (для А > 0), и, как бы ни было
задано направление, существует траектория, которая стремится
к началу в этом направлении. Таким образом, начало (асимпто-
(асимптотически) устойчиво в случае X < 0 и неустойчиво, когда А > 0.
(II). В случае (II) система имеет вид
Х^ = л Х^ ,	Х2 = Ц Х% ,
и решение, проходящее через точку (съ с2) Ф @,0) при t = 0, имеет
вид qc1(/)==c1eAf, (pz(t) = с2е"'. Предположим, например, что ц < Я < 0.
Фиг. 5.
(II). Неправильный узел, ум
;я<о.
Фиг. 6.
(II). Неправильный узел, 0 -< /г <; А.
Тогда
, Фа@)
^0
»: @,0) при t-+ + ex., и если q ^ о, то 92@/W0 =
2/!)	при /-^+То- Если q = 0, ca=^0, то (Vl(t),
)=@, с2 e"f), что представляет собой открытую положительную или
отрицательную х2-полуось в зависимости от того, какое из неравенств
имеет место : с2 > 0 или с2 << 0. В этом случае начало называется
неправильным узлом1. Качественная картина траекторий показана
на фиг. 5 и 6. Здесь все траектории, исключая одну, имеют одно
и то же предельное направление в начале. Начало (асимптотически)
устойчиво в случае ц < К < 0 и неустойчиво, когда 0 < /л < А.
(III). В этом случае уравнения имеют вид
х[ = Я^, х2 = ухг + Ях2,
и легко видеть, что ^(О = ^е", cpz(t) = (с2 + c{yt)eu есть решение,
проходящее через точку (clt Cg) при t = 0. Предположим, например,
что Я < 0. Тогда при f->- + °° функции <рг и ср2 стремятся к нулю.
Если сгф0, то <p2@/?>i@ = сг/с1 -f yf->- ± °° при f->- ± оо. Если
Cj ^ 0, то cpz(t) ^ 0 для t положительных и достаточно больших,
и если q = 0, то (<fi@> ^2@) = @, с2ем), что дает траекторию, кото-
которая является х2-полуосью. Так же, если cx=f=O, то <?2@/<Fi@ —
= У/Я + v$)l<Pi(f) -»¦ ± °° при !f-+ ± со. Таким образом, все
траектории имеют одно и то же предельное направление в точке
@,0). В этом случае начало также называется неправильным
узлом. Характер траекторий намечен на фиг. 7 и 8.
1 См. примечание переводчика на стр. 405. — Прим. перев.

§ 1. ДВУМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
407
(IV). В зтом случае уравнения таковы :
Х^ = лХ-i, Х2 = [А Х2,
я решение имеет вид ^(t) = qeA', <p2(f) = с?ец\ где теперь Я < О,
/л > 0. Если |Я[ = \fi\, то траекториями будут равнобочные
Фиг. 7.
(III). Неправильный узел, Я < 0.
Фиг. 8.
(III). Неправильный узел, А>0.
гиперболы. В общем случае траектории подобны этим гиперболам;
см. фиг. 9. Здесь, если (clf с^ф @,0), то 9i@~»-0, а <р2@->- ± °°
в зависимости от того, какое из неравенств имеет место: с2 > О
яли с2 < 0. В этом случае начало называется седлом.
Фиг. 9.
(IV). Седло, Д < 0 < а».
= aXl + Px2,
(V). В этом случае
и решение, проходящее через точку (си с2) при f = 0, имеет вид
fiCO = eat (cicos /И + С2 sin /Й), 9>2@ = «"* (— Ci sin /3f + с2 cos /?0 -
Если go = ^ + с|» то эт0 решение может быть записано в виде
<Pi(f) = 6o^f cos (/5f — й), ф2@ = — еоеа' sin (fit — й), где cos д = Cl/?0
и sin «5 = с2/е„- Полярньши функциями е> ю для этого решения

408
Л. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
будут ?(/) = гоеа(, а@ = —fit + д и, следовательно, р = Ce-^l^,
где С = еое(а/да, что представляет собой спираль. В этом случае
начало называется фокусом. См. фиг. 10 и 11.
Фиг. 10.
(V). Фокус, а<0, /5<0.
Фиг. 11.
(V). Фокус, а > 0, /5 < 0.
(VI). Это — разновидность случая (V), где а = 0. В этой ситуации
решение, проходящее при / = 0 через точку (с17 с2), имеет вид
()	3	i 5 ()	i 5	/ft
= q cos
р
c2 sin /5/, q?2(f) =
sin
c2 cos
или, как
g() q	+ 2	q2()	q	2
и в (V), c(f) = g0, что представляет собой окружность радиуса
с центром в точке @,0). В этом случае начало называется центром;
см. фиг. 12 и 13.
хг
Фиг. 12.
(VI). Центр,
Фиг. 13.
(VI). Центр, $ > 0.
Из определения устойчивости легко видеть, рассматривая пре-
предыдущие шесть случаев (I)—(VI), что справедлива следующая
теорема. Фиг. 3—13. дают хорошее качественное представление об
устойчивости в каждом из этих случаев.
Теорема 1.1. Для того чтобы начало было устойчиво для си-
системы A.1), необходимо и достаточно, чтобы характеристические
корни действительной неособой матрицы коэффициентов А имели
отрицательные или нуле-зые действительные части.

§ 2. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ	409
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим теперь нелинейную двумерную действительную авто-
автономную систему ,	. , , ,, .
3 3 х[ = ахг + Ьх2 + Мъ, х2),
х2 = схг + dx2 + /2(xlf x2),
где a, b,c,d — действительные постоянные, ad — ЬсфО и fv /2 —
действительные непрерывные функции, определенные в некотором
круге с центром в начале (х1( Xg) = @,0) радиуса г0 > 0. Функции
Д и /2 называются возмущениями, и систему (НЛ) мы будем называть
возмущенной системой, соответствующей линейной системе
х[ = ахг + Ьх2, х2 == схг + dx2.	(Л)
Интуитивно ясно, что если возмущения Д и /2 «малы» в некотором
смысле, то можно ожидать, что поведение траекторий вблизи начала
в (х1г х2)-плоскости будет весьма походить на поведение траекторий
системы (Л). Мы покажем, что в общем это верно, если только функ-
функции flt /2 удовлетворяют некоторым минимальньш предположениям.
В дополнение к высказанным сделаем еще следующее предполо-
жение:	h = o{r), f2 = o(r) (приг-^0+).	B.1)
Это обеспечивает более быстрое стремление к нулю возмущений,
чем линейных членов, в (НЛ). Легко также видеть, что из этого
условия и из того факта, что ad — be Ф 0, следует, что начало есть
изолированная особая (или критическая) точка для системы (НЛ);
т. е. существует круг с центром в начале, такой, что в нем начало
является единственной точкой, в которой правая часть системы
(НЛ) обращается ь нуль. Изолированная особая точка, такая, как
начало для системы (НЛ) при ad — be Ф 0, называется простой
особой точкой.
Заметим, что из условий, наложенных на функции fx и /2, не
следует единственность решений системы (НЛ).
Один из наиболее важных методов изучения траекторий системы
(НЛ) состоит в использовании полярных уравнений, получаемых
из (НЛ) с помощью подстановки
хг = г cos в, х2 — г sin в,
а именно:
+ г cos в F^r, 6) + r sin в F2(r, в),
Г2в> = Г2 [CCOS20 + у _ a) cose sin в — b sin20] +
+ г cos в Fz(r, в) —г sin в Fx(r, в),
где
FAr>в) = Mr cos в ' r sin в) (¦' = 1 '2) •
Очевидно, если ср = fa, y2) — решение системы (НЛ), то полярные
функции (о, со) образуют решение полярных уравнений.

410	ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Прежде чем приступать к детальной формулировке и доказа-
доказательству результатов, уточним определения различных типов особых
точек. Если существует «5,0 < «5 <; г0, такое, что для каждой инте-
интегральной кривой (^@, <р2@) системы (НЛ), которая имеет хотя бы
одну точку в круге радиуса г, 0 < г < <5, решение существует на
/-полупрямой, и если (<pi@, <Рз(О) -*¦ Ф> 0) ПРИ *-->¦ + °° или —со,
то начало называется точкой притяжения для системы (Н Л). В случае
ft = /2 = 0 узлы и фокусы являются точками притяжения, в то
время как седло и центр не являются таковыми. Начало называется
узлом для системы (НЛ), если оно является точкой притяжения
и все траектории достигают начала в определенном (одном и том же)
направлении, и называется правильным узлом, если оно является узлом
и каждая полупрямая, проходящая через начало, касается некото-
некоторой траектории. Начало называется фокусом для системы (НЛ),
если оно является точкой притяжения, такой, что | co(t) \ —у + оо
при *-».+ оо или — оо, где ш(/) = arctg(<p2(O/<Pi(O) и (<Pi@> <р2@) —
любое решение системы (НЛ), которое входит в область 0 <С г < S.
Если существует последовательность периодических траекторий {Сп}
системы (НЛ), каждая из которых содержит внутри себя все следую-
следующие траектории и начало, таких, что Сп при п —у <=о стремится к
началу, то начало называется центром для системы (НЛ).
Следующая теорема есть частный случай теоремы 1.1 гл. XIII.
Теорема 2.1. Если начало является точкой притяжения для
линейной системы (Л), то оно является такой же точкой для не-
нелинейной системы (НЛ).
Теорема 2.2. Если начало является фокусом для линейной системы
(Л), то оно является такой же точкой для нелинейной системы
(НЛ).
Доказательство. По теореме 2.1, начало является точкой
притяжения для (НЛ). Полярное уравнение для функции 0 имеет
вид
Но г -»- 0 при t -*- + 00 (в случае а < 0). Таким образом, при
в' = -/5 + 0@,
и поэтому для каждого решения q> системы (НЛ), начинающегося
достаточно близко от начала,
Итак, ю@/*->- — /5 при /->• + оо, откуда следует, что co(t)->- ± со
при t-y + 00 в зависимости от того, какое из неравенств— /5 <0
или /5 > 0, имеет место. Это доказывает теорему.

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ УЗЛЫ И ПРАВИЛЬНЫЕ ФОКУСЫ	411
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ УЗЛЫ И ПРАВИЛЬНЫЕ ФОКУСЫ
Хотя точка притяжения системы (Л) переходит в точку притя-
притяжения системы (НЛ), в общем случае неверно, что узел переходит
в узел. Это иллюстрируется следующим примером, в котором пра-
правильный узел для (Л) переходит в фокус (НЛ). Рассмотрим систему
	, Х2=-Х2Н	^	. C.1)
Очевидно, что система C.1) удовлетворяет тем же условиям, что и
система (НЛ). Полярные уравнения, соответствующие C.1), имеют
вид
In г '
Таким образом, г = g(t) == се~* для некоторой постоянной с > 0 и,
следовательно,
Поэтому, ш@ = — In (/ — In с) -f К где
k = co(t0) + \n(t0-\nc).
Отсюда следует, что a{f)—>- — °° при t—>- -f ю и начало является
фокусом для системы C.1), хотя для соответствующей линейной
системы Xi = — xlt х^ = — х2 начало есть правильный узел.
Предыдущий пример показывает, что для того, чтобы узел для
системы (Л) переходил в узел для системы (НЛ), необходимо на
функции fv /2 наложить дальнейшие ограничения. В самом деле,
можно показать, что если функции /1( /2 удовлетворяют условиям
для системы (НЛ) и если, далее, /х = O(r1+B), f2=O(rl+e),r-^0,
для некоторого е > 0, то всякий раз, когда начало является пра-
правильным узло;и для (Л), оно является такой же точкой для (НЛ).
Этот результат представляет собой частный случай одного ре-
результата, который имеет место для фокуса (см. ниже следствие из те-
теоремы 3.1). Рассмотрим каноническую форму для системы (НЛ), в слу-
случае когда соответствующая линейная система имеет в начале фокус,
х[ = ахг + $хг + Д(х!, х2),
(пф0,рф0).	C.2)
х2 = - Рхг + ах2 + f2(xlt Xjj)
Для линейного случая
х[ = ах,. + /Зх2, х2 = — /Sxi + аха	C.3)
полярные уравнения таковы:
г' = аг, в' = — /3.
Если, например, и < 0, /3 < 0, то для каждой интегральной кривой
системы C.3) г=е(О^-Оиб = cj(t)-^ + со при t-+ + оо. Далее,
^«д? есть положительная постоянная, или, что то же самое,

•412 гл. xv. возмущения двумерных автономных систем
со -f (/S/a) In q = с для некоторой постоянной с. Наоборот, какова
бы ни была постоянная с, существует решение системы C.3), такое,,
что со + (/3/a) In q = с. Это подсказывает следующее определение.
Если a + i'/З, а — j/S (a =f= 0) — характеристические корни матрицы
коэффициентов
fa ЬЛ
\с й)
системы (НЛ), то начало тогда называется правильным фокусом
для (НЛ), когда оно является точкой притяжения, такой, что
для каждого решения, стремящегося к началу при t —>- -f сю (или
f _>. — оо), величина со -f- (/S/a) In g стремится при t -> -f оо (или
/->- — оо) к некоторой постоянной, и когда для любой постоянной
с существует решение системы (НЛ), для которого со -f (/S/a) In g —> с
при /-»--(- оо (или t ->¦ — оо). Если /3 = 0, то это сводится к опре-
определению правильного узла.
Следующий пример показывает, что фокус для системы (Л)
(который, разумеется, является правильным фокусом) может не
переходить в правильный фокус для системы (НЛ). Рассмотрим
систему
= — Х1 — Х2 + Щ (
Полярное уравнение, содержащее г', имеет вид
и отсюда следует, что функция г = g(/) удовлетворяет уравнению
ge* = go/(ln q — 1) с некоторой постоянной q0. Таким образом,
ge'->-0 при f->- -f °°, ибо р->0 при t ->¦ + оо. Пример C.4) заста-
заставляет поставить вопрос об условиях, налагаемых на функции
/1?/2 в (НЛ), при выполнении которых правильный фокус для
системы (Л) будет такой же точкой для системы (НЛ). Следующий
общий результат дает достаточное условие.
Теорема 3.1. Пусть функции fvf2 в системе (НЛ) удовлетво-.
ряют неравенству
!/,(*!, *2I < v((*f + AY12) 0 = 1,2),	C.5).
где у = ip(r) — непрерывная функция, определенная на интервале
0 < г <; г0 и такая, что при г->0
У(г) = о(г)	C.6)
'^-dr <оо.	C.7)

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ УЗЛЫ И ПРАВИЛЬНЫЕ ФОКУСЫ	413
Тогда, если начало является фокусом (или правильным узлом) для сис-
системы (Л), то оно является правильным фокусом (или правильным
узлом) для системы (НЛ).
При использовании более ограничительных предположений в
задачах 8 и 9 гл. XIII были получены более сильные результаты.
Доказательство теоремы 3.1. Можно предполагать,
что уравнения (НЛ) и (Л) имеют канонические формы C.2) и C.3)
и что а < 0, /3 < 0. Полагая в C.2) хх = rcos в, х2 = rsin 6, получаем
п' = аг2 + г cos в Д(г cos 0, г sin в) + г sin 0 /2(r cos 0, г sin в),
г2 в' = — /3r2 -f г cos 0 /2(r cos в, г sin в) — г sin в /x(r cos 0, г sin в).
C.8)
Из первого уравнения C.8) имеем
а отсюда следует, что не только каждое решение г = g(f), которое
начинается достаточно близко от начала, стремится к началу, но
что для каждого такого решения g' < 0 для достаточно больших t.
Поэтому если t достаточно велико, то г = g(t) — монотонная функ-
функция t и, таким образом, она определяет обратную функцию t — g(r)
(посредством тождества t = g(r(t))], которая вблизи начала г= О
монотонна, скажем для 0 < г < гх. Если в = a(f) — решение вто-
второго уравнения C.8), то определим й посредством равенства й(г) =
= a(g(r))> 0 < r ^ ri- Тогда очевидно, что в = а>(г) — решение
уравнения, получаемого из C.8) посредством формального деления,
. т. е.
*=F(r,B),	C.9)
где
и
Fjir, в) = ~- /2(r cos в, г sin в) - ^ Д(г cos 6, г sin 6),
F2(r, в) = ^ /х(г cos 0, г sin 0) + s-^ /2(r cos 6, r sin 0).
Уравнение C.9) может быть переписано в следующем виде :
где
рГг m _ Р^г, б) + rFJr, в±	(
ПГ, Щ - —ar{j ЦГЩг, в)) •	^А6>
Из C.5), (З.б) и C.11) следует, что если г достаточно мало, скажем
О < г <; г2, то
MJJ^	C.14)

414	ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
В силу C.14) и предположения C.7) интеграл
j F(r, 5(r)) dr (f = min (rlt ra))
о
сходится. Поэтому из C.12) получаем, что
г
S(r) + -? In г -»- S(f) + ? In г - J F(r, ?(r)) dr (r -> 0).
0
Из определения функции 5 имеем, что w(f) -f (/S/a) In g(/) -> cT
/->-+- oo; где с — постоянная.
Наоборот, пусть с — действительная постоянная и рассмотрим
интегральное уравнение
г
Ф(г) = c + §f(s, 0(s) - |- Ins) ds.	C.15)
0
Так как функция /-' удовлетворяет неравенству C.14) и функция
у) удовлетворяет условию C.7), то можно построить для уравнения
C.15) равностепенно непрерывную последовательность на некотором
интервале 0 <; г <; г3 так же, как это было сделано при доказатель-
доказательстве теоремы существования Каратеодори. Из этой последователь-
последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, которая
приводит к существованию решения Ф уравнения C.15). Пусть
S(r) = Ф(г) — (|S/a) In г. Тогда в силу C.15) в = ш(г) есть решение
уравнения C.12) и ясно, что
5(г) + — Inr->• с при г-уО.
Соответственно этому решению в = S(r) существует решение г = g(f)
первого уравнения C.8), такое, что е@~» при f->- + °°, и если
a(t) = S(o(f)), то пара (е@. «@) определяет решение системы C.2),
для которого a(t) + ф[а) In Q(t) ->- с при /-^-оо. Это завершает
доказательство теоремы.
Следствие. Заключения теоремы 3.1 остаются справедливыми
для системы (НЛ), если условия C.5) — C.7) заменить следующими:
некоторого е > G.
Доказательство. Выберем в теореме 3.1 ^>(г) = Сг'+%
где С — такая постоянная, что |Д| <Сг1+Е, |/2| <Сг1+в для всех
достаточно малых г. Очевидно, что C.6) и C:7) выполняются, и,
следовательно, заключение теоремы 3.1 справедливо.

