/
Author: Данфорд Н. Шварц Дж.Т.
Tags: анализ математический анализ монография функциональный анализ спектральная теория линейные системы
Year: 1974
Text
ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
LINEAR OPERATORS
Part III
SPECTRAL OPERATORS
Nelson DUNFORD and Jacob T. SCHWARTZ
With the assistance
of William G. BADE and Robert G. BARTLE
19 7 1
WILEY-INTERSCIENCE
A DIVISION OF JOHN WILEY & SONS, INC.
NEW YORK • LONDON t SYDNEY . TORONTO
Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц
при участии
У. Бей да и Р. Барт л а
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Спектральные операторы
Перевод с английского
Р. С. Исмагилова и Б. С. Митягина
Под редакцией
А. Г. Костюченко
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1974
УДК 517.43
Эта книга — заключительный том хорошо известной
фундаментальной монографии по теории операторов, первые
два тома которой вышли в русском переводе в Издательстве
иностранной литературы в 1962 г. и в издательстве «Мир» в 1966 г.
соответственно. Третий том посвящен спектральным операто-
операторам — важному классу несамосопряженных операторов. В нем
систематически излагается теория этих операторов, рассмат-
рассматривается вопрос об их месте в общей теории, изучаются волно-
волновые операторы.
Нет сомнения, что этот том, как и предыдущие, заслужит
широкое признание математической общественности.
Книга интересна специалистам в различных областях
математики, теоретической физики, а также всем, кто хочет
обстоятельно изучить современный математический анализ.
Она доступна студентам-математикам университетов и педин-
пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
20203 003
д " " 74>03-74 © Перевод на русский язм&, «Мир», 1973
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Этим томом (заканчивается обширная монография по теории
операторов, написанная известными американскими математиками
Н. Данфордом и Дж. Шварцем. Два предыдущих тома содержали
общую теорию операторов и спектральную теорию самосопряженных
операторов (как общих, так и дифференциальных). Думается, что
эти два тома заняли весьма почетное место в обширной литературе
по этим вопросам, которая представлена такими превосходными мо-
монографиями как «Лекции по функциональному анализу» Ф. Рисса
и Б. Секефальви-Надя, «Теория линейных операторов» Н. И. Ахие-
зера и И. М. Глазмана, «Линейные дифференциальные операторы»
М. А. Наймарка.
Н. Данфорд и Дж. Шварц в своем труде стремились как можно
полнее охватить общие вопросы теории операторов. Естественно,
что они не могли оставить в стороне спектральную теорию несамо-
несамосопряженных операторов. Спектральная теория таких операторов
весьма трудна и еще далека от своего завершения, однако в послед-
последние два десятилетия она обогатилась целым рядом замечательных
фактов. Очень хорошее изложение достижений в этой области
имеется в вышедшей у нас трехтомной монографии И. Ц. Гохберга
и М. Г. Крейна. Следует сказать, что интерес к этой теории в зна-
значительной степени стимулируется задачами механики и физики.
Третий том целиком посвящен одному весьма специальному
классу несамосопряженных операторов, которые были впервые выде-
выделены и детально изучены Н. Данфордом и его сотрудниками. Это —
так называемые спектральные операторы. Они представляются
-ё виде суммы двух коммутирующих слагаемых, одно из которых
нильпотентно, а другое является скалярным оператором, т. е.
имеет полную систему ограниченных проекторов, приводящих опе-
оператор. Спектральные операторы составляют весьма важный и инте-
интересный класс, так как для них ввиду существования ограниченного
разложения единицы можно построить хорошее операционное
исчисление. Само же спектральное представление таких операторов
можно рассматривать как их жорданову форму.
Предисловие редактора перевода
Вопрос о том, какие конкретные операторы являются спектраль-
спектральными, часто бывает трудным. Например, не найдено эффективных
условий на комплекснозначный потенциал q (x), даже если он фини-
финитен, при которых оператор с непрерывным спектром
Ly = —y" + q(x) у, у@) = О, 0<*< оо,
будет спектральным. Этому весьма простому оператору быть спек-
спектральным мешает существование на непрерывном спектре так назы-
называемых спектральных особенностей, открытых М. А. Наймарком
в 1951 г. Правда, можно написать некоторые условия, связанные
с малостью q (#), которые приводят к отсутствию спектральных осо-
особенностей, но они не интересны.
Все содержание этого тома делится на две части. Первая часть
(гл. XV — XVIII) посвящена общей теории, спектральных опера-
операторов. Ее итог — построение операционного исчисления. Изложе-
Изложение ведется на основе коммутативных банаховых алгебр. Другой
важный результат этой части — нахождение условий на резоль-
резольвенту оператора, которые обеспечивают его спектральность. Вто-
Вторая часть (гл. XIX — XX) посвящена изучению некоторых кон-
конкретных примеров спектральных операторов и построению волно-
волновых операторов в том случае, когда невозмущенный оператор
является спектральным.
Несомненно, что заключительный том обширного труда Н. Дан-
форда и Дж. Шварца будет принят у нас с тем же интересом,
что и два предыдущие.
Перевод гл. XV—XVII выполнен Б. С. Митягиным, гл. XVIII—
XX —Р. С. Исмагиловым.
А, Г. Костюченко
La pensee n'est qu'un eclair аи milieu de la nuit.
Mais c'est cet eclair qui est tout.
Henri Poincare
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
В предисловии к первому тому этой монографии мы писали
о своем намерении включить теорию спектральных операторов во
второй том. Мы считали (и считаем до сих пор), что эта теория
является превосходным введением в более изящную и совершенную
теорию самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
Однако скоро стало очевидным, что естественные ограничения, свя-
связанные с объемом настоящего трактата, не позволят осуществить
это намерение. Исключение теории спектральных операторов из
второго тома объясняется не только появлением большого чиода
работ, посвященных этой теме, но и нашим стремлением продемон-
продемонстрировать ряд важных применений общей теории спектральных
операторов, описание которых занимает несколько сотен страниц.
При изложении теории спектральных операторов в третьем томе
мы столкнулись с двумя не зависящими друг от друга проблемами,
с которыми не встречались в первых двух томах. Мы сейчас кратко
опишем их, поскольку это даст читателю представление об истори-
историческом развитии предмета третьей части, как и всего трактата
в целом, покажет ему, где существующая математическая теория
примыкает к границе между известным и неизвестным^ и продемон-
продемонстрирует ее тесные связи с некоторыми глубокими эмпирическими
результатами современной физики. Приложения к физике вклю-
включают в себя не только проблемы, возникающие в таких современ-
современных теориях, как квантовая механика, теория рассеяния, кван-
квантовая теория поля и квантовомеханическая задача трех тел, но
также и несамосопряженные задачи, связанные с более классиче-
классическими проблемами как, например, с всевозможными явлениями
диффузии, и в особенности с теорией электромагнитных волн. Мы
излагаем абстрактную теорию операторов в основном тексте, а фи-
физические интерпретации и краткое обсуждение старых и новых
задач, относящихся к этой теории, приводим в «Примечаниях
и дополнениях» (особенно см. § XX.6).
Первая проблемаг с которой мы раньше не сталкивались, — это
проблема отбора материала. Чтобы понять ее характер, кратко
напомним, как обстояло дело со спектральной теорией, изложенной
в гл. XIII. -Спектральная теория самосопряженных операторов
Из предисловия авторов
своим возникновением обязана исследованиям колеблющейся стру-
струны, предпринятым Б. Тейлором в 1713 г., ровно через четверть
столетия после опубликования «Начал» Ньютона («Математические
начала натуральной философии» — таково полное название этого
выдающегося труда, имевшего огромное влияние на развитие науки).
Последующее стремительное развитие математики вызвало к жизни
теорию ортогональных разложений, которая была хорошо известна
уже в восемнадцатом веке. В начале девятнадцатого века Штурм
и Лиувилль заложили основы весьма мощной общей теории таких
разложений. В 1910 г. была опубликована основополагающая работа
Г. Вейля. В первые десятилетия нашего века началось плодотвор-
плодотворное развитие абстрактного линейного анализа в работах Ф. Воль-
терра и М. Рисса, Д. Гильберта и его школы -в Гёттингене, Банаха,
Мазура, Шаудера и многих других математиков в Польше. В по-
последние сорок лет оно было продолжено в трудах Гельфанда, Крейна
и Наймарка в Советском Союзе, Какутани, Като, Куроды и Иосиды
в Японии (и в Соединенных Штатах), группы Бурбаки во Франции,
КоложОары и Фойаша в Румынии, Хилле и Филлипса, Фридрихса,
фон Неймана, Пэли г) и Винера в США. Следовало бы упомянуть
и многих других математиков, которые внесли свой вклад в раз-
развитие спектральной теории за эти более чем два с половиной чрез-
чрезвычайно плодотворных столетия в истории математики. В этот
период были заложены основы теории самосопряженных операторов
и в удовлетворительной форме решены многие основные проблемы
этой теории. Таким образом, излагая в главах X, XII и XIII спек-
спектральную теорию самосопряженных операторов, мы располагали
открытиями, накопленными и сформировавшимися на протяжении
более чем двух с половиной столетий, а возможность рассматривать
их в исторической перспективе помогала нам при решении вопроса,
что является существенным и* следовательно, должно быть вклю-
включено в основной текст, а что можно опустить или отнести в «При-
«Примечания и дополнения».
В противоположность теории самосопряженных операторов,
в которой наши знания столь обширны, история соответствующих
несамосопряженных задач сравнительно коротка. К счастью, мы
располагаем глубокими исследованиями Г. Д. Биркгофа [1—7], вы-
выполненными в начале столетия еще до появления современной тео-
теории операторов. Эти работы убедительно указывали на существо-
существование сильных разложений по корневым векторам для широкого
класса несамосопряженных граничных задач, и потому крайне
удивительно, что общие факты такого рода были доказаны лишь
спустя полвека. Изложение результатов Биркгофа в терминах теории
2) Английский математик Р. Пэли A907—1933) работал с Н. Вине-
Винером в Массачусетском технологическом институте, где они сделали ряд
важных открытий. Несчастный случай на лыжах в канадских Скалистых
горах привел к безвременной кончине этого замечательного ученого.
Из предисловия авторов
операторов и их многочисленные обобщения, полученные в основ-
основном Дж. Т. Шварцем и распространенные Г. Крамером, содержатся
в гл. XIX, но общие методы спектральной теории несамосопряжен-
несамосопряженных операторов созданы не более четверти века назад (исключение
составляют лишь некоторые отдельные результаты, как, например,
принадлежащая Ф. Риссу изящная теория компактных операторов).
Но обилие новых теорий превзошло всякие ожидания; они раз-
развивались в многочисленных часто непредвиденных направлениях,
образуя столь причудливые переплетения, что трудно предсказать,
какая из теорий окажется жизнеспособной. Даже при поверхност-
поверхностном взгляде на размеры списка литературы, который в отличие от
предыдущего относится только к третьему тому, хотя и является
продолжением предыдущих списков, становится ясно, что любое
стремление хотя бы в некоторой степени охватить весь относящийся
к данной теме материал привело бы к разнородной смеси, вряд ли
полезной тому, кто намерен работать в этой области, а также на-
настолько увеличило бы объем книги, что многие интересные резуль-
результаты, которые находят применения в современной физике, при-
пришлось бы опустить. Поэтому мы были вынуждены отнести много
интересного материала в параграфы «Примечания и дополнения»
(в виде кратких ссылок). Мы хотим подчеркнуть, что отказ от по-
подробного изложения этих результатов отнюдь не выражает нашего
мнения об их научной ценности.
Вторая проблема, с которой мы не сталкивались в предыдущих
томах, состоит в том, чтобы дать читателю, обладающему миниму-
минимумом знаний по элементарной теории операторов, полное представ-
представление об основных идеях, связанных со спектральными оператора-
операторами и некоторыми наиболее элементарными применениями несамо-
несамосопряженных операторов к задачам математической физики. Дру-
Другими словами, мы стремились к тому, чтобы значительную часть
третьего тома можно было читать, зная лишь немногое из содержа-
содержания первого и второго томов. Поэтому мы излагаем в гл. XV понятие
спектрального оператора, многие его специальные свойства и ряд,
иллюстративных приложений теории, предполагая, что читатель
лишь несколько больше знаком с предметом, чем аспирант первого
года обучения. Хотя таблица зависимости глав показывает, что
глава XV зависит от главы XIV, результаты главы XIV, использо-
использованные в главе XV, сводятся, за одним исключением, к отдельным
элементарным леммам о приближении интегрируемых функций
гладкими. Исключением является теорема Соболева, которая при-
применяется лишь для доказательства следствия, несущественного
с точки зрения развития идей главы XV. Для чтения главы XV
от читателя требуется знакомство с элементарными понятиями ал-
алгебры и топологии множеств, которые можно найти в гл. I, тремя
основными принципами, изложенными в гл. II, и элементарными
Положениями теории интегрирования как относительно конечно
10 Из предисловия авторов
аддитивной функции множеств, так и относительно счетно аддитив-
аддитивной меры. Таким образом, читатель должен быть знаком только
с небольшой частью содержания гл. III. Он должен также хорошо
владеть теорией конечных квадратных матриц с комплексными
элементами, предпочтительно в той форме, в которой эта теория
изложена в § VII. 1, а также с теорией конечномерных и бесконечно-
бесконечномерных гильбертовых пространств в том виде, как она изложена
в § IV.3 и IV.,4. Кроме того, от читателя требуется знание резуль-
результатов § VI 1.3, главы IX о 5-алгебрах и начала главы X, где рассма-
рассматривается спектральная теорема для ограниченных самосопряжен-
самосопряженных операторов. Спектральная теорема для самосопряженных опе-
операторов не является логически необходимой для чтения главы XV,
но знакомство с содержанием этой теоремы полезно, поскольку вре-
время от времени она используется в иллюстративных целях. Материал,
который мы сейчас описали в общих чертах, с некоторыми незна-
незначительными добавлениями позволит читателю усвоить большую
часть содержания третьего тома. Исключение составляет важная
глава XX, в которой существенные я сильные результаты главы
XIII широко используются в приложениях к некоторым глубоким
проблемам современной физики, а также классической теории элек-
электромагнитных волн. Особенность главы XV состоит в элементарном
изложении теории ПарсеваЛя — Планшереля преобразования
Фурье. Это позволяет рассмотреть в § XV. 11 и XV. 12 иллюстра-
иллюстративные примеры и избежать каких-либо ссылок на § XI.3, в котором
эта теория с помощью общей спектральной теоремы построена для
локально компактных групп. В отличие от § XV. 11 трактовка рас-
рассматриваемых вопросов в § XI.3 более сложна. Указанный эле-
элементарный подход оказывается достаточным для наших целей, так
как всюду в третьем томе преобразование Фурье используется
только в конечномерном евклидовом пространстве. Таким образом,
для чтения третьего тома, за исключением его последней главы,
читателю, знакомому с обычными элементарными понятиями теоре-
теоретико-множественной топологии, алгебры, теории аналитических
функций и теории функций вещественной переменной (включая
интеграл Лебега), потребуется лишь незначительное количество
«сведений из функционального анализа (в основном главы II и IX).
В главе XV мы более всего стремились выделить те. основные
элементарные свойства спектральных операторов, которые отли-
отличают их от других операторов. Эти свойства проявляются в различ-
различных формах и не вытекают непосредственно из определения спек-
спектрального оператора. Например, большая часть спектральных
соотношений, установленных в основном С. Фогелем и изложенных
в § XV.8, ни в коей мере не подсказывается спектральными свой-
свойствами самосопряженных или нормальных операторов. Наиболь-
Наибольший интерес в этой теории представляют свойства резольвенты
Л (^; Т) = (к — Т)-1 спектрального оператора Т. Более двадцати
Из предисловия авторов
лет назад Н. Данфорд и Г. Нейбауер независимо заметили, что
для любого вектора х в комплексном В-пространстве, в котором
действует оператор Г, аналитическая функция R (A,; %T) х обладает
только однозначным аналитическим распространением. Глубо-
Глубокое замечание С. Какутани о том, что этим свойством не об-
обладают произвольные линейные операторы, позволяет думать, что
естественная область определения разложения единицы спектраль-
спектрального оператора состоит скорее из борелевских подмножеств беско-
нечнолистной римановой поверхности, чем из борелевских подмно-
подмножеств комплексной плоскости. Насколько нам известно, исследова-
исследования в этом направлении еще не начаты. Свойство однозначности рас-
распространения является одним из трех свойств резольвенты спек-
спектрального оператора, которые будут описаны в главе XV. В сле-
следующей главе показано, насколько близки три эти свойства к до-
достаточным условиям, обеспечивающим спектральность оператора.
Ж^лая сосредоточить наше внимание на новых понятиях и избе-
избежать ненужных отклонений в сторону не относящихся к делу
проблем, мы ограничились изучением спектральных операторов
в комплексном В-пространстве. Однако мы рассматриваем не только
ограниченные операторы, поскольку применения граничных задач
из главы XX к современной атомной физике требуют использова-
использования неограниченных спектральных операторов. Задачи Коши из
главы XV также определяются в терминах некоторых несамосопря-
несамосопряженных систем дифференциальных уравнений в частных производ-
производных (или в ряде случаев уравнений, весьма близких к ним), кото-
которые появляются при решении широкого класса задач о диффузии..
Подобные приложения, а также другие иллюстрации к общей теорий
главы XV намеренно подобраны так, что они носят .элементарный
.характер к, как правило, относятся к случаю гильбертова простран-
пространства, так как в этом случае изложение проще, чем для других
jS-пространств. Другая причина такого ограничения состоит в том,
что йе все утверждения, связанные с этими примерами, справедливы
в произвольном В-пространстве. Мы не установили границ приме-
применимости этих утверждений, и это обстоятельство, возможно, побудит
некоторых читателей к дальнейшим исследованиям.
Глава XV является элементарным введением в предмет третьего
тома. Она содержит вывод большей части характеристических
свойств спектральных операторов, ряд примеров, иллюстрирующих
явления, которые не имели места в теории самосопряженных или
нормальных операторов, и несколько задач Коши для несамосопря-
несамосопряженных систем, составленных из возмущенных операторов Лапласа
<теоремы XV.12.19, XV.12.2f и XV.12.22). Решения задачи Коши,
разобранной в теореме XV. 12.19, а таюке многих других подобных
задач выражаются в виде сверток с ядрами, которые записываются
в явной форме, включающей только элементарные функции, в про-
противоположность тем несложным на первый взгляд граничным зада-
12 Из предисловия авторов
чам для возмущенных операторов вида d2/dt* + q с комплексной
функцией q (t) на бесконечном вещественном интервале 0 ^ / < оо,
решения которых могут оказаться крайне трудными. Подробные
вычисления решений приводятся в тексте. Даже в весьма общей
задаче, разобранной в теореме XV. 12.21, ядро, с помощью кото-
которого выражается решение, представляется в виде достаточно бы-
быстро сходящегося ряда. .
В § XV.15 приводится несколько результатов, довольно слабо
связанных со спектральными операторами. Все они имеют отноше-
отношение к различным вариантам теорем Винера — Хопфа и Винера —
Леви. Глава заканчивается большим количеством упражнений,
собранных в § 16, и многочисленными примечаниями и дополне-
дополнениями в § 17. В главе XV мы преследовали дЁоякую цель. С одной
стороны, мы хотели написать элементарное, исчерпывающее и закон-
законченное введение в предмет, а с другой — отобрать самый существен-
существенный материал для семинара или курса лекций, предназначенных для
аспирантов первого или второго года обучения.
В главе XVI рассматривается трудная задача: исходя из свойств
резольвенты оператора, установить, является ли он спектральным.
Спектральность операторов, фигурировавших в иллюстративных
примерах главы XV, выводилась непосредственно из определения,
в то время как выяснение типа операторов, приведенных в главе
XVI, требует более тонкого анализа, а также введения ряда новых
понятий. Мы верим, что теоремы XVI.4.5, 5115 и 5.18, подводящие
итог этим очень длинным исследованиям, еще получат ряд глубо-
глубоких и интересных применений. Теорему XVI.5.18 в ее первоначаль-
первоначальном варианте мы получили как следствие из предыдущей теоремы,
но, поскольку она является существенной для многих глубоких
результатов главы XX, имеющих важные приложения к некоторым
наиболее трудным проблемам современной атомной физики, мы
привели ее новое доказательство, не -зависящее от результатов
главы XV. Это оказалось возможным по той причине, что в теореме
XVI.5.19 речь идет о классе операторов, обладающих рядом спе-
специальных свойств, одно из которых состоит в том, что резольвента
оператора имеет порядок роста не выше первого при приближении
к спектру оператора. Таким образом, читатель, интересующийся
в первую очередь приложениями теории к теории рассеяния, кванто-
вомеханической задаче трех тел и другим современным проблемам
математической физики, к которым применимы результаты главы
XX, оказывается на прямом и коротком пути к их решению, а имен-
именно: теорема XVI.5.19, ее аналог для неограниченных операторов,
содержащийся в теореме XVIII.2.34, а затем глава XX; при этом
он оставляет в стороне тонкий анализ, необходимый для большей
части главы XVI, а также весь материал, содержащийся в главах
с XVII по XIX включительно. И все же мы напоминаем читателю,
что основные результаты главы XIII часто используются в главе XX.
Из предисловия авторов , 13
Глава XVII содержит исследование алгебр спектральных опера-
операторов, начиная с равномерно замкнутых алгебр, их представлений
и разложений типа разложения Веддерберна. Вторая ее часть яв-
является изложением проведенного У. Бейдом глубокого исследования
сильно замкнутых алгебр спектральных операторов и полных
булевых алгебр проекторов. Тесно связанную с этой темой содержа-
содержательную теорию кратности, также принадлежащую Бейду, мы отнес-
отнесли в конец главы XVIII, так как в ней используется функциональ-
функциональное исчисление для неограниченных спектральных операторов,
развитое в первой части этой главы.
Главы XIX и XX содержат различные приложения и обобщения,
возникающие в связи с применениями общей теории, построенной
в первых главах этого тома. В главе XIX рассматриваются опера-
операторы с дискретным спектром; глава XX посвящена операторам
с непрерывным спектром. Методы, использованные в главе XIX,
связаны с теорией возмущений. Рассматривается спектральный
оператор Т с дискретным спектром, точки которого разделены доста-
достаточно большими промежутками. К оператору ^добавляется возму-
возмущение Р, достаточно малое относительно оператора Т в некотором
цодходящем смысле; тогда можно оценить резольвенту оператора
Т" = Т + Р в терминах резольвенты оператора Ги тем самым срав-
сравнить спектральные проекторы операторов Г и Т. В некоторых
случаях удается затем доказать, что 7" — спектральный оператор.
Полученные результаты применяются к спектральному анализу
несамосопряженных дифференциальных операторов в ограниченном
замкнутом интервале. Эти приложения восходят к Биркгофу и
Тамаркину и обобщают классическую теорию Штурма — Лиувилля
для самосопряженного случая. Их вывод носит алгебраический
характер и состоит в проверке того, что в рассматриваемых случаях
справедливы асимптотические оценки, которые требуются в общей
теории возмущений. Глава XIX заканчивается параграфом, в кото-
котором приведены результаты, касающиеся условий полноты системы
корневых векторов возмущенного оператора. Утверждения этих
теорем носят менее специальный характер, чем полученные в пер-
первых параграфах главы XIX, но они могут быть доказаны при зна-
значительно более общих предположениях; их доказательство основано
в конечном счете на обобщенных неравенствах Карлемана из гла-
главы X.
Глава XX посвящена применениям общей теории к изучению
возмущений операторов с непрерывным спектром. Устанавли-
Устанавливается, что многие такие операторы либо являются спектральными,
либо обладают очень близкими свойствами. Приводится целый ряд
результатов, принадлежащих Наймарку, Фридрихсу, Като и Куро-
де, а -также некоторые полученные в последнее время обобщения.
Многие утверждения, установленные в главе XX (или аналогич-
аналогичные, но более сложные), применимы к некоторым трудным несамо-
14 Из предисловия авторов
сопряженным задачам современной, а также классической меха-
механики Эти теоремы подводят строгую математическую базу под
некоторые эмпирические законы физики, которые до сих пор
обосновывались путем нестрогих рассуждений. В настоящей главе мы
довольно близко подходим к некоторым активно развивающимся
областям исследований математической физики. В первом пара-
параграфе главы XX общая спектральная теория применяется, в основ-
основном непосредственно, к сингулярным несамосопряженным диффе-
дифференциальным операторам второго порядка на полуоси. Эти опера-
операторы имеют вид
где функция q быстро убывает на бесконечности и может быть ком-
комплексной. Доказательство того, что эти операторы являются спек-
спектральными, проводится по существу методами прямого асимптоти-
асимптотического анализа, с помощью которого проверяются условия, необ-
необходимые в общей теории спектральных операторов.
Во втором и третьем параграфах главы XX вводится совершенна
новый подход, впервые указанный Фридрихсом и развитый впослед-
впоследствии им самим, а также его учениками и сотрудниками. Цель
этой теории — установить подобие между невозмущенным опера-
оператором Т и его возмущением Т' = Т + Р, т. е. доказать существо-
существование такого оператора (/, что
ити-1 = г.
Это уравнение можно привести к такому виду, который делает
возможным применение методов теории возмущений. Основное
преимущество такого подхода заключается в его независимости от
каких-либо предположений о самосопряженности и естественном
характере его применения к операторам с непрерывным спектром.
Аналитическая часть работы, связанной с применением метода
Фридрихса, оказывается наиболее простой в том случае, когда
спектр оператора Т заполняет целую область, и потому сначала
разбирается именно этот случай. Затем разрабатывается несколько
более громоздкий технический аппарат в случае- оператора, непре-
непрерывный спектр которого заполняет интервал вещественной оси,
и изучаются приложения к- интегральным операторам Вольтерра
и операторам, полученным возмущением оператора Лапласа V2.
Эти последние операторы и многие обобщенные операторы такога
же рода, весьма сложный анализ которых мы не приводим, яв-
являются важными в квантовой теории. В ряде интересных последую-
последующих работ Фридрихе распространил эту аналитическую программу
на системы операторов, возникающих в квантовой теории поля.
В § 3 главы XX показано, как приспособить метод Фридрихса
к операторам с дискретным спектром; это приводит к результатам,,
дополняющим результаты главы XIX.
Из предисловия авторов 15
В § 4 развивается другая идея, имеющая большое значение для
применений спектральной теории к физике. Она состоит в следую-
следующем. Если невозмущенный оператор Т и полученный из него возму-
возмущенный оператор Т являются самосопряженными, то некоторые
нестрогие формальные рассуждения дают основания ожидать, что
оператор Фрвдрихса U, осуществляющий подобие UTU'1 = Т\
может быть выражен в виде предела
U=\imeitT'e-itT.
t->oo
Это наводит нас на мысль изучить указанный выше предел, и, дей-
действительно, оказывается, что если разность Т — Т удовлетворяет
некоторым условиям, то предел существует в сильной тополо-
топологии и обладает теми свойствами, которые могут быть получены
с помощью формальных рассуждений. Оригинальный метод дока-
доказательства этих фактов был предложен Като и Куродой; впослед-
впоследствии он был обобщен многими другими авторами, которые также
установили связи между их методом «волновых операторов», или
методом «рассеяния», и различными вариантами метода Фридрихса,
описанными в § XX.2. (Формальная часть рассуждений, лежащих
в основе строгих результатов Като — Куроды, имеет длинную исто-
историю в физике: с их помощью было проделано много искусных вычис-
вычислений, а, кроме того, о«и подсказывали такую точку зрения, кото-
которую многие физики склонны были рассматривать как лежащую
в основе аксиоматики квантовой теории.) Отметим также, что метод
Като — Куроды дает некоторые очень точные результаты, при-
применимые в спектральном анализе дифференциальных операторов
в частных производных.
Заметим для математиков-теоретиков, что в «Примечаниях и до-
дополнениях» содержится масса идей, предоставляющих широкий
простор для дальнейших исследований. Кроме того, много пред-
предстоит еще сделать в теории счетно аддитивных спектральных мер
на общих римановых поверхностях. Некоторые разделы теории
кратностей, принадлежащей Бейду, наводят на мысль о возмож-
возможности построения теории спектральных представлений, аналогич-
аналогичной теории Вейля — Кодаиры, для граничных задач в Lu хотя
техническая сторона такой теории может оказаться очень трудной.
Одной из наиболее увлекательных задач, о которой, по-видимому,
пока ничего неизвестно, является выяснение природы операторов,
резольвента которых имеет порядок роста выше первого при при-
приближении к каждой точке кривой и к которым применимы вариан-
варианты основных теорем главы XVI, относящиеся к неограниченным опе-
операторам; такие операторы возникают при описании ряда естествен-
естественных явлений. У нас нет никаких априорных или философских осно-
оснований думать, что эти операторы встречаются реже, чем те, кото-
которые изучены за последние три столетия и сводятся в основном к само-
16 Из предисловия авторов
сопряженным операторам. Возможно, недостаток таких примеров
в литературе объясняется отсутствием какой бы то ни было теории,
посвященной их точному анализу. Для того чтобы сделать возмож-
возможным строгий* анализ уравнения, возникшего при решении физиче-
физической задачи, приходится обычно несколько изменять его вид. Однако
кажется совершенно невероятным, чтобы существовал способ, по-
позволяющий изменить порядок роста резольвенты и не приводящий
к существенному изменению характера проблемы.
А теперь несколько слов о черной стрелке, стоящей перед неко-
некоторыми утверждениями. В первых двух томах мы ставили этот
знак с целью обратить внимание на идеи, особенно важные для
дальнейшего изложения. В третьем томе стрелка используется
также и для выделения тех результатов и понятий, которые мы
считаем особо интересными, даже если они не используются в после-
последующем изложении.
Мы применяем сокращение «ч. т. д.», обычно используемое
только математиками, правда, в несколько ином смысле, чем «что
и требовалось доказать». Этот символ означает просто конец дока-
доказательства, что особенно полезно при чтении длинного рассужде-
рассуждения, занимающего много страниц и включающего в себя доказа-
доказательства ряда предварительных утверждений.
Мы благодарим сотрудников Управления научных исследо-
исследований Военно-воздушных сил и Службы морских исследований за
их содействие, оказанное нам в то время, когда были получены
первые результаты, положенные в основу этой книги.
Сарасота, Фдорида НвЛЬСОН Данфорд
Нью-Йорк
Май 1971 г. Джекоб Т. Шварц
ГЛАВА XV
Спектральные операторы
1. Введение
Далеко продвинутая теория самосопряженных краевых задач
для дифференциальных уравнений, развитая в предыдущих главах,
еще раз демонстрирует силу и значение спектральной теории огра-
ограниченных и неограниченных самосопряженных (или нормальных)
операторов, изложенной в гл. X и XII. Проблема распространения
этой теории на операторы, не входящие в класс нормальных, яв-
является одной из важнейших нерешенных задач теории линейных
операторов. Рассмотрим, например, задачу отыскания разложения
единицы для формального дифференциального оператора Т =
= — d2/dx2 + q на бесконечном интервале 0 ^ х < оо. Если
q— вещественная функция, то, как мы видели в гл. XIII, возможен
весьма детальный анализ свойств оператора Т. Но если q прини-
принимает комплексные значения — случай, с которым мы часто стал-
сталкиваемся в конкретных примерах, — то спектральный анализ
оператора Г, проведенный в гл. XIII, уже неприменим и трудно
сформулировать даже более простые утверждения о спектральном
разложении оператора Т.
Чтобы дать адекватный спектральный анализ этого и многих
других несамосопряженных операторов, мы хотим попытаться рас-
распространить спектральную теорию приведения гл. X и XIII на
операторы, не входящие в класс нормальных, в гильбертовом про-
пространстве и на операторы в В-пространствах, отличных от гиль-
гильбертовых. Если буквально понимать свойства нормальных опера-
операторов, то прежде всего можно было бы подумать, что подходящими
для изучения являются операторы, имеющие представление
'= j KE(dX)
с помощью некоторой проекторнозначной меры, определенной на
спектре а (Т). То, что такой ограниченный класс операторов не
имеет достаточной степени общности, можно лучше всего, вероятно,
понять, рассмотрев случай конечномерного унитарного про-
пространства ig. Если Т — оператор в таком пространстве, то опера-
для аналитических функций может быть опре-
18 Гл. XV. Спектральные операторы
делено формулой (см. VII. 1.8)
v(?0-l
S 2 {Т~~пУ)П Г
= 2
Если Т — нормальный оператор, то (Г — Я/) Е (к) = 0, и эта формула
сводится к формуле
которая для произвольного оператора уже неверна. Чтобы нагляд-
нагляднее увидеть различие между исчислениями, задаваемыми этими
двумя формулами, перепишем их, введя соответственно следующие
соотношения для нильпотента N и разложения единицы Е:
N=T- 2 ЬЕ(Х), Е(8) =
ЬТ) Х
В терминах N и Е операционное исчисление для произвольного
оператора имеет вид
n=0
в то время как в случае нормального оператора Т для представле-
представления / (Т) необходимо лишь первое слагаемое
f(T)= J f(X)E(dl)
о(Т)
этого ряда. Поскольку, как показывает этот пример, теория нор-
нормальных операторов не может быть непреложным законом даже
в теории произвольных операторов в конечномерном пространстве,
мы должны обратиться к более общим рассмотрениям, пытаясь
построить удовлетворительную общую спектральную теорию.
Более общая задача приведения для оператора Т в В-простран-
стве 96 может быть сформулирована следующим образом: разло-
разложить Ж в прямую сумму Ж = $!© Э?2 Двух собственных под-
подпространств так, чтобы Т Ж4 ^ $ь Т Ж2^ 3?2- Если Е обозна-
обозначает проекцию $ на пространство ЭВЬ то два условия Т Hi(=, $4>
71 Ж2 ^ Э?2 эквивалентны одному алгебраическому условию Т.Е =
= 5Т1. Таким образом, более общей задачей приведения для опера-
оператора Т была бы следующая: найти проекцию, коммутирующую с Т.
То, что эта формулировка слишком обща для того, чтобы дать
удачное описание задачи спектрального представления, можно по-
1. Введение 19
нять, рассмотрев случай оператора Т = I. Так как / коммутирует
со всякой проекцией, то сформулированная выше задача спектраль-
спектрального приведения для оператора / приняла бы такой вид: найти все
проекции в 36. Эта задача, интересная сама по себе, ведет, очевид-
очевидно, несколько дальше, чем просто к спектральному анализу опера-
оператора /. Действительно, поскольку а(/) состоит из одной-единствен-
ной точки, так что спектр этого оператора геометрически неприво-
неприводим, нам следовало бы ожидать, что оператор / будет неприводимым
также и с точки зрения спектрального анализа.
Чтобы получить спектральное разложение оператора, мы долж-
должны найти проекцию ?, коммутирующую с Т, такую, что спектр
сужения Т | Е$ содержится в заданном замкнутом множестве.
Другими словами, мы хотим найти для данного подмножества 8
спектра а (Т) два подпространства ЗВ±, $2, такие, что Т %{^ Ж1э
т зе2<= зе2, i = nt® зе2, причем
а (Г 1X0^6, о(Г|Эе2)с=д\
Напомним (см. Х.2.6), что разложение единицы ?, связанное с
нормальным оператором Т в гильбертовом пространстве §, обла-
обладает для всякого борелевского множества 8 этим свойством:
а (Т\Е (8) ig)s6. Аналогично, для произвольного оператора Т
в комплексном В-пространстве было показано (см. VII.3.20), что
для подмножества 8, одновременно открытого и замкнутого в спек-
спектре а (Т), можно построить коммутирующий с Т проектор Е (8),
для которого спектр сужения Т\Е(Ь)Ж содержится в 8.
Общее свойство, т. е. о(Т\Е (8) 32)^8, только что рассмотрен-
рассмотренных примеров не есть случайное совпадение: именно оно явно или
неявно лежит в основе определяющих результатов спектральной
теории. Таким образом, мы приходим к тому, чтобы начать форму-
формулировку задачи спектрального представления со следующего тре-
требования: для каждого множества 8 из некоторого семейства 2
подмножеств плоскости существует проекция Е (8), коммутирующая
с Г и такая, что о(Т\Е(Ь) Ж)^ 8. В только что упомянутых при-
примерах 2 является полем и для Е (8) выполнены следующие алгеб-
алгебраические законы:
-Е (б) Е (а),
Е(а(Т))=1.
В случае нормального оператора в гильбертовом пространстве
множество 2 является а-полем всех борелевских подмножеств,
a E счетно аддитивна в сильной операторной топологии. Именно
это свойство счетной аддитивности обусловливает возможности
2*
20 Гл. XV. Спектральные операторы
замечательных разложений по собственным функциям, полученных
в теории самосопряженных краевых задач.
В общей формулировке задачи разложения мы собираемся по-
потребовать, чтобы 2 было полем борелевских множеств, Е F) удо-
удовлетворяло выписанным выше алгебраическим тождествам и, кроме
того, чтобы Е была счетно аддитивной функцией на 2 в сильной
операторной топологии. Хотя формальные определения будут даны
в следующем параграфе, оператор, для которого задача спектраль-
спектрального разложения имеет решение, мы будем называть спектральным.
Основной целью настоящей главы является не столько выяснение
вопроса, какие операторы являются спектральными, сколько ана-
анализ свойств ограниченных спектральных операторов. Тем не менее
в § И и 12 будут приведены некоторые примеры спектральных
операторов, а в § 13 выяснены связи с некоторыми смежными
вопросами.
В следующей главе будет предпринята попытка найти условия
на резольвенту оператора, которые обеспечивают положительное
решение задачи спектрального приведения. В дальнейших главах
мы попытаемся найти другие примеры спектральных операторов
и понять, в какой мере общую теорию можно применять в анализе
несимметрических краевых задач.
2. Терминология и предварительные понятия
Понятия булевой алгебры проекторов, спектральной меры, инте-
интеграла относительно спектральной меры и т. д., которые были описа-
описаны в § Х.1, являются основными в настоящей главе. Желательно,
чтобы читатель просмотрел эти понятия в гл. X, поскольку здесь
они напоминаются в довольно сжатой форме. Имеется, однако, не-
несколько новых понятий, которые будут введены здесь и разъяс-
разъясняются более полно.
На протяжении всей главы буква Ж будет использоваться для
обозначения комплексного В-пространства, а Т — для ограничен-
ограниченного линейного оператора в Ж. Под проектором в Ж понимается
ограниченный линейный оператор Е в $, такой, что Е2 = Е. Пере-
Пересечение А /\В и объединение А\/ В двух коммутирующих проекто-
проекторов А и В -в Ж по определению суть проекторы АВ и А + В —
— АВ соответственно. Области значений пересечения и объедине-
объединения двух коммутирующих проекторов задаются соотношениями
(А ^В)Ж = (АЖH(ВЖ), (А \/
где sp (Л$, ВЖ)—замкнутое линейное многообразие, порожден-
порожденное множествами А Ж и В 36. Поэтому естественное упорядочение
А ^ В двух коммутирующих проекторов А и В имеет простой гео-
геометрический смысл: А < В эквивалентно тому, что ЛЖ^ ВЖ. Булева
алгебра проекторов в Ж есть множество проекторов в 36, которое
2. Терминология и предварительные понятия 21
является булевой алгеброй (см. § 1.12) относительно операций пе-
пересечения А Д В4 и объединения А V В и имеет в качестве нуле-
нулевого и единичного элементов операторы 0 и / в ЭВ.
1. Определение. Спектральная мера в $ есть гомоморфное ото-
отображение булевой алгебры множеств в булеву алгебру проекцион-
проекционных операторов в 36, которое обладает свойством аддитивности и пе-
переводит единицу своей области определения в тождественный опе-
оператор / области значений. Спектральная мера называется ограни-
ограниченной, если нормы проекторов в ее области значений ограничены.
Напомним, что если область определения ограниченной спек-
спектральной меры Е является полем 2 подмножеств множества S, то
для любой ограниченной 2-измеримой числовой функции/ на S мо-
может быть определен интеграл \ f (X) Е (dX). В § X.I показано, что
В
этот интеграл является ограниченным гомоморфизмом В-алгебры
В (S, 2), состоящей из 2-измеримых функций на S, в В-алгебру
В (I) ограниченных линейных операторов в ЭР, т. е.
f(s)E(ds) <o(?)sup|/(s)|,
где v (E) — постоянная, зависящая только от спектральной меры Е.
Другие свойства интеграла, которые будут нами использоваться и
были объяснены в § Х.1, выражаются следующими соотношениями:
[\f(s)E(ds)']x=\f{s)E(ds)x,
s s
J S @ J / (s) E (ds П dt) = j g (s) f(s) E (ds)
s s s
где h — отображение 5 в себя с тем свойством, что для всякого
6 из 2 множество h (б) = {s I h (s) 6 6} также лежит в 2.
Гл. XV. Спектральные операторы
Иногда будет удобно использовать более общее, чем в § Х.1,
понятие разложения единицы для оператора.
-» 2. Определение. Пусть 2 является булевой алгеброй подмно-
подмножеств комплексной плоскости, которая содержит пустое множество
и всю плоскость, или, короче, пусть 2 является полем множеств
в комплексной плоскости. Спектральная мера Е на 2 называется
разложением единицы (или спектральным разложением) для опера-
оператора Т, если
Е(Ь)Т = ТЕ (б), а (Т6) с= 6, 6 6 2.
Здесь мы используем, и будем это делать в дальнейшем, обозначе-
обозначение 7б для сужения Т | $6 оператора Т на многообразие Хб =
= ?F) Ж.
Проиллюстрируем это определение; напомним (см. VII.3.17
и VII.3.20), что, определив спектральное множество для оператора
Т как множество б, для которого 6 f| о (Т) одновременно открыто
и замкнуто в о(Т), и определив для всякого б в поле 2 спектраль-
спектральных множеств проектор Е (б) по формуле
где С — спрямляемая жорданова дуга, содержащая б f| а (Г),
но не содержащая других точек спектра а (Г) внутри себя, мы полу-
получим отображение б -* Е (б) поля 2, являющееся разложением еди-
единицы для оператора Т. Это разложение единицы, которое сущест-
существует для произвольного ограниченного оператора Т, не определено,
вообще говоря, для всех борелевских множеств плоскости и не
является в общем случае ни ограниченным, ни счетно аддитивным.
Однако, как мы видели в следствии Х.2.4, для ограниченного нор-
нормального оператора в гильбертовом пространстве всегда сущест-
существует однозначно определенное ограниченное и счетно аддитивное
разложение единицы, заданное на поле всех борелевских подмно-
подмножеств плоскости.
В нескольких следующих главах мы будем изучать операторы,
имеющие разложение единицы со свойствами, близкими к тем,
которыми обладают спектральные разложения нормальных опера-
операторов в гильбертовом пространстве. На самом деле мы будем изу-
изучать разложения единицы, которые счетно аддитивны на поле 95
борелевских множеств плоскости. В связи с этим следует напомнить
(см. IV. 10.1), что если Е — спектральная мера на а-поле 95 ^ для
которой функция я* Е (•) х счетно аддитивна для всякого функ-
функционала х * из Э?* и всякого элемента х из 36, то Е счетно аддитивна
на 95 в сильной операторной топологии. Так как всякий проектор
Е фО имеет норму | Е | 2^1, то спектральная мера Е не может
2. Терминология и предварительные понятия 23
быть счетно аддитивной в равномерной операторной топологии, кро-
кроме того случая, когда ее область определения состоит самое боль-
большее из конечного числа непересекающихся множеств. Тем самым
мы приходим к следующим определению и следствию.
3. Определение. Спектральная мера Е называется счетно адди-
аддитивной, если для любых х* из 36* и х из Э? числовая функция мно-
множества х*Е (•) х счетно аддитивна на области определения меры Е.
—» 4. Следствие. Если область определения счетно аддитивной спек-
спектральной меры Е является о-полем, то Е счетно аддитивна в силь-
сильной операторной топологии и ограничена.
Ограниченность Е (о) вытекает из следствий IV.10.2 и II.3.21.
Спектральные операторы в комплексном В-пространстве Ж,
составляющие основной объект изучения в настоящей главе, можно
теперь определить следующим образом.
—» 5. Определение. Спектральный оператор — это оператор со
счетно аддитивным разложением единицы, заданным на борелев-
ских множествах плоскости.
Конечно, совсем не очевидно, что счетно аддитивное разложение
единицы, заданное на борелевских множествах плоскости, одно-
однозначно определяется спектральным оператором Т. На самом деле
это верно, но пока это не доказано, любую такую спектральную
меру мы будем рассматривать как некоторое разложение единицы
для оператора Т. Как только единственность будет доказана, мы
будем говорить о вполне определенном разложении единицы для
оператора Т.
В анализе спектральных операторов мы воспользуемся еще
одним новым понятием, а именно понятием аналитического рас-
распространения функции R (?; Т) х. Здесь и далее символ R (?; Т)
обозначает резольвенту (|/ — Т)~г оператора Т в точке !• резоль-
резольвентного множества р (Г). Если х — вектор из X, то под аналити-
аналитическим распространением R (?; Т) будет пониматься Х-значная
функция /, определенная и аналитическая на открытом множестве
D (/)^ р (Т) и такая, что
(U-T)f(l)=x, 6 6 ?></).
Очевидно, что для такого распространения
/ (|) = R (Е; Т) х, I 6 Р (Т).
Понятие аналитического распространения отличается от понятия
аналитического продолжения, так как область определения D (/)
распространения может содержать точки, которые невозможно со-
соединить пи с какой точкой из р (Т) кривой, лежащей в D (/).
24 Гл. XV. Спектральные операторы
—> 6. Определение. Говорят, что функция R (?; Т) х обладает
свойством однозначного распространения, если для всякой пары
аналитических распространений /, g функции R (?; Т) х мы имеем
f (I) = S (Ю Для всякой точки I из D (/) D (g). Объединение мно-
множеств D (/), когда / пробегает все аналитические распространения
функции R (|; Т) х, называется резольвентным множеством векто-
вектора х и обозначается через р (х). Спектр о (х) вектора х определяется
как дополнение р (х).
Очевидно, что если R (?; Т) х обладает свойством однозначного
распространения, то существует максимальное распространение
х (•) для R (?; Т) х с областью определения р (х). Во всей оставшейся
части этого параграфа х E) будет обозначать такое максимальное
распространение функции R (?; Т) х во всех случаях, когда R (?; Т)х
обладает свойством однозначного распространения. Тогда х E) —
однозначная аналитическая функция с областью определения р (х)>
причем
x(l) = R (I; Т)х, I 6 Р (Т).
В следующем параграфе будет показано, что если Т —спектраль-
—спектральный оператор, то функция R (|; Т) х для всякого л: из Ж обладает
свойством однозначного распространения. Следующий элегантный
пример С. Какутани показывает, что это не так в случае произволь-
произвольного оператора Т.
Рассмотрим пространство Ж функций /, аналитических в единич-
единичном круге | z | ^ 1 и таких, что
71=0 71=0
В этом пространстве определим оператор Г, полагая
Спектр оператора Т есть множество таких Я, что |Я|^1, и для
функцию R(K; T) (g, z) можно вычислить, решая уравнение
для /. Элементарные вычисления показывают, что
Так как f(z) аналитична в точке z = Я, то мы должны иметь
и потому
R {К Т) (g, z) Х{г_х-Г)
3. Резольвента спектрального оператора 25
Таким образом, векторнозначная аналитическая функция R (Я; Т) gr
% ? р (Г), будет иметь многозначные распространения, если функция
g имеет многозначное аналитическое продолжение вне единичного
круга.
3. Резольвента спектрального оператора
Векторнозначные аналитические функции RK& Т) х, связанные
с резольвентой ограниченного спектрального оператора, обладают
рядом важных свойств, которыми не обладают функции вида
R (|; Т) х, если Т не является спектральным оператором. В этом
параграфе мы рассмотрим несколько таких свойств. В следующей
главе будет показано, насколько три из этих свойств близки к тому,
чтобы быть достаточными условиями спектральности оператора 7\
1. Лемма. Пусть Е — разложение единицы для ограничен-
ограниченного спектрального оператора Т. Пусть о — замкнутое множество
комплексных чисел и ?0 & в- Если A01 — Т) х0 = 0, то
Е (о) х0 = О, Е ({?0}) х0 = х0,
где {?о} — множество, состоящее из единственной точки ?0.
Доказательство. Пусть TG — сужение оператора Т на под-
подпространство Е (о) ЭЕ; поскольку |0 (? а, то ?0 6 Р (Та) и
R (So; То) (Ео/ — Т)Е(о) = Е (а).
Но так как
A01 — Т)Е (а) хо = Е (а) (?0/ - Т) х0 = О,
мы имеем Е (а) х0 = 0. Положим теперь
так что Е (ап) х0 = 0, а поскольку Е счетно аддитивно, то
[1-Е (Цо})} х0 = lim Е (оп) х0 = 0,
П
и тем самым х0 = Е ({l0}) xOi ч. т. д.
Иногда в дальнейшем мы будем использовать обозначение Е (?0)
вместо Е ({U}).
2. Теорема. Если Т — ограниченный спектральный опе-
оператор в X, то для всякого вектора х из Ж функция R (g; T) х обла-
обладает свойством однозначного распространения.
Доказательство. Пусть / и g — два распространения функции
R (I) T) х\ положим
h(l)=f(l)-g(t), ltD(f)D(g).
26 Гл. XV. Спектральные операторы ^^^^
Предположим, чтобы провести доказательство от противного, что
h (lo) ф 0 в некоторой точке lo?D(f)D(g). Тогда существует
окрестность N do) точки ?0, такая, что N do)^ D (/) D (g) и
(i) h (I) Ф О, (Ц -T)h(t)=09 itN (lo).
Пусть {^n} — последовательность точек из N (|о), такая, что \п Ф
Ф ?0 и %п ->- ?0. Тогда из соотношений (i) и леммы 1 вытекает, что
О = Е A0) Е (Ы h (Ы = ? A0) h dn) -* Е do) h do) = h do),
но это противоречит тому, что h do) Ф О, ч- Т- Д-
Таким образом, если Т — спектральный оператор и х 6 Ж, то
функция R (|; Т) х имеет максимальное аналитическое распростра-
распространение, определенное на р (я), которое мы будем обозначать через х (?).
3. Следствие. Если Т — ограниченный спектральный оператор,
то спектр о (х) вектора х пуст тогда и только тогда, когда х = 0.
Доказательство. Согласно теореме 2, если спектр а (х) пуст,
то функция х d) будет всюду определенной, однозначной и,
следовательно, целой. Поскольку в силу VII.3.4
lim x*x d) = Hm x*R (E; T)x = 0,
о х*х d) = 0 Для всех I и всех л:* 6 Ж*. Тогда, согласно след-
следствию II.3.14, х d) = 0 и тем самым л: = (g/ — Г) л: (|) = 0, ч. т. д.
—» 4. Теорема. Пусть Т — ограниченный спектральный опера-
оператор с разложением единицы Е и б — замкнутое множество
комплексных чисел. Тогда
Доказательство. Пусть Е (8) х = х, а Т& —сужение оператора
Т на подпространство Е (б) Ж. Так как а (Т&)^ б, то соотношение
R d\ T6) EF)x = R d\ T6) х
показывает, что R (^; Tq) E (б) х является аналитическим распро-
распространением R (^; Т) х на б', дополнение множества б. Таким обра-
образом, р (х)^ б' и а (х)^ б.
Обратно, предположим, что а (х)^ б, и пусть 6t —замкнутое
подмножество дополнения б' к б. Тогда если Гб = Т \ Е Ft) Ж,
то функция R d\ Те) Е Ft) л является аналитическим распростра-
распространением R (g; T) E Ft) л: на б^. Более того, как легко видеть,
Е Fi) х d) является распространением R E; Т) Е (б4) х на р (х).
Так как 7? (?; Г) ? Ft) л: обладает аналитическим распространением
на р (х) U &[, т. е. на всю комплексную плоскость, то спектр
а (Е (б^ х) пуст. В силу предыдущего следствия Е (бх) х = 0.
3. Резольвента спектрального оператора 27
Пусть б„ — возрастающая последовательность замкнутых множеств,
объединением которых является б'. Как показано выше, Е (8п) х =
= 0, и поэтому
так что Е (б) х = х, ч. т. д.
5. Следствие. Если Е — разложение единицы для спектраль-
спектрального оператора Т, то Е (а (Т)) = I.
6. Следствие. Если Т — спектральный оператор в Ж, то
множество всех векторов, спектр которых лежит в заданном замкну-
замкнутом множестве комплексных чисел, является замкнутым линейным
многообразием в 36.
—» 7. Следствие. Пусть Т — спектральный оператор и А —
ограниченное линейное преобразование, коммутирующее с Т. Тогда А
коммутирует с каждым разложением единицы для оператора Т.
Более того, о (Ах)^ о (х) для всякого вектора х из Ж.
ДоказдтЕльство. Пусть б, 8t — непересекающиеся замкнутые
множества комплексных чисел и ? — разложение единицы для
оператора Т. Так как
(U - Т) АхЦ) =А(Ц-Т)х (I) = Ах,
то, очевидно, что Ах E) является аналитическим распространением
R (^; Т) Ах на р (х). Поэтому р (Ах) ^ р (х), так что а (Ах) ^ а (х).
Тогда в силу теоремы 4
АЕ F) 1<= ?(б) 36
и, следовательно,
Е (б) АЕ (б) - АЕ (б), Е (б) АЕ (8,) = Е (б) Е (8,) АЕ F0=0.
Так как дополнение б' к б является счетным объединением замкну-
замкнутых множеств, то из счетной аддитивности Е вытекает соотношение
Е (б) АЕ (б') = 0, и потому
Е (б) А = Е (б) А [Е (б) + Е (б'I - Е (б) АЕ (б) - АЕ (б).
Поскольку в наших рассуждениях б было произвольным замкнутым
множеством, то А коммутирует с Е (о) для всякого борелевского
множества а, ч. т. д.
—» 8. Следствие. Всякий спектральный оператор имеет одно-
однозначно определенное счетно аддитивное разложение единицы, задан-
заданное на поле борелевских множеств.
Доказательство. Пусть Е и А — два разложения единицы для
оператора Гиб — замкнутое множество комплексных чисел.
28 Гл. XV. Спектральные операторы
Тогда по теореме 4
А (б) Е{Ь) = Е (б), Е (б) А (б) = А (б),
и в силу следствия 7 Е (б) = А (б). Так как ? счетно аддитивно,
то Е (о) = А (о) для любого борелевского множества 0, ч. т. д*
-» 9. Определение. Единственное счетно аддитивное разложе-
разложение единицы, заданное на борелевских множествах плоскости,
которое определяется спектральным оператором Г, называется
разложением единицы для оператора Т.
10. Теорема. Пусть I = Ei + . . . + Еп, где Е1у . . ., Еп —
ограниченные дизъюнктные проекторы в 36, каждый из которых
коммутирует с ограниченным оператором Т. При этом Т является
спектральным оператором тогда и только тогда, когда каждое из
сужений Т | ЕгЖ есть спектральный оператор. Если Т — спект-
спектральный оператор, то разложение единицы для сужения Т | Е{?
является соответствующим сужением разложения единицы для опе-
оператора Т.
Доказательство. Пусть Т — спектральный оператор. В силу
следствия 7 Et коммутирует с каждым проектором Е (а; Т) в раз-
разложении единицы для оператора Т. Очевидно, что Е (а; Т) \ Е{?
является счетно аддитивной спектральной мерой в Е{$1. Ясно
также, что для любого оператора Л, коммутирующего со всеми
проекторами Еи . . ., Еп, резольвентное множество р (А) =
п
= П р (А | Е{?). Это замечание, примененное к оператору
г= 1
Т | Е (а; Т) ЭЕ, показывает, что
9(Т\Е(о;Т)Ж= П р((Т\Е(о;Т)Я)\Е#) =
г=1
= П p({T\Eil)\E(o;T)EiI).
Поэтому если А,(|а, то X лежит в каждом из резольвентных мно-
множеств
P((T\E$)\E(o;T)Etl),
и потому
тем самым доказано, что сужение Е (а; Т) \ Е{? является разло-
разложением единицы для сужения Т \ ЕгЖ.
Обратно, предположим, что для каждого i = 1, . . ., п сужение
Tt = Т | Е{? является спектральным оператором, и положим
2
г—1
4. Каноническое представление спектрального оператора 29
Тогда
=2 2 E(a;Tt)EiTjEj =
г=1
Аналогично можно проверить, что ? (•) является спектральной
мерой и что она счетно аддитивна. Далее, если Я (? а, то
Я6 П р(^|?(а;Т«)^Ж) = р(Г|?(а)Зе).
2=1
Тем самым доказано, что ? (•) является разложением единицы для
оператора 7\ ч. т. д.
4. Каноническое представление спектрального оператора
Если Е (кг), i = 1, . . ., k,— проекторы, связанные с опера-
оператором Т в конечномерном пространстве Ж с помощью построений,
описанных в § VII. 1, то существуют (см. VI 1.1.7) целые числа vit
i=l, . . ., k, такие, что (Т — ^/)v* E (kt) = 0. Таким образом,
оператор
ТЕ (Xt) = XtE (К) + (Т- КП Е (Я,)
оказывается суммой скалярного кратного тождественного оператора
в пространстве Е (%t) Ж и нильпотентного оператора. Так как Ж
является прямой суммой (см. VI 1.1.6) подпространств Е (Кг) <?,
то оператор Т можно представить в виде суммы:
k
оператора S= 2 КЕ^), эквивалентного диагональной матрице,
k
и нильпотентного оператора Af= 2 (Т — XJ) Е (к^. Другими сло-
il
вами, это классическое представление матрицы в жордановой форме
показывает, что всякая конечная квадратная матрица комплексных
чисел эквивалентна сумме диагональной матрицы и нильпотентной
матрицы.
В настоящем параграфе описано аналогичное каноническое
представление для ограниченного спектрального оператора в ком-
комплексном В-пространстве Ж. Будет показано, что всякий такой
30 Гл. XV. Спектральные операторы
оператор Т является суммой Т = S + N квазинильпотентного
оператора N и оператора S скалярного типа в смысле следующего
определения.
—» 1. Определение. Ограниченный оператор S называется опе-
оператором скалярного типа, если он является спектральным и
выполнено соотношение
S_
где Е — разложение единицы для S.
Так как спектральная мера Е обращается в нуль вне компактно-
компактного множества a (S) (см. следствие 3.5), то функция / (Я) = Я огра-
ограничена на a (S) и интеграл, определяющий S, существует.
Следует также заметить, что если исходить из спектральной
меры ?, счетно аддитивной на поле борелевских множеств и обра-
обращающейся в нуль вне данного компактного множества, то опера-
оператор S, определяемый соотношением
является ограниченным оператором спектрального типа, для кото-
которого разложение единицы совпадает с Е. Чтобы убедиться в этом,
заметим, во-первых, что S коммутирует с проекторами Е (8). и, во-
вторых, что для чисел Яо, не лежащих в замыкании множества 8,
функция (Яо — Я) ограничена на 8 и потому
б
Этим показано, что спектр сужения S на Е (8) Ж содержится в 8,
и доказано, что S является спектральным оператором скалярного
типа с разложением единицы Е.
Кроме понятия оператора скалярного типа в каноническом раз-
разложении спектральных операторов фигурирует и» понятие квази-
квазинильпотентного оператора; для удобства напомним его:
2. Определение. Ограниченный линейный оператор в б-про-
странстве называется квазинильпотентным, если lim | Tn |*/n =0.
п
Следующее утверждение дает в терминах спектра полезное
необходимое и достаточное условие того, что оператор является
квазинильпотентным.
3. Следствие. Ограниченный оператор Т квазинильпотентен
тогда и только тогда, когда а (Т) ={0}.
4. Каноническое представление спектрального оператора 31
Доказательство. Это утверждение вытекает из леммы VI 1.3.4,
ч. т. д.
4. Лемма. Если S и N—ограниченные коммутирующие опе-
операторы и N квазинильпотентен, то о (S + N) = a (S).
Доказательство. Это — следствие теоремы VII.6.10 (или леммы
IX.2.6 и теоремы 1Х.2.9).Для удобства читателя мы снова дока-
докажем его здесь. Так как N квазинильпотентен, то, в силу опре-
определения 2, | Nk | = о (eh) для любого 8>0и, таким образом, для
оо
всякого Я ? р (S) ряд 2 NkR (Я; S)h сходится в равномерной опе-
k = 0
раторной топологии. Поскольку
(S NhR(K;S)h] {I-NR(b;S)}=(I-NR(hS)) 2 NkR(b; S)k =
fe0 fc0
то сумма этого ряда равна (/ — NR (к; S)). Тем самым показано,
что оператор
(Я/ _ S — Л0 = R (Я; S) (I — NR (Я; 5))
существует как всюду определенный и ограниченный оператор.
Таким образом, Я 6 Р (S + N) и a (S)^ а (S + Л/"). Аналогично
доказывается, что a (S + N) ^ а (S), ч. т. д.
Используя понятия квазинильпотентного оператора и оператора
скалярного типа, мы можем сформулировать следующую теорему
о каноническом представлении спектрального оператора.
—> 5. Теорема. Ограниченный оператор Т является спектраль-
спектральным оператором тогда и только тогда, когда его можно пред-
представить в виде суммы Т = S + N ограниченного оператора S
скалярного типа и квазинильпотентного оператора N, коммути-
коммутирующего с S. Более того, это разложение единственно и операторы Т
и S имеют один и тот же спектр и одно и то же разложение единицы.
Доказательство. Покажем сначала, что сумма Т = S + N
оператора скалярного типа S и квазинильпотентного опера-
оператора N, коммутирующего с S, является спектральным оператором,
имеющим то же разложение единицы, что и S. Пусть Е — разложе-
разложение единицы для S; тогда, в силу следствия 3.7, NE(b) = E(8)N,
и потому оператор Т = S + N коммутирует с Е (б). Таким обра-
образом, чтобы показать, что Е является разложением единицы для
32 Гл. XV. Спектральные операторы
оператора 7\ достаточно проверить включение а (Т^) ^ б для всякого
борелевского множества 6. По лемме 4, а (Т6) = <у (S6), и так как Е
есть разложение единицы для оператора S, то a (Sq) ^ б,
и, следовательно, а(Та)^б. Это показывает, что операторы Т
и S имеют одно и то же разложение единицы. Поскольку S ==
= \ kE (dk), то из следствия 3.8 вытекает, что оператор S однознач-
однозначно определяется оператором Т. Поэтому и оператор N = Т — S
однозначно определяется оператором Т. Из леммы 4 следует, что
операторы Т и S имеют один и тот же спектр.
Далее будет показано, что всякий спектральный оператор Т
имеет представление, указанное в формулировке теоремы. Опера-
Операторы S я N определяются соотношениями
S=
[
где Е — разложение единицы для оператора Т. Очевидно, что
5 —оператор скалярного типа с разложением единицы Е. Так
как оператор Т коммутирует с ?F), то он коммутирует и с опе-
оператором S, и потому N коммутирует с 5. Поэтому требуемое
утверждение будет установлено, как только мы покажем, что
оператор N квазинильпотентен. В силу следствия 3 для доказа-
доказательства этого факта достаточно показать, что спектр a (Af) опера-
оператора N содержится в круге С8 = {А,| |А,|^е} сколь угодно малого
радиуса е>0. Пусть спектр оператора Т разложен в сумму непе-
непересекающихся борелевских множеств аь ..., akj каждое из которых
имеет диаметр, меньший положительного числа а<е; величина а
будет уточнена немного позже. Если А, лежит в резольвентном
множестве каждого из сужений NGi = N\E(ог)$ и Ri = R(X; NG.),
и
то, полагая R= 2 RiE(Gt)9 имеем
г=1
k k
k
i=i " ' "i=i
k ь
= 2 #* (M — NG.)E (ad = 2 ? (a*) = /.
1=1 l 2=1
Таким образом, ^6p(iV). Следовательно, спектр оператора N
содержится в объединении спектров a(NG.) сужений Ы\Е(огI,
и поэтому достаточно показать, что o(NG.)^Ce для каждого
5. Операционное исчисление для ограниченных операторов 33
i= 1, . .., k. Для этого запишем оператор Na. в виде
где Xt — точка из сгGа.). Так как аGа.)^аг, то мы имеем
а (G - кг1)а.) <=ог-Ьг<=Са s= Ce.
Поскольку (XtI — S)o. является сужением оператора \ (Л* — Я) ?
на (Jj, то выполняются неравенства
и поэтому оператор (X/ — S)CT. мал по норме, если а мало. Таким
образом (см. VII.6.1), a (NOm) ^ С? при малом а. В силу изложен-
изложенного выше, а (N) ^ Се, и так как 8 > 0 произвольно, то отсюда
вытекает, что a (N) ={0}. Поэтому, согласно следствию 3, оператор
квазинильпотентный, ч. т. д.
6. Определение. Полученное в теореме 5 представление
спектрального оператора 7 = S + Af в виде суммы оператора S
скалярного типа и квазинильпотентного оператора Л/", коммути-
коммутирующего с S, называется каноническим представлением оператора 7.
Оператор S называется скалярной частью оператора Т, г N —
квазинильпотентной частью (или радикальной частью) Т.
5. Операционное исчисление
для ограниченных спектральных операторов
Следует напомнить, что (см. VII.3.8—10) для произвольного
ограниченного оператора 7 в комплексном В-пространстве форму-
формула
где С — допустимый контур, охватывающий спектр 7, дает опера-
операционное исчисление на классе 3F G) числовых функций, аналити-
аналитических на спектре оператора 7. В этом параграфе показано, что
если 7 — спектральный оператор и функция / лежит в ^G), то
оператор / G) может быть вычислен лишь через значения, которые
функция f принимает на спектре 7.
-» 1. Теорема. Пусть 7 — ограниченный спектральный опера-
оператор, N — его квазинилъпотентная часть и Е — его разложение
единицы. Тогда для всякой числовой функции /, аналитической
3 Н. Данфорд и Дж. Шварц
34 Гл. XV. Спектральные операторы
и однозначной на спектре а (Т1), выполнено соотношение
оо
S^Vn С
—г~ i / * ( ) (^А),
п=0 о(Т)
где ряд в правой части сходится в равномерной операторной топо-
топологии.
Доказательство. Теорему можно вывести из следствия VI 1.6.12,
показав, что скалярная часть S оператора Т удовлетворяет соотно-
соотношению f(S) = f / (A,) E (dk) для всякой функции / из JF(T). Однако
мы дадим здесь доказательство, не зависящее от следствия VII.6.12.
Оно основано на следующей лемме:
2. Лемма. Пусть Е — разложение единицы для спектрального
оператора Т и N —его радикальная часть. Тогда ряд
% /?. Т)= У Nn [ E{dX)
71=0
сходится в равномерной операторной топологии, причем равномерно
по | на любом замкнутом множестве р, содержащемся в р (Т).
Доказательство. Если | лежит в р, то функция (g — А,)~п
ограничена на а (Г), так что интеграл существует. Более того,
где г = sup \ I — А, I; эта верхняя грань берется по А, из а G)
и g из р. Так как N является обобщенным нильпотентным операто-
оператором, то
и, следовательно, ряд
fj |AHrn+1
71=0
сходится. Таким образом, ряд
оо
U= У Nn [ E{dk)
71=0
сходится в равномерной операторной топологии, причем равномерно
по | из р. Если S — скалярная часть 7\ то
5. Операционное исчисление для ограниченных операторов 35
и потому
E(dK)
n [ E(dX) уП+1 Г E(dk) \ j
что доказывает лемму, ч. т. д.
Вернемся теперь к доказательству теоремы; пусть С — допу-
допустимая жорданова кривая в р (Т1), содержащая спектр р (Т) внутри
себя и такая, что функция / аналитична внутри С и на С. Тогда
мы имеем
С
и из леммы 2 вытекает что
77 = 0 С О(Т)
причем ряд сходится в равномерной операторной топологии. Для
функционала х* ?!* и вектора х?1 по теореме Фубини имеем
С <J(T)
1
С О(Т)
а (Г) С
2ш
Таким образом,
<*{Т) а(Т)
так что в силу соотношения (*)
1П
n=o a (T) с
(X)
п=0 о (Т)
3*
36 Гл. XV. Спектральные операторы
при этом ряды сходятся в равномерной операторной топологии,
ч. т. д.
—> 3. Определение. Говорят, что Т является оператором типа
т, если он является спектральным с разложением единицы Е
и выполнено соотношение
т
/(Л =2 ^f J/(n)W ?(<&), ftJF (T).
71=0
4. Теорема. Пусть N — радикальная часть ограниченного спек-
спектрального оператора Т\ тогда Т имеет тип т в том и только
том случае, если Nm+1 = 0.
ДокАздтельство. Если А/"™4 = 0, то ясно, что формула из тео-
теоремы 1 сводится к формуле определения 3. Обратно, если Т —
оператор типа т, то, полагая в этих двух формулах
МЫ ВИДИМ, ЧТО
0 = Nm+1 f E (dl) = Nm+1, ч. т. д.
5. Следствие. Спектральный оператор является оператором ска-
скалярного типа тогда и только тогда, когда он имеет тип 0.
—> 6. Теорема. Если Т — ограниченный спектральный оператор
и функция f из класса $F (T), mo f (T) является спектральным
оператором и его разложение единицы определяется по спектраль-
спектральному разложению оператора Т соотношением
Е (б; / (Т)) = Е (/-1 F); Т).
Кроме того, если S — скалярная часть оператора Т, mo f (S) —
скалярная часть оператора f (T).
Доказательство. По теореме 1
(X)
f(T) =2f(n)(S)^,
n=0
причем ряд сходится в равномерной операторной топологии. Так как
то по принципу изменения меры мы имеем / (S) = \ %Ei(dfk), где
Ei (б) = Е (f'1 (б)). Из замечания, сделанного после определе-
определения 4.1, вытекает, что / (S) является оператором скалярного типа
с разложением единицы Ei. Таким образом, если мы покажем, что
6. Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве 37^
оператор
оо
71=1
квазинильпотентен, то теорема будет вытекать из теоремы 4.5.
По лемме IX.2.6 радикал в коммутативной В-алгебре является
идеалом, и поэтому оператор АДт\ определяемый соотношением
71=1
лежит в радикале замкнутой коммутативной подалгебры из В (ЭЕ),
порожденной операторами /, S и N. По лемме IX. 1.12(е) этот
радикал замкнут. Так как NW -> Niy то отсюда вытекает, что
оператор А/\ также лежит в этом радикале, и потому он квазиниль-
квазинильпотентен, ч. т. д.
7. Следствие. В предположениях предыдущей теоремы f (T) —
оператор типа т, если Т — оператор типа т.
ДокАздтельство. В ходе предыдущего доказательства мы показа-
показали, что радикальной частью оператора / (Т) является оператор
71=1
Так как Nm+1 = 0, то
71=1
и, значит, yv7+1 = O, ч. т. д.
6. Ограниченные спектральные операторы
в гильбертовом пространстве
Как связаны между собой ограниченные спектральные опера-
операторы в гильбертовом пространстве ^ и ограниченные нормальные
операторы в ig? Основным результатом в этом направлении являет-
является теорема Уэрмера, которая утверждает, что всякий оператор
скалярного типа в гильбертовом пространстве эквивалентен нор-
нормальному оператору. Эта теорема и другие специальные свойства
спектральных операторов в гильбертовом пространстве обсуждают-
обсуждаются в этом параграфе.
1. Лемма. Пусть G — ограниченная абелева группа операто-
операторов в гильбертовом пространстве $. Тогда существует ограни-
38 Гл. XV. Спектральные операторы
ченный самосопряженный оператор В в <q с ограниченным всюду
определенным обратным, такой, что для всякого оператора Т
из G оператор ВТ В'1 унитарен.
Доказательство. Пусть й — линейное пространство всех число-
числовых функций на Sq X §, а ^ состоит из тех функций f из ?,
которые билинейны, эрмитово симметричны и таковы, что f (х, х)^0
для всех х из Hq. Пусть Й наделено слабой топологией произве-
произведения, так что по определению множества
Ш/??, \f(*,y)-g(x, У)\<*}>
где х, y(zfe [и ?>0, образуют подбазис окрестностей точки g
в ?. Очевидно, что 5$ —замкнутое множество в S и что выпуклое
множество, порожденное функциями / вида f(x,y) = (Tx, Ту),
где Т принадлежит G, является подмножеством в s$. Обозначим
через R замыкание этого выпуклого множества, так что Я — замк-
замкнутое выпуклое подмножество в 5$. Если М — верхняя грань норм
операторов из G, то \(Тх, Ту)\^М2\х\ \у\, так что
(i) \f(x,y)\<AP\x\\y\, /еЯ-
К тому же поскольку \х\2=(Т~1Тх, Т-1Тх)<^М2\Тх\\ то
(И) ^<П(х9х)9 /бй
Поскольку й замкнуто в 5JS, а ^§ замкнуто в 2, то из неравен-
неравенства (i) и теоремы Тихонова о компактности пространств-произве-
пространств-произведений A.8.5) вытекает, что й — компактное множество. Для каж-
каждого Т из G определим непрерывное линейное отображение JT
пространства S в себя по формуле
(JTf)](x,y) = f(Tx, Ту), х,у^§.
Так как Jt^tI = ^tiT2» a G —абелева группа, то набор {JT} также
является абелевой группой непрерывных линейных операторов
в пространстве ?. Кроме того, легко видеть, что {JT} отображает
S в S. Из теоремы Маркова о неподвижной точке (V.10.6) выте-
вытекает существование элемента /0 ? S, такого, что JTf0 = f0 для всех
Т из G.
По лемме Х.2.2 существует такой ограниченный самосопря-
самосопряженный оператор А в §, что fo(x, y)= (Ах, у). Следовательно,
(Ах, у) = (АТх, Ту) = (Т*АТх, у), T?G,
так что А = Т*АТ для всякого оператора Т из G. Поскольку
}о 6 ф, то (Ах, х) = /о (х, х) > 0, и тогда по теореме Х.4.2 спектр
оператора А положителен. Если Е — разложение единицы для А,
то оператор В = \ №12Е(<Щ является ограниченным самосопря-
самосопряженным оператором, причем В2 = А. В силу неравенства (И) мы
6. Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве 39
имеем
это показывает, что В имеет ограниченный обратный. Тогда по
лемме XI 1.1.2 образ Big замкнут. Для проверки того, что В~г опре-
определен всюду, достаточно поэтому показать, что лишь нулевой вектор
у = 0 ортогонален к B<q. Если у ортогонален к B!q, то 0 =
= (В2у, у) = (By, By), и потому By = 0. Так как В обратим, то
у = 0. Этим доказано, что В является самосопряженным линейным
гомеоморфизмом @ на все @. Но поскольку Т*АТ = А, то В2Т =
= (Г*) В2 и тем самым
вгв-1 - в-1 (г*)-1 в = ((втв-1)*)-1,
что доказывает унитарность оператора ВТВ~г, ч. т. д.
2. Лемма. Пусть 851э . . ., Э5& — конечный набор коммути-
коммутирующих ограниченных булевых алгебр проекторов в гильбертовом
пространстве <д. Тогда существует ограниченный самосопряженный
оператор В в $q с ограниченным всюду определенным обратным,
такой, что оператор ВЕВ~г является самосопряженным проектором
для всякого проектора Е из булевой алгебры, порожденной алгебрами
8$i, . . ., 9Sfe.
Доказательство. Для Е ? ЯЗг- положим F (Е) = /—2Е
Тогда F (Ef = / — 4? + 4?2 = / и F (?4) F (Е2) = I — 2E,—
- 2Е2 + 4Е,Е2 = F(?IA(/- ?2)) V (?2 Л (/ - ?i))- Таким
образом, набор Gt всех F (Е), где ? ? 93*, образует ограниченную
абелеву группу операторов в гильбертовом пространстве. Очевидно,
что все элементы Gt коммутируют со всеми элементами Gj. Таким
образом, множество G произведений элементов gly . . ., gk, где
gi 6 Gt, является ограниченной абелевой группой операторов
в гильбертовом пространстве. Из предыдущей леммы сразу же
вытекает существование ограниченного самосопряженного опера-
оператора В, имеющего ограниченный всюду определенный обратный
и такого, что оператор BF(E)B~1 = U унитарен для всех Е 6
6 иг, i = 1, . . ., k. Так как F (ЕJ = /, то U2 = /, и тем самым
Ц* = U'1 = U. Таким образом, U — самосопряженный оператор
и, следовательно, оператор
ВЕВ-1 = i- В (I + F (Е)) В-1 = 4" (/ + U)
также самосопряжен для всякого Е из 93j, i = 1, . . ., k. Отсюда
непосредственно вытекает нужное утверждение, ч. т. д.
3. Следствие. Наименьшая булева алгебра проекторов в гиль-
гильбертовом пространстве, содержащая каждую алгебру из конеч-
конечного набора коммутирующих ограниченных булевых алгебр проекто-
проекторов, сама является ограниченной.
4? Гл. XV. Спектральные операторы
4. Теорема. Пусть St, . . ., Sk — коммутирующие операто-
операторы скалярного типа в гильбертовом пространстве. Тогда су-
существует ограниченный самосопряженный оператор В, имеющий
ограниченный всюду определенный обратный, такой, что все опера-
операторы BSiB'1, i=l, ...,&, являются нормальными.
Доказательство. Пусть Et — разложение единицы для St. По
лемме 2 существует оператор В с требуемыми свойствами, такой,
что для всякого борелевского множества 8 все проекторы
Р (8) = ВЕ{ F) В, i = 1, . . ., k, являются самосопряженными
операторами. Таким образом, операторы
BStB-1 = \ XBEt (dk) В, t=l, . .., k,
являются нормальными, ч. т. д.
5. Следствие. Сумма и произведение двух коммутирующих огра-
ограниченных спектральных операторов в гильбертовом пространстве
также являются спектральными операторами.
ДоказатЕльство этого следствия основано на следующей лемме.
6. Лемма. Пусть А и В — ограниченные операторы в гиль-
гильбертовом пространстве и А нормален. Тогда если В коммутирует
с А, то он коммутирует и с А*.
ДокАЗАтельство. Это утверждение вытекает из следствия 3.7Г
ч. т. д.
Доказательство следствия 5. Пусть 7\ и Т2 — коммутирую-
коммутирующие спектральные операторы в гильбертовом пространстве jg,
a Si + Ni и S2 + N2— их канонические представления. Из след-
следствия 3.7 вытекает, что все операторы St, S2, Af4 и N2 коммутируют
друг с другом. Таким образом, сумма и произведение операторов
Ti и Т2 имеют вид
7\ + Т2 = St + S2 + N, T,T2 = SlS2 + М,
где iV и А! — квазинильпотентные операторы, коммутирующие
с St и S2. Для проверки того, что операторы 7\ + Т2 и Т{Т2 являют-
являются спектральными, достаточно в силу теоремы 4.5 показать, что
Si + S2 и StS2 — операторы скалярного типа. По теореме 4 суще-
существует линейный гомеоморфизм В пространства <q на все i§, такой,
что BSiB'1 и BS2B~X являются коммутирующими нормальными
операторами. Следовательно, их сумма и произведение также
нормальные операторы, и поэтому очевидно, что St + S2 и SiS2 —
операторы скалярного типа, ч. т. д.
Далее мы постараемся охарактеризовать операторы конечного
типа в терминах скорости роста резольвенты.
6. Ограниченные операторы в гильбертовом ^пространстве ?/
7, Теорема. Пусть Т — ограниченный спектральный оператор
в гильбертовом пространстве $q, E — его разложение единицы*
а То — его сужение на многообразие E(o)<q. Оператор Т имеет
тип т — 1 тогда и только тогда, когда существует постоянная К,
не зависящая от борелевского множества а, такая, что
(.) \Rtt;Ta)E(o)\<d.st«_)m , Uo,\t\<\T\+l.
Доказательство. В силу теоремы 5.4 достаточно доказать, что
условие (*) эквивалентно условию Nm = 0. Если Nm = 0 и ?<Jcr,
то по лемме 5.2
откуда вытекает соотношение (*).
Для доказательства импликации (*) =ф Nm = О нам понадобит-
понадобится следующая лемма:
8. Лемма. Пусть Т — спектральный оператор в гильберто-
гильбертовом пространстве Q и Е — его разложение единицы. Тогда суще-
существует такая постоянная Му что для любого конечного набора Ajf
j — 1, 2, . . ., /г, ограниченных операторов в $, коммутирующих
с Т, и любого набора ojy j = 1, 2, . . ., /г, непересекающихся боре-
левских множеств выполнено неравенство
\%}()t sup \Aj\.
Доказательство. По лемме 2 существует линейное взаимно од-
однозначное отображение В, такое, что В$ = Q, оба оператора В и
В непрерывны и для всякого борелевского множества а проектор
Р (а) = BE (а) В-1
самосопряжен. Если Bj = BAjB'1, то
з=1
В силу следствия 3.7 оператор Aj коммутирует с Е (о) и поэ-
поэтому Bj коммутирует с Р(о). Таким образом,
Ы2 P(oj)BjX\2= 2 \P(oj)BjX\* =
ii ii
что доказывает лемму.
Гл. XV. Спектральные операторы
Пусть б — борелевское множество диаметра меньшего, чем е,
и I — точка из б. Тогда
{Т _ и
= 25 J
с
где С —окружность с центром в точке g радиуса 2е. По предпо-
предположению подынтегральная функция ограничена величиной /<7Wi2m,
где Mi = sup| E (б) |, так что мы имеем
Пусть теперь спектр а (Т) разбит на борелевские множества Oj,
j = 1, . . ., п (е), каждое из которых диаметра меньшего, чем 8,
и пусть точки ij 6 Oj. Тогда в силу предыдущей леммы
Г| (г)
Используя теорему о биноме, мы получаем
n(e) m n(e)
г=1
Так как функция Xft равномерно непрерывна по Я, когда Я про-
п(е)
бегает а (Г), то суммы 2§ьЕ(а;) равномерно стремятся к
j
о(Г)
при 8 —>- 0. Таким образом, из двух последних соотношений и пред-
предшествующего им неравенства мы имеем
(T-S)m = Nm, ч. т. д.
7. Соотношения между спектральным оператором
и его скалярной частью
В этом параграфе излагаются элегантные результаты Фогеля
о топологических и алгебраических свойствах, которыми обладает
скалярная часть спектрального оператора. Спектральные соотноше-
соотношения между спектральным оператором и его скалярной частью будут
рассмотрены в следующем параграфе. На протяжении всего этого
параграфа буквой Т обозначается спектральный оператор, буква-
7. Соотношения между оператором и его скалярной частью 43
ми S и N — его скалярная и радикальная части, а буквой Е — его
разложение единицы. Следует напомнить, что Т = S + N, о (Т) =
= о (S) и что Е также является разложением единицы для S. Сим-
бол В (Ж) будет использоваться для обозначения алгебры всех
ограниченных линейных операторов в комплексном В-простран-
стве X.
1. Лемма. Скалярная часть S лежит в замкнутом линейном
многообразии в В (Ж), порожденном теми проекторами Е (а),
для которых 0 ($ с»
Доказательство. По определению интеграла, данному в § ХЛ,
для всякого е > 0 существует разбиение а0, ои . . ., оп мно-
множества a (S) на подмножества, такое, что точка Я = 0 принад-
принадлежит замыканию самое большее одного из этих множеств ot и
\j]i()\
г=0
для любого набора комплексных чисел Кг в Gt. Если 0 не лежит
в а E), то лемма доказана. Если же Я = 0 принадлежит спектру
<у (S), скажем 0 6 <?о> то можно считать, что в последнем неравенстве
Яо = 0; тем самым лемма доказана и в этом случае, ч. т. д.
2. Теорема. Пусть Т лежит в правом (левом) идеале 3 в В (Л).
Тогда каждый проектор Е(о) при О^а принадлежит идеалу 3-
Если идеал 3 замкнут, то операторы S и N также принадле-
принадлежат з.
Доказательство. Пусть 0 <J а и То = ТЕ (а) | Е (о) $ — сужение
оператора Т на инвариантное подпространство Е(о)Ж. Так [как
<у(То)^в, то Обр (То), и поэтому То1 существует как ограни-
ограниченный линейный оператор в пространстве ?СТ(Ж). Пусть Vo —
ограниченный линейный оператор в Ж, определяемый соотноше-
соотношением
Тогда TVo = E(o) = V0T, и мы доказали, что Е (а) лежит в 3- Из
леммы 1 вытекает, что оператор S, а следовательно, и оператор Af
принадлежат идеалу 3> если 3 замкнут, ч. т. д.
3. Следствие. Если Т—компактный оператор, то компакт-
компактны также операторы S, N и каждый проектор Е (а), где 0 $ а.
Доказательство. В силу следствия VI.5.5 компактные опера-
операторы образуют замкнутый двусторонний идеал в В (Ж); из этого
факта непосредственно вытекает наше следствие, ч. т. д.
44 Гл. XV. Спектральные операторы
4. Следствие. Если Т — слабо компактный оператор, слабо
компактны также операторы S, N и каждый проектор Е (а),
где 0 $ а.
Доказательство. В силу следствия VI.4.6 слабо компактные
операторы образуют замкнутый двусторонний идеал в В C6),
откуда непосредственно вытекает наше следствие, ч. т. д.
Если 3) — замкнутое линейное подпространство в 36, то мно-
множество ограниченных линейных операторов Л в Ж, для которых
АЦ ^ 3), образует замкнутый правосторонний идеал в В (Ж).
Поэтому следующее утверждение является непосредственным след-
следствием теоремы 2.
5. Следствие. Образы операторов S, ./V и ? (а), если О (J а,
содержатся в замыкании образа оператора Т.
Пусть Ло— фиксированный ограниченный линейный оператор
в 36. Тогда множество всех ограниченных линейных операторов А
в 36, для которых А0А = О (АА0 — 0), является замкнутым право-
правосторонним (левосторонним) идеалом в В (Ж). Поэтому следующее
утверждение является непосредственным следствием теоремы 2.
6. Следствие. Если А0Т = 0 (соответственно ТА0 = 0), то
A0S = A0N = А0Е (а) = 0 при 0 (J а (соответственно SA0 =
= NA0 = ? (а) Л0 = 0 при 0 $ а).
7. Следствие. Спектральный оператор является оператором
конечного типа тогда и только тогда, когда он аннулируется
некоторой степенью своей радикальной части.
Доказательство. Если Т—оператор конечного типа, то Nn=0
для некоторого натурального п (теорема 5.4), так что TNn = 0.
Обратно, если некоторая степень Л^ аннулирует Т, скажем Т№=0,
то из следствия 6 вытекает, что Np+1 = 0, и потому Т — оператор
конечного типа, ч. т. д.
8. Следствие. Если Тх = 0, mo Sx = Nx = Е (а) х при 0 $ а.
Доказательство. Для данного вектора х в Ж класс огра-
ограниченных линейных операторов в Э?, для которых Ах = 0,
является замкнутым левосторонним идеалом в В (Ж), ч. т. д.
9. Следствие. Пусть 0 $ а, и {хп} — последовательность
в Э?, для которой {Тхп} сходится (сходится к нулю). Тогда после-
последовательность {Е(о)хп} сходится (сходится к нулю). Если {хп} ог-
ограничена, то последовательности {Sxn} и {Nxn} также ограничены.
7. Соотношения между оператором и его скалярной частью 45
Доказательство. Множество всех операторов Л из В C6), для
которых последовательность {Лхп} сходится (сходится к нулю),
образует левосторонний идеал, и этот идеал замкнут, если {хп}
ограничена. Поэтому следствие непосредственно вытекает из теоре-
теоремы 2, ч. т. д.
10. Теорема. Пусть А — ограниченный линейный оператор
в Ж. При этом AT = 0 тогда и только тогда, когда AN = 0
и АЕ ({0}') = 0. Аналогично, ТА = 0 тогда и только тогда, когда
Е ({0}') А = NA = 0.
Доказательство. Если AT = 0, то из следствия 6 вытекает, что
AN = 0 и
так что соотношение АЕ ({0}') = 0 является следствием счетной
аддитивности Е.
Предположим теперь, что AN =-0 и АЕ({0}') = 0. Пусть 0$о,
так что оа{0}' и Е(о) = Е(о)Е({0}'). Тогда
АЕ (а) = АЕ ({0}') Е (о) = 0.
Таким образом, проекция Е (о) принадлежит замкнутому идеалу,
состоящему из всех операторов С из В(Ж), для которых АС = 0.
Из леммы 1 вытекает, что AS = 0. Так как AN = 0, то мы также
имеем AT = 0. Вторая часть теоремы может быть доказана тем же
способом, ч. т. д.
11. Следствие. Если Е ({0}) = 0, то нулевой оператор А=0
является единственным ограниченным линейным оператором, для
которого либо AT = 0, либо ТА = 0.
Доказательство. Если либо AT = 0, либо ТА = 0, то по тео-
теореме или А = АЕ ({0}), или А = Е ({0}) А. Таким образом,
А = 0, ч. т. д.
12. Следствие. Если Е ({К}) = 0, то образ (XI — ГK? всюду
плотен в Ж.
Доказательство. Предположим сначала, что X = 0. Если образ
ТЖ не всюду плотен, то в силу следствия II.3.13 существу-
существует функционал х* из ?*, такой, что х* Ф 0 и х*ТИ = 0. Выберем
Xt ф 0 и определим оператор Л соотношением Лх = х* (л) xb так
что А Ф 0. Но ЛТ = 0, что противоречит следствию 11. Далее,
для произвольного X теорема 5.6 показывает, что оператор
XI — Т является спектральным, и его спектральное разложение,
вычисленное на множестве {0}, равно проектору Е ({X}). Поэтому
из уже доказанного вытекает, что образ (XI — Т) Ж всюду плотен
в Ж, ч. т. д.
46 Гл. XV. Спектральные операторы
13. Теорема. Если оператор Т имеет замкнутый образ, то эта
же верно и для оператора S.
Доказательство. Доказательство разбивается на два случая,
зависящие от того, будет ли проектор Е ({0}) = 0 или нет. Пред-
Предположим сначала, что Е ({0}) = 0. Тогда, поскольку образ Т
замкнут, из следствия 12 вытекает, что ТЖ = Ж. По лемме 3.1
оператор Т взаимно однозначен. По теореме II.2.2 оператор Т
имеет ограниченный обратный, и, следовательно, 0 ? р (Т) = р (S),
так что SX = 36.
Предположим теперь, что Е ({0}) Ф 0. Заметим сначала, что*
для любого борелевского множества а сужение оператора Т на
подпространство Е (а) Ж является спектральным оператором, раз-
разложение единицы F которого задается соотношением F (Р) = Е (оф)
для всякого борелевского множества р. Это вытекает непосредствен-
непосредственно из определения 2.5. Таким образом, сужение V оператора Т на
подпространство Е ({0}') Ж является спектральным оператором,
разложение единицы F которого задается соотношением F (Р) =
= Е (Р —{0}). Следовательно, F ({0}) = 0, и мы сможем применить
к оператору V уже доказанный в первой части результат, если
покажем, что образ V замкнут. Пусть вектор у лежит в замыкании
образа V. Тогда для некоторой последовательности {хп} из
Е ({ОУ)Ж мы имеем Vxn -> у, и поскольку образ оператора Т
замкнут, существует такой вектор х ъ Ж, что Тх = у. Следователь-
Следовательно,
VE ({0}') х = ТЕ ({0}') х = Е ({0}') Тх = Е ({0}') у = у.
Таким образом, V удовлетворяет условиям, налагаемым в первой
части доказательства на оператор Т, и потому можно сделать вывод,
что скалярная часть оператора V отображает Е ({0}') Ж на все это
подпространство. Из единственности канонического разложения
спектрального оператора вытекает, что скалярная часть сужения
является сужением скалярной части, и потому
SE ({0}') Ж = Е ({0}') Ж.
Но SE ({0}) = 0, так что ?>Ж = Е ({0}') Ж\ это показывает, что
оператор S имеет замкнутый образ, ч. т. д.
В ходе предыдущего доказательства было показано, что для
оператора Т с замкнутым образом точка К = 0 не лежит в спектре
оператора V = Т \ Е ({0}') Ж. Поэтому для всех достаточно малых
комплексных чисел К Ф 0 оператор
имеет ограниченный всюду определенный обратный. Это означает,
что точка X = 0, если она все же попадает в спектр оператора Т,
является изолированной точкой спектра.
8. Спектр спектрального оператора 47
14. Теорема. Оператор Т имеет замкнутый образ тогда
и только тогда, когда
(i) точка X = О или лежит в резольвентном множестве опера-
оператора Ту или является изолированной точкой его спектра, и
(и) оператор ТЕ ({0}) имеет замкнутый образ.
Доказательство. Пусть Т имеет замкнутый образ. В этом
случае (i) уже доказано. Для доказательства утверждения (п)
выберем у в замыкании образа ТЕ ({0}) и предположим, что
ТЕ {{0}) хп-+у.
Так как оператор Т имеет замкнутый образ, то в 1 существует
вектор х, такой, что Тх = у, и, следовательно,
ТЕ ({0}) х = Е ({0}) Тх = Е ({0}) у = у;
тем самым (И) доказано. Обратно, предположим, что условия (i)
и (и) выполнены; выберем у в замыкании образа Т и допустим, что
Тхп -* у. Тогда ТЕ ({0}) хп -» Е ({0}) у, и, поскольку образ опера-
тора ТЕ ({0}) замкнут, существует такой вектор w, что ТЕ ({0}) w=
= Е ({0}) у. Так как точка X = 0 изолирована в спектре а (Т)>
она лежит в множестве р G\о}'), и для некоторого вектора г из
Е ({0}') ЭЕ мы имеем Тг = Е ({0}') у. Следовательно,
Т (г + Е ({0}) w) = E ({0}') у + ? ({0}) у = у\
тем самым утверждение (i) доказано, ч. т. д.
8. Спектр спектрального оператора
В этом параграфе изучаются свойства спектра спектрального
оператора Т и выясняются соотношения между ними и соответ-
соответствующими свойствами скалярной части оператора Т. Большинство
излагаемых здесь результатов принадлежит Фогелю. Как и раньше,
буква Т будет использоваться для обозначения ограниченного
спектрального оператора в В-пространстве 36, а символы S, N и
и Е — для обозначения его скалярной части, радикальной части
и разложения единицы соответственно.
Мы будем более тщательно изучать структуру спектра; спектраль-
спектральные точки оператора в ЭЕ будут классифицироваться, как и в случае
гильбертова пространства, в соответствии со следующим определе-
определением:
-» 1. Определение. Пусть А—ограниченный линейный опе-
оператор в 3?. Точечный спектр оператора А есть множество ор (Л),
состоящее из всех комплексных чисел X, для которых оператор
XI — А не является взаимно однозначным. Непрерывный спектр
оператора А есть множество ас (А) комплексных чисел X, для кото-
48 Гл. XV. Спектральные операторы
рых оператор XI — Л взаимно однозначен и имеет всюду плотный
образ, не совпадающий со всем Ж. Остаточный спектр оператора А
есть множество ог (Л), состоящее из тех комплексных чисел X, для
которых оператор XI — А взаимно однозначен и имеет образ, не
плотный в 36. Точки точечного спектра оператора А иногда назы-
называются собственными значениями Л, а вектор х Ф О, для которого
(XI — Л) х = О, называется собственным вектором оператора Л,
соответствующим собственному значению X.
Очевидно, множества ор (Л), ас (Л) и аг (Л) не пересекаются и
а (Л) = ар (Л) U ос (Л) U аТ (Л).
2. Теорема. Для вектора х из Ж и неотрицательного це-.
лого п соотношение (XI — Т)п х = О выполняется тогда и только
тогда, когда Е ({к}) х = х и Nnx = О,
Доказательство. Предположим, что (II — Т)пх = 0, и пусть
а — замкнутое множество комплексных чисел, не содержа-
содержащее точки X. Тогда X лежит в резольвентном множестве сужения
То оператора Т на Е (а) И и
Е (а)х = R (Я; Та)п (XI - Т)п Е (а);
это показывает, что
Е (о) х - R (X; То)п Е (о) (XI — Т)пх = 0.
Таким образом,
и в силу счетной аддитивности Е отсюда вытекает, что
Е({Ц')х = 0, Е({Х})х = х.
Следовательно,
Sx = SE ({X}) х = j ]xE (d\x) x = XE ({X}) х = Хх;
поэтому
(U _ т) х = —Nx,
так что
0 = (XI — Т)п х = (—\)nNnx.
Этим доказана необходимость условий теоремы.
Предположим теперь, что Е ({X}) х = х и Nnx = 0. Как и выше,
легко показать, что (XI — S) х = 0, и, следовательно, (XI — Т)п х=
= (—l)n Nnx. Таким образом, (Я/ — Т)п х = 0, ч. т. д.
3. Теорема. ?с,/ш Г — оператор конечного типа, то его
остаточный спектр пуст, а точка X лежит в его точечном спектре
тогда и только тогда, когда Е ({X}) Ф 0.
8. Спектр спектрального оператора 49
Доказательство. Пусть X лежит в спектре оператора Т.
Если Е ({к}) Ф О, то Е ({к}) х = х для некоторого вектора х Ф О
и Nn = 0 для некоторого неотрицательного целого п. Из теоремы 2
следует, что X лежит в точечном спектре оператора 7\ Если
? ({!}) = 0, то из теоремы 2 вытекает, что оператор XI — Т взаимно
однозначен. В силу следствия 7.12 множество (XI — Т) Ж плотно
в X, и, следовательно, точка X лежит в непрерывном спектре опера-
оператора Т, ч. т. д.
4. Следствие. Для спектра скалярной части S оператора Т вы-
выполнены соотношения
о (S) = ор (S) U oc (S),
gc (S) с= ас (Т),
аР (Т) U or (Т) c= ap (S).
Доказательство. Так как S — оператор конечного типа, то
0Г E) = 0 и первое соотношение вытекает из теоремы. Пусть
теперь К лежит в ас (S). Так как разложение единицы для операто-
оператора S то же, что и для оператора Г, то из теоремы вытекает, что
Е {{X}) = 0. Из этого факта и теоремы 2 следует, что X не лежит
в множестве ор (Т). Заключительная часть теоремы показывает,
что образ (XI — Т) Ж всюду плотен в I, и поскольку X лежит
в спектре о(Т), то X должно лежать в ас (Т). Этим доказано второе
включение, из которого вытекает последнее утверждение, если
перейти к дополнительным множествам и воспользоваться тем фак-
фактом, что or (S) = 0, ч. т. д.
5. Следствие. Пусть комплексное число X лежит в дополне-
дополнении борелевского множества а, а Т — спектральный оператор.
Тогда число X лежит или в резольвентном множестве сужения Т0
оператора Т на Е (а) ЭЕ, или в непрерывном спектре этого сужения.
Доказательство. Ясно, что То = So + AfG, a так как су-
сужение обобщенного нильпотентного оператора также является
обобщенным нильпотентным оператором, а сужение скалярного
оператора является скалярным оператором, то из теоремы 4.5
вытекает, что So — скалярная часть оператора Та. Таким образом,
в силу предыдущего следствия мы имеем ас (So) ^ ас (Та),
а потому для доказательства настоящего следствия достаточно
показать, что точка X лежит в непрерывном спектре оператора So.
Допустим, что (S — XI) х = 0, где х — вектор из Е (а) Ж. Так как
операторы S и Т имеют одно и то же разложение единицы, то по
теореме 2 Е ({X}) х = х, а поскольку множества {X} и а не пере-
пересекаются, то х = Е (а) х = 0. Таким образом, оператор 5 — XI
взаимно однозначен на Е (а) 36, и потому точка X лежит или в ре-
резольвентном множестве оператора So (а следовательно, и операто-
оператора Та), или в непрерывном спектре оператора 5G, так как, будучи
4 Н. Данфорд и Дж. Шварц
5? Гл. XV. Спектральные операторы
оператором конечного типа, So по теореме 3 не имеет остаточного
спектра, ч. т. д.
Требование теоремы 3, чтобы спектральный оператор имел
конечный тип, весьма существенно. Следующий элементарный при-
пример показывает, что существуют спектральные операторы с оста-
остаточным спектром. Рассмотрим оператор Tf = g в пространстве
С ([0, 1]), полагая
Заметим сначала, что если g — 0, то / = 0, так что оператор Т
взаимно однозначен. Столь же очевидно, поскольку всякая функция
из образа оператора Т обращается в нуле в нуль, что этот образ
не плотен в С ([О, 1]), а потому точка X = 0 лежит в остаточном
спектре оператора Т. Покажем теперь, что оператор Т является
спектральным. Действительно, из теоремы 4.5 вытекает, что Т —
спектральный оператор со скалярной частью 5 = 0, если Т квази-
нильпотентен. Для проверки последнего утверждения заметим, что
I g @ I < 11 / I
и по индукции что
но это показывает, что
В силу определения 4.2 отсюда вытекает, что Т — квазинильпо-
тентный оператор.
Предыдущий пример приобретает еще большее значение в свете
следующей теоремы, которая показывает, как по свойствам ради-
радикальной части спектрального оператора можно судить о существо-
существовании точек в его остаточном спектре.
6. Теорема. Пусть X — точка спектра спектрального опе-
оператора Т. Если Е, ({к}) = 0, то Я, лежит в непрерывном спектре
оператора Т. Если же Е ({Ц) Ф 0, то обозначим через Nx сужение N
на Е({к})Ж. При этом
(a) X 6 ор (Т) тогда и только тогда, когда 0 6 ор (Л/\);
(b) Я 6 суг (Т) тогда и только тогда, когда 0 6 оТ (Л/\)
(c) X 6 сус (Т) тогда и только тогда, когда 0 6 ос
Доказательство. Если Е ({X}) = 0, то из теоремы 2 вы-
вытекает, что X не лежит в точечном спектре оператора 7\ а в силу
следствия 7.12 очевидно^ что X на самом деле лежит в непрерывном
8. Спектр спектрального оператора 51
спектре Т. Предположим теперь, что Е({Х})фО. Так как
SE ({А,}) =№ (Щ), то мы имеем
(i) (T-XI)
Далее,
(и) (т - ад = (T-xi)E( {Ц)% е (т — xi) е ({ху)ж.
В силу следствия 5 (Т — XI) Е {{Х}')Ж плотно в Е({Х}')Ж,
и поэтому из соотношения (ii) вытекает, что (Т — XI) Ж плотно в Ж
тогда и только тогда, когда (Т — XI) Е ({X}) Ж плотно в Е ({К}) Ж.
Так как по теореме 2 всякий собственный вектор оператора 71, соот-
соответствующий числу А,, должен лежать в подпространстве Е({Х})Ж,
то все три утверждения (а), (Ь) и (с) вытекают теперь из соотноше-
соотношения (i), ч. т. д.
7. Теорема. Если пространство Ж сепарабельно,] то то-
точечный и остаточный спектры спектрального оператора не более
чем счетны.
Доказательство. Пусть Т — спектральный оператор со скаляр-
скалярной частью S и разложением единицы Е. Из теоремы 6 вытекает,
что
ор(Т) U ог
Пусть теперь М — верхняя грань разложения Е, а^ — вектор,
такой, что | хх | = 1 и Е ({X}) хк = х%\ тогда для двух различных
точек % и [л мы имеем
Так как множество в правой части предыдущего включения сепа-
рабельно, то последнее неравенство показывает, что оно счетно,
ч. т. д.
8. Теорема. Спектр спектрального оператора Т состоит из
тех комплексных чисел X, для которых найдется такая последова-
последовательность {хп} векторов, что
(О 1*п|=1, (Т-Х1)хп^0.
Доказательство. Очевидно, что такая точка X принадлежит
спектру оператора Т. Обратно, пусть X лежит в спектре Т. Ес-
Если X — собственное значение, то можно положить хп = х, где
х — собственный вектор оператора 7\ соответствующий X и норми-
нормированный так, что |#| = 1. Поэтому можно (и мы будем это делать)
предполагать, что оператор Т — XI взаимно однозначен. Допустим
сначала, что Е ({X}) = 0. Из следствия 7.12 вытекает, что X лежит
в непрерывном спектре, и, таким образом, обратный оператор
(XI — Т) не является непрерывным. Поэтому существование
4*
Гл. XV. Спектральные операторы
последовательности, удовлетворяющей соотношениям (i), обеспече-
обеспечено. Предположим, наконец, что Е ({X}) Ф 0. Так как SE ({X}) =
= ХЕ ({X}), то мы имеем
(И) (Т — К1)п Е ({X}) = NnE ({X}), п > 0.
Пусть теперь хф 0 — произвольный ненулевой вектор в Е ({Я}) Ж.
Так как X не лежит в точечном спектре оператора 7\ то из соотно-
соотношения (И) вытекает, что Nnx Ф 0 для п > 0, и мы положим хп =
= (ЛГ\х;)/| Мпл; |. Покажем, что для некоторой подпоследователь-
подпоследовательности {хп.} имеет место соотношение Nxni~+- 0. В противном случае
для некоторого положительного б выполняются неравенства
и, следовательно,
iyl ^ 1**1 ^ 1*2*1 ^ ^ 1*п^1
Таким образом,
но это невозможно, так как оператор Af обобщенный нильпотент-
ный. Поэтому Nxni -> 0 для некоторой подпоследовательности
{xni}, и так как хщ = Е ({X}) хпи то из соотношения (ii) вытекает,
что (Г — XI) xni -^0, ч.т.д.
9. Алгебры §[*> и Й*
В этом параграфе вводится в рассмотрение один достаточно
простой тип некоммутативной В*-алгебры операторов в прямой
сумме гильбертовых пространств. Короче говоря, алгебра 2Р —
это алгебра всех операторов А в прямой сумме <qp p экземпляров
гильбертова пространства $, матричное представление (пц) которых
имеет в качестве своих элементов операторы пц из некоторой комму-
коммутативной В*-алгебры 2t операторов в J§. Здесь изучаются лишь
некоторые основные свойства алгебры 21р и ее элементов. В сле-
следующем параграфе будет решена задача полного описания всех
спектральных операторов из 21Р, а в § 11 даны применения этих
результатов.
Начнем с беглого рассмотрения операторов в прямой сумме
A) ?р = ?е ... ей
р экземпляров гильбертова пространства <§. Здесь р — положи-
положительное целое число, а пространство ig по предположению имеет
9. Алгебры № и &Р 53
положительную размерность. Элементами пространства $р по опре-
определению являются конечные упорядоченные множества х =
= 1хи . . ., jcp] из р элементов пространства @, а сложение, умно-
умножение на числа и скалярное произведение определяются в igp при
помощи соответствующих операций в jg следующими соотноше-
соотношениями:
B) a[Xi, ..., Хр] =
S ( #)
г=1
Пространство $р с этими операциями является на самом деле
гильбертовым пространством (IV.4.19) с нормой
C) \[Xi, ...,^]| = (|
г=1
Очевидно, что если ац, i, /=1, ...,р» — любой набор из р2
ограниченных операторов в <§, то соотношения
D) &=2 ^^' г#== ^ •••» Р'
задают ограниченное линейное отображение А: [хи . . ., лгр] ->
-^ [^ii • . м Ур\ пространства ^р в себя. Если воспользоваться
обозначениями х и у для векторов Ub . . ., хр] и [уи . . ., ур]
соответственно, то соотношения D) можно записать просто в виде
у = Ах. Обратно, если исходить из произвольного ограниченного
линейного отображения А: х -* у пространства $р в себя, то легко
найти набор из р2 ограниченных линейных отображений ац в $,
такой, что соотношение у = Ах эквивалентно системе D). Прове-
Проверим это; пусть А—ограниченное линейное отображение в $р,
а §| — множество векторов [хи . . ., хр] из $р, таких, что *j = О
при \Ф1. Таким образом, отображение Ни определенное на $г
соотношением Htx = xi9 является, очевидно, линейной изометрией
пространства Jgf на все @, а отображение
E) Pt lxi9 . . ., хр] = Hixxt
является ортогональным проектором $р на JQt. Таким образом,
для векторов х = [хи . . ., дср] и Ах = у = [уи . . ., ур] мы имеем
X] =
2
5=1
Гл. XV. Спектральные операторы
И потому
у = HtPty = HtPtAx = | Hi
Следовательно, если положить aij = HiPiAHj\ то эти элементы
аи* h /=1» • ••>/?» являются ограниченными операторами в Jg,
и уравнения D) устанавливают те же самые соотношения между
векторами х и у, что и уравнение у = Ах. Это представление
оператора А с помощью матрицы (а^-) единственно; действительно,
если бы нашелся другой набор из р2 операторов Ъц в ig, дающий
представление Л, то разности сц = а^ — Ь^ удовлетворяли бы соот-
р
ношениям 2 ctjXj = О ДЛЯ всех i = l, . •., р и любого х =
= [хь ..., хр] из ^р. Если заменить х на Р^л:, то мы получим,
что cik = 0 для всех i, k=l, ..., р. Таким образом, только что
построенное отображение А*-+(аи) является взаимно однозначным
соответствием между алгеброй В (^р) ограниченных линейных
операторов в $р и матричной алгеброй Шр{В($)) порядка р над
алгеброй В (@) ограниченных линейных отображений в Jg. Эта
алгебра Шр (В (^)) по определению есть множество (р х р)-матриц
(atj) элементов ац из B($q), где сложение, умножение и умноже-
умножение на числа определяются соотношениями
F)
Единицей в ШРГ(В ($)) является матрица (ец) с элементами
G) *„ = ¦' °'
где е — единица из В Од), т. е. тождественный оператор в Jg.
Символ / будет использоваться для обозначения единицы
в В 0йр)> т. е. тождественного оператора в $р. Таким образом,
/ -*-> (ег;)> что является исключением из общепринятых обозначений,
когда одна и та же прописная и строчная буква используется соот-
соответственно для обозначения сходных элементов. Ясно, что отобра-
отображение А ¦<-*¦ (аи) линейно. На самом деле это алгебраический изо-
изоморфизм между алгебрами В (Jgp) и ЭД}Р (В (Jg)); действительно,
если А -*-> (atj), В <-+ (Ьц) и у = АВху то
V V Р V
k=i l j=i 3 i=l
Тем самым показано, что АВ -«-
9. Алгебры Ш> и &Р 55
Алгебра Шр (В ($)) нормируется по правилу
(8) I {atJ) I = I А |,
где А и (аи) — соответствующие друг другу элементы, так что
отображение А -«-* (а^) является изометрическим изоморфизмом
между В-алгебрами В (?р) и ШР (В (?)). Следует заметить, что
сходимость в топологии, заданной соотношением (8), эквивалентна
сходимости, задаваемой нормой
\(аи)\о= sup \au\.
Для проверки этого заметим сначала, что поскольку | Ht \ — \ Pi | =
= \HJ1\=1, то |аг7|<|Л| и потому | (аи) \0^\(аи)\. С другой
стороны, если |х|^1, то |^|^1 и соотношение ^4) показывает,
что |yi|<p|(ay)|0> \У1\2<Р2\(аи)\1 \у\2<Р3\(аи)\1 и \у\ =
= |Лл:|^р3/2 |(аг7-)|0. Таким образом,
Выясним теперь природу сопряженного пространства ($р)*.
Линейный функционал я* на $р определяет р линейных функциона-
функционалов х*> . . ., Хр на !q по следующим соотношениям:
(9) xfxt = x*H?Xi, xt 6 §,
и, обратно, любое множество р линейных функционалов х*, . . ., х%
однозначно определяют точку я* из (Йр)*, связанную с ними соот-
соотношением (9). Этот функционал можно задать формулой
A0) *•[*!, ...,xp]
Очевидно, что это соответствие х* -«->¦ [л:*, .. ., х$] является взаимно
однозначным линейным отображением между двумя пространствами
($р)* и ($*)р. Подчеркнем, что это также изометрическое отобра-
отображение, т. е.
A1) sup |*«*| = B |xf|2I/2,
||^1 г=1
где функционалы х* связаны с х* соотношением (9). Так как
$р — гильбертово пространство, то существует (IV.4.5) однозначно
определенная точка у=[уи ..., уР] в ^р, такая, что х*х = (х, у)
для любого вектора х из igp, и этот единственный вектор у также
обладает свойством |х*| = |у|. Поскольку (х, у) = (xt, yt)+ ...
... + (^Р, ур) для всякого вектора х из igp, то соотношение A0)
показывает, что xtxi = (xu yt) для всякого вектора хг из ^..Таким
образом, в силу той же теоремы IV.4.5 |^| = |д:*| и поскольку
Iх* I = IУ |i то | х* | = | [х*, ..., х%]\. Последнее соотношение пред-
представляет собой просто переформулировку равенства A1), и тем
56 Гл. XV. Спектральные операторы
самым оно установлено. Следовательно, соответствие х* -«->
-«-* [л:*, ...,дГр], задаваемое соотношениями (9), является изоме-
изометрическим изоморфизмом между пространствами 0§р)* и 0§*)р,
и мы можем, если это не приводит к недоразумению, писать
#№=(?•)? = (?*)• и Х* = [Х*и ...,*J].
Пусть А — ограниченный линейный оператор в $р и А* — сопря-
сопряженный к нему в гильбертовом пространстве оператор, так что
A2) (Ах, у) = (х, А*у), х, ye$v.
Пусть (atj) и (Ьц) — матрицы из ШР(В($)), соответствующие
операторам А и А*. Тогда в силу A2) мы имеем соотношение
A3) S (S atjxj, yO = S (**> S bihyk),
г=1 i=l г=1 fe=l
которое является тождеством относительно 2р элементов хи уи
i=l, ...,/?, из Jg. Зафиксируем два элемента я, г/ в $ и два
целых числа fx, v, такие, что l^Cfx, v^p. Положим х[1 = х, Уу, = у
и Xi = yj = 0, если г=^=ц и /=H=v. Тогда соотношение A3) пере-
переходит в равенство (а^х, у) = (х, Ь^у), которое, поскольку векторы
х и у произвольны, показывает, что bv|i = aj[v. Так как В (fep)
является В*-алгеброй (IX.3.2) с инволюцией А ->¦ А*, то отсюда
вытекает, что отображение (а^) ->• (&г;) является инволюцией
в алгебре 2RPE($)) и что с этой инволюцией 5ШР (В (Jg)) является
В*-алгеброй. Отображение А «-> (а^) между В*-алгебрами В ($р)
и 2RpE(@)) является поэтому изометрическим *-изоморфизмом,
и "эти алгебры *-эквивалентны. В дальнейшем мы их будем
отождествлять и писать просто А = (аг]-) вместо А **-+ {ац). г
Операторы, которые мы будем исследовать, принадлежат неко-
некоторой некоммутативной В*-подалгебре 2Р в В(^р); матричные
элементы ац всех этих операторов принадлежат коммутативной
В*-подалгебре в В (@. Алгебра йр будет теперь определена явно
в терминах понятия пространства со спектральной мерой. Пусть
@ — произвольное множество и 2 есть сг-поле множеств в @, такое*
что @ лежит в 2. Пусть е (•) — счетно аддитивная спектральная
мера на 2, значениями которой являются самосопряженные проек-
проекторы в ig. Следствие 2.4 показывает, что е (•) ограничена и счетно
аддитивна в сильной операторной топологии. Предположим, что
поле 2 полно в том смысле, что оно содержит все подмножества
любого множества а из 2, для которого е (а) = 0. Таким образом,
тройка (@, 2, ё) составляет то, что мы будем называть полным
пространством со счетно аддитивной самосопряженной мерой про-
проекторов в $.
С пространством со спектральной мерой (@, 2, е) связывается
В*-алгебра еВ((&, 2) ^-существенно ограниченных 2-измеримых
комплекснозначных функций а на (©• Норма в еВ(@, 2) — это
9. Алгебры № и
в-существенная верхняя грань, которая определяется соотношением
A4) e-ess sup \a(s)\= inf sup [ a (s) |,
s?(g eF)=e s?6
а инволюция a-^a* — это комплексное сопряжение a* (s) — a(s).
Хотя мы говорим об элементах из еВ(©, 2) как о функциях, они
являются, более точно, классами эквивалентности функций, где
две функции а и Ь на © эквивалентны, если a(s)=b(s) для
е-почти всех s в ©. Пространство еВ(@, 2) с естественными ал-
алгебраическими операциями является, очевидно, коммутативной
2?*-алгеброй с единицей e(s) = 1, s 6 ©.
Символ 21 будет использоваться для обозначения В*-подалгебры
из еВ((&, S) с той же единицей е. Интеграл
A5) a=\a(s)e(ds),
отображает алгебру S в коммутативную В*-подалгебру SI
и это отображение а ->• а является изометрическим *-изоморфизмом
между Я и 21 (Х.2.9). Символы Й и И будут использоваться
в наших рассмотрениях для обозначения введенных здесь 5*-алгебрт
которые *-эквивалентны при изоморфизме, задаваемом соотноше-
соотношением A5). Обычно мы имеем в виду случай 21 = еВ (@, 2), но
общую теорию предпочтительнее излагать для случая произвольной
5*-подалГебры 21 с той же единицей е. Так как еВ((&, 2) и Й
имеют одну и ту же единицу, то следствие IX.ЗЛО показывает,
что элемент из 21 имеет обратный в 2[ тогда и только тогда, когда
он имеет обратный в еВ((&, 2). Этот факт потребуется нам в слу-
случае некоммутативных В*-алгебр и будет доказан далее в лемме 2.
В том случае, когда © — топологическое пространство, мы будем
предполагать, что 2 содержит борелевские подмножества @ и что
е (а) Ф 0, если а — непустое открытое множество, т. е. © является
носителем спектральной меры е(-). Это дает нам возможность рас-
рассматривать В*-алгебру С (©) всех ограниченных непрерывных
комплексных функций на © как В*-подалгебру в еВ (©, 2); дей-
действительно, если е (б) = е9 то S плотно в ©, и, следовательно,
A6) sup | a (s) | =^e-esssup | a (s) |, а?С(©).
Таким образом, любая В*-подалгебра I в С (©), имеющая ту же
единицу, что и С (©), может быть выбрана в качестве алгебры 21.
В том случае, когда Й — такая алгебра непрерывных функций,
58 Гл. XV. Спектральные операторы
мы будем иногда вместо 21 писать © для обозначения эквивалент-
эквивалентной алгебры операторов. В этом случае можно также использовать
символы &р и ©р для обозначения двух алгебр 21Р и 2Р, которые
будут определены ниже.
Произвольная коммутативная В*-подалгебра 21 в В ($) может
быть представлена способом, описываемым формулой A5). Действи-
Действительно, согласно общей спектральной теореме для коммутативных
В*-алгебр операторов (Х.2.1), любая такая алгебра 21 порождает
компактное хаусдорфово пространство @, регулярную счетно адди-
аддитивную самосопряженную спектральную меру е (•), определенную
на борелевских множествах в @, такую, что соотношение A5) дает
*-эквивалентность между 21 и В*-алгеброй © = С (@) всех непре-
непрерывных комплекснозначных функций на ©. Эта спектральная
мера е(-), существование которой обеспечено спектральной теоре-
теоремой, обладает упомянутым выше свойством, т. е. е (а) Ф О, если а
непусто и открыто. Чтобы убедиться в этом, заметим, что, поскольку
© — нормальное пространство A.5.9), теорема Урысона A.5.2)
обеспечивает существование ненулевой вещественной непрерывной
функции а на @, обращающейся в нуль на дополнении к а. Таким
образом, в силу общей спектральной теоремы (Х.2.1) оператор а
из соотношения A5) не равен нулю. Однако, поскольку а обращает-
обращается в нуль на а', мы имеем a (s) = a (s) %а (s), но так как отображе-
отображение A5) гомоморфно, то это соотношение показывает, что а = ае (о)
и тем самым е (а) Ф 0.
Мы связываем с Я и Я две алгебры 2Р и 2Р следующим
образом. Алгебра 2Р — это В*-подалгебра в B($qp), состоящая из
всех операторов A = (atj), таких, что atj лежит в 21. Алгебра
2Р — это матричная алгебра [порядка р над 21, т. е. алгебра всех
матриц А=(а^) с элементами atj из Й. Элементы А из 2tp сле-
следует рассматривать как е-существенно ограниченные отображения
s ->• A (s) = (аи (s)) множества @ в B(EV), В*-алгебру линейных
операторов в р-мерном унитарном пространстве Ev, и в соответст-
соответствии с этим они и нормируются. Таким образом, для | из Ер
\A(s)\= sup\ A(s)l\
Isl—1
И
A7) | Л | = e-ess sup | Л (s) |.
Алгебраические операции, инволюция и единица 1 в tp определя-
определяются соотношениями
(a A) (s) = a A (s), (А + В) (s) = A (s) + E(s),
(AB)(s) = A(s) B(s), (/*) (s)=A (s)*, AS)
9. Алгебры ЗДр и &р 59
где ^j(s)=l, если i = /, и e^(s) = O, если /^/, для всех s6@-
Очевидно, что при таких определениях аглебра^р является В-ал-
В-алгеброй с инволюцией. Это также В*-алгебра, поскольку
| А*А | = e-ess sup | Л* (s) Л (s) | = e-ess sup | A (s) |2 = | Л |2,
где при записи равенства | Л* (s) Л (s) | = ] Л (s) |2 используется тот
факт, что B(EV) есть В*-алгебра (IX.3.2). Как и в случае алгебры
еВ((&, 2), элементами алгебры 2Р являются классы эквивалент-
эквивалентности, где две матрицы Л и В эквивалентны, если A(s)=B (s)
для е-почти всех s из @.
Для данной матрицы Л = (а,-у) из Йр мы будем использовать
символ I A(s)e (ds) для обозначения матрицы Л =; (ац), элементами
ё
которой являются аг-7-= \ cttj (s)e(ds). Таким образом, в матричной
форме соотношение A5) имеет вид
A8) А=\ A{s)e(ds).
Мы покажем теперь, что это соотношение устанавливает изометри-
изометрический *-изоморфизм между двумя алгебрами 2tp и $р.
Поскольку алгебры Шр и 21р некоммутативны (если р >> 1),
мы приведем две простые леммы о В*-алгебрах, которые не обяза-
обязательно коммутативны. Первая из них будет использована для
проверки того, что соотношение A8) устанавливает изометрический
*-изоморфизм между алгебрами 21р и $р.
1. Лемма. Любой *-изоморфизм между В*-алгебрами яв-
является изометрией.
Доказательство. Пусть х и у — соответствующие элементы
в *-изоморфных 5*-алгебрах Ж и §). Так как \х* |2 = |л:*л:|, доста-
достаточно доказать, что соответствующие самосопряженные элементы
и = х*х и v = y*y имеют одну и ту же норму. Поскольку алгебры
изоморфны, спектры о (и) и a (v) совпадают, но это показывает,
что и и v имеют один и тот же спектральный радиус. Таким обра-
образом (IX. 1.8), мы имеем lim | wn|1/n = lim|rj'n |4/n. Но так как эле-
п п
менты и и v самосопряженные, то они порождают коммутативные
В*-подалгебры в Ж и §) соответственно; поэтому (IX.3.3) мы имеем
|ап| = |ц|п и |уп| = |у|п, если п — степень числа 2. Следовательно,
| и | = lim | ип I1/" = lim | vn \^n =\v\, ч.т.д.
n n
60 Гл. XV Спектральные операторы
2. Лемма. Если В*-подалгебра ЗЕ в В*-алгебре §) имеет
ту же единицу е, что и®, то элемент из ЗЕ, обратимый в §), име-
имеет обратный и в Ж.
Доказательство. Покажем сначала, что е = е*. Так
как е — единица, то е* = ее*, так что е = ее* = (ее*)* = е**е* =
= ее* = е*. Предположим теперь, что х из Ж имеет обратный х'1
в §). Тогда (л:)* х* = (хх'1)* = е* = е, и потому х* также имеет
обратный в §). Поскольку ЗЕ есть В*-подалгебра в §), то х* при-
принадлежит Ж и, следовательно, элемент z = лгл;* также лежит в Ж.
Если z'1 лежит в ЭЕ, то е = ja*^, так что я имеет обратный л:*^
в Ж. Это сводит задачу к доказательству того, что самосопряженный
элемент z из ЭЕ, имеющий обратный г в §), имеет обратный г
в ЗЕ. Так как г = г*, то резольвентные множества элемента 2,
рассматриваемого и как элемент из ЗЕ, и как элемент из §), содер-
содержат мнимую ось, за исключением, быть может, точки X = 0. Таким
образом, для] чисто мнимых К Ф 0 элемент \е — z обратим как в ЗЕ,
так и в §). Поскольку е — единица для обеих этих алгебр, обратные
элементы совпадают, и мы будем обозначать их через (Хе—-г)'1.
Так как г'1 существует в 9? и резольвента является непрерывной
функцией от А,, мы имеем
откуда, в силу замкнутости ЗЕ, г'1 лежит в ЗЕ, ч. т. д.
Эта лемма показывает, что если оператор А = (ац) из 21Р
имеет обратный Л в алгебре В (<§р) всех ограниченных линейных
операторов в <§р, то этот обратный лежит также и в <йр.
-> 3. Теорема. Алгебры 2Р и 2Р изометрически *-изоморфны при
соответствии А +-> А, задаваемом соотношением
Доказательство. Это соответствие взаимно однозначно, так как
Л (s) e(ds) = 0, то I atj(s) e (ds) = O, а поскольку соотноше-
соотношение A5) устанавливает *-эквивалентность между St и Щ, то аг7=0;
это означает, что Л = 0. Таким образом, S[p и 21Р суть ^изоморф-
^изоморфные В*-алгебры, и требуемое заключение вытекает из леммы 1,
ч. т. д.
4. Следствие. Если N — обобщенный нильпотент из 5Р, то
JVP O
9. Алгебры Wp и Ш> 61
Доказательство. Если \Nn\i/n ->- 0, то \N (sO1^!71 -> 0 для
е-почти всех s в @, так что (р х р)-матрица N (s) комплексных чи-
чисел для этих s является обобщенным нильпотентом в В(ЕР). Сле-
Следовательно, Np(s) = 0 для почти всех s в @, и поэтому АР = 0,
ч. т. д.
5. Следствие. Для каждого А из 2Р
sup [ Ак | = e-ess sup | Л (s) I.
ix|=i se@
Доказательство. Это лишь переформулировка свойства изоме-
тричности отображения А <-*• Л, ч. т. д.
Для оператора А = {аг]) из йр можно обычным способом
(§ 1.13) ввести понятие определителя det (a^), поскольку элементы
матрицы принадлежат коммутативной алгебре 91. Определитель
б = det (dij) также является элементом 21, и так как отображение
а-+а, определяемое соотношением A5), есть гомоморфизм, то
(в обозначениях § 1.13)
v v
6=2 • • • 2 бн i #ч1 ... сцъ = det (a*,)
t1=l ip=l р р
и, таким образом,
A9) det (atj) = J det (a^ (s)) e (ds).
Следующее утверждение позволяет описать спектр оператора из
§Р в терминах спектров о (A (s)) конечных (/7Хр)-матриц A (s)
комплексных чисел.
-» 6. Следствие. Для оператора А из 2Р следующие условия экви-
эквивалентны4.
(i) Л имеет обратный в
(ii) Л имеет обратный в 21р;
(Hi) det (a^j) имеет обратный в 21;
(iv) ^-ess sup | det (a,-y (s)) I < oo.
Доказательство. Эквивалентность условий (i) и (ii) следует
из леммы 2. Из теоремы вытекает, что (ii) эквивалентно сущест-
юванию Л в 2Р, что в свою очередь эквивалентно ^-существен-
^-существенной ограниченности числовой функции det(A~1(s)) = [det(dtj(s))Y~1u
^то доказывает эквивалентность условий (i), (ii) и (iv). Равенстю
<19) вместе с тем фактом, что отображение а <^ а, задаваемое
62 Гл. XV. Спектральные операторы
соотношением A5), является изоморфизмом между алгебрами 21
и $, показывает, что условия (ш) и (iv) эквивалентны, ч. т. д.
7. Следствие. Если (В — компактное пространство и 91 = d,
то условие (iv) предыдущего следствия можно заменить условием
8. Следствие. В предположениях предыдущего следствия спектр
оператора А из ©р есть множество
<т(Л) = U o(A(s)).
В общем случае, когда в © нет никакой топологии, спектр опе-
оператора А из §Р описывается следующим образом:
->- 9. Следствие. Спектр оператора А изШр вычисляется по формуле
() П 1(())
е(б)=е s?6
Доказательство. Пусть б — произвольное множество из 2,
такое, что е (б) = е, и пусть А,о — комплексное число, такое, что
U
Тогда (XqI(s) — A (s)) существует,, и по правилу Крамера эта мат-
матричная функция ограничена на б, так как элементы Ikol(s) — A(s)
ограничены на б. Это показывает, что обратный (kof— Л) суще-
существует как элемент из <йр. Из следствия 6 вытекает, что Хо лежит
в резольвентном множестве р(Л). Поэтому если еF)=е, то
о(А)<= U o(A(s)),
и потому
(•) <*(А)<= П и
е(б)=е s?6
Пусть теперь Хо — произвольная точка из р (А). В силу следствия
6, Ко лежит в р (Л), и (^0/ — A)'1 (s) = (kol — A (s)) существует
б-почти всюду на © и является ^-существенно ограниченной функ-
функцией на @. Таким образом, для некоторого б из 2, такого, что
е (б) = е, точка Хо лежит в р (A (s)) для всех s из б и
s?6
Это неравенство показывает, что Хо лежит в множестве /?==
= П p(A(s)), а также, что Ко попадает в его внутренность /?°.
10. Спектральный анализ операторов из Ш> 63
Действительно, в противном случае существовали бы последова-
последовательность {sn} точек из б и последовательность {Яп}, такие, что
Хп лежат в о (A (sn)) и Хп ->- V Тогда можно выбрать последо-
последовательность {In} в Ер так, чтобы A (sn) ln = Kin и | in \ = 1. Таким
образом, векторы
ть = (V - Л (sn)) In = (Яо - К) 1п-+0
и
1 = I En I=| (v - А*п))-*пп | < /с | л» | -+ о,
и это противоречие показывает, что Яо лежит в R0.
Так как Хо — произвольная точка из р(Л), то мы доказали, что
р(Л)с= U (Й
е(б)=е s?6
переходя к дополнениям, мы получаем
о(А)=> П ис
е(б)=е s?6
что в сочетании с неравенством (*) дает необходимое представление
спектра а (Л), ч. т. д.
10. Спектральный анализ операторов из §tp
На протяжении всего этого параграфа алгеброй Й будет
еВ (@, 2). Мы изучаем конкретные операторы в 2Р с тем, чтобы
исследовать их спектральные свойства; в частности, описывается
метод определения того, имеет ли данный оператор из Шр счетно
аддитивное разложение единицы. Начнем анализ задачи с выяс-
выяснения некоторых взаимосвязей между корнями и коэффициентами
многочлена.
1. Лемма. Существует измеримое по Борелю отображение
Г-ЧМГ), •••' МгI алгебры B(EV) в ?р, такое, что а(Г) =
= {МП, ..., Яр (Г)}.
Доказательство. Пусть система комплексных чисел упорядочена
следующим образом: щ -< и2 означает, что | щ |^ | и21, а если
|Mi| = |M2|t то argui<аг2и2- Под axgu мы будем понимать
наименьшее неотрицательное вещественное число, для которого
и = \и\exp(iargи). С помощью этого упорядочения определим Л4(Г)
как наименьший корень многочлена d(X; T) = det(XI — T). Покажем
сначала, что | Х4 (Г) | — непрерывная функция от Г. Предположим,
что Гт->Г0; так как |Л,± (Г) |^| Г| (VII.3.4), то можно выбрать
подпоследовательность {Г™}, для которой ^(Г^) сходится к некото-
некоторому комплексному числу и. Поскольку О = й(Я1(Г^1); Гт)->-
64 Гл. XV. Спектральные операторы
-+d(u; Го), то отсюда вытекает, что либо fa(T0)<u1 либо
^(Го)^^. Таким образом, если |?4(rm)| не сходится к |^Г|
то существует подпоследовательность {Г™}, такая, что
для некоторого положительного е. В этом случае число fa = fa(T0)
удалено по меньшей мере на е от каждого из спектров а (Г™),
так что последовательность {R (Х^, Г^)} резольвент ограничена.
Мы можем и будем предполагать, что осуществлен переход к схо-
сходящейся подпоследовательности, так что R (fa; Т'т)-*В. Следова-
Следовательно,
и, переходя к пределу, мы получаем, что матрица В обратна
к сингулярной матрице Я4 (Го)/ — Го, а это невозможно. Тем самым
доказано, что | fa (Г) | — непрерывная функция от Г. Пусть теперь
сходящаяся к Го последовательность {Гт} выбрана так, что
где во= Нт argXi(r). Так как \fa (Гт) |~>|^ (Го) |, то мы имеем
г->г0
Как было показано выше, отсюда вытекает, что либо %t (Го) -<
-< | Л,! (Го) | ехр (/60)9 либо arg fa (Го) = Эо. В любом случае
Г->Го
Для вещественных неотрицательных чисел г и 0 положим
S(r, в)=
Из только что установленных свойств функций | fa (Г) | и arg 'ki (Г)
вытекает, что множество К'1 (S (г, 0)) замкнуто. Так как множества
S (г, Э) порождают борелевское поле комплексных чисел, то функ-
функция hi является измеримой по Борелю функцией от Г. Доказатель-
Доказательство будет завершено, если выбрать в качестве Х2 (Г) наименьший
корень многочлена d (k; Г) (А, — fa (Г)) и повторить этот процесс
для определения всех корней К2 (Г), . . ., Кр (Г), ч. т. д.
2. Следствие. Пусть s-> Г (s) есть ^-измеримое отображение ©
в В(ЕР). Тогда существуют такие ^-измеримые числовые функ-
функции fa, ..., Хр на C, что
о (г (s)) = {fa E),..., %p(s)},
10. Спектральный анализ операторов из %р 65
Доказательство. Положим %t (s) = Xt (Г (s)), где Xt — функция
леммы 1, и пусть G — открытое множество комплексных чисел.
Тогда
U1 11
что доказывает 2-измеримость функции Kt, ч. т.д.
3. Лемма. Пусть s^-T(s) есть ^-измеримое отображение 2>
в B(EV). Тогда существуют непересекающиеся множества
@1, ..., @р из S, объединение которых есть все @, такие, что
1>-измеримые функции на @t, и для
имеем
(И)
Разложение единицы для T(s) задается формулой
г
(ш) Е (а; Г (s)) = 2 Ха (hj (s)) E (%ij (s); Г (s))
Проектор Е (kij{s); Г (s)), соответствующий отдельному собствен-
собственному значению %tj(s) матрицы T(s), является ^-измеримой функ-
функцией от s и имеет вид
(iv)
(v)
многочлен от Г (s) « ^y(s),
П &-Uk
Л1
и vtj —любое множество неотрицательных чисел, такое, что
(vi) sup Vij(
Доказательство. Пусть @г — множество тех s из @, для кото-
которых спектр g(T(s)) состоит из I точек. Тогда очевидно, что мно-
множества (Si не пересекаются и их объединение есть все @. След-
Следствие 2 и соотношения
P
= U {S|^i (S) = . . . =ДЛ (S)
... = ij (s) ф ij+i (s) = ... = ip (s)>
5 H. Данфорд и Дж. Шварц
Гл. XV. Спектральные операторы
и т. д. показывают, что множества @i, ..., @Р лежат в 2. Для
каждого s из @,- возьмем в качестве hj(s), j = 1, ..., /, различные
характеристические числа матрицы T(s), расположенные в том же
возрастающем порядке, как в следствии 2, так что Хц суть 2-из-
меримые функции на ©*, удовлетворяющие неравенствам (ii). Таким
образом, определитель det (Л,/ — Т (s)) имеет вид, указанный в (i).
Дальнейшие рассуждения посвящены нахождению явного вида
проекторов в разложении единицы для конечной матрицы.
Напомним, что в случае (рхр)-матрицы Г комплексных чисел,
такой, что
i
и числа Яь . . ., Kt различны, проектор Е (Я;«; Г), связанный с от-
отдельным собственным значением Я/, есть матрица е, (Г), где е$ (Я) —
аналитическая функция, тождественно равная 1 в окрестности Я,-
и 0 в окрестности каждой точки спектра Kkj если k=?j. Отсюда
вытекает (VII. 1.5), что проекция Е (Я/; Г) является многочленом
Pj(T) от Г и что любой многочлен Pjy обладающий свойствами
= 0s 0 < v < v7-,
где Vk — произвольные целые числа, такие, что vk ^ mk, k =
= 1, . . ., t, будет удовлетворять соотношению Р, (Г) = Е (Я/, Г).
Чтобы построить такой интерполяционный многочлен, положим
ЯЯЛЛ, т(Я) ,
и заметим, что при любом выборе чисел с0, •••? cvri многочлен
и его первые vh — 1 производных обращаются в нуль в ^
если кф\. Мы хотим выбрать Vj постоянных сОу . . ., cVj._i так,
чтобы многочлен Pj удовлетворял Vj условиям, налагаемым7на него
в точке Xj. Легко видеть, используя правило Лейбница для произ-
производной произведения, что эти условия имеют вид
fv
S ( ) ) r\ пг(Гг) (U*r = 0, 0<v<v;.
r=0
10. Спектральный анализ операторов из 51р 67
Эти уравнения можно решить рекуррентно; получается, что их
единственное решение с0, ..., cv i имеет вид
где Qj — многочлен от корней Al9 . . ., А*. Таким образом, много-
многочлен Р] имеет вид
где Rj — многочлен от Я и корней Ки . . ., Яь и элементарные про-
проекторы задаются соотношениями ? (V, Г) = Pj (Г). Таким обра-
образом, для произвольного борелевского множества а комплексных
чисел
Б (о; Г)=2х*(МЯ(Я,; Г).
7=1
Предыдущие замечания, примененные к матрице T(s), завершают
доказательство, ч. т. д.
Замечание, В применениях этой леммы, как и других теорем,
в которых участвуют функции %tj, не существенно то, что они
упорядочены, как в соотношении (П). Перенумерация этих функций
определялась этим упорядочением только для того, чтобы гаран-
гарантировать их измеримость. На самом деле существенным является
то, что для всех t = l, ..., р и /=1, ..., / функции %ц опре-
определены и ^-измеримы на (&г и для каждого s из @j числа Хц (s), . • •
..., %n{s) являются собственными значениями матрицы T(s).
-» 4. Лемма. Пусть s-^F(s) есть ^-измеримое отображение ©
в B(EV). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) sup e-ess sup IE (а; Г (s)) | < oo;
(ii) e-ess sup \E(kij(s)\ T(s))|<oo, 1</</<р;
(iii) e-ess sup sup | E (a; Г (s)) I < oo.
Доказательство. Формула (iii) леммы З показывает, что соот-
соотношение (ii) влечет за собой (iii). Очевидно, что из (iii) выте-
вытекает (i), и потому для доказательства леммы достаточно показать,
что (i) влечет за собой (ii). Положим
(а) sup e-ess sup | Е (а; Г (s)) | = К < оо
ej8 g@
Гл. XV. Спектральные операторы
и допустим, что для некоторых * = 1, . . ., р, /= 1, ..., f и неко-
некоторого множества G ^@г с е (G) Ф О мы имеем
(Ь) \E(hj(s); T(s)\>K, seG.
Пусть функция 6(s) определяется на @г- соотношением
Из леммы 3(п) вытекает, что 6(s)>0. Поэтому можно выбрать
е>0 так, чтобы множество G(e) = {s| s6G, б (s) > 2е} имело
е-меру в (G (г)) фО. Выберем теперь Ко так, что
для любого s из множества G1(e)^G(e) с е@{(г))ФО. Положим
а = [к 11 Я — Хо | < г), так что если s 6 ^ (^) П hj (а) для некоторого
кф /, то мы имеем A,z-j(s) — ЯгА (s) | << 2е, и, следовательно,
s не лежит в G(e). Поэтому для любого кф] пересечение
(c) ^(а)П^(а)ПО(8) = 0.
пустое множество. Из леммы 3 (ш) вытекает, что
(d) Xg») (s) ? (а; Г (s)) - S Xa (U (s)) ? (Я„ (s); Г (s)) XGce, (s).
Далее, если s — точка из G^e), то hij(s)?o и sGG(e) и, таким
образом, соотношение (с) показывает, что ^fe (s) $ а при1 к Ф /¦
Поэтому для точек s из Gi (г) соотношение (d) дает
(е) Е (а; Г (s)) = ? (Я<7- (s); Г (s)), s 6 G4 (e)
а поскольку Gi (e)"^ G (е), то соотношения (Ь) и (е) показывают, что
\Е(а; Т(з))\ = \Е(%и(з); Г (s)) | > AT- seGi(e).
Так как г (Gi (е)) ^= 0» то это противоречит соотношению (а), ч. т. д.
Вернемся теперь к анализу В*-алгебр Шр и Йр, которые, сог-
согласно теореме 9.3, *-эквивалентны; их эквивалентность устанав-
устанавливается при помощи отображения А ++А, задаваемого формулой
A) а=\ A(s)e(ds), леар.
Сосредоточим сначала наше внимание на задаче выделения тех
операторов из Яр, которые являются спектральными. При этом
существенную роль играет теорема типа теоремы Фубинш
10. Спектральный анализ операторов из Ш 69
5 Теорема. Пусть для оператора А из № выполнено условие
(i) sup e-ess sup | E (a; A (s)) | < oo.
Тогда для всякой ограниченной борелевской числовой функции ср,
определенной на спектре а (А), интеграл
(ii) J <p{X)E(dX;A{s))
О(А)
является е-существенно ограниченной ^-измеримой функцией от s.
Интеграл
(Hi) ^
является ограниченной счетно аддитивной спектральной мерой
%р и
(iv) j[ J <f{X)E(dX;A{s))]]e(ds) =
в %р и
j[ J
j
o(A)
Доказательство» Для точек s из (Si интеграл (ii) равен
i
(v) j ф (X) E (dk; A (s)) = 2 Ф (^^ (s)) ? &v ^ A (s))'
a(A) j=l
и лемма З показывает, что это 2-измеримая функция от s. Неравен-
Неравенство (ii) леммы 4 означает, что эта функция ^-существенно ограни-
ограничена. Этим доказано первое утверждение. Пусть теперь ец (a; A (s))
— элемент /-й строки и /-го столбца матрицы Е (a; (A (s))> a хи у —
произвольные векторы из $ . Тогда счетная аддитивность интег-
интеграла (iii) эквивалентна счетной аддитивности интеграла
J et](e;A(s))(e(ds)x, у).
Если {am} — возрастающая последовательность борелевских мно-
множеств с объединением а, то из леммы 4 (iii) вытекает, что функции
еа (ат\ A (s)) равномерно ограничены по т и s, за исключением
точек s из множества нулевой е-меры. Таким образом, поскольку
мера (е( -)х, у) ограничена,
lim { etj (ат; A (s)) (e (ds) х, у) = \ еи {а; А (s)) (e (ds) x, у).
6 ©
Гл. XV. Спектральные операторы
Таким образом доказана счетная аддитивность интеграла (iii).
Тот факт, что этот интеграл является спектральной мерой в J§*\
вытекает из теоремы 9.3, а его ограниченность — из следствия 2.4.
Итак, доказано второе утверждение. Так как интеграл (iii) ограни-
ограничен по а, то интеграл в правой части (iv) является непрерывной
функцией от ф, рассматриваемой как элемент В-пространства огра-
ограниченных борелевских функций на о (А). Из соотношения (v)
и леммы 3 вытекает, что левая часть в (iv) также непрерывна по ф.
Поскольку обе части линейны по ф, для доказательства равенства
достаточно проверить его для всех элементов ф из некоторого фунда-
фундаментального множества. Такое множество состоит из характеристи-
характеристических функций борелевских множеств. Если же ф — характери-
характеристическая функция борелевского множества а, то обе части этого
равенства совпадают с интегралом (iii), ч. т. д.
6. Теорема. Оператор А из 2Р является спектральным тогда
и только тогда, когда выполнено условие
(i) sup e-ess sup | Е (a; A (s)) \ < оо.
Если это условие выполнено, то А является спектральным операто-
оператором типа р — 1 и его разложение единицы задается формулой
(И) Е (а; А) = J E (a; A (s)) e (ds),
©
Доказательство. Предыдущая теорема показывает, что опера-
торнозначная мера Е (а; Л), определяемая формулой (п), есть
счетно аддитивная спектральная мера в ^р, заданная на борелев-
борелевских множествах 98 в комплексной плоскости. Так как матрицы
Е (a; A (s)) и A (s) коммутируют при всех s из (g>, a соотношение A)
устанавливает *-изоморфизм между алгебрами Йр и 91 , то опера-
операторы Е (а; А) и А также коммутируют. Применим теперь предыду-
предыдущую теорему к функции ф (к) = А,, так что скалярная часть матрицы
A (s), т. е. матрица
XE(dX;A(s)), s6@f
)
определяет некоторую точку S в tp. Значит, если N(s) — радикаль-
радикальная часть A(s), то функция N принадлежит Йр и /Vp = 0. Таким
образом, если
5 = j S (s) e (ds), Na jiV (s) e {ds),
10. Спектральный анализ операторов из Ш 71
то мы имеем А = S -J- N, SN = NS, Np = О, и в силу соотношения (iv)
предыдущей теоремы
S= j XE(dh;A).
о(А)
Это показывает, что А является спектральным оператором типа
р — 1 со скалярной частью 5 и радикальной частью N.
Обратно, предположим теперь, что для некоторого элемента А
из $р оператор А в igp, определяемый равенством A), является
спектральным. Для любого положительного целого k положим
&h = {s | sup I E (Xij (s); A (s)
Пусть Ей — проектор в ,§р, задаваемый матрицей Ek =
с проектором e{(&h) на главной диагонали и нулями на остальных
местах, так что EkA = AEu. Теорема 3.10 показывает, что сужение
A \EhtQv является спектральным оператором с разложением единицы
Е(а; Л)|?ь$р. Так как Е (а; А) ограничена по а, то
\Е(а;А)\ Ek$p \<| Е (а; А) |<К,
с некоторой постоянной К". Сужение A\Ek&p удовлетворяет усло-
условию (i) на множестве @й, так что из уже доказанного вытекает
соотношение
Е (а; А) \ Eh®> = j E (a; A (s)) e (ds) \ Ek&.
Таким образом, поскольку отображение A) изометрично,
e-ess sup \E (a; A (s)) \ = \E (a; A) | ?^р
Так как {g>fe} — возрастающая последовательность с объединением
равным @, мы получаем, что
e-ess sup | ? (а; Л (s)) I^/C-
Поскольку постоянная К не зависит от борелевского множества а,
отсюда вытекает требуемое неравенство (i), ч. т. д.
Замечание. Чтобы нагляднее проиллюстрировать взаимосвя-
взаимосвязи между теоремой 6 и хорошо известным результатом для само-
самосопряженных операторов, заметим, что самосопряженный оператор
или, более общо, нормальный оператор в §1Р является спектраль
ним оператором. Действительно, если А — нормальный оператор
из 1Р, то из теоремы 9.3 вытекает, что дляе-почти Bcexs из @
(р X р)-матрица A(s) нормальна. Так как для борелевского мно-
72 Гл. XV. Спектральные операторы __
жества а проектор Е = Е (а; A (s)) является многочленом от Л (s),
то Е нормален для е-почти всех s из @. Поэтому
| Е |2 = | ?2 |2 = | (?2)*?2 | = | (?*?)*?*? | = | ?*? |2 = | Е |\
а это показывает, что | Е | равно 0 или 1. Тогда для е-почти всех s
из @ выполнено неравенство | Е (a; A (s)) 1^1, и потому выпол-
выполняется условие теоремы.
7. Следствие. Пусть А — оператор из 21р и для некоторой
постоянной К и почти всех s из @ выполнено неравенство
для любой пары различных собственных значений A (s). Тогда А —
спектральный оператор типа р — 1.
Доказательство. Из соотношений (iv) и (v) леммы 3 выте-
вытекает, что функция Е (^(s); A (s)) является ^-существенно ог-
ограниченной на @. Поэтому лемыа 4 показывает, что выполнено
условие (i) теоремы, ч. т. д.
8. След-твие. Любой оператор А из № является сильным пре-
пределом последовательности спектральных операторов.
Доказательство. Пусть (gfe и Ek те же, что и в доказательстве
теоремы; положим
A(s), s6@\
так что Ah лежит в Йр. Соответствующий этой функции оператор
Ak= \ Ak(s)e(ds) имеет в качестве сужений Аи \ Eu!qv = А \ Ек$р
6
и Ah\{I — Еъ) ^р спектральные операторы. Поэтому теорема
ЗЛО показывает, что Л^ —спектральный оператор. Так как &h->&>
отсюда вытекает, что e((&h) х^х для любого вектора х из Jg,
и потому Ehx^x для всякого х из ^р. Это показывает, что
Ax для всех х из ^§р, ч. т. д.
9. Следствие. Пусть А — спектральный оператор в §Р. Тогда
его скалярная и радикальная части S и N также лежат в 21р.
Если A, S и N —элементы из Йр, соответствующие Л, 5 и N
при изоморфизме A), то для е-почти всех s из @ матрицы S(s)
и N (s) являются скалярной и радикальной частями A(s). Если
Ф — ограниченная борелевская числовая функция на су (Л), то фE)
10. Спектральный анализ операторов из Ш 73
лежит в 2Р и
для е-почти всех s из <&.
Доказательство. При доказательстве теоремы было пока-
показано, что скалярная и радикальная части оператора А получаются
интегрированием скалярной и радикальной частей A (s) no @ отно-
относительно спектральной меры е (•)• Отсюда следует, что операторы 5
и N лежат в йр, а так как соотношение A) устанавливает изомор-
изоморфизм между §1Р и Яр, то этим также показано, что скалярная
и радикальная части Л (s) являются функциями из классов эквива-
эквивалентности в 2tp, соответствующих операторам S и N. В силу соот-
соотношения (iv) теоремы 5
jq> (S(s))e(ds)= J <p(X)E(dk; Л),
и потому
г г /\
Ф (S (s)) в (ds) = ф (S) = ф E) (s) e
откуда вытекает, что Ф (S (s)) = ф E) (s) для е-почти всех s из S,
ч. т. д.
Иногда будет удобно рассматривать И как подалгебру в §Р.
Это отображение 21 в §Р задается следующим образом:
10. Определение. Для всякого оператора 6 в ^ и вектора
Х=[Хь ...,Хр] ИЗ ^Р ПОЛОЖИМ
6х = [6^, . . ., Ьхр].
При этом отображении алгебра Я, очевидно, *-изоморфна
Б*-подалгебре в 81р, состоящей из всех операторов, имеющих диа-
диагональный вид
с одним йтем же элементом из §1 на главной диагонали. Ясно также
(не обязательно при этом ссылаться на лемму 9.1), что это отобра-
отображение §1 в Яр является изометрией. Если это не приводит к недо-
74 Гл. XV. Спектральные операторы
разумению, мы будем одной и той же буквой а обозначать как
элемент в Ш, так и соответствующий ему элемент в S&P. В этом же
смысле мы будем понимать такие выражения, как аА или Аа, где
а в 21, а А е В(&р). Если А=(аа) и а 6 И, то аА = (ааи), аА = Аа
и Аа = Аа, т. е.
(^ a(s)e(ds)) (^ A(s)e(ds)) = ^ a(s)A(s)e(ds).
(§> <§> (Е>
11. Следствие. Пусть S u N —соответственно скалярная
и радикальная части спектрального оператора А из W. Для
каждого i = 1, ..., р обозначим через Si множество всех тех s
из C, для которых матрица A(s) имеет i различных собственных
значений. Для индексов i с непустым (Si через %u{s), ..., %n(s)
обозначим i различных собственных значений матрицы A(s),
выбранных так, что функции Хц ^-измеримы на (Si (см. замеча-
замечание после леммы 3). Для остальных значений i положим %tj (s) = 0,
Пусть операторы Xtj и Etj определены для 1^/^^р соот-
соотношениями
(i) Uj = J Us (s) e (ds), Etj = j E (lij (s); A (s)) e (ds).
Тогда Xij^tyi, Etj^^, E\j-=Etj и ЕцЕтп = 0, кроме того случая,
когда i = m и j = n. Кроме того, эти операторы Хг-7- и Etj ком-
мутируют с A, S, N и разложением единицы E(tf; А). Для любой
ограниченной борелевской функции ср на а (А) мы имеем
V г
(ii) ФE)=2 2 Ч(ЫЕи.
г=1 j=I
Если ф аналитична и однозначна в окрестности спектра, то
V-1 р
<р (Л) = 2 -^ 2
v=l г=1 ;=1
Доказательство. Заметим сначала, что для е-почти всех s из S
выполнены неравенства | Хц (s) \^\A (s) |^ j A \ = \А \, так что функ-
функции Хц ограничены e-почти всюду на St. Лемма 3 показывает, что
они Е-измеримы и, таким образом, Хц лежат в Ш. Поскольку
А — спектральный оператор, по теореме 6 и лемме 4 функция
E(kij(s); A(s)) является ^-существенно ограниченной, а по лемме 3
она S-измерима. Таким образом, оператор Ец лежит в Шр. Тогда
10. Спектральный анализ операторов из ЗДр 75
в силу теоремы 6 (и) и леммы 3 (iii)
р
Е (а; А) = j E (<r; A(s)) e (ds) = 2 J Е (Ъ А W) е ^ =
x=i ©j
= 2 j 4Z%o(h}(s))E(hi(s)iA(s)),
p i
= 2 S [ J Ь ftw (s)) e (ds)] [ j ? (It, (s); Л (s)) e (ds) J =
p i
г=1 ;=1
при переходе к последнему равенству мы воспользовались след-
следствием Х.2.10. Таким образом, мы имеем
р г
е (di-, А)=2 2 J
р г
В силу следствия 9 матрицы 5(s) и iV(s) являются для е-почти
всех s из @ скалярной и радикальной частями оператора i4(s), так
что ?"Aг; (s); Л (s)) коммутирует с A(s), S(s), V(s) и ?(a;^l(s)).
Таким образом, ?г./ коммутирует с Л, S, iV и ?(а; Л). Элемент Я,^-
также коммутирует с этими операторами, поскольку он-лежит в Ш.
Используя гомоморфность отображения А+-+А, легко видеть, что
= j E (%и (s); A (s)) E (lmk (s); Л (s)) e (ds);
тем самым показано, что EijEmk = 01 если 1фт, EijEtk = 0, если
/^&, и что E!j = Eij.
В силу теоремы 6 N? = 0, и, таким образом, заключительное
утверждение вытекает из теоремы 5.1 и соотношения (и) настоящего
следствия, ч. т. д.
12. Следствие. Всякий спектральный оператор А из Жр
порождает разложение пространства ^р на конечное число подпро-
76 Гл. XV. Спектральные операторы
странств, каждое из которых инвариантно относительно Л,
причем сужение А на каждое из этих подпространств состоит из
умножения на элемент из Щ и нильпотентного оператора порядка
не выше р.
Доказательство. Используя обозначения и результаты пре-
предыдущего следствия, мы видим, полагая ф (А,) = 1 в соотноше-
соотношении (ii), что ?)р является прямой суммой своих подпространств
Ец &р и что каждое из этих подпространств инвариантно относи-
относительно А. Если положить ф (К) = к в (ii), то мы видим, что на под-
подпространстве Etj <qp выполнено соотношение
где, согласно теореме 6, Nv = 0, ч. т. д.
Следствие. Пусть @ — компактное пространство, и (в обо-
обозначениях следствия 11) множества (Si замкнуты,[а корни \ij(s)r
/ = 1, ..., i, непрерывны на ©*. Тогда А — спектральный опера-
оператор типа р—1.
Доказательство. Если @г- непусто, то I %tj (s) —%ik (s) I
при 1 ^ / < k < i определена и непрерывна на @г. Так как
(&t замкнуто, то оно компактно, и рассматриваемая функция
ограничена на @г некоторой постоянной /С; эту постоянную можно
выбрать не зависящей от i = 1, ...,/?. Поскольку каждая точка s
принадлежит одному из] множеств @f, то | Я— [х I ^ /С для всякой
пары X и [х различных собственных значений матрицы A (s), ив си-
силу следствия 7 оператор А является спектральным типа р— 1, ч. т. д.
14. Следствие. Пусть А —оператор из 2Р, а @ — компактное
пространство. Предположим, что для каждого s из © суще-
существует р различных собственных значений %i(s), ..., Яр (s)
матрицы A(s) и что эти функции Kt(s) непрерывны. Тогда А —
спектральный оператор скалярного типа.
Доказательство. Рассуждения предыдущего следствия по
казывают, что А — спектральный оператор. Так как A (s) имеет
различные собственные значения, то это скалярный оператор,
т. е. его радикальная часть равна нулю. Таким образом, следствие 9
показывает, что А также является оператором скалярного типа,
ч. т. д.
11. Несколько примеров ограниченных
спектральных операторов
В этом параграфе некоторые из полученных результатов будут
проиллюстрированы на примере алгебры 2f всех операторов свертки
в Jg = L2 (RN), гильбертовом пространстве квадратично суммируе-
//. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 77
мых функций на вещественном евклидовом пространстве RN раз-
размерности N. Мы покажем, что эта алгебра всех сверток, действую-
действующих в Q (независимо от того, определяем ли мы их как ограничен-
ограниченные аддитивные функции множества, как счетно аддитивные функ-
функции множества, как обычный интеграл Лебега, как главное значе-
значение интеграла или как любой другой несобственный интеграл),
является В*-алгеброй, которая *-эквивалентна В*-алгебре $ =
= Loo (RN, 2, ds), где 2 есть cr-поле измеримых по Лебегу множеств,
a ds— мера Лебега. Операторами из некоммутативной В*-алгебры
§1Р являются тогда операторы А в @р = L2 (RN) + . . . + L2 (RN),
матричное представление А = (ajk) которых состоит из операторов
свертки ujk в Jg. Иногда оказывается удобным рассматривать основ-
основное пространство © предыдущего параграфа как одноточечную
компактификацию RN, получающуюся добавлением одной точки оо.
Мера Лебега распространяется на S следующим образом: множест-
множество {оо} считается имеющим меру нуль, так что пространства с мера-
мерами (RN, 2, ds) и (©, 2, ds) совпадают. Алгебра E состоит из всех а,
непрерывных на ©, т. е. всех непрерывных комплексных функций
на RN, для которых существует предел а (оо) = lim a (s). Множе-
ство ©о — подалгебра (без единицы) алгебры & функций, для
которых а (оо) = 0.
В этом и в следующем параграфах будут рассмотрены примеры
двух типов: ограниченные спектральные операторы в W и близкий
к ним тип неограниченных спектральных операторов, связанных
с некоторыми линейными системами уравнений в частных производ-
производных. В анализе задач обоих типов будет существен ряд свойств
преобразования Фурье, и мы начнем рассмотрение с этих свойств.
Изложение при этом будет независимым от теории преобразования
Фурье на локально компактных группах, развитой в § XI.3; в слу-
случае Л/"-мерного евклидова пространства возможен более простой
и лучше приспособленный для наших теперешних нужд подход.
Пусть а= [а4, . . ., адг] — упорядоченное множество N неотри-
неотрицательных целых чисел, s= [su •••,%] и t= [tt, ..., ^] —точки
в RN, P (si, ..., sN) — многочлен от N переменных и ср — функция
из С™ = С°° (RN). Мы используем при этом следующие обозначения:
-*»-(i)'f-Ш"¦¦¦(¦&¦)"* Ш°^
75 Гл. XV. Спектральные операторы
Символ Ф будет использоваться для обозначения тех функций
из С°°, которые вместе со всеми своими производными всех порядков
стремятся к нулю при I s | ->- оо быстрее любой степени 1/| s |.
Функции из Ф называются быстро убывающими функциями на RN.
Ясно, что Ф — линейное подмножество всех лебеговых пространств
Lp = Lp (RN), 1 ^ р ^ оо; для функции ф из Ф через | ф \р обозна-
обозначается норма ф как элемента Lp. Помимо того что Ф снабжено
топологиями как подмножество различных 5-пространств, множе-
множество Ф наделяется своей собственной топологией, в которой фунда-
фундаментальная система окрестностей нуля описывается следующим
образом: для всякой пары /?, q положительных целых чисел и любо-
любого е > О примем за U (/?, q, г) множество всех функций ф из Ф,
таких, что
A) A+|5|2)Р|ф^>E)С<8, S?RN,
для любого мультииндекса а с 1-нормой | a \t ^ q. Элементарные
соображения показывают, что Ф локально выпукло и полно в том
смысле, что всякая последовательность {фт}, для которой фр —
— Щ -> 0 при р ->- с», q ->• с», имеет предел в Ф. Будучи линейным
пространством, Ф, очевидно, обладает и следующим свойством: оно
содержит все производные своих элементов. Кроме того, если / —
комплексная С°°-функция на RN, медленно растущая в том смысле,
что для всякого мультииндекса а = [ai9 . . ., а^] найдутся нату-
натуральное т > 0 и постоянная С, такие, что
B)
то вместе со всякой функцией ф из Ф в Ф также лежит и /ф. Таким
образом, Ф содержит, в частности, вместе с функцией ф и любое
произведение Ар, где Р—многочлен от переменных si9 . . ., sN.
Очевидно, что сходимость фт -> ф в Ф эквивалентна утверждению
о том, что для любой пары Р и Q многочленов от N переменных
равномерно по s из R мы имеем
C) Р (s) Q(i)vm (s) -+P(s)Q(-2r)V (s).
Преобразование Фурье Fy функции ф из Ф определяется
интегралом
Основная формула обращения, принадлежащая Фурье, содержится
в следующей теореме:
-> 1. Теорема. Преобразование Фурье является гомеоморфным
изоморфизмом пространства Ф на себя, а обратное к нему задается
11, Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 79
формулой
E) Ф (s) =-^72" i еЫ (/7ф) (/) dt> N
Доказательство. Так как ф — быстро убывающая функция, то
интеграл D) можно дифференцировать под знаком интеграла; тогда
(FФ)(а> (s) = -^щ j e-« ( itf Ф (/) Л,
и потому функция FqX лежит в С°°. Таким образом, для любого
многочлена Р от N переменных
F) (Р (д) Лр) (s) = —^ [ в-«Р (- it) Ф U) dt.
Щ и
Если воспользоваться тем фактом, что| q>W(s) -^ 0 при I s | -* <х>,
то интегрирование по частям преобразования Фурье функции <>
дает
и, таким образом, для общего многочлена Q
G) F (Q (д) Ф) (s) = Q (is) F (Ф) (s).
Если Р и Q — два многочлена, то соотношения F) и G) вместе
можно переписать в виде
(8? 0<to)
Так как функция Q(d/dt){P(—it) ф (/)} интегрируема по Лебегу
на jR^, то (8) показывает, что ^ф — быстро убывающая функция,
и, таким образом, F отображает Ф в Ф. Соотношение (8) показывает
также, что F — непрерывное отображение Ф в Ф; действительно,
если фп-)-0 в Ф, то последовательность Q(d/dt) {Р (—//) фп (/)}
также стремится к нулю в Ф и для любого г > О
при достаточно больших натуральных п. Таким образом, из (8)
вытекает, что Q (is) P (д/ds) F (фп) (s) стремится к нулю равно-
равномерно на RN, но это означает, что F (фп) ->¦ 0 в Ф. Следовательно,
F — непрерывное отображение Ф в Ф.
Установим теперь формулу обращения E). Если она будет дока-
доказана, то мы получим, что F — взаимно однозначное отображение
в Ф и что ф (s) = (F2q>) (—s), но тогда FO = Ф, и, таким образом.
SO Гл. XV. Спектральные операторы
обратное отображение (F^) (s) = (Рф) (—s) определено всюду
и непрерывно на Ф. Поэтому для завершения доказательства тео-
теоремы достаточно установить формулу обращения E).
Легко видеть, рассматривая интеграл как повторный, что доста-
достаточно проверить E) лишь в случае N = I. В этом случае правая
часть в E) равна
оо оо
-s) = -L J
— оо —оо
оо а
f
= Urn 4~ { еы ( f e-iUlq>(u)du) dt =
— оо —а
оо
т 1 f sin а (s — u) . ч «
а-юо Л J s-u TV '
— оо
оо
= hm— y{s-t)——dt,
а->оо Jl ^ *
— оо
так что соотношение E) будет установлено, если мы докажем сле-
следующую лемму:
2. Лемма. Пусть ср — комплекснозначная функция из L{ (—оо, оо),
непрерывная в точке s и имеющая ограниченную вариацию в не-
некоторой окрестности точки s. Тогда
/с\\ / \ т I
(9) <p(s)=hm—
9(s 0т
Доказательство. Заметим сначала, что для любого б > О
функция ф (s — /)// интегрируема на бесконечных интервалах
[—оо, —б], [б, оо], так что
1- f / j.\ sina? и. r\ i- f / ^\ sina? ,,
hm I y(s — t)—-,— d^=0=hm U(s-/)—-t—dt.
a->oo ^ f a->-oo •'
— оо о
Следовательно, достаточно показать, что при некотором
A0) ф(*)
—о
рассматривая отдельно вещественную и мнимую части ф, можно
считать, что функция ф вещественна. По предположению, функция
Ф (и) непрерывна в точке s и имеет ограниченную вариацию по и
в некотором замкнутом интервале s — 6^a^s + S около s:
//. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 81
мы можем выбрать 8 > О настолько малым, что
(И) i ф (s — /) — <p(s) к е, т<б,
где 8—произвольное положительное число. Так как ф имеет огра-
ограниченную вариацию и является разностью двух неубывающих
функций, достаточно доказать A0) при более жестком предполо-
предположении о неубывании функции ср. В силу второй теоремы о среднем
значении интегралов Римана на отрезке [—б, 8] найдется точка Р,
такая, что
б
/ir>\ If/ y\ sin а? ,,
A2) — J y(s-t)—— dt^
-б
б б
/ М Г sina/ ,, 1 Г г / \ / ^\i sinatf л,
-9(s)— \ ——dt-— I {9(s)-9(s-/)}—y—d/ =
-б -б
ба б
, x 1 Г sin м , r / \ / su 1 f sind j,
= ф (s)— \ аи — {ф (s) — ф (s — o)}— \ —2—at =
-6a
6a
, ч 1 f sin w
— ф E)— \
J
-ба fc
ба аб
J
-ба
Далее,
ба
-6a
аб
A4)
где постоянная С не зависит от а и р. Таким образом, соотноше-
соотношения A1) — A4) показывают, что
-6
но это, поскольку 8>0 произвольно, доказывает соотношение A0)
и завершает доказательство леммы 2, а вместе с ней и теоремы 1,
ч. т. д.
-» 3. Следствие {Парсеваль — Планшерель). Множество Ф быстро
убывающих функций плотно в гильбертовом пространстве fe =
= L2 {RN)y а преобразование Фурье, определенное на Ф соотно-
соотношением D), имеет единственное расширение до унитарного опера-
6 Н. Данфорд и Дж. Шварц
82 Гл. XV. Спектральные операторы
тора F в Sq, обладающего следующими свойствами:
(О
(iii) (fcp)(s) = l.i.m. lN/2 j e~ist(p(t) dt,
(iv) G79)(s) = l.i.m. rr^- \ eistcp(t)dt, фбй;
Г->оо Bл) V/^ J^
здесь l.i.m. обозначает предел в среднем порядка 2, т. е. предел по
норме Jg.
Доказательство. Плотность Ф в $ является следствием лем-
леммы XIV.2.3. Из теоремы 1 и теоремы Фубини вытекает, что для
функций ф и г[) из Ф имеет место равенство
а если положить гр = /^ф, то | /чр | = | ср I, и это доказывает непре-
непрерывность F в ^-топологии Ф. Так как Ф плотно в ig, то F имеет
непрерывное расширение на jg, которое, очевидно, удовлетворяет
условиям (i) и (ii) и является, таким образом, унитарным операто-
оператором. Для доказательства соотношения (Hi) положим фГ (/) = <р (/),
если | t \ < г, и фГ (/) = 0, если | t I > г. Поскольку Ф плотно в Jg,
а сходимость в среднем порядка 2 на множестве /, таких, что
| / I ^ г, влечет за собой сходимость в Lt на этом множестве, мы
видим, что функция Fq>r определяется соотношением D), т. е.
Так как фг -> ф при r-^оо, из непрерывности F вытекает соотно-
соотношение (Hi); аналогично доказывается и (iv), ч. т. д.
-> Замечание. Как показывает доказательство, справедливо
также соотношение
1 \
К } Кп
где {Кп} — любая возрастающая последовательность множеств
конечной меры, объединение которых отличается от @ лишь на мно-
множество меры нуль.
//. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 83
Основная спектральная мера в на 2, которая используется для
определения алгебр И и 91?, задается при помощи преобразования
Фурье F на Sq соотношением
A5) e(a) = F\i(o)F9 a 6 2,
где |х (а) — проектор-мультипликатор, такой, что
Г ф (s), s?o,
A6) (И (а) <Р) (s) =4 а яЛ(Г
Ясно, что [х — счетно аддитивная спектральная самосопряженная
мера в Sq9 и потому, поскольку F унитарно, мера в (а), а 6 2,
является спектральной мерой с теми же свойствами. Мы также
имеем е (а) = 0 тогда и только тогда, когда а имеет лебегову меру
нуль, так что понятия е-почти всюду, ^-существенной ограничен-
ограниченности и т. д.— те же, что и соответствующие понятия, связанные
с мерой Лебега. Поэтому в таких выражениях мы обычно будем
опускать е. Таким образом, алгебра 51 состоит из всех операторов а
из В (Jg), которые имеют вид
A7) а= j a(s)e(ds)
для некоторой 2-измеримой и существенно ограниченной комплекс-
комплекснозначной функции а на RN.
Прежде чем проиллюстрировать результаты предыдущего пара-
параграфа, мы исследуем структуру этих операторов из И и, в частно-
частности, покажем, что многие операторы свертки и сингулярные опера-
операторы свертки, часто встречающиеся в анализе, принадлежат алгеб-
алгебре St. В последние годы интерес к операторам свертки снова возрос
в основном благодаря тому, что теория распределений Л. Швар-
Шварца [5] продемонстрировала их значение и большую пользу в теории
уравнений с частными производными. Мы рассмотрим сначала
некоторые специальные примеры операторов свертки, которые
отображают @ в @, принадлежат алгебре 51 и имеют интегральное
представление одного из двух видов
A8) (/*<p)(s)= j <p(s-t)f(t)dt, Ф€€,
или
A9) (**<p)(s)= \ <p(s-
определяемых комплекснозначной функцией / на RN или комплекс-
комплекснозначной функцией множества Я, заданной на семействе 2 (К)
множеств в RN. Задание оператора свертки формулой A8) или A9)
6*
84 Гл. XV. Спектральные операторы
зависит и от интерпретации интеграла, т. е. от того, является ли
интеграл обычным интегралом Лебега, определенным для почти
всех 5, или главным значением интеграла в смысле Коши, определяе-
определяемым как некоторый предел интегралов Лебега, или интегралом
векторнозначной функции, или главным значением интеграла век-
векторнозначной функции. Для фиксированного элемента ф из ^
и точки t из RN определяется сдвиг ср$ как элемент Jg соотношением
Ф* (s) = Ф (s — 0; его можно рассматривать как отображение
t ->¦ <pt из Rnb fe, непрерывное во всех точках (XI.3.1(/)) и, посколь-
поскольку I фН = 1 Ф I» ограниченное на RN. Это простое замечание дает ос-
основания полагать,что, по-видимому, легче операторы свертки задавать
при помощи интегральных представлений, если использовать инте-
интегралы векторнозначных функций; так мы и сделаем.
Начнем с определения интеграла свертки A9), задаваемого
комплекснозначной конечно аддитивной и ограниченной функцией
множества X, определенной на поле 2 (X), которое содержит откры-
открытые множества в RN. Так как такая функция X имеет ограниченную
вариацию, то интеграл
B0) ( /(/) X (dt)
R»
существует для любой векторнозначной функции / на RN, ограни-
ограниченной и ^-измеримой. В частности, если f непрерывна и принимает
значения в компактном множестве, то она ^-измерима и, таким обра-
образом, интегрируема. Действительно, в этом случае область значений/
можно покрыть конечным числом открытых множеств Gu . . ., Gn,
каждое из которых имеет диаметр, меньший фиксированного поло-
положительного числа е; если положить
Ai = Gu Aj = Gj— U Gki / = 2, ...,л,
то множества Bj = f~x (Aj) лежат в 2 (Я). Таким образом, конечно-
значная функция
п
/е = ZJ xJ%Bp
где Xj — любая точка множества Aj, если оно непусто, и Xj = 0
в противном случае, Я-измерима и
тем самым доказано даже больше, чем только Я-измеримость функ-
функции /. В частности, всякая ограниченная непрерывная комплексно-
значная функция на RN Я-интегрируема. Это замечание позволяет
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 85
нам определить интеграл
B1) X(s)= \ e~istX(dt)y s?RN,
который будет далее использоваться. Сдвиги ф*, однако, не обра-
образуют компактного множества, и мы поступим следующим образом.
Если / есть ^-значная функция, ограниченная и непрерывная
на RNy ax* — функционал из $*, то предыдущие замечания пока-
показывают, что функция x*f является Я-интегрируемой, и так как
x*f (t) Я (dt) <| г* | sup | / (t) \v (Я; R\
то интеграл \ x*f(t)%(dt) непрерывен по х*. Поскольку i§ реф-
рефлексивно, то в ^ существует единственная точка (ее мы обозна-
обозначаем символом I f(t)X(dt)\ , такая, что
R"
B2) x*j f(t)X(dt)= J x*Kt)X(dt).
RN RN
Интеграл B0) определен, таким образом, для ограниченных непре-
непрерывных ^-значных функций на RN, и, в частности, если / (t) = фь
для некоторого элемента ф из ig. Интеграл A9) определяется при
помощи интеграла B0). Ясно, что если для почти всех s функция
Ф (s — t) является Я-интегрируемой по t, то значения интеграла
в A9) в двух смыслах совпадают почти всюду и определяют, таким
образом, одну и ту же точку в Sg. Поэтому всякая ограниченная
конечно аддитивная комплекснозначная функция множества Я,
заданная на поле, содержащем открытые множества в Jg, опреде-
определяет оператор свертки в % при помощи соотношения A9).
Пусть Т — непрерывное линейное отображение в ?j, / — огра-
ограниченная непрерывная ig-значная функция на RN н х* — элемент
в @*. Тогда в силу соотношения B2)
RN ' HJV RN
и, таким образом,
B3) T { f(T)X(dt)= j Tf(t)k(dt).
N N
j
rN
86 Гл. XV. Спектральные операторы
Положим т = Bn)N/2F, где F — преобразование Фурье в $, и пусть
тф=ф; тогда соотношение B3) дает
т(Я*ф)=; I
и для почти всех s из RN эта функция принимает значение
B4) т(А,*ф)(в)= f {l.i.m. I е-*«*ф(и
= С /l.i.m. f в-"(
здесь на последнем шаге мы воспользовались замечанием, сделан-
сделанным после доказательства следствия 3. Так как обе функции
т(Я*ф) и ф измеримы по Лебегу, а ф — произвольная функция
из ig, то соотношение B4) показывает, что функция X также изме-
измерима по Лебегу. Если обозначить через X операцию умножения
на функцию X в jg, т. е. положить Ck^))(s)=X(s)cp(s), то соотно-
соотношение B4) можно переписать в виде
B5) А, * ф = т^Хтф, ф 6 ?.
Иногда мы будем записывать эту операцию свертки совсем в дру-
другом виде. Заметим, что операцию ср -> скр умножения на функцию 1а
из §1 можно записать при помощи меры \х из соотношения A6)
в виде
B6) шр = \ a (s) \i (ds) ф, Фб$-
Это соотношение очевидно, если а — характеристическая функция
множества из 2, а поскольку линейные комбинации таких функций
плотны в Й, то оно выполняется для всех функций а из 2[. Таким
образом, в силу B6) соотношение B4) можно переписать в виде
По теореме Планшереля (следствие 3) оператор т существует
и непрерывен на $, а так как е (о) = F'1^ (о) F = т^ (а) т,
то предыдущее соотношение дает
B7) Я*ф= j %(s)e(ds)<p9 cp 6 ©•
//. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 87
Это равенство показывает, что интеграл \ ^tX(dt) векторнозначной
функции ер* относительно конечно аддитивной функции множества X
является тем же самым, что и интеграл числовой функции И отно-
относительно счетно аддитивной векторнозначной меры е (о) ф. Сум-
Суммируя сказанное, мы получаем следующее утверждение:
4. Теорема. Всякая ограниченная аддитивная комплекснознач-
ная функция множества X, заданная на поле, содержащем откры-
открытые множества из RN, определяет интеграл свертки
Я*ф= j
где q>t (s) = Ф (s — t); отображение X: ф -> X * ф действует из
в $, принадлежит 21 и
1= \ l(s)e(ds), X
где функция X определяется соотношением B1). Другими словами,
% = F~1XF, где И — оператор умножения на!,, a F- преобразова-
преобразование Фурье в §.
Многие операторы свертки получаются как предел
B8) Хф = НшЯЛ*ф, Фбй,
п
последовательности сверток, определяемых ограниченными конеч-
конечно аддитивными функциями множества. Главные значения интег-
интеграла в смысле Коши, используемые в определении преобразования
Гильберта и сингулярных сверток типа Кальдерона — Зигмунда,
имеют именно такой вид. Следующая теорема дает полезный крите-
критерий существования предела B8):
-» 5. Теорема. Пусть {Кп} — последовательность ограниченных
конечно аддитивных комплекснозначных функций множества, задан-
заданных на поле, порожденном открытыми множествами в RN. Оператор
свертки X, задаваемый соотношением B8), определен всюду на ig
тогда и только тогда, когда
B9)
и предел
C0)
Гл. XV. Спектральные операторы
существует по мере на любом ограниченном измеримом множе-
множестве из RN. Если этот предел существует, то X лежит в 2t и
C1) Ь= \ X(s)e{ds), |b| = esssup|X(s)|.
Другими словами, 'k = F~1XF, где F — преобразование Фурье в ig,
а X — оператор умножения на функцию Я.
Доказательство. Предположим, что Хпц сходится для
любого элемента ф из ig. По теореме 4 |^п| = |Яп|оо, и теорема
II.3.6 доказывает соотношение B9). Положим <p = F~1%, где %—
характеристическая функция ограниченного измеримого множества а.
Тогда по теореме 4 kn(p = F^XnX, и так как Хп(р сходится, то из
непрерывности F следует, что
lim
откуда вытекает (III.3.6), что Хп сходится по мере на а. Обратно,
если соотношения B9) и C0) выполнены, то, поскольку нормы
| ^п| == | Хп |оо ограничены, для доказательства сходимости Хпу на
любом элементе ф из ig достаточно доказать сходимость для всякого
элемента ф из некоторого фундаментального множества. Так как
F — гомеоморфизм в ig, в качестве этого фундаментального множе-
множества можно взять множество всех ф = Т7^, где г|) обращается
в нуль вне некоторого ограниченного измеримого множества а.
Для таких ф из теоремы 4 вытекает, что Xncf = F^X^, и, следо-
следовательно, Хпу сходится в ig, если
lim
т, п->-о
Это равенство является следствием соотношений B9), C0) и теоре-
теоремы III.3.6; оно доказывает существование предела B8) при любой
функции ф из ig.
Предположим теперь, что выполнены соотношения B9) и C0);
пусть г|э — произвольный вектор из ^ и 8 > 0. Тогда существует
ограниченное измеримое множество а, такое, что
«г
поэтому
//. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 89
и из C0) вытекает, что Яп-ф-^Я^ в §. Таким образом, для всякой
функции ф из fe ^
Яф = lim Япф = lim F~lfknFq> = F^kFq*,
п п
откуда вытекают соотношения C1). Таким образом, если оператор к
всюду определен, то он принадлежит 21, ч. т. д.
Легко видеть, что рассуждения, использованные в доказатель-
доказательстве теоремы 5, можно подобным же образом использовать для
доказательства следующего утверждения:
6. Теорема. Алгебра 21 полна в сильно операторной тополо-
топологии в том смысле, что если ап лежат в SI, /г = 1, 2, . . . , и апу —>¦
->¦ аф для любого ср аз ^, то а лежит в §Г.
Далее мы установим, что всякий оператор а из 21 является опе-
оператором свертки типа, описанного в теореме 5, и что в качестве
аппроксимирующих функций множества можно выбрать функции,
счетно аддитивные и абсолютно непрерывные относительно меры
Лебега. Для этого нам понадобится следующая лемма:
7. Лемма. Для всякой [функции г|э из L^ существует последо-
последовательность {фп}, состоящая из С°°-функций, таких, что cpn(s) =
= 0 при \s\>n, [фдloo^V^I^I, и фп-^'ф по мере на любом
ограниченном измеримом множестве в RN.
Доказательство. Предположим сначала, что функция г|) —веще-
—вещественная, измеримая и ограниченная на RN. Пусть 0<еп->0
и @п = {5б#^||5|^я}. Так как гр измерима, то существует такое
замкнутое множество 8п а <3П, что сужение я|? на 8п непре-
непрерывно на 8п и
@ mes 8n > mes @n — гп.
Положим я|)п (s) = гр (s) на 8п и ip^(s)=O на дополнении <©п. Тогда
в силу теоремы о продолжении A.5.3) существует функция Ч^,
непрерывная на RN, такая, что Ч''^ (s) = грп (s) = гр (s) для s из 8п,
W() ф() 0 ||
n(s) = -фп(s) = 0 при |s|>n и
(И) | Уп U = SUP | Цп (S) | = SUp 11|) (S)
s?6 бб
Так как Yn равномерно непрерывна, то существует ть > 0, такое,
что [^(s) —^ПE')|<8П, если |s — s'|<T]n. Выберем теперь
непересекающиеся замкнутые подмножества б?, k=l, ..., т =
= /п(/г), в 8п так, чтобы каждое из них имело диаметр, мень-
меньший Т|д, И
mes(
90 Гл. XV. Спектральные операторы
и открытые непересекающиеся подмножества соп в 2>п, такие, что
o)?=Nn и diam con<т1д. Из леммы XIV.2.1 вытекает существова-
существование функций фп на R1* со свойствами
(iv) Фп€С~; 0<фп(«)<1; Фп(«) = 1, s66n; <p«(s)=O, s?con.
Положим an = T"n(sn), где sn — некоторая точка из б*, и
Если s принадлежит одному из множеств оэ?, то
и, таким образом, соотношение (iii) показывает, что
sup
т
т
Если же s не лежит в (J со^, то ?n (s) = 0, и это в сочетании
k=i
с предыдущим неравенством доказывает соотношение
(V) |?п|оо<Жоо.
Условия (iv) показывают, что ?Л лежит в С°° и обращается в нуль
вне @п- Таким образом, в силу (v) нам осталось лишь доказать,
что ?д-^1|) по мере на любом ограниченном множестве. Если 5 —
точка из бп, то ^n(s) = an, а поскольку бп имеет диаметр, мень-
меньший г\п, то |?n(s) —\Ks) | = | ?n(s) — "?n(s)|<en, откуда
(Vi) |Sn(s)—Ф(в)|<8„, S€ U С
Пусть теперь В — произвольное ограниченное измеримое множество
и б>0. Выберем п настолько большим, чтобы Ва@п и еп<Се.
Тогда в силу соотношений (i), (iii) и (vi)
этим доказано, что ?п ->- гр по мере на В. Для комплекснозначнои
функции я|? из Loo (RN) сформулированное утверждение можно
получить, применяя только что доказанные результаты к ее веще-
вещественной и мнимой частям, ч. т. д.
