MATHEMATICAL SURVEYS • Number 7
THE ALGEBRAIC THEORY
OF SEMIGROUPS
VOLUME II
by
A. H. CLIFFORD and G. B. PRESTON
1967
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Providence, Rhode Island

А. КЛИФФОРД, Г. ПРЕСТОН
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛУГРУПП
Том 2
Перевод с английского
В. А. БАРАНСКОГО
Под редакцией
Л. Н. ШЕВРИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972

УДК 519.4
Второй том этого капитального труда.помимо
интересных результатов о внутренней структуре
некоторых типов полугрупп содержит изложение
теории представлений полугрупп полными и частич-
частичными преобразованиями. Кроме того, рассмотрена
теория конгруэнции и вложения полугруппы
в группу.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3
14-72

Предисловие к тому 2
В* общих чертах том 2 следует плану, изложенному в предисло-
предисловии к тому 1. Оба тома нужно рассматривать как одну работу,
представляющую собой обзор теории полугрупп. Второй том
в основном посвящен дополнительным разделам теории, которые
в томе 1 были лишь затронуты. Большая часть материала этого
тома взята из различных статей, опубликованных до составления
первоначального плана книги. Тем не менее мы взяли на себя
смелость включить в том 2 и, как нам кажется, наиболее важные
недавние результаты, относящиеся к разделам, которым посвящен
этот том. Однако в настоящем томе не отражены важные исследо-
исследования по теории матричных представлений полугрупп, которые
были проведены после выхода первого тома (см., в частности,
работу Манна [1964b] и ссылки в ней).
Среди наиболее важных результатов последнего времени,
включенных в книгу, можно отметить теорию Шайна представ-
представлений произвольной полугруппы частичными взаимно однознач-
однозначными преобразованиями множества (§ 7.2, 7.3, 11.4), теорию
Редей конечно порожденных коммутативных полугрупп (§ 9.2)
(наше изложение основывается на лекции, прочитанной Редей
в Оксфорде в 1960 г.; к сожалению, нам не удалось получить
книгу Редей [1963] до выхода нашей рукописи в свет), теорию
Хауи свободных произведений полугрупп с амальгамой (§ 9.4)
и теорию Тулли представлений полугрупп преобразованиями
множеств (гл. 11).
В § 10.8 мы приводим принадлежащее А. И. Мальцеву [19521
описание конгруэнции на полной полугруппе преобразований,
в § 12.6 и 12.8 — его результаты [1937, 1939, 1940] о необходимых
и достаточных условиях вложимости полугруппы в группу. В обо-
обоих случаях изложение следует общему плану блестящих статей
Мальцева, но мы считаем, что наше значительно более разверну-
развернутое изложение необходимо для полноты доказательств (которые,
как мы надеемся, не потребуют дальнейшего развертывания).
Материал § 7.4, гл. 9, § 10.7 и 10.8 составил содержание
курса лекций под названием «Конгруэнции на полугруппах»,
прочитанного одним из авторов в летней школе по алгебре, орга-
организованной Национальным научным фондом и проходившей

Предисловие к тому 2
с 24 июня по 16 августа 1963 г. в Пенсильванском государствен-
государственном университете. Эти лекции, записанные Хауи, были изданы
математическим факультетом Пенсильванского государственного
университета. Беседы со слушателями, посещавшими этот курс,
и с доктором Хауи, помогавшим в его подготовке, принесли нам
большую пользу.
Как и в первом томе, в тексте кое-где упомянуты различные
нерешенные вопросы. На два вопроса из первого тома ответы
найдены: вопрос на стр. 30 решен в работе Тамуры и Грэхема
[19641, вопрос на стр. 102 решен (отрицательно) Кларком [1965].
Мы выражаем благодарность проф. Манну, д-ру Хауи и д-ру
Рейли за ценные замечания по первому варианту гл. 7 и 8. В гл. 6
мы внесли некоторые поправки, любезно предложенные про-
профессором Шварцем.
А. X. К.
Г. В. П.

Глава 6
МИНИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ И УСЛОВИЯ
МИНИМАЛЬНОСТИ
;¦ В первых пяти параграфах этой главы рассматриваются
полугруппы, содержащие О-минимальные идеалы. Изучаемые
^полугруппы будут иметь (двусторонний) нуль, .обозначае-
.обозначаемый, как обычно, через 0, и по крайней мере один ненуле-
ненулевой элемент.
В соответствии с соглашениями, принятыми в первом томе, ска-
сказанное означает, что S = S0. Будем использовать это удобное
^сокращение и говорить: «пусть S = S0 — полугруппа», подра-
подразумевая, что \ S | > 1 и S обладает нулем. Так же, как и в первом
томе, результаты для полугрупп с минимальными идеалами,
вытекающие из соответствующих результатов для полугрупп
с О-минимальными идеалами (ср. § 2.5), будут формулироваться
только в исключительных случаях.
В § 6.1 рассматриваются различные способы, посредством
которых полугруппу с нулевым умножением можно вложить
в качестве О-минимального идеала в некоторую полугруппу.
Центральными результатами § 6.2—6.4 являются структурные
теоремы для левых и правых цоколей полугруппы. Первоначаль-
Первоначальные идеи и большинство результатов здесь принадлежат Шварцу
11951], но наша основная структурная теорема (теорема 6.29)
для объединения левых и правых цоколей полугруппы, по-види-
по-видимому, является существенно новой. Имеется глубокая анало-
аналогия между излагаемой теорией и теорией Дьедонне [19421 цоколей
колец.
В § 6.5 получены характеризации различных 0-прямых
объединений 0-простых полугрупп, которые возникают при изу-
изучении цоколей. Первые результаты в указанном направлении
и здесь принадлежат Шварцу [19511. Эти характеризации анало-
аналогичны характеризациям, которые были получены Круазо [1953]
для полугрупп без нуля и были уже приведены нами в пер-
первом томе (см. §4.1).
В последнем параграфе (§ 6.6) рассматриваются различные
условия минимальности, в частности условия ML, MR и Mj,
которые встречались в гл. 5. В упражнениях к § 6.6 рассмотрены
также некоторые радикалы, определяемые для полугрупп. К изу-
изучению радикалов мы вернемся снова в § 11.6.

8 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
§ 6.1. О-минималъные идеалы с нулевым
умножением
Предварительный результат этого параграфа (теорема 6.4)
дает необходимые и достаточные условия того, что полугруппа R
с нулем может быть вложена в качестве невырожденного 0-мини-
мального правого идеала в некоторую полугруппу S. Затем этот
результат применяется к случаю, когда R — полугруппа с нуле-
нулевым умножением (теорема 6.7). Аналогичный результат для дву-
двустороннего случая приведен в теореме 6.9. Эти результаты являют-
являются новыми, и соответствующая теория еще далека от завершения;
см. абзац в конце списка упражнений.
Пусть А — некоторый О-минимальный [левый, правый1 идеал
полугруппы S = S°. Тогда либо А2 = А, либо А2 = 0 (§ 2.5).
Очевидно, если А нильпотентен, то равенство А2 = А не может
иметь места и, следовательно, нильпотентный О-минимальный
[левый, правый] идеал является полугруппой с нулевым умноже-
умножением (§ 1.1).
Этот параграф посвящен главным образом О-минимальным
идеалам, с нулевым умножением. Полугруппы с нулевым умноже-
умножением в очевидном смысле тривиальны. Однако, как мы увидим,
например, в § 6.2—6.4, полугруппы, содержащие О-минимальные
ненильпотентные односторонние идеалы, содержат, вообще говоря,
и идеалы с нулевым умножением. Здесь же мы исследуем, каким
образом О-минимальные идеалы с нулевым умножением полугруп-
полугруппы S могут быть вложены в S.
Мы рассмотрим сначала односторонние идеалы и полученные
результаты применим к ненильпотентным идеалам. Следующая
лемма обобщает лемму 2.31, охватывая теперь и случай идеалов
с нулевым умножением.
Лемма 6.1. Пусть S = S0 и R — некоторый О-минималъный
правый идеал из S. Тогда либо rS— R для любого г ? R\0, либо
R = {0, г} и rS = 0.
Доказательство. Так как для любого г ? R множе-
множество rS является правым идеалом полугруппы S, содержащимся
в R, в силу О-минимальности идеала R выполняется либо равен-
равенство rS = R, либо равенство rS = 0. Если г Ф 0 и rS = 0, то
{О, г} есть правый идеал из S, содержащийся в R, так что снова
в силу О-минимальности R имеем R = {0, г}.
Правый идеал R = {0, г} полугруппы S будем называть
вырожденным, если rS = 0.
Нам понадобится некоторое обобщение правого регулярного
представления (§ 1.3) полугруппы. Пусть R — произвольный
правый идеал полугруппы S. Для каждого х 6 S определим

§ 6.1. О-минимальные идеалы с нулевым умножением 9
эбражение рх идеала R в себя:,
p.,.: r-+rx. {x?R).
^Легко проверить, что ркру = рху и потому
¦ рв: х -+ рх (x?S)
есть представление полугруппы S в 3"д. Множество SpR являет-
1ся полугруппой правых сдвигов идеала R, содержащей полу-
полугруппу внутренних правых сдвигов этого идеала (§ 1.3).
• Пусть ф — произвольное представление полугруппы S в $"х
.и У — непустое подмножество множества X. Тогда говорят, что
Ф (или S, если ф — тождественное отображение) транзитивно
на У, если для любых ylt уг ? У существует такое s ? S, что
У1 («ф) = Уг-
i Для О-минимального правого идеала R представление рд
обладает свойствами, сформулированными в следующей лемме.
Лемма 6.2. Пусть R — невырожденный О-минималъный пра-
\вый идеал полугруппы S = <S°. Тогда рв транзитивно на i?\0
и Spa есть полугруппа правых сдвигов идеала R, содержащая
полугруппу внутренних правых сдвигов этого идеала.
Доказательство. По лемме 6.1 для rt ? i?\0 имеем
rtS = R. Следовательно, для r2 6 R\0' существует такое s 6 S,
что rts = г2, т. e. rt (spR) = r2. Другими словами, рд транзитивно
на R\0.
Лемма 6.3. Пусть R = R° — полугруппа и Т — подполугруп-
подполугруппа полугруппы правых сдвигов R, которая содержит полугруппу
внутренних правых сдвигов R и которая транаитивна на i?\0.
Тогда R может быть вложена в качестве невырожденного 0-мини-
малъного правого идеала в такую полугруппу S, что SpR — Т.
Доказательство. Пусть 2 = Т [| Л. Определим опе-
операцию о на 2, полагая
р о а = да,
р°г = ррг,
Г о р = гр,
Г о S = Г8,
где р и о" обозначают элементы из Т, а г и s — элементы из R.
По предположению рг (внутренний правый сдвиг полугруппы R,
соответствующий элементу г) принадлежит Т и поэтому ра и ррг
имеют смысл как произведения в Т. Далее, rs имеет смысл как
произведение в R, а гр обозначает элемент из R, который является
образом элемента г относительно правого сдвига р.

10 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Для проверки ассоциативности операции о на 2 нужно рас-
рассмотреть восемь случаев. Рассмотрим случай TRT. Здесь если
р, а? Г и г ? R, то в силу определений имеем
(р о г) о а = (ррг) о а = (рРг) а = р (рга)
л
р о (г о а) = р о (га) = ррга,
а по лемме 1.1 ргсг= рга.
Остальные случаи рассматриваются аналогично, и мы получа-
получаем, что 2 (о) — полугруппа.
Любой правый сдвиг полугруппы с нулем оставляет нуль
на месте: Ор = 02р = 0 (Ор) = 0. Далее, р ° 0 = рр0 = р0, р ° ро =
= рро = Ро, г о ро = гр0 = г-0 = 0, р0 о г = рорг = рог = Ро,
Ро ° Р = pop = ро- Таким образом, {0, р0} = Z является дву-
двусторонним идеалом полугруппы 2. Обозначим через S фактор-
полугруппу 2/Z. Можно считать, что S получается из 2 отожде-
отождествлением элементов р0 и 0, и тогда S содержит Д, причем ее нулем
является нуль полугруппы R. Так как R является, очевидно,
правым идеалом в 2, он остается правым идеалом и в S. Далее,
из предположения о транзитивности полугруппы Т на i?\0,
очевидно, вытекает, что если г 6 -Я\0, то rS = R. Следовательно,
R — невырожденный 0-минимальный правый идеал из S.
Наконец, рассмотрим SpR, т. е. множество правых сдвигов
идеала R, индуцированных внутренними правыми сдвигами полу-
полугруппы S. Мы должны показать, что SpR = Т. Для г ? R имеем
гРя = Рг> а по предположению рг ? Т. Для s б 5\i? (заметим,
что s в действительности совпадает с некоторым элементом а
лз 2 \R) и для х 6 R имеем
х («Рл) — xs = x°s = ха,
так что spB = о ? Т. Аналогично, легко проверить, что Т s SpR.
Таким образом, SpR = Т, что завершает доказательство леммы.
Из предыдущих двух лемм непосредственно вытекает следую-
следующая
Теорема 6.4. Пусть R' = R0 — полугруппа и Т — подполу-
подполугруппа полугруппы ее правых сдвигов. Тогда R может быть вло-
вложена в качестве невырожденного 0-минималъного правого идеала
в некоторую полугруппу S, для которой SpR =T, в том и только
в том случае, когда (i) T содержит полугруппу внутренних правых
сдвигов полугруппы R и (ii) T транзитивна на R\0.
Следствие 6.5. Полугруппа R = R0 является невырож-
невырожденным 0-минималъным правым идеалом некоторой полугруппы
тогда и только тогда, когда ее полугруппа правых сдвигов тран-
транзитивна на R\0.

§ 6.1. О-минимальные идеалы, с нулевым умножением. 11
В следующем параграфе будет установлено (теорема 6.19 E)),
„что О-мишшальный ненильпотентный правый идеал полугруппы
lS содержится в качестве О-минимального правого идеала в не-
некоторой ее 0-простой подпрлугруппе. 0-простые полугруппы,
содержащие как О-минимальные левые, так и О-минимальные
правые идеалы, являются вполне 0-простыми (теорема 2.48).
О-простые полугруппы, содержащие О-минимальные правые идеа-
-лы, но не содержащие О-минимальных левых идеалов, будут рас-
* «мотрены в § 8.3.
Рассмотрим теперь случай полугруппы R = R0 с нулевым
умножением. Здесь мы можем усилить предыдущие результаты,
так как нам известна полугруппа правых сдвигов полугруппы R:
элемент из Ул является правым сдвигом полугруппы R с нуле-
нулевым умножением тогда и только тогда, когда он оставляет нуль
из R неподвижным (см. аналогичное замечание в работе В. В. Ваг-
Вагнера [1956]). В частности, полугруппа правых сдвигов полугруп-
полугруппы R транзитивна на R\0, и поэтому из следствия 6.5 вытекает
Следствие 6.6. Если R = i?° — полугруппа с нулевым умно-
умножением, то существуют полугруппы, содержащие R в качестве
О-минималъного правого идеала.
Мы можем также усилить теорему 6.4 для случая полугрупп
с нулевым умножением. Пусть <р — произвольное представление
полугруппы S в 2Г х и Y — непустое подмножество множества X.
Тогда говорят, что Y инвариантно относительно <р (или, если
Ф — тождественное отображение, инвариантно относительно S),
если Y (s(f) e Y для всех s ? S. Будем говорить, что элемент z
неподвижен, если множество {z} инвариантно. Инвариантное
множество Y, содержащее неподвижный элемент z, называется
z-транзитивным, если z есть единственный неподвижный эле-
элемент в У и для любых у, у' ? Y, где у ф г, существует такой
s ? S, что у (s(f) = у'. В этом случае, если S содержит нуль О,
то у (Оф) для любого у ?Y есть неподвижный элемент множества
Y, равный z.
Рассмотрим теперь частный случай, когда Y = X — R, где
Л = R° — полугруппа с нулевым умножением. Если R является
О-транзитивной относительно подполугруппы Т = Т° из ?Гв., то
нуль полугруппы Т есть отображение, переводящее R в нуль
полугруппы R, т. е. Т содержит полугруппу внутренних правых
сдвигов R. Отсюда мы получаем следующее усиление теоремы 6.4
для нашего случая.
Теорема 6.7. Пусть R = R0 — полугруппа с нулевым умно-
умножением и Т = Т° —подполугруппа из ?ГR. Тогда R может быть
вложена в качестве невырожденного ^-минимального правого идеала
в некоторую полугруппу S, для которой SpB= T, в том и только
в том случае, когда R О-транзитивна относительно Т.

12 Гл. 6. Минимальные идеалы, и условия минимальности
Аналогичное исследование можно провести для О-минималь-
ных двусторонних идеалов. Ситуация здесь не намного сложней,
чем в одностороннем случае. Следующая лемма есть аналог лем-
леммы 6.1 для случая двусторонних идеалов.
Мы будем использовать здесь (и в дальнейшем) понятие анну-
лятора множества. Пусть С — произвольное непустое подмноже-
подмножество полугруппы S = S0. Положим
Ас = {xeS \Cz = 0},
СА = {х б S | хС = 0},
САС = {ж б S \хС = 0 и ?х = 0},
так что С-4С = СА [\ Ас. Множество Ас [СА, САС\ называет-
называется правым [левым, двусторонним] аннулятором множества С
в S. Если мы захотим в явном виде указать зависимость аннулято-
ра от S, то будем писать, например, Ас (S).
Как и для односторонних идеалов, будем говорить, что дву-
двусторонний идеал М = М° является вырожденным идеалом полу-
полугруппы S = S0, если М = {0, т} и mS = Sm = 0.
Лемма 6.8. Пусть S = S0 и М — невырожденный ^-мини-
^-минимальный двусторонний идеал us S. Тогда или (a) SmS = М
и, следовательно, Sm Ф 0 и mS ф 0 для всех т 6 М\0, или (Ь)
Sm =.0 и mS — М для всех т б М\0, так что М есть 0-мини-
малъный правый идеал с нулевым умножением и МА = S, или
(с) mS = 0 и Sm = М для всех т б М \0, так что М есть
Ь-минималъный левый идеал с нулевым умножением и Ам = S.
Доказательство. Пусть С = {т б М | SmS = 0}.
Очевидно, С — идеал из S. Следовательно, в силу 0-минималь-
ности идеала М либо (i) С = 0, либо (И) С = М. В случае (i)
для любого т б М\0 множество SmS является ненулевым идеа-
идеалом, а поэтому SmS = М, т. е. выполняется утверждение (а)
леммы.
В случае (ii) имеем SMS = 0. В силу невырожденности идеала
М соотношения SM = 0 и MS = 0 выполняться одновременно
не могут. Предположим, что MS Ф 0. Тогда MS есть двусторон-
двусторонний идеал, содержащийся в 0-минимальном идеале М, следова-
следовательно, MS = М. Отсюда SM — S (MS) = 0. Таким образом,
либо (iib) MS Ф 0 и SM = 0, либо, аналогично, (iic) SM Ф О
и MS — 0. Предположим, что имеет место (iib). Тогда для т ?
б Ж\0 имеем Sm = 0, откуда в силу невырожденности М выте-
вытекает, что mS Ф 0. Множество mS является, таким образом, нену-
ненулевым двусторонним идеалом, содержащимся в М, и поэтому
mS = М. Следовательно, случай (iib) дает нам утверждение (Ь)
леммы. Аналогично, случай (iic) дает утверждение (с) леммы.

§ 6.1. О-минимальные идеалы с нулевым умножением 13
Из доказанной леммы вытекает, что, рассмотрев вложения
односторонних О-минимальных идеалов с нулевым умножением,
мы можем для двусторонних идеалов ограничиться лишь случаем
(а) этой леммы.
Если L — левый идеал полугруппы S, то через XL обозначим
отображение, определенное двойственным образом по отношению
к отображению рл, где R — правый идеал. Таким образом, SXL
состоит из всех левых сдвигов идеала L, индуцированных внут-
внутренними левыми сдвигами полугруппы S.
Теорема 6.9. Пусть М = М° — полугруппа с нулевым умно-
умножением, aT = T°uU=U° — подполугруппы, из Ум, каждая
из которых содержит нулевой элемент, т. е. отображение, пере-
переводящее М в 0. Тогда М может быть вложена в качестве невырож-
невырожденного О-минималъного двустороннего идеала в некоторую полу-
полугруппу S, для которой SmS = М при т ? Ж\0, SpM — Т
и SXM =U,e том и только в том случае, когда (i) каждый элемент
из Т коммутирует с каждым элементом из U и (ii) UT транзи-
тивно на М\0.
Доказательство. Предположим, что М есть 0-мини-
мальный двусторонний идеал из S = S°. Тогда, очевидно, и SpM =
= Т и SXM = U содержат отображение, переводящее М в 0.
Далее, если и ? U, и = акм (а ? S) и если t б Т, t = bpM
(b ? S), то для m ? М имеем m (ut) = (mu) t = (am) t — (am) b =
= a (mb) = a (mt) = (mt) и — m (tu). Таким образом, ut = tu,
т. е. каждый элемент из'Г коммутирует с каждым элементом из U.
Далее, если m ? М\0, то М = SmS = (Sm) S = (mU) S =
= (mU) T = m (UT). Следовательно, UT транзитивно на Af\O.
Обратно, предположим, что Т и U — подполугруппы из &'м,
содержащие в качестве нулевого элемента отображение, перево-
переводящее М в 0. Предположим, кроме того, что условия (i) и (ii)
выполняются для U я Т. Пусть Т и U — две полугруппы, изо-
изоморфные полугруппам Т и U соответственно и пересекающиеся
лишь по нулю, скажем Т {\ U — {z}. Положим, Т* — T\z,
U* = U\z и S = М U T* U U*. Через а и а будем обозначать
элементы, соответствующие друг другу при изоморфизме Т и Т
или U и U. Определим операцию ° в S, полагая
{
если
О, если ар^= г,
где а, РС Г;
v\i, если
О, если

14 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
где ц,
где а б Г, ц€#;
где т?М, а?Т;
цотп = m\i, m°\i = O,
где ffigiW, ngf/;
mon = mn = 0,
где m, n?M.
Для проверки ассоциативности операции о нужно рассмотреть
двадцать семь случаев в соответствии с тем, каким из множеств
Т*, U* и М принадлежат три элемента. Мы опустим детали этой
проверки. Во всех случаях, за исключением пяти: T*T*T*t
МТ*Т*, U*U*U*_, п*п*М и п*МТ*, все произведения равны
нулю. В случае U*MT* нужно учесть, что каждый элемент из U
коммутирует с каждым элементом из Т.
Из определения операции о, очевидно, вытекает, что Ж являет-
является двусторонним идеалом полугруппы S. Далее, для тп ? М\0
имеем (S о тп) o'S = (mil) о S = (mil) T = mUT = М, так как
UT транзитивно на М\0. Таким образом, М есть 0-минималь-
ный двусторонний идеал в S. Непосредственно проверяется, что
SpM = Т и SlM = U.
Упражнения к § 6.1
1. Пусть С — непустое подмножество [правый идеал] полу-
полугруппы S = S0. Тогда Ас является правым [двусторонним]
идеалом из S.
2. Пусть R — правый идеал с нулевым умножением полу-
полугруппы S — S°. Тогда R s AR и (двусторонний) идеал AR будет
(ря ° Pr^-^huccou, являющимся нулем полугруппы S/(pR о рд1).
3. Пусть U — объединение всех 0-минимальных правых идеа-
алов с нулевым умножением полугруппы S = S0. Предположим,
что U Ф0. Тогда U — двусторонний идеал с нулевым умноже-
умножением из S. Пусть R — произвольный 0-минимальный правый
идеал с нулевым умножением из S. Тогда U^ RAR.
4. Расширение S полугруппы R, построенное в доказатель-
доказательстве леммы 6.3 в случае, когда i?2 = 0, не принадлежит ни к одно-
одному из типов, рассмотренных в § 4.4, т*к как в этом случае R не сла-
слабо редуктивна. Тем не менее мы можем модифицировать методы
§ 4.4, заменив (теперь не обязательно взаимно однозначное) есте-

? § 6.1. О-минималъные идеалы с нулевым умножением 15
йвенное отображение полугруппы Д в ее сдвиговую оболочку R
|а некоторый изоморфизм ф. В данном случае такой изоморфизм
itoJKHo найти при | R | > 2.
$ Пусть Т = Т° — полугруппа и Т* = Т\0. Обозначим эле-
элементы из Дф через гф (г ? R). Пусть 5 = Дф U Г* и 5"= Д |J T*
^(где Д — сдвиговая оболочка полугруппы Д). Предположим, что
йодерация о определена в S таким образом, что S (° ) есть расши-
расширение Дф при помощи Т. Тогда для каждого А ? Г* существуют
Связанные левый и правый сдвиги %А и рА соответственно полу-
полугруппы R, для которых
ч 4 о гф = (гА,А) ф и (гф) о 4 = (грА) ф.
Д"огда 9: А ->- (Л,А, рА) есть частичный гомоморфизм Т* ъ R,
ж по теореме 4.19 9 определяет расширение S (*) полугруппы Д
чир и помощи Г, для которого
АВ, если АВф 0 в Г;
(AQ) (?0), если А5 = 0 в Т;
); г* s = rs,
1где 4, В е У* и7, Fe R.
; iS ( о ) будет подполугруппой в S ( * ) тогда и только тогда,
I когда
? A) АсВ = (AQ) E9), если ifi = 0 в Г;
| B) (гХА) Ф = (Л8) гФ и (грА) Ф = (гф) D9)
для всех г 6 i? и Л ? Г*.
В расширении, приведенном в конструкции, которая исполь-
использована при доказательстве леммы 6.3, выполняется равенство
А а — ? Для любого А 6 Т*, где г? = 0 для всех г ? R, тогда
• как {рА | А ? Г*} транзитивно на R\0. Ни для какого изомор-
- физма ф полугруппы R ъ R нельзя получить условие B), и, сле-
следовательно, расширение, использованное в доказательстве лем-
леммы 6.3, нельзя получить модификацией метода § 4.4.
; 5. Пусть R — R0 — полугруппа и R2 Ф 0. Если полугруппа
правых сдвигов R транзитивна на R\0, то R2 = R.
| 6. Пусть R — R0 — полугруппа, полугруппа правых сдвигов
I которой транзитивна на R\0, и RA = 0. Тогда R 0-проста
справа (§ 2.5). . .
* 7. (а) Пусть R — ненильпотентный О-минималъный правый
идеал полугруппы S = S0,' А == RA (R) и В ~ R\A. Тогда
. А — такой двусторонний идеал полугруппы R, что А2 — 0 и В —
простая справа подполугруппа из 1?. '

16 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
(Ь) Если, кроме того., R содержит ненулевой идемпотент,
то В есть объединение изоморфных групп; ср. с теоремой 1.27.
(Шварц [1951], § 6.)
8. Пусть S, R, А и В определены так же, как и в упражне-
упражнении 7 (а). Для каждого Ъ ? В определим преобразование %ь мно-
множества А, полагая аКъ = Ъа (а ? А).
(a) ЯгДь* = V& Для всех Ъ, Ь' ? В.
(b) Для каждого Ъ ? В преобразование Кь отображает А\0
на А\0.
(c) Если е2 — е ? В, то К — тождественное преобразование
множества А.
Если Ъ2 ф Ъ 6 В, то 0 является единственной неподвижной
точкой из А относительно %ъ.
Как орисать строение ненильпотентного О-минимального пра-
правого идеала R (произвольной) полугруппы S = ?°? Следствие 6.5
дает необходимые и достаточные условия существования для
идеала R т^акой полугруппы S, но ничего не говорит о строении R.
Для этого в обозначениях упражнения 7 (а) мы должны знать,
как действует В на А слева. Зная же, как В действует на А сле-
слева, мы могли бы вложить R в качестве О-минимального правого
идеала в 0-простую полугруппу при помощи конструкции, ука-
указанной в упражнении 5 к § 8.3. Упражнение 8 выше показывает
необходимость условий, наложенных в пункте B) упражнения 5
к § 8.3.
§ 6.2. Двусторонний идеал, порожденный
О-минималъным правым идеалом
Целью этого параграфа является изучение строения идеала SR,
где.Д = R2 есть О-минимальный правый идеал полугруппы S.
Заметим сначала, что для любого х ? S либо xR = 0, либо xR
есть О-минимальный правый идеал в S (лемма 2.32) и, следова-
следовательно, SR является объединением О-минимальных правых идеа-
идеалов из S. В действительности каждый О-минимальный правый идеал
из S, содержащийся в SR, имеет вид xR.
Лемма 6.10. Пусть R' — произвольный 0-минималъный пра-
правый идеал из S, содержащийся в SR. Тогда существует такой
x?S, что R' = xR.
Доказательство. Это утверждение непосредственно
вытекает из приведенного выше замечания и того факта, что два
различных О-минимальных правых идеала из S пересекаются
по нулю (§ 2.5).
Лемма 6.11. Пусть x?SR\0. Тогда х ? xS и xS есть
0-минималъный правый идеал из S, содержащийся в SR. С ледова-

6.2. Двусторонний идеал 17
Г
ргелъно, если R' — произвольный О-минималъный правый идеал
цз S, содержащийся в SR, то r'S = R' для любого г' ? R'\0.
Доказательство. Элемент х в силу предыдущей лем-
леммы должен принадлежать yR при некотором у из S. Тогда х = уг,
Ггде г 6 R\0, и xS = yrS — yR (лемма 2.32), т. е. xS есть
tO-минимальный правый идеал в S. Очевидно, х ? xS.
5 Утверждение этой леммы эквивалентно тому, что SR не содер-
содержит вырожденных О-минималъных правых идеалов из S.
ь- Лемма 6.12. Пусть Ri и R2 — два О-минималъных правых
{идеала из S, содержащихся в SR. Тогда RiRz — R\ в том и толь-
ixo в том случае, когда R\ = Rz', или, что эквивалентно, RiRz = О
в том и только в том случае, когда R\ = 0.
! Доказательство. Так как RiR2 содержится в
О-минимальном правом идеале Ri из S, то либо RiR2 = Ri, либо
]RiR2 = 0. Таким образом, два заключения леммы, как и утвер-
ждалось, эквивалентны.
Пусть RI = 0. Если RiR2 = Ri, то, умножая справа на i?2»
мы получили бы
Ri = i?ii?2 = (R1R2) Ri — RiR\ = 0,
что противоречит предположению. Следовательно, в этом случае
i?ii?2 = 0. Обратно, предположим, что R\ = Rz. В силу лем-
леммы 6.10 существуют такие xt, x2 6 S, что i?t = x^R и R2 = xzR.
Из равенства Rl=Rz вытекает, что Rxz R =i? и, следовательно,
RiRz = xt {RxzR) = xtR = i?j. Лемма доказана.
Следствие 6.13. Пусть Rt есть 0-минималъный правый идеал
из S, содержащийся в SR. Тогда SRi = SR в том и только в том
случае, когда Щ = Ri.
Доказательство. Если R\ = 0, то (<S7?iJ =
= S (RtS) Ri = SR* = 0. Однако (SR)* э (RRJ = R* = R Ф
Ф 0. Следовательно, SR\ ф SR при R\ — 0. Если R\ = Ri, то
по лемме RtR = Ri и RRi — R. Поэтому
SR = SRRi s SRi = SRiR <= SR,
откуда вытекает, что SR =
Следующее утверждение показывает, что в SR правые идеалы
из S совпадают с правыми идеалами из SR. Как показано в уп-
упражнении 1 к этому параграфу, соответствующее утверждение
для левых идеалов неверно.
Следствие 6.14. Подмножество из SR является [0-минималъ-
ным\ правым идеалом в SR тогда и только тогда, когда оно есть
Ю'Минималъный] правый идеал в S. ''
2-100

18 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Доказательство. Пусть С — правый идеал из SR.
Пусть С Ф 0 и х ? С\0. Тогда по лемме 6.11 xS есть О-минималь-
ный правый идеал из S, содержащий х. Следовательно, по этой
лемме xSR = xS. Отсюда вытекает, что С есть объединение-
О-минимальных правых идеалов из S, чем и завершается доказа-
доказательство нашего утверждения.
Следствие 6.15. Аннулятор AR (SR) = ASR (SR) есть объеди-
объединение всех О-минималъных правых идеалов с нулевым умножением.
из S [из SR], содержащихся в SR; SRA (SR) = 0.
Доказательство. Первое утверждение непосредствен-
непосредственно вытекает из леммы, так как каждый ненулевой элемент из SR
принадлежит 0-минимальному правому идеалу из S, который
по предыдущему следствию является также 0-мйнимальным пра-
правым идеалом в SR.
Что же касается левого аннулятора, то для х ? SR\0 на осно-
основании леммы 6.12 и леммы 6.11 мы имеем xSR = (xS) R = xS.
Следовательно, для х 6 SR из равенства х SR= 0 вытекает, что.
х =0, так как по лемме 6.11 х ? xS.
В предыдущем абзаце мы также доказали, по существу, сле-
следующее утверждение, усиливающее одно из приведенных выше
замечаний.
Следствие 6.16. Полугруппа SR не содержит вырожденных
О-минималъных правых идеалов.
Обозначим через В (— В (R)) объединение всех ненилъпотент-
ных О-минимальных правых идеалов R' (т. е. (R'J — R'), содер-
содержащихся в SR. Таким образом,
В\0 = SR\(ASR (SR)).
Из следствия 6.13 вытекает, что В (R) = В (RJ для любого
ненильпотентного 0-минимального правого идеала i?4 из S, содер-
содержащегося в SR. Множество В является, очевидно, подполугруп-
подполугруппой из SR.
Аналогично следствию 6.14 получается"
Лемма 6.17. Подмножество из В является^Щ[0-минималъным1
правым идеалом в В тогда и только тогда, когда оно есть [0-ми-
нималъный] правый идеал в S.
Доказательство. Пусть х ? В\0. Так как ?\0 =
= SR\(ASR (SR)), то х (SR) — хВ. Оставшаяся часть доказа-
доказательства проводится точно так же, как и для следствия 6.14.
Следствие 6.14 и лемма 6.17 являются обобщениями теоре-
теоремы 2.35.

§ 6.2. Двусторонний идеал 19
Из указанной леммы, в частности, вытекает, что полугруппа
В содержит О-минимальный правый идеал. Более того, В есть
^объединение своих попарно пересекающихся по нулю 0-мини-
-зиальных правых идеалов, каждый из которых ненильпотентен
гпо определению В. Любая полугруппа с таким свойством есть
объединение попарно пересекающихся по нулю 0-простых (§ 2.5)
подполугрупп (следствие 6.34). В качестве частного случая этого
результата мы получаем следующее утверждение.
Лемма 6.18. В является 0-простой полугруппой, содержащей
О-минималъный правый идеал.
Доказательство. Пусть х ? В\0. Тогда по лемме 6.11
jcS = R' является О-минимальным правым идеалом в S. Далее,
-по лемме 6.12 R'R = R'f и потому хВ = xSR = R'R = R'. Сле-
Следовательно, ВхВ = BR'. Отсюда по определению Вив силу
леммы 6.12 мы имеем ВхВ = В. Таким образом, В является
0-простой полугруппой (лемма 2.28).
Объединяя результаты, которые мы доказали относительно
SR, получаем теорему, принадлежащую Шварцу [1951]. По пово-
поводу обратного утверждения см. ниже.
Теорема 6.19. Пусть R — ненилъпотентный О-минималъный
¦правый идеал полугруппы S — S0. Тогда SR есть наименьший
двусторонний идеал из S, содержащий R и являющийся объедине-
объединением попарно пересекающихся по нулю О-минималъных правых
идеалов из S. Пусть А [В] — объединение {0} и всех нилъпо-
тентных [ненилъпотентных] О-минималъных идеалов из S, со-
содержащихся в SR. Тогда
A) SR = A U В и А П В = 0;
B) А = AR (SR) = ASR (SR), и поэтому А — такой дву-
двусторонний идеал из S, что А2 = 0;
C) SRA (SR) = 0;
D) Подмножество из SR [В] является правым идеалом в SR
[В] тогда и только тогда, когда оно есть правый идеал в S; более
того, каждый нетривиальный правый идеал из SR [В] есть
объединение О-минималъных правых идеалов из S\ SR не содер-
содержит вырожденных О-минималъных правых идеалов;
E) В есть правый идеал из S, который является 0-простой
полугруппой, содержащей 0-минима,лъный правый идеал (из В).
Пусть i?i и Rz — произвольные 0-минималъные правые идеа-
идеалы из S, содержащиеся в SR. Тогда RiR2 = R± в том и только
в том случае, когда R\ = R2, или, что эквивалентно, RiR2 =0
в том и только в том случае, когда R\ = 0. Далее, SR\ = SR •
тогда и только тогда, когда R[ = i?4; таким образом, SR опре-
определяется любым содержащимся в нем ненилъпотентным 0-мини-
малъным правым идеалом из S.
2*

20 Гл. в. Минимальные идеалы и условия минимальности
Из этой теоремы следует, что если А Ф- 0, то А есть объеди-
объединение невырожденных О-минимальных правых идеалов с нуле-
нулевым умножением из SR. Свойства О-минимальных правых идеа-
идеалов были рассмотрены в § 6.1, и теперь мы применим результаты
предыдущего параграфа. Пусть R' — произвольный 0-минималь-
ный правый идеал из SR, содержащийся в А. Тогда по теореме 6.17
рД' есть представление полугруппы SR или (так как А2 = 0)
полугруппы В в 3R', так что R' является 0-транзитивным отно-
относительно BpR'. Следовательно, рА есть такое представление В
в 3"а» что А распадается на множество попарно пересекающихся
по нулю множеств R' (О-минимальных правых идеалов из SR,
содержащихся в А), на каждом из которых ограничение отобра-
отображения рА совпадает с представлением рд-.
Как и в теореме 6.7, имеет место обратное утверждение. Пусть
<р — произвольное представление полугруппы S в 3~х- Мы будем
говорить (§ 11.2), что ф вполне приводимо {относительно элемен-
элемента z из X), если X есть объединение своих подмножеств, каждое
из которых z-транзитивно относительно <р. Такое разложение
множества X является обязательно разложением на попарно
пересекающиеся по z подмножества. В этой терминологии пред-
представление рА полугруппы В в 3~ а вполне приводимо относитель-
относительно 0.
Пусть теперь В есть произвольная 0-простая полугруппа,
являющаяся объединением своих О-минимальных правых идеалов
{каждый из которых ненильпотентен по лемме 2.34). Пусть А —
произвольное множество, содержащее нуль 0 из В и не содержа-
содержащее других элементов из В. Пусть <р — произвольное представ-
представление полугруппы В в 3"а* вполне приводимое относительно 0.
Положим S = А [} В и определим следующим образом бинар-
бинарную операцию о в S:
bob' = ЪЪ'\
а о b = а (Ьф);
Ъ о а =0;
а о а = 0
для всех Ь, Ъ' 6 В'-а а, а' 6 А. Как и в теореме 6.7, можно пока-
показать, что операция о ассоциативна, так что S — полугруппа. Сно-
Снова по теореме 6.7 каждое 0-транзитивное подмножество из А
является невырожденным 0-минимальным правым идеалом с нуле-
нулевым умножением в 5^ Далее, пусть R — произвольный 0-мини-
мальный правый идеал из В. Тогда в силу 0-простоты В имеем
В о R = BR = В. Если R' — произвольное 0-транзитивное под-
подмножество из А, то, так как R' Eф) = R'', имеем R' ° R =
= (Д'-Вф) о R = (R' о В) о R = R' о (В о R) = R' о В = R' EФ) =
= Rr. Следовательно, A<>R = A. Учитывая, что В о R = В%

§ 6.3. Правый цоколь полугруппы 21
"получаем S ° R = S. Так как В о А =0, ясно, что О-минималь-
зюсть правых идеалов в В сохраняется в S. Таким образом, S ° R
удовлетворяет всем условиям теоремы 6.19.
Упражнения к § 6.2
1. Пусть S — полугруппа со следующими свойствами:
A) S обладает единицей 1, и ее группа обратимых элементов
Hi не одноэлементна;
B) S — полугруппа с правым сокращением;
V: C) R = S\Ht Ф 0.
Тогда R — идеал в S, но не каждый левый идеал из R (= SR)
'является левым идеалом в S. (См. упражнение 10 к § 8.1, где R
является также минимальным правым идеалом в S.)
« 2. Если S — полугруппа, Содержащая минимальный правый
дщеал R, то она содержит ядро К (§ 2.5) и К = SR. Ядро К есть
^объединение всех минимальных правых идеалов из S. Каждый
правый идеал из К является также правым идеалом в S. (См.
"^пражнение 13(Ь) к § 2.7 и теорему 2.35.)
; 3. В обозначениях теоремы 6.19 каждый идеал из S, строго
содержащийся в SR, содержится в А.
§ 6.3. Правый цоколь полугруппы
В этом параграфе мы рассмотрим объединение идеала {0} и
всех 0-мишшальных правых идеалов произвольной полугруппы
S = S0. Следуя Дьедонне [1942], мы будем называть это объеди-
объединение правым цоколем 2r = 2r (S) полугруппы S. Оно впервые
исследовалось для полугрупп Шварцем. Как отмечено Шварцем
11951], 2Г является двусторонним идеалом в S. В самом деле,
как объединение правых идеалов, 2Г есть, очевидно, правый
идеал. С другой стороны, если R — произвольный 0-минималь-
ный правый идеал из S, то для любого х из S либо xR = 0, либо
xR является также О-минимальным правым идеалом в S (лем-
,ма 2.32); в любом случае xR eSr. Следовательно, z2r s Sn
так что 2Г является также левым идеалом в S. Наши результаты
усиливают и расширяют ряд результатов Шварца [1951]; другие
результаты цитированной работы Шварца содержатся в упраж-
упражнениях.
Левый цоколь 21 = 21 (S) полугруппы S есть объединение
идеала {0} и всех 0-минимальных левых идеалов из S. Для 2г
справедливы результаты, двойственные к результатам этого пара-
параграфа. В следующем параграфе мы рассмотрим строение двусто-
двустороннего идеала 2rLJb полугруппы S.
Лемма 6.20. Если Ri и Rz — ненилъпотентные О-минималгг-
-Ные правые идеалы, из S, то либо SRi = SR2, либо SRi [}SR2 = 0.

22 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Доказательство. Если R2 e SRU то по теореме 6.19
SR\ = SRz- Следовательно, мы можем предположить, что R2 <?
?? SRi. Отсюда следует, что R2Ri = 0; в противном случае R2 =
= R2R1 = SRi. Положим теперь С = SRi [)SR2. Тогда
С (SR0 ?= SR2SRi ? SR2Ri = 0. Таким образом, так как по
теореме 6.19 SRlA (SR}) = 0, мы получаем С = 0.
Пусть N — двусторонний аннулятор 2Г в 2Г.
Лемма 6.21. Аннулятор N является двусторонним идеалом
в S и совпадает с объединением идеала {0} и всех 0-минимальных
правых идеалов'из S, которые не содержатся ни в каком SR, где
R — ненильпотентный 0-минимальный правый идеал в S.
Доказательство. Аннулятор N является, очевидно,
двусторонним идеалом в S; в самом деле, двусторонний аннуля-
аннулятор любого двустороннего идеала из S является двусторонним
идеалом в S. Далее, очевидно, что если R — ненильпотентный
0-минимальный правый идеал из 5, то iV П^^ = 0. В самом деле,
N[\SR s SRA (SR) = 0 по теореме 6.19 C).
Пусть теперь R — произвольный 0-минимальный правый идеал
из S, не содержащийся ни в каком множестве SR', где (Я'J = R'.
Пусть i?j — произвольный 0-минимальный правый идеал из S.
Если RRi =R, то RRl = RRt = R и поэтому R s SRi: где
i?i = Ri, что противоречит предположению. Следовательно, RRi =
= 0. Так как это верно для каждого такого i?4, то Д2Г = 0. Анало-
Аналогично, RiR — Rt влечет за собой R2 = R s SR, что снова про-
противоречит предположению относительно R, и поэтому также 2ri? =
= 0. Таким образом, R s N. Этим доказательство леммы пол-
полностью завершено.
Пусть оМТ — множество всех ненильпотентных 0-минималь-
ных правых идеалов из S. Если <МГ не пусто, то его базисом мы
называем такое подмножество {Rt | i ? /} из <ЖТ, что (i) если
R 6 оМ>г, то R E SRi при некотором i ? /, и (ii) если i ^ j в /,
то iSi?i ^= Si?,- (и поэтому SRi flSRj = 0 по лемме 6.20).
Из предыдущих двух лемм непосредственно вытекает следую-
следующая теорема. Заметим сначала, что объединение двух пересекаю-
пересекающихся по нулю идеалов А и В полугруппы S является полугруп-
полугруппой, которая полностью определяется заданием идеалов А и В.
В самом деле, АВ = В А = 0, а другие произведения в А \}В
суть произведения в А или в В. Обратно, если S = А [}В есть
объединение пересекающихся по нулю подполугрупп А и В,
причем АВ = В А = 0, то А ж В суть двусторонние идеалы в S.
Мы будем говорить,\что S есть 0-прямое объединение подполу-
подполугрупп {Si | i ? /}, если S есть их объединение и при i Ф / выпол-
выполняются равенства Si[)Sj = 0 и SjiS^ = SjSt = 0. Полугруппы
St будем называть слагаелеьмеи в этом 0-прямом объединении.

§ 6.3. Правый цоколь полугруппы, 23
Теорема 6.22. Пусть S — S° — полугруппа мЕг- ее правый
цоколь. Тогда Бг является двусторонним идеалом в S. Пусть
<ЛГ — множество всех ненилъпотентных О-минимальных правых
идеалов из S. Если оМТ пусто, то 2? = 0. В противном случае
пусть {Hi | i 6 1} — базис множества а/ЯТ. Пусть N — двусто-
двусторонний аннулятор 2 г в 2 г. Тогда N является двусторонним идеа-
идеалом в S и 2Г есть 0-прямое объединение идеала N и множества
{SRi \ i 6 1} двусторонних идеалов из S.
Как мы видели в теореме 6.19 E), каждый 0-минимальный
правый идеал из S, содержащийся в одном из идеалов SRi, явля-
является невырожденным 0-минимальным правым идеалом в этом
идеале SRt и поэтому также невырожден в 2Г. Это неверно для
О-минимальных идеалов из S, содержащихся в N, потому что 2Г
является правым аннулятором каждого такого идеала. В действи-
действительности каждый ненулевой элемент из N определяет вырожден-
вырожденный 0-минимальный правый идеал из 2Г. Таким образом, 2Г
является объединением своих 0-минимальных правых идеалов,
двусторонний аннулятор полугруппы 2Г совпадает с объедине-
объединением {0} и ее вырожденных 0-минимальных правых идеалов
{которые в действительности являются двусторонними идеалами),
остальные 0-минимальные правые идеалы полугруппы 2г являют-
являются (невырожденными) О-минимальными правыми идеалами в S.
Используя упражнение 5, приведенное ниже, мы можем постро-
построить полугруппу S, в которой мощность | N | множества N имеет
наперед заданное значение и в которой 2Г =^= N.
Пользуясь теоремой 6.19, мы можем построить следующее раз-
разложение полугруппы 2Г. Пусть At —правый аннулятор полу-
полутруппы SRt в SRi (i ? /). Каждый At является тогда двусторон-
двусторонним идеалом в S. Следовательно, это верно и для А = [J {At \ i ?
€ 1} []N. Легко видеть, что А есть в точности правый аннулятор
полугруппы 2Г в 2Г и совпадает с объединением {0} и всех
0-минимальных правых идеалов с нулевым умножением из S. Пусть
Bt есть 0-простая часть полугруппы SRt (см. теорему 6.19) и В =
= {0} U {Bt | i ? /}. Как объединение правых идеалов Вг из S,
множество В является также правым идеалом в S. Очевидно,
каждое Bt является двусторонним идеалом в В и различные Bt
пересекаются по нулю. Правый идеал В совпадает также с объеди-
объединением {0} и всех ненильпотентных 0-минимальных правых
идеалов из S. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 6.23. Пусть S = S0 — полугруппа и 2Г — ее правый
цоколь. Обозначим через А [В] объединение идеала {0} и всех
нильпотентных [ненилъпотентных] 0-минималъных правых идеа-
идеалов из S. Тогда
A) 2Г есть объединение пересекающихся по нулю полугрупп А
и В.

24 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
B) А = 42|.BГ), откуда А2 — 0 и А есть двусторонний идеал
из S;
C) В является правым идеалом в S;
D) если полугруппа В отлична от нуля, то она является
0-прямым объединением множества {Bt | i ? /} идеалов из В, где
каждое Bt есть правый идеал из S, кроме того, Bt есть О-простая
полугруппа, содержащая О-минималъный правый идеал (из Bt).
Если R — нильпотентный правый идеал полугруппы S = S0,
то Rk = 0 при некотором натуральном к и SlR = R [)SR —
нильпотентный двусторонний идеал из S, содержащий R. В самом
деле,
(SlR)h = 5» (R&y-i R <= 5*Л* = 0.
Определим 0-радикал N полугруппы S как объединение всех
нильпотентных двусторонних идеалов из S; он содержит все
нильпотентные односторонние идеалы из S. Как и для колец, N
не обязательно сам нильпотентен. О других видах радикалов
см. в § 11.6 и в упражнениях к § 6.6. Мы будем говорить, что S—
полугруппа без нильпотентных идеалов, если N — 0.
Следствие 6.24. Пусть S =45° — полугруппа без нилъпотент-
ных идеалов и 2 г — ее правый цоколь. Тогда 2 г является 0-прямым
объединением идеала {0} и множества {Bt \ i ? /} идеалов из St
где каждое Bt есть 0-простая полугруппа, содержащая 0-мини-
малъный правый идеал (из Bt).
Кроме того, каждое Bt является 0-простым идеалом в S, и если
С — произвольный 0-простой идеал из S, содержащий О-минималъ-
О-минималъный правый идеал (из С), то С совпадает с одним из Вг.
Доказательство. В обозначениях теоремы предполо-
предположение о том, что S не имеет нильпотентных идеалов, влечет за собой
равенство А = 0. Следовательно, 2Г = В есть 0-прямое объеди-
объединение идеалов Bt из В, т. е. идеалов из 2Г.
Докажем, что каждое Bt здесь является идеалом в S. Как
видно из доказательства теоремы, каждое Вi является 0-простым
слагаемым полугруппы SRt, где Rt — R* есть 0-минимальный
правый идеал из S, и SRt = At [}Вг, где А\ = 0лАг — идеал в S.
Так как S — полугруппа без нильпотентных идеалов, At = 0
и, следовательно, Bt = SRi является двусторонним идеалом в S.
Наконец, пусть С есть Q-простой идеал из S, содержащий свой
0-минимальный правый идеал R. Так как С является 0-простой
полугруппой, R* = R и поэтому RS = R*S = Д (RS) еЖе
е R; отсюда вытекает, что R есть 0-минимальный правый идеал
в S. Следовательно, С совпадает с одним из слагаемых Вг правого
цоколя 2Г.

I § 6.3. Правый цоколь полугруппы 25>
/ ¦ ¦
J- Упражнения к § 6.3.
It1 1. В обозначениях теоремы 6.23 А является О-радикалою
Правого цоколя 2Г. (Шварц [1951], § 10.)
Щт 2. В обозначениях теоремы 6.23 следующие утверждения
эквивалентны:
|i (а) В есть двусторонний идеал в S.
Ж (Ь) В есть 0-прямое объединение {0} и 0-минимальных дву-
двусторонних идеалов из S.
I (с) А совпадает с двусторонним аннулятором 2Г в 2Г.
" (d) Каждый ненильпотентный 0-минимальный правый идеал
з S содержится в 0-минимальном двустороннем идеале полу-
руппы S. (Шварц [1951], § 10.)
.-. 3. Пусть S = S° — такая полугруппа с нетривиальным пра-
правым цоколем 2Г, что аЪ =0 (а, Ъ ? S) влечет за собой Ьа—0. Тогда
Sr является 0-прямым объединением полугруппы А с нулевым
умножением и множества 0-простых полугрупп Bt, которые суть
объединения своих 0-минимальных правых идеалов. Кроме того,
Bi (так же как и А) является двусторонним идеалом в S. (Лефевр-
J1962], теорема 3.16 при W = 0.)
4. Пусть Р и Q — непересекающиеся полугруппы и S состоит-
а Р, Q, Р х Q и символа 0. Сохраняя произведения в Р и Q,.
лределим произведение в S, полагая
Г pq = (p, q),
'* Р' (Р, Я) = (Р'Р, Я).
(р, q) я' = (p. qq')
ля р, р' 6 Р и q, q' ^ Q. Все остальные произведения по опре-
определению считаем равными 0". Тогда S — полугруппа. Если Q —
йростая справа полугруппа, то правый цоколь полугр ппы S
Оравен O|J<?U(-P X Q). В обозначениях теоремы 6.23 В = 0(J<?,
:LA =OU0P X Q), и мы имеем SB = A \jB.
5. (а) Пусть F — конечное непустое множество и N = F [} 0.
Зададим операцию на N, превратив N = № в полугруппу с ну-
нулевым умножением. Пусть Т — бесконечная циклическая полу-
полугруппа, порожденная элементом а. Определим произведения па
(n^N), рассматривая а как отображение множества N в N, при ко-
|тором (i) 0 переводится в 0 и (ii) элементы из F циклически пере-
fp-ставляются. Определим произведения пат, рассматривая аг как
р-ю степень отображения, соответствующего элементу а. Поло-
тяшм также TN = 0. Тогда S = Т \}N превращается в полугруп-
|.пу> для которой 2 г (S) = N.
(Ь) Пусть N = № — полугруппа произвольной бесконечной:
? мощности с нулевым умножением и Т — полугруппа правых
З'сдвигов множества N\Q, транзитивная на N\Q. Предположим,.
is?

6 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
что Т не содержит минимальных правых идеалов. (Существование
такой полугруппы Т будет установлено в § 8.2.) Тогда существует
полугруппа S =N[)T, для которой 2Г (S) —N (ср. с теоре-
теоремой 6.7).
(с) Пусть Hi — правый цоколь полугруппы St = <S° и Nt —
двусторонний аннулятор для 2; (? ? /). Пусть S есть 0-прямое
объединение полугрупп St. Тогда правый цоколь 2 полугруппы S
равен 0-прямому объединению правых цоколей 2г и двусторон-
двусторонний аннулятор N для 2 равен 0-прямому объединению аннуля-
торов Ni(i?l).
6. Пусть 2Г— правый цоколь полугруппы S == S0. Подмно-
Подмножество Н s 2г\0 будем называть поперечным сечением правого
цоколя 2Г, если оно пересекается с каждым О-минимальным пра-
правым идеалом из S точно по одному элементу. Следуя Дюбрею [1941],
подмножество Н из S будем называть 0-чистым справа, если для
каждого а ? S\Q существует такой х ? S, что ах ? Н. Непустое
подмножество Н из S будем называть О-минимальным комплексом
для S, если (i) О (J H, (ii) H 0-чисто справа и (ш) никакое соб-
собственное подмножество из Н не является 0-чистым справа.
(a) Если Н есть О-минимальный комплекс для S и h ? Н,
то hS1 — невырожденный О-минимальный правый идеал из S
и каждый правый идеал из 5, не являющийся идеалом с нулевым
умножением, содержит некоторый hS1, где h ? Н. Множество Н
является поперечным сечением правого цоколя 2Г.
(b) Пусть 'S — такая полугруппа с нулем, что каждый правый
идеал из S, не являющийся идеалом с нулевым умножением,
«одержит некоторый невырожденный О-минимальный правый
идеал из S. Тогда любое поперечное сечение правого цоколя 2Г
является О-минимальным комплексом для S. (Лефевр [1962],
-теоремы 3.4 и 3.7 при W = 0.)
§ 6.4. Объединенная теория левого и правого
цоколей полугруппы
Предыдущий параграф был посвящен изучению строения
правого цоколя 2Г полугруппы S = S0, и результаты, двойствен-
двойственные результатам § 6.3, применимы, конечно, к левому цоколю 21.
В данном параграфе мы рассмотрим оба цоколя вместе. Теоре-
Теорема 6.29 описывает строение двустороннего идеала 2r|j2z полу-
полугруппы S. Заметим, 7что единственным ограничением, которое
мы налагаем на S, является требование, чтобы S содержала нуль.
Теорема 6.29 справедлива, конечно, и для вырожденного случая,
когда S не имеет 0-минимальных правых [левых1 идеалов и,
следовательно, 2Г = 0 [2/ = 0].
В § 9 и 10 работы [19511 Шварц рассматривал объединенную
теорию не только цоколей 2Г и 2*, но также и объединения 2t

§ 6.4. Объединенная теория левого и правого цоколей 27
всех О-минимальных двусторонних идеалов из S. Мы приводим
два результата Шварца относительно St в упражнении 7 ниже.
Все его результаты относительно 2Г и 2г могут быть выведены
из нашей основной теоремы 6.29.
Мы будем говорить, что идеал М полугруппы S = S0 является
•вполне 0-простым идеалом, если М есть вполне 0-простая полу-
полутруппа (§ 2.7). Следующая теорема принадлежит Клиффорду
[[1948] и Ричу [1949]. (См. также упражнение 2 (Ь) ниже и упраж-
упражнение 6 к § 2.7.)
Теорема 6.25. Пусть L = L2 [R = R2\ есть О-минимальный
левый [правый] идеал полугруппы S = S0. Тогда SR = LS в том
и только в том случае, когда R [\L =j= 0; если это имеет место,
то SR является вполне 0-простым идеалом в S.
Обратно, если М — вполне 0-простой идеал из S, то суще-
существуют такие О-минимальный левый идеал L = L2 и 0-минималъ-
ный правый идеал R = R2 из S, что М — SR = LS. В качестве
L [R] можно взять произвольный 0-минималъный левый [правый]
идеал из М.
Доказательство. По теореме 6.19 SR есть объедине-
объединение А [}В, где А П-В = 0, А = ASR (SR) и В есть 0-простая
полугруппа, содержащая R в качестве своего 0-минимального
правого идеала. По теореме, двойственной к теореме 6.19, LS
есть объединение А' [}В', где А' [\В' = 0, А' = LSA (LS) и В'
есть 0-простая полугруппа, содержащая L в качестве своего
0-минимального левого идеала.
Предположим теперь, что SR = LS = М. Тогда правый
аннулятор для SR является также правым аннулятором для LS
и по теореме, двойственной к теореме 6.19 C), он тривиален. Таким
образом, А — 0. Аналогично, А' = 0. Следовательно, М — В =
= В' есть 0-простая полугруппа, содержащая как О-минималь-
О-минимальный левый идеал, так и О-минимальный правый идеал. По теоре-
теореме 2.48 М является вполне 0-простой полугруппой. Отсюда,
в частности, вытекает, что R[\L^0 (следствие 2.52Ь).
Обратно, пусть R[)L=?0 и x?(R{\L)\0. Тогда xS = R
я Sx = L (лемма 6.11). Следовательно, SR = SxS = LS.
Пусть теперь М — произвольный вполне 0-простой идеал из S
и R [L] — его О-минимальный правый [левый] идеал. Пусть
г € R\0. Тогда rS = rMS ^ rM = R = гМ = г5. Таким обра-
образом, rS = R и поэтому R является 0-минимальным правым идеа-
идеалом в S. Аналогично, L есть О-минимальный левый идеал в S.
Поскольку L и R являются О-минимальными идеалами из М,
имеют место равенства L = L2, R = R2 и L f\R Ф 0. Следова-
Следовательно, по первой, уже доказанной, части теоремы SR = LS
есть вполне 0-простой идеал из S, имеющий нетривиальное пере-

28 Гл. 6. Минимальные идеалы, и условия минимальности
сечение (содержащее L[)R) с М. Отсюда вытекает, что SR =
= LS — М; это завершает доказательство теоремы.
Нам понадобятся три следующие леммы, в которых рассма-
рассматривается случай R fl L = 0.
Лемма 6.26. Пусть L — L% \R — R2] есть 0-минималъный
левый [правый] идеал полугруппы S = S° и R f\L = 0. Тогда
SR f]LS s А [\А' и RA' = AL = 0, где А = ASR (SR) и А' =
= lsA (LS).
Доказательство. Пусть V — SR [}LS. Тогда SRV s
Е SRLS s S (R (}L) S = 0 и потому 7s4; аналогично, V =
s А'. Так как Л' s LS и #L s Л [\L = 0, мы имеем RA' — О
и, аналогично, AL — 0. .
Лемма 6.27. Пусть R= R2 есть 0-минималъный правый идеал
и L — 0-минималъный левый идеал с нулевым умножением полу-
полугруппы S = S0. Тогда Rf\L==O.
Доказател ьство. Предположим, что R Л LФ 0,
пусть х е (R П?)\0. Тогда R = xS ^LS,m поэтому R2 s (LS*) =
= LSLS s L*S = 0, т. е, мы пришли к противоречию. Следова-
Следовательно, R (]L = 0.
Лемма 6.28. Пусть R есть 0-минималъный правый идеал с нуле-
нулевым умножением и L — 0-минималъный левый идеал полугруппы
S = 5°. Тогда RL = 0.
Доказательство. Предположим, что RL ф 0, и пусть
х 6 RL\0. Так как RL ^R[\L,iox? R\0 и a: € L\0. Из RL Ф
Ф 0 вытекает RS Ф 0 и SL Ф 0, так что R и L — невырожден-
невырожденные идеалы. Таким образом, в силу леммы 6.1 R = xS л L = Sx.
Следовательно, х ? xS и потому
RL = xS-Sx s ж5ж <= х5х^ = Д2 = 0,
что противоречит предположению о том, что RL Ф 0.
Теорема 6.29. Пусть S; и Sr —соответственно левый и пра-
правый цоколи полугруппы S = S0. Введем следующие обозначения:
А [А'] — объединение {0} и всех нилъпотентных 0-мини-
малъных правых [левых] идеалов из S;
С [С] — объединение {0} и всех ненилъпотентных 0-мини-
малъных правых [левых] идеалов из S, имеющих отличное от нуля
пересечение с некоторым 0-минималъным левым [правым\ идеалом
из S;
D [D'\ — объединение {0} и всех ненилъпотентных 0-мини-
малъных правых [левых] идеалов из S, пересекающихся по нулю
с каждым 0-минималъным левым [правым] идеалом из S.

§ 6.4. Объединенная теория левого и правого цоколей 29
Положим также Е = А \}А' и F — A QA'.
Тогда справедливы следующие утверждения:
A) С = С' и С есть двусторонний идеал в S, который равен
О-прямому объединению {0} и всех вполне 0-простых идеалов из S.
B) D есть правый идеал в S, который равен 0-прямому объеди-
объединению {0} и всех 0-минималъных двусторонних идеалов Bt из D.
Каждый Bt есть правый идеал в S, содержащий 0-минималъный
правый идеал из S, но не содержащий 0-минималъных левых идеалов
из S. Далее, каждый Вг является 0-простой полугруппой, содержа-
содержащей свой 0-минималъный правый идеал. Множество D' — левый
идеал в S, который обладает свойствами, двойственными к свой-
¦ствам, сформулированным для D.
C) А, А', Е и F — двусторонние идеалы из S, причем
А* = А'2 = АА' = 0,
СЕ = ЕС = DE = ED' = Е3 = О,
CF = FC = F* = О,
D)
2r = C[]D[]A,
где в каждом из четырех разложений объединяемые множества
попарно пересекаются по нулю.
Наконец, О-радикалы полугрупп 2Г, 2j, 2r[j2j и. 2pfl2;
равны соответственно А, А', Е и F.
Замечания. Хотя каждый из идеалов Ви описанных в B),
не содержит 0-минимальных левых идеалов из 5, он может содер-
содержать свой 0-минимальный левый идеал. (См. упражнение 4 к на-
чгсоящему параграфу и следствие 6.30.)
Разложения в D) для 2Г, 2* и 2гП2г в действительности
являются 0-прямыми объединениями (см. упражнение 8), но это
неверно для 2r|j2j, так как может случиться, что D'D Ф 0
-{упражнение 4).
Доказательство. Пусть {R{ | i € /} — базис (§ 6.3)
множества <МТ всех ненильпотентных 0-минимальных правых
здеалов из S. Пусть /' — множество таких г ? /, что существует
некоторый 0-минимальный левый идеал L из S, для которого
Ri{]L ФО. По лемме 6.27 L ненильпотентен. На основании
теоремы 6.25 SRt является вполне 0-простым идеалом в S при
1? Г. Так как Rt = SRt, множество С содержится в объедине-
объединении Со всех вполне 0-простых идеалов из S и {0}. Обратно, пусть
М — вполне 0-простой идеал из S и R [LI — произвольный

30 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
0-минимальный правый [левый1 идеал из М. Тогда по теореме 6.25
R [L]. является таким 0-минимальным правым [левым] идеалом
из S, что R []ЬфО, откуда йеС. Поскольку М совпадает
с объединением своих 0-минимальных правых идеалов, M s С,
так что Со s С. Таким образом, С = Со. Последнее же множе-
множество, очевидно, является двусторонним идеалом полугруппы S,
и оно равно либо {0}, либо 0-прямому объединению вполне-
0-простых слагаемых SRt (i ? /')•
Пусть {L% | К 6 Л} — базис множества <Mi всех ненильпотент-
ных 0-минимальных левых идеалов из S, а Л' — множество*
таких' % ? Л, что существует некоторый (ненильпотентный)
0-минимальный правый идеал R из S, для которого R f]L^ Ф 0-
На основании рассуждений, двойственных предыдущим, С" =
= Со = {0} U {L%S | К ? Л'}. Это завершает доказательство ут-
утверждения A) теоремы.
Пусть N Ш'\ — двусторонний аннулятор 2Г в 2Г [21 в 2i\r
I" = /\/' и Л" = Л\Л'. По теореме 6.22 и двойственной к ней
мы имеем
\ter}[)C[}N,
\XeA"}[jC[jN'.
Пусть At — правый аннулятор полугруппы SRt в SRt и А'^ —
левый аннулятор полугруппы LkS в L%S. В обозначениях теоре-
теоремы 6.23 А = АХт BР) = U{At | i 6 /"} \}N, так как At = О'
для каждого i ? Г. ' Двойственно, А' = \J{A'x | Я € Л"} [}N'.
На основании теоремы 6.19 мы имеем SRi =Аг[}Вг, где Bt
есть объединение всех ненильпотентных 0-минимальных правых
идеалов из S, содержащихся в SRt. Для каждого i 6 /" множе-
множество Bt является 0-простой подполугруппой из SRit содержащей:
0-минимальные правые идеалы из S (которые, очевидно, являются
правыми идеалами и в SRi), но не содержащей 0-минимальных
левых идеалов из S, так как иначе SRt была бы вполне 0-простым-
идеалом в S и мы имели бы i 6 /'. Для LXS —A'xijB'}, (X ? Л")
справедливы двойственные утверждения.
В силу предыдущих замечаний и по определению множеств />
и D' мы имеем
D = U{Bt Мб/"} и D' = U{B'k | X € Л"}.
Свойства, сформулированные для D и D' в пункте B) теоремы,
вытекают теперь из теоремы 6.23.
Ясно, что
2Г = D\jC\]A и 2г = D' \}C\jA'
и, так как Е = А \]А',

§ 6.4. Объединенная теория левого и правого цоколей , 3?
Очевидно, С пересекается по нулю с D, D' и Е. Предположим»,
что а ? (D Л-О')\°- Тоща а ? SRt f\LxS для некоторых i ? /",
X 6 Л" и по определению /" (или Л") Ri[\Lx = 0. Следователь-
Следовательно, .в силу леммы 6.26 а ? At П-^я- Но At [\D = 0. Мы пришли
к противоречию, и отсюда следует, что D f\D' = 0. Из леммы 6.27
легко вывести, что D [\А' = 0. Следовательно, D [\Е .= 0. Двой-
Двойственно, мы имеем D' [\Е = 0. Таким образом, С, D, D' ж Е —
попарно пересекающиеся по нулю множества; это же верно и для
С, D, А, и для С, D, А'. Тот факт, что
где С f\F = С (]А f]A' =0, теперь очевиден. Итак, мы доказали,.,
что имеют место четыре разложения, указанные в пункте D)
теоремы.
Так как по теореме 6.23 и двойственной к ней теореме A vl Аг
являются двусторонними идеалами в S, двусторонним идеалом
в S будет и Е = А \] А'. В силу того, что С ж Е суть двусторонние-
идеалы из S, пересекающиеся по нулю, имеют место равенства
СЕ = ЕС = 0. Так как D — правый идеал, а Е — двусторонний,
идеал в S, из уже доказанного вытекает, что DE <= D [\Е =,0..
Двойственно, ED' = 0.
Из леммы 6.28 непосредственно следует равенство АА' =[0l
{Двойственное соотношение А 'А = 0 не обязательно выполняется;
см. упражнение 5.) Так как А2 = 0 и А'2 = 0, то
Е* = (А[)АУ = A*\JAA'\JA'A [)A'2 = А'А,
Е3 = (А \}А') А'А = АА'А \}А'2А = 0.
Это заканчивает доказательство утверждения пункта C)'
теоремы.
Так как Е — нильпотентный идеал, он содержится в 0-ради-
кале N полугруппы 2r|j2f. Но N [\R = 0 для каждого нениль-
потентного 0-минимального правого идеала R из S, поэтому
N[\С = N [\D = 0. Аналогично, N [\Dr = 0. Таким образом,
N е Е и Е является 0-радикалом для Sr(j2/. Три других утвер-
утверждения относительно 0-радикалов доказываются аналогично.
Доказательство теоремы завершено.
Для полугрупп без нильпотентных идеалов доказанная теоре-
теорема может быть усилена.
Следствие 6.30. Пусть S = S0 — полугруппа без нилъпотент-
ных идеалов, содержащая как 0-минималъные левые идеалы, так-
и 0-минималъные правые идеалы, и пусть 2г, 2; — соответственно
левый и правый цоколи полугруппы S. Определим С, D, D' и Еу
как в теореме. Тогда Е = 0 и
есть Q-прямое объединение полугрупп С, D и D'.

32 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Далее, пусть 2 ^ и 2 р — левый и правый цоколи полугруппы 2
¦соответственно. Определим С\, Z>i и D[ для 2 аналогично
соответствующим полугруппам С, D и D' для S и положим
С* = Сх flD, С*' = Ci [\D'. Тогда
О-прямое объединение полугрупп d, Z>i м Z?{ м
¦где каждое объединение является 0-прямым.
Кроме того, D\ [D[], если оно отлично от {0}, равно 0-прямо-
му объединению 0-простых полугрупп, каждая из которых содер-
содержит свой 0-минималъный правый [левый! идеал, но не содержит
своих О-минимальных левых [правых] идеалов.
Доказательство. В силу утверждения C) теоремы
•имеем Е3 = 0. Так как по предположению S есть полугруппа без
нильпотентных идеаловt отсюда следует, что Е = 0. Снова на
основании теоремы D '¦— правый идеал, а С — двусторонний
идеал в S. Следовательно, DC = D [\С = 0. Тогда (CDJ =
=CDCD=0, откуда в силу .предположения двусторонний идеал
CD полугруппы S равен 0. Аналогично, D'C = 0 = CD. Снова,
точно так же, как и для CD, получаем DD' s D {\Dl = 0 mD'D =
= 0. Следовательно, мы показали, что объединение множеств С, D
ж D' является 0-прямым. Теперь легко проверить, что разложения
для Си D и D' также являются Р-прямыми.
Остается доказать, что 0-простые подполугруппы (если таковые
имеются), объединение которых совпадает с Dit не могут содер-
содержать 0-минимальных левых идеалов. Предположим, от против-
противного, что L есть 0-минимальный левый идеал из Bt, где Вх есть
¦0-простой двусторонний идеал из D\, так что Z>i является 0-пря-
0-прямым объединением идеала В^ и некоторого двустороннего идеа-
идеала D*. Пусть l?L\0. Тогда, так как 2 = Ct U#i \}D* \}D\
•есть 0-прямое объединение, 2Z = Brf, = L. Таким образом, L
является 0-минимальным левым идеалом в 2. Далее, L2 =
= В±1Вг1 = B±l = L и по теореме 6.25 В\ является вполне
¦0-простым идеалом в 2. Таким образом, Z?t s С1? что противоре-
противоречит предположению о том, что Bi s Ь±. Для D[ справедливы
.двойственные замечания; это завершает доказательство следствия.
Упражнений к § 6.4
1. Пусть S — полугруппа без нуля, содержащая минимальные
левые и правые идеалы. В качестве следствия теоремы 6.25 (приме-
(примененной к S0) получаем, что S обладает вполне простым ядром К.

§ 6.4. Объединенная теория левого и правого цоколей
33
Из теоремы 6.19 D) и двойственной к ней теоремы вытекает, что
каждый правый [левый] идеал ядра К является правым [левым1
идеалом в 5. (Клиффорд [1948].)
'. 2. (а) Пусть В [L] — такой О-минимальный правый [левый]
идеал из S, для которого RL Ф 0. Тогда R и L невырожденны,
'ЯОЬфО, R2 = R и L2 = L.
(Ь) Пусть R [L] есть О-минимальный правый [левый] идеал
из S, причем RL Ф 0 и LR Ф 0. Тогда LR является вполле
'0-простым идеалом в S. (Рич [1949].)
3. Пусть S — регулярная рисовская полугруппа вМ° (G; I, A; Р)
(§ 3.1, стр. 124) над G0, где G — группа, с сэндвич-матрицей Р =
= (рм). Пусть pxj = 0 для некоторых к ? Л, / 6 I, и пусть
LK = {{а)ы | а 6 G°, i 6 /},
Rj = {(в)д | а 6 G», Я 6 Л}.
-Тогда i?7- [Lx] является ненильпотентным 0-минимальным пра-
(вым [левым1 идеалом в S, причем
по LyRj = 0. Таким образом, Rj и LK удовлетворяют условиям
шервой части теоремы 6.25, но не удовлетворяют условиям теоре-
'¦мы Рича (упражнение 2 (Ь)).
'¦. 4. В упражнении 4 к § 6.3 пусть полугруппа Q проста справа,
а полугруппа Р проста слева. В обозначениях теоремы 6.29
С = {0},D = Q\J{O},D' = P\J{0}viA =A'=E = F = D'D =
= (P X Q) U {0}. Если Q также проста и слева, т. е. если Q —
группа, то D является вполне 0-простой полугруппой, но не
-является вполне 0-простым идеалом полугруппы S. Этот пример
показывает также, что полугруппа может содержать такие нениль-
.потентные 0-минимальные правый и левый идеалы R и L, что
RL = 0 и LR ф 0.
5. Пусть Р и Q — непересекающиеся полугруппы, а е, 0 —
элементы, не содержащиеся в Р или Q. Пусть Т есть объединение
множеств Р, Q, Р х Q, е, Р х е, е х Q и 0. Определим умноже-
умножение в Т следующей таблицей, где р и р' — произвольные элемен-
элементы из Р, a q и q — из Q:
p
9
(P. 9)
e
(P. «)
(«, 9)
P'
PP'
0
0
0
0
0
9
(P.
9
(P.
(e,
(P,
(«,
9')
94')
9')
9')
99')
(P', 9')
(PP'. 9')
0
0
0
0
0
e
(P. «)
0 .
0
e
(P. «)
0
(P', 0
(PP\ e)
0
0
0
0
0
(*, 9')
(P. 9')
0
0
(e. 9')
(P, 9')
0
3—100

34 Гл. 6. Минимальные идеалы, и условия минимальности
Тогда Т — полугруппа. (Полугруппа S из упражнения 4
является подполугруппой этой полугруппы. Так как Т = {S, е)г
нам нужно применить тест ассоциативности Лайта (§ 1.2) лишь
к одному элементу е.) Предположим теперь, что полугруппа Р
проста слева, a Q проста справа. В обозначениях теоремы 6.29
А'А = (Р х Q) U {0} и Е2 Ф 0.
6. (а) Если правый цоколь 2Г и левый цоколь 2г полугруп-
полугруппы S совпадают, то2г = 2г = С'и?', гДе С ж Е — идеалы из S,
пересекающиеся по нулю, причем С равно {0} или 0-прямому
объединению вполне 0-простых полугрупп, Е — полугруппа с ну-
нулевым умножением.
(Ь) Если S не содержит нильпотентных идеалов, то 2r = Sf
тогда и только тогда, когда каждый 0-минимальный двусторонний
идеал из S, содержащий 0-минимальный левый идеал из S, так-
также содержит и 0-минимальный правый идеал из S и наоборот.
В этом случае 2Г (= 2;) равно {0} или 0-прямому объединению
вполне 0-простых полугрупп (Шварц [1951], § 9.)
7. Пусть 2г — объединение {0} и всех 0-минимальных дву-
двусторонних идеалов полугруппы S = S0. Если S не содержит
нильпотентных идеалов, то 2r=St; и 2Г = 2< тогда и только
тогда, когда каждый 0-минимальный двусторонний идеал из S
содержит 0-минимальный правый идеал из S. (Шварц [1951], § 9.)
8. В обозначениях теоремы 6.29 CD = DC = CD' = D'C =
= DD' =0, a A'A (= E2) и D'D содержатся в F.
9. Пусть S = аМ° (G; I, A; P) — рисовская полугруппа над
группой с нулем G0 с ненулевой сэндвич-матрицей Р. Обозначим
через М и N соответственно левый и правый аннуляторы полу-
полугруппы S. Положим
М (]N =K, (S\(M{jN)) U {0} = С,
(M\K)[j{0}=A, (N\K)[){0}=B,
СЦВ = U и С[]А = V.
Тогда:
(i) К — двусторонний аннулятор для S;
(И) С — вполне 0-простая полугруппа;
(in) M, N и К — полугруппы с нулевым умножением и дву-
двусторонние идеалы в S;
(iv) V совпадает со своим левым цоколем, С равно объедине-
объединению нёнильпотентных 0-минимальных левых идеалов полугруппы
V и А равно объединению {0} и нильпотентных 0-минимальных
левых идеалов из F;
(v) С — левый идеал из V и С А = А;
(vi) для U, С и В выполняются'утверждения, двойственные
к утверждениям пунктов (iv) и (v);
(vii) BA = К;
(viii) С = S тогда и только тогда, когда матрица Р регулярна.

§ 6.5. О-прямые объединения О-простых полугрупп 35
§ 6.5. О-прммые объединения О-простых полугрупп
В этом параграфе мы рассмотрим различные способы харак-
теризации полугрупп, которые нам встречались в качестве под-
подполугрупп цоколей полугруппы и которые равны 0-прямым объеди-
объединениям О-простых полугрупп. Основные теоремы, теоремы 6.32
и 6.33, по существу принадлежат Шварцу ([1951], § 2), то же
касается и следствий 6.34 и 6.37 (Шварц [1951], § 9 и 10). Эти
результаты можно сравнить с приведенными в § 4.1 результатами
Круазо [1953], касающимися разложений полугрупп на простые
полугруппы.
Мы будем говорить, что полугруппа S = S0 является би-0-на-
слоенной, если х 6 SxyS и у ? SxyS для всех таких х, у 6 S,
что ху Ф 0. Аналогично, мы скажем, что полугруппа S 0-наслое-
0-наслоена справа [слева\, если х 6 xyS [у ? Sxy\ для всех таких х, у 6 S,
что ху ф 0. Понятия, эквивалентные этим, были введены Шварцем
([1951], § 2); см. упражнение 1.
В терминах отношений эквивалентности Грина (§ 2.1) полу-
полугруппа S 0-наслоена слева [справа, би-0-наслоена] тогда и толь-
только тогда, когда уХху [хЗгху, xfxyfy] для всех таких х, у ? S,
что ху Ф 0. Для того чтобы проверить, например, последнее
из этих утверждений, заметим сначала, что Jху ¦< Jх для любых
х, у. Далее, если ху Ф 0 и х ? SxyS, то ясно, что x[)xS [}Sx\J
\jSxS ? SxyS, откуда Jx ^ Jxy. Таким образом, Jх = Jху и,
аналогично, Jху — Jy. Обратно, предположим, что Jх = Jxy =
= Jy. Тогда х, у ?ху \jxyS \jSxy \jSxyS, т. е. существуют такие
а, Ъ, с, d ? S1, что х = ахуЪ и у = cxyd. Следовательно,
х = ахуЪ = ax-cxyd-b =
= axcaxyb-ydb = (ахса) ху (bydb) 6
и, аналогично, у ? SxyS. Наше утверждение доказано.
Модифицируя терминологию Дюбрея [1941] (см. также § 9.4),
мы скажем, что подмножество X полугруппы S = S0 0-плотно
[слева, справа], если включение ху ? Х\0 влечет за собой вклю-
включение х ? X и у 6 X [соответственно х ? X, у ? X].
Лемма 6.31. Полугруппа S = S0 би-0-наслоена [0-наслоена
слева, 0-наслоена справа] тогда и только тогда, когда каждый
двусторонний [левый, правый] идеал из S 0-плотен [справа, слева].
Доказательство. Пусть полугруппа S би-0-наслоена,
/ — двусторонний идеал из S и ху ? /\0. Так как S би-0-наслое-
на, х, у ? SxyS s /. Таким образом, идеал / 0-плотен. Анало-
лично, если S является 0-наслоенной слева [справа], то каждый
гевый [правый] идеал 0-плЬтен справа [слева].
3*

36 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Обратно, если каждый двусторонний идеал 0-плотен, то при
ху Ф 0 элементы х, у принадлежат / (ху) = ху \jxyS [}Sxy[)SxyS.
Таким образом, х = ахуЪ и у = cxyd для некоторых а, Ъ, с, d 6 S1.
Следовательно, рассуждая, как и выше, получаем, что х, у ?
6 SxyS при ху Ф О, т. е. S би-О-наслоена. Односторонние случаи
рассматриваются аналогично.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать и дока-
доказать нашу первую основную теорему. Понятие 0-прямого объеди-
объединения было определено непосредственно перед теоремой 6.22.
Заметим, что если 5 есть 0-прямое объединение своих О-минималь-
ных идеалов Mt, то каждый О-минимальный идеал из S совпадает
с одним из Мi и поэтому идеалы Мt в любом таком 0-прямом раз-
разложении полугруппы S определены однозначно. Отсюда и из
доказательства теоремы 6.32 следует, что если имеет место (В),
то 0-простые компоненты Sj из S и полугруппа Z с нулевым умно-
умножением однозначно определяются полугруппой S. Компоненты
Sj — это ненильпотентные идеалы Mif a Z — это объединение
нильпотентных идеалов Mt.
Теорема 6.32. Следующие условия для полугруппы S = S0
эквивалентны:
(A) S есть 0-прямое объединение своих О-минималъных идеалов.
(B) S есть 0-прямое объединение 0-простых полугрупп и полу-
полугруппы с нулевым умножением.
(C) S би-О-наслоена.
(D) Каждый двусторонний идеал из S является 0-плотным.
Доказательство. Эквивалентность утверждений (С)
и (D) установлена в лемме 6.31. Так как О-минимальный идеал
является либо 0-простой полугруппой, либо полугруппой с нуле-
нулевым умножением (теорема 2.29), (А) влечет за собой (В). Предполо-
Предположим, что выполняется (В), так что S есть 0-прямое объединение
0-простых полугрупп St (i 61) и полугруппы Z с нулевым
умножением. Пусть ху 6 ?\0. Тогда, очевидно, элементы х и у
не принадлежат Z и, следовательно, ввиду того, что SiSj = О
при 1ф], х и у принадлежат некоторому Sk. Тогда SxyS =
= SkxySk = Sk, так как Sk 0-проста. Таким образом, х, у 6
6 SxyS, т. е. S би-О-наслоена. Итак, (В) влечет за собой (С).
Докажем теперь, что (В) влечет за собой (А). Прежде всего
пусть М — идеал из S, содержащийся в St. Тогда М является
идеалом в St и в силу 0-простоты Si либо М = 0, либо М = S(.
Таким образом, St является О-минимальным идеалом в S. Через
Mz обозначим множество {0, z}, где z 6 Z\0. Тогда Z равно
0-прямому объединению множеств Мг (г 6 Z\0) и' каждое MZ1
очевидно, является вырожденным О-минимальным идеалом в S.
Таким образом, S равно 0-прямому объединению своих О-мини-
мальных идеалов; этим мы доказали, что (В) влечет за собой (А).

§ 6.5. О-прямые объединения 0-просты.х полугрупп 37
Предположим теперь, что выполняется (С). Обозначим через
{St | i 6 1} семейство различных множеств Jx\jO (хфО), где,
как обычно, Jx есть J^-класс, содержащий х. Тогда Sif\Sj = О
при i Ф /. Далее, если /,. Ф Jy, то JxJy = 0. В самом деле, если
и 6 Jx, v 6 Jy и uv фО, то, как отмечено выше, Jх = Ju = Juv =
= Jv = /у. Следовательно, StSj = 0 при j Ф j. Пусть у, z ? /,..
Бели г/z =/^ 0, то снова /у = Jyz = Jz = /я, так что г/z 6 /а-
Таким образом, каждое St является подполугруппой и S есть
0-прямое объединение подполугрупп St. Мы уже доказали, что
/ (х) = / (x)\Jx равно {0}для любого х Ф 0. Следовательно,
Si изоморфны главным факторам полугруппы S, которые, как
известно, являются 0-простыми полугруппами или полугруппами
с нулевым умножением (лемма 2.39). Очевидно, что 0-прямое
объединение полугрупп с нулевым умножением является полу-
полугруппой с нулевым умножением. Таким образом, S равно 0-пря-
мому объединению 0-простых полугрупп и полугруппы с нулевым
умножением. Следовательно, (С) влечет за собой (В).
Это завершает доказательство теоремы.
Теперь мы получим аналогичные результаты, рассматривая
0-прямые объединения 0-простых полугрупп, каждая из которых
содержит 0-минимальный односторонний идеал.
Теорема 6.33. Следующие условия для полугруппы S = S0
эквивалентны:
(A) S равна объединению 0- минимальных правых идеалов (дру-
(другими словами, S совпадает со своим правым цоколем 2Г).
(B) S является 0-наслоенной справа.
(C) Каждый правый идеал из S 0-плотен слева.
Доказательство. Эквивалентность условий (В) и (С)
установлена в лемме 6.31. Предположим, что выполняется (А).
Пусть х и у — такие элементы из S, что ху Ф 0. Ввиду (А) х ? R
для некоторого 0-минимального правого идеала R из S. Так как
ху Ф 0, идеал R не вырожден. В силу леммы 6.1 R = xyS и,
следовательно, х € xyS. Таким образом, (А) влечет за собой (В).
Обратно, предположим, что выполняется (В). Пусть х ? 5\0.
Если xS = 0, то х принадлежит вырожденному 0-минимальному
правому идеалу {0, х). Пусть xS Ф 0. Тогда ху ф0 для некоторо-
.го у 6 S и по предположению х ? xyS, откуда х ? xS. Но xS
является 0-минимальным правым идеалом в S. В самом деле,
если г 6 xS\0, то г — ху ф 0 для некоторого у ? S и х 6 xyS —
= rS, откуда xS ? rS. Следовательно, каждый элемент х Ф 0
из S принадлежит некоторому 0-минимальному правому идеалу
из S, т. е. выполняется (А).
Для полугрупп без нильпотентных идеалов мы имеем более
сильный результат.