§ 4. ЦЕНТРЫ	415
§ 4. ЦЕНТРЫ
Исследуем теперь случай, когда начало является центром для
системы (Л). Для того чтобы проиллюстрировать, что может слу-
случиться при переходе к возмущенной системе (НЛ) в этом случае,
рассмотрим пример
Эта система удовлетворяет предположениям для (НЛ), и полярные
уравнения, соответствующие системе D.1), таковы: г' — —г2 и
ь' = 1. Решение этой системы, проходящее при t = 0 через точку
(г0, €0), где г0 Ф 0, имеет вид
е@ = (* + f I, Ht) = t + 60
и поэтому g(f)->-0 и ю(/)-)-+со при г->+со. Следовательно,
начало является фокусом для системы D.1), хотя для соответствую-
соответствующей линейной системы оно представляет собой центр.
В действительности возмущенная система (НЛ) может быть
намного более сложной, чем приведенная в этом примере, причем
начало остается все еще центром. В качестве примера рассмотрим
систему:
X2/ S111 /T2 t -1-241/2
SIM (X2
Нелинейные возмущения имеют всюду непрерывные первые произ-
производные, и поэтому через каждую точку (с1У с2) =f= @,0) при t = О
проходит единственное решение. Полярные уравнения для D.2)
имеют вид
ж
г' = г3 sin —, 0' = 1 .
Окружности г = 1/л, п = 1,2,..., являются периодическими траек-
траекториями, представляемыми решениями ^(f) = l/n, 6(t) = t + в0, где
в0 — постоянная. Далее,
г'>0, г>1,
'/<°- -аг<г<айзт (т=1,2,...).
r'>0, J1
2m
Поэтому никакая траектория, кроме г = 1/п, не может быть периоди-
периодической и каждая непериодическая траектория остается полностью
внутри одной из областей г > 1,1/2т < г < 1/Bт — 1), 1/Bт + 1)<
< г < 1/2т, т = 1, 2,... . Так как функции g и« монотонны при
t ->- _(- оо F ->- + оо), то эти непериодические траектории либо

416	ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
должны стремиться к окружностям г = \\п при f^-+oo или
t->¦ — оо, либо же р->- -f- оо в случае г > 1. Таким образом, начало
для системы D.2) является центром.
Примеры D.1), D.2) исчерпывают возможности для систем (НЛ)
в том случае, когда начало является центром для линейной системы
(Л). В самом деле, имеет место следующая
Теорема 4.1. Если начало является центром для системы (Л),
то оно является либо центром, либо фокусом для систем (НЛ).
Доказательство. Каноническая форма рассматриваемых
уравнений такова:
у' — -1- Яг -4- / (х Y \ х' — 	fir 4- f (у х \	(Л"\\
и
Предположим, что /5 < 0 ; в противном случае ( и — t меняются
ролями.
Полярные уравнения для D.3) дают
г' = о(г), 6' = - /3 + оA) (при г -+ 0).	D.4)
Из D.4) следует, что если <р — решение системы D.3), начинающееся
при t = 0 достаточно близко от начала, то его полярные функции
r=Q(t), G = co(t) удовлетворяют для любых достаточно малых
в > 0 и ?0 > 0 при t > 0 неравенствам
Поэтому р > 0 для всех конечных t > 0, для которых эта функция
существует, и и — монотонная функция t. Обозначим обратную
функцию для а через h, т. е. t = hF), и определим q посредством
равенства qF) ~ o(hF)). Тогда функция г — 1F) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
% = F(r,6),	D.5)
где
р, „. 		cos 6 Д(г cos в, г sin 6) + sin в /2(r cos в, г sin в)
V' > ~ ~/5 + (cos б/г) /2(r cos в, г sin б) - (sin б/г) /x(r cos 0, г sin б) -
Наоборот, если г = ?>@) — решение уравнения D.5), начинаю-
начинающееся достаточно близко от начала, то полярное уравнение для в
будет давать решение в = a(t), которое монотонно по /. Тогда если
g(f) = g(«@), то пара (g(f), co(f)) порождает решение системы D.3),
начинающееся вблизи начала.
Из этих рассуждений следует, что для того, чтобы изучить пове-
поведение решений системы D.3) вблизи начала, достаточно изучить
. поведение решений уравнения D.5). Функция F непрерывна по
совокупности переменных (г, в) в некотором круге 0 < г < гх (гг > 0),
F(r, 6 + 2 п) — F(r, в) и F(r,e) = o(r), r-»-0, равномерно по в.
Эти факты не гарантируют единственность решений уравнения D.5).

§ 4. ЦЕНТРЫ	417
Пусть г2, 0 < г2 <^ гх, и 7} > О даны, и положим М = max \F\
для О < г <^ г2. Тогда на основании локальной теоремы существо-
существования существует круг 0 <, г <_ г2/2, такой, что если точка (е0, 0О)
лежит внутри этого круга, то уравнение D.5) имеет решение
г = ~е(Р), Кво) = Qo, которое существует для 0<, \в — 0О| <,
<^ min B п 4- 7J, г2/2М) и остается внутри круга 0 < г < г2. Более
того, из соотношения F = o(r), г ->- О, следует, что если г2 выбрано
достаточно малым, то г2/2УИ > 2я -f Ч- В этом случае функция е
существует на интервале О <С |б — бо| <! 2тг -|- V и остается внутри
интервала 0 <; г < г2.
Пусть- начало не является центром. Тогда, уменьшая в слу-
случае необходимости г2, получаем, что в круге г < г2 не существует
периодических траекторий. Рассмотрим снова решение г = ?@),
проходящее через точку (q0, в0). Тогда либо еF0 + 2л) < дF0), либо
ё(б0 + 2л) > ,з(е0). Не ограничивая общности, достаточно рас-
рассмотреть только первый случай. Если разность qF) — qF + 2л)
обращается в нуль при возрастании в, то в круге г < г2 существует
периодическая траектория. Таким образом, f"E) > qF -f 2я) для
б ;> 0О. Так как последовательность {qF0 +' 2тг/с)}, ^ /с = 0, 1, ...,
монотонно убывает и положительна, то она имеет предел г. Если
г = 0, то д(Ь) ->¦ 0 при в ->¦ оо. Если г > О, то пусть ё(б0 + ^ + %л.к) —
= ёл(^). Так как |de/rf6| < Af, то наша последовательнос'ть {fo}
равностепенно непрерывна на интервале [О, 2ж ]. Очевидно, Qk@) ->¦ г
и дкBл)—>-г при к—>- оо. Таким образом, существует подпоследова-
подпоследовательность последовательности {@к}, сходящаяся к решению q
уравнения D.5), и g@) = qBti) = г. Значит, это решение периодично,
что противоречит предположению о том, что для г <^г2 нет периоди-
периодических траекторий. Итак, г = Ои ?@)->-О при 0->- со.
В случае когда через каждую точку проходит только одно реше-
решение, это завершает доказательство. В общем случае рассмотрим
нижнее и верхнее решения уравнения D.5), дт и дм, проходящие
через точку (е0, в0). Очевидно, что дт приближается по спирали к
началу при возрастании 0, ибо q обладает этим свойством. Предпо-
Предположим, что qm не ведет себя так. Тогда
ём(в0 + 2п)
и
~Qm(G0 + 2л) < ёт(в0) = ео = qmF0) < ёмФо + 2л).
Таким образом, в силу следствия из теоремы 1.3 гл. II должно суще-
существовать периодическое решение, проходящее через (q0, 0о), что про-
противоречит предположению. Итак, все решения, проходящие через
точку (q0, 0o), приближаются по спирали к началу при возрастании 0.
Решения, проходящие через любую точку вблизи начала, должны
накручиваться на него при возрастании 0, ибо в противном случае
должно было бы существовать решение q, которое раскручивалось
бы при возрастании в. Рассмотренное выше верхнее решение qm
27 182.

418	ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
должно пересекать это решение, т. е. должно существовать вх > 60,
такое, что'
9л$д = ё@! + 2кп)
для некоторого целого к. Рассмотрим теперь решение ё0, где
Это решение, проходящее через точку (д0, в0), очевидно, превосходит
5м(Ь) при 6 > ev что противоречит определению верхнего решения.
Таким образом, решения g существовать не может и все решения
накручиваются на начало при возрастании в. Теорема доказана.
§ 5. НЕПРАВИЛЬНЫЕ УЗЛЫ
Рассмотрим случай, когда начало является неправильным узлом
типа (II) для линейной системы (Л), и предположим для упрощения,
что система в канонической форме имеет вид
х'х = }.хг, x'2 = fix2 (р<Л<0).	E.1)
Тогда нелинейная система (НЛ), соответствующая E.1), имеет вид
х[ = ?.хг + /^Хх, х2) 4 = № + /2(*i> хг).	E-2)
и следующая теорема показывает, в какой мере геометрия траекто-
траекторий системы E.2) сравнима с геометрией траекторий системы E.1).
Результаты задач 5 и б гл. XIII тесно примыкают к этой теореме
и включают предложение (с).
Теорема 5.1. (а) Каждая траектория системы E.2) вблизи на-
начала стремится к началу и имеет предельное направление, которое
образует с положительной хх-полуосью угол 0, п/2, п или 3 п}2.
Кроме того, существует бесконечно много траекторий, стремя-
стремящихся к началу под углами 0 и п.
(b)	Существует по крайней мере одна траектория, стремящаяся
к началу под углом Щ2, и по крайней мере одна — под углом Зтг/2.
(c)	Если производные df-Jdxv dfj^ существуют и непрерывны
для 0 < г <, г0, то существует точно одна траектория, стремя-
стремящаяся к началу в направлениях л/2 и Зтс/2.
Доказательство утверждения (а). Из теоремы 2.1
следует, что начало является точксй притяжения длясистемыE.2).
Поэтому существует 8, О <С <5 < г0, такое, что каждая интегральная
кривая, начинающаяся в круге 0 < г < 6, существует при (;> t0
для некоторого t0 и стремится к началу при t-> -|- со. Из E.2)
следует, что для каждого решения, начинающегося в круге 0 < г < д,
г20' = Си -I) г2 cos в sin 6 + о(г2) (г-*0),
или	0' = ^^sin20 + o(l) (r-»-0).	E.3)

§ 5. НЕПРАВИЛЬНЫЕ УЗЛЫ	419
Для любого ?, 0 < ? < ж/А, рассмотрим области
7\: \Ъ\<,е,	Т2: \в -:
Тч: 0-
1 з
2
На прямой 6 = е величина sin 2e положительна и, следовательно,
по E.3), Ь' < 0 на ней, если г достаточно мало. Аналогично в' > О
на прямой 6» = — е, если г достаточно мало. Таким образом, если г
достаточно мало, то каждая траектория, начинающаяся внутри Тх,
не может выйти из области Тх. Аналогичные рассуждения пока-
показывают, что это утверждение верно и для области Т2. С другой
стороны, если г достаточно мало, то траектории на границах областей
Т3 и Г4 направлены вне этих областей. Таким образом," каждая
траектория, начинающаяся вне областей Т3 и Ть не может войти
внутрь Та или Т4. Пусть число бх<^6 настолько мало, что траекто-
траектории, начинающиеся внутри круга 0 < г <^ дх, ведут себя так, как
было описано выше.
Очевидно, что, для того чтобы траектория приближалась к
началу под углом тс, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
е, 0 < е < я/А, существовало U, такое, что для всех t ;> U траектория
будет лежать в области 7\ (соответствующей этому е). Заметим, что
траектория приближается под углом ж, если она приближается
вдоль положительной х^полуоси.
Покажем теперь, что если траектория С начинается внутри круга
О < г <^ 61г то она стремится к началу под углом 0, ж/2, ж .или Згс/2.
Предположим противное. Тогда для некоторого е0> 0 < е0 < ж/А,
траектория С не лежит в областях Тх, Т2, Ts или Т4 (соответствую-
(соответствующих е0). Предположим, например, что С лежит в области S : е0 <
< в < ж{2 — е0. Тогда она в конце концов войдет в область 7\.
В самом деле, допустим, что это не так. Тогда С остается
в S для всех достаточно больших t. Но в S в силу E.3)
6'<[0и—*)/4]sin 2eo<0. Итак, если С = — [(/* — Д)/4] sin 2e0, то
траектория С должна оставить S и войти в Тх на f-интервале, мень-
меньшем эт/B?). Это является противоречием, а следовательно, траекто-
траектория С входит в область 7\ для каждого е и, таким образом, стре-
стремится к началу под углом ж. Аналогичные рассуждения справед-
справедливы, если С находится в любой области, отличной от областей
7\, Т2, Т3 или Т4. Это завершает доказательство утверждения (а).
Доказательство утверждения (Ь). Пусть е > О
и пусть сектор ОАВ ограничен радиусами ОВ и О А, выходящими
из начала О под углами (эт/2) — ? и (w/2) -\- e соответственно, и
пусть радиус сектора достаточно мал, так что в этом секторе г есть
убывающая функция t. Так как г — монотонно убывающая функ-
функция /, то система E.2) в этом секторе может быть заменена уравне-
уравнением первого порядка dp/cfr = F(r, 6). Рассмотрим множество точек
S на дуге АВ, обладающее тем свойством, что все решения урав-
уравнения dd/dr = F, исходящие из точек АВ слева от любой точки S,
27*

420	ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
выходят из сектора ОАВ, пересекая открытый радиальный интервал
О А. Точки S образуют интервал AQ, который не включает точек,
близких к точке В. Покажем теперь, что S не содержит конечную
точку Q интервала, т. е. что интервал AQ справа открыт. В самом
деле, предположим, что все решения, выходящие из Q, пересекают
открытый интервал О А. Тогда, в частности, нижнее решение будет
обладать этим свойством. Таким образом, по теореме 1:4 гл. II,
нижнее решение для близких точек, лежащих справа от Q, будет
пересекать О А. Для верхнего решения функция 0 не меньше, чем
для нижнего, и, таким образом, верхнее решение наверное пере-
пересекает О А. Итак, все решения, начинающиеся в точке Q и во всех
точках, близких к Q, будут пересекать О А, что невозможно по
определению точки Q.
Так как верхние решения непрерывны сверху, то верхнее реше-
решение, выходящее из точки Q, пересекает О А или остается в секторе
ОАВ. Нижнее решение не пересекает открытый интервал ОА.
Если нижнее решение не стремится к точке О в секторе ОАВ, то
оно пересекает открытый интервал ОВ. Пусть верхнее решение,
выходящее из точки Q, пересекает О А в точке С, а нижнее решение —
ОВ в точке D. Пусть точка Аг лежит на О А ближе к О, чем С, и Вх
на ОВ лежит ближе к О, чем D, и пусть ОАХ = ОВХ. Рассмотрим
сектор ОАхВг. Проделаем с дугой АХВХ то же, что и выше с АВ.
Пусть точка, соответствующая точке Q на этой дуге, обозначена
через Qv Рассмотрим' решения уравнения ddjdr = F, выходящие
из Qv при возрастающих г. Они не могут пересекать О А или ОВ.
Таким образом, они должны оставить сектор ОАВ после первой
встречи с решениями CQ или DQ. Но решение, которое встречает
CQ в точке К, отличной от Q, может быть продолжено как решение
вдоль CQ от К до Q ; аналогично обстоит дело для решений, встре-
встречающих DQ. Таким образом, существует по крайней мере одно
решение уравнения dO/dr = F, которое идет из Q в Qx. Таким же
образом существует точка Q2 на дуге Л2В2, расположенной ближе
к О, и решение, идущее из Qx в Q2, а значит, и из Q в Q2. Это решение,
очевидно, может быть бесконечно продолжено по направлению к О.
Таким образом, линия QQXQ2 ¦ ¦ ¦ есть решение, которое стремится
к О. Так как в близко к л/2 в секторе ОАВ, то из предложения (а)
ясно, что решение стремится к О под углом Зя/2 с положительным
направлением х^оси при t-*-<x>.
Доказательство утверждения (с) будет дано для
случая Зтг/2. Для каждой фиксированной интегральной кривой
(<Pi> «РгХ стремящейся к началу под углом Зтг/2, ffij/<p2 ->¦ 0, и, таким
образом, из уравнений E.2) следует, что <??/«.— А* + °A) ПРИ
t-> -f °°- Итак, <р'2 < 0 для <р2 > 0 при всех достаточно больших t,
и, следовательно, функция х2 = <р2@ может быть введена как новая
переменная. Пусть точка над символом обозначает дифференциро-
дифференцирование по х2.
Предположим, что существуют две различные траектории, стре-
стремящиеся к началу под углом Зл/2 при t ->- + °° • Пусть соответствую-

§ 6. СЕДЛА	421
щие траектории представлены для всех достаточно больших t урав-
уравнениями хг = 1рх(х2), хг = у>г(х2). Очевидно, ipj{x2)/x2-*0 при х2->0 + .
Из E.2) следует, что
и после вычитания, если у = трг — у>2, что
[Я у2(х2) + /i(y2fe), x2)] [/2(у(ха), х2) - /2(ух(ха), х2)]
В силу теоремы единственности у> ф 0 и, таким образом, без всякого
ограничения общности можно предполагать, что ц> > 0. В силу B.1)
производные Э/,/9ху равны нулю в начале. Очевидно,
fi(Wi(x2), х2) - /,(Y>2(x2)> ^2) = V(xz) '^ (f „ х2),
где ^2(^2) < f с < VifeX и так как 9A/9xi -*¦ ° ПРИ г -* °> то из E-4)
следует, что
^	E.5)
Поэтому, если х2 достаточно мало, то x2ipjtp < у < 1 для у >
а значит
E.6)
где сх > 0 — постоянная. Из E.6) теперь следует, что ip(xz)/x2
->.-(- °° при х2 —»- 0, а это противоречит тому факту, что
при х2->-0. Это доказывает, что существует в точности одна траек-
траектория, стремящаяся к началу под углом Зл/2.
Случай, когда линейная система (Л) имеет неправильный узел
типа (III), может быть рассмотрен таким же образом и предостав-
предоставляется читателю. Этот случай разбирается также в задаче 10 гл. XIII.
§ 6. СЕДЛА
Для случая седла в начале пусть уравнения (НЛ) и (Л) имеют
соответственно канонические формы :
х[ = Ххг + ^(хъ х2), х2 == fix2 + f2(xlt х2)	F.1)
и
х'г = Ъсг, х'2 = рх2,	F-2)
где А<О<уа. Тогда геометрия траекторий системы F.1) вблизи
начала описывается следующей теоремой. Эта проблема разбирается
также в задаче 7 гл. XIII.

422	ГЛ. XV. ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Теорема 6.1. (а) Существует хотя бы одна траектория, стре-
стремящаяся к началу под каждым из углов 0 и п.
(Ь) Если, далее, производные df-Jdx^ Э/2/Эх2 существуют и непре-
непрерывны для О <; г <; г0, то существует в точности одна траек-
траектория, стремящаяся к началу под каждым из углов 0 и п. Каждая
траектория, начинающаяся достаточно близко от каждой из этих
траекторий в окрестности начала, при t ->¦ + оо удаляется от них.
Доказательство существования траектории, стремящейся к на-
началу в секторе |0| <; е, очень похоже на доказательство утвержде-
утверждения (Ь) теоремы 5.1. Эта траектория должна стремиться к началу
с предельным углом касания тг, ибо из F.1) имеем
e = ^Zsin2e + o(l) (r->0),
так что в = a(t) может оставаться в секторе |0| <; е только тогда,
когда ш@->0 при /-»-+ оо.
Чтобы доказать утверждение (Ь), можно использовать метод
доказательства утверждения (с) теоремы 5.1, внеся в него лишь
небольшие изменения.
Задачи
1.	Определить и классифицировать особые точки систем
х[ = х2, х'2 = —ах2 — Ь sin хх	A)
и
х[ = х2, х; = аA -х|) х2 — 6хх,	B)
где постоянные а и 6 удовлетворяют условиям а ;> 0 и 6 > 0.
2.	Пусть
*/ = Р](Хи хО + /Х^Л) U = 1. 2),	(*)
где Р] — однородные многочлены степени т > 1 и fj = o(rm) при г —> 0, где
г и 6 — полярные координаты. Предположим, что все решения системы (*),
начинающиеся вблизи начала, стремятся к началу при t —> оо. Пусть QF) =
= (xxP2—х2Р1)/гт+^- и предположим, что функция Q не равна тождественно
нулю. Показать, что если в = co(t) — решение, то либо a>(t) стремится при t —> <*>
к конечному пределу, либо to(t) _» + °° (или — оо) при t
Указание, deidt = rm~iQF) + ^1)