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 91
8. Теорема. Каждый оператор а из % является сверткой
где функции множества Яп определены и абсолютно непрерывны
на поле измеримых по Лебегу множеств в RN.
Доказательство. По лемме 7 существует последовательность {фп}
из Ф, такая, что I фп I ^ У 2 I я I и фп ->- а по мере на любом ог-
ограниченном измеримом множестве в RN. В силу теоремы 1 функ-
функции я|зл = т^Фп также лежат в Ф, а потому и в L1( Если положить
то А,п — абсолютно непрерывная мера, заданная на 2, и
ln(s)=
Таким образом, по теореме 5 для всякой функции ф из
= \
( <2ф, Ч. Т. Д.
9. Следствие. Оператор а в гильбертовом пространстве J§
лежит в алгебре Ш тогда и только тогда, когда он имеет вид
fn(s-t)y(t)dt,
где fn — функции из Li(RN). Для любого элемента ц> из !q инте-
интеграл существует в смысле Лебега для почти всех s из RN.
Доказательство. Так как
j /n (t) dt,
RN
to из III. 11.17 вытекает, что
(К *ф) (s) = j Ф (s-t) fn (t) dt = j /J(s-f) Ф (t) dt
RN rN
и что интеграл по Лебегу существует для почти всех s из RN.
Таким образом, следствие вытекает из теорем 5 и 8, ч. т. д.
Гл. XV. Спектральные операторы
10. Следствие. Операторы свертки, всюду определенные на $
соотношением B8), образуют коммутативную В*-алгебру опера-
операторов в Sq, *-эквивалентную В*-алгебре LOO(RN).
Следующие примеры —это наиболее простые свертки в Ш.
11. Пример (сдвиг). Пусть Л*(а) = 1, если t лежит в а,
и %t(a) = 0 в противном случае. Тогда (Я* * ф) (s) == ф (?— 5).
12. Пример (свертка с функцией из Li). Пусть / — функция
из Li и
а
Тогда
(W)(s)= J 9E-/)f (o^= J f(s-t)<p(t)dt,
RN RN
и интеграл существует как интеграл Лебега для почти всех s
из ,RN. Эту свертку также будем обозначать через /*ф. Иногда
символ f будет использоваться для обозначения оператора в ig,
который переводит ф в /*ф. Таким образом, для функции f из Lt
мы имеем
^f(ds), |f HI Лес.
13. Пример (свертка с функцией из L2). ^-функция /, преобразо-
преобразование Фурье 7 который лежит в /,«>, порождает оператор свертки f
из 21. Чтобы убедиться в этом, заметим, что для любой пары
функций /, ф из L2 свертка
C2) (/
существует как интеграл Лебега для всех s из RN. Рассмотрим
сначала случай, когда ф лежит в Lt fl L2- Предыдущий пример
показывает, что функция
/*ф = Ф*/= j y(s)e(ds)f
лежит в L2 и, таким образом.
6
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 93
тем самым показано, что
/•<р= \ J(s)e(ds)y.
Для произвольного элемента ф из L2 выберем последовательность
{фп} в Li П L2, сходящуюся к ф; последнее равенство вместе с соот-
соотношением C2) показывают, что принадлежащий ЭД оператор
переводит ф в / * ф.
14. Пример (свертки типа главного значения). Точка s0 из
©называется сингулярной точкой измеримой функции /, заданной
почти всюду на @, если / не интегрируема в смысле Лебега ни в ка-
какой окрестности точки s0. Сингулярные точки, очевидно, образуют
замкнутое множество в ©; мы считаем, что оно имеет меру нуль.
Будем считать, что е-окрестность бесконечно удаленной точки оо
есть множество всех s, для которых I s I > 1/е, а е-окрестность
точки 50 из RN состоит из тех 5, для которых |s — s0 I < е. Поло-
Положим /8 (s) = / (s), если s не лежит в е-окрестности какой-либо
сингулярной точки, и fE (s) = 0 в противном случае. Поэтому для
каждого е >0 функция /е лежит в L4, и по теореме 5 свертка
C3) /*ф = Нт/в*ф, Фб?,
существует для всех ф из ig тогда и только тогда, когда величина
| т/8 |оо ограничена на интервале 0< е < 1 и предел lim/8
существует по мере на всяком ограниченном измеримом множестве.
Если / не лежит в Lu то свертка C3) часто называется сингулярной
.сверткой. Проиллюстрируем это понятие на двух примерах.
15. Пример (преобразование Гильберта). Здесь Af = 1
и / (s) = 1/s, так что s = 0 и s— оо — единственные сингулярные
точки функции /. Пусть г = 1/е, так что
\s\r
j
j
|sje
это показывает, что величина |/е|оо ограничена и что /I(s)->
-+ — п isgns для всех s=?0. Таким образом, преобразование Гиль-
*берта
<34) (ЬФ)E) = 1Л.т. \ Ш
9? Гл. XV. Спектральные операторы
является оператором из 21 и имеет вид
C5) h=— ni I sgnse(ds), |h| = jx.
16. Пример (Кальдерой и Зигмунд), Аналогом преобразова-
преобразования Гильберта в случае размерности N, большей 1, служит нечетное
ядро типа Кальдерона — Зигмунда. Пусть / — измеримая функция
на RN, нечетная и однородная степени —N, т. е.
C6) /(-s)=-f(s), f(rs) = rNf(s), r>0,
и такая, что
C7) [|/(co)|m(d(o)<oo,
где т — мера на гиперповерхности Ш единичной сферы в RN. Тогда,
переходя к полярным координатам (г, со), где s = rco, г^О, |со| = 1Г
мы имеем для 0<8<!г
этим показано, что функция / не имеет сингулярных точек, кроме,
быть может, 0 и оо. Так как т(о)=--т( — о), то, полагая г=1/е,
мы имеем
/е (s) = J е~1% (/) dt = j / (со) { J ^^ dp } m (da) =
3# 8
| SCO | Г
jn sco f
| SCO | 8
= j/(co){-sgr
а поскольку функция, заключенная в фигурные скобки, ограничена
по всем переменным, то условие C7) показывает, что величина
|/е|оо ограничена по е. Кроме того, если 5=^=0, то множество тех
со на 5Ш, для которых sco^O, имеет на гиперповерхности сферы
П. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 95
меру нуль, а предел lim /8(s) существует, если 5=^=0, и равен
C8) ?
Таким образом, сингулярный оператор свертки
C9) fq> = /««p = l.i.m. ( f(s-t)y(t)dt,
лежит в §1 и имеет представление
D0) f = ^ j { j / (со) sgn scorn (dco)}
а его норма равна
D1) | f ] = -^- ess sup \ /(со) sgnscom (do)
se^ 'ft
Ознакомившись с некоторыми примерами операторов из 21,
мы теперь приведем несколько примеров спектральных операторов
из ЗР. В силу леммы 10.4 и теоремы 10.6 основной результат,
позволяющий строить такие операторы, состоит в следующем:
17. Теорема. Оператор А из ЭДР является спектральным тогда
и только тогда, когда
D2) ess sup | E(iij (s); i(s))|<oo, 1
В применениях этого критерия необязательно вычислять нормы
проекторов E(kij(s); A(s)), поскольку это конечные матрицы и их
нормы существенно ограничены тогда и только тогда, когда суще-
существенно ограничены их элементы. Однако необходимо знать соб-
собственные значения Кц (s) матрицы A(s), что затрудняет формули-
формулировку какого-либо общего правила, отличного от D2), для провер-
проверки спектральности операторов из 21Р. В случае р = 2 условие D2)
все же можно переформулировать в более удобной для применений
форме. Для точек s из @! спектр g(A(s)) имеет единственную
точку, так что E(in(s); A(s)) = I; следовательно, нам нужно рас-
рассмотреть лишь случай, когда s принадлежит @2- Для простоты
положим atj= atj(s) и Л^7- = X2J- (s), так что det(U — A (s))~
= (X-li)(X-i2), где
л 1
D3) л !
^ (+ ^22—
?6 Гл. XV. Спектральные операторы
причем в качестве б выбран любой 2-измеримый квадратный ко-
корень из величины
D4) б2 = (аи — а22J 4- 4a12a2i.
Множества @4 и @2 можно представить при помощи функции б
в виде
D5) @i = {51 б (s) = 0}, @2 = {s | б (s) =^ 0}.
Так как для многочлена Р (k) = (Xt — J^)^ — ^) выполнены соот-
соотношения Р (Ki) = 1 и Р (К2) = 0, то
D6) Ц
ь
и эта матрица существенно ограничена на (Зг тогда и только тогда,
когда каждая из трех функций
Дц—-Д22 Д12
существенно ограничена на @2- Таким образом, проекторы
E(i2i(s); A(s)) и ?(X22(s); Л (s)) = /-? (^i(s); Л(в)) существен-
существенно ограничены на @2» т- е- условие D2) выполняется тогда и толь-
только тогда, когда
^47) ess sup 1 Дц — <*>212 +1 fli212 +1 ^2112 ^ ^ ^
и мы доказали следующее следствие из теоремы 17:
—» 18. Теорема. Оператор Р = (atj) из Ш2 имеет разложение
единицы тогда и только тогда, когда выполняется неравенство D7).
19. Следствие. Оператор А = (atj) из 2I2 является спектраль-
спектральным, если @2 имеет меру нуль.
20. Следствие. Оператор А из & является спектральным, если
Операционное исчисление, построенное в следствии 10.11 для
спектрального оператора А из 2I2, требует вычисления проекто-
проекторов Eih и мы сейчас проделаем это. Для удобства введем оператор
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 97
.б, вообще говоря неограниченный, который мы определим сле-
следующими соотношениями:
D8) { Л
©2
D9) в-Чр = т-1 [Щ тФ, Ф 6 ® (б).
Пусть ф — произвольный элемент Sq; положим
|56@2, TT7T
| б (s) |
При этом функции Г1^ у лежат в ©(б), и так как т-хх@ ф-*Ф,
то ©(б) всюду плотно, а потому оператор б определен на
всюду плотном множестве. Он также замкнут; действительно,
предположим, что ц)п ? Ф (б), фп-*Ф и б^фп-^Ф- Переходя
к подпоследовательностям, мы можем считать, что тфп ->• Тф и
тбфп -*- тф как в Топологии ig, так и почти всюду. Поэтому для
почти всех 5
E0) СЩ>) (s) = Нт (тб'Чп) (s) = lira (%^) (тФ„) (s) = (%^) ф (в);
П п \ О (S) I \ О (S) /
П
тем самым доказано, что ф лежит в ©(б) и ф = бф. Таким
образом, б — замкнутый оператор, определенный на всюду плот-
плотном множестве. Если а — элемент из §1 и функция |3;E)бE)|
ограничена на @2> то очевидно, что образ оператора а лежит
в области определения оператора б и, таким образом, б^ являет-
является ограниченным оператором и лежит в Я. Следовательно, по
теореме 18 для спектрального оператора А из W все операторы
б (аи — огг)» 6"lfli2» 6-1Я21 и 6-1б = е(@2) являются операторами из
алгебры Ш. Из соотношения D6) вытекает, что проекторы ?2i
и ?22 имеют матричное представление
6-* /6 + (яц —Я22)
?21 = ~1 2а21
EП
б-* /б — (flu —
и что правые части в этих равенствах дают представление ограни-
ограниченных всюду определенных операторов на ig2, которые в действи-
действительности являются операторами из ЭД2. Как отмечалось ранее,
7 Н. Данфорд и Дж. Шварц
98 Гл. XV. Спектральные операторы
E(iu(s); A(s)) = I на @lf так что соотношения E0), E1) и
E2) ?n
дают проекторы, необходимые для операционного исчисления.
Например, ограниченная борелевская функция ф скалярной части S
оператора А равна
E3) ф (S) = ф (Хп) Ен + Ф (A,2i) ?*2i + Ф (Л22) Е22,
а разложение единицы ?" (а; А) = Е (a; S) можно получить, полагая
в E3) Ф = %а, характеристической функции множества а. Так как
%а (Хи) = Е (a; hj) = е (к^ (а)), то
E4) Е (а; А) - е (fai1 (а)) ?ц + е (Х211 (а)) ?21 + е (fe1 (а)) ?22.
Следует упомянуть, что выполненное нами построение опера-
операционного исчисления для спектрального оператора А из §12 можно
совершенно аналогично повторить и для оператора А из 2Р,
р > 2. Из соотношения (iv) леммы 10.3 видно, что общий матричный
элемент ограниченного проектора Etj можно записать в виде произ-
произведения &i?Rij, где Rtj — многочлен от корней и матричных эле-
элементов atjj a 8ij~ — замкнутый оператор, определенный на всюду
плотном множестве.
21. Пример. Пусть N = I. Оператор
(а Ь\
<бБ> А=*
рде h —сингулярный интеграл Гильберта C4), принадлежит ЭД2 и
не является самосопряженным или нормальным, кроме того случая,
когда i (а — Ъ) — самосопряженный оператор, но при многих спо-
способах выбора операторов а и & он оказывается спектральным. Дей-
Действительно, соотношение C5) показывает, что условие D7) выпол-
выполнено тогда и только тогда, когда
E6) ess sup | (a (s) - Ь (s)J - 4я2 Г1 < оо,
что заведомо верно, если, например, оба оператора а и Ь имеют
нормы, меньшие я.
Другими примерами спектральных операторов, очевидно, явля-
являются операторы с матричным представлением вида
<Б7> [ Ъ а) ИЛИ 1 Ь
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 99
в то время как оператор
/е— а 0\
<58> ( Ъ а)
не имеет разложения единицы, если только не выполнено условие
E9) |&(s)|<Af |l-2a(s)|
с некоторой постоянной М и почти при всех s из множества ©2, со-
совпадающего в этом случае с множеством тех 5, где a(s) Ф 1/2.
Как показывает следующая теорема, нильпотентная часть спек-
спектрального оператора из 2t2 равна
A , ч
Т (я41 — а22)
1
откуда вытекает, что спектральный оператор А из 2t2, не имеющий
вида А = XI, где X ? 21, имеет ненулевую радикальную часть, если
е (jSi) ф 0. По теореме 6.4 спектральные операторы с ненулевой
радикальной частью, и только они, являются операторами, которые
не подобны нормальным операторам. Таким образом, оба операто-
оператора в E7) являются операторами скалярного типа, и при любых
а и Ъ из 21 они подобны нормальным операторам. В случае опера-
операторов E5) и E8) ситуация несколько меняется. Если в E5) обе нор-
нормы | а | и \Ъ \ меньше я, то (Si пусто и, таким образом, N = 0,
но поскольку Ъ и Ъ — произвольные функции из Loo, то оба мно-
множества @>i и @>2 могут иметь положительную меру, а тогда опера-
оператор E5) не подобен нормальному. Если обе функции а и b непрерыв-
непрерывны — а так будет, если а и Ъ — свертки с ?гфункциями,— то нера-
неравенство E6) не может выполняться, если только или @1э или @>2
непусто, но в этих двух случаях оператор E5) является оператором
скалярного типа. Иное положение в случае оператора E8); здесь
оба множества @>i и @>2 могут иметь положительную меру, а тогда
оператор не подобен нормальному, даже если а и Ь — свертки
с Li-функциями.
Любой оператор А из 2I2 имеет представление, аналогичное
каноническому представлению спектрального оператора. Это полу-
полученное в следующей теореме разложение дает нам возможность
построить операционное исчисление для оператора А даже в том
случае, когда он может не иметь разложения единицы.
22. Теорема. Любой оператор А из W однозначно порождает
два оператора S и N из W1 со следующими свойствами:
(О А = 5 + N, SN = NS;
(И) W2 = 0;
7*
100 Гл. XV. Спектральные операторы
(iii) для почти всех s из @ минимальный многочлен матрицы
S (s) комплексных чисел имеет только простые корни.
ДокАзАтельство. Положим
^о" (аи + а22) е (@i) + апе (@2) al2.e (@2)
F0) S= "
({ ai2
где множества (Si и @2 определены в D5). Равенства (i) получа-
получаются в результате простых вычислений, а если положить
F2) 8= ( 8(s)e(ds),
то соотношение D5) показывает, что e(<&i)8 = 0, и непосредствен-
непосредственное умножение дает N* = 0; (ii) доказано. Из равенства F0)
вытекает, что S (s) = Хц (s) I для всех s из @i, и, следовательно,
минимальный многочлен матрицы S(s) равен Я — ЯцE), в то время
как, для SH3@2» S(s) = A (s) и S(s) для таких s имеет два различ-
различных корня. Поэтому для всех s из @ минимальный много-
многочлен матрицы S(s) имеет лишь простые корни. Остается показать,
что это разложение единственно. Это станет очевидным, если
заметить, что (р X р)-матрица комплексных чисел с минимальным
многочленом без кратных корней является спектральным операто-
оператором скалярного типа в р-мерном унитарном пространстве, и обрат-
обратно. Таким образом, если 5Ь Ni — другая пара операторов из И2,
удовлетворяющая условиям (i), (ii), (iii), то для почти всех s из ©
мы имеем N\(s) = 0, и, следовательно, Л (s) =$i(s) + Ni(s) являет-
является каноническим представлением спектрального оператора Л (s)
в В(Е2). Поскольку такое представление единственно, то 5^5) =
и Ni{s) = N(s), так что Si = S и Ni = N, ч.т.д.
Следующее утверждение вытекает из следствия 9.9 и равен-
равенства F1):
23. Следствие. Операторы А и S имеют один и тот же
спектр, а оператор N = 0 тогда и только тогда, когда A (s) =
= K(s)I для почти всех s из @i при некоторой функции К изУ1.
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 101
Очевидно, что если А — спектральный оператор, то разложение
теоремы 22 является его каноническим разложением. Но сейчас
для нас особенно важен тот факт, что это разложение существует
для любого оператора А из ЭД2, даже для тех Л, которые не имеют,
как и S, разложения единицы. В дальнейшем изложении S и N
будут операторами теоремы 22, порожденными оператором А из 9t2.
Пусть А — произвольный элемент из §12, а ф—комплекснознач-
ная функция, аналитическая и однозначная на спектре а (Л), так
что оператор ф (А) определяется соотношением
F3) Ф(Л) = 51
где С состоит из конечного числа положительно ориентированных
спрямляемых жордановых кривых, образующих границу открытого
множества, которое содержит а (А) и на замыкании которого функ-
функция ф аналитична и однозначна. В силу следствия 9.6(ii) резоль-
резольвента (XI — А)'1 лежит в ЭД2, а из F3) следует, что ф (А) также
лежит в И2. Покажем теперь, что ф (A) (s) = ф(Л (s)). В силу
следствия 9.9 функция ф аналитична на cr (Л (s) для почти всех s,
и так как по теореме 9.3
(KI-A)-1= j (XI-
то
где допустимо изменение порядка интегрирования, поскольку это
так, если меру е (а) заменить мерой (е (а) х, у) для произвольных
элементов х и у из ig. Этим доказана формула
F4) Ф(Л)
имеющая некоторые преимущества по сравнению с формулой F3),
но и ее можно улучшить. При выводе формулы F4) не использова-
использовалось условие р=2, и потому это равенство имеет место для операто-
оператора А из 2Р при любом р ^ 1 — факт, которым мы позже восполь-
воспользуемся. Так как а (А) = a (S), то из VII.3.10 вытекает, что
fc=0
102 Гл. XV. Спектральные операторы
а поскольку ЛГ2 = 0, то
F5) q>(i4) = <p(S)+Mp'(S),
где ф' (S) — оператор, вычисленный по формуле F3) или F4),
в которой А заменено на S, а <р (К) на ф' (X). Из F0) вытекает,
что $ (s) =Xu(s)/ для всех s из <&±, так что
Ф E) е (©,) = { j Ф (Х« (s)) е (ds)} / = <р (Я„) /,
F6)
Ф'E) е (@0 = { { ф'(Ац (s)) e (ds)} / = ф' (Яа) /.
©1
С другой стороны, в силу D6) для всех s из €>2 имеем
F7) Ф (А (,)) = Ф (Х21 (s)) 1{S)-\{S)' + Ф (L is)) iiS)-%f)\
Mi (s) — K22 (s) K22 (s) — Л21 (s)
/^21 (S) — ^22 (S)
Тогда в силу F4) и F5) мы имеем
= Ф
Ф (A (s)) e (ds),
и соотношения F6) и F7) дают
F8) <р (Л) = <р (Кц) I + ф' (Ли) iV + Ф (ЛаО / + (ДФ) (Л -Л21/),
где Дф — оператор из Я, определяемый по формуле
F9) ДФ = ( Ф(^1(д))-Ф(^(д)) е(ds).
J ^21E) — ^22 (s)
@2
С вычислительной точки зрения равенство F8) имеет ряд преиму-
преимуществ по сравнению с формулой F4), поскольку оно выражает
Ф (А) как линейную функцию А и N с коэффициентами из Я. Сумми-
Суммируем сказанное в виде следующей теоремы:
24. Теорема. еДля любого оператора А из Я2 и любой комп-
лекснозначной функции ф, аналитической и однозначной на его
спектре у операторы ф (Л), вычисленные по формулам F3) и F8),
совпадают.
Равенство F7) дает основания полагать, что для операторов А
из Я2, таких, что е (<5±) = 0, возможно операционное исчисление
в алгебре, более широкой, чем алгебра аналитических функций.
11. Несколько примеров ограниченных спектральных операторов 103
Проверим, что это действительно так; пусть А лежит в SI2, e C^
= 0, и пусть 2(А) — алгебра всех комплексных функций ф на
о (А)у удовлетворяющих условию Липшица
<-
Уже было доказано, что при естественных операциях сложения,
умножения, умножения на числа и норме
G1) |ф| = |ф|л + |ф|оо, ф?2(Л),
множество 2 (А) является В-алгеброй, где единица — постоянная
функция 1. В силу следствия 9.9 значения функций k2i(s) и ?22(s)
лежат в а (А) при почти всех s. Таким образом, равенство F7)
показывает, что ф (A (s)) существенно ограничена на @, и, следо-
следовательно, для функций ф из 2 (А) оператор
G2)
существует как элемент из S12. Справедлива
25. Теорема. Если А—.оператор из 8Р, такой, что () ,
то отображение ф-^ф(Л) соотношения G2) задает непрерывное
операционное исчисление для оператора Л, отображающее 2 (А)
в Я2.
Доказательство. Утверждение теоремы означает, что
G3)
что отображение ф -+¦ ф (А) является алгебраическим гомомор-
гомоморфизмом, т. е.
G4) (сир + Рф) (А) = аФ (А) + ^ (А),
(фя»D) = <р(ЛЖЛ), Ф,
и изоморфизмом, т. е.
G5) из ф(Л) = 0 вытекает ф =
что это отображение непрерывно, т. е.
G6)
при некоторой постоянной К, не зависящей от ф, и, наконец, что
отображение ф ->• ф (А) совпадает со значением ф (А) в случае
аналитической функции ф, т. е. операторы F3) и G2) одни и те же,
если ф аналитична и однозначна на спектре а (А).
Последнее утверждение уже установлено в F4). К тому же мы
уже отмечали что ф (А) лежит в 2t2, если ф принадлежит ?(Л).
104 Гл. XV. Спектральные операторы
Соотношения G4) вытекают сразу же из соответствующих тождеств
для конечных матриц ф (A (s)) и ip (A (s)).
Для доказательства G5) предположим, что ф лежит в 2(А)
и ф (А) = 0. Из теоремы 9.3 вытекает, что ф ((A (s)) = 0 почти всю-
всюду на @. Таким образом, для почти всех s функция ф обращается
в нуль на спектре a (A (s)). Поэтому для некоторого множества а0
из 2, такого, что е (а0) = еу функция ф обращается в нуль на
U a (A (s)), а так как ф непрерывна, то она также обращается
?0
в нуль и на замыкании этого множества. Таким образом, след-
следствие 9.9 показывает, что< ф обращается в нуль на а (Л), но это
означает, что ф = 0.
Для доказательства неравенства G6) заметим, что в силу
теоремы 9.3 и равенства F7)
где К — постоянная, большая 2\А\ и 1, ч. т. д.
12. Некоторые примеры неограниченных
спектральных операторов
Вопрос о неограниченных спектральных операторах будет
подробно рассмотрен в гл. XVIII, а многие применения таких опе-
операторов даны в гл. XIX и XX. Настоящая глава является кратким
введением в эту тему; наша цель — показать, что ряд критериев
спектральности операторов из алгебры 81р может быть перенесен
на определенный класс неограниченных операторов, возникающих
при изучении линейных систем уравнений в частных производных
с постоянными коэффициентами.
Обозначения будут те же, что и в предыдущем параграфе,
но теперь мы будем иметь дело с (/?Х/?)-матрицами A (s) = (ajk(s))t
элементами которых являются измеримые комплекснозначные функ-
функции, определенные почти всюду на @ и не обязательно ограничен-
ограниченные. Для любого множества а из 2 и любой такой матрицы A (s)
определим матрицу
m А м-
A) Ao(s)-
и оператор Ао в igp при помощи соотношений
a
B)
(АлЮ (а) = A, (s) г|з (s), у ? % (Д).
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 105
В процессе настоящих рассмотрений матрица A (s) будет фикси-
фиксированной, и поэтому в обозначениях различных понятий, завися-
зависящих от A (s), эту зависимость можно не указывать. Например,
символ 20 будет обозначать семейство всех множеств а в 2,
на которых функция A (s) существенно ограничена. Очевидно, что
для таких множеств а оператор Аа является ограниченным и всюду
определенным. В общем случае, однако, оператор Аа не обяза-
обязательно ограничен, но он всегда замкнут и определен на всюду
плотном множестве. Действительно, предположим, что il)m?®(Ai),
'фт-^'фи Лофт-^ф. Можно считать, переходя в случае необхо-
необходимости к подпоследовательности, что обе последовательности
Д/Фт и г|)т сходятся как почти всюду, так и в топологии $р.
Но тогда Аа (s) ^ (s) = ф (s) почти всюду, так что функция Ф ле-
лежит в Ф(Ла), Атф^Ф, и, значит, оператор Ао замкнут. Для про-
проверки того, что он определен на всюду плотном множестве,
выберем последовательность {ат} так, что
C) am?20, orms<Wi,
и для произвольного вектора я|) из <qp положим г^ла (s) = г^ (s), если
sG^m» и ij;m(s) = O в остальных точках. Но так как tfm — множе-
множество из 20, то г|эт лежит в ф (Ла), и в силу C) i|)m-^ в igpr
а потому оператор Ло определен на всюду плотном множестве.
Преобразование Фурье F в ^р определяется соотношением
F [ф4, ..., г|)р] = [Ftyi, ..., Ftyp]. Матрица Л (s) и произвольное мно-
множество а из 2 порождают оператор Аа в Jgp, который опреде-
определяется соотношением
D) © (Ао) = F© (Аа), ЛаФ = F'1 AaF<p, ф
Так как F — гомеоморфизм в Jgp и Ао замкнут и определен на всюду
плотном множестве, то оператор Ав также замкнут и определен
на всюду плотном множестве. Очевидно также, что оператор Л<,
ограничен и всюду определен для любого а из 20. Для произ-
произвольного множества а из 2 оператор Аа соотношения D) опре-
определяется при помощи ограниченных операторов Аа, где а?2<ь
как это видно из следующей леммы.
1. Лемма. Пусть Ао —оператор D), а {вт} — последователь-
последовательность множеств, удовлетворяющая условиям "C). Тогда
(О Ф (Аа) = {ф | lim АаотУ существует};
т-+оо
(») Д,ф= lim Aoom<v,
106 Гл. XV. Спектральные операторы
Доказательство. Положим ф = F^ ? ф (Ла), так что г|) лежит
в Ф(Ла), и, следовательно,
FAoomV = AmJf -> Д/Ф-
Этим показано, что
af ф = Лаф.
Обратно, пусть ф — произвольный вектор в §эр, для которого
последовательность Аосту сходится в $р к некоторому вектору ?.
Положим ф= ^ф и г|7тE) = Xam (s) ф (s); тогда по норме $р мы имеем
а также 'фт-^'Ф- Так как оператор Ла замкнут, а г|)т лежат
в Ф(Ла), то вектор ф принадлежит Ф(Ла) и Лагр = /^g. Таким об-
образом, F^ — ф — элемент из ф (Ла) и
lim Лаатф = 6 = FAaFip = Лаф,
771
что завершает доказательство леммы, ч. т. д.
Ясно, что для любой пары множеств о^ и а2 из S мы имеем
(г (а4) Ф (Ла2) s Ф (Ао2), откуда
E) в (а4) Ф (Аа2) s Ф (Д,а), or4, a2 g 2.
Если множество о отличается от & на множество меры нуль,
то мы обычно будем писать А и А вместо Ао и Аа соответст-
соответственно, так что в силу E)
F) е(а)ф(Л)с=ФИ), crgS-
Таким образом, мы можем говорить о сужениях операторов А
и Л на подрространства е (о) © (Л) и jli (a) ф (Л) соответственно.
Из сказанного выше вытекает, что сужение оператора Аа
на е(а)Ф(Л) совпадает с сужением оператора Аа на е(а)®(Л),
т. е.
G) Лае(а)Ф = Ле(а)ф, а ?2, ф€Ф(Л).
Если а лежит в 20, то Ао — элемент из Я и тем самым Ла —
элемент SI и, как в предыдущем параграфе,
(8) Aa =
a
Если {am} — последовательность множеств из 2, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям C), то в силу леммы 1
(9) Лф-limf A(s)e(ds)y,
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 107
так что Л — оператор типа неограниченной свертки. Сказанное
выше можно резюмировать следующим образом:
2. Теорема. Для всякой измеримой (р X р)-матрицы A(s)
комплексных функций, заданных почти всюду на ©, и всякого изме-
измеримого множества а из® операторы Аа и Аа, определяемые соотно-
соотношениями B) и D), замкнуты и определены на всюду плотных мно-
множествах в $р. Для любого множества а из 2 выполнены соотно-
соотношения F) и G), и если а лежит в 20, то оператор Аа принадлежит
Ш и выполнено соотношение (8). Если последовательность множеств
{ат} удовлетворяет условиям C), то оператор А может быть задан
соотношением (9) и его область определения состоит из тех и только
тех функций ф, для которых существует предел (9).
Далее мы рассмотрим вопрос о существовании разложения еди-
единицы для Л. Это приводит нас к необходимости дать определение
неограниченного спектрального оператора в терминах ранее вве-
введенного понятия ограниченного спектрального оператора.
—> 3. Определение. Оператор Л, заданный соотношением D),
называется спектральным оператором, если для всякого множест-
множества а из 2 о ограниченный оператор Аа является спектральным
и, кроме того, разложения единицы Е (8; Аа) равномерно огра-
ограничены, т. е.
A0) sup sup | ?F; Аа) | <оо.
Оператор А называется оператором скалярного типа, если он
является спектральным оператором, для которого каждый из опе-
операторов А О9 а ? 2 0, скалярного типа.
Вопрос о существовании разложения единицы для таких неогра-
неограниченных спектральных операторов решается в следующей теореме:
-» 4. Теорема. Замкнутый оператор Л, заданный соотноше-
нщм D), является спектральным тогда и только тогда, когда
(i) ess sup | E (ijk (s); i(s))|<oo,
Если это условие выполнено, то функция множества
(ii) E F; А) = j E F; A (s)) e (ds), 8 g 38,
(В
есть ограниченная счетно аддитивная спектральная мера, заданная
на борелевских множествах в комплексной плоскости, значениями
которой являются проекционные операторы в fep. Кроме того,
для всякого множества а из 20 мы имеем
(Ш) Е F; А) Аа = АаЕ (б; Л), 8 6 J*,
108 Гл. XV. Спектральные операторы
(iv) Еф; А)е(о) = Е(8;Аа)е(о), б б %.
Последнее соотношение однозначно определяет спектральную меру
Е (8; А).
Доказательство. Первое утверждение является следствием
леммы 10.4 и теоремы 10.6, а второе вытекает из теоремы 10.5,
если заметить, что при ее доказательстве не была использована
ограниченность A (s). Так как Е (8; A (s)) и A (s) коммутируют при
всех s из @, то утверждение (ш) следует из теоремы 9.3. Для дока-
доказательства (iv) заметим, что в силу A)
Е(8; А)е(а)= j EF; A{s))e{ds) =
= {j EF;Aa(s))e(ds)}e(o) =
= E(8; Aa)e(a).
Последнее утверждение теоремы очевидно, поскольку проектор
Е F; А а) однозначно определяется оператором А и множествами
а 6 So, S6^, ч. т. д.
Оператор скалярного типа можно выразить в терминах его
разложения единицы, как это показано в следующей весьма обще-
общего типа теореме о спектральном разложении:
5. Теорема. Если А — оператор скалярного типа, то
Доказательство. Пусть {ат} — последовательность, удовлет-
удовлетворяющая условиям C), а бг — множество комплексных чисел
Я, таких, что | k | ^ г. Тогда для любого элемента ф из Ф(Л)
в силу F) элементы е(ат)ф принадлежат Ъ(А). Из соотно-
соотношений G) и (iv) теоремы 4 вытекает также, что
> = Е(8Г; А) АСте (ат) Ф =
Аа J Аате (от) ф =
; A)e(om)<p.
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 109
Но в силу (9) Ле(ат)ф-^Лф, так что
Е(дГ; А)Ац> = J XE(dX; Л)<р,
и требуемое заключение вытекает из счетной аддитивности Е при
г-^ оо, ч. т. д.
В силу теоремы 11.18, следствия 11.23 и теоремы 4 в случае
р = 2 критерий спектральности можно сформулировать следую-
следующим образом.
6. Теорема. Пусть р = 2, б2 = (пц — а22J + 4ai2a2i-Опре-
4ai2a2i-Определим множества @4 = {s | б (s)= 0}, @2={s I б (s)^=0). При
этом оператор соотношения D) является спектральным тогда
и только тогда, когда
(i) ess sup
flu И-^2 @12+I^2i (s) 12+| д12 (s) [2
Этот спектральный оператор является оператором скалярного
типа тогда и только тогда, когда кроме условия (i) для почти
всех s из ©i выполнено соотношение
(и) A(s) = X(s)I,
где Я— некоторая измеримая функция на RN.
Полученные результаты уже можно применить к формальному
дифференциальному оператору А = (ajk), где djk — многочлены
ajk(d/dsi, .-.,d/dsN) с постоянными коэффициентами от частных
производных д/dSi, ...,d/dsN. Рассмотрим в igp всюду плотное
линейное подпространство ФР = Ф © ... © Ф, порожденное множе-
множеством Ф быстро убывающих функций на R . Если ф —{фл, ..., фг}
лежит в Фр, то за Лф примем вектор в $р, /-я компонента
которого равна
(П) Л(Ф),= S aJk
Используя формулу обращения
I
мы получаем
ajk (д.) щ (s) = -^tj J elstaJh (it) (F<ph) (t) dt=
RN
110 Гл. XV. Спектральные операторы
Здесь символ ajk(i-) используется для обозначения оператора
умножения на функцию ajk(it). Таким образом, если A — (ajk(s))9
где ajk(s) = ajk(is), то соотношение A1) имеет вид
A2) Лф = F^AF (ф), ф?Фр.
Это равенство вместе с теоремой 2 показывает, что дифференциаль-
дифференциальный оператор A1) имеет замкнутое расширение, задаваемое соот-
соотношением D), где а= @. Этот замкнутый определенный на всюду
плотном множестве оператор Л@ мы будем называть естественным
замкнутым расширением оператора А.
Наличие постоянной i = У — 1 в формальном дифференциаль-
дифференциальном операторе
I Щ l dSids2\
W 1 д* д*_ I
\dsids2 ds\ I
мешает тому, чтобы его естественное замкнутое расширение на
®(Л@)было самосопряженным, но тем не менее оно имеет разло-
разложение единицы; действительно,
а дробь неравенства (i) теоремы 6 равна
и ограничена на Rn. Таким образом, оператор Л@ имеет разложе-
разложение единицы. Более того, множество @>4 является множеством
{s | Si = s2 = 0} нулевой меры, так что Л@ — оператор скаляр-
скалярного типа и к нему применима теорема 5.
В качестве другого примера рассмотрим формальный дифферен-
дифференциальный оператор
A4) L ^i
где а, р — положительные вещественные числа. Если а=? р, то
соответствующий замкнутый оператор Л@ не может быть самосо-
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 111
пряженным, но он всегда имеет разложение единицы, поскольку
-4 -<
р/ —I
и выполнено неравенство (i) теоремы 6. В этом случае множество
<&! пусто, так что Л@ — спектральный оператор скалярного типа
и к нему применима теорема 5.
Примером другого типа дифференциального оператора, расши-
расширением которого является спектральный оператор, но не скаляр-
скалярного типа, может служить формальный дифференциальный оператор
(
В этом случае @i = RN, а @2 пусто, так что неравенство (i) теоре-
теоремы 6 выполнено, а соотношение (ii) нет. Таким образом, естествен-
естественное замкнутое расширение Л@ формального оператора A5) есть
спектральный оператор, который не является ни оператором скаляр-
скалярного типа, ни нильпотентным оператором.
Иногда в дальнейшем вместо оператора Aq мы будем писать
просто А, так как едва ли это может привести к недоразумению.
Такого упрощения мы не будем делать в обозначении естественного
замкнутого расширения Л@, поскольку в этом случае символ А
используется для обозначения сужения Ag на Ф, т. е. того фор-
формального дифференциального оператора, который порождает А&.
Спектры неограниченных операторов, рассмотренных в этом
параграфе, не всегда вычисляются столь просто, как это было
в случае ограниченных операторов из 2tp. Данное в следствии 9.9
представление спектра оператора А из W* не обязательно корректно,
если элементы А — неограниченные функции от s. Для замкнутого
оператора А& резольвентное множество р (Л@) было определе-
определено (см. § VI 1.9) как множество всех комплексных чисел X, для кото-
которых (XI — А&)-1 существует как ограниченный всюду определен-
определенный оператор. Спектр a (A($) оператора А& определяется как допол-
дополнение р(Л^). Очевидно, в силу D), что р (Л@) =р (Л@), и потому
a (А<в) = а Й©)- Значит, р (Л@) состоит из тех К, для которых
(Я/ — A (s)) существует для почти всех s из 6 и существенно
ограничена на @. В последней части доказательства следствия 9.9
не использовалась ограниченность элементов матрицы A (s); поэто-
112 Гл. XV. Спектральные операторы
му даже для неограниченных операторов Л^, рассматриваемых
в этом параграфе, спектр а (Л@) содержит множество а0 (Л@),
определяемое соотношением
A6) <хоD@) = П ист(ЛE)).
е(б)=е s?6
Все, что можно сказать в общем случае, содержится в следующей
теореме.
-*- 7. Теорема. Пусть Л@, Ag — замкнутые операторы с всюду
плотными областями определения, заданные соотношениями B)
и D) соответственно. Тогда а (Л@) = ст (Д§), Р Dз) = Р 0*%)
г/ (т(Л@) ^ (Г0(Л@). ?сли А& —спектральный оператор скалярного
тип а, то а (Л@) = сг0 (Л@). Для любого, не обязательно спектраль-
спектрального, оператора Л@ спектр о(А^) состоит из множества со(Л)
г/ всвл: комплексных чисел X его дополнения, для которых
(i) ess sup | (Я/ — Л (s))1 == оо.
Резольвентное множество состоит из всех комплексных чисел
), для которых
(ii) ess sup | (Я/-Л (S))1< оо.
Доказательство. Из определения множества о0(А(^) вытекает,
что (kl — A(s)) существует для почти всех s из @, если X
не лежит в о0(А), так что выражения, входящие в соотношения (i)
и (И), имеют смысл. В силу замечаний, сделанных перед формули-
формулировкой теоремы, два последних утверждения теоремы очевидны,
и нужно лишь показать, что а (Л@) = а0 (Л@) в случае спектраль-
спектральных операторов Л@ скалярного типа. Если Л@ — такой оператор,
то в силу определения 3 и следствия 10.9 оператор Л^ является
спектральным оператором скалярного типа, и по теореме VI 1.1.8
для X^GoiAg)
Так как А,$ао(Л@), то функции (Я —^j(s)) существенно ограни-
ограничены на @ft, а так как Л@ — спектральный оператор, то из теоремы 4
вытекает, что функции \E(Kkj(s); A(s))\ также существенно огра-
ограничены на ©ь, k=\, ..., р. Таким образом, соотношение (и)
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 113
выполнено, и потому X лежит в резольвентном множестве р (А&) =
= р(Л@). Этим доказано, что а0 (А&) = о (А&) в случае спектраль-
спектрального оператора А& скалярного типа, ч. т. д.
Равенство or0 (А&) = в (А&) иногда верно и для спектральных
операторов, не являющихся операторами скалярного типа. Спектр
некоторых нильпотентных операторов может заполнять всю ком-
комплексную плоскость. Разберем несколько поясняющих примеров.
Пусть р = 2; рассмотрим формальный дифференциальный опера-
оператор
/О d/dsA
л=(о о
Тогда сго(Л) = {О}, A(sJ = 0 и для всякого X$eo(A(g), т. е. для
любого ХфО, мы имеем
и эта матрица не ограничена в существенном. Следовательно, спектр
о(Л@) совпадает со всей плоскостью. В самом деле,
если р и N — произвольные положительные целые числа, а
формальный дифференциальный оператор
A8) А = (ajk), ajk = ajk (d/dsu ..., d/dsN),
где djk — многочлены от s4, ..., sN с постоянными коэффициентами,
нильпотентен в Фр, т. е. АпФр = 0 для некоторого натурального /г,
то спектр а (Л@) совпадает со всей комплексной плоскостью,
за исключением того случая, когда все многочлены a/fe,
постоянны (т. е. не зависят от s4, ..., %), и тогда а
Действительно, так как Nn (s) --= 0 почти всюду, то а0 И@) = {0}
и для любого Я ф 0
откуда следует, что все элементы матрицы (XI —A (s))'1 являются
многочленами переменных s4, ...,%, а потому | (Я/ — A (s))~1\
не может быть существенно ограничена, кроме того случая, когда
все эти многочлены постоянны. Но тогда XI — A (s) = {(XI — A (s))}
состоит из постоянных элементов, а значит, такой же будет
и матрица A(s). Поэтому из теоремы 7 вытекает, что естественное
замкнутое расширение Л@ формального дифференциального опера-
оператора A8), такого, что ЛпФр = 0, имеет спектром <т(Л@) всю ком-
8 Н. Данфорд и Дж, Шварц
114 Гл. XV. Спектральные операторы
плексную плоскость, кроме того случая, когда Л нулевого порядка,
т. е. ни один из элементов ajh не содержит какой-либо производной,
и тогда а(Л6) = {0}.
Другим иллюстративным примером в случае р = 2 может слу-
служить возмущенный оператор Лапласа
и а= a(d/dsi, ..., d/dsN), где а — многочлен степени не выше 4.
Здесь
B0) А(8)=[ 0 _|
так что Go(Ag) = ( — оо, 0]. Если a(s) = 0, то по теореме 6 опе-
оператор А скалярного типа, а последняя теорема показывает, что
or (Л@) = (— оо, 0]. Поэтому мы будем предполагать, что a (s)
не является тождественным нулем. Если ^$( — оо, 0], то
0
и так как функции | X -\- \ s |21 и | a (s) 11X +1 s |21~2 ограничены на RN,
то А, лежит в р (А@). Итак, а (Л@) = (— оо, 0] = а0 (Л@) г
хотя ЛE и не является спектральным оператором скалярного типа.
Другие примеры доставляют формальные дифференциальные
операторы A3), A4) и A5); спектры их естественных замкнутых
расширений были уже подсчитаны.
Замечательным примером, в котором появляются свойства,
не встречавшиеся нам ранее, может служить формальный дифферен-
дифференциальный оператор
B1) А = [
В этом случае
B2) A (s) = + i (* *) , s = (Si, s2) e R2
\S2 Si/
При любом s из R2 эта матрица нормальна и
B3) A (s) A* (s) = 1512 / = Л* (s) Л E), 5 6
так что
B4> -^
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 115
Равенство B4) показывает, что матрица |s|-1A(s) унитарна, если
. Таким образом,
B5)
B6)
Уравнение Лф = 0, эквивалентное уравнению Коши — Римана
для вещественной и мнимой частей голоморфной функции, не имеет
ненулевого решения ср в Ф2. Действительно, согласно классической
теории функций, любое решение ср = (срь ср2) из Ф2 уравнения
^ф = о давало бы всюду определенную аналитическую функцию
f (z) = ф4 (s) + кр2 (s) переменного z = st + is2, а так как / обра-
обращается в нуль в бесконечности, то она должна быть тождествен-
тождественным нулем.
В соотношении B6) утверждается даже несколько больше. Дей-
Действительно, оно показывает, что единственным элементом г|э в © (Л@),
для которого А<г$ = 0, является \|з —0, и потому единственным
элементом ср в ф(Л@), для которого Л@ср = О, является ср = О.
Множество @i для оператора B1) имеет меру нуль и
B7) i2i (s) =--s2 + ist, i22 (s) = — 52 + isu
а соответствующие проекторы E2j (s) = E (%2j (s); A (s)), / = 1, 2,
которые можно вычислить по формулам D6) из § 11, равны
1 / 1 А Л 1 /1 —
B8) ?( J |(
откуда видно, что они не зависят от s. В силу теоремы 7 и соотно-
соотношений B7) очевидно, что спектр а(Л^) заполняет всю комплексную
плоскость; элементарные рассуждения показывают, что каждая
точка спектра лежит в непрерывном спектре. То обстоятельство,
что проекторы Ejk не зависят от s, упрощает операционное исчисле-
исчисление для оператора Л@. Чтобы понять смысл последнего утвержде-
утверждения, читатель не обязательно должен быть знаком с результатами
§ VI 1.9, где изложено операционное исчисление для неограничен-
неограниченных замкнутых операторов, и не обязательно должен знать содер-
содержание гл. XVIII, в которой излагается операционное исчисление
для неограниченных спектральных операторов. Действительно,
сейчас мы имеем дело с оператором А@ такого типа, что его специаль-
специальные свойства сразу же приводят к определению функций / (Л§)
оператора Л@. Как это сделать, мы сейчас покажем.
8*
116 Гл. XV. Спектральные операторы
Предположим, что формальный дифференциальный оператор Л
в Фр обладает следующим свойством: для почти всех s из RN все
собственные значения матриц A (s) являются простыми корнями
минимального многочлена для A (s). Это так, если Л@— оператор
скалярного типа. Пусть / — какая-либо измеримая функция,
заданная на спектре а (Л^) = а (А). С помощью соотношения
/ (A) (s) = / (Л (s)) мы определим (р X /?)-матрицу / (Л) (s), эле-
элементами которой являются измеримые функции на RN. (Если
не все корни минимального многочлена A (s) простые, то / будет
иметь в некоторых точках спектра производные, и, вообще говоря,
если у нас нет дополнительной информации относительно А, то это
соотношение все еще определяет матрицу / (A) (s), если / имеет
р — 1 производных на спектре а (Л@).) Таким образом, оператор
/ (Л) определяется соотношением B), а оператор / (Л@) — соотно-
соотношением D). Эти операторы, как мы уже отмечали, ограничены,
если функция / существенно ограничена на спектре. Так, например,
если / (k) = exp tX и спектр а (Л@) лежит в левой полуплоскости,
то exp tA@ — ограниченный оператор при t^O. Именно эту функ-
функцию нужно построить для решения задачи Коши q/ (f)= Л^ср (t),
Ф @) = фо*> бегло мы поясним это далее в теоремах 19 и 21. А сейчас
мы вернемся к разъяснению высказанного ранее утверждения: тот
факт, что проекторы Ejk в B8) не зависят от s, упрощает операцион-
операционное исчисление для естественного замкнутого расширения Л@ опе-
оператора B1). Предположим, что/ — ограниченная измеримая функ-
функция на комплексной плоскости (которая является спектром опера-
оператора Л@) и что / лежит в L{ (R2). Тогда, используя B7) и полагая
/2i (s) — f(s2 + iSi), /22 (s) = / (— s2 + iSi),
мы имеем
и поскольку Ёц не зависят от s, то определяющее /(Л^) соот-
соотношение D) дает
где itj — оператор умножения на ftj. Таким образом,
То, что свертка (<г/^)*ф существует для любой функции Ф из ig2,
видно уже из теоремы 11.5, если воспользоваться последователь-
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 117
НОСТЬЮ
Можно привести два еще более наглядных примера, которые
мы и хотим сейчас рассмотреть. В обоих случаях это возмущенные
операторы Лапласа; первый из них (здесь снова р = N = 2)
B9) А
где
C0) 5 э х 2
а = ао + а1-^ + а2^-, fc = po + Pl_
Мы имеем
и б2 (s) = 4а (s) Ъ (s). Таким образом, по теореме 6, если или а,
или Ь равно нулю, то естественное замкнутое расширение Л@ опе-
оператора А является спектральным оператором (так как в этом слу-
случае @! = R2), который будет оператором скалярного типа тогда
и только тогда, когда обе функции а и Ь равны нулю. Если же
a (s) Ъ (s) не равно тождественно нулю, то множество @i состоит
из двух прямых, определяемых уравнением a (s) b (s)= 0, и потому
имеет меру нуль. В этом случае отношение, появляющееся в нера-
Еенстве (i) теоремы 6, равно
C2) Га№ s^
4\a(s)b(s)\
ясно, что оно существенно ограничено на (g>2 тогда и только тогда,
когда для некоторой постоянной а ф 0 мы имеем Ь = аа, и, следо-
следовательно, выражение C2) равно постоянной A + | а |2)/4 | а |.
Поэтому из теоремы 6 можно заключить, что если ab Ф 0, то опера-
оператор Л@ является спектральным тогда и только тогда, когда а и Ь
пропорциональны, а в этом случае А^ является спектральным опе-
оператором скалярного типа.
Итак, естественное замкнутое расширение формального диф-
дифференциального оператора B9) является спектральным оператором
тогда и только тогда, когда он имеет вид
C3) A
118 Гл. XV. Спектральные операторы
где а и Р —любые комплексные постоянные. Естественное замкну-
замкнутое расширение Л@ оператора C3) имеет скалярный тип тогда
и только тогда, когда либо а$а=^0, либо а = 0. Рассмотрим случай,
когда а$аФО. Тогда @4 — множество меры нуль и можно положить
C4) i2i(s)= -\s\* + afa(s), X22(s) = — | s |2 — ctpa (s),
Так как a(s) линейна по s4, s2, то по теореме 7 спектр
лежит в левой полуплоскости Re(?i)^co. Это наводит на мысль,
что, возможно, оператор А^ является инфинитезимальной образую-
образующей сильно непрерывной полугруппы T(t), t^O, ограниченных
линейных операторов в Jg2 и что можно решать абстрактную задачу
Коши ф'=^%ф, ф@) = ф0; теперь мы точно это сформулируем.
Как показывает следующее утверждение, к этому оператору можно
применить теорему Хилле — Иосиды — Филлипса (VIII.1.13).
8. Теорема. Если естественное замкнутое расширение Л@
формального дифференциального оператора А = (а*;), где ац =
= atj (d/dsb . . ., d/dsN), 1 ^ i, j ^ p, суть многочлены с постоян-
постоянными коэффициентами, является спектральным оператором скаляр-
скалярного типа, то оператор Л@ служит инфинитезимальной образую-
образующей сильно непрерывной полугруппы (определенной на [0, оо)) огра-
ограниченных линейных операторов в @р тогда и только тогда, когда
его спектр лежит в некоторой левой полуплоскости.
Доказательство. Предположим, что Л@ — оператор ска-
скалярного типа и точки его спектра удовлетворяют неравенству
Re (k) ^ со. Тогда в силу следствия 10.9 для почти всех s из RN
оператор Л (s) является оператором скалярного типа в Ер. Таким
образом, существует множество R^ в RN с дополнением нулевой
меры, такое, что для всех s из R^ и для любого собственного зна-
значения К (s) матрицы A (s) мы имеем v (к (s)) = 1, где, как обычно,
v (к (s)) — кратность % (s) как корня минимального многочлена
для A (s). Поэтому для любого вещественного % > со и любого
натурального п из теоремы VI 1.1.8 вытекает, что
C5) R(%; A (s))n = 2 ,, Ei ?un ' s € ®k П
.=1
где Ekj (s) = E (ihj (s); A (s)). Поскольку X — со < | X — Xhj (s) \, то
в силу теоремы 4 и равенства C5)
C6) esssuplff(M(s))nl<ujlin , л=1, 2, ....
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 119
Из следствий 9.5 и 10.9 вытекает, что
C7) | R (Я; Л6ГI = ess sup | R (X; A^)n(s)\ = ess sup \R(X;A (s))n |,
и поэтому
C8)
Тогда по теореме Хилле — Иосиды — Филлипса (VIП. 1.13) опера-
оператор А& является инфинитезимальной образующей сильно непре-
непрерывной полугруппы (определенной на [0, оо)) ограниченных линей-
линейных операторов в $Qp. Эта теорема показывает также, что если,
обратно, оператор А& является такой инфинитезимальной образую-
образующей, то неравенства C8) выполнены с некоторыми веществен-
вещественными постоянными Ми со. Итак, для завершения доказательства
достаточно показать, что из соотношений C8) вытекает спра-
справедливость неравенства Re (X) ^ со для любой спектральной точки X
оператора Л@. Из соотношений C7) и C8) вытекает существование
множества ©0, дополнение которого в © имеет нулевую меру и та-
такого, что
C9) |tf(M(s))n|<-^)F' ^>ю' S6@o-
В силу теоремы 7 достаточно доказать, что для всякого s из ©0
вещественные части всех собственных значений A (s) самое большее
равны со. Если это неверно, то существуют индексы /, k, такие,
что Re (kkj (s)) > ю при некотором s из <&k f) ©о- Так как Ekj (s) Ф 0,
то в Ер существует вектор \|)(s), такой, что |i|)(s)|=l и гр (s) =
= Ehj (s) \|) (s). Поскольку Ekj (s) и Ekq (s) — дизъюнктные проекторы,
если цф\, то в силу C5) R (X; A (s))ny (s) =o|)(s)(X-Xw (s))"n,
и соотношение C9) дает
D0) l = l*W
Так как Re (%hj (s)) > со, то можно зафиксировать настолько боль-
большое X, что | X — Xkj (s) | < X—-со, и, таким образом, дробь в правой
части соотношения D0) стремится к нулю при /г->оо, ч. т. д.
Было бы ошибочно думать, что лишь спектральные операторы,
являющиеся инфинитезимальными образующими сильно непре-
непрерывных полугрупп (на [0, оо)), являются операторами скалярного
типа.
Поэтому рассмотрим для произвольных натуральных
р и N другой возмущенный оператор Лапласа. Невозму-
Невозмущенный оператор порождает систему cpy- (/)=а2у2ф./ (/),/=!,..., /7,
120 Гл. XV. Спектральные операторы
уравнений диффузии, возникающих в теории теплопровод-
теплопроводности и в других задачах такого рода, таких, как распространение
света или диффузия нейтронов. На самом деле эти уравнения диф-
диффузии являются в случае распространения света или диффузии
нейтронов лишь приближением истинных уравнений, описывающих
эти процессы. В этих случаях истинные уравнения соответствуют
некоторому возмущенному оператору Лапласа. Теперь мы постараем-
постараемся понять, в какой мере развитая нами теория позволяет возмущать
оператор a2v2/, сохраняя все же возможность решения задачи Коши
для возмущенных уравнений диффузии. Возмущение мы осущест-
осуществим в два шага. Сначала воспользуемся нильпотентным возмуще-
возмущением, содержащим дифференциальные операторы порядка не выше 2.
После этого возмутим оператор снова, разрешая добавлять к нему
любой ограниченный оператор в fep. Аналогичные примеры в слу-
случае операторов более высоких порядков можно найти в упр. 65—69
из § 14.
Сейчас мы начнем с анализа оператора
<*2V2 #12 • • • #1р
О a2V2
D1)
0... a2V2
где а^О— постоянная, вещественная или чисто мнимая,
D2) V2 = -J + ... + щ;, aJh = ajk (d/dsu ..., d/dsN),
a ctjk — многочлены от sb ..., sN с постоянными коэффициентами
степени не выше 2, такие, что ajk = 0, если j^k. В этом при-
примере <5i = RN, i11(s)--a*|s|2=-a2(s*+...+s5V), МЛ6Н
= ( — оо, 0], если а вещественно, и <то(Л@) = [О, со), если а чисто
мнимо, и матрица N (s) = Л (&)— \ц (s)l нильпотентна: Np(s) = 0
для всех s из RN. Далее мы будем считать, что а2>0. Случай
а2<0 совершенно аналогичен, и читатель без труда сделает необ-
необходимые изменения. Другая возможность рассмотрения случая а2 < О
состоит в применении результатов, полученных при анализе слу-
случая а2>0, к оператору —Л.
Фиксируем со > 0; тогда постоянная
D3) К= sup
конечна, так как элементами N (s) являются многочлены от s4, ..., sN
степени не выше 2. Для натуральных п=1, 2, ... и любого веще-
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 121
ственного Я,> со из теоремы VII. 1.8 вытекает, что
D4) (K-(o)nR(%; A(s))n =
v!
v=0
д%у
где слагаемое, соответствующее в этой сумме индексу v = 0, равно
(k — ti>)n(k + a2\s\2)~nI и потому имеет норму, не превосходящую 1,
при всех ^>со, s?RN и м=1, 2, ... . Если v>0, то функция
от Я, заданная выражением (К — co)n(^-[-a2|5i2)~n~v на интервале
А Х +
< оо,
-\-п (со
и в силу D3)
Я(Я+1)...(Я + У-1)
имеет максимальное значение в точке Х =
|2) v, так что
_ v
[(Я, —
v!
эта величина ограничена по п, поскольку при п-^оо правая часть
последнего неравенства сходится к e~vvv/Cv/v!. Таким образом,
из соотношений D4) и C7) вытекают неравенства C8), и по теоре-
теореме Хилле — Иосиды — Филлипса (VI11.1.13) естественное замкнутое
расширение Л@ формального дифференциального оператора в частных
производных D1) является инфинитезимальной образующей полу-
полугруппы (на [0, оо)) ограниченных линейных операторов в $р.
Покажем теперь, что спектр а (Л@) = ( — сю, 0]. Для этого
воспользуемся теоремой 7; зафиксируем любое А,$ао(Л@) =
= ( —оо, 0]. Матрица (kl — A (s)) вычисляется по формуле D4)
при п= 1, так что
р-1
D5)
(XI - A (s)) = У.
Поскольку Я^( —оо, 0], а элементами матрицы N (s) являются
многочлены по s4, ..., sN степени не выше 2, то обе величины
l^ + a2^!2! и \N (s) (Я, + a21 si2) ограничены на RN, и в силу
равенства D5) выполнено условие (ii) теоремы 7; этим доказано,
что X лежит в р(Л(^), и, значит, сг(Л@) = ( — оо, 0].
Так как (Si=-RN, то E(Xn(s); A(s)) = I для всех s из RN7
и в силу теоремы 4 ясно, что А& — спектральный оператор.
122 Гл. XV. Спектральные операторы
Тот факт, что Л@ является спектральным оператором, как
видно из проведенных рассуждений, не зависит от условий, нало-
наложенных на порядок операторов ajk.
Дадим теперь описание областей определения ®(Л@) и ®(Л@),
более удобное, чем использованное в формулах B) и D) для их
•определения. В силу B) мы имеем
A(s)^(s)\2ds<oo}.
Если г|) лежит в Ф(Л@) и t> = Aty1 то
<46) ?i(s) сха|sIяtpy(s)
Требование, чтобы функции г|) из igp были элементами
эквивалентно тому, чтобы функции | ? (s) |2 были интегрируемыми
на ©, а последнее требование в свою очередь эквивалентно инте-
интегрируемости каждой функции |?7-(s)|2, /=1, ..., р, на ©. Пред-
Предположим, что ? —такой вектор. Если / = р, то соотношение D6)
яринимает вид ?р (s) = — а21 s |2 if>p (s), так что функция | ?>Р (s) |2
интегрируема на © тогда и только тогда, когда | s |41 г|)р (s) |2
интегрируема на C. Если / = р — 1, то соотношение D6) прини-
принимает вид
?p-! (s) = — а21 s |2 -фр-t (s) + a(p-i)p (s) грр (s),
а поскольку a(p_i)p (s) — многочлен от s4, . .., sN степени не выше 2,
то | fl(p-Dp (s)| = 0(|s|2) при |s|->oo, так что из интегрируемости
функции |?p_i(s)|2 на © вытекает, что | s |4| i|)p-i (s) |2 интегрируема
на ©. Таким образом, с помощью индукции в обратном направлении
из D6) получаем, что если функция г|) принадлежит Л
то \ |s|4|i|)(s) |2ds< оо. Обратно, если вектор г|) из ^р удовлетво-
ряет этому условию, то ясно, что он принадлежит Ф(Л@). Таким
образом, если многочлен a7-fe (s) в операторе D1) степени не выше 2, то
{47}
Чтобы описать область определения Ф(Л@) в форме, более
удобной, чем ее непосредственное определение ® (Л@) = f® (Л@),
данное соотношением D), полезно воспользоваться понятием мед-
медленно растущего распределения.
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 123
9. Определение. Линейный функционал на пространстве Ф
быстро убывающих функций на RN, непрерывный в топологии Ф,
которая порождается окрестностями нуля, определенными соотно-
соотношением A) из §11, называется медленно растущим распределением
на RN- Множество всех медленно растущих распределений в RN
мы будем обозначать через T(RN). Очевидно, что если Т, U —
элементы T(RN), a a, Р —постоянные, то функция aT + fiU, опре-
определенная на Ф соотношением
(i)
принадлежит Т (RN), и потому T(RN) — линейное пространство. Ком-
Комплексно сопряженное распределение Т, преобразование Фурье FT
и обратное преобразование Фурье F~XT медленно растущего рас-
распределения Т определяются соотношениями
(и) ЙФНЙФ), Ф€Ф,
и
(Hi) (FT) (Ф) - Т (Fq>), (F-iT) (Ф) = Т (F-i<p), <р ? Ф.
Теорема 11.1 показывает, что FT и F~XT — медленно растущие
распределения. Если Г, Тп принадлежат T(RN) и (п) — направлен-
направленное множество, то соотношение T = \imTn означает, что
п
(iv) Гф = НтГпф, фбФ.
п
В качестве примера медленно растущего распределения можно
рассмотреть функцию Tv, определяемую равенством
D8) 7\,(<Р)=
по некоторой ограниченной конечно аддитивной функции множе-
множества v (заданной на некотором поле множеств в RN, содержащем
открытые множества). Аналогично, по функциям на RN можно
построить медленно растущие распределения так же, как иногда
по функциям строятся распределения. Так, например, поскольку
сходимость фп -> ф в Ф эквивалентна утверждению, что для любых
двух многочленов Р и Q от N переменных равномерно по s в RN
выполнено предельное соотношение Р (s) Q (d/ds) фп (s) ->¦
—>¦ Р (s) Q (d/ds) ф (s), то ясно, что функция г|) из любого простран-
пространства Лебега Lp (RN), 1 ^ р ^ оо, определяет при помощи равен-
равенства
Г(Ф) =
124 Гл. XV. Спектральные операторы
медленно растущее распределение. Эту взаимосвязь мы точно сфор-
сформулируем в следующем определении:
10. Определение. Говорят, что числовая функция г|) на RN
порождает медленно растущее распределение Т^ в RN, если для
любого элемента ф в Ф функция ф (s) \|) (s) интегрируема по Лебегу
на RN и функционал 7^, определяемый равенством
D9) 7*(ф)=
принадлежит T(RN). Множество числовых функций г|), порождаю-
порождающих медленно растущие распределения Т$>, мы будем обозначать
через S (/?*).
Так как С" (RN) с= Ф и сходимость фп=>:ф в С" (RN) (XIV.3.1)
влечет за собой ф^-^ф, то очевидно, что сужение медленно расту-
растущего распределения на С™ (RN) является распределением в RN-
Это замечание позволяет нам получить следующее утверждение-
И. Лемма. Если в смысле предыдущего определения медленно
растущее распределение соответствует двум функциям, то эти
функции совпадают почти всюду на RN.
Доказательство. Для любого компактного множества К суще-
существует* функция ф в Ф, для которой ср (s) = 1 на /С (XIV.2.1).
Поэтому любая функция, порождающая медленно растущее распре-
распределение, интегрируема по Лебегу на любом компактном множестве.
Таким образом, можно применить лемму XIV.3.3 и убедиться, что
две функции, порождающие одно и то же медленно растущее рас-
распределение, отличаются друг от друга лишь на множестве меры
нуль, ч. т. д.
Эта лемма устанавливает линейное взаимно однозначное соответ-
соответствие между S (RN) и линейным подмножеством в Т (RN) и позво-
позволяет дать следующее определение:
12. Определение. Будем говорить, что медленно растущее распре-
распределение Т, соответствующее в смысле определения 10 функций г|),
является функцией. Если г|) непрерывна, или дифференцируема,
или принадлежит Lp (RN) или С°° (RN) и т. д., то мы будем гово-
говорить, что Т является функцией, непрерывной, или дифферен-
дифференцируемой, или принадлежащей Lp (RN) или С°° (RN), и т. д. Други-
Другими словами, мы будем просто отождествлять медленно растущее
распределение, являющееся функцией, с той функцией, которой оно
соответствует. Если г|) 6 5 (R) и Т = 7\j>, то иногда мы можем
писать Т (s) вместо \|) (s).
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов* 125
Подытожим в следующей лемме некоторые элементарные свой-
свойства отображения г|) -> Т$.
13. Лемма. Отображение г|)->-7\|> линейного многообразия
S(RN) в T(RN) является линейным отображением с некоторыми
дополнительными свойствами:
(О ?* = 7у,
(и) если 1<р^оо, р -ЬС7 = 1 uty]eLp(RN), то
(Ш) есла 1<р<оо, р + gr = I u^dLpiR1"), то
sup | 7>р | = | гр |р;
Ф?Ф, IФ 1^=1
(iv) для функций г|) из L2(RN)
Доказательство. Линейность отображения г|)-^ Г^ и свойство (i)
уже проверены. Утверждение (ii) вытекает из неравенства
Гёльдера (Ш.3.2). Так как CS° (RN) а Ф с= Lp (RN), то в силу
леммы XIV.2.2, если р<оо, подмножество Ф в LP(RN) плотно
в LP(RN), и (ш) вытекает из теоремы IV.8.1. Для доказательства
свойства (iv) предположим сначала, что г|э лежит в Ф; в этом
случае допустимо изменение порядка интегрирования, и мы получаем
= { (Ftp) (s) ^(s)ds= ^ (s) (Л|>) (s) ds = Т^ (Ф), Ф € Ф.
rN rN
Но Ф плотно в fe = L2(RN), и потому для любого элемента \|)
из $ существует последовательность {г|?п} си Ф, такая, что i|?n-v\j?
в jg. Так как ^Ф^Ф (§ XI.1) и F непрерывно в Jg, то неравен-
неравенство (ii) показывает, что FT^n-+FT^. С другой стороны, последнее
равенство означает, что FT^n = TF^,n, и эта последовательность
ввиду соотношения (ii) сходится к Т^. Этим доказана первая
часть утверждения (iv); вторая доказывается аналогично, ч.т.д.
Определим теперь производные медленно растущих распреде-
распределений так же, как это было сделано в случае распределений. Пово-
Поводом для такого определения может быть следующее соображение:
если медленно растущее распределение Тщ является достаточно
гладкой дифференцируемой функцией ф0, то нам хотелось бы, чтобы
^а^Фо было медленно растущим распределением, соответствующим
функции даф0, если, конечно, производная даф0 порождает медлен-
медленно растущее распределение. Предположим, например, что ф0 и ф —
126 Гл. XV. Спектральные операторы
функции из Ф. Тогда интегрирование по частям по переменной
дает
RN RN
что приводит нас к определению производной (д/dsj) Т произволь-
произвольного медленно растущего распределения при помощи равенства
E0) а77Иф)=-
Очевидно, что dT/dSj — медленно растущее распределение, и для
любого множества а = (aiy . . ., aN) из N неотрицательных целых
чисел повторное дифференцирование показывает, что даТ, или
(d/ds)aT, задается соотношением
E1) (даГ)(ф) = (-1)|а|1Г(даФ), Ф6Ф
Для формального дифференциального оператора
E2) а= S а
с постоянными коэффициентами аа медленно растущее распреде-
распределение аТ определяется, таким образом, по формуле
E3)
где
E4)
По поводу производных медленно растущих распределений нам
потребуется в дальнейшем следующая лемма:
14. Лемма. Если для некоторого Т из Т (RN) оба распределе-
распределения Т и даТ являются функциями, то комплексно сопряженные
распределения Т и даТ также являются функциями и
Доказательство. Утверждение относительно Т уже содержится
в части (i) леммы 13. Так как
f (Ф)= ( ф(s)T~(i)ds, ф?Ф,
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 12Т
то по определению
= \(i>(s)(daT)(s)ds= Ф|
и тем самым показано, что даТ является функцией и (даТ) (s) =
ч.т.д.
При описании областей определения некоторых естественных
замкнутых расширений формальных дифференциальных операторов
будут полезны следующие определение и лемма. Заметим сразу
же, что если медленно растущее распределение Т принадлежит
пространству T^k) (RN) из следующего далее определения, то преды-
предыдущая лемма показывает, что комплексно сопряженное медленна
растущее распределение Т также лежит в T^(RN).
15. Определение. Для k=l, 2, ... обозначим через T{k)(RN)
множество всех медленно растущих распределений Т в RN, таких,
N
что даТ принадлежит ^ = L2(RN) при любом a, |a|i^&. Для
любой пары Т и U элементов из T{h) (RN) положим
(i) (Г, U){h} = 2 J $ат) (s) (FU) (s) ds;
Лемма 14 показывает, что скалярное произведение (Т, U)ik>
удовлетворяет всем условиям определения гильбертова простран-
пространства (IV.2.26), кроме полноты. Докажем теперь это свойство.
16. Лемма. Пространство T{k) (RN) предыдущего определения
является полным гильбертовым пространством.
Доказательство. Как мы уже заметили, проверить надо только
полноту. Пусть {Тт} — последовательность Коши в T(h) (RN). Так
как |r|(fe)>|T|, т.е. нормы Т как функции из % = L2(RN),
то Тп сходится в $ к некоторому Г. Аналогично, \Тп — Tm\ik)^
^ I даТп — даТт | при 0^ | а |^k, и, таким образом, последова-
последовательности {даТп} сходятся в Q к некоторым функциям Та из $¦
128 Гл. XV. Спектральные операторы
Пусть ф —элемент Ф. Тогда
( Ф (s) Ta (s) ds= lim (daTm) (ф) =
тем самым показано, что даТ = Та и, следовательно, принадле-
принадлежит §, ч. т.д.
При описании областей определения ®(Л©) естественных замк-
замкнутых расширений некоторых формальных дифференциальных опе-
операторов А в Фр оказывается полезным, как мы увидим, следующее
пространство:
17. Определение. Для любого натурального р>1 пространство
(p)T(h) (RN) определяется как прямая сумма
(р) Т<*> (RN) - 7<ft> (RN) 0 . ..
составленная из р слагаемых. Если Т = [Ти ..., Тр] и f/ =
= [Ui9..., t/p] — элементы из (р) 7(fe)(i?N), то скалярное произведе-
произведение и норма в (p)T(k) (RN) определяются, как обычно, соотно-
соотношениями
(T,U)(p.k)=%(Tj,U,)lh),
l
Поскольку прямая сумма произвольного числа гильбертовых
пространств всегда является полным гильбертовым пространст-
пространством (IV.4.19), пространство (/?) T(k) (RN) гильбертово.
Теперь мы можем вернуться к анализу иллюстративных приме-
примеров возмущенных операторов Лапласа, заданных соотношением D1),
и описать область определения ®(Л^) в том случае, когда возмущаю-
возмущающий оператор имеет порядок не выше 2. Это описание Ф(Л@) содер-
содержится в следующей теореме, которая объединяет доказанные нами
результаты об операторе Л@:
18. Теорема. Пусть Р = (ajk) — формальный дифференциаль-
дифференциальный оператор, такой, что ajk = O/k {dldsu . . ., dldsN), /, k =
= 1, . . ., p,— многочлены с постоянными коэффициентами сте-
степени не выше 2, и а^ = 0, если / ^ k. Пусть формальный оператор А
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 129
определен "в Фр матрицей
#12 • • • ^1р
0 a2V2 . •.
1 ; a(p-i)p
О О' ... cc2v2
где а Ф О — вещественная или чисто мнимая постоянная, а
2 д2 д2
Тогда естественное замкнутое расширение Л@ оператора А
является спектральным оператором со спектром в(А$) = (оо, 0],
если а2>0, и а(Л@) = [0, оо), если а2<0. В обоих случаях
область определения Ф(Л@)
Оператор А& является также инфинитезимальной образующей
сильно непрерывной полугруппы (на [0, оо), е&ш а2>>0,
w яа (—оо/О], ^сл^ а2<0) ограниченных линейных операто-
операторов в ^р.-
Замечание. Как нетрудно заметить, теоремы 18, 19 и 21
можно сформулировать так, чтобы а принимало любые комплекс-
комплексные значения.
Доказательство. Все утверждения, кроме формулы для
уже установлены. Так как эта формула является частным
случаем утверждения (vii) следующей далее теоремы 19, ее доказа-
доказательство мы опускаем.
19. Теорема. Пусть А — оператор теоремы 18 и а2 > 0.
Тогда для любого элемента ф@) из $?р существует одно и только
одно непрерывное отображение t-> ср (/) полупрямой [0, оо) в $р,
которое дифференцируемо при t > 0 и обладает следующими свой-
свойствами:
(О Ф(/)€®(Л6), 0</<оо;
(и) ф'0 = 4@ф(*}, 0</<оо;
(ш) ф@) = ф<°>.
Эта единственная функция ср определяется соотношением ф (/) =
= Т(/)ф@), гЗв Г(/), 0^<оо, —сильно непрерывная полугруппа
с инфинитезимальной образующей Л@. Полугруппа Т (t) и функ-
функция ф обладают, кроме того, следующими свойствами:
9 Н. Данфорд и Дж. Шварц
Гл. XV. Спектральные операторы
(iv) Производная q/ @) существует тогда и только тогда,
когда ф@) 6® (Л@); при этом q/ @) = Л@ср@).
(v) Полугруппа Т (t) имеет сильно аналитическое продолжение
до полугруппы Л (А,), определенной для X из полуплоскости Re(A,)>0,
и, таким образом, единственное решение ср задачи Коши (i) —(ш)
аналитично и имеет аналитическое продолжение (piCk) =Т1(Х)(р@>
в полуплоскость Re (Я) > 0.
(vi) Оператор Л@ является естественным замкнутым расши-
расширением формального дифференциального оператора Ak в Фр; для
0
(vii) ® D) = (Р) T{2k) (*N)> * = 1. 2
(viii) Яр« Re (Я) > (X функция ф4 (Я) = ф! (slr ..., sN; X) имеет
непрерывные производные всех порядков относительно s= [s4, ..., sN],
и <Э?ф1 принадлежат .^v при всех P = [Pi, ...,P^].
Если а2 < 0, то справедливы также аналогичные утверждения,
получающиеся при отражении -комплексной плоскости относи-
относительно Мнимой оси.
Доказательство. Положим N (s) = A(s) + а21 s |2 /. По теоре-
теореме VII. 1.8 матрица 7 (s; Т) = ехр(<Л (s)) вычисляется по формуле
E5) 71(s;71) = e-taaWViV« =
и обладает свойствами
E6) f{s;t + u) = f (s; t)f(s;u), f @) = I, s 6 #*.
Соотношение E5) показывает, что матрица Т (s; /) ограничена по s,
если /^0, и, таким образом, оператор T(t) в ^Р> определенный
равенством
E7) (f(t)ty)(s)=zf (s;/)*(s), ^€ЙР, 0</<оо,
является ограниченным линейным оператором е §Р> и из E6)
вытекает, что T(t), 0^^<oo, —полугруппа, т. е.
E8) t(t + u) = f{t)t(u), T@)=/f 0</, а<оо.
В силу E5) ясно, что для любого г|)?$р вектор-функция Т(/)ф
непрерывна в открытом интервале @, оо). Покажем теперь, что
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 131
она непрерывна и в точке ? = 0. Чтобы убедиться в этом, дока-
докажем, что |Г@| ограничена на 0<^<оо. Поскольку N(s)
не содержит элементов степени выше 2 по переменным sb .. .,sN,
то \N(s) \^K\s\2, и потому для проверки ограниченности \f(t)\
достаточно в силу E5) показать, что для каждого / = 0, . ..,р
величина
E9) K(t)= sup ^-ta2lsi2|s|2i
s?RN
конечна и ограничена по t. Элементарные вычисления показы-
показывают, что
F0) К®
и, следовательно, не зависит от t, так что
F1) |Т@|<М, 0</<оо.
Таким образом, для элемента г|) из <qv соотношение E5) дает
limf (s;
а из F1) вытекает, что
тогда по теореме об ограниченной сходимости (III.6.16) lim T (t) i|)=tp
дв ^р. Этим доказано, что Т (/) — сильно непрерывная полугруппа
на [0, оо) ограниченных линейных операторов в <§р. Пусть J5 —
инфинитезимальная образующая полугруппы f (t),
Покажем, что В = А. Если i|)g®(B), то по определению
С другой стороны, из E5) вытекает, что при всех s в RN
lim
так что функция ^(s)i|)(s) квадратично интегрируема на R
ъ Ety = Aty. Таким образом, А^В. Любое положительное X
лежит в р(Л), так что в силу теоремы Хилле — Иосиды — Фил-
липса (VIII. 1.13) все достаточно большие вещественные X лежат
в пересечении р(А)(]р(В). Для таких X мы имеем (XI — А) Ф (В) =
= (KI — В) % (В) = ^р, поскольку А ^ J5. Однако справедливо также
соотношение (Xl — А) ф (А) — ^р, которое означает, что Ф (А) =
9*
132 Гл. XV. Спектральные операторы
= ®(В) и, следовательно, что А = В. Положим теперь
F2) T(t) = F-1f(t)F,
так что T(t) — сильно непрерывная полугруппа на [0, оо) ограни-
ограниченных линейных операторов в $?р. Ее инфинитезимальной обра-
образующей, по определению, является оператор В с областью опре-
определения, состоящей из всех элементов ср из Jqp, для которых
существует предел
T{h) — I ,. с Л t(h) — l П
Ву= hm —x~i ф= lim F—^4 ^ф-
Таким образом, ф принадлежит ® (В) тогда и только тогда,
когда Fq> принадлежит ®(Л), т. е. ф лежит в F® (А) = © (Ag).
Предыдущее равенство показывает, что By = F~1AFy, ф6®(^@);
поэтому B = A(g и Л@ является инфинитезимальной образующей
полугруплы F2). Положим ф(/) =Г(/)ф@). В силу E5) очевидно,
что при я])@) = ^@) функция if (t) = f (t) я])@), / > 0, принадлежит
Ф(Д) и что •ф/(О=А'ф(О, ^>0. Поскольку F и F — изо-
метрии в igp, отсюда вытекают соотношения (i) и (ii). Равен-
Равенство (Hi) является непосредственным следствием определения
функции ф(/).
Докажем теперь, что отображение /-^ф(/) полупрямой [0, оо)
в igp, обладающее свойствами (i), (ii) и (iii), единственно. Пусть
ф/ —Другая функция на [0, оо) со значениями в ^р, обладающая
свойствами (i), (ii) и (iii). Тогда при 0
Так как |Т(/)| ограничена, а ф* удовлетворяет условию (ii), то
НтГ(и —/ —А)-
Поскольку d(T(t)^0))!dt = A(BT(t)q){0) для любого ф@> из ?р
и любого />0, то, заменяя ф@) на ф*, a t на u — t, мы получаем
lim —¦ 1 i '- ф^ = —Т(и —
h-*0 Л
Таким образом,
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 133
откуда следует, что вектор
не зависит от t и потому не зависит также от «. Полагая «->/+,
мы получаем
? = Ф, —7(/)ф<°\ 0</<oo,
и, полагая f->0 + , убеждаемся в том, что ?=ф°—гф<0) = 0. Это
показывает, что % = Т (t) ф@) = ф (/) и доказывает единствен-
единственность ф(/).
Поскольку Л@ — инфинитезимальная образующая полугруппы
Т (t), утверждение (iv) следует из определения VIII. 1.6 и лем-
леммы VHI.1.7(b).
Для каждого комплексного числа к с Re (X) >> 0 положим
Ti(X) = F-1?i(b)F, Ф1(Я) = Г1(Я)ф<°>, где
F3)
и где, как и раньше, оператор 7\ (X) определен на $р соотноше-
соотношением
F4) (Т! (Л) ф) (s) =Г! (s;
Поскольку j iV (s) | = О (| s |2) при | s | ¦-> oo, из F3) следует, что
Ti (X) сильно анали-рична н& полуплоскости Re (Я) >0, а поскольку F
и F'1 — изометрии в igp, отсюда вытекает, что Ti(k) также сильно
аналитична, когда Re(X)>0, что доказывает (v).
Для доказательства утверждения (vi) заметим прежде всего,
что, поскольку степени Ак неограниченного оператора А опреде-
определяются по индукции соотношениями ф (Ah) = {-ф f lgp | Лй~1(ф 6 Ф (А)}
и Лйя]) =Л (Лй~1|ф), в силу специальной структуры оператора Л его
степени Ak задаются соотношениями
F5)
F6) (Ллф) (s) = (A (s))k ф (s),
Формула F5) может быть получена с помощью тех же рассуждений,
что и соотношение D7), если заметить, что матрица (Л (s))k имеет
134 Гл. XV. Спектральные операторы
на главной диагонали элементы (—\)ka2k\s\2k, нули — ниже
главной диагонали и многочлены степени не выше 2k выше нее.
Так как отображение А -+ A (s) алгебры формальных дифферен-
дифференциальных операторов А = {ajk) на Фр является гомоморфизмом,
то из формулы F6) вытекает, что Л@ является естественным замкну-
замкнутым расширением оператора Ah,
Для вектора г^ (X) = Т (X) г|)@) в силу F3) выполнено соотно-
соотношение
F7) -J- ^ (X) (s) = Л (s) ф, (X) (s), Re (К) >0, s 6 RN,
а так как | ^V (s) | = О (| s |2) при | s | -> оо, из F3) и F5) следует, что
F8) %We®(^fc), Re(X)>0, A = l,2, ....
В силу F7) и того факта, что производная -ф| (Я) существует
по норме $р, мы имеем
F9) Ф;М=АМЬ), Re(X)>0.
Воспользовавшись преобразованием Фурье, перепишем F8) и F9)
в виде
G0) <4
G1)
Предположим, что мы доказали равенство
G2)
Так как ср4 аналитична^ производная ф^+!> существует, и соотно-
соотношение G2) показывает, что
h->0 Л Л-0 ^
Поскольку оператор Д|~ замкнут, соотношения G1) и G3) озна-
означают, что фAй+1)(Я,) = Л^ф1(Я), н это завершает доказательство
утверждения (vi).
Для доказательства утверждения (vii) вспомним, что по опре-
определению (поскольку Л@ является естественным замкнутым расши-
расширением оператора Ak) © (Л@) = /7~1Ф (Лл), так что соотношение
G3) (^|
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 135
эквивалентно соотношению
G4) FT = [FTи .. . ,FTP] 6 © (Л*), Т 6 (/>) Г<2*> (^).
В силу F5) вектор 'ф=['ф1, . ..,г|)р] принадлежит Ф(ЛЛ) тогда
и только тогда, когда \ | s |4fe | -ф,- (s) |2 ds < оо для каждой его ком-
ионенты tyj. Поэтому G3) эквивалентно соотношению
G5) j \s\*k\(FT)(s)\2ds<oo, hN
Другими словами, это приводит нас к выводу о том, что^ включе-
включение G3) справедливо для любого натурального р, если оно справед-
справедливо при /7 = 1. Следовательно, мы можем взять в качестве Т
произвольный элемент из T{2k) (R1*). Тогда по лемме 14 Т 6
6 Т^ (RN), и потому
^fcf-f —L
v l - \ ds\
и
G6) (V2kf) (ф) = ( Ф (s) (V2ftT) (s) ds, Ф 6 Ф.
К тому же если -ф = /*"фт то
G7) ftf f
Так как ijj принадлежит Ф (теорема 11.1), то допустимо диффе-
дифференцирование под знаком интеграла, а тогда
теперь из соотношения G7) мы получаем
G8) (у2/Т)(Ф)=
136 Гл. XV. Спектральные операторы
Поскольку F — изометрия в $, то |я]) |2 = |ф|2, а так как /?Ф =
плотно в $, то в силу G6) и G8)
|ф|2=1
= sup I [ $(s)( — l)h\s\2h(FT)(s)ds\ =
тем самым установлено неравенство G5) и доказано включение G3).
Обратно, пусть ф@N®(^4©), так что вектор гр<0) = /7фс0) при-
принадлежит ®(ЛЙ); это эквивалентно тому, г что каждая компо-
компонента i|)j0) вектора я])@) лежит в g и удовлетворяет неравенству
G9) f |S|4ft|^0)(s)Ns<oo.
Покажем, что медленно растущее распределение Т^о», соответ-
соответствующее функции ф?0), принадлежит TBk)(RN). В силу леммы 14
достаточно показать, что Гф(о> является элементом TBk) {RN).
Пусть |a|i^2A, фбФ, г|)=/7ф. Так какх-ф^Ф (теорема 11.1), то,
производя, как и раньше, дифференцирование под знаком инте-
интеграла, получаем
= U (s) (-
ds =
Так как для функции i])j0) выполнено неравенство G9), коэффи-
коэффициент при г|) (s) в подинтегральнойг функции квадратично интегри-
интегрируем на RN, ц то же верно для его преобразования Фурье
F((— l)'aIl(''#)a^j0)(#))- Предыдущее равенство, таким образом,
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 137
дает
ртф(о>)(ф)= J 4(s)F((-\)w*(i-)a№(.))(s)ds,
этим доказано, что Гф<о> принадлежит TBh)(RN) и что
Таким образом,
(80) ®(Л@)<=
в сочетании с соотношением G3) это доказывает утверждение (vii).
В силу (vi) и (vii) для любого Я, Re(X)>0, 9i(X) является
таким вектором Т = [Ти ...,ГР], что Tj, /=1, ..., р, — медленно
растущие распределения в RN, производные которых всех порядков
оказываются функциями из $3 = L2{RN). Сужение Fj = Tj |Co° {RN)
медленно растущего распределения Tj на С™ (RN) является распре-
распределением в RN, сужение которого Fj | ©г на открытый шар @г =
^{sg^llsl^r} имеет в качестве производных функции, совпа-
совпадающие с сужениями соответствующих производных от Tj. Таким
образом, можно воспользоваться утверждением (И) теоремы
XIV.4.5 при n = N, p = 2 и произвольно большом k и убедиться,
что все производные от Tj непрерывны в замыкании @г. Поскольку
г>0 произвольно, для любого р производная d^i(si, ...,sN; к)
существует как непрерывная векторная функция от s на RN и
\($T){s) \2ds<
так что все производные 3?ф4 принадлежат $р, ч. т. д.
20. Следствие. Пусть k — натуральное число и функция <p(s) =
= [<Pi(s), . •., <Pp(s)] задана на RN. Если для любых наборов р =
= [Рь . ..,pp]*w3 yV неотрицательных целых чисел производные
(dscp)(s) существуют, непрерывны на RN и квадратично интегри-
интегрируемы на RN, то ф принадлежит © |
21. Теорема. 5 обозначениях теоремы 19 «Эля любого ограни-
ограниченного линейного оператора В в igp справедливы следующие
Утверждения:
(i) Оператор Ag + B с областью определения ®(Л@) является
инфинитезимальной образующей сильно непрерывной полугруппы
s@ 0</<
138 Г л XV Спектральные операторы
Для любого вектора ф@) из $р существует одно и только одно
непрерывное отображение t-+y(t) полупрямой [О, оо) в $р, диф-
дифференцируемое при />0м такое, что
(и) ф(*)€®И@), 0</<оо;
(ш) <р' (/) = (Л@ + В) Ф (/), 0 < / < оо;
(iV)
(v) 3ma единственная функция ф задается соотношением
() = 5(/)ф@). Полугруппа S(t) имеет сильно аналитическое про-
продолжение до полугруппы S(?), определенной для ? в полуплоскости
Re(Q>0. Единственное решение задачи Коши (ii) —(iv) анали-
тично по t и имеет аналитическое продолжение ф4 (?) = S (?) ф@)
-в полуплоскость Re(?)>0, удовлетворяющее условиям (ii) а (Hi)
^ комплексных значений t при Re(/)>0.
(vi) N
(vii) Производная ф' @) существует тогда и только тогда,
когда ф@> ляшш в p{Ty2k)(RN); при этом ср' @) = (Л@ + 5)ф@).
?сл^ а2 < 0, то справедливы аналогичные утверждения, полу-
получающиеся при отражении комплексной плоскости относительно
мнимой оси.
Доказательство. Дадим сначала оценку нормы аналитического
продолжения 7\ (?) полугруппы Г (/) в полуплоскости Re (?) > 0.
Пусть Re(?)>0, так что ? = | ?| eie и — я/2<0<я/2. Так как
SUp
n
то в силу F3) и того, что | ^V (s) | = О (I s 12) при I s |%-> оо, имеем
1 Л (OK/С (sec .вK5, а так как F — изометрия в $р, то
{81) \Т^)\^К (secQf-\ C = |C|^, -f <6<f.
На вещественной оси 6 = 0, а поскольку Т (t) сильно непрерывна
в точке / = 0, то
этот факт вытекает также и из соотношения F1). Неравенство (81)
показывает, что Г4(?) сильно непрерывна в точке ? = 0, если t
остается в секторе —Ф^б^Ф, где 0^ф<я/2. Определим
по индукции при Re(?) > 0 операторы Sn(?), л = 0, 1, ..., полагая
{83) So(О = Г1(С), Sn(Q9= j
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 139
где путем интегрирования служит прямолинейный отрезок, соеди-
нйющий точки 0 и ?. Так как Ti(?) сильно аналитична при
Re (О > 0> то В силу (83) ясно, что такой же будет и функция
<Sn(Q- Используя (81) и (83), по индукции получаем оценки
<84) | Sn (?) \^[К(sece)p-T+1 \В \п
Таким образом, ряд
(85) S(E)=2S»(?). Re(?)>Q,
сходится абсолютно, откуда видно, что S(?) сильно аналитична
при Re (?) > 0 и что
<86) |S(O|<K(seceriexp{^(sece)p-1|B|U|},
л на положительной вещественной полуоси
(87) | S (/) |< КеХЩ 0<t<oo.
Таким образом, для любого вещественного со>/(|?| имеем
оо оо сю
(88) J e-MS (О Ф Л = 2 J e"^S^ (О Ф Л» Re (Х) > ^ Ф € ^ЙР-
.0 п=0 О
Используя следствие VIII. 1.16, получаем при Re (X) > со формулу
оо оо
f е-*и { j в-«Г (/) 65П_! (и) ф Л } du
о о
оо оо
e~uT{t) | j
о
повторное применение которой, поскольку S0(t) — T(t), дает
n (Л) ф Л =[/?(*,; Л@)б]п f
о
140 Гл. XV. Спектральные операторы
в сочетании с (88) эти равенства показывают, что для любого
вектора ф из $р
(89) j e-MS (t) ydt = R (Я; А&) 2 [В/? (Я; Л@)]" ф, Re (Я) > со.
п=0
Пусть теперь <p6Jgp, Re (Я) > со, у = К\В\и> х, так что в силу (82)
оо
| BR (Я; Л©) ф | = К е~мВТ (t) ф dt
о
и, таким образом, \BR(X; Л^)|^7<1 при Re (Я) > со; поэтому
ряд (88) сходится абсолютно. Покажем, что ряд (89) является
резольвентой R(k; Л@ + В). Для краткости положим R = RCk; А
Во= 5 [В/?(Я;Л@)Г, fli = flo-/= S [5/?(Я; Л@)Г- Тогда
п=0 п=1
(Я/ - Л@ -В) RB0 = (/ - В/?) So = Во - Bi?B0 = Во - Bt = /,
и для вектора Ф 6 ® (As) имеем
i?B0 (Я,/ — i4@ — В) ф = i?B0 (Я/ - Л@) ф - ^В0Вф =
= R (I + ВО (Я/ -
= ф + RBi (Я/
а так как (XI — A<s,)(p = R'1(p^=(BR)~1B(p, то это равенство прини-
принимает вид
RB0 (Я/ - Л@ - В) ф = Ф + R {В, (BRT1 Вф - Бо^ф} =
= ф + R {В0Ву - В0Яф} = ф.
Тем самым доказано, что RB0 = R(k; Aq-^-B); вместе с соотноше-
соотношением (89) это дает
оо
(90) R (Я; Л6 + В) Ф = j e-MS (t) <р Л, Re (Л) > со, Ф 6 $р.
о
Поэтому в силу следствия VIII.Ы6 S (/), 0^/<оо, — сильно
непрерывная полугруппа, а оператор А& + В с областью определе-
определения ®(Л@) —ее инфинитезимальная образующая. Мы проверили,
что S(?) сильно аналитична при Re(?)>0. Покажем теперь, что
это — полугруппа, т. е. S (?1 + g2) = S (Si) 5 (S2), если Re (^) > 0
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 141
и Re(?2)>0- Для любых вектора ср из igp и />0 функция
аналитична и обращается в нуль, когда ?i лежит на положитель-
положительной вещественной полуоси. Таким образом, /1 (Si) = 0 при R
>> 0. Поэтому для Re (^) > 0 функция
/а (Ь) = [S (d -i-- ь)—s F) s (Ca)I ф
обращается в нуль, когда ?2 лежит на положительной веществен-
вещественной полуоси, и, следовательно, /2(^2) = 0, если Re(?2)>0; этим
доказано, что S(Q — сильно аналитическая полугруппа в полупло-
полуплоскости Re (?) > 0.
Докажем теперь, что S (?) ф?® (Л@), если Фб$2 и Re(?)>0.
В ходе доказательства в качестве подинтегральной функции мы
имели выражение Л@Т(^ — и) BSn-i{u), имеющее особенность типа
(? — н)~2 при u = t,. Чтобы избежать возникающие при этом труд-
трудности, воспользуемся более простым способом суммирования, вводя
при помощи соотношения
(91) Sn,r(Qy
(где, как и раньше, путем интегрирования является прямолинейный
отрезок, соединяющий точки 0 и г?) операторы, определенные в igp
при всех п> 1, если 0 < г < 1 и Re (?) > 0.
По теореме 19(vi)
(92) So (С) Ф 6 Ф (Л6), S; (О Ф = A^So (С) ф, Re (Q > 0.
Вычислим производную 5п(?)ф Для я^1. Мы имеем
¦ф =
rt+rh
поэтому
(93) -^ Sn. r (О Ф = гТ{ (С - гС) BS,.! (г?)
- \
142 Гл. XV. Спектральные операторы
Последний интеграл существует, так как для всякого и из отрезка
интегрирования Т{ (? — и) BSn-i (и) ср лежит в © (Л@) (теорема 19(vi))r
а интегрируемость относительно а функции A^Ti (? — гг) BSn_i (и) ф
вытекает непосредственно из представления F3) функции Ti(s; Я)г
поскольку аргумент ? — и при изменении & от 0 до г?, г<1г
остается отделенным от нуля. В силу теоремы III.6.20 соотноше-
соотношение (93) можно переписать в виде
(94) -jjg-Sn.T(t,)<p = rT-i&-rZ)BSn-l№
Из формулы (91) (или аналитичности Sn, r(Q) вытекает, что
lim -^- 5n> r (С) ф = -щ- Sn (S) ф,
а так как
lira rT, (I - г?) fiSn_! (rt) ф = Б5„_4 (?) Ф,
Г-1-1
то последнее слагаемое в равенстве (94) имеет предел при г-*- 1.
Поскольку Л@ —замкнутый оператор и
?
lira 7\ (? - и) BSn,! (и) ф d« = S»
то Sn (?) ф принадлежит Ф (Л@) и
(95) S; (Q ф = BSn-i (Q Ф + A&Sn (Q Ф =
= (Л6 + В) Sn (Е) ф + В (Sn-i (Q - S
Так как функции S(?) и Sn(?), м^О, аналитичны в полуплоско-
полуплоскости Re (?) > 0, то из (85) вытекает, что
оо
(96) S' (?) ф = 2 5; (?) ф, Re (S) > 0, Ф € &р,
71=0
а из соотношений (92), (95) и (84) следует, что
оо
(97) S'(C)<p=lim 2
^т->оо
= Пт И@ + В) 2 5»(ОФ- li
0
2ЗД)
п=0
т
2
п=0
= lim (А^ + В) 2
т->сх) п=0
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 143
Поскольку Л@ + В — замкнутый оператор, из соотношений (85)
и (97) вытекает, что
(98)
Таким образом, если мы положим ф (t) = S (/)-хр@), 0 ^ К оо,
тго функция ф будет удовлетворять условия (i), (ii) и (iii), а ее един-
единственность может быть установлена так же, как и в теореме 19.
Мы уже показали, что S(t) имеет сильно аналитическое продолже-
продолжение до полугруппы S(?), определенной при Re (?) > 0, а в силу (98)
условия (ii) и (iii) выполняются и для комплексных значений t9
если Re (/) > 0. Этим' завершается доказательство утверждений
(i) — (v). Утверждение (vi) вытекает из теоремы 19(vii). Так как
оператор Л^ + В является инфинитезимальной образующей полу-
полугруппы S (f)> 0^/<сх>, то утверждение (vii) вытекает из (vi),
определения VIII.1.6 и леммы VIII.1.7(b), ч. т. д.
Сделаем несколько замечаний о методе решения некоторых задач
Коши, с которыми мы сталкивались. Оказывается, что в ряде рас-
рассмотренных примеров и, как читатель без труда может убедиться;
во многих еще не рассмотренных нами примерах для явного пред-
представления решения задачи с начальными условиями необходимы
лишь элементарные функции. Мы покажем, что это так, проведя
со всеми подробностями элементарные вычисления в нескольких
случаях. В силу следствия 11.10 операторная алгебра всех сверток
(собственных ч и несобственных), заданных на @,. *-эквивалентна
В*-алгебре Loo (RN). Поэтому алгебра ЭДР операторов А в @р,
задаваемых соотношением
(99) А = ( A(s)e(ds),
где элементы матрицы A (s) = (ajh (s)) — ограниченные измеримые
функции на RN, является алгеброй сверток и
A00) Лф = (т~"М)*ф, Фб&р,
где
A01) т = Bn)N/2F, т-1-
a F — преобразование Фурье в $р. Естественные замкнутые рас-
расширения Л(? формальных дифференциальных операторов Л, кото-
которые мы рассматривали в связи с задачей Коши, во всех случаях,
кроме теоремы 21, были инфинитезимальными образующими полу-
полугрупп в алгебре 2Р. Для такой инфинитезимальной образующей А$
сильно непрерывная полугруппа Т (f), t > 0 (или *<0), опера-
144 Гл. XV. Спектральные операторы
торов в $р, которую она порождает, задается формулой
A02) T(t) = eiA<B= \ (e^)(s)e(ds).
Мы-можем, следовательно, в соответствии с формулой A00) пред-
представить решение ф (t) = Т (t) ф@) задачи Коши
(ЮЗ) ф'@ = ЛбФ@, Ф(О) = <р<°\
в виде интеграла свертки
A04) Ф (/) == (т exp tA) * ф@).
Формула A04) содержит выражение, получающееся при решении
обыкновенных дифференциальных уравнений, и в этом смысле она
сводит задачу Коши A03) к решению обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения.
Покажем сначала, как полезна формула A04) при решении
уравнения диффузии, когда р = I, N произвольно, а начальным
значением служит фиксированная функция cp(°> из L2 (RN), т. е. при
нахождении решения следующих уравнений для функции ф (s, t):
<105) -gr<Pto 0=aaVa<p(s; t), ФE, 0) = ^°>(s),
где V2=<92/^+ ... +d2/ds]v. Так как sin гг —нечетная функция,
повторное интегрирование дает
A06) (т-V1) (s) = ——N- \ e-ww cossudu =
N °°
N
3=* -oo
причем на последнем шаге мы воспользовались хорошо известным
(см. Бартл [8; стр. 3691) определенным интегралом
°°
A07) ( e-cr2 cos (fr)dr=-~ I/ — e"<2/4c,
tj r С
Таким образом, формула A04) показывает, что решениемЗаДачи
A05) является функция ^
A08) ф (s; t) = Y (naH)~N/
12, Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 145
Ядро в этой формуле определяет ЛЛмерное преобразование Гаусса —
Вейерштрасса. Если а2 > 0 и N = 3, то соотношение A08) дает
лапласовское решение уравнения теплопроводности в неограничен-
неограниченном теле. При этом ф<°) — начальная температура в точке и =
= (и4> и2у м3), Ф (s, /) — температура в точке s = (su s2, s3) в мо-
момент времени /, а а2 = /С/С, где /С — коэффициент теплопроводно-
теплопроводности вещества и С — его теплоемкость. С уравнением A05) мы
сталкиваемся также при изучении диффузии в растворах; в этом
случае ф (s, t) — плотность растворенного вещества в точке s
в момент времени /. Как растворитель, так и растворенное веще-
вещество могут быть жидкостями, так что уравнение A05) появляется
и в связи с диффузией одной жидкости в другой, а также при изуче-
изучении диффузии нейтронов в веществе. Именно по этим причинам
уравнение A05) известно как уравнение диффузии. Тот факт, что
диффузия является процессом необратимым, при математическом
решении таких задач, как предыдущая, выражается в том, что мы
имеем дело с полугруппами, а не с полными группами. Таким
образом, доказательство существования и единственности решения
задачи Коши, соответствующей уравнению диффузии, является
другой формой утверждения о том, что настоящее определяет буду-
будущее (но не прошлое, как в случае некоторых консервативных систем,
возникающих в небесной механике и в задачах распространения
волн, когда нет потери энергии или возрастания энтропии).
Рассмотрим теперь задачу отыскания явной формы решения
задачи Коши, существование которого установлено в теореме 19.
Как и раньше, мы предполагаем, что a2t > 0. Формула E5), даю-
дающая аналитическое представление для (ехр tA)(s)9 показывает, что
при вычислении оператора тг1 ехр tA возникают интегралы вида
*?
-л
Таким образом, вычисление т~хехр7Л сводится к подсчету лишь
конечного числа функций, заданных на вещественной оси соотно-
соотношениями
Fj (у) = f e-a
Gj(y)= j e-a*ix2(sinxy)x}dx.
H. Данфорд и Дж. Шварц
146 Гл. XV. Спектральные операторы
Очевидно, что Fj (y) = O — Gj+i(y), если / нечетно. Равенство A07)
показывает, что
(ПО)
а остальные функции F2n (у) и G2n+i {у) можно вычислить по ин-
индукции, исходя из (ПО) и соотношений
A11) QM (у) = -F) (у), Fj+i (у) = G) (у).
Рассмотрим теперь другой тип возмущенного оператора Лап-
Лапласа при р = 2 и произвольном N, порожденного формальным
дифференциальным оператором в Ф2 с матрицей
cc2V2
где р Ф 0 — комплексная постоянная,
и не все комплексные постоянные а0, . . ., aN равны нулю. Как
и раньше, а2 — положительное или отрицательное вещественное
число, а V2 = d2lds\ + . . . + d2/ds%. Мы предполагаем, что р Ф О
и что не все постоянные а0, . . ., aN равны нулю, ибо в противном
случае оператор A12) сводится к оператору, уже рассмотренному
в предыдущем примере, в то время как при наших предположениях
возникают интегралы совсем другого типа. Мы уже видели при
рассмотрении оператора C3) (который отличается от A12) постоян-
постоянным множителем), что естественное замкнутое расширение Л@ опе-
оператора A12) является спектральным оператором скалярного типа.
Мы имеем
A13) A(s) [ Л
V PM) -a21512
характеристические корни этой матрицы равны
A14) Я21E)=—a2|s|2 + pa(s), I22(s)= -a2 \s |2-pa(s),
а связанные с ней проекторы Ej (s) = Е ()щ ($); A (s)), /= 1, 2Г
в соответствии с формулой A1.41) задаются следующим образомг
Итак (VII. 1.8),
A16)
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных операторов 147
где в символах Ej (s) опущена переменная s, чтобы подчеркнуть
их независимость в силу A15) от s. Так как Л@ — спектральный
оператор скалярного типа, то, согласно теореме 7, о(А(^) = О
а так как a (s) — линейная форма, то в силу A14) спектр
лежит в некоторой полуплоскости. Согласно теореме 8, Л@ — инфи-
нитезимальная образующая сильно непрерывной полугруппы Tx(t) =
= F'1 exp (tA) F. Если и=(ии ...,uN)?RN, то fa (и) = Ра0 + $и +
+ isu, где линейные формы 8и и ги вещественные и однородные,
т. е. 8j и 8_/, /=1, ...,Л^, — вещественные постоянные. Таким
образом, в силу A14), A15) и A16) ясно, что при вычислении
оператора техр(М) необходимо пишь вычислить интегралы
±t6u± iteu dm-a
N ? 8
= e± tpao J] f e " a2tuJ± i6Jui {cos (s/ ± tej) щ +1 sin (sj ± t*}) щ) duh
~ —oo
Здесь при с = а2^>Ю, вещественном Ь и y — St-{-t&j встречаются
интегралы двух типов:
оо
f g-C<U-bJC0S(w^ ^a==
— оо
= cos (by)
сю
f е-^^-ьJ sin (uy)du =
- sin (fc#) j б-с^2 cos (ry) dr = |/~ (е-У2^с) sin
причем мы снова использовали формулу A07). Этим показано, что
можно дать явный вид матрицы в интегральном операторе свертки
т exp (tA) в ig2, используя конечное число элементарных функций.
Читатель может обратить внимание на то, что в общей теории
сильно непрерывных полугрупп дифференцируемость функции
Т {f) ф обеспечивалась лишь в том случае, когда ф принадлежала
области определения инфинитезимальной образующей, в то время
как в примерах теорем 19 и 21 функция ср (t) = T (t) ф<а> дифферен-
дифференцируема (и даже аналитична) при всех />0и любом векторе ф<°>
из <qp; таким образом, в качестве начального значения ф<°> в соот-
10*
148 Гл. XV. Спектральные операторы
ветствующей задаче Коши допускается произвольный вектор из
jqp. С точки зрения абстрактной теории полугрупп это явление
можно объяснить тем фактом, что в разобранных примерах T{f)$Qp ^
^ 2) (Л@), если t>0 (ХиллеиФиллипс [1, теорема 10.3.5, стр. 324]).
В примерах теорем 19 и 21 мы не обращаемся к общей теории, так
как из представления exp tA ясно, что 7Х*)ф дифференцируема
при / > 0 и произвольном векторе ср из &. Очевидно также, что
производная п-го порядка TW (t) существует в равномерной опера-
операторной топологии при />0 и любом положительном целом п.
Эти же замечания справедливы и для естественного замкнутого
расширения формального дифференциального оператора A12). Это
видно из формул A14), A15), A16) и того факта, что a (s) — линей-
линейная форма. В силу A13) очевидно также, что
A17) {|
и, таким образом, как показывает доказательство теоремы 19,
= B) Г<2>
Объединим некоторые свойства возмущенного оператора Лапласа
112) в следующей теореме:
22. Теорема. Естественное замкнутое расширение А& фор-
формального дифференциального оператора A12) является спектраль-
спектральным оператором скалярного типа; этот оператор — инфинитези-
мальная образующая сильно непрерывной полугруппы Т (t) линейных
операторов в <q2. Его область определения равна
(i)
и
(И)
Для каждого вектора ср@) из Jg2 существует однозначно опре-
опреб t(t) й 0 ) §§*
р
деленное отображение t-^cp(t) полупрямой [0, оо) в §§* (или
( — оо, 0] в $2, если сс2>0), дифференцируемое при t>0 и обла-
обладающее следующими свойствами:
(Ш) Ф@€(
(iv) Ф'(')
(v) Ф@) = Ф<°>.
(vi) Эта однозначно определенная функция <p(t) задается
уравнением
ф (t) = Т (t) ф@) = (г exp (tA)) * ф@>;
13. Теорема Винера—Леей—Хопфа
элементы матрицы, представляющей оператор свертки тг1 ехр (/Л),
выражаются в терминах конечного числа элементарных функций.
(vii) Все производные TW(f), п = 1, 2, . . ., при t> 0 сущест-
существуют в равномерной операторной топологии.
Доказательство. Утверждение (и) вытекает из соотношений
(i) и A14) — A17); (vi) показывает, что (тер) (t) = (ехр /Л)тф@);
тем самым доказано (vii) и существование производной ср'(О,
/ > 0. Единственность ф (t) можно доказать так же, как это было
сделано в теореме 19. Остальные утверждения уже были доказаны.
13. Теоремы Винера — Леви — Хопфа1)
Как в § 11 и 12, Jg будет обозначать гильбертово пространство
M#*)i Й-?*-алгебру Loo(RN), а 21-5*-подалгебру в В ($), со-
состоящую из всех операторов вида
A) а= [ a(s)e(ds), а?Й,
где @ — одноточечная компактификация N-мерного евклидова про-
пространства RN, a e — самосопряженная спектральная мера, опреде-
определенная соотношением A1.15). Из леммы 9.2 мы знаем, что если
элементы а и А в 21 и Шр соответственно имеют ограниченные
обратные а'1 и Л (как операторы в $ и $&> соответственно),
то эти обратные лежат в 21 и 21р. В доказательстве, данном
в лемме 9.2, весьма существенно использовался тот факт, что Я
и W являются В*-алгебрами. Это важное свойство операторной
алгебры, состоящее в том, что она содержит все обратные элементы,
если они существуют как ограниченные всюду определенные опера-
операторы, присуще, конечно, не только 5*-алгебрам. Мы рассмотрим
здесь некоторые неполные подалгебры 21 и соответствующие под-
подалгебры 21Р, также обладающие этим свойством.
Рассмотрим сначала подалгебру 8Г4 в 2[, состоящую из всех
операторов вида
B) а
где f — оператор свертки \g = f*g, g?Jg. Элемент а из St± одно-
однозначно определяет комплексное число а и функцию / из L4. Чтобы
проверить это, заметим сначала, что элемент а из Я, соответству-
соответствующий оператору B), в силу теоремы 11.4 равен
*) При переводе был опущен § 13, содержащий общие рассуждения по
поводу принципа детерминизма, не относящегося к предмету книги.—Прим. ред.
150 Гл. XV. Спектральные операторы
где J=xf и т = Bn)N/2F. Так как а=0 тогда и только тогда,
когда а = 0, то для доказательства того, что а однозначно опре-
определяет аи/, достаточно показать, что а = 0 и / = 0, если а = 0.
Для этого воспользуемся тем, что / лежит в Со и что / однознач-
однозначно определяет /; это хорошо известная теорема о единственности
преобразования Фурье. Оба эти утверждения содержатся в сле-
следующей теореме:
1. Теорема. Если f принадлежит Lb то функция f непрерыв-
непрерывна на @ и f(oo)=0. Кроме того, /=0, если только J(s) = O
при всех s из @.
Доказательство. Теорема 11.1 показывает, что, если / лежит
в;пространстве Ф быстро убывающих функций, то функция / не-
непрерывна на @ и7(°°)=0. По лемме XIV.2.3 многообразие Ф
плотно в Li. Таким образом, если / лежит в Lu в Ф найдется
последовательность {/п}, такая, что \fn — f|i~^0, а потому
\fn — f\oo^\ fn — f |i->0. Тем самым доказана непрерывность функ-
функции / и то, что f(oo) = 0. Пусть теперь / = 0. Так как |f| =
= |f|oo, мы имеем f*g = O для всякой функции g из L2. Пусть
g — характеристическая функция компактного множества а, так что
f*g= \ ftdt = O. Поскольку векторная функция ft непрерывна по t
(со значениями в L^, она обращается в нуль тождественно
и 0 = /0 = /\ ч.т.д.
Эта теорема показывает, что если функция C) обращается
в нуль на @, то а = а(оо) = 0, f(s) = O и f = 0. Следовательно,
оператор а из 21Ь заданный соотношением B), однозначно опре-
определяет аи/.
Легко видеть, что SU — подалгебра в й, содержащая вместе
с каждым элементом сопряженный к нему, и что сопряженный
к оператору B) имеет вид
D) a*=ae + f*, f*(t) = fj~i).
Из теоремы 11.4 вытекает, что
E) I а К | а | + | / U,
где \ f \i есть LrHopMa функции /. Алгебра 2U не полна как по-
подалгебра Sf, но если ее перенормировать, положив
F) I a li = | а | + | / |ь
то полнота Li обеспечивает полноту Sti относительно нормы F),
а неравенство E) дает
G) \а |< \а 1г,
13. Теоремы Винера — Леей — Хопфа 7?7
это показывает, что из сходимости в 2t± вытекает сходимость в 21.
Алгебра SCi с нормой F) не является В*-алгеброй, поскольку
соотношение | аа* | = | а |2 неверно, но 2Г± с нормой F) удовлетво-
удовлетворяет всем аксиомам коммутативной В-алгебры с инволюцией и еди-
единицей. Эти элементарные свойства легко проверяются, что и было
•сделано в § XI.3. Из теоремы 1 вытекает, что SC± изометрически изо-
изоморфна алгебре, получающейся из групповой алгебры Lj присоеди-
присоединением единицы е>— факт, уже отмеченный ранее в более общей
ситуации (X 1.3.3).
Так как для любого а из 21 , функция а непрерывна на компакт-
компактном пространстве <g>, то оператор а из 3i обратим в 21, если a (s)
ле обращается в нуль наB>. Знаменитая теорема Н. Винера утверж-
утверждает больше, а именно, что обратный элемент а принадлежит 211.
Основные понятия, на которых основано доказательство теоремы
Винера в нашем изложении, связаны с гельфандовской теорией ком-
коммутативных нормированных колец, или В-алгебр, как мы их назы-
называем. Стоит напомнить (IX.2.1), что элемент а и максимальный идеал
Ш в коммутативной В-алгебре Я4 однозначно определяют комплекс-
комплексное число а (Ш)у для которого а + Ш = а EШ) е + Ш. В мно-
множестве максимальных идеалов можно ввести топологию (IX.2.7)
так, чтобы получающееся в результате пространство cfBIi), кото-
которое называется структурным пространством, или спектром, алгеб-
алгебры 2Г19 было компактным и хаусдорфовым (IX.2.8), а комплексные
функции а (Ш), Ш 6 о B11),— непрерывными на а B11), причем
I а EШ) | < I a I (IX.2.9). Элемент а из 214 имеет обратный в 2^
тогда и только тогда, когда он не принадлежит ни одному макси-
максимальному идеалу (IX.1.12 (е)); другими словами, а обратим в 214
тогда и только тогда, когда функция а (Ш) не имеет нулей на
о Bli). Таким образом, гельфандовская теория дает общую про-
процедуру определения того, имеет элемент обратный или нет, и, сле-
следовательно, включает теорему Винера в более общую теорию,
объединяющую многие аналогичные явления. Чтобы применить эту
процедуру к данной алгебре, достаточно дать удовлетворительное
представление ее спектра и функций а (Ш) на нем. Для алгебры SC±
эта задача полностью решается в следующей теореме:
2. Теорема (Гельфанд — Райков). Спектр алгебры 211 гомео-
морфен пространству @, а для соответствующих друг другу эле-
элементов s и Ш8 мы имеем
a(m8) = a(s)9 a 6 Я4| s?@.
Доказательство. Сначала установим взаимно однозначное
соответствие между а B14) и @. Для этого в силу леммы IX.2.2
достаточно показать, что множество ненулевых комплекснозначных
гомоморфизмов h алгебры 211 находится во взаимно однозначном
соответствии с точками s из @, причем для соответствующих друг
152 Гл. XV. Спектральные операторы
другу элементов h и s мы имеем h (а) — a (s) для любого элемента а
из Hi- Так как при фиксированном s из б отображение а-> a (s),
очевидно, является ненулевым гомоморфизмом алгебры Щ1э доста-
достаточно показать, что всякий такой гомоморфизм h алгебры S&t одно-
однозначно порождает некоторую точку s в © и при этом h (a) = a (s)
для всех а из Я4. Если h (f) = 0 для каждой функции / из Lif
то h (а) = а (оо) для любого а из 5t1} и потому точка оо из © соот-
соответствует этому конкретному гомоморфизму h. При другом h выбе-
выберем функцию f в Lt так, что h (f) Ф 0, и при помощи сдвига Д (s) =
= / ( s— t) построим комплекснозначную функцию
(8) c(t) =
Так как ft*g = gt*f для любой пары функций / и g из LA, оче-
очевидно, что c(t) зависит лишь от t и не зависит от конкретного
выбора функции Д использованной в (8). Поскольку t-+ft — непре-
непрерывное отображение RN в Li (Xl.3.1(f)) и гомоморфизм h непре-
непрерывен (IX.2.3), неравенство G) показывает, что функция c(t)
непрерывна по /. Поскольку fs*ft = fs+t*f, мы имеем h(is)h(it)=^
= h(fs+t)h(f), и потому c(s + t) = c(s)c(t), т. е. с — гомоморфизм
аддитивной группы RN в мультипликативную группу комплекс-
комплексных чисел, так что с — непрерывный характер RN. Так как \Ь\^
^1 ft\i — 1Ль то в силу (8) функция с ограничена на RN, а значит,
c(mt)=c(t)m и c( — mt) = c(t)~m ограничены по / и т. Этим до-
доказано, что |с(/)| = 1 при всех t из RN. Таким образом, с — непре-
непрерывный гомоморфизм аддитивной группы RN в мультипликативную
группу единичной окружности в комплексной плоскости. Тогда
в силу хорошо известного элементарного результата существует
однозначно определенная точка s = s(h) в RN> такая, что
(9) c(t) = e-ut, t?RN.
Пусть теперь #* — непрерывный линейный функционал на Llr
определенный соотношением ^(g)^^*^ для любого g из L^ Так
как векторнозначная функция ft непрерывна и ограничена как
отображение из RN в L1? векторнозначная функция ftg (t) интегри-
интегрируема по / и
р
*=f h(h)g(t)dt =
13. Теоремы Винера — Леей — Хопфа 15$
Поскольку /i(f)=?0, этим доказано, что гомоморфизм h однозначна
определяет точку s в @, такую, что h (g) = (Tg) (s) для любой g
из Lu и, следовательно, h(a) = a(s) для любого элемента а ?21^
Согласно лемме IX.2.2, равенство h(a) = a(s), абИь можно пере-
переписать в виде aBJls) = a(s), a6 2li, где 3tts — максимальный идеая
Таким образом, мы доказали, что это равенство устанавливает
взаимно однозначное соответствие между @ и спектром a BCi).
Так как @ и спектр алгебры 2^ являются компактными хаусдорфо-
выми пространствами, для проверки гомеоморфности отображения
s-*Ws достаточно заметить, что оно непрерывно. Пусть 8 > О
и а4, . . ., ат — элементы из 2Г±. Построим (IX.2.3) базисную окре-
стность N точки Шз0 в спектре 211 по формуле
| ai (ЯЛ.) — a« B»О | < et i — 1
Так как a($Uls) = a(s), то множество всех точек s из @, которые
переходят в N при отображении s-^2tts, совпадает с множеством
{s|s?©, \ai(s) — a«(so)|<e, t=l, ...,/n};
это множество открыто в @, так как функция a (s) = a + (т/) (s)
непрерывна при любой функции / из L4. Этим показано, что отобра-
отображение s -^ Шз непрерывно, и, следовательно, оно является также
гомоморфизмом, ч. т. д.
Как мы отмечали раньше, фундаментальный результат Н. Вине-
Винера является следствием теоремы Гельфанда — Райкова; его можно
сформулировать следующим образом:
3. Следствие (Я. Винер). Если для элемента а из алгебры
211 при любом s из @ мы имеем a (s) Ф 0, то существует в 211 такой
элемент Ь, что Ъ (s) = a(s) для всех s из @.
Мы считаем удобным сформулировать теорему Винера и другие
аналогичные результаты, используя следующее понятие:
4. Определение. Будем говорить, что алгебра 2to операто-
операторов в fi-пространстве Ж содержит все обратные, если 2Г0 содержит
тождественный в ЭЕ оператор и обратный к любому из своих эле-
элементов, обладающих обратными в алгебре В (Ж) ограниченных
линейных операторов в Ж.
Понятие «содержать все обратные» зависит, конечно, от основ-
основного В-пространства, в котором действуют операторы а из 210^
Это едва ли приведет к недоразумениям, поскольку мы чаще имеем
дело с операторными алгебрами, чем с абстрактными.
•154 Гл. XV. Спектральные операторы
Для оператора а из Sit функция а непрерывна на компактном
пространстве @, так что ее необращение в нуль эквивалентно суще-
существованию обратного а'1 в 51, а в силу леммы 9.2 это эквивалентно
существованию обратного в В {$). Поэтому результат Винера
можно сформулировать следующим образом:
5. Следствие (#. Винер). Операторная алгебра Sti содержит
все свои обратные элементы.
Многие непосредственные следствия этой теоремы Винера ста-
станут очевидными, если мы докажем следующую лемму:
6. Лемма. Пусть 3 — идеал в подалгебре 5Г0 из 51 и 51C) —
алгебра всех операторов вида
A0) а = ае + Ь, 663»
Если 51 о содержит все свои обратные элементы, то этим же свой-
свойством обладает и 51 C).
Доказательство. Пусть оператор A0) имеет обратный а'1
в B(fe). Тогда а лежит в 510, и так как 351о = 3> то элемен-
элементарное тождество а = а (е — bar1) показывает, что а лежит
в 51C), ч.т.д.
Пусть Lq — линейное подмногообразие в Lu такое, что
A1) f*geu feu, geu
Тогда множество всех операторов свертки f с / из Lo образует идеал
в 511, ив силу леммы 6 теорема Винера показывает, что алгебра
51о операторов вида
.A2) a
содержит все свои обратные. Дадим несколько примеров таких
алгебр Sto, выбирая конкретные линейные многообразия Lo. Ясно,
что линейное пространство L0 = Lif]Lco удовлетворяет усло-
условию A1). Пространство Lo = Li[)C всех интегрируемых функций,
совпадающих почти всюду с некоторой непрерывной функцией,
также, очевидно, удовлетворяет условию A1). Пример 11.12 пока-
показывает, что пространство Lo = Lifl^i удовлетворяет условию (И).
Более общо, для любого р, 1 < р ^ оо, пространство Lo = Lt f) Lp
удовлетворяет условию A1). Для проверки этого предположим, что
/ принадлежит Lu a g принадлежит L{ f\ Lp. Если р равно 1 или оо,
то ясно, что \ f * g \р ^ \ f \f\ g \Р, а неравенство для произволь-
произвольного р тогда вытекает из теоремы Рисса о выпуклости (VI. 10.И).
Этим доказано, что пространство Lo = Li f| Lp удовлетворяет
условию A1). Пространства Lo = Z-i П C"(fe) и Lo = L{ f| C°° достав-
доставляют новые примеры линейных подмножеств в Llf удовлетворяющих
условию A1). Если k < оо, то символ С(/г> используется для обозна-
13. Теоремы Винера — Леей — Хопфа 155
чения множества всех комплексных функций на RN9 имеющих
производные до порядка k включительно и определенных всюду
на RN как ограниченные непрерывные функции.
Эти результаты сформулированы ниже в определении и след-
следствии.
7. Определение. Пусть Lo —множество функций на RN с су-
существенно ограниченными преобразованиями Фурье. Тогда для
функции / из Lo оператор свертки ig=f*g = I f(s)e(ds)g опре-
определяется как ограниченное линейное отображение g-*f*g про-
пространства @ в себя. Мы будем говорить, что оператор а из 21
является оператором типа Lo, если он имеет вид a = a/+f, где
/б^о- Оператор А = (аи) из 2Р называется оператором типа Lo,
если каждый из операторов а*7- типа Lo.
8. Следствие. Пусть оператор а из 21 имеет обратный
в В(&). Если а — оператор типа Li[}Lq при некотором q,
l^.q^.oo, или типа Li[}C(h) при некотором k, О^С&^оо, то
обратный оператор а'1 имеет тот же тип.
Если 210 — подалгебра в 21, то символом 21р будет обозначаться
подалгебра в 2tp, состоящая из операторов А = (аг]-), таких, что
9. Теорема. Пусть Шо —подалгебра 21, содержащая все свои
обратные элементы. Тогда 21о также обладает этим свойством.
Доказательство. Если оператор А из 21Р имеет обратный
в B(<qp), то в силу следствия 9.6 А'1 принадлежит 2Р и опреде-
определитель б = det (аи) имеет обратный в Ш. Так как 210 содержит
все свои обратные элементы, б лежит в 210. Согласно по-
построению определителя матрицы операторов, б (s) = det (atj (s)) —
факт, уже доказанный в (9.19), и поэтому если Ац — алгебраи-
алгебраическое дополнение atj, то Atj (s) — алгебраическое дополнение
Qij(s) как элемента A (s) = (аи- (s)). Эти элементарные замечания
показывают, что к матрицам из 2Р применимо правило Крамера,
т. е. A~1 = (btj), где bij = 8~1Aij. Тем самым доказано, что Л
лежит в Шр, ч.т. д.
10. Следствие. Пусть оператор А из 2Р имеет обратный
eB(igp). Если А —оператор типа Li[\Lq при некотором q,
'^?^°°? или типа Li[\C{h) при некотором k, O^&^oo, то
обратный оператор А'1 имеет тот же тип.
П. Леви обобщил результат Винера, показав, что для любого
оператора а из 2Ii и функции ср, аналитической на спектре о (а),
156 Гл. XV. Спектральные операторы
оператор ср (а) также принадлежит 2fi и q> (a) (s) = cp (a (s)) для
любого s из @. Теорема Винера соответствует случаю ф(|) = ^.
Следующий результат обобщает теорему Леви на различные под-
подалгебры Я? в Stf.
11. Следствие. Пусть ф— комплексная функция, аналити-
аналитическая на спектре оператора А из ЭДР. Тогда
A3) ф(Л)E)=ф(ЛE))
для почти всех s из @. ?Ъш Л — оператор типа Li f| ?g /г/7^г яеяо-
тором q, 1 ^ g ^ °°, или типа ?4ПС<*> я/?и некотором неотри-
неотрицательном целом k или k = оо, то ф(Л) имеет тот же тип и соот-
соотношение A3) выполняется для всех s из @.
Доказательство. Первое утверждение уже было доказано
в соотношении A1.64). Пусть $ есть fi-пространство функций на
i?N (или классов эквивалентности таких функций) и Z.o = Z>i П ЭЕ.
Предположим, что
A4) если последовательность {/п} из Lo сходится в Li к элемен-
элементу /, а в ЭЕ — к элементу g, то f = g;
предположим также, что
A5) L0*L0^L0.
В силу A4) линейное множество Lo является fi-пространством
с нормой
A6) l/|o=|/|i+||f||, /6^0,
гДе II / II — норма в ЭР. Пусть Шо состоит из всех операторов в Q
вида
A7) a = ae + i, feU
По теореме 1 оператор а однозначно определяет аи/, так что мож-
можно задать норму в ЭД0 соотношением
A8) \а 1о = |а | + |/|0, а 6 Яо.
Очевидно, что Яо с этой нормой является fi-пространством. Это
также алгебра, поскольку произведение двух операторов а = ае + f
и Ь = $е + g из 21 о равно
A9) аб = ap^ + ag+ Pf + h,
где h = f * g — элемент Lo в силу A5). Заметим, что при фиксиро-
фиксированном а из 21о произведение ab является непрерывной функцией
от Ь из Ио. Для проверки этого достаточно в силу A9) показать,
что отображение g-^f * g является непрерывным отображением Lo
13. Теоремы Винера — Леей — Хопфа 157
в себя. Этот факт непосредственно вытекает из теоремы о замкну-
замкнутом графике (II.2.4); в самом деле, если gn ->¦ g и / * gn -* k в Lo,
то / * gn -+¦ f * S B Li и потому k = f * g. Таким образом, умноже-
умножение в Йо непрерывно по каждому из сомножителей и единица е
имеет норму | е |0 = 1. Элементарная процедура, рассмотренная
в § IX. 1, показывает, что 210 можно перенормировать с помощью
нормы || а ||о так, что Що станет Б-алгеброй с || а ||0 < М I а |0<
^ К II # Но при некоторых положительных М и К- Этим показано,
что 2to метрически и алгебраически эквивалентна В-алгебре.
Пусть 3? — одно из fi-пространств Lq, l^g<oo, или С<*>,
O^fe^ оо. Тогда очевидно, что условия A4) и A5) выполнены.
Если А — оператор типа Lo, то, в силу следствия 10, R (X; А) при
любом X из резольвентного множества оператора А также является
оператором типа Lo и принадлежит Ш^. В силу замечаний, сделан-
сделанных в § IX. 1, ясно, что Яо является В-алгеброй с такой нормой,
что сходимость последовательности Л<п) = (dff) эквивалентна схо-
сходимости в Lo элементов о§} при всех t, / = 1, . . .,/?. Таким обра-
образом, лемма IX. 1.5 показывает, что R {X; А) является непрерывной
<даже аналитической) функцией от к со значениями в нормирован-
нормированной В-алгебре 9t?. Следовательно, римановский интеграл A1.63),
определяющий оператор ср (Л) через ср (к) и R (к; Л), также при-
принадлежит 51q. Из теоремы 1 вытекает, что функции ср (A) (s) и A (s)
непрерывны по s, и потому A3) выполнено при всех s из @. Наконец,
€сли А — оператор типа Lt f| C<°°\ то поскольку уже доказано, что
Ф (А) — оператор типа LiQCW при любом натуральном k < оо,
<р (А) также является оператором типа L? f| С<°°), ч. т. д.
Мы закончим этот параграф, описав очень бегло интересное при-
применение результата Винера — Леви, данное М. Г. Крейном, к ре-
решению неоднородного интегрального уравнения типа Винера —
Хопфа. Крейн провел полное и общее исследование этого уравне-
уравнения, которое является весьма важным в физике и астрофизике
в связи с задачами переноса энергии излучения. Совместно
И. Ц. Гохберг и М. Г. Крейн провели аналогичное исследование
систем таких уравнений. Уравнением Винера — Хопфа называется
уравнение
B0)
x(s)+^f($-t)x(f)dt=y($),
где s и t — вещественные переменные. Здесь / и у — заданные
функции, а х надо найти.
Рассмотрим случай, когда s = klf . . ., sN] и / = [tu . . ., tN] —
уочкц Af-мерного евклидова пространства RN. Для решения этого
Уравнения сделаем, следуя Крейну, несколько упрощений по срав-
158 Гл. XV. Спектральные операторы
нению с оригинальной работой Винера и Хопфа при особых пред-
предположениях. Пусть аи . . ., ccjv — вещественные числа, и пусть
...+aNsN<0}\
рассмотрим уравнение
B2) ax(s)= ( f(s-t)x(t) =
i:
где а — фиксированное комплексное число. Предположим, что /
принадлежит Lt и что оператор а из ЗХ±, определяемый соотноше-
соотношением
B3) а = ае + i,
обладает следующим свойством:
B4) точки 0 и оо комплексной плоскости принадлежат одной
и той же связной компоненте резольвентного множества
оператора а.
В этом предположении покажем, что для любой функции у из
L2(S>+) существует одна и только одна функция х из L2(@+), удов-
удовлетворяющая уравнению B2) для почти всех s из @+. Если f 6 LiU
U L2, то положим f± = P±f, где Р± — проекторы, определяемые
соотношениями
f (s)
B5) /~ pv x i ' v»
и P_f = f—f+. Положим L± = P±Li и &± = Р±!&, так что
можно отождествить с ig+. Легко видеть, что
B6) L±*L± = L±, L±*$±-=$q±;
действительно, если fug лежат в L+, то для всех s из
= ( f(s-t)g(t)dt=O,
+
поскольку s — t принадлежит @_ при любом t из @+. Это пока-
показывает, что L+*L+^L+; из соображений непрерывности выте-
вытекает, что L+*Jg+^i§+. Остальные включения в B6) доказывают-
доказываются аналогично.
Чтобы избежать путаницы в обозначениях, мы в ближайших
рассмотрениях будем иногда обозначать через ? (/) оператор сверт-
свертки f из 31!, соответствующий функции / из L1# Имеется весьма
13. Теоремы Винера — Леей — Хопфа 159'
важное простое разложение операторов из ? (?i); оно строите»
следующим образом. Оператор ? (f) из ? (L^ по теореме 1 однознач-
однозначно определяет функцию / из Lu а потому операторы ? (/+) и ? (/_)
однозначно определяются оператором*? (/); они обладают следую-
следующими свойствами:
B7 С (/) = Е (М + С (/-), С (/+) С (/-) = С (/-) С (W
и
B8) ?(/±)«±?=$±.
Первое равенство в B7) вытекает из определений операторов ? (/±)г
а второе — из того, что они принадлежат коммутативной алгебре
211; включение B8) следует из соотношений B6).
С каждым оператором а из 514 при помощи соотношения
B9) а+х = Р+ах, х в ?+,
мы связываем оператор а+ в алгебре В (§+) ограниченных линей-
линейных операторов в §+. Покажем, что оператор а+ имеет ограничен-
ограниченный всюду определенный обратный оператор в б+, т. е. а~+ суще-
существует как элемент из В ($+). В предположении B4) ветвь натураль-
натурального логарифма In X, такая, что In 1 = 0, является однозначной
и аналитической функцией в окрестности спектра а. Таким образом,,
в силу следствия 11 оператор Ъ = —In a = In а принадлежит ЭД*
и, следовательно, имеет вид Ь = $е + С (g) при некотором g из L4.
Применяя разложение B7) к оператору ? (g), мы получаем факто-
факторизацию а:
C0) a'1^eb = e^^
и из соотношений B8) вытекает, что
Предположим теперь, что векторы jc и у из ig+ удовлетворяют
уравнению C2), т. е.
C2) у = а+х,
и перепишем это уравнение в виде
C3) у = ах — Р-ах.
Соотношения C0) и C3) дают
C4) №-)у = е-*е-№+)х - (№-)Рлхх.
Так как х лежит в J§+, а Р_ал: принадлежит @_, то в силу C1)
и C4) мы имеем
C5)
C6) '
160 Гл. XV. Спектральные операторы
Этим показано, что вектор х из $+ однозначно определяется век-
вектором у. Другими словами, оператор а+ взаимно однозначен в Q+.
Пусть теперь у — произвольный вектор из $+; определим вектор х
соотношением C6). Тогда в силу C1) вектор х принадлежит ?j+
и выполнено равенство C5). Это означает, что для некоторого
вектора z из ^. мы имеем
и, используя C0), получаем
Второе включение в C1) показывает, что последнее слагаемое в этом
равенстве принадлежит ig_. Таким образом, Р+у = Р+ах = а+х,
и так как у лежит в ?)+> то у = Р+у = а+х. Этим доказано, что
а~+ существует как всюду определенный оператор в ig+, а соотно-
соотношение C6) приводит к формуле
C7)
где р и g определяются равенством Pe+?(g) =—In a.
Суммируя все сказанное, можно сформулировать следующую
теорему:
12. Теорема. Пусть оператор а = ае + f из St4 обладает
свойством B4). Тогда для любого у из L2(@+) существует одна и
только одна функция х из L2 (<5+), удовлетворяющая уравнению B2)
для почти всех s из @+. Это единственное решение х задается равен-
равенством C6).
14. Упражнения
1. Привести пример спектрального оператора Т, такого, что
он не является слабо компактным, но его скалярная часть S —
компактный оператор.
2. Привести пример такого спектрального оператора Г, что
<tp(S) = ог(Т) = в(Т).
3. Привести пример такого спектрального оператора Г, что
<ур (S) = ас (Т) = а(Т).
4. Привести пример такого спектрального оператора Т, что S
и Т имеют замкнутые области значений, а N — нет.
5. Привести пример такого спектрального оператора 71, что 5
имеет замкнутую область значений, а Г — нет.
6. Показать, что оператор g = Tf в С [0, 1], определяемый
соотношением
8
$(s, t)f(t)dt.
14. Упражнения 161
где К — ограниченная измеримая функция на квадрате [0, 1] х
X [О, И, является спектральным оператором.
7. Любой скалярный оператор S можно представить в виде
суммы S = Si+ iS2, где S, и S2 — коммутирующие скалярные
операторы с вещественными спектрами. Более того, булева алгебра
проекторов, порожденная разложениями единицы операторов St
и 52, ограничена.
8. Пусть Т — спектральный оператор. Существуют два опера-
оператора R и У, такие, что
(i) T = R+iJ9 RJ = JR.
(ii) Множества g (R) и a (J) вещественны.
(Ill) Оператор R скалярный, а J спектральный,
(iv) Булева алгебра проекторов, порожденная разложениями
единицы для операторов R и У, ограничена.
9. Если Т — спектральный оператор, а Rt и Jt — операторы,
удовлетворяющие условиям (i) и (ii) предыдущего упражнения,
то Ri = R + М и J i = J + Ш, где М — обобщенный нильпо-
тентный оператор. Доказать, таким образом, что условия (i), (ii)
и (iii) упражнения 8 обеспечивают единственность операторов
R и J.
10. Всякий скалярный оператор S является произведением двух
коммутирующих скалярных операторов St и S2, таких, что S{
имеет неотрицательный спектр, а a (S2) — подмножество еди-
единичной окружности. Более того, булева алгебра проекторов,
порожденная разложениями единицы для St и S2, ограничена.
11. Для каждого спектрального оператора Т существуют два
оператора Р и U, такие, что
(i) Т = PU = UP.
(ii) Спектр a (P) есть множество неотрицательных чисел,
а a (U) — подмножество единичной окружности.
(iii) Оператор U скалярный, а Р спектральный.
(iv) Булева алгебра проекторов, порожденная разложениями
единицы для Р и (/, ограничена.
12. Пусть операторы /^ и Ut удовлетворяют условиям (i) и (ii)
предыдущего упражнения. Тогда существуют обобщенные ниль-
потентные операторы N± и N2, коммутирующие с Т и такие, что
2
п=0
13. Если для некоторой точки X из спектра спектрального опера-
оператора Т в ЭЕ многообразие (KI — Т) Ж замкнуто, то к принадлежит
точечному спектру оператора Т.
И Н. Данфорд и Дж. Шварц
162 Гл. XV. Спектральные операторы
14. Пусть Т — оператор (не обязательно спектральный) в ком-
комплексном В-пространстве Ж и Г* — его сопряженный. Пусть
а (х*) — спектр элемента х* в 9?* относительно оператора Т*.
Если для элементов х из Ж и х* из Ж* их спектры а (х) и а (х*)
не пересекаются, то x*Sx = 0 для любого ограниченного линейного
оператора S в ЗЕ, коммутирующего с Т.
15. Пусть Т — спектральный оператор со спектральным разло-
разложением Е. Пусть б — непустое подмножество спектра а (Т) опера-
оператора 7\ открытое в относительной топологии а (Т). Тогда Е (б) Ф 0.
16. Пусть / — ограниченная борелевская функция, заданная
на спектре скалярного оператора 5. Оператор f (S) = \ f (k) Е ((Щ
or(s)
имеет ограниченный всюду определенный обратный тогда и только
тогда, когда для некоторого борелевского множества 6, такого,
что Е F) = /, выполнено условие
sup ., и . <оо.
17. Для компактного спектрального оператора вывести свойства,
описанные в теореме VI 1.4.5, непосредственно из теории § XV.7,
не прибегая к теории § VI 1.4.
18. (Макгарвей.) Пусть Ж — линейное пространство, 2 — поле
множеств и Е (•) — функция на 2, принимающая значения в мно-
множестве всех проекторов, заданных на всем Ж. Предположим, что
для любых а и б из 2 проекторы Е (а) и Е (б) коммутируют, и если а
и б не пересекаются, то Е (б U а) = Е (б) + Е (а). Тогда для лю-
любых б и а из 2
19. Пусть А — оператор из Slp, a s — точка из B>. Показать,
что скалярная часть матрицы A (s) равна
S(s)=2 2 %u(8)E(%u(s); A(s)).
i=l i=l
[Указание: воспользоваться теоремами VI1.1.7 и VII.I.8.] Исходя
из этого результата, не обращаясь к теореме 10.6, доказать, что А
является спектральным оператором тогда и только тогда, когда
e-ess sup | Е Aи (s); A (s)) | < оо, 1 </<*'<р.
20. Пусть {Л(т)} —последовательность операторов из 2Р, для
которой предел
(i) aiS(s) = \ima$> (s)
14. Упражнения 163
существует для е-почти всех s из S. При этом А(т) сходится
сильно к оператору A = (uij) тогда и только тогда, когда при не-
некотором К выполнено условие
(ii) e-esssup|aW(s)|</t, 1</<*<р, 1<т<эоо.
21. Пусть р — многочлен с комплексными коэффициентами, не
равный тождественно нулю. Показать, что определенное соотноше-
соотношением A2.4) замкнутое расширение А формального дифференциаль-
дифференциального оператора
о
является спектральным оператором, но не оператором скалярного
типа. Показать, что а (А) = р (iRN).
22. Пусть аир — положительные числа и А — определенное
соотношением A2.4) замкнутое расширение формального дифферен-
дифференциального оператора A2.4) в гильбертовом пространстве L2 (RN) ®
© L2 (RN)- Показать, что спектр оператора А описывается соотно-
соотношением A2.7).
Несколько дальнейших результатов принадлежат Ф. Вульфу;
в них используются обозначения, введенные в следующем определе-
определении:
23. Определение. Пусть Ж — банахово пространство, F — огра-
ограниченная счетно аддитивная функция множества, принимаю-
принимающая значения в В (Ж), и 21^ — множество всех операторов
в 36, спектр которых лежит на единичной окружности, причем
для любой функции /, аналитической в окрестности единичной
окружности, оператор / (А) имеет вид
fc-l 2л
5=0 О
Пусть Яа состоит из всех операторов Л из В (Ж), спектр которых
лежит на единичной окружности и таких, что
(И) |H)K2|
5=0 е
Для любой функции /, аналитической в окрестности единичной
окружности. Пусть Щ — множество операторов А из В (ЭЕ),
удовлетворяющих неравенствам
(Hi) \An\^M\n\\ n = ±lt±29 ... ,
И*
164 Гл. XV. Спектральные операторы
а Щ%— множество операторов А из В(ЭЕ), для которых
24. Показать, что Я*^Я?.
25. Если Ж слабо полно, то Я?^Я?.
26. Доказать, что Я? s Я? и что Я* ^Я?.
27. Доказать, что Яз^Я^1.
28. Показать, что Я^Я*.
оо
29. Пусть функция f(z)=2fln2n аналитична в окрестности
— оо
единичной окружности. Тогда
2я °°
h+1) 2Я 2 I ОпП(П-1) . . . (/I-А) |2
Следовательно, доказать, что
sup |^+1)(г)|>М S [апп<
12|=1
30. Если А принадлежит 21^ то
sup I /(fe+1)
Ul=l
а потому Яз^Я2+1.
31. Если пространство X слабо полно, то
32. Пусть ? = М — °°» °°) и Л~ отображение в Ж, переводя-
переводящее f(t) в / lt + s) где s =^= 0 — фиксированная постоянная. Дока-
Доказать, что 1 лежит в остаточном спектре Л и что Л не является
спектральным оператором.
33. Пусть оператор А задан в В-пространстве С [0, 1] соотно-
соотношением ? ,,ч
A: f(t)-+tf®.
14. Упражнения
Тогда алгебра, порожденная оператором А и тождественным опера-
оператором, эквивалентна алгебре непрерывных функций на [о, \]у
но А не является скалярным оператором. Следовательно, теорема
XVI 1.2.5 неверна, если пространство Ж не предполагается слабо
полным.
34. Пусть Q обозначает единичный круг в комплексной плоско-
плоскости, a \i — меру Лебега на Q, нормированную так, что [jl (Q) = 1.
Если 1 ^ р ^ оо и S — оператор в Lp (Q), заданный соотношением
E/) (t) = tf (/), t 6 О,
то 5 — спектральный оператор скалярного типа с Е (a) f = %of,
a (S) = Q и
35. Пусть Т ? В (Ж,) и Е — спектральная мера на борелевских
множествах комплексной плоскости, коммутирующая с Т. Пока-
Показать следующее: для доказательства того, что Е является разложе-
разложением единицы для Т, достаточно доказать включение а (Тс) ^ с для
любого замкнутого множества с.
36. Пусть Ж — одно из В-пространств с0, 1± или 1^ и оператор Т
определяется соотношением
? ^ ?
Показать, что в каждом из этих пространств оператор Т компактен.
Вычислить спектр а (Т) и резольвенту R (Я; Т). Показать, что Т
является спектральным оператором в с0 и в /ь и построить разложе-
разложение единицы для Т. Показать, что Т не является спектральным
оператором в /оо. [Следовательно, сопряженный к компактному
спектральному оператору не обязательно является спектральным
оператором.]
37. Пусть S — оператор правого сдвига в 1и т. е.
S (Ъи Е2, Ез, .. •) = @, gi, g2, • • •)•
Показать, что а E) = аг (S) ={к \ \ X \ ^ 1}. Доказать, что если
хф 0, то а (х) = а E).
38. Пусть li есть В-пространство всех абсолютно сходящихся
комплексных последовательностей х = (?п), п = \, 2, . . ., и L —
оператор левого сдвига
L (Бь g2, .. О = F2, Ез, •. .)•
Показать, что a (L) ={К \ \ X |< 1} и дажеар (L) ={Я | | М < 1},
(Ус (L) ={Я | | Я | = 1}. Вычислить максимальное распространение
R (Я; L) xm, когда хт = (бтп).
166 Гл. XV. Спектральные операторы
39. Пусть Ж есть В-пространство всех ограниченных комплекс-
комплексных последовательностей х ={^п | —оо <# <С +°°} и5 — опера-
оператор правого сдвига, т. е. п-я координата вектора Sx равна (п — 1)-й
координате вектора х. Показать, что а E) = ар (S) ={k \ \ X \ = 1}.
Пусть Xi — последовательность с координатами ^ = 1 и ?п = О,
если пФ 1; построить R (k\ S) х± и показать, что а (л^) = а E).
40. (Сафферн.) Пусть оператор А ? В (Ж) обладает свойством
однозначного распространения и В = SAS'1, где S — регулярный
оператор. Показать, что В обладает свойством однозначного распро-
распространения и что для вектора х 6 Ж
оА (*) = вв (Sx), S [хА (X)] = (Sx)B (К).
41. Пусть SS — ограниченная булева алгебра проекторов в В(Щ
и || я || обозначает величину || х \\ = sup{| Ex \ \ Е 6 38}- Показать,
что || л: || — норма в Ж, эквивалентная исходной норме, т. е.
\х К || х ||< К I х |. Если Е е % и Е ф 0, то || Е \\ = 1, и если
х ? ЕЖ и уб^Ж, причем EF = 0, то х и у взаимно ортого-
ортогональны в том смысле, что
ll*IKII*+ty||, \\y\\<\\y + tx\\
для всех чисел t.
42. Пусть Е—ограниченная булева алгебра проекторов
в В (Ж) и
v(E, х, x*) =
где верхняя грань берется по всем конечным множествам {j}
взаимно не пересекающимся в том смысле, что EjEk = 0, / Ф к.
Показать, что существует постоянная /С, такая, что
v (?, х, х*)< К I х | | х* |.
[Указание: просмотреть доказательство леммы Ш.1.5.]
43. (Берксон.) Пусть Е — ограниченная булева алгебра проекто-
проекторов в В (Ж), и величина || х \\Е определяется соотношением
(E, х, х*)\\х*\=\, х*еГ}.
Показать, что ||x||E —норма в Ж и |К||||^||
44. (Берксон.) С нормой, введенной в предыдущем упражнении,
каждый проектор Ej удовлетворяет соотношению
при всех вещественных t. [Указание: если {Fk} — взаимно непере-
непересекающиеся множества элементов из Е, то множества {FkEj,
Fh(I — Ej)} не пересекаются.]
14. Упражнения 167
45. Используя результат предыдущего упражнения, доказать,
что || Ej \\Е = 1 и что если EjEh = О и х = Ej-xy у = Ehy, то х и у
взаимно ортогональны в следующем смысле:
для всех вещественных t.
46. (Фиксман.) Пусть Т — спектральный оператор в X с раз-
разложением единицы Е. Предположим, что ig — замкнутое подпро-
подпространство в Ж, инвариантное относительно Е (а) для любого боре-
левского множества а. При этом ig инвариантно относительно Т
тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно R (Х\ Т)
при любом X ? р (Т).
47. Пусть U — оператор правого сдвига в Ж =/2 (—°°, °°),
так что U — унитарный оператор. Пусть ig обозначает те элементы
(Ъп) из Ж, для которых 1п = 0, если п ^ 0. Показать, что $ инва-
инвариантно относительно ?/, но не инвариантно относительно R (X; U),
| X | < 1, и, следовательно, ig не инвариантно относительно ? (а)
для любого борелевского множества а.
48. Пусть й — компактное хаусдорфово пространство и 5 —
спектральный скалярный оператор в С (й). Показать, что S слабо
компактен тогда и только тогда, когда он компактен. [Тот же резуль-
результат верен и для оператора 5 в LA над пространством с положитель-
положительной мерой.]
49. (Маккарти.) Пусть Е — спектральная мера и |х — положи-
положительная мера, заданная на борелевском поле 2 множества 5 ком-
комплексных чисел. Предположим, что существует постоянная М>
такая, что | Е (а) | ^ M\i (а) для всех а ? 2. Пусть х0 6 Ж, х% 6
? Ж*, а г|) — ограниченная измеримая функция. Определим отобра-
отображения Ф: L±(S, 2, |о,)-^Ж* и У: LJ(S, 2, |i) ->- Ж, полагая
Ф(/)=
? (А) = f ft (s) if (s) ? (ds) x0,
Показать, что Ф и W являются ограниченными линейными опера-
операторами и
Ф (/) W (h) = { / (s) A (s) гр (s) <? (ds) *,.
S
50. (Маккарти.) В условиях предыдущего упражнения пусть xOi
*о и а0 выбраны так, что х*Е (а0) а:0 =^= 0, и пусть g — производная
Радона — Никодима функции множества х*Е (•) х0 относительно [л.
Существует подмножество а4 в а0, на котором g отделена от нуля;
положим ф = \lg на а4. Пусть Фи? — операторы, определенные
в пространствах LA (cr±, jut) и Loo (crlf ji) так же, как в предыдущем
168 Гл. XV. Спектральные операторы
упражнении; показать, что Y осуществляет взаимно однозначное
и непрерывное в обе стороны отображение несепарабельного про-
пространства Loo (gu \i) на замкнутое сепарабельное подпространство
sp{? (а) х0 | а 6 2} в Ж. Это противоречие показывает, что спект-
спектральная мера не может удовлетворять условию Липшица.
51. (Маккарти.) Пусть Q и jm — те же, что и в предыдущем
упражнении, а Ж — прямая сумма
Пусть операторы S и N определены в $ соотношениями
s(f(O. s(t), h(t)) = (tf(t), tg(t), ад, *ea,
N(f, g, A) = @, /, g).
Показать, что S — спектральный оператор скалярного типа и что
№фО, iV3 = 0. Показать, что спектральный оператор T = S
удовлетворяет условию роста первого порядка
\R(X; То) Е (а) |<К/б,
где 6 = dist(A, cr). [Указание: показать, что если р^1, то
52. (Маккарти.) Взяв m экземпляров пространства L2 (й) в пре-
предыдущем упражнении, построить спектральный оператор 7\ удов-
удовлетворяющий условию роста m-го порядка и такой, что его ради-
радикальная часть N обладает свойством Nm+1 Ф 0.
53. Пусть {кп} — последовательность различных ненулевых
комплексных чисел, а {Рп} — последовательность взаимно орто-
ортогональных ненулевых проекторов в В (ЗЕ); предположим, что ряд
71=1
сходится. Доказать, что Хп ->- 0, а ряд
оо
5= S КРп
71=1
сходится в равномерной топологии В($). Показать, что g(B) =
-{О, Я1э ...,} и
оо
; Д) = т + 2 Я(Я,-
п=1
причем ряд в правой части этого равенства сходится равномерно
по X на любом компактном подмножестве из р (В). Кроме того, каж-
14. Упражнения 169
дая из точек Хп является простым полюсом резольвенты R (Я; В)г
а вычет R (Л; В) в точке Хп равен Рп.
54. (Тейлор.) Пусть спектр оператора А 6 В A) состоит из
точек последовательности {^п}> сходящейся к нулю, и резольвента
R (К; А) имеет простые полюсы в точках %п с вычетом Рп\ предпо-
предположим, что ряд 2 I ^пР-п I сходится. Определим операторы
В= S КРп, С = А-В.
Поскольку АРп = А,ПРП, показать, что операторы Л, Б и С комму-
коммутируют и что ЛВ = В2, ВС = 0. Доказать, что при достаточно
больших К
В) 2 (CR(X; B))n = R(X; В) ^
n=0 n=0
Используя тот факт, что разность R (А,; А) — R (к; В) аналитична
при К Ф 0, доказать, что С — квазинильпотентный оператор и что
#(Я; Л)^Я(Я; В) + Я(Я; С)--{- .
55. (Маккарти.) Пусть Т — спектральный оператор в комплекс-
комплексном В-пространстве X, удовлетворяющий условию роста (*) из тео-
теоремы XV.6.7, а именно
если 1§о, |? |^| Г |+1. Если k — натуральное число, то сущест-
существует такая постоянная Мъ,, что для любых е, 0^8^ 1, и борелев-
ского множества а диаметра не более г выполнено неравенство
\NhE(a)\^.Mheh+1~m (где N — радикальная часть оператора Т).
56. (Маккарти.) Пусть Т — спектральный оператор в комплекс-
комплексном В-пространстве, удовлетворяющий условию (*) предыдущего
упражнения. Пусть а — борелевское подмножество, причем для
любого е > 0 найдется такое его покрытие {о,-} непересекающимися
множествами а7- диаметра е7-, что 28f ^ 8> гДе Р — некоторое поло-
положительное число. Показать, что NhE (а) = 0, если k ^ р + m —
— 1. [Это условие выполнено, если множество а имеет нулевую
хаусдорфову /?-меру.]
57. (Маккарти.) Пусть Т — спектральный оператор в комплекс-
комплексном В-пространстве 36, удовлетворяющий условию (*) порядка т.
Если N — радикальная часть Г, то Nm+2 = 0.
58. (Маккарти.) Пусть Т — спектральный оператор в комплекс-
комплексном В-пространстве Ж, удовлетворяющий условию (*) порядка т;
предположим, что спектр а (Т) имеет плоскую меру нуль. Если
N — радикальная часть 7\ то Nm+1 = 0.
170 Гл. XV. Спектральные операторы
59. (Фогель, Фиксман.) Если Ж есть В-пространство, то эле-
элемент ?/?В(Ж), изометрично отображающий Ж на Ж, называется
унитарным оператором. Доказать, что a (U) ^{Х \ \ X \ = 1} и что
Если U — спектральный оператор, то он имеет скалярный тип.
60. (Бишоп.) Пусть 38— борелевские подмножества комплексной
плоскости С и Т 6 В (?). Векторнозначная мера (см. § IV. 10) m на 38
со значениями в Ж называется Т-мерой, если
Tm(e)= \ Xm(dX), ее38.
Если х = m (С), то мы говорим, что вектор х имеет Т-меру т.
(a) Всякий собственный вектор оператора Т имеет Г-меру т.
(b) Если Т — спектральный оператор скалярного типа, то
каждый вектор из Ж имеет Т-меру.
(c) Если m есть Г-мера и у = m (е), то R (к; Т) у имеет анали-
аналитическое распространение на все X (? е.
(d) Если m есть Г-мера, то m (а (Т)) = m (С).
(e) Если m есть Г-мера и Хо 6 в, то
\{T-X0I)m(e) |<diam(e) \\m\\(e),
где символ || m \\ (e) обозначает вариацию m на множестве е.
61. Пусть Т 6 В (Ж) и $ — замкнутое подпространство в Ж,
инвариантное относительно Т. Пусть а — замкнутое подмножество
в комплексной плоскости, имеющее связное дополнение; предполо-
предположим, что §) ^{х 6 Ж | а (х) s а}. Доказать, что а (Т \ §)) s а.
Показать, что это утверждение может быть неверным, если дополне-
дополнение несвязно.
62. Для оператора Л, определенного по формуле B1) из § 12,
проверить соотношения B7), B8), а (Л@) = ас (Л@) и
ад2={(с, -«), С€«ь ^"={D.^).. лев}-
63. Пусть С — замкнутый определенный на всюду плотном
множестве оператор в §р; введем в Ф(С) скалярное произведение
и норму при помощи соотношений
(Ф, ?)i = (<P, С)+(Сф, CQ, Ф, ?6®(С),
Показать, что ®(С) становится при этом полным гильбертовым
пространством, а С является непрерывным отображением ®(С)
в Йр.
64. Пусть |х — конечно аддитивная вещественная или комплекс-
нозначная функция множества, заданная на поле множеств, содер-
14. Упражнения 171
жащем открытые множества в RN. Предположим, что
при некотором положительном целом k. Доказать, что функция Т,
определенная соотношением
является медленно растущим распределением.
65. Пусть А = (ajk) — формальный дифференциальный опера-
оператор A2.11) и его элементы имеют порядок не выше 2q\ предположим,
что его естественное замкнутое расширение А& является спектраль-
спектральным оператором. Если
ess sup sup | s |PV Re <us» < oo
s?RN l(s)?G(A(s))
при некотором вещественном t, то Л@ехр(/Дз) — ограниченный опе-
оператор.
66. Пусть q — положительное целое число, (V2)g = (d2/dSj + .. .
... + d2/dsN)q, ctjk = Щи (д/dsi, ..., d/dsN) — многочлены с постоян-
постоянными коэффициентами, имеющие степень ^2<7, если / < ky и ajk = 0,
если j^k. Пусть Л@ — естественное замкнутое расширение фор-
формального дифференциального оператора
на Фр, где а2 — положительное или отрицательное вещественное
число. Доказать, что
(i) Естественное замкнутое расширение Л@ оператора А явля-
является спектральным оператором со спектром а (Л@) = (— оо, 0], если
(-1)*а2<0, и а(Л@) = [0, оо), если (-1)«а2>0.
(и) Оператор А& является инфинитезимальной образующей
сильно непрерывной полугруппы Т (t) (ограниченных линейных опе-
операторов в ^р = U (RN) + ... + L2 (R*)) на [0, оо), если (- l)q а2 <0,
и на (— оо, 0], если (— 1)да2>0.
(Hi) Полугруппа Г (t) имеет сильно аналитическое продолжение
в полуплоскость Re(A,)>0, если (—1)да2<0, и в полуплоскость
Re(^)<0, если (—1)да2>0.
(iv) ®(Л6) = (р)Г<Н>(Я*).
67. Пусть Л@ и Т (t) — те же операторы, что и в предыдущем
упражнении, и (— 1)да2<0. Тогда для любого вектора <р<°> из
Sqp существует одно и только одно непрерывное отображение
t -*- ф@ полупрямой [0, оо) в $р, дифференцируемое при />0
172 Гл. XV. Спектральные операторы
и обладающее следующими свойствами:
(i) ф(Об(р)^B<7)(^)> 0<^<оо;
(ii) ф'@~ ^©ф@» 0<[/<[оо;
(iii)
Эта единственная функция определяется равенством ф (t) = Т (t) ф<°>
и имеет аналитическое продолжение в полуплоскость Re (X) > 0.
(iv) Производная ф' @) существует и ф'@) = Л@ф@) тогда
и только тогда, когда ф<0N(р)Г<2?)(?;^).
(v) Пусть ф! (X) = ф! (si, ..., sN; X) — аналитическое продолже-
продолжение функции ф(/) при Re(A,)>0; тогда при Re(A,)>0 каждая
из р компонент ф(?) как функция переменных s = (sb ...,sN) при-
принадлежит С°° (RN) и все частные производные df(pt принадлежат
пространству $р.
Аналогичные утверждения имеют место и в случае, когда
(-1)*а2>0.
68. Пусть A& — оператор из предыдущего упражнения, а Вг—
произвольный ограниченный линейный оператор в igp. Тогда
(i) Оператор А& + В с областью определения (р) Т&Я (RN)
является инфинитезимальной образующей сильно непрерывной
полугруппы S(t), t^zO, ограниченных линейных операторов в $р,
и S (t) имеет сильно аналитическое продолжение до полугруппы
S(Q, определенной для ? из полуплоскости Re(?)>0.
Для всякого вектора ф@) из igp существует одно и только
одно непрерывное отображение t -+¦ ф(/) полупрямой [0, оо) в igp,
дифференцируемое при t > 0 и обладающее следующими свойст-
свойствами:
(и) Ф@б(р)Г(ад(/?^), 0</<оо;
(Hi) ф' @ = (Л@ + В) Ф @, 0 < * < оо;
(iv) <р(О) = ф<°>.
(v) Эта единственная функция ф(/) определяется равенством
Ф (t) = S (t) ф@> и имеет, таким образом, аналитическое продолже-
продолжение Ф1(?) =?(?) ф@) в полуплоскость Re(?)>0. Это продолжение
Ф! удовлетворяет условиям (ii) и (iii) при комплексных значениях t,
если Re(/)>0.
(vi) Производная ф' @) существует тогда и только тогда,
когда <р<о>е(РO<20 (/?*); в этом случае ф' @) = (Л@ + ^)ф@).
Аналогичные утверждения имеют место и в случае (— l)q a2 >> 0.
69. Пусть Л(? и В — те же, что и в предыдущем упражнении,
a D = (djk) — формальный дифференциальный оператор в Фр, эле-
14. Упражнения 173
ментами которого служат многочлены с постоянными коэффици-
коэффициентами степени не выше 1q— 2. Тогда
(i) Область определения ®(О@) естественного замкнутого рас-
расширения оператора D содержит (р)Т^2^ (RN), и оператор
Ag + Dg + B с областью определения (p)T^2q)(RN) замкнут.
(ii) Замкнутый оператор A^ + Dg + B на (р) Т*2^ (RN) является
инфинитезимальной образующей сильно непрерывной полугруппы
Q@> ^^0, ограниченных линейных операторов в ?)р, и Q(t) имеет
сильно аналитическое продолжение до полугруппы Qi(?), опреде-
определенной для ? из полуплоскости Re(?)>0.
Для любого вектора ф<0) из @р существует одно и только одно
непрерывное отображение t ->- ф(/) полупрямой [0, оо) в igp, диф-
дифференцируемое при />0 и обладающее следующими свойствами:
(iii) q>(t)e(p)TW(RN), 0<^<oo;
(iv) ф'@ = (Л@ + Я@ + Я)ф@. 0<t<oo;
(v) Ф@) = Ф«».
(vi) Эта единственная функция ф (t) определяется равенством
Ф (t) = Q (t) ф(о> и имеет, таким образом, аналитическое продолже-
продолжение ф! (Q = Qi(?>)q>i0) в полуплоскость Re (?) > 0. Это продолже-
продолжение ф! удовлетворяет условиям (iii) и (iv) для комплексных значе-
значений t, если Re (t) > 0.
(vii) Производная ф' @) существует тогда и только тогда, когда
ф@> 6 (p)TBq\RN); в этом случае <р' @) = (Л© + D© + В) ф @).
Аналогичные результаты верны и в случае (—1)^а2 <0.
70. Пусть А = (ajk (s)) есть (р X р)-матрица вещественных или
комплексных измеримых функций на RN и А& — определенный
на всюду плотном множестве оператор, заданный соотношениями
A2.4). Показать, что если Л@ — спектральный оператор скалярно-
скалярного типа со спектром, лежащим в левой полуплоскости, то он являет-
является инфинитезимальной образующей сильно непрерывной полугруп-
полугруппы Т (t)y t ^ 0, определяемой соотношением
где Е(•) — разложение единицы для А§. Функция T(t)tp может
быть также задана в виде свертки
71. Пусть ф}0)еМ#3), /=Ь 2, 3, s = (Si, s2, s3N/?3,
V2 = d2/ds^ + 32/3s2 + 32/3sg. Дать явное представление решения
174 Гл. XV. Спектральные операторы
задачи с начальными условиями
-ft Ф2 (s; t) = -? У2Ф2 (s; 0 + -0-г Фз (s; /),
-^- фз (s; 0 =-4- V Фз (s; t)y
72. Пусть Ф^0N^2(^2)» /=U 2, s = (si, s2)j6i?2, ^>0 и V2 =
= 32/3si + 32/ds2. Дать явное представление матричного ядра K(s; t)
оператора свертки, такого, что вектор ф@ = (ф1@» Фг@)» опРе~
деляемый формулой
удовлетворяет уравнениям
=l, 2.
15. Примечания и дополнения
Теория спектральных операторов стала развиваться совсем
недавно. Поэтому связанная с нею библиография сравнительно
невелика; однако она непрерывно растет. Мы укажем сейчас перво-
первоисточники большей части изложенного нами материала и попытаем-
попытаемся ориентировать читателя на другие работы, результаты которых
имеют отношение к спектральным операторам, но не изложе-
изложены нами.
Кроме теории спектральных операторов, существует ряд других
разделов функционального анализа, соприкасающихся с темами,
рассмотренными в этой книге. Хотя мы не имеем возможности
подробно входить в детали этих теорий, мы постараемся дать набро-
набросок их основных идей и представлений и проследить их взаимосвязи
с теорией спектральных операторов, а также укажем литературу
для дальнейшего чтения. Эти ссылки не претендуют на полноту,
15. Примечания и дополнения 175
но особое внимание в них обращается на общие обзоры и монографии
и литературу последних лет.
Для дальнейшей работы по вопросам теории спектральных опера-
операторов (как она изложена здесь) и спектральных мер мы отсылаем
читателя к следующим статьям:
Апостол [6—10], Бейд [2—5], Берксон [2—5],Берксон и Доу-
сон [1], Коложоара [1—4], Коложоара и Фойаш [4], Дин [1], Доу-
сон [1—6], Данфорд [17—21], Эдварде и Ионеску [1], Фельдман [1],
Фельдзамен [1, 2], Фиксман [1], Фогель [I—4], Фойаш [3, 10, 11,
13, 15, 16], Грей [1], Хейн [1], Ионеску [3], Какутани [15], Канто-
Канторович [1—9], Келдыш и Лидский [1], Кесельман [1, 2], Клуванек
[1, 2], Клуванек и Коважикова [1], Коважикова [1], Краббе [3, 6],
Лянце [1, 2], Люмер [2], Маккарти [1, 2], Маккарти и Шварц [1],
Маккарти и Стемпфли [1], Маккарти и Цафрири [1], Макгарвей [1],
Маеда [1—8], Мойал [1], Нел [1], Нейбауэр [2], Оберей [1—4],
Панчапагесан [1], Педерсен [1], Плафкер [1], Сафферн [1],Салехи [1],
Шефер [7, 10, И], Шефер и Уолш [1], Дж. Шварц [2, 6, 7], Симпсон
[1—3], Смарт [3], Стемпфли [1, 2, 7, И], Судзуки [1], Тернер
[1, 2], Цафрири [1—6], Уолш [1—3], Уэрмер [3].
Перечень ссылок, относящихся к алгебрам операторов и теории
кратности, будет дан позже.
Значительная работа в последнее время была проделана в теории
«обобщенных спектральных операторов» и «разложимых операторов».
Мы опишем в общих чертах эту работу и дадим соответствующие
ссылки позже.
Кроме того, появились многочисленные статьи по общей спек-
спектральной теории операторов в В-пространствах, не относящиеся
специально (или непосредственно) к спектральным операторам.
Работы такого характера содержатся в следующем списке:
Аллан [1, 2], Апостол ПО, 11], Бартл [6, 7], Берксон [1, 2],
Бишоп [1,2], К. Браун [1], Дил [1,2], Депри [1,2], Дерр и Тейлор [1],
Доллингер [1,2], Дольф [1,2], Дольф и Пенцлин [1], Данфорд [6, 7,
14, 15, 16, 20, 21], Эдварде и Ионеску [1], Фогель [12], Фойаш
[1, 3, 4, 9, 12, 13], Гиндлер [1], Гиндлер и Тейлор [1], Гохберг
и Крейн [2, 7, 8], Харазов [4], Канторович [1—9], Кариотис [1],
Кокан [1], Краббе [4—9, 12, 13], Кульце [1], Лиф [1, 2], Лебоу [1],
Любич [1—3], Любич и Мацаев [1, 2], Лорх [7], Мацаев [1—3],
Маеда [1—8], Нейбауэр [1], Пич [1—6], Плафкер [1], Рингроуз [3],
Сафар [1, 2, 6], Шефер [7, 10, И, 15], Дж. Шварц [4], Себаштьян-
и-Сильва [4, 5], Силлс [1], Сайн [1], Смарт [1, 2], Тейлор [15—18],
Тильман [2], Тремпас [1], Василеску [1, 4], Вальбрук [1, 2, 3],
Вульф [4, 5].
Некоторые из этих работ будут кратко описаны ниже, но едва ли
здесь можно сделать больше, чем лишь наметить некоторые направле-
направления исследований; за деталями читатель должен обратиться к ориги-
оригинальным источникам.
176 Гл. XV. Спектральные операторы
Спектральные операторы. Общий обзор теории спектральных
операторов до 1958 г. можно найти в статье Данфорда [19], где
изложена история вопроса и приведены (без доказательств) многие
результаты этой книги. Коложоара [5] дал изложение теории
спектральных операторов с другой точки зрения, отправляясь от
разложимых операторов, изучая затем обобщенные спектральные
операторы и, наконец, спектральные операторы.
Большинство теорем § 1—5 взято из статей Данфорда [17, 18],
хотя в нашем изложении был проведен ряд изменений. В 1953—
1954 гг. Нейбауэр сообщил нам несколько ценных идей по поводу
работы Данфорда [17]. Он предложил ряд улучшений и заметил, что
резольвента спектрального оператора обладает свойством однознач-
однозначного распространения.
Помимо значительного обобщения теории, изложенной в этой
книге (далее об этом будет сказано подробнее), существует еще три
типа обобщений теории спектральных операторов. Первое направле-
направление, инициатором которого является Ионеску [3], состоит в распро-
распространении теории на некоторый класс локально выпуклых про-
пространств. Эти обобщения не носят характера автоматического пере-
перенесения результатов, а содержат существенно новые моменты.
Пусть Е — локально выпуклое линейное хаусдорфово пространство,
квазиполное и бочечное. Ионеску [3] вводит в рассмотрение
семейство F ={тХ)Х*} ограниченных комплексных мер Радона на
комплексной плоскости С; он называет это семейство спектральным,
если существует гомоморфизм U алгебры всех ограниченных изме-
измеримых по Борелю функций в алгебру всех непрерывных линейных
отображений в ?, такой, что U A) = / и
для всех х 6 ?, х* 6 ?* и всех ограниченных борелевских функций /.
Понятие спектрального оператора вводится таким образом, что оно
охватывает и операторы, не являющиеся всюду определенными;
тем самым это понятие объединяет точки зрения на материал гл. XV
и XVIII. К сожалению, полное изложение этой работы не было
опубликовано; тем не менее дальнейшие исследования в том же
направлении были проведены Маедой [1, 2], который обобщил
также часть результатов Бишопа о слабых Т-мерах и некоторые
результаты Дж. Шварца [2]. Другие результаты в этом направлении
были получены Обереем [1, 4], Плафкером [1] и Симпсоном [1—3].
Второе направление, в котором обобщалась теория спектраль-
спектральных операторов, представлено исследованиями Шефера [7, 10, 11].
Хотя он изучал спектральные меры и скалярные операторы в ло-
локально выпуклых пространствах, отличительным моментом его
работы является то, что он использует взаимосвязи между спек-
15. Примечания и дополнения
тральными свойствами и свойствами порядка. При этом также раз-
развивается теория и для операторов, которые могут быть не определе-
определены на всем пространстве. Краткий обзор этих исследований и неко-
некоторых тесно примыкающих к ним работ будет дан ниже в пункте
«Спектральные меры, локально выпуклые пространства и порядок».
Третье (но не совершенно отличное от предыдущих) направление
представлено глубокими исследованиями Коложоары и Фойаша
по теории разложимых и обобщенных спектральных операторов,
К счастью, работа этих авторов, так же как и их сотрудников,
и ее взаимосвязи с работой Маеды и Канторовича изложены в пре-
превосходной книге Коложоары и Фойаша [4]. Однако ввиду особого
интереса к этим исследованиям мы бегло изложим далее их основные
идеи в двух пунктах: «Разложимые операторы» и «Операционное
исчисление и спектральная теория».
Свойство однозначного распространения. Приведенный в § 2
пример оператора, не обладающего свойством однозначного распро-
распространения, принадлежит Какутани (см. Данфорд [18]). Кесельман
[1] дал необходимые условия того, чтобы оператор обладал этим
свойством. Коложоара и Фойаш [4; стр. 5] показали, что если функ-
функция / аналитична и не постоянна ни в одной компоненте открытого
множества, содержащего спектр а (Т), то оператор / (Г) обладает
свойством однозначного распространения тогда и только тогда,
когда этим свойством обладает оператор Т. В статьях Коложоары
и Фойаша [1; 4, гл. I] введено следующее понятие. Пусть Т и U —
элементы В (ЭЕ); положим
операторы Т wU называются квазинильпотентно эквивалентными,
если
Нт|(Г —?/)W|1/n= lim|(f/ —T)W|4/n = 0.
П-*ОО П-УОО
(Очевидно, что если U = Т + N, где TN = NT и N — квази-
нильпотентный оператор, то (Т — U)W = (Т — U)n и Т и U квази-
квазинильпотентно эквивалентны; общее понятие охватывает этот случай.)
Отношение квазинильпотентной эквивалентности является на самом
деле отношением эквивалентности, и если операторы Т и U квази-
квазинильпотентно эквивалентны, то (i) а (Т) = a {U)\ (ii) оператор Т
обладает свойством однозначного распространения тогда и только
тогда, когда U обладает этим свойством, и (ш), если Т (а следова-
следовательно, и U) обладает свойством однозначного распространения
и х 6 Ж, то сгт (х) = ац (х).
Множество операторов из В (Ж) со свойством однозначного
распространения не замкнуто. Однако, как показал Василеску [2],
12 Н. Данфорд и Дж Шварц
178 Гл. XV. Спектральные операторы
если {Tk} — последовательность в В A) операторов со свойством
однозначного распространения и для оператора Т 6 В (Ж) выполне-
выполнено соотношение
lim (lim \(Tk — T)W\i'n) = 0,
то Т обладает свойством однозначного распространения. В частно-
частности, отсюда вытекает, что если {Tk} — последовательность комму-
коммутирующих операторов со свойством однозначного распространения
и Т = lim 7\, то Т также обладает этим свойством.
Если Т 6 В (Ж) обладает свойством однозначного распростране-
распространения и х 6 Ж, то а (х) s (У (Т). Обратно, как заметил Сайн [1], если
А, 6 р (х) для всех х 6 Ж, то можно определить оператор 5: Ж ->- Жг
полагая Sx = х (А,), и тогда S = (KI — Т), откуда вытекает, что
Этот результат был использован Греем в его исследовании аналити-
аналитических распространений резольвенты векторов. Доллингер [1] также
изучал спектр ат (х) как функцию вектора х 6 Ж и как функцию
оператора Т ? В (Ж). Коложоара и Фойаш [1] (см. также [4; стр. 1])
показали, что а (х (к)) = а (х) для всех х 6 #, X 6 р (*).
Если оператор Т ? В (X) обладает свойством однозначного
распространения, а Т7 — замкнутое подмножество комплексной
плоскости С, положим
Легко видеть, что %(F) является линейным многообразием в Ж,
но оно не обязательно является замкнутым, даже если F замкнуто;
простой контрпример приведен в книге Коложоары и Фоайша [4;
стр. 25]. Если Т — спектральный оператор с разложением едини-
единицы ?, а 5 — замкнутое множество, то теорема 3.4 утверждает, что
многообразие Ж(8) замкнуто; действительно, в этом случае оно
совпадает с множеством Е (б) Ж. В случае нормального оператора
в гильбертовом пространстве следствие 3.7 было высказано в качест-
стве гипотезы фон Нейманом [24] и доказано Фуглидом [1] и Халмо-
шем [3; 6, стр. 68]. Общий случай был рассмотрен Данфордом [18;
стр. 329].
Если Г — тотальное многообразие в $*, а оператор Т ? В (Щ
имеет ограниченное разложение единицы Е, такое, что функция
множества х*Е (•) х счетно аддитивна при всех х* ? Г, х ? X, то
мы говорим, что Т является спектральным оператором класса (Г);
если существует тотальное множество Г, такое, что Т является
спектральным оператором класса (Г), то мы говорим, что Т пред-
спектрален. Многие, но не все свойства спектральных операторов
переносятся на предспектральные операторы. В частности, теоре-
теоремы 3.2 и 3.4 остаются справедливыми в случае предспектральных
15. Примечания и дополнения
операторов, в следствии 3.7— нет. Действительно, Фиксман [1]
построил пример, когда это следствие ошибочно, и показал, что
оператор в /оо может быть спектральным двух различных классов
и иметь два (некоммутирующих) разложения единицы. Можно
проверить, что если оператор Т является предспектральным клас-
класса (Г) с двумя разложениями единицы ^ и ?2 в этом классе и если
Е\ и Е2 коммутируют, то ?\ = Е2- Неизвестно, однако, может ли
оператор иметь различные (следовательно, некоммутирующие) раз-
разложения единицы одного и того же класса.
Из некоторых результатов Бейда [4] (см. также XVI 1.2.1
и XVII.2.12) вытекает, что если Ж — слабо полное В-пространство,
то всякий предспектральныи оператор в нем автоматически является
спектральным и потому имеет единственное разложение единицы.
Берксон и Доусон [1] рассмотрели некоторые аспекты теории пред-
спектральных операторов и получили о них ряд результатов. Они
показали, что если оператор Т спектральный, то Т* имеет един-
единственное разложение единицы класса (Ж); более того, если Т*
является спектральным класса (Г), где Г s Ж-**, то он имеет
единственное разложение единицы класса (Г). Если Ж* слабо
полно, а Т — спектральный оператор класса (Г), то Т имеет един-
единственное разложение единицы класса (Г). Кроме того (Берксон
и Доусон [1]), если Т — спектральный оператор класса (Г) и спектр Т
либо вполне несвязен, либо является /^-множеством (т. е. рацио-
рациональные функции, аналитические на а (Т), плотны в С (а (Т1)),
то Т имеет единственное разложение единицы класса (Г).
Сужения и фактороператоры. Теорема 3.10 показывает, что если
спектральный оператор Т 6 В (Ж) приводится замкнутым подпро-
подпространством §)^ Ж и одним из его дополнений (т. е. если Т комму-
коммутирует с некоторым проектором Ж на §)), то сужение Т | §) опера-
оператора Т на $) спектрально. Тот же вопрос в случае инвариантного
замкнутого подпространства для Т не столь прост. Тем не менее
Фиксман [1] доказал, что сужение спектрального оператора Т на
инвариантное замкнутое подпространство I в I является спек-
спектральным тогда и только тогда, когда $) инвариантно также и для
разложения единицы Е оператора Т\ в этом случае разложение
единицы оператора Т \ §) равно Е \ р. Кроме того, Доусон [1]
доказал, что а (Т \ §)) ^ а (§)); он показал далее, что если S —
оператор скалярного типа, спектр которого нигде не плотен и не
разделяет плоскости, то сужение оператора S на любое инвариант-
инвариантное замкнутое подпространство спектрально. Аналогично, если S —
оператор скалярного типа и его спектр является jR-множеством,
я §) — инвариантное замкнутое подпространство, то оператор
I 3) спектрален тогда и только тогда, когда a (S \ $) s ст (S).
ш (принадлежащий Рингроузу) показывает, что эти два ре-
не обобщаются на спектральные операторы нескалярного
12*
180 Гл. XV. Спектральные операторы
типа. Однако если Т — оператор скалярного типа и его спектр
вполне несвязен, то сужение Т на любое инвариантное замкнутое
подпространство является спектральным оператором. В статье [5]
Доусон рассмотрел сужения предспектральных операторов; он
показал следующее: только что сформулированные для спект-
спектральных операторов результаты не верны в случае предспектраль-
предспектральных операторов.
Аналогичная задача об операторах, индуцируемых спектральны-
спектральными операторами в факторпространствах, была изучена Доусо-
ном [3]. Он показал, что если Т 6 В (Ж) является спектральным
оператором, ар — замкнутое подпространство, инвариантное отно-
относительно Т, то оператор Тщ (определенный в факторпространстве
Ж/3) соотношением Т™ [х] = [Тх]) является спектральным тогда
и только тогда, когда 3) инвариантно относительно разложения
единицы для Т. В этом случае а(Г^)^ о(Т), и разложение едини-
единицы оператора Тщ получается переходом к фактороператорам относи-
относительно 3) в разложении единицы для Т. Таким образом, мы утвер-
утверждаем, что если Т — спектральный оператор и У) — инвариантное
замкнутое подпространство, то фактороператор Т™ является
спектральным тогда и только тогда, когда сужение Г | §) —
спектральный оператор. Поэтому аналоги результатов, сформули-
сформулированных в предыдущем абзаце для сужений спектральных опера-
операторов и операторов скалярного типа, верны также и для их фактор-
операторов.
Хотя сужения операторов со свойством однозначного распро-
распространения обладают этим свойством (см. Доусон [1]), соответствую-
соответствующий результат для фактороператоров не верен. Действительно,
Доусон [3] заметил, что унитарный оператор сдвига имеет фактор-
операторы, не обладающие свойством однозначного распростране-
распространения. С другой стороны, Василеску [8] доказал, что если Т ? В (Ж)
и М — замкнутое подмножество в комплексной плоскости С, такое,
что если (i) / — аналитическая функция на открытом множестве
Df ^ М' со значениями в Ж, такая, что (XI — Т) f (X) = 0 для
всех X 6 Df9 то / (X) = 0 для X ? Df, и (и) Ж (М) ={х 6 Ж | а (*)<=
^ М} — замкнутое подпространство в Ж, то фактороператор,
индуцированный оператором Т в Ж/Ж (М), обладает свойством
однозначного распространения.
Другой аспект анализа сужений операторов скалярного типа
в гильбертовом пространстве на инвариантные замкнутые подпро-
подпространства был рассмотрен Сафферном [1]; он называет оператор
в гильбертовом пространстве субскалярным, если этот оператор
является сужением некоторого оператора скалярного типа на
инвариантное замкнутое подпространство. (Это обобщает соответ-
соответствующее понятие субнормального оператора, введённое Халмо-
шем.) Естественно ожидать, что многие свойства субнормальных
15. Примечания и дополнения 181
операторов можно перенести на субскалярные операторы; напри-
например, существуют минимальные скалярные расширения субскаляр-
субскалярных операторов. Хотя минимальные нормальные расширения суб-
субнормальных операторов унитарно эквивалентны, минимальные ска-
скалярные расширения субскалярного оператора не обязаны быть
даже подобными. Поэтому естественное определение разложения
единицы субскалярного оператора (как сужения разложения еди-
единицы минимального скалярного расширения) не приводит к одно-
однозначному результату. Тем не менее установлены многие взаимосвязи
между различными частями спектра субскалярного оператора и его
минимального скалярного расширения, и для субскалярного опера-
оператора можно построить функциональное исчисление. Доказано, что
субскалярный оператор обладает свойством однозначного распро-
распространения и что получающееся при этом множество векторнознач-
ных аналитических распространений резольвентного оператора инва-
инвариантно относительно подобных преобразований субскалярного
оператора.