38 Гл. в. Минимальные идеалы и условия минимальности
Следствие 6.34. Следующие условия для полугруппы S = S0
без нилъпотентных идеалов эквивалентны:
(A) S равна объединению своих О-минималъных правых идеалов.
(B) S есть О-прямое объединение 0-простых полугрупп, каждая
из которых содержит О-минималъный правый идеал.
(C) S является О-наслоенной справа.
(D) Каждый правый идеал из S О-плотен слева.
Доказательство. Мы должны доказать лишь, что
если S не имеет нильпотентных идеалов, то (В) эквивалентно
любому из условий (А), (С), (D). Тот факт, что (А) влечет за собой
(В), непосредственно вытекает из следствия 6.24.
Предположим теперь, что выполняется (В), т. е. S есть
О-прямое объединение множества {?г- | i ? /} 0-простых идеалов,
причем каждое St содержит О-минимальный правый идеал. Пусть
х, у 6 S и ху Ф 0. Тогда существует такое h 6 I, что х, у ? Sh
и xySh = xyS. Но xyS й есть О-минимальный правый идеал из S k,
содержащий ху, и так как xySh s xSh, то xySh = xSk есть
О-минимальный правый идеал из 5а, содержащий х. Таким образом,
х ? xyS, а это показывает, что S 0-наслоена справа. Мы уста-
установили, что (В) влечет за собой (С).
Доказательство следствия завершено.
Из этого следствия вытекает
Следствие 6.35. Пусть S = S° — полугруппа без нилъпотент-
нилъпотентных идеалов. Если S 0-наслоена справа, то S би-Ь-наслоена.
Теперь мы сформулируем в явном виде утверждение, которое
следствие 6.34 дает для случая полугрупп без нуля (ср. § 8.2).
Мы скажем, что S является наслоенной справа [слева\ 4) полу-
полугруппой, если х 6 xyS [x 6 Syx] для всех х, у ? S. Таким обра-
образом, если S не имеет нуля, то S наслоена справа тогда и только
тогда, когда S0 является О-наслоенной справа. Говорят, что под-
подмножество X из S плотно [слева, справа]2), если ху ? X влечет
за собой х 6 X и у 6 X [х ? X, у ? X]. Таким образом, если S
не имеет нуля и X s S, то X плотно слева в S тогда и только
тогда, когда X {] {0} является 0-плотным слева в S0.
Мы получаем следующую характеризацию простых полу-
полугрупп, содержащих минимальные правые идеалы (ср. Круазо
[1953]).
Теорема 6.36. Следующие условия для полугруппы S экви-
эквивалентны:
(A) S проста и имеет минимальный правый идеал.
(B) S есть объединение своих минимальных правых идеалов.
М В оригинале right [left] stratified.— Прим. перев.
*) В оригинале [left, right] consistent.— Прим. перев.

§ 6.5. О-прямые объединения 0-простых полугрупп 39
- (С) S наслоена справа.
f- (D) Каждый правый идеал^из S плотен слева.
j, Обратимся теперь к полугруппам с нулем, обладающим как
к О-минимальным правым, так и О-минимальным левым идеалами.
-5;,. Теорема 6.37. Следующие условия для полугруппы S = S0
^эквивалентны:
| (A) S совпадает со своими левым и правым цоколями.
'В (В) S есть 0-прямое объединение полугруппы с нулевым умно-
умножением и вполне 0-простых полугрупп.
"•'. (С) S является О-наслоенной и слева и справа.
J. (D) Каждый правый идеал из S 0-плотен слева и каждый левый
* идеал из S 0-плотен справа.
,",' Доказательство. Эквивалентность условий (С) и (D)
^доказана в лемме 6.31. Эквивалентность (А) и (С) следует непосред-
непосредственно из теоремы 6.33 и двойственной к ней теоремы.
if Предположим, что выполняется (А). В обозначениях теоре-
*)иы. 6.29 мы имеем
I S = 2r = i
S = 2, = C\]D'\)A',
^ Е = А 1)А' есть полугруппа с нулевым умножением. Далее,
"I, S ^-Erijlt =
Щ. каждое из этих трех разложений для S является разложением
рва попарно пересекающиеся по нулю полугруппы. Следовательно,
5Ш,= D' = {0} и S = С \]Е. По теореме 6.29 С является 0-пря-
8»шм объединением вполне 0-простых полугрупп. Таким образом,
¦^А) влечет за собой (В). То, что (В) влечет за собой (А), является
Очевидным. Это завершает доказательство теоремы.
4Г
•-, Для случая полугрупп без нильпотентных идеалов (ср. упраж-
упражнение 4 ниже) теорема 6.37 дает характеризацию 0-прямых объеди-
объединений вполне 0-простых полугрупп. Теперь мы выведем дальнейшие
Гарактеризации таких полугрупп.
Полугруппы без нильпотентных идеалов, обладающие свой-
свойствами, рассмотренными в теореме 6.37, являются регулярными,
Г. е. а 6,'а^а для любого а ? S (§ 1.9). В регулярной полугруп-
полугруппе каждый главный (следовательно, каждый 0-минимальный)
Односторонний идеал порождается некоторым идемпотентом (лем-
аа 1.13). Часть утверждения следующей леммы была приведена
I упражнении 10 к | 2.7.
1_ Лемма 6.38. Пусть S = S0 — регулярная полугруппа и е —
Sfe ненулевой идемпотент. Тогда следующие условия эквивалентны'.

40 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
A) е примитивен.
B) Se является 0-минималъным левым идеалом ив S.
C) eS является 0-минималъным правым идеалом из S.
Доказательство. Предположим, что выполняется A).
Пусть L — левый идеал из S, содержащийся в Se. По лемме 1.13
существует такой идемпотент /, что Sf s L, причем / Ф 0 при
L фО. Тогда / = Р 6 Sf s Se. Следовательно, / = хе для неко-
некоторого х ? S. Так как р = хехе, то ef = ехе Ф 0. Очевидно,
е (ef) = ef ~ (ef) ?) т- е- ef -^ е. В силу примитивности е получаем,
что ef = е. Отсюда е ? Sf ъ потому Se E Sf. Таким образом,
Se = Sf, т. е. Se есть 0-минимальный левый идеал. Итак, мы
показали, что A) влечет за собой B). Симметрично, A) влечет
за собой C).
Для завершения доказательства леммы достаточно, снова по
соображениям симметрии, показать, что B) влечет за собой A).
Предположим, что Se есть 0-минимальный левый идеал и 0^
ф р = / ^ е. Тогда /е = / и потому 0 Ф Sf s Se. В силу
О-минимальности идеала Se имеем Sf=Se. Следовательно, е = xf
для некоторого х 6 S, поэтому ef = xf2 = xf = е. Но так. как
/ <; е, то ef = f. Таким образом, из 0 Ф /2 = / ^ е вытекает
е = /, т. е. е — примитивный идемпотент. Итак, мы доказали,
что из B) следует A).
Говорят, что регулярная полугруппа примитивна, если каж-
каждый ее ненулевой идемпотент примитивен. Теорема 6.39 дает
описание строения всех примитивных регулярных полугрупп,
поскольку строение вполне 0-простых полугрупп известно (теоре-
(теорема Риса). Указанный результат подтверждает справедливость
предположения Шнейдера, высказанного им в 1959 г. в письме
к одному из авторов (см. Престон [1969]). Этот результат был
независимо получен также Венкатесаном в [1963] и [1966]. Экви-
Эквивалентность условий (А), (В) и (С) доказана Штейнфельдом [1966L
Он привел и другие эквивалентные условия, использующие поня-
понятие 0-минимального квазиидеала (см. упражнение 17 к § 2.7).
Теорема 6.39. Следующие условия для полугруппы S = S*
эквивалентны:
(A) S есть 0-прямое объединение вполне 0-простых подполу-
подполугрупп.
(B) S есть объединение 0-минималъных правых идеалов вида eS
(е2 = е).
(C) S регулярна и совпадает с объединением своих 0-минималъ-
ных правых идеалов.
(D) S ~ примитивная регулярная полугруппа.
Доказательство. Сначала мы установим эквивалент-
эквивалентность условий (В), (С) и (D). Ввиду симметричности условия (D)

§ 6.5. О-прямые объединения О-простых полугрупп 41
понятно, что условия, двойственные (В) и (С), также эквивалент-
эквивалентны (D).
Предположим, что выполняется (В). Пусть а ? <S\0. Тогда
а 6 eS (е2 = е), где eS есть О-минимальный левый идеал. На осно-
основании леммы 6.1 aS = eS, поэтому е = ах для некоторого
х ? S. Из а ? eS вытекает еа = а, следовательно, аха — еа = а.
Мы доказали регулярность S. Таким образом, (В) влечет за со-
собой (С).
Предположим, что выполняется (С). Пусть е — ненулевой
идемпотент из S. Тогда е принадлежит некоторому О-минимально-
му правому идеалу R из S и R = eS. По лемме 6.38 элемент е
примитивен, т. е. имеет место (D).
Предположим, что выполняется (D). Пусть а 6 5\0. Так как
полугруппа S регулярна, аха = а для некоторого х б S. Полагая
е = ах, мы имеем е2 = е Ф 0 и аб eS. По лемме 6.38 eS есть
О-минимальный правый идеал, т. е. имеет место (В).
Непосредственно проверяется, что (А) влечет за собой (D).
Обратно, предположим, что выполняется (D). Тогда имеет место
(В) и двойственное к нему условие. В силу следствия 6.34 ((А) вле-
влечет за собой (В)) и двойственного к нему утверждения, а также-
в силу замечания о единственности, сделанного перед теоремой 6.32,
полугруппа S есть 0-прямое объединение О-простых полугрупп St,
каждая из которых содержит О-минимальный правый идеал,
а также О-минимальный левый идеал. По теореме 2.48 каждая S,
вполне 0-проста.
Заметим, что результат, приведенный в упражнении 11
к § 2.7, есть непосредственное следствие теоремы 6.39. В частности,
каждая примитивная регулярная полугруппа без нуля вполне-
проста.
Мы сформулируем теорему, в которой укажем более точно,
каковы слагаемые, упомянутые в условии (А). Ее доказательств»
вытекает непосредственно из замечаний, сделанных перед теоре-
теоремой 6.32.
Теорема 6.40. Пусть S = S0 — примитивная регулярная полу-
полугруппа. Тогда S равна 0-прялому объединению всех своих вполне-
О-простых идеалов.
Утверждение упражнения 6 к этому параграфу, за исключением1
условия (С), есть следствие теоремы 6.39 и служит для характери-
зации примитивных инверсных полугрупп, к изучению которых
мы вернемся в § 7.7.
Упражнения к § 6.5
' 1. Следующие условия для полугруппы S = S0 эквивалентные
(a) S би-0-наслоена;
(b) если х, у 6 ?\0 и х 6 / (у), то у 6 / (ж);

42 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
(с) каждый ненулевой j^-класс из, S минимален в частично
упорядоченном множестве всех ненулевых ^-классов из S (см.
§ 5.3).
Аналогичные утверждения выполняются в каждом из одно-
односторонних случаев.
(Условие (Ь) и его односторонние аналоги использовались
Шварцем в § 2 работы [1951].)
2. Полугруппа является бинаслоенной (х, у 6 SxyS) тогда
и только тогда, когда она проста.
3. Следующие условия для полугруппы S=S° эквивалентны:
(A) S есть 0-прямое объединение 0-простых полугрупп (каж-
(каждая из которых тогда является О-минимальным двусторонним
идеалом в S).
(B) S не содержит нильпотентных идеалов и би-О-наслоена.
(C) S не содержит нильпотентных идеалов и каждый двусто-
двусторонний идеал из S 0-плотен.
4. Полугруппа S = S° является 0-прямым объединением впол-
вполне 0-простых полугрупп тогда и только тогда, когда она не содер-
содержит нильпотентных идеалов и 0-наслоена как слева, так и справа.
5. Каждый ненулевой идемпотент из 2гу2г примитивен.
(Шварц [1951], § 7.)
6. Следующие условия для полугруппы S = S° эквивалентны:
(A) S — инверсная полугруппа, совпадающая с объединением
своих О-минимальных лравых идеалов.
(B) S есть 0-прямое объединение вполне 0-простых инверсных
полугрупп, т. е. полугрупп Брандта (см. теорему 3.9).
(C) Если а ? 5\0, то существует такой единственный эле-
элемент х ? S, что аха = а.
(D) S — инверсная полугруппа, в которой каждый ненулевой
идемпотент примитивен.
(Престон [1954b, 19691, эквивалентность условий (А), (В)
и (D); Венкатесан [1962], эквивалентность условий (В), (С) и (D).)
Упражнения 7—12 ниже принадлежат Шварцу [1960] J).
В данном случае нам будет удобней обозначать через АХ [ХА\
правый [левый] аннулятор подмножества X полугруппы S = S0,
нежели использовать предыдущее обозначение Ах [ХА]. Полу-
Полугруппа S = S0 называется дуальной, если А (ВА) = В для каж-
каждого правого идеала В из S и (AL) А — L для каждого левого
идеала L из S. Левый идеал L из S называется максимальным,
•если L Ф S и L не содержится строго ни в каком собственном
левом идеале из S.
*) В недавней работе [1971] Шварцем продвинуто изучение дуальных
полугрупп и, в частности, усилены некоторые из результатов этих упраж-
упражнений.— Прим. ред.

§ 6.6. Mr, Мъ и аналогичные условия минимальности 43
7. Пусть S — дуальная полугруппа. Справедливы следующие
утверждения (и двойственные к ним):
(а) (П-Яг) -4=0 (fij.4) для любого множества правых идеа-
i
i • *
лов Rt из S.
(b) Rt f|i?2 =0 влечет за собой RtA (JR2A = 5.
(c) SA = 0.
(d) Если i? есть О-минимальный правый идеал из 5, то RA —
максимальный левый идеал в S.
(e) Отображение R -*¦ RA есть антиизоморфизм (полной)
структуры всех правых идеалов полугруппы S на (полную) струк-
структуру всех левых идеалов из S и отображение L -»- AL обратно
к нему. Подструктура всех двусторонних идеалов из S антиизо-
морфна самой себе.
8. 0-прямое объединение S =\JiSi (St (]Sjг = 0 при i Ф /)
является дуальной полугруппой тогда и только тогда, когда
дуальна каждая компонента St.
9. Пусть JV есть 0-радикал дуальной полугруппы S и / —
такой ее двусторонний идеал, что /П-^ = 0.
(a) JA = AJ и S есть 0-прямое объединение / и AJ'.
(b) / и AJ — дуальные полугруппы.
10. Следующие условия для полугруппы S=S° эквивалентны:
(A) S — дуальная полугруппа без нильпотентных идеалов
и каждый ее ненулевой двусторонний идеал содержит О-минималь-
О-минимальный двусторонний идеал из S.
(B) S равна 0-прямому объединению 0-простых дуальных
полугрупп.
11. Пусть S — дуальная полугруппа и е — такой ее идемпо-
тент, что Se есть О-минимальный левый идеал из S. Тогда для
каждого х 6 S либо ех = х, либо ех = 0.
12. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа. Тогда S дуаль-
дуальна в том и только в том случае, когда она инверсна (и, следова-
следовательно, есть полугруппа Брандта в силу теоремы 3.9).
¦§ 6.6. Mb^Ml и аналогичные условия минимальности
Условия минимальности MR, ML и Mj, впервые рассмотрен-
рассмотренные Грином [1951], уже использовались в гл. 5 (стр. 223). Напом-
гвим, что MR [ML, Mj] — это следующее условие: в каждом
• непустом множестве главных правых [левых, двусторонних]
|-идеалов полугруппы S, частично упорядоченном по включению,
^содержится минимальный элемент. Это равносильно тому, что
каждая строго убывающая цепь главных правых [левых, дву-
двухсторонних] идеалов полугруппы S конечна. Напомним также,
:ято упорядочение главных правых [левых, двусторонних] идеа-
|:лов можно интерпретировать как упорядочение ^-классов [26-
гклассов, ^-классов]. Мы имеем Ra <; Rb [La <; Lb, Ja <; Jb]

44 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
тогда и только тогда, когда R (a) e R (b) [L (a) s L (b)t
J (а) ? / F)]. Таким образом, S удовлетворяет условию MR
тогда и только тогда, когда каждое непустое множество ^-клас-
^-классов, частично упорядоченное отношением ^, содержит минималь-
минимальный элемент.
Мы будем иметь дело главным образом с двумя условиями:
Ml и Mr, более слабыми, нежели условия ML и MR. Полугруп-
Полугруппа S удовлетворяет условию Mi [Mr] тогда и только тогда,
когда для каждого ^--класса множество всех содержащихся
в нем ^-классов [^?-классов1 содержит минимальный элемент.
Эти условия впервые были рассмотрены Манном [1957]. Очень
похожие условия, а-именно условия левой и правой устойчивости,
были также введены Уоллесом и Кохом [1957]. Для (топологиче-
(топологических) полугрупп, рассматривавшихся Уоллесом и Кохом, условие
левой [правой! устойчивости совпадает с условием Л/? Шд].
Мы модифицируем определение Уоллеса — Коха для того, чтобы
это совпадение всегда имело место (см. в упражнении 1 ниже
первоначальное определение Уоллеса и Коха). Следующие усло-
условия — условие левой и правой элементарности — принадлежат
Шютценберже [1957]. Параграф заканчивается примерами, иллю-
иллюстрирующими некоторые из рассматриваемых вопросов.
Определим на полугруппе S квазипорядки (т. е. рефлексивные,
транзитивные бинарные отношения, иногда называемые пред-
порядками) К и р, полагая
X = {(*, y)]L(x)s=L (у)},
р= {(*, у) \ R (х) <= R (у)У
Тогда, очевидно, Х=%[\Х~1, &=р[\р~*, Следующая лемма
принадлежит Манну [1957].
Лемма 6.41. Условие Ml выполняется для полугруппы S тогда
и только тогда, когда А, ("| f— %¦> т. е. тогда и только тогда,
когда каждый %-класс из произвольного f-класса является мини-
минимальным в множестве Х-классов из данного f-класса.
Доказательство. Очевидно, если X {\f= ?,io выпол>
няется М?. Обратно, предположим, что выполняется Mt- Пусть
(а, Ъ) ? X f\f, так что La -^ Lb s /„ = /ь. По предположению
существует iJ-класс Lc, минимальный в множестве ^-классов
из S, содержащихся в /а. Теперь соотношение La -^ Lb влечет
за собой существование такого х 6 S1, что а = хЪ. Так как /ь = /с,
существуют такие т, п ? S1, что Ъ — теп. Тогда а ~ хЬ = хтсп.
Положим хтс = d. Тогда Ld <; Lc. Если Ld < Lc, то в силу
минимальности класса Ьс в Ja = Jc выполняется соотношение
Jd <C /с, откуда Ja = Jdn ¦</(;< Jc, т. е. мы пришли к проти-
противоречию. Следовательно, Ld = Lc. Таким образом, существует

§ 6.6. Mr, Ml и аналогичные условия минимальности 45
такое I 6 S1, что Ixmc = с. Тогда
Ъ = теп = т (Ixmc) n = ml (xb) = (ml) a.
Из равенств а = xb и b = (mZ) а вытекает ?„ = Lb. Таким обра-
образом, А, Л |^ s X. Так как обратное включение выполняется всегда,
лемма доказана.
Говорят, что полугруппа устойчива слева [справа], если для
любых а, Ъ ? S из а ? ?а& [а ? Ьа?] следует L (а) — L (ab)
[R (а) = i? (ab)]. Полугруппа устойчива, если она устойчива и сле-
слева, и справа. Следующая лемма принадлежит Уоллесу и Коху
11957].
Лемма 6.42. Полугруппа S устойчива слева тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет условию М*.
Доказательство. Пусть S устойчива слева и La ^
-< Ьь = Ja = /ь. Так как Ja = /ь, существуют такие х, у ? S1,-
что 6 = хау. Если г/ = 1, то b = жа и Lb <^ ?„, так что La = L6.
Если у ? S, то, поскольку La ^ Z-b влечет за собой а = sbus ? 51,
мы имеем a = sxay ? Say. В силу того что 5 устойчива слева,
L (а) = L (ау). Следовательно, L (a) ^ L (b). = L (#ay) e L (ау)
влечет за собой L (а) = L (Ъ). Таким образом, Ьь минимален
в множестве ,3?-классов из /а. Этим показано, что из устойчи-
устойчивости слева следует- условие М%.
Обратно, пусть S удовлетворяет условию Ml и of Sab. Тогда
a [)Sa [jaS [}SaS = Sab[)SabS, так что / (а) = / (ab). Так как
всегда / (ab) с= / (а), то / (а) — J (ab). Теперь из а ? Safe непо-
непосредственно вытекает La <^; ЬаЬ, и, так как /а = /вЬ, в силу лем-
леммы 6.41 получаем La = Lab, т. е. L (a) ~ L (ab). Таким образом,
S устойчива слева; это завершает доказательство леммы.
Говорят, что полугруппа S элементарна слева [справа], если
в ней А, ЛЗИ— X [\М [X Лр= ^ [\М\. Говорят, что полугруппа
элементарна, если она элементарна и слева, и справа.
I Лемма 6.43. Полугруппа S элементарна слева тогда и только
тогда, когда А, Л 3) = X, т. е. тогда и только тогда, когда каж-
каждый Х-класс из произвольного 2)-класса является минимальным
в множестве X-классов из данного 3>-класса.
Доказательство. Пусть S элементарна слева и (а, Ъ) ?
;? А, Л 3). Так как (а, 6) 6 3J =Х <= М, существует такое с 6 S,
'что La = Lc и i?c = Rd. Таким образом, в силу предположения
(с, Ь) 6 А, ЛМ = X {\М. Следовательно, Lb = Lc — La. Это пока-
показывает, что А, Л 3) ^Х. Так как обратное включение выполняет-
выполняется всегда, мы имеем А,Л 3) = X, что и требовалось доказать.
Обратное утверждение непосредственно вытекает из того фак-
факта, что & s 3).

46 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Полугруппа полупроста, если каждый ее главный фактор
либо 0-прост, либо прост (§ 2.6, стр. 107). Мы будем говорить,
что полугруппа вполне полупроста, если каждый ее главный фак-
фактор либо вполне 0-прост, либо вполне прост (Манн [19571). Если
а ? S и / (а) Ф 0, то через L"a будем обозначать подмножество-
La[){I(a)} факторполугругшы SII (а).
Лемма 6.44. Если 1(а)Ф0, то Х-класс La полугруппы, S
минимален в множестве Х-классов из Ja тогда и только тогда,
когда Ьйа является (О-минималъным) левым идеалом в S/I (а).
Если I (а) = 0, то La минимален в множестве Х-классов из
Ja тогда и только тогда, когда La является (минимальным) левым
идеалом в S.
Доказательство. Очевидно, La минимален в множе-
множестве <5?-классов из /0 тогда и только тогда, когда не существует-
левого идеала полугруппы S, строго содержащегося мажду L (а) [}
[I (а) и I (а). Из этого непосредственно следуют утверждение
леммы.
Замечание. Лемму 6.41 можно вывести как следствие лем-
леммы 6.44. В самом деле, если / (а) Ф0, то / (аI1 (а) есть 0-мини-
мальный двусторонний идеал в SII (а) (ср. с леммой 2.39). Следо-
Следовательно, по теореме 2.33 полугруппа / (аI1 (а) содержит 0-мини-
мальный левый идеал из SII (а) тогда и только тогда, когда она
является объединением 0-минимальных левых идеалов из SII (а).
Таким образом, в силу предыдущей леммы Jа содержит минималь-
минимальный <2Г-класс тогда и только тогда, когда он есть объединение-
минимальных ^-классов. Аналогичные замечания справедливы
и в случае / (а) = 0.
Первая часть следующей теоремы включает в себя теорему
Уоллеса и Коха [1957] о том, что в устойчивой полугруппе f = SB.
Эквивалентность условий (А) и (D) для полупростых полугрупп
была установлена Манном [1957].
Теорема 6.45. Следующие условия для полугруппы, S эквива-
эквивалентны:
(A) S удовлетворяет условиям MX и М%.
(B) S элементарна и f = SB.
(C) S устойчива.
Если S полу проста, то любое из этих условий эквивалентна
тому, что
(D) S вполне полупроста.
Доказательство. Эквивалентность условий (А) и (С)
следует из леммы 6.42 и двойственной к ней леммы. Имплика-
Импликация (В) =? (А) вытекает из лемм 6.41 и 6.43. В силу этих же лемм

§ 6.6. Mr, Ml и аналогичные условия минимальности 47
из (А) следует, что полугруппа S элементарна. Для доказатель-
доказательства первой части теоремы осталось лишь установить, что (А)
влечет за собой f- = 3).
Предположим, что выполняется (А). Пусть afb (а, Ъ ? S).
Тогда Ъ = хау для некоторых х, у ? S* и Ja — Jxa = Jb. Учиты-
Учитывая лемму 6.41 и то, что Lxa ^ La, мы заключаем, что Lxa = La.
На основании леммы, двойственной к лемме 6.41, и ввиду того,
что Rb ^ Rxa, мы заключаем, что Rb = Rxa- Следовательно,
aXxais. хаМЪ, откуда аЗ)Ъ.
Предположим теперь, что S полупроста и имеет место (А).
Главными факторами полугруппы S являются факторполугруппы
/ (аI1 (а) [/ (а) при / (а) =01. По лемме 6.44 и двойственной
к ней лемме SII (а) содержит О-минимальные левый и правый
идеалы, которые содержатся в / (аI1 (а) (аналогичное утвержде-
утверждение справедливо и при / (а) =0). Следовательно, поскольку
/ (а)/1 (а) есть О-минимальный двусторонний идеал в SII {а)
и по предположению / {аI1 (а) является 0-простой полугруппой,
на основании следствия 2.50 полугруппа / (а)/1 (а) вполне
0-проста. Аналогично, в случае, когда /(а) = 0, мы заключаем,
что / (а) является вполне простой полугруппой. Таким образом,
имеет место (D).
Обратно, предположим, что выполняется (D). Достаточно-
доказать любое из трех эквивалентных условий (А), (В), (С);
мы докажем (А). По предположению каждый главный фактор
/ (а)/1 (а) полугруппы S вполне прост [0-прост]. Из теоремы 2.35
[и двойственной к ней теоремы] следует, что ^-классы [^?-классы]
из /0 относительно / {аI1 (а) являются также <2?-классами
[,5?-классами] относительно S. Так как каждый ненулевой 56-
класс и каждый ненулевой ^?-класс вполне простой [0-простой]
полугруппы минимальны в своем ^-классе, (А) выполняете»
в силу условий Ml и Mr.
В качестве следствия мы получаем результат Грина [1951].
Следствие 6.46. Пусть S — полупростая полугруппа, удов-
удовлетворяющая обоим условиям Мь и MR. Тогда S вполне полупро-
и, следовательно, f— 3) в S.
' • Регулярная полугруппа обязательно полупроста, так как
каждый ее главный фактор содержит ненулевые идемпотенты.
!.С другой стороны, для любого множества X полугруппа 3^х
^регулярна (упражнение 1 к § 2.2), но если X бесконечно, то 3"х
«не вполне полупроста (см. упражнение 3 ниже). Дальнейшим
результатом Манна [1957] является
Лемма 6.47. Регулярная полугруппа S удовлетворяет условию
I тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию М%,

48 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
Д о к а з а т ел ь с т в о. Это утверждение следует непосред-
непосредственно из леммы 6.38. В самом деле, в силу леммы 6.44 ML
имеет место тогда и только тогда, когда все главные факторы полу-
полугруппы S содержат О-минимальные (или минимальные) левые
идеалы, а по лемме 6.38 (и ее аналогу для полугрупп без нуля)
и лемме 1.13 регулярная полугруппа содержит О-минимальный
[минимальный! левый идеал тогда и только тогда, когда она
«одержит О-минимальный [минимальный] правый идеал.
Таким образом, мы установили справедливость следующей
теоремы.
Теорема 6.48. Следующие условия для полугруппы S эквива-
эквивалентны:
(A) S вполне полупроста.
(B) S регулярна и удовлетворяет одному из условий Mf, и М%.
(C) S регулярна, элементарна слева или справа и f — ?б.
Мы закончим этот параграф изучением связи между условия-
условиями ML, MR и Mj. Сначала приведем результат Грина [1951].
Теорема 6.49. Пусть S удовлетворяет условиям ML и MR.
Тогда S удовлетворяет условию Mj.
Доказательство. Предположим, что S не удовлетво-
удовлетворяет условию Mj. Тогда существует строго убывающая бесконеч-
бесконечная цепь ^-классов /t >¦ j2 > /3 > . . . > Jn > . . .. Пусть
«г 6 Jt (i = 1, 2, . . .). Тогда, поскольку Jt >Jt+i, существу-
существуют такие Xi, yt ? S1, что ai+i = x^a^i (i = 1, 2, . . .). Таким
•образом,
Далее,
R (ах) э R {а-хУх) э . . . Э R (а^у2 . . . уп) э . . .
L (х,) э L (x2xt) э . . . э R (xnxn.i . . . xt) э . . . .
ьно, если bS (а поэтому и в S1) выполняют
о должно существовать такое натуральное ч
R {а\У\Уг ¦ ¦ -Ут) = R (атУг ¦ ¦ • УтУт+i)
Следовательно, если bS (а поэтому и в S1) выполняются условия
ML и MR, то должно существовать такое натуральное число т, что
? (#m#m-l ¦ . . Xi) — L (xm+iXm . . . Xt).
Таким образом, существуют такие и, v ? Sl, что
• • Ут

§ 6.6. Mr, Ml и аналогичные условия минимальности 49
Следовательно,
= Xm . . . Xiulyi . . . ут,
т. е. uam+2v = am+i. Но отсюда вытекает Jm+i <1 /m+2. что
противоречит предположению. Теорема доказана.
Кроме связи, установленной в только что доказанной теореме,
в остальном условия Мь, MR и Mj независимы. Существование
простых полугрупп без минимальных левых или минимальных
правых идеалов (см., например, упражнения 8—10 к § 2.1 (Андер-
(Андерсен [1952])) показывает, что из условия Mj не вытекает ни ML,
ни MR.
Пример Манна (пример 1 ниже) показывает, что в полугруппе
может иметь место условие ML [MR], хотя не выполняется усло-
условие MR [ML] или условие Mj. Далее, могут иметь место условия
ML [MR] и Mj, хотя не выполняется MR [ML\: например, полу-
полугруппы Бэра — Леви, рассмотренные в § 8.1, просты справа
и поэтому удовлетворяют условиям MR и М3, но не удовлетворя-
удовлетворяют условию ML.
Пример 1. Пусть S — множество, состоящее из элемента 0
и всех упорядоченных пар (i, /), где i и / — такие положительные
целые числа, что i<C). Определим произведение в S, полагая
Г (i, s), если / = г,
<*• 'И'- '> = I 0, если }Ф г;
Ох = 0 = хО для всех х 6 S.
Тогда S превращается в полугруппу (S есть не что иное, как
подполугруппа полугруппы матричных единиц (§ 2.7, упражне-
упражнение 7). Левый идеал, порожденный (г, /), равен
так как"это конечное множество, S удовлетворяет условию ML.
Аналогично, правый идеал Rtj, порожденный (s,;), равен
Д|>= {0} U {(*,*) 1*>/},
а двусторонний идеал Itj, порожденный (г, /), равен
: iti = @}u{(r,s) |1<г<г, *>/}.
|Строго убывающие последовательности
Rij гэ Ru+i =э Rij+2 =5 . . ч
могут быть неограниченно продолжены. Таким образом, S удов-
удовлетворяет условию ML, но не удовлетворяет ни одному из усло-
условий MR, Mj.
'4—100

50 Гл. 6. Минимальные идеалы, и условия минимальности
Заметим, далее, что 1ц, Itj+i, Iij+z, • • ¦ является бесконеч-
бесконечной строго убывающей последовательностью левых идеалов из S.
Таким образом, условие Мь слабее условия минимальности для
множества всех левых идеалов полугруппы. (Манн [1957].)
Пример 2. Пусть S есть 0-прямое объединение бесконечного
множества 0-простых полугрупп {St | i ? /}. Тогда S удовлетво-
удовлетворяет условию Mj, но не удовлетворяет условию минимальности
для двусторонних идеалов.
Пример 3. Для любого множества X полугруппа Sх регуляр-
регулярна (§ 2.2, упражнение 1 (с)). Далее, в ?Гх имеем 3) = f (теоре-
(теорема 2.9 (i)). Пусть | X | бесконечно и D есть <2!-класс, соответствую-
соответствующий | X |, т. е. D состоит из всех таких элементов а из ?Гх, что
| Ха | = | X | (теорема 2.9). Существует взаимно однозначное
соответствие между ^-классами из JF' х, содержащимися в D, и та-
такими подмножествами 7 из I, что | Y \ = | X |; if-класс L (Y),
соответствующий Y, состоит из всех а, для которых Ха = Y
(теорема 2.9). Легко установить, что L (Ft) ^ L (Y2) тогда и толь-
только тогда, когда У4 s Yz. Отсюда следует, что D не содержит мини-
минимальных ^-классов. Таким образом, &х регулярна, но не вполне
полупроста. (Престон [19581.)
Пример 4. Пусть S — полугруппа, все элементы которой
имеют конечный порядок. Тогда 3) = f. В самом деле, пусть
(а, Ъ) ?f, так что существуют х, у, z, и ? S1, для которых
хау = b, zbu = a.
Пусть целое число г выбрано так, что (иу)г является идемпотен-
том. Тогда, поскольку (xz)r Ъ (иу)г = 6, мы имеем Ъ (иу)г = Ъ.
Следовательно, полагая с — Ьи, получаем, что (Ь, с) 6 М. Анало-
Аналогично, полагая d — zb, получаем, что (b, d) ? X. Следовательно,
(bu, du) 6 X, т. е. (с, а) ? X. Таким образом, (а, Ь) ? 3).
(Грин [1951].)
Пример 5. (а) Пусть / (а) э / (Ь), где а, Ъ — элементы полу-
полугруппы S. Тогда если главный фактор / {ЬI1 (Ь) 0-прост (или
прост при / (Ь) =0), то Ъ ? JbdJb-
(b) Пусть S — полупростая полугруппа, удовлетворяющая
условию ML, и / (at) э / (а2) э . . . = / (ап) Э . . . — убываю-
убывающая последовательность главных идеалов. Тогда существуют
такие хи у% € Jav что at = х{аг^у1 (j = 2, 3, . . .). В силу
условия Мь для некоторого п имеем L (ап) — L (xn+ian) =
=L (xn+2xn+ian) = . . . . Отсюда следует, что / \ап) = / (an+i) =
«= / (ап+г) = • • • • Таким образом, полупростая полугруппа,
удовлетворяющая условию ML, удовлетворяет также и условию
Mj. (Манн [1957].)

§ 6.6. Mr, Ml и аналогичные условия минимальности 51
Упражнения к § 6.6
1. Согласно первоначальному определению Уоллеса и Коха
[1957], полугруппа S устойчива, если
A) а, Ъ 6 S и 5а? Sab влечет за собой Sa = Sab и
B) a, b 6 S и aS Е baS влечет за собой aS = baS.
Полугруппа, устойчивая в этом смысле, всегда устойчива и в
смысле определения, приведенного в тексте, но не наоборот.
Для полугрупп с единицей и регулярных полугрупп эти два
определения устойчивости совпадают.
2. Полугруппа S устойчива (в действительности даже устой-
устойчива в смысле Уоллеса и Коха, как в упражнении 1), если она
обладает любым из следующих свойств:
(a) S коммутативна;
(b) S есть объединение групп;
(c) S периодическая.
(Уоллес и Кох [1957].)
3. Если А — идеал полугруппы S, то S удовлетворяет усло-
условию ML [MR] тогда и только тогда, когда этому удовлетворяет
и А, и SIA. (Манн [19571; Сайто ]1968].)
4. Пусть % — множество циклических подполугрупп полугруп-
полугруппы S. Множество % можно частично упорядочить по включению.
Пусть Мс обозначает соответствующее условие минимальности,
т. е. Мс имеет место в S, если каждое непустое подмножество
из 'ё содержит минимальный элемент. Полугруппа S удов-
удовлетворяет] указанному условию тогда и только тогда, когда
каждый) элемент этой полугруппы имеет конечный порядок.
(Грин [1951].)
5. Пусть S — полугруппа, удовлетворяющая условию Mj.
Тогда для любого а ? S существует такое натуральное число к
(зависящее от а), что / (ah) = / (а2к). Следовательно, полагая
Ъ = ак же — а2к, имеем с = Ь2 6 /ь- Таким образом, в полу-
полугруппе, удовлетворяющей условию Mj, некоторая степень каждо-
каждого элемента принадлежит простому или 0-простому главному
фактору. (Грин [1951].)
6. Следующие условия для полугруппы S эквивалентны:
(A) S вполне полупроста.
(B) S удовлетворяет условию М\, и каждый ^-класс из S
содержит идемпотент.
(C) S регулярна и удовлетворяет условию Af?. (Манн [1957].)
7. Полугруппа является объединением групп тогда и только
тогда, когда она регулярна слева (ср. с теоремой 4.2) и удовле-
удовлетворяет условию Mr. (Манн [19571.)
8. Если вполне полупростая полугруппа удовлетворяет одному
из условий ML, MR, Mj, to она также удовлетворяет и осталь-
остальным условиям. (Манн [1957].)
; ¦ 4*

52 Гл. 6. Минимальные идеалы и условия минимальности
В" следующих упражнениях мы рассматриваем некоторые
являющиеся идеалами радикалы, которые определялись для
полугрупп по аналогии с радикалами колец. В § 11.6 мы иссле-
исследуем радикалы полугруппы S, которые являются на ней конгру-
энциями. Каждый из рассматриваемых здесь радикалов пред-
представляет собой такой идеал / полугруппы S, что «57/ обладает
некоторым свойством и / есть наименьший идеал, для которого
SII обладает данным свойством. Здесь существует аналогия
с максимальным гомоморфным образом полугруппы, обладающим
данным свойством (ср. с § 1.5, 4.3 и 11.6). За остальными
подробностями мы отсылаем читателя к работам, упомянутым
в тексте.
9. Пусть (а) — некоторое свойство, которое выполняется в по-
полугруппе тогда и только тогда, когда каждый главный фактор
полугруппы обладает свойством (Р), где (Р) — некоторое свой-
свойство, справедливое для одноэлементной полугруппы. Пусть / —
пересечение всех таких идеалов А из S, что SIA обладает свой-
свойством (а). Тогда, если / не пусто, SII обладает свойством (а) и мы
можем назвать / (а)-радикалом. Например, пусть (а) — свой-
свойство полупростоты, a ((}) — свойство простоты или 0-простоты.
Тогда соответствующий (а)-радикал есть то, что Манн называл
верхним радикалом. (Манн 11957].)
10. Пусть М — двусторонний идеал полугруппы S. Говорят,
что идеал А из S является М-нилъпотентным, если Ап s M
для некоторого натурального п. Любой односторонний М-нильпо-
тентный идеал содержится в двустороннем М-нильпотентном
идеале. Пусть NM совпадает с объединением всех М-нильпотент-
ных идеалов из S. Идеал NM называется М-радикалом полугруп-
полугруппы S. Если NM является М-нильпотентным идеалом, т. е. если
S содержит максимальный Л/ннильпотентный идеал, то S/NM
не содержит нильпотентных идеалов. (Шварц [1943] и [19511.)
11. Предположим, что N' — верхний радикал, a NM —
М-радикал полугруппы S (см. упражнения 9 и 10). Тогда NM^N' \J
[jM. В частности, если S обладает ядром К, то Nк s N'. (Манн
[1957].)
12. Пусть S — трехэлементная полугруппа, заданная табли-
таблицей умножения
г
а
Ь
z
z
Z
г
а
z
а
а
Ъ
z
а
а

§ 6.6. Mr, Ml и аналогичные условия минимальности 53
Тогда К = {z} является ядром S, Nк = К и N' — S (см. упраж-
упражнение И). (Манн [1955].)
13. Идеал А полугруппы S — S0 называется нилъидеалом,
если некоторая степень каждого элемента из А равна нулю. Пусть
N (S) обозначает объединение всех нильидеалов из S. Тогда
NK<= N E).(Клиффорд [1949].) Далее, NK = N (S) тогда и толь-
только тогда, когда N(S/NK) равно нулю полугруппы S/NK.(Jlyr
[I960].)
14. Пусть S = S° — полугруппа, совпадающая со своим пра-
правым цоколем, и NK — ее А>радикал, где К — {0} есть ядро
полугруппы S (упражнение 10). В обозначениях теоремы 6.23
NK = А. Далее, полугруппа S/NK не имеет нильпотентных
идеалов (отличных от {0}) и к ней применимо следствие 6.34.
(Шварц [1951].)
15. Пусть S — полугруппа, удовлетворяющая условиям ML
и MR, а также условию обрыва возрастающих цепей двусторон-
двусторонних идеалов, т. е. любое множество двусторонних идеалов содер-
содержит максимальный элемент. Тогда S удовлетворяет условию Mj
и потому содержит ядро К, которое является вполне простой
полугруппой, так как S удовлетворяет условиям М* и М%. Усло-
Условие максимальности для двусторонних идеалов обеспечивает
.йГ-нильпотентность .йГ-радикала Nк. Применяя теорему 6.29
к SINк, получаем 2/[j2r = С, так как здесь D, D' и Е равны
{0}, т. е. 21 U 2Г (в SINк) есть 0-прямое объединение вполне 0-про-
стых полугрупп. (Шварц [19431 и [1951], а также Манн [1957].)

Глава 7
ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ
Инверсные полугруппы — это регулярные полугруппы, в кото-
которых каждый элемент имеет единственный инверсный к нему эле-
элемент. Первоначальные сведения о таких полугруппах были при-
приведены в § 1.9. В частности, там была доказана основная
теорема о вложении (теорема 1.20); каждая инверсная полугруппа
может быть вложена в симметрическую инверсную полугруппу Jх-
Глава построена следующим образом.
После параграфа, в котором рассматривается естественный
частичный порядок на инверсной полугруппе, мы снова вернемся
к теме представлений инверсных полугрупп взаимно однознач-
однозначными частичными преобразованиями множества. Результаты, кото-
которые мы приводим, принадлежат Шайну [1962], и § 7.2 и 7.3
посвящены их изложению. Ключевую роль здесь играют главные
(частичные) правые конгруэнции Дюбрея, детальное рассмотре-
рассмотрение которых проведено в § 10.2. Необходимые нам свойства этих
частичных правых конгруэнции приведены в § 7.2. Будет отме-
отмечено, что эти частичные правые конгруэнции являются удобными
для теории представлений обобщениями на случай инверсных
полугрупп правых конгруэнции на группе, которые соответствуют
разложению группы на правые смежные классы по подгруппе.
В § 7.3 показано, что транзитивные представления инверсной
полугруппы взаимно однозначными частичными преобразования-
преобразованиями множества определяются частичными правыми конгруэнция-
ми, введенными в § 7.2. Показано, что каждое представление
однозначно распадается на транзитивные представления. Параграф
'заканчивается характеризацией эквивалентных представлений.
К общей теории представлений произвольной полугруппы взаим-
взаимно однозначными частичными преобразованиями мы вернемся снова
в § 11.4, результаты которого также принадлежат Шайну [1961].
Основные свойства гомоморфизмов и конгруэнции на инверс-
инверсной полугруппе рассматриваются в § 7.4. Отновным яв-
является тот факт, что произвольный гомоморфный образ инверс-
инверсной полугруппы также является инверсной полугруппой (теоре-
(теорема 7.36). Конгруэнция на инверсной полугруппе определяется
своими классами эквивалентности, содержащими идемпотенты
(теорема 7.38). Точная природа этого явления есть тема второй
половины этого параграфа.

§ 7.1. Естественный порядок на инверсной полугруппе 55
В § 7.5 рассматриваются полуструктуры инверсных полу-
полугрупп, а § 7.6 посвящен гомоморфизмам, которые разделяют
идемпотенты. В последнем параграфе (§ 7.7) изучаются гомомор-
гомоморфизмы инверсных полугрупп на примитивные инверсные полу-
полугруппы, т. е. на инверсные полугруппы, в которых каждый нену-
ненулевой идемпотент примитивен. Такие гомоморфизмы играют важ-
важную роль при изучении матричных представлений инверсных
полугрупп г).
7.1. Естественный частичный порядок
на инверсной полугруппе
Взаимно однозначные частичные преобразования (§ 1.9,
стр. 51) множества X, рассматриваемые как подмножества из
X X X, частично упорядочены относительно включения. Произ-
Произвольная инверсная полугруппа обладает точным представлением
взаимно однозначными частичными преобразованиями (теоре-
(теорема 1.20). Следовательно, произвольная инверсная полугруппа
обладает частичным упорядочением, индуцированным таким пред-
представлением. Если а и Р — взаимно однозначные частичные пре-
преобразования множества X, то легко видеть, что а=Р тогда и толь-
только тогда, когда ар1 = аа~х. Так как этот частичный порядок
можно определить в терминах операций на инверсной полу-
полугруппе, он не зависит от выбора индуцирующего его точного пред-
представления взаимно однозначными частичными преобразованиями.
Теперь, следуя Вагнеру [1952], мы приступим к изучению абстракт-
абстрактных свойств этого частичного порядка.
Определим отношение ^ на инверсной полугруппе S, полагая
а ^ Ъ тогда и только тогда, когда аЪ~г = аа~г. Это отношение
называется естественным частичным порядком на S. В силу пре-
предыдущих замечаний мы видим, что =?С действительно является
частичным порядком на S. Ниже мы передокажем это непосред-
непосредственно из определения, не обращаясь к представлению полу-
полугруппы взаимно однозначными частичными преобразованиями.
Всюду в этом параграфе через ^ будем обозначать естественный
частичный порядок на инверсной полугруппе 5. В § 7.2 он будет
обозначаться также через о.
Лемма 7.1. Если элементы а и Ъ принадлежат инверсной
полугруппе S, то а ^ b тогда и только тогда, когда выполняется
любое из следующих эквивалентных равенств:
A) аЬ'1 = аа-1; A') Ъа-1 = аа'1;
B) а~1Ь = а-ха; B') Ъ~Ч = а~Ч\
C) аЬ-Ч = а; C') а~Ча'х = о.
х) См. работу Престона [1969].— Прим. ред.

56 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Доказательство. Для каждого к (к = 1, 2, 3) равен-
равенство (к') получается из (к) взятием инверсного элемента, поэтому
(/с) эквивалентно (к').
Равенство A) непосредственно дает {ab'1) а = (аа*1) а. Таким
образом, поскольку аа~га = а, A) влечет за собой C). Далее,
из C') вытекает {а-хЪ) {а~гЬ) = а~гЪ, т. е. а~хЪ является идемпо-
тентом. Следовательно, (а^Ь) (а^а) = а^аа^Ь = а~гЪ, так как
идемпотенты коммутируют. Таким образом, C') влечет за собой
а~хЪ = а~гЪа~^а = а~ха, т. е. из C') вытекает B).
Для завершения доказательства достаточно установить, что
из B') следует A). Заметим сначала, что в силу B') элемент ab~x
является идемпотентом. В самом деле, a (b^a) Ь'1 =а (а'1 а)Ь~г =
= аЪ-1. Тогда ab~x = (аа-Ч) Ь*1 = {ал-1) (ab-1) - {аЪ~х) (аа,-1) =
= а (Ь^а) а'1 = а (а^а) а~х = аа~г, т. е. B') влечет за собой A).
Лемма 7.2. Бинарное отношение ^ является стабильным
частичным порядком на инверсной полугруппе S.
Доказательство. Ясно, что отношение ^ рефлексив-
рефлексивно. Предположим, что а ^ Ъ и Ъ ^ а. Тогда на основании лем-
1 мы 7.1 аЪ'^а = а, аЪ'1 = ЪЪ~г и Ь~га = Ъ^Ъ. Следовательно,
а = (ab-1) a = h{b-4) = ЪЪ'Ч = Ъ.
Таким образом, отношение ^ антисимметрично.
Предположим, что а ^ Ь и &^ с. Тогда, используя подходя-
подходящим образом лемму 7.1, получаем
ас~ха — а {а~ха) с~га = аа~х {be1) a =
= а {а~гЬ) {Ь~1а) — аа~гаа~ха = а,
откуда а ^ с. Таким образом, отношение ^ транзитивно.
Осталось доказать, что частичный порядок ^ стабилен отно-
относительно умножения в S. Пусть я^биг — произвольный эле-
элемент из S. Тогда
{ха) {хЪ)-1 = х {ab~l) х~х — х {аа~х) х~г —
= {ха) {ха)-1
и
{ах)-1 {Ъх) = х-1 {а-Ч) х = х~г {а-Ч) х =
= (ох)-1 {ах),
так что ха ^ хЬ и ах ^ Ъх.
Это завершает доказательство леммы.
Лемма 7.3. Бинарное отношение ^ на инверсной полугруп-
полугруппе S стабильно относительно взятия инверсного элемента, т. е.
а ^.Ъ влечет за собой а'1 ^ Ъ'1.

§ 7.1. Естественный порядок на инверсной полугруппе 57
Доказательство. Это непосредственно следует из лем-
леммы 7.1, точнее, из того факта, что из A) следует B).
Заметим здесь, что естественный частичный порядок на инверс-
инверсной полугруппе был использован в т. 1 при доказательстве теоре-
теоремы Риса 1.23 о вложении реверсивной справа полугруппы с сокра-
сокращениями в группу.
Мы будем говорить, что а меньше Ъ и Ъ больше а, если а ^ Ъ.
Если ей/ — два идемпотента, то е^/ тогда и только тогда,
когда е/(=/е) = е. Таким образом, ограничение естественного
частичного порядка инверсной полугруппы на полуструктуре
идемпотентов из S совпадает с естественным частичным поряд-
порядком ^ этой полуструктуры (§ 1.8, стр. 45).
Закончим этот параграф доказательством обобщения резуль-
результата Либера [1954]. Предварительно нам понадобится следующая
Лемма 7.4. Инверсная полугруппа S является объединением
групп тогда и только тогда, когда левая и правая единицы х)
каждого элемента из S совпадают.
Доказательство. Если S — инверсная полугруппа,
которая является объединением групп, то инверсный к каждому
элементу лежит в той. же группе, что и сам элемент. Отсюда выте-
вытекает, что левая и правая единицы элемента совпадают с единицей
этой группы и, следовательно, равны между собой.
Обратно, если аа'1 = е = а~га, то а принадлежит максималь-
максимальной подгруппе Не из S (упражнение 3 к § 1.7.)
Для случая цепи длины 2 или длины 3 следующая теорема,
принадлежит Либеру [1954]. Упражнение 3 ниже показывает,
что, вообще говоря, утверждение теоремы не верно для беско-
бесконечного Е.
: Теорема 7.5. Пусть S — инверсная полугруппа с конечным
[множеством Е идемпотентов. Если Е образует цепь (относи-
-телъно естественного порядка), то S есть объединение групп.
Доказательство. Пусть а 6 .S и е = аа'1, f = а~ха.
|Тогда еа = af = а, а~хе — fa-1 = а'1. По предположению либо
^ /, либо/ ^ е. Пусть выполняется последнее. Тогда ef =/е = /г
и поэтому
ае = afe = af = а, еа~г — (ае)'1 = а*1.
;Гаким образом, е является единицей инверсной подполугруппы Sa.
:з S, порожденной элементом а. Если f ф е, то по лемме 1.31
'о является бициклической полугруппой. Но бициклическая
х) Напомним (т. 1, стр. 52), что левой [правой] единицей элемента а
Является аа-1 [а-1 а].

•58 Гл. 7. Инверсные полугруппы
полутруппа имеет бесконечное число различных идемпотентов,
что противоречит нашему предположению. Следовательно, должно
быть / = е. Теперь утверждение теоремы следует из предыдущей
леммы.
* Теорема 7.5 следует из следующего результата Шайна
11964]; если множество идемпотентов инверсной полугруппы S
вполне упорядочено естественным отношением порядка, то S есть
объединение групп. (Небольшое изменение доказательства в тек-
теките дает этот результат *).) Задача характеризации всех полуструк-
полуструктур Е с тем свойством, что каждая инверсная полугруппа, полу-
полуструктура идемпотентов которой изоморфна Е, есть объединение
групп, была решена Хауи и Шайном [1969].* 2)
Упражнения к § 7.1
1. Если множество идемпотентов полутруппы S образует полу-
полуструктуру, то множество Т регулярных элементов из S образует
подполугруппу, которая является инверсной полутруппой. (Ваг-
(Вагнер [1953].)
2. Пусть а и Ъ принадлежат инверсной полугруппе S а е —
правая единица для аЪ, а / — правая единица для Ъ. Тогда е ^ /.
3. В бициклической полугруппе множество идемпотентов обра-
образует цепь относительно естественного порядка, и бициклическая
полугруппа не является объединением групп (ср. с теоремой 7.5).
4. Пусть S — инверсная полугруппа и х =?С Ь, у =?С Ъ. Тогда
существует такой элемент z, что z =?С х и z ^ у (например, z =
= уу^х). Таким образом, частично упорядоченное множество
{х 6 S | х ^ Ь} является направленным (вниз).
§ 7.2. Частичные правые конгруэнции
на инверсной полугруппе
В § 7.3 мы приведем общую теорию Шайна [1962] представле-
представлений инверсной полугруппы взаимно однозначными частичными
преобразованиями множества. Для этой теории Шайн ввел обоб-
обобщение на случай инверсных полугрупп понятия разложения
группы на смежные классы. В данном параграфе мы рассмотрим
эти отношения эквивалентности.
Нам будет удобно сменить обозначение для естественного
частичного порядка на инверсной полугруппе. Всюду в этом
х) Изменение состоит лишь в том, что вместо замечания о бесконечности
множества идемпотентов бициклической полугруппы Sa нужно отметить, что
идемпотенты в Sa образуют цепь, упорядоченную по типу целых отрицатель-
отрицательных чисел.— Прим. ред.
2) Здесь и далее звездочками в тексте, выделены добавления авторов к
готовящемуся в США второму изданию тома 2.—Прим. ред.

§ 7.2. Частичные правые конгруэнции 59
параграфе мы будем естественный частичный порядок на рассма-
рассматриваемой инверсной полугруппе обозначать через со. Пусть S —
инверсная полугруппа. Тогда через sco, где s ? S, обозначим мно-
множество {х 6 S | sokc} (§ 1.4, стр. 32). Распространяя это обозна-
обозначение на любое подмножество Я из S, мы пишем
Ясо = U {Асо | h е Н).
Будем называть Ясо замыканием множества Я (относительно со).
Подмножество Я, совпадающее со своим замыканием, будем назы-
называть замкнутым.
Лемма 7.6. Пусть Я — подмножество инверсной полугруп-
полугруппы S и s ? S. Тогда
(Ясо) s = (Не) со.
Доказательство. Пусть z ? {На) s. Тогда z = xs, где
hax для некоторого h?H. Так как со стабильно (лемма 7.2),
имеем hsaxs = z, т. е. z 6 (Hs) со.
Лемма 7.7. Пусть Н — подполугруппа инверсной полугруп-
полугруппы S и h^H. Тогда
(Ясо) h s Ясо.
Доказательство. Утверждение леммы следует непо-
непосредственно из предыдущей леммы, так как Hh s Я.
Лемма 7.8. Пусть Н — подмножество инверсной полугруппы S
и s ? S. Тогда
(Hs) со = ((Ясо) в) со.
Доказательство. В силу леммы 7.6 мы имеем
((Ясо) s) со с= (Hs) со2 = (Hs) со.
Обратное включение очевидно, так как Я s Ясо.
Напомним, что инверсной подполугруппой инверсной полу-
полугруппы S называется всякая подполугруппа Я, для которой
Я = # (§ 1.9, стр. 52).
Лемма 7.9. Пусть Я — инверсная подполугруппа инверсной
полугруппы S. Тогда Ясо является замкнутой инверсной подполу-
подполугруппой из S.
Доказательство. Так как со транзитивно, ясно, что
Ясо замкнуто! Пусть х, у 6 Ясо,.так что существуют hif h2 6 Я,
для которых ht(x)x и h2ti>y. В силу стабильности со мы имеем
hth^oixy. Отсюда ху 6 Ясо, так как Я является подполугруппой.
Этим установлено, что Ясо — подполугруппа.

60 Гл. 7. Инверсные полигруппы,
Далее, пусть ж(Е#<й, так что ha>x для некоторого h?H.
По лемме 7.3 А©^, откуда х'1 ? Ню, так как h~x 6 Н. Лемма
доказана.
Для дальнейшего полезно расширить нашу терминологию
и обозначения, касающиеся отношений эквивалентности. Пусть
S — множество и Г — подмножество из S. Пусть р — эквива-
эквивалентность на Т. Будем называть р также частичной эквивалентно-
эквивалентностью на S, множество Т — областью определения для р, a S \ Т —
дополнением области определения. Множество Tip р-классов ино-
иногда будет удобно обозначать через Sip. Легко проверить, что
бинарное отношение р на S является частичной эквивалентностью
тогда и только тогда, когда оно симметрично и транзитивно.
Область определения частичной эквивалентности р на S есть
множество Sp (= {х ? S | spa; для некоторого s 6 S}).
Пусть S — полутруппа и р — частичная эквивалентность на S.
Говорят, что р стабильна справа [слева], если для каждого s ? S
из apb следует либо что aspbs [sapsb], либо что ни as, ни bs [misa,
ни sb] не принадлежат области определения этой частичной экви-
эквивалентности. Стабильная справа [слева] частичная эквивалент-
эквивалентность на S называется частичной правой [левой] конгруэнцией.
Пусть т — произвольная правая конгруэнция на S и Т — объе-
объединение некоторых ее т-классов. Обозначим через р ограничение т
на Т. Тогда р является частичной правой конгруэнцией на S
с областью определения Т. Обратно, если р — частичная правая
конгруэнция на 5 с областью определения Т, то существует
правая конгруэнция т на S, ограничение которой на Т совпадает
с р. Этот результат приведен как следствие 10.5.
Отметим следующий технический прием, который мы будем
применять несколько раз. Если е — произвольный идемпотент
инверсной полугруппы S и х, у 6 S, то хесах, exwx и хеу&ху.
Теорема 7.10. Пусть К— инверсная подполугруппа инверсной
полугруппы S и со — естественный частичный порядок на S.
Положим Km = Н и определим пк следующим образом:
«к = {(s, t) ?S X S 1st-1 6 H).
Тогда лк — частичная правая конгруэнция на S с областью опре-
определения D к = {s 6 S | ss'1 6 Н}.
Классами эквивалентности по mod nK являются множества
(Ks) со (= (Hs) со) при s ? D к. Множество (Hs) о является клас-
классом эквивалентности, содержащим s, и, в частности, Н есть один
из пк-классов.
Доказательство. Из леммы 7.9 следует, что Н есть
замкнутая инверсная подполугруппа. В частности, так как
Н'1 ? Н, из st'1 ? Н вытекает ts'1 ? И. Таким образом, отноше-

§ 7.2. Частичные правке конгруэнции 61
ние пк симметрично. Пусть (s, t) и (t, и) принадлежат пк. Тогда
st'1 6 Н и tw1, ? Ня поэтому, так как Н является подполугруп-
подполугруппой, st~xtu~x ? Н. В силу того что t^t— идемпотент, имеем
st~Hu~x(dsu~x. Следовательно, su~x ? На = Н, так как Н замкну-
замкнуто. Таким образом, (s, и) ? пк, т. е. пк транзитивно. Итак, як —
частичная эквивалентность.
Очевидно, DK является областью определения для пк. Пусть
(а, Ъ) 6 л к, так что ab~x (Е H,vls ?S. Если as ? D к, то as (as) 6 Н.
Следовательно, as (as)'1 ¦ ab'1 = ass^a^ab'1 = aa^ass^b'1 =
= as(bs)~1?H. Таким образом, (as,bs)?nK и bs ? Dк. Этим
установлено, что як стабильно справа.
Остается доказать, что множества (Ks) со, где s'? Dк, являются
як-классами. Заметим сначала, что по лемме 7.8 мы имеем
(Ks) со = ((.йГсо) s) со для любого s ? S, т. е. (ifs) со = (Hs) со.
Пусть х 6 (#s) со, где s ? Dк. Тогда существует такое h ?Н,
что /тоя. Следовательно, Jiss^oixs. Далее, ss'1 6 Я, так как
я (: Dк. Таким образом, xs'1 ? Ясо = Я, т. е. xnKs. Следователь-
Следовательно, (Hs) со содержится в як-классе, которому принадлежит s.
Обратно, предположим, что xnKs, т. е. xs'1 g Я. Тогда as-1s 6 ^*
и, так как s^s является идемпотентом, х 6 (iTs) со. Это завершает
доказательство теоремы.
В случае когда инверсная полугруппа S в теореме 7.10 являет-
является группой, К является подгруппой, естественный частичный
порядок совпадает с отношением равенства, а як есть правая
конгруэнция на S, классы эквивалентности которой суть правые
смежные классы по подгруппе К. В общем случае мы будем гово-
говорить, что множества (Ks) со при s ? D к являются правыми ^-клас-
^-классами по К.
Теперь мы получим характеризацию частичных правых кон-
конгруэнции, определенных в теореме 7.10.
Лемма 7.11. Частичная правая конгруэнция, указанная в фор-
формулировке теоремы 7.10, удовлетворяет следующим трем условиям:
(i) в точности один пк-класс, а именно Кы, содержит идем-
потенты;
(и) каждый пк-класс замкнут (относительно со);
(ш) пк—с правым сокращением в том смысле, что (ах, Ъх) ? пк
влечет за собой, (а, 6) ? я?.
Доказательство, (i) Пусть е — идемпотент, принадле-
принадлежащий некоторому як-классу. Тогда (е, е) ? лк и потому е =
= ее ? Н (— Ко). Следовательно, Н — единственный як-класс,
' содержащий идемпотенты. Тот факт, что Н на самом деле содержит
идемпотенты, следует из инверсности полугруппы Н.
(ii) Это непосредственно следует из теоремы, так как со2 = со.
(ш) Пусть (ах, Ъх) 6 як, т. е. ах (Ьх)-1 ? Н. Тогда ахх~хЬ~х 6
6 Н и, так как хх~х является идемпотентом, а множество Н зам-

62 Гл. 7. Инверсные полугруппы
кнуто, имеем аЪ'1 ?Н, т. е. (а, Ь) б пк. Таким образом, пк —
частичная правая конгруэнция с правым сокращением.
Частичную правую конгруэнцию р на инверсной полугруппе,
обладающую свойствами (i), (ii) и (III) из предыдущей леммы,
т. е. такую, что (i) точно один р-класс содержит идемпотенты,
(ii) каждый р-класс замкнут и (iii) p с правым сокращением,
будем называть главной частичной правой конгруэнцией.
Справедливо утверждение, обратное утверждению леммы 7.11.
Теорема 7.12. (i) Пусть К — инверсная подполугруппа инверс-
инверсной полугруппы S и со — естественный частичный порядок на S.
Определим отношение пк, полагая
пк = {(s, t) б S X S | st'1 €
Тогда пк — главная частичная правая конгруэнция.
(ii) Пусть р — главная частичная правая конгруэнция на S
и К — ее р-класс, содержащий идемпотенты. Тогда К является
замкнутой инверсной подполугруппой из S и р = пк.
Доказательство. Утверждение (i) теоремы совпадает
с леммой 7.11.
Докажем (ii). Пусть (s, t) — элемент главной частичной правой
конгруэнции р. Так как t = tt'H и р является частичной правой
конгруэнцией, то (st~xt, tt~xt) б р. Так как р — конгруэнция
с правым сокращением, то (st'1, it'1) б Р- Но Н'1 является идем-
потентом и поэтому принадлежит р-классу К, содержащему идем-
идемпотенты. Следовательно, также и st'1 б К. Таким образом,
(s, t) 6 р влечет за собой sf 6 К.
Чтобы доказать обратное, мы сначала установим, что К
является замкнутой инверсной подполугруппой из S. Согласно
одному из предположений относительно р множество К замкнуто.
Если к ? К, то (к, к) 6 р, так что по только что доказанному
результату кк'1 6 К. Пусть h, к ? К. Тогда, поскольку кк'1 6 К
и К является р-классом, имеем (h, кк'1) 6 Р- Следовательно,
(hk, к) 6 р в силу того, что к = кк~гк 6 К. Таким образом, Кк ? К.
Этим доказано, что К является подполугруппой. Покажем, что
К допускает взятие инверсных элементов. Пусть к ? К, так что
(к, кк-1) б р. Отсюда (кк~г, кк'Ч-1) б Р- Из (кк'1) к^ак'1
и /с/с^ б К в силу замкнутости К получаем к'1 б К.
Таким образом, К является замкнутой инверсной подполу-
подполугруппой из S и st'1 б К тогда и только тогда, когда (s, t) (z лК-
Следовательно, мы показали, что рдяг. Обратно, пусть (s, t) б :
б пк. Тогда st'1 б К. По теореме 7.10 (s, t) б пк влечет за собой
tt'1 б К. Таким образом, {st'1, tt'1) б р. Ввиду того что р — -
частичная правая конгруэнция с правым сокращением, отсюда
вытекает (s, t) б р. Итак, пк Е р, и мы заключаем, что р = лк.
Теорема доказана.

§ 7.2. Частичные правые конгруэнции 63
Теперь мы приведем характеризацию главных частичных пра-
правых конгруэнции, которая отлична от характеризации Шайна
и которая отождествляет их с главными частичными правыми
конгруэнциями в смысле Дюбрея [1941].
Пусть S — произвольная полугруппа и Н — подмножество
из S. Для любого а ? S определим аУ'^Н и На^'1^, полагая
oI-ЧЯ = {х 6 S | ах е #},
Hal'1} = {х е S \ха 6 #}.
Используются и другие обозначения; Н .' а для а?~ЧЯ и Н • . а
для На*-'1!. Определим бинарные отношения Мн и Мн полагая!
Мн = {(а, Ь) eS X S | д[-ЧЯ = Ы-ЧН),
М = {(а, Ъ) eS X S | д[-ЧЯ = М-ЧЯ # 0 }.
Справедливо следующее утверждение. (Дюбрей [1941].)
Лемма 7.13. Пусть Н — подмножество полугруппы S. Тогда
Мц является правой конгруэнцией на S, а Мя — частичной пра-
правой конгруэнцией на S. Дополнение Wh области определения
частичной правой конгруэнции Мн является, если оно не пусто,
Мн-классом и Мн совпадает с ограничением правой конгруэнции
М на область определения для М
Доказательство. Ясно, что Мн есть отношение экви-
эквивалентности на S и Мн есть отношение частичной эквивалентно-
эквивалентности на S. Пусть (а, Ъ) 6 №п- Тогда a[~4#= Ы~*Ш и поэтому
для любого фиксированного элемента с ? S включение асх 6 Н
имеет место тогда и только тогда, когда Ъсх 6 Н, другими словами,
(ас, be) 6 Мн- Таким образом, Мн является правой конгруэн-
конгруэнцией на S.
Пусть WH — {х 6 S | aJ-ЧЯ = 0 }. Тогда WH есть, очевид-
очевидно, дополнение области определения частичной эквивалентности
Мн, и если WH не пусто, то оно является ^н-классом. Далее-
очевидно, что Мн совпадает с ограничением Мн на S \ WH.
Отношение Мн называется главной правой конгруэнцией (опре-
(определенной подмножеством Я), и Мн называется главной частичной
правой конгруэнцией (определенной подмножеством Н). Общее
рассмотрение этих отношений будет проведено в § 10.2. А пока
приведем лемму, оправдывающую нашу терминологию.
Лемма 7.14. Пусть Н —замкнутая инверсная подполугруппа
инверсной полугруппы S. Тогда пн = Мн и п н-классами являются
непустые множества Яа["Ч (а 6 S). Если На^'1^ ф 0 , то а~х ?
6 Наг-1!.
Доказательство. Пусть (а, Ъ) ? пн, т. е. аЪ~х 6 Н.
Тогда Ь 6 а[~1]Я, так что а^Щ Ф 0 . Для любого х, такого»

Гл. 7. Инверсные полугруппы
что ах?Н, мы тогда имеем ах {ах)'1 • аЪ~г ? Н. Следовательно,
аа~хахх'хЪ~х — ахх~хЪ~х ? Я. Таким образом, (ах, Ъх) (j ян. Отсю-
Отсюда Ъх 6 Я, так как Я есть ян-класс (лемма 7.11 (i)). Аналогично,
Ъх 6 Я влечет за собой ах 6 Я. Итак, а^Ш = Ы~ХШ Ф 0 ,
т. е. (а, Ъ) 6 $н- Таким образом, пн <= J?h-
Обратно, пусть (а, Ъ) 6 ^?н- Тогда ах, Ъх ?_ Н для некоторо-
некоторого х. Следовательно, (ах, Ъх) ? ян и, так как ян — конгруэнция
с правым сокращением (лемма 7.11 (iii)), (а, Ъ) ? лн. Таким
образом, Мн S ян, что вместе с предыдущим включением дает
Пусть (а, Ъ) 6 пн, так что ах, Ъх 6 Я для некоторого ж. Тогда
¦а,Ъ? Яг^!. Пусть I/ ? Яг^!, так что ух 6 Я. Тогда ах (ух)'1 =
= axx~xy~x 6 Я. Следовательно, ввиду замкнутости Я имеем
яг/ f Я, т.е. (а, у) 6 лн. Таким образом, лн-классом, содержа-
содержаЯ^1!
щ
Далее, пусть Яа!~Ч ф. 0 . Тогда za?H для некоторого z,
т. е. z (а) ? Я, откуда (z, a) 6 лн. Следовательно, как и выше,
ffat] есть Ян-класс, содержащий а.
Упражнения к § 7.2
1. Пусть р — частичная конгруэнция на S и А, В — два
^-класса. Тогда либо А В содержится в некотором р-классе, либо
АВ содержится в дополнении области определения для р.
2. Пусть F — замкнутое подмножество инверсной полугруп-
полугруппы S. Предположим, что ^"содержит идемпотент и. FF^F = F.
Тогда F является инверсной подполугруппой из S.
3. Пусть Я — замкнутая инверсная подполугруппа инверс-
инверсной полугруппы S и D — область определения для ян. Тогда
либо S \D пусто, либо S \D является правым идеалом в S.
Следовательно, Яни((? \ D) X (S \D)) есть правая конгруэн-
конгруэнция на S, ограничение которой на D равно лн.
4. Подмножество Я полугруппы S называется сильным (§ 10.2),
•если для'любых а, Ъ 6 S из а^Щ ПЬ[]Я Ф 0 следует а^Щ
Пусть Я — инверсная подполугруппа инверсной полугруп-
полугруппы S. Тогда Я будет сильным подмножеством в том и только в том
случае, когда она замкнута.
§ 7.3. Представления взаимно однозначными
частичными преобразованиями
Напомним, что через Jx MbI обозначаем симметрическую
инверсную полугруппу на X, т. е. полугруппу всех взаимно одно-
однозначных частичных преобразований множества X. Теорема 1.20
показывает, что любая инверсная полугруппа S может быть точно

§ 7.3. Представления частичными преобразованиями 65
представлена как полугруппа взаимно однозначных частичных
преобразований множества, а именно 5 может быть вложена
в Js. В этом параграфе мы изложим общую теорию представле-
представлений, не обязательно точных, инверсных полугрупп как полу-
полугрупп взаимно однозначных частичных преобразований.
Результаты, которые мы приводим, принадлежат Шайну
[1962]. См. также § 11.4, где изложена построенная Шайном [1961]
теория представлений произвольной полугруппы взаимно одно-
однозначными частичными преобразованиями. Другой подход для
случая инверсных полугрупп был предложен Рейли [1965]; мы
кратко опишем его в конце § 7.6.
Представления инверсных полугрупп изучались также
И. С. Понизовским [1964].*
Для удобства в этом параграфе мы условимся понимать под
представлением инверсной полугруппы S ее гомоморфизм <р
в некоторую симметрическую инверсную полугруппу Jx.
В общем случае справедливо, как мы увидим ниже (§ 7.4),
что гомоморфный образ инверсной полугруппы сам является
инверсной полугруппой и что при гомоморфизме образ элемента,
инверсного к данному, равен инверсному элементу для образа.
В нашем частном случае для представлений этот результат легко
можно получить следующим образом.
Лемма 7.15. Пусть ц>: S -> 3 х есть представление полугруп-
полугруппы S. Тогда для любого s (i S выполняется (scp) = s-1(p. Следова-
Следовательно, S(p является инверсной подполугруппой из Ух.
Доказательство. Пусть s 6 S. Тогда s = ss^s
и s'hs'1 = s. Следовательно,
«р = sq> • s~\ ¦ sq> и s^cp-scp-s^cp = s'1^.
Таким образом, в инверсной полугруппе 3 х элемент s~\ инверсен
к элементу мр (§ 1.9, стр. 48). Однако («ф) инверсен к«ф в Ух,
откуда в силу единственности инверсного элемента имеем
() = а-1ф.
Пусть Я — инверсная подполугруппа из Jx. Определим
тн = {(а> Ь) 6 X X X | (а, Ъ) 6 1] для некоторого г\ 6 Я}.
Тогда тн будем называть отношением транзитивности, соответ-
соответствующим подполугруппе Н.
Лемма 7.16. Если Н — инверсная подполугруппа из Jx, то
соответствующее ей отношение транзитивности хн является
частичной эквивалентностью на X.
Доказательство. Из определения произведения в Ух
и из того, что Н2 ? Н, следует транзитивность отношения хн\
Аналогично, из Н~х s H вытекает симметричность отношения хн.
5—100

66 Гл. 7. Инверсные полугруппы,
Классы эквивалентности отношения хн называются классами
транзитивности полугруппы Н. Говорят, что Н транзитивна
(на Ххя), если тн является универсальной эквивалентностью
на своей области определения, т. е. тн = {Ххя) X {Ххн). Таким
образом, Н транзитивна тогда и только тогда, когда для каждой
пары элементов хи х2 б Ххя существует некоторый элемент h б Я,
который, рассматриваемый как частичное преобразование множе-
множества X, переводит xt в х2. Говорят, что Н — эффективная под-
подполугруппа из 3XI если Ххн = X.
Пусть ф — представление инверсной полугруппы 5 в Ух.
Тогда говорят, что ф транзитцвно, если 5ф транзитивна, и q>
эффективно, если Sq> эффективна.
Пусть ф: S-t-Jx и Ф- S-*~$y — два представления полу-
полугруппы S. Тогда говорят, что ф и г}> эквивалентны, если суще-
существует такое взаимно однозначное отображение Э множества X
на Y, что для х, х' б X и $ б S включение (х, х') б яр выполняется
в том и только в том случае, когда (xQ, x'Q) 6 si|>, т. е. (х Eф))8=
= (ж9) sij) всюду, где определены обе части этого равенства.
Пусть ф{: S -> JXi (i 6 I) — семейство представлений инверс-
инверсной полугруппы S и множества Хг попарно не пересекаются.
Если последнее условие не выполняется, то его всегда можно
обеспечить, заменяя каждое ф1 эквивалентным представлением.
Прямой суммой или просто суммой представлений фг называется
представление ф, определенное следующим образом:
. 5ф = U {sq>t Мб/}.
Тогда ф: S -*¦ Ух> гДе X — U {X% | i 6 I}- Легко видеть, что
?ф изоморфно подпрямому произведению всех S(pt (i f /) (см.
замечания, предшествующие упражнению 10 к § 9.4). Далее,
5ф = ^ф тогда и только тогда, когда «pt = Щг для всех i. Следо-
Следовательно,
ф о ф-i = п {ф. о ф^11 i e /}.
Кроме того, если мы положим 5ф = Н и 5фг = #j (г g /), то
тн = U {тН{ Мб/}.
Теорема 7.17. Эффективное представлениеТинверсной полу-
полугруппы S есть сумма однозначно определенного семейства транзи-
транзитивных эффективных представлений этой полугруппы.
Доказательство. Пусть ф: S -*¦ Jx — эффективное
представление полугруппы S. Положим Sq> — Н. Пусть хн —
отношение транзитивности полугруппы Н и Xt (i б Г) — классы
транзитивности этой полугруппы. Тогда в силу эффективности

§ 7.3. Представления частичными преобразованиями $7
Для каждого i 6 I определим отображение ф|: S -> Jxi> полагая
Наконец, положим Sq>t = #г (i 6 -О-
Тогда каждое ф; является эффективным и транзитивным пред-
представлением полугруппы S. Докажем сначала, что ф4 есть пред-
представление. Рассмотрим (st) ф{, где 8, t ? S. Тогда (а, Ь) ? (sf) ф|
в том и только в том случае, когда (а, Ь) 6 X; X Ij и (а, Ь) 6
6 (st) ф = («ф) (ftp). Далее, (а, Ь) ? (*ф) (*ф) тогда и только тогда,
когда (а, с) 6 «Ф и (с, &) 6 *ф для некоторого с (j X. Из (а, с) 6 «Р
следует (а, с) 6 тн> и поэтому с ? Х4, так как а ? Х4. Таким:
образом, (а, Ь) 6 (st) цц тогдаги только тогда, когда (а, с) ? вф f)
П(Х| X Хг) = «pi и (с, Ь) ^ ftpD(-^i X Xt) — tq>t. Другими сло-
словами, (а, Ь) 6 (st) ф{ тогда и только тогда, когда (а, Ь) 6 (вф|) (tq>i)-
Итак, ф{ является представлением полугруппы S.
Пусть а, Ъ — два произвольных элемента из Xt. Так как
(а, Ъ) 6 тн, существует такое s ? S, что (а, Ъ) 6 *ф- Следовательно,
(а, Ъ) ? 5фг. Таким образом, tHj = Xt X Хг, т. е. Яг, а поэтому
Фг, транзитивно. Одновременно установлена и эффективность
представления ф j.
Из определения фг и Хг вытекает, что
*р = U {вф| Мб/}-
Таким образом, ф есть сумма семейства {ф,} эффективных транзи-
транзитивных представлений полугруппы S. ¦,
Осталось установить единственность семейства {фг}. Для этой
цели предположим, что ф является также суммой семейства
{$] I / 6 J) эффективных транзитивных представлений полугруп-
полугруппы S, где г|^: S -> Jy, и множества У^ попарно не пересекаются.
Из определения суммы представлений непосредственно следует,
что
Положим .Sip; = К). Так как т}^ транзитивно и эффективно для
каждого /, имеем
¦ Следовательно,
тн = U {xKj I) 6 /} = U {У, X У, | / б /}. B)
; Сравнивая A) и B), мы видим, что множество {j |/б}
совпадает с множеством {Xj | i б /}• А поскольку для каждого j
«семейства {ij^} и {фг} совпадают.

68 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Учитывая, что произвольное эффективное представление рас-
расщепляется в сумму транзитивных эффективных представлений,
мы изучим теперь транзитивные представления и получим харак-
теризацию Шайна таких представлений, используя главные час-
частичные правые конгруэнции из предыдущего параграфа.
Пусть ф: S -> Jx — представление полугруппы S и х ? X,
Положим
Элементы из Sx назовем элементами, фиксирующими х (относитель-
(относительно ф).
Лкмма 7.18. Пусть ф: S -> 3х — представление инверсной
полугруппы S и х ? X. Тогда Sx, если оно не пусто, является
замкнутой инверсной подполугруппой из S. Ясно, что Sx не пусто,
если ф эффективно.
Доказательство. Очевидно, если s, t ? Sx, то (х, х) ?
6 («р) {Щ) = (st) ф и поэтому st 6 Sx. Далее, (х, х) 6 «р влечет
за собой (х, х) ? («р) = *-1ф (лемма 7.15). Таким образом, Sx
является инверсной подполугруппой из S.
Предположим теперь, что suit, где со есть естественный порядок
на S и s 6 Sx. Тогда ts'1 = ss'1 и поэтому (?ф) («-1ф) = («ф) E-1ф).
Так как (ж, х) 6 «ф П5?' отсюда следует, что (ж, х) 6 ?ф. Таким
образом, Sx замкнуто.
Это завершает доказательство леммы.
Пусть Н — произвольная инверсная подполугруппа инверс-
инверсной полугруппы S, пн — главная частичная правая конгруэнция,
определенная при помощи Н, и ?С — множество правых со-клас-
сов по Н, т. е. ?С есть множество ян-классов или, другими слова-
словами, множество всех таких (Hs) со, что ss'1 6 Н (теорема 7.10),
где s 6 S и со есть естественный частичный порядок на S. Опре-
Определим отображение фн; S -*¦$%, где через ЗВ% обозначена
полугруппа всех бинарных отношений на St? (§ 1.4), полагая
для s6 S
5фн = {(X, (Xs) со) | X б SC и (Xs)co€^T}. C)
Лемма 7.19. Пусть Н — замкнутая инверсная подполугруппа
инверсной полугруппы S. Тогда фн, определенное при помощи
формулы C), является эффективным транзитивным представле-
представлением полугруппы S в J <%, где ?? есть множество правых (о-классов
по Н. Подмножество Н совпадает с множеством всех элементов,
фиксирующих элемент Н из 37.
Доказательство. Так как пн есть частичная правая
конгруэнция, для любого s б S либо Xs содержится в дополне-
дополнении области определения отношения пн, либо Xs содержится

§ 7.3. Представления частичными преобразованиями 69
в некотором элементе из 37. В последнем случае легко видеть,
что этот элемент равен (Xs) со. В самом деле, пусть X = (Ht) со.
Тогда, применяя лемму 7.8 к множеству Ht, мы получаем (Xs) со =
= (((Ht) со) s) со = ((Hi) s) со = (Hts) со. Далее, (Hts) со является
элементом из 37 тогда и только тогда, когда (Ht) cos = Xs содержит-
содержится в некотором элементе из 37, что доказывает наше утверждение.
Из того факта, что лн — частичная конгруэнция с правым
сокращением (лемма 7.11), вытекает взаимная однозначность ото-
отображения scpH (мы считаем, в частности, что пустое отношение
взаимно однозначно). Следовательно, срн отображает S в J^.
Элемент X = (Ht) со из 37 переводится отображением t~\H
в (Htt'1) со = Я, и если ss'1 6 Я, то Я переводится отображением
«рн в (Hs) со. Если мы установим, что срн есть представление полу-
полугруппы S, то отсюда будет следовать одновременно и эффектив-
эффективность, и транзитивность срн.
Пусть s, t 6 S. Тогда (X, Y) 6 (st) <pH в том и только в том слу-
случае, когда Y = (Xst) со и Xst содержится в некотором ян-классе.
Так как пн — конгруэнция с правым сокращением, Xst содержит-
содержится в некотором ян~классе только тогда, когда Xs содержится
в некотором лн-классе. Следовательно, (X, Y) 6 (st) <pff тогда
и только тогда, когда (X, Z) 6 syH и (Z, Y) 6 tq>H, где Z = (Xs) со ?
6 37. Отсюда (st) <pH — (scpH) (*фя)- Таким образом, срн является
представлением.
Осталось определить подмножество SH из S, фиксирующее
элемент Я из 37. Так как Hh s Я, очевидно, Я s SH. Обратно,
пусть s — произвольный элемент из SH. Тогда (Hs) со = Н.
По теореме 7.10 (Hs) со есть лн-класс, содержащий s. Следова-
Следовательно, s ? Н. Таким образом, SH s Я. Итак, Sн = Я, что и тре-
требовалось доказать.
Лемма 7.20. Пусть ср: S ->- Jy — транзитивное эффективное
представление полугруппы S и у ?Y. Положим Н = Sv. Тогда
Ф эквивалентно срн.
Доказательство. Согласно лемме 7.18 Sy является
замкнутой инверсной подполугруппой из S, так что обозначение
Фн оправдано. Пусть 37 обозначает множество правых со-клас-
сов по Я. Так как ф эффективно и транзитивно, для любого у' 6 Y
существует такой элемент s ? S, что у (вф) == у'. Определим ото-
отображение 8, полагая
y'Q = (Hs) со, если у' 6 У и у' = у (sq>).
Заметим сначала, что (Hs) со 6 37. В самом деле, (у, у) 6
? (scp) (s(f>)~1—(ss~1)<p. Следовательно, 5«~Х6Я, откуда (теорема 7.10)
(Hs) а>е37.
Докажем, что 8 является взаимно однозначным отображением
Y на 37. Рассмотрим сначала такие s ж t, что у' = у (sq>) = у (?<р).

70 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Тогда (у, у') б «ф ГJф- Таким образом, st'1 6 Я, т. е. (s, t) 6 пя,
и поэтому в силу теоремы 7.10 (Hs) со = (Ht) со. Это показывает,
что 0 действительно является (однозначным) отображением, а так
как ф эффективно и транзитивно, 8 отображает У в J.
Предположим теперь, что y'Q = y"Q, т. е. что (Hs) со = (Ht) со,
где у' — у («р) ж у" = у (ftp). Тогда по теореме 7.10 (s, /) 6 ян,
так что st'1 6 Я. Следовательно, (у, у) 6 (й) ф = («р) (?-1ф) =
== sq> (ftp). Так как (у, у') 6 «ф и (у, у") 6 ftp, отсюда вытекает
у' = у". Это показывает, что 9 взаимно однозначно.
. Пусть (Hs) со — произвольный элемент из ?Р. Тогда ss~x ? Н,
и поэтому (у, у) 6 (ss~x) ф = ($ф) (вф). Таким образом, (у, у') 6 «р
для некоторого у' ? У, откуда следует, что г/'0 = (Яв) со. Это
показывает, что 9 отображает Y на SV.
Для того чтобы доказать эквивалентность ф и сря, достаточно
установить, что для любого s 6 S включение (у', у") 6 «р имеет
место тогда и только тогда, когда (y'Q, y"Q) 6 «Ря- Выберем такие
? и Г, что (у, у') 6 *'ф. С», У") 6 «V Тогда у'8 = (Н?) со и /8 =
= (ЯГ) со. Теперь получаем следующую серию эквивалентных
условий:
((ЯО со, (#О со) 6 «Ф»; (ЯО со = (Я***) со;
(*", t's) 6 ян; f (t's)-i 6 Я; (у, у). 6 (*» ((f5) ф).
Но так как (у, у") 6 **ф, последнее имеет место тогда и только
тогда, когда (у,-у") 6 (*'«) ф = (*'ф) («р)- Так как (i/, у') 6 *'ф»
это равносильно тому, что (у'i у") 6 «р- Таким образом, ф и фн
эквивалентны. Доказательство деммы закончено.
Имеет место утверждение, обратное к лемме 7.20.
Лемма 7.21. Пусть ф: S -+¦ Jr—представление инверсной
полугруппы S и Я — замкнутая инверсная подполугруппа из S.
Предположим, что ф эквивалентно фн. Тогда существует такой
элемент у0 6 Y, что Я = SVlt есть множество всех элементов
из S, фиксирующих г/о-
! Доказательство. По предположению существует
взаимно однозначное отображение 9 правых со-классов по Н
на Y. Полугруппа Н является правым со-классом по Я (теоре-
(теорема 7.10). Положим HQ = у0. Тогда из определения эквивалент-
эквивалентности вытекает, что
(Я (s<pH)) 9 = у0
и, так как 9 взаимно однозначно,
Я («рнУ = Я тогда и только тогда, когда у0 (вф) = у0.
Таким образом, s фиксирует правый со-класс Я тогда и только
т;огда, когда s фиксирует элемент у0. Следовательно, по лемме 7.19
Я = Syo.

§ 7.3. Представления частичными преобразованиями 71
Сопоставляя леммы 7.19—7.21, мы получаем следующую харак-
теризацию эффективных транзитивных представлений инверсных
полугрупп. Представление ц>н из леммы 7.19 будем называть
представлением полугруппы S на правых а-классах по Н.
Теорема 7.22 Пусть Н — произвольная замкнутая инверсная
подполугруппа инверсной полугруппы S. Тогда представление полу-
полугруппы S на правых а-классах по Н эффективно и транзитивно.
Кроме того, Н совпадает с множеством всех элементов из S,
фиксирующих правый ay-класс Н.
Пусть ф: S —>- Jy — эффективное транзитивное представле-
представление полугруппы S. Пусть у ?Y и Н = Sy есть множество всех
элементов из S, фиксирующих у относительно <р. Тогда Н является
замкнутой инверсной подполугруппой и представление ф эквива-
эквивалентно фн. Если К — произвольная замкнутая инверсная под-
подполугруппа из S, такая, что представление ф эквивалентно фк,
то К совпадает с множеством всех элементов из S, фиксирующих
некоторый элемент из Y.
Основываясь на этом подходе, мы выведем теперь другое
доказательство того факта, что каждая инверсная полугруппа
имеет точное представление (взаимно однозначными частичными
преобразованиями множества). Для этой цели мы сначала найдем
характеризацию конгруэнции ц>н ° фй1- Отношение, определенное
в лемме 7.23, есть главная конгруэнция Круазо [1957], которая
будет рассмотрена в § 10.4.
Лемма 7.23. Если Н — замкнутая инверсная подполугруппа
инверсной полугруппы S и фн — представление полугруппы S
на правых ы-классах по Н, то
<Рн "фя1 = {(ж, у) 6 S X S | sxt 6 Н тогда и только тогда, когда
syt 6 Н для s, t 6 S}.
Доказательство. По определению C) представления фя
включение ((Hs) со, {Ht~l) со) 6 Щн имеет место тогда и только
тогда, когда sxnnt~x, т. е. когда sxt 6 Н. Отсюда непосредственно
вытекает заключение леммы.
Пусть е — некоторый идемпотент инверсной полугруппы S.
Тогда еа> является замкнутой инверсной подполугруппой из S
(лемма 7.9). Для Н = ею мы пишем фе вместо фн- Если е и / —
идемпотенты, то есо = /со тогда и только тогда, когда е = /.
Теорема 7.24. Пусть Е — множество всех идемпотентов инверс-
инверсной полугруппы 5иф- сумма семейства {фе | е 6 Е} представле-
представлений полугруппы S. Тогда ф является точным представлением.