Глава XVI
ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Пусть /= (/1;/2)— действительная непрерывная вектор-функция,
определенная на ограниченном открытом подмножестве D действи-
действительной (х1( х^-плоскости, и рассмотрим двумерную автономную
систему:
хг ~ /i(xi> хё > Х2 = tsfan xz) [' = ^) •	(О
Всюду в этой главе будет предполагаться, что функция / удовлетво-
удовлетворяет высказанным условиям и что, далее, для каждого действитель-
действительного t0 и каждой точки (I, rj) е D существует единственный вектор-
решение <р = cp{t, I, rj) системы (С) с компонентами <рх, <р2, такой, что
<Pi(*o> ?» *?) = ?> Рг^о» ?> *?) = *?• Мы пользуемся обозначением (p(t, I, rj),
которое не содержит явно t0, ибо решение системы (С), проходящее
через точку (I,»?) и рассматриваемое как кривая в (хъ х2)-плоскости,
не зависит от t0. Если решению cp(t, I, rj) соответствует t0 = 0, то
(для того же <р) <p(t — f0,1, »j) есть решение, проходящее при t — t0
через точку (I, rj).
В силу теоремы 4.3 гл. II предположение, что решение <р един-
единственно, достаточно, чтобы гарантировать непрерывность решения
<р по совокупности переменных (t, I, rj) для всех t, для которых
функция ф определена, и для всех (I, rj) e D. Это замечание суще-
существенно для многих последующих рассуждений. Достаточные усло-
условия для существования и непрерывности решения <р даны в теореме
7.1 гл. I.
Точка области D, в которой обе функции fx и /2 обращаются в
нуль, называется особой точкой. Точка Д которая не является особой,
называется регулярной точкой.
§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИИ
Предположим, что С+ (или С~) — полутраектория для системы
(С), которая представляет решение <р, определенное при всех t ;> /0
(или t <, t0) для некоторого t0. Иными словами, С+ (или С~) есть
множество всех точек P(t) множества D с координатами (tpjft), <p2@)>
где *0 <. * < + °° (или — °° < t<L to)- Точка Q (xl7 х2)-плоскости
называется предельной точкой для С+ (или С~), если существует

424	ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
последовательность действительных чисел {tn}, п = 1, 2,..., где
tn-^ + oo (или tn-> — со) при /г->оо} такая, что P(fn)->Q при
п->оо. Множество всех предельных точек полутраектории С+
(или С~) обозначается через L(C+) [или ЦС~)], и эти множества
называются предельными множествами. Если С —полная траектория,
то ее можно рассматривать как сумму положительной полутраекто-
полутраектории С+ и отрицательной полутраектории С~. Соответствующие
предельные множества L(C+) и L(C~) будут обозначаться через
L+(C) и L~(C) соответственно, и множество всех предельных точек
С, именно L+(C) U L~(C), будет обозначаться через L(C).
Качественные геометрические результаты, относящиеся к реше-
решениям системы (С), которые здесь будут изложены, непосредственно
следуют из досконального исследования этих предельных множеств
для случая полутраектории, которая остается внутри некоторого
компактного подмножества К множества D. Это исследование при-
приводит к одной из немногих весьма общих теорем (теорема Пуанкаре—
Бендиксона), которая утверждает существование периодических
решений для (нелинейной) системы дифференциальных уравнений..
В дальнейшем под траекторией всегда подразумевается траектория
системы (С).
Теорема 1.1. Если С+ — положительная полутраектория, со-
содержащаяся в замкнутом подмножестве К множества D, то L (С+)
представляет собой непустое, замкнутое и связное множество.
Доказательство. Пусть полутраектория С+ представля-
представляется посредством решения <р = (<рх, <р2) для t ;> t0. Тогда бесконечное
множество точек Рп: (<Pi(*0 + Q, y2(t0 + Q), n = 1, 2,..., tn -> °o,
содержится в ограниченном множестве К, и, следовательно, эта
последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к
точке, которая должна принадлежать К, ибо К замкнуто. Поэтому
ЦС+) не пусто и ЦС+) ? К.
Чтобы доказать, что ДС+) замкнуто, обозначим через Q предель-
предельную точку множества L(C+). Тогда существует последовательность
точек Qn e L(C+), п= 1,2,..., такая, что d(Qn, Q)->- 0 при п -*¦ <х>,
где d(Qn, Q) обозначает расстояние между точками Qn и Q. Для
каждой точки Qn существует tn~>n,такое, что (!(($$„), q>Jtn), Qn)<
< I/п. Поэтому, каково бы ни было е > 0, существует целое число
Ne, такое, что <%>&„), (р?п), Qn) < е/2 и d(Qn, Q) < е/2 для л >Ж.
Отсюда следует, что ^(^(fn),^^). Q) < ? Для п > N* или что
QtL(C+), ибо /п->оо при п->оо.
Предположим, что множество ЦС+) несвязно. Тогда существуют
два непустых непересекающихся замкнутых множества М, N, таких,
что L(C+) есть сумма М и N, т. е. L(C+) = MUN. Так как оба мно-
множества М и N ограничены, то они должны находиться на положи-
положительном расстоянии1 8 друг от друга. Так как точки множеств М
1 Если S1n S2 — два множества точек, то d(Slt S2) = inf d(Pu P2), причем
нижняя грань берется для всех точек Pte S1nPzt S2.

§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИИ	425
и N являются предельными для С+, то существуют сколь угодно
большие t, такие, что расстояние точек P(t) от М меньше 6/2, и сколь
угодно большие t, такие, что расстояние точек P(f) от М больше 6/2.
Так как расстояние d(P, М) произвольной точки Р до М есть непре-
непрерывная функция Р и так как координаты точки P(t) являются непре-
непрерывными функциями t, то должна существовать последовательность
{tn}, tn -> °° при п -> оо, такая, что d(P(tn), M) = 6/2. Последова-
Последовательность точек {P(tn)}, будучи ограниченной, должна содержать
подпоследовательность, сходящуюся к точке Q, которая должна
быть предельной точкой для С+. Следовательно, Q е ЦС+) и, оче-
очевидно, d(Q, М) = 6/2. Но отсюда следует, что Q не принадлежит ни
. М, ни JV, ибо	.
d(Q, N) ^ d(N, М) - d{Q,M) = |,
а этот результат противоречив, так как, по предположению, L(C+) =
= MUN. Таким образом, теорема доказана.
Теорема 1.2. Пусть С+ — положительная полутраектория,
содержащаяся в замкнутом подмножестве К множества D, и пред-
предположим, что множество L(C+) содержит регулярную точку Q.
Тогда траектория CQ, проходящая через точку Q, существует как
полная траектория и Cq Q ЦС+).
фиг 14
Доказательство. Полезно обратиться к фиг. 14. Пусть
точка Q имеет координаты (I, rj) и пусть траектория С+ представ-
представляется решением <р = (фх, q>2) для t ^ /0. Далее, <р — функция
начального положения, и, значит, если
при / = /0, то ф = cp{t, i, rj). Из определения точки Q следует, что
существует последовательность {tn,} tn^-oo при п-> °°, такая,
что точки Рп, координаты которых являются компонентами вектора
Ч#п, ?,п), обладают тем свойством, что Pn->Q при л->оо. дЛя
кривой, проходящей через точку Рп, можно заново выбрать пара-
параметр так, что Рп будет задаваться компонентами вектора <р@, ?П) »?„),
где Рп : (?„, »?„). Таким образом, cp(t, ?т уп) = ^(t + tn, I,»?).
Траектория Cq задается вектором cp(t, i, ?]), причем точка Q опре-
определяется вектором <р@, g, i]). Таким образом, если Q — точка CQ,
то ее координаты являются компонентами вектора (p(t, I,»?) для

426	ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
некоторого L Из того факта, что решение <р непрерывно зависит от
начальных условий, следует, что cp(t, ln> r)n) ->g;(f,|, fj) при п->оо,
ибо Рп -> Q. Но это то же самое, что и соотношение <p(i + tn, I, if) ->¦
-> (f, f, ?j), и отсюда следует, что Q e L(C+), ибо f + fn -> 00 при
п->оо. Таким образом, CQ <~L(C+) <^К, и в силу известных
соображений продолжения отсюда следует, что Cq должна быть
полной траекторией.
Если Q — произвольная регулярная точка множества ЦС+),
где С+ — любая полутраектория, удовлетворяющая условиям
теоремы 1.2, то траектория Cq, проходящая через Q, называется
предельной траекторией для С+. Таким образом, теорема 1.2 гласит,
что множество L(C+) состоит из особых точек и предельных траек-
траекторий.
§ 2. ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
В этом параграфе всегда будет предполагаться, что полутраекто-
полутраектория С+ содержится в замкнутом подмножестве К множества D.
Если множество ЦС+) имеет только регулярные точки, то опи-
описание ЦС+) дается теоремой Паункаре—Бендиксона, которая
утверждает, что множество ДС+) само является в этом случае
периодической траекторией. Точнее, справедлива
Теорема 2.1 (Теорема Пуанкаре—Бендиксона). Пусть С+ —
положительная полутраектория, содержащаяся в замкнутом под-
подмножестве К множества D. Если множество L(C+) состоит
только из регулярных точек, то либо
(i) полутраектория C+t(= L (C+)) является периодической траек-
траекторией, либо
(п) множество L(C+) является периодической траекторией.
Если имеет место случай (и), то предельная траектория ДС+)
называется предельным циклом. В этом случае полутраектория С+
действительно «закручивается» около множества L(C+) в некотором
смысле. Это будет показано в § 3.
Чтобы доказать эту важную теорему, введем одно вспомога-
вспомогательное понятие. Конечный замкнутый сегмент / прямой линии в
(х1г Хз)-плоскости называется трансверсалью относительно функции /,
если каждая точка I регулярна и если направление, определяемое
функцией / в каждой точке I, отлично от направления /. Свойства
трансверсали, которые понадобятся для доказательства теоремы 2.1,
сформулированы в леммах 2.1 и 2.2.
Лемма 2.1. (а) Каждая регулярная точка (xv x^ множества
D является внутренней точкой трансверсали, которая может
иметь любое направление, исключая направление вектора /(х1? х2).
(Ь) Каждая траектория, которая встречает трансверсалб,
должна пересекать ее, и все такие траектории пересекают ее в
одном и том оке направлении.

§ 2. ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ— БЕНДИКСОНА	427
(с) Пусть Ро е D — внутренняя точка трансверсали I. Для
любого е > 0 существует круг Се с центром в Ро, такой, что каждая
траектория, проходящая через внутреннюю точку Се при t = 0,
пересекает I при некотором t, \t\ < e.
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) легко следуют
из определения трансверсали и того факта, что функция / непрерывна
в точке (хг, х2).
Для доказательства утверждения (с) положим, что точка Ро
имеет координаты (?0, %) и что точки трансверсали I удовлетворяют
уравнению ахг + Ьх2 + с = 0. Существует круг с центром в Ро,
который содержит только регулярные точки функции /. Решение
<р, проходящее через произвольную регулярную точку (f, 17), лежа-
лежащую вблизи Ро при t == 0, непрерывно относительно совокупности
переменных (t, f, rj) на некотором открытом множестве, окружаю-
окружающем точку (О, ?0, %). Пусть L(t, I, rj) = axp^t, f, rj) + %2(f, f, rj) + c,
где <p = fax, <p2). Тогда L(O,fo,%) = O и (dL/dt) @, |0, %) ^= 0.
Поэтому, по теореме о неявной функции, существует непрерывная
функция t = t(i, rj), определенная в некотором круге С с центром
в точке (?0, %) и удовлетворяющая соотношениям f(f0, %) = 0 и
Z(f(|, rj), I, »7) = 0. Кроме того, так как функция / = t(S, ц) непре-
непрерывна в точке (?0, г]0), то для каждого е > 0 существует круг Се
с центром в точке (?0%)> такой, что |f(f, rj)\ < e внутри Се. Поэтому
траектория, проходящая через любую точку (f, rj), лежащую внутри
Се при t = 0, будет пересекать / при f = f(|,»?) и |f(|, rj)\ < е.
Лемма 2.2. Если конечная замкнутая дуга А траектории С
встречает трансверсалъ I, то она ее встречает в конечном числе
точек, порядок которых на дуге А совпадает с их порядком на I.
Если С — периодическая траектория, то она встречает I только
в одной точке.
Доказательство. Если <р — решение, представляющее С,
то точки дуги А имеют вид P(t): (^@, <Pz(f)), '"< t<, t для некото-
некоторых конечных t и t. Если дуга А встречает / в бесконечном числе
различных точек Рп = P(tn), то различные tn будут иметь предельную
точку i на интервале t <; t <; i. Таким образом, существует подпосле-
подпоследовательность последовательности {tn}, которая также может быть
обозначена через {fn}, такая, что tn~>i, п->оо. Тогда Р„->(? =
= Р@, л -* о», но (<p(tn) - <р(ЬI«п- 6— шЬ> jpM при " -»- °°»
и так как отношение (<p2(tn) — q:z(i))l(^i(tn) — <PiF) равно постоян-
постоянному наклону трансверсали /, то / имеет то же направление, как и I,
в точке Q, что является противоречием. Таким образом, дуга А
должна встречать I в конечном числе точек.
Пусть теперь Рг = Р(/х) и Р2 = Р(*2) — две последовательные
точки пересечения Acl, где /х < /2 (см. фиг. 15 и 16). Предположим,
что точка Рг отлична от Р2. Тогда кривая J, состоящая из откры-

428
ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
той дуги А, идущей от Рг до Р2 и обозначаемой через РгР2, и замкну-
замкнутого прямолинейного интервала /, идущего от Р2 до Рх и обознача-
обозначаемого через P2Pi, является кривой Жорданой; она, следовательно,
разделяет плоскость на две части1. Поэтому точки Q е С для достаточно
близких к fx значений t < tx и точки R е С для достаточно близких
к t2 значений t > t2 лежат по разную сторону от J (см. фиг. 15 и 16).
Возможны два случая в зависимости от того, лежат ли точки R
Ф и г. 15.
Фиг. 16.
внутри J или вне J. Предположим, что имеет место первый случай
(фиг. 15); второй случай может быть рассмотрен аналогично-
Тогда для того, чтобы траектория С была вне J при t > t2, С должна
пересекать J. Но она не может пересечь дугу Рг Р2 в силу единствен-
единственности и не может пересечь интервал Р2 Рг в обратном направлении.
Следовательно, траектория С остается внутри J для t > t2. Таким
образом, очевидно, что ближайшее пересечение Р3 (после Р2) траек-
траектории С с трансверсалью / находится внутри J и отлично от Рв.
Итак, точка Р2 лежит между Рг и Р3 на трансверсали /.
Если Рх совпадает с Р2, то траектория С, очевидно, периоди-
периодическая. Предположим, что Рг отличается от Р2 и что траектория С
непериодическая. Тогда дуга траектории С, идущая от R, должна
возвратиться к Q и, таким образом, дуга RQ? С должна пересечь J.
Но, как и прежде, она не может пересечь дугу Рг Р2 в силу единствен-
единственности и не может пересечь интервал Р2 Рг в обратном направлении.
Итак, точки Рг и Р2 совпадают и С — периодическая траектория.
Это завершает доказательство леммы 2.2.
Доказательство теоремы Пуанкаре—Бендиксона теперь полу-
получается при помощи следующих двух дополнительных лемм.
1 Кривая Жордана представляет собой топологический образ окружности.
Свойство такой кривой разделять плоскость основано на теореме Жердана.
Эта теорема гласит, что если J ¦— кривая Жордана в (х1( х2)-плоскости п,
то дополнение J ,п—J, является объединением двух открытых множеств
Si и Se без общих точек, каждое из которых имеет J своей границей. Множе-
Множество Si ограничено и называется внутренностью кривой J, а множество Se
не ограничено и называется внешностью кривой J.

§ 2. ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА	429
Лемма 2.3. Если полутраектория С+ и предельное множество
ЦС+) имеют общую точку, то С+ — периодическая траектория.
Доказательство. Пусть Рг = Р(^) — точка С+, которая
является также точкой ЦС+). Эта точка регулярная и, следовательно,
может быть взята как внутренняя точка некоторой трансверсали I.
Так как Рг е ?(С+), то каждый круг -Г с центром в точке Рг должен
содержать внутри себя точку Q = P(i), i > fx + 2. Если Г — круг
для е = 1 в утверждении (с) леммы 2.1, то существует точка Р = РA)
на,С+, где \t —1\ < 1, такая, что Pel. Пусть Р отличается от Рг.
Тогда, по лемме 2.2, дуга РгР полутраектории С+ пересекает / в
конечном числе точек. Далее, последовательные пересечения С+
с I образуют монотонную последовательность, которая удаляется
от точки Рг. Таким образом, Рг не может быть предельной точкой
полутраектории С+ и, следовательно, не принадлежит множеству
L(C+). Поэтому С+ встречает I только в Рг, а следовательно, С+
есть периодическая траектория.
Замечание. Эти же соображения показывают, что трансвер-
салъ не может встречать множество ЦС+) более чем в одной точке.
Лемма 2.4. Если множество ЦС+) содержит периодическую
траекторию, то оно совпадает с ней.
Доказательство. Пусть Со — периодическая траектория,
содержащаяся в множестве L(C+). Тогда в силу связности ЦС+)
траектория Со содержит предельную точку Qo множества L(C+) — Со.
Пусть / — трансверсаль, проходящая через Qo. Каждый круг с
центром в точке Qo содержит точку Q множества ЦС+) — Со и для
точек Q, достаточно близких к Qo, траектория Cq, проходящая через
Q, будет пересекать / в соответствии с утверждением (с) леммы 2.1.
По теореме 2.1 траектория Cq является предельной траекторией;
она отличается от Со, ибо Cq С ЦС+) —Со. Следовательно, трансвер-
трансверсаль I содержит две различные точки множества L(C+). Это про-
противоречит замечанию, помещенному после доказательства леммы 2.3.
Таким образом, Со = ЦС+).
Доказательство теоремы Пуанкаре — Бендик-
с о н а. Ясно, что если С+ — периодическая траектория, то С+ =
== ЦС+). Поэтому предположим, что С+ — непериодическая траек-
траектория. Так как множество ЦС+) не пусто и состоит только из регу-
регулярных точек, то существует, по теореме 1.2, предельная траектория
Со, содержащаяся в L(C+). Теперь из включения Со с j? следует,
что полутраектория Q- имеет предельную точку Ро и Ро е ЦС+),
ибо множество L(C+) замкнуто. Если / — трансверсаль, проходящая
через Ро, то, поскольку Ро и CJ содержатся в ЦС+), трансверсаль
/неможет встретить ДС+) ни в одной точке, кромеРо, в соответствии
с замечанием, следующим за доказательством леммы 2.3. Так как
Ро — предельная точка для Со", то трансверсаль / должна встретиться
в некоторой точке, которая должна совпадать сР0, и, следовательно,
для QJ" и L(C?) Ро является общей точкой. По лемме 2.3, С„+, а

430	ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
значит, и Со являются периодическими траекториями; отсюда
следует, по лемме 2.4, что Со = ДО).
Следствие. Если С+ — полутраектория, содержащаяся в ком-
компактном множестве К, в котором функция / не имеет особых точек,
то К содержит периодическую траекторию.
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА С ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ
Следующий результат дает классификацию поведения множества
?(С+), в случае когда оно содержит только конечное число особых
точек.
Теорема 3.1. Пусть С+ — полутраектория, содержащаяся в
замкнутом подмножестве К множества D, и предположим, что
D содержит только конечное число особых точек. Тогда справедливо
одно из следующих утверждений:
(i) Предельное множество ЦС+) состоит из одной единственной
точки, особой для функции f, к которой полутраектория С+ при-
приближается При f->oo.
(и) Предельное множество ЦС+) является периодической траек-
траекторией.
(iii) Предельное множество L(C+) состоит из конечного числа
особых точек функции f и множества траекторий, каждая из ко-
которых стремится к одной из этих особых точек при /->- ± °°.
Доказательство. Множество L(C+) может содержать
самое большее конечное число особых точек /. Если ДС+) совсем
не содержит регулярных точек /, то ДС+) есть просто одна особая
точка, ибо множество L(C+) санзно. Очевидно, полутраектория С+
должна стремиться к этой точке при f-> + °°-
Если множество ЦС+) имеет регулярные точки, то оно состоит
из особых точек и множества предельных траекторий. Пусть Со —
предельная траектория. В силу соображений, использованных при
доказательстве теоремы Пуанкаре—Бендиксона, она не может иметь
регулярных предельных точек, если Со не является периодической
траекторией. Таким образом, или Со — периодическая траектория
и в этом случае, по лемме 2.4, L(C+) = Со, или Со не имеет регуляр-
регулярных предельных точек. Следовательно, либо L(C+) — периодическая
траектория, либо все траектории, содержащиеся в L(C+), не перио-
периодические и имеют своими предельными точками только особые точки /.
Предположим, что имеет место последний случай и пусть Со —
траектория, содержащаяся в L(C+). Из доказательства утверждения
(i) следует, что каждое из множеств Ь+(С0) и ?~(С0) состоит только
из одной особой точки функции / [равенство ?+(С0) = L-(C0) не
исключается].
Следствие. Если С+ — полутраектория, содержащаяся в зам-
замкнутом множестве К (zD, и множество Ь(С+) содержит только

