/
Author: Клиффорд А. Престон Г.
Tags: математика алгебра естественные науки теория групп алгебраическая теория полугрупп
Year: 1972
Text
MATHEMATICAL SURVEYS • NUMBER 7
THE ALGEBRAIC THEORY
OF SEMIGROUPS
VOLU ME I
by
A. H. CLIFFORD and G. B. PRESTON
1964
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
190 Hope Street, Providence, Rhode Island
А. КЛИФФОРД, Г. ПРЕСТОН
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛУГРУПП
Той 1
Перевод с.английского
В. А. БАРАНСКОГО
и
В. Г. ЖИТОМИРСКОГО
Под редакцией
Л. Н. ШЕВРИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВ О#Г«МкИ Р»
Москва 1972
УДК 519.4
Теория полугрупп стала в последние годы од-
одной из активно разрабатываемых областей общей
алгебры, однако монографическая литература по ней
почти отсутствует.
Авторы проделали огромную работу по отбору
материала, последовательно и ясно изложили многие
вопросы алгебраической теории полугрупп. Тщательно
подобранные упражнения содержат результаты, не
вошедшие в основной текст.
В первом томе описаны основные свойства полу-
полугрупп, их представления матрицами над группой с ну-
нулем и над полем, а также разложения полугрупп.
Этот капитальный двухтомный труд, несомненно,
окажется полезен математикам, интересующимся совре-
современной алгеброй, и для многих из них станет настоль-
настольной Книгой. Он будет также полезен преподавателям,
аспирантам и студентам университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
72-13
Предисловие редактора перевода
Теория полугрупп является одной из активно развивающихся
областей современной алгебры. Она имеет тесные связи с самыми
различными математическими дисциплинами: дифференциальной
геометрией, функциональным анализом, теорией графов, теорией
алгоритмов, абстрактной теорией автоматов и др. Эти связи,
в основе большинства которых лежит простой, но принципиаль-
принципиальный факт, что умножение преобразований ассоциативно (так
что всякое замкнутое относительно умножения множество преоб-
преобразований является полугруппой), способствуют жизненности
теории полугрупп и определяют возможность ее приложений.
Первые исследования, посвященные полугруппам, относятся
к 20-м годам. Последующие три десятилетия могут быть охаракте-
охарактеризованы как период становления теории полугрупп, формирова-
формирования ряда ее основных понятий, задач и методов исследования.
Вехой, отмечающей завершение начального этапа развития теории
полугрупп, явились первые монографии, специально посвященные
полугруппам; в них были систематизированы достижения ука-
указанного периода. В 1960 г. вышла книга Е. С. Ляпина «Полугрупп
пы». Почти одновременно, в 1961 г. появился том 1 монографии
Клиффорда и Престона (том 2 вышел в 1967 г.).
Авторы монографии — известные специалисты по теории полу-
полугрупп, обогатившие ее рядом первоклассных достижений. Про-
Профессор А. Клиффорд — американский алгебраист, являющийся
одним из пионеров теории полугрупп; его работы стали выходить
с начала 30-х годов и посвящены многим теоретико-полугруп-
теоретико-полугрупповым направлениям. Клиффорду принадлежат, в частности,
основополагающие результаты о полугруппах, представимых
в^виде объединения групп (такие полугруппы теперь начинают
называть клиффордовыми), о расширениях полугрупп, о связках
полугрупп (это важное понятие было введено Клиффордом) и др.
Представитель более молодого поколения английский алгеб-
алгебраист профессор Г. Престон, ныне живущий в Австралии, изве-
известен своими важными работами по инверсным полугруппам.
6 Предисловие редактора перевода
Перед авторами стояла трудная задача по отбору и системати-
систематизации материала: ко времени составления первоначального плана
книги теория полугрупп уже представляла собой весьма обшир-
обширную дисциплину, по которой было опубликовано несколько сотен
работ. За последнее десятилетие рост теории полугрупп был осо-
особенно бурным, углублялись оформившиеся ранее направления
и появились новые, расширялись связи теории полугрупп с дру-
другими дисциплинами, число опубликованных статей увеличилось
в несколько раз. Некоторые из достижений первой половины этого
периода авторы попытались отразить в томе 2 (что, кстати,
задержало его выход), однако подавляющая часть содержания
книги основывается на материале, накопленном теорией полу-
полугрупп к началу 60-х годов. Разумеется, невозможно было охва-
охватить в книге все наиболее значительные результаты, полученные
к этому времени, и представить все возникшие направления тео-
теории. Исходные принципы, которыми руководствовались авторы
при отборе материала для монографии (и, в частности, трактовка
ими термина «алгебраическая теория полугрупп»), а также краткая
характеристика содержания книги достаточно ясно изложены
в авторских предисловиях к томам 1 и 2, поэтому нет нужды
повторять их.
Необходимо только отметить следующее. В развитие теории
полугрупп немалый вклад внесли советские алгебраисты *). Неко-
Некоторые результаты советских математиков вошли в книгу; среди
них, например, ставшие классическими результаты А. И. Маль-
Мальцева о вложении полугрупп в группы (отмечу еще, что авторы
высоко оценивают значение основополагающей работы А. К. Суш-
кевича 1928 г. и краткому изложению этой малодоступной теперь
статьи посвящают единственное приложение к тому 1). Но в общем
знакомство авторов с советскими работами по теории полугрупп
было недостаточным и исследования, проведенные в СССР, отра-
отражены в книге Клиффорда и Престона непропорционально мало.
х) Читателю, желающему познакомиться о основными результатами
советских алгебраистов по теории полугрупп до 1967 г., можно- порекомен-
порекомендовать обратиться к соответствующим разделам трудов «Математика в СССР
аа 40 лет», «Математика в СССР аа 1958—1967 гг.», «История отечественной
математики», а также к трем обзорам (по всей мировой литературе), опубли-
опубликованным в следующих выпусках серии «Итоги науки»: «Алгебра. Топология.
1962», «Алгебра. 1964», «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966».
Предисловие редактора перевода
Это с чувством сожаления признают и сами авторы, о чем один
из них сообщил в письме к редактору перевода. В ряде мест авторы,
делая ссылки на литературу, не упоминают относящиеся к рас-
рассматриваемой теме работы советских математиков или допускают
неточности в вопросах приоритета. Некоторые из этих недочетов
устранены ими в добавлениях к готовящемуся в США второму
изданию тома 2. Эти добавления включены в перевод. Кое-где
соответствующие поправки сделаны в примечаниях редактора
перевода, в которых также приводятся отнюдь не претендующие
на полноту указания на некоторые более свежие работы, непо-
непосредственно относящиеся к рассматриваемым в книге вопросам.
Авторы проделали огромную работу по систематизации и по-
последовательному изложению многих разделов теории полугрупп.
Монография содержит богатый материал и включает значитель-
значительное число результатов, входящих в фундамент алгебраической
теории полугрупп. Естественно, в ее содержании имеется немало
пересечений с книгой Б. С. Ляпина, но в целом эти два труда
довольно сильно отличаются друг от друга как по содержанию,
так и по изложению ряда вопросов.
Монография Клиффорда и Престона — заметное явление
в современной математической литературе. Она уже оказала
и продолжает оказывать большое влияние на дальнейшее разви-
развитие теории полугрупп. Число ссылок на нее неуклонно растет,
как в трудах, посвященных собственно алгебраическим исследова-
исследованиям, так и в работах по другим, в том числе и более приклад-
прикладным, разделам математики. Выход в русском переводе моногра-
монографии Клиффорда и Престона будет способствовать ознакомлению
широких кругов советских математиков с основами теории полу-
полугрупп. Эта книга, несомненно, окажется полезной многим мате-
математикам, интересующимся современной алгеброй, а для специали-
специалистов по теории полугрупп и близким областям станет настольной.
Построена книга весьма удачно и написана очень ясным язы-
языком. Изложение отличается даже некоторой скрупулезностью, так
что при переводе не только не появлялась необходимость разъяс-
разъяснять те или иные места, но, напротив, у переводчиков и редактора
перевода довольно .часто возникало желание несколько сжать
изложение. Впрочем, это желание было осуществлено лишь в очень
небольшом количестве случаев и манера изложения авторов в ос-
Предисловие редактора перевода
новном сохранена полностью. Опечатки и мелкие неточности
исправлены в переводе без каких-либо примечаний. При этом
учтено несколько списков опечаток, исправлений и дополнений,
любезно присланных авторами, проявившими большой интерес
к выходу их книги в СССР.
Как нередко бывает, некоторые трудности при переводе воз-
возникли с терминологией. В книге Клиффорда и Престона система-
систематизирована и унифицирована терминология многих разделов
теории нолугрупп. Для ряда терминов соответствующие русские
эквиваленты отсутствовали. В тех же случаях, когда они име-
имелись, терминология авторов не всегда совпадала с принятой в со-
советской литературе (впрочем, тоже не во всем однозначной).
При переводе терминология авторов сохранена почти полностью;
лишь кое-где произведена замена терминов на более употребитель-
употребительные русские. В других случаях расхождений мы оставляли тер-
термин авторов, особенно если он является частью целой системы
согласованных терминов. Все немногочисленные случаи расхожде-
расхождений в терминологии оговорены в примечаниях переводчика.
Авторы не ставили цель привести в своей книге полную библио-
библиографию по теории полугрупп и включили в список литературы
только статьи, цитированные в тексте. Естественно было сохра-
сохранить этот принцип и при переводе, и в библиографию дополнитель-
дополнительно включены лишь работы, цитированные в добавлениях и при-
примечаниях. Другим принципом могло бы быть стремление дать
полную библиографию, но это было бы практически невозможно
в настоящем издании: литература по теории полугрупп насчиты-
насчитывает сейчас более трех тысяч работ (и, таким образом, библиогра-
библиография обоих томов содержит уже не около половины опубликованных
статей по алгебраической теории полугрупп, как об этом писали
авторы в 1960 г., а значительно менее). Достаточно полная библио-
библиография до 1958 г. имеется в книге Е. С. Ляпина, а за 1959—
1966 гг.— в упоминавшихся уже обзорах в серии «Итоги науки».
Перевод 1-го тома осуществлен со второго издания. Главы 1—4
переведены В. А. Баранским, глава 5 — В. Г. Житомирским.
Л. Шеврин
Предисловие к русскому изданию
С большим удовольствием мы встречаем издание нашей работы
по полугруппам, выходящее в СССР. Мы надеемся, что этот пере-
перевод будет так же хорошо встречен советскими математиками, как
английский перевод книги Е. С. Ляпина «Полугруппы»— в запад-
западных странах. Эти две работы скорее дополняют, нежели дублируют
одна другую; книга профессора Е. С. Ляпина охватывает более
широкий материал, в нашей книге более детально изложены неко-
некоторые темы.
Пользуясь случаем, мы хотим выразить глубокую благодар-
благодарность профессору Л. Н. Шеврину и его сотрудникам, взявшим
на себя тяжелый труд по переводу книги.
28 июля 1970 г. А. X. К.
Г, Б. П
Предисловие
Насколько нам известно, термин «полугруппа» в математиче-
математической литературе появился впервые на стр. 8 книги Сегье (S ё -
gu ier J. A., Elements de la Theorie des Groupes Abstracts, Paris,
1904) и первой работой по полугруппам была небольшая статья
Диксона, опубликованная в 1905.г., но по существу развитие тео-
теории началось в 1928 г. с публикации очень важной статьи Сушке-
Сушкевича. Он показал (если пользоваться современной терминологией),
что каждая конечная полугруппа содержит «ядро» (простой идеал),
и полностью определил строение конечных простых полугрупп.
Краткое изложение упомянутой статьи дано в приложении.
К сожалению, указанный результат Сушкевича имеет не очень
удобную для применения форму. Этот дефект был устранен Рисом
в 1940 г. посредством введения понятия матрицы над группой
с нулем; кроме того, был рассмотрен более широкий класс полу-
полугрупп — простые полугруппы, содержащие примитивные идемпо-
тенты. Теорема Риса выглядит аналогом теоремы Веддербёрна
о простых алгебрах. Она оказала существенное влияние на даль-
дальнейшее развитие теории полугрупп.
С 1940 г. число ежегодно появляющихся статей по полугруп-
полугруппам неуклонно увеличивалось. Как следствие этого все возрастаю-
возрастающего интереса и возникла данная книга. До сих пор была опубли-
опубликована лишь одна книга, относящаяся в основном к алгебраиче-
алгебраической теории полугрупп, а именно «Теория обобщенных групп»
Сушкевича (Харьков, 1937); эта книга стала теперь библиогра-
библиографической редкостью. Полугруппам посвящена также одна из глав
книги Брака (В г иск R., A Survey of Binary Systems, Ergebnisse,
1958). Имеется, конечно, книга Хилле (Н i 11 e E., Functional.
Analysis and Semigroups, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1948)
и ее переработанное Хилле и Филлипсом издание 1957 г. *), но
в ней рассматривается аналитическая теория полугрупп и ее при-
приложения в анализе. По-видимому, наступило время для система-
систематического изложения алгебраической теории. (С тех пор, как были
х) Имеется русский перевод обоих изданий (ИЛ, 1951 и 1962).—
Прим. ред.
12 Предисловие
написаны эти строки, такое изложение появилось на русском
языке: Ляпин Е. С, «Полугруппы», Москва, 1960).
Основной трудностью для такого изложения является то, что
литература по полугруппам охватывает крайне разнообразные
темы. Столкнувшись с этой ситуацией, мы ограничили себя теми
частями существующей теории, которые уже доказали способность
к согласованному развитию. Весь первый том и первая половина
второго тома концентрируются вокруг изучения строения полу-
полугрупп некоторых типов (таких, как простые полугруппы, инверс-
инверсные полугруппы, объединения групп, полугруппы с условиями
минимальности и т. д.) и их представлений отображениями или
матрицами. Во второй половине второго тома излагается теория
конгруэнции и вложений полугрупп в группы. Здесь, в частности,
нашли отражение работы активной французской теоретико-полу-
теоретико-полугрупповой школы, основанной в 1941 г. Дюбреем.
Для того чтобы не выходить в нашей книге из разумных
границ, мы понимаем термин «алгебраическая» в следующем
довольно-таки четко очерченном смысле: рассматриваемые полу-
полугруппы не наделены никакой другой.структурой (в смысле Бур-
баки). Поэтому из рассмотрения исключаются не только тополо-
топологические полугруппы, но также и упорядоченные полугруппы.
К счастью, хороший обзор структурно упорядоченных полугрупп
и групп содержится в книге Биркгофа «Теория структур» (В i г к -
ho if G., Lattice theory, Amer. Math. Soc. Colloq. Piibl., 1940,
переиздано в 1948 г.) *). Мы не рассматриваем также принадле-
принадлежащее Лоренцену обобщение мультипликативной теории идеалов
(см., например, § 5 книги Крулля (К г и 11 W., Idealtheorie,
Ergebnisse, 1935) на произвольную коммутативную полугруппу S
с сокращениями, когда на S (или ее группе частных) задано семей-
семейство подмножеств, называемых r-идеалами и удовлетворяющих
некоторым условиям, аналогичным условиям на замкнутые мно-
множества в топологии.
Хотя все необходимые для понимания книги сведения содер-
содержатся в ней, все же от читателя требуется некоторое знакомство
с множествами, отображениями, группами и структурами. Необ-
Необходимый материал, относящийся к этим областям, можно найти
в вводных курсах, подобных книге Биркгофа и Маклейна (В i г -
khoffG., Mac Lane S., A Survey of Modern Algebra, New
x) Имеется русский перевод второго издания (ИЛ, 1952). В 1967 г.
в США вышло новое издание книги Биркгофа. Заметим еще, что упорядочен-
упорядоченным полугруппам посвящено несколько глав книги Фукса «Частично упоря-
упорядоченные алгебраические системы» («Мир», 1965). Топологическим полугруп-
полугруппам посвящены монографии Паалман-де-Миранды (Paalman-d& Mi-
Miranda А. В., Topological semigroups, Math. Centrum, Amsterdam, 1964)
и Хофмана и Мостерта (Hofmann К. Н., М о s t e r t P. S., Elements of
compact semigroups, Columbus, OHIO, 1966).— Прим. ред.
Предисловие 13
York, 1953) *). Лишь в главе 5 потребуется несколько больше
предварительных знаний, но даже здесь приведены классиче-
классические определения и теоремы о матричных представлениях алгебр
и групп.
В конце каждого параграфа мы приводим ряд упражнений. Это
сделано для того, чтобы иллюстрировать и дополнять текст, а так-
также чтобы обратить внимание на некоторые статьи, не цитирован-
цитированные в тексте. Все упражнения могут быть решены с помощью мето-
методов и результатов, изложенных в основном тексте, и часто даже
проще, чем это сделано в первоисточниках. Каждый том имеет
отдельную .библиографию. В нее включены только те статьи,
на которые имеются ссылки в тексте. Библиография обоих томов
содержит около половины появившихся статей по алгебраической
(в указанном выше смысле) теории полугрупп. (Библиография
в книге Ляпина более полна.)
Материал первого тома был представлен (более или менее)
в курсе лекций для студентов второго года обучения Тулейнского
университета в течение 1958/59 учебного года, и этот том в зна-
значительной мере выиграл от критики слушателей. Авторы хотели
бы также выразить свою благодарность профессорам Уоллесу,
Миллеру и Конраду за многочисленные полезные советы и, кроме
того, доктору Манну за его весьма ценную критику, особенно
главы 5, и за разрешение использовать неопубликованный мате-
материал из его диссертации (Кэмбриджский университет, 1955) для
параграфов 3.4 и 3.5. Мы глубоко благодарны проф. Шварцу
и центральной библиотеке Словацкой академии наук, предоста-
предоставившими (по своей инициативе) в наше распоряжение фотокопию
книги Сушкевича. Наконец, авторы признательны за поддержку
со стороны Национального научного фонда (США).
Альфред X. Клиффорд
Гордон Б. Престон
1) Укажем соответствующие книги на русском языке: К у р о ш А. Г.,
«Лекции по обшей алгебре», М., 1962; Мальцев А. И., «Алгебраические
системы», М., 1970.— Прим. ред.
Глава 1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОНЯТИЯ
В этой вводной главе мы приведем ряд элементарных понятий
и предложений о полугруппах, большинство из которых необхо-
необходимо для остальной части книги. Кроме того, мы хотим дать здесь
случайному читателю широкий и в то же время не слишком
поверхностный обзор предмета х). Этим объясняется тот факт, что
некоторые темы изложены именно здесь, хотя их можно было
отложить до последующих глав (что особенно касается последних
параграфов данной главы).
§ 1.1. Основные определения
Бинарной операцией на множестве S называется отображение
S X S в S, где S х S есть множество всех упорядоченных пар
элементов из S. Если это отображение обозначается точкой ( •),
то образ в S элемента (о, Ь) 6 S X S будет обозначаться через
а -Ъ. Часто мы будем опускать точку и писать просто аЪ. Для обо-
обозначения бинарных операций будут использоваться также сим-
символы +, °, *¦
Группоидом называется система S ( • ), состоящая из непустого
множества S и бинарной операции ( • ) на нем. Обычно мы будем
писать S вместо S ( • ), если это не может привести к недоразу-
недоразумению.
Частичной бинарной операцией на множестве S называется
отображение непустого подмножества множества S x S в S.
Под частичным группоидом мы будем понимать систему S (• ),
состоящую из непустого множества S и частичной бинарной опе-
операции ( • ) на нем.
Бинарная операция ( • ) на множестве S называется ассоциа-
ассоциативной, если а-{Ъ-с) = {п'Ъ)'С для всех а, Ь, с из S. Полугруппа—
это такой группоид S ( •), в котором операция ( • ) ассоциативна.
х) Следует все же признать, что эта вторая цель вряд ли вообще дости-
достижима в одной главе, и текст настоящей главы показывает, что авторы
с большой полнотой выполняют лишь обещание, данное в первом предложе-
предложении вступительного абзаца.— Прим. ред.
16 Гл. 1. Элементарные понятия
Мы часто будем использовать выражение «S является полугруп-
полугруппой относительно ( • )», подразумевая, что ( • ) есть ассоциатив-
ассоциативная бинарная операция на S. Часто это выражение в дальнейшем
сокращается до «S есть полугруппа».
Предмет исследования данной книги — полугруппы, а не груп-
группоиды или частичные группоиды. Однако последние, более общие,
системы иногда полезны в теории полугрупп и потому их также
нужно принять во внимание.
Единственным исключением из принятого выше соглашения
о терминологии будет понятие группоида Брандта (§ 3.3), кото-
который в действительности есть частичный группоид, удовлетворяю-
удовлетворяющий нескольким довольно сильным условиям.
Под преобразованием множества X мы будем понимать отобра-
отображение X в себя. Всюду, за исключением гл. 5, мы будем обозна-
обозначать образ элемента х ? X при преобразовании или отображении
а через ха (вместо ах или а (х)).
Произведением {суперпозицией1) или композицией) двух преоб-
преобразований а к Р множества X называется преобразование сф,
определенное следующим образом: х (аР) = (ха) р для всех
х 6 X (т. е. а применяется раньше Р). Ассоциативный закон
a (Py) = («Р) у выполняется, так как для каждого х ? X
х ((е*Р) у) = (х (ар)) Y = (М р) у =
= (*а)(рт) =*(а(Рт)).
Следовательно, множество &х всех преобразований множества X
есть полугруппа относительно суперпозиции. Назовем 3"х полной
полугруппой преобразований на X а).
Будем говорить, что отображение а множества X в множество
У есть отображение на, если каждый элемент из У является обра-
образом по крайней мере одного элемента из X. Говорят, что отобра-
отображение а множества X в У взаимно однозначно, если различные
элементы из X отображаются посредством а в различные элементы
из У. Взаимно однозначное отображение множества X на себя
будет. называться подстановкой множества X, даже если X бес-
бесконечно. Множество "§х всех подстановок множества X с опера-
операцией суперпозиции называется симметрической группой на X.
Если X — конечное множество {хи . . ., хп) и у и . . ., уп —
элементы из X, не обязательно различные, то будем пользоваться
классическим обозначением
(х±х% ... хп\
У1У2 ¦ • • Уп)'
х) В оригинале — итерация (iteration); этот термин в указанном смысле
совсем не принят в русской литературе; с другой стороны, термин суперпози-
суперпозиция весьма употребителен.— Прим. пер ев.
2) Эту полугруппу называют также симметрической полугруппой (в рабо-
работе А. И. Мальцева [1952] она называлась симметрическим группоидом).—
Прим. ред.
§ U. Основные определения. 17
понимая под а преобразование множества X, определенное сле-
следующим образом:
^а = Vt (i = 1, 2, . . ., п).
Пусть Oj, а2, . . •, ап — элементы полугруппы S, и пусть
aia2 ... ап = at (а2 (а3 . . . (an-ian) . . .)).
Тогда любое другое имеющее смысл выражение А, полученное рас-
расстановкой скобок в конечной последовательности ai,a2, . . ., ап,
равно афг ... ап 1).
Это утверждение тривиально при п = 2. Проведем доказатель-
доказательство по индукции. Предположим, что утверждение верно для всех
выражений длины, меньшей чем п. Выражение А, поскольку оно
имеет смысл в полугруппе S, должно быть произведением ВС
некоторых имеющих смысл в S выражений В и С, полученных
соответственно из последовательностей а4, . . ., аТ и аг+1, . . ., ап
расстановкой скобок при некотором г, 1 ^ г < п. По предполо-
предположению индукции В = афъ . . . ат = at (a2 . . . аг). Следова-
Следовательно, в силу ассоциативности ,
А = ВС = (d (о, . . . а,)) С =? ai ((о, . . . ат) С).
Но (а2 . . . аГ) С — имеющее смысл выражение длины п — 1 от
о2, . . ., ап и по предположению оно равно а2 ... ап, откуда
следует нужное заключение.
Для любого положительного целого числа п назовем n-й сте-
степенью ап элемента а полугруппы S элемент а^а^ . . . ап при at =
= a2 = • • • = ап — а. Следующие два «закона показателей»
ат+п = атап^ (am)n = flm™ ^
очевидно, выполняются для любого а ? ? и для любых положи-
положительных чисел m и п.
Непустое подмножество Т группоида S называется его под-
подгруппоидом, если из включений а ? Т я b ?' Т следует, что аЪ ? 7\
Пересечение любого семейства подгруппоидов, очевидно, либо
пусто, либо является подгруппоидом. Если А — непустое под-
подмножество группоида S, то пересечение всех подгруппоидов из S,
содержащих A (S само является одним из таких подгруппоидов),
есть подгруппоид (А > группоида S, содержащий А и содержа-
содержащийся в каждом подгруппоиде из S, содержащем А. Скажем, что
{А) есть подгруппоид группоида S, порожденный А. Подгруппоид
{А) можно также описать как множество всех элементов из S,
представимых в виде конечных произведений элементов из А.
Если {А) = S, то А будем называть порождающим множеством
группоида S. Если S — полугруппа, то любой подгруппоид из S
г) Более точно следовало бы говорить о равенстве не выражений, а эле-
элементов полугруппы, представленных этими выражениями.— Прим. ред.
2-1159
18 Гл. 1. Элементарные понятия
также является полугруппой, и мы будем пользоваться терми-
термином подполугруппа вместо термина подгруппоид.
Если S — группоид, то мощность ^j S | множества S называется
порядком S. Если этот порядок конечен, то мы можем задать би-
бинарную операцию в S посредством ее таблицы умножения (табли-
(таблицы Кэли) так же, как и для конечных групп; часто такой нагляд-
наглядный способ задания полезен даже для бесконечного S. Таблица
Кэли есть квадратная матрица, состоящая из элементов полугруп-
полугруппы S, строки и столбцы которой занумерованы, элементами из S
таким образом, что элемент, находящийся в а-строке и Ь-столбце
(а, Ъ 6 S), равен произведению аЪ.
Говорят, что элемент а группоида S сократим слева [спра-
ва\, если для любых х, у ? S из соотношения ах = ау [ха = уа]
следует равенство х = у. Группоид S называется группоидом
с левым [правым] сокращением, если каждый элемент из S сокра-
сократим слева [справа]. Мы говорим, что S — группоид с сокращения-
сокращениями, если S есть группоид и с левым, и с правым сокращением х).
Говорят, что два элемента о и Ь группоида S коммутируют 2),
если аЬ = Ьа. В этом случае выполняется еще один «закон пока-
показателей» (третий): (ab)n = апЪп. Группоид S называется комму-
коммутативным, если любые два его элемента коммутируют. Элемент
полугруппы S, коммутирующий с каждым элементом лз S, назы-
называется центральным элементом. Множество всех центральных
элементов полугруппы S либо пусто, либо является подполугруп-
подполугруппой. В последнем случае оно называется центром полугруппы S.
Если аи ог, . . ., йп — элементы коммутативной полугруппы й
ф — произвольная подстановка на множестве {1, 2, . . ., п), то
ffllq>ffl2q> • • • Ядф = ala2 • • • an-
Это утверждение легко доказывается индукцией по п.
Элемент е группоида S называется левой [правой] единицей,
если еа = а [ае = а] для всех а ? S. Элемент е группоида S назы-
называется двусторонней единицей (или просто единицей), если е —
и левая, и правая единица. Заметим, что если S содержит левую»
единицу е и правую единицу /, то е — /; действительно, е/ = /,
так как е — левая единица, и ef = е, так как / — правая единица.
Как следствие этого факта получаем, что для группоида S выпол-
выполняется в точности одно из следующих утверждений:
A) S не имеет ни левых, ни правых единиц;
B) S обладает по крайней мере одной левой единицей, но не
имеет правых единиц;
C) S обладает по крайней мере одной правой единицей, ш>
не имеет левых единиц;
х) Употребителен также термин группоид с левым {правим, двусторон-
двусторонним) законом сокращения.— Прим. ред.
•) Или перестановочны,— Прим. перев.
' §1.1. Основные определения 19
D) S обладает единственной двусторонней, единицей и не имеет
других левых или правых единиц.
Элемент z группоида S называется левым [правым] нулем, если
za = z [az = z] для' любого а 6 S. Элемент ъ группоида S назы-
называется нулем, если z — и левый, и правый нуль. Если группоид S
обладает левым нулем zt и правым нулем z2, то zt = z2. Следова-
Следовательно, для любого группоида S выполняется в точности одно
из предыдущих четырех утверждений с заменой в них слова
«единица» на слово «нуль».
Пусть X — произвольное множество. Определим бинарную
операцию ( о ) в X, полагая хоу = у для всех х, у ? X.. Ассоциа-
Ассоциативность легко проверяется. Назовем X ( °) полугруппой правых
нулей. Каждый элемент из X ( о ) является правым нулем и левой
единицей одновременно. Полугруппа левых нулей X ( * ) опреде-
определяется двойственным образом (ж* у = х для всех х, у ? X). Несмот-
Несмотря на их тривиальность, эти полугруппы естественным образом
появляются в ряде исследований, например, в приведенной далее
теореме 1.27.
Полугруппу S с нулем 0 будем называть полугруппой с нуле-
нулевым умножением *), если аЪ = 0 для всех а, Ъ ? S.
Пусть S — произвольная полугруппа, и пусть 1 — символ,
не являющийся элементом из S. Распространим бинарную опера-
операцию, заданную в S, на множество S U 1, полагая 11 = 1 и 1а =¦
= а\. = а для любого а ? S. Легко проверить, что S \j 1 есть
полугруппа с единицей 1. Мы называем переход от S к S1 «присо-
«присоединением единицы к S)>. Аналогичным образом можно присоеди-
присоединить нуль 0 к S, полагая 00 = Оо = оО = 0 для всех af 5.
На протяжении всей книги мы будем твердо придерживаться
следующих обозначений:
{S, если S имеет; единицу,
. S U1 в противном случае;
{. S, если S имеет нуль и
{
S (J 0 в противном случае.
Элемент е группоида S называется идемпотентом, если её = е.
Односторонние единицы и нули суть идемпотенты. Обратное
утверждение в общем случае неверно (см., однако, упражнение 1
и лемму 1.26). Если каждый элемент полугруппы S есть идемпо-
тент, то будем говорить, что S есть полугруппа идемпотентдв,
или связка. Связки были введены Клейн-Барменом [1940], который
использовал для них термин «Schief».
Вебер (W е Ь е г Н., Lehrbuch der Algebra, v. 2 A896), 3—4)
определяет группу как полугруппу G, в которой для любых двух
. х) В оригинале — нулевая полугруппа (zero or null semigroup).— Прим.
перев.
2*
20 Гл. 1. Элементарные понятия
элементов а, Ъ 6 G существуют такие единственные .элементы
х, у ? G, что ах = Ъ и уа = Ъ. Хантингтон (Hunting-
ton Е. V., Simplified definition of a group, Bull. Amer. Math.
Soc, 8 A901—1902), 296—300) показал, что постулировать един-
единственность хж у не обязательно, так как это является следствием
разрешимости уравнений ах = Ь, уа = Ъ.
Эквивалентное определение группы было дано Диксоном
(Dickson L. E., Definitions of a group and a field by indepen-
independent postulates, Trans. Amer. Math. Soc, 6 A905), 198—204),
а именно: группа есть полугруппа G, содержащая такую левую
единицу е, что для любого элемента а ? G существует у ? G,
такой, что уа = е. Элемент у, удовлетворяющий уравнению уа —
= е, называется левым обратным для а относительно е. Диксон
показал, что е является также правой единицей (и поэтому един-
единственной единицей), а каждый левый обратный элемент для а
является правым обратным и единствен. Обратный элемент для о
будет, как обычно, обозначаться через о. Единственными реше-
решениями уравнений ах = Ъ и уа = Ъ являются х = а~гЬ и у ¦— bar1.
Первой опубликованной системой групповых аксиом такого
типа была система Пьерпонта (Р i е г р о n t> J., Galois theory
of algebraic equations, II, Ann. of Math., 2 A900—1901), 22—56,
см. стр. 47); он постулировал существование двусторонней еди-
единицы е и двустороннего обратного а' для каждого элемента а:
аа' = а а — е г).
Подгруппой полугруппы S мы называем подполугруппу Т из S,
являющуюся группой относительно бинарной операции, опреде-
определенной в S. Это эквивалентно тому, что Т есть подполугруппа
из !$, в которой для любых а, Ъ ? Т существуют х, у ? Т, такие,
что ах — Ъ и уа — Ъ. Отсюда легко получить, что подмножество
Т полугруппы S является подгруппой тогда и только тогда, когда
аТ = Та = Т для любого а ? Т. (Пример: если X — множество,
то Эх есть подгруппа полугруппы $~х-)
Единица е подгруппы Т полугруппы S является идемпотентом,
но не обязательно единицей полугруппы S.
Если G — группа, то в силу принятого выше соглашения G0
обозначает G [} 0, т. е. группу G с присоединенным нулем. Всякую
такую полугруппу G0 мы будем называть группой с нулем. Напри-
Например, пусть R (о , +) — кольцо. Тогда i?(°) есть полугруппа,
которая называется мультипликативной полугруппой кольца
R (о, +). Очевидно, R (°, +) является телом тогда и только тог-
тогда, когда R ( о ) есть группа с нулем.
Два предложения или понятия мы называем двойственными,
если одно из них получается из другого заменой каждого произ-
J) Более подробно о различных определениях группы см.КурошА.Г.,
Теория групп, М., 1967.— Прим. ред.
§ 1.1. Основные определения 21
ведения аЪ в соответствующей формулировке на Ъа. Например,
«левая единица» и «правая единица»— двойственные понятия.
Приведем определение группы, двойственное оцределению Дик-
Диксона. Группа есть полугруппа, содержащая такую правую еди-г
ницу е, что каждый ее элемент обладает правым обратным эле-
элементом относительно е. Определение Вебера — Хантингтона двой-
двойственно самому себе.
Через d (А) будем обозначать предложение, двойственное
предложению А. Если предложение имеет вид «А влечет за собой
В», то двойственное ему предложение имеет вид «d (.4) влечет
за собой d (В)». Очевидно, что если верно одно из них, то верно
и другое. В книге будет установлено большое число теорем,
не двойственных самим себе, и двойственные им теоремы будут
считаться доказанными без дополнительных комментариев.
Если А и В — подмножества группоида S, то произведением
АВ множеств А и В называется множество всех элементов вида
аЪ, где а ? А, Ъ ? В. Если А = {а} [В = {Ь}], то будем иногда
писать аВ [АЪ] вместо А В.
Таким образом,
АВ = U {АЪ | Ь 6 В) = U {аВ | а 6 А}.
Левым [правым] идеалом группоида S называется такое непу-
непустое подмножество А из S, что SA s A [AS s А]. Двусторонним
идеалом или просто идеалом называется подмножество, являюще-
являющееся и левым, и правым идеалом. Группоид S называется простым
слева [справа], если S является его единственным левым [правым!
идеалом. Аналогично, группоид S называется простым, если он
не содержит собственных (двусторонних) идеалов.
Если А — непустое подмножество группоида S, то пересечение
всех левых идеалов из S, содержащих A (S — один из таких идеа-
идеалов), является левым идеалом, содержащим А и содержащимся
в любом другом левом идеале с таким свойством. Мы называем
его левым идеалом группоида S, порожденным А. Если S — полу-
полугруппа, то левый идеал, порожденный А, равен A [}SA = S1A.
Вводя аналогичные определения, легко заметить, что правый
идеал, порожденный А, равен A [}AS = AS1 и (двусторон-
(двусторонний) идеал в «S, порожденный А, равен A [)SA \jAS \j SAS =
= ^AS1. Если, в частности, А состоит из одного элемента а,
то мы называем L (а) = 8га, R (а) — aS1 и / (о) = S^S1 соответ-
соответственно главным левым, правым и двусторонним идеалом полу-
полугруппы S, порожденным а.
Полугруппа S проста справа тогда и только тогда, когда aS =
= S для каждого а ? S. Действительно, если aS Ф S, то aS —
собственный правый идеал полугруппы S; если R — собственный
правый идеал полугруппы S и а 6 R, то aS^ R Ф S, т. е. aS Ф S.
Утверждение «aS = S для каждого а ? S» эквивалентно утвержде-
22 Гл. 1. Элементарные понятия
яию «для любых о, Ъ 6 S существует такой элемент х ? S, что
ах = Ы. Сопоставляя это с двойственным предложением и вспо-
вспоминая систему аксиом Вебера — Хантингтона для групп, мы
приходим к утверждению, что полугруппа является группой тогда
и только тогда, когда она проста как слева, так и справа,
Упражнения к §1.1
1. (а) Если е — идемпотент полугруппы S с левым сокраще-
сокращением, то е является левой единицей в S.
(Ь) Полугруппа с сокращениями может содержать самое боль-
большее один идемпотент, а именно единицу.
2. (а) Если S — полугруппа с сокращениями, то такова и
полугруппа S1. ¦ '
(Ь) Пусть S — полугруппа левых нулей и | S | > .1. Тогда
S — полугруппа с правым сокращением, но S1 не обладает этим
свойством.
3. Пусть а — элемент полугруппы S, и пусть А = {х \ аха —
— а, х ? S}. Если А ф 0, то Аа [аА] есть подполугруппа левых
[правых] нулей. (Брак [1958], стр. 25—26.)
4. Полугруппа левых нулей проста слева, и каждый ее эле-
элемент образует правый идеал.
5. Пусть S — такая полугруппа, что если аЬ =*= cd (а, Ъ, с,
d ? S), тб или а = с, или b = d. Тогда S — либо полугруппа
левых нулей, либо полугруппа правых нулей. (Тьеррен
[1952].)
6. Если S — полугруппа, обладающая правым нулем, то мно-
множество К всех правых нулей из S есть подполугруппа (являющая- v
ся, очевидно, полугруппой правых нулей) и, кроме того, двусто-
двусторонний идеал, содержащийся в каждом двустороннем идеале
полугруппы S.
7. Правыми нулями полугруппы ?Гх являются лишь «постоян-
«постоянные» преобразования, которые отображают все элементы множе-
множества X на один и тот же, фиксированный для данного преобразо*
вания, элемент. Если | X \ >1, то ff x не содержит левых нулей.
8. Пусть К — множество правых нулей полугруппы S. Пред-
Предположим, что К Ф 0. Тогда S ^ &'к в том и только в том случае,
когда (i) ха = xb (а, Ь б S) для всех х ? К влечет за собой а = Ь
и (ii) если а — произвольное преобразование множества К, то
существует такой элемент а 6 S, что ха = ха для всех х ? К.
(Мальцев [1952].)
9. Элемент a?jTx является идемпотентом тогда и только тог-
тогда, когда ограничение преобразования а на множестве Ха есть
тождественное преобразование.
10. Пусть X — конечное множество мощности п. Тогда ?Гх
содержит симметрическую группу "§х степени га. Если a 6 ^х,
§ 1.2. Teem ассоциативности по Лайту 23
то назовем рангом г преобразования а число | Ха |, а его дефек-
дефектом — число п — г.
(a) Если Р — элемент из ЦТ х ранга г<.п, то существуют такие
Y* ^ 6 &xi ЧТ0 Ранг У равен г +1, ранг б равен п — 1 и f) = уб.
(Можно выбрать б и у так, что б будет идемпотентом, а у будет
отличаться от Р действием лишь на одной точке множества X.)
По индукции каждый элемент дефекта к A ^ к ^ п — 1) из ,УХ
представим в виде произведения элемента из §х на к элементов
(идемпотентов) дефекта 1.
(b) Если а — элемент дефекта 1 из &'х, то любой другой эле-
элемент дефекта 1 из $~ х можно выразить в виде %ац, где Я,, ц g &x.
(c) Если а — элемент дефекта 1 из ^х, то (&х, а) — &х.
(Воробьев [1953].)
§ 1.2. Тест ассоциативности по Лайту
Проверка ассоциативности конечного группоида S ( • ), опе-
операция ( • ) которого задана таблицей Кэли,— обычно весьма уто-
утомительное занятие. Следующая процедура была предложена одно-
одному из авторов Лайтом в 1949 г.
Эту процедуру нужно проделать для каждого элемента а
группоида S. Однако ниже мы покажем, что ее достаточно проде-
проделать лишь для каждого элемента а из некоторого порождающего
множества группоида S.
Рассмотрим две бинарные операции ( ¦ ) и ( о), определенные
в S следующим образом:
х * у = ос • (о • у), х о у = (х . а) • у.
Ассоциативность выполняется в S ( • ) тогда и только тогда, когда
для каждого фиксированного элемента а 6 S эти две бинарные
операции совпадают. Основная идея по существу состоит в по-
построении таблиц Кэли для операций (*)и(о)ив проверке их
совпадения.
( * )-таблица получается из первоначальной ( • ).-таблицы заме-
заменой у-столбца для каждого у ? S на (о • у)-столбец. Аналогично,
для получения (о )-таблицы нам нужно в я-строку записать
(х • я)-строку ( • )-таблицы. Однако не надо выписывать (о )-табли-
цу, так как мы можем прямо проверить, совпадает ли я-строка
( * )-таблицы с (х ^-строкой ( • )-таблицы.
Для удобства выполнения проверки мы заменяем верхнюю
строку индексов ( * ^таблицы на а-строку ( • )-таблицы, а левый
столбец индексов — на о-столбец ( • )-таблицы. Каждое вхожде-
вхождение а -у в а-строку ( • )-таблицы показывает нам, какой из столб-
столбцов ( • )-таблицы записать в качестве у-столбца ( ¦ )-таблицы,
а каждое вхождение х -а в а-столбец ( • )-таблицы показывает нам,
какую, строку ( • )-таблицы нужно сравнить с я-строкой (*)-табли-
24
Гл. 1. Элементарные понятия
цы. Например, пусть группоид S (•) задан следующей таблицей:
•
а
Ъ
с
d
е
а
а
а
а
d
d
b
а
b
с
d
е
с
а
с
Ь
d
е
d
d
,d
d
a
a
e
d
d
d
a
a
Множество {с, ё} порождает S, так как а = е-е, b = с-с и d =
= с -е. Выпишем ( * )-таблицы (где строки и столбцы индексов
изменены, как описано выше) для элементов сие:
с
а
с
Ь
d
е
а
а
а
а
d
d
с
а
с
Ъ
d
е
b
а
Ъ
с
d
е
d
d
d
d
a
. a
d
d
d
d
a
a
e
d
d
d
a
a
d
d
d
d
a
a
e
d
d
d
a
a
e
d
d
d
a
a
a
a
a
a
d
d
a
a
a
a
d
d
Таким образом, чтобы получить с-таблицу, записываем с-стро-
ку (acbdd) из ( • )-таблицы в верхнюю строку индексов и, ана-
аналогично, с-столбец — в левый столбец индексов. Теперь выписы-
выписываем столбцы ( • )-таблицы в порядке, определяемом верхней
строкой индексов, т. е. а-столбец, с-столбец и т. д. Затем прове-
проверяем, совпадают ли строки с-таблицы со строками ( • )-таблицы,
занумерованными левым столбцом индексов. Можно было бы выпи-
выписать строки ( • )-таблицы в порядке, определяемом левым столб-
столбцом индексов, а затем проверить, что столбцы правильно зануме-
занумерованы. Проделав проверку для с-таблицы и е-таблицы, мы утвер-
утверждаем, что S ( • )—полугруппа.
Тот факт, что тест Лайта достаточно проделать лишь для эле-
элементов некоторого порождающего множества группоида S, являет-
является непосредственным следствием такого утверждения: множество-
всех элементов а группоида S, ассоциативных со всеми элементами
из S в том смысле, что х (ау) = (ха) у для любых х, у ? S, есть
подполугруппа группоида S. Действительно, пусть а и Ъ — такие
элементы из S, что х (ау) = (ха) у, х (by) = (xb) у для всех
х, у 6 S. Тогда
х ((аЪ) у) = х(а (by)) = (ха) (by) = ((ха) Ь) у = (х (ab)) у.
Таким образом, если а и b ассоциативны со всеми элементами и»
S, то тем же свойством обладает и их произведение ab.
§ 1.3. Сдвиги и регулярные представления
Упражнения к § 1.2
1. Проверить ассоциативность:
e
f
ос,
a
e
e
f
g
e
f
e
f
g
в
g
e
f
g
i
a
e
1
oc,
e
2. Проверить ассоциативность:
I e f g a 0
e
f
g
a
0
e
0
g
0
0
a
/
/
a
0
e
g
g
e
0
a
0
/
0
0
0
0
0
0
0
3. Множество всех элементов а группоида S, таких, .что
а (яу) — (яя) у для всех х, у ? S, является подполугруппой.
§ 1*3. Сдвиги и регулярные представления
Пусть S и S' — группоиды. Отображение ф группоида S в Sr
называется гомоморфизмом, если (ab) ф = (аф) (Ьф) для всех
а, Ъ 6 S. Область значений 5ф гомоморфизма ф, т. е. множество-
всех элементов вида йф из S', где а ? S, является подгруппоидом
группоида S'. Будем говорить, что <5ф есть гомоморфный образ-
группоида S и писать S ~ 5ф. Если S — полугруппа, то S<p —
также полугруппа. Взаимно однозначный гомоморфизм ф группои-
группоида S в группоид S' называется изоморфизмом S в S'. В этом слу-
случае говорят, что группоиды S и Sq> изоморфны и пишут S ^ 5ф.
Гомоморфизм группоида S в себя называется эндоморфизмомТ
а изоморфизм группоида S на себя — автоморфизмом.
Отображение ф группоида S в группоид S' называется антиго-
антигомоморфизмом, если (ab) ф = (Ьф) (аф) для всех a, b ? S. Понятия
антиизоморфизма, антиэндоморфизма и антиавтоморфизма опре-
определяются аналогично. Преобразование х-*- х* группоида S
называется инволютивным антиавтоморфизмом, если (х*)* = х
и (ху)* = у*х*.
Пусть S — группоид, X — произвольное, множество и $~х —
полная полугруппа преобразований на X. Гомоморфизм [антиго-
[антигомоморфизм] ф группоида S в ?Гх называется представлением
26 , Гл. 1. Элементарные понятия
^антипредставлением] группоида S преобразованиями множества
X. Если Т — подгруппоид группоида S, то ф | Т (ограничение ф
на Т) есть, очевидно, представление [антипредставление] групнои-
да Т-, говорят, что оно индуцировано представлением [антипред-
[антипредставлением] ф. Представление [антипредставление] группоида S
называется точным, если оно взаимно однозначно.
Каждому элементу а группоида S сопоставим преобразование
i>a l^ol группоида S, полагая хра = ха [х%а = ах] для всех х ? S.
Назовем ра [Ка] внутренним правым [левым] сдвигом группои-
группоида S, соответствующим элементу а ? S. Преобразования ра и Ка
являются, конечно, элементами полугруппы ff"s-
Из равенств храЪ = х (аЬ) и жрарь = (ха) Ь вытекает, что груп-
группоид S является полугруппой тогда и только тогда, когда раъ =
= РоРь. т--в. тогда и только тогда, когда отображение а-»-ро
¦есть представление группоида S преобразованиями множества S.
Аналогично, группоид S является полугруппой тогда и только
тогда, когда %аь = ЯЬЯО, т. е. тогда и только тогда, когда отобра-
отображение а -»- Ха есть антипредставление группоида S. Если S —
полугруппа, то отображение а-*¦ ра [а-*- Ка] будем называть
регулярным представлением [антипредставлением] полугруппы S.
Под расширенным регулярным представлением [антипредстав-
[антипредставлением] полугруппы S мы будем понимать представление [анти-
лредставление], индуцированное в S. регулярным представлением
^антипредставлением] полугруппы S1. Расширенное регулярное
представление [антипредставление] полугруппы! S всегда точно.
Полугруппа S называется редуктивной слева [справа], если
яз того, что ха = хЪ [ах — Ъх] для всех х ? S, следует а =
= Ъ (а, Ъ ? S). Регулярное представление [антипредставление]
полугруппы S точно тогда и только тогда, когда S редуктивна
слева [справа]. В частности, оно точно, если S обладает левой
{правой] единицей или если S — полугруппа с левым [правым]
¦сокращением. Отметим также, что регулярное представление
([антипредставление] полугруппы S будет представлением [анти-
[антипредставлением] взаимно однозначными преобразованиями мно-
множества S в том и только в том случае, когда S — полугруппа
•с правым [левым] сокращением.
В случае когда S не имеет идемпотентов, за исключением, быть
может, единицы, мы будем кратко говорить, что «S не имеет идем-
дотентов
Лемма 1.0. Полугруппа S точно представима взаимно однознач-
однозначными отображениями некоторого множества в себя тогда и только
тогда, когда она с правым сокращением и не имеет идемпотентов
ф\. В этом случае
(i) если а и Ъ — элементы из S, такие, что аЬ — Ь, то а = 1
§ 1.3. Сдвиги и регулярные представления 27
(ii) S1 — полугруппа с правым сокращением, не имеющая
идемпотентов Ф\;
(iii) расширенное регулярное представление полугруппы S есть
точное представление взаимно однозначными отображениями
полугруппы S1 в себя.
Доказательство. Пусть S — полугруппа взаимно
однозначных отображений множества X в-себя и а, р, у — такие
элементы из S, что ау = фу. Тогда яау = хфу для всех х ? X.
Так как у — взаимно однозначное отображение, мы заключаем,
что ха = хф для всех х ? X, откуда а = р. Таким образом, S —
полугруппа с правым сокращением.
Если е — идемпотент из S, то хее = хе для всех х ? X. Так
как е — взаимно однозначное отображение, хг = х для всех
х ? X. Другими словами, г есть тождественное отображение мно-
множества X и поэтому — единица полугруппы S.
Обратно, предположим, что S — полугруппа с правым сокраще-
сокращением и не имеет идемпотентов ф\.
Будем доказывать утверждения (i), (ii) и (iii); из последнего,
в частности, будет следовать достаточность первого утверждения
леммы.
Для того чтобы доказать (i), возьмем такие элементы а и b
из S, что ab = Ъ. Тогда a2b = ah, откуда а2 = а, поскольку мож-
можно сокращать справа. Так как S не имеет идемпотентов ф1,
отсюда следует, что а — единица полугруппы S и потому S =
= S1.
Утверждение (ii) тривиально при S = Sx, и мы можем предпо-
предположить, что S Ф S1. Допустим,' от противного, что существуют
такие элементы а, Ь, с ? S1, для которых ас = be, но а Ф Ъ. Тогда
с ф 1, т. е. с ? S. Так как S — полугруппа с правым сокращением,
а и b не могут одновременно принадлежать S. Следовательно, мы,
можем предположить, что а ? S я b = 1. Но тогда ас = с и а Ф 1,
что противоречит утверждению (i). Таким образом, S1 — полу-
полугруппа с правым сокращением, и понятно, что она не содержит
идемпотентов ф\.
Докажем (iii). Пусть ф — расширенное регулярное представ-
представление а -> ра полугруппы S (а ? S), где ра — внутренний правый
сдвиг х -*¦ хра = ха полугруппы S1 (х ? S1). Тогда, как отмечено
выше, ф точно. Если х, у,— такие элементы полугруппы S1, что
Х9а = УРа-> т. е. ха = уа, то х = у ввиду утверждения (ii). Таким
образом, каждый элемент ро из ?ф является взаимно однозначным
отображением полугруппы S1 в себя.
До появления диссертации Тулли [1960] единственной значи-
значительной статьей (из известных нам) по общей теории представле-
представлений полугрупп преобразованиями множеств была статья Стол-
28 Гл. 1. Элементарные понятия
ла [1944]1). Мы не будем углубляться в эту теорию, но посвя-
посвятим оставшуюся часть данного параграфа сдвигам полугруппы.
Результаты, которые мы сейчас изложим, будут использоваться
в теории расширений (§ 4.4).
Преобразование р полугруппы S называется правым сдвигом
S, если (ху) р = х (ур) для всех х, у ? S. Преобразование Я. полу-
полугруппы S называется левым сдвигом S, если (ху) X = (хК) у для
всех х, у 6 S. Говорят, что левый сдвиг Я, и правый сдвиг р свя-
связаны, если х (уХ) = (хр) у для всех х, у ? S. Например, если
а ? S, то внутренние сдвиги Я.а и ра связаны.
Множество всех правых [левых] сдвигов полугруппы S есть
подполугруппа Р [Л] полугруппы ?Г 8. В самом деле, если
К±, Х2 6 Л и х, у 6 S, то
(х (ад) у = ((xKJ К2) у - ((jAj) у) Яа =
(( кг) я2 = (ху) (ад,
откуда XjA-g 6 Л. Доказательство того, что из р4, р2 6 Р следует
Р1Р2 6 Р) проводится аналогично. Множество всех внутренних
правых [левых] сдвигов полугруппы S есть подполугруппа Ро
полугруппы Р [подполугруппа Ло полугруппы Л]. Отображение-
о> -*¦ 9а [л -v %а\ есть гомоморфизм [антигомоморфизм] полугрупп
пы S на Ро [Ло], это не что иное, как регулярное представление
[антипредставление] полугруппы S.
Лемма 1.1. Пусть Кир — соответственно левый и правый сдви-
сдвиги полугруппы S и а ? S. Тогда
рар = рар.
Если Кир связаны, то
ККа = Кар, рра = Роя,.
Доказательство. Для любого х 6 S имеем
х (КаК) = (хКа) К = (ах) К = (аК) х =
*Х (РаР) = (^Ра) Р = (Хп) р = Ж (ар) =
Предположим теперь, что К и р связаны. Тогда для любого х ? S
* * (М-о) = (жЯ.) Я,в = а (аЛ) = (ар) х = аЛор,
ж (РРо) = (хр) ра = (ар) а = х (аК) = храк.
Мы определим сдвиговую оболочку 2) <S полугруппы 5 как мно-
множество всех пар (Я,, р), где X и р — связанные левый и правый сдви-
сдвиги полугруппы S. Если (Ки pt) и (Я,2, ра) — элементы из S, то
(К2К±, pip2) также принадлежит 5, так как для любых^ х, у ? S
х) Сейчас соответствующее направление теории полугрупп является
весьма развитым, в большой степени благодаря работам советских матема-
математиков.— Прим. ред.
2) В оригинале translate о nal hull.— Прим. перев.
§ 1.3. Сдвиги и регулярные представления 29
мы имеем
х (у (k2kt)) = х ((ykt) Xi) = (xpi) (ук2) =
= ((sPi) Рг) 1/,= (^ (piPa)) У-
Мы можем поэтому определить бинарную операцию в S, полагая
(A,l7 pi) (Я.а, р2) = (к2ки pip2).
Ассоциативность этой операции очевидна, так что S является
полугруппой.
Пусть So -»- множество, состоящее из всех пар вида (ка, ра),
где а ? 5. Легко видеть, что 50S 5, так как Ка и ра связаны.
Для любых a, b ? S имеем
(ha, Ра) Q^b, Pb) = (^гЛа> PaPb) = (А-аЬ) Pab)-
Следовательно, So — подполугруппа полугруппы S и отображе-
отображение а -»- (Яо, ра) есть гомоморфизм S на 50- Этот гомоморфизм
является изоморфизмом в том и только в том случае, когда из ра-
равенств Ка = Кь и Ро = рь следует, что а = Ъ или, другими слова-
словами, из того, что ах = Ьх и ха = хЪ для всех х ? S, следует равен-
равенство а = Ь. Полугруппу S, обладающую этим свойством, будем
называть слабо редуктивной.
Лемма 1.2. Пусть S — слабо редуктивная полугруппа. Отож-
Отождествим S с внутренней частью So сдвиговой оболочки S полу-
полугруппы S. Тогда S — идеал полугруппы S и для любых а ? S
и (k, p) ? S имеем
' (Я, р) а = аК, а (К, р) = ар.
Доказательство. По лемме 1.1
(к, р) (ка, ра) = (как, рра) = {Ku Pal),
\ (К, Ра) №, Р) = (kka, рар) = (Я.ор, Рар)-
Если теперь мы отождествим элемент х ? S с элементом (кх, рх) ?
^ So, что допустимо, так как S слабо редуктивна и, следова-
следовательно, х —*¦ (кх, рх) есть изоморфизм S на So, то мы получим тре-
требуемое заключение.
Последующие рассмотрения показывают, что роль сдвиговой
оболочки в теории полугрупп до некоторой степени аналогична
роли голоморфа в теории групп.
Если S — идеал полугруппы Т, то каждый внутренний пра-
правый [левый] сдвиг полугруппы Т индуцирует правый [левый] сдвиг
в S. В самом деле, если t 6 Т и х g S, то xpt = xt ? S, так как
S — идеал в Т и, очевидно,
(ху) pt = (ху) t = х (yt) = х (ypt)
для всех х, у ? S. Аналогично, xkt ? S ж kt \ S — левый сдвиг
-полугруппы S. Каковы необходимые и достаточные условия для
30 Гл. 1. Элементарные понятия
того, чтобы полугруппа S вкладывалась в такую полугруппу Т,
что A) S — идеал в Т, B) каждый левый и каждый правый сдвиг
S индуцируется некоторым внутренним сдвигом полугруппы Т?
Следующая теорема отвечает на этот вопрос для слабо редуктив-
ных полугрупп; в общем случае вопрос остается открытым х).
Теоркма 1.3. Слабо редуктивная полугруппа S может быть
вложена в некоторую полугруппу Т так, что выполняются указан-
указанные только что свойства A) и B), тогда(и только тогда, когда C}
каждый левый сдвиг полугруппы S связан с некоторым ее правы»
сдвигом, и наоборот.
Доказательство. Пусть S — полугруппа, которая мо-
может быть вложена в полугруппу Т так, что выполняются свойства
A) и B).,. и пусть X — произвольный левый сдвиг полугруппы S.
Ввиду B) существует (такое t 6 Т, что X = Xt I S. Тогда pt I S —
правый сдвиг полугруппы S, связанный с X. Аналогично, каждый
правый сдвиг полугруппы S связан с некоторым ее левым сдвигом.
Обратно, пусть S — слабо редуктивная полугруппа, обладаю-
обладающая свойством C), и пусть Т совпадает со сдвиговой оболочкой S
полугруппы S. Тогда S — идеал в Г по лемме 1.2. Пусть X —
произвольный левый сдвиг полугруппы S. В силу условия C)
существует правый сдвиг р полугруппы S, связанный с X. Тогда
t == (X, р) 6 Т и Хг | S = X по лемме 1.2. Доказательства двойствен-
двойственного утверждения в условии B) аналогично.
Упражнения к § 1.3
1. Пусть ф — гомоморфизм группоида S в группоид Т. Если
/ — левый [правый] идеал в S, то /<р — левый [правый] идеал
в Sep. Обратно, если / — левый [правый] идеал в Т, то JqS'1 —
левый [правый] идеал в S.
2. (а) Полугруппа S является полугруппой с правым сокра-
сокращением и не имеет идемцотентов ф1 тогда и только тогда, когда
S1— полугруппа с правым сокращением.
(Ь) Редуктивная слева полугруппа с правым сокращением
не имеет идемпотентов ф1.
3. Группоид S является полугруппой тогда и только тогда,,
когда каждый внутренний правый сдвиг группоида S является
его правым сдвигом.
4. Если полугруппа S содержит правую единицу, то каждый
ее правый сдвиг является внутренним.
х) Этот вопрос решен в работе Тамуры и Грэхема [1964]; соответствую-
соответствующее необходимое и достаточное условие состоит в одновременном выполнений
условия C) теоремы 1.3 и следующего условия D): каждый левый сдвиг полу-
полугруппы S коммутирует с любым ее правым сдвигом.— Прим. ред.
§ 1.4. Полугруппа отношений на множестве 3t
5. Преобразование группоида S является левым сдвигом тогда*
я только тогда, когда оно коммутирует с каждым внутренним-
правым сдвигом группоида ,S.
6. Если S — такая полугруппа, что S2 = S, то каждый ее-
правый сдвиг коммутирует с каждым ее левым сдвигом. (Клиф-
(Клиффорд [1950].)
7. Полугруппа S является полугруппой правых нулей тогда*
и только тогда, когда она обладает одним из следующих свойств:
(a) каждое преобразование полугруппы S есть ее правый
сдвиг;
(b) единственным левым сдвигом полугруппы S является тож-
тождественное отображение. (Поси [1949], (а); Тамура [1955],.
(а) и (Ь).)
8. Сдвиговая оболочка S полугруппы правых нулей S изо-
изоморфна полугруппе ?Гв всех преобразований множества S.
Отождествляя S с 2Г& и So с S, получим, что S совпадает с множе-
множеством всех правых нулей полугруппы S.
9. Пусть S — полугруппа {е, /, g, а}, определенная таблицей?
Кэли в упражнении 1 к § 1.2. Полугруппа S слабо редуктивна
(в действительности даже редуктивна справа). Преобразование?
(efga\
\g g е gl
есть левый сдвиг полугруппы S, не связанный ни с каким ее пра-
правым сдвигом.
§ 1.4. Полугруппа отношений на множестве
Под бинарным отношением на множестве X мы понимаем'
подмножество р декартова произведения X X X множества X
на себя. Если (а, Ь) ? р, где а и Ь — элементы множества X, то-
мы будем также писать apb и говорить, что «а находится в отно-
отношении р с Ы.
Если р и а — отношения на X, то их композиция р о а опреде-
определяется следующим образом: (а, Ь) 6 Р ° о, если существует такой>
элемент х ? X, что (а, х) ? р и (х, Ь) 6 а. Бинарная операция ( о).
ассоциативна. Действительно, если р, а и т — отношения на X,
то каждое из утверждений (а, Ь) ? (р о а) о т и (а, Ь) ? р о (а о т)-
эквивалентно утверждению о существовании таких х, у g X, что-
(а, х) ? р, (х, у) ? а и (у, Ь) ? т. Следовательно, множество 38х
всех бинарных отношений на X является полугруппой относи-
относительно операции ( о ).
Будем обозначать через i отношение равенства (или «диаго-
«диагональ» множества X X X), а именно (а, Ь) 6 i тогда и только тог-
тогда, когда а — Ъ. Очевидно, i — единица полугруппы 3SX. Через со
32 Гл. 1, Элементарные понятия
будем обозначать универсальное отношение, а именно (а, Ь) ? со
для всех а, Ъ ? X, т. е. со = X X X. Пустое отношение 0 являет-
является нулем полугруппы <%?х.
Отношение р, обратное к отношению р, определяется сле-
следующим образом: (а, Ъ) ? р тогда и только тогда, когда (b, a) ?
? р. Заметим, что
(р-1) -1 = р, (р о а) -1 = а о p-i.
Другими словами, отображение р -> р есть инволютивный анти-
антиизоморфизм полугруппы SB х-
Соотношение pea означает, что р есть подмножество из а.
Это эквивалентно импликации: apb влечет за собой aab. Так как
9ВХ состоит из всех подмножеств множества X X X, мы можем
выполнять в 38х булевы операции объединения, пересечения
и дополнения. В упражнениях будет приведен ряд формул, имею-
имеющих место для булевых операций, произведений и обратных
отношений.
Говорят, что отношение р симметрично, если р s р (и, сле-
следовательно, р = р), рефлексивно, если i s р, и транзитивно,
если pops р. Отношение р на множестве X называется отног
шением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично
и транзитивно. Любое отношение эквивалентности на X является
идемпотентом полугруппы %'х-
Если р — произвольное отношение на множестве X и а ? X,
то положим ра = {х ? X \ хра} и ар = {х 6 X | арх). Если
р — отношение эквивалентности, то A) а ? ар для каждого а ? X
и B) из того, что ар П Ьр Ф 0, следует равенство ар =. Ьр. Таким
образом, семейство множеств ар, где а б X, является разбиением
множества X, т. е. эти множества попарно не пересекаются и их
объединение равно X; обозначим это семейство через Х/р. Назовем
ар классом эквивалентности множества X по mod p, содержащим
а. Обратно, любое разбиение & множества X определяет такое
отношение эквивалентности р, что eF = Х/р, а именно apb тогда
и только тогда, когда а и Ъ принадлежат одному и тому же множе-
множеству разбиения &. Назовем отображение а --»- ар естественным
или каноническим отображением множества X на Х/р и обозна-
обозначим его через р^. Отметим, что ар = ар*? для каждого a ? X, но
во избежание путаницы мы используем различные символы для
обозначения отношения эквивалентности р на множестве X и
естественного отображения множества X на Х/р.
Если р — произвольное отношение на X, то определим тран-
транзитивное- замыкание р' отношения р, полагая
p'=U pn = PU(p°P)U(P°P°P)U .-¦. •
П=1 I
§ 1.4. Полугруппа отношений на множестве 33
Очевидно, р( транзитивно и содержится в каждом транзитивном
отношении на X, содержащем р.
Если ро — произвольное отношение на X, то отношение р4 =
= Ро U Po1 U l — наименьшее рефлексивное и симметричное отно-
отношение на X, содержащее р0. Транзитивное замыкание р =
= pi отношения р4 является отношением эквивалентности на X,
которое содержится в каждом отношении эквивалентности на X,
содержащем р0. Назовем р отношением эквивалентности на X,
порожденным ро-
Пересечение произвольного множества отношений эквивалент-
эквивалентности является отношением эквивалентности. Аналогичное утвер-
утверждение для теоретико-множественного объединения не верно даже
в случае двух отношений. Объединением р \J а двух отношений
эквивалентности р и а назовем отношение эквивалентности,
порожденное р U а, т. е. р V а — транзитивное замыкание отно-
отношения р U ст.
Лемма 1.4. Если р и а — отношения эквивалентности на мно-
множестве X и р°сх = стор, то рост — также отношение эквива-
эквивалентности на Хиросх = ру а.
Доказательство. Так как р о а, очевидно, содержится
в р V а, остается лишь показать, что рост есть отношение эквива-
эквивалентности. Из включений ispsp»a следует, что отношение
р<=а рефлексивно, а равенства
показывают, что роа симметрично. Наконец,
(роа) о (роа) = роаороа = ророаоа = р ° <т,
т. е. роа транзитивно.
Если р — такое отношение на X, что | хр | = 1 для каждого
х ? X, то мы можем отождествить одноэлементное множество хр
с его единственным элементом и рассматривать р как преобразо-
преобразование х ->• хр множества X. Если а — другое такое же отноше-
отношение на X, то указанным свойством обладает и р°а, причем роа
совпадает с суперпозицией р и а, рассматриваемых как преобра-
преобразования множества X. Двойственным образом, если | рх | = 1 для
всех х ? X, то можем рассматривать отображение х -> рх как
преобразование множества X. В этом случае роа равно суперпо-
суперпозиции аир. Таким образом, 38 х содержит ЗГ х как подполугруппу,
а также подполугруппу ?Г\, антиизоморфную S~x-
Пусть ф — отображение множества X в множество X'. Тогда
<р можно считать отношением на множестве X [) X'. Для каждого
х ? X' имеем х'ф = {х ? X \ хер = х }. Композиция ф о ф-1 содер-
содержится в X X X, следовательно, ее можно считать отношением
на X, и мы видим, что (х, у) ? ф о ф-1 тогда и только тогда, когда
3-1159
34 Гл. 1. Элементарные понятия
Жф = уу. Отсюда ясно, что ф о ф~х есть отношение эквивалентно-
эквивалентности и ф индуцирует очевидным образом взаимно однозначное-
отображение Х/ф о ф-1 на Хер. Назовем ф о ф отношением эквива-
эквивалентности на X, естественно индуцированным ф г).
Упражнения к § 1.4
1. Пусть J?х — полугруппа всех отношений на множестве X
и Q —множество индексов. Пусть р, ра (а пробегает Q), а, т —
произвольные элементы полугруппы 38 х- Тогда в 38х выпол-
выполняются следующие соотношения:
(a) из рsа следует ротеоот и торетоо;
(b) ао(ири)= UaoPa;
(c) ao(npra)s no°pa;
а?Я а?Я
(d) из pso следует р sa;
(e) (Upa)-1^ U Ра1!
а?П 'абй
(f) (ПРаГ1- ПРа1-
а?Й а?Й
2. Показать, что в Aс) равенство, вообще говоря, не имеет
места. Пусть i' — отношение х Фу на X (дополнение для i).
Если | X | >1, то
co°(t П i') = 0, но (cooi) р (cooi') = со.
3. Если р и a — такие симметричные отношения, что р о a S
СГ СТор, ТО р°СТ = СТор.
§ 1.5. Конгруэнции, факторгруппоиды
и гомоморфизмы
Говорят, что отношение р на группоиде S стабильно 2) (или
регулярно, или однородно) справа [слева], если apb (a, b ? S) вле-
влечет за собой acpbc [capcb] для каждого с ? S. Стабильное справа
[слева] отношение эквивалентности на S будем называть правой
[левой] конгруэнцией на S. Конгруэнцией на S называется отноше-
отношение эквивалентности, являющееся и левой, и правой конгруэн-
конгруэнцией.
Пусть р — конгруэнция на группоиде S и А, В — произволь-
произвольные элементы множества Sip, т. е. классы эквивалентности S
J) Это отношение называют также ядром отображения ф и обозначают
через кег ср.— Прим. ред.
г) В оригинале — совместимо (compatible).— Прим. перев.
§ 1.5. Конгруэнции, факторгруппоиды и гомоморфизмы 35
по mod p. Пусть аь я2 ? А и Ъи Ь2 € В. Из fflipa2 следует, что
aibipa2bi, так как р стабильно справа. Из bipb2 вытекает, что
a2bipa2b2, так как р стабильно слева. В силу транзитивности
конгруэнции р, мы заключаем, что ахЪфагЬ2. Следовательно, про-
произведение АВ классов Ли В содержится в некотором классе экви-
эквивалентности С. Определим умножение (°) в S/p, полагая А°В —
= С. Множество Sip с операцией ( о ) является группоидом, кото-
который мы назовем факторгруппоидом S по mod p.
Как и в § 1.4, обозначим через ар (а ? S) класс эквивалентно-
эквивалентности по mod p, которому принадлежит а. Сказанное выше в опреде-
определении операции ( о ) означает просто, что ар obp = (ab) p для всех
а, Ъ ? S. Обозначая через р^ естественное отображение группоида
S на Sip, получаем, что ар = ар% для всех а ? S, и поэтому
ар% о Ьр*?.= (ab) pb. Таким образом, р^ есть гомоморфизм. Мы назо-
назовем его естественным (или каноническим) гомоморфизмом группои-
группоида S на S/p. Если S — полугруппа, то и S/p является полугруппой.
Предыдущие рассуждения показывают, что каждый фактор-
группоид группоида S является его гомоморфным образом. Сле-
Следующая теорема показывает, что и. обратно, каждый гомоморф-
гомоморфный образ группоида S изоморфен некоторому его факторгруп-
поиду. Таким образом, если мы не будем делать различия между
изоморфными группоидами, то внешняя задача нахождения всех
гомоморфных образов данного группоида 5 сводится к внутрен-
внутренней задаче нахождения всех конгруэнции на S.
Теорема 1.5. (Основная теорема о гомоморфизмах *).) Пусть
9 — гомоморфизм группоида S на группоид S', и пусть р =
= ЭоЭ, т. е. apb (a, b ? S) тогда и только тогда, когда aQ =
= bQ. Тогда р — конгруэнция на S и существует изоморфизм г]>
группоида S/p на S', такой, что р*7^ = 9, где р% есть естествен-
естественный гомоморфизм S на S/p.
Доказательство. Если apb и с ? S, то
{ас) Э = (ад) (ев) = F8) (ев) = (be) 9,
откуда aepbe. Аналогично, capeb. Так как р, очевидно, есть отно-
отношение эквивалентности на S, оно является конгруэнцией. Для
каждого элемента А группоида S/p положим Aty = aj9, где a4 ? A.
Нужно проверить, что г|> есть однозначное отображение (Sip в S').
Для этого отметим, что если а2 6 Л, то афа2 и потому afi = a28.
Так как 9 отображает 5 на iS", мы видим, что я|з отображает Sip
на S'. Покажем, что я|з — гомоморфизм. Пусть А, В ? Sip и а ? А,
х) Как хорошо известно, основная теорема о гомоморфизмах верна вооб-
вообще для любых универсальных алгебр. То же относится и к другим теоремам
настоящего параграфа (с необходимым видоизменением определения элемен-
элементарного р0-перехода в теореме 1.8). См. Кон П., Универсальная алгебра,
М., 1968.— Прим. ред.
3*
36 Гл. 1. Элементарные понятия
Ъ 6 В. Тогда аЪ б А ° В и потому
А °Ву = (яЬ) 9 = (ев) (Ьв) = (Ay) (By).
Теперь покажем, что у взаимно однозначно. Допустим, что Ау =
= By и возьмем а ? Л и b ? В. Тогда а0 = Лг|) = 2?ф = Ь8,
откуда apb и потому Л = В. Таким образом, у — изоморфизм
Sip на 5'.
Если а ? Л 6 5/р. то ар'? =4. Следовательно, а0 = Ау =
= (др*7) У = а (р^У)- Так как последнее верно для любого а ? S,
мы заключаем, что 6 = ^
Вообще говоря, конгруэнция на полугруппе S не определяется
каким-либо одним из своих классов (или «ядром»), как это имеет
место для групп (упражнение 1 ниже), но некоторые типы конгру-
конгруэнции на S могут так определяться. Например, каждая конгруэн-
конгруэнция р, для которой 5/р есть группа (или группа с нулем), опре-
определяется заданием своего класса, являющегося единичным эле-
элементом группы (или группы с нулем) 5/р (гл. 10). Другим при-
примером, который будет постоянно использоваться на протяжении
всей книги, является следующая конструкция.
Пусть / — идеал полугруппы S. Определим отношение р
на S, полагая apb (a, b ? S) тогда и только тогда, когда либо а =
= Ь, либо а и Ъ принадлежат /. Назовем р конгруэнцией Риса
по mod /. Классами эквивалентности полугруппы S по mod p
являются само / и каждое одноэлементное множество {а}, где
а ? 5\/. Будем писать SII вместо S/p и называть S/I факторполу-
группой Риса полугруппы S no mod /. Можно представлять себе
S/I как результат сжатия / в один элемент (нуль), в то время
как элементы из S\1 не затрагиваются. Это понятие было введено
Рисом в [1940].
Теорема 1.6. (Теорема об индуцированном гомоморфизме.)
Пусть ф! и ф2 — такие гомоморфизмы группоида S соответствен-
соответственно на группоиды Si и S2, что ф1оф^1= Фа°Фг1' Тогда существует
единственный гомоморфизм 9 группоида Si на группоид S2, такой,
что Ф16 = ф2-
Доказательство. Пусть at ? Si и а — такой элемент
группоида S, что aqu = a1% Положим at0 = аф2. Если &фт =
= ai (Ь € «$), то (а> &) 6 ф1 °Ч>11 S ф8 o<pj\ откуда афа = Ьф2; сле-
следовательно, отображение 0 однозначно. Ясно, что ф!0 = ф2.
Покажем, что 8 — гомоморфизм:
1(оф,) (fcpi)] в = ЦаЬ) cpj 9 = (аЬ) Фа =
= (вф2) (Ьф1> = ЦвфО 01 1(Ьф|) в].
Единственность 9 очевидна; действительно, если 8 удовлетворяет
соотношению Ф18 = ф2, то мы вынуждены задать 6 так же, как это
было сделано выше.
§ 1.5. Конгруэнции, факторгруппоиды и гомоморфизмы 37
Следствие 1.6а. Если pi и р2 — такие конгруэнции на группои-
группоиде S, что pi S р2, то S/pi ~ S/p2.
Доказательство. Пусть ф! = р^, фз = р§, St = S/pu
S2 = S/p2. Так как р4 ==ф1°ф71 и р2 = ф20Фг'' то выполнены
все условия теоремы 1.6, и мы заключаем, что существует гомо-
гомоморфизм 9 группоида St на группоид S2.
Легко проверить, что пересечение любого семейства конгруэн-
конгруэнции на группоиде S также является конгруэнцией на S. Следую-
Следующий принцип принадлежит Тамуре и Кимуре [1954, 1955].
Предложение 1.7. (Принцип максимального гомоморфного обра-
образа данного типа.) Пусть % — абстрактное свойство группоида,
т. е. такое свойство, что если один из двух изоморфных группоидов
обладает свойством 'ё, то и другой также обладает этим свой-
свойством. Скажем, что конгруэнция а на группоиде S имеет тип 9S,
если S/a обладает свойством %. Предположим, что пересечение р
всех конгруэнции а на S, имеющих тип %, имеет тип 'ё. Тогда S/p
есть максимальный гомоморфный образ группоида S, обладающий
свойством Чв, в том смысле, что Sip обладает свойством % и каждый
гомоморфный образ группоида S, обладающий свойством 4S, являет-
является гомоморфным образом группоида S/p.
Доказательство. Если Т — произвольный гомоморф-
гомоморфный образ группоида S, обладающий свойством $, то по основной
теореме о гомоморфизмах Т s S/a для некоторой конгруэнции
а на S. Так как по предположению % есть абстрактное свойство,
S/a обладает свойством сё. Следовательно, а имеет тип %, откуда
рсопо определению р. В силу следствия 1.6а имеем S/p ~ S/a
и потому S/p ~ Т.
В качестве примеров применения этого принципа отметим сле-
следующие факты. A) Каждый группоид имеет максимальный полу-
полугрупповой гомоморфный образ. B) Каждая полугруппа имеет
максимальный коммутативный гомоморфный образ. Можно заме-
заменить в B) слово «коммутативный» на «идемпотентный» или «с сокра-
сокращением» или на любую комбинацию указанных трех терминов.
Наиболее успешным до сих пор было рассмотрение случая «ком-
«коммутативный и идемпотентный» (= «полуструктурный», см. § 1.8).
Это был первый тип, рассмотренный Тамурой и Кимурой [1954];
он будет играть важную роль в главе 4. С другой стороны, не каж-
каждая полугруппа имеет максимальный групповой гомоморфный
образ (упражнение 6 к § 1.6; см. также статью Кимуры [1958]).
Если р0 — произвольное отношение на группоиде S, то суще-
существует по крайней мере одна конгруэнция на S, содержащая р0,
а именно универсальное отношение со = S X S. Следовательно,
существует пересечение р всех конгруэнции на S, содержащих
Ро- Назовем р конгруэнцией на S, порожденной отношением p<j-
38 Гл. 1. Элементарные понятия
Если S — полугруппа, то мы можем дать для р более удоб-
удобное описание. Пусть pj = р0 (J pj1 (J i. Положим арф (a, b ? S)
тогда и только тогда, когда
а — хсу, b = xdy и cptd
при некоторых с, d ? S и х, у ? S1. Назовем переход от а к b или
наоборот элементарным р0-переходом. Очевидно, отношение р2
рефлексивно, симметрично, стабильно и р0 S pi E р2 ? р. Нако-
Наконец, транзитивное замыкание р| отношения р2 является кон-
конгруэнцией на <S\ содержащейся в р, и, следовательно, оно совпа-
совпадает с р. Таким образом, арЪ тогда и только тогда, когда суще-
существуют такие элементы clt с2, . . ., сп ? S, что йр2сь . . .
. . ., С;расг+1) . . ., cnp2b. Резюмируем сказанное в следующей
теореме.
Теорема 1.8. Пусть р0 — отношение на полугруппе Sup —
конгруэнция на S, порожденная р0. Тогда apb (a, b ? S) в том
и только в том случае, когда b можно получить из а конечной
последовательностью элементарных ро-переходов.
Упражнения к § 1.5
1. Если Н — подгруппа группы G, то отношение р на G,
определенное следующим образом: apb (a, b ? G) тогда и только
тогда, когда ab ? Н, является правой конгруэнцией и каждая
правая конгруэнция на G получается таким путем. Классами
правой конгруэнции р являются множества На при a ?G. Отно-
Отношение р является конгруэнцией тогда и только тогда, когда Н
является в G нормальным делителем. (Дюбрей [1941].)
2. Следующее утверждение, вытекающее из теоремы 1.6, иногда
называют теоремой об индуцированном гомоморфизме для групп.
Пусть ф [ф'1 есть гомоморфизм группы G [G'] на группу
Н \Н'\, и пусть 9 — гомоморфизм группы G в G', который отобра-
отображает ядро гомоморфизма ф в ядро гомоморфизма ф'. Тогда суще-
существует единственный гомоморфизм 0' группы Н в Н', такой, что
Ф9' = вф'.
§ 1.6. Циклические полугруппы
Если а — произвольный элемент полугруппы S, то подполу-
подполугруппа (а), порожденная элементом а, состоит из всех положи-
положительных целых степеней элемента а:
(а) = {а, а2, а3, . . .}.
Если (а) = S, то S называется циклической полугруппой1).
*) В русской литературе употребляется также термин моногенная полу-
полугруппа.— Прим. перев.
§ 1.6. Циклические полугруппа 39
В общем случае, назовем (а) циклической подполугруппой из S,
порожденной элементом а. Порядком элемента а называется поря-
порядок подполугруппы (а). Для каждого а ? S может быть лишь
две возможности:
A) Все степени элемента а различны между собой. Тогда,
очевидно, а имеет бесконечный (счетный) порядок.
B) Существуют такие положительные целые числа г и s, что
;•< s и аг = а8.
Пусть s — наименьшее положительное целое число, такое, что
as есть степень элемента а, равная некоторой меньшей степени
этого элемента. Тогда а8 = аг для некоторого г < s. Так как
элементы а, а2, . . ., as-1 должны быть различны, г есть един-
единственное положительное целое число, такое, что г <s и йг = а'.
Пусть т = s — г. Умножая обе части равенства ar = am+r
последовательно на ат, мы получим, что ar+hm = ar для каждого
неотрицательного целого числа к. Если п — произвольное поло-
положительное целое число, то в = km + i, где к и i — такие поло-
положительные целые числа, что 4^0и0^г<т. Из равенств
следует, что каждая степень элемента а, начиная с ат и далее,
равна одному из элементов множества
Теперь ясно, что а имеет конечный порядок, равный г -\- т — 1.
Назовем г индексом, am — периодом элемента а и полугруппы
(а). Отметим, что верно следующее равенство:
индекс + период = порядок + 1-
Множество Ка является, очевидно, подполугруппой полугруп-
полугруппы S. Если каждому элементу а™ ? Ка (г ^ п ^ г + т — 1)
поставить в соответствие класс вычетов (т) -)- п целых чисел
по mod т, содержащий п, то отображение ап -*- (т) + п будет,
очевидно, изоморфизмом Ка на аддитивную группу 1/(т) всех
классов вычетов по mod т. Следовательно, Ка — циклическая
группа порядка т.
Только что описанные результаты были впервые получены
Фробениусом (Frobenius G., Uber endliche Gruppen, Sit-
zungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1895, 163—194) для подмно-
подмножеств (комплексов) группы, а не для элементов произвольной
полугруппы (см. упражнение 2 ниже). Эти же результаты полу-
получили Морган и Уорд в 1933 году (не опубликовано); Сушкевич
[1937], гл. 2, § 19; Пул [1937]; Рис [1940]; Климеску [1946]. Сфор-
Сформулируем их -в следующей теореме.
Теорема 1.9. Пусть а — элемент полугруппы S и (а) — цикли-
циклическая подполугруппа полугруппы S, порожденная элементом а.
40 Гл. 1. Элементарные понятия
Если (а) бесконечна, то все степени элемента а различны. Если (а }
конечна, то существуют два положительных целых числа, индекс
г и период т элемента а, для которых ат+Т — аг и
(а) = {а, а2, . . ., а**-1}.
Порядок подполугруппы (а) равен m + г — 1. Множество
является циклической подгруппой порядка т полугруппы S.
Для любых двух наперед заданных чисел гит можно построить
циклическую полугруппу (а), индекс которой равен г, а период
равен т. Такова, например, полугруппа, порожденная преобра-
преобразованием
/0 1 2 ... г — 1 г ... г + т — 2 г + т — Г
\123... г г + 1 . . . г + m — 1 г
множества {0, 1, 2, . . ., г -\- т — 1}. Очевидно, что две конеч-
конечные циклические полугруппы изоморфны тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковые индекс и период.
Полугруппа S называется периодической, если каждый ее
элемент имеет конечный порядок; в частности, каждая конечная
полугруппа является периодической. Если а — элемент конечного
порядка, то полугруппа (а) содержит точно один идемпотент,
а именно единицу группы Ка. Выражение для этого элемента дана
в упражнении 1 ниже; оно взято из цитированной выше статьи
Фробениуса. Тот факт, что некоторая степень каждого элемента,
конечной полугруппы является идемпотентом, был также установ-
установлен Муром (Moore E. H., A definition of abstract groups, Trans.
Amer. Math. Soc, 3 A902), 485—492).
Упражнения к § 1.6
1. Пусть а — элемент конечного порядка полугруппы S,
и пусть г — индекс, am — период элемента а. Тогда единица под-
подгруппы Ка полугруппы (а) равна ап, где п делится на т и г <
^ п < г + т. (Фробениус, статья упомянутая в тексте.)
2. Пусть G — такая группа, что каждая ее подполугруппаг
порожденная конечным подмножеством, конечна. Тогда каждая
подполугруппа группы G является в действительности подгруппой,
т. е. наше предположение эквивалентно локальной конечности
группы G. Если A s G, А конечно и 1 ? А, то в последовательно-
последовательности степеней А, А2, . . . только конечное число различных членов,
точно один из них является подгруппой группы G и совпадает
с подгруппой группы G, порожденной А. (Фробениус, статья упо-
упомянутая выше.)
3. Если S — полугруппа с правым сокращением, то каждый
ее элемент конечного порядка имеет индекс, равный 1.
§ 1.7. Обратимые элементы, и максимальные подгруппы 41
4. Пусть S — коммутативная периодическая полугруппа и Е—
множество идемпотентов из S. Для каждого е ? Е через Se обо-
обозначим множество всех таких х 6 S, что хп = е для некоторого
положительного целого числа п. Тогда Se и Sf не пересекаются,
если е Ф /, и S есть объединение всех подмножеств Se. Каждое
Se является подполугруппой полугрудпы S, содержащей е и не
имеющей других идемпотентов; SeSf E Sef для всех е, f ? Е.
Назовем Se максимальными одноидемпотентными {или унипотент-
ными) подполугруппами полугруппы S. (Шварц [1953а, 1954а].)
5. Коммутативная полугруппа, каждый элемент которой имеет
индекс, равный 1, является объединением непересекающихся
периодических групп. (Пул [1937].)
6. Каждый групповой гомоморфный образ бесконечной цикли-
циклической полугруппы С является конечной циклической группой,
и каждая конечная циклическая группа есть гомоморфный образ
полугруппы С. Следовательно, С не имеет максимального группо-
группового гомоморфного образа. (См. замечания после предложения 1.7.
В упражнении 16 к § 2.7 рассмотрен класс полугрупп, которые
обладают максимальными групповыми гомоморфными образами.)
§ 1.7. Обратимые элементы и максимальные
подгруппы
Пусть S — полугруппа с единицей 1. Если р и q — такие эле-
элементы полугруппы S, что pq = 1, то будем называть р левым обрат-
обратным для элемента q, a q — правым обратным для элемента р.
(Слова «относительно 1» будем опускать.) Обратимым справа
[слева] элементом в S будем называть элемент полугруппы S, обла-
обладающий правым [левым] обратным в S. Таким образом, если pq =
= 1, то р обратим справа, a q обратим слева. Обратимым элемен-
элементом в S будем называть элемент полугруппы, обладающий и пра-
правым, и левым обратным.
Теорема 1.10. Пусть S — полугруппа с единицей 1.
(i) Множество Р [Q] всех обратимых справа [слева] элементов
из S является подполугруппой с правым [левым] сокращением и со-
содержит 1.
(ii) Множество U всех обратимых элементов полугруппы S
является подгруппой в S, и U = Р f| Q. Каждый обратимый эле-
элемент имеет единственный двусторонне обратный элемент в U
и не имеет в этом множестве других левых и правых обратных.
(ш) Каждая подгруппа полугруппы S, содержащая 1, содержит-
содержится в U.
Доказательство. (i) Если pq = p'q' =1, то
(РР) {я.'Я) — 1; это показывает, что Р viQ — подполугруппы полу-
полугруппы S. Они, очевидно, содержат 1. Если ар = Ър, где а, Ъ ? S
¦42 ' Гл. 1. Элементарные понятия
и р ? Р, то р имеет правый обратный элемент q и а — а\ =
= ард — bpq = Ъ\ = Ь. Аналогично, Q — полугруппа с левым
сокращением.
(И) Ясно, что U = Р П Q и потому С/ есть подполугруппа
полугруппы S. Если u ? U, то существуют такие элементы х, у ?