72 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Доказательство. Пусть хц> = щ. Тогда хц>е = уц>е
для всех е 6 Е. Следовательно, по лемме 7.23 sxt 6 «со тогда
и только тогда, когда syt 6 eat для каждого е ? Е. В частности,
хх^вьхх'^-х-х'1 тогда и только тогда, когда хх^юхх^-у-х'1.
Так как хх~хух~хщх~х, отсюда следует, ^что хх~ха>ух~х. Таким
образом, х = хх~ххтух~ххщ, т. е. хщ. Аналогично, усож. Следо-
Следовательно, х = у. Теорема доказана.
Пусть Н и К — две замкнутые подполугруппы инверсной
полугруппы S. Если фн эквивалентно ц>к, то говорят, что Н и К
сопряжены.
Из теоремы 7.22 непосредственно вытекает
Лемма 7.25. Замкнутые инверсные подполугруппы Н и К
инверсной полугруппы S сопряжены тогда и только тогда, когда
Н совпадает с множеством всех элементов из S, фиксирующих
некоторый правый (о-класс по К (относительно представления
на правых а-классах по К).
Лемма 7.26. Пусть Н — замкнутая инверсная подполугруппа
инверсной полугруппы S и аа~г ? Н, так что (На) со является пра-
правым <й-классом по Н. Тогда элементы из а~гНа фиксируют правый
(й-класс (На) со.
Доказательство. Утверждение очевидно, потому что
(На) (а-гНа) s На.
Эта лемма приводит к следующей характеризации сопряжен-
сопряженных подполугрупп.
Теорема 7.27. Замкнутые инверсные подполугруппы Н, и К
инверсной полугруппы S сопряжены тогда и только тогда, когда
существует такой элемент а ? S, что
а-^На = К и аКа-1 s H.
Каждый такой элемент обязательно удовлетворяет условиям
аа-1 е Я, а~Ч 6 К.
Доказательство. Предположим, что Н и К сопряже-
сопряжены. В силу леммы 7.25 существует такой правый со-класс (На) со
по Н, что К совпадает с множеством всех элементов из S, фикси-
фиксирующих (На) со. На основании леммы 7.26 мы тогда заключаем,
что а~гНа s К. Так как (На) со есть правый со-класс по Н, мы
также имеем аа-1 6 Н.
Снова из того факта, что К фиксирует (На) со, получаем
(НаК) со = (На) со, а это говорит о том, что каждый элемент из
аК эквивалентен а по модулю главной частичной правой кон-
конгруэнции пн. Таким образом, аКа~г s H. Далее, так как а~га,
очевидно, фиксирует (На) со, имеем а~ха 6 К.

§ 7.3. Представления частичными преобразованиями 73
Обратно, предположим, что существует элемент а, для кото-
которого а'1 На = К и аКа'1 = Я. Тогда a (a~lHa) a'1 s aZcr1 s Я.
Пусть е — произвольный идемпотент из Я. Тогда аа^-е-аа'1 —
— аа-г-е ? Я и из того факта, что Я замкнуто, вытекает включе-
включение аа~х ? Я. (Аналогично,, имеет место а~га ? К.) Следовательно,
(На) со является правым со-классом по Н. Для завершения доказа-
доказательства сопряженности подполугрупп Н и К достаточно устано-
установить, что К совпадает с множеством всех элементов из S, фикси-
фиксирующих (На) со.
Пусть х фиксирует (На) со. Тогда (Нах) со = (На) со и поэтому
аха'1 6 Н. Таким образом, а~гаха~га ? а~гНа s К, откуда в силу
замкнутости К следует, что х ? К. Обратно, если к ? К, то
ака'1 6 Н, т. е. акпна. Отсюда (Нак) со = (На) со, т. е. к фикси-
фиксирует (На) со. Доказательство завершено.
Если инверсная подполугруппа Н инверсной полугруппы S
сопряжена только сама с собой, то говорят, что она самосопряже-
самосопряжена. Обозначим через DH, как и в теореме 7.10, область определе-
определения {s | ss 6 Н} отношения пн. В случае когда Н самосопряже-
самосопряжена, D н является инверсной подполугруппой из S и срн отличается
лишь тривиально от представления полугруппы D н. Далее,
DHq>H является группой. Приступим к доказательству этих,
утверждений.
Лемма 7.28. Замкнутая инверсная подполугруппа Н инверсной
полугруппы S самосопряжена тогда и только тогда, когда s^Hs s
? Н для всех s 6 D н.
Доказательство. Пусть s ? D н. Тогда (Hs) со являет-
является правым со-классом по Н. По лемме 7.26 s^Hs фиксирует
(Hs) со, и поэтому в силу теоремы 7.22 и леммы 7.25 s^Hs содер-
содержится в полугруппе, сопряженной с Н. Если Н самосопряжена,,
то отсюда следует, что s^Hs = Н.
Обратно, предположим, что s~xHs^H для всех s?DH.
Пусть К — подполугруппа, сопряженная с Н. Тогда на основа-
основании леммы 7.25 существует правый со-класс (На) со по Н, фикси-
фиксируемый подполугруппой К. Таким образом, если к ? К, то-
(Нак) (о = (На) со и поэтому ака~х ?Н. По предположению и в силу
того, что а ? Dн, имеем а~хНа = Н. Следовательно, a (aka~x) a ?
6 а~гНа s Н. Но a^a-ka^aatk, и поэтому в силу замкнутости Н
выполняется к ? Н. Таким образом, К = Н.
Так как а~хНа s Н и аа~х 6 Я, имеем а^адг^а = а~ха 6 Я.
Следовательно, а~х 6 .Он и поэтому аНа'1 s Я. Тогда для любого-
А'6 Я выполняется ahnHa, т. е. (Hah) со = (Яа) со. Таким обра-
образом, каждый элемент из Я фиксирует (Яа) со. Отсюда Н S К.
-Следовательно, Я = К, и это показывает, что Я самосопря-
самосопряжена.

74 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Лемма 7.29. Пусть Я — самосопряженная замкнутая инверс-
инверсная подполугруппа инверсной полугруппы S. Тогда D н есть замк-
замкнутая инверсная подполугруппа из S.
Доказательство. Пусть s ?DH. По лемме 7.28
s^Hs е Я. Следовательно, так как ss~l ? Я, имеем s'H =
= s'1 {ss'1) s 6 Я. Таким образом, s~r^DH.
Пусть s, t 6 D ц. Тогда s^^Dh, как только что показано,
и поэтому в силу леммы 7.28 sHs-1 s Я. Следовательно, посколь-
поскольку W1 ? Я, имеем st (st'1) = stt'h'1 ? sHs'1 s Я. Таким образом,
steDH.
Осталось установить замкнутость D н. Для этой цели рассмо-
рассмотрим s 6 Dн и такое t, что satt. По лемме 7.3 s^ayt'1, и поэтому
на основании леммы 7.2 ss^mtt'1. Следовательно, в силу замкну-
замкнутости Я и того, что ss'1 € Я, имеем W1 6 Я, т. в. t ?DH. Это
завершает доказательство леммы.
Пусть S — произвольная полугруппа и U — подмножество
из S. Говорят, что U унитарно слева [справа] в S, если из и 6 U
я их ? U [хи 6 U] для х ? S вытекает х 6 U. Говорят, что под-
подмножество U унитарно в S, если оно унитарно в S как слева,
так и справа.
Лемма 7.30. Пусть Я — самосопряженная замкнутая инверс-
инверсная подполугруппа инверсной полугруппы S. Тогда множество DH
унитарно в S.
Доказательство. Пусть и, их ? D н. Тогда ихх~ги~г ?
6 Я и по лемме 7.28
и^и-хх'1 — и'1 (ихх^и-1) и 6 и~хНи е Я.
Так как Я замкнуто, хх~х 6 Я, т.е. x?DH. Таким образом,
DH унитарно слева.
Тот факт, что D н унитарно справа, доказывается аналогично.
Лемма 7.31. Пусть Я — самосопряженная замкнутая инверс-
инверсная подполугруппа инверсной полугруппы Sus^S\DH. Тогда
— 0-
Доказательство. Пусть X,Y — правые ш-классы по
Я. Тогда (X, Y) 6 «рн в том и только в том случае, когда X =
= (Яг) со и Y = (Hxs) со для некоторого х 6 D н. Таким образом,
{X, Y) 6 «Фн тогда и только тогда, когда х$ ? DH для некоторого
х ^ D н. Так как в силу предыдущей леммы D н унитарно, xs ?DH
влечет за собой $ 6 DH. Следовательно, из (X, Y) 6 «фн вытекает,
что $ ?DH, а это противоречит предположению. Лемма доказана.
Лемма 7.32. Пусть Я — самосопряженная замкнутая инверс-
инверсная подполугруппа инверсной полугруппы S и s ? DH. Тогда ярн
является подстановкой на множестве правых а>-классов по Я.

§ 7.3. Представления частичными преобразованиями 75
Доказательство. Мы знаем уже, что «фн есть взаимно
однозначное частичное преобразование множества правых ©-клас-
©-классов по Н (лемма 7.19). Пусть X — произвольный правый ©-класс
по Н, так что X = (Нх) © для некоторого х ?DH. В силу лем-
леммы 7.29 xs dDH, и поэтому (Hxs) © = Y есть правый ©-класс
по Н. Таким образом, для каждого правого ©-класса X по Н
существует такое Y, что (X, Y) ? «Рн-
Аналогично, мы видим, что (Hxs'1) со = Z является правым
©-классом по Н и (Z, X) 6 «фн- Это завершает доказательство
леммы.
Из предыдущих четырех лемм вытекает следующая
Теорема 7.33. Пусть Н — самосопряженная замкнутая инверс-
инверсная подполугруппа инверсной полугруппы S, D н — {s \ ss'1 ? Н}
и фн — представление полугруппы S на правых ю-классах по Н.
Тогда
(i) DH есть замкнутая унитарная инверсная подполугруппа
из S;
(ii) если DH = S, то 5фн есть группа подстановок правых
(о-классов по Н;
(ш) если S \DH = WH=?0, то WHqH равно пустому
отображению, DHq>H есть группа подстановок правых ы-классов
по Н и, следовательно, Sq>H есть группа с нулем.
К изучению гомоморфизмов полугруппы на группу мы еще
вернемся в гл. 10. (См. упражнения к § 10.2.) Гомоморфизмы
инверсных полугрупп на группы рассматриваются в § 7.7.
Упражнения 3 и 4 к настоящему параграфу дают новые харак-
теризации самосопряженных замкнутых инверсных подполугрупп
инверсной полугруппы.
Упражнения к § 7.3
1. Пусть 5 — полуструктура и ф; S -*¦ Jx — ее транзитив-
транзитивное эффективное представление. Тогда | X \ = 1. Следовательно,
S не имеет точных транзитивных представлений при \ S \ >2.
(Шайн [1962].)
2. Пусть S — полуструктура. Тогда никакие две различные
замкнутые инверсные подполугруппы из S не сопряжены. Если
Н — произвольная замкнутая инверсная подполугруппа из S,
то ян есть универсальная конгруэнция на своей области опре-
определения, равной Я.
3. Подполугруппа инверсной полугруппы является замкну-
замкнутой инверсной подполугруппой тогда и только тогда, когда она
унитарна. ,

76 Гл. 7. Инверсные полугруппы
4. Унитарная подполугруппа Н инверсной полугруппы S
самосопряжена тогда и только тогда, когда для любых х, у ? S
из ху 6 Н следует ух ? Н, т. е. .тогда и только тогда, когда
Н рефлексивна (см. § 10.2).
5. Пусть R — некоторый ^?-класс инверсной полугруппы S.
Для каждого а ? S определим следующим образом частичное пре-
преобразование ра множества R: область определения отображения ра
равна R flScr1 (= R [\Saa-1) и для каждого х 6 R QSa'1 положим
хра = ха.
(a) Пусть е — идемпотент из R (следствие 2.19 (i)). Тогда
х ? R f| Saa~x в том и только в том случае, когда ех — х, хх'1 — е
и хаа~г = х.
(b) ра есть взаимно однозначное отображение R f| Saa'1 на
RflSa^a и pa-i обратно к нему.
(c) РаРь — Раь Для всех а, Ъ 6 S. (Как и в доказательстве тео-
теоремы 1.20, трудность состоит лишь в установлении равенства
двух областей определения.)
(d) pR: a -»- ра есть транзитивное представление S взаимно
однозначными частичными преобразованиями. Когда R пробе-
пробегает ^?-классы полугруппы S, представление рн пробегает транзи-
транзитивные компоненты (теорема 7.17) представления Вагнера —
Престона из теоремы 1.20.
(e) Если полутруппа S 0-бипроста и R Ф 0, то рк точно.
(Рейли [1965], теорема 1.31.)
§ 7.4. Гомоморфизмы инверсных полугрупп
В этом параграфе мы докажем сначала, что любой гомоморф-
гомоморфный образ инверсной полугруппы является также инверсной
полугруппой. Затем мы установим, что любая конгруэнция на
инверсной полугруппе однозначно определяется заданием своих
классов эквивалентности, содержащих идемпотенты. Эти резуль-
результаты получены Вагнером [1953] и независимо Престоном [1954а].
Имеется несколько способов, посредством которых можно восста-
восстановить конгруэнцию по тем или иным определяющим ее классам
эквивалентности. Мы изложим здесь метод, принадлежащий Пре-
Престону [1954а].
Лемма 7.34. Пусть <р: S —>- S' — гомоморфизм инверсной полу-
полугруппы S на S' и е' — идемпотент из S'. Тогда е'ф есть инверс-
инверсная подполугруппа из S.
Доказательство. Пусть а, Ъ 6 е'ф. Тогда (ab) ц> =
= аф&ф = (е'У = е'. Таким образом, аЬ 6 е'у~г. Следовательно,
е'ф — подполугруппа из S. Далее, пусть а^е'ф. Положим
х' = а~\. Из аа~ха — аи а~1аа~г = а'1 мы получаем е'х'е' = е'
и х'е'х' = х'. Из (аа-1) (а^а) = {a~ra) (aa) вытекает, что

. § 7.4. Гомоморфизмы инверсных полугрупп 77
{е'х') (х'е') = (х'е') (е'х'). Следовательно,
е' = е'х'е' = е' (х'е'х') е' = е' {х'е'е'х') е' =
= е' (е'х'х'е') е' = е'х'х'е' = х'е'х' = х'.
Отсюда а-1ф = е', т. е. а 6 е'ф. Это завершает доказательство
леммы.
Лемма 7.35. Пусть ф: S -*¦ S' — гомоморфизм регулярной полу-
полугруппы S на полугруппу S'. Тогда S' регулярна.
Доказательство. Пусть а' = ац> — произвольный эле-
элемент из S' и х — элемент, инверсный к а в S. Тогда, очевидно,
.хц> инверсен к а' в S'. Так как каждый элемент из 5' имеет
инверсный к нему элемент, полугруппа S' регулярна.
Теорема 7.36. Гомоморфный образ инверсной полугруппы яв-
является инверсной полугруппой. Кроме того, при любом гомомор-
гомоморфизме элемент, инверсный к данному, отображается на элемент,
инверсный к образу данного элемента.
Доказательство. Пусть ф: S -»- 5' — гомоморфизм
инверсной полугруппы S на полугруппу >S". В силу леммы 7.35
S' регулярна. По лемме 7.34 каждый идемпотент из S' является
•образом некоторого идемпотента из S. Так как идемпотенты в S
коммутируют, отсюда следует, что идемпотенты из S' образуют
-полуструктуру. Тот факт, что 5' есть инверсная полугруппа,
теперь вытекает из теоремы 1.17.
Осталось установить, что а-1ф = (аф) для а 6 S. Из равенств
х ^1 1
аа~ха = а и а^аа'1 = а'1 вытекает, что
ац> (а^ф) йф = аф и а-1ф (вмр) а-1ф = а^ф.
Таким образом, а~\ является инверсным для ац>, откуда
в силу единственности инверсного элемента а-1ф = («ф).
Следствие 7.37.. Если А —идеал полугруппы S, то S инверсна
тогда и только тогда, когда А и факторполугруппа Риса SIA
инверсны.
Доказательство. Пусть S — инверсная полугруппа.
Так как SIA является гомоморфным образом S, в силу теоремы 7.36
S/A инверсна. Далее, пусть а ? А. Тогда, так как А является
идеалом, а = а^аа'1 ?А. Следовательно, 4 g 4, т. е. А
является инверсной полугруппой.
Обратно, предположим, что А и SIA — инверсные полугруп-
полугруппы. Пусть а 6 S. Если а ? А, то существует такой единственный
х 6 А, что аха = а и хах = х. Далее, так как А — идеал, хах 6 А
для любого х 6 S. Следовательно, существует единственный х 6 S,
удовлетворяющий указанным равенствам. Если а 6 S \ А, то,
цоскольку S/A инверсна, существует единственный элемент

78 Гл. 7. Инверсные полугруппы
х 6 S \ А, для которого аха = аи хах = х. Любой такой х ? S
должен принадлежать S \ А снова ввиду того, что А является
идеалом. Следовательно, S является инверсной полугруппой.
Пусть S — произвольная полугруппа и <4 = {At \ i € 1} —
множество ее попарно не пересекающихся подмножеств. Говорят,
что Л есть допустимое [слева, справа] множество подмножеств
иг S или что оно допустимо [слева, справа] в S, если существует
такая [левая, правая] конгруэнция р на S, что каждое из мно-
множеств At (i ?/) является р-классом. Обратно, о каждом таком
р говорят, что оно допускает Jk. Если Jb допустимо [слева, спра-
ва1 и существует точно одна [левая, правая] конгруэнция на S,
допускающая <А, то говорят, что <А—нормальное [слева, справа}
множество подмножеств из S или что оно нормально [слева, спра-
справа] в S. Например, если S — группа и р — конгруэнция на
ней, то любое непустое множество р-классов нормально в S.
К рассмотрению допустимых и нормальных множеств мы вер-
вернемся еще в § 10.1. А сейчас мы хотим установить, что для любой
конгруэнции р на инверсной полугруппе S множество всех р-клас-
р-классов, содержащих идемпотенты, нормально в S. Это вытекает и»
следующего более общего результата.
Теорема 7.38. Пусть S —регулярная (в частности, инверс-
инверсная) полугруппа, р — конгруэнция на ней и Л — множество-
р-классов, содержащих идемпотенты. Тогда <А нормально в S.
Доказательство. Пусть а — произвольная конгруэн-
конгруэнция на S, допускающая Д. Достаточно установить, что а = р.
Пусть (ж, у) б а. Так как S регулярна, существуют такие
а, Ь g S, что хах = х, аха = а, уЬу = у, ЬуЪ = Ь. Отсюда сле-
следует, в, частности, что ха и by являются идемпотентами.
Так как о стабильна справа, (ха, уа) ? а и в силу стабильно-
стабильности слева аналогичным образом (bx, by) (; о. Ввиду того что по
предположению а допускает Jt, а-класс, содержащий идемпо-
тент ха, совпадает с р-классом, содержащим ха. Таким образом,
(ха, уа) 6 р; аналогично, (bx, by) 6 р-
Подходящим образом используя стабильность слева и справа
отношения р, мы получаем
х = хах,
(хах, уах) 6 р,
уах = ybyax,
(уЪуах, уЪхах) 6 р,
уЪхах = ybx,
(уЪх, уЪу) в р,
уЬу = у.
Отсюда в силу транзитивности отношения р получаем (х, у) 6 Р-

§ 7.4. Гомоморфизмы инверсных полугрупп 79>
Следовательно, asp. Меняя ролями аир, можно аналогично
доказать, что pso, Отсюда следует заключение теоремы.
Для инверсных полугрупп справедлив более сильный
результат.
Теорема 7.39. Пусть S — инверсная полугруппа, р — левая
конгруэнция на ней и Л — множество р-классов, содержащих
идемпотенты. Тогда Jk нормально слева в S.
Доказательство. Пусть a — произвольная левая кон-
конгруэнция на S, допускающая Jk. Как и в доказательстве теоре-
теоремы 7.38, достаточно установить, что asp.
Пусть (х, у) ? а. Поступая точно так же, как и в доказатель-
доказательстве предыдущей теоремы, но используя теперь лишь стабиль-
стабильность слева, мы получаем
(х'Ч, х-*у) бри (у-1х, y-iy) ? р.
Далее, мы выводим
х = хх^х,
(хх~гх, хх~1у) 6 р,
хх~гу = уу-Чх^у,
так как идемпотенты в S коммутируют,
(уу-Чх^у, уу-Чх-Ч) 6 р,
уу-Чх'Ч = уу~хх,
(УУ~Ч, уу~гу) 6 Р -
УУ~гУ = У-
Отсюда в силу транзитивности отношения р получаем, что (х, у) ?
6 р. Теорема доказана.
По теореме 7.38 и определению нормальности конгруэнция р
на инверсной полугруппе S однозначно определяется нормальным
множеством Jk всех р-классов, содержащих идемпотенты. Присту-
Приступим теперь к отысканию характеризаций таких множеств Jk
и описанию конструкции для соответствующих конгруэнции.
Множество Jk = {At \ i ? 1} называется нормальной ядерной
системой инверсной полугруппы S, если
(К1) каждое At является инверсной подполугруппой из S;
(К2) AiflAj = 0 при 1ф)\
(КЗ) каждый идемпотент из S содержится в некотором At 6 Л',
(К4) для любых а б S и i 6 / существует такое /, что a-1^jas
S Aj\ мы будем писать / = ia, так что a~rAta s Aia;
(К5) если а, аЪ, ЬЪ~г 6 At, то Ъ 6 Аг.
Возможны некоторые вариации в выборе этих условий (см.»
например, упражнения 6 и 8 ниже).

80 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Пусть ф — гомоморфизм инверсной полугруппы S. Мно-
Множество идемпотентов полугруппы iS7(<p о ф) будем называть ядром
ГОМОМОрфиЗМа ф (И КОНГруЭНЦИИ f о ф).
Лкмма 7.40. Пусть р — конгруэнция на инверсной полугруп-
полугруппе S. Тогда ядро конгруэнции р является нормальной ядерной
системой полугруппы S.
Доказательство. Пусть Jb = {At \ I ? /} — множе-
множество идемпотентов из Sip, т. е. Jk есть ядро конгруэнции р.
Мы должны проверить, что Л удовлетворяет условиям К1 — К5.
Непосредственно видно, что выполняется К2. Условие К1
следует из леммы 7.34. Обозначим через р^ естественное ото-
отображение полугруппы S на S/p. Каждый идемпотент из S пере-
переводится отображением р^ в идемпотент из S/p, откуда вытекает
условие КЗ. Условие К4 почти очевидно.
Остается проверить условие К5. Пусть а, аЪ, ЬЬ~г ? At для
некоторого i 6 /, так что
ар* = (ар*) (ЪрЧ) = (Ьр*) (Ьр*)-*- = At
есть идемпотент из S/p; напомним, что в силу теоремы 7.36
Ь~гр^ = (Ьр^). Отсюда следует, что
(Ър«) = At (Ър«) = (ар*) (ЪрЧ) = At.
Таким образом, Ъ ? At. Этим установлено, что выполняется усло-
условие К5. Лемма доказана.
Будем решать теперь обратную задачу. Любая нормальная
ядерная система Л = {At | i ? 1} полугруппы S определяет сле-
следующую конгруэнцию р, на S:
р = {(а, Ь) ? S X S | ал'1, ЪЪ'1, ab'1 6 At
для некоторого i € 1} A)
Чтобы доказать это, нам будут полезны некоторые предваритель-
предварительные леммы. Мы используем обозначение, введенное в формулиров-
формулировке условия К4.
Лемма 7.41. Если аа~г ? At, то а~га ? Aia.
Доказательство. Используя условие К4, получаем,
что
а~^а = а (аа-1) а ? a~^Aia s Aia.
Лемма 7.42. Если аЪ~г ? At, то Aia = Aib.
Доказательство. Так как At есть инверсная под-
подполугруппа полугруппы S (K1), из включения ab~x 6 At
вытекает, что Ъа~г ? At. Следовательно, («&) {Ъа~г) ? At и
(Ъа-1) {аЪ-1) 6 Л,.

§ 7.4t Гомоморфизмы инверсных полугрупп 81
Отсюда
и
-1) Ъ 6 A
tb.
Следовательно, Aia(]Aib=/=0t откуда Аы — Aib в сипу усло-
условия К2.
Лемма 7.43. Если аа'1, bb'1, ab'1 ? А%, то а~ха, b~xb, a~lb 6
б Aia (= Aib)-
Доказательство. По лемме 7.41 а~ха б Aia, Ъ~гЬ 6 А^,
а по 'лемме 7.42 Л;а = Aib. Осталось доказать, что a-1b € Aia.
Положим х = Ъ~^Ь, у — а~хЬ. Мы установили, что х ? Aia.
Далее,
ху — b~x-ba-^'b 6 b^Aib s Aib = Aia
я
yy-1 = a^-bb-i-a 6 а~хАга = Aia.
Следовательно, х, ху, yy1 6 Aia. Таким образом, на основании
условия К5 у — а~хЬ 6 Aia.
Лемма 7.44. (i) Справедливо равенство (ia) b = i (ab).
(ii) Если аа ? At, mo (ia) ar1 = i.
Доказательство, (i) Из а~хАга s Aia вытекает, что
(ab)-1 At (ab) = b (ar^a) b s Ь^Л^Ь <= A(ia) b.
Ho (ab) At (ab) = Лг(оЬ); поэтому ввиду условия К2 имеем
(ia) b = i (ab).
(ii) Если aa^g^j, то (aa) At (aa~l) s Лг. Однако
(aa)-1 Лг (aa-1) s Лг aa-1)> откуда в силу условия К2 г =
= i (aa*1). На основании (i) тогда имеем (ia) a-1 = j.
Теперь мы можем доказать следующее утверждение об отно-
отношении р^$-
Лемма 7.45. Пусть Л = {At | i б /} — нормальная ядерная
система инверсной полугруппы S. Бинарное отношение р^,
определенное формулой. A), является конгруэнцией на S.
Доказательство. Очевидно, отношение р^ рефлек-
рефлексивно в силу условия КЗ и симметрично в силу условия К1.
Докажем, что р^ транзитивно. Пусть (a, b), (b, с) 6 Р^.
Тогда существует такое i б /, что аа~г, &6~г, сс~*, ab1, Ьс~г б Аг.
6-100

82 Гл. 7. Инверсные полугруппы. ,
Таким образом, чтобы доказать, что (а, с) 6 Р^> достаточно уста-
установить, что ac^^Ai.
Пусть х = cb'1, у — ас1. Тогда х = (be'1) ? At. Далее,
ху = сЪ~хас~х 6 сА^с'1 по лемме 7.43. Но в силу леммы 7.42
Aia — Aib = Aic. Следовательно, cAiac~x = сА^с'1 Е Aac)c-L —
= At на основании леммы 7.44 (ii). Таким образом, xy?At.
Наконец, г/г/ ^ас^са'1 ? аА^а'1 по лемме 7.41. Но Atc = Aia,
и поэтому aAica~l = aA^a'1 S А^а)а-1 = Лг по лемме 7.44 (ii).
Таким образом, уу~х ? At. Следовательно, мы показали, что
х, ху, уу~х ? At, откуда ас'1 = у 6 Аг в силу условия К5. Итак,
р^ является эквивалентностью на S.
Пусть аа'1, ЪЪ~Х, ab~x g At. Тогда (са) (са)'1 = саа~х>с~х 6
6 cAiC1 ? ^ic и> аналогично, элементы (cfo) {cb)~x и (са) (cfo)
принадлежат Aic-i. Следовательно, (а, 6) ? р^ влечет за собой
(са, сЪ) 6 р,^. Далее, лемма 7.43 утверждает, что (а, Ь) 6 р^#
влечет за собой (а, Ъ'1) ? р^. Следовательно, из (а, Ь) 6 Р^
вытекает (с'Ы*1, с^) 6 Р^#! откуда в евою очередь вытекает
{ас, be) 6 Р^- Таким образом, р^ стабильно и слева, и справа.
Доказательство леммы закончено.
Докажем теперь, что р^ допускает Л. В действительности
справедлива следующая
Лемма 7 46. Пусть <А> = {4г | г ? /} — нормальная ядерная
система инверсной полугруппы S. Тогда Jb является ядром кон-
конгруэнции р^.
Доказательство. Мы должны установить, что каждое
At является р^-классом. Пусть а, Ь?Аг. Тогда в силу усло-
условия К1 аа~х, ЬЬ'1, ab~x ? At и поэтому (а, Ъ) 6 Р^- Предполо-
Предположим теперь, что а 6 A-t и (а, Ъ) 6 р^- Тогда аа~х, ЪЪ'1, ab'1 ? А}
для некоторого / в /. Но а ? At влечет за собой аа~х ? At. Следо-
Следовательно, i — j и a, ab~x 6 At. Далее, а~ха, b~xb ? Aia по лем-
лемме 7.43. Но а ? Ах влечет за собой а^а^А^. Следовательно,
i = ia и Ь~гЬ ? At. Отсюда a, ab'1, Ъ'1 (Ъ'1)-1 ? Аи так что
Ь'1 6 A t в силу условия К5. Но тогда b ? At на основании усло-
условия К1. Этим доказано, что А-г является р^-классом.
Ясно, что каждое A t является идемпотентом полугруппы S/p^;
в самом деле, каждое At есть инверсная полугруппа и поэтому
содержит идемпотент. Обратно, из леммы 7.34 вытекает, что каж-
каждый идемпотент из S/p^ является р^-классом, содержащим
идемпотенты. Но тогда в силу условия КЗ каждый идемпотент
из Slp^y является элементом системы Д. Следовательно, Jb есть
ядро конгруэнции р^.

§ 7.4. Гомоморфизмы инверсных полугрупп 83
Лемма 7.47. Пусть Л — ядро конгруэнции р на инверсной
полугруппе S. Тогда р = р^.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из
леммы 7.46 и теоремы 7.38.
Объединяя предыдущие леммы, получаем следующую теорему.
Теорема 7.48. Пусть Jb .= {At | i ? /} — нормальная ядерная
система инверсной полугруппы S. Тогда отношение р^, заданное
формулой A), является конгруэнцией на S и Jk есть ядро этой
конгруэнции.
Обратно, пусть ф: S -*¦ S' — гомоморфизм инверсной полу-
полугруппы S на полугруппу S' и Л — ядро этого гомоморфизма.
Тогда .-4; является нормальной ядерной системой для S и р^ —
= ф о ф.
Упражнения к § 7.4
1. Пусть я, р, а — такие конгруэнции на S, что (i) я s p,
(И) S/я регулярна, (ш) с2пс (с ? S) влечет за собой ср = св.
Тогда asp,
Из этого результата вытекают следующие утверждения:
(a) Теорема 7.38.
(b) Если р и a — такие конгруэнции на регулярной полугруп-
полугруппе S, что 5/р и S/a регулярны, и a допускает множество идемпо-
тентов из S/p, то а — р. (Ср. Престон [1961].)
2. Пусть ф: S -> Т — гомоморфизм инверсной полугруппы S
на полугруппу Т и Н — инверсная подполугруппа из Т. Тогда
Яф есть инверсная подполугруппа из S. В частности, пусть
Л = {At | i ? 1} — нормальная ядерная система полугруппы S.
Тогда A = \J {At |i6^} является инверсной подполугруппой из S.
3. Пусть ф: S —>- Т — гомоморфизм инверсной полугруппы <S
на полугруппу Т, 28 = {Bt \ i 6 /} — нормальная ядерная систе-
система для Т и At = Bity'1, Л = {Ai | i 6 /}. Тогда Л есть нормаль-
нормальная ядерная система для S.
4. Пусть А = {At | i 6 /} — нормальная ядерная система
инверсной полугруппы S. Тогда для любых i, j ? I существует
такое к ? I, что AtAj s Ak и AjAf s A^.
5. Пусть S — инверсная полугруппа взаимно однозначных
отображений, состоящая из отображений
„. /1\ /2\ /1\ /2\ /1 2\
0. U Ь о ' 2 ' 1 ' 1 2Г
W \Ч \z) VI V1 z/
Пусть
f1 ) I2)
(ID.
6*

84 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Тогда Л = {Аи Аг) удовлетворяет условиям К1 — К4 и для
любых i, j оба произведения AtAj и AjAt содержатся в некото-
некотором Ah. Однако Л не удовлетворяет условию К5.
6. Условие К5 может быть заменено следующим условием К5';
а, аЪ'1, ЪЪ'1 6 At влечет за собой Ъ ? Л,-. В самом деле, из К1
и К5' следует К5, в то время как из К1, К2, К4 и К5 следует К5'.
7. Пусть Е = {в{ | i ? /} — множество идемпотентов инверс-
инверсной полугруппы S. Положим Ai = {et}. Тогда Л = {Аг \ i ? 1}
есть нормальная ядерная система для <S и р^ совпадает с отноше-
отношением равенства на S.
8. Пусть j? '= {Ai | i 6 1} — множество подмножеств инверс-
инверсной полугруппы S, удовлетворяющее условиям Kl, K2, КЗ,
К5' (из упражнения 6), а также следующему условию К4': если
аа~г, ЬЪ~Х, аЪ~х 6 At, то для любого /6/ существует такое
к ? I, что
aAj-a'1 ? Ak и aAjb'1 s Ah.
Тогда Л является нормальной ядерной системой для S.
В действительности условия К1, К2, КЗ, К4' и К5' эквива-
эквивалентны условиям К1 — К5. (Престон [1954а] и Ляпин [1960а,
гл. 7].)
§ 7.5. Полуструктуры инверсных полугрупп
Так как нормальная ядерная система Jb = {At \ i ? /} инверс-
инверсной полугруппы S является множеством идемпотентов фактор-
полугруппы S/p^, объединение А элементов из Л является полу-
полуструктурой инверсных полугрупп Ai (i 6-0 (§ 1-8, стр. 47). Обо-
Обозначим через Et множество идемпотентов полугруппы А%, а через
Е — множество идемпотентов полугруппы А (а, значит, также
и полугруппы S). Тогда, так как А является полуструктурой
полугрупп А^ очевидно, Е является полуструктурой полу-
полугрупп Et (i 6 !)• Обратная импликация также имеет место.
В качестве следствия теорем 4.5 и 4.11 (§ 4.2) получаем, что полу-
полугруппа, являющаяся объединением групп, будет полуструктурой
групп тогда и только тогда, когда ее идемпотенты коммутируют,
т. е. когда она есть инверсная полугруппа. Следующая теорема
(Престон [1956]) вместе с теоремой 7.52 является обобщением
этого результата.
Ткорема 7.49. Пусть S— инверсная полугруппа, являющаяся
объединением попарно не пересекающихся инверсных полугрупп At
(i 6 -0 и Et — множество идемпотентов из At. Положим Е =
= и {Et | i e п.
Полугруппа S является полуструктурой полугрупп At (i 6 /)
тогда и только тогда, когда Е есть полуструктура полуструк-
полуструктур Et (i 6 -0-

§ 7.5. Полуструктуры инверсных полугрупп 85
Доказательство. Предположим, что Е является полу-
полуструктурой полуструктур Et (i 6 I). Тогда для любых i, / 6 /
существует такое к ? /, что EiEj ( = EjEt) ? Ek.
Пусть а ? At, fe 6 -4.Р и предположим, что abb'1 ? /1Р.
Тогда
abb-1 (abb-1)-1 = a-bb^-bb^-a'1 = abb-Ч-1 б Яр
и
(abb-1)-1 (abb-1) = bb^-a^a-bb'1 = bb^a'H 6 ?р.
Но
для некоторого к ? I; поэтому, так как .4* попарно не пересе-
пересекаются, к = р.
Предположим теперь, что ab б Aq. Тогда
аЪ(аЪ)-1 = abb-Ч-1 ? Eq.
Уже было показано, что abb^a-1 g Яр. Следовательно, # = р = к.
Таким образом, для любых а ? Ai ж b ? А] имеет место ab (i Ak,
где EiEj s Eh. Этим установлено, что S есть полуструктура
полугрупп At (i ? I).
Как мы уже отмечали, обратное очевидно.
Следствие 7.50. Если инверсная полугруппа есть объединение
связки I инверсных полугрупп, то связка I является полуструк-
полуструктурой.
Следствие 7.51. Инверсная полугруппа есть связка групп тогда
и только тогда, когда она является полуструктурой групп.
В действительности справедливо более сильное утверждение.
Теорема 7.52. Пусть S — полуструктура инверсных полу-
полугрупп At (i 6 /)• Тогда S является инверсной полугруппой.
Доказательство. Так как каждая полугруппа At
регулярна, сразу же получаем, что S также регулярна. Следова-
Следовательно, достаточно доказать, что каждый элемент из <S имеет един-
единственный инверсный.
Пусть a d S и х — произвольный инверсный к а элемент:
аха = а, хах = х. Существуют такие /, к ? I, что а ? А), х 6 Ак.
Так как S — полуструктура полугрупп At (i 6 /), существует
такое р 6 I,
Тогда
а = аха ? A}AkAj s Ap,
х = хах ? AhAjAh s Ap.

86 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Но я 6 А]. Таким образом, р = j и х ? Aj. Следовательно, про-
произвольный инверсный к а элемент лежит в4;ив силу инверсно-
сти полугруппы Aj элемент а имеет единственный инверсный в <S.
Следствие 7.53. Полугруппа, являющаяся полуструктурой
групп, инверсна.
§ 7.6. Гомоморфизмы, разделяющие идемпотенты
Инверсная полугруппа с одним идемпотентом является груп-
группой. Следовательно, если <р есть гомоморфизм инверсной полу-
полугруппы <S, разделяющий идемпотенты, т. е. индуцирующий изо-
изоморфизм на полуструктуре идемпотентов из <S, то каждый эле-
элемент At ядра Jb — {At | i ?/} этого гомоморфизма является
группой. Обратно, если каждый элемент нормальной ядерной
системы <Д — {Аг \ i ?/} инверсной полугруппы <S является
группой, то соответствующий естественный гомоморфизм pjf
разделяет идемпотенты. Для нормальных ядерных систем такого
вида мы получим простую характеризацию (Престон [1956]).
Заметим сначала, что объединение элементов произвольной ядер-
ядерной системы Л полугруппы S является, очевидно, инверсной
полугруппой из <S; в самом деле, оно является полным прообра-
прообразом при гомоморфизме р^. множества идемпотентов из SIp^.
(см. упражнение 2 к § 7.4).
Пусть X — подмножество полугруппы S. Тогда централиза-
централизатор С (X) множества X в S определяется следующим образом:
С (X) = {s ? S | sx = xs для всех х 6 X).
Теорема 7.54. Пусть Е — множество идемпотентов инверс-
инверсной полугруппы S. Обозначим через Не (е 6 Е) максимальную
подгруппу из S, содержащую е. Для каждого е 6 Е выберем под-
подгруппу Ne из Не. Положим JT'= {Ne ] е 6 Е) и
N = U{Ne\e?E).
Тогда JJT является нормальной ядерной системой для S в том
и только в том случае, когда (i) N есть подполугруппа из S и
(ii) a-*Na ? N для всех а 6 S.
В этом случае N является полуструктурой Е групп Ne и для
каждого а ? S имеет место a^Neu s Nf, где f — а~хеа. В частно-
частности, N ЕС (Е).
Доказательство. Если «#" — нормальная ядерная
система, то, как уже отмечалось, выполняется условие (i). Далее,
определяющее условие К4 для нормальных ядерных систем
(§ 7.4) обеспечивает также выполнение условия (ii).

§ 7.6. Гомоморфизмы, разделяющие идемпотенты 87
Обратно, предположим, что JJT удовлетворяет условиям (i)
и (ii). Условия К1 — КЗ из § 7.4 автоматически следуют из опре-
определения JP без использования условий (i) и (ii). Мы должны лишь
проверить выполнение условий К4 и К5.
На основании теоремы 7.49 и п. (i) полугруппа N является
полуструктурой Е полугрупп Ne (e ? Е). Для доказательства
К4 достаточно установить, что a~lNea s Nf, где / = а~хеа (е ? Е,
а ? <S). Пусть п ? Nevi Ъ — а~хпа. Тогда bb'1 = а~хп (аа'1) п~ха =
= а'1 (аа'1) пп~га, так как и ? С (Е) в силу леммы 4.8. Следова-
Следовательно, bb'1 = а~геа — /. Аналогично, Ь~гЬ = /. В силу (ii)
имеем b ? N, откуда b 6 Hff]N = Nf.
Заметим, что мы попутно доказали утверждения последнего
абзаца из формулировки теоремы.
Проверим условие К5. Пусть a, b — такие элементы из S,
что a, ab, ЬЬ~г ? Ne для некоторого е 6 Е. Тогда а 6 -^е и fofo =
= е = а-1а. Следовательно, fo = (bb~l) b = a (ab) 6 -/Ve* т. е.
выполняется условие К5. Доказательство теоремы закончено.
Будем называть нормальную ядерную систему, каждый эле-
элемент которой является группой, групповой нормальной ядерной
системой. Если Ne (с единицей е) есть элемент групповой нормаль-
нормальной ядерной системы, то из теоремы 7.54 непосредственно следует,
что Ne является нормальным делителем в максимальной под-
подгруппе Не из S, содержащей Ne. Это также очевидно и потому,
что ограничение на Не естественного гомоморфизма, соответствую-
соответствующего нормальной ядерной системе, является гомоморфизмом груп-
группы Не с ядром Ne.
Для групповых нормальных ядерных систем тесная аналогия
с групповой ситуацией, установленная в теореме 7.54, может быть
продолжена дальше. А именно классы эквивалентности конгруэн-
конгруэнции pjp являются «смежными классами» по элементам нормальной
ядерной системы JT. Точнее, имеет место (Престон [1954а])
Теорема 7.55. Пусть JT—{Ne I е ? Е) — групповая нормаль-
нормальная ядерная система инверсной полугруппы S, где е есть единица
из Ne, и а — произвольный элемент из S. Тогда pjp-класс, содержа-
содержащий а, совпадает с Nfa = aNg, где аа~г = f и а~^а — g.
Доказательство. Пусть Ъ 6 Nfa. Тогда b — па для
некоторого п ? Nf. Следовательно, bb'1 = паа^п'1 = nfn'1 =
= пп'1 = /. Далее, ab'1 = а (па)'1 = аа^п'1 = fn~x = п~х ? Nf.
Таким образом, аа'1, bb'1 и ab~x^Nf, т. е. (а, Ъ) ? Pjr- Следова-
Следовательно, Nfu содержится в одном р^-классе.
Пусть теперь Ъ 6 S и (Ь, а) ? Pjr- Тогда аа'1, bb'1, ab'1 6 Ne
для некоторого е 6 Е. Но аа~х = /. Следовательно, е = /, bb'1 — f
и ab'1 = « 6 Nf. Далее, (b, a) ? pjp аналогичным образом влечет

Гл. 7. Инверсные полугруппы.
за собой а~ха — Ъ~ХЪ (лемма 7.43). Таким образом, Ъ = bb~xb =
= Ъа~ха = (ab~x)~x а — п~ха ? Nfa. Так как а = fa ? iV^a, этим
доказано, что Nfa есть р^-класс, содержащий а.
Двойственными рассуждениями доказывается равенство Nfa =
= aNg, что завершает доказательство теоремы.
Необходимо отметить, что «смежные классы», такие, как Nfa,
не надо путать с со-классами, используемыми в теории Шайна
из § 7.2. Правыми со-классами по Nf являются множества (Nfx) o>
для таких ж, что хх~х 6 Nf, т. е. хх~х = /, где через со обозначен
естественный частичный порядок. Таким образом, они являются
замыканиями относительно со только что рассмотренных «смеж-
«смежных классов».
Пусть Е — множество идемпотентов инверсной полугруппы S
и Не — максимальная подгруппа из S с единицей е (е 6 Щ-
Упражнение 1 к настоящему параграфу показывает, что, вообще
говоря, {Не | е 6 Е) не является (групповой) нормальной ядер-
ядерной системой для S. Таким образом, недостаточно взять произ-
произвольные нормальные делители Ne из каждой Не, чтобы обра-
образовать групповую нормальную ядерную систему (см. также
упражнение 2 ниже).
Пусть аМ = {Ме | е 6 Е) и JT = {Ne \ е 6 Е) — две групповые
нормальные ядерные системы инверсной полугруппы <S, где
е является единицей групп 'Ne и Ме. Положим
Л\1 JT = {MeNe | е ? Е);
Теорема 7.56. оМЖ и <М Д J\T являются групповыми нормаль-
нормальными ядерными системами для S. Кроме того,
РаМ П PjT = РаМ Д
Доказательство. Начнем с доказательства того, что
есть групповая нормальная ядерная система. Так как каждое
MeNe является группой, мы должны установить, что выполняются
условия (i) и (И) теоремы 7.54.
Пусть е, f 6 Е. Рассмотрим MeNe-MjNf. Пусть т 6 Ме, п ? Ne,
т' 6--Л//1 п' 6 Nf. Используя то, что М, N s С (Е), мы получаем
тпт'п' (тпт'п')'1 = тпт'п' (т'п')'1 (тп)~г =
= mnf (тп)~г = тп (тп)'1 f
= ef.
Аналогично показывается, что ef будет правой единицей для
тпт'п'. Следовательно, MeNe-M]Nf s Hef, где Hef есть макси-

§ 7.6. Гомоморфизмы, разделяющие идемпотенты 89
мальная подгруппа из S с единицей ef. Так как N S С (Е), то
тпт'п' = mfnm'n'. Следовательно,
тпт'п' = mm' (т')~х пт'п'.
Но mm' 6 MeMf s Afe/, a (m')~x ran' 6 C^') iV^ra' s iVe/, так
как (m1)-1 em' = ef. Далее, Nefn' <= NeiNf s N.ef. Эти факты
вместе показывают, что
тпт'п' 6 MefNef,
т. е. что MeNe-MfNf ? MefNef, а это означает в свою очередь,
что tSjjT удовлетворяет условию (i) теоремы 7.54.
Докажем выполнение условия (ii). Пусть а ? S и е ? Е. Рас-
Рассмотрим a^MeNed. Так как TV s С (Е), то имеем a-xMeN^i =
=а М^ a^Neu, так что a^MeNeu s MfNf, где a-1ea = /; этим
доказан требуемый результат.
Итак, мы установили, что qMjV является групповой нормаль-
нормальной ядерной системой.
Теперь мы покажем, что МЖ является ядром конгруэнции
для некоторого х ? S. Тогда аа~х = хх~х = ЪЪ~Х = е, ах'1 6 Л/в,
^fo (z Ne и a""^ = ж"^. Следовательно, аЪ~х = аа~хаЪ~х =
= аа;-1^^ 6 MeNe. Таким образом, аа~х, bb~x, ab~x 6 MeNe,
откуда (в, ft) 6 P^j^, так что
Обратно, пусть (а, Ь) ? ^^Mjfi так что ва~х == ^^-1 = ги аЪ~х 6
6 MeNe для некоторого е ? Е. Пусть aft = mn, где от 6 Afe,
n(zNe. Положим х = nb. Тогда zar1 = nbb^n.-1 ? iVe, откуда
хх~х = е. Далее, хж = a (rab) = ab^n = тпп~г = те = т
ъхЪ~х = nbfo = ne = п. Следовательно, aa = хх~х = еиаг ?
6 Ме, т. е. (а, ж) 6 Р^; и жа; = ЪЪ~г = е и жЬ ? 7Ve, т. е. (х, Ь) ?
6 Рж- Таким образом, (а, Ь) € Р^Р^, так что
Сопоставляя это с предыдущим, мы получаем
Пусть е, f (: Е. Тогда MeMf s Л/в/ и NeNf S iVe^; следователь-
следовательно, (Mef\Ne) (Mff\Nf)sMeff\Nef. Отсюда вытекает, что <Ж[\JT
удовлетворяет условию (i) теоремы 7.54. Пусть а ? S. Положим
а-Ча = g. Тогда а-хМеа <= Мg и a~xN^i ? Ng; следовательно,
а~х (Ме (]N~e) a s Mg (]N g. Отсюда вытекает, что е/Я [\J\T удо-
удовлетворяет условию (ii) теоремы 7.54. Следовательно, <Мf\JT
является групповой нормальной ядерной системой в силу теоре-
теоремы 7.54.

90 Гл. 7. Инверсные полугруппы.
Далее, (а, Ъ) ? р « Пр ЛГ тогда и только тогда, когда аа'1 =
= bb'1 = е и ab'1 ?Mef\Ne для некоторого е ? Е, т. е. тогда
и только тогда, когда (а, Ъ) бр «Л ЛГ- Таким образом,
Доказательство теоремы закончено.
Если а — такая конгруэнция на инверсной полугруппе S,
что каждый ее класс содержит не более одного идемпотента, то
будем говорить, что 0 разделяет идемпотенты. Если 0 разде-
разделяет идемпотенты, то ее ядро является групповой нормальной
ядерной системой. Предыдущая теорема показывает, что множе-
множество конгруэнции, разделяющих идемпотенты инверсной полу-
полугруппы, образует подструктуру структуры всех конгруэнции
этой полугруппы. В самом деле, по теореме 7.56 в случае, когда
еМ и JP суть групповые нормальные ядерные системы, р „ о р
равно объединению р „ и р в этой структуре. Далее, конструк-
конструкция, приведенная в теореме 7.56 для р ., ° р ... и р „ (")Р ,~, пока-
зывает, что структура конгруэнции, разделяющих идемпотенты,
является подструктурой прямого произведения структур нор-
нормальных делителей максимальных подгрупп полугруппы. Струк-
Структура нормальных делителей группы модулярна. Модулярность
сохраняется при переходе к прямым произведениям и подструк-
подструктурам. Следовательно, в инверсной полугруппе структура кон-
конгруэнции, разделяющих идемпотенты, модулярна.
Мы уже видели, что, вообще говоря, множество максимальных
подгрупп инверсной полугруппы не образует нормальной ядер-
ядерной системы. Однако существует единственная максимальная раз-
разделяющая идемпотенты конгруэнция. Следующий результат при-
принадлежит Хауи [1964b].
Лемма 7.57. Пусть S—инверсная полугруппа и Е -г- множе-
множество всех ее идемпотентов. Определим отношение (i, полагая
ц, == {(х, у) 6 S X S | х~гех = у~хеу для всех е 6 Е).
Тогда (д. есть разделяющая идемпотенты конгруэнция на S.
Далее, если а — произвольная разделяющая идемпотенты кон-
конгруэнция на S, то a s ц..
Доказательство. Очевидно, [л есть эквивалентность
на <S. Пусть (х, у) 6 [л и z — произвольный элемент из S. Тогда
z~xez 6 Е для любого е 6 Е. Следовательно, х'1 (z^ez) x =
= у'1 (z~xez) у, т. е. (zx)'1 e (zx) = {zy)~x e (zy) для любого е 6 Е.
Таким образом, (zx, zy) 6 (л, т. е. fx стабильно слева. Далее,
х~хех = у~хеу влечет за собой z~x (x~lex) z = z'1 (y~xey) z, т. е.

§ 7.6. Гомоморфизмы, разделяющие идемпотенты 91
(xz)'1 e (xz) = (yz)'1 е (yz). Следовательно, ц стабильно также
и справа. Таким образом, ц является конгруэнцией на <S.
Пусть е, / 6 Е, и предположим, что (е, /) ? fx. Тогда, в частно-
частности, е~Че = f~xef и e-1fe = f~xff, т. е. е = ef и ef = /. Таким обра-
образом, е = /. Этим доказано, что (а есть разделяющая идемпотенты
конгруэнция.
Пусть теперь а — произвольная разделяющая идемпотенты
конгруэнция на S и (х, у) ? а. Отсюда следует, что (х~г, у1) ? а,
так как это имеет место для любой конгруэнции на S. Следова-
Следовательно, в свою очередь (ех, еу) ? а и (х^ех, у~хеу) 6 о для любого
е 6 Е. Но если е 6 Е, то х~гех и у~геу являются идемпотентами.
Так как а есть разделяющая идемпотенты конгруэнция, отсюда
вытекает, что х~хех — у~хеу для всех е 6 Е, т. е. (х, у) 6 (х- Таким
образом, о S [Л-
Доказательство леммы закончено.
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 7.58. Множество всех разделяющих идемпотенты кон-
конгруэнции на инверсной полугруппе образует модулярную под-
подструктуру с единицей и нулем в структуре всех конгруэнции на
этой полугруппе.
¦Теорема 7.58 является частным случаем результата Манна
[1964с]: для регулярных полугрупп структура конгруэнции,
содержащихся в $8, модулярна. Шайн пишет, что этот результат
был независимо получен Г. И. Житомирским [1965] г). Лалле-
ман [1966] доказал, что для регулярных полугрупп конгруэнция
содержится в $в тогда и только тогда, когда она разделяет идем-
идемпотенты. Таким образом, теорема 7.58 остается справедливой,
если заменить слово «инверсная» на слово «регулярная». *
Справедливость аналогов теорем Жордана — Гёльдера —
Шрейера для модулярных структур (см. Биркгоф [1948], гл. VI)
означает возможность получить такие теоремы для ядер разде-
разделяющих идемпотенты конгруэнции на инверсной полугруппе.
Указание, как это можно сделать для более широкого класса
конгруэнции, содержится в статье Престона [1954а].
Кроме метода Шайна, описанного в § 7.3, имеются и другие
интересные методы построения представлений инверсных полу-
полугрупп. Один из них дан в упражнении 5 ниже. Другой приведен.
Рейли в его диссертации [1965]. Дадим краткое описание этого
метода.
Пусть S — инверсная полугруппа и Ge — подгруппа из S
с единицей е. Подмножество А таз S называется смежным классом
х) Г. И. Житомирский в действительности доказал аналогичное утвержде-
утверждение для обобщенных груд, откуда вытекает соответствующий результат для
инверсных полугрупп.— Прим. ред.

92 Гл. 7. Инверсные полугруппы
по Ge в S, если А = G^a, для некоторого а ? S, такого, что аа~х = е.
Пусть $} — множество попарно не пересекающихся подгрупп
из S и % — множество всех соответствующих им смежных классов.
Показывается, что эти смежные классы попарно не пересе-
пересекаются. Для каждого а ? S следующим образом определяется
частичное преобразование яа. Областью определения для па
служит множество {Geb <z % \ Ge ? 38, ЪЪ~г = е, Ъ ? So.-1}, и для
каждого Geb, принадлежащего области определения, полагаем
(Geb) яа — Ge (ba). Тогда отображение я: а ->¦ па является пред-
представлением <S взаимно однозначными частичными преобразования-
преобразованиями множества %. Оно сводится к представлению Вагнера — Пре-
Престона (теорема 1.20), когда 38 состоит из всех одноэлементных
подгрупп полугруппы S. Если каждый ,25-класс полугруппы S
содержит подгруппу, принадлежащую SB, то я о яг1 разделяет
идемпотенты. Более того, в этом случае п о п'1 есть в точности
максимальная разделяющая идемпотенты конгруэнция на <S.
Упражнения к § 7.6
1. Пусть S — инверсная полугруппа, состоящая из следую-
следующих матриц:-
/1 0\ /0 1\ /1 0
0 1\ _ /0 0\ _ /0 0\ /0 0
о о)' ?21=1ю)' ^22==1о1/' Ог=\оо
Пусть Е — множество идемлотентов из S. Для каждого е ? Е
через Ne обозначим максимальную подгруппу из S с единицей е.
Положим^ = {Ne | е 6 Е). Тогда JT удовлетворяет условию (ii)
теоремы 7.54, но не является нормальной ядерной системой
для S.
2. Пусть S — инверсная подполугруппа симметрической
инверсной полугруппы на трехэлементном множестве {1, 2, 3}т
состоящая из всех взаимно однозначных отображений подмножеств
множества {1, 2, 3}, мощность которых ^2, в множество {1, 2, 3}.
Положим *=(!!), /= (|5). Тогда Не = {•, (Ц)}
и Hf = -I /, (о а) Г являются максимальными подгруппами из S
с единицами ей/. Пусть Ne = Не и Nf = {/}. Тогда 7Ve и iV/
являются нормальными делителями в /Уе и Ht соответственно.
3 „1 . Тогда а~1Лгеа = #/• Следовательно, ни
для какого гомоморфизма полугруппы S ядра его ограничений
иа Не и Hf не могут совпадать с Ne тх. Nf соответственно.

§ 7.7. Гомоморфизмы на примитивные инверсные полугруппы 93
3. Пусть [л — максимальная разделяющая идемпотенты кон-
конгруэнция на инверсной полугруппе <S и Е — множество идем-
потентов из S. Для е 6 Е положим Ne = С (Е) (]Не, где Не есть
максимальная подгруппа из 5 с единицей е. Тогда {Ne \ е 6 Е}
является ядром конгруэнции ц и (J {Ne | е 6 Е) = С (Е).
4. Пусть fx — максимальная разделяющая идемпотенты кон-
конгруэнция на инверсной полугруппе S и Е — множество идем-
потентов из <S. Тогда (i) S/ц ^ Е в том и только в том случае,
когда S есть объединение групп; (ii) S/ц ^ Е в том и только
в том случае, когда Е содержится в центре S. (Хауи [1964а].)
5. Пусть <S — инверсная полугруппа, а¦ Е — множество ее
идемпотентов. Для е ? Е через Se обозначим множество eSe. Для
а ? S положим аа'1 = /, а~ха — g и определим отображение ао:
аа: s-^- saa = a'ha (s 6 Sf).
Тогда аа является изоморфизмом <S^ на Sg и a: a ->- aa (a ? S)
есть представление полугруппы S изоморфизмами между под-
подполугруппами из <S. Далее, ядром представления а является
{Ве | е б Е), где Ве = Не[\С{Е\] Se). (Престон [1957].)
6. Пусть <S — инверсная полугруппа, а Е — множество ее
идемпотентов. Через ро, где а 6 S, обозначим отображение,
которое переводит е в / (е, / ? Е) в том и только в том
случае, когда е является левой единицей, а / — правой единицей
элемента eaf1). Тогда ро есть взаимно однозначное отображение
подмножества из Е в Е и 0: а -»- pa (a ? S) является пред-
представлением полугруппы S взаимно однозначными отображениями.
Далее, pop = ц есть максимальная разделяющая идемпо-
идемпотенты конгруэнция на <S. (Престон [1954с] и Хауи [1964а].)
§ 7.7. Гомоморфизмы на примитивные инверсные
полугруппы
В этом параграфе мы изложим результаты Манна [1964а]
и Престона [1969] о гомоморфизмах инверсных полугрупп на
примитивные инверсные полугруппы. Напомним, что регуляр-
регулярную полугруппу 1? = <S° называют примитивной, если примити-
примитивен каждый ее ненулевой идемпотент (§ 6.5). Ввиду теоремы 6.36
примитивная регулярная полугруппа S = S0 есть 0-прямое
объединение однозначно определенного множества ее вполне
0-простых идеалов. Если <S инверсна, то каждый из этих вполне
О-простых идеалов является в силу теоремы 3.9 полугруппой
Брандта. (См. также упражнение 6 к § 6.5.) Результаты о гомо-
гомоморфизмах инверсных полугрупп на полугруппы Брандта при-
принадлежат Манну. Эти результаты играют основную роль в реше-
решении Манном проблемы нахождения всех неприводимых представ-
1 То есть (ea/)(ea/)~1=e, («a/)~1(ea/) = /. — Прим. перев.

94 Гл. 7. Инверсные полугруппы
лений (конечными матрицами над полем) произвольной инверс-
инверсной полугруппы [1964b]. Гомоморфизмы на произвольную при-
примитивную инверсную полугруппу были рассмотрены Престоном
[1969]; соответствующие результаты играют аналогичную роль в-
полном описании всех представлений произвольной инверсной
полугруппы.
Сделаем сначала несколько замечаний, касающихся случая,
когда полугруппа содержит идеал, являющийся примитивной
инверсной полугруппой.
Ненулевой идеал А регулярной полугруппы S = S0 будет
называться примитивным, если каждый ненулевой идемпотент-
из А примитивен в <S. Примитивный идеал является обязательно-
регулярным; в самом деле, любой идеал регулярной полугруппы
регулярен. Для того чтобы идеал А был примитивен, достаточно-
примитивности каждого его ненулевого идемпотента вЛ.В самом
деле, если е2 = е, /2 = /, е/ = /е = / и е 6 А, то ввиду того, что
А — идеал, имеем / ? А.
Теорема 7.59. Следующие условия для регулярной полугруппы
5=5° эквивалентны:
(A) Правый цоколь 2Г полугруппы S отличен от 0.
(А') Левый цоколь 2 г полугруппы S отличен от 0.
(B) S содержит примитивный идемпотент.
(C) S содержит примитивный идеал.
Если выполняется хотя бы одно из этих условий, то 2Г = 2г
и цоколь 2- (= 2 г = 2 г) полугруппы S равен 0-прямому объедине-
объединению вполне 0-простых идеалов из S. Цоколь" 2 является макси-
максимальным примитивным идеалом из S; он содержит все примитив-
примитивные идемпотенты из S, и примитивными идеалами в S являются
в точности ненулевые идеалы цоколя 2.
Доказательство. По определению правого цоколя
(§ 6.3) условие (А) эквивалентно существованию в S 0-мини-
мального правого идеала R. Так как S регулярна, R — eS для
некоторого идемпотента е Ф 0. В силу леммы 6.38 правый идеал
eS 0-минимален тогда и только тогда, когда е примитивен. Таким
образом, условия (А) и (В) эквивалентны. По той же лемме экви-
эквивалентны условия (А') и (В).
Предполагая, что выполняется условие (А), получаем, что
каждый ненулевой идемпотент из 2Г порождает 0-минимальный
правый идеал яз S я поэтому примитивен. Таким образом, 2Г —
примитивный идеал из S, т. е. имеет место условие (С). Обратно,
пусть А — произвольный примитивный идеал из S. Если
а 6 А \ 0 и аха = а, то ах является ненулевым идемпотентом
из А, следовательно, он примитивен. Итак, (С) влечет (В).
Предположим снова, что выполняется условие (А). Любой
0-минимальный правый идеал eS из S (где е — примитивный

§ 7.7. Гомоморфизмы на примитивные инверсные полугруппы 95
идемпотент) пересекается с 0-минималышм левым идеалом Se
из S по элементу е, и, следовательно, каждое из множеств А, А',
D, D', указанных в теореме 6.29, равно 0. Из этой же теоремы
вытекает, что 2г = С = 2ги2 есть 0-прямое объединение всех
вполне 0-простых идеалов из <S.
Пусть / — произвольный примитивный идеал из S и а ? / \ 0.
Тогда а = аха для некоторого х ? S и е = ах является идемпо-
тентом =/=0 из /. Следовательно, е примитивен, поэтому eS есть
0-минимальный правый идеал из S, откуда е5 s 2. Следова-
Следовательно, е 6 2, но тогда а = еа ? 2. Таким образом, / S 2. Эти
рассуждения показывают также, что каждый примитивный идем-
идемпотент содержится в 2.
Обратно, если / — произвольный ненулевой идеал из 2,
то / равен объединению некоторых или всех вполне 0-простых
слагаемых из 2. Следовательно, / есть идеал из S и, очевидно,
он примитивен.
Рассмотрев одну из ситуаций, в которой может встретиться
примитивная инверсная полугруппа, мы приступим теперь к рас-
рассмотрению гомоморфизмов на примитивные инверсные полугруп-
полугруппы. Сначала приведем очевидную лемму, которая понадобится нам
для упрощения дальнейших рассуждений.
Лемма 7.60. Пусть р — такая конгруэнция на полугруппе S,
что S/p = (<S/p)°. Положим V = 0 (р^). Тогда V является
идеалом в S и (S/V)° = SIV.
Определим отношение р на S/V, полагая
"p = [pn(S\FxS\ V)][)[(V, V)].
Тогда р является конгруэнцией на S/V и естественное отображение
хр -»- хр (х 6 S \ V),
V^ V __
является изоморфизмом полугрупп (S/V)/p и S/p. В частности,
нуль V из S/V является р-классом.
Обратно, если V — идеал из S и а — такая конгруэнция на
S/V, что {V} является о-классом, то
р = lo(](S \V x ?\ V)]\j(V x V)
есть конгруэнция на S, для которой F = @p'?)~1 и р = о.
Указанная лемма показывает, что при рассмотрении гомомор-
гомоморфизмов полугруппы S на полугруппу Т = Т° без ограничения
общности можно предположить, во-первых, что ? = S0 и, во-вто-
во-вторых, что нуль полугруппы S есть единственный элемент, который
отображается на нуль полугруппы Т. Общий случай легко сво-
сводится к этому частному, как будет более подробно объяснено

96 Гл. 7. Инверсные полугруппы
в замечаниях после теоремы 7.70. В соответствии с этим мьт-дводим
следующее определение.
Конгруэнцию р на инверсной полугруппе S = S0 будем назы-
называть ^-ограниченной, если {0} является р-классом. Гомоморфизм <р
полугруппы S — S0 будем называть 0-ограниченным, если О-огра-
ниченна конгруэнция ф о ф. Гомоморфный образ 0-ограничен-
ного гомоморфизма будем называть 0-ограниченным гомоморфным
образом.
Приступим теперь к доказательству того, что инверсная полу-
полугруппа обладает 0-ограниченным примитивным гомоморфным обра-
8ом тогда и только тогда, когда она категорийна в нуле (полу-
(полугруппа S = S0 категорийна в нуле, если для любых а, Ъ, с ? S
из аЪ Ф 0 и be Ф 0 следует abc Ф 0).
Лемма 7.61. Примитивная инверсная полугруппа категорийна
в нуле.
Доказательство. Как отмечено выше, примитивная
инверсная полугруппа S равна 0-прямому объединению множе-
множества вполне 0-простых инверсных полугрупп, т. е. полугрупп
Брандта В% (i ? I). Пусть а, Ъ, с 6 S. Предположим, что аЪ Ф 0
и Ъс Ф 0. Тогда а, Ъ, с должны принадлежать одному и тому же
слагаемому Bi, откуда по определению (§ 3.3, условие А2,
стр. 139) abc Ф 0. Доказательство леммы закончено.
Лемма 7.62. Пусть р — такая ^-ограниченная конгруэнция на
полугруппе S = S0, что S/p есть примитивная инверсная полу-
.группа. Тогда S категорийна в нуле.
Доказательство. Пусть abc = 0 в S. Положим ф =
= р^. Тогда (abc) ф = (ац>) (Ьц>) (сф) = 0ф. Так как ф есть гомо-
гомоморфизм на <S/p, элемент 0ф является нулем для S/p. По преды-
предыдущей лемме <S/p категорийна в нуле. Следовательно, (аф) (Ьф) = 0
или (Ьф) (сф) = 0, т. е. (ab) ф = 0 или (be) ф = 0. В силу 0-огра-
ниченности р мы заключаем, что аЪ = 0 или Ъс = 0. Этим уста-
установлена категорийность в нуле полугруппы <S.
Следующая лемма носит технический характер и сформули-
сформулирована для облегчения дальнейшего изложения.
Лемма 7.63. Пусть S = S0— инверсная полугруппа, катего-
рийная в нуле. Тогда для е, g, х, с ? S
(i) если е2 = е, g2 = g, ex ф 0, gx Ф 0, то egx Ф 0;
(ii) если е2 = в, ех Ф 0, сех = 0, то сх = 0;
(ш) если е2 = е, ех ф 0, ехс = 0, то хс = 0.
Доказательство, (i) Предположим, что egx = 0. Тогда
egxx~x — 0, т. е. в силу того, что идемпотенты коммутируют,
exx~xg = 0. Так как S категорийна в нуле, имеем либо ехх~х = 0,

§ 7.7. Гомоморфиамы на примитивные инверсные полугруппы, 97
либо xx~xg = gxx'1 = 0. Таким образом, либо ех (= ехх~гх) = 0,
либо gx (= gxx~xx) = 0, что противоречит предположению. Сле-
Следовательно, egx Ф 0.
(ii) Если сех = 0, то сехх'1 = 0, т. е. схх~хе = 0. Так как
<S категорийна в нуле, имеем либо сх = 0, либо хх~ге = 0.
Но хх~ге = 0 влечет за собой ех = (ехх'1) х = (хх~ге) х = 0, что
противоречит предположению. Следовательно, сх = 0.
(ш) Это утверждение следует непосредственно из категорий-
ности в нуле полугруппы S.
Пусть теперь S = S° — произвольная инверсная полугруппа.
Следуя Манну [1964а], определим на S следующее бинарное
отношение |3;
Р = р (<S) = {(х, у) 6 S х S | ех = еу Ф 0 для некоторого е — е2
из ад {@,0)}. A)
Лемма 7.64. Пусть S = S0 — категорийная в нуле инверсная
полугруппа. Тогда отношение Р = р {S), определенное усло-
условием A), есть ^-ограниченная конгруэнция на S и 5/р примитивна.
Кроме того, если а — такая произвольная ^-ограниченная
конгруэнция на S, что S/a примитивна, то Р ^ а.
Доказательство. Очевидно, Р рефлексивно и симме-
симметрично. Предположим, что (х, 0) 6 Р- Тогда, очевидно, х = 0.
Следовательно, если (х, у), (у, z) 6 Р, то либо все три элемента
х, у, z равны 0, либо ни один из них не равен О.'Если имеет место
первый случай, то, очевидно, (х, z) ? р. Если же имеет место
второй, то существуют такие идемпотенты е, g, что ех = еу Ф 0
и gy = gz Ф 0. В силу утверждения (i) предыдущей леммы egy Ф
Ф 0. Следовательно,
egx = g (ex) = gey = e (gy) = egz ф 0,
откуда вытекает (x, z) ? p. Таким образом, мы установили, что
Р является эквивалентностью.
Докажем, что р стабильно. Возьмем (х, у) ? р. Если х = у — 0,
то (сх, су) = @, 0) 6 Р Для любого с ? S. В противном случае
существует такой идемпотент е, что ех = еу ф 0. Пусть с —
произвольный элемент из S. Если сех = 0, то сеу = 0 и на осно-
основании утверждения (ii) предыдущей леммы сх = 0 = су и поэто^
му (сх, су) 6 р. Если сех Ф 0, то
(сес~г) сх = с (ее1 с) х = (сс^с) ех =
= сех = сеу = (сес1) су Ф 0.
Таким образом, / = сес1 есть идемпотент, причем fcx = fey Ф 0.
Следовательно, (сх, су) 6 Р- Этим мы установили, что р стабильно
слева.
7-100

Гл. 7. Инверсные полугруппы.
Тот факт, что j$ стабильно справа, доказывается аналогично
(и даже проще) с использованием утверждения (ш) предыдущей
леммы. Таким образом, мы показали, что р является конгруэн-
конгруэнцией на S. Ясно, что р есть О-ограниченная конгруэнция.
Далее, пусть Е, F — ненулевые идемпотенты из ?7р. По лем-
лемме 7.34 существуют такие идемпотенты е, f ? S, что е ? Е и / ? F.
Если ef Ф 0, то е (ef) = ef Ф 0 и поэтому (ef, /) 6 Р; аналогично,
(ef, е) 6 Р- Следовательно, (е, /) 6 р. Таким образом, либо EF = О,
либо Е — F. Другими словами, каждый ненулевой идемпотент
из ?/р примитивен, т. е. ?/р есть примитивная инверсная полу-
полугруппа.
Осталось доказать, что р есть наименьшая О-ограниченная
конгруэнция на <S, для которой <S/p примитивна. Пусть а —
произвольная О-ограниченная конгруэнция на <S, для которой
S/a примитивна, и (х, у) ? р. Если х — у = 0, то (х, у\ 6 а.
В противном случае существует такой идемпотент е 6 S, что
ех — еу Ф 0. Отсюда в силу О-ограниченности 0 имеем
(еаЧ) (хоЬ) = (ео*) (уо*) Ф 0
в одной из полугрупп Брандта, являющейся слагаемым в 0-пря-
мом разложении для S/a. Тогда по определению полугруппы
Брандта (§ 3.3, стр. 139, условие А1) получаем ха^ — yob, т. е.
(ж, у) ? а. Таким образом, мы установили, что р s 0; это завер-
завершает доказательство леммы.
11 "* Следствие 7.65. Пусть S = S0 — примитивная инверсная
полугруппа. Тогда отношение Р = (J (S), определенное форму-
формулой A), совпадает с отношением равенства на S.
Объединяя вместе предыдущие леммы, получаем следующую
теорему.
Теорема 7.66. Инверсная полугруппа S = S0 обладает 0-огра-
ниченным . примитивным гомоморфным образом тогда и только
тогда, когда S категорийна в нуле.
Если S категорийна в нуле, то бинарное отношение р = р (S),
определенное условием A), есть наименьшая О-ограниченная кон-
конгруэнция на S с тем свойством, что факторполугруппа по ней
является примитивной инверсной полугруппой.
Так как произвольный гомоморфный образ примитивной
инверсной полугруппы также является примитивной инверсной
полугруппой, мы можем сказать, что в терминах предложения 1.7
<S/p есть максимальный примитивный гомоморфный образ полу-
полугруппы S.
При рассмотрении гомоморфизмов на вполне 0-простые полу-
полугруппы Манн [1964а] ввел следующее условие. Мы будем говорить,
что нуль полугруппы S = S0 неразложим, если для любых двух

§ 7.7. Гомоморфизмы на примитивные инверсные 'полугруппы 99
идеалов А и В этой полугруппы из равенства А [\В = 0 следует,
что А = 0 или В — 0. В противном случае говорят, что нуль
полугруппы <S разложим.
Лемма 7.67. Пусть ф — такой ^-ограниченный гомоморфизм
полугруппы S = S0, что полугруппа S<p 0-проста. Тогда нуль
полугруппы S неразложим.
Доказательство. Предположим, что А и В — идеалы
из S и А [\В — Q. Так как полугруппа <Scp 0-проста и 4ср
является идеалом в Sq>, мы имеем либо А<$ = 0, либо А(р = <S(p.
Аналогично, либо .Вер = 0, либо By = Sy. Если /1ф = .Вф =?ф,
то 5ф = (ЯфJ = (Ау) (Яф) = (ЛВ) ф Е (Л П5) ф = 0Ф, что
невозможно. Следовательно, либо А<р = 0, либо Вф = 0, откуда
в силу 0-ограниченности гомоморфизма ф либо 4=0, либо
В = 0. Таким образом, нуль полугруппы 5 неразложим.
Вполне 0-простой гомоморфный образ примитивной инверсной
полугруппы ? можно получить, проектируя <S на одно из ее
слагаемых, т. е. отображая все слагаемые, за исключением одного,
на нуль, а оставшееся слагаемое отображая изоморфно на себя.
Такой гомоморфизм 0-ограничен тогда и только тогда, когда S
имеет лишь одно слагаемое, т. е. когда S вполне 0-проста. Более
общо, из леммы 7.67 вытекает следующий результат.
Следствие- 7.68. Пусть S = S° — примитивная, регулярная
полугруппа. Тогда S обладает ^-ограниченным вполне 0-простым
гомоморфным образом в том и только в том случае, когда она
имеет лишь одно вполне 0-простое слагаемое, т. е. в том и только
в том случае, когда S вполне 0-проста.
Докажем теперь теорему Манна [1964а].
Теорема 7.69. Инверсная полугруппа S = S0 обладает 0-огра-
ниченным вполне 0-простым гомоморфным образом тогда и только
тогда, когда (i) S категорийна в нуле и (ii) нуль полугруппы S
неразложим.
Кроме того, если S удовлетворяет условиям (i) и (ii), то
бинарное отношение Р = р (S), определенное условием A), являет-
является наименьшей 0-ограниченной конгруэнцией на S с тем свойством,
что факторполугруппа по ней вполне 0-проста.
Доказательство. Пусть ф — такой 0-ограниченный
гомоморфизм полугруппы <S, что S(f вполне 0-проста. В частности,
полугруппа ?ф примитивна и поэтому в силу теоремы 7.66 кате-
категорийна в нуле. На основании леммы 7.67 нуль полугруппы S
^неразложим. Таким образом, S удовлетворяет условиям (i) и (ii).
Обратно, предположим, что S удовлетворяет условиям (i)
г (ii). По теореме ,7-66 из условия (i) вытекает, что S/$ является

100 ' Гл. 7. Инверсные полугруппы
примитивной инверсной полугруппой. Пусть А и В — два вполне
0-простых слагаемых полугруппы ?/р. Тогда At = А (р^)
и Bi = В (Р'')' являются идеалами в S. Если А и В различны,
то А (]В = 0 я в силу О-ограниченности Р (теорема 7.66) имеем
AiflBi^O. Это противоречит предположению (ii). Следова-
Следовательно, Ах = By и поэтому также А — В. Таким образом, ?/р
имеет лишь одно вполне 0-простое слагаемое, т. е. «S7p является
вполне 0-простой полугруппой. Итак, мы установили, что если
S удовлетворяет условиям (i) и (ii), то она обладает 0-ограничен-
ным вполне 0-простым гомоморфным образом.
Пусть <S удовлетворяет условиям (i) и (ii) и а — такая 0-огра-
ниченная конгруэнция на S, что S/a вполне 0-проста. В частности,
S/o является примитивной полугруппой, откуда ввиду теоре-
теоремы 7.66 следует р s о* Доказательство теоремы завершено.
Применим предыдущее к описанию всех конгруэнции р на
инверсной полугруппе S, для которых S/p примитивна. Такие
конгруэнции р будем называть примитивными.
Идеал V полугруппы S будем называть категорийным, если
V=?S и
аЪс ? V (а, Ъ, с ? S) влечет за собой аЪ ? V или be ? 7.
Идеал V из S категорией тогда и только тогда, когда полугруппа
S/V категорийна в нуле. Для каждого категорийного идеала V
из S положим
Ру = {(х, у) ? S X S | ех = еу $ V для некоторого
е = е2 из S}{J{V X F}.
По лемме 7.64 и на основании второй половины леммы 7.60 отноше-
отношение Ру является конгруэнцией на S, причем 0 (Р^) = V, фактор-
полугруппа &/Pv примитивна и каждая примитивная конгруэн-
конгруэнция р на S, для которой 0 (р^) — V, содержит pV
Конгруэнция р на S индуцирует следующую 0-ограниченную
конгруэнцию р' на 5/ру-:
(жРу, г/Ру) р' тогда и только тогда, когда {х, у) 6 р. B)
Обратно, по данной 0-ограниченной конгруэнции р' на Р
с помощью B) можно ^определить такую конгруэнцию р на S,
что 0 (р^7) = V. Назовем р естественным продолжением кон-
конгруэнции р' на S.
"Из предыдущего вытекает следующая
Теорема 7.70. Пусть р — произвольная примитивная кон-
конгруэнция на инверсной полугруппе S и V = 0 (р^). Тогда V есть
категорийный идеал из S, $v есть примитивная конгруэнция на S

§ 7.7. Гомоморфизмы на примитивные инверсные полугруппы 101
и р совпадает с естественным продолжением на S ^-ограниченной
конгруэнции на примитивной инверсной полугруппе <S/pV.
Эта теорема сводит задачу нахождения всех примитивных кон-
конгруэнции на инверсной полугруппе S к задаче нахождения
(i) всех категорийных идеалов V из S и (ii) всех О-ограниченных
конгруэнции на примитивной инверсной полугруппе <S7pV для
каждого категорийного идеала V.
Вторая из указанных задач решается следующим образом.
Пусть Р = U {Bt | i ? /} — произвольная примитивная инверс-
инверсная полугруппа, Вг — ее компоненты Брандта и р — произ-
произвольная 0-ограниченная конгруэнция на Р. Предположим,^ что
(х, у) 6 р, где х 6 Ви у 6 Bj и i ф ] в /. Тогда (хх~гх, хх^у) ? р.
Но хх~хх = х и хх~гу = 0. В силу О-ограниченности мы заклю-
заключаем, что х = 0 и, следовательно, также у = 0. Таким образом,
р = U (Pi \ i 6 /}, где каждое рг = р П {-В» X Bt) является кон-
конгруэнцией на Bt. Обратно, для данных конгруэнции рг на Вг
(i 6 I) их объединение является конгруэнцией на Р. Таким обра-
образом, задача нахождения всех О-ограниченных конгруэнции на
примитивной инверсной полугруппе сводится к задаче нахожде-
нахождения всех таких конгруэнции на полугруппе Брандта, а эта задача
будет решена в § 10.7.
Теперь мы намерены объяснить важность примитивных инверс-
инверсных полугрупп для задачи нахождения всех представлений про-
произвольной инверсной полугруппы S == S0 конечными матрицами
над полем. Пусть <р — такое представление полугруппыТ?. Рас-
Рассматривая ранг матрицы, легко установить, что S<p содержит
примитивные идемпотенты и поэтому в силу теоремы 7.59 содержит
наибольший примитивный идеал Р. Тогда <S содержит Р(р~г
в качестве идеала. Положим V = Оф. Тогда V является идеа-
идеалом в Рф и по теореме 7.66 полугруппа (Рф~1)/У категорийна
в нуле. Будем пока предполагать, что V = 0. Тогда Рф кате-
категорийна в нуле и представление полугруппы Рф, индуциро-
индуцированное ограничением представления ф на Рф, задает представ-
представление 0-прямого объединения (Рф-1)/р полугрупп Брандта, где
р = р {Рф) определено формулой A). Представление 0-прямого
объединения полугрупп Брандта распадается на представления,
индуцированные его слагаемыми. Мы изложили теорию пред-
представлений вполне 0-простых полугрупп в § 5.4. Для частного
случая полугрупп Брандта представления полностью опреде-
определяются в терминах представлений структурных групп. (См. упраж-
упражнение 4 к § 5.4. Это упражнение несовершенно в одном отноше-
отношении. Для полноты картины к (а), (в) и (с) должно быть прибавлено
следующее заключение ' (d); каждое собственное расширение
является базисным.) Таким образом, могут быть определены
представления полугруппы Рф. Следующий шаг состоит в дока-

102 Гл. 7. Инверсные полугруппы
зательстве того, что представление ф распадается на две компо-
компоненты фРи ф*, где фР полностью определяется ограничением пред-
представления ф на Рф. Затем аналогично поступаем с представле-
представлением ф*. Если этот процесс заканчивается на ге-м шаге и, следо-
следовательно, для ф получаются п компонент, таких, как фР, то суще-
существует идеальный ряд из 2га членов
первыми двумя членами которого являются V (мы опускаем
теперь предположение, что V = 0) и Рф. Такой идеальный ряд
может быть охарактеризован абстрактно. Обратно, можно дока-
доказать, что каждому такому ряду соответствует представление полу-
полугруппы S, которое определяется произвольно заданными пред-
представлениями факторов этого ряда.
За деталями отсылаем читателя к работе Престона [1969].
Упражнения к § 7.7
1. Элемент е Ф 0 полугруппы S = S0 называется категорий-
ной единицей, если для каждого х 6 S элемент ех равен либо х,
либо 0, а элемент хе — либо х, либо 0. В случае когда ех = х,
будем называть е категорийной левой единицей элемента х. Двой-
Двойственно определяется категорийная правая единица элемента х.
Полугруппа С = С° называется малой категорией с нулем, если
она удовлетворяет двум следующим условиям:
1. Каждый ненулевой элемент из С имеет категорийную левую
единицу и категорийную правую единицу.
П. С категорийна в нуле.
Пусть С — малая категория с нулем.
(a) Каждый ненулевой элемент а из С имеет единственную
категорийную левую единицу ег (а) и единственную категорий-
категорийную правую единицу еТ (а).
(b) Пусть а, Ь 6 С \ 0. Тогда аЪ Ф 0 в том и только в том
случае, когда ет (а) = е\ (а).
(С \ 0 является малой абстрактной категорией; см., напри-
например, Маклейн [1965], стр. 41; термин «малая» означает, что С_\ 0
является множеством, а не классом.) Обратно, если К — малая
абстрактная категория, то мы можем присоединить новый символ О
к К и положить аЪ = 0, если аЪ не определено в К, и аО = Оа =
= 00 = 0 для всех а ? К. Полученная система С = К[) 0 являет-
является малой категорией в смысле приведенного выше опреде-
определения.
2. Ненулевой элемент а малой категории С с нулем (см. упраж-
упражнение 1) называется инвертируемым, если существует такой эле-
элемент а' 6 С, что аа' — ег (а) и а!а = еТ (а). Следующие условия
для полугруппы S = S0 эквивалентны:

§ 7.7. Гомоморфизмы, на примитивное инверсные полугруппы. 103
(A) S есть малая категория с нулем, каждый элемент которой
инвертируем.
(B) S является примитивной инверсной полугруппой. (См.
упражнение 6 к § 6.5.) (Хёнке [1962], стр. 146.)
3. (а) Пусть {Xt Мб/} — семейство попарно не пересекаю-
пересекающихся множеств, St] (i, / ? I) — множество всех отображений Xt
на Xj и S — объединение всех Stj и пустого отображения 0.
Бинарной операцией на S будем считать суперпозицию отображе-
отображений. Тогда S является малой категорией с нулем (упражнение 1).
Категорийными единицами в S являются тождественные пре-
преобразования множеств Xj (i € Л- Если а 6 Si} и 0 6 SkU то
сф ф 0 тогда и только тогда, когда j — к.
(Ь) Пусть Pij — множество всех взаимно однозначных отобра-
отображений Xt на Xj, где Рц — 0, если | Xt | Ф | Xj |, и Р — объеди-
объединение всех Pjj и 0. Тогда Р является малой категорией с нулем,
каждый ненулевой элемент которой инвертируем (упражнение 2).
Разложению полугруппы Р на полугруппы Брандта соответствует
разбиение множества {Xt \4 6 /} на множество равномощных
множеств.
4. Пусть В — полугруппа Брандта со структурной группой G
и множеством ненулевых идемпотентов /, Н — группа, содержа-
содержащая G в качестве подгруппы индекса \ I \, S — множество, состоя-
состоящее из пустого отображения и всех отображений правых смеж-
смежных классов по G (в Н) на правые смежные классы по G, которые
индуцируются умножением справа на элементы из Н. Рассмо-
Рассмотрим в S операцию суперпозиции отображений. Тогда S есть
полугруппа Брандта, изоморфная В. Следовательно, каждая
малая категория с нулем, в которой инвертируем каждый нену-
ненулевой элемент (упражнение 2 выше), может быть точно представ-
представлена как категория взаимно однозначных отображений.
5. Вполне 0-простая полугруппа категорийна в нуле. Следо-
Следовательно, примитивная регулярная полугруппа также является
категорийной в нуле.
6. Пусть S — инверсная полугруппа. Определим отношение ~
на S, полагая х ~ у тогда и только тогда, когда существует
такой идемпотент е ? S, что ех = еу. Тогда ~ является кон-
конгруэнцией на S и S/~ есть группа. Кроме того, если а есть про-
произвольная конгруэнция на S, для которой S/a является группой,
то -V с а. Следовательно, каждая инверсная полугруппа обладает
максимальным групповым гомоморфным образом (предложе-
(предложение 1.7). (Эта конгруэнция ~ совпадает с конгруэнцией, исполь-
использованной Рисом в доказательстве теоремы 1.23 (Оре) о вложе-
вложении для реверсивных справа полугрупп с сокращениями.) (Манн
И961].)
7. Пусть S = S0 — регулярная полугруппа, М% — ненулевой
идеал из S, категорийный в нуле (к 6 Л), и М = U {М^ \ К ? Л}.

104 Гл. 7. Инверсные полугруппы
Тогда М = М° является регулярной полугруппой, категорийной
в нуле. (Манн [1964а].)
8. Пусть $ = S° — инверсная полугруппа, которая катего-
категорийна в нуле и нуль которой неразложим, М — ненулевой
идеал из S. Определим Pi = Pi (S) и р2 = Рг (М) при помощи
равенства A), примененного к полугруппам ? и М соответственно.
Тогда -5/Pi3ilf/p2. (Манн [1964а].)
9. Скажем, что полугруппа S = S" п х и-матриц над полем
однородна, если (а) она содержит нулевую матрицу и (Ь) все ее
ненулевые элементы имеют один и тот же ранг.
(i) Пусть S — полугруппа Брандта п х га-матриц над полем,
нулевым элементом которой является нулевая матрица. Тогда
S однородна.
(ii) Пусть S — однородная полугруппа п X re-матриц над
полем. Тогда S примитивна. (Манн [1964b].)
10. (i) Пусть S — полугруппа, состоящая из трех идемпотен-
тов, S = {е, /, 0}, где 0 является нулем и ef = fe = 0. Тогда
S категорийна в нуле и ее нуль разложим.
(ii) Пусть X — множество положительных целых чисел. Обо-
Обозначим, как обычно, через 3"х полную полугруппу преобразований
на множестве X. Множество F всех элементов бесконечного ранга
из 3"х является ^-классом полугруппы 3~х (лемма 2.8). Множе-
Множество / = 3х \ F, состоящее из всех элементов конечного ранга
из 3~х, является идеалом вЗх (теорема 2.9 (ii)). Следовательно,
S = 3^x11 есть 0-простая полугруппа. Таким образом, нуль полу-
полугруппы S неразложим. Определим элементы а, р ЕЗ^х^ полагая
{х, если х нечетно,
1, если х четно;
2, если х нечетно,
х, если х четно.
Тогда, обозначая через 8 тождественное преобразование множества
X, в S мы имеем аеР = аР=*0, в то время как ае = а Ф 0 и ер =
= Р ф 0. Таким образом, S не категорийна в нуле. (Манн [1964а].)
И. Пусть S — полугруппа из упражнения 1 к § 6.6. Тогда
S = S° и легко проверить, что S категорийна в нуле и нуль из S
неразложим. Для любого а ? S имеем а2 = 0 и, следовательно,
S не имеет вполне 0-простых гомоморфных образов.