Понятие субскалярного оператора и скалярного расширения
в В-пространствах были изучены Ионеску [4, 5] и Ионеску
и Плафкером [1]. Оператор Т ? В (Ж) называется субскалярным,
если существуют В-пространство 3?э1, непрерывный проектор Ж
на Ж и оператор скалярного типа Т 6 В (Ж), такие, что Т \ Ж = Т.
Доказано, что оператор Т субскалярный тогда и только тогда, когда
существуют компактное множество ZgC и непрерывное линейное
отображение [/:/->(/ (/) пространства ограниченных измеримых
по Борелю функций на Z в В (X), такое, что (i) / = U (/0) для
функции /0 (А,) = 1 и Т = U (fi) для функции fi (k) =Х\ (и) U (ffi) =
= U (/) Т для всех /; (ill) если {fn} — ограниченная последователь-
последовательность, сходящаяся поточечно к нулю, то последовательность опера-
операторов {U (fn)} сильно сходится к нулю. Другое описание субска-
субскалярных операторов основано на теореме, которая утверждает, что
при некоторых предположениях непрерывное линейное отображе-
отображение U банаховой алгебры 21 с единицей е в В (Ж) является проекто-
проектором непрерывного гомоморфного образа алгебры 21 в В (ЭЕ),
Ж ^ Э?, и в В-пространстве Ж существует непрерывный проектор
на Ж. Второе доказательство этого результата дано Ионеску и
и Плафкером [1].
Каноническое представление. Теорему 4.5, которая дает пред-
представление спектрального оператора в виде суммы оператора ска-
скалярного типа и квазинильпотентного оператора, можно рассматри-
рассматривать как обобщение теоремы Жордана о разложении; она была
доказана Данфордом [18; стр. 333], хотя его доказательство
основано на результатах теории В-алгебр. Доказательство, анало-
аналогичное приведенному здесь, было сообщено авторам Фойашем.
Один из вариантов канонического представления для всюду опре-
182 Гл. XV. Спектральные операторы
деленных спектральных операторов в локально выпуклом линей-
линейном пространстве был дан Ионеску [3] в том случае, когда простран-
пространство квазиполно и бочечно. (См. ниже замечания по поводу распро-
распространения этого результата на обобщенные спектральные опера-
операторы.)
В случае предспектральных операторов теорема 4.5 имеет сле-
следующую формулировку, предложенную Берксоном и Доусоном [1]:
Теорема. Пусть Т ? В (Ж) — спектральный оператор класса (Г)
с разложением единицы Е; определим операторы S и N, полагая
S = \ kE(dl), N = T-S.
о(Т)
Тогда S — спектральный оператор класса (Г) с разложением едини-
единицы Е, о (S) = о (Т) и N — квазинильпотентный оператор, комму-
коммутирующий с Е.
Обратно, пусть S — спектральный оператор класса (Г) с раз-
разложением единицы Е, такой, что S = \ kE (dk), а N — квази-
нильпотентный оператор, коммутирующий с Е. Тогда S + N —
спектральный оператор класса (Г) с разложением единицы Е
и o(S + N) = a (S).
Ряд результатов, дающих возможность получить единственное
разложение для предспектральных операторов, получен Берксоном
и Доусоном [1]. Кроме того, они модифицировали пример Фиксма-
на [1; стр. 1035] с тем, чтобы построить ограниченные операторы 5
и Л в /оо, такие, что 5 — оператор скалярного типа в /оо класса A{)
(и сопряженный к оператору скалярного типа), a (S) состоит из
множества {1} []{(п — 2I(п— 1) | п = 3, 4, . . .} и А2 = 0, AS =
= SA. Однако оператор А не коммутирует ни с каким разложением
единицы для S; более того, оператор 5 + А не является спектраль-
спектральным ни в каком классе.
Операционное исчисление для спектральных операторов, изло-
изложенное в § 5, заимствовано у Данфорда [17]. Одно из интересных
направлений в развитии спектральной теории последнего времени
связано с подходом, «противоположным» нашему; именно, можно
отправляться от операционного исчисления для соответствующего
класса функций, заданных на множестве, содержащем спектр опера-
оператора. Мы обсудим некоторые такие вопросы в отдельном пункте
этого параграфа.
Одним из классов операторов (имеющих операционное исчисле-
исчисление), для которых справедливо интересное обобщение теоремы 4.5,
является набор операторов Т 6 В (Ж), таких, что при некотором
k > 0 мы имеем | eitT\ = О (| t \k) для t € R, \t \ -> оо. (Такие
15. Примечания и дополнения 183
операторы характеризуются также следующим условием: спектр
а (Т) веществен и | R (X; Т) \ = О (| Im (X) |-&), если Im (X) -> О
при некотором р ^ 1.) Ш. Канторович [6, 7] показал, что если это
условие выполнено для оператора в рефлексивном пространстве Ж
и спектр о(Т) имеет нулевую одномерную меру Лебега, то существу-
существуют линейное многообразие ® ^ Ж (которое он называет жордано-
вым многообразием для оператора Г), линейные преобразования 5
и Af из ® в 2) и функция множества ?, заданная на борелевских
множествах в R и принимающая значения в пространстве линейных
преобразований в ® со следующими свойствами: (i) E (R) х = х
для всех х 6 ®, и (п) Е (•) х является ограниченной регулярной
сильно счетно аддитивной векторной мерой при любом х 6 ®,
такие, что
(a) T\® = S + N;
(b) SN = NS;
(c) Wfe+1=0;
(d) p(S)x= j p(t)E(dt)x
o(T)
для всех х 6 ® и многочлена р. Более того, в определенном смысле
многообразие ® максимально и единственно. Более жесткие пред-
предположения обеспечивают мультипликативность функции Е. Если
9) — дополнение к ® относительно некоторой нормы, то сопряжен-
сопряженный к расширению Т на §) будет спектральным оператором клас-
класса (§)).
Изучая в пространстве С [0, 1] оператор Г, заданный соотно-
соотношением Tf (x) = xf (х), Дил [1] пришел к некоторым условиям,
которые являются достаточными и для того, чтобы обеспечить
существование гомоморфизма Е булевой алгебры конечных объеди-
объединений подинтервалов из [0, 1] в алгебру проекторов, такого, что
оператор имеет представление
Т =
"о
где^М — квазинильпотентный оператор, не обязательно коммути-
коммутирующий с Т. Из тех же условий вытекает, что а (Г) = ас (Г).
См. также статью Дила [2].
Следующий результат был доказан Сайном [1], который исполь-
использовал технику, заимствованную из работы Смарта [2]. Пусть Т 6
€ В (ЭЕ), о(Т) = ас (Г) ^ [0, 1] и существует ограниченное ком-
коммутирующее сильно непрерывное семейство Е (t), t 6 [0, 1], проекто-
проекторов, такое, что (i) Е @) = 0, Е A) - /, (И) Е (t) T = ТЕ (/);
(ш) если s < /, то Е (s) Е (t) = Е (s), и (iv) о (Т \ Е (t)) Ж <= [0, t].
184 Гл. XV. Спектральные операторы
Тогда Т = S + N, где
и 5 — существенно ограниченный оператор (в смысле данного ниже
определения), a JV — коммутирующий с ним квазинильпотентный.
Спектральные операторы в гильбертовом пространстве. Тот
факт, что конечное число коммутирующих спектральных операторов
в гильбертовом пространстве переходом к эквивалентному внутрен-
внутреннему произведению можно одновременно превратить в нормальные
операторы, принадлежит Уэрмеру [3]. Он опирался в своих рас-
рассуждениях на результаты Лорха [1] и Макки [4] о спектральных
мерах. Доказательство, изложенное нами, основано на результате
Секефальви-Надя [7] о том, что ограниченная абелева группа опе-
операторов в гильбертовом пространстве эквивалентна унитарной
группе (ср. 6.1). (См. также Дэй [8] и Диксмье [1].)
Суммы и произведения спектральных операторов. Одно из важ-
важнейших применений теоремы Уэрмера состоит в доказательстве того,
что сумма и произведение коммутирующих спектральных операто-
операторов в гильбертовом пространстве также являются спектральными
операторами. К сожалению, этот результат не переносится на произ-
произвольные В-пространства; действительно, Какутани [15] дал пример
двух спектральных операторов, сумма которых не является спек-
спектральным оператором. Пусть 5 и Г обозначают канторово мно-
множество в [0, 1]; рассмотрим в С E X Г) линейное многообразие
С (S) ® С (Г), состоящее из всех конечных сумм вида
где xt 6 С (S), yt ? С (Т), i = 1, ...,«. Определим новую норму
элемента z 6 С (S) ® С (Т), полагая
(**) l|z|| = inf 2ЫЫ-
г=1
где нижняя грань берется по всем представлениям элемента г
вида (*). Тогда | z \ ^ || z ||, где | z \ обозначает норму в С (S X Г).
Если пополнить С (S)<g>C (T) относительно нормы (**), то мы полу-
получим В-пространство С (S) ® С (Г), являющееся подмножеством
в С (S X Т). Какутани показал, что для некоторой непрерывной
функции /, заданной на канторовом множестве, операторы А и Вг
определенные в С (S) ® С (Т) соотношениями
Az (s, f) =f(s)z (s, 0, Bz (s, t) = f (t) z (s, /),
15. Примечания и дополнения 185
являются спектральными операторами, но сумма А + В не являет-
является спектральным оператором, так как соответствующая булева
алгебра проекционных операторов не ограничена.
Модифицируя конструкцию Какутани, Маккарти [2,1] показалг
что сумма двух коммутирующих операторов скалярного типа
в сепарабельном рефлексивном В-пространстве не обязательно
является спектральным оператором.
Скажем несколько слов о положительных результатах. Фогель
[2] заметил, что в любом пространстве сумма (или произведение)
двух коммутирующих спектральных операторов спектральна тогда
и только тогда, когда сумма (или произведение) их скалярных
частей является спектральным оператором. Кроме того, Данфорд [18J
и Фогель [1] доказали, что если ЭЕ слабо полно, то сумма и произ-
произведение спектральных операторов снова являются спектральными
операторами, если булева алгебра, порожденная их спектральными
мерами, ограничена. Маккарти [2,1] показал, что если один из
операторов имеет конечную кратность, то сумма спектральных
операторов является спектральным оператором; более того, для
некоторых сепарабельных рефлексивных пространств это условие
необходимо. Позже Маккарти [2,11] доказал, что если % и $р —
коммутирующие ограниченные булевы алгебры проекторов в Lpr
1 <Ср <°°, то булева алгебра, порожденная % и j^, ограничена,
(См. также статью Литтмана, Маккарти и Ривьера [1], в которой
разобран случай 0 <р < 2.) Из этого замечательного результата
вытекает, что сумма и произведение коммутирующих спектральных
операторов в Lp, I ^ p <°°, являются спектральными оператора-
операторами; никаких условий на кратность операторов или сепарабельность
пространства здесь не налагается. Эти результаты были перенесены
Обереем [1] на некоторые локально выпуклые пространства, анало-
аналогичные Lp.
Из некоторых глубоких результатов Линденштраусса и Пел-
чинского [1] вытекает, что если Ж — дополняемое подпространство
в некотором Li-пространстве и % — ограниченная булева алгебра
проекторов в I, то существует постоянная М, такая, что для
любого конечного набора {Ek} дизъюнктных проекторов из %
выполнено неравенство
S |ад^|B Eh)x\, хеэе.
k=l k=l
Аналогично, если $* является (или изометрично) дополняемым
подпространством Lt-пространства (в частности, если Ж = С (/С),
где К — хаусдорфов компакт), то при тех же условиях
h=l
186 Гл. XV. Спектральные операторы
Исходя из этих результатов, Маккарти и Цафрири [1] показали, что
если Ж — дополняемое подпространство в Lp-пространстве, I ^
^ р ^ сю, то булева алгебра, порожденная двумя коммутирующими
ограниченными булевыми алгебрами проекторов, ограничена. Таким
образом, сумма и произведение коммутирующих спектральных опе-
операторов в дополняемом подпространстве Ж Ьр-пространства, 1 ^
^ р ^ оо, являются также спектральными операторами-, как отме-
отмечалось выше, это верно, если Ж = С (/С). (Этот результат не про-
противоречит примеру Какутани, так как С (S)®C (T) не является
дополняемым подпространством ни в каком Loo-пространстве.)
С другой стороны, доказано, что операторы скалярного типа в Loo-
пространстве имеют чрезвычайно специальный вид: их спектраль-
спектральные меры конечны. Так, если S — оператор скалярного типа
п
в таком пространстве, то S = 2 ^^V Более того, всякий оператор
скалярного типа в Loo @, 1) подобен оператору вида Tf = gf,
где g — простая функция; это доказано в статье Маккарти и Цафри-
Цафрири [1]. (См. также Дин [1].) В пространстве С [0, 1], однако, суще-
существуют полные булевы алгебры проекторов, не являющиеся конеч-
конечными. Тем не менее любой оператор скалярного типа S в С (К)
может быть представлен в виде Sx = 2 ^v^ ({^v)) х> гДе {^v} —
v
множество собственных значений оператора 5 (ср. Маккарти
и Цафрири [1; стр. 539]).
Как мы увидим ниже, сумма и произведение двух коммутирую-
коммутирующих обобщенных спектральных операторов являются обобщенными
спектральными операторами. Это было доказано Фойашем [9];
см. также Коложоара и Фойаш [4] и Канторович [5].
Если сумма двух коммутирующих спектральных операторов
является спектральным оператором, то следовало бы ожидать, что
ее разложение единицы должно задаваться «интегралом-сверткой»
вида
= { Ei(o-X)E2(dX),
где Е{ и Е2 — разложения единицы для исходных операторов.
Такая формула была установлена Фогелем при следующих пред-
предположениях: (i) булева алгебра, порожденная Е^ и Е2, ограничена;
(ii) пространство Ж слабо полно и (iii) ?-мера границы множества а
равна нулю. Дальнейшие результаты в этом направлении были
получены Канторовичем [1, 2, 41, который показал, что выписан-
выписанная выше формула верна в сильной операторной топологии и без
предположения (iii). Тот же результат был получен раньше Педер-
сеном [1] в случае рефлексивного пространства, и его доказатель-
доказательство было перенесено Обереем [1] на случай некоторых локально
выпуклых пространств. Аналогичные результаты верны также для
15. Примечания и дополнения 187
разложения единицы произведения двух коммутирующих спектраль-
спектральных операторов. Клуванек и Коважикова [1] исследовали условия,
при которых существует спектральная мера G на борелевских под-
подмножествах в С X С, такая, что G (а X б) = Е{ (о) Е2 (б) для всех
борелевских множеств а, б. Необходимое и достаточное условие
существования такой спектральной меры состоит в том, что для
любого х ? X множество
где Gj X б7-, / = 1, . . ., л, пробегает все конечные множества
взаимно непересекающихся прямоугольников, является слабо сек-
секвенциально компактным. Если Ж слабо полно, то это условие выпол-
выполнено. Более общо, всегда можно найти функцию G со значениями
в В ($**), такую, что G (о X 6) = ?\ (а)** Е2 (б)** для всех
борелевских множеств а, б.
Скалярная и нильпотентная части спектрального оператора.
Теорема 6.7 показывает, что если Т 6 В (Ж) — спектральный опера-
оператор в гильбертовом пространстве и резольвентный оператор А,->
-> R (А,; Т) удовлетворяет условию роста порядка т, то нильпо-
нильпотентная часть N оператора Т имеет тип m — 1, т. е. Nm = 0. Это
было доказано Данфордом [18]; однако Маккарти [1,1] показал, что
это утверждение не справедливо в произвольном В-пространстве.
На самом деле все, что можно получить в произвольном В-про-
В-пространстве,— это равенство Nm+2 = 0; но если спектр а (Г) имеет
нулевую плоскую меру или Ж слабо полно или сепарабельно, то
Nm+1 = 0. Другие результаты, как и примеры, показывающие, что
эти индексы нильпотентности нельзя понизить, содержатся в работе
Маккарти [1]. Некоторые из этих результатов были перенесены
Симпсоном [1, 2] на спектральные операторы в локально выпуклых
пространствах специального типа. Нейбауер [2] дал необходимое
и достаточное условие того, что нильпотентная часть спектрального
оператора имеет порядок нильпотентности т. Это условие состоит
в следующем: существует постоянная М > 0, такая, что для любых
непересекающихся борелевских множеств ои . . ., оп в спектре
о (Т) и комплексных чисел \и . . ., ?п, таких, что | \3 \ < | Т \ + 1
и %j (J Gj, выполнено неравенство
где d = min {dist (%j, Oj) | / = 1, . .., n}.
Результаты § 7 о свойствах спектрального оператора и его ска-
скалярной части принадлежат Фогелю [2], как и большинство результа-
результатов § 8 о спектральных свойствах операторов Г, S и N. Оберей [2]
188 Гл. XV. Спектральные операторы
получил часть этих результатов и в случае некоторых локально
выпуклых пространств.
В § 9—11 изложены с незначительными обобщениями и усиле-
усилениями результаты Данфорда [21]; некоторые из них тесно связаны
и навеяны работой Фогеля [3]. Совсем недавно Чоу [1], используя
теорему фон Неймана о приведении, обобщил теорему 10.6, доказав,
что любой замкнутый спектральный оператор в гильбертовом про-
пространстве можно разложить в прямой интеграл замкнутых непри-
неприводимых спектральных операторов. Примеры § 12 не претендуют
на полноту — они не иллюстрируют все типы встречающихся
ситуаций. Примеры другого типа можно найти в упражнениях § 15,
а внимательный читатель, несомненно, построит и много других
примеров. Он также заметит, что многие результаты, сформулиро-
сформулированные в этом и предыдущих параграфах в случае гильбертова
пространства, могут быть соответствующим образом сформулирова-
сформулированы и для пространств Lv (RN), I ^ p <С°°. Библиография и исто-
исторические сведения о задаче Коши (и даже о рассмотренной нами
на примерах линейной задаче с начальными условиями) слишком
велики по объему, чтобы приводить их здесь, тем более что мы и не
пытаемся излагать теорию этой задачи, а хотим лишь проиллюстри-
проиллюстрировать ее на нескольких примерах, связанных с теорией спектраль-
спектральных операторов. Мы упомянем лишь несколько наиболее важных
монографий. В книге Адамара [2] содержится много ссылок в пре-
предисловии и сносках на ранние работы по задаче Коши. Современное
изложение теории и хорошая библиография имеются в книге
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [2]. Наконец, интересное иссле-
исследование вопросов, о которых мы и не упоминали, можно найти
в работах Хилле [1, 5, 7] и Хилле и Филлипса [1].
Результаты § 14 практически не связаны с результатами преды-
предыдущих параграфов. Теорему 2 можно найти у И. М. Гельфанда
и Д. А. Райкова [1], а ее следствия 3 и 5 у Н. Винера [4] и [5]. Эта
теорема Винера и обобщение П. Леви, получающееся при замене 1/Х
любой функцией / (к), аналитической по X в окрестности спектра
элемента а из 21Ь содержат результаты IX.4.10 и IX.4.И.
Кажется, что элементарная лемма 6, позволяющая перенести эти
результаты Винера — Леви на такие незамкнутые идеалы, как
Li П Lq и Li П CGi\ не отмечалась раньше в связи с результатами
типа следствий 8, 10 и 11.
Уравнение B0) впервые было решено (без ограничений B4))
в однородном случае у = 0 Винером и Хопфом [1] при некоторых
условиях на рост ядра /. В своей хорошо известной монографии
по этому вопросу Э. Хопф [4] дал аналитические формулы для реше-
решений уравнения Винера — Хопфа как в однородном, так и в неодно-
неоднородном случаях. М. Г. Крейн [26] провел глубокое и исчерпывающее
изучение неоднородных уравнений типа Винера — Хопфа. По-види-
По-видимому, Крейн первым получил факторизацию C0), используя теорему
15. Примечания и дополнения 189
Винера — Леви, хотя по существу такая же факторизация появля-
появлялась в ранней работе Винера и Хопфа [1]. В статье Крейна имеется
превосходная библиография по этой теме и изложена история ее
развития.
В последние годы возрос интерес к линейным операторам, удов-
удовлетворяющим алгебраическим тождествам, которые получаются
с помощью абстрактных методов Винера — Хопфа. По этому поводу
мы отсылаем читателя к статьям Андерсена [1, 2], Аткинсона [6],
Бакстера [2], Рота [6, 7] и Спитцера [1].
Конечные линейные системы уравнений типа Винера — Хопфа
были тщательно изучены И. Ц. Гохбергом и М. Г. Крейном [3].
В этом случае факторизация, соответствующая нашему тождеству
{30), намного труднее, но может быть получена путем решения
однородной задачи Гильберта для матричных функций. По поводу
решения этой задачи мы отсылаем читателя к статье Гохберга и
Крейна [3] и великолепной монографии Н. И. Мусхелишвили [1].
Спектральные и эрмитовы операторы. Если Т — оператор ска-
скалярного типа в ЗЕ с разложением единицы ?, заданным на борелев-
ских множествах 3S в С, а операторы А и В определены при помощи
соотношений
А= ( Re(k)E{dk), B= ( Im{k)E{dk),
Ь с
то Л и В — коммутирующие операторы скалярного типа и их раз-
разложения единицы легко найти заменой меры, при этом Т = А + iB.
Другими словами (ср. Канторович [4]), мы можем ввести меры ER
и Ej на борелевских множествах в /?, полагая
а),
и тогда получим, что
А = j KER (dk), B^^lEj {dk).
R R
Таким образом, оператор скалярного типа (а следовательно,
и спектральный оператор) можно разбить на «вещественную»
и «мнимую части». Аналогично, оператор скалярного типа (а следо-
следовательно, и спектральный оператор) имеет «полярное разложение»,
подобное тому, которое было дано в § XII.7 для нормального опера-
оператора (см. Фогель [21). Это полярное разложение было также полу-
получено Коважиковой 11], которая занималась представлением] спе-
спектральной меры данного оператора в виде произведения спектраль-
спектральных мер сомножителей.
В некотором смысле оператор скалярного типа с вещественным
спектром можно считать обобщением эрмитова или самосопряженно-
самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Однако имеется другое
190 Гл. XV. Спектральные операторы
удачное понятие, которое является важным и интересным. Люмер [Ц
показал, что в любом комплексном В-пространстве Ж можно ввести
(по крайней мере одно) полу внутреннее произведение, совместимое
с исходной нормой. (Под полувнутренним произведением мы пони-
понимаем отображение [ •, •] из Ж X Ж в С, такое, что
(i) для любого у ? Ж отображение х->- [х, у] линейно в Ж;
(И) [хх х] ^ 0 для любого х ? Ж\
(iii) [х, х] = О тогда и только тогда, когда х = 0;
(iv) | [х, у] |2 <[х, х] [у, у] для всех х, у 6 Ж.
Полувнутреннее произведение порождает норму || х || = [х,
мы говорим, что полувнутреннее произведение совместимо с исход-
исходной нормой, если нормы || х || и | х | эквивалентны.) Если Т^ В (Ж)г
то можно определить его числовую область относительно палу-
внутреннего произведения, полагая
W (Т) ={[Тх, х] | [х, х] = 1, хбЗЕ}.
Хотя разные полувнутренние произведения приводят к разным
числовым областям оператора Г, все они имеют одну и ту же вы-
выпуклую оболочку. Поэтому если Т ? В (Ж) имеет вещественную-
числовую область относительно одного совместимого полувнутренне-
полувнутреннего произведения, то он имеет вещественную числовую область
и относительно всех таких произведений. Люмер назвал такие опе-
операторы эрмитовыми операторами в Ж. Он показал, далее, что это
понятие совпадает с понятием, введенным ранее Видавом [2]„
а именно что
\I— itT \ = I +o(t) при t-+0 (teR).
В настоящее время имеется обширная литература о пространствах
с полувнутренними произведениями, о числовых областях и эрми-
эрмитовых операторах (см. Бонсол и Дункан [1]).
Берксон [2] показал, что если Е — ограниченная спектральная
мера и мы полагаем
*?(.)*| | х* \ = 1},
то || • ||—норма, эквивалентная | • |, и относительно нее все опера-
операторы Е (б) уже эрмитовы. Отсюда и из результатов Берксона [5;
стр. 3] вытекает, что если / непрерывна на компактном носителе К
меры Е, то
Далее Берксон [2] показал, что если Т — оператор скалярного
типа, то существуют однозначно определенные операторы Л и В,
такие, что (i) Т = А + iB, (ii) A3 = ВА и (iii) операторы АтВп
эрмитовы при всех т, п = 0, 1, 2, . . . относительно некоторой
15. Примечания и дополнения 191
эквивалентной нормы. Обратно, если Ж рефлексивно (или даже
слабо полно), то эти три условия характеризуют операторы скаляр-
скалярного типа.
Люмер [2] показал, что если 7\ и Т2 — коммутирующие опера-
операторы скалярного типа, то существует эквивалентная перенормиров-
перенормировка пространства 36, после которой Tj = Aj + iBjf где Ajf Bj —
коммутирующие эрмитовы операторы. Следовательно, 7\ + Т2 =¦
= А + Ш, где А и В — коммутирующие эрмитовы операторы.
Помимо других результатов, Люмер доказал, что если % — булева
алгебра проекторов в В (Ж), то следующие утверждения эквивалент-
эквивалентны: (а) % равномерно ограничена; (Ь) равномерное замыкание А
вещественной линейной оболочки % состоит из операторов, эрми-
эрмитовых в некоторой эквивалентной норме; (с) это замыкание А состоит
из операторов, имеющих спектральные сопряженные.
Панчапагесан [1] рассмотрел взаимосвязи между полярными
разложениями операторов скалярного типа и эрмитовых операто-
операторов и доказал ряд результатов, аналогичных упомянутым выше
результатам Берксона.
Недавно Стемпфли [И] ввел в рассмотрение интересный класс
операторов. Если х 6 Ж, то по теореме Хана — Банаха существует
элемент х* 6 $*, такой, что | х* | = | х | и х*х = | х |2. Пусть
ф: ЗЕ ->¦ 3?*— любое отображение, такое, что ф (х) = л:* и ф (Кх) =
— Хф (х). В общем случае ф не является однозначным отображени-
отображением, линейным или непрерывным, но оно порождает полувнутреннее
произведение [х, у] = (ф (у)) х на 3?. Если такое отображение ф
задано, то мы говорим, что оператор А ? В (Т) является сопряженно
абелевым при условии, что Л*ф = фЛ (или, что то же самое, если
(Ах)* = А*х* для всех х 6 Ж). Если А сопряженно абелев, то
спектр а (А) веществен, и операторы А2п эрмитовы при всех п =
= 1,2,...; однако оператор А не обязательно должен быть эрми-
эрмитовым, г оператор d + А не обязательно является сопряженно
абелевым. Доказано, что если А сопряженно абелев, то (i) (Л2)* —
оператор скалярного типа класса (Ж) и (п) если Ж слабо полно,
то А2 — оператор скалярного типа. Кроме того, если А сопряженно
абелев и $ слабо полно, то Л — оператор скалярного типа тогда
и только тогда, когда или (а) Л обратим и (Ь) 0 является изолирован-
изолированной точкой спектра а (Л), или (с) спектр а (Л) неотрицателен (или
неположителен). Неизвестно, однако, всякий ли сопряженно абеле-
вый оператор в слабо полном пространстве является скалярным.
Спектральные операторы и безусловная сходимость. Если Т —
оператор скалярного типа и его собственные векторы образуют
фундаментальное множество, то разложения по его собственным
векторам сходятся безусловно. Обратно, Смарт [3] показал, что
если Т 6 В (ЗЕ) и его собственные векторы {xk \ k = 1, 2, . . .}
обладают тем свойством, что ни один из векторов xk не лежит
192 Гл. XV. Спектральные операторы
в замкнутом подпространстве, порожденном остальными векторами
{хп, пФ &}, то существуют функционалы {fk \ k = 1, 2, . . .}
в 36*, такие, что /у (xk) = 8jh. Если 3) — множество всех векторов
х ? ЭР, таких, что ряд 2 /ft (*) ¦*& безусловно сходится к х, то $)
является В-пространством с нормой
II х || = sup {| 2 fk (x) xk\\l конечно}.
я? I
Более того, 3) инвариантно относительно Г, и сужение Т | §)
является ограниченным оператором скалярного типа на §) с разло-
разложением единицы Е, где
Е(о)х= 2 Ы*)**
и {X,fe} обозначает множество собственных значений оператора Т.
Корни, логарифмы и полугруппы спектральных операторов. Если
S — обратимый оператор скалярного типа (соответственно спек-
спектральный) и Т удовлетворяет условию Тп = S при некотором
положительном целом я, то, как доказал Стемпфли [1], Т является
оператором скалярного типа (соответственно спектральным). Мно-
Многие результаты о существовании (или несуществовании) корней
и логарифмов операторов были получены Апостолом [5—11], Коло-
жоарой [4], Декаром и Пирсом [2], Халмошем и Люмером [1], Хал-
мошем, Люмером и Шеффером [1], Хилле [6], Краббе [1], Курепой
[1—4, 6], Ланье [1], Люмером [3], Путнамом [19, 21, 22],
Шеффером [3] и Стемпфли [1], хотя некоторые из этих авторов рас-
рассматривали операторы, более (или менее) общие, чем спектральные
операторы в В-пространствах. Отметим один такой результат;
Апостол [6] доказал, что если / аналитична в окрестности спектра
а (Т) и /' (к) Ф 0 для A, g g (Т) и если / (Т) является спектральным
(скалярным) оператором, то и Г — спектральный (соответственно
скалярный) оператор.
Большое число статей было опубликовано относительно групп
и полугрупп спектральных операторов. См. Берксон [5], Фойаш
[3, 8], Ионеску [2], Ланье [1], Люмер [2, 3], Маккарти и Стемпф-
Стемпфли [1] и Панчапагесан [1] по поводу результатов, полученных в этом
направлении.
Следующие статьи не столь тесно связаны со спектральными
операторами, но содержат близкие проблемы: Адамян и Аров [2],
Фойаш и Геер [1], Густафсон [1], Хасегава [1], Хейн [1], Ито [1],
Клейнекке [4], Комацу [1], Мелтиз [1, 2], Миядера [2], Мляк [5],
Сингбал-Ведак Ц], Иосида [13].
Спектральные меры, локально выпуклые пространства и порядок.
Спектральные меры изучались в связи с (частично) упорядоченными
пространствами Шефером [7, 10, 11], Шефером и Уолшем [1]
15. Примечания и дополнения 193
и Уолшем [1—3]. Мы дадим сжатое описание части этих работ, но
ради краткости изложения ограничимся лишь некоторыми их
результатами. Многое в построениях этих работ вызвано тем, что
одновременно рассматриваются ограниченные и неограниченные
операторы; в этом смысле достигается единство изложения гл. XV
и XVIII. С другой стороны, некоторые результаты обнаруживают,
что спектральные меры и спектральные операторы в различных
ненормированных пространствах, представляющих интерес для
анализа, имеют более специальный вид, чем следовало бы ожидать.
Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, а А — ло-
локально выпуклое хаусдорфово пространство, являющееся также
алгеброй над С с единицей е, в которой умножение непрерывно
по каждому из сомножителей. Предположим также, что А «полу-
«полуполна» в том смысле, что последовательности Коши сходятся в А
(заметим, что А не обязательно метризуема,— в этом смысл пристав-
приставки «полу»). Под спектральной мерой (х на X со значениями в А
понимается отображение б -> \л (б) бэровского поля J?o (ст-поля,
порожденного компактными С6-множествами в X) пространства X
в А, слабо счетно аддитивное и удовлетворяющее следующим усло-
условиям: \i (X) = е, \л (б4 П б2) = |i Fi) \л (б2) для множеств бь б2
из JV (При определенных условиях можно связывать такие спект-
спектральные меры с непрерывными гомоморфизмами С (X) в А; этим
намечается другой подход — см. Шефер [11; стр. 470].)
Доказано, что если \х — спектральная мера, то пересечение К
fecex выпуклых конусов, содержащих множество {|ы (б) | б ? $?0},
является «слабо нормальным» конусом и задает (частичный) порядок
в А, относительно которого мера \л положительна. Таким образом,
всякая спектральная мера на X со значениями в А положительна
относительно некоторого подходящего порядка в А.
Пусть |ы (соответственно v) — спектральная мера на X (соответ-
(соответственно на У) со значениями в А. Тогда для существования заведомо
единственной спектральной меры X на бэровских множествах
в X X Y со значениями в А, такой, что А, (б X а) = \i (б) v (a)
для всех б, а, необходимо и достаточно, чтобы значения мер \х и v
содержались в коммутативной подалгебре Айв А существовал частич-
частичный порядок, относительно которого обе меры \i и v положительны.
Этот результат проливает свет на вопрос о том, когда сумма и про-
произведение операторов скалярного типа являются операторами ска-
скалярного типа
Мы говорим, что элемент а ? А является скалярным (хотя
Шефер [10, стр. 143] использует слово «спектральный»), если суще-
существуют компактное пространство X, спектральная мера ^ на X со
значениями в Л и ограниченная измеримая по Бэру функция
/: X -> С, такие, что а = \ f (x) \i (dx). Отсюда вытекает существо-
существование спектральной меры va, заданной на компактном подмножестве
13 Н. Данфорд и Дж. Шварц
194 Гл. XV. Спектральные операторы
в С со значениями в Л, такой, что а = \ zva (dz)\ более того, мера
va единственна и ее носитель совпадает со спектром элемента а
в Л (т. е. дополнением к тому наибольшему открытому множеству
в С, на котором отображение X -> (Хе — а) в Л локально голоморф-
голоморфно). Элементы в области значений меры va являются в естественном
смысле «функциями элемента а», а отображение g-+ g (a) = va (g)
задает операционное исчисление для а.
Мы говорим, что скалярный элемент а 6 А веществен (соответ-
(соответственно положителен) у если его спектр о (а) лежит в R (соответ-
(соответственно в [0, +оо)). Можно доказать, что а 6 Л является веществен-
вещественным скалярным элементом тогда и только тогда, когда существует
упорядочение Л, при котором а лежит в вещественной линейной
оболочке интервала [0, е] в смысле введенного в А порядка, и что
элемент а 6 А положителен тогда и только тогда, когда существуют
упорядочение в Л и неотрицательное число у, такие, что 0 < а ^ уе.
Алгебры, в которых любой элемент является скалярным, рассматри-
рассматриваются в статьях Шефера [10, 11] и Уолша [1]. Чаще всего они ока-
оказываются коммутативными и эквивалентными алгебре типа С (Q).
Результаты такого характера можно сравнить с результатами
§ XVII.2.
Эти (и другие) результаты используются при изучении того
случая, когда Л — алгебра всех непрерывных линейных отображе-
отображений в локально выпуклом пространстве Е с сильной операторной
топологией; кроме того, мы предполагаем, что Е полуполно и бочеч-
но. При этих условиях можно ввести в рассмотрение скалярные
операторы; это позволяет изучать и неограниченные операторы.
Сформулируем лишь один результат в этом направлении (см. Ше-
фер [10; стр. 169]). Пусть Т — замкнутый линейный оператор в Е
с плотной областью определения; он является «вещественным
скалярным оператором» тогда и только тогда, когда определен
оператор (/ + Т2) и существует такое упорядочение в Л, что
0 < (/ + Т2)-1 < / и — / < Т (I + Т2)-1 < /.
В статье Шефера [11] аналогичные результаты получены в более
«алгебраической» ситуации; в ней спектральные меры рассматри-
рассматриваются как непрерывные гомоморфизмы алгебры С (X) в Л.
Шефер и Уолш [1] дали ряд примеров операторов, скалярных
(в смысле приведенного выше определения) в некоторых ненорми-
руемых локально выпуклых пространствах. Так, например, (а) пусть
/ 6 D (Тп) — распределение на я-мерном торе Тп; тогда отображе-
отображения свертки и-> f*u в CJ5° (Tn) или D (Тп) являются скалярными.
Таким образом, дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами являются скалярными в С^° (Тп) и D (Тп).
(Ь) Пусть р и q — вещественнозначные Со°-функции на одномерном
торе Т1. Тогда отображения вида и-*- (dldf) (p duldt) + qu
15. Примечания и дополнения 195
в Со3 (Т1) или D (Т1) являются скалярными, (с) Отображения
и -> —cPu/dt2 + Ри в пространствах Ф (соответственно Т1) быстро
убывающих С°°-функций (соответственно медленно растущих рас-
распределений) на вещественной прямой скалярны. Таким образом,
преобразование Фурье и (/) -> \ e-2jlUsu(s)ds в Ф и сопряженный
й
оператор в Т1 являются скалярными. Доказательство скалярности
этих операторов вытекает из того факта, что собственные функции
определенных краевых задач образуют абсолютные базисы в Со° (Т71)
или Ф, и результатов Шефера [10].
Уолш [2] рассматривает слабо счетно аддитивные спектральные
меры \1У заданные на а-поле 2 подмножеств множества X, значения
которых образуют равностепенно непрерывное семейство непрерыв-
непрерывных линейных операторов в локально выпуклом пространстве Е.
Если Е полно, то очевидно (Уолш [2; стр. 308]), что всякая такая
спектральная мера является проективным пределом обобщенной
последовательности спектральных мер со значениями в В (Э?а),
где Жа есть В-пространство.
Пусть \i — такая мера и Е ограниченно полно; рассмотрим для
любого х ? Е многообразие Ш(х) (соответственно WR (х)) —
замкнутую комплексную (соответственно вещественную) линейную
оболочку множества {|ы(б)х | б ? 2}. Эти пространства называются
циклическими (соответственно вещественными циклическими) под-
подпространствами, порожденными вектором х. Доказано, что спект-
спектральная мера индуцирует на Ш (х) и Шя (х) структуру порядка
с жесткими свойствами. В частности, если Ш (х) полно, то оно изо-
изоморфно как векторное пространство пространству классов эквива-
эквивалентности интегрируемых функций на X по модулю некоторых
«нулевых функций»; аналогично, Wr (x) изоморфно и как векторное
пространство, и как векторная структура пространству классов,
эквивалентности вещественнозначных интегрируемых функций. Это
позволяет Уолшу перенести некоторые теоремы Бейда [4] на соот-
соответствующие метризуемые локально выпуклые пространства. На-
Например, если Е — полное метризуемое локально выпуклое прост-
пространство, то существует счетное множество непрерывных линейных
функционалов {хЪ}, такое, что если x%\i(8)x = 0 для всех я, то
\х(8)х = 0 (и, следовательно, сужение \i(8) на Ш (х) равно 0).
В том случае, когда Е есть В-пространство, это счетное множество"
можно заменить одним функционалом, но в общем случае этого
сделать нельзя.
Один из самых удивительных результатов Уолша [2] состоит
в следующем: если |ы — равностепенно непрерывная борелевская
спектральная мера со значениями в пространстве непрерывных
операторов пространства Е, в котором замкнутые ограниченные
множества компактны (например, в монтелевском пространстве),
13*
196 Гл. XV. Спектральные операторы
то мера \i чисто атомарная. В статье Уолша [3] этот результат был
распространен на случай пространств Е, в которых слабо компакт-
компактные подмножества компактны (например, 1^). Таким образом, в таких
пространствах скалярные операторы являются пределами в сильной
операторной топологии конечномерных операторов. Так как многие
интересные ненормируемые локально выпуклые пространства
являются монтелевскими, это означает, что скалярные операторы
в этих пространствах имеют структуру очень жесткого типа.
Интерполяция спектральных операторов. Вопросы об интерпо-
интерполяции спектральных операторов и их разложениях единицы изуча-
изучались Краббе [13] и Обереем [3]. Статья Краббе относится к более
общей ситуации; Оберей обращается к случаю Lp-пространств, и его
результаты описать проще. Пусть (S, 2, \i) — пространство
с конечной мерой и Lp = Lp (S, 2, |ы). Пусть 1 ^ г ^ s ^ +оо
и Т — спектральный оператор в Ьт с разложением единицы Е.
Если Ls инвариантно относительно Т и оператор Ts = Т \ Ls
спектрален, то его разложением единицы является Е | Ls. Более
того, если выполнены эти условия и г ^ р ^ s, то Lp инвариантно
относительно Т и Тр = Т | Ьр является спектральным оператором
с разложением единицы Ер = Е \ Lp. Аналогично, если оператор S
непрерывен в обоих пространствах Lr и Ls и спектрален в одном из
них, то необходимое и достаточное условие его спектральности
в другом] пространстве состоит в том, что сужение (или расши-
расширение) спектральной меры должно быть ограничено во втором про-
пространстве.
Т-меры. Понятие спектрального оператора скалярного типа
было обобщено Бишопом [1] довольно интересным способом. Хотя
он рассматривал замкнутые операторы, мы ограничим наше внима-
внимание операторами Т 6 В A) в случае рефлексивного В-простран-
ства 9В.
Векторнозначная мера пг на борелевских множествах 95 комплекс-
комплексной плоскости С со значениями в Ж называется Т-мерой, если
1= I "km (dX),
Ъ
Если т является Т-мерой и х = т (С), мы говорим, что вектор х
имеет Т-меру т. В некотором смысле Т-мера является обобщением
собственного вектора оператора Т. Легко показать, что если Т —
спектральный оператор скалярного типа с разложением единицы Е,
то Е (•) х является Т-мерой вектора х. Однако не всякий оператор Т
имеет нетривиальную Т-меру; рассмотрите оператор правого сдвига
в /2 или квазинильпотентный оператор с пустым точечным спектром.
Доказано, что если m является Г-мерой, то m обращается в нуль
вне спектра а (Т). Более того, Т является спектральным оператором
15. Примечания и дополнения 197
скалярного типа тогда и только тогда, когда каждый вектор имеет
единственную Т-меру.
Для операторов, имеющих достаточно много Г-мер, строится
функциональное исчисление. Оно совершенно аналогично исчисле-
исчислению для случая самосопряженного оператора; однако может слу-
случиться, что / (Т) будет неограниченным, даже когда / и Т огра-
ограничены.
Чтобы охватить и квазинильпотентные операторы, Бишоп ввел
понятие слабой Т-меры. Он показал, что оператор Т в рефлексивном
В-пространстве Ж является спектральным тогда и только тогда,
когда любой вектор х 6 Ж имеет слабую Т-меру и любой вектор
х* 6 $* имеет слабую Т*-меру.
Основные результаты Бишопа [1] перенесены Маедой [1, 2]
на случай локально выпуклых пространств, которые являются
бочечными и квазиполными.
«Теории двойственности» Бишопа. В очень глубокой статье
Эррета Бишопа [2] установлен ряд интересных результатов
о взаимосвязях между некоторыми многообразиями в рефлексивном
комплексном В-пространстве ЭЕ, ассоциированными с оператором 7\
и аналогичными многообразиями, ассоциированными с сопряжен-
сопряженным оператором Т*. Бишоп называет их «теориями двойственности»,
но совершенно очевидно, что эти результаты относятся к спектраль-
спектральной теории.
Пусть F — замкнутое подмножество комплексной плоскости С.
Сильное спектральное многообразие Ш (F, Т) определяется как
замыкание множества всех векторов х из ЭЕ, обладающих тем свой-
свойством, что существует аналитическая Ж-значная функция / на
дополнении F', такая, что (XI — Т) f (X) = х для всех X 6 F'.
Слабое спектральное многообразие Ш (F, Т) определяется как мно-
множество всех векторов х 6 Ж, обладающих тем свойством, что при
любом е > 0 существует аналитическая ЭЕ-значная функция /
на F\ такая, что | (XI — Т) f (I) — х |< е для всех X 6 F'.
Очевидно, что эти спектральные многообразия замкнуты
и Ш (F, Т) ^ 91 (F, Т)\ даны примеры, показывающие, что это
включение может быть собственным.
Бишоп вводит четыре типа теорий двойственности для оператора
в рефлексивном пространстве ЭЕ. (i) Мы говорим, что оператор Т
допускает теорию двойственности типа 1, если 5Ш(/ч, Т)±- ^
? 5Ш (F2j 71*), какими бы ни были непересекающиеся компактные
множества Ft и F2, и если Ш (Gb T)-L ^ $Щ (G2, T*), какими бы
ни были открытые множества Gj и G2, покрывающие все С.
(п) Оператор Т допускает теорию двойственности типа 2, если
Ш (Gu Г), . . ., Ш (Gn, T) порождают $, какими бы ни были
открытые множества Gb . . ., Gn, покрывающие С. (iii) Оператор Т
допускает теорию двойственности типа 3, если для произвольных
198 Гл. XV. Спектральные операторы
открытых множеств Giy . . ., Gn, покрывающих комплексную
плоскость, существуют замкнутые линейные подпространства
Stti, • • ., Шп, порождающие__все 9В, инвариантные относительно Т
и такие , что а (Т | Шг) gGj, i = 1, . . ., п. (iv) Оператор Т
допускает теорию двойственности типа 4, если
Ш (Л, ГI э Ш (F2, T% Ж (Fu T)-L 3 5Ш (F2, Г*),
Ш (Gl9 ?У gz 3t (G2, Т*), 9t (G, Г)-!- s 5Ш (G2, Г*),
какими бы ни были непересекающиеся компактные множества Ft
и 7^2 и открытые множества G^ и G2, покрывающие всю плоскость С.
(Следует отметить, что операторы Г и Т* играют симметричную
роль в условиях (i) и (iv).)
Дан пример, показывающий, что не всякий оператор допускает
теорию двойственности типа 1; однако если для Т выполнено условие
(а) 91 (Л, Т)<=Ш(Рг, Т),
если Fi содержится во внутренности F2, то Т допускает такую тео-
теорию двойственности.
Безусловно нетривиальным является тот факт, что всякий огра-
ограниченный линейный оператор Т в рефлексивном В-пространстве ЭЕ
допускает теорию двойственности типа 4. Доказательство этой теоре-
теоремы основано на анализе некоторых Б-пространств векторнозначных
аналитических функций.
Мы говорим, что Т удовлетворяет условию (р), если для любого
открытого множества U, любой последовательности {fn} аналити-
аналитических 3?-значных функций на U и такого вектора х ? Ж, что
(XI — Т) fn (k) -> х равномерно на компактных подмножествах в (/,
{fn} равномерно ограничена на компактных подмножествах в U.
Доказано, что если Т удовлетворяет условию (р), a F замкнуто
в С, то A) 3№ Т) = W{Ft T)\ B) для вектора х 6 2R(f, T)
существует аналитическая функция /: F' -> Ж, такая, что
(XI — Т) f (X) = х для всех X ? F'; C) Т удовлетворяет условию (а);
D) Т допускает теорию двойственности типа 1.
Доказано, что если Т* удовлетворяет условию (р), то Т допуска-
допускает теорию двойственности типа 2. Более того, если ГиГ* удовлет-
удовлетворяют условию (Р), то Т допускает теорию двойственности типа 3.
В частности, пусть Т — оператор в рефлексивном В-простран-
стве ЭЕ, обладающий следующим свойством: для любого открытого
множества U и любой последовательности {fn} комплекснозначных
аналитических функций на U, такой, что | fn (X) \ < | R (X; Т) \
для всех X ?U[\р (Т), последовательность {fn} равномерно огра-
ограничена на компактных подмножествах в U. Отсюда вытекает, что Т
и Т* удовлетворяют условию (р) и, следовательно, допускают
теории двойственности типов 1, 2, 3 и 4.
15. Примечания и дополнения 199
Применяя теорему Вульфа [3], Бишоп пришел к выводу, что
если 1 рефлексивно, спектр о (Т) веществен и
J log+log+sup{|#(^; T)\\Im(k) = у}dy< +оо,
то оператор Т допускает теории двойственности типов 1, 2, 3 и 4.
Разложимые операторы. Фойаш [12] ввел в рассмотрение широ-
широкий и важный класс операторов, которые он назвал «разложимыми».
Этот класс содержит в себе все операторы, для которых развита
достаточно богатая спектральная теория; например, будет показа-
показано, что разложимые операторы допускают теорию двойственности
типа 3 в смысле Бишопа. Мы дадим краткое изложение теории
разложимых операторов; за дальнейшими деталями читателю сле-
следует обратиться к работам Фойаша [12] и Коложоары и Фойаша [1,
4]. См. также Апостол [4, 5, 11, 15], Коложоара и Фойаш [2, 5],
Кариотис [1] и Василеску [3—8] по поводу других результатов о
разложимых операторах.
Пусть ^ — гильбертово пространство с ортонормальным базисом
{хп\п = 0, ± 1, zh2, ...}, Т — оператор «правого сдвига» Тхп =
=-хп+1 (п = 0, ±1, ±2, . . .) и $) = sp{xn\ п^О}. Тогда 3) инва-
инвариантно относительно 7\ оператор Т унитарен и а (Т) =
= {КеС\ \к\= 1}, в то время кака(Г|2)) = {Л,еС||ЛК1}. Таким
образом, сужение оператора Т на произвольное инвариантное замк-
замкнутое подпространство может иметь спектр, более широкий, чем
о(Т).
Фойаш [12] называет замкнутое линейное подпространство §)
в В-пространстве Ж спектральным максимальным подпространством
оператора Т?В(?), если (i) 3) инвариантно относительно Т и (ii)
для замкнутого линейного подпространства $ в ЭЕ, инвариантного
относительно Т и такого, что а (Т | $) ^ ст (Т | §)), имеет место вклю-
включение $^§). (См. также Любич и Мацаев [2; § 4, IV].)
Можно показать, что если 3) — спектральное максимальное под-
подпространство оператора 7\ то а (Т | §)) ^ а (Т); кроме того, §) инва-
инвариантно относительно любого оператора SgBC?), коммутирующего
с Г. Более общо, если §>! и 3J — спектральные максимальные под-
подпространства оператора Г, то 3^ ^ §J тогда и только тогда, когда
Любич и Мацаев [2] привели пример оператора Т в гильбертовом
пространстве со спектром о (Т) = [0, 1], такого, что сужение Т
на любое нетривиальное инвариантное замкнутое линейное под-
подпространство 3) имеет спектр ст G11 g>) = [0, 1]. В противополож-
противоположность этому Коложоара и Фойаш [1, стр. 526; 4, стр. 23] показали,
что если Т обладает свойством однозначного распространения и
200 Гл. XV. Спектральные операторы
замкнуто, то Т?Т (F) — спектральное максимальное подпространство
оператора Т и
(*) a(T\IT(F))^a(T)(]F.
Соотношение (*) было ранее получено Любичем и Мацаевым 12)
и Бартлом [6] для операторов с вещественным спектром, резольвента
которых удовлетворяет некоторому условию роста, а для «обобщен-
«обобщенных скалярных операторов» Фойашем [9].
Нетрудно проверить, что если Т — спектральный оператор
с разложением единицы Е, то для замкнутого подмножества F
в спектре о (Т) подпространство E(F)% является спектральным
максимальным подпространством оператора Т. Аналогично, если
о — спектральное множество (в смысле VI 1.3.17) и EG— соответ-
соответствующий проекционный оператор, то Еа% является спектральным
максимальным подпространством оператора Т. Следовательно, как
спектральные, так и компактные операторы имеют «много» спек-
спектральных максимальных подпространств. Можно проверить, что они
являются разложимыми в следующем смысле:
Определение. Оператор Т^В{Ш) называется разложимым,
если для любого конечного покрытия Gb ..., Gn спектра g(T)
открытыми множествами существует семейство 3)ь ..., $)п спект-
спектральных максимальных подпространств оператора 7\ такое, что
Gj,j=h ..., п, и (и) зе = Sз>у-
3=1
(Подчеркнем, что подпространства $)j не определены однозначно,
и мы не предполагаем, что 2>/П$л = {0} при j Ф k; следовательно,
сумма в (ii) не обязательно прямая. Но это соотношение означает,
что всякий вектор х?Ж можно представить в виде х = 2 У и
Фойаш [12] показал, что всякий разложимый оператор Т обла-
обладает свойством однозначного распространения; поэтому определение
многообразия 3?т (F) для замкнутого множества F в С имеет смысл.
Более того, %T(F) является замкнутым линейным подпространством
и даже спектральным максимальным подпространством оператора Т,
откуда вытекает, что выполнено соотношение (*). Обратно, если
3) — спектральное максимальное подпространство разложимого
оператора Г, то 3) = Жт (ст G11 3))). Таким образом, замкнутое
линейное подпространство в ЭЕ является спектральным максималь-
максимальным подпространством разложимого оператора Т тогда и только
тогда, когда оно имеет вид 9ВТ(^) Для некоторого замкнутого мно-
множества F.
Возмущения разложимых операторов квазинильпотентными опе-
операторами и связанные с этим вопросы были рассмотрены Коложоа-
рой и Фойашем [1, 4]. Напомним, что операторы 7, U Е В ($)
15. Примечания и дополнения 201
называются квазинильпотентно эквивалентными, если
здесь использовано обозначение
(") TkUn~k.
(Если TU = UTy то Т и U квазинильпотентно эквивалентны тогда
и только тогда, когда оператор Т — U квазинильпотентен.) Дока-
Доказано, что если Т — разложимый оператор, а Т и U квазиниль-
квазинильпотентно эквивалентны, то U — разложимый оператор. Более того,,
если Т и U разложимы, то Жт (F) = Жи (F) для всех замкнутых
множеств F тогда и только тогда, когда Т и U квазинильпотентно
эквивалентны.
Если Т — спектральный оператор, аГи(/ квазинильпотентно
эквивалентны, то U — спектральный оператор. Более того, если Т
и U — спектральные операторы, то они квазинильпотентно эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же разложе-
разложение единицы, и тогда и только тогда, когда выполнено одно условие:
lim I (T— t/)M|i/* = 0.
п
Если Т — разложимый оператор, а / — функция, аналитическая
на открытом множестве, содержащем спектр а G1), то / (Т) — разло-
разложимый оператор (см. Коложоара и Фойаш [2, 4]). Обратно, если f
аналитична в окрестности спектра a (U) и взаимно однозначна
на а ((/), а оператор / (U) разложим, то и U разложим. Аналогично
этому Апостол [5, 11] показал, что если / аналитична в окрестности
спектра a (U) и нули производной /' не имеют предельной точки
в о (U), а оператор / (U) разложимый, то и U разложимый.
В статьях Апостола [4, 11] подробно изучаются сужения разло-
разложимого оператора на подпространства и операторы, индуцирован-
индуцированные разложимым оператором в факторпространствах.
Апостол [11] ввел понятие «спектральной емкости», которое
оказывается тесно связанным с теорией разложимых операторов.
Спектральная емкость % — это отображение системы $р всех зам-
замкнутых подмножеств из С в множество of (Ж) замкнутых линейных
подпространств в Ж, удовлетворяющее следующим условиям:
(i)
(ii) n g(Fn) = g(n Fn), Fne^;
n=i n=l
(iii) если {Gu . . ., Gn} — покрытие С открытыми множе-
множествами, то
зе= J %(Gj).
3=1
202 Гл. XV. Спектральные операторы
Мы говорим, что оператор Т 6 В (Ж) имеет спектральную емкость g,
если для всякого F 6 JF выполнены условия
(iv) T$(F)<=$(F);
(v) o(T\$(F))c=F.
Следует отметить, что если Е — спектральная мера на борелевских
множествах 38 в С, то функция g, значение которой на F ? $f
определяется соотношением %{F) = E(FI, порождает спектраль-
спектральную емкость.
Апостол [11] доказал, что если Т 6 В (Ж) — разложимый опера-
оператор, то отображение %\ ?F-> & (Ж), задаваемое соотношением
(**) g(F) = Xr(F), F?JF,
является спектральной емкостью для оператора Т. Обратно, Фойаш
[17] показал, что если оператор Т ? В (Ж) имеет спектральную
емкость Ш, то он разложим и выполнено соотношение (**). Более
общо, он показал, что если Т — оператор, для которого существует
функция g, удовлетворяющая условиям (i), (Hi), (iv), (v) и
ОП % (Ft) П % (F2) = % (Ft П F2), Fj e &,
то Т — разложимый оператор и
Sr(F)= fl{g(G)|G открыто, fgG}.
Операционные исчисления и спектральная теория. Существование
операционного исчисления, изложенного в гл. VII, для аналити-
аналитических функций произвольного оператора в В(Ж) и операционного
исчисления, изложенного в гл. X, для непрерывных (или даже боре-
борелевских существенно ограниченных) функций самосопряженного
оператора в гильбертовом пространстве было известно уже давно.
Аналогично, операционное исчисление для ограниченных борелев-
борелевских функций спектрального оператора было развито Данфордом
[17]; в некотором смысле спектральные операторы были введены
как класс операторов в В(Ж), для которого имелось богатое опера-
операционное исчисление. Таким образом, операционное исчисление
рассматривалось как следствие спектральных свойств оператора.
В последнее время было выполнено значительное количество
работ, в которых спектральная теория рассматривается как след-
следствие соответствующего операционного исчисления. В известной
степени работа Лорха [7] об операторе Т в рефлексивном 5-прост-
ранстве, удовлетворяющем условию | Тп \ ^ /С, п = 0, ±1,
±2, . . ., была основана на возможности определения оператора
-f-oo -j-oo
/ (Л = 2 °пТп, где / (9) = 2 с^пд — абсолютно сходящийся
15. Примечания и дополнения 203
ряд Фурье. Аналогично этому спектральный оператор скалярного
типа Т можно определить как оператор, для которого существует
непрерывный гомоморфизм В-алгебры В (С, 98) ограниченных боре-
левских функций на комплексной плоскости в В (Ж), переводящий
функцию /о {fy = 1 в / и функцию fi (к) = X в Т. Как только такая
точка зрения принята, естественно заменить В-алгебру В (С, 98)
меньшей алгеброй функций. Таким образом, мы можем попытаться
классифицировать операторы Т 6 В (%) при помощи алгебр 21
функций, заданных на соответствующем подмножестве в С, для
которых существует непрерывный гомоморфизм 21 в В {Ж), пере-
переводящий /о в / и fi в Т. Такой подход был довольно явно предложен
в статьях Вульфа [4, 5]; например, в [4] была рассмотрена алгебра
Сп на единичной окружности или вещественной прямой, а в [5] —
более общие алгебры. Подобно этому Смарт [2] изучал абсолютно
непрерывные функции «существенно ограниченных» операторов,
чтобы получить некоторые спектральные разложения (см. ниже).
Несмотря на эти ссылки, по-видимому, справедливо сказать, что
первой работой, в которой систематически использовалось функцио-
функциональное исчисление как подход для построения спектральной
теории оператора, была статья Фойаша [7], появившаяся в 1960 г.
Это исследование было продолжено в 1962 г. статьями Коложоары
[1, 2] и Маеды [5] и в 1964 г.— Канторовича [3] и Сайна [1]. С тех
пор в этом направлении был получен ряд ценных результатов;
особенно см. Апостол [3, 4, 5, 9, 11, 15], Коложоара [1—5], Коло-
жоара и Фойаш [1—3], Фойаш [9—11, 13], Ионеску [5], Канторо-
Канторович [3,5—9], Маеда [4—8], Рингроуз [3], Смарт [2], Сайн [1],
Силлс[1], Сюкью [1], Тильман [1, 2] и Василеску [1, 4]. К счастью,
прекрасная монография Коложоары и Фойаша [4] (см. также Коло-
Коложоара [5]) посвящена как раз этому аспекту спектральной теории;
эта книга очень содержательна и современна. Поэтому мы отсылаем
к ней читателя за деталями, а сами ограничимся общим обзором.
Пусть Q — открытое множество в С. Фойаш [19] определяет
спектральное распределение как линейное отображение U алгебры
С°° (Q) комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций
на Q в алгебру В (Ж), такое, что (i) U непрерывно в топологии
равномерной сходимости всех производных на компактных подмно-
подмножествах в Q; (ii) U имеет компактный носитель в Q; (Hi) U (фг|>) =
= UD>) U($) Для всех ф и -ф из C°°(Q); (iv) U (f0) - / для f0 (К) =
= 1Д 6 Q. Оператор Т 6 В A) называется обобщенным скалярным,
если существует спектральное распределение U: C°° (Q) -> В (Ж),
такое, что U (/i) = Т для /4 (к) = А,, А, 6 &; в этом случае U назы-
называется спектральным распределением для оператора Т.
К сожалению, спектральное распределение обобщенного скаляр-
скалярного оператора Т не единственно; действительно, если U — одно
такое распределение, a Q — нильпотентный оператор (скажем,
204 Гл. XV. Спектральные операторы
Qn+i = о^ коммутирующий с U (/) при всех / 6 С°°, то
п
v(f)= Sir^/). fec-(Q),
fc=0
где Df = -g [(df/дх) + i {df/ду)], является спектральным распреде-
распределением для оператора Т. (Заметим, что Dkfi = 0 для всех
поэтому V{fi) = T.)
Спектральное распределение U: ¦ С°° (Я) -> 5 (Ж) называется
регулярным, если из условий А ? В(!) и ALUf^j = U(ft)A выте-
вытекает, что Л U (ф) = [/ (ф) А для всех ф ? С°°(Я). Обобщенный
скалярный оператор Т ? В {&) называется регулярным, если
он имеет регулярное спектральное распределение. Хотя неизвестно,
является ли регулярным любой обобщенный скалярный оператор
(кроме случаев, когда его спектр достаточно «тонкий»), для любых
двух заданных регулярных спектральных распределений U и V
обобщенного скалярного оператора существует целое число
р > 0, такое, что (U (ф) — V (ф))р = 0 для всех ф 6 С°° (Q). Более
общо, если UnV — произвольные (не обязательно коммутирующие)
спектральные распределения обобщенного скалярного оператора,
то существует целое число р > 0, такое, что (U (ф) — V (ф))[р] = 0
для всех ф 6 С°° (Я); таким образом, спектральное распределение
единственно, по крайней мере с точностью до квазинильпотентной
эквивалентности. Аналогично, если обобщенный спектральный опе-
оператор имеет кратность 1 (в том смысле, что единственным квази-
нильпотентным оператором, коммутирующим с Т, является 0),
то он является регулярным обобщенным спектральным оператором
с единственным спектральным распределением (см. Коложоара
и Фойаш [4; стр. 103]).
Класс обобщенных скалярных операторов содержит в себе
класс операторов скалярного типа, поскольку мы можем определить
где Е — разложение единицы для S. Более общо, если Т = S +
+ N — каноническое разложение спектрального оператора конеч-
конечного типа (скажем, Nn = 0), то можно, как и выше, определить U
и гомоморфизм
п-1
для проверки того, что такой спектральный оператор является
обобщенным скалярным. Обратно, если спектральный оператор
15. Примечания и дополнения 205
оказывается обобщенным скалярным оператором, то он имеет конеч-
конечный тип (см. Фойаш [11] или Коложоара и Фойаш [4]). Для построе-
построения примеров обобщенных скалярных операторов, не являющихся
спектральными, рассмотрим пространство 1 = Сг [О, 1] (г = О,
1, 2, . . .) с нормой
1Л p
и оператор Т, полагая GУ)(/) = //(/), / 6 [0, 1]; этот опера-
оператор — обобщенный скалярный со спектральным распределением
(«/(ф) № = <pW Ш) для ф е с00.
Доказано (см. Фойаш [9] или Коложоара и Фойаш [4]), что если
U — спектральное распределение на С°° (Q) со значениями в В (Ж)
и ф 6 С°° (Q), то U (ф) — обобщенный скалярный оператор со
спектром, содержащимся в множестве значений функции ф на носи-
носителе U. В частности, если Т — обобщенный скалярный оператор,
a U — спектральное распределение для 7\ то а (Т) совпадает с носи-
носителем U. Кроме того, всякий обобщенный скалярный оператор Т
является разложимым (в указанном выше смысле) и, следовательно,
обладает свойством однозначного распространения. Более того,
спектральное максимальное подпространство 3?г (F), где F замкну-
замкнуто, можно охарактеризовать как пересечение
П {Ж° | G открыто, F gz G},
где 1° — подпространство, состоящее из] векторов ?/(<р) х, х 6 $,
а носители функций ф 6 С°° (Q) содержатся в G.
Используя результаты о тензорных произведениях коммутирую-
коммутирующих спектральных распределений, Фойаш доказал, что сумма
(и произведение) двух обобщенных скалярных операторов, имеющих
коммутирующие спектральные распределения, является обобщен-
обобщенным скалярным оператором. Следовательно, сумма (и произведение)
двух коммутирующих регулярных обобщенных скалярных операто-
операторов является обобщенным скалярным оператором. В частности,
сумма (и произведение) двух коммутирующих спектральных опера-
операторов конечного типа является обобщенным скалярным оператором.
Мы уже отмечали, что понятие обобщенного скалярного опера-
оператора было обобщено далее в работах Коложоары [1, 2], Маеды [4—
6], Канторовича [3] и Сайна [1]. В частности, Маеда [4] заменил
алгебру С°° топологической алгеброй ЭД комплекснозначных локаль-
локально ограниченных борелевских функций, удовлетворяющих некото-
некоторым условиям, и изучил непрерывные гомоморфизмы 21 в В (Ж).
В своей монографии [4] Коложоара и Фойаш построили еще
более общее операционное исчисление. Пусть Q — подмножество
комплексной плоскости;^ при этом алгебра 51 комплекснозначных
функций на Q называется допустимой, если (i) она содержит функ-
206 Гл. XV. Спектральные операторы
ции /о (А,) = 1 и fi (I) = X для всех I ? Q; (ii) для любого покрытия
{G1? . . ., Gn} множества Q открытыми множествами существуют
неотрицательные функции {фь . . ., ф„} с носителями ф* в Gi7
п
такие, что 2 ф* = 1 на Q, и (ш) для всякой функции / 6 21 и точки
г=1
?, не лежащей в носителе /, функция /§, задаваемая соотношениями
/s(X)-t о,
принадлежит §1. Если §1 —допустимая алгебра, то отображение
f-^Uf алгебры 21 в В C6) называется ^-спектральной функцией, если
(i) отображение f-^Uf является алгебраическим гомоморфизмом
с UfQ = I и (ii) отображение ?->-(// множества Q в ВA) анали-
тично в дополнении к носителю /. Оператор S? В (Ж) называется
^-скалярным, если существует §1-спектральная функция ?/: §!->•
-^¦В(Э?), такая, что S = Ufl (где f^fy^X). Всякий спектральный
оператор скалярного типа является УЦ-скалярным, если И — алгебра
ограниченных борелевских функций. Аналогично, если 9? =LP (Q)
l^p^oo, и 2l = Loo(Q), то оператор умножения Sg(t) = tg(t)
для g^Lp(Q), t?Q, является 21-скалярным. Кроме того, если
5 —компактный оператор и 31 — алгебра всех борелевских функ-
функций /, определенных в круге Q=r{^| |A,|^|S| + 1} и аналити-
аналитических в некоторой открытой окрестности G/ спектра a (S), то
оператор S является Щ-скалярным.
Доказано, что если S является И-скалярным оператором
с 51-спектральной функцией U, то 5 разложим и, следовательно,
обладает свойством однозначного распространения; более того,
спектр a (S) совпадает с носителем U.
Пусть теперь Q — замкнутое множество в С, 21 — допустимая
алгебра непрерывных функций на п, замкнутая относительно пере-
перехода к обратным элементам (т. е. если / 6 21 и 1// 6 С (й), то 1// 6
6 21)- Если U есть 21-спектральная функция и 2Ii обозначает
В-алгебру, порожденную в В {Ж) операторами {f// 1/6 21}, то
пространство максимальных идеалов алгебры 211 можно отожде-
отождествить со спектром 21-скалярного оператора 5 = Ufi и после такого
отождествления гельфандовское отображение В -> В из 211
в С (a (S)) обладает следующими свойствами:
для всех / 6 21- Это — обобщение результата, установленного для
спектральных распределений Василеску [1]. Отсюда вытекает, что
если 21 — такая же алгебра, как и выше, а(/йУ — две 21 -спект-
-спектральные функции для одного и того же 21-скалярного оператора,
то Uf и Vf квазинильпотентно эквивалентны для всех / 6 21-
15. Примечания и дополнения 207
Понятие спектрального оператора было обобщено Коложоарой
[1] и Маедой [4], и их соображения были перенесены на понятие
21-спектрального оператора Коложоарой и Фойашем [4; стр. 76].
Показано, что для оператора Т ? В (Ж) тогда и только тогда суще-
существует 21-спектральная функция /У, такая, что Т квазинильпотентно
эквивалентен оператору S = G/А, когда
Tls(F)^ls(F) и o(T\ls(F))c=zF
для любого замкнутого множества F в С. Если оператор Т удовлет-
удовлетворяет этим условиям и коммутирует с 21-спектральной функцией,
то он называется ^-спектральным оператором. Доказано, что Т
является 21 -спектральным оператором тогда и только тогда, когда
Т = S + N, где S есть 21-скалярный оператор, а N — квазиниль-
потентный оператор, коммутирующий с 21 -спектральной функцией
оператора S. Это, конечно, является обобщением теоремы о канони-
каноническом представлении.
Подобным же образом можно ввести ^-унитарные и ^-само-
^-самосопряженные операторы как 21-скалярные операторы для некоторой
допустимой алгебры функций, заданных на единичной окружности
С\ или на вещественной прямой R соответственно. Если оператор
S 6 В A) удовлетворяет условию \ Sn \ = О (| п | а) при | п | -> оо
для некоторого а ^ 0, то S является Ст-унитарным оператором при
т > а + 1. Точно так же, если резольвента удовлетворяет условию
при | А, | ->¦ 1 для некоторого р ^ 1, то S является Ст-унитарным
при т>р+ 1. Более общо, пусть спектр a (S) оператора S6
6 В (Ж) лежит в С\; положим р„ = | Sn \ и обозначим через 21 &
алгебру всех функций /: Ci-^C, таких, что
-f-oo
У л pint
Тогда 2Is есть В-алгебра с поточечными операциями и нормой
1/и = 21а^1!Я"- Если S удовлетворяет условию Бёрлинга
+ ОО
то В-алгебра 2(s регулярна, а оператор S 2Ь-унитарен. Дей-
Действительно, 21-спектральную функцию для S можно определить»
полагая
полагая
Uf= S
208 Гл. XV. Спектральные операторы
где / — выписанная выше функция. Этот результат обобщает неко-
некоторые теоремы Уэрмера [1,7]. Аналогично, если o(S)^Ci и
для некоторого Р > О, то S является Яя-унитарным оператором.
Заменой переменной («преобразование Кэли») изучение 21-само-
сопряженных операторов можно свести к анализу ^-унитарных
операторов. Таким образом, можно показать, что если оператор
<S 6 В (ЭЕ) имеет спектр a (S), лежащий на вещественной прямой, и
для некоторого р > 0, то S является ЭД-самосопряженным опера-
оператором для соответствующим образом , подобранной алгебры, Я.
В частности, если
при Im A,-^'0 для некоторого Р > 0, то S является ^-самосопря-
^-самосопряженным при т> [р] + 1. Аналогично, если
при \ t I -> сх>, то S является Ст-самосопряженным при т>[у] + 2.
(См. также Канторович [5] и Тильман [1].)
Субдиагонализация и вольтерровы операторы. Изложенные выше
результаты, если их применить к операторам в гильбертовом про-
пространстве, дают весьма интересную информацию. Пусть оператор
Т 6 B(Sq) таков, что разность Т — Т* принадлежит карлеменовско-
му классу Ср при некотором р, 1 ^ р < сю (XI.9.1). Тогда суще-
существует алгебра Я, такая, что оператор Т является Я-самосопряжен-
ным. (См. Коложоара и Фойаш [4; стр. 166].) Поэтому если спектр
а (Т) не сводится к единственной точке, то оператор Т имеет нетри-
нетривиальные спектральные максимальные подпространства. Это улуч-
улучшает результаты Сахновича [5] и Дж. Шварца [6]. Указанные идеи
находят применение в теории «субдиагонализации» (или приве-
приведения к треугольному виду) операторов 71, для которых разность
Т — 71* 6 Ср,— теории, рассмотренной в § XI. 10. См. другие статьи
по этому и связанным с ним вопросам: Бродский [1, 2, 5, 6],
Цекановский [1], Дюрен [1], Гохберг и Крейн [4, 7—9], Келдыш
и Лидский [1], Крейн [23], Лившиц [6], Рингроуз [4,5], Сахнович [4,
5], Дж. Шварц [6, 7], Секефальви-Надь и Фойаш [18].
Важную роль в теории субдиагонализации играют вольтерровы
операторы (т. е. компактные квазинильпотентные операторы). Эти
операторы рассматривались в следующих статьях: М. Бродский [3—6],
БроДский и Кисилевский [1], Дж. Фриман [1, 3], Гохберг и Крейн
[1, 5, 7, 8], Гольденгершель [1, 2], Калиш [1—4, 6], Кальмушев-
15. Примечания и дополнения 209
ский [1], Кисилевский [1, 2], Мацаев [1], Ошер [1], Рингроуз [2],
Сахнович [1, 6], Сейрасон [2], Судзуки [2].
Существенно ограниченные операторы. Пусть 96 — рефлексивное
(или только слабо полное) Б-пространство и оператор Т 6 В (Ж)
таков, что а (Т) ^ [0, 1]; тогда очевидно, что Т является спектраль-
спектральным оператором скалярного типа в том и только том случае, когда
существует такая постоянная /С > 0, что
|/>(T)|<tf6Sup4 \p(t)\
для любого многочлена р. Аналогично, Смарт [2] называет оператор
Т существенно ограниченным, если существует постоянная К > О,
такая, что | р (Т) | ^ К \\ р || для любого многочлена р, где || р \\
обозначает норму в пространстве BV [О, 1], т. е.
1ИЫр(о+)| + *(р, [0,1]),
где v (/?, [0, 1]) — полная вариация р на отрезке [0, 1].
Смарт доказал, что если Ж рефлексивно, то для любого веще-
вещественного числа t существует единственный проектор Е (t) в В (96),
такой, что
(i) E (t) коммутирует с любым ограниченным оператором,
коммутирующим с Т;
(и) I E (t) | < 2/С;
(Hi) E (t) = 0, если t< 0, и Е (t) = /, если / > 1;
(iv) E (s) = E (s) E(t) = E (t) E (s), если s < t;
(v) lim E (t) x = E (s) x для всех х 6 96;
(vi) a(T I E (t) Ж) g= (_oo, t] П а (Т) и
a (T | (/ - E (t)) X) c= [^, +oo) n a (T),
Желая усилить результат Смарта, Рингроуз [3, I] показал, что
'= \tdE{t),
где интеграл существует как римановский со значениями в В (Ж).
(См. также статью Сайна [1], содержащую близкие результаты.)
Подход, использованный Смартом и Рингроузом, частично осно-
основан на том факте, что существенно ограниченный оператор допуска-
допускает функциональное исчисление для абсолютно непрерывных функ-
функций, но по своему характеру в основном является «конструктив-
«конструктивным». Позже Силлс [1] предложил иной метод анализа, и мы его
сейчас опишем. Пусть АС0 обозначает Б-алгебру всех абсолютно
непрерывных функций на [0, 1], обращающихся в нуль в нуле.
Силлс вводит в ЛСо* «аренсовское умножение» и получает Б-алгеб-
ру, которая не является ни коммутативной, ни полупростой. Однако
14 Н. Данфорд и Дж. Шварц
210 Гл. XV. Спектральные операторы
он сумел отождествить набор идемпотентов в Л Со* с ненулевыми
мультипликативными линейными функционалами в Loo [0, 1] ~
~ АС*] их можно связать с точками отрезка [0, 1]. Если Т 6 В (Ж)
существенно ограничен, то он порождает операционное исчисление
/->/ (Г) алгебры АС0-^ В (96), и если Ж рефлексивно, этот гомо-
гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма алгебры АС**
в В (ЭЕ). Расширенный гомоморфизм отображает идемпотенты ал-
алгебры АС** в проекционные операторы, при помощи которых можно
получить интегральное представление оператора Т.
Рингроуз [3, II] изучал существенно ограниченные операторы
в нерефлексивном 5-пространстве 36. Оказывается, что свойство
оператора Т 6 В (Ж) быть существенно ограниченным эквивалент-
эквивалентно существованию семейства проекторов {F (t) \ t 6 R} в В (Ж*)
(называемого «разложением единицы для Т»), удовлетворяющего
некоторым естественным условиям и такого, что равенство
1
выполнено в слабой операторной топологии. (Заметим, что это
равенство получается из интеграла I t dF(t) «интегрированием
по частям».) В этом случае семейство {F (t)} не обязательно един-
единственно, но если каждый оператор F (t) сопряжен к некоторому
оператору в Ж, то единственность имеет место.
Берксон и Доусон [2] рассматривают существенно ограниченные
операторы, обладающие семейством {Е (t)} проекторов в Ж, таким,
что F (t) = Е (t)* для каждого t 6 [0, 1]. Предположим также,
что (i) E сильно непрерывен справа и (и) существует сильный
предел lim Е (К)\ обозначим его через Е (\i —). (Эти условия автома-
тически выполняются, если пространство Ж рефлексивно.) Тогда
для функции / 6 АС [0, 1] мы имеем
=J f(K)dE(l),
0-
где римановский интеграл существует в сильной^операторной топо-
топологии; кроме того, разность Е {\i) — Е (\i —) является проектором
в Ж на {х | Тх = \ix} и аг (Т) = 0. Они далее показывают, что
оператор Т 6 В (Ж) со спектром а (Т) s R имеет сопряженный
скалярного типа класса (Ж) тогда и только тогда, когда оператор Т
существенно ограниченный и функция xF(»)x* лежит в BV [0, 11
при любых х 6 Ж, х* 6 36*. Наконец, существенно ограниченный
спектральный оператор является оператором скалярного типа»
и для него выполнены указанные выше свойства (i) и (и).
15. Примечания и дополнения 211
Неограниченные спектральные меры. В § Х.1 мы ввели понятие
спектральной меры Е, заданной на поле 2 подмножеств некоторого
множества и ограниченной в том смысле, что I ? (а) | < К для
всех а 6 2, где К — некоторая постоянная. В настоящей главе
мы имели дело почти исключительно со счетно аддитивными спект-
спектральными мерами, заданными на а-поле 2, а тогда условие ограни-
ограниченности выполняется автоматически. Эта ограниченность и счет-
счетная аддитивность тесно соприкасаются с вопросом о безусловной
сходимости разложений по собственным функциям, и многие факты
теории краевых задач для дифференциальных уравнений подска-
подсказывают, что могла бы быть полезной несколько более общая теория.
Такая теория была развита Лянце [2] в случае гильбертова простран-
пространства. Он определяет обобщенную спектральную меру (о. с. м.) Р
в гильбертовом пространстве 96 как отображение множества ЩР)
в В (?)), удовлетворяющее следующим условиям:
(i) ®(P) — это набор борелевских подмножеств комплексной
плоскости С, содержащий каждое борелевское подмножество любого
множества в®(Р) и объединение любых двух множеств из Ф(Р).
(и) Для любых 64 и б2 6 Ф (Р) мы имеем Р F4) Р (б2) = Р (б4 f] б2).
A11) Если {бь б2, . . .} — разбиение б ? ф (Р) на взаимно непе-
непересекающиеся борелевские множества и х, у 6 ?Ь то
(iv) Множества {Р (б) | S ? ® (Р)} и {Р (б)* | б 6 © (Р)} тоталь-
тотальны В JQ.
Доказано, что всякую о. с. м. можно распространить на класс
®о (Р) борелевских подмножеств С, который максимален в некото-
некотором смысле, и что это расширение меры единственно. Действительно,
примем за ®0 (Р) множество всех борелевских множеств б s С,
таких, что sup {| Р (о) \ \ а 6 ® (Р), о ^ 6} < оо. Если теперь
б 6 ®о (Я), то обобщенная последовательность {Р (а) | а 6 ® (-Р),
a s 6} сильно сходится в ^ к некоторому оператору. Если опреде-
определить Ро (б) как этот сильный предел, то мы получим о. с. м. Ро на
®о (Р)у которая является расширением Р и максимальна в некото-
некотором смысле.
Пусть $ обозначает множество таких элементов х 6 $9 что
х = Р(8)х при некотором б 6 Ф(^); Лянце называет § про-
пространством базисных элементов, соответствующих Р. Если рас-
рассматривать ® (Р) как направленное множество относительно вклю-
включения, то Sq можно рассматривать как «индуктивный предел» про-
пространств Р (б) ig с соответствующей топологией. Аналогично опре-
определяется jg, пространство обобщенных элементов, соответствующих
Я: это набор всех обобщенных последовательностей х =
= {^а I ст 6 ® (Р)}, ха 6 Р (а) $, таких, что хо = Р (а) *а, если
14*
212 Гл. XV. Спектральные операторы
a s б. Пространство ig является векторным пространством с оче-
очевидными поточечными операциями, и его можно рассматривать как
«проективный предел» пространств Р (б) $ с соответствующей
топологией. Пространство <q плотно в ig, и отображение я->-
->-{Я (б) х} осуществляет плотное вложение ф в jg. Каждый опера-
оператор Р (б), б 6 Ф (Р), можно по непрерывности расширить до проек-
проектора Р F) в jg; более общо, для любого борелевского множества
а ^ С можно определить оператор Р (а), полагая его значение на
элементе Зс = {ха} в |) равным
Эта функция Р является счетно аддитивной спектральной мерой
в В($э), заданной на борелевских множествах в С и такой, что
Р (С) — тождественный оператор в Jg.
При определенном условии счетности Лянце дает обобщение
теоремы Лорха — Макки о связи обобщенных спектральных мер Р
с самосопряженными спектральными мерами Е. Имеется соотноше-
соотношение вида Р (б) = M'XE (б) М, хотя взаимно однозначный оператор
М неограничен в @ и является непрерывным лишь в топологиях
пространств Jg и $.
Лянце вводит в рассмотрение набор Щ (Р) всех замкнутых линей-
линейных операторов из ig в ig, которые «коммутируют» в надлежащем
смысле с о. с. м. , Р. Можно ввести на 21 (Р) алгебраическую
и топологическую структуры, после чего 21 (Р) становится изоморф-
изоморфным и гомеоморфным топологической алгебре ЭД (Р), которая
состоит из непрерывных линейных операторов в jg, коммутирующих
с сужением Р на §, и топологической алгебре Й^(Р), которая состо-
состоит из непрерывных линейных операторов в Jq, коммутирующих
с расширением Р на ^. Можно также построить операционное ис-
исчисление. Пусть $> — класс всех борелевских функций /: С ->¦ С,
ограниченных на каждом множестве б 6 © (Р)- Если / 6 ^ и б ?
^ ф (Р), то определим
f6=\
б
откуда вытекает, что
4{ sup
Если определить теперь Tf как замыкание в ig оператора в Jg,
имеющего вид x-^f^x, где д: = Р (б) я, то отображение f-*Tf
является гомоморфизмом алгебры ^ вЯ (Р) и непрерывно в соот-
соответствующей топологии на ^.
15. Примечания и дополнения 213
Можно получить и обобщение канонического представления. Мы
говорим, что замкнутый оператор N', коммутирующий с Р, Р-квази-
яильпотентен, если для любого б ? © {Р) сужение N на Р F) ^
является квазинильпотентным оператором. Мы говорим, что S 1
€ $ (^Р) является Р-скалярным, если он получается из описанного
выше операционного исчисления как элемент, соответствующий
функции fx (i) ss К Д 6 С. При этом элемент Т 6 ЭД (Р) допускает
представление Т = S + Ny где S является Р-скалярным, a Л/"
Р-квазинильпотентным тогда и только тогда, когда спектр Т I Р (б) Jg
содержится в б для любого б 6 © (Р).
Наконец, теория спектрального представления развита для
обобщенных спектральных мер.
Описанные выше идеи находят применение в теории дифферен-
дифференциальных операторов. Пусть R +— полуось [0, +°о), функция
р: R + -+С интегрируема на R + и 8 ? С. Обозначим через © (L) мно-
множество всех / 6 L2{R+), производные f которых абсолютно непре-
непрерывны на любом конечном интервале в R+, причем
/40) - е/ @) = о
Пусть L будет оператором с областью определения © (L), такой, что
nf) = -г + рл / е ф («.
Наймарк [12] показал, что существует функция Л, аналитическая
в некоторой полуплоскости Im (s) > —ц (т) > 0), такая, что спектр
L состоит из интервала [0, +оо) и конечного числа точек Хи . . .
. . ., Хп, причем %h = s%, где Im (sk) >0 и Л (sk) = 0. Точки Xlf . . .
. . ;, Хп являются собственными значениями оператора L конечной
кратности, в то время как точки К ? [0, +оо) лежат в его непрерыв-
непрерывном спектре. Если А не имеет ненулевых вещественных корней,
то можно написать L2 {R+) = Ш © Ш, где Ш соответствует непре-
непрерывному спектру L, а % — точечному спектру L. Если р удовлет-
удовлетворяет условию
оо
j e**\p(x)\dx< +oo
при некотором 8 > 0, то % конечномерно. В этом случае из работ
Наймарка [12] и Левина [1] вытекает, что L подобен самосопряжен-
самосопряженному оператору в Ш\ следовательно, L — спектральный оператор.
(См. гл. XX, где будут доказаны результаты такого характера.)
Если же функция А имеет ненулевые вещественные корни ai9 ...
. . ., am, то числа Xh = a?, k = 1, . . ., m, называются спектраль-
спектральными особенностями L. Они играют важную роль в анализе опера-
214 Гл. XV. Спектральные операторы
тора L и были изучены Лянце [4]. Он показал, что если L имеет
спектральные особенности, то L2 (R+) не может быть представлено
в виде 2JI Ф 51, где L подобен самосопряженному оператору в Ш,
а % конечномерно. Тем не менее он показал, что можно построить
обобщенную спектральную меру Р на наборе всех борелевских мно-
множеств, отстоящих на положительном расстоянии от спектральных
особенностей, но такую, что | Р F) | ->¦ +оо, когда расстояние
между б и некоторой спектральной особенностью стремится к нулю.
Хотя не всякая функция из L2 (R+) является сильным пределом
своего спектрального разложения по собственным функциям опера-
оператора L, множество функций, для которых такие разложения суще-
существуют, плотно в L2(i?+). О других свойствах оператора L и его
детальном анализе см. статью Лянце [4]. Спектральные особенности
такого типа рассматривались также в работах Лянце [8], Павло-
Павлова [1, 2] и Дж. Шварца [4].
Операторы в гильбертовом пространстве. Недавно появился ряд
интересных изложений спектральной теоремы для самосопряженных
и нормальных операторов. См., например, Берберян [2, 4], Бер-
нау [1], Бернау и Смитис [1], Бонсол [8], Халмош [12], Гальперин
[11] и Уайтли [2]. Отметим только, что Бернау [1], Бернау и Сми-
Смитис [1] и Уайтли [2] дали «элементарные» доказательства того факта,
что если Т — нормальный оператор, а р — многочлен от двух
переменных, то | р G\ Т*) | = sup { | р {X, X) \ \ X 6 а (Г)}. Этот резуль-
результат служит ключевым моментом, приводящим к быстрому доказатель-
доказательству спектральной теоремы для нормальных операторов.
Существует много других аспектов спектральной теории опера-
операторов в гильбертовом пространстве, которые привлекают к себе
большое внимание: это числовые области, операторы Гильберта —
Шмидта, спектральные множества фон Неймана и т. д. Многие из
этих понятий различными способами были перенесены на случай
В-пространств (см. наши замечания по поводу эрмитовых операто-
операторов в В-пространствах и числовых областях, определенных при
помощи полувнутреннего произведения); мы отсылаем читателя
к выходящей в ближайшее время монографии Бонсола и Дунка-
Дункана [1], где изложены результаты этих исследований. Но все же
многие результаты имеют смысл лишь в гильбертовом пространстве.
Читатель может обратиться к следующим статьям и книгам:
Андо [3], Александрян и Мкртчян [1], Апостол [2], Берберян [1, 3],
Берберян и Орланд [1], Бернау [2, 3], Бирюк и Коддингтон [1],
Бонсол [6], Бос [1], Бруадо [1], А. Браун и Пирс [1], Картан [2],
Коддингтон [5], Дейвис и Райдер [1], Декар и Пирс [1], Дольф [1,
2], Дольф и Пенцлин [1], Доногю [2], Дурст [1], Фойаш [1—5, 7],
Джордж [1], Гика [1], Гохберг и Маркус [1], Гоншор [1], Хаделер [1],
Халмош [И, 14], Халмош и Маклафлин [1], Хемпель [1], Хесте-
нес II], Гильдебрандт [1, 2], Инуэ [1—6], Истратеску [1], Якубов [1],
15. Примечания и дополнения ?/5
Г. И. Кац [1], Кацнельсон и Мацаев [1], Калиш [5], Камович [1],
Каниэль [1], Мак-Клюер [1], Маккелви [1, 2], Морен К. [4, 5],
Морен Л. и Морен К. [2], Митягин и Пелчинский [1], Неванлинна
и Ньеминен [1], Ньеминен [1], Олагунжи и Вест [1], Орланд [1],
Путнам [30, 31], Сайто и Иосино [2], Сейрасон [1], Шефер [8],
Шрейбер [6, 7], Шет [1], Стемпфли [2, 4, 6—9], Судзуки [1],
Секефальви-Надь [17], Секефальви-Надь и Фойаш [1—10, 12],
Тильман [1], Вильяме [1], Иосино [1, 2].
Инвариантные подпространства. На стр. 85—86 тома II мы
обсуждали вопрос о том, имеет ли оператор из В C6) нетривиальное
инвариантное замкнутое подпространство. Этот вопрос все еще не
имеет ответа даже в] случае 36 = $. Однако было выполнено зна-
значительное число работ, связанных с этим вопросом и примыкающими
к нему теориями. Читателя можно отослать к следующим статьям:
Андо [4], Апостол [12], Ароншайн и Смит [1], Арвесон и Фельдман
II], Бернштейн и Робинсон [1], де Бранджес [3], де Бранджес
и Ровняк [1, 2], М. Бродский и Шмульян [1], Чиорэнеску [1], Крим-
минс и Розенталь [1], Доногю [1], Дюрен [1], Фань Ку [6], Гинз-
*бург [1], Годич [1], Гольдман и Левич [1], Халмош [11, 16], Хасуми
vl Сринивасан [1, 2], Хельсон [1], Хельсон и Лоуденслагер [1],
Крейн [28], Никольский [1], Рота [1, 4], Сафар [3], Сейрасон [3],
Шефер [13], Скрогс [1], Сринивасан [1, 2], Секефальви-Надь
и Фойаш [1, 6, 9, 10], Волк [1], Уэрмер [1, 2, 4]1).
Сужения и продолжения. На стр. 86—88 тома II мы бегло рас-
рассмотрели понятия сужения и продолжения операторов в гиль-
гильбертовом пространстве. Эта теория, вызванная к жизни несколькими
фундаментальными открытиями Секефальви-Надя, усиленно разра-
разрабатывалась в последние годы с самых разных точек зрения: теории
предсказаний, теории стационарных стохастических процессов,
анализа Фурье, теории субдиагонализации, операционного исчисле-
исчисления, теории инвариантных подпространств, теории операторнознач-
ных аналитических функций и т. д. Описание этих исследований
выходит за рамки наших возможностей. К счастью, недавно вышед-
вышедшая книга Секефальви-Надя и Фойаша [10] содержит превосходное
изложение полученных результатов.
Другие результаты можно найти в следующих статьях: Адамян
и Аров [1, 2], Андо [2, 3], Берберян [5], Бирюк и Коддингтон [1],
Брем [1], Бремер [1], де Брёйн [1], Коддингтон [5], Коддингтон
и Гилберт [1], Чумакин [1], Дурст [1, 2], Фогель [9—11], Фойаш
[4, 5, 14], Фойаш и Геер [1], Фойаш и Мляк [1], Гилберт [1],
Гохберг и Крейн [6], Халмош [14, 15], Гальперин [6—10], Ионеску
14], Ионеску и Плафкер [1], Ито [1], Лебоу [1, 2], Мак-
i) В последнее время важный результат в этом направлении был получен
В. И. Ломоносовым (см. Функц. анализ, 7, № 3 A973), 55—56).— Прим. перев.
216 Гл. XV. Спектральные операторы
келви [1], Мляк [1—5], Накано [19], Орланд [2], Пфлюгер [1],
Сафферн [1], Сайто и Иосино [1], Сейрасон [1], Шрейбер [2—5],
Сюкью [1], Секефальви-Надь [17—22], Секельфальви-Надь и Фой-
аш [1—10].
Положительные операторы. В последнее время пристальное
внимание математиков привлекал к себе один общий и важный класс
операторов — это класс положительных операторов в упорядочен-
упорядоченных векторных пространствах. После пояснения некоторых пред-
предварительных понятий мы сделаем в этом пункте несколько замеча-
замечаний об этих операторах.
Говорят, что векторное пространство 93 упорядочено при помощи
(рефлексивного, транзитивного и антисимметричного бинарного)
отношения ^, если (а) из х ^ у вытекает, что х + z ^y + z для
любых х, у и z в 93, и (Ь) из х ^ у вытекает, что Хх ^ Ху для всех
х, у в 95 и К 6 R> Х^О. Если 93 — упорядоченное векторное
пространство с отношением порядка ^, то множество К =
= {х 6 93 I 0 ^ х) называется положительным конусом в 93 (отно-
(относительно ^). Легко видеть, что К удовлетворяет следующим усло-
условиям: (i) К + К ? /С, (и) Щ<=К для всех X 6 R, X > 0 и (ш)
/С П (—К) ={0}. Обратно, если К — подмножество в S3, удовлет-
удовлетворяющее условиям (i), (ii) и (iii), и если по определению х^.у
означает, что у — х 6 К, то мы получаем отношение, упорядочи-
упорядочивающее 93. Линейное топологическое пространство, которое к тому
же и упорядочено, называется упорядоченным топологическим век-
векторным пространством в том случае, когда его положительный
конус замкнут. По поводу изложения теории упорядоченных топо-
топологических векторных пространств мы отсылаем читателя к книгам
Дэя [12], Келли и Намиоки [1], Шефера [18] и Перессини [1].
Понятия порядка очень тесно связаны с вещественными коэффи-
коэффициентами, в то время как понятия спектральной теории проще в слу-
случае комплексных коэффициентов. Чтобы восполнить этот пробел,
мы воспользуемся следующей конструкцией. Если Ж — веществен-
вещественное jB-пространство, упорядоченное при помощи отношения ^,
то положим $! = Ж Ф Ж и введем операцию умножения на ком-
комплексные числа, норму и отношение порядка, полагая:
a, $?R, x,
[х, у]\= sup
[*!» #ll<[*2> #2lf еСЛИ ТОЛЬКО
тогда #! является комплексным В-пространством, отображение
х-+[х> 0] — изометрическим изоморфизмом I в Ij, a 3^ стано-
становится упорядоченным В-пространством, называемым комплексифи-
кацией пространства Ж. Наконец, если Т 6 В C?), то положим
15. Примечания и дополнения. 217
Ti [х, у] = [Тх, Ту]; тогда спектральные свойства оператора Т
можно выявить и изучить, исследуя соответствующие свойства
оператора 7\.
Если Ж — упорядоченное вещественное В-пространство с поло-
положительным конусом К и Т 6 В (Ж), то оператор Т называется
положительным, если Т (К) ^ К (или, что то же самое, Тх ^ О
для всех х ^ 0, л: 6 36).
Одним из наиболее важных и знаменитых результатов о положи-
положительных операторах является следующая теорема.
Теорема (Крейн — Рупгман [1]). Пусть Ж_—упорядоченное
вещественное В-пространство, такое f что sp (К) = Ж. Если
Т 6 В (Ж) — компактный положительный оператор с положитель-
положительным спектральным радиусом г (Г), то г (Г) является собственным
значением и соответствующий собственный вектор положителен.
Эту теорему можно рассматривать как обобщение классической
теоремы о положительных матрицах, принадлежащей Фробениусу
и Перрону. В свою очередь теорема Крейна — Рутмана обобщалась
разными способами. Например (см. Шефер [18, стр. 264]), если
заменить условие компактности оператора /( предположением о том,
что резольвентный оператор R (k\ 7\) имеет полюс на окружности
I X | = г (Г), то можно сделать вывод о том, что г (Т) ? а (Г); более
того, если г (Г) является полюсом резольвенты, то это число ока-
оказывается полюсом максимального порядка на этой окружности.
В случае «неприводимого» положительного оператора, такого,
что г(Г) = 1, в вещественном В-пространстве С (Q), где Q —
компакт, можно показать (см. Шефер [18; стр. 272]), что собственные
значения на единичной окружности расположены циклически и
каждое из них имеет кратность один; если точечный спектр на
единичной окружности имеет изолированную точку, то эти собствен-
собственные значения оказываются корнями n-й степени из единицы при
некотором п. Если одно из таких собственных значений является
полюсом резольвенты, то все они оказываются полюсами порядка 1.
Число 1 является единственным собственным значением с положи-
положительной собственной функцией. Если Q связно, то 1 является
единственным корнем из единицы, который может лежать в точеч-
точечном спектре оператора Г.
Читателю следует обратиться к статье Крейна и Рутмана [1]
по поводу истории изучения положительных операторов. Обзор
работ последнего времени см. в выходящем вскоре томе Шефера [20],
а также в следующих работах: Андо [1], Бахтин [1, 2], Бахтин,
Красносельский и Стеценко [1], Г. Биркгоф [9], Бонсол [2—5, 7],
Бонсол, Линденштраусс и Фелпс [1], В. Бродский [1], Эберли [1],
А. Эллис [1], Есаян и Стеценко [1], Карлин [3], Красносельский [5],
Лоц [1], Лоц и Шефер [1], Марек [1—3], Мьюборн [1], Нииро [1],
18 Гл. XV. Спектральные операторы
Нииро и Савасима [1], Перессини [1], Перессини и Шёберт [1, 2],
Фелпс [1], Путнам [20, 23, 251, Ридл [1], Рота [5], Сассер [1], Са-
Савасима [1—3], Шефер [1, 3, 4, 6, 11, 12, 14—19], Дж. Шварц [5]
и Томпсон [1].
Обобщения компактных операторов. Поскольку класс компакт-
компактных операторов в В C6) обладает столь хорошими спектральными
свойствами и часто возникает в задачах анализа, было написано
большое число статей, в которых или исследовались специальные
типы компактных операторов (такие, как операторы Гильберта —
Шмидта), или изучался подход к некоторым компактным операто-
операторам, связанный с теорией определителей, или предлагались обобще-
обобщения и распространения классических результатов Фредгольма
и Рисса.
В связи с этим следует назвать следующие статьи: Альтман [6],
Андо [4], Б ал ел ев и Гамелин [1], Бонсол [9], Бонсол и Томюк [1],
Бройер [1], Бройер и Кордес [1], Бурачевский [1, 2], Карадус [1—3],
Чжун Кай-лай [1], Кобёрн [1], Кобёрн и Лебоу [1, 2], Кордес [4],
Декар и Пирс [1], Депри [1, 2], де Вилд [1, 2], Доногю [1], Эбер-
ли [1], Р. Эллис [1], Фишман и Валицкий [1], Гамелин [1], Гильдер-
ман и Коротков [1], Джиллеспи и Вест [1], Гохберг и Крейн [1, 7, 8],
Гохберг и Маркус [1], Гольдберг [2], Гольдберг и Торп [1, 2],
Грамш [1, 2], Грейвс [6], Гротендик [6], Хаати [1], Халмош [11],
Харазов [6—8], Хойзер [1—3], Фукухара и Сибуя [1, 2], Иохви-
дов [2], Кашук [1], Кашу к и Лей [1], Каниэль и Шехтер [11, Клей-
некке [5], Кульце [1], Лежаньский [1], Линденштраусс [1], Линден-
штраусс и Пелчинский [1], Люксембург и Заанен [1], Мацаев [1],
Олагунжи и Вест [1], Пелчинский [1],Шеттинео] [1, 2], Пич [1—7,
9, 10, 12], Пшеворска-Ролевич [3], Рингроуз [1, 4, 6], Растон [2,
3, 5, 6], Сафар [7, 8], Шефер [2, 5], Шаттен [2], Дж. Шварц [5],
Сикорский [1—9], Сильверман и Йен [1], Смитис [11, Стеценко [1],
Вайдман [1], Вест [1, 3, 4], Вильямсон [3], Уайтли [1], Забрейко,
Красносельский и Стеценко [1].
Теория индекса. В последнее время понятие индекса оператора
стало играть весьма существенную роль в различных областях
анализа и геометрии. Мы познакомимся с этими понятиями для
некоторых операторов из В ($).
Пусть Т еВ (Э?); обозначим через 31 (Т) ={х g 1 | Тх = 0} —
нуль-пространство оператора Г, через а (Т) — размерность 91 (Т),
если она конечна, и +оо в противном случае. Если область значений
Ж (Т) —{Тх | х ? Э?} замкнута в 96, то обозначим через Р (Т) раз-
размерность факторпространства Э6/Я? (Т), если^ оно конечномерно,
и +оо в противном случае. Оператор Т называется фредгольмовым,
если 3? (Т) замкнута и оба числа а (Т) и Р (Г) конечны; он называет-
называется полуфредгольмовым оператором, если 9f{ (T) замкнута и по край-
крайней мере одно из чисел а (Г)|или р (Т)'конечно. Если Т полуфред-
15. Примечания и дополнения 219
гольмов, то его индекс по определению равен
х (Г) = а (Т) - р (Г)
(правда, некоторые авторы иногда берут эту величину с противо-
противоположным знаком).
Можно доказать, что если Т 6 В (Ж) — полуфредгольмов опе-
оператор, то К(Г*) замкнута, 5Л(Г*) = Ж (T)J- и 9? (Г*) = SR G>Ц
откуда вытекает, что а (Г*) = Р (Г) и р G*) = а (Т). Следователь-
Следовательно, оператор Г* 6 В (Ж*) полуфредгольмов и к (Т*) = и G1).
Аналогично, если Г и 5 — фредгольмовы операторы, то произведе-
произведение TS — фредгольмов оператор и
k(TS) =- к(Т)+ x(S).
Возможно, наиболее важными теоремами об индексе являются
два следующих результата о возмущении полуфредгольмова опера-
оператора:
Первая теорема устойчивости. Пусть Т ? В (Ж) — полуфред-
полуфредгольмов оператор. Существует такое б >> 0, что если S 6 В (X)
и \ S — Т | < б, то оператор S полуфредгольмов и к (S) =
= к (Т). Кроме того9 мы имеем
a (S) < а (Г), р (S) < Р (Г).
Вторая теорема устойчивости. Пусть Т ? В (?) — полуфред-
полуфредгольмов оператор. Если К € В (Ж) компактен, то оператор S =
= Г + /С полуфредгольмов и и E) = и (Г).
Как заметил Гольдман [1], обе эти теоремы неверны, если опера-
оператор Г не является полуфредгольмовым (т. е. а (Т) = р (Т) = оо).
По поводу доказательства этих теорем мы отсылаем читателя
к монографии Като [13], к работам Гохберга и Крейна [2] и Гольд-
берга [2], где можно найти дальнейшие ссылки, исторические при-
примечания и приложения. Мы отметим лишь, что понятие индекса
возникло в 1921 г. в связи с изучением Ф. Нётером некоторых сингу-
сингулярных интегральных уравнений. По существу первая теорема
устойчивости была доказана Дьёдонне [22] для фредгольмовых
операторов, хотя индекс он специально не выделял. В 1951 г. Аткин-
сон доказал обе теоремы устойчивости. В том же году Юд [2]
и Гохберг [7] также доказали вторую теорему. С тех пор появилось
большое число статей, обобщающих и использующих понятие
индекса. Например, получены обобщения на неограниченные
замкнутые операторы, на возмущения /С, более общие, чем компакт-
компактными операторами, на операторы в В (Ж, Щ) или в линейных
топологических пространствах. Изучены применения в теории
уравнений в линейных пространствах, в теории интегральных
220 Гл. XV. Спектральные операторы
уравнений и в теории дифференциальных операторов на многообра-
многообразиях. Мы отсылаем читателя к следующим статьям и книгам: Аткин-
сон [2, 4], Бройер [1], Бройер и Кордес [1], Карадус [1, 2], Кобёрн
и Лебоу [1, 2], Кордес [3, 4], Кордес и Лабрус [1], Дьёдонне [22],
Гамелин [1], Гохберг [4, 7], Гохберг и Крейн [2], Гольдберг [2],
Гольдман [1], Гольдман и Крачковский П], Грамш [1, 2], Кашук [1,
2], Като [И, 13], Крейн и Красносельский [1], Мартиросян [1],
Нейбауер [3], Ньюбергер [1], Параска [1], Петтинео [1], Пшеворска-
Ролевич и Ролевич [1—4], Сафар [3—5], Шефер [2], Шехтер [1, 2],
Сили [1], А. Шварц [1], Того и Сираиси [1] и Юд [2].
ГЛАВА XVI
Спектральные операторы:
достаточные условия
1. Постановка задачи
В предыдущей главе мы изучали свойства ограниченных спект-
спектральных операторов, т. е. операторов, которые имеют счетно адди-
аддитивное разложение единицы, заданное на поле борелевских мно-
множеств. Оказалось, что эти операторы обладают рядом интересных
свойств, обобщающих как свойства ограниченного нормального
оператора в гильбертовом пространстве, так и свойства произволь-
произвольного линейного оператора в комплексном конечномерном про-
пространстве.
В этой главе будут сформулированы условия, достаточные для
того, чтобы ограниченный оператор Т был спектральным. Эти усло-
условия будут выражены в терминах резольвенты R (?; Т) и анали-
аналитических распространений х (?) вектор-функций R (?; T) х. Мы
уже установили ряд весьма существенных свойств резольвент
спектральных операторов. Во-первых, в силу теоремы XV.3.2
(A) для любого вектора х из Ж функция R(%\ T)x обладает свой-
свойством однозначного* распространения.
Во-вторых,
(B) существует постоянная /С, зависящая только от операто-
оператора Г, такая, что для всякой пары хи у векторов с непересекающими-
непересекающимися спектрами а (х) и о (у)
Для проверки этого неравенства заметим, что в силу теоре-
теоремы XV.3.4 и следствия XV.3.7 Е (а (л;)) х = х, а спектр вектора
Е (а (*)) У пуст. Тогда в силу следствия XV.3.3 Е (о (х)) у = 0.
Поэтому
\х\ = \Е(о(х))(х + у)\^К\х + у\,
где /С — верхняя грань для норм Е.
Наконец, согласно следствию XV.3.6, спектральные операторы
обладают следующим свойством:
(G) для любого замкнутого множества б комплексных чисел
множество всех векторов х, для которых а (я) е б, также замкнуто.
222 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
В этой главе мы убедимся в том, что свойства (А), (В) и (С) весьма
близки к достаточным условиям спектральности произвольного
оператора Т.
Настоящая глава разбивается на две основные части: § 2, 3 и 4
составляют первую часть, а § 5 — вторую. В первой части показано,
что оператор Т (в слабо полном пространстве) со свойствами (А),
(В) и (С) обладает однозначно определенным счетно аддитивным раз-
разложением единицы, заданным на некотором а-поле оМ (Т) множеств.
Вообще говоря, это поле не обязательно содержит все борелевские
множества; оно может даже не содержать достаточного богатого
набора множеств и тем самым быть практически бесполезным. Поэто-
Поэтому наш анализ становится полным лишь во второй части (§ 5),
в которой даны условия, обеспечивающие то, что оМ (Т) содержит
поле всех борелевских множеств.
Условия § 5 требуют прежде всего, чтобы спектр Т лежал на
спрямляемой жордановой кривой, а резольвента R (Х\ Т) операто-
оператора Т имела конечный порядок роста, когда X стремится к о (Т).
Операторы, удовлетворяющие этим условиям, автоматически удов-
удовлетворяют условиям (А) и (С). Следовательно, условия на порядок
роста из § 5 и предположение ограниченности (В) в совокупности
почти достаточны для того, чтобы обеспечить спектральность опера-
оператора Т.
По этим причинам задачу проверки условия ограниченности (В)
следует рассматривать как основную в применениях теории спект-
спектральных операторов. Нетрудно понять, что условие (В) не отно-
относится к тем условиям, которые проверяются без труда. Это и не уди-
удивительно, поскольку (В) в конечном счете сводится к утверждению
о счетной аддитивности разложения единицы. Таким образом,
(В) является условием, которое приводит к безусловной сходимо-
сходимости разложений по собственным функциям.
Более подробно мы имеем в виду следующее. Именно благодаря*
счетной аддитивности разложения единицы для спектральных опе-
операторов справедливы весьма важные теоремы о сходимости связан-
связанных с ними спектральных разложений. Например, если Т —
спектральный оператор и его спектр счетен, то всякий вектор х
из 36 имеет безусловно сходящееся разложение вида х =
= 2 хп (= 2 Е (%) х)9 где спектр вектора хп состоит только из
одной точки Я,п, так что хп — нечто вроде «обобщенного собствен-
собственного вектора», соответствующего А,п. Если Т — спектральный опера-
оператор скалярного типа, то обобщенные собственные векторы являются
просто собственными векторами в обычном смысле. Если Т —
спектральный оператор типа т, то обобщенные собственные векто-
векторы хп удовлетворяют равенствам (Хп1 — T)m+1 хп = 0, п = 1>
2, ... . Таким образом, как только оператор Т имеет счетно адди-
аддитивное разложение единицы, мы оказываемся в ситуации, весьма
2. Следствия условия (А) 223
близкой к той, которая характерна для нормальных операторов
в гильбертовом пространстве. Если же счетная аддитивность спект-
спектрального разложения единицы нарушается, то это же происходит
и со многими другими свойствами разложений по собственным век-
векторам.
Следует отметить, что ни в коей мере не верно, будто все хороша
известные разложения по собственным векторам классического
анализа являются безусловно сходящимися. Действительно, суще-
существует много примеров, как, например, разложения в ряд Фурье
функций из Lp (О, 2я), где 1 < р < оо, р Ф 2, когда разложение
сходится, но только условно. Другие примеры встретятся позже,,
в гл. XIX. Это, по-видимому, указывает на то, что дальнейшее раз-
развитие спектральной теории охватит и теорию условно сходящихся
разложений, связанных с дискретным и непрерывным спектрами.
Тем не менее случаи, когда имеет место безусловная сходимость
разложений по собственным векторам, достаточно важны и заслужи-
заслуживают самостоятельного изучения. Этим обстоятельством подчерки-
подчеркивается важность задачи выяснения того, какие операторы являются
спектральными.
2. Следствия условия (А)
В этом параграфе мы будем рассматривать ограниченное линей-
линейное преобразование Т в комплексном] В-пространстве Ж. Будет
установлен ряд свойств оператора 7\ основанных на единственном
предположении (А), которое для удобства ссылок мы повторим:
(А) Для любого вектора х из Ж функция R (I; Т) х обладает
свойством однозначного распространения.
Напомним (ср. определение XV.2.6), что если Т удовлетворяет
условию (А), то резольвентное множество вектора х, обозначаемое
через р(х), можно определить как объединение всех областей D (/)>
причем объединение берется по всем /, аналитическим распростра-
распространениям вектор-функции R (?; Т) х. Таким образом, р (х) является
открытым множеством, содержащим р(Т), а его дополнение о(х) —
замкнутым подмножеством в а (Т). Множество о (х) называется
спектром вектора х. Очевидно, что существует единственное макси-
максимальное аналитическое распространение вектор-функции R (|; Т) х~
Это распространение, являющееся однозначной аналитической
функцией, заданной на р (х), мы будем обозначать через х (•).
Таким образом, функция х (•) обладает по определению следую-
следующими свойствами:
x(l) = R(t;T)x, 6 €р (Г).
Хотя условие (А) принято в качестве основного предположения
в этом параграфе, оно будет указываться в скобках в формулиров-
формулировках всех тех лемм, в доказательстве которых оно используется.
224 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
1. Лемма (А). Пусть а, р — комплексные числа, а х, у — век-
векторы в 36; тогда
а (х + у) <== а (х) U о (у),
ах® + Ml) = (а* + р*/)Ш, I e Р(х) р(у).
Доказательство. Функция ax(Q + $y(l) является аналитиче-
аналитическим распространением функции
R (?; Т) ах + R (g; Т) ру = R (?; Т) (ах + ру), ? 6 Р (Т),
заданной на открытом множестве р(х) р(у). Следовательно,
р(ах + Ру) з р(х)р(у). Для точек I ? р(х) р(у) мы имеем
(ах + Ы (I) = ах (I) + ру (I)
в силу (А), ч. т. д.
2. Лемма (А). Спектр о (х) пуст тогда и только тогда, когда
х = 0.
Доказательство. Для доказательства настоящей леммы можно
использовать доказательство следствия XV.3.3, ч. т. д.
3. Лемма (А). Пусть а — множество комплексных чисел,
а а' — его дополнение. Если х + у = xt + уи где о (х)> а (х±) ^ а
и а (у), а (yi) s а', то х = хи у = yt.
Доказательство. В силу леммы 1
о (х — х±) ^ о (х) U а (х±) ^ а,
а (у, —,у) с а (у) у а (У1) с а',
так что вектор х — xt = У\ — у имеет пустой спектр. Тогда по лем-
ме 2 х = Xi, у = уи ч. т. д.
4. Лемма (А). ?Ъщ Р — ограниченный линейный оператор в 36,
коммутирующий с Т, то
о (Рх) <= а (х), х е эе.
Доказательство. Так как Я коммутирует с Т, то он комму-
коммутирует и с резольвентой R (?; Т) при любом g из р (Т). В силу
равенства R (?; Т) Ял: = Р7? (|; Т) л: ясно, что Рх (|) является
аналитическим распространением вектор-функции R (?; Т) Ях на
область р (х). Таким образом, р (Рх) з р (х), и, следовательно,
<у (Рх) ? а (х), ч. т. д.
3. Следствия условий (А) и (В)
На протяжении всего этого параграфа мы будем предполагать,
что оператор Т удовлетворяет как условию (А) § 2, так и фунда-
фундаментальному условию ограниченности (В), которое формулируется
следующим образом:
3. Следствия условий (Л) и (В) 225
(В) Существует постоянная К, зависящая только от оператора
Т, такая, что для всякой пары х и у векторов с непересекающимися
спектрами а (х) и а (у) мы имеем
\х\^К\х + у\.
Хотя предположения (А) и (В) будут основными во всем этом
параграфе, мы будем указывать их в формулировке каждой леммы,
где они используются.
Предположение (В) позволяет нам связать с некоторыми множе-
множествами б комплексных чисел проекторы Е F).
1. Определение. Символ of\(T) будет обозначать семейство
всех множеств а, таких, что векторы вида х + у, где о (х) ^ а,
а (у) ^ а', плотны в 36.
Очевидно, что если а содержится в of^T), то и дополнение а'
также лежит в tfi (T).
2. Лемма (А, В). Если а содержится в <^i(T), то существует
один и только один ограниченный проектор Е(о) в Ж со следующи-
следующими свойствами: Е(о)х = х, если о (х) ^ о, и Е(о)х = О, если
а (х) ^ а'. Более того,
Е(о) + Е (а') = /, Е (а) Е (а') = 0, | Е (а) |< К.
Доказательство. Свойства
(*) Е (а) х = х, если а (х) ^ а, Е (а) х = 0, если о (х) ^ а',
определяют проектор Е (а) на плотном множестве © =
= {х + у \ о (х) ^ о, о (у) ^ а'}. Таким образом, единственность
проектора Е (а) обеспечена требованием его ограниченности.
Для доказательства существования некоторого оператора Е (а),
обладающего свойствами (*), заметим, что в силу леммы 2.3 свой-
свойства (*) однозначно определяют проектор на ф. Предположение (В)
просто утверждает, что этот проектор ограничен и его норма
не превосходит К- Таким образом, по непрерывности он однозначно
продолжается до проектора, определенного на всем 3?, норма кото-
которого не превосходит К- Поскольку очевидно, что (Е (а) + Е (о'))х =
= х и Е(в)Е(о')х = 0 для векторов х из ®, то по непрерывности
эти свойства распространяются на все векторы х из 36, ч. т. д.
3. Лемма (А, В). Если Р — ограниченный линейный оператор,
коммутирующий с Т, то
РЕ(о) = ?(а)Р, а 6 ^(Г).
Доказательство. Для множества о из с^ векторы вида
z = х + у, где о (х) ^ or и о (у) ^ о', плотны в Ж. Для такого
вектора г мы имеем Рг = Рх + Ру, и по лемме 2.4 а(Рх) ^ о
и о(Ру) ^ а'. Таким образом, согласно лемме 2, Е (о) Рх = Рх
15 Н. Данфорд и Дж. Шварц
226 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
и Е(о)Ру = О, так что
E(o)Pz = Рх = РЕ{а) z.
Так как векторы z плотны в Ж, то Е(о)Р = PE(g), ч. т. д.
Мы выделим теперь один подкласс в dPi (T) и покажем, что он
является булевой алгеброй.
4. Определение (А, В). Символ оР2(Т) будет обозначать семей-
семейство всех множеств а, обладающих следующим свойством: для
любого вектора х из 36 и любого е > 0 существуют векторы хи х\
со спектрами о (х^) ^ о (х) а, а (х[) ^ а (х) а', такие, что
I х± + *[ — * I < е.
Ясно, что класс tf2 (Т) замкнут относительно перехода к допол-
дополнениям и содержит пустое множество и всю плоскость.
5. Лемма (А, В). Семейство tf2 (T) является булевой алгеброй.
Доказательство. Так как of2 (T) замкнуто относительно пере-
перехода к дополнениям, то для доказательства леммы достаточно
показать, что оно содержит объединение любых двух своих эле-
элементов.
Пусть Gi и о2 — множества из of2 (Г); для произвольного мно-
множества |i комплексных чисел положим
Если х лежит в 36, то поскольку а! —множество из <!?2(Т), век-
вектор х принадлежит замыканию Ш (о±о (х)) + Ш (о[о (х)). С другой
стороны, поскольку о2 лежит в tf2 (Г), многообразие Ш (а2о[о (х)) +
Ш('[()) плотно в Ш(о[о(х)). Так как по лемме 2.1
(о2о[о(х)) содержится в Ш ((at U а2) а (лс)), отсюда
непосредственно вытекает, что х принадлежит замыканию
Ш ((Oil) о2) о (х)) + Ш ((Oi[j o2y g (х)). Но это означает, что а±[}а2
содержится в ^2(Т), ч. т. д.
6. Лемма (А, В). Сужение проектор позначной функции Е
с <$Р± (Т) на булеву алгебру <У2 (Г) является спектральной мерой.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями доказательства
предыдущей леммы; предположим, что а принадлежит <?2(Т).
Так как произвольный вектор лежит в замыкании Ш (og (x)) +
+ 2ft (а'сг (я)) и так как по лемме 2 Е (a) (z + у) = z для векто-
векторов z из Ш (gg (х)) и у из W(g'g(x)), to Е(а)х лежит в
9ft (og (х)) и Е(а)х = х, если х принадлежит 9ft (асу (*)). Таким
образом, если а1? а2 —множества из &2{Т), то вектор ?"(c7i) E(g2)x
содержится в 9ft (g1g2g(x)). Следовательно,
Е (а±а2)Е (at) Е (а2) х = Е {at) E (а2) х.
3. Следствия условий (А) и (В) 227
Так как
Е (otG2) х с= m(oio2o(x)) <=
мы имеем
Е (а,) Е (а2) Е (а^) * = ? (а^) х.
Поскольку все проекторы ?(•) коммутируют с Т и, следова-
следовательно, друг с другом, из леммы 3 вытекает, что Е (а±) Е (а2) =
= ?(а1а2). Тогда мы имеем
? Ы V Е (а2) = ? (а,) + ? (а2) - Е {а,о2) =
() {о2), ч. т.д.
7. Определение (А, В). Обозначим символом <? (Т) набор тех
множеств о?<2?2(Т), для которых существуют замкнутые множе-
множества [Хд, vne<?P2(T), такие, что fxn ^ a, vn^cr', и=1, 2, ..., и
x=\lm[E(vn) + E(\in)]x, лгбЭЕ.
П->оо
8. Лемма (А, В). Семейство <?(Т) является булевой алгеброй.
Доказательство. Ясно, что tf (T) замкнуто относительно
перехода к дополнениям. Следовательно, для проверки того,
что tf (T) является булевой алгеброй, достаточно доказать его
замкнутость относительно операции образования объединения.
Пусть а, а^с^(Т), и пусть {\хп} и {vn} такие же, как в опре-
определении 7; предположим, что {\хп} и {vn} — последовательности
замкнутых множеств из &2(Т), такие, что ]In ^ a, v^a', и
х = lim {E (vn) x+ E (iin) х}, л: е 36.
П-+оо
Так как последовательность {Е (vn) + E (\in)} сильно сходится, она
ограничена (ср. И.3.6) и, следовательно, операторы Е (vn) + Е (\хп)
равностепенно непрерывны. Таким образом, мы имеем
х = lim [Е (vn) + Е (цп)] [Е (|ГП) + Е (vn)] x =
П-*оэ
= lim {E (|injin U |invn U vnjln) х + Е (vnvn) x}, x 6 36.
?1-*оо
Поскольку {[XnM'nUM'nVnUvniln} и {vnvn} являются последователь-
последовательностями замкнутых множеств из о?г(Т), содержащихся в о [jo
и (a U а)' соответственно, отсюда вытекает, что о [} о содержится
в cf (Г), ч. т. д.
15*
228 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
9. Лемма (А, В). Множество о (Т) принадлежит df (T)
и Е (а (Г)) = /. Кроме того, любое замкнутое подмножество б
резольвентного множества р (Т) лежит в df(T) и Е (б) = 0.
Доказательство. Так как а (х) s о (Т) для всех х (Е Ж, то
в силу определения 4 и леммы 2 очевидно, что а(Т) лежит в <SP2 (T)
и что Е (а (Т)) х = х для всех х 6 Ж. Так как а (Т) замкнуто
(см. VII.3.2), то в силу определения 7 ясно, что о(Т) лежит в ^(Т).
Если б <=, р (Г), то пустое множество 0 и спектр а (Т) являются
замкнутыми подмножествами в б и б' соответственно и Е @) х +
+ Е (б (Г)) л: = я. Тем самым доказано, что б содержится в JP (Т).
Так как ? (р (Т)) = 0, то ? (б) = ? (б) ? (р (Г)) - 0, ч. т. д.
10. Лемма (А, В). Пусть {от} — убывающая последователь-
последовательность множеств из<?Р(Т), пределом которой является множество а,
также лежащее в S (Т). Тогда
Е(о)х= lim Е(от)х, хбЗВ.
m-*<x>
Доказательство/ Мы хотим показать, что lim ? (am—о)х = 0
7П-*ОО
для всех х. Таким образом, без ограничения общности мы можем
перейти от рассмотрения последовательности {ат} к рассмотрению
последовательности {ат — а}, т. е. мы можем и будем в дальней-
дальнейшем без ограничения общности считать, что а пусто. Так как в силу
предыдущей леммы ? (aw) = ? (ата (Г)), можно также предпола-
предполагать, что ат ^ о (Т).
Допустим, что наше утверждение ошибочно, так что сущест-
существуют р > 0 и вектор х, такие, что | ? (ат) х \ ^ р для достаточно
больших т. Переходя к подпоследовательности, мы можем без
ограничения общности считать, что | ? (ат) х \ > р для всех т.
Для множества о из of 2 G1) положим М (а) = sup | ? (jli) x |,
И- 6 с^2 СП- Очевидно, что если v4 ^ v2, то Af (v^ ^ M (v2). Пусть
|i s v4 U v2. Так как | Е (\х) х | = | ? (jiVi) х + ? (p/vjv^ x | ^
^ М (Vi) + М (v2), отсюда непосредственно вытекает, что
М (v, U v2)< Af (v4) + Al (v2).
Поскольку
если |i ^ с, то ясно, что
M (a)< К I ?(a)x |.
Так как orm содержится в с^(Г), в ^2(Т) можно найти замкнутые
множества \лт и vm, такие, что p,m ^ am, vm ^ ог^ и
3. Следствия условий (Л) и (В) 229
Тогда
так что, полагая бт = от— fxm, мы имеем бт = ат\к'т ^ \i'm [\ \i'mvm =
= (\i>m\Jvmy; поэтому
Отсюда вытекает, что никакая конечная сумма S± U ... (J бп
не может покрыть оп. Действительно,
г=1
в то время как | Е(оп)х | ^ р. Следовательно, множество
п
п
непусто. Так как f| \it является убывающей последовательностью
непустых замкнутых подмножеств компактного множества а (Г),
оо
то Пцг=5?0. Таким образом, поскольку ц^а*, пересечение
ОО
f| ot Ф 0, но это противоречит сделанному предположению, ч. т. д.
В следующих трех теоремах подытожены результаты этого пара-
параграфа и в то же время закладывается фундамент для анализа, кото-
который будет проведен в § 4 и 5.
11. Теорема (А, В). Пусть Т — ограниченный линейный опе-
оператор в комплексном В-пространстве Ж. Тогда существует
единственная спектральная мера на поле ^{Т), обладающая сле-
следующими свойствами:
х,
Эта спектральная мера ограничена, счетно аддитивна на of (T)
и коммутирует с Т.
Доказательство. В силу определений 1, 4 и 7 имеет место
включение <SP (Т) ^ «5Р1 (Г), и потому для каждого множества б
из of (Т) по лемме 2 существует один и только один проектор Е F),
такой, что Е F) х = дс, если а (х) ^ б, и ? (б) * = 0, если a (*) ^ б'.
Лемма 2 показывает также, что | Е (б) | равномерно ограничено по б.
В силу леммы 3 ?(б) коммутирует с Г, а леммы 6, 8 и 10 показы-
показывают, что Е — счетно аддитивная спектральная мера на tf (Г), ч. т. д.
230 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
Так как поле tf (T) не обязательно является а-полем, то естест-
естественно поставить вопрос о том, можно ли спектральную меру Е
продолжить на а-поле, порожденное семейством df(T). Дальнейшие
определение и теоремы посвящены этому вопросу.
12. Определение. Символ <М (Т) будет обозначать а-полную
булеву алгебру (или а-поле), порожденную булевой алгеброй 3* (Т).
Множества из оМ (Т) называются множествами, измеримыми отно-
относительно Т, или Т-измеримыми множествами.
13. Теорема (А, В). Пусть Т — ограниченный линейный опе-
оператор в комплексном В-пространстве X, а Е — связанная с ним
спектральная мера, существование которой установлено в теоре-
теореме 11. Тогда в сопряженном пространстве Ж* существует единст-
единственное продолжение сопряженной функции Е* до спектральной меры
на а-поле оМ (Т) множеств, измеримых относительно 7\ которая
счетно аддитивна на о/И (Т) в 1-топологии пространства Ж*. Это
единственное продолжение ограничено и коммутирует с Т*.
Доказательство. Для любых векторов х из Ж и х* из Ж*
существует по теореме Хана о продолжении меры (следст-
(следствие II 1.5.9) единственное счетно аддитивное продолжение
m (e, х, х*) функции множества х*Е(е)х с 3(Т) на оМ(Т). В силу
ее единственности очевидно, что m (е, х, х*) билинейна по х и #*,
а из ограниченности \ Е (е) \ вытекает ограниченность m (e, х, х*).
Таким образом, для всякого множества е из <М (Т) существует одно-
однозначно определенный ограниченный линейный оператор А (е) в Ж*,
для которого —
хА(е)х* = m (e, х, х*).
Далее будет показано, что отображение е -> А (е) из оМ (Т) в В (Ж*)
является спектральной мерой. Очевидно, что она сохраняет конеч-
конечные дизъюнктные объединения, переводит дополнения в дополне-
дополнения, счетно аддитивна в Э?-топологии пространства $* и ограничена.
Остается только показать, чт
А (о) Аф) = А (об).
В силу сделанных выше замечаний ясно, что для фиксированного а
семейство множеств б, для которых это равенство справедливо,
является а-полем. Таким образом, если а содержится в <SP (Т),
то равенство выполнено для всех б из <М(Т). Аналогично, если б —
фиксированное множество из о?(Т), то, поскольку равенство выпол-
выполнено для множеств а из некоторого а-поля, содержащего 3* (Т),
оно должно выполняться и для всех а из оМ (Т).
Так как операторы Г и ? (б) коммутируют и А (б) = Е (б)*
для всех 6 из (У (Г), то
4. Следствия условий (А, В, С) 231
Поскольку А счетно аддитивна в Ж -топологии пространства $*,
это равенство выполнено для всех б из а-поля, порожденного семей-
семейством с^(Т), и этим доказано, что А (б) коммутирует с оператором
Т* для любого Г-измеримого множества б. Так как т (е, ху х*) =
= х*А(е)х ограничено по еу из принципа равномерной ограничен-
ограниченности (см. II.3.21) вытекает, что | А (е) | ограничено по е из о/К (Г),
ч. т. д.
—> 14. Теорема (А, В). Пусть Т — ограниченный линейный опера-
оператор в слабо полном комплексном В-пространстве 36, а Е — связанная
с ним спектральная мера, существование которой установлено в тео-
теореме 11. Тогда существует однозначно определенное продолжение Е
до спектральной меры на, а-поле о/И (Т) множеству измеримых
относительно Т, которая счетно аддитивна на S (Т) в сильной
операторной топологии. Это продолжение ограничено и комму-
коммутирует с Т.
Доказательство. Пусть А — спектральная мера в сопряжен-
сопряженном пространстве 36*, связанная с оператором Т1*, как в преды-
предыдущей теореме. Если Ж слабо полно, то А F) является опера-
оператором, сопряженным к некоторому оператору ? (б) в Ж. Для
проверки этого факта заметим, что семейство всех множеств б,
для которых существует такой оператор Е (б) в 36, что А (б) —
= Е (б)*, содержит в себе & (Т). Это семейство является также
булевой алгеброй, поскольку А — спектральная мера. Так как Ж
слабо полно, то это семейство является а-полной булевой алгеброй,
и, следовательно, оно совпадает с оМ (Т). Так как Е (б)* коммути-
коммутирует с Г*, отсюда следует, что Е (б) коммутирует с Т для любого б
из оМ (Т). Теорема 13 показывает, что? счетно аддитивна на &М (Т),
а в силу следствия XV.2.4 Е счетно аддитивна на ©# (Т) в сильной
операторной топологии. Ограниченность Е вытекает из ограничен-
ограниченности Л, ч. т. д.
4. Следствия условий (А, В, С): необходимые
и достаточные условия спектральности операторов
ТеоремА 3.14 по двум причинам оказывается недостаточной для
доказательства того, что оператор Т спектральный. Во-первых,
спектральная мера Е не обязательно является разложением
единицы для оператора Т, поскольку, если она даже и ком-
коммутирует с Г, может не выполняться включение а(Гб)^~б
{см. определение XV.2.2 или определение 1 ниже). Во-вторых, поле
& (Т) или а-поле о/И (Т) могут не содержать всех борелевских мно-
множеств. Первая из этих трудностей будет устранена предположе-
предположением (С), которое мы сформулируем ниже. Вторая из этих трудно-
трудностей приводит нас к рассмотрению операторов, спектральных отно-
232 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
сительно поля, отличного от поля борелевских множеств. Такие
операторы описаны в следующем определении:
1. Определение. Пусть 2—поле множеств в комплексной
плоскости, а Г — линейный оператор в комплексном 5-простран-
стве 3?. Спектральная мера Е на 2 называется разложением единицы
для оператора 7\ если она коммутирует с Г и выполнены соотно-
соотношения
=б, 662,
где Гб — сужение Т на Е (б) Ж. Оператор Т называется спектраль-
спектральным оператором класса B, Ж*), если он имеет ограниченное разло-
разложение единицы на 2, для которого все функции множества х*Е (•) х7
где х 6 Ж, х ? X*, являются счетно аддитивными на 2. Оператор U
в Ж* называется спектральным оператором класса B, Ж), если
он имеет ограниченное разложение единицы Л на 2, для которого
все функции множества хА(') х*, где х ? Ж, х* 6 Ж*, счетно адди-
аддитивны на 2.
Таким образом, Т является спектральным оператором тогда
и только тогда, когда он является спектральным оператором класса
(J?, Ж*), где 38 — поле борелевских множеств на плоскости.
Помимо условий (А) и (В) из § 2 и 3 в большей части дальнейших
утверждений будет делаться и следующее далее предположение (С).
Тем не менее, если в лемме или теореме используется какое-либо
из предположений (А), (В) или (С), это указывается в скобках.
(С) Для всякого замкнутого множества б комплесных чисел мно-
множество всех векторов х, для которых о (х) ^ б, также замкнуто.
2. Лемма (А, В, С). Для каждого множества б из tf± (T) и лю-
любого вектора z из Ж выполнено соотношение а(Е(Ь)г) ^ бег (г).
Доказательство. Так как б содержится в оР\{Т), то произ-
произвольный вектор г из Ж является пределом последовательности
гп = хп + Уты где а (хп) ^ б и а (уп) s б'. Таким образом,
а (Е (б) zn) = о (хп) <= б,
а так как Е(Ь)гп ->¦ ?(б)г, то из условия (С) вытекает, что
Так как Е (б) коммутирует с Т (см. лемму 3.3), то в силу леммы 2.4
очевидно, что а (Е (б) г) ^ а (г). Таким образом, а (Е (б) г) ^
s 6а (г), ч. т. д.
3. Лемма (А, В, С). Если б лежит в 54 (Т), бозгшел* в качестве
Ть сужение Т на ?F)Ж. Тогда а (Гб) <= б,
4. Следствия условий (А, В, С) 233
Доказательство. Из леммы 3.3 вытекает, что Т коммутирует
с ? (б), так что Т отображает Е (б) 96 в себя. Поэтому имеет смысл
говорить о спектре сужения Т на Е (б) Ж.
Пусть |(?6. Покажем сначала, что отображение \1 — Т взаимна
однозначно на ?(б)Э?. Если х лежит в ?(б)Э6, а (?/ — Т)х = 0,
то, поскольку
п=0
для всех больших А, очевидно, что я (Я) = я/(А, — ?), если А ^ g.
Таким образом, спектр а (я) содержит самое большее точку %т
и, следовательно, 8о(х) пусто. Так как х = Е (б) х, то в силу лем-
леммы 2 спектр а (я) пуст, а тогда я = 0 по лемме 2.2. Этим показано,
что отображение ?/ — Т взаимно однозначно на Е (б) Ж.
Теперь покажем, что (?/ — Т)?F) Э?=? (б)Х. Пусть х - ?(б)л: —
произвольная точка из Е (б) Ж. Тогда по лемме 2 а(я)^.6>
так что g g р (я). Таким образом, (?/ — Т) х (?) = х, и, следова-
следовательно, (g/ — Т) Е (б) я (?) = ?¦ (б) х = х\ тем самым показано, что
(II — Т) Е (б) Ж = Е (б) ЭЕ. Оператор ?/ — 71 поэтому отображает
Е (б) Э? взаимно однозначно на себя. Это означает, что точка ?
лежит в р(Гб), и потому а (Те) ^ б, ч. т. д.
4. Теорема. Спектральный оператор Т обладает свойства-
свойствами (А), (В) и (С). Обратно, если ограниченный линейный оператор Т
обладает этими свойствами, то он является спектральным класса
(of (Т), Ж*). Более того, Т имеет разложение единицы, счетно
аддитивное в сильной операторной топологии.
Доказательство. В теореме XV.3.2 и следствии XV.3.6 показа-
показано, что спектральный оператор Т обладает свойствами (А) и (С).
Пусть Е — разложение единицы для Т, и пусть | Е (б) | ^ К
для всех борелевских множеств б. Предположим, что спектры
о (х) и о (у) не пересекаются. Тогда по теореме XV.3.4 Е(а(х))х =
= х и Е (а (у)) у = у. Следовательно,
0 = Е(о(х)о (у)) у = Е(а (х)) Е (а (у)) у = Е (а (х)) у.
Таким образом,
\х\= \Е (а(х)) х\=\Е (а(х)) (х + у) |< К \х + у |.
Обратно, пусть ограниченный линейный оператор Т удовлетво-
удовлетворяет условиям (А), (В) и (С). Тогда по теореме 3.11 и лемме 3
Т является спектральным оператором класса (<У (Т), Ж*) с разложе-
разложением единицы, счетно аддитивным в сильной операторной тополо-
топологии, ч. т. д.
234 Гл. XVI. Спектральные операторы, достаточные условия
—> 5. Теорема. Пусть Т — ограниченный линейный оператор в сла-
слабо полном В-пространстве. При этом Т является спектральным
оператором тогда и только тогда, когда для него выполняются
условия (А), (В), (С) и следующее условие:
(D) Любое комплексное число является внутренней точкой неко-
некоторого множества из df (T) сколь угодно малого диаметра.
Доказательство. В предыдущей теореме было показано, что
спектральный оператор обладает свойствами (А), (В) и (С). Для
проверки того, что спектральный оператор Т обладает свой-
свойством (D), предположим, что б — замкнутое множество в комплекс-
комплексной плоскости, и выберем возрастающую последовательность
{бп} замкнутых множеств, объединение которых б' является допол-
дополнением к б. Пусть Е — спектральное разложение Т. Тогда .
По теореме XV.3.4, а(?(8)х)д8иа (Е (бп) х) ^ бп. Этим пока-
показано, что б содержится в ^(Т). В силу леммы 2 б лежит в ^2(^)>
а так как бп замкнуты, то выписанное выше равенство показывает,
что б содержится в of(T). Таким образом, & (Т) содержит любое
замкнутое множество и свойство (D) очевидно.
Обратно, если оператор Т удовлетворяет условиям (А) — (D),
то по теореме 4 он является спектральным класса {^{Т), $*).
Согласно теореме 3.14, разложение единицы для Т имеет единствен-
единственное продолжение до счетно аддитивной спектральной меры Е
на оМ (Г). Далее будет показано, что Л (Т) содержит все борелев-
ские множества.
Для этого возьмем открытое множество U в комплексной пло-
плоскости и компактное подмножество К в U. Тогда в силу условия (D)
любая точка р из К является внутренней для некоторого множе-
множества ар из tf (T), причем gp ^ U. Так как К — компакт, он содер-
содержится в объединении а конечного набора множеств ар. Тем самым
показано, что если /С — компактное подмножество в (/, то суще-
существует а 6 of{T), такое, что К ^ о ^ U- Поскольку U является
объединением счетного множества своих собственных компактных
подмножеств, отсюда вытекает, что U лежит в S (Т). Так как оМ (Т)
содержит все открытые множества, оно содержит и семейство 98
всех борелевских множеств.
Для завершения доказательства достаточно проверить, что
<у {Тб) s б для любого борелевского множества б. Если X (? б,
то в силу условия (D) компактное множество бсг(Т) можно покрыть
множеством а из поля tf (Т), причем Х$о. Так как Т — спектраль-
спектральный оператор класса (df(T), Ж*), то а (Та) ^ or и, следовательно,
X лежит в р(Га), но это означает, что XI — Т является взаимно одно-
однозначным отображением Е (а) Ж на себя. Поскольку аэба (Г),
4. Следствия условий (А, В, С) 235
мы имеем Е (а) з Е(8о (Т)) = Е (б) и, следовательно, Е (б) Ж
•является инвариантным подпространством Е (а) Ж. Итак, XI — Т
•является взаимно однозначным отображением Е (б) 36 на себя.
Этим доказано, что А, лежит в р(Га) и, таким образом, а (Т6) ^ б,
ч. т. д.
Мы закончим этот параграф двумя результатами о сопряженных
операторах.
6. Лемма. Пусть 2 — поле множеств в комплексной плоско-
плоскости, а Т — спектральный оператор класса B, 96*). Тогда его сопря-
сопряженный Г* является спектральным оператором класса B, Ж).
Доказательство. Пусть Е — разложение единицы для Т. Тогда
отображение а->?'(а)* из 2 в В (96*) является спектральной
мерой в Ж*. Более того, функция множества хЕ(о)*х*, очевидно,
счетно аддитивна на 2 для всех х6Ж и х*?Ж*. Пусть Х$о.
Тогда сужение XI— Т на Е(о)Ж имеет обратный Ra. Определим
б Ж оператор Ра, полагая Pa = RaE(G). Тогда ясно, что Е(о)Ро =
= Ра = РоЕ (а). Следовательно,
так что Р% отображает Е(о)*Ж* в себя. Вместе с тем (XI — T)PG==
= Е(о) и
Таким образом,
Р*о (XI* - Г*) = (XI* - Т*) Т% = Е (а)*.
Значит, сужение Р% на Е (а)*ЭЕ* является обратным оператором
к сужению XI* — Г* на Е (а)*Э6*. Следовательно, X лежит в резоль-
резольвентном множестве сужения (Т*)а оператора Г* на Е(а)*Ж*. Этим
показано, что а ((Г*)ст) ^ а, и доказательство закончено, ч. т. д.
—» 7. Теорема (А, В, С, D). Пусть Т — ограниченный линейный
оператор в комплексном В-пространстве Ж и 98 — поле борелевских
множеств плоскости. Тогда Г* является спектральным операто-
оператором класса ($?, Ж).
Доказательство. В силу условия (D) 98 ^ оМ (Т). По теоре-
тме 3.13 спектральная мера ?* предыдущей леммы может быть
продолжена с tf (Т) до спектральной меры, заданной на оМ (Т).
Тогда, как и в ^доказательстве теоремы 5, можно показать, что
<у (Т\Е (б) Ж) <=~б для всякого б из сМ (Г), ч. т. д.
236 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
5. Операторы, спектр которых лежит
на жордановой кривой
В предыдущем параграфе было установлено (см. 4.5 и 4.7),
что операторы, удовлетворяющи еусловиям (А) — (D), являются спек-
спектральными. В этом параграфе показано, что в некоторых важных
частных случаях все эти условия, кроме, быть может, условия
ограниченности (В), выполняются автоматически. Таким образом,
для специальных типов операторов условие (В) становится как
необходимым, так и достаточным условием спектральности.
1. Лемма. Условие (А) § 2 выполнено, если спектр Т\ нигде
не плотен в комплексной плоскости.
Доказательство. Если резольвентное множество плотно," то
два любых аналитических, и даже непрерывных, продолжения
R (k; T) х должны совпадать на их общей области непрерывности,
ч. т. д.
Все специальные типы операторов, которые будут рассматривать-
рассматриваться в этом параграфе, имеют нигде не плотный спектр, так что по
лемме 1 условие (А) будет для них выполнено.
Следующая теорема, применимая, в частности, к компактным
операторам, содержит топологические ограничения на спектр Т>
обеспечивающие выполнение условий (А), (С) и (D).
—» 2. Теорема. Если спектр оператора в слабо полном простран-
пространстве вполне несвязен, то этот оператор является спектральным
тогда и только тогда, когда выполнено условие (В) § 3.
Доказательство. Пусть Т — ограниченный линейный оператор
в слабо полном В-пространстве Ж. Для доказательства теоремы
в силу теоремы 4.5 достаточно показать, что Т обладает свойства-
свойствами (А), (С) и (D). Так как спектр а (Т) оператора Т вполне
несвязен, то он нигде не плотен, и по лемме 1 выполнено усло-
условие (А).
В силу теоремы VII.3.20 очевидно, что всякое спектральное
множество принадлежит ^2{Т), но тогда из определения 3.7 выте-
вытекает, что каждое спектральное множество принадлежит $ (Т).
Так как спектр вполне несвязен, любая точка спектра содержится
в некотором спектральном множестве сколь угодно малого диаметра
и потому в некотором $ (Т)-множестве сколь угодно малого диамет-
диаметра. Очевидно, что любое подмножество резольвентного множества
содержится в & (Т)\ отсюда непосредственно вытекает условие (D).
Для проверки условия (С) возьмем замкнутое множество ком-
комплексных чисел и положим
Ш (б) - {х | а (х) с= б}.
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 237
Условие (С) будет доказано, если мы проверим, что Ж(б) замкнуто.
Так как а (х) ^ а (Г), мы имеем Ж(б) = Щ6о(Т)), и можно,
следовательно, предполагать без ограничения общности, что
б ^ о (Т). Поскольку а (Т) вполне несвязно, замкнутое множе-
множество б является пересечением f| ба спектральных множеств ба.
а
Теперь очевидно, что
ЗПF) = 2И(П 6а)= П ЗйFа),
а а
и для проверки замкнутости Ж (б) достаточно убедиться в том, что
ffi (ба) замкнуты. Но поскольку ба — спектральные множества,
это вытекает из теоремы VII.3.20, ч. т. д.
Теорема 2 дает основания думать, что трудности, возникающие
при проверке условий (С) и (D), в некотором смысле связаны с на-
наличием компонент связности спектра. Оставшаяся часть этого
параграфа будет посвящена изучению того случая, когда спектр
содержится в объединении конечного числа непересекающихся
связных множеств, каждое из которых является жордановой дугой.
Прежде чем перейти к детальному анализу, приведем следующий
результат, позволяющий без ограничения общности изучать лишь
тот случай, когда весь спектр содержится в одной жордановой дуге.
3. Теорема. Пусть Т — оператор в В-пространстве Ж.
Если 3? является прямой суммой двух своих замкнутых подпро-
подпространств Hi и 9?2, каждое из которых инвариантно относительно Г,
и оба сужения Т наЖ^и Э?2 являются спектральными операторами,
то оператор Т спектрален.
Доказательство. Это следствие теоремы XV.3.10 при п = 2,
ч. т. д.
Далее в этом параграфе чаще всего будет предполагаться, что
спектр о (Т) оператора Т содержится в замкнутой жордановой
кривой Го. Чтобы избежать технических осложнений, удобно также
предполагать, что Го гладко вложена в однопараметрическое семей-
семейство замкнутых спрямляемых жордановых кривых. Более точно —
и это является основой дальнейших аналитических рассмотрений,—
мы будем предполагать, что существует функция ? = ?(/, 6),
дважды непрерывно дифференцируемая в области —1 ^ t, 6^1
своего определения и обладающая следующими свойствами. Равен-
Равенство \ (—1, 6) = ?¦ (+1, 6) выполнено для всех б в интервале
—1 ^ б ^ 1, в то время как \ (s, б) Ф \ (t, б), кроме тех случаев,
когда s = t или (s, f) является парой (—1, 1). Таким образом,
1 (•, б) является параметрическим представлением простой замкну-
замкнутой спрямляемой жордановой кривой IV Предполагается также,
что кривые Гб взаимно не пересекаются, что Гб1 лежит внутри Г^2,
238 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
если —1 ^ 6i <б2 < 1, и что Го содержит спектр а (Т). Иногда
нам нужно будет интегрировать по кривой Г6 относительно длины
дуги на ней; поэтому предполагается, что кривые Г б ориентированы
в положительном направлении (в смысле теории комплексного
переменного). Простая жорданова дуга Д^о, параметризованная
функцией ?(/<>»•)» называется трансверсалью, проходящей через
точку ko = I- (t0, 0). Основное предположение, которое мы будем
делать в большей части этого параграфа, состоит в следующем:
резольвента R (k; T) имеет конечный порядок роста, когда % стре-
стремится к точке спектра Хо по трансверсали А^о, проходящей через Х^
Это условие на порядок роста формально состоит в следующем:
(G) Спектр оператора Т содержится в спрямляемой жордановой
кривой Го, описанной выше. Кроме того, для любой точки спектра
Хо существуют два положительных числа v = v (k0) и М = М (Хо)%
зависящие от Хо и такие, что
Хотя условие на порядок роста (G) будет считаться выполнен-
выполненным в большинстве утверждений этого параграфа, оно будет форму-
формулироваться явно или указываться в скобках [как это делалось
с условиями (А), . . ., (D)] во всех теоремах, где оно используется.
Будет показано, что из этого условия роста вытекают условия (А)
и (С) и что условия ограниченности (В) и роста (G) вместе весьма
близки к тому, чтобы обеспечить спектральность оператора Т.
4. Лемма. Оператор со свойством (G) обладает также свойства-
свойствами (А) и (С).
Доказательство. Если оператор Т в В-пространстве 36 удовле-
удовлетворяет условию роста (G), то его спектр лежит на спрямляемой
жордановой кривой Го. Таким образом, спектр нигде не пло-
плотен и условие (А) вытекает из леммы 1.
Чтобы доказать (С), возьмем замкнутое подмножество б комплекс-
комплексной плоскости и положим
Покажем, что 5Ш(б) замкнуто. Для любого х имеем о(х)^
^о(Т)^Т0 и потому ЗКF) = ЗО^(бГо), чт0 позволяет нам пред-
предполагать без ограничения общности, что б является подмножест-
подмножеством кривой Го. Следовательно, множество б является пересечением
б= П ба множеств ба, каждое из которых —это дополнение в Га,
а
открытого подинтервала кривой Го. Так как
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 239
то для проверки замкнутости 501F) достаточно показать, что -Jft(Sa)
замкнуто. Другими словами, мы можем и будем предполагать в даль-
дальнейшем, что б является дополнением открытого подинтервала у в Го.
Пусть {хп} — последовательность в 96, сходящаяся к точке хг
причем р (хп) — У- Для доказательства условия (С) достаточно
показать, что р (х) з у. Для этого, очевидно, достаточно прове-
проверить, что р (х) содержит произвольный открытый подинтервал уо
в у. Пусть а и b — концевые точки у0, а С — простая жорданова
кривая, составленная из трансверсалей Аа и Аь и дуг, соединяющих
их концевые точки таким образом, что С содержит у0 в своей внут-
внутренности, пересекает Го лишь в точках а и Ь, а остальная часть Га
лежит во внешней части С.
Условие (G) показывает, что существует целое N, такое, что
равномерно по я =1, 2, ... . Таким образом, существуют откры-
открытые поддуги Na и Nb в С, содержащие а и b соответственно
и [такие, что вектор уп(Х) = (Х — a)N (X~b)Nхп (X) имеет норму
Так как л:п->л:, мы имеем
lim уп (X) = (X - а)* (Я - &)* R(X;T)x
равномерно по X из С — 7Va — Nb. Этот факт вместе с предыдущим
неравенством показывает, что при некотором целом п0, зависящем
от е, мы имеем
I Уп (Ц -УтМ I <е, X 6 С, л, т > п0.
Тем самым доказано, что последовательность {уп (Я)} сходится рав-
равномерно по Я из С. По принципу максимума модуля эта последова-
последовательность сходится равномерно на объединении С и ее внутренности
к некоторой аналитической функции у (X). Так как
у (X) = lim Уп (X) = (X-af(X- bf x (X),
п
если X $ Го, то вектор
является аналитическим продолжением х (X) во внутренность кри-
кривой С. Поскольку (XI — Т) X (X) = х, если X $ Го, отсюда следует,
что (XI — Т) X (X) = х для всех X внутри С. Таким образом, р (х)
содержит внутренность С, а так как внутренность С содержит уОу
то доказательство закончено, ч. т. д.
240 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
По предыдущей лемме и теореме 4.5 оператор Т в слабо полном
пространстве будет спектральным, если выполнены условия (В),
{G) и (D). Теперь мы исследуем условие (D) более тщательно и уви-
увидим, что условия (В) и (G) весьма близки к предположению о выпол-
выполнении условия (D). Это позволит нам заменить условие (D) разными
способами более удобными условиями. Например, будет показано,
что оператор Т в рефлексивном пространстве, удовлетворяющий
условию (G) и такой, что сопряженный к нему удовлетворяет усло-
условию (В), является спектральным.
Прежде чем перейти к этому анализу, удобно переформулировать
условие (G) в виде, более соответствующем дальнейшему исследо-
исследованию. Во-первых, очевидно, что числа v = v (Хо) и М = М (Хо),
обладающие требуемыми свойствами, существуют для любого Хо
из Го, даже если Хо и не принадлежит спектру. Можно также пред-
предполагать, что для любого Хо из Го трансверсаль Д^о лежит в круге
радиуса 1/2 с центром Хо. Это укорачивание трансверсали Д^о
может быть достигнуто заменой I (X, б) на |4 (X, 6^, где б = /Сб
и К достаточно велико. Теперь, если каждая точка А^о лежит на
расстоянии не более 1/2 от Хо, то из (G) вытекает, что
lim (X-X0)NR(X; T)=0
N-+OO
равномерно по X из А (Хо). Таким образом, существует принимающая
целочисленные значения функция v = v (Xo), определенная для всех
Хо е Го и такая, что | (X — X0)vMR (%• Г) | < 1 для всех X из
А^о, кроме А, = Хо. Другими словами, функцию М = М (Хо) в усло-
условии (G) можно без ограничения общности считать тождественно
равной единице. Таким образом, условие (G) может быть перефор-
переформулировано в следующей эквивалентной форме:
(G) Спектр оператора 7\ лежит на спрямляемой жордановой
кривой Го. Более того, существует определенная на Го и при-
принимающая целочисленные значения функция v, такая, что для
всех Хо из Го выполнено соотношение
В дальнейшем будет использоваться именно это неравенство,
а не первоначальная формулировка условия роста (G).
5. Определение. Принимающая целочисленные значения функ-
функция v, определенная на Го и удовлетворяющая предыдущему
неравенству, называется индексной функцией оператора Т. Интер-
Интервалом постоянства относительно Т называется непустой открытый
подинтервал Го, на котором некоторая индексная функция опера-
оператора Т постоянна. Точка X из Го называется регулярной относи-
относительно Г, если она принадлежит некоторому интервалу постоянства
и если, кроме того, существует такое натуральное число п, что
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 241
многообразие
плотно в Ж.
Следует заметить, что если
то, применяя оператор (Т — Х1)п к обеим частям этого равенства,
мы получаем включение
(T-XI)nt<=i(T-XIfn1?.
Так как многообразия (Т — XI)m Ж монотонно убывают с увеличе-
увеличением т, отсюда вытекает, что
(Г — Х1)пЖ<=(Т-Х1)п+1Х.
Поскольку многообразия {я | (Т— XI)mx = 0} монотонно возрас-
возрастают с ростом т, отсюда вытекает, что множество
(Т— XI)n+1 Зе = {х | (Г — XI)n+1 x = 0}
плотно в 36. В силу индуктивных рассуждений ясно, что многооб-
многообразие
(Т - XI)n+k Ж + {Х\(Т- XI)n*h х = 0}
плотно в Не при любом k ^ 0. Этот факт для дальнейших ссылок
мы сформулируем в виде следующей леммы:
6. Лемма. Комплексное число X регулярно относительно] Т
тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором интервале
постоянства относительно оператора Т и для всех достаточно
больших натуральных п многообразие
плотно в 96.
Следует также отметить, что всякая точка X из Го, лежащая
в резольвентном множестве оператора Г, регулярна относительно Т.
Это верно, так как резольвентное множество открыто, а резольвен-
резольвента R (Х\ Т) непрерывна, а потому X лежит внутри некоторого интер-
интервала, на котором некоторая индексная функция постоянна. Для
точек X из резольвентного множества выполнено также и условие
плотности определения 5, так как для таких точек X верно соотно-
соотношение (Т — Х1I = Э6.
7, Лемма (А). Если (Х01 — Т)пх = 0 для некоторого натураль-
натурального п и некоторого вектора хфО, то о (х) = {^0}-
16 Н. Данфорд и Дж. Шварц
242 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
Доказательство. Так как соответствующие суммы конечны,
то ряд
оо П—1
(l)J ТУх= У (-1)J
сходится для любого X Ф Хо и его сумма удовлетворяет равенству
(XI — Т) X (X) = х. Таким образом, X (X) является аналитическим
распространением R (X; Т) х на дополнение^ {Хо}. Это означает,
что а (х) ^ {Хо}. Поскольку по лемме 2.2 спектр а (х) не пуст.
а (х) = {Хо}, ч. т. д.
8. Лемма (В, G). Всякий замкнутый подынтервал кривой Го,
концевые точки которого регулярны относительно Т, принадлежит
<?i(T).
Доказательство. Пусть у — замкнутый подинтервал Го, конце-
концевые точки Хи Х2 которого регулярны относительно Т. Очевид-
Очевидно, что, делая соответствующую замену параметра s функции
I (s, 6), мы можем считать, что Хх =( I (—1/2, 0) и Х2 = I A/2, 0).
Так как Xt и Х2 — внутренние точки интервалов постоянства отно-
относительно Ту найдется г >> 0, такое, что для точек Хо, удовлетворяю-
удовлетворяющих одному из условий ! Хо — VI < б или | Хо — Х2 I < 8, выпол-
выполняется неравенство
(i) | Я-Xof | (R (X; Т) |< 1, Яо фХ\е Дяо,
для всех достаточно больших значений N. В силу леммы 6 натураль-
натуральное N можно зафиксировать так, что будет выполнено неравенство
(i), а оба многообразия
WiXil-Tf *=0}, /=1, 2,
будут плотны в X. Поскольку Ш2 плотно в X, многообразие
{XJ - Tf Ш2 + {х\ (XJ ~Tfx= 0}
плотно в $, так что
также плотно в 36. По лемме 7 а (х) cz yf если {XJ — T)Nx = 0
для i = 1 или i = 2, так что для доказательства настоящей леммы
достаточно показать, что всякий элемент вида у = (XJ — T)N x
X (X2I — T)Nx может быть приближен сколь угодно точно суммой
Zi + z2, где a(Zt) содержится в у, а а(г2) содержится в дополнении у'.
На самом деле будет доказано больше, а именно мы покажем,
что Zi и г2 можно выбрать так, что сумма гх + z2 сколь угодно
близка к{/,а спектры a(z4) и о(г2) лежат внутри у и у' соответствен
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 243
но. Используя операционное исчисление гл. VII, мы получаем
(ii) y=(Xil-T
Трансверсали Д^ и Д^2 делят кольцевую область между 1\ и Г_4
на два односвязных куска, каждый из которых ограничен кривой,
состоящей] из дуг Д^, Ак2 и частей кривых Гь Г^. Пусть кусок,
Рис. 1.
содержащий у> обозначен через Aiy а ограничивающая его поло-
положительно ориентированная кривая — через С4. Пусть кусок, содер-
содержащий дополнение у\ обозначен через|Л2, а ограничивающая его
положительно ориентированная кривая — через С2. Так как под-
интегральное выражение в представлении'(ii) вектора у ограничено^
йа Ci и С2, мы имеем
где
(iii)
i=i, 2.
Покажем, что усх можно аппроксимировать сколь угодно точно
векторами, спектры которых лежат внутри Си а уС2 можно аппрок-
аппроксимировать сколь угодно точно элементами, спектры которых лежат
внутри С2. Подробное доказательство будет приведено только в слу-
случае ус2, но доказательство для г/сл совершенно аналогично.
Пусть Дё, Де — трансверсали, проходящие через точки
S ((—1/2 — е), 0), I (A/2 + е), 0) соответственно. Пусть А\% А\ —
16*
244 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
две односвязные области, на которые кольцевая область между 1\
и Г^ делится трансверсалями Дё и Д?. Пусть А% — одна из этих
областей, содержащаяся в Л2, и С% — ограничивающая ее кривая.
В силу условия (i) подинтегральное выражение в (iii) равномерно
ограничено, и элементарный подсчет с использованием теоремы
Лебега об ограниченной сходимости показывает, что
yc2=limyce,
8->0 2
где
= Ш J (Я* ~
Таким образом, для проверки того, что ус^ является пределом
последовательности векторов, спектры которых лежат внутри С2,
достаточно показать, что спектр а (усе\ содержится в А%. Очевидно,
что интеграл
аналитичен по g вне А\. Так как
01 -Т) IШ = 2^ J (Я1~^<fo-b
ct
то / (l) является аналитическим распространением R (I; T) yQtt
Таким образом, р(усе) целиком содержит дополнение А\, и потому
спектр а (усе) содержится в Л|, ч. т. д.
9. Следствие (В, G). Пусть у — замкнутый подынтервал кри-
кривой Го, концевые точки Xit X2 которого принадлежат интервалам
постоянства относительно оператора Т. Тогда для достаточно
больших N многообразие (kj — T)N (X2I — T)N% содержится
в замкнутом многообразии, порожденном векторами вида zt + z2,
где a(Zi) лежит внутри у, а а(г2) — внутри дополнительной дуги у'.
Доказательство. Именно это утверждение и было на самом
деле доказано в предыдущем доказательстве, ч. т. д.
10. Лемма (В, G). Если множество регулярных относительно
оператора Т точек плотно в Го, то любой замкнутый подинтервал-
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 245
кривой Го, концевые точки которого регулярны относительно опе-
оператора Ту содержится в tf (T), а каждое борелевское подмножество
плоскости измеримо относительно Т.
Доказательство. Пусть у — замкнутый подынтервал Го, конце-
концевые точки которого регулярны относительно Т. Так как точки,
регулярные относительно 7\ плотны в Го, существует возрастаю-
возрастающая последовательность {уп} открытых\ подинтервалов Го, каж-
каждый элемент которой имеет регулярные концевые точки, лежащие
в дуге у\ дополнительной к у, объединение которых есть полная
дуга у'. По лемме 8 все интервалы у к упу п = 1, 2, .../ лежат
в <!fi(T). Так как у содержится в tf^ (T), то для любого х из Ж
и 8 > 0 существуют векторы у и z, такие, что
j
Так как а (г)-— компакт, то yn37n3a(z) для всех достаточно
больших п. Таким образом, по лемме 3.2 [Е (y) + E(yn)](y + z) =
= y + z для всех больших п. В силу_предположения ограничен-
ограниченности (В) нормы проекторов Е (у) + Е (уп) ограничены по п, и, так
как б > 0 произвольно, мы имеем
(i) jc=
Из леммы 4 тогда вытекает, что Т обладает свойствами (А) и (С),
и в силу леммы 4.2 очевидно, что
(ii) а (Е (у) х) с= уа (х), а (Е (уп) х) <=упв (х).
Соотношения (i) и (ii) показывают, что у лежит в <F2 (T). Так как
у — произвольный замкнутый подинтервал Го, концевые точки
которого регулярны относительно Т, мы доказали, что замыкание
уп также лежит в ofziT). Таким образом, из соотношения (i) и опре-
определения 3.7 вытекает, что у содержится в of(T). Поэтому всякое
борелевское подмножество кривой Го измеримо относительно Т.
По лемме 3.9 всякое подмножество в р (Т) лежит в d? (T) и, следо-
следовательно, является измеримым относительно Т множеством, ч. т. д.
В силу леммы 10 нам следует искать условия, при которых точ-
точки Го, регулярные относительно Г, плотны на Го. Некоторые резуль-
результаты в этом направлении будут получены в следующих четырех
леммах.
11. Лемма (G). Объединение всех интервалов постоянства
относительно оператора Т является открытым множеством, плот-
плотным в Го.
Доказательство. Очевидно, что объединение интервалов посто-
постоянства открыто. Для проверки его плотности возьмем замкнутую
246 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
поддугу у в Го положительной длины и положим
В силу второго представления множества уп очевидно, что оно
замкнуто, а из условия (G) вытекает, что всякая точка из у является
точкой одного из множеств уп. Таким образом, по теореме Бэра
о категориях (см. 1.6.9) одно из множеств уп содержит нетривиаль-
нетривиальный подинтервал из у, ч. т. д.
12. Лемма (G). Если точечный спектр сопряженного опера-
оператора Т* не содержит нетривиальных поддуг кривой Го, то множе-
множество регулярных относительно Т точек плотно в Го.
Доказательство. Если X не лежит в точечном спектре операто-
оператора, сопряженного к 71, то не существует функционала х* Ф О,
для которого х* (XI — Т) Ж = 0. В силу теоремы Хана — Банаха
это означает, что (XI — Т)Ж плотно в Ж. Поэтому если X содер-
содержится в некотором интервале постоянства относительно операто-
оператора Ту то X регулярно относительно Т. Таким образом, настоящая
лемма вытекает из леммы 11, ч. т. д,
13. Лемма (G). Если пространство 1 рефлексивно и функция,
тождественно равная единице на Го, является индексной функцией
для Ту то каждая точка из Го регулярна относительно Т.
Доказательство. Очевидно, что кривая Го сама является интер-
интервалом постоянства относительно Т. Пусть х — произвольный
вектор из Ж, Хо - - произвольная точка на Го, а {Хп} — последова-
последовательность точек трансверсали Д^о, причем Хп ф Хо и Хо = limA^.
Так как 36 рефлексивно, ограниченная последовательность
{(Хп — Хо) R (Хп; Т) х} содержит подпоследовательность, слабо схо-
сходящуюся к некоторому элементу у из X (см. теорему П.3.28).
Заменяя последовательность {Хп} надлежащим образом выбранной
подпоследовательностью, мы можем поэтому предполагать, что
в слабой топологии
Тогда (Х01 — Т) у является слабым пределом последовательности
-71) R (К; Т) х = (Хп-Хо) х- (Х0-ХпJ R (К; Т) х,
а этот предел, очевидно, равен нулю. Итак, (Х01 — Т) у =0.
Далее будет показано, что вектор х — у лежит в замыкании мно-
многообразия (Х01 — Т) X. Для этого в силу следствия П.3.13 доста-
достаточно проверить, что х* (х — у) = 0 для всякого линейного функ-
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 247
ционала #*, обращающегося в нуль на (Х01— Т) Ж. Если х*—
такой функционал, то Г*л:* = Х0х*9
а потому
***/= lim х* (kn — h) R (К; Т)х = х*х
и х*{х— у) = 0. Этим показано, что произвольный вектор х из Ж
является суммой вектора у, такого, что (Х01 — Т) у = 0, и вектора
х — у из замыкания (Х01 — Т) Ж. Так как Хо — внутренняя точка
некоторого интервала постоянства относительно Т, она является
регулярной точкой относительно Т, ч. т. д.
14. Лемма (G). Если Ж рефлексивно и сопряженный оператор Т*
удовлетворяет условию ограниченности (В), то регулярные относи-
относительно Т точки плотны в Го и> в частности, каждый интервал по-
постоянства относительно Т целиком состоит из регулярных точек.
Доказательство. В силу глеммы И достаточно показать, что
точка Ко из интервала постоянства относительно Т регулярна.
Так как а (Г*) = а (Г) и R (X; Г*) = R (X; Г)*, оператор Г* так-
также удовлетворяет условию роста (G), а каждая индексная функция
для Т является также индексной функцией для Т*9 и наоборот.
Применяя следствие 9 к оператору Т* и интервалу, состоящему
из единственной точки Хо, мы видим, что при достаточно больших N
любой элемент многообразия (А,о/* — Г*)^3?* может быть аппрок-
аппроксимирован элементами г*, такими, что Хо (J а (г*). Для доказатель-
доказательства того, что Хо регулярна относительно 7\ покажем, что для таких
N многообразие
(i) (V-Т f Зе + {х | (V-T)Nx = 0}
плотно в Ж. Для этого в силу теоремы Хана — Банаха (см. след-
следствие II.3.13) достаточно проверить, что функционал х* = 0 явля-
является единственным функционалом, обращающимся в нуль на много-
многообразии (i). Пусть х* — такой функционал. Тогда
(ii)
Для проверки того, что х* = 0, докажем сначала включение
Если A11) неверно, то, поскольку X рефлексивно, из теоремы Хана —
Банаха (см. следствие Н.3.13)^вытекает существование такого век-
вектора х в ЭЕ,гчто х*х Ф 0 и [(X0I* ^-;71*)iVX*] х = 0, но это означает,
что (Х01 — T)N х = 0. Так как х* "обращается в нуль на многооб-
многообразии (i), то х*х = 0, но это противоречит неравенству х*х Ф 0
и устанавливает соотношение (ш).
248 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
Теперь из соотношений (ii) и (iii) можно заключить, что л:* = 0.
Для этого заметим сначала, что, согласно лемме 7, мы имеем
а (х*) = {Хо}. В силу леммы 9, примененной к оператору Т* и ин-
интервалу, состоящему из единственной точки Хо, существует последо-
последовательность {#*}, сходящаяся к л:*, причем Хо (J а (л:*). Так как Т*
удовлетворяет условию (В), мы имеем
Цс* I < К\ х* — х? | -* 0,
так что х* = 0. Этим завершается доказательство того, что много-
многообразие (i) плотно в $; тем самым доказано, что Ко — регулярная
относительно Т точка, ч. т. д.
Предыдущие леммы вместе с общими критериями, данными
в теоремах 4.5 и 4.7, позволяют сформулировать совокупность
условий, достаточных для того, чтобы оператор был спектральным.
Это будет сделано в двух следующих утверждениях.
—> 15. Теорема. Если ограниченный линейный оператор в слабо
полном пространстве удовлетворяет условию ограниченности (В)
и условию роста (G), то он является спектральным оператором при
выполнении одного из следующих условий:
(a) точечный спектр сопряженного оператора не содержит
нетривиальных noddy г кривой Го;
(b) пространство рефлексивно, и функция
v (X) = 1, % е Го,
является индексной функцией для оператора;
(c) пространство рефлексивно, и сопряженный оператор удов-
удовлетворяет условию ограниченности (В).
Доказательство. Если ограниченный линейный оператор Т
в слабо полном пространстве обладает свойствами (В) и (G),«
то по лемме 4 он обладает свойствами (А) и (С). Таким образом,
в силу теоремы 4.5 для доказательства этой теоремы достаточно
показать, что Т обладает свойством (D). По лемме 10 условие (D)
будет выполнено, если точки, регулярные относительно Т, плотны
в Го. Таким образом, леммы 12, 13 и 14 дают требуемые утвержде-
утверждения, ч. т. д.
16. Теорема. Пусть Т — ограниченный линейный оператор
в В-пространстве $, удовлетворяющий условиям (В) и (G), а 98 —
поле борелевских множеств плоскости. Тогда сопряженный оператор
Т* является спектральным класса {$, Ж), если выполнено одно из
условий (а), (Ь), (с) предыдущей теоремы.
Доказательство. Доказательство такое же, что и в предыдущей
теореме, только вместо теоремы- 4.7 надо воспользоваться теоре-
теоремой 4.5, ч. т. д.
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 249
По аналогии с конечными матрицами, принимая во внимание
теорему XV.6.7, следует ожидать, что спектральный оператор Т,
удовлетворяющий условию роста (G), будет спектральным операто-
оператором типа т — 1 тогда и только тогда, когда постоянная функция
v (?) = т является индексной. Для удобства ссылок это условие
роста конечного порядка формулируется в виде следующего опре-
определения:
17. Определение. Говорят, что ограниченный линейный опе-
оператор Т удовлетворяет условию роста (Gm), если] его спектр
лежит на кривой Го и при некоторой постоянной М
I (I - U)mR (Ь>; Т) |< М, g 6 Го, 0< | б |< 1,
где ?б — пересечение трансверсали Д$ с кривой Г$.
-» 18. Теорема. Ограниченный линейный оператор Т в гильберто-
гильбертовом пространстве, спектр которого лежит на жордановой кри-
кривой Го, является спектральным оператором типа т — 1 тогда
и только тогда, когда оба оператора Т и его сопряженный удов-
удовлетворяют условиям (В) и (Gm).
Доказательство. Если Т — спектральный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве 36, то, поскольку Ж рефлексивно, сопря-
-женный Т* по лемме 4.6 является спектральным оператором.
По теореме 4.4 и Г, и Г* удовлетворяют условию ограниченно-
ограниченности (В). Далее, если Т — оператор типа m— 1с радикальной
частью N и разложением единицы ?, то
тп— 1
E(Т)
j
П=0 E(Т)
откуда видно, что Т, а следовательно, и Т* удовлетворяют усло-
условию (Gm).
Обратно, пусть Т и его сопряженный удовлетворяют условиям
(В) и (Gm). В силу теоремы 15 (с) ясно, что Т — спектральный
оператор, и потому надо лишь доказать, что Т оператор типа
т— 1.
В доказательстве будут использованы римановы интегралы типа
@ J F{l)E{d%
a(D
где Е — разложение единицы для 7\ a F — операторнозначная
функция, определенная на спектре а (Т), непрерывная в равномер-
равномерной операторной топологии и такая, что
(И) F (I) T = TF (|), 1?о(Т).
250 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
В силу следствия XV.3.7 F(Q коммутирует с проекторами Е, т. е.
(iii) F?) E(a) = Е(а) F(l)9 I 6 р(Л,
для всякого борелевского множества а. Если л = {а4, . . ., ап},
я' = {о[у . . ., а;} — два разбиения а (Т) и ?*€<?*, I; 6 <*¦>,
х = 1, . . ., п, j = 1, . . ., п\ то, используя соотношение (iii)
и лемму XV.6.8, мы видим, что для некоторой постоянной К выпол-
выполнено неравенство
= 13 2^ (?1) -Fk®)} E (ою-) |<К sup | F A0 -F (I/) I,
2=1 i=l
где верхняя грань берется по всем i и /, для которых пересечение
aj-a} непусто. Если под нормой | я I понимается величина
|jt|= max
то ясно, что предел
существует в равномерной операторной топологии для всякой
функции F на а (Т), непрерывной в равномерной операторной топо-
топологии и удовлетворяющей условию (ii). Этот предел определяет
риманов интеграл (i). Ясно, что этот интеграл линеен по F и удов-
удовлетворяет неравенству
(iv) [ F (t)E№ |</C sup \F(l)\.
Если F и G—двеТнепрерывные операторнозначные функции, удов-
удовлетворяющие условию (ii), то, поскольку
1=1
мы получаем, что
) (jj G(lj)E{<*,))= § F(b)Q(b)E{ot),
;=1 i=l
(v) { j F(l)E(d%)} { j G(l)?(d|)}= j F(t)G(t)E(dt).
a{T) g(T) a(T)
Далее будет показано, что
(vi)
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 251
В доказательстве соотношения (vi) будет использован интеграл
(vii) /(i*.v)=-sr J (^-бНт-БГДй;?1)^
где |i, у — точки на Го, а при 0 < б ^ 1 контур Сб (|i, у) является
положительно ориентированным контуром, который проходит через
|х и у и определяется следующим образом. Для произвольной точки I
С6(»,у)
Рис. 2.
из Го обозначим через ?б пересечение трансверсали, проходящей
через ?, с кривой Гб. Кривая С& (\i> у) является положительно
ориентированной жордановой кривой, проходящей через точки
Цб, Тб, Т-б, И--6 и состоящей из поддуг кривых Гб, Av, Г_б, Аи.
Кривая Сб (}х, у) определяется таким образом, что она содержит
внутри себя внутренность направленного сегмента (|л, у) ориенти-
ориентированного контура Го. Подинтегральное выражение / (I) в / (\iy у)
определено и непрерывно в каждой точке кривой Сб (\i, у), за исклю-
исключением [х и у. В силу условия (Gm) функция / (I) ограничена на
Сб (щ у). Следовательно, интеграл / (\х, у) существует и, очевидно,
не зависит от б, так как / (?) имеет особенности только на Го.
Покажем сначала, что / (\i, у) -> 0 при \ \i — у \ -> 0. Пусть
е > 0 произвольно и зафиксировано такое б >> 0, что длина каж-
каждой из дуг (х_б|Лб и V-бТб меньше е. Выберем /С8, так, чтобы
и аеГ>0 так, чтобы обе дуги у-бМ-б и \х^уб имели длину, мень-
меньшую чем е//Се, если только |jjl — у|<а8. Тогда при |fi — у|<ае
мы имеем
откуда видно, что / (\iy у) -> 0, если | \х — у I -> 0.
252 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
Заметим далее, что спектр любого вектора вида / ((л, у) х содер-
содержится в направленной замкнутой дуге \ху. Чтобы убедиться в этом,
выберем точку Я,, лежащую в р(Т) и вне Са([х, у). Тогда из резоль-
резольвентного тождества вытекает, что
v)
а интеграл в правой части этого равенства дает аналитическое рас-
распространение R(k; T)I(\i; у)х во все точки, лежащие вне Сб (\i, у).
Таким образом, спектр а (/ ([л, у) х) содержится в замкнутой дуге
\iy. Поэтому если замкнутые интервалы [[л, vl и 1мЛт'1 на Го
не пересекаются, то в ^силу следствия XV.3.3 мы имеем
? ([|i, YD / (l*\ Y') = 0.
Пусть \iny (л, у, уп — упорядоченное множество на ориентированной
кривой Го, причем \in -> |i и Yn -> Y- Тогда ? ([[л, yl) / (yn, \hd = 0.
Так как
- Т)те (Т/ -Т)т = 1 ((лп, JL) + / ((л, т) + / (Y, Yn) + / (Yn. fO3
и / (|Лп, |л) -> 0, / (y, Yn) ->¦ 0, отсюда вытекает, что
? (fji, Y» (I*/ - ТР (?/ - Л = / (IX, Y).
Пусть теперь Го разбита на п непересекающихся подинтерва-
лов ai9 . . ., оп, каждый длины L/n, где L — длина Го, и пусть
Ёь ?2, • • .. In, In+i = Ei — упорядоченная в соответствии с по-
положительной ориентацией Го последовательность концевых точек
этих отрезков. Тогда в силу предыдущего равенства
(viii) Е (а) A,1 - Т)т (W -T)m = I (lh tj+i).
Положим теперь б = 1/п, так что длина С& (ljf lj+i) имеет поря-
порядок 1/п. Из соотношений (vii) и (viii) вытекает, что
и, таким образом,
п
дт
Элементарные соображения, связанные с непрерывностью, показы-
показывают, что сумма, норма которой появилась в левой части последнего
неравенства, стремится к интегралу \ (?/ — TJm E (dQt когда
а(Т)
п-> оо, и потому это неравенство устанавливает соотношение (vi).
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 253
Далее будет доказано, что
(ix) J (U-T)jE(dl) = 0, j^m.
о(Т)
В силу соотношения (vi) это равенство можно доказать по индукции
по убывающим /. Таким образом, мы покажем, что соотношение (ix)
выполнено для целого / ^ т, если оно выполнено для целого числа
/ + 1. Для этого обозначим через ?б точку пересечения кривой Г6
с трансверсалью Д|, проходящей через точку ? на Го, и положим
R Aб) = R Eб; Т). Тогда в силу (iv) и условия (Gm) мы имеем
(Т)
| j
О(Т)
это неравенство показывает, что
С другой стороны, в силу соотношения (? — %>бI = (%1 — Т) —
— (|б/ — Т) ясно, что
J (t-
<j(T) )
j4-i
+ 2(-i)r(/t1) J W
r=l O(T)
Но ввиду соотношения (v) и предположения индукции
j
О(Т)
Так как \im(^I — T)r~l =(ll — T)r~l в равномерной операторной
6-»-0
топологии, из (iv) вытекает, что
тем самым равенство (ix) доказано для всех / ^ пг. Далее, если S —
скалярная часть оператора Т, то
о=
j J
а(Г) г=0 а(Г)
m
r=0
254 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
т. е. Nm = 0. Тот факт, что Т является оператором типа m— 1,
вытекает теперь из теоремы XV.5.4, ч. т. д.
Спектральная теорема для ограниченного самосопряженного
оператора Т в гильбертовом пространстве вытекает из теоремы 18.
Это будет показано в следующем параграфе.
Другой частный случай — это случай, неограниченный аналог
которого (XVIII.2.39) полезен при рассмотрении несамосопряжен-
несамосопряженных сингулярных краевых задач для дифференциальных операторов
второго порядка, изученных Наймарком. Однако ввиду особой
природы этого случая можно провести независимое доказательство,
более короткое, чем доказательство теоремы 18, что мы сейчас и сде-
сделаем. В этой теореме спектр оператора Т лежит на гладкой кривой
Го, как это описано при обсуждении условия роста (G). Нет, одна-
однако, необходимости делать предположение о выполнении условия
роста, поскольку оно будет вытекать из других предположений.
-» Теорема 19. Пусть Т—оператор в рефлексивном пространстве
36 и его спектр лежит на кривой Го. Кроме того, пусть Ис0, 2Е*—
плотные линейные многообразия в пространствах Не и Не* соот-
соответственно, обладающие следующими тремя свойствами:
(i) для векторов х0 из Жо и хо из Ж о существует постоянная
K{xt,xQ), такая, что
(ii) для любых векторов х0 из Ло и х% из Ж* пределы
R+ (К х; х0) = lim xtR (I (t, 6); T)x0
6-0+
R'(K 4, *0)= Hm xtR(l(t, 6); T)x0
6-0-
существуют во всех точках К = ? (/, 0) кривой Го;
(iii) существует постоянная М, зависящая только от операто-
оператора Т и такая, что
J \R+(X, xt, xo)-R-(X,xl xQ)\ds^M\xt\\x0\,
o(T)
где s — длина дуги на Го.
Тогда Т — спектральный оператор скалярного типа, спектраль-
спектральное разложение которого определяется по формуле
(iv) *o?(a)*b = -257-j {R+(Kxtfx0)-R-(Kxt xo)}dX.
j
Доказательство. Пусть 8>0и/ — однозначная функция, ана-
аналитическая в окрестности кольцевой области, ограниченной кри-
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кривой 255
выми Гб и Г_б. Тогда (см. определение VI.3.9)
- J
Г
^ J
Гб Г-6
где оба интеграла берутся при обходе контуров в положительном
направлении. В силу предположений (i) и (и) эта формула может
быть переписана в виде
= 4a J f(b){R+(K *о, хо)-1Г(Ъ xt xo)}dK
Го
о» *o€#o- Так как подинтегральное выражение обращается
в нуль, если А, лежит в резольвентном множестве, то
(v) 4/ (Л *6 = 2йГ J
В силу предположения (Ш) правая часть равенства (v) определяет
для любой ограниченной борелевской функции / на а (Т) непрерыв-
непрерывную билинейную форму (/, jcj, jc0), которая, поскольку 9f0 и Ж*
плотны, имеет единственное расширение до ограниченной билиней-
билинейной формы (/, #*, х), определенной для всех х из 36 и х* из ЖГ
Так как 96 рефлексивно, отсюда вытекает существование однознач-
однозначно определенного оператора / (Г) в 96, для которого выполнено
условие (v). Отображение / -> / (Т) является гомоморфизмом алгеб-
алгебры аналитических функций /, а поскольку любая непрерывная
функция на Го является равномерным пределом аналитических
функций, отсюда следует, что это отображение также является
гомоморфизмом алгебры непрерывных функций. Чтобы убедиться
в том, что оно является и гомоморфизмом алгебры ограниченных
борелевских функций, заметим следующее: для фиксированной
непрерывной функции g множество всех ограниченных борелевских
функций /, для которых выполнено соотношение
(vi)
содержит все непрерывные функции. Более того, если равенство (vi)
выполнено для каждой'функции из равномерно ограниченной пото-
поточечно сходящейся последовательности {/п}, то из^ соотношения (v)
вытекает, что (vi) выполнено и для предельной функции / = lim/n.
Таким образом, соотношение (vi) справедливо для всех ограни-
ограниченных борелевских функций / и всех непрерывных функций g.
Повторное использование этих рассуждений показывает, что (vi)
выполнено также и тогда, когда обе функции / и g ограниченные
борелевские. Таким образом, операторы f(T) и g(T) коммутируют,
и, как показывает равенство (v), удовлетворяют неравенству
(vii) l/COI<Af sup
Я?(Г)
256 Гл. XVI. Спектральные операторы', достаточные условия
Эти факты означают, что оператор Е (а), определяемый соотноше-
соотношением (iv), является ограниченной спектральной мерой, которая,
согласно теореме IV. 10.1 Орлича — Петтиса, счетно аддитивна
в сильной операторной топологии. Для проверки того, что Е являет-
является спектральным разложением для оператора Т, достаточно поэтому
показать, что для любого борелевского подмножества а в а (Т)
спектр сужения Т I Е(а)Ж содержится в а. Для каждого ? (J а
определим ограниченную борелевскую функцию Г| соотношением
Г| (А,) = (g — ^)-1Ха (tyy гДе %<т — характеристическая функция а.