¦6 5, что :га = иг/ = 1. Пусть .г и z/ — произвольные такие элементы
из S. Тогда х' = xl = .roi/ = li/ = у. Следовательно, любой левый
обратный элемент для и равен произвольному правому обратному
элементу, и потому и имеет единственный двусторонне обратный
элемент и' и не имеет других, левых и правых обратных элементов.
Из равенств ии' = и'и — 1 вытекает, что и' ? U, и, следователь-
следовательно, U является группой.
(ш) Пусть G — произвольная подгруппа полугруппы S, содер-
содержащая 1, a a g G. Пусть а — обратный для а элемент группы G.
Из равенств аа'1 — а~га = 1 вытекает, что а ? U, поэтому G s U.
Полугруппа не всегда содержит подгруппы. Например, беско-
бесконечная циклическая полугруппа не имеет подгрупп. Легко видеть,
что полугруппа S содержит подгруппу в том и только в том слу-
случае, когда она содержит идемпотент. Если е — идемпотент полу-
полугруппы S, то eS состоит из всех элементов а полугруппы S, для
которых е является левой единицей, т. е. еа = а. В самом деле,
еслиа = еа; для некоторого x?S, то еа = егх — ех — а; обратное
утверждение очевидно. Аналогично, Se состоит из всех элементов
полугруппы S, для которых е является правой единицей, и eSe
есть множество всех элементов полугруппы S, для которых е
является двусторонней единицей. Легко видеть, что
eSe = eS (] Se.
Кроме того, eS [Se\ — главный правый [левый] идеал полугруппы
.S, порожденный элементом е. В частности, eS и Se суть подполу-
подполугруппы полугруппы S, и, следовательно, их пересечение eSe также
является полугруппой. Более того, eSe имеет единицу е, поэтому
мы можем говорить о группе обратимых элементов полугруппы
¦eSe, которую будем обозначать через Не.
Теорема 1.11. Пусть е — произвольный идемпотент полугруп-
полугруппы S и Не — группа обратимых элементов полугруппы eSe. Тогда
Не содержит каждую подгруппу G полугруппы S, пересекаю-
пересекающуюся с Нв.
Доказательство. Пусть / — единица группы G. Пока-
Покажем сначала, что / = е. По предположению G [\ Не непусто; пусть
а — элемент из этого пересечения. Если Ъ и с — обратные к а
элементы соответственно в группах G и Не, то
е = са = caf = ef = eab = ab = /.
Так как е — двусторонняя единица в G, отсюда следует, что G s
S eSe. В силу теоремы 1.10 (ш) мы заключаем, что G s He.
§ 1.7. Обратимые элементы и максимальные подгруппы 43
Подгруппа G полугруппы S называется максимальной под-
подеру пцой полугруппы S, если она не содержится строго ни в какой
другой подгруппе. Если е — единица максимальной подгруппы
G полугруппы S, то G пересекается с Не, так как е ? G f\ He.
Отсюда в силу теоремы 1.11 имеем ?s He, но тогда G = Не ввиду
максимальности G. Обратно, если е — идемпотент полугруппы S,
то из теоремы 1.11 следует, что Не является максимальной под-
подгруппой в S. Итак, группы Не из теоремы 1.11 и только они явля-
являются максимальными подгруппами полугруппы S.
Из теоремы 1.11 также вытекает, что если ей/ — различные
идемпотенты полугруппы S, то Не и Hf не пересекаются. Мы
можем представлять себе максимальные подгруппы полугруппы S
как острова в море.
Существование максимальных подгрупп в полугруппе S было
отмечено впервые Шварцем [1943] для периодической полугруппы
S и Уоллесом [1953] и Кимурой [1954] — для произвольной полу-
полугруппы S.
Упражнения к § 1.7
1. Пусть Р [Q] — подполугруппа обратимых справа [слева]
элементов полугруппы S с единицей 1 и /7 — группа обратимых
элементов полугруппы S.
(a) Следующие три условия для полугруппы S эквивалентны:
(i) ab = 1 (а, Ъ ? S) влечет за собой Ъа = 1; (И) Р = U; (Ш)
<? = ?/.
(b) Условия, перечисленные в п. (а), выполняются, если S —
периодическая полугруппа или если S — полугруппа с правым
сокращением.
(c) Условия, перечисленные в п. (а), выполняются для полу-
полугрупп Р vlQ.
2. Пусть ЗГ% — полная полугруппа преобразований на мно-
множестве X (§ 1.1).
(a) Подполугруппа обратимых справа элементов полугруппы
&х состоит из всех взаимно однозначных отображений X в X.
(b) Подполугруппа обратимых слева элементов полугруппы Ух
состоит из всех отображений X на X.
(c) Группа обратимых элементов полугруппы ?Гх совпадает
с группой "§х- (Сушкевич [1937], глава 1, § 7; [1940 а, Ь].)
3. Максимальная подгруппа Не полугруппы S, содержащая
идемпотент е, может быть охарактеризована как множество всех
таких элементов а ? S, что (i) еа = ае = а и (п) существуют х,
у ? S, для которых ха = ау = е.
4. Конечная циклическая полугруппа (а) содержит единствен-
единственную максимальную подгруппу, а именно Ка (в обозначениях § 1.6).
44 Гл. 1. Элементарные понятия
5. Если полугруппа есть объединение групп, то она является
объединением непересекающихся групп.
6. (а) Периодическая полугруппа S является объединением
групп тогда и только тогда, когда каждый ее элемент имеет индекс,
равный 1 (§ 1.6).
(b) Периодическая полугруппа с правым сокращением являет-
является объединением групп (см. упражнение 3 к § 1.6).
(c) Периодическая полугруппа с сокращениями является груп-
группой.
§ 1.8. Связки и полуструктуры; связки полугрупп
Напомним, что отношение ^ на множестве X называется час-
частичным порядком на X, если A) а^.а, B) a^b, b^.a влечет за
собой а = Ъ и C) а^.Ъ и Ъ^.с влечет за собой а^.с (а, Ь, с ? X).
Другими словами, частичный порядок есть рефлексивное, антисим-
антисимметричное и транзитивное отношение. Мы пишем а < Ъ, если а ^.Ъ
та-фЪ. Отношение, обратное к отношению ^ [<]> обозначается,
как обычно, через ^ [>].
Следующий пример очень важен для нас. Пусть Е — множе-
множество идемпотентов полугруппы S. Положим е ^ / (е, / ? Е), если
ef — fe = е. Если е ^ /, то мы скажем, что е предшествует f и f
следует за е. Покажем, что отношение ^ есть частичный порядок
на Е. Пусть е, /, g ? Е. Тогда A) е2 = е и, следовательно, е ^ ег
B) если е ^ / и / ^ е, то ef — fe — е и fe = ef = f, откуда е = /,
C) если е < / и / ^ g, то ef = fe = e и fg = gf = f, откуда
eg = (ef) g = e (fg) = ef = e,
ge = g (fe) = igf) e = fe = e.
Следовательно, e ^ g. Назовем ^ естественным частичным поряд-
порядком на Е.
Элемент Ъ частично упорядоченного множества X называется
верхней гранью подмножества 7 из X, если у ^ Ь для каждого
у ? Y. Верхняя грань Ь множества Y называется наименьшей верх-
верхней гранью, или объединением, множества Y, если Ъ ^ с для каж-
каждой верхней грани с множества Y. Если Y имеет объединение в X,
то это объединение, очевидно, единственно. Нижняя грань и наи-
наибольшая нижняя грань, или пересечение, определяется двойственным
образом. Частично упорядоченное множество X называется верх-
верхней [нижней] полуструктурой, если каждое двухэлементное под-
подмножество {а, Ъ) множества X имеет объединение [пересечение]
в X; в этом случае каждое конечное подмножество множества X
имеет объединение [пересечение]. Объединение [пересечение] мно-
множества {а, Ь} будем обозначать через о V & [а /\Ь] г). Структура
г) Чаще говорят о пересечении [объединении] элементов а и Ь,— Прим.
ред.
§ 1.8. Связки и полуструктуры; связки полугрупп 45
есть частично упорядоченное множество, являющееся и верхней,
и нижней полуструктурой. Структура X называется полной, если
каждое подмножество множества X имеет объединение и пересе-
пересечение.
Например, пусть X — множество всех подгруппоидов группо-
группоида S, включая пустое множество. Тогда X частично упорядочено
относительно теоретико-множественного включения. Так как пере-
пересечение любого множества подгруппоидов группоида S либо пусто,
либо является подгруппоидом, то X — полная структура. Пере-
Пересечение подмножества Y множества X совпадает с теоретико-мно-
теоретико-множественным пересечением элементов множества Y, в то время как
объединением множества Y является подгруппоид группоида S,
порожденный теоретико-множественным объединением подгруппо-
подгруппоидов, входящих в Y. Все предыдущие рассуждения сохраняются,
если заменить слова «подгруппоид или пустое подмножество
из ?» на слова «конгруэнция на S».
С другой стороны, множество всех левых [правых, двусторон-
двусторонних] идеалов группоида S, включая пустое множество, замкнуто
как относительно теоретико-множественного объединения, так
и теоретико-множественного пересечения и потому является пол-
полной подструктурой булевой алгебры всех подмножеств мно-
множества 5.
Напомним (§ 1.1), что связкой называется полугруппа S, каж-
каждый элемент которой является идемпотентом. Таким образом,
S — Е, если S есть связка; поэтому S естественно частично упо-
упорядочено (а < Ъ тогда и только тогда, когда аЪ = Ъа = а).
Теорема 1.12. Коммутативная связка S является нижней полу-
полуструктурой относительно естественного частичного порядка на
на S. Пересечение а [\Ъ двух элементов аиЬ полугруппы S совпадает
с их произведением ab. Обратно, нижняя полуструктура является
коммутативной связкой относительно операции пересечения.
Замечание. Мы, конечно, могли бы сделать S верхней полуструк-
полуструктурой, полагая а ^ Ъ, если аЪ = Ь, но ради единообразия будем
придерживаться определения, данного выше. В дальнейшем будем
использовать термин полуструктура как синоним термина комму-
коммутативная связка. Следовательно, мы соглашаемся, что термин
полуструктура будет использоваться в качестве сокращения
термина нижняя полуструктура, если не оговорено противное.
Доказательство. Тот факт, что отношение ^ есть
частичный порядок на S (= Е), был доказан выше. Мы должны
показать, что произведение аЬ (= Ьа) двух элементов a, b ? S
совпадает с наибольшей нижней гранью этих элементов. Из
равенств (Ьа) а — Ъа2 = Ьа и (аЪ) Ъ = ab2 — аЪ вытекает, что
аЬ ^ а и ab ^ Ъ. Предположим, что с^аис^!>. Тогда (аЪ) с =
= a (be) = ас = с и, аналогично, с (ab) = с, откуда с ^ ab.
46 Гл. 1. Элементарные понятия
Обратное очевидно.
Приведем пример некоммутативной связки. Пусть X и Y —
два произвольных множества. Определим бинарную операцию
на S — X X Y, полагая
(xi, уг) (х2, у2) = (хи уг) (Xi, x2 6 X; уи у2 6 Y).
Ассоциативность и идемпотентность этой операции видны непо-
непосредственно. Будем называть S прямоугольной связкой на множе-
множестве X X Y. Объясним причину введения такого термина. Пред-
Представим себе 1хУ как прямоугольную таблицу из точек, где точка
(х, у) лежит в ж-строке и у-столбце таблицы. Тогда а4 = (xi: у\)
и а2 = (х2, у2) — противоположные вершины прямоугольника,
другие две вершины которого суть а4а2 = (хи y2)ma2ai = (xt, yi).
Прямоугольные связки на X X Y и X' X У изоморфны тогда
и только тогда, когда | X \ = | X' \ и | Y | = | У |.
Если |Х| = 1[|У| = 1], то прямоугольная связка на
X X Y изоморфна полугруппе правых [левых] нулей на Y [Х\
(§ 1-1).
Теория полугрупп не включает в себя ни обширной теории
структур и полуструктур, ни теории групп. Если некоторый тип
полугрупп может быть полностью описан в терминах групп и полу-
полуструктур, то мы считаем, что дальнейшее изучение строения таких
полугрупп лежит вне сферы теории полугрупп. С другой стороны,
мы считаем, что изучение связок — одна из задач теории полу-
полугрупп. В настоящее время мы далеки от полного описания связок
с точностью до полуструктур.
Под разложением полугруппы S мы понимаем разбиение ее
в объединение непересекающихся подполугрупп Sa (a ? Q). Для
того чтобы разложение полугруппы представляло некоторую цен-
ценность для изучения ее строения, необходимо, чтобы подполугруппы
Sa были полугруппами некоторого более специального, нежели S,
типа, например, простыми полугруппами или группами.
Предположим, что S = U {Sa | а ? Q} есть такое разложение
полугруппы S, что для каждой пары элементов а, р множества
индексов Q существует элемент у из Q, для которого 5а5й? #y-
Определим бинарную операцию в Q, полагая оф = ч>> если SaS$ s
S ST Легко видеть, что Q становится связкой относительно этой
операции. Скажем, что S есть объединение связки Q полугрупп Sa.
Отображение <р, определенное следующим образом: а<р == а, если
а 6 Sa, является гомоморфизмом полугруппы S на Q, и подполу-
подполугруппы Sa являются классами конгруэнции фоф-1 (§ 1.4 и 1.5).
Обратно, если ф — гомоморфизм полугруппы S на связку Q, то
полный прообраз Sa = аф каждого элемента af Q является
подполугруппой полугруппы S и S есть связка Q полугрупп
Sa (а ? Q). Если связка Q коммутативна, то S называется объеди-
объединением полуструктуры Q полугрупп Sa (a ? Q). Например,
§ 1.8. Связки и полуструктуры; связки полугрупп 47
в упражнении 4 к § 1.6 утверждается, что S есть объединение
полуструктуры Е полугрупп Se (е ? Е).
Если Q и строение каждого Sa (a ? Q) известны, то можно ска-
сказать, что мы знаем «грубое строение» полугруппы S. Описание-
«тонкого строения» полугруппы S, т. е. того, как «действует»
умножение на элементах различных полугрупп Sa, является
более трудной задачей. Вопросы такого типа будут рассматри-
рассматриваться в гл. 4.
Если полугруппа S есть объединение связки [полуструктуры]
Q полугрупп Sa (a 6^). где каждое Sa имеет тип %, то будем
кратко говорить, что S есть связка [полуструктура] полугрупп
типа 1о. Например, результат упражнения 4 к § 1.6, принадле-
принадлежащий Шварцу, можно сформулировать следующим образом:
каждая периодическая коммутативная полугруппа есть полуструк-
полуструктура одноидемпотентных полугрупп.
Этот результат был обобщен Нумакурой [1954], который пока-
показал, что любая коммутативная полугруппа есть полуструктура
полугрупп, содержащих не более одного идемпотента. Тамура
и Кимура [1954] показали, что на любой коммутативной полу-
полугруппе S существует наименьшая конгруэнция х\ с тем свойством,
что 5/т] есть полуструктура, и, значит, Sit] есть максимальный полу-
полуструктурный гомоморфный образ полугруппы S (предложение 1.7).
Они дали явное описание конгруэнции т), которое будет приведено
в теореме 4.12 ниже. Кроме того, они привели пример полугруппы,
на которой конгруэнция, используемая Нумакурой, отличается
от т). Ямада [1955] дал явное описание наименьшей конгруэнции
\л на полугруппе S (не обязательно коммутативной), для которой
S/\i является полуструктурой.
Упражнения к § 1.8
1. Говорят, что полугруппа S антикоммутативна х), если
аЪ — Ьа (а, Ь ? S) влечет за собой а = Ь. Прямоугольная связка
антикоммутативна.
2. Идемпотент е полугруппы S называется примитивным,
если каждый идемпотент из S, меньший е, равен е или 0 (если S
имеет нуль) и е Ф 0. Полугруппа S антикоммутативна тогда
и только тогда, когда она есть связка без нуля, в которой каждый
элемент примитивен, или \ S \ = 1.
3. Полугруппа S называется сильно реверсируемой (Тьеррен
[1954b]), если для любых а, Ъ ? S существуют такие положитель-
положительные целые числа г, s, t, что (ab)r = asb' = blas. Периодическая
полугруппа является полуструктурой одноидемпотентных полу-
полугрупп с коммутирующими идемпотентами тогда и только тогда,
В оригинале «nowhere commutative».— Прим. перев.
48 Гл. 1. Элементарные понятия
когда она сильно реверсируема. (Исеки [1956]; это обобщает утверж-
утверждение упражнения 4 к § 1.6.)
4. Каждое преобразование полугруппы S является эндомор-
эндоморфизмом тогда и только тогда, когда S — либо полугруппа правых
нулей, либо полугруппа левых нулей. (Поси [1949].)
§ 1.9. Регулярные элементы; инверсные полугруппы
Элемент а полугруппы S называется регулярным, если а 6
или, другими словами, аха = а для некоторого х ? S. Полугруппа
S называется регулярной, если каждый ее элемент регулярен.
Заметим, что если аха = а, то е = ах является идемпотентом,
причем еа — а. В самом деле, е2 = (ах) (ах) — (аха) хз=ах = е и еа—
— аха = а. Аналогично, / = ха есть идемпотент, причем а/ = а.
Отметим также, что если а — регулярный элемент полугруппы S,
то главный правый идеал aS1 = a \J aS, порожденный а, равен aS,
так как а = af влечет за собой а ? aS. Аналогично, 52а = Sa.
Эти два замечания будут использоваться впоследствии без допол-
дополнительных ссылок.
Понятие регулярности было введено Дж. Нейманом для колец
(Neumann J. von, On regular rings, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 22 A936), 707—713), и следующая лемма является пря-
прямым аналогом леммы 6 из приведенной статьи.
Лемма 1.13. Элемент а полугруппы S регулярен тогда
и только тогда, когда главный правый [левый] идеал полугруппы S,
порожденный а, порождается некоторым идемпотентом е, т. е.
aS1 = eS1 iShi = Sle).
Доказательство. Если а регулярен, то аха = а
для некоторого х ? S и е = ах есть такой идемпотент полугруппы
S, что еа = а. Очевидно, aS1 = eiS1. Обратно, предположим, что
aS1 = е^1 и е2 = е. Тогда а — ех при некотором х ? S1, поэтому
еа = е2х = ех = а; е = ау при некотором у ? S1, так что а — еа=
= ауа. Если у = 1, то а = а2 и а = ааа. Следовательно, в любом
случае а 6 aSa, т. е. а регулярен.
Говорят, что два элемента а и Ь полугруппы S инверсны г)
друг к другу, если
aba = а и ЪаЪ — Ъ.
Это понятие было введено Вагнером [1952b], он называл такие эле-
элементы обобщенно обратными, Тьерреном [1952а], который назы-
называл а и Ь взаимными, и Престоном [1954а] 2).
*) В оригинале «inverses».— Прим. перев.
2) В книге Е. С. Лялина «Полугруппы» и в некоторых статьях советских
авторов такие элементы назывались также регулярно сопряженными,—
Прим. ред.
§ 1.9. Регулярные элементы; инверсные полугруппы 49
Если а и Ь — элементы некоторой максимальной подгруппы Н
полугруппы S, в частности, если S сама есть группа, то а и Ъ
инверсны друг к другу тогда и только тогда, когда они взаимно
обратны в группе Н в обычном смысле.
Если элемент а полугруппы S обладает инверсным к нему эле-
элементом, то а регулярен. Обратное (лемма 1.14) было отмечено
Тьерреном [1952а]. Таким образом, в регулярной полугруппе
каждый элемент имеет по крайней мере один инверсный к нему
элемент.
Лемма 1.14. Если а — регулярный элемент полугруппы S, ска-
скажем аха = а, где х ? S, то а обладает хотя бы одним инверсным
к нему элементом; таким элементом, в частности, будет хах.
Доказательство. Пусть Ъ = хах. Тогда
aba — а (хах) а = ах (аха) = аха = а,
ЪаЪ — (хах) а (хах) = х (аха) (хах) =
= ха (хах) = х (аха) х — хах = Ъ.
Следовательно, Ъ инверсен к а.
Лемма 1.15. Два элемента полугруппы S взаимно обратны
в некоторой подгруппе полугруппы S тогда и только тогда, когда
они инверсны друг к другу и коммутируют.
Доказательство. Пусть а и Ъ — коммутирующие
инверсные друг к другу элементы полугруппы S и е = аЪ (= Ъа).
Тогда е есть идемпотент, причем еа = ае = а и еЪ = be = Ъ.
Следовательно, а и Ъ — обратимые элементы в eSe и принадлежат
максимальной подгруппе Не полугруппы S, содержащей е (теоре-
(теорема 1.11). Так как аЪ = Ъа = е, а и Ъ взаимно обратны в группе Не.
Обратное утверждение очевидно.
Регулярный элемент может иметь несколько инверсных к нему
элементов. Крайним примером является прямоугольная связка
(§ 1.8), в которой любые два элемента инверсны друг к другу.
Инверсной полугруппой называется полугруппа, в которой каждый
элемент имеет единственный инверсный к нему элемент. Для этого
понятия Вагнер [1952b] использовал термин «обобщенная группа».
Инверсные полугруппы составляют в настоящее время, вероятно,
наиболее перспективный для изучения класс полугрупп, так как
они довольно близки к группам. Глава 7 полностью посвящена
инверсным полугруппам, кроме того, в § 4.2 мы дадим полное
описание инверсных полугрупп, являющихся объединением групп.
Оставшуюся же часть этого параграфа посвятим изложению неко-
некоторых основных свойств инверсных полугрупп.
В теореме 1.17 ниже мы дадим две другие употребительные
характеризации инверсных полугрупп г). Тот факт, что (i) влечет
х) Об аксиоматике инверсных полугрупп см. также Б. М. Шайн [1965].—
Прим. ред.
4-1159
50 Гл. 1. Элементарные понятия
за собой (ii), впервые был доказан Вагнером [1952b] и независимо
от него Престоном [1954а]. Либер [1954] показал, что из (iii) сле-
следует (i); то же самое, а также эквивалентность каждого из условий
(i), (iii) условию (ii) установили Манн и Пенроуз [1955]. Прежде
всего нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1.16. Если е, /, ef и fe — идемпотенты полугруппы Sr
то ef и fe инверсны друг к другу.
Доказательство. Имеем (ef)(Je)(ef) = efe2f = efef =
= (efJ = ef. Аналогично, (fe)(ef)(fe) = fe.
Теорема 1.17. Следующие три условия для полугруппы S экви-
эквивалентны:
(i) S регулярна и любые два ее идемпотента коммутируют,
(ii) каждый главный правый и каждый главный левый идеал полу-
полугруппы S имеет единственный порождающий идемпотент;
(iii) S — инверсная полугруппа (т. е. каждый элемент из S об-
обладает единственным инверсным к нему элементом).
Доказательство, (i) =Ф (ii). По лемме 1.13 каждый
главный правый идеал полугруппы S имеет по крайней мере один
порождающий идемпотент. Предположим, что ей/ — идемпотен-
идемпотенты, порождающие один и тот же главный правый идеал, т. е. eS =
= fS. Тогда ef = f-mfe — е. Но ввиду (i) ef = fe и, следователь-
следовательно, е = /.
(и) =?¦ (iii). По лемме 1.13 полугруппа S регулярна. Осталось
лишь показать единственность инверсного элемента. Пусть Ъ и с
инверсны к а. Тогда
aba = а, ЪаЬ = Ъ,
аса = а, сас — с.
Отсюда abS — aS = acS и Sba = Sa = Sea, так что ab ~ ас
и ba = ca в силу (ii). Следовательно,
b = bob = bac = cac = c.
(iii) =?• (i). Инверсная полугруппа, очевидно, регулярна.
Осталось лишь показать, что любые два идемпотента коммутируют.
Покажем сначала, что произведение ef двух идемпотентов ей/
является идемпотентом. Пусть а — (единственный) инверсный
к ef элемент. Тогда
{ef) a (ef) = ef, a (ef) a = а.
Положим b = ae. Тогда
(ef) b (ef) = efae*f = cfaef = ef,
b (ef) b = aePfae — aefae = ae = b.
§ 1.9. Регулярные элементы; инверсные полугруппы 5!
Следовательно, Ъ также инверсен к ef. В силу свойства (iii) ae =
= Ь = а. Аналогично, можно показать, что fa = а. Следовательно,
а? = (ае) (fa) = а (ef) a = а.
Но идемпотент является инверсным к себе элементом, и, снова
используя условие (iii), мы заключаем, что а = ef. Итак ef —
идемпотент. Пусть теперь ей/ — два произвольных идемпотента.
На основании предыдущего ef и fe — также идемпотенты. По лем-
лемме 1.16 они инверсны друг к другу. Таким образом, ef и fe инверс-
инверсны к ef и, следовательно, ef = fe.
Взаимно однозначным частичным преобразованием множества
X называется взаимно однозначное отображение а подмножества
У из X на подмножество Y' = Ya из X. Через а будем обозна-
обозначать отображение множества Ya на Y, обратное к отображению а
в обычном смысле, т. е. такое, что у'а'1 = у (у 6 У, у' ? У) тогда
и только тогда, когда у' = уа. Пусть Ух — множество всех взаим-
взаимно однозначных частичных преобразований множества X, вклю-
включая отображение пустого подмножества 0 на себя; это «пустое
преобразование» будем обозначать через 0. Произведение <х0 двух
элементов а, Р 6 Ух определим следующим образом. Пусть Y
и Z — области определения соответственно преобразований а
и р. Если Ya П Z — 0, то положим ар = 0. В противном случае
пусть W = (Ya П Z) а. Тогда будем считать, что аР равно супер-
суперпозиции преобразований а | W и Р | Wa в обычном смысле. Оче-
Очевидно, что ар есть взаимно однозначное отображение подмно-
подмножества W на РРар, поэтому оно принадлежит Jx. Ассоциативдость
проверяется легко. Следовательно, Jx является полугруппой;
будем называть ее симметрической инверсной полугруппой на мно-
множестве X. Это понятие было введено Вагнером [1952а].
Мы должны показать, что Jx — инверсная полугруппа. Так
как элемент а, очевидно, инверсен к а, т. е. аа~ха = а и
а~1аа~1 = а, то ясно, что Зх регулярна. Элемент полугруппы
3х является идемпотентом тогда и только тогда, когда он есть
тождественное отображение некоторого подмножества множества
X на себя. Отсюда видно, что любые два идемпотента из Ух ком-
коммутируют. Теперь из теоремы 1.17 следует, что Jx является
инверсной полугруппой.
Заметим, что определение произведения элементов полугруппы
Ух совпадает с определением их произведения как отношений
(§ 1.4) на множестве X. В действительности Зх можно считать
подполугруппой (состоящей из всех взаимно однозначных отноше-
отношений на X) полугруппы 38х.
Вагнер [1952b] и Престон [1954с] показали, что каждую
инверсную полугруппу можно вложить в некоторую симметриче-
симметрическую инверсную полугруппу. Это утверждение есть аналог теоремы
Кэли для групп и утверждения о регулярном представлении полу-
4*
52 Гл. 1. Элементарные понятия
групп (§ 1.3), но, как мы увидим, его намного труднее доказать.
О другом подходе к этой задаче см. статью Престона [1957].
Пусть S — инверсная полугруппа. Элемент, инверсный к эле-
элементу а ? S, будет обозначаться через а. Таким образом,
аа~Ч — а и а^аа,-1 — «г1
Идемпотент е — аа*1 [/ = а'га] будем называть левой [правой]
единицей элемента а; его можно охарактеризовать как единствен-
единственный идемпотент, порождающий правый [левый! идеал aS [Sa].
Эти замечания и тот факт, что идемпотенты в S коммутируют (тео-
(теорема 1.17), мы будем использовать в дальнейшем без пояснений.
Множество идемпотентов полугруппы S будет обозначаться через
Е; это подполугруппа и в действительности подполуструктура
(§ 1.8). Мы говорим, что подполугруппа Т полугруппы S есть
инверсная подполугруппа из S, если а ? Т влечет за собой а'1 ? Т.
Лемма 1.18. Для любых элементов а, Ъ инверсной полугруппы
S имеют место соотношения
(a-i)-i = а и (ab)-1 = б*-1.
Доказательство. Первое соотношение очевидно.
Докажем второе. Имеем
(ab) (b-Ч-1) (ab) = a (ЬЬ~Х) (а~Ч) Ъ = а {а~Ч) (bb-1) Ъ = аЬ,
(Ъ-Ч-1) (ab) (Ь-Ч-х) = Ь-1 (а-Ч) (bb'1) a =
= b-1 (bb-1) (а-Ч) а-1 = b~4~x.
Следовательно, Ь~Ч~г инверсен к ab.
Лемма 1.19. Если е и f — идемпотенты инверсной полугруппы
S, то
Se(]Sf = Sef (= Sfe).
Доказательство. Если а ? Se (] Sf, то ае — af — а,
так что aef = af = а, и поэтому а ? Sef. Обратно, если
а ? Sef (— Sfe), то aef = afe = а, откуда ае — af — а, т. е. а 6
€ Se П Sf.
Теоркма 1.20. Произвольная инверсная полугруппа S изоморфна
инверсной подполугруппе симметрической инверсной полугруппы Js
всех взаимно однозначных частичных преобразований множества S.
Доказательство. Для каждого а 6 S определим ото-
отображение ра множества 5а (= Saa'1) в Sa~4 (— Sa), полагая
х -+¦ хра — ха. Подчеркнем, что областью определения отобра-
отображения ра является Sa'1. Очевидно, pa-i отображает Sa (= Sa~4)
в Saa*1 (= Su*1). Если х 6 Saa*1 и у 6 Sa~4, то
ZPaPa-l = КОЛ'1 = X,
УРа-lpa = Уа~Ч = у,
§ 1.9. Регулярные элементы,; инверсные полугруппы 53
так как любой идемпотент е является правой единицей в идеале
Se. Следовательно, ра и pa-i — взаимно обратные взаимно одно-
однозначные отображения Saa'1 и Sa^a друг на друга. Таким образом,
pa 6 Cl s и pa-i = Ра1- Покажем, что а -*- ра есть изоморфизм полу-
полугруппы S в 3s-
Предположим сначала, что ра = рь (a> Ь 6 5). Тогда Sao.'1 =
= Sbb'1, так что aa = fcft по теореме 1.17 (ii) и а; ? Лиг1 вле-
влечет за собой za = zpa = а:рь = ж&. Так как a ? iSaa, o^o =
= а^Ь. Следовательно,
a = аа^а = аа~хЬ = ЬЬ~гЪ = Ъ.
Таким образом, отображение а -> ра взаимно однозначно.
Наконец, мы должны показать, что рарь = Раь {ч, b 6 S).
Так как {ха) b = х (ab) для любого х g S, нам нужно лишь уста-
установить,' что рорь и роЬ имеют, одинаковые области определения.
Область определения отображения р„ь есть S (ab) (ab). Область
же определения отображения рарь есть множество (Sa^a f|
f| Sbb'1) pa-i, которому на диаграмме соответствует левая заштри-
заштрихованная фигура. По лемме 1.19
Sa^a П Sbb-1 = Sa^abb-1 = Sabb'1.
Следовательно, в силу леммы 1.18
(Sa-ia П Sbb-1) pa-i = Sabb~4-1 = S (ab) (ab)\
Пусть A — непустое подмножество инверсной полугруппы S.
Пересечение А* всех инверсных подполугрупп полугруппы S,
содержащих А, есть инверсная подполугруппа, содержащая А
и содержащаяся в любой инверсной подполугруппе с таким свой-
свойством. Назовем А* инверсной подполугруппой полугруппы S,
порожденной множеством А. Пусть А'1 — множество всех эле-
элементов, инверсных к элементам из А. В силу леммы 1.18 подполу-
подполугруппа полугруппы S, порожденная множеством А [} А'1, есть
инверсная подполугруппа полугруппы S, содержащая А, и, оче-
очевидно, содержащаяся в любой другой инверсной подполугруппе
с таким свойством. Следовательно, А* — {A \j А'1). Другими сло-
словами, А* состоит из всех конечных произведений элементов из А
и инверсных к ним элементов.
Мы закончим этот .параграф рассмотрением одного понятия,
которое не раз пригодится нам в дальнейшем и которое представ-
54 Гл. 1. Элементарные понятия
ляет самостоятельный интерес. Пусть S — полугруппа с правым
сокращением, не имеющая идемпотентов Ф 1. Пусть q> — расши-
расширенное регулярное представление а -> ра полугруппы S, где ра
есть внутренний правый сдвиг х -*- хра = ха полугруппы iS1 (a ?
? S, х ? 51). По лемме 1.0 ф есть точное представление полугруппы
S и ?ф состоит из взаимно однозначных отображений полугруппы
51 в себя. Следовательно, 5ф содержится в симметрической инверс-
инверсной полугруппе Jgi на множестве S1. Так как преобразование ра
отображает iS1 взаимно однозначно на S*a, обратное к нему преоб-
преобразование р ? Jgi отображает iS^a взаимно однозначно на S1.
Инверсной оболочкой полугруппы S назовем инверсную подполу-
подполугруппу 2 полугруппы Jgii порожденную множеством Sq>. Это
понятие (под другим названием) ввел Рис [1948b] в связи с вло-
вложением полугрупп с сокращениями в группы (§ 1.10). Утвержде-
Утверждение (ii) леммы 1.21 обобщает лемму 2.11 его статьи.
Элемент а ? Jgi называется взаимно однозначным частичным
правым сдвигом полугруппы S1, если выполняется следующее
условие: пусть s — такой элемент из S1, что sa определено, тогда
(rs) а определено для каждого г 6 S1 и (rs) а — г (sa).
Лемма 1.21. Пусть S — полугруппа с правым сокращением,
не имеющая идемпотентов Ф 1, и 2 — ее инверсная оболочка.
(i) Множество всех взаимно однозначных частичных правых
сдвигов полугруппы S1 есть инверсная подполугруппа полугруппы
Jsi, содержащая 2.
(ii) Область определения U (а) и область значений V (а) непу-
непустого взаимно однозначного частичного правого сдвига а полугруп-
полугруппы S1 (в частности, элемента а полугруппы 2) суть левые идеалы
полугруппы S1.
Доказательство. Пусть аир — взаимно однозначные
частичные правые сдвиги (ч.п.с.) полугруппы S1 и г, s ? S1. Пред-
Предположим, что s (aP) определено. По определению произведения
в Jsi это означает, что определено как sa, так и (sa) p, и s (aP) =
= (sa) р. Так как а есть ч.п.с. полугруппы S1 и sa определено,
мы заключаем, что (rs) а определено и равно г (sa). Так как р
есть ч.п.с. полугруппы S1 и (sa) P определено, то [г (sa)] P опреде-
определено и равно г [(sa) p*]. Таким образом,
[/•(sa)lp = [(rs) a]p = (rs) (ap),
r[(sa)p] =r[s(ap)].
Следовательно, (rs) (aP) определено и равно r[s(aP)], т. е. ap
есть ч.п.с. полугруппы iS1'.
Пусть a — ч.п.с. полугруппы S1 и г, s ? S1. Предположим,
что sa определено. Пусть q = sa. Тогда qa определено и равно
s. Так как а есть ч.п.с. полугруппы S1, (rq) a определено и равно
§ 1.9. Регулярные элементы; инверсные полугруппы 55
г (qa) = rs. Отсюда следует, что (rs) а определено и равно rq =
= г (sa). Следовательно, а есть ч.п.с. полугруппы S1.
Таким образом, множество всех ч.п.с. полугруппы iS1 есть
инверсная подполугруппа полугруппы Jsi- Она, очевидно, содер-
содержит ?<р = { ра | а 6 S} и, следовательно, содержит инверсную
подполугруппу 2 полугруппы Jsi, порожденную 5<р. Этим завер-
завершается доказательство утверждения (i).
Докажем (ii). Пусть a — ч.п.с. полугруппы S1. Если s ? U (a)
и г 6 S1, то rs ? U (а) по определению ч.п.с. Пусть q ? V (a).
Тогда q = sa для некоторого s ? S1. Пусть г ? S1. Так как sa опре-
определено и а есть ч.п.с. полугруппы S1, то (rs) a определено и равно
г (sa) = rq. Отсюда следует, что rq 6 V (а). Итак, U (a) и F (a) —
левые идеалы полугруппы 51.
В теореме 1.10 мы видели, что подполугруппа обратимых
справа элементов полугруппы с единицей является полугруппой
с правым сокращением и с единицей. Обратное непосредственно
вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1.22. Пусть S — полугруппа с правым сокращением,
не содержащая идемпотентов Ф 1. Пусть ф — расширенное регу-
регулярное представление полугруппы S, 2 — ее инверсная оболочка
и i — тождественное преобразование полугруппы S1. Тогда i U ?ф
есть подполугруппа обратимых справа элементов полугруппы 2
и множество всех элементов полугруппы 2, инверсных к элементам
из i U 5ф, есть подполугруппа обратимых слева элементов полу-
полугруппы 2.
Замечание. Если S не содержит единицы, то i является единст-
единственным двусторонне обратимым элементом полугруппы 2 и ^ф
состоит из всех обратимых справа элементов полугруппы 2, кро-
кроме I. Ни один элемент из 5ф не обратим слева, так как областью
значений обратимого слева элемента должна быть полугруппа S1,
в то время как каждый элемент из Sq> отображает S1 в S.
Доказательство. Если a ? S, то РаРп1 = 1- Следова-
Следовательно, каждый элемент ра ? ^ф является обратимым справа эле-
элементом полугруппы 2. Обратно, предположим, что a — обрати-
обратимый справа элемент полугруппы 2, т. е. a0 = i для некоторого
Р 6 2. Тогда a = ia = a0a и p = $i = Pap, так что Р = а.
Из равенства aa = i следует, что область определения U (а)
отображения а должна быть равна S1. В частности, 1 ? U (а).
По лемме 1.21 (i) a есть частичный правый сдвиг полугруппы S1.
Следовательно, для каждого х ? S1 имеем ха = (xl) a = x (la),
откуда a = pia 6 l U ^Ф- Таким образом, i |J Sq> есть подполу-
подполугруппа обратимых справа элементов полугруппы 2.
Так как papax = i для любого а 6 S, то pa1 является обрати-
обратимым слева элементом полугруппы 2. Обратно, если a — обрати-
56 . . Гл. 1. Элементарные понятия
мый слева элемент полугруппы 2, то можно показать, как и выше;
что cf^a = i. Тогда а (а) = i, т. е. а 6 l U #ф- Другими
словами, а есть элемент, инверсный к некоторому элементу
из i U Sq>.
Упражнения к § 1.9
1. Полугруппа всех преобразований &х множества X регу-
регулярна. (Досс [1955].)
2. Пусть S — полугруппа левых нулей (ху = х для всех
х, у ? S), причем \ S | > 1. Тогда каждый главный правый идеал
полугруппы S имеет единственный порождающий его идемпотент,
но S не является инверсной полугруппой (ср. с теоремой 1.17 (ii)).
3. В полугруппе S любые два элемента инверсны друг к другу
тогда и только тогда, когда S антикоммутативна (см. упражне-
упражнение 1 к § 1.8).
4. Регулярная полугруппа, содержащая точно один идемпо-
идемпотент, является группой.
5. Регулярная полугруппа с сокращениями является группой.
(Тьеррен [1951].)
6. Регулярная коммутативная полугруппа есть объединение
групп.
7. Пусть а — элемент полугруппы S. Положим А = {х \ аха—
= а, х ? S). Тогда АаА есть множество элементов, инверсных к а.
(Брак [1958], стр. 25—26, а также упражнение 3 к § 1.1.)
8. Симметрическая инверсная полугруппа Ух на множестве
X содержит симметрическую группу §х и ее полуструктура
идемпотентов изоморфна булевой алгебре всех подмножеств
множества X.
9. Применительно к полуструктуре S доказательство теоремы
1.20 дает обычный метод вложения S в булеву алгебру всех под-
подмножеств множества S.
10. Если каждый элемент инверсной полугруппы коммутирует
со своим инверсным, то S есть объединение групп.
11. Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда
А (] В — АВ для каждого правого идеала А и каждого левого
идеала В из S. (Исеки [1956d].)
12. Пусть Jk, &, % — такие классы полугрупп, что 98 s
s Jk s %. Тогда 9В называется базисным классом для Л относи-
относительно класса ^, если (i) каждая полугруппа из класса Л есть
объединение подполугрупп, принадлежащих классу 98, (ii) ника-
никакой собственный подкласс 98' класса 3$ не обладает свойством (i),
(iii) каждая полугруппа из класса ^, являющаяся объединением
подполугрупп, принадлежащих 98, лежит в А. (Это понятие было
введено Ляпиным [1954] для случая, когда % есть класс всех полу-
полугрупп.)
§. Т.10. Вложение полугрупп в группы 57
Элементарной инверсной полугруппой называется инверсная
полугруппа, порожденная двумя взаимно инверсными элементами.
Класс всех элементарных инверсных полугрупп является базис-
базисным классом для класса всех инверсных полугрупп относительно
класса всех полугрупп с коммутирующими идемпотентами, но не
является таковым относительно класса всех полугрупп. (Глус-
кин [1957].)
§ 1.10. Вложение полугрупп в группы
Коммутативная полугруппа может быть вложена в группу тогда
и только тогда, когда она есть полугруппа с сокращениями. Обыч-
Обычная процедура такого вложения с помощью упорядоченных пар
подобна процедуре вложения области целостности в поле (см.,
например, Ван-дер-Варден, Современная алгебра, § 13). В дей-
действительности проделать это в данном случае проще, так как вме-
вместо двух бинарных операций рассматривается лишь одна г).
Для некоммутативных полугрупп выполнение двустороннего
закона сокращения является необходимым условием для вложи-
мости в группу, но далеко не достаточным. Весьма полезное доста-
достаточное условие вложимости принадлежит Ope (Ore О., Ann. of
Math., 32 [1931], 463—477). Следуя Дюбрею [1941], назовем полу-
полугруппу S реверсивной справа, если непусто пересечение любых двух
главных левых идеалов полугруппы S, т. е. Sa f] Sb Ф 0 для
всех a, b ? S2). Ope показал, что любое реверсивное справа кольцо
без делителей нуля вложимо в тело. Из его доказательства непо-
непосредственно можно извлечь теорему о том, что любая реверсивная
справа полугруппа с сокращениями вложима в группу. Будем
называть эту теорему теоремой Оре.
При доказательстве этой теоремы можно использовать технику
упорядоченных пар, как это делал Оре, и мы применим такую тех-
технику в главе 12 для более общих теорем о вложениях. Главная же
цель настоящего параграфа — дать изящное доказательство тео-
теоремы Оре, принадлежащее Рису [1948b]. Так ка.к коммутативная
полугруппа, очевидно, реверсивна справа, теорема о вложимости
коммутативной полугруппы с сокращениями в группу является
следствием теоремы Оре.
В общем случае условие реверсивности справа является доста-
достаточным, но не необходимым условием вложимости. (Отметим, одна-
однако, теорему Дюбрея 1.24, приведенную ниже.) Впервые необходи-
необходимые и достаточные условия для вложимости полугруппы в группу
г) См. также А. Г. К у р о ш, «Лекции по общей алгебре», М., 1962,
гл. II, § 5.— Прим. ред.
2) Такие полугруппы называют также полугруппами с общими правыми,
кратными.— Прим. ред.
58 Гл. 1. Элементарные понятия
были получены Мальцевым [1939]. Изложение содержания этой
статьи и связанных с ней работ будет дано в главе 12.
Теорема 1.23 (Оре). Любая реверсивная справа полугруппа
с сокращениями вкладывается в группу.
Доказательство (Рис). Пусть S — реверсивная спра-
справа полугруппа с сокращениями, jв — симметрическая инверсная
полугруппа всех взаимно однозначных частичных преобразова-
преобразований множества S, q> — регулярное представление полугруппы
S и 2 — инверсная оболочка полугруппы S (§ 1.9), т. е. инверсная
подполугруппа полугруппы Js, порожденная Sy.
Для каждого а ? 2 обозначим через U (а) и V (а) соответствен-
соответственно область определения и область значений преобразования а.
Если а, р ? 2, то будем считать, что asp тогда и только тогда,
когда U (a) s U (Р) и ха = х$ для всех х 6 U (а). Если рассмат-
рассматривать d s как подполугруппу полугруппы SS s всех бинарных
отношений на S, то отношение s на элементах из J s совпадает
с обычным отношением включения бинарных отношений.
Определим отношение ~ на 2, полагая a ~ P (a, p ? 2),
если существует такое у ? Е, что 7 ?= а и 7 с= р. Приступим к до-
доказательству того, что отношение ~ является конгруэнцией на 2.
Свойства рефлексивности и симметричности непосредственно
вытекают из определения отношения ~. Докажем транзитивность.
Предположим, что а ~ р и р ~ у (а, р, у ? 2). Тогда существу-
существуют такие элементы б4, б2 ? 2, что 6i s a, 6j s P , 82 S P и 62 S 7.
Пусть 6 = 6263^!. Тогда U F)s ?7 (82). Следовательно, если
ж 6 U (б), то
жб = (Огб2) б^1) б4 = «6i = жр = жб2.
Таким образом, Ss8i? a и б = б2 = у, так что a ~ f-
Предположим теперь, что а ~ а' и р ~ Р' (а, а', р, Р' ^ 2).
Тогда существуют такие у, б ? 2, что ys a, 7 Е a',6s (Jh6s P'.
Отсюда следует, что v^S aP и 76 s a'P', т. e. aP ^ a'P'. Итак,
отношение /^ является конгруэнцией на 2.
Покажем, что> факторполугруппа (§ 1.5) G = 2/~ является
группой. Для этого достаточно показать, что для любых a, P ? 2
существуют такие % и х\ из 2, что а? ~ т^а ~ р. В качестве ^ и х\
можно взять g = a^P и т) = Pa, так как aa-1p s P и Pa"xas p.
До сих пор мы не пользовались свойством" реверсивности спра-
справа. Благодаря этому свойству 2 не содержит пустого отображе-
отображения. (В противном случае группа G была бы одноэлементна!)
Для того чтобы показать это, возьмем два произвольных непустых
элемента а, р 6 2. По лемме 1.21 (ii) V (а) и U (Р) — левые идеалы
полугруппы S. Легко видеть, что условие реверсивности справа
эквивалентно тому, что любые два левых идеала полугруппы S
пересекаются. Следовательно, V (а) П U (Р) Ф 0 и мы заключаем,
§ 1.10. Вложение полугрупп в группы, 59
что преобразование ар непусто. Так как 2 порождается непустыми
элементами ро, р~1 (а 6 S) полугруппы Js, ни один элемент из 2
не может быть пустым.
Наконец, покажем, что Eф/~) ^ S. Для этого достаточно
показать, что ра ~ рь влечет за собой а = Ъ. Если ра ~ рь, то
существует такое у 6 2, что ¦ys р„ и у s р?,. Так как 2 не содержит
пустого отображения, U (у) Ф 0. Пусть х ? U (у). Тогда хра =
= хрь, т. е. жа = xb, а, значит, а — Ъ, так как 5 — полугруппа
с сокращениями. Отображение, ставящее в соответствие каждому
элементу а ? S класс эквивалентности полугруппы 2 по mod ~,
¦содержащий ро, является, таким образом, изоморфизмом S в груп-
группу G.
Хотя теорема Оре сформулирована как достаточное условие
вложимости в группу, Дюбрей отметил (в [1943] и в книге «Algeb-
ге», 1954, стр. 269), что реверсивность справа является тем не менее
необходимым и достаточным условием для вложимости следующего
простого типа. Скажем, что группа G есть группа] левых част-
частных полугруппы S, если G — такая группа, содержащая полу-
полугруппу S, что каждый элемент из G представим в виде a-1b, где
а, Ъ 6 S.
Теорема 1.24. Полугруппа S с сокращениями вкладывается
в группу левых частных тогда и только тогда, когда она реверсивна
справа.
Доказательство. Пусть G — группа левых частных
полугруппы S и а, Ъ 6 S. Тогда элемент аЪ'1 ? G можно предста-
представить в виде аЪ'1 = х~г у при некоторых х, у ? S. Отсюда ха = уЪ ?
? Sa f] Sb, т. е. полугруппа S реверсивна справа.
Обратно, пусть S реверсивна справа. По теореме 1.23 ее можно
вложить в группу G. Пусть Gj — множество всех элементов из G,
имеющих вид а~гЪ, где а, Ъ ? S. Покажем, что Gt есть подгруппа
группы G, откуда, очевидно, вытекает, что Gt есть группа левых
частных полугруппы S. Если а~хЪ ? Gu то {а'Щ-1 = Ь~ха 6 Gu
т. е. множество G± замкнуто относительно взятия обратных эле-
элементов. Пусть а~хЪ и с~Ы — произвольные элементы из Gj (а, Ъ,
с, d ? S). По предположению существуют такие х, у ? S, что хЪ =
= ус. Тогда be1 = х~гу ? G и потому
а-Ч-с-1 d = a'*zr1yd= {ха)~г (yd).
Мы видим, что а^Ъ-с-Ы ? Gt, так как ха, yd ? S. Следовательно,
Gi — подгруппа группы G.
Последняя теорема этого параграфа показывает, что если S
есть полугруппа Оре, то группа левых частных полугруппы S
определяется однозначно.
60 Гл. 1. Элементарные понятия
Теорема 1.25. Пусть S — реверсивная справа полугруппа с со-
сокращениями, и пусть G(«) и G' (°) — две группы левых частных
полугруппы S. Тогда существует изоморфизм группы G на группу
G', оставляющий элементы из S неподвижными.
Доказательство. В группе G имеет место равенство
а~хЪ = с~Ы (а, Ъ, с, d ? S) тогда и только тогда, когда каждое
из равенств ха = ус, хЬ = yd (x, у ? S) влечет за собой другое.
Кроме того, (а~гЪ) (c~xd) = (ха)'1 (yd), где х и у — такие произ-
произвольные элементы полугруппы S, что хЪ = ус. Но те же самые
условия для равенств и произведений выполняются и в G', т. е.
отображение а~хЪ -> а ° Ъ является изоморфизмом G на G', остав-
оставляющим элементы из S неподвижными.
Если S — коммутативная полугруппа с сокращениями, то
пересечение Sa |~| Sb непусто (а, Ь ? S), так как оно содержит
аЪ (= Ьа). Группа (левых) частных полугруппы S, как легко ви-
видеть, также коммутативна. Нетрудно установить, что a~*b = c~xd
(а, Ъ, с, d ? S) тогда и только тогда, когда ad = be; кроме того,
(а-Щ (c-xd) = (ас)-1 (bd)
Упражнения к § 1.10
1. Пусть S — множество упорядоченных пар (i, /) неотрица-
неотрицательных целых чисел i, /. Определим в S умножение, полагая
(*, /) (k, t) = (i+k, 2ft/ + Г).
(Заметим, что S есть полугруппа, порожденная двумя элемента-
элементами р и q, связанными определяющим соотношением qp = pqz;
см. § 1.12.) Тогда S реверсивна слева, но не реверсивна справа
(по поводу других примеров см. Тамари [1948]).
2. Произвольная коммутативная полугруппа S вкладывается
в такую полугруппу S* с единицей, что (i) каждый сократимый
элемент полугруппы S обратим в S*, (ii) каждый элемент из S*
можно представить в виде ab'1, где a, b ? S1 и b есть сократимый
элемент. Такая полугруппа S* коммутативна и единственна
с точностью до изоморфизма. (Вандивер [1940].)
3. Пусть S — реверсивная справа полугруппа с сокращения-
сокращениями, и пусть G — группа, содержащая S в качестве подполугруппы
и порожденная полугруппой S. Тогда G является группой левых
частных полугруппы S. (Конрад, устное сообщение.)
§ 1.11* Правые группы
Напомним (§ 1.1), что полугруппа S называется простой справа
[слева], если она не содержит собственных правых [левых] идеа-
идеалов, и что группы — это в точности полугруппы, простые как еле-
§ 1.11. Правые группы 61
ва, так и справа. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые
простые справа полугруппы; общую теорию простых полугрупп мы
откладываем до гл. 8.
Полугруппа S называется правой группой, если она проста
справа и с левым сокращением. Это эквивалентно тому, что для
любых элементов а, Ъ ? S уравнение ах = Ь имеет единственное
решение в S. Левые группы определяются двойственным образом.
Прямым произведением полугрупп S и Т (как и в теории групп)
называется множество S х Т всех упорядоченных пар (s, t) эле-
элементов s(zSvit? Тс операцией умножения, определенной следую-
следующим образом:
{s, t) (sf, t') = (ss', W)
для всех s, s' ? S и t, t' 6 Т. Очевидно, что прямое произведение
двух простых справа полугрупп является полугруппой, простой
справа. Действительно, решение уравнения (а, Ь) (х, у) = (с, d)
сводится к решению отдельно уравнений ах = с и by = d. Ясно
также, что прямое произведение двух полугрупп с левым сокраще-
сокращением является полугруппой с левым сокращением и, следователь-
следовательно, прямое произведение двух правых групп является правой
группой.
Напомним (§ 1.1), что полугруппа Е называется полугруппой
правых нулей, если каждый ее элемент является правым нулем,
т. е. ху = у для всех х, у ? Е. Очевидно, что Е — правая группа.
Лемма 1.26. Каждый идемпотенш простой справа полугруппы
S является ее левой единицей.
Доказательство. Пусть е — идемпотент и а — про-
произвольный элемент полугруппы S. Так как S проста справа, суще-
существует такой элемент х ? S, что ех = а. Тогда еа = егх = ех = а.
Следующая теорема полностью описывает строение всех правых
групп с точностью до групп. Она была доказана Сушкевичем
[1928] для случая конечных полугрупп, и, как отмечено в его
книге [1937], глава 3, § 43, доказательство переносится на общий
случай. Кроме того, эта теорема была сформулирована без доказа-
доказательства Клиффордом [1933] для произвольных полугрупп; аль-
альтернативные характеристики правых групп из этой статьи приве-
приведены в упражении 1 ниже.
Эта теорема, или некоторые ее варианты (такие, как в упраж-
упражнении 1), была независимо доказана Шварцем [1943], Мэнном
[1944], [1947], Балье [1950], Сколемом [1951] и Столлом [1956].
Другие характеризации правых групп получены Тамурой [1950],
Хашимото [1954], Тьерреном [1954а] и Сепом [1956] х).
J) См. также работы Тамуры, Меркеля и Латимера [1963] и Л. Н. Шеври-
на [1966].— Прим. ред.
62 Гл. 1. Элементарные понятия
Теорема 1.27. Следующие условия для полугруппы S эквива-
эквивалентны:
(i) S есть правая группа;
(ii) S проста справа и содержит идемпотент;
(in) S есть прямое произведение G х Е группы G и полугруппы-
правых нулей Е.
Доказательство. (i) =» (ii). Правая группа проста
справа по определению. Пусть а ? S. Так как S проста справа,
существует такое е ? S, что ае = а. Тогда ае2 = ае, и, поскольку
можно сокращать слева, е2 = е.
(ii) =ф (ш). Пусть Е — множество идемпотентов полугруппы
S. В силу условия (ii) имеем Еф 0. По лемме 1.26 каждый эле-
элемент из Е является левой единицей в S. В частности, ef = f для
всех е, f ? Е и, значит, Е есть подполугруппа правых нулей полу-
полугруппы S.
Покажем, далее, что S — полугруппа с левым сокращением;
это, между прочим, докажет, что из (ii) следует (i). Пусть са =
= сЬ (а, Ъ, с ? S) и /6 Е. Существует такое х ? S, что сх = f.
Пусть е = хс. Тогда е2 = хсхс — xfc = хс = е. Следовательно,
а — еа = хса = хсЬ = еЪ — Ь.
Если е ? Е, то Se — подполугруппа из S, в которой е является
правой (а также и левой) единицей. Если а ? Se, то мы можем
решить в S уравнение ах = е. Но тогда а (хе) — ег = е, т. е. эле-
элемент а обратим справа в полугруппе Se с единицей е. Следователь-
Следовательно, Se есть подгруппа полугруппы S.
Пусть g — фиксированный элемент из Е. Группу Sg обозначим
через G. Определим отображение ф прямого произведения G х Е
в S, полагая
(а, е) ф = ае (а 6 G, е 6 Е).
Тогда для элементов a, b ?G в. е, f d E выполняются равенства
[(а, е) (Ь, /)] Ф = (ab, e/) q> = (ab) (ef) = abf,
[(а, е) Ф] [(Ь, /) Ф] = (ае) (bf) = a (eb) f = а&/.
Следовательно, ф — гомоморфизм.
Покажем, что отображение ф взаимно однозначно. Предполо-
Предположим, что (а, е) ф = (Ь, /) ф, т. е. ае = bf (а, Ъ ? G; e,f ?E). Так
как g — единица группы G, справедливы равенства а = ag =
= ое? = fe/g = ?>? = Ъ. Следовательно, ае = а/. Поскольку 5 —
полугруппа с левым сокращением, е — /.
Наконец, покажем, что ф отображает G X ? на S. Пусть а ? S.
Существует такое е ? S, что ае — а. Отсюда аег = ае и е2 — е,
поскольку можно сокращать слева, следовательно, е 6 Е. Тогда
ag ? Sg — G ж (ag, е) ф = age — ае = а. Итак, ф — изоморфизм
G х Е на iS, т.е. (ш) доказано.
§ 1.11. Правые групп» 63
(iii) =ф (i). Так как прямое произведение двух правых групп
является правой группой и Е, G — правые группы, G х Е также
есть правая группа.
Значительная работа была проделана по изучению аксиомати-
аксиоматики групп. Если А — система аксиом, включающая аксиомы замк-
замкнутости и ассоциативности, то предложение Р (А), утверждаю-
утверждающее, что любая полугруппа, удовлетворяющая системе аксиом А>
является группой, или отрицание Р (А) естественно принадлежит
теории полугрупп. Если Р (А) ложно, то система аксиом А может
определить интересный класс полугрупп. Вопросы независимости
аксиом приводят к утверждениям об отношениях включения
между различными классами полугрупп.
Практически такое изучение аксиом редко дает интересный
материал для теории полугрупп. Исключение, однако, представ-
представляет работа Бэра и Леви [1932], в которой исследуются логиче-
логические связи между следующими возможными аксиомами для полу-
полугруппы S:
(RS) S проста справа.
(LS) S проста слева.
(RC) S — полугруппа с правым сокращением.
(LC) S — полугруппа с левым сокращением.
Легко видеть, что если выполнены любые три из этих аксиом, то S
является группой. Можно классифицировать пары этих аксиом
следующим образом:
I. (RS) и (LS) : S — группа.
II. (RG) и (LC) : S — полугруппа с сокращениями.
III. (RS) и (LC) : S — правая группа.
(LS) и (RC) : S — левая группа.
IV. (RS) и (RC) : ?
(LS) и (LC) : ?
Примеры полугрупп класса IV были приведены Бэром и Леви
в упомянутой статье. Полугруппы этого типа будут рассмотрены
в гл. 8.
Упражнения к §1.11
1. Рассмотрим следующие условия для полугруппы S:
I L [I R]. Существует левая единица е ? S, такая, что е ?
? Sa [е ? aS] для каждого а ? S.
II L [II R]. Для каждого а 6 S подполугруппа Sa [aS] содер-
содержит левую единицу полугруппы S.
Условие I L эквивалентно тому, что S — группа, в то время
как каждое из условий IR,IILhIIR эквивалентно тому, что S
есть правая группа. (Клиффорд [1933].)
2. Полугруппа S является правой группой тогда и только
тогда, когда она есть объединение непересекающихся групп, мно~
64 Гл. 1. Элементарные понятия
жество единиц которых образует подполугруппу, являющуюся
полугруппой правых нулей.
3. Правая группа является объединением непересекающихся
изоморфных групп. Если е, f — различные идемпотенты правой
группы S, то отображение х -> xf (х ? Se) есть изоморфизм группы
Se на группу Sf.
4. Полугруппа S является правой группой тогда и только
тогда, когда она — полугруппа с левым сокращением и регулярна
(Манн, не опубликовано.)
5. Периодическая полугруппа S является правой группой
тогда и только тогда, когда каждый ее идемпотент есть левая
единица в S. (Сушкевич [1937], гл. 3, § 24.)
6. Пусть S — множество ненулевых комплексных чисел.
Определим произведение в S, полагая а°Ъ = \ а \Ъ (а, Ъ ? S).
Тогда S есть правая группа. Идемпотентами являются комплекс-
комплексные числа, модуль которых равен 1. Каждая максимальная под-
подгруппа полугруппы S (о) изоморфна мультипликативной группе
положительных действительных чисел. (Белл; см. Клиффорд [1933],
стр. 871.)
Упражнения 7—9 взяты у Гримбл [1950]. Пусть е — фиксиро-
фиксированная левая единица полугруппы S, U — множество левых дели-
делителей элемента е (а ? U, если е ? aS), V — множество правых
делителей элемента е (а ? V, если а ? Sa), W — множество внут-
внутренних делителей элемента е (а ? W, если е ? SaS). Элемент а ? S
называется универсальным левым [внутренним] делителем полу-
полугруппы S, если aS — S [SaS — S]. Идеал А (любого типа) назы-
называется вполне изолированным идеалом, если S\A есть подполу-
подполугруппа полугруппы S.
7. (a) U состоит из всех универсальных левых делителей
полугруппы S. U есть подполугруппа из S, содержащая все
левые единицы из S и не содержащая других идемпотентов.
(Ь) Если U = S, то S есть правая группа. Если U Ф S,
то S\U есть правый идеал полугруппы S, содержащий любой
ее собственный правый идеал, и он вполне изолирован.
8. (а) V — подполугруппа с левым сокращением из S, содер-
содержащая е и не содержащая других идемпотентов.
(b) U {] V = Не (максимальная подгруппа из S, содержа-
содержащая е).
(c) Если V = S, то S — группа. Если Уф S, то ?\F —
вполне изолированный левый идеал из S.
9. (a) W состоит из всех внутренних делителей полугруппы S,
(b) Если W = S, то S проста. Если \Уф8, то S\W—
наибольший собственный двусторонний идеал полугруппы S.
(c) W = U тогда и только тогда, когда каждое из утвержде-
утверждений V s U и V = Не влечет за собой другое. В этом случае,
например, каждый элемент из V имеет конечный порядок.
§ 1.12. Свободные полугруппы и определяющие соотношения 65
(d) Следующие условия равносильны: (i) W = V, (ii) U S V,
(iii) U = V и (iv) f/ = #е. Если эти условия выполняются,
то е является единственной левой единицей полугруппы S.
§ 1.12. Свободные полугруппы и определяющие
соотношения. Бициклическая полугруппа
Пусть X — произвольное множество, и пусть jpx состоит
из всех конечных последовательностей элементов множества X.
Если (#i, . . ., хт) и (yi, . .-., уп) — элементы множества J^,
то определим их произведение простым приписыванием:
(Хи . . ., Хт) (уи . . ., уп) = {Xi, . . ., Хт, Уи . . ., Уп).
Тогда Gfx становится полугруппой, которую мы будем называть
свободной полугруппой на множестве X. Элементы полугруппы
3Fx будем называть словами. Если мы отождествим элемент х ? X
с последовательностью (х) длины 1, то по определению произве-
произведения в &х получим
(«i, Х2, . . ., Хт) = (Xi) (Х2) . . . (Хт) = XiX2 . . . Х
Хт.
Таким образом, X есть порождающее множество полугруппы 3Fxi
причем ясно, что оно является единственным порождающим мно-
множеством без лишних элементов *). %
Часто удобнее иметь дело с ер\, нежели с врх. Присоединенную
единицу 1 можно считать «пустым словом».
Предположим теперь, что мы хотим наложить некоторые
«определяющие соотношения» на элементы множества X, например
Пусть этими соотношениями являются соотношения и%, — vi
(% ? Л), где для каждого элемента Я, из множества индексов Л и%
и V), суть элементы полугруппы ерх. Пусть р0 = {(w^,, vj) | К 6 Л},
р — конгруэнция на Jpx, порожденная отношением р0 (§ 1.5),
и р4? — естественный гомоморфизм полугруппы Jpx на J^jf/p.
Тогда множество {хр% \ х g X) порождает факторполугруппу
JFx/p и их9^ = v^9tf Для всех ^6 А, т. е. элементы порождаю-
порождающего множества полугруппы J^/p действительно удовлетворяют
определяющим соотношениям. Назовем JFx/p полугруппой, порож-
порожденной множеством X и заданной определяющими соотношениями
uh = v% {% 6 А) (в действительности, конечно, она порождается
множеством Х^)
Лемма 1.28. Пусть врх — свободная полугруппа на множест-
множестве X. Пусть S — произвольная полугруппа и ф0 — произвольное
х) То есть никакое его собственное подмножество не является порожда-
порождающим для &х\ такие порождающие множества называются минимальными
или неприводимыми.— Прим. ред.
5-1159
66 Гл. 1. Элементарные понятия
отображение множества X в S. Тогда ф0 можно продолжить
одним и только одним способом до гомоморфизма ф полугруппы
Доказательство. Если ф — произвольный гомомор-
гомоморфизм полугруппы ffx B S, совпадающий с ф0 на X, то для произ-
произвольных Xi, х2, . . ., хп ? X
(XiX2 . . . Хп) ф = (ХХЩ) (Ж2фо) • . . (хпщ).
Следовательно, существует не более одного такого гомоморфиз-
гомоморфизма ф. Но последнее равенство можно взять в качестве определе-
определения отображения ф полугруппы jf x в S, которое является, оче-
очевидно, гомоморфизмом и совпадет с ф0 на множестве X.
Теорема 1.29. Пусть врх — свободная полугруппа на множе-
множестве X, ро — произвольное отношение на Jpx up — конгруэнция
на $FX, порожденная отношением р0. Пусть р^ — естественный
гомоморфизм полугруппы Jf x на 3F Х1р. Если S — произвольная
полугруппа и ф — такой гомоморфизм полугруппы врх в S, что
иф = Уф для каждого (и, v) б р~о> то существует такой гомомор-
гомоморфизм 9 полугруппы JFx^P в $i что Р^б = ф-
Доказательство. Покажем сначала, что если w и w —
элементы полугруппы J^, для которых wpw', то wq> = w'tp.
По теореме 1.8 wpw' тогда и только тогда, когда мы можем
перейти от w к w' при помощи конечной последовательности
Ро-переходов. Следовательно, достаточно лишь показать, что
икр = м/ф, если мы можем перейти от w к w при помощи одного
Ро-перехода. Но последнее означает, что w ~ Wiuw% и w' = wivw2,
где Wi, w% ? вр\ и (и, v) или (у, и) принадлежит р0. В любом
случае по предположению иц> = vq> и, следовательно,
иф) (»2ф) = (wi<p) (уф) (ц;2ф) = w'<p.
Определим теперь отображение 8 полугруппы JFx^P B S,
полагая (и^р^) 9 = wф для каждого w ? ,!Fx- Выше мы показали,
что wpb = w'pb (w, w' 6 JFx), T- e- WPW' влечет за собой wq> =
= w'y. Отсюда вытекает однозначность отображения 9. Тот
факт, что область определения отображения 6 есть все множество
SFxlp, следует из того, что каждый элемент множества jFx^P
имеет вид wpb при некотором w 6 $FX.
Так как равенство р^б = ф теперь очевидно, осталось лишь
показать, что 9 — гомоморфизм. Пусть w и го' — любые два эле-
элемента из J^jc- Тогда
9 = l(ww') рЦ 9 = (ww') ф = (юр)
= [Aрр*)в] Kw'p^Q].
Следовательно, 9 — гомоморфизм.
§ 1.12. Свободные полугруппы, и определяющие соотношения 67
Переформулируем предыдущую теорему более ярким, но менее
точным образом.
Пусть X = {хх | т ? ft} и ро = {(щ, v\) | Я, 6 Л). Положим,
?т;фо = ах. Если w — w (х) — произвольное слово из врх, то
ндр = w (а) получается «подстановкой значения ах из 5 вместо
переменной ххь всюду, где хх встречается в слове w, и это проде-
лывается для каждой переменной хх, входящей в w. Мы обычно
записываем определяющие соотношения из р0 как равенства:
их (х) = vx (х) (к 6 Л). A)
Будем смотреть на них как на «равенства от переменных хх».
Будем говорить, что система значений {ах \ х 6 ft} «удовлетворяет
этим равенствам», если мф = уф для каждого (и, v) ? р0 или,
другими словами, если и% (а) = v%. (а) для всех Я, ^ Л суть равен-
равенства в полугруппе S.
Пусть Ф = З^х/р, и пусть %х = ххрЬ. Тогда {lx | т 6 Q} —
порождающее множество полугруппы Ф, и эта система удовле-
удовлетворяет равенствам A).
Если в теореме 1.29 ф отображает &х на S, то 8 отображает
Ф на S. Это имеет место тогда и только тогда, когда {ах | т 6 ft}
порождает «S1. В таком случае мы будем говорить, что «5 имеет
систему образующих {ах |т?Й}, удовлетворяющую равен-
равенствам A)». Теорема 1.29 придает точный смысл утверждению
о том, что Ф есть «наибольшая» полугруппа, имеющая систему
образующих, которая удовлетворяет равенствам A).
Следствие 1.29а. Если S — произвольная полугруппа с системой
образующих {ах [xgft}, удовлетворяющей равенствам A), то
отображение |т -> ах (т пробегает Q) можно продолжить до гомо-
гомоморфизма 8 полугруппы Ф на S.
Ясно, что каждое равенство от переменных |т, выполняю-
выполняющееся в Ф, может быть выведено из равенств A) в любой полу-
полугруппе. В самом деле, если w (|) = w' (|), то, применяя 6, мы
получим w (a) = w' (а) в S. Это имеет место даже тогда, когда
множество {ах \ х 6 Q} не порождает S. Обращая это предложение,
мы приходим к такому следствию теоремы 1.29, которое будет
использовано ниже в примере 2.
Следствие 1.30. Если мы можем построить полугруппу S
с такой системой элементов {ах | т ? ft}, удовлетворяющей равен-
равенствам A), что w (а) ф w (а), где w, w' 6 ^х, то w (Е) Ф w' (&)
в Ф.
Может случиться, что нам понадобится отобразить некоторое
слово w {х) в единицу полугруппы jFx/p. Для этого мы можем
включить в р0 определяющие соотношения (xxw, xx) и {wxx, xx)
для всех х ? Q. Чтобы избежать этих неудобств, мы можем рабо-
5*
68 Гл. 1. Элементарные понятия
тать с полугруппой вр\ вместо &х и включить в р0 лишь одно
соотношение (w, 1) вместо всех предыдущих, что не повлечет
за собой существенных изменений в лемме 1.28 и теореме 1.29.
Пример 1. Свободная группа JF&x на множестве X.
Пусть X' — множество, не пересекающееся с X и такое, что
| X' | = | X |. Пусть #-> х' — фиксированное взаимно одно-
однозначное отображение X на X' и &1 — свободная полугруппа
с единицей на X U X'. Положим
Ро = Цхх', 1) | х в X} U {(х'х, 1) | х в X}.
Пусть р — конгруэнция на &1, порожденная р0. Тогда положим
х р
Ясно, что JF&X — группа и что X порождает j^&x B теоре-
теоретико-групповом смысле. Пусть G — произвольная группа, (pi —
произвольное отображение множества X в G и ф0 — отображение
множества X [) X' в G, полученное из отображения (pt следую-
следующим образом: a*pi = ху0 и я'ф0 = (axpi) для всех х 6 X. По лем-
лемме 1.28 (модифицированной для случая, когда включено пустое
слово) ф0 можно продолжить до гомоморфизма ф полугруппы
&1 = J?x \jx- в G. Тогда для каждого х 6 X имеем (хх1) ф =
== (х<р) (х'ц>) = (хц>) (х(р)~г = 1 = 1ф и, аналогично, (х'х) ц> = 1ф.
Следовательно, иф = уф для каждого (и, v) 6 ро- Применяя тео-
теорему 1.29 (модифицированную аналогичным образом), мы заклю-
заключаем, что существует такой гомоморфизм 9 группы JfVp = ^'Sx
в G, что р^Э = ф. Таким образом, мы показали, что любое ото-
отображение ф1 множества X в G можно продолжить до гомомор-
гомоморфизма 6 группы Jf'Sx B ?• Это свойство оправдывает термин
«свободная группа на X» для %
Пример 2. Бициклическая полугруппа %.
Эта полугруппа играет очень важную роль в теории простых
полугрупп. Мы рассмотрим многие ее свойства и приложения
в § 2.7. Эта полугруппа также является простейшим представи-
представителем обширного класса полугрупп, который будет изучаться
в гл. 8 (бипростые инверсные полугруппы с единицей); она являет-
является «элементарной инверсной полугруппой» (упражнение 12
к § 1.9). В печати бициклическая полугруппа была упомянута
впервые в статье Ляпина [1953b]. Она была приведена независимо
Рисом и одним из нас до 1943 г. (не опубликовано) в качестве
примера простой полугруппы, содержащей непримитивный идем-
потент. В неопубликованной диссертации Андерсена [1952] дока-
доказано, что каждая такая полугруппа содержит бициклическую
подполугруппу (теорема 2.54 ниже).
Бициклической полугруппой % называется полугруппа с еди-
единицей, порожденная двухэлементным множеством X = {xt, x2}
и заданная одним определяющим соотношением xYx2 — 1. Здесь
§ 1.12. Свободные полугруппы и определяющие соотношения 69
Ро состоит из одной пары (xiX2, 1). Если, как и выше, р — кон-
конгруэнция на полугруппе jF3c, порожденная отношением р0, то
$ = cFif/p- Полугруппа % в действительности порождается
классами р = xjp^ и q = х2р^, которые удовлетворяют равенству
pq — 1, и мы будем писать % == % (р, q).
Покажем сначала, что qp Ф 1. В силу следствия 1.30 доста-
достаточно построить пример полугруппы S с единицей 1, содержащей
такие два элемента а и Ь, что ab = 1, но Ъа Ф 1.
Пусть S — полугруппа ЗГN всех преобразований множества N
неотрицательных целых чисел. Пусть преобразования а и Р
заданы следующим образом:
па = п + 1; B)
0> C)
п—-1, если п>0,
пфа = \
где п — произвольный элемент множества N. Тогда ар = i,
где i — единица полугруппы ИГN, но
если ге = 0,
если п>0.
Следовательно, Ра Ф i и мы заключаем, что qp ф 1 в (ё.
Произвольный элемент из % можно, конечно, выразить в'виде
произведения нескольких элементов, каждый из которых равен р
или q. Используя соотношение pq = 1, мы можем привести любое
такое выражение к виду qmpn, где тип — неотрицательные
целые числа; мы принимаем соглашение, что р° = q° = 1. Пока-
Покажем, что каждый элемент полугруппы % имеет лишь одно пред-
представление такого типа, т. е. докажем, что если qlpi = qmpn для
некоторых неотрицательных целых чисел i, j, т, п, то i — т
и j! = п. Мы могли бы получить это, установив, что Р'а3 = $тап
влечет за собой г = т и / = п, где аир — преобразования мно-
множества N, заданные условиями B) и C); см. упражнение 1 ниже.
Однако мы получим этот факт в качестве следствия леммы 1.31
и предыдущего утверждения о том, что qp Ф 1. Позднее мы обоб-
обобщим эту лемму (§ 2.7).
Лемма 1.31. Пусть е, а, Ъ — такие элементы полугруппы S,
что еа = ае = а, еЪ = be = b, ab — е, Ъаф е. Тогда каждый
элемент подполугруппы {р,, Ъ) из S, порожденной элементами
а и Ь, единственным образом представляется в виде Ьтап, где
тип — неотрицательные целые числа (и а0 = Ъ° = е), и, сле-
следовательно, (а, Ъ) изоморфна бициклической полугруппе '&.
Доказательство. Ясно, что е 6 (а, Ъ) и е — единица
полугруппы (а, Ь). В силу равенства ab = e каждый элемент
из (а, Ъ) представим в виде Ътап. Осталось лишь показать един-
70 -Гл. 1. Элементарные понятия
ственность т и п. Докажем сначала три предварительных пред-
предложения.
(i) Элементы а и b имеют бесконечный порядок. Предположим
от противного, что ah+h = ah для некоторых положительных
целых чисел h и к. Умножая на bh справа, получим ак — е. Тогда
b = eb = akb = ак~ге = ак~г и Ьа = ак = е, что противоречит
предположению о том, что Ьа Ф е. Аналогично доказывается,
что Ъ имеет бесконечный порядок.
(ii) Если ah = Ьк для некоторых неотрицательных целых чисел
hu к, то h = к = 0. В самом деле, в этом случае ah+k = akbk = e,
откуда h + к = 0 по (i).
(ш) Если bhah = e для некоторых неотрицательных целых
чисел h и к, то h = к = 0. Если к = 0, то h = 0 по (i). Покажем,
что неравенство к > 0 невозможно. В самом деле, если к > 0,
то b = efe = bfcaftb = bV и Ьа — Ънак = е, что противоречит
условию.
Предположим теперь от противного, что Ьтап = Ъ1а\, где
т, п, i, ) — такие неотрицательные целые числа, что i-фт или
j Ф п. Рассмотрим случай, когда i Ф т; другой случай рассмат-
рассматривается аналогично. Без ограничения общности мы можем пред-
предположить, что i <С т. Умножая на а% слева, мы получим Ьт~гап_ =
= аК Если / ^ п, то умножение на Ьп справа дает Ьт~г = а'~п,
где т — i > 0, что противоречит (ii). Если j ^ п, то умножение
на Ь5 справа дает Ьт~1ап~' = е, где т — i > 0, что противоре-
противоречит (iii).
Ввиду следствия 1.29а отображение р -> a, q-*-b индуциру-
индуцирует гомоморфизм 8 полугруппы 'ё (р, q) в S и, следовательно,
на (а, Ъ), а именно (qmpn) 6 = bman. Из только что доказанной
единственности представления элементов следует, что 6 — изо-
изоморфизм.
Следствие 1.32. Если ср — гомоморфизм бициклической полу-
полугруппы (ё, то либо ф есть изоморфизм полугруппы to в S, либо
^Ф — циклическая группа.
Доказательство. Пусть % — % (р, q), где pq = 1,
и пусть а — рц>, b = дф, е = 1ф. Тогда е, а, Ъ удовлетворяют
условиям леммы 1.31, кроме, быть может, условия Ьа Ф е. Если
Ьа Ф е, то ф — изоморфизм; в самом деле, если (qmpn) ф =
= (qlp3) ф, то bman = bV, откуда т = i и п = / по лемме 1.31.
Если Ьа = е, то ^ф — циклическая группа, порожденная эле-
элементом а.
Следствием леммы 1.31 является также и тот факт, что под-
подполугруппа (а, р) полугруппы &~ц, где а и Р — преобразования,
определенные при помощи приведенных выше условий B) и C),
изоморфна $. Мы могли бы определить бициклическую полу-
полугруппу, используя полугруппу (а, р).
§ 1.12. Свободные полугруппы, и определяющие соотношения 71
По лемме 1.31 и в силу того, что qp Ф 1, отображение (т, п) ->
-*- qmpn является взаимно однозначным отображением множества
N х N на % (р, q). Мы можем сделать N х N полугруппой,
определяя умножение в N х N следующим образом (см. упраж-
упражнение 2 к настоящему параграфу):
(к, I) (т, п) = (к + т — min (I, т), I + п — min (I, т)).
Можно использовать и эту полугруппу для определения 48;
мы должны, конечно, в этом случае проверить ассоциативность.
Предыдущие примеры иллюстрируют три употребительных
метода построения полугрупп: A) при помощи определяющих
соотношений; B) при помощи преобразований множества; C) при
помощи упорядоченных пар.
Упражнения к § 1.12
1. Если а и Р — преобразования множества N неотрицатель-
неотрицательных целых чисел, определенные при помощи равенств B) и C), то
{п, если
к—т-\-п, если
для всех к, т, п ? iV. Отсюда мы заключаем, что $га\ = pman
(i, j, m, n?N) влечет за собой i = т и / = п. По следствию 1.30
такое же заключение верно для элементов qmpn бициклической
полугруппы % (р, q).
2. Произведение элементов qkpl и qmpn полугруппы 4S (р, q)
(к, I, т, п 6 N) равно qlpj, где i — к + т — min (I, т) и / =
= I + и — min (Z, т).
3. Конечную циклическую полугруппу индекса г и периода т
можно описать как полугруппу, порожденную символом х и задан-
заданную одним определяющим соотношением хт+г = хг.
4. Пусть Р = (р) — бесконечная циклическая полугруппа.
Тогда % (р, q) изоморфна инверсной оболочке (§ 1.9) полугруп-
полугруппы Р\
5. Элемент а полугруппы S называется левым увеличительным
элементом, если существует собственное подмножество N из S,
такое, что aN = S.
(a) Пусть S — полугруппа с единицей. Левыми увеличитель-
увеличительными элементами полугруппы S являются в точности обратимые
¦справа, но не слева, элементы из S.
(b) Пусть S — полугруппа с единицей, и пусть а — левый
увеличительный элемент полугруппы S. Тогда существует такой
элемент Ъ 6 S, что (а, Ъ) есть бициклическая подполугруппа
из S. (Ляпин [1953с].)
Глава 2
ИДЕАЛЫ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ
ПОНЯТИЯ
Говорят, что два элемента полугруппы S ^-эквивалентны,
если они порождают один и тот же главный левый идеал в S.
J^-эквивалентность определяется двойственным образом. Объ-
Объединение *) отношений эквивалентности X и М обозначается
через 3, а их пересечение— через SB- Эти фундаментальные
отношения эквивалентности, которые можно определить на любой
полугруппе, были впервые введены и изучены Грином [1951].
Они очень полезны при выяснении строения полугрупп.
В частности, они дадут нам возможность получить более
прозрачное доказательство теоремы Риса C.5), нежели доказа-
доказательство автора (Рис [1940]). Мы покажем, что 0-простая
полугруппа вполне 0-проста тогда и только тогда, когда она
содержит по крайней мере один 0-минимальный левый идеал
и по крайней мере один 0-минимальный правый идеал (теоре-
(теорема 2.48). Два ненулевых элемента вполне 0-простой полугруппы S
^-эквивалентны [^-эквивалентны] тогда и только тогда, когда
они принадлежат одному и тому же 0-минимальному левому
[правому] идеалу полугруппы S. С этой точки зрения мы изучаем
строение вполне 0-простых полугрупп в § 2.7.
§ 2.1. Отношения Трипа
Все результаты этого параграфа, за исключением теоремы 2.4,
принадлежат Грину [1951]. Простейшие свойства бинарных отно-
отношений были рассмотрены в § 1.4.
Определим отношение X на полугруппе S, полагая аХЪ
тогда и только тогда, когда а и Ъ порождают один и тот же глав-
главный левый идеал в S. Другими словами, X есть подмножество
из S X S, состоящее из всех таких пар (а, Ъ), что a [j Sa —
= Ь U Sb. Последнее эквивалентно тому, что 5ха = S1b, где
(как в § 1.1 и на протяжении всей книги) S1 совпадает с S, если
S содержит единицу, и S1 есть полугруппа, полученная из S
присоединением единицы 1, в противном случае. Очевидно, <? есть
отношение эквивалентности, причем если аХЬ, то асХЪс для
См. § 1.4.— Прим. перев.
§ 2.1. Отношения Грина 73
любого с ? S, т. е. X — правая конгруэнция (§ 1.5). Если аХЬ,
то мы говорим, что а и Ъ Х-эквивалентни. Через La будем обо-
обозначать множество всех элементов полугруппы S, ^-эквива-
^-эквивалентных элементу а, иными словами, La есть класс эквивалент-
эквивалентности по mod X, содержащий а; назовем его Х-классом, содер-
содержащим а.
Двойственным образом определим отношение ffl, полагая
аМЬ тогда и только тогда, когда aS1 = bS1. Отметим, что № —
левая конгруэнция на S. Через Ra будем обозначать класс экви-
эквивалентности полугруппы S по mod M или, другими словами,
М-класс, содержащий а.
Лемма 2.1. Отношения X и М коммутируют и поэтому
отношение 3) = Х°М = М°Х есть наименьшее отношение
эквивалентности X V М, содержащее как X, так и М.
Доказательство. Если мы покажем, что X и М
коммутируют, то оставшаяся часть утверждения леммы будет
непосредственно следовать из леммы 1.4. Нам достаточно даж&
показать, что Х°М ? М°Х (см. упражнение 3 к § 1.4).
Пусть а и b — такие элементы полугруппы S, что а (X °М) Ь.
По определению произведения отношений (§ 1.4) это означает,
что существует с ? S, для которого аХс и сМЬ. По определению
отношений X и М отсюда следует, что существуют такие и, v ? S1,
что а == ис и Ъ — cv. Положим d = av = ucv = ub. Так как X —
правая конгруэнция, аХс влечет за собой avXcv, т. е. dXb. Так
как М — левая конгруэнция, cfflb влечет за собой ucMub, т. е.
aMd. Из соотношений aMd, dXb вытекает, что а{М°Х)Ь.
Следовательно, ^«Js J»^, чем и завершается доказа-
доказательство леммы.
JJ-класс полугруппы S, содержащий элемент а, будет обо-
обозначаться через Da-
На полугруппе S определим отношение 'f, полагая a'fb
тогда и только тогда, когда 5%51 = >S'1b51, т. е. элементы а и Ъ
^-эквивалентны тогда и только тогда, когда они порождают
один и тот же главный двусторонний идеал. Очевидно, что f —
отношение эквивалентности. Грин обозначал это отношение череа
&. Мы же употребляем для него символ f потому, что в ряде-
статей по топологическим полугруппам через / (а) обозначается
идеал S^S1, а через Ja — множество всех элементов, порождаю-
порождающих идеал S^S1, т. е. J^-класс, содержащий а. Мы тоже будем
придерживаться этих обозначений. Так как X ? f и М S f,
мы имеем 3 s f; вообще говоря, 3) =/= f.
Наконец, на полугруппе S определим отношение Ш, полагая
Ш = X П &' Очевидно, SB — отношение эквивалентности. Будем
обозначать о^-класс, содержащий а, через На. Ясно, что На =
= Да П La-
74 Гл. 2. Идеалы, и связанные е ними понятия
Заметим, что ffl-класс R и Х-класс L полугруппы S пересекаются
тогда и только тогда, когда они оба содержатся в одном и том же
SB-классе этой полугруппы. В самом деле, пусть а ? R и b ? L.
Тогда аЗ)Ъ в том и только в том случае, когда существует такое
с ? S, что аМс и сХЬ. Но это условие эквивалентно тому, что
с ? R и с ? L, т. е. с ? R f| L. Следовательно, aJ5b тогда и только
тогда, когда R {] L Ф 0. С другой стороны, очевидно, что аЗЬЪ
тогда и только тогда, когда S-классы, содержащие R и L, сов-
совпадают.
Чтобы лучше представлять себе ^-класс D полугруппы S,
используем следующий наглядный образ, который будем назы-
называть «.egg-Ъохь-картиной. Представим себе, что элементы из D
расположены в прямоугольной таблице, подобной коробке из-под
яиц, строки которой соответствуют J^-классам, а столбцы —
^-классам, содержащимся в D. Каждая ячейка коробки из-под
яиц соответствует о$?-классу, содержащемуся в D, и предыдущее
замечание показывает, что в коробке нет пустых ячеек. Мы не пред-
предполагаем, что элементы в ^-классах расположены каким-либо
¦специальным образом. Как мы вскоре увидим, ^-классы,
•содержащиеся в D, имеют один и тот же порядок; таким образом,
ячейки коробки из-под яиц, так сказать, одинаково наполнены
элементами полугруппы S.
Можно представлять себе, что коробки из-под яиц (JJ-классы)
расположены, как на диаграмме, приведенной в следующем пара-
параграфе (таблица 4).
Если а и Ъ — элементы полугруппы S, то мы будем писать
Ja ^ Jb в случае, когда S^-aS1 s S^-bS1, т. е. когда а ? / (Ь).
•Отношение ^ есть отношение частичного порядка на множестве
^-классов полугруппы S.
Заметим, что полугруппа проста слева [справа] тогда и только
тогда, когда она состоит из одного ^-класса [.^-класса], и полу-
полугруппа проста тогда и только тогда, когда она состоит из одного
f -класса. Мы говорим, что полугруппа S 3-проста или бипро-
¦ста, если она состоит из одного S-класса. Так как 3) s ty,
каждая бипростая полугруппа проста. Упражнение 10 к этому
параграфу показывает, что не всякая простая полугруппа бипро-
«та, откуда, в частности, следует, что, вообще говоря, 3) Ф f.