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА С ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ
431
одну особую точку Р (и регулярные точки), то предельная траек-
траектория стремится к Р при *-> + оо и t-> — оо.
Предположим теперь, что множество L(C+) содержит точку Р,
регулярную для /. Если С+ — периодическая траектория, то
L(C+) = С+, и множество ЦС+) полностью известно. Предположим,
что полутраектория С+ не периодична, и пусть I — трансверсаль,
проходящая через Р. Тогда, как в лемме 2.3, С+ должна встречать /
в бесконечном числе точек, которые сходятся монотонно на / к Р.
Если Рг = P(tj) — любая такая точка на I, то обозначим через
Рп, п = 2, 3,..., последовательные пересечения С+ с I для t > tx.
Тогда кривая Jn, состоящая из дуги Рп Рп+\ на С+ и прямолинейного
интервала Рп+1Рп на I, есть кривая Жордана, которая имеет вну-
внутренность 1п и внешность Еп. См. фиг. 17 и 18.
Фиг. 17.
Фиг. 18.
Возможны два случая в зависимости от того, что Р3 Е 1г или
Р3 е Ег. В первом случае ln+t с 1п, п = 1, 2,..., а во втором случае
/n+i э /„, п = 1, 2, ... . Если Р3 е /г, то Р е Iv и, поскольку ни
одна точка L(C+) не может принадлежать Еъ ЦС+) с /х и анало-
аналогично L(C+) с 1п для всех п. Если Р3 е ?г, то ?„ г> ?(С+) для
всех п. В первом случае пусть / обозначает непустое замкнутое
множество, состоящее из тех точек, которые принадлежат замыка-
замыканиям множеств /„ для всех п. Иначе говоря, если 1п — замыкание
1п, то / = П 1п- В случае Р3 6 Ег обозначим через 1 замыкание
множества тех точек, которые принадлежат множеству 1п при не-
некотором п. Таким образом, / есть замыкание множества U 1п. Пусть
J— граница /.	"='
Лемма. ЦС+) = J.
со
Доказательство. Предположим, что / = П 1п\ если
		/i=]
00
/ = U 1п, то рассуждения аналогичны. Очевидно, L(C+) с it ибо
П=]

432	Ql. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
L(C+) с /п для всех п; так как ни одна внутренняя точка / не
может принадлежать L{C+), то L(C+) ?l J. С другой стороны,
каждая точка границы множества / является предельной точкой
для С+. Таким образом, ДС+) = J.
со
В случае / = П /„ полутраектория С+ содержится во Внеш-
Внешне
ности множества /, а в случае / = U 1п полутраектория С+ распо-
ложена внутри /.
Пусть полутраектория С+ удовлетворяет тем же условиям, что
и в теореме 3.1.
Фиг. 19. (С+ вне /.)
Теорема 3.2. Пусть предельное множество L(C+) содержит
регулярную точку и пусть полутраектория С+ и L(C+) не имеют
общих точек, т. е.С+фЬ (С+). Если С+ лежит те (внутри) мно-
множества I, то полутраектория Ср, проходящая через произвольную
регулярную точку Р, достаточно близкую к ЦС+) и лежащую
вне (внутри) I, имеет L(C+) своим предельным множеством. Кроме
того, полутраектория С? закручивается вокруг ЦС+) в том смысле,
что трансверсаль, проходящая через произвольную регулярную точку
L(C+), пересекает С? для бесконечного числа моментов времени*.
Замечание. Множество ЦС+) может содержать особые точки
и, таким образом, не обязано быть периодической траекторией.
Доказательство теоремы 3.2. Предположим, что
полутраектория С+ лежит вне / ; см. фиг. 19. Если Q — регулярная
точка L(C+) и / — трансверсаль, проходящая через Q, то, согласно
предыдущим рассуждениям, существует последовательность вло-
1 В частности, этим свойством обладает С+.

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА С ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ	433
женных друг в друга замкнутых множеств {/„}, такая, что граница
со
множества / = П /„ есть L(C+). Если точка Р достаточно близка
к L(C+), то Р лежит внутри некоторого 1п и вне 1п+г. Очевидно,
полутраектория С? не может пересекать границу множества /„ и,
таким образом, С? или остается в 1п — 1п+ь или пересекает I на
интервале Рп+гРп+1 и переходит в 1п+х. В первом случае L(C?) при- .
надлежит также множеству /„—1п+1. Если N достаточно велико,
т. е. если точка Р достаточно близка к L(C+), то не существует особых
точек функции / на множестве 1п— I,n^>N, ибо особые точки изоли-
изолированы. Таким образом, множество L(Cp) не содержит особых точек
и, по теореме Пуанкаре—Бендиксона, ?(С?) является периодиче-
периодической траекторией. Однако в следующем параграфе (следствие 1 из тео-
теоремы 4.4) будет показано, что каждая периодическая траектория содер-
содержит внутри себя хотя бы одну особую точку. Это приводит к противо-
противоречию. Значит, полутраектория С? должна войти в ln+i на Pn+2Pn+i.
Теперь результат получается по индукции.
Теорема 3.2 показывает, что предельное множество L(C+) обла-
обладает некоторым свойством устойчивости. Определим это точно в
случае периодической траектории. Периодическая траектория С
называется положительно устойчивой извне (изнутри), если для
каждого е > 0 существует такое ёе > 0, что каждая положительная
полутраектория, начинающаяся при t = 0 на расстоянии меньше
де от С извне (изнутри) С, определена Для всех (>0и остается на
расстоянии, меньшем е, от С. Периодическая траектория называется
положительно устойчивой, если она положительно устойчива извне
и изнутри. Отрицательную устойчивость можно определить, если
в предыдущем заменить t на —t. Определенная здесь устойчивость
часто называется устойчивостью траекторий.
Теорема 3.3. Для того чтобы периодическая траектория С была
положительно устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы как для
внутренности, так и для внешности С либо
(i) траектория приближалась к С при t -*¦ + оо как предель-
предельному циклу, либо
(ii) существовали периодические траектории в каждой г-окрест-
ности С.
Доказательство. Достаточность предположений следует
непосредственно из теоремы 3.2. Пусть траектория С устойчива, и
предположим, что для некоторого е > 0 на расстоянии, меньшем
. е, от С, не существует периодических траекторий или особых точек.
Тогда, по теореме Пуанкаре—Бендиксона, должна существовать
положительная полутраектория С+, начинающаяся в точке, рас-
расстояние которой от С меньше 4, такая, что L{C+) есть периоди-
периодическая траектория. Следовательно, L(C+) = С, т. е. С является пре-
предельным циклом и теорема доказана.
28 182.

434
ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
Предположим теперь, что Сх и С2 — периодические траектории,
причем С2 содержится внутри С1г и что между Сг и С2 нет особых
точек и периодических траекторий. Тогда траектории Сг и С2 назы-
называются смежными.
Фиг. 20.
Теорема 3.4. Две смежные периодические траектории не могут
одновременно быть положительно устойчивыми на примыкающих
сторонах.
Доказательство. Если С2 лежит внутри Сх, то в теореме
утверждается, что С2 не может быть положительно устойчивой извне,
а Сх — положительно устойчивой изнутри. Предположим, что
траектории Сх и С2 положительно устойчивы на примыкающих
сторонах. Заменим t на — t и пусть Сг и С2 — траектории, прибли-
приближающиеся соответственно кСг и С2 при f-> — оо. Пусть /х и /2 — две
трансверсали, расположенные как показано на фиг. 20. Пусть
R — замкнутая область, ограниченная двумя кривыми Жордана :
на
х и РгРг на 1г,
J2:Q1Ql на С2 и
на Z2
Каждая траектория С, начинающаяся на границе области R, должна
оставаться в R; так как область R свободна от особых точек, то.
множество ЦС), по теореме Пуанкаре—Бендиксона, должно быть
периодической траекторией в R. Это противоречит предположению,
что Сг и С2 — смежные траектории.
§ 4. ИНДЕКС ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Пусть / = (Д, /2) — непрерывная действительная вектор-функ-
вектор-функция, определенная на ограниченном открытом множестве D (xlf Xg)--
плоскости, и предположим, что / имеет только изолированные особые
точки в D. Пусть J — кривая Жордана в D, не проходящая ни через

§ 4. ИНДЕКС ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ	435
одну особую точку /. Если Ад — полное изменение угла в, образу-
образуемого вектором /(х15 х2) с некоторым фиксированным направлением,
когда точка (х1} х2) пробегает один раз J в положительном направле-
направлении, то индексом кривой J относительно функции f называется число
Ав/2л, обозначаемое через If(J)- Очевидно, это число — целое.
Следующее важное свойство индекса If(J), которое нам здесь пона-
понадобится, обычно доказывается в книгах по топологии или по теории
функций комплексного переменного.
Фиг. 21.
Теорема 4.1. Если J — кривая Жордана в D, не содержащая на
себе или внутри себя особых точек вектора /, то If(J) = 0.
Набросок доказательства, Так как вектор / непре-
непрерывен, то он равномерно непрерывен на каждом компактном подмно-
подмножестве множества D. Таким образом, существует 6 > О, такое, что
на каждой кривой Жордана J», которая может быть заключена в
квадрат со стороной 8 в D, максимальное отклонение угла вектора
/ от его значения в фиксированной точке на Ja меньше по абсолютной
величине, чем 2п. Значит, индекс любой такой кривой относительно
вектора / по абсолютной величине меньше единицы и поэтому равен
нулю. Процесс доказательства того, что индекс заданной кривой
Жордана J равен сумме индексов некоторого числа более мелких
кривых Жордана, каждая из которых типа Je, известен из доказа-
доказательства теоремы Коши и здесь опускается. С помощью этого про-
процесса можно показать, что //(/) = 0.
Из этого результата легко следует при помощи обычных методов
теории функций комплексного переменного, что если Jx — кривая
Жордана, содержащаяся внутри другой кривой Жордана J2, и если
между Jx и /2 нет особых точек, то I/iJj) = If(J2)- Индексом изоли-
изолированной особой точки Р относительно вектора / называется индекс
любой кривой Жордана, содержащей внутри себя точку Р и не
содержащей других особых точек вектора /. Этот индекс обозна-
обозначается через If(P).
Теорема 4.2. Если J — кривая Жордана, окружающая конечное
п
число особых точек Pv Р2,... ,Рп вектора /, то If(J) =
28*

436
ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
Доказательство. Окружим каждую точку Р,- достаточно
малой окружностью С,-, содержащей внутри себя единственную
особую точку Pi, и сделаем разрезы, как указано на фиг. 21.
Теорема 4.3. Если J — кривая Жордана в (хьх2)-плоскости
с непрерывно вращающимся касательным вектором v, который на J
нигде не обращается в нуль, то
h(J) = 1 •
Доказательство. Если и(Р) — единичный касательный
вектор кривой J в точке Р, то, очевидно, h(J) = IV(J), и, следова-
следовательно, достаточно доказать теорему для вектора и. Без ограничения
ас.
1
€
t
Г /
\ s
Фиг. 22.
Фиг. 23.
общности можно предполагать, что кривая J целиком лежит в
полуплоскостих2>0и что точки Р на J задаются при помощи век-
вектора Р@ : (ах@, а2@), 0<.t<>\. Таким образом, v(f) = (ai(Q,a?(Q)
и можно, далее, предположить, что положительная Xj-полуось каса-
касается кривой J в точке Ро = Р@), т. е. что вектор v@) имеет то же
направление, что положительная з^-полуось (см. фиг. 22).
Теорема будет доказана при помощи построения вспомогатель-
вспомогательного вектора п на замкнутой треугольной области
в (s, ?)-плоскости (см. фиг. 23). Определим ii(s, s) = u(s) для 0 <; s <; 1,
п@,1) = —u@) и для всех других точек (s, t) в Г положим d(s,t)
равным единичному вектору, направленному от P(s) к P(t) на J
(см. фиг. 22). Обозначим через 6{s, f) угол, образованный вектором
ii(s, t) с положительной х^полуосью. Очевидно, 6@,0) = 0, и так как
кривая J остается в области х2 ;> 0, то угол 6@, t) изменяется от
О до л, когда t изменяется от нуля до единицы. Аналогично угол
6(s, 1) изменяется от ж до 2п, когда s изменяется от 0 до 1. Из опре-
определения вектора п очевидно, что п непрерывен на Г и п =f= 0. Следо-
Следовательно, по теореме 4.1, примененной к границе В области Г, 1п(В)=
= 0. Это означает, что изменение угла 6(s, s), когда s изменяется
от 0 до 1, равно 2тг. Но это в точности равно изменению угла, который

§ 5. ИНДЕКС ПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ	437
вектор и образует с положительной Xj-полуосью, когда контур J обхо-
обходится один раз в положительном направлении. Следовательно,
IU(J) = 1 и теорема доказана.
Важным следствием из нее является следующий результат.
Теорема 4.4. Если С — периодическая траектория двумерной
системы (С), то //(С) = 1.
Доказательство. Кривая С является кривой Жор дана
и из ее определения следует, что / есть касательный вектор кривой
С и tj= 0 на С.
Следствие 1. Периодическая траектория С содержит внутри
себя по крайней мере одну особую точку.
Доказательство. В противном случае, по теореме 4.1,
If(C) = 0,. что является противоречием.
Следствие 2. Если С — периодическая траектория и особые
точки вектора f изолированы, то внутри С находится конечное число
С> 0 особых точек /, сумма индексов которых равна единице.
Доказательство. Применяем теорему 4.2.
§ 5. ИНДЕКС ПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Пусть ad — ЬсфО, и рассмотрим снова двумерную действи-
действительную систему
*i = /i(*i, х2) = ахг + bx2 + g^ ,x2),	^
*2 = Шг. Ъ) = схг + dx2 + g2(xt ,x2),
где функции gu g2 непрерывны в круге 0 <; г = ^х\ + х| <; у для
некоторого у > 0. Предположим, далее, что gx = o(r), g2 = о{г)
при г -> 0. Для этой системы начало {х1, х2) = @,0) есть изолирован-
изолированная особая точка вектора / = (fl7 /2) того типа, который был назван
простой особой точкой. Индекс начала относительно вектора /
легко вычисляется и зависит только от линейных членов в системе
E.1). Этот последний факт вытекает из следующей леммы.
Лемма. Если v, v — произвольные непрерывные вектор-функции,
определенные на кривой Жордана J, которые нигде не имеют проти-
противоположных направлений и не обращаются в нуль, то
Доказательство. Для 0 <; s <; 1 определим вектор vb на
J при помощи равенства vs = A—s)v + si). Тогда vs=j=O при
0<;s<l, ибо vo=v, 1^=1), и если vs = 0 для 5^=0,1, то v =
= — (s/(l — s))v для такого s, откуда следует, что вектор v имеет
направление, противоположное направлению вектора v. Поэтому

438	ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
индекс hs(J) существует и, очевидно, непрерывен по s. Но этот
индекс является целым числом и, таким образом, постоянен.
Отсюда следует, что /„„(у) = hXJ), или IJJ) = I-V(J).
Теорема 5.1 Если v — вектор-функция-с компонентами {ахг +
4- bx2, cxt + dx2) и f = (Jx, /2) — вектор, определенный в E.1), то
If@) = /„(О), где 0 — начало @, 0).
Доказательство. Покажем, что на достаточно малой
окружности с центром в 0 векторы / и v никогда не имеют про-
противоположных направлений. Предположим, что в некоторой точке
(х1} Ха) справедливо противное утверждение. Тогда в этой точке
/ + sv = 0 для некоторого s ^ 0. Но / = v + g, где g = (gx, g2), и,
следовательно, в этой точке A -f s)v = —g или A -f sJ ||v||2 =
= |[g[[2. Далее, |[v|[2 = (ax1 + bx2J + (cxx + dx2)*, и если хг =
= r cos в, х2 = г sin 0, то ||v||2 = r2 [{a cos 0 + 6 sin бJ + (с cos в +
+ d sin 0J ]. Так как ad — ЬсфО, то v = 0 только в точке @,0).
Таким образом, вектор v непрерывен и не равен нулю при г = 1.
Поэтому
m = inf ||v|| >0,
а так как норма ||v|| относительно г однородна, то [|v[[ ^ mr
для всех г > 0. Отсюда следует, что m2(l + sJr2 <, \\g\\2 в каждой
точке (х1( х2), в которой векторы / и v имеют противоположные
направления. Значит, эти точки не могут быть сколь угодно близкими
к точке @,0), ибо из такого предположения следовало бы, что
О < т2 <, т\\ + sJ <; [|g|[2/r2, а так как ||g|| = о(г) при г~> О,
то это представляет собой противоречие.
Следовательно, для некоторого достаточно малого а > 0 векторы
/ и v не имеют противоположных направлений в круге 0 < г < а.
Полагая в предыдущих рассуждениях s = 0, видим, что f не может
обращаться в нуль в круге 0 < г < а. Таким образом, по предыду-
предыдущей лемме, If(J) = Iv(j) для каждой кривой Жордана J в круге
О < г < а, окружающем точку @,0), и это доказывает, что /,@) =
= /,@).
Теорема 5.2. Ест /= (/2, /2) — вектор, определенный системой
E.1), то 7/@) = — 1 или + 1 в зависимости от того, является ли
начало седлом для линейной системы х'г = ахг + Ьх2, х'2 = схг + йх^,
или нет.
Доказательство. По теореме 5.1 достаточно подсчитать
индекс /j,@). Для подсчета /„@) может быть использован единичный
круг J : хх = cos в, х2 = sin 6, 0^0^ 2л. Очевидно, что полное
изменение угла, который вектор v образует с положительной Xj-полу-
осью когда кривая J обходится один раз в положительном напра-
направлении, равно

ЗАДАЧИ	439
ИЛИ
Г	^
2л J (а Cos 0 + Ь sin 0J + (с cos в + <*sin вJ '
о
Правая часть равенства E.2) непрерывна относительно совокуп-
совокупности переменных (а, Ъ, с, d), ибо ad — be Ф 0. Если (ad — be) > 0,
то возможны два случая в зависимости от того, что ad > 0 или
ad <, 0. Если ad > 0, то пусть 6,с->Оий->йв E.2). Тогда правая
часть E.2), будучи целым числом, остается постоянной. Таким обра-
образом, в этом случае
2я
Если ad <, 0, то be < 0, и если ad увеличивается так, что становится
ad > 0, то можно применить предыдущее рассуждение, и мы полу-
получим тот же результат. Если ad — be < 0, то подобное рассуждение
показывает, что /„(у) = — 1. Но неравенство ad — be < 0 является
как раз условием, отличающим седло от других типов особых точек,
и это доказывает теорему.
Задачи
1. Показать, что система
х1 = х2, х2 =—xt -j- A xl xl)x2 I' = — I
имеет своим единственным периодическим решением (исключая тривиальное
решение <р = 0) вектор <р = (р„ р2), где pi@ = sin (t + с), y2(t) = cos (/ + с),
с — произвольная постоянная.
Указание. Показать, что на любой замкнутой траектории
так что если 1 — ^i — vl Щ 0, то необходимо, чтобы выражение 1 — q>\ — у\
меняло свой знак на траектории.
2.	Показать, что в задаче 1 имеет место устойчивость траекторий. Показать,
что любое нетривиальное решение имеет асимптотическую фазу у., т. е. q>t(t) —»
—> Sin (t + у), 92@ -> COS (t + у) при t -» ia.
. Указание. Показать, что выражение q>\ + (pi есть убывающая функция t
вне единичного круга.
3.	Рассмотрим систему (случай затухающего маятника) х[ = х2, х2 =
= — b sin х1 — ах2, где а и Ь — положительные постоянные. Показать, что для
каждого решения у = (<plt ip2) существует целое число к, такое, что ^i@ —»
—> кп, q>2(f) —> 0 при f —> со. Установить различие между природой траекторий
в окрестности точек (кл, 0) для случаев к четного и к нечетного. Набросать
траектории в (х1( х3)-плоскости.
Указание. Показать, что выражение Я = — <р\ + 2b sin2-^-доесть
монотонно убывающая функция t,если ч>1ф0п(ргфпп для некоторого целого
п. Показать, что Л —»с > о при <—>«>, где с — постоянная, и что q>2 —> 0, так