Тогда Г| (Т) (il — Т) = Е (а); это равенство показывает, что
<т (Т | Е(о)Ж) ? а и что Т — спектральный оператор. Из соот-
соотношения (vii) вытекает теперь, что Т — скалярный оператор, ч. т. д.
6, Самосопряженные операторы
в гильбертовом пространстве
Цель этого параграфа — показать, как теория спектральных
операторов может быть использована для получения классической
спектральной теоремы в гильбертовом пространстве, т. е. теоремы,
утверждающей, что ограниченный самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве является спектральным оператором
скалярного типа. Для этого читателю следует вспомнить, что огра-
ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве Э? называется
самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным в смыс-
смысле гильбертова пространства, т. е. Т = Т*. Скалярное произве-
произведение векторов х и у из Ж мы будем, как обычно, обозначать через
(х, у). Для того чтобы можно было воспользоваться теорией спек-
спектральных операторов, нам необходимы две леммы. Эти леммы
покажут, что предположения теоремы 5.18 выполнены в случае
самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
1. Лемма. Если Т — ограниченный самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве, то его спектр веществен, и для любо-
любого невещественного а мы имеем
W
Доказательство. Если а невещественно, то разложение скаляр-
скалярного произведения ((а/ — Т) х, (а/ — Т) х) приводит к отношению
| (а/ — Т) л: |2 = | Im (а) л:|2 + | (Re (а) / — Г) л: |2>| Im (а) |21 л: |2,
так что
Это показывает, что (а/ — Т) существует как ограниченный опе-
оператор, откуда сразу же вытекает замкнутость образа (а/ — Т)ЗЕ.
7. Упражнения 257
Следовательно, остается только доказать, что образ (а/ — Т) ЗР
плотен. Если вектор у ортогонален к этому многообразию, то
о=((«/-г) х, у)=(х, (*i-T)y), *еэе,
откуда вытекает, что (а/ — Т) у = 0. Так как а невещественно,
то у = 0 и (см. лемму IV.4.4) (а/ — Т) ? = Ж, ч. т. д.
2. Лемма. Самосопряженный оператор в гильбертовом прост-
пространстве удовлетворяет условию ограниченности (В).
Доказательство. Так как ортогональные векторы х, у удов-
удовлетворяют соотношению | х + у |2 = | х |2 + | у |2, достаточно по-
показать, что х ортогонален к у, если их спектры а (л:) и а (у) отно-
относительно самосопряженного оператора Т не пересекаются. В этом
случае функция
(R(l; Т)х, у)=(х, R(k; T)y) = (R(I;T) у, х)
аналитична, если либо Щ а (х), либо X ^а (у). По лемме 1 спектр
а {у) веществен, так что функция (R (к\ Т) хуу) аналитична всюду.
Разложение (см. VI 1.3.4)
показывает, что функция (R (к; Т) х, у) обращается в нуль в беско-
бесконечности и, следовательно, тождественно равна нулю. Таким обра-
образом, коэффициент (я, у) = 0, ч. т. д.
-» 3. Теорема. Ограниченный самосопряженный оператор в гиль-
бертовом пространстве является спектральным оператором
скалярного типа.
Доказательство. В силу лемм 1 и 2 теорема 5.18 пока-
показывает, что ограниченный самосопряженный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве является спектральным оператором типа 0,
но это и означает, что он является оператором скалярного типа,
ч. т. д.
7. Упражйения
В некоторых упражнениях будут использованы следующие
обозначения. Символом Т обозначается ограниченный линейный
оператор в комплексном jB-пространстве Ж. Для любого вектора х
из Ж символ [х] используется для обозначения замкнутого линей-
линейного многообразия, порожденного всеми векторами R (?; Т) х, где
? 6 р (Т). Если о—замкнутое множество комплексных чисел,
то через Ш (а) обозначается множество всех векторов х, спектр
которых содержится в а и, как обычно, ^(а) обозначает класс всех
комплекснозначных функций, однозначных и аналитических в от-
открытом множестве, содержащем а.
17 Н. Данфорд и Дж. Шварц
258 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
1. Для любого вектора х из ЭЕ выполнены соотношения
(a) х?[х];
(b) f (T) [х] ^[х], fe^(oСО);
(c) х{Ъ)?[х], %е р(х);
(d) l!i]sM, y€[x].
(e) Если а — связная компонента резольвентного множества
р (я), содержащая некоторую точку из р (Т), то х (К) 6 Ы для всех
к 6 а. Показать, что это может оказаться неверным, если a f| р (Т) =
= 0.
2. Если Т удовлетворяет условию (С), то для каждого замкну-
замкнутого множества а комплексных чисел множество 9Л(а) является
замкнутым линейным многообразием, причем ТШ (о) s Ш (а) и
3. Если Т обладает свойством (С), то для любой пары <т1э а2
непересекающихся замкнутых множеств комплексных чисел суще-
существует постоянная /С, зависящая только от а4 и а2, такая, что
4. Если Т обладает свойством (С), то для любого вектора х
из Ж выполнены соотношения Т [х] ^ [х] и а (Т \ [х]) = о (х).
5. Если Т обладает свойством (С), то
о(у)с=о (х), у 6 Ы.
6. Определение. Оператор Т 6 В {Ж) называется спектраль-
спектральным оператором класса (Г), где Г — тотальное линейное
многообразие в Ж* (т. е. Гл: = 0 только в том случае, когда х = 0),
если Т имеет разложение единицы ?, определенное на борелевских
множествах комплексной плоскости и такое, что х*Е счетно адди-
аддитивна для всех х* из Г.
7. (Фиксман.) Пусть Ж = /«> и Т переводит вектор х = (?lf ?2,--.)
из Zoo в элемент у = (т|1э т]2, . . .)» гДе
Пусть Г — линейное многообразие в (/оо)*, порожденное коорди-
координатными функционалами
Уп (х) = Ъп, п> 1.
Пусть Е (а) х = у, где т^ = ^ тогда и только тогда, когда 1 6 а,
и ть = Em л ^ 2, тогда и только тогда, когда 1 — 1/я 6 а. Пока-
Показать, что Т — спектральный оператор класса (Г), но он не является
спектральным оператором класса C6*).
8, Примечания и дополнения 259
8. (Фиксман.) Пусть Т такой же, как в предыдущем упражнении,
и пусть ф из *('«>)*—банахов предел, как в упр. П.4.22. Пусть А
определен в loo соотношением
Ах = А Ци %2, Ъз, . . •) = (ф (*), 0, 0, . • .)•
Показать, что Л2 = 0, что ф (Тх) = ф (х) и AT = ТА. Однако
если о = {1}, то АЕ (а) = 0 и ?" (а) Л = Л. Следовательно, А
яБЛяется нильпотентным оператором, коммутирующим с Т, но
не коммутирующим с разложением единицы Е.
9. (Фиксман.) Пусть Т, Е и Л такие же, как в предыдущем
упражнении, и пусть F для любого борелевского множества о
определяется соотношением
F(o) = E (а) + АЕ (а) — ? (а) Л.
Показать, что Z*1 — ограниченная спектральная мера и что x*F
счетно аддитивна для всех я* из многообразия Гь порожденного
линейными функционалами
{Yi — Ф, Y2, Vs. • . .}•
Показать, что F — разложение единицы для Т и что Т — спект-
спектральный оператор класса (Г4), но разложения Е и F не совпадают
и не коммутируют. [Указание: АЕ (а) Л =0 и F (а) = Е (а) F (а)
для всех борелевских множеств а.]
8. Примечания и дополнения
Характеризация спектральных операторов. В этой главе сфор-
сформулированы условия, достаточные для того, чтобы оператор из
В (Ж) был спектральным. Изложенные здесь результаты принадле-
принадлежат Данфорду (см. особенно [16, 17, 19]). Некоторые из результа-
результатов гл. XVII также могут быть использованы для получения доста-
достаточных условий спектральности оператора. Например, если X —
слабо полное В-пространство и Т 6 В C6) имеет вещественный спектр,
то Т является оператором скалярного типа тогда и только тогда,
когда существует такая постоянная М > 0, что для любого много-
многочлена р выполнено неравенство
\р(Т)\^М sup \p(l)\
Яеа(Г)
(см. теорему XVI 1.2.5). Аналогично, оператор Т 6 В (Ж) является
оператором скалярного типа тогда и только тогда, когда множество
{р(Т)х\р — многочлен, sup
слабо секвенциально компактно для любого х 6 # (см. Клуванек
[1]). Другие результаты того же типа были получены Фиксманом [1L
17*
260 Гл. XVI. Спектральные операторы', достаточные условия
Хотя нетрудно привести примеры операторов, которые не яв-
являются спектральными, полезно упомянуть о некоторых «хороших»
операторах, не являющихся спектральными. Оператор U 6 ?(Э?),
изометрично отображающий 36 на X, иногда называют унитар-
унитарным оператором в Ж. Очевидно, что если U ? В (!) унитарен,
то @ | Un\ = 1 для п = О, ±1, ±2, . . ., (ii) a (U) <=
s {Я, € С | U | - 1} и A11) I R (X; U) | < | 1 — | Л, | Г1 для
X 6 Р (U)- Кроме того, если U — унитарный оператор, являющий-
являющийся спектральным, то он скалярного типа.
Пусть К — компактное хаусдорфово пространство; тогда произ-
произвольный унитарный оператор в С (К) имеет вид
где ф — гомеоморфизм /С, I* € С (К) и | \i (х) | = 1. Фиксманом [1]
было доказано, что если ср не периодичен, то оператор U не является
спектральным оператором.
Пустьwlp (—оо, оо), 1 ^ р ^ оо, обозначает пространство комп-
комплексных последовательностей х = {xk | k = 0, ±1, ±2, . . .} с нор-
нормой | х | = {2 I Xr |р}х/р< оо, и пусть U — оператор сдвига,
определяемый соотношением
U({xk}) - {xk+i}.
Фиксман [1] показал, что если рф2, то унитарный оператор U
не является спектральным. См. также работу Краббе [3], в которой
отмечается, что преобразование Гильберта в 1Р (—оо, оо), по-
порожденное матрицей (\1{п — т)), не является скалярным опера-
оператором. С другой стороны, Краббе [6] показал, что хотя некоторые
операторы свертки не являются спектральными операторами, они
обладают свойством, позволяющим представлять их в слабой опера-
операторной топологии интегралом вида \ХЕ (dX), где Е — аддитивная
операторнозначная функция, заданная на прямоугольниках.
В гильбертовом пространстве из условия «| eitT\ ^ M для
всех / б R» вытекает, что Т эквивалентен самосопряженному опе-
оператору и, следовательно, является оператором скалярного типа
с вещественным спектром. (Это следует из леммы XV.6.1, из кото-
которой вытекает, что ограниченная группа G = {eitT \ t 6 R} эквива-
эквивалентна группе унитарных операторов. По теореме Стоуна эта группа
унитарных операторов имеет инфинитезимальную образующую iA,
где А — самосопряженный оператор. Таким образом, Т эквивален-
эквивалентен А.) Однако если Э? есть В-пространство и Т?В (X), то условие
«| eitT | ^ М для t 6 R» не влечет за собой спектральности опе-
оператора Т, даже если 1 рефлексивно. Чтобы убедиться в этом,
заметим, что если S и Т — коммутирующие операторы скалярного
8, Примечания и дополнения 261
типа с вещественными спектрами, то | eits |<Mi и | еит | ^ М2
для t 6 R- Следовательно, мы имеем
| eW+T)| = | eitseitT | = | eits 11 еит \^MiM2
для всех t 6 R- Поэтому если бы из такой ограниченности вытекало,
что S + Т — спектральный оператор, то мы пришли бы к противо-
противоречию с модификацией Маккарти [2, I] примера Какутани. Но,
с другой стороны, Берксон [2] доказал, что если Ж рефлексивно,
то Т 6 В (Ж) — оператор скалярного типа тогда и только тогда,
когда существуют коммутирующие операторы Л и В, такие, что
Т = А + iB и множество {eiP \ Р 6 R (Л, В)} ограничено в В (Ж),
где R (Л, В) обозначает семейство многочленов от Л и В с вещест-
вещественными коэффициентами. Аналогично, Канторович [7; стр. 5451
показал, что если $ слабо полно и для некоторой постоянной
М>0 и любого многочлена р с вещественными коэффициентами
выполнено неравенство | eiv^ \ ^ М, то Т — спектральный опе-
оператор скалярного типа с вещественным спектром.
Канторович [4] заметил, что если Т — оператор скалярного типа
с вещественным спектром, то e~2nitT является преобразованием
Фурье — Стильтьеса его разложения единицы Е\ следовательно,
Е можно рассматривать как обратное преобразование Фурье —
Стильтьеса группы {e~2slitT | / ? R}. Предполагая, что эта группа
ограничена в В (I), в случае рефлексивного 36 Канторович получил
характеризацию операторов скалярного типа с вещественным спект-
спектром, добавив соответствующие аналитические условия, обеспечи-
обеспечивающие существование обратного преобразования Фурье — Стиль-
Стильтьеса. Канторовичем [4] был доказан следующий результат:
Теорема. Пусть 36 рефлексивно и Т?В(?). Тогда следую-
следующие утверждения эквивалентны:
A) Т — спектральный оператор скалярного типа с веществен-
вещественным спектром,
B) Существует постоянная М > 0, такая, что для любой
функции f 6 Li {R) выполнено неравенство
\f{t)e-^Kdt <Msup|/(s)|,
где f обозначает преобразование Фурье функции f.
C) Существует постоянная М > 0, такая, что для любого
вещественного вектора (ti9 . . ., tn) и любого комплексного вектора
(си • • •> сп), п = 1, 2, . . ., выполнено неравенство
262 Гл. XVI. Спектральные операторы: достаточные условия
D) Существует постоянная М > О, такая, что для любых век-
векторов *6Х, х* ?Ж* с единичной нормой выполнено неравенство
sup
s>0 R
Аналогично, если I — произвольное В-пространство, то Т
является спектральным оператором скалярного типа с веществен-
вещественным спектром тогда и только тогда, когда для любого х ? ? мно-
множество
слабо секвенциально компактно (см. Клуванек [2]).
Операторы, спектр которых лежит на вещественной прямой R
или на единичной окружности, а резольвента удовлетворяет опре-
определенным условиям роста, представляют собой характерные при-
примеры обобщенных скалярных операторов в смысле Коложоары
и Фойаша [4; гл. 4, 5]. Причиной для этого, как заметили Вульф [4]
и Тильман [2], является то, что они допускают операционное исчис-
исчисление. Наиболее ранние результаты в этом направлении восходят
к Лорху [7], который рассматривал операторы Т, являющиеся
степенно-ограниченными в том смысле, что множество
{I Тп | \п = 0, ±1, ±2, . . .} ограничено в В (Ж). Спектр таких
операторов лежит на окружности {X | | X | = 1}, а их резольвенты
удовлетворяют условию роста вида
для I X | Ф 1. Если Ж — гильбертово пространство, то из упомяну-
упомянутой выше теоремы Секефальви-Надя [7] вытекает, что такой опера-
оператор подобен унитарному оператору; следовательно, он является
оператором скалярного типа с разложением единицы Е, которое
можно считать заданным на единичной окружности. В случае В-
пространства примеры унитарных операторов показывают, что
степенно-ограниченные операторы не обязательно являются спект-
спектральными. Однако в случае рефлексивного 5-пространства ЭЕ
Лорху для любого 0 6 [0, 2я] удалось построить пару (©е^е)
замкнутых подпространств, которые инвариантны относительно Т
и напоминают многообразия, соответствующие разложению едини-
единицы. Другими словами, существует семейство {Ре} замкнутых
(но, быть может, неограниченных) проекторов, играющих во мно-
многих отношениях роль разложения единицы. Работа Лорха была
упрощена и продолжена Лифом [1], который рассмотрел операторы,
удовлетворяющие условиям (а) | Тп \ = о (| п |) при | п \ ->¦ оо
и (Ь) а (Т) = ас (Т) без предположения о рефлексивности Ж; спект-
спектры этих операторов лежат на единичной окружности, и выполняется
8. Примечания и дополнения 263
условие роста второго порядка. См. также работу Лифа [2], где
рассмотрен случай | Тп | = О (| п |в).
Бартл [6, 7] и Кокан [1] рассмотрели операторы с вещественным
спектром и условием роста I R (А,; Т) \ ^ К/\ Im (X) |п при
( Im (k) | > 0, такие, что а G1) = ас G^. Доказано, что для любого
вещественного числа t существует замкнутый (но, возможно, неогра-
неограниченный) определенный на всюду плотном множестве проекцион-
проекционный оператор Pt, который коммутирует сГис любым оператором,
коммутирующим с Т, такой, что семейство {Pt \ t (z R} «возрастает»
от 0 до /, когда t пробегает R, и что t0 6 Р (Т) тогда и только тогда,
когда Pt постоянен в окрестности t0. Если п = 1 и Ж рефлексивно,
то условие а (Т) = ас {Т) можно опустить и получить аналогичные
результаты. Подобные результаты были также получены Доллинге-
ром [1] и Сайном [1] в предположении, что Т допускает определен-
определенного типа операционное исчисление; правда, их предположения
имеют совершенно иную природу. Стемпфли [12] рассмотрел опера-
операторы, спектр которых лежит на С2-кривой, а резольвента имеет
конечный порядок роста. Он получил как обобщения результатов
настоящей главы, так и аналогичные теоремы.
ГЛАВА XVII
Алгебры спектральных операторов
1. Введение
Сумма и произведение двух коммутирующих ограниченйых
нормальных операторов в гильбертовом пространстве являются
нормальными операторами и, следовательно, спектральными. Из
следствия XV.6.5 видно, что этот принцип можно распростра-
распространить на сумму и произведение двух коммутирующих спектральных
операторов в гильбертовом пространстве. Однако внимательный
читатель, вероятно, заметил, что мы не пытались доказать соответ-
соответствующую теорему в произвольных Б-пространствах. Действитель-
Действительно, как показывает пример Какутани [15], такое обобщение было
бы неверным. В этой главе будет проведено систематическое изуче-
изучение алгебраических и аналитических свойств семейств спектраль-
спектральных операторов с тем, чтобы найти достаточные условия того, что
сумма и произведение двух коммутирующих спектральных опера-
операторов являются спектральными. В то же время будут получены
различные достаточные условия того, что равномерные, слабые
и сильные пределы последовательностей коммутирующих и ыеком-
мутирующих спектральных операторов являются спектральными.
Вкратце структура настоящей главы такова. В § 2 дано представ-
представление равномерно замкнутых коммутативных алгебр спектральных
операторов. В § 3 рассматриваются слабо и сильно замкнутые ком-
коммутативные алгебры спектральных операторов. Наконец, в § 4
получены два результата о сильном пределе последовательности
некоммутирующих спектральных операторов.
Более подробно, в § 2 вместе с семейством т коммутирующих
спектральных операторов рассматривается не только алгебра, но и
полная алгебра, порожденная т, которая определяется следующим
образом:
1. Определение. Полной алгеброй операторов называется равно-
равномерно замкнутая алгебра операторов, содержащая обратный к каж-
каждому из своих обратимых элементов. Полной алгеброй, порожденной
семейством операторов, называется пересечение всех полных алгебр,
содержащих данное семейство операторов.
1. Введение 265
Следует заметить, что полная алгебра операторов замкнута
в равномерной операторной топологии, в то время как алгебра,
содержащая все обратные элементы (см. определение XV. 13.4),
не обязательно является замкнутой.
Взяв далее семейство т коммутирующих спектральных операто-
операторов, присоединив к нему семейство всех проекторов спектральных
разложений операторов из т и образовав полную алгебру И,
порожденную этим расширенным семейством операторов, мы начнем
§ 2 с доказательства того, что при определенных условиях 21 раз-
разлагается в прямую векторную сумму
где 5R — радикал в 21, а © — полупростая полная подалгебра
Я, алгебраически и топологически эквивалентная множеству всех
непрерывных функций на ее собственном пространстве максималь-
максимальных идеалов. Эта теорема обобщает теорему Гельфанда — Наймар-
ка (см. IX.3.7) на алгебры спектральных операторов. Более того, она
аналогична второй основной теореме Веддерберна об абстрактной
алгебре. Далее в § 2 рассматриваются алгебры операторов, изоморф-
изоморфные алгебрам непрерывных функций, и доказываются общие теоре-
теоремы о функциональном исчислении, обобщающие следствия Х.2.9
и Х.2.10 со случая гильбертова пространства на произвольные
Б-пространства.
В § 3 в рассмотрение вводится коммутирующее семейство т
спектральных операторов скалярного типа и ставится два вопроса:
(i) Когда все операторы в слабо замкнутой алгебре, порожденной
т, являются спектральными операторами скалярного типа?
(и) Какие операторы принадлежат слабо замкнутой алгебре,
порожденной семейством т?
Как будет показано в § 3, можно дать удовлетворительные отве-
ответы на эти вопросы для поразительно широкого класса случаев.
Следует также отметить, что в ходе § 3 доказан ряд результатов
о булевых алгебрах проекторов; некоторые из них необходимы для
получения ответов на вопросы (i) и (и), а некоторые приведены ради
полноты изложения или представляют самостоятельный интерес.
Многие из этих глубоких результатов были получены Бейдом.
Наконец, в § 4 показано, что при определенных условиях силь-
сильный предел Т произвольной последовательности {Тп} спектральных
операторов скалярного типа является спектральным оператором
и что разложение единицы для Т является в некотором смысле пре-
пределом разложений единицы для операторов Тп
1 п*
266 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
2. Структура коммутативной
В-алгебры спектральных операторов
В этом параграфе изучаются коммутативные алгебры спектраль-
спектральных операторов, замкнутые в равномерной операторной топологии.
Сначала мы покажем, что такие алгебры 21 могут быть разложены
в прямую векторную сумму вида 21 = g> © 5R, где 9R — ради-
радикал в 21, а @ — алгебра операторов скалярного типа, эквивалент-
эквивалентная алгебре непрерывных функций.
1. Лемма. Равномерно замкнутая алгебра операторов, порож-
порожденная ограниченной булевой алгеброй проекторов, является полной
алгеброй, эквивалентной алгебре непрерывных функций на ее собствен-
собственном пространстве максимальных идеалов.
Доказательство. Пусть 6 — булева алгебра проекторов и
Шо (В) — множество всех операторов U вида
A) */=2а,?,,
г=1
где
п
(и) ОфЕгев, 2я*=л ад=о, 1ф\, *, j = i, ...,n.
Тогда очевидно, что 21о (В) — алгебра операторов, содержащая В.
Следовательно, если 21E) = 2Г0F), то ЩВ) является равно-
равномерно замкнутой алгеброй операторов, порожденной В.
Для проверки того, что 21 (В) — полная алгебра, возьмем опе-
оператор А из 21 (В), имеющий обратный Л в кольце ограниченных
операторов. Пусть {Ап}— последовательность элементов 21оF),
равномерно сходящаяся к А. Тогда по лемме VI 1.6.1 при достаточно
больших п операторы Ап обратимы и Аи1-*- А~г равномерно. Для
проверки того, что А~г лежит в 21F), достаточно, следовательно,
показать, что Ап1 принадлежат 21F). Таким образом, мы можем
без ограничения общности предполагать, что А лежит в 2Г0F),
т. е. что А имеет вид, указанный в соотношениях (i), (ii). Тогда, если
at = О при некотором i, то Ег Ф 0, АЕг = 0, но это противоречит
предположению о существовании Л. Таким образом, at Ф О,
п
i = 1, . . ., п, так что оператор Л-1 = YJ аТгЕг принадлежит 21F).
Этим доказано, что 21F) — полная алгебра.
Пусть х — каноническое отображение алгебры 21F) в кольцо
непрерывных функций на ее собственном пространстве сМ макси-
максимальных идеалов (см. IX.2.9). Для проверки того, что х устанавли-
устанавливает эквивалентность 21F) и всей алгебры С(<М), достаточно пока-
2. Структура коммутативной В-алгебры 267
зать, что х ограничено и что кЩВ) плотно в С (оМ). Для доказа-
доказательства ограниченности к~г будет установлено существование
конечной постоянной М, такой, что
|[/|<4М sup \U(m)\.
Так как с обеих сторон этого неравенства стоят непрерывные функ-
функции от U, достаточно проверить его для U из 2Г0(?). Таким образом,
пусть U имеет вид, задаваемый соотношением (i), причем выполнены
дополнительные условия (ii). Для каждого k> I ^ k ^ п, поскольку
Ек не квазинильпотентно, можно найти в <М максимальный идеал
т, такой, что Ek (т) Ф 0. Поскольку EkEj = 0 для / Ф k, мы имеем
Е^ (т) = 0 при / Ф ky а так как Е\ (т) = Ek (m), выполняется
равенство Ek (т) = 1. Отсюда вытекает, что U (т) = ak. С другой
стороны, очевидно, что всякий максимальный идеал тиз оМ обладает
тем свойством, что Ei(m) = 1 для одного и только одного целого
Л ^ п, а для остальных целых / ^ п выполнено соотношение
Ej (т) = 0. Таким образом,
sup | U(m)\= sup |otj[.
Пусть М — верхняя грань норм \Е\ проекторов Е из В. Пока-
Покажем, что
(i) jt\**Etx\^4M\x\\x*\, хе%, **€Ж*.
Заметим для этого, что
S Re (x*Etx) = 2+ Re (x*Etx) - 2" Re (x*Etx) =
где 2+ (S~) обозначает сумму по тем индексам i, для которых
Re (x*Etx) ^ 0 (^ 0). Рассматривая аналогично мнимую часть
и складывая соответствующие неравенства, мы получаем, что
так что (i) доказано. Отсюда непосредственно вытекает, что
IU | = | 2 щЕг | = sup |2 at**EiX |<
il I * I I 1^1 ii
| 2 | p |2
i=l I ж* I, I ж 1^1 i=i
<4M||<4M sup
и ограниченность и доказана.
Для проверки того, что кЩВ) плотно в С (оМ), достаточно
Э силу теоремы Вейерштрасса (см. IV.6.17) показать, что х2Г0E)
268 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
различает точки оМ и содержит комплексно сопряженную функцию
для любого своего элемента. Так как x2to(B) плотно в кЩВ)
и <М — пространство максимальных идеалов алгебры 21 (В), мы
получаем сразу же, что x2t0 (В) различает точки из <М. Если т
лежит Bsl,a? — в В, то ? (тJ = Е (т), так что Е (т) равно О
или 1 и, следовательно, вещественно. Таким образом,
и мы доказали, что x2I0(B), a следовательно и кЩВ), содержит
комплексно сопряженные функции для всех своих элементов, ч. т. д.
Некоторые неравенства, полученные в ходе предыдущего дока-
доказательства, будут полезны и в дальнейшем; поэтому они собраны
и явно сформулированы в следующей лемме:
2. Лемма. Пусть М — верхняя грань булевой алгебры В проекто-
проекторов иоМ — структурное пространство равномерно замкнутой алгеб-
алгебры 21 (В), порожденной В. Тогда
sup |(/(m)|<|(/|<4M sup \U(m)\, ?/€3t(B),
и, в частности,
sup \at |^| 2 oaEi\^4M sup
каковы бы ни были дизъюнктные проекторы Еи . . ., Еп.
Предыдущие леммы подготавливают нас к основному результа-
результату, описывающему структуру равномерно замкнутой полной алгебры
21 (т), порожденной коммутирующим семейством т спектральных
операторов и булевой алгеброй В, которая определяется их разло-
разложениями единицы. Как будет показано, при определенных услови-
условиях такая алгебра является прямой векторной суммой 21 (т) =
= ЩВ) © 9J, где 9J — радикал в 21 (т), а 21 (В), равномерно
замкнутая алгебра, порожденная В, эквивалентна алгебре непре-
непрерывных функций на пространстве оМ> максимальных идеалов в Я(т).
Следует отметить, что, как вытекает из этого разложения, простран-
пространство оМ гомеоморфно пространству ©#i максимальных идеалов
в 21 (В). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что всякий
комплексный гомоморфизм (комплексный мультипликативный
линейный функционал) на 21 (т) обращается в нуль на радикале,
и потому соотношение 2t(t) = 2t(B) © 9ft порождает естественное
взаимно однозначное соответствие между ненулевыми комплексны-
комплексными гомоморфизмами на 21 (т) и на 21(В). Отсюда вытекает
(см. IX.2.2 и IX.2.7), что оМ и о/П^ гомеоморфны. Если в 21 (т) нет
2. Структура коммутативной В-алгебры 269
радикала, как в случае коммутативных 5*-алгебр операторов
в гильбертовом пространстве, то Щх) эквивалентна алгебре непре-
непрерывных функций на ее структурном пространстве. Таким образом,
следующая теорема является обобщением теоремы Гельфанда —
Наймарка (см. IX.2.7):
-> 3. Теорема. Пусть St (т) — полная алгебра, порожденная семей-
семейством х коммутирующих спектральных операторов и их разложения-
разложениями единицы. Если булева алгебра В, порожденная разложениями еди-
единицы операторов из т, ограничена, то И (т) является прямой вектор-
векторной суммой
«СО = §1E) © SR,
где 81 — радикал в Щ. (т), аЩВ), равномерно замкнутая алгебра^
порожденная В, эквивалентна алгебре непрерывных функций на
структурном пространстве алгебры И (т).
Доказательство. Как только разложение будет установлено,
последнее утверждение о структуре алгебры Щ (В) вытекает из лем-
леммы 1 и замечаний, сделанных в абзаце перед формулировкой теоремы.
Первая часть теоремы будет доказана путем построения про-
проектора Р в пространстве Щх), такого, что РЩх) = ЩВ),
(I — Р) Щх) = 9J. Это построение осуществляется в два шага.
Сначала Р определяется на плотном подмножестве SS в 31 (х),
а затем доказывается, что Р ограничен на 95, так что он может
быть продолжен по непрерывности до проектора, заданного на всей
алгебре Щх).
Заметим сначала, что если Е (•; Т), Е (•; U) — разложения еди-
единицы для операторов Т, U ? т соответственно, то для любой пары
a, \i борелевских множеств на плоскости проекторы Е (а; Т),
Е (|i; U) коммутируют. Это получается при помощи двойного при-
применения следствия XV.3.7. Таким образом, различные проекторы
Е (а; Г), определяемые по борелевским множествам а и операторам
Т из т, порождают булеву алгебру В.
Пусть S5 обозначает семейство всех элементов U из St (т), имею-
имеющих вид
(О U = S + N,
где N — элемент из радикала 3d алгебры И (т), а
п
(и) 5= 2
г=1
где
(iii)
Положим PU = S. В силу утверждения о единственности в теореме
XV.4.5 Р является вполне определенным линейным отображением
Я5 в себя. Более того, очевидно, что это проектор в ЯЗ.
270 Гл. ХУЛ. Алгебры спектральных операторов
Множество^ 95, очевидно, является подалгеброй в 21 (т). Обо-
Обозначим через 93 его замыкание в равномерной операторной топологии.
В силу теоремы XV.4.5 и того очевидного факта, что оператор ска-
скалярного типа принадлежит равномерно замкнутой алгебре, поро-
порожденной проекторами из его разложения единицы (см. определение
XV.4.1), имеет место включение 95 з т. Ниже будет показано, что
9S — полная алгебра и потому 9S = 21 (т). Кроме того, будет также
доказано, что Р ограничено на 95, так что Р можно продолжить
по непрерывности до проектора (который также обозначается сим-
символом Р) алгебры 21 (т) в себя. Так как в силу определения Р оче-
очевидно, что Р23 с J (В), отсюда вытекает, что P2t (т) ^ 21 (В).
С другой стороны, так как Р95 содержит все элементы из ЩВ)
вида (И) и так как это множество элементов плотно в ЩВ)> будет
показано, что Р21 (т) = 21 (В). Более того, ясно, что (/ — Р) Ш =
= 9ft, и так как 9ft замкнуто, то мы получим, что (/ — Р) 21 (t) = 9ft.
Таким образом, для проверки соотношения Щх) = 31 (В) Фй
достаточно показать, что отображение Р ограничено на 95 и
что 21 (В) ® 9ft — полная алгебра. Для проверки ограниченности
Р на 95 рассмотрим элемент вида (i), при этом выполнены соотноше-
соотношения (ii) и (in). Если <М — пространство максимальных идеалов
в 21 (т), то, поскольку Ег не квазинильпотентен, в оМ существует
такой элемент т, что Ег (т) Ф 0. Так как Е\ = Еи EtEj = 0 для
Ф /, ясно, что Et (т) = 1, Ej (т) = 0 при / Ф i. Следовательно,
U (т) = S (m) + R (т) = S (т) = at\ таким образом, sup | at \ ^
^ sup | U (т) | ^ | U |, и в силу предыдущего соотношения
= | S К AM sup | at\ < AM \ U |;
это доказывает ограниченность Р на 95.
Для проверки того, что 21F) Ф 9R — полная алгебра, возь-
возьмем Т из 21 (В) © 9R и предположим, что Т существует как эле-
элемент В (Ж). Мы хотим показать, что Т лежит в 21 (В) Ф 9ft. Поло-
Положим Т = S + N, где S лежит в ЩВ), а N — в 9ft. Так как N —
топологический нильпотент, оператор S = Т — N имеет об-
оо
ратный 2 (Т~1)п+1ЛГп, и этот обратный в силу леммы 1 при-
0
надлежит ЩВ). Элементарное умножение показывает, что выпол-
выполняется равенство (S + N) (S + С) = /, где С = —NS^T'1.
Поскольку N содержится в радикале 9ft, то же верно и для С, а по-
потому Т~г = S'1 + С лежит в алгебре 2t(J3)©9ft; тем самым дока-
доказано, что эта алгебра является полной алгеброй, ч. т. д.
Получив общую структуру алгебры, описанную в предыдущей
теореме, мы изучим теперь более подробно алгебры типа ЩВ).
Как видно из следующей теоремы, произвольный изоморфный гомео-
гомеоморфизм алгебры ЩВ) на алгебру непрерывных функций на ее
2. Структура коммутативной В-алгебры 277
структурном пространстве может быть представлен в виде интеграла
относительно некоторой однозначно определенной спектральной
меры. Это — аналог общей спектральной теоремы для алгебр нор-
нормальных операторов в гильбертовом пространстве (см. Х.2.1).
4. Теорема. Пусть 21 — алгебра операторов в комплексном
В-пространстве Ж, являющаяся гомоморфным образом при непре-
непрерывном гомоморфизме S алгебры С(Л) всех комплексных непрерывных
функций на компактном пространстве Л. Тогда существует един-
единственная спектральная мера А в X*, определенная на борелев-
ских множествах в Л, такая, что функция множества хА(*)х*
регулярна и счетно аддитивна для всех х из Ж и х* из X*, причем
S*{f)=$f{X)A{dX),
Доказательство. Для любых я из # и я* из Ж* число x*S (f)x
зависит линейно и непрерывно от функции / из С (Л) и, следователь-
следовательно (см. IV.6.3), определяет единственную регулярную меру
(г(«, х, х*) на борелевских множествах в Л, для которой выполнено
соотношение
(i) x*S(f)x= j f{X)ti(dk, x, x% f6C(A).
A
Левая часть этого равенства билинейна относительно хих*, а так
как мера (д.(«, х, х*) однозначно определяется этим равенством,
то число \х F, х, х*), следовательно, билинейно относительно х
и х*. Более того, поскольку
Мб, *,**)|<t>(A, !*(.,*,*•))= sup |**S(/)x|</C|*||x4
ясно, что \i (б, х, х*) непрерывна по # и я*. Таким образом, для
каждого борелевского множества б в Л и каждого вектора х* из Ж*
существует вектор Л(б)я* из Ж*, такой, что
[х(б, х, х*) = хА(8)х*> х е X.
Из билинейности и ограниченности \х вытекает, что Л(б)л;* линей-
линейно и непрерывно по я*, т. е. А F) существует как ограниченный
линейный оператор в Ж*. Поскольку каждая функция / из С (Л)
ограничена и измерима по Борелю, интеграл w (K)A(dX) суще-
существует, и, как видно из (i), выполнено соотношение
(И) S*(f)=]f(K)A(dX),
272 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
Теперь мы покажем, что А —спектральная мера в Ж*. Пола-
Полагая /= 1 в (ii), мы получаем, что /* = А (Л), а так как А (б)
аддитивна по б, то
А (б)' = I* — А (б) = А (Л) — А (б) = А (б').
Для доказательства того, что А — спектральная мера, достаточно,
следовательно, показать, что А (б П о) = А (б) А (а) для любой
пары борелевских подмножеств б, а в Л. Далее, для любой пары
jf, g функций из С (Л) имеем
= S* if) S* (*) = j / (X) S* (g) A (dk) = J / (Я) f
Л Л Л
Таким образом, для х из X и х* из $* выполнено соотношение
(Ш)
Л
Так как все меры хА(*)х* регулярны, а интеграл (как функцио-
функционал на С (Л)) однозначно определяет регулярную меру, из соотно-
соотношения (Hi) вытекает, что
j g(v)xA(dpП6)x* = j g(p)xA{dp)A(8)x*,
Л Л
Эти рассуждения о единственности можно повторить и прийти к вы-
выводу, что
А (о П б) = А (о) А (б)
для любой пары сг, б борелевских подмножеств в Л; этим доказано,
что А — спектральная мера, ч. т. д.
Следующая теорема дает более полную информацию в том случае,
когда пространство Ж слабо полно.
5. Теорема. Пусть 21 — алгебра операторов в слабо полном
комплексном В-пространстве Ж, являющаяся образом при непрерыв-
непрерывном гомоморфизме S алгебры С(Л) всех комплексных функций на ком-
компактном пространстве Л. Тогда существует однозначно определен-
определенная спектральная мера Е в Ж, заданная на борелевских множествах
в Л, счетно аддитивная в сильной операторной топологии и такая,
что
fee {А).
2. Структура коммутативной В-алгебры 273
Доказательство. Для фиксированного вектора х из Ж рассмот-
рассмотрим отображение f-*S(f)x алгебры С(Л) в I. Поскольку каждое
ограниченное линейное отображение из С (Л) в слабо полное про-
пространство слабо компактно (см. VI.7.6), в силу теоремы VI.7.3 ясно,
что отображение / ->¦ S (/) х однозначно определяет регулярную
Х-значную меру v (•, х), такую, что
(i) S(f)x=^f(b)v(db,x),
А
Сравнивая это равенство с равенством (и) из доказательства теоре-
теоремы 4 и используя утверждение о единственности в теореме Рисса
о представлении, мы получаем, что
(и) хА(8)х* = x*v(8t х), х* е X*.
откуда вытекает, что v (б, х) линейно и непрерывно по х. Таким
образом, для любого борелевского множества б из Л существует
ограниченный линейный оператор Е (б) в Ж, такой, что v (б, х) =
= Е (б) х. Равенство (и) показывает, что Е*(8) = А (б), и потому
Е — спектральная мера. Необходимое интегральное представление
вытекает непосредственно из равенства (i), ч. т. д.
Далее изучаются алгебры, представимые при помощи спектраль-
спектральной меры, как в теореме 5.
В оставшейся части этого параграфа буква Е будет обозначать
счетно аддитивную спектральную меру в комплексном 5-простран-
стве Ж. Иногда Е будет определена на произвольном а-поле 2 под-
подмножеств абстрактного множества Л, а в некоторых случаях ее
областью определения будет поле борелевских множеств комплекс-
комплексной плоскости. В любом случае полезно использовать понятие ?-су-
щественно ограниченной функции, описанное в следующем опреде-
определении.
6. Определение. Пусть Е — счетно аддитивная спектральная
мера, заданная на сг-поле 2 подмножеств множества Л. Тогда функ-
функция / на Л называется Е-существенно ограниченной на Л, если вели-
величина
?-esssup\f(K)\= inf sup| /(X) |
h?A EF)=rl h?6
конечна.
Так как Е счетно аддитивна на 2, в 2 существует множество б0,
такое, что Е (б0) = / и
?-ess sup | / (?i) I = sup | f (X) \;
следовательно, на Л существует ограниченная функция /0, такая,
что f(k) = /о (А,), кроме точек X из некоторого ^-нулевого множества.
н. Данфорд и Дж. Шварц
274 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
Если / является 2-измеримой, то такой же будет и функция /0,
и ясно, что интеграл \ /0 (X) Е (dX) не зависит от конкретной огра-
ограниченной функции /0, совпадающей ?-почти всюду с /. Таким обра-
образом, интеграл ^-существенно ограниченной 2-измеримой функции
/ может быть определен как интеграл ограниченной 2-измеримой
функции, совпадающей с / ?-почти всюду на Л. Следует также отме-
отметить, что пространство всех ^-существенно ограниченных 2 -изме-
-измеримых функций на Л является 5-алгеброй с естественными опера-
операциями
0) (а/4 Pg)(b) = a/(b) + pg(b), X 6 Л;
е(К)=1,
|/|B=?-esssup|/(a,)|.
Как и в случае самосопряженной спектральной меры в гильбер-
гильбертовом пространстве, можно построить операционное исчисление,
которое устанавливает изоморфизм между алгеброй ^-существенно
ограниченных 2-измеримых функций на Л и 5-алгеброй спектраль-
спектральных операторов.
7. Определение. Пусть 36 — комплексное 5-пространство и Е —
спектральная мера в 9Е, заданная и счетно аддитивная на а-поле
2 подмножеств множества Л. Тогда алгебра всех комплексных 2-из-
2-измеримых ^-существенно ограниченных функций на S будет обозна-
обозначаться через ?В(Л, 2). Операции в ЕВ(АУ 2) определяются выпи-
выписанными выше соотношениями. Если Л — топологическое простран-
пространство, а 2 — поле борелевских множеств в Л, то вместо ЕВ(А, 2)
иногда будет использоваться символ ЕВ (Л).
В следующей) лемме сформулирован принцип замены мер,
несколько более общий, чем тот, который использовался до сих пор.
Он будет часто использоваться в дальнейшем.
8. Лемма. Пусть Е — спектральная мера в комплексном В-про-
странстве 96, заданная и счетно аддитивная на а-поле 2 подмно-
подмножеств множества Л, и пусть g — ограниченная измеримая по Боре-
лю функция, определенная в комплексной плоскости. Тогда
\g(f(X))E(dX)= J g((i)?(r№)), /едя(Л,2).
Л /(Л)
J
/(Л)
Доказательство. Пусть / принадлежит ЕВ (Л, 2); для любого
борелевского множества б в комплексной плоскости положим
Ei (б) = Е (f'1 (б)). Если g— характеристическая функция такого
2. Структура коммутативной В-алгебры 275
множества б, то, поскольку Ei обращается в нуль вне / (Л),
/(Л)
Далее, множество ограниченных измеримых по Борелю функций
для которых
J
/(Л)
очевидно, линейно и замкнуто в множестве всех ограниченных боре-
левских функций. Так как это множество содержит все характери-
характеристические функции борелевских множеств, оно содержит и каждую
ограниченную борелевскую функцию, ч. т. д.
9. Лемма. Пусть Е — спектральная мера в комплексном В-про-
странстве $, заданная и счетно аддитивная на о-поле 2 подмно-
подмножеств множества А. Тогда отображение
является непрерывным гомоморфизмом ЕВ (Л, 2) в алгебру спект-
спектральных операторов скалярного типа. Более того, разложение
единицы для S (/) определяется соотношением
Е (б; 5 (/)) = Е (/-1 (б)),
где б — произвольное борелевское множество в комплексной плоскости.
Доказательство. Ясно, что S (/) линейно по / и что
(i) | S (/) |< \К I / \E9 ftEB (Л, 2),
где К — верхняя грань чисел | Е (а) |, а 6 2 (см. лемму 2). Так
как Е (аб) = Е (а) ?"F), ясно, что
00 S (fg) = 5 (/) 5 (g),
если / и g—характеристические функции множеств из 2. При
фиксированной характеристической функции f множество тех g из
ЕВ (Л, 2), для которых выполнено соотношение (И), линейно,
а в силу (i) оно замкнуто. Таким образом, поскольку это множество
содержит все характеристические функции множеств из 2, оно
должно содержать каждую функцию из ЕВ (Л, 2). Следовательно,
Для произвольной функции g из ЕВ (Л, 2) соотношение (п) выпол-
выполнено для любой характеристической функции / множества из 2.
Но множество функций /, для которых выполнено соотношение (и),
линейно и замкнуто и, следовательно, совпадает с ЕВ (Л, 2). Таким
18*
276 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
образом, отображение/-*- S (/) является непрерывным гомоморфиз-
гомоморфизмом ЕВ (Л, 2) на некоторую алгебру операторов S (/).
Для проверки того, что S (/) — оператор скалярного типа с ука-
указанным в лемме разложением единицы, возьмем / из ЕВ (Л, 2)
и для любого борелевского множества б в плоскости положим
Ei (б) = Е (/-1 (б)). Тогда, полагая g (\x) = \i в лемме 8, получаем
t (d\i),
(iii) S (f) = J f (X) E (dK) = j iiEi (dv) = J
A f(A)
где последний интеграл берется по всей комплексной плоскости.
Теперь Ei определена и счетно аддитивна на поле борелевских мно-
множеств и коммутирует с S (/). Таким образом, для проверки того,
что Ei — разложение единицы для S (/), достаточно показать, что
(iv) о (S (/) | Et (б) X) с= б"
для любого борелевского множества б комплексных чисел. Пусть
б — такое борелевское множество, и пусть ^i (J б. Тогда
($
Этим показано, что ^i0 6 p(S (/) | ^(б)^), и доказано включение
(iv). Так как Ei — разложение единицы для S (/), из равенства
(iii) вытекает, что S (/) — оператор скалярного типа, ч. т. д.
10. Теорема. Пусть дс — комплексное В-пространство и Е —
спектральная мера, определенная и счетно аддитивная на о-поле
2 подмножеств множества А. Для каждой Е-существенно ограни-
ценной Z-измеримой функции f в А определим оператор S (/) при
помощи равенства
Тогда f ->¦ S (/) является изоморфизмом В-алгебры ЕВ (А, 2)
и полной В-алгебры спектральных операторов скалярного типа.
Разложение единицы для оператора S (/) определяется равенством
Е (a; S (/)) = Е (/"* (а)),
где о — произвольное борелевское подмножество комплексной плоско-
плоскости. Более того, существует постоянная К, такая, что
\f\E^\S(f)\^K\f\E, ft ЕВ (А, 2).
Доказательство. Из предыдущей леммы видно, что отображение
/-> S (/) является непрерывным гомоморфизмом ЕВ (Л, 2) на ал-
алгебру спектральных операторов скалярного типа. Таким образом,
для некоторой постоянной К мы имеем | S (/) | ^ К I / I, и для дока-
2. Структура коммутативной В-алгебры 277
зательства последнего неравенства теоремы достаточно установить,
что | / \Е ^ I S if) I- Так как обе части этого неравенства являются
непрерывными функциями от /, достаточно доказать его для функций
/ из некоторого множества, плотного в ЕВ (Л, 2). Таким образом,
п
положим / = 2 a*X<v гДе ои . . ., ап — непересекающиеся мно-
жества в 2, объединение которых есть Л. Существует i0 ^ п, такое,
что Е ((Тг0) ф О и | / \Е = | aiQ |. Если ? (crio) х0 = х0 Ф О, то
S(f)xo = aioxQ и
| 5 (/) | > | сц0 | = | / \E.
Этим установлено последнее неравенство теоремы. В силу этого
неравенства ясно, что гомоморфизм /->- S (/) является изомор-
изоморфизмом и что алгебра {S (/) | / 6 ^^ (Л, 2)} является 5-алгеброй.
Для завершения доказательства теоремы остается проверить,
что алгебра всех операторов S (/), где / 6 ЕВ (Л, 2), является пол-
полной. Это означает, что если S (Z) существует как ограниченный всю-
всюду определенный оператор, то S (Z) = S (g) для некоторой функ-
функции g из ЕВ (Л, 2). Покажем, что если S (Z) существует, то /-1
является ^-существенно ограниченной и S (f)'1 = S (/-1). Для
каждого т = 1, 2, ... выберем непересекающиеся борелевские
множества 8Ь . . ., 8Пт диаметра меньше 1/т, объединение которых
есть круг {Я | | К | ^ | / \Е}. Пусть a* = Z Fг) и ^ — точка из
(Tf. Тогда функции
обладают следующими свойствами:
Поскольку S (Z) существует как ограниченный всюду определен-
определенный оператор, из леммы VI 1.6.1 вытекает, что при достаточно боль-
больших значениях т операторы
имеют ограниченные всюду определенные обратные. Это показыва-
показывает, что fm (Xt) Ф 0 при достаточно больших т, если Е (ог) Ф О,
и потому Z™1 лежит В'?В(Л, 2) и S^) = S^1).* Далее, так как
последовательность {/й1} сходится в jE'B(A, 2), откуда вытекает,
что f является ^-существенно ограниченной и что S(f)~1 =
\iS(fm)-^ = \\mS(f^)^S(f-1), ч.т.д.
278 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
11. Следствие. Изоморфизм f ->- S (/) теоремы 10 обладает сле-
следующими дополнительными свойствами:
(i) Оператор S (/) имеет ограниченный всюду определенный обрат-
обратный тогда и только тогда, когда функция f'1 является Е-существен-
но ограниченной на А. В этом случае S (f)'1 = S (/-1).
(ii) Спектр оператора S (/) описывается формулой
o{S(f))= П f(8), f€?B(A, 2).
Е F)=1
(iii) Если {fn} — ограниченная последовательность в ЕВ (Л, 2)
и если f (k) = lim fn (к) всюду, за исключением X из некоторого мно-
п
жества Е-меры нуль, то S(fn)x -> S(f)x для всех х из X.
Доказательство. Первое утверждение было установлено в конце
доказательства теоремы 10, а третье вытекает из теоремы IV. 10.10.
Для доказательства второго утверждения возьмем множество
б из 2, такое, что Е (б) = /. Если Ко (? / (б), то функция ft, опреде-
определяемая соотношениями
0, Я$б,
^-существенно ограничена на Л и
S (h) (V - S (/)) = I.
Тем самым показано, что Хо содержится в резольвентном множестве
р (S (/)). Итак, /(б)з a(S(/)), если Е(8) = 1, и, следовательно,
П fF)=>o(S(f)).
EF)=I
Обратно, если А,о 6 р (S (/)), то из (i) вытекает, что функция
(к0 — / (к))'1 является ^-существенно ограниченной на Л. Следо-
Следовательно, существует множество а в 2, такое, что Е (а) = / и
Таким образом, к0 не принадлежит / (а). Это показывает, что
<T(S(f))=2f(ff)=2 П /F),
и завершает доказательство леммы, ч. т. д.
12. Следствие. Пусть §1 — алгебра операторов в слабо полном
В-пространстве X. Допустим, что 51 топологически и алгебраиче-
алгебраически изоморфна некоторой В-алгебре ограниченных непрерывных
функций. Тогда любой оператор из Щ. является спектральным one-
ратором скалярного типа.
2. Структура коммутативной В-алгебры 279
Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 5 и теоре-
теоремы 10, ч. т. д.
13. Следствие. Каждый оператор в равномерно замкнутой алгеб-
алгебре, порожденной ограниченной булевой алгеброй проекционных опе-
операторов в слабо полном В-пространстве, является спектральным опе-
оператором скалярного типа.
Доказательство. Это утверждение вытекает из следствия 12
и леммы 1, ч. т. д.
14. Следствие. Пусть ЭЕ — слабо полное В-пространство.
Пусть Щх) — полная алгебра, порожденная семейством х комму-
коммутирующих спектральных операторов. Если булева алгебра В, порож-
порожденная разложениями единицы операторов из х, ограничена, то вся-
кий оператор из 21 (т) является спектральным.
Доказательство. Так как всякий оператор из радикала алгебры
Щх) квазинильпотентен, то утверждение вытекает непосредствен-
непосредственно из теоремы 3, следствия 13 и теоремы XV.4.5, ч. т. д.
15. Следствие. Полная алгебра 21, порожденная конечным набором
Ть . . ., Тп коммутирующих спектральных операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве и их разложениями единицы, имеет вид
21^95 0 5R,
где Ш — радикал в 21, a 23 — алгебра, порожденная проекторами
из разложений единицы для Tt, . . ., Тп. Кроме того, всякий опера-
оператор из 21 является спектральным.
Доказательство. Из следствия XV.6.3 вытекает, что все проекто-
проекторы, порождающие 98, содержатся в ограниченной булевой алгебре
В проекторов, и потому требуемое разложение 21 получается из тео-
теоремы 3. Заключительное утверждение вытекает из следствия 14,
ч. т. д.
Предыдущее следствие неверно, если гильбертово пространство
заменено произвольным 5-пространством. Действительно, как пока-
показал- Какутани [15], сумма двух коммутирующих спектральных опе-
операторов скалярного типа в пространстве непрерывных функций
не обязательно является спектральным оператором. Однако, если
п — 1 в следствии 15, то гильбертово пространство можно заменить
произвольным комплексным В-пространством. Точнее, полная алгеб-
алгебра 21, порожденная спектральным оператором Т и семейством В
проекторов из его разложения единицы, не только является вектор-
векторной прямой суммой ЙФ$, где 9S — операторная алгебра, поро-
порожденная семейством В, а $ — радикал в 21, но и любой оператор
в 21 является спектральным. В этой ситуации мы имеем два пред-
280 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
ставления алгебры 95; действительно, 95 эквивалентна алгебре
всех непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов
в 21, а если Е — разложение единицы для Г, то 95 эквивалентна
алгебре всех ^-существенно ограниченных борелевских измеримых
функций на спектре Т. Последнее представление иногда более полез-
полезно, поскольку оно скорее дает операционное исчисление для функ-
функций, заданных на спектре оператора Т, чем операционное исчисле-
исчисление для функций, заданных на компактном хаусдорфовом простран-
пространстве максимальных идеалов в 2[. Опишем теперь эту ситуацию:
—> 16. Теорема. Пусть Т — спектральный оператор, Е — его раз-
разложение единицы, a S — скалярная часть. Тогда полная алгебрау
порожденная оператором Т и семейством В проекторов из области
значений Е, является векторной прямой суммой
где ЩВ) — алгебра, порожденная семейством В, а Ш — радикал
в И- Более того, ЩВ) — полная алгебра спектральных операторов
скалярного типа, эквивалентная алгебре всех Е-существенно ограни-
ограниченных борелевских измеримых функций на спектре g(T) = o(S),
которая состоит из всех операторов вида
f(S)= j f(k)E(dk)9 f?EB(o(S)).
Любой оператор в 21 является спектральным*
Доказательство. Первое утверждение вытекает из теоремы 3.
Пусть 2Ii — алгебра всех операторов вида \ / (k) E (dX), где / явля-
является ^-существенно ограниченной на cr(S). Из теоремы 10 вытекает,
что 2Ii — полная алгебра спектральных операторов скалярного
типа, эквивалентная ЕВ(А, 2). Из определения интеграла вытекает
что 2li ^ 2t (В). С другой стороны, каждый проектор Е (б) из В
лежит в 2li. Таким образом, ЩВ) ^ Я4 и ЩВ) = Я4. Заклю-
Заключительное утверждение вытекает из теоремы XV.4.5, ч. т. д.
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры
В этом параграфе мы попытаемся дать описание сильного замы-
замыкания коммутативной алгебры спектральных операторов. Как мы
уже замечали (см. VI. 1.5), выпуклое множество в пространстве всех
ограниченных линейных отображений между двумя В-простран-
ствами имеет одно и то же замыкание как в слабой, так и в сильной
операторных топологиях. Таким образом, сильное и слабое оператор-
операторные замыкания алгебры операторов совпадают. Мы начинаем этот
параграф, как и предыдущий, с рассмотрения коммутирующего
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 281
семейства т спектра'льных операторов вместе с их разложениями еди-
единицы и хотим описать все операторы в сильно (или, что то же самое,
слабо) замкнутой операторной алгебре, порожденной т. Дальнейшие
рассмотрения будут относиться к тому случаю, когда все операторы
данного коммутирующего семейства являются спектральными опе-
операторами скалярного типа. Поскольку каждый оператор скалярного
типа содержится в сильном (даже равномерном) замыкании алгебры,
порожденной проекторами его разложения единицы, задача настоя-
настоящего параграфа сводится к описанию операторов в сильном (или
слабом) замыкании операторной алгебры, порожденной булевой
алгеброй проекционных операторов. Основным результатом в этом
направлении является следующая теорема Бейда:
Теорема. Пусть В — ограниченная булева алгебра проекционных
операторов в слабо полном В-пространстве X. Тогда слабо {или, что
то же самое, сильно) замкнутая операторная алгебра, порожденная
алгеброй В, состоит из всех операторов в X, которые оставляют
инвариантными каждое замкнутое линейное многообразие, инвари-
инвариантное относительно всех операторов из В.
Доказательство этой теоремы, которое следует схеме Бейда,
основано на тщательном анализе и сравнении различных понятий
полноты булевых алгебр. Действительно, как видно из приведен-
приведенного ниже следствия 8, ограниченная булева алгебра проекторов
в слабо полном пространстве сильно замкнута тогда и только тогда,
когда она полна в смысле следующего определения:
1. Определение. Булева алгебра В проекторов в В-пространстве
Ж называется полной (о-полной) как абстрактная булева алгебра,
если каждое подмножество (последовательность) в В имеет наиболь-
наибольшую нижнюю грань и наименьшую верхнюю грань в В. Булева
алгебра В называется полной (о'-полной), если она полна (а-полна)
как абстрактная булева алгебра и если для каждого множества
(последовательности) Во в В выполнены соотношения
/ )^{\?о}, (Л Е)*= П ЕЖ.
Е?В Е?В0 Е?Во
Булева алгебра В называется ограниченной, если существует посто-
постоянная /С, такая, что
\Е |</С, Ее В.
Цель первых двух лемм — показать, что булева алгебра, обла-
обладающая слабейшим из четырех свойств полноты предыдущего опре-
определения (т. е. свойством быть а-полной как абстрактная булева
алгебра), заведомо ограничена. Соображения, используемые при
доказательстве этих лемм, немного отходят от основной линии рас-
рассуждений, используемых в доказательстве теоремы Бейда, и чита-
читатель, желающий поскорее понять суть проблемы, может опустить
282 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
эти леммы, добавив просто излишнее предположение об ограничен-
ограниченности в рассмотрениях, начинающихся с леммы 4.
2. Лемма. Если множество {Ьа} в абстрактной булевой алгебре
В имеет наименьшую верхнюю грань, то для любого b из В множество
{b/\ba} пересечений имеет наименьшую верхнюю грань и
Доказательство. Очевидно, что Ь Д (\Jba) ^бДба для всех а.
а
Пусть, далее, а > b A ba Для всех а, так что
а
и, следовательно,
Таким образом, взяв пересечения обеих частей этого неравенства
с элементом b и используя распределительный закон b Д (а V с) —
= (Ь А я) V (Ь А с)> мы получаем
(Ь А а) V \Ь А IV Ьа\А Ь') =Ъ А а>Ь Д (\/ба),
а а
так что
тем самым показано, что элемент Ь Д (V Ьа) является наименьшей
а
верхней гранью для всех элементов b Д &а, ч. т. д.
3. Лемма. Если булева алгебра проекторов а-полна как абстракт-
абстрактная булева алгебра, то она ограничена.
Доказательство. Предположим, что булева алгебра В проекто-
проекторов не является ограниченной. Покажем сначала, что В содержит
монотонно возрастающую последовательность {Еп}у такую, что
| Еп | > п + | Еп-± |, п = 2, 3, . . . .
Мы будем говорить, что проекция Е обладает свойством (а), если
sup | F | = оо. Ясно, что для любого ? из В или ?, или / — Е
обладает свойством (а), а если Е обладает свойством (а) и F < Е,
то или F, или Е — F обладает свойством (а). Пусть ?\ обладает
свойством (а). Тогда существует элемент Fi ^ Еи такой, что | FL \ >
^2 + 2 | Ех |. Пусть Е2 — один из членов пары Fb Ех — FY
со свойством (а). Неравенство \ Ei — F{ \ ^ | Ft \ — I ?"i | показы-
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 283
вает, что | Е2 I > 2 + | EY |. Выберем теперь F2 в Е2 так, чтобы
| F2 I ^ 3 + 2 | Е2 |, и т. д. Построение продолжается по индукции.
Теперь для каждого п положим Gn = Еп — Еп+1. Проекторы
Gn дизъюнктны, и lim | Gn | = оо. Выбирая подпоследовательности
П П->оо
последовательности {Gn}, мы получим набор взаимно непересекаю-
непересекающихся последовательностей проекторов {Hjk}, j = 1, 2, . . ., k =
= 1, 2, . . ., такой, что
lim |#/A| = oo, / = 1,2....
k->oo
оо
Положим Pj= V ^jft- Тогда из леммы 2 непосредственно выте-
кает, что PnPm = 0 при пфт. Соотношение
1*1 ~" 1*1 \Рт*\
показывает, что
где в левой части стоит норма Нтп как оператора в РтЖ. Следо-
Следовательно,
Нт|Ят71|р з?=оо, т=1, 2, ....
П-УОО
Выберем подпоследовательность {nt} и единичные векторы х% в Р{$,
' оо
так, что | Hin.xt | > i, i== 1, 2, .... Проектор Q \/ Я(П не может
быть ограниченным, поскольку
и это противоречие завершает доказательство леммы, ч. т. д.
4. Лемма. Пусть В — полная (а-полная) булева алгебра проекто-
проекторов в В-пространстве ЭЕ и {Еа} — монотонная обобщенная после-
последовательность (монотонная последовательность) в В. Тогда если
{Еа} возрастает, то
lim Eax-=(\JЕа) х, х??,
а а
а если {Еа} убывает, то
\\тЕах=(/\Еа)х, х?Ж.
а а
Обратно, если любая монотонно возрастающая обобщенная последо-
последовательность (монотонно возрастающая последовательность) эле-
284 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
ментов булевой алгебры В проекторов сильно сходится к элементу В,
то В полна (а-полна).
Доказательство. Пусть Ео=\/ Еа — объединение возрастающей
а
обобщенной последовательности {Еа}, а число 8>0и вектор х?Ж
выбраны произвольно. Так как E<$ = sp ЕсЛ, существуют вектор
п
У= 2 zt и индексы а*, такие, что EaiZt = Zi и | Еох — у |<е.
Если a^cti, f=l, . ..,я, то Еау=у. Поскольку ЕаЕ0=Еа,
отсюда вытекает, что для a>a*
где К — верхняя грань для норм проекторов из В (см. лемму 3).
Этим доказано, что lim Еах = Еох. Двойственное утверждение
a
об убывающих последовательностях вытекает теперь из формулы
/\Ea = I-\J(I-Ea).
а а
Доказательство в случае cr-полноты совершенно аналогично.
Для доказательства обратного утверждения возьмем подмно-
подмножество {?} в В, а в качестве {Fa} — обобщенную последователь-
последовательность конечных объединений элементов из {?}, упорядоченную
в естественном возрастающем порядке проекторов. Проектор F явля-
является верхней гранью для {Е} тогда и только тогда, когда он являет-
является верхней гранью для {Fa}, а так как
для любого конечного множества проекторов, для построения наи-
наименьшей верхней грани для {?}, обладающей свойством, требуемым
в определении 1, достаточно провести соответствующее построение
для {Fa}. Для этого положим Foo = lim Fa, где предел берется
a
в сильной операторной топологии. Так как FaF$ = Fa, если Р > a,
мы имеем
откуда Foo^Fa, и потому F^ является верхней гранью для {Fa}.
Если F — другая верхняя грань, то
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 285
откуда F^Foc, а потому F<x> является наименьшей верхней гранью
\/ Fa для {Fa}- Так как
а а
отсюда вытекает, что /\х>3? ^ sp {(J Fa%}- С другой стороны,
а
fooX э Fa& Для всех а, и это показывает, что
Если каждая возрастающая обобщенная последовательность {Fa}
проекторов в В сходится сильно, то ясно (для этого следует перейти
к рассмотрению последовательности {/ — Fa})y что любая монотон-
монотонная убывающая обобщенная последовательность проекторов в В
также сходится сильно. Учитывая это соображение, можно постро-
построить наибольшую нижнюю грань для {?}, обладающую свойством
определения 1, тем же способом, который был использован при по-
построении наименьшей верхней грани. Доказательство в случае
0-полноты проводится по той же схеме, ч. т. д.
5. Лемма. Сильно замкнутая ограниченная булева алгебра проек-
проекторов в слабо полном В-пространстве полна.
Доказательство. Если сильно замкнутая ограниченная булева
алгебра В проекторов не полна, то в силу предыдущей леммы суще-
существуют вектор х и возрастающая обобщенная последовательность
{Еа} проекторов в В, такие, что предел lim Еах не существует.
а
Из леммы 1.7.5 вытекает, что {Еах} не является обобщенной после-
последовательностью Коши. Следовательно, существуют е > 0 и для
любого а индекс р (а) ^ а, такие, что
\ЕШ)х — Еах\>г.
Пусть а4 произвольно; для п ^ 1 положим ап+! = р (ап) и Еп =
= Еап* Тогда {Еп} — возрастающая последовательность элемен-
элементов из Ву для которой не существует предела lim Enx. Если мы
п
рассмотрим равномерно замкнутую операторную алгебру ЩВ)У
порожденную проекторами в В, то получим противоречие с этим
утверждением. По лемме 2.1 алгебра ЩВ) эквивалентна при изо-
изоморфизме S(f)+-+f алгебре С(Л) непрерывных функций на простран-
пространстве Л максимальных идеалов в ЩВ). Более того, по теореме 2.5
этот изоморфизм S(f) задается при помощи счетно аддитивной спек-
спектральной меры Я, определенной на семействе борелевских множеств
в Л равенством
S(f)=^f(K)E(dk),
А
286 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
Проектор Еп является образом при отображении S непрерывной
функции /п, и так как Еп = Еп, то fn =fn. Поэтому можно предпо-
предполагать, что fn принимает лишь значения нуль и один и, следователь-
следовательно, является характеристической функцией некоторого множества
еп. Так как fn непрерывна, множество еп открыто и замкнуто. Более
того, поскольку En+iEn = Еп, мы имеем fn+ifn = fn и еп+1еп = еП1
а это показывает, что последовательность {еп} возрастающая.
Поскольку
предел
lim Епх = lira Е (еп) х
п п
существует в силу счетной аддитивности спектральной меры ?.
Это противоречие завершает доказательство леммы, ч. т. д.
6. Лемма. Полная булева алгебра проекторов содержит каждый
проектор в слабо замкнутой операторной алгебре, которую она поро-
порождает.
Доказательство. Пусть @ и 2В — сильно замкнутая и слабо
замкнутая операторные алгебры, порожденные полной булевой
алгеброй В проекторов в В-пространстве Ж. Так как в силу след-
следствия VI. 1.5 @ (В) = 2В(?), то для доказательства теоремы доста-
достаточно показать, что каждый проектор F из @ (В) принадлежит В.
Для этого мы покажем, что для каждой пары векторов (у, г), где
у €Ш = F Ж, а z 6 Ш = (/ — /7)Ж, существует соответствующий
проектор Eyz в В, такой, что Еугу = у = Fy и Eyzz = 0 = Fz. Дей-
Действительно, если это так, то проектор
Е=/\ \/ Ey
yz
лежит в В, поскольку алгебра В полна. Если х0 = Уо + Zo, где
tt и zo€9fc, то (V Еуг)уо=уо для всех г из 31
и ( V EyZQ)zQ = 0. Таким образом, Еуо — уо, Ezo=O и E=F.
у?П
Теперь будут построены проекторы Eyz. Следует отметить, что
в построении используется лишь тот факт, что В является сг-полной.
Пусть у и z — фиксированные элементы из Ш и 31 соответственно
и 8 — заданное положительное число. Так как F принадлежит силь-
сильно замкнутой операторной алгебре, порожденной В, существует one-
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 287
п
ратор А вида А = 2 а^ь где
такой, что
\у — Ау\<г,
По лемме 3 существует верхняя грань К > 1 норм проекторов в В,
и, таким образом, если
Е= 2 Ей
1сс.
то из леммы 2.2 вытекает, что
\Ег\ = \( 2
||1
По тем же соображениям ясно, что
\У-РУ\ = \ S Ety\ =
I a. | ^1/2
= l( S A-а*)
I се. | ^ 1/2
Выбирая г так, что 8Ке<2~п, мы видим, что существует после-
последовательность {Еп} в В, такая, что
(О \У — Епу\<-^- , \Enz\<-^.
Пусть проектор Еп,т определен соотношением
n-fm
Еп,т— V Ей-
k=n
Тогда Е(п,т>Еп, A — Еп,т)^:1 — Еп, и потому
(I-En.m)y=(I-En.m)(I-En)y,
откуда вытекает, что
00 ?
Так как
Еп, m+i^11 Еп, т-\-{1 —Еп, т) Еп
то по индукции из соотношения (i) получается, что
(Hi) |?^ ^«?
288 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
Последовательность {Еп,т} возрастает по т, а последовательность
m=0
убывает. Таким образом, по лемме 4 предел
оо оо
EVz=/\ V -?"n,m = Hni lim ?n,m
n=0 m=0 n-+oo m->-oo
существует в сильной операторной топологии. Из соотношений (ii)
и (iii) непосредственно вытекает, что этот предел обладает требуемы-
требуемыми свойствами, а именно выполнены соотношения Eyzy = у, Eyzz =
= 0, ч. т. д.
7. Следствие. Полная булева алгебра проекторов сильно замкнута.
Доказательство. Так как всякий оператор в сильном замыкании
ограниченной булевой алгебры проекторов сам является проектором,
то это следствие вытекает непосредственно из лемм 3 и 6, ч. т. д.
8. Следствие. Ограниченная булева алгебра проекторов в слабо
полном пространстве полна тогда и только тогда, когда она сильно
замкнута.
Доказательство. Это утверждение вытекает из леммы 5 и след-
следствия 7, ч.т.д.
9. Лемма. Пусть ЩВ) — равномерно замкнутая операторная
алгебра, порожденная полной булевой алгеброй В проекторов в
В-пространстве Ж. Тогда ЩВ) эквивалентна алгебре непрерывных
функций на ее собственном множестве А максимальных идеалов, и лю-
любой гомеоморфный изоморфизм Т между этими алгебрами однозначно
определяет регулярную счетно аддитивную спектральную меру Е
в Ж, заданную на семействе борелевских множеств в К и такую, что
T(f)=) f(X)E(dX), feC{A).
А
А
Кроме того, областью значений Е является в точности булева алгеб-
алгебра В.
Доказательство. По лемме 3 булева алгебра В ограничена, а по
лемме 2.1 алгебра ЩВ) эквивалентна алгебре непрерывных функ-
функций на структурном пространстве Л для ЩВ). Из теоремы 2.4
вытекает существование спектральной меры А в Ж*, заданной
на борелевских множествах в Л и такой, что
ХТ (f) х* = j f (I) xA (dk) x*, x e Ж, x* e Ж*.
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 289
Эта спектральная мера А однозначно определена и обладает тем
свойством, что для всех х из Ж и х* из 36* числовая мера хА(-) х*
регулярна и счетно аддитивна. Покажем теперь, используя полноту
В, что для любого борелевского множества е оператор А(ё) сопряжен
к проектору из В. Для этого рассмотрим семейство 2 тех борелев-
ских множеств е из Л, для которых А (ё) = Е (ё)* при некотором
проекторе Е (ё) из В. Так как В — булева алгебра, семейство 2
является полем. Для проверки того, что. 2 есть сг-поле, возьмем
возрастающую последовательность {еп} множеств из 2. Поскольку
Е (en+i)* Е (еп)* = A (en+ien)=A (en) = Е{еп)*,
последовательность {Е (еп)} возрастающая, а так как В полна, из
леммы 4 вытекает, что сильный предел Е = lim E (еп) существует
п
и является проектором из В. Таким образом,
хА{\] еп) х*= lim xA (еп)х* =
П=1 П->оо
= UmxE(en)* х* = хЕ*х*, х 6 Ж, х* 6 ?*,
П->оо
оо
а это означает, что объединение U еп лежит в 2 и что 2 есть а-поле.
п=1
Следовательно, для проверки того, что 2 содержит все борелевские
множества, достаточно показать, что 2 содержит все открытые мно-
множества. Пусть е — открытое подмножество в Л, х и х* — элементы
ЭЕ и ЭЕ* соответственно и в > 0. Тогда ввиду регулярности функ-
функции хА(-) х* существует замкнутое подмножество б в е, такое, что
для любого борелевского множества бь удовлетворяющего условию
б ^ 8t ^ е. Каждому ? из В соответствует непрерывная функция
/я, которая однозначно определяется равенством Е = Т (fE). Так
как Е2 = Е, то /| = /е, т. е. fE является характеристической функ-
функцией множества о (Е). Поскольку fE непрерывна, множество о(Е)
открыто и замкнуто. Отображение Е ++ о (Е) является, очевидно,
изоморфизмом между В и булевой алгеброй всех открыто-замкнутых
подмножеств Л. Эти открыто-замкнутые множества о (Е) образуют
базис топологии Л. Чтобы убедиться в этом, заметим, что множества
вида {I | | G А) (К) | <а}, где А 6 §1 (В), образуют по определе-
определению подбазис топологии Л, а так как В порождает ЩВ), то
множества о (Е) образуют подбазис топологии Л. Поскольку
а (Е) о (F) = а (EF), множества а (Е) действительно образуют базис
топологии Л (см. теорему IX.2.11 и ее доказательство).
Рассмотрим теперь замкнутое множество бь причем б ^ 6* ^ е.
Каждая точка К из б4 является внутренней для некоторого множест-
множества сг (Е) ^ е. Так как бА компактно, конечное число множеств
19 Н. Данфорд и Дж. Шварц
290 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
о (Ei), . . ., о (Еп) покрывает 6lf и, таким образом, если Ео — объ-
объединение проекторов Еи ..., Еп, то
Итак, если Е — проектор из В и а (Е)<^о (Е)<=е, то из соот-
соотношения (i) вытекает, что
(И) |хА (о(Е))х*-хА (е)х*\<г.
Так как
А @ (?)) = j A (dX) = J хода (Ь) Л (dX) = Т (Хо(Е)) = ?,
О(Е) А
то из неравенства (И) вытекает, что
(Hi) | х*Ех — хА (е) х* | < 8
для любого проектора Е из В, удовлетворяющего условию а (Ео) ^
^ сг (Е) se. Таким образом, если {?"а} — обобщенная последова-
последовательность проекторов Е из Ву причем g(E) ^ е, направленная в есте-
естественном возрастающем порядке проекторов, то из соотношения
(ш) видно, что
хА (ё) х* = lim x*Eax.
а
С другой стороны, из леммы 4 вытекает, что
в сильной операторной топологии. Таким образом, х*ЕооХ =
= хА(е)х*у а это показывает, что е лежит в 2 и что 2 состоит
из всех борелёвских множеств в Л. Это означает, что для любого
борелевского множества е в Л существует проектор Е (е) в В, такой,
что А (ё) = Е (е)*. Итак, доказательство закончено, ч. т. д.
10. Следствие. Булева алгебра проекторов в В-пространстве
является о-полной тогда и только тогда, когда она совпадает с об-
областью значений счетно аддитивной регулярной спектральной меры,
заданной на о-поле подмножеств некоторого компактного простран-
пространства.
Доказательство. Пусть В есть cr-полная булева алгебра проекто-
проекторов. Тогда доказательство предыдущей леммы показывает, что эта
алгебра совпадает с областью значений некоторой счетно аддитивной
спектральной меры Еу заданной на сг-поле 2 множеств в компактном
пространстве Л. Обратно, предположим, что В совпадает с областью
значений спектральной меры ?, заданной и счетно аддитивной на
S. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 291
сг-поле 2 подмножеств множества Л. Пусть {Еп}— возрастающая
последовательность .элементов В. Если Еп = Е (еп), то
Е (еп — вп+i) = Е (еп) — Е (en+ien) = En — Еп+1Еь = Еп — Еп = 01
так что с точностью до множества ?-меры нуль мы имеем еп s en+i-
Так как Е счетно аддитивна, то предел
Um En = \irn Е(еп) = Е{ {] еп)
П П-+ОО 71=1
существует в сильной операторной топологии и, более того, он при-
принадлежит В. Из леммы 4 вытекает, что В а-полна, ч. т. д.
11. Следствие. Сужение а-полной булевой алгебры проекторов
на инвариантное подпространство о-полно.
Доказательство. Это утверждение вытекает непосредственно
из критерия сг-полноты, сформулированного в следствии 10, ч. т. д.
Булева алгебра В самосопряженных проекторов в гильбертово^
пространстве ig обладает тем свойством, что для всякого х0 из i§
скалярное произведение (Ех0, х0) неотрицательно и обращается
в нуль только тогда, когда Ех0 = 0. Чтобы продолжить анализ
булевых алгебр в произвольных jB-пространствах, можно восполь-
воспользоваться изящным результатом Бейда:
12. Лемма. Пусть В есть о-полная булева алгебра проекторов
в В-пространстве Ж. Тогда для всякого хоизЖ существует- линей-
линейный функционал х* 6 $*, обладающий следующими свойствами:
0) х*Ех0 > 0, Е е В,
(И) если х*Ех0 = 0 для некоторого Е из В, то Ех0 = 0.
Доказательство. В силу следствия 10 В совпадает с областью
значений некоторой счетно аддитивной спектральной меры ?, задан-
заданной на а-поле 2. Согласно следствию 11 и теореме Хана — Банаха,
можно предполагать, что Ж = sp {Ех0 \ Е ? В}. Для каждого
линейного функционала у* из Ж* рассмотрим меру [ху* , заданную
на, 2 соотношением
Ру* (е) = у*Е(е)х0, е 6 2,
и назовем множество б в 2 у*-носителем, если |iy* (б) =? 0 и если
любое измеримое подмножество е в б, на котором полная вариация
v 0*2/*» е) = 0, имеет образ Е(ё) = 0. Заметим, что при данном опре-
определении у* -носитель может обладать собственными подмножества-
подмножествами, которые являются у*-носителями. Это обстоятельство в даль-
дальнейшем будет несущественным. Применение леммы Цорна приводит
к максимальному семейству {ба} непересекающихся множеств, каж-
19*
292 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
дое из которых является у^-яосителем при некотором у^ из Ж*.
Убедимся сначала в том, что множество {ба} не более чем счетно.
Для этого заметим, что, так как спектральная мера Е сильно счетно
аддитивна на 2, каждый ряд 2 ?Fa)*o» состоящий из счетного чис-
а
ла элементов, сходится и, следовательно, содержит лишь конечное
число элементов, нормы которых превосходят заданное положитель-
положительное число. Поскольку
для всех а, последовательность {ба} не более чем счетна и потому ее
оо
можно записывать далее в виде {бп}. Пусть А = (J 8п, так что допол-
п=1
нительное множество А' не содержит носителей. Далее будет показа-
показано, что ?(Д') = 0. Действительно, если Е (А') Ф 0, то из того фак-
факта, что {Е(е)х0 | е ? 2} порождает $, вытекает, что Е(к')х0Ф 0,
и, следовательно, для некоторого функционала у* мы имеем
y*E{k')x0 Ф 0. Положим у* = ?f(A')*z/*, так что мера [д,у*
обращается в нуль на подмножествах А, и потому полная вариация
v (\1У*, А) = 0. По лемме IV. 10.5 векторная мера Е (•) х0 непрерыв-
непрерывна относительно некоторой конечной положительной меры- v на 2.
Мера v не может быть [д,у*-сингулярной; действительно, если бы это
было так,, то в 2 нашлось бы множество е, такое, что v(\iy*, ё) = 0
и v(e') = 0, а тогда Е(е')х0 = 0, v(\iy*9 er) = 0. Отсюда вытекало
бы, что v (\iy*, A) = v ((х^*, ё) + v (\iy*9 е) = 0, но это противо-
противоречит тому факту, что \1у*ф0. Из теоремы о разложении (III.4.14)
вытекает существование множества е4 с мерой |ху* (в4) Ф 0,
такого, что v, а следовательно и ?, обращается в нуль на любом
подмножестве S в еи на котором полная вариация v (|ху*, б) = 0.
Если б = e4A', то [лу* (б) = \iy* fa) Ф 0, но вместе с тем из соот-
соотношений 5i g 6 и и (Цу*» 84) = 0 вытекает, что Е F4) = 0. Таким
образом, б является носителем, содержащимся в А', а это противо-
противоречит тому факту, что А' не содержит носителей. Это завершает
доказательство соотношения Е (А') = 0.
Пусть уп — такой функционал, что бп является i/n-носителем.
Рассмотрим теперь любую меру вида
оо
(a) V>(e)= S CnV(\iy*> e), e 62,
где сп > 0, п = 1, 2, . . . . Если \i (ё) = 0, то v{\ky^, ё) = 0 для
всех /г, и, таким образом, Е(е&п) = 0 = Е (еД). Так как ?(Д') = 0,
то мы имеем Е(е) = 0. Поэтому доказательство леммы можно завер-
завершить, установив существование вектора #*, такого, что мера
(iJo имеет вид (а).
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 293
Прежде чем перейти к построению такого вектора х*, заметим,
что в силу теоремы Радона — Никодима (III. 10.7) существует функ-
функция fn, для которой выполнено соотношение
v(\iy*, e)=
Так как по теореме III.20.2 (а)
, dX), е?2,
то |/п(^)|=1 Для М-у*-почти всех X. Поэтому можно предпола-
предполагать, что \fn(X)\=l для всех Я в Л. Пусть zt^Ttyt, где опе-
операторы Тп определены по формулам
Tn = j fn(k)E(dk),
А
Поскольку функции fn ограничены, то же верно и для опера
торов Тп- Тогда
^ (е) = {Ttyl) Е (е) хо=у%Е (е) Тпх0=
Таким образом, функционалу
соответствует мера
оо
Ц*у= 2
71=0
вида (а), ч. т. д.
13. Лемма. Пусть В есть а-полная булева алгебра проекторов
в В-пространстве Ж. Предположим, что для некоторого х0 из Ж
векторы Ех0, когда Е пробегает В, образуют фундаментальное мно-
множество в Ж. Пусть х* — функционал, обладающий свойствами (i)
и (и) из леммы 12. Тогда Ж-замыкание линейного многообразия в %*,
порожденного векторами ?*х*, Е 6 В, совпадает совсем простран-
пространством Э?*.
Доказательство. В силу следствия^Ю, В совпадает с областью
значений счетно аддитивной регулярной спектральной меры Е на
294 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
а-поле 2 подмножеств пространства Л. Таким образом, для дока-
доказательства плотности множества sp {?*л;* | ?* ? В*} в Ж* в его
Ж -топологии, достаточно проверить, что х = О является един-
единственным вектором х в Ж, для которого
?* (a) jcSjc=4?" (а) *=0, а 6 2.
Так как векторы вида Е (а) лг0, а ? 2, образуют фундаментальное
множество в Ж, то существует последовательность {/п} конечных
линейных комбинаций характеристических функций, такая, что
x=\im \fn(X)E(dX)x0.
П-уоо J
А
Поскольку В ограничена (см. лемму 3),
lim
Поо
равномерно по а из 2. Так как
то ясно, что /а сходится к нулю в пространстве L4(A, 2, **?(•)*<))•
Таким образом, некоторая подпоследовательность {gn} в {/п}
сходится к нулю почти всюду и почти равномерно. Пусть
{бт} — убывающая последовательность множеств в 2, такая, что
ХоЕ(8т)хо-+О, a gn сходится равномерно к нулю на дополнении
каждого подмножества 6m, m^l. Тогда
= lim \ g-n(^)?(d^)x0 + lim f gn
П-+ОО J ~ П-+ОО J
6
6m
л
а это показывает, что
x=limEFm)x0 = E( f] Sm) x0.
1
oo oo
Так как *о?( П 6m)^o=O, то E ( f] Sm)x0 = 0, и, следовательно,
m=l m=l
X = 0, Ч. Т. Д.
Следующая лемма является ослабленным вариантом теоремы
Бейда, сформулированной во введении к этому параграфу.
3 Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 295
14. Лемма. Пусть В есть о-полная булева алгеёра проекторов в
В-пространстве Ж. Предположим, что для некоторого х из Ж мно-
множество {Ех | Ё б В} фундаментально в Ж.. Тогда равномерно
замкнутая операторная алгебра, порожденная В, состоит из тех
и только тех ограниченных линейных операторов в Ж, которые ком-
коммутируют с каждым элементом алгебры В.
Доказательство. Очевидно, что всякий элемент равномерно зам-
замкнутой алгебры, порожденной В, коммутирует с каждым элементом
из В. Поэтому для доказательства леммы достаточно проверить, что
каждый оператор Л, коммутирующий с любым элементом из В, ле-
лежит в равномерно замкнутой операторной алгебре, порожденной В.
В силу следствия 10, В совпадает с областью значений счетно адди-
аддитивной спектральной меры Е на сг-поле 2 подмножеств множества
Л. Пусть так же, как в лемме 12, у* соответствует вектору х. Тогда
по теореме Радона — Никодима существует 2-измеримая функция
h, такая, что
у*АЕ (е)х= Г h {%) у*Е (dk) x, e ? 2.
е
Положим
en
так что
у* {Е (е) Е (еп) АЕ (б) - Е (е) АпЕ (8)}х=
= j (h(k)-h(X))y*E(dk)x=O, e, 6 62.
ебеп
Поскольку множество {Е(8)х\ 6^2} фундаментально в Ж, имеет
место равенство
Е {еу у*Е (еп) Az=E (e)* y*Anz, z 6 Ж.
По лемме 13 многообразие в Ж*\ порожденное векторами вида
Е(е)*у*у где е С2, Ж-плотно в X*. Из предыдущего равенства
поэтому вытекает, что Е (еп) А = Ап, и так как А — ограниченный
оператор, последовательность {\ Ап |} ограничена. По теореме 2.10
sup ?-ess sup | hn (k) |< oo,
и, ^следовательно, функция h является ^-существенно ограничен-
ограниченной. Поэтому можно считать, что h ограничена, и, значит, еп = Л
для всех достаточно больших п. Отсюда вытекает, что
296 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
для достаточно больших целых п, и потому А лежит в равномерно
замкнутой алгебре, порожденной В, ч. т. д.
15. Следствие. Пусть В есть а-полная булева алгебра, удовлетво-
удовлетворяющая условию предыдущей леммы. Тогда слабо замкнутая оператор-
операторная алгебра, порооюденная алгеброй В, совпадает с равномерно
замкнутой алгеброй, порожденной В.
Доказательство. Ясно, что любой элемент слабо замкнутой опе-
операторной алгебры, порожденной В, коммутирует с любым элементом
из В, так что следствие вытекает непосредственно из лекмы 14, ч. т. д.
-> 16. Теорема. Равномерно замкнутая операторная алгебра,
порожденная полной булевой алгеброй В проекторов в B-npocmpanqmee
X, состоит из всех ограниченных линейных операторов в Ж, кото-
которые оставляют инвариантным любое многообразие, инвариантное
относительно любого элемента из В.
Доказательство. Очевидно, что всякий оператор из равномерно
замкнутой алгебры, порожденной алгеброй В, обладает требуемым
свойством инвариантности.
Прежде чем перейти к доказательству обратного утверждения,
сделаем несколько общих замечаний. Если Л — структурное про-
пространство равномерно замкнутой операторной алгебры %, порож-
порожденной В, то по лемме 9 существует гомеоморфный изоморфизм Т ал-
алгебр С(Л) и 9L Таким образом, каждый проектор ? из В определя-
определяет функцию fE из С (Л), такую, что Е = Т (fE). Так как Е2 = Е,
то /| = fE, и потому fE является характеристической функцией
некоторого множества о(Е) в Л. Поскольку / непрерывна, множе-
множество а(Е) одновременно открыто и замкнуто. Отметим, что
(i) множества о (Е) образуют базис топологии в Л.
Чтобы убедиться в этом, выберем %0 в открытом множестве N.
Так как функции из С(А) разделяют точки из Л и В порождает алгеб-
алгебру ЭД, эквивалентную С (Л), ясно, что характеристические функ-
функции множеств (?(?), где Е ? В, разделяют точки из Л. Таким обра-
образом, если ki лежит в дополнении N', то существует проектор Е из В,
такой, что %0 6 о\Е), ?ц (J а (?). Это показывает, что пересечение
всех замкнутых множеств o(E)Nf, где Е пробегает все проекторы
из В, с %0 б а (?), пусто. Так как Л — компакт, то некоторое конеч-
конечное пересечение a (i^) ... а (Еп) N' пусто. Таким* образом, если
Е = EiE2 * . ^ Еп, то Ко ? а (Е) ^ N, но это противоречит утверж-
утверждению (i).
Поскольку В полна, то проекторы
(Н) Ех= Л
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 297
существуют; соответствующие открыто-замкнутые множества о(Ех)
мы будем обозначать через ах. Из леммы 4 вытекает, что
(Ш) Ехх = х.
Отметим далее, что
(iv) если / (К) = 0 при X (J ох и если 7 (/) х = О, то / = ()¦
Чтобы убедиться в этом, предположим, что / =^= 0; тогда в силу (i)
существует проектор ?=^=0 в В, такой, что / (к) Ф 0 при к ? а (?).
Поскольку а (?) — компакт, функция g, определяемая соотноше-
соотношением
0, Я^а(?),
непрерывна и 7 (g) 7 (/) - ?. Тогда Ex = T (g) 7 (/) al= 0, и,
используя соотношение (iii), мы получаем (Ех — Е) х = х, откуда
вытекает, что Ех — Е > Ех. Но так как f(k) = 0 на ai, то 6(Е) ^
^ a^, а потому ? ^ ?х и i^ — ? ^ Ех. Следовательно, Ех — Е =
= Ех и Е = 0, т е. мы получили противоречие и доказали свой-
свойство (iv).
Пусть теперь А— ограниченный линейный оператор в Ж,
который оставляет инвариантным любое многообразие, инвариант-
инвариантное относительно каждого элемента из В. Тогда АЕЖЕЖ
и А (I — Е) $^ (/ — Е) $, откуда вытекает, что
ЕАЕ = АЕ, ЕА (/ — ?)== 0
и, следовательно, что
АЕ = ЕАЕ = ЕАЕ + ЕА (I — Е) = ЕА.
Значит,
(v) ЕА = Л?, ? б В.
() , б
По лемме 9 булева алгебра В совпадает с областью значений
счетно аддитивной спектральной меры ? на семействе 2 борелевских
подмножеств пространства Л. Для любого х из Ж положим
Так как Ж (х) инвариантно относительно любого элемента из,В,
оно также инвариантно и относительно Л, и в силу свойства (v)
рассуждения, использованные в доказательстве леммы 14, показы-
показывают, что сужение А на Щх) задается формулой
А\Ж(х)=[ hx(X)(E\X(x))(dX),
298 Гл. XVI. Алгебры спектральных операторов
где hx— ограниченная измеримая по Борелю функция на Л, причем
Р
Если оператор Ах определяется формулой
л
то очевидно, что
4с € Я, Ахх=Ах, АХЕХ=АХ, \АХ\^К\А\9
где К — верхняя грань для В. Так как Ах лежит в 21, то существу-
существует однозначно определенная непрерывная функция fx из С (Л),
такая, что Ах = Т (fx). Эта функция обладает следующими свой-
свойствами:
(vi) T(fx)x=Ax, fx(k) = O, X$gx.
Кроме того, если g также обладает свойствами (vi), то из (iv) выте-
вытекает, что fx = g, так что свойства (vi) характеризуют fx.
Заметим далее, что
(vii) oFx = o(F)ex, F?B.
Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что (EXF) Fx = FExx =
= Fx, а потому EXF ^ EFx. Обратно, если EXF > EFx, то суще-
существует элемент G =? О, такой, что G ^ EXF и GEFx = 0. Для такого
G очевидно, что GFx = GEFxFx = 0 и G (I — F) = 0. Таким обра-
образом,
Gx = GFx + G (I — F) x'= 0,
и, следовательно (/ — G) x = x, I — G ^ Ex, а потому G ^ I —
— Ex. Этим доказано, что G ^ (/ — Ex) Ex = 0; мы получили про-
противоречие и установили соотношение EXF = EFx, из которого непо-
непосредственно вытекает утверждение (vii). Далее мы установим соот-
соотношение
/viiH f f л/ FpR
\Villy I Fx — I xX*O(F)i 1 С *J •
Для его проверки положим g = fx%a{F), так что, используя (vii),
получаем g(k) = 0 при k$oxa(F) = aFx. К тому же
Т (g) Fx=T (fx) T (хс(*,) Fx=FT (fx) x = FAx=AFx.
Таким образом, утверждение (vi), если заменить в^ нем fx на g, a x —
на Fx, показывает, что g =*fFx\ тем самым соотношение (viii) уста-
установлено. Теперь мы проверим соотношение
При его доказательстве можно предполагать, что ох = оу, действи-
действительно, если г = Еух, a w = Еху, то из (vii) вытекает, что oz =
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 299
= ОуОх = Gw> а И3 (viiO — ЧТ0 fz = Xayfx И fw = Xaj
образом, если fz (k) = fw (к) на oz = ow, то равенство (ix) будет
установлено. Следовательно, мы можем и будем при доказательстве
соотношения (ix) считать, что ах = ау.
Так как А(х — у) = Лл: — Ау, то мы получаем
Т (fx-y) (х-у) = Т (/ж) х - Г (fv) у
и, следовательно,
Соотношение (ix) докажем теперь от противного; предположим, что
оно неверно, т. е. будем считать, что .функции fx и fy не являются
тождественно равными и одна из них, скажем fXJ отлична от обеих
функций fx и /х_у в некоторой точке А,о из ох. Таким образом, в силу
(i) существуют проектор Е и число 8 > 0, такие, что а (Е) ^ ох =
Так как а (Е) открыто и замкнуто, функция
О, Х$о(Е),
непрерывна и, следовательно, принадлежит С (Л). Положим
Тогда
так что
Г (fx) Ex = AEx = AT(h)y = T (fy) T (h) у = Т (fy) Ex.
Таким образом, Т (fyXow) Ex = AEx и fy (X) %GiE) (X) = 0, если
k <$. оу f) g (E) = gx f) g (E) = gEx (в силу (vii)). Так как соот-
соотношениями (vi) функция fx определяется однозначно, то ясно, что
С другой стороны, из соотношения (viii) вытекает, что fEx=
= fx%o(E)- Таким образом, fy(k) = fx(k)i если X^g(E); прлученное
протиюречие доказывает соотношение (ix).
В силу (ix) функция
г
'~1 0, Ч U ох,
К. X
определена и непрерывна на открытом множестве U ах. Так как
300 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
то функции fx равномерно ограничены, и, следовательно, % являет-
является ограниченной борелевской функцией. Положим
(х) A0
Тогда
Аох = А0Ехх= j g (A,) E (dk) х =
= j fx(l)E(dk)x=AxExx = Ax, хбЭе.
Ох
Поскольку Л о = А, равенство (х) показывает, что А принадлежит
равномерно замкнутой алгебре, порожденной проекторами Е (ё)Т
а потому А лежит в равномерно замкнутой алгебре, порожденной
В, ч. т. д.
17. Следствие. Слабо замкнутая операторная алгебра, порож-
порожденная полной булевой алгеброй В проекторов, совпадает с равномер-
равномерно замкнутой операторной алгеброй, порожденной В,
Доказательство. В силу следствия VI. 1.5 слабо замкнутая опе-
операторная алгебра ШЗ(В), порожденная В, совпадает с сильна
замкнутой алгеброй, порожденной В. Таким образом, всякий опе-
оператор А из Ш(В) является сильным пределом конечных линейных
комбинаций элементов из В. Отсюда вытекает, что А оставляет инва-
инвариантны^ всякое замкнутое линейное многообразие, инвариантное
относительно всех элементов В. Теорема показывает, что А содер-
содержится в равномерно замкнутой алгебре ЩВ), порожденной В.
Таким образом, ЩВ)^Ш(В). С другой стороны, очевидно, что
ЩВ)^ ЩВ), ч. т. д.
Материал, изложенный в настоящем параграфе, преимуществен-
преимущественно носил характер подготовки к следующему основному результату
Бейда, о котором мы говорили во введении.
18. Теорема. Пусть В — ограниченная булева алгебра проекторов
в слабо полном пространстве. При этом оператор лежит в слабо
замкнутой алгебре, порожденной В, тогда и только тогда, когда он
оставляет инвариантным всякое замкнутое линейное многообразие,,
инвариантное относительно всех элементов из В.
Доказательство. В Предыдущем доказательстве было отмечено,
что оператор из слабо замкнутой алгебры, порожденной В, обладает
требуемым .свойством инвариантности. Для доказательства обратно-
обратного утверждения предположим, что А оставляет инвариантным всякое
замкнутое линейное многообразие, инвариантное относительно всех
элементов В, и обозначим через Вг сильное замыкание В. Тогда
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 30?
ясно, что А оставляет инвариантным каждое замкнутое линейное
многообразие, инвариантное относительно всех элементов из В±.
В силу следствия 8 Bt полна, и по теореме 16 А содержится в сильно
(или слабо) замкнутой алгебре, порожденной В, ч. т. д.
Следующий примыкающий к этой теореме результат также при-
принадлежит Бейду:
19. Теорема. Пусть В — ограниченная булева алгебра проекторов
в слабо полном пространстве. Тогда каждый оператор из слабо
замкнутой алгебры, порожденной В, является спектральным опера-
оператором скалярного типа.
Доказательство. Пусть В^ — сильное замыкание В. В силу след-
следствия 8 Bi полна, а в силу следствия 17 слабо замкнутая оператор-
операторная алгебра, порожденная В, совпадает с равномерно замкнутой
операторной алгеброй, порожденной В1# Необходимый результат
вытекает теперь из леммы 2.1 и следствия 2.12, ч. т. д.
Следующий результат показывает, что в частном случае, когда
некоторое множество вида {Ex \ E ? В} фундаментально в Ж,
условие инвариантности в теореме 18 можно заменить более про-
простым условием коммутирования.
20. Теорема. Пусть В — ограниченная булева алгебра проекто-
проекторов в слабо полном пространстве, и пусть для некоторого вектора х
множество {Ex \ E 6 В} фундаментально в Ж. Ограниченный опе-
оператор лежит в слабо замкнутой операторной алгебре, порожденной
В, тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми элемента-
элементами из Вш
, Доказательство. Ясно, что каждый элемент слабо замкнутой
операторной алгебры, порожденной В, коммутирует со всеми эле-
элементами из В. Для доказательства обратного утверждения предпо-
предположим, что А коммутирует со всеми элементами В, и обозначим через
Bi сильное замыкание В. Очевидно, что А коммутирует со всеми
элементами Вь и в силу леммы 5 В4 полна. Таким образом, утвер-
утверждение теоремы вытекает из леммы 14 и следствия 15, ч. т. д.
21. Лемма. Пусть В — ограниченная о-полная булева алгебра
проекторов в В-пространстве Ж. Предположим, что для некоторой
последовательности {хt} в ЗЕ выполнено соотношение
Зе = sp{Ext \E?B, /> 1}.
Тогда В полна.
Доказательство. Мы покажем, что любое множество дизъюнкт-
дизъюнктных проекторов в В не более чем счетно. Ютсюда вытекает в силу лем-
леммы IV. 11.5, что любое множество в В имеет наименьшую верхнюю
302 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
грань, которая является наименьшей верхней гранью какого-то
счетного подмножества. Таким образом, полнота алгебры В будет
вытекать из ее а-полноты.
Пусть {Еа} — семейство дизъюнктных элементов в В. Из лем-
оо
мы 4 вытекает, что любой ряд вида V Еа., где at Ф а; при i =? /,
г=1
сильно сходится. Поэтому для любого натурального я^ 1 и любого
е > 0 лишь конечное число векторов Еахп имеет нормы, большие
чем е. Это показывает, что для всех индексов а, кроме счетного их
числа, Еахп = 0 при всех натуральных п ^ 1. Таким образом, за ис-
исключением счетного числа индексов а, справедливо соотношение
ЕаЕхп = 0 для всех Е из В и п > 1. Так как множество {Ехп \ Е 6
?В, п^ 1} фундаментально в 36, отсюда вытекает, что Еа=0 для
всех индексов а, кроме счетного их числа. Таким образом, множест-
множество {Еа} счетно, ч. т. д.
Теперь мы можем получить следующий классический результат
Дж. фон Неймана:
22. Теорема. Пусть Т—ограниченный самосопряженный опера-
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве. Тогда следующие
четыре алгебры совпадают*.
(i) алгебра всех ограниченных борелевских функций от Т\
(ii) слабо замкнутая операторная алгебра, порожденная Т;
(iii) множество всех ограниченных линейных операторов, комму-
коммутирующих с каждым оператором, который коммутирует с Т;
(iv) равномерно замкнутая операторная алгебра, порожденная
проекторами- из разложения единицы для Т.
Доказательство. Обозначим через Ш±, . . ., ST4 алгебры, опре-
определенные в (i), . . ., (iv) соответственно. Из теоремы 2.10 вытекает,
что Hi равномерно замкнута, и, таким образом, 2t4— 2U- В силу
определения интеграла \ / (К) Е (dk), ясно, что Я^ Sf4- Таким
образом, Sti = 2Ц- В силу определения этих алгебр очевидно, что
§I2^ g[3. Для доказательства того, что St4^ 3[2, достаточно
проверить, что все проекторы Е(е) из области значений разложения
единицы для Т лежат в §Г2- Так как ЭД2 — алгебра, то семейство
2 борелевских множеств е, для которых Е (е) 6 Яг, является полем.
В силу следствия 2.11 (iii) оно является также и а-полем/Поскольку
характеристическая функция ограниченного интервала является
пределом ограниченной последовательности многочленов, из след-
следствия 2.11 (iii) вытекает, что любой ограниченный интервал веще-
вещественной оси содержится в 2. Так как спектр X веществен (см. тео-
теорему Х.4.2), семейство 2 состоит из всех борелевских множеств.
Итак, мы показали, что gd = 2l4^ St2^ Яз, и для завершения
доказательства достаточно проверить, что §1з^ Я4-
S. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 303
Для этого предположим, что А — оператор из Из, а ^0 —
замкнутое подпространство в гильбертовом пространстве, инвари-
инвариантное относительно всех элементов Е (ё) разложения единицы для
7\ Таким образом, если Р — ортогональный проектор на $0>
то, поскольку Е (ё) оставляет $0 инвариантным, РЕ (е) Р =
='Е (ё) Р. Если вектор у ортогонален к Jgo> то
так что вектор Е (ё) у ортогонален- к ig0. Таким образом, Е (ё)
оставляет ортогональное к <g0 дополнение инвариантным, а пото-
потому
(/ - Р) Е (е) A-Р) = Е (е) (I - Р).
Следовательно,
РЕ (е) = РЕ (е) Р + РЕ (е) (I — Р) =
откуда сразу же вытекает, что РТ = ТР. Так как оператор А лежит
в 21з, то мы имеем АР = РА, так что А оставляет <g0 инвариант-
инвариантным. Итак, мы показали, что всякий оператор из Шз оставляет
инвариантным любое замкнутое линейное многообразие, которое
инвариантно относительно всех проекторов из разложения единицы
для Т. Поскольку по предположению гильбертово пространство
сепарабельно, то эти проекторы образуют (см. лемму 21) полную
булеву алгебру. Таким образом, из теоремы 16 вытекает, что
Яз^ Я4, ч. т. д.
23. Лемма. Сильно замкнутая булева алгебра проекторов, порож-
порожденная а-полной булевой алгеброй проекторов в В-пространстве,
полна.
Доказательство. Пусть В есть а-полная булева алгебра проекто-
проекторов в В-пространстве $, aBt — ее сильное замыкание. По лемме
3, В ограничена, а потому Bi также является ограниченной булевой
алгеброй проекторов в Ж. Предположим, что Bt не полна. Согласно
лемме 4, в Bi существуют монотонно возрастающая обобщенная
последовательность {Еа} и вектор х в Ж, такие, что не существует
предела lim Ea х. Обозначим через Ж (х), Ж1 (х) замкнутые линей-
линейные многообразия, порожденные множествами {Ex \ E ? В},
{Ех | Е ? Bi} соответственно. Так как Вг — сильное замыкание В,
то всякий вектор Ех, где Е 6 Вь содержится в Ж (х), и потому
Ж (x)^*3,t (xj> Очевидно, Ж(х) с= Жх (х), так что Ж (х) = Ж{ (х),
откуда вытекает соотношение ЕЖ (х) е Ж (х) для всех Е из Вх.
Для каждого Е из Bt обозначим через Е сужение Е на Ж (х). Ясно,
S04 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
что множество { Е \ Е ? В^} содержится в сильном замыкании мно-
множества В (х) = {Е \ Е 6 В}. Так как предел lim Eax не существует,
то и предел lim Ea не существует в сильной операторной топологии.
а
Из леммы 4 вытекает, что сильное замыкание В(х) не полно. Таким
образом, в силу следствия 7 В (х) не полно. С другой стороны,
согласно следствию 11, В (х) является а-полной алгеброй. Эти два
утверждения противоречат лемме 21 и доказывают лемму, ч. т. д.
24. Следствие. Ограниченный линейный оператор лежит в слабо
замкнутой операторной алгебре, порожденной а-полной булевой
алгеброй В проекторов в В-пространстве, тогда и только тогда,
когда он оставляет инвариантным всякое замкнутое линейное много-
многообразие, которое инвариантно относительно всех операторов из В.
Доказательство. Пусть В^—сильное замыкание В. По лемме
23 Вх полна, и поэтому из теоремы 16 и следствия 17 вытекает, что
слабо замкнутая операторная алгебра, порожденная В\ (которая,
очевидно, совпадает с алгеброй, порожденной В), состоит из тех
операторов, которые оставляют инвариантным всякое замкнутое
линейное многообразие, инвариантное относительно любого опера-
оператора из В. Поскольку ясно, что замкнутое линейное многообразие
инвариантно относительно любого элемента из В{ тогда и только
тогда, когда оно инвариантно относительно всех операторов из В,
доказательство закончено, ч. т. д.
25. Следствие. Каждый оператор из слабо замкнутой оператор-
операторной алгебры, порожденной о-полной булевой алгеброй проекторов
в В-пространстве, является спектральным оператором скалярного
типа.
Доказательство. Пусть Вх —сильное замыкание а-полной буле-
булевой алгебры В, так что в силу леммы 23 Bt полно. Согласно след-
следствию 17, слабо замкнутая операторная алгебра, порожденная By
(и, очевидно, совпадающая со слабо замкнутой операторной алгеб-
алгеброй, порожденной В), есть не что иное, как равномерно замкнутая
операторная алгебра, порожденная В4. Каждый оператор в такой
равномерно замкнутой алгебре в силу леммы 9 представим в тер-
терминах счетно аддитивной спектральной меры выражением вида
\ f (X) Е (dk). Такие операторы по лемме 2.9 являются спектральны-
спектральными операторами скалярного типа, ч. т. д.
26. Следствие. Любой оператор из слабо замкнутой операторной
алгебры, порожденной спектральным оператором скалярного типа
и проекторами его разложения единицы, является спектральным
оператором скалярного типа.
4. Сильные пределы спектральных операторов 305
Доказательство. Так как спектральный оператор скалярного
типа, очевидно, лежит в слабо замкнутой алгебре §1, порожденной
проекторами из его разложения единицы, то достаточно показать,
что всякий оператор в 2Г является спектральным оператором скаляр-
скалярного типа. Это непосредственно вытекает из следствий 10 и 25, ч. т. д.
Этот параграф мы завершим двумя теоремами Бейда, которые
относятся к интересному классу результатов в ^-пространствах
относительно условий, при которых из слабой сходимости вытекает
сильная.
27. Теорема. Если обобщенная последовательность проекторов
из о-полной булевой алгебры проекторов в В-пространстве слабо
сходится к проектору, то она сходится сильно.
Доказательство. В силу леммы 23 доказательство можно ограни-
ограничить тем случаем, когда булева алгебра В полна. Пусть {Еа} —
слабо сходящаяся обобщенная последовательность в В, и пусть ее
предел Е является проектором. Надо показать, что {Еа} сильно
сходится к Е. По лемме 6 Е лежит в В, а рассмотрение последова-
последовательности {Еа — Е} показывает, что мы можем считать Е = 0.
Проводя доказательство от противного, предположим, что последо-
последовательность {Еа} слабо сходится к нулю, но для некоторого вектора
х0 последовательность {Еах0} к нулю не сходится. Следовательно,
по лемме 9 В является областью значений счетно аддитивной спек-
спектральной меры ?", заданной на а-поле 2. Тогда Еа = Е (еа), где
еа?2. В силу леммы 12 существует линейный функционал #*,
такой, что мера \i = у*Ех0 обладает следующим свойством: если
|i (е) = 0, то Е (е) х0 = 0. Из теоремы IV. 10.1 Петтиса вытекает,
что lim Е (е) х0 = 0. Так как {Е (еа)} слабо сходится к нулю, то
ц(е) - 0
№ (?«) ~^ 0> и> следовательно, из результата Петтиса вытекает, что
Е (еа) хо -*¦ 0"» полученное противоречие завершает доказательство,
ч. т. д.
28. Следствие. Если обобщенная последовательность из ограни-
ограниченной булевой алгебры проекторов в слабо полном В-пространстве
слабо сходится к проектору, то она сходится и сильно.
Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 27 и лем-
леммы 5, ч. т. д.
4. Сильные пределы спектральных операторов:
некоммутативный случай
В этом параграфе будут сформулированы условия того, что силь-
сильный предел Т = lim Ta обобщенной последовательности {Та}
а
спектральных операторов скалярного типа сам является спектраль-
20 Н. Данфорд и Дж. Щварц
306 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
ным оператором скалярного типа. Те же самые условия обеспечи-
обеспечивают и тот факт, что / (Та) ->- / (Т) сильно для любой ограниченной
борелевской функции -/, множество точек разрыва которой имеет
меру нуль относительно разложения единицы для Т. Это — теорема
о возмущении типа Реллиха.
1. Теорема. Пусть {Та}, а ? Л, — сильно сходящаяся обобщен-
обобщенная последовательность спектральных операторов в В-пространстве
X. Предположим, что существует компактное множество F, содер-
содержащее все спектры в(Та). Пусть каждая комплекснозначная непре-
непрерывная функция на V является равномерным пределом рациональных
функций, а разложения единицы Еа для Та удовлетворяют неравен-
неравенствам
| Еа (б) |< М, а 6 АУ
для всех б из семейства 38 всех борелевских множеств комплексных
чисел. Тогда если Т = lim Та и а (Т)^ У, mo T* является спек-
а
тральным оператором класса {ЗВ, Ж). Если Ж слабо полно, то Т
сам является спектральным оператором.
Замечание. Чтобы множество V обладало тем свойством, что
всякая непрерывная функция на нем является равномерным преде-
пределом рациональных функций, очевидно, необходимо, чтобы V не име-
имело внутренних точек. Однако известно, что не каждое компактное
нигде не плотное множество V обладает этим свойством, а вопрос
о полном описании таких множеств, по-видимому, является нере-
нерешенной задачей теории приближений. Лаврентьев [1] (см. также
Мергелян [1]) показал, что если V нигде не плотно и не разделяет
плоскости, то V обладает указанным выше свойством. Гартогс и Ро-
зенталь [1] показали, что если V имеет плоскую меру нуль, то оно
обладает указанным свойством. Уолш [1] доказал, что если V являет-
является объединением конечного числа жордановых дуг, никакие две
из которых не пересекаются более чем в конечном числе точек, то V
обладает указанным свойством1).
Доказательство. Поскольку операторы Та являются спектраль-
спектральными операторами со спектрами, лежащими в V, их резольвенты
определяются по формуле
V
и из теоремы 2.10 вытекает, что
*¦) Широкий круг задач теории приближений рациональными функциями
решен А. Г. Витушкиным (см. УМН, 22: 6 A967), 141—199). —Прим. перев.
4. Сильные пределы спектральных операторов 307
Из тождества
R(%; Ta)-R{hT) = R(K; Та)(W-T)R(Я; Т)-
-Я(Л; Г») (Л/-Га) Д (Ь; T)=R (X; Га) (Га-Г)Я (X; Т)
вытекает, что при X $ V имеет место сильная сходимость R (X; Та) ->
->• /? (Я; Т). Пусть теперь г — элемент класса R (V) ра-
рациональных функций, непрерывных на V. Тогда г (Та) является
конечным произведением сомножителей вида XI — Та и R (^; Та).
Так как произведение ограниченных сильно сходящихся обобщен-
обобщенных последовательностей является сильно сходящейся обобщенной
последовательностью, то г(Та) -> г(Т) сильно. Поэтому из теоремы
2.10 вытекает, что
|г(Га)| = |
а так как г(Та)-+г(Т) сильно, то |r(T)|<4Alsup|r(Q|. По-
Поскольку 7? (V) плотно в С (F), это неравенство показывает, чта
гомоморфизм г-*г(Г), заданный на 7? (F), имеет единственное
непрерывное продолжение до гомоморфизма из С (V) на равномерно
замкнутую операторную алгебру, порожденную операторами г (Г),
где г 6 R (V). Наша теорема вытекает теперь непосредственно из тео-
теорем 2.4, 2.5 и 2.10, ч. т. д.
2. Следствие. В условиях предыдущей теоремы
, feC(V),
в смысле сильной операторной топологии.
Доказательство. Пусть {гп} — последовательность рациональ-
рациональных функций, равномерно сходящаяся к непрерывной функции /
на V. В предыдущем доказательстве показано, что для каждого п
rn (T) x= lim rn (Га) х9 лгбЭе.
а
С другой стороны,
так что
равномерно при | х \ ^ 1. Таким образом, по теореме Мура — Сми-
Смита о сходимости (см. 1.7.6)
- f (Г) *=lim lim rn {Ta)x=lim lim гп(Га)*=lim /(Га) х, ч. т.д.
па an
an
Используя следствие 2, можно получить следующий результат,
аналогичный теореме Реллиха о возмущении (см. теорему Х.7.2)
для нормальных операторов в гильбертовом пространстве:
20*
308 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
3. Теорема. Предположим, что условия теоремы 1 выполнены
и что Е — разложение единицы для Т. Тогда
x = limf(Ta)x,
а
для всякой ограниченной борелевской функции f на V, такой, что мно-
множество ее разрывов содержится в замкнутом множестве, на котором
Е обращается в нуль.
Доказательство. Пусть К—множество разрывов функции /,
a gn — непрерывная функция, обращающаяся в нуль на замыка-
замыкании /С, равная 1 в точках X, расстояние которых от К больше 1/п,
и всюду удовлетворяющая неравенству | gn (к) | ^ 1 (см. теорему
1.5.2). Тогда функция fgn непрерывна, так что в силу следствия 2
Ит / (Та) gn (Ta) x=f(T) gn (Т) х, хе%.
а
Аналогично, lim gn(Ta) = gn(T) в смысле сильной операторной
а
топологии. Так как
то неравенство
)f(Ta)gn(T)X-f(Ta)gn{Ta)x\^L\gn(T)X-gn(Ta)x\
показывает, что
lim f (Та) gn (Та) x = hmf (Та) gn (Т)х, х б X.
a a
Таким образом,
для всех векторов у вида у = gn (T) х. Но по предположению
Е (К) = 0, и потому gn (Т) я -> Е (К') х = х; это показывает, что
векторы у = gn (Т) х плотны в Ж. Поскольку операторы / (Та)
равномерно ограничены по а, отсюда вытекает, что / (Та) х ->
-> / (Т) х для всех х из Ж, ч. т. д.
5. Упражнения
1. Определение. Пусть К— компактное множество в комплекс-
комплексной плоскости. Обозначим через R (К) множество рациональных
функций, аналитических на /С, а через CR(K) — замыкание R(K)
в С (К). Множество К называется R-множеством, если CR (К) =
С(К)
5. Упражнения 309
2. Пусть Ж — рефлексивное В-пространство и Т 6 В (Ж);
предположим, что спектр а (Т) является i^-множеством. Оператор Т
является спектральным оператором скалярного типа тогда и только
тогда, когда существует постоянная Л, такая, что
| / (Г) | < Л | / |, / 6 Я(а (Г)).
3. Пусть 36 — рефлексивное В-пространство и Т ? В C6); пред-
предположим, что спектр а(Т) является i^-множеством. При этом Т —
спектральный оператор скалярного типа тогда и только тогда, когда
существует такая постоянная Л, что
\f(T) |2<л |
4. Пусть U — унитарный оператор из В (X). Если оператор U
спектральный, то существует постоянная Л, такая, что для всех
выполнено неравенство
|P(?/)|<i4sup|P(X)|.
Обратно, если Ж рефлексивно и U — унитарный оператор, удовле-
удовлетворяющий такому условию, то U — спектральный оператор.
5. (Фиксман, Краббе.) Оператор правого сдвига ?/, определенный
в X = h (—оо, оо) соотношением
не является спектральным. [Указание: исследовать or (U) или
воспользоваться тем фактом, что существует непрерывная функция,
ряд Фурье которой не сходится абсолютно.]
6. (Фиксман, Краббе.) Оператор правого сдвига U, определен-
определенный в 1Р (—оо, оо), 1 </? <оо, рф2, соотношением
не является спектральным. [Указание: если 1 <ср <2, то известно
(Зигмунд [1; стр. 190]), что существует непрерывная функция, после-
последовательность коэффициентов Фурье которой не принадлежит 1Р.]
7. (Фиксман.) Пусть а > 0 и га — поворот в положительном
направлении единичной окружности S = {к \ \ X \ = 1} на а радиан.
Тогда га — гомеоморфизм S на S, и он периодичен тогда и только
тогда, когда а равно рациональному кратному я. Пусть оператор
Ua определен в С (S) соотношением (Uaf)(s) =f (ra (s)). Показать,
что Ua — спектральный оператор в С (S) тогда и только тогда, ког-
когда а — рациональное кратное я. [Указание: если а/я иррациональ-
иррационально, то для любого п существует точка s0, такая, что точки sk = ^ (so)»
k = 0, ± 1, . . ., + п, имеют непересекающиеся окрестности.]
310 Гл. XVIL Алгебры спектральных операторов '
8. Пусть 21 — коммутативная подалгебра в В (Ж), содержащая /
и являющаяся полной (в том смысле, что если А 621 и Л6 В (Ж),
то А621). (i) Показать, что спектр а (А, 21) оператора А как
элемента 2t совпадает со спектром а (Л, Ж) оператора А как эле-
элемента В(Ж). (ii) Если Е — проектор из Я и %Е={АЕ\А621}, то
o(A,We) = g(A, ЕЖ).
9. Пусть 21 — коммутативная полная подалгебра в В (Ж),
содержащая /. Пусть Е— проектор из 21 и У1Е={АЕ\ А 621};
обозначим через 9ft и ШЕ множества всех мультипликативных
линейных функционалов на 21 и 21 ^ соответственно, (i) Показать,
что существует взаимно однозначное соответствие между ffiE
и {т?Ш\т{Е) = 1}. (ii) Показать, что если Л6SIje» to
а (Л, ЕЖ) = {т\(А) \ т 6 5Ш, т(Е)=\}.
10. Пусть S, Г — коммутирующие операторы в В (Ж), (i) По-
Показать, что
a(S+T)^a(S) + a(T).
В частности, если N квазинильпотентен, то a (S + N) = a (S).
(ii) Если Е — проекционный оператор, коммутирующий с S и N, то
)=a(S, ЕЖ).
11. Используя предыдущие упражнения, дать другое доказатель-
доказательство теоремы XV.4.5 о каноническом представлении спектраль-
спектрального оператора на его скалярную и нильпотентную части.
12. Пусть Е — счетно аддитивная, спектральная мера, аи —
полная коммутативная алгебра, содержащая Е. Если т — мульти-
мультипликативный линейный функционал на 21, то существует един-
единственное комплексное число А,т, такое, что числовая мера тЕ (•)
равна 1 на каждой окрестности точки Хт и равна 0 на любом замкну-
замкнутом множестве, не содержащем Кт.
13. (Сафферн.) Пусть Т — оператор из В (Ж) и ЩТ) — пол-
полная замкнутая подалгебра в В(Ж), порржденная Т. Показать, что
ЩТ) является Равномерным замыканием семейства
R (Т) = {/ (Т) | / рациональна с полюсами в р (Г)}.
14. (Канторович.) Пусть А к В — элементы В (Ж) с резольвен-
резольвентами R (k\ А) и R (k\ В). Предположим, что [х не лежит в множестве
а (А) + а (В) = {а + Ь \а 6 а (Л), b 6 а (Б)},
а Су, — положительно ориентированный спрямляемый контур,
охватывающий о(А) и содержащийся вместе со своей внутренностью
в \i — р (В). Показать, что интеграл
; Л, B) = -±r J Riv-X; B)R(X; A)dX
6. Примечания и дополнения 31?
существует в В (X) и не зависит от контура С^. Показать, что этот
интеграл равен
где Dp — контур, охватывающий а(В) и содержащийся вместе
со своей внутренностью в \i —р (Л).
15. (Канторович.) В обозначениях предыдущего упражнения
доказать, что если АВ = В А, то
tf(fx; Л + ?)=/(ц; Л, В).
Более того, если расстояние между \i и а (А) превышает спектраль-
спектральный радиус \а (В)|, то
№М + В)=§ R(ii;A)n+1Bn.
16. (Стоун.) Вполне регулярное пространство называется экстре-
экстремально несвязным, если замыкание любого открытого множества
в нем открыто. Доказать, что каждая полная булева алгебра проек-
проекторов в В-пространстве изоморфна (как булева алгебра) булевой
алгебре всех открыто-замкнутых множеств некоторого экстремально
несвязного компактного хаусдорфова пространства. [Указание:
воспользоваться теоремой 1.12.1.3
6. Примечания и дополнения
Результаты, изложенные в настоящей главе, заимствованы
в основном из работ Данфорда [18] и Бейда [3—5]. Кроме этих ста-
статей, укажем следующие работы, посвященные преимущественно
алгебрам спектральных операторов, булевым алгебрам проекторов
или теории кратности: Дьёдонне [19—21], Доусон [2, 4, 6], Эдварде
и Ионеску [1], Фельдзамен [1, 2], Фогель [3, 5, 7, 8], Люмер 121,
\Маккарти [1], Маккарти и Шварц [1], Маккарти и Цафрири [1],
Мойал [1], Симпсон [3], Цафрири [2—6] и Уолш [1—3]. (Следует,
однако, иметь в виду, что другие работы, посвященные спектраль-
спектральным операторам или операторным алгебрам, также иногда содержат
результаты, примыкающие к рассмотренным здесь.)
Материал § 2 о равномерно замкнутых коммутативных алгебрах
спектральных операторов взят из работы Данфорда [18]. Большин-
Большинство результатов § 3 принадлежит Бейду [3, 4], хотя частные случаи
некоторых из этих теорем были доказаны раньше. Например, если
В — ограниченная булева алгебра проекторов в рефлексивном про-
пространстве, то полнота сильного замыкания В вытекает из теоремы
Дэя [10] — факт, явно сформулированный Данфордом [2] (см. также
Бейд [3; стр. 404]). Обобщая теорему Лорха [2] для последователь-
последовательностей, Барри [1] доказал, что ограниченная монотонная обобщенная
812 Гл. XVII. Алгебры спектральных операторов
последовательность проекторов в рефлексивном пространстве сильно
сходится к некоторому проектору. В случае гильбертовых про-
пространств лемма 3.14 была доказана Вульфом [2]. Как заметил
Ф. Рисе [21], из более ранних результатов фон Неймана вытекает,
что если А — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбер-
гильбертовом пространстве i§, а В — ограниченный оператор, коммути-
коммутирующий со всяким оператором, который коммутирует с Л, то В =
= / (А) для некоторой ограниченной борелевской функции /. Рисе
дал другое доказательство этого результата, и его метод был пере-
перенесен Мимурой [1] на неограниченные операторы. По поводу дру-
других доказательств см. Накано [8, 9], Рисе и Секефальви-Надь
[1; § 129] и Секефальви-Надь [3; стр. 63—65]. Теорема не верна,
если ig не сепарабельно (см. Накано [9], Секефальви-Надь
[3; стр. 65], Веккен [2]). Однако в случае ограниченных операторов,
Сигал [5, II] получил обобщения, рассматривая более широкий
класс функций. Результат Сигала перенесен на спектральные опера-
операторы Бейдом [3; стр. 410]. Теоремы 3.16 и 3.18 можно также рас-
рассматривать как обобщения этой теоремы фон Неймана — Рисса.
Берксон [3] доказал, что если ЭЕ — равномерно выпуклое 5-про-
странство, а В — ограниченная булева алгебра проекторов в $>
то в X имеется такая эквивалентная норма, что функционалы, опре-
определенные в лемме 3.12, можно представить при помощи полувнут-
полувнутреннего произведения. С другой стороны, Уолш [2; стр. 315] пока-
показал, что в полном метризуемом локально выпуклом пространстве
может не существовать единственного функционала, соответствую-
соответствующего х*] однако некоторые из изложенных здесь результатов все же
могут быть обобщены.
Уолш [1] показал, что если й — комплексная В-алгебра, обла-
обладающая тем свойством, что для любого элемента а ? §1 существует
гомоморфизм ha: С (а (а)) -> Я, переводящий функцию / (X) =
= 1 в й, то §1 полупроста, коммутативна и изоморфна С (оМ)у
где оМ — пространство максимальных идеалов И.
Доусон [2] установил, что если S — скалярный оператор, спектр
которого нигде не плотен и не разделяет плоскости, то разложение
единицы для S содержится в слабо секвенциально замкнутой алгеб-
алгебре, порожденной S и /. Однако это утверждение не верно, если
спектр a (S) имеет непустую внутренность или разделяет плоскость.
Результаты § 4 о сильных пределах спектральных операторов
принадлежат Бейду [3; стр. 397—403] и [4]. Теорема 4.3 обобщает
теоремы Капланского [7] и Реллиха [2, II]. Дальнейшие результаты
в этом направлении были получены Фогелем [1, 4], Канторовичем
[4, 5] и Цафрири [3, 4]. Аналогичные результаты были доказаны
в локально выпуклых пространствах Симпсоном [1]. Теорема 4.1 ,
не верна без предположения о том, что а(Г) ^ V. Это было показано
с помощью контрпримера, построенного Фойашем. Берксон [51
показал, что это условие выполнено, если дополнение V связно.
ГЛАВА XVIII
Неограниченные
спектральные операторы
1. Введение
В гл. XII, XIII, XIV было показано, что для применения спект-
спектральной теории эрмитовых операторов к дифференциальным опера-
операторам (обыкновенным и в частных производных) необходимо обоб-
обобщить спектральную теорию ограниченных операторов на неограни-
неограниченные эрмитовы операторы. Настоящая глава представляет собой
попытку построить аналогичное обобщение теории спектральных
операторов.
Прежде всего мы дадим определение замкнутого спектрального*
оператора, его разложения единицы и покажем, что разложение
единицы определяется однозначно. Затем будет развито функцио-
функциональное исчисление: сначала для аналитических функций от общих
спектральных операторов, потом для произвольных неограниченных
борелевских функций от спектральных операторов скалярного типа.
В последнем случае оказывается возможным перенести весьма общую
теорию, развитую для неограниченных эрмитовых <. операторов
(см. XII.2.5—XII.2.9), на произвольные В-пространства. Далее
мы покажем на примере, что аналитическая функция / (Т) спект-
спектрального оператора 7\ не принадлежащего скалярному типу, может
не быть спектральным оператором, и выведем достаточные условия
на функцию /, обеспечивающие спектральность / (Г). Будет пока-
показано, что связь между спектральным оператором общего вида и его
скалярной частью в случае неограниченных операторов является
не столь жесткой, как для ограниченных операторов. Глава завер-
завершается теоремой, устанавливающей достаточные условия спектраль-
спектральности неограниченного оператора; эти условия будут использованы
при доказательстве основного результата следующей главы.
Заметим, что в этой главе отсутствует теория расширений спект-
спектральных операторов, аналогичная развитой в § XII.4. Подобное
исследование, несомненно, было бы полезно для изучения несамо-
несамосопряженных дифференциальных операторов, и его отсутствие
является серьезным пробелом.
314 Гл. XVI1'/. Неограниченные спектральные операторы
2. Неограниченные спектральные операторы
1. Определение. Пусть 3S означает сг-поле борелевских под-
подмножеств комплексной плоскости. Пусть Т — линейный опера-
оператор, область определения и область значений которого содержатся
в комплексном 5-пространстве Ж. Тогда оператор Т называется
спектральным у если он замкнут и существует такая регулярная
счетно аддитивная спектральная мера Е, определенная на $, что
(i) © (Т) з Е (а) Ж, если а ограничено,
(и) ?(а)Ф(Г)?®(Л
и
ТЕ(о)х=Е(а)Тх, х 6® (Г), а 6 В,
(ш) спектр сужения Т\Е(о)$, определенного на множестве
Ф G1) П Е (а) 3?, удовлетворяет условию
о(Т\Е(о)Ж)с=о9 ое&-
Спектральная мера Е называется разложением единицы опера-
оператора Т.
Ясно, что спектральный оператор замкнут и область его опре-
определения плотна в Ж.
Мы покажем, что разложение единицы спектрального оператора
определяется однозначно. Это делается в следующей далее теоре-
теореме 5; предварительные леммы основаны на тех же соображениях,
которые были использованы в случае ограниченных спектральных
операторов.
2. Лемма. Если о — борелевское множество, Т — спектраль-
спектральный оператор и Е — его разложение единицы, то сужение Т | Е(о)Ж
оператора Т на Е(о)Ж является спектральным оператором, а его
разложение единицы есть сужение Е на подпространство ?(а)Х.
Если множество а ограничено, то оператор Т | Е(о)Ж ограничен.
Доказательство. Если множество а ограничено, то, со-
согласно определению l(i), сужение R оператора Г на ? (а) $
является замкнутым оператором, определенным на всем пространст-
пространстве Е(о)Ж; из теоремы о замкнутом графике следует, что R ограни-
ограничен. Если F — сужение Е на подпространство Е (а) Ж, то из опре-
определения l(ii) вытекает, что Е (е) ©(#) <= ©(#) и F {e) R ^ RF (е)
для любого борелевского множества е. Следовательно, мы можем
утверждать, применяя обозначения определения l(iii), что
R | Е (е) Е (а) Ж = Т | Е (ео)Ж, откуда, согласно определению
l(iii), о (R \ Е (е) Е (а) X) ^ ео ^ а. Таким образом, R — спект-
спектральный оператор, имеющий указанное в лемме разложение единицы,
ч. т. д.
2. Неограниченные спектральные операторы 315
Следующая лемма является аналогом теоремы XV.3.4 для неог-
неограниченных операторов.
3. Лемма. Пусть Т — спектральный оператор, Е — его раз-
разложение единицы и о — компактное подмножество плоскости.
Тогда .вектор х принадлежит множеству Е (о) X в том и только
в том случае, если существует вектор-функция у^, аналитическая
при Х$ о и удовлетворяющая равенству
(М—Т)уь = х, X $ а.
Доказательство. Предположим, что существует вектор-функция
yXf Х$ а, обладающая указанными свойствами. Пусть е — произволь-
произвольное ограниченное борелевское множество. Тогда, согласно определе-
определению 1(Н), мы имеем
(Х1-Т)Е (е) ук = Ее (*), X { а.
Отсюда следует (в обозначениях определения l(iii) и теоре-
теоремы XV.3.4), что спектр о(Е{ё)х) элемента Е(е)х из Е(е)Ж отно-
относительно оператора Т | Е (е) X содержится в а. Отсюда, применяя
лемму 2 и теорему XV.3.4, получаем, что Е (а) Е (е) х = Е (е) х.
Переходя в этом равенстве к пределу, когда е пробегает расширяю-
расширяющуюся последовательность ограниченных борелевских подмножеств,
объединение которых есть вся комплексная плоскость, получаем
равенство Е (о) х = х, так что х ? Е (а) X.
Докажем обратное утверждение. Пусть х ? Е (а) X. Согласно
определению l(iii), определена резольвента R (Х\ Т \ Е (о) 36),
аналитически зависящая от X при А, $ а. Полагая у% =
= R (к; Т \ Е (а) 1) х, мы получаем (XI — Т) уК = х при X (| а,
ч. т. д.
4. Следствие. Пусть Т — замкнутый спектральный опера-
оператор с разложением единицы Е и А — ограниченный оператор,
удовлетворяющий условиям А © (Г) s © (Г), ЛГл: = ГЛл: Зля
б^л: л: из © (Т). Тогда АЕ (е) = Е (е) А для любого борелевского
множества е.
Доказательство. Пусть а — компактное множество их —
вектор из Е (а) X. Тогда в силу леммы 3 существует такая
вектор-функция, аналитическая при X $ а, что
(XI — Т)ух = ху X $ а.
Отсюда
(XI _ т) Аух = Ах, Х$ а.
Из леммы 3 вытекает, что Ах лежит в Е (а) X. Но тогда
Е (а) Л? (а) = АЕ (а), и потому A-Е (а)) Л? (а) = 0 для любо-
любого компактного множества а. Если е — произвольное открытое
множество, то, взяв возрастающую последовательность компактных
множеств а, объединение которых есть е, и переходя к пределу
в полученном равенстве, мы получим, что Е (е) АЕ (ё) = АЕ (е).
316 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Таким образом,
АЕ (о) - Е (а) АЕ (а) = Е (а) АЕ (а) + (/ — Е (а')) АЕ (а') =
= Е (а) Л (? (а) + Е (а')) = ? (а) А
для каждого компактного множества а. Так как совокупность всех
множеств еу для которых Е (е) А = АЕ (е) есть, очевидно, сг-поле,
то Е(ё)А = АЕ(е) для любого борелевского множества еу ч. т. д.
5. Теорема. Разложение единицы замкнутого спектрального
оператора определяется однозначно.
Доказательство. Пусть Е, Et — два разложения единицы замк-
замкнутого спектрального оператора Т. Согласно следствию 4, опе-
операторы Е (е) и Ei (/) коммутируют для любой пары борелевских
множеств ей/. Пусть а—компактное множество. Тогда подпро-
подпространство ?'1 (а) Э? инвариантно относительно проектора Е (ё).
Согласно лемме 2, сужение 5 оператора Т на подпространство
Et (а) Ж является ограниченным спектральным оператором, раз-
разложение единицы которого есть сужение Ft оператора Et на под-
подпространство Е^ (а) Ж. Мы покажем несколько позже, что сужение F
оператора Е на Ei (о) Ж также является разложением единицы
для оператора S. Как только это будет сделано, мы применим теоре-
теорему единственности, сформулированную в следствии XV.3.8,
и получим, что Fi = F, откуда Е{ (е) Е (а) = Е (ё) Е (а) для любого
борелевского множества е и любого компактного множества а. Так
как Е (о) счетно аддитивно по а, мы получим отсюда равенство
Ei (е) = Е (ё), которое доказывает требуемую единственность.
Итак, для доказательства теоремы достаточно показать, что F
есть разложение единицы для оператора 5. Ясно, что F (e) S =
=SF(e) для любого борелевского множества е, и нам остается
только проверить, что спектр сужения S \ E (e) Et (а) Ж =
= Т I E (e) Ei (а) Ж полностью содержится в е.
Из определения l(iii) следует, что если А,(? е, то оператор XI — Т
является взаимно однозначным отображением подпространства
Е (а) Ж в себя. Таким образом, достаточно доказать, что если Я $ е,
то оператор AJ — Т взаимно однозначно отображает пространство
Е (е) Ei (а) Ж = Ei (а) Е (е) Ж на себя. Отсюда вытекает, что
оператор (XI — Т \ Е (е) Е{ (а) Ж)~г всюду определен, замкнут
и, следовательно, ограничен, так что X $ а (Т \ Е (е) Е{ (а) Ж).
Но, в силу определения 1, если Х^е, то (XI— Т)(^(Т)[] Е(е)Ж) =
= Е (ё) Ж, откуда
Ei (a) E(e)Z = Et (о) (XI-Т) (© (Т) П Е(е) 1) =
снова в силу определения 1, ч. т. д.
2. Неограниченные спектральные операторы 317
Возвращаясь к теории функций от неограниченных спектраль-
спектральных операторов, мы начнем анализ со следующей полезной общей
леммы:
6. Лемма. Пусть 2 есть о-поле подмножеств некоторого
множества S и Е — счетно аддитивная спектральная мера в
В-пространстве Ж, определенная на 2. Пусть 20 — подсемейство
а-поля 2, удовлетворяющее следующим условиям: 1) если {еа} —
любой конечный набор множеств из 20, то []еа —также элемент
а
семейства 20; 2) если е 6 20 и et — подмножество множества е, при-
принадлежащее о-полю 2, то et 6 S 0. Пусть Qo — линейный оператор,
определенный на множестве (J Е (е) Ж. Предположим, что one-
ратор QoE (е) ограничен для любого е из 2 0 и
E(e)Qox=QoE(e)x, e?20, *e®(Qo).
Выберем некоторую возрастающую последовательность {еп} из 20,
удовлетворяющую условию Е( [} еп) = 1, и определим оператор Q
71=1
равенствами
<$)(Q)=z{x\ lim Q0E(en)x существует},
n->oo
Q(x)=limQ0E(en)x,
Тогда множество ®(Q) плотно в X, оператор Q замкнут и не
зависит от выбора возрастающей последовательности множеств
оо
{еп} из So, удовлетворяющей условию Е( [} еп) = 1.
1
( [}
п=1
Доказательство. Очевидно, что Q — линейный оператор. Если
х=Е(еп)у, где #6$, то QoE(em)x=Qox для т>я, так что
lim QoE(em)x=Qox=QoE (en)х. Следовательно, at?®(Q). Итак,
% (Q) 3 Е (еп) 1 для любого /г, и поскольку ? ( U еп) = 1, то ®(Q)
n=l
плотно в 36.
Пусть 7 —любой вектор из Ъ@). Тогда
lim Qo? (еп) Е (е) z^ lim ? (е) Q0E {en) z=E(e) Qz, e 6 20,
n->oo n->oo
и, следовательно, QE(e)z—E(e)Qz для любого е(Е2в и любого
€®{Q). Ясно, кроме того, что QE(en)z==Q0E(en)z для любог©
и любого Х
318 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Пусть теперь ;cm6®(Q)» Hm хт=х и lim Qxm = у. Тогда
т->оо т->-оо
с помощью тех же рассуждений, что и в предыдущем абзаце, мы
получаем, что
у= lim Qxm= lim lim Q0E (en) xm=
ТП-+ОО Tl->oo
= lim \imE{en)Qxm.
m->oo n->-oo
Поскольку нормы | E (en) | равномерно ограничены (см. теорему
о равномерной ограниченности и следствие IV.10.2), lim E(en) Qxm =
m-> с»
= Е (еп) у равномерно по п. Из теоремы Мура — Смита о переста-
перестановке предельных переходов A.7.6) и ограниченности Q0E (en)
вытекает, что
y=lim lim E(en)Qxm=
П-voo 171->оо
= lim lim Q0E(en)xm=
П->ОО 7П-+ОО
= lim Q0E(en)x.
Таким образом, #6®(Q) и y=Qx. Мы доказали, что Q замкнут.
Пусть {еп} — другая возрастающая последовательность элементов
семейства 20, Е( [} еп) = 1 и оператор Q определен равенствами
® (Q) = {x\ Hm Q0E{en)x существует},
П->-оо
fjr—ит Q.p fp \y xC'&fO}
1^Л —— 11 111 V^QJL/ l^Jll Aj ^C /*"^ \УК,1 ¦
П->оо
Мы должны доказать, что Q=Q. Если a:6®(Q)> to lim E(en)x=
= x и, повторяя рассуждения, уже примененные выше, получаем
Qx=lim Q0E Gn)x= lim QE(en)x.
П->оо П->оо
Так как Q замкнут, то #6©(Q) и Qx=Qx. Мы показали»
что Q^Q, а из соображений симметрии Q^Q, ч. т. д.
7. Следствие. Пусть выполнены предположения леммы 6. Тогда
Е (е) © (Q) <= Ф (Q) a Q?l(e)jc=?'(e)QA: Зля любого * из ©(Q)
и любого е из S.
Доказательство. Пусть последовательность {еп} из 20 такая же,
как в предыдущем доказательстве, и х —вектор из ©(Q). Тогда
lim Е (е) Е (еп) х=Е(е)х и
71—>оо
lim OF (р \ F (р\ у— lim OF (р р\ х.— lim F (р р\ Oy— F (р\ Пу
11111 v^J^i \ол I JL/ It'J Л ¦ 11111 ^Х_« К^П^} J* ' 11Ш J-j Х^л^) >^Л • 1—1 \&) ^^Л,
71->оо П->ОО 71-ЮО
2. Неограниченные спектральные операторы 319
согласно второй части доказательства предыдущей леммы. Так
как Q замкнут, то Е(ё)х содержится в ©(Q) и E(e)Qx = QE(e)xr
ч. т. д.
Теперь можно определить функции от неограниченных спектраль-
спектральных операторов. Пусть Т — замкнутый спектральный оператор,
Е — его разложение единицы и f — функция, аналитическая на
открытом множестве (/, причем Е (о (Т) — О) = 0. Пусть е —
ограниченное борелевское множество, замыкание которого лежит
в U. Согласно лемме 2, Т | Е (е) Ж — ограниченный линейный
оператор, спектр которого содержится в U. Применяя функциональ-
функциональное исчисление, развитое в § XV.5, или теорию из § VI 1.3, мы
можем определить / (Т \ Е (е)Ж).
Теперь заметим, что если х лежит в Е(е)!?[\Е(еI?, та
f(Т|Е(е)X)х = f(Т|Е(е)X)х. Поскольку еэ^д^, достаточна
проверить это соотношение для е ^ е. В этом случае наше
утверждение сразу следует из определения аналитической функ-
функции от ограниченного оператора (см. VII.3.9), так как
Итак, f(T\E(e)%)x = f(T\E(e)$)x для любого вектора х
из Е(е)Х[]Е(е)/!1с. Но тогда для функции /, аналитической в откры-
открытой области О, мы можем построить линейный оператор Qo на мно-
множестве U Е(е)/Щ, где е пробегает все ограниченные борелевские
е
множества, замыкания которых лежат в ?/, следующей формулой:
= f{T\E(e)lt)x,
Используя технику, примененную в лемме 6, можно определить
/ (Г) следующим образом:
8. Определение. Пусть Т — спектральный оператор, Е — его
разложение единицы и/ — функция, аналитическая в откры-
открытой области ?/, причем Е (U) = I. Пусть {еп} — произвольная
возрастающая последовательность ограниченных борелевских мно-
оо
жеств, замыкания которых содержатся в U, и Е (U еп) = /. Опера-
п=1
тор / (Т) определяется равенствами
® (/ (Л) = {* | Нт / (Г | ? (еп) X) Е (еп) х существует},
п-юо
/ (Т) х = Km f(T\E (еп) Щ Е (еп) х, х 6 % (/ (Г)).
71->оо
9. Теорема. Построенный в определении 8 оператор f (T) ли-
линеен, замкнут и не зависит от выбора последовательности боре-
борелевских множеств {еп}, использованной для его определения.
¦320 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
(i) Если е — любое борелевское множество их — любой элемент
из ®(/(Г)), то Е (е) ф (/ (Г)) = ф (/ (Г)) ы Е (е) f (T) х =
= f(T)E(e)x.
(ii) ?Ъш в — произвольное борелевское множество, то
f (Т \ Е (е)?) = f (Т) \ Е (е) Ж. Если, в частности, е — ограничен-
ограниченное борелевское множество и его замыкание содержится в U, то
оператор f (Т) \ Е (е) Ж ограничен.
(iii) Если множество Z нулей функции f имеет спектральную
меру нуль {т. е. Е (Z) = 0), то f (Т) обратим и f (Г) = A//) (Г).
(iv) Если f — многочлен, то определение 8 согласуется с опре-
определением VII.9.6.
(v) Если Т ограничен и f аналитична на g(T), mo f(T) ограничен
и определение 8 согласуется в этом случае с определением VI 1.3.9.
Если f аналитична на о (Т) и на бесконечности, то f(T) ограничен.
Кроме того, если g — другая функция, аналитическая в открытой
области V, причем Е (V) = /, то
(vi) Ф (g (Т) + f (T)) = ®((g + f) (Т)) П Ф (g (T))
и
g(T)x+f(T)x=(g + f)(T)x для всех х из
(vii) Ф (g (T) f (Г)) = ф ((gf) (Т)) П Ф (/ (Г))
и
g(T)f(T)x = (gf){T)x для всех х из ®(g(T)f(T)).
(viii) Если афО, то ф ((а/) (Г)) = ф (f{T)) и
(а/) (Г) x = af (T) х для всех х из ф (/ (Г)).
Доказательство. Первое утверждение следует из определе-
определения 8, трех предшествующих ему абзацев и леммы 6. Утвержде-
Утверждение (i) вытекает из следствия 7. Докажем утверждение (и), предпо-
предполагая сначала, что е — ограниченное борелевское множество, замы-
замыкание которого лежит в U. Можно считать, что е = ei9 ибо / (Г)
не зависит от выбора последовательности {еп}. Если х принадлежит
Е (е) И, то в силу рассуждений абзаца, предшествующего опреде-
определению 8, f (Т \ Е (еп) 1) х = f (Т | Е (е) Ж) х при п > 1, откуда
/ (Т) х = lim f(T\E (en) 1) х = f (Т \ Е (е) Ж) х. Этим доказано
п -
утверждение (И) для случая, когда е — ограниченное борелевское
множество, замыкание которого лежит в U.
Чтобы доказать утверждение (и) в общем случае, возьмем
борелевское множество е и заметим, что, согласно лемме 2,
Т | Е (ё) И — спектральный оператор, разложение единицы кото-
которого (обозначим его через F) есть сужение ? на ? (е) Ж. Ясно,
что F (U) = /, и, следовательно, можно определить оператор
/ (Т | Е (е) Ж). Пусть {еп} — такая возрастающая последователь-
последовательность ограниченных борелевских множеств, что замыкание каждо-
2. Неограниченные спектральные операторы 321
оо оо
го еп содержится в U и Е (U еп) = I. Тогда F ( U еп) = /. Возьмем
п=1 п=1
вектор х из ?(е)ЭЕ, и пусть х лежит в Ф (/ (Т | ? (в) 36)). Так как
для ограниченных борелевских множеств, замыкание которых
лежит в U, утверждение уже доказано, то, согласно определению 8,
f(T\E(e)X)x=\imf(T\F(en)E(e)$)F(en)x =
= \imf(T\E{een)X)E(en)x =
П-»оо
= Km f{T)E(en)x.
7l->oo
Поскольку E(en)x-*x и f (T) замкнут, х лежит в © (/ (Г))
и f (T) x = f (Т \ Е (е) Ж) я. Покажем, что верно и обратное. Для
этого возьмем такой х из Е (ё) Ж, что л: лежит в © (/ G1)). Так как
? (в) f(T)x = f (T) E (e)x = f(T) х, то / (Т) х принадлежит
Е (е) Ж. Отсюда, используя утверждение (i) и тот факт, что утвер-
утверждение (и) уже доказано для ограниченных борелевских множеств,
замыкание которых лежит в (/, мы получаем:
f(T)x= lim f(T)E(een)x =
П->оо
= \imf(T\E (een) Ж) Е (ep) x =
П-*оо
= limf(T\F(en)E(e)I)F(en)x.
Tl—t-oo
Из определения 8 вытекает, что х лежит в © (/ (Т \ Е (ё) Ж))
и что f(T | Е (ё) Ж) х = f (Т) х. Тем самым утверждение (И) дока-
доказано и в общем случае.
Теперь докажем утверждение (vii). Пусть х лежит в ®(g (T) f (T)).
Так как Е (а (Т — (U П V)) = 0, то без ограничения общности
можно считать, что /7=1/. Пусть {еп} — такая возрастающая
последовательность ограниченных борелевских множеств, что замы-
оо
кание каждого еп содержится в U и Е ((J еп) = I. Так как
71=1
Т | ? (еп) И — ограниченный оператор, можно применить функцио-
функциональное исчисление для ограниченных операторов (см. VII.3.10),
откуда, используя (i) и (и), получаем
\im(gf)(T\E(en)X)E(en)x=\\mg(T\E(en)l)f(T\E(en)l)E(en)x=
П->ОО П-+ОО
= limg(T\E(en)X)E(en)f(T)x =
П-+ОО
= lim E (en) g (T) f{T)x = g (T) f (T) х.
71-ЮО
21 Ц. Данфорд и Дж. Шварц
322 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Таким образом, из определения 8 следует, что х лежит в ®(g/ G))
и (gf) (T)x = g (Т) f (Т) х.
Возьмем теперь элемент х из ®(/ (Т)) П ®((g/) СП). Тогда,
используя доказанное утверждение, а также утверждения (i) и (и),
мы видим, что
\\mg(T\E(en)l)E(en)f(T)x=\img(T)E(en)f(T)x =
71->ос П->оо
= \img(T)f(T)E(en)x =
71->оо
= \im(gf)(T)E(en)x =
П->оо
= lim E(en)(gf)(T)x={gf)(T)x,
П-»оо
откуда следует, что х принадлежит ®(g (Т) f (Т)) и g (T) f (T) х =
= (gf) (T) х. Этим доказано утверждение (vii).
Чтобы доказать (iii), поступим следующим образом. Пусть g =
= 1//. Тогда, согласно (vii),
®(/СО?(Г)) = Ф(?(Т)); %(g(T)f(T))=V{f(T));
f(T)8(T)x=x, хеъ{8(Т)у,
g(T)f(T)x = x, xCS>(f(T)).
Эти равенства показывают, что операторы / (Т) и g (T) взаимно
однозначны и что область значений / (Г) содержится в области
определения g (Г), и обратно. Если х лежит в Ф(/ G)), то х =
== g (П f СП х> так что х принадлежит области значений ffi (g (T))
оператора g(T). Итак, Ш (g (Т)) = ф (/ G)). Таким же образом
доказывается равенство 9? (ГСП) = ® (g (^))« Тем самым утвержде-
утверждение (iii) доказано.
Утверждение (viii) очевидно.
Чтобы доказать (vi), возьмем элемент х из ©(/ (Г) + g G))
и такую же, как выше, последовательность {еп}. Так как оператор
Т | Е (еп) 1 ограничен, то, применяя утверждения (i), (ii) и функ-
функциональное исчисление для ограниченных операторов (см. VII.3.10),
получаем
\imjf + g) (T\E (en)I) E (еп) х==
= lim {f(T\E (en) 1) Е (en) x + g(T\E (en) Ж) Е (en) x} -
= \im E(en){f(T)x
Применяя теперь определение 8, находим, что х лежит
в $((/ + ?) СО) и что (f + g)(T)x=f(T)x + g(T)x. Итак,
/ )() Ф(/(Т) (Л) и так как /
2. Неограниченные спектральные операторы 323
Из тех же соображений, используя (vii), находим, что
а так как Ъ (f(T) + г(Г)) = Ф (/ (Г)) П ® (g(T)), то (() +
+ ? СП) э®((/ + S") СО) П Ф (/ СО) • Этим Доказано утвержде-
утверждение (vi).
Утверждение (iv) без труда выводится из (vi), (vii) и определе-
определения VII.9.6.
Остается доказать утверждение (v). Пусть сначала Т ограничен
и / аналитична на а (Т). Тогда а (Т) — компактное подмножество
из U и, согласно следствию XV.3.5, Е (а (Г)) = /. Поэтому без
потери в общности можно взять в качестве еп множество а (Т) (для
каждого п ^ 1). Тогда в силу определения 8 / (Т) совпадает
с f(T\E(a (Т)) Ж) Е (о G)), а так как Е (а G)) - /, то / (Т)
совпадает с оператором / (Т), определенным в VII.3.9. Итак, первая
часть утверждения (v) доказана.
Для доказательства второй части этого утверждения достаточно
показать, поскольку / (Т) замкнут, что / (Т) определен всюду (см.
теорему о замкнутом графике II.2.4). Согласно (п), ®(/ (Т)) з
3 Е (ё) Ж, где е — любое ограниченное борелевское множество.
Следовательно, достаточно проверить, что ®(/ (Г)) з Е (br) X, где
г — некоторое положительное число и br{z I | z | ^ г}. Пусть г
выбрано столь большим, что 6Г_2 полностью содержится в области
аналитичности функции /. Из утверждения (ii) следует, что доста-
достаточно проверить включение ®(/ (Т \ Е (br) Ж)) ^ Е (br) 1. Так
как, согласно лемме 2, оператор Т | Е (br) Ж спектрален и его
разложение единицы F удовлетворяет условию F (br) = /, то в даль-
дальнейшем достаточно рассмотреть тот случай, когда Т = Т \ Е \br) 3?
и Е (br) = /.
Пусть С — окружность \ z \ = г — 1. Возьмем число R > г
и через CR обозначим окружность | г I = R. Предположим, что
CR ориентирована в положительном направлении, а С — в отрица-
отрицательном. Тогда, согласно VI 1.3.9,
для любого ограниченного оператора S, спектр которого содержится
между С и CR. Замечая, что
(Я/-5)-
2 Х-71-^71
для достаточно больших К (см. VII.3.4), мы можем положить R -> оо
в формуле [*], откуда
21*
324 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Пусть {еп} — возрастающая последовательность компактных
подмножеств из br, объединение которых есть Ьг. Тогда, используя
предыдущую формулу и утверждение (и), мы видим, что
f(T\E(en)I) =
Так как оператор
С
очевидно, ограничен, из последнего равенства видно, что предел
lim f (Т | Е (еп) Ж) Е (еп) х существует для всех х из Ж, чем дока-
П -> оо
зано равенство (v), ч. т. д.
В теореме 9 мы построили операционное исчисление для произ-
произвольного спектрального оператора. Функция /, по которой мы
получили оператор /(Г), предполагалась аналитической. Мы пока-
покажем сейчас, что в случае спектрального оператора скалярного типа
можно взять более широкий класс функций. Начнем с распростра-
распространения функционального исчисления, построенного в гл. XII (см.
XII.2.5—XII.2.9), на произвольные В-пространства.
10. Определение. Пусть S — множество, 2 — сг-поле подмно-
подмножеств из S и Е — сильно счетно аддитивная спектральная
мера, определенная на 2. Пусть/ — измеримая функция, определен-
определенная почти всюду на S (в смысле меры Е). Тогда оператор Т (/)
определяется равенствами
ф (Т {f)) = {х | lim T (fn) х существует},
п
где
при |f(b)|<n; МЬ) = 0 при \f(K)\>n
T(fn)=\fn(s)E(ds); T(f)x= Mm (fn)x,
s
-> 11. Теорема. Пусть (S, 2, ?), / и Т (/) — объекты, указан-
указанные в определении 10. Тогда Т (/) —замкнутый оператор с плот-
плотной областью определения. Кроме того,
(a) Ф(Т(/)) = Ф(Г(|/(.)|)M
(b) 3)(Г(/))дЗ)(Г(г)), если \f(s)\^\g(s)\ почти всюду
на S (в смысле меры Е);
2. Неограниченные спектральные операторы 325
(c) T(f) ограничен в том и только в том случае, если f является
Е-существенно ограниченной на множестве S и
?-ess sup | f (s) К | T (f) К 4М ?-ess sup \f(s)\;
s&S s&S
(d) T(af) = aT(f);
(e)
(f) T (fg) =>T(f)T (g); ф (T (/) 7 (g)) = Ф (Г (fg)) П
(g) Г (/) E{e)=>E (e) T (f) для любого е из 2.
(h) Г (/) имеет обратный тогда и только тогда, когда
i@)) = 0 w Т(/1 ТA/)
(О гт (/) х = j / (s) **? (ds) x, jc е ф (г (/)), х* е зе*
Доказательство. Для доказательства того, что Т (/) замк-
замкнут и имеет плотную область определения, применим лемму 6.
В качестве семейства 20 леммы 6 мы возьмем семейство всех таких
множеств е из 2, на которых / ограничена. Оператор Qo с областью
определения U Е (е) Ж, указанный в лемме 6, определяется
?2
равенством
Qox=T (f%e) х, хеЕ(е)Х, е 6 20.
Так как функция f%e ограничена, то оператор Т (f%e) ограничен.
Если элемент х лежит в Е (е) <? П Е (е) Ж, то, применяя операционное
исчисление для ограниченных функций (см. XVII.2.10), получим
Т (fXe) X=T(f%e) E®X = T (f%~) X =
= T{f%7)E(e)x=T(f%7)x,
так что оператор Qo определен корректно на (J Е{еI. Из леммы 6
е?20
следует, что оператор Т (/) замкнут и определен на плотном мно-
множестве из ЗЕ. Из следствия 7 вытекает также утверждение (g).
Утверждение (d) очевидно. Для доказательства утверждения (с)
возьмем множество е 6 20 и вектор х ^Е (е) Ж. Согласно опера-
операционному исчислению для ограниченных функций (см. § XVII.2),
) х= lim Т (he) Е (еп) х= lim (ТШеп) х=
П->оо п->оо
= lim
Следовательно, для вектора х 6 Е (е) 1 мы имеем равенство
т ifle) х = Т (f) Е (е) х. С другой стороны, если х ?Е (S — е)Ж.
326 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
то 7 (/) Е (е) х = 0 и
(согласно операционному исчислению для ограниченных функций).
Отсюда Т (fxe) х = 7 (/) Е (е) х для х 6 Е (S — ё). Итак, во всех
случаях 7 (f%e) х = 7 (/) Е (е) х. Если 7 (/) ограничен, то семейство
операторов 7 (f%e) равномерно ограничено, и в силу теоремы
XVII.2.10 семейство функций f%e, e 6 2, равномерно ^-существенно
ограничено на множестве S. Таким образом, если 7 (/) ограничен,
то функция / является ^-существенно ограниченной на S. Это
доказывает часть утверждения (с); оставшаяся часть этого утвержде-
утверждения следует из теоремы XVII.2.10.
Утверждение (а), очевидно, вытекает из (Ь). Утверждение (Ь)
следует из (f); в самом деле, считая, что | / (s) I ^ | g (s) |, положим
h (s) = g (s)/f (s), если / (s) Ф 0, и Л (s) = О.в противном случае.
Тогда |ft(s) 1^ 1, и, согласно утверждению (с), оператор Т (h)
ограничен..Так как g = hf и Ъ(Т(Н)) совпадает со всем простран-
пространством Зе, то из (f) выводим, что Ф (Г (/)) = Ф (Г (Л) Г (/)) =
= ф G (/)) П ® G1 (g)), откуда ф G (/)) з Ф G (g)), чем доказа-
доказано утверждение (Ь).
Докажем (f). Пусть еп ={s \ \ f (s) | ^ пу \ g (s) I < п). Из рас-
рассуждений, использованных в начале этого доказательства, и леммы 6
следует, что
Ф (т (§)) = {* Ilim Т(ё1еп) х существует},
П->схз
T(g)x = \imT(g%en)x, x€®(T(g)),
П-»-оо
где 7 (gx^ ) — ограниченный оператор, определенный согласно
функциональному исчислению для ограниченных функций
(см. XVII.2.10). Аналогичное утверждение верно также для Т (gf)
и 7(/). Следовательно, если х — вектор из ®G (g) 7 (/)), то мы
получаем (см. XVI 1.2.10), что
П-*-ОО
7 {ghen) x = \\mT (g%en) T (/XeJ E (en) x.
Отсюда, согласно (g), T (/) T (E (en))z = lim T (/x*mXen) E (en) z =
m->oo
- 7 (/хел) ^ (en) г для вектора 2 6 Ф G (/)). Аналогично, 7 (g) ? (еп) г =
= T{gxen)E{en)z для гбФG(^)). Используя (g), мы находим, что
Е (еп)х =
п-*-оо
= \imT(g)E(en)T(f)x =
П-*оо
= lim E (en) T (g) Тфх = Т (g) T (/) х.
2. Неограниченные спектральные операторы 327
Это показывает, что х лежит в <S)(T(gf)) и Т (gf) х=Т (g)T (/) х.
Обратно, пусть х принадлежит 2) (Т (gf)) [) Ф(Т(/)). Тогда, при-
применяя (g), получаем
Нт Т (gXen) T(f)x = lim Т (§Хеп) Е (еп) T(f)x =
= lim T(gXen)T(f)E(en)x =
Следовательно, T(f)x лежит в %(T(g)) и Т {g)T (f)x = T (gf)x.
Этим доказано (f).
Докажем (е). Выберем последовательность {еп}, как в преды-
предыдущем абзаце. Пусть х 6® (T(f) + T (g)). Тогда, согласно XVII.2.10,
((/ + g) ten) x - lim [Т (faej * + F (gxeJ x] =
так что Jf€®(T(/ + g)) и Г(/ + ^)х = Г(/)х + Г(^)х. Обратно,
если х лежит в ф(Т (/ + #)) f) Ф(Т(^)), то
lim Г (gxej * = Hm T ((f + g) х.„ - /x«n)« =
П->схз П-^-оо
= lim [T ((/ + г) X.n) x - T (fru) x] =
так что х лежит в *S)(T(g)) и, следовательно, Ф G (/) + Т (g)) =
= Ф(Т(/))ПФG1(г)), т. е. (е) доказано.
Докажем (h). Если ? (/^(О))^ 0, то найдется такой х=^=0,
что ?(/~1@))х = л:. Тогда, согласно определению 10, х принад-
принадлежит ®(T(f)) и T(f)x=0; поэтому T (f) не имеет обратного.
Обратно, если ?(/~1@)) = 0, то функция 1// определена ?-почти
всюду и Е-измерима, и в силу (f) мы имеем
T(f)T(l/f)x = x, *6
T(\lf)T(f)x = x, дсб
Эти равенства показывают, что операторы Г (/) и ТA//) взаимно
однозначны, а область значений Г (/) содержится в области опре-
определения Г A//), и обратно. Если х 6 ЩТ (/)), то л: = Г A//) Т (/) jc,
так что х лежит в области значений 9R (Г A//)) оператора Г A//).
Итак, JR (Т A//)) = ф (Т (/)). Аналогично, S» (Г (/)) - ф(Г A//)).
Тем самым доказано (h).
328 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Чтобы доказать (i), возьмем элемент х из ® (Г (/)), х* из ЭЕ*
и через М обозначим верхнюю грань норм \ Е (ё) |, где е пробега-
пробегает 2. Тогда для каждого подмножества е из еп
f (s) х*Е (ds) х\ = \ х*Е (е)Т (fn) х\ =
= \x*E(e)T(f)x\^M\x*\\T(f)x\.
Отсюда, согласно Ш.2.20(а) и III. 1.5,
^\f(s)\v(x*E(-)xt ds)^lM\x*\\T(f)x\.
en
Полагая п-^оо, получаем, что / является х*Е(•)л:-интегрируе-
мой. Из теоремы Лебега III.6.16 следует, ввиду ограничен-
ограниченности fn, что
/ (s) x*E (ds) х = lim ( f (s) x*E {ds) x =
{ f f(s)E(ds)\x =
П->ОО
)f ч.т.д.
П-коо
12. Определение. Пусть Т — линейный оператор, ограни-
ограниченный или неограниченный, в В-пространстве Ж. Если суще-
существует такое счетно аддитивное разложение единицы Е на а-поле
борелевских подмножеств плоскости, что Т = Т (/) в смысле опре-
определения 10, где / (z) = z, то Т называется спектральным операто-
оператором скалярного типа. Спектральная мера Е называется разложе-
разложением единицы оператора Т.
13. Лемма. Неограниченный спектральный оператор скаляр-
скалярного типа в смысле определения 12 является спектральным операто-
оператором в смысле определения 1. Кроме того, разложения единицы опера-
оператора Т в смысле определений 1 и 12 совпадают.
Доказательство. Мы будем пользоваться обозначениями опре-
определений 1 и 12. Пусть Г и Е — те же, что в определениях 1 и 12.
Из определения 10 вытекает, что © (Т) з Е (е) Ж для любого
ограниченного борелевского множества е. Согласно теореме 11 (g),
Е (в) © (Г) ^ © (Т) и ТЕ (е) х = Е (е) Тх для любого вектора х
из © (Т).
Пусть е — борелевское множество и К (? е. Положим f (z) =
= (А, — г), если z 6 е, и / (г) = 0, если г $ в. Тогда в силу теоре-
теоремы 11 Т (f) — всюду определенный ограниченный оператор,
T(f)(kl — Т)х = Е(е)х для вектора х 6 © (Л и (А,/ — ГЩ/)
2. Неограниченные спектральные операторы 329
= Е (е) х для всех х. Более того, Е (е) Т (/) = Т (/) Е (е). Отсюда
видно, что сужение оператора Т (/) на подпространство Е (е) Ж
является обратным по отношению к сужению (XI — Т) | Е (е) Ж,
описанному в определении 1. Таким образом, Т и Е удовлетворяют
всем условиям, указанным в определении 1, ч. т. д.
14. Следствие. Спектральный оператор скалярного типа обла-
обладает единственным разложением единицы.
Доказательство. Это следует из леммы 13 и теоремы 5, ч. т. д.
15. Определение. Пусть f — комплекснозначная борелевская
функция комплексного переменного и Т — спектральный опера-
оператор скалярного типа. Возьмем разложение единицы операто-
оператора Г и построим по нему оператор Т (/), как описано в определе-
определении 10. Под оператором f(T) мы будем понимать полученный опе-
оператор Т(/).
Из следствия 14 вытекает, что это определение корректно. Пока-
Покажем, что определение 15 согласуется с определением 8. Для этого
докажем следующую лемму:
16. Лемма. Пусть Т — спектральный оператор скалярного
типа, Е — его разложение единицы и f — функция, аналитическая
в открытом множестве U, причем E(U) = /. Тогда операторы /(Т),
построенные в определениях 15 и 8, совпадают.
Доказательство. По / и Т построим операторы ! / (Т) с по-
помощью определений 15 и 8. Полученные операторы обозначим
через fi(T) и /2(Т) соответственно. Пусть {еп} — такая возрастаю-
возрастающая последовательность компактных подмножеств из U, что
с»
U еп = U. Поскольку, согласно теореме 11,
п=1
Тх= ^KE(dk)x, xeE(en)l,
еп
из определения 12 вытекает, что Т\Е(еп)Ж есть ограниченный
спектральный оператор скалярного типа, разложение единицы
которого определяется формулой F(e) = Е (ееп) \Е(еп) X. Так как
о(Т\Е(епI) е еп и / аналитична на еп, то в силу теоремы XV.5.1
f(T\E (еп) Ж) = j / (К) F (dX), откуда
en
Из теоремы 11 вытекает, что
f(T\E (еп) 1) Е (еп) x = f2 (Т) Е (еп) х.
330 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Возьмем теперь х из ©(/^(Г)). Из определения 8 и предыду-
предыдущей формулы следует, что
Но так как \in\E (еп) х = х и, в силу теоремы 11, f2(T) замкнут,
то х лежит в Ъ(!2(Т)) и f1 (T)x= fi{T)x. Этим доказано, что
h(T)c=h(T).
Пусть ап = {Я||/п(А,)Кл}. Покажем, что © (МЛ) => ? (ат)Ж.
Действительно, если л: лежит в ?(ат)ЗЕ, то из теоремы 11 и до-
доказанного выше утверждения мы получаем
= E(en)f2(T)x.
Следовательно, предел f{ (Г) х = lim / (Г | Е (еп) I) Е (еп) х сущест-
П-»-ОО
вует и равен /2 (Т) х. Отсюда по теореме 11
/i (Г) ? (<xm) jc = /=2 (Г) ? (ат) х = Е (ат) f2 (Г) л:
для каждого # из ®(/2G"))- Значит, limf1(T)?(am)A: = f2G1)^-
7П-»-ОО
Так как, согласно теореме 9, Нт?(ат)^ = ^и fi(T) замкнут, то
7ГС->ОО
х лежит в ®(А(Т)) и fi(T)x = f2{T)x. Таким образом, Л (Т) е
с/2(Г), ч.т.д.
17. Теорема. Пусть S — множество, ^—о-поле подмножеств
из S и Е —сильно счетно аддитивное разложение единицы, опре-
определенное на 2. Пусть f есть ^-измеримая функция, определенная
на S. Тогда оператор Т (f), построенный в определении 10,
является спектральным оператором скалярного типа и его раз-
разложение единицы задается формулой
Доказательство. Положим /n(s) = f(s), если |/(s)|^n, и fn(s) =
= 0, если |/(s)|>n. Тогда
® G1 (/)) = {х | Hm T (/п) д: существует},
П->оо
T(f)x=\imT(f»)x,
2. Неограниченные спектральные операторы
331
Согласно следствию 14, лемме 13 и определению 12, достаточно
показать, что
ф (Т (/)) = { х | Hm \ dEi {dK) х существует |,
71(/)^ = lim f XE{(dk)x, ^6®(T(/)).
Чтобы убедиться в этом, заметим, что в силу леммы XVI 1.2.9
откуда следуют требуемые утверждения, ч. т. д.
18. Теорема. Пусть Е — счетно аддитивная спектральная
мера, определенная на о-поле 2 подмножеств множества S.
Пусть g, /ь /2. • • •— такая поточечно сходящаяся последователь-
последовательность ^-измеримых функций, что
f(s) = \lmfn(s), stS,
и пусть х лежит в ^(T(g)). Тогда х лежит в каждом из
множеств Ф(Т(/)), ©G1 (/„)), /г>1, w
Доказательство. Первое утверждение сразу следует из теоре-
теоремы 11(Ь). Положим hn (s) = /n (s)/g (s), если g (s) ф 0, An (s) =
= 0, если g (s) = 0, и пусть h(s) = f (s)/g (s), если g (s) Ф 0, h (s) =
= 0, если g (s) = 0. Тогда I hn (s) |< 1, I A (s) | < 1, /irtg - fn
и ^ = /• Из теоремы ll(f) вытекает, что T(fn) x = T (hn) T (g) x,
T (f) x = T (h) T (g) x. Поэтому достаточно показать, что Т (hn)
сходится к Т (h) в сильной операторной топологии. Но это сразу
следует из теоремы IV. 10.10, ч. т. д.
Было бы интересно обобщить теорему 17 со случая спектраль-
спектральных операторов скалярного типа на произвольные спектральные
операторы. К сожалению, ее нельзя перенести буквально на этот
последний случай, как показывает приведенный ниже пример
спектрального оператора Г, для которого оператор smnT
не является спектральным. Пусть /г^1, и пусть ф(П) есть я-мер-
ное унитарное пространство с ортонормированным базисом (х\п\ ...
%}) П A $п и определим оператор
i<^n, Bin)x\n)=0. Пусть
р р р
х%}). Положим Ain)x=nx лля
В(п) равенством Bin)x\m = 2~1nx\Tl\,
332 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
оо
$= 2 €(п>- Определим в ig операторы Л, В формулами
п=1
в(х) = в (ха) © *B) е...) = 5A)*a> е вB) *B) е ..., х е ф E),
соответственно. Ясно, что А и В — замкнутые операторы и ®(Л) =
= ®(В). Следовательно, для оператора С = А + В мы имеем
Ф(С) = ®(Л). Мы сейчас подробно исследуем оператор С, так как
в дальнейшем он будет использоваться для построения других
контрпримеров этой главы.
Сначала мы покажем, что а (С) есть множество целых положи-
положительных чисел. Пусть число к не является целым положитель-
положительным. Так как В(п) — нильпотентный оператор, то, обозначая через
/(п) тождественный оператор в jg(n), получаем, что существует
оператор
(AJ(n) - (Дп) + fU)) = ((А,-п) Iin) -В{п))-К
Кроме того,
и так как \n~1Bn\= 1/2, то
Ш
Следовательно, если мы определим оператор R (к) равенством
R(k)(xa)®x™ ® ...)==
= R«> (к; Аа) + Ва)) х™ 0 R2 (к; ЛB) + ЯB>) хB> 0 ...,
то отсюда будет следовать, что R(k) ограничен и множество его
значений содержится в области определения оператора С. Таким
образом, (kI — C)R(k)x = x для всех х из % и R(k)(kl — C)x = x
для векторов х из ®(С), т. е. R (к) = R (к; С), и потому
к^о(С). С другой стороны, если к=п и х лежит в $<П), то
(kl — C)nx = В(П)х = 0, так что к принадлежит о (С). Итак, о (С)
совпадает с множеством всех целых положительных чисел. Ана-
Аналогичным рассуждением доказывается, что если J — произвольное
подмножество целых положительных чисел и [J§j= 2 ©$<**)•, то
n?J
спектр сужения C\<Qj совпадает с J. Поскольку (И — С)'1 огра-
ограничен, то И —С замкнут. Поэтому С замкнут.
2. Неограниченные спектральные операторы 333
Пусть Р(п)— ортогональный проектор Q на g(n). Для каждого
борелевского множества е положим E(e)=^]Pin). Тогда Е есть
сильно счетно аддитивное разложение единицы. Если J — множе-
множество целых чисел, содержащихся в е, то очевидно, что E(e)<Q=z
= igj. Поэтому а (С | Е (е) <д) = J ^ е, так что выполнено условие (Hi)
определения 1. Условия (i) и (ii) определения 1 выполнены
очевидным образом, и, таким образом, С — спектральный оператор
и его спектральное разложение есть Е.
Функция / (z) = sin nz целая. Покажем, что sin nC не является
спектральным оператором. Допустим противное: пусть оператор
sin nC спектральный и F — его разложение единицы. Из следствия
4 и теоремы 9 (i) вытекает, что F коммутирует с Е. По теореме 9(ii)
сужение (sin nC) \ Pin)$} совпадает с оператором
sin (яС | Рш$) = sin я (A(n) + Bin)) = sin я (n/(n) + Bin)) =
= (-l)nsinjtB(n)-B(n)/i(B(n)),
где (hz) = ± z'1 sin nz. Так как 5(лп) = 0, то ())^ {)
Пусть е — замкнутое подмножество комплексной плоскости, не со-
содержащее нуля. По теореме 9
((sin яС) F (e))nPin)% = (sin nC)nF (e) PGl)g =
Поскольку по определению 1 оператор (sinTiC)\F (e) $q взаимно
однозначен, отсюда следует, что P(n) F (е) = 0. Суммируя по п,
получаем, что F(e) = 0. Следовательно, /7({0}) = 7. Из определе-
определения 1 следует, что а(8тяС) = 0. Но мы сейчас покажем, что это
равенство неверно. Точнее, мы докажем, что
откуда вытекает существование такой последовательности элемен-
элементов у{пу из ?(П), что \у(п)\=1 и (KI — smnC)yin)~*0. Но это
означает, что а^тяС) совпадает со всей комплексной плоскостью.
Для доказательства нашего утверждения заметим, что (sin яй(п)) х[ю =
-0 и (ьтпВ{П))х?* = (п/2п)х?\ откуда
а теперь ясно, что |Я/ — (— l)^sinB(n))|^ oo. Мы доказали,
что sinrcC не является спектральным оператором.
Точно таким же способом доказывается, что а (В) есть вся
комплексная плоскость. Кроме того, В А является, очевидно,
ограниченным оператором с нормой 1/2, а его п-я степень имеет
норму 21.
334 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
19. Лемма. Пусть Т — спектральный оператор и Е — его
разложение единицы. Пусть е — открытое множество. Тогда
о(Т) []ес=о(Т\Е(е)Ж)с=о(Т) (]е.
Доказательство. Согласно определению 1, а (Т | Е (е) Ж) ^ е.
Если Х$о(Т), то XI — Т имеет ограниченный обратный R, и, обо-
обозначая через Ro сужение Е (е) R на Е(е)Ж, мы находим, что
R0(XI — T) x = E (e) R (XI — Т) х = Е (е) х = х, хе^(Т\Е (е) Ж),
(XI -Т) Rox = E (e)(XI -Т) Rx = E (е) х = х, х?Е(е)Ж,
в силу определения 1. Итак, X $ о (Т | Е (е) Ж), откуда а (Т \ Е (е) X) ^
s а (Т) П е.
Обратно, возьмем такую точку X, что X?е и X^q (T \Е(е) Ж).
Тогда существует ограниченный оператор R0 = (XI~Т\Е(е)^)'1.
Пусть е' — дополнение множества е. Так как Х^е', то в силу
определения 1 существует ограниченный оператор /?i —
= (XI — T\E(e')ty1. Если мы положим Rx = R0E (e) x + RxE(e')x
для векторов х из ЭВ, то, очевидно, получим R = R(X; Г), а по-
потому X $ а (Г). Итак, е (] о (Т) д= а (Т \ Е (е) Ж), ч. т. д.
2О.?Следствие. Пусть оператор Т удовлетворяет предположе-
предположениям леммы 19, а Е — такой проектор, что ?® (Г) ^ © (Г)
и ЕТх = ТЕх для всех х из Ъ (Т). Тогда а (Т) =2 а (Т | ЕЖ).
Доказательство. В конце предыдущего доказательства исполь-
использовались только два эти свойства Е (е), ч.т.д.
Следующая теорема дает достаточные условия того, что функция
спектрального оператора общего вида является спектральным
оператором:
-* 21. Теорема. Пусть Т — спектральный оператор и Е — его
разложение единицы. Пусть функция f аналитична в области U',
причем объединение U с некоторым конечным множеством содержит
окрестность множества о(Г), а также окрестность бесконечности
(точки упомянутого конечного множества мы назовем исключитель-
исключительными). Предположим, что Е (р) = 0 для каждой исключительной
точки р и что в каждой исключительной точке р, а также в беско-
бесконечности функция f либо аналитична, либо имеет полюс. Тогда f(T)
является спектральным оператором, разложение единицы которого
задается формулой Е^ (е) = Е (f'1 (e)), а спектр определяется фор-
формулой о (f (T)f = f(o (Г)).
Доказательство. Определим Et формулой Ei (e) =E (f'1 (e)).
Из теоремы 9 следует, что Ех (е) © (/ (Т)) ^ Ф (/ (Т)) и что
/ (Г) Е, (е) х^Е, (е) f (T) х для хизФ(/ (Г)).
2. Неограниченные спектральные опероторы 335
Пусть е — ограниченное борелевское множество. Мы проверим
сначала условие (i) определения 1, т. е. покажем, что Ф(/(Г))^
^Е1(е)Ж. Если / не аналитична на бесконечности, то множество
6{:=zf-i(e) ограничено, и, согласно теореме 9(ii), ®(/(Г))^
2 E(ei)l? = Ei (ё) Ж. Пусть теперь / аналитична на бесконечности.
Тогда, очевидно, / аналитична в окрестности множества ех f| a (T).
Согласно лемме 19, a(T\Et (е) Ж) = о(Т\Е (е,) Ж) ^\ П <* (Г);
отсюда следует, что / аналитична в окрестности а (Т \ Et (e) Ж)
и на бесконечности. Значит, по теореме 9(у),Ф(/(Т \Е1е)Ж)) =
==ЪA(Т\Е(е)Ж))^Е(ех)Ж. Отсюда вытекает, согласно теореме
9(п), что ®(f(T))=>Ei(e)X.
Следовательно, для доказательства первых двух утверждений
теоремы достаточно проверить, что для любого борелевского мно-
множества е имеет место включение a (f (Т) \ Е{ (е) Ж) ^ е или, ввиду
теоремы 9(И), включение о (f (Т \ Е (е^ Ж)) ^ f (?4). Так как
Т | Е (вх) Ж есть спектральный оператор со спектром, содержащим-
содержащимся в ей достаточно показать, что а (/ (А)) ^ / (а (А)) для каждого
спектрального оператора и любой функции /, удовлетворяющей
условиям теоремы. Пусть К ? / (а (Л)); следует показать, что Я (?
•([а (/ (Л)). Можно считать, не теряя в общности, что Я=^0, и тогда
необходимо проверить, что оператор / (Л) обладает ограниченным
обратным.
Согласно лемме 3, Е (Л, а (Л)) = /. Следовательно, если мно-
множество а (Л) ограничено, то, в силу леммы 2, Л ограничен. Так как
\lf ограничена на а (Л) и ее особыми точками на а (Л) могут быть
лишь полюсы, то 1// аналитична на а (Л). Таким образом, приме-
применяя операционное исчисление для ограниченных операторов
(см. VII.3.10(Ь)), находим, что f (А) имеет обратный (l/f)(A).
Рассмотрим случай, когда множество а (Л) не ограничено.
Согласно теореме 9 (v), / (Л) имеет обратный A//) (Л). Так как мы
предположили, чго 0 (J-f (а (Л)), то 1// ограничена на о(А). Посколь-
Поскольку особенностями 1// на а (Л) и на бесконечности могут быть лишь
полюсы, а множество а (Л) не ограничено, 1// аналитична на о(А)
и на бесконечности; из теоремы 9 (v) сразу же следует, что оператор
A//) (Л) ограничен. Мы доказали первые два утверждения теоремы
и включение а (/ (Г)) ^ / (а G)), которое является частью послед-
последнего утверждения теоремы.
Так как множество а (/ (Г)) замкнуто, то для доказательства
равенства а (/ (Г)) = / (а (Т)) достаточно проверить, что а (/ (Г)) з
^ f (a G1)). Возьмем X из / (а (Т)). Можно считать, очевидно, что
Я, = 0. Пусть Z — множество точек из а (Г), в которых значение /
равно нулю. Поскольку / аналитична в каждой точке из а (Г) и на
бесконечности, за исключением, возможно, полюсов, Z — конечное
множество, и, следовательно, оно ограничено. Пусть е — окрест-
336 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
ность Z, замыкание которой компактно и содержится в области
аналитичности f. Тогда, в силу теоремы 9 (ii) и леммы 19, Т I E (е) Ж —
ограниченный оператор и а (Т \ Е (е) Ж) ^ Z. Из теоремы об
отображении спектра для ограниченных операторов (теорема
VIL3.11), теорем 9 (ii), 9(i) и следствия 20 видно, что
ч.т.д.
22. Следствие. Многочлен от замкнутого спектрального опе-
оператора является замкнутым спектральным оператором.
23. Следствие. Пусть точка К принадлежит резольвентному
множеству замкнутого оператора Т. Оператор Т будет спек-
спектральным в том и только в том случае, если оператор (kl — Г)
является спектральным, а его спектральная мера ?\( •) удовлетворя-
удовлетворяет условию Ei ({0}) = 0.
Доказательство. Пусть Г — спектральный оператор. Тогда,
согласно теоремам 9 и 21, (XI — Г) — спектральный оператор,
и его спектральная мера ?\ (•) удовлетворяет условию
Е, ({0}) = Е ({z \(l-z)-i = 0}) = 0.
Обратно, пусть (KI — Г) — спектральный оператор, и его
спектральная мера удовлетворяет условию ?i({0}) = 0. Тогда
в силу теорем 9 и 21 (А,/ — Т) = ((А,/ — Т) ~г) ~г — спектральный
оператор, и, следовательно, Т — спектральный оператор, ч. т. д.
—> 24. Теорема. Пусть Т и f удовлетворяют условиям теоремы
21. Пусть Ei — спектральное разложение спектрального опе-
оператора f (T) и функция g аналитична на открытом множестве С/,
причем Et (U) = I. Тогда, если g (f (z)) = h (z), mo
g (f (T)) = h (T).