Так как М s 3) и X s 3, каждая простая слева и каждая
простая справа полугруппа бипроста.
Лемма 2.2 (Грин). Пусть а и b — произвольные ^-эквивалент-
^-эквивалентные элементы полугруппы S, и пусть s, s' — такие элементы полу-
полугруппы S1, что as = Ъ и bs' = а. {Такие элементы s и s' сущест-
существуют.) Тогда отображения х ->- х& (х ? La) и у -> ys' (у ? Ьь)
взаимно обратны, сохраняют М-классы и взаимно однозначно ото-
отображают соответственно La на Ьъ и Ьъ на La.
§ 2.1. Отношения Грина 75
Доказательство. Обозначим эти два отображения
через а и а'. Заметим, что а [а'] является ограничением внут-
внутреннего правого сдвига ps [pS'] на множество La [Lb].
Пусть х 6 La. Так как X — правая конгруэнция, хХа вле-
влечет за собой xsXas = b, откуда xs ? Lb. Таким образом, а ото-
отображает La в Ьь и, аналогично, а' отображает Ьь в La.
Снова пусть х ? La. Тогда существует такой элемент t ? S1,
что х = ta, поэтому
хаа' = xss' = tass' = tbs' = ta = x.
Таким образом, аа' есть тождественное преобразование множества
La. Аналогично, а'а есть тождественное преобразование мно-
множества Lb, поэтому от и а' — взаимно обратные взаимно одно-
однозначные отображения La и Ьъ друг на друга.
Покажем, что а сохраняет .^-классы. В самом деле, если
х 6 La и у = ха = xs, то ys — х, т. е. уМх. Аналогично дока-
доказывается, что и а' сохраняет ^-классы.
Теорема 2.3. Пусть а и с — произвольные ^-эквивалентные
элементы полугруппы S. Тогда существует такой элемент Ъ ? S,
что аМЬ и ЪХс и, следовательно, as = Ъ, bs' = a, tb = с, t'c = b
для некоторых s, s', t, t' ? S1. Отображения x-*-txs (x ? Ha)
и z -> t'zs' (z ? Hc) взаимно обратны и взаимно однозначно ото-
отображают классы На и Нс друг на друга. В частности, два 3?-клас-
са, лежащих в одном и том же SB-классе, имеют одинаковый
порядок.
Доказательство. По лемме, двойственной лемме Гри-
Грина, отображения т: у -> ty (у 6 Rb) и т': z ~> t'z (z б Лс) взаим-
взаимно обратны, сохраняют ^-классы и взаимно однозначно отобра-
отображают Rb и i?c друг на друга.
Пусть а и а' — отображения из леммы Грина, но ограничен-
ограниченные соответственно на На и Нъ- (Так как по лемме Грина ото-
отображения а и а' сохраняют ,52-классы, их ограничения отобра-
отображают множества На и Нъ друг на друга взаимно однозначно.)
Аналогично, пусть отображения т и т' ограничены соответственно
на Нъ и Нс- Тогда ах и х'а' — взаимно обратные взаимно одно-
однозначные отображения классов На и Нс друг на друга. Но эти
отображения совпадают с отображениями, указанными в форму-
формулировке теоремы.
Все изложенные выше результаты этого параграфа принадле-
принадлежат Грину [1951]. Мы закончим параграф результатом Миллера
и Клиффорда [1956], который нам понадобится позднее.
Теорема 2.4. Произведение LR любого Х-класса L и любого
М-класса R полугруппы S содержится целиком в одном 3-классе
полугруппы S.
7E Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
Доказательство. Утверждение теоремы эквивалентно
тому, что если а, а', Ь, Ъ' — элементы полугруппы S, для которых
аХа' и ЬМЪ', то аЬЗа'Ъ'. Так как X — правая конгруэнция,
аХа' влечет за собой аЪХа'Ъ. Так как М — левая конгруэнция,
ЬМЬ' влечет за собой а'ЪМа'Ь'. Но из аЬХа'Ь и а'ЬМа'Ъ' следует,
что аЪЗа'Ь'.
Упражнения к §2.1
1. Всякие два элемента из любой подгруппы в произвольной
полугруппе ^-эквивалентны.
2. Каждый ^-класс правой группы S (§ 1.11) является также
^-классом и подгруппой полугруппы S.
3. Если S — полугруппа с правым сокращением и без идем-
потентов, то каждый ее ,^-класс состоит из одного элемента.
4. Пусть S — простая справа полугруппа. Если S — полу-
полугруппа с левым сокращением, то каждый ее о$?-класс является
группой. Если S — полугруппа с правым сокращением, то либо
(i) S есть группа, либо (И) S не имеет идемпотентов и каждый ее
о^-класс состоит из одного элемента.
5. Прямоугольная связка (§ 1.8) бипроста. Ее строки являются
.^-классами, а столбцы — ,2^-классами. Каждый сй?-класс состоит
из одного элемента.
6. Бицикличёская полугруппа % (р, q) (§ 1.12) бипроста. Если
расположить элементы полугруппы % в таблицу
1 р р*
Ч ЯР ЯР2
то ^?-классы [^-классы] полугруппы % являются строками
[столбцами] этой таблицы. Каждый <^?-класс состоит из одного
элемента.
7. Пусть S — полугруппа с единицей. Полугруппа Р [Q]
обратимых справа [слева] элементов из 5 (§ 1.7) состоит из всех
элементов, ^-эквивалентных [^-эквивалентных] единице. Полу-
Полугруппа S бипроста тогда и только тогда, когда S = QP.
(Клиффорд [1953].)
Упражнения 8—10 взяты из работы Андерсена [1952].
8. Пусть G — множество с двумя бинарными операциями (+)
и (•), удовлетворяющими следующим аксиомам:
I. G (+) — полугруппа, G ( •) — группа.
II. (а + Ъ) с = ас + be.
Тогда (a) G + G = G.
(Ь) Если G (+) содержит идемпотент, то каждый элемент
из G (+) является идемпотентом.
§ 2.2. SS-строение полной полугруппы преобразований ЗГх на множестве X 77
Пример 1. G — множество положительных действительных
чисел с обычными операциями (+) и ( •) (или, в более общей ситуа-
ситуации, G — положительный конус любого упорядоченного поля).
Пример 2. G — множество положительных рациональных
чисел с обычным умножением ( •) и взятием наименьшего общего
кратного (+) *) (или, в более общей ситуации, G — структурно
упорядоченная группа).
9. Пусть А = G х G. Определим умножение в А, полагая
(а, Ъ) {с, d) = (ас, bc + d), (а, Ъ, с, d ? G).
Тогда
(a) А — простая полугруппа.
(b) Множество всех элементов из А вида A, Ъ), где Ъ ? G
и 1 есть единица группы G ( •), является подполугруппой В полу-
полугруппы Л, изоморфной G (+)•
(c) Если ??(+) не имеет идемпотентов, то А также не имеет
идемпотентов. Если G( + ) обладает идемпотентами, то В есть
множество всех идемпотентов полугруппы А ж А регулярна.
(d) (а, Ъ) X (с, d) в А влечет за собой bXd в G( + );
(a, b) M (с, d) в А влечет за собой ba~xMdc~x в G ( + )• Обрат-
Обратная к первой [второй] из этих импликаций имеет место, если
Ъфй [Ъа^фск-1].
10. (а) Пусть G (+) — полугруппа с сокращениями и без
единицы (такова полугруппа G ( +) из примера 1). Тогда А —
(простая) полугруппа с сокращениями и без единицы.
(Ь) В предположениях пункта (а) каждый ,25-класс полу-
полугруппы А состоит из одного элемента. (Таким образом, А является
простой полугруппой, настолько далекой от бипростой полу-
полугруппы, насколько это вообще возможно.)
(Если G взять из примера 1, то А есть простая полугруппа,
вложимая в группу. Существуют ли простые полугруппы с сокра-
сокращениями, не вложимые в группы?)
11. Любая простая полугруппа с сокращениями, содержащая
идемпотент, является группой.
12. Лемма 2.1 есть непосредственное следствие леммы 2.2.
§ 2.2. 3-строение полной полугруппы
преобразований ?Гх на множестве X
Целью этого параграфа является иллюстрация понятий, вве-
введенных в предыдущем параграфе, на примере полугруппы J?'х.
Результаты данного параграфа, кульминационным пунктом кото-
J) Число а называется кратным числа Ъ, если а = тЪ, где т—целое чис-
число.— Прим. ред.
78 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
рого является теорема 2.9, принадлежат Миллеру и Доссу [1955].
Леммы 2.5 и 2.6 приведены также в книге Сушкевича 11937],
гл. 3, § 31. Аналогичный пример представляет собой полугруппа
XZF (V) всех линейных преобразований векторного простран-
пространства V; соответствующие утверждения приведены в упражнении 6
к этому параграфу.
С каждым элементом а полугруппы &х мы связываем два
понятия: A) область значений Ха преобразования а и B) раз-
разбиение яа = а о а множества X, связанное с а, т. е. отно-
отношение эквивалентности на X, определенное следующим
образом:
хпау (х, у ? X), если ха = у а (§ 1.4).
Пусть я„ — естественное отображение множества X на мно-
множество Х/яа классов эквивалентности множества X по mod na.
Тогда отображение хпа -> ха является взаимно однозначным
отображением множества Х/па на Ха. Отсюда следует, что
| Х1па | = | Ха |. Это кардинальное число называется рангом
преобразования а.
Если у?Хи а ? Jfx, то определим г/а как множество всех
х ? X, таких, что ха = у.
Лемма 2.5. Для данных а, Р ? & х тогда и только тогда
существует такое преобразование | 6 Sх, чт0 S<* = Р, когда
Ха э Хр. Следовательно, а%$ тогда и только тогда, когда
Ха = Хр.
Доказательство. Если |а = р, то Хр = (XI) a s
5= Ха. Обратно, предположим, что ХР ? Ха. Определим пре-
преобразование | множества X следующим образом: для каждого
у 6 Хр преобразование | отображает все элементы множества
i/P на некоторый фиксированный элемент из множества у а'1.
Тогда ?а = р.
Лемма 2.6. Для данных а, р ? ^"^ тогда и только тогда
существует такое преобразование | б ^.х> чтео °S — Р> ког<5а
па?Яр. Следовательно, а^?Р тогда и только тогда, когда
Доказательство. Если а? = Р и хяаг/, то ^р =
= ха% = г/а| = г/р и потому а:ярг/. Таким образом, а| = р влечет
за собой па s л р. Обратно, предположим, что яа s яр. Опре-
Определим преобразование |, полагая хаЬ, = а:Р для элементов мно-
множества Ха и считая, что на множестве Х\Ха оно действует тож-
тождественно. Однозначность \ очевидна, так как из равенства
ха = уа следует аф = г/р по предположению. Ясно, что а| = р.
Лемма 2.7. Пусть я — разбиение множества X, и пусть Y —
такое подмножество множества X, что | Х/я | = | Y |. ГогЗа
существует такое преобразование а ? ,^'_х, что яа = я м Ха = У..
§ 2.2. 3>-строение полной полугруппы преобразований ?Г% на множестве X 79>
Доказательство. Так как | Х/п | = | Y |, суще-
существует взаимно однозначное отображение ф множества Х/п на Y.
Тогда отображение а = я^ср обладает требуемыми свойствами.
Лемма 2.8. Два элемента полугруппы $"'х SB-эквивалентны
тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же ранг.
Доказательство. Пусть а, Р ? <Г х. Если О.Щ, то
<з.Ху и yfflfy Для некоторого у ? °f х. По лемме 2.5 области зна-
значений преобразований а и у совпадают. Следовательно, а и у
одного ранга. По лемме 2.6 разбиения, соответствующие преоб-
преобразованиям у и р, совпадают. Следовательно, у и Р одного ранга.
Обратно, предположим, что а и Р имеют одинаковый ранг.
Тогда | Ха | = | Х/яр |. По лемме 2.7 существует такое преоб-
преобразование у 6 & х, что Ху = Ха и ят = я р. На основании
лемм 2.5 и 2.6 а#7 и уЩ, откуда Щ
Теорема 2.9. Пусть 37' х — полная полугруппа преобразований
на множестве X.
(i) В полугруппе $'х отношения ЗЬ и f совпадают.
(ii) Существует такое взаимно однозначное соответствие меж-
между множеством всех главных идеалов полугруппы ?Гх и множеством
всех кардинальных чисел г ^ | X |, что главный идеал, соответ-
соответствующий г, состоит из всех элементов полугруппы ?Гх, ранг
которых не превосходит г.
(iii) Существует такое взаимно однозначное соответствие меж-
между множеством всех ?Ё-классов полугруппы ?Гх и множеством всех
кардинальных чисел г ^ | X |, что SB-класс Dr, соответствую-
соответствующий г, состоит из всех элементов полугруппы ?Гх, ранг которых
равен г.
(iv) Пусть г — кардинальное число ^ | X |. Существует такое
взаимно однозначное соответствие между множеством всех Х-клас-
сов, содержащихся в Dr, и множеством всех подмножеств Y мощ-
мощности г из X, что Х-класс, соответствующий множеству Y,
состоит из всех элементов полугруппы ЗГх, для которых Y есть
область значений.
(v) Пусть г — кардинальное число ^ | X \. Существует такое
взаимно однозначное соответствие между множеством всех М-клас-
сов, содержащихся в DT1 и множеством всех разбиений я множе-
множества X, для которых \ Х/п \ — г, что М-класс, соответствую-
соответствующий я, состоит из всех элементов полугруппы Jх, для которых
связанные с ними разбиения совпадают с я.
(vi) Пусть г — кардинальное число ^ | X \. Существует такое
взаимно однозначное соответствие между множеством всех Ш-клас-
сов, содержащихся в DT, и множеством всех пар (я, Y), где я есть-
разбиение множества X, a Y — подмножество множества X,
причем | Х/п | = \Y \ — г, что Ш-класс, соответствующий
I
80 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
{п, Y), состоит из всех элементов полугруппы 2?х, для которых
связанные с ними разбиения совпадают с л, а области зна-
значений — с Y.
Доказательство. Пусть а, р ? &' х. Покажем сна-
сначала, что р 6 / (а) тогда и только тогда, когда ранг преобразо-
преобразования р не превосходит ранга преобразования а. Если $ ? J (а),
то] р = ?ат] для некоторых |, т] ? $~х и потому | Хр | =
= | Х|ат] | ^ | Хат] | ^ | Ха |. Обратно, предположим, что ранг
преобразования р не превосходит ранга преобразования а. Пусть
Y — произвольное подмножество мощности | Ха | из X, содер-
содержащее Хр, и пусть у — произвольный элемент полугруппы S~x,
для которого Y является областью значений. Так как | Ха | =
т = | Y | = | Х7 |, из леммы 2.8 следует, что уЗа. Так как 3 s f-,
то / (у) = / (а). Ввиду леммы 2.5 и того, что Ху э Хр, суще-
существует преобразование | ? $~х, для которого %у — р. Следова-
Следовательно, р ? J (у) — J (<*)•
Из предыдущего следует, что / (а) = / (Р), т. е. aj^p тогда
и только тогда, когда преобразования аир имеют один и тот же
ранг. По лемме 2.8 aj^p тогда и только тогда, когда аЗ$, что
устанавливает справедливость утверждения (i).
Из предыдущего и того факта, что ?Гх содержит элементы
произвольного ранга ^ | X |, следует, что отображение / (а) ->
-> {ранг преобразования а} взаимно однозначно отображает мно-
множество главных идеалов полугруппы ?Гх на множество всех
кардинальных чисел ^ | X |, причем выполняются свойства,
сформулированные в пункте (н).
Аналогично, из леммы 2.8 следует, что отображение Da ->
->• {ранг преобразования а}, где а ? 3х, взаимно однозначно
отображает множество ^-классов полугруппы Sх на множество
всех кардинальных чисел ^ | X |, причем выполняются свойства,
сформулированные в пункте (ш).
Пусть теперь г — кардинальное число, не превосходящее
| X |, и DT есть S-класс полугруппы 3~xi состоящий из всех
элементов ранга г.
Если Y — такое подмножество множества X, что | У | = г,
то ?ГХ, очевидно, содержит элемент а, для которого Ха = Y
и а ? Dr. Аналогично, если л — такое разбиение множества X,
что 1 Х/я | = г, то Dr содержит элемент Р, для которого яр = л.
Из этих замечаний и лемм 2.5, 2.6, 2.7 непосредственно вытекают
утверждения (iv), (v) и (vi) теоремы.
Перейдем теперь к описанию и идемпотентов полугруппы ?Гх.
Утверждение (ii) следующей теоремы показывает, что d^-класс
полугруппы ?Гх является подгруппой тогда (и, очевидно, только
тогда), когда он содержит идемпотент. В дальнейшем мы увидим,
что это свойство выполняется для произвольной полугруппы
§ 2.2. 2)-строение полной полугруппы преобразований &~х на множестве X 81
(теорема Грина 2.16). Следовательно, в (^-классе может содер-
содержаться не более одного идемпотента. Утверждение (i) следую-
следующей теоремы показывает, в каких ^-классах полугруппы ?Гх
содержатся идемпотенты.
Теорема 2.10. Пусть У — подмножество множества X, и пусть
я — такое разбиение множества X, что \ У \ — \ XIп |. Пусть
Н есть Ш-пласс полугруппы ?Гх, соответствующий паре (я, У)
(см. теорему 2.9 (vi)).
(i) H содержит идемпотент тогда и только тогда, когда Y
пересекается с каждым классом эквивалентности множества X
по mod я точно по одному элементу (т. е. Y —«поперечное сечение»
разбиения л).
(ii) Если Н содержит идемпотент, то Н — полугруппа, изо-
изоморфная симметрической группе "§y на множестве Y.
Доказательство, (i) Пусть е — идемпотент из Н.
Таким образом, Y = Хг, л = яе и е2 = е. Отображение е остав-
оставляет каждый элемент из Y на месте и передвигает каждый элемент
множества X\Y. Пусть х ? X. Так как хг = (хг) г, из л — ле
следует хя (хг). С другой стороны, если ушу' — элементы мно-
множества Y, такие, что улу', то у = у г = у'е = у'. Следовательно,
каждый класс эквивалентности множества X по mod я содержит
точно один элемент множества Y и е отображает каждый элемент
из ул* (у 6 Y) на у.
Обратно, предположим, что Y — поперечное сечение разбие-
разбиения я. Тогда элемент полугруппы JT^. переводящий каждый
элемент х множества X в такой элемент у ? Y, что хлу, является,
очевидно, идемпотентом из Н.
(ii) Предположим, что Н содержит идемпотент е. Пусть
а 6 Н. Для каждого х ? X имеем ха 6 Ха — Y = Хе, поэтому
хаг = ха. Отсюда следует, что ае = а. Для каждого х 6 X
выполняется хл (хг) (показано выше), и, так как яа = л = я8,
то ха = (хг) а. Отсюда следует, что еа = а.
Покажем теперь, что а индуцирует подстановку на Y. Если
г/а = у'а (у, у' 6 Y), то улу' и потому у = у'. Для данного
у 6 У = Ха существует такой элемент х ? X, что ха — у. Тогда
хе ? Y и (хе) а = ха = у. Следовательно, (а | У) ? $г.
Каждая подстановка ф из &Y индуцируется некоторым пре-
преобразованием а 6 Н, а именно преобразованием, которое задано
следующим образом: ха = (хг) ср. Более того, а однозначно
определяется подстановкой ср. В самом деле, если уа = i/j} для
всех у ? У, где а, Р ? Н, то хга = жер для всех х ? X, откуда
а = еа = еE = р. Следовательно, отображение а -*¦ ц> = а \ Y
есть взаимно однозначное отображение множества Н на "§?
и, очевидно, изоморфизм. Итак, Н — подгруппа полугруппы 2Гх,
изоморфная "§y-
6—1159
82
Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
В качестве примера выпишем все ^-классы полугруппы
У* (&х ПРИ I Х| = 4). Пусть X = {1, 2, 3, 4}. Отображение
1 ->- i, 2—>- /, 3 -> ft, 4 —>- Z будем записывать в виде (ijkl). Суще-
Существует четыре S-класса DT (г = 1, 2, 3, 4), где DT есть мно-
множество всех элементов ранга г. Будем нумеровать строки раз-
разбиениями множества {1, 2, 3, 4}, а столбцы — подмножествами
множества {1, 2, 3, 4}. Опустим ?>4, которое состоит из одного
^-класса, совпадающего с симметрической группой четвертой
степени на множестве {1, 2, 3, 4}. Отмеченные звездочками эле-
элементы суть идемпотенты; они показывают, какие ячейки являются
группами. Таблица 4 дает полную JJ-картину полугруппы 3/\\
числа 1, 2, 6, 24 указывают порядок каждого ^-класса.
{1234}
{1}
A111)*
{2}
B222) •
{3}
C333)*
Таблица
1
щ
D444) •
Таблица 2
{1} {234}
{2} {134}
{3}{124}
{4}{123}
{12}{34}
{13} {24}
{23}{14}
{12}
A222) •
B111)
A211)*
B122)
A121)
B212)
A112)
B221)
A122)
B211)
A212)*
B121)
A221) *
B112)
{13}
A333) *
C111)
A311)
C133)
A131)*
C313)
A113)
C331)
A133) *
C311)
A313)
C131)
A331) *
C113)
{14}
A444)*
D111)
A411)
D144)
A141)
D414)
A114) *
D441)
A144) *
D411)
A414) •
D141)
A441)
D114)
{23}
B333)
C222)
B322)
C233) *
B232) •
C323)
B223)
C332)
B233) •
C322)
B323)
C232) *
B332)
C223)
{24}
B444)
D222)
B422)
D244) *
B242)
D424)
B224) *
D442)
B244)*
D422)
B424)
D242)
B442)
D224) *
{34}
C444)
D333)
C433)
D344)
C343)
D434)*
C334)*
D443)
C344)
D433)
C434) *
D343)
C443)
D334)*
Таблица 3
{123}
{124}
{134}
{234}
A233)* B133)
B311) C211)
C122) . A322)
A244)* B144)
B411) D211)
D122) A422)
A344) C144)
C411) D311)
D133) A433)
B344) C244^
C422) D322)
D233) B433)
A232) • B131)
B313) C212)
C121) A323)
A242) . B141)
B414) D212)
D121) A424)
A343) C141)
C414) D313)
D131) A434)*
B343) C242}
C424) D323).
D232) B434>
{1} {4} {23}
A223) B113)
B331) C221)
C112) A332)
A224)* B114)
B441) D221)
D112) A442)
A334)* C114)
C441) D331)
D113) A443)
B334) C224>
C442) D332>
D223) B443)>
{2} {3} {14}
A231)* B132)
B312) C213)
C123) A321)
A241) B142)
B412) D214)
D124) A421)
A341) C143)
C413) D314)
D134) A431)
B342) C243)
C423) D324)
D234)* B432)
{2} {4} {13}
A213) B123)
B321) C231)
C132) A312)
A214) * B124)
B421) D241)
D142) A412)
A314) C134)
C431) D341)
D143) A413)
B324) C234) *
C432) D342),
D243) B423>
{3} {4} {12}
A123) B213)
B231) C321)
C312) A132)
A124) B214)
B241) D421)
D412) A142)
A134)* C314)
C341) D431)
D413) A143)
B234) * C324)
C342) D432)
D423) B243)
84
Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
«Egg-box»-KapTHHa для
24
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1111
Таблица 4
Число элементов
1-1.24=24
6.4-6 = 144
7-6-2 = 84
1.4-1 = 4
всего 4* = 256
Упражнения к §2.2
i. (а) Пусть Y — непустое подмножество множества X.
В &'х существует по крайней мере одна проекция множества X
на Y, т. е. отображение е множества X на Y, оставляющее каждый
элемент из Y на месте. В ^-классе полугруппы ?ГХ, соответ-
соответствующем множеству У (см. теорему 2.9 (iv)), идемпотентами
являются лишь проекции множества -X на Y.
(Ь) Пусть я — произвольное разбиение множества X. Суще-
Существует (по аксиоме выбора) по крайней мере одно поперечное
сечение Y разбиения п. Для каждого х 6 X через же обозначим
такой элемент у множества Y, что хпу. Назовем е представляющим
отображением разбиения я. В ^-классе полугруппы jT^, coot-
§ 2.2. 35-ст.роение полной полугруппы преобразований &~x на множестве X 85
ветствующем разбиению я (см. теорему 2.9 (v)), идемпотентами
являются лишь представляющие отображения разбиения я.
(с) По лемме 1.13 полугруппа &"х регулярна (см. упражне-
упражнение 1 к § 1.9).
2. (а) Каждый .2-класс ранга г из &п (=.fx Щ>и \ X \ = п)
содержит гп~г идемпотентов.
(Ь) Каждый Jg-класс полугруппы 3~п, соответствующий раз-
разбиению п = щ + и2 + • • • + пг числа ге, содержит п±щ . . . пг
идемпотентов.
3. (а) Каждый идеал полугруппы 3~п (где п конечно) является
главным.
(Ь) Если X счетно, то единственным неглавным идеалом
полугруппы ?ГХ является множество всех преобразований конеч-
конечного ранга.
4. (а) Подполугруппа Р обратимых справа элементов полу-
полугруппы &х является ^-классом, соответствующим разбиению
множества X на одноэлементные подмножества, поэтому она
состоит из всех взаимно однозначных отображений множества'.^
в X (см. § 1.7, упражнение 2).
(b) Подполугруппа Q обратимых слева элементов полугруппы
&х является ^-классом, состоящим из всех элементов полу-
полугруппы 3/ xi Для которых X есть область значений.
(c) <$?-класс Р П Q совпадает с симметрической группой Зх-
5. В пяти ^-классах полугруппы jT5 содержится соответ^
ственно 5, 300, 1500, 1200, 120 элементов.
6. Пусть Ф — поле и V — векторное пространство над Ф.
Размерностью dim V пространства V называется мощность его
базиса над Ф. Пусть ХЗГ (V) — мультипликативная полугруппа
(относительно суперпозиции) всех линейных преобразований про-
пространства V. С каждым элементом А полугруппы ХЗГ (V) мы свя-
связываем два подпространства пространства V: A) область значе-
значений VA преобразования А, состоящую из всех хА при х 6 V>
и B) ядро х) NA преобразования А, состоящее из всех у 6 V,
таких, что у А = 0.
(а) Пусть А 6 %&" (У)- Пусть W — подпространство про-
пространства V, дополнительное к NA, т. е. V — NA Ф W 2). Тогда
А индуцирует невырожденное линейное отображение простран-
пространства W на VA. Следовательно, dim (V/NA) = dim W = dim VA\
это кардинальное число назовем рангом преобразования Л.
(Здесь через VINA мы обозначаем факторпространство простран-
пространства V по mod NA. Если dim V конечно, то это понятие ранга
совпадает с обычным понятием ранга для матрицы А.)
х) В ^оригинале —«null-space»,— Прим^перев.
*) То'есть V есть прямая сумма подпространств NA и ИЛ — Прим. ред.
86 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
(b) Два элемента полугруппы ХЗ* (V) ^-эквивалентны
(^-эквивалентны] тогда и только тогда, когда они имеют одну
и ту же область значений [ядро].
(c) Если N и W — такие подмножества пространства V,
что dim (VIN) = dim W, то существует по крайней мере один
элемент А ? ХЗГ (V), для которого N — NA и W = VA.
(d) Два элемента полугруппы ХЗГ (V) ^-эквивалентны тогда
и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг.
(e) Теорема 2.9 выполняется для Х3~ (V), если заменить «под-
«подмножество У множества X» на «подпространство W простран-
пространства F», | У | на dim W, «разбиение я множества Хь на «подпро-
«подпространство N пространства V» и | Х/п | на dim (VIN).
(f) Пусть N я W — такие подпространства пространства V,
что dim (VIN) = dim W. Пусть Н есть G^-класс, состоящий из всех
элементов полугруппы ХЗГ (V) с ядром N и областью значений W.
Тогда Н содержит идемпотент в том и только в том случае, когда
N и W дополняют друг друга в V, и этот идемпотент является
проекцией пространства V на W, которая аннулирует N. В этом
случае Н есть подгруппа, изоморфная полной линейной группе
&Х (W) на W, состоящей из всех невырожденных линейных пре-
преобразований пространства W.
(g) Полугруппа Х?Г (V) регулярна.
7. Пусть X — счетное бесконечное множество, а я и р — такие
элементы полугруппы ?Гх, что яр = i, и пусть G — подгруппа
симметрической группы "§х. Тогда р(?я является подгруппой
полугруппы 3~xi изоморфной G и состоящей из элементов полу-
полугруппы &~х, имеющих бесконечный ранг. Обратно, любая под-
подгруппа элементов бесконечного ранга из ?Гх может быть получена
таким способом. (Сушкевич [1940].)
8. Пусть S — подполугруппа полугруппы $~х всех преобра-
преобразований конечного множества X. Она является левой группой
тогда и только тогда, когда все ее элементы имеют одинаковую
область значений; S является правой группой тогда и только
тогда, когда всем ее элементам соответствуют одинаковые раз-
разбиения множества X. (См. упражнение 5 к § 1.11.) (Сушкевич
Ц937], гл. 3,§ 31.)
§ 2.3. Регулярные 3-клаееы
Напомним (§ 1.9), что элемент а полугруппы S называется
регулярным, если а = аха для некоторого х ? S. S-класс D
(или какое-либо подмножество) полугруппы S называется регу-
регулярным, если каждый элемент из D регулярен. Следующая тео-
теорема показывает, что если D — нерегулярный ^-класс, то в D
нет регулярных элементов; в этом случае мы говорим, что D
иррегулярен. В этом параграфе мы изложим теорию регулярных
^-классов произвольной полугруппы.
§ 2.3. Регулярные Si-классы 87
Теорема 2.11. (i) Если 3)-класс D полугруппы S содержит регу-
регулярный элемент, то каждый элемент из D регулярен.
(и) Если D регулярен, то каждый Х-класс и каждый М-класс,
содержащиеся в D, содержат идемпотент.
Доказательство. Мы можем перефразировать лем-
лемму 1.13 следующим образом: элемент а полугруппы S регулярен
тогда и только тогда, когда Ra \La\ содержит идемпотент.
Отсюда следует, что если ^?-класс R [^5-класс L] содержит
регулярный элемент, то он содержит идемпотент и каждый эле-
элемент из R [L] регулярен. Так как каждый .^?-класс полугруп-
полугруппы S, содержащийся в D, пересекается с каждым ^-классом
полугруппы S, содержащимся в D, то утверждение (i) очевидно.
Но тогда утверждение (И) непосредственно вытекает из леммы 1.13.
Напомним (§ 1.9), что два элемента а и а' полугруппы S назы-
называются инверсными друг к другу, если аа'а = а и а'аа' = а'.
Следующие две леммы очевидны.
Лемма 2.12. Если а и а' — инверсные друг к другу элементы
полугруппы S, то е = аа' и f = а'а суть идемпотенты, причем
еа = af = а и а'е = fa' = а'. Следовательно, е ? Ra f) La>
и f 6 Ra' П La'. Элементы а, а', e, f принадлежат одному и тому
же ?8-классу полугруппы S.
Лемма 2.13. (i) Если а — регулярный элемент полугруппы S,
то aS1 = aS и Sxa = Sa.
(ii) Если а и Ъ — регулярные элементы полугруппы S, то
аХЪ \аМЬ\ тогда и только тогда, когда Sa = Sb [aS = bS].
Лемма 2.14. Каждый идемпотент е полугруппы S является
правой единицей в Le, левой единицей в Re и двусторонней еди-
единицей в Не.
Д о к^а зательство. Если а ? Ье, то а 6 Se, и, значит,
ае = а. ЕЬди а ? Re, то a?eS и еа = а. Если а ? He=Re Л Le,
то еа = ае = а.
Лемма 2.15. Si-класс может содержать не более одного идем-
потента. '
Доказательство. Если ей/ — идемпотенты, причем
Не — Hf, то по лемме 2.14 каждый из них является двусторонней
единицей для другого, и поэтому е = /.
Следующая важная теорема принадлежит Грину [1951].
Теорема 2.16 (Грин). Если элементы а, Ъ и аЬ принадлежат
одному и тому же Ш-классу Н полугруппы S, то Н — подгруппа.
В частности, любой Si-класс, содержащий идемпотент, является
подгруппой.
88 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
Доказательство. Сначала отметим, что если h
и hs [sh] принадлежат одному и тому же d^-классу Я полугруп-
полугруппы S, то Hs = Я \sH — Я]. В самом деле, тогда h&hs и из лем-
леммы Грина B.2) следует, что отображение х -*¦ xs является взаимно
однозначным отображением класса Нн на #л8, т. е. Я на себя.
Двойственное утверждение следует из леммы, двойственной лем-
лемме Грина.
Пусть теперь а,Ъ и ab принадлежат одному и тому же <$?-клас-
су Я. Ввиду сделанного выше замечания НЪ = Н. Пусть с и d —
произвольные элементы из Я. Тогда cb 6 НЪ = Н. Так как b
и сЪ оба принадлежат Н, из указанного замечания следует, что
сН = Н. Тогда cd ? Н. Снова используя указанное замечание,
мы видим, что Hd = Я. Из равенств сН = Hd = Н для произ-
произвольных с, d ? Н, следует, что Н — подгруппа полугруппы S.
Следующая георема принадлежит Миллеру и Клиффорду
[1956].
Теорема 2.17. Если а и Ъ — элементы полугруппы S, то
аЪ 6 Ra Г) Lb тогда и только тогда, когда Rb |"| Ьа содержит
идемпотент. В этом случае
чНъ = Hat* = HaHf, = Наъ = Ra П ^Ь-
Доказательство. Предположим сначала, что ab ? Ra [)
П Ьъ. Из включения аЪ ? Ra следует существование такого
Ъ' 6 S, что (ab) V = а. По лемме Грина 2.2 отображения
a: x-*-xb (x?La) и о': у ->- уЪ' (у ? Lab) взаимно обратны,
сохраняют ^?-классы и взаимно однозначно отображают соот-
соответственно La на ЬаЬ и ЬаЪ на La. Но ab 6 ^ь, и поэтому ЬаЬ =
= Lb. Таким образом, о' отображает элемент b ? Lb на элемент
ЬЬ' 6 ?а' Более того, ЪЪ' 6 Дь, так как а' сохраняет ^?-классы.
Следовательно, ЬЬ' 6 Ri П А»- Если а; 6 ?<п то ХЪЪ' =?= жао' = ж.
Полагая а: = ЬЬ', мы заключаем, что ЬЬ' является идемпотентом.
Обратно, предположим, что Rb П La содержит идемпотент е.
Тогда eb = Ъ по лемме 2.14. Так как ej?fe, из леммы Грина следует,
что отображение а: х -*¦ хЪ (ж 6 Le) сохраняет ^?-классы и взаим-
взаимно однозначно отображает Le на Ьъ. Так как а 6 Ье, то ab 6 ^ь'.
более того, ab ? Ra, так как а сохраняет ,5?-классы. Следова-
Следовательно, ab 6 Ra П Ьъ.
Сохраняя предположение, что Rb |") -^о содержит идемпотент е,
возьмем элементы х ? На и у ? #&. Тогда е ? Ry [\ Lx, и мы
заключаем на основании установленного выше, что ху ? Rx ("|
П iy = Ли П ^ь- Следовательно, ЯаЯь S Ra П -^ь- Так как
Le = La и Lb = .?„&, то о: х-^-хЪ отображает La на Lob. Так
как о сохраняет .^-классы, оно отображает На на ЯоЬ, поэтому
НаЬ = ЯО6. Следовательно,
Я„Ь ? #аЯ6 ?ЛйП16 = ЯаЬ = НаЪ,
§ 2.3. Регулярные ^-классы 89
т. е. НаЪ = НаНь = Наь = Ra П Lb. Двойственным образом
получаем, что аНь = Наь-
Следующая теорема, принадлежащая Миллеру и Клиффорду
[1956], описывает все элементы, инверсные к регулярному эле-
элементу а полугруппы S. (Конечно, нерегулярный элемент таковых
не имеет.) В ней показывается, что существует взаимно одно-
однозначное соответствие между множеством всех элементов а', инверс-
инверсных к а, и множеством всех пар (е, /) идемпотентов, таких, что
е 6 Ra и / ? La. Элемент а', соответствующий паре (е, /), при-
принадлежит Rf П Le. («Egg-boxa-картина помогает представить себе
эту ситуацию.)
Теорема 2.18. Пусть а — регулярный элемент полугруппы S.
(i) Каждый инверсный к а элемент лежит в Da.
(И) SB-класс Н~ъ содержит инверсный к а элемент тогда и толь-
только тогда, когда оба SB-класса Ra{] Ьь и Rb {] La содержат идем-
потенты.
(III) SB-класс не может содержать более одного элементаг
инверсного к элементу а.
Доказательство. Утверждение (i) есть непосредствен-
непосредственное следствие леммы 2.12.
Докажем утверждение (п). Предположим сначала, что Нъ,
содержит элемент а', инверсный к элементу а. По лемме 2.12
с^-классы Ra П Lb (=Ra П La-) и Rb П La (=Ra- fl Ь0Jсодержаг
соответственно идемпотенты аа' и а'а.
Обратно, предположим, что е — идемпотент в Ra f) Lb и / —
идемпотент в Rb f| La. Из условий а$е и aXf, применяя лем-
лемму 2.14, мы выводим, что еа = а — af и, применяя лемму 2.13,'
что е = ах, f = уа при некоторых ж, у ? S. Положим а' = fxe^
Тогда
fa' = а'е = а',
аа' — afxe = axe = е2 — е,
а'а = fa'а = уаа'а = yea = уа = /.
Так как аа'а = еа = а и а'аа = а'е — а', элементы а ж а' взаим-
взаимно инверсны. Из равенств а'е = а' и аа' = е следует, что а'%е~
Таким образом, а' ? Rf f| -Ц = Rb П Lb = Нь.
Докажем утверждение (ш). Пусть Ъжс суть (^-эквивалентные-
инверсные к а элементы. По лемме 2.12 аЪ является идемпотентоль
в 7?а f) Ьъ, а ас — идемпотентом в Ra f] Lc. Но Lb = Lc, откуда
по лемме 2.15 ab = ас. Аналогично, из равенства Rb = Rc выте-
вытекает, что Ъа = са. Следовательно, Ъ == ЬаЪ = cab = сас = с.
Следствие 2.19. (i) Полугруппа S инверсна тогда и только тог-
тогда, когда каждый %-класс и каждый М-класс содержат только»
один идемпотент.
90 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
(ii) Если D есть Zb-класс инверсной полугруппы S, то существу-
существует такое взаимно однозначное соответствие между множеством
Х-классов, содержащихся в D, и множеством .^-классов, содер-
содержащихся в D, что Х-класс L соответствует М-классу R тогда
и только тогда, когда R [\ L содержит идемпотент.
Доказательство. В силу теоремы 2.18 условие,
высказанное в утверждении (i), означает, что для каждого эле-
элемента из S существует точно один инверсный к нему элемент;
отсюда непосредственно вытекает утверждение (ii).
Утверждение (i) следствия составляет часть теоремы 1.17,
а именно, это утверждение об эквивалентности условий (ii) и (ш)
последней. Рассмотренная теория освещает эту эквивалентность.
Но она ничего не говорит о связи между условиями (i) и (ш),
так как это затрагивает идемпотенты, лежащие в различных
^-классах.
Значение следствия 2.19 (ii) для «egg-box»-KapTHHH состоит
в том, что мы можем представить ^-классы и ,^2-классы, содер-
содержащиеся в ^-классе D инверсной полугруппы S, расположен-
расположенными таким образом, что J^-классы, содержащие идемпотенты,
и только они, лежат на главной диагонали. Тогда теорема 2.18
показывает, что элемент а, инверсный к а ? D, лежит в J^-клас-
¦се, расположенном симметрично к На относительно главной диа-
диагонали. Хорошую иллюстрацию такой ситуации дает бицикличе-
чжая полугруппа (см. упражнение 6 к § 2.1).
Закончим этот параграф теоремой, принадлежащей Грину
11951], которая показывает, что если два J^-класса из одного
^-класса суть группы, то они изоморфны.
Теорема 2.20. Пусть е и f — некоторые ^-эквивалентные
идемпотенты полугруппы S. Пусть а — произвольный, но фикси-
фиксированный элемент из Re f| Lf, и пусть а' — инверсный к а элемент
из Rf f| Le {см. теорему 2.18). Тогда отображения х ->- а'ха
и у —>¦ ауа' являются взаимно обратными изоморфизмами соответ-
соответственно Не на Hf и Hf на Не.
Доказательство. Пусть х ? Не. Применив два раза
теорему 2.17, мы видим, что
ха 6 Re П La и а'ха 6 RJ П Lxa = Ra> f| La = Hf.
Аналогично, у ? Hf влечет за собой ауа' ? Не. Если х ? Не, то
¦а (а'ха) а' — ехе = х, и если у 6 Hf, то а' {ауа') а = fyf = у.
Следовательно, отображения х ->¦ а'ха и у-> ауа' взаимно обрат-
ны и взаимно однозначно отображают классы Не и Hf друг на дру-
друга. Покажем, что х ->¦ а'ха есть изоморфизм. Пусть хь ж2 ? Не.
Тогда
(а'х2а) == а'х^ехга = a' {xiX2) a.
§ 2.3. Регулярные 35-классы 91
Упражнения к §2.3
1. Максимальные подгруппы полугруппы S и только они
являются J^-классами полугруппы S, содержащими идемпо-
тенты.
2. Пусть R есть ,5?-класс и L есть jj-класс полугруппы S,
причем R fl L содержит идемпотент. Пусть D есть S-класс,
содержащий R и L. Тогда LR = D. (Утверждение упражнения 7
к § 2.1 следует из этого утверждения. Условие, что R [\ L содер-
содержит идемпотент, не является необходимым для того, чтобы выпол-
выполнялось равенство LR = D; необходимые и достаточные условия
неизвестны.)
3. (а) Элемент, инверсный к идемпотенту, не обязательно
является идемпотентом. Например, элементы g и а полугруппы
из упражнения 2 к § 1.2 инверсны друг к другу.
(Ь) Любой элемент g', инверсный к идемпотенту g, является
произведением двух идемпотентов, а именно g' = fe, где е =
= gg' и / = g'g. (Миллер и Клиффорд [1956].)
4. Пусть ей/ — два ^-эквивалентных идемпотента полу-
полугруппы S. Для каждого х ? Re fl Lf через х обозначим инверс-
инверсный к х элемент из Rf f) Le (теорема 2.18).
(a) Пусть х, у 6 Re П Lt. Тогда в группе Не обратным эле-
элементом к ху' является ух', а в группе Hf обратным элементом
к х'у является у'х.
(b) Пусть а — фиксированный элемент из Re f) Lf. Для
х, у 6 А = Re П Lf положим хоу = ха'у. Для и, v 6 А' =
= Rf fl Le положим u*v = uav. Тогда Л(°) и А' (*) суть
группы, и отображение х —>- х' есть антиизоморфизм группы А
на А'.
(c) В обозначениях пункта (Ь) отображения ца: х ->• ах
и ва: У ->• Уа являются изоморфизмами группы А' на группы Не
и Hf соответственно. Если вместо а мы выберем другой элемент
Ъ 6 Re П ^7. то Ца =7^= М-ь и аа ^= аь. (Миллер и Клиффорд
[1956].)
5. Пусть S — полугруппа, порожденная элементами р и q
и заданная определяющими соотношениями (§ 1.12)
РЯР = Р, ЯРЯ = Я-
Каждый S-класс полугруппы S состоит из четырех элементов,
каждый #-класс и каждый ^?-класс состоит из двух элементов
и каждый <$?-класс состоит из одного элемента. Единственным
регулярным S-классом является
[РЯ Р 1
{Я ЯР)-
6. Если регулярный <2?-класс D полугруппы S является
подполугруппой, то D есть бипростая полугруппа. Следующий
92 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
пример, построенный Т. Холлои, показывает, что это утверждение
не выполняется без предположения регулярности. Пусть S —
полугруппа всех матриц I Л , где а, Ь — действительные
числа, для которых а ^ О, Ъ > 0. Тогда ядро *) К полугруппы S
состоит из всех таких матриц, что а > 0. Оно является подполу-
подполугруппой и ^-классом, но не бипростой полугруппой.
7. (а) Регулярная полугруппа S является инверсной полу-
полугруппой тогда и только тогда, когда она обладает инволютивным
антиавтоморфизмом (§ 1.3), который оставляет на месте каждый
идемпотент из S. (Манн, не опубликовано.)
(Ь) Пусть а-*- а* есть инволютивный антиавтоморфизм полу-
полугруппы S. Тогда существует самое большее одно отображение
a-*- tf полугруппы S в себя, такое, что
для всех a?S.
8. Пусть V является линейным пространством конечной раз-
размерности п над полем С комплексных чисел. Как и в упражнении 6
к § 2.2, через XS' (V) мы обозначаем мультипликативную полу-
полугруппу всех линейных преобразований пространства V. Фиксируя
базис в V, мы можем рассматривать элементы А из ХЗГ (V) как
квадратные матрицы порядка п над полем С. Пусть А* — транс-
транспонированная комплексно сопряженная с А матрица. Если W —
подпространство пространства V, то через W± обозначим
ортогональное дополнение к подпространству W, состоящее
из всех векторов v ? V, таких, что vw* = v^wi + • • •
. . . + vnwn = 0 для каждого w (; W.
(a) Если элемент А ? ?& (V) имеет область значений W
и ядро N, то А* имеет область значений N± и ядро W±. (Jacob-
son N., Lectures in abstract algebra, т. 2, Linear algebra, Van
Nostrand, New York A953); теорема И на стр. 59.)
(b) Идемпотент Е ? Х2Г (TO является эрмитовым (Е* = E)
тогда и только тогда, когда его область значений и ядро ортого-
ортогональны. Существует точно один эрмитов идемпотент в каждом
^-классе и в каждом ^?-классе полугруппы ХИГ (V).
(c) При А 6 Х& (V) пусть Е [F\ — эрмитов идемпотент,
^-эквивалентный [^-эквивалентный] элементу Л, и (в соответ-
соответствии с теоремой 2.18) пусть Ai есть инверсный к А элемент,
который ^-эквивалентен [^-эквивалентен] F [Е]. Тогда отобра-
отображение А ->- А* полугруппы ХЗГ {V) в себя обладает свойствами,
сформулированными в упражнении 7 (Ь) выше. Матрицу А*
См. § 2.5.— Прим. ред.
§ 2.4. Группа Шютценберже &6'-класса 93
можно также описать как элемент, инверсный к А в Х?Г (V)
и (^-эквивалентный матрице А*.
Замечание. Отображение А—*¦ А* было открыто Муром, кото-
который называл Ai главным обратным элементом к А. Этот элемент
является обычным обратным для А элементом, если А невырож-
невырождено. Отображение А -*- А^ было заново построено также Пен-
роузом.
Moore E. H., On the reciprocal of the general algebraic
matrix (abstract), Bull. Amer. Math. Soc, 26 A920), 394—395.
Moore E. H., General Analysis, v. I, Memoirs of the Amer.
Phil. Soc, v. 1, Philadelphia A935); см. стр. 8 и гл. 3, § 29.
Penrose R.,A generalized inverse for matrices, Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc, 51 A955), 406-413.
G r e v i 11 e T. N. E., The pseudoinverse of a rectangular or
singular matrix and its application to the solution of systems of
linear equations, SIAM Newsletter, 5 A957), № 2, стр. 3—6.
§ 2.4. Группа Шютценберже
В предыдущем параграфе мы показали, что произвольный
<27#-класс, содержащий идемпотент, является группой (теорема
Грина 2.16) и что два таких ^-класса из одного и того же .25-клас-
«а изоморфны (теорема 2.20). В этом параграфе мы изложим
результаты Шютценберже [1957а] о том, что с каждым ^-классом
Н ассоциируется некоторая группа Г (Я), даже если соответ-
соответствующий S-класс не регулярен. Если Н и Н' — два <$?-класса
из одного и того же ^-класса D, то группы Г (Н) и Г (#') изо-
изоморфны, так что Г зависит на самом деле лишь от D. Если Н —
группа, то Г (Я) ?? Н.
Пусть А — произвольное подмножество полугруппы S и Т =
= Т (А) — множество всех таких элементов t ? S1, что At s A.
Очевидно, Т есть подполугруппа полугруппы S1. Условие t ? Т
эквивалентно тому, что А инвариантно (как множество) относи-
относительно внутреннего правого сдвига р( полугруппы S1. Таким
образом, pt индуцирует преобразование yt = pt \ А множества А.
Пусть Г = Г (А) — множество всех yt, где t пробегает множество
Т (А). Очевидно, Г — полугруппа и отображение t -*¦ yt есть
гомоморфизм полугруппы Т на Г. Назовем Г (А) полугруппой
преобразований множества А, индуцированных внутренними пра-
правыми сдвигами полугруппы S1. Нас интересует случай, когда
А — Н есть Ж-кя&сс полугруппы S.
Следующая лемма непосредственно вытекает из леммы Гри-
Грина 2.2.
Лемма 2.21. Пусть Н есть 30-класс полугруппы S. Пусть
h0 6 Н и t — такой элемент полугруппы S1, что ht = hot 6 П.
94 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
Тогда h0 = hit' при некотором t' ? S1 и отображения yt: х ->¦ xt
и yt': x~> xt' суть взаимно обратные подстановки множества Я.
Таким образом, tut' принадлежат Т (Я) и ytyv — 7^* — 7i«
Если L есть Х-класс, содержащий Н, то отображения х-*- xt
и х —>¦ xt' сохраняют М-классы, взаимно обратны и взаимно одно-
однозначно отображают L на себя. Таким образом, Т (Я) = Т (Я')т
где Я' — произвольный SB-класс полугруппы S, содержащийся в L.
Напомним, что совокупность преобразований Б множества X
называется транзитивной [просто транзитивной], если для
любых двух элементов х, у ? X существует хотя бы одно [точно
одно] преобразование из 2, переводящее х ъ у.
Следующая теорема, установленная Шютценберже [1957а],
показывает, что Г (Я) является группой. Назовем Г (Я) группой
Шютценберже SB-класса Н.
Теорема 2.22. Пусть Я есть SB-класс полугруппы S. Тогда
полугруппа Г (Я) преобразований множества Я, индуцированных
внутренними правыми сдвигами полугруппы S1, является прост»
транзитивной группой подстановок множества Н. Отсюда сле-
следует, что | Г (Н) | = | Н \. Если Н — подгруппа полугруппы S,
то Г (Я) ^ Н; в этом случае Г (Н) является образом при регуляр-
регулярном представлении группы Н.
Доказательство. Пусть yt 6 Г (И), где t ? Т (Я).
Если hQ ? Н, то пх — hot ? Н и по лемме 2.21 yt имеет^двусто-
ронне обратный элемент yt' в Г (Я). Следовательно, Г (И) —
группа.
Покажем, что Г (Я) просто транзитивна. Пусть h0 и %{ —
два произвольных элемента из Я. Из ho$2hi вытекает, что hot — ht
для некоторого t ? Т (Я). По лемме 2.21 t 6 Т (Я) и hoyt = hi.
Покажем, что yt — единственный элемент из Г (Я), переводящий
h0 в h^ Предположим, что hoys — hi (т. е. hos = hi) для некоторого
s ? Т (Я). Пусть х — произвольный элемент из Я. Из xXha
вытекает, что х = yh0 для некоторого у 6 S1 и поэтому
xyt — xt = yhot = yhi — yhtf = xs = xys.
Следовательно, ys = Y*.
Предположим теперь, что Я является группой. Пусть е —
единица группы Huh — произвольный элемент из Я. В силу
предыдущего существует точно один элемент из Г (Я), переводя-
переводящий ев Л. Но 7ft переводит е в h. Таким образом, Г (Я) =
= {уь. I h ? Я} и отображение h—*¦ ул является регулярным пред-
представлением группы Я.
Рассмотрим теперь теорему, двойственную теореме 2.22. Пусть
Т' (Я) — множество всех таких элементов и ? S1, что иН S Я.
Пусть %и — внутренний левый сдвиг х -*- их полугруппы S1,
§ 2.4. Группа Шютценберже <8&-класса 95
соответствующий элементу и, и у'и = Я,и I Я. Пусть Г' (Я) —
множество всех у'и, где и ? Т' (Я). Для любых и, v ? Т (Я)
мы имеем y'uv = y'vy'u, т.е. отображение и -*-у'и есть антигомо-
антигомоморфизм 7" (Я) на Г' (Я). На основании теоремы, двойственной
теореме 2.22, Г' (Я) является также просто транзитивной группой
подстановок множества Я; назовем ее двойственной группой.
Шютценберже класса Я.
Так как каждый внутренний левый сдвиг полугруппы S ком-
коммутирует с каждым ее внутренним правым сдвигом, очевидно, что
каждый элемент группы Г" (Я) коммутирует с каждым элементом
группы Г (Я). Из следующей леммы будет вытекать тогда, что
Г' (Я) и Г (Я) антиизоморфны.
Лемма 2.23. Если Г и Г" — две просто транзитивные группы
подстановок множества Я, такие, что каждый элемент из Г
коммутирует с каждым элементом из Г", то Г и Г" антиизо-
антиизоморфны.
Доказательство. Пусть h0 — фиксированный элемент
из Я. Для каждого h ? Я существует такой единственный элемент
7 6 Г, что hQy = h, и такой единственный элемент у' ? Г', что
До^' = А. Отображение ср: 7 ->¦ у' является, очевидно, взаимно
однозначным отображением множества Г на Г'. Мы покажем,
что оно есть антиизоморфизм.
Пусть Yi. 7г 6 Г. Тогда, используя тот факт, что Yi<P и yz
коммутируют (по предположению), и тот факт, что h0 (уц>) =
= hoy' = hoy (по определению <р), мы получаем
К l(YiT«) ф! = ho (YiY«) = (*oYi) 7г =
= №0 (Yi<p)l У г = К [(Yiq>) Y«] =
= h0 [y2 (Yicp)] = (AoYa) (Yi4>) =
№o GгфI (Yi9) о [Gгф) (YiPI
Следовательно,
(YiYs) Ф = G«Ф) G1ф)-
Резюмируем полученное выше.
Теорема 2.24. Пусть Я есть SB-класс полугруппы S. Пусть
Г (Я) — группа Шютценберже класса Я, и пусть Г' (Я) — Звой-
ственная группа Шютценберже. Тогда Г (Я) и Г' (Я) суть просто
транзитивные группы подстановок множества Я, такие, что
каждый элемент из Г (Я) коммутирует с каждым элементом
из Г' (Я). Группы Г (Я) и Г' (Я) антиизоморфны.
Теорема 2.25. Пусть Н и Н' — два SB-класса полугруппы S,
содержащиеся в одном и том же ее 35-классе. Тогда Г (Я) ^ Г (Я').
Доказательство. Пусть а ? Я и Ь ? Я'. Так как
a<2Jb, существует такой элемент с ? 5, что а#с и cj?b. По лем-
лемме 2.21 Г (Яа) = Т (Яс), и для каждого t б Г (Яа) отображение
96 Гл. 2. Идеалы, и связанные с ними понятия
pt | La есть сохраняющая ^?-классы подстановка на множестве
La (=Z/0). Для произвольных s, t 6 Т (Яо) равенство ps | La =
= pt \ La выполняется тогда и только тогда, когда pg | На =
— Pt I Яо. Следовательно, отображение pt I На —*- Pt I He есть
изоморфизм Г (На) на Г (Яс). Аналогично, Г' (Яс) ^ Г' (Нь).
Дважды используя теорему 2.24, мы заключаем, что Г (На) =
et Г (Яь).
Упражнения к § 2.4
1. Пусть Н — множество, и пусть Г и Г' — просто транзитив-
транзитивные группы подстановок множества Н, такие, что каждый эле-
элемент из Г коммутирует с каждым элементом из Г'. Тогда мы можем
определить бинарную операцию (о) в Я, такую, что Я будет
группой, Г — образом регулярного представления Я, а Г' —
образом регулярного антипредставления Я. Произвольный эле-
элемент множества Я можно выбрать в качестве единицы группы
Я (о); если такой выбор сделан, то операция (о) определяется
однозначно. Обратно, если Я — группа, то образы Г и Г' соот-
соответственно регулярного представления и регулярного антипред-
антипредставления группы Я обладают отмеченными выше свойствами.
2. Пусть Я — множество, и пусть Г и Г' — такие просто
транзитивные группы подстановок на множестве Я, что каждый
элемент из Г коммутирует с каждым элементом из Г'. Пусть Т
ж Т' — не пересекающиеся с Я и между собой полугруппы.
Пусть ф — гомоморфизм полугруппы Т на Г, а ф' — антигомо-
антигомоморфизм Т' на Г'. Для произвольных к^Н,г^Тжи^Т'
положим
Ы = h (ftp), uh = h (шр').
Пусть 0 — символ, не являющийся элементом ни одного из мно-
множеств Я, Гили Т'. Положим S — Н[]Т[]Т' [] {0} и определим
произведение в S посредством таблицы
hi
h
щ
0
h2
0
0
ЩЬ,2
0
h
hh
0
0
M2
0
0
гци2
0
0
0
0
0
0
где hu h2 6 Я; tiy t% ? Т; ии щ?Т'. Тогда S есть полугруппа,
в которой Я является J^-классом с группой Щютценберже Г.
Более того, Я совпадает с S-классом D полугруппы S, содержа-
содержащим Я, и D иррегулярен; легко видеть, что D2 = 0.
§ 2.5. О-минимальные идеалы и О-простые полугруппы 97
Мы можем модифицировать предыдущие рассуждения, поло-
положив Т = Т'', что не изменит заключения.
3. Другое доказательство теоремы 2.25 базируется на следую-
следующем соображении. Пусть {Дг \ i ? 1} и {Lx | Я ? Л} — соответ-
соответственно ,5?-классы и ^-классы полугруппы S, содержащиеся
в ^-классе D. Пусть Н — Нц и Н' — На- По лемме Грина 2.2
существуют элементы ?* и <& полугруппы S1, такие, что х ->- щ\
и у —*- yqi. суть взаимно обратные взаимно однозначные и сохра-
сохраняющие „^-классы отображения Lt и Ly, друг на друга. Будем
писать у (t) вместо Yt- Ддя любого w ? Т (На) положим б (w) =
= Pw I Нц,. Тогда у (t) -> б (д^л), где t пробегает Т (Н), есть
изоморфизм группы Г (Н) на Г (На)-
4. Пусть D — регулярный <®-класс полугруппы S, и пусть Н
есть о%?-класс полугруппы S, содержащийся в D. Пусть е —
идемпотент из ^-класса, содержащего Н. Тогда Не = Т (Н) = Т.
Кроме того, Те = Т [\ Le, и Те является объединением тех
d^-классов из Le, которые являются группами; в частности,
отсюда следует, что объединение множества полугрупп в произ-
произвольном 35-классе полугруппы S либо пусто, либо является
подполугруппой; в последнем случае эта подполугруппа является
левой группой. Более того, Те — двусторонний идеал полугруп-
полугруппы Т. Будучи простой подполугруппой (а в действительности
даже.простой слева), Те не содержит строго других идеалов полу-
полугруппы Т (и поэтому является «ядром» полугруппы Т; см. § 2.5).
(Кох, не опубликовано.)
§ 2.5. ^-минимальные идеалы и ti-простые полугруппы
Как и в § 1.1, назовем полугруппу S простой [простой слева,
простой справа], если она не содержит собственных двусторонних
[левых, правых] идеалов. Мы видели в § 1.1, что полугруппа S
проста слева и справа тогда и только тогда, когда она есть группа.
Простые справа полугруппы, не являющиеся группами, изу-
изучались в § 1.11. В упражнениях к § 2.1 мы встретили ряд простых
полугрупп, которые не являются простыми справа или простыми
слева. Много других таких полугрупп встретится в этой и сле-
следующей главах, а гл. 8 будет полностью посвящена теории про-
простых полугрупп.
Двусторонний [левый, правый] идеал М полугруппы S назы-
называется минимальным [левым, правым] идеалом, если он не содер-
содержит строго других двусторонних [левых, правых] идеалов полу-
полугруппы S. Если А — другой идеал из S того же типа, что и М,
то либо 1е4, либо М П А. = 0. В частности, два различных
минимальных идеала одного тица не пересекаются. Например,
строки прямоугольной связки суть минимальные правые идеалы,
и они, очевидно, попарно не пересекаются.
7—1159
98 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия -
Так как два двусторонних идеала А и В полугруппы S всегда
содержат их произведение АВ, полугруппа S может содержать
не более одного минимального двустороннего идеала. Если S
обладает минимальным двусторонним идеалом К, то ^называется
ядром полугруппы S. Так как К содержится в каждом двусто-
двустороннем идеале из S, его можно охарактеризовать как пересечение
всех двусторонних идеалов полугруппы S. Если это пересечение
пусто, то S не имеет ядра; этот случай имеет место, например,
для бесконечной циклической полугруппы. Каждая конечная
полугруппа, очевидно, обладает ядром. По существу, алгебраи-
алгебраическая теория полугрупп началась с выяснения Сушкевичем
[1928] строения ядра (которое он называл группой-ядром) произ-
произвольной конечной полугруппы (см. приложение). Мы увидим
(следствие 2.30), что ядро полугруппы, если оно существует,
само является простой полугруппой.
Теория минимальных идеалов для полугруппы S с нулем 0
тривиальна. По этой причине и в соответствии с теорией мини-
минимальных идеалов колец мы введем понятие О-минимальности.
Двусторонний [левый, правый] идеал М полугруппы S назы-
называется 0-минималъным двусторонним [левым, правым] идеалом,
если (i) M^tO и (ii) 0 есть единственный двусторонний [левый,
правый] идеал полугруппы S, строго содержащийся в М.
Если М есть 0-минимальный двусторонний [левый, правый)
идеал полугруппы S с нулем 0, то М2 является содержащимся
в М идеалом того же типа, что и М, и поэтому должно быть либо
М2 = М, либо АР = 0. Как и в § 1.1, назовем полугруппу с нулем
0 полугруппой с нулевым умножением, если произведение любых
двух ее элементов равно 0. Следовательно, либо Мг = М, либо
М есть подполугруппа с нулевым умножением.
Очевидно, что пересечение любых двух 0-минимальных идеалов
полугруппы S равно 0.
Введем понятие 0-простоты. Полугруппа S с нулем 0 назы-
называется 0-простой [0-простой слева, 0-простой справа], если
(i) S2 Ф 0 и (ii) 0 есть единственный собственный двусторонний
[левый, правый] идеал из S.
Лемма 2.26. Пусть S — полугруппа с нулем -0, причем 0 есть
единственный собственный двусторонний идеал из S. Тогда S
либо 0-проста, либо мляется двухэлементной полугруппой с нуле-
нулевым умножением.
Доказательство. Очевидно, S2 = S или S2 = 0. В пер-
первом случае S 0-проста, так как 0 Ф S = S2. Во втором случае,
если а — произвольный отличный от нуля элемент полугруппы S,
то {0, а} есть ненулевой идеал, и поэтому {0, а} = S.
Следующая теорема показывает, что нет существенной раз-
разницы между «простой справа» и «0-простой справа» -в том смысле,
§ 2.5. О-минимальные идеалы и О-простые полугруппы 9§
что каждая 0-простая справа полугруппа получается из простой
справа полугруппы присоединением нуля. С другой стороны,
между 0-простыми полугруппами и простыми полугруппами
с присоединенным нулем имеются глубокие различия.
Теорема 2.27. Если S есть 0-простая справа [слева] полугруппа,
то S\0 — простая справа [слева] подполугруппа полугруппы 5;
Доказательство. Покажем сначала, что 5\0 является
подполугруппой полугруппы S, т. е. S не содержит собственных
делителей нуля. Предположим от противного, что a, b ? S\0,
но ab = 0. Множество всех таких х ? S, что ах = 0, является
правым идеалом полугруппы S, содержащим подмножество
{0, Ь}фО, и, следовательно, совпадает с S. Но тогда {0, а}
является ненулевым правым идеалом полугруппы S, поэтому
{0, а} = S. Но тогда S2 = 0, что противоречит определению
0-простоты справа.
Покажем, что полугруппа <5\0 проста справа. Пусть R —
произвольный правый идеал полугруппы ?\0. Тогда, очевидно,
R U 0 является правым идеалом полугруппы S. Так как R Ф 0;
то R U 0 ф 0. Следовательно, R (J 0 = S и, значит, 'R = S\0.
Пусть S — полугруппа без нуля, и пусть S° = S \] 0 —
полугруппа, полученная из S присоединением нуля (§ 1.1). Тогда
отображение А ->¦ A U 0 есть взаимно однозначное отображение
множества всех двусторонних [левых, правых] идеалов А полу-
полугруппы S на множество всех ненулевых двусторонних [левых,
правых] идеалов полугруппы S0. Это отображение сохраняет
включения, и, в частности, А является минимальным идеалом
тогда и только тогда, когда A [J 0 есть 0-минимальный идеал.
Следовательно, любая теорема о 0-минималъных идеалах влечет
за собой очевидное следствие, касающееся минимальных идеалов
полугрупп без нуля. Аналогично, любая теорема о 0-простых
полугруппах влечет за собой очевидное следствие, касающееся
простых полугрупп. Эти следствия будут выписываться явно
только тогда, когда они представляют особый интерес, как,
например, приведенное ниже следствие 2.30.
Лемма 2.28. Пусть S — такая полугруппа с нулем 0, что
S ф 0. Тогда S 0-проста в том и только в том случае, когда
SaS = S для каждого афО из S.
Замечание. Это условие, конечно, эквивалентно тому, что
для любых а, Ъ ? S при а Ф 0 уравнение хау = Ъ всегда раз-
разрешимо в S относительно х и у. .
Доказательство. Предположим, что полугруппа S
0-проста. Пусть В — множество всех таких элементов Ъ ? S, что
SbS = 0. Очевидно, В — идеал полугруппы S, и, следовательно
либо В — S, либо В = 0. В первом случае S3 = 0, что невоз»
7*
100 Гл. 2. Идеалы, и связанные с ними понятия
можно, так как S* = S, откуда S3 = S2 = S. Следовательно,
В = 0 и мы заключаем, что SaS Ф 0 для каждого а Ф 0 из S.
Но SaS есть ненулевой идеал полугруппы S, поэтому SaS = S.
Обратно, предположим, что SaS == S для каждого аф 0 аз S.
Пусть А — ненулевой идеал полугруппы S, и пусть а — нену-
ненулевой элемент из А. Тогда S = SaS s SAS ? А, т. е. А — S.
Так как S Ф 0 по предположению, 5 содержит элемент о Ф 0.
Из включения 5 = SaS s ?2 вытекает, что S* Ф 0, и, следова-
следовательно, полугруппа S 0-проста.
Остальные результаты этого параграфа принадлежат Клиф-
Клиффорду [1949].
Теорема 2.29. Пусть М есть 0-минималъный (двусторонний)
идеал полугруппы S с нулем 0. Тогда либо М2 — 0, либо М является
0-простой подполугруппой в S.
Доказательство (Манн). Предположим, что М2 Ф 0.
Тогда, как отмечено выше, АР — М. Пусть а ? М, а Ф 0. Так
как S^S1 есть ненулевой идеал полугруппы S, содержащийся
в М, то S^S1 — М. Следовательно, М = Л/f = MS1aS1M s
S MaM ? М. Отсюда МаМ = М, и полугруппа М 0-проста
по лемме 2.28.
Следствие 2.3,0. Если полугруппа S содержит ядро К, то
К—простая подполугруппа из S.
Лемма" 2.31. Если L — такой 0-минималъный левый идеал
полугруппы S с нулем 0, что L2 Ф 0, то L — Sa для любого эле-
элемента а Ф 0 из L.
Доказательство. Очевидно, что Sa есть левый идеал
полугруппы S, содержащийся в L. Если Sa = 0, то {0, а} являет-
является ненулевым левым идеалом полугруппы S, содержащимся в L,
так что {0, а} = L. Но тогда L2 = 0, а это противоречит пред-
предположению. Следовательно, Sa Ф 0 и поэтому Sa = L.
Замечание. В противоположность ситуации для 0-минималь-
ных двусторонних идеалов 0-минимальный левый идеал L,
для которого L2 Ф 0, не обязательно должен быть 0-простой слева
полугруппой и даже не обязательно 0-простой полугруппой.
В качестве примера укажем полугруппу из упражнения 2 к § 1.2,
где положим L = {0, /, а}.
Лемма 2.32. Пусть L есть 0-минималъный левый идеал полу-
полугруппы S с нулем 0, и пусть с ? S. Тогда Ьс либо равно 0, либо
является 0-минималъным левым идеалом полугруппы S.
Доказательство. Предположим, что Lc Ф 0. Оче-
Очевидно, Lc — левый идеал полугруппы S. Покажем, что он О7МИНИ-
мален. Пусть А — левый идеал полугруппы S, содержащийся
§ 2.5. О-минималъные идеалы и О-простые полугруппы 101
в Lc, & В — множество всех таких элементов Ь ? L, что be ? А.
Тогда Scsi. Так как каждый элемент из А имеет вид хс при
некотором х ? L и каждый такой элемент а; принадлежит 5, то
5с = А г Если 6 ? В и s ? 5, то she ? sA s Л и sb ? sL s ?.
Следовательно, sb ? В,- откуда вытекает, что В — левый идеал
полугруппы S. Ввиду О-минимальности идеала L либо В = О,
либо В = L, и соответственно либо А = 0, либо Л = ?с. -
Теорема 2.33. Пусть S — полугруппа с нулем О Ч* М — ее
О-минималъный идеал, содержащий хотя бы один О-минималъный
левый идеал из S* Тогда М есть объединение всех О-минимальных
левых идеалов полугруппы S, содержащихся в М.
Доказательство. Пусть А — объединение всех О-ми-
О-минимальных левых идеалов полугруппы S, содержащихся в М.
Покажем, что А = М. Очевидно, А — левый идеал полугруп-
полугруппы S. Покажем, что А есть также и правый идеал. Пусть а 6 А,
с ? S. По определению А, очевидно, а ? L, где L есть О-мини-
мальный левый идеал полугруппы S, содержащийся в М.
По лемме 2.32 Lc = 0 или Lc есть О-минимальный левый идеал
из S. Легко видеть, что Lc s Me s M и поэтому Lc s А. Следо-
Следовательно, ас ? А; АфО, так как М содержит хотя бы один
О-минимальный левый идеал из S.
Следовательно, А — ненулевой двусторонний идеал полу-
полугруппы S, содержащийся в М, откуда А = М ввиду О-минималь-
О-минимальности идеала М.
Лемма 2.34. Если М — такой ^минимальный идеал полу-
полугруппы S с нулем О, что М2 ф 0, и L — ненулевой левый идеал
из S, содержащийся в М, то L2 Ф 0.
Доказательство. Так как LS — идеал полугруппы S,
содержащийся в М, должно быть либо LS = 0, либо LS = М.
Если LS = 0, то L — идеал полугруппы S, откуда L — Мт\ поэто-
поэтому М% = LM s LS = 0, что противоречит предположению. Сле-
Следовательно, LS = М и из соотношений М = М2 = LSLS s
= L2S вытекает, что L2 ф 0.
Теорема 2.35. Пусть М — такой О-минималъный левый идеал
полугруппы S с нулем 0, что М2 Ф 0. Предположим, что М содер-
содержит хотя бы' один 0-минималъный левый идеал полугруппы S.
Тогда каждый левый идеал из М является также левым идеалом в S.
Доказательство. Пусть L — ненулевой левый идеал
из М и а 6 Ь\0. Тогда Ма Ф 0. В самом деле, полугруппа М
0-проста по теореме 2.29, поэтому МаМ — М по лемме 2.28.
По теореме 2.33 существует такой 0-минимальный левый идеал
Lo полугруппы S, что а 6 Lo s М. Так как Ма — ненулевой
левый идеал полугруппы S, содержащийся в Lo, мы заключаем,
102 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
что Ма = Lo и, в частности, а ? Ма. Следовательно, L =
'= U {Ма | а ? L}. Но объединение левых идеалов полугруппы 5
является левым идеалом в S.
Замечание. Неизвестно, выполняется ли теорема 2.35 без
предположения о том, что М содержит хотя бы один 0-мини-
мальный левый идеал полугруппы S А). Очевидно, для выполне-
выполнения утверждения теоремы достаточно предположить, что а ? Ма
при любом а ? М.
Упражнения к § 2.5
1. Пусть S — полугруппа с нулем 0. Тогда S будет 0-проста
слева и 0-проста справа в том и только в том случае, когда она
есть группа с нулем.
2. Минимальный левый идеал полугруппы S является простой
слева подполугруппой полугруппы S.
3. Пусть S — простая полугруппа (без нуля), содержащая
идемпотент е и хотя бы один минимальный левый идеал.
(a) S есть объединение своих минимальных левых идеалов.
(b) Минимальный левый идеал L полугруппы S, содержа-
содержащий е, является левой группой, и eL — группа (см. теорему 1.27).
(c) eS есть минимальный правый идеал полугруппы S.
(Шварц [1951].)
Упражнения 4—7 взяты из работы Клиффорда и Миллера
[1948]. Элемент и полугруппы S называется ее левым [правым]
зероидом, если для каждого а ? S существует такое х ? S, что
ха = и [ах — и], т. е. и ? Sa [и ? aS]. Элемент полугруппы S
называется зероидом, если чон есть и левый и правый зероид.
4. Полугруппа S содержит левый зероид тогда и только тогда,
когда она обладает таким левым идеалом L, который содержится
в любом ее левом идеале. В этом случае L состоит из всех левых
зероидов полугруппы S. По лемме 2.32 L является также правым
идеалом и поэтому ядром полугруппы S.
5. Если полугруппа S содержит подгруппу G, являющуюся
идеалом в S, то G есть ядро в S и состоит из всех зероидов полу-
полугруппы S 2).
6. Если полугруппа S содержит зероид, то каждый левый
зероид является также и правым зероидом и наоборот, а множество
всех зероидов из S есть ядро полугруппы S, Более того, К проста
как слева, так и справа и потому является подгруппой полу-
полугруппы S.
7. Пусть S — полугруппа с группой зероидов К. Тогда еди-
единица е группы К коммутирует с каждым элементом из S, и рто-
х) Отрицательный ответ на этот вопрос получен Кларком [1965].—Прим.
ред.
2) Такая полугруппа называется гомогруппой.— Прим. ред.
? 2.6. Главные факторы полугруппы 103
бражение х -*¦ ех из S на К есть гомоморфизм S на К, оставляю-
оставляющий элементы из К на месте. (Если S — топологическая полу-
полугруппа, то К есть гомоморфный ретракт полугруппы S.)
(См. также Сушкевич [1937], гл. 3, § 28, теорема 5.)
8. (а) Пусть S — полугруппа, содержащая точно один идем-
потент е. Тогда е является левым зероидом полугруппы S в том
и только в том случае^когда он есть правый зероид, и в этом слу-
случае Нв ерть группа зероидов полугруппы S. (Тамура [1954b].)
(b) Пусть S — конечная полугруппа, содержащая точно один
идемпотент е. Тогда Не есть группа зероидов полугруппы S
и Sn = Не при некотором положительном целом числе п.
{Тамура [1954а], где строение полугруппы S полностью описано
при п = 2.)
9. (а) Если 0-простая полугруппа не содержит ненулевых
нильпотентных элементов х), то она не содержит собственных
делителей нуля.
(Ь) Пусть М — максимальный собственный двусторонний
идеал полугруппы S. Тогда М вполне изолирован (т. е. S\M
является подполугруппой полугруппы S) в том и только в том
случае, когда М изолирован (т. е. хг 6 М влечет за собой х ? М;
см. § 4.1). (Гримбл [1950].)
§ 2.6. Главные факторы полугруппы
В этом параграфе мы дадим общее определение главных факто-
факторов произвольной полугруппы S и покажем (теорема 2.40), что
они изоморфны факторам любого главного ряда полугруппы S,
"если таковой существует. Это определение и теорема принадлежат
Грину [1951].
Полугрупповой аналог теоремы Жордана — Гёльдера — Шрей-
ера был сформулирован и доказан Рисом [1940]. Мы сформу-
сформулируем его без доказательства, так как нам не представится
возможность использовать его в этой книге.
Начнем с аналогов двух теорем об изоморфизмах из теории
групп 2).
Теорема 2.36. Пусть J — идеал, а Т — подполугруппа полу-
полугруппы S, причем J П Тф 0. Тогда J [\ Т — идеал в Т, J \J T —
подполугруппа полугруппы S и
(J U T)/J s& T/(J П Т).
у) Элемент полугруппы с нулем называется нилъпотентным, если неко-
некоторая его степень равна нулю.— Прим. ред.
2) Теоремы 2.36 и 2.37, как и Соответствующие теоремы теории групп,
являются частными случаями так называемых второй и третьей теорем об
изоморфизмах, см. К о н П. Универсальная алгебра, М., 1968.— Прим. ред.
104 Гл. 2. Идеалы и свяаанные с ними понятия
Доказательство. Так как
(/ и ГJ = /2 U JT U TJ U Т* = J U Т,
то / U Т — подполугруппа полугруппы S, Очевидно, что J (] Т ~-
идеал в Г и что / — идеал в J [} Т. Следовательно, фактор-
полугруппы Риса (/ U T)/J и T/(J Q Т) определены. Обозначим
их нули через 0 и 0' соответственно. Тогда
\J [) Т)/J =[(J [} Т)\ J] [) 0 = (T\J) [H, .
T/(J{] T) = [T\(J(] T)] [}0'=(T\J) U0'.
Следовательно, обе рассмотренные факторполугруппы Риса состо-
состоят из всех элементов подполугруппы Т, не принадлежащих /,
и нулей х). Они не только изоморфны, но даже совпадают, если
мы отождествим их нули.
Теорема 2.37. Пусть J — идеал полугруппы S, и пусть 0 —
гомоморфизм S на факторполугруппу Риса S/J. Тогда 9 инду-
индуцирует взаимно однозначное отображение, сохраняющее включения,
А -^ AQ = AIJ, множества всех идеалов А полугруппы S, содер-
содержащих J, на множество всех идеалов полугруппы S/J и
(SIJ)I(AIJ) ~ SIA.
Доказательство. Пусть S/J — (S\J) (J 0. Тогда
AQ = AIJ = (A\J) U 0. Так как 0 — гомоморфизм, AQ есть
идеал полугруппы S/J. Если Q — произвольный идеал полу-
полугруппы SIJ, то А = QQ'1 есть идеал полугруппы S, содержащий
/ (=08), и, очевидно, AQ = Q., Если /еА cz В, где А и В —
идеалы полугруппы S, то A\J cz B\J, откуда (присоединяя
нуль 0 с обеих сторон) получаем A/J s BIJ. Следовательно,
отображение А -> .49 = AIJ есть отображение на множеств»
всех идеалов полугруппы S и оно сохраняет строгие включения,
т. е. оно взаимно однозначно.
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть А — идеал
полугруппы S, содержащий /. Пусть 0' и 0" — нули рассмат-
рассматриваемых факторполугрупп Риса. Тогда
(S/J)I(AIJ) = l(S/J)\(A/J)} U 0',
SIA = (S\A) U 0".
Так как (SIJ)\(AlJ) = S\A, эти две факторполугруппы не толь-
только изоморфны, но (как и в теореме 2.36) по существу совпадают.
Пункт (i) следствия 2.38 непосредственно вытекает из тео-
теорем 2.37 и 2.29; -пункт (ii) — из теоремы 2.37 и леммы 2.26.
*) Строго говоря, это сказано неточно: ненулевыми элементами, напри-
например, факторполугруппы (/ (J Т)М являются одноэлементные подмножества,
а не элементы из S. Аналогичная допустимая вольность, имеется и в дока-
доказательстве теоремы 2.37.— Прим. ред.
§ 2.6. Главные факторы полугруппы, 105-
Следствие 2.38. (i) Если J и J' — идеалы полугруппы S и J с
сг /', то J максимален в J' (в том смысле, что не существует
идеала полугруппы S, лежащего строго между ними) тогда и толь-
только тогда, когда J'/J есть О-минимальный идеал в S/J. В этом
случае J'/J — либо 0-простая полугруппа, либо полугруппа с нуле-
нулевым умножением.
(и) Идеал J полугруппы S является максимальным (собствен-
(собственным) идеалом полугруппы S тогда и только тогда, когда полу-
полугруппа S/J не имеет собственных ненулевых идеалов, следовательно,
тогда и только тогда, когда S/J либо 0-проста, либо есть двух-
двухэлементная полугруппа с нулевым умножением.
Заметим, что в случае, когда /' ф S, факторполугруппа
J'/J может быть полугруппой с нулевым умножением, содержа-
содержащей более двух элементов (см. упражнение 3 ниже).
Пусть а — элемент полугруппы S. Как и в § 2.1, мы обозна-
обозначаем через / (а) главный идеал <S1a<S1 полугруппы S, порожденный
элементом а, и через /о — ^-класс, содержащий а, т. е. мно-
множество элементов, каждый из которых порождает / (а). Пусть
/ (а) состоит из всех тех элементов идеала / (а), которые не порож-
порождают J (а), т. е. I (a) = J (a)\Ja. Если / (а) непусто, то / (а) —
идеал в S. В самом деле, предположим, что Ъ 6 / (а) и с ? S.
Тогда be ? J (а), так. как b ? J (а) и / (а) есть идеал. Так как
/ (be) ? / (Ь) сг / (а), мы заключаем, что be ? I (а). Аналогично,
сЪ 6 / (а).
I (а), будучи идеалом полугруппы S, является, в частности,,
и идеалом полугруппы / (а). Каждая факторполугруппа Риса
/ (аI1 (а), где а ? S, называется главным фактором полугруппы S..
Примем соглашение: если Т — произвольная полугруппа; то под>
Т/0 будем понимать само Т.
Лемма 2.39. Каждый главный фактор произвольной полу-
полугруппы S либо 0-прост, либо прост, либо является полугруппой
с нулевым умножением. Лишь в случае, когда S имеет ядро, суще-
существует простой главный фактор, и в этом случае ядро есть един-
единственный простой главный фактор. ¦
Доказательство. Пусть S — полугруппа и а ? S^
Покажем^ сначала, что идеал I (а) максимален в J (а). В самом
деле, предположим, что В есть такой идеал полугруппы S, что-
/ (а) с: В Е / (а). Пусть Ь 6 В\1 (а). Тогда Ъ б / (а)\1 (а) =
= Ja, т. е. J (Ь) — J (а). Но / (Ь) s В и поэтому В — J (a).
Если I (а) пусто, то предыдущие рассуждения показывают,
что идеал / (а) минимален в S и поэтому должен быть ядром полу-
полугруппы S, которое является простым по следствию 2.30. Если
I (а) Ф 0. то / (аI1 (а) есть либо 0-простая полугруппа, либо,
полугруппа с нулевым умножением по следствию 2,38.
106 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
Главным рядом полугруппы S называется цепь
S = Si r> 52 =э . . . =э Sm =э Sm+1 = 0 A)
«е идеалов 5г (i = 1, . . ., то), начинающаяся с «S и заканчи-
заканчивающаяся лустым множеством, и такая, что не существует идеала
полугруппы S, лежащего строго между St и St+i (i = 1, . . ., т).
¦Факторами главного ряда A) называются факторполугруппы
Риса St/Si+i (i = 1, . . ., т). По следствию 2.38 (i) полугруппа
StISi+i является либо 0-простой (простой при i = то) полугруп-
полугруппой, либо полугруппой с нулевым умножением.
Теорема 2.40. Пусть S — полугруппа, обладающая главным
рядом A). Тогда факторы ряда A), взятые в некотором порядке,
изоморфны главным факторам полугруппы S. В частности, фак-
факторы любых двух главных рядов полугруппы S изоморфны. Послед-
Последний член любого главного ряда полугруппы S является ядром полу-
зруппы S.
Доказательство. Рассмотрим один из факторов St/Si+1
главного ряда A). Пусть а ? S-t\Si+1. Очевидно, / (a) U Si+1
¦есть идеал полугруппы S, лежащий между Si+i и Si и строго
•содержащий <S{+1, так как а (| St+i. Следовательно, / (а) [}
U Si+i = St.
Пусть Ь ?7 (а). Тогда Ъ ? Si+i, так как в противном случае
мы имели бы (как и для a) J (Ъ) [} Si+l — St, откуда а 6 / (Ь),
что противоречит условию Ь ? / (а). Следовательно, / (a) s Si+i.
С другой стороны, если с ? / (а) f) Si+t, то / (с) s Si+i;
следовательно, J (с) Ф J (а), т. е. с ? / (а). Мы заключаем, что
I(a) = J (а) П Si+i.
По теореме 2.36
/ (а)/(/ (а) П St+t) sc (/ (а) U Si+l)/Si+l.
Но левый фактор равен / (а)/1 (а), а правый фактор — Si/Si+i.
Мы заключаем, что полугруппа Si/Si+i изоморфна главному фак-
фактору / {аI1 (а).
Более того,
Ja = J (a)\I (a) = (J (a) \j Si+i)\(I (a) [} Si+i) = St\St+l.
Следовательно, если а' ? Si\Si+i, то / (а') = / (а), т. е. главный
фактор / (а)Ц (а), соответствующий фактору St/Si+i, не зависит
от выбора элемента а из SiXiS1^!. С другой стороны, если а —
произвольный элемент полугруппы S, то должно существовать
такое i (I ^ i < т), что а ? St и а ($ Si+1, так как а ? St
•я а § Sm+i. Следовательно, отображение Si/Si+i -> / (a)II (a)
есть взаимно однозначное отображение факторов ряда A) на мно-
множество главных факторов полугруппы S. Последнее утверждение
теоремы следует из последнего утверждения леммы 2.39.
§ 2.6. Главные факторы полугруппы 107
Этим заканчивается доказательство теоремы 2.40. Приведем
схему для иллюстрации отношений включения между множе-
множествами St, Si+i, J (а), I (а) и /„, где а 6 St\Si+1:
St ¦
Si+t
J(a)
I (a)
Ja
Цепь A) подмножеств St полугруппы S называется идеальным
рядом *) полугруппы 5, если каждое Si+t есть идеал в Si (i =
= 1, . . ., т — 1); факторполугруппы Риса 5,/<S-+1 (i = 1, ...
. . ., т) называются факторами этого ряда. Два идеальных ряда
называются изоморфными, если изоморфны их факторы, взятые
в некотором порядке. Говорят, что один идеальный ряд является
уплотнением другого идеального ряда, если каждый член вто-
второго ряда есть также член и первого ряда. Идеальный ряд назы-
называется композиционным рядом, если он не обладает собственными
уплотнениями. Ввиду следствия 2.38 (И) каждый фактор ком-
композиционного ряда A) есть либо ,0-простая полугруппа, либо
двухэлементная полугруппа с нулевым умножением, кроме
последнего фактора Sm/0 = Sm, который всегда является про-
простой полугруппой (Sm — ядро полугруппы S).
Полугрупповой аналог теоремы Шордана — Гёльдера —
Шрейера утверждает, что для любых двух идеальных рядов .полу-
.полугруппы S имеются изоморфные уплотнения', в частности, все
композиционные ряды полугруппы S изоморфны. Это утверждение
было доказано Рисом [1940] с использованием методов Цассен-
хауза. Поскольку мы имеем две теоремы об изоморфизмах B.36
и 2.37), доказательство этого утверждения (которое мы опускаем)
аналогично доказательству соответствующего утверждения в тео-
теории групп 2).
Назовем полугруппу S полупростой, если каждый ее главный
фактор 0-прост или прост.
Теорема 2.41. Каждый идеал произвольного идеала полупростой
полугруппы S является идеалом полугруппы S.
Доказательство. Пусть S — полупростая полугруп-
полугруппа, А — идеал в S, а В — идеал в А. Тогда ABA есть идеал
полугруппы S, содержащийся в В. Если ABA —В, то В —
х) В оригинале «relative ideal series».— Прим, перев.
«) О теореме Жордана — Гёльдера — Шрейера в универсальных алгеб-
алгебрах см. в обзоре Ti M. Б а р а н о в и ч, Универсальные алгебры, Итоги
науки (Алгебра, Топология, Геометрия, 1966), М., 1968.— Прим. ред.