Глава 8
ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ
В предыдущих главах часто появлялись полугруппы, не имею-
имеющие собственных идеалов (разных типов). В главе 2 мы встрети-
встретились с понятиями простой и 0-простой полугруппы. В главах 2
и 3 были детально изучены свойства вполне простых [0-простых]
полугрупп. Напомним одну из характеризапий таких полугрупп:
это простые [0-простые] полугруппы, содержащие минимальные
[О-минимальные] левые идеалы и минимальные [О-минимальные]
правые идеалы (теорема 2.48). В главе 6 рассматривались свой-
свойства полугрупп, разложимых в объединения простых полугрупп
разных типов. Как отмечено в § 2.7, любой полугруппе сопостав-
сопоставляется множество ее главных факторов, причем каждый главный
фактор является простой или. 0-простой полугруппой либо полу-
полугруппой с нулевым умножением. Полугруппа, обладающая глав-
главным идеальным рядом, может быть построена из последователь-
последовательности ее (однозначно определенных) главных факторов при помощи
последовательных расширений. Такие расширения рассматрива-
рассматривались в § 4.4 и 4.5. Полупростые полугруппы играют существен-
существенную роль в теории представлений, изложенной в гл. 5. Вполне-
полупростые полугруппы рассмотрены в § 6.6.
Таким образом, простые полугруппы чрезвычайно важны.
Однако о простых [0-простых] полугруппах, не удовлетворяющих
каким-либо дополнительным условиям, мало что известно. Анало-
Аналогично, нам почти ничего не известно о бипростых полугруппах
в общем случае.
В этой главе мы рассматриваем некоторые классы простых
полугрупп (не обязательно являющихся вполне простыми полу-
полугруппами).. Сначала мы описываем свойства простых справа полу-
полугрупп без идемпотентов, следуя работам Тессье [1953а, Ь] и моди-
модифицируя изложение в свете более поздней работы Круазо [1954а].
Круазо рассматривал общую ситуацию — он изучал простые-
полугруппы без идемпотентов, содержащие минимальные левые
(или правые) идеалы. Мы приводим его основную теорему (теоре-
(теорема 8.18), согласно которой любая такая полугруппа может быть
вложена в другую полугруппу такого же типа; эту последнюю
можно было бы называть главной полугруппой, она строится
вполне определенным способом. Эта теорема во всяком случае

106 Гл. 8. Простые полугруппы
дает нам некоторое представление о том, объектами какого типа
являются такие полугруппы. Однако мы не можем точно указать,
как такие полугруппы вкладываются в главные полугруппы.
В § 8.3 рассматриваются 0-простые полугруппы, содержащие
О-минимальные односторонние идеалы и не содержащие ненуле-
ненулевых идемпотентов. Неполнота приведенных здесь результатов
отражает современный уровень знаний в этой области.
В § 8.4 рассматриваются бипростые инверсные полугруппы.
Теорема 8.44, принадлежащая Клиффорду [1953], показывает,
что бипростая инверсная полугруппа с единицей полностью
определяется некоторой подполугруппой, имеющей более про-
простое строение.
В двух последних параграфах, § 8.5 и 8.6, приведены две
теоремы о вложениях. В одной из них приведена конструкция
Брака [1958] вложения произвольной полугруппы в простую
полугруппу. В другой изложен результат Престона [1959] о вло-
вложении произвольной полугруппы в регулярную бипростую полу-
полугруппу.
§ 8.1. Полугруппы Бэра — Леви
В своей статье [1932] Бэр и Леви построили пример простой
справа полугруппы с правым сокращением, которая не является
группой. Полугруппа, построенная ими, есть Полугруппа всех
таких взаимно однозначных отображений а счетного множества,
скажем /, в себя, что множество I \1а бесконечно. Более общо,
мы будем говорить, что S является полугруппой Бэра — Леви
типа (р, q) на множестве А, если \ А \ = р ш S есть полугруппа
. (относительно суперпозиции) всех взаимно однозначных отобра-
отображений т) множества А в себя, для которых множество А \ Ац
бесконечно и имеет мощность q.
Первая цель данного параграфа — показать, что произволь-
произвольная простая справа полугруппа с правым сокращением, не являю-
являющаяся группой, может быть вложена в полугруппу Бэра — Леви
(теорема 8.5). Этот результат, принадлежащий Тессье [1953а],
показывает, насколько широк загадочный «класс IV», с которым
мы столкнулись в § 1.11 (стр. 63). В доказательстве мы следуем
работе Круазо [1954а]. Далее, мы доказываем (теорема 8.8),
что полугруппа может быть вложена в простую справа полу-
полугруппу с правым сокращением и без идемпотентов тогда и только
тогда, когда она сама является полугруппой с правым сокращением
и без идемпотентов. Этот результат принадлежит Кону [1956а].
Мы приводим новое доказательство. Мы установим фактически,
что вложение происходит в полугруппу Бэра — Леви и, таким
образом, теорема 8.5 является следствием теоремы 8.8. Однако
нам кажется целесообразным привести также более простое дока-
доказательство теоремы 8.5, принадлежащее Круазо.

§ 8.1. Полугруппы. Бэра — Леей 107
Лемма 8.1. Для любых двух бесконечных мощностей р, q, таких,
что р ^- q, существует полугруппа Бэра — Леей типа (р, q).
Доказательство. Пусть А имеет мощность р и \, ц —
такие взаимно однозначные отображения А в себя, что А \ А\
и А \ Ац имеют мощность q. Нам достаточно установить, что
А \ А |т) имеет мощность q.
Так как т) взаимно однозначно, оно отображает А \ А\ взаимно
однозначно на А\\ \ А\ч\. Далее, А\ А^ц = (A \Ai\) \J(Ar\ \ А^ц)
есть объединение двух не пересекающихся множеств мощности q.
Поскольку q бесконечно, | А \А%ц \ = q.
Теорема 8.2. Полугруппа Бэра — Леей является простой
справа полугруппой с правым сокращением и без идемпотентов.
Доказательство. Пусть ? — полугруппа взаимно
однозначных отображений т) множества А мощности р в себя, для
которых .4\.4т) имеет мощность q.
Для любого т] ? S имеем | А \ Аг\ | = | Лт)\ЛтJ |. Следова-
Следовательно, так как q есть бесконечная мощность, т]а Ф г\. Таким
образом, S не содержит идемпотентов.
Пусть а, р ? S. Для того чтобы доказать, что S является про-
простой справа полугруппой, мы должны установить, что существует
7 6 S, для которого сс7 = Р- Зададим у следующим образом.
Для каждого х 6 А пусть у переводит ха в жр\ Тем самым у опре-
определено на Аа. Так как | А \ Аа | = | А \ А$ \ = q, существует
такое взаимно однозначное отображение б множества А \ Аа
в А \ Лр, что (А \ А$)\((А \ Аа) б) имеет мощность q. По опре-
определению будем считать, что ограничение у на А \ Аа совпадает
с каким-либо из таких б. Построенное отображение у принадлежит
S и а? = Р-
Остается доказать, что iS — полугруппа с правым сокраще-
сокращением. Предположим, что а, р, у ? S и ар* = ур. Пусть х 6 А.
Тогда жсср = xyP, откуда в силу того, что Р взаимно однозначно,
ха = ху. Так как это выполняется для всех х 6 А, мы имеем
а = у.
Для доказательства нашей первой теоремы о вложении нужны
две предварительные леммы.
Лемма 8.3. Пусть S — простая справа полугруппа без идем-
идемпотентов. Тогда равенство ху = у не может выполняться ни для
каких элементов х, у 6 S (ср. с доказательством леммы 1.0 из § 1.3).
Доказательство. Предположим, что ху = у. Так как
S проста справа, yS — S. Следовательно, существует такой z ? S,
что уъ = х. Отсюда получаем ж2 = х (yz) = (ху) z = yz = х, т. е. х
является идемпотентом, что противоречит условию.

108 Гл. 8. Простые полугруппы
Лемма 8.4. Пусть S — простая справа полугруппа с правым
сокращением и без идемпотентов. Тогда \S\Ss \= \ S \ для
любого s ? S.
Доказательство. Так как каждая конечная полугруп-
полугруппа содержит идемпотент (§ 1.6), S бесконечна. Пусть s — произ-
произвольный элемент из S. Определим следующим образом преобра-
преобразование ф полугруппы S. Так как S проста справа, для каждого
х в S существует такой элемент х' ? S, что хх = s. В качестве
жф мы выберем произвольный из таких элементов. Если жф = уц>г
то ж (жф) = s = у (#ф) = у (жф), откуда, сокращая справа, полу-
получаем х — у. Следовательно, отображение ф взаимно однозначно.
Далее, Sq>(]Ss = 0. В самом деле, если z?Sy(]Ss, то z =
= жф — ys для некоторых ж, у ? S. Тогда s = х (жф) = xys, что
невозможно в силу леммы 8.3. Следовательно, ?ф? S \Ss и
| S | = | Sq> | -^ | S \ Ss | <^ \ S |,
так что
| S \ Ss | = | S |.
Теорема 8.5. Пусть S — простая справа полугруппа с правым
сокращением и без идемпотентов. Тогда S может быть вложена
в полугруппу Бэра — Леей типа (р, р), где р = \ S |.
Доказательство. По лемме 1.0 расширенное регуляр-
регулярное (правое) представление полугруппы S является точным пред-
представлением полугруппы S как полугруппы взаимно однозначных
преобразований множества S1. Элемент s полугруппы S пред-
представляется преобразованием
I -» s,
с —з» xs, x?S.
Далее,
¦\(s[)Ss) \= \S\Ss \,
поскольку | S | бесконечна. Следовательно, по лемме 8.4
|5Ч = (S |= \S\Ss\ = |S*\S'p. |.
Таким образом, pg является элементом полугруппы Бэра — Леви
типа (р, р), состоящей из преобразований множества S1. В силу
точности расширенного регулярного представления получаем
требуемое вложение.
Следующие две леммы необходимы для доказательства теоремы
Кона. Напомним, что если / — инверсная полугруппа и A s /,
то инверсная подполугруппа, порожденная А, совпадает с пере-
пересечением всех инверсных подполугрупп из /, содержащих А.

§ 8.1. Полугруппы, Бэра — Леей 109
Лемма 8.6. Пусть I — бесконечная инверсная полугруппа с еди-
единицей 1, S — такая подполугруппа из I, что S порождает I как
инверсную полугруппу и из а ? S следует аа~1 = 1 и а~уа ф 1.
Положим р = | / | и обозначим через йТ полугруппу Бэра — Леей
типа (р, р) на множестве Т. Через ф обозначим регулярное (правое)
представление полугруппы I.
Тогда ограничение ф на S является изоморфизмом полугруппы S
в §,1
Доказательство. Поскольку S порождает инверсную
полугруппу /, последняя состоит из произведений конечного числа
элементов из S и инверсных к ним элементов. Следовательно,
\ S | = | / | = р. Далее, S^f]S = 0, где S^ = {Ъ | Ъ^ 6 S),
в самом деле, & 6 S влечет bb~i Ф 1. Поэтому | S~i | = р.
Пусть а ? S. Рассмотрим множество 1а. Мы имеем la f\S~l ==
= 0. В самом деле, пусть Ь 6 S и предположим, напротив, что
b~l = ха, где х 6 /. Тогда ЬЬ~1 = (жа) ха = а~1х~1ха. Но
а~1х~1ха ^ а~1а, где через <^[ обозначен естественный частичный
порядок на / (см. § 7.1). Следовательно, а~{х~1ха Ф 1, т. е. ЪЪ~1 Ф
Ф 1, что противоречит предположению b ? S. Таким образом,
5 S / \ /а, откуда вытекает | / \ la \ = р.
Далее, 1а = I (а<р) и поэтому, лемма будет доказана, если мы
установим, что aq> есть взаимно однозначное преобразование
множества / для любого а 6 S. Но последнее верно, так как если
х (аф) = у (аф) для х, у ? /, то х = хаа'1 = (х (а<р)) а'1 —
~ {У (аФ)) а~1 = Уаа~1 ~ У
Пусть S — полугруппа с правым сокращением и без идемпо-
тентов. Напомним определение (см. § 1.9, стр. 54) инверсной оболоч-
оболочки полугруппы S. Пусть р: s -*• ps (s 6 S) есть расширенное
регулярное дредставление S. По лемме 1.0 каждое р3 является
взаимно однозначным преобразованием множества S1 и р есть
точное представление. Инверсная оболочка полугруппы S совпа-
совпадает с инверсной подполугруппой 2=2 (S) из Jsi, порожден-
порожденной Sp. Здесь через Jsi обозначена симметрическая инверсная
полугруппа, состоящая из всех взаимно однозначных частичных
преобразований множества S1
Лемма 8.7. Пусть S — полугруппа с правым сокращением и без
идемпотентов, р — ее расширенное регулярное представление.
Тогда тождественное преобразование множества 51 является
единицей 1 инверсной оболочки 2 полугруппы S. Далее, если а ? Sp,
то аа~1 = 1 и а~1а Ф 1.
Доказательство. Каждый элемент из Sp является
взаимно однозначным преобразованием множества S1. Следова-
Следовательно, если а ? Sp, то аа~1 = 1, где 1 является, очевидно, едини-
единицей полугруппы 2. Далее, 1 $ 2а, поэтому а~1а Ф 1.

110 Гл. 8. Простив полугруппы
Теорема 8.8. Полугруппа может быть вложена в простую
справа полугруппу с правым сокращением и без идемпотенто»
тогда и только тогда, когда она с правым сокращением и без идем-
потентов *).
Доказательство. Необходимость условий очевидна.
Для доказательства достаточности рассмотрим полугруппу S
с правым сокращением и без идемпотентов. Пусть р — расширен-
расширенное регулярное представление полугруппы S и 2 — инверсная
оболочка этой полугруппы. Так как полугруппа, не имеющая
идемпотентов, бесконечна, лемма 8.7 показывает, что будут
выполнены все условия леммы 8.6 > если в качестве / и S взять,
соответственно 2 и Sp. Следовательно, так как р есть точное
представление, по лемме 8.6 полугруппа Sp, а потому и ? может
быть вложена в полугруппу Бэра— Леви us типа (| 2 |, | 2 |)„
Теперь заключение теоремы вытекает из теоремы 8.2.
Поскольку в приведенном выше доказательстве, очевидно,
| 2 | = | S | теорема 8.5 является следствием теоремы 8.8.
Простая справа полугруппа, главные левые идеалы которой
линейно упорядочены по включению, была названа Коном [1956b]
полугруппой с полуторалатеральным2)левым делением. Такая полу-
полугруппа обязательно является полугруппой с правым сокраще-
сокращением. Для этих полугрупп Кон доказал следующую теорему:
полугруппа, главные левые идеалы которой линейно упорядочены
по включению, может быть вложена в полугруппу с полуторалате-
полуторалатеральным левым делением без идемпотентов тогда и только тогдау
когда она с правым сокращением и без идемпотентов.
Упражнения к § 8.1
1. Каждый ,5?-класс простой справа полугруппы без идемпо-
идемпотентов одноэлементен.
2. В простой справа полугруппе без идемпотентов каждое урав-
уравнение ах = Ъ имеет бесконечно много решений.
3. Каждый элемент простой справа полугруппы без идемпо-
идемпотентов содержится в бесконечном числе различных главных
левых идеалов.
4. Пусть S — простая справа полугруппа. Если Sx = Syx
для любых х, у б S, то S является правой группой.
5. Простая справа полугруппа с правым сокращением, содер-
содержащая идемпотент, является группой.
г) Э. Г. Шутовым [1963] доказано более сильное утверждение: полугруп-
полугруппа с правым сокращением и без идемпотентов может быть вложена в полу-
полугруппу, обладающую, кроме перечисленных в теореме 8.8, еще и свойствам»
простоты (в смысле конгруэнции) и полноты (в смысле извлечения корня).—
Прим. ред.
2) Sesquilateral.— Прим. перев.

§ 8.2. Полугруппы. Круаао — Тессье 111
6. Если S — простая справа полугруппа без идемпотентов,
то для любого х ? S такой же является полугруппа Sx.
7. Пусть Si, S2 — две простые справа полугруппы, одна
яз которых не содержит идемпотентов. Тогда 5*1 X ^2 — простая
справа полугруппа без идемпотентов.
8. Пусть S — простая справа полугруппа без идемпотентов.
Возьмем декартово произведение М = S X Л, где Л есть произ-
произвольное множество. Пусть <р: Л -*- S есть какое-либо отображе-
отображение множества А в S. Определим следующим образом произве-
произведение в М: (s, Я,) (t, ц) = (s (kq>) t, ц). Тогда М относительна
этого произведения превращается в простую справа полугруппу
без идемпотентов (М есть не что иное, как полугруппа матричнога
типа над S, ср. § 3.1). Если ? — полугруппа с правым сокраще-
сокращением, то, вообще говоря, М не является полугруппой с правым
сокращением.
9. Сохраняя обозначения упражнения 8, предположим, что-
имеется еще одно отображение
%: Л -* Л.
Определим новое произведение в М, полагая
(s, К) (t, (i) = (s (А,ф) t, ц%).
Показать, что если
(i) х2 = % и
(ii) х (ц%) уу = х ((хф) у для всех х, у ? S и всех ц, ? Лг
то М будет полугруппой относительно нового умножения. Далее,
М не содержит идемпотентов и проста справа тогда и только тогда,,
когда х есть отображение на Л, т. е. в силу (i) является тожде-
тождественным отображением.
10. Пусть А — бесконечное множество и R — полугруппа
Бэра — Леви типа (| А [, \А |)-на множестве А. Пусть #i—
нетривиальная группа подстановок множества А с единицей 1.
Положим S — Hi [}R. Тогда S является полугруппой относитель-
относительно операции суперпозиции отображений.
Кроме того, S есть полугруппа с правым сокращением, R —
ее двусторонний и минимальный правый идеал. Пусть г ? R, g 6
6 Hi, g ф 1. Тогда gr $ Rr. Таким образом, r\]Rr — левый идеал
из R, не являющийся левым идеалом в S. (Ср. упражнение 1
к § 6.2.) -
§ 8.2. Полугруппы Кру'азо — Тессье
В этом параграфе мы рассмотрим обобщение полугрупп Бэра —
Леви из § 8Л, которое будет играть для простых полугрупп без
идемпотентов, являющихся объединениями своих минимальных

112 Гл. 8. Простые полугруппы,
правых идеалов, ту же роль, какую полугруппы Бэра — Леви
играют в теореме 8.5 для простых справа полугрупп с правым
сокращением и без идемпотентов. Этот тип полугрупп впервые
¦был рассмотрен Тессье при изучении простых справа полугрупп
без идемпотентов, не обязательно являющихся полугруппами
•с правым сокращением [1953b]. Приведенное здесь обобщение
принадлежит Круазо [1954а].
Пусть р и q — бесконечные кардинальные числа, причем
р^> q, и А — множество, такое, что \ А \^> р. Пусть, далее,
% — {Si \ i (: 1} ~ семейство различных эквивалентностей на А,
для которых | A/Mi \ — Р (i € /)¦ Подмножество Bgi назо-
назовем вполне разделенным *) семейством %, если (i) | В | = р и (ii)
для любого i ? / имеет место равенство Мг[)(В х В) = iB, где
iB — отношение равенства на множестве В. Для каждого i ? I
через Т{ обозначим множество всех преобразований т)г множества
А, для которых (i) г)* о т]!1 = %t и (ii) существует такое вполне
разделенное семейством Щ множество В (зависящее, вообще гово-
говоря, от rjj), что Ац^В и | В \Ar\i | = q. Если существует хотя
бы одно вполне разделенное подмножество в А, то ясно, что
каждое Tt не пусто. В случае, когда А содержит вполне разделен-
разделенное семейством % подмножество, через СТ (А, Щ, р, q) будем
обозначать множество отображений U {Ti \ i 6 !}•
Лемма 8.9. Любое множество отображений СТ (А, %, р, q)
образует относительно суперпозиции полугруппу без идемпотен-
идемпотентов, в которой каждое подмножество Тл является правым идеалом.
Доказательство. Пусть \ ? Tt, ц ? Tj, так что суще-
существуют вполне разделенные семейством % подмножества X и Y
из А, причем 4?s X, Ar\^Y и | X \ А% | = | Y \Ац | = q.
Тогда 1т] ? Tt. В самом деле, во-первых, |ti о (it]) =
= | о (т, о т,-1) о |-1 = 6 о %г о |-1 = \ о ix о 1 = % о |-1 = %г.
Во-вторых, поскольку X — вполне разделенное множество, огра-
ограничение т] на X является взаимно однозначным отображением
и потому | Хц | = | X | = р. Далее, Хц «= Ац s Y, так что Хц
содержится во вполне разделенном подмножестве. Следователь-
Следовательно, поскольку | Хх\ | = р, множество Хг\ является вполне раз-
разделенным.
Далее, А\ ?= X и поэтому Al,r\ s Xr\, а так как ограничение
ц на X взаимно однозначно, мы имеем | X \ АЪ, \ — | (X \ А?) ц | =
= | Хц \ А%ц |. Таким образом, | Хц \ А%ц | = q, что завершает
доказательство справедливости включения |r| ^ Ti.
Итак, мы показали, что СТ (А, Ш, р, q) есть полугруппа отно-
относительно суперпозиции и каждое подмножество Tt является
её правым идеалом. Тот факт, что СТ (А, М, р, q) не содержит
*) В оригинале well separated.— Прим. перев.

§ 8.2. Полугруппы, Круаао — Тессъе 113
идемпотентов, проверяется легко. В самом деле, предположим,
что ?2 == ? и АЬ, содержится во вполне разделенном множестве X,
причем | X \ А ? | = q. Так как ограничение ? на X взаимно
однозначно, мы получаем | Х? \ А?? \ = q. Но Xg s -A?> и поэто-
поэтому из ?2 = | следует Х%\А%* = 0, что невозможно, так как
q — бесконечное кардинальное число.
Полугруппы типа СТ (А, f, р, q) будем называть полугруппами
Круазо — Тессъе. Прежде чем продолжить изложение, приведем
теорему существования. Для этой цели у нас имеется пример,
принадлежащий Сикорскому (устное сообщение). Пусть А —
декартово произведение | / | экземпляров множества Е мощно-
мощности р, так что мы можем записать А = {(at) \ i ? I, at ? Е}.
Для каждого / 6 I положим по определению %j — {(а, Ъ) \ а =
= (в,), Ъ = (bt), aj = bj}. Тогда | A/Mj | = | Е | = р. Далее,
В — {(Ьг) | Ьг = bj для всех i,} из /} является, очевидно, впол-
вполне разделенным подмножеством из А. Теперь ясно, что для любого
бесконечного q -^ р полугруппа СТ (А, %, р, q) существует. Более
того, мощность | / | множества ее правых идеалов Тг (см. лем-
лемму 8.9) может быть произвольной. В примере Сикорского в силу
соображений симметрии все Tt изоморфны. Как показывает
упражнение 7 к настоящему параграфу, в общем случае это
неверно.
Среди полугрупп Круазо — Тессье особый интерес для нас
представляют полугруппы, для которых р = q, т. е. полугруппы
СТ (А, §, р, р). Оказывается, эти полугруппы просты и их
правые идеалы Tt являются минимальными правыми идеалами.
Следующая лемма, которая может быть выведена из результатов
§ 6.3, облегчает доказательство этих утверждений.
Лемма 8.10. Полугруппа, являющаяся объединением своих
минимальных правых идеалов, проста.
Доказательство. Пусть {Rt \ i ? /} — семейство ми-
минимальных правых идеалов S, так что S = U {Rt | i 6 !}• Пусть
х 6 S и у 6 Ri- Тогда yxS есть правый идеал из S, содержащийся
в Rt. Следовательно, yxS — Rt. Отсюда S = U {Rt | i € /} =
= U {yxS j у б S} = SxS. Таким образом, S проста (лемма 2.28).
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 8.11. Каждая полугруппа СТ (А, Щ, р, р) проста,
не содержит идемпотентов и совпадает с объединением своих
минимальных правых идеалов Tt, i ? I.
Доказательство. В силу лемм 8.9 и 8.10 достаточно
установить, что каждый правый идеал Tt является минимальным
правым идеалом. Таким образом, мы должны доказать, что для
заданных |, г\ 6 Tt существует ? ? S, для которого г) = | ?.
• 8-юо

114 Гл. 8. Простые полугруппы
Для | и т) существуют соответственно такие вполне разделен-
разделенные подмножества X и У аз А, что А% дХ,4||дУи | Х\4? | =
= | У \ Ац | = р. Определим сначала ограничение ? на А%, пола-
полагая ?,'• #? -*¦ Щ (#6 -4)- Так как ? о ?-* = %г = ц о т), опре-
определенное таким образом ограничение ? на А\ является однознач-
однозначным отображением (точнее, взаимно однозначным отображением
А\ на 4т)). Продолжим теперь ? на все множество А следующим
образом. Так как А\ ^ X и X является вполне разделенным,
в А% существует не более одного элемента из каждого ^-класса.
Для каждого х 6 А пусть ? переводит весь &(-кдасс, содержащий
ж|, в хх\. Пусть С — множество тех gj-классов, которые не имеют
общих элементов с А%. Тогда \С \^.р, так как \А/$г | = р.
Поскольку р бесконечно и |У\Лт] | = р, существует такое
взаимно однозначное отображение б множества С в У\^4т], что
| (.4 \ Ац) \С8 | = р. Зафиксируем любое такое отображение & .
и определим отображение g на остальных элементах из А, т. е.
на элементах $гклассов, принадлежащих С, полагая, что g пере-
переводит все элементы любого ^-класса в элемент, являющийся
образом данного $гкласса при отображении б. Тогда ?°?-1 =
= %и А-Ъ^ Y и | Y \ At, | = | (Y \ Аг\) \ СЬ \ = р. Таким обра-
образом, t E S. Кроме того, очевидно, ?? = ц. Это завершает доказа-
доказательство теоремы.
Теперь мы докажем ряд результатов, кульминационным пунк-
пунктом которых является теорема о том, что каждая простая полу-
полугруппа без идемпотентов с минимальными правыми идеалами
может быть вложена в некоторую полугруппу СТ (А, %, р, р).
Простые полугруппы с минимальными правыми идеалами, содер-
содержащие идемпотенты, являются в действительности вполне про-
простыми. Это не что иное, как результат упражнения 12 к § 2.7
(Шварц [1951], теорема 7.2), примененный к полугруппам без
нуля. Но чтобы изложение здесь было замкнутым в себе, мы
сделаем отступление и докажем этот факт. Следующая лемма
по существу совпадает с упражнением 14 к § 2.7.
Лемма 8.12. Пусть е — идемпотент полугруппы S. Тогда
следующие условия эквивалентны:
(A) eSe является группой.
(B) Se — минимальный левый идеал.
(В') eS — минимальный правый идеал.
(C) е примитивен и SeS проста.
Доказательство. (А) влечет за собой (В). Предполо^
жим, что eSe = G является группой и L — левый идеал из S,
содержащийся в Se. Пусть х 6 L. Тогда ех ? L, так как L —
левый идеал, и хе = х, так как L «= Se. Следовательно, ех =
= у ? G и поэтому Se = Sy~ly s L, где y~i — элемент, обрат-
обратный для у в группе G. Таким образом, полугруппа Se не содержит

§ 8.2. Полугруппы. Круаао — Тессъе 115
левых идеалов полугруппы S, отличных от нее самой, т. е. мы
установили, что (А) влечет за собой (В).
Обратно, покажем, что (В) влечет за собой (А). Предположим,
что Se — минимальный левый идеал из S. Тогда Se-exe = Se
для любого х ? S. Таким образом, eSe-exe = eSe для любого
ехе 6 eSe. Следовательно, eSe есть простая слева полугруппа
с левой единицей и поэтому является группой.
По соображениям симметрии (А) эквивалентно (В'). Осталось
доказать, что условие (С) эквивалентно любому из условий
(А) - (В')-
Предположим, что имеет место (А). Тогда, очевидно, оео про-
проста. Предположим, что / = /2 и / <С е, так что /е = ef — /• Тогда
/ = е/е 6 eSe, а так как группа имеет лишь один идемпотент,
получаем / = е. Таким образом, е — примитивный идемпотент,
т, е. мы установили, что (А) влечет за собой (С).
В силу леммы 2.47 из (С) вытекает (А).
Следующую лемму можно вывести из результатов § 6.2 и 6.3
(ср. с леммой 6.18). Она включает в себя утверждение, обратное
к лемме 8.10.
Лемма 8.13. Пусть S — простая полугруппа, содержащая
минимальный правый идеал. Тогда S является объединением своих
попарно не пересекающихся минимальных правых идеалов; xS есть
минимальный правый идеал, содержащий х; каждый минимальный
правый идеал является простой справа полугруппой.
Доказательство. Пусть R — минимальный правый'
идеал полугруппы S. Для каждого х ? S множество xR является
минимальным правым идеалом из S (лемма 2.32). Для каждого-
г 6 R имеем S = SrS s SR. Таким образом, S = SR =
= U {xR | оо 6 S) есть объединение минимальных правых идеалов.
Так как пересечение двух правых идеалов либо пусто, либо являет-
является правым идеалом, два различных минимальных правых идеала
не пересекаются. Далее, минимальный правый идеал, содержа-
содержащий х, должен содержать правый идеал xS и поэтому должен
совпадать с xS.
Пусть теперь Т — правый идеал минимального правого идеала
R ш S. Тогда TR <= Т. Но (TR) S = Т (RS) S TR, так что
TR — правый идеал в S. Таким образом, TR = R S Т. Следова-
Следовательно, Т = R, т. е. R — простая справа полугруппа.
Замечание. Если R — минимальный правый идеал произволь-
произвольной полугруппы S, то ясно, что из приведенного выше доказа-
доказательства следует, что он является простой справа полугруппой.
Теперь как следствие получается результат, упомянутый ранее
(Шварц [1951], Кох [1953], Уоллес [1955], Манн [1957], Сайто
и Хори [1958]).
8*

116 Гл. 8. Простые полугруппы
Теорема 8.14. Пусть S — простая полугруппа, содержащая
минимальный правый идеал. Полугруппа S будет вполне простой
тогда и только тогда, когда она содержит идемпотент.
Доказательство. Необходимость условия следует из
определения вполне простой полугруппы (§ 2.7). Достаточность
вытекает из того, что если е — идемпотент из S, то по лемме 8.13
eS есть минимальный правый идеал из S, содержащий е. Следова-
Следовательно, в силу леммы 8.12 е примитивен и поэтому S вполне
проста.
После нашего отступления, посвященного вполне простым
полугруппам, вернемся снова к главной теме этого параграфа —
простым полугруппам, обладающим минимальными односторон-
односторонними идеалами и не являющимся вполне простыми. В силу теоре-
теоремы 8.14 мы будем поэтому рассматривать простые полугруппы
без идемпотентов.
Важную роль в дальнейшем будет играть следующее обобщение
леммы 8.3.
Лемма 8.15. Пусть S — простая полугруппа без идемпотен-
идемпотентов, содержащая минимальный правый идеал. Тогда равенство
ху = у не выполняется ни для каких х, у ? S.
Доказательство. Предположим, что х принадлежит
минимальному правому идеалу R из S (лемма 8.13). Если ху = у,
то у 6 R- Но R есть простая справа полугруппа (лемма 8.13)
и по лемме 8.3 равенство ху = у в ней невозможно. '
Следующие две леммы являются частью доказательства нашей
теоремы вложения. Первая лемма есть непосредственное обобще-
обобщение леммы 8.4.
Лемма 8.16. Пусть S — простая полугруппа без идемпотен-
идемпотентов, содержащая минимальный правый идеал. Тогда
\Ss | = | Ss \ Sts | - | Su \ Svu | = | Su |
для любых s, t, u, v 6 S.
Доказательство. Пусть Rt (i ? I) — минимальные
правые идеалы из S, так что S — U {Ri \Ь?Ц (лемма 8.13).
Поскольку Ris s Rt для любого s ? S я Rt попарно не пересе-
пересекаются, лемма будет доказана, если мы установим, что Rts и
RiS\Rits — множества одной и той же мощности независимо
от выбора s и t в S. Приступим к доказательству этого.
Пусть s, и 6 S. Тогда на основании теоремы 6.36 существует
такой х 6 S, что s = sux. Следовательно, Rts = Rtsux и поэтому
| Rts | > | Rtsu | > | Rtsux | = | Rts |. Отсюда | Д,* | = | Rtsu |.
Ho Rts s Ri, и поэтому | Rtsu | <; | Rtu |. Таким образом,

§ 8.2. Полугруппы Круаао — Тессъе 117
| Rts | <; | Rtu \. Аналогично, | Rtu | <; | Rts |. Следовательно,
| Rts | = | RiU | для любых s, и 6 S.
Осталось показать, что \ Rts | = \Ris\Rits | для любых
s, t 6 S. Предположим, что t ? Rj- Для каждого и 6 Rj& существу-
существует такой х' ? i?j, что их' = t. Действительно, и = xs для некото-
некоторого х 6 Д./, откуда UjRj = xsRt = /?^. Для каждого и 6 -fys
выберем некоторый элемент и' ? Rt, такой, что ии = t. Тогда
отображение ц: и -*- u's является взаимно однозначным отобра-
отображением Rjs в Rts. В самом деле, предположим, что иц = уц,
т. е. u's = v's. По лемме 8.13 существует такой z 6 S, что s =
= su'sz. Пусть х, у — элементы, для которых и = xs, v = ys
(и, v 6 Rjs). Тогда и = xs — (xs) u'sz = (ми') sz = tsz = v (v's) z =
= vu'sz = г/ (sm'sz) = ys = v. Таким образом, и\х = v\i влечет
за собой и = v, т. е. ц взаимно однозначно.
Фактически ц отображает Rjs в Rts\ Rtfs. В самом деле,
предположим, что и ? Rjs и мц 6 й{&. Тогда кц = u's = zfs,
где z 6 i?i- Следовательно, te = uu's = (uz) (fe), что невозможно
в силу леммы 8.15.
Итак, | Rjs | < | Ris\Rtts | < | Rts |. По соображениям сим-
симметрии | Rjs | = | RiS | для всех i, f 6 /. Но тогда последнее
неравенство превращается в равенство, что завершает доказатель-
доказательство леммы.
Лемма 8.17. Пусть S — простая полугруппа без идемпотен-
тов и R — ее минимальный правый идеал. Определим отношение
% на S, полагая
$ — {(х' У) \хг = уг для некоторого r? R).
Тогда % — отношение эквивалентности на S, причем % П (St x St) =
= ist для любого t?R и \ Sl% | = \St \.
Доказательство. Из того факта, что хг = уг для
некоторого г 6 R имеет место тогда и только тогда, когда хг = уг
для любого г 6 R> вытекает, что % является отношением экви-
эквивалентности на S.
Пусть теперь t ? R и х, у ? St. Если (х,у)?%, то хг = уг
для всех г ? R. Следовательно, полагая х = ut, у — vt, мы полу-
получаем utr = vtr для tr ? R. Отсюда вытекает, что иг' = vr' для
всех г' 6 R, в частности ut = itf, т. е. х = у. Таким образом,
% П (St X St) = ist.
Рассмотрим отображение pi: s ->- sf полугруппы 5 на St (для
некоторого t ? R). Тогда, очевидно, uo иг1 = %, так что | Sl% \ =
= \St\.
Теперь мы можем доказать теорему Круазо о вложении.

118 Гл. 8. Простые полугруппы
Теорема 8.18. Пусть S — простая полугруппа без идемпотентов,
содержащая минимальный правый идеал, up— \Ss | для некоторого
s 6 S. Тогда S может быть вложена в полугруппу СТ (А, %, р, р)
для некоторого множества А.
При этом S можно вложить в подходящую полугруппу
СТ (А, %,р,р) таким образом, что каждый минимальный пра-
правый идеал из СТ (А, %, р, р) будет содержать в точности один
минимальный правый идеал из S.
Доказательство. Мы знаем, что S = \J{Rt I i 6 -О»
где каждое Rt есть минимальный правый идеал из S (лемма 8.13).
Возьмем в качестве А множество ? (J 0, где в = {90} (J {94 | i 6 1}
и 90, 9,- не принадлежат S. Пусть % = {%t \ i (Е /} — семейство
отношений эквивалентности на А, заданных следующим образом:
*1 = {(*, У) € S х S | xrt = yri (г, € Ri)} U
и((в\е,) х
По лемме 8.17 имеем | А/Шг | = | Srt [} {9f) 90} | = | Srt \ = | Ss |
для любого s g S (последнее равенство выполняется в силу лем-
леммы 8.16). Таким образом, | А1%г \ = р для каждого i 6 /• Далее,
если ъф), то (90, 9;) 6 %i\ %h откуда %t Ф %j. Таким обра-
8ом, Щ — семейство различных отношений эквивалентности на А.
Пусть X = Srt (j {rt, 90} для некоторого rt ? Rt. Тогда X
является множеством, вполне разделенным семейством %. В самом
деле, во-первых, \Х \— р. Далее, в силу леммы 8.17 %% индуци-
индуцирует отношение равенства на Srt и, так как rt $ Srt (лемма 8.15),
Si f\(X X X) = ix. Предположим теперь, что (х, у) 6 Ш}, j ф i
и х, у 6 X. Имеется пять возможностей: (i) х — urt, у = vrt;
(И) х = wt,y =rt [x = rt, у = vrt\; (iii) x = urt, у = 90 [х = 90,
у = vrt\; (iv) a: = rit у = 90 [ж = 90, у = г4]; (v) x = у. Посколь-
Поскольку (^i У) 6 tj, возможности (iii) и (iv) сразу же исключаются.
В случае (i) из (х, у) ? %} вытекает либо х = у, либо xrj = ytj
для всех г; (; i?^. Но тогда ц^ = vtu так как r,r^ = i,- ? Д(, и поэто-
поэтому us = vs для всех s ^ i?j. В частности, х = urt = vrt = у, т. е.
х = у. В случае (ii) из (х, у) ? Mj аналогичным образом вытекает
rtr] = tt б <S?j для fj 6 Ri, что невозможно в силу леммы 8.15.
Таким образом, (х, у) € %jf\(X X X) влечет за собой х = у.
Следовательно, X, как и утверждалось, является вполне разде-
разделенным множеством.
Обозначим через <5" полугруппу Круазо — Тессье СТ (А,Ш,
р, р), соответствующую построенным А и %, и через Т\ (i 6 i),
как и выше, обозначим минимальные правые идеалы из tf (лем-
(лемма 8.11). Тогда каждому элементу s из S поставим в соответствие

§ 8.2. Полугруппы Нруаао — Тессье 119
элемент sa из tf, заданный следующим образом:
Г xs (х б S),
х (sa) = j s (x — 9* и
I Q /л. й
1 Отображение
-;¦ . a: S-+ ЗР
осуществляет изоморфное вложение S в ff.
: . Мы должны показать сначала, что sa ? tf. Пусть s ? Rt. Тогда
sa 6 Tt. В самом деле, так как xs Ф s для любого х ? E", из опре-
определения отношения $г следует, что х (sa) = у (sa) тогда и только
тогда, когда (х, у) (Е %ь Далее, поскольку S проста, S2 = S
Ш поэтому существуют такие и, v ? S, что s = vu. Следовательно,
A (sa) = Ss[) {s, 90} = Svu (J {vu, 90} ^Su{J {90} ? Su [} {u, 90} =
= А'. Обозначим множества Su (J {и, 90} через .4'. Как было дока-
вано, А' — вполне разделенное множество. Так как |.4'\
\А (sa) | = | ?и\ Svu | = р (лемма 8.16), получаем sa 6 <&¦
Докажем теперь, что a — изоморфизм.. Предположим, что sa =
= ta для s,t ? S. Пусть s ? Rt, t 6 i?y. Тогда 9г (sa) = s, и еслд
%ф j, то 9,- (to) = 90. Таким образом, sa = ta влечет за собой
i = j. Отсюда вытекает, далее, s — Qt (sa) = Qt (ta) = t. Следо-
Следовательно, a взаимно однозначно.
Для того чтобы доказать, что а есть гомоморфизм, рассмотрим
.(sa) (ta), где s 6 Rt, t ? Rj. Тогда для х 6 S имеем x (sa) (ta) —
',= (xs) (ta) = xst = x ((st) a). Далее, так как s и st оба принадле-
принадлежат Ri, имеем 9г (sa) (ta) — s (ta) = st = Qt ((st) a) и при к Ф i
-Яолучаем 9A.(sa) (ta) = 90 (ta) = 90 = 9A ((st) a). Таким образом,
if(sa) (ta) = (st) a.
Наконец, как мы уже видели, s ? Rt влечет за собой sa 6 Tt,
т. е. Rta gTj. Из того факта, что Щг Ф %} при i Ф /, следует,
что Tt f\Tj = 0 при i ф j.
Таким образом, каждый минимальный правый идеал из <9"
Содержит в точности один минимальный правый идеал из Sa.
Это завершает доказательство теоремы.
Теперь мы можем распространить теорему 8.8 на полугруппы,
ае обладающие правым сокращением. Соответствующая теорема
принадлежит Кону [1956а], а приведенное здесь доказательство
является новым ').
Теорема 8.19. Полугруппа S может быть вложена в простую
'права полугруппу без идемпотентов тогда и только тогда, когда
.: 1) Еще одно доказательство этой теоремы, а также ее усиление (состоящее
добавлении условия простоты в смысле конгруэнции для полугруппы,
» которую происходит вложение) имеется в работе Э. Г. Шутова [1964].—
1рим. ред.

120 Гл. 8. Простые полугруппы,
(a) S без идемпотентов и (Ь) хи = уи для х, у, и ? S влечет за
собой хо — yv для всех v ? S.
Доказательство. Необходимость условий очевидна.
Для доказательства достаточности рассмотрим полугруппу S,
удовлетворяющую условиям (а) и (Ь). Определим следующим
образом отношение эквивалентности е на S:
в = {(х, у) | хи = уи для некоторого и ? S}.
В силу условия (Ь) отношение & является отношением эквивалент-
эквивалентности на S.
Пусть / — произвольное множество, для которого \ I \ = р,
где р — | S/s |. Положим А = S1 X / и определим следующим
образом отношение | на 4:
% = {((х, i), (у, г)) I t 6 /, х,у 6 Si и хи = уи
для некоторого и ? S}.
Тогда | А1Ш | = р. В самом деле, в силу условия (Ь) для ото-
отображения ц>и: х -v хи (х ? iS) имеем <pu» фй1 = е. Следовательно,
р = | 5/е | = | Su | для любого и 6 &• Поскольку Su — полу-
полугруппа без идемпотентов, р бесконечно. Отсюда следует, что
| А1% | = | Su X / | = р2 = р
для любого и 6 S.
Далее, для каждого и ? S положим
Аи = S*u X / и Ви = Аи 4J({1} х Г).
Тогда Ви — подмножество из А, вполне разделенное семейством
{I}. В самом деле, пусть ((х, i), (у, /)) ? Ё [} (Ви X Ви). Тогда
i = /, xv = yv для некоторого v (E ? и х, у 6 «S^w U {1}. Предполо-
Предположим, что х = аи, г/ = Ъи, a, b ? S1. Тогда auv = buv, где ну ? S.
Следовательно, если а, Ь 6 S, то в силу условия (Ь) имеем aw =
= Ъи, т. е. х = у. Если а = 6 = 1, то снова х = у. Если a = 1
и 6 ? ?, то и = Ъи для и, b ? S. Но это невозможно, так как отсю-
отсюда следует, что Ъи = Ъ2и, откуда в свою очередь на основании
условия (Ь) получаем Ь2 = Ъ3, так что б4 = Ъ2. Таким образом,
Ъ2 есть идемпотент, что противоречит условию (а). Остается лишь
две возможности: х = у = 1 или х = I, у ? Sty. Последняя воз-
возможность приводит к равенству v = yv, но, как мы уже устано-
установили, такое равенство несовместимо с условиями (а) и (Ь). Следо-
Следовательно, в любом из случаев мы имеем х = у. Это показывает,
что Ви является множеством, вполне разделенным семейст-
семейством {%}.
Определим теперь для каждого и 6 S отображение ри :А -*¦ А,
полагая
(х, i) ри = (хи, i), где х ? Sl, i?l.

§ 8.2. Полугруппы Круазо — Тессъе 121
Тогда Ари = Аи. Далее, Ви\Аи = {1} х / и поэтому | Ви\
\Аи \ = р. Так как Ви есть вполне разделенное множество
и Риорп1 = Ш, это показывает, что каждое ри принадлежит
простой справа полугруппе без идемпотентов СТ (А, Ш,р,р).
Доказательство теоремы будет закончено, если мы покажем,
что р: w->- pu есть изоморфизм S в СТ (А, %, р, р). Но это оче-
очевидно.
Следует отметить, что для частного случая полугруппы с пра-
правым сокращением приведенное выше доказательство дает другое-
доказательство теоремы 8.8. В самом деле, если S — полугруппа
с правым сокращением, то % совпадает с отношением равенства
на А и СТ (А, %, р, р) сводится к полугруппе Бэра — Леви:
типа (р, р) на А, которая является полугруппой с правым сокра-
сокращением.
В дополнение к приведенным выше теоремам о вложении упо-
упомянем теорему Кона [1956а], дающую характеризацию подполу-
подполугрупп правой группы.
Полугруппы, аналогичные полугруппам Круазо — Тессье, были
построены Сайто и Хори [1958]; они доказали аналогичную теоре-
теорему о вложении. Их результаты сформулированы ниже в упраж-
упражнениях 8 и 9.
Упражнения к § 8.2
1. Пусть S — простая полугруппа без идемпотентов, содер-
содержащая минимальный правый идеал. Тогда X = 36 = is Hi сле-
следовательно, М = 3).
Далее, М — конгруэнция на S и SI& — полугруппа левых
нулей, равномощная множеству минимальных правых идеалов,
из S.
2. Простая полугруппа без идемпотентов, содержащая мини-
минимальный правый идеал, удовлетворяет следующему модифици-
модифицированному закону сокращения : аху = Ъху влечет за собой ах —
= Ъх.
3. Пусть S — простая полугруппа без идемпотентов, содержа-
содержащая минимальный правый идеал. Тогда для каждого s ? S множе-
множество Ss является простой полугруппой без идемпотентов с правым
сокращением, содержащей минимальный правый идеал.
4. В обозначениях и условиях леммы 8.17 % является левой"
конгруэнцией на S. Если S, кроме того, проста справа, то %
является конгруэнцией на S и SIM есть простая справа полу-
полугруппа без идемпотентов с правым сокращением (Тессье [1953а].}
5. В обозначениях и предположениях доказательства теоре-
теоремы 8.18 Rta = Tt(]Sa для каждого i 6 I-
6. Пусть S — простая справа полугруппа без идемпотентов.
Рассмотрим декартово произведение М = Л X S, где Л — произ-

22 Гл. 8. Простые полугруппы
вольное множество, и пусть ф: Л -*¦ S — произвольное отобра-
отображение множества Л в S. Определим произведение в М, полагая
*(Я, s) (ц, t) = (Я, s (цф) t). Тогда М превращается относительно
этого умножения в простую полугруппу без идемпотентов, содер-
содержащую минимальный правый идеал. Минимальными правыми
идеалами из М являются полугруппы {Я} X S (ср. упражнение 8
к § 8.1).
7. Пусть А — некоторое бесконечное множество, %у — отно-
отношение равенства на А и %г — такое отношение эквивалентности
на А, что один §2-класс содержит два элемента, в то время как
все другие §2-классы одноэлементны. Пусть % = {Ш%, Ш2},
\А | = р и & = СТ (А, Ш, р, р). Обозначим через Tt (i = 1, 2)
множество всех Р ? <5", для которых р о p-i = %t. Тогда в Ту
выполняется, а в Т2 не выполняется закон правого сокращения.
<ЦР есть простая полугруппа, являющаяся объединением двух
иеизоморфных правых идеалов Ту и Т2. (Тессье [1953Ы.)
8. Пусть {Кц, | i ? /, Я ? Л} — семейство непересекающих-
-ся множеств, где / и Л — произвольные множества индексов,
такие, что | Кц. | = mk есть бесконечное кардинальное число
для каждого i ? /. Положим Kt = U {Кц. I Я 6 Л} и К* =
= Kt U {64}, где все 6г различны и 6г ^ К = U {^г | i € /}• Для
каждого Я ^ Л пусть т^ есть такое бесконечное кардинальное
число, что m^ <! m^,.
Обозначим через Щ множество взаимно однозначных отобра-
отображений a\:K*^>-Kj, удовлетворяющих условиям Кцсх.?^ К л.
ж | Кл\К1\р^ | = тп^ для всех Я ? Л. Пусть i -*¦ Яг- — некото-
некоторое фиксированное отображение множества / в Л. Обозначим
через Rt множество всех элементов аг = (а?) декартова произве-
произведения П {Щ | / 6 /}, таких, что в,о| 6 JTUJ. Пусть 5 = U {^ | I €
6 /}. Определим произведение агрй двух элементов аг = (а|)
и pft = (рр из S (о, 6 Дг, pft ? ЛА) как yi = (yO ? Л„ для
которого Y3j — а^Р^ (суперпозиция преобразований).
Тем самым S превращается в простую полугруппу, являющую-
являющуюся объединением своих минимальных правых идеалов Rt (i ? I).
Далее, если ха = уа для всех а 6 S, то х = у. (Сайто и Хори
11958].)
9. Пусть S — простая полугруппа без идемпотентов, содер-
содержащая минимальный правый идеал. Предположим, далее, что
в S выполняется следующее условие: если ха = уа для всех
.а ? S, то х = у. Пусть {R} | i ? /} — семейство различных мини-
минимальных правых идеалов из S. Для каждого i ? / определим
¦отношение цг, полагая
Н-* = {(ж» У) \xri = yrt для некоторого гг ? Дг}.
Тогда цг — отношение эквивалентности на S.

§ 8.3. О-простые полугруппы', эквивалентности Глускина 123
Пусть Кг = S/\i{ — множество ц.,-классов; мы можем и будем
считать, что Kt и Kj не пересекаются для i Ф ]\ будем приписывать
индекс i каждому элементу из Kt. Обозначим через Ktj множе-
множество всех элементов из Kt, содержащихся в Rj. Тогда Kt =
= U {Ки | / 6 /}. Положим Kt = Kt U {6г}, где все Qt различны
иег($и{Kt \te/}•
Пусть а 6 S. Тогда для некоторого i?/ a 6 Л{ и а определя-
определяет отображения а|: ^* -*¦ Kj, заданные следующим образом:
если х—(
ха\ = ¦
*,-
(sa) ц9, если х =
Обозначим через at вектор (ai ) j ? I).
Тогда a-+at, где а ? Rt, есть изоморфизм ? в полугруппу,
построенную из Kif как и в упражнении 8, причем множество Л
теперь отождествляется с / и i -*¦ Xt является тождественным
отображением. Кардинальные числа »гг и т] (i ? /, / 6 /), уча-
участвующие в этом построении, должны быть все равны между
собой (и равны | Rs | = | Rs\Rts |, где R — минимальный пра-
правый идеал из S и s, t E S: см. лемму 8.16 и ее доказательство).
(Сайто и Хори [1958].)
§ 8.3. О-простые полугруппы, содержащие
^-минимальные односторонние идеалы;
эквивалентности Глускина
Напомним, что полугруппа S называется 0-простой полугруп-
полугруппой, если она обладает нулем и SsS = S для каждого ненулевого
элемента s из S или, что равносильно, если она не содержит соб-
собственных ненулевых двусторонних идеалов и не является двух-
двухэлементной полугруппой с нулевым умножением (§ 2.5).
Для полугрупп, указанных в заглавии этого параграфа, можно
доказать аналоги многих результатов предыдущего параграфа,
причем по существу теми же методами. Мы начнем с аналога лем-
леммы 8.12. Заметим, что приводимый здесь результат не справедлив
для произвольной полугруппы S = S0 (см. упражнение 1 к насто-
настоящему параграфу и ср. лемму 6.38).
Лемма 8.20. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая
ненулевой идемпотент е. Тогда следующие утверждения эквива-
эквивалентны:
(A) eSe — группа с нулем.
(B) Se — 0-минимальный левый идеал из S.
(В') eS — 0-минимальный правый идеал из S.
(C) е примитивен.

124 Гл. 8. Простые полугруппы
Доказательство. (А) влечет за собой (В). Предполо-
Предположим, что eSe = G° есть группа с нулем ж L — ненулевой левый
идеал из S, содержащийся в Se. Так как L Ф 0 и S 0-простаг
мы имеем S = SLS ELS и поэтому S = LS. Поскольку eS =
= eLS Ф 0, получаем eL Ф 0. Пусть у 6 eL \ 0. Так как L s Set
то у 6 G. Пусть г/ — элемент, обратный к у в G. Тогда е = у~*у ?
? У1^ S I». Следовательно, «Se s L. Отсюда L = Se, т. e. Se —
0-минимальный левый идеал. Мы показали, что (А) влечет за
собой (В).
Предположим теперь, что выполняется (В). Пусть х ? eSe \ 0.
Тогда х ? Se\0 и, поскольку Se 0-минимален, Sex = Se. Таким
образом, eSe-x = eSe. Это показывает, что eSe есть 0-простая
слева полугруппа. Следовательно, в силу теоремы 2.27 eSe\ 0 —
простая слева полугруппа. А так как eSe \ 0 содержит идемпо-
тент е, eSe\0 является группой. Таким образом, (В) влечет за
собой (А).
В силу соображений симметрии (А) эквивалентно (В').
Тот факт, что условие (С) эквивалентно любому из условий (А),
(В) и (В'), теперь следует из леммы 2.47 и теоремы 2.48.
Из теоремы 2.33, леммы 2.34 и леммы 6.1 вытекает
Лемма 8.21. Если S есть 0-простая полугруппа, содержащая
0-минималъный правый идеал, то S совпадает с объединением
своих пересекающихся по нулю 0-минималъных правых идеалов,
каждый из которых ненилъпотентен. 0-минималъный правый
идеал, содержащий х Ф 0, равен xS.
В качестве следствия мы получаем теорему, принадлежащую
Шварцу [1951, теорема 7.2].
Теорема 8.22. 0-простая полугруппа, содержащая 0-минималъ-
ный правый идеал, вполне 0-проста тогда и только тогда, когда
она содержит ненулевой идемпотент.
Характеризацию 0-простых полугрупп, содержащих 0-мини-
мальные правые идеалы, можно непосредственно извлечь из след-
следствия 6.34. Теперь наше внимание будет главным образом обра-
обращено на те из таких полугрупп, которые не являются вполне
0-простыми, т. е. на полугруппы, не содержащие ненулевых
идемпотентов.
Если S есть 0-простая полугруппа без ненулевых идемпотен-
идемпотентов, содержащая 0-минимальный правый идеал, то можно пока-
показать, что ху = у (х, у ? S) влечет за собой у = 0 (ср. лемму 8.15).
Лемма 8.16 также имеет аналог, и мы получаем
| Ss | = \Ss\Sts\
независимо от выбора s, t из S. Однако отсюда не вытекает резуль-
результат, аналогичный теореме 8.18, и поэтому мы не будем далее
проводить соответствующие рассмотрения.

§ 8.3. О-простые полугруппы; эквивалентности Глускина 125
В работе [1959b] Л. М. Глускин рассматривал отношения
эквивалентности на 0-простых полугруппах, не имеющие анало-
аналогов для простых полугрупп. Мы приведем теперь результаты
Глускина. Будет полезна следующая предварительная
Лемма 8.23. 0-простая полугруппа S, содержащая О-минималъ-
ный правый идеал, категорийна в нуле (§ 7.7).
Доказательство. Пусть а, Ъ, с 6 S и аЬ Ф О, be Ф 0.
Мы должны доказать, что dbc Ф 0. В силу леммы 8.21 S —
= U {Ri I i € 1}> где Ri суть 0-минимальные правые идеалы из S.
Предположим, что а ? Ri, Ь ? Rj и с ? Rk. Поскольку be Ф 0,
мы имеем bcS = bRh = Rj (лемма 8.21). Аналогично, aRj = Rt,
поскольку ab Ф 0. Следовательно, abcS = aRj = Ri, откуда
abc ф 0.
Рассмотрим теперь главную правую конгруэнцию М{0}, задан-
заданную множеством {0} (§ 7.2). Для простоты обозначим М{й\ через
<Р. Таким образом (ср. упражнение 1 к § 10.4),
аР = {(х, y)?SxS\za = 0 тогда и только тогда,
когда уа = 0 (а 6 S)}. A)
Лемма 8.24. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая
Ю-минималъный правый идеал, а, Ъ Е S и ab Ф 0. Тогда ab&b.
Доказательство. Пусть abx = 0 для х 6 S. Тогда
по предыдущей лемме, поскольку ab Ф 0, имеем Ъх = 0. Обратно,
Ьх = 0 влечет за собой abx = 0. Следовательно, aboPb.
Лемма 8.25. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая
О-минимальный правый идеал. Тогда X ? Ф.
Доказательство. Предположим, что (а, Ъ) ? X. Если
л = Ъ, то включение (а, Ъ) 6 ^ тривиально. Если а Ф Ь, то
иа = b и vb = а для некоторых и, v ? S. Если ах = 0, то Ьх =
= и (ах) = 0, и если Ьх = 0, то ах = v (Ьх) = 0; поэтому (а, Ь) ?
Для каждого а ? «S через Ра обозначим аР-класс, содержащий а.
Как обычно, Ra обозначает ^?-класс, содержащий а.
Лемма 8.26. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая
Q-минималъный правый идеал, a, b 6 S и ab Ф 0. Тогда
a(Rb[)Pb) =Raf\Pb.
Доказательство. Пусть х ? a (Rb (]Ръ)- Тогда х = ас,
где с ? Rb [}Ръ- Так как <ft — левая конгруэнция (§ 2.1), сМЬ
влечет за собой ас № ab; отсюда асфО. Далее, ас € aS. Так как
aS есть 0-минимальный правый идеал, содержащий а (см. лем-
лемму 8.21), то асМа, т. е. х б Ra- Кроме того, поскольку ас Ф 0,

126 Гл. 8. Простые полугруппы
в силу леммы 8.24 имеем асоРс; отсюда асоРЪ, т. е. х ? Рь- Таким
образом, x?Raf}Pb.
Обратно, пусть x&Ra[\Pb и Ri = aS, R2 = bS. Так как
db Ф О, aR2 = R\. Из х ? Ra =Ri\0 мы заключаем, что х = асг
где с 6 Rz \ 0 = i?&• По лемме 8.24 асоРс, и, поскольку ас =
= ХоРЪ, мы выводим се^Ь. Таким образом, c?Rb(]Pb и ж =
= ас ? a (i?b Л^ь)> Это завершает доказательство леммы.
Определим теперь эквивалентность Глускина &С, полагая
&С = ffl[\&. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая
О-минимальный правый идеал. Тогда, поскольку равенства xS = О
и х = О равносильны, {0} является ^-классом и оР-классом.
одновременно. Следовательно, {0} есть е/Г-класс. Пусть {Ру | К 6
? Л} — ненулевые оР-классы из S. По лемме 8.21 S = U {Ri I i ?
? /}, где Дг суть 0-минимальные правые идеалы из S. Тогда
{Rf | Rt = Ri \ 0, i 6 -О — ненулевые ^?-классы из 5 и Ki% =
= R* [\Р% (i 6 /, ^ 6 А) — ненулевые ЗГ-классы из 5. Для каж-
каждого Я 6 Л определим /ъ полагая
В только что приведенных обозначениях справедлива
Лемма 8.27. P^Ri ф 0 тогда и только тогда, когда хг Ф О
для всех х ? i\ u «сеж г ? R*.
Доказательство. Предположим, что PyRi ф 0. Тогда
существуют х^ ? /\ и г4 ? Д?, такие, что жл т^= 0- Пусть х ? Р^
и г ? i?f. Из (ж, «i) € аР и ж^! =т^= 0 мы заключаем, что хт± Ф 0.
Так как rS = Ri, существует такой s ? S, что rs = г4, и из (?=#:
Ф xri = xrs вытекает жг Ф 0. Обратное тривиально.
Лемма 8.28. Туф 0 для каждого % 6 Л. Кроме того, I =
Доказательство. Пусть а ? Рх. Тогда а^Ои поэто-
поэтому a<S Ф 0. Следовательно, oi?* # 0 для некоторого i 6 I- Таким
образом, Р^,ф0 и 1уФ 0.
Возьмем теперь элемент а 6 Д*. Тогда ?<*? = 5 и поэтому
iSa =^= 0. Следовательно, Р^а Ф 0 для некоторого % 6 Л. Таким
образом, Р„Дг ^ОиК/i. Итак, / = U {1% I ^€ Л}.
Сопоставляя леммы 8.26 и 8.27, мы получаем следующее утвер-
утверждение.
Лемма 8.29. Пусть г, j 6 I, Я, ц 6 Л и ka ? Kik. Тогда
Ktv., если j
0, если

§ 8.3. О-простые полугруппы; эквивалентности Глускина 127
Отсюда следует, что
Kiv., если /€/*,;
О, еслиПГ,-
Для каждого i? I определим Лг, полагая
Л* = {Я | i 6 /„}• C>
Тогда включения % ? At и i ? 1% равносильны, и поэтому Лг Ф 0>
для каждого i ? / и Л = U {A, | i ? /}.
Для каждого i 6 / определим Гг, полагая
Tt = и {#*„ | я е л,}.
Тогда Tt ? Д*. Положим Лг = Д, \ Гг.
Лемма 8.30. Для каждого i ? / множество Tt является простой
справа подполугруппой из S (в частности, Т{м=? 0) и А\ = 0^
Доказательство. Tt Ф 0, так как Л^ # 0 • Пусть
х б 7V Тогда х = ki},(: Ki}t для некоторого Я, 6^Лг. Следователь-
Следовательно, по лемме 8.29
хтг = и {Ли^гц | ц е ла =
= U {Ящ I ц € Лг},
т. е. xTi = Ti. Это показывает, что Tt — простая справа под-
подполугруппа из S.
Пусть х, у 6 Ai- Если а; или у равно нулю, то ху = 0. В про-
противном случае х ? .ЙГ^ и у 6 .ЙГ^, где, в частности, Я (? Лг, т. е.
i $ /*,. В силу леммы 8.29 получаем а# = 0. Таким образом,.
А\ = 0. Это завершает доказательство леммы.
Ссылаясь на упражнение 7 (а) к § 6.1, отметим, что
Tt = {teRi \tRt =}
At = {a 6 Rt | aRt = 0}.
В самом деле, каждый элемент х ? R* принадлежит в точности
одному из множеств Кц, — Р% 0R*. Если P^Rt ф 0, то xRt Ф О
по лемме 8.27 и, следовательно, xRt = R{. Если P^Rt = 0, то
xRi — 0. Но по определению Tt я At выполняется включение
Kti, S Tt или ^?», ^ At в зависимости от того, равно или не рав-
равно 0 множество P).Ri.
Наконец, приведем результат, касающийся различных Тг и Аг
из S. Заметим, что для любых i, j 6 I всегда существует такой
элемент а 6 Ri, что aRj = Rt. В самом деле, i?ji?y = Ri на осно-
основании леммы 6.12, и поэтому существует такой а ? Rt, что ai^ 7^=
Ф 0. Но тогда aify есть ненулевой правый идеал, содержащийся
ч Rt, так что ai?7- = Rt.

128 Гл. 8. Простые полугруппы
Лемма 8.31. Пусть i, j ?1 и а — такой элемент из Rt, что
aRj = Rt. Тогда
Tt = {ar | г Е R}, га Е Т})
и
At = {ar | г 6 Rj, га = 0}.
Доказательство. Так как а ? Rt и а Ф 0, то a =
_= kik Е Ki% для некоторого X 6 Л. Пусть г = Л^ ? Kj^ есть
произвольный элемент из R*. Из a.fy — i?? = Ptflj мы заклю-
заключаем, что / € -^j,- Следовательно, по лемме 8.29 аг = кцк]^ Е А*гц.
Таким образом, аг Е Гг тогда и только тогда, когда ц Е Aj. Но,
«нова по лемме 8.29, га = «^«и =^= 0 тогда и только тогда, когда
\i 6 Лг. Однако если га Ф 0, то ra g i^ s Г7-, так как j 6 ^^•
Этого достаточно для доказательства первого утверждения леммы.
Что касается второго утверждения, то мы заметим, что если
га — 0, то ц $ Лг и ar ? л"г1А e4j.
Сопоставляя вместе предыдущие леммы, мы получаем следую-
следующую теорему (Глускин [1'959Ь]).
Теорема 8.32. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержа-
содержащая ^-минимальный правый идеал. Тогда S = U {Ri I i 6 I),
где Ri суть 0-минимальные правые идеалы из S. Пусть {Р}, | Я ?
ЕЛ} — ненулевые 3*-классы из S, где &* задано формулой A).
Каждый аР-класс есть объединение ^-классов. Положим R* =
= Ri \ 0, такчто {Rf | i E 1} — семейство ненулевых М-классов.
Положим также А*^ = Rtf\P^ (i ?1, Я Е Л). Тогда К и, —
ненулевые Ж'-классы из S, где &С = М[\&\
Кроме того, если kitt E л"гх> то
KiVL, если j g Д;
0, если j $ Д,
где множества 1^ заданы формулой B). Отсюда следует, что
К(ц, если j I
0,
Наконец, для каждого i 6 / положим ¦
тг = и{кп\ки = кп}
и
Ai = U {KiK | Kh = 0}.
Тогда Tt — простые справа подполугруппы из S, А\ = 0 и
^ *i \ Г|.

§ 8.3. О-простые полугруппы; эквивалентности Глускина 129
Упражнения к § 8.3
1. Пусть S = {0, е, а} — полугруппа, заданная таблицей
0
е
а
0
0
0
0
е
0
е
а
а
0
0
0
Тогда eSe — группа с нулем, но Se = S не является 0-мини-
мальным левым идеалом, так как строго содержит левый идеал
L = {0, а} (ср. с леммой 8.20).
2. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая 0-мини-
мальный правый идеал и не содержащая ненулевых идемпотен-
тов. Тогда эквивалентности?ж<3& совпадают с отношением равен-
равенства на S и, следовательно, &> — 31.
3. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая 0-мини-
мальный правый идеал. Тогда если S содержит единицу, то S
является группой с нулем.
4. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая 0-мини-
мальный правый идеал. Тогда ж2 ф 0 для некоторого х 6 S.
Кроме того, если х2 Ф 0, то хп Ф 0 для любого натурального п.
5. Пусть А — полугруппа с нулевым умножением, Т — про-
простая справа полугруппа без идемпотентов, не пересекающаяся
с А. Положим R = Т[}А и зададим следующим образом умно-
умножение в R:
A) AT = 0.
B) ta = akt (t?T, a ? А \ 0), где lt — отображение А \ 0 на
себя, не имеющее неподвижных точек и такое, что %.st = kt%a
для всех s, t б Т.
C) 0 действует как нуль в Л.
D) Произведение двух элементов из Т [А] совпадает с их
произведением в полугруппе Т [А].
Тогда R — полугруппа и А — ее максимальный двусторонний
идеал.
Пусть Л — некоторое множество и <р; Л -¦- #* — отображе-
отображение Л на #\ где <5" есть множество правых сдвигов полугруппы R
(§ 1.3), удовлетворяющих следующим условиям. (Мы не знаем,
всегда ли существует такое множество.)
(a) Для каждого s 6 R \ 0 существует такое от 6 <5", что sa 6 Т.
(b) Для каждого о 6 & существует такой s 6 R \ 0, что sa 6 Т.
Зададим теперь произведение в М = Л X R, полагая
(Я, *)(|t, t) = (К, (s(W) t).
9-100

130 - . Гл. 8. Простые полугруппы
Тогда М превращается в полугруппу, в которой подмножество
/ = Л X {0} является идеалом. Кроме того, факторполугруппа
М//У,ест.ь 0-простая полугруппа без ненулевых идемпотентов,
содержащая 0-минимальный правый идеал. Множества {Я} x R
(по mod Г) являются О-минимальными правыми идеалами из
МП (Я 6 Л). Если 1Н 6 & и А^ф = iH, то {Я4} X Д =ё Д и поэто-
поэтому R вкладывается в МП как 0-минимальный правый идеал.
(Ср. упражнения 7 и 8 к § 6.1.)
6. Пусть S = R+ х R+, где R+ — множество положительных
действительных чисел. Зададим произведение в S, полагая
(а, Ъ) (с, d) = {ас, be + d). Тогда S — простая полугруппа (она
совпадает с полугруппой отображений R+ в себя, если отожде-
отождествить каждый элемент (а, Ь) с отображением х -*¦ ах + Ь) и на
S каждое из отношений X, М, Зв ж 3> равно is. (Ср. упражнения 9
и 10 к § 2.1.) (Андерсен [1952].)
7. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая 0-мини-
мальный правый идеал R. Определим отношение Щ на S, полагая
'¦ S = {(ж, у) | хг = уг для всех г ? R \ 0}.
Пусть А — левый аннулятор R в R и 7Т = Д\Л. Тогда % —
отношение эквивалентности на S и g П^ X <ЭД = ls* Для любо-
любого te Т. Далее, | S/Ш I = | 5« |-
8. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа с сэндвич-матри-
сэндвич-матрицей Р — (ры), где i ? /, Я ? Л. Определим отношение ~ на нену-
ненулевых if-классах из S, полагая L^ ~ L^ тогда и только тогда,
когда %-я и ц-я строки из Р имеют нули на одних и тех же местах,
т- в. Рм = 0 тогда и только тогда, когда p^i = 0 (i ? /). Тогда
~ является отношением эквивалентности на ненулевых ^?-клас-
сах из 5. Ненулевые ^-классы из S являются объединениями
^-классов.
9. Пусть S есть 0-простая полугруппа, содержащая 0-мини-
мальный правый идеал, и, как обычно, S1 = S[}{!}. Далее мы
используем обозначения теоремы 8.32.
(a) Зададим /X Л-матрицу А = (8^), полагая
1, если P^Rt^O,
0, если PJt( = 0.
Тогда А содержит хотя бы по одной единице в каждой строке
и в каждом столбце.
(b) Если 6,ь = 0, то Кц,[}0 — полугруппа с нулевым умно-
умножением. Если Sja, = 1, то Кг>1 — простая справа подполугруппа
из S. В каждом из возможных случаев Кц,{]0 является левым
идеалом из Rt.
(c) Для каждого элемента к1}ч ? Kit, мы имеем
kfKKjy, — бдЯ|ц, И ki^R; = &j),Ri.
(d) Tt = U {6IJLJT#X I Я € Л}\0.

§ 8.4. Бипростые инверсные полугруппы 131
§ 8.4. Бипростые инверсные полугруппы
Поскольку инверсная полугруппа всегда содержит идемпо-
тенты, простая инверсная полугруппа с минимальным односто-
односторонним идеалом обязательно является вполне простой (теоре-
(теорема 8.14). Так как идемпотенты инверсной полугруппы коммутиру-
коммутируют, такая вполне простая полугруппа может содержать только
один примитивный идемпотент, и, следовательно, она содержит
только один идемпотент. Таким образом, вполне простая инверс-
инверсная полугруппа является группой. Поэтому, рассматривая про-
простые инверсные полугруппы, мы можем ограничиться случаем,
когда полугруппа не содержит минимальных односторонних
идеалов.
Мы начнем с характеризации простых инверсных полугрупп.
Затем перейдем к рассмотрению бипростых полугрупп, т. е. полу-
полугрупп, обладающих только одним ^-классом. Результаты, кото-
которые мы приводим, принадлежат Клиффорду 11953]. В доказатель-
доказательствах мы широко пользуемся общими свойствами инверсных полу-
полугрупп и их представлений частичными преобразованиями.
Теорема 8.33. Инверсная полугруппа S будет простой тогда
и только тогда, когда для любых двух идемпотентов е, f ? S суще-
существует элемент из S, левая единица которого равна е, а правая
единица меньше или равна /.
Доказательство. Предположим, что указанное усло-
условие выполнено, и пусть a, b — произвольные элементы из S.
Положим аа~х — еж ЪЬ~Х = /. Тогда существует и 6 S, для кото-
которого ий-1 = е и и~хи ^ /. Следовательно, иЪ (Ъ~хи-Ха) =
— и (и~хи) (bb-1) и~ха = и (и~хи) fu~xa = ии~хии~ха = еа = а, т. е
уравнение xby — а имеет решение х = и, у = Ь~хи~ха. Таким
образом, S является простой.
Обратно, предположим, что S проста. Пусть е, f — произ-
произвольные идемпотенты из S. Тогда существуют такие х, у ? S, что
е = xfy, и мы можем считать, что ех = х — xf, fy = у = ye. Сле-
Следовательно, хух = (xfy) х = ex == х и уху = у {xfy) = ye = у.
Таким образом, у = х'1 и поэтому хх~х = ху = xfy = e. Далее,
x~xx-f = х~хх. Итак, хх~х = е и х~хх ^ /. Это завершает доказа-
доказательство теоремы.
В § 8.5 будет доказано, что существуют простые инверсные
полугруппы, содержащие произвольное число <2?-классов.
Перейдем теперь к бипростым полугруппам и начнем с того,
что соберем некоторые факты о ^-классах инверсной полугруппы.
Напомним прежде всего, что каждый ,52-класс и каждый if-класс
инверсной полугруппы S содержат в точности. один идемпотент
(следствие 2.19). Поэтому (лемма 2.12), что если е — идемпотент,
9*

132 ¦_ Гл. 8. Простые полугрупп» ; .
то Re состоит из всех элементов полугруппы S, для которых е слу-
служит левой единицей. Двойственным образом, Le состоит из всех
элементов S, для которых е — правая единица. Отсюда следует,
в частности, что Le = Re1 и Re = L~lx. Из этого вытекает также,
что если ей/ — идемпотенты из одного и того же ^-класса D,
то в D найдется элемент, для которого е является левой, а / —
правой единицей. Обратно, если S — такая инверсная полугруп-
полугруппа, что для любых двух ее идемпотентов ей/ существует элемент,
левой единицей которого является е, а правой — /, то eSBj и поэто-
поэтому в силу леммы 2.12 полугруппа S бипроста. Таким образом,
мы получаем следующий аналог теоремы 8.33.
Лемма 8.34. Инверсная полугруппа S будет бипростой тогда
и только тогда, когда для любых двух идемпотентов е, f 6 S суще-
существует элемент из S, левой единицей которого является идемпо-
тент е, а правой — идемпотент /.
Утверждение (i) следующей леммы, справедливое для любого
регулярного «25-класса, сформулировано как упражнение 2
к § 2.3.
Лемма 8.35. Пусть S — инверсная полугруппа и е — произволь-
произвольный ее идемпотент. Тогда
(i) LeRe = De;
(ii) если I, li ? Le и r, rt ? Re, mo Ir = Zir4 тогда и только
тогда, когда существует такой и ? Не,' что lu = Z4 и urt = г.
Доказательство, (i) Пусть а ? De. Возьмем Ь 6 Ref)
р? и с 6 Ra ПАг- Тогда по теореме 2.17 НСЬ = На (здесь Нх
обозначает <$?-класс, содержащий х). Таким образом, а ? Heb s
S Leb s LeRe. Это показывает, что De s LeRe. Обратное вклю-
включение выполняется на основании теоремы 2.4. Итак, LeRe = De.
(ii) Пусть I, li 6 Le и r, rt ? Re. Предположим, что Ir = l^.
Тогда Irrl1 = hr^1 = lie = Zt. Положим rf? — и. Тогда lu =
= lt. Далее, Ir = Ifa влечет за собой I'Hrr^1 = г'Ч^г^1, т. е.
(ег) Г71 = I'1 (he), т. е. rri1 = l~4i. Таким образом, и = l~4i
и поэтому uti — I'HiTi = l~4r = er = г, т. е. urt — г. Наконец,
uw1 = l~l (l^i) г = 1'Чгг-1 = е2 = е и поэтому и ? Re; кроме
того, и-Ч = ту-М-Ч, = n (lr)-x-h = rt (г^,) Zt = rrf-Fh =
= e2 == в и поэтому и 6 Ье. Таким образом, м 6 Яе.
Обратно, если lu = h и urj = г, то, очевидно, Ir = Z4ri.
Замечание. В обозначениях утверждения (ii) леммы предпо-
предположим, что lp = lu, где и 6 Не- Тогда ер = ы. В частности, эле-
элемент и, участвующий в (ii), единствен.
' Мы будем говорить, что е является единицей для De, если
еа = а = ае для всех а 6 #»> не предполагая при этом, что De
является подполугруппой.

§ 8.4. Бипростые инверсные полугруппы 133
Лемма 8.36. Если S — инверсная полугруппа, то ее идемпо-
тент е является единицей для De тогда и только тогда, когда
Re — подполугруппа.
Доказательство. Предположим, что е — единица для
De. Пусть а, & 6 Re- Тогда ab (ab)-1 = a (ЬЬ~Х) а~х = аеа~х =
= аа~х = е, т. е. ab 6 Re- Следовательно, Re является подполу-
подполугруппой.
Обратно, предположим, что Re — подполугруппа. Чтобы уста-
установить, что е является единицей для De, достаточно, очевидно,
показать, что ef (=fe) = f для любого идемпотента / ? De. Рас-
Рассмотрим поэтому идемпотент / 6 De и возьмем а ? Ref\Lf. Так
как Re — подполугруппа, ае 6 Re- Таким образом, аеа~1 —
= ае (ае)'1 = е. Следовательно, а~хаеа~ха = а~х (еа) = а~ха, т. е.
fef = f, откуда ef — f. Это завершает доказательство леммы.
Лемма 8.37. Пусть S — инверсная полугруппа и е — ее идем-
идемпотент. Предположим, что Re является подполугруппой. Тогда
Re — полугруппа с правым сокращением и е — ее единица.
Доказательство. Как установлено в предыдущей лем-
лемме, е является единицей в Re. Предположим, что ах = Ьх, где
а, Ь, х ? Re. Тогда а = ае = (ах) х~г = Ъхх'1 = be — b. Таким
образом, Re — полугруппа с правым сокращением.
Наши рассуждения в конечном счете преследуют цель описать
бипростые инверсные полугруппы с единицей. Для указанной
цели будет полезно охарактеризовать те «25-классы, которые
являются подполугруппами; это имеет и самостоятельный инте-
интерес. Такие подполугруппы являются обязательно бипростыми
(см. упражнение 6 к § 2.3).
Если X — произвольное подмножество полугруппы S, то мы
будем обозначать через Е (X) множестве, всех идемпотентов из X.
Лемма 8.38. Если D есть 3}-класс инверсной полугруппы S,
то D является подполугруппой тогда и только тогда, когда Е (D)
есть подполугруппа.
Кроме того, если D — подполугруппа, то D является бипро-
стой полугруппой.
Доказательство. Предположим, что Е (D) — подполу-
подполугруппа. Пусть а, Ъ ?D. Положим ЬЬ~1 = g и а~ха = /. Тогда по
предположению gf 6 D. Далее, ag ? Lgf. Следовательно, ag (ag~l) 6
6 D, т. e. aga-1 — ab (ab)~x ?D, и поэтому ab 6 D. Это показывает,
что D — подполугруппа. Обратно, если D — подполугруппа, то,
очевидно, Е (D) также является подполугруппой.
Наконец, пусть D — подполугруппа из S и a, b ? D. Пред-
Предположим, что а&Ъ. Тогда а (а~хЪ) = Ъ и Ь (Ь~ха) — а, где а-хЪ,
Ь~ха ? D. Таким образом, в D выполняется afflh. Аналогично,

134 Гл. 8. Простые полугруппы
если два элемента ^-эквивалентны в S и содержатся в D, то они
^-эквивалентны в полугруппе D. Следовательно, D — бипростая
полугруппа.
Из этой леммы непосредственно вытекает
Следствие 8.39. Если D есть 3)-класс инверсной полугруппы
S и R есть М-класс из S, содержащийся в D, то D является под-
подполугруппой тогда и только тогда, когда для любых а, Ъ 6 R
существует такой с ? R, что Sa (]Sb = Sc.
Доказательство. Предположим, что D — подполу-
подполугруппа из S. Пусть a, b ? R. Положим а~*а — /, Ь~ХЪ = g. Тогда
Sa = Sf, Sb = Sg и SaflSb = Sfg (лемма 1.19). По предполо-
предположению fg 6 D. Возьмем с 6 R [\Lfg. Тогда Sfg = Sc.
Обратно, пусть /, g — произвольные идемпотенты из D. Тогда
существуют такие a, b ? R, что агха = / и b~xb = g. Выберем
с ? R, для которого Saf)Sb — Sc. Тогда с~хс — fg (лемма 1.19
и следствие 2.19). Значит, fg 6 D. Требуемый результат следует
теперь из предыдущей леммы.
Для ^-классов с единицей справедлива следующая лемма.
Будет удобно через fx обозначать правую единицу элемента х.
Лемма 8.40. Пусть е — идемпотент инверсной полугруппы S,
являющийся единицей для De. Обозначим Re через R.
Тогда
(i) если а ? R, то Saf}R~ Ra;
(ii) если a, b, с ? R и fjb = /с, то Ra[\Rb = Re.
Доказательство. (i)B силу лемм 8.36 и 8.37 R есть
полугруппа с правым сокращением, единицей которой является е.
Следовательно, Ra s R f] Sa. Пусть х 6 R П Sa. Тогда х == sa
(s ? S) и sa (sa)'1 == e. Таким образом, е = saa^s'1 = ses'1 =
— se(se)~l. Следовательно, se равно некоторому г ? R. Отсюда
x = sa = s (ea) = (se) a — ra ? Ra и поэтому R f\Sa != Ra. Сопо-
Сопоставляя два включения, мы получаем, что Rf]Sa = Ra.
(ii) Пусть a, b, с ? R и fjb = /с. Тогда Sc = Sfc = Sfa (]Sfb =
— Sa [} Sb. Следовательно, в силу утверждения (i) Re = R f[Sc =
= (Rf]Sa)(](R(]Sb) = RaftRb.
Лемма 8.41. Пусть D есть 3)-класс инверсной полугруппы S
и D является подполугруппой с единицей е. Обозначим Re через R.
Тогда для любых a, b 6 R существует такой с ? R, что Ra (]
f\Rb = Re, т. е., поскольку Ra — a\jRa, главные левые идеалы
из R образуют полуструктуру относительно теоретико-множе-
теоретико-множественного пересечения.
Доказательство. Если a, b ? R, то fa, fb 6 D. Так
как iJ?D, то fafb 6 D. Следовательно, существует такой с 6 R,

§ 8.4. Бипростые инверсные полугруппы 135
что /с = fafb- Отсюда в силу леммы 8.40 вытекает равенство
Re = Ra[\Rb.
В только что доказанной лемме D является бипростой полу-
полугруппой (лемма 8.38). Таким образом, сопоставляя предыдущие
леммы, получаем доказательство большей части следующей тео-
теоремы. '¦
Теорема 8.42. Пусть S — бипростая инверсная полугруппа
с единицей е. Обозначим Re через R, a Le — через L.
Тогда R — полугруппа с правым сокращением, обладающая
единицей, и главные левые идеалы из R образуют полуструктуру
относительно теоретико-множественного пересечения.
Кроме того, L = R~l и LR = S. Каждый элемент из S может
быть записан в виде а~гЬ, где а, Ъ 6 R- Если а, Ъ, с, d ? R, то
а~гЬ = c~xd тогда и только тогда, когда существует и ? Не, для
которого а = ис, Ъ = ud.
Пусть а~^Ъ, c~xd — произвольные элементы из S (а, Ь, с, d ? R)
и Rb [}Rc = Rx, где х ? R. Положим р = xb~l, q = хс~х. Тогда'
р, q ? R и be1 = p~xq. Следовательно, (a~lb) (c-1d) = (pa)'1 (qd),
где pa, qd 6 R-
Доказательство. Остается лишь доказать утвержде-
утверждения последнего абзаца.
Пусть Rb fl Re = Rx, где Ъ, с, х ? R. По лемме 8.40 Sb f]Sc f|
pi? = SxflR, т. e. Sfbfc[]R = Sx[)R. Далее, S бипроста после-
последовательно, левый идеал Sfbfc порождается некоторым z ? R.
Тогда fz = fbfe- Так как г ? Sx, мы имеем fjx = fz. Однако х 6
6 Sx П R и поэтому х Е Sfbfc. Таким образом, fx (fbfc) = fx, т. е.
fxfz = fx- Отсюда следует, что fbf6 = fz = fx.
Поскольку х ? Rx = Rb (]Rc, существуют p, q ? R, для кото-
которых x = pb = qc. Тогда p = pe = pbb'1 = xb'1 и, аналогично,
q = xc'1. Далее, p~*q = bx~xxc~x — bf^c1 = bf^c'1 = be'1, так
как fx = /ь/с. Это завершает доказательство теоремы.
Следующее утверждение показывает, что S полностью опре-
определяется подполугруппой R.
Следствие 8.43. Пусть S — бипростая инверсная полугруппа.
с единицей е. Обозначим Re через R и Не — через Н.
На множестве R X R определим отношение эквивалентности
т, полагая (а, Ь) х (а', Ь') тогда и только тогда, когда а = иа'
¦ и b = ub' для некоторого и 6 Н.
Определим следующим образом произведение на фактормноже-
фактормножестве (R х R)/t:
(а. Ъ) х (с, d) х = (pa, qd) x, - A)
где Rb[\Rc = Rx и х = pb = qc.
Тогда относительно этого произведения (R x R)lx превращает-
превращается в полугруппу, изоморфную S,

136 Гл. 8. Простые полугруппы
Если R — произвольная полугруппа с единицей, множество
главных левых идеалов которой замкнуто относительно теорети-
теоретико-множественного пересечения, то, обозначая через Н ее груп-
группу обратимых элементов, мы получаем, что отношение т, опре-
определенное на R X R точно так же, как в следствии 8.43, является
отношением эквивалентности. Однако если мы попытаемся опре-
определить произведение в (R x R)lx при помощи условия A), то это
произведение, вообще говоря, будет определено некорректно,
т. е. будет зависеть от выбора представителей в т-классах. Такая
ситуация имеет место, например, в случае, когда R есть левая
группа с присоединенной единицей, не являющаяся группой
с присоединенной единицей. Если R — полугруппа с правым
сокращением, то указанная конструкция всегда может быть осу-
осуществлена и в этом случае (R x R)lx является бипростой инверс-
инверсной полугруппой с единицей, причем ^?-класс, содержащий еди-
единицу, изоморфен R. Этот результат Клиффорда [1953] вытекает
из только что приведенного следствия и такой теоремы:
Теорема 8.44. Пусть R — полугруппа с правым сокращением
и единицей 1, в которой пересечение любых двух главных левых
идеалов является главным левым идеалом. Пусть 2 = 2 (Л) —
инверсная оболочка полугруппы R.
Тогда 2 есть бипростая инверсная полугруппа с единицей,
М-класс Р которой, содержащий единицу, изоморфен R.
Доказательство. Пусть р: а -»- ра (а ? R) — регу-
регулярное правое представление полугруппы R. По определению 2
есть порожденная Rp инверсная подполугруппа в симметрической
инверсной полугруппе 3R. Положим Р = Др. Тогда Р содержит
тождественное преобразование i множества R. Очевидно, i являет-
является единицей в 2. Докажем, что Р совпадает с .^-классом R%
из 2, содержащим i.
Пусть | 6 2 и II = I. Отсюда следует, что ? отображает все
множество Л в Л. В частности, элемент 1 ? R переводится в не-
некоторый элемент t?R. В силу утверждения (i) леммы 1.21 ?
является частичным правым сдвигом полугруппы R. Следова-
Следовательно, поскольку областью определения ? служит все R, для
любого г 6 R выполняется r| = (rl) ? = г A|) = rt. Таким обра-
образом, | = pt и поэтому ? 6 Р- Следовательно, i?t ? Р. Кроме
того, из включения ? 6 Р непосредственно вытекает, что ??-1 = i.
Итак, Р = R^
Заметим, далее, что р есть точное представление, поскольку
R содержит единицу. Следовательно, полугруппа Р изоморфна R.
Осталось показать, что 2 — бипростая полугруппа. Так как
Р'1 является ^-классом из 2, содержащим ц для этого достаточ-
достаточно установить, что Р~гР — 2 (теорема 2.4). Поскольку 2 =
^^1), мы получим равенство Р~гР = 2, если докажем,

§ 8.4. Бипростые инверсные полугруппы 137
что для любых 1, т] ? Р элемент iri может быть записан в виде
а^р, где а, р 6 Р.
Так как полугруппа Р изоморфна R, для любых ?, т) ? Р суще-
существует такое ? 6 Р, что Pi DP1! = Р?- Существуют такие о, Ь, с 6
6 Л, что ? = Ра. Л = Рь» С = Рс- Тогда е6 = i!, е„ = ^ц
и ?; = ?-1? являются соответственно тождественными преобра-
преобразованиями множеств Ra, Rb и Re. Следовательно, е^е,, является
тождественным преобразованием множества Ra(]Rb. Но Ra ("|
П-Й& = i?c; это следует из того, что р является изоморфизмом R
на Р и Pt,(]Pr\ = P?- Следовательно, e?=ejet1.
Далее, ? ? Р? = Р\ [}Pf\, поэтому существуют такие а, р ? Рг
что ? = а? = рт]. Тогда а = аЦ~х = ^l и р = р1 ^1
Таким образом, а^р = iC^ = ^ еБт1 ~х = ^
Это завершает доказательство теоремы.
Теорема 8.44 дает способ построения бипростых инверсных
полугрупп 2 из более известных полугрупп R. Следствие 8.43
позволяет реализовать эту конструкцию на упорядоченных парах
элементов из R. Если, например, R есть мультипликативная
полугруппа положительных целых чисел, то Rb [}Rc = R (b\/ с),
где через b \J с обозначено наименьшее общее кратное чисел Ъ
и с. В обозначениях следствия 8.43 т совпадает здесь с отноше-
отношением равенства найхйийхй превращается в бипростую
инверсную полугруппу, если произведение задать следующим
образом:
/ т\ / J4" (Ъ \/ с Ь\/ с
(a, b)(c, d)=(-^- a, -f-
Та же самая формула справедлива для случая, когда R является
положительным конусом структурно упорядоченной абелевой
группы и через Ь\] с обозначается объединение элементов Ъ и с
в соответствующей структуре. Например, если R — аддитивная
полугруппа неотрицательных целых чисел, то b \J с равно (Ь, с) и
(а, Ь) (с, d) = (а — Ь + max (b, с), d — с + max (b, с)).
В этом случае 2 является бициклической полугруппой (ср.
упражнение 2 к § 1.12).
В заключение кратко упомянем о недавних работах Уорна
[1964], [1965], [1966а], [1966b] и Рейли [1965], [1966], посвященных
некоторым специальным классам бипростых инверсных полу-
полугрупп 1).
г) Имеются и более поздние работы этих авторов, а также Рейли и Клиф-
Клиффорда, Манна, Б. П. Кочина о бипростых или близких к ним инверсных
полугруппах. Обзор последних результатов зарубежных авторов в этой
области содержится в статье Манна [1969] (см. также Б. П. Кочин [1968]).—
Прим. ред.