440
ГЛ. XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА
что 2b sin2 _- q>t —» с. Таким образом, <рг стремится к постоянной сг. Так как
q>'2 = — b sin ?>! — а<р2 —> — b.sin с,и^-» 0, то sin сг = 0.
4. Пусть х' = /((, х), где х — скаляр и функции / и Э//Эх непрерывны по
совокупности переменных (t, х). Пусть / — действительная функция, имеющая
по t период со. Показать, что если решение tp удовлетворяет условию
lim sup '<p(t)\ < °°,
то уравнение имеет периодическое решение.
Указание. Либо <p(w) = ^@), либо <р(кы), к
тонная последовательность.
0,1, 2,
есть моно-
монох
Фиг. 24.
5. Пусть / — действительная четная функция, a g — действительная нечет-
нечетная и пусть g(x) > 0, л: > 0. Пусть g ? С1 и функция / кусочно непрерывна.
X	X
Пусть F(x) = f/@) ей и G(x) = f g@ Д. Пусть существует а > 0, такое, что
6	6
F(x) < 0 при 0 < х < а, а при х > a F(x) > 0 и монотонно возрастает. Пусть
G(x) —> оо и F(x) -» оо при х -^ оо. Показать, что, за исключением решения,
тождественно равного нулю, уравнение
х" + /(х) х' + g(x) = О
имеет (исключая переносы по t) единственное периодическое решение, которое
устойчиво. Важным примером является уравнение х" + fi (х2 — 1) х' + х = 0.
Указание. Рассмотрим систему х' = у — F(x), у' = — g(x), и рас-
рассмотрим изменение функции U = — у2 + О(х) вдоль решений в правой полу-
полуплоскости х > 0. Пусть каждая из кривых A'B'C'D' и ABEFCD (фиг.' 24)
представляет решение в полуплоскости х > 0. Используя производную
dUjdx = — gF/(y — F), показать, что Ub— Ua < Ub— Ua'. Используя
производную dU/'dy = F, показать, что Up — Ue < Uc — U&- Показать,
что Ue < Ub. Показать, наконец, что Ud — Ua < Uc — Uа'. Показать,
что Uг/ — UAr > 0 для малых А' и Ud < Uа для больших А. Получить
результат, пользуясь монотонностью разности Ud — Ua-

ЗАДАЧИ	441
6.	Пусть F такая же, как в задаче 5. Показать, что уравнение у" + F(y') +
+ у = 0 имеет, исключая тривиальное решение, единственное периодическое
решение.
' Указание. Положить у' = х.
7.	Если система х) = }](&, х2), / = 1,2, где /у ? С1, рассматривается в трех-
трехмерном (t, xx, х2)-пространстве, то решения можно рассматривать как одно-
однозначное преобразование (х^, х2)-плоскости на себя; зто преобразование не-
непрерывно по t. Более сложная задача
Xj^ij{t,xvx^ (/ = 1.2),	(*)
где fj — периодические по t функции с периодом о, такие, что /у и dfj/dxi не-
непрерывны по совокупности переменных (t, xu х,), может быть изучена при
помощи преобразования Т (х1г х2)-плоскости на себя, определенного следующим
образом. Пусть f — точка в (xlt х2)-плоскости. Пусть <р — решение системы (*)
с дз(О) = ?. Тогда, по определению, Т? = ср(о). Доказать, что если преобразо-
преобразование Т существует на всей плоскости, то T"i+n f = Tm Tn ?. Доказать, что если
открытая односвязная область D, ограниченная кривой Жордана J, удовле-
удовлетворяет условию TD CD, где D — DUJ, то система (*) имеет периодическое
решение периода о.
Указание. Использовать теорему Брауэра о неподвижной точке,
которая гласит, что если TD с D, то существует точка Р ?D, такая, что ТР = Р
если только преобразование Т непрерывно.

Глава XVII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе изучаются решения в целом скалярного дифферен-
дифференциального уравнения
( |)	A.1)
причем предполагается (всюду в этой главе), следующее :
(a)	/—действительная непрерывная функция, определенная для
всех действительных значений (t, х).
(b)	f(t + l,x) = f(t,x + l) = f(t,x).
(c)	Через каждую точку (t, х)-плоскости проходит единственное
решение уравнения A.1).
В силу условий (а) и (Ь) функция / ограничена и, следовательно,
каждое решение уравнения A.1) существует для всех t. Из условия
периодичности (Ь) вытекает, что / можно рассматривать как функцию
на поверхности тора 8, точки которого могут быть описаны декар-
декартовыми координатами (t, х), причем две точки Рг — (tl7 хг) и Р2 =
— (^2> Х2) рассматриваются как идентичные, если ' разности tx —12
и хг —х2 — целые числа. Аналогично, интегральная кривая (t, (p(t))
может быть представлена на 8. В трехмерном пространстве с прямо-
прямоугольными координатами (и, v, w) тор 8 имеет уравнения :
а = (а + b cos 2пх) cos Ъй,
v = {а + Ъ cos 2лх) sin 2ж1,
w = Ъ sin 2лх ,
где a vi b — постоянные и 0 < b < a.
В силу условия (с) через каждую точку Р поверхности g про-
проходит единственная интегральная кривая уравнения A.1). Изуче-
Изучение в целом решений уравнения A.1) поэтому сводится к изучению
кривых (t, <p(t)), — оо < t < + оо, на компактной поверхности 3-
Пусть <р = q:(t, г]) — решение уравнения A.1), такое, что д;@, »?).=
= г]. Рассмотрим тогда преобразование прямой линии на себя, опре-
определенное равенством
to rf\,v).	A-2)

§ 2. ЧИСЛА ВРАЩЕНИЯ	443
Из предположений (а) и (с) следует в силу теоремы 4.3 гл. II, что
тр есть гомеоморфизм действительной прямой на себя, т. е. непре-
непрерывное отображение, обращение которого непрерывно1. Пусть
<? — окружность на $, определенная как множество всех таких
точек (t, х) на % что t = 0. Тогда ip порождает гомеоморфизм Т
¦окружности К на себя, определенный равенством
ТР = Р1г	A.3)
где Р = @, ц), Р1 = A, <рA, г])) = @, %p{rj)). Из предположения един-
единственности (с) непосредственно следует, что никакие две интеграль-.
ные кривые не могут пересекаться на S» а значит у> должна быть
монотонно возрастающей функцией. Отсюда вытекает, что гомеомор-
гомеоморфизм Т сохраняет ориентацию окружности К.
Рассмотрим решения ф, ф уравнения A.1), определенные равен-
равенствами
Из предположений (Ь) и (с) легко, следует, так как
Фф) = <Р@, v + 1) = v + 1 = Ч>Ф),
что дз(О —9>@- Используя определение преобразования у> [A.2)]»
получаем тогда
fo O fo)l	A-4)
для всех действительных ц. Говорят, что непрерывная монотонно
¦возрастающая функция у) представляет гомеоморфизм Т. Из соотно-
соотношения A.3) ясно, что гомеоморфизм Т может быть также представлен
функцией ¦ц) + п, где п —любое целое число, ибо если Р =@, г]), то
^i = A, Vfo)) = 0, Vfo) + n) = @, vfo)) •
.Далее, если у> удовлетворяет соотношению A.4), то у> + п также
ему удовлетворяет.
Изучение природы интегральных кривых уравнения A.1) на g
может быть теперь сведено к изучению гомеоморфизма Т и пред-
представляющей его действительной функции ip.
§ 2. ЧИСЛА ВРАЩЕНИЯ
Пусть ip2 — функция, определенная равенством у2(??) =
= viviv))* и вообще rpn(rj) = ^(у"^)) для каждого целого п,
причем подразумевается, что ip°(r]) = ц. Аналогично, определим Т2
посредством формулы Т2Р = Т(ТР) и итерации Т" — посредством
•формулы
Т"Р
1 Если производная fx непрерьюна, то это следует из результатов § 7 гл. I;

444	ГЛ. XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
(п = 0, ±1, 4- 2, ...), где Т°Р — Р. Множество итераций гомеомор-
гомеоморфизма Т {Тп ; п = О, ± 1, ± 2,...} образует группу, так как„
очевидно, Тк Тт = Тк+т = Тт Тк.
Функция tpn того же типа, что и у), т. е. непрерывна, монотонно
возрастает и удовлетворяет соотношению A.4). Далее, грп пред-
представляет Т", если чр представляет Т. Часто будут удобны следующие
сокращения :
Теорема 2.1. Предел
e=Hm^	B.1>
существует и не зависит отщ = %. Число q рационально в том и
только в том случае, когда некоторая степень гомеоморфизма Т
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Предположим вначале, что q существует
для некоторого г\, и рассмотрим любое другое -ц. Тогда существует-
целое число т, такое, что
m^rj-fjKm+l.	B.2>
Используя монотонный характер функции грп, получаем из B.2),.
что tpn(rj + m) < ip"(rj) < ip"(rj + m + 1) или в силу соотношения
A.4), примененного к функции грп, г\п + т <^пп <fjn + т+ 1. Как
нетрудно видеть, отсюда следует, что (г]п — ^„)/_п->0 при |п|->- оо.
Таким образом, если предел q существует для ц, то он существует
для у и равен тому же числу.
Предположим теперь, что некоторая степень Т, скажем Tmr
имеет неподвижную точку Р (т. е. ТтР = Р) с координатой ц.
Если ТтР = Р, то Р = Т~тР, и, следовательно, отображение Т~т
имеет ту же самую неподвижную точку. Таким образом, можно
предполагать, что т > 0. Далее, из соотношения ТтР = Р следует,
что г)т = г) + г для некоторого целого г. Значит,
и, по индукции,
Vmn = V + rn (п = 0,±1,±2, ...).	B.3>
Каждое целое число к может быть записано в виде к = тп + s,
где п, s — целые числа и 0 <^ s < т. Таким образом, в силу соотно-
соотношения B.3),
Пи = Vmn+s = У>Ътп) = V"{V + rn) = w%v) +rn = fjs + rn

§ 2. ЧИСЛА ВРАЩЕНИЯ	445
Так как r\s — одно из чисел %, гц, ¦ ¦ ¦, Ут-и то %/fc ~> ° ПРИ
|?|~>оо И
1- ч/с ,• т	г
hm ¦? = hm 	— = —.
1Л!^„ ^ |пЬ<я mn + s m
Следовательно, предел g существует и равен рациональному числу
r/m.
Покажем теперь, что если никакая степень Т не имеет непо-
неподвижной точки, то предел q все еще существует. Предположение,
что ни одна степень Т не имеет неподвижной точки, означает, что
не существует целых чисел m и г и действительного числа -ц, таких,
что
Vm = П + Г •
Таким образом, соответственно каждому целому числу m и частному
значению г) существует целое число г, такое, что
m<V + r + l.	B.4)
Но, по соображениям непрерывности, неравенство B.4) должно
тогда иметь место для всех действительных -ц, ибо соответствующие
равенства никогда не могут иметь места. Если B.4) применить к
-г\ = 0, 0m, Ckm, ¦. ¦, 0т(П-Х) и неравенства сложить, то получаем
неравенства
пг < 0тп < п(г + 1)
для п ;> 1 ; анало гичный результат имеет место для п <, — 1
Однако
и, следовательно,
Ото От
| тп т
Меняя местами в B.5) шипи складывая получающиеся неравенства,
имеем
От _
т
2	2
~ Щ ^ \п\
и, таким образом, предел q = lim @m/m), |ш|-, уу
Наконец, следует доказать, что если число q рационально, то
некоторая степень Т имеет неподвижную точку. Пусть g рационально,
т. е. существуют целые числа кит, такие, что mq + к = 0. Пока-
Покажем, что Тт имеет неподвижную точку. Определим функцию х
равенством xty) = ipm(rj) + к. Тогда
х"(ч) = wmn(v) + кп
и, таким образом,
Очевидно, функция ^ представляет Гт и mg + ^ = 0 находится в
таком же отношении к %, как q к у>.

446	ГЛ. XVI I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
Предположим, что преобразование Тт не имеет неподвижной
точки. Тогда x(rj) —цфО для любого -ц и, следовательно, можно
предполагать, что x(v) > ц для всех действительных щ. В
частности, х@) > 0, а значит хпФ) > х Ф) > ¦•> %Ф) > 0 в
силу монотонности .функции х- Таким образом, последовательность
х"Ф) по п возрастает. Кроме того, ^"@) < ] для всех п. Действи-
Действительно, в противном случае х"Ф) >" ] для некоторого п. Возьмем
одно такое п. Тогда
ХтФ) > xV) = VmV) + кп = у™@) + кп + t = хГФ) + 1 > 2.
Таким образом, хыф) > I и
Полагая Z->oo в B.6), получаем, что mg+ fc ;> A/п), а это про-
противоречит тому, что т@ + к = 0. Поэтому последовательность
чисел {/"@)} монотонно возрастает и ограничена, а значит имеет
предел, "скажем v\. Теперь
X(v) = ton
Следовательно, значение г] определяет неподвижную точку
Р = @, rj) для преобразования Тт, что является противоречием.
Это доказывает, что если q рационально, то + к = 0, то Тт имеет
неподвижную точку.
Число q называется числом вращения гомеоморфизма Т для
уравнения A.1). Оно измеряет среднее перемещение решения ер
уравнения A.1), выходящего из точки @,»?), при изменении t на
единицу. Оно не зависит от решения, которое было использовано
для его определения, и рационально в том и только в том случае,
когда существует некоторое периодическое решение с целым пе-
периодом.
§ 3. ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО
Пусть множество S состоит из всех итераций точки Р € К при
преобразовании Т, т. е.
S = {T"P; n = 0,±I,±2,...}.
Обозначим через S' множество предельных точек множества S. Мно-
Множество S'Mbi будем называть производным множеством, соответствую-
соответствующим преобразованию Т и уравнению A.1). Если q рационально,
то + к = 0, то из рассмотрения итераций Тт легко следует, что
S'" состоит из конечного числа точек-. В дальнейшем мы будем
предполагать, что g иррационально. На первый взгляд множество S'
зависит от точки Р, выбранной для определения множества S, но
следующая теорема показывает, что на самом деле S' не зависит от
Р, и, таким образом, термин производное множество имеет смысл.

§ 3. ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО	447
Теорема 3.1. Производное множество S' инвариантно относи-
относительно преобразования Т, m. e. TS' = S', и не зависит от точки Р.
Доказательство. Пусть Q € S'. Тогда Q == lim Рк„^кп->со>
где Ркп е S. Следовательно, TQ = lim ТРкп = lim P^+i =QeS', и
поэтому TS' с sr. Далее, T^Q = lim T-V^ = lim Р„„_1 = Q e S'
и, следовательно, Г~Х5' с s1. Итак, ЦТ-^Б') с TS', или S' с TS',
а это доказывает, что TS' = S'.
Чтобы доказать, что S' не зависит от Р, нам понадобится следую-
следующая лемма.
Лемма. Пусть Рт,Рп е S и пусть а и а — две замкнутыё1
дуги на К с конечными точками Рт и Рп. Тогда как а, так и а со-
содержит по крайней мере один образ Qi каждой точки Q е К.
Доказательство будет дано для дуги а. Легко видеть,
что дуги а, Тт~"а, Т^т'п)а, ..., Тк(т~п)а примыкают на 6. Так
как q иррационально, то дуги, которые являются суммами вида
а U jm-na U J2(m-n)a U ... U 7A<m-n>a ,
должны покрывать К, если к достаточно велико. Ибо, если бы это
не имело места, то последовательность точек {Т^т~п)Рп} (к =
= 0, 1, 2, ...) была бы монотонной и ограниченной на К и, таким
образом, имела бы предельную точку Р. Но тогда
Т'п~пР = lim Р"-" Gk(m-n> Рп) = lim T<fc+1Hm-">Pn = Р
и поэтому Р была бы неподвижной точкой для преобразования
Гт~", что является противоречием. Итак, Q € Г'(т~п)а для некото-
некоторого Z, или Tlin~m)Q € а, 1:ли Q/(m-n> € а, что доказывает лемму.
Продолжая доказательство теоремы 3.1, обозначим через S'P
производное множество, соответствующее отображению Т и опре-
определенное для точки Р, и через Sq — соответствующее производное
множество, определенное для другой точки Q на ©. Если В е S'P,
то существует последовательность образов Р„-+В, где v пробегает
некоторую последовательность целых чисел. По лемме существует
образ Qp точки Q на кратчайшей дуге, соединяющей две последова-
последовательные точки Р„. Таким образом, существует последовательность
образов Qp точки Q, такая, что Q^ -> R, где ц пробегает некоторую
последовательность целых чисел. Следовательно, В € Sq, откуда
следует, что SP ^Sq ; в силу симметрии отсюда получаем, что S'
не зависит от Р.
Теорема 3.2. Производное множество S' совершенно, и либо
(a)	S' = g, либо
(b)	S' нигде не плотно на К.
1 Замкнутой называется дуга, которая содержит свои конечные точки. —
Прим. перев.

448	ГЛ. XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
Замечание. В случае (а) преобразование Т называется
зргодическим; случай (Ь) называется сингулярным случаем.
Доказательство теоремы 3.2. Так как S' замкнуто,
то S" — (S')' <= S'. Чтобы показать, что S' Q S", выберем точку Q,
фигурирующую в конце доказательства теоремы 3.1, из множества S'.
Тогда каждая точка Е ? S' есть предел образов Q^ точки Q e S',
т. е. Ее S". Следовательно, S" = S' и, таким образом, множество
5' совершенно.
Множество S либо всюду плотно на К, либо нигде не плотно на
К, ибо если S плотно на некоторой дуге окружности К, то можно
предполагать, что это — дуга а предыдущей леммы. Тогда сумма
конечного числа а покроет К. Далее, S всюду плотно на К в том
и только в том случае, когда S' обладает этим свойством, и это завер-
завершает доказательство теоремы.
§ 4. ЭРГОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
С практической точки зрения желательно знать, когда не может
встретиться сингулярный случай. Следующая теорема, впервые
доказанная Данжуа, дает достаточное условие для эргодичности Т.
Эта теорема была высказана Пуанкаре в случае аналитической
функции / [в A.1)]. Данный здесь вариант доказательства Данжуа
принадлежит ван Кампену.
Теорема 4.1. Предположим, что функция гр имеет на интер-
интервале 0 < г] < 1 непрерывную первую производную у)' > 0 с ограни-
ограниченной вариацией. Если никакая степень преобразования Т не имеет
неподвижной точки, то Т эргодично.
Доказательство. Пусть Р — точка на К и а — дуга с
конечной точкой Р. Пусть п — такое положительное целое число, что
одна из точекРп, Р_п является единственной точкой вида Рк, \к\ <? п,
находящейся внутри а. Каково бы ни было целое N > 0, можно
найти достаточно малую дугу а, что будет существовать
такое n^>N. Предположим, что Р_п € а ; случай Рп € а может
быть рассмотрен аналогично.
Лемма. Две конечные последовательности
Ро > ^1 > • • • > Pn-l U Р-П >Pl~n> • ¦ ¦ 7 Р 1
перемежаются на окружности К.
Доказательство. Выберем дугу Р<Р-п, которая лежит*
в а. Следует показать, что если 0 < к < п, то ни одна точка обеих
последовательностей не лежит внутри дуги РкРк-п на К, имеющей
ту же ориентацию, что и Р0Р-п, т. е. дуги РкРк-п (к = 0, 1,. .., п — 1)
являются разделенными дугами. Предположим обратное ; тогда
Pi ? РкРк-п для некоторого I = — nt... ,п — 1.