108 Гл. 2. Идеалы и связанные е ними понятия
идеал в S, что и утверждается теоремой. Покажем, что предполо-
предположение ABA cr В приводит к противоречию.
Пусть b ? В\АВА. Так как по условию S полупроста, глав-
главный фактор / {Ъ)!1 (Ь) 0-прост или прост и поэтому
(/ (Ь)Ц (Ъ)У = / (Ъ)/1 (Ь).
Следовательно,
/ (ЬK U / (Ь) = / (Ъ).
Легко видеть, что
другими словами,
/ (ЬK s / (Ь) bj (Ъ).
Кроме того, / (b) s А и Ъ ? 5. Следовательно,
Отсюда вытекает, что
j{b)^j (ь)« и / (ь) = ^^ и / (ь).
Мы пришли к противоречию, так как Ь 6 / (Ь) и Ь ^ .4Я4 (J I (b).
Следующее утверждение, непосредственно вытекающее из тео-
теоремы 2.41, принадлежит Манну [1955b].
Следствие 2.42. Члены любого идеального ряда полупростой
полугруппы S являются идеалами полугруппы S. В-<частности,
в полупростой полугруппе не существует различия между глав-
главными рядами и композиционными рядами.
Упражнения к § 2.6
1. Пусть Т — полная полугруппа преобразований &'х конеч-
конечного множества X из п элементов.
(a) Каждый идеал в Т является главным.
(b) Полугруппа Т имеет один и только один главный ряд
Т - Тп => Гп_! =э . . . => 7i => То = 0s
где Тт состоит из всех элементов, ранг которых ^г (г = 1, ...
. . ., га) (см. теорему 2.9).
(с) Полугруппа Т полупроста.
2. Если полугруппа S имеет композиционный ряд, то она
имеет также и главный ряд. (Манн [1955а].)
3. Следующая полугруппа S обладает главным рядом, но не
имеет композиционных рядов. Пусть S = А [) В (J {0}, где А —
бесконечная циклическая группа, порожденная элементом а.
В ={..., Ь_2, Ъ_и Ъо, Ьи Ъ2, . . .},
§ 2.7. Вполне О-простые полугруппы, 109
и произведение в S определено следующим образом (i, j 4- произ-
произвольные целые числа):
albj = bi+j, Ь}а1 = btbj = 0
и 0 — нуль полугруппы S. (Манн [1955а].)
4. (а) Если А — идеал полугруппы S и В — такой идеал
полугруппы А, что Вг = В, то В — идеал полугруппы S.
(Кармен [1949].)
(Ь) Если St — член идеального ряда полугруппы S и S* = St,
то Si — идеал полугруппы S. (Манн [1955b].)
5. Пусть S — полугруппа, обладающая композиционным
рядом. Тогда каждый простой и каждый О-простой главные фак-
факторы полугруппы S являются также композиционными факторами
и наоборот. Точнее, пусть . . . о St гэ Si+i гэ . . . — часть глав-
главного [композиционного] ряда полугруппы S, такая, что Si/Si+i
проста или 0-проста. Тогда Si\Si+i является ^-классом полу-
полугруппы S и существует композиционный [главный] ряд полу-
полугруппы б1 с такой частью . . . Э Г; D T)+i ГЭ . . ., ЧТО Tj\T]+i —
i\t+i
6. Если полугруппа S обладает главным рядом и А есть произ-
произвольный идеал полугруппы S, то существует главный ряд полу-
полугруппы S, членом которого является А,
7. (а) Полугруппа S полуцроста тогда и только тогда, когда
А2 = А для каждого ее идеала А.
(Ь) Пусть А — идеал полугруппы S. Тогда S полупроста
в том и только BvTom случае, когда А и SIA полупросты, (Манн
Л955Ы.)
§ 2.7. Вполне 0-простые полугруппы
Пусть Е — множество идемпотентов полугруппы S. Если
¦е, f ? Е, то положим е ^ / тогда и только тогда, когда ef = fe = e.
В § 1.8 было установлено, что отношение ^ есть отношение частич-
частичного порядка на Е. Если S содержит нуль 0, то 0 ^ е для каж-
каждого е ? Е. Идемпотент / полугруппы S называется примитивным,
если / Ф 0 и если е ^ / влечет за собой е — 0 или е = / (это
обычное определение примитивного идемпотента, если S является
кольцом).
Вполне простой [0-простой] полугруппой называется прос-
простая [0-простая] полугруппа, содержащая примитивный идемпо-
идемпотент.
Например, любая конечная простая Ю-простая] полугруппа
вполне проста [0-проста]. В самом деле, S должна содержать
идемпотент (§ 1.8), так что Еф 0. Далее, Е -ф 0, так как в про-
противном случае каждый элемент из S нильпотентен, а следова-
110 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
тельно (поскольку S конечна), нильпотентна *) и сама полугруппа
S, что противоречит равенству S2 — S. Ясно, что конечное
частично упорядоченное множество Е\0 содержит минимальный
элемент, который и будет примитивным идемпотентом.
Мы покажем в этом параграфе (теорема 2-48), что 0-простая
полугруппа S вполне 0-проста тогда и только тогда, когда S
содержит хотя бы один 0-минимальный левый идеал и хотя бы
один 0-минимальный правый идеал. Мы покажем также (теоре-
(теорема 2.51), что вполне 0-простая полугруппа S 0-бипроста, т. е.
5\?> является ^-классом полугруппы S. Результаты этого пара-
параграфа касаются 0-минимальных односторонних идеалов вполне
0-простой полугруппы S и S-строения полугруппы S. Полное
описание всевозможных вполне 0-простых полугрупп, которое
будет дано в теореме Риса 3.5, является одной из главных целей
следующей главы.
Напомним снова замечание, сделанное в § 2.5, что результаты
этого параграфа применимы к вполне простым полугруппам (для
этого достаточно к S присоединить нуль).
Лемма 2.43. Если L есть 0-минималъный левый идеал полу-
полугруппы S с нулем 0, то L\0 является Х-классом полугруппы S.
Доказательство. Пусть а ? L\0. Тогда либо Sa = L,
либо Sa = 0. Если Sa — L для каждого а 6 ?\0, то S*a = S^-b
для любых а, Ь g Z/\0, так что L\Q E Ьа. Если с ? La, то
с ? iS^a = L, так что La s L\0. Следовательно, L\0 совпадает
с ^-классом La.
Предположим, что Sa = 0 для некоторого а ? L\0. Тогда
{0, а} — ненулевой левый идеал полугруппы S, содержащейся
в L, откуда L = {0, а). Тогда Sxa = L и Slx = S*a влечет за собой
х *= а. Следовательно, и в этом случае L\0 = {a} = La.
Лемма 2.44. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая
0-минималъный левый идеал и 0-минимальный правый идеал.
Тогда каждому 0-минималъному левому идеалу L полугруппы S
соответствует хотя бы один такой 0-минималъный правый идеал
R полугруппы S, что LR Ф 0.
Доказательство. Заметим, что LS есть (двусторонний)
идеал полугруппы S, и поэтому LS — S или LS — 0. Если LS =
= 0, то L2 = 0, что противоречит лемме 2.34. Следовательно,
LS — S. В частности, Ьс Ф 0 для некоторого с ? S. Пб теореме,
двойственной к теореме 2.33, S является объединением 0-мини-
мальных правых идеалов. Следовательно, с ? R для некоторого
0-минимального правого идеала R полугруппы S и, очевидно,
LR Ф 0.
г) Полугруппа с нулем 0 называется пилъпотентной, если 5™ = 0 для
некоторого п.— Прим. ред.
§ 2.7. Вполне О-простые полугруппы lit
Лемма 2.45. Йусть L есть ^-минимальный левый идеал О-про-
стой полугруппы S, и пусть а ? L\0. Тогда Sa = L,
Доказательство. Так как Sa — левый идеал полу-
полугруппы S, содержащийся в L, то Sa = 0 или Sa = L. Случай
Sa = О противоречит лемме^2.28.
Лемма 2.46. Пусть S есть 0-простая полугруппа, L и R —
такие ее О-минимальные соответственно левый и правый идеалы ,.
что LR ф 0. Тогда (i) LR = S, (ii) RL — группа с нулем,
(Ш) RL — R П L. Пусть е — единица группы RL\0. Тогда
(iv) R = eS, L — Se и RL = eSe, (v) e — примитивный идемпо-
тент полугруппы S. .
Доказательство, (i) Так как LR — ненулевой дву-
двусторонний идеал 0-простой полугруппы S, то LR = S. _
(ii) Из равенства S = S2 = LRLR следует, что RL Ф 0.
Покажем, что RL есть группа с нулем. Для этого достаточно
установить, что RLa = aRL = RL для любого элемента а Ф 0
из RL. Пусть а 6 RL\0. Тогда а 6 Д\0 и поэтому aS = R
по лемме, двойственной лемме 2.45. Из S = LR = LaS следует,
что La Ф 0. Таким образом, La — ненулевой левый идеал полу-
полугруппы «S, содержащийся в L (так как а 6 L) и потому La = L.
Следовательно, RLa = RL. Двойственным образом доказывается
равенство aRL — RL.
(iii) Пусть е — единица группы RL\0. По лемме 2.43;
(i?\0) f| (L\0) есть с$?-класс полугруппы S. Он содержит идем-
потент е и поэтому на основании теоремы Грина B.16) являет-
является группой. Следовательно, R {] L — группа с нулем. Если
а ? R Г) L, то а = ае ? RL, так как а 6 R и е 6 L. Таким образом,.
R Г) L s RL. Обратное же включение очевидно.
(iv) Так как е ? Z/\03 из леммы 2.45 вытекает, что Se = L.
Двойственно, eS = R, откуда RL = eSSe = eSe.
(v) Предположим, что / есть такой идемпотент в S, что / ^ е>
Тогда / ? e<Se. Но ввиду (iv) имеем eSe = RL, причем RL —
группа с нулем на основании (ii). Так как идемпотентами группы
с нулем являются лишь единица и нуль, / = е или / = 0, т. е..
е — примитивный идемпотент.
Лемма 2.47. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа и е —
ее примитивный идемпотент. Тогда L = Se и R = eS суть-
0-минималъные левый и правый идеалы полугруппы S соответ-
соответственно, причем RL (= eSe = R f| L) есть группа с нулем, еди-
единицей которой является е.
Доказательство. Покажем, что идеал R = eS 0-ми-
нимален. Сначала заметим, что R Ф 0, так как е ? R. Пусть А —
ненулевой правый идеал полугруппы S, содержащийся в (/?,
и пусть а ? .4\0. Так как а ? eS, имеем еа — а. Так как S 0-про-
'12 Гл. 2. Идеалы ц связанные с ними понятия
ста и а Ф 0, имеем SaS — S (лемма 2.28), и поэтому существуют
такие х', у' 6 S, что х'ау' = е. Полагая х = ех'е и у = у'е,
получаем
хау = е, ех = хе = х, уе = у.
Полагая / = аг/х, получаем
Р = ау (хау) х = ауех = аух = /,
ef = (еа) ух = аух = /,
fe — ay (хе) = аух = /.
Далее,
е = ег = х (аух) ау = xfay
и поэтому / Ф 0. Таким образом, / — ненулевой идемпотент,
меньший или равный е. По предположению е примитивен, так что
/ = е и тогда е = аух ? а?, откуда R = е? s a<S2 s ^1. Итак,
^1 = R, т. e. j?? О-минимален.
Двойственно мы можем доказать, что идеал L О-минимален.
Так как LR = SeS = S Ф 0, из леммы 2.46 следует, что RL —
группа с нулем. Так как е ? eSe = eS2e = i?L и е Ф 0, легко
видеть, что е есть единица полугруппы RL.
Следующая теорема принадлежит Клиффорду [1949].
Теорема 2.48. Пусть S есть 0-простая полугруппа. Тогда S
вполне 0-проста в том и только в том случае, когда она содержит
хотя бы один 0-минималъный левый идеал и хотя бы один 0-мини-
мальный правый идеал.
Доказательство. Если 5 вполне 0-проста, то она
•содержит примитивный идемпотент е. По лемме 2.47 L = Se
и R = eS суть 0-минимальные соответственно левый и правый
идеалы полугруппы S.
Обратно, предположим, что S содержит хотя бы один 0-мини-
1мальный левый идеал и хотя бы один 0-минимальный правый
идеал. Пусть L есть 0-минимальный левый идеал полугруппы S.
По лемме 2.44 существует такой 0-минимальный правый идеал R
полугруппы S, что LR Ф 0. Тогда из леммы 2.46 (v) следует, что
S содержит примитивный идемпотент, и поэтому S вполне
0-проста.
Следствие 2.49. Вполне 0-простая полугруппа является объеди-
объединением своих 0-минимальных левых [правых] идеалов.
Доказательство. Это утверждение есть непосред-
непосредственное следствие теорем 2.48 и 2.33.
Следующее утверждение принадлежит Ричу [1949].
Следствие 2.50. Пусть М — такой 0-минималъный идеал
полугруппы S, что М2 Ф 0. Предположим, кроме того, что М
§ 2.7. Вполне О-простые полугруппы. 113
содержит хотя бы один О-минималъный левый идеал полугруппы S
и хотя бы один ее О-минималъный правый идеал. Тогда М —
вполне О-простая подполугруппа из S.
Доказательство. По теореме 2.29 М есть О-простая
подполугруппа полугруппы S. По теореме 2.35 О-минимальный
левый [правый] идеал полугруппы S, содержащийся в М, является
также О-минимальным левым [правым] идеалом полугруппы М.
Тогда в силу теоремы 2.48 М вполне 0-проста.
Рич также установил, что верно утверждение, обратное к след-
следствию 2.50. Оно приведено в упражнении 6 к настоящему пара-
параграфу.
Следующая теорема принадлежит Грину [1951].
Теорема 2.51. Вполне О-простая полугруппа 0-бипроста и регу-
регулярна.
Доказательство. Пусть S — вполне О-простая полу-
полугруппа. Пусть а и Ъ — ненулевые элементы из S. Покажем, что
аЗЬ. По следствию 2.49 а принадлежит некоторому О-минималь-
ному левому идеалу L полугруппы S и Ъ принадлежит некоторому
О-минимальному правому идеалу R полугруппы S. По лемме 2.45
L = Sa и R = bS. По лемме 2.43 и двойственной к ней лемме
La = L\0 и Rb = R\0. Из того, что а ? L и Ъ ? R, вытекает
включение bSa s R П L. Так как полугруппа S 0-проста
и а Ф 0, b Ф 0, то SaS = S и SbS = S. Следовательно,
S = S2 = SbSSaS s= S (bSa) S,
так что bSa Ф 0. Поскольку Rb f| La содержит непустое подмно-
подмножество bSa\O, мы заключаем, что аЗЬ.
По определению вполне 0-простой полугруппы S-класс 5\0
содержит (примитивный) идемпотент. По теореме 2.11 (i) каждый
элемент из <S\0 регулярен. Так как 0 регулярен, то S регулярна.
Теорема 2.52. Пусть S — вполне О-простая полугруппа.
(i) Если а 6 S и а2 Ф 0, то а2 ? На и На — группа.
(п) Если a, b ? S и ab Ф 0, то ab ? Ra f| Lb.
(iii) Если a, b ? S, mo HaHb = 0 или НаНь = Ra Л Lb;
e любом случае НаНь — НаЪ-
Доказательство, (i) Ввиду следствия 2.49 элемент а
принадлежит некоторому О-минимальному левому идеалу L полу-
полугруппы S. Тогда а2 ? L. В силу леммы 2.43 L\0 есть ^-класс
полугруппы S. Так как по предположению а2 Ф 0, то а, аг ? ?\0,
так что аХа2. Двойственным образом, аЗНа2. Следовательно^
аШа2 и по теореме Грина 2.16 отсюда вытекает, что На — группа.
(ii) Из ab Ф 0 следует, что а Ф 0 и Ъ Ф 0. По теореме 2.51
лЗЪ и поэтому Rb П Ьаф 0. Пусть с 6 Rb П ?<.- Тогда с2 ? LaRb.
По теореме 2.4 либо LaRb = 0, либо LaRb s <S\0. Первое невоз-
«-1159
114 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
можно, так как аЪ Ф 0. Следовательно, с2 Ф 0. Ввиду (i)
#с (= Rb П La) — группа. По теореме 2.17 аЬ ? па П Ьъ.
(ш) Если аЬ = 0, то по теореме 2.4 НаНь s LaRb = 0. В этом
случае НаНъ = 0 = Но •= НаЬ. Если аЪ Ф 0, то ввиду (ii) ab ?
€ Ra П &ь и поэтому ЯаЯь = i?a f| Z,b = НаЪ на основании тео-
теоремы 2.17.
Пусть S — впрлне 0-простая полугруппа. Пусть {R\ | i 6 I\
и {Ь\ \% ? А} — соответственно 0-минимальные правые идеалы
и 0-минимальные левые идеалы полугруппы S, где / и Л —
непустые (по теореме 2.48) множества индексов. Для каждо-
каждого i 6 I и каждого % ? Л положим
По лемме 2.43 и двойственной к ней лемме каждое L% [Ri\ является
dS-классом [^-классом] полугруппы S, а ^Ггя. — J^-классом.
По теореме 2.51 <S\0 есть <2?-класс полугруппы S, который совпа-
совпадает с объединением всех Rt (i 6 /), всех L% (X g Л) и всех
На (* 6 I* ^ 6 А). Следующее утверждение является лишь пере-
переформулировкой теоремы 2.52.
Следствие 2.52а. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа.
Тогда, с учетом только что введенных обозначений, справедливы,
следующие утверждения.
(i) Для каждого i ? I и каждого % ? Л либо Hi% — {максималь-
{максимальная) подгруппа в S, либо H\i = 0.
(ii) Для любых i, j ? I и X, \i. ? Л произведение HaJIj^ равно>
либо Нщ, либо 0.
Для случая полугрупп без нуля получаем следующее утвер-
утверждение, которое было доказано Сушкевичем в статье 11928] для
конечных простых полугрупп; см. приложение.
Следствие 2.52Ь. Пусть S — вполне простая полугруппа
и {Ri I i 6 -Oi {L%. I X ? Л} — соответственно множества ее мини-
минимальных правых и левых идеалов. Тогда для ^каждого i ? I и каж-
каждого % ? Л пересечение Н%% = R% (] L%, есть {максимальная) под-
подгруппа в S. Кроме того, для любых i, j ? I uh, \и ? Л выполняется
равенство fl
Замечание. Если мы определим произведение на множестве
I X Л, полагая
(*, %) о (/, fi) = {t, ji) {t, j 6 /, К ц 6 Л),
то (/ X Л) (о) становится прямоугольной связкой (см. § 1.8).
В терминах понятия связки полугрупп, также введенного в § 1.8,
следствие 2.52Ь утверждает, что любая вполне простая полугруппа
§ 2.7. Вполне 0-просты.е полугрупп» 115
есть прямоугольная связка групп*). Обратное легко показать
(см. упражнение 4 ниже).
В § 1.12 мы определили бициклическую полугруппу как полу-
полугруппу 18 (р, q) с единицей, порожденную двумя символами
р и q- и заданную одним определяющим соотношением pq = 1.
Теорема 2.53. Бициклическая полугруппа % = % (р, q) есть
бипростая инверсная полугруппа с единицей. Ее идемпотентами
являются элементы еп = qnpn (п — О, 1, 2, . . .). (Они удовле-
удовлетворяют неравенствам 1 = е0 > е4 >¦ е2 > . . . > еп > en+i > . . .,
поэтому fi> не содержит примитивных идемпотентов.
Доказательство. Легко непосредственно проверить
(см. упражнение 2 к § 1.12), что два элемента qkpl и qmpn полу-
полугруппы to (к, I, m, n — неотрицательные целые числа) пере-
перемножаются следующим образом:
(<?У) (ЯПРП) = q*PJ,
где
i = к + т — min (Z, т),
j = I + п — min (I, m).
Заметим, что i ^ к. Следовательно, i ^ к, если glp3 принадлежит
главному правому идеалу R (qkpl), порожденному элементом
qkpl. Обратно, если ъ^к, то qipi 6 R {qhpl)\ Достаточно взять
т = I + ? — й;, п = j.
Если мы выпишем элементы полугруппы $ в таблицу
1 Р р» ...
92 98Р 9*Р8
то можно описать R (qhpl) как объединение множества всех строк
таблицы, начиная с (к + 1)-й и ниже. Отсюда следует, что ^?-класс,
содержащий qkpl, совпадает с (к + 1)-й строкой. Аналогично,
<?-класс, содержащий qhpl, совпадает с (I + 1)-м столбцом.
Таким образом, ^-классы полугруппы % суть строки, а ^-клас-
^-классы полугруппы ^ суть столбцы таблицы. Ввиду этого ®5?-классы
полугруппы 'ё 9ДН0Элементны' Так как каждый ^?-класс пере-
пересекается с каждым ^-классом, единственным З'-классом полу-
полугруппы % является fo, поэтому 'ё бипроста.
Предположим теперь, что qmpn — идемпотент. Тогда qmpn- =
= qip{ при i = 2т — min (т, п) и / = 2п — min (m, п). По лем-
лемме 1.31 отсюда следует, что т = i и п = j. Это влечет за собой
х) В русской литературе прямоугольные связки полугрупп обычно назы-
называют матричными связками.— Прим. ред. '¦
116 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
равенства т = min (т, п) и п = min (то, п), т. е. т = га. Обрат-
Обратно, легко видеть, что еп = qnpn есть идемпотент. Если то < п,
то прямые вычисления показывают, что етеп = епет = еп, так
что.ет ^ еп. По лемме 1.31 ет =f= еп, если т-ф п. Следовательно,
то < га влечет за собой еот > еп, и тогда очевидно, что $ не содер-
содержит примитивных идемпотентов.
Так как % содержит идемпотент и состоит из одного ^-класса,
% регулярна по теореме 2.11. Так как етеп — еп = е„«т при
т < га, идемпотенты полугруппы $ коммутируют между собой,
и, согласно теореме 1.17, % — инверсная полугруппа. -
Следующая теорема, принадлежащая Андерсену [1952], пока-
показывает, что 0-простую полугруппу (не являющуюся вполне 0-про-
стой полугруппой), содержащую идемпотент, можно представлять
себе как бы сотканной из бициклических полугрупп. Эта теорема
полезна также при доказательстве некоторых критериев вполне
0-простоты, таких, как приведенные ниже теорема 2.55 и след-
следствие 2.56.
Теорема 2.54. Если е — произвольный ненулевой идемпотент
^-простой полугруппы S, не являющейся вполне 0-простой полу-
полугруппой, то S содержит бициклическую подполугруппу, в которой
е является единицей.
Доказательство. Идемпотент е непримитивен, так
как в противном случае S была бы вполне 0-простой полугруппой.
Следовательно, существует такой ненулевой идемпотент / ? S,
что е > /, т. е. ef = fe = f и е ф f. Так как /^0и5 0-проста,
то SfS = S, и поэтому существуют такие х', у' ? S, что x'fy' = e.
Полагая х = ex'f и~ц. — fy'e, получаем
ex = xf = х, fy — ye = у и ху = е.
Пусть g = ух. Тогда
g2 = ухух =,уех = ух = g,
fg = fyx = ух = g,
gf = yxf = yx = g.
Таким образом, g ^ /. Так как / < e, то g < e.
Так как е — двусторонняя единица для х и у, ху = е и ух ф е,
из леммы 1.31 следует, что {х, у) — бициклическая подполу-
подполугруппа в S с единицей е.
Следующая теорема принадлежит Манну [1961]..
Теорема 2.55. 0-простая полугруппа S вполне 0-проста тогда
и только тогда, когда некоторая степень каждого элемента из S
принадлежит подгруппе полугруппы S.
§ 2.7. Вполне Q-простш полугруппы 117
Доказательство. Если S вполне 0-проста, то по тео-
теореме 2.52 (i) квадрат каждого элемента из S лежит в подгруппе
полугруппы S.
Предположим, обратно, что некоторая степень каждого эле-
элемента из S лежит в подгруппе полугруппы S. Покажем сначала,
что в S существует ненильпотентный элемент. Пусть а Ф О
и а ? S. Тогда по лемме 2.28 а ? SaS, поэтому а = хау при неко-
некоторых х, у ? S. Повторным умножением на х слева и на у справа
получаем а = хпауп для каждого положительного целого числа га.
Так как а ф О, то хп ф 0 для каждого п, т. е. х ненильпотентен.
Полугруппа S должна содержать ненулевой идемпотент.
В самом деле, если х — ненильпотентный элемент полугруппы S,
то (по предположению) ж™ принадлежит подгруппе G из S при
некотором положительном целом п и, очевидно, единица группы G
не равна 0.
Пусть е — ненулевой идемпотент полугруппы S. Если S есть
0-простая полугруппа, не являющаяся вполне О-простой, то в силу
теоремы 2.54 S содержит* бициклическую подполугруппу (р, q)
с единицей е, где pq = е и qp Ф е. Покажем, что это невозможно.
По предположению для подходящего п элемент рп принадле-
принадлежит некоторой подгруппе G из S. Пусть / — единица этой под-
подгруппы, а г — элемент, обратный в ней для рп. Из pnqn = е
вытекает
fe = fpnqn = pnqn = е.
Из rpn = f вытекает
fe = Грпе = грп = /.
Следовательно, е = /, и поэтому
qn = eqn = fqn = rpnqn = re = rf = r.
Но тогда
qnpn = rpn = f = e,
в то время как qnpn < e в бициклической полугруппе (/>, q).
Следствие 2.56. Любая периодическая {в частности, любая
конечная) 0-простая полугруппа вполне 0-проста.
Это утверждение было доказано Рисом [1940]. Краткое дока-
доказательство этог.о факта для конечных полугрупп было приведено
в третьем абзаце данного параграфа.
Упражнения к § 2.7
1. Вполне 0-простая полугруппа содержит единицу тогда
и только тогда, когда она есть группа с нулем. (Рис [1940].)
2. Ненулевой правый идеал вполне О-простой полугруппы
является главным правым идеалом тогда и только тогда, когда
он 0-минимален.
118 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
3. Каждый правый идеал бициклической полугруппы %
является главным. Существует такое взаимно однозначное ото-
отображение п ->¦ Дл множества N неотрицательных целых чисел
на множество правых идеалов Rn полугруппы 'ё, что
% = Ro ¦=> Ri => Ri =э • • • => Rn => R =>
Ввиду этого очевидно, что *в не содержит минимальных правых
идеалов.
4. Прямоугольная связка групп (§ 1.8) вполне проста. (См. за-
замечание после следствия 2.52Ь.)
5. Каждый ненулевой идемпотент вполне 0-простой полу-
полугруппы примитивен. (Рис [1941].)
6. Если М — идеал полугруппы S с нулем и если М — вполне
0-простая подполугруппа полугруппы 5, то М — 0-минимальный
идеал полугруппы S, содержащий хотя бы один 0-минимальный
правый идеал полугруппы S и хотя бы один ее 0-минимальный
левый идеал. (Рич [19491; это утверждение, обратное к след-
следствию 2.50.)
7. Пусть / — некоторое множество. Пусть S = (/ х /) (J {0}.
Для ?, /", к, I ? / положим
[ (i, Z), если j — k,
'•>>•<*. *> = ! 0, если }фк;
Тогда S является вполне 0-простой полугруппой; назовем ее полу-
полугруппой I X I-матричных единиц.
8. Прямое произведение полугрупп [вполне] просто тогда
и только тогда, когда каждый сомножитель [вполне] прост.
(Иван [1953].)
9. Пусть S — вполне простая полугруппа. Тогда X, 31 и <Ш —
конгруэнции на S и SIS6 — прямоугольная связка, изоморфная
прямому произведению SIM X SIX.
10. Пусть е — примитивный идемпотент регулярной полу-
полугруппы S с нулём. Тогда eS есть 0-минимальный правый идеал в S.
11. Полугруппа S с нулем вполне 0-проста тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет следующим трем условиям:
(i) S регулярна;
(ii) каждый ненулевой идемпотент из S примитивен;
(ш) если ей/ — ненул вые идемпотенты из S, то eSf Ф 0.
12. 0-простая полугруппа вполне 0-проста тогда и только
тогда, когда она содержит 0-минимальный левый идеал и ненуле-
ненулевой идемпотент.
13. (а) Если L — минимальный левый идеал полугруппы
S и А — произвольный двусторонний идеал полугруппы S, то
L ? А. (Рассмотреть непустое множество AL.)
§ 2.7. Вполне О-простые полугруппы 119
(b) Полугруппа S, содержащая минимальный левый идеал,
имеет ядро К, ж К является объединением всех минимальных
левых идеалов полугруппы S. Если S также содержит минималь-
минимальный правый идеал, то К вполне проста.
(c) Если L ж R — соответственно минимальный левый и мини-
минимальный правый идеалы полугруппы S, то L f| R — (максималь-
(максимальная) подгруппа полугруппы S. (Сушкевич [1928] для конечных
S (см. приложение); Клиффорд [1948].)
14. Пусть е — идемпотент полугруппы S с нулем. Тогда
эквивалентны следующие условия:
(i) Se — минимальный левый идеал полугруппы «S;
(ii) SeS —.ядро К полугруппы S и К — вполне простая
полугруппа;
(ш) SeS — максимальная подгруппа Не полугруппы S, содер-
содержащая е. (Кох [1953]; сформулировано как теорема 4.1 в статье
Уоллеса [1955].)
15. Назовем подполугруппу В полугруппы S биидеалом, если
BSB <= В.
(a) Если С — произвольное непустое подмножество полу-
полугруппы S, то С U С2 U CSC — наименьший биидеал из S, содер-
содержащий С.
(b) S является группой тогда и только тогда, когда она
не содержит собственных биидеалов.
(c) Пусть В — подгруппа и биидеал полугруппы S, и пусть
е — единица группы В. Тогда eSe = В = Не, так что (ввиду
упражнения 14) SeS — ядро полугруппы S и оно вполне просто.
(d) Пусть В — биидеал полугруппы S, и пусть е — идемпо-
идемпотент из ядра полугруппы В. Тогда е принадлежит ядру полу-
полугруппы S.
(e) Пусть S = Во id В\ гэ В2 гэ . . . zd Bn — такая конечная
последовательность подполугрупп полугруппы S, что Bt есть
биидеал в Bt^ (i = 1, 2, . . ., п) и Вп не имеет собственных
биидеалов. Тогда Вп — максимальная подгруппа полугруппы S,
содержащаяся в ядре К полугруппы S и К — вполне простая
полугруппа. (Гуд и Хыоз [1952].)
16. Пусть S — полугруппа, обладающая вполне простым
ядром К, и пусть е — идемпотент из К. Тогда произвольный
гомоморфизм полугруппы S на группу G индуцирует гомомор-
гомоморфизм группы Не на G. Следовательно, если Не является гомо-
гомоморфным образом полугруппы S, то оно является максимальным
групповым гомоморфным образом. Ввиду упражнения 7 к § 2.5
этот случай имеет место, если S есть полугруппа, обладающая
зероидами. (Гуд и Хыоз [1952].)
17. Назовем подмножество А Ф0 полугруппы S квазиидеа-
квазиидеалом, если AS П SA s A.
120 Гл. 2. Идеалы и связанные с ними понятия
(a) Если С — произвольное подмножество Ф 0 полугруппы S,
то (С U SC) П (С U С5)-г- наименьший квазиидеал полугруп-
полугруппы S, содержащий С.
(b) Подмножество полугруппы S является квазиидеалом тогда
и только тогда, когда оно есть пересечение правого идеала и левого
идеала из S.
(c) S является группой тогда и только тогда, когда она не со-
содержит собственных квазиидеалов.
(d) Минимальными квазиидеалами полугруппы S являются
лишь максимальные подгруппы ее ядра.
(e) Если Q — некоторый СКмшшмальный квазиидеал полугруппы
S с нулем, то либо Q — группа с нулем, либо Q — полугруппа
с нулевым умножением. (Штейнфельд [1956, 1957].)
18. (а) Каждый квазиидеал полугруппы S является также
биидеалом полугруппы S. (См. определения в упражнениях 15
и 17.) "
(b) Пусть В — биидеал полугруппы S, В — В [j BS и L =
= В U SB. Тогда RL s В s R П L.
(c) Если R — правый идеал и L — левый идеал полугруппы S,
то произвольное подмножество В из S, такое, что RL s
s В s R П L, является биидеалом полугруппы S.
(d) В S каждый биидеал является квазиидеалом тогда и только
тогда,-когда S регулярна (см. упражнение 11 к § 1.9). (Лайош
[1961],)
19. (а) Каждая подполугруппа Т конечной простой полу-
полугруппы S также проста. В действительности, если S имеет строе-
строение, описанное в следствии 2.52Ь, то существуют такие подмно-
подмножества Г из /и Л' из Л, что Н\% = Т П Hix ф 0 тогда и только
тогда, когда i ? /' и К ? Л'; Т есть объединение групп Н\^
(i 6 /', Я 6 Л')-
(b) Если К — ядро конечной полугруппы S и Т — такая
подполугруппа полугруппы S, что Т [) К Ф 0, то Т (] К —
ядро полугруппы Т.
(c) Если S — конечная полугруппа и а ? S, то ядро полу-
полугруппы Sa есть объединение некоторых или всех минимальных
левых идеалов полугруппы S.
(d) Если S — конечная полугруппа и а, Ъ ? S, то ядро полу-
полугруппы aSb есть объединение некоторых или всех максимальных
подгрупп полугруппы S, содержащихся в ядре полугруппы 5.
(Сушкевич [1937], гл. 3, § 27.)
Глава 3
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТРИЦАМИ НАД
ГРУППОЙ С НУЛЕМ
До сих пор, особенно в гл. 1, мы рассматривали представления
полугрупп преобразованиями (возможно, частичными) некоторого
множества. В гл. 5 мы будем изучать представления полугрупп
матрицами над полем аналогично классической теории представ-
представлений групп и алгебр. В данной же главе мы рассмотрим пред--•
ставления с помощью матриц, элементы которых принадлежат
некоторой группе с нулем G0. Такие матрицы можно перемножать
по обычному правилу, если при этом нигде не придется склады-
складывать два элемента группы G. Это условие накладывает некоторые
ограничения на распределение ненулевых элементов в таких
матрицах. Например, в представлении Риса (§ 3.2) соответствую-
соответствующие матрицы имеют не более одного ненулевого элемента. В пред-
представлении Шютценберже (§ 3.5) соответствующие матрицы являют-
являются либо мономиальными по строкам, т. е. в каждой строке имеется
не более одного ненулевого элемента, либо мономиальными
по столбцам.
Теорема Риса 3.5 говорит о том, что любая вполне 0-простая:
полугруппа представима как полугруппа всех матриц опреде-
определенной размерности над некоторой группой с нулем, где каждая
из матриц содержит не более одного ненулевого элемента. Пере-
Перемножаются такие матрицы при помощи некоторой «сэндвича-мат-
«сэндвича-матрицы Р по следующему правилу: произведение А ° В двух матриц.
Риса А и В равно обычному матричному произведению АР В.
Таким образом, строение всех вполне 0-простых полугрупп ста-
становится ясным. Теорема Риса играет для вполне 0-простых полу-
полугрупп Такую же роль, какую играет вторая теорема Веддербёрна
(сформулированная в § 5.1) для линейных ассоциативных алгебр-
конечной размерности. В § 3.3 теорема Риса применяется для
выяснения строения группоидов Брандта.
Следующие соображения связывают теоремы Риса и Веддер-
Веддербёрна. Пусть А — простая линейная ассоциативная алгебра
конечной размерности над полем Ф. Пусть единица е алгебры А
представима в виде суммы е — et + е2 + . . . + еп попарно орто-
ортогональных примитивных идемпотентов. Положим Ац = А
Тогда алгебра А есть прямая сумма алгебр Ац (i, / = 1,2,
. . ., га). Все Ац имеют одну и ту же размерность. Алгебры
'122 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
.являются алгебрами с делением над Ф. (См., например,
Albert A. A., Structure of Algebras, Amer. Math. Soc. Collo-
Colloquium Publications, т. 24, 1939, гл. Ill, теорема 9.) Пусть Д —
алгебра с делением над Ф, изоморфная Ац. Объединение S мно-
множеств Atj замкнуто относительно умножения, определенного в А,
и легко видеть, что S является вполне О-простой полугруппой
-относительно указанной операции. Множества Л,/\О суть J^-клас-
>сы полугруппы S из ^-класса ?\0. Представление Веддербёрна
алгебры А как алгебры всех п х га-матриц над А индуцирует
представление Риса полугруппы 5, где А рассматривается как
группа с нулем относительно умножения. Здесь «сэндвич»-матрица
.Р есть единичная п х гс-матрица, a S — полугруппа Брандта
•(§ 3.3).
В § 3.5 мы рассмотрим два представления Шютценберже про-
произвольной полугруппы S, ассоциированные с каждым ее S-клас-
сом, и покажем их связь с представлением Риса для случая,
когда S вполне 0-проста. Наконец, в § 3.6 мы установим, что
прямая сумма всех представлений Шютценберже регулярной
полугруппы есть точное представление. Этот результат принад-
принадлежит Престону [1958].
Ввиду того что каждая полугруппа вкладывается в регуляр-
регулярную полугруппу (на самом деле в регулярную бипростую полу-
полугруппу с единицей, как мы покажем в гл. 8), каждая полугруппа
точно представима при помощи представлений Шютценберже
¦некоторой содержащей ее полугруппы. Никакой реальной пользы
для теории полугрупп представление Шютценберже до сих пор
не принесло. В процессе обобщения от представлений Риса вполне
0-простых полугрупп до представлений Шютценберже более широ-
широких классов полугрупп существенные черты первого были поте-
>ряны. Представление Риса дает возможность охарактеризовать
вполне 0-простую полугруппу как полугруппу всех матриц неко-
некоторого типа. Подобной характеризации более широкого класса
полугрупп при помощи представлений Шютценберже до сих пор
«е получено.
§ 3.1. Полугруппы матричного типа над группой
с нулем
Пусть G — группа и G° = G U 0 — группа с нулем, получен-
¦ная из G присоединением нуля 0 (§ 1.1). (В основных определениях
этого параграфа G достаточно считать лишь полугруппой.)
Пусть, далее, X — произвольное множество и i -> at — ото-
отображение множества X в G0. Если at = 0 для каждого i 6 X,
то положим Tj flj = 0. Если а,- Ф 0 для некоторого элемента
§ 3.1. Полугруппы, матричного типа над группой с нулем 123
/ € X и Cj = 0 при i Ф /, то положим 2 ai — я»- Если а; =? О
г?ЛГ
и йц^О при / ^fc ft в X, то л ог- не определена.
i?X
Если X и У — произвольные множества, то X X Y-матрицей
над G° называется отображение А множества X X У в G0. Образ
элемента (i, j) из X X У при указанном отображении А будем
обозначать через пц. Будем писать А = (ai}) и говорить, что
аи есть элемент матрицы А, лежащий в ее i-й строке и ;-м столбце.
Пусть X, У и Z — некоторые множества, А = (atj) есть
X X У-матрица над G0 и В = (bjh) есть У X Z-матрица над G0.
Если для каждой пары (г, к) ? X XZ сумма cik — У,
определена, то определим матричное произведение С = .4.В матриц
А ш В, полагая его равным X X Z-матрице С — (cik) над G0.
Пусть S — такое множество X X У-матриц над G0, что если
А и В принадлежат S, то АВ существует и принадлежит S. Тогда
S — полугруппа; ассоциативность проверяется точно так же,
как для матриц над кольцом (см. также упражнение 1). Следую-
Следующий пример такой ситуации будет играть важную роль в этой
главе.
Скажем, что матрица А над G0 мономиальна по строкам, если
каждая ее строка содержит не более одного ненулевого элемента
полугруппы G0. Множество всех X X Х-матриц над G0, моно-
миальных по строкам, является полугруппой.
Приступим теперь к описанию другого типа полугрупп матриц
над G0, крайне важного для алгебраической теории полугрупп.
Пусть I и Л — произвольные множества. Элементы из / будем
обозначать через i, /, ft', . . ., а элементы из Л — через К, \а, v,. . . .
Тогда / X А-матрицей Риса над G° называется / X Л-матрица
над G0, содержащая не более одного ненулевого элемента. Если
а ? G, i ? I и % ? Л, то через (оLх будем обозначать / х Л-матрицу
Риса над G°, содержащую элемент а в i-й строке и Я-м столбце
и нули на остальных местах. Символом 0 будем обозначать нуле-
нулевую / X Л-матрицу, т. е. О = @)п при любых i ? I и % ? Л.
Пусть теперь Р = (ры) — произвольная, но фиксированная
Л X /-матрица над G0. Используем Р для определения бинарной
операции (°) на множестве всех I X Л-матриц Риса над G6,
полагая
А о В = АРВ.
Если А и В — некоторые I х Л-матрицы Риса над G0, то А ° В —
также / X Л-матрица Риса над G0. Более того, если А = (а)а
ий = (Ь);-ц, то легко проверить, что
(а)а о (biv) = (apub)tVL (a, b?G; i, j 6 /; К ц 6 Л). A),
124 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
Операция ( ° ) ассоциативна. В самом деле,
А о (В о С) = АР (ВРС) = (АРВ) PC = (А о В) ° С.
Следовательно, множество всех I x Л-матриц Риса над G0 являет-
является полугруппой относительно бинарной операции (°). Назовем
ее рисоеской полугруппой матричного типа с сэндвич-матрицей Р
над группой с нулем G0 и будем обозначать эту полугруппу через
аМ° (G; I, Л; Р). Назовем G структурной группой полугруп-
полугруппы <Мй.
Другой подход к рисовским полугруппам матричного типа
над G0 состоит в рассмотрении множества G0 X / X Л, состоящего
из всех троек (a; i, К), где a ?G°, i ? / и Я ? Л вместе с бинарной
операцией (°), определенной аналогично условию A):
(a; i, X) о (Ь; /, ц) = (арцЬ; i, ц). (Г>
Ассоциативность легко проверяется. Далее заметим, что множе-
множество О X / X Л всех троек вида @; i, %) есть идеал. Фактор-
полугруппа Риса по этому идеалу изоморфна полугруппе
<М° (G; I, Л; Р). ¦
Если Р не содержит нулевых элементов, то в с?° (G; I, Л; Р)
нет делителей нуля. В этом случае полугруппу о#°\0 назовем
рисоеской полугруппой матричного типа с сэндвич-матрицей Р
над группой G и будем обозначать ее через оМ (G; I, Л; Р). Эту
полугруппу можно рассматривать как полугруппу G х / X Л
троек вида (a; i, %) относительно операции, заданной условием
A'). В этом случае нет необходимости присоединять нуль к G,
но если мы хотим представить тройки (a; i, К) в виде матриц
Риса (а)ц, то к G, конечно, нужно присоединить нуль.
В дальнейшем мы не будем различать «матрицы Риса» и «трой-
«тройки», всегда используя для них то из обозначений (а)а и (a; i, К),
которое в данный момент удобней. Поэтому мы отождествим все
тройки вида @; i, %) точно так же, как отождествляются все
матрицы (О)гд,.
Заметим, что из каждой теоремы о рисовских полугруппах
матричного типа над G0 можно извлечь очевидным образом тео-
теорему о рисовских полугруппах матричного типа над G, причем
последнюю мы не будем обычно формулировать в явном виде.
В этом параграфе мы будем иметь дело только с рисовскими
полугруппами матричного типа. ,Все результаты параграфа при-
принадлежат Рису [1940]. В § 3.5 и 3.6 будут рассматриваться преиму-
преимущественно матрицы, мономиальные по строкам (или по столбцам),
которые были определены выше.
Лемма 3.1. Рисовская полугруппа е?° (G; I, Л; Р) матричного
типа с сэндвич-матрицей Р над группой с нулем G0 регулярна
тогда и только тогда, когда каждая строка и каждый столбец-
матрицы Р содержит ненулевой элемент.
§ 3.1. Полугруппы, матричного типа над группой с нулем 125
Доказательство. Пусть Р = {pu)'i «> Ь ? G; i, j g /;
к, ц ? Л. Тогда
Этот элемент равен (а)г>, тогда и только тогда, когда pjp^i
= а. Для данного элемента {а)ц, тогда и только тогда существует
элемент F)^ 6 4°, для которого Pxjbp^— а'1, йогда рК}ф0
и p^i ф. О при некоторых / ? / и \i ? Л, т. е. когда Я-я строка
и t-й столбец матрицы Р содержат ненулевые элементы из G0.
В силу леммы 3.1 мы будем говорить, что матрица Р над груп-
группой с нулем регулярна в том и только в том случае, когда каждая
ее строка и каждый столбец содержат ненулевые элементы.
На протяжении этой главы мы будем придерживаться сле-
следующих обозначений, относящихся t к рисовской полугруппе
е^° (G; I, Л; Р) с сэндвия-матрицей Р = (ры) над группой с ну-
нулем G0. Обозначим элементы из <Ж° через (а),»,, где а ? G°, i ? I,
% ? Л, и положим
Ri = {(a)ty\a?G, Х€Л}, Я?=Дги0,
Ц= Li U 0,
Лемма 3.2. (i) Для любого i ? I множество Л? есть правый
идеал полугруппы Лй. Любые ^-эквивалентные элементы из <М°\0
принадлежат одному и тому же множеству Ri для некоторого
(ii). Если матрица Р регулярна, то для любого I ? I множество
Ri есть О-минималън-ый правый идеал полугруппы в#° и Rt является
^-классом.
(ill) Если для некоторого i 6 / выполняется равенство р^ = О
при любом К ? Л, то R° — двусторонний идеал полугруппы Ль,
причем Лй о R\ = 0; е частности, (Л?J = 0. "
(iv) Множество HiX (i ? I, k ? Л) содержит идемпотент тог-
тогда и только тогда, когда ря,г Ф 0. Если ри Ф 0, то На есть
3?-класс полугруппы Л°, являющийся полугруппой с единицей
ei\ = iPu)ix- Отображение а—*- (арх\)а есть изоморфизм группы
G на Hik.
(v) Для любых i, j ? I и К, ц 6 Л
i4
Нщ, если
0, если p\j = 0.
Доказательство, (i) Ввиду A) очевидно, что Л? —
правый идеал полугруппы о#°. Пусть {а)ц, и (Ъ)^ — ненулевые
J^-эквивалентные элементы из <М°. Тогда существует такой эле-
элемент (c)ftv ? е*°, что (а)а ° (c)ftv = (Ь)}11, то есть (ap}.hc)tv =
(b) Так как Ъ Ф 0, отсюда следует, что j = i.
126 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
(ii) Предположим, что матрица Р регулярна и возьмем (нену-
(ненулевые) элементы (а)а и (fr)i(i из Rt. Так как Р регулярна, суще-
существует такое к ? /, что pkk ф 0. Тогда {a)a°\c)kv. = (b)iv, при
с = pjfca^b. Отсюда следует, что /?° есть 0-минимальный правый
идеал полугруппы аМ° и любые два элемента множества Лг ^-эк-
^-эквивалентны. Тот факт, что Rt есть ^?-класс, вытекает теперь
из (i) или из леммы, двойственной лемме 2.43.
(iii) Предположим, что рм = 0 для любого % ? Л. Если
(а)а 6 Д* и {Ь)]у. ?уЖ°, то (b)jtl ° (d)^ = (Ьр^а)}к = 0. Следова-
Следовательно, о#° ° R\ = 0. Отсюда и из (i) вытекает, что R\ — дву-
двусторонний идеал.
(iv) Пусть (a)a^Hix. Из (а)а о (а)а = (ариа)а видно, что
(a)t}. является идемИотентом тогда и только тогда, когда pxt ф О
и а = plj. Предположим, что p\t Ф 0. Тогда Нц, содержит идем-
потент еа = (рй)гя,. Для а ? G положим а<р = (apl\)tx. Тогда
для ¦ любых a, b ? G выполняется равенство (а<р) о (Ьц>) =
= (aPxiPubp'j?)ib = (eb) ф. Так как <р — взаимно однозначное
отображение группы G на Ни,, отсюда следует, что ф — изомор-
изоморфизм G на Нц,. Таким образом, Нц, — подгруппа из &М° с еди-
единицей et\. ?
Пусть Н — тот ©$-класс полугруппы е?°, который содержит
ец. Очевидно, Нц. ?= Н, так как Нц, — группа. Но на основа-
основании (i) и двойственного ему утверждения Н Е Rt f) L% = Hiu
т. в. Я = На.
(v) Пусть (о)д ? Ял и {Ь)}р€.Н}у,. Мы имеем
Если ру = 0, то этот элемент равен 0. Если ря,; =/= 0, то он при-
принадлежит Hiy.. В последнем случае любой элемент {c)t^ ? Я,-ц
можно представить в виде такого же произведения, положив
а = Я5 и Ь = с.
Теорема 3.3. Рисовская полугруппа матричного типа 0-проста
тогда и только тогда, когда она регулярна, и в этом случае она
вполне ^-проста.
Доказательство. Пусть <М* (G; I, A; P) — рисов-
рисовская полугруппа. Предположим сначала, что аМ° нерегулярна.
По лемме 3.1 существует строка или столбец матрицы Р, состоя-
состоящий из нулей. Пусть это г-й столбец, т. е. рц, = 0 для любого
А. ? Л. По лемме 3.2 (iii) R\ — ненулевой нильпотентный идеал
полугруппы о#°, поэтому о$° не может быть 0-простой полу-
полугруппой.
Предположим теперь, что а?° регулярна и (a)jb (ЬOМ, — два
произвольных элемента из еМ°, причем а Ф 0. По лемме 3.1 суще-
существуют такие v ? Л и к ? I, что pv( Ф 0 и р%ъ Ф 0. Положим
с = Ъ {pvtaP%.hi~1i и пусть е — единица группы G. Тогда.
§ 3.1. Полугруппы матричного типа над группой с нулем 127'
(c)jv о (а)а о (e)hll = (Ь)^, и из леммы 2.28 следует* что полу-
полугруппа а?° 0-проста.
По лемме 3.2 (iv) ненулевые идемпотенты полугруппы oJll^
исчерпываются элементами et% = (рй)гя- Существует точно одив
идемпотент такого вида для каждой пары i, к (i ? /, к ? А)г
где p\i ф 0. Если ei% ° е^ = е^ ° е^ = ej^, то i = j т& к = ц,
т. е. е,я, = ejp. Таким образом, каждый ненулевой идемпотент
полугруппы. о#° примитивен, поэтому вМ° вполне 0-проста.
Если полугруппа о#° вполне 0-проста, а, следовательноГ
Р регулярна, то лемма 3.2 (ii) и двойственная к ней лемма утвер-
утверждают, что каждое множество Доесть ^?-класс и каждое мно-
множество L\ есть JS-класс. Таким образом, обозначения и резуль-
результаты леммы 3.2 в регулярном случае соответствуют.обозначениям
и результатам следствия 2.52а.
Упражнения к § 3.1
1. (а) Пусть А, В, С — соответственно W X, Х-матрица,
X х У-матрица, У х Z-матрица над группой с нулем G0, где
W, X, Y, Z — произвольные множества. Если произведения АВ
и ВС определены, то произведение (АВ) С определено тогда
и только тогда, когда определено произведение А (ВС) и в этом
случае (АВ) С = А (ВС).
(Ь) Существуют такие 2 х 2-матрицы А, В, С над G0, что
произведения АВ и (АВ) С определены, но произведение ВС
не определено.
2. Пусть / — произвольное множество. Полугруппа / х /-ма-
/-матричных единиц (упражнение 7 к § 2.7) изоморфна рисовской полу-
полугруппе матричного типа о#° (G; I, /; Д), где G — одноэлементная
группа {е}, а А — единичная I x /-матрица Fj;) над G0, то есть
?, если i = j,
О, если 1ф /.
3. Прямоугольная связка (§ 1.8) изоморфна рисовской полу-
полугруппе матричного типа без нуля над одноэлементной группой.
4. Рисовская полугруппа матричного типа без нуля является
прямоугольной связкой групп (§ 1.8).
5. Пусть А и В — элементы регулярной рисовской полу-
полугруппы матричного типа над группой с нулем. Если А о В о А =
= А Ф 0, то В инверсен к А (§ 1.9).
6. Пусть о$° (G; I, Л; Р) — регулярная рисовская полу-
полугруппа матричного типа. В обозначениях леммы 3.2 элемент
из Нц, имеет инверсный к нему элемент в Я7М, тогда и только-
тогда, когда рь) Ф 0 и p^i Ф 0 (это утверждение служит иллю-
иллюстрацией к теореме 2.18).
¦128 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
§ 3.2. Теорема Риса
Согласно теореме 3.3, рисовская полугруппа матричного типа
аМ° (G; I, Л; Р) над группой с нулем G° вполне 0-проста, если
•сэндвич-матрица Р регулярна, т. е. если в Р не существует строк
и столбцов, целиком состоящих из нулей. Это утверждение есть
«легкая половина» важной теоремы Риса [1940]. о том, что полу-
полугруппа вполне 0-проста тогда и только тогда, когда она изоморфна
регулярной полугруппе матричного типа над группой с нулем
(теорема 3.5). Мы выведем эту теорему из несколько более общей
•теоремы (теорема 3.4), принадлежащей Миллеру и Клиффорду
[19561, которая касается любого регулярного S-класса произ-
произвольной полугруппы.
Пусть D — регулярный S-класс полугруппы S и {Rt | i ? I},
{L\ | X ? Л} — соответственно множества .^-классов и ^-классов
дз S, содержащихся в 3>. Тогда множество ^-классов из S, содер-
содержащихся в D, есть ,{Нг% | i 6 I, ^ 6 Л}, где На = Ri f| Lx-
Выберем в D <^?-класс, содержащий идемпотент е; такой
о%?-класс существует по теореме 2.11. Обозначим Re и Le соответ-
соответственно через R\ и Lu а поэтому Не — через Нц. Мы считаем,
тем самым, что множества / и Л обладают общим элементом 1.
"Такое предположение, очевидно, не уменьшает общности и не при-
приведет к недоразумениям. Цо теореме Грина 2.16 Н±1 — подгруппа
полугруппы S.
Для каждого i ? / и каждого к ? Л выберем и зафиксируем
элемент rt ? Ни и элемент q% ^ Н^. Определим Л X /-матрицу
Р = (Рм) наД Щп полагая
_ f qtxi, qtfi?iu
и ~~^ \ 0 в остальных случаях ^ '
, если qt
~~^ \ 0 в остальных случаях,
ж рассмотрим соответствующую рисовскую полугруппу
еМ° (Нц; I, Л; Р). Бинарную операцию в аМ° будем обозначать
символом о. По теореме 2.17 qxrt ? Нц тогда и только тогда,
когда На содержит идемпотент. В силу теоремы 2.11 каждая
строка и каждый столбец матрицы Р имеет ненулевые элементы.
По лемме 3.11 полугруппа о#° регулярна, а на основании теоре-
теоремы 3.3 она вполне 0-проста.
Если мы выберем вместо группы Ни и элементов rt, qx (быть
может) другую группу и элементы, то получим (возможно) другую
рисовскую полугруппу матричного типа <М\. Непосредственными
вычислениями можно установить изоморфизм между <М° и <М\.
Мы избежим этих вычислений в доказательстве следующей тео-
теоремы 3.4, используя понятия следа Т ^-класса D. Пусть 0 — сим-
символ, не являющийся элементом .^-класса D, и пусть Т = D [) 0.
Определим произведение (*) в Т, полагая для произвольных
§ 3.2. Теорема Риса 129
а, Ъ 6 D
( аЬ, если аЪ ? Ra Л Lb,
a*b= < „ B)
[ 0 в остальных случаях;
в остальных случаях;
Множество Т превращается в группоид Т (*). Легко показать,
используя результаты § 2.3, что операция (*) ассоциативна.
Впрочем, это утверждение является побочным результатом тео-
теоремы 3.4. На самом деле мы покажем, что существует изоморфизм
полугруппы аМ° на Т ( * ).
Теорема 3.4. Каждый элемент SS-класса D единственным обра-
образом представим в виде rtaqx, где а ? Ни, i 6 I и % ? Л. Взаимно
однозначное отображение ф полугруппы аМ° на Т, определенное
условием
laqx, если афО,
О, если а —О,
является изоморфизмом. Ограничение ф на о^°\О есть частичный
изоморфизм J°\0 «аД.
Замечание. Частичным гомоморфизмом частичного группоида
S в частичный группоид iS" называется такое отображение ф
S в S', что если а и Ъ — элементы из S и аЪ определено в S, то
произведение (аф)(Ьф) определено в S' и равно (ab) ф. Частичным
изоморфизмом S на jS" называется взаимно однозначный частичный
гомоморфизм ф, отображающий S на S'; мы не требуем, чтобы
отображение ф было частичным изоморфизмом полугруппы
S' на5.
Таким образом, последнее утверждение теоремы говорит о том,
что если (a)t\ и (Ъ)^ — элементы множества вМ°\0, для которых
(а)а°(Ь)]]1Ф 0, то l(a)i}. (f][(b)iv, ф] лежит в D и равно
[{а)а ° (b)jv) ф- С другой стороны, может случиться, что
Ца)и фН(Ь),м, ф1 лежит в D, но в «неправильном» ^-классе
(«правильным» ©^-классом является Ягц). В этом случае pxj = О
и (a)ix ° (ЬЬ'ц не принадлежит <М°\0,
Доказательство. Для каждого % ? Л возьмем неко-
некоторый идемпотент е% из L\ (такой идемпотент существует по тео-
теореме 2.11). По теореме 2.18 q'% имеет единственный инверсный
к рему элемент q'% в ДеЯ, f| А- Тогда eqx = q% и q^q'x = е, где е —
идемпотент из Нц. По лемме Грина 2.2 отображения
х -> щг. (x?Li) и у ->- yq'h (у ? L,)
суть взаимно обратные взаимно однозначные отображения мно-
множеств Li и L% друг на друга, сохраняющие ^?-классы.
9-1159
130
Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
Двойственным образом для каждого i ? / существует элемент
г\ из Ri, инверсный к г,-, и отображения
х ->- rtx (х ? Ri) и у -*¦ т\у (у ? Ri)
суть взаимно обратные взаимно однозначные отображения мно-
множеств Ri и Ri друг на друга, сохраняющие ^-классы.
Комбинируя предыдущие отображения точно так же, как
в теореме 2.3, мы получаем, что отображения
x-+rixqx (i 6 Я») и y-t-r-yqi (у ? На)
суть взаимно обратные взаимно однозначные отображения мно-
множеств Нц и На ДРУГ на друга (для каждого i 6 / и каждого
Я 6 Л). Так как каждый элемент ^-класса D принадлежит точно
одному J^-классу Нц, отсюда следует, что отображение ф, опре-
определенное в формулировке теоремы, является взаимно однознач-
однозначным отображением полугруппы Л® на D (J 0 = Т.
Покажем, что <р — изоморфизм полугруппы о#° на Т, т. е.
Ф' C)
для произвольных элементов (
ju, 6 <^°- Очевидно, можно
предположить, что афО и Ь Ф 0. Следующая «egg-box»-Kap-
тина х) части ^-класса D поможет нам представить себе ситуацию.
Rt
e, a, b
идемпотент?
Все элементы, не отмеченные вопросительным знаком, навер-
наверняка принадлежат тем ©^-ячейкам, в которых они записаны на диа-
диаграмме. Что же касается элементов, отмеченных вопросительным
знаком, то двойное применение теоремы 2.17 показывает, что
q^rj 6 Нц тогда и только тогда, когда Яд содержит идемпотент,
а это в свою очередь выполняется тогда и только тогда, когда
(rtaqx) (rjbq^) 6 Hiv.. Следовательно, ответ на вопросы о принад-
принадлежности отмеченных элементов соответствующим ^-классам
может быть либо всюду «да», либо всюду «нет». Кроме того,
по определению A) матрицы Р ответ «да» имеет место тогда и толь-
только тогда, когда pxj фО.
г) См. § 2.1.— Прим. перев.
3.2. Теорема Риса 131
Предположим сначала, что имеет место ответ «да». Так как
ГгЩ\ 6 Ri> Г$Я\1. 6 ?ц и произведение этих элементов принадле-
принадлежит Rt П ?ц, из определения B) бинарной операции (*) в Т сле-
следует, что (ггадх) * (rfiq^) = (гг(щ%) (?№»)• Таким образом, исполь-
используя A), получаем.
ф = [(а)а ° (b)Jlt] <p.
Предположим теперь, что имеет место ответ «нет». Тогда p^j = О,
H не содержит идемпотентов и
В силу формулы A)
{rtaq)) * {Tjbq^ = 0 в Т.
Следовательно, C) сводится к равенству Оф = 0, которое выпол-
выполняется по определению ф.
Из сказанного непосредственно вытекает, что ограничение
отображения ф на о#°\0 есть частичный изоморфизм. В самом
деле, если (а)а о (Ь)^ ф 0, то p\j Ф 0, и мы находимся в усло-
условиях первого случая, рассмотренного выше, т. е.
1(а)а «рЩЬЬц ф] = (riaqdirjbqj ?Hlv,<=D.
Теорема 3.5 (Рис). Полугруппа вполне Q-npocma тогда и только
тогда, когда она изоморфна регулярной рисовской полугруппе
матричного типа над группой с нулем.
Доказательство. Если полугруппа изоморфна регу-
регулярной рисовской полугруппе матричного типа над группой
с нулем, то она вполне 0-проста по теореме 3.3.
Обратно, пусть S — вполне 0-простая полугруппа. В силу
теоремы 2.51 S 0-бипроста, поэтому D = S\0 есть ^-класс.
полугруппы S. Построим полугруппу Л0 (Ни; I, A; P) для D,
как в теореме 3.4. Теорема 2.52 (ii) показывает, что S изоморфна
следу Т = D U 0 S-класса D, произведение (*) в котором опре-
определено при помощи условия B). По теореме 3.4 Т и о#° изоморфны.
Следовательно, S и о#° изоморфны.
Может случиться, что две регулярные рисовские полугруппы
матричного типа
S = <М° (G; I, А; Р) и S' = Л» (G; I, A; P') .
над одной и той же группой с нулем G0 изоморфны, хотя их сэнд-
сэндвич-матрицы Р и Р' не совпадают. Теория гомоморфизмов регу-
регулярных рисовских полугрупп матричного типа будет полностью
изложена в § 3.4. Здесь же мы дадим достаточные условия изо-
изоморфизма полугрупп S и iS", которые позволят нам приводить
сэндвич-матрицу к более простому виду. (Регулярность полугрупп
не предполагается.)
9*
132 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
Лемма 3.6. Две рисовские пблугруппы матричного типа S =
= сМ° (G; /, Л; Р) и S' = <Мй (G; I, Л; Р') над одной и той же
группой с нулем G"Изоморфны, если существуют такие отображе-
отображения i -*¦ ut множества I в G м Я. -*¦ v% множества Л в G, что р'и =
= Vi.Px.iUi для всех i ? I и Я, ? Л, где Р = (рм) и Р' = (р^).
Замечание. Связь между Р и Р', указанную в лемме, можно
выразить в матричной форме: Р' = VPU, где V —«диагональная»
Л X Л-матрица, содержащая v% на (Я,, Я,)-месте (Я. пробегает мно-
множество Л) и нули на остальных местах, a U —«диагональная»
/ X /-матрица, содержащая щ% на (i, ?)-месте.
Доказательство. Элементы полугруппы S будем обо-
обозначать через (а)ш а элементы полугруппы S' — через [а]га,-
Пусть Ыа<р = (uiav\)i%. Очевидно, ф — взаимно однозначное
отображение полугруппы ?' на S. Так как
Aа\а ° ГЬ]^ц) Ф = Upijbltp ф =
^jp = [а]а ф ° Ш}» ф,
мы видим, что ф — изоморфизм полугруппы S' на S.
Лемма 3.6 дает нам возможность в представлении данной
вполне 0-простой полугруппы как регулярной рисовской полу-
полугруппы матричного типа заменять матрицу Р на Р' = VPU,
где V и. U —«инвертируемые» (§ 3.4) диагональные матрицы. Тем
самым мы можем, например, так «нормализовать» Р, что каждый
элемент в данной строке и данном столбце будет равен либо О,
либо единице структурной группы G. Как применение этого
факта отметим, что теорема 1.27 есть непосредственное следствие
теоремы Риса и леммы 3.6.
Закончим параграф рассмотрением примера. Пусть Т — пол-
полная полугруппа преобразований конечного множества X из п
элементов, а Гг — множество всех элементов из Т, ранг которых
< г (§ 2.2), 1 < г < п. Тогда (см. упражнение 1 к § 2.6) Тг —
идеал полугруппы Г и Г имеет единственный главный ряд
Т = Тп zd Гл., =э . . . гэ Tt zd То = 0.
Кроме того, Tr/TT_i — вполне 0-простая полугруппа. В самом
деле, множество Dr — 7V\7V_i всех элементов полугруппы Т
ранга г является S-классом полугруппы Т (теорема 2.9), т. е.
TrITT-i 0-бипроста; так как она конечна, применимо след-
следствие 2.56. Приступим к построению представления главных
факторов TrlTr-i полугруппы Т посредством матриц Риса, пред-
предложенного Хьюиттом и Цукерманом [1957].
Пусть X = Nn = {1, 2, . . ., п}. По теореме 2.9 оЖ'-класс
полугруппы Т, содержащийся в DT, полностью определяется
§ 3.2. Теорема Риса 133
выбором (i) подмножества А из г элементов множества Nn и (ii)
такого разбиения (отношения эквивалентности) | на Nn,
что | NJ\ | = г. Каждый такой J^-класс SB (|, А) состоит из всех
таких преобразований множества Nn (ранга г), область значений
которых совпадает с Л, а соответствующее разбиение есть ?.
Если Xi, . . ., Хг — классы эквивалентности разбиения |, А =
= {аи . . ., ат) и а ? Ш (?, А), то для каждого i A ^ i ^ г)
преобразование а отображает все элементы из Хг в один и тот же
элемент а,- ? А, и каждый элемент из Nn, отображающийся в aj
при помощи а, принадлежит Xt. Очевидно, отображение i ->• j,
индуцированное таким образом отображением а, является под-
подстановкой на множестве {1, . . ., г}; обозначим эту подстановку
через ф.
Для того чтобы четко сформулировать предыдущее с помощью
подстановок, припишем естественный порядок элементам множе-
множества А и предположим, что at <С аг <С . . . <С ат- Упорядочим
классы эквивалентности разбиения ? так, чтобы имело место
соотношение X* <. X* <С . . . < X?, где для каждого подмно-
подмножества У из Nn через У* обозначен наименьший из элементов
множества Nn, содержащихся в У. Тогда можно записать
(Xt Х2...ХТ\
«=L „ „ \ = (ф; Б. а)-
Два элемента из Ш (^, А) в этой записи отличаются друг от друга
лишь подстановкой ф.
Пусть Р — любой другой элемент ранга г полугруппы Т
и Р € SB (tj, В), где т) — разбиение множества iVn, а В — под-
подмножество из г элементов множества JVn. Тогда
(Yt Y2 ... Yr\
где Yu ..., YT — классы эквивалентности разбиения ц, упорядочен-
упорядоченные таким образом, что У* <У* < ... <СУ?; 5 = {fcj, ..., br}
и Ь1<Ь2< • • • <ЬГ; ^ — такая подстановка на {1, ...,г}, что Р
отображает все элементы множества Уг на элемент Ь*ф из
5 l
Заметим, что произведение ар преобразований а и Р имеет
ранг г тогда и только тогда, когда никакие два элемента из А
не лежат в одном и том же классе эквивалентности разбиения tj,
В этом случае мы можем определить такую подстановку я = пА, „
на множестве {1, . . ., г}, что at ? Yin (i = 1, • • •, г). Тогда
я*Р = Ь4„ф и поэтому Хгсф = а/фР = Ь;фЯ,|). Следовательно, .
ар = (Ф; |, A)ot$\. ть В) = (фЯЛ.чЧ>; Е, В). D)
134 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
В случае когда ранг преобразования ар не равен г, положим
Яа, ч = 0» где 0 — нуль, присоединенный к симметрической груп-
группе &г на множестве {1, . . ., г}. В этом случае] сф ? Tr-i и поэто-
поэтому равенство D) имеет место, если рассматривать сф как элемент
полугруппы TTITT-i. Следовательно, формула D) дает нам иско-
искомое представление Риса:
TrlTr.i 36 Л9 (&г; I, Л; П),
где I — множество всех разбиений множества Nn на г подмно-
подмножеств, Л — множество всех подмножеств из г элементов мно-
множества Nn и П есть Л х /-матрица (яА>т1), построенная выше.
Упражнения к § 3.2
1. При п = 4иг = 3в примере, рассмотренном в конце пара-
параграфа, сэндвич-матрица П = (k^.ti) имеет вид
.A) A) 0 A) 0 0
A) 0 A) 0 A) 0
0 B3) A) 0 0 A)
0 0 0 A23) A2) A),
если на подмножествах и разбиениях множества JV4 ввести такой
же порядок, какой был использован при построении таблицы
SJ-класса D3, приведенной в § 2.2. Здесь через A) обозначена
единица группы &3, в то время как для остальных элементов
использованы обычные обозначения.
2. (а) Антикоммутатйвная полугруппа (см. упражнение 1
к § 1.8 и упражнение 3 к § 1.9) вполне проста и поэтому является
прямоугольной связкой.
(b) Если множество идемпотентов Е вполне простой полу-
полугруппы S является подполугруппой полугруппы S, то Е — пря-
прямоугольная связка и S эё Е X G, где G — группа.
(c) Пусть S — такая конечная простая полугруппа, что произ-
произведение любых двух идемпотентов из S является идемпотентом.
Тогда S неразложима в прямое произведение в том и только
в том случае, когда либо (i) S — группа, неразложимая в прямое
произведение, либо (И) порядок S прост. (Иван [1954].)
3. След иррегулярного S-класса является полугруппой с нуле-
нулевым умножением.
4. След бициклической полугруппы (§ 1.12) изоморфен полу-
полугруппе N X JV-матричных единиц (см. упражнение 7 к § 2.7
и упражнение 2 к § 3.1), где N — множество натуральных чисел.
5. Пусть 5Ю — рисовская полугруппа матричного типа без
нуля над группой GM с Лш X /м-сэндвич-матрицей Ра (ю про-
пробегает некоторое множество индексов) Тогда полное прямое
§ 3.2. Теорема Риса - 135
произведение всех Sa изоморфно полугруппе вМ (G; I, Л; Р),
где / [Л] — декартово произведение множеств 1а [ Лш ], G —
полное прямое произведение групп 6?ш.
6. (а) Пусть S — полугруппа и Z — декартово произведение
5 X S х S. Определим произведение в Z с помощью формулы
(х, у, z) (х1, у', z') = (x, yzx'y', z'). Тогда Z превращается
в полугруппу. Определим отображение \i полугруппы Z в S,
полагая (х, у, z) ц = xyz. Тогда \i — гомоморфизм Z в S и ц
отображает Z на S в том и только в том случае, когда S* = S.
(Ь) Пусть Е—произвольное множество идемпотентов полугруппы
S и е 6 Е. Тогда Ze = (Le Л Е) X Не X (Re Л Е) s Z и ,йГе =^
-(Le П -S) Яе(Re f] E)^S. Мы имеем eZee = He. Отображение
ix \Ze — частичный изоморфизм множества Ze на Ке, обратное к не-
нему отображение есть частичный изоморфизм множества Ке на Ze.
Множество Ке есть объединение ^-классов полугруппы S, содер-
содержащихся в De. Множество Ze является подполугруппой полу-
полугруппы Z тогда и только тогда, когда каждый <^?-класс, содер-
содержащийся в Ке, есть группа. В этом случае Ze является рисовской
полугруппой матричного типа без нуля над группой Не и Ке —
вполне простая подполугруппа полугруппы S, изоморфная Ze.
Следовательно, если De — объединение групп, то De — вполне
простая подполугруппа полугруппы S. В частности, бипростая
полугруппа, являющаяся объединением групп, изоморфна рисов-
рисовской полугруппе матричного типа без нуля над группой.
(Уоллес [1957].)
7. Пусть а, Ъ, х, у — произвольные элементы полугруппы S.
Четыре элемента
ах ау
Ъх by
являются вершинами прямоугольника в таблице Кэли полу-
полугруппы S. Назовем полугруппу S прямоугольной, если равенство
трех из них влечет за собой равенство всех четырех.
(a) Если е — идемпотент прямоугольной полугруппы S, то
аеЪ = аЪ для вс^ех a, b ? S.
(b) Множество идемпотентов Е прямоугольной полугруппы
является" (если оно непусто) прямоугольной связкой. В частности,
если связка есть прямоугольная полугруппа, то она является
прямоугольной связкой. (Тьеррен [1955а].)
8. Полугруппа S называется Е-инеерсивной, если для каждого
а ? S существует х ? S, такой, что ах — идемпотент.
(a) Если а — элемент ^-инверсивной полугруппы S/ то
существует такой у ? S, что ау и уа — идемпотенты (Круазо,
устное сообщение).
(b) Пусть S — некоторая ^-инверсивная прямоугольная полу-
полугруппа. Тогда S* является ядром S и S* ^ E x G, где Е —
прямоугольная связка, a G — группа. (Тьеррен [1955а].)
136 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
9. Полугруппа S называется стационарной справа, если аЬ —
— ас {а, Ъ, с ? S) влечет за собой хЬ = хс для любого х ? S.
(a) Стационарная справа полугруппа прямоугольна.
(b) ^-инверсивная прямоугольная полугруппа стационарна
справа (и слева). (Тьеррен [1955а], а также Тьеррен [1955b].)
10. Пусть Т — полугруппа. Каждому элементу а 6 Т сопо-
сопоставим такое множество Ха, содержащее а, что множества
Ха (а ? Т) попарно не пересекаются. Пусть S = \j Ха. Рас-
абТ
пространим операцию умножения из Т на S, полагая аЬ = ар
при а 6 Ха и Ь ? Х& (а, р ? Т). Тогда S превращается в полу-
полугруппу, которую мы будем называть раздуванием *) полугруппы Т.
(a) В приведенных выше обозначениях Т — такая подполу-
подполугруппа из S, что S2 s Т. Определим отображение 9 полугруппы
S в Т, полагая ав — а при а ? Ха. Тогда (i) 9 отображает S
на Т, (ii) 92 = 9 и (Hi) (а9) (Ь9) = ab для всех а, Ъ ? S.
(b) Пусть Т — такая подполугруппа полугруппы S, что
S2 ? Т, и пусть 9 — преобразование полугруппы S, обладающее
свойствами (i), (ii) и (ш) пункта (а). Тогда S — раздувание полу-
полугруппы Т.
11. Полугруппа S прямоугольна и ^-инверсивна тогда и толь-
только тогда, когда она есть раздувание прямого произведения группы
и прямоугольной связки (отображение 9 из упражнения 10 задает-
задается следующим образом: ав = ае (а ? S, где е — единица мак-
максимальной подгруппы полугруппы S, которой принадлежит а2).
(Ямада [1955а].)
12. Элемент и полугруппы S называется средней единицей
полугруппы S, если аиЪ = ab для всех а, Ъ ? S. (Имеем и3 = и2,
и поэтому и2 является идемпотентом, хотя и может и не быть идем-
потентом.) Полугруппа S называется М-инверсивной, если для
каждого а ? S существуют х, у ? S, такие, что ах и уа — средние
единицы. Полугруппа S Af-йнверсивна тогда и только тогда,
когда она ^-инверсивна и прямоугольна. (Ямада [1955а].)
13. Пусть 3"х — полная полугруппа преобразований на мно-
множестве X. Пусть G — подгруппа симметрической группы &х
на X. Пусть я», (Я, ? Л) и р* (i 6 /) — такие элементы полу-
полугруппы Ух, что (i) яд, ? ??Яц (к, [i ? Л) влечет за собой Я, = ц,
(ii) рг ? pfi (i, /6-0 влечет за собой i — j и (Hi) я^р* 6 G для
всех К ^ Л, i ? /. Пусть
S = U {P*&U | % 6 Л, i б /}•
Тогда 5 ^ вМ (G, I, Л; JP), где Р = (яд,рг). (Сушкевич
[1940а].)
В оригинале — inflation.— Прим. перев.
§ 3.3. Группоиды Брандта 137
§ 3.3. Группоиды Брандта
В 1927 году Брандт [1927] ввел и определил строение бинарной
системы, в которой произведение определено не всюду, но которая
удовлетворяет некоторым довольно сильным аксиомам. Такая
система, известная теперь под названием «группоида Брандта»,
является абстракцией системы нормальных идеалов полупростых
линейных алгебр относительно «собственного» умножения.,Деталь-
умножения.,Детальное рассмотрение связи между группоидами Брандта и полупро-
полупростыми линейными .алгебрами проведено в гл. 6 (стр. 67—78)
книги Дойринга (D e u г i n g M., Algebren, Berlin, 1935). Ника-
Никаких знаний из этой области не потребуется для понимания настоя-
настоящего параграфа.
Также в 1927 г. Лови [1927] рассмотрел частичные группоиды,
которые он назвал смешанными группами. Понятие смешанной
группы оказалось эквивалентным понятию группоида Брандта-
Детальное изложение этого проведено в книге Сушкевича [1937],.
гл. 5, § 54—61. . . х
Мы покажем, что если к группоиду Брандта В присоединить
новый символ 0 и положить аЪ = О в случае, когда произведение
аЪ в В не определено, то В° = В [} 0 станет вполне 0-простой
полугруппой особенно простого строения. Будем называть В*
полугруппой Брандта. В представлении Риса (теорема 3.5)
и в обозначениях, введенных в § 3.1, мы получим В0 ^
^о#° (G; I, I; Д), где G — некоторая группа, / — некоторое
множество и сэндвич-матрица есть единичная матрица Д над G0.
Последнее означает, что Д = {Ьц), где
Чо,
., если i =
если i Ф /,
ае- единица группы G. Если (а),-;- и (b)ki — произвольные эле-
элементы полугруппы о#°, где а, Ъ ? G0 и ?, /, к, I ? /, то
(аЬ)ц, если ;==&,
{(аЬ)
О,
В терминах исходного группоида Брандта В эти результаты
можно выразить следующим образом. Элементы группоида R
можно единственным образом представить как тройки {а)ц, где-
а ? G и i, j ? 1. Каждая такая тройка является элементом груп-
группоида В. Произведение двух таких троек (а)ц и (Ь)ы равно {аЬ)цг
если / = к, и не определено, если / -ф к. Брандт получил эти
результаты в работе [1927]. Мы получим их, применяя теорему
Риба 3.5.
Группоидом Брандта называется частичный группоид В:
(см. § '1.1), удовлетворяющий следующим аксиомам:
138 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
(Б 1) Если ab = с (а, Ъ, с ? В), то каждый из трех элементов
¦а, Ъ, с однозначно определяется двумя другими.
(Б 2) Пусть а, Ь, с — элементы группоида В.
(i) Если ab и Ьс определены, то (ab) с и a (Ьс) определены
и равны.
(ii) Если ab и (ab) с определены, то Ъс и-a (be) определены
и a (be) = (ab) с.
(iii) Если be ж a (be) определены, то ab и (ab) с определены
и (ab) с = а (Ьс).
(Б 3) Каждому элементу а ? В соответствуют такие одно-
однозначно определенные элементы е, /, а' ? В, что еа = а/ = а и а'а =
= /. (Эти элементы называются соответственно левой единицей
элемента а, правой единицей элемента а и обратным элементом
для а.)
(Б 4) Если е% — е и /2 = / (е, / f 5), то существует такой
-элемент а ? В, что еа — af = a.
Пусть 0 — символ, не являющийся элементом группоида В,
и В0 — В U 0. Определим произведение (о) в В0, полагая при
-а, Ь е В
{- ab, если ab определено в В;
„ A)
0 в противном случае;
аоО = 0°а = 0°0 = 0.
(Брандт предлагал в работе [1927] эту конструкцию, но не видел
ее преимуществ.) Следующая лемма характеризует частичные
группоиды, которые получаются из полугрупп с нулем при отбра-
отбрасывании нуля. Эта лемма принадлежит Конраду [1957].
Лемма 3.7. Пусть В — частичный группоид и В° = В (J 0.
Определим бинарную операцию ( о) в В при помощи формулы A).
Тогда В° является полугруппой относительно операции (°) в том
и только в том случае, когда В удовлетворяет аксиомам Брандта
Б2 (ii) и Б2 (iii).
Доказательство. Предположим, что выполняются
аксиомы Б 2 (ii) и Б 2 (iii). Пусть а, Ь, с ? В0. Если один из эле-
элементов а, Ь, с равен 0, то ввиду A) как а о (Ь о с), так и (а о Ь) о с
равно 0. Следовательно, мы можем предположить, что а, Ь, с ? В.
Если а о (Ъ о с) -ф 0, то b о с ф 0 и тогда из формулы A)-сле-
A)-следует, что произведения be и а (Ьс) определены и равны соответ-
соответственно b о с и а о (Ь о с). На основании Б 2 (iii) произведения ab
и (ab) с определены. Отсюда ввиду A) ab.— aob и (ab) с—
= (а о Ь) о с. Более того, из Б 2 (iii) следует, что a (be) = (ab) с,
т. е. в этом случае а о (Ь о с) = (а о Ъ) о с. Аналогично, последнее
равенство справедливо и при (а о Ь) о с Ф 0. Но в единственном
оставшемся случае оба выражения а о (Ь о с), (а о Ь) о с равны 0,
так что они равны всегда.
§ 3.3. Группоиды Б ранд та 139
Обратно, предположим, что бинарная операция, заданная
при помощи условия A), ассоциативна. Пусть а, Ь, с — такие
элементы частичного группоида В, что произведения be и a (be)
определены. Тогда ввиду A) b ° с = be и а о (Ъ ° с) — a (be) ф 0.
По предположению (а о Ь) ° с = а ° (Ь о с). Отсюда следует, что
(а о Ь) о с ф 0, и поэтому сюЬфО. В силу A) мы заключаем,
что произведения ab и (ab) с определены в В и равны соответ-
соответственно а о Ь и (а о Ь) ° с. Из равенства (а о Ъ) о с = а о (Ъ о с)
следует, что (ab) с = a (be). Итак, мы показали, что выполняется
утверждение Б 2 (Hi). Утверждение Б 2 (ii) доказывается ана-
аналогично.
Полугруппой Брандта называется полугруппа В0 = В [) 0,
которая получается из группоида Брандта присоединением нуле-
нулевого элемента и произведение (о) в которой определено при
помощи условия A). Тот факт, что В0 — полугруппа, следует
из леммы 3.7. Опустим теперь символ (о), и следующим образом
переформулируем аксиомы Б 1 — Б 4 на долугрупповом языке.
Полугруппа Брандта есть полугруппа S с нулем, удовлетво-
удовлетворяющая следующим аксиомам:
(А 1) Если а, Ь, с — такие элементы полугруппы S, что ас ¦—
= Ьсф 0 или са = cb Ф 0, то а = Ь.
(А 2) Если а, Ь, с — такие элементы [полугруппы S, что
ab Ф 0 и be ф 0, то аЬс ф 0.
(А 3) Каждому элементу а Ф 0 полугруппы S соответствуют:
такой единственный элемент е из S, что еа = а; такой единствен-
единственный элемент /из 5, что af = а; такой единственный элемент а'
из S, что а'а = /.
(А 4) Если е и / — ненулевые идемпотенты полугруппы S,
то eSf ф 0.
Прежде всего покажем, что аксиомы А 1 и А 2 суть следствия
аксиомы А 3. Брандт знал, что его система аксиом не является
независимой, поэтому в более поздней статье [1940] он привел
несколько независимых систем аксиом.
Лемма 3.8. Аксиомы Al u A2 — следствия аксиомы A3.
Таким образом, полугруппа S с нулем является полугруппой
Брандта тогда и только тогда, когда она удовлетворяет аксио-
аксиомам А 3 и А 4. _
Доказательство. Предположим, что S удовлетворяет
аксиоме А 3. Заметим сначала, что элементы е, f и а', указанные
в А 3, удовлетворяют соотношениям
е2 = е, /2 = /, fa' = а'е = а', аа' — е.
Первое следует из равенств е2а = еа = а и единственности эле-
элемента е, постулированной в А 3. Доказательство того, что /2 = /,
аналогично. Из равенств а = af == аа'а и единственности эле-
140 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем,
мента е вытекает, что аа' = е. Из равенств а'еа = а'а = / и един-
единственности а' вытекает, что а'е = а'. Доказательство того, что
fa' = а', аналогично. Из доказанных соотношений вытекает
равенство (а')' = а.
Отметим, далее, что из е2 = е, /2 = / и ef Ф 0 следует е = /.
Действительно, а' — элемент, обратный для а = ef. Учитывая
равенства е = аа' = efa' = еа', заключаем, что а' — е. Следо-
Следовательно, а = (а')' = е' = е. Учитывая равенства ее — е — а —
= ef, получаем, что е — /.
Легко видеть, что аЪ Ф 0 тогда и только тогда, когда правая
единица элемента а совпадает с левой единицей элемента Ь. (Заме-
(Заметим, что из равенств а/ = а, fb = Ъ, а'а = / и ЪЪ' — f вытекает
/ = /• = а' (аЬ) V.)
Теперь мы в состоянии доказать А 1. Пусть ас — be Ф 0.
Тогда левая единица е элемента с является также правой еди-
единицей для элементов а и Ъ. Если с' — элемент, обратный для с,
то ее' — е и потому а — ае — асе' = bee' =' be = b. Аналогично,
са = cb Ф 0 влечет за собой а = Ь.
Докажем А 2. Пусть аб^Ои be =? 0. Тогда правая единица
элемента а является левой единицей элемента b последовательно,
левой единицей элемента be. Таким образом, a (be) ф 0.
Эквивалентность условий (i) и (Hi) следующей теоремы была
впервые обнаружена Клиффордом [1942], а условий (ii) и (Hi) —
Манном [1957а].
Теорема 3.9. Следующие три условия для полугруппы S с нулем
эквивалентны:
(i) S — полугруппа Брандта;
(ii) S — вполне 0-простая инверсная полугруппа;
(ш) ? изоморфна (регулярной) рисовской полугруппе матрич-
матричного типа а?° (G; I, I; Д) с единичной сэндвич-матрицей Д над
группой с нулем G0.
Доказательство. (i)=^> (ii). Покажем сначала, что
полугруппа S 0-проста. Для этого в силу леммы 2.28 достаточно
установить, что если а и ft — ненулевые элементы полугруппы S,
то существуют х, у ? S, для которых уах = Ь. Пусть е — левая
единица элемента аи/ — правая единица элемента Ь. Ввиду
условия А 4 существует отличный от нуля элемент с ? eSf. Пусть
а! — элемент, обратный для а, и с' — элемент, обратный для с.
Тогда аа' — е и с'с = /. Положим х = ас и у = be'.. Тогда
уах — be' аа' с = be'ее = be'с = bf == b.
Из аксиомы А 3 следует, что S содержит идемпотенты. Пусть
е и / — такие идемпотенты полугруппы S, что 0 <С / ^ е. Из соот-
соотношений ef = ff = / фО и единственности в аксиоме А 3 мы
заключаем, что е = f. Следовательно, е — примитивный идемпо-
тент полугруппы S, т. е. S вполне 0-проста.
S 3.3. Группоиды Врандта 141
В силу А 3 ясно, что S регулярна (аа'а = af = а). Пусть
R — ненулевой ,^2-класс полугруппы S и е, f — идемпотенты
из S, содержащиеся в R. По лемме 2.14 ef = /. Отсюда, из аксио-
аксиомы А 3 и равенства // = / вытекает, что е = /. Аналогично, каж-
каждый 55-класс полугруппы S содержит точно один идемпотент.
В силу следствия 2.19 S есть инверсная полугруппа.
(ii) =ф (Ш). По теореме Риса 3.5 S изоморфна регулярной
рисовской полугруппе о#° (G; I, А; Р).
Будем пользоваться обозначениями, принятыми перед лем-
леммой 3:2. На основании утверждения (iv) этой леммы Нц, содержит
идемпотецт тогда и только тогда, когда рмф0. По предполо-
предположению S ¦"— инверсная полугруппа. Отсюда ввиду следствия 2.19
вытекает, что каждый ^?-класс и каждый ,55-класс полугруппы S
содержит точно один идемпотент. Таким образом, каждая строка
и каждый столбец матрицы Р содержит точно один ненулевой
элемент. Следовательно, 7 и Л имеют одинаковые мощности
и мы можем упорядочить их таким образом, чтобы ненулевые
элементы матрицы Р находились только на главной диагонали.