138 ' Гл. 8. Простые полугруппа
В работе Ц964] Уорн описывает гомоморфизмы одной бипро-
стой инверсной полугруппы с единицей на другую такую же полу-
полугруппу. Здесь же он показывает (теорема 2.2), что если Р —
полугруппа с правым сокращением и с единицей, в которой отно-
отношение Грина X является конгруэнцией, то Р есть шрейерово
расширение ее группы обратимых элементов U при помощи Р1Х.
Последняя полугруппа есть полугруппа с правым сокращением
и с единицей, группа обратимых элементов которой тривиальна.
Этот результат обобщает теорему Риса [1948]. (Понятие шрейеро-
шрейерова расширения было перенесено Редей [1952] с групп на полу-
полугруппы, причем были получены аналоги теоретико-групповых
результатов. Мы не будем останавливаться здесь на определении
этого понятия; отметим лишь, что оно нам уже встречалось в упра-
упражнении 8 к § 4.3.) Кроме того, в Р пересечение любых двух глав-
главных левых идеалов является главным левым идеалом (ср. теоре-
теорему 8.42) тогда и только тогда, когда это условие выполняется
для Р1Х. В силу следствия 8.43 это утверждение легко можно
превратить в следующую теорему; Если S — бипростая инверс-
инверсная полугруппа с единицей и отношение Грина $в на ней являет-
является конгруэнцией, то S есть шрейерово расширение своей группы
обратимых элементов U при помощи SI38, причем последняя
полугруппа является бипростой инверсной полугруппой с еди-
единицей, группа обратимых элементов которой тривиальна.
В работе [1965] Уорн получил некоторые характеризации
бипростой инверсной полугруппы S, полуструктура идемпотен-
тов Es которой линейно упорядочена. Каждый элемент такой
полугруппы либо регулярен слева, либо регулярен справа (§ 4.1)
и S есть объединение групп, подполугрупп с правым сокраще-
сокращением и подполугрупп с левым сокращением. Однако это еще
полностью не выясняет строения таких полугрупп S. В работе
[1966а] на Ев накладываются менее ограничительные условия.
Рейли [1966] (см. также [1965]) получил изящное описание
строения всех бипростых инверсных полугрупп, для которых Es
линейно упорядочено по типу множества отрицательных целых
чисел, т. е. Es = {е„, еь е2, . . .} и е0 >et >е2 >. . .. Полугруп-
Полугруппы S, для которых Es имеет такое строение, названы со-полугруп-
пами. Пусть G — группа и а — ее эндоморфизм. Обозначим через
S = S (G, а) множество всех троек (т; g; л), где т и п — не-
неотрицательные целые числа и g ? G. Определим произведение в S,
полагая
(т; g; п) (р; h; q) = (т + р — г; gav-r-han-r; n + q —-r),
где г = min (p, д) и через а0 обозначается тождественный авто-
автоморфизм группы G. Тогда S — бипростая инверсная со-полугруп-
па. Обратно, каждая бипростая инверсная оо-полугруппа S имеет
такое строение, где G есть группа ее обратимых элементов. Кроме

§ 8.5. Любая полугруппа может быть вложена в простую 139
того, в этом случае SB является конгруэнцией на S и SISB изо-
изоморфна бициклической полугруппе.
В работе [1966b] Уорн показал, как теорема Рейли может быть
выведена из его теоремы 2.2 в [1964].
Упражнения к § 8.4
1. Если S — простая инверсная полугруппа, то | Ss \ —
= \ tS \ для любых s, t 6 S.
2. Пусть S — бипростая инверсная полугруппа с единицей е.
Обозначим Re через R. Если а, Ь, с ? R, то Ra [}Rb = Re тогда
и только тогда, когда fafb = /с (где fx — правая единица эле-
элемента х).
3. Если ей/ — идемпотенты полугруппы S, то е ? SfS тогда
и только тогда, когда существует такой идемпотент g ? S, что
&g и g < /.
Следовательно, инверсная полугруппа S проста тогда и только
тогда, когда для любых идемпотентов е, f ? S существует такой
идемпотент g 6 S, что e3)g и g ^ /. .
4. Пусть 5 — бипростая инверсная полугруппа с единицей е.
Обозначим Re через R.
(a) Каждый идемпотент из S имеет вид а~га, где а ? R.
(b) Главные левые идеалы из R образуют полуструктуру
относительно теоретико-множественного пересечения, которая изо-
изоморфна полуструктуре идемпотентов из S. (Клиффорд [1953].)
§ 8.5. Любая полугруппа может быть вложена
в простую полугруппу
В этом параграфе мы докажем теорему Брака [1958] о том,
что каждая полугруппа S может быть вложена в простую полу-
полугруппу % (S), обладающую единицей. Затем мы рассмотрим
некоторые свойства, которые сохраняются при переходе от S1
к % (S). Последние результаты являются новыми.
Теорема 8.45. Любая полугруппа может быть вложена в про-
простую полугруппу с единицей.
Доказательство. Для доказательства теоремы доста-
достаточно рассмотреть полугруппу S = S1 с единицей 1.
Пусть % (S) — полугруппа, порожденная S U {а, Ь}, где а, Ъ (J
<$ S, и заданная определяющими соотношениями аЬ = 1, as = а,
sb = Ъ для всех s ? S и соотношениями, выполняющимися в S.
Полагая а° = 1, Ь° = 1, легко заметить, что элементы из % (S)
можно представить в виде tfsa* (s ? S, i, j — неотрицательные
целые числа); кроме того, нетрудно установить, что frsa3 = bmtan
тогда и только тогда, когда i = m,s = fa] = п (ср. упражнения 1

140 Гл. 8. Простые полугруппы.
и 2 к настоящему параграфу для двух других конструкций полу-
полугруппы % (S)). .
Пусть а = tfsa? и р = bmtan — произвольные элементы из
%(S). Тогда a ='bW+1-p-bn+1la>, так что % (S) — простая
полугруппа; кроме того, 1 является единицей в 'ё (S). Это завер-
завершает доказательство теоремы.
По-прежнему будем обозначать через % (S) полугруппу, постро-
построенную в доказательстве теоремы.
Рассмотрим частный случай, когда S является одноэлемент-
одноэлементной полугруппой. Тогда элементы из te (S) можно записать
в виде ЪЧа/ = Ь*а°а* = Ъ1а{ (где i, / — неотрицательные целые
числа), а определяющими соотношениями будут аЬ = 1, al = a,
ib = b, a0 = 1, Ь° = 1. Следовательно, 'ё (S) является в этом
случае бициклической полугруппой % (§ 1.12), т. е. % (A)) = 9S.
Если S = S1— произвольная полугруппа с единицей, то
гомоморфизм S на A) индуцирует следующий гомоморфизм
% (S) на %:
щ: bW -* bV (s 6 S).
Таким образом, каждую полугруппу % (S) можно рассматривать
как расширение бициклической полугруппы 9S.
Опишем теперь ,5?-классы [,5?-классы, ^-классы] полугруппы
9S (S) на языке «Sf-классов [^-классов, ^-классов] полугруп-
полугруппы iS. Будет удобно через А и В обозначать следующие подполу-
подполугруппы из 9S (S):
А = {а* М = 0, 1, 2, ...},
В = {Ьг М = 0, 1, 2, ...},
Лемма 8.46. (i) Если {L^ | Л, 6 Л} — семейство ^-классов из S,
то {BL^an | Я ? Л, п = 0, 1, 2, . . .} является семейством
^-классов из % (S).
(И) Если {Rt | i ? 1} — семейство М-клаесов из S, то
{bnRtA | i 6 /, тп = 0, 1, 2, . . .} является семейством Л-классов
из <ё (S).
(ш) Если {Dt, | S ? А} — семейство ^-классов из S, то
{BDffA | S ? А} является семейством 3}-классов из % (S).
Доказательство, (i) Элементы &W и femton являются
if-эквивалентными в % (S) тогда и только тогда, когда существуют
такие lPxaq, buyav 6 ^ E), что
b^^W = bmton, A)
buyavbmtan = bV. B)
Имеется несколько возможностей. Выписывая их, мы получаем
( Wxa^-1, если q > i,
= { yW, если q = г,
( 6p+1-«saJ', если g<i,

§ 8.5. Любая полугруппа может быть вложена в простую 141
и, аналогично,
С Ъиуап**-Ш, если v>m,
buya?bmtan= j buytan, если v = m,
^ j>«+m-»fan) если v<m.
Предположим, что q >i. Тогда в силу равенства A) / + (q — i) =
= пив силу равенства B) п ^ /, что невозможно. Следователь-
Следовательно, g^i и, аналогично, v ^.т. Отсюда получаем / = п.
Так как g ^ i, из равенства A) вытекает либо р = т ж xs = t,
либо J3 + (i — g) = m и « = i. Так как у ^ т, из равенства B)
вытекает либо и — i и yt = 8, либо и + (т — v) = i ж t = s.
Для любых неотрицательных целых чисел s, пг-мы можем найти
неотрицательные целые числа р, q, u, v, которые удовлетворяют
полученным условиям. Следовательно, мы показали, что blsa*
и bmtan являются ^-эквивалентными в 4§ (S) тогда и только тогда,
когда п — j ж sXt в S.
(и) Это утверждение двойственно утверждению (i).
(iii) Элементы bW и bmtan являются ^-эквивалентными
в 48 (S) тогда и только тогда, когда существует такой bpxaq, что
bisai?bpxaq M bmtan. В силу утверждений (i), (ii) это верно тогда
и только тогда, когда / = q, р = т и sXxfflt в S. Следовательно,
blsa33)bmtan в % (S) тогда и только тогда, когда s3)t в S. Отсюда
вытекает утверждение (iii).
Из теоремы непосредственно вытекает следующее утвержде-
утверждение (Престон [1959]).
Следствие 8.47. % (S) бипроста тогда и только тогда, когда
S = S1 бипроста.
В следующем параграфе мы укажем, каким образом произ-
произвольную полугруппу можно вложить в бипростую полугруппу.
Пусть &W и bmtan — два элемента из % (S), где s, t ? S.
Тогда легко проверить, что
если j>m, n-\-{j — m) = i,
если j = m, « = i;
и только в этих случаях произведение, стоящее слева, равно
Ьхха? для некоторого х ? S. Отсюда следует, что элемент, инверс-
инверсный к bW в % (S), равен ЬЧа], где t инверсен к s в S. Кроме
того, отсюда следует, что blsa' имеет единственный инверсный
к нему элемент в 43 (S) тогда и только тогда, когда s имеет един-
единственный инверсный к нему элемент в S. Таким образом, мы
доказали следующую теорему.
Теорема 8.48. Пусть S = S1. Полугруппа 93 (S) регулярна
тогда и только тогда, когда S регулярна. Полугруппа 4§ (S) инверс-
инверсна тогда и только тогда, когда S инверсна.

142 Гл. 8. Простые полугруппы •
Поскольку полугруппа S регулярна [инверсна] тогда и только
тогда, когда регулярна [инверсна] полугруппа S1, справедливо
такое
Следствие 8.49. Любая регулярная [инверсная] полугруппа
может быть вложена в простую регулярную [инверсную] полу-
полугруппу с единицей.
* Шутов [1963] доказал, что любая инверсная полугруппа
может быть вложена в инверсную полугруппу, не имеющую
нетривиальных конгруэнции *). *
. Следствие 8.50. Существуют простые инверсные (и, следова-
следовательно, регулярные) полугруппы с произвольным числом 3)-классов.
Доказательство. Учитывая теорему 8.48 и утвержде-
утверждение (ш) леммы 8.46, достаточно отметить, что в инверсной полу-
полугруппе идемпотентов все ^-классы одноэлементны.
Упражнения к § 8.5
1. Пусть N — множество неотрицательных целых чисел. Обо-
Обозначим через U декартово произведение N X S1 X N, где S —
некоторая полугруппа. Определим умножение в U, полагая
(т, s, п) (т', s', п') = (т + [т' — п],
f (п — т'\ s, s'), n' + [п — т']),
где
[х] = х при i>0h[i]=0 при х < 0,
s, если х ;> 0
/(*; «,*') = ¦
ssf, если х = 0,
sf, если жС.0.
Тогда U превращается в полугруппу, которая изоморфна полу-
полугруппе 'ё (S), построенной в доказательстве теоремы 8.45. Для
любого фиксированного неотрицательного целого числа п отобра-
отображение s -> (n, s, п) является изоморфизмом S в U. (Для доказа-
доказательства ассоциативности операций в U нужно заметить, что
Ш + [у- 1-х]) = [х+ [у]]
1 {х + [уЬ 1 (У, s, s'), s") =f(y- [-х); s, f (x; s', /)).)
(Брак [1958].)
*) В цитированной работе Э. Г. Шутова, а также в его статьях [1964J
и [1965] и в работе Л. А. Бокутя [1963] содержится много других результа-
результатов о вложении полугрупп в простые полугруппы.— Прим. ред.

§ 8.6. Любая полугруппа может быть вложена в бипростую 143
2. (а) Пусть Т — полугруппа с единицей 1 и S — ее подполу-
подполугруппа, содержащая 1. Пусть а и Ъ — такие элементы из Т,
что (i) Т = (S U {a, b}), (ii) ab = 1, (ш) Ъа (J S, (iv) as = а и sfe =
= Ъ для всех s ? S. Тогда каждый элемент из Т однозначно пред-
представим в виде 6{sa', где s ? S и i, j — неотрицательные целые
числа.
(Ь) Пусть S — произвольная полугруппа и М — множество,
не пересекающееся с S1, причем | М (J S1 \ = \ М |. Положим
X = М U S1. Пусть a — некоторое взаимно однозначное отобра-
отображение X на М. Обозначим через р* отображение X на X, которое
определяется следующим образом: ограничение р* | М совпадает
с а и «р = 1 для всех s 6 S1. Для каждого s 6 S1 определим
следующим образом преобразование ts множества X:
( xs, если я^1,
"~~ \ х, если х?М.
Обозначим через Г подполугруппу из ?ГXi порожденную множе-
множеством 2 U {а, Р}, где 2 = {ts | s 6 S1}. Тогда выполняются усло-
условия (i) — (iv) пункта (а), где роли S, а, Ь играют соответственно
2, а, р. Кроме того, 2^5иГ^(? (S).
3. Пусть ф: S -*¦ Т — гомоморфизм полугруппы S = S1 на
Т = ТК Тогда
Ф '. 6гваэ —*¦ V (вф) a3 (s ^ S)
является гомоморфизмом 43 (S) на $ (Г).
4. Пусть е — идемпотент полугруппы S = S*. Тогда в обозна-
обозначениях, приведенных перед леммой 8.46, ВеА есть подполугруппа
полугруппы 4§(S), изоморфная %.
5. Идемпотенты из % (S) имеют вид bmeam, где е — идемпо-
идемпотент из S — S1.
6. Идемпотенты полугруппы "& (S) коммутируют тогда и толь-
только тогда, когда коммутируют идемпотенты из S = S1.
§ 8.6. Любая полугруппа может быть вложена
в бипростую полугруппу с единицей
Мы начнем с построения одного класса бипростых полугрупп
с единицей, открытого Шютценберже (см. Престон [19591).
Пусть А — некоторое бесконечное множество. Обозначим через
аМ (А) множество всех таких отображений ? множества А в себя,
что (i) | А\ | = | А | и (ii) | Ъ\~1 |< \А | для любого Ъ 6 А\.
Здесь через Ъ\~* обозначено множество всех элементов из А,
которые \ переводит в Ъ. Следующая теорема Престона [1962]
дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы Л (А)
являлось полугруппой. На нее можно также смотреть как на харак-

144 Гл. 8. Простые полугруппа
теризацию регулярных кардинальных чисел. Мощность \А | мно-
множества Л называется регулярным кардинальным числом, если не
существует разбиения {At | i ? /} множества А, такого, что
| / | < | Л | и | Л* | << | Л | для любого i ? /. Для заданного
кардинального числа р всегда существует регулярное карди-
кардинальное число q, такое, что q> p (см. Бахман [1955, гл. 7] *)).
Теорема 8.51. Если А — бесконечное множество, то <М (Л)
является полугруппой относительно суперпозиции тогда и только
тогда, когда \ А \ есть регулярное кардинальное число.
Доказательство. Предположим сначала, что \ А \ —
регулярное кардинальное число. Пусть ?, т] ? <М (Л). Тогда
| Л (?п) | = | А\ | = | Л |. В самом деле, предположим, что
| В |< | Л |, где В = АЬ\. Имеем А\ = Ятг1 [\А\ = ЩЬт] П
|~|Л| | Ъ ?/?} и, поскольку т] 6 оМ (Л), для каждого b ? В выпол-
выполняется неравенство | бт^рЛ! j <; | А |. Но это вместе с усло-
условиями |Л||=|Л|и|5|<;|Л| противоречит регулярности
| А |. Итак, | В | = | Л j. Далее, Ь (it)) = (br\~l) I для каждо-
каждого Ь ? В. Положим Ьт] = С, так что | С | < | Л |. Тогда fe (|т])~1:=
= U {cS | с 6 С) и, поскольку | с?~4 | < | Л |, в силу регуляр-
регулярности | Л | получаем | Ъ (ir)) | < | А [. Таким образом, ?т] удов-
удовлетворяет условиям (i) и (И) из определения <М (Л), т. е. ?т] 6
? <М (Л), так что о^ (Л) —полугруппа.
Обратно, предположим, что | Л | не регулярно. Тогда суще-
существует такое семейство попарно не пересекающихся подмножеств
{Bt | i 6 /} из Л, что | Вг |< | Л | и | / |< | Л |, в то время
как | 5 | = | А |, где В = U {В* 1 i 6 ^}; кроме того, мы можем
предположить, что | Л \ В | = | Л |. Тогда существует некоторый
элемент \ ? е/Я (Л), который отображает А\В ъ& В (например,
взаимно однозначно) и который для каждого i ? / переводит
множество Bt в один элемент из Bt. Тогда \г ^а/И (Л). В самом
деле, Л?2 = В\ и | /?? | = | / | < | Л |. Таким образом, если
еМ (Л) является полугруппой, то | Л | регулярно. Это завершает
доказательство теоремы.
Далее мы будем предполагать, что | Л | регулярно. Покажем,
что аМ (Л) есть бипростая полугруппа (с единицей, которой являет-
является тождественное преобразование множества Л). Нам понадобятся
две предварительные леммы.
Лемма 8.52. Если \, r]6 J (Л), то Ь?бч[ тогда и только тогда,
когда Л? = Ai\.
Лемма 8.53. Если ?, т] 6 <М (Л), то \М\ тогда и только тогда,
когда ? о I = ц о тр1.
См, также П. С. Александров [1948].— Прим. ред.

§ 8.6. Любая полугруппа может быть вложена в бипростую 145
Эти леммы являются просто переформулировками для a/ft (A)
лемм 2.5 и 2.6, касающихся полугруппы JTA. Сохраняются и соот-
соответствующие доказательства.
Теперь мы можем легко показать, что если \ А \ — бесконеч-
бесконечное регулярное кардинальное число, то <М (А) является бипростой
полугруппой. Пусть |, т) 6 <М (А). Будем искать отображение
а ? <М (А), для которого \XaMy\- Обозначим через р отношение
эквивалентности ч\ о тр1. Тогда | А / р | = | Ац | = | А | = | А\ \.
Пусть 0 — произвольное взаимно однозначное отображение Alp
на А\ и а — отображение множества А в себя, которое пере-
переводит элементы каждого данного р-класса в элемент, являющийся
образом этого р-класса при отображении 0. Тогда а о а = т) о rp1
и Аа = А\. Далее, из равенства а о а = р вытекает, что | Аа \ —
= | А/р | = \ А | и для каждого а ? Аа множество аа является
р-классом и поэтому его мощность меньше | А |. Таким образом,
а^»1 (А). Следовательно, на основании лемм 8.52 и 8.53 Ъ^СаМц,
т. е. полугруппа <М (А) бипроста. Мы доказали следующую теоре-
теорему, принадлежащую Шютценберже (сообщено в письме одному
из авторов).
Теорема 8.54. Если А — бесконечное множество, для которого
| А | регулярно, то оМ (А) является бипростой полугруппой с еди-
единицей.
Отсюда, используя доказательство, предложенное Шютценбер-
Шютценберже, мы выводим следующую теорему (Престон [1959]). В указанной
статье содержится конструктивное доказательство, которое не
опирается на теорему 8.54.
Теорема 8.55. Каждая полугруппа может быть вложена в (обя-
(обязательно регулярную) бипростую полугруппу с единицей.
Доказательство. Пусть S — произвольная полугруп-
полугруппа. Возьмем множество А, содержащее S и такое, что | А \ являет-
является бесконечным регулярным кардинальным числом, большим | S \.
Пусть а0 — произвольный (фиксированный) элемент из А \ S.
Для каждого s ? S определим отображение ps множества А в себя,
полагая
С
xs, если х?S,
xps=\ s, если х = а0,
[ х, если х? A\{S\Ja<)}-
S
Легко проверить, что ps 6 <М (А). Кроме того, отображение s-> p
есть изоморфизм S -в <М (А) (ср. с расширенным регулярным пра-
вым представлением полугруппы S). Это в силу теоремы 8.54
завершает доказательство теоремы.
10—100

146 Гл. 8. Простые полугруппы,
В приведенной конструкции данная полугруппа вкладывается
в полугруппу, мощность которой больше мощности исходной
полугруппы. В действительности, если \ S \ — бесконечное кар-
кардинальное число, то S может быть вложена в бипростую полугруп-
полугруппу той же мощности. Докажем это.
Заметим, что полугруппа Т с единицей бипроста тогда и толь-
только тогда, когда для любых а, Ь 6 Г существуют такие s, t,u, v ? Т,
что as = ub, ast = a и vub = Ъ. Пусть теперь М — произвольная
бипростая полугруппа с единицей, в которую вкладывается полу-
полугруппа S. Присоединяя единицу полугруппы М к S, получим
подполугруппу S* из М. Поскольку М является бипростой полу-
полугруппой с единицей, для каждой пары элементов а, Ъ ? S1 суще-
существуют такие s, t, и, v 6 <М, что as = ub, ast = а и vub — b. Для
каждой пары элементов a, b ? S1 выберем некоторые элементы
s, t,u,vc указанным свойством и обозначим множество всех выбран-
выбранных таким образом элементов из М через Р. Пусть S A) — под-
подполугруппа из М, порожденная множеством P[}Si. Построим,
далее, S B), исходя из S A), точно так же, как мы строили S A),
исходя из S1. Аналогично мы построим S (п-\- 1), исходя из
оо
S (п), для любого целого числа п ^ 1. Положим Т = U S (п).
71=1
Тогда Т, очевидно, содержит единицу полугруппы М. Кроме
того, для любых a, b 6 Т существует такое целое число п, что
а, Ъ 6 S (п), поэтому существуют s, t, и, v 6 S (n + 1) s T, для
которых as — ub, ast = а и vub = Ъ. Таким образом, полугруп-
полугруппа Т бипроста. Легко установить, что если | S \ бесконечно, то
| S | = | Т \, и, если | S | конечно, то | Т \ не более чем счетно.
Мы доказали
Следствие 8.56. Каждая полугруппа S может быть вложена
в бипростую полугруппу Т с единицей, причем I Т \ = | S |, если
| S | бесконечно, и \ Т \ не более чем счетно, если | S \ конечно.
Рейли [1965] установил, что утверждение следствия 8.56 остает-
остается справедливым, если всюду мы заменим слово «полугруппа»
на слова «инверсная полугруппа».

Глава 9
КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ПОЛУГРУППЫ
И СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
С АМАЛЬГАМОЙ
В этой главе мы рассмотрим некоторые теоретико-полугруппо-
теоретико-полугрупповые конструкции. Каждая из них будет задаваться либо явным
указанием закона перемножения, либо описанием некоторой
конгруэнции. В § 9.1 собраны предварительные результаты
о свободных полугруппах. Самостоятельный интерес представляют
характеризация свободных полугрупп, данная в теореме 9.6, при-
принадлежащей Леви [1944] и Дюбрей-Жакотэн [1947], а также
характеризация свободных подполугрупп свободной полугруппы,
принадлежащая Шютценберже [1955], и результат Эванса [1952]
о том, что каждая счетная полугруппа может быть вложена в полу-
полугруппу с двумя образующими.
§ 9.2 посвящен доказательству того, что если полугруппа
конечно определена (в том смысле, что она задана конечным числом
образующих и конечным числом определяющих соотношений)
относительно одного порождающего множества, то она также
конечно определена относительно любого другого конечного
порождающего множества. Таким образом, понятие конечно опре-
определенной полугруппы не зависит от выбора конечного порождаю-
порождающего множества.
§ 9.2 служит также введением к § 9.3, в котором приводятся
результаты Редей [1963], посвященные описанию конгруэнции
на конечно порожденной свободной коммутативной полугруппе F.
Редей доказывает вначале, что с каждой конгруэнцией ассоци-
ассоциируется единственная конгруэнц-пара (М, /), где М — подгруппа
свободной абелевой группы, порожденной полугруппой F, а / —
некоторое специальным образом заданное отображение М в мно-
множество идеалов из F (теорема 9.17). Эта характеризация играет
основную роль в доказательстве следующего результата (теоре-
(теорема 9.28): любая конечно порожденная коммутативная полугруппа
является конечно определенной (Редей [1963]).
Пусть S и Т — две полугруппы с такой общей подполугруп-
подполугруппой U, что S fl T = U. Когда существует полугруппа, в которую
могут быть вложены S ж Т с сохранением пересечения S |~] Т = Z7?
Как было показано Кимурой [1957], такое вложение не всегда
возможно. Хауи провел систематическое исследование этой про-
проблемы, и § 9.4 посвящен изложению его результатов. Основной
10*

148 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы, и свободные произведения
результат Хауи (теорема 9.44) дает достаточные условия, обеспе-
обеспечивающие возможность такого вложения (Хауи [1962]). Прило-
Приложения этого результата показывают, в какой степени сохраняются
различные свойства полугрупп S, Т и U по отношению друг
к другу (Хауи [1963а, Ь, с] и [1964а, Ы).
Заметим, что основным инструментом здесь является свобод-
свободное произведение некоторого множества полугрупп {St \ i ? /}.
В случае когда каждая полугруппа St есть группа, свободное
произведение полугрупп не совпадает с обычным теоретико-
групповым свободным произведением. В нашей терминологии
теоретико-групповое свободное произведение групп Gt (i 6 /)
совпадает со свободным (полугрупповым) произведением полу-
полугрупп Gt с объединенной единицей.
В последнем параграфе этой главы приводятся различные
конструкции конгруэнции с сокращениями, порожденной данным
отношением. Сначала приводится конструкция, которую можно
считать аналогом конструкции, задающей конгруэнцию посред-
посредством элементарных переходов. Затем приводится остроумный
и хорошо известный метод построения конгруэнции с сокраще-
сокращениями при помощи введения формальных левых и правых обрат-
обратных элементов. Мы не знаем, кто изобрел этот метод. Наконец,
в теореме 9.54, принадлежащей Круазо [1954], рассматриваются
так называемые канонические формы.
§ 9.1. Свободные полугруппы
Понятие свободной полугруппы ер х на множестве X было
введено в § 1.12. ерх состоит из всех конечных непустых слов
в алфавите X, а произведение в ней есть приписывание слов.
В полугруппе JF.V единицу можно считать «пустым словом». Если
Ф — изоморфизм полугруппы $рх на S, то S также будем назы-
называть свободной полугруппой (на множестве Хф).
Дадим теперь некоторые альтернативные характеризации сво-
свободных полугрупп и, в частности, получим необходимые и доста-
достаточные условия того, чтобы подполугруппа свободной полугруппы
была свободной. Результаты, которые мы приводим, принадлежат
Леви [1944; 1946], Дюбрей-Жакотэн [1947] и Шютценберже
[1955/6].
Теорема 9.1. Полугруппа S является свободной полугруппой
на множестве XsS тогда и только тогда, когда каждый элемент
из S может быть однозначно представлен в виде произведения
элементов из X.
Доказательство. Если S = ерх, то в силу определе-
определения свободной полугруппы каждый элемент из S однозначно
представим в виде произведения элементов из X.

§ 9.1. Свободные полугруппы. 149
Обратно, предположим, что каждый элемент полугруппы S мо-
может быть однозначно представлен как произведение элементов ее
подмножества X. На основании леммы 1.28 тождественное отобра-
отображение множества X в S может быть продолжено до гомоморфизма
Ф полугруппы JF% на S. Тот факт, что <р взаимно однозначно и, сле-
следовательно, есть изоморфизм, является по существу точной фор-
формулировкой того, что мы понимаем под однозначностью представ-
представления элементов из S в качестве произведения элементов из X.
Если S — свободная полугруппа на X, то под длиной элемен-
элемента w = XiX2 . . . хп ($1 ? X) из S мы понимаем число п элемен-
элементов из X, участвующих в записи w в виде произведения элемен-
элементов из X.
Следствие 9.2. Если S — свободная полугруппа на X, то X —
= S \ S2.
Следствие 9.3. Пусть S и Т — свободные полугруппы соответ-
соответственно на множествах X и naY и ц> — изоморфизм S на Т. Тогда
Х<р = Y.
Доказательство. По предыдущему следствию X =
= 5\ S* и Y = Т\ Га. Очевидно, однако, S2<p = SySy s T2
и поэтому Хц> = Т \ 52ф э Y. По соображениям симметрии
Х = У.
Следующая теорема дает важную характеризацию свободных
полугрупп. Заметим, что если S свободна на Мц, то в силу лем-
леммы 1.28 гомоморфизм ф однозначно определяется при помощи \i и v.
Теорема 9.4. Пусть М — множество и \i: М -> S — взаимно
однозначное отображение М на порождающее множество полугруп-
полугруппы S. Тогда S является свободной полугруппой на M\i в томи толь-
только в том случае, когда для произвольной полугруппы Т и отображе-
отображения v: М ->- Т существует такой гомоморфизм ф: S -*- Т, что
[Хф = V.
Доказательство. Предположим, что S есть свободная
полугруппа на М\л. Так как \i взаимно однозначно, отображение
v: Af->- Т определяет отображение \1~*х множества M\i в полу-
полугруппу Т. На основании леммы 1.28 ц~Ч можно продолжить
(однозначно) до некоторого гомоморфизма ф: S -у Т. Тогда
Цф = V.
Обратно, предположим, что каждое отображение множества M\i
в полугруппу Т можно продолжить до гомоморфизма S в Т.
Возьмем в качестве Т свободную полугруппу jf x на множестве
X = М\л и выберем v: М -> $р'х таким образом, чтобы \k~lv
совпадало с тождественным отображением X в jf x. Тогда v также
является взаимно однозначным отображением и по лемме 1.28
отображение v^: X -*¦ S можно продолжить до гомоморфизма

150 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
полугруппы Jx в 5. Следовательно, существуют гомоморфизмы
<р: S -»- jFх и 1Ф: IF x -*¦ S, являющиеся продолжениями тожде-
тождественного отображения множества X на себя, так что ограниче-
ограничения отображений фт|э: S-+S и г]хр: $Fx~^*~OFx на -^ совпадают
с тождественным отображением X на себя. Ввиду .того что X
порождает как S, так и ^jc, отображения фт|э и т|зф являются
тождественными на S и на jF.x соответственно. Следовательно,
S и j^jc изоморфны. Таким образом, S есть свободная полугруппа
на Х\р, т. е. на X = М
Следствие 9.5. Пусть S — произвольная полугруппа, М —
ее порождающее множество и X — произвольное множество, для
которого \ X | >- | М \. Тогда существует такая конгруэнция р
что JFx/p ^ S.
Доказательство. Так как \ X \ ^ \ М \, существует
некоторое отображение v множества X на М. Так как v является
тогда отображением X в S, из теоремы (или леммы 1.28) вытекает
существование гомоморфизма ф: jFjc-»-»^ который продолжает v.
В силу того что v отображает X на порождающее множество
полугруппы S, отображение ф является гомоморфизмом полу-
полугруппы jfx на S. Взяв р = ф о ф-1, мы получим, что jFx/psz S.
Пусть а, Ь, с — элементы некоторой полугруппы и а — be.
Тогда говорят, что Ъ и с — делители элемента а, причем Ъ —
его левый, ас — правый делитель.
Следующая теорема принадлежит Леви и Дюбрей-Жакотэн.
Теорема 9.6. Полугруппа S свободна тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет следующим условиям:
A) в S выполняются левый и правый законы сокращения;
B) S не содержит двусторонней единицы;
C) если ах — by для а, Ь, х, у ? S, то а = Ъ или один из эле-
элементов а, Ъ является левым делителем другого;
D) каждый элемент из S имеет конечное число левых делителей.
Доказательство. Необходимость условий легко про-
проверить, опираясь на теорему 9.1.
Предположим, что выполняются условия теоремы. Через X
обозначим множество S \ S2, т. е. множество элементов из S, не
имеющих делителей. Будем доказывать, что X свободно порожда-
порождает S.
Прежде всего X не пусто и порождает S. В самом деле, пусть
а — произвольный элемент из S. Если а не имеет делителей,
то а ? X. В противном случае а = be, где Ь, с 6 X, или а = xyz,
и т. д. Либо этот процесс заканчивается и мы получаем выраже-
выражение а в виде произведения элементов из X, либо для любого
сколь угодно большого п существуют такие а4, а2, . . ., й„ 6 5,

§ 9.1. Свободные полугруппы 151
что а = п\п2 . . . ап. Если а =
. . ., а^а2 . ¦ ¦ an-i являются левыми делителями элемента а.
Они все различны, потому что если х = ху в S, то ху = ху2, и,
сокращая слева (условие A)), получаем у = у2. Но произвольный
идемпотент в полугруппе с сокращениями должен быть единицей
(см. упражнение 1 (Ь) к § 1.1). Следовательно, в силу условия B)
в полугруппе S нет идемпотентов. Таким образом, о4, ауаг, . . .
. . ., а^аг . . . an_i — различные левые делители элемента а.
Но п можно выбрать сколько угодно большим, что противоречит
условию D). Итак, множество X порождает S.
Предположим, что х^х2х3 . . . хт = х[х'2х'3 . . . х'„ где хг, х)
принадлежат X. Пусть х2 . . . хт = х и х'2 . . . x's = х'. Тогда
х^х = х\х'. Следовательно, в силу условия C) хх = х[ или один
из элементов xt, x\ имеет делители. Последняя возможность
исключается по определению X. Таким образом, Xi = x\ и в силу
условия A) х = х'. Теперь аналогично получаем х2 = х'2, и, про-
продолжая этот процесс шаг за шагом, мы, наконец, получим г = s
и Ж; = xi для i = 1, 2, . . ., г. Таким образом, каждый элемент
из S может быть однозначно представлен в виде произведения
элементов из X. Следовательно, на основании теоремы 9.1 S есть
свободная полугруппа на X.
Замечание. Заключение теоремы не изменится, если условия C)
и D) заменить на двойственные.
Так как условия A), B) и D) автоматически выполняются
для подполугруппы свободной полугруппы, мы получаем
Следствие 9.7. Подполугруппа Т свободной полугруппы тогда
и только тогда сама является свободной полугруппой, когда из ра-
равенства ах = by (а, Ь, х, у ? Т) вытекает, что либо а = Ъ, либо
один из элементов а, Ь является левым делителем, другого в Т.
Этому следствию, как и теореме, недостает симметричности.
Симметричную характеризацию свободных подполугрупп свобод-
свободной полугруппы дает следующий полезный результат, принадле-
принадлежащий Шютценберже [1955/61 *).
Следствие 9.8. Подполугруппа Т свободной полугруппы S тогда
и только тогда является свободной полугруппой, когда для любого
w ? S из условия Tw(]Т Ф 0 и wT |~|Т ф0 вытекает, что w ? Т.
Доказательство. Предположим, что Т есть свободная
полугруппа, и пусть aw и wb принадлежат Т для некоторых
a, b 6 Т и w ? S. Тогда a (wb) = (aw), b ?'Т и поэтому на основа-
основании предыдущего следствия либо а = aw, либо а = (aw) и, либо
г) Он независимо получен также Л. Н. Шевриным [1960], см. также
Кон [1962].— Прим. ред.

152 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
av = aw, где и, v ? Т. Так как эти равенства выполняются в сво-
свободной полугруппе S, отсюда вытекает (теорема 9.1), что av =
= aw, т. е. у-= w. Таким образом, w ? Т и мы доказали необхо-
необходимость условия следствия.
Обратно, предположим, что для любого w 6 S из условия
Twf\T Ф0 и wT [\Тф0 вытекает, что w 6 Т. Пусть ая = &г/
для некоторых а, Ъ, х, у 6 Т7- Так как а, Ь, х, у ? S, то либо
а = Ъ, либо а = Ъи, либо 6 = ау, где и, v ? S. Предположим,
что а = Ъи. Тогда ах = Ъих = by и, сокращая слева, получаем
их = у ? Т. Следовательно, их & иТ [\Т и Ьи?Ти[)Т. Отсюда
в силу предположения вытекает, что и ? Т. Аналогично, если
Ъ == аи, то v ? Т. В силу предыдущего следствия Т является
свободной полугруппой.
В качестве приложения рассмотрим свободную полугруппу А
с двумя образующими: А = Jf х-> гДе X = {х> У}- Положим аг =
= ухгу (i = 1, 2, . . .). Пусть 5 — подполугруппа из Л, порож-
порожденная всеми at. Тогда элемент из А принадлежит В в том и толь-
только в том случае, когда он может быть представлен в ътщвухгу2я?у'2'...
. . . y2xhy, где i > 0, / > 0, . . ., к > 0. Следовательно, если
и 6 В и wu ? В, то w 6 5, и если у ? 5 и iw 6 #> то ы> 6 В. Тогда
в силу следствия 9.8 В является свободной полугруппой. (Это
видно и непосредственно: применяя теорему 9.1, легко усмотреть,
что В является свободной' полугруппой на множестве {at | i =
= 1, 2, . . .}.) Легко видеть, что множество {at \ i — 1, 2, . . .}
есть минимальное порождающее множество полугруппы В.
Этот пример был использован Эвансом [1952] для доказатель-
доказательства того, что любая счетная полугруппа может быть вложена
в полугруппу с двумя образующими. Приведем теперь доказатель-
доказательство Эванса указанного результата.
Прежде всего сформулируем следующую лемму.
Лемма 9.9. Пусть Т — подполугруппа полугруппы 5, т —
конгруэнция на Т и а — конгруэнция на S. Фактпорполугруппа
Т/т вкладывается естественным образом (отображением U -*- to
(t 6 Т)) в Sla тогда и только тогда, когда т = о (](Т х Т).
Доказательство. Предположим, что отображение tx ->
-v to вкладывает Т/т в S/o. Тогда включение (tt, t2) 6 т равно-
равносильно тому, что tu t2 С Т и ho = t2o, т. е. (tt, t2) ?о[){Т х Т).
Таким образом, т = о [\(Т х Т).
Обратно, предположим, что о[\(ТхТ) = т. В частности,
тогда т s а и поэтому t±T = t2T влечет за собой tto = t2o. Таким
образом, tT -> to является отображением полугруппы Т/т в Т/о.
Далее,, легко проверить, что это отображение является гомо-
гомоморфизмом.
Предположим, что ho = t2o, где tu t2 б Т. Тогда (*lf t2) 6 ¦
6 о f\(T х Т) — т. Таким образом, Ut == t2x. Следовательно, ото-

§ 9.1. Свободные полугруппы. 153
бражение tx -+¦ to взаимно однозначно. Это заканчивает доказа-
доказательство леммы.
Рассмотрим снова полугруппу А, свободно порожденную мно-
множеством {х, у} и содержащую свободную подполугруппу В на
множестве {at = ухгу | i = 1, 2, . . .} — Y. Пусть S — произ-
произвольная счетная полугруппа. Выберем в S порождающее множе-
множество М (оно в силу счетности S не более чем счетно). Так как
\Y | ;> \ М |, на основании следствия 9.5 существует такая кон-
конгруэнция р на В, что Вlf> ^ S. Пусть а — конгруэнция на А,
порожденная р.
Предположим, что (u?i, w2)?a[\{B X 5). Так как р порож-
порождает а, элемент w2 получается из Wi конечной последовательностью
элементарных Р-переходов в А (§ 1.5, стр. 38). Мы хотим доказать,
что (wi, w2) 6 Р- Для этого достаточно установить, что (wt, w2) 6 Р»
если w2 {w2 ? А) получается из Wi (Wi ^ В) одним элементар-
элементарным р-переходом. Для этой цели предположим, что Wi = upv
и w2 = uqv, где и, v 6 vl1 и (р, q) 6 Р- Тогда Wi ? В, р ?В я Wi =
= upy. Вспоминая, что элемент из Д принадлежит В тогда и толь-
только тогда, когда он имеет вид ухгу2з?у2 . . . у2хку, получаем и, v ?
6 В1. Следовательно, так как р является конгруэнцией на- В>
имеем (и?!, и>2) 6 Р-
Таким образом, в силу доказанного, а также в силу очевидного
включения Р s а [) (В X В) выполняется равенство Р = а П
П (В х В). Теперь из леммы 9.9 следует, что Б/р естественно
вкладывается в А/а. Так как полугруппа S изоморфна Б/р, она
также вкладывается в А/а. В силу того что А порождается мно-
множеством {ж, у}, полугруппа А/а порождается множеством {ха, уа}~
Следовательно, мы доказали теорему Эванса.
Теорема 9.10. Любая счетная полугруппа может быть вложена
в полугруппу с двумя образующими.
Другой подход к этому результату содержится в статье Б. Ней-
Неймана [1960]. Аналогично соответствующему теоретико-группово-
теоретико-групповому понятию, Нейман следующим образом определяет сплетение
двух полугрупп.
Пусть А и В — полугруппы и ср: Ь-*- Ьц> есть антипредстав-
антипредставление полугруппы В в полугруппу эндоморфизмов полугруппы А.
Тогда А х В становится полугруппой, если следующим образом
^определить произведение:
[¦ (а, 6) (а', V) = (а (а' (ЬФ), W).
|Далее, пусть S — полугруппа и У — непустое множество. Обо-
Обозначим через SY полугруппу всех отображений множества Y
S относительно операции (покомпонентного умножения), опре-
определенной следующим образом:
У ifg) = (*//) Ш Для у 6 Y и /, g е SY.

154 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Пусть Т есть (или имеет точное представление как) подполугруп-
подполугруппа из З'у. Тогда <р: t ->¦ tcp {t 6 Т) является антипредставлением Т
в полугруппу эндоморфизмов полугруппы SY, если мы опре-
определим Z<p, полагая
У (/ (<Ф)) = (yt) f для у 6 Y и / 6 Sy-
Здесь г/2 есть образ элемента г/ относительно Z.
Взяв в предыдущей конструкции SY и Т в качестве Л и 5,
мы получим полугруппу Л х В, которая называется сплетением
полугрупп S и Т.
Теперь мы можем привести набросок доказательства Неймана
теоремы Эванса. Пусть Q — счетная полугруппа и5 — полугруп-
полугруппа, полученная из Q присоединением, если это необходимо, нуля
и единицы (S = (С?0I). Через Т обозначим подходящую цикли-
циклическую группу (порядка ^>3d, где d есть число элементов в неко-
некотором порождающем множестве. полугруппы S, если d конечно,
и бесконечного порядка в противном случае). Пусть Y = Т. Тогда
S, а поэтому и Q, вкладывается в подполугруппу сплетения полу-
полугрупп S и Т, которая имеет три образующих, если Т бесконечна,
и два образующих, если Т конечна. Отсюда вытекает теорема
Эванса.
Для конечных полугрупп метод Неймана позволяет получить
более сильное заключение о том, что конечная полугруппа может
быть вложена в конечную полугруппу с двумя образующими.
При таком вложении сохраняются и некоторые" другие свойства
полугруппы Q. Например, если Q конечно порождена и периодич-
периодична, то Q может быть вложена в периодическую полугруппу с двумя
¦образующими. За уточнениями читатель отсылается к статье
Неймана [1960].
Упражнения к § 9.1
1. Полугруппа jF.x изоморфна J^y тогда и только тогда,
когда \X\=\Y\.
2. Группа автоморфизмов полугруппы jFx изоморфна сим-
симметрической группе §х на множестве X.
3. Пусть Т = (a, ab, Ъа) — подполугруппа свободной полу-
полугруппы ^{а>ьу- Т не является свободной полугруппой.
4. Пусть Т — такая подполугруппа из S, что из соотношения
лТу [\Т Ф 0 (х, у ? S) следует, что х, у ? Т. Пусть т — кон-
конгруэнция на Т и о — конгруэнция на S, порожденная т, если
рассматривать т как отношение на S. Тогда х = а (](Т х Т) и,
следовательно, Г/т вкладывается естественным образом в S/a.
5. Пусть Т — подполугруппа полугруппы S, т — конгруэнция
на Т и о — конгруэнция на S. Тогда tx -> to (t 6 Т) определяет
гомоморфизм 77т в S/a в том и только в том случае, когда т ?
s о[\(Т х Т).

§ 9.2. Конечно определенные полугруппы. 155
§ 9.2. Конечно определенные полугруппы
Результаты этого параграфа, по-видимому, хорошо известны.
Они важны для дальнейшего, поэтому мы приводим их с доказа-
доказательствами.
Нам будет удобно пользоваться следующими обозначениями.
Через р* будем обозначать конгруэнцию на полугруппе, порожден-
порожденную бинарным отношением р на этой полугруппе (§ 1.5, стр. 37).
Если для полугруппы S мы найдем множество X и отношение
р на jFxi такие, что jF.y/p* = S, т° будем говорить, что ,<Fx/p*
представляет S при помощи, образующих и определяющих соот-
соотношений. Множество X будем называть множеством образующих,
ар — множеством определяющих соотношений полугруппы S
в этом представлении (см. § 1.12). Если в качестве X можно выбрать
конечное множество, то говорят, что S конечно порождена (в дей-
действительности образ множества Хр* является в таком случае
конечным порождающим множеством полугруппы S). Если р
есть конечное множество, то будем говорить, что jF.y/p* есть пред-
представление с конечным числом определяющих соотношений. Если X
конечно и р конечно, то говорят, что JF х/р* конечно представляет S.
Полугруппу будем называть конечно определенной, если ее можно
задать при помощи конечного числа образующих и определяющих
соотношений. Цель этого параграфа доказать, что если S имеет
конечное представление и S ^ jFy/g, где Y конечно, то о содер-
содержит конечное подмножество т, для которого т* = о. Таким
образом, конечно определенную полугруппу можно задать конеч-
конечным числом определяющих соотношений относительно любого
ее конечного порождающего множества.
Следующая лемма, которая является важным инструментом
для наших рассуждений, представляет и некоторый самостоятель-
самостоятельный интерес.
Лемма 9.11. Пусть у — элемент, не содержащийся в множе-
множестве X, Y = X \]у, р — бинарное отношение на Jpх-> w 6 IF x
и а = p[](w, у). Тогда гомоморфизм, порожденный отображением
хр* -> ха* (х ? X), является изоморфизмом jFjjVp* на ^*
Доказательство. Мы можем считать ерх подполугруп-
пой из jFy и применить лемму 9.9. Так как р s о [\{jjFх X ЛР"x)i
то р* = а* П {&х X &х). Обратно, если (а, Ь) 6 о* (] (j^x X 3Fx),
то а, Ь 6 $рх и Ъ получается из а конечной последовательностью
элементарных or-нереходов а = а0 -> #i ->...-> а„ = 6. Пред-
Предположим, что элемент у участвует в этих переходах, и пусть at =
= uwv -*¦ uyv = ai+i, где и, v ? ep\i есть первый переход, в кото-
котором вводится у. Так как Ъ 6 JFxi это вхождение у должно быть
заменено некоторым более поздним ст-переходом О;.->- aj+l, причем

156 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
G-переход может заменить у только на w. По определению ст это
вхождение у не затрагивается никаким а-переходом ai+i -*- . . .
... -v dj. Отсюда следует, что мы можем просто уничтожить
ст-переходы аг-> а,-+1 и aj-*-aj+i, переходя от at к ai+i при
помощи а-переходов, аналогичных исходным. Применяя эти
рассуждения столько раз, сколько необходимо, мы получим, что
Ъ можно вывести из а при помощи ст-переходов, в которых не уча-
участвует у, т. е. Ъ можно вывести из а при помощи р-переходов.
Следовательно, (а, Ъ) ? р* и мы доказали, что ст* {](J^X X &х) S
Ер*. Таким образом, ^flf^iX/i) = p*- Тогда по лем-
лемме 9.9 JFx/p* вкладывается естественным образом в ^у/о*
отображением ар* -*¦ аст* (а 6 IFх)-> т- е- гомоморфизмом, порож-
порожденным отображением яр* -*¦ хо* (х ? X). Так как у ? wa*,
этот гомоморфизм отображает jF^/p* на ^"у/о*. Это завершает
доказательство леммы.
Нам понадобится следующий частный случай леммы 9.9.
Лемма 9.12. Пусть а — конгруэнция на jFy и т s cr. Предпо-
Предположим, что jFy/т* вкладывается естественным образом в l
отображением Ъ%* -*¦ bo (b 6 J^y)- Тогда т* = ст.
Нам будет удобно ввести некоторые дальнейшие обозначения.
Пусть X = {ii, i2, , . ., «„} — конечное подмножество полугруп-
полугруппы S и b — элемент из S, который может быть представлен в виде
произведения элементов из X. Выберем некоторое выражение
элемента b в виде такого произведения. Будем обозначать это
выражение через Ь (х). Пусть xt -> vt (i = 1, 2, . . ., п) — ото-
отображение множества X в некоторую полугруппу Т. Заменим
каждое вхождение xt в данном выражении b \x) на vt для i =
= 1, 2, . . ., п. Полученное произведение элементов vt будем
обозначать через b {v).
Следующая лемма, носящая технический характер, понадо-
понадобится при доказательстве теоремы.
Лемма 9.13. Пусть а — бинарное отношение на полугруппе S
Хи Щ (i ==• 1, 2, . . ., п) — элементы из S; ah (x), bh (x) (к =
= 1, 2, . . ., t) —элементы из S, представленные некоторым
образом в виде произведений элементов xt. Положим
I* = o[){(xu vt) \i = 1, 2, . . ., n}(J ;
U {(** (*). ьь(х)) 1 А = 1, 2 t),
v = a[}{(xt, vt) \i = 1, 2, ... ., n}[)
\}{(ak{v), bh(v))\k=l,2,...,t).
Тогда \i* = v*.

§ 9.2. Конечно определенные полугруппы 157
Доказательство. Замена одного вхождения х} на Vj
в данном выражении ak (ж) является элементарным ц-переходом.
Таким образом, ah (v) получается из ah (x) конечной последова-
последовательностью элементарных ^-переходов. Следовательно, (ah (x),
ak (*>)) 6 И-*- Аналогично, (bh (x), bh (v)) 6 (**• Так как (ak (ж),
bk (я)) 6 И'*» то (ak (v), bh (v)) 6 и-*- Отсюда v* s (д.*. Аналогично,
р,* с v*, откуда [i* = v*, что завершает доказательство.
Теорема 9.14. Пусть X = {xt | i = 1, 2, . . ., п), Y ={у} \) =
= 1, 2, . . ., т}, р — конечное бинарное отношение на jfx,
Р = {(я* (а?), Ьа (а?)) I к = 1, 2, . . ., t},
а — конгруэнция на $р? и
а: &х/р* -»- js-y/a
— изоморфизм на ^у/а.
Тогда существует такое конечное подмножество т мз ст, что
т* = а.
Именно, в качестве т лш можем взять множество
т= {(а*(р), 6*(»)) I Л = 1, 2 *> U
U{(^. »/(*>)) 17 = 1. 2 т},
г9е уг (i = 1, 2, ...,«) — такие элементы из j^r, что
(xtp*) a = уга,
и Uj (х) (/ = 1, 2, . . ., т) — такие элементы из &х-> что
(uj (ж) р») а = у^а.
Доказательство. Начнем шаг за шагом присоединять
элементы из Y к X. Положим Yt = X (Jyi, Y2 — Yt [}y2, • ¦ ¦
¦ ¦ -,' Ym = Ут-1 [}Ут = X{jY. Положим также pt = pUfe,
Щ (x)), p2 = pi U(г/2, и2 (ж)), . . ., pm = pm_i и(г/т. «m (»)). где
м^- (ж) (/ = 1, 2, . . ., /п) суть такие элементы из ^"х, что
(uj (х) р*) а = уу-G. Последовательное применение леммы 9.11
показывает, что JFxfa* изоморфна J^/p?, ,^"у2/р*, • • ., ^ут/рт
и отображение a;jpi;: ->- жгрт (i = 1» 2, . . ., w) порождает изомор-
изоморфизм р полугруппы J^x/p* на ^ут/р™.
Выберем такие элементы vt (у) из ^"у, что (xtp*) а= уг (у)хг
(i = 1, 2, . . ., re). Заметим, что {у,- (г/) о* | г = 1, 2, . . ., ге} яв-
является порождающим множеством для jFy/o', потому что а есть
отображение на #уЛх. Тогда (zf, уг (i/)) ? р^ (г ==.1, 2, . . ., п).
В самом деле, так как (yj, Uj (ж)) ? р™, то
(pi (У) Pm) Иа = (у, (») р!» Р"*а =
= {vt (и (ж)) р*) а =
= vi (у) а =
Р~'а.

158 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Отсюда в силу взаимной однозначности р"~1а имеем жгр„ =
= Щ (у) pS,, т. е. (xt, vt (у)) 6 pm-
Положим
ц = {(ак (х), bh (х)) | к = 1, 2, . . ., t) (J
U(te. У|(У» Ji = 1, 2, ...,»} U
и{(Ул uj(x)) |/ = 1, 2, ..., m},
так что ввиду доказанного имеем ц* = р„, положим, далее,
v = {(ak(v), bk(v)) | ft = 1, 2, . . ., *}(j
» = 1, 2, ...,»} U
|/ = 1, 2, . . ., m).
Применяя лемму 9.13, получаем, что v* = [i* (=pm)- Таким обра-
образом, гомоморфизм р, порожденный отображением xtp* -> vt (у) v*r
является изоморфизмом ^"^/р* на IFх\)г^* ¦
Теперь, применяя лемму 9.11, выбросим xt из X\]Y. После-
Последовательные применения этой леммы позволяют нам выбросить
каждое ж,-, одновременно исключая (xif vt (у)) из множества,
порождающего конгруэнцию. Этот процесс заканчивается нахо-
нахождением изоморфизма б полугруппы JFx{jy/v* h& JFV/t*', где
т= {(ak(v), bk(v)) I ft = 1, 2, .... t) U
U{(^. ^И I/ = 1, 2, .... m} .
и б порождается отображением vj (у) v* ->• v} (у) т*.
Рассмотрим теперь изоморфизм 6~*p~Iot полугруппы ^у/т*
на Jfyla. Он порождается отображением у; (г/) т* -> Уу (г/) <т
и поэтому совпадает с естественным вложением jFy/т* в J^r/o*.
Далее, tsit. В самом деле, yjO = (и, (ж) р*) а — uj (v) а, так
что (yj, uj (v)) е ст; ak (p) a = (аЙ (ж) р*) а = (ЬЙ (х) р*) а =
= bh(v) о, так что (аЛ (у), bh (v)) 6 с. Следовательно, т = ст.
Из леммы 9.12 вытекает теперь, что т* = ст.
Это завершает доказательство теоремы.
Упражнения к § 9.2
1. Подполугруппа конечно определенной полугруппы не обя-
обязательно является конечно определенной.
2. Пусть U — подполугруппа полугруппы S и J^y/cr* пред-
представляет U при помощи образующих и определяющих соотно-
соотношений. Тогда существуют множество X, содержащее У, и отно-
отношение р на j^jc, такие, что а = pfUJ^r X &y) и 3-x.Iv* есть
представление S при помощи образующих и определяющих соот-
соотношений.

§ 9.2. Конечно определенные полугруппы, 159
Кроме того, если S является конечно определенной полугруп-
полугруппой и #V/o"* конечно представляет U, то X и р могут быть выбра-
выбраны так, что ^xlp* представляет S конечно.
3. Пусть S и Т — такие полугруппы, что S (") Т = U, и ^т/а*
представляет U при помощи образующих и определяющих соот-
соотношений. Тогда существуют такие множества X и Z, что X [\Z —
— У, и отношения р на Jx и т на j^z, для которых
X jFy) = Tfll^V X
а полугруппы j^x^P* и &zlt* представляют соответственно S ж Т
при помощи образующих и определяющих соотношений.
§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные
полугруппы являются конечно определенными
Результаты, которые мы приводим в этом параграфе, принад-
принадлежат Редей [19631. Пусть F — свободная коммутативная полу-
полугруппа с п образующими и G — свободная абелева группа, порож-
порожденная полугруппой F. Сначала мы приведем характеризацию.
Редей (теорема 9.17) произвольной конгруэнции р на F в терми-
терминах некоторой ассоциированной подгруппы М из G и отображе-
отображения М в множество идеалов из F. Следуя Редей ([1963], § 33),
мы используем эту характеризацию для доказательства того,
что каждая конгруэнция на F конечно порождена. Дальнейшие
детали, включая явное описание различных типов конгруэнции
на F, читатель может найти в книге Редей [1963].
Свободную коммутативную полугруппу на множестве X =
= {#1, х2, • • •, #п} можно определить как множество всех слов
??• х%* . . . х%п, где at являются неотрицательными целыми числа-
числами, и произведение элементов а^1 х%2 . . . а%п и х\1х\ъ . . . x*p
в ней положить по определению равным xJ4+bl x^+b^ . . . х<^+ъП-
Эта полугруппа изоморфна множеству всех последовательностей
(%, а2, . . ., ап), где at — неотрицательные целые числа, с опе-
операцией сложения
(аь а2, . . ., ап) + FЬ Ъ2, ¦ • -, Ьп) =
= {ах + Ьи а2 + Ь2, . . ., ап + Ьп).
Точнее, указанная полугруппа есть свободная коммутативная
полугруппа с единицей (которой соответствует последовательность
(О, 0, . . ., 0)). Она изоморфна прямому произведению (§ 1.11)
бесконечных циклических полугрупп с присоединенными едини-
единицами. Она изоморфна также полугруппе #Vp*, где р = {(xtXj,
xjXi) I t, / = 1» 2, . . ., n), и это ее представление показывает,
что конечно порожденная свободная коммутативная полугруппа
является конечно определенной.

160 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
На протяжении этого параграфа через F мы будем обозначать
определенную выше свободную коммутативную полугруппу, со-
состоящую из всех конечных последовательностей длины п вида
{аь а2, . . ., а„), где аг являются неотрицательными целыми
числами. Полугруппа F содержится в свободной аддитивной абе-
левой группе с п образующими, состоящей из всех конечных
последовательностей целых чисел (ait а2, . . ., ап) длины п. На про-
протяжении данного параграфа эту группу будем обозначать через G.
Определим отношение -^ на F, полагая
(а±, а2, . . ., ап) ^ (Ьи Ь2, . . ., Ь„)
тогда и только тогда, когда а% ^ bt для каждого i = 1, 2, . . ., п.
Это отношение является частичным порядком на F. Более того,
относительно этого частичного порядка F является структурой.
Если а = (oj, а2, . . ., ап) и р1 =.(bi, b2, . . ., Ьп), то
а V Р = (ai V &ь «2 V Ь2, • • ., ап V U
и
а Л Р = («1 Л &i> «2 Л Й2, • • -, «п Л &п)
являются соответственно точной верхней и точной нижней
гранью множества {а, ($}, где аг V ^г равно max {at, bt}, a atf\bt
равно min {аг, fej}.
Этот частичный порядок на F естественным образом распро-
распространяется на G. Для этого полагаем а ;> р в G тогда и только
тогда, когда а — $ (: F. Тогда G является структурой относитель-
относительно частичного порядка ^-. Кроме того, если a^-^BGviy^G,
то а + у ^> Р + у. Таким образом, G есть структурно упоря-
упорядоченная абелева группа и F \ 0 — множество ее положительных
элементов. Характеризация Редей конгруэнции на F, к изложе-
изложению которой мы теперь приступаем (теорема 9.17), применима
к более общей ситуации, где в качестве G можно взять произволь-
произвольную структурно упорядоченную абелеву группу, а в качестве
F\0 — множество положительных элементов этой группы.
Будем использовать следующие обозначения. Для ц 6 G опре-
определим \i+ и \и~, полагая
ц+ = (х V 0,
^- = (-V) V 0.
Тогда fj, = jLt+ —ц~. Далее, в этих обозначениях для любых
ц, v 6 G мы имеем
ц V "V = (\i — v)+ + v = (ц — v)~ + [х,
ц Д V == Ц — (Ц — V)+ = V — (Ц — V)~.
Заметим также, что если \i, v ?G и п ? F, то
Ы + v) V (л + v) = п + ц V v,
(я + ц) Д (я + v) = п + ц Д v.

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы 161
Рассмотрим теперь произвольную конгруэнцию р на F. Поста-
Поставим ей в соответствие следующее подмножество Мр.
Мр = {а - р 6 G | (а, р) 6 р}. A)
Легко видеть, что Мр есть подгруппа из G. В самом деле, пусть
ц и v — произвольные элементы из Мр, \и — а — р", v = у — б,
где (а, р) 6 р и (у, б) ? р. Тогда ц — v = а + 8 —. ($+у) я
(а + б, р + 7) 6 9-> так как Р есть конгруэнция. Следовательно,
(j. — v ? Мр, откуда вытекает, что Мр является подгруппой.
Каждый элемент \i ? Мр определяет следующий идеал \ifp
из F:
ц/Р = {5 6 *" I (? + Ц+, l + ii~)e Р}. B)
По определению A) подгруппы Мр существуют такие а, р ? F,
что ц — а — р и (а, Р) ? р. Тогда а Д р б ц/р; в самом деле,
адр + (а_Р)+ = адр + (Х+=:а и адр + (а_р)- =
= аДР + Н' ==Р- Следовательно, множество \ifp непустое.
Кроме того, так как р является конгруэнцией, (§ + нЛ ? + Н-") ?
'6 р влечет за собой (т) + ? + \i+, Л + I + ц") € р Для любого
ц ? F. Таким образом, из включения \ 6 ц/р следует, что \ + Л 6
f pi/p для любого т] ? F. Это показывает, как и утверждалось.
что-''ц/р является идеалом в F.
F5 Лемма 9.15. Пусть р — конгруэнция на F, Мр — подгруппа,
определенная равенством A), / = /р — отображение подгруппы
Мр в множество идеалов из F, определенное равенством B). Тогда
f обладает следующими свойствами:
С (I) 0/ = F;
С (ii) [х/ = (—\i) f для любого \i 6 Мр,
С (Ш) ((i+ + Ш n(v+ + (v/)) E (ц V v) + (ц - v) / для лю-
любых \i, v 6 Afp.
Доказательство. Свойства С (i) и С (ii) непосред-
непосредственно вытекают из того факта, что р рефлексивно и симметрично.-
Для доказательства С (ш) рассмотрим элемент g ? (ц+ +
+ (f1/)) fl(v+ + (v/))- По определению идеала \if элемент 5 при-
принадлежит |х+ + ((j./) тогда и только тогда, когда (?, % — \i+ +
+ ц~) = (|, 5 — fi) принадлежит р. Аналогично, (?, 5 — v) 6 Р«
Положим т) = ^ — fi V v. Тогда
Т] + (|i - V)+ = I - |1 V V + (|i - V)+ = I - V
и
т] + ((j. — v)" = ? — fi V v + (fi — v)~ = 5 — F-
Теперь в силу транзитивности р из включений (?, % — \i) ? р
и (|, ^ — v) 6 Р вытекает, что (§ — v, ? — (х) ^ р. Следовательно,
(т) + (ц — v)+, т) + (ц — v)~) 6 Р. т. е. Г) g (ц — v) /. Отсюда
I 6 Ц V v + (\i — v) /, что и требовалось доказать.
' 11—100

162 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Пусть М — произвольная подгруппа изб и/ — отображение
подгруппы М в множество идеалов из F, которое обладает свой-
свойствами С (i) — С (ш) предыдущей леммы. Тогда пару (/, М)
будем называть конгруэнц-парой на F.
Любая конгруэнц-пара <fP = (/, М) определяет отношение
р (<fP) на F:
р И = {(а, р) 6 F X F | а - р 6 М и а Д Р € (а - Р) /}• C)
Лемма 9.16. Если & = (/, М) — конгруэнц-пара, то отно-
отношение р == р (<fP), определенное равенством C), является конгру-
конгруэнцией на F.
Доказательство. Если а ? F, то аДа = а?(а —
— а) / = 0/, так как 0/ = F ввиду С (i). Таким образом, р рефлек-
рефлексивно. Аналогично, свойство С (ii) обеспечивает симметричность р.
Предположим, что (а, Р) 6 Р и | 6 ^- Тогда (а + ?) Д (р' + |) =
= g + а Д р, и поэтому в силу того, что (а — р) / является
идеалом в F, имеем 5 + ос Д Р ? (а — Р) /. Следовательно,
(а + ?, Р + 5) 6 Р- Таким образом, отношение р стабильно.
Осталось доказать транзитивность отношения р. Пусть (а, р),
(Р' У) 6 Р- Тогда а — РбМ'ир — у ? М влечет за собой а — у ?
ЕМ, а из аДР?(а — р)/и Р Д Y 6 (Р — Y) / вытекает, что
р_(р_а)+е(«-р)/= (р-а)/
Р - (Р - Y) + 6 (Р - Y) /•
Следовательно,
Р € ((Р - «)+ + (Р - а) /) П((Р - Т)+ + (Р - Y) /)•
Отсюда, применяя С (ш), мы получаем, что
Р е (Р - «) V (Р - Т) + (« - Y) /.
Р € Р + (- а) V (- V) + (« - Y) /•
Таким образом,
О 6 (-«) V (-Y) + (« - Т) /
и, так как (—а) V (—y) = —(а Л Y)> мы заключаем, что а Д y 6
6 (а — y) /• Следовательно, р транзитивно. Этим доказательство
леммы полностью завершено.
Мы доказали, что каждая конгруэнция р на F определяет
конгруэнц-пару (/р, Мр) = 3* (р) и, обратно, каждая конгруэнц-
пара iP = (/, М) определяет конгруэнцию р (<^) на F. В дей-
действительности это соответствие между конгруэнциями и конгру-
энц-парами является взаимно однозначным. Следующая теорема
есть «Основная теорема» Редей ([1963], стр. 20). Редей называет
/р «ядерной функцией», ассоциированной с р.

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы 163
Теорема 9.17. Отображение р->-(/р, Мр) = & (р), .опреде-
.определенное равенствами A) и B), является взаимно однозначным ото-
отображением множества всех конгруэнции на F на множество всех
конгруэнц-пар, ассоциированных с F. Обратным к этому отобра-
отображению является отображение (/, М) = в* ->- р (<fP), определенное
равенством C).
Доказательство. Пусть р — конгруэнция на F. Поло-
Положим аР = (/р, Мр). Будем доказывать, что р (<fP) = р. Так как
каждое из включений (а, Р) 6 р и (°&> Р) 6 Р {&) в отдельности
влечет за собой (а — р) ? Мр, достаточно "доказать, что для
(а — Р) 6 Мр имеет место (а, Р) 6 Р тогда и только тогда, когда
а Д р ? (а — р) /р, т. е. тогда и только тогда, когда (а Д р +
+ (а — Р)+, а Д р + (а — Р)~) 6 р. Но это выполняется, так
как а Д р + (а — Р)+ = а и а Д р + (а — р)~ = р.
Обратно, пусть аР = (/, М) — произвольная конгруэнц-пара,
ассоциированная с F. Положим р = р {ИР). Будем доказывать,
что /р = / и Мр = М. Сначала пусть ц 6 Мр. Тогда в силу A)
имеем ц = а — р для некоторых таких а, р, что (а, р) ? р. Но
в силу C) из (а, Р) 6 Р вытекает, что а — Р G М. Таким образом,
Мр ? М. Обратно, пусть ц 6 М. Выберем | 6 ц/- Тогда 1 =
= г + о = г + (ц+ д ц-) = (г + v+) д A + и е ц/ и 1 +
+ |л+ — (| + |л~) = ц. Следовательно, в силу C) имеем (| + |л+>
? + Ц") 6 Р. откуда в силу A) вытекает, что ц 6 Мр. Таким
образом, М s Мр, т. е. М = Afp.
Если ц 6 Af, то | 6 |л/Р тогда и только тогда, когда C; + ц+,
I + Ц~) 6 Р, т. е. когда
| = I + 0 = | + (fx+ Д (х-) = A + Ц+) Д (| + Ц-) 6 Ц/.
Таким образом, / = /р. Это завершает доказательство теоремы.
Оставшаяся часть данного параграфа посвящена доказательст-
доказательству теоремы Редей о том, что каждая конгруэнция на F конечно
порождена. Следующая теорема, на которую опирается это дока-
доказательство, как указывает Редей, принадлежит Диксону [1913].
_В книге Редей ([1963], стр. 52) она приводится в такой формули-
формулировке: произвольное подмножество из F, любые два элемента
которого несравнимы, конечно. Это утверждение было доказано
,также Бурном [19491 для несколько более общего случая (когда
^полугруппа порождена группой и п коммутирующими перемен-
|ными) в следующей форме, аналогичной теореме Гильберта
fo базисах для полиномиальных колец: каждый идеал из F имеет
{конечный базис (следствие 9.20 ниже).
| Пусть А — подмножество из F. Тогда говорят, что а —мини-
—минимальный элемент в А, если а 6 А и для Р 6 F из Р ^ а следует
= а или р (jj A.

164 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Теорема 9.18. Пусть А — подмножество из F. Тогда множе-
множество N всех минимальных элементов из А конечно. Кроме того,
велика ? А, то существует такое v ? N, что v <; а.
Доказательство. Проведем индукцию по числу п
образующих полугруппы F. Утверждение теоремы очевидно для
п = 1. Предположим, что это утверждение выполняется для
свободной коммутативной полугруппы сп — 1 образующими.
Рассмотрим множество целых чисел, которые встречаются в каче-
качестве j-ж компоненты в элементах из А, и пусть lj есть наименьшее
из чисел в этом множестве. Обозначим через Aj множество всех
элементов из А, у которых ]'-я компонента равна lj. По предполо-
жению^индукции множество Mj всех минимальных элементов
из Aj конечно. Положим М = Мi [}М2 \] . . . \]Мп. Пусть mj —¦
наибольшая ;-я компонента элементов (конечного) множества М.
Положим ц = (/»i, т2, . . ., тп). Тогда, очевидно, каждый эле-
элемент из М меньше или равен \i.
. Обозначим через Nj множество всех минимальных элементов
из А с j-ш компонентой pj, удовлетворяющей соотношению lj -^
•^ Pi <C mi- По предположению индукции каждое множество Nj
конечно. Положим N = Ni [)N2 [)¦ . . [}Nn- Тогда N является
конечным множеством. Далее, N есть множество всех минималь-
минимальных элементов из А.
В самом деле, пусть у = (с4, с2, . . ., сп) — произвольный
минимальный элемент из А. Если у § N, то у § Nj для всех j =
= 1, 2, . . ., п и поэтому в силу определения Nj и lj имеем
Cj > rrij. Таким образом, y > f* и> следовательно, каждый эле-
элемент из М меньше у, что противоречит минимальности элемента
у в А.
Последнее утверждение теоремы следует из того, что каждая
строго убывающая цепь• элементов из А конечна.
Множество всех минимальных элементов подмножества А
из F будем называть базисом множества А.
Следствие 9.19. Пусть М — подгруппа группы G и S = М ("|
f)(.F\O) содержит хотя бы один ненулевой элемент. Тогда S
является конечно порожденной подполугруппой из F; напри-
например, базис множества S является конечным порождающим мно-
множеством полугруппы S.
Доказательство. Пусть В — базис множества S и а ?
6 S. Тогда существует такое р 6 В, что а !> р. Следовательно,
а — р >¦ 0 и поэтому а — Р 6 F- Кроме того, а, р 6 М и потому
а — Р 6 М. Таким образом, либо а .= р, либо а —
— Р 6 М f\(F\O) = S. Следовательно, если а Ф р, то существует
такое Р' 6 В, что а — Р !> Р'. Отсюда, как и выше, либо
а — р — Р' ^ S, либо а = Р + Р'. Этот процесс должен закон-

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы 165
читься на некотором шаге, и мы получим а = р + Р' + • • •
. . . + P<h>; этим установлено, что В порождает S.
Следствие 9.20. Пусть А — идеал из F и В — его базис. Тогда
идеал из F, порожденный множеством В, равен А. Кроме того,
любое порождающее множество идеала А должно содержать В.
Таким образом, произвольный идеал из F содержит единствен-
единственное минимальное конечное порождающее множество.
Доказательство. Пусть а ? А. Тогда существует такое
Р 6 В, что а >- р. Так как, а — р >¦ 0, элемент т] = а — р при-
принадлежит F. Следовательно, так как а = т) + р, элемент а при-
принадлежит идеалу из F, порожденному множеством В.
Пусть С — произвольное порождающее множество идеала А.
Тогда каждый элемент из А можно записать в виде т) + у, где
т| ? F, a y есть (непустая) сумма элементов из С. В частности,
если р ? В, то р равен такой сумме: р = т] + у. Отсюда следует,
что р больше любого отличного от него элемента из С, участвую-
участвующего в сумме у. Так как р является минимальным элементом
в А, то р 6 С. Это завершает доказательство следствия.
Говорят, что два элемента а = (а±, а2, . . ., ап) и р = (bi, Ъ2, •..
. . ., Ъп) из G совместимы, если для любого i = 1, 2, . . ., п нера-
неравенства flj ^- 0 и 6г ^. 0 равносильны. Множество попарно совме-
совместимых элементов из G будем называть совместимым множеством.
Лемма 9.21. Пусть {а^ |/= 1,2, ...,&} — совместимое мно-
множество элементов из G и ц = 2 {cJaj |7 = 1»2, ...,&}, где каж-
каждое с,>0. Тогда
|i+=2fo«? |/ = 1, 2, .... к},
|i-= 2fo«i I 7 = 1» 2, ..., к}.
Доказательство. Утверждение леммы следует из того,
что для любого ц ? G элемент ц+ получается из ц уничтожением
его отрицательных компонент и что ц~ = (—ц)+.
Обозначим через Ф подгруппу группы автоморфизмов груп-
группы G, состоящую из всех таких <р, которые лишь меняют знаки
некоторых компонент каждого элемента из G. Пусть а —
— (аи а2, . . ., ап). Тогда
«ф = ((—1)Ф! аи (-1)ч>2а2 (-1)<Ъвп),
где (фь ф2, . . ., ф„) есть последовательность нулей 0 и единиц 1,
определяемая q>. Группа Ф содержит 2П элементов. Для каждого
Ф 6 Ф автоморфизм фа является тождественным преобразованием
группы G.
Лемма 9.22. Пусть М — подгруппа группы G. Тогда суще-
существует такое конечное подмножество С из М, что каждый эле-

166 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы, и свободные произведения
мент из М можно представить в виде суммы неотрицательных
кратных элементов некоторого совместимого подмножества из. С.
Доказательство. Пусть ф ? Ф. Обозначим через
подгруппу Мч> — {а.ч> \ а 6 М) изв. Тогда множество Mf [\(F\0),
если оно не пуст,о, обладает конечным базисом (теорема 9.18).
Обозначим этот конечный базис через М^. Если М® [\{F\0) = 0,
ТО ПОЛОЖИМ Мф = 0.
Будем писать М§ = {а* | а 6 М^}. Тогда М§ является совме-
совместимым подмножеством из G, потому что каждый элемент из Л#ф
принадлежит F. Положим С = U{M^ | ф ? Ф}. Тогда С конеч-
конечно, так как конечно каждое М% и конечно Ф., Очевидно, С s M.
Рассмотрим теперь произвольный элемент ц Ф 0 из М. Оче-
Очевидно, существует такое ф 6 Ф, что jx* ? F\0. Тогда для этого
Ф выполняется {х<р ? М® [}(F\0). Применяя следствие 9.19, полу-
получаем, что [А* есть сумма неотрицательных кратных элементов
из М,,,,
цф = 2 {аса 11 = 1, 2, . . ., /с},
где а^ 6 Afф и с; >- О (г = 1, 2, . . ., Л;). Таким образом, в силу
того что (ц*)* = |д., имеем
|* = S (с^ М = 1, 2, . . ., Л},
где а* ? Мф sC (j = 1, 2, . . ., к). Это завершает доказатель-
доказательство леммы.
Замечание. В качестве непосредственного следствия леммы 9.22
получаем, что каждая подгруппа конечно порожденной свобод-
свободной абелевой группы конечно порождена; отсюда вытекает, что
каждая подгруппа конечно порожденной абелевой группы конеч-
конечно порождена.
Лемма 9.23. Пусть р — конгруэнция на F, gP = $> (р) =
= (/, М) и {\Kj | / = 1, 2, . . ., к} — совместимое подмножество
из М. Тогда если Cj^-О (/ = 1, 2, . . ., к), то
П W I / = 1» 2, . . ., к} ? (сф1 + с2ц2 + . . . + СйЦй) /.
Доказательство. Докажем это утверждение для к =
= 1. Мы должны установить, что \if s (тц) f для любого \i и для
любого неотрицательного целого числа т. Проведем индукцию
по т. Требуемое включение, очевидно, имеет место для т = О,
так как 0/ = F. Предположим, что оно имеет место для т — 1.
Пусть I ? [х/, т. е. A + ц'*, % + ц~) 6 р. По предположению
индукции ie((m — 1) ц) /, т. е. A + ({т — 1) ц)\ | + ((т —
- 1) (г)") 6 Р- Но ((/п - 1) ц)+ = (ш - 1) ,х+ и ((и - 1) ц)- =
= (т — 1) ц,-. Таким образом, (| + (т — 1) ц+, ^ + (т — 1) |д,~N
6 р. Используя стабильность отношения р, мы получаем, что

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы 167
<(Е + (те - 1) jx+) + ц+, (I + (т - 1) ц~) + ц+) 6 р, т. е. (Е +
+ (mfx)+, | + (то — 1) ц- + ц+) 6 Р и снова (A + ц+) + (то —
- 1) jx-, (Е + jx-) + (т - 1) jx-) 6 Р, т. е. (Е + (т - 1) ц- + |л+,
Е + (t^ja) ) 6 Р- Таким образом, используя транзитивность, при-
приходим к включению (Е + (m\i,y, Е + (^М-)") 6 Р> т- е- S 6 (^М-) /•
Итак, ц/ s ((та — 1) ц) / влечет за собой ц/ s (та[х) /. Следова-
Следовательно, это включение выполняется для всех неотрицательных
целых чисел т.
Пусть теперь \л, v — два совместимых элемента. Тогда (Е + |я+,
Е + Ц") 6 Р влечет за собой (Е + \х+ + v+, Е + И-" + v+) 6 Р
и (Е + v+, Е + "V") 6 Р влечет за собой (Е + v+ + ц~, 1 + ц~ +
+ v") 6 р. Следовательно, из включения Ебц/П^/ вытекает,
что (Е + \i+ + v+, Е + Ц~ + v~) 6 р, т. е. в силу совместимости
jj, и v, используя лемму 9.21, получаем, что (? + (\х + v)+r E +
+ (М- + v)~) 6 Р- Таким образом, ц/ f|v/ S (ц + v) /.
Теперь мы можем провести индукцию по к. Утверждение лем-
леммы уже доказано для А; = 1. Предположим, что оно выполняется
для любого совместимого множества из /с — 1 элементов. Поло-
Положим ц = сф! + c2jx2 + . . . + cA_ifxA_! и v = сй|хА. Тогда ц
и v совместимы и поэтому на основании только что доказанного
fx/ П vf S (|Л + v) /. По нашему индуктивному предположению
относительно /с имеем
/ = 1, 2, . . ., /c-l}SFx/.
Случай к = 1 дает Цд/ s v/. Следовательно,
П W I J = 1, 2, . . ., к} = jx/nv/ S (ц + v) /,
что и требовалось доказать.
Пусть р — конгруэнция на F и &• (р) = &• = (/р, Л/р) =
= (/, М) — ассоциированная с ней конгруэнц-пара. Тогда серд-
сердцевина ') к (р) (или к (&)) конгруэнции р (или пары 3>) опре-
определяется следующим образом:
к (р) = к @*) = п Ы I Ц 6
Сердцевина конгруэнции р, если она не пуста, является идеалом
полугруппы F. Приступим к доказательству того, что /с (р) ф 0
для любой конгруэнции р на F.
Теорема 9.24. Сердцевина к (р) конгруэнции р на F не пуста.
Доказательство. Пусть <fP = $> (р) = (/, Л/) и ц g
€ М. По лемме 9.22 М содержит такое конечное подмножество С,
не зависящее от ц, что
Ц = 2{<^ 17 = 1, 2, .... ft},
х) В оригинале—core.— Прим. перее.

168 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
где Cj — неотрицательные целые числа и {\ij | / = 1, 2, . . ., к} —
совместимое подмножество из С. В силу леммы 9.23
/ = 1, 2, ...,*}?= tf.
Следовательно, для любого ц ? М
П W I v 6 С} ?= ц/.
Тогда
n{v/|v6C} = n{n/ln6M}=&(p).
Так как С конечно, к (р) совпадает с пересечением конечного
множества идеалов. Таким образом, к (р) не пусто.
Пусть А .— произвольный идеал из F и В = {Pi, р2, • • •> Ра} —
его базис. Определим следующим образом норму || А || идеала А:
II^H = S{|IPilM = i. 2, •-., к},
где норма || а ]| элемента а = (а1( а2, . • ., а„) из F определяется
равенством
II а || = «1 + «2 + • • • + ап.
(Мы предпочитаем термин «норма» термину «высота», который
употреблял Редей.)
Сердцевина конгруэнции р на F является идеалом в F. Опре-
Определим норму || р || (или |j еТ5 ||) конгруэнции р (или конгруэнц-
пары сР = ИР (р)), полагая
II Р II = II 041 = II* (Р) II-
Пусть М — подгруппа из G. Тогда М определяет следующую
конгруэнцию рм на F:
Рм = {(«, Р) в F X F | а - р 6 М}.
Конгруэнция рм есть ограничение на F конгруэнции на G, опре-
определяемой нормальным делителем М.
Доказательство того, что конгруэнция на F является конечно
порожденной, будет проводиться при помощи двойной индукции
по ее норме и числу образующих полугруппы F. Начнем со слу-
случая нулевой нормы; такие конгруэнции описаны в следующей
лемме.
Лемма 9.25. Пусть р — конгруэнция на F. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(i) р = рм для некоторой подгруппы М из G.
(п) II Р II = 0.
(Ш) k (p) = F.
При этом .подгруппа М, фигурирующая в условии (i), совпадает
сМр.

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы, 169
Доказательство. Очевидно, к (р) = F тогда и только
тогда, когда || р || = 0. Таким образом, (ii) и (iii) эквивалентны.
Пусть р = рм. Тогда Мр = {а — р | (а, Р) ? р}, откуда
в силу определения рм непосредственно получаем Мр = М. Пусть
ц 6 М. Тогда |л/р = {1 е *" I A + Ц+, 5 + И-") € р}- Так как
1 -^ ц+ — (I + Ц~) — Ц 6 М, имеем ц/р = F. Следовательно,
к (р) = F и || р || = 0, т. е. из (i) вытекают свойства (ii), (iii)
и М = Мр.
Предположим, что выполняется условие (iii). Пусть гТ5 =
= 3* (р) = (/р, Мр) = (/, М). Если (а, Р) 6 Р. то по определе-
определению М имеем а — р ? М. Обратно, предположим, что а — р =
= I* 6 Л/. Так как к (р) = /\ отсюда вытекает, что |д./ = .F. Следо-
Следовательно, в частности, а Д р ? (л/, т. е. (а Д р + (о — Р)+,
а Д р + (а — Р)~) ? р, откуда (а, Р) 6 р. Таким образом, (iii)
влечет за собой (i). Это завершает доказательство леммы.
Тот факт, что конгруэнция нулевой нормы конечно порожде-
порождена, как мы теперь покажем, следует непосредственно из леммы 9.22.
Лемма 9.26. Пусть р — конгруэнция на F и 11 р 11 = 0. Тогда
р конечно порождена.
Доказательство. В силу предыдущей леммы р = рмг
где М = Мр. На основании леммы 9.22 М обладает таким конеч-
конечным подмножеством С, что каждый элемент из М можно пред-
представить в виде суммы неотрицательных кратных элементов неко-
некоторого совместимого подмножества из С. Таким образом, если
|д. 6 М, то
|i = 2 {Wi M = 1, 2, . . ., ft},
где си сг, . . ., ck — неотрицательные целые числа, a {v,- | i =
= 1, 2, . . ., ft} — совместимое подмножество из С. Тогда по лем-
лемме 9.21 имеем
v+ = 2 tev^ I« = i, 2, ..., ft},
ц- = g {ctvl I i = 1, 2, . . ., fc}.
Так как p = рм и каждое v, принадлежит М, имеем (vt , vf) 6 Р-
Из предыдущих выражений для \i+ и ц" вытекает, что ц~ можно-
получить из ц+ при помощи последовательности элементарных
р-переходов, причем каждый р-переход заменяет вхождение v,+
на \i.
Положим
а = {(v+, V) | v 6 С}.
Тогда а конечно, а^римм установили, что (ц+, \i~) 6 о-* для
любого \х 6 М. Пусть теперь (а, Р) — произвольный элемент
из р, т. ё. а — р ? М. Положим а — Р = ц. Тогда а = а Д р +
+ ц+ и р = а Д р + ц-. Так как (\i+, ц-) 6 ст*, очевидно также,.