Доказательство. Пусть Е — спектральное разложение опера-
оператора Т. Тогда h аналитична на f ([/), и так как Е (/"х (U)) =
= Ei (U) в силу теоремы 21, то определен замкнутый оператор h(T).
Определим множество qy полагая q ={f (oo)}, если f аналитична
на бесконечности; в противном случае будем считать q пустым.
Рассмотрим множество q' = U — q. Заключение теоремы разобьем
на две части:
(a) g(f(T))\E1(q)l
(b) g(f(T)) \Et(q') Ж =
Для доказательства части (а) заметим, что в силу теорем 9 (ii) и 21
Поскольку множество f (q) конечно, оператор Т | Е (f~x (q)) Ж
ограничен (по теореме 9(ii)); отсюда, согласно теореме VII.3.12
2. Неограниченные спектральные операторы 337
и 9(п), находим, что
g(f(T\E (Г1 (Я)) %))=h(T\E (Г1 (д)) Ж) =
тем самым (а) доказано.
Для доказательства равенства (Ь) заметим, что, согласно 9(ii),
равенство (Ь) равносильно утверждению
g (f (TIE (Г1 (?')) Щ = Н{Т\Е (Г1 (?')) Ж).
Из леммы 2 следует, что мы не потеряем в общности, если вместо Т
рассмотрим Т I E (f (q')) Ж; другими словами, мы можем считать,
что Е {f'1 (q')) = /. Это равносильно тому, что U = q\ т. е. если f
аналитична на бесконечности, то она не принимает значения f(oo)
ни в одной точке из f'1 (U).
Пусть еп — возрастающая последовательность компактных под-
оо ^
множеств из С/, причем U en= U. Положим еп =/! (еп). Так как еп
не содержит f (оо), то еп компактно. Возьмем х из ®(g (/ ()))
Применяя теорему 9(П), определение 8 и теорему VI 1.3.12, находим
g (/ (Г)) x = \\mg(f(T)\ ЕУ (<?„)) Е, (еп) х =
п->оо
= \img{f(T\E(en)))EGn)x =
= l\mh(T\E(en))EGn)x.
Из определения 8 следует теперь, что х лежит в ® (Я (Г)) и h(T)x =
= g (/ (Г)) х. С другой стороны, если х лежит в ® (/i (Г)), то эти
рассуждения можно обратить и заключить, что х принадлежит
©((/СП)) Утверждение (Ь) доказано, ч.т.д.
25. Лемма. Пусть Т — замкнутый спектральный оператор
и Е — его разложение единицы. Тогда
а(Т)= П е.
Е(е)=1
Доказательство. Если Е (е) = /, то в силу определения 1
о (Т) = о (Т I E (е) Ж) ? е. Значит, для получения требуемого
результата достаточно проверить, что Е (о (Т)) = I. Пусть
о' — любое компактное подмножество дополнения к а (Г). По лем-
лемме 19 а (Г | Е (а') ЭЕ)<= а (Г) П о' = 0. Из теоремы 9(ii) и лем-
леммы VI 1.3:4 следует, что Е (о') = 0. Так как Е счетно аддитивна,
дополнение к о(Т) имеет ?-меру, равную нулю. Итак, Е (а (Г)) = /,
ч. т. д.
Теперь мы можем восполнить пробел в формулировке п. (v)
теоремы 9:
22 Н. Данфорд и Дж. Шварц
338 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
26. Следствие. Пусть Т — спектральный оператор и f анали-
тична на о (Т) ив окрестности бесконечности. Тогда операто-
операторы f (T), построенные по определениям 8 и VI 1.9.3, совпадают.
Доказательство. Из теоремы 9(v) и определения VI 1.9.3
видно, что достаточно проверить равенство f(T) = g({KI— Т1)),
где f (T) — оператор, построенный в определении 8, X — точка
из резольвентного множества оператора Г, а функция g определена
равенством / (z) = g ((К — г)). Но это сразу же следует из теоре-
теоремы 24 и леммы 25, ч. т. д.
По-видимому, не существует разумного обобщения теоре-
теоремы XV.4.5 на неограниченные спектральные операторы. Можно
дать определение скалярной части спектрального оператора общего
вида, но не известно никакого удовлетворительного описания .раз-
.разности между спектральным оператором и его скалярной частью.
27. Определение. Пусть Т — замкнутый спектральный опе-
оператор и Е — его разложение единицы. Замкнутый спектральный
оператор скалярного типа, определенный равенствами
% (S) = ( х | lim \ IE (dk) х существует } ,
Sx=l\m \ XE(dk)x,
называется скалярной частью оператора Т.
Так же, как в теории ограниченных операторов, мы можем рас-
рассмотреть оператор N = Т — S, однако изучение N наталкивается
на трудности. Из леммы 2 видно, что сужение N на каждое под-
подпространство ? (а) Ж, где а — ограниченное борелевское множе-
множество, является квазинильпотентным оператором, но сам оператор N
может не быть квазинильпотентным. Он может оказаться ограничен-
ограниченным, но не квазинильпотентным и даже неограниченным. Может
даже случиться, что оператор NS'1 не будет квазинильпотентным»
Рассмотрим, например, спектральный оператор С, построенный
в примере перед леммой 19; его скалярной частью является опера-
оператор Л, и замыкание оператора С — А есть В. Как мы отметили
перед леммой 19, а (В) есть вся комплексная плоскость, так что В
весьма далек от того, чтобы быть квазинильпотентным операто-
оператором. Заметим также, что | {ВА~г)п \ = 2~п при п^ 1, и потому
^ {ВА~г)п | = 1/2; мы видим, что ВА'1 не является квази-
п-
нильпотентным. Все это показывает, сколь патологичным может
оказаться поведение оператора N = Т — S.
По-видимому, до сих пор не получено никакого описания
разности между спектральным оператором и его скалярной частью.
Следующая теорема дает частичное обобщение теоремы XV.4.5.
2. Неограниченные спектральные операторы 339
28. Теорема. Пусть S — спектральный оператор скалярного
fauna и Е — его спектральное разложение. Пусть N — ограни-
ограниченный оператор, коммутирующий со всеми проекторами Е (е),
и его сужение на каждое подпространство Е (е) 36, где
е ограниченное множество, является квазинильпотентным.
Тогда S + N — спектральный оператор и его разложением единицы
является Е.
Доказательство. Так как N ограничен, то, очевидно, опера-
оператор Т = S + N замкнут, ®(Т) э Е (а) ЭЕ, если а — ограничен-
ограниченное множество, и ТЕ (о) ^ Е (а) Т для любого ограниченного
борелевского множества а. В силу определения 1 для доказательства
теоремы достаточно проверить, что о (Т \ Е (е) Ж) ^ е для любого
борелевского множества е.
Пусть A, (J е. Тогда оператор
M = N [ (k-zy1E{dz)
квазинильпотентен. Действительно, возьмем произвольное е > О
и столь большое ограниченное борелевское множество et ^ е,
что | N | | X — z Г1 < е при z 6 е — е4. Тогда
M = (N\E(ei)I) ^(K-z)~1E(dz) + N j (X-z^E(dz).
Так как W коммутирует с проекторами семейства ?, то в силу
теоремы 11
Mn^=(N\E(ei)l)n J (K-z)-nE(dz) + Nn j (X-z)-nE(dz),
e\
Поскольку N | E (e{) Ж квазинильпотентен, то, согласно теореме 11 (с),
l/n
. ^ — z\~1<e.
Так как е — произвольное число, то М квазинильпотентен. Положим
оо
п=0 е
По теореме 11 (с) оператор R ограничен. Взяв вектор х из
(Т \Е (е) Ж), • используя теорему 11 и тот факт, что N комму-
22*
340 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
тирует со всеми проекторами Е{е), получаем
R(XI-S-N)x =
-2 ^"J {^-z)~nE(dz)x—2 Nn+1^(K-z)-n
n—0 e n=0 в
Заметим, что SN ^ NS, ибо если существует предел
lim \ zE(dz)x, то предел
zE(dz)Nx = limN zE(dz)x
с
lim
\z\in
также существует и равен N lim \ zE(dz)x.
Отсюда следует, что если х?® (Т \ Е (е) Ж), то
и
lim (XI — S-N) у. Nn [ (X-z)'^1!
n=0
= lim 2^" f (^—z)"n?(rfz)x-2 ^n+1 \ (Ь—г)-п-*Е(dz)x=
n=0 e n=0
Так как М квазинильпотентен иХ1 — Т замкнут, то Rx лежит в
®(Г) и (KI — S~N)Rx = x. Отсюда вытекает, что R\E(e)% =
= (Х1 — Т\Е (е) Ж), так что А,$ а(Т\ Е(е) 1). Итак, о(Т\Е(е) Ж) <=
ее, ч. т.д.
В частном случае, когда оператор N из теоремы 28 квазиниль-
квазинильпотентен, теорему 9(v) можно значительно усилить:
—> 29. Теорема. Пусть оператор Т имеет вид Т = S + N,
где S — оператор скалярного типа и N — ограниченный квази-
нильпотентный оператор, коммутирующий с S. Пусть Е — разло-
разложение единицы оператора Т, и пусть функция!аналитична и огра-
ограничена в области, содержащей все такие точки, расстояние
которых до спектра оператора Т меньше фиксированного положи-
положительного числа. Тогда f (T) — ограниченный спектральный опера-
оператор и
со
/G)= 2 4f J f™(VE(dl),
п=0 а (Г)
причем члены ряда являются ограниченными операторами, а ряд
сходится в равномерной операторной топологии.
2. Неограниченные спектральные операторы
Доказательство. Пусть U — область, на которой / аналитич-
на и ограничена и которая содержит все комплексные числа,
отстоящие от спектра а (Т) меньше, чем на положительное число d.
Пусть I / (г) I ^ М для точек z из U. Если z — точка из а (Г), то
с
где С—окружность радиуса d/2 с центром в точке г, так что
Отсюда по теореме 11
l(nl) j f
а (Г)
оде /C=sup|Z:(e)|. Так как Af квазинильпотентен, то ряд
п=0 а (Г)
равномерно сходится к ограниченному оператору R. Пусть {ет} —
возрастающая последовательность компактных подмножеств из U
и \}em=U. Тогда Т\Е(ет) % = S \ E(em) %+N\ E(em)t. Ясно, что
S\E{em)T?= j IF(dX),
где F(e) = E(e) \Е(ет)Ж. Таким образом, по теореме XV.5.1
СХ)
f(T\E (ет) Ж)х= 2 (N]E{^I)n j Г (Я) F(dk)x=
0
п=0
п=0 ещ
для всех х из Е(ет)Т?. Так как, согласно следствию 4, N ком-
коммутирует с ?(а), то мы получаем отсюда
со
f{T\E{emIL)E{em)x=E{em)y21 ^ \ fim {X) Е (dk) х=
п=0 а (Г)
= E{em)Rx, х?Ж, т>\.
Согласно определению 8, f (Т) определен для всех х из X и / (Т) =
= /?, ч. т. д..
342 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
В заключение этого параграфа мы рассмотрим условия, при
которых замкнутый оператор с вполне несвязным спектром является
спектральным. Эти условия существенно используются в следующей
главе.
30. Определение. Пусть Т — замкнутый оператор и а — ком-
компактное подмножество из а G), открытое и замкнутое в инду-
индуцированной топологии множества о (Т). Тогда а называется ком-
компактным спектральным множеством оператора Т. Пусть /а —
функция, равная 1 в окрестности множества а и равная 0 в окрестно-
окрестности множества о (Т) — а. Тогда /а аналитична в окрестности а (Т)
и в окрестности бесконечности, так что определен ограниченный
оператор fa (Т) (см. VII.9.3). Мы будем писать fG (Т) = Е (а; Т),
а также fG (Т) = Е (о), если ясно, о каком операторе идет речь.
31. Лемма. Оператор Е(о), построенный в определении 30,
является проектором. Далее, Е@) = О, ?(ai) ? () (
и E(oi U а2) = -Е (а4) V Е(о2). Наконец,
где С — объединение конечного семейства замкнутых жордановых
кривых, ориентированных положительно в смысле теории функций
комплексного переменного, причем область, ограниченная семейством
кривых С, содержит все точки множества о и не содержит ни одной
точки из о (Т) — а.
Доказательство. Первые три утверждения теоремы сразу вы-
вытекают из функционального исчисления, построенного в теореме
VI 1.9.5. Из теоремы VI 1.9.4, применяя обозначения из определе-
определения 30, получаем
где Су — конечное семейство замкнутых жордановых кривых, ори-
ориентированных положительно в смысле теории функций комплексно-
комплексного переменного, причем область Di9 ограниченная семейством Сь
содержит a (T) и окрестность бесконечности. Указанное в лемме
семейство С ограничивает область D, содержащую множество a
и не содержащую точек из a (T) — а. Очевидно, можно найти такое
конечное семейство кривых С2, что область D2, ограниченная
семейством С2, содержит а (Т) — а и окрестность бесконечности
и множество С2 U D2 не имеет общих точек с С [} D. Мы можем
считать, не ограничивая общности, что!^ = D []D2 и СА = С [) С2.
Так как fa (?) = 0 при С 6 С2 [) D2 и fa (?) = 1 при ? 6 С U D,
2. Неограниченные спектральные операторы
то из [*] немедленно следует равенство
-» 32. Теорема. Пусть Т — оператор в слабо полном В-простран-
стве 3?. Предположим, что а (Г) вполне несвязен. Тогда Т является
спектральным оператором в том и только в том случае, если
(a) семейство проекторов Е (а; 71), соответствующих компакт-
компактным спектральным множествам оператора Т, равномерно ограни-
ограничено и
(b) ни один ненулевой вектор х из Ж не удовлетворяет равенству
? (а) х = 0 для каждого компактного спектрального множества о
оператора Т.
Доказательство. Пусть выполнены условия (а) и (Ь). Так
как а (Т) вполне несвязен, то существует комплексное число
k $ о (Т)- Мы не потеряем в общности, если будем считать, что
X = 0. Пусть R = Г. Тогда по теореме VII.9.5 a (R) = {z I z'1 ?
? а G1)} U {0}. Поскольку а (Г) вполне несвязен, каждая точка X
из о (Т) содержится в сколь угодно малом компактном подмноже-
подмножестве а из а (Т), открытом в индуцированной топологии множества
о (Т). Отсюда следует, что множество т (a) ={z | г~г ? а} есть ком-
компактное подмножество из а(/?), открытое в индуцированной тополо-
топологии множества a (R). Таким образом, любая отличная от нуля точка
из o(R) содержится в скоЛь угодно малом компактном подмножестве
множества а (/?), открытом в индуцированной топологии множе-
множества a (R).
Пусть U — некоторая окрестность нуля в a (R). Тогда, как мы
заметили выше, каждая точка р из a (R) — U содержится в откры-
открытом и замкнутом подмножестве ор из а (/?), не содержащем нуля.
Множество a (R) — U можно покрыть конечным числом таких
множеств вр , . . ., Орп\ тогда множество
рп\
является открытым и замкнутым подмножеством, содержащим нуль
и лежащим в U. Итак, каждая точка множества а (/?), включая
нуль, содержится в произвольно малом компактном множестве,
открытом в o(R). Таким образом, о (R) вполне несвязно.
Из определения VII.9.3 следует, что ? (а; Т) = Е (т (а); R)
для любого компактного спектрального множества а оператора Т.
Более того, ясно, что если а пробегает семейство К всех компактных
открытых подмножеств из сгG), то т (а) пробегает семейство всех
компактных открытых подмножеств из а (/?), не содержащих нуля.
Мы утверждаем теперь, что семейство норм | Е (ov, R) |, где о^ про-
пробегает все компактные открытые подмножества из а (/?), равномерно
ограничено. Это следует из следующих фактов: A) семейство
344 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
| Е (а; Т) \ равномерно ограничено по всем а из К\ B) каждое ком-
компактное открытое подмножество at из a (R) является либо компакт-
компактным открытым подмножеством, не содержащим нуля, либо дополне-
дополнением к такому множеству; C) Е (о (R) — а4; R) = / — Е (а4; R)
(см. VII.ЗЛО). Таким образом, в силу теоремы XVI.5.2, R — спект-
спектральный оператор.
Отметим теперь, что если Т — спектральный оператор с вполне
несвязным спектром а G), то, применяя следствие 23, мы можем
провести предыдущие рассуждения в обратном порядке и заключить,
что выполняется условие (а).
Продолжим прерванное доказательство. Пусть Ei — разложение
единицы оператора R. Согласно условию (Ь), если для вектора х
выполняется равенство Е (т; R) х = Е (т (a); R) х = Е (а; Т) х =
= 0 для любого компактного открытого множества т из o(R)\ то
х = 0. Так как спектр a (R) вполне несвязен, а разложение ?4
счетно аддитивно, мы получаем равенство Ех ({0}) = 0. Согласно
следствию 23, Т — спектральный оператор.
Обратно, если Т — спектральный оператор, то из следствия 23
вытекает, что Ei ({0}) = 0. Проводя предыдущие рассуждения
в обратном порядке, получаем, что выполнено условие (Ь), ч. т. д.
-* 33. Следствие. Пусть Т — оператор в слабо полном В-про-
странстве Ж. Предположим, что о (Т) есть счетное множество
точек {Хг} и | Хг | -> оо при i —>¦ оо. Тогда Т спектрален в том
и только в том случае, если
(a) множество всех конечных сумм проекторов Е (Xt; Г), соот-
соответствующих точкам %г из о(Т)> равномерно ограничено',
(b) ни один ненулевой вектор х из X не удовлетворяет условиям
Е (%i) х = 0 для всех i ^ 1.
Доказательство. Ясно, что при наших предположениях отно-
относительно а (Т) компактными спектральными множествами опе-
оператора Т будут в точности конечные подмножества множества {Хг}.
А теперь следствие сразу же вытекает из теоремы 32 и леммы 31,
ч. т. д.
Следующая теорема является обобщением теоремы XVI.5.19
на случай неограниченных операторов. Она окажется полезной
при изучении применений общей спектральной теории в гл. XX.
—> 34. Теорема. Пусть S — замкнутый неограниченный опе-
оператор в рефлексивном пространстве 36, спектр которого о (S)
представляет собой объединение конечного множества точек
{kiy . . ., Хп} и не пересекающегося с ним подмножества простой
жордановой кривой С. Предположим, что кривая С взаимно однознач-
однозначно параметризована гладкой функцией z (/), определенной при —оо <
< t < оо, причем z'{t) стремится к пределу а при t ->¦ ± оо. Тогда С
делит комплексную сферу на две области R^ и R2> причем С обхо-
2. Неограниченные спектральные операторы 345
дит Ri (соответственно R2) в положительном (соответственна
отрицательном) направлении в смысле теории функций комплексного
переменного. В дальнейшем, рассматривая некоторую окрестность
кривой С, мы будем говорить, что точки из пересечения этой окрест-
окрестности с Ri лежат слева от С, а точки из пересечения упомянутой
окрестности с R2 — справа от С. Допустим, что существуют такие
плотные линейные многообразия 20 и 2% в пространствах Ж и ЭЕ*
соответственно и такая «особая» точка v0 из а (S), что
(\) для любых х0 из Жо и х* из Э?* величина \К — vo|x
x\x*R(h; S)xo\ ограничена постоянной К(х%, х0) на открытом
множестве, содержащем окрестность кривой С, а также все
точки некоторой окрестности точки Х=оо, не лежащие на С;
(и) для любых х0 из Жо и х* из Ж* функция x*R(k', S)x0 имеет
предельные значения R+(%, х*, х0) и R~ (X, х*, х0) для почти всех
точек \ на С, когда точка приближается по некасательному
пути к А,, оставаясь справа (соответственно слет) от С;
(ш) существует такая постоянная М, зависящая только от S7
что
j R+(K xl Xo)-R-(K xt, xo)\ds<M\x*\\xo\,
•^o € 3?o? x* G 3?*,
где s — длина дуги вдоль С.
Тогда S — спектральный оператор. Для любого ограниченного
борелевского множества е ^ а, не содержащего особой точки vOr
спектральный проектор Е (е) задается формулой
о = -±т j {R+(K <, Xo)-R-(X, x*9 xo)}dk.
е
Доказательство. Наметим общую идею доказательства. Сна-
Сначала мы покажем, что наличие конечного точечного спектра
не приводит к существенному усложнению, так что, не теряя
в общности, можно считать, что п = 0, т. е. спектр оператора 5
целиком лежит на С. Считая, что 5 обратим (это допущение не
ограничивает общности), рассматриваем ограниченный оператор
Т = S. Применяя к нему соображения, использованные в дока-
доказательстве теоремы XVI.5.19, устанавливаем, что Т — спектраль-
спектральный оператор. Отсюда и будет получена формула для спектраль-
спектрального разложения 5.
Перейдем к подробному доказательству. Прежде всего мы будем
считать, что 5 имеет ограниченный обратный Т = S; это не огра-
ограничивает общности, ибо в противном случае мы можем перейти от S
к оператору 5 + z/, выбрав подходящее г.
Пусть / — аналитическая функция, равная 1 в окрестности
множества {?ц, . . ., Хп} и нулю — в окрестности множества сг
и в окрестности бесконечности. Применяя операционное исчисление,
346 Г л, XVIII. Неограниченные спектральные операторы
построенное в § VI 1.9 (см., в частности, теорему VI 1.9.5), определим
оператор E = f(S). Согласно теореме VI 1.9.5, Е есть проектор; в си-
силу теоремы VI 1.9.8, Е отображает Ж = ®(Т) в ® E) и ESx = SEx
для всех х из Ж. Отсюда, полагая ЭЁ± = ?Э?, ЭЕ2 = (/ — Щ ЭЕ, мы
получаем, что операторы St = S | lt (] © G), i = 1, 2, замкну-
замкнуты, а их резольвенты удовлетворяют равенствам R (k\ St) =
= /? (A,; S) \ Жг, i = I, 2. Оператор S4 определен всюду и, следо-
следовательно, ограничен. Используя теоремы VII.9.5 и VII.9.8, читатель
•без труда проверит, что о (S^ = {Х1у • • •» kn} и а E2) = ст. Из
определения VII.3.17 (см. также абзац перед этим определением),
теоремы VI 1.3.19 и определений XV.2.2 и XV.2.5 следует, что Si —
спектральный оператор, так что 5т1 — спектральный оператор.
В дальнейшем мы покажем, что S21 тоже является спектральным
оператором. Тогда из теоремы XV.3.10 сразу же вытекает, что
оператор 5, являющийся прямой суммой 5т1 и S21, также спе-
спектральный. Применяя затем следствие 2.23, получим, что 5 — спе-
спектральный оператор.
Полагая T = S~1, получаем ограниченный оператор Т в про-
пространстве §) = ЭЕ2- Пусть §)* — множество сужений на §) всех функ-
функционалов из Ж* и §?о = (^ — ^) Э?о • Ясно, что §)* плотно в |Р* и %
плотно в §). Так как R(k; S2) является сужением R(X; S) на
пространство §), то из предположений нашей теоремы сразу же
вытекают следующие утверждения:
(Г) Если уо?% и #*еЗ>0, т0 функция | X — v011 y%R (A,; S2) уо\
ограничена некоторой постоянной К (у*, у0) на открытом множе-
множестве, содержащем окрестность кривой С и все точки некоторой
окрестности бесконечности, не лежащие на С.
(п') Для любых у0 из % и yl из §)* функция ?/J7? (Я; 52) у0
имеет предельные значения R+(X, у*, у0) и R~(%, у*, у0) для почти
всех точек А,?С, когда точка X приближается к А, по некасатель-
некасательному пути к С, оставаясь слева (соответственно справа) от С.
(ИГ) Существует такая постоянная М, зависящая только от 5,
что
\R+(K til, yo)-R'(K yt, y)\ds<M\y*o\\yol yo?$o,yZ?9t,
где s — длина дуги вдоль С.
Заметим, что а (Т) лежит на гладкой жордановой кривой Го =
= {Л,1 Л, ^ С} U {0} (см. теорему VII.9.5 и формулу [*] из доказа-
доказательства леммы VI 1.9.2) и
A) № Г) = Л^/?(Л-1; S2) + X-4.
Мы можем поэтому переформулировать указанные выше свойства
(\') — (п?) в форме, удобной для непосредственного применения
к оператору Т:
2. Неограниченные спектральные операторы
(Г) Если уо?% и г/*6#о*, то | b-v11 Х\*\ y*Q R(X; T)уо\ огра-
вичена некоторой постоянной К{у*0, Уо) на открытом множестве,
содержащем спектр о{Т) оператора Т.
(И") Для любых у0 из % и yl из S>* функция z/0*i? (Я; Т)у0
имеет предельные значения /?+(Я, #*> */о) и /?7(Л, #*> Уо) Д™ почти
всех точек X из Го, когда X, приближается к X по некасательному
пути к Го, оставаясь слева (соответственно справа) от Го.
(ш';) Существует такая постоянная М, зависящая только от S,
что
J
о(Т)
где s —длина дуги кривой Го.
Для доказательства утверждения (iii") заметим, что в силу
равенства A)
<2) я* (К yt, yo)-R7(K уЬ Уо) =
а элемент дуги dt на кривой С в точке \i и элемент дуги ds на кривой
Го в соответствующей точке X = (л связаны соотношением ds =
= | X |2 dt, так что (iii") следует из (iii')-
Если / — однозначная функция, аналитическая в окрестности
Го, то
где Г6 есть замкнутая жорданова кривая или пара замкнутых
жордановых кривых, проходящих на расстоянии б от Го. Если /
имеет нуль по меньшей мере второго порядка в точке X = 0 и нуль
по меньшей мере первого порядка в точке vo1, то в силу условий
([") и (И") мы можем положить б -> 0 и получить
Когда точка X g Го лежит в резольвентном множестве оператора Г,
подынтегральное выражение равно нулю и последнее равенство
можно переписать так:
C) У*о!(Т)Уо = ^-- j f(b){R+(K УХ, yo)-R~(X, y*0, yo)}dX,
G(T)
) ?3
если / имеет в точке X = 0 нуль по меньшей мере второго порядка,
а в точке X = v.нуль по меньшей мере первого порядка. Из уело-
348 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
вия (iii") видно, что для любой ограниченной борелевской функ-
функции /, определенной на о(Т), правая часть равенства C) опреде-
определяет непрерывную билинейную форму (/, у*, у0), где #о?Р<ь yt ?P*»
Так как $0 и jp* плотны в $ и $* соответственно, то эта форма
однозначно продолжается до ограниченной билинейной формы, опре-
определенной для всех #?§) и #*?$*. Поскольку пространство $
рефлексивно, существует единственный оператор Т(/), такой, что
D)
а (Г)
Отображение f-+T(f) есть гомоморфизм алгебры аналитических
функций, имеющих нуль по меньшей мере второго порядка в точке
X = О и по меньшей мере первого порядка в точке X = vo1, в алгебру
ограниченных операторов пространства 2). Но так как любая непре-
непрерывная функция на Го, обращающаяся в нуль в точках X = О
и X = vo1, является пределом таких аналитических функций
в смысле равномерной сходимости на Го, то указанное отображение
является гомоморфизмом алгебры всех непрерывных на Го функцийг
обращающихся в нуль в точках X = О и X = vo1. Покажем, что
отображение / ->- Т (/) является также гомоморфизмом алгебры всех
ограниченных борелевских функций в алгебру ограниченных опе-
операторов пространства §). Если зафиксировать непрерывную функ-
функцию g, обращающуюся в нуль в точках 0 и vo1, то множество всех
борелевских функций /, для которых
E) T(fg) = T(f)T (g),
содержит все непрерывные функции, обращающиеся в нуль в точках
О и vo1. Из D) видно, что если равенство E) выполнено для каждой
функции из равномерно ограниченной последовательности борелев-
борелевских функций {fn} и
/ = lim fn
на множестве Го, то равенство E) выполняется также для функции /.
Отсюда следует, что равенство E) выполнено для любой ограничен-
ограниченной борелевской функции g, обращающейся в нуль в точках 0 и vq1.
Повторяя это рассуждение, получим, что соотношение E) выпол-
выполняется для любой пары ограниченных борелевских функций /, g,
обращающихся в нуль при X = 0 и X = vb. Но так как для функ-
функции /, равной нулю всюду, кроме, быть может, точек 0 и vo1, спра-
справедливо равенство Т (/) = 0, то равенство E) доказано для любой
пары ограниченных борелевских функций / и g.
Отсюда следует, что оператор Ео = Т A) есть проектор, удовлет-
удовлетворяющий условию Г2 (Т — vo1/) Т A) = Т (g) Т A) = Т (g) =
= Т2 (Т — vo1/), где в качестве g мы взяли функцию
2. Неограниченные спектральные операторы 349
а (X) = А,2 (А, — vo1). Следовательно, если Е = I — Ео, то
j-2 гр vo1/) Е = О, а поскольку оператор Т = S^ обратим,
/*р vo1/) E = 0. Для любой ограниченной борелевской функции /
положим f(fl = 74fl+/(Vi>1)?. Тогда T(f)E = T(f)(I-T(l)) =
= Т (f) — Т (f) = 0, /-> Г (/) есть снова гомоморфизм алгебры
всех ограниченных борелевских функций и Г A) = /.
Если (Т — vo1) у = 0, то /? (X; Г) # аналитична при К Ф vo1,
и из D) видно, что Т (f) у = 0 для всех ограниченных борелевских
функций /. Отсюда Еоу = 0, Еу = у. Поэтому, взяв функцию h (%)=
s= А», мы получаем в силу C) и D), что
Г2 (Т - V/) Т (А) = Г (g) 71 (А) = Г (gA) = ТЦТ- v/),
а поскольку Г —обратимый оператор, мы приходим к равенству
—v-1)(T(A)-T) = 0, т. e. E0(T(h)-T) = 0. Кроме того,
(Г^+1^ — Л = 0. Таким образом,
так что T(h) = T. Отсюда следует, что если функция / анали-
аналитична на ст(Г), имеет нуль второго порядка в точке 1 = 0 и мы
положим /i (X) = (Х — v) / (X), то
Поэтому Ео (f (Т) — Т (/)) = 0. Так как Е (f (Ty—f (vo1) E) = 0,
то отсюда следует равенство / (Т) = Т (/), если / аналитична на
<т (Г) и имеет нуль второго порядка в точке % = 0. Из всего сказан-
сказанного следует, что f (Т) = Т (f) = Т (/) + / (v^1) E для любой функ-
функции /, аналитической на спектре оператора Т. Рассуждая точно
так же, как в конце доказательства теоремы XVI.5.19, мы можем
заключить, что Т — оператор скалярного типа и его разложение
единицы определяется формулой
#*, уо)-^(Х9 */*, yo)}dK
если е — борелевское множество, содержащее точку v, и форму-
формулой
= ^- J {Rt(K yt, yo)-RKK ti,
если е не содержит точки v. Производя замену переменной
по формуле jjt^i и применяя тождество B), можно переписать
350 Гл. XVIII. Неограниченные спектрагьные операторы
предыдущую формулу в виде
если только v^. Из теоремы 21 следует, что спектральное
разложение оператора S2 = T~1 задается формулой
у*Е(е)уо =
если v0 $ е. Отсюда, применяя теорему XV.3.10, мы получаем тре-
требуемое утверждение теоремы, ч. т. д.
-> 35. Следствие. Если выполнены предположения предыдущей
теоремы, то каждая точка % ? о, за возможным исключением точ-
точки v0, принадлежит непрерывному спектру спектрального опера-
оператора S. Точка v0 принадлежит точечному спектру оператора S,
если она является собственным значением 5, и непрерывному спектру
оператора S в противном случае.
Доказательство. Из леммы 19 следует, что если X 6 а
и б — замкнутая окрестность точки % в комплексной плоскости Р,
то Е (Р — б) ЭЕ содержится в области значений оператора 5 — XI.
Следовательно, Е (Р —{к}) Ж = (/ — Е ({X})) Ж содержится в за-
замыкании области значений оператора 5 — XI. Поэтому, если
Е ({X}) = 0, то замыкание области значений оператора S — XI
плотно в Ж. Кроме того, так как из равенства E — XI) х = 0 выте-
вытекает равенство Е (Р — б) х = 0 для любой замкнутой окрестности 6
точки X, то Е ({X}) х = х. Следовательно, если Е ({X}) = 0, то X
не может принадлежать ни точечному, ни остаточному спектру
оператора 5. Применяя формулу для спектрального разложения
оператора 5, полученную в теореме, мы получаем, что Е ({X}) = 0,
если X Ф v0, X ? а. Итак, любая точка Х?о, X Ф v0, принадлежит
непрерывному спектру оператора 5.
Мы отметили в ходе доказательства предыдущей теоремы, что S
является прямой суммой двух операторов Si и 52, причем a EJ
отделен от v0 и 52 спектрален. Отсюда следует, что v0 принадлежит
точечному (соответственно остаточному или непрерывному) спектру
оператора 5 в том и только в том случае, если она принадлежит
точечному (соответственно остаточному или непрерывному) спектру
52. Поскольку 52 — спектральный оператор скалярного типа, то
E2 — v0/) E2 ({v0}) = 0, где Е2 (•) — спектральное разложение
оператора 52. Отсюда следует, что если v0 не принадлежит точечно-
точечному спектру 52, то Е2 ({v0}) = 0, откуда вытекает, как и выше,
что v0 принадлежит непрерывному спектру 52. Этим доказано
последнее утверждение следствия, ч. т. д.
3. Теория кратности и спектральное представление 35?
3. Теория кратности и спектральное представление
Методы и результаты этого параграфа принадлежат Бейду
и тесно связаны с идеями, изложенными в § XVI 1.3. Мы построим
теорию кратности для булевых алгебр проекторов в В-пространстве
36 и применим ее для доказательства того, что при некоторых допол-
дополнительных предположениях оператор скалярного типа S в 3?
подобен нормальному оператору V в некотором гильбертовом про-
пространстве %,т. е. S = А~гУА9 где оператор А: Ж -> Sq и его обрат-
обратный замкнуты и имеют плотную область определения.
1. Определение. Пусть В— полная булева алгебра про-
проекторов в вещественном либо комплексном В-пространстве ЭЕ.
Функция ту определенная на В и принимающая значения в множе-
множестве всех кардинальных чисел, называется функцией кратности
булевой алгебры В, если
(i) m@) = 0,
(ii) m(\/Ea) = \/m(Ea), {Еа}<=В.
а а
Число т (Е) называется кратностью проектора Е. Говорят, что
проектор Е ? В имеет однородную кратность п, если т (F) = п
для всех F ? В, удовлетворяющих условию О Ф F ^ ?.
Идеалом булевой алгебры проекторов В называется подмноже-
подмножество D а В, удовлетворяющее следующим условиям: а) если Е ? D,
FeD, то Е V F?D\ b) если EeDy G< ?, то G?D. Идеал D назы-
называется плотным, если любой элемент из В является объединением
элементов из D. Идеал D, содержащий объединение любого
счетного числа проекторов из D, называется а-идеалом.
2. Лемма. Пусть D — плотный идеал в В и т — функция
на D со значениями в множестве всех кардинальных чисел, причем
т @) = 0, т (\JЕа) = V т (?а) для любого семейства {Еа} ^ Dr
а а
удовлетворяющего условию \/ Еа ? D. Тогда т однозначно продол-
жается до функции кратности, определенной на В.
Доказательство. Для любого Е^В положим т(Е) = \Jт(Ва)г
а
где {Ва} — любое семейство из D, удовлетворяющее равен-
равенству V Ва~Е. Если {Ср} — другое семейство проекторов из D,
удовлетворяющее условию Е=\/С$, то для любых а, р имеем
Ba = \/BaCfi и Ср = \/ДА. Отсюда
V m (Ва) = V m (V ВаСр) = V m (ВаСр) =
а а р а, Э
352 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
а потому построенное продолжение т на В определено корректно.
Покажем, что это продолжение является функцией кратности.
Пусть Е0?В, Ео = \/ Еу, ЕУ?В. Для любого у имеем Еу = \/ Gv6,
V V
где Gyb?D. Поэтому
т (Ео) = V т (Gve) =\J\/m (Gy6) = \Jm (Ey).
V, б V б V
Однозначность продолжения сразу же следует из дистрибутив-
дистрибутивности, ч. т. д.
3. Теорема. Пусть т — функция кратности полной булевой
алгебры В проекторов в В-пространстве X. Тогда существует
одно и только одно семейство {Еп\ попарно дизъюнктных элемен-
элементов из 5, определенных для всех кардинальных чисел /г^т(/),
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) 1 = \/Еп;
(и) если Еп Ф О, то Еп имеет однородную кратность, равную п.
Доказательство. Сначала покажем, что для каждого
ненулевого Е 6 В найдется такой ненулевой элемент G 6 В, что
G ^ Е и G обладает некоторой однородной кратностью. Пусть
п0 = min{m (F) | О Ф F ^ Е}. Так как кардинальные числа впол-
вполне упорядочены, то существует такой проектор G < Е, что т (G) =
= п0. Ясно, что G имеет однородную кратность п0. Применяя лемму
Цорна, мы получаем максимальное семейство % попарно дизъюнкт-
дизъюнктных элементов из 5, каждый из которых обладает однородной крат-
кратностью. Для каждого кардинального числа п обозначим через Еп
верхнюю грань множества всех F 6 %, для которых т (F) = п.
Если О Ф G ^ ЕП9 то G есть объединение дизъюнктных элементов
из В, имеющих кратность п. Следовательно, Еп имеет однородную
кратность п. Наконец, предположим, что / = \/ Рп,гд?рп попарно
дизъюнктны и удовлетворяют условию (п). Пусть Ek Ф 0. Так как
Ek = VEkFni то каждый элемент EkFn либо равен нулю, либо имеет
однородную кратность k. Отсюда EkFn = 0 при пф k. Следователь-
Следовательно, РкФ 0 и Ek^ Fk. Точно так же, если Fk Ф 0, то Ek Ф 0
и Fk ^ Ek. Итак, Ek = Fk для всех k, и мы доказали единствен-
единственность, ч. т. д.
Для того чтобы естественным образом приписать данной булевой
алгебре В проекторов функцию кратности, нам понадобятся неко-
некоторые понятия, вводимые в следующем определении.
4. Определение. Для любого х 6 Ж проектор Д {Е \ Ех = х}
мы будем называть проектором-носителем элемента х. (Заме-
(Заметим, что если G — проектор-носитель элемента х и 0 Ф
Ф F < G, то Fx ф 0.); Подпространство Ш (х) = sp{Ex \ E 6 В}
3. Теория кратности и спектральное представление 353
называется циклическим подпространством, порожденным элемен-
элементом х. Мы будем говорить, что проектор Е ?В удовлетворяет условию
счетности цепей, если любое семейство попарно дизъюнктных про-
проекторов из 5, ограниченных проектором Е, не более чем счетно.
Множество всех Е 6 В, удовлетворяющих этому условию, обозна-
обозначим через %.
Мы покажем, что % является плотным о-идеалом в В\ отсюда,
применяя лемму 2, получаем, что для построения функции кратно-
кратности для В достаточно рассмотреть %.
5. Лемма. Множество % является плотным о-идеалом в В.
Элементами множества % являются те и только те проекторы,
которые служат проекторами-носителями векторов из 36.
Доказательство. Сначала докажем чисто алгебраический
факт, что % есть а-идеал. Ясно, что ^ — идеал. Допустим, что
оо
р == \J Fn, где Fn^%\ пусть F представлен в виде объединения
71=1
семейства {Еу \ у 6 Г} попарно дизъюнктных проекторов из В.
Тогда для каждого фиксированного п среди проекторов FnEy>
у ? Г, имеется не более чем счетное множество ненулевых проекто-
проекторов. Отсюда следует, что множество {у \ EyFn Ф О для некоторого п}
также не более чем счетно. Но это множество совпадает с множе-
оо
ством тех у, для которых Еу Ф 0, ибо Еу = V EyFn для каждо-
п=1
го у. Отсюда следует, что % есть а-идеал.
Пусть теперь Е — проектор-носитель вектора х. Допустим,
что Е есть объединение семейства {?а}, а 6 А, попарно дизъюнкт-
дизъюнктных элементов из В. Согласно лемме XVII.3.4, Мт^] Еах = х,
где а пробегает все конечные подмножества из А, упорядоченные
по включению. Для любого 8 > 0 найдется такой элемент а, что
I л: — 2 Еах I < sM, так что для элемента f5 (J а имеем | Е$х I =
а
= | Е$ (х — 2 ?«*) I < 8- Но тогда среди векторов Еах, а^Л,
а
существует не более чем счетное множество ненулевых. Так как
Еа ^ Еу то из равенства Еах = 0 следует, что Еа = 0 (см. опре-
определение 4). Итак, среди проекторов {?а}, а^Л, имеется не более
счетного числа ненулевых. Тем самым проектор-носитель любого
вектора лежит в %.
Теперь покажем, что % — плотный идеал. Если Е ^ В, то,
очевидно, Е мажорирует проектор-носитель любого вектора из
области значений Е. По лемме Цорна существует максимальное
семейство попарно дизъюнктных проекторов-носителей Еу, мажо-
мажорируемых проектором Е. Тогда Е = V Еу; действительно, если бы
23 н. Данфорд и Дж. Шварц
354 Гл. XVIIL Неограниченные спектральные операторы
проектор Е — V Ev был ненулевым, то он мажорировал бы неко-
v
торый проектор-носитель, а это противоречит максимальности
семейства {Еу}. Кроме того, как показано выше, каждый Еу лежит
в %, Итак, % — плотный идеал.
Покажем, наконец, что любой Е 6 % является проектором-
носителем некоторого вектора. Так как Е 6 %^ то мы можем пред-
представить Е в виде объединения последовательности попарно дизъюнкт-
дизъюнктных проекторов Еп, каждый из которых является проектором-
оо
носителем вектора хп с нормой | хп | ^ 1. Положим х0 = 2 2~пхп.
п=1
Ясно, что Ех0 = х0. Покажем, что Е является проектором-носителем
вектора х0. Пусть F 6 В и Fx0 = х0. Тогда для любого п
2~пхп = Епх0 = EnFx0 = FEnx0 = 2-nFxn.
Следовательно, Fxn = хп, п = 1, 2, . . ., откуда F ^ ЕПу п =
= 1,2,.... Таким образом, F ^ Е, ч. т. д.
6. Определение. Для любого проектора Е из % определим его
кратность т(Е) как наименьшую мощность множества векторов,
удовлетворяющих условию
7. Лемма. Если E,F^% и F-^E, то m(F)*Cm(E). Если
{?a}c=<g и Ео^Х/Еае^, то т(Е0) = \/т(Еа).
а
Доказательство. Первое утверждение очевидно, ибо из
равенства Еде = sp{5Jt (х) \ х 6 А} вытекает равенство F (Ж) =
= 1р {Ш (Fx) \ х ? А}. Отсюда же вытекает, что V т (Еа) ^
a
^ m (Eo)\ нам следует показать, что здесь имеет место знак равен-
равенства. Заметим сначала, что существует такая последовательность
{Gk} попарно дизъюнктных элементов из %, что любой элемент Gk
оо
мажорируется некоторым Еаи и Ео = V Gh- Действительно, рас-
рассмотрим семейства попарно дизъюнктных проекторов из В, каждый
член которых мажорируется некоторым проектором Еа, и упорядо-
упорядочим эти семейства по включению. По лемме Цорна среди таких
семейств существует максимальное, которое является счетным,
ибо Ео 6 ^. Ясно, что объединением проекторов этого максималь-
максимального семейства является Ео. Положим п0 = \/ т{Еа). Найдутся
такие векторы л*, ? = 1, 2, . . . (некоторые из них могут быть
нулевыми), что |xj|<l, Gkx* = х\ и
Для любого кардинального числа /г</г0 положим уп= 2
3. Теория кратности и спектральное представление 35?
Тогда Ghyn = 2~hXn и
?o3e = ip{G*X|ft=l, 2, ...} =
Таким образом, m(?0)<^о- Следовательно, m(Ео) =^\Jm (?а),
ч. т. д.
^» 8. Теорема. Пусть В — полная булева алгебра проекторов
в 36. Тогда существует одна и только одна функция кратности т,
определенная на В и обладающая следующим свойством: для любого Е
из Ву удовлетворяющего условию счетности цепей, т (Е) есть
наименьшая из мощностей множеств циклических подпространству
линейная оболочка которых плотна в области значений Е. Существу-
Существует единственное разложение единицы I = \f Еп на попарно дизъюнк-
дизъюнктные проекторы ЕПу такое, что если Еп Ф О, то Еп имеет одно-
однородную кратность п.
Доказательство. Эта теорема следует непосредственно из пре-
предыдущей теоремы, леммы 2 и теоремы 3, ч. т. д.
Теперь мы изучим структуру циклических подпространств пол-
полной булевой алгебры В проекторов в 5-пространстве Ж. Это иссле-
исследование позволит нам получить спектральное представление для
некоторого класса операторов скалярного типа (ограниченных
и неограниченных).
Сначала напомним (см. лемму XVI 1.3.9), что В есть множество
значений спектральной меры ?, определенной на борелевских мно-
множествах структурного пространства Л, точками которого являются
максимальные идеалы равномерно замкнутой операторной алгебры
SI (В), порожденной семейством В. Алгебра Ш(й) является также
слабо замкнутой алгеброй, порожденной семейством В, ибо, согласно
следствию XVII.3.17, равномерно замкнутая и слабо замкнутая
алгебры, порожденные полной булевой алгеброй проекторов, совпа-
совпадают. Сначала мы предположим, что Ж — гильбертово пространство
и В — полная булева алгебра ортогональных проекторов. Напом-
Напомним, что если / — комплекснозначная борелевская измеримая
функция, то оператор
А
имеет область определения
Циклическое подпространство Ш (х) вектора л; из $ совпадает
с замкнутой линейной оболочкой всех векторов вида S (/) я, где /
23*
356 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
пробегает все такие борелевские измеримые функции, для которых
х 6 ® (S (/)). Точнее (см. лемму XII.3.1), соответствие S (f) x-+f
определяет изометрический изоморфизм между циклическим под-
подпространством Ш (х) и пространством Ь2 (Л, $?, [г), где 98 озна-
означает семейство борелевских подмножеств из Л и [л = B? (•) л, х).
Более того, действие операторов S(g) в Ш(х) переходит при этом
изоморфизме в умножение на функцию g из Ь2 (Л, i?, fx). Если
проектор из В удовлетворяет условию счетности цепей и имеет
кратность /г, то мы можем разложить область его значений в орто-
ортогональную сумму п циклических подпространств и продолжить
упомянутый изоморфизм до изометрического отображения простран-
пространства
2 Ш(хг) на 2^2(Л, 9В, цО, ^ = (?(.)**, хг).
Наша цель — перенести это построение на произвольное банахово
пространство 36. Основная трудность такого обобщения заключает-
заключается в отсутствии ортогонального дополнения в ЭЕ, так что мы должны
искать подходящую замену для меры (Е (•) х, х). Соответствующее
представление области значений проектора Е будет получено только
в случае т (Е) <i oo. При этом условии сходство со случаем гиль-
гильбертова пространства оказывается поразительным.
Прежде всего мы хотим охарактеризовать, как и в случае гиль-
гильбертова пространства, циклические подпространства. Пусть В —
полная булева алгебра проекторов в банаховом пространстве Ж.
Будем рассматривать В как спектральную меру; напомним (т. II,
стр. 43—44), что для любой ограниченной борелевской функции /
интеграл S (f) = \ f (k) E (dX) существует в равномерной опера-
л
торной топологии и соответствие f-+S(f) определяет гомоморфизм
алгебры ограниченных борелевских функций на Л в алгебру огра-
ограниченных операторов пространства 1. Если функция / не ограни-
ограничена, то, согласно теореме XIII.2.10, оператор S (f) определяется
формулами
b ( f(X)E(dX)y существует),
era
где em = {X\\f(X)\<m), и
S(f)y= lira ( f(X)E(dX)y,
В теореме 2.11 было построено операционное исчисление, основан-
основанное на этом определении, для неограниченных операторов S (f),
и в дальнейшем мы будем опираться на эти элементарные результа-
результаты, не упоминая иногда явно саму теорему.
3. Теория кратности и спектральное представление 357
Если х 6 $, то из определения интеграла следует, что Ш (х) э
з{5 (/) х \х 6® (S (/))}. Доказательство того, что в этом включе-
включении имеет место знак равенства, требует некоторой техники. Важ-
Важную роль в доказательстве играет теорема отделимости (теорема 12),
которую мы докажем ниже. Для ее доказательства нам понадобятся
некоторые свойства семейства В*, состоящего из операторов, сопря-
сопряженных к элементам из В. Если Е 6 В, то ?* — проектор в $*,
областью значений которого является Х-замкнутое линейное мно-
многообразие {х* \х* (I — Е) Ж = 0}. Так как Е V F = Е + F —
— EF и Е Л F = EF, то (Е V F)* = ?* V ^* и (Е A F)* =
= ?* A F*. Отсюда Е* ^ F* в том и только в том случае, если
Е ^ F. Следовательно, В*— булева алгебра проекторов, нормы
которых ограничены тем же числом, что и нормы элементов из В.
Вопрос о полноте В* (при условии, что В полна) выясняется в сле-
следующих ниже определении и лемме.
9. Определение. Пусть D — булева алгебра проекторов
в $*, и пусть F?* является Эб-замкнутым для любого F?D.
Тогда D называется Ж-полным (Ж-о-полным), если для любого
подмножества (соответственно последовательности) {Fa} ^ D вы-
выполнены следующие условия:
(а) X* допускает разложение в прямую сумму ЭЕ* = Ж© 5R,
где
здесь и в дальнейшем через lsp{Aa} обозначается наименьшее
Ж-замкнутое линейное многообразие из X*, содержащее все множе-
множества Аа.
(Ь) Определенный этим разложением проектор Fo, тождест-
тождественный на ЯЛ и аннулирующий 31, принадлежит D.
Легко проверить, что из 3?-полноты следует полнота D как
абстрактной булевой алгебры и что определенный выше проек-
проектор Fo совпадает c\JFa. Кроме того,
а
(Л^«)зе*= п ^«зе*, (/—Д^.) зе*=ж sP «/—/'а) ж*>.
а
10. Лемма. Пусть В —полная (о-полная) булева алгебра проек-
проекторов в Ж и В* —булева алгебра операторов, сопряженных в X*
к элементам из В. Тогда В* является полной (Ж-о-полной) в X*.
В частности, многообразия ?*В*, Е*?В*, являются Ж-замкну-
тыми.
Доказательство. Множество ?*Х* = {х* | (/ — ?)*л:* = 0} явля-
является Х-замкнутым как множество нулей сопряженного оператора.
Пусть {Еа} — произвольное множество (последовательность) эле-
358 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
ментов из В и Ео = \/ Еа. Так как можно заменить {Еа} возрас-
возрастающей обобщенной последовательностью ее конечных объедине-
объединений, мы можем считать, что {?"«} — возрастающая обобщенная
последовательность. Согласно лемме XVII.3.4, Eox = Y\mECXix, х?Ж.
а
Следовательно, Е*х* (х) = х*Еох = limx*Eax = \imEZx*x, х?$. От-
Отсюда ?*3?* ^Xsp {??$*}. Но множество Е%Ж* является 36-зам-
кнутым. Поэтому ?l*3?* = 3?sp{?S3?*}. Аналогично доказывается,
что (/• —?•)$• = П (/• — ??) Ж*, ч.т.д.
a
И. Определение. Замкнутое линейное многообразие 501 из ЭЕ
называется инвариантным подпространством, если S(f
для вектора SW®(S(f
—* 12. Теорема. Пусть Ш — замкнутое инвариантное подпро-
подпространство в дс и хо?Ж, причем Ш(хо)[\Ш = (О). Тогда суще-
существует такой функционал х* 6 Ж*, что
1) «(Я») @)
) «() (),
2) x*S(f) Xo> 0, если f — неотрицательная борелевская функ-
функция и S(f)xo=?=O.
Доказательство. Ясно, что мы не ограничим общности, если
предположим, что проектор-носитель элемента х0 есть единич-
единичный оператор /. Следовательно, если 0 Ф Е 6 5, то Ех0 Ф 0 и /
удовлетворяет условию счетности цепей. Удобно, однако, выделить
часть доказательства в следующее предложение:
13. Предложение. Если 0 Ф F 6 В, то существуют такой
проектор G из В и такой ненулевой функционал у* 6 X*, что
(i) G = /\{E\y*Ex = y*x, хШЫ),
(ii) if(SK) = (O) и
(Hi) 0^=G<F.
Доказательство предложения. Выберем элемент г* 6 X* так,
что г*BИ) = @), в то время как г* (Т^о) =^= 0. Пусть 3 =
= {E?B\z*Fx = z*Fx, xem(x0)}. Тогда, если Еи Е2е&ч то
z*EiE2x = z*FE2x = z*E2Fx = z':F2x = z*Fx для любого x6 2tt(jt0),
так что & замкнуто относительно конечных пересечений. Следова-
Следовательно, если члены & упорядочить по включению, то & становится
обобщенной убывающей последовательностью, но тогда по лем-
лемме XVI 1.3.4 она сильно сходится к проектору
G = /\{E\E?S).
Следовательно,
G*z*x = z*Gx - lim z*Ex = z*F x, хеШ (х0),
3. Теория кратности и спектральное представление 359
G*z*y = lim z*Ey = О, уеШ.
Если мы положим y* = G*z*, то очевидно, что Guy* удовлетво-
удовлетворяют условиям (ii) и (Hi). Пусть Н = /\{Е\у*Ех = у*х, х?Ш(х0)}.
Ясно, что G^H. Однако если у*Ех = у*х для всех х?Ш(х0), то
z*GEx = у* Ex = у*х = F*G*z*x =
= G*z*Fx = z*Fx, xe%
откуда GE>G. Итак, G<?, и потому G<#. Следовательно,
G=H, ч. т.д.
Продолжим доказательство теоремы 12. Проектор G*6B* назо-
назовем х0-носителем функционала у*, если выполняется условие (i)
предложения 13. Из него вытекает существование таких се-
семейств попарно дизъюнктных проекторов в Б*, каждый член
которых является х0-носителем некоторого ненулевого функцио-
функционала, обращающегося в нуль на ЗЛ. По лемме Цорна существует
максимальное семейство ??, обладающее таким свойством. Так
как /6^> то семейство jf счетно. Пусть ^={G*}, где Gn— лг0-носи-
тель функционала уп- Ясно, что V G? = /* (в самом деле, в про-
противном случае, применяя предложение 13 к I—\jGn, мы полу-
получили бы противоречие с максимальностью JF). Мы можем считать,
оо оо
что ряд 2 Уп сходится; положим у* = 2 Уп- Мы утверждаем,
п=1 п=1
что /* есть хо-носитель элемента у*. Действительно, если у*Ех =
~ytx, х?Ш(х0), то для каждого п
у*Ех = GZyZEx = y*QEGnx = yZGnx = ytx,
откуда ?"*>G*, n=l, 2, ....
Наконец, из у* мы получим х*. Для этого снова рассмотрим В
как спектральную меру. Пусть v — полная вариация меры у^Е (•) х0.
Тогда существует такая функция g из LA(A, <J&, v), что
Поэтому
откуда следует, что | g (А,) | = 1 для всех точек X, за исключением
некоторого множества v-меры нуль. Будем'считать, что на этом
множестве функция g равна нулю, положим S(g)= \ g(h)E(dk),
60 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
и пусть x; = S(g)*y*. Тогда xj?(.)*o = v(«) и *JBR) =
= У* (S (g) Ж) s г/о (ЯК) = @)- Предположим теперь, что / — огра-
ограниченная неотрицательная борелевская функция и x*S (f) xo =
= [ f(k) х*Е (dk) x0 = 0. Ясно, что
л
ylE (е) х0 = 0, ?б^?> ?^?<ь
где ео = {М/(^)>О}. Тогда у% (Ш(Е (ео)хо)) = (О); следовательно,
у%A — Е(ео))х = у*х, хеШ(хо). Поскольку /* есть х0-носитель эле-
элемента у*, то Е(ео) = О. Таким образом, S(/)jco = O, ч. т.д.
—^14. Следствие. Пусть В — полная булева алгебра проекторов в X
и Xq —вектор из Ж. Тогда существует такой функционал х^ в 36*,
что мера х*Е(-)х0 положительна и мажорирует векторную
меру Е(')х0.
-»15. Теорема. Если х06 Э?, то Ш (jco) = {S (f)xo\xo6® (S(f))}.
Доказательство. Пусть х* выбран так, как указано в след-
следствии 14, и fjL0 = jcJ-E (•) JC6. Если iio(e) = O, то E(d)xo = O для d ^ e
и, таким образом, Ш{Е(е)хо) = (О). Поэтому если хеШ{х0), то
х*Е(е)х = 0. По теореме Радона—Никодима, существует такая
функция fgLi(A, 38s ^o)^ что
х*Е (е) х =
Соответствие T:x-+f определяет линейное отображение Ш (х0)
в Li (Л, 38, \i0). Оно является непрерывным, ибо \ \f(k)\\io(dk) =
А
= v(х*Е(• )х, ЛI) = AM\х*\\х\. Для любого т положим ет =
= {k\ \f(k)\^m). Мы покажем, что E(em)x = S (f-%em) xo, где %е
означает характеристическую функцию множества е. Если л:* 6 Э?*,
то [д,0 мажорирует меру х*Е(*)х0 и, следовательно,
где p?Li(A, ^, Цо)« Пусть d — такое подмножество из ет, на ко-
котором р ограничена, и {gn} — такая последовательность ограни-
ограниченных функций, что x=\imS (gn)x0. Тогда в силу непрерыв-
непрерывности Т
x*S (gn) E (d) x0 = J
х) Имеется в виду полная вариация меры х$ Е (•) х на множестве Л.—
Прим. перев.
3. Теория кратности и спектральное представление 361
Но x*S(gn)E(d)xo->x*E(d)x. Поэтому x*S(f.%d)x0 = x*E(d)x.
Так как это верно для любого dcem, на котором р ограничена,
то x*S(f'%em)xo:==x*E (ет)х. Так как х* произволен, то Е(ет)х =
= S(f.Xem)x0. Поскольку х = \\тЕ(ет)х, то *o6®(S(/)) их-
= S(f)x0, ч. т.д.
16. Следствие. Если f — борелевскаяфункция и *6®(S(/)), mo
/gLi(A, ^, х*? (-)х0) для любого х*, удовлетворяющего усло-
условиям следствия 14.
Теперь мы изучим область значений проектора Е, имеющего
конечную однородную кратность. Так как любой проектор из В
является объединением попарно дизъюнктных проекторов из $,
достаточно предположить, что Е лежит в %. Мы будем считать для
удобства изложения, что единичный оператор принадлежит ^
и имеет конечную однородную кратность п. Тогда существуют такие
п
векторы хи . . ., хп, что $ = V 5Ш {xt) и Ж нельзя представить
г=1
в виде линейной оболочки меньшего числа циклических подпро-
п
странств. Здесь через V Ш (хг) обозначено наименьшее замкнутое
г=1
линейное многообразие, содержащее все Ш(хг), i = 1, . . ., п.
Мы покажем, что многообразия Ш (хг) из указанного разложения
попарно различны и что имеется вложение Ж в прямую сумму
п
Li-пространств 2 ^i (Л, 38, \it), аналогичное вложению гильбер-
гильбертова пространства в прямую сумму /^-пространств. Меры [Xj имеют
вид х*Е (•) xt\ х* 6 36*. Этот факт будет играть основную роль
в последующем изучении двойственности между кратностями буле-
булевых алгебр проекторов в 36 и ЭЕ*.
Следующая лемма справедлива без тех дополнительных пред-
предположений, о которых мы говорили выше.
17. Лемма. Пусть Ш — замкнутое инвариантное подпро-
подпространство и у о 6 36. Тогда среди проекторов Ео ? В, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию Еоуо 6 Ж, существует максимальный проектор Ео.
При этом
Доказательство. Если z 6 Ш (у0) П 5Ш, то по теореме 15
z = S (/) у0 для некоторой борелевской функции /. Если е —
некоторое множество из ЗВ, на котором / удовлетворяет неравенству
К'1 < I / (Ь) К /С, то ? (в) */о = S (g) 2, где g = f-1^ Следова-
Следовательно, если Ш(уо)[\Шфф), то найдется такой проектор Е,
что 0 =7^= Еу0 6 5Ш (г/о) П 3ft. Пусть ?0 — верхняя грань проекторов,
обладающих этим свойством. Тогда <Ш({1 — Ео)уо)(}(шф(О), ибо
362 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
в противном случае мы получили бы противоречие с максималь-
максимальностью Ео. Итак, лемма доказана при условии Ш(Уо)[]Ш=ф @).
Если же Ш(Уо)(]Ш = (ОI то в качестве Ео возьмем дополнение
к проектору-носителю элемента у0. Тогда (/ — Ео)уо=Уо, Еоуо=О,
а потому Еоуо(:Ш и
Чтобы проверить максимальность ?0, заметим (см. замечание
в определении 4), что если ?i>?\ то (I — Ei)yo?=O, и так как
Ш — инвариантное подпространство, то
тем самым доказана максимальность Е09 ч. т. д.
18. Лемма. Пусть единичный оператор удовлетворяет усло-
условию счетности цепей и имеет конечную однородную кратность п.
п
Если хи ..., хп —такое множество векторов, что X = V 5Ш(*0»
г=1
то
A) носитель каждого xt есть /;
B) З\/
C) (Эля любого i найдется^ такой линейный функционал х*,
чтох*(\/Ш (Xj)) = 0, и x*S (f) xt > 0 для любой неотрицательной
Зфг
борелевской функции /, удовлетворяющей условию S(f)хгф0.
Доказательство. Для доказательства утверждения B) предпо-
предположим для определенности, что существует ненулевой вектор
п-1
г 6 Ш (хп) П V Ш(хг). По лемме 17 найдется такой проектор ?\
г=1
n-i п—1
что 0 =5^= ЕхП1 Ехпе\/ Ш (хг). Следовательно, Е1= V 501 (?**),
г=1 г=1
откуда т(Е)^.п— 1, а это противоречит предположению об одно-
однородной кратности п. Утверждение A) доказывается аналогично:
если Е — носитель xt, то (/ — Е) Ж ^ \/Ш(A — E)xj). Утвержде-
Зфг
ние 3 следует из теоремы 12, ч. т. д.
—> 19. Теорема. Пусть выполнены условия леммы 18. Тогда суще-
существует такое взаимно однозначное линейное непрерывное отобра-
отображение Т пространства ЭЕ на плотное подпространство прямой
п
суммы 2 ^(л> ^> f*j)> iii=x*E(-)Xi, что если Tx~[fu ..., fn],
3. Теория кратности и спектральное представление 363
то
(a) x*i
(Ь) x=lim ^
т-+оо г=1
где
Доказательство близко к доказательству теоремы 15. Если
х^дс, то существуют такие ограниченные функции gf, что
*=lim S
Для любого
Следовательно, из равенства |ыг- (е) = 0 следует равенство Е (d) х^ = О,
если d^e, откуда х*Е(е)х = 0. Поэтому для любого / сущест-
существует такая функция /i6^i(A, З&ч |ыг-), что
Поскольку
sup
то линейное отображение Г: jc->[/i, ...,/*]» действующее из
п
в 2 ^i(A, ^, fXj), непрерывно. Пусть теперь ет = {Ц
i=l, ..., п). Мы покажем, что
п
(*) Е(ет)х=% StfrXenJXt, от=1, 2, ....
1
г=1
Зафиксируем номер m и элемент х*бЭ?*. Мы можем найти
такие функции pt 6^i(A, jjP, ^), что
x*E(e)xt= jp«(A,)|
См. прмечание на стр. 360.— Прим. перев.
364 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Если d — произвольное подмножество из ет, на котором рь . .., рп
ограничены, то
п п
2 x*s (^) е (d) Xi = 2 J §hi w рг (*•)
2=1 2=1 d
п
г=1 d
2=1
С другой стороны,
lim f,x*SU
k-*-OO 2=1
Итак,
для всех множеств d указанного вида, откуда
п
х*Е(ет)х= 2 x*S(frXem)Xi.
2=1
Поскольку элемент х* выбран произвольно, соотношение (*) дока-
доказано. Полагая т-^оо, приходим к утверждению (Ь). Из (Ь) сле-
следует, что если Тх = 0, то х = 0. Так как область значений опера-
оператора Т содержит все строки [fb ...,fn], где ft — произвольные
п
ограниченные функции, то она плотна в 2 ^i(A, SB, |lxj), ч. т. д-
2=1
20. Следствие. Если выполнены условия предыдущей теоремы,
то [V Ш(хг)] Г) [\/Ш (#/)] = @) для любого разбиения [а, а'}
множества [1, ..., п].
v
Доказательство. Допустим, например, что 0 Ф z 6 V ЯЛ (**•) П
2=1
П
П V Ш(хг). Тогда найдутся такое множество е?38 и такие
+1
+
ограниченные функции gu что
п
^ Е(е)гфО.
3. Теория кратности и спектральное представление 365
Предположим, не теряя в общности, что 5 (gn) E (е) хп ф 0. Тогда
S (gn) Е (е) Хп принадлежит множеству \/Ш(хг), а это противо-
п-1 ~
речит условию Ш(хпH\/ Ш(хг) = @), ч.т.д.
\/
Теперь мы обратимся к построению функции кратности полной
булевой алгебры В* в I*, состоящей из всех операторов ?*,
где Е пробегает полную булеву алгебру проекторов В. Как уже
отмечалось (см. замечания перед определением И), 5* есть пол-
полная булева алгебра проекторов в $*, изоморфная В, т. е.
{Е V F)* = Е* V F*, (Е Л F)* = Е* Л ^* (отсюда сразу следу-
следует, что (V Еа)* = V EZ, (Л Еа)* = Д El для произвольных
множеств {Ea}cz В). Мы отмечали также, что нормы операторов
из В и^В* ограничены одним и тем же числом и что Е ^ F в том
и только в том случае, если Е* ^ F*; областью значений проек-
проектора ?* из В* служит ^-замкнутое линейное многообразие
{л:* \ х* (I — Е) И = 0}. В лемме 10 были выведены свойства пол-
полноты В*. Как было замечено после определения 9, если {Еа} d В,
то
(V ?S)
(/ - Л е$ ж*=ж sP {(/ - ?S) зе*}.
а
Из этих свойств и леммы XVI 1.3.4 следует, что если {??} — возра-
возрастающая обобщенная последовательность из В*, то
а а
если же {?а} — убывающая последовательность, то
***)*=((А ?*)**) ^
а
Действительно, согласно лемме XVII.3.4, для возрастающей обоб-
обобщенной последовательности {Еа} последовательность {Еах} сильно
сходится, откуда
но так как (\/Еа)* =\/Е%, то
lim (?^*) х=((V Яа)* х*)х= ((V «) ^*) х-
а а а
Аналогично разбирается случай убывающей последовательности.
366 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Если л;* 6 ЭЕ*, то через Ш(х*) обозначим замыкание в Ж-топо-
логии линейной оболочки множества {Е*х* |?*6S*}; назовем
91 (л:*) циклическим подпространством, порожденным элемен-
элементом х*. Эти подпространства будут служить основными элементами
при построении теории кратности в 96*. Через *в* обозначим семей-
семейство всех проекторов из В*, удовлетворяющих условию счетности
цепей. Ясно, что ?* 6 %* тогда и только тогда, когда Е 6 ^.
Проектор Д {?"* I Е*х* = х*} назовем проектором-носителем
элемента х*.
21. Лемма. Семейство %* является плотным а-идеалом
в В*. Каждый проектор ?* 6^* является проектором-носителем
некоторого вектора из ЭЕ*.
Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 5.
Чтобы доказать второе, возьмем проектор Е*?Ч$*; напомним, что
по лемме 5 Е есть проектор-носитель вектора хо?$. Выберем
элемент х*, как в следствии 14. Мы можем считать, что E*xt = Xo
(в противном случае возьмем Е*х* вместо х*). Пусть F*?B*
и F*x* = x*. Тогда (/* — F*)x* = 0. Следовательно, x*(I — F)xo = O,
откуда Fxo = xo. Итак, F>E и потому F*^zE*. Таким образом,
Е* есть проектор-носитель элемента xt, ч. т. д.
Вообще говоря, как это видно из следующего примера, не каж-
каждый проектор-носитель из В* принадлежит семейству *ё*. Пусть
R — вещественная прямая, Г есть а-поле всех подмножеств из /?
и у — мера, сопоставляющая каждой точке массу 1. Пусть 36 =
= Li(R, Г, у) и Ж* = М(#) — банахово пространство всех ограни-
ограниченных функций на R. Для любого е?Г положим (E(e)f)(r) =
= Serf(r), где 6? = О, если г$е, 6^=1, если г?е. Мы получили
полную булеву алгебру проекторов, а семейство % образовано
проекторами, соответствующими счетным множествам. Если х* —
функция из M(R), тождественно равная 1, то ее носителем
является /*, причем /* не лежит в *ё*.
22. Определение. Если ?*6^*, то кратностью проектора Е*
мы назовем наименьшую мощность т(Е*) множеств А векторов
из #*, удовлетворяющих следующему условию: ?*ЗЕ* есть замы-
замыкание в $*-топологии линейной оболочки множества*{31 (л:*) | х* 6 Л}.
В следующей лемме устанавливается свойство непрерывности т:
23. Лемма. Если ?*, F*^* a F*<CE*, то m(F*)^m(E*).
Если {??} = «• и ЕЪ^УЕЬеЪ; то m(Et) = \/m{Et).
Доказательство почти такое же, как в лемме 7. Например,
для доказательства второго утверждения мы показываем сначала,
3. Теория кратности и спектральное представление 367
ею
применяя лемму Цорна, что Е*= V GJJ, где G* принадлежит %*
71=1
и мажорирует некоторый ?ап. Найдутся такие семейства {x%k},
что G|3?* есть замыкание в Э6-топологии линейной оболочки мно-
множества {%l(Xnh)\ l<n^n0}, no = \Jт{Е%). Тогда функционалы
оо
Уп= 2 2"fex^ порождают Е5Ж, ч. т. д.
Из теоремы 3 вытекает
24. Теорема. Существует единственная функция кратности т,
определенная на В* и удовлетворяющая следующему условию: для
любого F*6??*, m(F*) есть наименьшая мощность множества
циклических подпространств, порождающих в HL-топологии F*%*.
Существует, и притом единственное, разложение единицы 1*==
= VFn на попарно дизъюнктные проекторы, такие, что если
Р*фО, то Fn имеет однородную кратность п.
Мы можем рассматривать В* как проекторнозначную меру на
борелевских множествах 38 из Л. Мера Е* (•) х*х счетно адди-
аддитивна для любых х?Ж и х*бЖ*. Однако если Ж нерефлексивно,
то векторная мера Е* (•)х* может не быть счетно аддитивной.
Если / — ограниченная борелевская функция, то интеграл S*(/) =
= \ f (X) Е* (dX) существует в равномерной операторной топологии
л
и ясно, что S* (f) сопряжен с оператором S (f)=\ f (X)E (dX).
А
Таким образом, если / — неограниченная функция, то естественно
определить S*(/) как оператор, сопряженный с оператором S(/),
который замкнут и имеет плотную область определения. Другими
словами, ®(S*(/)) есть множество всех таких х*, что функцио-
функционал z* (х) = x*S (/) х непрерывен по х в © E (/)) и 5* (/) х* = z*
для л:*е®E*(/)).
Доказательство следующей леммы очевидно, и потому мы его
не приводим.
25. Лемма, (а) Оператор S*(f) замкнут, и ®(S*(/)) является
Ъ-плотным в $*.
(Ь) Пусть ет = {Ц |/(М|<т}. Тогда **€©(S*(/)) в том
и только в том случае, если
Нт 5* (f'%em)x*x существует для каждого х?Ж.
Если этот предел существует, то он равен 5* (/) х*х.
368 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
(с) Если g — ограниченная функция и х* ? ® (S* (/)), то
5*(g)x*6®(S*(/)) и S*(g)S*(f)x* = S*(f)S*(g)x*.
А теперь мы хотим доказать равенство 31 (х*) = {S* (/) х* \ х* ?
(S* (/}
())}
Для этого, а также и для других целей нам понадобится
теорема отделимости, аналогичная теореме 12.
26. Теорема. Пусть 31 есть 1-замкнутое инвариантное под-
подпространство в 1* и х* —функционал, носитель которого содер-
содержится в %*. Если 31 П 31(х*) = @), то существует такой вектор
лг0 6 ЗЕ, что
A) у*(хо) = О для всех у*е%1;
B) S* (f) х*х0 > 0 для любой ограниченной неотрицательной
борелевской функции f, удовлетворяющей условию S* A)хоФО.
Доказательство. Мы только наметим доказательство, посколь-
поскольку оно аналогично доказательству теоремы 12. Как и раньше,
достаточно ограничиться случаем, когда носителем х% являет-
является /*. Известно (см. теорему V.3.9), что ^-непрерывные функциона-
функционалы на 36* — это в точности те функционалы, которые порождены
векторами из Ж. К тому же в замечании после следствия 20 было
показано, что если {GJ} — убывающая обобщенная последователь-
последовательность в 5*, то lim G&* (х) = (Д GJ) х* (х) для х 6 Зе и х* 6 36*.
Из этих двух фактов следует, как и раньше, что если 0 Ф Т7* ^В*,
то найдутся такие проектор G* в 5* и ненулевой вектор у в Э?, что
(i) G*=/\{E*\E*x*y=x*y, **6ВД)};
(ii) y*y=O для у* 6 5ft;
(Hi) O^G*^/7*.
Используя лемму Цорна, представим /* в виде суммы элементов
последовательности попарно дизъюнктных проекторов GX, каждый
из которых удовлетворяет условию (i) для некоторого вектора уп
с нормой 1. Искомый вектор х0 получается по формуле xo = S(f) y0,
оо
где у0 = 2 2~пуп, а / — производная Радона — Никодима полной
72=1
вариации лго? (•) у0 относительно х$ Е (•) у0.
—>27. Теорема. ?суш x*63f*, /no
Доказательство. Из леммы 25 ясно, что каждый функционал
5*(/)л:о лежит в 31 (xq). При доказательстве обратного утвержде-
утверждения достаточно ограничиться случаем, когда носитель х% лежит
в %*, так как он всегда является суммой попарно дизъюнктных
проекторов из <ё*. Если г*?31(хо), то найдется такая обобщенная
3. Теория кратности и спектральное представление ?69
последовательность {ga} конечных линейных комбинаций характе-
характеристических функций, что
По теореме 26 существует вектор х0, удовлетворяющий условию
и если Е*(е0)хох0=0, то Е* (ео)х* = О. Ясно, что мера z*E(-)x0
подчинена мере v0, и поэтому существует такая функция
A, 3S, v0), что
Если h — ограниченная борелевская функция, то
f(k)h(X)vo(dk)=z*S(h)xo=
(ga)xtS(h)x0=
a
a J
Л
и, следовательно, ga-+f слабо в L4(A, J?, v0).
Осталось показать, что z* = S* (f) x%. Если х 6 Ж, то мера
хо? (• )х = Е* (•) xqX подчинена мере v0, ибо, как указано выше,
из равенства v0 (е) = 0 вытекает равенство Е* (е) х% = 0. Выберем
функцию p6Li(A, i?, v0) так, что
и положим ^m{^| l/WI^/w}, m=l, 2, ... . Если d — такое под-
подмножество из ет, на котором р ограничена, и ga-*f слабо, то
S*(ga)*oE(d)x=\ ga(b)p(b)vo(dK)-+\ f(k)vo(dk).
i a
Следовательно, z*E {d) x=S* (f -%d) x$x. Отсюда предельным пере-
переходом получаем равенство z*E (ет) х — S* (/• %е ) х*х и, посколь-
поскольку х произвольно, Е* (em)z* = S* (f-%em)xo. Отсюда следует, что
*о€®E*(/)) и z* = S*(/L, ч. т. д. Ш
Следующая лемма аналогична лемме 17.
28. Лемма. Пусть Л есть Ж-замкнутое инвариантное под-
подпространство в ЭЁ* и yt 6 ^*- Тогда среди проекторов Е% ? В*, удовле-
^* Н. Данфорд и Дж. Шварц
370 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
творяющих условию Е%у1аШ, существует максимальный проек-
проектор Е%. При этом Ш П %1 ((/* — ?о) 4) = @).
Доказательство аналогично доказательству леммы 17, и потому
мы его опускаем.
Рассмотрим теперь подпространство ?*Э6*, где Е* 6 ^* и
имеет однородную кратность п. Мы получим примерно те же резуль-
результаты, что и для Э?. Так как В* удовлетворяет более слабому усло-
условию полноты, то и результат, который мы получим о представле-
представлении В*, будет менее сильным; это объясняется тем, что 3?* теперь
наделяется Ж -топологией. Как и раньше, мы ограничимся случаем,
когда ?* —тождественный оператор /*.
29. Лемма. Пусть тождественный оператор /* из В* удовле-
удовлетворяет условию счетности цепей и имеет конечную однородную
кратность п. Если х*, ..., х% —функционалы, удовлетворяющие
п п
условию 96* = V Ш (х*) (здесь мы пишем \f %1(х*) вместо
г=1 1=1
p{(t), i = l, ..., /г}), то
A) носитель каждого х* есть /*;
B) 3W)nV$R(tf) = 0, f=l, ..., /г;
3^
C) для любого i существует такой вектор хг-6 3?, что
У*(хг) = 0 для y*e\/%l{xt) и S*(f)xfXi>0 для любой неотри-
цательной ограниченной борелевской функции f, удовлетворяющей
условию S* (/) xf Ф 0.
Доказательство. Лемма выводится из леммы 28^и теоремы 26
точно так же, как лемма 18 была получена из леммы 17 и тео-
теоремы 12, ч. т. д.
-»30. Теорема. Пусть выполнены предположения леммы 29.
Тогда существует такое линейное взаимно однозначное отобра-
отображение U пространства 36* на плотное (по норме) подпростран-
п
ство пространства JI Li(A, 9&, v{), vt = E* (-)х*хи что если
г=1
Ux* = [fu ••-, fn], то
е
S s* (ft ¦ Ът) А м, х е эе,
) г=1
i=l, ..., п).
3. Теория кратности и спектральное представление ?7?
Отображение U непрерывно относительно топологий, поро-
п
ждаемых в Ж* и 2 Li(A, 35, vO их нормами, а также относи-
тельно Ж-топологии в Ж* и слабой топологии в ^ L±(A, №, vt).
Доказательство. Доказательство в основном аналогично дока-.
зательству теоремы 19. Для данного x*6 3E* найдется такая обоб-
обобщенная последовательность ограниченных функций gf, что
Если еб^, то
и, согласно теореме Радона —Никодима, существуют такие функ-
функции [fu /л], что
=ПтУ, S*(gf)x*{x),
г=-1
откуда получаем равенство (а). Равенство (Ь) и непрерывность U
относительно топологий, порождаемых нормами, доказывается
так же, как в теореме 19.
Пусть теперь Za(x)-+Zo(x) для любого х?1. Возьмем произ-
произвольный набор [hi, ...,/zn] ограниченных борелевских функций.
Тогда
z?S (АО **-
для каждого i = l, ..., п. Положим Uza=[f%, ..., /«] и Uzo =
= [fr •••» /nl- Используя лемму 29, получаем
*= lim 2 S*(f«.x^)*yS (АО*i =
m->oo j=l
= UmS*(ff.%em)xtS(hi)xi =
m-+oo
= lim [
em
Аналогично,
24*
372 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Следовательно,
lim j /?(X)MA,)vi<dA,)= j foi(b)hi(h)vi(dl), i=l, ..., /i,
a A A
откуда следует непрерывность U относительно Х-топологии про-
п
странства ЭЕ* и слабой топологии пространства 2 ^i (Л, 38, v*),
ч. т. д.
31. Следствие. Если выполнены предположения теоремы 30,
то [\/№{х*)] П [V №(хЗ)]=@) для любого разбиения [а, а'] мно-
жества [1, ..., л].
Теперь докажем следующую важную теорему:
-> 32. Теорема. Пусть В — полная булева алгебра проекторов
в банаховом пространстве Ж и В* — булева алгебра операторов,
сопряженных с операторами из В. Тогда проектор Е из В имеет
конечную однородную кратность п в том и только в том случае,
если сопряженный оператор ?* из В* имеет конечную однородную
кратность п.
Доказательство. Можно считать, что Е и Е* удовлетворяют
условию счетности цепей. Так как любой проектор представ-
представляет собой объединение проекторов с однородной кратностью,
достаточно проверить два утверждения: (а) если Е имеет конечную
однородную кратность л, то т (?*) ^ п\ (Ь) если Е* имеет конечную
однородную кратность п, то т (Е) ^ п. Для доказательства утвер-
п
ждения (а) предположим, что ЕЖ = V Ш {xt), и выберем л:*,
п
как в лемме 18. Если допустить, что ?*$* Ф \] 31 (х*)у то по тео-
г=1
реме Хана — Банаха в Эё-топологии пространства Ж* (см. след-
следствие V.3.12) найдется такой ненулевой вектор х 6 Е$, что у*х — 0
п
для всех у* 6 V Ж (х*)- Тогда #Е (е) х = 0, е 6 3S, i = 1, . . ., п.
Таким образом, х = 0, ибо отображение 7 из теоремы 19 взаимно
однозначно. Подобным же образом доказательство утверждения (Ь)
выводится из взаимной однозначности U (теорема 30), ч. т. д.
33. Следствие. Если п — целое число и Е ? В, то т (Е) = п
в том и только в том случае, если т (?*) = п.
34. Следствие. Если Ж сепарабельно, то т (Е) = т (?*) для
любого Е 6 В.
3. Теория кратности и спектральное представление 373
Доказательство. Для каждого целого п возьмем проекторы Еп
и Fn однородной кратности п, указанные соответственно в тео-
теоремах 8 и 24. Тогда, согласно теореме 32, Fn сопряжен с ?п,
т. е. F*=En- Так как Ж сепарабельно, то проектор Ео~1 — \/ Еп
либо нулевой, либо имеет однородную кратность х0- Теперь нам
осталось только проверить, что если Е0ф0, то т(Ео) = щ.
По теореме V.4.2 единичная сфера в Ж* компактна в Ж-топологии,
но так как Ж сепарабельно, то в силу теоремы V.5.1 Ж-тополо-
гия этой сферы порождается метрикой; отсюда следует, что сфера
в Ж* сепарабельна в Ж-топологии. Следовательно, т(?о)^^о
и из определения проекторов Fn видно, что Ео не мажорирует
никакого проектора с конечной однородной кратностью, ч. т. д.
Теперь мы рассмотрим вопрос о подобии некоторых классов
спектральных операторов скалярного типа. Пусть Q — оператор
скалярного типа с разложением единицы ?(•)• Так как Е (•) счетно
аддитивно в сильной операторной топологии, то булева алгебра В,
состоящая из всех проекторов ?(•)> сг-полна. Следовательно, ее
замыкание Bs в сильной топологии полно (см. лемму XVI 1.3.23)
и к Bs применима построенная выше теория кратности. В дальней-
дальнейшем мы будем предполагать, что Bs не содержит проекторов беско-
бесконечной однородной кратности. Мы хотим показать, что при этом
условии оператор Q подобен (в некотором уточняемом ниже смысле)
нормальному оператору в гильбертовом пространстве. Не стремясь
к излишней общности, мы ограничимся случаем, когда алгебра В
полна и удовлетворяет условию счетности цепей. Оба эти условия
заведомо выполняются в случае сепарабельного пространства Ж,
так что до конца этого параграфа Ж предполагается сепарабельным.
*~ По теореме 8 существуют такие попарно дизъюнктные проекторы
оо
Епу п = 1, 2, . . ., что / = V Еп и каждый Еп либо нулевой, либо
имеет однородную кратность п (напомним, что ?Ко = 0). Для
каждого п найдется такое борелевское множество еп на плоскости,
что Еп = Е (еп). Мы можем считать, что множества еп попарно не
оо
пересекаются и U еп есть вся плоскость $|5.
Зафиксируем такое п, что Епф0. Согласно лемме 18 и тео-
теореме 19, существуют такие векторы хи ...,xra и такие функцио-
п
налы х*и ..., **, что EnV = \/ т(хг), xf (\/ m(xj)) = 0, при
г=1 офг
этом мера [ii = x*E(^)xt, определенная на борелевских множе-
множествах плоскости ф положительна и равна нулю вне еп. Кроме
того, существует естественное непрерывное линейное отображе-
374 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
п
ние Тп пространства Еп1 в 2 Liffi,$9 \it), обладающее обратным
г=1
с плотной областью определения. Пусть Wn — тождественное ото-
п п
бражение пространства ?n=2 L2($, 98, ц*) в 2 ^i 0$> ^» f*0-
г=1 i=l
Так как мера |ij конечна, то U^n определено всюду на §эп
и непрерывно, а отображение An = Wn1Tn, действующее из Е%Ж
в ign, определено на плотном подмножестве из ?ПЭ?, замкнуто
и имеет обратное отображение TV, также определенное на плот-
плотном множестве из <gn. Превратим fen в гильбертово пространство,
определив норму элемента [hu • • •> Ал] формулой
[2
1
г=1
Легко видеть, что
I lim 2 S(hi'%em)Xi существует},
где ет-={%\ \hiCk)\^.m, i=l, ..., n}. Кроме того, если g — огра-
ограниченная борелевская функция на 5$, то замыкание в fen опера-
оператора AnSig^An1, определенного на плотном многообразии, пере-
переводит вектор [hi, ..., hn] в [ghi, ..., ghn], т. е. сводится к умно-
умножению на g. Взяв в качестве g характеристические функции %е
борелевских множеств, получаем изоморфизм Е(е)-+%е множества
проекторов из В, содержащихся в Еп, на булеву алгебру Вп
самосопряженных проекторов в fen. Кроме того, Вп есть разложе-
разложение единицы ограниченного нормального оператора Qn= I XE (d%),
который является замыканием оператора АпЕ {en)QA?.
оо
Рассмотрим теперь гильбертово пространство $=2 fen, явля-
71=1
ющееся прямой суммой гильбертовых пространств fen, элементы
которого мы будем обозначать через h. Построим отображение
А: Ж->$. Для этого положим
оо
cS){A)-={x\Enx 6©(^n) для всех п и 2 АпЕпх сходится в fe},
п=1
2
п=1
В следующей лемме указаны свойства отображения А*
3. Теория кратности и спектральное представление 375
35. Лемма. Оператор A: di-^iQ замкнут, определен на плот-
плотном множестве и имеет обратный А'1, обладающий тем же
свойством. Если Рп —ортогональный проектор из <q в Jgn, то
оо
) для всех п и 2 A^PJi сходится в Щ
п=1
-1h=Z A^PJi, he®(A-1).
l
Доказательство. Пусть #т?®(Л), ут~^Уо и Aym-+h0. Тогда
ЕпУт-^ЕпУо и PnAym = AnEnym-+Pnfio, л=1, 2, Так как Лп
замкнут, то Епуо 6 ® (Ап) и шАпЕпУо=Рп^. Имеем
2 пп/0 S noo
n=l та=1
Отсюда ^/о6®(Л) и Ayo = ho, так что Л замкнут. Если Лх = 0,
то Лп?п*== ?пЛл: = 0. Поскольку существует Ли1, то ?пх = 0,
оо
откуда jt = 2 ^n (Jt) = 0, и потому существует Л. Так как каждый
п=1
Ли1 имеет плотную область определения, то и А'1 обладает этим
свойством. Формула для ®(Л~Х) проверяется без труда, ч. т. д.
Следующая теорема легко выводится из изложенного выше.
—> 36. Теорема. Пусть Ж — сепарабельное комплексное бана-
банахово пространство и Q — ограниченный спектральный оператор
скалярного типа. Пусть В — множество всех проекторов из разложе-
разложения единицы Е (.) оператора Q. Предположим, что В не содержит
проекторов с бесконечной однородной кратностью. Если $q — гиль-
гильбертово пространство и А — замкнутое линейное отображение
из И в <§ с плотной областью определения, построенные в лемме 35,
то замыкание Q оператора AQA есть ограниченный нормальный
оператор. Для каждой ограниченной борелевской функции g на
плоскости обозначим через S (g) замыкание оператора AS (g) Л.
Тогда соответствие т: S (g) -> S (g) естественным образом согла-
согласовано с операционными исчислениями в Э? и ig и
5= J KE(dX),
<J(Q)
где
Наконец, мы хотим показать, что оператор Л порождает взаимно
однозначное соответствие между подпространствами в X, инвариант-
инвариантными относительно В, и подпространствами в ig, инвариантными
относительно В, разложения единицы оператора Q.
376 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
37. Определение. Если Ш — замкнутое инвариантное подпро-
подпространство в Ж, то через Ф(9Л) обозначим замыкание в $ множе-
множества А(Ш[\Ъ(А)). Аналогично если Я — замкнутое инвариантное
подпространство в ig, то через W (SI) обозначим замыкание в Ж
множества А'1 (^ [] Ъ (А'1)).
Из теоремы 19 (Ь) и леммы 35 следует, что ЯЛ П ® (Л) плотно
в 5Ш. Аналогично, Sfl®^) плотно в Я. Могло бы случиться
так, что Ф (Ш) содержит векторы из ® (А), не лежащие
в А(Ш[)<&(А)); в этом случае Ш было бы собственным подпро-
подпространством в ЧГ(Ф(ЯК)). Мы покажем, однако, что это невозможно,
другими словами, докажем, что ХР(Ф(Ш)) = Ш, Ф(ЧГ(Й)) = Я
для всех Ш и К. Это свойство инвариантных подпространств мы
выведем из спектральных свойств подпространств Еп%, п= 1,2,... .
Докажем предварительно лемму об отображениях Ап.
38. Лемма, (а) Если Ш — инвариантное подпространство
из ЕпШ, то
Ф (Ш) п © (Ап1) с= Ап № П ® (Ап)].
(Ъ) Если й —инвариантное подпространство из Jgn, то
Доказательство. Чтобы доказать (а), возьмем элемент h° =
= [ftj, ..., А&] из Ф(Ш)(]Ъ(Ап1)с=^п; пусть Л°-Лп^о. Следует
показать, что #0€9Л. Существуют такие векторы ут в 5ШП®(^п)г
что Лп^т=[АГ» •••» ftn]->[AJ, .... Аи] в пространстве ^п=п:
п
= 2 jf-2 (Ц5, i?, (utj). Выделяя нужную подпоследовательность, мы
можем считать, что hf-^h\ почти всюду относительно меры
jxj, г'—1? ..., п. Для любого е>0 существует такое борелевское
множество ее, что (ыг (^е)< е, /=1, ..., л, и hf~^h\ равномерно
на ?е. Функции Af ограничены на в8, и
Е (ее) Ут=Д S (Af-x%) *! -> .S S (А?.зь) = ^ {ее) у0,
откуда Е(ег) г/0 € ЗЛ- Теперь очевидные рассуждения, связанные
с предельным переходом, показывают, что r/o6 9Di, чем доказана
утверждение (а).
Если г/о 6 4я (Я) П® Ип) и yo = An1ho, то найдется такая после-
последовательность {/гт} векторов из tfl®(^)? что yTn=An1hm-+ y0.
Тогда 71п^т=[АГ, •-., AJ?]-4ft;, ..., А^] в 2 ^0$,^,^). Сле-
г=1
довательно, для любого е > 0 найдется такое борелевское множе-
множество ее, что E(ee)hm-+E(ee)h° и Ц{ (ве)< е, *"=1, ..., п. Итак,
АобЯ, так что уоеАп1ШГ[^(Ап1)Ь ч. т. д.
4. Примечания и дополнения 377
39. Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 36,
а Ф, 4я — отображения, описанные в определении 37. Тогда суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между инвариантными
подпространствами УЯ в Ж и инвариантными подпростран-
подпространствами Й в i§, которые задаются следующими соотношениями
Доказательство. Указанные в теореме равенства немедленно
следуют из равенств
(а) Ф (Ш) П Ф И)=Л B» П
(Ь) V (Я) П Ф D) = Л (R П Ф (Л)).
Докажем (а) (доказательство равенства (Ь) аналогично).
Во-первых, ясно, что правая часть (а) содержится в левой.
Из леммы 38 следует, что
(#) Ф(Епт)(]<$>(А-1)!=А1(ЕпШ)(]Ъ(А)], /1=1,2, ... .
Далее,
(ЕпШ) П Ф (Л) - Еп (Ш П Ф (Л))
РПЛ (Ж П ®(Л)) - Л?п (Ж П Ф (Л)).
Взяв замыкание обеих частей последнего равенства, находим, что
РпФ(Ш) = Ф(ЕпШ), /1=1,2, Положим теперь /гбФEШ)П
П®(Л) и h = Ax. Для каждого п
Отсюда, согласно равенству
так что
сю
*= 2 ^п^еаппФИ), ч. т. д.
п=1
4. Примечания и дополнения
Содержание этой главы является развитием теории, построен-
построенной Бейдом [2]. Как уже указывалось, Ионеску [3] и Шефер [10]
рассматривали спектральные операторы в некоторых локально
выпуклых пространствах, не всегда предполагая, что областью
определения служит все пространство. Таким образом, многие из
их результатов применимы также к неограниченным операторам
378 Гл. XVIII. Неограниченные спектральные операторы
Нел [1] получил каноническое разложение неограниченного
спектрального оператора, доказав следующий результат:
Теорема. Замкнутый оператор Т спектрален в том
и только в том случае, если он является минимальным замкнутым
расширением оператора вида S + N, где S — оператор скалярного
типа с разложением единицы Е, а N удовлетворяет следующим
условиям:
(a) если Ь —ограниченное борелевское множество, то Е(Ь)Ж^.
^D(N), E(b)NE(b)^NE(b) и М\Е(Ь)Ж — квазинильпотентный
оператор;
(b) если с — борелевское множество, $ $с и Ьп = {К \ \X\^п},
то последовательность
®I-T)-iE(bn[\c)x=^Nn J (^~yrh-1E(dy)x
k=0 bnf]c
ограничена для любого х 6 Ж.
Теория кратности, изложенная в § 3, принадлежит Бейду [5].
Дьёдонне [20] ранее построил теорию кратности для случая, когда
пространство Ж*, сопряженное 36, сепарабельно (отсюда следует,
что и Ж сепарабельно). В связи с леммой 3.18 отметим, что, вообще
говоря, Ж не является алгебраической прямой суммой подпро-
подпространств ЭД1 (хг). Дьёдонне [21] построил тонкий пример банахова
пространства Ж и булевой алгебры В проекторов, в которой любой
ненулевой проектор Е имеет кратность, равную 2, но ни для каких
xi9 х2 6 Ж и Е ? В подпространство ЕЖ не является алгебраиче-
алгебраической суммой 5Ш (Ех^ и Ш (Ех2).
Остается нерешенным вопрос о соотношении между значениями
функций кратности булевых алгебр В и В* на проекторах беско-
бесконечной кратности. Как показано в следствии 3.33, т (Е) = т (Е*)
для проекторов конечной кратности. Мы не располагаем никакой
информацией по этому вопросу. Не ясно даже, будет ли кратность Е*
бесконечной, если Е имеет бесконечную однородную кратность.
Родственная проблема связана с инвариантными подпространства-
подпространствами. Если Ш — инвариантное подпространство, то можно опреде-
определить кратность В в Ж. Если Ш± ^ Ш1, то естественно ожидать,
что mi (Е) ^ т2 (?), Е ? В. Это верно, если В не содержит проекто-
проекторов бесконечной однородной кратности, но в общем случае вопрос
остается открытым.
ГЛАВА XIX
Возмущения спектральных операторов
с дискретным спектром
1. Введение
В этой главе мы изучим вопрос, затронутый в теореме XVI.5.2;
другими словами, мы получим некоторые достаточные условия
равномерной ограниченности булевой алгебры проекторов Е (о; Г),
связанной с компонентами спектра оператора, имеющего вполне
несвязный спектр. Тем самым мы установим аналитические условия
спектральности оператора. Основная идея нашего метода состоит
в следующем: если Т — спектральный оператор, а оператор Р
в некотором смысле достаточно мал по сравнению с Г, то и оператор
Т + Р спектрален. Оказывается, для того чтобы оператор Р можно
было считать достаточно малым по сравнению с 7, в качестве Т
следует брать неограниченный оператор. Поэтому основная часть
этой главы посвящена возмущениям неограниченных операторов;
эта теория применяется затем к возмущениям дифференциальных
операторов.
Основная теоретическая часть этой главы содержится в § 2,
я точнее в теореме 2.7. В этой теореме методами теории возмущений
доказывается, что если Т — спектральный оператор, спектр кото-
которого есть дискретная последовательность с некоторыми условиями
регулярности, если всем точкам спектра а (Г), за возможным исклю-
исключением конечного их числа, соответствуют одномерные спектраль-
спектральные проекторы х) и если оператор Р в некотором смысле мал по
сравнению с 7\ то Т + Р — спектральный оператор. Два следую-
следующих параграфа посвящены применениям этого основного результата
к несимметрическим обыкновенным дифференциальным операторам.
В качестве Т мы возьмем дифференциальный оператор i~n(d/df)n
порядка л, определенный на функциях, подчиненных некоторым
граничным условиям, на которые будут налагаться некоторые
достаточно широкие ограничения типа регулярности. Мы покажем,
что если Р — произвольный дифференциальный оператор меньшего
порядка, то Т + Р — спектральный оператор. Таким способом
будет построен широкий класс несамосопряженных спектральных
1) То есть проекторы, имеющие одномерную область значений. —
Прим. перед.
380 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
дифференциальных операторов. В § 4 мы получим общий результат
в этом направлении. К сожалению, его доказательство требует
длинных вычислений. Поэтому в § 3 мы приводим доказательство
спектральности для оператора —(d/dxJ (с несамосопряженными
граничными условиями); это вызвано также и тем, что операторы
второго порядка важны для приложений. Хотя результаты § 3
существенно обобщаются в § 4, они являются своего рода подготов-
подготовкой к более сложному случаю.
В § 5 выясняется, при каких условиях линейная оболочка кор-
корневых векторов оператора плотна в пространстве, в котором дей-
действует оператор. По-видимому, это имеет место для более широкого
класса операторов, нежели тот, которой указан в теореме 2.7.
Случай условной (в противоположность к безусловной) сходи-
сходимости разложений по собственным функциям является промежуточ-
промежуточным между случаем, описанным в теореме 2.7, и общими результа-
результатами § 5. В § 6 приведены результаты об условной сходимости раз-
разложений по собственным функциям.
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях
В этом параграфе мы изучим возмущения операторов с ком-
компактной резольвентой. Основной результат дает условия, при кото-
которых возмущение спектрального оператора является спектральным.
Эти результаты нацелены на изучение несамосопряженных диффе-
дифференциальных операторов, которому посвящены два следующих
параграфа. Так как в этом параграфе часто встречаются операторы
с компактной резольвентой, мы введем для них специальное
название:
-з» 1. Определение. Оператор Т называется дискретным, если
в его резольвентном множестве найдется такая точка Я, что резоль-
резольвента R (А,; Т) = (kl — Г) компактна.
Замечание. В бесконечномерном пространстве дискретный опе-
оператор Т не может быть ограниченным; действительно, в противном
случае по теореме VI.5.4 единичный оператор
I = (M — T)R (A,; Т)
компактен, а по теореме IV.3.5 Ж конечномерно.
Результаты двух следующих лемм аналогичны результатам*
установленным в гл. VII для ограниченных операторов.
2. Лемма. Если Т дискретен, то
(a) его спектр есть счетное множество точек, не имеющее конеч-
конечных предельных точек;
(b) резольвента R (А,; Т) компактна для всех X (? а G);
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 381
(с) любая точка Хо из о (Т) является полюсом некоторого конеч-
конечного порядка v (Хо) резольвенты, и если вектор f удовлетворяет для
некоторого k условию
(Т ~ X0I)k / = О,
mo f удовлетворяет также условию
Множество всех векторов f, удовлетворяющих условию
(Т — X0I)v^)f = О, есть конечномерное линейное подпространство;
оно называется корневым подпространством, соответствующим
.собственному значению Хо. Если Е (Хо; Т) = Е (Хо) есть функция
от Т, соответствующая аналитической функции, равной 1 в окрест-
окрестности Хо и нулю в окрестности остальных точек спектра операто-
оператора Ту а также в окрестности бесконечности, то Е (Хо) есть проектор,
отображающий Ж на корневое подпространство, соответствую-
соответствующее х0.
Доказательство. Мы не ограничим общности, если будем
считать, что 0 (| о (Т) и Т~г компактен. Тогда по теореме VII.4.5
оператор R (fx) = (\il — 7) существует для любого комплексно-
комплексного числа |я, за исключением нуля и не более чем счетной последова-
последовательности точек \in Ф 0, стремящейся к нулю. Для любой из точек
jin существует такой ненулевой вектор хп, что Т~гхп = \лпхп. Отсю-
Отсюда следует, что Тхп = \\^хп, так что о (Т) ^{рп1}. С другой сторо-
стороны, если X Ф 0, К Ф [in1, п > 0, то, полагая X = ц, имеем
Ч- Т) х = - R (ц) ixT-1 (ix-Ч - Т) х -
Следовательно, Л, = jut6 Р (Т) и
1*1 (\r1I-T)-1=-v,T
Отсюда следует, что o(T) = {\in1}, чем доказано утверждение (а).
Так как Т компактен, то из [*] видно, что оператор (juT1/ — 7)
компактен для (х^а(Г). Этим доказано утверждение (Ь).
Согласно теореме VII.4.5, каждая точка \in есть полюс неко-
некоторого конечного порядка v([xn) для R{{i)\ отсюда и из фор-
формулы [*] видно, что точка [хп1 есть полюс конечного порядка v(fj,"n)
для ([л/ —Г). Этим доказана первая часть утверждения (с).
Если ненулевой вектор f удовлетворяет условию (T — XoI)kf = O,
то (A,/ — T~1)kf = O и, следовательно, по теореме VII. 1.7 f удо-
удовлетворяет условию (Хо1! — Г-1)^^ / = о. С другой стороны, для
382 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
f и k^O справедливо равенство Tk (fx/ — T~1)h = (\iT — I)h (его
смысл состоит в том, что операторы Th(\il — T~x)h и (\iT—I)h
имеют одну и ту же область определения и Th (jlx/ —T)^ f =
=={\\Т—l)h f для любого / из этой области). Это равенство дока-
докажем с помощью индукции. Оно очевидно при k=l, и так как
P(T)Q(T) = Q(T)P(T) для любых двух многочленов от 7\ то
как и утверждалось. Отсюда видно, что если (Х~7 — Т)^ }/¦-=()>
то (Т — Xo/)v^o)/ = O; тем самым доказана и вторая часть утвер-
утверждения (с). Обратно, если (T — XoI)hf = O, то, умножая на (Г)*1,
находим, что (V1/ — T~1)hf = O. Отсюда следует в силу тео-
теоремы VII.4.5, что
{/ | (Т - V)v() f - 0} = Е (V; 71) *
и, в частности, что подпространство {/ | (Т — Xo/)v^o) f = 0} ко-
конечномерно. Мы доказали третью часть утверждения (с).
Докажем последнюю часть утверждения (с). Если С — доста-
достаточно малая кривая, охватывающая точку к0 и пробегаемая один
раз в положительном направлении, то, согласно лемме XVIII.2.31
и равенству [*],
2ST j
с
= -г^т- f Г (Г-1 -
где С — достаточно малая кривая, охватывающая точку Яо1 и про-
пробегаемая один раз в положительном направлении. Из функциональ-
функционального исчисления для ограниченного оператора (теорема VI 1.3.10)
следует, что последнее выражение равно
= ?(Ч1;^). ч. т. д.
Замечание. Мы доказали несколько больше, чем требова-
требовалось в лемме 2. Мы установили взаимно однозначное соответствие
между точками из а (Т) и отличными от нуля точками из а (Т")
2. Основная абстрактная, теорема о возмущениях 383'
по формуле ц -> \i~\ при этом (\il — Г) = — I^T (ji/—Г)
при |я $ or (Г), а соответствующие проекторы связаны равенством
? (^ т1) = Е ((г; Г). Это есть обобщение на случай неограни
ченных дискретных операторов теоремы VI 1.3.19. Теорема VI 1.3.11
содержит результат, более общий, чем доказанное сейчас равенство
3. Лемма. Пусть Т — неограниченный дискретный оператор
и а — компактное открытое подмножество из а (Г). Тогда
фG)^?((а; Т) Ж. Пространство Е (о; Т) ЭЕ инвариантно отно-
относительно Т и а (Г | Е (а; Г) Ж^ = а. ?с./ш а непусто, та
Е (а; Г) =5^ 0. Если Е (а; Г) шпь k-мерный проектор, то а состоит
не более чем из k точек; в частности, если Е (а; Т) одномерен, то а
состоит ровно из одной точки.
Доказательство. Пусть С — замкнутая спрямляемая кривая,
лежащая в резольвентном множестве оператора Т и ограничива-
ограничивающая область, пересечение которой с а (Т) есть в точности а. Тогда
по лемме XVIII.2.31
Так как интеграл
^(XI-T)xdk = ±
с с
существует, то, в силу теоремы III.6.20, Е(о; Т) X ^ ® (Т) и
[*] ТЕ (а; Т) = JL- j X (XI - Г) <&.
с
Теперь из теоремы VII.9.8 следует, что Е(о;Т)Тх = Тх для
х€Ё(а\Т)$, так что ТЕ (а; Г) 36 <=? (а; Г) 36. Согласно формуле [*],
Тх
= 2^Г J
с
Возьмем [х<Ца, функцию /ц, (г) = (jx — г) для г из окрестности а
и /^B) = 0 для z из окрестности а (Г) —а и окрестности бесконеч-
бесконечности. Из теоремы VII.9.5 следует, что /^(Г)?(а; Т)Ж^?"(а; Т) Ж и
Таким образом, оператор f^ (Т) \ Е (а; Т) Ж является обрат-
обратным к оператору (jx/ — Т) \ Е (а; Т) 36, и, следовательно,
а{Т | Е (а; Г) 36) д= а.
Предположим теперь, что Е (а; Г) = 0, но а непусто. Тогда
? (X; T) = E(X{]G', Т) = Е(Х; Т) Е (а; Т) = 0 для Я 6 а. Из замеча-
384 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
ния к лемме 2 видно, что Е (Аг1; Т) = 0. Отсюда, применяя первое
утверждение теоремы VI 1.3.20, получаем, что А лежит в р (Т1).
Следовательно, согласно замечанию к лемме 2, А ($ а (Г), что про-
противоречит предположению о ^ g (Г). Таким образом, Е (а; Т) Ф
Ф 0, если а непусто.
Пусть точка А лежит в а. Тогда по лемме 2 (XI — 7)v^> x
х Е (X; Т) Ж = 0. Так как Е (X; Т) Ж ф 0, то А, принадлежит
а(Т \Е (а; Т) Ж). Итак, о (Т \ Е (а; Т) Ж) = а. Наконец, пусть а
состоит из k точек Аь . . ., A,fe. По лемме XVIII.2.31 подпростран-
подпространства Е (Xt\ Т) Ж из Е (а; Т) Ж линейно независимы. Следователь-
Следовательно, размерность Е (а; Т) Ж не меньше чем k. Этим доказано послед-
последнее утверждение леммы, ч. т. д.
4. Определение. Пусть Т — неограниченный дискретный рпе-
ратор в В-пространстве Ж со спектром {Xt}. Если Е (Xt; T) =
= Е (Xi) для каждого Xt ? а (Г), то определим линейное многообра-
многообразие @оо (Т) равенством
@оо(Г) = {/| ?(*,!)/= 0,
5. Лемма. Подпространство <&оо{Т) либо бесконечномерно, либо
состоит из одного нуля.
Доказательство. Можно считать, что 0 $ о (Т). Если U = 71,
то из замечания к лемме 2 следует, что
в(Ц)= О {АЩДО}
г=1
и что проекторы Ё (Xj1) = E (Xj1; U) определяются формулами
Если /6<3оо = ©оо(Г), то
откуда ?/@оо s ©сю. Кроме того, по теореме VI 1.3.20 функция
(U — XI)'1 f аналитична в любой точке 2ц1, если / 6 @оо. Итак,
если / 6 2>оо, то функция (U — А/) / не имеет особых точек, отлич-
отличных от нуля. Следовательно, спектр оператора [/!©<» состоит
только из нуля. Если @оо имеет конечную положительную размер-
размерность, то найдется такой вектор х Ф 0 в @оо, что Ux = 0. Умножая
на Г, получаем TUx = х = 0. Это противоречие доказывает лемму,
ч. т. д.
6. Лемма. Пусть Т — дискретный оператор. Тогда подпро-
подпространство @оо (Т) состоит из всех таких / 6 Ж, для которых
(Т — А/)/ является целой функцией от X.
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 385
Доказательство. Если (Г — XI)-1 f— целая функция, то, взяв
достаточно малую окружность С с центром в точке Xt 6 а (Г),
получим
°e 2ST J (T-U)-4d%=-E(%i)f.
с
Обратно, пусть теперь Е (кг) f — 0. Можно считать (это не огра-
ограничивает общности), что Т существует. Согласно замечанию
к лемме 2,
(I*/ - Г)-1 f = -ц-1^-1 (\х-Ч - Г) /, ц $ с (Г).
Поскольку, в силу того же замечания, Е (kj1; T'1) f = 0, то по
_ _ ЛГТТ О С%Г\ Л /..—Л Т /Т-» 1 \ 1 ? .. / Г\
Перейдем к основной теореме этого параграфа.
-» 7. Теорема. Пусть Т — дискретный спектральный оператор
в слабо полном пространстве 36, и пусть Е — его разложение
единицы. Предположим, что проектор Е (X) одномерен для всех
точек А, спектра, за возможным исключением конечного их числа.
Пусть А,о g р (Т), 0^ v< 1 и Р — такой оператор, что ф (Р) з
э ® ((Т — X0/)v), а оператор P(T — XqI)~v ограничен. Пусть
{Хп} есть спектр о (Г); обозначим через dn расстояние от точки
Хп 6 а (Т) до множества о (Т) —{Хп}. Тогда если
\ п=1
то Т + Р есть дискретный спектральный оператор. Если
2 n(\
п=1
а I — гильбертово пространство, то Т + Р есть дискретный
спектральный оператор.
Замечание. Так как множество о (Т) не имеет конечных пре-
предельных точек, то через точку Хо можно провести луч у, не пересе-
пересекающий о (Т). На дополнении к у определены аналитичные ветви
функции (г — X0)v, причем любые две такие ветви отличаются мно-
множителем вида е2лШ. Если зафиксированы луч у и аналитическая
ветвь функции (z — XQ)V, определенная в дополнении у, то опреде-
определен оператор (Т — XOI)V (см. определение XVIII.2.8). Следующее
ниже доказательство не зависит от выбора указанных элементов,
а потому в дальнейшем предполагается, что такой выбор сделан раз
и навсегда.
25 Н. Данфорд и Дж. Шварц
386 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Доказательство. Пусть Е — спектральное разложение опера-
оператора Т. Согласно лемме XVIII.2.25, Е (ё) = О, если е — борелев-
ское множество, не пересекающееся с о (Т). Таким образом, для
любого борелевского множества е справедливо равенство Е^(ё) =
= 2 ?W, причем ряд сходится в сильной операторной топо-
тополе* па(т>
логии. Пусть S — скалярная компонента Т и N = Т — S. По
теореме XVIII.2.28 и лемме XVIII.2.25 S и Т имеют одинаковое
разложение единицы и одинаковый спектр. В силу определе-
определения XVIII.2.I
для А, 6 а (Г). Следовательно, если Е (X) Ж одномерно, то Тх =
= Sx = Хх для х из Е (X) 36. Пусть а0 — конечное множество тех
точек из а (Г), для которых Е (к) не одномерен, и о'0 = а (Т) — а0.
Согласно определению XVIП.2.8, х лежит в ф (/ (Т)) в том и только
в том случае, если х 6 © (/ E)). Более того, f (Т) х = f (S) х для
любой функции /, аналитической на о (Т), и любого х 6 ? (($ ЗЕ.
В частности, я 6 © (Т) тогда и только тогда, когда х 6 © (S),
иТх = Sx для любого х из Е (а'о) Ж. В силу теоремы XVIII.2.9 (ii),
Е (ао) Ж содержится в © (/ (Т)) и © (/ (S)), и по этой же теореме
Е (ао) Э? инвариантно относительно / (Т) и / E), причем f (T) и[ (S)
ограничены в Е (а0) Ж. Отсюда следует, что ф (/ (Т)) = ф(/ E)),
и если положить
Г f{T)x-f(S)x,
fX I о,
то оператор Nf ограничен, а / (Т) = / (S) + Л/"/. В частности,
71 = S + Л/\ где yV — ограниченный, а S — дискретный операторы.
Кроме того, если положить
Lx = { {T-%I)\S-%I)-Vx
то очевидно, что L — ограниченный оператор и (S — A,/)~v =
Следовательно, оператор
ограничен. Так как Т + Р = S + (N + Р), о (Т) = о E) и Л^
ограничен, то, не теряя в общности, мы можем считать, что
Т = 5, т. е. Т — оператор скалярного типа. Кроме того, мы можем
предполагать, что А,о = 0, ибо Т + Р = (Т — Х01) + (Р + Х01)
и a(T-X0I) = {z — K \zeo(T)}.
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 387
Поскольку ф(Г)э8(Г) (теорема XVIII.2.11), ®(Р)=>©G).
Следовательно, Ф (Т + Р) = © (Г). По предположению оператор
PjT~v ограничен; обозначим его через Л.
Рассмотрим ряд
) §
n=0
где /? (fx; T) = (|л/ — Г). Он определен при \i (J а (Г) и сходится
равномерно, если I TVR (fx; Г) | < | Л Г1. Для тех значений [х,
для которых ряд В (fx) сходится, имеем
- 2 (ЛГУ? (fx; Г))П-ЛГ^(^; Г) §
п=0 п=0
И
п=0
Отсюда следует, что если | TvR([i; T) \ < | Л Г1, то оператор
— Т — Р) существует и равен В (fx).
Пусть Сп — окружность радиуса dnl2 с центром в точке Кп.
Пусть УИ/4 — верхняя грань норм проекторов Е из разложения
единицы Е (•). Если fx 6 Сп, то по теореме XVIII.2.И
|Tvi?(fx;T)|< max Afl^n^-H-
Далее, | Kk — ц | > | A* — Xn | — \Kn — ц | = | Xft — Я„ | — dnl2.
Кроме того, | Xh | < | Я,п l + | Xk — Kn \. Так как функция
(a -f- x)v (x — b)~x убывает при х > b, a > 0, 6 > 0, то
(a + x)v (x — b)-1 < (a + 2fe)v б при x > 2fe, a > 0, 6 > 0.
В частности,
max
Итак,
| Г7? (fx; T)|< 2M (| Яп | + dn)»^f |i 6 Cn.
25*
388 Гл. XIX, Возмущения спектральных операторов
По условию правая часть стремится к нулю при /i-> oo. Следо-
Следовательно, для достаточно больших п каждая точка \х из Сп лежит
в р (Т + Р) и /? (jit; Т + Р) = В (\i). Поскольку В (\i) является,
очевидно, произведением компактного оператора R (\i; T) и огра-
ограниченного оператора, то оператор Т + Р дискретен. Так как опе-
оператор (Т + Р — \iD~~1 ограничен и, следовательно, замкнут, то
и оператор Т + Р замкнут.
Аналогично, если п достаточно велико и \i 6 Сп, то
ибо при достаточно больших п
mvdnnBM\A\)m = [l-2M\A\(\Xn\+dn)v
m=0
Следовательно, если п достаточно велико, то
Сп Сп
Из леммы XVIII.2.31 видно, что первый из написанных выше интег-
интегралов есть проектор Е (ап; Т + Р), где оп — часть спектра
а (Т + Р), заключенная внутри Сп. Итак,
И \E(on;T + P)-E(Xn;T)\^4M*\A\dn1(\K\ + dn)\
Так как правая часть этого неравенства стремится к 0 при а-*- оо,
то по лемме VI 1.6.7 проектор Е (ап; Т + Р) одномерен при доста-
достаточно больших п. Из леммы 3 следует, что при я > К (К достаточно
велико) оп состоит из единственной точки |яп.
Предположим теперь, что
2 (\K\ + n)&<
71= t
Поскольку множество конечных сумм проекторов Е (Хп) Т) равно-
равномерно ограничено, то из [*] следует, что множество конечных сумм
проекторов ?(fxn; T + P), п^К, равномерно ограничено по норме.
Кроме того, ряд 2, (E(hnu, T) — Е{\лп\ Т + Р)), очевидно, сходится
по норме при р^К и его сумма стремится к нулю (по норме)
при р-^оо. Так как ряд 2 Е(Кп;Т) сильно сходится (в силу
п—р
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 389
спектральности оператора Г), то ряд Ер = 2 Е (\in; Т + Р) сильно
п=р
сходится, а если мы определим операторы Ёр формулой Ёр =
= § Е(К',Т); то Нт\Ёр-Ер\ = ОЛак как Ёр+ 2 Е(Хп;Т) = 1,
п=р ^ Р-*°° п=\
то / — Ер конечномерен для любого р. Значит, по лемме VI 1.6.7
оператор / — Ер конечномерен для всех достаточно больших р.
Из счетной аддитивности спектрального разложения Е вытекает,
что Е (|я; Т + Р) (I — Ер) = О, если fx не совпадает ни с одной
из точек fxn, п^ К- Согласно лемме 3, а (Т + Р) представляет
собой объединение точек jxn, n ^ /С, и некоторого конечного мно-
множества. Следовательно, множество всех конечных сумм проекторов
Е (Я; Т + Р), где К ? а (Г + Р), равномерно ограничено.
Поскольку / — Ер конечномерен для достаточно больших р,
подпространство
конечномерно. Но тогда, согласно лемме 6, Э?о ={0}. Из след-
следствия XVIII.2.33 получаем, что Т + Р — спектральный оператор.
оо
Если Ж — гильбертово пространство и 2 (|^в| + ^п) vdn2<C °°>
п=1
то доказательство завершается так же, как изложенное выше,
если только мы покажем, что множество конечных сумм проекто-
проекторов E([ii\T + P) равномерно ограничено и
Это доказывается так. Согласно лемме XV.6.2, существует
автоморфизм гильбертова пространства, переводящий каждый про-
проектор Е (Яп; Т) в ортогональный. Таким образом, мы можем пред-
предположить без ограничения общности, что все проекторы Е {Кп; Т)
ортогональны. Выше мы показали, что для достаточно больших п
и всех (х 6 Сп выполняется равенство R (fx; Т + Р) = В (fx). Сле-
Следовательно,
7П=2
\2v
390 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
для достаточно больших п. Отсюда получаем для достаточно боль-
больших п
По теореме XVIII.2.11
? |; Т).
гфп
Второй член в правой части равенства, который мы обозначим
через Rin) (jx; Г), аналитичен при \1^р(Т) и fx==Xn. Аналогично,
и TvRin)(T; \i) аналитична по \i при fx?p(T) и при jbi = ^n. Отсюда
следует, что
1
= Е (К; Т) ATvRm) (К; Т) + XvnR (К; Т) АЕ (К\ Т).
со
Так как 2 (| ^n| + dn) vdn2 <С °° (по условию теоремы),
71=1
то в силу соотношения [J] достаточно проверить, что множество
всех конечных сумм операторов Е(кп\ Т) ATvRin) (Xn; Г), а также
операторов Хп/?(П) (Хп; Т) АЕ (кп; Т) равномерно ограничено и что
11ГП [ ^/j ?i ^An» ¦« ) Ал А(п) ^» ijT ^"П'К(п) \^ni * ) АН \Л*п\ * ) \ == ^*
р->-оо п=р
Далее, поскольку Е (Хп; Т) х и Е (km; T) х ортогональны при
пф т, то для любого конечного множества J целых чисел мы
имеем при | х I ^ 1
I /j E (Xn\ T) AT R(n) {Xn\ T) х | =
Здесь использовано неравенство
\TvR(n)(Xn\
которое доказывается так же, как выше было доказано аналогичное
неравенство для | TVR (Xn; T) \.
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 39/
По предположению множество конечных сумм, написанных
в правой части полученного неравенства, равномерно ограничено.
Теперь ясно, что ряд
Ср= 2 Е(Хп; T)AT*RW(K; T)
п=р
сходится по норме и
п=р
Отсюда следует, что |Ср|->0 при р->оо.
Так как j U \ = \ U* | для любого ограниченного оператора, то
п) (V, т) ае (V, т) |2 = 12 Це (к\ т) л*/?(п) {К\ ту |2<
для любого конечного множества J целых чисел. Отсюда, как
и выше, получаем, что множество всех конечных сумм
n; T)
равномерно ограничено и
lim | § едп)(Хп; Т)АЕ(К; Т) | = 0.
р->-оо П=р
Таким образом, теорема 7 полностью доказана, ч. т. д.
8. Следствие. Пусть выполнены предположения теоремы 7.
Тогда спектр а (Т + Р) состоит из последовательности {ixn},
удовлетворяющей неравенству
где Ki и К2 — некоторые постоянные и /Ci i> I. Проекторы
Е (l*>n'> Т + Р) одномерны при nK
Доказательство. В ходе доказательства теоремы 7 мы пока-
показали, что (в введенных выше обозначениях) если п достаточно
велико, то в круге Сп содержится ровно одна точка \хп из а {Т + Р)
и подпространство Е {\х,п\ Т + Р) Ж одномерно. Кроме того, было
показано, что если | TVR (|л; Т) |< | А Г1, то \лп лежит в р {Т + Р).
Осталось только доказать указанное в следствии неравенство.
Пусть С — постоянная (ее выбор мы уточним позже), и пусть
392 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
С | К |v < I \i — К К dJ2. Так как функция (а + x)v (х — Ь)'1
убывает при х > 6, а > О, Ъ > О, то
max | А,^ Г | ЯА — [хГ1 =
= max (| Я„ | +1 Я„ — Х& | )v (| Х„ — ?.ft | — | м- — Л„ |
Так как dn < | Хп — Яо |, то lim dn/ \ Яп | ^ 1. Следовательно, для
П-*оо
достаточно больших п
max
Согласно теоремах VI11.2.11 (с), | T^R (\i\ T) \ < 2МС~г для всех ft
из кольца С | %п |v < | \i — ^n |< dn/2. Выберем С так, чтобы
2МС'1 <С | Л Г1. Тогда ни одна точка [х из указанного кольца
не лежит в а (Т + Р). Поскольку \in лежит в а (Т + Р) и
l^i — Vn К rfn/2, то \K — Vn\<C\K |\ ч. т. д.
9. Следствие. Пусть Т — дискретный спектральный оператор
в слабо полном пространстве. Пусть Е — его разложение едини-
единицы, {кп} — его спектр и dn — расстояние от Хп до о (Т) —{кп}.
Предположим, что проектор Е {%п) является одномерным для всех пг
кроме конечного множества. Пусть В — ограниченный оператор.
Тогда
оо
(a) если 2 ^п1<оо, то Т' + В — спектральный оператор',
(b) если Т действует в гильбертовом пространстве и
оо
2 dn2 <oo, то Т-г В — спектральный оператор.
1
Доказательство. Следствие вытекает из теоремы 7 при v = О,
ч. т. д.
Приведем примеры, иллюстрирующие полученные нами резуль-
результаты. Сначала предположим, что 36 есть В-пространство 1Р, р ^ 1,
элементами которого являются последовательности | ={?п}> п ^ I.
Пусть Т — замкнутый оператор, определенный формулами
© (Т) = {{In} | {nU} € /р}, Т {In} = {ntn}.
Тогда, очевидно, Т — спектральный оператор скалярного типа,
о (Т) ={п, п^\} и Е (п\ Т) одномерен для всех п^\. Пусть
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 393
а > 0 и {ртп} — бесконечная матрица, удовлетворяющая таким
условиям:
оо
53 \Ртп\п~«<К,
оо
2 |ртп|т-а</С, ,
771=1
где /С — положительная постоянная. Определим оператор Р
с помощью матрицы {ртп} следующим образом:
= {fl РтпЪп),
1
Ясно, что Р можно записать в виде Р = QTa9 где Q — ограниченный
оператор вида
(U B A}
n=l
Ограниченность Q вытекает из результата упр. VI.9.54. Для полно-
полноты приведем независимое доказательство. Если последовательность
I ={li} ограничена, sup I ?j I = I ? loo, то
1^<
| 2
SUp \l\c
n=l
Если же ? = {?i}6A» 2 l^l^l^li» T0
OO OO
771=1 71=1
n=l w=l n=l
Теперь ограниченность Q как оператора в lv следует из теоремы
Рисса о выпуклости (VI. 10.11). Из теоремы 7 вытекает, что если
Р > a + 2, то Т$ + Р — дискретный спектральный оператор.
Если р = 2, т. е. Ж = /2 — гильбертово пространство, то при
Р > a + 3/2 оператор Т& + Р дискретен.
394 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Приведем более специальный, но менее искусственный пример.
Рассмотрим формальный дифференциальный оператор
dt ^ l ' dt~r
введенный в § XIII.8. Пусть снова а ^ 1/2, Р ^ 1/2. Согласно тео-
теории, развитой в гл. XIII (см. § XII 1.8), этот формальный дифферен-
дифференциальный оператор определяет единственный самосопряженный
оператор L в гильбертовом пространстве L2 (—1, +1). Как пока-
показано в § XIII.8, a (L) состоит из чисел Хп = (п + а + р + 1) X
х (п + а + Р) и соответствующие собственные подпространства
одномерны. Из следствия 9 вытекает, что оператор L + B спектра-
лен для любого ограниченного оператора В. В частности, мы при-
приходим к следующему выводу. Пусть q (г)— функция, аналити-
аналитическая в комплексной окрестности отрезка [—1, 1] без точек —1,1,
в которых q (г) имеет полюсы первого порядка. Предположим, что
вычет q в точке г = 1 (г = —1) веществен и не меньше чем 1/2 (соот-
(соответственно не больше чем —1/2). Пусть М — оператор, определен-
определенный формулой
(Mf) (t) = -(A - Р) Г (t)Y + q{t)f (t), f 6 ® (M),
на множестве всех / 6 L2 (—1, 1), имеющих абсолютно непрерывную
первую производную и удовлетворяющих условию
Тогда М — дискретный спектральный оператор.
Если вычеты q в точках ± 1 вещественны, но не лежат в указан-
указанных пределах, то справедливо аналогичное утверждение, но в этом
случае необходимы граничные условия в концевых точках.
В качестве последнего примера рассмотрим самосопряженный
оператор Т в пространстве L2 @, 1), определенный (в смысле
гл. XIII) формальным дифференциальным оператором idldt и «пе-
«периодическими» граничными условиями / @) = / A). Собственными
значениями оператора Т являются Хп = 2л;п, п = 0, ±1, ±2, . . .,
а соответствующие собственные функции имеют вид e2ninxf n —
= 0, ±1, ... . Ясно, что для любого нечетного k = 2m + 1
каждый проектор Е (k\ Tk), соответствующий точке X 6 в (Tk) =
= {o(T)}h, одномерен. Согласно теореме 7, если Р — замкнутый
оператор и ® (Р) э © {Thv), где
^ + Р — спектральный оператор. Это условие равносильно
тому, что kv < k — 3/2. Рассмотрим, в частности, случай Ъ (Р) э
э ® (Tk~2). Из определения ® (Г) сразу следует, что ® (Р) состоит
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях 395
из всех функций / 6 L2 (О, 1), которые имеют /—1 абсолютно
непрерывных производных, удовлетворяющих равенствам
а /#) лежит в L2 (О, 1). Следовательно, в качестве Р можно взять
оператор вида
DГ+••¦+*.
где коэффициенты Bj — произвольные ограниченные операторы
в L2 @, 1). В дополнение к тем формальным дифференциальным
операторам, которые охватываются теоремой 7, мы приведем
несколько довольно занятных примеров с целью показать, сколь
широк класс получаемых таким образом операторов. Мы можем
взять, например, (Bof) (t) = f (*/2), а также (BQf) (t) = / (<р (*)),
где ф (/) — дробная часть числа t + а. Если t -> ф (t) — произ-
произвольное сохраняющее меру преобразование отрезка @, 1), то можно
положить (Bof) (t) = f (ф @). Так как любая функция из ф (Th~2)
имеет k — 3 непрерывных производных, то мы можем взять также
оператор
1
(Bfe_2/(fe-2)) (t) = j /(fe~3) (s) р (ds), 0<f< 1 f
о
где [x — мера Бореля на [0,1]. Например, оператор, заданный
формально равенствами
2т-1
,2т+1
2m-2 2m-1 1
k=0 ;=0
2т-1
¦ S /(|)(ф*@),
г=0
есть дискретный спектральный оператор, если 0<р<1, ядра
таковы, что функция
1
i(t, 8)\d8+[\Kl(t, S)\dt
о
ограничена, а ф7- — сохраняющие меру преобразования отрез-
отрезка @, 1) в себя.
396 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Последний пример является иллюстрацией общей проблемы,
которой мы уделим основное внимание в оставшейся части этой
главы,— проблемы описания тех формальных дифференциальных
операторов и совокупности граничных условий, которые приводят
к спектральным операторам. Как видно из разобранного примера,
достаточно изучить простейший дифференциальный оператор (d/dt)h
и затем применить теорему 7, рассматривая члены низшего порядка
как «возмущения». В § 4 мы осуществим эту идею. Однако, посколь-
поскольку изучение случая k > 2 технически сложно, мы разберем в сле-
следующем параграфе отдельно случай k = 2 и покажем тем самым
на простом примере действие того аналитического метода (основан-
(основанного на простой идее), который будет развит в § 4.
3. Оператор второго порядка
с разделенными граничными условиями
В этом параграфе мы покажем, применяя следствие 2.9, что
оператор Т + В, где В — произвольный ограниченный оператор,
а Т — неограниченный оператор в гильбертовом пространстве
L2 @, 1), определенный формальным дифференциальным операто-
оператором — (dldtf и произвольными разделенными граничными усло-
условиями, является спектральным. Мы начнем с общей леммы, отно-
относящейся к спектру и точечному спектру дифференциального опера-
оператора. Читатель, незнакомый с обозначениями и терминологией
следующих далее лемм, должен обратиться к определениям из
гл. XIII и особенно к § 2—5 гл. XIII.
1. Лемма. Пусть т— формально симметрический формаль-
формальный дифференциальный оператор порядка п в интервале I. Пред-
Предположим, что оба индекса дефекта оператора т равны т. Пусть
S — неограниченный оператор в L2 (/), определенный хит линейно
независимыми граничными условиями At (/) = 0, i = 1, . . ., т.
Тогда любая точка X из конечной комплексной плоскости, лежащая
в спектре о (S) оператора 5, но не принадлежащая ое (т), принадле-
принадлежит точечному спектру gp (S) оператора S.
Доказательство. Предположим, что X $ ар E), и пусть X $
(J ое (т). Согласно следствию XIII.6.8, по крайней мере т линейно
независимых решений уравнения та = Ха лежат в L2 (/). Обозначим
через 2 линейную оболочку этих решений. Так как X $ ар E), то
отображение o-^lAtio), . . ., Ат(а)] взаимно однозначно на 2.
Поскольку размерность 2 не меньше т, то образом 2 при этом
отображении является все m-мерное координатное пространство.
Мы должны доказать, что X принадлежит резольвентному множеству
оператора S. Для этого достаточно проверить, что оператор
Ti (т)—XI отображает ® G\ (т)) на все L2 (/). Действительно,
если это доказано, то для любой функции g из L2 (/) существует
3. Оператор второго порядка с разделенными условиями 397
такая функция ф из Ф G\ (т)), что тф — tap = g. Положим At (ф) =
= Yi> t = 1, • • -э m- Тогда, в силу изложенного выше, существует
такое решение а уравнения та — Ха = 0, что At (а) = уг = Аг (ф),
i = 1, . . ., m. Пусть я|) = ф — а; тогда я|) 6 Ф E) и E — XI) я|) =
= о. Следовательно, S — XI является взаимно однозначным отобра-
отображением Ф E) на L2 (/). Поскольку, в силу теоремы XIII.2.10
и леммы ХН.1.6(а), Т^т) замкнут, из определения XIII.2.17 и заме-
замечания перед определением XIП.2.29 вытекает, что оператор 5 также
замкнут. Следовательно, оператор S — XI замкнут, и по лемме
XII.1.5 E — XI)'1 также замкнут. Так как последний оператор
определен всюду, то по теореме о замкнутом графике (II.2.4) он
ограничен. Таким образом, X принадлежит резольвентному мно-
множеству S.
Итак, осталось показать, что Ti (т) — XI отображает ф (Ti (т))
на L2 (/). Так как X (? ае (т), то множество (Ti (т) — XI) Ф (Т)
замкнуто. Таким образом, в силу леммы XII.1.6(d) достаточно
проверить, что подпространство {(Ti (т) — XI) ^(Ti (t))}-L =
= {/ I Л (т)* / = 4} состоит лишь из нулевого вектора. Поскольку
Ti (т) = То (т)* (теорема XIII.2.10), то, согласно леммам ХП.4.8
tj YTT 7 1 Т (гг\* Т ('А** ~7Г (т\
И ЛИ./.1, 1 i \\>j — 1 о v*v — * 0 V V*
Пусть / удовлетворяет условию То (т) / = Xf. Если X веществен-
вещественно, то 5 з То (т) (в силу определения XIII.2.17 и замечания перед
определением XIII.2.29), поэтому 5/ = Xf, откуда, поскольку X ?
€ Р (S), / = 0. С другой стороны, если X не является вещественным,
то ввиду симметричности оператора (То (т)) (см. лемму XII.4.8) и
леммы XII.2.1 / = 0. Это завершает доказательство леммы, ч. т.*д.
2. Следствие. Пусть т — формально симметрический формаль-
формальный дифференциальный оператор в замкнутом ограниченном
интервале I. Пусть S — неограниченный оператор в L2(I), по-
порожденный формальным оператором т и конечным числом граничных
условий. Тогда любая точка из конечной комплексной плоскости,
принадлежащая спектру g(S) оператора S, является собственным
значением 5.
Доказательство. Из теорем XIII.4.1, XIII.4.2, XIII.6.5 и след-
следствия XII 1.6.4 видно, что множество ас (т) пусто, и тогда лемма
следует из леммы 1, ч. т. д.
3. Лемма. Пусть т — формальный дифференциальный опера-
оператор в конечном интервале I и S — оператор, порожденный фор-
формальным оператором т и некоторым множеством граничных усло-
условий. Тогда S — дискретный оператор, если только его спектр не
есть вся плоскость.
Доказательство. Будем считать (это не ограничивает общно-
общности), что точка X = 0 принадлежит резольвентному множеству
398 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
р E). В противном случае рассмотрим оператор т — X вместо т.
Пусть U — единичная сфера в L2 (/) и {fn} — последовательность
элементов множества 5 (?/); каждый элемент fn имеет вид fn =
= S^gn, gn 6 U. Так как L2 (/) рефлексивно, то из последователь-
последовательности {gn} можно выделить подпоследовательность, слабо схо-
сходящуюся к элементу g. По лемме XIII.2.16 последовательность {/п}
содержит подпоследовательность {/n.}, которая слабо сходится
в топологии пространства С (/) к некоторому элементу f из С (/).
Следовательно, последовательность {/п.} равномерно ограничена
и сходится к / всюду на /, откуда по теореме Лебега | fn. — / |2 =
~ \ I /п- (*) —/ (х) I2 dx->- 0. Таким образом, последовательность
i
{fn} содержит сильно сходящуюся подпоследовательность. Значит,
множество 5 (?/) компактно, т. е. 5 — компактный опера-
оператор, ч. т. д.
Аналитическая часть нашего метода включает понятие асимпто-
асимптотического ряда. Ниже мы дадим определения и выведем некоторые
основные свойства таких рядов.
4. Определение, (а) Пусть R — неограниченное подмноже-
подмножество комплексной плоскости, Rt — произвольное подмножество,
а / — функция, определенная на R x Rit Пусть {gn} — последова-
последовательность функций на Ri. Предположим, что для любого N
lim|2|w|/(z, w)-% gn(w)z-n\ = 0
\z\->oo П=0
равномерно по w 6 Ri- Тогда говорят, что / имеет равномерное
оо
асимптотическое разложение 2 gn (^) z~k при z = оо на множе-
стве R X Ri и пишут
оо
/B, W)~ S gn(w)Z~n
равномерно на R x Riu
(b) Пусть Ri — подмножество комплексной плоскости и {/т} —
последовательность функций, определенных на Rx. Пусть {gn} —
последовательность функций, определенных на /?1# Предположим,
что для любого N
N
limm*|/n(w)- S gn(w)m-n\ = 0
т-+оо п=0
3. Оператор второго порядка с разделенными условиями 5Р?
равномерно по w из Rt. Тогда говорят, что последовательность
{fm} имеет равномерное асимптотическое представление
оо
2 gn{w)m~n на Ri и пишут
оо
fm(w)~ 2 gn(w)m~n
n=0
равномерно на Rim
Если множество 7?! состоит из одной точки, то эти понятия сво-
сводятся соответственно к понятиям асимптотического представления
на бесконечности функции, определенной на неограниченном мно-
множестве R, и асимптотического представления последовательности.
Таким образом, функция / (z), определенная на неограниченном
00
множестве R, имеет асимптотический ряд 2 ?п z~n, если
lim |2^|/(г)— S «Гпаг»| = О, N>\\
|2|->оо П=0
аналогично, последовательность {fm} имеет асимптотический ряд
оо
2 ёпПГп, если
lim mw|/m- S ?„/71-1 = 0, Л/>1.
W->OO 71=0
5. Лемма. Пусть Rt — замыкание ограниченной области
в комплексной плоскости и {fm} — последовательность непрерывных
функций, определенных на Ri и аналитических внутри Rt. Пусть
п=0
равномерно на R^. Предположим, что функция g0 имеет единствен-
единственный простой нуль во внутренней точке ?0 ^з Rx. Тогда для всех
достаточно больших т функция fm имеет простой нуль 1т в Rt
и последовательность ?т представляется асимптотическим рядом
г^ ?i« C2» • • • — некоторые коэффициенты.
Доказательство. Из определения 4 сразу следует, что функ-
функции gm непрерывны в R{ и аналитичны во внутренних точках /?4.
Таким образом, мы можем утверждать, что ?0 — простой нуль
функции go- Пусть U — достаточно малый круг с центром Со и С —
400 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
его граница, причем U{jC содержится в R{. Так как g0 не обра-
обращается в нуль в Rt — U и непрерывна, то существует такое 8 > О,
что | go (г) | > е при z^Ri — U. Поскольку lim | fm (z) — g0 (z) | =
m->oo
= 0 равномерно в Ri9 то для достаточно больших т функция fm (z)
не имеет нулей в i?4 — 0. По интегральной формуле Коши число
нулей функции fm в U (каждый нуль считается столько раз, какова
его кратность) определяется формулой Bm) I {f'm {z)lfm{z)}dz.
Так как этот интеграл является целым числом и стремится
к Bm) \ {go (z)/go (z)} dz = 1 при m-^oo, то, очевидно, для
с
достаточно больших т функция fm имеет единственный простой
нуль 1т в Ru который лежит в U. По интегральной формуле Коши
Из асимптотического соотношения
N
следует, что |/m(z)— 2 gn(z) m~n\ = o(m-N), откуда
n=0
/ lit, \~/
n=0
равномерно no z на С, где ho(z) =zg'Q(z)/g0(z). Полагая ?п =
oo
^{imY1 \ hn(z)dz, мы видим, что lm ~ 2 ?*m~n> ч. т. д.
С n = 0
Нам понадобится в дальнейшем понятие оператора, сопряжен-
сопряженного к неограниченному оператору.
6. Определение. Пусть Т — линейный оператор, определенный
на плотном подмножестве ©(Т1) из В-пространства Ж. Область
определения ®(Т*) сопряженного оператора Т* состоит из всех
линейных функционалов #*6#*, Для которых функция у*Тх
непрерывна на ©(Г). Так как ®(Г) плотно в 96, то однозначно
определен такой функционал г* из Ж*, что y*Tx = z*x для всех х
из Ф (Г). Оператор 71*, сопряженный к Г, определяется равенством
3. Оператор второго порядка с разделенными условиями 40?
7. Лемма. Замыкание области значений линейного операто-
оператора Т с плотной областью определения состоит из всех таких х,
что у*х = О^для любого функционала у*, удовлетворяющего равен-
равенству Т*у* =0.
Доказательство. Если Г*у* = 0, то у*у = y*Tz = (T*y*) г = 0
для всех у = Tz из области значений оператора Т и потому для
всех у из замыкания области значений Т. С другой стороны,
если у не принадлежит замыканию области значений 7\ то по
теореме Хана — Банаха (П.3.13) существует такой у* в Ж*, что
у*у ф. 0, y*Tz = 0 для всех z из ® (Т). Из определения 6 следует,
что 71**/* = 0, в то время как у*у Ф 0, ч. т. д.
8. Лемма. Пусть Хо — точка спектра дискретного опера-
оператора Т в В-пространстве Ж. Пусть /*, . . ., f* — базис простран-
пространства решений уравнения (Т* — Хо) /* = 0, а 2 — пространство
решений уравнения (Т — ^о) ^ = 0- Тогда Ко будет кратным полю-
полюсом резольвенты R(k; T) в том и только том случае, если некоторый
ненулевой элемент а из 2 удовлетворяет уравнениям ft (а) = 0,
/ = 1,2,.. ., п.
Доказательство. Из леммы 2.2(с) видно, что Хо будет крат-
кратным полюсом резольвенты тогда и только тогда, когда уравне-
уравнение (Т — Х0J g = 0 имеет решение, не являющееся решением
уравнения (Т — Хо) g = 0; другими словами, тогда и только тогда,
когда некоторый ненулевой вектор а из 2 лежит в области значений
оператора Т — Яо/. Лемма вытекает из леммы 7, как только будет
доказана замкнутость области -значений 9i (Т) оператора Т — А,о/.
Докажем это. Согласно теореме VI 1.9.8, Е (Хо; Т) $ (Т) <= $ (Г),
откуда {ft (Г) = ? (А,о; Т) Ш (Т) ® (I — Е (А,о; Т)) Ш (Т). Первое
из этих слагаемых конечномерно по лемме 2.2 и, следовательно,
замкнуто в силу следствия IV.3.2. Остается доказать замкнутость
второго слагаемого. Согласно VII.9.8(b),
T))(T-X0I)h(T)l =
где h(k) = O в окрестности Хо и h(k) = (К — ^Г1 в остальных
точках. Так как, очевидно, что A-Е(V» Т)) {Т — V) Ж ^
c=(/_?(V, Т))Ж, то
Г))*,
откуда следует замкнутость 9? (Г), ч. т. д.
В дальнейшем в этой главе^мы вернемся к общей теории неогра-
неограниченных сопряженных операторов в банаховом пространстве.
Следует отметить, однако, что в том случае, когда рассматриваемое
банахово пространство является гильбертовым, имеется еще одно
26 Н. Данфорд и Дж. Шварц,
402 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
понятие сопряженного оператора. Дело в том, что в гильбертовом
случае используют обычно эрмитово сопряженный оператор. Это
приводит к тому, что в формулах, относящихся к гильбертову про-
пространству,, возникает комплексное сопряжение, в то время как
в соответствующих формулах в банаховых пространствах его нет.
Однако это различие не доставит читателю серьезных затруднений.
9. Лемма. Пусть Е — проектор в В-пространстве <? с конечно-
конечномерной областью значений и Е*: X* *->¦ X*— его сопряженный.
Тогда если <p4, <р2, ..., Фп — базис в ЕЖ, то в ?*Х* найдется
единственный базис ip*, i|)*, •.., iftt, удовлетворяющий [условиям
* () 6j/, при этом
Доказательстю. Любой элемент Ef можно единственным обра-
образом записать в виде
где at (/) — линейные функционалы. Если fm-*f и at (fm) ->¦ aiy
то, очевидно, at = at (/). По теореме о замкнутом графике, однознач-
однозначно определенные линейные функционалы аг непрерывны. Следова-
Следовательно, аг (/) = i|)*(/) для некоторых if* 6 X*. Из равенства
сразу же следует, что
так что элементы яр*, я|?*, ..., г|э* порождают ?*$*. Покажем, что
яр*, г|)*, ..., г|)* линейно независимы. Допустим, что 2 Рг^? = О;
тогда
так что лемма 9 полностью доказана, ч. т. д.
Переходим к подробному исследованию дифференциального
оператора второго порядка, порожденного формальным дифферен-
дифференциальным оператором
3. Оператор второго порядка с разделенными условиями 403
Следствие 2.9 позволяет свести изучение этого оператора к более
простому оператору —(d/dtJ в L2 @, 1). Свойства последнего опера-
оператора собраны в следующей лемме:
10. Лемма. Пусть k0, k± — произвольные постоянные и Т —
неограниченный оператор в L2 @, 1), определенный формальным
дифференциальным оператором т = —(d/dtJ и граничными усло-
условиями
J @) - йоГ(О) =0, / A) - kj'(l)l= 0.
Тогда Т — спектральный оператор, удовлетворяющий предположе-
предположениям п. (Ъ) из следствия 2.9.
Замечание. Утверждение леммы остается в силе, если хотя
бы одна из величин k0, k^ (или каждая из них) равна оо; соответ-
соответствующие граничные условия в этом случае будут иметь вид
Г @) = о и г A) = о.
Доказательство. Мы будем предполагать, что k0 и k^ отлич-
отличны от нуля и бесконечности; случай, когда это условие не
выполнено, разбирается совершенно аналогично. Если положить
% = s2, то общее решение уравнения
_/"(/)_ А/@ = 0
имеет вид sin s (t + а), где а — произвольная постоянная. Гранич-
Граничные условия в точках t = 0 и t = 1 приводят соответственно
к равенствам
tg sa == kos,
tgs(l + a) = kts.
Отсюда, используя формулу сложения для функции tg, получаем,
что Т — А,/ не имеет обратного лишь в тех точках А, = s2, в которых s
является корнем уравнения
По следствию 2, X лежит в спектре а (Т) в том и только в том случае,
если s удовлетворяет уравнению (i). Так как не каждое s удовлетво-
удовлетворяет уравнению (i), то, согласно лемме 3, Г дискретен. Поскольку
функция tgs периодична с периодом я, то корень уравнения (i)
в полосе Bп — 1/2) п ^ Re s ^ Bn + 3/2) п является суммой 2яп
и нуля функции
ПО t c(s + 2nn)
2 6*
404 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
в полосе — A/2)я^Res^C/2)я. Заметим, что |tgs|->-l при
| s | ->- оо в этой полосе и
lim
п-юо
= 0;
отсюда следует существование такого конечного /С, что при доста-
достаточно больших п нули функции (ii) лежат в прямоугольнике
I Im s | ^ /С, —A/2) я ^ Re s ^ C/2) я. Функция tg s имеет два
простых нуля в точках s = 0 и s = я полосы —A/2) я ^ Re s ^
^ C/2) я. Отсюда в силу леммы 5 для больших п функция (ii) имеет
ровно два нуля в полосе —A/2) я ^ Re s ^ C/2) я, и эти нули sn,
^ асимптотические разложения
Подставляя эти ряды в (ii), мы получаем а[ = а4 = с (dri)'1. Следо-
Следовательно, нули sn функции (ii) можно перенумеровать, пропустив
конечное число членов, так что sn = пп + с (dnri) + О (п2). Таким
образом, мы расположили собственные значейия оператора Т
в такую последовательность %п (п = k9 k + \, . . .; возможно,
k Ф 1), что
К = ЫJ + 2cd~1 + О (п-1).
Отсюда, обозначая через dn расстояние от Хп до остальной части
спектра Г, получаем
dn = n2Bn— 1) + О(п-*)9
так что
оо
2 du2 < оо.
n=k
Граничные условия, определяющие наш оператор, таковы, что
каждому %п соответствует, очевидно, единственная (с точностью
до скалярного множителя) функция <pn, удовлетворяющая условию
Следовательно, если Е (kn) не одномерен, то в силу леммы 2.2 %п
есть кратный полюс резольвенты. По лемме 8 это имеет место лишь
при условии (фЛ, if>n) = 0, гдея|)п — решение уравнения
Поскольку^ силу теорем XIII.2.10 и ХП.4.28 7* определен фор-
формальным дифференциальным оператором —(d/dtJ и граничными
условиями / @) — kof @) = 0, /'#A) = 0, то существует такое число
уп ф 0, что
3, Оператор второго порядка с разделенными условиями 405
Итак, Яп может быть кратным полюсом резольвенты оператора Т
лишь при условии
1
Имеем
фп@ = sin sn (t-\-an) == sin (snt + pn),
где число рЛ удовлетворяет условию
*o1s^1sinp7l = cospn.
Отсюда сразу следует, что
так что
фп (t) = cos (snt-\-8n), 8n = (/wi^oJ^+O (ra~2)-
Поэтому
1 1
фп@J^~ \ cos2 nut dt =1-j-,
так что лишь конечное число точек Хп может • оказаться кратными
полюсами резольвенты Т. Для тех А,п, которые являются простыми*
полюсами резольвенты Г, проектор Е (Агп) по лемме 9 является инте-
интегральным оператором с ядром
<Pn(t)<f>n(u) = En(t, и),
где фп = спфп и сп выбрано так, что
1
}
о
Простой подсчет показывает, что
сп = 2-1/2
Отсюда
^п (х, y) = Y cos пял: cos miy — -— ^ ° ; sin плх cos nny —
и потому ?„ разлагается на четыре слагаемых:
(Hi) ?n = ?
406 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Используя разложение (Hi), легко доказать равномерную ограни-
ограниченность величин I S Еп L где J — произвольное конечное множе-
ство целых чисел .* Имеем
IS En\<h
ибо проекторы Ёп взаимно ортогональны. Далее,
IS д»км,
так как
|Лп|=О(п-2) -и S п~*<оо.
Операторы Ап и Вп имеют вид
Ап = ЕпАп, Вп = ВпЕ%,
где
\Ап\ = О{гГ1) и \Въ\ = О (м-1);
повторяя (с очевидными изменениями) рассуждения, примененные
в конце доказательства теоремы 2.7, мы получаем не только рав-
равномерную ограниченность величин | S An |» но и соотношение
(iv) lim| S Ат\ = 0.
n-*-oo m=n
Чтобы закончить доказательство леммы, остается проверить
равенство
2
По лемме 2.5 проектор
i=k
либо отображает все пространство на бесконечномерное подпро-
подпространство, либо является нулевым. Но, согласно (iv),
оо оо
Щ-* 00 71=771 71=771
Следовательно, по лемме VII.6.7, оператор
3. Оператор второго порядка с разделенными условиями 407^
является конечномерным при достаточно больших т\ отсюда выте-
вытекает, что ?оо — конечномерный проектор, ч. т. д.
—> 11. Теорема. Пусть Т — неограниченный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве L2 @, 1), определенный формальным диф-
дифференциальным оператором т = —(d/dxJ и граничными условиями
М / @) - Ы' @) = 0,' / A) - kj' A) = 0,
где k0 и ki — произвольные (возможно, бесконечные) комплексные
числа. Тогда для любого ограниченного оператора В оператор Т + В
является спектральным.
Доказательство следует из леммы 10 и следствия 2.9, ч. т. д.
12. Следствие. Пусть q — ограниченная измеримая функция
и Т — неограниченный дифференциальный оператор, определен-
определенный формальным дифференциальным оператором
'--(?)*+««
и граничными условиями [*]. Тогда Т — спектральный оператор.
Доказательство следует из теоремы 11, ч. т. д.
В заключение мы докажем одно полезное элементарное утвержде-
утверждение из теории спектральных дифференциальных операторов.
13. Лемма. Пусть т — формальный дифференциальный опера-
оператор порядка п, определенный в интервале I, Т — дискретный
спектральный оператор, порожденный оператором т и конечным
числом граничных условий, {Кп} — спектр о (Т) оператора Т и J —
компактный интервал из /. Тогда для любой f из ® (Т) ряд
сходится к f безусловно в топологии пространства Л(П)(У).
оо
Доказательство. Ряд 2 E(kr,T)f, разумеется, сходится без-
безусловно в топологии пространства L2(J). To же самое верно
и для ряда
T(f> Е(Кг;Т)!)=% E(Xt;T)(Tf)
(см. VII.9.8). Следовательно, по лемме XIII.2.16 исходный ряд
сходится безусловно в топологии пространства Л(П) (J), ч. т. д.
408 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
14. Следствие. Пусть Т — mom же оператор, что в след-
следствии 12, и f — функция из ® (Т). Если {Xt} — спектр о G), то ряд
2 E(h)f
сходится безусловно в топологии пространства Ai2)(J).
Доказательство сразу же следует из следствия 12 и лем-
леммы 13, ч. т. д.
4. Спектральные свойства оператора (— -з-)
В этом параграфе будет показано, что дифференциальный опе-
оператор п-то порядка на конечном отрезке порождает спектральный
оператор при граничных условиях из некоторого достаточно широ-
широкого класса. Для этой цели мы применим общую теорию возмущений
из § 2, рассматривая произвольный дифференциальный оператор
n-го порядка (со старшим членом (—idldt)n) на отрезке [0, 1] как
возмущение основного оператора
на отрезке [0, 1]. Иногда мы будем писать т вместо хп.
В этом параграфе через Bt, i = 1, . . ., п, мы обозначаем сово-
совокупность п линейно независимых граничных значений для т. Соглас-
Согласно следствию XIII.2.23, существуют две такие (п х я)-матрицы atj,
$и, что
A) Biif)^ ^-/(i)@)+nS Puf(i)(l). *'=!, ..., п.
Через Т обозначается оператор, заданный на множестве
B) Ф(Т) = {/|;еЯ<">(/), ?,(/) = 0, f=l, ..., п)
формулой
C) 77 = Tnf, /
Мы изучим резольвенту Т\ для этого начнем с исследования
множества собственных значений этого оператора.
Сначала мы произведем нормализацию множества граничных
условий. Пусть В — граничное значение Bf = 2 Yj/(i)(O) +
j"=0
n-l
+ 2 7/(;)A)- Назовем порядком граничного значения В в точке О
наибольший из номеров /, для которых у7- ^ 0. Аналогично опреде-
определяется порядок граничного значения В в точке 1. Наибольший иа
4, Спектральные свойства оператора (A/0 (djdx))n 409
этих порядков называется порядком граничного значения В. Ясно,,
что, имея два граничных условия В (/) = 0, С (/) = 0, в которых
граничные значения В и С имеют одинаковый порядок т в нуле,
мы можем, вычитая из В надлежащим образом подобранное крат-
кратное С, перейти к равносильной паре граничных условий В (/) = 0,
(С р5) (/) = 0, где граничное значение С — рВ имеет в нуле
порядок, меньший чем т. То же самое относится к точке 1. Отсюда
следует, что, имея три граничных условия В (/) = 0, С (/) = 0
и d ф = о, в которых порядки В, С и D не превосходят т, мы мо-
можем найти равносильную систему трех граничных условий В (/) =
= 0, С (/) = 0, D (/) = 0, в которых порядки В и С не превосхо-
превосходят т, а порядок Ъ не превосходит т— 1. Если В, С оба имеют
порядок т, то, заменяя В и б на Б — рСиС — р4В, где
р, р4 — подходящим образом подобранные числа, мы приходим
к равносильной системе из трех граничных условий, в которой
не более одного элемента имеет порядок т в точке 0 и не более одно-
одного элемента имеет порядок т в точке 1. Применяя это рассуждение
по индукции к исходной системе Bt граничных условий, получаем
равносильную систему, в которой порядки тг граничных значений
' Bt образуют невозрастающую последовательность целых чисел, не
содержащую трех последовательных равных элементов, причем если
Bt и Bi+i имеют одинаковые порядки, то Вг имеет в нуле больший
порядок, чем Bi+i, а Вг+{ имеет в гйочке 1 больший порядок, чем Bt^
п
Сумму 2тг мы обозначим' через р.
г=1
Легко видеть в этом случае, что пара членов порядка mt в гра-
граничном значении Вг определяется с точностью до умножения на
постоянную и не зависит от способа нормализации исходного мно-
множества граничных условий. Наконец, умножая Bt на подходящие
отличные от нуля числа, мы можем считать, что если Bt содержит
/GП^@) с ненулевым коэффициентом, то этот коэффициент равен 1,.
а если Bt не содержит /(т^@) с ненулевым коэффициентом, то коэф-
коэффициент при /(ш^A) равен 1.
При доказательстве нам придется различать случаи четного-
и нечетного п; мы рассмотрим эти случаи отдельно.
Случай 1: п четно. Пусть п = 2v и Wj, j = 0, . . ., п — 1,—
корни степени п из единицы, перенумерованные так, что w0 = lr.
wv = —1, мнимая часть wt положительна при 0</<vh отрица-
отрицательна при v < i < 2v.
Пусть % — произвольное комплексное <шсло и fx = fx (К) —
единственный корень степени п из К, лежащей в секторе л/я ^
410 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
^ arg \i ^ (—к)/п комплексной плоскости. Положим
,t|i»fc(«-i)j v<?<2v.
Тогда, очевидно, функции а0 (/, (я (А,)), . . ., ап_4 (t, \x (А,)) образу
ют базис пространства решений уравнения xnf = A,/.
Положим
E) Bt (ak (\i)) = Mik (fx).
Ясно, что собственными значениями Т являются в точности те А,
для которых существуют такие не равные нулю одновременно
постоянные с0, . . ., сп-и что
п-1 п-1
М2
Следовательно, если положить
F) Af ((x) = det (Afu ((i))t
то собственными значениями Т будут корни уравнения М (\i (A,)) =
= 0.
Мы изучим корни уравнения М (\i) = 0 и покажем, что при
некоторых ограничениях на граничные условия {Bt (/) = 0}, опре-
определяющие оператор Т9 они допускают простое асимптотическое
представление.
Из формулы D) для функций ok (t9 fx) и из формулы A) для Bt
видно, что функции Bt (ok (/, (х)) = Mik (fx) имеют вид
G)
где Pik и Q^ — многочлены от \i степени, не превосходящей пгг
для всех 1^/<п, O^fe^n — 1.
Пусть А есть сектор
в комплексной плоскости. Изучим нули Л1 (|i) в Л. Так как (х (А,)
лежит в секторе А для всех А, то мы получим поэтому полную
информацию о нулях М ((х (К)). Поскольку wk при 0 < k < v есть
корень n-й степени из единицы с положительной мнимой частью,
то при 0 < fe < v число Шь[х пробегает некоторый угол в левой
полуплоскости, когда (х пробегает Л. Аналогично, при v < k < 2v
4. Спектральные свойства оператора ((I/O (d/dx))n 411
число Шь|я пробегает некоторый угол в правой полуплоскости,
когда \i пробегает Л. Следовательно, если положить
Nik(v>)=Pik(v.), 0<k<v или v<?<2v,
(9) Ni0 (|х) =Mi0 (|x) = Pi0 ((x) + Qi0 (fx) №,
Niv ([x) = Afiv ((x) - Plv (\L) + Qiv (|i) *-'»,
то найдется такое а > 0, что
A0) I tf ,* ((x) - M*fe (ji) | = О (e-l i* I),
когда \х стремится к бесконечности, оставаясь в секторе А. Положим
N ([х) = det (Nik ((x)). Из формулы (9) для матрицы Nik, (p) видно,
что N (ix) можно представить в виде
A1) NM^ni ((х) ^+л2 ((х) е-^+Яз ((х),
где яь jt2 и л;3 — многочлены от (х степени, не превосходящей
п
р== 2 ^г- Из соотношения A0) следует, что для любого положи-
i=i
тельного числа Ь < а
A2) |А^),-М([х)| = О(е-МдН-|1т1г|O
когда [х->- оо, оставаясь в секторе А.
Чтобы продолжить исследование, нам придется сделать сле-
следующее предположение:
1. Условие регулярности в случае четного порядка* Многочле-
Многочлены Hi и щ имеют степень р.
Если условие регулярности 1 выполнено, то
Я! (ц) = аР[лр+аР-1|*р~1+ ... +а0, аР ^ 0,
A3) я2((А)
Проверку условия 1 можно облегчить, используя следующее
элементарное соображение. Из уравнений A), D) и описанной выше
нормализации граничных условий видно, что члены порядка р
в определителе N ([х) совпадают с членами порядка р в определителе
N ((х) матрицы (Nihiv))* определенной равенствами
Nik (|а) = ач т. (wwh)mi, 0 < k < v,
(Ц) = Pi. m. (tVWkf*, V < ft < 2V,
((X) = CXit ш. (i(Xp + pi, Г*
((x) = au m. (- i»m'+Pi. m.
412 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Вынося из определителя N (|i) множитель (i\i)v, получаем, что
коэффициенты аР1 Ьр, ср членов порядка р в определителе N (\i)
совпадают с коэффициентами ар, Ьр, ср в определителе A/(|i) =
= aveiV'-\-bpe-iv--X-c-p матрицы (Nik), определенной равенствами
Таким образом, вопрос о том, выполнено или нет условие 1,
полностью определяется лишь «старшими» коэффициентами в гра-
граничных условиях, т. е. коэффициентами сч, т. и Pi,m. при старших
производных, входящих в N (\i) с ненулевыми коэффициентами.
Если условие регулярности 1 выполнено, то из соотношений
A1), A2) и A3) мы получаем, что
A4)
равномерно, когда | ц |->оо, оставаясь в Л, где ри /?2 и р3 —
многочлены от ji без свободного члена. Пусть t и s — столь боль-
большие числа, что
и последний член из правой части равенства A4) м(еныие, чем
I аре^ |/3 при | \i | > t> —Im \i > s. Тогда из A4) ясно, что М (|i)
не обращается в нуль в области {\х 6 Л I — Im |i > s, I [x I > /}
из Л. Аналогично,'мы можем выбрать столь большие / и s, чтоМ (|i)
будет отлична от нуля в области {|i 6 Л | Im \i > s, I |i I > /}.
Итак, мы доказали следующую лемму:
2. Лемма. Пусть совокупность A) граничных условий удо-
удовлетворяет условию регулярности 1. Тогда существуют столь боль-
большие вещественные числа t и s, что любой нуль z функции М (\х) (опре-
(определенной формулой F)), лежащий в угле А (определенном форму-
формулой (8)), удовлетворяет либо условию I z \ < /, либо условию
llmzKs. y
Выберем а так, чтобы
A5) aveia=— bpe-^^k.
4. Спектральные свойства оператора {A/i) (dldx))n 413
Тогда мы можем написать, что
A6)
где
Мы покажем ниже, что нули М (ц) близки к нулям функции
sin (fi — а) — Р- При Р =т^= ± 1 все нули последней,функции простые.
р р = -+-1 функция sin (ц — а) ± 1 имеет двойные нули в точках
= ее ± л/2 + 2лл. Следовательно, мы должны отдельно разобрать
случаи Р = ±1 и р^=±1.
Случай 1А: постоянная Р в формуле A6) отлична от ±1. Тогда
лолоса периодов 0^ Rez< 2jt содержит ровно два корня г1э z2
уравнения sin г = р. Действительно, отображение w-^h(w) =
= w — A/а;) переводит до-плоскость с выколотой точкой w = 0
на всю ^-плоскость, и при этом любая точка г, кроме z = ±2/,
является образом ровно двух точек w. Отображение z^eiz пере-
переводит взаимно однозначно полосу периодов 0 ^ Re z < 2jt на
эд-плоскость с выколотой точкой w = 0. Так как sin z = A/2/) /i (eiz),
то наше утверждение становится очевидным. Следовательно, урав-
уравнение sin (z — а) — Р = 0 имеет лишь простые корни, которые
распадаются на две арифметические прогрессии вида г = 2пп +
+ а + 2i и г = 2лп + а + z2, где 2я > Re ^ > Re ^2 > 0, z4 =й=
=т^= z2. Чтобы получить отсюда информацию о нулях М (ц), мы вос-
воспользуемся сформулированной ниже леммой 3.
Согласно лемме 2, все нули М (ц), за возможным исключением
конечного их числа, лежат в полосе 1 Im z \ < s. Пусть ai выбрано
так, что нули zi + а и z2 + ос уравнения sin fz — а) = р лежат
внутри полосы периодов 2п (п + 1) ^ Re (z — а4) ^ 2лд; выберем
столь большое у, что у > | Im (z4 + а) | + I Im (z2 + а) |. Разде-
Разделим область 2jt^Re(z — а4) ^ 0 на две области RM и i?B>,
каждая из которых содержит ровно один из корней уравнения
sin (г — а) = р. Положим tfW = /?A> + 2тя, /?B) = i?B> + 2/mt.
Используя тот факт, что нули функции sin (z — а) — р имеют вид
2пт + а + z4, 2ят + а + z2, z4 =^= г2, 2jt > Re z4 > Re z2 > 0,
применяя лемму 3.5 и формулы A6) и A4), мы видим, что для доста-
достаточно больших т области R$ и Rffi содержат ровно по одному нулю
функции М (fi). Из леммы 3.5 и формул A6), A4) вытекает также,
что нули tn функции М (|х), лежащие в Rtf\ имеют асимптотическое
представление
414 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
а нули In функции М (|л), лежащие в R%\ имеют асимптотическое
представление
сю
С„ ~ 2я/г+а+22+ 2 Un-m,
771=1
где ?т, ?т— некоторые коэффициенты. Поскольку полоса |
< s, Rez^(zi-\-z2)/2 — и является объединением областей
л=1,2,-..., и Rn\ n=l,2, ..., мы доказали следующий
результат:
3. Лемма. Пусть множество граничных условий A) удовлетво-
удовлетворяет условию регулярности 1 и постоянная Р из формулы A6)
отлична от ± 1. Тогда era ш/лw функции М (|i) (определенной форму-
формулой F)) в секторе А (определенном формулой (8)), кроме, быть
может, конечного их числа, являются простыми и могут быть рас-
расположены в две последовательности {?т}, {?т}, имеющие асимп-
асимптотические разложения
A8) ?т( + 2 ), f (f §
п=1 п=1
Так как А, = (|i (k))n, то корни уравнения М (\х (I)) = 0 — это
просто я-е степени корней уравнения Л1 (\х) = 0. Таким образом,
в силу следствия 3.2 спектр Т совпадает с множеством корней урав-
уравнения М (ц (А,)) = 0. Из леммы 3 и следствия 3.2 вытекает
4. Лемма. Пусть множество граничных условий A) удовлет-
удовлетворяет условию регулярности 1 и постоянная Р из формулы A6)
отлична от 4=1. Тогда спектр оператора Т, определенного формула-
формулами B) и C), содержит только изолированные точки, каждая из
которых принадлежит точечному спектру Т. Если исключить
некоторое конечное множество этих точек, то оставшиеся точки
можно расположить в две последовательности {km}, {km}, допускаю-
допускающие асимптотические разложения
A9) JWn~Bnm)n(l-f 2 dkm~k), Ят - Bпт)п (l + § dhm~h),
где
5. Следствие. ?Ъш выполнены предположения леммы 4,
оператор Т дискретен.
4. Спектральные свойства оператора (A/?) (d/dx))n 415
Доказательство вытекает из лемм 4 и 3, ч. т. д.
Чтобы применить к Т теорию возмущений из § 2, мы должны
показать, что для всех точек к0 из а (Т)9 за исключением конечного
их числа, проектор Е (^0) одномерен. Это делается в следующей
лемме. •
6. Лемма (Г. Д. Биркгоф). Простой нуль к0 функции M(\i (к))
является простым полюсом резольвенты оператора Т. При
этом проектор Е(к0) = Е (ко\ Т), соответствующий точке kOr
одномерен.
Доказательство. Обозначим отрезок [0, 1] через /. Возь-
Возьмем функцию / из L2(I) и обозначим через G (k) f единственное
решение g уравнения (к — %п) g =- /, удовлетворяющее начальным
условиям g @) = g' @) = . . . = gin-b @) = 0. Согласно след-
следствию XIII. 1.5, G (k) f зависит от к аналитически. Так как, очевид-
очевидно, G (к) является замкнутым отображением из Ь2 (/) в Я(П)(/), то
по теореме о замкнутом графике (П.2.4) G (X) — ограниченное
отображение Ь2A) в Н{П)A). Но поскольку топология Я(П)(/) силь-
сильнее индуцированной топологии Н(П)A) (как подпространства в L2(/))r
G (к) можно рассматривать либо как ограниченное отображение
L2 (/) в Я(П)(/), либо как ограниченное отображение L2 (/) в себя,
аналитически зависящее от параметра к. Пусть Mik (|i) — алгебраи-
алгебраическое дополнение элемента Mih(\i) матрицы E), так что
М ((i) Mik (fx) — элементы матрицы, обратной к матрице, опре-
определенной равенствами E). Тогда Mik (\i) аналитически зависит от \х„
l^i, k 4j п. Рассмотрим элемент
из Я(П)(/). Так как (т — к) Gk (\х(к)) = 0, мы имеем (k — i;)H(k)f=-
= (k — x)G(k)f=-f. Кроме того, в силу соотношений E),
2 Mikdiik^M^dxik))BtG (к) f =
г, h=l
Следовательно, Я (Я,) / лежит в ф (Т), т. е. Н (X) совпадает с резоль-
резольвентой R(k;T). Итак, доказана формула
B0) R(;)f()f(n()) J
г, h=l
для любого такого к, что М (\i (к)) Ф 0. Отсюда видно, что простой
нуль функции М (|л (к)) является простым полюсом резольвенты
R (к\ Т), и первое утверждение леммы доказано.
416 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Докажем второе утверждение леммы. Пусть ^0 — простой нуль
функции М (ц (к)) и, следовательно, простой полюс R (к; Т). Пред-
Предположим, что подпространство значений проектора Е (к0) по мень-
меньшей мере двумерно. Так как, согласно лемме 2.2 и следствию 5,
(Т — X0I) f = 0 для любой функции / из области значений проек-
проектора Е (к0), то существуют по меньшей мере два линейно независи-
независимых решения ф4, ф2 уравнения Тф = Хоф, удовлетворяющие усло-
условиям Bt (ф^ = Вг (ф2) = 0, * = 1, . . ., k. Функции ф4, ф2 одно-
п
значно представляются в виде cpi = 2 cu°i (l1 (fy) и ф2 =
3 = 1
п
~S C2jaj{\^ (к)) соответственно. Далее, векторы [ciu . . ., cin] и
l^2i, • • ., c2nh очевидно, линейно независимы. Дополним их
до базиса я-мерного пространства векторами [c3ii . . ., c3nh • • •
. . ., [cnU . . ., спп\. Тогда (си) — невырожденная матрица. Положим
cuoj (ц (Я)), Фо- (Л) = В, (Фу (Л,)), Ф (X) =
Если С — отличный от нуля определитель матрицы (си), то Ф(^) =
= СМ(\х (К)) в силу соотношений E) и F). При X = i0 две первые
строки матрицы Фг;- (К) обращаются в нуль. Поскольку определи-
определитель Ф матрицы Фг] является линейной комбинацией произведений
элементов двух этих строк на элементы остальных строк, то Ф
имеет двойной нуль в точке X = Хо. Это противоречие доказывает
лемму, ч. т. д.
Выведем асимптотическую формулу для проекторов, связанных
с различными собственными значениями оператора Т.
Положим
S (ш;-)Л#"8), t<s.
i
Ясно, что g бесконечно дифференцируема по t и s при t=?s и
(tn — |in) g1 (ji; f, s0) = 0, гф s0.
Кроме того,
2v-l
Поскольку сумма \k-x' степеней корней п-й степени из единицы
равна 0 при кфп и равна п при k = n, мы имеем
gr<ft> (fx; s+, s)-g<ft>(|i;s_, s)=0, 0<ft</i-l,
( } g^ (|i; s+, s) - ?<*-* (w s.? s) = in.
4. Спектральные свойства оператора (A/i) (d/dx))n 417
Следовательно, g(\i;s0) лежит в С(П~2> [0, 1], но не в О"'1* [0, 1].
Положим
1
Тогда
1
@ = J
о
и, дифференцируя еще раз, получаем
1
Итак, (Tn-|*n)GJ = /.
Рассуждая так же, как при выводе формулы B0) из леммы 6,
приходим к соотношению
B3) Rdi^^f^G^f-M^r1 2 Mih (ц) (B,Gj) Gk (ц),
где Mik (fi) — алгебраическое дополнение к элементу Mik(\i)
матрицы, элементы которой заданы равенствами E).
Из (9) и A0) ясно, что Mjk([i) имеет асимптотическое пред-
представление
B4) Mjk (ix) ~ tiv-mJ (njk (p) e^+n'jk (p) e-*+n*jh (^)),
где я,/*, я]/,, я^ — многочлены от l/|i. Из формул B1) и D) сле-
следует, что (BiG^f) можно записать в виде
те 1
B5) (BtGJ) = pi"" 2 7-щ Ы j а* A - s, p) f (s) ds,
где Tik — многочлен от \i степени, не превосходящей т%. Используя
формулы A1), B3), B4) и B5), мы видим, что резольвента
27 н. Данфорд и Дж. Шварц
418 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
R (цп; Т) представляется асимптотическим рядом
B6)
п ' 1
2 (Akj (|i) е^ + А^М е-^ + АЪ (ц)) сг,(*, |i) J <rfe (I -s, |i)f(s) rfs
„i-n fe,i=l о
где Л, Л', Л" и Ahj, Ahj и Л?;- — многочлены от 1/[х. Более того,
асимптотическая формула B6) допускает дифференцирование любо-
любого порядка по х. Ясно, что свободные члены а, а' и а" в A(\i), Л'(Н')
и Л" ([х) — это те же самые постоянные ар, Ьр> ср> которые участвуют
в формулах A3) и A6). Проекторы Еш = Е (^т; Т) и Еш =
= Е (Хт\ Т) являются вычетами в точках \т и 1т функции R (X; Т),
sl также, очевидно, функции /zji71/? (|in; T). В силу формулы B1)
Gp, аналитична, так что достаточно рассмотреть вычеты функции
B7) гцх71-1!? (^т; Т) - гцх^Ю»
в точках ?т и ?т. Согласно лемме 3, существует столь малое е > О,
что если Ст — окружность радиуса 8 с центром в точке 2пт + 2ziclf
то gm является единственной особой точкой R (ц71; Г) в Ст. Следо-
Следовательно, вычет Ет = Е (Хт; Т) можно получить интегрированием
функции B7) по Ст. Из формулы B6) вытекает, что Ет представля-
представляется асимптотическим рядом
B8) {Emf)(t)~
1
2ш* J J
C О
х
k(L— S,
причем обе части этой формулы допускают дифференцирование
по х любого порядка. Так как в круге Со нет нулей функции
равномерно на Со. Следовательно, формулу B8) можно переписать
так:
п 11
_ - (• г» ((Хъ & Л~ a'u a? -\~ a!L •)
B9) (Emf)(.)~ ^ 1У ' -,и+Л..Т* X
h, i=0 Co 0
X Gj (•, (А
п-1 1
J { 2ят) / (s) ds rfjx,
ft, i=0 Co
4. Спектральные свойства оператора (A/Q (d/dx))n 419
где akj, a'uh ajj — некоторые постоянные, a F$\ O^k, j < п,
m^l, последовательность функций от \л, имеющая асимпто-
асимптотику О (т) равномерно на Со при т ->¦ оо. Используя фор-
формулу B9), мы покажем, что семейство всех сумм
где / пробегает все конечные подмножества множества целых чисел,
равномерно ограничено. Так как функции Gj (•, [i + 2пт) равно-
равномерно ограничены при [i 6 Со и т ^ 1 (по формуле D)) и
crfe A — {/, |i + 2ят) = аьA — у, \i)oh A — у, 2ят) (согласно
той же"формуле), то в силу соотношения B9) достаточно доказать
два следующих утверждения.
(а) Пусть А(™ (|i), где 0 ^ k, j < /г, m ^ 1 и [i 6 Со, есть
интегральный оператор вида
1
C0) А№ (v) f = ok (^+2шл) J ay A - s, }х+2ят) f (s) ds.
о
Тогда семейство всех сумм
остается равномерно .ограниченным, если \х пробегает' Со, k, j
множество всех целых чисел, лежащих между 0 и п— 1,*а J
совокупность всех конечных множеств целых чисел.
(Ь) Пусть при 0<&<я оператор bm\f) определен формулой
1
ЬЙ}/= Jorft(l-s, 2nm)f(s)ds.
о
Тогда существует такая постоянная М, что
°° I b(fe) (f)
2 m
m O, f6L2@f 1).
Утверждение (b) сразу же следует из теоремы о равномерной
ограниченности (следствие П.3.21) и леммы IV.4.1, как только мы
покажем, что
C1) 2 l^^l^oo, o^k<n, feA(o,i).
m=l
Это будет доказано в следующей далее лемме 7.
27*
420 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Если U$\ V^ обозначают операторы умножения на ak (t, ц)
и cjfe(l— t, \i) соответственно, то из формул C0) и D) следует,
что
C2) A$'(p) =
Поскольку операторы U^ и V™ равномерно ограничены, когда |i
пробегает Со, для доказательства утверждения (а) достаточно про-
проверить, что семейство сумм
2 4(), <, /<
m?J
равномерно ограничено, когда J пробегает множество всех конеч-
конечных подмножеств целых чисел. В силу принципа равномерной
ограниченности (следствие П.3.21) и формул C1), C0), для этого
достаточно доказать равномерную ограниченность в L2 @, 1) семей-
семейства сумм
2 bmPj(t, 2ШЯ),
?J
когда J пробегает множество всех конечных подмножеств целых
чисел; здесь 0 ^ / < /i, a {bm} — произвольная последователь-
последовательность из 12.
Таким образом, оба утверждения (а) и (Ь) вытекают из следую-
следующей леммы:
7. Лемма. Пусть а Ф 0, Re a ^ 0. Тогда
(а) для любой функции f из L2 @, 1) последовательность
принадлежит 1г\
(b) для любой последовательности {Ьт} из 12 семейство всех
конечных сумм членов последовательности {Ьт ехр Bптах)} огра-
ограничено в L2 @, 1).
Доказательство. Сначала докажем (а). Если а = i'P,
Im Р = 0, то, разлагая / в конечную сумму квадратично интегри-
интегрируемых функций, каждая из которых обращается в нуль вне интер-
интервала длины не более 1/р, и применяя обычную теорию разложений
по ортонормированным системам в гильбертовом пространстве
(теорема IV.4.13), мы сразу получаем нужное утверждение. Если
Р = —Re a > 0, то, очевидно,
4. Спектральные свойства оператора (A/i) (d/dx))n 42?
Полагая / (/) = 0 при /> 1 и делая замену s = —2zi$t, мы можем
записать правую часть неравенства в виде
оо
bm(\f\)=\e-mt\f(t)\dt.
О
Остается доказать, что для любой функции / из L2 @, оо) последова-
последовательность Ьт (/), определенная при т ^ 1 формулой
со
bm(f)=\e-mtf(t)dt,
Ъ
лежит в /2. Мы можем считать (это не ограничивает общности),
что / неотрицательна; в этом случае последовательность bm(f)
т
будет невозрастающей. Следовательно, |bm(f)|2^ \ \bt{f)\2dt
m-l
и нам остается только проверить, что
По теореме Фубини, для доказательства утверждения (а) достаточно
убедиться в том, что величина
оо оо со оо со
j j j e-mte-msf(t)f(s)dtdsdm= f С ШШ-dtds
ооо о о S'
j j j
ооо
конечна. Так как / лежит в L2 @, оо), то, согласно неравенству
Шварца, достаточно проверить, что функция
принадлежит L2 @, оо). Полагая ft (х) = / (tx) и применяя теоре-
теорему II 1.11.17, мы можем представить g как интеграл от вектор-
функции
со
Заметим, что | /в | = ( j f {tuf dtf2 = и- ^ \f \. Отсюда
о
422 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
и так как
Т01 I S I < °°- Итак, g ? Ь2 @, оо) и утверждение (а) доказано.
Мы сейчас выведем утверждение (Ь) из (а). В силу теоремы
о равномерной ограниченности (П.3.21) и теоремы IV.8.1 для
доказательства утверждения (Ь) достаточно установить, что для
любой функции / из L2 (О, 1) множество всех конечных сумм вели-
величин Ьт I exp Bnm<xt) f (t) dt = bmam (/) равномерно ограничено.
Поскольку {Ьт} принадлежит 12 по предположению и {аш (/)}
принадлежит 12 согласно (а), то это утверждение очевидно, ч. т. д.
Как указывалось выше, из леммы 7 вытекает равномерная огра-
ограниченность (по норме) множества всех конечных сумм проекторов
Ет. Так же доказывается равномерная ограниченность множества
всех конечных сумм проекторов Ет. Таким образом, мы доказали
следующее утверждение:
Множество всех конечных сумм проекторов Е (А,; Г), А, 6 сг (Г),
равномерно ограничено по норме,
(Здесь мы использовали теорему о равномерной ограниченности
(следствие II.3.21). Рекомендуем читателю сравнить эти и после-
последующие рассуждения с концом доказательства леммы 3.10.) *
Мы докажем сейчас, что
C3) 2 ?(Л;Г) = /,
откуда вытекает, что в случае 1А оператор Т спектрален. По лем-
леммам XVI 1.3.5 и XVI 1.3.4 ряд 2 Е (Я; T)f сходится сильно и без-
условно для любого / из Ь2 @, 1). Положим
g = f- 2 E(K;T)f;
мы хотим показать, что g = 0. Ясно, что Е (Я; Т) g = 0 для любого
X из о (Т). По определению 2.4 и лемме 2.6 R (k\ T) g — целая
функция от А,. С другой стороны, из асимптотической формулы B6)
и формулы B1), выражающей ядро оператора Gu, видно, что если
из угла А на |ш-плоскости (определенного формулой (8)) удалить
круги радиуса г с центрами в точках 2nm + 2nciy 2пт + 2nciy
являющихся нулями функции aeilx + а'е'1^ + a" =s аре^+Ьре'1[1 +
+ ср, то в оставшейся области функция /?(fxn; T)g рав-
равномерно ограничена и на бесконечности стремится к нулю, как
4. Спектральные свойства оператора (A/i) (d/dx))n 423
0A ц I1"1)- Следовательно, согласно принципу максимума модуля
и теореме Лиувилля, целая функция R (k; T) g является постоян-
постоянной. Дифференцируя по к, находим, что R (к; ТJ g = О, но так как
оператор R (к\ Т) взаимно однозначен при к ? р (Г), та g = 0.
Итак, в случае 1А оператор Т спектрален.
Полученные результаты мы сформулируем в следующей теореме.
8. Теорема. Пусть п — четное число. Пусть граничные
условия A) удовлетворяют предположению 1 и постоянная Р в фор-
формуле A6) отлична от ±1. Тогда оператор Г, определенный форму-
формулами B) и C), является дискретным спектральным оператором и для
всех его собственных значений к {за возможным исключением конеч-
конечного их числа) соответствующий проектор Е (k; T) одномерен.
Собственные значения Т имеют асимптотическое представление,
указанное в лемме 4.
Перейдем к случаю нечетного п*
Случай 2: п нечетно. Пусть п = 2v + 1, и пусть wjy } =
= 0, . . ., п — 1,— корни п-и степени из 1, перенумерованные так,
что w0 = 1, мнимая часть Wj положительна при 0 < / ^ v и отри-
отрицательна при v <С / ^ 2v.