Так как 7 и Л — всего лишь множества индексов, мы можем счи-
считать, что 7 = Л. Тогда pt\t Ф 0 для каждого i ? I и ptj = 0 при
i ф ). Другими словами, Р — диагональная матрица. В силу
леммы 3.6 можно заменить Р = (pji) на Р' = (p'ji) = (vjpjiUi),
где UfHVj — произвольные элементы группы G. Положив ut = р~г\
и Vj — е, получим Р' = А.
(iii) =ф (i). Взяв S — <dt° (G; I, I; Д), в силу леммы 3.8 доста-
достаточно доказать выполнения условий А 3 и А 4. Для доказатель-
доказательства А 3 зафиксируем ненулевой элемент (а)ц полугруппы S.
Тогда (x)hi {а)ц = tx&itd)hi — (a)tj B том и только в том случае,
когда к = i, I = i и ха = а, т. е. (x)ki (a)i] = {а)ц тогда и только
тогда, когда {х)м = (e)it. Аналогично, (е)}] — единственная пра-
правая единица элемента (а) и и (а~х)/г — единственный обратный
элемент для (а)ц. А 4 выполняется, так как {е)п S (e)jj содержит
ненулевой элемент {ё)ц.
Упражнения к § 3.3
1. Аксиома А 3 эквивалентна следующему утверждению: каж-
каждому элементу а =/= 0 полугруппы S соответствует единственный
элемент а', такой, что аа'а = а.
2. Полугруппа S с нулем удовлетворяет аксиоме А 3 тогда
и только тогда, когда S '— инверсная полугруппа, в которой каж-
каждый ненулевой идемпотент примитивен.
Отсюда следует, что полугруппы Брандта могут быть охарак-
охарактеризованы как инверсные полугруппы, удовлетворяющие аксио-
аксиоме А 4, в которых каждый ненулевой идемпотент примитивен.
При замене слова «инверсные» на «регулярные» мы получаем
142 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
характеризацйю вполне 0-простых полугрупп (ср. с упражне-
упражнением 11 к § 2.7).
3. Каждый главный фактор конечной инверсной полугруппы
является полугруппой Брандта (Манн [1955b]).
4. Назовем частичной группой частичный группоид, удовле-
удовлетворяющий аксиомам Брандта Б ir, Б 2, Б 3. Ввиду упражне-
упражнения 2 и леммы 3.8 частичная группа равна <S"\0, где S — неко-
некоторая инверсная полугруппа, в которой каждый ненулевой
идемпотент примитивен.
(a) Пусть р — отношение, эквивалентности на множестве X.
Определим на нем умножение, полагая (х, у) (w, z) = (х, z),
если у — w и (g, z) ? р, и считая в противном случае, что это
произведение не определено (х, у, w, z 6 X). Тогда р — частичная
группа.
(b) Только что определенная частичная группа является груп-
группоидом Брандта тогда и только тогда, когда р — универсальное
отношение ю на X. (Круазо [1948а], а также Круазо [1948b].)
§ 3.4. Гомоморфизмы регулярных рисовских
полугрупп матричного типа
Гомоморфный образ полугруппы будем называть нетривиаль-
нетривиальным, если его порядок больше 1. Пусть S — регулярная рисов-
екая полугруппа матричного типа. Из леммы 3.10, приведенной
ниже, и теоремы Риса 3.5 следует, что каждый нетривиальный
гомоморфный образ полугруппы S изоморфен регулярной рисов-
ской полугруппе матричного типа. Цель этого параграфа — опре-
определить все гомоморфизмы полугруппы S в рисовскую полугруппу
матричного типа S*; при этом S* не предполагается регуляр-
регулярной. Основным результатом является теорема 3.11, принадлежа-
принадлежащая Манну [1955а] х). Она обобщает более раннюю теорему Риса
[1940], которую мы выведем в качестве следствия 3.12.
Лемма 3.10. Пусть О — нетривиальный гомоморфизм вполне
0-простой полугруппы S на полугруппу S'. Тогда 9 отображает
ненулевые элементы полугруппы S на ненулевые элементы полу-
полугруппы S' и S' — также вполне 0-простая полугруппа.
Доказательство. Очевидно, 0' = 00 — нуль полу-
полугруппы S' и 0'Э — идеал полугруппы S. Если 0'Э = S, то
S' = 50 = 0', т. е. 9 — тривиальный гомоморфизм. Следова-
Следовательно, О'Э = 0 и поэтому а ? 5\0 влечет за собой ав ? ?'\0.
• Пусть а', V ? S' и а' Ф 0'. Так как S' = SQ, существуют
такие а, Ь 6 S, что аб = а' и 69 = V'. Ясно, что а Ф 0, откуда
*) Этот результат- ранее был получен Л. М. Глускиным в диссертации
1951 г. и опубликован в его работе [1956] (см. также замечание авторов
в § 10.7).— Прим. ред.
§ 3.4. Гомоморфизмы регулярных рисовских полугрупп 14$
в силу леммы 2.28 следует существование таких х, у ? S, что
хау = Ь. Тогда Ь'- = х'а'у', где х' = хд, у' = ув, и снова в силу
леммы 2.28 полугруппа jS" 0-проста.
По теореме 2.48 S обладает О-минимальным правым идеалом R.
На основании предыдущего RQ Ф О'. Легко видеть, что Лв есть
О-минимальный правый идеал полугруппы S'. Аналогично, S'
обладает О-минимальным левым идеалом. Снова' применяя тео-
теорему 2.48, заключаем, что S вполне 0-проста.
Теорема 3.11. Пусть S = еМ° (G; I, A; Р) — рисовская полу-
полугруппа матричного типа с сэндвич-матрицей Р = (рм) над груп-
группой с нулем G°, a S* = <М° (G*; /*, Л*; Р*) — рисовская полу-
полугруппа матричного типа с сэндвич-матрицей Р* = (p**j*) над
группой с нулем (G*H.
Пусть i-*~ut и k^-yvx — отображения множеств I и А.
соответственно в G*, а ср и ip — отображения соответственно I
в I* и А в А*. Пусть ю — нетривиальный гомоморфизм G° в (G*)9,
причем
PU® = VxPU, гф1 , A)'
для всех А, ? Л и i ?./. Для каждого элемента (a; i, Я.) g S положим
(a; i, k) 9 = [ut (аю) vh; щ, Ц] B)
(квадратные скобки используются для обозначения элементов полу-
полугруппы S*). Тогда в — нетривиальный гомоморфизм полугруппы S
в S*. Обратно, если S регулярна, то каждый нетривиальный
гомоморфизм полугруппы S в S* получается указанным способом.
Доказательство. Пусть (a; i, К) и (Ь; /, ц) — эле-
элементы полугруппы S. Тогда в силу соотношений A) и B) имеем
((a; i, X) о (Ъ; /, ц)) в = (apXjb; i, ц) 9 =
= [ut (ap^b) wv^; гф, Ц1|з] =
= lui (аю) (русо) (Ью) v^, itf,
= [ut (ао) Vf.ptpjyUj (Ъа) v^, ф ц
= [ut (aa>) v%; iff, Щ о [us (bw) v^;
= (a; i, X) в о (Ь; j, fi) 9.
Так как по предположению ю — нетривиальный гомоморфизм,
со переводит нуль полугруппы G0 в нуль полугруппы (G*H и ото-
отображает G в G*. Отсюда в силу B) следует, что в — нетривиаль-
нетривиальный гомоморфизм.
Обратно, пусть 9 — нетривиальный гомоморфизм S в S*.
Предположим, что полугруппа S регулярна. Если 0 — нуль
полугруппы S, то 09 — идемпотент из S*. Если 09 не является
нулем полугруппы S*, то по лемме 3.2 09 = Ipj»1»»; i*, Я*]
для некоторых i* ? /*, X* ? Л*. Очевидно, 09 — нуль полу-
144 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
группы 58. Следовательно, для любого [х; }*, ц*] ? 58 имеем
[х; ]*, ц*] о 08 = 08 = 09 о [Х; j*, ц*].
Отсюда вытекает, что j* — i*, \i* = Я* и х = р**\*- Таким
¦образом, 59 состоит из одного элемента, что противоречит пред-
предположению. Итак, 09 — нуль полугруппы 5*. Кроме того,
по лемме 3.10 9 отображает ненулевые элементы из 5 в ненулевые
элементы из 5*.
Очевидно, что любой гомоморфизм одной полугруппы в дру-
другую отображает ^-эквивалентные [^-эквивалентные] элементы
в ^-эквивалентные [^-эквивалентные] элементы. Будем исполь-
использовать введенные перед леммой 3.2 обозначения Ri (i 6 /)
и L), (Я ? Л), относящиеся к полугруппе 5, и обозначения
R** {i* 6 I*) и L*» (Я* ? Л*), относящиеся к полугруппе 5*.
По лемме 3.2 (п) ввиду регулярности 5 каждое Rt является
^-классом полугруппы 5, и поэтому R$ содержится в некотором
^?-классе полугруппы 5*. По лемме 3.2 (i), примененной к 5*,
имеем 7?j8s R** при некотором i* ? I*. Так как RtQ Ф 0, i -*¦ i*
есть отображение ф множества / в /*. Аналогично, L\Q s L\*
при некотором Я* ? Л* и Я -> Я* есть отображение iJj множества Л
в Л*. Из На = Hi П ^х. следует, что HaQ s 7?*Ф П ^U-
Выберем теперь какой-либо d^-класс Нц полугруппы 5,
содержащий идемпотент вц. Тогда Нц —подгруппа полугруппы 5,
изоморфная G, и рц ф 0. Очевидно, ец6 — ненулевой идемпо-
идемпотент полугруппы 5*, принадлежащий R*v f) L*^,, и на основании
леммы 3.2 (iv) piijj.^^O и /Г*ф) i^ = R*<f (] L*y есть d^-класс
> полугруппы 5*, являющийся подгруппой, изоморфной G*.
Равенство
определяет отображение (о группы G в G*. Если х, у — элементы
группы G, то
, 1)вс(р-1у;1, 1)8 =
откуда (жу) (о = (жю) (j/со), т. е. со — гомоморфизм группы G в G*.
Распространим (о на G0, полагая 0© равным нулю полу-
полугруппы {G*)°.
§ 3.4. Гомоморфивмы регулярных рисовских полугрупп 145
Теперь определим элементы щ (i ? Г) и v% (Я ? Л) из G*
при ломощи равенств
(е; i, 1) 6 = [и,; щ, Ц], D)
(р-1; 1, Я) 9 = fр*;/1ф1»х; 1ф, ЗД. E)
Для любого элемента (a; i, Я) ? ? имеем
(a; i, Я) = (в; i, 1) о (p-ifl; 1, 1) о (р-ь 1, Я).
Применяя гомоморфизм в и используя C), D), E), получаем
(a; i, k) в = [щ; мр, 1ф] о [р^1ф (аш); 1ф, 1^] о Ipf^^wx; 1ф,
Это равенство, очевидно, сводится к равенству B).
Из B) мы выводим
((е; i, К) о (е; i, %))в=(рц\ i, Я) 0 = [щ (ри®) vk; tq>,
и
(е; i, Я) 9 о (в, i, Я) 6= [и^; <Ф, Яа|>] о [Mji;x
= [и&ьрю, iyUiV,,; щ,
Так как 9 — гомоморфизм полугруппы S в S*, мы заключаем, что
откуда вытекает равенство A).
Приступим теперь к выводу следствия и двух дополнительных
теорем. Следствие 3.12 и есть по существу теорема Риса ([1940,
стр. 397). Назовем / х /*-матрицу U над группой с нулем G0
инвертируемой, если каждая строка и каждый столбец матрицы U
содержит точно один ненулевой элемент полугруппы G0. Если
/ х /*-матрйца инвертируема, то, очевидно, | / | = | /* |. Если
со — гомоморфизм группы с нулем G0 в группу с нулем (G*H
и Р = (рм) — произвольная Л х /-матрица над G0, то через
Ра будем обозначать Л х /-матрицу ()
Следствие 3.12. Две регулярные рисовские полугруппы матрич-
матричного типа <Мй (G; I, A; P) и вМ° (С?*; /*, Л*; Р*) изоморфны
тогда и только тогда, когда существует изоморфизм со, отобра-
отображающий G0 на (G*H, и такие инвертируемые I* х 1-матрица U
и А х А*-матрица V, что Ра = VP*U.
Доказательство. Заметим, что если в теореме 3.11
6 есть изоморфизм полугруппы S на S*, то ф и iJj взаимно одно-
однозначны и являются отображениями на соответствующие мно-
множества. В самом деле, 9 индуцирует взаимно однозначное ото-
отображение ^-классов [^-классов] полугруппы S на ^?-классы
[^-классы] полугруппы S*. Определим /* х /-матрицу U =
10-1159
146 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
= (ui*> j), полагая
С Uj, если ?* = /ф,
Щ* j = { Л • F)
I О в противном случае.
Определим Л X Л*-матрицу V—(vit д»), полагая
{v\, если ц* = Яф,
О в противном случае.
Тогда Pa = VP*U.
Обратно, пусть существует изоморфизм © группы с нулем G*
на (G*H и такие инвертируемые матрицы U и У, что Р© = VP*U.
Пусть Uj — ненулевой элемент группы с нулем (G*H из /-го столб-
столбца матрицы U. Пусть Uj лежит в ?*-й строке. Тогда отображение
j -*- i* есть взаимно однозначное отображение ф множества /
на /* и выполняется условие F). Аналогично выполняется усло-
условие G) при подходящем выборе v\ и т|э. Тогда равенство Ра =
_ ур*и приводит к равенству A). Так как ф, т|) и а взаимно
однозначны и являются отображениями на соответствующие мно-
множества, равенство B) определяет взаимно однозначное отображе-
отображение 8 полугруппы 5 на S*, которое по теореме 3.11 является изо-
изоморфизмом.
Из следствия 3.12 вытекает, что- если в полугруппе S =
= аМ° {G; I, Л; Р) мы заменим Р на Р* = У (Pa) U'1, то.
получим лишь другое представление S как рисовской полугруп-
полугруппы. Обратно, следствие 3.12 показывает, что только такие пре-
преобразования матрицы Р не меняют полугруппы S.
Обратное утверждение следствия 3.12 справедливо и для ирре-
иррегулярной полугруппы S. «Координатизируем» S при помощи
троек (a; i, X), где а пробегает G°, i пробегает / и X пробегает Л,
и введем новые координаты (а; г, X)' следующим образом: пусть
U и V — инвертируемые / х /-матрица и Л X Л-матрица соот1
ветственно над G0 и
U = (м?ф1 г), V = (Уя,,я,ф),
где ф Ьр] — подстановка на / [Л1, и пусть а — автоморфизм
группы с нулем G0. Тогда положим
(a; i, X)' = (uiq>ti (aa) vj,,^; iq>, Яч|з). ¦ (8)
Прямыми вычислениями мы находим, что
(a; i, X)' о (Ъ; /, ц)' = {aq%jb; i, ц)', (9)
где
Следовательно, новые тройки (а; г, X)' перемножаются относи-
относительно бинарной операции (о), заданной вS, точно так же, как
§ 3.4. Гомоморфизмы регулярных рисовских полугрупп 147
тройки Риса с сэндвич-матрицей
Q = (VPU) со-1. A0')
Поэтому запись S = оМй (G; I, Л; Q) полностью оправдана. Под-
Подчеркнем, что при такой записи не происходит изменений в опре-
определении операции в S, а лишь меняются координаты элементов
полугруппы S, так что S предстает перед нами как рисовская
полугруппа матричного типа с сэндвич-матрицей Q вместо Р.
Будем называть тройки (a; i, %)' координатами элементов полу-
полугруппы S относительно матрицы Q.
Вывод равенства (9) из равенства (8) упростится, если записать
эти равенства в матричной форме. Для каждой,/ X Л-матрицы А
положим
. (8')
Тогда
¦ А'РВ' = (AQB)', (9')
где Q задается условием A0'). В своей диссертации [1960] Тулли
дает интерпретацию замены А на А' (и «контраградиентной»
замены Р на Q) по аналогии с заменой, которая происходит при
матричном представлении линейного отображения одного век-
векторного пространства в другое при смене базисов у этих про-
пространств.
Следующая теорема не зависит, однако, от того, как мы будем
интерпретировать замену координат (8). Более того, нам пона-
понадобится лишь случай, когда U и V — диагональные матрицы
и со — тождественный автоморфизм. Этот частный случай был
впервые рассмотрен нами в лемме 3.6 и был использован для
«нормализации» сэндвич-матрицы. Нужно заметить, что при
помощи нормализации матрицы Р в упражнении 1 к этому пара-
параграфу удается привести простое выражение для всех гомомор-
гомоморфизмов заданной вполне простой полугруппы S в заданную
группу G*, тогда как нормализация матриц Р и Р* в теореме 3.13
(см. далее), которая исключает щ и V), из выражений для гомо-
гомоморфизма 8, зависит от самого гомоморфизма 6. Нам неизвестно,
всегда ли существует нормализация, пригодная для всех 8,
но кажется, что ответ на этот вопрос должен быть отрицательным.
Теорема 3.13. Пусть S и S* — те же полугруппы, что и в тео-
теореме 3.11, ив — нетривиальный гомоморфизм полугруппы $
в S*. Пусть объекты <р, iJj, со, щ и V), определены при помощи в,
как и в теореме 3.11,' так что имеют место равенства A) и B).
Тогда можно выбрать новые сэндвич-матрицы Q для S uQ* для S*,
для которых
= qwiq {при любых Я?Л, &?/) A')
10*
148 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
И
(e;i, Л,)'е = [аш;*р, to|)]', . B')
где штрихи указывают на то, что координаты элементов полу-
полугрупп S и S* берутся относительно матриц Q и О* соответ-
соответственно.
Отсюда следует, что SQ есть регулярная рисовская полугруппа
матричного типа Jt°(G';J', Л'; Q'), где G — Ga, Г = Iff,
А' — AiJj и Q' является Л' X Г -подматрицей матрицы Q*.
Доказательство. Пусть для каждого i* из /ф элемент
i0 выбран в / так, что ioy = i*. Через а обозначим отображение
?* -*- i0. Легко видеть, что а — такое отображение /<р в /, что
для кагкдого i* ? /<p выполняется равенство t*cup = i*. Анало-
Аналогично, пусть р — такое отображение Лг|) в Л, что Рф — тождествен-
тождественное преобразование множества Лч|>. Пусть
щ* = щ*а, v\* — 1\*0.
Для i* ?1* \/ф и X* 6 Л* \ AiJj элементы щ* и v^ положим рав-
равными е* (единице группы G*). Наконец, пусть
. <?**, i* = Vl*pt*, г*Щ* (ПРИ ЛЮ6ЫХ Я* ? Л*, I* ? /*) .
Как было отмечено выше, S* = а#° (G*; /*, Л*; Q*), где Q* =
= (qt*,i*)-
Пусть i — произвольный элемент множества / и i0 = icpa.
Тогда 1ф = iocp. Так как по предположению полугруппа S регу-
регулярна, существует такое Я 6 Л, что р«0 ?= О- В силу формулы A)
имеем
Я
Из равенства гф = ^оф следует, что
(ры®)Щ1
т. е. ри?=0 и
со.
Таким образом, щ^щ^а. Выберем для каждого ??/ такой элемент
Xi?G, что Mi"o"i = д?г*». Так как щ0 = иг<ра = «,ф, то
Аналогично, для каждого Я, g Л существует такое г/я € G, что
Положим
§ 3.4. Гомоморфизмы регулярных рисовских полугрупп 149
Тогда S = aM°{G; I, Л; Q), где Q = {qu) и
(риа>)
= ?Ял|>, гф,
что устанавливает справедливость условия A').
В соответствии с равенством (8) в данной ситуации коорди-
координаты элементов полугрупп S и S* относительно О и Q* задаются
при помощи соотношений
(a;i, %)'= (x?ayt; i, X)
и
соответственно. Таким образом, в силу^B) имеем
(a; i, X)' 9 = [щ {xfayi1) avx; 1<р, Ят|з] =
= [щ (Xid))-1 (ao) (i/xco)-1 yj,; 1ф, Щ =
= [и,-ф (асо) у^ф; гф
Последнее утверждение теоремы теперь очевидно; заметим лишь
следующее: условие A') показывает, что каждый элемент матрицы
Q' лежит в G'0 и Q' регулярна.
Следующая теорема является модификацией теоремы 3.11
и будет использована нами в теории расширений (§ 4.5).
Теорема 3.14. Если в условии теоремы 3.11 мы предполо-
предположим, что равенство A) выполняется при рц^= 0 и не обязательно
выполняется при рм = 0, то отображение 0, определенное при
помощи равенства B), является частичным гомоморфизмом S \ О
в S* \ 0. Обратно, если S регулярна, то каждый частичный гомо-
гомоморфизм S \ 0 в S* \ 0 получается таким образом.
Доказательство. Пусть (a; i, %) и (b; /, \i) — эле-
элементы из S \ О. Если
(a; i, Я)о(Ь; ;, ji)gS\O,
то pxj Ф 0. Следовательно, для X ж j выполняется условие A).
Дальнейшая часть доказательства первого утверждения тео-
теоремы 3.14 совпадает с доказательством первого утверждения тео-
теоремы 3.11.
Обратно, предположим, что полугруппа S регулярна и 0 —
частичный гомоморфизм 1?\0в5*\0. Тривиально, что 0 пере-
переводит ненулевые элементы полугруппы S в ненулевые эле-
элементы полугруппы S*. Если А и В — такие различные элементы
150 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
из S, что АМВ, то АХ = В и BY = А при некоторых X, Y ?
6 S \ 0. Тогда (Л0)(Хе) = BQ и СВ8)(Г8) = Л0, т, е. (Ад) М (Вв)
в полугруппе S* \ 0. Дальнейшая часть доказательства равен-
равенства B) проводится точно так же, как в теореме 3.11. Далее,
предположим, что рм =f= 0 при некотором Я ? Л и некотором
i ? /. Тогда, очевидно, (е; i, X) о (е; i, X) Ф 0, и доказательство
равенства A) проводится точно так же, как в теореме 3.11.
Упражнения к § 3.4
1. (а) Пусть S — рисовская полугруппа матричного типа
S (G; I, Л; Р) без нуля с сэндвич-матрицей Р = (рм) над груп-
группой G, и пусть G*— группа. Предположим, кроме того, что матри-
матрица Р нормализована, т. е. ри = pit = е для всех X ? Л и i 6 I,
где е — единица группы G (так всегда можно сделать в силу лем-
леммы 3.6). Пусть со — гомоморфизм группы G в G*, причем Ри® =
= е* для всех i ? / и Я ? Л, где е* — единица группы G*. Тогда
равенство (a; i, %) 6 = аю определяет гомоморфизм б полугруппы
5 в (?*, и каждый гомоморфизм полугруппы S ъ G* получается
указанным способом.
(Ь) Пусть мы находимся в условиях упражнения 1 (а) и N —
нормальный делитель группы G, порожденный элементами.матри-
элементами.матрицы Р. Тогда SQ является гомоморфным образом группы GIN,
т. е. GIN — максимальный групповой гомоморфный образ (§ 1.5)
полугруппы S. (Столл [1951].)
§ 3.5. Представления Щютценберже
Пусть S — полугруппа, G — группа и / — множество. Под
представлением М полугруппы Six /-матрицами над G0 мы
понимаем такое отображение s-+ M (s) полугруппы S в множество
всех / х /-матриц над G0, что если s и t — произвольные эле-
элементы полугруппы 5, то произведение М (s) M (t) матриц М (s)
и М (t) определено и равно М (st). Если М (s) M (t) = М (ts)
вместо М (st), то М называется антипредставлением.
Мы не будем рассматривать здесь общую теорию таких пред-
представлений, развитие которой было начато Туллй [1960], а изучим
лишь некоторые представления такого типа, открытые Шютцен-
берже [1957а]. В его статье содержатся излишние ограничения,
которые позднее были сняты Престоном [1958]. Некоторое обоб-
обобщение см. в статье Шютценберже [1958].
Для каждого ^-класса D полугруппы S существует одно
представление Шютценберже Ми и одно антипредставление М'в
полугруппы S. Последнее можно превратить в представление МЪ,
которое мы назовем двойственным представлением Шютценберже
полугруппы S, соответствующим D.
§ 3.5. Представления Шютценберже 151
Лемма 3.15. Пусть Я есть SB-класс полугруппы S и R [L]—
ее М-класс [%-класс]п содержащий Я.
(i) Для каждого s ? S либо Hs f| R — 0, либо Hs есть SB-класс,
содержащийся в R, a Ls есть Х-класс, содержащий Hs.
(ii) Если Hs [\ R = 0, то Hst [\ R = 0 для любого t ? S.
.Доказательство.-(i) Предположим, что Hs f] R-ф 0.
Пусть Ъ ? Hs П Д. Тогда Ь = as для некоторого а ? Н. Так как
аЗ?Ь, то а = is' при некотором s' ? 5. По лемме Грина B.2) ото-
отображение х -> as сохраняет .5?-классы и взаимно однозначно ото-
бра'жает La на Lb. Следовательно, Hs = Нь s i? и LS = Lb s Я6.
(ii) Пусть Hstf) R^ 0 и b ? Hst (} R. Тогда b = ast при
некотором а 6 Я. Так как bJ?a, то a = bf' при некотором t' 6 5.
Равенства Ь == (as) t и as = b (t's) влекут за собой b Mas, от-
откуда as.?Hsf\ R, что противоречит условию Hs f\ R = 0.
. Пусть Z) — некоторый S-класс полугруппы S, а {#* | i ? 7}
и {La, | A, 6 Л} — соответственно ее ^?-классы и ^-классы, содер-
содержащиеся в?). Тогда d^-классы полугруппы S, содержащиеся b~Z),
суть множества На — Rt П ^а (i 6 I, ^ € А). Предположим, что
/ и Л имеют общий элемент 1. Это не уменьшает общности. Мы про-
просто выделяем один с0-класс Н — Ни полугруппы S, содержа-
содержащийся в D, который в дальнейшем будет играть особую роль.
Для каждого Я ? Л выберем элемент h^ из Нц,. Так как h^hi,
существуют такие элементы <д, q'x ? S1, что hy, = \q% и hi =
= h^qi. По лемме Грина 2.2 отображения х -> xq% и у -*¦ yqi
суть взаимно обратные взаимно однозначные отображения клас-
классов Li и Za друг на друга, сохраняющие ^?-классы. Для каждого
Я ? Л выберем и зафиксируем такие элементы q%, и q'\ из 51.
Двойственным образом, для каждого i ? / существуют такие
элементы г^ и rj полугруппы 51, что отображения х -*• rtx и у ->
->¦ '¦jj/ суть взаимно обратные взаимно однозначные отображения
Ri и Дг друг на друга, сохраняющие ^-классы. Для каждого
i ^ I выберем и зафиксируем такие элементы rt и г\. (В отличие
от ситуации из § 3.2 мы не можем предположить, что <&, ql, rt и rj
принадлежат D-)
Как и в § 2.4, пусть Т (Н) — множество всех элементов t ? 51,
для которых Я^ s Я, и -у* = 9t I -й"- Множество Г (Я) всех Yd
где t пробегает Т(Н), является группой-Шютценберже <^?-класса
Я (теорема 2.22). Двойственно, пусть Т (Я) — множество всех
элементов и ? 51, для которых ыЯ ЕЯ, и у'и — "ku \ H. Мно-
Множество Г' (Я) всех Yu, когда и пробегает Т' (Я), является двой-
двойственной группой Шютценберже <^?-класса Я, антиизоморфной
группе Г (Я) по теореме 2.24. В дальнейшем нам будет удобнее
писать y (t) вместо Yt и ?' (и) вместо Yu-
Поставим в соответствие каждому элементу s полугруппы S
А х Л-матрицу MD (s) = (m^ (s)) над Г (ЯH и / х /-матрицу
152 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
fD (s) = (т'ц (s)) над Г' (ЯH, определенные следующим образом
t, М- € Л; I, /6/):
YCWli). если Hi%s==Hiv.,
A)
О • в остальных случаях;
-{
•еСЛИ- B)
О в остальных случаях. -
Мы должны показать, конечно, что выражения, стоящие справа,
определены. Пусть Яц,« = Hiv,. Тогда, hq%s 6 Я1ц для любого
h ? Я, так как hq%. ? Нц.. Поскольку Hi^q'^ — Яц = Я, отсюда
следует, что hqjjsqd ? Я. Таким образом, g^sg/v 6 Т (Я) и поэтому
Y (Q\sQh) определено. Двойственным образом можно показать, что
у' (г'з^д определено, если sR~u = Hj\.
TeopejIa 3.16. Отображение s-*-Md (s) является представле-
представлением полугруппы S мономиалъными по строкам А X А-матрица~
ми над группой Г (ЯH. Для данных %, ц 6 Л и у (t) ? Г (Я)
(? 6 Г (Я)) существует такой элемент s ? S, что т^ (s) = у (t).
Отображение s -> M'n (s) является антипредставлением полу-
полугруппы S мономиалъными по срокам I х 1-матрицами над Г' (ЯH.
Для данных i, j ? I и у' (и) 6 Г' (Я) (и 6 Т' (Я)) существует
такой элемент s ? S, что т'ц (s) —у' (и).
Замечания. Назовем MD [M'd\ представлением [антипред-
[антипредставлением] Шютценберже полугруппы S, соответствующим
S-классу D. Если мы выберем другой J^-класс в D и другие эле-
элементы q},, q{ [r{, r'il, то вид A) [B)] представления [антипред-
[антипредставления] Шютценберже изменится несущественно (упражне-
(упражнение 1 к настоящему параграфу).
Упражнение 2 к данному параграфу показывает, что для
полугруппы MD (S) представляющих матриц следующие два
свойства являются по существу определяющими: (i) каждая
матрица из Md (S) мономиальна по строкам, (И) т%^ (S) э Г (Я)
Для каждой пары (К, ц,) из Л X Л.
Доказательство. Покажем сначала, что каждая мат-
матрица Md (s) мономиальна по строкам. Пусть s ? S и Я ? Л. Тогда
Hit. S Ri. Применяя лемму 3.15 (i) (где вместо Я взят класс Нц),
мы заключаем, что либо Hnjs f] Ri =0, либо H^s = Hiv, при
некотором [А 6 Л. В нервом случае %-я строка матрицы М (s)
состоит из нулей. Во втором случае Х-я строка содержит у (qisq1^)
в fi-м столбце и нули на остальных местах.
Для доказательства другого свойства, сформулированного
в теореме, в качестве s достаточно взять элемент qitq^. Действи-
Действительно,
Н iks = H^q'^tq^, = Htq^ — Hq^ — Я)(г,
\
: § 3.5. Представления Шютценберже 153
поэтому тхц (s) = у (q^sq'v) • Если К—произвольный элемент
(Й?-класса Н, то
потому что xqiq'b = x и xqv.q'il = x для любого х?Н. Следовательно,
Покажем, что МD (s) MD (t) = MD {st) для любых s, *?? илиг
другими словами, что
2
пел
для любых %, v?A.
Предположим сначала, что wij,v(s?)=^O. Тогда H^st — H^ и
По лемме 3.15 (ii) H^sf] В.хф 0, так как в противном
случае #jv = Hujst П -Й1 = 0- Следовательно, на основании
леммы 3.15 (i) H\%s = ZTix при некотором х 6Л, поэтому
) = 0 при
Так как Hiw — H^st=^Hivt, отсюда следует, что
Следовательно, левая часть соотношения C) равна
у (qxsq'x) у (qJq'v) = у (ewxgxtyv) • E)
Для того чтобы доказать равенство выражений D) и^E), доста-
достаточно установить, что
для каждого h ? Н. Но это равенство выполняется, поскольку
hq^s 6 Hi%s = HiK и отображение х ->- ;rg?<7x ^сть тождественное
отображение /Г1Х на себя.
Предположим теперь, что т^ (st) = 0 и, значит, Я^й ф Hiv
Мы должны доказать, что левая часть равенства C) также
равна 0. Если Hi%s f) i?t =0, то техц (s) = 0 для любого fi 6 Лг
и поэтому левая часть соотношения C) равна 0. Если Hi%s f| 7?t ф.
ф 0, то по лемме 3.15 (i) Has ~ Hi% при некотором и^Л.
Так как тх^ (s) = 0 для каждого ц Ф к, достаточно установить,
что тт {t) = 0. Но это выполняется, поскольку HiKt = H±},st Ф
Ф Hiv.
Доказательство второй части теоремы 3.16 проводится анало-
аналогично, поэтому мы приведем лишь его фрагмент. Покажем, что
154 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем \
Т. е.
Предположим, что m'u(ts)=^=O. Тогда г$Нц = Нц и
По лемме, двойственной к лемме 3.15 (ii), имеем $Нц [\Li =fc 0,
-так как в противном случае tsHH (\1ц = 0. Следовательно,
по лемме, двойственной к лемме 3.15 (i), $Нц = Кщ для неко-
некоторого к ? /, поэтому
() y ()
т'ц (s) = 0 при / Ф к.
Так как Нц = tsHtl — tH^i, отсюда вытекает, что
Следовательно, левая часть соотношения F) равна
у' (r'ksn) У' (г'«й>) = у' {r\trkr'hsri), (8)
так как у' (и) у' {и) = у' (vu) для всех и, v?T' (Я). Для каждого
Л?Н имеем
r'itrhr'ksrih = r\tsrih,
так как srth 6 #Ь1 и отображение х -*¦ гьг^г есть тождественное
преобразование ^"-класса Hki. Следовательно, выражения G)
и (8) равны. Случай, когда т'ц (ts) = 0, рассматривается анало-
аналогично соответствующему случаю из первой части теоремы. Моно-
миальность по строкам и свойство т^ (S) Э Г' (Н) доказывается
также аналогично соответствующим утверждениям из первой
части теоремы.
Мы хотим теперь видоизменить условие B) так, чтобы полу-
получить представление полугруппы S. Двойственным представлением
Шютценберже полугруппы S, соответствующим классу D, будем
называть отображение s-> M%(s), где Mb(s) получено из M'n(s)
транспонированием матриц и заменой Г' (Н) на Г (Н). Таким
образом, МЪ — представление полугруппы S при помощи
/ х /-матриц над Г (Н)°, мономиальных по столбцам.
Мы можем сделать это более явно следующим образом. Пусть
ht — фиксированный элемент из Н. Тогда существует такое ото-
отображение в множества Т' (И) в Т (Н), что uht = ht (Щ для
каждого и ? Т (Н). Для каждого и ? I" (Я) положим у* (и) =
.= у (и0). Для любых и, v 6 Т' (Я) имеем
h ((uv) в) = uvhi = uh (Щ = hi (uG) (vQ), .
откуда
у ((uv) в) = у ((ив) И)) = у (ид) y'(vQ)
- § 3.5. Представления Шютценберже 155
и поэтому
у* (uv) = у* (и) у* (v).
Положим Mb(s) — (m!ij(s)), где
y*(r\srj), если
Ъ (s) = <
3 w ^
„ (9)
0 в остальных случаях. .v '
Мы не можем взять справа просто у (rlsri), так как r\srj не обяза-
обязательно лежит в Т (Н). Тем не менее элементы матрицы М% (s)
принадлежат Г (ЯH.
Теорема 3.17. Пусть S — регулярная рисовская полугруппа
матричного типа aS°(G; I, Л; Р). Тогда представления Шют-
Шютценберже полугруппы S, соответствующие 3-классу D = S \0,
могут быть выражены в виде
где s — произвольный элемент полугруппы S.
Доказательство. Докажем лишь второе утверждение
теоремы. Доказательство первого утверждения аналогично и даже
проще, поскольку в нем" не появляются трудности, связанные
с рассмотрением двойственных утверждений.
Предположим, что / и Л содержат общий элемент 1 и рпФ 0.
Более того, мы можем считать, что элемент рц равен единице е
группы G. Такая нормализация матрицы Р возможна в силу
леммы 3.6. Тогда отображение а-> (а)ц является изоморфизмом
.группы G на Нц = Н.
Пусть rt — \е)ц. Так как матрица Р регулярна, для каждого
i ? / существует такой элемент х == %t 6 Л, что pKi =^= 0. Пусть
r'i — (/>vi)ix- Тогда х —>- /их и у -*¦ г\у суть взаимно обратные
взаимно однозначные отображения классов Н и Нц друг на друга.
В данном случае Н s Т (Н) f} T' (В) и Г (Я) ss H по тео-
теореме 2.22. Заменим в двойственном представлении Шютценберже
полугруппы S каждый элемент у (п) из Г (Н) соответствующим эле-
элементом h из Н, последний же — соответствующим элементом
группы G.
В абзаце, предшествующем теореме, возьмем за й4 единицу
группы Н. Тогда 0 | Н — тождественное отображение и
у* (Л) = 7 (йв) = у (h).
Следовательно, мы должны заменить каждый элемент у* (h)
в (9) на h. Если sffji = Нц, то srj 6 Hii, так как в данном случае
Г] 6 Hji.. Таким образом, r'isr} ? Нц. Следовательно, (9) приво-
приводится к виду
f если
*j (s) = <
'w [ 0
m*j ()
'w [ 0 в остальных случаях.
156 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
Возьмем s=(a)hx, где a?G, k?l и к?А. Тогда зНн^Н;,±[]0
и поэтому /re*3(s) = 0 при гфк. Если Рх^ф®, то sHji — Hkt и
m$i (s) = ThSrj — (Pxft)ix (я)йя, (e)ji= (apxj)n-
Если /з^ = 0, то sHji ~ 0, откуда mtj (s) = 0, т. е. предыдущее
равенство имеет место и в этом случае. Мы заключаем, что для
. если ? =
О, если
Таким образом, в матрице МЪ (s) все строки, кроме, быть
может, к-й строки, состоят из нулей, а в к-й строке и ;'-м столбце
находится элемент {арх,)ц- Матрица sP — {а)ъ% Р есть / х /-ма*-
рица над G0, в которой все строки, кроме, быть может, к-ж строки,
состоят из нулей, а элемент в к-й строке и /-м столбце равен арц.
Если мы отождествим изоморфные группы Нц и G, то получим,
что МЪ (s) = sP.
Упражнения к § 3.5
1. Вид A) представления Шютценберже s ->- Мт> (s) полу-
полугруппы S, соответствующего ^-классу D этой полугруппы, зави-
зависит от выбора (i) ^-класса Н =Нц из D, (ii) элементов qx, q'\ 6 S,
для которых х -r>- xqx и у -*¦ yq'i суть взаимно обратные взаимно
однозначные отображения классов Нц и На друг на друга.
(a) Предположим, что мы выбрали новые элементы q% и qi
в (ii). Тогда h = qxq'j, и l\ = g^gi. — элементы из Г (Ян), -у (*а)
и у (t{) — взаимно обратные элементы группы Г (#ц). Пусть
V—диагональная ЛхЛ-матрица, содержащая у (ix) на (ХД)-мес-
те. Тогда новое представление Шютценберже имеет вид s->
-* VMD(s) V~\
(b) Предположим, что мы выбрали другой о&?-класс HiK в D
вместо Нц- В силу упражнения 3 к § 2.4 отображение у (t) -*¦
-*• S (q'xtqx) является изоморфизмом 0 группы Г (Нц) на Г (Яг„).
Пусть gj, = q^qx и gl = g^x. Тогда x-+zqxky-+ yq'x суть взаим-
взаимно обратные взаимно однозначные отображения классов Htx
и Ht\ друг на друга. Новое представление Шютценберже s -*•
-*¦ No (s) получается из старого заменой каждого элемента у (t)
из Md(s) на б (q'xtqx). Другими словами, ND(s) = (ni^ (s)), где
f biq'y.qxsq'^, если
Пьа (S) = < „
ц I 0 в остальных случаях.
(Заметим, что Hixs = Hi^ тогда и только тогда, когда Has =
= Hi»,-) Таким образом, Nd(s) = MD(s) 9.
§ 3.5. Представления Шютценберже 157
Отсюда видно, что представление Мт> существенным образом
зависит лишь от D, что оправдывает обозначение Мт>.
2. Пусть G — группа, / и Л — множества. Пусть X — полу-
полугруппа, обладающая таким представлением х-*- N (х) = (п^ (х))
мономиальными по строкам Л х Л-матрицами над G0, что для
данных X, ц 6 Л и а ? G существует х ? X, для которого
пъ.» (z) — а- Пустьу У — полугруппа, обладающая таким пред-
представлением у -> N* (у) = (n*j (у)) I х /-'матрицами над G0, мо-
мономиальными по столбцам, что для данных i, / ? / и а ? G суще-
существует у ? У, для которого n*j (у) = а.
Пусть D — множество всех ненулевых / х Л-матриц Риса
над G0 и Z — нулевая / X Л-матрица над G0. Предположим, далее,
что множества X, Y, D и {Z} попарно не пересекаются. Пусть
S = X\jY[jD\jZ. Определим в S произведение следующим
образом. Если х ? X, у 6 Y и А ? D, то положим
Ах = AN (х) и уА = N* (у) А, '
где в. правых частях равенств стоят матричные произведения.
Произведения в X и У сохраним прежние. Все другие произве-
произведения будем считать равными Z. Тогда S — полугруппа ж D —
ее S-класс.
Если s ?-S\X, то N (s) будем считать совпадающей с нуле-
нулевой Л х Л-матрицей над G0. Если s ? S \У, то N* (s) будем счи-
считать совпадающей с нулевой / х /-матрицей над G0. Тогда отоб-
отображение
s -+ N (в) [в ->¦ N* (в)]
является [двойственным] представлением Шютценберже полу-
полугруппы S, соответствующим ^-классу D.
3. Пусть S — регулярная рисовская полугруппа матричного
типа над группой с нулем G0. Полугруппа Р всех правых сдвигов
полугруппы S (§ 1.3) изоморфна полугруппе всех мономиальных
по-строкам Л х Л-матриц над G0. (Действительно, если р —
произвольный правый сдвиг полугруппы S и X ? Л, то (е; 1, К) р =
= (ся,; 1, Я') при некотором сд, ? G0 и некотором X' 6 Л. Пусть
С — мономиальная по строкам Л X Л-матрица, имеющая эле-
элемент С}, на (Я, Я') месте и нули на остальных местах. Тогда Ар =
= АС для каждого А ? S.) Отображение А -*- рА полугруппы S
на полугруппу Ро внутренних правых сдвигов полугруппы S
эквивалентно представлению Шютценберже полугруппы S. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо для левых сдвигов полугруппы
S, I X /-матриц над G0, мономиальных по столбцам, и двойствен-
двойственного представления Шютценберже полугруппы S. Так как S
слабо редуктивна, отображение Л.-> (ХА, рА) взаимно одно-
однозначно.
4. (а) Пусть 3"х — полная полугруппа преобразований на мно-
множестве X, Е — одноэлементная группа {е}, Тх — полугруппа
158 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
всех строго мономиальных по строкам X X Х-матриц над Е°.
Для каждого а ? ЛГХ через V (а) обозначим матрицу (vxy (a))
из Т'х, определенную следующим образом:
{е, ei
О в
если ха = у,
противном случае.
Тогда отображение а -+- V (а) есть изоморфизм полугруппы ?/ х
на Тх- Назовем его естественным изоморфизмом.
(Ь) Пусть s — элемент полугруппы S, и пусть N (s) = (nab (s))
есть S х «S-матрица над Е°, заданная следующим образом:
{е, если as = b,
О в противном случае.
Тогда s -*- N (s) есть представление полугруппы S строго моно-
миальными по строкам S х ^-матрицами над Е^. По существу
это регулярное представление полугруппы S в том смысле, что
N (s) = V (pg), где V определено в п. (a), a ps определяется обыч-
обычным образом: xps = xs для всех х, s ? S.
(с) Пусть S — простая справа полугруппа с правым сокра-
сокращением без идемпотентов. (Полугруппы такого типа будут изу-
изучаться в гл. 8.) Тогда S является своим ^-классом (и, следова-
следовательно, ^-классом), а каждый #-класс (следовательно, и каждый
<$?-класс) полугруппы S состоит из одного элемента. Представле-
Представление Шютценберже полугруппы S есть представление s-+-N(s),
определенное в п. (Ь). Оно точно, если S редуктивна справа.
§ 3.6. Точное представление регулярной полугруппы
Пусть S — полугруппа, й — множество индексов и для каж-
каждого со 6 й отображение s -> Ma (s) есть представление полу-
полугруппы S матрицами над группой с нулем G%. Образ полугруппы S
при гомоморфизме Мш обозначим через M<o(S). Пусть Т —
прямое произведение , полугрупп Ма (S). Для каждого s ? S
через М (s) обозначим элемент полугруппы Т, со-я компонента
которого равна Ma(s). Очевидно, s-> M (s) есть гомоморфизм М
полугруппы S в Т. Назовем М прямой суммой представлений
Мт полугруппы S. Можно интерпретировать М как представле-
представление полугруппы S матрицами над группой с нулем (см. упражне-
упражнение 1 к настоящему параграфу).
Пусть теперь Q — множество всех S-классов полугруппы S.
Рассмотрим прямую сумму М \М*\ всех [двойственных] пред-
представлений Шютценберже MD Шп\ полугруппы S и прямую
сумму М © М? представлений М и М*. В теореме 3.19 мы при-
приведем необходимые и достаточные условия для того, чтобы пред-
представления М, М* и М Ф М* были точными представлениями
'§ 3.6. Точное представление регулярной полугруппы 159
полугруппы S. В качестве следствия этой теоремы мы покажем, „
что М и М* суть точные, представления, если S — инверсная
полугруппа, и М Ф М* — точное представление, если S — регу-
регулярная полугруппа. Эти результаты принадлежат Престону
[1958].
Лемма 3.18. Пусть D — некоторый 3-класс полугруппы S,
a s-> MD(s)— представление Шютценберже полугруппы S, соот-
соответствующее классу D. Если s и t — элементы полугруппы S,
то Md (s) = MD {t) тогда и только тогда, когда для любого
элемента d ?D из того, что dsffid или dtMd следует ds = dt..
Доказательство. Рассмотрим матрицу Md(s), задан-
заданную условием A) в § 3.5. Будем использовать обозначения из § 3.5,
введенные перед условием A).
Предположим сначала, что Md(s) = MD{t) и d — такой эле-
элемент из D, что dsffid или dtMd. Докажем, что ds = dt. В силу-
симметрии можно предположить, что dsMd.
Поскольку d ? D, имеем d ? Hi% при некотором i ? / и неко-
некотором Я 6 Л. Так как dsffid, отсюда следует, что ds ? Hi», при
некотором (А ? Л. По лемме Грина 2.2 отображение х -*- xs взаимно
однозначно отображает L% на" L^ и сохраняет .^-классы. Огра-
Ограничение этого отображения на Нц есть взаимно однозначное-
отображение класса Яц, на Hiv., т. е. Has = Я1(г. Отсюда и из ра-
равенства A) § 3.5 мы имеем /rej,^ (s) = у (q^'n). По предположению-
ть» (s) = m%v, (t), откуда следует, что Hat = Я1ц и у (gj,sg'n) =¦
= у {qttq'0. По лемме Грина отображение x-*-xt взаимно одно-
однозначно отображает На на Hiv., поэтому dt ? Hiv.. Для каждого
h ? Я имеем hq^sq'^ = hqjjtq'^. Так как hqjjs и hq%t принадлежат
Hi» и ?'(* отображает Hi» взаимно однозначно на Яц, мы заклю-
заключаем, что hq%s = hqtf для всех h 6 Я. Очевидно, d = rthqx при
некбтором h 6 Н, поэтому
ds = rthqxs = rthqxt = dt.
Обратно, предположим, что s vl t обладают свойством, сфор-
сформулированным в лемме. Пусть X и [А — элементы из Л. Покажем,
что т*,ц (s) = tojlh (t).
Предположим сначала, что Has = Hiyi. Пусть d ? На- Тогда
ds^Hin и потому dsMd. По предположению отсюда вытекает,
что ds = dt. Если х ? На, то х = yd при некотором у ? S1,
поэтому xs = yds = i/df = art. Следовательно, отображение х -*- xs
^-класса Яц на Я^ совпадает на Яп с отображением x-^-xt.
Отсюда вытекает, что Hat — Я1(г и (hq^) t = (hqx) s для каждого
h 6 Я. Поэтому Agrj.fglt = Ag^, т. е. -у (гя.*д'ц) = 7 (гя^'ц)- в силу
A) мы заключаем, что в этом случае т%^ (s) = те^ц (г).
Предположим теперь, что HaS^= Hiv_. Тогда Hat?=Hiv.r
так как в противном случае, меняя ролями s и ? и повторяя рас-
460 Гл. 3. Представления матрицами над группой с нулем
суждения предыдущего абзаца, мы получили бы Hdjs = Hiv..
Следовательно, в этом случае шх^ (s) и те^ (t) равны 0.
Определим два бинарных отношения а и Р на полугруппе S,
полагая:
а = {(s, t) | xsMx или xtMx влечет за собой xs = xt},
р = {(s, t) | sxXx или txXx влечет за собой sx == tx).
Следующая теорема показывает, что а = М ° М'1 и р = М* °
о М*'1, и, таким образом, аир — конгруэнции на S (последнее
легко проверяется непосредственно).
Теорема 3.19. Пусть S — полугруппа и М [М*\ — прямая
сумма- всех [двойственных] представлений Шютценберже Md
[М?\ полугруппы S. Пусть s и t — элементы полугруппы S.
Тогда М (s) = M (t) в том и только в том случае, когда sat,
и М* (s) = M* (t) в том и только в том случае, когда s$t. Пред-
Представление М-, М* или М ®М* полугруппы S является точным
тогда и только тогда, когда соответственно а, р или а ("] Р есть
отношение равенства .на S.
Доказательство. Если для каждого ^-класса D
полугруппы S мы определим отношение aD, полагая saD t тогда
и только тогда, когда s и t обладают свойством, сформулирован-
сформулированным в лемме 3.18, то а совпадает с пересечением всех отношений
aD, где D пробегает множество ^-классов полугруппы S. Сле-
Следовательно, по лемме 3.18 sat тогда и только тогда, когда Md(s) =
= MD (t) для каждого S-класса D полугруппы S, т. е. sat имеет
место в том и только в том случае, когда М (s) = M (t). Анало-
Аналогично, из леммы, двойственной к лемме 3.18, следует, что М* (s) =
= М* (t) тогда и только тогда, когда s$t. Последнее утверждение
теоремы непосредственно вытекает ид предыдущих.
Лемма 3.20. Пусть S — регулярная полугруппа. Пусть s и t —
такие элементы из S, что sat. Тогда s и t имеют общий инверсный
к ним элемент в S и sXt.
Доказательство. Пусть х — элемент, инверсный к s,
ж у — элемент, инверсный к t. Покажем, что у инверсен также
и к s (ввиду симметрии тогда и х инверсен к t).
Так как xsx — x, то xsMx. Так как sat, мы заключаем, что
xs = xt. Аналогично, yty = у влечет за собой yt = ys. Следова-
Следовательно,
s- = s (xs) = s (xt) = (sx) t = sx (tyt) =
= s (xt) (yt) = s (xs) (ys) = sys,
У = (yt) У = ysy,
т. е. у инверсен к s.
§ 3.6. Точное представление регулярной полугруппы 161
Как показано выше, s = (sz) t. Из соображений симметрии
t = (ty) s. Отсюда следует, что sXt.
Упражнение 3 к настоящему параграфу показывает, что
утверждение, обратное к лемме 3.20, неверно.
Теорема 3.21. Пусть S — регулярная полугруппа и М [М*]~
прямая сумма [двойственных] представлений Шютценберже полу-
полугруппы S. Тогда М Ф М* — точное представление полугруппы S.
Если S — инверсная полугруппа^то М и М* — точные пред-
представления.
Доказательство. Последнее утверждение теоремы
непосредственно вытекает из теоремы 3.19, леммы 3.20 и двойствен-
двойственной к ней леммы, так как если в инверсной полугруппе два эле-
элемента имеют общий инверсный к ним элемент, то они совпадают.
Пусть S — регулярная полугруппа. Покажем, что М © М* —
точное представление. В силу теоремы 3.19 для этого достаточно
показать, что включение (s, ?) ? a f| P влечет за собой s = t.
Предположим, что (s, t) ? a ("| ?• Поскольку (s, t) ? а, из лем-
леммы 3.20 вытекает, что sXt. Поскольку (s, t) 6 Р> из леммы, двой-
двойственной к лемме 3.20, вытекает, что sMt. Следовательно, sSBt.
Далее, по лемме 3.20 существует элемент, инверсный как для s,
так и для t. Поскольку s и t лежат в одном ^-классе, это в силу
теоремы 2.18 означает, что s — t.
Используя упражнение 2 к настоящему параграфу и двойствен-
двойственное к нему утверждение, легко построить регулярную полугруппу,
которая не является инверсной, но для которой представления М
и М* точны. Основываясь на том же упражнении, легко построить
регулярную полугруппу, для которой представления М и М*
не являются точными. Наконец, упражнение 4 (с) к § 3.5 дает
пример нерегулярной полугруппы, для которой представление М
точно.
Упражнения к § 3.6
1. Пусть для каждого элемента со из множества индексов Q
отображение s -> Ma(s) есть представление полугруппы S
Лщ х Лш-матрицами над группой с нулем G°m. Предположим,,
что множества Л^ попарно не пересекаются и Л есть их объеди-
объединение. Пусть G — произвольная группа, содержащая все группы
Ga (например, прямое произведение групп Ga). Тогда прямую
сумму М (s) всех представлений Ма (s) можно считать представ-
представлением Л X Л-матрицами над б°.
2. Пусть S — регулярная рисовская полугруппа матричного
типа оМ° (G; I, Л; Р) и отображение s -*- Md (s) есть представ-
представление Шютценберже полугруппы S, соответствующее ^-классу
D = S\0. Скажем, что i-й столбец и /-й столбец матрицы Р про-
11-1159
162
Гл. з: Представления матрицами над группой с нулем
порционалъны^ справа; если существует такое с ? G, что ры pj
для любого Я ? Л. Представление MD точно тогда и только тогда,
когда никакие два столбца из Р не пропорциональны справа.
(В силу теоремы 3.21 представление MD Ф МЪ в этом случае
является точным, что следует также из упражнения 3 к § 3.5.)
3. Пусть а = A, 1), b = A, 2), с = B, 1) и d = B_, ^-эле-
^-элементы 2 х 2-прямоугольной связки В22, (§ 1-8). Пусть е, a, b,c,d —
пять попарно различных элементов, отличных от а, Ь, с, d, и S =
= {а, Ь, с, d,.e, а, Ь, с, d). Определим произведение в S при помо-
помощи таблицы Кэли
X
е
X
У
ху
У
Шу
е
е
е
е
V
У
У
У
где хну пробегают В22. Тогда S — связка (в частности, S —
регулярная полугруппа), в которой утверждение, обратное
к лемме 3.20, не выполняется при s — а и t = с.
Глава 4
РАЗЛОЖЕНИЯ И РАСШИРЕНИЯ
Понятие разложения полугруппы в объединение непересекаю-
непересекающихся подполугрупп, в частности, в объединение связки или
полуструктуры подполугрупп, кратко обсуждалось в конце § 1.8.
В первых двух параграфах этой главы мы изложим теорию раз-
разложений полугруппы в объединение простых полугрупп различ-
различного типа, включая группы. § 4.1 есть упрощенный вариант
первой части статьи Круазо [1953], в то время как результаты
§ 4.2 взяты из работы Клиффорда [1941].
В § 4.3 приводится модифицированный вариант теории разло-
разложений коммутативных полугрупп, принадлежащей Тамуре
и Кимуре [1954] и Хьюитту иЦукерману [1956]. Результаты этого
параграфа используются в дальнейшем в теории характеров ком-
коммутативных полугрупп (§5.5).
. В последних двух параграфах рассматриваются расширения
одной полугруппы при помощи другой (это является до некоторой
степени аналогом шрейеровской теории групповых расширений).
Результаты § 4.4 взяты из работы Клиффорда [1950], а § 4.5 —
из диссертации Манна [1955а] и публикуются здесь впервые.
§ 4.1. Теория Круазо разложений полугруппы
Круазо [1953] связал вопрос о разложениях полугруппы
с условиями регулярности и изолированности. Этот параграф
посвящен изложению его теории.
Как и в § 1.9, мы говорим, что полугруппа S регулярна, если
для любого а ? S существует такой х ? S, что аха = а. Полу-
Полугруппа S называется регулярной слева [справа], если для любого
а 6 S существует такой х 6 S, что хаг = а [а2х — а]. (Круазо
вместо термина «регулярный» использовал термин «инверсив-
«инверсивный» *).)
Будем говорить, что полугруппа S интра-регулярна, если
для любого a ? S существуют такие х, у ? S, что ха2у — а. Пере-
Перечисленные четыре условия для S можно выразить еще и следую-
следующим образом: S регулярна, если а ? aSa для любого а ? S', S ре-
Inversif.— Прим. перев.
11*
164 Гл. 4. Разложения и расширения
гулярна слева, если а ? 5а2 для любого а ? S; S регулярна справа,
если а ? a2S для любого а ? S; S интра-регулярна, если а ? Sa2S
для любого а ? S.
В терминах отношений эквивалентности Грина (§ 2.1) полу-
полугруппа S регулярна слева [регулярна справа, интра-регулярна]
тогда и только тогда, когда аХа2 [аМа2, a fa2] для каждого
а 6 S. Мы постоянно будем пользоваться этими утверждениями
без пояснений. Лишь последнее из них не очевидно, но afa2
тогда и только тогда, когда а ? J (а2) = a2 \j a?S \j Sa? \j Sa2S.
Если, например, а ? a2S, то а2 ? a-a2S, откуда а 6 a-a2SS^Sa2S.
Таким образом, af-a2 имеет место тогда и только тогда, когда
а 6 Sa2S.
Подмножество X полугруппы S называется изолированным х),
если для любого а ? S из а2 6 X следует, что а ? X.
Лемма 4.1. Полугруппа S регулярна слева [регулярна справа,
интра-регулярна] тогда и только тогда, когда каждый ее левый
[правый, двусторонний] идеал изолирован.
Доказательство. Пусть S интра-регулярна и Т —
идеал из S. Пусть а 6 S и а2 6 Т. Тогда a e.Sa2S s STS = Т.
Обратно, предположим, что каждый идеал в S изолирован. Если
а 6 S, то а2 6 J (я2) влечет за собой а ? J (о2), откуда afa2, т. е.
S интра-регулярна. Доказательства двух других утверждений
леммы проводятся аналогично.
Теорема 4.2. Следующие условия для полугруппы S эквива-
эквивалентны:
(A) S регулярна слева.
(B) Каждый левый идеал из S изолирован.
(C) Каждый Х-класс полугруппы S есть простая слева под-
подполугруппа.
(D) Каждый Х-класс полугруппы S есть подполугруппа.
(E) S есть объединение непересекающихся простых слева
подполугрупп.
(F) S есть объединение простых слева подполугрупп.
Доказательство. Эквивалентность условий (А) и ^В)
следует из леммы 4.1. Предположим, что выполняется условие
(А) и, значит, аХаг для каждого а ? S. Пусть аХЪ. Тогда а2ХЪа,
так как X — правая конгруэнция. Отсюда следует, что ЪаХа,
поэтому <5?-класс La, содержащий а, является подполугруппой
полугруппы S.
Покажем, что Ьа — простая слева подполугруппа. Пусть
Ъ 6 La. Мы должны показать, что са = Ь при некотором с ? La.
Как мы установили выше, Ьа ? La, поэтому Ь — хЪа при некото-
!) В оригинале — semiprime. Мы переводим его термином, весьма рас-
распространенным в этом смысле в русской литературе.— Прим. перев.
§ 4.1. Теория Круазо разложений полугруппы 165
ром х 6 S*. Пусть с = хЬ. Докажем, что с ? La. Так как S регу-
регулярна слева, существует такой у 6 S, что х = ух2. Тогда
Ъ = хЬа = ух2Ъа = (ух) (хЬа) = ухЬ — ус.
Из Ъ = ус и с = хЬ следует сХЪ, т. е. с ? Lb = La. Это показы-
показывает, что (А) влечет за собой (С).
(С) влечет за собой (D) — тривиально. Предположим теперь,
что выполняется (D). Тогда а2 ? La для каждого а из S, так как
La — подполугруппа полугруппы S. Таким образом, а2Ха, отку-
откуда следует, что S регулярна слева. Значит, fD) влечет за собо"й (А)
и мы доказали эквивалентность условий (В), (С) и (D).
Очевидно, (С) влечет за собой (Е) и (Е) влечет за собой (F).
Доказательство будет закончено, если мы покажем, что (F) влечет
за собой (А). Предположим, что выполняется (F). Пусть а ? S.
Тогда а принадлежит некоторой простой слева подполугруппе Т
полугруппы S. Следовательно, а2 ? Т и существует такой элемент
х 6 Т, что ха2 = а.
Теорема 4.3. Следующие условия для полугруппы S эквива-
эквивалентны:
(A) S есть объединение групп.
(B) S регулярна и слева и справа.
(C) Каждый левый и каждый правый идеал полугруппы S изо-
изолирован.
(D) S регулярна и регулярна слева.
(D') S регулярна и регулярна справа.
(E) Каждый Ш-класс полугруппы S является группой.
(F) S— объединение непересекающихся групп.
Доказательство. Если выполняется (А), то полу-
полугруппа S, очевидно, регулярна, регулярна слева и регулярна
справа, так как уравнения ха2 = а, а2у = a, aza = а разрешимы
относительно х, у, z в подгруппе из S, содержащей элемент а.
Таким образом, (А) влечет за собой (В), (D) и (D'). Кроме того,
(В) эквивалентно (С) по лемме 4.1. ^
Предположим, что выполняется (В). Тогда аХа2 и аМа2,
т. е. aSBa2 для каждого а ? S. По теореме Грина 2.16 отсюда сле-
следует, что о%?-класс На, содержащий а, является группой. Таким
образом, выполняется условие (Е), это условие влечет за собой (F),
так как ^-классы не пересекаются, и (F) влечет за собой (А),
что тривиально. Итак, мы установили эквивалентность условий
(А), (В), (С), (Е), (F) и показали, что (А) влечет за собой (D) и (D')-
Доказательство теоремы будет завершено, если мы покажем,
что из (D) следует (А) (двойственным образом, тогда из (D') сле-
следует (А)). Пусть а ? S. По теореме 4.2 La есть простая слева
подполугруппа из S. Так как S регулярна, аха = а при неко-
некотором х ^ S. Тогда ха — идемпотент, принадлежащий La. Таким
166 Гл. 4. Разложения и расширения
образом, La — простая слева полугруппа, содержащая идемпо-
тент. По теореме 1.27 полугруппа La есть прямое произведение
группы и связки и поэтому является объединением групп. Так
как полугруппа S есть объединение своих ^-классов, мы заклю-
заключаем, что она является объединением групп.
Следующая теорема была независимо от Круазо найдена
Андерсеном, который сформулировал ее без доказательства в своей
диссертации [19521. Эта теорема обобщает результат, ранее полу-
полученный Клиффордом [1941] (см. теорему 4.6).
Теорема 4.4. Следующие условия для полугруппы S эквива-
эквивалентны:
(A) S есть объединение простых полугрупп.
(B) S интра-регулярна.
(C) Каждый идеал полугруппы S изолирован.
(D) Главные идеалы полугруппы S образуют полуструктуру Y
относительно пересечения. Более точно, J (а) [} J (Ь) — J (ab)
для любых а, Ъ ? S. Кроме того, S есть объединение полуструк-
полуструктуры Y простых полугрупп Sa (а ? Y), где каждая полугруппа Sa
является *f-классом полугруппы S.
Доказательство. Предположим, что выполняется
условие (А). Пусть а ? S. Тогда ала2 принадлежат простой
подполугруппе Т из S, откуда а 6 Та2Т S Sa2S. Таким образом,
(А) влечет за собой (В). Условие (В) эквивалентно условию (С)
по лемме 4.1. Очевидно, (D) влечет за собой (А). Для завершения
доказательства теоремы осталось показать, что (D) следует из (В)
и (С). Проделаем это в несколько шагов.
A) SaS совпадает с главным идеалом / (а), порожденным эле-
элементом а. В самом деле, а 6 Sa2S s SaS.
B) / (ab) = / Fa) для любых a, b ? S. В самом деле, (afeJ =
= a (ba) b ? SbaS = / фа), откуда ввиду условия (С) мы заклю-
заключаем, что аЬ 6 / (Ьа). Следовательно, / (ab) s / (ba) и требуемое
равенство вытекает из симметричных рассуждений.
C) / (ab) = J (a) (] J (Ь) для любых a, b ? S. Очевидно,
/ (ab) = / (а) П / (Ь). Обратно, пусть с ? J (а) [) J (Ь). Тогда
с = uav — xby для некоторых и, v, х, у ? S. В силу B) имеем
с2 = xbyuav 6 / (byua) — J (abyu). Отсюда на основании усло-
условия (С) следует, что с ?J (abyu) s / (ab). Таким образом, / (a) f|
n/F)S=/(ab).
D) В силу утверждения C) множество Y главных идеалов
полугруппы S является полуструктурой относительно пересе-
пересечения и отображение а -> / (а) есть гомоморфизм полугруппы
S на Y. Прообразом элемента / (а) полуструктуры Y является
множество Ja элементов, порождающих J (а), т. е. ^-класс,
содержащий а. В'частности, /а — подполугруппа полугруппы S,
§ 4.1. Теория Круазо разложений полугруппы, 167
и S есть полуструктура У попарно не пересекающихся полу-
полугрупп /„. Доказательство справедливости условия (D) будет
завершено, если мы покажем, что каждое Ja является простой
полугруппой. По лемме 2.39 главный фактор / (a)II (a) = Ja \j О
либо 0-прост, либо является полугруппой с нулевым умноже-
умножением. Отсюда и из того, что Ja замкнуто относительно умножения,
следует простота полугруппы Ja.
Пусть /га и п — неотрицательные целые числа. Согласно Круа-
Круазо, полугруппа S удовлетворяет условию (т, га), если для каждого
а ? S существует такое х ? S, что атхап — а. Здесь мы считаем,
что ат [ап] опускается, если т = 0 [п = 0]. Будем рассматривать
лишь такие условия (/га, га), для которых т + п >1. Эт,о беско-
бесконечное множество условий разбивается на четыре множества экви-
эквивалентных между собой условий:
I. Все условия (т, 0), где т ^ 2.
II. Все условия @, га), где п ^ 2.
III. Условие A,1).
IV. Все условия (/га, п), где /га ^ 1, п>1ит + п>3.
Покажем, что все условия из класса I эквивалентны. Заметим,
что условие (/га, 0) тривиальнр влечет за собой условие B,0).
С другой стороны, если мы предположим выполненным условие
{2,0) для полугруппы S и возьмем а ? S, то агх = х при некотором
х ? S. Умножая последовательно на а слева и на а; справа,
получим
а = а2х = а3х2 =....= Л-1 = . . .,
т. е. выполнено условие (/га, 0). Таким образом, все условия из клас-
класса I эквивалентны. Условие же B,0) — это регулярность справа.
Двойственным образом, все условия класса II эквивалентны
регулярности слева. Единственное условие класса III есть, оче-
очевидно, регулярность.
Наконец, покажем, что все условия класса IV эквивалентны
•одновременному выполнению условий из I, II и III; или, по теоре-
теореме 4.3 (В, D, D'), одновременному выполнению любых двух усло-
условий из этих трех (любое из этих трех условий есть следствие двух
других); или, снова по теореме 4.3, условию, что S разложима
в объединение групп.
Пусть S удовлетворяет условию (/га, п), где /га > 1, га > 1
и /га + п ^ 3. Тогда условие A, 1) выполняется тривиально и
справедливы условия @,2) или B,0). Следовательно, справед-
справедливы условия (D) или*(?)') из теоремы 4.3. Тогда по теореме 4.3
выполняются оба условия (D), (D'), а также условие (В), и S есть
объединение групп. Обратно, если S есть объединение групп, то
выполняется, очевидно, каждое условие (яг, п), в частности любое
условие из IV.
168 Гл. 4. Разложения и расширения
Мы закончим этот параграф, сформулировав без доказательства
еще три результата из статьи Круазо [1953]. Некоторые другие
результаты будут приведены ниже в упражнениях. Говорят, что
полугруппа S удовлетворяет условию (т, п) A) с единственностью,
если выполняется условие (т, п) и из атхап = атуап следует х = у;
B) с взаимностью, если выполняется условие (т, п) и из атхап = а
следует хтахп = х; C) с антивзаимностъю, если выполняется
условие (т, п) и из атх а"= а и хтахп = х следует х — а. Полу-
Полугруппа S удовлетворяет условию (т, п) с единственностью для
некоторых т ^ 1, ra^l [m ^ 2, re = 0] тогда и только тогда,
когда S — группа [правая группа]. Полугруппа S удовлетворяет
одному из условий @,2), B,0) или A,1) с взаимностью тогда
и только тогда, когда она вполне проста. Полугруппа S удовле-
удовлетворяет условию (т, п) с антивзаимностью для некоторых т ^ 1,
ге ^ 1 тогда и только тогда, когда S есть объединение не пересе-
пересекающихся групп с некоторыми ограничениями на порядки эле-
элементов и все идемпотенты из S коммутируют между собой.
Упражнения к § 4.1
1. Интра-регулярная полугруппа полупроста.
2. Назовем элемент а полугруппы S регулярным слева, если
ха2 = а при некотором х ? S. Множество регулярных слева эле-
элементов, содержащихся в ^-классе полугруппы S, либо пусто,
либо является подполугруппой.
3. (а) Пусть Q и R — простые слева подполугруппы полугруп-
полугруппы S, содержащие общий элемент а. Тогда подполугруппа Т =
= (Q, R), порожденная Q (J R, также проста слева. [Указание:
мы имеем Та = Т, Tq = Т для каждого q ? Q, Tr = Т для каж-
каждого г 6 R и, наконец, Tt = Т для каждого t 6 Т.]
(Ь) Каждая простая слева подполугруппа полугруппы S содер-
содержится в максимальной простой слева подполугруппе, и любые две
различные максимальные простые слева подполугруппы не пе-
пересекаются. (Круазо [1953].)
4. (а) Каждая простая подполугруппа полугруппы S содержит-
содержится в максимальной простой подполугруппе из S.
(Ь) Пусть S — рисовская полугруппа матричного типа над
группой с нулем 6°ис сэндвич-матрицей
Р —
где е — единица группы 6г. Тогда в обозначениях, введенных перед
леммой 3.2, Li и R2 — различные максимальные простые подпо-
подполугруппы из 5 с непустым пересечением.
§ 4.2 Полугруппы, являющиеся объединениями групп 169
5. Если полугруппа S есть объединение групп, то максималь-
максимальные простые подполугруппы из S не пересекаются. (Круаза
[1953].)
6. Если [Х]=2, toЗГ% (§ 1.1) есть объединение групп, но она
не является связкой групп.
7. Если IX] > 2, то 3"х не является объединением простых
полугрупп. (Круазо [1953].)
8. Если S — регулярная и интра-регулярная полугруппа, чо
S есть объединение непересекающихся регулярных простых полу-
полугрупп. (Круазо [1953].)
9. Идеал Р полугруппы S называется вполне изолированным *);.
если ?\.Р — подполугруппа полугруппы S.
(а) Пересечение любого семейства вполне изолированных
идеалов полугруппы S либо пусто, либо является изолированным
идеалом в S.
(в) Если А — изолированный идеал полугруппы S и Ъ ? S\At
то существует (по лемме Цорна) по крайней мере один идеал М
полугруппы S, который максимален в множестве всех идеалов
из S, содержащих А и не пересекающихся с (Ъ). В коммутативной
полугруппе S каждый такой идеал М вполне изолирован.
(с) Каждый изолированный идеал коммутативной полугруппы
есть пересечение вполне изолированных идеалов (Шварц
[1954с] для конечных полугрупп и Исеки [1956с] в общем случае.)
Они использовали термин «замкнутый» 2) вместо термина «изоли-
«изолированный». Соответствующая теорема для колец восходит к Крул-
лю. (К г и 11 W., Idealtheorie in Ringen ahne Endlichkeitsbedm-
gung, Math. Ann., 101 A929), 729—744.)
§ 4.2. Полугруппы, являющиеся объединениями групт
В предыдущем параграфе мы рассмотрели разложения полу-'
групп в объединение непересекающихся групп, простых полу-
полугрупп, простых справа и простых слева полугрупп. Были даны
необходимые и достаточные условия существования таких разло-
разложений. В данном параграфе нас будет интересовать наиболее част-
частный из этих случаев — разложение на группы. Теорема 4.3 даег
ряд условий для полугруппы S, каждое из которых эквивалентна
тому, что S есть объединение групп. Эти условия, однако, не вскры-
вскрывают полностью строения полугруппы S, и поэтому целью настоя-
настоящего параграфа является изложение дальнейших результатов
в этом направлении. Основные результаты взяты из статьи Клиф-
Клиффорда [1941].
*) В оригинале — prime. Здесь, как и при переводе термина semiprime-
термином «изолированный», мы используем соответствующий термин, употре-
употребляемый в русской литературе.— Прим. перев.
2) Closed.— Прим. перев.
170 Гл. 4. Разложения и расширения
Теорема 4.5. Простая полугруппа есть объединение групп тогда
и только тогда, когда она вполне проста.
Доказательство. Из теоремы 2.52 (i) непосредственно
вытекает, что вполне простая полугруппа (без нуля) есть объеди-
объединение групп. Обратное утверждение есть не что иное, как частный
случай теоремы 2.55.
Теорема 4.6. Следующие условия для полугруппы S эквивалентны:
(A) S есть объединение групп.
(B) S есть объединение вполне простых полугрупп.
(C) S есть полуструктура Y вполне простых полугрупп Sa (а ?
? Y), где Y — полуструктура главных идеалов полугруппы S и каж-
каждая полугруппа Sa есть f-класс полугруппы S.
Доказательство. Из условия (С) тривиально следует
<(В), и по теореме 4.5 (В) влечет за собой (А). Пусть выполняется
условие (А). Тогда в силу теоремы 4.4 S есть полуструктура Y
простых подполугрупп Sa. Так как из (А) следует, что каждый
SB -класс полугруппы S есть группа (теорема 4.3), и j^-класс Sa
есть объединение Ш-классов полугруппы S, содержащихся в нем,
каждая полугруппа Sa по теореме 4.5 является вполне простой
полугруппой. Следовательно, выполняется условие. (С).
Так как по теореме Риса 3.5 строение вполне простых полугрупп
известно (как всегда, с точностью до групп!), полугруппа, разло-
разложимая в объединение групп, есть полуструктура Y полугрупп
Sa (a ? Y), строение которых известно. Однако строение самой
полугруппы S остается не совсем ясным, даже с точностью до стро-
строения полуструктур. В самом деле, хотя мы знаем, что SaS$^ Sa{i,
мы не в состоянии сказать, как расположено произведение ааЪ$
{аа 6 Sa, Ьр 6 Sp) в полугруппе Sa$ при а Ф р. В общем случае
это трудная задача. Но если мы наложим еще предположение
о том, что идемпотенты в S коммутируют, то строение полугруппы
5 можно полностью определить. Этому посвящена остальная часть
настоящего параграфа. Заметим, что по теореме 1.17 полугруппа
«S в рассматриваемом случае является инверсной полугруппой.
Таким_образом, мы имеем дело с инверсными полугруппами, кото-
которые суть объединения групп.
Отметим сначала, что два различных идемпотента вполне про-
простой полугруппы М никогда не коммутируют. В самом деле,
¦если et% — идемпотент из J^-класса Ни, то по лемме 3.2 е^е^ 6
6 Яг-ц и ej^eu g Яд. Если эти произведения равны, то должно быть
ч = / и % = [х, поэтому etx =eJtl, так как в $?-классе содержится
не более одного идемпотента. Следовательно, если идемпотенты
в М коммутируют, то М — группа. Итак, если S есть объединение
групп и идемпотенты в S коммутируют, то по теореме 4.6 S — полу-
полуструктура Y групп. Отметим также, что в этом случае полуструк-
§ 4.2. Полугруппы, являющиеся объединениями групп 171
тура У изоморфна Е, где Е — множество идемпотентов полугруп-
полугруппы S, являющееся, очевидно, полуструктурой. Если а ? S, то
На = La = Ва — Da = Ja (обозначения из § 2.1) есть макси-
максимальная подгруппа полугруппы S, содержащая а. Другими сло-
словами, все отношения Грина здесь совпадают и классы эквивалент-
эквивалентности по ним суть максимальные подгруппы полугруппы S.
В следующих четырех леммах мы предполагаем, что S— инверс-
инверсная полугруппа, являющаяся объединением групп. Предыдущие
замечания и обозначения будут использоваться без пояснений.
Кроме того, если а ? S, то через а будет обозначаться элемент,
инверсный к а и совпадающий в нашем случае с элементом, обрат-
обратным для а в группе На.
Лемма 4.7. Пусть е < / (е, / 6 Е) и а 6 Я/. Тогда еа = ае
и еа ? Не.
Доказательство. Имеем е = fe = а~хае и поэтому
ае ? Le = Не. Аналогично, еа ? Не. Следовательно, еа — (еа) е =
— е (ае) = ае.
Лемма 4.8. Каждый идемпотент полугруппы S лежит в ее
центре.
Доказательство. Пусть g ? Е и а ? S. Тогда а ? Н/
при некотором / ? Е. Пусть fg (= gf) = е. Тогда е^/иш лемме
4.7 еа = ае. Следовательно, ga = gfa == еа = ае = afg = ag.
Пусть У — полуструктура, изоморфная Е (см. теорему 4.6),
и пусть а —v еа есть изоморфизм полуструктуры У на Е. Таким
образом, еае& = еа$ — ера = ереа и еа ^ ер тогда и только тогда,
когда а ^ р в У. Будем писать Ga вместо Неа- Таким образом,
GaG&^ Ga6. Элементы из Ga будем обозначать через аа, Ъа, . . .
Лемма 4.9. Если а ^ р, то отображение фа,р, заданное при
помощи равенства
является гомоморфизмом группы Ga в Gp. Если а ^ р ^ у, то
Наконец, фа,а— тождественное отображение группы Ga.
Доказательство. Из леммы 4.7 следует, что фа,р
отображает Ga в Gp. Если aa,fea 6 Ga, то по лемме 4.8
(ааФа,з)(Ьафа,Р) = (ааеР)(Мэ) = «оМэ = (аа^а) фа.р-
Следовательно, фа>р — гомоморфизм. Если а ^ р ^ у, то для
любого аа g Ga имеем
(а«Фа,а) фр,т = (а«ер) еу = aaepv = aaev = аафа,г-
Наконец, аафа,а = ааеа = яо.
172 - Гл. 4. Разложения и расширения
Лемма 4.10. Если аа ? Ga и b$ ? Gp, то
гЬе у = ар.
Доказательство. Используя лемму 4.8, получаем
Из леммы 4.10 вытекает,что каждое произведение в S известно,
если известна полуструктура Y, каждая группа Ga (a ? У) и си-
система гомоморфизмов фа,р (а ^ р в У).
Теорема 4.11. Пусть У — полуструктура. Каждому элементу
аизУ поставим в соответствие группу Ga таким образом, что Ga
и Gp не пересекаются при а Ф р. Каждой паре элементов а, р из Y,
для которых а > р, поставим в соответствие гомоморфизм фа,р
группы Ga в Grp таким образом, что если а > р > 7» mo
Фа.рФЗЛ = Ta.V (!)
*7ерез фв,а обозначим тождественный автоморфизм группы Ga.
Пусть S — объединение всех групп Ga (a ? У). Определим произ-
произведение в S, полагая для двух элементов аа,Ъ$из S (аа ? 6га, Ьр ? Gp)
ааа3 = (aa<Pa,v) (ЬрФр.т). B)
г5е у равно произведению ар элементов а м р полуструктуры Y.
Тогда S — полугруппа с коммутирующими идемпотентами,
являющаяся объединением групп, или (что эквивалентно) инверсная
полугруппа, являющаяся объединением групп. Обратно, каждая
такая полугруппа может быть построена указанным способом.
Доказательство. Обратное утверждение уже установ-
установлено леммами 4.9 и 4.10.
Обращаясь к прямому утверждению, мы прежде всего должны
доказать ассоциативность. Пусть а, Ъ, с — произвольные эле-
элементы из S. Тогда а = аа 6 Ga, Ъ = Ьр 6 G& и с= cv ? Gy для
некоторых a, p, y 6 Y. Из B) мы получаем равенство
так как aafcp 6 ^ap- Используя предположение о том, что
гомоморфизм, применяя A) и учитывая соотношения a
^ aPY, мы получаем
(aabp) су = [(aaфa.,apv)
Аналогично убеждаемся, что
Остается воспользоваться ассоциативностью в 6rapv.
§ 4.2. Полугруппы, являющиеся объединениями групп ' 173
В силу формулы B) мы получаем для любых элементов еа, е$
из Е
поэтому еаер = еар = ера = ереа. Следовательно, 5 — полугруп-
полугруппа с коммутирующими идемпотентами, являющаяся объединением
групп.
Упражнения к § 4.2
1. Замечая, что связка (полугруппа идемпотентов) есть объе-
объединение одноэлементных групп, из теоремы 4.6 получаем, что каж-
каждая связка есть полуструктура прямоугольных связок (§ 1.8).
(Маклин [1954].)
2. Условие, что полугруппа есть полуструктура групп, экви-
эквивалентно одновременному выполнению любых двух из следующих
условий:
A) S — объединение групп.
B) S — инверсная полугруппа.
C) Каждый односторонний идеал полугруппы S является дву-
двусторонним идеалом.
3. Полугруппа S есть связка групп тогда и только тогда, когда
A) S регулярна и слева, и справа (§ 4.1).
B) Sba — Sba? и abS = a2bS для всех a, b ? <S. (Клиффорд
[1954].)
4. Прямоугольная связка [вполне] простых полугрупп [впол-
[вполне] проста. (См. упражнение 4 к § 2.7.) (Клиффорд [1954].)
5. Пусть % — класс полугрупп. Если полугруппа S есть
связка полугрупп типа $, то S есть полуструктура полугрупп,
каждая из которых является прямоугольной связкой полугрупп
типа 'ё. (Клиффорд [1954]. Упражнение 6 к § 4.1 показывает,
что обратное утверждение неверно.)
6. В полугруппе S каждая подполугруппа имеет единицу тогда
и только тогда, когда S есть полуструктура Y периодических
групп, причем Y вполне упорядочена по убыванию (т. е. каждое
непустое подмножество из Y имеет наибольший элемент). (Во-
(Воробьев [1953а].)
7. Полугруппа S тогда и только тогда обладает тремя свойства-
свойствами: (i) S есть объединение групп, (ii) S содержит идеал К, яв-
являющийся группой, и (in) произведение любых двух различных
идемпотентов из S равно единице группы К, когда S есть нуле-
зая полуструктура Y групп (т. e.~Y имеет нуль 0 и произведение
любых двух различных элементов из Y равно 0). (Тьеррен
Л955с].)
8. (а) Если S — конечно порожденная связка, в которой aba =
= ab для всех а, Ь 6 S, то S конечна. (Шютценберже [1947].)
174 Гл. 4. Разложения и расширения
(Ь) В связке S равенство aba = ab имеет место для веех а,Ъ ? S
тогда и только тогда, когда она есть полуструктура Y полугрупп
левых нулей Ра (а ? Y).
9. Обозначим через \$Р$п свободную связку (полугруппу идем-
потентов) с п образующими. Другими словами, Лр98п есть полу-
полугруппа, порожденная множеством X = {xt, . . ., хп} из п эле-
элементов и заданная всевозможными соотношениями вида [w (х)]г=
=w (х), где w (х) — произвольное слово в свободной полугруппе
^х, порожденной множеством X (§ 1.2).
(a) Максимальным полуструктурным гомоморфным образом
полугруппы ЛР$1п является свободная коммутативная связка,
порожденная множеством X. Она изоморфна (конечной) полуструк-
полуструктуре Y подмножеств *) множества X относительно объединения.
(b) вр9Вп есть объединение полуструктуры Y прямоугольных
связок Sa (a ? Y), где Sa состоит из всех слов w, таких, что мно-
множество образующих, встречающихся в w, равно а. Если^ | а | =
= I P |, то Sa ^ ?р. В силу симметрии число минимальных
левых идеалов полугруппы Sa равно числу ее минимальных пра-
правых идеалов, т. е. прямоугольная связка Sa «квадратна». Обозна-
Обозначим это число (если оно конечно) через JVr.
(c) Через Sr обозначим связку Sa, где а = {хи . . ., хг}.
Пусть R — минимальный правый идеал полугруппы Sr и у —
элемент минимальной длины из R. Пусть xt — последняя буква
в записи у, представленного словом наименьшей возможной длины.
Тогда xt не'может встретиться на другом месте в этой записи у>
так как в противном случае в R можно найти элемент меньшей
длины. Следовательно, каждый минимальный правый идеал полу-
полугруппы ST имеет порождающий элемент вида
w (xi, . . ., xt.i, xi+i, . . ., хт) хг. (*)
Это показывает, что Nr ^ riVr-i при предположении конечности
числа iVr-i- По индукции каждое Nr (г = 1, . . .,. п) конечно,
и поэтому конечна полугруппа ЛР$п.
(d) Любая конечно порожденная связка есть гомоморфный
образ некоторой связки ЛР$п, и поэтому она должна быть конеч-
конечной полугруппой.
(Маклин [1954], Грин и Рис [1952]. Последние привели без
доказательства формулу для порядка полугруппы 3F$tn- Ее можно
вывести, показав, что два различных элемента вида (*) не принад-
принадлежат одному и тому же минимальному правому идеалу полугруп-
полугруппы ST и потому JVr = rNr-i-)
10. Прямое произведение двух полугрупп есть объединение
групп тогда и только тогда, когда каждый прямой сомножитель
есть объединение групп. (Иван [1953].)
J) Непустых.— Прим. ред.
§ 4.3. Разложение коммутативной полугруппы 175
§ 4.3. Разложение коммутативной полугруппы
на архимедовы компоненты;
сепаративные полугруппы
Настоящий параграф начинается с основного результата (тео-
(теорема 4.12), принадлежащего Тамуре и Кимуре [1954], из которого,
легко следует, что любая коммутативная полугруппа S единствен-
единственным образом представима как полуструктура «архимедовых»
полугрупп; последние мы называем «архимедовыми компонентами»
полугруппы S. Этот результат, за исключением единственности,
был получен также и Тьерреном [1954b], который показал, что
любая коммутативная полугруппа S есть объединение попарно
не пересекающихся архимедовых полугрупп; легко видеть, что
любое такое разбиение полугруппы S должно быть полуструктур-
полуструктурным разложением.
Результаты остальной части параграфа принадлежат Хьюитту
и Цукерману [1956 ,_§ 4]. Эта изящная теория была развита ими для
нужд теории характеров, часть которой будет изложена в § 5.5.
Они показали (теорема 5.19 ниже), что характеры коммутативной
полугруппы S отделяют элементы из S тогда и только тогда,
когда в 5 из равенства аЬ = а2 = Ь2 всегда следует а = Ь. Мьг
будем говорить, что полугруппа S сепаративна, если она обладает
последним свойством. Комбинируя теоремы 4.16 и 4.17, мы видим,
что следующие условия эквивалентны: A) S сепаративна; B)
архимедовы компоненты полугруппы S являются полугруппами
с сокращениями; C) S можно вложить в объединение групп.
Пусть а и Ъ — элементы коммутативной полугруппы S. Мы
говорим, что а делит Ь и пишем а \ Ъ, если существует такой эле-
элемент х 6 S1, что ах = Ъ. Отношение делимости рефлексивно, тран-
зитивно и стабильно (§ 1.5). Оно совпадает, конечно, с обычным
отношением делимости, если S есть мультипликативная полугруп-
полугруппа коммутативного кольца. С другой стороны, оно совпадает
с обычным отношением порядка, если S есть аддитивная полугруп-
полугруппа положительных действительных чисел. Последним примером
объясняется введение следующего термина. Будем говорить, что
коммутативная полугруппа S архимедова, если для любых двух
элементов из S каждый делит некоторую степень другого. Легко
видеть, что упорядоченная абелева группа G архимедова в обычном
смысле тогда и только тогда, когда полугруппа положительных
элементов из G архимедова в смысле только что данного опреде-
определения.