§ 4. ЭРГОДИЧЕСКИЙГ СЛУЧАЙ	449
Возможны два случая :
(i)	k-n<LKn,
(ii)	— n<l<k — п < 0.
Рассмотрим случай (i). Здесь из соотношения Pt € РкРк-п следует,
принимая во внимание сохранение ориентации преобразованием
Г-*, что Т-"Р, ?РоР-„, илиР/_л еРоР_„. Но — п<1 — k<il< n,
и, следовательно, включение Р/_л е Р0Р~„ невозможно в силу
выбора п. Для случая (ii) 0 <,1 + п< /с и, следовательно, по случаю
(О» Pi+n не лежит в РкРк-п. Так как Р/ принадлежит, a Pj+n не
принадлежит дуге РкРк-п, то дуги Pi+nPi и РкРк-п перекрываются,
а значит Pk?Pi+n Pi- Применяя преобразование Т~(/+п) к этому соотно-
соотношению, получаем, что Pk-t-n е Р0Р-п- Но это невозможно, так как,
согласно (ii), 0< /с — Z < п — Z<n. Таким образом, лемма дока-
доказана.
Так как производная у имеет на интервале 0 < щ < 1 ограни-
ограниченную вариацию и гр > 0, то функция У7^) = In y>'(rj) определена
при 0 <^ г] < 1 и имеет на этом интерзале ограниченную вариацию.
Далее, У7 имеет период 1, ибо ip удовлетворяет соотношению A.4).
Пусть точка Р (выбранная согласно предшествующей лемме) имеет
координату г). Тогда из леммы следует, так как дуги РкРк-п (к = О,
],...., п — 1) разделены, что
п-1	I
ZV,	D.1)
где V — полная вариация У7 на интервале [0,1]. Но
5
fc=0
Аналогично
и поэтому из D.1) получаем
или
Здесь j? — любое число из интервала 0 <; щ < 1, и, следовательно,
неравенство D.2) имеет место для любого у, 0 < ?? < 1, и для
сколь угодно большого целого п.
29 182.

450	ГЛ. XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
Пусть теперь р — любая дуга на К длины s. Предположим, что
дуга Ткр имеет длину sk. Тогда, если мы сделаем несущественное
предположение, что радиус К равен 1/2я:,
= Г
dwk
и поэтому в силу D.2)
Следовательно, сумма sk + s~k не может стремиться к нулю при
Предположим, что открытое множество К — S' не пусто. Рас-
Рассмотрим тогда открытую дугу уЗ Q К — S' с конечными точками на S'.
Так как TS' = S' и так как Т сохраняет ориентацию, то все образы
Ткр (к = 0,± 1, ±2,...) находятся в К — S'. Очевидно, что никакие
две дуги последовательности {Гк§} не могут перекрываться, ибо
их концевые точки должны быть в S'. Кроме того, ни одна дуга
не может отображаться в другую дугу, ибо при этом концевые
точки одной дуги должны были бы отобразиться в концевые точки
другой дуги и, таким образом, q было бы рационально. Значит, дуги
{Ткр} разделены и, следовательно, sfc + s_fc->0 при &->оо, что
противоречит результату предыдущего абзаца. Поэтому множество
6 — S' должно быть пусто, т. е. преобразование Т эргодично.
Остается указать достаточные условия, которые нужно наложить
на функцию / в уравнении A.1), для того чтобы функция %р удовле-
удовлетворяла условиям теоремы 4.1.
Теорема 4.2. Пусть функция f в дифференциальном уравнении
х' — f(t, х) [A.1.)] удовлетворяет, кроме условий (а) — (с), при-
приведенных ниже уравнения A.1), предположению, что производная
8//8Х существует, непрерывна и имеет ограниченную вариацию от-
относительно х для 0 < х < 1 равномерно по L Тогда, если никакая
степень отображения Т не имеет неподвижных точек, то Т эрго-
эргодично.
Замечание. Предположения о функции / выполняются,
если выполняются условия (а)—(с), приведённые ниже уравнения
A.1), и если производная 62//6х2 существует и непрерывна.
Доказательство теоремы 4.2. Покажем, что произ-
производная у>' положительна, непрерывна и имеет ограниченную ва-
вариацию.
Во-первых, так как производная 6//8х существует и непрерывна
по совокупности переменных (/, х), то из теоремы 7.2 гл. I следует,

§ 4. ЭРГОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	451
что решение <p = <p{t,rj) уравнения A.1), такое, что <р@, г)) = -ц,
есть непрерывно дифференцируемая функция г], причем
Ц (/,,) = ехр [ J |(т, 9>(т,,)) dr] .	D.3)
о
В частности, при t = 1 выражение D.3) дает, так как (Эф/Эг?) A, j?) =
= у'(ч),	1
= ехр [ С g (т, <p(t, ч)) йт] .	D.4)
Поэтому производная y>'(rj) существует, и из D.4) следует, что
v'iv) > о.
Если	}
то, очевидно, когда функция g имеет ограниченную вариацию на
интервале 0 <[ г) <_ 1, производная у>'(г]) = ехр g(jj) обладает тем
же свойством. Чтобы показать, что g имеет ограниченную вариацию,
возьмем некоторое подразделение 0 = % < щ < ... < цп = 1 ин-
интервала 0 <[ г] <, 1. Тогда
"J |gDk+1) - gfo*)| ^ f"J I (т, <Р{т, Чи+д) - I (т, <Р{г, Ш)) dr. D.5)
Для фиксированного f, 0 < t <^ 1, преобразование ipt, определенное
равенством
является, очевидно, гомеоморфизмом интервала 0 <; щ <^ 1 на неко-
некоторый действительный интервал. Так как преобразование яр сохра-
сохраняет ориентацию, то и xpt обладает тем же свойством. Таким образом,
«ели
О = % < 4i < • - • < Ч„ = 1
—- подразделение интервала 0 <[ щ < 1, то подразделение
или
является подразделением интервала <p{t, 0) <; х <_ cp(t, 1). Поскольку
производная 8//8х имеет ограниченную вариацию по х равномерно
по t, то
fc=O
29*

452	ГЛ. XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
для некоторой постоянной V, независимой от /, 0 <; t<_ 1. Отсюда
и из D.5) следует, что функция g имеет ограниченную вариацию
на интервале 0 <; щ <[ 1, а это завершает доказательство теоремы.
§ 5. ХАРАКТЕРИСТИКА РЕШЕНИЙ В ЭРГОДИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
В эргодическом случае решения уравнения A.1) имеют специ-
специфическую структуру. Чтобы увидеть это, рассмотрим более по-
подробно соотношение между числом вращения q преобразования Т
и множеством итераций ip"(ii) числа щ.
Теорема 5.1. Предположим, что число q иррационально, и пусть
щ — фиксированное действительное число. Тогда числовые множества
А : {щ + т} и В : {цп + т}, где т,п — произвольные целые
числа, находятся в одно-однозначном монотонном соответствии.
Доказательство. Если число щ 4- т ассоциируется с
числом щп 4- т (i]n = ip"(iij), то очевидно, что зто соответствие одно-
однозначно в силу иррациональности q и вытекающего из этого
отсутствия неподвижных точек у Т.
Далее, порядок элементов в В не зависит от выбранного щ, т. е.
если щп + т <Сщк 4- I, то t,n 4- т < t,к + I для каждого действи-
действительного С. Этому эквивалентно, что из неравенства г\п — щ<С1 — гп
следует неравенство С„ — Cft < I — m. Последнее вытекает из тогог
что непрерывная функция % от rj, определенная равенством
никогда не может принимать целых значений, ибо q иррационально.
Следовательно, достаточно доказать результат для щ = 0. Пока-
Покажем, что для целых чисел р, q, r, таких, что
Р<%<.г @, = ?*»(())),	E-1)
выполняется неравенство
P<qe<r.	E-2)
Чтобы доказать неравенство E.2), применим %pq к E.1), в результате
чего получим, что у)ч(р) <, 02q <, tpq(f), или, используя A.4), что
°« + Р <, 02? <, 0? + г. Таким образом, 0q + (I — Х)р <, 0/? <; 0?+
+ (I — \)г для каждого целого (>0и, следовательно,
Полагая в E.3) I -+ оо, имеем р <qe <, г. Но так как g иррацио-
иррационально, ни одно из равенств не может иметь места. Следовательно,
неравенство E.2) доказано.
Покажем теперь, что если 0п 4- m < 0к 4-1, то uq 4- m < kg -f I,
и наоборот. Применив преобразование яр~~к к первому неравенству,
видим, что требуется доказать, что неравенство 0n_fc < I — m экви-
эквивалентно неравенству (п — 'k)q < I — m. Из неравенств E.1), E.2)

§ 5. РЕШЕНИЯ В ЭРГОДИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ	453
и 0n_fc < I — т следует, что (п — к)о < I — т. Если (п — к)д <
< / — т и 0n_ft ;> / — т, то в силу E.1) и E.2) (п — к)е>1 — т,
что является противоречием. Это завершает доказательство теоремы.
Теорема 5.1 непосредственно приводит к геометрическому обосно-
обоснованию термина «число вращения». В самом деле, следующая теорема
показывает, что если преобразование Т эргодично, то Т топологи-
топологически эквивалентно вращению окружности E на угол 2я?. Под
этим подразумевается, что существует гомеоморфизм Н, отображаю-
отображающий E на себя, такой, что ИТ = ВН, где В — вращение E на угол
2лд. На языке представляющих действительных функций это
означает, что существует непрерывная монотонно возрастающая
действительная функция И, определенная для всех действительных
у и обладающая свойствами
Л(у + О = W + 1 ,	E-4)
e-	E.5)
Из непрерывного возрастания функции h в комбинации со свойством
E.4) следует, что И представляет гомеоморфизм Н окружности 6
на себя ; E.5) означает как раз, что НТ = ВН, где преобразование
В, представленное действительной функцией
г(у) = У + о,
есть вращение © на угол 2ло.
Теорема 5.2. Если преобразование Т эргодично, mo T топологи-
топологически эквивалентно вращению окружности © на угол 2лд.
Доказательство. Пусть щ — фиксированное действитель-
действительное число и рассмотрим множества А и В, определенные в теореме
5.1. Если у е В и у = щп + т, то положим ho(y) == щ + т. Это
определяет на В действительную монотонно возрастающую функцию
ho, значения которой принадлежат А. Далее, множество А всюду
плотно на действительной оси, ибо р иррационально. Отсюда следует,
что функция h0 на В непрерывна. Так как преобразование Т эрго-
эргодично, то множество В всюду плотно на множестве действительных
чисел. Поэтому функция /г0 может быть единственным образом
продолжена до непрерывно возрастающей действительной функции
h = Ыу\ определенной для всех действительных у.
Пусть теперь у е В и у = ))„ + т. Тогда h(y) = ng + m и оче-
очевидно, что равенство h(y) + 1 = uq + (m + 1) должно соответство-
соответствовать равенству
у + 1 = щп + т + 1,
т. е. для у 6 В условие E.4) должно выполняться. Но в силу непре-
непрерывности E.4) должно выполняться для всех действительных у.
Аналогично, если у б В, у = щп -\- т, то равенство

454	ГЛ. XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
должно соответствовать равенству г]п+1 -\- т = ip(^n) + т =
= tpijin + 'tn) = у>(у). Таким образом, для у G В соотношение E.5)
должно выполняться и, по непрерывности, E.5) выполняется для
всех действительных у. Из замечания, сделанного непосредственно
перед теоремой, ясно, что функция h представляет гомеоморфизм
И окружности E на себя, который устанавливает требуемую тополо-
топологическую эквивалентность.
С точки зрения дифференциальных уравнений значение теорем
5Л и 5.2 состоит в том, что они подготовляют путь для простой
характеристики решений уравнения A.1).
Теорема 5.3 (Боль). Если преобразование Т эргодично, то су-
существует функция ш = m{t, z), непрерывная по совокупности пере-
переменных (t, z) и периодическая:
a>(t+\,Z) = a>(t,Z+l) = w(t, Z) ,	E.6)
такая, что каждое решение <р уравнения A.1) может быть записано
в виде
tQ + c + m(t,te + c),	E.7)
где с — постоянная и q — число вращения. Наоборот, для каждой
постоянной с выражение E.7) есть решение уравнения A.1), и каж-
каждому с,О<,с<С 1, соответствует единственное дз(О) (mod 1). Имен-
Именно, с = % @)).
Доказательство. Пусть щ —- любое действительное число
и пусть <р = cp(t, rj) — решение уравнения A.1) с до@, rj) = jj. Так
как'f(t, х + 1)•= f(t, x), то
Рвч+1) = 0<*,ч)+1.	E.8)
Поскольку /(/ + 1, х) = /(/, х), то, полагая у>(*]) — <р{\, rj), получаем
Ч#+1,ч) = <р(гМч))-	E-9)
Пусть h(rj) — с. Тогда, так как функция h монотонно возрастает
и непрерывна, ц = g(c), где g — монотонно возрастающая и непре-
непрерывная функция. Кроме того, в силу соотношений E.4) и E.5)
g(c + 1) = g(c) + 1,	E.10)
чЫс)) = Цс + е).	E.11)
Пусть <jp{t, с) = q:(t, g(c)). Тогда в силу соотношений	E.8) и E.10)
y{t,c+\) = <p(t,c) + ].	E.12)
В силу соотношений E.9) и E.11)
Ht+l,c) = q{t + 1, g(c)) = <p(t, v(g(c))) = <p(t, g(c + Q)) = q>(t, C + e),
так что
Ht+\,c) = v(t,c + Q).	E.13)

§ 6. СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ	455
Пусть a(t, z) = <p(t, z — tg) — z для всех действительных t и z.
Тогда в силу соотношений E.12) и E.13)
w(*+1,2) = «>(f,Z+l) = o>(f,z).
Очевидно, при г = fg + с
9#, с) = tg + с + (n(t, tg + c),
что доказывает теорему.
§ 6. СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ
При помощи небольшого изменения в рассуждениях можно
рассмотреть систему двух уравнений
x[ = h(x1,x2), х'2 = /2(х1; х2),	F.1)
причем предполагается, что flt /2 — непрерывные функции, опреде-
определенные для всех действительных хг, х2 и удовлетворяющие условиям
ij(xx + 1, х2) = /Ххх, х2 + 1) = fj(Xl, x2) (/=1,2),
Предположим также, что через каждую точку (хх, х2)-плоскости
проходит единственное решение системы F.1), исключая сдвиг на t,
и что F.1) не имеет периодических решений.
Координаты (х1} х2) можно рассматривать на торе Q. Роль окруж-
окружности © предыдущих параграфов здесь играет кривая ®, которая
будет сейчас определена. Рассмотрим ортогональную систему урав-
уравнений
*i = - Шъ *2), 4 = /i(%> Ч) ¦	F.2)
Пусть гр = (ip1} у>2) — решение системы F.2). Если это решение —
замкнутая кривая на §> то ее можно взять за кривую й. Если гр
не является замкнутой кривой на % то точки y>(t), t = 1,2,...,
имеют по крайней мере одну предельную точку Р на Q. Рассмотрим
малый криволинейный прямоугольник В, содержащий Р внутри
себя, с краями, состоящими из двух дуг РгР2 и P3Pi} являющихся
решениями системы F.1), и двух дуг РгР3 и Р2РА, являющихся
решениями системы F.2). Пусть дуги РгР2 и PXPZ имеют одинаковую
длину на 3 и пусть прямоугольник В настолько мал, что изменение
направления вектора с компонентами (Jl7 f2) в В меньше, чем л/100.
Пусть решение %р впервые пересекает дугу РгР2 (или дугу Р3Р4)
при t = t0 и оставляет В при возрастающих t > t0. Пусть оно возвра-
возвращается в В впервые для t = tv когда оно пересекает дугу PSP4
(или РгР2). Кривая y>(t), to<,t<. tlt теперь может быть замкнута
при помощи дуги, идущей из ip(tx) в ip{t0), которая целиком лежит
в В, образует с решениями системы F.2) угол, меньший по абсолют-
абсолютной величине, чем я/3, и которая имеет непрерывные первые
производные в точках ip(t0) и ^(^) (и также непрерывные вторые

456	ГЛ. XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
производные, если функции /х и /2 принадлежат классу С1). Эта
замкнутая кривая и есть кривая й.
Кривая U не может быть непрерывно деформирована в точку,
так как отсюда в силу того, что индекс Й относительно векторного
поля (/ь /2) равен единице, следовало бы наличие на 3 особой точки.
Каждое решение системы F.1) должно пересекать й, когда / возра-
возрастает (или убывает). Действительно, предположим, что это не имеет
места для полутраектории С+ системы F.1).
Тор, разрезанный вдоль кривой й, превращается в кольцо.
Следовательно, так как полутраектория С+ не пересекается с ®,
она не может достигнуть й, и поэтому С+ и ЦС+) лежат в кольце.
Применяя рассуждения Пуанкаре—Бендиксона, можно показать,
что L(C+) есть замкнутая траектория. Но, по предположению,
система F.1) не имеет периодических траекторий. Таким образом,
все полутраектории системы F.1) пересекают Ш. В частности, все
решения, начинающиеся на й, возвращаются в Ш. Это определяет
гомеоморфизм й на себя, и предыдущие результаты, доказанные
для окружности К, теперь применимы также к кривой к.

ЛИТЕРАТУРА1
Общая
Андронов А. А. и Хайкин С. Э., Теория колебаний, ч. I, М.-Л., 1937.
Беллман P. (Bellman R.), Теория устойчивости решений дифферен-.
циальных уравнений, М., 1954.
Bieberbach L., Theorie der Differentialgleichungen, 3 Aufl., Berlin, 1930.
Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf funktiontheoretischer
Qrundlage dargestellt, Berlin, 1953.
F о r s у t h A. R., A treatise on differential equations, 6th ed., London, 1929.
Гурса Э. (Goursat Ё.), Курс математического анализа, т. 2,3, M.-JL, 1937.
Horn I., Gewohnliche Differentialgleichungen, 2 Aufl., Berlin und Leipzig,
1927.
H u r e w i с z W., Ordinary differential equations in the real domain with emphasis
on geometric methods, Brown University, Providence, 1943 (мимеография).
Айне Э. Л. (I п с е Е. L.), Обыкновенные дифференциальные уравнения,
Харьков, 1939.
Камке Э. (Kamke E.), Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, М., 1950.
Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1930.
Крылов А. Н. и Боголюбов Н. Н., Введение в нелинейную механику,
Киев, 1937.
Lefschetz S. (ed.), Contributions to the theory of non-linear oscillations,
Princeton, vol. 1, 1950; vol. 2, 1952.
Lectures on differential equations, Princeton, 1946.
•Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям*), М.-Л., 1950.
М i n о г s k у N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947.
M о u 11 о n F. R., Differential equations, New York, 1930.
H а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы*), М.-Л., 1954.
Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифферен-
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949.
Р i с а г d Ё., Lemons sur quelques problemes aux limites de la theorie des equations
differentielles, Paris, 1930.
P о о 1 e E. G. С, Introduction to the theory of linear differential equations, Oxford,
1936.
С а н с о н е Дж. (S a n s о n e G.), Обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения, т. 1, М., 1953 ; т. 2, М., 1954.
Schlesinger L., Vorlesungen fiber lineare Differentialgleichungen, Leipzig,
1908.
Стокер Дж. (Stoker J. J.), Нелинейные колебания в механических и
электрических системах, 2 изд., М., 1953.
Т i t с h m a r s h E. С, Eigenfunction expansions associated with second-order
differential equations, Oxford, 1946.
V a 1 i г о n G., Equations fonctionnelles; applications (Cours d'analyse II),
Paris, 1945.
1 Названия, отмеченные *), добавлены переводчиком.