Пусть к — произвольное комплексное число. . Если к лежит
в правой полуплоскости, то обозначим через \i = \i (к) единственный
корень п-и степени из к, лежащий в угле {\х \ п/2п ^ arg ц >>
> —п/2п}. Если же к лежит в левой полуплоскости, то через \i (к)
обозначим единственный корень п-и степени из к, лежащий в угле
{\i | п/2п ^ (arg ц) — п > —к12п) комплексной плоскости. Поло-
Положим
C4) ek(t, |ы) =
Тогда функции а0 (t, fx (к)), . . ., ап.4 (/, \i (к)), очевидно, обра-
образуют базис в пространстве решений уравнения т/ = kf. Пусть
C5) Bi (аА (ц)) = Mik (ц), М (ji) = det {Mtj
(Граничные условия Bt определены в A).) Как и в случае четного п,
собственными значениями оператора Т будут нули функции
М (\1 (к)). Мы изучим эти нули, рассматривая отдельно правую
И левую полуплоскости.
Из формул C4) для ok (t, (я) и формулы A) для Вг видно, что
Mik (\x) имеет вид
424 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
где Pik и Qik — многочлены от \х степени, не превосходящей ти
для всех 1 ^ i ^ /г, О^&^/г — 1.
На комплексной плоскости определим углы А± и Л2 следующим
образом:
Изучим нули функции M(\i) в Аи а затем в Л2. Так как |ы (X) лежит
в Ai U А2 для любого Я, то это дает нам полную информацию
0 нулях функции М(\х (К)). Поскольку wk при 0 < k ^ v является
корнем П'й степени из единицы с положительной мнимой частью,
мы приходим к выводу, что iwk\i при 0 < k ^ v пробегает некоторый
угол, целиком содержащийся в левой полуплоскости, когда ц
пробегает А±. Аналогично, iwk\i при v<&^2v пробегает некото-
некоторый угол в правой полуплоскости, когда |х пробегает А2- Следова-
Следовательно, если положить
Ni0 (fi) = Mto (v) = Pi0
1 }
то найдется такое число а ^> 0, что
C9) \Nik(ii)-M
когда fx->- оо, оставаясь в А±. Положим N ([i) = det (Nik
Из формулы C8) для матрицы (Nik (\i)) следует, что N (|х) имеет
такой вид:
D0) N (|ы) = Tii (\х) ^ + Jt2 (\i),
где я4 и я2 — многочлены от \i, степени которых не превосходят р.
Из соотношения C9) вытекает, что для любого положительного
числа b < а справедливо соотношение
когда | \х | -> оо, оставаясь в Ai. Чтобы продолжить наше исследо-
исследование, нам придется сделать следующее предположение:
9. Первое условие регулярности в случае нечетного порядка¦
Многочлены я* и я2 имеют степень р.
Итак, мы можем записать следующие равенства:
D2) "!?°'
4. Спектральные свойства оператора (A/г) (d/dx))n 425-
Из D2), D0) и D1) следует, что
равномерно, когда [L-+- оо, оставаясь в Ль где Р± (pi) и Р2 (fx) —
многочлены от (х без свободных членов. Выберем столь большие
t и s, что
а последний член в правой части равенства D3) меньше, чем
| аре{^ |/3 при | |х | > / и —Im (я > s. Из равенства D3) видно, что*
М (fx) не обращается в нуль в области {jx 6 Л4 | — Im \i > sr
| |i |> /}. Аналогично, можно найти столь большие t и s, что М (fx)
будет отлична от нуля в области {(я 6 А± | Im |x > s, | ц | > /}.
Подобные рассуждения проведем для угла А2. Положим
D4)
Тогда существует такое число а ^> 0, что
D5) | Л^ (ц) - e-iwb»Mik (\i) | = О (в—li*l), 0
D6) | /V,, (ц) - e^^Af iA (fx) | = О (e-*M), v
когда |(х|->сх), оставаясь в угле Л2. Положим A^(pi) =det(Nik(\i))~
Из D6) вытекает, что для любого положительного числа Ь < а
справедливо соотношение
\N(\i) — e^M (\i) | = О (е-ъ\Ме\1т м-1),
когда |jx|->oo, оставаясь в Аи здесь использовано обозначение
v 2v
Из формулы D4) для матрицы Nik([i) вытекает, что N(\i) можно
записать в виде
D7) Af U
где я4 и п2 — многочлены, степени которых не превосходят р.
Сделаем теперь второе предположение.
10. Второе условие регулярности в случае нечетного порядка.
Многочлены хц и п2 имеют порядок р:
Jt! ([а) = ар[1р + ... + а0, ар =5*= 0,
426 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Как и в случае 1, мы можем упростить проверку условий регу-
регулярности 9 и 10, используя следующее соображение. Если N(\\) =
= аег^ + Ь есть определитель матрицы Nik(ii), заданной равен-
равенствами
то, как и в случае 1, коэффициенты а и Ь совпадают (с точностью
до общего множителя, модуль которого равен 1) с коэффициентами
ар и Ьр из формулы D2). Аналогично, если N {\л) = ае1^-\-Ъ есть
определитель матрицы Nik([i)y заданной равенствами
/
I
ai,m(wh)mi,
то коэффициенты аи ^совпадают (с точностью до множителя, модуль
которого равен 1) с коэффициентами яр, Ър из формулы D8). Следо-
Следовательно, для нормализованной системы граничных условий пред-
предположения 9 и 10 зависят только от «старших» коэффициентов
в -граничных условиях, т. е. от коэффициентов aUmi и $i,mi при
производных наибольшего порядка, входящих в граничные условия
с ненулевыми коэффициентами. Если выполнены условия регуляр-
регулярности 9 и 10, то, как и в случае области Аи можно выбрать столь
большие t, s, что М (уь) не будет иметь нулей в подмножестве
{|ы 6 А2 | | Im [х | > s, | [i | > t} области At. Таким образом, мы
доказали следующий результат:
11. Лемма. Пусть граничные условия A) удовлетворяют
предположениям регулярности 9 и 10. Тогда существуют столь
большие вещественные t и s, что любой нуль z функции М((я), опре-
определенной формулой C5), который лежит в области А = At [} Л2,
определенной формулой C7), удовлетворяет либо условию \ z \ < t,
либо условию | I m z \ < s.
Заметим, что все корни уравнения apeilx + bp = 0 простые
и образуют арифметическую прогрессию вида 2nmi + z0. Используя
это обстоятельство, лемму 3.5 и предыдущую лемму, мы получаем,
как и в случае 1, что все корни уравнения М (fx) = 0, лежащие в Л4
(кроме конечного их числа), простые и могут быть расположены
4. Спектральные свойства оператора (A/0 (d/dx))n 427
в виде последовательности {?т}, причем выполняется асимптоти-
асимптотическое соотношение
оо
D9) Ьп ~ 2пт A + 2 Cntrr71).
4 ' 71=1
Рассуждения в случае области А2 совершенно аналогичны прове-
проведенным, и мы приходим к выводу, что все корни уравнения М (|ы) =
== 0, лежащие в А2 (кроме конечного их числа), простые и могут
быть перенумерованы так, что выполняется асимптотическое соот-
соотношение
E0) %т 2пт A + S ^ппгп).
71=1
Переходя от (^-плоскости к Я-плоскости, где % = \лп, и используя
леммы 3.5 и 4.6, мы получаем следующее утверждение (в случае
четного п аналогичное утверждение содержалось в лемме 4 и след-
следствии 5):
12. Лемма. Пусть граничные условия A) удовлетворяют пред-
предположениям регулярности 9 и 10. Тогда оператор Т, определенный
формулами B) и C), дискретен. Спектр Т состоит полностью из
изолированных точек. Если исключить из него некоторое конечное
подмножество, то все оставшиеся точки будут простыми полюсами
резольвенты Т, причем соответствующие проекторы одномерны.
Точки спектра о (Т) можно расположить в две последовательности
удовлетворяющие асимптотическим соотношениям
E1) к=1ж
%т Bя/и)пA+ 2 dkm-h).
fe=i
Чтобы доказать спектральность оператора Т, мы поступим так
же, как в случае 1А. Положим
E2) g(ii; t, s) =
V
ТУ1 2 (iwj) eiwj№-*\ t > s,
2v
— n-1^1-71 2 Aи>3)е™р<*-*\ t<s.
i+l
Тогда g бесконечно дифференцируема по t и s при t=?s. Как
и в случае 1А, полагая
1
428 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
получаем
(Tn-|xn)G^f = /,
так что
E3) R(v.n;T)f = Gvf-M(V.)-1 2 Mih (и) (B^f) ak (ц),
г, fe=l
где Мгд ((я) — алгебраическое дополнение элемента Л^ (ju,)
в матрице, элементы которой определены равенствами E).
Согласно формуле C8), Mik(\i) удовлетворяет асимптотическому
соотношению
E4) Mjk (ц) ~ цР-"У (ЯМ (fl) ^ + ЯЛ ([А)),
где я^, я# —многочлены от 1/(я. Из формул E2) и C4) следует,
что (BtGJ) можно записать в виде
п 1
E5) (BtGJ) = ^"^ ^ ^ (I*) ( °* (} ~ ^ V) f (s) ds>
где Tik — многочлены от \i степени, не превосходящей mt. Исполь-
Используя формулы D0), D1), E3), E4) и E5), мы видим, что резольвента
R (\in; T) удовлетворяет в секторе At следующему асимптотическо-
асимптотическому соотношению:
E6) R(^
П 1
2 (Ah3 W e^ + A'kj (fx)) oj (x, fx) J oh A -s, pi) / (s) ds
_ „l-n fe, i=l 0
AWe^ + A'di)
где Л, А1, Л^7- и Л^7- — многочлены от 1/ja. При этом асимптотиче-
асимптотическое соотношение E6) допускает дифференцирование по х (любого
порядка). Очевидно, что свободные члены а, а' в А (р) и А' (|ы)
совпадают с постоянными ар и Ьр из формулы D2). Отсюда, как
и в случае 1А, выводим, что проекторы Еш = Е (Xm; T) удовлетво-
удовлетворяют асимптотическому соотношению
E7) (Emf)(x)~
— (f
43 I
X
—s,
где Со — достаточно малая окружность с центром 2ятс1, а с4 опре-
определяется формулой D9). Более того, это асимптотическое соотно-
4. Спектральные свойства оператора (A/е) {d/dx))n ?29
шение допускает дифференцирование по х любое число раз. Так
как Со не содержит нулей функции ае^ + а! = аре1^ + Ър, то
I (А (|я+2ят) ех» + А {\л + 2пт))~1 — (ае^-^а')'1 \ = О (т)
равномерно на Со. Следовательно, формулу E7) можно переписать
в виде
п-1 1
E8) (Emf)~
v p p
2Л J J
k, ;=0 Со 0
m)aft(l—s,
n-l 1
+ 2
где akj, а'ы — некоторые постоянные, а Fhj\ O^k, j < n, ^
последовательность функций, имеющая асимптотику О (m) на Со
при т-+оо. Используя формулу E8), мы покажем, что мно-
множество сумм
\ У F \
J
где J пробегает множество всех конечных подмножеств целых чисел,
равномерно ограничено. Это следует из E8) с помощью рассуждений,
использующих лемму 7, как и в случае 1А. Аналогично, множество
всех конечных сумм проекторов Е (Xm; T) равномерно ограничено.
Итак,
множество всех конечных сумм проекторов Е (Я; 71), где А, ? a (T),
ограничено.
Теперь мы покажем, что
так что в случае 2 оператор Г также оказывается спектральным.
Как и в случае 1А, достаточно доказать, что если R (к; Т) g —
целая функция, то g = 0. Из асимптотической формулы E6)
и формулы E2) для ядра оператора G^ видно, что если удалить из
угла Ai на ^-плоскости (см. формулу, следующую за формулой C6))
круги с центрами в точках 2пт + 2пси являющихся нулями функ-
функций aeilx + а' = apeilx + bPi то в оставшейся области функция
R ([in; T) g ограничена. По принципу максимума модуля
R (\in\ T) g ограничена в At. Точно так же доказывается, что
функция R (pin; Т) g ограничена в А2. Следовательно, R (pin; T) g
ограничена на всей комплексной плоскости, откуда, как и в слу-
случае 1, получаем, что g = 0. Итак, Т — спектральный оператор.
Полученные нами результаты мы сформулируем в виде теоремы:
430 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
13/ Теорема. Пусть п — нечетное число и граничные усло-
условия A) удовлетворяют предположениям регулярности 9 и 10.
Тогда оператор Т, определенный формулами B) и C), является дис-
дискретным спектральным оператором, а проекторы Е (k; Т), соот-
соответствующие собственным значениям X, за исключением, быть может,
конечного их числа, одномерны. Собственные значения оператора Т
-удовлетворяют асимптотическим соотношениям, описанным в лем-
лемме 12
Г. П. Крамер описал интересный частный случай, когда условие
регулярности 1 выполняете^ автоматически. Пусть п = 2v и гра-
граничные значения {Btf} распадаются на две части: Ви . . ., Bv>
гдеу5* выражается только через /О)@), 0^/<v, и Ву+1, . . .
. . ., B2v, где Bt выражается только через f{j)(l), 0^/<v.
В силу замечания, следующего за формулой C), можно считать,
не теряя в общности, что порядки тг граничных значений Вг
удовлетворяют условиям mi>m2> . . . >mv, mv+1>mv+2 > . • .
. . . > m2v. Кроме того, мы можем считать, что коэффициент при
/<т*> в выражении Bt(f) =S Yj/(i) @) +2 Yj/(i)(l) равняется 1.
Тогда, располагая все граничные значения В1у . . ., Ву и Bv-h, . . .
. . ., B2v в порядке убывания их порядков ти мы получим совокуп-
совокупность граничных значений, удовлетворяющую условиям, описан-
описанным после формулы C). Таким образом, мы можем применить исполь-
использованные ранее рассуждения без предварительной нормализации
граничных значений В1у . . ., Вп. Согласно замечанию, сделанному
после формулировки условия регулярности 1, мы можем ограни-
ограничиться рассмотрением граничных условий вида Btf = f(mi) @) при
1 ^ i ^ v и Btf = /(тг>A) при v< i ^ 2v. Следовательно, матрица
Nik (fO> указанная после формулировки свойства регулярности 1,
определяется такими равенствами:
0
0
(iwh)mi
при
при
для
0<&<v
v < k < 2v
остальных
и
и
i и
v</<2v.
4. Спектральные свойства оператора (A/Q {d/dx))n
431
Определитель N (\i) имеет, следовательно, следующий вид:
Первые v строк
Последние v строк
8
О)
Нули
I
Нули
Раскрывая этот определитель порядка 2v по минорам порядка v,
согласно правилу Лагранжа, мы получаем всего два не обращающих-
обращающихся в нуль члена. Таким образом, наш определитель представляется
в виде PiP2 ± QiQ2, где Р^2 есть произведение
(iwof
(twoO1
X
X
причем ci9 будучи произведением двух ненулевых определителей
Вандермонда, отличен от нуля, a QtQ2 есть произведение
X
X
... (imv)"
(Ш!)
7712
432 Г л, XIX. Возмущения спектральных операторов
причем с2 не равен нулю по тем же причинам. Из замечания, сде-
сделанного после формулировки условия регулярности 1, мы прихо-
приходим к выводу, что постоянные ар и Ьр из формулы A3) отличны от
нуля, в то время как постоянная ср из той же формулы равна нулю.
Следовательно, условие регулярности 1 выполнено и число р из
формулы A6) равно нулю.
Таким образом, заключение теоремы 8 справедливо во всех
случаях, когда п = 2v, а граничные значения A) распадаются на v
граничных значений в нуле и v граничных условий в 1.
Сформулируем это в виде теоремы:
14. Теорема (Г. П. Крамер). Пусть п—четное число и Т—
замкнутый оператор, определенный формальным дифференциаль-
дифференциальным оператором rn = i~n (dldt)n на отрезке [О, 1] и п линецно
независимыми граничными условиями, причем п/2 граничных условий
задано в нуле и остальные п/2 в точке 1. Тогда справедливо заключе-
заключение теоремы 8.
В этой связи сделаем одно замечание о понятии регулярных
граничных условий в случае дифференциального оператора второго
порядка. Если граничные условия записаны в той нормализованной
форме, которая описана после формулы C), то имеются три воз-
возможности.
(a) mt = 1, т2 = 1. В этом случае нормализованные граничные
условия имеют вид
М и' @) + . . . = 0, и' A) + . . . = 0
(невыписанные члены имеют порядок, меньший 1). В силу замеча-
замечания, следующего за формулой A3), и замечания, сделанного после
формулировки условия регулярности 1, граничные условия [*]
регулярны, ибо регулярны граничные условия и! @) = 0, и' A) =
= 0.
(b) mi = 0, т2 = 0. В этом случае нормализованные граничные
условия имеют вид
и @) =0, и A) = 0
и, очевидно, регулярны.
(c) т{ = 1, т2 = 0. Для определенности предположим, что
и' @) входит с ненулевым коэффициентом в первое из граничных
условий; тогда граничные условия имеют вид
и' @) + Ы A) + . . . = 0,
аи@) + Ъи{\) = 0.
Если а = 0, то эти граничные условия можно записать следующим
образом:
u'@) + ku'(l) + ... =0,
4. Спектральные свойства оператора (A/Q (d/dx))n 433
и, как легко видеть, они регулярны. Если а Ф О, то граничные усло-
условия принимают вид
и' @) + ku'(l) + ...= 0,
и@) + k'u{\) = 0,
и несложный подсчет, основанный на условии регулярности 1,
показывает, что эти граничные условия регулярны тогда и только
тогда, когда k + kf Ф 0. Следовательно, совокупность двух линейно
независимых граничных условий для оператора второго порядка
нерегулярна в том и только в том случае, если она имеет вид
и' @) + Ы A) + . . . = 0,
u@) — ku(l) = 0
или
и' A) + ku'@) + ...= 0,
u(l)—ku@) = 0.
Чтобы перейти к основной теореме 16, докажем вспомогательный
результат.
15. Лемма. Пусть Т — замкнутый оператор в гильберто-
гильбертовом пространстве Ь2 @, 1), полученный из формального дифферен-
дифференциального оператора ((l/i) (d/dt))n наложением п граничных усло-
условий. В случае четного п предположим, что эти условия удовлетворя-
удовлетворяют предположению регулярности 1 и что постоянная Р из формул
A6) и A7) отлична от 1. Если же п нечетно, предположим, что
выполнены предположения регулярности 9 и 10. Пусть X ? а (Т)
и k — целое число. Тогда (Т — ll)~k^n является непрерывным линей-
линейным отображением L2 @, 1) в #(/г)@, 1).
Доказательство. Как и в начале доказательства теоре-
теоремы 2.7 (оно дословно переносится на случай любого дискретного
оператора Т, всем точкам спектра которого, за исключением, быть
может, конечного их числа, отвечают одномерные проекторы), мы
убеждаемся в том, что оператор (Т — %1)~^п ограничен. Пусть сг0 —
конечное множество, содержащее все точки X из о (Г), для которых
проектор Е (X; Т) не является одномерным, а также точку 0, если
0 6 сг (Т). Положим g'o = а (Т) — в0. Тогда по теореме XVIII.2.9
Мы покажем, что E(o0)(T — Xiyh/nE(o0) и (Т — XI)~h'n Е (о'0)
отображают L2@, 1) в //(fe) @, 1) непрерывно, и тем самым
докажем лемму.
Согласно леммам 4 и 12, мы можем без потери общности счи-
считать, что о'0 = {Хк, Хк, XK+i, XK+U ...}, где /<> 1, и что после-
последовательности {Xj}, {Xj} удовлетворяют асимптотическим соотноше-
28 Н. Данфорд и Дж. ШЕарц
434 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
ниям, указанным в этих леммах. Как и в начале доказательства
теоремы 2.7, получаем
(О (T-XI)-h/nE(o'0)f =
= Urn { 2 (h - V~h/n E (h) f + 2 (X, - X)-k/n ? (XO /}.
В силу леммы 3.9 одномерные проекторы Е (Xt) и Е (Хг) являются
ограниченными операторами из L2@, 1) в H{h) (О, 1). Ясно, что
предел в правой части равенства (i) существует в топологии
пространства #(ft)@, 1) для любой f из Е(а0) L2@, 1) и для любой
функции f?(E(Xi) + E(Xi))L2 @, 1), и, следовательно, для всех /
из плотного подмножества пространства L2@, 1). По теоремам 8,
13 и П.3.6 для доказательства непрерывности (T — XI)~h/n как
отображения из L2 @, 1) в H{h) @, 1) достаточно проверить, что
множество всех отображений
(И) 2 (К-Хук/пЕ(К)+ 2 ft«-*)-fc/n?(X0, Р>^.
из L2@, 1) в H{h) @, 1) равномерно ограничено. Сначала докажем,
что множество отображений
из L2@, 1) в H{h)@, 1) равномерно ограничено. Соответствующий
результат для отображений
2 (Ъг-ХГк/пЕ(Хг), р^К,
г=К
доказывается аналогично. Из этих двух утверждений сразу же вы-
вытекает (и).
В силу лемм 4 и 12, справедливо асимптотическое соотношение
(hm — irh/n ~ const-tri~h. По теореме XVIII.2.И оператор
Л= 2 (lm-Xyh/nmkE(Xm)
т=К
из L2@, 1) в L2@, 1) ограничен и имеет ограниченный обратный.
Так как по теореме XVIII.2.11
B (К-Ьук/пЕ(кт)) = (% m-kE(Xm))A,
т—К т—К
4. Спектральные свойства оператора (A/t) (d/dx))n 435
достаточно проверить, что семейство отображений
(Hi) 2 m-kE(K), P>K,
из L2@, 1) в H{h)@, 1) равномерно ограничено. Норма в H(h)@, 1)
эквивалентна норме
(iv) l/l{
о о
Ясно, что семейство (Hi) отображений, рассматриваемых как отобра-
отображения из L2 @, 1) в Ь2 @, 1), равномерно ограничено. Поэтому,
используя теорему о равномерной ограниченности (следствие II.3.21),
мы видим, что достаточно доказать равномерную ограниченность
в L2 @, 1) семейства функций
р
(V) у т-Ч4-У
v ' ^ \ dx i
для любой / из Ь2 @, 1). Из формулы B8) (в случае 1А) и соответ-
соответствующей формулы E7) (в случае 2) следует, что функция
удовлетворяет тому же асимптотическому соотношению (B8) или
E7)), что и (Е Скт) f) (t). Теперь мы можем доказать равномерную
ограниченность в L2 @, 1) семейства (v) так же, как в теоремах 8
и 13 была доказана равномерная ограниченность множества функций
2 E(Kn)f, p>k.
т=К
Это замечание завершает доказательство теоремы, ч. т. д.
-» 16. Теорема. Пусть Т — замкнутый оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве L2@, 1), порожденный формальным диффе-
дифференциальным оператором (—idldt)n и п граничными условиями.
В случае четного п предположим, что эти граничные условия удов-
удовлетворяют предположению регулярности 1 и число Р из формул A6)
и A7) отлично от 1. Если же п нечетно, то предположим, что
выполнены предположения регулярности 9 и 10. Пусть Р — опера-
оператор, определенный на подмножестве Н{П~1}[@, 1)] из L2 @, 1) форму-
формулой
(Pf) (t) = an., (x) /(n-1} (t) + Д (Bjf0)) (/),
28*
436 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
где ctn-i (х) — функция из С°° [(О, 1)], а Во, . . . , Вп_2 — произволь-
произвольные ограниченные операторы в L2 (О, 1). Тогда Т + Р является
дискретным спектральным оператором, все точки его спектра,
за возможным исключением конечного множества, являются просты-
простыми полюсами резольвенты, а соответствующие проекторы
Е (X; Т + Р) одномерны.
Доказательство. Сначала предположим, что an-i (t) =з 0. То-
Тогда утверждение теоремы будет следовать из теоремы 2.7,
следствия 2.8, теорем 8, 13 и леммы 15, как только мы покажем
оо
(в обозначениях теоремы 2.7), что 2 d~™(\ ^m I + dmJ("~)/n < сю.
Из асимптотических формул для Хп, полученных в леммах 4 и 12,
видно, что для этого достаточно доказать неравенство dm ^ /Cm""
для достаточно больших m и некоторой постоянной К- Рассмотрим,
например, случай четного п. Согласно лемме 4, собственные значе-
значения, за исключением конечного их числа, можно разбить на две
такие последовательности Кт, Хт> что разности между Хт и
а также между Хт и
С) ^т = Bлт)пA+ 2 ckm-h)
равномерно ограничены. Кроме того,
Мы докажем, что расстояние от \im до множества точек
{\xk, кфт}\] {\1к}ограничено снизу функцией вида Ктп'-{, а затем
установим такой же результат для \im. Отсюда, очевидно, следует
нужный результат.
Умножая \лт и \im на подходящее число а, | а | = 1, мы можем
без ограничения общности считать, что ReCi^Recj., Req =
= Re^2 + ^7 ft>Rez'>0. Так как \\i — X\^\ Re jli — Rei|, доста-
достаточно проверить наше утверждение для последовательностей
п-1
Re iim = Bnm)n A + S (Re ch) т~к)
и RejLim. Таким образом, можно считать без потери в общности,
что ck и ck вещественны (тогда и \im, \im вещественны). Ясно,
4. Спектральные свойства оператора (A/ь) (d/dx))n 437^
что ixm и \ьт Для достаточно больших m образуют возрастающие
последовательности. Следовательно, если т достаточно велико,
min| fxm — \ik l^min (| \im — M-m-il» | \*>т — M-m+i |).
Так как в силу соотношения (*)
то ясно, что величина min | fxm — [xft | для достаточно больших т огра-
НФт
ничена снизу функцией вида /Cm71. Поскольку с^ф'с^ мы имеем
й>^1 или й>с1* Для определенности предположим, что с{ > r-j.
Тогда, очевидно, |btm>fxm для достаточно больших т. С другой
стороны,
?т - (Am-i = 2я (с4 - с4) (гятO1-1 + 2яя BятO1 + О (тп'2) -
= 2я (я + ?! — сО Bпт)п-1 + О (т71)
и п-Ь й — ci > 0; следовательно, \кт > \im > (ы^г.! для достаточно
больших т. Отсюда
Значит,
min | ]im — ixh | = min (| \im — \im |, | ]Im — fxm+11).
k
Из (*), (J) и (|) вытекает теперь, что величина min|fxm —
ft
ограничена снизу функцией вида /Cm71, и наша теорема доказана,
если я четно и an^{t)^O.
Если я нечетно, то соответствующий результат получается
с помощью аналогичных (и даже более простых) вычислений,
основанных на лемме 12.
Если an-i(t)z?0, то мы поступим следующим образом. Пусть
b @ = ггх j an_! (s) ds и А (*) = ехр (&(*)). Тогда А(/)=И=0, так что
о
оператор (У, определенный формулой (Uf)(t) = h(t) f (t), ограничен
в L2@, 1) и обладает ограниченным обратным. Мы имеем фор-
формальное равенство
Отсюда и из определения ХШ.2Л7 видно, что если S —оператор
в ^2 @,1), определенный формальным дифференциальным опера-
оператором { — id/dt)n и некоторыми граничными условиями С*(/) = 0,
438 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
f=l, ..., я, то и~хТи — оператор в L2@, 1), определенный фор-
формальным дифференциальным оператором ( — id/dt-{-b'(t))n и гра-
граничными условиями d(Uf)^0, 1=1, ..., п. Так как
то указанный в теореме оператор
может быть записан в виде
п-2
где Bjt j = 0, . . . , n — 2, — ограниченные операторы. Следова-
Следовательно, U (Т + Р )(j~1 можно записать в виде Т + Р\ где Р' —
п-2 _ _
оператор вида 2 Д/ (dldt)\ а Лу, 0 ^ / ^ /г— 2, — ограниченные
операторы. Так как Т + Р, рассматриваемый как абстрактный
оператор, имеет тот же самый спектр и по существу обладает теми же
самыми свойствами, что и U (Т + Р) U'1, то без потери общности
можно считать, что an-i (t) = 0 (если граничные условия Ct (iff) =
= 0 регулярны). Если мы теперь докажем, что граничные условия
Ct (Uf) = 0 регулярны, то, как показано выше, наша теорема верна
для оператора U (Т + Р) U'1 и, следовательно, для оператора
Т + Р.
Чтобы завершить доказательство, осталось проверить регуляр-
регулярность множества граничных условий Ct (Uf) = 0, i = 1, . . ., п.
Пусть Ct (f) имеет вид
(/)S^/()+2Po/()
Тогда, поскольку U~x (d/dt) Uf = ((d/dt) + й' (^)) / (t), мы получаем
где aim. = obim., йт. = Pim.- Теперь регулярность граничных усло-
условий Сг- (/7/) = 0 вытекает из регулярности граничных условий
d (/) = 0 и замечаний, сделанных после формулировки условий
регулярности 1, 9 и 10, ч. т. д.
5. Полнота системы корневых подпространств 439
5. Полнота системы корневых подпространств
Во многих случаях спектр дискретного спектрального операто-
оператора Т распределен на комплексной плоскости настолько беспорядоч-
беспорядочно, что весьма ограничительные предположения теоремы 2.7 ока-
оказываются неприменимыми. Тем не менее некоторая модификация
доказательства этой теоремы позволяет показать, что множество
решений уравнения (Т + Р — K)h f = О, ?>1, А, ? сг (Г + Р),
является фундаментальным в Б-пространстве Ж. В этом параграфе
мы сформулируем и докажем результаты такого рода. Мы начнем
с основного определения и с изучения общего понятия сопря-
сопряженного к замкнутому оператору в 5-пространстве.
1. Определение. Пусть Ж есть Б-пространство и Т —
дискретный оператор в Ж. Тогда замыкание линейной оболочки
всех подпространств Е (X; Т) Ж, X ? сг (Г), мы назовем спектральным
подпространством оператора Т и обозначим через sp(T).
Замечание. Согласно лемме 2.2, sp(T) есть наименьшее
замкнутое многообразие в ЭЕ, содержащее решения / всех уравнений
вида (Т —X I)k f = 0, k ^ 1Д 6 сг (Г), а также наименьшее замкну-
замкнутое многообразие, содержащее решения / всех уравнений
(T xi)(uf = о, %ео(Т).
Понятие сопряженного оператора Т* для неограниченного опе-
оператора с плотной областью определения было введено в определе-
определении 3.6. Мы продолжим построение теории сопряженных операторов
.(для неограниченных операторов), аналогичной соответствующей
теории для гильбертова пространства (см. § XII.1).
Пусть $ есть Л-пространство и Ж © Ж — прямая сумма двух
экземпляров пространства Ж. Определим в Ж Ф Ж норму
Тогда Ж 0 Ж становится Б-пространством. Рассмотрим два его
автоморфизма
А2: [х, у]-+[ — у, х].
Ясно, что
Для любого подмножества М из некоторого банахова простран-
пространства $ обозначим через М1 его аннулятор, т. е. замкнутое под-
подпространство в §)*, определенное равенством
440 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Как всегда, графиком линейного преобразования Т в 5-простран-
стве Ж называется множество
Пусть ф —непрерывный линейный функционал в Ж © 36. Тогда,
очевидно, равенства cpt (х) = ср ([х, 0]) и ф2 (у) = ф ([0, у]) определяют
непрерывные линейные функционалы в Ж и отображение Ф~^ [ф1, ф2]
есть изоморфизм (Ж © Ж)* на Ж* © Ж*. Следовательно, можно
отождествить Ж* © Ж* с пространством, сопряженным к Ж ф Ж,
полагая
[**, У*][х, у] = х*х + у*у.
Отсюда ясно также, что Ж ф Ж рефлексивно, если Ж рефлексивно.
Согласно определению 3.6,
Г G*) = {[х*, */*] | х* (Тх) = у*(х), х е Ф (Т)} =
Следовательно,
Отсюда видно, в частности, что Г* — замкнутый оператор.
2. Лемма. Пусть Т — замкнутый оператор с плотной
областью определения. Тогда .
(a) Т иТ* обладают ограниченным обратным с плотной областью
определения, если им обладает хотя бы один из них, и (Т1)* =
(b) если В — ограниченный оператор, то (Т + В)* = Г* + J3*.
Доказательство. Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть
Т — линейный оператор (вообще говоря, многозначный), графи-
графиком Г (Т) которого является произвольное линейное подпростран-
подпространство из $ © Ж, и пусть Т'1 и Т* — линейные (возможно, много-
многозначные) операторы, определенные равенствами
Г (Г) = АХГ (Т), Г (Т*) = [Л2Г (Г)]-1.
Для доказательства утверждения (а) леммы достаточно заметить,
что
Г ((Г*)) = А,Т (Г*) = А, (Л2Г (Т)I- = (Л2 (А,Г (Т))I = Г ((Г)*).
Итак, G1*)-1 — (Т1)*, причем это равенство справедливо в том
случае, когда одно или даже оба из этих преобразований неограни-
чены, многозначны и область их определения не плотна в Ж, так что
утверждение (а) вытекает отсюда как частный случай.
5. Полнота системы корневых подпространств ???
Для доказательства утверждения (Ь) возьмем сначала элемент
х* из Ф (Т* + В*). Так как Б* ограничен, то х* лежит в ЩТ*) и
{(Г* + В*) х*} (х) = (Г*х*) (х) + (В*х*) (х) =
Итак, х* лежит в Ф((Г + В)*) и (Г + В)* х* = T*x* + J3*x*. С дру-
другой стороны, если х* принадлежит Ф(G" + В)*) и, следовательно,
х* ((Г + В) #)--^+ ?)***(*/), г/6® СО,
то
х*(Ту) = {(Т + В)*х*-В*х*}(у), уеЪ(Т).
Значит, лг*б®BУ и
В** (Т + В)*х*, ч.т.д.
3. Лемма. Пусть И — рефлексивное пространство, Т —замкну-
—замкнутый оператор с плотной областью определения в Ж и Т* — со-
сопряженный оператор. Тогда
(a) ® (Т*) плотно в ?*;
(b) второй сопряженный 71** совпадает с Т.
Доказательство. Если © (Т1*) не плотно в ЭЕ*, то в силу тео-
теоремы Хана —Банаха (следствие II.3.14) и рефлексивности Ж суще-
существует такой хв1, что х®(Т1*) = 0 их^О. Тогда
Следовательно,
-[О, *] = л22[о, х]е(л2г(г*))±^г(т**).
Таким образом, если (Ь) доказано, то [0, х]?Г(Т), и так как Т
однозначен, то х = 0. Итак, (а) следует из (Ь).
Для доказательства (Ь) мы покажем сначала, что для замкну-
замкнутого линейного подмногообразия Щ рефлексивного В-пространства
справедливо равенство (Ж1)-1 —Ж. Ясно, что {Ш^(<Ш±)±- Пусть
теперь х$Ш- Тогда по теореме Хана —Банаха существует такой у*
в ЗК-1, что у*(х)фО, а потому x^im1-I.
Следовательно,
Г (Г**) = (Л2Г (Т*)I = [А2 (А2Т (Т)I-]-1 = А\ (Г (ГI-I =
= -Г(Г) = Г(Г), ч.т.д.
4. Лемма. Пусть Т—оператор с плотной областью опреде-
определения в В-пространстве Ж. Тогда
(а) если один из операторов Т или Г* дискретен, то дискретен
и другой;
442 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
(b) a(T) = a (T*);
(c) если Т и Т* — дискретные операторы, то Е (X; 71)* =
= Е (X; Т*) для любого X из в (Т) = о (Т*)\
(d) если ЗЕ рефлексивно, операторы Т и Т* дискретны и один
из них спектрален, то и другой также спектрален.
Доказательство. По лемме 2
((Г - XI)-1)* = ((Т - XI)*)-1 = (Г* - Х1*)~\
причем операторы, участвующие в этом равенстве, существуют
и ограничены при одних и тех же X. Отсюда следуют утверждения (Ь)
и (а), поскольку по теореме VI.5.2 оператор и его сопряженный
компактны или некомпактны одновременно.
Для доказательства утверждения (с) заметим, что
где С — достаточно малая окружность с центром в точке X. Но
тогда, в силу утверждения (Ь) и леммы 2,
Е(Х; Т*)= —5^
тем самым доказано утверждение (с).
Докажем утверждение (d). Из предыдущей леммы следует, что
мы должны только доказать следующее: если Т спектрален, то
и Г* спектрален. Из (с) вытекает, что если Т спектрален, то Т*
удовлетворяет условию (а) из следствия XVIII.2.33, так что для
доказательства спектральности Г*, согласно этому следствию,
достаточно доказать такой факт: если Е (X; Г*) х* = 0 для всех
X ? о (Г), то х* = 0. Для этого заметим, что, поскольку Т спектра-
спектрален, из утверждения (с) вытекает равенство
х*(х) = х*( 2 Е(К;Т)х)= 2 (Е(Х; Т)*х*)(х) =
откуда л;* = 0, ч. т. д.
А теперь мы установим связь между спектральным подпростран-
подпространством sp (Г) оператора Т и многообразием @оо (Г*) из определе-
определения 2.4.
5. Полнота системы корневых подпространств 443
5. Лемма. Если Т —дискретный оператор в рефлексивном
банаховом пространстве Ж, то L
Доказательство. Ясно, что если X лежит в о(Т) и E(X)f = f,
причем ?(|ы)*?* = 0 для любого (ы из о(Т) = о(Т*), то
Отсюда следует, что sp(T) ^ ©^(Г*)-1. С другой стороны, если
/$spCT), то существует такой функционал g* в ЭЕ*, что
Так как g*(E(X) f') = 0 для любого /' из Ж и любого X из а (Г), то
Таким образом, согласно п. (с) предыдущей леммы, g* лежит
в ©ос (Г*); так как ?*(/)= 1, то ^©«(Г*)^, ч.т.д.
Замечание. Следует подчеркнуть, что условие sp (T) = Э? пре-
предыдущей леммы равносильно соотношению ©^(Т1*) = 0, но не равно-
равносильно условию @оо(Г) = 0. В самом деле, Гамбургер [1] построил
пример компактного оператора U в гильбертовом пространстве ЭЕ,
линейная оболочка корневых векторов которого плотна в Ж, но при
этом в ЭЕ существует такое бесконечномерное замкнутое подпро-
подпространство Эе0, что Ul0 ^ Жо, а сужение U на 10 квазинильпотентно.
Если мы положим T = (U*)-\ то ър(Т)ф1, но @оо(Г) = 0.
В следующей теореме доказан основной результат этого пара-
параграфа.
—> 6. Теорема. Пусть Т — дискретный спектральный опера-
оператор в В-пространстве 1. Предположим, что все, за исключением,
быть может, конечного числа, точки из а (Т) являются простыми
полюсами резольвенты R (X; Т). Пусть Ut — последовательность
ограниченных областей, объединение которых совпадает со всей
комплексной плоскостью и min | г \ ->- оо при i-* оо. Через Vt
обозначим границу Ut. Пусть 0 ^ v < 1 и
\ц= max | |x|v|X —цГ.
Пусть X0$g(T) и P —такой оператор, что P (T — A,o/) v огра-
ограничен. Тогда
(a) если \а—>Q, mo T + P дискретен и @оо{Т + Р) = 0;
(b) если lim (ы^/С^ оо, mo существует такое 6 = б (К, Т) > 0,
1-+ОО
шо 5ля любого оператора Р, удовлетворяющего неравенству
444 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
\Р{Т — Vrv|_<6, оператор Т + Р дискретен и <Зос(Т + Р) = 0;
(с) если lim \ц < оо и оператор Р (Т — XOI)~V компактен,
г-*оо
то оператор Т-\-Р дискретен и <Зоо(Т-\-Р) = 0.
Доказательство. Пусть S — скалярная часть оператора 7\
N = T — S и Е — разложение единицы для Т. Тогда по определе-
определению XVIII.2.27 и леммам XVIII.2.13 и XVIII.2.25 S и Т имеют
одинаковый спектр. Согласно лемме 2.27 Т \ Е (X) 1 = XI \ Е (X) X,
если А, —простой полюс резольвенты R(X;T). Следовательно,
по определению XVIII.2.27 Т\Е(Х) Ж = S\E(X)% для любого
простого полюса X резольвенты R(X;T). Пусть а0 — конечное
множество тех точек X из в(Т), для которых X не является про-
простым полюсом резольвенты R (X; Т), и о'0 = о (Т) — о0. Тогда в силу
определения XVIII.2.8 для любой функции /, аналитической на а (Т),
вектор х из Е(о'0)% принадлежит ®(/(Г)) в том и только в том
случае, если он лежит в ®(/(S)) и справедливо равенство f(T)x —
= /(S)x. В частности, х лежит в ®(Т) тогда и только тогда,
когда он лежит в ®(S), причем Тх = 8х&ля любого х из Е(о'0)%.
По теореме XVIII.2.9 Е(о0) Ж содержится как в ®(/(Г)), так
и в ®(/(S)), и в силу той же теоремы Е(о0)Ж инвариантно отно-
относительно f(T) и /(S), а сужения этих операторов на Е(о0) Ж
ограничены. Отсюда следует, что ®(/(Т))= ®(/(S)), и если мы
положим
N /_ч . fF)x-f\S)x,
'(*)={
о,
то Nf — ограниченный оператор и / (Т) = / (S) + Nf. Оператор Nf
имеет конечномерную область значений, и, следовательно, он
компактен. Значит, для любой функции /, аналитической на а (Г),
оператор / (Т) есть сумма / (S) и некоторого компактного операто-
оператора. В частности, Т = S + N, где N — компактный оператор.
Отсюда следует, что S дискретен в том и только в том случае, если
дискретен Т. Кроме того, если положить
.г
(T-XI)v(S-XI)-vx,
то очевидно, что L— ограниченный оператор и (S —
= (T — XI)~VL. Значит, оператор
= Р (Т -XI)~V L-\-N (S-XI)-V
ограничен; если же Р (Т — A,/)~v компактен, то этот оператор так-
также компактен (см. VI.5.4). Таким образом, при доказательстве всех
5. Полнота системы корневых подпространств 445
трех утверждений (а), (Ь), (с) нашей теоремы мы можем вместо пары
*р j1 _j- р рассматривать пару Sy S + (N + Р). Другими словами,
мы можем считать, не ограничивая общности, что Т = S является
оператором скалярного типа.
При этом предположении (Т — ^0/)~v= 2 (X — XO)~VE(X; T),
и, согласно теореме XVIII.2.И, (T — XOI)~V есть предел при п->- оо
конечных сумм
2 (Х-КГУЕ(%; Т)
в]равномерной топологии (для любого v > 0). По лемме 2.2 каждая
из этих конечных сумм является конечномерным оператором,
а потому компактным. В силу леммы VI.5.3 при v > 0 оператор
(Т — A,0/)-v компактен. Но поскольку Р + Т = (Р + Х01) +
+ (Т — Х01) и (Р + Х01) (Т — A,0/)"v компактен тогда и только
тогда, когда компактен Р (Т — A,0/)~v, мы можем вместо пары
Т, Т + Р рассматривать пару Т — Х01, (Т — Х01) + (Р + Х01).
Другими словами, мы можем считать, не ограничивая общности,
что Хо = 0. При v = 0 это рассуждение неприменимо; однако, чтобы
избежать излишних усложнений в обозначениях, мы будем счи-
считать, что Хо = 0 и в этом случае. Рекомендуем читателю убедиться
в том, что случай произвольного Хо приводит лишь к простым
изменениям в доказательстве.
Ниже будет доказано, что Т + Р — дискретный оператор. Пока
предположим, что это установлено. Пусть/ — вектор из @оо (Т+Р),
и, следовательно, по лемме 2.6 функция
F(X) = (Т + P — XI)-1!
является целой. Покажем, что F (X) равномерно ограничена; отсюда,
согласно теореме Лиувилля, мы получим, что F (X) = g'= const,
а потому f = (Т + Р — XI) g для всех X. Далее, этот факт влечет
за собой равенство 0 = (Х{ — Х2) g для всех Х{ и Х2, откуда g = 0,
/ = 0. Тем самым теорема будет доказана.
Чтобы доказать равномерную ограниченность F (X), поступим
следующим образом. По теореме XVIII.2.9 (vii) мы имеем® (Tv) з
3 Ф (Г), и, следовательно, © (Р) з Ф (Т). Таким образом,
ЩТ + Р) = ®(Г). По предположению оператор PT~V ограничен,
и мы обозначим его через А.
Повторяя рассуждение, использованное при доказательстве тео-
теоремы 2.7, мы замечаем, что для любого |ы, удовлетворяющего нера-
неравенству | TVR (|i; T) | < | А I, существует всюду определенный
и ограниченный оператор (|ы/ — Т — Р), определенный рядом
(i) fl(jx) = /?(ji; T) S
п=0
446 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
По теореме XVIII.2.11 существует такая постоянная М = М(Т), что
Отсюда ясно, что если имеет место случай (а) теоремы, то для доста-
достаточно больших i ни одна точка из \х ? Vt не принадлежит а (Т + Р)
и В (|х) = (\il — Т — Р) для \х из Vt. To же самое верно и в слу-
случае (Ь), если только мы рассматриваем такие целые i, для которых
Л4р,г|А|^1, T- е. если оператор А удовлетворяет условию
I А |< б, 6<(М/С)-1.
Из равенства (i) и теоремы XVIII.2.11
SUP М^-Ц-1 2
?(T) n=0
sup \\i-b\-1, \ievt.
Так как, по предположению, 0$а(Г), то существует такая
постоянная Ки что
sup b-^r^/Ci sup |X|v|(i —Л.1.
Следовательно,
(ii) \B(ix)\^MKiiii(l-M\A\in)-\ peVt.
Напомним, что в обоих случаях (а) и (Ь) нашей теоремы выполняется
неравенство М \ А \ \хг < 1 для достаточно больших i. Отсюда,
применяя неравенство (ii), находим, что целая функция
равномерно ограничена на всех Vt, начиная с некоторого i, и, сле-
следовательно, равномерно ограничена на всех Vt. По принципу макси-
максимума модуля / (|ы) равномерно ограничена на всех Uiy и так как
(X)
U Vt есть вся плоскость, то / (|ы) равномерно ограничена на всей
плоскости. Более того, как показывает равенство (i), оператор
Т + Р дискретен. Таким образом, требуемый результат в слу-
случаях (а) и (Ь) установлен.
Если имеет место случай (с) теоремы, то доказательство близко
к изложенному выше. Пусть {Хп} — точки спектра а (Г) и оп =
п
= U ^г> °п — о (Т) —ап. Сначала покажем, что если Е — разложе-
ние единицы оператора Г, то lim | ?(а„) А \ = 0. Если это не так,
П-+ОО
то найдутся такое 8 > 0, такая возрастающая последовательность
{tii) целых чисел и такие векторы хи \ xt \ = 1, что | Е (o'ni) Axt \ ^
^ е, i = 1, 2, . . . . Так как А компактен, то мы можем предпо-
5. Полнота системы корневых подпространств
дожить, не ограничивая общности, что предел lim Axt = у суще-
1—>оо
ствует. Отсюда, обозначая через М верхнюю грань величин
\'E(a'nt) I. получаем
Полученное противоречие доказывает требуемый результат.
Ряд для Б (ц.) из формулы (i) можно переписать в виде
(in) В (ц) = 7-v (ГЯ (|л; T)+rR (ц; Г)
(ц; Т) -4Г# (ц; Т) Л
= T-v { | (ГЛ (ц; Т) А)п) TVR (ц; Г).
п=0
Следовательно, он сходится для всех ц, для которых
|Г/?(ц;Т)Л|<1, и если /С* = 17—v|t то
| В ((г) |<Ki | Г/? (ц; Т) | A -1 Г/? (ц; Т) А \ )~К
Мы уже отмечали, что \TvR([i; Т) \ < Муц для всех (х из Vi%
Таким образом, если \i?Vi и |Tvi?(|i; T) А |< 1, то оператор
5 (|ы) = (|ы/ — Т — Р) существует и
|B(^)|</CiMR(l-|r^(^ Т)А\)~К
Далее будет доказано, что | TVR (\x; T) А \ < 1/2 для всех \х из 1/?
и достаточно больших i. Отсюда, как и выше, вытекает, что функция
f (v) = R (|ы; Т + Р) f ограничена на всей плоскости. Мы пока-
покажем также, что оператор T~v компактен. Затем, согласно равен-
равенству (iii) и теореме VI.5.4, мы получим, что оператор В (\х) =
= R (\i\ Т + Р) компактен для всех |ы из Vt, если i достаточно вели-
велико, и тогда теорема будет доказана.
Возьмем точку |ы из Vt и покажем, что \TVR (ju; Г) А|^ 1/2
для достаточно больших L В силу сказанного выше, | TvR(\x; T ) |^
^M\ih откуда \TvR(\i; Т) |^ ММ', где М' = sup ш. Выше
было доказано, что lim \Е(о'п)А\ = 0. Следовательно, существует
такое N, что | Е (о'^А^^ШМ'у1. Далее,
р, T)E(oN)A\+W.
448 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Согласно теореме XVIII.2.11,
\TvR(ii; T)E(oN)A\^M sup | X\v\ Ь-Ц Г1 \А |.
Так как inf Ы-э-оо при г-^оо, то
для всех |ы из Vt, если i достаточно велико. Итак, \TxR(\jl\ T)А\^.
^1/2 для \i?Vt и достаточно больших г, как и утверждалось.
Докажем, что при v>0 оператор T~v компактен. По теореме
XVIII.2.11 lim |T~V— 2 X'vE(l)\ = 0, так что T~v является
пределом в равномерной операторной топологии последовательности
конечномерных операторов. Поскольку конечномерный оператор,
очевидно, компактен, T~v компактен по лемме VI.5.3. Доказа-
Доказательство для случая v > 0 закончено.
Если v = 0, будем рассуждать следующим образом. Согласно
равенству (ш),
{§ ((ц Л)}(ц; ту,
п=0
так как/? ([х\ Т) — компактный оператор, то В (\i) = (|ы/ — Т—Р)
тоже компактен. Итак, оператор Т + Р дискретен и в случае v = О,
и теорема доказана полностью, ч. т. д.
Следующая теорема является следствием теоремы 6.
7. Теорема. Пусть Т — дискретный спектральный опера-
оператор в рефлексивном В-пространстве Ж, причем все точки из
а G), за исключением, быть может, конечного их числа, являются
простыми полюсами резольвенты R (jr, Т). Пусть Ut — последова-
последовательность ограниченных областей, объединением которых является
вся комплексная плоскость, и lim min | z | = оо; через Vt обозначим
i->oo z?U{
границу иь. Пусть, далее, 0^v< 1 и
\ii= max |м<П^ — И-Г1-
Пусть A,0(fa(T), и пусть Р —такой оператор, что Р(Т —
ограничен. Тогда
(a) если |ыг->0, mo T+P—дискретный оператор и sp(T'+P)=9E;
(b) если lim (Ыг^/С< оо, то существует такое число 8 =
= 8 (/С, Т) > 0, что при условии \Р(Т — lkol)~v \ << 8 оператор Т + Р
дискретен и sp (Т + Р) = X;
5. Полнота системы корневых подпространств 449^
(с) если lim|Hj<<oo и оператор Р(Т — XOI)~V компактен, то
i-юо
оператор Т + Р дискретен и sp (Т + Р) = Х.
Дсжазательство. Согласно теореме 6 и лемме 5, в каж-
каждом из указанных случаев (а), (Ь) и (с) достаточно доказать, что
оператор (Т+Р)* дискретен и ©«> ((Т + Р)*) = 0. По лемме 4
и теореме 6, оператор Т + Р дискретен. Следовательно, как и при
доказательстве теоремы 6, достаточно показать, что функция
ограничена (по норме) на всей Я-плоскости для любого / ?
6 ©«((Г + Р)*)- Но в ходе доказательства теоремы 6 мы устано-
установили, что функция | ((Т + Р) — XI)'1 | равномерно ограничена
оо
по X на множестве U Vt для достаточно больших N. В силу леммы 3
i=N
оо
для всех А, из (J Vt справедливо равенство
i=N
Таким образом, функция F*(k) равномерно ограничена по X на
оо
множестве U Vt и в силу принципа максимума модуля равномерно
с»
ограничена по X на множестве U Ut. Поскольку дополнение
оо
к множеству U Ut ограничено, то функция | F* (X) \ равномерно
ограничена на комплексной плоскости, ч. т. д.
8. Следствие. Пусть Т — дискретный спектральный опе-
оператор в банаховом пространстве X, причем все точки его спектра,
за возможным исключением конечного их числа, являются простыми
полюсами резольвенты R (Х\ Т). Пусть {Ut} — последовательность
ограниченных областей, объединение которых совпадает со всей ком-
комплексной плоскостью, и lim min | z \ = оо. Предположим, что гра-
i-+oo z?Ui
ница Vt области Ut не пересекается со спектром для всех i. Через dt
обозначим расстояние от Vt до спектра о (Т), и пусть В — огра-
ограниченный оператор. Тогда
(a) если di-+oo, то Т + В дискретен и @оо(Г + /?) = 0;
(b) если limdz-^/f>0, то существует такое число е=
= е(/С, Т)>0, что при условии |5|^е оператор Т + В дискре-
дискретен и <^оо(Т + В) = 0;
(с) если lim dt > 0 и В компактен, то Т + В дискретен
и ©со (Т + 5)°°- 0.
^9 Н. Данфорд и Дж. Шварц
450 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Доказательство следует из теоремы 6 при v = 0, ч. т. д.
9. Следствие. Пусть Т — дискретный спектральный опе-
оператор в рефлексивном В-пространстве Ж, причем все точки его
спектра о (Т), за исключением, быть может, конечного их числау
являются простыми полюсами резольвенты R (А,; Т)\ пусть {Ut} —
последовательость ограниченных областей, объединение которых
покрывает всю комплексную плоскость, так что lim min | z \ = оо.
Предположим, что граница Vt множества V\ не пересекается
с о (Т). Через dt обозначим расстояние от Vt до спектра о (Т), и
пусть В — ограниченный оператор. Тогда
(a) если dt -> оо, то Т + В дискретен и sp (Т + В) = Ж;
(b) если limd;^/(> 0, то существует такое число 8 =
i-voo
= 8 (/С, Г)>>0, что для любого В, удовлетворяющего неравенству
\В\ ^ е, оператор Т + В дискретен и sp(T + B) = l;
(с) если limdj>0 и В компактен, то Г + В дискретен
Теорема 7 описывает достаточно широкий класс операторов, для
которых имеет место свойство «спектральной полноты» sp (Т) = ЭЕ.
Однако в приложениях более удобно иметь дело с решениями урав-
уравнения (Т — XI)f = 0, чем уравнения (Т — XI)k f = 0. В следую-
следующей лемме мы укажем один простой случай, когда почти все корне-
корневые подпространства оператора Т + Р одномерны.
10. Лемма. Пусть Т — дискретный спектральный опера-
оператор в банаховом пространстве Ж, причем все точки спектра {кп},
за возможным исключением конечного их числа, являются простыми
полюсами резольвенты и соответствующие проекторы имеют одно-
одномерные области значений. Предположим, что дана последователь-
последовательность ограниченных открытых областей Ut, i ^ 1, объединение
которых есть вся комплексная плоскость, причем lim min | z | = оо
г-»-оо z?U{
и каждая область Ut при достаточно больших i содержит не более
одной точки из о(Т); границу Ut обозначим через Vt. Пусть 0 ^ v <
< 1 и
jbij= max |[x|v| X — jul.
Пусть ko(ip(T) и Р — такой линейный оператор, что P(T — XOI)~V
ограничен. Тогда все точки спектра о(Т + Р), за возможным исклю-
исключением конечного их числа, являются простыми полюсами резоль-
5. Полнота системы корневых подпространств 451
венты R(%\T-\-Р), п соответствующие этим точкам проекторы
одномерны, если выполняется одно из следующих условий:
(a) \и-+0 при *->оо;
(b) lim(i«</C<oo и |P(T-Vrv|<6=6(A:, Г);
i»oo
(с) Ж рефлексивно, Нггфг-< оо и оператор P(T — XOI)~V ком-
г-*оо
пактен.
Доказательство. По теореме 6 оператор Т + Р дискре-
дискретен. Как и при доказательстве теоремы 6, можно показать, что
в каждом из случаев (а), (Ь) или (с) выполняется неравенство
Шп sup | PR (Я; Т) | = 1 — е < 1.
Следовательно, если положить 8 = е/2, то для всех i, за исключе-
исключением, быть может, конечного множества, выполняется неравенство
—6.
Рассмотрим все области Ut, для которых нарушается это неравен-
неравенство, а также все области Uj, которые содержат более одной точки
из а (Т), и все Uk, которые содержат хотя бы один кратный полюс
резольвенты или точку спектра, для которой соответствующий
проектор неодномерен. Обозначим через Wo объединение всех
перечисленных областей, а через Wt — объединение Wo со всеми обла-
областями Uj, пересекающими Wo. Если \i — точка границы Wi мно-
множества Wu то, очевидно, она лежит на границе одной из этих
областей Uj. Следовательно,
sup | PR (К; Т) |< 1—6.
Если множества Ut, не входящие в Wiy мы расположим в после-
последовательность W2, W3, . . ., то сможем считать тогда, не теряя
при этом в общности, что указанная в теореме последовательность Ut
удовлетворяет таким условиям:
(i) sup \PR (A,; T) К 1 — 6 для всех *
(ii) если i ^ 2, то Ut содержит не более одной точки из а (Г),
которая является простым полюсом резольвенты, а соответствую-
соответствующий проектор одномерен. (Действительно, если не выполнено
хотя бы одно из этих условий, то мы можем заменить последователь-
последовательность Ut на Wt.)
Пусть б! = {A — б)— 1}/2. Тогда sup | y\PR (X; Т) \ < 1 при
Ь?Уг
IЛI < 1 + 64 и i > 1. Пусть Хо — некоторая подходящим образом
29*
452 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
выбранная точка из некоторого У*. Из доказательства теоремы 6
следует, что если \ц\< l + 6i, то оператор
К (л) = (V - т -
существует и задается формулой
К (Л) = R (V, Т) (I - 4PR (К; Г)).
Так как оператор R (А,о; Т) компактен (по лемме 2.2), то, в силу лем-
леммы VI 1.6.6 и теоремы VI.5.4, /С (т]) — компактный оператор, анали-
аналитически зависящий от х\ при | r\ | < 1+6^ Из леммы VII.6.6 сле-
следует, что если О — некоторое ограниченное открытое множество,
граница которого не содержит точек из а (/С 0lo))> и | г|0 | < 1 + 8lf
то Е (О; К (л)) зависит от г\ аналитически в некоторой окрестно-
окрестности т]0. Отсюда и из теоремы VII.9.5 вытекает, что Е {иь\ Т + цР)
зависит от г\ аналитически при | т] | < 1 + 6t для любого i ^ 1.
Поскольку в силу условия (ii) проектор Е ([/,; Т) одномерен при
i ^ 2, из леммы VI 1.6.7 вытекает, что оператор Е (?/*; Т + Р)
также одномерен при i ^ 2. Из теорем VI 1.9.5 и VI 1.3.18 следует,
что область иг при i ^ 2 содержит ровно одну точку из а (Г + Р)
и эта точка является простым полюсом резольвенты R (к; Т + Р).
Так как Ut ограничено и Т + Р регулярен, из леммы 2.2 вытекает,
что иг содержит только конечное число точек из а (Т + Р). Таким
образом, лемма доказана.
Приведем результат несколько иного типа, опирающийся на
неравенство Карлемана (см. § XI.6).
11. Теорема. Пусть Т — дискретный неограниченный са
мосопряженный оператор в гильбертовом пространстве §
и {Хп} — последовательность его собственных значений, в которой
каждое собственное значение повторяется столько раз, какова раз-
размерность подпространства Е (кп; Т) jq. Предположим, что для
некоторого целого k
п=1
Пусть Р — такой оператор (возможно, неограниченный), что любой
оператор Л, представимый в виде произведения I ^ k сомножителей,
каждый из которых есть либо Р, либо Т, причем А не является сте-
степенью оператора Т, удовлетворяет условиям ф (А) з Ф (Т1) и
lim \A{R(iii;T)}l\ = 0.
Тогда Т-\-Р —дискретный оператор и
Доказательство. Выберем столь большое \i, что \PR(\ii;T)\<
<1/2. Тогда по лемме VII.3.4 оператор (/— PR (pi; T^^B
б. Полнота системы корневых подпространств 453
существует и ограничен. Так как Т дискретен, то оператор R (fir, T)
компактен согласно лемме 2.2. Следовательно, в силу теоремы VI.5.4
оператор
R(lii;T)B=C
компактен. Ясно, что
(liiI-T-P)Cx=(B-PR(iii; T)B)x=
= (I-PR(iii;T))Bx=x, х?&
Таким образом, оператор R(\xi;T + P) существует и равен С,
и, в силу определения 2.1, Т-\-Р дискретен.
Так как, согласно предположению, Ф (Т1~ХР) ^ Ф(Т1) при /<!&,
то РФ (Т1) _с= Ф (Т1-1). Следовательно, Ф ({T + P)k) => Ф (Tft), и для
любого \i и любого л: 6 ©G^) вектор (|i/ — 71 — P)kx можно пред-
h
ставить в виде (\il — Т — P)h x=([il — T)kx+ 2 V%~lAix* гДе каждый
оператор At является суммой произведений / сомножителей ± Г,
±Ри каждое такое произведение содержит хотя бы один сомно-
сомножитель Р. Значит, | Ai{R(\ii; Т)}1\^0 при ц,-> + оо по предполо-
предположению. В силу теоремы XII.2.6 величина | (\ii)h~l {R (pi; T))h~l \ огра-
ограничена при (I ->¦ + оо, откуда
lim |B (Vii)h-lAl)(R(VLi;T))h\ = 0.
JLl->-f-oo /=0
Повторяя рассуждения, использованные в начале доказательства,
мы видим, что если число \х выбрано столь большим, что норма
h
оператора 0^=^B {\ii)k~l Аг) (R Ш\ T))h меньше единицы, то опе-
ратор {(\iil- Т — Р)*) существует и равен R(\ii; T)k (I +
В частности, ф((Т + Р)*) с= ®(Tfe), так что Ф((Г + Р)Л) Ф()
Покажем, что если модуль \\i\ достаточно велик и (i лежит
в угле |arg(i —я/2|^я/2 —s, е>0, верхней полуплоскости, то опе-
оператор (\il — (Т + P)h)~l существует и удовлетворяет неравенству
(i) | (ill-(Т + P)hy
Как было показано выше, Ф((Т + P)fe) = ®(Tft) и (T + P)h =
Тк + А Ф(Л)Ф(Й
где (
|
|Ll->+oo
454
Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Далее,
(Hi) AoRi^T^^AoiRdM1
По теореме XI1.2.6
; Tft).
v,Tk
)К sup
= sup
-оо<К<оо
Ясно, что lim \(Х— i) /(X —а)\=1 равномерно по а, |а
l^j-^oo
Следовательно, найдется столь большое с>2, что
= 1
sup
|М2
С другой стороны, функция | Ск — i)k \ ограничена в области
| X | ^ су а функция (kh — \i/\ \x |) отделена от нуля, когда X ме-
меняется в отрезке [—с, с] вещественной оси, а \х Ф 0 меняется в угле
| arg \х — я/2 | ^ я/2 — s верхней полуплоскости. Таким образом,
функция
равномерно ограничена, когда \х Ф 0 меняется в угле
I аг§ Iх — я/2 | ^ (я/2) — 8 верхней полуплоскости. Из соотно-
соотношений (и) и (ш) вытекает, что
(iv)
lim
arg pi- ~
Те же самые соображения показывают, что
(v) lim
1 \i |-
arg ц+ -|-
Отсюда получаем, как и в начале настоящего доказательства, что
если | arg (i — я/21^я/2 — е и | \i \ столь велико, что | AQR (\i; T)k | < 1,
то резольвента R(\i] (T-\-P)h) = R(ix; Tk-\-A0) существует и задается
формулой
k = Rbi; Th) (I-A0R(p; Tk))~\
Из леммы VII.6.1 вытекает, что если |i-^oo, оставаясь в указанных
углах верхней и нижней полуплоскостей, то |(/ — A0R(ii; Г^))^ 1.
Так как \R(ii;Th)\ = O(\lrn\i\~1), то в силу выписанного выше
соотношения и леммы XI 1.2.2
(vi)
\R(li; (T+P)k)| = 0A
Г
),
5. Полнота системы корневых подпространств 455
когда | |i | ->• °° i оставаясь в углах | arg \л ± я/2 | ^ я/2 — s верхней
и нижней полуплоскостей.
Выберем теперь некоторое ju0, для которого оператор RQ =
= R(\io\ {T-\-P)h) существует и задается формулой
= Rbi0; Th)(I-A0R(ii0; Tk))-\
Пусть {фп} — полный ортонормированный базис гильбертова
пространства Jg» состоящий из собственных векторов оператора Т
(теорема XIII.4.2), и Т(рп = Хп(рп. Согласно теореме XII.2.6,
Так как по предположению ряд 2 I hn \~2h сходится, то сходится
п=1
2 \R(W>)pn\ S |?о^|
п=1 п=1
Следовательно, в силу определения XI.6.1 R (jli0; Th) — оператор
Гильберта —Шмидта, т. е. R(iio; Th)?HS. Кроме того,
/?• = {(/ - A0R сйю; Т^))}* /? (flo; F*),
так что
оо оо
2 IЯо*Фп|2<|(/-ЛЯ(но; Т1")) р S IRЫ Th) ф„|2< оо.
п=1 п=0
Таким образом, R*?HS, и потому, согласно лемме XI.6.2, R0?HS.
Так как #0 = (м-о/ — (Т+Р)*)-1, то по лемме VII.9.2 a(R0) =
{(?IUe(G1+P)fc)}{0}, так что
Из этой формулы и формулы (vi) следует, что если точка ju Ф О
лежит в одном из углов | arg |i — я/2 | < я/2 — s, | arg |i + я/2 К
^ я/2 — s и модуль | \i | достаточно велик, то оператор (\il—Ro)'1
существует и
1(|х/ —/го)-11 = o(i|i г1).
Из теоремы X 1.6.29 сразу же вытекает, что система векторов
фундаментальна в ig. Поскольку /?0 = (м-о/ — (T-|-P)fe)~\ то /?0
взаимно однозначен, так что из равенства R^f = O следует равен-
равенство f=:0. Значит, множество
456 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
фундаментально в ?3. Следовательно, по определению VIII.9.3
множество
фундаментально в $. По теореме VII.9.5
Таким образом, по определению 1 sp (Т + Р) = Sq9 ч. т. д.
Мы закончим этот параграф следующим уточнением теоремы 4.16.
12. Теорема. Пусть Т — замкнутый оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве L2 @, 1), порожденный формальным диффе-
дифференциальным оператором (—idldx)n и п граничными условиями.
В случае четного п предположим, что эти граничные условия удов-
удовлетворяют предположению регулярности АЛ и число C, определенное
формулами D.16) и D.17), отлично от 1. Если же п нечетно, то
предположим, что эти граничные условия удовлетворяют предпо-
предположениям регулярности D.9) и D.10). Пусть Р — оператор, опре-
определенный на подмножестве Н^ @, 1) из L2 @, 1) формулой
п-1
где А компактен, a Bj ограничены, j = 0, 1, . . ., п— 1. Тогда
оператор Т + Р дискретен и sp (Т + Р) = §.
Доказательство. Сначала покажем, что Р можно представить
в виде
где Ai и Boo компактны. Согласно теореме VI.5.4, для этого доста-
достаточно доказать, что для каждого /
где С и В компактны. Далее, /^-*) = Int (/(i)) + /cj} (°)» гДе Int~
оператор интегрирования
t
(int/но ={/(*)<&, /еыо, 1).
о
Так как в силу неравенства Шварца | (Int /) (/) — (Int /) (s) \ <
<|/||/ —s|1/2, то в силу теоремы IV.6.5 оператор Int компактен.
5. Полнота системы корневых подпространств 457
-Таким образом, достаточно проверить, что /(;И)@) можно пред-
представить в виде
где С, В — непрерывные (а потому компактные) линейные функ-
функционалы на гильбертовом пространстве. Если ф — некоторая функция
из С°° [0, 1], равная нулю в окрестности точки 1 и единице в окрест-
окрестности точки / = 0, то по формуле Грина (теорема XIII.2.4)
1 1
/(i)@)= f ф (s)/(i) (s)ds-f (— I)* f q>(»(s)/(s)ds;
о Jo
тем самым доказано соотношение [ + ].
Пусть Яп —собственные значения оператора Т и Еп = Е(%п\ Т) —
соответствующие проекторы. Положим (in^Re^n- Согласно тео-
теоремам VII.9.5, VII.4.5, 4.8, 4.13 и лемме XVII.2.2, one-
оо
ратор В= 2 Y^nEn — Т является суммой конечномерного оператора
71=1
оо
и ограниченного оператора вида 2 ( —ПтЯ,п)?1п1), а следова-
n=N
оо
тельно, В ограничен. Положим Т= 2 \^пЕп в смысле теоре-
мы XVIII.2.11. По лемме XV.6.2 в L2@, 1) можно ввести такую
гильбертову норму, эквивалентную исходной, относительно которой
проекторы Еп ортогональны. Следовательно, не теряя в общности^
можно считать, что f самосопряжен. Так как цп—> оо (и даже
оо
2 |М'п|<°° в силу теорем 4.8 и 4.13), то f дискретен. Как
п=1
было доказано выше,
где Ai компактен, а В ограничен; так как \BR(\ii;f)\->0 при
(А->+°° (теорема XII.2.6), то наша теорема будет следовать
из теоремы 11, как только мы докажем, что
\Ai(-]lr)nR(lir,f)\-+0 при ,1-Н-00-
Докажем последнее утверждение. Поскольку t = Т-\-В, где В
ограничен, то (см. доказательство теоремы 6) \i$o(T) для доста-
достаточно больших |i и
fi; t))'1.
г) Ограниченность последнего оператора следует из ограниченности
последовательности Im kn (см. лемму 4.2). — Прим. перге.
458 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Это соотношение показывает, что если \х взять столь большим, чтобы
выполнялось неравенство | BR (\ii\ Т) | < 1/2, то | R {\ii; T) | <
< 2\i~x. Отсюда, рассуждая так же, как при доказательстве теоре-*
мы 6, находим
R (|u; f) = R (,if; T) (I+BR (|u; T))
для достаточно больших \i. Для доказательства теоремы осталось
проверить, что
lim\AiTR([ii;T)\ = O,
Ц,-*оо
т. е.
\im\Ai(\iiR(ixi;T)-I)\ = O.
Ц.-Х»
Ясно, что
; T)-R (щ; t))\ = \ vdR (yd; T) BR (ju; f) |<
Таким образом, все свелось к доказательству соотношения
lira | A, hiiRbii; t)-l) | = 0.
|Ll->oo
Допустим, что оно неверно. Тогда существуют такая последователь-
последовательность вещественных чисел {|17-}, стремящаяся к +оо, такая после-
последовательность векторов {хп} единичной длины и такое е > 0, что
Так как, согласно теореме XII.2.6, последовательность {гп} =
= {(\ijiRi\iji\ Т) — /] Xj} ограничена и оператор At компактен,
мы можем считать, не ограничивая общности, что {А^п} стремится
к некоторму г. Ясно, что | г \ > s, так что z Ф 0. С другой стороны,
согласно теореме XI 1.2.6 и теореме Лебега, последовательность
оо
y)= J —L^-(E(d%)xn, A\y)
сходится к нулю при Ai-^oo для любого у 6 $. Следовательно,
(г, у) = 0 для всех у из $, так что z = 0. Это противоречие доказы-
доказывает теорему, ч. т. д.
6. Примечания и дополнения
Развитие теории, изложенной в этой главе, было начато в 1908 г.
в работах Г. Биркгофа [3, 6, 7] и продолжено Тамаркиным [2]
в 1912 г. Однако несколько ранее A896 г.) эта тема была затро-
затронута А. Пуанкаре [2]. Продолжая исследования в этом направлении,
6. Примечания и дополнения
Тамаркин [3] рассмотрел весьма общие задачи для уравнений п-то
порядка, Биркгоф и Лангер [1] изучили случай систем дифферен-
диальных уравнений первого порядка, а Уайлдер [1, 2]—случай опе-
оператора, порожденного формальным дифференциальным оператором
и линейными условиями на функцию и ее производные в некоторой
внутренней точке интервала.
Дж. Шварц [2] указал абстрактный операторный метод, основан-
основанный на теоремах о возмущении, которые мы использовали в § 2;
этот метод был обобщен Г. Крамером [2] на более общий случай.
Близкие результаты получили Тернер [2] и Кларк [1]. Маеда [1]
распространил основной результат Дж. Шварца на локально вы-
выпуклые пространства.
Биркгоф и Тамаркин не занимались задачей о безусловной схо-
сходимости в среднем, задачей, которой в основном посвящена эта гла-
глава; однако они рассмотрели задачу о сходимости разложений по
корневым векторам в точке. Биркгоф [3] доказал, что если гранич-
граничные условия регулярны в смысле § 4 этой главы, то ряд по собствен-
собственным функциям функции /, имеющей ограниченную вариацию, схо-
сходится к у{/ (t + 0) + / (t — 0)} в каждой внутренней точке ин-
интервала [0, 1], на котором задан формальный дифференциальный
оператор, а в точках 0 и 1 ряд сходится к а/ @+) + bf A—), где
постоянные а и b определяются граничными условиями. Тамаркин [3;
теорема 12] нашел обобщение следующей теоремы о равносходи-
равносходимости, первоначально доказанной для операторов второго порядка
Стекловым [1] и Хааром [3].
Теорема. Пусть Т — линейный оператору определенный фор-
формальным дифференциальным оператором
на отрезке [О, 1] и п граничными условиями, удовлетворяющими
предположениям регулярности из § 4. Пусть То — линейный опера-
оператор, определенный теми же граничными условиями и формальным
дифференциальным оператором
I d \п
Возьмем функцию / 6 ^i (О, 1) и через оп (/, t) обозначим п-ю частич-
частичную сумму разложения f no собственным и присоединенным функциям
оператора Т, а через ап (/, t) обозначим п-ю частичную сумму раз-
разложения! по собственным и присоединенным функциям оператораТ0.
В обоих случаях предполагается, что собственные функции упорядо-
460 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
чены по возрастанию модулей соответствующих собственных значе-
значений. Тогда
lim max \on(f, t)-on(f, 01 = 0, /еЫО, 1).
Эта интересная теорема позволяет в ряде случаев свести пробле-
проблему сходимости разложений по собственным и присоединенным
функциям к задаче о сходимости рядов Фурье; последней задаче
посвящена обширная литература. Доказательство теорем о равно-
равносходимости в случае второго порядка можно найти в книгах Титч-
марша [16; гл. I] и Коддингтона — Левинсона [1; гл. 12, теоре-
теорема 3.2]. Основные положения теории Биркгофа — Тамаркина
изложены в книге Наймарка [5]. Близкий, но менее сильный резуль-
результат о сходимости разложений получил Милн [2].
В работах Дж. Эллиотт [1,2] рассматривалась задача о сходи-
сходимости и суммируемости разложений по собственным и присоединен-
присоединенным функциям для некоторых классов сингулярных несамосопря-
несамосопряженных операторов второго порядка с дискретным спектром.
Дж. Эллиотт использовала построенную Феллером, Филлипсом
и Хилле теорию полугрупп в Lt и С, порожденных параболическими
уравнениями в частных производных.
Множество всех пар линейно независимых граничных условий
для оператора
на отрезке [0, 1] распадается на четыре класса.
(a) Регулярные граничные условия (т. е. граничные условия,
удовлетворяющие предположениям регулярности из § 4).
(b) Вырожденные граничные условия типа
/ @) = о, г @) = о,
для которых спектр соответствующего оператора пуст.
(c) Вырожденные граничные условия типа
/@)=/(i), /' @) = —г A),
для которых спектром соответствующего оператора является вся
комплексная плоскость.
(d) Промежуточные граничные условия типа
/@) = 0, /'@)=/A).
Эти граничные условия определяют оператор, спектр которого
состоит из собственных значений X = s2, определенных уравнением
sin s = ks.
6. Примечания и дополнения 461
Асимптотика собственных значений имеет вида/г2 + ibn In n + . . .,
при этом отношение а и Ъ вещественно. Та$ие разложения изучал
Гофман [1].
Фридман и Мишоу [1] рассмотрели разложения по собственным
функциям уравнения
и" + q(t)u + X(p(t)u- и') = О,
с граничными условиями
и@) =0, и{\) = 0.
Замена переменных v (t) = и' (t) — р (t) и {t) приводит задачу
к более удобной форме. Фридман и Мишоу получили соответствую-
соответствующие теоремы разложения. Другие результаты, относящиеся к этой
задаче, получили Мишоу и Форд [1].
Теорема 5.12 из § 5 близка к теореме полноты, доказанной Брау-
дером [6], который применил неравенство Карлемана, использован-
использованное нами в теореме 5.12 (см. также теорему XIV.6.28).
Келдыш [1] опубликовал обобщение следующей теоремы, близ-
близкой к теоремам полноты XI.6.28 и XI.9.29, и применил его в тео-
теории разложений по собственным и присоединенным функциям
дифференциальных операторов (обыкновенных и в частных произ-
производных).
Теорема. Пусть Т — неограниченный дискретный самосо-
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве !q и А ком-
компактный оператор. Предположим, что оператор. Г существует
и ограничен и для достаточно большого т, а оператор Т~т является
оператором Гильберта — Шмидта. Тогда (I — А) Т — дискрет-
дискретный оператор и sp ((/ — А) Т) = i§.
Дифференциальные операторы. Дальнейшие результаты по диф-
дифференциальным операторам и краевым задачам получили Аске-
Аскеров, С. Г. Крейн и Лаптев [1], Балслев [1], Бирман [5, 6], Ба-
тлер [2, 3], Коддингтон и Гилберт [1], Эрколано и Шехтер [1],
Р. Фриман [1], Гехтман и Станкевич [1], Гилберт и Крамер [1], Глаз-
ман [5], Гольдберг [2], Грейнер [1], Хельвиг [1], Хёрмандер [2],
Хьюиг [1], И. Кац [1], Келдыш и Лидский [1], Кемп [1], Кесель-
ман [2], Лянце [4, 6], Макгарвей [1], Марченко [3], Марченко
и Рофе-Бекетов [1], Мартиросян [4], Павлов [1], Штраус [6] и Вайд-
ман [2].
Разложения по собственным функциям. Проблема разло-
разложения данной функции по собственным и присоединенным функциям
оператора изучалась многими авторами. Большой интерес пред-
представляет также вопрос о полноте системы собственных и присоеди-
присоединенных векторов оператора в некотором заданном пространстве.
462 Гл. XIX. Возмущения спектральных операторов
Для самосопряженного случая много сведений по этим вопросам
читатель найдет в книге Березанского [5]; см. также работы сле-
следующих авторов: Александрян [1], Аллахвердиев [1—5], Березан-*
ский [3], Фойаш [4—6, 18], Герлах [1], Гирц [1], Гохберг и Крейн
[6], Грейнер [1], Харазов [5], Хиршфельд [1], И. Кац [1], Кацнель-
сон [1], Крейн [22], Курода [8], Лидский [1, 2], Лянце [6], Маца-
ев [2, 3], Марченко [3], Марченко и Рофе-Бекетов [1], Маркус [1—4],
К. Морен [1—7], Нельсон [1], Новосельский [1], Палант [1], Пинкус
[2,3], Пустыльник [1, 2], Рофе-Бекетов [1], Сидзута [1],Смарт13]„
Тернер [2] и Визитей [1—3].
ГЛАВА XX
Спектральные операторы
с непрерывным спектром:
приложения общей теории
Эта глава посвящена описанию некоторых классов операторов
с непрерывным спектром, которые являются спектральными или
обладают рядом близких (более сильных или слабых) свойств.
Излагаемые нами результаты носят фрагментарный характер, но
мы надеемся, однако, что они послужат стимулом к новым исследо-
исследованиям в этой области.
В первом параграфе, используя теорему XVIII.2.34, мы пока-
показываем (следуя Наймарку), что при некоторых ограничениях опе-
оператор 7\ определенный формальным дифференциальным оператором
является спектральным. Идея доказательства состоит в следующем.
К оператору Т применяется (формально) обычный метод Вейля —
Кодаиры построения спектрального разложения самосопряженного
оператора (теорема XIII.5.13). В результате мы получаем формаль-
формальные выражения для семейства операторов Е (е), которые являются
естественными «кандидатами» на роль спектрального разложения
оператора Т при условии, конечно, что для Т это разложение
действительно существует. Как только мы докажем, что нормы
операторов Е (е) равномерно ограничены, то сможем показать,
что оператор Т является спектральным; в этом состоит содержание
теоремы XVIII.2.34. Чтобы доказать равномерную ограниченность
семейства операторов Е (ё)> мы сравним их с соответствующими
операторами, вычисленными для «невозмущенного» формально
самосопряженного оператора
j j. I ч v s^. if ^^. OO.
Естественно ожидать, что если функция q достаточно ма^а, то наши
рассуждения приведут нас к доказательству спектральности 7\
464 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
В первом параграфе мы осуществим эту программу для случая,
когда функция q мала в том смысле, что
(l+P)\q(t)\dt<oo.
Намеченная здесь идея имеет достаточно широкою область приме-
применения; некоторые случаи, в которых она может быть с успехом
использована, указаны в упражнениях в конце главы. Отметим
следующую нерешенную интересную задачу. Для каких а> Ь, с и q
к оператору
О(Г4) при *->оо,
применим метод из § 1? Для каких а, &, с этот оператор спектрален?
Параграф 2 посвящен интересной идее, принадлежащей Фрид-
рихсу. Если даны «невозмущенный» оператор Т и «возмущение» /С,
то мы будем искать такой оператор U, что Т + J( = 0~гТи\ тем
самым спектральная теория оператора Т + К сводится к спектраль-
спектральной теории оператора Т. Мы покажем, что эта идея может быть
применена к широкому классу операторов и, в частности, к некото-
некоторым дифференциальным операторам в частных производных вида
—V + V (х). Применения того же метода к другим операторам даны
в упражнениях § 5.
В § 3 мы обобщаем (следуя Тернеру) метод Фридрихса на опе-
операторы с дискретным спектром. Здесь рассматривается невозмущен-
невозмущенный оператор Г, заданный в «диагональной» форме, и ищется решение
уравнения Т + К = U~x {Т + D) U, где D —«диагональный» опе-
оператор (в том же базисе, что и Г). Общий метод, развитый в § 3,
применяется к некоторым конкретным операторам с дискретным
спектром; дальнейшие применения даны в упражнениях из § 5.
Совершенно другая идея излагается в § 4. Если Т — самосопря-
самосопряженный оператор, а Т + /С — возмущенный самосопряженный
оператор, то «волновой оператор» U = lim eisT e~is(T+K\ если толь-
S-+OO
ко он существует и унитарен, как нетрудно видеть, удовлетворяет
уравнению Т + /С = U~lTU. В § 4 будет развит этот «метод волно-
волновых операторов»; мы выведем общую теорему Като и Куроды о су-
существовании и свойствах волнового оператора f/, а также выясним
связи между спектрами Т и Т -\- К- В§4 содержится больше общих
теорем, чем конкретных приложений; в упражнениях, помещенных
в § 5, указан ряд применений результатов, полученных в § 4.
Следует отметить, что материал этой главы тесно связан с неко-
некоторыми глубокими исследованиями по квантовой механике, кванто-
квантовой теории поля и различным областям классической волновой
/. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 465
теории, в частности теории электромагнитных волн, которые зани-
занимают центральное место в работах физиков двадцатого века. В кван-
квантовой механике собственные значения и собственные функции неко-
некоторых самосопряженных операторов определяют уровни энергии
физической системы. В классической линейной волновой теории
те же функции являются основным инструментом для описания
распространения и рассеяния волн. В тех случаях, когда невозмож-
невозможно получить точное решение задачи, физики обычно применяют
теорию возмущений собственных функций дифференциальных опера-
операторов в частных производных. Типичным примером является опе-
оператор —V + V (х)у рассматриваемый как возмущение оператора
—V; оператор вида
(~\ . о / Л \ 2
~d7j ~~'"~\дГ6)
X^ Х2 — ХЬ, Х3 — Х6)
является возмущением оператора
-(*)*—-(?)'•
Та же идея используется и в более общих многомерных и бесконеч-
бесконечномерных задачах. Невозмущенные операторы —V и ( + ) имеют
непрерывный спектр, покрывающий положительную полуось; стро-
строгое математическое решение проблемы возмущения непрерывного
спектра отнюдь не просто. Математические результаты, которые мы
излагаем, отражают те немногие случаи, в которых возможно строгое
обоснование идей, основанных на эмпирических принципах. Даль-
Дальнейшие ссылки на работы по физике и математике, связанные
с этими исследованиями, содержатся в параграфе «Примечания
и дополнения» в конце этой главы. Читателю, желающему позна-
познакомиться с современным состоянием этого круга вопросов, будут
особенно полезны работы Фридрихса [17], Фаддеева [2—4], а также
Лакса и Филлипса [2].
1. Спектральные дифференциальные операторы
второго порядка
В этом параграфе мы покажем, применяя теорему XVIП.2.34,
что оператор, определенный в гильбертовом пространстве формаль-
формальным дифференциальным оператором т второго порядка:
A) *-
является спектральным, если коэффициент q (t) достаточно мал на
бесконечности. Основная аналитическая часть исследования заклю-
заключается в получении достаточно точных асимптотических оценок
30 Н. Данфорд и Дж. Шварц
466 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
решений уравнения та = А,а; это позволит нам проверить предпо-
предположения теоремы XVIII.2.34 (применительно к оператору т) путем
прямых вычислений. Такой способ доказательства, достаточно*
простой в своей основе, требует, однако, довольно много выкладок.
Пусть т — формальный дифференциальный оператор, заданный
формулой A), и q 6 С°° [0, оо). Рассмотрим нетривиальное гранич-
граничное условие в нуле:<
B) А (/) = 0.
Согласно следствию XIII.2.23, граничное условие B) можно запи-
записать в одном из следующих видов:
BаI / @) = 0,
BЬ) Г @) + kf @) = 0.
Пусть Т — замкнутый оператор в L2 @, оо), определенный с по-
помощью т и граничных условий B) (определение XII 1.2.17).
В следующей лемме мы налагаем на функцию q из A) первое
ограничение.
1. Лемма. Пусть функция q в A) удовлетворяет неравенству
оо
]\q{t)\dt
Положим Р+ = {|ы | Im fx ^0}, Pi = {\i 6 Р+ \ \ \i \ > е}. Тогда уравне-
уравнение %в = \120 имеет решение Gi(t, \i), определенное при (t, \i) 6
? [0, оо) х Pq и удовлетворяющее следующим условиям:
(i) (Ti(^ \i)^C относительно t при
(ii) (?i(/, \i) и o[(t, \i) аналитичны по |л внутри области Р%
и непрерывны по \i при \i(zPo, 0^/<оо. Кроме того, Oi(t, \i)
удовлетворяет следующим асимптотическим соотношениям:
°'i (^ I1) ^ ^Ц^/гм>, J номерно по t,
еи^ 1 если ^"^°°» равномерно по \i?P?, e>0,
\ > а также если (л-^оо, оставаясь в Р\ рав-
11хен», ) номерно по t, 0<^<oo.
Доказательство. Пусть а^0; определим в Б-пространстве
С [а, оо) ограниченных непрерывных функций на [а, оо) оператор
Lp, формулой
оо
C) (LJi) (t) = ^ { [e2^-') -l)q(s)h (s) ds, ц €P+.
1. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 467
оо
Ясно, что | Ах К Ы j 19 (s) I ds> Ц 6 ^+. Кроме того,
I (VO @ -
^^(VOW-v
J 1_
U V
f | e2w
J
Следовательно, если b выбрано так, что #<<&<;оо, то
z I r I
SUp
оо
1 f
!* I J
I !* I
Пусть 8 — произвольное положительное число. Возьмем число (л Ф О
оо
из Р+ и столь большое &, что \\i\~1 \ \q(s)\ds<Ce; из предыду-
ь
щего неравенства следует, что
lim \LV — L^l^e.
Так как 8 произвольно, L^ непрерывно зависит от |ы в равномер-
равномерной топологии при (л 6 Р+, (л =й= 0. Аналогично доказывается, что
Lp, аналитична по (л внутри области Р+.
Ясно, что
D)
оо
@ = - J
q (s) h (s) ds, A ? С [a, oo),
так что
E)
, oo),
30*
468 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Обозначим через 1 функцию, тождественно равную единице,
и положим
F) /г^(/-^)-Ч
(допуская пока, что написанный здесь обратный оператор суще-
существует). Тогда
G) An
так что, в силу соотношения E), h^ удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
(8) -/u(/
и, следовательно, функция
(9)
удовлетворяет дифференциальному уравнению т^м,= (х2^м,.
Построим теперь указанное в лемме решение Oi(t, \i). Зафикси-
Зафиксируем положительное число е и обозначим через ае наименьшее
из неотрицательных чисел t, удовлетворяющих условию
A0) e-1j
t
Согласно неравенству, следующему за формулой C),
в Б-пространстве С[ае, оо). Следовательно, в силу лемм VII.6.1,
VII.6.3 и VII.6.4 обратный оператор (/— L^) существует, имеет
норму <2, непрерывен по \х при \х^Р+ и аналитичен по ju внутри
области Pg. Поэтому h^ и g^ существуют, имеют нормы <2,
непрерывны в Р+ и аналитичны внутри Р? как функции от [х.
Заметим также, что к^^С[а, оо) является единственным решением
в С [а, оо) уравнения G) при \i?P+. Определим теперь сг^/, (л)
как единственное решение уравнения (т — (л2) а = 0, (/, \i) ? [0, оо) х
xPt, которое совпадает с g^tf) при t^ae (следствие XIII. 1.5).
Если б —другое положительное число и 6<е, то аь^аг.
Пусть Ац(/), (t, цN[^б, оо) X Рь, — решение уравнения G) из
С[Яб, о°) (как показано выше оно существует). Тогда, в силу
единственности решения уравнения G), йц(/)г=Ац(/), (^, ц) 6
6 [аб, оо)хРе, и, значит, e^h^t) = ot{t, jx), если(/, \i) 6 [0, оо) х
X Ре- Отсюда следует, что, устремляя 8 к нулю, мы получим
решение а(/, (л), определенное на всем множестве [0, оо)хРо,
причем функция o(t, \i) непрерывна по [i в PJ и аналитична
внутри Pq.
jm Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 469
Осталось доказать, что построенная функция о^ (t, \x) и ее про-
производная o'i(t, ц) удовлетворяют указанным в лемме асимптоти-
асимптотическим соотношениям. Взяв е>0 и применив G), получим, что
A1) <r(f, I*)*"*'-1= МО-1HV
Кроме того, согласно равенству C),
A2)
когда t стремится к бесконечности, равномерно по \i?P&. Кроме
того,
A3)
когда |ju|-^oo, \х?Р+, равномерно по 0^/<оо. Этим доказано
асимптотическое соотношение для o{(t, |л).
Выведем асимптотическое соотношение для о[ (t, \i). Из фор-
формул D) и G) находим
оо
(О I = | J
Следовательно,
A4) \K
где Q= \ \q(s)\ds (здесь использовано полученное выше нера-
о
венство |Lllhli\^.2Q \ ju, I).
Покажем, что второе слагаемое в правой части неравенства A4)
стремится к нулю, когда |л->- оо, оставаясь в Р+, равномерно по
0^/<оо. Пусть {qn} — такая последовательность функций из
С°° [0, оо), каждая из которых обращается в нуль вне ограниченно-
ограниченного подмножества из [0, оо), что
оо
\ I Qn @ — Я @ \dt-+O при п -^ оо.
о
470 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Тогда очевидно, что
оо оо
f е2щ(8-г)дп (S) fa -> f е2гц(8-ОG (S) ds
равномерно no \i ? P+ и no t, 0 ^ t <C оо. С другой стороны, инте-
интегрируя по частям, получаем для каждого п соотношение
оо
№-*)qn(s)ds= -щЯпЦ)-щ\ e^-»q'n(s)ds-+ О,
когда | fx| —^ oo7 \x?P+, равномерно по 0^J/<oo. Теперь наше
утверждение вытекает из теоремы Мура (лемма 1.7.6).
Из формулы A4) следует, что | h^ (t) \ -> 0 при | \i \ ->- оо, jn g P+,
равномерно по 0-</<оо. Из формулы A4) видно также, что
1^@1"^ О ПРИ ^-^°° равномерно по (лб^е- Так как в силу (9)
а;(^ p) = gv(t) = i\J&v%(t)-{-ei»%(t), тоа;(/, |i) s ^@ ^'
при /-^оо, равномерно по (лб^е, а также при |ji|->oo,
равномерно по t, 0^^<Coo, ч. т. д.
Налагая на функцию q более жесткие ограничения, мы получим
некоторое уточнение леммы 1:
2. Следствие. Пусть функция q удовлетворяет условию
оо
A5) С (l+0l<7(')l*<°°-
о
Тогда указанное в лемме 1 решение oi можно выбрать так, чтобы
оно было определено также при \i = 0, удовлетворяло условиям (i)
и (и) леммы 1 при \i 6 Р+, условию ot (t, 0) ^ 1 яра i ->• оо, а также
неравенству
A6) \о^, ^-
при \х 6 Р+> где К — постоянная, зависящая только от q.
Доказательство. Возьмем функцию ср (а) = Bia)~1 (e2la — 1).
Ясно, что ф (а) — целая функция и ее модуль ограничен едини-
единицей в верхней полуплоскости Р+. Равенство C), определяющее
оператор L^, перепишем в виде
оо
A7) (L^h) (t)=^(n(s-t))(s-t)q(s)h (s) ds.
I. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 471
Из этого соотношения ясно, что если а^О, то норма отображе-
оо
ния Lp,: С[а, оо)-*С[а, оо) не превосходит f (l+s)| q(s)\ds.
а
Если а<Ь<оо, то
ь
|^-Lv|< sup \4(\it)-y(vt)\\(l+s)\q(s)\ds +
Откуда, как и в лемме 1, вытекает, что оператор L^ непрерывен
по \i 6 Р+- Первое утверждение леммы теперь выводится так же,
как соответствующее утверждение леммы 1; подробное доказатель-
доказательство мы представляем провести читателю. Заметим, что oi (/, \i) =
= e^h^ (t) для любого /, удовлетворяющего условию
A8)
где h^ является (см. G)) единственным решением интегрального
уравнения
Поскольку при условии A8) норма отображения L^: С It, оо) ->-
-> С It, оо) не превосходит 1/2, мы получаем (см. VII.6.1) нера-
неравенство | Ац (/) | < 2. Следовательно,
A9) |MO-
при условии A8). Аналогично из равенства A7), используя рас-
рассуждения из доказательства леммы 1 (см. A1) и A2)), находим, что
оо оо
B0) IM0-1 U2IM \ \q(s)\ds<2\V.\^ \ (l+s)\q(s)\ds
t i
при условии A8). Из соотношений A9) и B0) вытекает, что суще-
существуют столь большие постоянные А и /С±, что
472 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
за исключением тех |я и t, для которых ||я|^ЛиО^^^
Так как продолжение а* (t, |я) функции g^ (/) на [0, оо) х
непрерывно относительно |i и i, мы получаем неравенство
(l+s)\q(s)\dst
тем самым доказано второе утверждение леммы. Отсюда сразу сле-
следует соотношение аА (t9 0) ~ 1 при /-> сх>, ч. т. д.
Для спектрального анализа оператора Т нам понадобится также
информация о «втором решении» дифференциального уравнения
та = |я2а, т. е. решении, имеющем асимптотику е4^ при t->- оо.
Однако, в отличие от aiy это решение не определяется однозначно
своей асимптотикой, что приводит к некоторым техническим услож-
усложнениям при исследовании его асимптотического поведения. По
этой причине мы будем устанавливать асимптотические свойства
второго решения не сразу, а постепенно — по мере их необхо-
необходимости для спектрального анализа оператора Т.
3. Лемма. Пусть выполнены предположения леммы 1. Пусть
г > 0 и Pi ={\l | Im \x > 0, | fx | > e}. Тогда уравнение та = (я2а
имеет решение а2 (/, |я), определенное при (t, \х) 6 Ю, оо) х Р1
и обладающее следующими свойствами:
(i) а2 (t, \i) принадлежит классу С°° относительно /, 0 ^ t < оог
(ii) 02{t, \i) аналитична по \i внутри Pi, a 02{t, |я), о'2 (t> \i)
непрерывны по t и (я, |я 6 ^е, t 6 [0, оо).
Кроме того, а2 (/, (я) удовлетворяет следующим асимптоти-
асимптотическим соотношениям:
(ш) а2(/, [х)^^-{/^; а;(/, fx) ^ — /е~^ n/?w ^-^oo, равномерно
по (я яа каждом ограниченном множестве, лежащем внутри Pi\
(iv) функция euvo2(t4\x) ограничена по t, 0^.t< оо, равно-
равномерно по (я яа каждом ограниченном множестве из Pi;
(v) существует такая непрерывная функция с, определенная
при вещественных (я, |ябРе> */molim|a2(^, (я) — е~и^ — ?(|я)в^| = Ог
(я вещественно, \i(zP+.
Доказательство. Мы поступим так же, как при доказательстве
леммы 1. Пусть а столь велико, что
1. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 473
Определим в С [а, оо) линейный оператор
t оо
B1) W)@ = ^r[{ e-^^q{s)f{s)ds+ j q(s)f(s)ds] .
a t
Мы получаем, как и в доказательстве леммы 1, что |/Сц|<1/2
при [хвРе и K\i аналитична по \i внутри Р?. Из формулы B1)
видно, что (K^f) (t) непрерывна по ]ы, притом равномерно
по \i(zPl и по / в каждом конечном отрезке. Согласно лем-
лемме VII.6.1, существует оператор (/ —/С^), а по леммам VII.6.3
и VII.6.4 вектор Да 6 С [а, оо), определенный формулой
удовлетворяет неравенству |/м,|-<2, \i(:P+, непрерывен по (я при
\х ^ Pi n аналитичен по \х внутри PJ. Ясно, что
t
(KJY (t) = j е-*й(.-о9(s) /(s)ds, feC[a,oo),
B2)
(/CJ)' @ = Я (*) f (t) + 2t> j e-««.-*)9 (s) / (s) ds, / € С [a, oo),
a
откуда
(Kjy^-^iKJY {t) = q (t)f(t).
Так как /^ удовлетворяет уравнению
B3) U = K*U+1,
т0 /м- удовлетворяет также уравнению
и, следовательно, функция
B4)
удовлетворяет дифференциальному уравнению xg]i, = x2g]IL. В силу (9)
и леммы VII.6.1 1/^@1^2, а^/<оо. Следовательно, согласно
равенству B1),
B5)
474 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Из B3) и B4) вытекает, что
при t-^oo
равномерно по
^ при /->оо
равномерно по
Применяя равенства B3), B2) и теорему III.6.16, находим, что
t
B7) IHH|fr(O|<fim f
t-*-oo t-*-oo «-
а
равномерно по |я?Р?, 1т|я>8>0. Так как, согласно B4),
то из B6) и B7) вытекает, что
B8) g'v (t) /^ — i"jli^-^^ при ^ ->¦ оо равномерно по \х 6 ^е,
Поскольку |М01^2, а<^<оо, то
a^t< оо. Из B3), B1) и упомянутой теоремы Лебега следует, что
оо
/OQ\ 1 \ггл f ( f\ _ 1 (Оiti \~1 p2>illt I р— 2iu,S/7 ( c\ f (q\ Hq
\?\J J 11111 I м yi j I ^ZipLl ) о *^ 1 о ^ t^ \<->y /и \^/ i*o
^->oo J
= lim
для любого ii(zPt. Рассмотрим функцию
оо
C0) с(|я) = Bг[х) \ e~2i^sq (s) f^ (s) ds, jli вещественно,
= 0
Так как /р, непрерывна по \i при (яб^е, то с(|я) непрерывна для
вещественных (яб^е по теореме Лебега II 1.6.16. В силу B9) и B4)
C1) lim | g^ (t) - е-"» + с (ц) ^^ | - 0
для вещественных (
Пусть а2 (/, |я) —такое единственное решение уравнения та =
= |я2а на [0, оо), что а2 (/, |я) = ?^ (/)» а^/<оо. Используя
следствие XIII.1.5, мы видим из доказанного выше, что a2 (t, I*)
удовлетворяет всем условиям леммы (см. соответствующее рас-
рассуждение в доказательстве леммы 1), ч. т. д.
Леммы 1 и 3 позволяют выяснить некоторые спектральные
свойства оператора Т.
1. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 475
4. Лемма. Пусть выполнены предположения леммы 1. Пусть
д (Р) = О — граничное условие типа B), а^ — функция, определен-
определенная в лемме 1. Для каждого комплексного к обозначим через \i =
__ ^ (^) — единственный квадратный корень из к, лежащий
в р+ = {[г | lm \i^O} и не лежащий на отрицательной вещественной
оси. Положим А (к) = А (о{(-, \i (к))). Тогда
(i) Л (А,) аналитична для ненулевых к, лежащих в дополнении
к положительной вещественной полуоси R = {к | О < А, < оо }, и имеет
непрерывные предельные значения Л + (А,), А~ (к), когда к стремится
к R сверху и снизу;
(и) А (к) ~ 1 при \К | -> оо, в^л^ граничное условие имеет вид
Bа); Л (А,) ~ щ (К) при \ X \ ->¦ оо, ееуш граничное условие имеет
вид BЬ);
(iii) ^сл^г А,о =7^= О, А,0 $ ^, то Хо ? о (Т) тогда и только тогда,
когда А (к0) = 0; в этсш случае к0 является изолированной точкой
в о G), принадлежит точечному спектру оператора Т и является
полюсом его резольвенты.
Доказательство. Утверждения (i) и (п) вытекают из леммы
1 и формул Bа), BЬ). Пусть ^0 $ R U {0}. Если Л (Хо) = 0,
то сг± (•, (я (ко)) есть собственный вектор Г, соответствующий соб-
собственному значению к0, так что Хо принадлежит точечному спектру
оператора Т. С другой стороны, если ?>(•, \х (к0)) — собственный
вектор оператора 7, соответствующий собственному значению
^о $ R U {0}» то функция v отличается от oi (•, (я (А,о)) скалярным
множителем, так как по лемме 3 второе решение уравнения
(т — к0) а = 0, линейно независимое с аА (/, \х (А,о)), растет экспо-
экспоненциально при ?->¦ оо. Следовательно, Л (А,о) — 0. Мы видим, что
Яо принадлежит точечному спектру оператора Т в том и только
в том случае, если Л (^0) = 0. Осталось доказать, что та часть
множества а G), которая лежит в дополнении к множеству R [) {0},
состоит из изолированных точек, каждая из которых является
нулем функции Л (к) и полюсом резольвенты.
Возьмем произвольное е^0 и такое к, что \к \ > е2, к ($ R,
А (к) Ф 0. Для краткости будем писать \х вместо \х (к). Определим
интегральный оператор
оо
R (I) f (s) = j R (s, t; X) f (t) dt, f 6 L2 @, oo),
о
где
C2) R(s,t,X) =
= j BiiiA (X))-1 {A (X) o2 (s, p)-B (X) o{ (s, ц)} a4 (t, ji), s < /,
I BiiiA(X))-i{A(X)o2(t, Vi)-B(X)oi(t, ii)}o^s, ц), s>/.
476 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Здесь B(k)^A (a2(., jli), a а2(., |я) —функция, указанная в лем-
лемме 3. Заметим, что R(s, t; \x) = R(t, s; \i). Будем считать на время
доказанным, что sup \ \R(s, t; А,)|Л<оо. Тогда для любой
"~~ о
функции f?L2@y oo) получаем
О О
оо оо оо
\R(s,t;K)\dt} {j \R(s,t;X)\ \f (t)\4t})ds<
"о .
\R(s,t; k)\dt}{
< sup {\\R{s,t;k)\dtY\f\\;
0^S<OO > v '
здесь использованы неравенства Гёльдера, теорема Фубини и сим-
симметричность R (s, t\ X). Отсюда следует, согласно теореме Фубини,
что функция
существует для почти всех s и принадлежит L2 @, оо). Следова-
Следовательно, интегральный оператор R (Я), ядро которого определено
формулой C2), отображает L2 @, оо) в L2 @, оо), и его норма
оценивается неравенством
C3) |#МК sup
0^
J
Покажем, что эта верхняя грань конечна. Пусть Л — ограничен-
ограниченное множество в области {К \ \ К \ > 82}. По леммам 1 и 3 существует
такая конечная постоянная /С, что
C4) \oiit, \x)\<Ke-tl™^ \G2(t,
Отсюда
t
C5) \G{{t, li)\ f |G2(S,
о
1. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 477
и, аналогично,
оо
C6) |<М*. V)\ j I Ms, I*)lds<-I5rjr-
t
Положим
C7) Ct (k) = max {| 2(хЛ (А,) Г11В (A,) |, | 2(x I},
а через C2(A,) обозначим наименьшую верхнюю границу функций
o2(s, \x)\ds и | a2 (Л ji) | j | a4 (s, ji) | ds, 0</<oo.
t
Из C5) и C6) следует, что функция | Im \i | C2 (А,) равномерно
ограничена на любом компактном множестве из Р? и, в частности,
С2 (к) ограничена на любом компактном множестве, лежащем внутри
Ре. Отсюда и из C2), C3) сразу же вытекает, что норма R (к) огра-
ограничена числом 4Ci (к) С2 (к). Используя леммы 1 и 3, получаем,
что резольвента R(k) определена и аналитична по А на множестве
{А, | А, $ R, | I | > е2, А (к) Ф 0}. Кроме того, в любой точке А,о $
^ ^» I ^о I > ?2> в которой Л (А,о) = 0, R (к) имеет полюс, порядок
которого не превосходит порядка нуля функции А (к) в точке к0.
Наконец, если 0<С^1<ооиЛ+ (к^ Ф 0, А~ (к^ Ф 0, то функция
| Im А, | | R (к) | ограничена на достаточно коротком вертикальном
отрезке прямой, проходящей через точку А^. Эти утверждения сразу
же следуют из C2), C3), C4), а также лемм 1 и 3; подробное доказа-
доказательство мы предоставляем читателю.
Покажем теперь, что если А, удовлетворяет условиям А, $ R,
| А, | > 82 и А (к) Ф 0, то в точке к резольвента R (к\ Т) оператора Т
существует и совпадает с R (к). Таким образом, будет доказано
утверждение (Hi) леммы, а потому и вся лемма.
Пусть функция / непрерывна на [0, оо) и равна нулю вне огра-
ограниченного множества. Поскольку функция R (s, /; к) непрерывна
при s = ty имеет место равенство
о
Но так как функция d/ds[R(s, t; к)] имеет скачок при s — t, то
оо
(R(K) /)»= J (-^JR(s, t- X)f(t)dt-^-W(v, s) f(s),
0
где —(l/2i\i)W(\i, s) есть скачок
(dR/ds) (s, s — 0) — (dR/ds) (s, s + 0)
478 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
первой частной производной dR/ds функции R. Из C2) следует,,
что W (|я, s) есть вронскиан
W (ju, s) = Oi (s, \х) a; (s, \i) — g2 (s, fx) a; (s, fx).
Вронскиан двух решений уравнения xa = ji2a не зависит от s>
и, согласно леммам 1 и 3,
a; (s, fx) — r>e^
а2 (s, (i) ^ ^"^s, g'2 (s, fx) t>
Следовательно, W(\x)= —2i\x. Таким образом,
C8)
так что R(k)f есть функция из L2@, oo), имеющая непрерывные
производные первого и второго порядка. Используя C8) и опре-
определение R(k), находим
(X-x)(/?(X)/)(s) = j (Я,--g— q(s))R(s,t;X)f(t)dt+ns).
О
Так как, согласно равенству C2), мы имеем
(а-—5—</(«)) я (М; а.) = о,
то (K-x)(R(X)f)(s) = f(s). Поэтому () ())
= ©(Г1(т)). Кроме того, используя C2), получаем
00
(Л (X) /) @) = —Ljjj- {Л (Я) а2 @,» - В (Я,) о, @, ц)} j / @ а, (/, и) Л
И
оо
(/? (X) /)' @) = -gj^ {Л (Я,) о'2@, ц)-В(X)а;@, it)} j / @at(t, ц)dt,
так что
1
2щА (К)
1. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 479
Следовательно, R (k) f 6 ф (Т) для всех непрерывных функций /,
равных нулю вне ограниченного подмножества из [0, оо). Так как Т
замкнут, то R(k)fe Ф(Л и (kl - Т) R (к) f = / для / 6 L2 @, оо).
Пусть теперь f 6 Ф(Л> А (к) Ф 0, к $ R. Рассмотрим функцию
g = R(k) (kl — Т) f. Тогда g e Ф(Л и
(XI — Т) g = (kl — Т) R (к) (kl — Т) f = (kl — Т) f.
Так как А (к) Ф О, то к не принадлежит точечному спектру опера-
оператора Т. Следовательно, / = g. Таким образом, / = R (к) (kl—Т) f
для любой функции / 6 Ф(Т). Итак, если к 6 R, I к | > е2 и А (к) Ф
ф 0, то оператор (kl — Г) = R (К Т) существует и равен R (к).
Тем самым доказательство леммы завершено, ч. т. д.
5. Следствие. Пусть выполнены предположения леммы 4 и
0< А1<оо. Предположим, в обозначениях леммы 4, что А+ (к±) Ф
ФО, А~ (ki) Ф 0. Тогда для всех кфк1, лежащих на доста-
достаточно коротком вертикальном отрезке, проходящем через точку ки
существует резольвента R (к\ Т) = (kl — Г) и функция
| Im k | | R (к\ Т) | ограничена.
Напомним, что в лемме 4 мы построили ядро R (s, t\ к) резоль-
резольвенты R (к; Т) с помощью двух решений g{ (t, к) и а2 (t, к). Заме-
Заметим при этом, что указанное ранее «второе решение» а2 (t, k)r
построенное в лемме 3, можно заменить любым решением с асимпто-
асимптотикой ~е~ш при t->- оо. Выбирая надлежащим образом это второе
решение, мы сможем получить необходимые свойства резольвенты.
В следующей лемме эти свойства сформулированы в удобном для
последующего изложения виде.
6. Следствие. Пусть А (к) и \х (к) — функции, определен-
определенные в лемме 4, и пусть к $ R, кф О, А (к) Ф 0, так что k§ g (T).
Если о — произвольное решение уравнения та = ко, удовлетворяющее
асимптотическому соотношению а (t, \x (k)) ~ е~{^1 при t-> оо,
и В (к) = А (о (•, |я (к))), то R (к; Т) — интегральный оператор
с ядром
(S' '; л> - 1 Bщ (к) А (к)Г {А (к) a (t, (х (к)) -
7. Лемма. Пусть выполнены предположения следствия 2
и Gi(t,k), A+(k) и А~ (к) — функции, указанные в лемме 1, след-
следствии 2 и лемме 4. Тогда
(i) A+(k) и А~(к) непрерывны при к?[0, оо];
(п) А+(к)~ + А~(к) при к-+оо, если граничное условие имеет
вид Bа), и А+ (к) ~ — А~ (к), если граничное условие имеет вид BЬ).
480 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Если, кроме того, А+ (к) Ф О и А~ (к) Ф О для всех О ^ к < оо,
то
(Hi) о (Т) есть объединение множества {k \ 0 ^.к < оо} и конеч-
конечного множества точек kOi не принадлежащих этому множеству,
каждая из которых является полюсом резольвенты R(k; T), а соот-
соответствующий ей проектор Е (А,о; Т) конечномерен]
(iv) для любой пары функций /, g ? С [О, оо), обращающихся
в нуль вне ограниченного множества, и любого к > О пределы
B+(f,g,k) = lim
B-(f,g,X)= lim (R (b-i6; T)f,g)
6-0-
существуют и могут быть выражены следующими формулами:
+ (f, g, Л) = Bf|i (Я) Л+ (A,))-i j j {Л+ (Л) ffl (s, - ,1 (Я,)) -
0<S<<<00
- A- (I) ot (s, ц (X))} ff,(<,|i (Я,)) / @ g (s) dt ds+
0<t<S<oo
- Л- (А,) 0! (/, (x (%))} at (s, ii (I)) f (t) g (s) dt ds;
0<S</<oo
^t, -[i(X))f(t)g(s)dtds-
- Bt> (X.) Л- (?,))-1 j j {A- (X) o4 (f, (x (X)) -
-\i(b))f(t)g(s)dtds.
Доказательство. Из леммы 4 и следствия 2 видно, что
A+(X)=A(ol(., ii(X)) и Л-(А,) = Л (а4(., -\х (Щ при 0<
^^<оо. Теперь утверждения (i) и (ii) сразу же вытекают из
леммы l(ii) и леммы 4(ii) (см. формулы Bа) и BЬ)).
Предположим теперь дополнительно, что А+ (i) Ф 0, Л" (К) Ф 0
при 0^ Х< оо. Согласно леммам 1 и 3, уравнение та = ко не
имеет решений из L2 @, оо) при 0< ^< оо. Из леммы XIII.3.1
вытекает, что если 0< ^< оо, то % принадлежит спектру a (T).
Следовательно, по лемме 4(iii) a (T) является объединением полуоси
[0, оо) и множества Z изолированных точек, лежащих в дополнении
к вещественной положительной полуоси. Более того, каждая точка
из Z есть полюс резольвенты оператора Т и нуль функции Л (к).
Так как Л (к) ~ 1 или Л (к) ~ \i (к) при \ к | -^ оо, то множество Z
/. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 481
ограничено. Кроме того, поскольку А+(к)Ф01 А~ (к) Ф О при
О ^ к < оо, множество Z не имеет предельных точек на веществен-
вещественной оси. Следовательно, оно конечно. Возьмем точку А,о 6 Z и через
v0 обозначим порядок А,о как полюса резольвенты. В силу тео-
теорем VI 1.3.18 и VIII.3.24, каждая функция f ? Е (ко\ Т) L2 @, оо)
удовлетворяет уравнению (Т — kol)v° f = 0. Согласно теоре-
теореме XIII. 1.3 и следствию XIII. 1.4, область значений проектора
Е (к; Т) имеет размерность, не превосходящую v0. (Замечание:
нетрудно доказать, что эта размерность равна v0.)
Осталось проверить утверждение (iv). Пусть / и g — функции
из С [0, оо), равные нулю вне ограниченного множества. При
| Im ц I > 0 положим В (ц) = А (а2 (•, [л (т]))), где а2 — функция
из леммы 3. Если А, > 0 и б > 0, то, согласно следствию 6,
(R (X + Й) Д 8) =
-В
0</<S<c»
IВ силу леммы 3(ii), В (А + /б) имеет предел В+ (X) при б ~> 0.
Отсюда следует, что предел В+ (/, g, А,), указанный в утверждении
(iv) леммы, существует и имеет вид
C9) В+ (/, я, Я) = Bi> (Л) Л+ (^)Г1 j j {Л+ (A) a2 (s,
jj
0<*<S<OO
- B+ (X) at (t, \i (X))} a, (s, [i (X)) f (t) ^7) d/ ds.
Согласно лемме 3, функция a2 = a2 (i, \i (к)) имеет при веще-
вещественных к такую же асимптотику, как и линейная комбинация
g{ (t, —\i (к)) + c(\i (к)) a4 (U V> (Щ решений a4 = a4 (<, —[х (А)) и
ai = ai (t, P (^)) уравнения та = Яа. С другой стороны, два эти
решения линейно независимы, и, следовательно, а2 = aoi + bo^
Из леммы 1 видно, что последняя линейная комбинация может
иметь указанную асимптотику, лишь если а = 1, Ь = с (\i (к)).
Итак,
<х2(/, fx(^)) = a1(/, -fx(A)) + c(fx(M)a1(/, М- (А,)).
31 Н. Данфорд и Дж. Шварц
482 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Таким образом, В+(k) = А"(Х)-\-с(\х(Х))А+ (X) и
Л+ (X) а2 (s, ii (X)) - В+ (X) а, (s, ц (Ь)) =
= Л+ (Л,) ^ (s, - (л (Я,)) - А- (X) а4 (s,
Теперь утверждение (iv) относительно В+ (/, g, X) становится
очевидным. Аналогично доказывается утверждение (iv) относитель-
относительно ?-(/, g, X), ч. т. д.
8. Лемма. Пусть выполнены предположения следствия 2.
Тогда существует такое решение а3 (t, \l) уравнения та = |i2a,
определенное при О ^ t < оо и при всех достаточно малых \л ^ Р+х
что а3 w 0д непрерывны по t и \ь при О ^ t < с» а достаточно ма-
малых [I, причем
а3 (Л (л) — в-«^, а; (/, ц) фе-«^,
/сог^а /->-оо для всех достаточно малых |jx|, Imji^O, ^б^4"-
Доказательство. Пусть а! —функция из следствия 2. Тогда,
согласно ^этому следствию, Oi(t, 0) ~ I при /->оо. Выберем
такое /0» что а± (t0, 0) ^= 0. Так как а± (/, |i) непрерывна по t и \i
(следствие 2), то Oi{t0, |x)=^0 для достаточно малых ii?P+. Пусть
а3 (t, \х) — единственное решение уравнения та = \i2g, удовлетво-
удовлетворяющее условиям а3(/о»И') = О и Ь'г (t0, \х) = ах (t0, jx). Ясно, что
вронскиан решений а3 и а4 равен 1. В силу следствия XIII. 1.5
а3(/, \i) непрерывно по t и \х, если 0^/<оо и \х?Р+ достаточно
мало. Ясно, что функции а3 и аА линейно независимы. Если ц>0,
то по лемме 3 уравнение та = [х2а имеет такое решение o2(t, \x),
что а2 (t, \л) ~ е~и^ при t-^oo, o'2(t, \i) ~ — fjig-"»* при /->оо.
Тогда найдутся такие функции а(ц), й(М-), что а3(/, |ы)==
= a(\i)ai(t, \x>)-\-b(ii)o2(t, \x). Пусть Impi>0; тогда из асимпто-
асимптотического поведения функции а2 и неравенства Ь (\i) Ф 0 (напом-
(напомним, что а3 и а± линейно независимы) следует, что a3(t, \i) ^
—¦ 6 (|ш) е**»* и сТд (^, |х) — — «(хб (ja) е-**** при t-+oo. Так как врон-
вронскиан
W(t, li) = of3(t, р)о±у, [i)-os(t, ii)o[(t, ix)
не зависит от t и W(t, (г) ~ — 2/|хЬ(|х), то
откуда 6 (|л) = — B/fjt)". Таким образом, функция а3 (/, \i (X)) =
= —2фа3 (/, \х (X)) удовлетворяет всем требованиям леммы, ч. т. д.
9. Следствие. Пусть выполнены предположения леммы 7
и, в частности, А+(Х) Ф 0, А"(Х) Ф 0 при 0 ^ X < оо. Пусть / ag—
функции из С [0, оо), обращающиеся в нуль вне ограниченного мно-
jm Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 483
жества. Тогда функция (R (Х\ T) /, g) допускает непрерывное про-
продолжение на окрестность точки X = О с разрезом вдоль^полуоси
[О, оо), и это продолжение удовлетворяет оценке
A(R(X; T)f9g) | = О(| X П
при | X | ->¦ 0.
Доказательство. Пусть сг3 — функция из предыдущей леммы.
Положим А(Х) = А (а, (., ц (X))), В (X) = А (а3 (-, ц (X))) и
представим jR (A,; T) в виде интегрального оператора с ядром,
указанным в следствии 6, используя а3 в качестве функции а из
этого следствия. Тогда А (X)*1, В (X)'1 ограничены для невеществен-
невещественных X из окрестности X = 0, и нужная оценка вытекает из формулы
для (R {X; Т) /, g), ч. т. д.
10. Лемма. Пусть выполнены предположения леммы 3. Тогда
существует такое решение а4 (/, \i) уравнения та = ц,2сг, которое
определено при 0 ^ / < оо и всех таких \i 6 Р+, «/то модуль \ \х \
достаточно велик, и удовлетворяет асимптотическим соотношениям
р /->¦ оо, pi > 0, а также при \ \i \ ->¦ оо, [a f P+, равномерно
по 0< /< оо.
Доказательство. Выберем столь большое 8, что
Тогда при | [i | > е, Im pi ^ 0 функции /й и gu, введенные при
доказательстве леммы 3, определены при 0^/<;оо. Положим
04 (/, \i) = gyi (t), 0 ^ ^<foo, \x 6 PJ. Как и при доказательстве
леммы 3, получаем | а4 (/, \ь) |^ 2, 0 ^ t < оо, jx g P+. Из равенств
B1) и B3) (см. доказательство леммы 3) следует, что
о
Из равенств B2) и B3) того же доказательства вытекает нера-
неравенство
оо t
IMOKIurf \\q(s)\ds}2+\ \e-W-
о о
Отсюда, как и при доказательстве леммы 1 (см. рассуждение, сле-
следующее за формулой A4)), следует, что
lim |^(^)| = 0 равномерно по t, 0^<oo.
|Ц|-*ОО
31*
484 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Таким образом, согласно формуле B4) из доказательства леммы 3,
g* (t) ~ е-*», k'n @ = ~ ще-*»Ъ @ + ^ @ ~ ~ Ф^1'^
при | [х | ->- оо, IX 6 Р+у равномерно по 0 ^ t < оо. Остальные
утверждения леммы следуют сразу же из леммы 3, ч. т. д.
11. Следствие. Пусть %\ и, Т имеют тот же смысл, что
и выше, и пусть выполнены предположения леммы 7. Возьмем две
функции f и g из С [0, оо), обращающиеся в нуль вне ограниченного
множества. Тогда для достаточно больших по модулю невеществен-
невещественных к функция (R (к; Т) f, g) ограничена.
Доказательство. Возьмем функцию сг4, определенную в пре-
предыдущей лемме, и положим А (к) = А (о^ (•, \i (к))), В (к) =
= А (а4 (•, \i (к))) (определение \х (К) см. в лемме 4). Согласно
предыдущей лемме, лемме 1 и формулам Bа), BЬ), | В (X) \ ~
~ | А (к) | при | А, | -^ оо. Теперь наше следствие получается из
предыдущей леммы и следствия 6 так же, как и следствие 9, ч. т. д.
Закончив предварительное исследование асимптотических соот-
соотношений, мы сможем сформулировать и доказать основную теорему:
12. Теорема. Пусть % — формальный дифференциальный опе-
оператор
i2
Предположим, что q?C°°[O, оо) и
Обозначим через Т оператор в L2 @, оо), определенный как суже-
сужение оператора Тх(х) на подпространство функций из ®G\(т)),
удовлетворяющих нетривиальному граничному условию A (f) = 0
в нуле.
Пусть о^ (t, jut) — функция, определенная в следствии 2. Для
каждого X через \i (X) обозначим квадратный корень из к, лежащий
в верхней полуплоскости, из которой удалена отрицательная ве-
вещественная полуось. Положим А + (к) = А (о^ (•, \х (к))) и А~ (к) =
= А ((?! (•, —\х (к))) при 0<1<оо. Предположим, что А+ (к) Ф
Ф0 и А- (к)фО для всех 0 < к < оо.
Тогда Т — спектральный оператор, спектр которого представля-
представляет собой объединение множества {к | 0 ^ ^< оо} и конечного
множества точек, не лежащих на полуоси [0, оо); каждая из этих
точек является полюсом резольвенты оператора Т, а соответствую-
соответствующий проектор конечномерен. Сужение Т на Е (@, оо); Т) является
спектральным оператором скалярного типа.
1. Спектральные дифференциальные операторы второго порядка 485
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
проверить, что выполнены предположения теоремы XVIII.2.34.
В обозначениях этой теоремы спектр о (Т) есть объединение луча
[О, оо) и конечного множества изолированных точек. Исключитель-
Исключительной точкой, о которой говорится в теореме XVIП.2.34, является
точка v0 = 0. В качестве плотных подпространств $0 и Ж* можно
взять пространства тех функций / 6 С @, оо), которые равны
нулю вне ограниченного множества. Предположение (i) теоремы
XVIII.2.34 выполнено в силу следствий 9 и 11. Предположение (и)
установлено в лемме 7(iv). Осталось проверить предположение (iii)
теоремы XVIII.2.34. Пусть Со [0, оо) — множество всех функций
из С [0, оо), обращающихся в нуль вне ограниченного множества.
Используя п. (iv) леммы 7, получаем
D0) с (Д g, Я) - в+ (/, g, X) - в- (A g, Ь) =
А+ (X) А- (I))-1 х
X j [ {А- (X) ot (s, р (%)) - А+ (%) at (s, - ц (X))} х
X {Л" (X) at (/, ц (Я)) - Л+ (X) a, (t, - ц (Щ f (t) Щ dt ds,
Осталось только доказать, что существует постоянная /С<°°,
удовлетворяющая условию
оо
Di) \\c(f,g,k)\dx^K\f\2\gu, f,gec0[o,oo].
i
Положим
D2)
j
0
В силу соотношения D0), леммы 7(ii) и неравенства Гёльдера, для
доказательства неравенства D1) достаточно найти такую конечную
постоянную /Ci, что
D2а) {||(Ф+/)Ы|а^}1/2<^1{{|/E)|2^}1/2, /€С„[0,оо),
и
D2b) { j |(Ф-/)Ы|2^}1/2</С! { j |/(S)|2ds}1/2, /бС„[0, оо).
486 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Мы докажем подробно только первое из этих неравенств; второе
устанавливается аналогично. Пусть
о
По теореме Парсеваля — Планшереля (XV. 11.3)
оо
D3) {j
О
Согласно следствию 2, существует такая конечная постоянная /С2, что
D4)
оо оо
(l+s)\q{s)\ds}\f{t)\dt.
о *
Далее,
оо оо
О t
= Q s(l+s)\q(s)\ds^Q (l+sr\q(s)\ds<oo,
о
где
О
Из неравенства D4) и неравенства Гёльдера вытекает, что
D5)
j
о о
Неравенство D2а) сразу же следует из D3) и D5). Неравенство D2Ь)
доказывается аналогично, и потому доказательство теоремы закон-
закончено, ч. т. д.
Мы закончим этот параграф одним замечанием о спектре опера-
оператора Т.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 487
13. Лемма. Пусть выполнены предположения следствия 2.
Тогда уравнение та = 0 имеет два решения о1 и сг2, удовлетворяющие
асимптотическим соотношениям
ai (t) ~ 1, а2 (/) ~ / при /-> оо.
Доказательство. Мы видели в следствии 2, что функция
Oi (/) = d (t, 0) удовлетворяет первому из этих соотношений.
Выберем столь большое а, что ai (t) Ф 0 при а ^ t < оо. Положим
Легко проверяется, что а2 (t) удовлетворяет соотношению та2 = 0,
а также второму из указанных в лемме асимптотических соотноше-
соотношений. Следовательно, в качестве а2 (t) можно взять единственное реше-
решение уравнения та2 = 0, удовлетворяющее условию а2 (t) == cr2 (t)
при а ^ t < оо. Лемма доказана, ч. т. д.
14. Следствие. Если выполнены предположения теоремы 12,
то (в обозначениях этой теоремы) каждая точка полуоси 0 ^ X < оо
принадлежит непрерывному спектру оператора Т и удовлетворяет
условию Е ({X}; Т) = 0.
Доказательство. Если "К Ф 0, то наше утверждение вытекает
из следствия XVIII.2.35. Так как, согласно предыдущей лем-
лемме, точка % = 0 не принадлежит точечному спектру оператора Т,
то следствие XVIII.2.35 применимо также в точке К = 0, ч. т. д.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов)
В этом разделе мы начинаем изучение изящного метода
К. О. Фридрихса, который во многих случаях позволяет доказать,
что оператор является спектральным и даже несколько больше.
Основная идея метода Фридрихса состоит в следующем. Пусть X
есть ^-пространство и Г — линейный оператор в Ж. Пусть К —
Другой линейный оператор в Э?, который в некотором смысле (это
мы уточним ниже) мал по сравнению с Т. Естественно ожидать
в этом случае, следуя Фридрихсу, что операторы Т и Т + К подоб-
подобны, т. е. существует такой ограниченный оператор U, обладающий
ограниченным обратным, что Т + К = и~гТи. Чтобы проверить
это предположение, мы должны найти решения линейного уравнения
U (Т + К) = TU относительно «неизвестного» оператора U и затем
показать, что U обладает ограниченным обратным. В следующей
теореме мы опишем общий абстрактный случай, когда эта идея
может быть с успехом осуществлена.
488 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
-»1. Теорема. Пусть И есть В-пространство и Т?В(И).
Пусть 21 —«вспомогательное» В-пространство с нормой \\ А ||,
Л 6 21, a Mi и М2 — положительные вещественные числа. Предпо*
ложим, что заданы
(a) непрерывное линейное отображение ср: Я ->¦ В (Ж) с нормой,
не превосходящей М4;
(b) такое непрерывное линейное отображение Г: 21 -^ В (Ж),
норма которого не превосходит Ми что
(с) такое непрерывное билинейное отображение ty (Л, Л,)
21 х 21 в 21, что
(i) Ф(яр(Л,Л1)) = Г(Л)ф(Л1), Л,
go н яр (л, лоц^мзнлн или, л, л
для любого ЛА 6 Я, удовлетворяющего неравенству \\ ЛА || ^
^ (Mi + Л^, операторы Т + у (Ai) и Т подобны, т.е. существу-
существует такой оператор U 6 В (Ж), обладающий ограниченным обратным,
что Т + ф (Л0 - I/-W.'
Доказательство. Будем искать оператор ?/, удовлетворяющий
уравнению
A) и (т + ф (ло) = гг/,'
предполагая, что (/ имеет вид f/ = / + Г (В), где В 6 Я. При этом
предположении уравнение A) равносильно уравнению
B) (/ + Г (В)) (Т + Ф (Ад) = ТA+Т (В)),
т. е. уравнению
C) Г (В) Т - ТТ (В) = -Г (В) ф (Л4) - ф (А,).
Используя условие (Ь) теоремы, перепишем это уравнение в виде
D) Ф (В) - Г (В) Ф (А,) = Ф (Л,).
Согласно предположению (с), уравнение можно переписать так:
E) Ф(В—г|;(В, А,)) = ф(Л4).
По предположению отображение В-^г()(В, Л4), действующее из
в Я, имеет норму, меньшую чем М2 {Mi + Л^). Согласно лем-
лемме VII.3.4, уравнение
F) Я—гКВ, Л0 = А,
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 489
имеет решение В 6 91, норма которого удовлетворяет неравенству
IIв ц< (м, + м2угA -м2 (м, + Ms)-1)-1 = м:1.
Следовательно, | Г (В) | < M~1Mi = 1, и, снова согласно лем-
лемме VI 1.3.4, оператор U = I + Г (В) обладает ограниченным обрат-
обратным Как мы видели, равенство F) влечет за собой равенство A),
так что Т + Ф (Л0 = и-гТи, ч. т. д.
Теорема 1 приводит к понятию подобия операторов; сейчас
мы дадим формальное определение.
2. Определение. Операторы S и Т в В-пространстве §)
называются подобными, если существует такой ограниченный опе-
оператор U в 3), обладающий ограниченным обратным, что 5 = U^TU.
Заметим, что определение 2 применимо также к неограниченным
операторам S и Т.
3. Следствие. Предположим, что выполнены условия (а), (Ь)
и (с) теоремы 1 и, кроме того,
(d) оператор Г (А) квазинильпотентен для любого А 6 21;
(e) для любого Ai 6 21 преобразование A -+ty (Л, Л4) простран-
пространства Ш квазинильпотентно.
Тогда операторы Т и Т + ф (А^ подобны.
Доказательство. Используя предположение (е) и лем-
лемму VII.3.4, получаем, что уравнение F) имеет решение В. Исполь-
Используя условие (d), мы убеждаемся в том, что оператор U = I + Г (В)
обладает ограниченным обратным. Так как из равенства F) следует
равенство A), мы видим, как и при доказательстве теоремы 1, что
Т + ф (А) = и-гТи, ч. т. д.
Иногда оказывается полезным следующий несколько изменен-
измененный вариант теоремы 1 и следствия 3.
4. Следствие. Пусть И есть В-пространство и Т ? В (Ж).
Пусть 21 — «вспомогательное» В-пространство с нормой \\ А ||,
А 6 21, а М1 и М2 — положительные числа. Предположим, что за-
заданы
(a) непрерывное линейное отображение ф: §[->- В C6), норма кото-
которого не превосходит Мх\
(b) непрерывное линейное отображение Г: 91-^В(Э?), норма
которого не превосходит Ми причем
7Т (Л) - Г D) Г = <р (Л), Л 6 21;
(c) непрерывное билинейное отображение ty (Л, Л4) из 2t x 2t
в 21, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) Ф(грD,Л1)) = ФD)Г(Л1), АтА^Ъ,
(и) 1ЖД л^кадл п н Л!п, л, л1е21.
490 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Тогда для любого А 6 91, удовлетворяющего неравенству \\ А ||<
<С (Mi -{- ¦М2)~1у оператор Т + ф (Л) подобен оператору Т.
Если, кроме условий (а) (Ь) и (с), выполнены условия
(d) оператор Г (Л) квазинильпотентен для любого А 6 21;
(e) для любого А 6 2t преобразование Ai-^^{A, Л4) простран-
пространства 91 квазинильпотентно, то операторы Т и Т + ср (Л) подобны.
Доказательство следствия 4 совершенно аналогично доказатель-
доказательствам теоремы 1 и следствия 3, и мы предоставляем его читателю.
Остальная часть этого параграфа посвящена различным при-
применениям предыдущих теорем и следствий (а также их обобщений
на неограниченные операторы; см. ниже теорему 8 и следствие 9)
к конкретным операторам. Основная трудность, которую прихо-
приходится преодолевать в приложениях, состоит в доказательстве специ-
специфических неравенств, соответствующих в каждой конкретной ситуа-
ситуации предположениям (а) и (с) теоремы 1. Наш план состоит в сле-
следующем. Сначала мы докажем эти неравенства для интегральных
операторов (см. ниже лемму 5), что довольно просто, ибо здесь все
сводится к оценкам норм ядер интегральных операторов. Затем,
используя полученные неравенства, мы применим теорему 1
к поучительному, хотя и несколько искусственному случаю: к
к операторам умножения на функции, спектральные меры которых
абсолютно непрерывны относительно двумерной меры Лебега. Этот
результат содержится в теореме 6. Простой, но значительно более
общий результат получен в теореме 7, которая формулируется в
в терминах, связанных с теоремой о спектральном представлении
(XII.3.16) (см. также определение XII.3.15). Здесь возникают син-
сингулярные интегралы, которые в двумерном случае, однако, лишь
«слабо» сингулярны и могут быть изучены теми элементарными
средствами, которые содержатся в лемме 5. Далее теорема 1 и теоре-
теорема 7 обобщаются на неограниченные операторы; это делается в теоре-
теоремах 8 и 10. Теоремой 10 заканчивается элементарная, иллюстратив-
иллюстративная часть этого параграфа.
Затем теоремы 1 и 8 применяются к самосопряженным операто-
операторам, спектральная мера которых абсолютно непрерывна относитель-
относительно одномерной меры Лебега; этот случай наиболее важен для при-
приложений. Здесь снова возникают сингулярные интегралы. Однако
в отличие от упомянутых выше сингулярных интегралов они обла-
обладают более сильной особенностью. Их исследование основано на
некоторых неэлементарных неравенствах для функций, удовлетво-
удовлетворяющих условию Гёльдера. Необходимая для этого техническая
подготовка начинается в лемме 12, которая завершается теоремой 21;
доказательству последней предшествует ряд лемм.
Следующая лемма служит технической основой для первой груп-
группы приложений теоремы 1. Ее доказательство сводится, если от-
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 491
влечься от некоторых затруднений, связанных с теорией меры,
к применению неравенства Гёльдера и теоремы выпуклости Рисса.
5. Лемма. Пусть ЭЕ есть В-пространство и (S, 2, \х) —
пространство с о-конечной мерой. Пусть l^p^g^r^oo.
Предположим, что дана сильно {\i х ^-измеримая функция А (• , •)
со значениями в пространстве В (Ж) всех ограниченных операторов
в пространстве ЗВ, причем функция \ А (• , •) | является {\х х \х)-
измеримой. Для любого р, 1 ^ р ^ оо, определим величину р' форму-
формулой (р') + р = 1. Положим
G) {А}„={ j {\\A(s,t)rii(dt)y/Plx(ds)Y/P, 2<p<oo,
S 8
и
(8) №={ j {\\A(s,t)fli(ds)Y'/(>li(dt)YIP', Kp<2.
S S
Кроме того, в случаях р = 1 и р = оо положим
(9) {A}t = (jt-ess sup ( | A (s, t) \ \x (rfs),
A0) {Л}оо = pi-ess sup f | A E, /) | pi (dt).
8
Предположим, что {Л}р<оо и {Л}г<<оо. Тогда для любой
функции f?Lq(S, S, (х, X) интеграл
A1) ?(*)
существует для \х-почти для всех s и определяет функцию g,
принадлежащую классу Lq(S, S, \i, Ж). Кроме того,
A2) f@
является ограниченным линейным отображением в Lq (S, 2, |i, X)
& его норма не превосходит max [{Л}р, {Л}Г].
Доказательство. Заметим сначала, что для любой (л-измери-
мой функции / функция A (s, t) f (t) является (|i x ^-измери-
^-измеримой со значениями в 1. Действительно, используя следствие II 1.3.8,
теорему III.3.6, следствие III.6.3 и теорему III.6.12, а также а-ко-
нечность S, получаем такую последовательность (^-измеримых
[г-простых функций fn со значениями в Ж, что fn(s)-*f(s) при
п-> оо для (ji-почти всех s. Из предположений теоремы сразу же
492 Г л XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
следует (\х X ^-измеримость функции A (s, /) fn (t), а потому функ-
функция A (s, t) f (t) также (|ы X |ы)-измерима.
Возьмем теперь неотрицательную ^-измеримую функцию А,
определенную на 5. По неравенству Гёльдера
A3) Л \\A{s, t)\h(t)lx(dt)\rli(ds)^
s
j { j IA (s, t) |r' pidt) }r/r' { j I h (t) Г (x (dt)} ii (ds) =
' s s
s s
S
Отсюда вытекает, что если А ? Lr (S, 2, |л) и 2 ^ г < оо, то
интеграл
A4) (Ah)(s)= JH (s, 0 | Л @ ii (dt)
s
существует для |ш-почти всех точек s и | Ah \r ^{A }r \ А |г, где через
| / |р обозначена норма элемента f ? L9(S, 2, |ы). Следовательно,
если 2^г<оо и g — произвольная комплексная функция из
Lr E, 2, р,), то по теореме Ш.2.22(а) интеграл
A5) (Ag)(s)= \\A(s,t)\g(t)ii(dt)
is
существует для р,-почти всех s. Так как | (A (g) (s) \ ^
^ \ | A (s, /) | j g (/) | \i (dt), то | Ag |r^ {A}r | g \r- To же самое заклю-
s
чение можно получить и в случае г = оо; подробное доказательство
предоставляется читателю.
Пусть теперь 1 ^ г ^ 2 и At — неотрицательная ^-измеримая
функция, определенная на 5. Как и выше, получаем, что интеграл
A6) (ЛА1)(/)={ | A (s,t)\hl(s)[i(ds)
s
существует для р,-почти всех t?S, и если hi(iLT> E, 2, \i), то
AhidLr' (S7 2, |х) и |-4Ai|r'^{4}r|Ai|r'. Следовательно, если А —
неотрицательная ^-измеримая функция из Lr (S, 2, \i), то по теореме
Тонелли (III.11.14) и неравенству Гёльдера интеграл A4) суще-
существует для р,-почти всех s из множества {s 6 51 Ai (s) > 0} и
A7) j (Л/г) (s) /г! (s) ^ (^)^:{Л}Г | /г |Г
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 493
Так как можно найти функцию hi^ Lr{S, 2, \л), которая всюду
положительна, то интеграл A4) сходится почти всюду на S (по
мере \х).
Если г = 1, то, используя функцию hi (s) = 1, мы приходим
к неравенству | Ah |1^{Л}4 \h |A. Чтобы получить аналогичное
утверждение при 1 < г ^ 2, поступим следующим образом. Если
в A7) мы возьмем в качестве ht характеристическую функцию неко-
некоторого множества с конечной ^i-мерой, то функция Ah будет
(х-интегрируемой на любом множестве е 6 2 с конечной ^i-мерой.
По неравенству A7) и теореме IV.8.1 существует такая функция
Ф ? Lr E, 2, |ы) с нормой, не превосходящей {A}r \h |r, что
A8) j
s
A!6^r'(S, S, ц),
Но тогда
A9)
для любого множества ?62 конечной |ш-меры, откуда по теореме
III.2.20 и в силу а-конечности S находим, что (Л/г) (s) = ф (s)
jli-почти всюду на S. Следовательно, Ah 6 Lr E, 2, \i) и |ЛА|Г^
^{Л}г|й|г. Используя теорему III.2.22 и теорему П1.2.20(а)
(см. лемму II 1.2.15), мы видим, что для всех, l^r^oo и для
любой комплексной функции g?Lr(S, 2, \i) интеграл A5) суще-
существует для р,-почти всех s и |^g|r^{^}r | g\r.
Такое же утверждение справедливо и для функций g б
?LP(S, 2, \i). Отсюда, применяя теорему Рисса о выпуклости
(VI.10.И) и полагая М = тах[{Л}р, {Л}г], мы получаем такой
ограниченный линейный оператор А в Lq E, 2, р,), что его норма
не превосходит М, и для любой ji-интегрируемой ^-простой функ-
функции g справедливо равенство A5) р,-почти всюду на 5. Пусть g б
6 Lq E, 2, \i), причем g ограничена и обращается в нуль вне
некоторого множества е конечной р,-меры. В силу следствий II 1.3.8,
III.6.3 и теорем III.3.6, III.6.12, g является пределом почти всюду
последовательности ^-измеримых [i-простых функций gv. Несколько
изменяя, если это необходимо, функции gn, можно, очевидно, счи-
считать, что последовательность {gn} равномерно ограничена, а все gn
обращаются в нуль вне множества е. Согласно теореме Лебега
III.6.16, lim | gn — g \q = 0, так что lim | Agn — Ag \q = 0. В си-
лу доказанного выше \ | A (s, f) \ [i (dt) < оо для р,-почти всех s.
494 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Следовательно, еще раз применяя теорему Лебега, получаем
B0) Игл ( | A (s, t) | gn (t) fx (dt) = \ \A (s, t) \g (t) jx (dt)
П-oo J J,
для р,-почти всех s. Отсюда, используя следствия II 1.3.8, II 1.6.3
и теоремы II 1.3.6, II 1.6.12, получаем
fx-почти всюду на 5, так что A5) справедливо для любой ограничен-
ограниченной функции g 6 Lq (S, 2, fx), равной нулю вне некоторого множе-
множества конечной [х-меры. Возьмем теперь неотрицательную функцию
h 6 Lq (S, 2, fx). Тогда h можно представить в виде предела моно-
монотонно возрастающей сходящейся почти всюду на 5 последователь-
последовательности неотрицательных функций hny каждая из которых ограничена
и обращается в нуль вне множества конечной |л-меры. В силу теоре-
теоремы Лебега III.6.16, lim | hn — h \q = 0, так что lim | Ahn — Ah \q =
= 0. Согласно лемме Фату (III.6.17),
B1) lim f | A (s, t) | hn (t) ii (dt) = ( | A (s, t) | h (t) \i (dt)
для любого s 6 S, причем интеграл в правой части A4) существует
[х-почти всюду. Рассуждая, как и выше, мы заключаем, что равен-
равенство A4) справедливо для любой неотрицательной функции h 6
6 Lq E, 2, \х). Кроме того, как уже отмечалось, | Ah \д ^
<M\h\q.
Отсюда, применяя теорему II 1.2.22 (см. также лемму II 1.2.15),
мы видим, что интеграл A1) существует jlx-почти всюду для любой
функции f ? Lq (*$, 2, \xf Ж) и норма отображения, определенного
формулой A2), не превосходит М. Лемма доказана, ч. т. д.
Сейчас мы применим теорему 1 в одном частном случае. Пусть
D — ограниченная область комплексной плоскости и L2 (D) —
гильбертово пространство всех комплекснозначных измеримых по
Лебегу функций /, определенных на D и удовлетворяющих условию
B2) JJ
D D
В качестве Т из теоремы 1 возьмем оператор
B3) (Tf) (х, у) = {x+iy) f (x, у), т. е. (Tf) (z) =2/B).
Без труда проверяется, что спектром оператора Т является замыка-
замыкание области D. В качестве пространства ЭД, указанного в теореме 1,
возьмем пространство всех ограниченных измеримых по Лебегу
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 495
функций на D х D, т. е. пространство всех измеримых по Лебегу
функций А (х, у; х', у') = A (z, z') с нормой
B4) ||Л||= sup |Л(г,г')|.
Преобразование ф из теоремы 1 определим формулой
B5) [<Р(Л)/](*)= j A(z,z')f(z')dx'dy',
а преобразование Г — формулой
B6)
D
Хотя ядро интегрального оператора Г(Л) может быть неограни-
неограниченным, сам оператор Г (Л) ограничен в L2(D). Это вытекает
из леммы 5 и двух следующих неравенств:
B7) j 7г-Я' dx'dy'^\\A ^
D D
B8) J ^г{^!\] dxd
D
Из формулы 26 находим
B9) {T{TA)f}{z)-{(rA)Tf)(z) =
= j i'Mz,z')-A(z,z')z') f B,}
j A (z, z') f B') dx' dy' = [Ф (A) f] B), / ? U (D),
D
так что выполнены предположения (а) и (Ь) теоремы 1.
Чтобы проверить предположение (с), положим
C0) № (Л, Ах)\ (г, z') =
и заметим, что по теореме Фубини
C1) [Ф(гИЛ,А))Жг)=5 \ А B' Zf Д(гь г<) / (^) ^ dgl dx' dy' =
D
496 Гл. XX. Спектральные операторы непрерывным спектром
так что ф(г|)(Д Л4)) = Г (Л) ср (Ах) при Л, Л^З!. Кроме того,
C2) | J
и потому условие (с) выполнено. Применяя теорему 1, мы видим,
что если Л f Я и величина || Л || достаточно мала, то операторы Т
иГ + ф (Л) подобны. Так как Г, очевидно, является спектральным
оператором скалярного типа, то и Т + ф (Л) — спектральный
оператор скалярного типа.
Сейчас мы сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Однако заметим сначала, что наши рассуждения могут быть обобще-
обобщены двумя очевидными способами.
(a) Вместо пространства L2 (D) комплекснозначных измеримых
по Лебегу функций, определенных на D и удовлетворяющих соотно-
соотношению G), мы можем взять в качестве ЭЕ произвольное В-простран-
ство и рассмотреть пространство L2 (D, Щ всех ЭЕ-значных функ-
функций на D, измеримых по Борелю — Лебегу.
(b) Вместо пространства L2 (D, Ж) мы можем рассмотреть про-
пространства Lp (D, 1), 1 ^ р ^ оо.
Другими словами, вместо пространства L2 (D) мы можем рас-
рассмотреть пространство Lv (D, Ж) всех ЭЕ-значных функций на Z),
измеримых по Борелю — Лебегу и удовлетворяющих условию
C3) { С | / (х, у) \р dx dy }i/P = ( f | / (г) |p dx dy } 4v = | / \p < oo.
Так как лемма 5 применима не только к комплекснозначным, но
к Ж-значным функциям, наши рассуждения остаются в силе (с оче-
очевидными изменениями в обозначениях). Итак, мы приходим к сле-
следующей теореме:
6. Теорема. Пусть Ж — комплексное В-пространство, D — огра-
ограниченная область комплексной плоскости и 1^р<о°. Обо-
Обозначим через Lp (D, Ж) пространство всех Ж-значных измеримых
по Лебегу функций, определенных на D и удовлетворяющих условию
C3). Определим в Lp (D, Ж) оператор Т формулой
C4) (Tf)(x,y) = {x+iy)f{x,y), feLp(D,l).
Пусть А (г, г') — измеримая по Лебегу функция, определенная
на D х D и принимающая значения в пространстве В (Ж) всех
ограниченных операторов в X. Предположим, что
C5) || Л ||= sup |Л(г,г')|<оо,
'?D
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 497
и определим оператор ф(Л) формулой
C6) (Ф (А) /) (г) = J А (г, г') / (z') dx' dy', f € Lp (D, Ж).
D
Тогда существует такое положительное число е = е (р, D),
зависящее только от р и D, «//по если || Л || < е (р, D), /по операто-
операторы Т и Т + ф (Л) подобны и, следовательно, Т + ф(Л) является
спектральным оператором скалярного типа.
Следующая теорема является полезным обобщением теоремы 6.
Предположения этой теоремы сформулированы в таком виде, кото-
который обусловлен теоремой о спектральном представлении XII.3.16
(см. также определение XI 1.3.15).
7. Теорема. Пусть Ж— комплексное В-пространство, D—огра-
D—ограниченная область комплексной плоскости и 1^р<оо. Обозна-
Обозначим через Lp (D, Ж) пространство всех Ж-значных измеримых
по Лебегу функций, определенных на D и удовлетворяющих усло-
условию C3). Положим \1р + \1р' = 1, и пусть еи e2i . . . — семейство
попарно не пересекающихся борелевских множеств, объединением
которых служит D, а Ии 9?2 — семейство замкнутых подпро-
подпространств из Ж. Обозначим через Lp (D, X) подпространство всех
таких функций f из Lp (Z), Ж), что f (г) 6 $; для всех z 6 ?/, 1 ^
^ / < оо. Определим в Lp (D, Ж) оператор Т формулой
C7) (Tf)(x,y) = (x+ly)f(x,y), felp(D,X).
Пусть A (z, z') — измеримая по Лебегу функция, определенная на
D х D и принимающая значения в пространстве В (I) всех огра-
ограниченных операторов в 96. Предположим, что A (z, z') x 6 Ж,- для
всех х 6 Ж и z 6 ejf 1 ^ / < оо. Пусть функция \ А (• , •) | измерима
по Лебегу и для некоторого числа с, с> 4, с^ р, с^ р', выполнено
соотношение
C8) || Л Ц = { j \\A(z,z')\cdxdydx'dy'}i/c<oo.
Ъ D
Определим в Lp (?>, Ж) интегральный оператор ф (Л) формулой
C9) (ф(Л)/)(г)= j A(z,z')f(z')dx'dy', f6Lp(D, Ж).
b
Тогда существует такое положительное число & = & (р, D, с),
зависящее только от р, D и с, что если \\ А \\ < е, то оператор
Т + ф (Л) подобен оператору Т и, следовательно, является спектраль-
спектральным оператором скалярного типа.
Замечание. Из теоремы XII.3.16 следует, что если То —
ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве,
32 н. Данфорд и Дж. Шварц
498 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Е (ё) — его спектральное разложение и Е (е0) = 0 для любого
борелевского множества е0 с нулевой мерой Бореля — Лебега, то То
подобен оператору Т в пространстве L2 (D, Ж) такого типа, который
описан в теореме 7. Таким образом, теорема 7 применима к доволь-
довольно общему классу ограниченных нормальных операторов То в гиль-
гильбертовом пространстве, если только возмущающий оператор ф (Л)
достаточно «гладок» и достаточно «мал» относительно То.
Доказательство теоремы 7. Пусть 91 — пространство всех
измеримых по Лебегу функций Л на D x Z), принимающих
значения в пространстве В (Ж) всех ограниченных операторов
в Ж и удовлетворяющих условию C8). Положим (с')'1 +
+ (с)'1 = 1. Поскольку с^ р, с^ р', мы имеем с ^ 2, так что
с^с'\ из ограниченности области D и неравенства Гёльдера сле-
следует существование такой конечной постоянной М, что
D0) {j {\\A{2,2')\c'dxdyy/c'dx'dy'y/c<M\\A\\,
D1) {j {\\A{2,2')fdx'dtfy/c'dxdyy/c<M\\A\\.
D D
Следовательно, по лемме 5 интегральный оператор ф(Л), опреде-
определенный формулой C9), отображает Lp (D, Ж) в себя, а его норма
не превосходит М||Л||. Так как Л (г, х')х^Жг при х?Ж( и 2^вг-,
то ф (Л) отображает подпространство Lp (D, Ж) в себя.
Определим преобразование Г (Л), Л ^ 21, формулой
D2) (Y(A)f)(z)= \ —_ , f (z')dx' dy', f?Lp(D, Ж).
D
По неравенству Гёльдера имеем
D3) j | *&?• Гdx> dy' < {J \А (г>г') г'с/с'dx> w}cv
D D
c'c/(c-c') Л (c-c')/c
dx A~ l
X
D
Поскольку с>4, величина e = c'c/(c — c') = ((cr) 1 — c'1)'1 не пре-
превосходит C/4—1/4)~1 = 2. Следовательно, величина
конечна. Из D3) следует, что
D5)
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 499^
Аналогично доказывается, что
D6) {J{J|4^Г^^}с/с^'^'}1/с<^1/с'1ин-
Таким образом, по лемме 5 интегральный оператор Г (Л), опреде-
определенный формулой D2), отображает Lp (D, Ж) в себя и его норма
не превосходит М1/с'||Л||. Так как A (г, г')х??] для всех х 6 Ж
и всех zб?/> то ф (А) отображает подпространство LP(D, Щ в себя.
Обозначим через Г (А) сужение Г (А) на подпространство Lv (D, ЭЕ)
пространства LP(D, Ж).
В силу формулы D2)
D7) Gt (A) f- f (A)Tf)(z) = j ^(z, z')-A(z, z') z') f (/) ^ &yl =
D
Положим теперь
D8) wH^oi^z^j^i^iLil^^ л,
Так как Л (г, z4) х 6 Хг- для всех л:?Ж и 2бвг-, то, очевидно,
(|(Л, Ai)] (z, z)x? Жг при хб Ж и г?е*. По неравенству Гёльдера
и формуле D4) получаем (ср. D3))
D9) j \^p\'dXidyi<N { j | Ay{zu z')\cdXidyi}C'/C.
D D
Итак, согласно формуле D8) и неравенству Гёльдера,
E0) | ф (Л, Л.) (г, 2') |<JV1/C' { j И (г, гО |с с/х4 dyt}1/С X
откуда
E1)
Применяя теорему 1, получаем, что существует такое положитель-
положительное число е, зависящее только от р, D и с, что если || А ||< е, то
операторы Т и Г + ф (А) подобны, ч. т. д.
Теорема 1 и ее следствия обобщаются на неограниченные опе-
операторы.
32*
500 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
8. Теорема. Пусть Ж — комплексное В-пространство, Т —
замкнутый оператор в $ с плотной областью определения Ф(Г)
и 21 — «вспомогательное» В-пространство с нормой \\A\\. Пусть
Ми М2 — конечные положительные вещественные числа. Предпо-
Предположим, что
(a) для любого А ? И определен такой линейный оператор
ф(Л) в Ж, что Ф(ф(Л))=зФ(Г);
(b) задано такое непрерывное линейное отображение Г: 2[->-
—^ В C6), что его норма не превосходит Ми Г(ЛM)(Т)дф(Т) и
(с) задано непрерывное билинейное отображение а|) (Л,
21 х 21 в SI, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) ф(гр(Л>Л1))-Ф(Л)Г(Л1), Л, Л!б21,
(И)
Зля любого AY 6 SI, удовлетворяющего неравенству ||Л1||<
<(Af1-J-Af2), оператор T-\-q>(Ai) обладает замкнутым суже-
сужением, которое подобно оператору Т.
Доказательство. По лемме VII.3.4 уравнение
E2) В-^(АиВ) = А1
имеет решение 5 621, норма которого, согласно той же лемме,
удовлетворяет неравенству
Ц В || < (Л
СледоватЕльно, | Г (В) |< M^Wi = 1 и, снова применяя лемму
VII.3.4, мы видим, что оператор U = I-\-T(B) обладает ограни-
ограниченным обратным.
Пусть х?Ъ(Т). Из неравенства E2) и предположения (с)
находим
E3) Ф (В) х - Г-(В) Ф (Ai) х = ч>(А{)х,
откуда в силу предположения (Ь)
E4) - ТЦ(В) х+ЩВ)'Тх - Ф (ЛО Г (В) х = Ф (А,) х.
Последнее равенство можно переписать в виде
E5) (Г+ф (Л,)) (/ + Г (В))х= (/+Г (В)) Тх,
или
E6) (Г4ф(Л1))^ = (/+г(В))г(/+г(В))-1^, хеA+т(В))щт).
Положим [/ = /+Г(В). Тогда оператор UTU'1 является искомым
замкнутым сужением оператора T-\-cp(Ai), ч. т. д.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 501
9. Следствие. Пусть выполнены предположения теоремы 8 и, кро-
кроме того, существует такое комплексное число Хо, что оператор
(^0/ — 71)-1 определен всюду и ограничен, оператор ф (Л4) {Х01 — Г)
ограничен и для некоторого Ai ? ЭД, удовлетворяющего неравенству
|| Ai || < (Mi + Мг), оператор (/ — <р (Л t) (Я,о/ — Л) определен
всюду и ограничен. Тогда оператор Т + ср (Л^ замкнут и подобен
оператору Т.
Доказательство. Пусть
E7) В = (V - Г) (/ - Ф (ЛО (V - Г)-1).
Тогда
E8)
Кроме того, если л: 6® (Т) = ® (Г+ф(Л0), то
E9) В(Х0/-^~ф(Л1))д: =
= В (V - Т - Ф (Л 0) (V - Г) (Хо/ — T)jc =
Следовательно, оператор (Я,о/ — Т — ф (Л^) = В существует,
ограничен и определен всюду. Пусть Т4 — то замкнутое сужение
оператора Т + ф (Л4), о котором говорится в теореме 8. Так как
7\ и Т подобны, то оператор (^ — Л) существует, всюду опреде-
определен и ограничен. Мы должны показать, что Т + ф (Л4) = Tt.
Допустим, что это не так, т. е. существует такой х 6 ® (Т + ф (Л^),
что а: $ ® (Т*!). Так как %01 — Т4 отображает свою область опре-
определения на все гильбертово пространство, то существует такой
у 6® G\), что (V — 7\)У = (V— 71 — ф(Л4))х. Но тогда
(^о^ — 71 — ф (Л^) (л: — f/) = 0, что противоречит существованию
оператора (^0/ — Т — ф (Л^). Таким образом, Т + ф (Л4) = Г^
и доказательство следствия закончено, ч. т. д.
Следующая теорема, тесно связанная с теоремой 7, получается
в результате применения теоремы 8.
10. Теорема. Пусть §) — комплексное В-пространство, D —
подмножество комплексной плоскости, замыкание которого не совпа-
совпадает со всей комплексной плоскостью. Обозначим через Lv (D, §)),
где 1 ^ р < оо, пространство всех 'ф-значных измеримых по Боре-
лю — Лебегу функций, определенных на D и удовлетворяющих
условию
F0)
502 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Пусть еь е2, ... —семейство попарно не пересекающихся борелев-
ских множеств из D, объединение которых совпадает с D, а
Рь Рг» • • • —семейство замкнутых подпространств из 9) - Обозначим
через LP(D, §)) подпространство всех таких функций из LP(D, §)),
что /(гNРу для всех z?ej, 1^/<оо. Определим оператор Т
в Lp (D, Р) формулами
F2) (Tf)(z) = {x+iy)f(z), f€Lp(D,$).
Пусть A{z,zf)— измеримая по Лебегу функция на DxD со зна-
значениями в пространстве В (§)) всех ограниченных операторов в р.
Предположим, что A(z, z')x^ 9j для всех х 6 Р и z?ej, 1 ^/ < оо.
Предположим также, что функция |Л(«, «)| измерима по Лебегу
и величина
F3) ||Л|| = sup \A(z,z')\+sup^\A(z,z')\dx'dy' +
-j-sup \ \A(z, zf)\dxdy
конечна. Определим в Lp (D, §)) интегральный оператор ф (А)
формулой
F4) (<?(A)f)(z)=\A(z,z')f(z')dx'dy', f?.
i
Тогда существует такое положительное число г = & (р, D, с),
зависящее только от p,D,c, что если \\ А \\ < 8, то оператор
Т + Ф (А) подобен оператору Т и, следовательно, является спек-
спектральным оператором скалярного типа.
Доказательство. Применим теорему 8 и следствие 9. Возьмем
в качестве 5-пространства Ж, указанного в теореме 8, простран-
пространство tp(D, §)). Пусть ЭД — множество всех ограниченных измеримых
функций А(> , •), определенных на DxD и принимающих значе-
значения в В ($)), для которых величина F3) конечна и A(z, z')v?9)j
при ^6Р и z^ej. Для любого А 6И определим оператор ф(Л)
формулой F4); так как A(z, zr)f(zr)^^i для всех z^et, то
y(A)f?Lp(D, §)). Согласно лемме 5, ф(Л) —ограниченное линей-
линейное преобразование пространства LP(D, P) в себя, и его норма
не превосходит ||Л||. Таким |образом, выполнено предположе-
предположение (а) теоремы 8.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 503
Читатель без труда может проверить, что 51 является 5-про-
странством с нормой, определенной формулой F3). Положим
F5) (T(A)f)(z)=\A^pf(z')dx'dyr, ЛбИ, /€LP(D, §)).
D
Так как
F6)
D ?
\z-z'\>\
\A(z,z')\dx'dy'-\-
ИН J j^rldx'dy'^{2n
и, аналогично,
F7) J|iy
D
то, в силу леммы 5, интеграл F5) существует для почти всех
z 6D. Кроме того, из леммы 5 следует, что Г (Л) есть отображение
Lp (D, $)) в Lp (D, $)), норма которого < Bjt-j-1) || Л ||. Так как
A(z, zr)f(zf)^^j для любого z?e/, то, очевидно, T(A)f^Lp(D, §))
для любой функции f?Lp(D, §)). Наконец, из F4) и F5) выте-
вытекает, что 7Т (Л) — Г (Л) Т = ф (Л), Л 6 И • Итак, выполнено предпо-
предположение (Ь) теоремы 8.
Для любых Л1, Л2 из 21 положим
F8) СФ(Л1, Л2))(г17 z2)= \ гь^__г2 ? dx'dy''.
D
Поскольку
F9)
A2(z', zz)\dx'dy'
интеграл F8) существует и
G0)
504 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
По теореме Тонелли (III. 11.14)
G1)
\A(zu z')\dz±}\A2(z', z2)\dx' dy'-\-
+ IIA21| \ , l . { f | А (г1? 2') | dATj dr/i) dx' d^'s
? D
\z'-z2\>l
^(JZji+Ol^illll^all,
и, аналогично,
G2) I |^(^i, i42)(z4, z2) \dx2dy2^Bn-{- 1)||Л1|||| Л2||.
D
Так как Ai(zu zr)A2(z', z2)v?fpj для всех v?$) nZi?ej, то из F8)
следует, что [i|?(i4i, A2)(zu z2)]v^^j для всех ^6Р и Zi6<?j-
Используя теперь соотношения G0), G1) и G2), мы видим, что
У (Аи Л2NИ и |г|)(Л17 Л2)|<3Bя+1)||Л1||||Л2||. В силу леммы 5
интеграл
G3) Н^Й^1 \f(z'):\dx'dyf
существует почти всюду для любой функции f?Lp(D, §)), и, снова
применяя эту лемму, мы видим, что интеграл
G4) j |A(z", г)\{ j \^p-\\f(z')\dx'dy' } dxdy
существует для почти всех z"^D. Следовательно, по теореме
Тонелли (III. 11.14) интеграл
G5) { { | Л4 (г", z) | '^Д^11 / (г') | dx' dy* dx dy
D D
существует для почти всех г" ?D. Из F5) и F8) и теоремы Фуби-
ни (III.11.9) вытекает, что <р (А{) Г (А2) = ф (Ф (Л4, Л2)). Таким
образом, выполнено предположение (с) теоремы 8.
Согласно предположению теоремы, замыкание множества D
не совпадает со всей комплексной плоскостью. Поэтому суще-
существует такое комплексное Хо, что расстояние от %0 до точек из D
больше некоторого положительного числа /С. Ясно, что оператор
%^1 — Т обладает ограниченным и всюду определенным обратным
оператором / (s) ->- (k0 — s) / (s) и | (X0I — T) |< К- Имеет
место неравенство | ф (A) (X0I — T) | ^ /C II A ||; следователь-
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 505
но, если К~г\\А\\<\, то, согласно лемме VII.3.4, оператор
(/ — ф (А) (А,о/ — ТУ1)'1 существует, всюду определен и ограни-
ограничен. Таким образом, если величина К II А || достаточно мала, то
выполнены предположения следствия 9.
4 Применяя теперь теорему 8 и следствие 9, мы приходим к тре-
требуемому утверждению, ч. т. д.
Теоремы 1 и 8 могут быть применены, как, вероятно, догады-
догадывается читатель, также к оператору (Т/) (s) = sf (s) в гильбертовом
пространстве L2 (—сю, ею). Именно этот случай теорем 1 и 8 потре-
потребуется нам для изучения самосопряженных операторов с непрерыв-
непрерывным спектром, а также операторов, возникших как возмущения
таких самосопряженных операторов; теоремы 10 и 7 непригодны
для этих целей. Однако в одномерном случае, в отличие от дву-
двумерного, интеграл
¦da
S — G
расходится при 0 ^ s ^ 1, так что для применения теоремы 1 надо
привлечь сингулярные интегралы. Это обстоятельство вносит в нашу
теорию ряд досадных, хотя и несущественных усложнений; в частно-
частности, прежде чем применить теорему 1, мы должны предварительно
заняться некоторыми определениями и леммами из теории сингу-
сингулярных интегралов.
11. Определение. Пусть 7 и р — вещественные числа, у^О,
1 > Р > 0„ и Ж — банахово пространство. Через А обозначим
Ж-значную функцию, определенную на вещественной прямой
и положим
B) ||Л||7|р= sup {1-{-| s| )v| A (s)|-f-
-oo<s<oo
-f- sup /T"^ IЛ (s-f-A) — Л (s) [•
— oo<s<oo
Л>0
12. Лемма. Пусть у, Р — вещественные числа, у ^ 0, 1 > р > 0,
Ж — банахово пространство и А — такая Ж-значная функция,
определенная на вещественной оси, что \\ A llv, р< сю. Тогда
(а) несобственный интеграл
C)
* -оо S-{-8
существует;
(Ь) найдется такая конечная постоянная Mt (у, Р), зависящая
только от у и р, что
D) Цга||о,э<лмт, PXIIHIU-
506
Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Доказательство. Выберем число у так, чтобы 0 < Y^Y и у < 2.
Положим (у) +у/2 = 1. Так как A+|сг | )v| А (а) |<|| А \\ъ р> то
по неравенству Гёльдера
х
(
oo.
Следовательно, интеграл \ (A(o))/(s — o)do существует. Так
как
то
S-8 S+l
S —8 5+1
f if
s-l s+e s—1
A(o)-A{s)
S — G
i f X
S+8
S+l
!
A
(G)-A
S — G
1
(s)
s+l
1
s-l
Поэтому существует предел
S-8 S+l
s-l
s+l
S-l S+8
S-l
Отсюда вытекает существование предела C). Кроме того, используя
соотношения E) и (8), мы можем найти такую конечную постоян-
постоянную Мо (v, Р), зависящую только от у и р, что
A0)
-oo<s<+
Очевидно, что
A1) (TA)(s-h)-(TA)(s+h)
J s — h — o
—a
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов)
— оо — оо
Поскольку 1/(сг-|-А)(а —А) является четной функцией от а, то
оо О
так что
Из соотношения A1) следует, что если А > 0, то
A4)
+
о
Из неравенства A4) видно, что существует такая постоянная
-М°о {уу Р), зависящая только от у и р, что | G71) (s + А) — (ГЛ) (s) |^
^ ЛГоо G» Р)Ар при —оо < s < +оо. Отсюда, используя нера-
неравенство A0), мы сразу же получаем утверждение (Ь) леммы, ч. т. д.
В следующем определении указывается класс функций двух
вещественных переменных, близкий к тому классу функций одной
переменной, который описан в определении 11.
508 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
13. Определение. Пусть у, Р — вещественные числа, у ^ О,
1 > Р > 0, и 36 — банахово пространство. Пусть А (• , •) есть
$-значная функция двух вещественных переменных. Положим
(Ei?A)(su sz)=A(Sl+h, s2),
A } (?j?M)(s ъ) = A(sit s2+h), -oo</i<oo;
A6) OPA^h-tWA-A), <%2М=/ГР(??"Л-Л), oo>/j>0;
A7) (O?A)(Sl, s2) = (l + \Si\-<)A(su s^,
@%A)(su sz) = (l + \sz\y)A(su s2).
Пусть
A8) || A \\y, p = sup sup | (Oft»OgiM) (si, s2) |;
^Л Л>0 > >
обозначим через §lv, $ (Ж) множество всех ЭЕ-значных функций А
от двух переменных, для которых ||Л||7}р< оо.
14. Лемма. И7}з(^) есть В-пространство с нормой \\А\\ъ$ш
Доказательство. Проверку того, что ||Л||7э0 является нормой
в 2[v, з(Э?), мы предоставляем читателю; докажем лишь полноту
SI v, з (&) • Пусть {Лт} — последовательность Коши в 2TV, 3 (Ж).
Из формул A5) — A8) ясно, что для любой пары вещественных
чисел [s^ s2] последовательность {Am(su s2)} является последова-
последовательностью Коши в Ж. Следовательно, существует такая функ-
функция А двух вещественных переменных, что lim Am (si9 s2) = A (sl7 s2)
m->oo
для всех —oo<Si, s2<oo. Согласно соотношениям A5) — A7),
A9) lim (ОЙ}О&Мт) (slf s2) =
m->oo
= @%0$А) (su s^, - 00 < s1( s2 < 00, c» >Aj, A» > 0.
Следовательно,
B0) sup sup I {O$O% (A - A;)} (Sl, Si) |<
—00
Из B0) вытекает, что Л6И7, рC?) и lim || Л — Л; ||v>p = 0, так что
пространство 2fv, р(Ж) полно, ч. т.д.
Следующая лемма является «двумерным вариантом» леммы 12;
она будет применена для проверки предположения с(и) теоремы 8
в некоторых конкретных случаях, которые мы рассмотрим в даль-
дальнейшем.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 5#Р
15. Лемма. Пусть у и § —вещественные числа, причем у>0
и Р>0. Пусть Ж есть В-алгебра и Л, В6И?, &(?). Тогда несоб-
несобственный интеграл
B1) Ж* B))(su S2) = ^ J ЛE" o°L^g' S2) do\
— оо
существует. Кроме того, г|;(Л, 5) принадлежит Щ,$ (Ж) и суще-
существует такая конечная постоянная М2(у, Р), что
Доказательство. Пусть — оо < sb s2 < °°» oo ^Ai, А2 > 0.
Ясно, что
при —оо < а < оо и оо^А>0 и, кроме того, справедливо нера-
неравенство | (ОРО$В) (о, s2) К || 5 ||Vt p при— оо<а<ооиоо>
> лг > 0. Отсюда, применяя соотношения A5) —A7), находим
B2) |(l+|a|v)@?M)(Sl, e)(O%B)(e,
Кроме того,
B3) /Гр | (О^'Л) (slf a+Л) {0%В) (o+h, s2) -
-(O$A)(Sl, o)@%B)(o,
p lf a) || (OJJ'fl) (
WA) (sit 0) 11| В ||Vi p-H| Л ||v, p | {OVOftB) (a+A,
H||VtP||B||?.p.
Таким образом, если Mi(y, P) — постоянная, указанная в лемме 12, и
B4) (С). (Sl, s2) = ^ Г ЛE1'
J
то A|)(Л, B))(si, s2) = Cti(sl, s2), и по лемме 12
B5) | ОВДУС. (slf Si) Ц-/г"р | 0^ 0%Cs+h (sit s2) -
-0$0%Cs(Si, s2)|<
<2М!(т, P)|H||v,p||fi||Vip, -oo<s<oo, 0<A<oo.
Отсюда
B6)
510 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Кроме того,
B7) /Гр | (OfiC^+ь) (slf s2+h) - (O$Cs2) (si9 s2
Теперь из A8) вытекает, что || ф (Л, 5) ||v, э< 4М2 G, Р) || A ||Vt 31| 5 ||Vt э,
и лемма доказана, ч. т. д.
Следующая лемма является обобщением неравенства Гильбер-
Гильберта XI.7.8. В дальнейшем мы будем применять ее для проверки
первой части предположения (Ь) теоремы 8.
16. Лемма. Пусть $ — гильбертово пространство, а В (
обозначает В-пространство всех ограниченных операторов в $.
Пусть у и Р — вещественные числа, у>0, 1 > Р > 0. Возьмем
элемент А 6 2fv, p (В ($)) и ^-значную бесконечно дифференци-
дифференцируемую функцию f вещественного переменного, обращающуюся
в нуль вне некоторого отрезка вещественной прямой. Тогда несоб-
несобственный интеграл
B8)
существует. Кроме того, существует такая постоянная М3 (у> Р)>
зависящая только от у и р, что
+ ОО
B9) { j
Доказательство. Так как функция f бесконечно дифференцируе-
дифференцируема, то существует такая конечная постоянная К (s), что
| A (s, a+h) f(o + h)-A (s, a) / (а) | < К (s) I h |P
для всех достаточно малых р. Поскольку функция A (s, a) / (а)
обращается в нуль вне некоторого отрезка вещественной а-оси, та
по лемме 12 несобственный интеграл B8) существует.
Пусть ф — характеристическая функция отрезка [—1,1] и
C0) B(s,G) = A(s,o) — A(s,s)y{s — e), _oo<s, a<oo.
Тогда, очевидно,
C1)
S — G
A(s, о) — A(s, s)
S—G
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов)
511
Далее, пусть число у выбрано так, что 0<у^^» Т<2; поло-
положим (v)~1~Hv/2= 1- Тогда, согласно неравенству Гёльдера,
C2)
B(s,
°)
s—a
Ha 1
_ r
A(s, g)
a
a —
1
s
A
s
(a, s)
— a
Положим
C3)
(T(B)f)(s)=
из леммы 5 и соотношений C1), C2) следует существование
такой конечной постоянной N(y,$), зависящей только от у и |5
что
C4) { j |(rE)n(s)|2ds}1/2<yV(v,P)||A||Y,P{ j | f (s) |2
С другой стороны, согласно формуле C0),
C5) (Г (A) f) (s) = (Г (В) /) (s)+A (s, s) &
Положим
C6) ^
^_да) f (a) da.
Мы докажем существование такой конечной постоянной N',
не зависящей от у, р и /, что
C7)
512 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Для этого возьмем полный ортонормированный базис {ха,
в ф. Тогда
C8)
-оо S+8
S—8 оо
— оо S+8
Применяя теорему XI.7.8 и лемму XI.7.9, мы находим такую конеч-
конечную постоянную Л, не зависящую от / и а, что
-|-оо -f-°°
C9) J \(g(s), xa)I2 ds<Л j |(/(s), хв)|«ds.
— оо —оо
Положим Л/"' = Л1/2. Суммируя неравенства C9) по всем а, ? А
и используя теорему IV.4.13, мы получаем неравенство C7). Так как
1 Л>, s) К || Л ||Y, E, то из C7) следует, что
-f-oo -j-c
D0) { J}1/2{{
Из соотношений C5), C6) и D0) мы получаем B9), ч. т. д.
В определении 17 и двух последующих леммах мы несколько
модифицируем результаты лемм 15 и 16 с тем, чтобы затем восполь-
воспользоваться ими в теореме 21, содержащей основное применение тео-
теоремы 8.
17. Определение. Пусть у, р и а — вещественные числа, 7^0»
1 > Р > 0 и Ж — банахово пространство. Если А — некоторая
$-значная функция двух вещественных переменных, то положим
D1)
D2) 1И||7,р,а = |ГЛ||
Обозначим через SIV, p,a(#) множество всех Ж-значных функ-
функций А двух переменных, удовлетворяющих условию || А Цу.з.а <С °°-
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 513
18. Лемма. Пусть Ж— банахово пространство и у, р, а — веще-
вещественные числа, y>0> 1>Р>0. Тогда справедливы следующие
утверждения:
(a) Ит.р.а(Эе)?И7.р(Х) и \\A\\v,t.a>\\A\\y.t при Леи*.р.а(X).
(b) 2TY,P. а (ЭВ) является В-пространством с нормой |]Л||7,р,а.
(c) Предположим, что Ж есть В-алгебра и А, ВбЭД?.р,а(Ж).
Тогда несобственный интеграл
D3) (ф (Л, В)) (*, S2) = ff
существует. Кроме того, \|)(Л, В) принадлежит 2tY,p,a(#)>
и существует такая конечная постоянная М2(у, Р), зависящая
'только оту и р, то ||г|)(Л, B)||v,p,a<2M2(v, P)H||Ytp,a||i5||Vfp,a.
Доказательство. Утверждение (а) сразу следует из определе-
определения 17. Возьмем последовательность Коши {Ат} в 2Ь.Р,а(ЭЕ).
Тогда, в силу соотношения D2), {Ат} и {V (а)Ат} являются после-
последовательностями Коши в §lv,pC?). По лемме 14 существуют
такие элементы Л и Л в Я7,р(Ж), что lim || Ат — А ||т,р = 0
и Нт || F (ос) Лт — A ||YiP = 0. Из формул A5) —A8) определения 13
m-*-ot>
следует, что A(su s2) = lim Am(su s2) и
при — oo<Si, s2<oo. Значит, A = V(a)A, откуда б
и lim || Am — А Ц7.р.а = 0. Этим доказано утверждение (b).
m->oo
Из соотношений D1) и D3) вытекает, что V (a) if (Л, В) =
= \|)(У(а)Л, У (а) В). Следовательно, согласно лемме 15, ф(Д ?)€
€SIp,aCe) и
||v,p,a ^
самым утверждение (с) доказано.
19. Лемма. Пусть Ж —банахово пространство и В (Ж) —бана-
—банахово пространство всех ограниченных операторов в Ж. Пусть у,
Р и а —вещественные числа, причем у>0> 1>Р>0, 1/2-1-7 >
>а>1/2. Возьмем элемент Л1б21т,р,а(Э?) и такую функцию
feUd — оо, +°°), Ж), что
-j-oo
D4) j И(а)|2Жт<оо,
— оо
33 Н. Данфорд и Дж, Шварц
514 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Тогда интеграл
D5) (фоМ,)/)(*) = J A1(s,o)f(a)da
— оо
существует для почти всех s. Кроме того, существует такая
конечная постоянная М3(у, Р, сх), зависящая только от у, |3, ос, что
4 \
D6) j | фо (Л) / (s) |2 ds< М3 (у, Р, а) j | а/ (а) |2 da.
— оо —оо
Доказательство. Согласно определению 17,
D7) |^(S, av f7
следовательно,
+ОО +ОО
Г Г
+ +
— ОО —ОО
Теперь существование интеграла D5) для почти всех s, а также
неравенство D6) сразу же вытекают из леммы 5, ч. т. д.
20. Следствие. Пусть выполнены предположения предыдущей
леммы, и пусть Тх — неограниченный линейный оператор
в ?2((__оо, +оо), <§), определенный формулами
+оо
D9) ^(^^{feUU-oo, +оо), в)) J |a/(a)|2da<oo},
— оо
E0) (Tj)(s) = sf(s), /€®(Г,).
Пусть (pi(Ai) — интегральный оператор, область определения
которого ®(cp(i4i)) совпадает с ®G\), удовлетворяющий равен-
равенству 9i(i4i)/ = 9o(^i)/, /6®(Л- Тогда Зля любого веществен-
вещественного числа КфО оператор ф4 (Л1) (//С — Т^ всюду определен
и ограничен. Кроме того, Um\q)i(A1)(iK — T1)~1\ = 0.
да-»
Доказательство. Ясно, что оператор Ф± (Л±) (t/C — T^i) опреде-
определен всюду; его ограниченность следует из неравенства D6).
Поскольку ((iK — Ti)-1f)(s) = (iK — s)-1f(s) для любой функции
/€?г(( — °°> +°°)' Й)» мы имеем
+00
E1) (Ф^Л^/С-^)-1/)(*)= J 4^TF
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 515
Следовательно, по лемме 5 и неравенству 47
E2) IcpiOW/CT^rK
и2 Т +Г
lllv.P, a J j
Т +Г!е+МJ
— оо —оо
Так как lim (l + |cr |2) (/C2-j-[ a |2) х = 0 для любого а и функция
\К\->ос
A + 1 aD2 (^2 + 1аГ2) ограничена в области |К|>1, — оо<а<
< + оо, то по теореме Лебега II 1.6.16 интеграл в правой части
неравенства E2) сходится к нулю. Отсюда следует, что
lim | ф1 (Ai) {iK-TtY11 = 0, ч. т. д.
1
А теперь мы можем применить теорему 8.
21. Теорема. Пусть $ —гильбертово пространство, В ($) —
В-пространство всех ограниченных операторов в $, D — отре-
отрезок вещественной оси и L2(D, $$) —пространство всех !д-знач-
ных измеримых по Борелю —Лебегу функций, определенных на D
и удовлетворяющих условию
E3)
Пусть еи еъ ...—семейство попарно непересекающихся борелев-
ских множеств, объединением которых является Dr и $, fe2, • • • —
семейство замкнутых подпространств из <§. Обозначим через
2,2(Д <§) подпространство из L2(D, <g), состоящее из всех таких
функций fdLziD, $$), что f{s)?$Qi для всех s^et. Определим
в L2(D, ?)) оператор Т следующим образом:
E4) % (T) =
ь
E5) (Tf)(s) = sf(s),
Пусть 7>0, 1>р>0, 1/2+7>a> 1/2. Предположим, чтсг
дан элемент А 6 Sty. p. а (В ($)), причем A (s, s') у 6 $г Зля всех v ?ig
i/ ec^x sg^j, l<i<oo, i/ Л(в, s') = 0 при s$D. Рассмотрим
в L2(D, ig) интегральный оператор ф(Л), определенный на мно^
жестве Ъ (ср (Л)) = ф (Г) формулой
E6) (Ф (Л) f) (s) - j Л (s, а) / (а) da, / б ® (Г).
Тогйа существует такая конечная положительная постоянная
г = 8 G, Р, а), зависящая только оту,§ и а> <шо гсл^ |( Л ||7§р§а < 8,
33*
516 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
то оператор Т-|-ф(Л) подобен оператору Т и, следовательно,
является спектральным оператором скалярного типа (возможно,
неограни ченным).
Доказательство. Пространство Lz(D, $) есть гильбертово
пространство со скалярным произведением
E7) (/, g) = j (f (a), g (а)) da, f, g 6 Ц (А в).
D
Из E4), E5) и E7) следует, что оператор Т симметрический.
Так как
E8) ((Я/ - Г) f) (s) = (X - s) f (s), feU (Д $), Im Я ^ 0,
то по лемме XII. 1.2 и следствию XII.4.13 (b) оператор является
самосопряженным, В частности, Т — спектральный оператор ска-
скалярного типа.