Из предложения 1.7 следует, что каждая полугруппа S обла-
обладает максимальным полуструктурным гомоморфным образом. При-
Приведем теперь явную форму соответствующего разложения для слу-
случая, когда S коммутативна (Тамура и Кимура [1954]). По поводу
некоммутативной полугруппы S см. работу Ямады [1955b].
176 Гл. 4. Разложения и расширения
Если р — такая конгруэнция на полугруппе S, что 5Ур есть
полугруппа идемпотентов, то мы будем говорить, что р является
идемпотентной конгруэнцией.
Определим отношение t\ на произвольной коммутативной полу-
полугруппе S, полагая ацЬ тогда и только тогда, когда каждый из эле-
элементов а и Ъ делит 'некоторую степень другого.
Теорема 4.12. Отношение ц на любой коммутативной полугруп-
полугруппе S является конгруэнцией, и S/t\ есть максимальный полуструк-
полуструктурный гомоморфный образ полугруппы S.
Доказательство. Отношение т), очевидно, рефлексив-
рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность. Пусть ацЪ и Ъг\с
{а, Ь, с ? S). Тогда а \ Ът и b \ сп для некоторых положительных
целых чисел тип, что влечет за собой а \ cmv. Аналогично', с
делит некоторую степень а и мы заключаем, что аг\с. Докажем, что
т] стабильно. Пусть а, Ъ, с ? S и ацЬ. Поскольку а \ Ьт, т.о ас \ Ътс;
очевидно, Ътс | (Ьс)т, так что ас | (Ьс)т. Аналогично, Ъс делит
некоторую степень ас и, значит, асцЪс. Следовательно, tj есть кон-
конгруэнция на S.
Очевидно, аца2 для любого а ? S; и так как S коммутативна,
S/r\ есть полуструктура. Доказательство будет полностью завер-
завершено, если мы покажем, что t\ содержится в любой идемпотентной
конгруэнции р на S. Пусть ацЬ. Тогда существуют такие положи-
положительные целые числа т, п и элементы х, у ? S, что ах = Ьт я by =
— ап. Так как ара2 и ЪрЪ2 в силу идемпотентности конгруэнции р,
мы получаем axpb и Ъура. Следовательно,
ар. (by) р (Ьгу) р (Ъа) р (а2х) р (ах) рЪ.
Таким образом, а р Ъ я, значит, г] s p.
Теорема 4.13. Каждая коммутативная полугруппа S единст-
единственным образом представима как полуструктура Y архимедовых
полугрупп Sa (а ? У). Полуструктура Y изоморфна максималь-
максимальному полуструктурному гомоморфному образу S/ц полугруппы S,
и подполугруппы Sa (a ? У) являются классами конгруэнции г\.
Доказательство. Пусть S — коммутативная полу-
полугруппа и т] — отношение на S, определение которого приведено
перед теоремой 4.12. По теореме 4.12 S/ц является полуструкту-
полуструктурой eS~ Slr\. Тот факт, что S есть полуструктура архимедовых
полугрупп, будет установлен, если мы покажем, что каждый
класс А конгруэнции г\ является архимедовой подполугруппой.
Очевидно, А — подполугруппа полугруппы S, так как S/i\
•есть связка. Пусть a, b ? А. Тогда ах\Ь, так что ах — Ът и by = ап
для некоторых х, у 6 S и положительных целых чисел т и п.
Тогда а (Ъх) = 6m+1 и Ь (ay) = an+I. Из Ъх \ bm+l и Ь \ Ьх вытека-
вытекает, что ЪхцЬ, и поэтому Ъх ? А. Аналогично, ау 6 А. Таким обра-
образом, а | fem+1 и b | an+1 в А, т. е. подполугруппа А архимедова.
§ 4.3.. Разложение коммутативной полугруппы 177
Переходя теперь к доказательству единственности, предпо-
предположим, что S — полуструктура Y архимедовых полугрупп
Sa (а ? Y). Нам достаточно показать, что* каждая полугруппа Sa'
является классом конгруэнции т|. Пусть а, Ь ? S. Докажем, что
ацЬ тогда и только тогда, когда а и Ъ принадлежат одной и той же
полугруппе<5а.ЕслииаиЬпринадлежат5а,токаждыйиз них делит
степень другого, так как Sa является архимедовой полугруппой;
следовательно, по определению отношения tj имеем ацЬ. Обратно,
пусть ацЪ и а 6 Sa, Ъ 6 Sp- Так как ацЪ, мы имеем ах — Ьт
и by — ап для некоторых х, у ? S и некоторых положительных
целых чисел т и п. Пусть х ? Sy. Тогда ах ? Say и Ьт ^ 5Р, так
что <гу = р. Следовательно, а ^ р в полуструктуре У. Симметрич-
Симметрично показывается, что р^а и, таким образом, а = р.
Скажем, что конгруэнция р на коммутативной полугруппе S
сепаративна, если Sip сепаративна, т. е. если afepa2pfc2 влечет
за собой apb. Очевидно, пересечение любого семейства сепаратив-
сепаративных конгруэнции на S сепаративно, откуда в силу предложения
1.7 следует, что S имеет максимальный сепаративный гомоморф-
гомоморфный образ. Мы хотим получить явное выражение для него.
Определим отношение а на произвольной коммутативной полу-
полугруппе S, полагая ааЬ тогда и только тогда, когда существует
такое положительное целое число и, что abn = bn+1 и Ъап = an+1.
Заметим, что если существуют такие положительные г^елые числа
тип, что abm = bm+1 и ban — an+1, то ааЬ. В самом деле, если,
например, т < п, то мы можем умножить abm = bm+1 на Ьп~т
и получим abn = bn+1.
Теорема 4.14. Отношение о на любой коммутативной полугруп-
полугруппе S является конгруэнцией, и Slo есть максимальный сепаратив'
ный гомоморфный образ полугруппы S.
Доказательство. Отношение а, очевидно, рефлексив-
рефлексивно и симметрично. Докажем, что оно транзитивно. Предположим,
что ааЬ и Ъас, т. е. существуют такие положительные целые числа
тип, что '
abn = bn+1, ban = an+1,
fecm = cm+i, cbm=bm+l.
Положим ft=(n-f l)(m + l)-l = n(m+l) + m. Тогда
ack = аспт+1)ст = a (bcm)n cm =
= (bcm)n+1 =
и, аналогично, cah~ah'1'1. Докажем, что а стабильно. Предположим,
что aob, т. е.
12-1159
178 Гл. 4. Разложения и расширения
для некоторого положительного целого п. Если c?S, то
(ас) (bc)n = abncn+1 = bn+1cn+1 = (bc)n+1
и, аналогично, (fee) (ac)n — (ac)n+1. Следовательно, acobc, и мы
установили, что а является конгруэнцией.
Докажем теперь, что эта конгруэнция сепаративна. Пусть а
и b — такие элементы полугруппы S, что aboa? и abab2. Тогда
существуют такие положительные целые числа т и п, что-
(ab)(a*)m = (аа)™+1 и (ab)(b2)n =.(Ь2)И+1. Таким образом, Ъа 2m+1 =
_ я2т+2 и afrin+i _.^2п+2 д3 замечания, предшествующего фор-
формулировке теоремы, вытекает, что aab.
Доказательство будет полностью завершено, если мы пока-
покажем, что о содержится в каждой сепаративной конгруэнции р
на S. Пусть aab, скажем, abn = bn+1 и Ьап = ап+1. Нам нужно-
показать, что apb. Пусть к — такое произвольное целое число,
что
abhpbk+1, bahpah+1. A)
Условие A) выполняется, например, при к = п. Предположим, что-
&>2. Под ab° мы понимаем элемент а (если к —2). Тогда
(ab^1J = (abk~2) (abk) p (abh~2) bk+1 = (ab^1) Ък,
{аЪ*-1) Ьь = (abh) b*-ip6*+16*-i = (Ь*) г.
Полагая х = abh~l, у = bh, имеем хурх2 и хуру2, следовательно,
хру, так как конгруэнция р сепаративна. Таким образом,
ab xpbh и, аналогично, befi^pa4. Следовательно, A) выполняется
для к — 1. По индукции, опускаясь от к = п, мы получаем, что-
A) выполняется для к = 1. Следовательно, abpb2 и fcapa2, отку-
откуда apb.
Следствие 4.15. Пусть S — сепаративная коммутативная
полугруппа. Если а и Ъ — такие элементы из S, что abm = Ьт+г
и Ьап — an+1 для некоторых положительных целых чис^л тип,
то а = Ъ.
Доказательство. В силу замечания, приведенного
перед теоремой 4.14, имеем aob. Так как S сепаративна, отноше-
отношение равенства t на S сепаративно. По теореме 4.14 as i и поэтому
а == Ъ.
Теорема 4.16. Коммутативная полугруппа сепаративна тогда,
и только тогда, когда ее архимедовы компоненты являются полу-
полугруппами с сокращениями.
Доказательство. Пусть S — сепаративная коммута-
коммутативная полугруппа и Sa — ее архимедова компонента. Очевидно,
Sa также сепаративна. Докажем, что Sa есть полугруппа с сокра-
сокращениями. Пусть а, Ь, с — такие элементы из S, что ас = be. Так
§ 4.3. Разложение коммутативной полугруппы 179
как Sa—архимедова полугруппа, существуют такие элементы
х, у ?SaM положительные целые числа тип, что сх=ат и су =
= Ъп. Тогда
ат+1 = асх = Ьсх = Ьат,
bn+1 = bey = асу = abn.
В силу следствия 4.15 а = Ь.
Обратно, пусть S — такая коммутативная полугруппа, что
каждая ее архимедова компонента Sa есть полугруппа с сокра-
сокращениями. Пусть а и Ъ — элементы из S, для которых а2 = Ъг =
= аЪ. Если, скажем, а 6 Sa и Ъ ? ?р (а, р ? Ю. то «2 6 Sa и Ь2 ?
? 5р, так что а = р. В силу того что Sa — полугруппа с сокра-
сокращениями, имеем а = Ъ.
Теорема 4.17. Коммутативная полугруппа S вкладывается
в полугруппу, являющуюся объединением групп, тогда и только
тогда, когда она сепаративна.
Доказательство. Предположим сначала, что S вкла-
вкладывается в полугруппу Q, которая есть объединение групп. Пусть
а и Ъ — такие элементы из S, что а2 = Ъг = аЬ. Если Нх обо-
обозначает максимальную подгруппу из Q, содержащую х, то а2 ? На
и Ь2 6 Нь, так что На = #&. Но а2 = ab, откуда вытекает, что
а = Ъ. Следовательно, S сепаративна.
Обратно, предположим, что полугруппа S сепаративна. В силу
теоремы 4.13 S есть полуструктура Y своих архимедовых ком-
компонент Sa. По теореме 4.16 каждая компонента Sa есть полугруппа
с сокращениями. Пусть Ga — группа частных полугруппы 5а
(§ 1.10); напомним, что Ga есть группа, содержащая Sa, и что
каждый элемент из Ga можно представить в виде ab'1, где а, Ь ? Sa,
кроме того, ab'1 = cd~x (a, b, с, d ? 5а) тогда и только тогда,
когда ad = be.
Так как полугруппы 5а попарно не пересекаются, мы можем
считать, что группы Ga попарно не пересекаются. Пусть Т есть их
" объединение. Определим произведение (°) в Т следующим обра-
образом. Пусть а, Ъ ? Т, скажем, а ? Ga и Ь 6 Gp. Тогда а = aja,
где at, а2 ? Sa, и Ь = fci&a"» где Ъи Ь2 ? ?р. Положим
Так как a^ и а2^г принадлежат iSaC, то а°Ь есть элемент группы
Gap. Мы должны доказать, что он не зависит от представления
элемента а [Ь] как частного элементов полугруппы Sa [Sp].
Предположим, что а = а3а^х, где а3, ak g ?a, и fc = Ьз^1» где
Ьз, Ь4 € 5Р. Тогда aia4 = а2«з и bybk = &2&з, откуда (а1Ь1)(а4Ь4) =
= (a2h)(a3b3) в 5вЭ, поэтому (агЬх)(а2Ъ2)-г = (a3b3) (aJ>k)-% в GaP.
Докажем ассоциативность введенной операции. Пусть а ? Ga,
Ь ? ?р и с 6 Gv. Тогда a = a^1, где al7 a2 6 Sa, Ъ — bib'*,
12,
Гл. 4. Разложения и расширения
где Ъи Ь2 6 S&, с = с^1, где си са ? ST Мы имеем
= [a1a'1]o[(feic1)(b2ca)-1] = ao(feoc).
Таким образом, Т — полугруппа, являющаяся объединением
групп и содержащая S. Мы, однако, должны еще доказать, что
если а и Ь — элементы полугруппы S, то а°Ь совпадает с перво-
первоначальным произведением аЪ элементов а и Ъ в полугруппе S.
Пусть а ? Sa, Ь 6 5Э (а, 0 ? У). Тогда а = Лг1 и Ь = ft«ft-i, так
что aofc = (о2Ь2)(аЬ)~1. Производя простые вычисления в ком-
коммутативной группе Gap, мы получаем (a2fe2)(afe)~1 = afe и, сле-
следовательно, а°Ъ = аЪ, что и требовалось установить.
Мы не включили в формулировку предыдущей теоремы ника-
никакой информации о природе объединения групп, в которое вкла-
вкладывается сепаративная коммутативная полугруппа S. Эта инфор-
информация содержится в следующей теореме, которая резюмирует
результаты настоящего параграфа. Мы отметим в упражнении 1(Ь)
к настоящему параграфу, что, вообще говоря, не существует
единственного минимального объединения групп, содержащего
данную сепаративную коммутативную полугруппу.
Теорема 4.18. Любая коммутативная полугруппа S единст-
единственным образом представима как полуструктура Y архимедовых
полугрупп Sa (a 6 Y). Полугруппа S может быть вложена в полу-
.группу Т, являющуюся объединением групп, тогда и только
тогда, когда S сепаративна, что имеет место тогда и только
тогда, когда каждая архимедова компонента Sa есть полугруппа
с сокращениями. В качестве полугруппы Т можно взять объедине-
объединение той же самой полуструктуры Y ърупп Ga, где для каждого
¦а 6 У Ga есть группа частных полугруппы Sa.
Упражнения к § 4.3
1. (а) Пусть S — полугруппа положительных целых чисел
относительно умножения. Пусть a — конечное множество про-
простых чисел и Sa состоит из всех положительных целых чисел
п, для которых множество простых делителей -есть в точности а.
Тогда архимедовы компоненты полугруппы S есть в точности
множества Sa. Максимальный полуструктурный гомоморфный
образ полугруппы S изоморфен полуструктуре У (относительно
объединения) всех конечных подмножеств счетного множества.
(b) S можно вложить в объединение 71 полуструктуры У групп
Ga, где каждое Ga есть прямое произведение | a | экземпляров
бесконечных циклических групп. Но Т не является единственным
§ 4.3. Разложение коммутативной полугруппы 181
минимальным объединением групп, в которое вкладывается S,
так как S может быть вложена в одну группу.
2. Архимедова коммутативная полугруппа А может содер-
содержать не более одного идемпотента. Если А содержит идемпотент е,
то каждый элемент а из А. имеет обратный элемент а' относительно
е, т. е. аа' —а'а = е. (Тамура и Кимура [1954].)
3. Пусть S — коммутативная полугруппа, содержащая идем-
идемпотент е. Тогда S является архимедовой полугруппой в том и толь-
только в том случае, когда A) Не есть группа зероидов полугруппы S
(См. § 2.5, упражнения 4—7) и B) некоторая степень каждого эле-
элемента из S принадлежит Яе.
. 4. Если архимедова компонента А сепаративной коммутатив-
коммутативной полугруппы содержит идемпотент, то она является группой.
(Хьюитт и Цукерман [1956].)
5. Пусть S — такая коммутативная полугруппа, что некото-
некоторая степень каждого элемента принадлежит некоторой ее под-
подгруппе. Тогда каждая архимедова компонента S^ (a ? Y), полу-
полугруппы S содержит единственный идемпотент ей. Максимальная
, подгруппа На из S, содержащая еа, является идеалом (группой
зероидов) в Sa. Объединение Hs всех На (а ? Y) является подпо-
подполугруппой, которая есть объединение полуструктуры Y групп
На (а 6 Y). Если а 6 Sa, то аа (аеа), где а есть отношение, опре-
определенное перед теоремой 4.14. Далее, если а и Ъ — элементы
полугруппы S, то ааЬ тогда и только тогда, когда (i) а и Ь принадле-
принадлежат одной и той же полугруппе Su и (ii) aea = Ьеа. Следовательно,
максимальный сепаративный гомоморфный образ Sla полугруппы
S изоморфен «групповой части» Н3 полугруппы S. (Шварц
[1954b] для периодической полугруппы S; см. также упражне-
упражнение 5 к § 5.5.) • V
6. (а) Полугруппа, заданная образующими х, у и определяю-
определяющими соотношениями х2 = у2 = ху = ух, является объединением
полугрупп с сокращениями, но не сепаративна.
(Ь)- Коммутативная полугруппа есть объединение попарно
не пересекающихся полугрупп с сокращениями тогда и только
тогда, когда она сепаративна.
7. Пусть S — произвольная полугруппа, не обязательно ком-
коммутативная. Назовем S сепаративной полугруппой, если х2 =
= ху = у2 (х, у 6 S) влечет за собой х = у.
(a) Если полугруппа S есть объединение попарно не пересе-
пересекающихся полугрупп с сокращениями, то S сепаративна.
(b) Пусть S — периодическая полугруппа. Для каждого идем-
идемпотента е ? S обозначим через Se множество всех таких элемен-
элементов а из S, что ап = е при некотором положительном целом п.
Если а ? Se, то еа = ае и a (j He тогда и только тогда, когда
еа = а. Если S сепаративна, то а2 6 Не влечет за собой а 6 #е,
так что Se = Не.
182 Гл. 4. Рагложенпя и расширения
(с) Следовательно, полугруппа S есть объединение попарно
не пересекающихся периодических групп тогда и только тогда,
когда она периодическая и сепаративная. (Шварц [1956L)
8. Пусть S — архимедова коммутативная полугруппа с сокра-
сокращениями и без идемпотентов. Пусть а — фиксированный эле-
элемент из S и Tn = anS \an^S (n = 0, 1, 2, . . .), где под аРх
мы понимаем х для каждого х из S.
(a) S = То (J Tt U Г2и . . . и каждый элемент из Тп един-
единственным-образом представим в виде anz, где z ? Го.
(b) Для х, у ? S положим хру, если существует такое неотри-
неотрицательное целое число л, что х = апу или у = апх. Тогда р являет-
является конгруэнцией и Sip есть группа, единицей которой служит
класс ра.
(c) Обозначим элементы полугруппы S/p через Sa, где а пробегает
группу G, изоморфную Sip. Для каждого а ? G множество Sa П То со-
состоит из одного элемента иа ? S, т. е. множество То является мно-
множеством представителей р-классов полугруппы S. Для каждой
пары элементов а, р 6 G существует такое единственное неотри-
неотрицательное целое число п = I (a, P), что мамр = апиа$, и функ-
функция / обладает следующими свойствами:
(i) / (а, Р) = / (р, а) для всех а, р 6 G;
(И) / (а, р) + / (ар, v) = / (а, Py) + / (Р, V) Дл* всех
а, р, у ?G;
(iii) для каждого а ? G существует такое положительное целое
число, лг, что / (<zm, a) > 0;
(iv) / (е, е) = 1, где е — единица группы G.
(d) Обратно, если мы возьмем абелеву группу G, отображе-
отображение / множества G X G в множество No неотрицательных целых
чисел, удовлетворяющее условиям (i) — (iv), и определим произ-
произведение в S = No X G, полагая
(тп, а) (п, р) = (т + п + / (а, р), ар),
то получим полугруппу S, которая является архимедовой комму-
коммутативной полугруппой с сокращениями и без идемпотентов. Более
того, если мы положим а = @,е), то S/p, построенная как
и выше, будет изоморфна группе G, и мы -получим то же самое
отображение /, взяв иа = @, а).
(е) Исходная полугруппа S изоморфна полугруппе No X G,
построенной в (d), где G e* Sip и / определено в (с).
(Тамура [1957]. Bj терминологии Редей [1952] S есть шрей-
шрейерово расширение No при помощи G.)
§ 4.4. Расширения полугрупп
Пусть S и Т — непересекающиеся полугруппы и Т содержит
нуль 0. Полугруппу 2 будем называть (идеальным) расширением
полугруппы S при помощи Т, если она содержит S в качестве
идеала и факторполугруппа Риса 2/5 (§1.5) изоморфна Т.
§ 4.4. Расширения полугрупп 183
Этот тип расширения естественным образом возникает при изуче-
изучении полугрупп, обладающих композиционными рядами (§ 2.6);
строение таких полугрупп было бы полностью изучено, если бы
мы знали строение всех 0-простых полугрупп и имели бы эффектив-
эффективное решение проблемы расширения. В этом смысле здесь имеет-
имеется некоторая аналогия с шрейеровской теорией групповых рас-
расширений. Действительное обобщение последней для полугрупп
было дано Редей [1952] и развито далее Вигандтом [1958а, Ы
и Хенкоком [1960а, Ь]. (В качестве примера см. упражнение 8
к § 4.3). Недостаток места не позволил нам привести обе теории,
и мы выбрали теорию идеальных расширений, основываясь
на замечании, сделанном выше. Результаты данного параграфа
взяты из статьи Клиффорда [1950].
В шрейеровской теории мы всегда можем указать расширение
одной группы (или полугруппы с единицей) при помощи другой,
например их прямое произведение, а для идеальных расширений
полугрупп это не всегда возможно (см. упражнение 1 ниже).
Необходимые и достаточные условия существования идеального
.расширения полугруппы S при помощи полугруппы Т неизвестны.
Так как в дальнейшем мы будем иметь дело лишь с одним типом
расширений, условимся впредь отбрасывать приставку «идеальное»
перед словом «расширение». На протяжении этого параграфа
будем придерживаться следующих обозначений. Буквы S и Т
будут обозначать непересекающиеся полугруппы, причем считает-
считается, что полугруппа Т содержит нуль 0. Положим Т* = Т\0 и2 =
= S U Т*.
Буквы Ат В, С, . . ., [s, t, и, . . .] всегда будут обозначать
элементы множества Т* IS]. Выражения, подобные «для всех
А, В ? Г* и для всех s, t ? S», будут обычно опускаться. Так как
любое расширение ыолугруппы S при помощи Т есть объединение
S и Т*, ясно, что мы получим все возможные расширения 2 (о)
полугруппы S при помощи Т, если найдем все способы, с помощью
которых можно задать на 2 = S [) Т* бинарную операцию ( о ),
удовлетворяющую следующим условиям:
=AB, если АВфО,
(Р2) AoS?S; (P3) soA?S; (P4) sot = et.
Начнем с особенно простого метода построения расширений.
Понятие частичного гомоморфизма одного частичного группоида
в другой было определено в замечании после теоремы 3.4. Согласно
этому определению, отображение А -*• А частичного группоида
Т* в S является частичным гомоморфизмом тогда и только тогда,
когда для любых А, В ? Т*, таких, что АВ Ф 0, имеет место
АВ = АВ.
184 Гл. 4. Разложения и расширения
Теорема 4.19. Частичный гомоморфизм А —>¦ А частичного
группоида Т* в S следующим образом определяет расширение
2 ( ° ) полугруппы S при помощи Т:
( АВ, если АВфО,
(Ml) АоВ=\ __
I АВ, если АВ — 0',
(М2) A°s=<As; (M3)so^ = sJ; (М4) s<>*==««,
Если S имеет единицу, то каждое расширение полугруппы S при
помощи Т получается этим методом.
Доказательство. Доказательство первой части теоре-
теоремы сводится к стандартной проверке ассоциативности операции
(о), и его можно разбить на восемь случаев, которые мы будем
обозначать через SSS, SST* и т. д., в соответствии с тем, откуда
выбираются три элемента, участвующие в.проверке. Случай SSS
следует из ассоциативности полугруппы S. Обратимся к случаю
SST*:
(sct)°A — (sf)oA = (st) A = s (tA) = s (UA) = $°(t°A).
Случаи ST*S, T*SS и T*ST* рассматриваются аналогично.
Обратимся к случаю ST*T*:
(soA)oB = (sA)°B = (sA)~B = s (AB).
Если AB = 0, то
s (AB) = s (AoB) = so(A°B)
в силу (М1) и (М 4). Если АВ Ф 0, то АВ = АВ, и поэтому
s (АВ) = s (АВ) = s о (АВ) = so (AoB).
Случай T*T*S рассматривается аналогично. Наконец^переходя
к случаю Т*Т*Т*, заметим, что если ABC Ф 0, то А о (В°С) =
= А (ВС) = (АВ) С = (АоВ)оС. Мы можем, следовательно,
предположить, что ABC — 0. Имеется четыре подслучая в соответ-
соответствии с тем, равны или не равны 0 элементы АВ и ВС. Мы имеем
= (АВ) С~= (АВ) С, если АВ Ф 0;
(АВ) о С = (АВ) С, если АВ = 0;
А о (ВС) = А (ВС) = А (ВС), если ВС ф 0,
А°(ВС) = А(ВС), если ЯС = 0,
Во всех четырех подслучаях ассоциативность следует из ассоциа-
ассоциативности в S.
Обратно, предположим, что S имеет единицу 1. Из (Р 2, 3, 4)
и ассоциативности в 2 (°) мы имеем
A°l = lo (Ad) = AоЛ)°1 = 1оА.
j №)
{ (АВ)
§ 4.4. Расширения полугрупп 185
Определим отображение А -> А, полагая А = Ао{ ( = 1оЛ).
Тогда из предыдущего и условия (Р 1) вытекает
IB = AoUBol = Ло5о1о1 = AoBol. A)
Будем записывать операции в S и 21 как приписывания. Если
в Г имеет место АВ -ф О, то Л°В = Л5 ? Т*, и мы получаем
Л2? = A°Bol = (Л5)°1 = АВ.' Следовательно, отображение
А -»- А есть частичный гомоморфизм частичного группоида Т*
в 5.
Первая часть из (М1) не требует доказательства. Докажем вто-
вторую. Пусть АВ = 0 в Г, так что А°В ? S. Тогда в силу A) имеем
~АВ = (АоЯ)о1= (Ло5) 1 = Ао5. Докажем (М 2): 4°s =~Ао1<* =
= A°s = As. Двойственным образом' доказывается (М 3), а (М 4)
доказательства не требует.
Ё оставшейся части этого параграфа мы будем считать полу-
полугруппу S слабо редуктивной (§ 1.3)., Это является сравнительно
слабым ограничением на S. По лемме 1.2 сдвиговая оболочка S
полугруппы S будет ее расширением.
Теорема 4.20. Пусть S — слабо редуктиеная полугруппа и S —
ее сдвиговая оболочка. Пусть Т — полугруппа с нулем 0 и Т* =
= Г\0, 2 _== Т* U S, 2 = Т* U 5. Пусть 2" ® — расширение
полугруппы S при помощи Т. Тогда 2 (о) есть расширение полу-
полугруппы S при помощи Т в том и только в том случае, когда 2 (о)
является подполугруппой из 2 (°), а зтоо имеет место тогда
и только тогда, когда А°В ? ? Зля каждой пары таких элементов
А, В'б У, что i5 = 0e 71. ^
Обратно, пусть 2 (о) — расширение полугруппы S при] помо-
помощи Т. Тогда существует такое расширение 2 (°) полугруппы S
при помощи Т, что 2 (о) является подполугруппой из 2 (о).
Доказательство. Пусть 2 (о) является расширением
полугруппы S при помощи Т. Так как S содержит единил^
из теоремы 4.19 следует, что .операция (°) определяется при
помощи частичного гомоморфизма 6: А ->- А частичного группои-
группоида Т* в S. Положим AQ = А = (ХА, рА) для каждого А ? Т*.
В силу условия (М 3) теоремы 4.19 для любого элемента (К, р) ? S
мы имеем
(X, рМ = (Ь,Р) (Я,А| рА) = (Я,АЯ,, ррА).
В частности, для элемента s = (Xs, ps) из 5 (= ?0)
= (^(, Pi),
186 Гл. 4. Разложения и расширения
где по лемме 1.1 t = spA. Таким образом, S»T* s S и, двой-
двойственным образом, T*°S^ S. Следовательно, ?°2 s S и 2°?е S.
Если 2 является подполугруппой полугруппы 2, то предыду-
предыдущее показывает, что S — идеал из 2, и, следовательно, 2 есть
расширение полугруппы S при помощи Т. С другой стороны,
«ели 2 является расширением полугруппы 5, то оно должно быть
полугруппой. Из предыдущего также ясно, что 2 является под-
подполугруппой полугруппы 2 тогда и только тогда, когда Т*оТ* s
?= 2,' а это эквивалентно тому, что равенство АВ = 0 влечет
за собой АоВ 6 S.
Переходя к доказательству обратного утверждения теоремы,
предположим, что 2 (°) является расширением полугруппы S
лри помощи Т. Для каждого А 6 Т определим преобразования
Ла и Ра полугруппы S, полагая
skA — Acs, spA = s°A.
В силу ассоциативности операции в 2( °) преобразование КА [рл] бу-
будет левым [правым] сдвигом полугруппы S и сдвиги ЯА,рА связаны.
¦Следовательно, условие А-"-*- АВ=А=(кА, рА) определяет отобра-
отображение 0 частичного группоида Т* в S. Снова используя ассоциа-
ассоциативность операции в 2 ( о), мы видим, что для А, В 6 Т*, таких
что АВ -ф 0, имеет место КАВ = Кв ХА и рАВ = рдрв. Следо-
Следовательно,
(АВ) 0 = (ХАВ, рАВ) = (КК, РаРв ) =
= (К, Ра) {К, Ра) = U6) E 0),
доэтому 6 есть частичный гомоморфизм частичного группоида
Т* в S. По теореме 4.19 отображение 6 определяет расширение
2 (*) полугруппы S при помощи Т. Доказательство теоремы будет
лолностью завершено, если мы покажем, что 2 ( о) является
подполугруппой из 2 (*), т. е. (*) совпадает с (о) на 2 х 2 г).
Это очевидно для S X S. Рассмотрим S X Т*. Мы имеем
s*A = (Л,,.рв) * А = {Xs, p.) {AQ) =
= (К, Ps) (К, Ра) = Q*t, Pf) = t,
тде по лемме 1.1 t = spA. Но spA = s°A и поэтому s*A = s°A.
Двойственным образом мы можем установить, что (*) совпадает
с (о) на Т* X S. .
Рассмотрим Т* х Т*. Мы имеем А*В — АВ — А°В, если
АВ Ф 0. Следовательно, можно предположить, что АВ = 0.
Тогда по теореме 4.19
А*В == (АВ) E0) = (ЯА, рА) (Яя, Ря) =
— (^в ^А) РаРв)-
г) Здесь имеется в виду совпадение операций (*) и (о) как отображе-
отображений, определенных на множестве 2 X 2.— Прим. ред.
' § 4.4. Расширения полугрупп 187
Так как АВ = 0, то A°B?S и поэтому
* (Рл, 9в) = (Фа) 9в = (s°A)°B = so(^4oB) = spAoB.
Таким образом, рлРв = Ра«в и> аналогично, А.ВХД •= А.л»в-
Следовательно,
А*В = (ХАоВ, рЛоВ) = ЛоБ.
Теорема 4.20 сводит проблему нахождения всевозможных рас-
расширений слабо редуктивной полугруппы S при помощи полу-
полугруппы Т с нулем 0 к проблеме нахождения всех таких частичных
гомоморфизмов Э частичного группоида Т* = Т\0 в сдвиговую
оболочку S полугруппы S, что если А и В — элементы из Г*,
для которых АВ = 0, то (AQ) (ВВ) содержится в S (а не только в S).
Теорема 4.21 выражает эти условия на 6 в терминах отображений,
затрагивающих лишь Т* и S.
Сначала, однако, ответим на вопрос, который может возник-
возникнуть здесь у читателя. Если полугруппа S имеет единицу, то все
ее расширения при помощи Т задаются теоремой 4.19 посредством
частичных гомоморфизмов частичного группоида. Т* в S; в этом
случае S = S. Теорема 4.20 дает нам возможность применять
теорему 4.19 к полугруппе S, так как S содержит единицу.
Но S1 = S U {1} — также полугруппа с единицей, содержащая S;
почему мы не можем использовать S1 вместо ??
Ответ состоит в том, что мы можем в таком случае не получить
всех расширений полугруппы S. В частности, мы можем не полу-
получить, вообще говоря, расширения S. А именно, S можно получить
таким способом только в случае, когда S ^ S1.
В самом деле, предположим, что мы можем получить S из рас-
расширения 2 (о) = Т* U S1 полугруппы S1, где Т* = S\S. Пусть
¦^ = (^Ai Ра) — элемент из Т*. Так как АЛ и \°А принадлежат
S1, получаем
Ad = 1о(Ло1) = (JoA)ol = UA.
Не может быть, чтобы АЛ = а ? S. Действительно, в противном
случае ,для каждого s ? S
skA = Acs = .4°l°s = a°s = as = sKa,
следовательно, kA = %a и, аналогично, рА = pa, что противоречит
условию A (J S. Следовательно, АЛ — loA = 1. Но тогда для
каждого s б S
s%A = A°s = .4°los = l°s = s,
следовательно, kA = i и, аналогично, рд = i. Таким образом,
A s= (i, i) есть единственный элемент из S, лежащий вне S,
поэтому S ^ S1.
188 Гл. 4. Разложения и расширения
Пусть теперь S — произвольная полугруппа, Т — произволь-
произвольная полугруппа с нулем 0 и Т* = Т\0. Обозначим через W
множество всех пар (А, В) элементов А, В ? Т*, для которых АВ=
= 0. Любое отображение ф множества W в 51 будем называть
ветвлением *) полугруппы Т в 5. .Если 8 — частичный гомомор-
гомоморфизм частичного группоида Т* в S, то определим ф, полагая
(А, В) ф = (AQ) E0). Будем говорить, что ф есть ветвление полу-
полугруппы Т в S, ассоциированное с 0.
Теорема 4.21. Пусть S—слабо редуктивная полугруппа,
Т — произвольная полугруппа с нулем 0. Пусть ф — ветвление
полугруппы Т в S и A->-kA, A -*- рА суть такие отображения час-
частичного группоида Т* = Т\0 соответственно в полугруппы А и Р
левых и правых сдвигов полугруппы S, что выполняются следующие
условия:
\А„, если
"¦(А, в)ф! если Ао — О',
,го. , Рав, если, АВфО,
(С 2) рлРв --
(С 3) s (tkA) = (spA) t; т. е. ХА и рА связаны.
Пусть 2 = Т* U S, и пусть в S следующим образом определена
бинарная операция (о):
Г АВ, если АВфО,
(N ) ° =
, Б)ф, если
. (N2) AoS = slA; (N3) eo-i4 = epA; (N4) sct = tt.
Тогда 2 (ь) является расширением полугруппы S при помощи Т,
и каждое расширение полугруппы S при помощи Т можно
построить таким способом.
Доказательство. Если 2 (о) = Т* [} S есть рас-
расширение полугруппы S при помощи Т и мы определим отображе-
отображения ф, ХА, рА, исходя из условий (N 1), (N 2), (N 3), то все утверж-
утверждения теоремы легко следуют из ассоциативного закона в 2 (°).
Обратно, пусть ф, КА, рд суть отображения, удовлетворяю-
удовлетворяющие предположениям теоремы. В силу условия (С 3) отображение
0, определенное равенством АЬ = (ЯА, рА), является отображени-
отображением множества Т* в сдвиговую оболочку S полугруппы S. В силу
условий_(С 1) и (С 2) 0 есть частичный гомоморфизм. Пусть 2 (») =
= Г* U S есть соответствующее расширение полугруппы S при
помощи Т, построенное в теореме 4.19. Доказательство будет
полностью завершено, если мы установим, что выполняются
условия (N1)— (N 4).
х) В оригинале — ramification.— Прим. верее.
§ 4.5. Расширения группы 189
Так как полугруппа S слабо редуктивна, мы можем отожде-
отождествить ее с So, т. е. каждый элемент s из S отождествить е эле-
элементом (Xs, pj. Пусть А и В — такие элементы из Т*, что АВ = 0.
В силу свойств (С 1), (С 2) и условия (М 1) из теоремы 4.19
мы имеем
АоВ = (AQ) {BQ) = (Я,Л, рЛ) (Яв, рв) =
= (кв кА, рлРв) = (^ (л,в)<р> Р(а,в)ф) =
= (А, В) ср.
Следовательно, выполняется (N 1). Из условия (М 2) теоремы
4.19 и леммы 1.2 вытекает, что
A°s, = (AQ) s = (ЯЛ, рА) s = s^A.
Следовательно, выполняется (N 2). Двойственным образом дока-
доказывается (N3), a (N 4) не нуждается в доказательстве.
Упражнения к § 4.4
1. Пусть полугруппа S не содержит левых единиц, а ее полу-
полугруппа левых сдвигов Л не содержит идемпотентов, отличных
от тождественного отображения. (Например, в качестве S можно
взять бесконечную циклическую полугруппу.) Пусть Т — полу-
полугруппа с нулем 0, содержащая два ненулевых идемпотента Е и F,
для которых EF = 0. (Например, в качестве Т можно взять
мультипликативную полугруппу кольца классов вычетов по
mod 6 и положить Е = 3, F — 4.)" Тогда не существует рас-
расширений полугруппы S при помощи Т.
2. Расширение полугруппы S при помощи Т всегда сущест-
существует в любом из следующих случаев: A) Т не содержит собствен-
собственных делителей нуля; B) S содержит идемпотент. <¦
3. Пусть S — полугруппа, являющаяся объединением двух
непересекающихся групп Hi и Н2. Тогда S есть левая или правая
группа, или либо Ни либо Н2 является ядром полугруппы S.
Если Нг — ядро в S, то строение полугруппы S определяется
гомоморфизмом группы Hi в Н2, как описано в теореме 4.11
или теореме 4.19. (Сушкевич [1937], гл. 3, § 29.)
§ 4.5. Расширения группы при помощи вполне
0-проспгой полугруппы;
эквивалентность расширений
В предыдущем параграфе мы дали общие способы нахождения
всевозможных расширений (слабо редуктивной) полугруппы S
при помощи полугруппы Т с нулем 0. Как и в случае шрейеровской
теории групповых расширений, эти способы носят теоретический
характер и применять их к тем или иным специальным классам
190 Гл. 4. Разложения и расширения
полугрупп обычно трудно. Такие применения были сделаны
в двух случаях: A) полугруппа Sвполне проста, а Т произвольна;
B) S — группа, а Г — вполне 0-простая полугруппа *). Резуль-
Результаты в случае A), принадлежащие Клиффорду [1941, § 4; 1950,
§ 5], формулируются очень громоздко, и поэтому мы их опустим.
Результаты в случае B), принадлежащие Манну [1955а], более
удовлетворительны, и мы изложим их здесь. К этим результатам
Манна, которые публикуются здесь впервые, мы добавили только
не очень удовлетворительную обратную часть теоремы 4.24.
Мы также рассмотрим эквивалентность расширений не только
в случае B), но и в более общем случае, когда S есть произвольная
полугруппа с единицей.
Пусть G* — группа, а Г — вполне 0-простая полугруппа.
В силу теоремы 4.19 для нахождения всех расширений группы
G* при помощи Т нам нужно только найти все частичные гомо-
гомоморфизмы частичного группоида Г\0 в G*, что в свою очередь
можно получить при помощи теоремы 3.14. По теореме Риса 3.5
мы представляем Т как регулярную рисовскую полугруппу над
группой с нулем G0 с Л X /-сэндвич-матрицей Р = (ры)-
Полугруппа S* из теорем 3.11 и 3.14 сводится теперь к группе
G*. Следовательно, мы можем рассматривать /* и Л* как одноэле-
одноэлементные множества, &. Р* — как 1 х 1-матрицу с элементом е*,
где е* — единица группы G*. Равенства A) и B) из § 3.4 сводятся
соответственно к
pXiCO = V%UU A)
(a; i, X) 8 = щ (о©) vx (а б G; t?l; К б Л). B)
- Итак, мы имеем такое следствие теоремы 3.14.
Теорема 4.22. В приведенных выше обозначениях пусть i ->¦ Uf
и X —»- Vx суть отображения множества I в G* и множества Л
в G* соответственно. Пусть со — гомоморфизм группы G в G*r
причем выполняется равенство A) для всех i ? I и X ? А, таких,
что ри Ф 0. Тогда равенство B) определяет частичный гомомор-
гомоморфизм Т\0 в G*, и каждый частичный гомоморфизм Т\0 в G*
получается таким способом.
Назовем два расширения 2 и 2' полугруппы S эквивалент-
эквивалентными, если'существует изоморфизм полугруппы 2 на 2', отобра-
отображающий S на себя. Отображение S на себя должно, очевидно,
быть автоморфизмом.
Теорема 4.23. Пусть S — полугруппа с единицей, а Т —
полугруппа с нулем. Пусть 2 и 2' — расширения полугруппы
S, определенные частичными гомоморфизмами Вив' частичного
х) В работе Грилле и Петрича [1968] осуществлено дальнейшее прод-
продвижение в описании идеальных расширений слабо редуктивных полугрупп.—
Прим. ред.
§ 4.5. Расширения группы 191
группоида Т\0 в S. Тогда 2 и 2/ эквивалентны в том и только
в том случае, когда существуют автоморфизмы if> полугруппы Т
и а полугруппы Б,-для которых 0а = яр!0', где яр4 есть ограничение
ф на Т\0.
Доказательство. Предположим сначала, что 2 и 2'
эквивалентны. Тогда существует изоморфизм ф полугруппы 2
на 2', который индуцирует автоморфизм а полугруппы S. Очевид-
Очевидно, ф индуцирует также автоморфизм я|з полугруппы Т ^ 2 Л?,
так как ф отображает Т\0 на Т\0 и S на 5.
Пусть операция в 2 обозначается через (°), а в 2' —через
( ¦ ). В силу теоремы 4.19
АВ, если АВфО,
А о В =
(AQ)(BQ), если АВ = 0;
Aos=(AQ)s; s°A = s(AQ); sot = st
Аналогично,
АВ, если
*В л (AQ')(BQr), если АВ = 0;
Тогда, обозначая через 1 единицу полугруппы 5, получаем
= (Aoi) ф
Так как а = ф | S, ^^ф | (Г\0) и АВ ^ S, мы имеем
Аба =
Так как это выполняется для любого А ? Т\0, мы заключаем,
что 9а = яр16'.
Обратно, пусть я|з — автоморфизм полугруппы Г и а — такой
автоморфизм полугруппы S, что 0а = %0'. Определим отображе-
отображение ф, полагая sq> == sa (для всех s 6 5) и 4ф = Aty± (для всех
А 6 У\0). Тогда ф является, очевидно, подстановкой на S [} (Т\0).
Для того чтобы доказать, что ф является изоморфизмом полугруп-
полугруппы 2 на 2', мы должны установить, что
(А°В) ф = фф
(Aos) ф = А<р *sq>,
(s°A) ф = sq>* Aq>,
(s°t) ф = Яф * ftp.
Замечая, что АВ Ф 0 тогда и только тогда, когда (tyi) (ty^ ф
Ф 0, мы получаем, что приведенные равенства эквивалентны
192 - Гл. 4. Разложения и расширения
равенствам
(АВ) % = (Atyi) (jgopi), если АВ Ф О в Т,
[(АВ) E0)] а = (ityiO') E^0'), если АВ = 0 в Г,
[Цв) в] а = Uap!0') (ва),
.[« (АВ)] а = (ва) U^B'),
(st) а = (sa) (ta).
Первое и последнее равенства непосредственно вытекают из пред-
предположения о том, что г|) — автоморфизм полугруппы Т та. а —
автоморфизм полугруппы S. Левая часть второго равенства равна
(А&а) E0а), т. е. правой части этого равенства, так как 0а =
=г|)!0'. Левая часть третьего равенства равна (Л0а) (sa),i. e., как
и выше, правой части этого равенства. Четвертое равенство дока-
доказывается аналогично.
Так как изоморфизм ф полугруппы 2 на 2' индуцирует авто-
автоморфизм а полугруппы S на себя, расширения 2 и 2' эквива-
эквивалентны.
Если 2 и 2' — расширения группы G* и если ф — изомор-
изоморфизм полугруппы 2 на 2', то ф должно отображать G* на себя;
в самом деле, G* является ядром полугрупп 2 и 2'. Следователь-
Следовательно, если 2 и2' изоморфны, то они суть эквивалентные расширения
группы G*. Это было отмечено Тамурой [1954b]. Используем тео-
теоремы 4.22 и 4.23 для получения следующей теоремы.
Теорема 4.24. Пусть G* и Т — те же полугруппы, что и в тео-
теореме 4.22. Пусть 2 и 2' —расширения группы G* при помощи
Т, задаваемые соответственно частичными гомоморфизмами 9
и 0' частичного группоида Т\0 в G*. По теореме 4.22 отображе-
отображения Вив' имеют вид
(a; i, К) 0 = ut (aw) vK,
(a; I, k) 6' = u\ (a<o') v{, * C)
где ю и ю' — гомоморфизмы группы G в G* и ut, v%, щ, v{ — та-
такие элементы из G*, что
Ры® = vxui, pu® = v{u'i D)
при всех i ? J и X 6 Л, для которых pxi Ф 0. Если расширения
2 и 2' изоморфны, то существуют отображения i-+-x( множества
I в G ii k -v у\ множества Л в G, подстановки аихна1инаА
соответственно и автоморфизмы у и б групп G* и G соответствен-
соответственно, для которых
бсо' = coy, E)
Рид == УкРхх, tout (i 6 /, Я, € Л) , F)
где мы распространяем 8 на полугруппу G0, полагая 06 = 0.
§ 4.5. Расширения группы 193
Обратное выполняется, если Т не содержит собственных дели-
делителей нуля.
Замечание. Как и в следствии 3.12, мы можем также выразить
условие F), утверждая, что существуют инвертируемая 1-х /-ма-
/-матрица X и инвертируемая Л х Л-матрица Y, для которых
Р8 = YPX.
Об утверждении, обратном к утверждению теоремы 4.24, см.
упражнения 2 и 3 ниже.
Доказательство. Предположим, что 2 и'2' изоморф-
изоморфны и, следовательно, эквивалентны в силу замечания, предше-
предшествующего теореме. По теореме 4.23 существуют такие автомор-
автоморфизмы яр и а полугруппы Т и группы G* соответственно, что 0а =
= opi6', где if>i = i|) |(Г\0). Применим теперь теорему 3.11, взяв
в качестве S и S* полугруппу Т и в качестве 8 — отображение
¦ф; заметим, что (как и в доказательстве следствия 3.12) отображе-
отображения ф, \f> и со должны быть теперь взаимно однозначными и отобра-
отображениями на. Мы заключаем, что существуют отображение i -»- xt
множества / в G и отображение X -*• ух множества Л в G, подста-
подстановки а на / и т на Л и автоморфизм б группы с нулем G0, удовлет-
удовлетворяющие условию F), для которых
(a; i, X) ар! = (xt (ab) ух\ ia, Xx) G)
при всех а 6 G, i ? /, X ? Л.
Применяя а к первому из равенств C), получаем
(a; i, X) 6а = (ща) (<ша) (i>j,a). (8)
Применяя 6' к равенству G) и используя второе из равенств C),
мы получаем
(a; i, X) ^9' = u'io (*,ю') (обю') (у^') v'u. (9)
Так как 6а = ар10', правые части равенств (8) и (9) равны для любо-
любого (a; i, X) ? Т\0. Следовательно,
Ц^со')-1 щЪ1 (ща)} (асю) = (аба»') [(г/я«') v'Kx (г^а)] A0)
для всех а ? G, г ? / и 1 f Л. Полагая а = е, где е — единица
группы G, мы получаем, что выражения, стоящие в квадратных
скобках, равны для всех i ? / и X ? Л. Так как левое из них не за-
зависит от X, а правое — от i, оба они равны (для всех i и X) некото-
некоторому фиксированному элементу Ь из G*. Следовательно,
Ь (aoa) = (аба/) Ь , A1)
для всех а 6 G. Пусть р — внутренний автоморфизм хф — ЬхЬ~г
группы G*. Тогда из формулы A1) вытекает юар = бю'. Полагая
у = ар, мы получаем E).
Обратно, предположим, что существуют отображения i-^-xt,
^ -*¦ Ук> и, т, у и б, удовлетворяющие условиям теоремы. Исполь-
13-1159
194 Гл. 4. Разложения и расширения
зуя D), E), F) и предположение о том, что p\t ф 0 для всех Я
? Л и i ? /, мы получаем
fay) (WiY) = faut) У = РиЩ = PuS®' = {VhPu, iaXt) ft/ =
х, iCTft)')
Следовательно,
(щу)
Это выполняется для всех i ? /, К ? Л, и мы заключаем, как и вы-
выше, что обе части этого равенства равны некоторому фиксирован-
фиксированному элементу Ь из G*. Тогда
vt.y = (j/л.©') i
Определим отображения f$ и а, полагая #0 = tab (ж (
и а = 7Р-1. Тогда
; = Ъ~1 (щу) Ь = и[(, (xtd)') b,
Отсюда мы видим, что два выражения из формулы A0), стоящие
в квадратных скобках, равны элементу Ь. Так как в силу E)
Ь (<ша) Ь'1 = асосф = сноу = ябю',
мы видим, что равенство A0) выполняется для всех a ?G, i 6 /
и А, ? Л. Но тогда правые части равенств (8) и (9) совпадают.
Равенство G) служит для определения взаимно однозначного
отображения ipi множества Г\0 на себя, и opi имеет единственное
продолжение ар на Т, для которого 0-ф = 0. Из равенства F)
и теоремы 3.11 легко следует, что г|) — автоморфизм полугруппы Т.
Совпадение правых частей равенств (8) и (9) тогда дает 0а = apt0',
откуда в силу теоремы 4.23 следует эквивалентность расширений
S и 2'.
Упражнения к § 4.5
1. Пусть G = (а, Ъ) — прямое произведение двух цикличе-
циклических групп четвертого порядка (а4 = Ь4 = е, ab = ba). Пусть
G* — циклическая группа {е*, а*} второго порядка. Пусть Т —
полугруппа 2 X 2-матриц Риса над группой G (без нуля) с сэнд-
сэндвич-матрицей
Р =
В силу упражнения 1 (а) к § 3.4 каждый гомоморфизм 0 полугруп-
полугруппы Т в G* имеет вид (а; г, К) 6 = аса, где со — гомоморфизм
§ 4.5. Расширения группы. 195
группы G в G*. (Условие ря4(о = е* выполняется автоматически,
так как G* — группа второго порядка.) Существуют четыре
гомоморфизма сог (i = 1, 2, 3, 4) группы G в G*, задаваемые ра-
равенствами
асо2 = а*, Ь(о2 = е*,
асо3 = е*. Ь(й3 = а*,
и соответственно четыре расширения 2* (? = 1, 2, 3, 4) группы
G* при помощи Т°. Тогда 2i ^ 22, в то время как 22, 23 и 24
попарно не изоморфны.
Заметим, между прочим, что существует автоморфизм б груп-
группы G, удовлетворяющий равенству 6со2 = (о3, но для этого б
не существуют xt, г/д., а и т, для которых выполняется равенство F)
из теоремы 4.24.
2. Пусть Т — полугруппа Брандта Л° (Е; I, I, А) над одно-
одноэлементной группой Е = {е}, где /= {1, 2} и Д — единичная
2 X 2-матрица над Е°. Пусть G* = {е*, а} — циклическая груп-
группа второго порядка. В обозначениях теоремы 4.24 пусть ut =
= Vi = e*, w2 = f2 = а и li'j = u'2 — v\ = v'2 = е*. Пусть а
и т — тождественные отображения множества / на себя. Тогда
выполняются равенства E) и F), но расширения группы G* при по-
помощи Т, заданные частичными гомоморфизмами 0 и 0', лоторые
определяются равенствами C),.не эквивалентны. (Манн, из пись-
письма к авторам.)
3. Утверждение, обратное утверждению теоремы 4.24, будет
выполняться без предположения о том, что в Г не существует
собственных делителей нуля, если мы предположим, что наря-
наряду с E) и F) выполняется равенство
у = (i/ясо') v'Kxuia (xtoV) A2)
для всех Я ? Л и i ? /. Это условие также и необходимо, следо-
следовательно, мы можем утверждать, что 2 и 2' изоморфны тогда,
и только тогда, кбгда существуют отображение i —>¦ xt множества J
в G и отображение К -v г/я, множества Л в G, подстановки а на J
и т на Л, автоморфизмы у и б групп G* и G соответственно, для
которых выполняются равенства E), F) и 'A2).
13*
Глава 5 ¦
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТРИЦАМИ НАД ПОЛЕМ
В главе 3 мы рассматривали представления полугруппы при
помощи (возможно бесконечных) матриц над группой. В этой гла-
главе мы рассматриваем представления конечными матрицами над
полем, и термин «представление» будет иметь именно такой смысл
во всей главе. Это распространяет на полугруппы классическую
теорию представлений групп. Как обычно, мы считаем представ-
представления полугруппы S известными, если они могут быть построены
из представлений групп, в некотором смысле ассоциированных
с S.
Пусть Ф — поле. Через (Ф)п> где п — целое положительное
число, мы будем обозначать алгебру всех п х n-матриц с элемен-
элементами из Ф. Мы можем также рассматривать (Ф)„ как алгебру всех
линейных преобразований /г-мерного векторного пространства;
тогда произведение АВ двух элементов А и В из (Ф)п будет обозна-
обозначать их суперпозицию, сначала А, а затем В.
Пусть S —полугруппа. Под представлением Г степени п над Ф
полугруппы S мы понимаем гомоморфизм S в мультипликативную
полугруппу алгебры (Ф)п. Это означает, что каждому элементу а
из S соответствует п х n-матрица (или линейное преобразова-
преобразование) Г (а), причем Г (ab) = Г (а) Г (Ь) для всех а, Ъ из S. Если
Г — изоморфизм S на подполугруппу из (Ф)п, то говорят, что Г
есть точное или правильное представление. Цель этой главы —
определить все представления полугрупп некоторых типов.
Если S — конечная полугруппа, то, очевидно, существует
взаимно однозначное соответствие между представлениями полу-
полугруппы S и представлениями ее полугрупповой алгебры Ф [S]
над Ф. Это соответствие сохраняет приводимость и разложимость,
и, следовательно, полная приводимость имеет место для пред-
представлений S тогда и только тогда, когда Ф IS] полупроста.
В § 5.1 мы даем обзор классической теории представлений полу-
полупростых алгебр, так как нет изложения этой теории, выражаю-
выражающего результаты в форме, которая нам нужна. В § 5.2 мы даем
принадлежащие Манну [1955Ы условия, необходимые и достаточные
для того, чтобы полугрупповая алгебра Ф [S\ конечной полугруппы
S была полупростой; они были независимо найдены Понизовским
[1956]. Представления такой полугруппы указаны в явном виде
по Манну Ц957а] в следствии 5.34; они также были даны Пони-
§ 5.1. Представления полупростых алгебр 197
зовским [1958]. Это можно было сделать в § 5.2, но было отложе-
отложено до § 5.3 во избежание повторений.
Далее мы обращаемся к полугруппам, которые не обязательно
конечны. Если S — полугруппа, удовлетворяющая условию мини-
минимальности Mj для главных двусторонних идеалов, то (§ 5.3) мы
можем построить все неприводимые представления полугруппы
S, исходя из представлений ее главных факторов. Этот результат
принадлежит .Манну-[I960], идея основана на исследовании Хыо-
итта и Цукермана [1957] полной полугруппы преобразований
на конечном множестве. В § 5.4 (следуя Сушкевичу [1933] и Клиф-
Клиффорду [1942]) мы строим все представления вполне 0-простой
полугруппы, исходя из представлений, ее структурной группы.
В гл. 6 будет показано, что если полугруппа S удовлетворяет
двум условиям минимальности Mr и Ml Для правых и левых
главных идеалов, то S также удовлетворяет условию Mj и нену-
ненулевые главные факторы в S вполне 0-просты. Отсюда и из резуль-
результатов § 5.3 и 5.4 следует, что мы можем ностроить все неприводи-
неприводимые представления полугруппы S, удовлетворяющей одновремен-
одновременно условиям MR и Мь, исходя из представлений подгрупп из S.
В заключительном § 5.5 мы излагаем теорию характеров ком-
коммутативных полугрупп (принадлежащую Шварцу [1954а, Ь, с]
и Хьюитту и Цукерману [1955, 1956]). Кроме тогб, в предполо-
предположении, что условие минимальности выполняется только для мак-
максимального полуструктурного образа полугруппы S (см. § 4.3),
определяется строение полугруппы характеров полугруппы 5^
Этот параграф можно читать независимо от остальной части
главы.
Недостаток места не дает нам возможности изложить теорию
характеров для не обязательно коммутативных полугрупп.
(Под характером полугруппы S понимается функция следа непри-
неприводимого представления полугруппы S над комплексным полем.)
Мы отсылаем читателя к Манну [1957а].
§ 5.1. Представления полупростых алгебр конечной
размерности
Под термином алгебра мы^будем всегда понимать линейную
ассоциативную алгебру. Алгебра % над полем Ф является одно-
одновременно кольцом и векторным пространством над Ф, где коль-
кольцевое сложение — то же самое, что и сложение векторов, а коль-
кольцевое умножение и умножение вектора на скаляр удовлетворяют
условию
(ая) Ъ = а (аЬ) = а (ab) (для всех a, b ? 91, а ? Ф).
Размерность алгебры 21 как векторного пространства над
полем Ф будем называть размерностью этой алгебры. Всюду в этом
198 Гл. 5. Представление матрицами над полем
параграфе 21 будет обозначать конечномерную алгебру над полем
Ф, т. е. алгебру, имеющую конечную размерность как векторное
пространство над Ф.
Под идеалом алгебры Я мы понимаем подмножество из Я, кото-
которое одновременно является линейным подпространством и коль-
кольцевым идеалом в Я, другими словами, «допустимым идеалом»,
если рассматривать Я как кольцо с областью операторов ф.
Под к-й степенью (к — положительное целое) идеала 93 из Я мы
понимаем линейное подпространство из Я, натянутое на множе-
множество (порожденное множеством) всевозможных произведений по к
элементов из 93; оно, очевидно, является идеалом в Я. Идеал назы-
называется нилъпотентным, .если некоторая его степень равна О,
и радикал 91 алгебры Я есть объединение всех ее нильпотентных
идеалов. Радикал содержит также каждый нильпотентный левый
(правый) идеал из Я! Так как Я имеет конечную размерность,
идеал Ш сам нильпотентен. Элемента из Я называется собственно
нилъпотентным, если ах (и, следовательно, также ха) есть ниль-
нильпотентный элемент для каждого ж из Я; радикал 91 может быть
охарактеризован как множество всех собственно нильпотентных
элементов из Я.
Алгебра Я называется полупростой, если 91 = 0. Цель настоя-
настоящего параграфа — дать обзор классической теории строения
и представлений полупростой алгебры конечной размерности. Эта
теория понадобится нам в следующих двух параграфах. За дета-
деталями мы отсылаем читателя к главам 15 и 16 «Современной алгеб-
алгебры» Ван-дер-Вардена.
Если Я — некоторая конечномерная алгебра над Ф и 9t — ее
радикал, то факторалгебра Я/91 полупроста. Алгебра Я назы-
называется простой, если она не содержит собственных идеалов ф^й
и не является одномерной алгеброй с нулевым умножением.
Первая теорема Веддербйрна . Алгебра Я конечной размерности
полупроста тогда и только тогда, когда она является прямой
суммой
Я = Я1©Я2©...0ЯС A)
{двусторонних) идеалов Яст(сг = 1, 2, . . ., с), каждый из которых
есть простая алгебра. Эти идеалы Щ.а однозначно определяются
алгеброй Я.
Отметим, кроме того, что каждый ненулевой идеал в Я есть
сумма одного или более идеалов Яо. Мы называем Яст простыми
компонентами алгебры Я, а их число обозначаем через С1 (Я).
Заметим, что если аа^%„, ^(ЕЯт и офх, то aabx = O,
поскольку ЯаЯг ? Яст П Я* = 0. Следовательно,
(ai + a2+ ... + ас) (bi +Ь2+ ...+bc) = albi + a2b2 + .. .+acba-
§ S.I. Представления полупростых алгебр . 199
Пусть
Я = »1=)»,=)...-=э»га1э»жн = 0 B)
— идеальный ряд алгебры Я, т. е. 23*+i — идеал в SSe (Ё =
- 1, 2, . . ., т). Факторалгебры 95г/23г+1 называются фактора-
факторами ряда B).
Лемма 5.1. Пусть B) — идеальный ряд конечномерной алгебры
Я над полем Ф. В таком случае алгебра Я полупроста тогда
и только тогда, когда каждый фактор 25j/23j+i полупрост. Кроме
того, если это имеет место, то
т
С1(Я)=2С1(95г/23г+1).
i=i ,
Доказательство. Ввиду очевидной индукции лемму
достаточно доказать для случая т = 2- если 23 — идеал алгебры
Я, то Я полупроста тогда и только тогда, когда 25 и §1/58 полу-
полупросты, и в этом случае
С1(Я) = С1(9Ь) + С1(Я/93).
Мы можем, очевидно,4 предположить, что 25 — собственный нену-
ненулевой идеал из Я.
Предположим сначала, что алгебры 93 и Я/93 полупросты.
Пусть а — собственно нильпотентный элемент из SL Тогда
а + 93 — собственно нильпотентный элемент из алгебры Я/93,
и так как последняя полупроста по предположению, то а + 93 =
= 93, т. е. а 6 23. Но теперь а — собственно нильпотентный эле-
элемент, из 23, и так как идеал 23 полупрост по предположению,
а = 0. Следовательно, 0 есть единственный собственно ниль-
нильпотентный элемент из Я, т. е. радикал алгебры Я равен нулю,
поэтому Я полупроста.
Обратно, предположим, что Я полупроста. По первой теореме
Веддербёрна Я есть прямая сумма A) простых алгебр Я^. Как
отмечалось после формулировки этой теоремы, каждый идеал
из ,Я является суммой одного или более идеалов Яст, и при соот-
соответствующей нумерации мы можем предположить, что
Тогда Я/ЗЗ^Яйн© . .. ©Яс. По первой теореме Веддербёрна 23
и Я/93 полупросты и
Cl BS) + С1 (Я/93) = к+ (с - к) = с = С1 (Я).
Пусть Я — алгебра размерности г над Ф и п — целое поло-
положительное число. Через (Я)„ будем обозначать алгебру всех
п х п-матриц над Я, т. е. матриц с элементами из Я, для кото-
которых сложение и умножение матриц и умножение матрицы на ска-
200 Гл. 5. Представление матрицами над полем
ляр из Ф определены обычным образом. B1)„ явдяется алгеброй
размерности гпг над Ф. В частности, (Ф)„ будет обозначать пол-
полную матричную алгебру степени п над Ф.
Алгебра Ф над Ф называется алгеброй с делением, если Ф\0
есть группа по умножению.
Вторая теорема Веддербёрна. Конечномерная алгебра 21 над1
полем Ф проста тогда и только тогда, когда она изоморфна
алгебре (©)„ для некоторой алгебры с делением % над Ф и некото-
некоторого целого положительного п. Кроме того, число п определяется,
алгеброй 21 единственным образом, и Ф также определяется един-'
ственным образом с точностью до изоморфизма.
Если и — единичный элемент из Ф, то (Ф)п содержит единич-
единичную матрицу Un, имеющую и на главной-диагонали и 0 на дру-
других местах. Таким образом, простая алгебра обладает единичным
элементом. Точно так же каждая полупростая алгебра 21 обладает
единичным элементом, так как если еа — единичный элемент про-
простой компоненты Ша алгебры 31 (о — 1, . . ., с), то е^ + е2 + • • •
... + ес есть единичный элемент алгебры §1.
Множество всех n-мерных вектор-строк, т. е. 1 X п-матриц,.
над Ф есть и-мерное векторное пространство V над Ф. Естествен-
Естественный базис пространства V состоит из п векторов vit . . ., vn, где-
у вектора vt i-n компонента равна единице поля Ф, а остальные-
компоненты— нули. Если i f (Ф)л, то преобразование х -> хА
является линейным преобразованием А пространства V и отобра-
отображение А -у А • есть изоморфизм (Ф)„ на алгебру ХЗГ (V) всех
линейных преобразований пространства V. Вектор vtA — это г-я
строка матрицы А.
Обратно, если V есть n-мерное векторное пространство с выб-
выбранным в нем базисом vif .' . ., vn, то каждое линейное преобра-
преобразование А пространства V определяет матрицу А = (пц), полу-
получающуюся из выражений
3=1
представляющих п векторов vtA в виде линейных комбинаций
векторов базиса. Отображение А-у А есть изоморфизм XST (V)
на (Ф)п.
Пусть §1 — алгебра над Ф. Под представлением степени п
алгебры ЭД над Ф мы будем понимать гомоморфизм Г этой алгебры
в (Ф)п- Другими словами, каждому элементу а из 21 ставится
в соответствие п х n-матрица Г (я) так, что (для любых а, Ъ иа
21 и а из Ф)
Т(а + Ь) = Г(а) + Т(Ь),
Г(а)Г(Ь), C)
оГ(о).
^ § 5.1. Представления полупростых алгебр 201
Как было отмечено выше, мы можем также рассматривать мат-
матрицу Г (а) как линейное преобразование векторного пространства
V размерности п над Ф. Мы называем такое пространство V про-
пространством представления (или несущим пространством) для Г.
Иногда удобней писать ха вместо хТ (а), где х ? V и а ? Ш. Тогда'
мы можем считать V Ф-У1-модулем (бимодулем), допускающим и Ф,
и §1 в качестве области операторов, причем Ф действует слева,
а 21 —справа. Обратно, Ф-21-модуль V определяет представление
алгебры §1 линейными преобразованиями модуля V.
Пусть Г и Г' — два представления алгебры 21, и пусть V и
V — пространства представления для Г и Г" соответственно.
Мы говорим, что Г и Г', эквивалентны, если существует такое невы-
невырожденное линейное отображение х-^-х пространства V на V'r
что если ж->- х', то хТ (а)-> х'Т' (а) для каждого а из Ш. Отобра-
Отображение х -> х' является, таким образом, операторным изоморфиз-
изоморфизмом Ф-21-модуля V на Ф-21-модуль V. Если мы запишем х' = хС,
то хСТ' (а)—хТ (а) С для всех элементов х из V и а из 21, так что
Г' (а) = С-Ч1 (а) С (для всех а из Я). D)
Так как преобразование С невырожденно, Г и Г' должны быть
одинаковой степени, т. е-. V и V имеют одну и ту же размер-
размерность.
Представления Г и Г' эквивалентны тогда и только тогда, ког-
когда матрицы Г (а) и Г' (а) (при выбранных в V и V базисах) удов-
удовлетворяют условию D) для некоторой невырожденной матрицы С
из (Ф)„. В частности, может быть V = V. Тогда Г и Г' эквива-
эквивалентны в том и только в том случае, когда их можно рассматри-
рассматривать как одно и то же представление алгебры 21 линейными пре-
преобразованиями пространства V, записанными в (возможно) раз-
различных базисах пространства.
При изложении теории представлений под Г (а) понимают
иногда матрицу, а иногда линейное преобразование. Отсутствие
различия в обозначениях не должно приводить к недоразумениям.
Пусть Г — представление степени п над Ф алгебры 21, и пусть.
V — пространство представления для Г. Подпространство W
из V называется инвариантным относительно Г, если wT (a) 6 W
для каждого юизРГи каждого а из 21. Инвариантное подпростран-
подпространство пространства V — это в точности допустимая подгруппа-
из V, если рассматривать V как Ф-21-модуль. Отображение w ->•
—>- wt (а) представляет собой линейное преобразование Г4 (а)
подпространства W, аа->Г( (а) является представлением алгеб-
алгебры 21, которое мы будем называть представлением, индуцирован-
индуцированным в W представлением Г. Если в Квыбран базис {vu . . ., fn},
такой, что {vx, . . ., vr) есть базис для W, то представляющие
202 Гл. 5. Представление матрицами над полем
матрицы Г (а) принимают клеточный вид
« АЛ <5>
п(а) 12(а),/
где Г4 (а) есть г х /--матрица, а Г2 (а) есть (п — г) х (га — г)-ма-
трица. Обратно, если Г (а) имеет такой вид и если V — про-
пространство вектор-строк, а {у4, . . ., vn} — естественный базис
этого пространства, то пространство'W, натянутое на vu . . ., vr,
является в V инвариантным подпространством. Учитывая правило
умножения матриц, мы видим, что отображение а ->- Г2 (а), также
является представлением алгебры Я. Мы можем рассматривать
-факторпространство VIW как несущее пространство представле-
представления Г2.
Если V не содержит собственных инвариантных подпространств
Ф 0, то представление Г и само пространство V называются непри-
неприводимыми.
Пусть Г — представление степени п над Ф алгебры Я, и пусть
V — пространство представления для Г. Так как dim V (= п)
конечна, существует конечная последовательность
0 =у0 cz F. с F2 cz . . . с Fm_! cz Vm = V F)
инвариантных подпространств У?-из V, таких, что Vt строго содер-
содержит Fj_i и не существует инвариантного подпространства из V,
строго лежащего между ними. Тогда представления Г* алгебры Я,
для которых несущими пространствами являются факторпро-
странства Ff/Fj_i, все неприводимы. Если мы выберем базис для V
очевидным образом, исходя из ряда F), то представляющие мат-
матрицы Г (а) примут клеточный вид
(Г, (а) 0 ... 0 \
Г„(а) Г,(а) ... О | ' G)
Гт1(а) Гт2(а) ...Гт(а)/
По теореме Жордана — Гёльдера для групп с операторами
¦(неупорядоченное) множество неприводимых факторов VJVi-i
ряда F) для Ф-Я-модуля V определяется однозначно с точно-
точностью до операторного изоморфизма. Следовательно, неприводи-
неприводимые представления Гг (i = 1, . . ., тп) алгебры Я определяются
для Г однозначно с точностью до эквивалентности (без учета их
порядка)". Мы называем жх'неприводимыми конституэнтами пред-
представления Г и называем G) полным приведением представления Г
к неприводимым конституэнтам.
Если существует инвариантное подпространство W из F,
дополнительное для W в V, т. е. такое, что V = W @W, то
в E) Г21 (а) = 0 при любом а из Я. В таком случае мы говорим,
§ 5.1. Представления полупростых алгебр 203
что Г разлагается на Fj и Гг, и пишем Г = Г4 © Г2.Если каждое
инвариантное подпространство из V допускает в V инвариантное
дополнение, то в V существуют такие инвариантные подпростран-
подпространства Wi, . . ., Wm, что
V = W± Ф W» © ... Ф Wm.
mi
В базисе пространства V, выбранном исходя из Wi, . . ., W,
представляющие матрицы Г (а) для Г принимают клеточно-диаго-
нальный вид
(Ti(a) 0 ...- 0.
.° Г2.(а).".'. .° .1 (8)
0 0 ...Гт(а),
и мы пишем Г = 1\ ф Г2 © ... © Гт. В этом случае мы гово-
говорим, что Г вполне приводимо.
Представление Г алгебры Я над полем Ф называется абсолют-
абсолютно неприводимым, если оно неприводимо не только над Ф, но
остается неприводимым и при замене Ф его алгебраическим замы-
замыканием.
Лемма Шура. Пусть Г и А — неприводимые представления
алгебры Я. Если существует постоянная матрица С, такая, что
СТ (а) — А (а) С для любого а из Я, то или С = 0, или С невырож-
денна и тогда Г и А эквивалентны.
Если представление Г абсолютно неприводимо и СТ (а)=Г (а)С
для всех а из Я, то С есть произведение единичной матрицы на ска-
скаляр.
Для каждого элемента а из Я через ра обозначим отображение Я
в себя, заданное условием хра = ха. Очевидно, ра есть линейное
преобразование векторного пространства Я. Кроме того, отобра-
отображение р: а -> ра удовлетворяет условию C), так что р есть пред-
представление алгебры Я; назовем его (правым) регулярным представ-
представлением. Правые идеалы алгебры Я — это в точности подпростран-
подпространства из Я, инвариантные относительно р.
Правый идеал ffi минимален тогда и только тогда, когда он
есть неприводимое подпространство. Два правых идеала 5Rt и Ж2
из Я называются операторно изоморфными, если индуцирован-
индуцированные в них отображением р представления алгебры Я эквивалентны.
Основная теорема о представлениях для полупростых алгебр.
Пусть Я — полупростая конечномерная алгебра над полем Ф.
Тогда Ф является прямой суммой минимальных правых идеалов,
т. е. правое регулярное представление р алгебры Я вполне приво-
приводимо. В действительности любое представление алгебры Я вполне
приводимо и каждое ее ненулевое неприводимое представление
204 Гл. 5. Представление матрицами над полем
содержится в р, т. е. эквивалентно представлению, индуцирован-
индуцированному отображением р в некотором минимальном правом идеале
из Я.
Каждый минимальный правый идеал из 91 содержится в одной
из простых компонент Ща из Ш, и два минимальных правых идеала
в §1 операторно изоморфны тогда и только тогда, когда они содер-
содержатся в одной и той же компоненте Ща. Таким образом, сущест-
существует взаимно однозначное соответствие между неприводимыми
представлениями §1 над Ф и простыми компонентами алгебры SL
Если Га соответствует Жа, то Гст есть точное представление для
ЭДсг, в то время как Го (ах) = 0 для всех ах из Ят при а =^ т. Если
с= С1 B1), то {Г1; . . ., Гс} есть полное множество взаимно
не эквивалентных неприводимых представлений алгебры St.
В частности, каждая простая алгебра Щ конечной размерности
над Ф имеет с точностью до эквивалентности единственное непри-
неприводимое представление, и любое другое представление этой алгеб-
алгебры является его кратным. Для полупростой алгебры Я ее непри-
неприводимое представление Гст, соответствующее простой компоненте
§tCT, представляет собой по существу продолжение неприводимого
представления этой компоненты, совпадающее с ним на Ща и три-
тривиальное на любой компоненте §tx при т =^ а.
Если поле Ф алгебраически замкнуто, то, кроме самого Ф,
не существует других алгебр с делением над Ф. В этом случае
вторая теорема Веддербёрна говорит о том, что каждая простая
алгебра Я над Ф изоморфна полной матричной алгебре (Ф)п сте-
степени п для некоторого п. Любой изоморфизм Ш на (Ф)п является
представлением алгебры Щ и притом единственным ее неприводи-
неприводимым представлением.
Пусть Я — алгебра размерности п над Ф и Г — представление
этой алгебры, имеющее степень г над Ф. Пусть, далее, т — целое
положительное число. Для каждого^лемента (а^-)из (Ш)т построим
тг X тг-матрицу
Г" Цац)] = (Г (о,,)),
заменяя каждый член ац в т X /и-матрице (atj) матрицей Г (аи)
над Ф. Тогда Г™ будет представлением алгебры (Щт- Действи-
Действительно, если (atj) и (Ьи) принадлежат (Щт, a (ci}) — их произве-
m
дение, т. е. си = 2 ««(А/, то .
fc=i
Гт Цс„I - (Г (с,,)) = (Г (S aihbh])) = (S Г (а») Г (hj)) =
= (Г ffltj)) (Г (Ьо)) = Г" [(о,,)] Г" [(Ьг1)],
и аналогичные формулы имеют место для суммы матриц и произ-
произведения матрицы на скаляр. Мы называем Гт представлением
алгебры (Щт, ассоциированным с представлением Г.
§ 5.1. Представления полупростых алгебр 205
Следующее утверждение доказывается в § 121 «Современной
алгебры» Ван-дер-Вардена.
Лемма 5.2. Пусть ф — алгебра с делением и т —целое положи-
положительное число. Тогда правое регулярное представление А такой
алгебры неприводимо и (единственное) неприводимое представле-
представление простой "алгебры (Щт совпадает с представлением Дт, ассо-
ассоциированным с Д.
Отсюда, очевидно, следует
Теорема 5.3. Пусть SS.a (а = 1, . . ., с) — простые компо-
компоненты полупростой алгебры И. По второй теореме Веддербёрна
каждая компонента 21 о может рассматриваться как полная мат-
матричная алгебра (Фст)та некоторой степени та над алгеброй с деле-
делением ®ст. Пусть Дст — регулярное представление алгебры ©„
и Ааа — представление алгебры Ист, ассоциированное с Ао. Тогда Ааа
есть единственное неприводимое представление алгебры Иа. Рас-
Расширяем Ааа до представления алгебры И, полагая Гст (а) = Да ° (а„),
с
¦если а= 2 ат есть (однозначное) выражение элемента а в, виде
суммы элементов аТ?ИТ. Тогда {Гь . . ., Гс} есть полное множе-
множество неэквивалентных неприводимых представлений алгебры St.
Если da обозначает размерность алгебры фст, то степень Га рав-
равна dama.
Если поле Ф алгебраически замкнуто, то каждая алгебра ф„
-сводится к Ф и мы можем рассматривать И как прямую сумму
полных матричных алгебр над Ф. В этом случае неприводимые
представления алгебры И в точности совпадают с проекциями ЧК.
на различные компоненты этой прямой суммы.
Специализация теоремы 8 главы 5 «Теории колец» Джекобсона
приводит к следующему утверждению.
Теорема 5.4. Пусть 21 — алгебра с единицей. Если SS*— идеал
из St, то (?)„ есть идеал из (Ш)п, и всякий идеал из (Щп имеет вид
{Щп для некоторого идеала 2S из Щ.
Теорема 5.5. Пусть ЧЯ. — конечномерная алгебра с единицей
над полем Ф. Пусть п — целое положительное число. Тогда алгеб-
алгебра (Щп полупроста в том и только в том случае, когда полу-
полупроста алгебра St. Более точно, если алгебра St полупроста
и 2tG (ст = 1, . . ., с)— простые компоненты этой алгебры, то
С&а)п {о == I, . . ., с) являются простыми компонентами для
(Щп. Если Га — неприводимое представление алгебры Ш, соответ-
соответствующее компоненте Ист, то ассоциированное представление Г"
совпадает с неприводимым представлением алгебры (Щп, соответ-
соответствующим Btc,)n.
206 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Доказательство. Если алгебра Я не полупроста
и Щ. — ее радикал, то (Щп — ненулевой нильпотентный идеал
из (Я)п и алгебра (Я)п не полупроста. Предположим, что алгебра
Я полупроста и Яь . . ., Яс — ее простые компоненты. По тео-
теореме 5.4 каждая алгебра (Яст)п проста и очевидно, что (Я)„ есть
прямая сумма этих алгебр. Таким образом, (Я)п- полупроста.
Если Яст = С?>о)та, как в теореме 5.3, то (Яст)п = (Фст)тап и
неприводимое представление алгебры Яа есть Аоа. По лемме 5.2
неприводимое представление алгебры (Яа)п есть A™CT". Так как
А?°П = (&™а)п-> отсюда легко вытекает, что. неприводимое пред-
представление алгебры (Я)„, соответствующее компоненте (Яа)Пг
есть Tg.
Лемма 5.6. Пусть Я — конечномерная алгебра над полем Ф,
и пусть 91 — ее радикал. Каждое ненулевое неприводимое пред-
представление алгебры Я отображает 31в0и поэтому может факти-
фактически рассматриваться как представление полупростой алгебры
Я/91.
Доказательство. Пусть V — несущее пространство
неприводимого представления Г алгебры Я. Тогда V31 — инва-
инвариантное подпространство из V и поэтому либо Vffi = 0, либо
F91 = V. Но последнее невозможно, так кдк отсюда следовало бы
F5Rfe = V для любого к, в то время как 31* = 0 для некоторого к.
Теорема 5.7. Неприводимая алгебра линейных преобразований
проста.
Доказательство. Пусть Я — неприводимая алгебра
линейных преобразований. Тождественное отображение этой
алгебры на себя является для нее неприводимым представлением.
Так как представление i точно, по лемме 5.6 радикал алгебры Я
должен быть нулевым. Таким образом, алгебра Я полупроста.
Пусть Яст (о* = 1, . . ., с) — ее простые компоненты, и пусть
Го — неприводимое представление для Я, соответствующее Яа.
Неприводимое представление i должно совпадать с одним из пред-
представлений Га, например с IV Так как Tt отображает каждую
подалгебру Яо при о*^1в0ивтоже время является точным,
то отсюда следует, что таких Яа не может существовать. Итак,
с — 1, Я = Я4 и Я проста. \
Мы заключаем этот параграф несколькими необходимыми
для дальнейшего элементарными результатами, относящимися
к матрицам над конечномерной алгеброй. Элемент а алгебры Я
называется правым [левым] делителем нуля, если существует эле-
элемент Ъ Ф 0 из Я, такой, что Ъа — 0 [ab = 0].
Лемма 5.8. Пусть Я — конечномерная алгебра над полем Ф.
Если элемент а из Я не является правым [левым] делителем нуля,
§ 5.1. Представления полупростых алгебр '¦ 207
то §1 содержит правую [левую] единицу е, относительно которой
а обладает двусторонним обратным элементом х (ах = ха = е).
Доказательство. Пусть п — наименьшее положитель-
положительное число, для которого степени а, а2, . . ., ап линейно зависимы.
(Очевидно, п ^ 2.) Тогда
ща+ а2а2 +. • • • + ОпаП = 0,
где ai, . . ., Од^Ф и*а„ Ф 0. Учитывая выбор числа п и то, что
а не является правым делителем нуля, мы заключаем, что а4 Ф 0.
Пусть
е = —al1 (ага + а3«2 + • • • + а^а"): (9)
Тогда еа = а. Пусть Ъ ? St. Тогда
(be — b) a = bea — ba = b (еа — a) = 0,
откуда be — b = 0. Таким образом, е является правой единицей
в SI. Из (9) видно, что а обладает обратным элементом
ж= — a'1 (a2e-j- а3а+ ... +апа") -
относительно е. (Если п = 2, мы полагаем а" = е.)
Следствие 5.9. Пусть SI — конечномерная алгебра над полем Ф.
Если элемент а из ST не является ни левым, ни правим делителем
нуля, то SI содержит единицу и и элемент а обратим, т. е.
ах = ха = и для некоторого х из St.
Пусть St — алгебра и т — целое положительное число. Если
алгебра (Щт обладает единицей Е, то нетрудно видеть, что алгеб-
алгебра St должна обладать единицей и и что Е есть единичная матри-
матрица Um, имеющая и на главной диагонали и нули на остальных
местах. Матрица Р из (Щт называется невырожденной, если она
обратима в (Щт, т. е. если PQ = QP = Um для некоторой матри-
матрицы Q из (St)m. Из этих замечаний и из того, что (Щт имеет конеч-
конечную размерность пи2, если §1 — алгебра конечной размерности г
над Ф, а также из следствия 5.9 непосредственно вытекает
Следствие 5.10. Пусть St — конечномерная алгебра над полем Ф
и т — целое положительное число. Пусть Р ? (Щт, т. е. Р есть
т X т-матрица с элементами из %. Если Р не является ни левым,
ни- правым делителем нуля в (Щт, то 21 обладает единицей и мат-
матрица Р невырожденна.-
Теорема 5.11. Пусть Щ — конечномерная алгебра над полем
Фи Р — некоторая п X т-матрица над Я. Если п > т, то суще-
существует такая ненулевая т х п-матрица X над Я, что ХР = 0.
Если т~>п, то существует такая ненулевая т X п-матрица Y
над St, что PY = 0.
208 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Доказательство. Мы будем доказывать теорему для
случая га > т, во втором случае доказательство аналогично.
Пусть
р _
где Pi есть m. х тга-матрица, а Р2 есть (га — т) х /и-матрица над
Й. Предположим сначала, что Pi — правый делитель нуля
в (й)т, так что в (Ш)т существует матрица Xi Ф 0, для которой
XiPi = 0. В таком случае мы можем положить X = (Xi 0). Сле-
Следовательно, можно считать, что Pi не является правым делителем
нуля в (Щт. По лемме 5.8 Bt)m содержит правую единицу Е,
относительно которой матрица Pi обладает в (Ш)т двусторонней
обратной Qi, т. е. PiQi = <?ii*i = Е. Теперь мы можем положить
— V—-Л-2-Г 2^1 Л-Ч.11
где Х2 — ненулевая т х (га — щ)-матрица над *&. Тогда
хр = - x%p%qxPi + х2р2 = - х2р2?: + хгр2 = о,
так как Х2Рг 6 (й)т, а Е — права» единица в (Щт.
Приведенная выше теорема доказана в той форме, которая
понадобится нам в дальнейшем. Заметим, однако, что число строк
матрицы X (или столбцов матрицы Y) в действительности несуще-
несущественно. Так, если х — ненулевая строка из X, то хР = 0,
а если х — ненулевая вектор-строка размерности п и хР = 0, то
мы можем построить, исходя из х, ненулевую t х га-матрицу X
« любым числом строк t и такую, что ХР — 0. Подлинный смысл
теоремы 5.11 состоит в том, что при п > т строки матрицы Р
линейно зависимы над §1 слева, а при т > п ее столбцы линейно
.зависимы над Щ справа.
§ 5.2. Полу групповые алгебры
Классическим методом теории представлений конечной груп-
тш G над полем Ф является использование групповой алгебры
Ф [G] этой группы. Существует естественное взаимно однознач-
однозначное соответствие между представлениями группы G и представле-
представлениями алгебры Ф [G], сохраняющее эквивалентность, приводи-
приводимость и разложимость. Таким образом, проблема нахождения всех
представлений для G над Ф переносится на алгебру Ф [G]. Если
эта алгебра полупроста, то по основной теореме о представлениях
для цолупростых алгебр (§ 5.1) каждое представление алгебры
Ф [G] и, следовательно, каждое представление группы G разла-
разлагается на неприводимые представления; последние описываются
теоремой 5.3. Следующая классическая теорема выясняет, когда
именно этот случай имеет место.
§ 5.2. Полу групповые алгебры 209
Теорема Машке. Пусть G — конечная группа и Ф — поле.
Алгебра Ф [G] полупроста тогда и только тогда, когда характе-
характеристика поля Ф не делит порядок группы G.
(В § 127 «Современной алгебры» Ван-дер-Вардена теорема
Машке приводится в эквивалентной и исторически более правиль-
правильной формулировке: каждое представление конечной группы G
над полем Ф вполне приводимо, если характеристика поля не
делит порядок группы. В действительности первоначальное утверж-
утверждение самого Машке {Math. Ann. 52 A899), 363—368) относилось
лишь к полю комплексных чисел. Мы обязаны проф. Рихарду Бра-
уэру за это замечание.)
Алгебра Ф [S] для полугруппы S над Ф определяется совер-
совершенно аналогично алгебре Ф [G], при этом мы не требуем, чтобы
полугруппа S была конечна (применения см. в § 5.3). По тем же
причинам, что .и для групп, важно знать, когда алгебра Ф [S]
полупроста и данный параграф в значительной степени посвящен
этому вопросу. Излагаемая нами теория принадлежит Манну
11955b]. Мы включили также два результата, принадлежащие
Хьюитту и Цукерману [1955], а именно теоремы 5.30 и 5.31.
Пусть S — полугруппа и ф — поле. Под полугрупповой алгеб-
алгеброй Ф [S] полугруппы S над Ф мы понимаем алгебру *& над Ф,
содержащую подмножество S, которое является для §1 одновре-
одновременно и базисом, и мультипликативной подполугруппой, изоморф-
изоморфной полугруппе S. Если такая алгебра Ф \S] существует, то она,
очевидно, единственным образом (с точностью до изоморфизма)
определяется по S и Ф. Мы будем, как обычно, «отождествлять» S
с S и считать Ф IS] алгеброй над Ф, содержащей S в качестве бази-
базиса и подполугруппы.