458	ЛИТЕРАТУРА
К гл. I
G г о n w а 11 Т. Н., Note on the derivatives with respect to a parameter of the
solutions of a system of differential equations, Ann. of Math., ser. 2 20
292—296.A919):	i	,	, .
M u 11 e r M., Uber die Eindeutigkeit der Integrate eines Systems gewohnlicher
Differentialgleichungen und die Konvergenz einer Gattung von Verfahreh
zur Approximation dieser Integrate, Sitzungsber. Heidelberg, 9 Abh;, 1927.
Валле-Пуссен HI. (de la Vallee PoussinCh. J.), Курс анализа
бесконечно малых, т. 2, М.-Л., 1933.
Peano G., Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles ordi-
naires, Math. Ann., 37, 182—228 A890).
P i с а г d Ё., Memoire sur la theorie des equations aux derivees partielles et la
methode des approximations successives, J. de Math., ser. 4, 6, 145—210
A890).
L i n d e 1 б f E., Demonstration de quelques theoremes sur les equations diffe-
rentielles, J. de Math., ser. 5, 6, 423—441 A900).
Sur l'application des methodes d'approximations successives a l'etude des
integrates, reeles des equations differentielles ordinaires, J. de Math., ser.
4, 10, 117—128 A894),
W i n t n e r A., On the exact value of the bound of regularity of solutions of ordi-
ordinary differential equations, Amer. J. Math., 57, 539—540 A935).
К гл. II
Caratheodory С, Vorlesungen fiber reelle Funktionen, Leipzig, 1927.
Coddington E. A., Levinson N., Uniqueness and convergence of succes-
successive approximations, J. Indian Math. Soc, 16, 75—81 A952).
van К a m p e n E. R., Remarks on systems of ordinary differential equations,
Amer. J. Math., 59, 144—152 A937).
M fi 11 e r M., Uber das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewohnlichen
Differentialgleichungen, Math. Z., 26, 619—645 A927).
Peano G., Sull'integrabilita delle equazioni differenziali di primo ordine, Atti
Accad. Sd. Torino, 21, 677—685 A885—1886).
Perron O., Ein neuer Existenzbeweis ffir die Integrate eines Systems gewohn-
gewohnlicher Differentialgleichungen, Math. Ann., 78, 378—384 A917).
Viswanatham В., The general uniqueness theorem and successive approxima-
approximations, J. Indian Math. Soc, 16, 69—74 A952).
W i n t n e r A., On the convergence of successive approximations, Amer. J. Math.,
68, 13—19 A946).
The infinities in the non-local existence problem of ordinary differential
equations, Amer. J. Math., 68, 173—178 A946).
К гл. Ill
Darboux G., Lec/ons sur la theorie generate des surfaces, 2d ed., Paiis, 1915;
vol. 2, pp. 112—149.
D u n k e 1 O., Regular singular points of a system of homogeneous linear differential
¦> equations of the first order, Proc. Amer. Acad. ScL, 38, 341—370 A912—
1913).
F1 о q u e t G., Sur les equations differentielles lineaires a coefficients periodiques,
Ann. Ecole Norm., ser. 2, 12, 47—89 A883).
Forsyte A. R., Theory of differential equations, vol. 4, Cambridge, 1902.
F u с h s L., Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen
Koeffizienten, J. fur Math., 66, 121—160 A866); 68, 354—385 A868).
Levinson N., The asymptotic nature of the solutions of linear systems of differ-
differential equations, Duke Math. J., 15, 111—126 A948).
Schlesinger L., Vorlesungen fiber lineare Differentialgleichungen, Leipzig,
1908.

ЛИТЕРАТУРА	459»
К гл. IV
В i r k h о f f G. D., A simplified treatment of the regular singular point, Trans..
Amer. Math. Soc, II, 199—202 A910).
Forsyth A. R., Theory of differential equations, vol. 4, Cambridge, 1902.
Frobenius Q., Uber die Integration der linearen Differentialgleichungen.
durch Eteihen, J. fur Math., 76, 214—235 A873).
Fuchs L., Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen.
Koeffizienten, J. fur Math., 66, 121—160 A866); 68, 354—385 A868).
Riemann В., Gesammelte Werke, 2 Aufl., Leipzig, 1892.
Schmidt A., Neuer Beweis eines Hauptsatzes fiber Bestimmtheitsstellen linearer
Differentialgleichungssysteme, J. fur Math., 179, 1—4 A938).
К гл. V
В i г к h о f f G. D., Singular points of ordinary linear differential equations, Trans.
Amer. Math. Soc, 10, 436—470 A909).
В о r e 1 Ё., Memoire sur les series divergentes, Arm. Ecole Norm., ser. 3,16, 9—136-
A899).
Cope F. Т., Formal solutions of irregular linear differential equations I, Amer.
J. Math., 56, 411—437 A934); II, 58, 130—140 A936).
Horn J., Laplacesche Integrate, Binomialkoeffizientenreihen und Gammaquo-
tientenreihen in der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Math.
Z., 21, 85—95 A924).
Лаппо- Данилевский И. A., Memoires sur la theorie des systemes des.
equations differentielles lineaires, Труды мат. ин-та им. Стеклова, АН
СССР, ч. I, 1934; ч. II, 1935; ч. III, 1936. (См. также «Применение функ-
функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений»*, М., 1957.)
Р о i n с а г ё Н., Sur les integrates irregulieres des equations lineaires, Ada Math.,
8,	295—344 A886).
Sternberg W., Uber die asymptotische Integration von Differentialgleichun-
Differentialgleichungen, Math. Ann., 81, 119—186 A920).
Trjitzinsky W. J., Analytic theory of linear differential equations, Ada-
Math., 62, 167—226 A933).
Singular point problems in the theory of linear differential equations, Bull.
Amer. Math. Soc, 44, 209—223 A938).
К гл. VI
В i r k h о f f G. D., On the asymptotic character of the solutions of certain linear
differential equations containing a parameter, Trans. Amer. Math. Soc,
9,	219—231 A908).
L a n g e r R. E., The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations
of the second order, with special reference to a turning point, Trans. Amer.
Math. Soc, 67, 461—490 A949).
N о a i 11 о n P., Developpements asymptotiques dans les equations differentielles
lineaires a parametre variable, Mem. Soc. Set. Liege, ser. 3, 11, 197 A912).
Schlesinger L., Uber asymptotische Darstellungen der Lo'sungen linearer
Differentialsysteme als Funktionen eines Parameters, Math. Ann., 63.
277—300 A907).
T r j i t z i n s k у W. J., Theory of linear differential equations containing a para-
parameter, Ada Math., 44, 1—50 A936).
Singular point problems in the theory of linear differential equations, Bull.
Amer. Math. Soc, 44, 209—223 A938).
T u r r i 11 i n H. L., Asymptotic expansions of solutions of systems of ordinary
linear differential equations containing a parameter, в книге Contributions
to the theory of non-linear oscillations, vol. 2, Princeton, 1952, pp. 81—116.
W a s о w W., Asymptotic solution of the differential equation of hydrodynamic
stability in a domain containing a transition point, Ann. of Math., 58, 222—
252 A953).

-460	ЛИТЕРАТУРА
К гл. VII
Bliss G. A., A boundary value problem for a system of ordinary linear differential
equations of the first order, Trans. Amer. Math. Soc, 28, 561—589 A926),
Kneser A., Untersuchungen fiber die Darstellung willkfirlicher Funktionen
in der mathematischen Physik, Math. Ann., 58, 81—147 A904).
Die Theorie der Integralgleichungen und die Darstellung willkfirlicher
Funktionen in der mathematischen Physik, Math. Ann., 63, 477—524 A907).
H i 1 b e r t D., Grundzfige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichun-
Integralgleichungen II, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 213—259 A904).
-Reid W. Т., A new class of self-adjoint boundary value problems, Trans. Amer.
Math. Soc, 52, 381—425 A942). ¦
К гл. VIII
В i г к h о f f G. D., Existence and oscillation theorem for a certain boundary value
problem, Trans. Amer. Math. Soc, Ю, 259—270 A909).
Bocher M., Lemons sur les methodes de Sturm, Paris, 1917.
¦Hamel G., Ober die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit peri6-
dischen Koeffizienten, Math. Ann., 73, 371—412 A913).
.Haupt O., Ober lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung
mit periodischen Koeffizienten, Math. Ann., 79, 278—285 A918).
Kamke E., Neue Herleitung der Oszillationsatze ffir die linearen selbstadjun-.
gierten Randwertaufgaben zweiter Ordnung, Math. Z., 44, 635—658 A938).
-С т р е т т М. Дж. О. (S t r u 11 M. J. О.), Функции Ляме, Матье и родственные
им в физике и технике, Харьков—Киев, 1935.
Reelle Eigenwerte verallgemeinerter Hillscher Eigenwertaufgaben 2. Ord-
Ordnung, Math. Z., 49, 593—643 A943—1944).
: S t u r m C, Sur les equations differentielles lineares du second ordre, J. de Math.,
1, 106—186 A836).
К гл. IX
Hartman P., Wintner А., различные статьи в Amer. J. Math. A945—
1951).
Kodaira K., The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the
second order and Heisenberg's theory of S-matrices, Amer. J. Math.,
71, 921—945 A949).
LevinsonN, A simplified proof of the expansion theorem for singular second
order linear differential equations, Duke Math. J., 18, 57—71; 719—722
A951).
Stone M. H., Linear transformations in Hilbert space and their applications to
analysis, Amer. Math. Soc. Colloquium Publ., vol. 15, 1.932.
Tit-ch marsh E. C, Eigenfunction expansions associated with second-order
differential equations, Oxford, 1946.
W e у 1 H., ijber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singularen
Stellen und ihre Eigenfunktionen, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 37—64 A909).
Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen, Math. Ann., 68,
220—269 A910).
Uber gew6hnliche Differentialgleichungen mit singularen Stellen und ihre
Eigenfunctionen, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 442—467 A910).
Yosida K., On Titchmarsh—Kodaira's formula concerning Weyl—Stone's
eigenfunction expansion, Nagoya Math. J., 1, 49—58 A950).
К гл. Х
¦ С о d d i n g t о n E. A., The spectral representation of ordinary self-adjoint
differential operators, Ann. of Math., 60, 192—211 A945).
The spectral matrix and Green's function for singular self-adjoint boundary
value problems. Canadian J. Math., 6, 169—185 A954).

ЛИТЕРАТУРА	461
Hal ре rin I., Closures and adjoints of linear differential operators, Ann. of
Math., 38, 880—919 A937).
К о d a i г а К-, On ordinary differential equations of any even order and the cor-
corresponding eigenfunction expansions, Amer. J. Math., 72, 502—544 A950).
LevinsonN., The expansion theorem for singular self-adjoint linear differential
operators, Ann. of Math., 59, 300—315 A954).
Л(евитан Б. М., Доказательство теоремы разложения по собственным
функциям самосопряженных дифференциальных уравнений, ДАН СССР,
73, 651—654 A950).
К гл. XI
В б с h e r M., Applications and generalizations of the conception of adjoint systems,
Trans. Amer. Math. Soc, 14, 403—420 A913).
Lecons sur les methodes de Sturm, Paris, 1917.
К гл. XII
В i r k h о f f G. D., Boundary value and expansion problems of ordinary differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc, 9, 373—395 A908).
В i r k h о f f G. D., L a n g e r R. E., The boundary problems and developments
associated with a system of ordinary differential equations of the first order,
Proc. Amer. Acad. Sci., 58, 51—128 A923).
TamarkinJ. D., Some general problems of the theory of ordinary linear differ-
differential equations and expansions of an arbitrary function in a series of funda-
fundamental functions, Math. Z., 27, 1—54 A927).
К гл. XIII
Bellman R., On the boundedness of solutions of non-linear differential and
difference equations, Trans. Amer. Math. Soc, 46, 354—388 A948).
L e v i n s о n N., On stability of non-linear systems of differential equations,
Colloq. Math. II, 1949, pp. 40—45.
Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.-Л., 1950.
Perron О., liber Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Integrate von
Differentialgleichungssystemen, Math, Z., 29, 129—160 A929).
Петровский И. Г., О поведении интегральных кривых системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки, Мат.
сборник, 41 :1, 107—156 A934).
Р о i n с а г ё Н., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, vol. 1, Paris,
1892, chap. 3, 4.
К гл. XIV
Coddington E. A., Levinson N., Perturbations of linear systems with
constant coefficients possessing periodic solutions, в книге Contributions
to the theory of non-linear oscillations, vol. 2, Princeton, 1952, pp. 19—35.
F r i e d r i с h s К. О. (и другие), Non-linear mechanics, Brown University,
Providence, 1942—1943 (мимеография).
P i.c a r d Ё., Traite d'analyse, 3 ей., t. 3, Paris, 1928.
Poincare H., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1, Paris,
1892, chap. 3, 4.
К гл. XV
Bendixson I., Sur les courbes definies par des equations differentiates, Ada
Math., 24, 1—88 A901).
D u 1 а с H., Points singuliers des equations differentielles, Mem. Sci. Math., Fasc.
61, Paris., 1934.

462	ЛИТЕРАТУРА
Perron О., tiber die Gestalt der Integralkurven einer Differentialgleichung
erster Ordnung in der Umgebung eines singularen Punktes, Math. Z., 15,
121—146 A922).
P о i n с а г ё H., Sur les courbes definies par une equation differentielle, Oeuvres,
t. 1, Paris, 1892.
W i n t n e r A., Asymptotic integration constant in the singularity of Briot—
Bouquet, Amer. J. Math., 68, 293—300 A946).
Vortices and nodes, Amer. J. Math., 69, 815—824 A945).
К гл. XVI
Bendixson I., Sur les courbes definies par des equations differentielles, Ada
Math., 24, 1—88 A901).
P о i n с а г ё H., Sur les courbes definies par une equation differentielle, Oeuvres,
t. 1, Paris, 1892.
К гл. XVII
В о h 1 P., tiber die hinsichtlich der unabhangigen und abhangigen Variabeln
periodische Differentialgleichung erster Ordnung, Ada Math., 40, 321—336
A916).
D e n j о у A., Sur les courbes definies par les equations differentielles a la surface
du tore, J. de Math., sen 9, 11, 333—375 A932).
v a n К a m p e n E. R., The topological transformations of a simple closed curve
into itself, Amer. J. Math., 57, 142—152 A935).
Kneser H., Regulare Kurvenscharen auf den» Ringflachen, Math. Ann., 91,
135—154 A923).
Si e gel С L., Note on differential equations on the torus, Ann. of Math., 46,
423—428 A945).

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(Л) 28, 409	еА 76
(ЛН) 86	Еп 74
(ЛО) 79	/, gr (/, g), || / И 203
(НЛ) 409	G(t, r, I) 209
(С) 24	G( ,т, 0, C(f, , 0 297, 298
(Сх) 42	/ 9
(С,) 43	If(J) 435
(С„) 39	Lip 16
(С2А) 46	L, U- 205
(У) 10	та 246
(Уп) 30	spA 34, 75
(Уп) 30	|x|,iix||,|x| 26
(а, Ь), (а, Ы, [a, b), [a, ft] 9	ф 297
А, А, А*, А, А, А~\ ! А | 74	^ 2б5
adj P 168	© 209
С+, С- 423	II ©|| 211
С™ 246	fi2(a, ft) 205
Cfc(D), C(i) 9	й(о, со) 243
С?(/) 11	«(е) 251, 273
(с, Lip), Lip 16	©(/, g) 311
D 9, 24	On 74
det Л 34, 74	~ 162

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(з. — задачи)
Автономная система 373, 383
Айне (Ince E. L.) 185
Аналитический вектор 42
Асимптотика грубая 104
Асимптотическая устойчивость траек-
траекторий 352, 385
— фаза 352, 439 (з. 2)
Асимптотически устойчивое решение
343, 351
Асимптотические ряды 162, 187, 188
(з. 1-5)
	для линейных систем с боль-
большим параметром 193
	 уравнения порядка п с
параметром 198
	и интеграл Лапласа 185
	как формальные решения 175,
176, 183
Асимптотическое поведение решений
линейных систем 103, 112 (з. 3—6),
118 (з. 29), 119 (з. 33), 120 (з. 35,
37)
	нелинейных систем 357,
359, 372, 376—378 (з: 1—14)
	уравнений второго порядка
117C. 28), 119C.30,31)
	порядка п 119 (з. 32,
34), 120 (з. 36, 38)
Асколи лемма 14
Базис, см. Фундаментальное множе-
множество
Бесселя неравенство 214
—	уравнение 150 (з. 8, 9)
—	функции 283 (з. 16)
Билинейная форма 311
Боля теорема 454
Брауэра теорема о неподвижной точке
51 (з. 10), 441 (з. 6)
Вариации постоянных формула 87
Вектор 25
Вектор аналитический 42
—	компонента 25
—	норма (или величина) 26, 42
—	производная 25
—	эвклидова длина 26
Ветвления точка 190
Возмущения, двумерный случай 376
(з. 5), 377 (з. 6—10), 409
—	линейных систем 343, 357, 376
(з. 1,2)
	с периодическим решением,
автономный случай 396
	неавтономный
случай 387
	 периодическими коэф-
коэффициентами 403 (з. 4)
—	уравнений второго порядка 387,
402 (з. 1)
Вращения число 446
Вронскиан 94
Выпуклая область 16
Вырожденное гипергеометрическое
уравнение 146
Гильбертово пространство 253
Гипергеометрическое уравнение 146
	вырожденное 146
Гомеоморфизм 443, 452
Грина формула 96
— функция 209, 321
	в случае предельного круга 266
	для задач второго порядка 247
	— несамосопряженных задач
338, 341 (з. 3)
	оператора Lx=— х" 327
	Lx = —х" + q(t)x 332
	 сингулярного случая по-
порядка п 303
	системы первого порядка
222 (з. 16)
	сопряженной задачи 322
	полюсы 220 (з. 7)
	разложение 219 (з. 4)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
465
Грина функция связь со спектраль-
спектральной матрицей 305
	симметрия в самосопряжен-
самосопряженном случае 220 (з. 6)
Грубая асимптотика 104
Данжуа (Denjoy A.) 448
Дифференциальное уравнение 10
	на торе 442, 455
Единственности теоремы для началь-
начальных задач 18, 60, 73 (з. 1, 2)
Единственность спектральной матри-
матрицы, см. Спектральная матрица
	 функции 251
Жордана теорема 428
Жорданова кривая 428, 434
Зависимость верхнего решения от на-
начальных данных 59
— решений от начальных данных
31, 34, 50 (з. 7), 51 (з. 9), 70
	аналитический слу-
случай 34
	случай разрывной
правой части 49 (з. 6)
	параметра 31, 34, 50 (з. 7),
71, 72
	 аналитический случай
34
Задачи на собственные значения, см.
Краевые задачи
Замкнутое множество функций 217
Индекс изолированный особой (кри-
(критической) точки 434
—	исключительный 392
—	кривой Жордана 435
—	периодической траектории 437
—	простой особой (критической) точ-
точки 437
—	сингулярный 392
Интервал 9
Иррегулярная особая точка 125, 139
	обобщение для нелиней-
нелинейных систем 349
Исключительные индексы 392
—	компоненты 392
Кажущаяся особенность 128
Кампен ван (van Kampen E.) 448
Каноническая форма матрицы 75,
120 (з. 39, 40)
Каратеодори теорема существова-
существования 54
Комплексные системы 41
Компонента вектора 25
—	исключительная 392
—	сингулярная 392
Копсон (Copson E. Т.) 146
Коши—Буняковского неравенство 210
—	интегральная формула 326
—	интегральный метод 325
Коши—Пеано теорема 14
Краевая задача 205
	 для нелинейного уравнения
второго порядка 49 (з. 5)
	сингулярной пары уравне-
уравнений первого порядка 283 (з. 20)
	сингулярных систем пер-
первого порядка 307, 308 (з. 3—6)
	порядка п 307 (з. 1)
	 систем первого порядка
341 (з. 2)
	порядка п 223 (з. !8)
	уравнений второго порядка
228
	 неоднородная 320
	несамосопряжеиная второго
порядка 332
	для систем первого порядка
341 (з. 2)
	 порядка п 336
	 однородная 317
	 периодические краевые усло-
условия 231
	самосопряженная 317
	сингулярная самосопряжен-
самосопряженная второго порядка 240
	 порядка п 285
	сопряженная 317
Краевой оператор 312
Краевые формы 312
	векторные 312
	 дополнительные 313
Краевых форм формула 314
Кусочно непрерывная производная
11
Лагранжа тождество 98
Лапласа интеграл 185
Лежандра уравнение 150 (з. 11)
Линейные системы, аналитические ко-
коэффициенты 102
	асимтотическое поведение ре-
решений 103
	возмущения; см. Возмуще-
Возмущения линейных систем
	 двумерные 404
	неоднородные 86
	однородные ; см. Однородные
линейные системы
	особые точки; см. Особые
точки линейных систем
30 182.