Применим теперь теорему 8. В качестве пространства Ж из тео-
теоремы 8 возьмем Ьг (Д $), а в качестве пространства 21 подпро-
подпространство $Y, p, a (В (Jg)) из й7, pf a (В (ig)), состоящее из всех таких
ВеИ7,р, а(В(в)). что B(s> ^)^6Йг для у6$, s6^ и B(s, a) = 0
для всех вещественных s$D. Пусть Л^И. Так как справедливо
включение Л4 E, a) f (а) ^ с §г для всех s 6 ей ясно, что (ф0 (Лt) f) (s)
из соотношения D5) леммы 19 принадлежит подпространству Jg*
для почти всех s€et, так что ФоОЛ^/б/^А ^)^L2(D, ig) для
всех f6®(^)« Обозначим через ф(Л^ сужение оператора Фо(Л1)
на ©(Г). По лемме 19 и следствию 20 ф(Л^ является линейным
отображением с областью определения ф (ф(Л4)) з ®(Т), удовле-
удовлетворяющим предположению (а) теоремы 8.
Для дальнейшего заметим также, что, согласно следствию 20,
E9) lim
да
Теперь для проверки предположения (Ь) теоремы 8 мы приме-
применим дтредыдующие леммы. Замыкание в топологии пространства
L2(( — oo, 4~°°)' ig) множества Co°(ig) всех бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций /, обращающихся в нуль вне ограниченного
отрезка, содержит, очевидно, функции, постоянные на данном
отрезке Ja( — oo, +оо) и обращающиеся в нуль вне У. Сле-
Следовательно, по лемме III.8.3, Co°(ig) плотно в L2(( — oo, -f0)» Й)*
Согласно леммам 18(а) и 16, существует ограниченное линейное
отображение Г± пространства Й7,р,а(В(§)) в Bfai—oo, +°°), §)»
такое, что
+ О
F0) (r.wfxs)^ j
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) ??7
Так как Ai(s, а) = 0 при s$D и A1(s,o)v?Qt при s?e^vi v?&
то из F0) вытекает, что Г^Л^ отображает С~($) в L2(D, ig).
Таким образом, Т1(А1) отображает Lz(D, Jg) в себя. Для любого
^i68I обозначим через T(Ai) сужение Г^Л^ЬгСА $) оператора
T±(Ai) на L2(D, g).
Пусть Ti —оператор в L2(( —оо, -}-оо), ?)), определенный фор-
формулами D9) и E0), так что Т есть сужение Т\ на 12 (?>2, Jg) => Ф (Т).
Ясно, что (*7—jTi) — ограниченный оператор, определенный соот-
соотношением ((*/ — Ti)~xf) (s) = (i — s)/ (s). Поэтому, согласно лемме
XII. 1.2, Ti — замкнутый оператор. Из F0) вытекает, что
F1) ((Г1Г1(Л1)-Г1(Л1)Т1)/)E)= j A±(s, o)f(a)do,
Пусть ^ — борелевская мера на вещественной оси, определенная
формулой \i{e)= \ A-j-a2)da, так что по теореме ШЛО.4
е
оо -\-оо
F2) j go (s) p (ds) = j g^o (ff) A+(T2) da
— oo — oo
для любой неотрицательной измеримой по Борелю функции go-
Замыкание (в топологии пространства L2 (щ ig)) множества
Cq (ig) всех бесконечно дифференцируемых функций, обращаю-
обращающихся в нуль вне ограниченного интервала, очевидно, содержит
все функции, постоянные на некотором ограниченном интервале
J ? (—оо, +оо) и обращающиеся в нуль вне У. Следовательно,
по лемме II 1.8.3 множество Со° (ig) плотно в гильбертовом простран-
пространстве L2 (ц, Jg). Значит, если g 6 Ф (Т) = L2 (|x, ^), то существует
такая последовательность {gn} элементов из CST (i§), что
П-*оо
г
lim (l + o*)\gn(e)-g(o)\*do=0.
Тогда gn-^g и Tgn-+Tg в топологии L2(( —oo, +oo), g)
при тг-^оо. Равенство F1) справедливо для любой функции
/бСоЧ^д), но так как оператор Ti(Ai) ограничен, оператор Tt
замкнут, а оператор 9oHi)(i/C —T) ограничен для вещественных
/С ф 0 (по следствию 20), то
оо
F3) ((r1r1(A1)-r1D1)T1)g)(s)= j A1(s,a)g(a)da,
518 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Взяв сужения всех операторов из равенства F3) на подмножество
Ф(Т) из ©(ГО, получаем
F4) (ТГ(А1)-Г(Л1)Г)/ = ф(Л1)/, ЛбЯ, /6® (П
Итак, выполнено предположение (Ь) теоремы 8.
Возьмем теперь элементы А\, А2^Щ. и функцию f6Co°(i6).
Положим
F5) - (ф (Л„ АЛ)) <«„ *) = * +f ^(s<'gg!_t2(q>S2) ^-
— oo
Напомним, что, согласно лемме 18, несобственный интеграл в пра-
правой части этого равенства сходится. Так как Ai(s1? а)А2(о, s2)v?fe
при v?<q и Si^et и Ai(si, о)А2(о, s2) = 0 при s$D, то, очевидно,
Теперь мы покажем, что ф (гр (Аи А2)) = ф (Л4) Г (А2) и прове-
проверим тем самым условие (i) п. (с) теоремы 8. Если действовать фор-
формально, то для этого достаточно применить к функции / 6 L2 инте-
интегральный оператор с ядром F5) и в полученном двойном интеграле
изменить порядок интегрирования. Но интеграл в соотношении F5)
является несобственным, и поэтому осуществление этой простой
идеи несколько усложняется. Мы поступим следующим образом.
Пусть х (•) — характеристическая функция отрезка [—1, 1]. Если
1 > е > 0, то в силу определений 13 и 17
F6)
-с» S-J-8
| s — ст | l/v '
\s-af-i\f(a)\da +
\S-G\>1
Обозначим через F(s) правую часть неравенства F6). Так как
функция / ограничена и обращается в нуль вне некоторого отрезка,
то, очевидно, функция A + s2) | F (s) |2 не превосходит const x
X(l + |s|)-2(a+v). Поэтому j (l+s2)|f(s)|2ds<oo.Следовательно,
— оо
если мы положим
F7) Ш
-оо 5+8
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов)
519
то из неравенства F6) и теоремы Лебега III.6.16 получим
F8) Нт (\+a*)\fe(e)-(T(A2)f)(e)\*do = 0.
О J
е-* О
Таким образом, lim/в = Г (Л2) / и \\mTJz = TiY (A2)f в топологии
0 0
8->-0
пространства L2(D, <g). Так как оператор фо(Л^ (*'/—- Т^'1 огра-
ограничен, то
F9) (Фо (Л) Г (Л2) /) (Sl) = l.i.m. (фо {А,) /8) (Sl) =
8-*-О
,s_a|>e
Для любого 8>0 и для всех s из произвольного отрезка суще-
существует такая конечная постоянная /С(е), что
G0)
|я-а|>в.
Отсюда, применяя теорему Фубини, мы получаем из F9) соотно-
соотношение
G1) (ф0(Л1)Г(Л2)/)E) =
= l.i.m. Т{
|s-a|>e
С другой стороны, существует такая конечная постоянная /С, что
при 1 > 8 > 0 справедливо неравенство
/72)
IAi(si,o) Л2 (а,
а—s
г|>в
s)
,
|s-a|>e
Is—"a]>e
|a-s|
следовательно, функция
G3) [ ^i(*i»q)i42(<j,-
Is—а|>е
520 Г л, XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
равномерно ограничена. Из теоремы Лебега II 1.6.16 следует,
ЧТО ДЛЯ ЛЮбоГО Si6( — оо, +оо)
G4)
8-*0 •> ^. J
— оо |s— G|>8
= Т
-}-oo -}-oo
— oo —oo
Так как существуют предел «в среднем»
+ОО
G5) l.i.m. ( { (
-оо |s-G|>8
а также «поточечный» предел
G6) limf{ J Ai{Sl>?_A:{O>s)do}f(s)ds, -oo<Sl< + oo,
e"*° -oo |s-a|>8
то в силу следствий Ш.3.8 и III.6.3 и теорем III.3.6 и III.6.12
эти пределы совпадают. Сравнивая теперь F9), G4) и F5),
мы видим, что
G7) ФоЖЛь ^))f=*<ft>(i4i)ri(i42)f, fe(%(%).
Возьмем элемент g6®(^'i)» Как мы заметили выше, существует
такая последовательность {gn) элементов из С?°(§), что gn-*g
и Tign-^Tig в топологии пространства L2(( —оо, + оо), ^) при
п ->¦ оо. Используя доказанные выше равенство
G8) TJ1! (Л2) = Г! (Ла) Л+фо (Л2)
и ограниченность операторов Т1(А2) и Фо(Л2) (i/ — T^i), мы видим,
что rt^gn^r^^gr и Til\(A2)gn^T1T1(A2)g при п-»оо.
Следовательно, в силу G7), ф0 (ф (Ль Л2)) ^ = Фо (ЛО Г4 (Л2) g,
g 6 ® (Ti), откуда, сужая эти операторы на ® (Т)^ ©(Т^, мы
приходим к выводу, что фA|)(Ль Л2))/ = ф(Л1) Г(Л2)/, /6®(Л-
Этим проверено предположение (с) теоремы 8.
Из леммы VI 1.3.4 и соотношения E9) следует, что оператор
(/ — ф (А^ (iK — Т1)") существует, ограничен и определен всюду
для достаточно больших вещественных К- Но тогда выполнены
предположения следствия 9. Применяя теорему 8 и следствие 9,
мы приходим к утверждению теоремы, ч. т. д.
Используя подходящие преобразования «диагонализации»
(см. теорему XII.3.16), теорему 21 можно применить к широкому
классу операторов. В следующей теореме мы покажем на примере
применение этой теоремы к одному интересному классу дифферен-
дифференциальных операторов в частных производных.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 52?
22. Теорема. Пусть п — целое число, п ^ 3, и Еп — веществен-
вещественное п-мерное евклидово пространство.
(а) Пусть V1) — формальный дифференциальный оператор:
в Епу а То — неограниченный оператор в гильбертовом простран-
пространстве L2 (En), область определения которого состоит из функций /,
имеющих непрерывные частные производные до второго порядка
и удовлетворяющих условию
B)
г=1
i, i=i
при \х |->¦ оо, причем оператор То действует по формуле
C) 7y=-v/,
Замыкание То обозначим через Т. Тогда Т — самосопряженный
оператор, спектр которого совпадает с положительной веществен-
ной полуосью.
(Ь) Существует такая положительная постоянная е = 8 (п),
зависящая только от п, что если комплекснозначная функция V[( •) 6
? Сп (Еп) удовлетворяет условию
D)
а через V обозначен ограниченный оператор в L2 (?)n, определенный
соотношением
E) (Vf)(x) = V(x)f(x), feL2(En),
то оператор Т + V подобен оператору Т\ в частности, Т + V
является неограниченным спектральным оператором в L2 (En) ска-
скалярного типа.
Доказательство. Так как доказательство теоремы довольно-таки
громоздко, мы предварительно укажем его основные этапы. Прежде
всего мы представим невозмущенный оператор То в виде оператора
умножения на л: в /^-пространстве вектор-функций / (х). Для этого
воспользуемся сначала преобразованием Фурье, которое приведет
оператор То к оператору умножения на функцию, а затем, применяя
элементарную замену переменной, мы получим из этого оператора
оператор умножения на х. Необходимые для этого рассуждения
несложны и связаны с теорией меры. После таких преобразова-
г) В отличие от обозначения, используемого в советской математической
литературе, здесь символ V обозначает оператор Лапласа. — Прим. перев.
522 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
ний, приводящих То к диагональному виду, возмущающий опера-
оператор переходит в интегральный оператор. Из ограничений, налагае-
налагаемых на функцию V, следует, что применима теорема 21, а это при-
приводит нас к утверждению теоремы 22.
Перейдем к доказательству. Обозначим через / преобразование
Фурье функции /, так что
F) f{) ()
JY->oo
тогда W: f-*f есть унитарное отображение L2(?n) на себя. Если
fGM?n)fUi(?n), то по теореме XV. 11.3
G)
Еп
Если !?Ъ(Т0), то, дважды интегрируя по частям (что допускается
условием B)), находим
(8) Го) (*) = - j (Vf) (х) е*-* dx =
En
= \k\* j f(x)eih-*dx.
En
Определим в L2(?n) оператор «S формулами
(9) ®(S) = {f?L2(?")| \\k\*\f(k)\*dk«x>) ,
En
A0)
Из (8) вытекает, что
Далее, обозначим через С™ (Еп) пространство всех бесконечно
дифференцируемых комплекснозначных функций с компактным
носителем, определенных на Еп. Пусть g?C™(En) и g — f, f?L2(En).
Тогда по теореме Планшереля (XV. 11.3)
A1)
Еп
Интегрируя A1) по частям, находим, что
A2) (— 1)г | a: |ar f (х) = Bя)-п/2 { (Vg)(k)e-*-*dk,
Еп
откуда \ f (х) | = О (| х |г) для любого целого г. Поскольку соот-
соотношение A1) можно дифференцировать по xiy . . ., хп любое
число раз, применяя аналогичные рассуждения, мы получаем, что
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 525
каждая частная производная dJf функции / удовлетворяет соотно-
соотношению | dJf (х) | = О (| х |~2Г) для любого целого г. Следовательно,
I ? ф (Т^о). Отсюда следует, что если So — сужение 5 на подпро-
подпространство Со°° (Еп) из ф (S), то 50 s WTqW-1 с= 5.
Пусть v — мера в ?п, определенная формулой v (ё) = \ A -|-1 х |4) dx,
е
так что по теореме III. 10.4
A3) { go(x)v(dx)=\j (l + \x\*)go(x)dx
Еп Еп
для любой неотрицательной измеримой по Борелю функции g0.
Легко видеть, что замыкание множества С?° (Еп) в топологии про-
пространства hi (?n, v) содержит характеристическую функцию любого
«прямоугольника»
A4) J = [аи bi] х [а2, Ь2] X ... X К, Ьп].
Отсюда, применяя лемму Ш.8.3, получаем, что множество С™ (Еп)
плотно в L2(?n, v). Поэтому, если §® E) =L2(En, v), то суще-
существует такая последовательность {gm} элементов из С™(Еп), что
A5) lim \
m->oo •/
m->oo
En
Тогда gm->gH 5g"m-> Sg в топологии пространства L2 (En) при
?n^- oo. Отсюда следует (см. лемму ХН.4.8(а)), что замыкание So
оператора 50 является расширением оператора 5. С другой стороны,
ясно, что для любого отличного от положительного вещественного
Числа k оператор (kl — 5) имеет ограниченный обратный, опре-
определенный на всем пространстве формулой
A6) ((kl-S)-4){x) = (k-\x\*r4(x), f?U(En).
Поэтому по лемме XII. 1.2 оператор 5 замкнут. Таким образом,
«So = S. Более того, очевидно что 5 симметрический и, следователь-
следовательно, согласно следствию ХП.4.13(Ь), самосопряженный.
Так как 50 <= WTqW'1 <= 5 и 50 = 5, то в силу леммы ХП.4.8(а)
и того факта, что W — изометрия пространства L2 (En) на себя,
мы имеем WTW = 5. Следовательно, оператор Т самосопряжен.
Из выражения A6) для обратного оператора (kl — 5) видно,
что спектр а E) совпадает с [0, оо). Из той же формулы ясно, что
I (kl — S) |-^оо, когда k стремится к любой точке интервала
[0, оо). Таким образом, согласно теореме ХН.2.9(а), а E) = [0, оо).
Так как WTW'1 = S, справедливо равенство а (Т) = [0, оо),
и утверждение (а) теоремы доказано.
524 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Из условия D) видно, что функция V (•) принадлежит про-
пространству Lt (En). Положим
A7) V(k) = Bn)-n/2 j V(x)eP-*dx.
Еп
Интегрируя по частям, получаем
A8) (-ik)JV(k) = Bn)-n/2 J (dJV)(x)eih^dx, |/|<л+1
по поводу используемых обозначений см. начало § XIV.2).
В частности, |V(k)\ = О(|kl1) при |&|->оо. Следовательно,
функция V (k) интегрируема, откуда
A9) У(х) = BяГп/2 J V(k)e-ih'xdk.
Еп
Определим в пространстве L2(?>n) оператор Vi формулой
B0) (VJ)(k) = Bn)-n/2 { Vik-kjfikjdku /€L2(?n).
Еп
Применяя я-мерный аналог теоремы XI.3.21(d) (см. рассуждение,
следующее за XI.3.22), находим
B1) WVW-if^Vj, f?L2(En).
Для доказательства утверждения (Ь) нашей теоремы осталось
показать, что если выполнено условие D), то операторы S и S + Vi
подобны.
Для этого поступим следующим образом. Обозначим через [а,
как и в § XI.7, такую меру на единичной сфере S пространства Еп,
что
B2) j f[(x) dx _ j j {/ (rco) rn-*} (x (da>)
j f[(x) dx _ j j
En 0 2
для любой борелевской функции /, определенной на Еп, которая
либо интегрируема на Еп> либо положительна. Любой борелевской
функции /, определенной на Епу поставим в соответствие вектор-
функцию [/], определенную на [0, оо] и принимающую значения
в пространстве функций на единичной сфере S, полагая
B3) {[/](p)}Hs-2-1/2p(n-2)/4f(p1/2e>), 0<p<oo, об 2.
Из формулы B2), используя теоремы III.И.17, III.11.14 и теорему
Радона — Никодима (следствие III. 10.6), находим, что преобразо-
преобразование Z: f-*lf] изометрически отображает L2(En) на Хг~
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 525
= L2([0, oo),L2 B)). Из B3) следует, что
B4) {Р Ш (Р)} Н = ilg] (Р)} И»
где g(k) = \k\2f(k); но тогда оператор ZSZ~1 = df в <3?2* имеет
область определения
B5)
и действует по формуле
B6)
Теперь мы получим описание оператора ZF1Z~1 = 'F. Положим
B7) F2(p,p';
Для любых О^р, р' < оо определим в /^B, ц,) интегральный
оператор F3(p» p') формулой
B8) (У3(р,р')ф)Н={У2(р, р';со,
2
Тогда
оо
B9). (ГГ) (р) = J V3 (р, р') f (р') ф', / € U ([0, оо), Z^ B, fx)).
О
Так как Z является изометрией пространства L2 (?n) на %2, для
. доказательства утверждения (Ь) теоремы осталось показать, что
если выполнено условие D), то операторы З3 и & + Т подобны.
В силу условия D), равенство A8) допускает двукратное диффе-
дифференцирование под знаком интеграла; следовательно, существует
такая конечная постоянная М, не зависящая от 8, что
|?|
г=1 г, i==l
Заметим теперь, что существует постоянная с, для которой
C1) | со — а©' | > с | со — о' |
при всех 0<а«<1исо, со' ?2. Действительно, если Э обозначает
угол между со и со', то ясно, что | со — асо' | > 1 при я/2 ^ | Э | ^
^ я и
C2) | со — асо' | > | sin Э |, 0 ^ | 9 |< я/2;
кроме того, | со — со' К= 2 | sin (9/2) |. Так как | sin 9 | ^
> I sin (9/2) | при 0 < | 9 К я/2 для некоторого с0 > 0, то
526
Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
неравенство C1) доказано. Из B7), C0) и C1) вытекает существо-
существование такой конечной постоянной ЛГ, не зависящей от 8, что
Аналогично, дифференцируя B7) дважды и используя соотноше-
соотношения C0) и C1), мы видим, что
C4)
дУ
Определим для всех О^г, г' < оо интегральный оператор Vt(r, r')
в L2B, ц.) формулой
C5)
(г, r')<p)(<o)=f Р (го-г'ю')ф (
I/2)
так что
C6) IMP, P')= jBn)-"/2(Pp')(n-2)/4^(pl/2, (ру/З).
Из соотношений C3) и C4), используя лемму 5, находим
C7)
(Л г'
-JT (г> О
1
(г, г')
+ max(r, г') | со —
где оH = [1, 0, ..., 0]. Положим
C8) /(а) Г ]
(l+a|co-co0|)"+1
fi(dco),
Ясно, что функция / (а) ограничена на каждом отрезке. Обозначим
через So достаточно малую сферическую окрестность в 2 точки сэ0
и положим 24 = 2 — 20. Пусть
C9)
И
D0)
/о(а) =
2о
1
A+а|а> —©ol)n+1
так что / (a) = /0 (a) + ^ (а). Очевидно, что It (a) = О (а~(П+1))
при а->- оо. Кроме того, вводя в 20 естественную систему коорди-
координат и применяя обычную замену переменных в многомерном инте-
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 527
грале, мы можем записать функцию /0 (ос) в виде
D1) /о(а)=
где D (у) — некоторая положительная бесконечно дифференцируе-
дифференцируемая функция «плотности» от у. Заменой переменной приведем
интеграл D1) к виду
D2) /„(а) = «-<»-» j Affi*;Li dy.
Итак, /0 (а) = О (а~(П 1}) при а-> оо. Следовательно, / (а) =
^= О (а"*71*) при а->-оо, т.е. существует такая абсолютная
постоянная с', что / (а) < с' A + | а |)"п+1. Из этого неравенства
и неравенства C7) вытекает существование такой конечной постоян-
постоянной ЛГ, не зависящей от е, что
D3) \Vt(r,r')\+ f(r.r') + Ф(г,О
Положим V5(r, r') = (rr'fn~2)/2Vb(r, r'). Используя неравенство D3)
и определения 13 и 17, мы можем найти такую конечную постоян-
постоянную М'", не зависящую от е, что
D4) |У6(., -)|1/2.1/2.1<ЛГе.
Так как A/2) Bя)"п/2 F5 (pV2, (p'I/2) ^у3(р, р') (см. C6)); то, еще
раз применяя определения 13 и 17, получаем такую конечную
постоянную Мо» не зависящую от е, что
D5) ИМ-, -)|i/4,1/4,1/2<М0г.
Отсюда, используя теорему 21, приходим к выводу, что для доста-
достаточно малых е = е (п) операторы & и tf + Т подобны, ч. т. д.
Иногда оказываются полезными те промежуточные результаты,
которые мы получили в ходе доказательства теоремы. Мы сейчас
сформулируем их в виде следствия.
23. Следствие. Пусть п^З^а Т, 2 и \i имеют тот же смысл,
что и в предыдущей теореме. Пусть V — комплекснозначная функ-
функция, определенная на Еп, причем величина
D6).
конечна. Тогда
528 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
(а) если обозначать через f преобразование Фурье ^функции
U(En), т. е.
/2 [ f(x)eihxdx,
<47)
и положить (Zif)(р, со) = 2" 1/2р(п-2)/4Нр1/2«). Ш) (р) = (ZJ) (р, •)
для fdL2.(En), то Z2 есть изометрия Lz(En) на L2([0, оо),
(Ь) оператор 3> = Z{TZ'? имеет область определения
и действует по формуле
<49) (<87)(р)=р/(р),
(с) если оператор Vt определен в L2(E)n формулой
<50) (Vif)(x) = V(x)f(x),
то оператор Т'=Z2V\Z^ действует в Хг по формуле
где V2(p, а) —оператор в 1гB, (я) вида
<52) (^(p,a)^)(co)=4Bn)-n/2(PP'f-
X g(
(d) ^сла V3(г, г') —оператор в L2B, |i), определенный соот-
соотношением
<53) G8(г,
то существует такая конечная постоянная Мп, зависящая только
ют п, что
^(r, г')
<54) \V3(r, r'
Мы закончим этот параграф теоремой, принадлежащей Дж. Фри-
ману, в которой следствие 3 применяется к одному интересному
классу квазинильпотентных операторов.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 529
24. Теорема. Пусть 1 < р < оо, а символом Lp [О, 1] обозначено
пространство всех измеримых по Борелю — Лебегу комплекснознач-
ных функций на [О, 1], удовлетворяющих условию
A)
Пусть g (х, у) — непрерывная функция, определенная в треуголь-
треугольнике D ={[х, у] | 0 < # ^ л: < 1}, a G — интегральный оператор
(«вольтеррова типа4»), определенный формулой
X
B) (Gf) (х) = j g (х, y)f(y) dy, fZLv[O,\\.
0
Предположим, что
(i) g имеет частные производные первого и второго порядка вну-
внутри области D и эти производные допускают непрерывные про-
продолжения на весь треугольник D;
1
(ii) g (*, х) > 0 при 0<х< 1 и \ g (x, x) dx = с.
Ъ
Определим интегральный оператор J формулой
X
C) (Jf)(x)=\f(y)dy, /6М0, 1].
о
Тогда операторы G и cJ подобны.
Доказательство. Сначала мы докажем теорему для случая, когда
g (х, х) = 1, а затем покажем, что общий случай сводится к этому
частному.
Обозначим через И класс функций А, определенных в треуголь-
треугольнике D и удовлетворяющих следующим условиям:
(а) А непрерывна в D и имеет внутри области D непрерывные
частные производные первого и второго порядка по х, причем эти
производные допускают непрерывные продолжения на весь тре-
треугольник D\
(Ь) А(х,х) = ^Г(х,х)^0,
Для каждой функции Лбй положим
D) Hh^ {\A(x, у)\ + \™.{х, y)\ + \^L(x, y)\} ,
34 Н. Данфорд и Дж. Шварц
530 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
так что ЭД становится В-пространством. Для каждой функции
определим оператор
E) (<p(A)f)(x) = JA(x,y)f(y)dy, /€М0, 1].
Ясно, что ф (А) — ограниченный оператор в Lp [О, 1]. Очевидно
также, что | ф (А) | ^ Ki I А |, где /Ci — некоторая конечная
постоянная. Положим
F) {^\
о о
/емо, п.
Поскольку
су)-
О О
для всех ^i^St, правая часть равенства F) является непрерывной
функцией, а потому Г (А) — ограниченный линейный оператор
в Lp[0, 1] и | Г(Л)|^/С2| А |, где /С2 — конечная постоянная.
Если А 631 и f?Lp [0, 1], то интегрированием по частям находим
(8) (Г(Л) //) (х)= ( {-^ J ^-F+^-у, g)d|} { ( f(r\)dr\}dy =
0 0 0
О
О
X
О
0
И—A
J ОХ
У
0
Кроме того, по теореме Фубини
X Ц
г/
(9)(.ЛГ(Л)/)(*)={{5
0 0
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 531
-у, l)dl]}f{y)dy =
Следовательно,
A0) JT(A)-T(A)J =
Обозначим через Bi(x, у) ядро оператора Ль т. е. непрерывную
функцию, записанную в правой части равенства G). Тогда
sup \Bi(x, y)\<\ А±1 откуда
[х, y]?D
х
A1) \{T(A1)f)(x)\<\A1\\\f(y)\dy, feLp[O, 1],
при AidSS.. А теперь по индукции получаем, что
A2)
Значит,
а потому Г (Лi) —квазинильпотентный оператор для любого
Положим далее для любых Л, ЛЭД
A3) (яИА Ai))(x, у)= ]А(х, г]) {JjLj j ЛЛЦ-Ti-i/, |)dl} di\.
У 0
Тогда, очевидно,
A4)
Обозначая через Bi правую часть равенства G), получаем
A5) (яр(Л, А,)) (х, у)=\А (х, т|)?i(л,
34*
532
Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Отсюда следует, что функция
Кроме того,
, Ау))(х, у) непрерывна.
A7)
дх*
так что г|э (Л, Л4) (х, #) имеет непрерывные частные производные
первого и второго порядка по х. Кроме того, я|э (Л, Л4) (я, я) =
= (дя|) (Л, Ai)/dx) (ху х) при 0 ^ л:^ 1, и, следовательно, if (Л, Л4) 6
6 St. Учитывая соотношения A6) и A7), мы заключаем, что суще-
существует такая конечная постоянная /Сз» №я которой | я|) (Л, ЛА) | ^
<Кз|Л[ \АХ\.
Пусть Л^Я и аА — отображение ?[ в себй, определенное фор-
формулой <тА(Л1) = г|)(Л, Л^. Покажем, что преобразование аА квази-
нильпотентно. Действительно, из A3), A6), A7) и неравен-
неравенства, предшествующего формуле A1), мы видим, что
A8)
даА (ЛА) [х, у]
дх
X, у]
дх*
^АЦА^х-у], [x,y)eD, Д Л,6Я.
Далее будем рассуждать по индукции. Предположим, что
д°пА (Ai)
A9)
дх
\х, у]
, у]
lAjZL\A±\l2\x-y\]n,
Л,
Тогда, используя A3), A6), A7) и G), находим
B0)
<\А\]
дх
у
, у]
(At)
дх*
, у]
И, | Т A + 0) j (т) - г/)и
У
I ^i I [2 (х—у)!-*1.
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) 533
Таким образом, неравенство A9) справедливо для всех я, так что
B1) К1=
Следовательно, преобразование аА квазинильпотентно для всех
лея.
Из следствия 4 вытекает, что операторы J + А и J подобны.
Этим доказана наша теорема при условии, когда g (х, х) = 1
и (dg/dx) (х, х) = О, 0 ^ х ^ 1. Покажем, что общий случай сво-
сводится к рассмотренному. Пусть я|) — монотонно возрастающая функ-
функция, имеющая две непрерывные производные и отображающая
отрезок [0, 1] на себя. Через aj) обозначим обратное отображение.
Возьмем комплекснозначную функцию а (х), имеющую непрерыв-
непрерывные производные первого и второго порядка в [0, 1]. Определим
в пространстве Lp [О, 1] оператор (я))/) (х) = exp (a (x)) f (я|) (л:)).
Он ограничен и обладает ограниченным обратным, действующим
по формуле (ijr1/) (х) = ехр (—a (oj) (#))) / (-ф (х)). Из формулы B),
определяющей преобразование G, находим
B2) (ГЧ?ф/)(*)= J gti(x),y)exp(a(y)-ati
X
= J g (Ч> (*). * (У)) ехр (а (ф (у)) -а{Ц (х))) ф'
О
Выберем функцию я|) так, чтобы
B3) Ч>'(*) = <*(*(*), Ч)^)),
т. е.
B4) ^'W^c-^^jc),
1
где с= \ g(x, x)dx (см. условие (ii) теоремы). Считая, что
г|)@) = 0, из равенства B4) получаем я|)A) = 1, так что if имеет
две непрерывные производные и отображает отрезок [0, 1] на себя.
Положим
Si (*> У) = § (* (*). Ф (У)) Ф' (У) ехР (а
тогда gi (а:, х) = 1, 0 ^ д: ^ 1, Определим функцию а следующим
образом:
534 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
тогда {dgjdx) (х, х) = О, 0 ^ х ^ 1. Кроме того, в силу соотноше-
соотношения B2)
B6) {
Применяя к оператору (l/c) ty^Gty рассмотренный выше частный
случай теоремы 23, получаем, что оператор (l/c) ty~4hp подобен J,
так что G подобен cJ, ч. т. д.
3. Метод Фридрихса в случае дискретного спектра
Метод теории возмущений, изложенный в предыдущем пара-
параграфе, можно приспособить также и к операторам с дискретным
спектром и даже к операторам со смешанным (дискретным и непре-
непрерывным) спектром. Теперь мы изложим некоторые результаты
такого типа, принадлежащие Р. Тернеру, относительно спектраль-
спектрального характера некоторых классов компактных операторов.
Начнем с обобщения теоремы 2.1.
—>\. Теорема. Пусть X-—банахово пространство и Т?В(Х).
Пусть 21— «вспомогательное» В-пространство с нормой |||Л|||,
А ?21, а Ми М2 —положительные числа. Предположим, что даны
(a) непрерывное линейное отображение ф: 21->~В(Ж), норма
которого не превосходит М%;
(b) непрерывное линейное отображение ц: 21-^21, норма кото-
которого не превосходит Ми
(c) такое непрерывное линейное отображение Г: И-
с нормой, не превосходящей Mi, что
(d) непрерывное билинейное отображение г|э (A, Ai) из 21 X 21
в 21, удовлетворяющее соотношениям
(i) Ф (ф (Л, Л0) = Г (Л) Ф (Л4), Л, Л е Я,
(И) ||| ¦ (Д Л01||<А«я ||| Л ||| ||| Л! HI, Л, ^ 6 Я;
(е) непрерывное билинейное отображение ф0 (Л, Л4) из 21 X 21
в 21, удовлетворяющее соотношениям
(i) ф (фо (Л, Л0) = Ф(т] (Л)) Г (ЛО, Л, Д 6 21,
(ii) in фо (л, ло ш<м2 in a in in Л! щ, л, Л! е я.
Тогда для любого Л1?21, удовлетворяющего неравенству |||Л1|||<
< FM2)~1+BMi)~1, существует такой оператор Л^Я, что опе-
операторы T-\-q)(Ai) и Г + ф(т](Л)) подобны.
5. Метод Фридрихса в случае дискретного спектра 535
Замечание. Теорема 2.1 является частным случаем этой теоремы
при ti(A)) = 0 для всех Ло?21. В приложениях к компактным
операторам мы будем определять ц (Ло) так, что ф(г](Л0)) ока-
окажется «диагональной частью» оператора ф(Л0) по отношению
к тому базису в X, в котором оператор Т диагоналей. .
Доказательство. Мы будем искать оператор U и элемент Л?§1,
удовлетворяющие уравнению
A) U (Т+ф (А,)) = (Т+ф (т, (A))) U,
предполагая, что U имеет вид U = I-\-T(A). При этом предполо-
предположении уравнение A) запишется в виде
B) (/ + Г (А)) (Т + Ф (Л,)) = (Г+ф (г\ (А))) (/+Г (Л)).
Последнее уравнение можно переписать так:
C) Ф(Л-г1(Л))+ф(т1(Л)) + ф(г](Л))Г(Л)-Г(Л)ф(Л1) = ф(Л1).
В силу предположений (d) и (е) теоремы последнее уравнение
удовлетворяется, если
D)
Таким образом, задача сводится к отысканию решений уравне-
уравнения D). Мы решим уравнение D) относительно Л методом итераций.
Положим ЛA) = Аи а затем определим Л(П) по индукции, полагая
E)
Пусть /П = |||ЛП|||; замечая, что Аа) = Аи находим из равенства E)
F)
Докажем по индукции, что tn ^ 2/4. При п = 1 это очевидно.
Предполагая, что наше утверждение справедливо для я, получаем
из F), что tn+i ^ ti + 6Л12^. Так как, по предположению теоремы,
6M2ti ^ 1, то /n+! ^ 2/4, что и утверждалось. Из соотношения E)
и условий (сП и (е) следует также, что
G) |||Л<п+1>-Л<п>|||<
^М2 (||| Л<п> ||| + III Л^^> III + III At HI) HI
Поскольку III Л(П) |||^2fi, мы находим из G), что
(8) HI Л<п+1> - Л<п> ЦКЪМ2г, ||| Л(П> - А*"-* |||
В силу сделанных нами предположений, 5M2/i < 1; поэтому из (8)
следует, что последовательность {Л(П)} сходится к некоторому
элементу Л, для которого ||| Л ||| < 2 ||| Л4 |||. Но тогда | Г (Л) К
^ 2Mi HI Л Hi! < 1, так что оператор / + Г (Л) обладает ограни-
ограниченным обратным (см. VII.6.1).
536 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Мы доказали, что уравнение D) имеет решение Л, обладающее
следующим свойством: оператор U = I + Г (Л) имеет ограничен-
ограниченный обратный. Так как из D) следует A), то операторы Т -f ф (Л4)
и Т + ф (т) (А)) подобны, и теорема доказана, ч. т. д.
Теорему 1 можно применить следующим образом. Пусть Ж —
сепарабельное гильбертово пространство и Т — нормальный ком-
компактный оператор. По теореме Х.3.4 существует полный ортонорми-
рованный базис {хп}, состоящий из собственных векторов опера-
оператора Т. Пусть Тхп = knxn, причем все Хп различны (т. е. в последо-
последовательности {Кп} нет повторяющихся элементов) и Хп Ф О при
я^1. Согласно следствию Х.3.5, Кп -> 0. Обозначим через гп
расстояние от Яп до остальных точек спектра Г; ясно, что гп > 0
и последовательность {гп} ограничена. Рассмотрим замкнутый
неограниченный оператор R в Ж, область определения которого
оо
5) (R) плотна и состоит из всех х = 2 &пХп из X, удовлетворяю-
71=1
ОО
щих условию 2 гп2\ &п I2 < °°, причем R действует по формуле
п==1
оо оо
(9) /?B ccnxn)= 2 /-nWn.
n=l n=i
Из определения R и ограниченности последовательности {гп} ясно,
что оператор 7? ограничен. Обозначим через ЭД множество всех
таких операторов А 6 В (Ж), что ЛХ ^ ® (/?) и оператор 7?Л при-
принадлежит классу Гильберта — Шмидта HS. Положим ||| Л ||| =
= ||7?Л||, где ||/?Л|| есть норма Гильберта — Шмидта оператора RA.
Если ЛП6Й и {Лп} — последовательность Коши, то ввиду огра-
ограниченности R и следствия XI.6.5
|(Лп~Лт)х|<||Лп-Лт|||л;К|/?-1| \\R(An-Am)\\ \x\<
^IR-1] HI An-AmHI \x\.
Таким образом, {Апх} является последовательностью Коши для
любого х^Ж. Более tofo, по определению нормы в 21 последова-
последовательность {RAnx} также является последовательностью Коши.
Если А= НтЛп, то, поскольку оператор R замкнут, Ax^^(R)
для любого х?Ж и RAx= \imRAnx. Отсюда, используя теоре-
П-*оо
му XI.6.4 и определение нормы в И, получаем, что lim ||| Ап—А ||| = 0,
п-*-оо
откуда следует, что 51 —полное В-пространство.
Пусть ф —тождественное отображение из 51 в В (Ж). Так как
оператор R'1 ограничен, то, согласно следствию XI.5.6,
3. Метод Фридрихса в случае дискретного спектра 537
Следовательно, норма отображения ср не превосходит \Я~г\. Опре-
Определим оператор ц (А) формулой
оо оо
пп Л О4) B апХп)= 2 ап(АхП1хп)Хп
4 ' 71=1 П=1
ОО
для любого х= S апХп из X. Тогда в силу следствия XI.6.3
п=1
A2) ||| л (Л) |||2 = Jt I (^„, х„) |г Гп* = Д | (^Лхп, *„) |«<
Положим
A3) Т(А)х=
при хб Э? и А 6 Я. Согласно неравенству Шварца, используя тот
факт, что {хп} — ортонормированныи базис, получаем
n=i m=l
оо оо
{B tf
{
п=1 m=\ rn=l
тфп тфп
оо
<N2 2 ^(^т,*»)|Я.
п, т=1
Отсюда следует, по лемме IV.4.9 и следствию XI.6.3, что ряд A3)
сходится и | Г (А) К || RA \\ = ||| Л |||. Из A3) получаем
оо
A5) (ТГ{А)-Т{А)Т)х= 2 (Ьп-Кп)(х
п, гп=1
__ "ЧП /y A*y \ (y Y \ Y
n, m=l
CO OO
__ 4^ (у A*y\(yy\y ^ ( Ay y \ Iy y \ y
У\ \^7Tl? ¦** ^71/ \*^? •A'TYl/ •A'Tl J\ \**A'Tli "^ 71 / \^? ^1/ J*T\
n, rn=\ n=\
538 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
при х 6 ЗЕ. Отсюда, поскольку {хп} — ортонормированный базис,
из соотношения A1) получаем
A6) {ТГ(А)-Г(А)Т)х= 2 {Ах,хп)хп-
п=1
Таким образом, выполнены предположения (а), (Ь) и (с) теоремы 1
при iWi = max(l, |/?-1|).
Для любых Л, Л! ? Я положим я|)(Л, Ai) = T(A) Ai и я|H(Л, Ai) =
= г](Л)Г(Л1). Мы уже видели, что ^(ЛКИ, так что т](Л)Ж^
^®(/?). Отсюда, используя неравенство | Г(Л^ |^||| Л! |||, соотно-
соотношение A2) и следствие XI.6.5, получаем, что |||(^)Г(Л)|||
|/?И)Г(Л)||||(Л)||||Г(А)||||Л||||||Л|||
оо
Возьмем теперь элемент х 6 Ж, л:== 2 ал*п- Так как
П=1
полный ортонормированный базис, то
/1 7\ Л у > f-f ( /\ х" v \ v
у 1 / ) Л~\.\А, /1 W»71 V'** 1*^71» ^Tfi) •™TY11
n, m=i
а потому ввиду соотношения A3)
«Матричные элементы» (Г (A) AiXn, xt) выражаются формулой
оо
*,)= S Xn>mXm' Xl)
A9)
тф1
Отсюда, используя неравенство Шварца и следствие XI.6.3,
мы можем получить следующую оценку нормы ||/?Г(Л) Л41|:
оо оо
B0) \\RT(A)Al\\= S (Т2 У, (AlXn,xm)^p^-\}<
Г \ I Г I ( Л Y Y \\\
ОО ОО
тф1
3. Метод Фридрихса в случае дискретного спектра 539
оо оо
; 2 ( 2 I (#л1*п, хт) 11 (RAxm, xi) iJ<
П, /=1 771=1
оо оо оо
У, \ У | (RAlXn, хт) \Л \ 2 | (#Л*т, xi) |2| =
{ } {
п, /=1 т=1 т=1
Из аналогичной оценки следует, что Г (Л) А^х 6® (R) для всех
д; g 3?- Следовательно, выполнены предположения (d) и (е) теоре-
теоремы 1 при М2 = 1.
Применяя теорему 1, получаем следующий результат:
2. Теорема. Пусть ig — сепарабельное гильбертово простран-
пространство и Т — нормальный компактный оператор в $q. Пусть {хп} —
полный ортонормированный базис в Sq и Txn = knxn- Предпо-
Предположим, что в последовательности {^п} не имеется повторений
и все собственные значения Хп отличны от нуля. Обозначим
через R замкнутый неограниченный оператор с плотной обла-
областью определения ®(#), которая состоит из всех векторов х =
оо оо
= 2 <*пХп из $, удовлетворяющих условию 2 ^п2|ап|2< оо;опе-
1 1
п=1
оо оо
pamop R действует по формуле R ( 2 0Lnx^) = 2 ^апхп. Пусть
71=1 71=1
§1 — множество всех таких операторов А?В(^), *//гго Л^д <= "S(/?)
w /?Л принадлежит классу Гильберта — Шмидта HS. Тогда суще-
существует такая положительная постоянная е(ГO зависящая только
от Т, что если Л 6 И и \\RA || < е(Т), то оператор Т-\-А подо-
подобен некоторому оператору 7\, коммутирующему с Т.
3. Следствие. Если в предположениях теоремы 2 || RA ||< е (Т),
то 7 + Л — спектральный оператор скалярного типа.
Доказательство. Так как оператор 7\ коммутирует с 71, то он
отображает каждое собственное подпространство ig (A,n) операто-
оператора 71 на себя. Следовательно, Т^п = (xnxn, где (хп — комплексное
число. Тогда (Т*хп, xm) = (xn, T^J =-"|xmSn>m, так что Г^п =
= \inXn- Следовательно, Т4 и Т* коммутируют, и потому Т4 —
нормальный оператор. Поскольку Т + Л подобен Гь Г + Л
является спектральным оператором скалярного типа, ч. т. д.
Теперь мы переходим к применениям современных методов
теории операторов в классической волновой теории.
540 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
4. Метод волновых операторов
Этот параграф мы посвятим развитию того круга идей, который
играет важную роль в современной теоретической физике. Формаль-
Формальная сторона вопроса лучше всего выявляется при доказательстве
следующей интересной (но, к сожалению, неверной) псевдотеоремы.
Псевдотеорема. Два любых самосопряженных оператора в гиль-
гильбертовом пространстве унитарно эквивалентны.
Псевдодоказательство. Пусть Hi и Я2 — упомянутые операторы.
Положим Ut = eiiHie~itH2 для всех вещественных /. По тео-
теореме XII.2.6, оператор Ut является произведением двух унитар-
унитарных операторов и, следовательно, унитарен. Положим (/<» =
= \imUt] тогда (/«, унитарен как предел унитарных операторов.
t-+oo
Ясно, что eisHiUte-isHz = Ut+s, откуда eisHiUoOe-isH* = U(X>, или
eisHiUoo = UooeisH2. Дифференцируя обе части последнего равен-
равенства по 5 и полагая затем 5 = 0, получаем HJJoo = ?Лх>Я2, так
что UZoHiUoo = Я2, т. е. Hi и Я2 унитарно эквивалентны, ч. т.д.
Ошибка доказательства заключается, разумеется, в допущении,
что функция Utv имеет предел U<x>v для всех v. Однако, действуя
более осмотрительно, мы сможем извлечь зерно истины из при-
приведенного выше ошибочного доказательства. Итак, давайте повто-
повторим все этапы доказательства, тщательно прослеживая все детали.
Всюду в этом параграфе через $q в дальнейшем обозначается
комплексное гильбертово пространство.
1. Определение. Пусть Яа иЯ2 — самосопряженные (возможно,
неограниченные) операторы в $. Положим
A) 2 (Ни Н2) = {х б % | lim eitHie~itH*x существует}
t-+oo
и
B) ЩНи H2)x^limeiiHie-itH*x, *е2(#4, Я2).
t-oo
2. Лемма. Пусть Hi и Н2 — самосопряженные операторы в J§.
Тогда Е (Я4, Я2) является замкнутым подпространством в ig.
Кроме того, D1 (Яь H2)v, °ll(Hu H2)w) = (v, w) для всех v, w 6
6 2(ЯЬ Я2).
Доказательство. По теореме XII.2.6 оператор °Utz:=
унитарен, так что наше первое утверждение вытекает из теоре-
теоремы II.3.6. Далее, очевидно, что (?//i>, °lltw) — (v, w) при
v, шбЕ(Я1, Я2)- А теперь, полагая *-^оо, получаем второе утвер-
утверждение леммы, ч. т. д.
4. Метод волновых операторов ??/
3. Лемма. Пусть Ни Я2, Я3 — самосопряженные операторы в !q.
Пусть xe2(H2,Hi). Тогда Ч(Н2, Ht) x б 2 (Я3, Н2) в том
и только в том случае, если х?1>(Н3, Н^)\ при этом мы имеем
Ч{Hz, Н2)Ч(Н2, Hi)x = U{Hz, Ht)x.
Доказательство. Положим U?' 1} = eitH4~itH^ 6?/[3'2) =
— eitH3e-UH*, °Ut3'{) = eitH3e-itHi для всех вещественных t. Опера-
Оператор °U{tJ) унитарен по теореме XII.2.6, и потому %{3' 2)%B'1} =
= (?/|3'1). Если мы возьмем л;б2(Я2, Я4) и положим х' =
= ЩН* Hi)x, то
C) VI3' »х=<и?> 2)%B' {)х = Ut 2)x'+U?>2) (<U[2> *х-х').
Так как второе слагаемое в правой части последнего равенства
стремится к нулю, то °llf' {)x имеет предел при ^-^оо тогда
и только тогда, когда °11^4 2)х' имеет предел при ?->-оо, а если
эти пределы существует, то они равны, ч. т.д.
4. Следствие. Пусть Нх и Н2 — самосопряженные операторы
в& Тогда <U (Hi} H2) S (Ни Я2)-2(Я2, Ht), и если х?Ъ{Ни Я2),
то ЩН* Н,)ЩНи Н2)х = х.
Доказательство. Из определения 1 ясно, что 2 (Яь Hi) = Q
и °11{Ни Hi) = I. Применяя предыдущую лемму к операторам Я2,
Яь Ни приходим к требуемому утверждению, ч. т. д.
5. Следствие. В предположениях предыдущего следствия опе-
оператор °11 (Ни Н2) изометрично отображает 2 (НиН2) на 2 (Я2, Hi).
ДокАЗАтельство. Согласно следствию 4, °11 (Ни Н2)^(Ни Я2) =
= 2(Я2, Hi); изометричность °11(Ни Н2) доказана в лемме 2,
ч. т.д.
6. Лемма. Пусть Hi и Н2 — самосопряженные операторы в $.
Тогда
(a) Если — oo<s<-fooax62 (Яь Я2), то еин*х б 2 (Ни Я2)
и °ll(Hu H2)e™H*x = eisHm(Hu H2)x.
(b) Если F(-) —ограниченная борелевская функция, опреде-
определенная на вещественной прямой, то F (Н2) 2 (Ни Я2) <= 2 (Яь Я2) и
D) U (Ни Я2) F (Я2) х = F (Hi) 41 (Ни Н2) х, х б 2 (Яь Я2).
(c) Обозначим через ®(Я^) область определения оператора
Ht, i = 1, 2; тогда сужения Hi \ 2 (Я2, Hi) П ® (Hi)) и
Н21 B (Ни Н2) П ® (Я2)) являются самосопряженными операторами
в 2 (Я2, Hi) и 2 (Ни Я2) соответственно. Кроме того,
E) Я, | B (Яа, Я,) П® (#i)) =
= U (Яь Я8) {Я212 (Яь Нл) П Ф (Я2)
542 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Доказательство1). Пусть х?Ъ{Ни Н2) и s—вещественное
число. Тогда е-\&я^еин^е-ин^ех&н^х _ ei(t-s)Hie-i(t-s)H2Xi откуда
eisH2xe2(Hu Н2) и 41 (Ни H2)eisHzx=eisHm(Hu H2)x, чем дока-
доказано утверждение (а).
Пусть теперь F— бесконечно дифференцируемая функция, обра-
обращающаяся в нуль вне компактного подмножества вещественной
оо
прямой; разложим ее в интеграл Фурье F(k) = \ f(s)eisKds. Tor-
— оо
оо
да F(Hj)= \ f(s)esHJds (интеграл сходится в сильном смысле);
— со
отсюда, применяя уже доказанное утверждение (а), получаем, что
для рассматриваемой функции F соотношение D) выполняется.
Пусть F — характеристическая функция отрезка вещественной
оси. Используя теорему XII.2.6, находим такую последователь-
последовательность Fn бесконечно дифференцируемых функций с компактным
носителем, что lim Fn (Ht) ->¦ F (Ht) в сильной операторной ТОПО-
ТОПОТА оо
логии, i = 1,2. Отсюда следует, что соотношение D) справедливо
для характеристической функции F любого отрезка вещественной
оси.
Пусть теперь F(>) — произвольная ограниченная борелевская
функция на вещественной прямой. Обозначим через Et (•) спек-
спектральное разложение оператора Ни ?=1,2. Положим х' =
= °IL (#!, Н2) х. По лемме III.8.3 существует такая последователь-
последовательность функций {F^ }, что каждая из них является конечной линей-
линейной комбинацией характеристических функций отрезков веще-
вещественной оси и
+оо
F) lim f \Fn(b)-F (fy|2v(dv) = 0,
П->оо t/
— оо
где мера v определяется равенством
G) v(e) = \Ei(e)x\^\E2(e)x'f
для любого борелевского множества е. Положим Fn(k) = Fn (Ц,
если | Fn (Ц\<С= sup \F(К) |, иFn(X) = С, если | Fu (k) | > С.
-оо< *,<-}-ею
Тогда последовательность {Fn (А,)} равномерно ограничена, и мы
имеем
оо
(8) lim f \Fn(X)-F
П->оо «/
v(dk) =
х) Доказательство авторов содержало неточность, которая устранена при
переводе. — Прим. перев.
4. Метод волновых операторов 543
Отсюда, согласно теореме XII.2.6, lim Fn (Я4) х' = F (Я^ х'
П-+оо
и lim Fn(H2) x = F (Н2)х. Так как для каждой из функций Fn (X)
справедлива формула D), то, в силу леммы 2, F (Я2) х 6 2 (tf i, Я2) й
(9) F (H^ Ч (Ни Я2) х = lim Fn (/У,) Ч (Яь Н2) х =
= Нт^(Яь H2)Fn(H2)x =
= ЩН±, H2)F(H2)x;
тем самым доказано утверждение (Ь).
Докажем утверждение (с). Из (Ь) следует, что операторы
(±i/— Я2) отображают 2 (Hi9 H2) в себя. Если допустить, что
(// — Я2)"х 2 (Яь Я2) не плотно в 2 (Н1у Я2), то по теореме
Хана — Банаха (см. следствие II.3.13) найдется такой элемент
х 6 2 (Н1У Я2), хфО, что (х, (И - Я,) у) = 0 при у ? 2 (Я4, Я2).
Но тогда ((—i/ — Н2)~г х, у) = 0 при у ?1* (Ни Я2), так что
(—И — Я2)"х х = 0, что невозможно. Таким образом, множество
(- *7 - Яа)-^ (Яь Я2) cz 2 (Яь Я2) П Ф (Я2)
плотно в 2 (Яь Я2).
Возьмем вектор х?2(Яь Я2)П<2)(Я2) и покажем, что Я2лг^
62(ЯЬ Я2). Для этого запишем Я2л: в виде Н2х = у1-\-у2, где
#i6 2(#i, Я2), г/2е^02(Яь Я2). Согласно следствию XII.2.7,
G4-Я|) = A7 —Я2)~1( —i/ —Яг), откуда, применяя утвержде-
утверждение (Ь), находим, что A+Н22)-1Н2х = (П — Н2)-1A(П+Н2)-1х-х)е
62 (Я4, Я2). Следовательно, (/+Я22Г^1+(/ + ^Г^262 (Яь Я2),
так что (/ + Я22Г1г/2б2(Я1, Я2). Но так как (/+Я2J(ЯЬ Я2) с
с=2(Яь Я2), то (/+ЯГ1(@02(ЯЬ ff,))see2№, #2).
Отсюда (/-f-Я2.) 1г/2 =гг 0. Но тогда у2 = 0, и потому Я2х 6 2 (Яь Я2).
Ясно, что оператор Н2 = Н2\ B (Яь Я2) П Ф (Я2)) симметрический
в 2 (Яь Я2) и что Я2 замкнут. Поскольку
A0) (±И-Н2){(±и-Н2)'1\Л(Ни Я2)} = /,
в силу следствия XII.4.13 (Ь), Я2 самосопряжен. Отсюда следует,
что {±il — Я2)~х = (± И — Я2)"х | 2 (Я!, Я2). Аналогично доказы-
доказывается, что оператор Я4 = Н^ \ B (Я2, Н{) П © (Я4)) имеет плотную
область определения в 2 (Я2, Я4), является самосопряженным и
(t7 —j&1)-1 = (t7 — Я1)~1|2(Я2, Я^. Из утверждения (Ь) и след-
следствий 4, 5 вытекает, что
A1) {И-Н^ = Ч{Ни Н2)(И-Н2)-Щ(Нь Н2у\
откуда
A2) Н, = ЩНи Н%)Н2Ч1(Нь Н2у\
и утверждение (с) доказано. Тем самым доказана и лемма, ч. т. д.
544 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Теперь мы рассмотрим некоторые разложения гильбертова про-
пространства в ортогональную сумму подпространств, порождаемые
данным самосопряженным оператором Я. Эти разложения тесно
связаны с теоремой о разложении мер в смысле Лебега (теоре-
(теорема Ш.4.14).
7. Определение. Пусть Я — самосопряженный оператор (воз-
(возможно, неограниченный) в гильбертовом пространстве $q, и пусть
Е (е) — его спектральное разложение. Через А, обозначим меру
Лебега на вещественной прямой R. Положим
A3) 2ас (Я) = {х ? @ 11Е (е) х |2 — счетно аддитивная А,-непрерыв-
ная мера};
A4) losing (Я) = {х 6 ф 11 Е (е) х |2 — счетно аддитивная А-сингу-
лярная мера и | Е(е)х\2=^0, если е сострит
из одной-единственной точки};
A5) 2Р (Я) = {х 6 ? 11 Е (R — ео) х |2 = 0, где е0 = е0 (х) — некоторое
счетное множество точек из R}.
8. Лемма. Пусть Н — самосопряженный оператор (возможно,
неограниченный) в гильбертовом пространстве $ и Ъ(Н) — его
область определения. Тогда
(a) подпространства 2ас(Я), 28гП^(Я) и 2Р(Я) замкнуты,
попарно ортогональны и $q == 2ас (Я) © 2Sing (Н) © 2Р (Я);
(b) любой вектор v 6® (Я) однозначно0 разлагается в сумму
++ ^ 2(Я 2(H)®(H)
Р)()
(c) сужения оператора Я на подпространства 2ас(Я),
2>stng (Я), 2Р (Я) являются самосопряженными операторами в этих
подпространствах",
(d) 2Р(Я) ес/яь замыкание линейной оболочки всех собствен-
собственных векторов оператора Я.
Доказательство. Возьмем х 6 ig» обозначим через 7? веще-
вещественную прямую и положим v(e) = | ? (в) х |2. По теореме Ш.4.14
v = а + р, где а является ^-непрерывной, и существует такое
множество в0, что его Х-мера равна нулю и р (в П (# — е0)) =0.
для любого борелевского множества е. Но тогда очевидно, что
а (е) = \ Е (e(](R — е0)) х |2 для любого борелевского множе-
множества е. Обозначим через е^ множество всех таких точек s ? R, что
I E ({s}) х |2 > 0. Так как | Е (R) х |2 = | х |2 < оо, то множество
е4 не более чем счетно. Положим е2 = e0 — ^ и ^! = iE1 (i? — во) л:,
х2 = Е (е2) х, хг = ? (б4) л;. Тогда а: = xt + л:2 + л;3, \ Е (е) xi |2 —
= | Е (е{] (R - е0)) х |2, | Е (е) х2 |2 - | Е (ее2) х |2 и | ? (в) х3 |2=
= | ? (^4) х |2. Отсюда видно, что xi 6 2ас (Я), л:2 6 28ing (Я)
и л;3 = 2Р (Я^. Если л; ? © (Я), то из теоремы XI 1.2.6 следует, что
Ъ(Н) i= 1,2,3.
4. Метод волновых операторов 545
Пусть теперь ^ 6 2ас (Я), v2 6 Я sing (И) и v3 = 2Р (Я).
Поскольку мера | ? (.)i;2 |2 является ^-сингулярной, существует
такое множество в0, что А, (е0) = 0и | Е (R — е0) v2 I2 = 0, так что
Е (в0) v2 = иг- Так как мера | ? (•) у4 |2 является ^-непрерывной,
то Е (е0) Vi = О, откуда
(и4, и2) = (ulf Е (е0) v2) = (? (в0) у1э t>2) = 0.
Аналогично доказывается, что (vi9 v3) = 0 = (и2, и3). Мы предо-
предоставляем это сделать читателю, а затем показать, что 2ас (Я),
2s*ng (^0 и ^р (^0 взаимно ортогональны. Отсюда сразу следует
утверждение (Ь).
Пусть хп 6 2ас (Я) и Нтяп = л:. Тогда, как уже доказано,
П->сх>
мы можем записать, что х = yt + у2 + ув, где yi 6 2ас W, a y2, у3
ортогональны к 2ас (Я). Но так как хп 6 2ас (Я), то (д:п> у) = 0
при # 6 © 0 ^ас (Я), а потому (я, у) = 0 при t/ € @ 0 2ас (Я).
Отсюда следует, что (*/2 + у3, «/) = 0 при у 6 ? 0 2ас (Я), т. е.
1/2 + Уз = 0- Итак, а; = у у 6 2ас (Я), и замкнутость подпростран-
подпространства 2ас (Я) доказана. Аналогично доказывается замкнутость
^stng (И) и 2Р (Я). Мы доказали утверждение (а).
Пусть F — ограниченная борелевская функция на веществен-
вещественной прямой и х 6 2ас (Я). По теореме XII.2.6 и лемме III.4.13
мера, определенная формулой
A6) \E(e)F(H)x\*= \\F(l)\*\E(dX)x\*<sup\F(s)\*\E(e)x\\
является ^-непрерывной. Следовательно, F (Я) 2ас(Я) s 2ас (Я).
Аналогично доказывается, что F (Я) I>Sing (Я) е 2sin^ (Я) и
F (Я) 2Р (Я) ^ 2Р (Я); подробное доказательство предоставля-
предоставляется читателю.
Используя этот факт, нетрудно доказать утверждение (с) нашей
леммы. Покажем, что (И — Я) 2ас (Я) плотно в 2ас (Я). Допу-
Допустим, что это не так. Тогда по теореме Хана — Банаха (см. след-
следствие II.3.13) существует такой элемент х Ф 0 в 2ас (Я), что
(*, (И -Н)-1у)=0 при уе^ас(Н). Но тогда ((-И - Н) х, у) =
== 0, у 6 2ас (Я) и потому (—И — Я) х = 0, но это невозможно.
Отсюда следует, что множество (И — Я) 2ас (Я) gEflC (Я) П
ПФ(Я) плотно в 2ас(Я).
Пусть х 6 2ас (Я) П ® (Я). Покажем, что Нх?Ъас (Я). Для
этого запишем Я* в виде Нх = yt + y2i где #4 € 2ас (Я), */2 ?
6^0 2ас (Я). По теореме ХИ.2.6 (/ + Я2) - (И — Я) х
х (—И — Я). Отсюда в силу уже доказанного (/ + Я2) Нх =
= (И — Я2)-1 (i (И + Я)-1 х — х) е 2ас (Я). Следовательно,
(/ + Я2) yi + (I + Я2) у2 е 2ас (Я), откуда (/ + Я2) у2 6
6 2ас (Я). Но так как (/ + Я2) 2ас (Я) <= 2ас (Я), то мы имеем
(' + Я2)(?0 2ас(Я))с=?©2ас(Я). Значит, (/ + Н*)-*у2 = 0,
35 Н. Данфорд и Дж. Шварц
546 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
так что У2 = 0; мы доказали, что Нх?2ас (Я). Ясно, что оператор
Я = Я | Bас (Я) П® {Щ) симметрический и замкнутый. Так как
A7) (+1/
то, в силу следствия ХН.4.13(Ь), оператор Я самосопряженный.
Аналогично доказывается, что Я | Bsing (Н) Г) Ф (Я)) и Я | BР (Я) П
П Ф (Я)) — самосопряженные операторы в 2s,ng (Я) и 2Р (Я)
с плотными областями определения. Отсюда сразу же вытекает
утверждение (с) леммы.
Чтобы доказать утверждение (d), возьмем элемент х ? 2Р (Я).
В силу определения 7 существует такое счетное множество е0 =
со
= {kj} е #, что х = Е (в0) х. Но тогда jc = 2 ? (Х;) jc, и по
теореме XI 1.2.6 ЯiEl (А,7) л: = А,7? (А,7) х. Следовательно, любой век-
вектор х 6 2Р (Я) является суммой ряда из собственных векторов
оператора Я. Покажем, что верно и обратное. Пусть t/ 6 Ф (#)
и Ну = коУ, где А,о — вещественное число. По теореме XII.2.6
A8) 0^\Ну-Ку\2= J |^-
Следовательно, ? (/? —{А,о}) у = 0, а потому у б 2Р (Я). Итак,
любой собственный вектор оператора Я принадлежит подпростран-
подпространству 2Р (Я), откуда сразу же вытекает утверждение (d), ч. т. д.
Основной целью этого параграфа является следующая теорема,
принадлежащая Като и Куроде. Она показывает, что доказанные
нами результаты со второго по шестой включительно имеют нетри-
нетривиальные применения к широкому классу самосопряженных опе-
операторов.
-> 9. Теорема. Пусть Я — самосопряженный оператор в $$
с областью определения Ф(Я) и ?(•) — его разложение единицы.
Пусть V — симметрический оператор в $q с областью определения
Ф(У). Предположим, что ®(У) з Ф(#), оператор У(П-Н)'1
компактный, а оператор (И — Я) V (И — Я) ядерный1). Тогда
(a) Я1 = Я + V — самосопряженный оператор;
(b) 2(Я1,Я2)э
(c) ^(Яь ЯJ
Для доказательства теоремы 9 нам понадобится несколько лемм.
10. Лемма. Пусть V — ограниченный оператор в Jq и V =
= Qi? — его каноническое представление в виде произведения частич-
г) То есть принадлежащий классу Ci (см. определение XI.9.1). — Прим.
перев.
4. Метод волновых операторов 547
но изометрического оператора Q и положительного эрмитова опера-
оператора R (теорема XI 1.7.7). Тогда V принадлежит одному из клас-
классов Ср компактных операторов (определение XI.9.1) в том и только
в том случае, если R принадлежит тому же классу Ср; кроме того,
V и R имеют одинаковые нормы как элементы пространства Ср.
11. Следствие. Пусть V — оператор класса С4. Тогда V можно
представить в виде произведения V = АВ, где А и В — операторы
класса Гильберта — Шмидта HS = С2, причем нормы Гильбер-
Гильберта — Шмидта \\ А \\ и \\ В \\ операторов А и В равны квадратному
корню | V\l/2 из ядерной нормы \V\i оператора V (см. определе-
определение XI.9.1 и лемму Х1.9.9(е)). Оператор V можно также предста-
представить в виде V = CD, где С — компактный, a D — ядерный опера-
операторы.
Доказательство леммы 10. Согласно теореме XII.7.7, если
V = QR — каноническое разложение оператора V, то областью
определения Q является замыкание области значений оператора R,
а потому (определение XI 1.7.4) У* V = RQQ*R = R2. Следова-
Следовательно, в силу леммы XI 1.7.3, R — единственный положительный
квадратный корень (У*!/I/2 из ограниченного самосопряженного
оператора У*У. Как отмечалось в § XI.9, (V*V)i/2 — компактный
оператор. Теперь лемма следует из определения XI.9.1, ч. т. д.
Доказательство следствия 11. Пусть Q и R определены так же,
как в лемме 10, и \iu \i2, . . .— собственные значения оператора R,
расположенные в порядке убывания, причем каждое собственное
значение повторено столько раз, какова его кратность. Тогда
собственными значениями оператора R1^2 будут \i\/2>, j4/2, ....
Из определения XI.9.1 вытекает, что | R |4 = | Ri/2\22. Положим
А = QRi/2, В = R. Так как Q — частично изометрический опера-
оператор, то | Q | ^ 1; отсюда, согласно леммам 10 и X 1.9.9, | А |2 ^
< I V |}/2 и | В2 | = | У ||/2. Но тогда в силу леммы XI.9.14
\А |2 > | V I1/2. Поскольку | Л2 | = || Л || и | В |2 - || В \\, то
первое утверждение следствия 11 доказано.
Чтобы доказать второе утверждение, возьмем собственный век-
оо
тор xt оператора R с собственным значением ^. Так как 2м-г =
^l^li^00* T0 существует такая возрастающая последователь-
оо
ность целых чисел {/г,}, что 2 Цп<2~;. Положим сг = 23/2 при
пп
i; тогда J Ci\ii < оо и \\mci= оо. Определим операторы
г=1 woe
Ri и R2i полагая RiXi = Ci1Xi, R2Xi = Ci\aXi и RiX = R2x = 0, если
вектор л;6$ ортогонален ко всем векторам xt. Ясно, что R^^R
35*
548 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
и R2(:C1. Если Et — проектор на одномерное подпространство,
порожденное вектором хи то
п
lim 2 CiEi = Fb
n->oo i=l
в равномерной операторной топологии. Из следствия VI.5.5 выте-
вытекает, что оператор Rx компактен. Положим С = QRU D = R2,
так что V = CD. Согласно следствию VI.5.5, оператор С компактен.
Тем самым следствие 11 доказано, ч. т. д.
\ 12. Лемма. Пусть С — компактный оператор в $ и {Тп} —
равномерно ограниченная последовательность операторов в ig,
сильно сходящаяся к нулю. Тогда последовательности {ТпС}и {СТп}
стремятся к нулю по ядерной норме.
Доказательство. Множество К = С ({х?§ \ \ х \ < I}) относи-
относительно компактно; следовательно, для любого s > 0 существует
конечное множество таких элементов хи . . ., хт из /С, что любой
элемент х 6 К удовлетворяет неравенству | х — xt | < е для неко-
некоторого 1 ^ i ^ т. Положим М = sup \ Tn \ и выберем столь
п
большое пОу что | Tnxt \ < е при п^ п0 и 1 < i < m. Тогда
|Г^|<| Тпхг | + | Тп (х — Xi) |< е + Мг при х 6 К и п > /i0.
Следовательно, | ТПС | ^ г (М + 1) для п ^ дг0- Этим доказано,
что | ТпС | -> 0 при м->оо.
По теореме VI.5.2 оператор С* компактен. Согласно доказанному
выше, | ГПС* | -> 0 при м ->¦ оо. Но так как | СТ1 \ = \ GnC*)* | =
= | ТПС* |, то | СП |->0 при м-^оо.
Мы доказали первое утверждение леммы, а теперь докажем
второе. Согласно следствию 11, С = ЛВ, где Л — компактный,
а В — ядерный операторы. Выше уже было доказано, что ТпА
стремится к нулю по норме, а тогда по лемме XI.9.9 последова-
последовательность ТпС = (ТпА) В стремится к нулю по ядерной норме.
Согласно лемме Х1.9.6(с) и определению X 1.9.1, оператор С*
является ядерным. По доказанному ТПС* стремится к нулю по ядер-
ядерной норме. Еще раз применяя лемму XI.9.6 (с) и определениеX 1.9.1,
мы видим, что последовательность СТп = (ТПС*)* стремится к нулю
по ядерной норме, ч. т. д.
13. Лемма. Пусть Н — самосопряженный оператор в ig с обла-
областью определения Ъ (Я) и V — симметрический оператор в ig
с областью определения ® (V). Предположим, что ® (V) з Ъ (Н)
и оператор V (И — Я) компактен. Тогда
(a) оператор H-\~V самосопряженный;
(b) | V (К01 — Н)~г | < 1/2, если ImA,0 достаточно велика;
(c) если 1тА,04^0 и оператор I — V (XQI — Н)'1 обладает огра-
ограниченным обратным, то
(V -Н- V)~l = (V - Ну1 (I-V (V - Я)).
4. Метод волновых операторов 549
Доказательство. Мы можем записать, что
A9)
Положим срьо (X) = — (t + ^ (Хо — к)-1; тогда ср^0 (Я) =
= {/4- (i — Х0)(Х01 — Я)}*. Из теоремы XII.2.6 видно, что
lim {/+(* — ^o)(V — Я)}*г = 0 для любого ^6^- Теперь
l
|ImXol>
утверждение (Ь) следует из леммы 12.
Если |1/(А,0/"Я)~1|< 1, то, согласно лемме VII.3.4, оператор
/— V (ко1 — Н)'1 обладает ограниченным обратным. Предположим,
теперь, что ImA,0=^=0 и что / — V (Х01 — Я) обладает ограничен-
ограниченным обратным. Положим R(X0; Н) = (Х01— Я). Тогда для любого
имеем
B0) (XoI-H-V)[R(Xo] H)(I-VR(X0;
= (I-VR(k0; H))(I-VR(K;
Кроме того, если л;62) (Я) =-Ъ (Я-f V), то
B1) [/?(^; H)(I-VR(ko\ H))-1](k0I-H-V)x^
; H)(I-VR(Xo; H))-i(koI-H-V)R(ko; H)(kol-H)x =
0; H)(I-VR(X0-y H)yi(I-VR(h; Н)){ко1-H)x =
Отсюда вытекает, что оператор (А,о/ — Я — У)'1 определен
всюду и ограничен, чем доказано утверждение (с) леммы. По лем-
лемме XII. 1.2 оператор Я + V замкнут. По теореме XI 1.4.19 индексы
дефекта оператора Н + V равны нулю. Поэтому, согласно след-
следствию ХП.4.13(Ь), Я + V самосопряжен, и утверждение (а) нашей
леммы доказано.
14. Лемма. Пусть Я — самосопряженный оператор в §э с
областью определения Ф(Я), а V и Vn, ^>1, — симметрические
операторы в $ с областями определения Ъ(У) и Ъ(Уп). Пред-
Предположим, что ®(У)^®(Я), Ф (Vn) 3 Ф (Я) и операторы
V(il-H)-1 и Vn(il-H)-1 компактны. Пусть lim Vn (il — Hy1^
= V {il — Hy1 в равномерной операторной топологии. Тогда для
любого вещественного t справедливо соотношение
B2) lim ^'(tf+vn) = ещн+У)
П->оо
в сильной операторной топологии.
Доказательство. Для любого самосопряженного оператора Т
и невещественного X положим R(k; T) = (XI — T)~1. По лемме 13
существует такая конечная постоянная M^l, что | VR (X; Я) |< 1/2
550 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
при \lmk\^:M. Согласно теореме XII.2.6,
B3) \(V-Vn)R(K; H)\ = \(V-Vn)R(i; H)(il-H)R(k;
<\(V-Vn)R(i; H)\ sup
*—и»
-oo<JLl<+o
<\(V-Vn)R(i; H)\,
если | Im К |>M> 1. Поэтому lim VnR (X; H) = VR (Л; Н) (по норме)
П->оо
равномерно по А, при |ImA,|^M. Отсюда, применяя лемму VII.3.4,
мы видим, что при |ImA,|^M и достаточно больших п оператор
I — VnR(k; Я) обратим. Согласно лемме 13, имеем
B4) R(h; H + V)=R(k; H)(I-VR(X; Я)),
и
B5) /?(Х; H + Vn) = R(b H){I-VnR{K H))~\
для достаточно больших п. Используя лемму VII.3.4, находим
|(/ —F/?(X; Я)) К2, \ЫЦ^М.
Отсюда в силу следствия VII.6.2 и соотношения B3)
B6) \(I-VR(X; H^-V-VnRiX; Я))~1|<
<2A—|(V—Kn)/?(t; Н)\Г\ |Im^|>M,
для достаточно больших п. Из соотношений B4) и B5) получаем
B7) lim R(X; H + Vn) = R(K; H + V)
равномерно при ||
Используя лемму VII.2.7, мы можем написать, используя инте-
интегральную формулу Коши,
B8)
JL
где контур интегрирования Гм состоит из прямой s — iM (s веще-
вещественное), пробегаемой от s = —оо к s = +оо, и прямой s + iM
(s — вещественное), пробегаемой от s = +оо к s = —оо; а — про-
произвольное комплексное число, удовлетворяющее условию | Im a \ ^
^ Му и х ? ф ((Я + УJ). Формулу B8) можно переписать в виде
B9) ехр(//(Я+У))G?(а; H+V)f = ^r \ f^
г
Аналогично,
C0)
4. Метод волновых операторов 551
для всех я. Используя B7), мы получаем из B9) и C0), что
C1) lim ехр (й (Я+ Vn)
П
в равномерной операторной топологии. Но так как
(f(tf + V))|l
C2) \exv{it(H + Vn))(R(a; H + Vn)f-
-exp(it(H + V))(R(a;
< | exp (it (H + Vn)) {R(a;H + V))*-(R(a;
-exp(it(H + V))(R(a;
то из C1) и B7) вытекает, что
lim (exp (it (H + Vn)) - exp (it (H+V))) (R (a; H + V)f = 0.
Отсюда
lim exp (i
П-юо
Поскольку множество ©((Я + VJ) плотно в $, из теоремы П.3.6
вытекает, что lim exp(it(H-\-Vn))x = exp(it(H-\-V))x для всех
и лемма доказана, ч. т. д.
А теперь мы можем перейти к основной части доказательства
теоремы 9. Наш метод состоит в следующем. Сначала мы установим
теорему 9 для того частного случая, когда Н — оператор умноже-
умножения на независимую переменную, а V — интегральный оператор.
Затем, используя спектральную теорию из § XI 1.3 (см., в част-
частности, теорему XI 1.3.16), покажем, что общий случай сводится
к указанному частному.
Чтобы доказать теорему 9 в упомянутом частном случае, введем
некоторые обозначения. Пусть R — вещественная прямая, к —
мера Лебега на R и v — неотрицательная Х-сингулярная мера
на R. Таким образом, существует такое множество ev нулевой
Я-меры, что v (R — ev) = 0. Положим \i = v + X. Обозначим через
$' множество всех последовательностей f={fi(-)} ^-измеримых
функций на /?, удовлетворяющих условию
C3) \7\% =
552 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Пространство $q' является гильбертовым пространством со скаляр-
скалярным произведением
C4) (f, ?) = 2 j
2=1 R
Пусть Я —неограниченный оператор в $', определенный формулами
C5)
оо
i=l R
C6) Hf = g, где 'ft(fl) = fl/i(fl).
Ясно, что оператор Я симметрический и при ImA,=^=0 оператор
%1 — Я обладает ограниченным обратным, действующим по фор-
формуле
C7) Щ-НГЧ=Ъ, где hi(a) = (b-a)-ift(a).
По лемме XII.1.2 Я замкнут и, согласно п. (Ь) леммы ХП.4,13,
самосопряжен. Представляем читателю доказать, что спектральное
разложение Е (•) оператора Я задается формулой
C8) E(e)J=*g, gi(a) = Xe(a)ft(a),
где %е — характеристическая функция борелевского множества е,
а кроме того, если F — ограниченная борелевская функция, то
оператор F (Н) действует по формуле
C9) F(H)f=g, где gi(a) = F(a)ft(a).
Обозначим] через ^0 множество всех таких симметрических
операторов V в &, что оператор V (И — Я) компактен и для
любого конечного интервала е из R оператор (И — Я) VE (ё)
является ядерным. Введем в множестве Т норму
у l
п=1
где, как и раньше, символом | S |t обозначена ядерная норма опера-
оператора S (определение XI.9.1).
Используя указанные обозначения, мы докажем лемму, которая
содержит частный случай теоремы 9; к нему легко сводится общий
случай.
15. Лемма. Пусть Я, $' и То имеют тот же смысл, что и выше.
Возьмем оператор V 6 То- Тогда
(a) оператор Я + V является самосопряженным;
(b) если f= {/*(• )}€?'» ft(a) = O при *>1 и а6^, гпо
, Я).
4. Метод волновых операторов 553
Мы разобьем доказательство леммы 15 на несколько этапов.
Сначала мы покажем, что любой элемент V 6 То можно приблизить
элементом V 6 То довольно специального вида. Далее мы докажем
одно важное неравенство сначала для оператора Я + V, где
V' имеет упомянутый специальный вид, а затем путем предельного
перехода и для общего случая. Как только это неравенство будет
установлено, сразу же можно будет получить требуемый результат.
В следующей лемме показано, как приблизить элемент V 6 То
элементом специального вида.
16. Лемма. Элемент Vo ?.Т о назовем гладким и финитным, если
(i) существуют такое целое п и такие функции Кц (•,*)€
? L2 ([*> х (л), обращающиеся в нуль при i> n и / > п, а также
обращающиеся в нуль вне квадрата I—п, п] х [—п, п], что
п
D1) Vof= Ъ где gi (а) = 2 ( Кц (а, Ъ) fj (Ь) \i(db)
5=1 R
(ii) при b^ev функции /Сгу совпадают с функциями JKtj, кото-
которые бесконечно дифференцируемы по Ь и таковы, что их произ-
производные дтКц1дЬт принадлежат L2([iXk) для всех т, i, j.
Тогда для любого V 6 То и любого &^>0 существует такой
элемент У(8N^о, что |И8)|*<?, а элемент V + У(8) является
гладким и финитным.
Доказательство. Определим в Sq' проектор Рп следующим
образом:
Ясно, что Pnf->f при п->оо для любого / 6 $'. Ясно также, что
Рп коммутирует с любой ограниченной борелевской функцией
от Н. Следовательно, если положить 1/(п) = Рп? ([—п, п]) х
х VE ([—я, п\) Рп для любого У 6 У о, то оператор 1/(П) будет
всюду определенным, ограниченным и ядерным. По лемме 12
lim | Vln> - V I* = 0.
71->CX)
Так как оператор V{n) принадлежит классу С4, то (см. лем-
лемму Х1.9.9(а) и (е)) он принадлежит классу Гильберта — Шмидта
С2 = HS. Отсюда, используя лемму XI. 10.5 и замечая, что УG1) =
= ^п^п) Рп = Е ([—п, п]) VnE (I—п, п]), мы заключаем, что суще-
существуют такие функции К$ (• , •) 6 L2 {[*> х (л), обращающиеся
в нуль при />пи/>/1,а также вне множества [—я, я] х [—п, п]
554
Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
для всех i, /, что
п
D3) V(n)J= l где gi (fl) = 2 J KW <*• b) U
Пусть ф —неотрицательная функция из С°° (R), обращающаяся
в нуль вне [ — 1, + П и удовлетворяющая условиям ф (л:) = ф (—л:),
\ ф (a) da = 1. Для любых е > 0 и / 6 Й' определим Фе/ формулами
R
fi(a),
Из леммы XI.3.1 вытекает, что Фе есть отображение из ig' в Jg'
и его норма не превосходит 1. Если элемент f таков, что ft (a) = О
для всех / Ф i0, и fio (а) совпадает при а $ ev с непрерывной функ-
функцией А, сосредоточенной в конечном интервале вещественной оси,
то ФеГ— T=ge, где g*(a) = 0 при i=^fo, gio(a) = 0 при a?ev и
D5)
1
Ясно, что \ |g"? (a) |2 (л (da) ->¦ 0 при 8-^0. Применяя теорему
II.3.6, заключаем, что НтФе = / в сильной операторной топологии.
?->0
Отсюда, полагая У(П,е) = ФеУм)Фг, находим, согласно лемме 12,
что lim | V(n, е) — V(Ti) |* = 0. Определим теперь, используя D3) и D4),
е-1-0
функцию /С*"'?) (•, •) 6 ^2 ((А X ц,) следующим образом:
D6)|
(а, Ь) =
{il\a, Ь),
li
, b)da',
b')db',
(а', b')da' db\
aeR-ev, b?R — ev.
4. Метод волновых операторов 555
Тогда Vin. e)g = h для каждого g? &, где
Из D5) следует, что для любого а?# функция./($•е) (а, ft) совпа-
совпадает при &^ev с некоторой функцией /<1?>в)(а> й), которая беско-
бесконечно дифференцируема по & и такова, что dmKiTe)/dbm принад-
принадлежит L2((i X А,) для всех m, t, /. Следовательно, для любого п^1
и любого 8>0 оператор V(n, е> является гладким и финитным.
Если мы теперь выберем число п = п(&) так, чтобы |V(n) — ^|*<
< 8/2, а затем выберем число б = б (&) так, чтобы | Vin, б> — Vm |* <
< е/2, и положим У(8) = 1/т, в> — V, то оператор V + У(8) будет
гладким и финитным и будет выполняться неравенство |V(8)|*<;e.
Тем самым лемма доказана.
Теперь мы получим важное неравенство.
17. Лемма. Назовем элемент 7б?)' гладким и финитным, если
(i) существует такое целое число п, что ft(a) = O при i>/z;
(п) 1г(а) = 0 при a?ev, \^.i^n\ кроме того, существует
такая функция Д-, определенная на R, бесконечно дифференци-
дифференцируемая и обращающаяся в нуль вне конечного -интервала из R,
что ft (a) = ft (а) при а $ еу.
Тогда для любого гладкого и фититного элемента /6$' суще-
существует такая конечная постоянная С(/), зависящая только
от fy что
D7) j |7V«*7
для любого оператора Т из !q'', принадлежащего классу Гильберта —
Шмидта HS (здесь, как и раньше, \\Т \\ означает норму Гиль-
Гильберта—Шмидта оператора Т).
Доказательство. Пусть f, ft, ft и Т имеют тот же смысл,
что и выше. По лемме XI. 10.6 существуют такие элементы Ьц(- , •)
из L2(\ixix)r Ki, /<°°» что
п
D8) Te^J = ?<«>, где g?> (а) = 2 j /.«(а, &) eitbfj (b)
i=lR
556 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Согласно той же лемме,
оо
D9) || Т ||* = 2
Из соотношения D8) и равенствя *, (а) = 0 при а ? ev находим
E0) j \T&iHJ\idt =
— оо
оо -j-°° П
= S j 1 | 2 j Lo- (a, 6) fj (b) eitb db 2,1 (da) Л.
i-=l-ooR i=lR
Отсюда по теореме Планшереля (XV. 11.3) и теореме Фубини
+ ОО
E1) j \TeitHJ\*dt =
оо -|-оо П
i=lR -oo
= 2я
2 Lu (a, b) fj (b)
j
i=l R R j=l
П
oo
} 2
db
j (fl> b) I21*
и лемма доказана, ч. т.д.
Теперь мы можем доказать основной результат — лемму 15.
Доказательство леммы 15. Так как доказательство достаточно
длинно, мы предварительно изложим его общий план. Сначала
мы докажем, что для любого Vo 6 Т справедливо тождество
J_. eit(H+Vo)e-itHg = iei
(Я);
это тождество без труда выводится из функционального исчисления
для самосопряженных операторов. Интегрируя его, мы получим,
что если f и Vo удовлетворяют некоторым условиям гладкости,
то / 6 2 (Я + У, Н). Кроме того, преобразуя проинтегрированное
тождество, мы выведем априорную оценку скорости сходимости
4. Метод волновых операторов 557
вектор-функции
eit(H+V0)e-UHf
к ее пределу (неравенство Розенблюма). Эта оценка (формула G4)
ниже) выражается только через интеграл, для которого в лемме 17
найдены достаточно хорошие границы. Несложный предельный
переход покажет, что оценка G4), полученная первоначально для
гладких Vo и /, справедлива для всех Vo и /, удовлетворяющих
предположениям леммы 15. Отсюда сразу же получится утвержде-
утверждение леммы 15.
Перейдем к подробному доказательству.
Из леммы 13 сразу следует, что оператор Я + V самосопряжен-
самосопряженный. Тем самым доказано утверждение (а) леммы 15.
Возьмем гладкую и финитную функцию f6^rJ тогда суще-
существуют такое целое п и такие функции fu ...,/пбС°°(/?), обра-
обращающиеся в нуль вне отрезка [ — п, п], что fi(a) = O, если i^>n
о
или a?ev, и fi(a) = fi(a), если a$ev, l^.i^.n. Возьмем элемент
V^Tq. Через У(8) обозначим элемент из TQ, построенный в лем-
лемме 16. Таким образом, для любого е>0 существуют такое целое
число п(&), такие функции Kif (-•> -)^L2(\iX\i) и такие функции
Ki?eL2(\ixk), что K\f(a,b) = 0, если />я, />/г, |а|>я или
| b | > п, причем
^ п(е)
(i) (V-\-V^)g = h, где Нг(а)^=^
j=l R
(ii) Ki? (a, b) — k[f(a, b) при b$ev; kif бесконечно дифферен-
дифференцируема no b и dmk($/dtfn?L2(\iXk) для всех т, i и /.
Если g® (Я), то по теореме XII.2.6 и теореме Лебега III.6.16
2
E2) lim
-g
— iHg
/i->0
= lim \
ft->0
— оо
е —l— i
Следовательно, lim ((eihH — /)/Л — /Я) (И — Я) = 0 в сильной топо-
логии. Аналогично, если V0?T, то, поскольку
г/г(Я+У0)_г
E3) Н
558 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
в сильной топологии. Следовательно,
i(t+h)(H+V0) -i(t+h)H_ it(H+Vo)p-UH ^
<54) 11» • !_,-_• •_,_
, ih(H+Vo) -ihH
у0) Iе?
, ih(H+Vo) -ihH r . _
= lim е»(н+у0) Iе_ ? '_\ e-uHg =
/1-0 \ ft /
ШЯ+Vo) п -ihH, -ihH
?HLLL±1=
(
= lim е»<п+го) ((elh(H+Vo)~l)(il-H)-i \ e_ihHe_ltH {U _ H) ~ ,
o-xhU
Итак,
E5) ~ ei
Мы предоставляем читателю провести аналогичное (и даже
более простое) доказательство того, что правая часть этого равен-
равенства непрерывна по t. Следовательно, мы можем проинтегрировать
обе части равенства E5), а тогда мы получим, что
E6)
t
= i \ в^я+^о) Voe-iuHg du, g б Ф (Я).
S
В частности,
E7) ехр («(Я+У+У(е))) ехр (- «Я) / -
-exp (is (Я+У+У(е))) ехр (-isH)J=
С другой стороны,
E8) (V+V(e))exp(-iuH)J=g(u\
где
п(е)
4. Метод волновых операторов 559
Дважды интегрируя по частям, находим
E9) gitt)(a) =
п(е)
~ {
v 0, i > re,
откуда следует существование такой конечной постоянной С, что
M|2). Поэтому
п(е)
э=1 R
F0) J
— оо
Из равенства E7) вытекает, что
F1) | exp (it (H+V+V(E))) exp (- «ЯO-
— exp (is (Я+У+У(?))) exp (- is
\(V+V™)(exp(-iuH))f\du;
следовательно, 7б2 (H-\-V-\-V(e), H). Положим
F2) % = exp(it(H-\-V))exp(-itH),
F3) Uf =. exp (it (H + V + V(E))) exp (- itH).
Тогда
F4) |(%-7ff:
Аналогично,
F5)
Положим &? = <U (H+ V+ V(e\ H). Умножая скалярно обе части
равенства E7) на <U\e)f и полагая затем ^->оо, находим
F6) <?7
= -2Im
оо
< 2 j | exp (ш (H + V + V(8))) (К + F(E)) exp (- iuH)J, U^J) \ du.
560 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Используя лемму 6(Ь), мы можем переписать это неравенство в виде
F7) |(^?--^<e>O|2<
оо
\((V + V{e))exp(-iuH)J, GU^)exp{-iuH)f)\du.
Поскольку элемент f является гладким и финитным, существует
такой ограниченный интервал е из R, что E(e)f=J. Обозначим
через ?(8) (•) разложение единицы самосопряженного оператора
Я(8)-=Я + ^ + 11/(8)- Из F7) находим, применяя еще раз лемму 6 (Ь),
F8) ^8O
<8 j \Eie\e)(V+V(e))E(e)exp(—iuH)f, U?y exp (- iuH) J) \ du.
min (t, s)
Используя лемму 13, выберем такое Хо, что 1тКоФО
и |V/?(X0; #)|<1/2. Так как |У(8)|*<е, то \(V+ V(e))R(X0\ Я)|<1/2
для всех достаточно малых 8. Следовательно, по лемме 13
F9) R(X0; H{e)) = R(h; H)(I-(V + V(e))R(h; #)ГХ
для достаточно малых 8. Переходя к сопряженным операторам,
получаем также
G0) R (%о; Я(8)) = (/ - ((V + УСе)) R (К; Я))*) R (Хо; Я).
Заметим, что, согласно лемме VII.2.4, норма оператора
(I — ((V + V(e))R(k0; Я))*) не превосходит 2 при достаточно
малых 8.
В силу теоремы XII.2.8, очевидно, можем записать, что
Е(г) (е) = M{e)R (Хо; Я(8)), где М(8) — ограниченный оператор, удо-
удовлетворяющий неравенству |М(8)|-<С(е, Хо)> причем С (е, Хо) зави-
зависит только от ограниченного интервала е и числа Хо, но не зави-
зависит от &. Обозначим через Р?? ортогональный проектор на под-
подпространство 2 (Я + У + ^(8\ Я), которое является областью опре-
определения оператора ?/^}, и положим
G1) М(8) = (М(е) (/ - ((V + У(8)) R (К; Я))*))* ^^PL8).
Тогда |М(8) |^2С(в, Яо) для достаточно малых 8. Используя
равенство G0), мы можем переписать неравенство F8) в виде
G2) ^)Т
j
min (f, s)
4. Метод волновых операторов 5&1
Из следствия 11 вытекает, что оператор R(k0; H)VE(e) можно
записать в виде -R (k0; H)VE(e) = BA, где А и В —операторы
Гильберта —Шмидта. Аналогично, R (A,o; H) V(e)E(e) = B(e)A{&\ где
Л(е) и Б(е) — операторы Гильберта —Шмидта, причем ||Л(8)||-^0
и || В(8) ||-*0.при 8->-0. Положим В(е) = В*М(е) и В(г) = {В(е))*М(е\
Тогда по лемме XI.9.9 (d) имеем ' || В{е) \\ < 2С (в, Ко) II В \\
для достаточно малых в. По тем же соображениям ||S(8)||-^0
при е->0. Из G2) находим, что
G3)
<8 j |Лехр(-шЯ)Д B{e)exp(-iuH)f)\du +
min(/, s)
+ 8 j | Л(е) ехр (- iuH) J, Bis) exp (- iuH) J\ Аи.
min ((, s)
Следовательно, согласно лемме 17 и неравенству Шварца,
G4)
Отсюда, полагая е->-0 и используя лемму 14, получаем
G5)
Теперь из леммы 17 сразу же вытекает, что lim | (% — %s)f\ =
t, S->oo
= 0. Следовательно, /62(Я4"^, Я). Так как 7—произвольный
гладкий финитный элемент пространства ^', то мы видим, что
подпространство 2 (H-\-V, H) содержит любой гладкий финитный
элемент из ?)'.
Заметим, далее, что если * g — произвольный элемент из $',
причем gt (а) = 0 для всех а 6 eVJ то
G6) существует такая последовательность гладких финитных
элементов {/(П)} из $', что lim |7(П) — g |^= 0.
П->сх)
Для доказательства этого утверждения возьмем сначала такую
функцию g, что gt (а) = 0 для всех i, кроме некоторого /0) a gi0 (a) =
36 Н. Данфэрд и Дж. Шварц
562 Та. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
= Х[С, d]-e (а)> где [с, d] — некоторый замкнутый ограниченный
отрезок, а %е — характеристическая функция множества е. Возьмем
такую последовательность функций {/(П)} из С°° (R), обращающихся
в нуль вне некоторого ограниченного отрезка из R, что
Нт | |f<n)(a)-X[c,d](a>|2da=0. Тогда
G7) lim { | /<«> (a) XR-ev (а) - х[с, d]-ev (a) |2 p (da) = 0,
П->оо д
чем доказано утверждение G6) для элементов g указанного выше
вида. Пусть теперь g— произвольный элемент из $', удовлетво-
удовлетворяющий условию gt (а) = 0 для всех а 6 ev. Применяя лемму II 1.8.3,
мы получаем такую последовательность g(n) элементов из $', что
каждый из них является линейной комбинацией элементов указан-
указанного выше вида, и lim \g— g(n> | = 0. Следовательно, утвержде-
71->оо
ние G6) справедливо для любого элемента g 6 $', удовлетворяю-
удовлетворяющего условию gt (а) = 0 для всех а ? ev.
Поскольку S (Я + V, Я) — замкнутое подпространство в
$&' (см. лемму 2), любой элемент g 6 $', удовлетворяющий условию
gt (а) = 0 для всех а 6 ev, принадлежит 2 (Я + V, Я). Этим
доказано утверждение (Ь) леммы 15, ч. т. д.
Покажем теперь, что утверждение леммы 15, сформулированное
для всего пространства ^', переносится также без особого труда
на некоторые подпространства этого пространства.
18. Лемма. Пусть <§', Я, f 0 и т. д. имеют тот же смысл,
что в лемме 15 и формулах, предшествующих этой лемме. Пусть
еи е2, ''... —борелевские подмножества из R и Jq4 — множество
всех таких /6@\ что ft(a) = O для всех a^et. Возьмем опера-
оператор V^V'o, удовлетворяющий условию V (Ъ (V) П i§i) ~ $i- Тогда
(a) igi — замкнутое подпространство из ig;
(b) сужение Я2 = Я | (ф (Я) П @i) является самосопряженным
оператором в $л;
(c) сужение Я3 = (^+Ю | (® (Я) П €i) является самосопряжен-
самосопряженным оператором в $Л\
(d) ^сла элемент /6^i принадлежит подпространству
1>ас (Я2), mo f ? 2 (Я3, Я2).
Доказательство. Доказательство утверждения (а) несложно,
и читатель проведет его самостоятельно.
Очевидно, что Я2<2)(Я2) ^ <§i. Ясно, что Я2 — симметрический
оператор и что при Im^^O оператор XI — Я2 обладает ограни-
ограниченным обратным, который имеет вид (XI — П2)~1 = (XI — Н)~1\ $i.
4. Метод волновых операторов 563
Согласно лемме XII. 1.2, Я2 замкнут, а в силу следствия ХП.4.13(Ь),
#2 самосопряжен. Этим доказано утверждение (Ь). Предоставляем
читателю доказать, что если F— ограниченная борелевская функ-
функция, то F(H2) = F(H)\^.
Предположим, что VeTo и V(Ъ(V) П ?h) ^ &и По лемме 13
существует такая конечная постоянная М, что | V (Х01 — Я)1 < 1/2 и
G8) (V "И- V)-1 = (V ~ Ну1 V-V (V - Я)),
если | Im Хо | ^ М. Следовательно, если | Im Хо | ^ УИ, то опера-
оператор (Х01— Н—V)'1 отображает ^ в себя. Положим Н3 =
= (Я + V) | (® (//)П&). Тогда, если число | Im Яо | достаточно
велико, оператор Яо/ — Н3 обладает ограниченным обратным, опре-
определенным формулой (ко1 — Яз) = (Я/ — Я — V)'1 |^1. Таким
образом, по лемме XI 1.1.2 оператор Я3 замкнут, а по теореме XI 1.4.19
и следствию ХП.4.13(Ь) он самосопряжен. Этим доказано утвержде-
утверждение (с). Согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса (IV.6.16), любую
непрерывную функцию F, определенную на R и обращающуюся
в нуль на ±оо, можно приблизить равномерно линейными комби-
комбинациями произведений функций вида G (X) = (Хо — Я), где
llm^ol^M. Следовательно, по теореме XII.2.6 оператор
F (Я + V) можно приблизить с любой точностью (в равномерной
операторной топологии) линейными комбинациями произведений
операторов (Х01 — Я—V)'1 и, аналогично, F (Я3) можно при-
приблизить с любой точностью в той же топологии линейными комби-
комбинациями произведений операторов (XQI — H3)~l. Следовательно,
G9) /ЧЯ+Ю&^Й! и F{HZ)=F{H+V)\%X
для любой непрерывной функции F, определенной на R и обра-
обращающейся в нуль на ±00. Так как любая ограниченная непрерыв-
' ная функция F, определенная на R, является пределом равномерно
ограниченной последовательности непрерывных функций Fny рав-
равных нулю на ±оо, то по теореме XII.2.6 и теореме Лебега III.ff.16
соотнешение G9) справедливо для любой такой функции f, ив част-
частности для функции F (X) = ехр (ИХ). Отсюда ехр (ИН3) ехр (—itH2) =
= ехр (it (Я +-V)) ехр (—ПН) \ ^ Таким образом, в силу дока-
доказанного выше, любая функция / ? $и удовлетворяющая условию
ft (а) = 0 для всех а 6 ev, принадлежит подпространству 2 (Я3, Я2).
Заметим,что если элемент/ ? $! принадлежит 2ас (Я2), то, посколь-
поскольку к (ех) = 0, мы имеем Е (ev) f = 0, так что ft (а) = 0 для fA-почти
всех точек из ev при i ^ I. Поэтому 2ас (Я2) ^ 2 (Я3, Я2),
и утверждение (d) доказано, ч. т. д.
В следующей лемме утверждение леммы 15, сформулированное
относительно пары конкретно заданных операторов Я2, Я3, пере-
переносится на пару абстрактно заданных операторов Я4 и Я5.
36*
564 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
19. Лемма. Пусть Я4 — самосопряженный оператор в ig
с областью определения ®(Я4) и Eit(*) — eao разложение единицы.
Пусть У4 — симметрический оператор в й, причем Ъ (У4) ^ ® (Я4),
оператор V4(t7 — Я4) компактен и для любого ограниченного
отрезка е вещественной оси оператор (И — Я4)-1 У4?4 (?) является
ядерным. Тогда
(a) оператор Hb = Hit-\-Vlt самосопряженный;
(b) 2(ЯЯJ(Я)
Доказательство. Воспользуемся теоремой XII.3.16. По этой
теореме ig допускает упорядоченное представление относительно
самосопряженного оператора Я4. Пусть (х4 — мера этого упорядо-
упорядоченного представления, и пусть еи е2, . . .— множества кратности.
По теореме III.4.14 можно записать равенство щ = v + Ki9 где
мера v является Я-сингулярной, а Я4 — ^-непрерывной. Пусть, как
и раньше, ev — такое множество нулевой Я-меры, что v (R — ev) =
= 0. По теореме Радона — Никодима III. 10.2 существует такая
^-интегрируемая функция if, что ^ (e) == V гр (а) Я, (da) для любого
е
борелевского множества е. Так как мера ^ неотрицательна, то,
очевидно, и функция г|) неотрицательна. Положим е = {а|г|? (а) > 0},
и пусть А,2 (е) = Я (Гп е) для любого борелевского множества е.
Тогда ясно, что Х2 (^) > 0 в том и только в том случае, если Xt (e) >
> 0, и потому ^! ^ А,2» т- е. меры A^j и Я2 эквивалентны. Следователь-
Следовательно, если положить [i = v + Я2, то jx ^ f^. Положим ^ = ^ f| ^»
/ = 1,2,..., и обозначим через S^t пространство всех таких
последовательностей / из (^-измеримых функций ft, определенных
на R, что fi (а) = 0 при a$et и
оо
(80) 2 J IM°)IV(do)<oo,
i=l R
Рассмотрим самосопряженный оператор Я2 в igi» определенный
формулами
(81)
(82) Я/=?, где gi(a) = afi(a)9
Тогда Я4 и Я2 имеют спектральные представления с эквивалент-
эквивалентными мерами и одними и теми же множествами кратности, так
что по теореме XII.3.16 существует такое изометрическое отобра-
отображение U пространства Sq на себя, что U^HjU = Я4.
4. Метод волновых операторов 565
Положим V2 = UVJJr1; тогда V2 — симметрический оператор
в $i, причем © AЛ>) ^'© (//2), оператор У2 (*7 — Яг) компак-
компактен, а оператор (//— Я2) V2(?(e) | igi) является ядерным для
любого ограниченного отрезка е вещественной оси (через Е (•)
обозначено спектральное разложение оператора Я2). Ясно, что
построенное сейчас пространство ig4 совпадает с пространством $и
указанным в лемме 18, и мы можем рассматривать его как подпро-
подпространство более широкого пространства fe' из леммы 15, при этом
оператор Я2 будет сужением на ig4 оператора Я из леммы 15
(см. выше формулы C3) — C6)). Обозначим через Q оператор
проектирования из $' на подпространство %t и положим V =
= V2Q. Ясно, что V симметрический. По следствию VI.5.5 опера-
оператор V (И — Яг) = V2Q (il — Н2)-г = V2 (il — Я2)-х Q компак-
компактен, а.по лемме XI.9.9(d) оператор (il — H)'1 VE (ё) = (И — Я) X
х V2QE (ё) = (И — Н2)~г V2(E (e) [igj Q является ядерным. Заме-
Заметим, наконец, что V2 == V \ (ф (V) П hi)- Следовательно, согласно
лемме 18, 2(Я4 +° Vu Я4) з 2ас (Я4). Используя изометрическую
эквивалентность операторов U~XH2IJ = Я4 и и~гУ2и — У4» мы
видим, что оператор Я4 + V4 самосопряжен и 2 (Я4 + У4, Я4) з
^ 2ас(Я4), ч. т. д.
Применяя лемму 19, нетрудно закончить доказательство тео-
теоремы 9.
Доказательство теоремы 9. Пусть е — ограниченный интервал
вещественной оси. По теореме XII.2.6, Е (ё) = (И — Я)/7 (Я),
где F — ограниченная борелевская функция. Отсюда следует,
что если выполнены предположения теоремы 9, то выполнены
также и предположения леммы 19. Используя последнюю лемму,
мы сразу получаем утверждения (а) и (Ь) теоремы 9.
Заметим, что в условия теоремы 9 операторы Я и Hi = Я + V
входят симметрично (т. е. если пара Я, Я + V удовлетворяет пред-
предположениям этой теоремы, то и пара Я + V/H удовлетворяет им).
Действительно, из леммы 13 вытекает, что если величина | Im Яо |
достаточно велика, то
(83) (V - ЯО = (V - Я) (/ - V (V - Я)),
откуда, переходя к сопряженным операторам, мы получаем
равенство
(84) (V - Я,) = (/ - (V (V - Я))*) (V - 'Я).
Тогда, согласно следствию VI.5.5, оператор V (А,о/ — Я^ компак-
компактен, а, согласно лем^е XI.9.9(d), оператор (А,о/ — Я^ V (ко1—Я^
является ядерным. Из теоремы XII.2.6 следует, что (ко1 — Я) =
= (И — Я) G{H) = G (Я) (// — Я), где G — ограниченная
борелевская функция. Отсюда, еще раз применяя следствие VI.5.5
566 ^Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
и лемму XI.9.9(d), мы видим, что оператор V(il— Hi)'1 компак-
компактен, а оператор (И — Я^ V (И — Н^ является ядерным; этим
доказано требуемое утверждение.
Используя лемму 19, мы получаем, что 2 (Я, Hi) э 2ac(#i),
Обозначим теперь через Et (•) разложение единицы оператора Я4
и возьмем элемент *62ОС(Я). Если е0 — борелевское множество,
мера Лебега которого равна нулю, то Е(ео)х = О, откуда, по лем-
лемме 6, 0 = 4 (Яь Я) Е (е0) х = Ei (е0) °11 (Яь Я) х. Таким образом,
Ч (Ни ЯJас (Я) s Zac (Hi). Аналогично, Ч(Я, Н{) 2ас (ЯО s Sac (Я).
Используя следствие 4, находим, что Ч (Ни НI>ас{Н) = ^ac(Hi)>
и теорема 9 доказана, ч. т. д.
Теорема 9 имеет многочисленные интересные применения к спек-
спектральной теории ряда специальных операторов (некоторые из этих
применений указаны в § 6 «Примечания и дополнения» этой
главы). Эта теорема допускает также интересные обобщения; неко-
некоторые из них приведены в § 6, а другие изложены в виде задач в § 5.
5. Упражнения
1. Пусть Hi и Я2 — неограниченные самосопряженные опера-
операторы в гильбертовом пространстве Ж; предположим, что пересече-
пересечение 3) областей определения операторов Нх и Я2 плотно в ЭЕ.
Показать, что для любого вектора х ? ЗР, удовлетворяющего
условию
оо
j \{H2-Ht)e-itHix\dt< oo,
о
существует сильный предел limeitH2e~itH^x.
t-+oo
2. Пусть Hi — оператор f(x)-+xf(x) в гильбертовом простран-
пространстве L2@, 1), а V — интегральный оператор
1
(Vf)(x)=^V(x,y)f(y)dy
О
с измеримым ядром V (х1 у), удовлетворяющим условиям V (х, у) =
= V(y, x) и
( \\V(x, y)\*dxdy< оо.
о о
Положим Я2 = Я!-|-^. Показать, что если V абсолютно непреры-
непрерывен по у для каждого х и если
1 1
j
о о
5. Упражнения 567
то существует сильный предел lim eitH2e~itHi. [Указание: при-
t-*-oo
менить результат упр. 1.]
'3. Мы будем пользоваться следующим обозначением: если т —
формальный дифференциальный оператор в частных производных,
определенный в евклидовом пространстве Еп, то 7\ (т) будет обо-
обозначать замкнутый оператор в гильбертовом пространстве, описан-
описанный в предпоследнем абзаце § XIV.3.
(a) Рассмотрим лапласиан V = д2/дх2 + . . . + д2/дх1 в Еп.
Показать, что 7\ (V) — самосопряженный оператор, и если / ?
? © G\ (V)), то функции df/dXf и d2fldxt dXj квадратично интегри-
интегрируемы для всех 1 ^ /, / ^ п.
(b) Предположим, что функции atj, at и а определены в Епу
Ограничены и стремятся к нулю при | # | —>- оо в Еп. Положим
г, ;==1 г=1
Показать, что если к < 0, то оператор Тх-(х^ (Т{ (V) + М) ком-
компактен и что Ti (т^ (Ti (V) + V) стремится к нулю по норме
при к-*- —оо.
(c) Показать, что если выполнены предположения п. (Ь) и хх фор-
формально самосопряжен, то 7^ (V + т^ — самосопряженный опера-
оператор в L2(En).
(d) Положим fa, к (х) — ехр (— | х — a \2/2k). Показать, что линей-
линейная оболочка функций fa, и плотна в L2 {Е ) и
(е) Доказать, что если выполнены предположения п. (Ь) и,
кроме того,
[ }
Е i, i=l г=1
то при п ^ 3 существует сильный предел lim ехр (ИТ1 (V + т^) х
X ехр (—itTi (V)); отсюда следует, что сужение оператора Tt (V+t4)
на некоторое замкнутое инвариантное подпространство унитарно
эквивалентно оператору 7\ (V). [Указание: воспользоваться п. (d)
и упр. 1.]
4. (Путнам.) Пусть т — формально самосопряженный формаль-
формальный дифференциальный оператор в интервале (а, 6) и Я1( Я2 —
самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве L2 (a, b),
порожденные оператором т и двумя различными множествами линей-
линейных граничных условий. Пусть X — вещественное число, не при-
принадлежащее спектру оператора #1#
568 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
(a) Показать, что существует вещественное число |х, не лежащее
в спектре обоих операторов Н^ и Я2.
(b) Показать, что если \л — указанное в п. (а) число, то
является самосопряженным оператором с конечномерной областью
значений.
(с) Показать, что операторы Hi | Еас (Н{) и Я2 | 2ас (Н2) изо-
изометрически эквивалентны.
5. Обозначим через /р банахово пространство последователь-
оо
ностей z=[zo,zu ...] с нормой |г|=B |г./1Р}1/Р> a через §1 —
банахово пространство бесконечных матриц a = {aijy i, /^0}
с нормой
11*11= 2 \аи\<со.
Пусть 25 — банахово пространство таких бесконечных матриц Ь =
= {Ьи, *', />0}, что
с» оо
| Ь | = max (max 2 I Ьц f, max 2 I btj |) < oo.
г^О ;=0 ;>0 г=0
Показать, что
(a) §1^95 и |а|<Ца||, а?Ъу
(b) если а? §1 и Ь? 85, то произведения аЬ и- fca принадлежат 95 и
(с) если 6^95, то соответствие z->bz определяет ограниченный
линейный оператор в пространстве /р; точнее, |6г|^|6||г|.
6. (Фриман.) Пусть S — оператор одностороннего левого сдвига
z-+Sz=[zu г2, ....]
в пространстве 1Р (см. предыдущее упр.), а SI, 95 и т. д. имеют
тот же смысл, что и выше. Пусть a 6 21, а Ь = Та есть матрица,
элементы которой определены формулами
(здесь мы полагаем я$у = 0, если хотя бы один из индексов ^', /
отрицателен). Показать, что
(a) S(ra) —(ra)S = a, a 6 И;
(b) | fa |<1|fl ||;
(c) если || a |K 1/2, то оператор z-+ Sz + az в /р подобен
оператору S в 1Р.
5. Упражнения 569
7. (Фриман.) Пусть 5, I, /р и т, д. имеют такой же смысл,
как в упр. 5 и 6. Показать, что
(a) Если ап> я 6 21 и \\ ап — а||->0, то последовательность
преобразований Ъ ->¦ Г (Ь) ап в банаховом пространстве §1 схо-
сходится по норме к преобразованию Ъ -*¦ Г (Ь) а.
(b) Если матрица а ? 21 является верхней треугольной, т. е.
элементы ац = О при / > /, то преобразование Ь-> Г (Ь) а про-
пространства 21 квазинильпотентно.
[Указание: используя п. (а), приблизить а конечными верхними
треугольными матрицами и доказать, что в этом случае преобразо-
преобразование &-»¦ Г (Ь) а нильпотентно.]
(c) Если матрица а ? 21 является верхней треугольной, то
уравнение Ь — Г (b) a = а имеет единственное решение b 6 21,
которое является верхней треугольной матрицей; элементы Ьг-.и t
этой матрицы определяются по индукции из равенств
6о.1 = Яо. U &1.2=01. 2 A+^0. l); Ь2, 3=^2, 3.A+^0. 1 + &1.2O
(d) Если матрица а 6 21 является верхней треугольной и а7г, п+\Ф
ф—\ при п> 1, то преобразование z-> Sz + az пространства lp
подобно преобразованию S.
8. Пусть S, 21, 1Р и т. д. имеют тот же смысл, что и в упр. 5, 6
и 7. Показать следующее:
(a) Если матрица а 6 21 является нижней треугольной, т. е. ее
элементы atj равны 0 при / > i, то преобразование Ъ ->¦ аТ (Ь)
пространства- 21 квазинильпотентно.
[Указание: использовать рассуждения, примененные в упр. 7.J
(b) Если матрица а 6 21 нижняя треугольная, то преобразова-
преобразование z-+ Sz + az пространства lp подобно преобразованию S.
9. Рассмотрим гильбертово пространство L2 = L2 @, 1) и опе-
оператор То, определенный формулой (ТУ) (х) = xf (х), / ? L2 @, 1).
Пусть ф ? L2 — функция с непрерывной первой производной, с —
вещественное число, а 7 — самосопряженный оператор, определен-
определенный формулой Tf = Tof + сц) (/, ф).
(а) Доказать, что собственные значения оператора Г, лежащие
в отрезке [0, 1], совпадают с теми числами А,, для которых
Ф (X) = 0 и
Показать, что непрерывный спектр оператора Т есть множество
[0, 1] — вр (Т), где ор (Т) — точечный спектр Т.
(Ь) Построить такую функцию ф, принадлежащую L2 и имею-
имеющую непрерывную первую производную внутри отрезка [0, 1], что
оператор Т из п. (а) имеет бесконечно много собственных значений
в отрезке [0,1].
670 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
10. Пусть дано В-пространство Ж. Пусть A (s)—функция со
значениями в $, определенная на вещественной оси R. Предпо-
Предположим, что 7>0, 1>р>0и || Л || v> p < оо, где норма описана
в определении 2.11.
(а) Показать, что
(Ь) Показать, что
Т
s — G
—оо
Пусть В (s, t) есть $-значная функция, определенная для веще-
вещественных s и /, и ||B||Ylp<oo, где норма описана в определе-
определении 2.13.
(c) Показать, что
-{-ОО -J-OO
— оо —оо
Пусть $ — гильбертово пространство и В (ig) —банахово простран-
пространство всех ограниченных операторов в Q. Возьмем В (^)-значную
функцию C(s, t), определенную для всех вещественных s и /,
и элемент f(zL2(R, $). Предположим, что ||С||?, р< оо, где норма
описана в определении 2.13.
(d) Показать, что
Ит Г С (s, о) f (a) d(j = ^ Г С (so) f (а) rfff _ -^ (д- g) f (д)
8
почти всюду, причем предел в левой части и несобственный инте-
интеграл в правой части существует почти всюду.
11. (Соотношение Фридрихса.) Пусть $—гильбертово про-
пространство, B(!q) — банахово пространство всех ограниченных опе-
операторов в i§. Возьмем вещественные числа у>0, 1>р>0и рас-
рассмотрим пространство 5lv, p(B (ig)), указанное в определении 2.13.
Для каждого A ?SIy> p(? (Ь)) обозначим через Г+(Л) ограниченный
оператор в гильбертовом пространстве L2(R, J§), определенный
формулой
+ОО
= Hm j
5. Упражнения 571
(ем. п. (d) предыдущего упражнения). Показать, что если А,
Я(Я($)). то
Г+ (А) Г+ (В) = Г+ (ЛГ+ (В)+Г+ (А) В).
Здесь АТ+(В) определяется как предел
— oo
а Г+(Л)В — как предел
+ОО
lim f s_(^.8 В (a, t)da.
12. (Фридрихе.) Пусть ig, B(i§), y, P, 8IYf p и Л имеют такой же
смысл, как в предыдущем упражнении. Пусть г и / — такие эле-
элементы из §L p (В (й)), что
(a) Покааать, что
(b) Показать, что
(c) Показать, что оператор
является, проектором.
(d) Показать, что если пространство <§ одномерно, то допол-
дополнительный проектор / — Р имеет конечномерную область значений.
13. Пусть ф, B(i§), y» P» 2fv. р и Л имеют такой же смысл,
как и в упр. 11.
(а) Показать, что если определить Л* равенством
то
Т+(А*)=--1\(А)*.
(Ь) Доказать, что если элемент / 6 ЭДу. 3 (^ (^б)) является реше-
решением уравнения
то элемент г = — /* является решением уравнения
572 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
(с) Показать, что если Л = Л* и уравнение
—/ = 0
имеет решение / 6 2Iv,p (В (§)), то / + Г (/) есть частично изо-
изометрический оператор; если, кроме того, пространство ig одно-
одномерно, то ортогональное дополнение к области значений оператора
/ + Г (/) конечномерно.
14. Пусть $q — гильбертово пространство и R — вещественная
прямая. Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2= L2 (R, $)
самосопряженный оператор Я, определенный формулой (Я/) (х) =
= xf (x). Для любого ф 6 L2 обозначим через Тф одномерный само-
самосопряженный оператор, определенный формулой ТФ/ = ф (/, ф).
Пусть с — вещественное число.
(а) Показать, что уравнение W (Я + сТф) = HW имеет фор-
формальное решение W = I + Г+ (А)> где Л — интегральный опера-
оператор, ядро которого определено формулой
А(х, y)v = a(x)(
(b) Показать, что если у>0, 1>Р>0 и ||ф||7, р<оо, где
И Ф llv. Р — норма, описанная я определении 2.13, то 1У(Я + сГф)/ =
= HWf для всех / из области определения оператора Я.
(c) Показать, что знаменатель выражения, определяющего
функцию а (х)у может обратиться в нуль лишь в тех точках хОу
в которых ф (хо) = 0, и что этот знаменатель' стремится к 1
при х-+- ±оо.
(d) Показать, что если функция <р обладает первой производной,
удовлетворяющей • условию Гёльдера, то производная в точке х0
знаменателя выражения, определяющего функцию а (х), равна
если х0 является нулем этого знаменателя, так что любой такой
нуль является простым.
(е) Показать, что если ср обладает первой производной, удовле-
удовлетворяющей условию Гёльдера,1 то вектор-функция а (х) удовлетво-
удовлетворяет условию Гёльдера, так что уравнение W (Н + сТ^) = HW
обладает решением W, которое является изометрический операто-
оператором в гильбертовом пространстве L2.
5. Упражнения 573
(f) Показать, что если W — построенный выше изометрический
оператор, то проектор / — Р, где Я- = WW*f компактен, так что
ортогональное дополнение к области значений оператора W конеч-
конечномерно.
15. Пусть ig — гильбертово пространство, R — вещественная
прямая и Я — самосопряженный оператор в пространстве Ь2 =
= L2(R, $)/ определенный формулой (Hf)(x) = xf (х). Пусть
<р/ 6 ^2 {Ri Й)» i = 1 > • • • » n'i рассмотрим эрмитову матрицу {ktj, i, j =
= 1, ..., ri) и самосопряженный оператор L2, определенный соот-
соотношением
п
г, j=l
Предположим, что для некоторого р, 1 >> Р >> 0, функция A +| х |)^ф7- (х)
ограничена при 1 ^ / ^ п и ср7- ^ С°° (/?¦), 1 ^ / ^ п.
(a) Показать, что существует изометрический оператор W
в L2 (/?, ip), область значений которого имеет конечную коразмер-
коразмерность. Доказать, что он удовлетворяет равенству W (Я + 7) / =
= Я1#7 Для всех / из области определения оператора Я. [Указание:
использовать упр. 14 и индукцию по размерности области значений
оператора Я.]
(b) Показать, что подпространство 2ас (Я + Т) обладает конеч-
конечномерным ортогональным дополнением, так что оператор Я + Т
является прямой суммой оператора, эквивалентного Я, и конечно-
конечномерного самосопряженного оператора.
16. (а) Пусть Я — самосопряженный оператора в гильбертовом
пространстве Ж. Пусть $ — вспомогательное гильбертово про-
пространство, X — мера Лебега на вещественной прямой R. Показать,
что существуют такая положительная ^-сингулярная борелевская
мера v на R и такое изометрическое вложение Ж в гильбертово
пространство L2 ([х, $0 вектор-функций, что Я = Яо | Э?, где Яо —
оператор умножения / (х) -+- xf \х)\ здесь. \i = X + v.
(b) Пусть Я, Ж и §) — те же, что в п. (а), и Я (•) — спектраль-
спектральное разложение оператора Я. Для любого w 6 $ положим^
к(т. е. d^ (•) —производная Радона — Никодима меры (E(e)w, w)
относительно меры Лебега X). Пусть
w\\H = X- ess sup \dw(x)\
i/2
Используя описанное выше вложение I в L2 (fi, §)), мы видим,
что w можно считать векторнозначной функцией, определенной
574 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
на вещественной прямой /?; показать, что || w \\H совпадает с А,-суще
ственной верхней гранью функции |о;(яI.
(c) Доказать, что \\w \\н <С оо для всех w из некоторого плот-
ного подпространства пространства 2ас (//).
(d) Доказать, что если w 6 2ас (Я) и || w \\н < оо, аи — про-
произвольный вектор гильбертова пространства, то
+оо
J
(е) Доказать, что если А — оператор Гильберта — Шмидта,
Z(H И ||ш||н<ОО, ТО
[Указание: сначала рассмотреть случай самосопряженного опера-
оператора А и воспользоваться разложением по собственным векторам
оператора А.]
17. (а) Пусть / — непрерывная функция ограниченной вариа-
вариации на отрезке [а, Ы, a V (/) — ее полная вариация. Показать, что
ь
eixf(x)dx <2 max \fOc)\+V(f).
I \
[Указание: проинтегрировать по частям.]
(b) Пусть / — строго возрастающая функция на отрезке [а, Ь].
Предположим, что ее производная /' положительна, непрерывна
и имеет ограниченную вариацию. Через V ((Г)) обозначим полную
вариацию функции (f')'1. Показать, что
I ( JfWdx <2 max (\f
• J a<x^b
[Указание: сделать замену переменной у = / (х).]
(с) Пусть / — строго возрастающая функция на отрезке [а, 6].
Предположим, что ее производная положительна, непрерывна
и имеет ограниченную вариацию. Показать, что
оо о
lim f I \el
(tx+sf (х)) fa
[Указание: использовать п. (Ь).]
(d) Пусть А — оператор Гильберта — Шмидта. Показать, что
если выполнены предположения из п. (с) настоящего упражнения^
то в случае, если Н — самосопряженный оператор в гильбертовом
5. Упражнения 57b
пространстве, выполняется соотношение
оо
lim \
J
для всех w ?1>ас (Я), удовлетворяющих условию \\w \\н < оо
(см. упр. 16, п. (Ь) и (с)).
18. Пусть $ — гильбертово пространство и X — мера Лебега
на вещественной прямой R. Пусть v — положительная ^-сингу-
^-сингулярная борелевская мера на R; положим \i = X + v. Рассмотрим
гильбертово пространство L2 (jx, §)) векторнозначных функций
и оператор умножения Ни действующий в этом пространстве по
формуле / (х) ->¦ xf (x). Пусть V — самосопряженный ядерный опе-
оператор и #2 = Hi + V, Ut = exp {itH2) exp (—ИН{).
(a) Показать, что
| (Ut-Us)w\*=-2Re ((Ut-Us) w, Utw), wEL2 (|x, g)).
(b) Показать, что если w? L2([x, §)) и обращается в нуль вне
ограниченного подмножества из R, то
t
| (Ut - Us) w |2 - ( (exp (ixH2) V exp (- ixHx) w, Utw) dx.
(с) Указать такое плотное подмножество D в подпространстве
c(Hi), что если w?D, то существует предел W+w-limUtW и
| (W+ -1/,) ш |2 = j (К ехр (- ОД) a», W+ ехр (- ixHtfw) dx.
S
[Указание: использовать теорему 4.9.] '
(d) (Неравенство Розенблюма.) Показать, что существуют такие
операторы Гильберта-Шмидта Л и В, зависящие только от У и \хт
что если we^ac(Hi)n ||ш||Я1<оо, то
X ( J | В ехр (ад) |2 dI/2
( J | В ехр (- ад) w |
[Указание: использовать п. (с) и (е) предыдущего упражнения.]
19. Пусть Н — самосопряженный оператор в гильбертовом про-
пространстве, V — ядерный оператор и Hi = Н + V. Положим Ut =
= ехр (itHi) ехр (—UH). Пусть да 6 2ас (Я) и || w \\н < оо
(см. упр. 17).
576 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
(а) Показать, что существуют предел W+w = lim Utw и такие
t-»-oo
операторы Гильберта — Шмидта А я В, зависящие только от V
и Я, что
\Aexp(-ixH)w\*dx)
ОО
( ^\Bexp(
i/Zx
х
(b) Показать, что если / — строго возрастающая функция на
вещественной прямой, имеющая положительную непрерывную про-
производную с ограниченной вариацией, то
— /) ехр (— isf (Я)) w = 0
для всех w 6 2аС (Я), удовлетворяющих условию || w \\н < оо.
[Указание: воспользоваться упр. 17.]
(с) (Теорема об инвариантности волновых операторов.) Пока-
Показать, что если выполнены перечисленные выше условия, то
lim ехр (isf (Н^) ехр (— isf (Я)) w = w = W+w
S-+OO
для всех w 6 2ас (Я).
20. Пусть Hi и #2 — строго положительные самосопряженные
операторы в гильбертовом пространстве. Предположим, что для
некоторого положительного числа х оператор Н~х — Н~2Х является
ядерным. Тогда
(a) существует llmeitH2e-itH^w для всех хю^ас{Н^\
(b) операторы Н{ \ Еас (Н{) и Я21 2ас (Я2) изометрически экви-
эквивалентны.
21. Пусть Hi и Я2 — самосопряженные операторы в гильбер-
гильбертовом пространстве, У4 и V2 — ядерные операторы, а || V^ ||i, || V2 ||i —
их ядерные нормы. Положим
W+ (Я2 + V2, Hi +VJ yv = lim ехр (it (Я2 + У2)) ехр (- it (HY + VJ) w
в предположении, что предел, написанный в правой части, суще-
существует. Тогда
(а) если существует W+ (Я2, Я4) w, то существует также
W+(H2i Hi + V)w и
lim W+ (Я2, Hi + V) w = W+ (Я2, Hi) w
в слабой топологии;
6. Примечания и дополнения 577
(Ь) если существует W+(H2, #1) w, то существует также
W+(H2 + Vi, Hi)w и
lim W+ (Я2 + V, #0 w = W+ (#2, Ht) w
imii-o
в сильной топологии.
6. Примечания и дополнения
Метод, использованный в § 1 для спектрального анализа опера-
оператора второго порядка, в основном принадлежит М. А. Наймарку
[10—12]. Разумеется, он является просто распространением на
несамосопряженный случай идеи, хорошо известной в теории само-
самосопряженных операторов (см. Вейль [5]); однако в несамосопряжен-
несамосопряженном случае необходимо так видоизменить рассуждения, чтобы
совершенно избежать какой-либо зависимости от теоремы о спек-
спектральном разложении, а это приводит к существенному усложне-
усложнению теории. Наймарк заметил, что его метод можно обобщить
также на операторы более высокого порядка. Такое обобщение
осуществил Хьюиг [1]. См. также работы Балслева и Гамелина [1],
Балслева [1] и Лянце [4]. Хьюиг использует, в частности, «метод
факторизации», который мы опишем ниже.
К теории, развитой в § 1, близка работа Мозера [1]. Мозер
рассматривает формально самосопряженный формальный диффе-
дифференциальный оператор вида
где р и qt — вещественные функции, причем зависимость от пара-
параметра е аналитична «равномерно по t» в смысле, который мы уточним
ниже. Предполагается, что операторы т8 определены в интервале
(а, 6), имеют два граничных значения в точке а и не имеют гранич-
граничных значений в точке Ь. В точке а налагается граничное усло-
условие А (/) — 0 для всех операторов т8. Таким образом определяется
семейство самосопряженных операторов Т8. Затем устанавливаются
следующие результаты:
A) при некоторых простых условиях спектральное разложе-
разложение Е (Те; Л), где Л — некоторый интервал из а (Т8), аналитичес-
аналитически зависит от е (при малых вещественных б);
B) при некоторых более жестких аналитических условиях
существует такое семейство Ue унитарных операторов, аналитиче-
аналитически зависящее от 8, что Те = U^TqUq для малых 8.
Приведем точную формулировку результата Мозера для того
специального случая, когда те определен на полуинтервале
la, b).
37 н. Данфорд и Дж. Шварц
578 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Теорема. Пусть Те — оператору определенный формальным диф-
дифференциальным оператором
и граничным условием
f(a) + kf'(a) = O, _oo<?<+oo,
где р и qj—вещественные функции в полуинтервале la, b). Пусть
А — некоторый интервал, принадлежащий о (Го). Предполо-
Предположим, что
(а) существуют неотрицательная непрерывная функция Ф, опре-
определенная для t 6 [а, Ь), и постоянные К и а, удовлетворяющие
условию
а также условию
где ф и я|) — решения уравнения то = ho, подчиненные граничным
условиям ф (а) = 0, ф' (а) = 1 и яр (а) = 1, я|/ (а) = 0 соответ-
соответственно;
(Ь) существуют две такие постоянные С ^ 1 ^ б > 0, **то р
уравнения та = А,а, определенное граничными условиями
удовлетворяет неравенству
[**] 1х(*,Я + *в)|<СФ(/), 0<б<б0, /6[а, 6)
Тогда для любого интервала А из А проектор Е (Те, Л) зависит
от s аналитически при малых вещественных г.
Теорема. Пусть выполнены предположения предыдущей теоремы^
причем условия [*] и [**] справедливы для всех К 6 о (Го), а не только
для всех X ? Д. Тогда существует такое семейство унитарных
операторов, аналитически зависящее от г при достаточно малых
вещественных 8, что Те = Ue1T0Ue.
Хотя в теоремах Мозера речь идет о формально самосопряжен-
самосопряженных формальных дифференциальных операторах, однако аналити-
аналитическая зависимость операторов Е (т8, Л) и Ue от 8 дает возмож-
возможность перенести его результаты на комплексные значения 8? а это
в свою очередь позволяет получить результаты, применимые к неса-
6. Примечания и дополнения 579
мосопряженным операторам. Этим методом Мозер получил сле-
следующую теорему, являющуюся частным случаем построенной им
более общей теории.
Теорема. Пусть т8— формальный дифференциальный оператор
( —) +8?@> 0^/<оо, q —вещественная функция. Пред-
Предположим, что
Пусть Те — оператор, порожденный оператором т8 и граничным
условием
0) = 0, -оо<&< +оо.
Тогда для достаточно малых \ г | оператор Те подобен самосопряжен-
самосопряженному оператору То; точнее, существует такое аналитически завися-
зависящее от 8 семейство UQ ограниченных операторов, обладающих огра-
ограниченными обратными, что Тг = UzlT0Ue.
Эта теорема по существу содержит результат основной теоремы
из § 1. В этой связи см. также Филлипс [13]. В работе [2] Мозер
перенес свой результат из [1] на операторы вида т + ъц (х), где т —
самосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор чет-
четного порядка. Подобные же обобщения результатов Мозера [1]
получил Батлер [2, 3].
В работе Дж. Т. Шварца [4] развит следующий общий принцип,
позволяющий применить теорему XVIП.2.34 к широкому классу
операторов. Пусть Ht = Н + V, где Н — самосопряженный опера-
оператор (это условие мы примем ради простоты изложения). Тогда, как
обычно, резольвента R{ (X) = (XI — Я^ разлагается в ряд, члены
которого выражаются через резольвенту R (К) = (XI — Я),
Ri (X) = R(X) + R (X) VR (X) + R (X) VR (X) VR (X) + . . .
Если предположить, что V есть произведение АВ, то этот ряд
можно переписать в следующем виде:
Ri (X) = R(X) A (I + BR (X) А + BR (X) ABR (X) A + ...) BR (X) =
= R(X) + R (X) (I — BR (X) A)-1 BR (X).
Может случиться, что оператор BR(X)A зависит от X непрерывно,
даже если X приближается к непрерывному спектру оператора Я.
Рассмотрим, например, случай, когда наше гильбертово простран-
пространство есть пространство L2 [a, b] (состоящее из скалярных либо
векторнозначных функций) и Я/ (х) = xf (x). Предположим также,
что А и В — интегральные операторы с ядрами а (х, у) и b (x, у)%
37*
580 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
удовлетворяющими условию Гёльдера. Тогда BR (X) А — инте-
интегральный оператор с ядром
ъ
Г Ъ (х, t) a (t, у) м
и это ядро удовлетворяет условию Гёльдера по всем трем перемен-
переменным Ху х, у.
Пусть б (X) = det2 (/ — BR (X) А) есть определитель Гильбер-
Гильберта — Фредгольма (см. определение XI.9.21) оператора / — BR (X) A
(заметим, что в рассматриваемом случае BR (X) А является опера-
оператором класса Гильберта — Шмидта). Далее, положим С (X) =
8 (X) (I — BR (X) Л). Тогда по теореме XI.9.26 (см. также лем-
лемму XI.9.23) С (X) и б (X) обладают такими же свойствами непрерыв-
непрерывности по X, что и BR (X) Ау и потому в нашем случае удовлетворяют
условию Гёльдера по X. Поскольку
Ri (X) = R (X) + (б (X))'1 R (X) АС (X) BR (А,),
то применима теорема XVIII.2.34, которая приводит к спектраль-
спектральному анализу оператора Hi9 если только б (X) не обращается в нуль
на непрерывном спектре оператора Я. Эта идея подробно развита
в упомянутой работе Дж.Т. Шварца.
Описанный в § 2 «метод Фридрихса» развит К. О. Фридрихсом
в [1]; подробный обзор этой работы и некоторые обобщения содер-
содержатся в работе Фридрихса [2].
Применение метода Фридрихса к квазинильпотентным инте-
интегральным операторам, которому мы посвятили конец § 2, осуще-
осуществил Дж. М. Фриман. Результат Фримана был затем обобщен
Дюпра [1], который рассмотрел интегральные операторы вида
где А (х, х) Ф 0, 0 < х ^ 1, и нашел условия, при которых этот
оператор эквивалентен оператору дробного интегрирования
х
f(x)-+g(x)=\(x-yff(y)dy.
Дальнейшие результаты по теории подобия вольтерровых опе-
операторов получил Ошер [1]. Ошер рассмотрел вольтерровы операто-
операторе
ры вида \ А (х, у) f (у) dy, в которых функция А (х, х) имеет
единственный нуль в отрезке 10, 1], и нашел инварианты относи-
относительно подобия в классе таких операторов; эти инварианты зависят
6. Примечания и дополнения 581_
от положения изолированного нуля функции А (х, х). См. также
работы Калиша [2, 3]. Дж. Фриман [2] применил свой «квазинильпо-
тентный» вариант метода Фридрихса к операторам в гильбертовом
пространстве /2, полученным возмущением оператора односторон-
одностороннего сдвига
S: (xo,Xi, ...) —>¦ (xi, х2, • • •)>
путем добавления оператора, заданного бесконечной верхней тре-
треугольной матрицей.
Фридрихе и другие авторы применили метод Фридрихса к раз-
различным задачам теории возмущений спектра; см. Фридрихе и Рейто
[1]. Фридрихе и Рейто рассмотрели задачу о возмущении для семей-
ства операторов / (х) ->- ср (х) \ f {у) ср (у) dy + e,xf {x). Эта задача,
— оо
разумеется, равносильна асимптотической задаче теории возмуще-
возмущений, связанной с семейством операторов
(x) J f(y)y(y)dy
— оо
при больших X. Для описания явлений, связанных с этой задачей,
Фридрихе и Рейто предложили выразительный термин «спектраль-
«спектральная концентрация»; более общие случаи рассмотрели Конлей
и Рейто [1]. См. также Дж. Т. Шварц [8]. Сингулярные интеграль-
интегральные операторы, изученные в последней статье, были исследованы
также другими методами: некоторые из них привели к более точным
результатам в случае самосопряженных операторов. См. Коппель-
ман и Пинкус [1], Коппельман [2], Пинкус [1—4], Пинкус
и Ровняк [1].
Фридрихе [1] предложил важног обобщение своего общего мето-
метода на случай возмущений, которые, вообще говоря, не предпола-
предполагаются «малыми» (в смысле, указанном в § 2). Назовем элемент
К ? F2 финитным у если К имеет вид
N
A) K(xt, x2)— J at(xi)bi(x2),
где at и bt удовлетворяют условию Гёльдера и at (х) = Ьг (х) = 0
при | х | ^ 1, или, более общо, К можно приблизить с произволь-
произвольной точностью в некоторой гёльдеровской норме элементами вида A).
Если элемент К финитен, то для любого 8 > 0 существует такой
элемент /Со вида A), что
B) ||/со_/('
Положим /Со — К = К и так что К' = Ко + Ki- Если Т — опе-
оператор умножения на л: в пространстве L2 (—1, 1) и 8—достаточно
582 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
малое число, то по теореме Фридрихса, доказанной в § 2, суще-
существует такой оператор ?/, что
Т + Ki = UTU-1.
Более того, исследование метода доказательства указанной теоремы
Фридрихса показывает, что оператор U, а также его обратный
оператор U имеют вид / + Г, где Г — (сингулярный) интеграль-
интегральный оператор. Если Ко определяется ядром вида A), то и U~xKoU
определяется, очевидно, ядром такого же вида. Следовательно,
оператор Т + К' эквивалентен оператору вида Т + К, где К имеет
вид A); ясно, что функции аг в формуле A) можно считать линейно
независимыми.
Чтобы изучить оператор Т + /С, мы будем искать решения
U и V уравнений
(Т + К) U = UT9
( } V(T + К) = TV.
Оператор U будем искать в виде
D) / = U + TR,
где R — интегральный оператор с ядром
N
E) R (*b х2) = 2 щ (Xi) n fa).
Тогда первое из уравнений C), как легко видеть, окажется экви-
эквивалентным следующей системе уравнений относительно функций rt:
F) г, (х) - 2 ( J Ш^М п (х) dy) = bt (х).
3 = 1
Ясно, что эта система имеет решение, если для любого уо из отрез-
отрезка [—1,1] система
не имеет ненулевого решения. Если числа pti f=l, . . ., N, удов-
удовлетворяют системе G), то, очевидно, функция
N
(8) а (х) = 2 o-i (x) Pj
3 = 1
удовлетворяет условию
О) «(*)
6. Примечания и дополнения 583
или, если положить а(х) = {х — у0) $уо(х), условию
A0) х$Уо (х) + J К (*, у) р„0 {у) dy = уо$уо (х).
Итак, пусть выполнено следующее
Предположение А. Если оператору + К не имеет сингулярных
собственных функций вида
удовлетворяющих условию (Т + К) Р = #оР при —1 ^ у0
то первое из уравнений C) имеет решение U.
Предположение А означает, грубо говоря, что непрерывный
спектр оператора Т не содержит собственных значений операто-
оператора Т + К.
Легко видеть, что если выполнено предположение А, то и второе
из уравнений C) имеет решение. В статье [1] Фридрихе продолжил
это исследование; с помощью некоторых тождеств он показал,
что разность между операторами UV и VU является компакт-
компактным оператором и что оператор VU (коммутирующий с опера-
оператором умножения Т) совпадает с тождественным оператором /.
Используя этот факт, Фридрихе [1] показал, что пространство L2 (/)
разлагается в прямую сумму Ht Ф Н2 подпространств Н{ и Я2,
инвариантных относительно оператора Т + К- При этом под-
подпространство //2 конечномерно, а сужение оператора Т + К на Я4
эквивалентно оператору 7, действующему в пространстве L2 (/).
Таким образом, если выполнено предположение А, то финитное
возмущение (которое мы не считаем малым) может добавить к непре-
непрерывному спектру оператора Т конечное число собственных значе-
значений, но не может изменить спектр более существенным образом.
Развернутое изложение этих рассуждений содержится в цити-
цитированной работе Фридрихса.
Подобного рода соображения были применены также Ладыжен-
Ладыженской и Фаддеевым [1]. Эти авторы не налагали ограничений на
«величину» возмущения, однако рассматривали лишь самосопря-
самосопряженный случай. В указанной работе метод Фридрихса был впервые
успешно применен к спектральному анализу оператора вида
—V+ V(x).
В работе Рейто [1,1] развит довольно близкий абстрактный
вариант этих рассуждений.
Ограничения, которые мы налагали на потенциал V в теоре-
теореме 2.22, могут быть существенно ослаблены с помощью различных
дополнительных соображений; особенно это относится к случаю
вещественного потенциала V, к которому применим метод волновых
операторов. Подобного рода улучшения изложенных результатов,
584 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
а также более глубокие усовершенствования методов, благодаря
которым были достигнуты эти улучшения, содержатся в работах
Браунела [1], Като [12], Яуха и Циннеса [1]. Икебэ [1] нашел явное
выражение спектрального разложения оператора —V + V (х)
в виде модифицированного я-мерного интеграла Фурье / (k) =
= J % (У) f (У) dy> где% (у) — решение уравнения (—V + V (х)) х
х tyk (х) = k*tyk (х), имеющее асимптотику «свободной волны» eikx
при \ х | -> оо. Несколько ранее близкий результат получил Повз-
нер [1, 9]. Икебэ [2] провел подробное исследование оператора рас-
рассеяния S, связанного с возмущенным лапласианом —V + V (х).
Грейнер [1] установил аналогичный результат для оператора более
общего вида Р (D) + V (х), гдеО — эллиптический оператор, опре-
определенный во всем п-мерном евклидовом пространстве, а Р — много-
многочлен.
Икебэ [3, 4] и Сидзута [1] получили аналогичные результаты
для возмущений свободного оператора Лапласа —V- В их работах
возмущение производится не путем добавления потенциала, а «выре-
«вырезанием» некоторой ограниченной области из я-мерного евклидова
пространства. Бирман [5] рассмотрел аналогичную задачу для
более общего класса эллиптических дифференциальных операторов
в частных производных во внешности ограниченной области;
см. также Бирман [6] и [1]. Бирман использовал то обстоятельство,
что если Si и S2 — два самосопряженных оператора в гильбертовом
пространстве, определенные вне некоторой области одним и тем же
эллиптическим формальным дифференциальным оператором, на
различными граничными условиями, то для некоторого веще-
вещественного X оператор (XI + Si) — (XI + 52)"х будет компакт-
компактным. Оценивая собственные значения этого оператора, Бирману
удалось показать, что в некоторых случаях этот оператор не только
компактен, но и является ядерным, а тогда применима теорема
Като — Куроды для сравнения спектров операторов SA и 52.
Идеи, описанные в § 4, первоначально возникли у физиков-
теоретиков; см. Мёллер [1], а также Яух [1]. Основное неравенство,
доказанное в лемме 4.17, принадлежит Розенблюму [2]. Като [9, 101
применил это неравенство для доказательства общей теоремы 4.9.
Обобщение этих результатов на возмущения неограниченных опе-
операторов получил Курода [3,1]. Курода [3,11] развил также теорию
волновых операторов, выраженную в терминах квадратичных форм,
а не в терминах неограниченных операторов.
Если существуют волновые операторы W± = lim eitH2e~itHi, то
t-*±oo
они определяются из асимптотических соотношений
ин инA) при ^->оо,
(\) при /-> — оо.
6. Примечания и дополнения 585
Первое из этих соотношений определяет у = W-.X+, а второе у =
= W+X-. Если операторы W+ и W- имеют одинаковые области
значений, то эта пара асимптотических соотношений определяет
унитарное соответствие между х+ и х_: х+ = W*W+x_. Оператор
5 = WZW+ играет важную роль в квантовой механике и других
приложениях и называется оператором рассеяния. Роль оператора 5
можно эвристически пояснить следующим образом: если х — волно-
волновая функция, распространяющаяся согласно «уравнению свобод-
свободной частицы» (d/dt) x = iH^x, то оператор S преобразует ее в неко-
некоторый момент времени между t = —оо и t = +оо в функцию Sxt
которая обладает той же асимптотикой при t->-—оо и /->+оо,
что и волновая функция у, распространяющаяся согласно «урав-
«уравнению взаимодействующих частиц» (d/dt) у = iH2y. Таким обра-
образом, оператор рассеяния S служит «промежуточным» преобразова-
преобразованием, учитывающим разность между двумя волновыми уравнения-
уравнениями. Как показано в начале § 4, H2W± = W±Hi9 откуда W*H2 =
= H{W1; поэтому SH± = W*W+Ht = WtH2W+=HiWtW+=HiS.
Другими словами, оператор рассеяния коммутирует с «невозму-
«невозмущенным гамильтонианом» Н{.
Чтобы дать представление об основных свойствах оператора
рассеяния (в простейшем случае), рассмотрим тот специальный
случай, когда Н{ — оператор умножения / (х) -> xf (x) в простран-
пространстве вектор-функций, а Н2 = Н{ + V, где V — интегральный опе-
оператор с гладким ядром V (ху у); предположим, кроме того, что
к этим операторам можно применить метод Фридрихса, описанный
в § 2. Тогда, как показано в § 2, eitH* = (I + Г) eitHi (I + Г),
где Г — сингулярный интегральный оператор
причем ядро G является гладким. Таким образом,
(I+ lim е
t-+±oo
Полагая G0(x, y) = (G(x, y) — G(x1 х))(х — у)~г, находим, что
-j-CX) -j-OO
(Tf)(x)= j G0(x,y)f(y)dy+G(x,x) j -^dy,
— oo —oo
и так как из двух последних интегралов только второй является
сингулярным, то
+Г°° Жх-V)
lim (e«HiI7r«*i/) (x) = G (x, x) lim e f (y) dy.
586 Гл. XX. Спектральные операторы с непреросвным спектром
Интеграл, написанный в правой части этой формулы, легко вычис-
вычислить (например, при помощи преобразования Фурье), и мы получим
lim (eitHiTe-itHif) (x) - ± inG {x, х) f (x).
t-+±oo
Итак,
где (Gf)(x) = G(x, x)f(x), так что
S = (Г-) W+=(I— inG)
Из этого выражения видно, что оператор рассеяния S коммутирует
с оператором умножения х-^-х f (х). Ясно, что S полностью опре-
определяется характером особенности на диагонали ядра оператора
подобия Г. Если Hi реализован как оператор умножения на незави-
независимую переменную, то S представляется в виде оператора умноже-
умножения на операторнозначную функцию / + Т (х), где Т (х) — ядерный
оператор для всех х.
Результаты относительно операторов рассеяния, близкие к опи-
описанным выше, были строго доказаны Бирманом и Крейном [1]
при гораздо более общих предположениях. В этой работе изучается
оператор рассеяния S для пары эрмитовых операторов Я2 и Ht
при условии, что оператор Я — Я71 является ядерным. Переходя
к упорядоченному представлению (относительно Hi) гильбертова
пространства X, в котором действуют эти операторы, мы можем
реализовать Ж как пространство векторнозначных функций / (к),
при этом оператор ЯА перейдет в оператор умножения f (к) -»• kf (X).
Так как S коммутирует с оператором Hiy то он должен иметь вид
f (X) -+¦ S (k) f (к), где S (к) — измеримая операторнозначная функ-
функция. Бирман и Крейн показали, что 5 (X) имеет вид 5 (к) = / +
+ Т (к), где Т (к) является ядерным для всех к, и что S (к) также
можно представить в виде 5 (к) = ехр (—2ш/С (к)), где К (к) —
ядерный эрмитов оператор для всех к, причем К {к) положителен
для почти всех к, если оператор Н2 — Нх положителен, или, более
общо, если существует эрмитов конечномерный оператор Го, такой,
что Я2 — Hi -+- То положителен. Аналогичные результаты полу-
получены Бирманом и Крейном для пары унитарных операторов G2, V\
в предположении, что U2 — Ut является ядерным оператором.
Бирман [4] доказал один вариант основной теоремы 4.9, который
можно назвать «локальным» в том смысле, что в нем речь идет
о некоторых частях спектров пары операторов, а не о спектрах
в целом. Результат Бирмана можно сформулировать следующим
образом. Пусть Ht и Я2 — два эрмитовых оператора со спектраль-
спектральными разложениями Е2 (•) и ?* (•) соответственно. Пусть G —
борелевское подмножество вещественной оси R и Gn — такая воз-
возрастающая последовательность подмножеств из G, что U Gn= G.
Предположим, что
6. Примечания и дополнения 587
(i) разность H2E2{G)Ei(G) — E2{G)HiEi(G) является ядерным
оператором!
(ii) все операторы E(R — G)E0(Gn) компактны. Тогда суще-
существуют сильные пределы lim eitH4-itH^Ei(G).
В качестве следствия из этого результата вытекает, что если Hi
и Иг — Два эрмитовых оператора и для некоторых чисел /^0,
k>0, / + &>0 оператор (XI — Hi)-'(Hi — H2)(XI—Jl2yh является
ядерным, то волновые операторы W± = lim eitHze itHi существу-
t-+±oo
ют и определяют унитарную эквивалентность между абсолютно не-
непрерывными частями операторов Hi и Н2.
Бирман исследовал также свойства частичного оператора рас-
рассеяния S = ( lim eitH*e-itHiE (G)) ( lim eitH4'itH^Ei (G)) при указан-
ных выше предположениях (i) и (ii). Этот оператор коммутирует c//i.
Если дано упорядоченное представление подпространства Ei (G) Ж
гильбертова пространства Ж относительно Яь в котором дей-
действуют Hi и #2, то, как и выше, сужение S на подпространство
Ei(G)l имеет вид f(X)-+S (%) f (X), где S (X) — измеримая опера-
торнозначная функция. Бирман показал, что в предположениях (i)
и (ii) оператор S(X) имеет вид 1 + Т(Х), где Т(Х) — ядерный опе-
оператор для почти всех X?G.
Существование пределов W± = lim eitH4"itHi налагает весьма
t-*±oo
жесткие ограничения на пару эрмитовых операторов Н2 и Я4.
В частности, если «возмущение» V = Н2 — Ht не является ядерным,
то наблюдаются всевозможные интересные новые явления, относя-
относящиеся к этим пределам. В простейшем случае, когда Н{ имеет абсо-
абсолютно непрерывный спектр, пределы W± могут существовать, но
ортогональное дополнение к области значений операторов W±
скорее всего будет бесконечномерным. Эта ситуация имеет место
в квантовомеханической задаче трех тел, изученной Фаддеевым
в указанной далее статье. В других случаях, когда пределы W+
не существуют, могут существовать несколько измененные пре-
пределы lim eifH2?-it(p(Hi)t Такое положение имеет место в задачах
квантовой теории поля, рассмотренных в книге Фридрихса 117].
В этих случаях Н2 подобен оператору ср (Hi), а не оператору #ь
в необходимости введения функции ср в этом случае проявляется
важное в квантовой теории поля явление «перенормировки». В рабо-
работе Дж.'Т. Шварца [8] изучен случай, когда Hi—оператор умножения,
а V — сингулярный интегральный оператор. Тогда существуют
пределы Um еиН2е~и^+(^н^ и lim eitH2e-u^-^Hi\ но функции cp+
t-юо f->-oo
и ф_ различны. В таких случаях возникает весьма любопытная
«несимметричная перенормировка».
588 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Крейн [8, 24] рассмотрел бесконечный определитель
А (г) = det ((Я2 - zl) (Hi - zl)-1)
при условии, что #2 — Hi является ядерным оператором. Крейн
показал, что функция log А (г) допускает интегральное представ-
представление
где ядро б удовлетворяет интегральному неравенству
причем написанная справа норма является ядерной нормой, описан-
описанной в гл. XI. Кроме того, Крейн установил формулу
+ОО
tr (ф (#2) — Ф (Н^) = [ б (X) ф' (X) dk
— 00
для широкого класса функций ф, из которой как частный случай
вытекает формула
+ОО
Соответствующие результаты получены и для пары ?/2, ^i унитар-
унитарных операторов, разность которых U2 — U{ является ядерным
оператором. Аналогичные результаты содержатся также в упомяну-
упомянутой выше более ранней работе Крейна, где можно найти подробные
доказательства.
Снова рассмотрим пару самосопряженных операторов Я2, Ни
где Hi — оператор умножения / (х) ->¦ xf (x) в пространстве вектор-
нозначных функций, а Н2 = Ht + V, где V — интегральный опе-
оператор с гладким ядром, к которому применим метод Фридрихса,
описанный в § 2. Тогда, как показано в § 2, Н2 = (/ + Г) X
х Н (I + Г), где, как мы видели выше, Г является сингулярным
интегральным оператором вида
Если ф — произвольная борелевская функция, то
eitq>(H2)e-uv(Hi) = (/4_г)
Ясно, что
+ ОО
6. Примечания и дополнения 589
Если функция ф является гладкой и монотонно возрастающей, то
мы можем записать, что
— оо
X (Ф' (Ф (у)))-1 е^х-У) f (ф (у)) dy.
Повторяя рассуждения, которые мы применили выше для вычис-
вычисления оператора рассеяния, находим
lim (е«ф№>Ге-«Ф<Я1)/) (ф (х)) =
t-+±oo
= ± inG (ф-i (х), ф-i (х
Так как ф(ф(л;))=х, то ф' (ф (х)) (ф (х))' = 1; отсюда следует,
что предел
lim (е»ф№)Ге-»Ф(Н1)/) (х) = + inG (x, x) f (x)
f->±oo
не зависит от функции ф. Отсюда мы заключаем, что следующие
видоизмененные «волновые операторы»
lim g**<p№)g-it<p(Hi) = W
также не зависят от ф. Этот интересный и важный результат назы-
называется теоремой Като об инвариантности волновых операторов.
В статье Като [14] этот результат получен при более общих пред-
предположениях. Близкий результат установил Бирман [3]. В этой
статье теоремы типа теорем об инвариантности волновых опера-
операторов применяются для доказательства существования пределов
lim eitH2e-itHi при условии вида ф (Я2) — ф (#i) 6 Ct, где С{ озна-
t-+±oo
чает класс ядерных операторов. Другие результаты такого рода
см. в работе Бирмана [2].
В цитированной выше статье Бирмана и Крейна [1] получены
интересные варианты теорем Като — Куроды о волновых опе-
операторах, которые могут быть применены непосредственно к паре
унитарных операторов. В частности, они доказали следующие
теоремы.
590 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Теорема. Пусть Ut и U2 — два унитарных оператора, причем
U2 — U\ является ядерным. Тогда предел Woo {Uiy U2) х =
= lim U^U^x существует для всех х, удовлетворяющих условию
П-*-оо
Е2 (е) х = 0 для любого подмножества е единичной окружности,
мера Лебега которого равна нулю; здесь Е2 (•) — спектральная мера
оператора U2.
Теорема. Пусть Hi и Н2 — обратимые эрмитовы операторы,
причем оператор Щ1 — Н~г ядерный. Пусть х — такой элемент
гильбертова пространства, что Е2 (е) х = О для любого множе-
множества е, мера Лебега которого равна нулю\ через Е2 (•) обозначена
спектральная мера оператора Н2. Положим U{ = (il — Ht) X
х (И + H^-1 и U2 = (il — H2) (U + Н2)-г. Тогда пределы
lim U^U-nx,
существуют и равны между собой.
Курода [5, 6] развил «стационарный подход» к определению
волнового оператора W, который мы определили в § 4 формулой
W = lim eitHie-itH2, т. е. в терминах, связанных с «эволюцией
по времени».
Формальную основу этого подхода можно пояснить (конеч-
(конечно, на нестрогом уровне) следующим образом. Пусть Ht
и Н2 — два самосопряженных оператора, и пусть Н2 — Ht + У,
так что Нх = Н2 — V. Рассмотрим функции
которые, очевидно, взаимно обратны. При некоторых предположе-
предположениях в гильбертовом пространстве существует такое плотное под-
подмножество 5, что 1) Wj (z): S ->¦ 5 при Im z Ф 0, / = 1, 2; 2) если
z -> х + Ю или z ->¦ х — Ю, то Wj (z) стремится к пределу
Wj (х ± Ю): S->S, / = 1, 2. Если, например, Я4 — оператор
умножения f(x)-*xf(x), а V — интегральный оператор / (х) ->
->¦ \ V {к* У) f (у) dy с дифференцируемым ядром или даже
с ядром, удовлетворяющим условию Гёльдера, а 5 — пространство
всех функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, то для любого
вещественного t соответствие
определяет отображение S в себя. Этот факт лежит в основе сле-
следующих вычислений. Во-первых, из равенства Wi(z) = (W2(z))~1
6. Примечания и дополнения 591
вытекает, что Wi(x±i0) = (W2(x±i0))~1. Следовательно,
W2 (х + Ю) -W2(x- Ю) = (Wt (х + Ю)) - (W, (х - Ю)) =
= (Wt (х + Ю)) (W, (х- Ю) - Я74 (* + Ю)) (Г! (х- Ю)) =
Пусть ?i (•) и ?2 (•) — спектральные разложения операторов #i
и #2 соответственно. Согласно теореме Х.6.1, VEj(e) =
= ±Bni)~1 [ (Wj (x + Ю) — Wj (х — Ю)) dx. Если мы обозначим через
е
°Л (ТУ и X (Т) соответственно операторы правого и левого умножения
на оператор Т, то получим
-2шУ?а (ё) -= J W2 (x+iO) (Wt (x—ty—Wi (x+iO)) W2 (x — iO) dx =
Отсюда по предыдущей формуле и теореме Радона — Никодима
находим (по крайней мере, формально)
VE2 (e)^^X (W2(х + Ю)) Л (W2(х-Ю))VEi{dx) =
е
= j X (W2 (x + iO) V) ft (W2 (х- Ю)) Et (dx).
Для любого объединения попарно не пересекающихся множеств
имеем
Z
i
= S X (W2 (Xj + Ю) V) ft (Wz (x - Ю))
3
в силу того, что проекторы спектрального разложения ортого-
ортогональны, а операторы правого и левого умножения коммутируют.
Отсюда, переходя к пределу в интегральных суммах, получаем
е
= j X (W2 {х_+ Ю) V) M{WZ {х- Щ Et (dx).
Из аналогичных соображений находим
+00
j X (W2 (x + Ю) V) Ei (dx) = ( j X (W2 (x + Ю) V) E{ (dx)) Et (e)
592 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
И
$%{W2(x-i0))Ei(dx)=( J 9i(W2(x^i0))Ei(dx))Ei(e).
е — оо
Объединяя эти формулы, мы можем записать, что
со
VE2 (е) = ( J W2 (х + Ю) VEt. (dx)) Et (е) ( j ?t (Лс) IF2 (х - Ю)) .
-со е
Поскольку W2 B) V = V —JV (Я2 — «г/) У, имеет место соот-
соотношение W2 {z) V = V {W2 B))*, и, переходя к пределу, когда
z стремится сверху] к оси х, мы получаем W2 (х + Ю) V =
= У (W (х — Ю))*. Поэтому предыдущую формулу можно пере-
переписать так:
-j-co -|-со
Е2 (е) = ( j Et (dx) Wz (x - Ю)) Ч (е) ( j Et (dx) W2 (x - Ю)) ,
— CO —CO
или
где
+
B) W= j
Полагая e = (—00, +00), находим, что W*W = /. Таким образом,
формула A) показывает, что формула B) определяет волновой
оператор, устанавливающий унитарную эквивалентность между
операторами Я2 и Яц. Используя аналитичность оператора W2 B)
в нижней комплексной полуплоскости, можно показать при неко-
некоторых предположениях, что оператор W совпадает с оператором,
который был получен в § 4 путем предельного перехода при t->- 00.
Бирман и Энтина [1] получили формулы подобного рода для
волновых операторов и операторов рассеяния.
Другой подход к этим вопросам содержится в работе де Бранд-
жеса [1]. Преимущество стационарной теории волновых операторов
состоит в том, что она дает более явные формулы для волновых
операторов, чем теория, связанная с предельным переходом по
времени, изложенная в § 4.
Формальный прием разложения «возмущения» V = Я2 — Н{
в произведение двух операторов, описанный выше в связи с работа-
работами Дж. Т. Шварца [4, 5], использован в очень интересной работе
Като [12]. Като предположил, что оператор Я2 — Я4 можно запи-
записать в виде произведения АВ и что операторная функция В (hi —
— Я4)"М равномерно ограничена по норме некоторой постоян-
6. Примечания и дополнения 593
ной К в окрестности спектра оператора Я, а интегралы
j \A((l±is)I-Hiy1v\2dk
J \B*(k±ie)I—H1)-1v\2d'k
— оо
ограничены при г ->- 0. В этом случае, считая постояннукГдостаточ-
но малой, Като применял модифицированные методы стационарной
теории волновых операторов и построил операторы W±, удовлетво-
удовлетворяющие условиям Я2 = W±Hi (W±)~1. Волновые операторы W±
выражаются формулой
+О0
j iO)x, A*R(X±0)y)dK
где R (к) = (к I — Н^'1 f a x и у — произвольные векторы гиль-
гильбертова пространства.
Если Я — самосопряженный оператор, а возмущающий само-
самосопряженный оператор V не является малым относительно Я
(в смысле теоремы 4.9), то спектр оператора Н + V может суще-
существенно отличаться от спектра Н. В частности, «абсолютно непре-
непрерывный спектр» а (Н | 2ас (Я)) (см. определение 4.7) может исчез-
исчезнуть, может расшириться или изменить свое расположение. Изуче-
Изучение этих явлений представляет большой интерес в связи с задачами
квантовой теории поля и вопросом о «перенормировках»; см. книгу
Фридрихса [17]. Подобные же явления возникают в квантовомеха-
нической задаче трех тел, рассмотренной Фаддеевым [2—4]. Фад-
Фаддеев доказал, что если Н — шестимерный лапласиан, а V — сумма
трех операторов умножения на функцию (каждая из которых
соответствует взаимодействию двух тел в системе трех тел), то
спектр оператора Н + V состоит из чисто непрерывного спектра,
соответствующего спектру оператора Я, из точечного спектра,
соответствующего «связанным состояниям» системы трех тел, и трех
дополнительных ветвей непрерывного спектра, соответствующих
тем состояниям системы трех тел, в которых две частицы «связаны»
друг с другом, а третья «ионизирована».
Физики обычно рассматривают спектральную теорию таких
операторов и даже операторов более широкого класса на основании
полуформальных эвристических принципов, полученных из иллю-
иллюстративных примеров. В качестве типичного примера таких иссле-
исследований, включающих также анализ квантовомеханической задачи
трех тел, укажем работы Хека [1] и Яуха [2].
38 н. Данфорд и Дж, Шварц
594 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Из соотношения
сразу же следует, что условие
+ ОО
j \(H2-Hi)e-itHix\dt<oo
достаточно для существования предела lim eitH2e~itHix. Если,
t-+±oo
в частности, написанный выше интеграл конечен для плотного
множества векторов х9 то волновые операторы W± = lim eitH2e~itHl
t->±oo
существуют в сильном смысле. Если оператор Я4 имеет достаточно
простой вид и известно его спектральное разложение, то конечность
этого интеграла для подходящих векторов х часто можно проверить
прямым вычислением. Этот подход, предложенный Куком [1],
часто называется методом Кука; нередко он оказывается наиболее
простым способом доказательства существования волновых опера-
операторов W±. Заметим, однако, что сам по себе этот метод не позволяет
указать области значений операторов W± и потому не дает полной
информации о спектре оператора Я2. Некоторые задачи, связанные
с квантовомеханической задачей п тел, в которых используется
метод Кука, содержатся в работе Куроды [2].
В связи с теоремой о волновых операторах из § 4 следует
упомянуть также раннюю работу фон Неймана [6]. Фон Нейман
показал, что если Н — ограниченный самосопряженный оператор,
причем Ер (Н) = Using (Н) ""{О} (см- определение D.7)), то можно
найти такой самосопряженный оператор Гильберта — Шмидта V,
что 2ас (Н + V) = 0. Таким образом, то обстоятельство, что в тео-
теореме 4.9 мы имели дело с классом ядерных операторов, является
существенным.
Исследованию условий существования и свойств волновых опе-
операторов посвящена серия интересных работ К- Р. Путнама. В рабо-
работе [27] Путнам доказал, что при достаточно общих предположениях
два самосопряженных оператора, порожденных одним и тем же
обыкновенным дифференциальным оператором второго порядка на
полуоси и двумя различными граничными условиями, унитарно
эквивалентны. В статье [28] Путнам рассмотрел пару самосопряжен-
самосопряженных операторов Я и У, причем V ограничен и положителен и суще-
существует такой унитарный оператор [/, что UHU* = Н + 1/, и полу-
получил ряд интересных соотношений между нормами и спектрами
операторов [/, Н и V. В статьях [24, 29] Путнам установил, что
волновые операторы, соответствующие паре дифференциальных
операторов —\dldxJ и —{d/dxJ + V (х), где функция V интегри-
6. Примечания и дополнения 595
руема, неотрицательна и ограничена, имеют непрерывный спектр,
покрывающий всю единичную окружность, а при несколько более
жестких ограничениях этот спектр оказывается абсолютно непрерыв-
непрерывным. Во второй из указанных работ получен следующий более
общий результат:
Теорема. Пусть Н и V — самосопряженные операторы, причем
V ограничен и положителен. Предположим, что пересечение области
определения оператора Н с областью значений оператора У1/2
является плотным множеством в гильбертовом пространстве.
Тогда, если U — унитарный оператор и UHU* =¦ Н + V, то
спектр оператора U абсолютно непрерывен.
Другое направление исследований, тесно связанных с тематикой
последней главы, было предложено Лорхом [2] и продолжено Уэр-
мером [1, 2], Вульфом [4] и, наконец, Фойашем в ряде его статей
и монографии, написанной совместно с Коложоарой (см. Коложоа-
ра — Фойаш [4]). Основная идея этого направления исследований
состоит в следующем. Пусть Т — такой оператор в 5-простран-
стве, что для некоторых чисел А и k > О выполняются неравенства
(*) \ТП\<АA + \П\)\ -оо</1<оо.
Тогда легко показать, что спектр о (Т) является подмножеством
единичной окружности комплексной плоскости. Нетрудно видеть,
применяя обычное интегрирование по частям в формуле Коши для
/ G1), что если / аналитична на единичной окружности, то
\f(T)\<B sup sup | /<» И) I
для некоторой постоянной В. Следовательно, мы можем строить
функции от оператора Т не только для функций /, аналитических
на единичной окружности, но и для функций, имеющих k + 1
непрерывных производных на этой окружности. Отсюда, используя
известное описание пространства, сопряженного к Cft+1, получаем
интегральную формулу
2л
о
где А (е) — сильно счетно аддитивная операторозначная мера.
Функциональное исчисление, построенное для Т на основании этой
формулы, позволяет доказать ряд интересных свойств оператора Т.
Эта простая идея была мастерски развита в работах Фойаша
[9, 10, 12]. Во второй из указанных статей Фойаш рассмотрел связь
построенной им теории с общей теорией спектральных операторов.
Эти вопросы систематически изучены в книге Коложоары и Фойа-
Фойаша [4].
38*
596 Гл. XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром
Ряд более или менее связанных с этой тематикой результатов
о существовании инвариантных подпространств оператора Т уста-
установил Уэрмер [1,2].
Секефальви-Надь показал, что если постояннаяfe в указанной
выше формуле (*) равна 0 и оператор Т действует в гильбертовом
пространстве, то Т эквивалентен унитарному оператору. Доказа-
Доказательство этой и ряда близких теорем приведено в приложении
к книге Рисса и Секефальви-Надя [1].
Многие идеи теории возмущений, прямо или косвенно упомя-
упомянутые в настоящей главе, были систематически развиты в книге
Като [13], содержащей также обширную библиографию по этой
теории. Весьма ясный и живой обзор теории возмущений спектра
написан самим Фридрихсом [17]. В монографии Фридрихса, помимо
многих других результатов, излагаются интересные проблемы
теории возмущений спектра в квантовой теории поля, а также
связанные с ними вопросы перенормировок. В монографии Лакса
и Филлипса [2] изучен целый ряд вопросов, относящихся к методу
волновых операторов, который мы рассмотрели в § 4, в связи
с анализом различных классов гиперболических дифференциальных
уравнений в частных производных. В этой книге изложена также
работа Моравец о волновых уравнениях во внешности области.
Исследование Лакса и Филлипса основано отчасти на гармониче-
гармоническом анализе полугруппы сжатий в гильбертовом пространстве,
чему посвящена также монография Секефальви-Надя и Фойаша.
Дольф[1] дал обзор теории несамосопряженных задач, в частности
теории возмущений и теории рассеяния, обращая особое внима-
внимание на физические применения этих теорий. Другой обзор смежных
областей с упором на теорию возмущений содержится в статье
Наймарка [15]. См. также работы Хёэг-Крона [1] и книгу Берези-
Березина [1], в которых обсуждаются вопросы математического обоснова-
обоснования этого интересного круга вопросов.
Теория возмущений. Укажем еще ряд статей, где рассматривают-
рассматриваются возмущения операторов: Апостол [13], Балабанов [1], Балслев
[1], Балслев и Гамелин [1], Баумгертель [1—5], Биле [1], Бирман
[5, 6], Бисхоп [1], де Бранджес [2], Браунел [1], Батлер [1—3],
Кобёрн [1], Конлей [1], Конлей и Рейто [1], Дейвис [2, 3], Доногю
[3], Дюпра [1], Фаддеев [1], Фогель [4, 6], Дж. Фриман [1, 2],
Фридрихе [2, 17, 18], Фридрихе и Рейто [1], Гехтман и Станкевич
[1], Гилберт и Крамер [1], Гольдберг [2], Гольдман и Крачковский
[1—4], Грейнер [1], Густафсон [1], Хаделер [2], Хасегава [1],
Хьюиг [1], Яврян [1], Кашук [1, 2], Като [9—14], Конно и Курода
[1], Крейн [24, 27], Курода [1, 3—9], Ладыженская и Фаддеев [1],
Лангер [4], Логинов [1], Маркус [1], Мартиросян [3, 4], Мияде-
ра [2], Мотидзуки [1], Мозер [1, 2], Ньюбург [1, 2], Нижник [1],
Осборн [1], Ошер [1], Параска [1], Порат [1], Пшеворска-Роле-
6. Примечания и дополнения 597
вич [1], Путнам [22, 31, 32], Рейто [1—3], Розенблюм [1, 2], Сахно-
вич [2, 3],Шехтер [1, 2], Дж.Т.Шварц [2, 3, 9],Сигалов [1, 2], Сим-
псон [3], Стемпфли [5], Станкевич [1], Тернер [1, 2], Цафрири [3],
Визитей [1], Иосида [13] и Заанен [10].
Волновые операторы и операторы рассеяния. В следующих
работах рассматривались волновые операторы и операторы рассея-
рассеяния: Адамян и Аров [1, 2], Бирман [1—4], Бирман и Энтина [1],
Бирман и Крейн [1, 2], Браунел [1], Кук [1], Дольф и Пенцлин [1],
Фаддеев [2—4], Грейнер [1], Хек [1], Икебэ [1—3], Яух [1, 2],
Яух и Циннес [1], Като [12—14], Крейн [27], Курода [2, 5—9],
Лаке и Филлипс [1—3], Путнам [24, 29, 31], Станкевич [1, 2],
Toy [1].
Библиография
Адамар (Hadamard J.)
2. Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations,
Yale University Press, 1923, Dover edition, 1952.
Адамян В. М. и Аров Д. 3.
1. Об одном классе операторов рассеяния и характеристических опера-
оператор-функций сжатий, ДАН СССР, 160:1 A965), 9—12.
2. Об операторах рассеяния и полугруппах сжатий в гильбертовом про-
пространстве, ДАН СССР, 165:1 A965), 9—12.
Александрян Р. А.
1. О спектральном разложении произвольных самосопряженных операто-
операторов по собственным функционалам, ДАН СССР, 162:1 A965), 11—14.
Александрян Р. А. и Мкртчян Р. 3.
1. Некоторые критерии, характеризующие спектр самосопряженного
оператора в абстрактном гильбертовом пространстве, И АН АрмССР,
Математика, 1:1 A966), 25—34.
Аллан (Allan G. R.)
1. A spectral theory for locally convex algebras, Proc. London Math. Soc,
C) 15 A965), 399—421.
2. On a class of locally convex algebras, Proc. London Math. Soc.t C) 17
A967), 91—114.
Аллахвердиев Д. Э.
1. О полноте системы собственных и присоединенных элементов несамо-
несамосопряженных операторов, близких к нормальным, ДАН СССР, 115
A957), 207—210.
2. О полноте систем собственных и присоединенных элементов несамо-
несамосопряженных операторов, ДАН АзССР, 18:7 A962), 3—7.
3. О полноте системы собственных и присоединенных элементов опера-
операторов, являющихся рациональными функциями параметра, ДАН
СССР, 159:5 A964), 951—954.
4. О полноте системы собственных и присоединенных элементов несамо-
несамосопряженных операторов, ДАН СССР, 160:3 A965), 503—506.
5. О полноте системы собственных и присоединенных элементов одного
класса несамосопряженных операторов, зависящих от параметра, ДАН
СССР, 160:6 A965), 1231 — 1234.
Альтман (Altman М.)
6. К теории Рисса — Шаудера линейных операторных уравнений в про-
пространствах типа (Во), Stadia Math., 15 A956), 136—143.
Андерсен (Andersen E. Sparre)
1. On the fluctuations of sums of random variables, Math. Scand., 1 A954),
263—265.
2. Remarks to the paper: On the fluctuations of sums of random variables,
Math. Scand., 2 A954), 193—223.
А н д о (A n d 6 T.)
1. Positive linear operators in semi-ordered spaces, J. Fac. Sci. Hokkaido
Univ., Ser. I., 13 A957), 214—228.
2. On a pair of commutative contractions, Ada. Sci. Math. Szeged, 24
A963), 88—90.
Библиография 599
3. Matrices of normal extensions of subnormal operators, Ada Sci. Math.
Szeged, 24 A963), 91—96.
4. Note on invariant subspacesof a compact normal operator, Arch. Math.,
14 A963), 337—340.
Апостол (Apostol C. )
1. Proprietes de certains operateurs bornes des espaces de Hilbert, I, II.
I. Rev. Roumaine Math. Pures AppL, 10 A965), 643—644.
II. ibid., 12 A967), 759—762.
2. Sur la partie normale d'un ensemble d'operateurs de l'espace de Hilbert,
Ada Math. Acad. Sci. Hung, 17 A966), 1—4.
3. Sur les operateurs scalaires generalises, Bull. Sci. Math., 91 A967),
57-61.
4. Restrictions and quotients of decomposable operators in a Banach space,
Rev. Roumaine Math. Pures AppL, 13 A968), 147—150.
5. Roots of decomposable operator-valued functions, Rev. Roumaine Math.
Pures AppL, 13 A968), 433—438.
6. On the roots of spectral operator-valued analytic functions, Rev. Rou-
Roumaine Math. Pures AppL, 13 A968), 587—589.
7. Roots of scalar operator-valued analytic functions and their functional
calculus, J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A-I, 32 A968), 173—180.
8. On the roots of spectral operators, Proc. Amer. Math. Soc, 19 A968),
811—814.
9. On the roots of generalized spectral operator-valued analytic functions,
Glasnik Mat., 3 B3) A968), 247—252.
10. Teorie spectrala si calcul functional, Stud. Cere. Mat., 20 A968),
635—668.
11. Spectral decompositions and functional calculus, Rev. Roumaine Math.
Pures AppL, 13 A968), 1481 — 1528.
12. A theorem on invariant subspaces, Bull. Acad. Polon. Sci., 16 A968),
181 — 183.
13. Remarks on the perturbation and a topology of operators, /. Fund.
Anal., 2 A968), 395—408.
14. Sur Pequivalence asymptotique des operateurs, Rev. Roumaine Math.
Pures AppL, 12 A967), 601—606.
15. Some properties of spectral maximal spaces and decomposable operators,
Rev. Roumaine Math. Pures AppL, 12 A967), 607—610.
16. Some properties of a couple of operators on a Banach space, Rev. Rou-
Roumaine Math. Pures AppL, 12 A967), 1005—1010.
17. On some multiplication operators, Rev. Roumaine Math. Pures AppL,
13 A968), 911—913.
Арвесон и Фельдман (Arveson W. В. and F e 1 d m a n J.)
1. A note on invariant subspaces, Michigan Math. J., 15 A968), 61—64.
Аров Д. 3., см. А д а м я н В. М.
Ароншайн и Смит (Aronszajn N. and Smith К. Т.)
1. Invariant subspacesof completely continuous operators, Ann. of Math.,
B) 60 A954), 345—350. (Русский перевод: сб. Математика, 2 : 1 A958),
97—102.)
Аскеров Н. К-, К р е й н С. Г. и Лаптев Г. И.
1. Об одном классе несамосопряженных краевых задач, ДАН СССР
155:3 A964), 499—502.
Аткинсон (Atkinson F. V.)
2. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных
пространствах, Матем. сб., 28, вып. 1 G0) A951), 3—14.
4. On relatively regular operators, Ada Sci. Math. Szeged, 15 A953),
38-56.
6. Some aspects of Baxter's functional equation,/. Math. Anal. AppL,
7 A963), 1—30.
600 Библиография
Бакстер (Baxter G.)
1. An operator identity, Pacific J. Math., 8 A958), 649—663.
2. An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic
identity, Pacific J. Math., 10 A960), 731—742.
Б а л а б-а н о в В. А.
1. К вопросу об устойчивости собственных элементов нелинейных опера-
операторов, Научн. докл. высш. школы, Физ.-матем., 4 A958), 3—7.
Балслев (Balslev E.)
1. Perturbation of ordinary diferential operators, Math. Scand., 11 A962),
131 — 148.
Балслев и Гамелин (Balslev E. and G a m e 1 i n T. W.)
1. The essential spectrum of a class of ordinary differential operators,
Pacific J. Math., 14 A964), 755—776.
Барри (Barry J. Y.)
1. On the convergence of ordered sets of projections, Proc. Amer. Math.
Soc, 5 A954), 313—314.
Б а р т л (В a r t 1 e R. G.)
1. Spectral localization of operators in Banach spaces, Math. Ann., 153
A964), 261—269.
7. Spectral decomposition of operators in Banach spaces, Proc. London.
Math. Soc, C) 20 A970).
8. The elements of real analysis, John Wiley & Sons, New Vork, 1964.
Б а т л e p (Butler J. B.)
1. Perturbation series for eigenvalues of analytic non-symmetric operators,
Arch. Math., 10 A959), 21—27.
2. Perturbation of the continuous spectrum of even order differential ope-
operators, Canadian J. Math., 12 A960), 304—323.
3. Perturbation of the continuous spectrum of systems of ordinary diffe-
differential operators, Canadian J. Math., 14 A962), 359—379.
Баумгертель (Baumgartel H.)
1. Zur Storungstheorie beschrankter linearer Operatoren eines Banachschen
Raumes, Math. Nachr., 26 A963/64), 361—379.
2. Eindimensionale Storung eines selbstadjungierten Operators mit reinen
Punktspektrum, Monatsb. Deutsch. Akad.Wiss. Berlin J A965).
3. Analytische Storung isolierter Eigenwerte endlicher algebraischer Viel-
fachheit von nichtselbstadjungierten Operatoren, Monatsb. Deutsch.
Akad. Wiss. Berlin, 10 A968), 250—258.
4. Jordansche Normalform holomorpher Matrizen, Monatsb. Deutsch. Akad.
Wiss. Berlin, 11 A969), 23—24.
5. Ein Reduktionsprozess fur analytische Storungen nichthalbeinfacher
Eigenwerte, Monatsb. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, 11 A969), 81—88.
Бахтин И. А.
1. О существовании собственных векторов у линейных положительных
не вполне непрерывных операторов, Машем, сб., 64:1 A964), 102—114.
2. О положительных линейных операторах и гиперкомплексных систе-
системах, УМЖ, 17:4 A965), 3—11.
Бахтин И. А., Красносельский М. А. и Стеценко В. Я.
1. О непрерывности линейных положительных операторов, Сиб. машем,
ж., 3:1 A962), 156—160.
Б е й д (Bade W. G.)
2. Unbounded spectral operators, Pacific J. Math., 4 A954), 373—392.
3. Weak and strong limits of spectral operators, Pacific J. Math., 4 A954),
393—413.
4. On Boolean algebras of projections and algebras of operators, Trans.
Amer. Math. Soc, 80 A955), 345—360.
5. A multiplicity theory for Boolean algebras of projections in Banach spa-
spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 92 A959), 508—530.
Библиография 601
Бейд и Кёртис (Bade W. G. and Curtis P. C, Jr.)
1. The Wedderburn decomposition of commutative Banach algebras,
Amer. J.Math., 82, (I960), 851—866.
2. Embedding theorems for commutative Banach algebras, Pacific J. Math.f
18 A966), 391—409.
3. Banach algebras on F-spaces. Function algebras, Scott-Foresman, Chica-
Chicago, 1966.
Берберян (Berberian S. K.)
1. The numerical range of a normal operator, Duke Math. J., 31 A964),
479-483.
2. The spectral mapping theorem for a Hermitian operator, Amer. Math.
Monthly, 70 A963), 1049—1051.
3. A note on operators whose spectrum is a spectral set, Ada Sci. Math.
Szeged, 27 A966), 201—203.
4. Notes on spectral theory, Van Nostrand Math. Studies, 5, Princeton,,
1966.
5. Neimark's moment theorem, Michigan Math. /., 13 A966), 171 —184.
Берберян и Орланд (Berberian S. К. and О r 1 a n d GJH.)
1. On the closure of the numerical range of an operator, Proc. Amer. Math.
Soc, 18 A967), 499—503.
Березанский Ю. M.
3. О разложении по собственным функциям самосопряженных операто-
операторов, УМЖ, П:1 A959), 16—24.
4. Some questions of spectral theory of self-adjoint partial differential
operators. Некоторые вопросы спектральной теории самосопряженных
дифференциальных операторов в частных производных. Материалы
к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с
частными производными, Новосибирск, 1963, стр. 3—11.
5. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов,
Киев, 1965, стр. 1—798.
Березин Ф. А.
1. Метод вторичного квантования, М., 1965, стр. 1—235.
Берксон (Berkson E.)
1. Seuqel to a paper of A. E. Taylor, Pacific J. Math., 10 A960),
767—776.
2. A characterization of scalar type operators on reflexive Banach spaces,
Pacific J. Math., 13 A963), 365—373.
3. Some types of Banach spaces, Hermitian operators and Bade functionals,
Trans. Amer. Math. Soc, 116 A965), 376—385.
4. Some characterizations of C*-algebras, Illinois J. Math., 10 A966),
1—8.
5. Semi-groups of scalar type operators and a theorem of Stone, Illinois
J. Math., 10 A966), 345—352.
Берксон и Доусон (Berkson E. and D о w s о n H. R.)
1. Prespectral operators, Illinois J. Math., 13 A969), 291—315.
2. On uniquely decomposable well-bounded operators, Proc. London Math.
Soc. , ser. 3, 22 A971), 339-358.
Б е р н а у (В e r n a u S. J.)
1. The spectral theorem for normal operators, J. London Math. Soc, 40
A965), 478—486.
2. The spectral theorem for unbounded normal operators, Pacific J. Math.,
19 A966), 391—406.
3. Extreme eigenvectors of a normal operator, Proc. Amer. Math. Soc, 18
A967), 127—128.
Бернау и Смитис (Bernau S. J. and Smithies F.)
1. A note on normal operators, Proc. Cambridge Philos. Soc, 59 A963),
727-729.
602 Библиография
Бернштейн и Робинсон (Bernstein A. R. and Robin-
Robinson А.)
1. Solution of a invariant subspace problem of К. Т. Smith and P. R. Hal-
mos, Pacific J. Math., 16 A966), 421—432.
Биле (В e a 1 s R. W.)
1. A note on the adjoint of a perturbed operator, Bull. Amer. Math. Soc,
70 A964), 314—315.
Б и р к г о ф Г. (В i r k h о f f G.)
9. Note on positive linear operators, Proc. Amer. Math. Soc, 16 A965),
14—16.
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.)
3. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential
equations, Trans. Amer. Math. Soc, 9 A908), 373—395.