170 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
что (а Д р + Ц+> а Л Р + Iх~) 6 ст*' т- е- (а> Р) 6 а*' Таким
образом, мы доказали, что р s а*, откуда р = а*. Следовательно,
р конечно порождена и доказательство леммы завершено.
Для того чтобы начать проведение индукции, мы должны
рассмотреть случай п = 1, т. е. случай, когда F является комму-
коммутативной свободной полугруппой с одним образующим. Здесь
непосредственно-проверяется, что каждая конгруэнция конечно
порождена; существует даже одноэлементное подмножество в каж-
каждой конгруэнции, порождающее ее. Детали см. в упражнении 5
к данному параграфу.
В качестве одного из шагов нашего доказательства мы пока-
покажем, как, исходя из некоторой конгруэнции на F, можно кон-
конструировать другие конгруэнции меньшей нормы.
|Лемма 9.27. Пусть р— такая конгруэнция на F, что неко-
некоторый элемент из базиса сердцевины к (р) имеет ненулевую первую
компоненту. Обозначим через Я, элемент A, 0, 0, . . ., 0) из F.
Определим отношение р1? полагая
Pi = {(а, Р) 6 F X F | (а + I, р1 + Я) 6 р}.
Тогда pt является конгруэнцией на F и || pi || < || р || •
Доказательство. Очевидно, р4 наследует свойства
рефлексивности, симметричности, транзитивности и стабильности
от р. Таким образом, pi есть конгруэнция на F. Далее, отметим,
что, очевидно, Мр — Мр , и обозначим это множество через М.
Покажем прежде всего, что к (р) ? к (pi) и к (pi) + Я s к (р).
В самом деле, если р ? к (р), т. е. (р -\- jx+, Р + jx") ? p для всех
ц 6 М, то (р + Я + ц+, р + X + ц-) 6 Р, т. е. (Р + ц+, р + Ц-) 6
<Е Pi для всех |д, ? М, откуда р 6 к (р4). Следовательно, ft (p) s
? /с (pi); второе утверждение доказывается аналогично. Будем
использовать в дальнейшем эти два соотношения без особых
ссылок.
Пусть Pi, рг» • • ч Рй — базис сердцевины к (р). Предположим,
что Pi, . . ., Рг — элементы базиса, имеющие положительную
первую компоненту. По предположению t ^> 1. Положим yj =
= р^ — Я, для / -^ t. Тогда yj (/ = 1, 2, . . ., t) являются раз-
различными элементами базиса сердцевины к (pi). В самом деле,
во-первых, 7; являются элементами из F. Далее, yj ? к (р4).
Действительно, (р,- + ц+, $j +-Ц") 6 р, т. е. (^ + Я + ц+, у7- +
+ Я, + ц") 6 Р, откуда (y> + (г+, Y> + Ц") 6 Pi для всех ц ? Af.
Предположим, что а 6 к (pi) и а ^ у}. Тогда а + Я, <^ у3 + Я =
= p\f. Но а + Я ? /с (р), следовательно, а + Я = ру-, так как
РУ- является элементом базиса сердцевины к (р). Отсюда а = 7/>
т. е. мы установили, что yj есть элемент базиса сердцевины к (pi).

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы 171
Рассмотрим теперь произвольный элемент у из базиса сердце-
сердцевины к (р4). Тогда у + X ? к (р) и поэтому существует такой эле-
элемент рг из базиса сердцевины к (р), что Eг ^ у + %. Если ? ^ t,
то Yi = Pi — ^ ^ Т' откуда yt = у> так как yt есть элемент из
к (pi). Если s > Z, то первая компонента элемента рг равна О
и поэтому Pi ^ Y- Но Р, 6 & (pi)> следовательно, Eг = у, так как
7 является минимальным элементом в к (pt).
Таким образом, мы доказали, что базис сердцевины А; (р4) рас-
распадается на дв?Г подмножества. Одно подмножество состоит из
7; (j = 1, 2, . . ., t), которым соответствуют элементы р;- =
= У} + ^ базиса сердцевины А; (р). Это подмножество не пусто
и II У] II < II Pj II Для каждого /. Другое подмножество, возможно
пустое, состоит из элементов базиса сердцевины к (pi), которые
являются также элементами базиса сердцевины к (р). Теперь
непосредственно получаем || р4 || < || р ||- Это завершает доказа-
доказательство леммы.
Теперь можно закончить доказательство теоремы Редей. Как
мы установили, конгруэнция р на F конечно порождена, если
]| р || = 0 (лемма 9.26) или п — число образующих полугруппы
F — равно 1 (замечание, следующее за леммой 9.26). Предполо-
Предположим, что ге >1, || р || = s >0 и утверждение справедливо для
конгруэнции на F с меньшей нормой и для произвольных кон-
конгруэнции на свободной коммутативной полугруппе с менее чем
п образующими.
Так как || р || = s >0, существует ненулевой элемент в базисе
сердцевины к (р). Без ограничения общности можно предположить,
что в базисе сердцевины к (р) содержится элемент с ненулевой
компонентой. Тогда конструкция леммы 9.27 дает конгруэнцию
р4 на F, для которой || р4 || <; s. По предположению индукции
р4 конечно порождена. Пусть а4 — конечное порождающее множе-
множество конгруэнции р4. Положим
а = {(а + К Р + ^) I (ос, Р) 6 o-J.
По определению конгруэнции р4 имеем asp.
Обозначим через Hn-i множество элементов из F с нулевой
первой компонентой. ТогдаHn_i есть подполугруппа, изоморфная
свободной коммутативной полугруппе с п — 1 образующими.
Очевидно, рП(-^п-1 X Hn-i) является конгруэнцией на Hn-i.
По предположению индукции р f] (Hn^ X Hn-i) порождается
конечным подмножеством т.
Рассмотрим теперь множество, возможно пустое, всех (а, Р) 6 Р>
для которых й ^ Я„.( и р § Hn-i. Обозначим это множество
через W. Положим
А — {а | (а, Р) 6 W для некоторого р1}.

172 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
По теореме 9.18 множество всех минимальных элементов в А
конечно. Пусть а1т а2, . . ., а^ — минимальные элементы в А.
Выберем такие рь р2, • • •> Ра» что (ati Pi) 6 W (J = 1, 2, . . .
..., к), и положим
я = {(а„ рг) | i = 1, 2, . . ., ft}.
Приступим теперь к доказательству того, что (я [} т (J а)* = р.
Пусть (а, Р) 6 р- Если а = р, то (а, Р) 6 (я11 г (Jo-)*. Для
остальных пар (а, Р) либо (а) элементы аир имеют положитель-
положительную первую компоненту, т. е. а $ #n_i и р $ ffn_i, либо (Ь) (а, Р) 6
6 #п-1 'X -#n-i> либо (с) (а, Р) или (р, а) принадлежит W. Рас-
Рассмотрим каждый случай отдельно.
(a) Здесь а — Я, и р — к принадлежат F и поэтому (а — X,
Р — X) 6 pi- Следовательно, р — X можно получить из а — X
конечной последовательностью элементарных CTi-переходов. Добав-
Добавляя всюду X, мы выводим, что р можно получить из а конечной
последовательностью элементарных ст-переходов. Таким образом,
(а, Р) 6 о* и, тем более, (а, Р) ?(n\Jx\Jo)*.
(b) Здесь (а, Р) 6 р Л(#п-1 X Hn-i). Следовательно, (а, Р) 6
6 т*, откуда (a, PKfaUxLJff)*.
(c) Достаточно рассмотреть случай, когда (а, Р) 6 W. Пусть
aj — такой минимальный элемент из А, что аг ^ а. Тогда
а - а( 6 f- Добавляя а — af к обоим элементам пары (аг, рг),
мы получаем, что (а, а — а* + Pi) 6 я*, так как (aj, Pj) 6 я.
Так как я* ? р и (а, Р) 6 р, мы заключаем, что (а — а% + Pj, P) 6
6 р. В силу того что Pi, P ^ #n_i, на основании случая (а)
имеем (а — аг + Pi» Р) 6 <т*. Следовательно, (а, Р) 6 (я (J ст)* s
Е(яитиа)*.
Заметим, наконец, что если р есть конгруэнция на полугруп-
полугруппе S, то р1 = р (J {A, 1)} является конгруэнцией на S1 и р конечно
порождена тогда и только тогда, когда р1 конечно порождена.
Итак, мы доказали теорему Редей ([1963], стр. 124).
Теорема 9.28. Конечно порожденная коммутативная полугруп-
полугруппа является конечно определенной полугруппой.
* Краткий и элегантный вывод теоремы 9.28 из теоремы Гиль-
Гильберта о базисах, примененной к целочисленным полугрупповым
кольцам, см. в работе Фрейда [1968]. *
Упражнения к § 9.3
1. Пусть р — конгруэнция на полугруппе S. Тогда р является
подполугруппой прямого произведения S X S. Предположим,
что р конечно порождается как подполугруппа своим конечным
подмножеством ст. Тогда а* = р.

§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы 173
Обратное не выполняется. В качестве примера можно взять
бесконечную полугруппу S с нулевым умножением. Отношение
равенства is на S является тогда конечно порожденной конгруэн-
конгруэнцией на S, но is не является конечно порожденной подполугруп-
подполугруппой из S х S.
2. Пусть F — свободная коммутативная полугруппа с едини-
единицей и п образующими, состоящая из всех упорядоченных п-к
(at, а2, . . ., ап) неотрицательных целых чисел, и S — ее под-
подполугруппа, состоящая из всех упорядоченных п-к положитель-
положительных целых чисел. Тогда при п > 1 полугруппа S не конечно
порождена: любое порождающее множество полугруппы должно
содержать все и-ки (aiy а2, . . ., ап), для которых at = 1 хотя бы
для одного i = 1, 2, . . ., п.
3. Пусть F — свободная коммутативная полугруппа с едини-
единицей и одним образующим, так что F можно считать аддитивной
полугруппой неотрицательных чисел. Тогда любая подполугруппа
лз F конечно порождена. (Редей [1963], стр. 137.)
4. Пусть S — такая полугруппа, что каждая подполугруппа
жз S х S конечно порождена. Тогда каждая конгруэнция на S
конечно порождена.
5. Пусть F — аддитивная полугруппа неотрицательных целых
чисел и р — конгруэнция на ней. Тогда либо р есть отношение
равенства на F, либо существуют такие целые числа г^-Оит > О,
что (г, г + т) ?р. Выберем г и т так, чтобы г-\-т принимало
здесь наименьшее возможное значение. Тогда {(г, г + т)}* — р.
6. Пусть F — аддитивная полугруппа неотрицательных целых
чисел и р — конгруэнция на ней, не являющаяся отношением равен-
равенства. Выберем г и т, как в упражнении 5, так что {(г, r-f-m)}* = p.
Если р — отношение равенства, то мы можем включить эту кон-
конгруэнцию в нашу схему, полагая г = оо, т = 0, где со присоеди-
присоединяется к^в качестве нуля и где мы считаем т <; оо для любого
т 6 F. Тогда мы формально пишем iF — {(со, оо + 0) }*.
В этих обозначениях пусть р = {(г, г + т)}* и а — {(s,
s + и)}* — две произвольные конгруэнции на F. Тогда psu
в том и только в том случае, когда (i) r ^ s и (ii) n \ m (т. е.
п делит т). Таким образом, структура конгруэнции на F изоморф-
изоморфна структуре, двойственной прямому произведению структур L
и М, где L обозначает F0 с естественным порядком и М обозна-
обозначает структуру F неотрицательных целых чисел относительно
обычного отношения деления. Структуры L и М дистрибутивны.
Отсюда следует, что структура L X М конгруэнции на F также
дистрибутивна.
7. Пусть F — аддитивная полугруппа неотрицательных целых
чисел и р — конгруэнция на ней, отличная от iF. В обозначениях
упражнения 3~ р = {(г, г + т)}* для некоторых целых чисел
г >> 0 и т >0. Тогда Мр — (циклическая) подгруппа из G,

174 Гл. 6. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
порожденная т, и если |д, 6 Мр \ 0, то \ifp есть идеал из F,
порожденный числом г. Таким образом, в частности, условие
<ф/р — F Для всех М* 6 Мр1> эквивалентно каждому из условий:
(i) г = 0, (ii) F/p — группа, (iii) p = рМр.
8. Пусть А = |л+ + {а/, В = v+ + v/ и С = ц V v + (ц—v) /,
где |л, v 6 М, и (/, М) есть конгруэнц-пара на F. Тогда
А[\В = В[\С = С{]А.
(Указание: применить свойство С (iii) отображения / из лем-
леммы 9.15 к паре (—v, jx — v) и добавить v к обеим сторонам.)
(Редей [1963], стр. 30.)
9. Пусть р — конгруэнция на F ж М = Мр = {а — р | (ее, РN
6 р}. Тогда F/p есть полугруппа с сокращениями в том и только
в том случае, когда р = рм (в обозначениях леммы 9.25).
(Редей [1963], стр. 121.)
10. Пусть р — конгруэнция на F и (/, М) — ассоциирован-
ассоциированная с ней конгруэнц-пара. Тогда сердцевина к (р) = П Ш I M*6^O
конгруэнции р состоит из всех элементов | ? F, обладающих
следующим свойством: если аир — такие элементы из F, что
а > I, р > I и а - р 6 М, то (а, р) 6 Р- (Редей [1963], стр. 98.)
§ 9.4. Вложение полу групповых амальгам; свободные
произведения с амальгамами
Все результаты, приведенные в этом параграфе, за исключе-
исключением примера Кимуры [1957], принадлежат Хауи ([1962],
[1963а, Ь, с], [1964а, Ь]). Мы упростили первоначальное изложе-
изложение Хауи, введя понятие так называемого «собственного слова».
Пусть {Si | i ? /} — семейство полугрупп, индексированных
некоторым множеством /, и U — некоторая полутруппа. Пред-
Предположим, что каждая полугруппа St содержит подполугруппу,
изоморфную U. Таким образом, для каждого i 6 / существует-
изоморфизм фг: U-+Sl полугруппы U в 5г. Такую систему
полугрупп и изоморфизмов будем обозначать через [{St | i ? /};
U; {фг | i 6^}1, а также будем использовать одно из следующих
более кратких обозначений: [{«?Л; U; {фг}1, [St; U; ф,], [{«!?*}; U]
или [St; U]. Систему [St; U; ф{] будем называть полугрупповой
амальгамой.
Полугрупповая амальгама [St; U; фг] определяет следующий
частичный группоид & — & [St; U; ф*].
Во-первых, для каждого i ? / положим Ut = Uq>t и
Определим операцию * в S'i таким образом, чтобы отображение;

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 17S
заданное условием
Г а, если a?Si\Ut,
1аф если а??/,
являлось изоморфизмом полугруппы S'i на St. Это условие одно-
однозначно определяет операцию *. Во-вторых, предположим, и это-
весьма важно, что SI f\S'j= U для i Ф j. Ограничение на U опера-
операции *, определенной в S\, совпадает с операцией в полутруппе U.
Таким образом, U = (U, *) является подполугруппой из (S'b *)
для всех i 6 I- Определим теперь 3. Как множество частичный
группоид 3 равен
U {Si | i 6 /}.
Операция в & совпадает с операцией * всюду, где последняя:
определена. На протяжении этого параграфа символы S'i и %г
будут всегда иметь указанный выше смысл.
Нам будет удобно включить в наши рассмотрения случаи,,
когда U пусто. Частичный группоид 3 [5г; 0] является тогда
просто объединением попарно не пересекающихся полугрупп St.
Нас интересует вопрос, когда для данной полугрупповой
амальгамы [St; U; ц>г] ее частичный группоид "§ \S{, U\ <р{] может
быть вложен в полугруппу. Вложение, конечно, должно быть
таким, чтобы произведение, определенное в ^, совпадало с про-
произведением в полугруппе, в которую осуществлено это вложение.
Если "§ [St; U\ ф;] может быть вложен в полугруппу Т, то мы
будем говорить, что полугрупповая амальгама [iS1,-; U; фг] может
быть вложена в Т. Начнем с примера Кимуры [1957], который
показывает, что полугрупповая амальгама не всегда может быть
вложена в полугруппу.
Пусть U — {и, v, w, z} — полугруппа с нулевым умноже-
умножением, нуль которой равен z. Положим 1S1 = U{j {а}, где а (? U,
аи = иа = vvs. все остальные произведения в ^ равны z. Положим
также S2 = U\J {&}, где Ъ (f Su bv — vb = w и все остальные
произведения в S2 равны z. Тогда Si f] S2 = U и непосредственно
проверяется, что относительно только что определенных произ-
произведений Si и $2 являются полугруппами. Предположим, что
существует полугруппа Т, в которую может быть вложено S =
== *?! U 52. Тогда в силу ассоциативности операции в Т имеют
место следующие равенства:
w = bv = bua = za = z.
Таким образом, элементы w и z должны совпадать в Т. Следова-
Следовательно, [{Si, S2}; U] нельзя вложить ни в какую полугруппу.
Разберем сначала два простых случая. Во-первых, заметим,
что  [St; U; ф4] является полугруппой тогда и только тогда,
когда Ut есть собственная подполугруппа из Sh т. е. V\ Ф Sir
самое большее лишь для одного i 6 /. Если 3 не является полу-

176 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
группой, т. е. если операция * определена не для всех пар из 13,
то [St; Ui\ tpt] будем называть собственной амальгамой.
Во-вторых, поставим вопрос: вкладывается ли собственная
амальгама [St; U] в полугруппу простым присоединением нуля
к 13 [Si; U] и доопределением операции умножения следующим
образом: сохраняя все уже определенные произведения, положим
все остальные равными нулю!
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Предварительно нам потребуется одно определение. Подмноже-
Подмножество С, возможно пустое, полугруппы Т называется плотным1)
подмножеством в Т, если включение аЪ 6 С для а, Ъ ? Т влечет
за собой а 6 С и. Ъ ? С В частности, пустое множество является
ллотным^подмножеством в Т. (Дюбрей [1941].)
Теорема 9.29. Пусть lSt; U; <р,] — собственная амальгама,
такая, что U{ строго содержится в S t хотя бы для двух индексов
i ? /• Определим группоид 3° присоединением нуля 0 к 13. Положим
все произведения элементов из 3°, не определенные в 73, равными О
и сохраним произведения в "§.
Тогда &° является полугруппой в том и только в том случае,
когда Ut есть плотная подполугруппа в St для каждого i ? I.
Доказательство. Напомним, что в силу леммы 3.7 */°
-является полугруппой тогда и только тогда, когда для любых
а, Ъ, с G & выполняются следующие условия:
(i) если а * Ъ и (а * Ъ) * с определены, то определены также
Ъ * с и а * (Ъ * с) и
а * (Ь * с) = (а * Ь) * с,
(ii) если b * с и а * (Ь * с) определены, то определены также
а*Ьъ(а*Ь)*си
(а * Ъ) * с = а * (Ь * с).
Предположим, что Ut — плотная подполугруппа из 5г для
каждого i ? /. Пусть а, Ь, с — такие элементы из 3, что а * Ъ
и (а * Ь) * с определены. Так как а * Ъ определено, существует
такое i 6 /, что а, Ъ 6 Si Аналогично, существует такое ; 6 I,
что а * Ъ, с ? S'j. Если i = /, то Ъ * с и а ¦ (Ь * с) определены в S'i
и а * (Ь * с) = (а * Ь) * с. Если i Ф j, то а * Ъ 6 U, откуда ввиду
плотности Ut в St имеем a, b ? U. Следовательно, а, Ъ 6 S'j и тре-
требуемое заключение получается, как и выше. Этим установлено,
что выполняется условие (i). Аналогично проверяется условие (ii).
Таким образом, &° является полугруппой.
Обратно, предположим, что &° является полугруппой, но
U} не плотно в St. Тогда существуют такие a, b ? S\, что ab 6 U,
но, например, а (| U. Пусть с — элемент из 5j\ Uj, где / Ф i.
х) Consistent,— Прим. перев.

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 177
По предположению относительно [St; U; цц] существует такое
j Ф i, что ?;\ Uj Ф0. Тогда с * (а * Ъ) определено. Однако
с * а не определено в *§. Таким образом, для 'З не выполняется
условие (и). Следовательно, &° не является полугруппой; что
противоречит предположению. Итак, если &° — полугруппа, то
Ut есть плотное подмножество в Si для каждого i (Е I- Это завер-
завершает доказательство теоремы.
Обратимся теперь к ключевому понятию.для нашей темы —
понятию свободного произведения полугрупп с объединенной
подполугруппой. Мы увидим (теорема 9.31), что полугрупповая
амальгама может быть вложена в некоторую полугруппу тогда
и только тогда, когда она может быть вложена в ассоциирован-
ассоциированное с ней свободное произведение с амальгамой.
Определим сначала свободное произведение полутрупп St (i?I).
Предположим, что St |~| Sj — 0 при i Ф /. Образуем множество W,
состоящее из всех таких конечных непустых последовательностей
(пх, а2, . . ., ah), что если а, принадлежат St(j) для / = 1,2,...
. . ., к, то i (j) Ф i (j + 1) для 7 = 1, 2, . . ., к — 1. Определим
теперь следующим образом произведение о в множестве «слов» W:
{at, а2, . . ., ah) о (Ьи Ъ2, . . ., bs) = {аи а2, . . ., ak, Ъи Ь2, . . ., bs)
если ak 6 St, bt g S} и ъф /;
(al7 a2, . . ., ak) °(bub2, . . ., bs)=(a1,a2. • • чв*-1,вьЬ1,Ь2, . . ., bs),
если ah G St и bt ? St для некоторого i ? I.
Короткая непосредственная проверка показывает, что операция о
ассоциативна, т. е. (W, °)— полугруппа. Будем называть полугруп-
полугруппу (W, о) свободным произведением полугрупп St (i ? Г) и обозначать
через [J* {St | i ? /} или, более просто, через П*{^г} или П*1^»-
Частным случаем свободного произведения полугрупп являет-
является свободная полугруппа ?рх на множестве X. Если X =
= {xt | i ?/}, то ерх есть свободное произведение бесконечных
циклических полутрупп (xi) (i 6 Г) (см. § 1.12).
Для каждого i 6 I определим следующим образом отображе-
отображение хг: ^г-^П* Si-
хг: о-> ах; = (a) (a б 5г-).
^огда хг является изоморфным вложением, которое называется
аноническим изоморфизмом или вложением полугруппы St
П* ^«- ^ы ч&сто будем отождествлять St, если нет опасности
"озникновения двусмысленности, с ее каноническим образом 5,хг
Yl* St. Тогда можно считать, что [J* St порождается своими под-
юлугруппами St (i 6 /)• Если произведено такое отождествле-
отождествление, то элемент (ait a2, . . ., ak) ? [J* St отождествляется
(аи аг, . . ., ak) = (а^ о (а2) о ... о (ak) = at ° а2 ° . . . »ah.
:2-100

178 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Последнее слово мы будем записывать просто в виде афг . . . ак.
Таким образом, элементами полутруппы Д* St являются такие
непустые конечные слова ata2 . . . ak, что а;- 6 ?«(./) для каждого
/ = 1, 2, . . ., ft и i (j) ФЩ + 1) для у = 1,2, . . ., к - 1.
Слово а^а2 . . . ak, удовлетворяющее этим условиям, будем назы-
называть неприводимым.
Рассмотрим одно свойство полугруппы Д* {St | i 6 /}, которое-
понадобится в дальнейшем. Пусть -ф^: Si -*¦ Т есть гомоморфизм
полугруппы St в Т для каждого i ? /. Определим следующим
образом q>: Д* St -*- Т. Пусть w — произвольный элемент иа
Д* S,- и ш = ata2 . . . ah — представление этого элемента в видо
неприводимого слова. Пусть а,; 6 ?(о; (/ =.1,2, . . ., А;). Опре-
Определим ихр, полагая
1) . . ..ahMpt (fe).
Этим инр определено однозначно, потому что в силу определения
EEJ^iSj различные неприводимые произведения являются различ-
различными элементами в []* 5г. Легко проверить, что <р есть изомор-
изоморфизм П* St в Т. Кроме того, для каждого i 6 / ограничение на Sf
гомоморфизма ф совпадает с % и, так как полугруппа []* Si
порождается полутруппами St, ф является единственным гомо-
гомоморфизмом полутруппы П Sit продолжающим каждый из гомо-
гомоморфизмов i|)j.
Эквивалентные определения свободного произведения встре-
встретятся в упражнениях 1 и 2 к настоящему параграфу.
Рассмотрим теперь полугрупповую амальгаму l{St | i 6 /};
Uj){q>i I i 6 ^}L гДе опять для простоты рассуждений мы пред-
предполагаем, что Si(]Sj— 0 при i=?=j. Определим отношение \>
на []* St, полагая
для некоторых t*, / QI и некоторого м Е 17}.
Более просто, отождествляя каждое St с его каноническим обра-
образом] В П* $i> МЫ имеем
v ~ {(ut, uj) | Uj = иц>1, Uj = U(fj для некоторых i, j ?1
и некоторого м ? С}.
Назовем тогда полугруппу (П* {St | i ? /})/т:* свободным про-
произведением полугрупп {Si, i ? 1} с объединенной подполугруппой U,
определенным полугрупповой амальгамой [5г; U; фг]. Мы про-
продолжаем обозначать (см. § 9.2) через р* конгруэнцию, порожден-
порожденную отношением р. Это свободное произведение с объединенной
подполугруппой будем, об означать также через Ду {$i И € ^}

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 179
или просто через []и St. Кратко []у St может быть названо
свободным произведением амальгамы [St; U].
Некоторые эквивалентные определения свободного произведе-
произведения амальгамы содержатся в упражнениях 3—5 к настоящему
параграфу.
Отождествляя каждую полугруппу iS^ с ее каноническим обра-
образом в П* St, определим канонический гомоморфизм [хг: St -»-
-*¦ Пи $i' полагая
= av* (a ? St).
Тогда для любых и ? U выполняется
так как (мфг, иф;) 6 "*• Положим q)j[A* = ф;-^;- = ц для i, j ? I.
Тогда [х есть гомоморфизм полугруппы U в Цц St.
Канонические гомоморфизмы цг индуцируют следующий гомо-
гомоморфизм у частичного группоида § = § [St; U; фг] в уи Si'-
у: а -> ay = axiHt, если а ? S\.
Легко проверить, что y является гомоморфизмом частичного
группоида § в том смысле, что если a, i ?3 и a* J определено
в &, то (а * Ь) у = ау^Т- Отображение y будем называть канони-
каноническим гомоморфизмом частичного группоида  в \\*ц St. Гомо-
Гомоморфизмы \ii определяют у и, обратно, y определяет \it (i ^ I).
Более точное описание ситуации дает следующая
Лемма 9.30. Пусть [St; U; ф;] — полугрупповая амальгама,
3 — ее частичный группоид и Т — полугруппа.
Пусть б: § -*¦ Т есть гомоморфизм. Тогда ф,- = хГ1 в является
гомоморфизмом St в Т и ф^; = ф/ф7- для всех i, j ? I.
Обратно, пусть i|)j: St-+- T — такое семейство гомоморфиз-
гомоморфизмов, что <$i$i = yjtyj для всех i, j ? I. Определим 8: 3 -*¦ Т,
полагая
8: а -> а8 = аХг'Фи если а 6 S[.
Тогда 8 является гомоморфизмом.
Кроме того, соответствие, установленное в двух предыдущих
абзацах между гомоморфизмами 8 частичного группоида & и семей-
семействами {tyi} гомоморфизмов полугрупп {Si}, взаимно однозначно.
Доказательство. Так как ограничение б на SI являет-
является гомоморфизмом полугруппы S'i, очевидно, что i|)j есть гомо-
гомоморфизм полугруппы St. Из определения Хг вытекает, что
Фг-фг = б | U.
Обратно, для того, чтобы доказать, что б есть гомоморфизм
для данных ijjj, достаточно установить, что б является однознач-
12*

180 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
ным отображением, т. е. б однозначно на U. Но это обеспечи-
обеспечивается условием yftyi = ф/фу для всех i, j ? I-
Оставшееся утверждение леммы очевидно. То, что понятие
свободного произведения амальгамы является центральным для
нашей проблемы вложения, показывает следующая
Теорема 9.31. 1. Полу групповая амальгама [{St \ i ? /}; U;
{фг | i 6 I}] может быть вложена в полугруппу тогда и только
тогда, когда канонический гомоморфизм у частичного группоида
& = *§ [Sf, U; ф{] является вложением частичного группоида W
в Ци St, т. е. тогда и только тогда, когда у взаимно однозначен.
2. Гомоморфизм у взаимно однозначен тогда и только тогда,
когда выполняются условия:
(i) каждый канонический гомоморфизм цг: Si -*~ []u St взаим-
взаимно однозначен,
- (ii) St\ii (]S}\ij = U\i для гф), где ц =
Доказательство. Докажем сначала утверждения п. 2.
Предположим, что гомоморфизм y взаимно однозначен. Пусть
а 6 St, Ъ 6 Sj и a\it = Ьц}-. Выберем такие х б S\ и у ? S], что
xii = «, Vli = b- Тогда x%i\ii = y%j\x}, т. е. ху = yy. Отсюда
в силу взаимной однозначности y имеем х = у. Если i = j, то
предыдущее показывает, что [хг взаимно однозначно. Если ъф ],
то мы заключаем, что ?;|хг П Sj\xj s U\i. Тогда, поскольку U\i s
S StUt для всех i, мы имеем iS1^ f\Sj\i] = U\i. Таким образом,
выполняются оба условия (i) и (ii).
Обратно, предположим, что выполняются условия (i) и (ii).
Пусть а, Ъ 6 S, так что а 6 S[, Ъ 6 Sj. Если ay = by, то «Xif-1* =
= b%j\ij. Если i = j, то а = Ь в силу взаимной однозначности |д,г
и хг- Если i ^ ], то условие (ii) влечет за собой ахгЦ* = мц =
= шр*|Д.г для некоторого и 6 U. В силу (i) имеем а%( =щи отку-
откуда а = и б ?/ и «ХгМ-г = а!х- Аналогично, Ь 6 U и &XjM-j = Ьц,
откуда ац = Ьц. В силу взаимной однозначности фг и \it взаимно
однозначно и jx, поэтому а = Ъ. Следовательно, y взаимно одно-
однозначно.
Докажем первое утверждение теоремы. Очевидно, если "§
может быть вложено в \\uSt отображением y» to амальгама
ISf, U; фг] вложима в полугруппу. Обратно, предположим, что
[Su U; (fi\ вкладывается в полутруппу Т, т. е. 3 вкладывается
в Т отображением б. Тогда по лемме 9.30 ifo = %г~хб является
гомоморфизмом St в Т. Так как %t и б взаимно однозначны, %
также взаимно однозначно.
Определим теперь г|): []* 5г -> Т как такой единственный
гомоморфизм []* St в Т, что гр | St = -фг для каждого i 6 /. Пусть
(ut, Uj) — произвольный элемент из v, так что иг = ифг, и7- =

§ 9.4. Вложение полу групповых амальгам 181
для некоторого и 6 U. Тогда и$ = иу$ = «Хг'Фг = иб = м/ф.
Следовательно, гз ^= я|з о^-1, так что v* S г|з о-ф. Таким образом,
существует такой гомоморфизм ф: Ци St -*¦ Т, что ф = (и*)^ ф.
Пусть а 6 ^ и й ? S'j. Тогда а-уф = «ХгМ^Ф = аХг (г*)* Ф ~
= «Х»1!3 = a%ityi = а&- Таким образом, уф = в; отсюда вытекает
взаимная однозначность v» так как S взаимно однозначно. Это
завершает доказательртво.
Перейдем теперь к изложению основного результата Хауи
[1962], дающего достаточное условие вложимости амальгамы
в полугруппу. Нам понадобится одно новое понятие.
Напомним, что подмножество U полугруппы S унитарно слева
в S, если условия и ? U, s ? S и us ? U влекут за собой s ? U.
Двойственным образом определяется унитарность справа. Под-
Подмножество U унитарно, если оно унитарно и слева, и справа
(§ 7.3). Хауи обобщил понятие унитарности, введя понятие почти
унитарности. Подмножество U из S называется почти унитарным
в S (относительно отображений Я и р), если существуют отображе-
отображения Я и р полугруппы S в себя, обладающие следующими свой-
свойствами:
(a) к и р — соответственно левый и правый сдвиги полугруп-
полугруппы S, коммутирующие между собой.
(b) к и р — идемпотенты.
(c) К и р связаны, т. е. s Ш) = (so) t для всех s, t 6 S
(см. § 1.3).
(d) Ограничения Я и р на U совпадают с тождественным ото-
отображением на U.'
(e) U унитарно в Я/Sp.
Обозначения. Нам будет удобно, имея дело с почти унитар-
унитарными подмножествами, писать Я слева, ар — справа, как это
сделано выше в (с) и (е). Элементы (ка) р и Я (ар) равны в силу
свойства (а), поэтому мы их будем записывать без скобок в виде
Яар (а ? S). В соответствии с п. (е) и (d) имеем U s Я5р. Множе-
Множество KSp является подполугруппой из S, так как Яар-ЯЬр ==
= Я(ар-ЯЬ)р (о, 6 6 5).
Пусть U — произвольное унитарное подмножество из S.
Тогда U почти унитарно в S, где в качестве соответствующих
отображений берутся тождественные отображения множества S.
Связь между унитарностью и почти унитарностью вскрывается
полнее следующими двумя теоремами.
Теорема 9.32. Пусть U — подполугруппа полугруппы S, содер-
содержащая единицу е. Тогда U почти унитарна в S в том и только
в том случае, когда U унитарна в eSe.
Доказательство. Пусть подполугруппа U унитарна
в eSe. Возьмем в качестве Я и р внутренние левый и правый сдвиги

182 ' Гл. 9. Конечно определенные полугруппы, и свободные произведения
Хе и ре полугруппы S (§ 1.3). Тогда легко проверить, что U почти
унитарна в S относительно этих отображений.
Обратно, предположим, что U почти унитарна в S относитель-
относительно отображений Я, и р. Так как е 6 U, в силу условия (d) мы имеем
Ке = е и ер = е. Следовательно, eSe s XSp, откуда в силу усло-
условия (е) вытекает унитарность U в eSe.
Замечание. В общем случае если U почти унитарна в S относи-
относительно отображений Я, и р, то существует, вообще говоря, много
различных пар отображений А. и р, которые можно взять в каче-
качестве соответствующих отображений. Предыдущая теорема пока-
показывает, что если U содержит единицу е, то пару Я, р можно заме-
заменить на Ке, ре.
Следствие 9.33. Пусть U — подгруппа полугруппы S. Тогда
U почти унитарна в S.
Доказательство. Пусть е — единица из U. На осно-
основании теоремы достаточно установить унитарность U в eSe. Пред-
Предположим, что и ? U и eseu 6 U. Тогда и 6 U и поэтому eseuu~x =
= ese2 = ese 6 U. Это показывает, что U унитарна справа в eSe.
Аналогично проверяется унитарность U слева в S.
Теорема 9.34. Пусть U — подполугруппа полугруппы S. Тогда
U почти унитарна в S в том и только в том случае, когда, при-
присоединяя идемпотент е к S, можно образовать такую полугруппу
Se~S[j{e}, что выполняются условия:
(i) eS = S и Se = S;
(ii) e является единицей в Ue = U\J{e}',
(iii) Ue унитарна в eSe.
Доказательство. Предположим, что к S можно при-
присоединить идемпотент е таким образом, что выполняются усло-
условия (i), (ii) и (iii). Возьмем в качестве % и р ограничение на S соот-
соответственно сдвигов %е и ре полугруппы Se. Так как se Ф е и es Ф е
для s ? S, непосредственно получаем, что полугруппа U почти
унитарна в S относительно отображений Я и р.
Обратно, пусть U почти унитарна в S относительно отображе-
отображений Я, и р. Положим е = (А,, р) и доопределим умножение на
S U {е}, полагая se = sp и es = Ks для s 6 S и е2 = e (ср. построе-
построение сдвиговой оболочки в § 1.3). Непосредственная проверка
показывает, что е обладает требуемыми свойствами. Это завершает
доказательство теоремы.
Пусть S — группа и U — ее унитарная подполугруппа. Тогда
если через е обозначена единица, то ей = и 6 U влечет за собой
е 6 U и ии~х = е 6 U влечет за собой и 6 U для любого и из U.
Следовательно, U является подгруппой. Обратно, любая под-

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 183
группа, очевидно, унитарна. Таким образом, подполугруппа груп-
группы унитарна тогда и только тогда, когда она является подгруппой
(см. упражнение 3 к § 7.3). Из теоремы 9.32 непосредственно выте-
вытекает, что для подполугрупп группы понятия унитарности и почти
унитарности совпадают.
Основной результат Хауи состоит в том, что полугрупповая
амальгама lSt; U; фг] может быть вложена в полугруппу, если
подполугруппа Ut ( = ?/фг) почти унитарна в St для каждого i. Этот
результат основывается на нескольких комбинаторных леммах,
которые мы теперь приведем.
Предположим, что [{St \ i ? I); U; {<рг \ i ? /}] есть полу-
полугрупповая амальгама и Ut = U<ft почти унитарна в St относи-
относительно отображений %t и рг (i 6 -0- Пусть слово w = а^аг . . . ah
является (неприводимым) элементом из [j 5*. Тогда at, а2, . . ., ak
будем называть слогами слова w. Слог aj назовем левым концевым
слогом, а ak — правым концевым слогом слова w. Если к >2,
то а2, . ¦ ., flft-i назовем внутренними слогами слова w. Гово-
Говорят, что слово w является собственным словом, если (г) все его
внутренние слоги принадлежат U ^iStp^, (ii) его левый концевой
слог при к ^> 2 принадлежит и^гРг и (iii) его правый концевой
слог при к ^> 2 принадлежит U^j^t- Слово w будем называть
собственным справа [слева], если оно собственное и его правый
{левый] концевой слог принадлежит 1)?гРг [1Дг?гЬ Слово w
называется бисобственным, если оно собственное и слева, и спра-
справа. Таким образом, произвольное слово из одного слога собствен-
собственное, но, вообще говоря, не собственное справа или слева.
Рассмотрим подробней элементарные и-переходы. Элементар-
Элементарный и-переход заменяет иг 6 Ut в слове w на Uj 6 17j, где ut = ц<рг
и U] = u(pj для некоторого и 6 U. Такая замена может быть трех
видов (относительно слогов слова w): (а) ut есть слог слова w;
(Ъ) st есть слог слова w и st = utbi или st = агиг; (с) st есть слог
слова w и st = diUibi. Переходы типов (а), (Ь) и (с) будем назы-
называть соответственно S-шагами, Е-шагами и М-шагами1). Есте-
Естественно, что последующее приведение нового слова к неприводи-
неприводимому виду должно рассматриваться как часть элементарного
¦и-перехода.
Таким образом, последовательность элементарных и-пере-
ходов является последовательностью 5-шагов, .Е-шагов и Л/-шагов.
Нашей первой целью является установление основного комбина-
комбинаторного результата о том, что при некоторых общих условиях
можно предполагать, что все ?-шаги выполняются в такой после-
последовательности первыми.
1) Здесь взяты первые буквы соответствующих английских терминов:
слог (syllable), конец (end) и середина (middle).— Прим. перев.

184 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Нам будет удобно ниже для произвольного элемента х из U
через xt обозначать элемент хцц ? U% (i ? I).
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма 9.35. Пусть w' получается из w при помощи М-шага
и- следующего за ними S-шага. Тогда w' можно получить из w
при помощи такой последовательности элементарных v-nepexodoe
длины не более двух, что если длина равна двум, то второй переход
не является S-шагом.
Доказательство. Пусть st = агигЬг 6 St есть слог
слова w, который преобразуется в aiUjbi, где ; Ф i, при помощи
М-шага. Тогда at, Uj и bt являются слогами слова w", получен-
полученного из w при помощи Л/-шага. Если слог слова w", который
заменяется S-шатом для получения w', не является соседним
с at или Ъ%, то, очевидно, данные Л/-шаг и ?-шаг могут быть выпол-
выполнены в обратном порядке для получения и/. Если слог г4 сло-
слова w" непосредственно предшествует слогу а% (аналогично рас-
рассматривается случай, когда и& непосредственно следует за bt)
и заменяется на и'т при помощи 5-шага, то снова, если тф i,
М-ш&т и iS-mar можно поменять местами. Если m = i, то опять
возможна простая перестановка шагов. В самом деле, и/ можно
получить из w при помощи iS-шага и следующего за ним Af-шага,
причем М-шаг преобразует слог и\а{пгЪ1 в и\аьи^1-
Осталось рассмотреть три случая. Во-первых, пусть 5-шаг
заменяет at = щ на и'т. В этом случае st = агигЬг = i4wj&»
и .Е-шаг, примененный к w, заменяет st на u'mUibi, далее, можно при
помощи .Е-шага заменить u'mutbi на u'mUjbi. Таким образом, w'
можно получить из w при помощи двух .S-шагов. Аналогично
рассматривается второй случай, когда слогом, заменяемым при
помощи iS-шага, является bt. Наконец, предположим, что 5-шаг
заменяет и}- на ит.,Если т = ?, то и/ = w. Если т Ф i, то доста-
достаточно одного Л/-шага, заменяющего иг на ит, для получения w'
из w. Доказательство леммы закончено.
Результаты, сформулированные в следующей лемме, содержат
несколько непосредственных следствий из определения почти уни-
унитарной подполугруппы. Они будут использоваться в вычислениях,
там, где это необходимо, без всяких пояснений.
Лемма 9.36. Пусть U — почти унитарная подполугруппа
полугруппы, S относительно отображений Кир. Тогда если и ? U
и s, t 6 S, то
% (sut) р = (Xsp) и (Xtp);
X (su) = X (su) p = (Xsp) и;
(us) p = Я, (us) p = и (Ър).

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 18S
Последовательность w = w0 -*¦ W\ -> w?, -*¦ • • • -*¦ wn = u>' эле-
элементарных и-переходов будем называть собственной {слева, справа,
бисобственной], если wt собственно [слева, справа, бисобственно]
для каждого i = 0, 1, 2, . . ., п. Теперь мы докажем, что после-
последовательность переходов между двумя собственными словами:
можно считать собственной. Для удобства дадим следующее опре-
определение.
Пусть w = а±а2 .-. . ak, где at 6 S^ есть неприводимое слово..
Если к >1, положим &, = Я,;-(оа«Рдо для i (J {1, к} и &4 = ajpj(i),
frfc = "^i(h)ahi если & = 1, положим Ь4 =а4. Тогда ш* = bj}2 . . ¦ Ъъ
есть собственное слово, которое называется собственным словом^
ассоциированным с w.
Полагая Ъ± = ^j4i)aiPj"(i) или ^ft = ^Лй)айРЛА) или вводя
одновременно обе эти модификации в предыдущее определение,
мы получаем соответственно собственное слева или собственное^
справа, или бисобственное слово, ассоциированное с w. Хотя мы
формулируем и доказываем следующую лемму лишь для (немо-
дифицированных) собственных слов и последовательностей, легко-
видеть, что ее результаты остаются верными при замене слова
«собственное» на «собственное слева», «собственное справа» шш
«бисобственное». Впоследствии у нас возникнут ситуации, в кото-
которых мы будем обращаться к этим аналогам леммы 9.37.
Лемма 9.37. Пусть w = w0 -*¦ w± ->...->- wn = w' есть-
последовательность элементарных v-переходов от собственного
слова w п собственному слову w' и и>* — собственное слово, ассо-
ассоциированное с wt, где t = 0, 1, . . ., п.
Тогда
W — W* -*¦ U>* -*-... -V Ц>п = w'
есть собственная последовательность элементарных v-nepexodoe-
Кроме того, w* —у w*+i является S-шагом, М-шагом или Е-шагом-
в зависимости от того, является ли wt ¦**¦ Wt+i соответственно-
S-шагом, М-шагом или Е-шагом.
Доказательство. Пусть wt = а^2 . . . ah — неприво-
неприводимое слово, где at 6 Sj (,). Тогда w* = Ьф2 ¦ • ¦ bk, где bt 6 ^
Предположим, что wt -*¦ wt+1 является 5-шагом. Тогда аг=д
6 Uj(i) для некоторого in Wf+j получается из wt заменой Uj^ на
некоторое ит. В этом случае а% = ц^ = Я,дг> uj^pj(i) = bt. Если
ит есть слог слова Wf+i, то ит также является и слогом слова
w%+i. Если ит не является слогом слова wt+l, то ит вместе-
с некоторым слогом слова wt образует слог слова wt+i. Пред-
Предположим, что т = j (i + 1). Тогда мтаг+1 есть слог слова
wt+l и ассоциированный слог слова w*t+i равен kmumai+1pm или:
^ Для i + 1 = к. Но %mumai+1 = um%mai+u lkmumai+i9m =
и ит~^тит9т- Аналогичные замечания справед-

'186 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
ливы при т = j (i — 1). Следовательно, в любом случае
W* -*¦ w*t+l есть элементарный «-переход, являющийся 5-шагом,
при котором at = Uj(i) заменяется на ит.
Предположим, что wt -*¦ wt+i есть Л/-шаг. Тогда at = ctUj(i)dt
для некоторого i, где Uj(i) 6 Uj ay, и wt+i получается из wt заме-
заменой uj{i) на ит, где т Ф j @- Так как at =(c,p^i)) u} (i> (kKi) dt),
очевидно, что wf+1 также получается из w* при помощи М-шага.
Предположим, что wt -*- wt+i есть .Е-шаг. Тогда at = сцащ)
(или возможен совершенно аналогичный случай, когда at =
= Uj^i) di) для некоторого i, где u^i) 6 f яо> и ш«+1 получается
из wt заменой ищу ла ит. Если мт есть слог слова wt, то ввиду
того, что at = (ciPj(i)) ищ), слово w*+i цолучается из w* при
помощи Е-тата, который при i >1 заменяет bt = A,^) сгру (i)Wj(i)
на Яд») c{p;(i) um или, если i = l, заменяет 6j = Cip^d) и7-A) на
•ciP;'d) Mm- Если wm не является слогом слова wt+i, тот = / (i -f- 1)
и, так как Xmumai+1pm = umXmai+lpm и A,mumai+1 = итЯ,тог+1,
диалогично получаем, что w$+1 получается из w* при помощи
.Ё-шага. Доказательство леммы закончено.
Слово w из Д* iSj, каждый слог которого принадлежит U {Ut},
будем называть U-словом. Слово w из \\* St, каждый слог кото-
которого принадлежит либо St, либо U {Ut}, будем называть (U, i)-
словом. Таким образом, [/-слово является (U, г)-словом для любо-
любого i. Пусть w есть (U, ^)-слово. Заменим каждый слог ит ? Um
из w на ut для всех т ф i. Полученное слово обозначим через w (i).
Лемма 9.38. Пусть w — собственное слева (U, к)-слово [U-сло-
во] и w' — бисобственное слово, полученное из w собственной слева
последовательностью Е-шагов. Тогда w' является также (U, к)-сло-
[U-словом] и w (к) = и/ (к).
Доказательство. Пусть заданной собственной слева
.последовательностью является последовательность
w = w0 '-*¦ wу -»-... -»- wn_i -у wn = w .
Докажем лемму индукций по п. Предположим, что утверждение
леммы выполняется для последовательностей длины п — 1. Дока-
Доказательство утверждения для одного .Е-шага можно вывести из
шага индукции от п — 1 до п, положив w' = u>4.
Если Wi является {U, /с)-словом, то по предположению индук-
индукции мы заключаем, что и/ есть (U, &)-слово и и/ (к) — wi (к).
Очевидно, Wi (к) = w0 (к) = w(k), и, следовательно, в этом слу-
случае утверждение доказано. Таким образом, мы можем предполо-
предположить, что ю^ не является (U, &)-словом.

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 187
Переход w0 -*¦ W\ не может происходить в слоге из Sh, так как
тогда wt было бы (U, &)-словом. Следовательно, переход должен
иметь вид
Wo = ... Ut ... = ... U'idi ...
{где i Ф к) или может быть аги\ вместо щаг. Так как мы, очевид-
очевидно, можем предположить, что / ф i, ясно, что ах есть слог слова wt.
Предположим, что at не является правым концевым слогом сло-
слова и?!. Тогда, так как Wi собственно слева, Ягагрг = at. Следова-
Следовательно, используя лемму 9.36, получаем
Ut = kiUiPt = Xt (ujo,) p; = Щ
Так как аг ? ^jiS^pj и полугруппа ?7г унитарна в А,^рг, мы заклю-
заключаем, что at g t/'j. Отсюда следует, что Wi есть (t^, й)-слово,
т. е. мы пришли к противоречию с предположением. Таким обра-
образом, at должно быть правым концевым слогом слова U71#
Но тогда Ui является правым концевым слогом слова w0 = w
и поэтому слово w бисобственно. Теперь мы можем, применив
одну из модификаций леммы 9.37, заменить данную последова-
последовательность на бисобственную последовательность
w = w0 -*• w* -> . . . ->¦ w*—i -*• wn = w'.
Два крайних члена не изменяются, так как они уже являются
бисобственными.
Как и выше, мы получаем, что at 6 Ut теперь уже для любого
расположения аи поэтому w* является (U, &)-словом. Далее,
по предположению индукции заключаем, что wn = w' также есть
(U, /с)-слово и и/ (к) = w* (к) = w (к).
Изложенное доказательство полностью проходит и для случая
?7-слов (см. формулировку леммы).
Исследуем теперь возможность перенесения 5-шага вперед,
когда ему предшествует Е-ш&т. Как мы увидим в следующей лем-
лемме, это можно проделать непосредственно, за исключением сле-
следующей ситуации. Пусть w = . . . stS], где «г 6 S tviSj 6 Sj являют-
являются двумя последними слогами. Предположим, что st =
(ut 6 Ut) и UjSj = и) 6 Uj. Пусть Е-ш&т и 5-шаг имеют вид
Е
W = . . . SiSj — . . . CliUiSj -*-
Е S
. . . atu'j -*-
atum.
Если sj QkjSjpj, то, следуя Хауи, будем называть эту последо-
последовательность неприводимой ES-конфигурацией. Аналогично, можно

188 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
рассмотреть неприводимые ^/^-конфигурации, затрагивающие два
первых слога слова w.
Лемма 9.39. Пусть w' получается из w при помощи Е-шага
Е S
и следующего за ним S-шага: и; —>- w" -*¦ w'. Предположим, что эта
последовательность собственная.
Тогда, за исключением, быть может, случая, когда Е-шаг
и S-шаг образуют неприводимую ES-конфигурацию, w' можно-
получить из w такой собственной последовательностью элементар-
элементарных v-переходов длины не более двух, что если длина равна двум»
то второй переход не является S-шагом.
Доказательство. Пусть st 6 St является слогом сло-
слова w, к которому применяется Е-шаг. Предположим, что st = atut
и 2?-шаг преобразует Si в (а*рг) Uj. Заметим, что мы должны иметь
агрг, а не просто at после преобразования слога st, потому что-
в силу предположения слово w" собственное. Строго говоря, мы
сначала делаем «внутренний переход» . . . агиг . . .->. . . (а,рг) иг...
на w, который не меняет неприводимого слова, ассоциированного
с w, так как atut = at (A,;W;) = (а;рг) ut, и затем выполняем
Е-ш&х . . . (dipt) u4 ...-»-..: (aiPi) uj . . . .
Оттого что мы будем считать . . . atut ...->... (atpi) Uj . . .
.Е-шагом, недоразумение не возникнет.
Аналогичные рассмотрения можно провести в случае, когда
переход w -> w" начинается с левого Е'-шага вместо правого
i?-niara. Существует несколько возможностей для 5-шага w" ->-
-> w', которые мы теперь изучим.
Прежде всего если 5-шаг применяется к слогу слова w", кото-
который является также слогом слова w, то 5-шаг и Е-шат можно
выполнить в обратном порядке для получения слова w' из w.
Если iS-niar меняет Uj на ит, то достаточно одного .Е-шага (или
даже совсем не нужно шагов, если т = i), заменяющего st = агиг
на {atpi) um для получения и/ из w. Если 5-шаг заменяет слог
atpi слова w", то atpt = и\ и S-шаг преобразует и\ в и'т. Тогда
st = u'iUi можно заменить сначала на и'тит, а затем на u'mUf
(последний шаг можно и не выполнять при j = т). Таким обра-
образом, ц/ получается из w либо одним iS-шагом, либо S-шагом и сле-
следующим за ним .Е-шагом. Заметим, что в каждом случае после-
последовательность, с помощью которой w' получается из w, является
собственной.
Наконец, остался случай, когда для слога sj из Sj, соседнего
справа с st в w, элемент ujSj является слогом (слова w"), к которому
применяется S-шаг. Тогда UjSj =' и) и S-шаг меняет щ на и'т.
Предположим, что sj есть внутренний слог слова w. Так как w
собственно, Sj 6 'kjSjpj. Следовательно, в силу унитарности множе-
множества Uj в kjSjPj равенство UjSj = щ влечет за собой соотношение

§ 9.4: Вложение полу групповых амальгам 189
= и) 6 U]. Тогда
s е
w = . .
= w',
т. e. w' получается из w при помощи 5-шага и следующего за
ним ?-шага. Кроме того, эта последовательность собственная.
Предположим теперь, что sj есть правый концевой слог сло-
слова w. Тогда либо мы имеем неприводимую /^-конфигурацию,
что исключено предположением, либо Sj ? KjSjpj. В последнем
«лучае можно провести точно такие же рассуждения, как и для
•случая внутреннего слога. Лемма доказана.
Если в предыдущей лемме мы заменим слово «собственное»
¦на «бисобственное», то неприводимая /^-конфигурация возник-
возникнуть не может. Это также имеет место, если полугруппа Ut уни-
унитарна в St для каждого i и в качестве А,,- и рг взяты тождественные
преобразования множества Slt так что A-i^pi = Si для каждого i.
Из лемм 9.35 и 9.39 мы получаем
Следствие 9.40. Произвольная последовательность элементар-
элементарных v-переходов от одного бисобственного слова w до другого бисоб-
-ственного слова w' может быть заменена на бисобственную после-
последовательность от w до w', в которой все S-шаги, если они имеются,
выполняются первыми. В частности, это имеет место для про-
произвольных слов w и w', если Ut унитарна в St для всех i 6 /.
Для того чтобы приступить к общему случаю, мы должны
развить технику обхода неприводимых ?5-конфигураций.
е s
Заметим, что если w -> w" -v и/ есть неприводимая ДО-конфи-
турация, затрагивающая два последних слога, то последний слог
«лова vo", в нашем обозначении и], удовлетворяет равенству
U'j =
Лемма 9.41. Пусть sk 6 Sh и sh-+ ...-*¦ w есть собствен-
собственная последовательность элементарных v-переходов от sh до w,
не содержащая S-шагов. Предположим, что tj есть последний
елог слова w и tj = tjpj. Тогда sh =
Доказательство. Применим индукцию по числу
Ж-шагов в последовательности и-переходов.
Предположим сначала, что w получается из sh при помощи
•одних лишь .Е-шагов. Первыйдгз них должен быть одного из видов:
•^й = uhs'k ->¦ UjSh или $k = s'kUh -> s'kUj. Во втором случае утвер-
утверждение леммы очевидно, следовательно, мы можем считать, что
имеет место первый случай. Тогда Xksk = sk, т. е. слово Sk являет-
является собственным слева. Ввиду этого мы можем, используя соот-
соответствующий аналог леммы 9.37, перейти от данной последова-

190 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы й свободные произведения
тельности Sji—*-...—*¦ w к собственной слева последовательности
sk ->¦ . . . -*¦ w*. Так как w* получается из w лишь заменой левого
концевого слога bj на %}Ъ], очевидно, w* собственно также и спра-
справа, а поэтому является бисобственным словом. Теперь, приме-
применяя лемму 9.3, мы заключаем, что w* является (V, /е)-словом
и w* (к) — w (к) = sk. Так как w* бисобственно, ясно, что-
и>* (А) Ра = w>* (к) и поэтому skpk = sft.
Предположим теперь, что утверждение леммы справедливо для
любой последовательности от sk до w, содержащей менее р
М-шагов. Пусть число М-шагов, содержащихся в последователь-
последовательности от Sfe до w, равно р. Рассмотрим часть последовательности
от последнего М-шата до w.
м
Пусть и>! = . . . amumbm ... -v ... amunbm . . . = w2, где
amumbm 6 Sm есть слог слова и?ь является последним М-шагом
и ш2 ->- ш3 ->...-> wq = ш суть остальные переходы от w2
до ш. По предположению все переходы от w2 до w являются .S-шага-
ми. Заметим сначала, что после применения ^-шага к слогу
sm 6 Sm от него остается некоторый непустой слог s'm, также
принадлежащий Sm; будем называть s'm потомком слога sm; вве-
введенное отношение «быть потомком» будем по определению считать
рефлексивным и транзитивным. Каждое слово в последователь-
последовательности w2 -*~ и>з "*¦ • • • *-*¦ wq будет, таким образом, содержать
слоги из Sm, которые являются потомками слогов ат и Ьт сло-
слова w2- Пусть а<?> и Ь<>) — соответственно потомки слогов ат
и Ът слова wr (г = 3, .'. ., q). Положим й^' = ат и Ь™ = Ът.
Пусть wr = . . . ^Уг^т ¦ • • • Для г = 2 слово у2 = ип являет-
является [/-словом. Предположим, что мы уже доказали, что уг есть
{/-слово. Если ^-шаг wr -у wr+i действует на слог слова уТ, то
по лемме 9.38 yr+i также является CZ-словом. Если .Е-шаг дей-
действует на слог слова wT слева от а<?> или справа от Ь<?>, то ут = г/г+1-
Если ?-шаг, действуя на а<?>, убирает слог слева или, аналогич-
аналогично, убирает у Ь$ слог справа, то снова ут = yr+i- В остальных
случаях к ут добавляется ?7-слог либо слева, либо справа. Таким
образом, в любом случае yr+i есть ?/-слово. По индукции каждое
ут является {/-словом.
Заменяя уг в wr для каждого г = 2, 3, . . ., q на уг (ш), полу-
получим слово w'r = . . . a!?)yr (m) b$ .... Тогда легко видеть, что
каждое преобразование «4—>- hv+i (г = 2, 3, . . ., ? — 1) являет-
является либо элементарным ¦и-переходом, либо оставляет w'T без изме-
изменения. Так как yq есть внутреннее слово из wq, слово w'q имеет
тот же последний слог, что и wq = w. Так как w'2 = wi, число
М-шагов в последовательности от sh до w'q, полученной из после-
последовательности от sh до w, равно р — 1. В силу предположения
индукции имеем поэтому shpk = sh. Это завершает доказательство
леммы.

§ 9.4. Вложение полу групповых амальгам 19?
Детали процедуры, использованной в последних двух абза-
абзацах доказательства леммы 9.41, нам понадобятся снова. Для,
удобства ссылок сформулируем их в виде леммы.
и
Лемма 9.42. Пусть Wi = . . . атитЪт ...->... amunbm . . .
... = U72 — собственный М-шаг, где атитЪт ? Sm есть слог-
слова Wi, и w2-> w3—y . . . —у wq — собственная последователь-
последовательность Е-шагов.
Тогда wg можно записать как неприводимое слово в виде wq =
= xyz, где х, z суть непустые слова и у есть U-слово, причем суще-
существует собственная последователъностъ wi -*¦ w's -*¦ . . . -у w'q,.
состоящая лишь из Е-шагов, от w^ до w'q = ху (т) z.
Опираясь на доказанные результаты, выведем следующую^
лемму.
Лемма 9.43. Пусть sh ? Sk, $h 6 Sh и (sk, s/,) 6 «*• Тогда суще-
существует последователъностъ элементарных v-переходов от sk до*
Sh, в которой все S-шаги, если они имеются, выполняются первыми.
Доказательство. По предположению существует после-
последовательность элементарных ¦и-переходов от sfe до «д. В силу лем-
леммы 9.37 мы можем предположить, что эта последовательность
является собственной. Если в ней нет 5-шагов, то доказывать
нечего. В противном случае рассмотрим иервый ^-шаг в после-
последовательности. Если, он непосредственно следует за Л/-шагом
или за .Е-шагом, не входящим в неприводимую конфигурацию,
то на основании лемм 9.35 и 9.39 мы можем найти собственную
последовательность от sh до sh, в которой либо "на один 5-шаг
меньше, либо первый 5-шаг встречается раньше, чем в исходной
последовательности от sh до sh.
Продолжим эту процедуру до тех пор, пока не получим соб-
собственную последовательность от sk до sh, в которой либо первый
iS-iuar является первым переходом, либо на один 5-шаг меньше,
чем в исходной последовательности от sk до sh, либо первый
S-m&T следует за .Е-шагом в неприводимой ^-конфигурации.
В последнем случае, вспоминая замечание, приведенное перед
леммой 9.41, и используя лемму 9.41, мы получим, что shph = sk
(или, двойственно, %ksk = sk).
Предположим теперь, что Wy -у w2 есть произвольный ¦и-пере-
ход между двумя словами ц^ и w2, причем последний слог tj 6 Су-
Суслова wi удовлетворяет равенству tjpj = tj. Пусть sn 6 Sn есть
последний слог слова w2 и w'2 получено из w2 заменой последнего-
слога на snpn. Тогда w2 -> w'2 также является элементарным
«-переходом. Это легко проверить, перебирая все возможности.
Например, пусть tj = ajUjbj, где u;- 6 Uj и Uj заменяется на ит
при помощи перехода Wi -у w2- Тогда Ь3- = sn и, так как tj = tjpjt
мы имеем tj = ujUj (bjPj). Таким образом, wi -у w'2 есть элемен-

192 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
тарный и-переход. Другие случаи аналогичны. Кроме того, ясно,
что wi -*¦ w'2 является соответственно Е-татом, М-татом или
5-шагом, если Wi -> w2 есть Е-ш&т, Л/-шаг или ?-шаг.
Предположим теперь, что Е-щ&т и 5-шаг в рассматриваемой
неприводимой ^-конфигурации имеют вид
Е
w = . .
jj i) = w" —>¦
s
-»- . . . аьи'т = W'.
Так как skpk = sh, только что приведенные рассуждения
показывают, что последовательность от sk до w можно заменить
на собственную последовательность той же длины, не содержа-
содержащую ?-шагов, от sft до »i = . . . st (sjpj), где w^ получено из w
заменой последнего слога на s,pj. Так как и) = и)р} = uj (s}-pj),
переход Wi -*¦ w" является ^-шагом.
Теперь б'-шаг w" -> w' является первым 5-шагом в собствен-
е s
ной последовательности sh -*¦ . . . -*- w^ -*- w" -*- w', но ввиду того,
что sjpj 6 kjSjPj, последние ^-шаг и ?-шаг не образуют больше
неприводимой ^5-конфигурации. Следовательно, мы можем при-
применить лемму 9.39, как и выше, для этой пары переходов.
Таким образом, в любом случае исходную последовательность
от sk до Sh можно заменить на собственную последовательность
от sh до Sh, в которой либо ?-шагов меньше, чем в исходной после-
последовательности, либо их столько же, но уже первый ¦и-переход
является 5-шагом.
Далее, если последовательность и-переходов от sh до s/,
имеет вид
s
sk -> w± ->-...-»- sk,
то «й равно некоторому uk, a wt — некоторому ut и мы можем
применить описанную выше процедуру к последовательности
Wi -v ...->- sh. Повторяя эту процедуру с ^-шагами достаточное
число раз, мы завершим доказательство леммы.
Теперь уже нетрудно доказать основной результат Хауи
о вложениях полугрупповых амальгам.
Теорема 9.44. Пусть [{St Мб/}; U; {yt | i 6 /}1 = [St; U;
<рг]—полугрупповая-амальгама и подполугруппа Ui( = U(pi) почти
унитарна в St относительно отображений %( и р( для каждого
*€/.
Тогда полугрупповая амальгама [5г; U^ q>t] может быть вложе-
вложена в полугруппу.

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 193
Доказательство. В силу утверждения 1 теоремы 9.31
достаточно доказать, что [5г; U; ц>г] может быть вложена в \\и St.
В силу утверждения 2 теоремы 9.31 для этого достаточно уста-
установить, что
(i) каждый канонический гомоморфизм цА: Sh —>- \\и St
является взаимно однозначным;
(ii) Sk\ih П Sh\ih = U[i для кфк, где ц = фЛ(хЛ.
Пусть sh 6 Sh и Sh 6 Sh- Предположим, что sft(xft = sA(xh,
т. е. (sk, s'h) ?v*. На основании леммы 9.43 существует после-
последовательность элементарных ¦и-переходов от sft до s'h, в которой
все iS-шаги, если они имеются, выполняются первыми. Если в этой
последовательности есть несколько 5-шагов, то их можно заме-
заменить одним 5-шагом; пусть он имеет вид s^ -+¦ S;. Рассмотрим
последовательность от si до s'h. Заметим, что каждый Е-ш&т или
М-шаг увеличивает число слогов в односложном слове и не может
уменьшить число слогов ни в каком слове. Таким образом, после-
последовательность от S; до s'h, которая по предположению не содержит
5-шагов и применяется к односложному слову, не может содер-
содержать ни Е-шатоъ, ни М-ш&тов. Таким образом, st = s'h.
Следовательно, существует лишь две возможности. Во-первых,
в последовательности от sk до s'h нет 5-шагов. Тогда мы заклю-
заключаем, что Sft = s'h. Во-вторых, преобразование s^ в s'h можно осу-
осуществить одним iS-шагом. В этом случае sk = uk 6 Uh и s'h =uh.
Таким образом, мы показали, что если s^h = s'h]ih, то либо
Sk = s'h, либо h Ф к и sh 6 Uk. Чтобы доказать свойство (i), мы
должны предположить h = к, но тогда сразу же получим первое
заключение. Докажем (ii). Так как всегда Рце^П^ц/,,
достаточно установить, что если х 6 Sk\ih f) Sh\ih Для к Ф h,
то ж^Р|1. Следовательно, мы предполагаем, что х = sk\i^ =
= Sh\ih- Так как к Ф h, мы получаем второе заключение sk 6 Uh.
Таким образом, sk = иф^ для некоторого и ? U и х = s^h =
= ii($h\)Lh = u\i 6 Upi. Это завершает доказательство теоремы.
Комбинаторный аппарат, построенный для доказательства пре-
предыдущей теоремы, можно применить для получения другой
информации о свободных произведениях амальгамы. Приведем
несколько результатов Хауи.
Теорема 9.45. Пусть [St; U; <рг] — полугрупповая амальгама,
в которой Ui является унитарной подполугруппой из St для каж-
каждого i 6 /. Тогда S^i является унитарной подполугруппой из
Ци St для каждого i 6 /• Кроме того, Иц есть унитарная под-
подполугруппа из \\и St.
Доказательство. Из предыдущей теоремы вытекает,
что Siiii ["I Sj[ij = U\i при i Ф j. Следовательно, так как пере-
пересечение двух унитарных подполугрупп само является унитарной
13-100

194 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
подполугруппой, достаточно установить, что каждая подполу-
подполугруппа SiHi унитарна в \\ц St.
Будем доказывать, что д^ц* унитарна справа в Пи^г* Уни-
Унитарность слева доказывается аналогично. Предположим, что
St, tt 6 S(, w 6 \\*Si и (wsi, ti) 6 v*. Мы должны установить, что
wv* 6 SiHt.
Ввиду следствия 9.40 существует последовательность элемен-
элементарных «-переходов от ti до wst, в которой все 5-шаги, если они
имеются, выполняются первыми. Все начальные 5-шаги можно
заменить одним 5-шагом, поэтому в любом случае существует
последовательность от некоторого tj 6 Sj до wsi, не содержащая
?-шагов, где tj является (U, ?)-словом. Доказательство будем
вести индукцией по числу М-татов в этой последовательности.
Предположим сначала, что последовательность состоит лишь
из 2?-шагов. Тогда, так как по предположению все слова являют-
являются бисобственными, на основании леммы 9.38 wst есть (U, ?)-слово.
Следовательно, w является (U, ?)-словом, откуда wo* ? Si\it.
Предположим теперь, что желаемое заключение можно выве-
вывести для последовательности, число ikf-шагов в которой меньше р.
Пусть число М-шатов в последовательности от tj до wst равно р.
Рассмотрим участок последовательности от последнего М-шага
до ws^ Применяя лемму 9.42, мы можем записать wst как непри-
неприводимое слово в виде xyz, где х, ъ суть непустые слова и у есть
непустое [/-слово, кроме того, существует последовательность
- элементарных и-переходов от tj до ху (m) z — w' для некоторого
тп ? I, не содержащая 5-шагов, число М-шатов в которой рав-
равно р — 1.
Рассмотрим некоторые возможности для и/. Мы имеем wst =
= xyz и слово xyz неприводимо, т. е. последний слог слова х
и первый слог слова у лежат в различных St и, аналогично, послед-
последний слог слова у и первый слог слова z лежат в различных SV
Заметим также, что st не обязательно является слогом слова wst.
Отсюда вытекает, что последний слог слова ъ равен atSi, где at
либо принадлежит St, либо пусто. Следовательно, w' = ху (m) z
можно записать в виде w' = w"st, где w" = ху (т) Ъ и bsi = z.
Здесь Ъ может быть и пустым словом. Применяя предположение
индукции к последовательности от tj до w"st, мы получаем, что
w"v* 6 SiVi- Однако w = xyb и поэтому (w, w") 6 v*. Следова-
Следовательно, wv* 6 Si^i- Этого достаточно для завершения доказатель-
доказательства теоремы.
Усилить теорему, заменяя унитарность на почти унитарность,
нельзя. Контрпример см. в упражнении 7 к настоящему пара-
параграфу.
Приведем теперь теорему о порождении подполугрупп в []у 5*.
О некоторых ситуациях, когда выполняются условия теоремы,

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 195
см. в упражнении 8 ниже. Упражнение 9 показывает, что теорема
будет неверна, если опустить предположение о том, что Tt почти
унитарна в St для каждого i.
Теорема 9.46. Пусть [St; U; фг] — полугрупповая амальгама,
в которой полугруппа U % почти унитарна в Si относительно
отображений Яг и р4 для каждого i 6 /. Для каждого i 6 / пусть Ti
есть почти унитарная подполугруппа из St относительно тех же
отображений Xt и рг, содержащая V\. Тогда полугруппы Tt\ii
порождают в Ду St подполугруппу, изоморфную Ди Т%.
Доказательство. Так как Т% s Si, имеем Д Т% s
— П* $1- Ввиду того что [Ти U; <рг] является полугрупповой
амальгамой, отношение v = {(ut, Uj) | i, j 6 -Л uq>t = ut, wpj = uj
для некоторого и 6 U) есть отношение на \\* Т%. Обозначим через
¦uf конгруэнцию на []* Tt, порожденную «. Тогда []* Ttlv^
совпадает с \\и Т%- В силу леммы 9.9, для того, чтобы доказать,
что []и Tt вкладывается естественным образом в Ци St, т. е. что
Ди Tt изоморфно подполугруппе из Ди St, порожденной полу-
полугруппами TtHi, достаточно установить, что
А для доказательства этого остается лишь показать, что
Рассмотрим для этой цели такие слова w, w' 6 Ir Ti, что
(w, w') 6 v*. Так как для каждого i по предположению Tt s
S XiSiPi, слова w и w' являются бисобственными. В силу след-
следствия 9.40 существует такая бисобственная последовательность
¦и-переходов
W = Wo -*¦ Wi -*•...-*- Wa -> Ws + i ->...-> Wn = w'
от юдою', что первые s переходов @ ^ s ^ n) являются 5-шагами,
в то время как остальные п — s суть Е-ш&тш или Ж-шаги. При-
Приступим к доказательству того, что wT 6 Д* Т( для всех г = 0, 1, ...
. . ., и; этим доказательство будет завершено.
Сделаем сначала два замечания относительно г>перехода
wT -*¦ wT+i. Слог, не принадлежащий U Ti, будем называть
не-Т-слогом.
A) 5-шаг не может увеличить число не-Г-слогов.
B) ?-шаг или М-шаг не может уменьшить число не-Г-слогов.
Докажем A). Пусть wT = . . . SiUjs'k. . . ->¦ wr+i = . . . SjUjSh ...
есть iS-шаг. Если I ф. i и I Ф к, то изменения в числе не-Г-слогов
не происходит, так как ujvl ut оба принадлежат U Ti. Если I =

196 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
= i Ф к и st 6 Tt, то также s,Uj 6 Tt. Если I = i = к и «г, si 6 ^г>
то SjMjSi 6 ?V Остальные случаи очевидны.
Докажем B). Пусть wT = ... st ... = ... atUibi ...-»-
¦->¦ iw,.+i = . . . uiUbbl . . . есть Л/-шаг. Если st $ 7^, то либо
flj $ 71;, либо 6j | Г;. В самом деле, из включений at 6 Г*
и bt ? Tt вытекает, что «j = агиг-Ьг ? Ту
Пусть wr = . . . s^Sfe ... = ... ajUjSft . . . ->- wr+i = . . .
. . . a^iSft . . . евть i?-mar. Если st $ Tt, то, как и выше, аг ^ Ть.
Предположим, что sh § Th vl I = к. Так как wT — бисобственное
слово,sh E^k^kPk- Следовательно, в силу унитарности Th в K^SkPh
имеем uksh ^ Th. Если I Ф к, то sk является не-Г-слогом сло-
слова mvh-1-
Теперь w = w0 не имеет не-Г-слогов. Тогда ввиду свойства A)
это должно выполняться и для ws. Но не-Г-слоги не могут появить-
появиться в последовательности ws ->-... -*¦ wr = ш'. В самом деле,
если они появятся, то в силу B) их число уже не сможет умень-
уменьшиться, но тогда w' не будет принадлежать []* 71;. Следовательно,
каждое wr ? Д* 2У Доказательство теоремы завершено.
Закончим этот параграф изложением результатов Хауи о пря-
прямой сумме полугрупповой амальгамы.
Пусть {St | г 6 1} — семейство попарно не пересекающихся
полугрупп и о" — отношение на Ц* Si; определенное следующим
образом:
Тогда прямой суммой полутрупп St, которую мы будем обозна-
.чать через ^ {$i I * 6 ^}> называется полугруппа
2 ^ = (П15^)^*-
Заметим, что если каждое 5г имеет единицу и если | / | конеч-
конечно, то 2 "^г не обязательно изоморфна прямому произведению
Y[ St. (По этой причине могут быть предпочтительней другие
термины, например свободная сумма. Другие замечания о прямых
произведениях и прямых суммах см. в упражнениях 10—13
к настоящему параграфу.)
Рассмотрим теперь полугрупповую амальгаму [St; U; <р{].
Как обычно, определим отношение v на [J* St. Тогда прямой
суммой амальгамы [St; U; фг] или прямой суммой полугрупп
с объединенной подполугруппой U, которую мы обозначаем через
yju'S'i, называется полугруппа
Нашей целью является получение достаточных условий, при
которых полугрупповая амальгама может быть вложена есте-
естественным образом в свою прямую сумму.

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам 197
Отождествляя каждое St со своим каноническим образом
в \\* St, мы следующим образом определим канонические гомо-
гомоморфизмы V;; St ->• 2G $г'
vt: а ->- avt = a (a (J v)* (a ? 5j).
Тогда для любого и ? U имеем
так как (шрг, мф7-) ? и s(o'U'u)*- Следовательно, применяя лем-
лемму 9.30, мы выводим, что отображение я, заданное условием
я; а—>- ал = а%лЧ, если а ? S\,
является гомоморфизмом частичного группоида д = д [St; U;
Фг1 в 2^ $i- Если я взаимно однозначно, то говорят, что амаль-
амальгама [S^, U; ф;] вкладывается естественным образом в свою прямую
сумму.
Говорят, что подполугруппа U полугруппы S центральна в S,
если us = su для каждого и ? U ш каждого s 6 S. Приведем вна-
вначале необходимое условие вложимости амальгамы.
Лемма 9.47. Пусть л — взаимно однозначное отображение W
в 2U St. Тогда если \I \ >1, то подполугруппа Ut центральна
в Si для каждого i ? I.
До казательство. Пусть и ? U, ut = ифг, Sj 6 'Si-
Выберем j 6 / и / Ф- i. Положим Uj = U(pj. По определению а
и v имеем
6 а,
Si, UiSt) 6 W*,
откуда в силу транзитивности
(Siiii, utSi) 6 (a|Jw)*-
Следовательно, (stUi) л = (uiSi) л, откуда непосредственно выте .
кает, что если я взаимно однозначно, то SjW; = UiSi. Это показы-
показывает, что подполугруппа Ut центральна в St.
В случае когда V\ почти унитарна в St для каждого i 6 J»¦
условие леммы 9.47 является также и достаточным.
Теорема 9.48. Пусть [{S, Мб /}; U; {фг И € /}1 = [St; U;
ф;] — такая полугрупповая амальгама, что \ I \ >1 и [/;(= U(fi)
почти унитарна в St относительно отображений А,г и р4 для •
каждого i ? I. . . '

198 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы, и свободные произведения
Тогда [5г; U; ф{] вкладывается естественным образом в свою
прямую сумму в том и только в том случае, когда подполугруппа Ui
центральна в St для каждого i ? I.
Доказательство. Ввиду леммы 9.47 остается рас-
рассмотреть лишь достаточность. Мы знаем, что lSt; U; <pf] вклады-
вкладывается естественным образом в WuSi (теорема 9.44 и теоре-
теорема 9.31), поэтому мы могли бы лишь показать, что если Ut цен-
центрально в St для каждого i, то естественный гомоморфизм \\и Si
на 2и St не стягивает &. Однако мы предпочитаем прямой путь.
Легко видеть, что я взаимно однозначно тогда и только тогда,
когда имеют место следующие два условия:
(i) Каждый канонический гомоморфизм v,-: St ->¦ ^\uSk
взаимно однозначен.
(ii) SiViftSjVj = Uv для 1ф), где v = ф,щ.
В самом деле, доказательство проводится аналогично доказа-
доказательству пункта B) теоремы 9.31. Покажем, что в наших пред-
предположениях справедливы утверждения (i) и (ii).
Заметим, что элементарный (a U и)-переход является либо эле-
элементарным «-переходом, а потому Я-шагом, ikf-шагом или 5-шагом,
либо элементарным а-переходом.
Предположим, что st 6 St и («г, w) 6 (o"U и)*. Тогда существует
последовательность
элементарных (а [) и)-переходов от st до w. Применяя лишь о-пере-
ходы, каждое слово wr можно преобразовать в такое слово vr,
что никакие два его слога не принадлежат одной и той же полу-
полугруппе /SV В общем случае существует более одного слова vr,
которое можно получить из wT таким способом. Выберем по одному
такому слову для каждого wr (г = 0, 1, 2, . . ., п).
Заметим сначала, что либо не существует переходов в данной
последовательности и поэтому st = w, либо st 6 Яг5грг.
Действительно, w0 ->¦ u>4 не может быть а-переходом, а тогда
si — ut 6 Ut или Si = flSjiij, или si = utbi, или st = uiUfbi, где
au bt 6^<5j. Рассмотрим случай st = огмгЬ4. Так как подполугруп-
подполугруппа Ui 'центральна в St,
st =
Таким образом, st 6 hsi9i- Остальные случаи проверяются ана-
аналогично. Для использования в дальнейшем мы также заметим, что
если wn = w является односложным словом (и п >0) в Sj, то

§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам • 199
и?п_1 ->¦ wn должно быть v-переходом; отсюда мы заключаем, что
Предположим теперь, что п >0, и определим следующим
образом v* для каждого,/. Пусть vr = si(l) s^2) . . ., где st (^ ? St (J-).
Тогда мы полагаем v* = Xjd) s^j) Рко^ы 5гы PU2) • • • • Мы имеем
«г = w0 = v0 = v*, так как было показано, что st ? ^г^гР;- Кроме
того, v* является (U, г)-словом и st = v* (i). Предположим, что
уже установлено, что v* есть (U, ?)-слово и Sj = v*r (i). Будем
доказывать, что тогда v*+i является (U, 1)-словом и у*+1 (i) = st.
Рассмотрим возможности, которые могут выполняться для
wT ->-и?г+1. Если это а-переход, то, очевидно, множество слогов
слова vr+i совпадает с множеством слогов слова vT. Следовательно,
v*+1 есть (U, ?)-слово и, так как подполугруппа Ut центральна
в St, имеем vf+t (i) = v* (i) — st.
Предположим, что wT -*¦ wT+i является .Е-шагом и sm = атит,
где ит g Um, есть слог слова wr, который преобразуется в amuk
этим переходом. В vr элемент атит появляется в слоге tm =
= хатиту, где жиг/ — либо пустце слова, либо принадлежат Sm.
Таким образом, hmtmpm есть слог слова v* (в действительности
tm — ^m^mPm)- Но v% является (U, ?)~словом, следовательно, либо
т = i, либо %mtmpm 6 Um. В первом случае Хтхатурт 6 St.
Во втором случае, так как kmtmpm = A,ma;amz/pmum и Um уни-
унитарна в A,miS'mpm, имеем А,та;атг/рт 6 ^т- Таким образом, в обоих
случаях слог ктхатурт слова v*+i, содержащийся в Sm, является
(U, г)-словом. Непосредственно видно, что слог слова vT%i, содер-
содержащийся в Sk, также является (U, г)~словом. Следовательно,
vr%i есть (U, ?)-слово. Так как подполугруппа Ut центральна
в St, то, оценивая vf (i), получаем и*+1 (i) = v* (i) = Sj.
Ввиду центральности Um в Sm для каждого т ? / очень похо-
похожие рассуждения можно применить в случае, когда u;r —»-ц;г+1
является М-та.тош или 5-шагом. Таким образом, заключаем, что
всегда u*+i @ = st. Отсюда по индукции следует, что pJJ (i) =«г.
Предположим, что w является односложным словом wn = w =
= tj 6 Sj. Тогда либо п = 0, либо, как отмечено ранее, tj 6 kjSjPj.
Таким образом, если п >0, то tj = wn — vn = и„ и поэтому
iy есть (U, ?)-слово и ^ (?) = Sj. Следовательно, имеется лишь две
возможности: первая — / = i и tj = s*; вторая — tj = Uj 6 Uj
ж si = ut. Эти две возможности вместе показывают, что для ото-
отображений vt (i 6 Т) выполняются условия (i) и (ii). Теорема
доказана.
Упражнения к § 9.4
1. Пусть {St | i 6 /}'— семейство полугрупп. Предположим»
что для каждого i полугруппа St задана образующими Xt и опре-
определяющими соотношениями ot, т. е. St ^ &xJg*- Пусть Xt f] Xj=
= 0 для 1ф]. Положим X =U {Xt | i 6 /} и <х = U {<** М € /}•

200 Гл. 9, Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Тогда JFxIg* равна, с точностью до изоморфизма, свободному
произведению []* i^t M 6 7}.
2. Пусть {St | i 6 7} — семейство полугрупп и полугруппа S
порождается изоморфными образами Stvt (s € 7) полугрупп Sif
где vt: Si-*- S есть изоморфное вложение (i 6 7). Предположим,
что S обладает следующим свойством: для любой полугруппы Т,
такой, что существуют гомоморфизмы я|)г; S* —>- Т для каждого
i 6 7, существует гомоморфизм <р: S -> Т, для которого V;(p = я])*
при каждом i 6 7. Тогда S изоморфна []* {St | i <Е /}.
3. Пусть [St; U; ф*] — полугрупповая амальгама. Предполо-
Предположим, что для каждого i полугруппа St задана образующими Xt
и определяющими соотношениями сгг, где Xi{~\Xj =0 для i ф],
т. е. Si s* ^"jcj/af. Положим Vt = {U^t) (af4?)-1 и т = {(vt, v}) 6
6 7j X F7- | vta* = ифг, Uj-ff* = uq>j для некоторых i, / и неко-
некоторого u 6 ?/}• Положим также a = (U {o"j})Ut и ¦Х' =U {^i}-
Тогда полугруппа JFx/°* изоморфна свободному произведению
Пи St амальгамы [St; U; ф,] (Хауи [1962]).
4. Пусть [St; U; фг] — полугрупповая амальгама и полугруп-
полугруппа U задана образующими Y и определяющими соотношениями я,
т. е. ?7 ^ J^y/я*. Тогда существуют такие множества Х$, что
Хг Э У и Xt [\Xj = Y, если i ф ), и отношения аг на ?Fxv для
которых St^^Xi/a* и я* = a* {\{jFY X ^"у) для каждого i.
(См. упражнения 2 и 3 к § 9.2.) Положим X =1) {-X"*} и a =
= U {^г}- Тогда &Х1в* изоморфна свободному произведению
Y[uSi амальгамы [Sf, U; фг1.
5. Пусть [{St | i 6 /}; У; {фг М 6 /}1 — полугрупповая амаль-
амальгама и S — полугруппа, порожденная гомоморфными образами
StVi (i 6 /) полугрупп Si относительно гомоморфизмов
Vj: St -*¦ S, где ф^г =q>fV] для всех i, j 6 /. Предположим далее,
что S и семейство гомоморфизмов vt обладают следующим свой-
свойством: пусть Т — произвольная полугруппа, такая, что суще-
существуют гомоморфизмы -фf: Si~*- T (i 6 7), для которых фгфг =
= фу^ при всех i, j 6 7; тогда существует гомоморфизм ф: S ->¦ Т,
такой, что VГф = a|)j для каждого i 6 7. В этом случае S изоморфна
'свободному произведению Ди St амальгамы [St; U; ф;].
6. Пусть [St; U; фг] — такая собственная полугрупповая
амальгама, что каждая полугруппа St является группой. Пред-
Предположим, что [Si; U; фг] может быть вложена в полугруппу.
Тогда U есть группа. (Ср. теорему 1.11.) (Хауи [1962].)
7. Пусть полугруппа U задана образующими Г = {е, щ, . . .
.•. ., ц5} и определяющими соотношениями
р = {(е2, е), (щи3, и2), (utub, u,)}(J {(eur, ur), (ure, ur): 1 <r<5}.
Пусть полугруппа S задана образующими Г U {s} и определяю-

§ 9.4. Вложение полугрупповях амальгам 20f
щими соотношениями
Р' = PU {(uis> ), (ese, и3), (s2, ses)}.
Пусть полугруппа Т задана образующими Г [_!{<} и определяю-
определяющими соотношениями
Р" = PU {Ы, ui)> (ete, иъ), (t\ tet)}.
Тогда U является подполугруппой из S, унитарной в eSe
и поэтому (теорема 9.32) почти унитарной в S. Аналогично, U
почти унитарна в Т. Следовательно, амальгама [{З,?1)}; U]
вкладывается в Пи{"^' Т).
Обозначим (ср. с теоремой 9.31) канонические изоморфизмы S, Т
ж U в Ди {S, Т) соответственно через fij, \i2 и \i. Тогда мы мо-
можем показать, что (e\i) (t\i2) (s\ii) (e\i) (J U\i, в то время как
(ц4ц)(ф) (Щ2) (s^i) (e[i)=u2\i б 17ц. Следовательно, Cfy не уни-
унитарна в (ец)-[]|7 {'S', T}-(e\i), откуда на основании теоремы 9.32
U\i не является почти унитарной в []у {S, Т). (Хауи [1963b].)
8. Пусть [St; U; фг] — полугрупповая амальгама и Tt — под-
подполугруппа из St, содержащая Uu для каждого i ? /. Пред-
Предположим, далее, что Ti почти унитарна в St относительно ото-
отображений %х и рг.
Тогда условия теоремы 9.46 выполняются в том и только в том
случае, когда
(i) V\ — унитарная подполугруппа из Яг-5;рг.
Предположим, что Ut почти унитарна в St относительно ото-
отображений Yj и 6г. Тогда каждое из следующих условий достаточ-
достаточно для того, чтобы выполнялось (i).
(ii) KStpi = yiSfii.
(iii) Ut и Ti унитарны в 5г.
(iv) Tt содержит единицу et, которая принадлежит С/г.
(v) U является группой и Tt есть подгруппа из St. (Хаует
[1963Ы.)
9. Пусть U — свободная полугруппа с двумя образующими
и, v; Ti — свободная полугруппа с четырьмя образующими и, v,
ti, t[; Si — полугруппа, заданная образующими и, v, ti, t[, Si
и определяющими соотношениями {(«iu, ti), (SiV, Q}; T2 = S2 —
полугруппа, заданная образующими и, v, t2, t'2 и определяющим
соотношением (ut2, vQ.
Тогда U унитарна в 5t и S2 (т. е. естественный образ U в St
и S2 унитарен). Кроме того, Tt является подполугруппой из St.
Это можно доказать, заметив, что Si изоморфна (лемма 9.11)
свободной полугруппе на множестве {u, v, Si}, и используя след-
следствие 9.8 для доказательства того, что подполугруппа этой сво-
свободной полугруппы, порожденная и, v, siu и s^v, является сво-
свободной полугруппой на этих образующих.