466
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Линейные системы, периодические
коэффициенты 90, 308 (з. 6)
	порядка п 70, 86, 117 (з. 27)
	постоянные коэффициенты 87,
113	(з. 13)
	содержащие большой пара-
параметр 189
—	уравнения вронскиан 94
	метод вариации постоянных
87
	неоднородные 86, 99
	однородные 79, 94
	периодические коэффициенты
114	(з. 14)
	понижение порядка 96
	 порядка п 93
	постоянные коэффициенты
100
	сопряженные 97
	фундаментальное множество
95
Липшица постоянная 16
—	условие 16
	абстрактная форма 52 (з. 11)
	 для векторов 28
	обобщенная форма 48 (з. 2)
Логарифм матрицы 77
Логарифмическая матрица, формаль-
формальная 130
—¦ сумма, формальная 130
Логарифмически-экспоненциальная
матрица 156
	сумма 155
Лорана формальные ряды 129, 190
Матрица единичная 36, 74
—	каноническая форма 75, 120
(з. 39, 40)
—	комплексно сопряженная 74
—	логарифм 77
—	логарифмически-экспоненциаль-
—	логарифмически-экспоненциальная 156
—	норма 74
—	нулевая 74
—	обратная 74
—	определитель 34, 75
—	особая 74
—	производная 78
—	след 34, 75
—	сопряженная 74
—	спектральная, см. Спектральная
матрица
—	транспонированная 74
—	формальная логарифмическая
130
—	формальное решение 156
—	фундаментальная, см. Фундамен-
Фундаментальная матрица
—	характеристические корни 74
Матрица, характеристический много-
многочлен 74
—	характеристическое уравнение 77
—	экспонента 75
Матрицы подобные 75
—	ряды 76
—	сходимость 75
Матье уравнение 238
Маятник, затухающие колебания 439
(з. 3)
Мейсснера уравнение 238
Мультипликативный интеграл 111
(з. 2)
Мультипликаторы 92
Начальная задача 10
	для систем 24
	теоремы единственности 18,
60, 73 (з. 1, 2)
	существования 18, 19
Неавтономные системы 379
Неоднородные линейные системы, фор-
формула вариации постоянных 87
	¦ — фундаментальная матрица
86
Норма (или величина) вектора 26, 42
—	интегрального оператора 211
—	матрицы 74
—	последовательности чисел 218
—	функции в S2 205, 286
Нормированные собственные функ-
функции 214
Нули решений уравнений второго по-
порядка 225, 276 (з. 1), 277 (з. 2—4)
Области устойчивости 235, 239
(з. 6, 9)
Область 9
Обратного преобразования теорема
для сингулярных систем поряд-
порядка л 307 (з. 1)
	сингулярный случай вто-
второго порядка 253
	порядка п 290, 291
Обращение дифференциального опе-
оператора 266, 280 (з. 12), 289, 303
Однородные линейные системы 79
	понижение порядка 83
	соответствующее матрич-
матричное уравнение 80
	сопряженные 82
	фундаментальная матрица
80
	• — фундаментальное множе-
множество (или базис) 80
Оператор дифференциальный 93
— сопряженный 96, 205
Определяющее уравнение 137, 141

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
467
Ортогональные функции 205
Ортонормированная последователь-
последовательность 203, 213, 214
Особая точка линейной системы 125
	второго рода 125
	 в бесконечности
152
	 изолированная 125
	иррегулярная 125, 139,
183
	кажущаяся 128
	 первого рода 125
	 в бесконечности
142, 152
	регулярная 125, 142
	 ранг 125 .
	системы порядка п первого
рода 149 (з. 1, 2)
	 уравнения порядка п 136
	¦	иррегулярная 139,
183
	первого рода 136
	регулярная 138
Особые (критические) точки дей-
действительной системы 404, 409,
410, 423, 437
—	индекс 437
	простые 410, 437
Парсеваля равенство 204, 215
—	•— для сингулярных систем по
рядка п 307 (з. 1)
	сингулярный случай второго
порядка 252, 273
	порядка п 288, 309 (з. 9)
Первая вариация 351
Перемежаемость нулей решений 226
Периодические коэффициенты в воз-
возмущениях линейных систем 376
(з. 4), 403 (з. 4)
	линейных системах 90, 308
(з. 6)
	сингулярных задачах 280
(з. 10, 11)
	уравнении второго порядка
112, 113 (з. 7—11), 231
	 первой вариации 351
	порядка п 114 (з. 14)
	 устойчивость систем 350
Периодические краевые условия для
уравнений второго порядка 231
—	нелинейные системы 351, 378
(з. 12, 13), 379
	 уравнения 442
—	решения, аналитический случай
382, 385, 394, 396, 399, 400
	асимптотическая устойчивость
381
	 траекторий 385
Периодические решения, сущест-
существование в автономном случае
383, 399
	неавтономном случае
379, 394, 403 (з. 2, 3)
	для нелинейных уравне-
уравнений 425, 430, 439 (з. 1), 440
(з. 4, 5) 441 (з. 6—7)
	 на торе 446
Перрон (Perron О.) 343
Пикара—Линделёфа теорема сущест-
существования 21
Планшереля равенство 241
—	теорема 285
Полутраектория 423
Полярные уравнения 409
—	функции 405
Последовательные приближения 20
	в банаховом пространстве 51
(з. 10)
	 расходимость 65
	сходимость 66, 73 (з. 3)
Постоянные коэффициенты 87, 100,
113 (з. 13)
Предельная точка 247
	полутраектории 423
—	траектория 426
Предельного круга в бесконечности
случай 243, 247, 263
Предельной точки в бесконечности
случай 243, 247
	достаточные условия
248
	случай, примеры 276 (з. 1), 277
(з. 2, 4), 280 (з. 10, 11)
Предельные множества траекторий 423
Предельный круг 246, 247
—	цикл 426
Приближенные решения 11, 28
	расходимость 52 (з. 12)
Притяжения точка 410
Продолжение решений 23,24,73 (з. 4,5)
—	верхних и нижних решений 58,
59
Производная вектора 25
Производное множество 446
Пространство ?2 203
—	&%е) 251, 273, 288
Пуанкаре A. (Poincare H.) 152, 448
Пуанкаре—Бендиксона теорема 426
Равенство Парсеваля, см. Парсеваля
равенство
Равностепенная непрерывность 13
Равносходимость 330, 335
Разложения теорема для сингулярных
систем порядка п 307 (з. 1)
	систем первого порядка
222 (з. 17)
30*

¦%¦¦
468
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разложения теорема для систем
порядка п 223 (з. 18)
	несамосопряженный случай
второго порядка 330, 335, 339,
441 (з. 3)
	 порядка п 339
	самосопряженный случай 214
	сингулярный случай второго
порядка 252, 273
	порядка п 288, 289, 309
(з. 9)
	формулировка в гильбертовом
пространстве 308 (з. 7), 309 (з. 8, 9)
Ранг особой точки 125
Регулярная особая точка 125, 142
—	точка 423
Реллих (Rellich F.) 309 (з. 8)
Решение 10
—	верхнее 56
—	в расширенном" смысле 53
—	зависимость от начальных дан-
данных ; см. Зависимость от началь-
начальных данных
—	нижнее 56
—	периодическое; см. Периодиче-
Периодические решения
—	продолжение ; см. Продолжение
решений
—	субгармоническое 351
—	тривиальное 79
—	устойчивое 343, 347, 351
—	формальное 131
—	е-приближенное 11
Рисе Ф. (Riesz F.) 309
Рисса—Фишера теорема 218
Самосопряженности условие 204
Самосопряженные задачи (см. также
Краевая задача) 204, 205
	для систем первого порядка
307 (з. 3, 4), 308, (з. 5, 6)
	порядка п 307 (з. 1)
	 краевые условия для них 222
(з. 15)
	примеры 218 (з. 1), 219 (з. 2, 3)
	случай предельного круга 267
	предельной точки 281
(з. 13), 283 (з. 17)
Самосопряженный дифференциальный
оператор 221 (з. 13), 222 (з. 14)
—	оператор 309 (з. 8)
Седло 377 (з. 7), 407, 421, 438
Секефальви-Надь Б. (Sz.-Nagy В.) 309
(з. 8)
Симметричный оператор 308 (з. 7)
Сингулярные индексы 392
—	компоненты 392
—	краевые задачи, см. Краевая за-
задача
Системы дифференциальных уравне-
уравнений 24
	комплексные 41
	начальная задача 24
Системы типа Фукса 143
Скалярное произведение 205
Смежные траектории 434
Собственные значения 202, 205
	в случае предельного круга
282 (з. 15)
	 для интегрального оператора
210
	уравнений второго порядка
238 (з. 3, 4), 239 (з. 5)
	существование 212
	 для уравнений второго по-
порядка 229
—	функции 202, 205
	в сингулярных задачах 274,
279 (з. 6, 7)
	для систем первого порядка
222 (з. 17)
	порядка п 223 (з. 18)
	замкнутость множества в са-
самосопряженном случае 220 (з. 8)
	 интегрального оператора 210
	нормированные 213
	 ортогональность 205
	 ортонормированные 214
	полнота множества в самосо-
самосопряженном случае 215—218
	счетность множества 206
Соотношение полноты, см. Парсеваля
равенство
Сопряженное уравнение 96
Сопряженные системы 82
Сопряженный оператор 96
Спектр 274, 293
—	непрерывный 274, 293
—	производное множество 279 (з. 8)
—	собственные значения 274
—	точечный 274, 293
Спектральная матрица в несингуляр-
несингулярном случае порядка п 287
	 сингулярном случае по-
порядка п 287
	случае предельного круга
272
	выражение при помощи функ-
функции Грина 305
	 единственность 293
	в сингулярном случае вто-
второго порядка 272, 273
	порядка п 293,
296, 305, 306
—	функция в несингулярном слу-
случае 251, 252
	 второго порядка 251
	случае предельного круга
263

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
46&
Спектральная функция в случае
предельной точки 252
	единственность 251, 252, 281
(з. 14)
	примеры 276 (з. 1), 277 (з. 2, 4),
280 (з. 10,11)
Спектральное разложение 302 (з. 8)
Сравнения теоремы 225
Степенные ряды, формальные 130
Субгармонические решения 351
Существования теорема для аналити-
аналитических систем 43, 44
	верхних и нижних реше-
решений 56
	линейных систем 29, 50
(з.7), 111(з. 1,2)
	начальной задачи 14
	последовательных прибли-
приближений 21, 48 (з. 4)
	уравнения, неразрешенно-
неразрешенного относительно производной 51
(з. 8)
	Каратеодори 54
	Коши—Пеано 14
	Пикара—Линделёфа 21
	 формулировка в банаховом
пространстве 51 (з. 10), 52 (з. 11)
Сходимость по норме 203
Теорема обратного преобразования,
см. Обратного преобразования
теорема
—	существования, см. Существова-
Существования теорема
Топологическое отображение 32 72,
443, 453
Тор, дифференциальное уравнение на
нем 442, 453, 454
Траектория 352, 424
—	двумерной линейной системы
404—408
—	периодическая 427—430
—	предельная 426
—	смежная 434
Трансверсаль 426
Тривиальное решение 79
Туритин (Turritin H. U.) 198
Узел 405
—	неправильный 406
—	правильный 405, 410
Уравнения порядка п (см. также
Краевая задача) 30
	 начальная задача 30
	решение 30
	соответствующая система
30
	теорема существования 31
Условие Липшица, см. Липшица усло-
условие
Условная устойчивость 360, 364
Устойчивое многообразие 360, 374,
375
—	решение 343, 347, 351
Устойчивости области 235, 239
(з. 6, 9)
Устойчивость асимптотическая 343,
351
—	решений двумерных линейных
систем 409
—	траекторий (орбитальная устой-
устойчивость) 433, 439 (з. 2)
	асимптотическая 352, 385
—	условная 360, 364
Фокус 408
—	правильный 412
Формальная логарифмическая сумма
130
Формальные логарифмически-экспо-
логарифмически-экспоненциальные матрицы 156
	 суммы 155
Формальные решения 131
	асимптотическая природа 175,
176, 177, 183, 187 (з. 1—4), 188
(з. 5), 193, 194
	для линейных систем с боль-
большим параметром 190, 191
	неоднородных линейных
систем с параметром 200 (з. 1),
201 (з. 2)
	систем с особенностью вто-
второго рода 156, 157
	 первого рода
133—136
—	ряды Лорана 129, 190
—	степенные ряды 130
Формула Грина, см. Грина фор-
формула
Фрагмена—Линделёфа теорема 176
Фробениуса метод 146
	для систем 150 (з. 13)
Фундаментальная матрица 80
—	для случая особенности пер-
первого рода 133, 135
	соответствующая уравнению
порядка п 317
Фундаментальное множество решений
(или базис) 80, 95
Функция Грина, см. Грина функ-
функция
Фурье интегральная формула 275
—	коэффициенты 203, 214
Характеристические корни матрицы
74

470
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Характеристические показатели 92
Характеристический многочлен мат-
матрицы 74
Характеристическое уравнение мат-
матрицы 77
Хелли теорема 253
Хилла уравнение 238
Центр 408, 410, 415, 416
Число вращения 443
Эвклидова длина вектора 26
Эйлера уравнение 136, 145
Эргодический случай 448
	 достаточное условие 450
	характеристика решений 453,454
Эрмита многочлен 275
— оператор 275

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика		5
Из предисловия авторов 		7
Глава I. существование и единственность решений
§ 1. Существование решений		9
§ 2. Единственность решений 		16
§ 3. Метод последовательных приближений 		20
§ 4. Продолжение решений		22
§ 5. Системы дифференциальных уравнений		24
§ 6. Уравнение порядка п 		30
§ 7. Зависимость решений от начальных данных и параметров		31
§ 8. Комплексные системы		41
Задачи 		47
Глава II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ (ПРО-
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§;1. Расширение понятия решения. Верхние и нижние решения ...	53
§ 2. Уточнения теорем единственности		60
§ 3. Единственность и последовательные приближения		65
§ 4. Зависимость решений от начальных данных и параметров		70
Задачи 	•		73
Глава III. линейные дифференциальные уравнения
§ 1. Предварительные определения и обозначения		74
§ 2. Линейные однородные системы 		79
§ 3. Неоднородные линейные системы 		86
§ 4. Линейные системы с постоянными коэффициентами 		87
'§ 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами 		90
§ 6. Линейные дифференциальные уравнения порядка п		93
§ 7. Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами 		102
§ 8. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем	103
Задачи 		111

4/2	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. линейные системы с изолированными особенно-
особенностями. ОСОБЕННОСТИ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Введение 		122
§ 2. Классификация особенностей 		125
§ 3. Формальные решения		128-
§ 4. Строение фундаментальных матриц 		132:
§ 5. Уравнение порядка п		136
§ 6. Особенности в бесконечности 		141
§ 7. Пример. Уравнение второго порядка		145
§ 8. Метод Фробениуса 	_		146
Задачи 		149
Глава V. линейные системы с изолированными особенно-
особенностями. ОСОБЕННОСТИ ВТОРОГО РОДА
§ 1. Введение 		152.
§ 2. Формальные решения		155
§ 3. Асимптотические ряды 		162
§ 4. Существование решений, которые имеют своими асимптотически-
асимптотическими разложениями формальные решения. Действительный случай	165
§ 5. Асимптотическая природа формального решения в комплексном
случае 		176
§ 6. Случай, когда матрица Д, имеет кратные характеристические
корни		182.
§ 7. Иррегулярные особые точки уравнения порядка п		183
§ 8. Интеграл Лапласа и асимптотические ряды 		185
Задачи 		187
Глава VI. асимптотическое поведение линейных систем,
СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
§ 1. Введение 		189
§ 2. Формальные решения		190
§ 3. Асимптотическое поведение решений		193
§ 4. Случай равных характеристических корней 		197
§ 5. Уравнение порядка п 		198
Задачи 		200
Глава VII. самосопряженные задачи на собственные зна-
значения В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
§ 1. Введение 		202
§ 2. Самосопряженные задачи на собственные значения 		205
§ 3. Существование собственных значении 		210
§ 4. Теоремы разложения и полноты		214
Задачи 		218
Глава VIII. теоремы осцилляции и сравнения для линейных
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Теоремы сравнения 			225
§ 2. Существование собственных значений 		228
§ 3. Периодические краевые условия 		231

ОГЛАВЛЕНИЕ	.	473
§ 4. Области устойчивости для уравнений второго порядка с периоди-
периодическими коэффициентами	 235
Задачи 	 238
Глава IX. син«улярньпз самосопряженные краевые задачи
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Введение 		240
§ 2. Случаи предельной точки и предельного круга		243
§ 3. Теоремы полноты и разложения в случае предельной точки в
¦ бесконечности		250
§ 4. Случай предельного круга в бесконечности 		263
§ 5. Сингулярное поведение на обоих концах интервала		267
Задачи		276
Глава X. сингулярные самосопряженные краевые задачи
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА п
§ 1. Введение '.		285
§ 2. Теорема разложения и равенство Парсеваля 		286
§ 3. Теорема обратного преобразования и единственность спектраль-
спектральной матрицы 		289
§ 4. Функция Грина 		297
§ 5. Представление спектральной матрицы при помощи функции
Грина		304
Задачи 		307
Глава XI. алгебраические свойствалинейных краевых задач
НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§ 1. Введение 		310
§ 2. Формула краевых форм 		312
§ 3. Однородные краевые задачи и сопряженные задачи		314
§ 4. Неоднородные краевые задачи и функция Грина 		320
Задачи 		323
Глава XII. несамосопряженные краевые задачи
§ 1. Введение 		325
§2. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = —х"	327
§ 3. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = — х" +
+ q[t)x 		332
§ 4. Случай уравнения порядка п		336
§ 5. Характер разложения 		338
Задачи 		341
Глава XIII. асимптотическое поведение нелинейных систем.
УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1. Асимптотическая устойчивость		343
§ 2. Первая вариация. Устойчивость траекторий (орбитальная устой-
устойчивость) 		351
§ 3. Асимптотическое поведение одной системы 		357
§ 4. Условная устойчивость		359

474	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Поведение решений вне устойчивого многообразия		372
Задачи 		37&
Глава XIV. возмущения систем, имеющих периодическое
РЕШЕНИЕ
§ 1. Неавтономные системы 		379
§ 2. Автономные системы		383.
§ 3. Возмущение линейной системы с периодическим решением в
неавтономном случае		387
§ 4. Возмущение автономной системы с обращающимся в нуль
якобианом		396
Задачи 		402
Глава XV. теория возмущений двумерных действительных
АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Двумерные линейные системы 	•.		404
. § 2. Возмущения двумерной линейной системы		409
§ 3. Правильные узлы и правильные фокусы 		411
§ 4. Центры 		415
§ 5. Неправильные узлы		418
§ 6. Седла		421
Задачи 		422
Глава XVI. теория Пуанкаре—бендиксона двумерных авто-
автономных систем
§ 1. Предельные множества траектории 		423
§ 2. Теорема Пуанкаре—Бендиксона 		426
$3. Предельные множества с особыми точками		430
§ 4. Индекс изолированной особой точки		434
§ 5. Индекс простой особой точки 		437
Задачи 	:		439
Глава XVII. дифференциальные уравнения на торе
§ 1. Введение 		442
§ 2. Числа вращения		443
§ 3. Производное множество		446
§ 4. Эргодический случай		448
§ 5. Характеристика решений в эргодическом случае		452
§ 6. Система двух уравнений 		455
Литература..:		457
Указатель обозначений		463
Предметный указатель		464

Опечатки
Стр.
149
172
281
378
428
Строка
6 СН.
15 св.
2 сн.
6 св.
6 сн.
Напечатано
формула
не обозначена
неравенству
Жердана
Следует читать
(*)
равенству
Q
Жордана