Покажем, что Ф IS] всегда существует. Пусть И — множество
всех таких отображений a: s -> a (s) полугруппы S в Ф, что мно-
множество всех s из S, для которых a (s) Ф 0, является конечным
или пустым. Определим сумму а + Ъ двух элементов а и Ъ из Ш
как отображение s-*- a (s) -f- Ъ (s), а произведение аа элемента
а из Ф и элемента а из И — как отображение s—*- aa (s). Оче-
Очевидно, что §1 превращается тем самым в векторное пространство
над Ф. Теперь определим произведение аЪ двух элементов а и Ъ
из % как элемент с: s -*¦ с (s), где •
c(r) = ^a(s)b(t). A)
Здесь г — произвольный элемент из S, и для каждого г суммиро-
суммирование ведется по всем парам s, t элементов из S, для которых
st = г (с есть «свертка» а м Ь). Легко проверить, что §1 становится
таким образом линейной ассоциативной алгеброй над Ф.
14-1159
210 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Для каждого s из S через s обозначим соответствующую «харак-
«характеристическую функцию», т. е.
Г 1, если if = s,
S W = \ 0, если t Ф s.
Здесь 1 — единица алгебры Ф^ Пусть S обозначает множество
всех s (s пробегает S). Тогда iScJ и отображение sWs есть,
очевидно, изоморфизм S на S. Если а ? 51, {«i, ...,«„} — мно-
множество ненулевых значений при отображении а и если мы поло-
положим a (sO = at (i = 1, . . ., и), то
а = ад + a2s2 + • . • + ansn. B)
Поскольку множество 5, очевидно, линейно независимо, то S
является базисом алгебры Щ и И можно взять в качестве Ф [5].
Часто мы будем записывать равенство B) в виде а =
= 2 a (s) s или даже в виде a =2 я ($) $> так как мы будем
отождествлять s с s. Эта сумма состоит из конечного числа слагае-
слагаемых, так как лишь конечное число коэффициентов a (s) отлично
от нуля. Если Ъ — 2 b (t) t — другой элемент из Ф [S], то
S 2U()(J
•68 FS r?S
где с (г) задается равенством A).
Пример 1. Если S — бесконечная циклическая полугруппа,
порожденная элементом х, то Ф IS1] есть кольцо полиномов Ф [х]
от х над полем Ф. (См. Амицур [1951].)
Пусть S — полугруппа, Ф — поле и Ф [S] — полугрупповая
алгебра полугруппы S над Ф. Если Т — любое подмножество
из S, то через Ф [Т\ будем обозначать подпространство из Ф [S],
натянутое на Т, т. е. множество всевозможных конечных линей-
линейных комбинаций элементов из Г с коэффициентами из Ф. Будем
считать, что Ф [0] =0. Ясно, что Ф [Т] является подалгеброй
[идеалом] вФ[5] тогда и только тогда, когда Т есть подполугруп-
подполугруппа [идеал] в S.
Пусть S — полугруппа с нулем z. Под сжатой х) полугрупповой
алгеброй Фо IS] полугруппы S над Ф мы понимаем алгебру над
Ф, обладающую таким базисом В, что В U 0 есть подполугруппа
из Фо IS], изоморфная S. Примером такой алгебры является
факторалгебра Ф [?]/Ф [z]. Здесь В = (s + Ф [z] | s 6 S\,z}.
Ясно, что с точностью до изоморфизма Фо [S] определяется по S
и Ф единственным образом. Мы можем обычным образом считать,
*) Contracted.— Прим. перев.
§ 5.2. Полугрупповые алгебры 211
что Фо \?] содержит S\z как базис. На самом деле можно считать,
что Фо IS] содержит всю полугруппу S, если отождествить z с .0.
Отметим, что .если S [} z — полугруппа, получающаяся при-
присоединением нуля z к полугруппе S (независимо от того, имела ли
S нуль), то Фо [S [} z] ^ Ф IS]. Таким образом, любую полугруп-
полугрупповую алгебру можно рассматривать как сжатую полугрупповую
алгебру.
Пример 2. Пусть S — полугруппа п X n-матричных единиц
(§ 2.7, упражнение 7), т. е.
S = {е„ К / = 1, . . .,,n}U {2}
с умножением, определяемым следующим образом:
еи, если ; = &,
z, если / ф к,
где z действует как нуль. Тогда алгебра Фо IS] изоморфна полной
п х n-матричной алгебре (Ф)„ над Ф. (См. Амицур [1951].)
Лемма 5.12. Пусть Т — идеал из S. Тогда Ф [?]/Ф [Т] изоморф-
изоморфна сжатой полугрупповой алгебре Фо [S/T] полугруппы S/T над Ф.
Доказательство. Множество
В = {8 + Ф1Т] \seS\T}
представляет собой базис для Ф [?]/Ф IT] и В {] Ф [Т] ^ SIT.
Лемма 5.13. Пусть S — полугруппа с нулем z. Тогда алгебра
Ф [S] полупроста в том и только в том случае, когда полупростой
является алгебра Фо IS].
Доказательство. Ф[г] является одномерной алгеб-
алгеброй над Ф, изоморфной Ф, и, следовательно, она полупроста.
Так как Фо IS] ^ Ф [&]/Ф [а], сформулированный результат непо-
непосредственно вытекает из леммы 5.1.
Под представлением Г степени п полугруппы S над полем Ф
мы понимаем гомоморфизм Г этой полугруппы в мультипликатив-
мультипликативную полугруппу алгебры (Ф)п. Иными словами, каждому элемен-
элементу s полугруппы S ставится в соответствие п х n-матрица Г (s)
над Ф, причем
Г (st) = Г (s) Г (*) (для всех s, t из S).
Если Г — представление полугруппы S, то мы можем задать
представление Г* алгебры Ф [S] по следующему правилу:
Г* B * <*)«)-2 а («) Г (в). C)
14*
212 ' Гл. 5. Представление матрицами над полем
Сумма в правой части равенства имеет смысл, так как лишь конеч-
конечное число коэффициентов a (s) не равно нулю. Обратно, если Г* —
некоторое представление алгебры Ф [S], то его ограничение Г
на S является представлением полугруппы S. Соответствие Г *-»¦ Г*
взаимно однозначно и, как легко видеть, сохраняет эквивалент-
эквивалентность, приводимость и разложимость. Таким образом, теория
матричных представлений над полем Ф для полугруппы S иден-
идентична такой же теории для Ф [S].
Если S обладает нулем z, то существует подобное же взаимно
однозначное соответствие Г-<->-Г* между представлениями Г
полугруппы S над Ф, для которых Г (z) =0, и представлениями
Г* сжатой полугрупповой алгебры Фо [S] полугруппы S над Ф.
Соотношение C) между Г и Г* остается справедливым, если сум-
суммирование производится не по S, а по S\z. Представления Г
полугруппы S, для которых Г (z) =j? 0, лишь тривиально отли-
отличаются от представлений,-для которых Г (z) = 0; см. упражнение 1
ниже.
В обоих случаях связь между представлениями Г и Г* является
«толь тесной, что впредь мы не будем делать различия между
дими.
Конечная полугруппа обладает главным рядом (§ 2.6)
5=51d523 53d...d57,d Sn+i = 0. D)
Напомним (теорема 2.40), что факторы Риса Si/Si+i (i = 1, . . ., п),
при условии, что SJ0 означает Sn, являются главными факто-
факторами полугруппы S и что они одинаковы (с точностью до
порядка) для любых двух главных рядов в S.
Теорема- 5.14. Полугрупповая алгебра Ф IS] над полем Ф
конечной полугруппы S полупроста тогда и только тогда, когда
алгебра Ф [St/Si+i] для каждого из главных факторов полугруп-
полугруппы S полупроста.
Доказательство. В соответствии с D) мы имеем
в Ф [S] ряд идеалов, а именно
Ф [S] = Ф [Sj] => ф [?2] гэ . . . zd Ф [Sn] => 0.
По лемме 5.12
ф[5г]/Ф[5г+1] ^Ф0[ЗД+1]. (* = 1, . . ., в-1).
По лемме 5.1 алгебра Ф [S] полупроста в том и только в том слу-
случае, когда каждая факторалгебра Ф [5г]/Ф [5г+1] полупроста.
Утверждение теоремы теперь следует из леммы 5.13.
Напомним (см. лемму 2.39), что любой главный фактор полу-
полугруппы S является либо 0-простым, либо простым, либо с нуле-
нулевым умножением и что S называется полупростой, если каждый ее
главный фактор 0-прост или прорт.
§ 5.2. Полугрупповые алгебры 213
Следствие 5.15. Если алгебра Ф [S] полупроста, то полугруп-
полугруппа S полупроста.
Доказательство. Если St/Si+i — главный фактор
полугруппы S, то алгебра Фо ["SySj+J является: полупростой
по теореме 5.14 и лемме 5.13. Если же Si/Si+i — полугруппа
с нулевым умножением, то Фо [St/Si+i] должна быть алгеброй
с нулевым умножением и поэтому не может быть полупростой.
Следствие 5.16. Если S имеет главный ряд D) и ф [S] полупро-
полупроста, то
t=i
Доказательство. Это непосредственно следует из лем-
леммы 5.1 и из предыдущих рассуждений.
На основании теоремы 5.14 и следствия 5.15 для того, чтобы
найти необходимые и достаточные условия полупростоты Ф [S],
достаточно рассмотреть случай, когда полугруппа S 0-проста.
К этому случаю мы сейчас и обратимся.
Пусть S — конечная 0-простая полугруппа. Тогда, согласно
следствию 2.56, S является вполне простой полугруппой, а потому
по теореме Риса -3.5 она изоморфна регулярной рисовской полу-
полугруппе qM° (G; т, п; Р) над конечной группой G с сэндвич-матри-
сэндвич-матрицей Р = (pxi) (X = 1, . . ., п; i = 1, . . ., т). Для того, чтобы
найти все представления полугруппы S, или для того, чтобы выяс-
выяснить, будет ли Ф IS] полупроста, мы можем, не уменьшая общно-
общности, предположить, что S = вЖ° (G; т, п; Р).
Пусть G = {go | о — 1, . . ., г}. Тогда ненулевые элементы
из S представляют собой матрицы (go)i\, в которых на (i, Я)-
месте стоит ga, а на всех остальных местах — нули. Их перемно-
жение происходит следующим образом:
(ga)i\°(gx)jn —. (go)i}.P (gi)jti = (gaP\jg-z)iV-
Пусть SI — произвольная алгебра над Ф, а т и п — целые по-
положительные числа. Возьмем фиксированную п X m-матрицу Р
над Я. Пусть вМ (Ш; т, п; Р) — векторное пространство всех
т X га-матриц над Ш. Зададим умножение (°) в аМ соотношением
АоВ = АРВ.
Тогда оМ превращается в алгебру над Ф, которую мы называем
манноеской т X п-матричной алгеброй над 21 с сэндвич-матри-
сэндвич-матрицей Р.
Лемма 5.17. Сжатая полугрупповая алгебра Фо [S] полугруппы
S = aS° (G; т, п; Р) над полем Ф изоморфна манноеской алгебре
S8 = Л (Ф [G]; т, п; Р).
214 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Доказательство. Отождествим нуль из G0 с нулем
из Ф [G] и, следовательно, нуль из S с нулем из ЯЗ. Поскольку
бдФМ, отсюда следует, что S s 93. Каждый элемент А из 23
является т х n-матрицей (ац) с элементами а^ из Ф [G], т. е.
аа= 21 аа^.^а (ао;г,
Тогда
г т п -
4= S 2 S«.iu(?a)ttJ
о=1 i=l X=l
и, следовательно, каждый элемент из 23 представляет собой линей-
линейную комбинацию ненулевых элементов (go)a из 5 с коэффициент
тами из Ф. Так как множество <5\0, очевидно, линейно незави-
независимо над Ф, оно является базисом для 23, и утверждение леммы
следует из определения алгебры Ф0[5].
Лемма 5.18. Манновская алгебра 23 = еМ (Ж; т, п; Р) над алгеб-
алгеброй 21, имеющей конечную размерность над полем Ф, тогда и толь-
только тогда содержит единицу, когда (i) И содержит единицу и (ii)
сэндвич-матрица Р невырожденна (в частности, т = п). В этом
случае отображение А —*- АР есть изоморфизм алгебры 93 на пол-
полную матричную алгебру (Ш)п над 4S..
Доказательство. Предположим сначала, что S3 содер-
содержит единицу Е. Тогда
ХоЕ = ХРЕ = X,
?»У = EPY = У,
для любых X, Y из 93.. Отсюда т = п, так как если бы было п >
> т, то по теореме 5.11 существовала бы такая ненулевая т х п-
матрица X над Я, что ХР = 0, а это противоречит соотношению
ХРЕ = X Ф 0. Аналогично, предположение /и > п противоре-
противоречит соотношению EPY — Y. Теперь ясна, что Р не является
ни левым, ни правым делителем нуля в (Ш)п- По следствию 5.10
SI содержит единицу, а матрица Р невырожденна.
Обратно, предположим, что (i) St содержит единицу и (ii) P
невырожденна. По определению невырожденности мы должны
иметь т = п. ЕслиР — матрица, обратная к Р в (Ш)п, то Е = Р'1
является единицей N в 93. . ¦*
Если (i) и (ii) имеют место, то 93 как множество совпадает
с (Ш)п и отображение А -^ АР является изоморфизмом алгебры
93 на (Щп- Действительно, оно взаимно однозначно и является
отображением на, поскольку матрица Р невырожденна и для
Л, В е & имеем Л-> АР, В -> ВР и
А с В -»¦ (А о В) Р = (АРВ) Р = (АР) (ВР).
§ 5.2. Полу групповые алгебры 215
Теорема 5.19. Манновская алгебра-
23 = <Л (Я; т, п; Р)
над алгеброй И, имеющей конечную размерность над полем Ф,
является полупростой тогда и только тогда,, когда (i) алгебра §1
полупроста и (ii) матрица Р невырожденна. В этом случае
(Я
Доказательство. Поскольку (см. § 5.1) полупростая
конечномерная алгебра обладает единицей, из предположения
о том, что либо 23 полупроста, либо имеют место (i) и (ii), следует
выполнимость требований последнего утверждения леммы 5.18.
Следовательно, в,любом из этих случаев отображение А ->*АР
есть изоморфизм алгебры 23 на (Щп. Но по теореме 5.5 (Щп
полупроста тогда и только тогда, когда полупроста Ш.
Следующая теорема теперь непосредственно вытекает из лем-
леммы 5.17, теоремы 5.19 и теоремы Машке.
Теорема 5.20. Пусть S — конечная ^простая полугруппа,
и пусть она представлена (в соответствии с теоремой Риса) как
регулярная рисовская полугруппа <Мй (G; т, п; Р) над конечной
группой G с сэндвич-матрицей Р. Пусть Ф — поле и, кроме того,
нулевые элементы из G0 и Ф [G] отождествлены. Тогда алгебра'
Ф [S] полупроста в том и только в том случае, когда (i) характе-
характеристика поля Ф не делит порядок группы G и (ii) Р, рассматривае-
рассматриваемая как матрица над Ф [G], невырожденна (в частности, т = п).
Сделаем небольшое отступление для того, чтобы применить
предыдущие результаты к коммутативным полугруппам.
Теорема 5.21. Пусть S — конечная коммутативная полугруппа,
а Ф — поле. Алгебра Ф [S] является полупростой тогда и только
тогда, когда S есть объединение групп, порядки которых не делят-
делятся на характеристику поля Ф.
Доказательство. Пусть D) — главный ряд полугруп-
полугруппы S. Предположим, что алгебра Ф [S] полупроста. По след-
следствию 5.15 5 также полупроста. Каждый главный фактор Si/Si+i
полугруппы S является коммутативной вполне 0-простой полу-
полугруппой, т. е. группой G? с нулем (при г — п без нуля). Соответ-
Соответствующий ^-класс представляет собой группу Gt и, следователь-
следовательно, S = Gi U G2 U ... U Gn. По теореме 5.14 и лемме 5.13 каж-
каждая алгебра Ф [Gt] полупроста, а по теореме Машке характери-
характеристика поля Ф не делит порядок ни одной из групп Gt.
Обратно, предположим, что S является объединением групп,
порядки которых не делятся на характеристику поля Ф. Пусть
Е — полуструктура идемпотентов полугруппы S и для каждого
е из Е пусть Не обозначает максимальную подгруппу из S, содер-
216 Гл. 5. Представление матрицами над полем
жащую е. Сразу видно (в силу коммутативности S), что HeHj S
Е Не} (е, f ? Е). Следовательно, S является объединением полу-
полуструктуры Е групп Не- Отсюда ясно, что каждый главный фактор
полугруппы S является группой с нулем (кроме ядра, которое
просто есть группа). Поэтому, возвращаясь к главному ряду D)/
мы заключаем, что <$j\<Sj+1 является группой Gt (i = 1, . . ., п)
и группы G; — это группы Не, расположенные в некотором поряд-
порядке. В силу теоремы Машке и предположения о характеристике
поля Ф каждая алгебра Ф [Gt] полупроста. Очевидно,
Ф'[б,] S6 Фо [St/Si+i]
и, следовательно, Ф [S] полупроста по лемме 5.13 и теореме 5.14.
В связи с теоремой 5.20 было бы интересно найти условия невы-
невырожденности п X n-матрицы Р над полупростой алгеброй St.
Если Г — некоторое представление степени г этой алгебры над Ф
и Р = (Pij), то (см. § 5.1) под Г (Р) мы понимаем пг X гаг-матри-
ЧУ (Г (рц)) над Ф, получаемую заменой каждого элемента pif
из Р г х г-матрицей Г (ри) над Ф.
Лемма 5.22. Пусть Г — любое точное представление полупро-
полупростой алгебры Ш и Р есть п X п-матрица над Ш. Тогда Р нееы-
рожденна в том и только в том случае, когда Тп (Р) невырожденна.
Доказательство. Пусть А — {at]) 6 Щ)п- Если
Гп (А) = 0, то Г (аи) = 0 для каждого i, j = 1, . . ., п. Так
как представление Г точно, то каждый элемент .atj равен нулю,
т. е. А = 0. Следовательно, представление Г алгебры (Щп,
ассоциированное с представлением Г, также является точным.
Требуемый результат вытекает теперь из следствия 5.10.
Теорема 5.23. Пусть {Га | а = 1, . . ., с) — полное множе-
множество неэквивалентных неприводимых представлений полупростой
алгебры Ж над Ф и Р ? (§1)„. Матрица Р невырожденна тогда
и только тогда, когда каждая матрица Г? (Р) невырожденна.
Доказательство. Пусть Г — регулярное представле-
представление алгебры Ш. По основной теореме о представлении полупро-
полупростых алгебр (§ 5.1) Г в приведенной форме имеет клеточно-диаго-
нальный вид, где каждая клетка представляет собой одно из Га
и каждое Го встречается хотя бы один раз в Г. Легко видеть, что
Гга может быть приведено к соответствующему клеточному виду
заменой каждого Га в Г на FJ. Следовательно, Гп (Р) невырож-
невырожденна тогда и только тогда, когда каждая Fg (P) невырожденна,
и ¦ утверждение теоремы вытекает из леммы 5.22.
Следующее утверждение принадлежит Марианне Тесье [1952b].
Следствие 5.24. Если полугрупповая алгебра Ф [S] конечной
простой полугруппы S полупроста, то S является группой.
§ 5.2. Полу.групповые алгебры - 217
Доказательство. Согласно следствию 2.56 и теоре-
теореме 3.5, полугруппа S изоморфна рисовской полугруппе матрич-
матричного типа над группой G с сэндвич-матрицей Р. Каждый элемент
из Р принадлежит G, и т = п по теореме 5.20. Пусть 1\ —«еди-
—«единичное представление» алгебры Ф [S], т. е. представление степе-
степени 1, при котором каждому элементу из S ставится в соответствие
единица 1 поля Ф. Тогда Г™ (Р) есть матрица над Ф, каждый
элемент которой равен 1. Но на основании теорем 5.20 и 5.23 эта
матрица должна быть невырожденна, откуда, очевидно, вытекает,
что п = 1. Следовательно, S's^G.
Следствие 5.25. Если полугрупповая алгебра Ф IS] конечной
полугруппы S полупроста, то ядро полугруппы S является группой.
Следующая теорема была также получена Оганесяном [1955].
Теорема 5.26. Полугрупповая алгебра Ф [S] конечной инверс-
инверсной полугруппы S над полем Ф полупроста тогда и только тогда,
когда характеристика поля равна нулю или является простым
числом, не делящим порядок никакой подгруппы из S.
Доказательство. Пусть / есть ^-класс из S, и пусть
Q = J [} z — соответствующий главный фактор. Если а ? J, то-
и а~х ? /, поэтому Q есть инверсная полугруппа. Будучи 0-про-
стой (или простой) она является либо полугруппой Брандта
(теорема 3.9), либо идеалом в S, являющимся группой. По тео-
теореме 3.9 Q ^ Ж° (G; п, п; Дл) для некоторой конечной группы G
и некоторого целого числа и, где сэндвич-матрица А„ является
единичной п х га-матрицей над G°. Так как Ап невырожденна
в Ф [G], из теоремы 5.20 следует, что алгебра Ф [Q] полупроста
в том и только в том случае, когда характеристика поля Ф равна
нулю или есть простое число, не делящее порядок группы G.
Утверждение теоремы следует теперь из теоремы 5.14.
Лемма 5.27. Пусть {Га | ст = 1, ..., с} — полное множество
неэквивалентных неприводимых представлений полупростой алгеб-
алгебры Щ. над полем Ф, и пусть Р — невырожденная п X п-матрица
над Ш. Для каждого элемента А из 2S = сМ (Я; п, п; Р) пусть-
Т'а (А) = ГЗ (АР). Тогда {Т'а | а = 1, . . ., с} есть полное мно-
множество неэквивалентных неприводимых представлений алгебры 2S.
Доказательство. Потеореме 5.5 {FS | о = 1, . . ., с}
есть полное множество неэквивалентных неприводимых представ-
представлений алгебры {Щп. По теореме 5.19 58 = оМ (ЭД; п, п; Р) полу-
полупроста и отображение А—>- АР есть изоморфизм аМ на (Щп.
Таким образом, каждое Го является представлением алгебры Ш,
а неприводимость и взаимная неэквивалентность для Го непо-
непосредственно вытекает из тех же свойств для Г?.
218 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Следующая теорема определяет все неприводимые представ-
представления, а следовательно, и все представления над полем Ф конеч-
конечной 0-простой полугруппы S, для которой Ф IS] полупроста.
Характеризация таких полугрупп дана в теореме 5.20.
Теорема 5.28. Пусть S — рисовская полугруппа аЖ° (G; п, п; Р)
над конечной группой G, порядок которой не делится на характе-
характеристику поля Ф, с сэндвич-матрицей Р, которая как матрица над
Ф [G] невырожденна. Пусть {Гст | а = 1, . . ., с} — полное мно-
множество неэквивалентных неприводимых представлений группы G
над ф. Для каждого элемента (а) и из S положим
П (( )«) = Г5 ((а)иР) = 5 Г? ((aPik)ik)¦ E)
ft=i
Тогда {Т'а | о = 1, . . ., с} есть полное множество неэквивалент-
неэквивалентных неприводимых представлений полугруппы S над Ф, каждое
из которых отображает нуль полугруппы S в нулевую матрицу
соответствующей размерности.
Замечание. Единственным неприводимым представлением полу-
полугруппы S, не вошедшим в множество {Го}, является единичное
представление, при котором каждый элемент из S отображается
в единицу 1 поля Ф (см. упр. 1 ниже).'
Доказательство. Все утверждения теоремы, за исклю-
исключением вычислений в E), непосредственно вытекают из лемм 5.17
и 5.27. Что касается указанных вычислений, то {а)цР является
матрицей, в которой i-я строка есть
арп, . . ., apJk, . . ., apjn,
& остальные строки состоят из нулей. Отсюда вытекает, что
в (Ф [G])n матрица (а)цР является суммой п рисовских матриц
{apih)ik (к = 1, . . ., п) и, следовательно,
TS «а)„ Р) = TS B (aPjh)ih) = S Г? ((apSk)tk).
Смысл этих вычислений состоит в том, что Т'а ((а)г^) оказывается,
таким образом, выраженной через матрицы, содержащие элементы
жз самой группы G, а не из Ф [G].
Теорема -5.29. Простая конечномерная алгебра над полем Ф
является сжатой полугрупповой алгеброй над Ф тогда и только
тогда, когда она изоморфна алгебре (Ф)п для некоторого целого
положительного числа п.
Доказательство. Рассмотренный выше пример 2 пока-
показывает, что (Ф)п является сжатой полугрупповой алгеброй. Обрат-
Обратно, пусть S — конечная полугруппа с нулем и Фо [S] проста.'
§ 5.2. Полу групповые алгебры 219
Тогда S, очевидно, 0-проста и поэтому представила как рисовская
полугруппа вМ° (G; т-, п; Р). По лемме 5.17 Фо IS] ^ вМ (Ф [G];
т, п; Р). По теореме 5.19 Фо IS] ^ (Ф [<?])„. Последняя алгебра,
согласно теореме 5.4, проста в том и только в том случае, когда
проста Ф [G]. Но Ф [G] проста тогда и только тогда, когда G —
одноэлементная группа, ибо если w представляет собой сумму
элементов из G, то Ф Ы — идеал в Ф [G]. Следовательно, Ф [G] ?ё
^ Ф и Фо 15] з* <Ф)„.
В частности, заметим, что некоммутативная алгебра с делением
над Ф не может быть сжатой полугрупповой алгеброй над Ф.
Здесь мы прервем изложение исследований Манна и закончим
параграф двумя результатами Хьюитта и Цукермана ([1955],
теоремы 4.2 и 5.22), первый из которых тесно связан с теоре-
теоремой 5.29. (Мы продолжим изложение результатов Манна в сле-
следующем параграфе.)
Теорема 5.30. Пусть Я — полупростая конечномерная алгебра
над полем Ф. Если Я — Ф [S] для некоторой (конечной) полугруп-
полугруппы S, то одна из простых компонент этой алгебры имеет над Ф
размерность 1. Обратное утверждение справедливо, если поле Ф
алгебраически замкнуто.
Доказательство. Пусть Я = Ф [S]. Так как по пред-
предположению Я полупроста, то, согласно следствию 5.25, ядро К
полугруппы S является группой. Пусть w — сумма в Щ всех
элементов из К, и пусть е — единица группы К. Для произволь-
произвольного s ? S имеем sw — s (eiv) = (se) w = w, так как элемент se
из К просто переставляет слагаемые в и>. Аналогично, ws — w.
Следовательно, Ф [w] есть идеал из §1 размерности 1 над Ф.
Обратно, предположим, что Ф алгебраически замкнуто и что
одна из простых компонент алгебры SS. имеет размерность 1. Тогда
И-es Я' = (ФК © (Ф)пя ® • • • ® (Ф)пе,
где, допустим, nt — 1. Пусть Е\^ (i, j = 1, , . ., па) обозначает
единичную матрицу в (Ф)П(, (о* = 1, . . ., с). Тогда матрицы
Mi\ Eft + Etf (i, j = 1, ..., Па, а = 2, ..., с)
образуют одновременно и полугруппу S, и базис в Я-', так что
Я^Я'=Ф[5].
Относительно обратного утверждения в теореме 5.30 см.
упражнение 8 к настоящему параграфу.
Пусть S — конечная коммутативная полугруппа. Если а ? S,
то ah — е точно для одного идемпотента е из S и для некоторого
положительного целого к. Мы говорим, что а принадлежит идем-
потенту е. Множество Se всех элементов из S, принадлежащих е,
является подполугруппой, содержащей е и не содержащей дру-
220 Гл. 5. Представление матрицами над полем
гих идемпотентов; Se обладает максимальной подгруппой Не из Sy
для которой е является единицей, и Не является идеалом (ядром)
в Se. Пусть Е — множество идемпотентов из S. Тогда S является
объединением полуструктуры Е полугрупп Se. Мы называем
Н = U Не групповой частью S; Н является подполугруппой из S
и объединением полуструктуры Е групп Не.
Теорема 5.31. Пусть S — конечная коммутативная Полугруп-
Полугруппа и Н — ее групповая часть. Пусть Ф — поле, характеристика,
которого не делит порядок никакой подгруппы из S. Предположим,
что Н Ф S и что S\H содержит г элементов t±, Ц, ¦ • •» *г»
Пусть et — идемпотент, которому принадлежит t%. Тогда г
элементов tt — ttet (i = 1, . . ., г) образуют базис радикала 31
алгебры Ф IS].
Доказательство. Если t ? S и е ? Е, то (так как S
коммутативна)
(t — te) (tm — tme) = t™*1 —1™+4.
По индукции
(t-te)m = tm~tme
для каждого целого положительного т. Если t принадлежит е.
то для некоторого к имеем th = е и, следовательно, разность
t — te нильпотентна. Поэтому г элементов tt — ttei лежат в 9t.
Покажем сейчас, что они линейно независимы. Предположим,
что для элементов oi, ...» ctr из -Ф имеем
2 ai(*,-*iej)=
Тогда
г
2 eciti — y^O,
i
где у = 2 a^i-ej. Поскольку векторные пространства Ф
иФ[5\Я] дополняют друг друга и поскольку элементы t^, . . ., tT
линейно независимы, мы заключаем, что сц — 0 для каждого
i = 1, . . ., г.
По теореме 5.21 алгебра Ф [Н] полупроста, так что Ф \Н\ П
Г) 31 = 0. Следовательно, размерность 91 не может превосходить
г. Но Ш содержит г линейно независимых элементов tt — t^i,
а потому они должны составлять базис в 31.
В [1952а] Марианна Тесье нашла радикал 5R алгебры Щ =
— Ф [S], когда S является конечной простой слева полугруппой,
а Ф имеет характеристику 0; она показала, что §191 = 0 и Ш91 ^
^ Ф [G], где G — структурная группа полугруппы S. Она пока-
§ 5.2. Полугрупповые алгебры 221
зала в [1952b], что если S — конечная простая полугруппа, 91 —
радикал из Й = Ф [S], а характеристика Ф равна нулю, то
919Ш = 0' и 91 Ф 0, если S не является группой (следствие 5.24).
Этот результат был распространен Манном [1955а] на любую
конечную 0-простую полугруппу S и §1 — Ф0 IS]. Если S =
= Л (G; т, п; Р) и каждый элемент из Р является единицей
группы G, то также имеет место 8I/9ft ^ Ф [G]. Вопрос об описа-
описании радикала 91 в общем случае остается открытым.
Упражнения к § 5.2
1. Пусть S — полугруппа с нулем z и Г — представление сте-
степени п этой полугруппы над полем Ф. Пусть г — ранг матрицы
Г (z). Так как Г (z) — идемпотент, то существует такая невырож-
невырожденная п X га-матрица С, что
(It 0\ '
сг«с-Ц0 о)'
где 1Т есть единичная г X r-матрица. Для любого а из S мы имеем
где Г2 (а) — некоторая (п — г) X (п — г)-матрица над Ф. Если
;¦ = п, то Г (а) == 1п для каждого а из S. Если 0 < г <1 п, то Г
распадается на представление Г4 степени г, для которого 1\ (а) =
= 1Т при любом а из 5, и представление Гг степени п — г, для
которого Г2 (z) = 0. Если Г неприводимо, то или Г (z) = 0, или
же Г есть единичное представление для S.
2. Пусть S — конечная связка (полугруппа идемпотентов).
Тогда Ф [S] полупроста в том и только в том случае, когда S —
коммутативна. (Хьюитт и Цукерман [1955], теорема 5.27.)
3. (а) Пусть Р — [не] вырожденная п X /г-матрица над алгеб-
алгеброй §1 над полем Ф. Пусть Ф* — поле, содержащее Ф, и пусть
t>l* — алгебра, полученная из Ш путем расширения основного
поля до Ф*. Тогда матрица Р остается над 31* [не]вырожденной.
(Ь) Пусть S — конечная 0-простая полугруппа, a Of и Ф2 -
два поля одной и той же характеристики. Тогда Ф4 [S] и Ф2 [S]
либо обе полупросты, либо обе неполупросты (Манн [1955Ы,
лемма 6.3.)
4. Пусть G = {?, а} — циклическая группа порядка 2 (а2 = i)
и характеристика поля Ф отлична от 2. Рассмотрим матрицу
@ i Г
i 0 а
i i
222 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Если rt —» единичное представление группы G и Г2 — другое
неприводимое представление этой группы, такое, что Г2 (i) = 1
и Г2 (а) = — 1, то Г, (Р) невырожденна, а Г* (Р) вырожденна.
Таким образом, Р вырожденна в Ф [G].
5. Пусть Q = <Лй (G; п, п; Д„) — конечная полугруппа Бранд-
та (§ 3.3), а Ф — поле, характеристика которого не делит порядок
группы G. Тогда Ф [Q] полупроста. Пусть Г — неприводимое
представление степени г группы G над Ф, а Г' — соответствующее
неприводимое представление полугруппы Q, задаваемое так же,
как в теореме 5.28. Если (а)и ? Q, то Г' ((а)^) представляет собой
блочную п х n-матрицу, получаемую заменой каждого элемента
а в (a)ij на Г (а), а каждого элемента 0 в (a)i} — на нулевую г х г-
матрицу. (Клиффорд [1942], стр. 342; Манн [1957а], теорема 4.5.)
6. Алгебра кватернионов не может быть сжатой полугрупповой
алгеброй над полем действительных чисел ни для какой полу-
полугруппы, но она является сжатой полугрупповой алгеброй над
полем комплексных чисел.
7. Пусть S — бесконечная циклическая полугруппа, порож-
порожденная элементом х, и пусть Ф — поле. Тогда Ф [S1] есть кольцо
ф [х] полиномов от х над Ф. Пусть а ? Ф, a^Oz
//(a) (h\
Л/'(«) /(«)Г
где /' обозначает формальную производную от полинома /. Тогда Г
есть представление алгебры Ф [х] и, следовательно, также пред-
представление полугруппы S, причем оно не вполне приводимо. (Ука-
(Указано Джекобсоном (Jacobson N., Trans. Amer. Math. Soc.
42 A937), 206-224).)
8. Пусть SI — полупростая адгебра R ф Q над полем R дей-
действительных чисел, простыми компонентами которой являются
само R и алгебра Q кватернионов над R. Не существует такой
полугруппы S, что Ш s* R [S]. (См. теорему 5.30.)
§ 5.3. Главные неприводимые представления
полугруппы
Пусть S — произвольная полугруппа и Ф — поле. Основной
результат этого параграфа (теорема 5.33) состоит в описании неко-
некоторых неприводимых представлений полугруппы S (которые мы
называем «главными») на языке' неприводимых представлений
главных факторов этой полугруппы. Кроме того (утверждение
(D) теоремы 5.33), доказывается, что если полугруппа S удовлет-
удовлетворяет условию минимальности Mj для главных идеалов, то-
каждое ее ненулевое неприводимое представление является глав-
главным. В этом случае мы имеем взаимно однозначное соответствие
§ 5.3. Главные неприводимые представления полугруппы 223
между ненулевыми неприводимыми представлениями полугруппы
S над Ф и такими же представлениями ее всевозможных главных
факторов..
В таком общем виде теорема принадлежит Манну [1960]. Идея
доказательства восходит к работе Хьюитта и Цукермана [1957],
в которой рассматривались неприводимые представления полной
полугруппы преобразований конечного множества. Случай, когда
полугруппа S конечна, а алгебра Ф [S] полупроста (след-
(следствие 5.34), был рассмотрен Манном [1955а] и независимо Понизов-
ским [1956]. Их результат вместе с теоремой 5.28 дает описание
всех представлений такой полугруппы.
Напомним (см. § 2.1), что существует естественная частичная
упорядоченность ^-классов любой полугруппы S, а именно /i-^[
^ /2, если S1JiS1^ <SrV2<S'1. В действительности / -«-»¦ S^S1 есть
взаимно однозначное соответствие между "^-классами и главными
идеалами полугруппы S, и отношение ^ в точности соответствует
отношению включения.
Если X — множество ^-классов, то класс / из X называется
(i) минимальным в Ж, если из /' ? Ж следует /' <? / и (П) наимень-
наименьшим ') в ЗЕ, если из /' 6 Ж следует / ^ /'. Мы говорим, что S
удовлетворяет условию Mj, если каждое непустое множество-
'^-классов из S содержит по крайней мере один минимальный
класс. Подгруппа S удовлетворяет условию Mj тогда и только-
тогда, когда каждый строго убывающий ряд главных идеалов в ST
конечен, т. е. Мj эквивалентно условию обрыва убывающих цепей
для главных идеалов.
Напомним также (см. § 2.6), что существует взаимно однознач-
однозначное соответствие между ^-классами и главными факторами,
полугруппы S, причем главный фактор Q (/), соответствующий
"^-классу / — это по определению факторполугруппа ^иса
5V51// (/), где / (/) = 51/51\/ (легко видеть, что / (/) есть
идеал в S). Для фиксированного $-класса / мы будем обозначать
через х->х естественный гомоморфизм S4S1 на Q (J), а именно-
_ ( х для всех х из /,
\ z для всех х из /(/),
где z — нулевой элемент из Q (J). Напомним еще (см. лемму 2.39) t
что Q (J) является либо полугруппой с нулевым умножением,
либо 0-простой полугруппой (или простой в случае, когда / есть
ядро полугруппы S). Будем говорить, что / есть 0-простой класс,
если Q 0-проста или проста.
Пусть теперь Ф — поле и Ф [S] —полугрупповая алгебра
полугруппы S над Ф. Если Гд S, то через Ф [Т] обозначаем (как
в § 5.2) линейное подпространство в Ф [S], натянутое на Т.
*) В оригинале — универсально минимальным.— Прим. перев.
224 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Продолжим естественный гомоморфизм х ->• х идеала S1JS1
на Q (J) до гомоморфизма алгебры Ф [5Х/5Х] на Ф [Q (J)] следую-
следующим образом: если
п
х= 2
2
г=1
т.е. а^Фи Xi^SUS1 (i = l, 2, ..., п), то положим
п
i=l
Если Г — представление степени и полугруппы 5 над Ф, то
Г E) содержится в полной матричной алгебре (Ф)п степени п
над Ф. Для произвольного подмножества Гд5 через [Г (Г)]
обозначим подпространство из (Ф)п, натянутое на подмножество
Г (Г). Очевидно,
[Г (Т)] =Т(Ф [Л).
Как и в § 5.2 мы не делаем различия между представлением полу-
полугруппы S над Ф и его продолжением до представления алгебры
Ф [S]. Отметим также, что [Г (S)] есть подалгебра из (Ф)„.
Лемма 5.32. Пусть Г — неприводимое представление степени п
полугруппы S над Ф и Т — такое подмножество из S, что [Г (Т)]
есть неприводимая подалгебра в (Ф)п- Тогда в Ф [Т] существует
такой элемент е, что Г (е) — 1п есть единичная п X п-матрица
над Ф.
Доказательство. По теореме 5.7 [Г (Г)] — простая
алгебра и поэтому содержит единицу Е (как было отмечено в § 5.1
после второй теоремы Веддербёрна). Матрица Е коммутирует
с каждым элементом неприводимого множества [Г (Т)], и, посколь-
поскольку Е Ф 0, согласно лемме Шура (§ 5.1), она должна быть невы-
невырожденной. Однако лишь матрица /„ является невырожденным
идемпотентом в (Ф)„ и, следовательно, Е = 1п. Так как Е 6
6 [Г (Т)], существует конечное число таких элементов xt из Т
и аг из Ф, что Е = 2 агГ (хд- Полагая е = 2 «г^м мы имеем
е 6Ф [Л и Г (е) = Е = /„.
Если Г — представление полугруппы S над Ф, то через
Г @) мы обозначаем множество всех таких элементов s из S,
что Г (s) = 0. Очевидно, что Г @) является идеалом в S. Пред-
Представление Г называется главным, если совокупность всех ^-клас-
^-классов из S, не содержащихся в Г @), обладает наименьшим клас-
классом J. Ясно, что J единственным образом определяется представ-
представлением Г, и мы будем называть его вершиной представления Г.
Таким образом, представление Г является главным представле-
представлением с вершиной / тогда и только тогда ,^ когда (i) Г (х) Ф 0 для
§ 5.3. Главные неприводимые представления полугруппы 225
некоторого и, следовательно, для каждого элемента х из / и
(ii), если s — такой элемент из S, что J3 $fe /, то Г (s) = 0. Отсюда
следует, что при Js^ J имеем Г (8)ф0. (Заметим, что если У —
произвольный f -класс из S, то объединение всех $-классов J'
из S, таких, что /' $fe J, является идеалом в S.)
Пусть / есть f -Класс из^S, и пусть Г — такое представление
полугруппы S над Ф, что Г (у) = 0 для любого у из I (J). Тогда
мы можем задать, представление Г' полугруппы Q (J) так:
Г (х) - Г (х) для вс^х х б S4S1, B)
где х-*х — естественный гомоморфизм A). Мы называем Г'
представлением,- индуцированным представлением Г, а Г назы-
называем продолжением Г" на S. Мы говорим, что Г — Главное продол-
продолжение представления Г', если Г является главным представлением
полугруппы S с вершиной /. Если считать Г представлением
алгебры Ф [S], то условие
Г' (х) = Г (х) для всех х из Ф [S4S1] B')
задает представление алгебры Ф [Q (/)], соответствующее Г';
здесь х—*• х есть продолжение отображения A) на Ф IS^S1].
Следующая теорема устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между неприводимыми главными представлениями Г полу-
полугруппы S над Ф и ненулевыми неприводимыми представлениями
Г' различных ее 0-простых главных факторов, переводящими
в нуль нулевые элементы этих факторов.
Теорема 5.33 (Манн). Пусть S — полугруппа и Ф — поле.
(A) Если Г — неприводимое главное представление степени п
полугруппы S над Ф и J — его вершина, то J 0-проста и представ-
представление Г' главного фактора Q(J), индуцированное представлением
Г, также является неприводимым и ненулевым. Существует эле-
элемент е из Ф [J], для которого Г' (е) = /„, и для любого такого
элемента е
Г (s) = Г' (se) при всех s из S. C)
Здесь х —*- х обозначает естественный гомоморфизм алгебры
Ф ISUS1] на Ф [Q (/)].
(B) Если J есть Ь-простой f-класс из S и Г' — ненулевое
неприводимое представление степени п полугруппы Q (J) над Ф,
причем Г' (z) = 0, где z — нуль, то существует такой элемент е
из Ф [/], что Г' (е) = /„, и для каждого такого элемента е соот-
соотношение C) задает неприводимое главное продолжение Г представ-
представления Г'.
(C) Два неприводимых главных представления полугруппы S
эквивалентны тогда и только тогда, когда (i) они обладают одной
15—1159
226 Гл. S. Представление матрицами над полем
и той же вершиной J и (И) они индуцируют эквивалентные пред-
представления в Q (/).
(D) Если S удовлетворяет условию Mj, то каждое ненулевое
неприводимое представление полугруппы S над Ф является главным.
Доказательство. (А) Так как [Г (/)] = [Г (S4S1)], то
ясно, что [Г (/)] не отображается на нуль. Но по предположению
Г (S) — неприводимая алгебра матриц и, следовательно, по тео-
теореме 5.7 она проста. Поэтому
[Г (/)] = [Г (S)].
Будем писать Q вместо Q (J). Согласно B), [Г' ((?)] = [Г (/)]
и, следовательно, представление Г' является неприводимым
и ненулевым. Снова по теореме 5.7 [Г" (Q)] — простая алгебра,
а поэтому Q или 0-проста, или проста, поскольку она, конечно,
не является нулевой. Таким образом, идеал / 0-прост по опреде-
определению.
По лемме 5.32, где Т заменено на /, в Ф [J] существует такой
элемент е, что Г (е) = 1п. Для любого такого элемента е и любого
s g S мы имеем « ? Ф [5W]. Следовательно, используя B'),
получаем
Г (*) = Г (s) /„ = Г («) Г (е) = Г И = Г' Й,
что и доказывает C).
(В) Из предположений пункта (В) следует, что [Г' (/)] —
неприводимая алгебра матриц. По лемме 5.32 существует такой
элемент е из Ф [/], что Г' (е) = /„. Отметим, что е = е'. Покажем,
что отображение Г, задаваемое соотношением C), при любом таком
элементе е является представлением полугруппы S.
Сначала заметим, что для любого элемента s ? S
Г (*в) = Г (ею) = Г' (Ц.
Действительно,
Г' (Те) = /„Г Й = Г' (в) Г' Й = Г' (в) Г' (Те) =
и другая половина доказывается аналогично. (Обращаем внима-
внимание читателя на то, что мы не можем сказать, что se = s-e, так как
s определено только при s ? StJSl.) Теперь для любых s и t из S
Г (s) Г (*).= Г' (м) Г' (te) = Г' (й) Г' (п) = Г' Gs-te) = T'(elie) =
Если x^SVS1, то
Г (ж) = Г' (Б) = Г' (хе) = Г' (х) Г' (е) = Г' (х).
§ 5.3. Главные неприводимые представления полугруппы 227
Это показывает, что, во-первых, Г индуцирует Г' и является
поэтому продолжением представления Г', во-вторых, Г (S) =
= Г' (Q) и, следовательно, представление Г неприводимо.
Наконец, мы должны доказать, что Г есть главное представ-
представление с вершиной /. Очевидно, Г (J) Ф 0, и остается показать,
что если s — элемент из S, для которого Js $fe /, то Г (s) = 0. Если
х 6 J, то Jsx < Jx; далее, Jsx < Jx, поскольку при Jsx = Jx
мы имели бы J s ^ Jsx = Jx = J. Отсюда sz ? I (J) и на осно-
основании условия C) Г (sx) = Г' (sxe) = Г' (г). Но Г' (г) = 0
по предположению, поэтому Г ($х) = 0.
Имеем е = 2 ai^i Для некоторых xt из J и аг из Ф. Следова-
г
тельно,
Г (s) = Г (se) = S «<Г (sa;O = 0.
(С) Пусть Fj и Г2 — неприводимые главные представления
полугруппы S над Ф. Если они эквивалентны, то существует
такая невырожденная постоянная матрица С над Ф, что
Г4 («) = СГ2 (s) С для всех s из 5.
Очевидно, Г;1 @) == Г^1 @) и поэтому Ft и Г2 обладают одной
и той же вершиной J. Тогда в силу B) для любого х из SXJSX
г; (г) = г, (*)=сга (х) с-1=сг; ф с-»,
так что Г, и Г2 эквивалентны.
Обратно, предположим, что представления Ti и Г2 обладают
одной и той же вершиной / и что Т[ и Т'2 эквивалентны. Тогда
существует такая постоянная невырожденная матрица С, что
Г; (х) = СГ; (ж) С для всех ~х из Q.
Согласно (А), существует элемент е из Ф[/], для которого
Г;(е) = /„ и F2(s) = r;(si) при всех s из S. Тогда Т\{е) =
— СТ'а (ё) С = 1п и снова в силу утверждения (А) мы имеем
Ti{s) = T'i{se). Отсюда
rt (*) = г; Gе)=сг; («) с-1=сг2 (*> с-1,
так что Ti и Г2 эквивалентны.
(D) Предположим теперь, что S удовлетворяет условию Mj.
Пусть Г — ненулевое неприводимое представление степени п
полугруппы S над Ф. Поскольку Г ненулевое, множество ^-клас-
^-классов из S, не содержащихся в Г @), не пусто. На основании
условия Mj оно содержит минимальный класс J.
Если у 6 / (J), т. е. Jv < /, то Г (у)= 0 по определению /.
Отсюда [Г (/)] = [Г (iS1/^1)] и, таким образом, идеал [Г (/)]
из [Г (S)) не отображается в нуль. Поскольку в силу пред-
предположения алгебра [Г (S)] неприводима, то по теореме 5.7
она проста и, следовательно, [Г'(/I = [Г (S)]. По лемме 5.32
15*
228 Гл. 5. Представление матрицами над полем
существует такой элемент е из Ф [/], что Г (е) = 1п. Тогда
Г (s) = Г (s) /„ = Г (s)T (e) t= Г (se) для всех s из S.
Тот факт,' что Г есть главное представление с вершиной /, дока-
доказывается теперь точно так же, как в последнем разделе доказа-
доказательства утверждения (В). Незначительное изменение состоит
в том, что мы получаем равенство Г (sx) — 0 из включения sx ?
? / (J) прямо по определению /.
Приводимое ниже следствие непосредственно вытекает из тео-
теоремы 5.33. Оно дополняет исследования предыдущего параграфа.
Неприводимые представления каждого из главных факторов полу-
полугруппы S описаны в теореме 5.28.
Следствие 5.34. Пусть Ф — поле и S — такая конечная полу-
полугруппа, что алгебра Ф [S] полупроста. Через Jt (i = 1, . . ., п)
обозначим '^-классы из S и для каждого i пусть Qt = Jt [} zt —
главный фактор, соответствующий Jt. Тогда сжатая полу груп-
групповая алгебра Фо IQi) полупроста (лемма 5.13 и теорема 5.14)
и потому обладает единицей et. Очевидно, е{?ФМ1]. Пусть
{Г'ю | а = 1, ..., ct} — полное множество неэквивалентных
неприводимых представлений полугруппы Qt над Ф, переводящих
каждый элемент zt в нуль. Зададим Tia следующим образом:
Ггс (s) = По (s«Jf) для всех s из S,
где х ->• х — естественный гомоморфизм алгебры Ф t
на Ф IQi]. Тогда {Tia | а = 1, . . ., ct; i — 1, . . ., п) есть пол-
полное множество неэквивалентных неприводимых представлений
полугруппы S над Ф.
Мы завершаем параграф еще одним результатом Манна [I960],
касающимся полной приводимости. Сначала докажем лемму.
Лемма 5.35. Пусть J есть ^-простой f-класс полугруппы S
и Г — представление степени т полугруппы S над Ф. Пусть для
каждого s из S Г (s) = (уи (s)) (i, j = 1, . . ., т). Если уи (х) — О
при всех i, j, таких, что 1 <[ ? <[ ; <1 те, и для всех х из J, то
Г (х) — 0 для всех х из J.
Доказательство. Пусть х ? J. Тогда существуют такие
а и Ъ из J, что ахЬ = х. Отсюда атхЬт = х. Но Г (а)т = Г (Ь)т =
= 0, так как Г (а) и Г (Ь) — треугольные матрицы с нулями на
главной диагонали. Поэтому Г (х) = Г (а)"Т (х) Г (Ь)т = 0.
Теорема 5.36. Пусть S — полупростая полугруппа, удовлетво-
удовлетворяющая условию Mj, и Ф — поле. Если каждое представление
любого из главных факторов полугруппы S над Ф вполне приводи-
приводимо, то каждое представление полугруппы S над Ф вполне приво-
приводимо.
§ 5.3. Главные неприводимые представления полугруппы, 229
Доказательство. Пусть
1\(*) 0 ... О \
ГП1(*) Г„,(*) .... Г„(в)
есть представление полугруппы S над Ф в полностью приведенном
виде (§ 5.1), а представления s->¦ Tt (s) (i = 1, . . ., n) — его
неприводимые конституэнты. Так как нулевое представление
является, очевидно, вполне приводимым, мы можем предполагать,
что Г ненулевое. Будем доказывать теорему индукцией по числу
п = N (Г) неприводимых конституэнт представления Г. Теорема
тривиальна для N (Г) = 1, и мы можем предполагать, что каждое
представление Г' полугруппы S, для которого N (Г') < п, вполне
приводимо.
Произвольный элемент s полугруппы S принадлежит некото-
некоторому ее ^-классу, а каждый ^-класс по предположению 0-прост.
Если бы все Г1( . . ., Гл были нулевыми, то из леммы 5.35 сле-
следовало бы, в противоречие с предположением, что Г — нулевое
представление. Следовательно, не все Tt нулевые. Каждое нену-
ненулевое представление является главным ввиду условия Mj и тео-
теоремы 5.33. Пусть Jt — вершина представления Гг и Jk — мини-
минимальная среди таких Уг._ Иными словами, представление Гк не
является нулевым, и если Гг также ненулевое, то Jt<^Jk.
Если х — такой элемент из S, что /ж < Jh, то, очевидно,
Jx ^ Ji Для каждого i, такого, что представление Tt — ненуле-
ненулевое. Поэтому Fj (х) = 0 для каждого такого i и, следовательно,
для i = 1, . . ., re. Из леммы 5.35 мы выводим, что Г (х) — 0.
Пусть Qk = Jk U zh (или Qk = Jh для ядра полугруппы S)
есть главный фактор, соответствующий Jh. Поскольку, как мы
только что показали, Г (х) = 0 для х из / (Jk), отсюда следует,
что условие
Г' (х) = Г (х) для всех х из Я1/^1
задает представление Г' полугруппы Qk. Здесь х -*¦ х — естествен-
естественный гомоморфизм S^bS1 на Qh. Далее, представление Г' — нену-
ненулевое, так как 1\ является ненулевым на Jk, а Г' содержит пред-
представление V'h полугруппы Qk, индуцированное представлением
Гй. По предположению представление Г' вполне приводимо, a T'h
по теореме 5.33 (А) неприводимо. Следовательно, существует,
постоянная невырожденная матрица С, такая, что
/ri (ж) 0 \
СГ (х) С-* = У для всех х из Qh,
\ 0 А'(*)/
где А' — некоторое представление полугруппы Qh.
230 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Если мы определим Д соотношением
Д (х) = Д' (х) (для всех х из SlJhSl),
то Д превратится в представление для SP-J^S1, отображающее
I (/1) в нуль. Кроме того, имеем
/Th(x) 0 \
СТ {х) С-1 = ( Qw д J для всех х из PJtS1. D)
Представим СТ (s) С'1 следующим образом:
E)
E)
где T*t(s) имеет тот же порядок, что и Th(x).
Пусть s?S. и x?jk. Тогда sx^SPJkS1 и из равенства
СТ («г) С = СТ (s) С-1 • СТ (х) С'1
выводим
/Т\ (ЯТ\ ft \ /Г* (ч\ Г* М\ /Т\ (т\ ft
/ift [SX) и \ ( *¦ и \s) * a \s) \ 11 h W u
I f) Л f<;r\ / ~~ V Г* (<t\ Г* Ml I ft Л (г
Отсюда Ffj (s) rh (a:) = 0 для каждого s из.5 и х из /fe. По тео-
теореме 5.33 (В) в алгебре Ф [Jh] существует такое е, что Tk (ё) = /.
Поскольку е есть линейная комбинация элементов х из /h, отсюда
следует, что
Г* (s) = F*i (s) / = Г» (s) Fft (e) = 0 для всех s жз S.
Точно так же, рассматривая xs вместо sx, мы можем показать, что
Г*2 (s) = 0. Таким образом, Г распадается на два представления
Г*г и Т*2. Поскольку они оба имеют степень, меньшую, чем Г, они
содержат меньшее, чем iV(F), число неприводимых конституэнт.
Поэтому утверждение теоремы следует по индукции.
Хотя и нет необходимости это доказывать, но мы отметим, что
T*t эквивалентно 1\. Так, если в E) мы в качестве s возьмем эле-
элемент х из S^bS1 и сравним с D), то увидим, что T*t (х) = Th (x).
Отсюда легко вывести, что Г*4 имеет ту же вершину, что и Tk,
и индуцирует то же самое представление T'h в Qh; эквивалентность
представлений Г*х и Tk следует тогда щ теоремы 5.33 (С).
Упражнения к § 5.3
1. Пусть S — полугруппа с ядром К. Тогда расширение на S
единичного представления ядра К есть единичное представление
полугруппы S. \
2. Пусть S — конечная инверсная полугруппа, Jt
A = 1, . . ., п) — ее ^-классы и Qt = Jt \j zt (или Qt = Jt для
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 231
ядра) — соответствующие главные факторы. В силу упр. 3 из
§ 3.3 каждый класс Qt есть полугруппа Брандта (или группа).
Пусть etj (/ = 1, . . ., тпг) — идемпотенты из Jt. Тогда единица
mi
алгебры Фо [Qt\ есть et = 2 еи- Предположим, что характери-
j=i
стика поля Ф не делит порядок ни одной подгруппы из S. В обозна-
обозначениях следствия 5.34 отсюда вытекает, что
(J
3=1
(Манн [1957а], теорема 4.7.)
3. Пусть S — бесконечная циклическая полугруппа {х, х2, . ..}
и Ф — поле. Полугруппа S не удовлетворяет условию М3.
Каждому элементу а из Ф соответствует представление Га степени
1 полугруппы S, а именно Га (хп) = ап. Только эти Га являются
абсолютно неприводимыми представлениями полугруппы S над Ф
и ни одно из них не является главным.
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп
Идеи и методы, лежащие в основе этого параграфа, а также
первая часть теоремы 5.37 принадлежат Сушкевичу [1933],
а большинство остальных результатов — Клиффорду ([1942]
и [I960]).
Пусть S — вполне 0-простая полугруппа. По теореме Риса 3.5
S изоморфна регулярной рисовской полугруппе сМ ° (G; I, Л; Р)
над группой G с Л X /-сэндвич-матрицей Р = (рц)- Следова-
Следовательно, мы можем считать, что сама S является такой полу-
полугруппой.
Мы увидим, что каждое представление Г* полугруппы S над
полем Ф является в определенном смысле продолжением некото-
некоторого представления Г группы G над Ф. Не все представления груп-
группы G могут быть продолжены до представлений полугруппы S.
Если Г — представление группы G, которое обладает таким про-
продолжением, то среди всех таких продолжений существует одно,
имеющее наименьшую возможную степень; оно единственным
образом с точностью до эквивалентности определяется по Г, и мы
называем его базисным продолжением Г* представления Г. Любое
другое продолжение представления Г сводится к Г§ и к нулевым
представлениям. Это соответствие между продолжаемыми пред-
представлениями группы G и их базисными продолжениями на S сохра-
сохраняет разложимость (теорема 5.50) и приводимость в ограниченном
смысле (теорема 5.51); в частности, мы получаем все неприводимые
представления полугруппы S как базисные продолжения неприво-
неприводимых представлений группы G.
232 Гл. 5. Представление матрицами над полем
I
Комбинируя сказанное выше с теоремой Манна 5.33, мы можем
утверждать следующее. Если S — полугруппа, удовлетворяющая
условию М] и такая, что каждый ее 0-простой главный фактор
вполне 0-прост, то все неприводимые представления полугруппы S
могут быть описаны в терминах неприводимых представлений
подгрупп из S. Как мы увидим в гл. 6, этот класс полугрупп вклю-
включает класс "полугрупп, удовлетворяющих условиям MR и ML.
Представление Г полугруппы S будет называться собственным,
если (i) Г (г) = 0 в том случае, когда S обладает нулем z и (п) Г
неразложимо на два представления, одно из которых нулевое.
Мы не ограничим существенно общность рассмотрений, уделяя
внимание лишь собственным представлениям. (См. упражнение 1
к'§ 5.2.) Собственное представление Г группы G единственным
образом продолжается до представления полугруппы G0, если
положить Г @) = 0; всюду в этом параграфе мы будем предпола-
предполагать, что это сделано. Обратимся теперь к рассмотрению собствен-
собственных представлений полугруппы S = аМ° (G; /, Л, Р).
Как и в § 3.2, мы можем предполагать, что множества индек-
индексов / и Л обладают общим элементом 1 и (как отмечено после дока-
доказательства леммы 3.6) сэндвич-матрица Р нормализована так,
что ри = е, где е — единица группы G. Произведение двух эле-
элементов {a)i\ и (b)jр. из S задается следующим образом:
(«)а°(ЬЬц = (aPufyi» (а, Ь ? G; i, j 6 /, К Ц € Л). A)
Поскольку рц = е, справедливы следующие соотношения, кото-
которые нам понадобятся в дальнейшем:
(а)ио(Ь)и=(аЬ)и, B)
(в)и»(в)м = (Р1|)н, C)
Wi.«Wa = Wa, D)
(е)и»(е)а = (в)ш E)
(е)ц = (ри)и, F)
() () и. G)
(«)ио(в)ио(«)и = (в)ц. (8)
В силу формулы B) множество G14 всех элементов (а)ц из S
есть подгруппа, изоморфная группе G. Отождествим Glt с G.
Пусть Г* — ненулевое представление степени т полугруппы
S. Тогда Г* индуцирует представление подгруппы (т из 5. Пусть
п —.ранг идемпотентной матрицы Г* [(е)и]. Выбирая подходящим
образом базис пространства представления для Г*, мы можем
считать, что'
In 0\
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 233
Полагая в B) по очереди Ь = е и а — е, получаем
/Г (а) 0\
г*[(а)и1 = 1 0 0) для всех а из G, (9)
где а ->• Г (а) — собственное представление степени п группы Gv
Заметим, что п > О, поскольку в противном случае из (8) следо-
следовало бы, что Г* — нулевое представление. Мы называем Г* про-
продолжением на S представления Г группы G.
Ниже для всех матриц Г* [(а);*,] мы будем использовать пред-
представление в виде, аналогичном (9), где в левом верхнем углу стоит
п X n-матрица. Пусть i ? / и
r
Из (З), D), (9) и A0) выводим
/„ 0\(Ra Ra\_(Ru Ra\_(T(plt) 0
o o)\r21rJ-\o о )-\ о o
Ru RiA/In °\^(Rn °\^(Rii RA
Следовательно, Яц = Г(р1;), Ri2 = 0, i?22 = 0. Оббзначая R2t
через Rt, имеем
Аналогично, из E), F) и (9) получаем
где Qx есть некоторая п X (т — и)-матрица над Ф. Наконец,,
из (8) следует, что Г* l(a)jj есть произведение трех матриц A1),
(9) и A2) в указанной последовательности. Используя равенство-
Г (ab) = Г (а) Г (Ь), мы выводим
Пусть t = m — п. Тогда Rt есть t X и-матрица, а фх. есть
п X i-матрица. Отметим, что
Мы доказали, таким образом, последнее утверждение следую-
следующей теоремы.
234 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Теорема 5.37. Пусть Г — собственное представление группы G.
Тогда равенства A3) и A4) задают представление Г* полугруппы
S в том и только в том случае, когда матрицы Q% и Ri удовлетво-
удовлетворяют условию
| QkRt = Г (Ры) - Г (pXlPlt) A5)
для всех 1ф 1 из I и всех % ф 1 из Л. Любое ненулевое представле-
представление полугруппы S эквивалентно представлению, полученному таким
¦способом.
Замечание. В силу равенств A4) и предположения о том, что
Ри = *» условие A5) автоматически выполняется для i = 1 или
А = 1. Кроме того, имеет место (9) и, следовательно, Г* есть про-
продолжение представления Г.
Доказательство. Пусть Г — собственное представ-
представление группы G, и пусть Г* задается равенствами A3) и A4).
¦Отметим, что если мы введем обозначения
.*) Qx), A6)
где Rt, таким образом, есть т X и-матрица, a Qi есть п X т-ма-
трица, то равенство A3) превратится в
•я равенство A5) — в
QtMi = Г (Ры). A8)
Предположим теперь, что имеет место A5) и, следовательно,
«A8). Тогда для любых двух элементов (а)и и (b)Jtl из S имеем
Г* [(а)Ы Г* [(*Ы- ^'Г (а) <^Г (® Q» =
"Таким образом, Г* является представлением полугруппы S.
Предположим, с другой стороны, что Г*, задаваемое равен-
равенствами. A3) и A4), является представлением полугруппы S.
Из A4) и из того, что рц — е, следует справедливость соотноше-
соотношений (9), A1) и A2). Отсюда, принимая во внимание G), выводим
V о оД Rt о)~\ о or
что влечет за собой A5).
§ 5.4. Представление вполне Q-проетых полугрупп 235
Пусть Г — собственное представление степени п полугруппы
S над Ф. Когда существуют матрицы Q\ и Rt, удовлетворяющие
равенству A5), и если они существуют, то как их найти?
Как было отмечено в замечании после теоремы 5.37, нам необ-
необходимо рассматривать этот вопрос только при % из Л4 = Л \ 1
и при i из /4 = / \ 1. Пусть
, A9)
и пусть Q есть Л4 X Д-матрица, элементами которой являются
п X n-матрицы, причем на (X, г)-м месте стоит матрица ?}ц'.
B=1 ... QXi... I. B0)
Матрица Q является Л' X /'-матрицей над Ф, где Л' = п X Л(
и /' = п х /i. Мы называем й продолжающей матрицей пред-
представления Г относительно S. Равенства A5) могут быть записаны
в виде одного матричного равенства
О = QR, B1)
если положить
B2)
Q есть Л' х it-матрица над Ф, a R есть t X /'-матрица над Ф для
некоторого пока еще не определенного целого положительного t.
Мы говорим, что Г* является результатом факторизации B1)
цродолжающей матрицы Q представления Г и что Q и R являются
определяющими матрицами представления Г*.
Таким образом, вопрос о существовании и строении продолже-
продолжений Г* представления Г сведен к проблеме из чистой теории ма-
матриц, а именно к проблеме факторизации B1) данной Л' X /'-ма-
/'-матрицы Q в произведение QR, где для некоторого целого положи-
положительного t ? есть Л' х f-матрица и R есть t x /'-матрица. Будем
называть t шириной факторизации. Следующие две леммы и след-
следствия из них касаются указанной проблемы. С целью экономии
обозначений мы опускаем штрихи; поскольку получаемые резуль-
результаты будут справедливы для произвольных множеств индексов
Ли/, они справедливы и для Л' и /'.
Пусть Q — данная Л х /-матрица над полем Ф, где Ли/ —
два любых множества индексов. Пусть Ф [Л] — векторное про-
пространство над Ф, состоящее из всевозможных отображений мно-
множества Л в Ф. Каждый вектор-столбец матрицы О, можно рассмат-
рассматривать как элемент из Ф [Л]. Под пространством столбцов мат-
236 Гл. 5. Представление матрицами над полем
рицы Q мы понимаем подпространство из Ф[Л], натянутое
на столбцы матрицы Q. Аналогично определяется пространство
строк матрицы Q. Ранг матрицы Q по столбцам [по строкам]
мы определим здесь как размерность пространства столбцов
[строк] матрицы Q, если эта размерность конечна, и как оо в про-
противном случае. Обобщая методы доказательства для конечного
случая, легко видеть, что ранги матрицы Q по столбцам и по стро-
строкам равны друг другу, и эти совпадающие числа (или символ оо)
будем называть рангом матрицы Q.
Лемма 5.38. Л X I-матрица Q может быть представлена
в виде произведения Q = QR Л X t-матрицы Q и t X 1-матрицы
R (при некотором целом положительном t) тогда и только тогда,
когда она имеет конечный ранг h ^.t.
Доказательство. Если Q = QR, то строки матрицы
Q являются линейными комбинациями строк матрицы R, а посколь-
поскольку число последних равно t, размерность h пространства строк
матрицы Q не может превосходить t. Обратно, если h ^ t, то в ка-
качестве R мы можем взять матрицу, состоящую из любых таких t
строк матрицы Q, что все другие строки являются их линейными
комбинациями. В качестве Tt-строки матрицы Q могут тогда быть
взяты коэффициенты некоторого представления ^-строки матрицы
Q в виде линейной комбинации строк матрицы R.
Две факторизации Q = QR ий = Q'R' матрицы Q называются
эквивалентными, если они имеют одинаковую дшрину t и суще-
существует такая невырожденная t X f-матрица С, что Q' = QC~l
и R' = CR. Факторизация ширины h (где h — ранг матрицы Q)
называется базисной.
Лемма 5.39. Две факторизации Q = QR = Q'R' ширины t
для А X I-матрицы Q эквивалентны тогда и только тогда, когда
матрицы Q и Q' обладают одним и тем же пространством столб-
столбцов, а матрицы R и R' — одним и тем же пространством строк.
Доказательство. Случай «только тогда» очевиден.
Для доказательства «тогда» предположим, что Q и Q' обладают
одним и тем же пространством столбцов Q, размерности q, a R
и R' — одним и тем же пространством строк Ш размерности г.
Тогда существуют такие невырожденные i X f-матрицы С и С", что
где R* есть г X /-матрица ранга г, строки которой составляют
базис в 9{. Пусть
QC-i = (Q* Qo), Q'C'~i=(Q'* Q'o),
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 237
где Q* и Q'* суть Л х r-матрицы. Из равенства
получаем Q* — Q'*, поскольку строки матрицы й единственным
образом выражаются в виде линейной комбинации строк матри-
матрицы R*.
Так как матрицы (Q* Qo) и (Q* Q'o) обладают одним и тем же
пространством столбцов Q, то мы можем привести одну из них
к другой посредством элементарных преобразований столбцов,
не затрагивающих столбцов матрицы Q*. Другими словами, суще-
существует невырожденная матрица
такая, что
(<?* Qo)D = (Q* Q'o).
Очевидно,
Чо)=(о)-
Следовательно, ,
где C~XDC — невырожденная матрица. Таким образом, две
факторизации эквивалентны.
Следствие 5.40. Любые две базисные факторизации матрицы Q
эквивалентны.
Доказательство. Если Q — QR = Q'R' — две базис-
базисные факторизации матрицы Q, то они имеют одинаковую ширину
h (ранг Q), a Q и Q' [R и R'] обладают одним и тем же простран-
пространством столбцов [строк], а именно тем же, что и у Q.
Следствие 5.41. Пусть Q = Q°R° — произвольная базисная
факторизация матрицы й, и пусть й = QR — любая фактори-
факторизация матрицы й ширины t. Пусть h, q, r — ранги матриц Q,
Q, R соответственно и Q1 — такая А X (q — п)-матрица, что
Л X q-матрица (Q° Q') обладает тем же пространством столбцов,
что и Q. Пусть Рг — такая (г — h) X I-матрица, что г X 1-мат-
рица <
Г)
238 Гл. 5. Представление матрицами над полем
обладает тем же пространством строк, что и R. Тогда факто-
факторизация Q = QR эквивалентна факторизации
B3)
О
имеющей ширину t и следующие размерности блоков:
Q°: Axh, R°: hx I,
0: Ax(r-h), Rh (r-h)xl,
Q1: Ax(q-h), ' 0: (q-h)xl,
0: Ax (t + h — r — q), 0: (t + h — r — q)xl.
Доказательство. Оно непосредственно будет следо-
следовать из леммы 5.39, как только мы докажем, что факторизация B3)
действительно имеет ширину t, т. е.
t+h — г — q^fO.
Производя элементарные преобразования строк матрицы R,
мы можем найти такую невырожденную t X f-матрицу С, что
CR
-га-
где R* есть г х /-матрица, строки которой образуют наперед
заданный базис пространства строк 9R матрицы R. В частности,
можно считать
Пусть
где Q* есть некоторая Л X r-матрица, а А есть некоторая Л X
X {t — г)-матрица. Тогда
Поскольку строки матрицы Q являются векторами в 9{, они
однозначно представимы в виде линейных комбинаций строк мат-
матрицы R*, и поэтому Q* определяется однозначно. Отсюда и из ра-
равенства
1\^=Q0Ro = Q
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 239*
мы заключаем, что
<?* = @° 0).
Так как (О* A) = QC~l имеет ранг q, a Q* = @° 0) имеет ранг hr
ранг матрицы А должен быть не меньше q — h. Поскольку в А
t — г столбцов, мы получаем, что t — г ^ q — h, откуда следует
требуемое неравенство t -\-h — г — q ^ 0. Это неравенство будет
использоваться ниже.
Следствие 5.42. В предположениях следствия 5.41 имеем
t^zq^h, t^r^h, t^sq + г — h.
Отметим попутно, что, поскольку эти неравенства можно пере-
переписать в виде
t — h > t — q, t — h > t — r, t — h < (t — q) + (t — r),
то предыдущая лемма сводится к неравенствам Сильвестра для<
ранга произведения двух t x i-матриц.
Следующая теорема непосредственно вытекает из теоремы 5.37
и леммы 5.38.
Теорема 5.43. Собственное представление Г степени п группы G
над Ф тогда и только тогда обладает продолжением Г* конечной.
степени на S, когда ранг h продолжающей матрицы Q конечен.
Определяющие матрицы Qx, Ri любого продолжения Г* степени
т = п -\-,t над Ф находятся из факторизации матрицы Q. Это-
возможно в том и только в том случае, если t ^ h, и поэтому каж-
каждое продолжение представления Г имеет степень не менее п + h.
Теорема 5.44. Пусть Г* и Г'* — продолжения на S соответ-
соответственно представлений Г и Г' группы G. Пусть Г* задается соот-
соотношением A3), а Г'* — аналогичным соотношением
B4>
Тогда Г* и Г'* эквивалентны в том и только в том случае, когда-
существуют такие невырожденные постоянные матрицы Ct-
и Cz, что
Г (а) = CiT (а) С71 для всех а из G, B5>
О'ь^С&ьС;1 для всех %ф\ из Л, B6>
R'i^CtRtC-1 для всех 1ф\ из I. B7>
Доказательство. Предположим, что Г* и Г'* эквива-
эквивалентны. В этом случае существует постоянная невырожденная
матрица С, такая, что
Г'* [(a),xl = СТ* Ца)а] С. B8>
240 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Полагая i = Л, = 1, видим, что матрицы Г'* [(а)ц] и Г* 1(а)ц]
имеют одинаковый ранг (допустим, га), откуда, поскольку Г и Г' —
собственные представления, следует, что Г' есть представление
той же степени п, что и Г. Пусть га + t есть степень представле-
представлений Г* и Г'*, и пусть С разбита на блоки следующим образом:
cJCl1 Са),
где Си есть га х га-матрица, С12 есть га х ^-матрица и т. д. Тогда
/Г (а) о\ (Су, Ci2\ _ /Сп С12\ /Г (а) 0\
V о o)\cticj \c2icj\ о oj1
т. е.
(Т'(а)Си T'(a)Ci2\_/CilT(a) 0\
V О О )~\C2iT(a) О)'
Полагая а = е (е — единица группы G), находим, что Ci2 = О,
С21 = 0. Следовательно,
c=t\ocJ' B9)
где матрицы С\ = Си и С2 = С22 должны быть невырожденными.
Кроме того,
Г' (а) С, = CtT (a),
так что выполняется соотношение B5), и мы видим, что Г и Г"
эквивалентны. Имеем
C0)
fH|r(e)(?J.
Эти матрицы равны в силу B8). Полагая а = е и i = 1, получаем
А(?А, = @JiA, что дает B6). Полагая а = е и А, = 1, получаем
C2Rt = 7?iCi, что дает B7).
Обратно, предположим, что существуют невырожденные
матрицы С\ и С2, удовлетворяющие соотношениям B5), B6) и B7).
Зададим невырожденную матрицу С формулой B9). Тогда имеют
место равенства C0) и C1). Эквивалентность Г* и Г'* будет уста-
установлена, если мы покажем, что правые части формул C0) и C1)
равны. Равенство выражений, стоящих в верхних левых углах,
сразу следует из B5). Что касается выражений в правых верхних
углах, то, используя B5) й B6), мы получаем
Г' (Pua)Q'KC2 = CtT (Piia) C?Q'XC2 = CtT (Plia) Qx
Аналогично рассматриваются левый и правый нижние углы.
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп - 241
Следствие 5.45. Пусть Г — собственное представление группы
G и О, — продолжающая матрица этого представления. Тогда два
продолжения Г* и Г'* представления Г на S, получающиеся из двух
эквивалентных факторизации Q — QR = Q'R' матрицы Q, экви-
эквивалентны.
Доказательство. Из определения эквивалентных
факторизации следует, что существует такая невырожденная
матрица С2, что
Q' =QCf, R' = C2R.
В силу B2) это эквивалентно тому, что
для всех X Ф 1 из Л и всех i Ф 1 из /. Беря в качестве Cj единич-
единичную матрицу и полагая Г' = Г, заключаем, что выполняются соот-
соотношения B5), B6) и B7), следовательно, представления Г* и Г'*
эквивалентны.
Теорема 5.46. Собственное представление Г степени п группы G
над Ф с продолжающей матрицей Q, имеющей конечный ранг h,
обладает с точностью до эквивалентности единственным продол-
продолжением Т* степени п -\- h на S. Представление Т* получается
из базисной факторизации матрицы Q.
Доказательство. По теореме 5.43 базисная фактори-
факторизация Q приводит к продолжению Г* степени п + h представле-
представления Г, так что по крайней мере одно такое продолжение сущест-
существует. Любые два продолжения степени п + h представления Г
должны возникать из факторизации ширины h матрицы Q, т. е:
из базисных факторизации, а по следствию 5.40 и следствию 5.45
такие продолжения должны быть эквивалентны.
Мы называем Т* базисным продолжением представления Г
на полугруппе S. Каждое представление полугруппы S, являю-
являющееся базисным продолжением некоторого собственного пред-
представления группы G, будем называть базисным представлением.
Следующее утверждение устанавливает взаимно однозначное
соответствие между базисными представлениями полугруппы S
и продолжаемыми представлениями группы G.
Следствие 5.47. Пусть Г и Г' — собственные представления
группы G, обладающие продолжающими матрицами конечного
ранга, и пусть Т* и Т'о* — соответствующие им базисные продол-
продолжения на S. Представления Г* и Т'о* эквивалентны тогда и толь-
только тогда, когда эквивалентны представления Г и Г'.
Доказательство. Если Г и Г' эквивалентны, то мы
можем так выбрать новый базис в пространстве представления
для Гд*, что Г' совпадет с Г. Тогда эквивалентность Г* и Г?*
16—1159
242 Гл. 5. Представление матрицами над полем
следует из теоремы 5.46. Обратно, если Т* и Г,* эквивалентны,
то Г и Г' тоже эквивалентны по теореме 5.44.
Теорема 5.48. Каждое собственное продолжение Г* собствен-
собственного представления Г группы G может быть приведено к виду
О 0 0 0\
Т*\(а) 1 =
B\T(a)Qi R\T(aPu) R\T(a)Ql
° • C2)
0 V ;
Диагональный блок внутри пунктирной линии есть базисное про-
продолжение Т* представления Г на S. Если п — степень представ-
представления Г, п + t — степень представления Г*, h —ранг продол-
продолжающей матрицы й представления Г, a q и г — соответственно
ранги определяющих матриц Q и R для Г*, то t = q -\- г — h.
Две нулевые матрицы на диагонали являются квадратными (раз-
(размерностей q — h и г — К), так что Т* является компонентой Г*.
Доказательство. По теореме 5.43 Г* получается
с помощью факторизации Q = QR ширины t матрицы Q. В силу
следствия 5.41 эта факторизация эквивалентна факторизации
О=«?»0<Р0I " I, C3)
где Q = Q°R° — базисная факторизация для Q. По следствию 5.45
представление полугруппы S, получающееся из факторизации C3),
эквивалентно Г*. Поэтому мы можем предполагать, что само Г*
получается при этой факторизации. Вспоминая, что такое Q% и Rt
(см. B2)), приходим к равенствам
C4)
. О
Подставляя C4) в A3), получаем
f Г (риархд Г (Р«а) Qi О Г (Plia) Qi 0>
(а) 01 0 ШГ(аH10
Г* 1(а),Л] = | R\T (ари) Д|Г"(а) <Д О Д|Г (а) ^ 6 | . C5)
О 0 0 0 0
О 0 0 0 0,
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 2ЪЗ>
Поскольку представление Г* является собственным, последняя
строка и последний столбец нулей должны отсутствовать и, сле-
следовательно, t -\- h — г — <? = 0. После вычеркивания в матри-
матрице C5) последней строки и последнего столбца и перемещения
четвертой строки и четвертого столбца на первое место мы полу-
получаем равенство C2). Две (невычеркнутые) нулевые матрицы на диа-
диагонали матрицы C5) являются, как легко видеть, квадратными
матрицами размерностей q — h и г — h. В матрице C2) они ста-
становятся диагональными нулевыми матрицами.
Если нам безразлично, является ли представление Г* собствен-
собственным или нет, то равенство C2) задает продолжение Г* представ-
представления Г для совершенно произвольных матриц R\ и Q\. Таким
образом, как только мы вычислили базисное продолжение Г*
представления Г, то все другие продолжения Г* этого представ-
представления могут быть сразу выписаны из соотношения C2). Если пред-
представление Г* не является собственным, то не обязательно t =
= q -\- r — h, и диагональные нулевые матрицы могут не быть
квадратными.
Следствие 5.49. Представление Г* обладает теми же ненуле-
ненулевыми неприводимыми конституэнтами, что и Г*, даже с сохра-
сохранением кратностей.
Доказательство. Учитывая вид матрицы в C2),
заключаем, что полное приведение Г* к треугольно-блочной форме
с неприводимыми диагональными блоками дает полное приведе-
приведение и для Г*.
Теорема 5.50. Собственное представление Г группы G продол-
продолжаемо на S тогда и только тогда, когда каждая из его неразло-
неразложимых конституэнт продолжаема. Если Г продолжаемо, то нераз-
неразложимые конституэнты базисного продолжения Г$ являются
базисными продолжениями неразложимых конституэнт пред-
представления Г. В частности, Г неразложимо в том и только в том
случае, когда Т% неразложимо. В действительности каждое соб-
собственное продолжение на S неприводимого представления Г группы
G также неприводимо.
Доказательство. Пусть сначала Г есть неразложимое
продолжаемое представление группы б и Г* — любое его соб-
собственное продолжение на S: Предположим, что Г* разлагается
на два представления А и А', каждое из которых имеет меньшую
степень, нежели Г*. Ограничения А и А' на G не могут быть
частями неразложимого представления Г. Мы можем поэтому
предполагать, что ограничение представления А на G содержит
Г. Но тогда ограничение представления Д' на G является нулевым
представлением группы G. Как было отмечено после соотноше-
соотношения (9), из этого должно вытекать, что А' есть нулевое представ-
16*
244 Гл. 5. Представление матрицами над полем
ление полугруппы S, а это противоречит предположению о том,
что Г* — собственное продолжение. Следовательно, Г* неразло-
неразложимо. Это доказывает последнее утверждение теоремы и, в част-
частности, тот факт, что если Г — неразложимое представление, то
таково же и его базисное продолжение Г?. Тот факт, что неразло-
неразложимость представления Г* влечет за собой неразложимость Г,
будет доказан, когда мы покажем, что разложение представле-
представления Г приводит к разложению представления Г*.
Пусть Г есть представление группы G, которое разлагается
в прямую сумму Г' Ф Г" двух представлений Г' и Г", каждое
из которых имеет степень, меньшую, нежели Г. Мы можем пред-
предположить, что базис в пространстве представления для Г выбран
таким образом, что
Г' (а) О
) всех а из
/
Покажем, что Г продолжаемо на S тогда и только тогда, когда Г'
и Г" продолжаемы, и что в этом случае базисное продолжение Г*
разлагается на базисные продолжения Го* и Го*. Тогда два пер-
первых утверждения теоремы будут получаться очевидной индукцией
по числу неразложимых компонент представления Г.
Пусть степени представлений Г, Г' и Г" равны соответственно
п, п' и п" (ясно, что п = п' -J- /г"), а ранги продолжающих матриц
Q, Q' и Q" для этих представлений равны h, h' и h". В равен-
равенстве A9) каждая матрица fix* имеет блочный вид
a»Jau os
и мы можем так перестроить строки и столбцы в матрице Q, что
°- О Q
)'
Следовательно, ранг h конечен тогда и только тогда, когда конеч-
конечны Ы и h", поэтому h = Ы + h". По теореме 5.43 представление Г
Продолжаемо тогда и только тогда, когда представления Г' и Г"
продолжаемы.
Предположим теперь, что представление Г и, следовательно,
представления Г' и Г" продолжаемы на S. По теореме 5.46 их
базисные продолжения Го* и Г"* имеют соответственно степени
п' + Ы и п" + h". Следовательно, представление Го* Ф Г"о* имеет
степень (п' + h') + (п" + h") = п + h и, значит, по теореме 5.46
эквивалентно базисному продолжению Г* представления^Г.
Теорема 5.51. Пусть Г — продолжаемое представление группы
G и Г* — продолжение этого представления на S. Тогда ненуле-
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 245
вые неприводимые конституэнты представления Г* являются
базисными продолжениями ненулевых неприводимых конституэнт
представления Г. Базисное продолжение Г* для Г неприводимо
тогда и только тогда, когда неприводимо представление Г; таким
образом, мы получаем все неприводимые представления полугруп-
полугруппы S как базисные продолжения на S продолжаемых неприводимых
представлений группы G.
Доказательство. Предположим сначала, что Г есть
продолжаемое неприводимое представление группы Gи Г5 — его
базисное продолжение на S. Предположим, что Г§ разлагается
на два представления Д и Д' полугруппы 5, каждое из которых
имеет степень, меньшую, нежели Г*. Тогда или Д, или Д' должно
быть продолжением на S неприводимого представления Г группы
G. Но на основании теорем 5.43 и 5.46 такое продолжение пред-
представления Г не может иметь степень, меньшую, чем степени базис-
базисного продолжения Го- Следовательно, представление Г? непри-
неприводимо.
Обратное утверждение о том, что неприводимость представле-
представления Г* влечет за собой неприводимость представления Г, будет
доказано, когда мы покажем, что разложение Г влечет за собой
разложение Г* (даже разложение любого продолжения Г*). Тогда
сразу будет доказано и последнее утверждение теоремы, так как
по теореме 5.48 каждое неприводимое представление полугруппы
S обязательно является базисным.
Пусть Г — продолжаемое приводимое представление группы G,
и пусть Г разлагается на два представления Г' и Г", каждое из
которых имеет степень, меньшую, чем Г. Мы можем тогда пред-
предположить, что базис пространства представления Г выбран так, что
/Г (а) О \
Г (а) = I ^ J для всех а из G,
где * обозначает блок, который может содержать отличные от нуля
элементы. Пусть степени представлений Г, Г' и Г" суть п, п' и п"
соответственно; тогда п = п' + п", п > п', п > п".
Пусть Г* — произвольное продолжение представления Г на S
и степень Г* равна п + t. Пусть V — пространство представле-
представления для Г*, причем V — V± ф F2, где Vi — пространство пред-
представления для Г, a F2 — пространство представления для нуле-
нулевого представления группы G. Размерности пространств F4 и V2
равны соответственно nut. По теореме 5.37 представляющие
матрицы Г* [{a)i}] представления Г* имеют вид A3).
Пусть Wi — инвариантное подпространство из Vi, на котором
реализуется представление Г', так что представление Г" реали-
реализуется на факторпространстве VjWi. Пусть W — подпростран-
246 Гл. 5. Представление матрицами над полем
ство из V, состоящее из всех векторов w, имеющих вид
w = x + У, х^,
пел
где х, х? ? Wt и сумма конечна, т. е. все х^, за исключением конеч-
конечного числа, являются нулевыми векторами из Wi. Матрицы
(?и (и- Е Л) суть п х J-матрицы, появившиеся в A2) и участвую-
участвующие также в A3); их можно рассматривать как линейные отобра-
отображения подпространства Ft в подпространство F2. Таким образом,
w — х + у, где а; 6 Wi и t/ = 2 Жц(?ц 6у2. Далее будет удобно
записывать w в виде (х у), соответствующем формуле A3). Так как
W ?= Wt ф F2, ясно, что W является собственным подпростран-
подпространством из F; мы покажем, что оно инвариантно относительно Г*.
Непосредственным вычислением из'A3) мы выводим, что
' (х у) Г* [(а)а] = (*' у'),
где с учетом A5)"
х' = хТ (puopxi) + 2 *ц(?цЛгГ (ари) =
= хГ (рцари) + 2 х» 1Г (Рид - Г
и
*и 1Г (Рцг«Рм) — Г
3/' = *Г (plta) QK + 2 агц^Д«Г (а) & =
¦ и
2 Ч [Г (рща) -Г
Так как ж и все х^ принадлежат W\ и W\ инвариантно относитель-
относительно Г (Ь) при любом Ъ из G, ясно, что ж' 6 И^. Поскольку у' имеет
вид x'kQx, где жя, 6 Wu отсюда следует, что (х' у') ? W, и поэтому
подпространство JF инвариантно относительно Г*.
Пусть А' — представление полугруппы S, связанное с только
что построенным инвариантным подпространством W из V, и А" —
представление, связанное с факторпространством F/TF. Имеем
V = Ft ф F2 и W = JFi Ф JF2, где W2 = W П V2. Отсюда ясно,
что А' является продолжением представления Г' на S-: Кроме
того,
V/W s VjWi Ф F2/TF2)
откуда следует, что А" — продолжение представления Г" на S.
Мы показали, таким образом, что представление Г* разлагается
на два представления А' и А", причем А' [А"] есть продолжение
представления Г' 1Г"] на S. Очевидная индукция по числу г
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 247
неприводимых конституэнт Tt представления Г показывает, что
Г* разлагается на г представлений Дг, причем Д$ есть продолже-
продолжение представления Г4 (? = 1, . . ., г). Если Гг — ненулевое пред-
представление, то по теореме 5.48 Д* разлагается на базисное продол-
продолжение Г*о представления Tt и (возможно) нулевое представление.