202 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Полугрупповая амальгама [{^i, S2};_ U] вкладывается
в \\и {Si, S2} и полугрупповая амальгама l{Ti: Т2); U] вклады-
вкладывается в []у {Tj, Гг}-
Пусть [хг — каноническое вложение (теорема 9.31) полугруп-
полугруппы St в Ди {Si, S2} (i = 1, 2). Тогда подполугруппа из
Y\u {S±, S2}, порожденная Ti\ii и T2\i2, не будет естественно изо-
изоморфна полугруппе \\и {Tit Т2). В самом деле, ti\iit2\i2 =
'2\i2 в \}и {Si, S2}, в то время как ti\iit2\i2 Ф t'^it'^i
Ш {Ти Т2). (Хауи [1963b].)
Пусть {St | i 6 1} — семейство полугрупп. Через S =
= Д {St | i g /} = \\ St обозначим прямое произведение полу-
полугрупп St, которое определяется следующим образом. Множе-
Множество S равно декартову произведению множеств St, т. е. состоит
из всех множеств (или последовательностей) {а,- | i 6 /}, где
¦а; 6 St для каждого i. Произведение элементов из S задается
покомпонентно:
{at}.{bt}= {а^}.
Говорят, что at есть i-я компонента элемента {at}. Если х 6 П &%,
то i-я компонента элемента х обозначается также через xt.
Подполугруппа В из S называется подпрямым произведением
полугрупп Sit если для каждого i 6 I и для каждого at 6 St суще-
существует элемент в В, i-я компонента которого равна at.
10. Пусть {St | i 6 /} — семейство полугрупп. Для каждого
г 6 / добавим к St единицу et (независимо от того, обладает уже
Si единицей или нет). Положим Tt = St [} {et}. Пусть В — под-
прямое произведение полугрупп Tt, состоящее из всех элементов t
из \\ Ти У которых лишь конечное число компонент tt Ф et.
Обозначим через е единицу из [] Tt ,(e= {ег}).
Тогда А = В \ {е} есть подполугруппа из [J Tt, изоморфная
2 Si, и А есть подпрямое произведение полугрупп 2V
Обозначим через Sj множество всех элементов t?A, для
которых tt = et при i Ф j. Тогда Sj есть подполугруппа из А,
изоморфная Sj. Если / Ф к, то каждый элемент из Sj коммутирует
¦с каждым элементом из S^- Полугруппа А порождается своими
подполугруппами S} (j 6 I)-
11. Пусть {St | i g/} — семейство полугрупп.
(а) Пусть <S — множество всех отображений / множества /
в U {Si}, таких, что if 6 St для каждого i 6 /• Зададим на S про-
произведение, полагая для f,g?S
i ifg) = (>f) (ig) (i 6 I).
Тогда S совпадает с прямым произведением ГГ St.

§ 9.4. Вложение полугрупповях амальгам. 203
(Ь) Пусть 2 — множество всех отображений / непустых конеч-
конечных подмножеств из / в U {Si}, таких, что if 6 St для каждого.
i 6 I, для которого определено if. Зададим на Б произведение,
считая, что i (fg) определено для /, g 6 2 и i ? /, если определено
if или ig, и полагая в этом случае
Г (if) (ig)> если определено if и ig,
i (fg) = i */> если г'? не определено,
(, ig, если ?/ не определено.
Тогда Б есть полугруппа, изоморфная прямой сумме S 5г.
12. Пусть {St | i 6 1} — семейство полугрупп и J — семей-
семейство подмножеств из /. Обозначим через D множество всех ото-
отображений / элементов из J в U Sh для которых if ? Si в
случае, когда if определено.
Пусть f,g?D. Предположим, что / и g являются соответ-
соответственно отображениями элементов / и К из J в U St. Определим
fg: J[)K-+\J {St}, полагая
( (tf)(ig), если i?Jf\K,
i(fg)={ if, если i?J\K,
[ ig, если i?K\J.
Тогда относительно этого умножения D является полугруп-
полугруппой в том и только в том случае, когда J замкнуто относительно
операции объединения, т. е. когда J есть полуструктура относи-
относительно операции объединения.
Для каждого i 6 I присоединим к St единицу et (независимо
от того, обладает уже St единицей или нет).. Положим Tt =
= St{] {et} и обозначим через е = {ег} единицу из Д ?.. Тогда
D, если оно является полугруппой, изоморфно некоторой под-
подполугруппе из [] Tt.
Если J есть множество всех подмножеств из /, то D изоморф-
изоморфна \\ Tt. Если единственным элементом J является I, то D изо-
изоморфна П Sf
13. Пусть {St | i 6 1} — семейство полугрупп. Для каждого
i 6 / присоединим к St единицу et (независимо от того, обладает
уже St единицей или нет). Положим Tt = St[){et} и обозначим
через 0^ тождественное преобразование полугруппы St, если
i = j, и отображение St на е3, если i ф ). Пусть S — полугруппа.
Тогда S изоморфна прямой сумме 2 $t в том и только в том
случае, когда для каждого i ? / существуют такие гомоморфизмы
fi' St—*-S,

204 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
чт« figj = 9jj для всех i, j 6 I и для каждого s 6 S
величина этого произведения не зависит от порядка, в котором
берутся элементы sgifi. Заметим, что, так как в полугруппе имеет
смысл рассматривать лишь произведения конечного числа эле-
элементов, из предыдущего выражения для s как произведения
вытекает, что sgi ? Si лишь для конечного числа элементов i ? I.
§ 9.3. Построение конгруэнции с сокращениями
Под представлением полугруппы S с сокращениями мы будем
понимать здесь задание такого множества X и отношения р на
свободной полугруппе вр' х, что JFx/p° =S, где рс есть наимень-
наименьшая конгруэнция, содержащая р, для которой jf 'х/рс является
полугруппой с сокращениями. Вообще говоря, рс больше, чем
конгруэнция р*, порожденная р, и поэтому это понятие представ-
представления полугруппы S отличается от понятия представления, вве-
введенного в § 9.2. Мы, возможно, должны были бы назвать это
представление «представлением с сокращениями», но такая предо-
предосторожность вряд ли необходима.
В случае групп мы сначала строим свободную группу ер Ч§х
на подходящем множестве X (т. 1, стр. 68). Затем, чтобы предста-
представить данную группу G, нужно лишь найти такое отношение р
на & &xi что 3F &х/р* = G. Аналогично, в случае коммутатив-
коммутативных полугрупп сначала строится свободная коммутативная полу-
полугруппа Fх (§ 9.3) и затем подбирается такое отношение р на Fх,
что Fx/p* изоморфна данной полугруппе. Таким образом, в этих
двух важных случаях благодаря «опорным системам» &Ъ'х
и Fx мы можем использовать лишь конгруэнцию р*, порожден-
порожденную отношением р. Но такой «опорной системы» не существует
для всего класса полугрупп с сокращениями. Причина состоит
в том, что этот класс не замкнут относительно операции взятия
гомоморфного образа. Мы должны довольствоваться — пока нет
лучшего метода — полугруппой $р'х и должны развить технику
построения отношения рс по данному отношению р.
Для большей общности в настоящем параграфе мы изучаем
построение рс по р не только на $рх, но и на произвольной полу-
полугруппе S. Результаты для произвольной полугруппы S (теоре-
(теоремы 9.50 и 9.53) являются новыми.
Последняя часть этого параграфа посвящена подробному
изложению остроумного метода Круазо [1954Ы получения множе-
множества Y «канонических форм» в полугруппе S относительно кон-
конгруэнции р на S, т. е. такого множества Y, что каждый элемент
из S конгруэнтен по mod p точно одному члену из Y. Этот метод
применим для произвольных конгруэнции, так же как и для

§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 205
конгруэнции с сокращениями. В применении к важному частному
случаю S =JFx он Дает нам метод описания строения полугрупп
[с сокращениями], исходя прямо из их представления [с сокра-
сокращениями], без обращения к представлениям различного вида
(преобразованиями, матрицами, упорядоченными n-ками и т. д.).
Говорят, что конгруэнция а на полугруппе S является кон-
конгруэнцией с сокращениями, если S/a есть полугруппа с сокраще-
сокращениями. Таким образом, если а есть конгруэнция на S, то а являет-
является конгруэнцией с сокращениями тогда и только тогда, когда
для любых а, Ь, с ? S каждое из включений (ab, ас) ? а ж (Ъа, са) ?
6 сг влечет за собой (Ь, с) ? а. Легко доказывается следующая
Лемма 9.49. Пусть {cTj | i ? /} — семейство конгруэнции
с сокращениями на полугруппе' S. Тогда а = П{°"г I & € ^} являет-
является конгруэнцией с сокращениями на S.
Так как универсальное отношение S X S на S является кон-
конгруэнцией с сокращениями, эта лемма показывает, что для дан-
данного бинарного отношения р на S существует наименьшая кон-
конгруэнция с сокращениями на S, которая содержит р, а' именно
пересечение всех конгруэнции с сокращениями на S, содержа-
содержащих р. Будем обозначать эту конгруэнцию через р° и будем гово-
говорить, что р° есть конгруэнция с сокращениями на S, порожденная
соотношением р. Целью данного параграфа является изложение
различных конструкций для рс.
Следующие обозначения упростят описание нашей первой
конструкции. Обозначим через 98 = 38s множество всех бинар-
бинарных отношений на полугруппе S и определим следующим образом
отображения С*, D, Gvt Q множества 98 в себя. Для любого р 6 98
полагаем:
С*: р -»- рС* = {(х, у) | х = sut, у = svt; s, t 6 S1; (и, v) 6 p},
D: p -»- pD = {{x, y) \u = xa, v = ya; a 6 S1; (u, v) 6 p},
G: p -> pG = {(x, y) \u = ax, v = ay; a ? S1; (u, v) 6 p},
6: p -> p9 = (p о р) и рС* U pD U pG.
Следующую теорему можно рассматривать как аналог теоре-
теоремы 1.8.
Теорема 9.50. Пусть р — бинарное отношение на полугруппе S
и х = р U р U is. Тогда
рс = U {т°п| п = 1, 2, 3, ...}.
Доказательство. Положим а = U {т9п | п = 1, 2,
3, . . .}. Покажем сначала, что а есть конгруэнция с сокращения-
сокращениями, содержащая р.

206 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Так как т рефлексивно, имеем tstot и поэтому рдтд
<= т о т ? т9 ?= а. Так как i8?t, имеем также is s= а. Сле-
Следовательно, а есть рефлексивное 'отношение, содержащее р.
Отношение т симметрично по построению, а для рефлексив-
рефлексивных и симметричных отношений каждое из отображений о, U»
С*, D и G, использованных при определении 0, сохраняет сим-
симметрию. Таким образом, 6 и (по индукции) каждая степень б7*
является симметричным отношением. Значит, а симметрично.
Как уже было замечено, т s т9; следовательно, т9™ Ет9п+
для каждого п. Используем это соотношение для доказательства
того, что а транзитивно. В самом деле, пусть (а, Ь) и (Ь, с) при-
принадлежат а. По определению а для некоторых т, п имеем (а, Ъ) ?
6 т9" и (Ь, с) 6 т9™. Таким образом, если через р обозначить наи-
наибольшее из чисел т, п, то (а, Ъ), (Ъ, с) 6 т9Р, откуда (а, с) ?
6 т9Р о т9Р с= т9Р+1 с= а.
Докажем, что а стабильно. Возьмем (а, Ь) 6 сг. Для некото-
некоторого целого числа п имеем (а, Ъ) 6 т9". Тогда (ас, be) 6 те"С* s
S t9"+1s а для любого с 6 S. Таким образом, а стабильно-
справа; стабильность слева доказывается аналогично.
Наконец, докажем, что а—конгруэнция с сокращениями-
Возьмем (ас, be) ? а. Для некоторого целого числа п имеем
(ас, be) 6 т9 • Тогда (а, Ъ) 6 т9" Deo. Таким образом, а —
конгруэнция с правым сокращением; тот факт, что а—конгруэнция
с левым сокращением, доказывается аналогично.
Для завершения доказательства теоремы достаточно устано-
установить, что и?рс. С этой целью рассмотрим произвольное отно-
отношение р\ содержащееся в рс. Тогда легко проверить, что E9 S рс.
Например, пусть (х, у) 6 $D; тогда для некоторого (u, v) 6 Р
и а 6 S1 имеем и = ха и v = уа. Таким образом, (ха, уа) 6 Р S рс.
Так как рс с правым сокращением, отсюда вытекает (х, у) 6 р°-
Другие три возможности проверяются аналогично. Следователь-
Следовательно, так как tspc, по индукции имеем т9* ? р°для п =
=1, 2,.. . ., откуда a sp°. Доказательство теоремы закончено.
Нашу вторую конструкцию для рс мы приведем сначала для
отношения р на свободной полугруппе $Fх- В конструкции исполь-
используются два экземпляра множества X,
XL={xL\zeX} и XR = {xR\x?X},
где х ->- xL и х -v xR являются взаимно однозначными отображе-
отображениями и множества XL и Xй попарно не пересекаются между
собой и с множеством X. Положим Y = X [} XL [} XR и рассмо-
рассмотрим следующие виды преобразований элементов из ^y'-
(i) Элементарный р-переход.
(И) Вставка элемента хьх или xxR (x 6 X): w-*-w', где
W = WjW2, W' = WiX^XW2 ИЛИ W' = WiXXRW2 И U?i, 102 € \

§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 207
(iii) Вычеркивание элемента xLx или xxR (х ? X); вычеркива-
вычеркивание есть преобразование, обратное преобразованию типа (ii).
Цепь
w = ц>1 -> w2 ->...-> wn+i = w'
преобразований wt ->- wi+l типа (i), (ii) или (iii) будем называть
р-допустимой (где р есть отношение на <рх), если w и w' при-
принадлежат врх и если любые элементы xL или Xs, участвующие
в некоторой вставке, вычеркиваются в порядке, обратном порядку
их вставки. Более точно, предположим, что шаг Wi -*¦ Wj+t
является вставкой, вводящей слово xLx. Тогда, так как w' при-
принадлежит Jf x-i это вхождение ?L должно вычеркиваться на неко-
некотором шаге в цепи от шдош'. Для р-допустимой цепи мы требуем,
чтобы это вхождение xR в ivi+i вычеркивалось прежде, чем вычер-
вычеркиваются другие индексированные элементы yR или yL, уже при-
присутствующие в ivi+i. Это требование относится также к вхожде-
вхождениям xL, если таковые имеются, уже присутствующим в wi+1.
Точно такие же условия накладываются на вставки и вычерки-
вычеркивания элементов множества Xs. Для того чтобы обеспечить
выполнение этих условий, мы должны следить за появлением
каждого индексированного символа в цени, различая каждое
повторение одного и того же символа при последовательном
их появлении расстановкой, например, номеров 1, 2, 3, ... .
Для разъяснения этого приведем следующий пример допусти-
допустимой цепи.
Пусть X = {р, q, r, s, t, и, v, х, у, z} и р = {(qt, rs), (rt. xy),
{рх, zq), (qy, ut), (us, vt)}. Тогда
pq -*¦ pqttR -*¦ prstR -*-prttRstR -*-
1 1 2 1
->¦ pxytRstR -*- zqytRstR -*¦
i i ii
-*¦ zuttRstR -*¦ zustR -> zvttR ->
2 1 1 1
->- zv
есть р-допустимая цепь от pq до zv.
Теорема 9.51. Пусть р— отношение на $рх и w, w' d^x-
Тогда (w, w') 6 pc б том и только в том случае, когда существует
р-допустимая цепь от w до w'.
Доказательство. Рассмотрим следующее отношение
р = {(w, w') | существует р-допустимая цепь от w до w'}. Тогда,
очевидно, р рефлексивно. Так как р-допустимая цепь, записан-
записанная в обратном порядке, также остается р-допустимой цепью,
р симметрично. Предположим, что (wit ц>2) и (w2, w3) принадлежат
р; так что существуют р-допустимые цепи
u>i ->...->¦ w2 и w2 -*• . ¦ . -> ws.

208 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Тогда цепь от wt до ws, полученная присоединением к первой цепи
второй, является р-допустимой. Таким образом, (wi, wa) 6 р; это
показывает, что р транзитивно.
Пусть (и?!, w2) ? р и w 6 IF х- Тогда, исходя из р-допустимой
цепи и?! ->- . . .-+w2, строим другую р-допустимую цепь wwi -*~ . . .
. . ->- ww2. Таким образом, {wu>u ivw2) € р- Следовательно, р ста-
стабильно слева и, аналогично, стабильно справа. Итак, мы дока-
доказали, что р является конгруэнцией на jf'х-
Докажем, что р с сокращениями. Рассмотрим сначала пару
(xwu xw2) 6 р, где х 6 X. Таким образом, существует р-допу-
«тимая цепь
XWi —*-...—*- XW2
и поэтому цепь
И>1 "**¦ XlXWi -*-...-*- XLXW2 -*- W2
также является р-допустимой. Таким образом, (wl, w2) 6 р. Это
показывает, что мы можем сокращать слева на элементы из X.
•Следовательно, сокращая последовательно по одному образую-
образующему, мы получаем, что для любого w 6 ?Fх из (kwi, ww2) ?p
вытекает (u^, w2) 6 Р- Аналогично доказывается, что р с правым
сокращением.
Ясно, что рс ?= р, так как р s р. Приступим теперь к дока-
доказательству того, что справедливо и обратное включение.
Для этой цели рассмотрим (и;, и/) ? р. Тогда существует
р-допустимая цепь от w до w'. Если в этой цепи встречаются лишь
элементарные р-переходы, то (w, w') 6 р* S р°. В противном
случае на некотором участке цепи встречается вставка. Будем
рассматривать случай, когда первая вставка есть вставка эле-
элемента из XL. Рассуждения аналогичны, если первая вставка
является вставкой элемента из XR. Проведем индукцию по длине
цепи от w до w'. Наше утверждение справедливо для цепи дли-
длины 1, так как в этом случае она состоит лишь из одного элементар-
элементарного р-перехода.
Предположим, что имеется р-допустимая цепь
(а) (Ь) (о) (d) (e) ,
w —>¦ WiW2 —*¦ wlxLxw2 —*¦ w3xLxWi —*- и>3и>1 —+¦ w ,
где
(a) состоит из цепи элементарных р-переходов,
(b) есть вставка элемента xLx,
(c) есть допустимая цепь, в которой хь не преобразуется,
(d) есть вычеркивание элемента xLx и
(e) есть р-допустимая цепь от слова w9wk ? врх до w'-.
Заметим, что ввиду р-допустимости цепи от w до и/ слово
полученное в результате уничтожения xL на стадии (d),

§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 209
принадлежит Jf x; следовательно, выполняется утверждение,
высказанное о цепи (е).
Утверждение о том, что (с) состоит из переходов, не затра-
затрагивающих xL, вытекает из определения р-д опустим ой цепи. Сле-
Следовательно, в цепи (с) символ хь играет роль барьера, т. е. пере-
переходы в (с) происходят независимо либо слева, либо справа от хь.
Если рассмотреть в виде последовательности переходы слева
от хь, то легко видеть, что получится р-допустимая цепь от wi
до w3. Аналогично, переходы справа от хь образуют р-допусти-
мую цепь от xw2 до xw^. Каждая из этих цепей, от и?4 до w3 и от
а;и>2 ДО xw±, имеет длину, меньшую чем длина заданной цепи от w
до w'. Следовательно, по предположению индукции (w,, w3) ? рс
и (xw2, хщ) 6 Рс-
Так как рс— конгруэнция с сокращениями, отсюда вытекают
включения (wi, wa) 6 рс и {w2, u?4) ? рс, что влечет за собой
(wiiv2, w3w^) 6 рс- Цепи от и; до W{w2 и от w3Wi до и/ имеют длины,
меньшие чем длина заданной цепи от w до w'. Следовательно,
ввиду р-допустимости этих цепей и на основании предположения
индукции (w, wiwz) 6 рс и (wgWi, w') 6 р- В силу транзитивности
рс мы заключаем, что (w, w') 6 р°- Это завершает доказательство.
Прежде чем распространить конструкцию теоремы 9.51 со
- свободных полугрупп на произвольные полугруппы, сформули-
сформулируем следующую лемму. Сначала дадим одно определение.
Пусть а: А -*¦ В есть отображение множества А в множе-
множество В. Определим отображение (а, а): А X А -+ В X В,
полагая
(а, а') (а, а) = (аа, а'а) для (а, а') 6 А X А.
Лемма 9.52. Пусть (р: S -*¦ Т есть гомоморфизм полугруп-
полугруппы S на полугруппу Т.
(i) Отображения а -у- а (ф, ф) и т ->¦ т (ф, ф) являются взаим-
взаимно обратными взаимно однозначными отображениями множества
всех конгруэнции а на S, содержащих ф о ф-1, на множество всех
конгруэнции х на Т, и наоборот. Кроме того, эти отображения
таковы, что соответствующие факторполугруппы изоморфны;
точнее, если х есть конгруэнция на Т, то естественное отобра-
отображение
Ф?: а (х (ф, ф)-1) -> (аф) т (а б S)
является изоморфизмом Sir (ц>, ф) на Т/х.
(и) Если х — конгруэнция на Т, mo x будет конгруэнцией
с сокращениями тогда и только тогда, когда х (ф, ф) — кон-
конгруэнция с сокращениями.
(iii) Пусть р — произвольное рефлексивное бинарное отноше-
отношение на Т. Тогда (р*) (ф, ф)-1 = (р (ф, ф))* и (рс) (ф, ф) =
= (Р (Ф- Ф)H-
14—100

210 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Доказательство, (i) Пусть т — конгруэнция на Г
и (а, Ъ) 6 S X S. Так как (а, Ъ) ? т (ф, ф) тогда и только тогда,
когда (аф, Ьф) 6 т, а это в свою очередь тогда и только тогда,
когда афт^ = Ьфт^, мы имеем т (ф, ф) = фт^ о (фт4?). Так как
фт^ является гомоморфизмом S на Г/т, это показывает, что
т (ф, ф) есть конгруэнция на S. Ввиду того что т э ir, мы
имеем
т (ф, ф) э 1Г (ф, ф) = ф о ф-1.
Обратно, пусть а — произвольная конгруэнция на S, содер-
содержащая ф о ф. Положим т = а (ф, ф). Тогда т является кон-
конгруэнцией на Г. Рефлексивность т следует из того, что ф есть
отображение S на Т. Очевидно, т симметрично. Транзитивность
вытекает из того, что а э <р ° <р~х. В самом деле, пусть (а, Ь),
(Ь, с) ? т, так что существуют х, у, z, и, для которых ху = а,
yq> — Ъ, zq> — Ь, щ — с и (х, у), (z, и) ? а. Так как yq> = гц>
и ф о ф-1 s а, имеем (у, z) 6 о. Следовательно, (х, и) 6 сг, откуда
(а, с) g т. Докажем стабильность отношения т. Возьмем (а, Ь) ? т
и с ? Т и выберем такие х, у, z 6 S, что хер = а, г/ф = Ь, (х, у) ? а
и гф = с. Тогда (za;, zy), (xz, yz) 6 ст, откуда (са, сЪ), {ас, be) 6 т.
Таким образом, мы доказали, что т = а (ф, ф) является кон-
конгруэнцией на полугруппе Т.
Нетрудно видеть, что эти два отображения взаимно обратны;
мы опускаем детали доказательства этого утверждения.
Закончим доказательство утверждения (i). Пусть т — про-
произвольная конгруэнция на Т. Покажем сначала, что ц>* одно-
однозначно. Для этой цели рассмотрим такие а, Ъ ? 5,чтоа(т(ф, ф)) =
= Ъ (т (ф, ф)). Мы должны установить равенство (щ) х = Fф) т;
но это следует непосредственно из определения т (ф, ф). Тот
факт, что ф? является отображением на Г/т, очевиден. Пред-
Предположим, далее, что (а (т (ф, ф))) ф? = (Ь (т (ф, ф))) ф* для
некоторых а, Ъ 6 S. Тогда (аф) т = (&ф) т, т. е. (а, Ъ) (ф, ф) 6 т,
откуда (а, Ъ) ? т (ф, ф). Это показывает, что ф* взаимно одно-
однозначно, и, так как ф*, очевидно,— гомоморфизм, мы доказали, что
Фх есть изоморфизм Six (ф, ф) на Г/т.
(ii) Это утверждение непосредственно вытекает из того, что
Г/т и Six (ф.^ф) изоморфны.
(iii) Пусть р — рефлексивное бинарное отношение на Т. Как
мы видели в начале доказательства утверждения (i), рефлексив-
рефлексивности р достаточно, чтобы ф ° ф s p (ф, ф). Следовательно,
Ф о ф-1 содержится как в (р (ф, ф))*, так и в (р (ф, ф)H.
Так как р?р*, имеем р (ф, ф) S р* (ф, ф) и, следова-
следовательно, (р (ф, ф))* = р* (ф, ф) ввиду п. (i). Обратно,
р (ф, ф) = (р (ф, ф))*, откуда р = (р (ф, ф))* (ф, ф). В силу
(i) тогда p*S (р (ф, ф))* (ф, ф), откуда р* (ф, ф)-1^ (р (ф, ф))*.
Сопоставляя это включение с ранее установленным включением,
получаем р* (ф, ф) = (р (ф, ф))*.

§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 211
Рассуждая аналогично и используя (ii), мы получаем
Рс (Ф, Ф)-1 = (Р (?, Ф)H-
Из доказанной леммы и теоремы 9.51 непосредственно вытекает
Теорема 9.53. Пусть р — бинарное отношение на полугруп-
полугруппе S. Выберем такое множество X и отображение ф: ерх —>- S,
что ф является гомоморфизмом свободной полугруппы jf x на
полугруппу S. Положим т = (р (J i(s) (ф, ф)"а.
Тогда (а, Ъ) ? рс в том и только в том случае, когда для
w, w' 6 JFx> таких, что wq> = а и w'q> = b, существует х-допу-
стимая цепь преобразований, начинающаяся с w и заканчивающая-
заканчивающаяся на w'.
Мы закончим этот параграф изложением результатов Круазо
[1954b] о канонических формах, ассоциированных с конгруэн-
циями и конгруэнциями с сокращениями на полугруппе. Если
is — конгруэнция на полугруппе S, то под множеством канони-
канонических форм в S для а мы понимаем поперечное сечение (см. теоре-
теорему 2.10 (i)) разбиения S, соответствующего конгруэнции а. Таким
образом, tsS есть множество канонических форм в S для а
тогда и только тогда, когда Y пересекается с каждым сг-классом
точно по одному элементу.
Пусть р — бинарное отношение на полугруппе S. Отображе-
Отображение а —>- а полугруппы S в себя называется канонической ^-проек-
^-проекцией, если
(i) (а, а) ер*;
(ii) (а, Ь) 6 рир-1и ls влечет за собой а = Ъ\
(ш) ~аЪ — аЪ
для всех а, Ъ 6 S. Отображение а-»- а полугруппы S в себя назы-
называется канонической ^-проекцией, если выполняются условия (ii),
(iii), а также
(i') Ja, a)J pc; _. _
(iv) ас = be или са = cb влечет за собой а = b для всех
а, Ъ, с 6 S.
Теорема 9.54. Пусть р — бинарное отношение на полугруп-
полугруппе S.
Пусть Y — подмножество из S и ц>: S —* Y есть отображе-
отображение S на Y. Тогда Y есть множество канонических форм для
р* [р°] в S, если а -> aq> является канонической р*-проекцией
[рс-проещией] полугруппы S.
Обратно, пусть Y — множество канонических форм для р* [р°1
в S. Определим отображение ф полугруппы S на Y, полагая
{аФ} = ар*П^[=ярсПЯ (atS).
Тогда ф есть каноническая ^-проекция \ра-проещия\ полу-
полугруппы S.
14*

212 Гл. 9. Конечкоопределенные полугруппы и свободные произведения
Доказательство. Будем доказывать утверждения тео-
теоремы лишь для р*, предоставляя читателю самому провести ана-
аналогичные рассуждения для конгруэнции с сокращениями.
Обратная часть теоремы очевидна. Для того чтобы доказать
первую часть теоремы, предположим, что (р: S-^-Y является
канонической р*-проекцией S на Y. Так как ввиду (i) для каж-
каждого а 6 S имеем (а, ау) 6 р*, существует элемент множества Y
в каждом р*-классе. Пусть х, у ? У и (х, у) ? р*. Тогда ввиду
того, что ф есть отображение на Y, существуют а, Ъ 6 S, для
которых аф = х и Ьф = у. Так как (а, аф) ? р* и (Ь, Ьф) 6 р* i
мы имеем (а, Ь) 6 р*. Таким образом, Ъ можно получить из а
(теорема 1.8) конечной последовательностью элементарных р-пере-
ходов. Пусть upv-+uqv—один из этих переходов, так что u, v 6 S1
И (Р>?) € р U р U ig- Используя (и), получаем рф = qq>. Тогда,
несколько раз применяя равенство (Ш), получаем
ф = ((up) ф (Wp)) ф = ((((Мф) (рф)) ф) (Уф)) ф =
= Шщ>) (вф)) ф) (уф)) ф =
= (щи) ф.
Применяя этот результат к каждому переходу от а до Ъ, мы заклю-
заключаем, что аф = Ьф. Таким образом, х = у, и это завершает дока-
доказательство теоремы.
Используя теорему 9.54, часто бывает удобно задавать ото-
отображение w—*-w~ икр при помощи вспомогательного преобра-
преобразования ip полугруппы S, обладающего следующими свойствами:
A) w -*¦ wty является элементарным р-переходом для каждо-
каждого w 6 S.
B) Для каждого w 6 S существует такое га, что
unp"+1 = unpn.
C) Для каждой пары wit w2 € S существуют такие положи-
положительные целые числа к ж I, что
Условие B) означает, что после га применений tjj к w мы получаем
слово 1стрп, которое неподвижно относительно tp. Положим
w (= инр) = цлрп. Очевидно, A) влечет за собой (i) и C) влечет
за собой (ш). В самом деле, из C), очевидно, вытекает
((Wlip) W2) ф = (WiW2) ф = (Wi (iVtflp)) ф.
Отсюда получаем
((u?iip) (м'г'Ф)) Ф = (щи>2) ф.

§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 213"
Последовательно применяя полученное равенство, выводим
равенство ((и>кр) (и>гф)) <р = (щи^г) ф! т- в. выполняется (ш). Усло-
Условия (п) и, в соответствующем случае, (iv) должны быть прове-
проверены отдельно.
В качестве примера рассмотрим X — {х, у, z} и отношение
р = {(zx, ху), (ух, xz), (zy, yz)}
на свободной полугруппе ерх. Пусть для каждого w 6 &х слово
цгф получается следующим образом из ю.
Если за некоторым z в w следует х или у, то выберем самое
последнее такое z в w и заменим zx на ху или zy на yz, в зависимо-
зависимости от того, какой случай имеет место. Если таких z не суще-
существует и за некоторым у в w следует х, то выберем самое послед-
последнее у с таким свойством вши заменим ух на xz. Если не суще-
существует таких z и таких у, то считаем, что un|) равно w.
Утверждение A) очевидно; утверждение B) легко проверяется,
причем w = iwJj" имеет вид х^у&гч. Докажем первое равенство
из C); доказательство второго равенства проводится аналогично.
Предположим, что
где (р, q) 6 Р- Из определения риф следует, что существует неотри-
неотрицательное целое число к, для которого первые к применений if
к WiW2 или к (wtty) w2 затрагивают лишь wkwz, в то время как
следующее применение 1|з к (iViW2) i|3h есть замена р -*~ q. Если
к >0, то мы имеем
= [wsp ((wiw2) i|)h] iji = wsq
= (WgqWiWz) iph = ((u?!^) w2)
Если же к = 0, то
откуда для любого & >0 получаем
(^i^z) ф^1 = ((u;^) w2) ф*.
Например, предположим, что wt = wzzxwk и j $yk
После к применений ¦»)> к и;^ мы передвинем все z в u?4u?2 к пра-
правому концу слова:
(WiW2) l|3h = W3ZX
Следующее применение о|з должно заменить za; на жу.
(u?iU?2) ф = w3xy ((u?4u;2) ij)h).
Но то же самое мы получим после к применений ¦»)> к
u;2.

214 Гл. 9. Конечно определенные полугруппы и свободные произведения
Проверка условия (и) совершенно тривиальна:
zx = ху — ху, ух = xz = xz, zy = yz = yz.
Мы заключаем, что
Y = {aVzY | а > 0, р >0, ? > 0/ а + р + v >0}
является множеством канонических р*-форм.
Этот метод не является самым легким методом установления
того, что Y есть множество канонических р*-форм. Легко видеть
непосредственно, что для каждого слова из ер.х существует р*-
эквивалентное слово из Y; трудность здесь состоит в доказа-
доказательстве того, что различные элементы из Y не являются р*-экВи-
валентными. Последнее можно установить следующим образом.
Непосредственными стандартными вычислениями доказы-
доказывается, что
{#«+«' i/fl+P'zV+v', если а' четно,
*a+ay+P'z3+v', если а' нечетно. A)
Пусть Т — множество упорядоченных троек (а, р, у) неотри-
неотрицательных целых чисел, исключая @, 0, 0). Определим произ-
произведение в Г в соответствии с формулой A). Утомительной, но
стандартной проверкой можно установить, что эта операция
ассоциативна. Кроме того, мы заметим, что тройки A, 0, 0),
@, 1, 0), @, 0, 1) удовлетворяют определяющим соотношениям р ,
где они играют соответственно роль х, у, z. Следовательно, ото-
отображение х -*- A, 0, 0), у ->- @, 1,0), z ->- @, 0, 1) индуцирует
гомоморфизм R = J^r/p* на Т, и если два элемента из У были
равны в Л, то они будут равны и в Г.
Главное состоит в том, что метод Круазо дает нам дополни-
дополнительный способ проверки р*-каноничности некоторого множе-
множества слов Y. Кроме того, это единственный способ, в котором рас-
рассматриваются лишь слова из $р'х, без обращения к представле-
представлению преобразованиями множества, матрицами или п-ками.
Упражнения к § 9.5
1. Пусть X — {р, д, е) и р — отношение на ерх, определен-
определенное следующим образом:
Р = {{РЪ е), (ер, р), (ре, р), (eq, q), (qe, q)}.
Пусть Y — {qmpn | m, n^- 0}, где мы полагаем q° — p° = e.
Тогда Y есть множество канонических форм для р* в jf x
и ^х/р* является бициклической полугруппой (см. упражне-
упражнения 1 и 2 к § 1.12).

§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 215
2. Пусть X = {I, т, п) и р — отношение на врх, определен-
определенное следующим образом:
р = {(ml, Pm), (nl2, In), (mn, пт)}.
Пусть Y = {пЧ*-т* | v > О, X > 0, ц > О, X + (х + v >0}, где
нулевая степень любого элемента просто опускается в записи.
Тогда Y есть множество канонических форм для р* в ерх.
Кроме того, если мы определим произведение на Y, полагая
то Y становится полугруппой, изоморфной 3Fxl$*- Другими
словами, элемент из У, стоящий в правой части равенства, содер-
содержится в том же р*-классе, что и элемент из &%, стоящий в левой
части равенства. (Круазо [1954b].)
3. Пусть ф — гомоморфизм полугруппы S на полугруппу Т
ж (ф, ф), (ф, ф) — отображения из леммы 9.52. Рассматривая
Ф как отношение {(х, а) ? S х Т \ ху = а} и определяя, как
обычно, произведение для бинарных отношений, имеем (в обо-
обозначениях леммы 9.52)
т = сг (ф, ф) тогда и только тогда, когда т = ф « а « ф,
а = т (ф, ф) тогда и только тогда, когда (г = ф»то ф.
Из тз ir вытекает а з ф » 'г ° Ф = ф» ф. Из этого
л ф о ф = iT легко можно вывести, что
ф о (ф о X о ф) о ф = Т,
ф о (ф о а о ф) о ф = О*.
Это дает еще одно доказательство утверждения (i) леммы 9.52.

Глава 10
КОНГРУЭНЦИИ
В предыдущей главе конгруэнции существенно привлекались
при рассмотрении некоторых теоретико-полугрупповых кон-
конструкций. Здесь мы продолжаем изучение конгруэнции, но теперь
наше внимание будет непосредственно обращено на конгруэнции
сами по себе.
Глава начинается с параграфа, в котором изучается, насколь-
насколько конгруэнция определяется некоторым подмножеством ее клас-
классов эквивалентности. Ряд результатов в этом направлении для
регулярных и инверсных полугрупп был сформулирован в виде
теоремы 7.38 и ее следствий. В следующих двух параграфах
(§ 10.2, 10.3) рассматриваются два важных типа конгруэнции
(вообще говоря, односторонних), которые могут быть определены
на произвольной полугруппе. Впервые они были введены в осно-
основополагающей статье Дюбрея [1941]. Наш обзор ограничивается
исключительно общей теорией этих конгруэнции и читатель
отсылается к обширной литературе, особенно французской школы,
за дальнейшими деталями. Важность главных эквивалентностей
Дюбрея (§ 10.2) была уже видна из их приложения к представле-
представлениям инверсных полугрупп взаимно однозначными частичными
преобразованиями (§ 7.2, 7.3). Как будет видно в § 11.4, эти
эквивалентности играют также основную роль в представлениях
произвольной полугруппы взаимно однозначными частичными
преобразованиями. Ключевым результатом для этого послед-
последнего приложения служит теорема 10.22. В конце § 10.2 приво-
приводится характеризация конгруэнции, факторполугруппы по кото-
которым являются либо группами, либо группами с нулем. Анало-
Аналогичные результаты Леви [1944], [1946] родственны упомянутым
результатам Дюбрея. В § 10.3 продолжается изучение реверсив-
реверсивных эквивалентностей.
Главные эквивалентности и реверсивные эквивалентности
Дюбрея являются односторонними конгруэнциями. В § 10.4
изучаются конгруэнции, аналогичные главным эквивалентностям
Дюбрея и названные Круазо билатеральными эквивалентностями.
Результаты этого параграфа принадлежат Круазо. Центральное

Гл. 10. Конгруэнции 217
место занимает содержащееся в теоремах 10.37 и 10.39 описание-
всех гомоморфизмов произвольной полугруппы на полугруппу
с сокращениями, обладающую ядром.
В литературе имеется несколько упоминаний о возможных
теоретико-полугрупповых аналогах теорем Жордана — Гёльдера
для групп (см. Рис [1940] и Престон [1954а]). Они являются,
фактически теоремами о конгруэнциях на полугруппе и ее под-
подполугруппах. Одно из возможных обобщений теорем Жордана —
Гёльдера, применимое, в частности, к полугруппам, указано-
в книге Биркгофа [1948]. В § 10.5, 10.6 для случая полугрупп
мы изучаем принадлежащую Голди [1950] общую теорию, посвя-
посвященную теоремам типа Жордана — Гёльдера. Изложение этой
теории для универсальных алгебр, в которых любые две кон-
конгруэнции коммутируют, можно найти в недавно вышедшей книге-
Кона [1965].
В последних двух параграфах данной главы рассматриваются
конгруэнции на полугруппах двух специальных типов. Пара-
Параграф 10.7 посвящен вполне 0-простым полугруппам и начинается
с описания конгруэнции на них, опирающегося на результаты
работ Глускина [1956], Тамуры [1960] и Престона [1961]. Здесь же-
приводится (см. теорему 10.52) интересный пример использования
разложения вполне 0-простой полугруппы на двойные смежные-
классы для описания гомоморфизмов таких полугрупп на группы
(Шварц [1962]). Параграф заканчивается результатом (теоре-
(теорема 10.58) Мальцева [1952], который используется в следующем
параграфе. Этот результат содержит описание конгруэнции на
вполне 0-простых полугруппах вида In+i/In, где 1т — подполу-
подполугруппа из ?Г х, состоящая из всех элементов, ранг которых
меньше т.
В последнем параграфе (§ 10.8) приводятся результаты Маль-
Мальцева [1952] о конгруэнциях на полугруппе &' х. Если | X | конеч-
конечно, то, как будет установлено, структура конгруэнции на &х
является цепью, причем каждая конгруэнция есть либо рисов-
ская конгруэнция по идеалу, либо конгруэнция, построенная
по некоторой конгруэнции на одной из вполне 0-простых полу-
полугрупп In+i/In (теорема 10.68). Если | X | бесконечно, то ситуация
усложняется. В этом случае определяется третий тип конгруэн-
конгруэнции и доказывается, что эти три типа конгруэнции образуют
порождающее множество структуры конгруэнции на полу-
полугруппе ?ГХ.
Каждой конгруэнции на д"х, отличной от конгруэнции двух
первых типов, соответствует некоторая конечная последователь-
последовательность (бесконечных) кардинальных чисел, и, используя эту после-
последовательность, можно дать явную конструкцию соответствующей
конгруэнции в терминах' упомянутого выше порождающего*
множества.

218 Гл. 10. Конгруэнции
§ 10.1. Допустимые и нормальные множества
В § 1.5 (теорема 1.8) мы показали, как строится конгруэнция,
порожденная произвольным (бинарным) отношением на полугруп-
полугруппе. В этом параграфе мы рассмотрим аналогичный вопрос для
односторонних конгруэнции и в дополнение к утверждению
о том, что для каждого отношения эквивалентности на полу-
полугруппе существует наименьшая содержащая его конгруэнция,
установим, что каждое отношение эквивалентности содержит
наибольшую среди содержащихся в нем конгруэнции. Мы рас-
рассмотрим также семейства конгруэнции с заданным общим множе-
множеством классов эквивалентности. Идеи, развиваемые в этом пара-
параграфе, восходят к статьям Ляпина [1950] и Марианны Тессье
[1951]. Мы следуем более общим рассмотрениям Престона [1961].
Параграф содержит ряд новых результатов, в первую очередь
это леммы 10.1—10.3, теорема 10.4 и ее следствия.
Пусть S — полугруппа, с5°— множество всех симметричных
(бинарных) отношений на S, % — множество всех эквива-
лентностей на S и сГ> Ш,Щ — множество всех левых [правых,
двусторонних] конгруэнции на S. Пусть ер — любое из множеств
<?Г>, й, *&. Если р; ? ер (i 6 7), то легко проверить, что также
П {pi И € 1} € IF- Далее, S x S ? JF- Следовательно, если опре-
определить обычным образом операцию V> полагая
V {р,- \i 61} =П{Р I P € &, P= Pt для всех i 6 /},
то вр становится полной структурой относительно ("| и V»
Лемма 10.1. Пусть ?р —любое из множеств Ш, Ф, й, '&•
Для р, а 6 SF положим
х = {(а, Ь) | apxiox2p . . . axmpb
для некоторых Xi, . . ., хт 6 S}.
Тогда т = р V^-
Замечание. Здесь, как и всюду ниже, запись арх^х^р . . .
, . . ахтрЪ используется в качестве сокращения записи (a, Xi) 6 р>
<Si, Жа) 6 о-, . . ., (хт, Ь) 6 р-
Доказательство. Так как р V а есть отношение
эквивалентности, а потому транзитивное отношение, содержа-
содержащее аир, мы имеем ts pV Q- Следовательно, достаточно дока-
доказать, что т 6 IF' Ясно, что т рефлексивно и симметрично. Пусть
{а, Ъ) 6 т и (Ъ, с) 6 т, так что существуют хи xz, . . ., хт,
У и Уч., ¦ • •> Уп 6 S, для которых арх^хгр . . . oxmpb и Ьру,,ау2р...
. . . оупрс. Учитывая, что bob, и соединяя эти две цепи, мы полу-
получим цепь нужного вида от а до с. Таким образом, (а, с) 6 т,
т. е. т транзитивно. Очевидно, что если р и а стабильны [слева,
справа], то тем же свойством обладает т. Таким образом, т 6 JF.

§ 10.1. Допустимые и нормальные множества 219
Так как конструкция для р\/ а яв зависит от выбора J^,
мы непосредственно получаем
Следствие 10.2. Множества %, & и % являются подструк-
подструктурами структуры Ш. Множество^ есть подструктура струк-
структур & и §,; более того, % = сГ> П й-
Определим теперь шесть отображений L, L*, R, R* и С, С*
множества 98 в себя, где 98 есть множество всех отношений на S.
Отображение С* уже было определено в § 9.5. Пусть р ? 98;
тогда положим
pL = {(х, у) | (sz, sy) 6 р для всех s 6 S1},
pL* = {(х, у) | х = su, у = sy для некоторых (и, v) 6 р» s 6 S1},
рС = {{х, у) | (sxt, syt) 6 р для всех s, t 6 S1},
рС* = {(а;, у) \ х = sut, у = svt для некоторых (и, у) 6 р, s, t 6 S1},
°пределим рЛ и pi?* двойственным образом по отношению к pL
и pL*.
Ясно, что для любого р
pLspS pL*,
pR<=ps=pR*,
pCsps pC*.
Более точно, если обозначить через рТ транзитивное замыкание
отношения р (в первом томе, стр. 14, транзитивное замыкание
U {рп | га = 1, 2, . . .} обозначалось через р'), то справедлива
следующая
Лемма 10.3. Отображение L [R, С] есть сохраняющее пере-
пересечения идемпотентное отображение Щ на Ф Ш, Щ и
T,R = RL = C.
Отображение L*T [R*T, C*T\ есть идемпотентное отображение
З1 на ® Ш, 4S] и
L*TR*T = R*TL*T = С*Т.
Если р 6 Ш, mo pL ipR, рС] есть наибольшая левая [правая,
двусторонняя] конгруэнция, содержащаяся в р. Если р 6 &, то
pL*T [pR*T, рС*Т] есть наименьшая левая [правая, двусто-
двусторонняя] конгруэнция, содержащая р.
Доказательство. Сначала рассмотрим отображения,
не отмеченные звездочками.
Пусть (х, у) 6 pL. Тогда (sx, sy) 6 р для всех s 6 S1. Следо-
Следовательно, для любого z 6 S
(szx, szy) 6 р

220 Гл. 10. Конгруэнции
при всех s 6 S1. Таким образом, (zx, zy) 6 pL, т. е. pL стабильно
слева. Если теперь р б $> то ясно, что pL рефлексивно и симме-
симметрично. Далее, pL транзитивно; в самом деле, ввиду транзитивно-
транзитивности р из (sx, sy) 6 р и (sy, sz) 6 р вытекает, что (sx, sz) ? р для
любого s ? S1. Следовательно, pL есть левая конгруэнция,
т. е. pL 6 &.
Рассмотрим теперь р 6 #\ Ввиду того что р стабильно слева,
0е> У) 6 р влечет за собой (sx, sy) 6 р для всех s 6 S1. Таким обра-
образом, р s pL. Как было отмечено, мы всегда имеем pL S р, откуда
р = pL. Следовательно, L есть идемпотентное отображение %
на еГ>.
Пусть рг € § (г € /)• Тоща
(ж. У) € (П Pi) L
в том и только в том случае, когда (sx, sy) 6 П Р* Для всех s 6 S1,
т. е. когда (&r, sy) 6 pi- А это имеет место тогда и только тогда,
когда
(х, У) € П (р«-?)-
Следовательно,
(П Pj) Ь = П (pi^)t
т. е. L сохраняет пересечения.
Наконец, пусть р ? g и ст — произвольная левая конгруэн-
конгруэнция, содержащаяся в р. Тогда а [\р = а и поэтому в силу того,
что L сохраняет пересечения, имеем
aL(]pL = oL.
Но, так как а 6 <3\ выполняется oL = ст. Таким образом,
т. е. ст s pL. Следовательно, pL есть наибольшая левая конгруэн-
конгруэнция, содержащаяся в р.'
Соответствующие утверждения для R и С доказываются ана-
аналогично. Непосредственно из определений вытекает LR = RL=C.
Рассмотрим отображения, отмеченные звездочками. Заметим
сначала, что утверждение о том, что С*Т отображает У в %,
есть просто переформулировка части утверждения теоремы 1.8.
То, что С*Т есть идемпотент, очевидно, вытекает из теоремы 1.8
или прямо из определения, отсюда следует, что С*Т отображает
<$Р на 'ё. Таким же путем можно получить аналогичные утвержде-
утверждения об L*T и R* Т. Простыми вычислениями можно проверить, что
L*T и R*T коммутируют и их произведение равно С*Т.
Что касается остальных утверждений леммы об отображе-
отображениях, отмеченных звездочкой, то для С*Т они составляют часть
теоремы 1.8. Для L*T и R*T эти утверждения доказываются ана-
аналогично. Рассмотрим, например, L*T. Из определения ясно, что

§ 10.1. Допустимые и нормальные множества 221
если р б с5°, то
р <=
Пусть о" — произвольная левая конгруэнция, содержащая р,
и (я, у) 6 рЬ*. Тогда существуют такие s, и, v, что х = su, у — sv,
(и, v) 6 р и s 6 "S1. Далее, р s а и поэтому (и, у) 6 а. Так как
а есть левая конгруэнция, (su, sv) ? о", т. е. (я, г/) 6 о\ Следова-
Следовательно, pL* ?= а, откуда pL*T S о*Г = ст. Таким образом, gL*T
является наименьшей левой конгруэнцией, содержащей р. Дока-
Доказательство леммы закончено.
Теперь мы применим рассмотренные конструкции для полу-
получения одного обобщения упомянутого выше результата Ляпина
[1950] и Тессье [1951], дающего необходимые и достаточные усло-
условия для того, чтобы данное подмножество полугруппы было
классом некоторой конгруэнции.
Пусть Jk — семейство попарно не пересекающихся под-
подмножеств полугруппы S. Напомним (§ 7.4), что Jk допустимо
[слева, справа] в S, если Jk есть подмножество множества классов
эквивалентности по некоторой [левой, правой1 конгруэнции на S;
и если р — такая эквивалентность* что элементы из Jk являются
р-классами, то говорят, что р допускает Л.
Следует отметить,. что если Jk допустимо и слева, и справа,
то Jk не обязательно допустимо. Например, ьусть S — группа
и семейство Jk состоит из одного подмножества Н, являющегося
подгруппой. Тогда Л допустимо и слева, и справа. Однако А допу-
допустимо тогда и только тогда, когда Н является нормальным дели-
делителем в S.
Вообще говоря, если Л допустимо [слева, справа], то могут
существовать несколько [левых, правых] конгруэнции на S,
допускающих Л. Легко видеть, что пересечение и определенное
выше объединение V любого множества эквивалентностей, допу-
допускающих Jb, также допускает Jk. Таким образом, множество
(левых, правых] конгруэнции, допускающих Jk, образует пол-
полную подструктуру в структуре всех [левых, правых] конгруэн-
конгруэнции на S. Найдем нули и единицы этих подструктур. Для опре-
определенности рассмотрим левые конгруэнции.
Начнем с нуля и единицы структуры эквивалентностей на S,
допускающих Jk. Предположим, что Л = {Ai | i 6 I}, где At —
попарно не пересекающиеся подмножества из S. Положим
A = U{At\l?l},''
a = \J{AtxAi\i^I}[j{(x, x)\x?S\A], ) A)
J
1
A], )
. J
Тогда, очевидно, а есть наименьшая, ар — наибольшая экви-
эквивалентности, допускающие Jk. Далее, каждое At есть объедине-
объединение некоторых р-классов тогда и только тогда, когда р g р.

222 Гл. 10. Конгруэнции
Следовательно, в силу предыдущей леммы pL есть наибольшая
левая конгруэнция на S, для которой каждое А{ есть объедине-
объединение некоторых ее классов эквивалентности. Аналогично, так
как (хдр тогда и только тогда, когда каждое At содержится
в некотором р-классе, в силу предыдущей леммы aL*T является
наименьшей левой конгруэнцией на S, для которой каждое At
целиком содержится в некотором ее классе эквивалентности.
Предположим, что Л допустимо слева и р — левая конгруэн-
конгруэнция на S. Множество At является р-классом тогда и только тогда,
когда оно одновременно есть объединение р-классов и содержится
в некотором р-классе. Таким образом, в силу предыдущих заме-
замечаний очевидно, что левая конгруэнция р допускает Jh тогда
и только тогда, когда
aL*T <= p s р?. B)
Далее, очевидно, что Jh допустимо слева тогда и только тогда,
когда
aL*T ? pL. C)
Мы доказали, таким образом, утверждение (i) следующей теоремы.
Теорема 10.4. Пусть Л = {At | i ? /} — семейство попарно
не пересекающихся подмножеств множества S. Определим А,
а = а (Л) и р = р (Л) соотношениями A). Тогда
(i) Jh допустимо слева в том и только в том случае, когда
aL*T ? pL, C)
и левая конгруэнция р допускает Л в том и только в том случае^
когда
aLTspspL. B).
(ii) Jh допустимо слева тогда и только тогда, когда для любых
xtS1 и i, ] 6 /
xAt [\А} Ф0 влечет за собой xAt s A). D)
Доказательство. Остается доказать лишь утвержде-
утверждение (ii) теоремы. Необходимость условия D) очевидна; в самом
деле, это условие непосредственно вытекает из того факта, что
элементы из Jh являются классами эквивалентности некоторой
левой конгруэнции на S.
Обратно, предположим, что Л удовлетворяет условию D).
Тогда каждое А% является pL-классом. В самом деле, пусть
а, а' ? At и х ? S1. Тогда либо ха 6 А, для некоторого / €/,
либо ха 6 S \ А. В первом случае xAt f\Aj Ф0, так что xAt S
S Aj ввиду D). Следовательно, ха' ? А}. Во втором случае
ха' ? S \ А; в самом деле, допустив противное, рассуждениями,
аналогичными приведенным выше, мы получили бы ха ? А.
Таким образом, для любого х 6 S1 имеем (ха, ха') 6 Р- Вспоминая

§ 10.1. Допустимые и нормальные множества 223
определение операции L, мы выводим, что (а, а') ? $L. Следова-
Следовательно, каждый класс At содержится в одном pL-классе.
Обратно, пусть а ?At и (х, а) 6 f>L. Тогда ввиду того, что
(JL ? р, имеем (я, а) 6 р\ откуда непосредственно вытекает
х d At. Следовательно, каждое Аъ является pL-классом, т. е. pL
допускает jk.
Так как PL есть левая конгруэнция на S, это завершает дока-
доказательство леммы.
В качестве следствия мы получаем ранее приведенное (в заме-
замечаниях, предшествующих теореме 7.10) утверждение о частич-
частичных правых конгруэнциях.
Следствие 10.5. Пусть р — частичная правая конгруэнция,
с областью определения Т на полугруппе S. Тогда существует
такая правая конгруэнция х на S, что р есть ограничение х на Т.
Доказательство. Утверждение следствия равносиль-
равносильно тому, что множество р-классов допустимо справа в S.
Пусть Jh = {At | i 6 1} — множество р-классов и х 6 S1.
Предположим, что Агх(]А} Ф0 для некоторых i,j?l. Тогда
ах 6 А] для некоторого а 6 At. Пусть а' ? А*. Тогда (а, а') ? р
и поэтому в силу того, что р есть частичная правая конгруэнция
на S, имеем (ах, а'х) ? р. Таким образом, а'х ? Aj, откуда
Atx ^ Aj. В силу утверждения, двойственного утверждению (ii)
теоремы, Л допустимо справа.
Так как допустимое слева и справа семейство подмножеств,
из S не обязательно допустимо, мы сформулируем отдельно дву-
двусторонний аналог теоремы 10.4. Доказательство проводится совер-
ш емо аналогично.
Теорема 10.6. Пусть Jh = {At | i ?1} —семейство попарно
не пересекающихся подмножеств из S. Определим Л, а = a (JO)
и р = Р (А) соотношениями A). Тогда
(i) Л допустимо в том и только в том случае, когда
pC; E)
конгруэнция р допускает Л в том и только в том случае, когда
аС*Г?=р?рС. F)
(ii) Л допустимо тогда и только тогда, когда для любых
х, у 6 S1 и i, ] 6 /
xAijjflAj Ф0 влечет за собой хАьу = А}. G)<
Далее, напомним (см. § 7.4), что допустимое [слева, справа]
множество Л называется нормальным [слева, справа] в S, если
существует точно одна [левая, правая] конгруэнция на S, допу-
допускающая Jh. Если S есть группа, то любая ее подгруппа нор-
нормальна и слева, и справа в этом смысле. Любой нормальный дели-

.224 Гл. 10. Конгруэнции
тель или смежный класс по нормальному делителю, где «нормаль-
«нормальность» используется в обычном теоретико-групповом смысле,
нормален и в вышеприведенном смысле. Из теоремы 10.4 непо-
•средственно вытекает
Следствие 10.7. Л является нормальным слева множеством
подмножеств из S тогда и только тогда, когда
aL*T = pL.
Другой формулировкой этого результата является
Следствии: 10.8. Пусть Jk — допустимое слева множество под-
подмножеств из S. Тогда Л нормально слева в том и только в том
случае, когда для любой левой конгруэнции, допускающей Л, имеет
место
pL s p.
Это следствие по существу использовалось при доказательстве
нормальности в различных местах § 7.4.
Мы закончим этот параграф замечанием о том, что из опре-
определения Р = Р {JV) и R вытекает соотношение
Pi? = {(х, у) |as?.4j тогда и только тогда, когда ys 6 At
для всех s? S1, i ? /}. (8)
Если мы положим рг = Р ({Аг}) = {(At X At) \}{S \ At X
X S \ Ai)} для каждого i ? I, то из (8) непосредственно следует
РД = П (Р/Д \i € /}• (9)
Заметим также, для использования в дальнейшем, что, аналогично,
рС = {(х, у) | sxt 6 Аг тогда и только тогда,
когда syt 6 At для всех s, t 6 S1, i 6 /}, A0)
¦и
pc = n {№ \t б /}.
¦Отношение ргД*!есть в точности главная частичная правая кон-
конгруэнция Дюбрея [1941], определенная множествами Af, ptC есть
главная конгруэнция Круазо [1957]. Мы будем рассматривать
их соответственно в § 10.2 и 10.4."
Упражнения к § 10.1
1. Пусть S — полугруппа левых нулей или правых нулей
'(т. 1, стр. 19). Тогда каждая эквивалентность на S является
•конгруэнцией.
2. Если р — рефлексивное и симметричное отношение на
множестве S, то, вообще говоря, не существует наибольшего
отношения эквивалентности, содержащегося в р.

§ 10.2. Главные эквивалентности Дюбрея 225
3. Для ограничений отображений Т и L* на % (в обозначе-
обозначениях леммы 10.3) имеет место TL* = L*. Таким образом, вообще
говоря, TL* ф L*T.
4. Пусть S — циклическая группа порядка 12: S = (а), а12 =
= е. Пусть pt — эквивалентность на S с классами эквивалентно-
эквивалентности {е, а, а\ а7}, {а2, а8}, {а3, а*, а9, а10} и {а5, а11}. Тогда р4?
есть конгруэнция на S, заданная подгруппой (в6). Пусть р2 —
эквивалентность на S с классами эквивалентности {е, а2, а3,
а5, а6, а8, а9, а11} и {а, в4, а7, а10}. Тогда p2L есть конгруэнция
на S, заданная подгруппой (а3). Таким образом, p4L V p2L — p2L.
Следовательно, вообще говоря, L не является структурным гомо-
гомоморфизмом структуры Ш на ^ (ср. с леммой 10.3).
5. Используя обозначения леммы 10.3 и рассматривая ото-
отображения, определенные на <$Р, имеем L*R* = R*L* = С*.
6. Пусть S — прямое произведение группы G и полугруппы Е
левых нулей: S = G X Е. Тогда S является левой группой,
а поэтому она вполне проста и регулярна. Пусть р — эквива-
эквивалентность на S, классами которой являются одноэлементные
множества {(е, е)}, где е — единица группы G и е (f E, и множе-
множества {(а, е) | е ? 2?} для каждого а 6 G \ г. Тогда р есть левая
конгруэнция на 5 и р-классы, содержащие идемпотенты, одно-
одноэлементны. Следовательно, аналог теоремы 7.39 для инверсных
полугрупп не выполняется для вполне простых полугрупп (и, сле-
следовательно, для регулярных полугрупп).
7. Пусть 5 — группа с нулем, S = G° = G (J {0}. Присоеди-
Присоединяя новую единицу е к S, получим полугруппу S*. Пусть
р [а] — конгруэнция на S*, классы эквивалентности которой
суть множества {е} и S 1{е}, {0} и G]. Тогда р и а обе допускают
{{е}}. Следовательно, S* есть инверсная полугруппа, на которой
конгруэнции не определяются своими ненулевыми идемпотент-
ными классами (ср. с теоремой 7.38 и упражнение 4 к § 10.7).
§ 10.2. Главные эквивалентности Дюбрея
Пусть S — группа и Н — ее подгруппа. Определим следую-
следующим образом отношение Мн на S:
Мп = {(«, Ь) е S X S | На = НЪ).
Отношение Мн является правой конгруэнцией на S и классы
эквивалентности по mod J?H суть правые смежные классы
{На | а ? iS}. Обратно, если р — произвольная правая конгруэн-
конгруэнция на S, то р-класс Н, содержащий единицу, является подгруп-
подгруппой и р = Мн- Дюбрей [1941] рассмотрел два способа распро-
распространения на случай полугрупп конструкции, задающей правые
конгруэнции на группах. В этом и следующем параграфах мы
приводим результаты Дюбрея [1941].
15-100

226 Гл. 10. Конгруэнции
Переходя к описанию первого из упомянутых способов, заме-
заметим прежде всего, что если Н есть подгруппа группы S, то мы
можем записать Мн в виде
Мн = {(а, 6) 6 S X S | для любого х ? S
включения ах ? НиЬх ? Н равносильны}.
Эту форму задания отношения Мн Ддя группы Дюбрей взял
в качестве определения отношения Мн для полугруппы. Это
определение уже приводилось в § 7.2. Оно отличается от опреде-
определения отношения Рн = Р ({¦#}) R (см. конец § 10.1) лишь тем,
что х пробегает S вместо S1. Эти два отношения совпадают во
многих важных случаях, даже когда S Ф S1, например если
Н является унитарной справа подполугруппой полугруппы S.
Таким образом, мы можем использовать рн вместо Мн в теоре-
теоремах 10.22 и 10.24, наиболее значительных результатах этого пара-
параграфа. Теория, использующая отношение рн, вообще говоря,
немного проще теории, использующей J?H, потому что Н всегда
совпадает с объединением рн-классов, но' не всегда является
объединением ,5?н-классов. Мы считаем, тем не менее, что лучше
следовать первоначальному изложению Дюбрея.
Пусть S — полугруппа и Н — ее подмножество. Напомним,
что для каждого а ? S множество al~^H определяется следую-
следующим образом:
d-ЧН = {х 6 S | ах е Н}.
Как и в § 7.2, мы полагаем
Мн = {(а, Ъ) 6 S х S | аГ-Ч Н = Ы~
я
М*н = {(a, b)?S х S \а 1-ЧЯ = Ы~1Ш
В силу леммы 7.13 отношение Мн есть правая конгруэнция
на «S1, которую мы называем главной правой конгруэнцией на S,
определенной множеством Н; в силу той же леммы Мн является
частичной правой конгруэнцией на S, которую мы называем
главной частичной правой конгруэнцией на S, определенной множе-
множеством Я. Положим WH = {х 6 S | xl-ЧН =0}. Тогда S \WH
есть область определения отношения МЬ и МЪ совпадает с огра-
ограничением Мн на <S \ WH. Множество WH называется правым
вычетом множества Н. Двойственным образом главная левая
конгруэнция на S, определенная множеством Н, задается фор-
формулой
НМ = {(а, Ъ) е S X S
Множества HW —{x 6 S \ Нх^~^ =0} называется левым вычетом
множества Н. .; '¦¦'..• i ¦¦¦.•¦•, - . ¦¦ т

§ 10.2., Главные эквивалентности Дюбрея 227
Лемма 10.9. Если Я — подмножество полугруппы. S и WH Ф
Ф 0, то WH является Мн-классом и правым идеалом в S.
Доказательство. Тот факт, что WH есть ^2н-класс,
доказан в лемме 7.13.
Пусть w 6 WH и а 6 S. Предположим, что х ? (wa)l-llH,
т. е. wax 6 Я. Тогда ах ? id-^H. Это противоречит тому, что
по предположению w 6 WH, т. е. что id-^H =0. Следователь-
Следовательно, (way-^H =0, т. е. wa 6 Wh- Таким образом, JFH является
правым идеалом в. 5.
Говорят, что подмножество Н из 5 является сильным (в 5),
если для любых а, 6 6 ?
-^Н =/=0 влечет за собой at-i]# = Ы~
Следующая лемма показывает, что это понятие совпадает с двой-
двойственным к нему понятием.
Лемма 10.10. Пусть Н — подмножество полугруппы S. Тогда
следующие условия эквивалентны:
(A) Н есть сильное подмножество.
(B) Для произвольных а, Ь, х, у ? S если любые три из эле-
элементов ах, bx, ay, by принадлежат Н, то и четвертый элемент
также принадлежит Н.
(C) Для любых a, b ? S
. Hal~ll ()НЫ-11 ф 0 влечет за собой На^~^ = НЫ~^.
Доказательство. (А) влечет за собой (В) Предполо-
Предположим, что Н есть сильное подмножество. Рассмотрим четыре эле-
элемента ах, bx, ay и by. Если мы выберем три из них, то они будут
иметь вид ри, pv, qu, а четвертый — qv, где {р, q} = {а. Ь}
и {х, у} = {и, v}. Если ри, pv, qu ? Н, то и ? pt-ЧЯ П?[~1]Я Ф
Ф0, откуда в силу того, что Н есть сильное подмножество,
имеем р1~1Ш = ql-^H. Следовательно, из pv 6 Н, т. е. v 6 р[~1]Я,
мы получаем v*? д1—1Ш, т. е. qv 6 Н.
(В) влечет за собой (А). Предположим, что имеет 'место (В)
и а1-тпЫ-Шф0. Пусть х 6 оГ-ЧЯПЫ~1Ш. Тогда ах 6 Н
и bx ? Н. Пусть у —произвольный элемент из аГ—13 Н, так что
ау ? Н. Из условия (В) вытекает, что by 6 Н, т. е. у 6 Ы~{Ш.
Таким образом, аГ-^Я Е Ь^^Я; обратное включение доказы-
доказывается аналогично. Следовательно, Я является сильным4 под-
подмножеством.
Так как условие (В) двойственно себе, его эквивалентность
условию (С) вытекает из эквивалентности условию (А).
В случае когда Я является сильным подмножеством, мы
имеем следующий аналог леммы .14.
15*

228 Гл. 10. Конгруэнции
Лемма 10.11. Пусть Я — сильное подмножество полугруп-
полугруппы S. Тогда Мн-классами являются непустые члены семейства
Доказательство. Пусть (а, Ь) 6 Мн, так что Щ
= Ы~1Ш. Если аг-^Н =0, то а, Ь 6 WH и, как уже было дока-
доказано в лемме 7.13, WH есть ^?н-класс. Предположим, что х 6
g al-ЧН = Ы~1Ш, т. е. ах 6 Я и Ъх ? Я. Тогда а (Е Я^-i] и Ь 6
!1
Обратно, пусть а, Ъ 6 ЯгГ-1!. Тогда я6а[~1]Я Л Ь[~1]Я. В силу
того что Я есть сильное подмножество, имеем at—^Я = Ы~^Н
и поэтому (а, Ь) ? J?H. Это завершает доказательство леммы.
Если Я — подгруппа группы S, то Мн — <$х Для любого
J?H"KJiacca Х- В общем случае, когда Я является сильным под-
подмножеством, имеет место следующая
Теорема 10.12. Пусть Я — сильное подмножество полугруп-
полугруппы S и X — такой Мн-класс, что X Ф WH- Тогда X является
сильным подмножеством и
wB<=wx, mH^mx-
Ограничение Мн на S \ Wx равно М\. Кроме того, если
Н <= X, то тн = Мх-
Доказательство. Поскольку X Ф WH, в силу лем-
леммы 10.11 существует такой х 6 S, что X = Нх^~1^. Предполо-
Предположим, ч*оy,.z?S и j/t-Ч X Пzf-1! Х^=0.Пустьа6^с-1]ХГ|21-1]Х.
Тогда уа 6 X, т. е. уах 6 Я. Аналогично, ъах 6 Я. Таким обра-
образом, ах 6 г/[~1] ЯПгС-1! Я =/=0, следовательно, у1~1Ш — zl-^H.
Пусть Ъ — произвольный элемент из i/t-i]X. Тогда уЪх 6 Я,
т. е. Ъх 6 у[-1]# = z[-i] я, откуда zte 6 Я, т. е. Ъ € zf-^X. Таким
образом, j/t—i]X s zC"] X; обратное включение доказывается ана-
аналогично. Итак, мы установили, что X является сильным под-
подмножеством.
Предположим, что (а, Ъ) 6 J?hi т- е- «[~1]Я = №~1Ш. Тогда
(аг—ЧЯ) xl-1] = (Ы~^Н) arf-*]. Но, как легко проверить, это равен-
равенство эквивалентно равенству at-1] (Я^-11) = frt-1] (Я^-il), т. е.
at-iJX = bt-i]X, откуда (a, b) 6 J?x- Следовательно, J?H s J?x-
В частности, WH содержится в некотором ^?ж-классе. Так как
а[-1]Я = 0 влечет за собой ot-Щ = at-1! (Hxt-^) = (at-1]fi)a;t-1] =
= 0, имеем WH s FFx- /
Так как J?H s J?jc> множество Wx ерть объединение ^?н-клас-
сов. Докажем теперь, что отношение Мн совпадает с 31Х- Для
этого достаточно установить, что из я, Ь 6 S \ Wx и (а, Ъ) 6 Мх
вытекает (a, b) 6 Мц- Рассмотрим такие a, b ? S, что at^
ЫЧХ Тогда

§ 10.2. Главные зквивалентности Дюбрея 229
и поэтому существует такое z, что zx ? аХ—^Н П Ы~1}Н. Так как
Н есть сильное подмножество, отсюда получаем (а, Ь) ? Мн-
Осталось доказать, что WH = Wx для .Н ? X. Для этого
достаточно установить, что Wx ^ WH. Пусть а ? Wx, т- e.
a[-i]X =0. Так как ЯдХ, имеем at-1!/? s ot-ЧХ. Следо-
Следовательно, а^-^Н =0. Таким образом, я 6 WH- Итак, мы дока-
доказали, что Мн — &х для # E X. Доказательство теоремы закон-
закончено.
Следствие 10.13. Пусть Н — сильное подмножество полу-
полугруппы S. Тогда для любого а 6 S множества а^—^Н и HaJ-—1^
являются сильными подмножествами в S.
Доказательство. Пустое подмножество в S является
сильным. Для непустых множеств утверждение следствия выте-
вытекает непосредственно из леммы 10.11, теоремы 10.12 и двойствен-
двойственных к ним утверждений, которые справедливы в силу леммы 10.10
Непустое подмножество Н полугруппы S называется совер-
совершенным справа, если оно является сильным подмножеством
и содержится в некотором ^?н-классе, отличном от WH. Таким
образом, если Н есть сильное подмножество, то оно совершенно
справа тогда и только тогда, когда /Д~JlH [\h[~^HФ0 для всех
h, hi 6 Н. Через UH мы будем обозначать ^?н-класс, содержащий
совершенное справа подмножество Н. На основании предыдущей
теоремы UH есть сильное подмножество и J?H = Мцн.
Лемма 10.14. Пусть Н —-совершенное справа подмножество
полугруппы S. Тогда Н допустимо справа.
Обратно, если Н допустимо справа, то Н содержится в неко-
некотором &н-классе. Кроме тоге, если Н является также сильным
подмножеством и Ы~г^Н Ф0 для некоторого h ? Н, то Н совер-
совершенно справа.
Доказательство. Предположим, что Н совершенно
справа и Нх(]Нф0, где х 6 S1. Если х = 1, то Нх — Н
и Их ? П. Если х ? S, то существует такое h ? Н, что hx ? Н,
т. е. х 6 h I'^H. Так как Н совершенно справа, х ? Щ-^Н для
любого /ii 6 Н, т. е. hix ? Н для любого /it 6 П. Таким образом,
Нх s H. Следовательно, в силу утверждения, двойственного
утверждению (ii) теоремы 10.4, множество Н допустимо справа.
Если Н допустимо справа, то в силу утверждения, двой-
двойственного утверждению (i) теоремы 10.4, множество Н является
классом эквивалентности правой конгруэнции рн, где рн есть
сокращенное обозначение правой конгруэнции р {{Н}) R (см.
§ 10.1). В силу равенства (8) из § 10.1
Рн — {{х, у) | для любого s 6 S1 включения
xs 6 Н и ys 6 Н эквивалентны}.

230 Гл. 10. Конгруэнции
Таким образом, непосредственно из определения конгруэн-
конгруэнции &н вытекает, что рн <= Мн- Следовательно, Н содержится
в некотором ^?н-классе.
Оставшееся утверждение леммы становится очевидным, если
мы заметим, что условие W-~X^H Ф0 для некоторого h 6 Н экви-
эквивалентно тому, что Н <? WH.
Особый интерес в дальнейшем будет представлять случай,
когда Н является подполугруппой.
Лемма 10.15. Сильная подполугруппа совершенна справа.
Доказательство. Пусть Н — сильная подполугруппа
полугруппы S. Тогда hH s H для любого h ? Н, следовательно,
Н с= h 1~Ч Н для всех h ? Н. Отсюда вытекает, что Н совершенна
справа.
Лемма 10.16. Пусть Н — сильная подполугруппа полугруп-
полугруппы¦ S. Тогда Лн-класс UH, содержащий Н, является унитарной
справа подполугруппой из S. Кроме того, Н = UH тогда и только
тогда, когда Н унитарна в S.
Доказательство. В силу леммы 10.15 Н = UH
и W! Н Ф0 для h ? Н, причем очевидно, что Н = Ы-~Х^Н.
Так как подполугруппа Н является сильной, и ? UH тогда
и только тогда, когда Н s гД] Н, т. е. когда иН = Н. Пред-
Предположим, что Wi, и2 ? UH. Тогда включение и2Н s H влечет
за собой щи2Н ? UiH s H. Таким образом, щи2 6 UH. Следова-
Следовательно, UH является подполугруппой.
Докажем, что UH унитарна справа. Возьмем такие и 6 UH
и х ? S, что хи ? UH. Тогда xuh ? Н для некоторого, h ? Н. Так
как и ? UH, имеем uh 6 Н, т. е. uh = ht, где hi 6 Н. Следователь-
Следовательно, xhi 6 Н, т. е. ht 6 ict-Ч Н. Так как подполугруппа Н является
сильной, х 6 UH. Итак, мы установили, что UH унитарна справа.
Предположим теперь, что Н унитарна справа. Пусть и 6 UH,
так что иН ? Н. В силу того что Н унитарна справа, отсюда
непосредственно вытекает и ? Н. Это завершает доказательство
леммы.
Для сильных подполугрупп результат теоремы 10.12 можно
усилить.
Теорема 10.17. Пусть Н—сильная подполугруппа полугруп-
полугруппы S и X — такой Лц-класс, что X Ф WH. Тогда Sin = &х-
Доказательство. В силу теоремы 10.12 достаточно
доказать, что WH = Wx> а для этого в силу той же теоремы
достаточно установить, что Wx S WH.
В силу леммы 10.11 мы можем предположить, что X = Яа*'.
Пусть a?Wx и Ь 6 X. Тогда а!! (#*[~1]) =0 и Ьх?Н.
Мы должны доказать, что а^~х^Н =0. Предположим противное

§ 10.2. Главные эквивалентности Дюбрея 231
л возьмем z 6 а[~1]Я. Тогда az 6 Н и, поскольку Ьх 6 Н, имеем
a (zb) х ? Н. Таким образом, zb 6 л|>-4 (fW]), что противоречит
предположению. Следовательно, а1~гШ = 0- Теорема доказана.
Рассмотрим теперь связь между главными правыми конгруэн-
циями Мн и произвольными правыми конгруэнциями на полу-
полугруппе.
Лемма 10.18. Пусть р — правая конгруэнция на полугруп-
полугруппе S и Н — ее класс эквивалентности. Тогда р s 31Н.
Доказательство. Пусть (а, Ь) ? р и ах 6 Н. Так как
р стабильно справа, (ах, Ьх) ? р, откуда, поскольку Н есть
р-класс, вытекает, что Ъх?Н. Аналогично, Ьх 6 Я влечет за
«обой ах 6 Н. Следовательно, (а, 6) б^3?н.
Пусть р — правая конгруэнция на полугруппе S. Будем
товорить, что она с частичным правым сокращением относительно
еычета W, если W является р-классом и если из включений
ас, be 6 S \ W и {ас, be) 6 р следует, что (а, 6) 6 р (а, Ь, с 6 S).
Правую конгруэнцию с правым сокращением также будем
«читать правой конгруэнцией с частичным правым сокращением
(в этом случае W =0).
Теорема 10.19. Если Н — сильное подмножество полугруп-
полугруппы. S, то Мн является правой конгруэнцией с частичным правым
сокращением относительно вычета WH.
Обратно, пусть р — правая конгруэнция с частичным правым
сокращением относительно вычета W, а Н — ее класс эквивалент-
эквивалентности =f=W. Тогда р <= Мн и ограничение р на S \ WH совпадает
с М*н.
Доказательство. Если ас, be 6 5 \ WH и {ас, be) 6
.€ ЛЬ, то (асу-ЧН = {Ъсу-ЧНф 0. Пусть х 6 (ac)t-4#. Тогда
асх 6 Н и Ьсх?Н. Таким образом, сх ? al~xW(]Ы~^Н. Отсюда
в силу того, что Н— сильное подмножество, получаем а^-~гШ=
,= b[-i]#=^0, т. е. (в, Ъ) 6 J?H и а, Ъ $ WH. Значит (в, Ь) 6 ЛЬ-
Обратно, пусть р — произвольная правая конгруэнция с час-
частичным правым сокращением на S относительно вычета W, а Н —
ее класс эквивалентности ф]?. По лемме 10.18 р s MH. Пусть
(а, Ь) 6 J?lr, так что существует х 6 а^~гШ = Ы~^Н. Тогда
ах, Ьх 6 Н, откуда, поскольку Н есть р-класс, получаем
iax, Ьх) 6 р- В силу того что р есть правая конгруэнция с частич-
частичным правым сокращением относительно вычета W, из включений
ах, Ьх 6 S \ W и (ах, Ьх) ? р вытекает, что (а, Ь) 6 р. Следова-
Следовательно, J?|r E р, а это завершает доказательство теоремы.
Следующее утверждение дает" необходимые и достаточные
условия для того, чтобы главная правая, конгруэнция J?H была

232 Гл. -JO. Конгруэнции,
с правым сокращением. Предварительно необходимо ввести одно
определение.
Говорят, что подмножество С, возможно пустое, полугруп-
полугруппы S плотно *) слева в S, если для любых а, Ь 6 S из аЪ ? С следует
а ЕС (см. § 9.4).
Следствие 10.20. Пусть Н — сильное подмножество полу-
полугруппы S. Тогда Мн будет конгруэнцией с правым сокращением
в том и только в том случае, когда Wh плотно слева в S.
Доказательство. Пусть а, Ъ, с ? S и (ас, be) 6 Мн-
Если ас, be 6 S \ WH, то по теореме (а, Ъ) 6 Мн. Предположим
теперь, что ас, be 6 WH. Если WH плотно слева, то отсюда выте-
вытекает включение а, Ь ? WH', так что (a, b) ? Мн-
Обратно, пусть Мн с правым сокращением. Предположим, что
ас ? WH. Тогда acS(]H=0 и поэтому accS(]H=0, т.е.
асе ? WH. Таким образом, (ас, асе) 6 Мн, откуда (а, ас) 6 ^?н.
т. е. а ? Wa. Это показывает, что WH плотно слева, что и требо-
требовалось доказать.
Для случая, когда Н является подполугруппой, мы можем
получить более детальные результаты.
Лемма 10.21. Пусть Н — унитарная слева подполугруппа полу-
полугруппы S. Если h ? Н и а 6 S, то (па, а) 6 Мн-
Кроме того, если а 6 S\WH и b (• S, то существует такое
с 6 S, что (ас, Ь) 6 Мн-
Доказательство. Если ах ? Н, то hax € Н, откуда
ах ? Н в силу левой унитарности подполугруппы Н. Таким обра-
образом, ах ? Н тогда и только тогда, когда (па) х 6 Н\ другими сло-
словами, (ha, а) ? Мн.
Если а ? S \ Wh, то существует такое s ? S, что as 6 Н,
откуда для любого b ? S имеем ((as) Ъ, Ь) 6 Мн- Положим sb = с.
Тогда (ас, Ъ) 6 J?H-
Если Н является сильной подполугруппой полугруппы S,
то в силу леммы 10.16 Н содержится в некотором унитарном
справа ^?н-классе UH^= U. Равенство Н = U выполняется тогда
и только тогда, когда Н унитарна справа.
Кроме того, из теоремы 10.17 вытекает, что &н = Mv- Если
U к тому же унитарно слева и, следовательно, унитарно, то
из леммы 10.21 вытекает, что (иа, а) 6 Ми для любых и 6 U
и а 6 S. Теперь мы получаем характеризацию таких главных
правых конгруэнции Ми-
Теорема 10.22. Пусть U— сильная унитарная подполугруппа
полугруппы S. Тогда р = Ми ecm*> правая конгруэнция на S.
*) Consistent. — Прим. rupee.

§ 10.2. Главные аквивалентности Дюбрея 233
Обозначим через W = Wv правый вычет множества U. Тогда
либо W =0, либо W есть собственный правый идеал из S, совпа-
совпадающий с одним из р-классов. Кроме того,
(i) если ас, be 6 S \ W и (ас, be) 6 р, то (а, Ь) ? р;
(ii) существует такое и ? S, что (иа, а) ? р для всех а ? S;
(iii) если а ? S \ W и b ? S, то существует такое с ? Sr
что (ас, Ь) € Р-
Обратно, если р есть правая конгруэнция на S, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям (i), (ii) и (iii), причем либо W = 0, либо W является
р-классом и собственным правым идеалом в S, то множество U
всех и 6 S, для которых выполняется условие (ii), есть сильная
унитарная подполугруппа из S и р = Ми- Кроме того, W совпа-
совпадает с правым вычетом множества U и U является р-классом..
Указанное соответствие между U и Ми взаимно однозначно.
Доказательство. В одну сторону утверждениетеоре-
мы« вытекает из леммы 10.9, теоремы 10.19 и леммы 10.21.
Для доказательства обратного утверждения предположим, что.
р есть правая конгруэнция на S, удовлетворяющая сформулиро-
сформулированным условиям. Пусть U — множество всех и ? S, для кото-
которых имеет место условие (и),жщ, и2 6 U. Тогда (щ (и2а), и2а) ? р-
и (и2а, а) ? р для всех а ? S, откуда ((щи2) а, а) 6 р для всех
a g S. Следовательно, щи2 6 U, т. е. U является подполугруп-
лой из S.
Пусть и 6 U и их ? U. Так как их 6 U, для всех а ? S мы
имеем (иха, а) 6 р. Так как и 6 U, для всех а 6 S имеем (и (ха),
ха) ? р. Отсюда вытекает, что (ха, а) 6 р для всех а 6 S, т. е. х 6 U.
Таким образом, U унитарна слева.
Покажем теперь, что U[\W = 0. Предположим, от против-
противного, что и ? U П W.- Тогда (иа, а) 6 р для всех* а ? S. По пред-
предположению W ф S, поэтому S \ W Ф0. Возьмем Ъ 6 S \'W,
Так как W — правый идеал, ub 6 W. В силу того что W есть-
р-класс, (ub, Ъ) ? р влечет за собой Ь ? W. Это противоречит
выбору элемента Ъ. Итак, U.[\W =0.
Пусть и 6 U и (г, ц) ? р. Тогда, поскольку р является пра-
правой конгруэнцией, (ха, иа) ? р для всех а ? S. Ввиду того] что-
и ? U, имеем (иа, а) 6 Р для всех а ? S. Следовательно, (ха, а) ? р
< для всех а 6 S, т. е. х б U. Далее, пусть щ, и2 ? U. Возьмем
с 6 S \ W. Тогда (щс, с) ? р и (и2с, с) 6 р, откуда (щс, и2с) ? р.
Так как W, если оно не пусто, является р-классом, щс, и2с 6
(: S \ W. Отсюда в силу свойства (i) получаем (щ, и2) 6 Р- Таким
образом, мы доказали, что U является р-классом.
Обозначим через Wv правый вычет множества U. Предполо-
Предположим, что а ? S \ W и и ? U. В силу свойства (iii) существует
такое х ? S, что (ах, и) 6 р. Так как U является р-классом, отсюда
вытекает, что ах 6 U и, следовательно, a (J Wv. Мы установили
тем самым, что Wv E W. Обратно, предположим, что а ? W.

234 Гл. 10. Конгруэнции.
Если а (? Wv, то ах ? U для некоторого х ? S. С другой стороны,
их ? W, поскольку W — правый идеал. Это противоречит тому,
что U (]W = 0. Следовательно, W s Wv. Сопоставляя дока-
доказанные включения, мы получаем W — Wu.
Так как U есть р-класс, по лемме 10.18 р s Мц. Если
(а, Ъ) б Mv и а, Ь ? Wu, то (а, Ь) ? р, как мы только что доказали.
В противном случае (а, Ъ) 6 Му влечет за собой ах, Ъх 6 U для
некоторого х 6 S. Возьмем с 6 S \ W. Тогда Хяд*' с) 6 Р
и (&#с, с) 6 р, откуда (ахс, Ъхс) 6 Р и, поскольку W, если оно
не пусто, является р-классом, ахс, Ъхс ? S \W. В силу свой-
свойства (i) мы получаем, что (а, Ъ) 6 Р- Таким образом, Slv S р,
откуда р = Mv
Докажем, что U является сильным подмножеством. Рассмо-
Рассмотрим ах, Ъх, by 6 U. Так как U есть р-класс, {ах, Ъх) 6 р; ввиду
свойства (i) и того, что U f\W =0, отсюда вытекает (а, Ъ) 6 р.
Так как р является правой конгруэнцией, имеем (ay, by) 6 Р?
Отсюда, снова ввиду того, что U есть р-класс, получаем, что
иу ? U. Таким образом, на основании леммы 10.10 U является
сильным подмножеством.
Последнее утверждение теоремы о подполугруппе U — то,
что U унитарна справа (левая унитарность U установлена выше),—
теперь непосредственно следует из леммы 10.16. \
Утверждение теоремы о том, что соответствие между сильными •
унитарными подполугруппами U и главными правыми конгруэн-
циями Мц является взаимно однозначным, будет доказано, если
мы установим, что любая такая подполугруппа U состоит из
всех элементов х 6 S, для которых (ха, а) 6 Му при всяком а ? S.
В силу леммы 10.21 мы знаем; что каждый элемент из U обладает
этим свойством. Если (ха, а) ? $v для всех а ? S, то, в частно-
частности, (хи, и) б Ми Для и 6 U. На основании леммы 10.16 U являет-
является ^?ц-классом, следовательно, хи ? U. Тогда ввиду того, что
подполугруппа U унитарна справа, х 6 U. Это завершает дока-
доказательство теоремы.
Перейдем теперь к рассмотрению конгруэнции. Говорят, что
подмножество Н полугруппы S симметрично, если WH = hW
ж М-ц = нМ. В этом случае Мн является конгруэнцией на S.
Подмножество Н полугруппы S называется рефлексивным,
¦если оно удовлетворяет условию:
аЪ 6 Н тогда и только тогда, когда Ьа ? Н для всех а, Ъ 6 S,
т. е. а 1~гШ = Hal'1! для всех а 6 S,
Теорема 10.23. Сильная подполугруппа полугруппы S сим-
симметрична тогда и только тогда, когда она рефлексивна.
Доказательство. Ясно, что любое рефлексивное под-
подмножество из S симметрично.