6. Note on the expansion of the Green's function, Math. Ann., 72 A912),
292—294.
7. Note on the expansion problems of ordinary linear differential equations,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 36 A913), 115—126.
БиркгофДж. и Лангер (Birkhoff G. D. and L a n g e r R. E.)
1. The boundary problems and developments associated with a system of
ordinary differential equations of the first order, Proc. Amer. Acad. Arts
Sci., B) 58 A923), 51 — 128.
Бирман М. Ш.
1. Об условиях существования волновых операторов, ДАН СССР, 143:
3 A962), 506—509.
2. Об одном признаке существования волновых операторов, ДАН СССР,
147:5 A962), 1008—1009.
3. Об условиях существования волновых операторов, И АН СССР, сер.
матем., 27:4 A963), 883—906.
4. Локальный признак существования волновых операторов, ДАН СССР
159:3 A964), 485—488.
5. О возмущении спектра сингулярного эллиптического оператора при
изменении границы и граничных условий, ДАН СССР, 137:4 A961),
761—763.
6. Возмущения непрерывного спектра сингулярного эллиптического опе-
оператора при изменении границы и граничных условий, Вестник Ленин-
Ленинградского ун-та, сер. матем., 1 A962), 22—25.
Бирман М. Ш. и Энтина С. Б.
1. О стационарном подходе в абстрактной теории рассеяния, ДАН СССР,
155:3 A964), 506—508.
Бирман М. Ш. и Крейн М. Г.
1. К теории волновых операторов и операторов рассеяния, ДАН СССР,
144:3 A962), 475—478.
2. Some topics on the theory of the wave and scattering operators. Неко-
Некоторые вопросы теории волновых операторов и операторов рассеяния.
Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по урав-
уравнениям с частными производными, Новосибирск, 1963, стр. 3—11.
Б ирюк и Коддингтон (Biriuk G. and Coddington E. A.)
1. Normal extensions of unbounded formally normal operators, /. Math.
Mech., 13 A964), 617—634. (Русский перевод: сб. Математика, 10:2
A966),117—135.)
Бишоп (Bishop E.)
1. Spectral theory for operators on a Banach space, Trans. Amer. Math.
Soc, 86 A957), 414—445.
2. A duality theorem for an arbitrary operator, Pacific J. Math., 9 A959),
379—397.
Библиография 603
Бисхоп (Bisshopp F. E.)
1. A note on regular perturbation theories, /. Math. Anal. AppL, 12 A965),
71—86..
Богнар (Bognar J.)
1. О существовании квадратного корня из оператора,самосопряженного
относительно индефинитной метрики, Magyar Tud. Akad. Mat. Kuta-
to Int. Kozl, 6 A961), 351—363.
2. О некоторых соотношениях неотрицательности операторов в про-
пространствах с индефинитной метрикой, Magyar Tud. Akad. Mat. Kuta-
to Int. Kozl, 8 A963), 201—212.
3. Non-negativity properties of operators in spaces with indefinite metric,
Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. AI, No. 336/10 A963).
Б о н с о л (В о n s a I I F. F.)
2. Endomorphisms of partially ordered vector spaces, J. London Math.
Soc, 30 A955), 133—144.
3. Endomorphisms of a partially ordered vector space without order
unit, Л London Math. Soc, 30 A955), 144—153.
4. Linear operators in complete positive cones, Proc. London Math. Soc,
C) 8 A958), 53—75.
5. The iteration of operators mapping a positive cone into itself, /. London
Math. Soc, 34 A959), 364—366.
6. A formula for the spectral family of an operator, Л London Math. Soc,
35 A960), 321—333.
7. Positive operators compact in an auxiliary topology, Pacific J. Math.,
10 A960), 1131 — 1138.
8. A polynomial iteration for the spectral family of an operator, Proc
Glasgow Math. Assoc, 6 A963), 65—69.
9. Compact linear operators from an algebraic viewpoint, Galsgow Math. J.,
8 A967), 47—49.
Бонсол и Дункан (Bonsall F. F. and Duncan J.)
1. Numerical range, London Math. Soc. Lecture Note Series, No. 2, 1971.
Бонсол, Линденштраус и Фелпс (Bonsall F. F., L i n-
denstrauss J. and P h e 1 p s R. R.)
1. Extreme positive operators on algebras of functions, Math. Scand., 18
A966), 161 — 182.
Бонсол и Томюк (Bonslall F. F. and T о m i u k B. J.)
1. The semi-algebra generated by a compact linear operator, Proc Edin-
Edinburgh Math. Soc, B) 14 A964/65), 177—196.
Бос (Bos W.)
1. Zur Abschatzung der Eigenwerte einer beschrankten linearen Transfor-
Transformation mit Hilfe der singularen Werte, Math. Ann., 157 A964),
276—277.
де Бранджес (de Branges L.)
1. Some Hilbert spaces of entire functions, I—IV.
I. Trans Amer. Math. Soc, 96 A960), 259—295.
II. Ibid., 99 A961), 118—152.
III. Ibid., 100 A961), 73—115.
IV. Ibid., 105 A962), 43—83.
2. Pertubations of self-adjoint transformations, Amer. J. Math., 84 A962),
543—560.
3. Invariant subspaces of non-adjoint transformations, Bull. Amer. Math.
Soc, 69 A963), 587—590.
4. Some Hilbert spaces of analytic functions.
I. Trans. Amer. Math. Soc, 106 A963), 445—468.
де Бранджес и Ровняк (de Branges L. and R о v n у a k J.)
1. The existence of invariant subspaces, Bull. Amer. Math. Soc, 70 A964).
718—721.
604 Библиография
2. Correction to «The existence of invariant subspaces», Bull. Amer. Math.
Soc, 71 A965), 396.
Браудер (Browder F. E.)
6. On the eigenfunctions and eigenvalues of the general linear elliptic dif-
differential operator, Proc. Nat. Acad. Sci., 39 A953), 433—439.
Браун A. (Brown A.)
1. On the adjoint of a closed transformation, Proc. Amer. Math. Soc, 15
A964), 239—240.
Браун А. и Пирс (Brown A. and P e a r с у С.)
1. Spectra of tensor products of operators, Proc. Amer. Math. Soc, 17
A966), 162—166.
Браун К. (Brown С. С.)
1. Uber schwach-kompakte Operatoren im Banachraum, Math. Scand.,
14 A964), 45—64.
Браунел (Brownell F. H.)
1. A note on Cook's wave-matrix theorem, Pacific. J. Math., 12 A962),
47—52.
д е Брёйн (de В г u i j n N. G.)
1. On unitary equivalence of unitary dilations of contractions in Hilbert
space, Ada Sci. Math. Szeged, 23 A963), 100—105.
Брейнер (Brainerd B.)
1. Averaging operators on the ring of continuous functions on a compact
space, /. Austral. Math. Soc, 4 A964), 293—298.
Б р е м (В г a m J.)
2. Subnormal operators, Duke Math. /., 22 A955), 75—94.
Бремер (В r e h m e r S.)
1. Uber vertauschbare Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Ada
Sci. Math. Szeged, 22 A961), 106—111.
Бродский В. М.
1. О собственных векторах линейных вполне непрерывных операторов,
определенных в полуупорядоченных ненормированных пространствах,
Сиб. матем. ж., 5:2 A964), 468—471.
Бродский М. С.
1. Об интегральном представлении ограниченных несамосопряженных
операторов с вещественным спектром, ДАН СССР, 126:6 A959),
1166—1169.
2. О треугольном представлении некоторых операторов с вполне непре-
непрерывной мнимой частью, ДАН СССР, 133:6 A960), 1271 — 1274.
3. Критерий одноклеточности вольтерровых операторов, ДАН СССР,
138:3 A961), 512—514.
4. Об одноклеточности вещественных вольтерровых операторов, ДАН
СССР, 147:5 A962), 1010—1012.
5. Об операторах с ядерными мнимыми компонентами, Ada Sci. Math.
Szeged, 27 A966), 147—155.
6. О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с од-
одной точкой спектра, УМН, 16:1 A961), 135—141.
Бродский М. С, Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. и Маца-
ев В. И.
1. О некоторых новых исследованиях по теории несамосопряженных
операторов, Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда, 2 A964), 261—271.
Бродский М. С. и Кисилевский Г. Э.
1. Критерий одноклеточности диссипативных вольтерровых операторов
с ядерными мнимыми компонентами, И АН СССР, Сер. матем., 30 : 6
A966), 1213—1228.
Бродский М. С. и Лившиц М. С.
2. Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточ-
промежуточные системы, УМН, 13:1 A958), 3—85.
Библиография 605
Бродский М. С. и Шмульян Ю. Л.
1. Инвариантные подпространства линейного оператора и делители его
характеристической функции, УМН, 19:1 A964), 143—149.
Бройер (Breuer M.)
1. Banachalgebren mit Anwendungen auf Frendholmoperatoren und sin-
gulare Integralgleichungen, Bonn. Math. Schr., No. 24, 1965.
Бройер и Кордес (Breuer M. and С о r d e s H.-O.)
1. On Banach algebras with cr-symbol, I, II.
I. Л Math. Mech., 13 A964), 313—323.
II. Ibid., 14 A965), 299—313.
Бруадо (Broido M. M.)
1. Spectral representations for families of self-adjoint operators, Proc.
Cambridge Philos. Soc, 62 A966), 209—213.
Бурачевский (Buraczewski A.)
1. Determinant systems for generalized Fredholm operators, Bull. Acad.
Polon. Sci., 9 A961), 435—440.
2. The determinant theory of generalized Fredholm operators, Studia Math.,
22 A963), 265—307.
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Elements de mathematique, Fasc. 32, Theories spectrales. Chapitre I:
Algebres normees; Chapitre II: Groupes localement compacts commuta-
tifs. Hermann et Cie., Act. Sci. et Ind., no. 1332, Paris, 1967. (Русский
перевод: Бурбаки Н., Спектральная теория, изд-во «Мир», М.,
1972.)
Бьянки и Фавелла (Bianchi L. and F a v e 1 1 a L.)
1. A convolution integral for the resolvent of the sum of two commuting
operators, Nuovo Cimento, 34 A0) A964), 1825—1828.
В а й д м а н (W eidmann J.)
1. Ein Satz tiber nukleare Operatoren im Hilbertraum, Math. Ann., 158
A965), 69—78.
2. Zur Spektraltheorie von Sturm-Liouville-Operatoren, Math. Zeit., 98
A967), 268—302.
В а л и ц к и й Ю. Н., см. Ф и ш м а н К. М.
Вальбрук (Waelbroeck L.)
1. Le calcul symbolique dans les algebres commutatives, /. Math. Pures
Appl. (9) 33 A954), 147—186.
2. Etude spectrale des algebres completes, Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mem.
Coll., 8° B) 31, No. 7 A960).
3. Etudes spectrale de certaines algebres completes, Colloque sur Tanalyse
fonctionnelle, Louvain, 1960, pp.29—38,Librairie Universitaire,Louvain,
1961.
4. Le calcul symbolique lie a la croissance de la resolvente, Rend. Sem.
Math. Univ. Milano, 34 A964), 51—72.
Василеску (Vasilescu F. H.)
1. Spectral algebras of a generalized scalar operator, Rev. Roumaine Math.
Pures. Appl., 10 A966), 1241 — 1243.
2. On an asymptotic behavior of operators, Rev. Roumaine Math. Pures
Appl., 12 A967), 353—358.
3. Spectal distance of two operators, Rev. Roumaine Math. Pures AppL,
12 A967), 733—736.
4. On a class of scalar generalized operators, Rev. Roumaine Math. Pures
Appl., 12 A967), 865—867.
5. Some properties of the commutator of two operators, J. Math. AppL.
23 A968), 440—446.
6. Asymptotic properties of the commutators of decomposable operators.
/. Math. Anal. Appl. (to appear).
606 Библиография
7. Residually decomposable operators in Banach spaces, Tdhoku Math, J.,
21 A969), 504—522.
8. Residual properties for closed operators on Frechet spaces, Illinois J.
Math, (to appear).
Вейль (Weyl H.)
5. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen, Math. Ann.,
68 A910), 220—269.
В е к к е н (Wecken F. J.)
2. Unitarinvarianten sebstadjungierter Operatoren, Math. Ann., 116
A939), 422—455.
Вест (W e s t Т. Т.), см. также Джиллеспи и Олагунжи
1. The spectra of compact operators in Hilbert spaces, Proc. Glasgow Math.
Assoc, 7 A965), 34—38.
2. Operators with a single spectrum, Proc. Edinburgh Math. Soc. B) 15
A966), 11 — 18.
3. Riesz operators in Banach spaces, Proc. London Math. Soc. C) 16 A966),
131 — 140.
4. The decomposition of Riesz operators, Proc. London Math. Soc. C) 16
A966), 737—752.
Видав (Vidav I.)
2. Eine metrische Kennzeichnung der selbstadjungierten Operatoren,
Math. Zeit., 66 A956), 121 — 128.
Визитей В. Н.
1. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного нормаль-
нормального оператора, ИАН МолдССР, 6 A964), 19—26.
2. О разложении по собственным и корневым векторам ограниченного
оператора, ИАН МолдССР, 7 A965), 33—39.
Визитей В. Н. и Маркус А. С.
3. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присое-
присоединенных векторов операторного пучка, Матем. сб., 66:2 A965),
287—320.
де Вилд (d e Wilde M.)
1. Operateurs semi-compacts, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 34 A965), 194—208.
2. Sur les operateurs prenucleaires et integraux, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege,
35 A966), 22—39.
Вильяме (Williams J. P.)
1. Spectra of products and numerical ranges, /. Math. Anal. Appl., 17
A967), 214—220.
Вильямсон (Williamson J. H.)
3. Compact linear operators in linear topological spaces, /. London Math.
Soc, 29 A954), 149—156. (Русский перевод: сб. Математика,\:Ь A960),
85—91.)
Винер (Wiener N.)
4. The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Univ.
Press, 1933. (Русский перевод: Винер Н., Интеграл Фурье и не-
некоторые его приложения, Физматгиз, М., 1963.)
5. Tauberian theorems, Ann. of Math., 33 B) A932), 1 — 100.
Винер и Хопф (Wiener N. and Hopf E.)
1. Ober eine Klasse singularer Integralgleichungen, S.-B. Preuss. Akad.
Wiss. Berlin Phys.-Math. Kl. 30/32 A931), 696—706.
Волк В. Я.
1. О спектральном разложении для одного класса несамосопряженных
операторов, ДАН СССР, 152:2 A963), 259—261.
Вульф (Wolf F.)
2. Simplicity of spectra in general operators (abstract), Bull. Amer. Math.
Soc, 60 A954), 345.
Библиография 607
3. On majorants of subharmonic and analytic functions, Bull. Amer. Math.
Soc, 48 A942), 925—932.
4. Operators in Banach space which admit a generalized spectral decompo-
decomposition, Nederl. Akad. Wetensch. Proc, Ser. A60 A957), 302—311.
5. Spectral decomposition of operators in Banach space and the analytic
character of their resolvent, Seminars on Analytic Functions, Institute for
Advanced Study, vol. 2, 1960, pp. 312—320,
Галиндо (Galindo A.)
1. On the existence of /-selfadjoint extensions of /-symmetric operators
with adjoint, Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 423—425.
Гальперин (Halperin I.)
6. The unitary dilation of a contraction operator, Duke Math. /., 28 A961),
563—571.
7. Unitary dilations which are orthogonal bilateral shift operators, Duke
Math. J., 29 A962), 573—580.
8. Sz.-Nagy-Brehmer dilations, Ada Sci. Math. Szeged, 23 A962), 279—
289.
9. Intrinsic description of the Sz.-Nagy-Brehmer unitary dilation, Studia
Math., 22 A962/63), 212—219.
10. Interlocking dilations, Duke Math. J., 30 A963), 475—484.
11. The spectral theorem, Amer. Math. Monthly, 71 A964), 408—410.
Гамбургер (Hamburger H. L.)
1. Five notes on a generalization of quasi-nilpotent transformations in
Hilbert space, Proc. London Math. Soc. C) 1 A951), 494—512.
Гамелин (Gamelin T. W.)> см. также Б а л с л е в
1. Decomposition theorems for Fredholm operators, Pacific J. Math.t 15
A965), 97—106.
Гамлен и Миллер (Gamlen J. L. В. and Miller J. B.)
1. Averaging and Reynolds operators on Banach algebras, II, Spectral
properties of averaging operators, /. Math. Anal. Appl., 23 A968),
183—197.
Гартогс и Розенталь (Hartogs F. and Rosenthal A.)
1. Uber Folgen analytischer Funktionen, Math. Ann., 104 A931), 606—610.
Геер (Geher L.), см. Фойаш
Гельфанд И. М. и Наймарк М. А.
3. Унитарные представления классических групп, Труды МИАН, 36
A950), 1—288.
Гельфанд И. М. и Райков Д. А.
1. К теории характеров коммутативных топологических групп, ДАН
СССР, 28 A940), 195—198.
Гельфанд И. М. иШилов Г. Е.
2. Обобщенные функции. Вып. 3. Некоторые вопросы теории дифферен-
дифференциальных уравнений, Физматгиз, М., 1958.
Генен и Мизра (Guenin M. and M i s r а В.)
1. De la permutabilite des operateurs non bornes (English summary) Helv,
Phys. Ada, 37 A964), 233—240.
Герлах (Gerlach E.)
1. On spectral representation for selfadjoint operators. Expansion in gene-
generalized eigenelements, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 15, fasc. 2 A965)
537—574.
Гехтман М. М. и Станкевич И. В.
1. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов ДАН
СССР, 158:1 A964), 29—32.
Гика (Ghika A.)
1. Decompositions spectrales generalisees des transformations lineaires
d'un espace hilbertien dans un autre, Rev. Math. Pures Appl. 2 A957),
61 — 109.
608 Библиография
Гилберт (Gilbert R. С), см. также Коддингтон
1. Extremal spectral functions of a symmetric operator, Pacific J. Math.,
14 A964), 75—84.
Гилберт и Крамер В. (Gilbert R. С. and Kramer V. A.)
1. Trace formulas for powers of a Sturm-Liouville operator, Canadian J.
Math., 16 A964), 412—422.
Гильдебрандт (Hildebrandt S.)
1. The closure of the numerical range of an operator as spectral set, Comm.
Pure Appl. Math., 17 A964), 415—421.
2. Uber den numerischen Wertebereich eines Operators, Math. Ann.,
163 A966), 230—247.
Г ильдерман Ю. И. и Коротков В. Б.
1. Об общем виде вполне непрерывных операторов, действующих из Lv
в ^-пространство X, Сиб. матем. ж., 4:6 A963), 1426—1430.
Гиндлер (G indie" r H. А.)
1. An operational calculus for meromorphic functions, Nagoya Math. J.y
26 A966), 31—38.
Гиндлер и Тейлор A. (G indie-r H. A. and Taylor A. E.)
1. The minimum modulus of a linear operator and its use in spectral theory,
Studia Math., 22 A962/63), 15—41.
Гинзбург Ю. П.
1. О мультипликативных представлениях ограниченных аналитических
оператор-функций, ДАН СССР, 170:1 A966), 23—26.
Гинзбург Ю. П. и Иохвидов И. С.
1. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билиней-
билинейной метрикой, УМН, 17:4 A962), 3—56.
Г и р ц (G i e r t z М.)
1. On the expansion of certain generalized functions in series of orthogo-
orthogonal functions, Proc. London Math. Soc. C) 14 A964), 45—52.
Глазман И. М.
5. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных
дифференциальных операторов, «Наука», М., 1963.
Гликфилд (Glikfield В. W.)
1. A metric characterisation of C(X) and its generalisation to C*-algebras,
Illinois J. Math., 10 A966), 547—556.
Г о д и ч В. И.
1. Об инвариантных подпространствах вполне непрерывных бисиммет-
ричных операторов, УМЖ, 18:3 A966), 103—107.
Гольдберг (Goldberg S.)
1. Closed linear operators and associated continuous linear operators,
Pacific J. Math., 12 A962), 183-^-186.
2. Unbounded linear operators: Theory and applications, McGraw-Hill,
New York, 1966.
Гольдберг и Шуберт (Goldberg S. and Schubert C.)
1. Some applications of the theory of unbounded operators to ordinary dif-
differential equations, /. Math. Anal. Appl., 19 A967), 78—92.
Гольдберг и Торп (Goldberg S. and Thorp E. O.)
1. The range as range space for compact operators, /. Reine Angew. Math.,
211 A962), 113—115.
2. On some open questions concerning strictly singular operators, Proc.
Amer. Math. Soc, 14 A963), 334—336.
Гольденгершель Э. И.
1. О спектре одного класса несамосопряженных операторов, Сиб. матем.
ж., 6:6 A965), 1420—1422.
2. О резольвенте вольтеррова оператора с ядром, зависящим от разности,
Сиб. матем. ж.у 6:6 A965), 1423—1434.
Библиография 609
Гольд ман М. А.
1. Об устойчивости свойства нормальной разрешимости линейных урав-
уравнений, ДАН СССР, 100 A955), 201—204.
Гольдман М. А. и Крачковский С. Н.
1. Инвариантность некоторых пространств, связанных с оператором
А — XI, ДАН СССР, 154:3 A964), 500—502.
2. О некоторых возмущениях замкнутого линейного оператора, ДАН
СССР, 158:3 A964), 507—509.
3. О ^-характеристике линейного оператора, ДАН СССР, 165:3 A965),
476—478.
4. О возмущении гомоморфизмов операторами конечного ранга, ДАН
СССР, 174:4 A967), 743—746.
Гольдман М. А. и Левич Е. М.
1. Об инвариантной дополняемости некоторых подпространств, порож-
порождаемых линейным оператором, ДАН СССР, 166:2 A966), 267—270.
Гоншор (Gonshor H.)
1. Spectral theory for a class of non-normal operators, I, II.
I. Canadian J. Math., 8 A956), 449—461.
II. Ibid., 10 A958), 97—102.
Гофман (Hoffman S. P., Jr.)
1. Second order linear differential operators defined by irregular boundary
conditions, Dissertation, Yale University, 1957.
Гохберг И. Ц., см. также Бродский М. С.
4. Об индексе неограниченного оператора, Машем, сб., 33 G5) A953),
193—198.
5. Признаки односторонней обратимости элементов нормированных ко-
колец и их приложения, ДАН СССР, 145:5 A962), 971—974.
6. Задача факторизации оператор-функций, ИАН СССР, Сер. матем.,
28:5 A964), 1055—1082.
7. О линейных уравнениях в нормированных пространствах, ДАН СССР,
76 A951), 477—480.
Гохберг И. Ц. и Крейн М. Г.
1. О вполне непрерывных операторах со спектром,-сосредоточенным
в нуле, ДАН СССР, 128:2 A959), 227—230.
2. Основные положения о числах, корневых числах и индексах линей-
линейных операторов, УМН, 12:2 G4) A957), 43—118.
3. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зави-
зависящими от разности аргументов, УМН, 13:2 A958), 3—72.
4. К теории треугольных представлений несамосопряженных операто-
операторов, ДАН СССР, 137:5 A961), 1034—1037.
5. О вольтерровых операторах с мнимой компонентой того или иного
класса, ДАН СССР, 139:4 A961), 779—782.
6. Критерий полноты системы корневых векторов сжатия, УМЖ, 16:1
A964), 78—82.
7. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, изд-во «Наука», М., 1965.
8. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее
приложения, М., 1967.
9. О треугольных представлениях линейных операторов и мультипли-
мультипликативных представлениях их характеристических функций, ДАН
СССР, 175:2 A967), 272—275.
10. О факторизации оператора в гильбертовом пространстве, Ada Sci.
Math. Szeged., 25 A964), 90—123.
Гохберг И. Ц. и Маркус А. С.
1. Некоторые соотношения между собственными числами и матричными
элементами линейных операторов, Матем. сб., 64:4 A964), 481 —
496.
39 Н. Данфорд и Дж. Шварц
610 Библиография
Грамш (Gramsch В.)
1. a-Transformationen in localbeschrankten Vectorraumen, Math. Ann.,
165 A966), 135—151.
2. Ein Schema zur Theorie Fredholmscher Endomorfismen und eine An-
wendung auf die Idealkette der Hilbertraume, Math. Ann., 171 A967),
263—272.
Грей (Gray J. D.)
1. Local analytic extensions of the resolvent, Pacific J. Math., 27 A968),
305—324.
Грейвс (Graves L. M.)
6. A generalization of the Riesz theory of completely continuous transfor-
transformations, Trans. Amer. Math. Soc, 79 A955), 141 — 149.
Грейнер (Greiner P. C.)
1. Eigenfunction expansions and scattering theory for perturbed elliptic
partial differential operators, Bull. Amer. Math. Soc, 70 A964), 517—
521.
Гротендик (Grothendieck A.)
3. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Memoirs Amer.
Math. Soc, no. 16, 1955.
8. The trace of certain operators, Studia Math., 20 A961), 141 — 143.
Густафсон (Gustafson K.)
1. A perturbation lemma, Bull. Amer. Math. Soc, 72 A966), 334—338.
Данфорд (Dunford N.)
2. Direct decompositions of Banach spaces, Bol. Soc. Mat. Mexicana, 3
A946), 1 — 12.
6. Spectral theory, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A940), 639—661.
7. Spectral theory, I. Convergence to projections, Trans. Amer. Math.
Soc, 54 A943), 185—217.
14. Spectral theory in abstract spaces and Banach algebras, Proc. Sympo-
Symposium on Spectral Theory and Differential Problems A951), Oklahoma
Agricultural and Mechanical College, Stillwater, Oklahoma, pp. 1—65.
15. Spectral theory, Proc. Symposium on Spectral Theory and Differential
Problems, 1951, pp. 203—208.
16. The reduction problem in spectral theory, Proc. International Congress
Math., Cambridge, Mass., 1950, vol. 2, pp. 115—122.
17. Spectral theory. II. Resolutions of the identity, Pacific J. Math., 2
A952), 559—614.
18. Spectral operators, Pacific J. Math., 4 A954), 321—354.
20. A survey of the theory of spectral operators, Bull. Amer. Math. Soc,
64 A958), 217—274. (Русский перевод: сб. Математика, 4:1A960),
53—100.)
21. Spectral operators in a direct sum of Hilbert spaces, Proc Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 50 A963), 1041 — 1043.
22. A spectral theory for certain operators on a direct sum of Hilbert spa-
spaces, Math. Ann., 162 A966), 294—330.
Дейвис (Davis C.)
1. Various averaging operators onto subalgebras, Illinois J. Math., 3 A959),
538—553.
2. The rotation of eigenvectors by a perturbation, /. Math. Anal. AppL,
6 A963), 159—173.
3. The rotation of eigenvectors by a perturbation, I, II.
I. /. Math. Anal. AppL, 6 A963), 159—173.
II. Ibid., 11 A965), 20—27.
Дейвис и Райдер (Davis С. and Rider D. G.)
1. Spectral sets and numerical range, Rev. Roumaine Math. Pure Appl.,
10 A965), 125—131.
Библиография 611
Декар и Пирс (Deckard D. and Р е а г с у С.)
1. On unitary equivalence of Hilbert-Schmidt operators, Proc. Amer.
Math. Soc, 16 A965), 671—675.
2. On rootless operators and operators without logatithms, Ada Sci.
Math. Szeged, 28 A967), 1—7.
Д е п р и (D e p r i t A.)
1. Endomorphismes de Riesz, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Ser. I, 70 A956),
165—183.
2. Contribution a l'etude de l'algebre des applications lineaires continues
d'un espece localement convexe separe: Theorie de Riesz-theorie spectra-
le, Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mem. Coll. in 8° 31, No. 2 A959).
Дер р и Тейлор A. (Derr J. and Taylor A. E.)
1. Operators of meromorphic type with multiple poles of resolvent, Pacific
J. Math., 12 A962), 85—111.
Джиллеспи и Вест (Gillespie Т. A. and West Т. Т.)
1. A characterisation and two examples of Riesz operators, Glasgow Math.
J., 9 A968), 106—110.
Джордж (George M. D.)
1. The spectrum of an operator in Banach space, Proc. Amer. Math. Soc,
16 A965), 980—982.
Диксмье (Dixmier J.)
1. Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs applications,
Ada Sci. Math. Szeged, 12, Pars A A950), 213—227.
Д и л (Deal E. R.)
1. Quasi-spectral theory, Math. Scand., 13 A963), 188—198.
2. A quasi-spectral operator, Math. Scand., 16 A965), 29—32.
Дин (Dean D. W.)
1. Schauder decompositions in (m), Proc. Amer. Math. Soc, 18 A967),
619—623.
Доллингер (Dollinger M. B.)
1. Some aspects of spectral theory on Banach spaces, Dissertation, Univ.
Illinois, 1968.
2. A type of spectral decomposition for a class of operators, J. Math. Mech.,
18 A969), 1059—1066.
Доллингер и Оберей (Dollinger M. В. and О b e r a i К. К.)
1. Variation of local spectra, /. Math. Anal. Appl , 32, no. 2 A972),
324 337
Дольф (D о 1 p h C. L.)
1. Recent developments in some non-self-adjoint problems of mathematical
physics, Bull. Amer. Math. Soc, 67 A961), 1—69. (Русский перевод:
сб. Математика, 7: 1 A963).)
2. Positive real resolvents and linear passive Hilbert systems, Ann. Acad.
Sci. Fenn., Ser. A. I, No. 336 A963).
Дольф и Пенцлин (Dolph С. L. and P e n z 1 i n F.)
1. On the theory of a class of non-self-adjoint operators and its applications
to quantum scattering theory, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A.I, No. 263
A959).
Доногю (Donoghue W. F., Jr.)
1. The lattice of invariant subspaces of a completely quasinilpotent trans-
transformation, Pacific J. Math., 7 A957), 1031 — 1035.
2. On a problem of Nieminen, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., No.
16 A963), 31—33.
3. On the perturbation of spectra, Comm. Pure Appl. Math., 18 A965),
559—579.
Доумар (Domar Y.)
1. Harmonic analysis based on certain commutative Banach algebras
Ada Math., 9 A956), 1—66.
39*
612 Библиография
Доусон (Dawson H. R.)
1. Restrictions of spectral operators, Proc. London Math. Soc. C) 15 A965),
437—457.
2. On some algebras of operators generated by a scalar-type spectral ope-
operator, /. London Math. Soc., 40 A965), 589—593.
3. Operators induced on quotient spaces by spectral operators, /. London
Math. Soc, 42 A967), 666—671.
4. On the commutant of a complete Boolean algebra of projections, Proc.
Amer. Math. Soc, 19 A968), 1448—1452.
5. Restrictions of prespectral operators, /. London Math. Soc. B) 1 A969),
633—642.
6. On a Boolean algebra of projections constructed by Dieudonne, Proc
Edinburgh Math. Soc, 16 B) A969), 259—262.
Дункан (Duncan J.), см. Бонсол
Дурст (Durszt E.)
1. On the numerical range of normal operators, Ada. Sci. Math. Szeged,
25 A964), 262—265.
2. On unitary p-dilations of operators, Ada Sci. Math. Szeged, 27 A966),
247—250.
Дьёдонне (Dieudonne J.)
19. Sur la bicommutante d'un algebre d'operateurs, Portugaliae Math.,
14 A955), 35—38.
20. Sur la theorie spectrale, /. Math. Pures Appl. (9) 35 A956), 175—187.
21. Champs de vecteurs non localement triviaux, Archiv des Math., 7
A956), 6—10.
22. Sur les homomorphismes d'espaces normes, Bull. Sci. Math. B) 67
A943), 72—84.
Д э и (Day M. M.)
8. Means for the bounded functions and ergodicity of the bounded repre-
representations of semi-groups, Trans. Amer. Math. Soc, 69 A950), 276—
291.
10. Ergodic theorems for abelian semi-groups, Trans. Amer. Math. Soc,
51 A942), 399—412.
12. Normed linear spaces, Ergebnisse der Math., N. F., Heft 21, Springer -
Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1958. (Русский перевод:
Дэй М., Линейные нормированные пространства, ИЛ, М., 1961).
Дюпра (Dupras A.)
1. Similarity of certain Volterra operators, Dissertation, New York Univ.,
1965.
Д ю р е н (D u r e n P. L.)
1. Invariant subspaces of tridiagonal operators, Duke Math. J., 30 A963),
239—248.
Есаян А. Р. и Стеценко В. Я.
1. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц,
ДАН СССР, 157:2 A964), 254—257.
3"а анен (Zaanen А. С), см. также Люксембург
10. A note on perturbation theory, Nieuw Arch. Wisk. C) 7 A959), 61—65.
Забрейко П. П., Красносельский М. А. и Стеценко В. Я.
1. Об оценках спектрального радиуса линейных положительных опера-
операторов, Матем. заметки, 1:4 A967), 461—468.
Зигмунд (Zygmund A.)
1. Trigonometical Series, Monografje Matematyczne, Warsaw, 1935, rep-
printed Dover and Chelsea Pub. Co., New York. (Русский перевод:
Зигмунд А., Тригонометрические ряды, «Мир», М., 1965.)
Зильберштейн (Silberstein J. P. О.)
2. Symmetrisable operators, I—III.
"I. /. Austral. Math. Soc, 2 A961/62), 381—402.
Библиография
613
II. Ibid., 4 A964), 15—30.
III. Ibid., 4 A964), 31—48.
И кебэ (I k e b e T.)
1. Eingenfunction expansions associated with the Schrodinger operators
and their applications to scattering theory, Arch. Rat. Mech. Anal., 5
(I960), 1—34.
2. On the phase-shift formula for the scattering operator, Pacific J. Math.,
15 A965), 511—523.
3. Orthogonality of the eigenfunctions for the exterior problem connected
with —A, Arch. Rat. Mech. Anal., 19 A965), 71—73.
4. On the eigenfunction expansion connected with the exterior problem
for the Schrodinger equation, Japanese J. Math., 36 A967), 33—55.
И н у э (I n о u e S.)
1. On the distribution of the spectra of normal operators in Hilbert spaces,
Proc. Japan Acad., 37 A961), 464—468.
2. Simplification of the canonical spectral representation of a normal ope-
operator in Hilbert space and its applications, Mem. Fac. Educ. Kumamoto
Univ., 3, Supplement 1 A955), 1—50.
3. Some analytical properties of the spectra of normal operators in Hilbert
spaces, Proc. Japan Acad., 37 A961), 566—570.
4. Functional-representations of normal operators in Hilbert spaces and
their applications, Proc. Japan Acad., 37 A961), 614—618.
5. On the functional-representations of normal operators in Hilbert spaces,
Proc. Japan Acad., 38 A962), 18—22.
6. Some applications of the functional-representations of normal operators
in Hilbert spaces, I —XXIV.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
XIII.
XIV.
XV.
XVI.
XVII.
XVIII.
XIX.
XX.
XXI.
XXII.
XXIII.
XXIV.
И о н е с к у
I. Proc. Japan Acad., 38 A962), 263—268.
II. Ibid., 38 A962), 452—456.
40
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
Ibid.
(I о n e s с u
38 A962), 641—645.
38 A962), 646—650.
38 A962), 706—710.
39 A963), 109—113.
39 A963), 338—341.
39 A963), 455—460.
39 A963),
40 A964),
A964),
A964),
566—568.
317—322.
391—395.
487—491.
40
40 A964), 492—497.
40 A964), 654—659.
A965), 150—154.
A965), 541—546.
A965), 702—705.
A965), 911—914.
A965), 915—918.
A966), 364—369.
A966),
A966),
A966),
A966),
583—588.
743—748.
749—754.
901—906.
T u 1 с е а С. Т.), см. также Эдварде
1. SpatIi Hilberti, Editura Acad. Rep. Populare Romane, 1956.
2. Spectral representations of certain semi-groups of operators, J. Math.
Mech., 8 A959), 95—110.
3. Spectral operators on locally convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc.,67
A961), 125—128.
614 Библиография
4. Scalar dilations and scalar extensions of operators on Banach spaces
(I), /. Math. Mech., 14 A965), 841—856.
5. Notes on spectral theory, Technical report, U.S. Army Research Office
(Durham), 1964.
Ионеску и Плафкер (Ionescu Tulcea С. and P 1 a f-
k er S.)
1. Dilations et extensions scalaires sur les espaces de Banach, C. R. Acad.
Sci. Paris, 265 A967), 734—735.
Ионеску и Саймон (Ionescu Tulcea С. and Simon A. B.)
1. Spectral representations and unbounded convolution operators, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 45 A959), 1765—1767.
Иосида К- (Yosida К.)
13. A perturbation theorem for semi-groups of linear operators, Proc.
Japan Acad., 41 A965), 645—647.
14. Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1965. (Русский перевод:
Иосида К-, Функциональный анализ, «Мир», М., 1967.)
Иосида М. (Yoshida М.), см. Накамура
Иосино (Yoshino Т.), см. также С а й т о
1. On the spectrum of a hyponormal operator, Tohoku Math. J., B) 17
A965), 305—309. Errata ibid., B) 19 A967), 101.
2. Spectral resolution of a hyponormal operator with the spectrum on a cur-
curve, Tohoku Math. J., 19 A967), 86—97.
Иохвидов И. С.
1. Сингулярные линеалы в пространствах с произвольной эрмитово-
билинейной метрикой, УМН, 17:4 A962), 127—133.
2. Об операторах с вполне непрерывными итерациями, ДАН СССР,
153:2 A963), 258—261.
3. О сингулярных линеалах в пространстве П^, УМЖ, 16:3 A964), 300—308.
Иохвидов И. С. и К рей н М. Г.
1. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной
метрикой, I, II.
I. Труды Моск. матем. об-ва, 5 A956), 367—432.
II. Там же, 8 A959), 413—496.
Истратеску (Istratescu V.)
1. On some hyponormal operators, Pacific J. Math., 22 A967), 413—417.
Ито (I to T.)
1. On the commutative family of subnormal operators, J. Fac. Sci. Hok-
Hokkaido Univ., Ser. I, 14 A958), 1—15.
Йен (Yen Т.), см. Сильверман
Какутани (Kakutani S.)
1. An example concerning uniform boudedness of spectral measures, Paci-
Pacific J. Math., 4 A954), 363—372.
К а л и ш (Kalisch G. К.)
1. On similarity, reducing manifolds, and unitary equivalence of certain
Volterra operators, Ann. of Math. B) 66 A957), 481—494.
2. On similarity invariants of certain operators in Lv, Pacific J. Math., 11
A961), 247—252.
3. On isometric equivalence of certain Volterra operators, Proc. Amer.
Math. Soc, 12 A961), 93—98.
4. Theoreme de Titchmarsh sur la convolution et operateurs de Volterra,
Seminare d'Analyse, dirige par P. belong 1962/63, Paris, 1963.
5. Direct proofs of spectral representation theorems, /. Math. Anal. Appl.,
8 A964), 351—363.
6. Characterizations of direct sums and commuting sets of Volterra opera-
operators, Pacific J. Math., 18 A966), 545—552.
7. On fractional integrals of pure imaginary order in Lp, Proc. Amer. Math.
Soc, 18 A967), 136—139. '
Библиография 615
Кальмушевский И. И.
1. О линейной эквивалентности вольтерровых операторов, УМН, 20:6
A965), 93—97.
Каниэль (Kaniel S.)
1. Unbounded normal operators in Hilbert space, Trans. Amer. Math.
Soc, 113 A964), 488—511.
Каниэль и Шехтер (Kaniel S. and Schechter M.)
1. Spectral theory for Frendholm operators, Comm. Pure Appl. Math., 16
A963), 423—448.
Камович (Kamovitz H.)
1. On operators whose spectrum lies on a circle or a line, Pacific J. Math.,
20 A967), 65—68.
Канторович (Kantorovitz Sh.)
1. An operational calculus and spectral operators, Dissertation, University
of Minnesota, 1962.
2. Operational calculus in Banach algebras for algebra-values functions,
Trans. Amer. Math. Soc, 110 A964), 519—537.
3. Classification of operators by means of the operational calculus, Bull.
Amer. Math. Soc, 70 A964), 316—320.
4. On the characterization of spectral operators, Trans. Amer. Math. Soc,
111 A964), 152—181.
5. Classification of operators by means of their operational calculus,
Trans. Amer. Math. Soc, 115 A965), 194—224.
6. A Jordan decomposition for operators in Banach space, Bull. Amer.
Math. Soc, 71 A965), 891—893.
7. A Jordan decomposition for operators in Banach space, Trans. Amer.
Math. Soc, 120 A965), 526—550.
8. The semi-simplicity manifold of arbitrary operators, Trans. Amer.
Math. Soc, 123 A966), 241—252.
9. The Ck-classification on certain operators on Lv, Trans. Amer. Math.
Soc, 132 A968), 323—333.
10. Local O-operational calculus, J. Math. Mech., 17 A967), 181 — 188.
Капланский (Kaplansky I.)
1. A theorem on rings of operators, Pacific J. Math., 1 A951), 227—
232.
Карадус (Caradus S. R.)
1. Operators of Riesz type, Pacific J. Math., 18 A966), 61—71.
2. Operators with finite ascend and descent, Pacific J. Math., 18 A966),
437—449.
3. On meromorphic operators, I, II.
I. Canadian J. Math., 19 A967), 723—736.
II. Ibid., 19 A967), 737—748.
Кариотис (Kariotis С. А.)
1. Spectral properties of certain classes of operators, Dissertation, Univ.
of Illinois, 1966.
К а р л и н (К a r 1 i n S.)
1. Positive operators, J. Math. Mech., 8 A959), 907—937.
Картан (Cartan H.)
1. Theorie spectrale des C-algebres commutatives, Seminaire Bourbaki,
Expose 125, 1955/56.
Като (К a t о Т.)
9. Perturbation of contunuous spectra by trace class operators, Proc Japan
Acad., 33 A957), 260—264.
10. On finite-dimensional perturbations of self-adjoint operators, /. Math.
Soc. Japan, 9 A957), 239—249.
11. Perturbation theory for nullity, deficiency and other quantities of linear
operators, J. Analyse Math., 6 A958), 261—322.
616 Библиография
12. Wave operators and similarity for non-selfadjoint operators, Math
Ann., 162 A966), 258—279.
13. Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, New York,
1966. (Русский перевод: Теория возмущений линейных операторов
«Мир», М., 1972.)
14. Wave operators and unitary equivalence, Pacific J. Math., 15 A965),
171—180.
К а ц Г. И.
1. Спектральные разложения самосопряженных операторов по обобщен-
обобщенным элементам гильбертова пространства, УМЖ, 13:4 A961), 13—33.
К а ц И. С.
1. Кратность спектра дифференциального оператора второго порядка
по собственным функциям, И АН СССР, Сер. матем., 27:5 A963),
1081 — 1112; 28:4 A964), 951—952.
Кацнел ьсон В. Э.
1. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых клас-
классов операторов, Функц. анализ и его приложения, 1:2 A967), 39—51.
Кацнельсон В. Э. иМацаев В. И.
1. О спектральных множествах операторов в банаховом пространстве
и оценках функций от конечномерных операторов, Теория функций,
анализ и их прилож., 3 A966), 3—10.
Кашук (Kaashoek M. А.)
1. Closed linear operators on Banach spaces, Nederl. Akad. Wetensch. Proc,
Ser. A, 68 A965), 405—414.
2. Stability theorems for closed linear operators, Nederl. Akad. Wetensch.
Proc, Ser. A, 68 A965), 452—466.
Кашук и Лей (Kaashoek M. A. and L а у D. C.)
1. On operators whose Fredholm set is the complex plane, Pacific J. Math.,
21 A967), 275—278.
Келдыш М. B.
1. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов
несамосопряженных уравнений, ДАН СССР, 77 A951), 11 —14.
Келдыш М. В. и Лидский В. Б.
1. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов, Тр.
4-го Всесоюзн. матем. съезда, 1, 1963, стр. 101 —120.
Келли и Намиока (К е 1 1 е у J. L., N ami oka I. et al.)
1. Linear topological spaces, D. van Nostrand Inc., Princeton, 1963.
К е м п (Kemp R. R. D.)
1. On a class of singular differential operators, Canadian J. Math., 13
A961), 316—330.
Кесельман Г. М.
1. Об однозначной аналитической продолжимости резольвенты линейного
органиченного оператора, УМН, 17, № 4 A962), 135—139.
2. О структуре несамосопряженного дифференциального оператора вто-
второго порядка на полуоси, ДАН УССР, 5 A963), 588—591 (на укр. яз.).
Кёртис (Curtis Р. С, Jr.), см. Бейд
Кете (Ко t h e G.)
12. Topologische lineare Raume, I, Springer-Verlag, Berlin, 1960.
13. General linear transformations of locally convex spaces, Math. Ann.,
159 A965), 309—328.
Килп^и (К i 1 p i Y.)
2. Uber die Anzahl der hypermaximalen normalen Fortsetzungen normaler
Transformationen, Ann. Univ. Turku., Ser. AI, No. 65 A963).
Кисилевский Г. Э., см. также Бродский М. С.
1. Условия одноклеточности диссипативных вольтерровых операторов
с конечномерной мнимой компонентой, ДАН СССР, 159 : 3 A964),
505—508.
Библиография 617
2. Об упорядоченности характеристических матриц-функций диссипатив-
ных вольтерровых операторов, ДАН СССР, 159:4 A964), 730—733.
Кларк (Clark С.)
1. On relatively bounded perturbations of ordinary differential operators,
Pacific J. Math., 25 A968), 59—70.
Клейнекке (Kleinecke D. C.)
4. On operator commutators, Proc. Amer. Math. Soc, 8 A957), 535—536.
5. Almost-finite, compact, and inessential operators, Proc. Amer. Math.
Soc, 14 A963), 863—868.
Клуванек (Kluvanek I.)
1. Characterization of scalar-type spectral operators, Arch. Math. (Brno),
2 A966), 153—156.
2. Characterization of Fourier-Stieltjes transformations of vector and ope-
operator valued measures, Czech. Math. J., 17 (92) A967), 261—277.
Клуванек и Коважикова (Kluvanek I. and К о v a-
rikova M.)
1. Product of spectral operators, Czech. Math. J., 17(92) A967), 248—256.
Кобёрн (Coburn L. A.)
1. Weyl's theorem for non-normal operators, Michigan Math. J., 13 A966),
285—288.
Кобёрн и Лебоу (Coburn L. A. and Lebow A.)
1. Algebraic theory of Fredholm operators, J. Math. Mech., 15 A966),
577—584.
2. Approximation by Fredholm operators in the metric space of closed
operators, Rend. Sent. Mat. Univ. Padova, 36 A966), 217—222.
Коважикова (Kovarikova M.), см. также Клуванек
1. On the polar decomposition of scalar-type operators, Czech. Math. J.,
17 (92) A967), 313—316.
Коддингтон (Coddington E. А.), см. также Бирюк
5. Formally normal operators having no normal extensions, Canadian J.
Math., 17 A965), 1030—1040.
Коддингтон и Гилберт (Coddington E. A. and G i 1-
b er t R. C.)
1. Generalised resolvents of ordinary differential operators, Trans. Amer.
Math. Soc, 93 A959), 216—241.
Коддингтон и Левинсон (Coddington E. A. and L e-
v i n s о n N.)
1. Theory of differential equations, McGraw-Hill, New York, 1955. (Рус-
(Русский перевод- Теория обыкновенных дифференциальных уравнений,
ИЛ, М., 1958.)
Кокан (Kocan D.)
1. Spectral manifolds for a class of operators, Illinois J. Math., 10 A966),
605—622.
Коложоара (Colojoara I.)
1. Generalized spectral operators, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 7
A962), 459—465.
2. Operatori spectrali generalisati, II, Com. Acad. R. P. Romine, 12 A962),
973—977.
3. Operatori spectrali generalizati, Stud. Cere Math., 15 A964), 499—536.
4. Logarithms of generalized spectral operators, Rev. Roumaine Math.
Pures Appl., 10 A965), 319—322.
5. Elemente de teorie spectrala (Roumanian), Editura Academiei Rep.
Soc. Romania, Bucarest, 1968.
Коложоара и Фойаш (Colojoara I. and F о i a § C.)
1. Quasi-nilpotent equivalence of not necessarily commuting operators,
J. Math. Mech., 15 A966), 521—540.
2. The Riesz-Dunford functional calculus with decomposable operators,
Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 12 A967), 627—641.
618 Библиография
3. Spectral distribution of finite multiplicity, Rev. Roumaine Math. Pares
AppL, 12 A967), 1039—1042.
4. Theory of generalized spectral operators, Gordon and Breach, New York,
1968.
5. Commutators of decomposable operators, Rev. Roumaine Math. Pures
AppL, 12 A967), 807—815.
Комацу (Komatsu H.)
1. Semi-groups operators in locally convex spaces, J. Math. Soc. Japan, 16
A964), 230—262.
К о н л е й (С о n I e у С. С.)
1. A note on perturbations which create new point eigenvalues, J. Math.
Anal. AppL, 15 A966), 421—433.
Конлей и Рейто (Conley С. С. and R e j t о P. A.)
1. On spectral concentration, Technical Report IMM-NYU 293, New York
Univ., 1962.
Конно и К урода (Konno R. and Kuroda S.-T.)
1. On the finiteness of perturbed eigenvalues, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect.
I, 13 A966), 55—63.
Коппельман (Koppelman W.)
1. Spectral multiplicity theory for a class of singular integral operators,
Trans. Amer. Math. Soc, 113 A964), 87—100.
2. On the spectral theory of singular integral operators, Trans. Amer. Math.
Soc, 97 A960), 35—63.
Коппельман и Пинкус (Koppelman W. and Pin-
c u s J. D.)
1. Spectral representation for finite Hilbert transforms, Math. Zeit., 71
A959), 399—407.
Кордес (Cordes H.-O.), см. также Б р о й е р
3. The algebra of singular integral operators in Rn, J. Math. Mech., 14
A965), 1007—1032.
4. Uber eine nicht algebraische Characterisierung von Jf-Fredholm-Opera-
toren, Math. Ann., 163 A966), 212—229.
Кордес и Лабрус (Cordes H.-O. and L a b г о u s s e J. P.)
1. The invariance of the index in the metric of closed operators, J. Math.
Mech., 12 A963), 693—719.
Короткое В. Б., см. также Гильдерман Ю. И.
1. Абстрактные функции множеств и теоремы вложения, ДАН СССР,
146:3 A962), 531—534.
К р а б б е (К г a b b e G. L.)
1. On the logarithm of a uniformly bounded operator, Trans. Amer. Math.
Soc, 81 A956), 155—166.
2. On the spectra of certain Laurent matrices, Proc Amer. Math. Soc, 8
A957), 894—897.
3. Convolution operators which are not of scalar type, Math. Zeit., 69
A958), 346—350.
4. Spectral invariance of convolution operators on Lp (—oo, oo), Duke
Math. J., 25 A958), 131 — 141.
5. Spectral isomorphisms for some rings of infinite matrices on Banach
space, Amer. J. Math., 78 A956), 42—50.
6. Convolution operators that satisfy the spectral theorem, Math. Zeit.,
70 A959), 446—462.
7. Vaguely normal operators on a Banach space, Arch. Rat. Mech. Anal.,
3 A959), 51—59.
8. Normal operators on the Banach spaces Lp (—oo, oo), I, II.
I. Bounded operators, Bull. Amer. Math. Soc, 65 A959), 270—272.
II. Unbounded transformations, Bull. Amer. Math. Soc, 66 A960),
86—90.
Библиография 619
9. Normal operators on the Banach space Lv (—oo, oo), I, II.
I. Canadian J. Math., 13 A961), 505—518.
II. Unbounded operators, J. Math. Mech., 10 A961), 111 — 113.
10. Integration with respect to operator-valued functions, Bull. Amer.
Math. Soc, 67 A961), 214—218.
11. Refractions non-hilbertiennes d'une transformation symetrique bornee,
Studia Math., 20 A961), 347—357.
12. Sur la permanence spectrale, С R. Acad. Sci. Paris, 255 A962), 1326—
1328.
13. Spectrale permanence of scalar operators, Pacific J. Math., 13 A963),
1289—1303.
14. Generalized measures whose values are operators into an intermediate
space, Bull. Amer. Math. Soc, 68 A962), 42—46.
15. Generalized measures whose values are operators into an intermediate
space, Math. Ann., 151 A963), 219—238.
16. Stieltjes integration, spectral analysis and the locally-convex algebra
(BV), Bull. Amer. Math. Soc, 71 A965), 184—189.
Крамер Г. (Kramer H. P.)
1. Peturbation of differential operators, Dissertation, Univ. of California,
Berkeley, 1954.
2. Perturbation of differential operators, Pacific J. Math., 7 A957), 1405—
1435.
Крамер В., см. Гилберт
Красносельский М. А., см. также Бахтин И. А.,
Крейн М. Г. и Забрейко П. П.
5. Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз,
М., 1962.
К р а ч к о в с к и й С. Н. , см. также Г о л ь д м а н М. А.
Крейн М. Г., см. также Бирман М. Ш., Бродский М. С,
Гохберг И. Ц. и Иохвидов И. С.
8. О формуле следов в теории возмущений, Матем. сб., 33 G5) A953),
597—626.
22. О признаках полноты системы корневых векторов диссипативного
оператора, УМН, 14:3 A959), 145—152.
23. К теории линейных несамосопряженных операторов, ДАН СССР,
130:2 A960), 254—256.
24. Об определителях возмущения и формуле следов для унитарных и са-
самосопряженных операторов, ДАН СССР, 144:2 A962), 268—271.
25. Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории
операторов в пространстве с индефинитной метрикой, ДАН СССР,
154:5 A964), 1023—1026.
26. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от раз-
разности аргументов, УМН, 13:5 A958), 3—120.
27. О некоторых новых исследованиях по теории возмущений самосопря-
самосопряженных операторов. В сб. «Первая летняя матем. школа», 1, Киев,
1964, стр. 103—187.
28. Введение в геометрию индефинитных /-пространств и теорию опера-
операторов в этих пространствах. В сб. «Вторая летняя матем. школа»,
1, Киев, 1965, стр. 15—92.
Крейн М. Г. и Красносельский М. А.
1. Устойчивость индекса неограниченного оператора, Матем. сб., 30
G2) A952), 219—224.
Крейн М. Г. и Лангер Г. (Langer G. К. [Heinz])
1. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве
с индефинитной метрикой, ДАН СССР, 152:1 A963), 39—42.
2. К теории квадратичных пучков самосопряженных операторов, ДАН
СССР, 154:6 A964), 1258—1261.
620 Библиография
К рей н М. Г. и Рутман М. А.
1, Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в простран-
пространстве Банаха, УМН, 3:1 B3) A948), 3—95.
Крейн М. Г. и Шмульян Ю. Л.
1. Об одном классе операторов в пространстве с индефинитной метрикой,
ДАН СССР, 170:1 A966), 34—37.
Крейн С. Г. (под редакцией), см. также Аскеров Н. Г.
1. Функциональный анализ, «Наука», М., 1964.
Кримминс и Розенталь П. (Crimmins T. and Rosen-
thai P.)
1. On the decomposition of invariant subspaces, Bull. Amer. Math. Soc.,
73 A967), 97—99.
Кужель А. В.
1. Спектральный анализ неограниченных несамосопряженных операто-
операторов, ДАН СССР, 125:1 A959), 36—37.
2. Спектральное разложение квазиунитарных операторов произвольного
ранга в пространстве с индефинитной метрикой, ДАН УССР, 4 A963),
430—433 (на укр. языке).
3. Спектральный анализ ограниченных несамосопряженных операторов
в пространстве с индефинитной метрикой, ДАН СССР, 151:4 A963),
772—774.
Кук (Cook J. М.)
1. Convergence to the Miller wave-matrix, J. Math. Phys., 36 A957),
82—87.
Кукулеску и Фойаш (Cuculescu I. and F о i a s C.)
1. An individual ergodic theorem for positive operators, Rev. Roumaine
Math. PuresAppL, 11 A966), 581—594.
Кульце P. (K u 1 t z e R.)
1. Zur Theorie Fredholmscher Endomorphismen in nuklearen topologischen
Vektorraumen, J. Reine Angew. Math., 200 A958), 112—124.
Kypena (Kurepa S.)
1. A note on logarithms of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc, 13
A962), 307—311.
2. On n-th roots of normal operators, Math. Zeit., 78 A962), 285—292.
3. On roots of an element of a Banach algebra, Publ. Inst. Math. (Beograd)
(N. S.), 1 A5) A962), 5—10.
4. Logarithms of spectral type operators, Glasnik Mat.-Fix. Astronom.,
Ser. II, 18 A963), 53—57.
5. A theorem about similarity of operators, Arch. Math., 14 A963), 411—414.
6. On operator-roots of an analytic function, Glasnik Mat.-Fiz. Astronom.,
Ser. II, 18 A963), 49—51.
Ky рода (Kuroda S.-T.), см. также К о н н о
1. On a theorem of Weyl- von Neumann, Proc. Japan A cad., 34 A958), 11—15.
2. On the existence and unitary properties of the scattering operator, II,
Nuovo Cimento, 12 A959), 431—454.
3. Perturbation of continuous spectra by unbounded operators, I, II.
I. J. Math. Soc. Japan, 11 A959), 246—262.
II. Ibid., 12 A960), 243—257.
4. On a generalization of the Weinstein-Aronzajn formula and the infinite
determinant, Sci: Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo, 11 A961), 1 — 12.
5. Finite-dimensional perturbation and a representation of the scattering
operator, Pacific J. Math., 13 A963), 1305—1318.
6. On a stationary approach to scattering problems, Bull. Amer. Math.
Soc, 70 A964), 556—560.
7. Stationary methods in the theory of scattering, Perturbation Theory and
its Applications in Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1966, pp.
185—214.
Библиография 621
8. Perturbation of eigenfunction expansions, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
57 A967), 1213—1217.
9. An abstract stationary approach to perturbation of continuous spectra-
and scattering theory, J. Analyse Math., 20 A967), 57—117.
Лабрус (Labrousse J. P.), см. Кордес
Лаврентьев М. А.
1. Sur les fonctions d'une variable complexe representable par des series de
polynomes, Act. Sci. Jnd., 441 A936), 1—62.
Ладыженская О. А. и Фаддеев Л. Д.
1. К теории возмущений непрерывного спектра, ДАН СССР, 120:6 A958),
1187—1190.
Лаке и Филлипс (Lax P. D. and Phillips R. S.)
1. Scattering theory, Bull. Amer. Math. Soc, 70 A964), 130—142.
2. Scattering theory, Academic Press, New York, 1967. (Русский перевод:
Теория рассеяния, «Мир», М., 1971.)
3. Analytic properties of the Schrodinger scattering matrix, Perturbation
Theory and its Applications in Quantum Mechanics, Wiley, New York,
1966, pp. 243—253.
ЛангерГ. (L anger G. K-)> см- также Крейн М. Г.
1. Sur Spectraltheorie /-selbstadjungierter Operatoren, Math. Ann., 146
A962), 60—85.
2. О /-эрмитовых операторах, ДАН СССР, 134 A960), 263—266.
3. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von L. S. Pontrjagin, Math.
Ann., 152 A963), 434—436.
4. Eine Erweiterung der Spurformel der Storungstheorie, Math. Nachr.,
30 A965), 123—135.
5. Spectralfunktionen einer Klasse /-selbstadjungierter Operatoren, Math.
Nachr., 33 A967), 107—120.
Лангер P. (L anger R.), см. Биркгоф Дж.
Ланье (Lanier L. H., Jr.)
1. Semi-groups of spectral operators, Dissertation, University of Illinois,
Urbana, 1963.
Лаптев Г. И., см. Аскеров Н. Г.
Лебоу (Lebow А.), см. также К о б ё р н
1. On von Neumann's theory of spectral sets, J. Math. Anal. Appl., 7
A963), 64—90.
2. A note of normal dilations, Proc. Amer. Math. Soc, 16 A965), 995—998.
Левин Б. Я.
1. Преобразование типа Фурье и Лапласа при помощи решений диффе-
дифференциального уравнения второго порядка, ДАН СССР, 106 A956),
187—190.
Левинсон (Lev inson N.), см. Коддингтон
Л е в и ч Е. М., см. Г о л ь д м а н М. А.
Лежаньский (L е 2 a ri s k i Т.)
1. The Fredholm theory of linear equations in Banach spaces, Studia Math.,
13 A953), 244—276.
Лей (Lay D. С), см. К а ш у к
Лившиц М. С.
6. О спектральном разложении линейных несамосопряженных операто-
операторов, Машем, сб., 34 G6) A954), 144—199.
7. Об одном классе линейных операторов в гильбертовом пространстве,
Машем, сб., 19 F1) A946), 239—262.
Лидский В. Б.
1. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопря-
несамосопряженных операторов с дискретным спектром, Труды моек, матем. о-ва,
8 A959), 83—120.
622 Библиография
2. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных
операторов, Труды Матем. моек, о-ва, 11 A962), 3—35.
Линденштраусс (Lindenstrauss J.), см. также Б о н с о л
1. Extension of compact operators, Memoirs Amer. Math. Soc, 48, 1964.
Линденштраусс и Пелчинский (Lindenstrauss J.
and Pelczynski A.)
1. Absolutely summing operators in Lp-spaces and their applications, Stu-
dia Math., 29 A968), 275—326.
Лионе (Lions J. L.), см. Фойаш
Литтман, Маккарти и Ривьер (Littman W., McCar-
McCarthy С. and Riviere N.)
1. LP-multiplier theorems, Stadia Math., 30 A969), 197—221.
Лиф (Leaf G. K.)
1. A spectral theory for a class of linear operators, Pacific J. Math., 13
A963), 141 — 155.
2. An approximation theorem for a class of operators, Proc. Amer. Math.
Soc, 16 A965), 991—995. Errata ibid., 18 A967), 1141 — 1142.
Ллойд (Lloyd S. P.)
1. On extreme averaging operators, Proc. Amer. Math. Soc, 14 A963),
305—310.
Логинов Б. В.
1. Об оценке точности метода возмущений в случае ограниченного невоз-
невозмущенного оператора, ИАН УзССР, Сер. физ.-мат., 5 A963), 21—25.
Л о р х (L о г с h E. R.)
1. Bicontinuous linear transformations in certain vector spaces, Bull.
Amer. Math. Soc, 45 A939), 564—569.
2. On a calculus of operators in reflexive vector spaces, Trans. Amer, Math.
Soc, 45 A939), 217—234.
7. The integral representation of weakly almost-periodic transformations
in reflexive vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 49 A941), 18—40.
15. Spectral theory, Oxford Univ. Press, New York, 1962.
Лоуденслагер (Lowdenslager D.), см. X e л ь с о н
Лоц (L о t z H. Р.)
1. Uber das Spectrum positiver Operatoren, Math. Zeit., 108 A968), 15—32.
Лоц и III e ф e p (L о t z H. P. and S с h a e f e r H. H.)
1. Uber einen Satz von F. Niiro und I. Sawashima, Math. Zeit., 108 A968),
33—36.
Л ю б и ч Ю. И.
1. Почти-периодические функции в спектральном анализе операторов,
ДАН СССР, 132:3 A960), 518—520.
2. Об одном классе операторов в банаховом пространстве, УМН, 20:6
A965), 131 — 133.
3. Консервативные операторы, УМН, 20:5 A965), 221—225.
Любич Ю. И. и Мацаев В. И.
1. К спектральной теории линейных операторов в банаховом простран-
пространстве, ДАН СССР, 131:1 A960), 21—23.
2. Об операторах с отделимым спектром, Матем. сб., 56: 4 A962), 433—
468; 71:2 A966), 287—288.
Люксембург и Заанен (Luxemburg W. A.J. and Z a a-
n e n А. С.)
1. Compactness of integral operators in Banach function spaces, Math.
Ann., 149 A962/63), 150—180.
Люмер (Lumer G.), см. также X а л м о ш
1. Semi-inner product spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 100 A961),
29—43.
2. Spectral operators, Hermitian operators, and bounded groups, Ada
Sci. Math. Szeged, 25 A964), 75—85.
Библиография 623
3. Remarks on /г-th roots of operators, Ada Sci. Math. Szeged, 25 A964)
72—74.
Лянце В. Э.
1. Кольца линейных неограниченных операторов с разложением
единицы и их представления, ДАН СССР, 121 :5 A958), 801 804.
2. Об одном обобщении понятия спектральной меры, Матем. сб., 61 #1
A963), 80—120.
3. Неограниченные операторы, перестановочные с разложением едини-
единицы, УМЖ, 15:4 A963), 376—384.
4. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями, 1,11.
I. Матем. сб., 64:4 A964), 521—561.
II. Матем. сб., 65:1 A964), 47—103.
5. Некоторые свойства идемпотентных операторов, Теорет. и прикл.
матем., Львов, 1 A958), 16—22.
6. О разложении по собственным функциям несамосопряженного диф-
дифференциального оператора со спектральными особенностями, ДАН
СССР, 149:2 A963), 256—259.
7. Обратная задача для несамосопряженного оператора, ДАН СССР,
166:1 A966), 30—33.
8. Разложение по главным функциям оператора со спектральными осо-
особенностями, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., 11:8 A966), 921—950;
11:10 A966), 1187—1224.
9. Несамосопряженное одномерное возмущение оператора умножения
на независимое переменное, ДАН СССР, 182 A968), 1010—1013.
10. О возмущении непрерывного спектра, ДАН СССР, 187A969), 514—
517.
Маеда (Maeda F.-Y.)
1. Spectral theory on locally convex spaces, Dissertation, Vale Univ., 1961.
2. A characterization of spectral operators on locally convex spaces, Math.
Ann., 143 A961), 59—74.
3. Remarks on spectra of operators on a locally convex space, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 47 A961), 1052—1055.
4. Generalized spectral operators on locally convex spaces, Pacific J. Math.,
13 A963), 177—192.
5. Function of generalised scalar operators, /. Sci. Hiroshima Univ., Ser.
A-I, 26 A962), 71—76.
6. On spectral representations of generalized spectral operators, /. Sci.
Hiroshima Univ., Ser. A-I, 27 A963), 137—149.
7. Generalized unitary operators, Bull. Amer. Math. Soc, 71 A965), 631 —
633.
8. Generalized scalar operators whose spectra are contained in a Jordan
curve, Illinois J. Math., 10 A966), 431—459.
Макгарвей (McGarvey D. C.)
1. Operators commuting with translation by one, I—III.
I. Representation theorems, /. Math. Anal. Appl., 4 A962), 366—410.
II. Differential operators with periodic coefficients in L^ (—oo, oo),
ibid., 11 A965), 564—569. V
III. Perturbation results for periodic differential operators, ibid. 12
A965), 187—234.
Маккарти (McCarthy С. А.), см. также Л и т т м а н
1. The nilpotent part of a spectral operator, I, II.
I. Pacific J. Math., 9 A959), 1223—1231.
II. Ibid., 15 A965), 557—559.
2. Commuting Boolean algebras of projections, I,II.
I. Pacific J. Math., 11 A961), 295—307.
II. Proc. Amer. Math. Soc, 15 A964), 781—787.
3. cp, Israel J. Math., 5 A967), 249—271.
624 Библиография
Маккарти и Стемпфли (McCarthy С. A. and Stamp-
f 1 i J. С.)
1. On one-parameter groups and semi-groups of operators in Hilbert space,
Ada Sci. Math. Szeged, 25 A964), 6—11.
Маккарти и Цафрири (McCarthy С. A. and Tzaf r i-
ri L.)
1. Projections in X± and ^oo-spaces, Pacific J. Math., 26 A968), 529—546.
Маккарти и Шварц Д ж. (McCarthy С. A. and Schwartz J.)
1. On the norm of a finite Boolean algebra of projections, and applications
to theorems of Kjeiss and Morton, Comm. Pure Appl. Math., 18 A965),
191—201.
Маккелви (М с К e 1 v e у R.)
1. The spectra of minimal self-adjoint extensions of a symmetric operator,
Pacific J. Math., 12 A962), 1003—1022.
2. Spectral measures, generalized resolvents, and functions of positive type,
/. Math. Anal. Appl., 11 A965), 447—477.
Макки (Mackey G. W.)
1. Commutative Banach algebras, Mimeographed lecture notes, Harvard
Univ., 1952.
Мак-Клюер (MacCluer С R.)
1. On extreme points of the numerical range of normal operators, Proc.
Amer. Math. Soc, 16 A965), 1183—1184.
Маклафлин (McLaughlin J. E.), см. X а л м о ш
Марек (М а г е к I.)
1. On some spectral properties of Radon-Nicolski operators and their gene-
generalizations, Comment. Math. Univ. Carolinae, 3 A962), 20—30.
2. A note on /C-positive operators, Comment. Math. Univ. Carolinae, 4 A963),
137—146.
3. On the minimax principle for /C-positive operators, Comment. Math.
Univ. Carolinae, 7 A966), 109—112.
Маркус А. С, см. также Визите й, Гохберг
1. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопря-
самосопряженного оператора, ДАН СССР, 142:3 A962), 538—541.
2. Собственные и сингулярные числа суммы и произведения линейных
операторов, УМН, 19:4 A964), 93—123.
3. О некоторых признаках полноты системы корневых векторов линей-
линейного оператора и суммируемости рядов по этой системе, ДАН СССР,
155:4 A964), 753—756.
4. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного
оператора в банаховом пространстве, Матем. сб., 70:4 A966), 526—
561.
Мартиросян Р. М.
1. Об индексах дефекта и спектре некоторых операторов, ДАН АрмССР
34:2 A962), 49—55.
2. Об инвариантности спектра малых возмущений полигармонического
оператора, ИАН СССР, сер. матем., 28:1 A964), 79—90.
3. Об одном методе исследования спектра возмущений самосопряженных
дифференциальных операторов, ДАН АрмССР, 41:5 A965), 257—263.
4. О спектре некоторых несамосопряженных возмущений самосопряжен-
самосопряженных дифференциальных операторов, ИАН АрмССР, сер. матем., 1:3
A966), 192—216.
5. О спектре некоторых несамосопряженных операторов, ИАН СССР,
сер. матем., 27:3 A963), 677—700.
Марченко В. А.
3. Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингуляр-
сингулярных дифференциальных операторов второго порядка, Матем. сб.,
52:2 A960), 739—788.
Библиография 625
Марченко В. А. и Роф е-Б е к е т о в Ф. С.
1. Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингуляр-
сингулярных дифференциальных операторов, ДАН СССР, 120:5 A958), 963—966.
М а ц а е в В. И., см. также Бродский, Кацнельсон и Любич
1. Об одном классе вполне непрерывных операторов, ДАН СССР, 139:3
A961), 548—551.
2. Об одном методе оценки резольвент несамосопряженных операторов,
ДАН СССР, 154:5 A964), 1034—1037.
3. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непре-
непрерывных операторов, ДАН СССР, 155:2 A964), 273—276.
М е й л б о (М е j I b о L. С.)
1. On the solution of the commutation relation PQ — QP = — il, Math.
Scand., 13 A963), 129—139.
Мелтиз (Maltese G.)
1. Spectral representations for solutions of certain abstract functional equa-
equations, Compositio Math., 15 A961), 1—22.
2. Spectral representations for some unbounded normal operators, Trans.
Amer. Math. Soc, 110 A964), 79—87.
Мергелян С. Н.
1. О представлении функций рядами полиномов на замкнутых множе-
множествах, ДАН СССР, 78 A951), 405—408.
Мер рей (Murray F. J.)
3. The analysis of linear transformations, Bull. Amer. Math. Soct
48 A942), 79—93.
Мёллер (M 0 1 1 e r C.)
1. General properties of the characteristic matrix in the theory of elemen-
elementary particles, I, II.
I. Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 21, no. 1 A945).
II. Ibid., 22, no. 19 A946).
Мизра (Misra В.), см. Генен и Я ух
Миллер (Miller J. В.), см. также Г а м л е н
1. Some properties of Baxter operators, Ada Math. Acad. Sci. Hungar,
17 A966), 387—400.
2. Averaging and Reynolds operators on Banach algebras. I. Representati-
Representation by derivations and antiderivations, J. Math. Anal. Appl., 14
A966), 527—548.
Милн (Milne W. E.)
2. On the degree of convergence of expansions in an infinite integral, Trans.
Amer. Math. Soc, 31 A929), 906—918.
Мим у^р а (М i m u r a Y.)
1. Uber Funktionen vonFunktionaloperatoren in einem Hilbertschen Raum,
Jap. J. Math., 13 A936), 119—128.
Митягин Б. С. и Пелчинский (Pelczynski A.)
1. Nuclear operators and approximative dimension, Труды международ-
международного конгресса математиков, Москва — 1966, «Мир», М.,1968,
стр. 366—372.
МишоуиФорд (Mishoe L. I. and Ford G. С), см. также
Фридман
1. Studies in the eigenfunction series associated with a non-self-adjoint
differential system, Tech. Report, Nat. Sci. Foundation, 1955.
Миядера (Miyadera I.)
2. On perturbation theory for semi-groups of operators, Tohoku Math. «/.,
B) 18 A966), 299—310.
Мкртчян Р. З., см. Александрян Р. A.
M л я к (М 1 a k W.), см. также Фойаш
1. Characterization of completely non-unitary contractions in Hilbert space,
Bull. Acad. Polon. Sci., 11 A963), 111 — 113.
'40 H. Данфорд и Дж Шварц
626 Библиография
2. Note on the unitary dilation of a contraction operator, Bull. Acad. Polon.
ScL, 11 A963), 463—467.
3. Some prediction theoretical properties of unitary dilations, Bull. Acad.
Polon. ScL, 12 A964), 37—42.
4. Unitary dilations of contraction operators, Rozprawy Mat., 46 A965).
5. On semi-groups of contractions in Hilbert space, Studia Math., 26 A966),
263—272.
Мозер (Moser J.)
1. Storungstheorie des kontinuerlichen Spectrums fur gewohnliche Diffe-
rentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann., 125 A953), 366—393.
2. Singular perturbation of eigenvalue problems for linear differential equa-
equations of even order, Comm. Pure Appl. Math., 8 A955), 251—278.
Мой (М о у S.-T. С.)
1. Characterizations of conditional expectation as a transformation on fun-
function spaces, Pacific J. Math., 4 A954), 47—63.
M о й а л (М о у a 1 J. E.)
1. The theory of spectral and scalar algebras (to appear).
Морен К. (Maurin К.)
1. Allgemeine Eigenfunktionsentwicklungen. Spekraldarstellungs abstrak-
ter Kerne. Eine Verallgemeinerung der Distributionen auf Lie'schen
Gruppen, Bull. Acad. Polon. ScL, 7 A959), 471—479.
2. Eine Bemerkung zur allgemeinen Eigenfunktionsentwicklungen fur
vertauschbare Operatorensysteme beliebiger Machtigkeit, Bull. Acad.
Polon ScL, 8 A960), 381—384. (Russian summary.)
3. Spectraldarstellung der Kerne. Eine Verallgemeinerung der Satz von
Kallen-Lehmann und Herglotz-Bochner u.a., Bull. Acad. Polon. ScL,
7 A959), 461—470.
4. Abbildungen vom Hilbert-Schmidtschen Typus und ihre Anwendungen,
Math. Scand., 9 A961), 359—371.
5. Mappings of Hilbert-Schmidt-type. Their application to eigenfunction
expansions and elliptic boundary problems, Bull. Acad. Polon. ScL, 9
A961), 7—11. (Russian summary.)
6. General eigenfunction expansions and unitary representations of topo-
logical groups, Deuxieme Colloq. d'Anal. Fonct., Louvian, 1964,
pp. 49—55.
7. Methods of Hilbert spaces, Monografie Matematyczne, 45, Warszawa,
1967. (Русский перевод: Методы гильбертова пространства, «Мир», М.,
1965.)
Морен Л. и Морен К. (Maurin Lidia and Maurin Krzy-
s z t о f)
1. Spectraltheorie separierbarer Operatoren, Studia Math., 23 A963), 1—29.
2. Nuclearitat gewisser Rellich-Sobolevschen Einbettungen. Anwendung
auf Spectraltheorie der Differentialoperatoren, Bull. Acad. Polon. Sci.t
8 A960), 621—624. (Russian summary.)
Мотидзуки (Mochizuki K.)
1. On the large perturbation by a class of non-selfadjoint operators,
J. Math. Soc. Japan, 19 A967), 123—158.
Мусхелишвили Н. И.
1. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории
функций и некоторые их приложения к математической физике, М.—
Л., 1946.
Мьюборн (Mewborn А. С.)
1. Generalizations of some theorems on positive matrices to completely
continuous linear transformations on a normal linear space, Duke Math.
J., 27 A960), 273—281.
H а й м а р к М. А., см. также Гельфанд И. М.
5. Линейные дифференциальные операторы, Гостехиздат, М., 1954.
Библиография 627
10. Исследование спектра и разложение по собственным функциям син-
сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов второ-
второго порядка, УМН, 8:4 E6) A953), 174—175.
11. О разложении по собственным функциям несамосопряженных син-
сингулярных дифференциальных операторов второго порядка, ДАН
СССР, 89 A953), 213—216.
12. Исследование спектра и разложение по собственным функциям неса-
несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка
на полуоси, Труды моек, матем. о-ва, 3 A954), 181—270.
13. Нормированные кольца, «Наука», М., 1968.
14. Линейные представления группы Лоренца, УМН, 9:4 F2) A954),
19—93.
15. Спектральный анализ несамосопряженных операторов, УМН, 11:6
G2) A956), 183—202.
16. On commuting unitary operators in spaces with indefinite metric, Ada
Sci. Math. Szeged, 24 A963), 177—189.
Накамура и И о с и д a (Nakamura M. and Y о s h i d a M.)
1. On Buckner's inclusion theorems for Hermitean operators, Proc. Japan
Acad., 40 A964), 180—182.
Накано (Nakano H.)
8. Uber Abelsche Ringe von Projektionsoperatoren, Proc. Phys.-Math.
Soc. Japan, C) 21 A939), 357—375.
9. Unitarinvariante hypermaximale normale Operatoren, Ann. of Math.,
B) 42 A941), 657—664.
12. Modern spectral theory, Maruzen Co., Tokyo, 1950.
13. Spectral theory in the Hilbert space, Japan Soc. for Promotion of Sci.,
Tokyo, 1953.
19. On unitary dilations of bounded operators, Ada. Sci. Math. Szeged,
22 A961), 286—288.
Намиока (Namioka I.), см. К е л л и
Неванлинна и Ньеминен (Nevanlinna F. and N i e-
m i n e n T.)
1. Das Poisson-Stieltjes'sche Integral und seine Anwendung in der Spectral
theorie des Hilbert'schen Raumes, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. AI,
no. 207 A955), 1—38.
Нел (N el L. D.)
1. A characterization of unbounded spectral operators, /. London Math.
Soc, 37 A962), 317—319.
Нельсон (Nelson E.)
1. Kernel functions and eigenfunction expansions, Duke Math. /.,25 A958),
15—27, ibid., 26 A959), 697—698.
Нейбауер (Neubauer G.)
1. Zur Spektraltheorie in lokalkonvexen Algebren, I, II.
I. Math. Ann., 142 A960/61), 131 — 164.
II. Ibid., 143 A961), 251—263.
2. Zu einem Satz von N. Dunford, Arch. Math., 11 (I960), 366—367.
3. Uber den Index abgeschlossener Operatoren in Banachraumen, I II.
I. Math. Ann., 160 A965), 93—130.
II. Ibid., 162 A965/66), 92—119.
Нейман Дж. (von Neumann J.)
6. Charakterisierung des Spektrums eines Integraloperators, Act. Sci.
et Ind., 229, Paris, 1935.
24. Approximative properties of matrices of high finite order, Portugaliae
Math., 3 A942), 1—62.
H и ж н и к Л. П.
1. Структура спектра и самосопряженность возмущений дифференциаль-
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, УМЖ, 15:4 A963),
385—399.
628 Библиография
Н и и р о (N i i г о F.)
1. On indecomposable operators in /p A <; p <; oo) and a problem of
H. Schaefer, Sci. Papers College Gen. Ed. Univ. Tokyo, 14 A964), 165—
179.
Нииро и Савасима (Niiro F. and S a w a s h i m a I.)
1. On the spectral properties of positive irreducible operators in an arbitrary
Banach lattice and problems of H. H. Schaefer, Sci. Papers College Gen.
Ed. Univ. Tokyo, 16 A966), 145—183.
Никольский Н. К.
1. Об инвариантных подпространствах унитарных операторов, Вестн.
Ленингр. ун-та, сер. матем., 19, 4 A966), 36—43.
Новосельский И. А.
1. О некоторых признаках полноты системы корневых векторов вполне
непрерывного оператора, ИАН МолдССР, 7 A965), 47—54.
Ньеминен (Nieminen Т.), см. также Неванлинна
1. A condition for the self-adjointness of a linear operator, Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. AI, no. 316 A962).
Ньюбергер (Newberger S. M.)
1. The a-symbol of the singular integral operators of Calderon and Zygmund,
Illinois J. Math., 9 A965), 428—443.
Ньюбург (Newburgh J. D.)
1. The variation of spectra, Duke Math. J., 18 A951), 165—176.
2. A topology for closed operators, Ann. of Math. B) 53 A957), 250—255.
О б е р е й (О b e r a i К. К.)
1. Sum and product of commuting spectral operators, Pacific J. Math., 25
A968), 129—146.
2. Spectrum of a spectral operator, Proc. Amer. Math. Soc, 19 A968),
325 331
3. Spectral interpolation in Lp spaces, Math. Zeit., 103 A968), 122—128.
4. Nilpotency and the rate of growth condition, Math. Ann., 184 A970),
233—287.
5. On spectral permanence, /. Math., Mech., 18 A968), 553—558.
Олагунжи и Вест (Olagunju P. and West Т. Т.)
1. The spectra of Fredholm operators in locally convex space, Proc. Cam-
bridge Philos. Soc, 60 A964), 801—806.
О р л а н д (O r 1 a n d G. H.)
1. On a class of operators, Proc. Amer. Math. Soc, 15 A964), 75—79.
2. On some theorems of Bram for subnormal operators, Amer. Math.
Monthly, 73 A966), 377—378.
Осборн (Osborn J. E.)
1. Approximation of the eigenvalues of nonself-adjoint operators, J. Math.
and Phys., 45 A966), 391—401.
Ошер (Osher S. J.)
1. Two papers on the similarity of certain Volterra integral operators,
Memoirs Amer. Math. Soc, 73 A967).
Павлов Б. С.
1. О несамосопряженном операторе — у" + q (x) у на полуоси, ДАН
СССР, 141:4 A961), 807—810.
2. К спектральной теории несамосопряженных дифференциальных опе-
операторов, ДАН СССР, 146:6 A962), 1267—1270.
П а л а н т Ю. А.
1. Об одном признаке полноты системы собственных и присоединенных
векторов полиномиального пучка операторов, ДАН СССР, 141:3 A961),
558—560.
Панчапагесан (Panchapagesan Т. V.)
1. Unitary operators in Banach spaces, Pacific J. Math., 22 A967), 465—
475.
Библиография 629
Параска В. И.
1. Одна метрика в пространстве линейных замкнутых операторов и ее
применение в теории возмущений, Машем, исследования, 2:1, Киши-
Кишинев A967), 45—66.
Педерсен (Pedersen N. W.)
1. The resolutions of the identity for sums and products of commuting spect-
spectral operators, Math. Scand., 11 A962), 123—130.
Пелчинский (P e I с z у n s k i А.), см. также Линденштраусс
и Митягин
1. A characterization of Hilbert-Schmidt operators, Studia Math., 28 A967),
355—360.
2. Proof of Grothendieck's theorem on the characterization of nuclear spaces,
Prace Mat., 7 A962), 155—167.
3. On strictly singular and strictly cosingular operators, I, II.
I. Strictly singular and strictly cosingular operators in C(S)-spaces,
Bull. Acad. Polon. Sci., 13 A965), 31—36.
II. Strictly singular and strictly cosingular operators in L(v)-spaces,
ibid., 13 A965), 37—41.
Пенцлин (Penzlin F.), см. Дольф
Перессини (Peressini A. L.)
1. Ordered topological vector spaces, Harper and Row, New York, 1967.
Перессини и Шёберт (Peressini A. L. and Sherbert
D. B.)
1. Multiplicative operators and substochastic matrices, J. London Math.
Soc, 41 A966), 605—611.
2. Order properties of linear mappings on sequence spaces, Math. Ann.,
165 A966), 318—332.
3. Ordered topological tensor products, Proc. bond. Math. Soc. C) 19 A969),
177—190.
Петтинео (Pettineo B.)
1. Equazioni funzionali negli spazi di Hilbert e teoria fredholmiana, Atti.
Accad. Sci. Lett. Arti Palermo, Parte I D) 20 A959/60) A961), 117—185.
2. Teoreme dell'alternative e teoria fredholmiana per. talune equazioni
negli spazi hilbertiani, Celebrazioni Archimedee del Sec. XX (Siracusa,
1961), Vol. II, Edizioni "Oderisi", Gubbio, 1962, pp. 91 — 105.
Пинкус (P incus J. D.), см. также Коппельман
1. On the spectral theory of singular integral operators, Trans. Amer. Math.
Soc, 113 A964), 101 — 128.
2. Commutators, generalized eigenfunction expansions and singular inte-
integral operators, Trans. Amer. Math. Soc, 121 A966), 358—377.
3. On the explicit construction on generalized eigenfunction expansions,
Brookhaven Nat. Lab., Appl. Math. Report 343, April 1964.
4. Commutators and systems of singular integral equations, I, Brookhaven
Nat. Lab., Appl. Math. Report 499, April 1967.
5. The spectral theory for self-adjoint Wiener-Hopf operators, Bull. Amer.
Math. Soc, 72 A966), 882—887.
Пинкус и Ровняк (P incus J. D. and Rovnyak J.)
1. A spectral theory for some unbounded self-adjoint singular integral ope-
operators, Brookhaven Nat. Lab., Appl. Math. Report 509, 1967.
Пирс (Реагсу С), см. Браун и Декар
П и ч (Р i e t s с h A.)
1. Zur Theorie der cr-Transformationen in lokalkonvexen Vektorraumen,
Math. Nachr., 21 A960), 347—369.
2. Homomorphismen in lokalkonvexen Vektorraumen, Math. Nachr., 22
A960), 162—174.
3. Unstetige lineare Abbildungen in lokalkonvexen Vektorraumen, Math.
Ann., 140 A960), 153—164.
630 Библиография
4. Ein verallgemeinertes Spektralproblem fur kompakte lineare Abbildun-
Abbildungen in lokalkonvexen Vektorraumen, Math. Ann., 140A960), 147—152.
5. Quasi-prakompakte Endomorphismen und ein Ergodensatz in lokalkon-
lokalkonvexen Vektorraumen, J. Reine Angew. Math., 207 A961), 16—30.
6. Zur Fredholmschen Theorie in lokalkonvexen Raumen, Studia Math.,
22 A962/63), 161 — 179.
7. Einige neue Klassen von kompakten linearen Abbildungen, Rev.
Roumaine Math. Pure Appl., 8 A963), 427—447.
8. Eine neue Charakterisierung der nuklearen lokalkonvexen Raume, I, II.
(Русский перевод: сб. Математика, 7:5A963), I, 105—110; 11,111 — 120.)
I. Math. Nachr., 25 A963), 31—36.
II. Ibid., 25 A963), 49—58.
9. Absolut summierende Abbildungen in lokalkonvexen Raumen, Math.,
Nachr., 27 A963), 77—103. (Русский перевод: сб. Математика,
8:2 A964), 77—102.)
10. Nukleare lokalkonvexe Raume, Akad.-Verlag, Berlin, 1965. (Русский
перевод: П и ч А., Ядерные локально выпуклые пространства,
«Мир», М., 1967.)
И. Uber die Erzeugung von (F)-Raumen durch selbstadjungierte Operato-
ren, Math. Ann., 164 A966), 219—224.
12. Absolut /?-summierende Abbildungen in normierten Raumen., Studia
Math., 28 A967), 333—353.
Плафкер (Plafker S.), см. также И о н е с к у
1. Spectral representations for a general class of operators on a locally
convex space, Illinois J. Math., 13 A969), 573—582.
2. Generalized subscalar operators on Banach spaces, /. Math. Anal. Appl.,
24 A968), 345—361.
Плеснер А. И.
3. Спектральная теория линейных операторов, «Наука», М., 1965.
Повзнер А. Я.
1. О некоторых приложениях одного класса гильбертовых пространств
функций, ДАН СССР, 74 A950), 13—16.
2. О разложении произвольных функций по собственным функциям опе-
оператора — Аи + си, Матем. сб., 32 G4) A953), 109—156.
П о р а т (Р о г a t h G.)
1. Storungstheorie fur abgeschlossene lineare Transformationen im Bana-
chschen Raum, Math. Nachr., 17 A958), 62—72.
Пуанкаре (Poincare H.)
2. Sur les equations de la physique mathematique, Rend. Circ. Mat. Paler-
Palermo, 8 A894), 57—156.
Пустыльник Е. И.
1. О сходимости рядов по собственным функциям вполне непрерывного
оператора в банаховых пространствах, Сиб. матем. ж., 4:3 A963),
705—708.
Путнам (Putnam С. R.)
19. On square roots of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc.t 8 A957),
768—769.
20. On bounded matrices with non-negative elements, Canadian J. Math.,
10 A958), 587—591.
21. On square roots and logarithms of self-adjoint operators, Proc. Glasgow
Math. Assoc, 4 A958), 1—2.
22. Commutators, perturbations, and unitary spectra, Ada Math., 106
A961), 215—232.
23. A note on non-negative matrices, Canadian J. Math., 13 A961), 59—62.
24. Absolute continuity of certain unitary and half-scattering operators,
Proc. Amer. Math. Soc, 13 A962), 844—846.
25. Positive matrices and eigenvectors, Proc. Glasgow Math. Assoc., 6 A963).
Библиография 631
26. On the structure of semi-normal operators, Bull. Amer. Math. Soc,
69 A963), 818—819.
27. Continuous spectra and unitary equivalence, Pacific J. Math. 7 A957)
993-995.
28. On differences of unitarily equivalent self-adjoint operators, Proc. Glas-
Glasgow Math. Assoc, 4 A960), 103—107.
29. On the spectra of unitary half-scattering operators, Quart. Appl. Math.,
20 A962/63), 85—88.
30. On the spectra of semi-normal operators, Trans. Amer. Math. Soc, 119
A965), 509—523.
31. Commutation properties of Hilbert space operators and related topics,
Ergebnisse der Math., Band 36, Springer-Verlag, Berlin, 1967.
32. Perturbations of bounded operators, Nieuw Arch. Wisk., 15 C) A967),
146—152.
33. Wiener-Hopf operators and absolutely continuous spectra, Bull. Amer.
Math. Soc, 73 A967), 659—662.
Пфлюгер (Pfluger A.)
1. Verallgemeinerte Poisson-Stiltjes'sche Integraldarstellung und kontrak-
tive Operatoren, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. AI, No. 336/13 A963).
Пшеворска-Ролевич и Ролевич (Przeworsk a-R о 1 e-
w i с z D. and Rolewicz S.)
1. On operators with a finite ^-characteristic, Studia Math., 24 A964),
258—270.
2. On operators preserving a conjugate space, Studia Math.. 25 A964/65),
245—249.
3. Remarks on Ф-operators in linear topological spaces, Prace Mat., 9
A965), 91—94.
4. On quasi-Fredholm ideals, Studia Math., 26 A965), 67—71.
5. Equations in linear spaces, MonografieMatematyczne, 47, Warszawa, 1968.
Райдер (Rider D. G.), см. Дейвис
Райков Д. А., см. Гельфанд И. М.
Р а с т о н (R u s t о n A. F.)
2. On the Fredholm theory of integral equations for'operators belonging
to the trace class on a general Banach space, Proc. London Math. Soc,
53 B) A951), 109—124.
3. Direct products of Banach spaces and linear functional equations, Proc
London Math. Soc, 1 C) A951), 327—384.
5. Formulae of Fredholm type for compact linear operations on a general
Banach space, Proc London Math. Soc, 3 C) A953), 368—377.
6. Operators with a Fredholm theory, J. London Math. Soc, 29 A954),
318—326.
P e й т о (R e j t о Р. А.), см. также Конлей и Фридрихе
1. On gentle perturbations, I, II.
I. Comm. Pure Appl. Math., 16 A963), 279—303.
II. Ibid., 17 A964), 257—292.
2. On gentle perturbations. Perturbation theory and its application in
quantum mechanics, Wiley, New York, 1966, pp. 57—95.
3. On partly gentle perturbations, I—III.
I. J. Math. Anal. Appl., 17 A967), 435—462.
II. Ibid., 20 A967), 145—187.
III. Ibid., 27 A969), 21—67.
Реллих (Rellich F.)
2. Storungstheorie der Spectralzerlegung, I—V.
" " " Ann., 113 A936), 600—619.
113 A936), 677—685.
116 A939), 555—570.
117 A940—1941), 356—382.
118 A941 — 1943), 462—484.
I.
II.
III.
IV.
V.
Math.
Ibid.,
Ibid.,
Ibid.,
Ibid.,
632 Библиография
Ривьер (Riviere N.), см. Л и т т м а н
Р и д л (R i e d I J.)
1. Partially ordered locally convex vector spaces and expensions of positive
continuous linear mappings, Math. Ann., 157 A964), 95—124.
Рингроуз (Ringrose J. R.)
1. Precompact linear operators in locally convex spaces, Proc. Cambridge
Philos. Soc, 53 A957), 581—591.
2. Operators of Volterra type, /. London Math. Soc, 33 A958), 418—424.
3. On well-bounded operators, I, II.
I. J. Austral. Math. Soc, 1 A959/60), 334—343.
II. Proc. London Math. Soc, 13 C) A963), 613—638.
4. Super-diagonal forms for compact linear operators, Proc London Math.
Soc9 12 C) A962), 367—384.
5. On the triangular representation of integral operators, Proc London Math.
Soc, 12 C) A962), 385—399.
6. On the resolvent and the principal vectors of a compact linear operator,
Proc. Cambridge Philos. Soc, 60 A964), 525—531.
Рисе (R i e s z F.)
21. Sur les fonctions des transformations hermitiennes dans l'espace de Hil-
bert, Ada Sci. Math. Szeged, 7 A935), 147—159.
Рисе и Секефальви-Надь (RieszF. and S z.-N a g у В.)
1. Lemons d'analyse fonctionelle, Akademiai Kiado, Budapest, 1952.
(Русский перевод: Лекции по функциональному анализу, ИЛ, М.,
1954.)
Робертсон А. и Робертсон В. (Robertson А. Р.
and Robertson W. J.)
1. Topological vector spaces, Cambridge Univ. Press, London, 1963.
(Русский перевод: Робертсон А. и Робертсон В. Дж.,
Топологические векторные пространства, «Мир», М., 1967.)
Робинсон (Robinson А.), см. Бернштейн
Ровняк (Rovnyak J.), см. де Бранджес и Пинкус
Розенблюм (Rosenblum M.)
1. On the operator equation BX — XA = Q, Duke Math. J., 23 A956),
263—270.
2. Perturbations of the continuous spectrum and unitary equivalence,
Pacific J. Math., 7 A957), 997—1010. (Русский перевод: сб. Мате-
Математика, 3:3 A959), 57—68.)
3. On a theorem of Fuglede and Putmam, J. London Math. Soc, 33 A958),
376—377.
4. A spectral theory for self-adjoint singular integral operators, Amer. J.
Math., 88 A966), 314—328.
Розенталь A. (Rosenthal А.), см. Гартогс
Розенталь П. (Rosenthal Р.), см. Кримминс
Ролевич (Rolewicz S.), см. Пшеворска-Ролевич
Рота (Rota G.-C.)
1. Note on the invariant subspaces of linear operators, Rend. Circ Mat.
Palermo, 8 B) A959), 182—184.
2. Spectral theory of smoothing operators, Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
46 A960), 863—868.
3. On the representation of averaging operators, Rend. Sem. Mat. Univ.
Padova, 30 A960), 52—64.
4. On models for linear operators, Comm. Pure Appl. Math., 13 A960),
469—472.
5. On the eigenvalues of positive operators, Bull. Amer. Math. Soc, 67
A961), 556—558; addend., 68 A962), 49.
6. Reynolds operators, Proc. Sympos. Appl. Math., Vol. XVI, Amer.
Math. Soc, 1964, pp. 70—83.
Библиография 633
7. Baxter algebras and combinatorial identities, I, II.
I. Bull. Amer. Math. Sci., 75 A969), 325—329.
II. Ibid. A969), 330—334.
Рота и Стренг (Rota G.-C. and Strang W. G.)
1. A note on the spectral radius, Nederl. Akad. Wetensch. Proc, Ser. A6$
(I960), 379—381.
Рофе-Бекетов Ф. С, см. также Марченко
1. Разложение по собственным функциям бесконечных систем дифферен-
дифференциальных уравнений в несамосопряженном и самосопряженном слу-
случаях, Машем, сб., 51:3 (I960), 293—342.
Рутман М. А., см. Крейн М. Г.
Савасима (Sawashima I.), см. также Н и и р о
1. Some counterexamples in the theory of positive operators, Sci, Papers-
College Gen. Ed. Univ. Tokyo, 14 A964), 181 — 182.
2. On spectral properties of some positive operators, Natur. Sci. Rep.
Ochanomizu Univ., 15 A964), 53—64.
3. On spectral properties of positive irreducible operators in С (X) and a
problem of H. H. Schaefer, Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., 17 A966),.
1—15.
Саймон (Simon А. В.), см. И о н е с к у
С а й н (Sine R. С.)
1. Spectral decomposition of a class of operators, Pacific J. Math., 14
A964), 333—352.
Сайто и Иосино (Saito Т. and Y о s h i n о Т.)
1. Note on the canonical decompositions of contraction, Tohoku Math. J.r
16 B) A964), 309—312.
2. On a conjecture of Berberian, Tohoku Math. J., 17 B) A965), 147—149.
Салехи (Salehi H.)
1. A transformation theorem on spectral measures, Proc. Amer. Math.
Soc, 18 A967), 610—613.
Caccep (Sasser D. W.)
1. Quasi-positive operators, Pacific J. Math., 14 A964), 1029—1037.
Сафар (Saphar P.)
1. Sur les sous-espaces invariants d'un operateur lineaire continu dans urn
espace vectoriel topologique, C. R. Acad. Sci. Paris, 250 A960), 1165—
1166.
2. Sur le spectre d'un operateur lineaire continu dans un espace de Banach,
C. R. Acad. Sci. Paris, 255 A962), 3107—3108.
3. Sur quelques proprietes d'un operateur lineaire continu dans un espace
vectoriel topologique, С R. Acad. Sci. Paris, 254 A962), 3946—3948.
4. Calcul fonctionnel et sous-espaces stables pour une applications lineaire
continue dans un espace de Banach, С R. Acad. Sci. Paris, 258 A964),
6055—6057.
5. Contribution a l'etude des applications lineaires dans un espace de Ba-
Banach, Bull. Soc. Math. France, 92 A964), 363—384.
6. Sur les applications lineaires dans un espace de Banach, I, II.
I. Bull. Soc. Math, France, 92 A964), 363—384.
II. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 82 C) A965), 205—240.
7. Applications a puissance nucleaire et applications de Hilbert-Schmidt
dans les espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris, 261 A965), 867—
870.
8. Applications a puissance nucleaire et applications de Hilbert-Schmidt
dans les espaces de Banach, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 83 C) A966),
113—151.
Сафферн (Saffern W. W.)
1. Subscalar operators, Dissertation, Columbia Univ., 1962.
634 Библиография
Сахнович Л. А.
1. О приведении вольтерровских операторов к простейшему виду и об-
обратных задачах, ПАИ СССР, сер. матем., 21 A957), 235—262.
2. Приведение одного несамосопряженного оператора с непрерывным
спектром к диагональному виду, УМН, 13:4 A958), 193—196.
3. Приведение несамосопряженных операторов с непрерывным спектром
к диагональному виду, Матем. сб., 44:4 A958), 509—548.
4. О приведении несамосопряженных операторов к треугольному виду,
Изв. вузов, Математика, 1 A959), 180—186.
5. Исследование «треугольной модели» несамосопряженных операторов,
Изв. вузов, Математика, 4 A959), 141 —149.
6. Спектральный анализ вольтерровских операторов, заданных в про-
пространстве вектор-функции L^ [0, /], УМЖ, 16:2 A964), 259—268.
Себаштьян-и-Сильва (Sebastiao e Silva J.)
5. La definition de spectre d'un operateur et les operateurs a spectre ele-
mentaire non borne, Colloque stir Г Analyse Fonctionelle, Louvain, 1960,
Librairie Universitaire, Louvain, 1961, pp. 47—50.
6. Stir le calcul symbolic d'operateurs permutable, a spectre vide ou non
borne, Ann. Math. Pure AppL, 58 D) A962), 219—275. (Русский пере-
перевод: сб. Математика, 8:3 A964), 36—79.)
Сейрасон (Sarason D.)
1. On spectral sets having connected complement, Ada. Sci. Math. Szeged,
26 A965), 289—299.
2. A remark on the Volterra operator, /. Math. Anal. AppL, 12 A965),
244—246.
3. Invariant subspaces and unstarred operator algebras, Pacific J. Math,,
17 A966), 511—517.
Секефальви-Надь (Sz. -Nagy В.), см. также Рисе Ф.
3. Spectraldarstellung linearer Transformationen des Hilbertschen Rau-
mes, Ergebnisse der Math., V 5, J. Springer, Berlin, 1942. Reprinted
Edwards Bros., Ann. Arbor, Mich., 1947.
7. On uniformly bounded linear transformations in Hilbert space, Ada
Sci. Math. Szeged, 11 A947), 152—157.
13. On the stability of the index of unbounded linear transformations,
Ada Math. Acad. Sci. Hungary 3 A952), 49—52. (Russian summary.)
16. Contributions en Hongrie a la theorie spectrale des transformations
lineaires, Czech. Math. J., 6 (81) A956), 166—176.
17. Spectral sets and normal dilations of operators, Proc. Internat. Congress
Math., 1958, Cambridge Univ. Press, New York, 1960, pp. 412—422.
18. On Schaffer's construction of unitary dilations, Ann. Univ. Sci. Bu-
Budapest, Eotvos Sect. Math., 3—4 A960/61), 343—346.
19. Bemerkungen zur vorstehenden Arbeit des Herrn S. Brehmer, Ada
Sci. Math. Szeged, 22 A961), 112—114.
20. Un calcul fonctionnel pour les operateurs lineaires de l'espace hilbertien
et certaines de applications, Studia Math. (Ser. Specjalna) Zeszyt.,
A963), 119—127.
21. Sur les contractions de l'espace de Hilbert, I, II.
I. Ada Math. Szeged, 15 A953), 87—92.
II. Ibid., 18A957), 1 — 14.
22. The «outer functions» and their role in functional calculus, Proc
Internat. Congress Mathematicians, Stockholm, 1962, Inst. Mittag
Leffler, Djursholm, 1963, pp. 421—425.
Секефальви-Надь и Фойаш (Sz. -Nagy В. and F о i a § С )
1. Sur les contractions de l'espace de Hilbert, III—XII.
III. Ada Sci. Math. Szeged, 19 A958), 26—45.
IV. Ibid., 21 A960), 251—259.
V. Translations bilaterales, ibid., 23 A962), 106—129.
Библиография 635
VI. Calcul fonctionnel, ibid., 23 A962), 130—167.
VII. Triangulations canoniques. Fonction minimum, ibid., 25 A964),
12—37.
VIII. Fonction caracteristiques. Modeles fonctionnels, ibid., 25 A964),
38—71.
IX. Factorisations de la fonction caracteristique. Sous-espaces inva-
invariants, ibid., 25 A964), 283—316.
X. Contractions similaires a des transformations unitaires, ibid.,
26 A965), 79—91.
XI. Transformations unicellulaires, ibid., 26 A965), 301—324.
Errata, ibid., 27 A966), 265.
XII. ibid., 27 A966), 27—33.
2. Remark to the preceding paper of J. Feldman, Ada Sci. Math. Szeged,
23 A962), 272—273.
3. Modeles fonctionnels des contractions de l'espace de Hilbert. La fon-
fonction caracteristique, C. R. Acad. Sci. Paris, 256 A963), 3236—3238.
4. Proprietes des fonctions caracteristiques, modeles triangulaires et
une classification de l'espace de Hilbert, C. R. Acad. Sci. Paris, 256
A963), 3413—3415.
5. Une caracterisation des sous-espaces invariantes pour une contraction
de l'espace de Hilbert, C. R. Acad. Sci. Paris, 258 A964), 3426—3429.
6. Quasi-similitude des operateurs et sous-espaces invariants, С R. Acad.
Sci. Paris, 261 A965), 3938—3940.
7. Decomposition spectrale des contractions presque unitaires,
C. R. Acad. Sci. Paris, 262 A966), 440—442.
8. Forme triangulaire d'une contraction et factorisation de la fonction
caracteristique, Ada Sci. Math. Szeged, 28 A967), 201—212.
9. Echelles continues de sous-espaces invariants, Ada Sci. Math. Szeged,
28 A967), 213—220.
10. Analyse harmoniques des operateurs de l'espace de Hilbert, Akad.
Kaido, Budapest, 1967.
11. Commutants de certains operateurs, Ada Sci. Math. Szeged, 29 A968),
1 — 17.
12. On certain classes of power bounded operators in Hilbert space, Ada
Sci. Math. Szeged, 27 A966), 17—25.
Сибуя (Sibuya Y.), см. Фукухара
Сигал (Segal I. E.)
1. Decompositions of operator algebras, I, II, Memoirs Amer. Math. Soc,
no. 9, 1951.
Сигалов А. Г.
1. Новый алгоритм в теории возмущений непрерывного спектра, ДАН
СССР, 158:1 A964), 49—52.
2. Интегральные возмущения, Сиб. машем, ж., 7:2 A966), 373—408.
Сидзута (Shizuta Y.)
1. Eigenfunction expansions associated with the operator —A in the exte-
exterior domain, Proc. Japan Acad., 39 A963), 656—660.
Сикорский (Sikorski R.)
1. On multiplication of determinants in Banach spaces, Bull. Acad. Polon
Sci. Cl. Ill, 1 A953), 219—221.
2. On Le2ariski's determinants of linear equations in Banach spaces, Studia
Math., 14 A953), 24—48.
3. On determinants of Le2anski and Ruston, Studia Math., 16 A957),
99—112.
4. Determinant systems, Studia Math., 18 A959), 187—189.
5. On LeZariski endomorphisms, Studia Math., 18 A959), 187—189.
6. Remarks on LeZariscki's determinants, Studia Math., 20 A961), 145—161.
7. On the Carleman determinants, Studia Math., 20 A961), 327—346.
636 Библиография
8. The determinant theory in Banach spaces, Colloq. Math., 8 A961).
141 — 198.
9. Determinants in Banach spaces, Studia Math. (Ser. Specjalna), Zeszyt.,
1 A963), 111 — 116.
С и л и (S e e 1 е у R. Т.)
1. The index of elliptic systems of singular integral operators, /. Math.
Anal. AppL, 7 A963), 289—309.
С и л л с (Sills W. H.)
1. On absolutely continuous functions and the well-bounded operator,
Pacific J. Math., 17 A966), 349—366.
Сильверман и Йен (Silverman R. J. and Yen T.)
1. Characteristic functional, Proc. Amer. Math. Soc, 10 A959), 471-^477.
Симпсон (Simpson J. E.)
1. On spectral measures and spectral operators, Dissertation, Yale Univ.,
1961.
2. Nilpotency and spectral operators, Pacific J. Math., 14 A964), 665—672.
3. On limits of scalar operators, Trans. Amer. Math. Soc, 122 A966), 163—
176.
Сингбал-Ведак (Singbal-Vedak K.)
1. A note on semigroups of operators on a locally convex space, Proc. Amer.
Math. Soc, 16 A965), 696—702.
Сираиси (Shiraishi R.), см. Того
Скрогс (Scroggs J. E.)
1. Invariant subspaces of a normal operator, Duke Math. J., 26 A959),
95—111.
С м а р т (Smart D. R.)
1. Eigenfunction expansions in LP and C, Illinois J. Math., 3 A959),
82—97.
2. Conditionally convergent spectral expansions, J. Austral, Math. Soc,
1 A959/60), 319—333.
3. Some examples of spectral operators, Illinois J. Math., 11 A967),
603—607.
Смит (Smith К. Т.), см. Ароншайн
Смитис (Smithies F. ), см. также Б е р н а у
1. The Fredholm theory of integral equations, Duke Math. J., 8 A941),
107—130.
Спитцер (Spitzer F.)
1. A combinatorial lemma and its applications to probability, Trans. Amer.
Math. Soc, 82 A956), 323—337.
Сринивасан (Srinivasan Т. Р.), см. также Х а с у м и
1. Simply invariant subspaces, Bull. Amer. Math. Soc, 69 A963), 706—709.
2. Doubly invariant subspaces, Pacific J. Math., 14 A964), 701—707.
Станкевич И. В., см. также ГеХтман
1. К теории возмущения непрерывного спектра, ДАН СССР, 144:2
A962), 279—282.
2. О линейном подобии некоторых несамосопряженных операторов
и об асимптотике при t -> оо решения нестационарного урав-
уравнения Шредингера, Матем. сб., 69:2 A966), 161—207.
Стеклов В. А.
1. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions definies par des
equations differentielles lineaires du deuxieme ordre, et leurs applicati-
applications au probleme du developpement d'une function arbitraire en series
procedant suivant les dites fonctions, Харьков, Сообщения матем.
об-ва B), 10 B—6) A907—1909), 97—199.
Стемпфли (Stampfli J. G.), см. также Маккарти
1. Roots of scalar operators, Proc Amer. Math. Soc, 13 A962), 796—798.
2. Hyponormal operators, Pacific J. Math., 12 A962), 1435—1458.
Библиография 637
3. Sums of projections, Duke Math. J., 31 A964), 455—461.
4. Hyponormal operators and spectral density, Trans. Amer. Math. Soc,
117 A965), 469—476. Errata, ibid., 115 (sic) A965), 550.
5. Perturbations of the shift, J. London Math. Soc, 40 A965), 345—347.
6. Extreme points of the numerical range of a hyponormal operator,
Michigan Math. J., 13 A966), 87—89.
7. Analytic extensions and spectral localization, /. Math. Mech., 16 A966),
287—296.
8. Normality and the numerical range of an operator, Bull. Amer. Math.
Soc., 72 A966), 1021 — 1022.
9. Minimal range theorems for operators with thin spectra, Pacific J.
Math., 23 A967), 601—612.
10. A local spectral theory for operators, J. Func. Anal., A A969), 1 —10.
11. Adjoint abelian operators on Banach space, Canadian J. Math., 21
A969), 505—512.
12. A local spectral theory for operators, III, Resolvents, spectral sets, and
similarity (unpublished).
Стеценко В. Я., см. также Бахтин, Есаян и Забрейко
1. Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов, ДАН
СССР, 157:5 A964), 1054—1057.
Стренг (Strang W. G.), см. также Рота
Судзуки (Suzuki N.)
1. On the spectral decomposition of dissipative operators, Proc. Japan
Acad., 42 A966), 577—582.
2. The algebraic structure of non self-adjoint operators, Ada Sci. Math.
Szeged, 27 A966), 173—184.
С ю к ь ю (S u с i u I.), см. также Фойаш
1. Dilatable spectral representations of a commutative Banach algebra,
Stud. Cere. Mat., 16 A964), 1211 — 1220.
Тамаркин (Tamarkin J. D.)
2. Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires
ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier, Rend. Circ. Mat.
Palermo, 24 A912), 345—382.
3. Some general problems of the theory of ordinary linear differential
equations and expansions of an arbitrary function in a series of funda-
fundamental functions, Math. Zeit., 27 A927), 1—54.
Тейлор A. (Taylor A. E.), см. также Дерр, Гиндлер и
Хальберг
10. Analysis in complex Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943),
652—669.
11. Spectral theory of closed distributive operators, Ada Math., 84 A951),
189—224.
15. Mittag-Leffler expansions and spectral theory, Pacific J. Math., 10
A960), 1049—1066.
16. Spectral theory and Mittag-Leffler type expansions of the resolvent, Proc.
Int. Symposium on Linear Spaces, Jerusalem, 1960, pp. 426—440.
17. The minimum modulus of a linear operator, and its use for estimates
in spectral theory, Studia Math. (Ser. Specjalna), Zeszyt I A963),
131 — 132.
18. Theorems on ascent, descent, nullity and defect of linear operators,
Math. Ann., 163 A966), 18—49.
Телеман (Teleman S.)
1. On the relativization of set functions, Rev. Roumaine Math. Pures
Appl, 13 A968), 683—689.
Тернер (Turner R.E. L.)
1. Perturbation of compact spectral operators, Comm. Pure Appl. Math.,
18 A965), 519—541.
638 Библиография
2. Perturbation of ordinary differential operators, /. Math. Anal. Appl.,
13 A966), 447—457.
Тильман (Tillman H. G.)
1. Vector-valued distributions and the spectral theorem for self-adjoint
operators in Hilbert space, Bull. Amer. Math. Soc, 69 A963), 67—71.
2. Eine Erweiterung des Funktionalkalkuls fur lineare Operatoren, Math.
Ann., 151 A963), 424—430.
3. Darstellung vektorwertigen Distributionen durch holomorphe Funktio-
nen, Math. Ann., 151 A963), 286—295.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
16. Eigenfunction expansions associated with second-order differential
equations, Oxford Univ. Press, London, 1946. (Русский перевод: Раз-
Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными
уравнениями 2-го порядка, ч. I, ИЛ, М., 1960; ч. II, ИЛ, М., 1961.)
Того и Сираиси (Togo S. and S h i r a i s h i R.)
1. Note on /^-operators in locally convex spaces, J. Sci. Hiroshima Univ.,
Ser. A-I Math., 29 A965), 243—251.
Томпсон (Thompson A. C.)
1. A spectral theorem for positive operators, J. London Math. Soc, 44
A969), 485—495.
Томюк (Tomiuk B. J.), см. Бонсол
Торп (Thorp E. О.), см. Гольдберг
Toy (T h о е D.)
1. Spectral theory for the wave equation with a potential term, Arch. Ratio-
Rational Mech. Anal., 22 A966), 364—406.
Трев (Treves F.)
1. Topological vector spaces, distributions and kernels, Academic Press,
New York, 1967.
Тремпас (Trampus A.)
1. A spectral mapping theorem for functions of two commuting linear ope-
operators, Proc. Amer. Math. Soc, 14 A963), 893—895.
У а й л д e p (Wilder С. Е.)
1. Expansion problems of ordinary linear differential equations with auxi-
auxiliary conditions at more than two points, Trans. Amer. Math. Soc, 18
A917), 415—442.
2. Problems in the theory of ordinary linear differential equations with
auxiliary conditions at more than two points, Trans. Amer. Math. Soc,
19 A918), 157—186.
Уайтли (Whitley R. J.)
1. Strictly singular operators and their conjugates, Trans. Amer. Math.
Soc, 113 A964), 252—261.
2. The spectral theorem for a normal operator, Amer. Math. Monthly, 75
A968), 856—861.
Уолш (Walsh B. J.), см. Шефер
1. Banach algebras of scalar type elements, Proc Amer. Math. Soc, 16
A965), 1167—1170.
2. Structure of spectral measures on locally convex spaces, Trans. Amer.
Math. Soc, 120 A965), 295—326.
3. Spectral decomposition of quasi-Montel spaces, Proc Amer. Math. Soc,
17 A966), 1267—1271.
Уэрмер (Wermer J.)
1. The existence of invariant subspaces, Duke Math. J., 19 A952), 615—622.
2. Invariant subspaces of bounded operators, Proc. XII Scand Math.
Congress Lund, 1953.
3. Commuting spectral operators on Hilbert space, Pacific J. Math ,
4 A954), 355—361.
Библиография 639
4. On invariant subspaces of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc,
3 A952), 270—277.
7. On a class of normal rings, Arkiv. for Mat., 2 A953), 537—551.
Фавелла (Favella L.), см. Бьянки
Фаддеев Л. Д., см. также Ладыженская
1. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра,
Тр. МИАН СССР им. Стеклова, 73 A964), 292—313.
2. Строение резольвенты оператора Шредингера системы трех частиц
с парным взаимодействием, ДАН СССР, 138:3 A961), 565—567.
3. Строение резольвенты оператора Шредингера системы трех частиц
и задача рассеяния, ДАН СССР, 145:2 A962), 301—304.
4. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы
трех частиц, Тр. МИАН СССР им. Стеклова, 69 A963), 1 — 122.
Фань К у (Fan Ky)
6. Invariant subspaces of certain linear operators, Bull. Amer. Math.
Soc, 69 A963), 773—777. (Русский перевод: сб. Математика, 9:4
A965), 128—132.)
Фельдзамен (Feldzamen A. N.)
1. A generalized Weyl characteristic, Bull. Amer. Math. Soc, 65 A959),
79—83.
2. Semi-similarity invariants for spectral operators on Hilbert space,
Trans. Amer. Math. Soc, 100 A961), 277—324.
Фельдман (Feldman J.)
1. On the functional calculus of an operator measure, Ada. Sci. Math.
Szeged, 23 A962), 268—271.
Фелпс (P helps R. R.), см. также Б о н с о л
1. Extreme positive operators and homomorphisms, Trans. Amer. Math.
Soc, 108 A963), 265—274.
Фиксман (Fixman U.)
1. Problems in spectral operators, Pacific J. Math., 9 A959), 1029—1051.
Филлипс (Phillips R. S.), см. Хилле и Лаке
ФишманК- М. иВалицкийЮ. Н.
1. О применимости теории Фредгольма к некоторым линейным топологичес-
топологическим пространствам, ДАН СССР, 117 A957), 943—946.
Фогель (Foguel S. R.)
1. Sums and products of commuting spectral operators, Ark. Mat., 3
A958), 449—461.
2. The relations between a spectral operator and its scalar "part, Pacific J .
Math., 8 A958), 51—65.
3. Normal operators of finite multiplicity, Comm. Pure Appl. Math., 11
A958), 297-313.
4. A perturbation theorem for scalar operators, Comm. 'Pure Appl. Math.,
11 A958), 293-295.
5. Boolean algebras of projections of finite multiplicity, Pacific J. Math.,
9 A959), 681—693.
6. Finite dimensional perturbations in Banach spaces, Amer. J. Math.,
82 A960), 260—270.
7. Computations of the multiplicity function, Pacific J. Math., 10 A960),
539—546.
8. On a paper of A. Feldzamen, Israel J. Math., 1 A963), 133—138.
9. Powers of a contraction in Hilbert space, Pacific J. Math., 13 A963)
551-562. '
10. A counterexample to a problem of Sz.-Nagy, Proc. Amer. Math. Soc,
15 A964), 788—790.
11. Weak limits of powers of a contraction in Hilbert space, Proc Amer.
Math. Soc, 16 A965), 659—661.
640 Библиография
12. On spectrality criterion for operators on a direct sum of Hilbert spaces,
Israel J. Math., 3 A965), 248—250.
Фойаш (F о i a § С), см. также Коложоара, Кукулеску
и Секефальви-Надь
1. La mesure harmonique-spectrale et theorie spectrale des operateurs
generaux d'un espace de Hilbert, Bull. Soc. Math. France, 85 A957),
263—282.
2. Sur certains theoremes de J. von Neumann concernant les ensembles
spectraux, Ada Sci. Math. Szeged, 18 A957), 15—20.
3. On strongly continuous semigroups of spectral operators in Hilbert
space, Ada Sci. Math. Szeged, 19 A958), 188—191.
4. Decompositions integrates des families spectrales et semi-spectrales
en operateurs qui sortent de 1'espace hilbertien, Ada Sci. Math. Sze-
Szeged, 20 A959), 117—155.
5. Sur la decomposition integrate des families semi-spectrales en opera -
teure qui sortent de 1'espace de Hilbert, C.R. Acad. Sci. Paris, 248
A959), 904—906.
6. Sur la decomposition spectrale en operateurs propres des operateurs
lineaires dans les espaces nucleaires, C. Acad. Sci. Paris, 248 A959),
1105—1108.
7. Certaines applications des ensembles spectraux. I. Mesure harmonique-
spectrale, Acad. R. P. Romine Stud. Cere. Mat., 10 A959), 365—401.
8. On Hille's spectral theory and operational calculus for semi-groups
of operators in Hilbert space, Compositio Math., 14 A959), 71—73.
9. Une application des distributions vectorielles a la theorie spectrale,
Bull. Sci. Math., 84 B) A960), 147—158.
10. Relation entre operateurs spectraux et scalaires generalises, Com. Acad.
R. P. Romine, 11 A961), 1427—1429.
11. Relatia dintre operatori spectrali s\ scalari generalizafi, Com. Acad.
R.P. Romine, 11 A961), 1427—1430.
12. Spectral maximal spaces and decomposable operators in Banach space,
Arch. Math., 14 A963), 341—349.
13. Asupra unei probleme de teorie spectrala, Stud. Cere. Mat., 17 A965),
921—923.
14. Modeles fonctionells, liason entre les theories de la prediction, de la
fonction caracteristique et de la dilation unitaire, Deuxieme Colloq.
Г Analyse Fonctionnelle, Liege, 1964, pp. 63—76.
15. Sur les mesures spectrales qui interviennent dans la theorie ergodique,
J. Math. Mech., 13 A964), 639—658.
16. Masuri spectrale si semispectrale, Stud. Cere. Mat., 18 A966), 7—56.
17. Spectral capacities and decomposable operators, Rev. Roumaine Math.
Pures Appl., 13 A968), 1539—1545.
18. Decompositions en operateurs et vecteurs propres, I, II.
I. Etudes de ces decompositions et leurs rapports avec les prolonge
ments des operateurs, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 7 A962),
241— 282 [errata ibid., 9 A964), 805—809].
II. Elements de theorie spectrale dans les espaces nucleaires, ibid.,
7 A962), 571—602.
Фойаш и Геер (Foias С. and G e h ё г L.)
1. Uber die Weylsche Ver'tauschungsrelation, Ada. Sci. Math. Szeged,
24 A963), 97—102.
Фойаш и Лионе (Foias С. and Lions J. L.)
1. Sur certains theoremes d'interpolation, Ada Sci. Math. Szeged,
22 A961), 269—282.
Фойаш и М л я к (Foias С. and M I a k W.)
1. The extended spectrum'of completely non-unitary contractions and
the spectral mapping theorem, Studia Math., 26 A966), 239—245.
Библиография 641
Фойаш и Сюкью (Foias С. and Suci u I.)
1. Szego-measures and spectral theory in Hilbert spaces, Rev. Roumaine
Math. Pures Appl., 11 A966), 147—159.
2. On operator representation of log-modular algebras, Bull. Acad. Polon.
Sci., 16 A968), 505—509.
Форд (Ford G. С.), см. М и ш о у
Фридман и Мишоу (Friedman В. and M i s h о е L. I.)
1. Eigenfunction expansions associated with a non-self adjoint differential
equation, Pacific J. Math., 5 A956), 249—270.
Фридрихе (Friedrichs K. O.)
2. On the perturbation of continuous spectra, Comm. Pure Appl. Math.,
1 A948), 361—406.
17. Perturbation of spectra in Hilbert space, Lectures in Applied Math.,
vol. Ill, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1965.
18. Spectral perturbation phenomena, Perturbation Theory and its Appli-
Applications in Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1966.
Фридрихе и Рейто (Friedrichs К- О. and R e j t о P. A.)
1. On a perturbation through which a descrete spectrum becomes conti-
continuous, Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 219—235.
Ф р и м а н Дж. (Freeman J. M.)
1. The perturbation of some Volterra operators, Dissertation, Mass. Inst.
of Tech., 1963.
2. Perturbations of the shift operator, Trans. Amer. Math. Soc, 114 A965),
251—260.
x
3. Volterra operators similar to J: f ->- § / (t) dt, Trans. Amer. Math.
о
Soc, 116 A965), 181 — 192.
Ф р и м а н P. (F г e e m a n R. S.)
1. Closed operators and their adjoints associated with elliptic differential
operators, Pacific J. Math., 22 A967), 71—97.
Фуглид (Fuglede B.)
1. A commutativity theorem for normal operators, Prod Nat. Acad. ScL
U.S.A., 36 A950), 35—40.
Фукухара и С и б у я (Hukuhara M. and S i b u у a Y.)
1. Sur Tendomorphisme completement continu, Proc. Japan Acad., 31
A955), 595—599.
2. Theorie des endomorphismes completement continus, I, II.
I. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 7 A957), 391—405.
II. Ibid., 7 A958), 511—525.
Xaap (Haar A.)
3. Zur Theorie der orthogonalen Funktionsysteme, I, II.
I. Math. Ann., 69 A910), 331—371.
II. Ibid., 71 A911), 38—53.
X а а т и (Н a a h t i H.)
1. Zur Verallgemeinerung des Spur-Operators, Ann. Acad. Sci. Fenn.,
Ser. AI, No. 369 A965).
X а д е л e p (H a d e 1 e г К--Р.)
1. Оценка для спектра нормальных операторов, ДАН СССР, 157,
№ 2 A964), 284—287.
2. О спектре нормальных операторов и их возмущений, ДАН СССР,
158, № 5 A964), 1042—1043.
X а л м о ш (Н а 1 m о s P. R.)
3. Commutativity and spectral properties of normal operators, Ada Sci.
Math. Szeged, 12, Part В A950), 153—156.
6. Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity,
Chelsea, New York, 1951.
V2 41 H. Данфорд и Дж. Шварц
642 Библиография
11. Shifts on Hilbert spaces, J. Reine Angew. Math., 208 A961), 102—112.
12. What does the spectral theorem say? Amer. Math. Monthly, 70 A963),
241—247.
13. A glimpse into Hilbert space, Lectures on Modern Mathematics, Vol. 1,
Wiley, New York, 1963, pp. 1—22.
14. Numerical ranges and normal dilations, Ada Sci. Math. Szeged, 25
A964), 1—5.
15. On Foguel's answer to Nagy's question, Proc. Amer. Math. Soc,
15 A964), 791—793.
16. Invariant subspaces of polynomially compact operators, Pacific
J. Math., 16 A966), 433—438.
17. A Hilbert space problem book, D. Van Nostrand Co., Princeton, 1967.
(Русский перевод: Гильбертово пространство в задачах, «Мир»,
М., 1970.)
Халмош и Люмер (Halmos P. R. and Lumer G.)
1. Square roots of operators, II, Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954), 589—
595.
Халмош, Люмер и Шеффер (Halmos P. R., Lumer G.
and S с h a f f e r J. J.)
1. Square roots of operators, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 142—149.
Халмош и Маклафлин (Halmos P. R. and M с L a u g h-
1 i n J. E.)
1. Partial isometries, Pacific J. Math., 13 A963), 585—596.
Хальберг (H a 1 b e r g C. J. A., Jr.)
1. The spectra of bounded linear operators on the sequence spaces, Proc.
Amer. Math. Soc, 8 A957), 728—732.
2. Semigroups of matrices defining linked oprerators with different spectra,
Pacific J. Math., 13 A963), 1187—1191.
Хальберг и Тейлор A. (Halberg С. J. A., Jr., and Taylor
A. E.)
1. On the spectra of linked operators, Pacific J. Math., 6 A956), 283—290.
Харазов Д. Ф.
4. К спектральной теории полуограниченных операторов, Тр. Матем.
ин-та АН ГрузССР, 26 A959), 153—170.
5. Спектральная теория некоторых линейных операторов, мероморфно
зависящих от параметра, Studia Math., 20:1 A961), 19—45.
6. О спектре вполне непрерывных операторов, аналитически завися-
зависящих от параметра, в линейных топологических пространствах,
Ada Sci. Math. Szeged, 23:1—2 A962), 38—45.
7. К вопросу об отделимости собственных значений операторов с дискрет-
дискретным спектром, Mathematica (Cluj), 4:2 A964), 253—260.
8. О теоремах типа сравнения для собственных значений некоторых
операторов с дискретным спектром, Тр. Матем. ин-та АН ГрузССР,
29 A964), 219—227.
Хасегава (Hasegawa M.)
1. On the convergence of resolvents of operators, Pacific J. Math., 21
A967), 35—47.
Хасуми и Сринивасан (Hasumi M. and Srinivasan
Т. P.)
1. Doubly invariant subspaces, II, Pacific J. Math., 14 A964), 525—535.
2. Invariant subspaces of continuous functions, Canadian J. Math., 17
A965), 643—651.
X ейн (Hey n E.)
1. Die Differentialgleihung dT/dt = P (t)T fur Operatorfunktionen, Math.
Nachrichten, 24 A962), 281—330.
2. Skalare Spektraloperatoren im reflexive Banachraum, Math. Nachrich-
Nachrichten, 31 A966), 169—177.
Библиография 643
Хек (Hack M. N.)
1. Wave operators in multichannel scattering, Nuovo Cimento, 13 A959),
231—236.
Хельвиг (Hellwig G.)
1. Differentialoperatoren der mathematischen Physik. Eine Einfuhrung,
Springer-Verlag, Berlin, 1964.
Хельсон (Helson H.)
1. Lectures on invariant subspaces, Academic Press, New York-London,
1964.
Хельсон и Лоуденслагер (Helson H. and Lowdensla-
ger D.)
1. Invariant subspaces, Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces, Jerusalem,
1960, pp. 251—262.
Хемпель (Hempel P.)
1. Einschliessungsaussagen fur das Spectrum selbstadjungierter und norma-
ler Transformationen im Hilbert-Raum durch Abschatzung der Norm
der Resolvente, Arch. Rational Mech. Anal., 13 A963), 147—156.
Хёрмандер (Hormander L.)
1. Translation invariant operators, Ada Math., 104 A960), 93—139.
(Русский перевод: Хёрмандер Л., Оценки для операторов,
инвариантных относительно сдвига, ИЛ, М., 1962.)
2. Linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1963.
(Русский перевод: Хёрмандер Л., Линейные дифференциаль-
дифференциальные операторы с частными производными, «Мир», М., 1965.)
Хестенес (Hestenes M. R.)
1. Relative self-adjoint operators in Hilbert space, Pacific J. Math.,
11 A961), 1315—1357.
Хёэг-Крон (Hoegh-Krohn J. B.)
1. Partly gentle perturbation with application to perturbation by annihi-
annihilation-creation operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 56 A967), 2187—
2192.
X и л л e (H i 1 1 e E.)
6. On roots and logarithms of elements of a complex Banach algebra, Math.
Ann., 136 A958), 46—57.
7. Some aspects of Cauchy's problem, Proc. Intern. Cong. Math. 1954,
Amsterdam, 3 A956), 109—116.
Хилле и Филлипс (Hille E. and Phillips R. S.)
1. Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc. Coll. Publ.,
31, 1957. (Русский перевод: Хилле Э. и Филлипс Р., Функ-
Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.)
Хиршфельд (Hirschfeld R. А.)
1. Expansion in eigenfunctionals, Nederl. Akad. Wetensch. Proc, Ser.
A68 A965), 513—520.
Хойзер (Heuser H.)
1. Uber die Iteration Rieszscher Operatoren, Arch. Math., 9 A958), 202—
210.
2. Zur Eigenwerttheorie einer Klasse Rieszscher Operatoren, Arch. Math.,
14 A963), 39—46.
3. Uber Eigenwerte and Eigenlosungen symmetrisierbarer finiter Operato-
Operatoren, Arch. Math., 10 A959), 12—20.
X опф (Н о pf E.)
1. Ergodentheorie, Ergebnisse der Math., vol. 2, J. Springer, Berlin, 1937.
Reprinted by Chersea Publ. Co., New York, 1948. (Русский перевод:
X о п ф Е., Эргодическая теория, УМН, 4, вып. 1 A949).)
4. Mathematical problems of radiative equilibrium, Cambridge Univ.
Press, 1934.
41*
644 Библиография
X ьюи г (Н u i ge G. E.)
1. The spectral theory of some non-self adjoint differential operators, Comm.
Pure Appl. Math, 21 A968), 25—49.
Цафрири (Tzafriri L.), см. также Маккарти
1. The connection between normalizable and spectral operators, Israel J.
Math., 3 A965), 75—80.
2. On multiplicity theory for Boolean algebras of projections, Israel J. Math.,
4 A966), 217—224.
3. On perturbation theory for spectral operators, Israel J. Math., 4 A966),
62—64.
4. Operators commuting with Boolean algebras of projections of finite mul-
multiplicity, Pacific J. Math., 20 A967), 571—587.
5. Operators commuting with Вэо1еап algebras of projections of infinite
multiplicity, Trans. Amer. Math. Soc, 128 A967), 164—175.
6. Quasi-similarity for spectral operators on Banach spaces, Pacific J.
Math., 25 A968), 197—217.
Цекановский Э. P.
1. О модельных элементах несамосопряженных операторов, ДАН СССР,
142:5 A962), 1043—1046.
Циннес (Zinnes I. I.), см. Я ух
Чжун Кай-Лай (Chun Kai Lai)
1. On the exponential formulas of semi-group theory, Math. Scand., 10
A962), 153—162.
Чиорэнеску (Cioranescu I.)
1. Sous-espaces invariants dans les espaces localement convexes, Bull.
Acad. Polon. Sci., 16 A968), 721—725.
Ч о у (Chow Т. R.)
1. A spectral theory for direct integrals of operators, Math. Ann., 188
A970), 285—303.
Чумакин М. Е.
1. Об обобщенных резольвентах изометрического оператора, ДАН СССР,
154:4 A964), 791—794.
Шаттен (Schatten R.)
2. Norm ideals of completely continuous operators, Ergebnisse der Math.
N.F., Heft 27, Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1960.
Шварц А. С.
1. К гомотопической топологии банаховых пространств, ДАН СССР,
154:1 A964), 61—63.
Шварц Дж. Т. (Schwartz J. Т.), см. также Маккарти
2. Perturbation of spectral operators, and applications, I, Pacific J. Math.,
4 A954), 415—458.
3. Two perturbation formulae, Comm. Pure Appl. Math., 8 A955), 371—
376.
4. Some non-self adjoint operators, Comm. Pure Appl. Math., 13 A960),
609—639.
5. Compact positive mappings in Lebesgue spaces, Comm. Pure Appl.
Math., 14 A961), 639—705.
6. Subdiagonalization of operators in Hilbert spaces with compact ima-
imaginary part, Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 159—172.
7. On spectral operators in Hilbert space with compact imaginary part,
Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 95—97.
8. Some results on the spectra and spectral resolutions of a class of singu-
singular integral operators, Comm. Pure Appl. Math., 15 A962), 75—90.
9. Some non-selfadjoint operators, II, A family of operators yielding
to Friedrichs* method, Comm. Pure Appl. Math., 14 A961), 619—
626.
Библиография 645
10. №*-algebras, Gordon and Breach, New York, 1967.
Шварц Л. (Schwartz L.)
6. Theorie des distributions a valeurs vectorielles, Ann. Inst. Fourier,
7 A957), 1—141.
Шёберт (SherbertD. В.), см. Перессини
Шет (S h e t h I. H.)
1. On hyponormal operators, Proc. Amer. Math. Soc, 17 A966), 998—1000.
Шефер (Schaefer H. H.), см. также Л о ц
1. Positive Transformationen in lokalkonvexen halbgeordneten Vektorrau-
men, Math. Ann., 129 A955), 323—329.
2. Ober singulare Integralgleichungen und eine Klasse von Homomor-
phismen in lokalkonvexen Raumen, Math. Zeit., 66 A956), 147—163.
3. Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume, I — III.
I. Math. Ann., 135 A958), 135—141.
II. Ibid., 138 A959), 259—286.
III. Ibid., 141 A960), 113—142.
4. On nonlinear positive operators, Pacific J. Math., 9 A959), 847—
860.
5. On the Fredholm alternative in locally convex linear spaces, Studia
Math., 18 A959), 229—245.
6. Some spectral properties of positive linear operators, Pacific J. Math.,
10 A960), 1009—1019.
7. A new class of spectral operators, Bull. Amer. Math. Soc, 67 A961),
154—155.
8. A generalized moment problem, Math. Ann., 146 A962), 326—330.
9. Ober die Additivitat von Spectralmassen, Math. Zeit., 79 A962),
456—459.
10. Spectral measures in locally convex algebras, Ada Math., 107 A962),
125—173.
11. Convex cones and spectral theory, Proc. Sympos. Pure Math., Vol.
VII, Amer. Math. Soc, Providence, 1963, pp. 451—471.
12. Spektraleigenschaften positiver linearer Operatoren, Math. Zeit.,
82 A963), 303—313.
13. Eine Bemerkung zur Existenz invarianter Teilraume linearer Abbil-
dungen, Math. Zeit., 82 A963), 90.
14. On the point spectrum of positive operators, Proc. Amer. Math. Soc,
15 A964), 56—60.
15. On the role of order structures in spectral theory, Colloque sur Г Analyse
Fonctionnelle, Louvain-Paris, 1964.
16. Ober das Randspektrum positiver Operatoren, Math. Ann., 162
A965/66), 289—293.
17. Eine Klasse irreduzibler positiver Operatoren, Math. Ann., 165 A966),
26-30.
18. Topological vector spaces, Macmillan, New York, 1966. (Русский пере-
перевод: Шефер X., Топологические векторные пространства, «Мир»,
М., 1971.)
19. Invariant ideals of positive operators in С (X), I, II.
I. Illinois J. Math., 11 A967), 703—715.
II. Ibid., 12 A968), 525—538.
20. Banach lattices and positive operators, Springer-Verlag (to appear).
Шефер и У о л ш (Schaefer H. H. and Walsh В. J.)
1. Spectral operators in spaces of distributions, Bull. Amer. Math. Soc.%
68 A962), 509—511.
Шеффер (S chaffer J. J.), см. также X а л м о ш
3. More about invertible operators without roots, Proc. Amer. Math. Soc.,
16 A965), 213—219.
645 Библиография
Шехтер (Schechter М.), см. также Эрколано и Каниэль
1. Invariance of the essential spectrum, Bull. Amer. Math. Soc, 71 A965),
365—366.
2. On the essential spectrum of an arbitrary operator, I, J. Math. Anal.
Appl., 13 A966), 205—215.
Шмульян Ю. Л., см. Бродский
Шрейбер (Schreiber M.)
2. Unitary dilations of operators, Duke Math. J., 23 A956), 579—594.
3. A functional calculus for general operators in Hilbert space, Trans.
Amer. Math. Soc, 87 A958), 108—118.
4. On the spectrum of a contraction, Proc. Amer. Math. Soc, 12 A961),
709—713.
5. Absolutely continuous operators, Duke Math. J., 29 A962), 175—190.
6. Numerical range and spectral sets, Michigan Math. J., 10 A963), 283—
288.
7. Semi-Carleman operators, Ada Sci. Math. Szeged, 24 A963), 82—87.
8. Remark on a paper of Kalisch, J. Math. Anal. Appl., 7 A963), 62—63.
Штраус А. В.
6. О кратности спектра самосопряженного обыкновенного дифферен-
дифференциального оператора, ДАН СССР, 155:4 A964), 771—774.
Шуберт (Schubert С), см. Гольдберг
Э бе р л и (Е b ег 1 у W. S.)
1. A convergence theorem for bounded operators, /. London Math. Soc,
40 A965), 533—539.
Эдварде и Ионеску (Edwards D. A. and Ionescu T u 1-
s e a C.)
1. Some remarks on commutative algebras of operators on Banach spaces,
Trans. Amer. Math. Soc, 93 A959), 541—551.
Эллиот (Elliott J.)
1. The boundary value problems and semi-groups associated with certain
integro-differential operators, Trans. Amer. Math. Soc, 76 A954),
300—аз i.
2. Eigenfunction expansions associated with singular differential opera-
operators, Trans. Amer. Math. Soc, 78 A955), 406—425.
Э л л и с А. (Е 1 1 i s A. J.)
1. Extreme positive operators, Quart. J. Math., Oxford, Ser. B), 15 A964),
342—344.
Э л л и с Р. (Е 1 1 i s R. J.)
1. The Fredholm alternative for non-Archimedean fields, /. London Math.
Soc, 42 A967), 701—705.
Э м б р и (E m b г у М. R.)
1. Condition implying normality in Hilbert space, Pacific J. Math., 18
A966), 457—460.
Э н т и н а С. Б., см. Б и р м а н М. Ш.
Эрколано и Шехтер (Ercolano J. and Schechter M.)
1. Spectral theory for operators generated by elliptic boundary problem
with eigenvalue parameter in boundary conditions, I, Comm. Pure
Appl. Math., 18 A965), 83—105.
Этьен Ж- (Е t i e n n e J.)
1. Operateurs scalaires dans un espace lineaire semi-norme, Ball. Soc
Roy. Sci. Liege, 325—326 (supplement) A963), 419—429.
Юд (Yood B.)
2. Properties of linear transformations preserved under addition of a comp-
completely continuous transformation, Duke Math. J., 18 A951), 599—612.
Я в р я н В. А.
1. О некоторых возмущениях самосопряженных операторов, ДАН СССР,
38:1 A964), 3—7.
Библиография 647
Якубов С. Я.
1. Теория Гильберта — Шмидта для 7-симметризуемых операторов, дей-
действующих в банаховом пространстве, ИЛН АзССР, Сер. физ.-матем.
и техн. наук, 1 A961), 39—48.
Яух (Jauch J. М.)
1. Theory of the scattering operator, Helv. Phys. Acta,3\ A958), 127—158.
2. Theory of the scattering operator, II, Multichannel scattering, Helv.
Phys. Ada, 31 A958), 661—684.
Яух иМизра (Jauch J. M. and M i s r a B.)
1. The spectral representation, Helv. Phys. Ada, 38 A965), 30—52.
Яух иЦиннес (Jauch J. M. and Z i n n e s I.I.)
1. The asymptotic condition for simple scattering systems, Nuovo Cimento,
11 A959), 553—567.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
а+ 126 Ф(Л) Ю5
аBЛ.) 152 ф(Д,) 105
аТ 126 ф(Г*) 400
58 еВ(®> 2> 56
К, ?в(л' 2) 274
149 ?-ess sup | / (Л) | 273, 274
20 (??'Л) (st s2) 508
ЛД5 20 ?(б) 22
A\JB 20 Я(б; Л) 107
||Л||Т,Р 505, 508 ?(&,) 25
Нт,3C?) 508 f 149
IIv.P»» 512 |/|я 274
„р,вCе) 512 f(T) 319, 329
(8) 154 /*ф 92
, Йр 52 (/*<P)(s) 83
I f7«V
Аа 105 ^Ф 78' 82
/ 104 ^№. ..-, *р] Ю5
а (G \ 94Q
4(S) Ю4 t, m94
АЖ<=ВЖ 20 7_(е } 54
«* = 1**1, ••-^р] 73 ИтГ„ 123
d 132 п
J5 22 В(Л) 103
5 (Ж) 43 т(?) 351, 354
« 353 т(?*) 366
^* 366 ЗЛ,(В(Й)) 54
® 58 а#(Г) 230
© 58 ЭД1(б) 236
6Р 58 Ш([1) 226
61 С%"Л 508
Указатель обозначений
п X (х) 297
p=yimi 409 loU 77
i=t Г6 237
(p)rk>(RN) 128 6 96
PW,PF.),P(±) 77 Af 238
l, 2
^(T) 227
^i(T) 225
^a(T) 224
(@, S, e) 56
©с СО 384
T T FT F^T 123
T 22
324
127
") 127
19R
|(/o, • ) 238
24
Ос (А)
Op (A)
ог (А)
o(x)
48
48
48
24
2UC(#) 544
2 (#1,
Т об
Ф 86
ФИ)
Ф 71
H2) 540
) 544
(Я) 544
101, 102, 103
77
123
ir mP'
Т\Ж 22
ЩН\, Нг) 540 (f(^)f(dX) 21
(У {a) A) (su s2) 512 s
х(|) 24, 26 (даГ)(ср) 126
42 Н. Данфорд и Дж. Шварц
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамар (Hadamard J.) 598
Адамян В. М. 188, 192, 215, 597, 598
Александрян Р. А. 214, 462, 598
Аллан (Allan G. R.) 175, 598
Аллахвердиев Д. Э. 462, 598
Альтман (Altman M.) 218, 598
Андерсен (Andersen Е. Sparre) 189,
598
Андо (Ando Т.) 214, 215, 217, 218,
599
Апостол (Apostol С.) 175, 192, 199,
201, 202, 203, 214, 215, 596, 599
Арвесон (Arveson W. В.) 215, 599
Аров Д. 3. 192, 215, 597, 598, 599
Ароншайн (Aronszajn N.) 215, 599
Аскеров Н. К. 461, 599
Аткинсон (Atkinson F. V.) 189, 219,
220, 599
Бакстер (Baxter G.) 189, 600
Балабанов В. А. 596, 600
Балслев (Balslev E.) 218, 461, 577,
596, 600
Банах (Banach S.) 8, 247, 291, 441,
545
Барри (Barry J. Y.) 311, 600
Бартл (Bartle R. G.) 144, 175, 200,
263, 600
Батлер (Butler J. B.) 461, 579, 596,
600
Баумгертель (Baumgartel H.) 596,
600
Бахтин И. А. 217, 600
Бейд (Bade W. G.) 13, 15, 175, 179,
195, 265, 281, 291, 294, 300, 305,
311, 312, 351, 377, 378, 600, 601
Берберян (Berberian S. K.) 214, 215,
601
Березанский Ю. M. 461, 462, 601
Березин Ф. A. 596, 601
Берксон (Berkson E.) 166, 175, 179.
182, 190, 191, 192, 210, 261, 312
601
Бёрлинг (Beurling A.) 207
Бернау (Bernau S. J.) 214, 601, 602
Бернштейн (Bernstein A. R.) 215, 602
Биле (Beals R. W.) 596, 602
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 217, 602
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.) 8.
13, 415, 458,460, 602
Бирман М. Ш. 461, 584, 586, 587,
589, 592, 596, 597, 602
Бирюк (Biriuk G.) 214, 215, 602
Бисхоп (Bisshopp F. E.) 596, 603
Бишоп (Bishop E.) 170, 176, 196,
197, 199, 602
Богнар (Bognar J.) 603
Бонсол (Bonsall F. F.) 190, 214, 217,
218, 603
Бос (Bos W.) 214, 603
де Бранджес (de Branges L.) 215,
592, 596, 603
Браудер (Browder F. E.) 461, 604
Браун A. (Brown A.) 214, 604
Браун К. (Brown С. С.) 175, 604
Браунел (Brownell F. H.) 584, 596,
597, 604
де Брёйн (de Bruijn N. G.) 604
Брейнер (Brainerd B.) 604
Брем (Bram J.) 604
Бремер (Brehmer S.) 604
Бродский В. М. 217, 604
Бродский М. С. 208, 215, 604, 605
Бройер (Breuer M.) 218, 220, 605
Бруадо (Broido M. М.) 214, 605
Бурачевский (Buraczevski A.) 218,
605
Бурбаки (Bourbaki N.) 8, 605
Бьянки (Bianchi L.) 605
Именной указатель
651
Вайдман (Weidmann J.) 218, 461,
605
Валицкий Ю. Н. 218, 639
Вальбрук (Waelbroeck L.) 175, 605
Василеску (Vasilescu F. Н.) 175,
177, 180, 199, 200, 206, 605, 606
Вейерштрасс (Weierstrass К.) 563
Вейль (Weyl H.) 8, 15, 463, 577, 606
Веккен (Wecken F. J.) 312, 606
Вест (West Т. Т.) 215, 218, 606, 628
Видав (Vidav I.) 190, 606
Визитей В. Н. 462, 596, 606
де Вилд (de Wilde M.) 218, 606
Вильяме (Williams J. P.) 215, 606
Вильямсон (Williamson J. H.) 218,
606
Винер (Wiener N.) 8, 12, 149, 151,
153—158, 188, 189, 606
Волк В. Я. 215, 606
Вольтерра (Volterra V.) 14
Вульф (Wolf F.) 163, 175, 199, 203,
262, 312, 595, 606,607
Галиндо (Galindo A.) 607
Гальперин (Halperin I.) 214, 607
Гамбургер (Hamburger H. L.) 443,
607
Гамелин (Gamelin T. W.) 218, 220,
577, 600, 607
Гамлен (Gamlen J. L. В.) 607
Гартогс (Hartogs F.) 306, 607
Геер (Geher L.) 192, 215,607, 640
Гельфанд И. М. 8, 151, 153, 188, 265,
269, 607
Генен (Guenin M.) 607
Герлах (Gerlach E.) 462, 607
Гехтман М. М. 461, 596, 607
Гика (Ghika A.) 214, 607
Гильберт (Hilbert D.) 8
Гилберт (Gilbert R. С.) 215, 461,
596, 608, 617
Гильдебрандт (Hildebrandt S.) 215,
608
Гильдерман Ю. И. 608
Гиндлер (Gindler H. А.) 175, 608
Гинзбург Ю. П. 215, 608
Гирц (Giertz M.) 462, 608
Глазман И. М. 461, 608
Гликфилд (Glikfield В. W.) 608
Годич В. И. 215, 608
Гольдберг (Goldberg S.) 218—220,
461, 596, 608
Гольденгершель Э. И. 208, 608
Гольдман М. А. 215, 219, 220, 596,
609
Гоншор (Gonshor H.) 214, 609
Гофман (Hoffman S. P., Jr.) 461, 609
Гохберг И. Ц. 5, 157, 175, 189, 208,
214 218, 219, 220, 462, 604, 609
Грамш (Gramsch В.) 218, 220, 610
Грей (Gray J. D.) 175, 178, 610
Грейвс (Graves L. M.) 218, 610
Грейнер (Greiner P. G.) 461, 462,
584, 596, 597, 610
Гротендик (Grothendieck A.) 218, 610
Густафсон (Gustafson К.) 192, 596,
610
Данфорд (Dunford N.) 5, И, 175—
178, 181, 182, 185, 187, 188, 202,
259, 311, 610
Дейвис (Davis С.) 214, 596, 610
Декар (Decard D.) 192, 214, 218, 611
Депри (Deprit A.) 175, 218, 611
Дерр (Derr J.) 175, 611
Джиллеспи (Gillespie T. A.) 218, 611
Джордж (George M. D.) 214, 611
Диксмье (Dixmier J.) 184, 611
Дил (Deal E. R.) 175, 183, 611
Дин (Dean D. W.) 175, 186, 611
Доллингер (Dollinger M. В.) 175,
178, 263, 611
Дольф (Dolph G. L.) 175, 214, 596,
597, 611
Доногю (Donoghue W. F.) 214, 218,
596, 611
Доумар (Domar Y.) 611
Доусон (Dowson H. R.) 175, 179,
180, 182, 210, 311, 312, 601, 612
Дункан (Duncan J.) 190, 214, 603,
612
Дурст (Durszt E.) 214, 215, 612
Дьёдонне (Dieudonne J.) 219, 220,
311, 378, 612
Дэй (Day M. M.) 184, 216, 311, 612
Дюпра (Dupras A.) 580, 596, 612
Дюрен (Duren P. L.) 208, 214, 215,
612
Есаян А. Р. 217, 612
Заанен (Zaanen А. С.) 218, 597, 612:
622
Забрейко П. П. 218, 612
Зигмунд (Zygmund A.) 87, 94, 612
Зильберштейн (Silberstein J. P. О,
612
Икебэ (Ikebe T.) 584, 597, 613
Инуэ (Inoue S.) 215, 613
42*
652
Именной указатель
Ионеску (Ionescu Tulcea С. Т.) 175,
176, 181, 182, 192, 202, 203, 311,
377, 613, 614, 646
Иосида К. (Yosida К.) 8, 118, 119,
121, 192, 597, 614, 677
Иосида М. (Yoshida M.) 614, 627
Иосино (Yoshi.no Т.) 614, 633
Иохвидов И. С. 218, 608, 614
Истратеску (Istratescu V.) 215, 614
Ито (Ito Т.) 192, 215, 614
Йен (Yen Т.) 218, 614, 636
Какутани (Kakutani S.) 8, 11, 175,
177, 184, 185, 186, 261, 264, 279,
614
Калиш (Kalisch G. К.) 208, 215, 581,
614
Кальдерон (Calderon А. Р.) 87, 94
Кальмушевский И. И. 208, 209, 615
Каниэль (Kaniel S.) 215, 218, 615
Камович (Kamowitz H.) 215, 615
Канторович (Kantorovitz Sh.I75,
177, 183, 186, 189, 202, 203, 205,
208, 261, 310, 311, 312, 615
Капланский (Kaplansky I.) 312, 615
Карадус (Caradus S. R.) 218, 220, 615
Кариотис (Kariotis С. А.) 175,199,615
Карлеман (Carleman Т.) 452, 461
Карлин (Karlin S.) 217, 615
Картан (Cartan H.) 214, 615
Като (Kato T.) 8, 13, 15, 220, 546,
584, 589, 592, 593, 596, 597, 615,
616
Кац Г. И. 215, 616
Кац И. С. 461, 462, 616
Кацнельсон В. Э. 215, 462, 616
Кашук (Kaashoek M. А.) 218, 220,
596, 616
Келдыш М. В. 175, 208, 461, 616
Келли (Kelley J. L.) 216, 616
Кемп (Kemp R. R. D.) 461, 616
Кёртис (Curtis P. S., Jr.) 601, 616
Кесельман Г. М. 175, 177, 461, 616
Кёте (Kothe G.) 616
Килпи (Kilpi Y.) 616
Кисилевский Г. Э. 208, 616
Кларк (Clark С.) 459, 617
Клейнекке (Kleinecke D. С.) 192,
218, 617
Клуванек (Kluvanek I.) 175, 187, 259,
262, 617
Кобёрн (Koburn L. А.) 218, 220,
596, 617
Коважикова (Kovafikova M.) 175,
187, 189, 617
Кодаира (Kodaira К.) 15, 463
Коддингтон (Coddington E. А.) 214,
215, 460, 461, 602, 617
Кокан (Kocan D.) 175, 263, 617
Коложоара (Colojoara I.) 8, 175, 176,
178, 186, 192, 199, 200, 201, 202,
203, 204, 205, 207, 208, 262, 595,
617
Комацу (Komatsu H.) 192, 618
Конлей (Conley С. С.) 581, 596, 618
Конно (Konno R.) 596, 618
Коппельман (Koppelman W.) 581,
618
Кордес (Cordes H.-O.) 218, 220, 605,
618
Коротков В. Б. 218, 608, 618
Краббе (Krabbe G. L.) 175, 192,
196, 260, 309, 618
Крамер Г. (Kramer H. Р.) 9, 430,
432, 459, 619
Крамер В. (Kramer V. A.) 461, 596,
608, 619
Красносельский М. А. 217, 218, 220,
600, 612, 619
Крачковский С. Н. 220, 596, 609, 619
Крейн М. Г. 5, 8, 157, 175, 188,
189, 208, 215, 217, 218, 219, 220,
461, 462, 586, 588, 589, 596, 597,
602, 604, 609, 614, 619, 620
Крейн С. Г. 461, 599, 620
Кримминс (Crimmins Т.) 215, 620
Кужель А. В. 620
Кук (Cook J. M.) 594, 620
Кукулеску (Cuculescu I.) 620
Кульце (Kultze R.) 175, 218, 620
Курепа (Kurepa S.) 192, 620
Курода (Kuroda S. Т.) 8? 13, 15,
462, 546, 584, 589, 590, 594, 596,
597, 618, 620
Лабрус (Labrousse J. P.) 220, 618,
621
Лаврентьев М. А. 306, 621
Ладыженская О. А. 583, 596
Лаке (Lax P. D.) 465, 596, 597, 621
Лангер Г. (Langer H. (-G.)) 596,
619, 621
Лангер P. (Langer R.) 459, 602, 621
Ланье (Lanier L. H., Jr.) 192, 621
Лаплас (Laplace P. S.) И, 14
Лаптев Г. И. 461, 599, 621
Лебег (Lebesgue H.) 292, 328, 493,
494, 496, 515, 520, 544, 557
Лебоу (Lebow A.) 175, 215, 218, 220,
617, 621
Леви (Levy P.) 12, 149, 155, 156, 157У
188
Именной указатель
653
Левин Б. Я. 213, 621
Левинсон (Levinson N.) 460, 617, 621
Левич Е. М. 215, 609
Лежаньский (Lezanski Т.) 218, 621
Лей (Lay D. С.) 218, 616, 621
Лейбниц (Leibniz С. W. von) 66
Лившиц М. С 208, 604, 621
Лидский В. Б. 175, 208, 461, 462,
616, 621, 622
Линденштраусс (Lindenstrauss J.)
185, 217, 218, 603, 622
Лионе (Lions J. L.) 622, 640
Литтман (Littman W.) 185, 622
Лиувилль (Liouville J.) 8, 13, 423
Лиф (Leaf G. К.) 175, 262, 263, 621
Ллойд (Lloyd S. P.) 622
Логинов Б. В. 596, 622
Лорх (Lorch E. R.) 175, 184, 202,
212, 262, 311, 595, 622
Лоуденслагер (Lowdenslager D.) 215,
622, 643
Лоц (Lotz H. Р.) 217, 622
Любич Ю. И. 175, 199, 200, 622
Люксембург (Luxemburg W. A. J.)
218, 612, 622
Люмер (Lumer G.) 175, 190, 191,
192, 311, 622, 623, 642
Лянце В. Э. 175, 210, 211, 212, 214,
461, 462, 577, 623
Маеда (Maeda F.-Y.) 175, 176, 177,
202, 203, 205, 459, 623
Мазур (Mazur S.) 8
Макгарвей (McGarvey D. С.) 162,
175, 461, 623
Маккарти (McCarthy С. А.) 167, 168,
169, 175, 185, 186, 187, 192, 261,
311, 622, 623, 624
Маккелви (McKelvey R.) 215, 624
Макки (Mackey G. W.) 184, 212
Мак-Клюер (MacCluer С. R.) 215, 624
Маклафлин (McLaughlin J. E.) 214,
624, 642
Марек (Marek I.) 217, 624
Марков А. А. 38
Маркус А. С. 214, 218, 462, 596,
606, 609, 624
Мартиросян Р. М. 220, 461, 596, 624
Марченко В. А. 461, 462, 624, 625
Мацаев В. И. 175, 199, 200, 209, 215,
218, 462, 604, 616, 622, 625
Мейлбо (Mejlbo L. С.) 625
Мелтиз (Maltese G.) 192, 625
Мергелян С. Н. 306, 625
Меррей (Murray F. J.) 625
Мёллер (Meller С.) 584, 625
Мизра (Misra В.) 607, 625, 647
Миллер (Miller J. В.) 607, 625
Милн (Milne W. Е.) 460, 625
Мимура (Mimura Y.) 312, 625
Митягин Б. С. 215, 625
Мишоу (Mishoe L. I.) 461, 625, 641
Миядера (Miyadera I.) 192, 596, 625
Мкртчян Р. 3. 214, 598, 625
Мляк (Mlak W.) 192, 215, 216, 625,
626, 640
Мозер (Moser J.) 577, 578, 579, 596,
626
Мой (Моу S.-T. С.) 626
Мойал (Moyal J. К.) 175, 311, 626
Моравец (Morawetz С. S.) 596
Морен К. (Maurin К.) 215, 462, 626
Морен Л. (Maurin L.) 215, 626
Мотидзуки (Mochizuki К.) 596, 626
Мусхелишвили Н. И. 189, 626
Мьюборн (Mewborn A. S.) 217, 626
Наймарк М. А. 6, 8, 13, 213, 254,
265, 269, 460, 463, 577, 596, 607,
626, 627
Накамура (Nakamura M.) 627
Накано (Nakano H.) 216, 312, 627
Намиока (Namioka I.) 216, 616, 627
Неванлинна (Nevanlinna F.) 215, 627
Нел (Nel L. D.) 175, 378
Нельсон (Nelson E.) 462
Нейбауер (Neubauer G.) И, 175,
176, 187, 220, 627
Нейман (von Neumann J.) 8,
178, 188, 302, 312, 594, 627
Нётер (Noether F.) 219
Нижник Л. П. 596, 627
Нииро (Niiro F.) 217, 218, 628
Никодим (Nikodym О. М.) 293, 295,
360, 368, 371, 524, 564, 656, 591
Никольский Н. К. 215, 628
Новосельский И. А. 462, 628
Ньеминен (Nieminen Т.) 215, 627,
628
Ньюбергер (Newberger S. М.) 220,
628
Ньюбург (Newburgh F. D.) 596, 628
Оберей (Oberai К. К.) 175, 176, 186Г
187, 196, 611, 628
Олагунжи (Olagunju P. А.) 215, 218,
628
Орланд (Orland G. Н.) 214, 215, 216,
601, 628
Орлич (Orlicz W.) 256
Осборн (Osborn J. E.) 596, 628
Ошер (Osher S. J.) 209, 580, 596, 628
654
Именной указатель
Павлов Б. С. 214, 461, 628
Палант Ю. А. 462, 628
Панчапагесан (Panchapagesan Т. V.)
175, 191, 192, 628
Параска В. И. 220, 596, 629
Парсеваль (Parseval) 81
Педерсен (Pedersen N. W.) 175, 186,
629
Пелчинский (Pelczyriski A.) 185, 215,
218, 622, 625, 629
Пенцлин (Penzlin F.) 175, 214, 597,
611, 629
Перессини (Peressini A. L.) 216, 218,
629
Перрон (Perron О.) 217
Петтинео (Pettineo В.) 218, 220, 629
Петтис (Pettis В. J.) 256, 305
Пинкус (Pincus J. D.) 462, 581, 618,
629
Пирс (Реагсу С.) 192, 214, 218, 604,
611, 629
Пич (Pietsch A.) 175, 218, 629, 630
Планшерель (Plancherel M.) 81, 522,
556
Плафкер (Plafker S.) 175, 176, 181,
215, 614, 630
Плеснер А. И. 630
Повзнер А. Я. 584, 630
Порат (Porath G.) 596, 630
Пуанкаре (Poincare H.) 458, 630
Пустыльник Е. И. 462, 630
Путнам (Putnam С. R.) 192, 215,
218, 567, 594, 596, 597, 630, 631
Пфлюгер (Pfliiger A.) 216, 631
Пшеворска-Ролевич (Przeworska-Ro-
lewicz D.) 218, 220, 596, 631
Пэли (Paley R.) 8
Радон (Radon J.) 293, 295, 360, 368,
371, 524, 565, 591
Райдер (Rider D. G.) 214, 610, 631
Райков Д. А. 151,153, 188, 607, 631
Растон (Ruston A. F.) 218, 631
Рейто (Rejto P. A.) 581, 583, 596,
597, 618, 631, 641
Реллих (Rellich F.) 306, 307, 312,
631
Ривьер (Riviere N.) 185, 622, 631,
632
Ридл (Riedl J.) 218, 632
Рингроуз (Ringrose J. R.) 175, 179,
208, 209, 210, 218, 632
Рисе М. (Riesz M.) 8
Рисе Ф. (Riesz F*) 5, 9, 312, 491, 493,
596, 632
Робертсон A. (Robertson A. P.) 602,
632
Робертсон В. (Robertson W. J.) 632
Робинсон (Robinson A.) 215, 632
Ровняк (Rovnyak J.) 215, 581, 603,
629, 632
Розенблюм (Rosenblum M.) 584, 597,
632
Розенталь A. (Rosenthal A.) 306,
607, 620, 632
Розенталь П. (Rosenthal P.) 215, 632
Ролевич (Rolewicz S.) 220, 631, 632
Рота (Rota G.-C.) 189, 215, 218,
632, 633
Рофе-Бекетов Ф. С. 461, 462, 625, 633
Рутман М. А. 217, 620
Савасима (Sawasima I.) 218, 628, 633
Саймон (Simon А. В.) 614, 633
Сайн (Sine R. С.) 175, 178, 183, 202,
203, 205, 263, 633
Сайто (Saito Т.) 215, 216, 633
Салехи (Salehi H.) 175, 633
Сассер (Sasser D. W.) 218, 633
Сафар (Saphar P.) 175, 215, 218,
220, 633
Сафферн (Saffern W. W.) 175, 180,
216, 310, 633
Сахнович Л. А. 208, 209, 597, 634
Себаштьян-и-Сильва (Sebastiao e Sil-
va J.) 175, 634
Сейрасон (Sarason D.) 209, 215, 216,
634
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 5,
184, 208, 215, 216, 262, 312, 596,
623, 634
Сибуя (Sibuya Y.) 218, 635, 641
Сигал (Segal I. E.) 635
Сигалов А. Г. 597, 635
Сидзута (Shizuta Y.) 462, 584, 635
Сикорский (Sikorski R.) 218, 635, 636
Сили (Seeley R. T.) 220, 636
Силлс (Sills W. H.) 175, 209, 636
Сильверман (Silverman R.) 218, 636
Симпсон (Simpson J. E.) 175, 176,
187, 311, 312, 597, 636
Сингбал-Ведак (Singbal-Vedak K.)
192, 636
Сираиси (Shiraishi R.) 220, 636, 638
Скрогс (Scroggs J. E.) 215, 636
Смарт (Smart D. R.) 175, 183, 191,
203, 209, 462, 636
Смит (Smith К. Т.) 307, 318, 599, 636
Смитис (Smithies F.) 214, 218, 601,
636
Спитцер (Spitzer F.) 189, 636
Сринивасан (Srinivasan T. P.) 215,
636, 642
Именной указатель
655
Станкевич И. В. 461, 596, 597, 607,
636
Стеклов В. А. 459, 636
Стемпфли (Stampfli J. G.) 175, 191,
192, 215, 263, 597, 624, 636, 637
Стеценко В. Я. 217, 218, 612, 637
Стоун (Stone M. Н.) 311, 563
Стренг (Strang W. G.) 633, 637
Судзуки (Suzuki N.) 175, 209, 215,
637
Сюкью (Suciu I.) 216, 637, 641
Тамаркин (Tamarkin J. D.) 13, 458,
459, 637
Тейлор A. (Taylor А. Б.) 169, 175,
608, 611, 637, 642
Тецлор Б. (Taylor В.) 8
Телеман (Teleman S.) 637
Тернер (Turner R. E. L.) 175, 459,
462, 464, 534, 597, 637, 638
Тильман (Tillman H. G.) 175, 208,
215, 262, 638
Титчмарш (Titchmarsh E. С.) 460,
638
Тихонов А. Н. 38
Того (Togo S.) 220, 638
Томпсон (Thompson А. С.) 218, 638
Томюк (Tomiuk В. J.) 218, 638
Тонелли (Tonelli L.) 504
Торп (Thorp E. О.) 218, 608
Toy (Thoe D.) 597, 638
Трев (Treves F.) 638
Тремпас (Trampus A.) 175, 638
Уайлдер (Wilder С. Е.) 459, 638
Уайтли (Whithley R. J.) 214, 218,
638
Уолш (Walsh B. J.) 175, 192, 193,
194, 195, 306, 311, 312, 638, 645
Уэрмер (Wermer J.) 175, 184, 208,
215, 595, 596, 638, 639
Фавелла (Favella L.) 605, 639
Фаддеев Л. Д. 465, 583, 587, 593,
596, 597, 621, 639
Фань Ку (Fan Ky) 215, 639
Феллер (Feller W.) 460
Фельдзамен (Feldzamen A. N.) 175,
311, 639
Фельдман (Feldman J.) 175, 215, 599,
639
Фелпс (Phelps R. R.) 217, 218, 603,
639
Фиксман (Fixman V.) 167, 170, 175,
179, 182, 258, 259, 260, 309, 639
Филлипс (Phillips R. S.) 8, 118, 119,
121, 148, 188, 215, 460, 465, 579,
596, 597, 621, 643
Фишман К. М. 218, 639
Фогель (Foguel S. R.) 10, 47, 170,
175, 185, 186, 187, 189, 311, 596,
639
Фойаш (Foias С.) 8, 175, 177, 178,
181, 186, 192, 199, 200, 201—208,
215, 216, 262, 312, 462, 595, 596,
617, 620, 634, 640, 641
Форд (Ford G. С.) 461, 625, 641
Фридман (Friedman В.) 461
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 8, 13,
14, 15, 465, 487, 534, 570, 571,
580, 582, 583, 587, 593, 596, 641
Фриман Дж. (Freeman J. M.) 208, 528,
580, 581, 596, 641
Фриман P. (Freeman R. S.) 461, 641
Фробениус (Frobenius G.) 217
Фубини (Fubini G.) 35, 68, 82, 476,
504, 519, 530, 556
Фуглид (Fuglede В.) 178, 641
Фукухара (Hukuhara M.) 218, 641
Хаар (Нааг А.) 459, 641
Хаати (Haahti H.) 218, 641
Хаделер (Hadeler K.-P.) 214, 596,
641
Халмош (Halmos P. R.) 178, 180,
192, 214, 218, 641, 642
Хальберг (Halberg С. J. A., Jr.) 642
Хан (Hahn H.) 230, 247, 291, 441,
545
Харазов Д. Ф. 175, 218, 462, 642
Хасегава (Hasegawa M.) 192, 596,
642
Хасуми (Hasumi M.) 215, 642
Хейн (Heyn E.) 175, 192, 642
Хек (Hack M. N.) 593, 597, 643
Хельвиг (Hellwig G.) 461, 643
Хельсон (Helson H.) 215, 643
Хемпель (Hempel P.) 214, 643
Хёрмандер (Hormander L.) 461, 643
Хестенес (Hestenes M. R.) 214, 643
Хёэг-Крон (Haegh-Krohn J. R.) 596,
643
Хилле (Hille E.) 8, 118, 119, 121,
148, 188, 192, 460, 643
Хиршфельд (Hirschfeld R. А.) 462,
643
Хойзер (Heuser H.) 218, 643
Хопф (Hopf E.) 12, 149, 157, 158,
188, 189, 606, 643
Хьюиг (Huige G. Н.) 461, 577, 596,
644
656
Именной указатель
Цафрири (Tzafriri L.) 175, 186, 311,
312, 597, 624, 644
Цекановский Э. Р. 644
Циннес (Zinnes I. I.) 584, 597, 644,
647
Чжун Кай-Лай (Chung Kai Lai) 218,
644
Чиорэнеску (Cioranescu I.) 215,644
Чоу (Chow Т. R.) 188, 644
Чумакин М. Е. 215, 644
Шаттен (Schatten R.) 218, 644
Шаудер (Schauder J.) 8
Шварц А. С. 220, 644
Шварц Дж. Т. (Schwartz J. T.) 5, 9,
175, 176, 208, 214, 218, 459, 579,
580, 581, 587, 592, 597, 624, 644
Шварц Л. (Schwartz L.) 83, 645
Шёберт (Sherbert D. R.) 218, 629,
646
Шет (Sheth I. H.) 215, 645
Шефер (Schaefer H. Н.) 175, 176,
193, 194, 215—218, 220, 377, 622,
645
Шеффер (Schaffer J. J.) 192, 641, 645
Шехтер (Schechter M.) 218, 220,
461, 597, 615, 646
Шилов Г. Е. 188, 607
Шмульян В. Л. 215, 605, 620, 646
Шрейбер (Schreiber M.) 215, 216,
646
Штраус А. В. 461, 646
Штурм (Sturm J. С. F.) 8, 13
Шуберт (Schubert С.) 608, 646
Эберли (Eberly W. S.) 217, 218, 646
Эдварде (Edwards D. А.) 175, 311,
646
Эллиот (Elliott J.) 460, 646
Эллис A. (Ellis A. J.) 217, 646
Эллис P. (Ellis R. F.) 218, 646
Эмбри (Embry M. R.) 646
Энтина С. Б. 592, 602, 646
Эркалано (Ercolano J.) 461, 646
Этьен (Etienne J.) 646
Юд (Yood В.) 220, 646
Яврян В. А. 596, 646
Якубов С. Я. 215, 647
Яух (Jauch J. M.) 584, 593, 597, 647
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра ЯР E2)
— Йр E2)
— допустимая B05)
— содержащая все обратные XV. 13.4
A53)
Аналитическое распространение B3)
Асимптотический ряд XIX.3.4 C99)
Булева алгебра проекторов B0)
полная (а-полная) как абст-
абстрактная булева алгебра XVII.3.1
B81)
Быстро убывающая функция G8)
Вещественное циклическое подпро-
подпространство, порожденное вектором
A95)
Вещественный элемент A94)
Вольтерров оператор B08)
Второе условие регулярности в слу-
случае нечетного порядка XIX.4.10
D25)
Вырожденные граничные условия
D60)
Гладкий и финитный элемент XX.4.16
E53), ХХ.4.17 E55)
Дискретный оператор XIX.2.1 C80)
Допустимая алгебра B05)
Достаточные условия спектральности
B21)
Естественное замкнутое расширение
оператора A10)
— упорядочение проекторов B0)
Жорданово многообразие A83)
Идеал булевой алгебры проекторов
XVIII.3.1 C51)
плотный XVIII.3.1
C51) « - «
cr-идеал булевой алгебры проекторов
XVIII.3.1 C51)
Г-измеримое множество XV 1.3.12
B30)
Инвариантное подпространство
XVIII.3.11 C58)
Индексная функция оператора
XVI.5.5 B40)
Индекс оператора B18)
Интеграл свертки (84)
Интервал постоянства XVI.5.5 B40)
Исключительная точка XVIII.2.21
C34)
Каноническое представление спек-
спектрального оператора B9), XV.4.6
C3), A81)
Квазинильпотентная (или радикаль-
радикальная) часть оператора XV.4.6 C3)
Квазинильпотентно эквивалентные
операторы A77), B01)
Квазинильпотентный оператор
XV.4.2 C0)
Р-квазинильпотентный оператор
B13)
Компактное спектральное множество
оператора XVIII.2.30 C42)
Комплексификация B16)
Комплексно сопряженное распреде-
распределение XV.12.9 A23)
Корневое подпространство XIX.2.2
C81)
658
Предметный указатель
Кратность проектора XVIII.3.1
C51), XVIH.3.6 C54), XVIII.3.22
C66)
Максимальное распространение B4),
B6)
Медленно растущая функция G8)
— растущее распределение XV. 12.9
A23)
— — — являющееся функцией
XV.12.12 A24)
Г-мера XV.14.60 A70), A96)
— вектора A96)
— слабая A97)
Метод волновых операторов E40)
— Фридрихса (метод подобных опе-
операторов) ХХ.2 D87)
— — в случае дискретного операто-
оператора ХХ.З E34)
Множество, измеримое относительно
Т XVI.3.12 B30)
Я-множество XVII.5.1 C08)
Необходимые и достаточные условия
спектральности операторов XVI.4
B31)
Непрерывный спектр XV.8.1 D7)
Неравенство Розенблюма 557, 575
Нечетное ядро типа Кальдерона —
Зигмунда XV.11.16 (94)
Нильпотентная часть спектрального
оператора A87)
C59)
Область определения сопряженного
оператора XIX.3.6 D00)
Обобщенная спектральная мера B11)
Обобщенный скалярный оператор
B03)
Обратное преобразование Фурье мед-
медленно растущего распределения
XV.12.9 A23)
Объединение проекторов B0)
Ограниченная булева алгебра про-
проекторов XVH.3.1 B81)
— спектральная мера XV.2.1 B1)
Однородная кратность проектора
XVIII.3.1 C51)
Оператор рассеяния E85)
— Й-самосопряженный B07)
— свертки XV.13.7 A55)
— скалярного типа XV.4.1 C0),
XV.12.3 A07)
— 21-спектральный B07)
— типа Lo XV.13.7 A55)
— 21-унитарный B07)
Остаточный спектр XV.8.1 D8)
Первая теорема устойчивости B19)
Первое условие регулярности в слу-
случае нечетного порядка XIX.4.9
D24)
Пересечение проекторов B0)
Подобные операторы XX.2.2 D89)
Полная алгебра операторов XVII.1.1
B64)
— — порожденная семейством опе-
операторов XVII.1.1 B64)
— булева алгебра проекторов X
XVII.3.1 B81)
36-полная булева алгебра проекто-
проекторов XVIII.3.9 C57)
26- а-полная булева алгебра проекто-
проекторов XVIII.3.9 C57)
Положительный конус B16)
— оператор B17)
— (скалярный) элемент A94)
Полувнутреннее произведение A90)
Полуфредгольмов оператор B18)
Порядок граничного значения D09)
— — — в точке 0 D08)
1 D08)
Предспектральный оператор A78)
Преобразование Гильберта XV. 11.15
(93)
— Фурье G8)
— — медленно растущего распреде-
распределения XV.12.9 A23)
Принцип замены мер XVII.2.8
B74)
Проектор B0)
— носитель XVIII.3.4 C52), C66)
Произведение спектральных опера-
операторов A84)
Промежуточные граничные условия
D60)
Пространство базисных элементов
B11)
— обобщенных элементов B11)
Равномерное асимптотическое пред-
представление XIX.3.4 C99)
разложение XIX.3.4 C98)
Радикальная (или квазинильпотент-
ная) часть оператора XV.4.6 C3)
Разложение единицы XV.2.2 B2),
XV.3.9 B8), XVI.4.1 B32),
XVIII.2.1 C14), XVIII.2.12 C28)
Разложимый оператор B00)
Регулярная точка XVI.5.5 B40)
Регулярные граничные условия D60)
Резольвентное множество XV. 2.6
B4), B23)
Предметный указатель
659
Свертка типа главного значения
XV.11.14 (93)
Свойство однозначного распростра-
распространения XV.2.6 B4), A77)
Сильное спектральное многообразие
A97)
Сингулярная свертка XV. 11.14 (93)
— точка измеримой функции
XV.11.14 (93)
Скалярная часть оператора XV.4.6
C3), A87), XVIII.2.27 C38)
Скалярный элемент A93)
Р-скалярный элемент B13)
ЭД-скалярный элемент B06)
Слабое спектральное многообразие
A97)
Собственное значение XV.8.1 D8)
Собственный вектор XV.8.1 D8)
Сопряженный оператор XIX. 3.6
D00)
Спектр алгебры Щ A51)
— вектора XV.2.6 B4), B23)
Спектральная емкость B01)
— мера XV.2.1 B1), A93)
— особенность B13)
Спектральное максимальное подпро-
подпространство A99)
— множество B2)
— подпространство XIX.5.1 D39)
— разложение XV.2.2 B2)
— распределение B03)
— — регулярное B04)
— семейство A76)
Спектральный оператор XV.2.5 B3),
XV.12.3 A07), A76), XVIII.2.1
C14)
класса (Г) A78), XVI.8.6 B58)
B, Ж) XVI.4.1 B32)
B, Ж*) XVI.4.1 B32)
— — скалярного типа XVIII.2.12
C28)
Ш-спектральный оператор B07)
Структурное пространство алгебры
Ях A51)
Субскалярный оператор A80), A81)
Сумма спектральных операторов
A84)
Существенно ограниченный оператор
B09)
Счетно аддитивная спектральная ме-
мера XV.2.3 B3)
Теорема Бейда B81)
— Гельфанда — Райкова XV.13.2
A51)
— Като E89)
— Крейна — Рутмана B17)
— Мозера E78), E79)
— об инвариантности волновых опе-
операторов E76), E89)
— о единственности преобразования
Фурье A50)
>— — каноническом представлении
спектрального оператора XV.4.5
C1)
— Парсеваля — Планшереля
XV.11.3 (81)
— Уэрмера C7)
Теоремы Винера — Леви — Хопфа
XV.13 A49)
Теория двойственности Бишопа 197)
Точечный спектр XV.8.1 D7)
Унитарный оператор XV.14.59 A70),
B60)
Упорядоченное векторное простран-
пространство B16)
— топологическое векторное про-
пространство B16)
Уравнение Винера — Хопфа A57)
— диффузии A44), A45)
Условие регулярности в случае чет-
четного порядка XIX.4.1 D11)
— роста (Gm) XVI.5.17 B49)
— счетности цепей XVIII.3.4 C53)
Фактороператор A79)
Финитный элемент E81)
Формула обращения Фурье G8)
Фредгольмов оператор B18)
Функция кратности булевой алгебры
XVIII.3.1 C51)
— порождающая медленно растущее
распределение XV.12.10 A24)
— 21-спектральная B06)
— ^-существенно ограниченная
XVII.2.6 B73)
Циклическое подпространство
XVIII.3.4 C53), C66)
— — порожденное вектором A95)
Числовая область A90)
Эрмитов оператор A90)
Эрмитово сопряженный оператор
D02)
Оглавление
ЧАСТЬ III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Предисловие редактора перевода 5
Из предисловия авторов 7
Глава XV. Спектральные операторы 17
1. Введение 17
2. Терминология и предварительные понятия 20
3. Резольвента спектрального оператора 25
4. Каноническое представление спектрального оператора 29
5. Операционное исчисление для ограниченных спек-
спектральных операторов 33
6. Ограниченные спектральные операторы в гильберто-
гильбертовом пространстве 37
7. Соотношения между спектральным оператором и его
скалярной частью 42
8. Спектр спектрального оператора 47
9. Алгебры № и 21*> 52
10. Спектральный анализ операторов из ЪР 63
11. Несколько примеров ограниченных спектральных
операторов 76
12. Некоторые примеры неограниченных спектральных
операторов 104
13. Теоремы Винера — Леви — Хопфа 149
14. Упражнения 160
15. Примечания и дополнения 174
Глава XVI. Спектральные операторы: достаточные условия 221
1. Постановка задачи 221
2. Следствия условия (А) 223
3. Следствия условий (А) и (В) 224
4. Следствия условий (А, В, С): необходимые и достаточ-
достаточные условия спектральности операторов 231
5. Операторы, спектр которых лежит на жордановой кри-
кривой 236
6. Самосопряженные операторы в гильбертовом простран-
пространстве 256
7. Упражнения 257
8. Примечания и дополнения 259
Глава XVII. Алгебры спектральных операторов 264
1. Введение 264
2. Структура коммутативной В-алгебры спектральных
операторов 266
Оглавление 661
3. Сильно замкнутые алгебры и полные булевы алгебры 280
4. Сильные пределы спектральных операторов: некомму-
некоммутативный случай 305
5. Упражнения 308
6. Примечания и дополнения 311
Глава XVIII. Неограниченные спектральные операторы 313
1. Введение , 313
2. Неограниченные спектральные операторы 314
3. Теория кратности и спектральное представление . . . 351
4. Примечания и дополнения 377
Глава XIX. Возмущения спектральных операторов с дискретным
спектром 379
1. Введение 379
2. Основная абстрактная теорема о возмущениях .... 380
3. Оператор второго порядка с разделенными граничными
условиями 396
/1 d \n
4. Спектральные свойства оператора (-г — I 408
5. Полнота системы корневых подпространств 439
6. Примечания и дополнения 458
Глава XX. Спектральные операторы с непрерывным спектром: при-
приложения общей теории 463
1. Спектральные дифференциальные операторы второго
порядка 465
2. Метод Фридрихса (метод подобных операторов) .... 487
3. Метод Фридрихса в случае дискретного спектра .... 534
4. Метод волновых операторов 540
5. Упражнения 566
6. Примечания и дополнения 577
Библиография 598
Указатель обозначений 648
Именной указатель 650
Предметный указатель 657
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и др. просим присылать по адресу: 129820,
Москва И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-во М
НаДанфорд и Дж. Т. Шварц
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Спектральные операторы
Редактор Д. Ф. Борисова
Художник В. В. Ашмаров
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. А, Иовлева
Сдано в набор 26/ХП 1973 г.
Подписано к печати 15/VH 1974 г.
Бумага 60x90i/ie=20,75 бум. л. 41,50 печ. л.
Уч. изд. л. 42,55 Изд. № 1/7424
Цена 3 р. 19 к. Заказ 040
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного знамени
Московская типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9