В первом параграфе было показано, что базисное продолжение
неприводимого представления сама неприводимо и, следователь-
следовательно, каждое такое представление Г*о неприводимо. Поэтому нену-
ненулевыми неприводимыми конституэнтами представления Г* являют-
являются в точности те представления Г*о, для которых представления Tt
не являются нулевыми.
t
Замечания, (i) Упражнение 8 к настоящему параграфу показы-
показывает, что базисное продолжение Г? представления Г может иметь
наряду с конституэнтами Г*о нулевые конституэнты даже тогда,
когда все представления Г^ ненулевые.
(ii) Если Г — продолжаемое представление группы G, то тео-
теорема 5.51 показывает, что неприводимые конституэнты этого
представления также продолжаемы. Упражнение 9 ниже пока-
показывает, что обратное неверно.
Теорема 5.52. Полная приводимость представлений полугруп-
полугруппы S над полем Ф имеет место тогда и только тогда, когда (i)
полная приводимость имеет место для продолжаемых представ-
представлений группы G над Ф и (ii) базисными продолжениями являются
только собственные продолжения на S собственных представлений
группы G.
Доказательство. Очевидно, полная приводимость для
представлений полугруппы S над полем Ф имеет место тогда и
только тогда, когда она имеет место для собственных представле-
представлений этой полугруппы.
Предположим, что выполнены условия (i) и (ii) и Г* — произ-
произвольное собственное представление полугруппы S. Тогда Г*
является продолжением на S собственного представления Г
группы С В силу условия (i) представление Г вполне приводимо,
т. е. Г ~ Fi ф Г2 Ф ... Ф Гг (^обозначает эквивалентность),
где каждое Гг — неприводимое ненулевое представление. По тео-
теореме 5.50 Г? ~ Г*о Ф . • • ФТ?о- По теореме 5.51 каждое пред-
представление Г*о приводимо и, следовательно, Tt вполне приводимо.
Но в силу условия (ii) Г* ~ Г*.
Предположим, обратно, что каждое представление полугруп-
полугруппы S над Ф вполне приводимо. Пусть Г — собственное продолжае-
продолжаемое представление группы С и Г ~ Fi ф ... ФГГ — разложе-
разложение этого представления на (ненулевые) неразложимые представ-
представления. По теореме 5.50 Т* ~ Т*й ф ... Ф Г*о и каждое Г^о
является неразложимым представлением полугруппы S. Но
248 Гл. 5. Представление матрицами над полем,
по предположению каждое Г?о вполне приводимо и поэтому должно
быть неприводимым. По теореме 5.51 каждое представление Г4
неприводимо и, следовательно, представление Г вполне приво-
приводимо. Это доказывает (i).
Из теоремы 5.48 вытекает, что представление полугруппы S,
не являющееся базисным, может быть вполне приводимо, только
если оно разлагается на соответствующее базисное представле-
представление и нулевое представление. Следовательйо, каждое собственное
представление полугруппы S над Ф должно быть базисным, что
доказывает (п).
Следствие 5.53. Пусть полугруппа S конечна и характеристика
поля Ф не делит порядок груЛпы G. Тогда алгебра Ф [S] полупро-
полупроста в-том и только в том случае, когда лишь собственное пред-
представление полугруппы S, являющееся продолжением любого заданно-
заданного собственного представления группы G, является базисным про-
продолжением этого представления.
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 5.52
и теоремы Машке (§ 5.2). Следствие 5.53 принадлежит Манну
[1955b]. В своем доказательстве он, вычисляя ранг продолжаю-
продолжающей матрицы представления Га, показывает, что представление Го
полугруппы S, заданное условием E) теоремы 5.28, должно быть
базисным продолжением представления Га группы G.
Упражнения к § 5.4
1. Пусть Г*'— продолжение на S = &М° (G; I, Л; Р) собствен-
собственного представления Г группы G и числа h, q, r и t определены
так же, как в теореме 5.48. Тогда Г* является собственным пред-
представлением в том и только в том случае, когда t = q + r '— h.
2. Пусть S — левая группа. По теореме 1.27 (или но теореме
Риса) S = G X /, где G — группа и / — полугруппа левых
нулей. Элементы из S могут быть единственным образом представ-
представлены в виде (a)i, где а ? G и i ? /. Они перемножаются следующим
образом:
- (ab)i (a, b?G,i, j 6 /)-
Пусть Ф — поле и Г — собственное представление степени п
группы G над Ф. Тогда представление Г продолжаемо на S и его
базисное продолжение может быть определено формулой
Г? [(а),] = Г (а).
Любое продолжение Г* представления Г имеет вид
. Г (а) ОУ
Г*|
§ 5.4. Представление вполне О-простых полугрупп 249
где Rt — произвольная t х w-матрица n t — некоторое фиксиро-
фиксированное целое положительное число.
3. (а) Следующие утверждения относительно т X т-матрицы
С ранга п над полем Ф эквивалентны.
(i) С принадлежит некоторой мультипликативной подгруппе
из (Ф)т.
. (ii) Для каждой (базисной) факторизации С = АВ, где А
есть т х re-матрица, а В есть п х /га-матрица, п х и-матрица
В А невырожденна.
(ш) Матрица С2 имеет ранг п.
(Ь) Некоторая степень любой матрицы из (Ф)т обладает пере-
перечисленными выше свойствами. (Сушкевич [1933].)
4. Пусть S = оМ° (G; Л, Л; А) — полугруппа Брандта (§ 3.3),
А — единичная Л X Л-матрица над G0 и Ф — поле.
(a) Если Г есть собственное представление группы G над Фт
то продолжающая матрица Q этого представления является еди-
единичной.
(b) S допускает собственное представление конечной степени
над Ф тогда и только тогда, когда .множество Л конечно.
(c) Можно так выбрать определяющую матрицу базисного
продолжения Г5 представления Г, что Г* будет иметь вид, уста-
установленный в упражнении 5 к § 5.2.
5. Два продолжения на S = вМ° (G; I, Л; Р) данного абсолютно
неприводимого представления Г группы G над Ф эквивалентны
тогда и только тогда, когда они получаются из эквивалентных
факторизации продолжающей матрицы этого представления.
(Клиффорд [1942].)
6. Пусть а = A23) и т = A2) — образующие симметрической
группы G3 на множестве {1, 2, 3}. Тогда равенства
О
задают абсолютно неприводимое представление степени 2 груп-
группы G3.
Пусть
S =aM°(G3; 2,2; Р), где /> =
i — единица группы Ga. Тогда продолжающая матрица й пред-
представления Г является нулевой матрицей, и мы найдем ее фактори-
факторизацию, если положим
О
250 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Если Г*, р.— соответствующее продолжение представления Г^
на S, то Га в эквивалентно Та' р' тогда и только тогда, когда
<х = а' и р'= р'.
Если поле Ф бесконечно, то это показывает, что конечная полу-
полугруппа (или конечная алгебра) может иметь бесконечное множе-
множество неэквивалентных неразложимых представлений заданной
¦степени.
7. (а) Если простая [0-простая] полугруппа матриц конечной
•степени над полем содержит ненулевой идемпотент, то она вполне
проста [0-проста]. Следовательно, не вполне -простая [0-простая]
лолугруппа, содержащая идемпотент, не обладает точным собст-
собственным представлением.
(Ь) Множество матриц
- (а 0>
\Ь
где а и Ъ — положительные действительные числа, является полу-
полугруппой без идемпотентов. Следовательно, не вполне простые
полугруппы без идемпотентов могут обладать точными собствен-
собственными представлениями.
8. Пусть G = {е, а} — циклическая группа второго порядка,
S — рисовская полугруппа 2 х 2-матриц над G с сэндвич-ма-
сэндвич-матрицей
Р =
и Ф —поле вычетов по модулю 2.
Пусть
Продолжающая матрица представления Г есть
Мы можем взять
Л,= A 0), <?a =
Базисное продолжение Го представления Г на S- имеет степень 3.
Оно разлагается (не вполне) на два единичных представления
и одно нулевое. (См. замечание (i) после доказательства тео-
теоремы 5.51.)
9. Пусть G, Ф и Г — те же, что и в упражнении 8, N — мно-
множество натуральных чисел, и пусть S — рисовская полугруппа
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 251
N X iV-матриц над G с сэндвич-матрицей Р = (рц), задаваемой
следующим образом:
{а, если i = /> 1,
¦
е в противном случае.
Тогда j
/О 0\ /0 04
^ 0J, ®и = [0 0) при 1Ф] (i,j?N\l).
Продолжающая матрица Q представления Г имеет бесконечный
ранг и поэтому Г не продолжаемо на S. Однако неприводимые
конституэнты представления Г продолжаемы на S. (См. замеча-
замечание (ii) после доказательства теоремы 5.51.)
10. Относительно операции ф взятия прямой суммы множе-
множество базисных представлений полугруппы S и множество продол- .
жаемых представлений группы G являются изоморфными полу-
полугруппами. При этом мы отождествляем эквивалентные представ-
представления и имеем дело только с собственными представлениями.
§ 5.5. Характеры коммутативных Полугрупп
В этом параграфе (который не зависит от § 5.1—5.4) мы сле-
следуем Шварцу [1954 а, Ь, с] и Хьюитту и Цукерману [1955, § 3;
1956, § 5], которые независимо развили теорию характеров ком-
коммутативных полугрупп. Этот параграф написан так, что допу-
допускаются две интерпретации термина «характер».
Пусть S — коммутативная полугруппа с единицей. (Мы уви-
увидим вскоре, что последнее предположение не является существен-
существенным ограничением.) Под характером полугруппы S мы понимаем
отображение % этой полугруппы в поле комплексных чисел, при-
причем % не является тождественно равным нулю отображением
и удовлетворяет условию
(С1) X И) = %{а) 1 (Щ для любых a, b?S.
Легко проверяется, что все результаты этого параграфа полностью
сохраняются, если мы добавим в определение термина «характер'»
требование, чтобы отображение % удовлетворяло еще условию
(С2) | х ifl) I = 0 или 1 для всех a?S.
Если S — группа, то в условии (С2) остается только требование
\%(а) | = 1. Отметим, в частности, что классические теоремы
о продолжении и об отделении для групповых характеров (тео-
(теоремы 5.57 и 5.58) доказаны с учетом этого ограничения и, следо-
следовательно, соответствующие теоремы имеют место для полугруп-
полугрупповых характеров, удовлетворяющих условию (С 2) (см. теоре-
теоремы 5.59 и 5.65).
252 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Хьюитт и Цукерман [1956] называют отображение %, удовле-
удовлетворяющее условию (С1) «мультипликативной функцией»; если,
кроме того, отображение % является ненулевым и ограниченным,
то они называют его «полухарактером». Заметим, что условие (С2)
эквивалентно ограниченности, если S есть объединение групп,
но в общем случае это не так. Без каких-либо подобных ограни-
ограничений на S результаты этого параграфа несправедливы для полу-
.характеров.
Множество S* всех характеров полугруппы S превращается
в (коммутативную) полугруппу, если мы зададим произведение
двух характеров % и i|) следующей формулой:
Ш) («) = X (в) * («).
Мы называем S* полугруппой характеров полугруппы S. Едини-
Единицей в S* является единичный характер 1*, для которого по опре-
определению 1* (а) — 1 при любом а из S.
Если S — коммутативная полугруппа без единицы, то жела-
желательно видоизменить приведенное выше определение характера,
допуская, чтобы отображение % могло быть трждественно равным
нулю, так как в противном случае характеры полугруппы S
могут не образовывать полугруппу. Каждый характер х полу-
полугруппы S может быть продолжен до характера полугруппы S1 =
= S U 1, если положить % A) = 1, причем отображение %-*-
->- х I S есть изоморфизм полугруппы (S1)* на S*. Следовательно,
не уменьшая общности, можно "ограничиться рассмотрением полу-
полутрупп с единицей, что мы и сделаем.
Идеал Р полугруппы S называется вполне изолированным, если
S \Р есть подполугруппах). Нам будет удобно считать пустое мно-
множество, но не саму полутруппу S, вполне изолированным идеалом
этой полугруппы. Объединение двух вполне изолированных
идеалов полугруппы является вполне изолированным идеалом,
но пересечение может не быть таковым (см. упражнение 1 ниже).
Таким образом, множество всех вполне изолированных идеалов
полугруппы S является полуструктурой относительно объеди-
объединения.
Пусть х € S*. Тогда
Fx = {а | а 6 S, % (а) = 0}
есть вполне изолированный идеал полугруппы S. Действительно,
если х (а) = 0, то X (afy = X (а) X (Ь) = 0 при любом Ъ из S;
если х (а) Ф 0 и х Ф) Ф 0. то X (а^) = X (а) X (Ь) ф 0- Мы назы-
называем V% нуль-идеалом характера %.
См. примечание в упр. 9 к § 4.1.— Прим. пер ее.
§ 5.5. Характеры, коммутативных полугрупп 253
Для данноко вполне изолированного идеала Р полугруппы S
зададим отображение еР следующим образом:
0, если а?Р,
> если a?S^\P.
Иными словами, еР есть характеристическая функция множества
S \ Р. Тогда еР (ab) = еР (а) еР (Ь) для всех а, Ъ из S, так как обе
части одновременно равны нулю или единице. Кроме того, (еР)а =
= 8 р. Таким образом, еР является идемпотентом полугруппы
характеров S*, и, очевидно, нуль-идеалом этого характера являет-
является Р. С другой стороны, если е есть идемпотент полугруппы харак-
характеров S*, то для каждого оиз5.е (а) = 0 или е (а) = 1. Следова-
Следовательно, е = ер, где Р = Ve.
Отметим, что если Р и Р' — вполне изолированные идеалы
полугруппы S, то
Ep(JP' = КрВр'.
Действительно, элемент из S принадлежит S \ (P \J P') тогда
и только тогда, когда он принадлежит ш S\P и S\P'. Таким
образом, доказана следующая лемма, принадлежащая Швар-
Шварцу [1954а].
Лемма 5.54. Существует такой изоморфизм между полуструк-
полуструктурой Е* идемпотентов полугруппы характеров S* и полуструк-
полуструктурой Y* вполне изолированных идеалов полугруппы S, что если е
из Е* и Р из Y* соответствуют друг другу при этом изоморфиз-
изоморфизме, то Р есть нуль-идеал Ve характера е, а е есть характеристи-
характеристическая функция ер множества S \ Р.
Для данного вполне изолированного идеала Р из S положим
Яр = {х I X 6 S*, Vx = Р).
Другими словами, Н% состоит из всех характеров полугруппы S,
отображающих в нуль в точности идеал Р. Очевидно, НР является
подполугруппой из S*, содержащей еР, а еР является единицей
в Н%. Если х 6 НР и мы положим
_ |0, если а?Р,
Х~ (а)~\1/х(а), если a?S\P,
то X € Яр и XX = вр. Следовательно, Нр есть подгруппа из
S*. Каждый характер % из S* принадлежит некоторой подгруппе
Нр, а именно той, для которой Р — V%. Очевидно, что подгруппы
Нр попарно не пересекаются. Если Р, Р' ?Y*, то
НрНр' S Hp\jp'.
В самом деле, если % ?Нр и х' € Нр-, то хх' (а) = 0 тогда'и толь-
только тогда, когда %{а) = 0 или х' (а) — 0, т. е. %%' отображает
в нуль в точности Р [} Р'.
Мы показали, таким образом, справедливость следующей тео-
теоремы, доказанной для конечных полугрупп Шварцем ([1954а],
254 Гл. 5. Представление матрицами над полем
теорема 2), для периодических полугрупп с конечным У* —
Хьюиттом и Цукерманом ([1955], теорема 3.13), и для инверс-
инверсных полугрупп — Уорном и Вильямсюм [1961]1).
Теорема 5.55. Полугруппа характеров S* коммутативной полу-
полугруппы S с единицей является объединением полуструктуры У*
групп Нр (Р 6 Y*.), где У* — полуструктура вполне изолирован-
изолированных идеалов полугруппы S, а Нр состоит из всех характеров этой
полугруппы, которые отображают в нуль в точности идеал Р.
Пусть Т — коммутативная полугруппа, являющаяся объеди-
объединением полуструктуры У групп Ga, a 6 У (см. § 1.8). Через еа
обозначим единицу группы Ga. Характер % полугруппы Т тогда
и только тогда отображает в нуль группу Ga, когда % (еа) = 0;
в противном случае % (еа) = 1. Характер х называется главным,
если существует такой элемент {5 из У, что % (еа) — 1 тогда и толь-
только тогда, когда а ^ р. Такой элемент р, очевидно, единствен в У,
и он (или группа (хр) называется вершиной характера х-
Следующая теорема была получена Шварцем ([1954а], стр. 230)
и Хьюиттом и Цукерманом ([1955], теоремы 3.2 и 3.3) для случая
конечной полугруппы Т, а Уорном и Вильямсом [1961] — в пред-
предположении, что У удовлетворяет условию минимальности.
Теорема 5.56. Пусть Т — коммутативная полугруппа с едини-
единицей, являющаяся объединением полуструктуры У групп Ga, a ? У.
Пусть ёа — единица группы Ga.
(А) Если % — главный характер полугруппы Т и $ — вершина
этого характера (р 6 У), то ограничение %' характера % на G$
является характером группы G$ и для каждого s из Т
.. /X(sp), если spgp,
(s) — К A)
[ 0 в противном случае. v
(B) Если р 6 У и %' — произвольный характер группы Gp,
то условие A) определяет главный характер % полугруппы Т с вер-
вершиной р, совпадающий с %' на Gp.
(C) Если полуструктура У удовлетворяет условию минималь-
минимальности, то каждый характер полугруппы Т является главным.
Доказательство. Эта теорема непосредственно выте-
вытекает из теоремы 5.33, но мы приводим ее доказательство для
того, чтобы сохранить независимость настоящего параграфа от
предшествующих параграфов этой-главы.
(А)-Если sep € бр> то
% («) '— X (s) 1 = % (») % (ер) = X (*>р) = %' («ер).
1) Абстрактная характеризащия полугрупп характеров дана М. М. Лесо-
хиным [1970].— Прим. ред. '
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 25S
Если sep $ Gp и s 6 Ga, то «?р ? Gap, причем оф < р. Следова-
Следовательно, по определению элемента р имеем % (sep) = 0 и снова
X («) = X (*>р).
(В) Если see и ?ее принадлежат Gp, то (sep) (tep) = (st) ep.
и поэтому
X (**) = X' (И ер) = X' ((«?p)(tep)) =
'()'(«) ()(«)
Если не каждый из этих элементов принадлежит Gp, например,.
sep(|Gj и s?Ga, то sep 6 Gap, где ар < р. Тогда ясно, что
step (| Gp, откуда
х (st) = 0 = Ox W = X <«) X (*)•»
(С) Пусть 1 — характер полугруппы Г. По предположению'
существует минимальный элемент р из У, такой, что % не отобра-
отображает в нуль группу Gp, т. е. х (ер) = !• Если % не отображает-
в нуль Ga, то
X (ввр) = X (еаер) = X (О X (еР) = 1-1=1.
Учитывая выбор Р и тот факт, что ap ^ $, мы заключаем, что-
аР = р и, следовательно, а^р. Обратно, если а ^ Р, то еае$ =
= ер,.откуда х (еа) = 1- Следовательно, х — главный характер-
с вершиной р.
Теперь мы рассмотрим вопрос о том, когда характеры коммута-
коммутативной полугруппы S отделяют элементы этой полугруппы. Мы*
понимаем под этим, что для двух любых различных элементов^
из S найдется такой характер %, что х (а) Ф X (&)• Мы докажем
хорошо известную теорему о том, что указанное свойство спра-
справедливо для коммутативных групп. Однако сначала мы должны1
доказать классическую теорему о продолжении характера под-
подгруппы на всю группу. Это будет необходимо позднее при доказа-
доказательстве аналогичного результата для полугрупп. Для полноты*
изложения мы приводим доказательство.
Теорема 5.57. Пусть Но — подгруппа коммутативной группы?
G и Хо — характер этой подгруппы. Тогда существует характер-
X группы G, совпадающий с %0 на Но-
Доказательство. Пусть dF — множество всех пар*
(Я, х)> гДе Н — подгруппа из G и х — характер этой подгруппы:
Частично упорядочим множество &, считая (Н, %) ^ (Н1, %'У
тогда и только тогда, когда Н. s Н' и %' совпадает с х на Н. Если(
{(йь ХО I ^ 6 А} — цепь элементов из &, то она имеет в & верх-
верхнюю грань (Я, %), где Н = U Н^ъ % определяется (однозначноI
равенством х (а) = У.% (а)> если а 6 Нг.- Пусть йР0 — множество
всех пар из о?, которые ^ (Но, Хо)- По лемме Цорна е?0 обладает
256 Гл. 5. Представление матрицами над полем
максимальным элементом (Н, у). Теорема будет доказана, если мы
покажем, что Н = G.
Предположим противное: существует a?G\ff. Пусть И' — под-
подгруппа из G, порожденная Н и а. Покажем, что можно построить
характер %' подгруппы Н', совпадающий с % на Я, что будет про-
противоречить максимальности пары (Н, х) в Фо.
Если ап 6 Н лишь при п = 0, то положим
JC' (hah) = х (h) . (h 6 Н; к = О, ±1, ±2, . . .).
В противном случае обозначим через п наименьшее положительное
целое число, для которого ап ? Н. Пусть Ъ — ап и | — некоторый
корень /г-й степени из % (Ъ). Положим
В любом случае %' является, как легко видеть, характером под-
подгруппы Н', совпадающим с % на Н.
Теорема 5.58. Если а и Ъ — различные элементы коммутатив-
коммутативной группы G, то существует такой характер % этой группы,
что %(а)ф% (Ь). ,
Доказательство. Пусть с = аЬ~г. Достаточно пока-
показать, что существует характер % группы G, для которого % (с) Ф
Ф 1. Пусть #о — циклическая подгруппа группы G, порожден-
порожденная элементом с. Если Но имеет бесконечный порядок, то положим
Хо (с*) = (-1)* (к = 0, ±1, ±2, . . .).
Если Но имеет конечный порядок п, то, обозначая через <а неко-
некоторый корень ге-й степени из единицы, отличный от 1, положим
Хо (с*) = со" (к = 0, 1 п - 1).
В любом случае Х6 является характером группы Но, причем
^0 (с) Ф I. Утверждение теоремы теперь непосредственно вытекает
из теоремы 5.57.
Следующая теорема, принадлежащая Хьюитту и Цукерману
A956, § 5], отвечает на поставленный выше вопрос о том, когда
характеры коммутативной полугруппы отделяют элементы этой
полугруппы. Напомним, что полугруппа S называется сепара-
сепаративной, если из а2 = Ь2 = аЪ (а, Ъ ? S) следует а — Ъ.
Теорема 5.59. Характеры коммутативной полугруппы S
€ единицей отделяют элементы из S тогда и только тогда, когда
S сепаративна.
Доказательство. Предположим сначала, что харак-
характеры полугруппы S отделяют элементы этой полугруппы. Пусть а
и Ъ — такие элементы полугруппы, что а2 — Ъ2 = аЪ. Тогда
а (аJ = X (ЬJ = X («) X (Ь) и, следовательно, %(а) = % (Ь) для
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 257
любого характера %. Отсюда а = Ъ, так как в противном случае
должен был. бы существовать такой характер % полугруппы S,
что % (а) ф % (Ь). Следовательно, полугруппа S сепаративна.
Предположим теперь, что S — сепаративная полугруппа.
По теореме 4.18 S является объединением полуструктуры Y архи-
архимедовых полугрупп с сокращениями Sa (a ? У) и S может быть
вложена в полугруппу Т, которая является объединением такой
же полуструктуры Y групп Ga, где Ga (для каждого а из Y)
является группой частных полугруппы Sa.
Пусть а и Ъ — различные элементы из S. Тогда существуют
такие а и Р из У, что а?5аиЬ?5р. Предположим сначала, что
а Ф р. В этом случае либо а <? р, либо Р «? а; пусть, например,
Р ^ а. Пусть %' — произвольный характер группы G$. Из тео-
теоремы 5.56(В) следует, что условие A) определяет характер %
полугруппы Т. Из аер ? Gap Ф G§ следует % (а) = 0. Так как
Ъ 6 Gp, мы имеем % (Ь) ф 0. Ограничение характера % на S являет-
является, очевидно, характером полугруппы S, отделяющим элемен-
элементы а и Ъ.
Предположим теперь, что a = р. Тогда а и Ъ являются раз-
различными элементами коммутативной группы Gp. По теореме 5.58
существует характер %' этой группы, отделяющий элементы а и Ь.
Задавая отображение % условием A), мы снова получаем характер,
ограничение которого на S является характером полугруппы S,
отделяющим а и Ь. Это завершает доказательство теоремы 5.59.
В § 4.3 мы следующим образом ввели конгруэнцию о на любой
коммутативной полугруппе S: aab, если существует такое целое
положительное число п, что abn = bn+1 и Ъап = ап+1. По тео-
теореме 4.14 S' = S/a есть максимальный сепаративный гомоморф-
гомоморфный образ полугруппы S. Обозначим через 0 естественный гомо-
гомоморфизм полугруппы S на S'. Если % — произвольный характер
полугруппы S', то отображение %е> задаваемое соотношением
Хе (а) = X И) (Для всех а 6 S), B)
является, очевидно, характером полугруппы S.
Следствие 5.60. Если а и Ъ — элементы полугруппы S, то
aab тогда и только тогда, когда 1|з (а) = Ир (Ь) для любого харак-
характера -ф полугруппы S. Отображение % ->- Хе> где Хе задается равен-
равенством B), есть изоморфизм полугруппы характеров S'* на полу-
полугруппу характеров S*.
Доказательство. Пусть а, Ъ ? S и if> ? S*. Если aab,
то существует такое целое положительное число п, что
•ф (a) i]5 (Ь)п = ф (b)n+1 и ф (Ь) ф (а)п = ф (а)п+\
Следовательно, г|з (а) = •ф (Ь). Обратно, если (а, Ь) $ (Т, то ав ф
Ф Ьв и по теореме 5.59 существует % ? 5'*, для которого х (off) =*=
17-1159
258 Гл. 5. Представление матрицами над полем
Ф % (Ь0). Следовательно, -ф = Хе есть характер полугруппы S,
причем т|з (а) Ф г|з (Ь).
Отображение % -*- Хе является, очевидно, изоморфизмом S'*
в S*. Покажем, что оно отображает S'* на ?*. Возьмем 1|з ? 5*.
Мы можем задать х соотношением % (а0) = ijj (а); действительно,
если аб = Ь6 (а, Ъ ? ?). то aab, откуда i|) (а) = ^ (Ь), как показано
выше. Очевидно, X € &'* и ty = %в.
Следующая теорема принадлежит Хьюитту и Цукерману
[1956, § 5].
Теорема 5.61. Пусть S — сепаративная коммутативная полу-
полугруппа с единицей. По теореме 4.18 S есть объединение полуструк-
полуструктуры Y архимедовых полугрупп с сокращениями Sa (a f У). Пусть
Т — объединение полуструктуры Y соответствующих групп част-
частных Ga (а ? Y). Тогда каждый характер % полугруппы S может
быть получен как ограничение на S единичного характера %*
полугруппы Т. Отображение х -> X* есть изоморфизм полугруппы
характеров S* на полугруппу характеров Т*.
Доказательство. Пусть % — характер полугруппы S
и о, Ь — элементы этой полугруппы, принадлежащие одной и той
же ее архимедовой компоненте Sa. Тогда или % (а) — % (Ь) = О,
или одновременно % (а) Ф 0 и % (Ь) Ф 0. Действительно, по опре-
определению архимедовости (§ 4.3) каждый из элементов а и Ъ делит
степень другого, например, ах = Ъш и by = ап (ж, у 6 S; m, n —
целые положительные числа). Следовательно, % (а) % (х) = х (Ь)т
и X (Ь) X (У) — t (а)п- Отсюда ясно, что %(а) = 0 тогда и только
тогда, когда % (Ь) — 0.
Каждый элемент из Т принадлежит некоторой группе Ga
и поэтому представим в виде аЪ~%, где а, Ъ ? Sa. Положим
X («)/Х Ф), если х (а) Ф 0 их (Ь) Ф 0,
0, если х(«)
Проверим, что х* есть однозначное отображение. Возьмем эле-
элементы а, Ь, с, due Sa, для которых аЪ~1 — cd~x. Комплексные чис-
числа % (а), х (Ь), X (с)> X (*0 либо все равны нулю, либо все не равны
нулю. В первом случае
X* (о*-1) = 0 = х* (аЪ-1).
Во втором случае, так как ad = be, мы имеем % (а) % (d) =
~ X (Ь) % (с) и, следовательно,
%* (cd-*) = х (с)/х (d) = X (fl)/X W = X* («б).
Мы показали, что х* является характером полугруппы Т.
Если s ш t — элементы из Т, то s = ab для некоторых элементов
a, b a Sa ж t = cd'1 для некоторых с, d 6 -Sp (а, 6 6 Y)- По опреде-
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 259
лению произведения в Т (ab) (cd~x) = (ас) (bd)'1 и поэтому
%(ac)/%(bd), если %(ас)фО и
v* (st\ *— *
I 0, если
Число х (ас) отлично от нуля тогда и только тогда, когда % (а)
и х (с) не равны нулю, а это имеет место тогда и только тогда, ког-
когда х (Ь) и х (d) не равны нулю. В этом случае
X* (st) = х (а) X (сУх (&) X (<^) ==
= X* И) х* (cd-1) = X* («) X* (О-
Если же х (а) = О или х (с) = 0, то
X* (st) = 0 = х* (вЬ~*) X* М) — X* (s) X* (*)¦
Покажем, что ограничение характера х* на S совпадает а\%.
Возьмем a g S. Для некоторого а 6 Y имеем а 6 <?а. Поскольку
а = а^, то
), если %(а)Фи,
х w = | Oj если х^=0
В любом случае %* (а) = %(а).
Проверим, что х* является единственным характером полу-
полугруппы Т, совпадающим с % на S. Предположим, что т|з* — другой
такой характер. Возьмем t ? Т. Тогда t = ab~*, где а, Ъ ? ?а.
Если х (а) Ф 0 и х (Ь) ф 0, то, поскольку ijj* индуцирует в Ga
обычный групповой характер, имеем
•ф* (ab'1) — ф* (a)/i|3* (Ь) = х (аУ% (Ь) = X* (а^).
Если %(а) = % (Ь) = 0, то ф* (а) = 0. Отсюда следует, что харак-
характер 1|з* должен переводить в нуль любую группу Ga. Следовательно,
¦ф* (аЬ~г) = 0 = х* (ab).
Таким образом, 1|з* = X*-
Теперь очевидно, что отображение % -*- х* есть изоморфизм
полугруппы 5* на полугруппу Т*.
Завершив доказательство теоремы 5.61, вернемся к вопросу
о строении полугруппы характеров S* произвольной коммута-
коммутативной полугруппы S с единицей.
Пусть S' = Sla есть максимальный сепаративный гомоморф-
гомоморфный образ полугруппы S и Т есть объединение полуструктуры У
групп Ga (a 6 У), в которое в силу теоремы 4.18 вложимо S'.
Согласно следствию 5.60 полугруппы S* и S'* изоморфны, а
по теореме 5.61, если в ней заменить S на S', в свою очередь S'*
и Г* изоморфны. Следовательно, S* ^ Г*. Более того, очевиден
и метод нахождения характеров полугруппы S по характерам
полугруппы Т. Отправляясь от характера %* полугруппы Т, берем
17*
260 Гл. 5. Представление матрицами над полем
сначала его ограничение на S', а затем строим характер % полу-
полугруппы S, заданный формулой B), предшествующей следст-
следствию 5.60. Таким образом, проблема сведена к описанию полу-
полугруппы Т*, чем мы сейчас и займемся. Мы в состоянии сделать это
в настоящее время лишь в предположении, что Y удовлетворяет
условию минимальности (которое эквивалентно условию Мj для Т).
Нам понадобится понятие сопряженного гомоморфизма, ана-
аналогичное понятию сопряженного линейного преобразования.
Пусть G и Н — коммутативные группы, a G* и Н* — соответст-
соответствующие им группы характеров. Если ф — гомоморфизм группы
G в Н, то для каждого характера % ? Н* зададим отображение
Хф* группы G в поле комплексных чисел формулой
(ХФ*) («) = X (Щ) (а 6 G). C)
Легко проверить, что ХФ* € G* и % -+ ХФ* есть гомоморфизм ф*
группы Н* в G*. Мы называем гомоморфизм ф* сопряженным
гомоморфизму ф группы G в Н.
Лемма 5.62. Пусть G и Н — коммутативные группы, a G*
и Н* — соответствующие им группы характеров. Если ф —
гомоморфизм группы G в Н и ф* — сопряженный к нему гомомор-
гомоморфизм, то группа Н*ц>* изоморфна группе характеров группы Сф.
Доказательство. Пусть W — подгруппа из G*, состоя-
состоящая из всех характеров о|э группы G, для которых из ац> = Ьц>
следует о|з (а) = "ф (Ь), т. е. таких, что а|э (с) — 1 для всякого эле-
элемента с, принадлежащего ядру гомоморфизма ф. Каждый эле-
элемент i]5 ? W определяет характер %0 группы Gkp по правилу
Хо (аф) = 'Ф (а) (для всех а ? G). D)
Обратно, на D) можно смотреть как на условие, определяющее
элемент -ф ^ 4е; при этом отображение -ф —>- 5Со является, очевидно,
изоморфизмом группы W на группу характеров группы С?ф. Оста-
Осталось показать, что Ч1" = Н*<р*.
Пусть i|5 6 #*Ф* и аф = Ьф, тогда г|з = хф* для некоторого
ЭС 6 Н* и поэтому
¦ф («) = (ХФ*) (а) = X («ф) = X (Ьф) - (ХФ*) F) =¦* (&)•
Обратно, пусть rj) ? Ч* и 5Со определяется равенством D). По тео-
теореме 5.57 характер Хо может быть продолжен до характера ХГРУП-
пы Н. Если a ?G, то
(ХФ*) («) = X (вф) = Хо (вф) = ^ (в),
следовательно, 'ф = ХФ* € Н*у*.
Пусть Г — коммутативная полугруппа, являющаяся объеди-
объединением полуструктуры Y групп Ga (a g Y). В силу теоремы 4.И
строение полугруппы Т определяется системой отображений
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 261
Ф«,р (а>Р в У), где каждое фа,р есть гомоморфизм группы
Ga в Gp. Эти гомоморфизмы задаются следующим образом:
а«Фа,р = «а^р для каждого аа ? Ga, E)
где ер — единица группы (тр. Они удовлетворяют условию совме-
совместимости
Фа.рфр, v = Фа, v (гДе а > Р > у в Л. F)
и Фа, а является тождественным автоморфизмом группы Ga.
Тогда произведение двух произвольных элементов аа и Ьр из
Т (аа 6 Ga, fep g Gp) определяется формулой
), G)
где y = «Р и умножение в правой части формулы выполняется
в группе Gv.
Следующая теорема полностью описывает полугруппу Т*
в предположении, что У удовлетворяет условию минимальности.
Эта теорема для конечного Т была получена Шварцем [1954а],
а в общем виде — Уорном и Вильямсом [1961], но без выделения
системы гомоморфизмов 9р,а. Шварц по существу показал, что
для конечного Т имеет место G|Gpa ^ вафа,р (см. следствие 5.64).
Теорема 5.63. Пусть Т — коммутативная полугруппа с еди-
единицей, являющаяся объединением полуструктуры Y групп Ga
(a ? У), причем У удовлетворяет условию минимальности. Пусть
Ф«,р (о ^ Р) — гомоморфизм группы Ga в группу Gp, определяе-
определяемый равенством E). Тогда Y есть структура. Если У* есть полу-
полуструктура, двойственная У, и Т* — полугруппа характеров
полугруппы Т, mo T* является полугруппой, изоморфной объеди-
объединению полуструктуры У* групп характеров Ga и определяемой
системой гомоморфизмов 9р, a = ф*, р, где 9Pi a есть гомоморфизм
группы Gp в Ga (Р ^ а в У*, т. е. а ^ р в У) и ф?, р есть гомомор-
гомоморфизм, сопряженный к фа,р.
Доказательство. Полуструктура, удовлетворяющая
условию минимальности и обладающая наибольшим элементом,
является структурой, так что У есть структура. Обозначим объеди-
объединение двух элементов а, Р 6 У через а V Р-
Пусть х'р — характер группы Gp. Для каждого s ? Т положим
Х'р («ер), если se$ ? Gp,
О в противном случае.
В силу утверждения (В) теоремы 5.56 заданный таким образом
характер хр является главным характером полугруппы Т с вер-
вершиной Gp, причем ограничение Хр н& ^р в точности совпадает
с xp- Так как У по предположению удовлетворяет условию мини-
262 Гл. 5. Представление матрицами над полем
мальности, из утверждений (А) и (С) теоремы 5.56 следует, что
каждый характер полугруппы Т может быть получен таким спо-
способом. Если х'р пробегает группу характеров G% группы Gp, то
Хр пробегает подгруппу #р из Т*, изоморфную <?$. Единица
ер подгруппы Н$ задается условием
Г1, если sep^Gp,
efi (s) — < „
р 10 в противном случае.
Очевидно, что различные группы #р не пересекаются и их
объединение совпадает с Т*.
Пусть У* — полуструктура, двойственная У. Если мы пока-
покажем, что еаер = eaVp, то отсюда будет следовать, что Т* есть
объединение полуструктуры У* групп (хР ф 6 Y*). Для элемента
s ? Т имеем (еаер) (s) = ea (s) ep (s), и этот элемент равен 1 тогда
и только тогда, когда sea 6 Ga и sep g Gp. Но ясно, что sea g Ga
тогда и только тогда, когда s g Gy при любом у ^ а. Таким обра-
образом, (еа8р) (s) = 1 в том и только в том случае, когда v^ a
hy^s P, т. е. у ^ а\/Р-Но eaVP (s) npns?Gv равен 1 тогда и толь-
только тогда, когда у ^ a V E, откуда мы заключаем, что (ea8p) (s) =
= еаур (s). Поскольку s — произвольный элемент, имеем
8аер = eaVP.
Отождествим теперь изоморфные группы На и G%, что избавит
нас от некоторых затруднений в заключительной части доказа-
доказательства теоремы.
Система гомоморфизмов 9р,а, которая определяет строение
полугруппы Т*, задается, аналогично E), условием
Хр9р, а = ХрБа для каждого Хр 6 G%.
Гомоморфизм ф*, р, сопряженный к ф„, р (a ^ P), задается
равонством C), которое принимает вид
(Хрф5, р) (О = Хр (««Фа, р) (для всех аа 6 Ga). (8)
Осталось лишь показать, что 9Р, a = фа, р. Для каждого элемен-
элемента oa ? Ga имеем
р, а) (аа) = (Хреа) («а) = Хр ifla) е« (««) =
= ХР Ы • 1 = ХР («а) ХР (ер) =
= ХР (аа^э) = ХР (Лафа, Э>-
Сравнивая это с (8), мы заключаем, что Хр^р, a = Хрфа, р- Это
выполняется для каждого Хр из ^В> откуда 0р, a = ц>*, р.
Как было отмечено выше, следующее утверждение принадле-
нсит Шварцу [1954а].
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 263
Следствие 5.64. При обозначениях и предположениях теоре-
теоремы 5.63, если аир — такие элементы из Y, что а ^ р, то груп-
группа GjjBp, a (= Щва) изоморфна группе характеров группы
? Р (= Gae$). Если полугруппа Т конечна, то G$za ?*
Доказательство. Первое утверждение непосредствен-
непосредственно вытекает из леммы 5.62 и теоремы 5.63. В силу определения
гомоморфизмов фа> р и 0р, a имеем Сафа, р = Gae$ и <т|0р, а =
= Gpea. Тогда второе утверждение следует из хорошо известной
теоремы о том, что конечная абелева группа изоморфна своей
группе характеров.
Мы закончим этот параграф теоремой о продолжении харак-
характера подполугруппы на всю полугруппу. Она была доказана для
инверсных коммутативных полугрупп Уорном и Вильямсом [1961],
использовавшими следующую более общую теорему, принадлежа-
принадлежащую Россу [1959]. Полухарактер х подполугруппы S коммутатив-
коммутативной полугруппы Т может быть продолжен до полухарактера полу-
полугруппы Т тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следую-
следующему условию: если а и Ъ — такие элементы из S, что а делит Ъ
относительно Т, то \ % (а) | ^ | % (Ь) |. (Необходимость очевид-
очевидна: действительно, at = Ъ, где t ? Т, и | % (?) | ^ 1.) Как и все
результаты этого параграфа, теорема 5.65 справедлива незави-
независимо от того, выполняется или нет условие унимодулярности
(С 2). Из недавних работ, относящихся к этому вопросу, см.
статьи Комфорта [1960] и Росса [1961].
Теорема 5.65. Пусть Т — такая коммутативная полугруппа
с единицей, что ее максимальный полуструктурный гомоморфный
образ удовлетворяет условию минимальности, и пусть S — про-
произвольная подполугруппа из Т, такая, что для каждой архимедо-
архимедовой компоненты Та полугруппы Т пересечение S П Та либо пусто,
либо является архимедовой полугруппой. Тогда каждый характер
подполугруппы S может быть продолжен до характера полугруп-
полугруппы Т *).
Доказательство. Предположим сначала, что Т
является объединением полуструктуры У групп Ga. Если % —
характер подполугруппы- S, то он может быть продолжен на S {] 1,
если положить % A) =1. Поэтому можно предполагать, что
16 5.
Пусть Sa — S П Ga и У — множество всех таких a ?Y, что
Sa непусто. Очевидно, что У — подполуструктура из Y. Для каж-
каждого a ^ У обозначим через G'a подгруппу группы Ga, порожден-
х) Здесь приводится исправленная по сравнению с оригиналом форму-
формулировка теоремы, в которой учтен результат Фулла [1967].— Прим. ред.
264 Гл. 5. Представление матрицами над полем
ную Sa. Пусть S' — объединение всех групп G'a. Согласно усло-
условию, подполугруппы Sa (a ? Y') являются архимедовыми ком-
компонентами полугруппы S, так что по теореме 5.61 характер х
может быть единственным образом продолжен на S'.
Поскольку условие минимальности справедливо для У, оно
справедливо и для У. По теореме 5.56 характер % является глав-
главным и определяется через характер %' его вершины Gjj следую-
следующим образом:
. . ( Х'
у (Л _ )
\
(и?и). если s
0 в остальных случаях.
Здесь р ? У и s ? 6". В силу теоремы 5.57 %' может быть продол-
продолжен до характера ip' группы Gp. Но тогда снова по теореме 5.56
отображение ty, заданное условием
ib (s) = < „
. I О в остальных случаях,
является характером полугруппы Т, совпадающим с % на 5'
и, следовательно, ьа S. Действительно, ер ? Gg s S', и поэтому,
если s ? 6", то sep ? Gp тогда и только тогда, когда sep ? Gjj.
Предположим, далее, что полугруппа Т сепаративна. По тео-
теореме 4.18 Т является объединением полуструктуры У полугрупп
с сокращениями Та (а 6 Y) и может быть вложена в полугруппу Т',
являющуюся объединением той же самой полуструктуры У групп
частных Ga для полугрупп Та. Но тогда S также является подпо-
подполугруппой из Т и в силу предыдущего характер % может быть
продолжен до характера г|)' полугруппы Т'. Ограничение г|) харак-
характера ij/ на Т является, очевидно, продолжением характера %
на Г.
Наконец, будем предполагать лишь, что Т является коммута-
коммутативной полугруппой с единицей. Пусть а — конгруэнция на Т,
определяемая, как в § 4.3: ааЪ, если аЪп — bn+1 и Ъап — ап+1 для
некоторого п. Тогда Т' = Т/а есть максимальный сепаративный
гомоморфный образ полугруппы Г и в силу следствия 5.60 соот-
соотношение
гре (а) = 'Ф (а&) (Для всех а 6 Т)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между харак-
характерами г)з полугруппы Т' и характерами г|>9 полугруппы Т, где 0 —
естественный гомоморфизм Г на Т' ¦
Но из определения конгруэнции а следует, что ее пересечение
с S х S есть конгруэнция на S, факторполугруппа S' по кото-
которой является максимальным сепаративным гомоморфным образом
полугруппы S, так что <S" можно считать подполугруппой из Т'.
Ограничение 6' гомоморфизма 0 на S является тогда естественным
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 265
гомоморфизмом S на <S", и формула
Хе- (а) = X И') (для всех a?S)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между харак-
характерами % полугруппы S' и характерами %в' полугруппы S.
Пусть теперь %в> — заданный характер полугруппы S. Соглас-
Согласно уже доказанному, соответствующий характер % полугруппы
$' может быть продолжен до характера г)з полугруппы Т'. Оче-
Очевидно, что характер г|)е полугруппы Т является тогда продолже-
продолжением характера ty^.
Упражнения к § 5.5
1. Пусть S — мультипликативная полугруппа целых положи-
положительных чисел и Q — подмножество множества П всех простых
чисел. Если Pq — множество всех целых положительных чисел,
делящихся хотя бы на одно число из Q, то Pq есть вполне изоли-
изолированный идеал полугруппы S и каждый вполне изолированный
идеал из S есть Pq для некоторого Qsll. Имеем Рсц U Pq2 =
= Poi\ja2, но Pat П Pq2 не является, вообще говоря, вполне
изолированным идеалом. Тем не менее множество Y* вполне
изолированных идеалов полугруппы S является структурой
по включению, в которой пересечением Ра4 и Pq2 является
Ра1Па2. Таким образом, структура Y* изоморфна структуре
всех подмножеств счетного множества П. Максимальная под-
подгруппа Нра полугруппы характеров S* полугруппы S изоморф-
изоморфна (полному) прямому произведению |П\Й | экземпляров мульти-
мультипликативной группы отличных от нуля комплексных чисел [или
комплексных чисел с модулем, равным 1, если мы потребуем
выполнения условия (С 2)].
2. Пусть S — такая конечная коммутативная полугруппа, что
если а ¦ф Ь, то существует характер % полугруппы S, нигде на ней
не обращающийся в нуль, для которого % (а) Ф % (Ь). Тогда S
есть группа. (Хьюитт и Цукерман 11955], § 3.1.6.) {\\
3. Ненулевые характеры конечной коммутативной полугруп-
полугруппы S образуют линейно независимое множество функций на S.
(Хьюитт и Цукерман [1955], § 3.3.1.)
4. Если Hs — объединение максимальных подгрупп конечной
коммутативной полугруппы S, то число ненулевых характеров
полугруппы S равно | Hs I- (Хьюитт и Цукерман [1955], § 3.6.2.)
5. ПуСть S — такая коммутативная полугруппа, что некото-
некоторая степень каждого ее элемента лежит в подгруппе из S. Как
и в упражнении 5 к § 4.3, пусть {Sa | а 6 Y} — ее архимедовы
компоненты, На — ядро полугруппы Sa я еа — единица группы
На. Пусть Hs = U{Ha | а 6 Y} есть «групповая часть» полу-
полугруппы S.
266 Гл. 5. Представление матрицами над полем
(a) Если а, Ъ ? S, то % (а) = % (Ь) для каждого характера %
полугруппы S тогда и только тогда, когда (i) а и Ь принадлежат
¦одной и той же архимедовой компоненте Sa и (ii) аеа = Ьеа.
(b) Пусть % — характер полугруппы S и %' — его ограниче-
ограничение на Яs- Тогда для каждого а^У и каждого аа ? Sa имеем
"X (аа) — %' (аа.еа)- Обратно, при заданном характере %' группы
Л8 определенное указанным образом отображение % является
характером полугруппы S. Отображение % -*¦ %' есть изоморфизм
полугруппы характеров S* полугруппы S на полугруппу харак-
tepoB ЯЦ группы Hs.
(Шварц [1954b] для периодической полугруппы S.)
6. В условиях упражнения 5 предположим дополнительно,
что для У выполняется условие минимальности (оно не является
обязательным для пунктов (а) и (g) нщке). Напомним (§4.1), что
идеал А полугруппы S называется изолированным, если из а 6 S
я а? ? А следует, что а ? А.
(a) Характер % отображает Sa в нуль тогда и только тогда,
когда х (еа) — 0- Во всех остальных случаях х (еа) — 1- Харак-
Характер х назовем главным, если существует такое р ? Y, что % (еа) =
— 1 тогда и только тогда, когда а ^= Р; р назовем вершиной харак-
характера х- Тогда справедлива теорема 5.56, если заменить в ней Т
на S и (для каждого а 6 У) Ga на Sa.
(b) Существует взаимно однозначное соответствие между впол-
вполне изолированными идеалами Р полугруппы S и такими элемен-
элементами р из Y, что если Р и р соответствуют друг другу, то Р =
— U {Sa | a 5fe р} и Р — наименьший элемент в Y, для кото-
которого Р Л Sa = 0.
(c) Если Р и р соответствуют друг другу, как в пункте (Ь),
то множество Н% всех характеров полугруппы ? с вершиной р
совпадает с группой Н% всех характеров этой полугруппы, ото-
отображающих в нуль точно Р (теорема 5.55). Тогда полуструк-
полуструктура У является в действительности структурой, и если эту струк-
структуру, рассматриваемую как полуструктура относительно объеди-
объединения, обозначить через У*, то Я„Я| s Я?уВ и S* есть объеди-
объединение полуструктуры У* групп Я? (а 6 У*)-
(d) Каждый идеал в S* изолирован. Если А [А*] — идеал
полугруппы S [S*] и An [А*п*] — множество всех % из S*
[всех а из 51, таких, что х (а) = 0 для всех а ? А (всех %. ? А*),
то л и я* являются взаимно обратными антиизоморфизмами
структуры всех изолированных идеалов полугруппы S и струк-
структуры всех идеалов полугруппы S* друг на друга.
(e) Структура всех вполне изолированных идеалов полугруп-
полугруппы S и структура всех главных идеалов полугруппы S* соответ-
соответствуют друг другу при антиизоморфизмах я и л*.
(f) Если А — произвольный идеал полугруппы S, то полугруп-
полугруппа характеров полугруппы А изоморфна S*\An, если А имеет
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 267
единицу, и изоморфна факторполугруппе S*/An в противном
случае.
(g) Полугруппа, полученная из полугруппы характеров фак-
торполугруппы SIA удалением единицы, изоморфна полугруп-
полугруппе An. (Шварц [1954с], Исеки [1957] для случая, когда S —
периодическая полугруппа с конечным числом идемпотентов.)
7. (а) Если полугруппа S сепаративна, то она изоморфна
подполугруппе полугруппы характеров S** для полугруппы
характеров S* исходной полугруппы.
(Ь) Если S — конечная коммутативная прлугруппа с едини
цей, являющаяся объединением групп, то S** Э? S.
Приложение
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ СТАТЬИ
СУШКЕВИЧА [1928]
Для произвольной конечной полугруппы S рассматриваются
подмножества вида Sa, имеющие наименьшее возможное число
элементов. Этими подмножествами, очевидно, исчерпываются все
минимальные левые идеалы из S, так что мы будем пользоваться
соответствующей современной терминологией. Показано, что
каждый минимальный левый идеал есть левая группа, и (без
использования термина «прямое произведение») установлено, что
левая группа есть прямое произведение группы и полугруппы
левых нулей (соответствующее утверждение для общего случая —
теорема 1.27). Кроме того, все минимальные левые идеалы полу-
полугруппы S изоморфны и каждый из них является объединением
одного и того же числа г изоморфных групп.
Объединение К всех минимальных левых идеалов из S названо
ядром («Kern-gruppe») полугруппы S. Если s — число различных
минимальных левых идеалов, то К есть объединение rs изоморф-
изоморфных групп. Они могут быть расположены в прямоугольную
таблицу:
к
Ri
Rr
Lt L2
#ц #12
rj JJ
¦1 2
... Ls
... #ls
H2S
Hrs
(Это источник нашей «egg-box»-KapTHHbi, описанной в § 2.1.)
Объединение групп Hi%,, . . ., Нт% из Я.-го столбца является мини-
минимальным левым идеалом L% (к = 1, . . ., s). Пусть et%, — едини-
единица группы Нц,. Показано, что группы Hit. можно расположить
так, что каждое etx действует как левая единица на все группы
Нц. из одной строки. После указанной перестановки объединение
Ri групп Нц, . . ., His из i-й строки (i = 1, . . ., г) будет мини-
минимальным правым идеалом. Более того, каждый минимальный
правый идеал полугруппы S совпадает с одним из Лг. Следова-
Следовательно, каждая конечная полугруппа содержит ядро, которое
Приложение 269
является объединением всех ее минимальных левых идеалов, а так-
также объединением всех ее минимальных правых идеалов. Пересече-
Пересечение минимального левого и минимального правого идеалов совпадает
с {максимальной) подгруппой данной полугруппы. Эти результаты
позже были распространены на полугруппы, обладающие мини-
минимальными левыми идеалами и минимальными правыми идеалами
(см. упражнение 13 к § 2.7). Мы теперь знаем, что проще незави-
независимо ввести идеалы Ьг и R%, а группы Нц сразу считать их пере-
пересечениями. Сушкевич показал далее (весьма сложным способом),
что ядро однозначно определяется A) абстрактной группой Н,
которой изоморфна каждая группа Нц,, B) числами г и s
C) (г — 1) (s — 1) произведениями вцвц (i — 2, . . ., г; X =
= 2, . . ., s). При этом группа Н, числа г и s, произведения
eneix могут быть заданы, вообще говоря, произвольным образом,
что было установлено с использованием преобразований конечного
множества. Таким образом, ему удалось определить строение
произвольной конечной простой полугруппы, но еще в не очень
удобном для применения виде (в отличие от описания, данного
более поздней теоремой Риса).
Эти результаты занимают большую часть главы 3 книги Суш-
кевича [1937].
Библиографияl)
Амицур (Amitsur S.)
[1951] Semi-group rings, Riveon Lematematika, 5, 5—9.
Андерсен (Andersen 0.)
[1952] Ein Bericht fiber die Stmktur abstrakter Halbgruppen, Thesis,
Гамбург.
Б а л ь е (В а 11 i e u R.)
[1950] Une relation d'equiyalence dans les groupoi'des et son application
a une class de demi-groupes, III* Congres National des Sciences,
Bruxelles, 2, 46—50.
Брак (В ruck R. H.)
[1958] A Survey of Binary Systems, Ergebnise der Math., Heft 20, Sprin-
Springer, Berlin.
Брандт (Brandt H.)
[1927] T)ber eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Ann.,
96, 360—366.
[1940] T)ber die Axiome des Gruppoids, Viertelischr. Naturforsch. Ges.
Zurich, 85, 95-104.
Б э p, Л е в и (В a e r R., Levi F.)
[1932] Vollstandige irreduzibele Systeme von Gruppenaxiomen (Bei-
trage zur Algebra №18), Sitzber. Heidelberger Akad. Wiss., Abh.,
2, 1-12.
Вагнер В. В.
[1952a] К теории частичных преобразований, ДАН СССР, 84, 653—656.
[1952Ь] Обобщенные группы, ДАН СССР, 84, 1119—1122.
Вандивер (Vandiver H. S.)
[1940] On the imbedding of one semi-group in another, with application
to semi-rings, Amer. J. Math., 62, 72—78.
Вигандт (Wiegandt R.)
[1958a] On complete semi-groups, Ada Sci. Math. Szeged, 19, 93—97.
[1958b] On complete semi-modules, Ada Sd. Math. Szeged, 19, 219—223.
Воробьевы. Н.
[1953a] Ассоциативные системы, всякая подсистема которых имеет еди-
единицу, ДАН СССР, 88, 393—396.
г) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.— Прим.
ред.
Библиография 271
[1953b] 0 симметрических ассоциативных системах, Уч. зап. ЛТП
им. А. И. Герцена, 89, 161—166.
Глускин Л. М.
[1957] Элементарные обобщенные группы, Машем, сб., 41, 23—36.
Грилле, Петрич (GrilletP. A., Petrich M.)
[1968*] Ideal extentions of semigroups, Pacif. J. Math., 26, 493—508.
Гримбл (Grimble Helen B.)
[1950] Prime ideals in semigroups, Thesis, Univ. of Tennessee.
Грин (Green J. A.)
[1951] On the structure of semigroups, Ann. of Math., 54, 163—172.
Грин, Рис (Green J. A., Rees D.)
[1952] On semigroups in which xT = x, Proc. Cambridge Phil. Soc. 48,.
35-40.
Гуд, Хью з (Good R. A., Hughes D. R.)
[1952] Associated groups for a semigroup, Bull. Amer. Math. Soc, 58r
624-625.
Диксон (Dickson L. Б.)
[1905] On semi-groups and the general isomorphism between infinite-
groups, Trans. Amer. Math. Soc, 6, 205—208.
Д о с с (Doss С. G.)
[1955] Certain equivalence relations in transformation semigroups,
Thesis, Univ. of Tennessee.
Дюбрей (Dubreil P.)
[1941] Contribution a la theorie des demi-groupes, Mem. Acad. Sci. Inst.
France, B) 63, № 3, 52.
[1943] Sur les problemes d'immersion et la theorie des modules, C. R. Acad.
Sci., Paris, 216, 625—627.
Иван (Ivan J.)
[1953] On the direct product of semigroups, Mat.-Fyz. 6asopis. Slovensk-
Akad. Vied, 3, 57—66.
[1954] On the decomposition of simple semigroups into a direct product,
Mat.-Fyz. Qasopis. Slovensk. Akad. Vied, 4, 181—202.
И с е к и (I s ё k i K.)
[1956a] Contribution to the theory of semigroups, I, Proc. Japan. Acad,-
32, 174-175.
[1956b] Contribution to the theory of semigroups, HI, Proc. Japan Acao
32, 323—324.
[1956c] Contribution to the theory of semigroups, IV, Proc. Japan Acad.,
32, 430-435.
[1956d] A characterisation of regular semigroup, Proc. Japan Acad., 32,
676-677.
[1957] Contribution to the theory of semigroups, VI, Proc. Japan Acad ,
33, 29-30.
Карман (Carman K. S.)
[1949] Semigroup ideals, Thesis, Univ. of Tennessee.
272 Библиография
Кимура (Kimura N.)
[1954] Maximal subgroups of a semigroup, Kddai Math. Sem. Rep., 1954,
85-88.
[1957] Note on idempotent semigroups, I, Proc. Japan Acad., 33, 642—645.
[1958a] Note on idempotent semigroups, III, Proc. Japan Acad., 34, 113—
114.
[1958b] Note on idempotent semigroups, IV, Proc. Japan Acad., 34, 121 —
123.
[1958c] The structure of idempotent semigroup, I, Pacific J. Math., 8,
257-275.
[1958d] On some existence theorems on multiplicative systems, I, Greatest
quotient, Proc. Japan Acad., 34, 305—309.
Кларк (С 1 a r k E. W.)
[1965*] Remarks on the kernel of a matrix semigroup, Czech. Math. J.,
15, 305—310.
Клейн-Бармен (Klein-Barmen F.)
[1940] tJber eine weitere Verallgemeinerung des Verbandsbegriffes, Math.
Zeits., 46, 472—480.
Клнмеску (Climescu A. G.)
[1946] Sur les quasicycles, Bull. Ecole Polytech. Jassy, 1, 5—14.
Клиффорд (Clifford A. H.)
[1933] A system arising from a weakened set of group postulates, Ann.
of Math., 34, 865—871.
[1941] Semigroups admitting relative inverses, Ann. of Math., 42, 1037—
1049.
[1942] Matrix representations of completely simple semigroups, Amer.
J. Math., 64, 327-342.
[1948] Semigroups containing minimal ideals, Amer. J. Math., 70, 521 —
526.
1949] Semigroups without nilpotent ideals, Amer. J. Math., 71, 834—844.
1950] Extensions of semigroups, Trans. Amer. Math. Soc, 68, 165—173.
1953] A class of d-simple semigroups, Amer. J. Math., 75, 547—556.
1954] Bands of semigroups, Proc. Amer. Math. Soc, 5, 499—504.
I960] Basic representation of completely simple semigroups, Amer. J.
Math., 82, 430-434.
Клиффорд, Миллер (Clifford A. H., Miller D. D.)
[1948] Semigroups having zeroid elements, Amer. J. Math., 70, 117—125.
Комфорт (Comfort W. W.)
[1960] The isolated points in the dual of a commutative semigroup, Proc:
Amer. Math. Soc, 11, 227—233.
Конрад (Conrad P. F.)
[1957] Generalized semigroup rings, /. Indian Math. Soc (N. S.), 21,
73-95.
К о x (Koch R. J.)
[1953] On topological semigroups, Thesis, The Tulane Univ. of Louisiana.
Библиография 273
Круазо (Croisot R.)
[1948а] Une interpretation des relations d'equivalence dans un ensemble,
С R. Acad. Sci. Paris, 226, 616—617.
[1948b] Condition suffisante pour l'egalite des longueure de deux chaines
de mgmes extremites dans une structure. Application aux relations
d'equivalence et aux sous-groupes, C. R. Acad. Sci. Paris, 226,
767—768.
[1953] Demi-groupes inversif et demi-groupes reunions de demi-groupes
simples, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. C), 70 A953), 361—379.
Лайош (Lajоs S.)
[1961] Generalized ideals in semigroups, Ada Sci. Math. Seged,
22, 217-222.
Л есохин М. М.
[1970*] Характеры коммутативных полугрупп, I, Изв. вузов,
Математика, № 8 (99), 67—74.
Л и б е р А. Е.
[1954] К теории обобщенных групп, ДАН СССР, 97, 25—28.
Лови (L о е w у А.)
[1927] Uber abstrakt definierte Transmutationssysteme oder Mischgruppe,
/. Reine Angew. Math., 157, 239—254.
Л я п и н Е. С.
[1953а] Ассоциативные системы всех частичных преобразований, ДАН
СССР, 88, 13-15 (поправка, см. 92 A953), 692).
[1953Ь] Канонический вид элементов одной ассоциативной системы,
заданной определяющими соотношениями, Уч. зап. ЛГПИ
им. А. И. Герцена, 89, 45—54.
[1953с] Увеличительные элементы ассоциативных систем, Уч. зап. ЛГПИ
им. А. И. Герцена, 89, 55—65.
[1954] Полугруппы, во всех представлениях которых операторы имеют
неподвижные точки, 1, Матем. сб., 34, 289—306.
Маклин (McLean D.)
[1954] Idempotent semigroups, Amer. Math. Monthly, 61, 110—113.
Мальцев А. И.
[1939] О включении ассоциативных систем в группы, Матем. сб., 6,
331—336.
[1952] Симметрические группоиды, Матем. сб., 31, 136—151.
М а н н (М u n n W. D.)
[1955а] Semigroups and their algebras, Diss., Cambridge Univ., 1955.
[1955b] On semigroup algebras, Proc. Cambridge Phil. Soc, 51, 1—15.
[1957a] Matrix representations of semigroups, Proc. Cambridge Phil. Soc,
53, 5—12.
[1957b] The characters of the symmetric inverse semigroup, Proc. Cambridge
Phil. Soc, 53, 13—18.
[1960] Irreducible matrix representations of semigroups, Quarterly J.
Math. Oxford, Ser. B) 11, 295-309.
[1961] Pseudo-inverses in semigroups, Proc. Cambridge Phil. Soc, 57,
247—250.
Манн, Пенроуз (Munn W. D., Penrose R.)
[1955] A note on inverse semigroups, Proc. Cambridge Phil. Soc, 51,
396-399.
18-1159 ^
274 Библиография
Миллер, Клиффорд (Miller D. D., Clifford A. H.)
[1956] Regular D-classes in semigroups, Trans. Amer. Math. Soc, 82,
270-280.
M э н н (Mann H. B.)
[1944] On certain systems which are almost groups, Bull. Amer. Math.
Soc, 50, 879—881.
Нумакура (Numakura K.)
[1954] A note on the structure of commutative semigroups, Proc. Japan
Akad., 30, 262—265.
Оганесян В. А.
[1955] О полупростоте системной алгебры, ДАН Арм.ССР, 21, 145—147.
Понизовский И. С.
[1956] О матричных представлениях ассоциативных систем, Матем. сб.,
38, 241-260.
[1958] О матричных неприводимых представлениях конечных полу-
полугрупп, УМН, 13, 139—144.
П о с и (Р о s еу Е. Е.)
[1949] Endomorphisms and translations of semigroups, Thesis, Univ. of
Tennessee.
Прахар (Prachar K.)
[1947] Zur Axiomatik der Gruppen, Akad. Wiss. Wien. S.-B. II a, 155,
97—102.
Престон (Preston G. B.)
[1954a] Inverse semi-groups, /. London. Math. Soc, 29, 396—403.
[1954b] Inverse semi-groups with minimal right ideals, Л bond. Math.
Soc, 29, 404—411.
[1954c] Representations of inverse semigroups, /. bond. Math. Soc, 29,
411-419.
[1957] A note on representations of inverse semigroups, Proc Amer. Math.
Soc, 8, 1144—1147.
[1958] Matrix representations of semigroups, Quarterly J. Math. Oxford,
Ser. B) 9, 169—176.
Пул (Р о о 1 e A. R.)
[1937] Finite ova, Amer. J. Math., 59, 23—32.
P e д е и (R ё d e i L.)
[1952] Die Verallgemeinerung der Schreierschen Erweiterungstheorie,
Acta Sci. Math. Szeged, 14, 252—273.
Рис (R e e s D.)
[1940] On semi-groups, Proc Cambridge Phil. Soc, 36, 387—400.
[1941] Note on semi-groups, Proc. Cambridge Phil. Soc, 37, 434—435.
[1948a] On the ideal structure of a semi-group satisfying a cancellation law,
Quarterly J. Math. Oxford, Ser. 19, 101—108.
[1948b] On the group of a set of partial transformations, /. Lond. Math.
Soc, 22, 281-284.
Рич (Rich R. P.)
[1949] Completely simple ideals of a semigroup, Amer. J. Math. Soc
71, 883—885.
Библиография 275
Росс (Ross К. А.)
[1959] A note on extending semicharacters on semigroups, Proc. Amer.
Math. Soc, 10, 579—583.
[1961] Extending characters on semigroups, Proc. Amer. Math. Soc,
12.
С е п (S i e p J.)
[1956] Zur Theorie der Halbgruppen, Publ. Math. Debrecen, 4, 344—346.
Сколем (Skolem T.)
[1951] Some remarks on semi-groups, Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim,
24, 42—47.
Сто л л (Stoll R. R.)
[1944] Representation of finite simple semigroups, Duke Math. J., 11,
251-265.
[1951] Homomorphisms of a semigroup onto a group, Amer. J. Math.,
73, 475—481.
Стоят (S t о 11 B.)
[1956] Cber eine besondere Halbgruppe, Ark. Mat., 3, 275—286.
СушкевичА. К.
[1928] t)ber die endlichen Gnippen ohne das Gesetz der eindeutigen
Umkehrbarkeit, Math. Ann., 99, 30—50.
[1933] Ober die Matrizendarstellung der verallgemeinerte Gruppen, Зап.
матем. т-ва, Харьков, 6, 27—38.
[1937] Теория обобщенных групп, Харьков—Киев ГНТИ, 1937.
[1940а] Исследования о бесконечных подстановках, Сб. памяти акад. Гра-
Граве, Москва, 245—253,
[1940b] Исследования о бесконечных подстановках, Зап. матем. т-ва,
Харьков, 18, 27—37.
Тамари (Tamari Dov.)
[1948] On a certain classification of rings and semigroups, Bull. Amer,
Math. Soc, 54, 153—158.
Тамура (Tamuta T.)
[1950] Characterization of groupoids and semilattices by ideals in a semi-
semigroup, /• Sci. Gakugei Fae. Tokushima Univ., 1, 37—44.
[1954a] On finite one-idempotent semigroups, I, /. Gakugei Tokushima
Univ. (Nat. Sci.), 4, 11—20.
[1954b] Note on unipotent inversible semigroups, Kodai Math. Sem. Rep.,
1954, 93—95.
[1955a] One-sided bases and translations of a semigroup, Math. Japonica,
3, 137-141.
[1955b] On translations of a semigroup, KQdai Math. Sem. Rep., 7, 67—70.
[1957] Commutative nonpotent archimedean semigroup with cancellation
law, I, /. Gakugei Tokushima Univ., 8, 5—11.
[1958] Notes on translations of a semigroup, Kodai Math. Sem. Rep.,
10, 9-26.
Тамура, Грехам (Tamura Т., Graham N.)
[1964*] Certain embedding problems of semigroups, Proc Japan. Acad.,
40, № 1, 8—13.
18*
276 Библиография
Тамура, Кимура (Tamura Т., Kimura N.)
[1954] On decompositions of a commutative semigroup, Kodai Math.
Sem. Rep., 1954, 109-112.
[1955] Existence of greatest decomposition of a semigroup, Ksdai Math.
Sem. Rep., 7, 83—84.
Тамура, Меркель.Латимер (Tamura Т., Merkel R. В.,
Latimer J. F.)
[1963*] The direct product of right singular semigroups and certain grou-
poids, Proc. Amer. Math. Soc, 14, .№ 1, 118—123.
Тесье (Teissier Marianne)
[1952a] Sur l'algebre d'un demi-groupe fini simple, С R. Acad. Sci., Paris,
234, 2413-2414.
[1952b] Sur l'algebre d'un demi-groupe fini simple, II. Cas general, С R.
Acad. Sci. Paris, 234, 2511—2513.
Ту л л и (Tully E. J.)
[1960] Representation of a semigroup by transformations of a set, Thesis,
The Tulane Univ. of Louisiana.
Тьеррен (Thierrin G.)
[1951] Sur une condition necessaire et sufficante pour qu'un semi-groupe
soit un groupe, C. R. Acad. Sci., Paris, 232, 376—378.
[1952a] Sur les elements inversifs et les elements unitaires d'un demi-groupe
inversif, C. R. Acad. Sci., Paris, 234, 33—34.
[1952b] Sur une classe de demi-groupes inversifs, C. R. Acad. Sci. Paris,
234, 177-179.
[1954a] Sur quelques classes de demi-groupes possedant certaines proprietes
des semigroupes, C. R. Acad. Sci., Paris, 238, 1765—1767.
[1954b] Sur quelques proprietes de certaines classes de demigroupes, C. R.
Acad. Sci., Paris, 239, 1335—1337.
11955a] Demi-groupes inverses et rectangulaires, Acad. Roy; Belg. Bull.
Cl. Sci. E), 41, 83-92.
A955b] Sur une propriety caracteristique des demi-groupes inverses et
rectangulaires, С R. Acad. Sci., Paris, 241, 1192—1194.
11955c] Contribution a la theorie des equivalences dans les demi-groupes,
Bull. Soc. Math. France, 83, 103—159.
C1956] Sur quelques decompositions des groupoides, C. R. Acad. Sci.
Pans, 242, 596-598.
Уоллес (Wallace A. D.)
[1953] A note on mobs, II, Anais Acad. Brasil CL, 25, 335—336.
[1955] The structure of topological semigroups, Bull. Amer. Math. Soc,
61, 95—112.
[1957] Retractions in semigroups, Pacific J. Math., 7, 1513—1517.
У орн, Вильяме (W a r n e R. J., W i 11 i a m s L. K.)
[1961] Characters on inverse semi-groups, Czec. Math. J., 11,150—155.
Фулп (Fulp R. 0.)
[1967*] On extending semigroup characters, Proc. Edinburgh Math. Soc,
15, 199—202.
Хенкок (Hancock V. R.)
[1960a] On complete semimodules, Proc. Amer. Math. Soc, 11, 71—76.
[1960b] Commutative Schreier extensions of semigroups, Thesis, The
Tulane University of Louisiana.
Библиография 277
Хашимото (Hashimoto H.)
[1954] On a generalization of groups, Proc. Japan. Acad., 30, 548—549
Хьюитт, Цукерман (Hewitt E., Zuckerman H. S.)
[1955] Finite dimensional convolution algebras, Ada Math., 93, 67—119.
[1956] The Zj-algebra of a commutative semigroup, Trans. Amer. Math.
Soc, 83, 70—97.
[1957] The irreducible representations of a semigroup related to the sym-
symmetric group, III. J. Math., 1, 188—213.
Ш а й н Б. М.
[1965*] К теории обобщенных групп и обобщенных груд, в сб. «Теория
полугрупп и ее приложения», вып. 1, Саратов, 286—324.
Шварц (Schwarz S.)
[1943] Zur Theorie der Halbgruppen, Sbornik prac Prirodovedekej Fakulty
Slov. Univ. v Bratislave, № 6.
[1951] On the structure of simple semigroups without zero, Czechoslovak
Math. J., 1, 41—53.
[1953a] К теории периодических полугрупп, Czechoslovak Math. J., 3,
7—21.
[1953b] О максимальных идеалах в теории полугрупп, I, Czechoslovak
Math. J., 3, 139—153.
[1953с] О максимальных идеалах в теории полугрупп, II, Czechoslovak
Math. J., 3, 365—383.
[1954а] Теория характеров коммутативных полугрупп, Czechoslovak Math.
J., 4, 219-247.
[1954b] Характеры коммутативных полугрупп Ткак функции классов,
Czechoslovak Math. J., 4, 291—295. (tn
[1954c] О некоторой связи Галуа в теории характеров полугрупп, Czecho-
Czechoslovak Math. J., 4, 296—313.
[1956] Semigroups satisfying some weakened forms of the cancellation law,
Mat.-Fyz. Casopis Slovensk. Akad. Vied, 6, 149—158.
HI e в р и н Л. Н.
[1966*] Вполне простые полугруппы без нуля и идеализаторы подполу-
подполугрупп, Изв. вузов, Математика, № 6 C5), 157—160.
Штейнфельд (Steinfeld О.)
[1956] Uber die Quasiideale von Halbgruppen, РиЫ. Math. Debrecen, 4,
262—275.
[1957] tiber die Quasiideale von Halbgruppen mit eigentlichen Suschke-
Witsch-Kern, Ada Set. Math. Szeged, 18, 235—242.
Шютценберже (Schutzenberger M. P.)
[1947] Sur certains treillis gauches, С R. Acad. Sci., Paris, 224, 776—778.
[1956a] Sur une representation des demi-groupes. C. R. Acad. Sci. Paris,
242, 2907—2908.
[1956b] Sur deux representations des demi-groupes finis, C. R. Acad. Sci.,
Paris, 243, 1385-1387.
[1957a] 2) representation des demi-groupes, С R. Acad. Sci., Paris, 244,
1994—1996.
A957b) Applications des 3) representations a l'etude des homomorphismes
des demigroupes, С R- Acad. Sci., Paris, 244, 2219—2221.
278 Библиография
[1958] Sur la representation monomiale des demi-groupes, C. R. Acad.
Sci., Paris, 246, 865—867.
Я м а д a (Yamada M.)
[1955a] A note on middle unitary semigroups, Kodai Math. Sem. Rep.,
7, 49-52.
[1955b] On the greatest semilattice decomposition of a semigroup, Kodai
Math. Sem. Rep., 7, 59—62.
Ямада, Кимура (Yamada M., Kimura N.)
[1958] Note on idempotent semigroups, II, Proc. Japan Acad., 34, 110—
112.
Указатель обозначений
Знак о используется для обозначения умножения отношений.
Он будет обычно опускаться в случае умножения отображений.
(§ 1-4).
Если А — подмножество полугруппы S, то {А) обозначает
подполугруппу из S, порожденную подмножеством А. ¦
S1 [S0] обозначает полугруппу S\Jl [S\jO], полученную
из полугруппы S присоединением единицы 1 [нуля 0], если S
не имеет единицы [нуля], и совпадающую с S в противном слу-
случае. (§ 1.1)
Ро [^<J обозначает внутренний правый [левый] сдвиг х -> ха
[х —*- ах] полугруппы S, где а — фиксированный элемент из S.
(§ 1.3)
Пусть р — конгруэнция на полугруппе S. Тогда S/p обозна-
обозначает факторполугруппу S по mod р и р^ — естественное отобра-
отображение полугруппы S на 5Ур. SIJ обозначает факторполугруппу
Риса S по идеалу /. (§ 1.5)
Пусть S — полугруппа и а ? S.
L (а) обозначает главный левый идеал 5ха.
R (а) обозначает главный правый идеал aS1.
J (а) обозначает главный двусторонний идеал S^S1.
X обозначает {(а, Ъ) б S x S \ L (а) = L (Ъ)}.
Л обозначает {(а, Ъ) 6 S x S | R (а) = R (&)}.
f обозначает {(а, Ь) ? S x S | / (а) = / (&)}.
SB обозначает % fl M.
3 обозначает X ° М (= М»X).
La, Ra, Ja, Ha, Da обозначает соответственно X, М, f, 38,
«2?-класс, содержащий а. (§ 2.1)
/ (а) обозначает / (a)\Ja.
J (а)// (а) — главный фактор полугруппы S, соответствующий а.
(§ 2.6)
Sх — полугруппа всех преобразований множества X. (§ 1.1)
Зх — группа всех подстановок на множестве X. (§ 1.1)
Jx — симметрическая инверсная полугруппа на множестве X.
(§ 1-9)
9&х — полугруппа всех бинарных отношений на множестве X.
(§ 1-4)
280 Указатель обозначений
— свободная полугруппа на X. (§ 1.12)
— свободная группа на X. (§ 1.12)
— бициклическая полугруппа. (§ 1.12)
оМ° (G; I, А; Р) — рисовская полугруппа / х Л-матриц с сэнд-
сэндвич-матрицей Р над группой с нулем G0. (§3.1)
<Л (<?; /, Л, Р) — рисовская полутруппа I X Л-матриц с сэндвич-
матрицей Р над группой G. (§ 3.1)
XS (V) — алгебра всех линейных преобразований векторного
пространства V. (§ 2.2, 5.1)
(Щп — алгебра всех п х n-матриц над алгеброй 21. (§ 5.1)
Ф [S] — полугрупповая алгебра полугруппы S над полем Ф.
(§ 5.1)
Г™ — представление алгебры (U)n, соответствующее представле-
представлению Г алгебры 21. (§ 5.1)
Предметный указатель
Автоморфизм 25
Алгебра полупростая 198
— полугрупповая 209
сжатая 211
— простая 198
-г- с делением 200
Антиавтоморфизм 25
— инволютивный 25
Антигомоморфизм 25
Антиизоморфизм 25
Антипредставление 25
Антиэндоморфизм 25
Архимедовы компоненты коммута-
коммутативной полугруппы 175
Базисная факторизация матрицы 236
Базисное продолжение представле-
представления 231
Базисный класс полугрупп 56
Биидеал 119
Вершина представления 224
— главного характера 254
Ветвление полугруппы 188
Главное продолжение представления
225
Главные факторы полугруппы 105
Главный ряд 106
Гомогруппа 102
Гомоморфизм 25
— естественный или канонический
35
— частичный 129
Гомоморфный образ 25
Группа 19
— левых частных полугруппы 59
— свободная 68
— симметрическая 16
— смешанная 137
— с нулем 20
— частичная 142
— Шютценберже 94
Групповая часть коммутативной по-
полугруппы 220
Группоид 15
— Брандта 15, 137
— простой 21
слева 21
— с левым сокращением 18
— с сокращениями 18
— частичный 15
Двойственная группа Шютценберже
95
Двойственное представление Шют-
Шютценберже 154
Дефект преобразования 23
Единица (двусторонняя) 18
— левая 18
Единичный характер 252
Зероид 102
— левый 102
Идеал 21
Идеал алгебры 198
— вполне изолированный 64
— главный 21
— — левый 21
— изолированный 164
— левый 21
— минимальный 97
— 0-минимальный 98
Идеальное расширение полугруппы
182
Идемпотент 19
— примитивный 47
Изолированное подмножество 164
Изоморфизм 25
— частичный 129
Инвариантное подпространство 201
Инверсная оболочка полугруппы 54
Индекс элемента 39
Индуцированное отношение 26
— представление 201
282
Предметный указатель
Квазиидеал 119
Композиция отношений 31
— преобразований 16
Конгруэнция 34
— идемпотентная 176
— левая 34
— Риса 36
— сепаративная 177
Координаты элементов полугруппы
относительно матрицы 147
«Egg-Ьохжкартина 74
Лемма Грина 74
— Шура 203
Манновская матричная алгебра 213
Матрица инвертируемая 145
— мономиальная по столбцам 123
— регулярная 125
— Риса 123
Неприводимое представление 202
— пространство 202
Нилыготентный идеал алгебры 198
Нуль 19
— левый 19
Нуль-идеал характера 252
Объединение отношений 33
— полуструктуры полугрупп 46
— связки полугрупп 46
Операторно-изоморфные правые
идеалы 203
Операция ассоциативная 15
— бинарная 15
— — частичная 15
Определяющие матрицы представле-
представления 235
Основная теорема о гомоморфизмах
35
— — — представлениях для полу-
полупростых алгебр 203
Отношение бинарное 31
— равенства 31
— рефлексивное 32
— симметричное 32
— стабильное 34
— — слева 34
— транзитивное 32
— универсальное 32 ¦
— эквивалентности 32
Отношения Грина 72
Отображение естественное или кано-
каноническое 32
Период элемента 39
Подгруппа 20
— максимальная 43
Подгруппоид 17
Подполугруппа 18
Подстановка 16
Полная матричная алгебра 200
— полугруппа преобразований 16
Полугруппа 15
— антикоммутативная 47
— архимедова коммутативная 175
— бипростая 74
— 0-бипростая 110
— бициклическая 68
— Брандта 139
— вполне простая 109
0-простая 109
— ^-инверсивная 135
— Af-инверсивная 136
— инверсная 49
— интра-регулярная 164
— / X /-матричных единиц 118
— левых нулей 19
— нильпотентная 110
— периодическая 40
— полупростая 107
— простая 21
— — слева 21
— 0-простая 98
— — слева 98
— прямоугольная 135
— реверсивная справа 57
— регулярная 164
— — слева 164
— редуктивная слева 26
— свободная 65
— сепаративная 175
— сильно реверсируемая 47
— симметрическая инверсная 51
— слабо редуктивная 29
— с нулевым умножением 19
— унипотентная 41
— характеров полугруппы 252
— циклическая или моногенная 38
— элементарная инверсная 57
Полуструктура 45
— архимедовых коммутативных по-
полугрупп 176
— верхняя 44
— вполне простых полугрупп 170
— групп 172
— нижняя 44
— простых полугрупп 166
— унипотентных полугрупп 47
Полухарактер 252
Порождающее множество 17
Порядок группоида 18
— частичный 44
— — естественный 44
Правая группа 61
Предметный указатель
283
Представление алгебры 200
— — абсолютно неприводимое 203
— — вполне приводимое 203
— главное 224
— группоида 25
— — регулярное 26
— — — расширенное 26
— — точное 25
— полугруппы над полем 196
— точное или правильное 196
— Шютценберже 152.
Преобразование множества 16
Принцип максимального гомоморф-
гомоморфного образа данного типа 37
Присоединение единицы 19
— нуля 19
Продолжение расширения 225
Произведение преобразований 16
Пропорциональность справа столб-
столбцов матрицы 163
Пространство представления 201
— столбцов матрицы 235
Простые компоненты алгебры 198
Прямая сумма представлений 153
Прямое произведение полугрупп 61
Радикал алгебры 198
Разбиение множества 32
Раздувание полугруппы 136
Разложение полугруппы 46
Размерность алгебры 197
Ранг матрацы 236
— — по столбцам 236
— преобразования 23
Рисовская полугруппа матричного
типа с сэндвич-матрицей над груп-
группой с нулем 124
Связанные сдвиги 28
Связка 19
— групп 115, 169, 173
— коммутативная 45
— полугрупп 47, 173
— прямоугольная 46, 115
— свободная 174
Сдвиг внутренний левый 26
— левый 28
Сдвиговая оболочка 28
След ^-класса 128
Собственные делители нуля 99
Средняя единица полугруппы 136
Степень идеала алгебры 198
— представления 196
— элемента 17
Структура 44
— полная 45
Структурная группа рисовской по-
полугруппы 124
Суперпозиция преобразований 16
Сэндвич-матрица 124
Таблица Кэли 18
Теорема Веддербёрна первая 198
вторая 200
— Грина 87
— об индуцированном гомоморфизме
36
— Машке 209
Транзитивное замыкание 'отношения
32
Условие обрыва убывающих цепей
для главных идеалов 223
Условия Круазо (т, п) 167
Факторгруппоид 35
Факторизация продолжающей мат-
матрицы представления 235
Факторполугруппа Риса 36
Факторы главного ряда 106
— идеального ряда 106
Характер полугруппы 251
— — главный 254
Центр полугруппы 18
Число простых компонент алгебры
198
Ширина факторизации 235
Шрейерово расширение полугруп-
полугруппы 182
Эквивалентность представлений 201
Элемент, инверсный к данному 48
— левый увеличительный 71
— нильпотентный 103
— обратимый слева 41
— принадлежащий идемпотенту 219
— регулярный 48
— — слева 168
— собственно нильпотентный 198
— сократимый слева 18
— центральный 18
Эндоморфизм 25
Ядро отображения 34
— полугруппы 98
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 9
Предисловие 11
Глава 1. Элементарные понятия 15
§ 1.1. Основные определения 15
§ 1.2. Тест ассоциативности по Лайту 23
§ 1.3. Сдвиги и регулярные представления 25
§ 1.4. Полугруппа отношений на множестве 31
§ 1.5. Конгруэнции, факторгруппоиды и гомоморфизмы .... 34
§ 1.6. Циклические полугруппы 38
§ 1.7. Обратимые элементы и максимальные подгруппы .... 41
§ 1.8. Связки и полуструктуры; связки полугрупп 44
§ 1.9. Регулярные элементы; инверсные полугруппы 48
§ 1.10. Вложение полугрупп в группы 57
§ 1.11. Правые группы 60
§ 1.12. Свободные полугруппы и определяющие соотношения.
Бициклическая полугруппа 65
Глава 2. Идеалы н связанные с ними понятия 72
§ 2.1. Отношения Грина 72
§ 2.2. ^-строение полной полугруппы преобразований 3~х
на множестве X 77
§ 2.3. Регулярные ^-классы 86
§ 2.4. Группа Шютценберже ^-класса 93
§ 2.5. 0-минимальные идеалы и 0-простые полугруппы 97
§ 2.6. Главные факторы полугруппы 103
§ 2.7. Вполне 0-простые полугруппы 109
Глава 3. Представления матрицами над группой с нулем 121
§ 3.1. Полугруппы матричного типа над группой с нулем .... 122
§ 3.2. Теорема Риса 128
§ 3.3. Группоиды Брандта 137
§ 3.4. Гомоморфизмы регулярных рисовских полугрупп матрич-
матричного типа 142
§ 3.5. Представления Шютценберже 150
§ 3.6. Точное представление регулярной полугруппы 158
Оглавление 285
Глава 4. Разложения н расширения 163
§ 4.1. Теория Круазо разложений полугруппы 163
§ 4.2. Полугруппы, являющиеся объединениями групп 169
§ 4.3. Разложение коммутативной полугруппы на архимедовы
компоненты; сепаративные полугруппы 175
§ 4.4. Расширения полугрупп 182
§ 4.5. Расширения группы при помощи вполне 0-простой полу-
полугруппы; эквивалентность расширений 189
Глава 5. Представления матрицами над полем 196
§ 5.1. Представления полупростых алгебр конечной размерности 197
§ 5.2. Полугрупповые алгебры 208
§ 5.3. Главные неприводимые представления полугруппы . . . 222
§ 5.4. Представление вполне 0-простых полутрупп 231
§ 5.5. Характеры коммутативных полугрупп 251
Приложение. Краткое изложение статьи Сушкевича [1928] . . . . 268
Библиография 270
Указатель обозначений 279
Предметный указатель 281
А Клиффорд, Г. Престон
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ПОЛУГРУПП
Редактор 1Г. i М. Цукерман
Художник Г. Д. Ноняхина
Художественный редактор В. Я. Шаповалов
Технический редактор Л. Я. Бирюкова
Корректор И. П. Максимова
Сдано в набор 6/VIII 1971 г.
Подписано к печати 10/Ш 1972 г.
Бумага кн. журн. 60x90i/ie=9 бум. л.
18 усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 16,88. Изд. N. 1/5492.
Цена 1 р. 90 к. Зак. 1159
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9.