§ 10.2. Главные зквивалентности Дюбрея 235
Обратно, предположим, что Н есть симметричная сильная
подполугруппа из S. Пусть аХ~гШ = 0. Тогда а 6 WH = HW,
откуда Яа1-Ч = 0, т. е. at-ЧЯ = Hal-1!. Предположим, что
х 6 a[~1J#, т. е. ах 6 П. Тогда а 6 Hxl-1! = X и X является
в силу леммы 10.11 J^jj-классом. Так как Н симметрична, X яв-
является н.5?-классом, отличным от HW = WH, и поэтому в силу
леммы, двойственной к лемме 10.11, X = у1~гШ для некоторого
у ? S. Таким образом, а ? yi'^H, т. е. z/a ? Я.
На основании леммы 10.15 Н содержится в некотором J?H-
классе U. В силу леммы 10.16 и леммы, двойственной к ней,
U является унитарной подполугруппой в S. По теореме 10.17
и теореме, двойственной к ней, Мн = Mv = u&- Так как уа 6 U,
ах ? U и U унитарно, для z ? S мы имеем zy ? U тогда и только
тогда, когда zy(ax)?U, т.е. (у, г/ (аж)) ? yj?. Диалогично,
(х, (i/a) х) 6 ^?С7- Следовательно, (х, у) 6 ^?и = HJ?, откуда выте-
вытекает, что уа ? Н влечет за собой ха ? Н, т. е. ж 6 .flaf!.
Таким образом, мы установили, что af-'^H = Hal'1!; обратное
включение доказывается аналогично. Теорема доказана.
Теорема 10.24. Пусть Н — сильная, и рефлексивная (в следо-
следовательно, и симметричная) подполугруппа полугруппы S. Поло-
Положим р = Мн — н&- Тогда либо WH Ф0, если Sip есть группа
с нулем WH и единицей UH, либо WH =0, если Sip есть группа
с единицей UH. Множество U = UH является сильной рефлек-
рефлексивной и унитарной подполугруппой из S и р = Mv.
Обратно, пусть р — такая конгруэнция на S, что S/p является
либо группой, либо группой с нулем, и U — единица факторполу-
группы S/p. Тогда U есть сильная рефлексивная и унитарная
подполугруппа из S и р = Mv Кроме того, Wv Ф 0 тогда
и только тогда, когда S/p имеет нуль. В этом случае нулем груп-
группы S/p является Wa.
Доказательство. Пусть Н — сильная, рефлексивная
подполугруппа из S. На основании теоремы 10.23 Н симметрич-
симметрична, так что Мн = н^? = р и Wa= HW = W.
По лемме 10.16 и двойственной к ней лемме Н содержится
в некотором р-классе UH = HU = U и U является унитарной
подполугруппой из S. Кроме того, в силу теоремы 10.12 U есть
сильное подмножество. По теореме 10.17 и двойственной к ней
теореме р = Mv — u<%- Так как W, если оно не пусто, является
идеалом из S (лемма 10.9), W есть нуль полугруппы S/p. Следо-
Следовательно, в силу первой части теоремы 10.22 и двойственного
к ней утверждения (пункт (ш)), либо W Ф0, если S/p является
группой с нулем, либо W =0, если S/p является группой.
Подполугруппа U является единицей полугруппы S/p, поскольку
U есть ненулевой идемпотент из S/p. Рефлексивность U вытекает
непосредственно из теоремы 10.23.

236 Гл. 10. Конгруэнции
Обратно, пусть р — такая конгруэнция на S, что S/p является
либо группой, либо группой с нулем. Положим W =0, если
S/p есть группа, и обозначим через W нуль полугруппы S/p,
если S/p есть группа с нулем. Тогда W, если оно не пусто, являет-
является идеалом в S. Обозначим через U единицу полугруппы S/p.
Тогда, очевидно, U состоит из всех элементов и ? S, для которых
(иа, а) 6 р при любом а ? S или, что равносильно, для которых
(аи, и) 6 р при любом а ? S. Условия (i), (ii) и (iii) теоремы 10.22,
а также двойственные к ним условия, очевидно, выполняются
для р; отсюда в силу этой же теоремы р = Ми — цМ и U есть
сильная унитарная подполугруппа из S. Снова по теореме 10.22
и двойственной к ней теореме W = Wu — uW. Следовательно,
U симметрична, а тогда и рефлексивна по теореме 10.23. Осталь-
Остальные утверждения теоремы вытекают из обратного утверждения
теоремы 10.22 и леммы 10.16.
Другое, но весьма близкое к изложенному рассмотрение гомо-
гомоморфизмов полугруппы на группу содержится в двух статьях
Леви [19441 и [1946]. Леви называет подполугруппу N полугруп-
полугруппы S нормальной в S, если для а, Ъ, с ? S из того, что произволь-
произвольные два из элементов аЪс, ас, Ь принадлежат N, вытекает, что
и третий элемент принадлежит N. Согласно Леви, множество N
называется полным (по Дюбрею — чистым справа), если его
вычет WN пуст. Леви установил, что существует взаимно одно-
однозначное соответствие между полными нормальными подполугруп-
подполугруппами полугруппы S и конгруэнциями на S, факторполугруппы
по которым являются группами. Конгруэнция pN на S, соответ-
соответствующая полной нормальной подполугруппе N, определяется
следующим условием:
Pjv = {(а> Ь) | существует такое х 6 S, что ах, Ьх 6 N).
Легко проверить (см. упражнение 17 к настоящему параграфу),
что подполугруппа N из S нормальна и полна в смысле Леви
тогда и только тогда, когда она рефлексивна, сильна, унитарна
и имеет пустой вычет. Кроме того, р^ = MN.
Упражнения к § 10.2
1. Полугруппа S называется строгой, если WH = hW — 0
для каждого непустого сильного подмножества Н из S.
Пусть S — строгая полугруппа, р — конгруэнция с сокраще-
сокращением на S и Н — произвольный р-класс. Тогда Н есть сильное
симметричное множество и р = $н = HJ?. (Дюбрей [1941].)
2. Пусть G — группа и Н — ее непустое подмножество. Тогда
для Н следующие условия эквивалентны:
(i) H есть сильное множество;
(ii) Если hif h2, hs 6 Н, то h^hg 6 Н;

§ 10.2. Главные эквивалентности Дюбрея 237
(iii) H является правым [левым] смежным классом по неко-
некоторой подгруппе из G. (Дюбрей [1941].)
3. Пусть Н — сильная подполугруппа полугруппы S. Пред-
Предположим, что WH = jjW Ф0. Тогда WH является вполне изо-
изолированным идеалом в S, т. е. S \ WH есть подполугруппа.
(Дюбрей [1941].)
4-. Пусть р — конгруэнция на полугруппе S. Предположим,
что <S7p есть группа или группа с нулем и X — произвольный
р-класс, отличный от нуля, если таковой имеется. Тогда р =
= Мх = хМ и XW = Wx.
5. Пусть S = {1, 2, . . ., п, . . .} — мультипликативная
полугруппа положительных целых чисел и Н = {h} для некото-
некоторого h 6 S. Тогда rt] H = 0, если г не делит h, и 1^~гШ —
= {h/r}, если г делит h. Множество Н является сильным. Экви-
Эквивалентность Ми разбивает S на конечное число классов эквива-
эквивалентности; WH состоит из всех положительных целых чисел,
не делящих h; каждый делитель числа h образует одноэлемент-
одноэлементный класс эквивалентности. Пусть х делит h и X = {х}. Если
х — собственный делитель h, то WH строго содержится в Wx-
На множестве S \ Wx отношения Мп и &х совпадают. (Дюбрей
[1941].)
6. Пусть X и Y — непустые подмножества полугруппы S.
Определим X^-^Y и УХЕ!, полагая
= {а б S | Ха <= У},
УХ1-Ч = {а 6 S | аХ <= Y}.
Если X,Y,Z — непустые подмножества из S, то
-Ч (yi-4Z) =
) Я-Ч= X
7. Пусть # — подмножество полугруппы S. Определим отно-
отношения pi и р2, полагая
pi = {(а, Ъ) ?S X S \На = НЪ),
р2 = {{а, Ъ) 6 S X S | для всех
ж? 5 включения .Нйи: gff
и НЪх ? # равносильны}.
Тогда pt и р2 являются правыми конгруэнциями. Кроме того,
если S есть группа и Н — ее подгруппа, то pi = р2 — Мн-
8. Множество всех унитарных справа подмножеств полугруп-
полугруппы S образует полную структуру, в которой пересечением являет-
является теоретико-множественное пересечение.

238 . Гл. 10. Конгруэнции
9. (а) Подмножество Н полугруппы S унитарно справа в S
тогда и только^ тогда, когда (S \ Н) Н s S \ Н.
(b) Если А — правый идеал из S, то S \ А унитарно справа.
(c) Если S \ Н — вполне изолированный собственный пра-
правый идеал из S, то Н является унитарной справа подполугруппой
в S. (Чодхури [1959].)
10. Предположим, что S есть регулярная полугруппа с левым
сокращением, т. е. правая группа (упражнение 4 к § 1.11). Тогда
каждое непустое унитарное слева подмножество из S является
подполугруппой.
Напомним, что S изоморфна прямому произведению G X Е,
где G есть группа, а Е — полугруппа правых нулей (§ 1.11).
Унитарными слева непустыми подмножествами в G X Е являются
подполугруппы Н X F, где Н — подгруппа из G, a F — непустое
подмножество из Е.
Непустое подмножество из G х Е унитарно справа тогда
и только тогда, когда оно унитарно. Унитарными подмножествами
из G X Е являются подмножества Н х Е, где Н — подгруппа
из G. (Чодхури [1959].)
11. (а) Пусть S — полугруппа с сокращениями. Предполо-
Предположим, что существует такой элемент h ? S, что h 6 Sa {]aS для
всех а 6 S. Тогда S является группой.
(Ь) Пусть Н — сильное симметричное подмножество полу-
полугруппы S. Предположим, что вычет WH = HW подмножества Н
пуст. Тогда S/Мц является группой. (Круазо [1952].)
12. (а) Пусть р — такая конгруэнция на полугруппе S, что
S/p есть группа, и Н — класс эквивалентности по mod p. Тогда
Н является сильным симметричным подмножеством с пустым
вычетом. Кроме того, р == Мн.
(Ь) Пусть р и о" — такие конгруэнции на полугруппе S, что
S/p и S/a являются группами и р и а имеют общий класс экви-
эквивалентности Н. Тогда р = а. (Круазо [1952].)
13. Пусть 41 — 41. (S) — множество сильных рефлексивных
унитарных подполугрупп из S, вычет которых пуст. Обозначим
через 'В множество таких конгруэнции р на S, что S/p является
группой.
Отображение U -> Ми {U € "U-) есть взаимно ¦ однозначное
отображение множества 41 на "§. Кроме того, U\ ? U2 для
Ui, V\ ?41 тогда и только тогда, когда Mut ^ ^?и,-
Пусть Е — множество идемпотентов из S. Предположим, что
Е Ф0. Тогда Е содержится в каждой подполугруппе U?4l,
поэтому пересечение М всех U из 11 не пусто. Если Е имеет
пустой вычет, то М 6 41 и, следовательно, на основании пред-
предложения 1.7 любая полугруппа, для которой Е имеет пустой
вычет, обладает максимальным групповым гомоморфным образом.
Последний, кроме того, единствен с точностью до, изоморфизма

§ 10.2. Главные зквивалентности Дюбрея 23&
(см. § 11.6). Приведем явное описание полугруппы М для трех
важных типов полугрупп.
(a) Для инверсной полугруппы S
М = {х 6 S | ех = е для некоторого е ? Е).
(Ср. с упражнением 6 к § 7.7.)
(b) Пусть S — вполне простая полугруппа, G — произволь-
произвольная максимальная подгруппа из S и N — нормальный делитель
группы G, порожденный множеством {ef \ е = е2, / = р, ef ?G}.
Тогда
М = U {fNe \е = е\ / = Д ef 6 N).
(c) Пусть S — полугруппа с зероидами, т. е. S содержит
минимальный идеал, который является группой. (См. упражне-
упражнения к § 2.5.) Тогда
М = {х 6 S | ех = е},
где е — единица упомянутого идеала S. (Ср. с упражнением 16-
к § 2.7.) (Столл [1951].)
14. Пусть р — правая конгруэнция с правым сокращением
на полугруппе S. Обозначим через Л множество р-классов..
Тогда
Р = П {^а \А € d
(Тьеррен [1953].) /
15. Пусть <р: S -*¦ Т есть гомоморфизм полугруппы S н»
полугруппу Т. Тогда подмножество V из Т является унитарной
справа подполугруппой в Г в том и только в том случае, когда
Vqr1 есть унитарная справа подполугруппа в S. Следовательно,.
в частности, если е 6 Т есть правая единица из Т, то eqr1 является
унитарной справа подполугруппой в S.
16. (а) Структура правых конгруэнции на группе G изоморф-
изоморфна структуре подгрупп группы G.
(Ь) Если Н, К — подгруппы группы G, то НК = КН тогда
и только тогда, когда Мн° Мк — •%к ° &н- (Дюбрей [1954,
стр. 153-154].)
17. Следующие условия эквивалентны для подполугруппы N
полугруппы S:
(A) N рефлексивна и унитарна.
(B) N сильна, симметрична и унитарна.
(C) N нормальна в смысле Леви (см. конец § 10.2).
18. Пусть S — коммутативная полугруппа с сокращениями-.
Тождественное отношение Д = is на S является унитарной
рефлексивной подполугруппой прямого произведения S x S
и имеет пустой вычет. Группа (S x S)ISi\ изоморфна группе-
частных полугруппы S. (Хьюлин, устное сообщение.)

240 Гл. 10. Конгруэнции
§ 10.3. Реверсивные эквивалентности Дюбрел
Пусть S — группа и Я — ее подгруппа. Определим отноше-
отношение Рн на S, полагая
Рн = {(&. Ь) 6 S X S | hid = h2b для некоторых hlt h2 6 Я"}.
Тогда Я является правой конгруэнцией на S и ее классы экви-
эквивалентности суть правые смежные классы {На \ а ? S}. Это вто-
второй из упомянутых в начале § 10.2 Способов задания правых кон-
конгруэнции на группах, которые Дюбрей [19411 использовал в каче-
качестве отправной точки исследования аналогичных конгруэнции
на полугруппах.
Полугруппа S называется реверсивной справа [слева], если
Sa ПSb ф 0 laSftbS Ф0] для всех а, Ь ? S (см. § 1.10). Полу-
Полугруппа S называется реверсивной, если она реверсивна и слева,
и справа.
Пусть S — произвольная полугруппа и Н — ее реверсивная
«права подполугруппа. Тогда реверсивное справа отношение экви-
эквивалентности Рн, соответствующее Н, определяется следующим
образом:
¦Рн = {(а> Ь) 6 S X S | иа = vb для некоторых и, v 6 Н).
Отношение Рн является правой конгруэнцией на S. В самом
деле, оно, очевидно, рефлексивно и симметрично. Докажем, что
•оно транзитивно. Рассмотрим такие а, Ъ, с 6 S, что аРнЬ и ЬРас.
Тогда существуют u,v,u',v'?H, для которых
иа = vb, u'b = v'c
Так как Н реверсивна справа, существуют такие х, у ? Н, что
xv = уи'. Тогда
хиа = xvb = уи'Ъ = yv'c.
В силу того что хи, yv' 6 Я, мы получаем aP^c. Таким образом,
Рн является эквивалентностью на S. Ясно, что Рв стабильно
справа. Следовательно, Рн' есть правая конгруэнция на S.
Теорема 10.25. Пусть Я — реверсивная справа подполугруппа
полугруппы S. Тогда
(i) Я содержится в некотором Рн-классе U;
(ii) U = U {hl-VH | h 6 Я};
(iii) если а? S и и ? U, то (иа, а) 6 Рн>
(iv) U является унитарной слева и реверсивной справа под-
подполугруппой из S;
(v) Я = U в том и только в том случае, когда Я унитарна
слева;
(vi) Ри = Рн;
(vii) Ри s Mv.

§ 10.3. Реверсивные 'эквивалентности Дюбрея 241
Доказательство, (i) Пусть h,k ? Н. Так как Я ревер-
сивна справа, существуют такие и, v б Я, что uh — vk, т. е.
(h, k) б Рн- Следовательно, Я содержится в некотором Рн-классе.
(ii) Пусть и ? U. Тогда по определению U для h ? Н имеем
(и, h) б Phi откуда хи = yh для некоторых х, у ? Н. Так как
Я является подполугруппой, yh б Я. Таким образом, и б х^~1Ш,
где х 6 Я.
Обратно, пусть и — произвольный элемент из у1~^Н, где
у б Я. Тогда уи = h ? Н. Таким образом, (hy) и — hh, откуда,
поскольку hy б Я, имеем (u, h) б Рн, т. е. и б V.
Следовательно, U = U {/^"^Я | h б Я}.
(ш) Пусть и ? U, а ? S и h ? Н. Тогда существуют такие
х, у 6 Н, что ;ш = г/fc. Отсюда получаем х (иа) = (yh) а, и, так
как х, yh 6 Я, это влечет (иа, а) 6 Лт-
(iv) Пусть щ, и2 — произвольные элементы из U. Ввиду (ш)
имеем (u1u2, и2) 6 ^н. откуда в силу того, что U является Рн-клас-
сом, получаем uif u2 6 U. Таким образом, U есть подполугруппа
из S. Докажем, что U унитарна слева. Пусть иа б U, где и ? U
и а ? S. Из включения (иа, а) 6 /'н вытекает, что а ? U. Кроме
того, если и, v 6 U, то (и, у) б ^н и поэтому существуют такие
х, у ? Н, что #u = yv. Так как Я ^ U, это показывает, что
полугруппа U реверсивна справа.
(v) В силу (iv), если Я = U, то Я унитарна слева. Обратно,
предположим, что Я унитарна слева. Пусть и ? U, так что
(и, h) 6 -Ря Для h 6 Я. Отсюда u4u = h2h для некоторых ftt, h2 6 Я.
Далее, fe2^ € #• Следовательно, Aju и А4 принадлежат Я, откуда
в силу унитарности слева подполугруппы Я получаем и ? Н.
Таким образом, Н — U.
(vi) Так как H<=U, ясно, что Рн s Py. Обратно, пусть
(а, 6) б -Ру. так что существуют х, у ? U, для которых ха = i/fe.
Ввиду того что х ? U, из (ii) вытекает существование таких.
hi, h2 6 Я, что /ii# = иг- Так как U является подполугруппой,
h(y б U, поэтому существуют h3,ht 6 Я, для которых hjt(y = fe4-
Тогда элемент h^2 — h5 принадлежит также Я. Следовательно,
й5а = /1з^2а = h^xa = h3hjyb = hjy,
откуда (а, Ъ) б Рн- Таким образом, Pv s PH.
(vii) Пусть (а, 6) б Ри> так что ua = vb для некоторых и, v б
??/. Предположим, что ах ? С/. Тогда иаж б ?/• Но иаж = vbx,
откуда в силу унитарности слева подполугруппы U имеем Ъх б U.
Аналогично, Ьх ? U влечет за собой ах ? [Л Следовательно,
(а, Ь) б J?u-
Рассмотрим теперь ситуацию, когда отношение Рн совпадает
с двойственным к нему отношением НР, заданным следующим
образом:
НР = {(а, 6) б S X S | аи — bv для некоторых и, у б Н}.
16-100

242 Гл. 10. Конгруэнции
t
Заметим, что H^ является левой конгруэнцией, если подполу-
подполугруппа Н реверсивна слева.
Пусть Н — непустое подмножество полугруппы S. Тогда
говорят, что Н есть глобально центральное подмножество *),
если аН = На для всех а ? S. Будем называть Н глобально цен-
центральной подполугруппой, если Н есть глобально центральное
подмножество и подполугруппа в S.
Лемма 10.26. Пусть Н—глобально центральная подполугруппа
полугруппы S. Тогда Н реверсивна и НР = Рн.
Доказательство. Если и, v ? Н, то существуют такие
х, у ? Н, что vu = xv и uv = vy, так как по предположению
vH = Hv. Следовательно, Н реверсивна. Учитывая соображения
симметрии, нам нужно доказать лишь, что Рн Е НР. Пусть
а, Ъ — такие элементы из S, что (а, Ь) ? Рн. Это означает, что
существуют и, v ? Н, для которых иа = vb. Так как аН = На
и ЪН = НЪ, существуют такие х, у ? Н, что ах = иа и by = vb.
Следовательно, ах — by, где х, у ? Н, т. е. (о, Ь) ? н/\
Теорема 10.27. Пусть Н — глобально центральная подполу-
подполугруппа полугруппы S и U есть РП-класс, содержащий Н. Пред-
Предположим, что вычет множества Н пуст, т. е. HW = WH = 0.
Тогда U является реверсивной, унитарной, рефлексивной
и сильной подполугруппой из S, кроме того, Рн = Ри = fflu
и поэтому SIPV является группой.
Доказательство. На основании предыдущей леммы
подполугруппа Н реверсивна и НР = Рн, следовательно, Рд
является конгруэнцией на S. В силу теоремы 10.25 Н содержится
в некотором реверсивном справа и унитарном слева .Ря-классе U.
По теореме, двойственной к теореме 10.25, U реверсивна слева
и унитарна справа. Таким образом, U является унитарной и ревер-
реверсивной подполугруппой из S.
В силу утверждения (iii) теоремы 10.25 и двойственного к нему
утверждения U есть единица полугруппы SIPV. Если а ? S, то
существует такой х 6 S, что ах ? U, так как /Те U и WH = 0.
Через А обозначим /V-класс, содержащий а. Таким образом,
существует такое X из S/Ри, что АХ = U. Следовательно, SIPV
является группой.
х) В оригинале centric. Мы не можем переводить этот термин словом
«центральное», так как оно используется в более сильном смысле, означаю-
означающем принадлежность центру — множеству всех элементов, перестановочных
с любым элементом полугруппы (в § 9.4 рассматривались центральные под-
подполугруппы именно в таком смысле). Глобально центральные подмножества
из 5 — это в точности элементы центра полугруппы всех подмножеств полу-
полугруппы S (глобальной полугруппы для S).— Прим. перев.

§ 10.3. Реверсивные эквивалентности Дюбрея 243
Тот факт, что Pv = 3iu и U есть сильная и рефлексивная
подполугруппа, вытекает теперь непосредственно из теоре-
теоремы 10.24.
Следствие 10.28. Если Н — унитарная глобально централь-
центральная подполугруппа из S с пустым вычетом, то Н является рефлек-
рефлексивной сильной подполугруппой и Рн = J?H.
Пусть Н — глобально центральная подполугруппа полугруп-
полугруппы S. В силу леммы 10.26 и двойственной к ней леммы подполу-
подполугруппа Н содержится в некотором /^-классе U, который являет-
является реверсивной и унитарной подполугруппой. Кроме того, н^ =
= Рн ввиду леммы 10.26 и поэтому Рн есть конгруэнция на S.
По теореме 10.25 (ш) и двойственной к ней теореме U является
единицей полугруппы S/PH. Возникает вопрос: что еще можно
сказать о полугруппе S' = S/PH кроме того, что она обладает
единицей? Ответ: ничего. В действительности ничего нового
нельзя сказать даже в том случае, когда Н является унитарной
подполугруппой. В самом деле, если S — произвольная полу-
полугруппа с единицей е, то Н = {е} является унитарной глобально
центральной подполугруппой из S и (а, Ь) ? Рн тогда и только
тогда, когда а = Ъ. Заметим попутно, что Н не обязательно долж-
должна быть рефлексивной. В самом деле, из аЪ = е не обязательно
вытекает Ъа = е (в качестве примера можно взять бицикличе-
скую полугруппу (§ 1.12)).
Далее, мы знаем, что (HP=)VP= Ри (= Рн). Но это условие
не является достаточным для того, чтобы U была глобально
центральной подполугруппой, так что утверждение, обратное
к лемме 10.26, неверно. Например, пусть S — полугруппа на
множестве {h, t, a, b} с таблицей умножения
h
t
а
Ь
h
h
h
b
b
t
h
t
b
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
b
Пусть H = {h}. Тогда Н глобально центральна. Множество U
совпадает с множеством всех таких х ? S, что xh = h, так что
U = {h, t}. Ввиду того что aU = Ъ и Ua = {о, Ь}, подполу-
подполугруппа U не является глобально центральной.
Приведенный пример показывает, что если Рн = Ри, то
равенство Мц = Мц может и не выполняться. Классами экви-
16*

244 Гл. 10. Конгруэнции
валентности в этом примере являются множества:
-Яв' {М- {*}> {«> Ь);
С другой стороны, всегда WH = Wv\ здесь Wjj — Wv = {a, b}.
Для каких полугрупп S мы можем получить все групповые
гомоморфные образы при помощи реверсивных отношений экви-
эквивалентности? Конечно, не для всех полугрупп. В самом деле,
если мы рассмотрим такой гомоморфизм S на одноэлементную
группу, то сразу же получаем, что S должна быть реверсивна
хотя бы с одной стороны. Но следующая теорема показывает, что
мы получим таким методом все групповые образы полугруппы S,
если S глобально центральна, т. е. если aS = Sa для всех а ? S.
Для коммутативных полугрупп S с сокращениями этот результат
был доказан в статье Дюбрея и Дюбрей-Жакотэн [1940].
Теорема 10.29. Пусть S — глобально центральная полугруппа.
(i) Унитарная подполугруппа Н с пустым вычетом из S гло-
глобально центральна тогда и только тогда, когда она рефлексивна.
(ii) Пусть <р: S -*¦ G есть гомоморфизм S на группу G и Н —
полный прообраз единицы. Тогда Н есть унитарная глобально
центральная подполугруппа с пустым вычетом из S и <р ° ф =
= />„.
Доказательство, (i) Мы уже видели, что если Н гло-
глобально центральна, то она также рефлексивна (следствие 10.28).
Докажем обратное. Предположим, что Н рефлексивна. Ввиду
соображений симметрии достаточно установить, что аН Е На
для всех а 6 S. Пусть и — произвольный элемент из Н. Так как
по предположению S глобально центральна, существует такой
с ? S, что аи = са. Поскольку Н — подполугруппа с пустым
вычетом, существует Ь ^ S, для которого аЪ ? Н, откуда Ъа 6 Н
в силу рефлексивности Н. Следовательно, b (са) = b (аи) =
= (Ъа) и ? Н. Снова в силу рефлексивности. Н имеем с (ab) =
= (са) b 6 Н. Наконец, ввиду унитарности Н получаем c?ff,
что и требовалось доказать.
(ii) Так как Н является единицей полугруппы iS/ф о ф-i,
которая изоморфна G, из теоремы 10.24 и только что доказанного
вытекает, что Н есть унитарная глобально центральная под-
подполугруппа с пустым вычетом. На основании теоремы 10.24 мы
получаем также, что ф ° ф = J?H, а из теоремы 10.27,— что
J?H = Ря. Это завершает доказательство теоремы.
Закончим параграф классическим примером реверсивного отно-
отношения эквивалентности (см., например, Ландау [1927], часть 10,
глава 4, § 4). Пусть S — мультипликативная полугруппа целых
идеалов в конечном поле алгебраических чисел и N — подполу-

§ 10.4. Главные конгруэнции 245
группа главных идеалов. Множество N является глобально цен-
центральным и рефлексивным, поскольку S коммутативна, и, легко
видеть, это множество унитарно. Утверждение о том, что N имеет
пустой вычет, совпадает с содержанием теоремы (теорема 771 у Лан-
Ландау), согласно которой каждый идеал делит главный идеал.
Таким образом, S/PN есть абелева группа (в этом случае конеч-
конечного порядка), которая называется «группой классов идеалов».
Упражнения к § 10.3
1. Пусть S — полугруппа с сокращениями и G — ее под-
подгруппа. Тогда G реверсивяа и унитарна в S. Классами эквива-
эквивалентности правой конгруэнции Ра являются множества
{Gx | х ? S} и PG — конгруэнция с правым сокращением.
2. Пусть S — полугруппа с правым сокращением и Н — ее
реверсивная справа подполугруппа. Тогда Рн есть правая кон-
конгруэнция с правым сокращением. (Дюбрей [1941].)
3. Пусть S — полугруппа с правым сокращением. Тогда
каждая реверсивная справа и унитарная слева подполугруппа U
из S является сильной и унитарной справа. Кроме того, если
U — такая подполугруппа, то Ри Е Ми и Ри совпадает с Mv
на множестве S \ Wv. (Дюбрей [1941].)
§ 10.4. Главные конгруэнции
Двусторонние аналоги главных эквивалентностей Дюбрея рас-
рассматривались несколькими авторами. Пирс [1954] использовал
их для характеризации гомоморфизмов на дизъюнктивные полу-
полугруппы (его результат сформулирован ниже в качестве упраж-
упражнения 1). Они были использованы также Престоном [1954с] в фор-
формулировке одного условия, при котором представления некото-
некоторых инверсных полугрупп являются точными. Систематическое
изучение свойств этих двусторонних аналогов главных эквива-
эквивалентностей было проведено в статье Круазо [1957], из которой
и заимствован материал, изложенный в данном параграфе.
Любому подмножеству Н полугруппы S и любому а 6 S поста-
поставим в соответствие подмножество Н. . а, заданное следующим
образом:
Н . . а= {(х, y)?S X S \xaye #}•
Положим
&н = {(я, Ь) 6 S X S | Н . . а ~ Н . . Ъ).
Это отношение находится в такой же связи с р ({Н}) С (§ 10.1),
в какой отношение Мн находится с р ({Н}) R, и замечания, сде-
сделанные в начале § 10.2, можно отнести и к рассматриваемому
случаю. Ясно, что еРн есть отношение эквивалентности на. S.
Если (а, Ъ) 6 &"н> то включения (х, у) ? Н . . (ас), (х, су) ?

246 Гл. 10. Конгруэнции
».
? Н . . а равносильны; аналогично, равносильны включения
(х, у) ? Н . . (be), (х, су) ? Н . . Ъ. Из равенства Н . . а =
— Н . . Ъ вытекает, что Н . . (ас) = Н . . (be). Таким образом,
(ас, be) 6 е^н- Аналогично, (са, cb) ? &н. Следовательно, &н
является конгруэнцией на S. Отношение &*н называется главной
конгруэнцией на S, соответствующей подмножеству Н.
Бивычетом W множества Н называется множество
W = {а 6 S \Н . . а = 0}.
Лемма 10.30. Если Н — подмножество полугруппы S, W —
его бивычет и W Ф0, то W является (двусторонним) идеалом
в S и оРн-классом.
Доказательство. Пусть w f W, а ? S. Предположим,
что (х, у) ? Н . . (wa), т. е. xway 6 Н. Тогда (х, ау) ? Я . . w,
но это противоречит предположению о том, что w 6 W. Следова-
Следовательно, Н . . (wa) =0, т. е. wa g W. Аналогично, aw f W.
Итак, W является идеалом в S.
Подмножество Н из S называется бисилъным (в S), если для
любых a, b ? S
(Н . . а) [\(Н . . Ъ)=? 0 влечет за собой Н . . а = Н . . Ъ.
Теорема 10.31. Пусть Н — бисильное подмножество полу-
полугруппы S и X есть &н-класс, отличный от бивычета W подмноже-
подмножества Н. Обозначим через Wx бивычет множества X. Тогда X являет-
является бисилъным подмножеством и
W <= Wx и ®н^ &х.
Ограничения отношений 3*н и сРх на S \ Wx совпадают.
Кроме того, если ЯдХ, то &н = <РХ.
Доказательств о. Заметим, что если х ? X и (а, Ъ) ?
? Н . . х, то в силу того, что Н бисильно,
(и, v) ? X . . у тогда и только тогда, когда (аи, vb) ? Н . .у.
В самом деле, (и, v) ? X . . у всегда влечет за собой (аи, vb) ?
? Н . . у; обратно, (аи, vb) ? Н . . у влечет за собой (о, Ь) ?
? (Н . . х) (](Н . . uyv), откуда в силу того, что Н является
бисильным, имеем uyv 6 X, т. е. (и, v) ? X . . у. Теперь непо-
непосредственно получаем, что если у $ Wx, то у $ W. Таким образом,
W = Wx.
Предположим, что (р, q) 6 ^н» т- е- Н . . р — Н . . q.
На основании приведенного выше замечания (и, v) 6 X . . р
тогда и только тогда, когда (аи, vb) ? Н . . р, и (v, и) 6 X . . q
тогда и только тогда, когда (аи, vb) 6 Я . . q. Так как Н . . р =

§ 10.4. Главные конгруэнции 247
= Н . . q, мы заключаем, что X . . р = X . . q. Следователь-
Следовательно, (р, q) 6 еРх- Это показывает, что еРн S &х-
Предположим теперь, что (р, q) ? &х и Pi Я. € S \ Wx. Тогда
существует (и, v) ? X . . р = X . . q. Следовательно, (аи, vb) ?
€ (Н . . р) (](Н . . q), откуда ввиду того, что Н является
бисильным, (р, q) 6 &н- Этим установлено, что &>х совпадает
с ЙПН на S \ Wx.
Пусть ЯеХ. Чтобы доказать равенство 3>н = сРХ' доста-
достаточно проверить включение Wx s W. Возьмем р 6 Wx. Имеем
X . . р =0. Предположим, что (и, v) ? Н . . р. Тогда upv ? Н.
Отсюда upv ? X, так как Н ? X, и поэтому (и, v) 6 X . . р,
что противоречит предположению. Следовательно, Н . . р =0,
т. е. р ? PF. Доказательство теоремы закончено.
Непустое подмножество Н полугруппы S называется бисовер-
шенным, если оно является бисильным и содержится в некотором
оТ*н-классе, отличном от бивычета множества Н.
Если S обладает единицей е, то каждое ее непустое бисиль-
ное подмножество Н является бисовершенным. В самом деле,
(е, е) ? Н . . ft для всех h ? Н. Такое же заключение справедливо
в случае, когда существуют а, Ь ? S, для которых azb = x при
любом ж ? S. Однако, как показывает следующая лемма, инте-
интересная сама по себе, эти два случая совпадают. (См. Круазо
11957], а также Франклин и Линдсей [1960/61].)
Лемма 10.32. Пусть S — полугруппа, содержащая такие эле-
элементы а, Ъ, что ахЪ — х для всех х ? S. Тогда S обладает едини-
единицей е и е = аЪ = Ъа.
Доказательство. Для любого х ? S мы имеем
аЪх = а (аЪх) Ъ = (aab) xb — ахЪ = х;
хаЪ — а (хаЪ) Ъ = ах (abb) = axb — х.
Таким образом, ab является единицей в S. Следовательно, (йЬJ =
= аЪ, но (аЪ)ъ = а (Ьа) Ъ — Ъа, т. е. аЪ = Ьа.
Как и для одностороннего случая (лемма 10.15), справедлива
следующая
Лемма 10.33. Бисильная подполугруппа бисовершенна.
Доказательство. Если Н является бисильной под-
подполугруппой, то (h, h') ? Н . . h для любых h, h' ? Н.
Используя бисильные подполугруппы с пустым бивычетом,
можно получить еще один метод описания гомоморфизмов полу-
полугрупп на группы.
Следующая теорема до некоторой степени аналогична теоре-
теоремам 10.24 и 10.27.

248 Гл. 10i Конгруэнции
¦ Теорема 10.34. Пусть Н — бисильная подполугруппа полугруп-
полугруппы S и ее бивычет пуст. Тогда Н содержится в некотором &н-клас-
се U и U есть бисильная унитарная подполугруппа из S с пустым
вычетом. Равенство Н = U выполняется тогда и только тогда,
когда Н унитарна. Кроме того, сРн = §>и = fftv и S/ePH являет-
является группой.
Обратно, если р — такая конгруэнция на S, что S/p является
группой, и U — единица группы S/p, то U есть бисильная уни-
унитарная подполугруппа с пустым вычетом и, кроме того, р = еТ^.
Соответствие между U и &и, описанное выше, является взаим-
взаимно однозначным.
Доказательство. Если Н — бисильная подполугруп-
подполугруппа из S, то на основании леммы 10.33 Н бисовершенна. Пусть
U есть сРд-класс, содержащий Н.
Пусть u,v?U. Тогда (и, h) ? оГ>н и (v, h) ? 3>н для h 6 Н.
Так как &н является конгруэнцией, отсюда вытекает, что
(uv, h2) ? еРн. В силу того что № ? Н, получаем включение
uv ? U. Следовательно, U есть подполугруппа.
Пусть и ? U, хи 6 U. Существует (а, Ь) ? Н . . (хи), откуда
(а, иЪ) ? Н . . х. Далее, Н . . (хи) = Н . . (и'и) для и' 6 U,
так как U является полугруппой и <9^н-классом. Следовательно,
(а, Ъ) 6 Н . . (и'и), т. е. (а, иЪ) 6 Н . . и'. Таким образом,
(Я . . х)Г\(Н . . и') ф0, откуда в силу того, что Н является
бисильной, х ? U. Этим доказано, что полугруппа U унитарна
справа. Аналогично, U унитарна слева.
Из того факта, что Н ? U, непосредственно вытекает, что
U имеет пустой бивычет. На основании теоремы 10.31 U являет-
является бисильной.
Предположим, что Н унитарна. Пусть и ? U, т. е. Н . . и —
= Н . . h Ф0 для h ? Н. Тогда huh ? Н, так как Ъ? ? Н.
В силу унитарности Н из включения h (uh) g H вытекает, что
uh ? Н, откуда в свою очередь получаем, что и ? Н. Таким обра-
образом, Н — U тогда и только тогда, когда Н унитарна.
На основании теоремы 10.31 §>н = &и. Рассмотрим теперь
факторполугруппу SloPy. Если а, Ъ, . . .— элементы из S, то
обозначим соответственно через А, В, . . . элементы из S/SP'u,
их содержащие. Пусть АВ = АС, т. е. (аЪ, ас) 6 <9V Так как
U имеет пустой вычет, существует (х, у) ? U . . (аЪ) — U . . (ас).
Таким образом, (ха, у) ? (U * . b) (}(U . . с), откуда (Ь, с) ? аРи
и В = С. Значит, S/ePu — полугруппа с левым сокращением.
Аналогично проверяется и выполнение правого сокращения.
Далее, U является идемпотентом в полугруппе S/cPv, поэто-
поэтому U есть единица в S/S^u, так как SIS'u — полугруппа с сокра-
сокращениями. В силу того что U имеет пустой вычет, для данного X
существуют такие А, В ? S/&>v, что АХВ = U. Отсюда полу-

§ 10.4. Главные конгруэнции 249
чаем (ХВА)* = ХВ (АХВ) А = XBUA = ХВА = U, так как
единица является единственным идемпотентом в полугруппе
с сокращениями. Это показывает, что S/аРц есть группа.
Наконец, равенство af>v =MV вытекает из теоремы 10.24.
Обратно, предположим, что U есть единица группы S/p. Оче-
Очевидно (см. теорему 10.24), что U является унитарной под-
подполугруппой из S. А так как S/p является группой, U имеет
пустой бивычет. Пусть (х, у) ? (U . . a) (](U . . Ъ). Тогда XAY=
= U — XBY, где большими буквами обозначаются р-классы,
аналогично тому, как это мы делали выше для еР^-классов. Пусть
(p,q)€ U . .а. Тогда PAQ = U. Но XAY = XBY влечет за
собой А = В. Следовательно, PBQ = U, откуда pbq ? U,
т. е. (р, q) ? U . . Ъ. Этим установлено, что U . . a s U . . Ъ.
В силу соображений симметрии отсюда вытекает, что U есть
бисильная подполугруппа.
Далее, (а, Ь) ? р, т. е. А = В, тогда и только тогда, когда
существуют такие X, Y, что XAY = U = XBY. А это в свою
очередь имеет место тогда и только тогда, когда существуют такие
х, у, что (х, у) 6 (U . . a)f\(U . . Ь), т. е. когда (а, Ъ) 6 #V
Таким образом, р = йРц.
Ясно, что соответствие, которое мы установили между бисиль-
ными унитарными подполугруппами с пустым бивычетом и такими
конгруэнциями р на S, что S/p есть группа, взаимнооднозначно.
Следствие 10.35. Пусть Н — непустое подмножество полу-
полугруппы S. Тогда следующие условия эквивалентны:
(A) Н есть бисильная унитарная подполугруппа из S с пустым
бивычетом.
(B) Н есть еильная рефлексивная и унитарная подполугруппа
из S с пустым правым вычетом.
Доказательство. Это утверждение получаем непо-
непосредственно, сравнивая теоремы 10.34 и 10.24.
До сих пор мы выводили для главных конгруэнции только
результаты, аналогичные соответствующим результатам для глав-
главных правых конгруэнции. В частности, мы показали, что при
помощи главных конгруэнции можно описать гомоморфизмы
полугрупп на группы. Теперь мы используем главные конгруэн-
конгруэнции для получения описания гомоморфизмов полугрупп на полу-
полугруппы с сокращениями, обладающие ядром.
Сначала дадим характеризацию ядра полугруппы.
Теорема 10.36. Полугруппа S имеет ядро тогда и только
тогда, когда существует элемент из S с пустым бивычетом.
В этом случае ядро полугруппы S совпадает с множеством элемен-
элементов из S, имеющих пустые бивычеты.

250 Гл. 10. Конгруэнции
».
¦Эта теорема является частным случаем одного результата
Шайна [1966].*
Доказательство. Полугруппа S имеет ядро тогда
и только тогда, когда в S существует элемент, принадлежащий
каждому двустороннему идеалу из S, т. е. тогда и только тогда,
когда существует такой элемент а, что а ? SxS для всех х ? S.
Но это выполняется тогда и только тогда, когда а . . х (мы пишем
а . . х вместо {а} . . х) не пусто для всех х ? S, т. е. когда а имеет
пустой бивычет.
Из сказанного непосредственно вытекает, что ядро полугруп-
полугруппы S, если оно существует, совпадает с множеством элементов
из S, имеющих пустые бивычеты.
Теорема 10.37. Пусть Н — бисовершенное подмножество полу-
полугруппы S, имеющее пустой бивычет в S. Тогда SfuPH является
полугруппой с сокращениями, обладающей ядром.
Доказательство. Пусть (ad, bd) ? &н. Так как бивы-
бивычет множества Н пуст, существуют такие х, у ? S, что (х, у) ?
6 Н . . (ad) = Я . . (bd). Отсюда (х, dy) ? (Н . . а) [\(Н . . Ь), и в
силу того, что Н является бисильным, получаем, что (a, b) ? af>H.
Таким образом, 3*н — конгруэнция с правым сокращением.
Аналогично, еРн — конгруэнция с левым сокращением. Следова-
Следовательно, S/Фц есть полугруппа с сокращениями.
Так как Н бисовершенно, оно содержится в некотором 3>н-
классе X. Ясно, что бивычет множества X также пуст. Следова-
Следовательно, S/cPH содержит элемент с пустым бивычетом. Тогда
из теоремы 10.36 вытекает, что S/&H имеет ядро.
Лемма 10.38. Пусть S — полугруппа, р — конгруэнция с сокра-
сокращениями на ней и X — некоторый р-класс. Тогда X является
бисильной в S.
Кроме того, р ? <РХ> и если W есть бивычет множества X
в S, то р совпадает с сРх на S\W.
Доказательство. Пусть (а, Ъ) 6 (X . . р) |~| (X . . q),
так что (apb, aqb) ? р. Так как р — конгруэнция с сокращениями,
отсюда получаем (р, q) ? р. Предположим, что (и, v) ? X . . р.
Тогда upv?X, а из включения (р, д) 6, Р вытекает, что (upv,
uqv) ? р. Таким образом, в силу того, что X есть р-класс, uqv ? X,
т. е. (и, v) 6 X . . q. Следовательно, X . . р s X . . q. По сообра-
соображениям симметрии мы имеем X . . р = X . . q, и это показывает,
что X является бисильным.
Если (о, Ъ) ? р, то в силу того, что X есть р-класс, paq ? X
тогда и только тогда, когда pbq ? X. Следовательно, (а, Ь) ? ^х-
Если (а, Ъ) ? <&х и а, Ъ 6 SXW7, то существуют такие р и q,

§ 10.4. Главные конгруэнции 251
что paq ? X и pbq ? X. Тогда (paq, pbq) ? р, откуда (а, Ъ) ? р,
так как р — конгруэнция с сокращениями.
Теперь мы можем доказать теорему, являющуюся обратной
к теореме 10.37.
Теорема 10.39. Пусть ц>: S ->- Т есть гомоморфизм полугруппы
S на полугруппу Т. Предположим, что Т является полугруппой
с сокращениями и обладает ядром К.
Пусть к ? К- Положим Н = кц>~х. Тогда Н есть бисовершен-
ное подмножество из S с пустым бивычетом и имеет место
равенство еРн = ф ° ф-
Доказательство. В силу теоремы 10.36 элемент к
имеет пустой бивычет в Т. Пусть х ? S. Положим жф = и. Пусть
(р> <?) 6 к . . и, так что puq = к. Возьмем, а, Ъ ? S, для которых
лф = р, Ьф = q. Это сделать можно, поскольку ф есть отображе-
отображение на Т. Тогда ахЪ ? Я, т. е. (о, Ъ) 6 Н . . х. Таким образом,
Н . . х=?0 для всех х ? S, т. е. Н имеет пустой бивычет.
Далее, ф ° ф является конгруэнцией с сокращениями, так
как Т есть полугруппа с сокращениями. Множество Н есть
<р ° ф^-класс. На основании предыдущей леммы мы заключаем,
что Н бисовершенно и 3^н = ф ° ф.
Теоремы 10.37 и 10.39 вместе дают способ построения всех
гомоморфизмов полугрупп на полугруппы с сокращениями, обла-
обладающие ядром.
Мы закончим параграф теоремой Круазо [1957U
Теорема 10.40. Пусть S — полугруппа с сокращениями, обла-
обладающая ядром К. Предположим, что К содержит идемпотент.
Тогда К = S и S является группой.
Доказательство. Теорема легко доказывается непо-
непосредственно, но мы только отметим, что она вытекает из теоре-
теоремы 10.39, если мы возьмем в качестве ф тождественное преобразо-
преобразование множества S, в качестве к — идемпотент из К, а затем
применим теорему 10.34.
Для того чтобы доказать, что простая полугруппа с сокраще-
сокращениями не обязательно является группой, достаточно заметить,
что полугруппа всех матриц
0\
(а 0\
\Ь 1)'
где а, Ъ — действительные положительные числа, является про-
простой полугруппой с сокращениями, но не содержит идемпотентов.
Этот пример есть частный случай упражнения 10 (а) к § 2.1.
Другие примеры можно найти в статье Круазо [19571.

252 Гл. 10. Конгруэнции
Упражнения к § 10.4
1. Скажем, что идеал / полугруппы S удовлетворяет усло-
условию (i) *), если SaS s / влечет за собой а ? /. Говорят, что полу-
полугруппа S дизъюнктивна, если S = S0 и главная конгруэнция 0>о,
соответствующая подмножеству {0}, является отношением равен-
равенства.
Пусть / — идеал полугруппы S, удовлетворяющий усло-
условию (i). Тогда S/ePj является дизъюнктивной полугруппой. Обрат-
Обратно, если ср: S -*- Т есть гомоморфизм S на дизъюнктивную полу-
полугруппу Т, то / = Оф — идеал из S, удовлетворяющий усло-
условию (i), и ф о <p-i = &j. (Пирс [19541.)
Следующие упражнения взяты из статьи Круазо [1957].
2. Пусть {Ht | i ? /} — семейство бисильных подмножеств
полугруппы S. Тогда ( {Ht \ i ? /} является бисильным подмно-
подмножеством в S.
3. Пусть р — конгруэнция на полугруппе S и А — некото-
некоторый р-класс. Тогда р s aPA.
4. Пусть S — полугруппа и H^S. Обозначим через WH, HW
и W соответственно правый вычет, левый вычет и бивычет
подмножества Н в S.
(a) Если HW e= WH, то HW <= W.
(b) Если HftS^WnftW = 0, то W c= HW.
(c) Если Н — подполугруппа, то W ? HW f\WH.
5. Пусть S — полугруппа и Н — Ъильное симметричное под-
подмножество из S. Тогда Н является бисильным. Обозначим через
W бивычет подмножества Н. Тогда
Кроме того, М и &>н совпадают на
6. Пусть S — простая справа полугруппа. Тогда каждое
бисильное подмножество из S является сильным.
7. Пусть S — полугруппа, Н — ее бисовершенная подполу-
подполугруппа и U есть ёУд-класс, содержащий Н. Тогда U совпадает
с пересечением всех унитарных подполугрупп из S, содержащих Н.
8. Пусть Н — симметричное совершенное подмножество полу-
полугруппы S. Тогда Н бисовершенно и
= WH = W,
где через W обозначен бивычет подмножества Н в S.
9. Пусть р — конгруэнция с сокращениями на полугруппе S.
Тогда
Р = Г\№н I H есть р-класс}.
х) В оригинале для идеала с таким свойством введен термин «inclusive»,
который далее в книге не используется.— Прим. перее.

§ 10.5. Теоремы о гомоморфизмах для подполугрупп 253
10. Пусть G — группа. Тогда H^G является бисильным
подмножеством в том и только в том случае, когда хНН~гх~1Н ?=
s H для всех х ? G. Бисильное подмножество из G является
сильным. Подгруппа группы G является бисильной тогда и толь-
только тогда, когда она инвариантна в G-
Следовательно, бисильными подмножествами группы являются
смежные классы по инвариантным подгруппам.
11. Пусть G — группа и Н s G. Тогда конгруэнция еРн
равна главной конгруэнции, соответствующей наибольшей инва-
инвариантной подгруппе, которая содержится в [\{Hh~l \ h ? Н}.
12. Пусть S — полугруппа и / — ее идеал. Тогда / является
бивычетом некоторого подмножества Н из S в том и только в том
случае, когда
/ = 5Т-Ч (ASI-4)
для некоторого множества A s S. (Обозначения см. в упражне-
упражнении 6 к § 10.2.)
§ 10.5. Теоремы о гомоморфизмах для подполугрупп
В изложении материала настоящего параграфа мы следуем
работе Голди [1950], касающейся произвольных алгебр (с конечно-
местными операциями). Соответствующая теория для алгебр
является несколько более сложной, чем в случае полугрупп.
Пусть S — полугруппа и Тх, Г2 — ее подполугруппы. Пред-
Предположим, что Tlf\T2 = P не пусто. Пусть тг — конгруэнция
на Г; (i = 1, 2). Заметим, что
P^i = {У 6 Tt | (р, у) 6 тг для некоторого р 6 Р}
является подполугруппой из S. Если R — произвольная подполу-
подполугруппа из S, то через (тг)д будем обозначать пересечение it f|
f|(jR X R). По определению считаем, что т4» т2 есть конгруэнция
на Рх2, порожденная ограничениями (xi)PX и (тг)рт конгруэнции
2 2
Ti и т2 на Рх2- Если Tt = Т2 = Р, то т4 * т2 равно объединению
Ti V Т2 конгруэнции т4 и т2 в структуре конгруэнции на Р. Таким
образом, для любых Ту и Т2, не обязательно равных,
Заметим также, что т4 * т2 = (Т))Р * т2.
В первом утверждении следующей леммы дается конструкция
конгруэнции т4 * т2, в двух других утверждениях приводятся
некоторые следствия, которые понадобятся нам позднее.
Лемма 10.41. (i) В приведенных выше обозначениях (а, Ъ) ?
? Ti * т2 тогда и только тогда, когда существует конечная после-

254 Гл. 10. Конгруэнции
довательность элементов хх, х2, . . ., х2т ? S, для которых *
ax2xixxx2x2 . . . Xix2mx2b.
Каждый член xt любой такой последовательности должен при-
принадлежать Р.
(ii) (т4 * %2)р = (tj)p * (т2)Р = (ti)p\J(t2)p-
(iii) Если К — произвольная подполугруппа из Р, то
К (т4 * (т2)Р)т2 = К (Xi * т2).
Замечание. В этом и следующем параграфах^мы будем ради
удобства часто обозначать композицию отношений просто при-
приписыванием.
Доказательство, (i) Обозначим через т отношение,
определенное в формулировке леммы. По определению отноше-
отношения т ясно, что если (о, Ь) ? т, то каждый из элементов а и Ъ
принадлежит Рх2, так как он т2-эквивалентен некоторому эле-
элементу из Tt [\Т2. Следовательно, т есть бинарное отношение
на Рх2.
Пусть а ? Рх2. Тогда существует такое Ъ ? Р, что (о, Ь) 6 т2.
Таким образом,
ax2bxibx2a,
откуда (а, а) ? т, т. е. т рефлексивно. Очевидно, т симметрично.
Докажем, что оно транзитивно. Пусть (а, Ь) ? т и (Ь, с) ? т,
т. е. существуют такие х±, х2, . . ., х2т и уи у2, . . ., у2п, что
. . . х±х2тх2Ь
Так как x2mx2bx2yi, T0 х2тТ2.У1- Следовательно,
т. е. (а, с) ? т. Таким образом, т является эквивалентностью
на Рх2.
Докажем теперь, что т есть конгруэнция. Пусть (а, Ь) ?г
и (с, d) 6 т, так что
ах2х^х2 . . . Xix2mx2b
и
¦ ¦ ¦ Xiy2nX2d,
Мы можем предположить, что m = и; в самом деле, если, напри-
например, m «< п, то длину первой цепи можно увеличить, вставляя
подходящее число членов #
X2mX2X2mXiX2m.

§ 10.5. Теоремы о гомоморфизмах для подполугрупп 255
Так как т4 и т2 являются конгруэнциями на своих областях опре-
определения, мы сразу же получаем
{ас) х2 (aJiifi) Ti (х2у2) . . . хх (х2пу2п) т2 (bd),
т. е. (ас, bd) ? т.
Конгруэнция т, очевидно, содержит (xi)Pt2 и (хг)РХг и содер-
содержится в любой конгруэнции на Рх2 с этим свойством. Следова-
Следовательно, т = т4 * т2.
(и) Так как по определению Ti * т2 содержит (xi)PX, и (т2)РТг,
ясно, что (ti * т2)Р содержит (ti)p и (т2)р, а следовательно, и их
пересечение.
Обратно, пусть (о, Ъ) 6 (т4 * т2)р- В силу (i)
для некоторых xt, x2, . . ., x2m ? Р. Так как a, b ? Р, мы заклю-
заключаем, что (а, Ь) 6 (т4)р V (тг)р-
(in) Пусть а ? К (tj * т2). Тогда (к, а) ? Tj * т2 для некоторо-
некоторого А; ? if и в силу (i) существуют такие arl7 . . ., x2m ? Р, что
. . х\Х2тпх2а.
Поскольку к принадлежит Р, мы можем заменить в этой цепи
каждое т2, кроме последнего, на (т2)р- Так как
к (х2)Р x1xix2 (т2)р . . . Xix2m (х2)Р х2т,
мы имеем (к, х2т) ?xY * (х2)Р. Следовательно, xZm 6 К (х± * (т2)Р)
и из соотношения х2тх2а мы заключаем, что
а 6 К К * (т2)Р) т2.
Обратно, пусть а. 6 ЛГ (т! * (т2)р) т2. Тогда &т2а для некото-
некоторого b ? К (xi * (т2)р) и в силу (i) существует к ? К п такие
хи х2, . . ., х2т 6 Р.что
^ (Т2)р ^Т^г (Т2)р . . . Х1Х2т (Та)р Ь.
Из соотношений а;2тт2Ь и Ъх2а вытекает, что х2тх2а. Следовательно,
кх2Х\Х\Х2х2 . . . Х\Х2тх2а,
откуда в силу (i) получаем (к, а) ? Х\ * т2, т. е. а 6 К (ti* т2).
Доказательство леммы 10.4t закончено.
Прежде чем привести теорему о гомоморфизмах, докажем
еще одну лемму.
Лемма 10.42. Пусть Т — подполугруппа полугруппы S и а ~
конгруэнция на S. Тогда taT —> ta (t 6 Т) является изоморфизмом
полугруппы Т/аТ на Та/аТа.
Замечание. Ограничение аТа конгруэнции а на Та совпадает
с ir * о.

256 Гл. 10. Конгруэнции
Доказательство. Отображение taT -> to является вза-
взаимно однозначным. В самом деле, (tlf t2) € <*г тогда и только
тогда, когда (*lt t2) 6 о", (tt, t2) 6 Т. Оно является, очевидно,
отображением на Та/аТа и изоморфизмом, так как
(Ьот) (t2aT) = (tit2) aT -*¦ ihh) a = (ha) (t2a).
Теорема 10.43. Пусть Т — подполугруппа полугруппы S, а —
конгруэнция на S и х — конгруэнция на Т. Определим естествен-
естественные отображения а и р, полагая
(tx) a = t (т * <тг) (*€Л.
(* (т * аг)) р = « (т * а) («6 Л-
Тогда а является гомоморфизмом полугруппы Т/х на 77(т • ffr),
а р — изоморфизмом Т/(х * сгг) ма ^/(т * ff).
Доказательство. Отношения т и ат являются кон-
груэнциями на Т, следовательно, х * от совпадает с их объеди-
объединением. В частности, т * сгг есть конгруэнция на Т, содержащая т,
и поэтому а является гомоморфизмом.
Рассматривая р, применим лемму 10.41 (ii) к случаю Т^ = Т,
Т2 = S, Р = Tt f| Т2 = Т, Ti = т и т2 = а. Мы получим (т * с)г =
= х V °*г- Применим лемму 10.42, заменяя 5 на Го и с на т * а.
Так как Т (х * а) ~ Та ж (т * сг)Г(Т = т * а, мы заключаем, что
отображение t (х * ст)т-> ? (т * сг) является изоморфизмом 77(т * сг)г
на Га/(т * а). В силу того что (т * а)т = т V аг = т * о>, это
отображение совпадает с р.
В качестве следствия мы получаем следующий аналог леммы
Цассенхауза для групп.
Следствие 10.44. Пусть Тх и Т2 — такие подполугруппы полу-
полугруппы S, что Р = Ti П Т2 не пусто, и Tt, x2 — конгруэнции
"соответственно на Ti и Т2. Тогда естественный гомоморфизм
Р (т2 * т4) -v р (т, * т2) {р в Р)
является изоморфизмом и, таким образом,
PxJ{x2 * rt) е* Рх2 {Xi * т2).
Доказательство. Если мы в теореме заменим S на
Рхи Т на Р, а на т4 и т на (т2)Р, то изоморфизм р превратится
в изоморфизм
Р «т2)р • (тОр) -* р ((та)Р . тО (р € Р)
полугруппы Р/((х2) Р* (Xi)P) на Pti/((t2)p * т^. Учитывая сооб-
соображения симметрии, мы также заключаем, что отображение
Р (Ыр * (т2)Р) -> р ((ti)p * т2) (р 6 Р)

§ 10.4. Слабо перестановочное отношения 257
является изоморфизмом P/((xi)P * (т2)Р) на /)т2/((т1)Р * т2). Как
отмечено ранее,
(ti)p * (т2)Р = (ti)p V (tz)p = (т2)Р * (ti)p,
(ti)p * т2 = Ti * т2
(Т2)р • Т4 = Т2 * Tt.
Сопоставляя теперь два установленных выше изоморфизма, мы
получаем утверждение следствия.
Упражнения к § 10.5
1. Пусть Т — подполугруппа полугруппы S и а — конгру-
конгруэнция Риса (а = / X /UlS4j) на ?> соответствующая идеалу /
из S, причем / ()Т Ф0. Пусть т = ir- Тогда теорема 10.43
непосредственно дает
T/(J()T)e?(J[)T)/J,
что является утверждением теоремы 2.36.
2. Пусть R и S — подполугруппы некоторой полугруппы
и г, s — идеалы соответственно из R и S. Положим
T = rl)(R()S), t = r[j(R(]s)t
U = s\J{R[)S), и = s[j(r{]S).
Тогда t, и являются идеалами соответственно в Т, U и
Tit ?*
Этот результат Риса [1940] есть частный случай следствия 10.44,
когда R(]S^ 0; впрочем, он по существу тривиален.
§ 10.6. Слабо перестановочные отношения
и теорема Жордана — Гёльдера *)
Пусть S — полугруппа, К — ее подполугруппа и R, Т —
такие подполугруппы из S, что R f] T э К. Пусть р — конгру-
конгруэнция на R и т — конгруэнция на Т. Тогда говорят, что р и т
слабо перестановочны над К, если Kpx^R = -й^Тнрг- (Здесь, как
и в § 10.5, рг = рПG' X Л-) Предположим, что Т = R, т. е.
рг = р и тн = т. Тогда если р и т коммутируют, т. е. р о т =
= Тор, то они также слабо перестановочны над К- Обратное
не выполняется (см., например, упражнение 1 ниже).
х) На протяжении этого параграфа верхние индексы будут использовать-
использоваться для различения отмеченных ими объектов, а не для обозначения степеней
; или присоединения единицы (в.случае индекса 1).
1 7—100

258 Гл. 10. Конгруэнции
В этом параграфе мы используем понятие слабой перестановоч-
перестановочности, принадлежащее Голди [1950], для получения теоретико-
полугрупповых аналогов теорем Жордана — Гёльдера — Шрейе-
ра для групп. Изложение базируется на статье Голди [1950].
Важность коммутирующих конгруэнции впервые подчеркивалась
Дюбреем и Дюбрей-Жакотэн [1939], которые ограничились рас-
рассмотрением отношений эквивалентности на множествах. Голдв
развил их результаты в двух направлениях. Во-первых, вместо
эквивалентностей на множествах он стал рассматривать конгру-
конгруэнции на алгебрах; во-вторых, ввел в рассмотрение конгруэнции
на подалгебрах.
Мы начнем изложение, не накладывая пока условий слабой
перестановочности на рассматриваемые конгруэнции. Эти усло-
условия будут введены только там, где будет необходимо.
Последовательность конгруэнции рг на подполугруппах R*
полугруппы S (i = 1, 2, . . ., m + 1) будет называться нормаль-
нормальной К-последователъностью длины т от S до Т, если:
A) К есть подполугруппа из S;
B) R] => К при i = 1, 2, . . ., m + 1;
C) Д» = S и р1 = S х S;
D) Дт+1 = Т и pm+1 = ir;
E) Ri+i => Kpi => Kpi+1 при i = 1, 2, . . ., m;
F) tfpV+1 = Kpl при i = 1, 2, . . ., m.
В дальнейшем будем говорить, что нормальная последователь-
последовательность редуцирована, если Кр1 = Rl+i для любого i = 1, 2, . . ., m.
Из условий C), D) и E) вытекает
S = Кр1 э Кр* = . .. = fpffl3 tfpm+1 = К.
Условие F) локазыьает, что каждое Кр*, которое в силу свой-
свойства E) является подполугруппой области определения Ri+i
конгруэнции pt+I, есть объединение р{+1-классов.
Если р1 (г = 1, 2, . . ., m + 1) есть нормальная последова-
последовательность от S до Т, то через pi+1 обозначим ограничение кон-
конгруэнции pi+i на .йГр* (? = 1,2,.. ., т) и положим р1 = р1. Тогда
легко проверить, что р* (г = 1, 2, . . ., т + 1) является реду-
редуцированной нормальной .йТ-последовательностью от S до Крт.
Говорят, что последовательность р* есть редуцированная нормаль-
нормальная последовательность, ассоциированная с последовательностью р\
Фактормножеством последовательности р* называется множе-
множество полугрупп {Kpl/pi+i | г = 1, 2, . . ., т}. Последовательность
р' и ассоциированная с ней редуцированная последовательность
рг имеют одинаковые фактормножества.
Говорят, что две нормальные ^-последовательности от S до Т
изоморфны, если они имеют одинаковую длину и если существует
такое взаимно однозначное соответствие между их фактормноже-

.§ 10.6. Слабо перестановочные отношения .259
ствами, что элементы, соответствующие друг другу, являются
изоморфными полугруппами.
Последовательность конгруэнции р1, . . ., pm+1 называется
уплотнением последовательности а1, . . ., crn+1, если с1, ...
. . ., an+1 есть подпоследовательность последовательности р1, . .,»
. . ., pm+i.
1 Заметим, что мы не ограничиваемся использованием термина
«уплотнение» лишь для нормальных последовательностей кон-
конгруэнции.
Пусть
А • n1 r>2 nnt+1 и /?• rr1 rr2 rrn+1
— две редуцированные нормальные ЛГ-последовательности от S
до Т. Как и выше, пусть R] есть подполугруппа из S, на которой
определена конгруэнция рг (i = 1, 2, . . ., m. -)- 1). Предполо-
Предположим также, что «S^ есть подполугруппа из 5, на которой определе-
определена конгруэнция а{ (]' = 1, 2, . . ., п + 1).
Положим теперь
pj. i = ai , p*+i (i = 1, 2, . . ., m; / = 1, 2, . . ., n + 1),
ori.i = p1 • ai+1 (i = 1, 2, . . ., m + 1; j = 1, 2, . . ., n).
Символом * здесь обозначена операция, введенная в § 10.5. Тогда
последовательности
С : Р1(=Р1'1), Р1-1, - ,РП'\ Р2, Р2-2,.... ря-'ьр|+1, P2-i+1, - , pm+\
D : a1(=(T1,1), a2.1,... ,am,\ a2, a2-2,..., am-j,aUl,a2,Ul,... , on+1
являются уплотнениями соответственно последовательностей А
и В. Каждая из последовательностей С и D содержит пт + 1
не обязательно различных членов. Назовем С и D уплотнениями
Цассенхауза последовательностей А и В.
Обозначим через Ri>' подполугруппу, на которой определен»
рз> *, а через S1-1 — подполугруппу, на которой определено а1' К
Тогда по определению произведения * имеем
Следовательно, по лемме Цассенхауза (следствие 10.44) мы полу-
получаем
для i = 1, 2, . . ., т и ]' = 1, 2, . . ., и.
В дальнейшем нам потребуется следующая лемма о слаб»
перестановочных конгруэнциях.
Лемма 10.45. Пусть R и Т — подполугруппы полугруппы S,
каждая из которых содержит подполугруппу К, р — конгруэн-
17*

260 Гл. 10. Конгруанции
ция на R и х — конгруэнция на Т. Предположим, что р и х слабо
перестановочны над К.
Тогда
К (рг • т) = К (р • т) = (Яр П Т) х
и
Доказательство. Из слабой перестановочности р и т
над К непосредственно вытекает, что
Кртхв = Кхврт = Кхв (ргРг) = {Кхврт) рг =
Следовательно, по индукции мы получаем
Кртхв = KpTxBpTxR • - •
В силу леммы 10.41 (i) эта совокупность равенств влечет за собой
KpTxR = К (тв * рг). Аналогично, KxRpT = К (рг * тл). Следо-
Следовательно, учитывая равенство Кртхв = Кхврт, мы заключаем, что
KpTxR = К (тв * Рг) = К (рг * тд) = KxRpT.
На основании леммы 10.41 (in)
К (рг • т) = К (р • т) = Кртхкт = Кртх.
Но Крт — Кр П Т, откуда
К (рг * т) = К (р * т) = (Кр П Т) т.
Второе утверждение леммы верно в силу соображений сим-
симметрии.
Вернемся к рассмотрению уплотнений Цассенхауза редуци-
редуцированных последовательностей А я В. Предположим теперь, что
каждая конгруэнция рг из последовательности А слабо переста-
перестановочна над К с каждой конгруэнцией а3 из последовательности В.
Посвятим оставшуюся часть этого параграфа доказательству
того, что уплотнения Цассенхауза С и D последовательностей А
и В являются изоморфными нормальными К-последователъно-
стями от S до Т.
Сначала мы должны установить, что С и D являются нормаль-
нормальными if-последовательностями от S до Т. Мы докажем это для
последовательности С; аналогичные рассуждения справедливы
и для D.
Мы должны проверить, что С удовлетворяет условиям A) —
F). Ясно, что условия A) — D) выполняются.
Для последовательности С выполняется условие E).
Для этого нужно показать, что
(a) R2i з Кр1 з Яр2-* при i = 1, 2, . . ., щ;
(b) Ri+l э Крп-{ = Kpi+l при i = l, 2, . . ., т;

§ 10.6. Слабо перестановочные отношения 261
(с) Rhl-1 =2 Кр}>* => Кр'+1-г при i= 1, 2, . . ., т и j =
= 1, 2, . . ., п — 1.
Доказательство] утверждения (а). В силу предыдущей
леммы
Кр*>1 = К(ой* р1+1) = (Ко*
так как по предположению а2 и р1+1 слабо перестановочны над К.
Так как А редуцирована, Ri+i = Крг. Следовательно,
на основании условия F), которое выполняется для последова-
последовательности А. Таким образом,
^ра'* = Кр\
Кроме того, как мы уже видели,
Поскольку для последовательности В выполняются условия E)
и C), имеем
S = Яст1 s S*,
откуда S = iS2, так что 52fljR1+1 = Rt+i. Следовательно,
В силу того что /iTp* s i?l+1 (на самом деле даже Кр* = Л1*1),
утверждение (а) доказано. В действительности мы установили
нечто большее, а именно
№•* = Кр{ => Кр*-\
Доказательство утверждения (Ь). Так как
о*в и pi+1 по предположению слабо перестановочны над К, в силу
леммы 10.45 мы имеем
Кр*>1 = К (ап * р i+l) = (Kan f\Ri+i) pI+1.
Далее, Кап = К, Ri+1 э К, поэтому
Крп-1 = (Кап
Кроме того,
(Кап p
что завершает доказательство утверждения (Ь).
До. казательст во утверждения (с). Так как
по предположению ai+i и pt+J слабо перестановочны над К, на осно-
основании леммы 10.45 мы имеем

262 Гл. 10. Конгруэнции
Кроме того,
поскольку для последовательности В выполняется условие E).
Заменяя в последнем равенстве j на j + 1, получаем
Отсюда
Далее,
Rhi.i = (^+if|/i1+1) pUl = (^а'ПД{+1) p1+1,
так как В редуцирована. Но снова по предыдущей лемме
(#o-7'n#i+1)pi+1 = ЯрУ-
Следовательно, мы показали, что
и это выполняется при j = 1, 2, . . ., m и / = 2, 3, . . ., п — 1.
Это завершает проверку того, что С удовлетворяет условию E).
Заметим, что мы не показали, что С редуцирована. Однако в слу-
случаях, (а) и (с) мы получили равенства, необходимые для того,
чтобы сделать С редуцированной последовательностью. Мы исполь-
используем их в дальнейшем.
Последовательность С удовлетворяет условию F).
Мы должны установить, что
(d) ?p*pV = Яр1 при i = 1, 2, .... т;
(e) Крп'г pi+1 = Крп'г при I = 1, 2, . . ., т;
(f) Яр3'.* р*+».' = Кр{-1 при i = 1, 2, . . ., т и / = 2, 3, . . .
. . ., п — 1.
Так как, исследуя условие E), мы доказали, что В2-1 — Кр1
и R'*1'1 = Кр1/, условия (d) и (f), очевидно, выполняются.
Условие (е) есть очевидное следствие равенства Крп<{ =
= (Kan(]Ri+l) pi+1.
Это завершает доказательство того, что С есть нормальная
isT-последовательность от S до Т.
Покажем теперь, что последовательности С и D изоморфны.
Используя равенства, установленные выше в (а) и (с), мы полу-
получаем, что фактормножество последовательности С равно
{flW/p}+».*| i = 1, 2, . . ., т; j = 1,,2, . . ., п - 1} U
U {Крп'Ч(р^ П (Крп'г X Крп>*)) | * = 1, 2, . . ., т),
а фактормножество последовательности D, аналогично, равно
ai+V| j = 1, 2, . . ., т - 1; / = 1, 2 и} U
U {Kom> i l(oUi П (Кат >i X Zam- *)) \ j = 1, 2, . . ., и}.

§ 10.6. Слабо перестановочные отношения 263
Как мы уже выяснили, использовав лемму Цассенхауза,
при i = 1, 2, . . ., т — 1 и / = 1, 2, . . ., п — 1. Это устанавли-
устанавливает изоморфизмы между (/те — 1) (га — 1) парами полугрупп
из фактормножеств последовательностей С и D. Рассмотрим
остальные т + п — 1 пар.
Рассмотрим га — 1 элементов R}^,m/pj+i.m 0 = 1, 2, ...
. . ., п—1) из фактормножества последовательности С. Дока-
Докажем, что
при j = 1, 2, . . ., га — 1..
Имеем Я^!. = (Si+i (]Rm+i) pm+1, откуда в силу того, что
А удовлетворяет условию D), получаем Ri+i<m = Si+i[}T. Кроме
того, так как последовательность В редуцирована, Ка] = Si+i
(jг = 1, 2, . . ., п), откуда, поскольку В удовлетворяет усло-
условию E), заключаем, что
Si+i э Коп = Sn+i = Г
при 7 = 1, 2, . . ., га. Следовательно, в частности, 5Ж f| Г = Т
и поэтому Д}+1."* = Т при у = 1, 2, . . ., га — 1.
Кроме того,
На основании теоремы 10.43
Но Г = Д*^^*1 = ЯртП-5"'+1, и поэтому в силу леммы 10.45
Следовательно,
П X Kam'j).
Отсюда, наконец,
при 7 = 1, 2, . . ., га — 1.
В силу соображений симметрии получаем также
tfpV/(pi+1n(#Pn>i X tfpV))
при i = 1, 2, . . ., m — 1.

264 Гл. 10. Конгруэнции
Для завершения доказательства того, что С и D изоморфны,
осталось лишь установить, что элементы
Zpn.(pm+1 П (#Pn-m X Крп>т)) из С
и
>п х Кт-п)) из D
суть изоморфные полугруппы. Но
Крп-т = (Kan(]Rm+i) pm+1 =
pm+1 =
= TiT = T
и поэтому
pm+1
x
Таким образом, в силу симметрии каждый из двух рассматривае-
рассматриваемых элементов равен T/iT;- это завершает доказательство.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 10.46. Пусть S — полугруппа, Т, К —ее подполугруп-
подполугруппы, причем Т э К.
Тогда любые две редуцированные нормальные К-последоватпелъ-
носпги от S до Т, такие, что каждая конгруэнция в одной из них
слабо перестановочна над К с каждой конгруэнцией в другой,
имеют изоморфные уплотнения, которые являются нормальными
К-последователъностями.
Упражнение к § 10.6
1. Пусть S — полугруппа, на которой существуют две не ком-
коммутирующие конгруэнции р и а. Присоединим (даже если S = S1)
единицу е к S. Полученную полугруппу обозначим через S*.
Определим отношения р* и а*, полагая
Р* =р{){(е, е)},
о* =<ти{(*. е)}.
Тогда р* о а* =/= а* ° р* и р*, <т* являются конгруэнциями на S*.
Положим К = {е}. Тогда Яр* о а* = Ко* ° р* = {е}. Таким
образом, р* и о* слабо перестановочнъпнад К.
§ 10.7. Конгруэнции на вполне 0-простыос
полугруппах
Как было доказано в лемме 3.10, нетривиальный гомоморфный
образ вполне 0-простой полугруппы является вполне 0-простой
полугруппой. Этот результат Глускина [1956] (см. также Престон

§ 10.7. Конгруэнции на вполне О-простых полугруппах 26S
[1959]) вместе с принадлежащей Манну теоремой 3.11 (эквивалент-
(эквивалентный результат был независимо получен Глускиным [1956]) служит
основой для определения всех конгруэнции на вполне О-простых
полугруппах. Предварительные результаты были получены Глу-
Глускиным [1956], который описал классы эквивалентности конгру-
конгруэнции, содержащие идемпотенты. Независимо друг от друга Таму-
ра [1960] и Престон [19611 дали полное описание конгруэнции
на вполне О-простых полугруппах. Мы приведем здесь это описа-
описание, следуя Престону.
Мы будем существенно использовать теорему 3.11, поэтому
начнем с ее переформулировки. В действительности нам пона-
понадобится частный случай этой теоремы для гомоморфизмов на*
Теорема 10.47. Пусть S = еМ° (G; I, Л; Р) — рисовская полу-
полугруппа над группой с нулем G0, сэндвич-матрица Р которой равна
(рьг), и S* = аМ° (G*; I*, Л*; Р*) — рисовская полугруппа над-
группой с нулем (G*H, сэндвич-матрица Р* которой равна (р** ,*)•
Пусть i ->- ut и к ->¦ ух — отображения соответственно I и А
в G*, ф и гр — отображения соответственно I на I* и А на Л*.
Пусть (о — такой нетривиальный гомоморфизм G° на (G*)°, что
для всех % ? Л и i ? /
ч
Для каждого элемента (я; г, Я) ? S положим
(я; i, \) 0 = [щ (яю) v^, гф, h$>] , B)
(квадратные скобки используются здесь для обозначения элементов
из S*). Тогда 6 является гомоморфизмом S на S*. Обратно, если
S регулярна, то каждый гомоморфизм S на S* получается таким
способом.
Сама по себе сформулированная теорема еще не приводит
к нашей цели — определить все конгруэнции на вполне 0-простой
полугруппе S. Однако если учесть лемму 3.10, в которой, как
уже упоминалось, утверждается, что каждый нетривиальный
гомоморфный образ (т. е. гомоморфный образ, содержащий более
одного элемента) вполне 0-простой полугруппы является снова
вполне 0-простой полугруппой, то можно утверждать, что с точ-
точностью до изоморфизма каждый нетривиальный гомоморфный образ,
полугруппы S представим в виде подходящей полугруппы S*
из теоремы 10.47.
Нам будет удобно отождествить /* с //ф ° ф и Л* с ЛЛр ° ty'K
Ограничения общности из-за этого не произойдет, так как /*
и Л* являются просто множествами индексов, а ф и ip — отобра-
отображениями соответственно на множества I* и Л*. Мы произведем
это отождествление и будем писать iy = i* (i ? I) и hp = Я* (Я, 6

266 Гл. 10. Конгруанции
? Л), т. е. i* будет рассматриваться как ф<> ф-'-класс, содержа-
содержащий г, а Я,* — как я|) ° ^^-класс, содержащий X.
Рассмотрим теперь J^-класс #**>,* = {[a*; i*, X*] | a* ? G*}
полугруппы S*. Его полный прообраз относительно 9 равен
U {#/ц | j 6 t*, Ц>б^*}, гДе через Htli. обозначается SB -класс
Hjh = {(я; /, ц) | а ? G) полугруппы S. Через Z обозначим
/ X Л-прямоугольник J^-классов Я^ (i 6 /, Ц Л). В силу
равенства A) p**t* = 0 тогда и только тогда, когда pw- = 0 для
любых / 6 i* и [i ? Я*. Таким образом, {Я^ | у 6 i*i И1 6 ^*)
состоит либо лишь из J^-классов, являющихся группами, либо
из d5#-классов, каждый из которых не является группой. В первом
случае мы будем говорить, что {Я7(г | i ? i*, \i ? Я*} есть вполне
простой подпрямоугольник (со сторонами i* и к*) из Z. В послед-
последнем случае, т. е. когда р*п* = 0, множество {Hjn \ ] ? i*, \i 6 ^*}
будем называть подпрямоуголъником с нулевым умножением из Z.
В оправдание нашей терминологии заметим, что если {Я7М, | j ? ?*,
fi 6 ^*} есть вполне простой подпрямоугольник, то 11{#/д 1/6 i*.
(i 6 Я*} есть вполне простая полугруппа (над G0 с t* x Я*-под-
Я*-подматрицей матрицы Р в качестве сэндвич-матрицы); и если
{Я7ц |; 6 t*> М- 6 Л*} есть подпрямоугольник с нулевым умноже-
умножением, то произведение любых двух элементов из U{^7A | / ? i*,
X ? Л*} равно нулю. Только что описанные подпрямоугольники
прямоугольника Z будем называть подпрямоуголъниками кон-
конгруэнции 9 о 9.
Говорят, что разбиение прямоугольника Z на подпрямоуголь-
подпрямоугольники является допустимым, если оно индуцируется разбиениями
множеств / и Л, т. е. если множества сторон прямоугольников
образуют соответственно разбиения множеств / и Л и если каж-
каждый подпрямоугольник состоит либо лишь из d^-классов, являю-
являющихся группами (тогда он называется вполне простым классом
разбиения), либо лишь из d^-классов, не являющихся группами
(тогда он называется классом разбиения с нулевым умножением).
Таким образом, разбиение прямоугольника Z, описанное в пре-
предыдущем абзаце, является допустимым. Будем называть его
разбиением, соответствующим конгруэнции 9 ° 9.
Опишем теперь классы эквивалентности по mod 9 ° 9. Без
ограничения общности мы можем предположить, что Ли/ имеют
общий элемент 1 и что Нц есть группа. Пусть N — нормальный
делитель группы Нц, являющийся ядром ограничения отображе-
отображения 9 на Нц. Будем доказывать, что существуют такие элементы
^i 6 Нц (i 6 I) и /\ ? Hix (^ 6 Л), что, за исключением клас-
класса {0}, 0 ° Э^-классами являются множества
где а ? Нц и i*, X* суть стороны подпрямоугольника разбиения
прямоугольника Z, соответствующего конгруэнции 0° 0. Заме-

§ 10.7. Конгруанции, на вполне Q-просщых полугруппах 267
тим, прежде чем приступить к доказательству, что вместе с {0}
эти классы являются компонентами разбиения полугруппы S.
Так как со есть отображение на полугруппу (С?*H, существуют
такие xt ? G (i <z Г) и у% (Е G- (X ? Л), что
Положим (хрр-]\ i, 1) = et и {pi\yiu, I, X) = /v
Далее, N s #ц и поэтому для некоторого М s G\ имеем
N — (М; 1, 1), и если a f Ни, то а = (g; 1, 1) для некоторого
? 6 G. Тогда
откуда на основании равенства B)
9 = [uj (xfMpugy?) (ov»; i*, X*] = [go; i*, A,*],
так как х}(а = u;, г/^со = ^ и Wj (Moo) vt = (p**!*) по опреде-
определению группы N. Следовательно, для каждого а ? Нц и для
каждой пары сторон i*, Я* подпрямоугольника конгруэнции
в о б множество
содержится в одном 6 ° б-'-классе.
Ясно, что любые два 6 ° 9^-эквивалентных элемента из S
принадлежат одному подпрямоугольнику конгруэнции 6 ° б,
поэтому если гб = s8, то г, s 6 ii{HJvL \ j 6 i*, ц 6 ^*} Дл« неко-
некоторых i* ж X*. Таким образом, существуют такие а, Ъ ^ /Гц, что
г 6 ejNaf^ и s ? ekNbfK, где j, к ? i* и fi, x 6 ^*. В самом деле,
как уже отмечалось, множества вида ejNaf^ (а ? Нц, j 6 Л
ц 6 Л) образуют разбиение множества ?\0. Пусть а = (g; 1, 1)
и Ь = (h; I, 1). Тогда, как и выше, (ejNaf^) 9 = lg(x>; i*, X*]
и (ekNbfK) 6 = [Ato; i*, Я*]. Из равенства гв = sQ вытекает, что
ga> = /ш, откуда ав = [щ (ga>) vt; I*, 1*] = [щ (ftco) Уь 1*, 1*] =
= 66, а это влечет за собой No, — Nb. Следовательно,
это заканчивает доказательство того факта, что такое множество
является В о ©"'-классом.
Каждой конгруэнции 6 ° 9 мы поставили в соответствие
допустимое разбиение &* прямоугольника Z (классы этого раз-
разбиения, или cF-классы, являются подпрямоугольниками конгру-
конгруэнции 9 о б), нормальный делитель N группы Нп и два множе-
множества элементов из S, первое — {ег}, где et g Нц (i ? I), и вто-
второе — {/а,}, где /i 6 fl^ix (^ 6 Л). Обратно, как мы покажем ниже,
по этим Ф, N, {et}, {/х} конгруэнция 6° 9 восстанавливается
однозначно. (Мы будем писать 9° 0Ч = [еГ\ N, {et}, {/^}1.)

268 Гл. 10. Конгруэнции
Предположим, что Я,-х принадлежит подпрямоугольнику с ну-
нулевым умножением конгруэнции 9 ° 0. Тогда f^et ? Нц.Нц = О,
так как рлг = 0. Следовательно, если Нц. принадлежит под-
подпрямоугольнику с нулевым умножением, то Nf^ei = 0. Предпо-
Предположим, что Ни. и Я;м, принадлежат одному и тому же вполне
простому подпрямоугольнику конгруэнции боб. Тогда
Utfit) в = (РиУхРи&Ри'* 1. 1) 9 =
= [ (Pil) (oiS'^Vi*"."! (Pll) avu 1*, 1*] =
= ["i (PiD aphi* (Pu) <*>vu 1*, 1*] =
= ii&i) 9,
так как i* = j* и "к* = ц*. Отсюда следует, что
C)
Таким образом, мы установили, что это равенство выполняется
всегда, когда Н1хж Я^ принадлежат одному и тому же подпря-
подпрямоугольнику конгруэнции 6 о 0.
Покажем теперь, как набор Ф, N, {et}, {/^} определяет кон-
конгруэнцию. Пусть 3* — допустимое разбиение / X Л-прямоуголь-
ника <$#-классов Нц, вйолне 0-простой полугруппы S = аМй (G; I,
Л; Р). Предположим, что 1 ?1 (}А и что Нц есть группа. Пусть
N — нормальный делитель группы Нц, и пусть для любых
i 6 / и % ? Л выбраны элементы et 6 Нц и /*, € #ии причем выпол-
выполняется условие C) (заметим, что условие C) выполняется автома-
автоматически для ^-классов с нулевым умножением), когда Нц.и. Я^
принадлежат одному и тому же ^-классу. Тогда, как легко видеть,
множество {0} вместе с множествами
U {ejNak I / € i*, ^6^*},
где а 6 Ян и г*( ?/), Л.* (еЛ) — стороны ^-класса, являются
компонентами разбиения полугруппы S. Таким образом, они
являются классами некоторой эквивалентности р на S. Мы будем
писать р = [<9\ N, {et}, {/&}]• Покажем, что р является кон-
конгруэнцией.
Пусть (г, s) 6 р, т. е. либо г = s = 0 ив этом случае легко
получить желаемое заключение, либо существует такой ^-класс
я со сторонами i*, X* и элемент а 6 Ян, что г ? ejNaf^, s 6 ekNafx
для некоторых j, к ? ?* и некоторых ц, и 6 А,*. Пусть t 6 S. Если
i = 0, то rt = st =0, откуда (rt, st) 6 р. Если t Ф 0, то t 6 eiNbfv
для некоторого b ? Нц, где Z ? m* и v 6 т]*, причем /те* и т]*
являются сторонами некоторого ^-класса. Таким образом,
rt 6
si 6 ekNafKeiNbfv

§ 10.7. Конгруэнции на вполне О-простых полугруппах 269
Так как & допустимо, /га* и %* являются сторонами некоторого
«^-класса. Следовательно, fai = 0 тогда и только тогда, когда
fKet = 0, откуда rt = 0 тогда и только тогда, когда st = 0. Если
f 0, то в силу условия C)
Naf^eflb =
Следовательно, rt и st принадлежат одному р-классу. Таким обра-
образом, в любом случае (rt, st) ? р. Доказательство стабильности
слева проводится аналогично.
Отметим также, что существует элемент а ? Н1±, для которого
eiNafi =N. Для этого элемента а группа N совпадает с пересече-
пересечением Нц и р-класса UWVo/». |f?l*, Я61*}-'
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 10.48. Пусть Z есть I X А-прямоуголъник $?-клас-
сов Нц, (i 6/, Я 6 Л), содержащий ненулевые элементы, вполне
0-простой полугруппы S. Пусть 1 ? / f| Л. Предположим без огра-
ограничения общности, что Нц есть группа. Пусть р — конгруэнция
на S, которая не является универсальной конгруэнцией, и N —
нормальный делитель группы Нц, который является классом
эквивалентности ограничения конгруэнции р на Нц.
Тогда существует допустимое разбиение & прямоугольника Z
на подпрямоугольники и существуют элементы /^ € Н% х (к ? Л)
и в| 6 Нц (i ? Г), обладающие свойствами:
(i) Nhet = Nfa» C)
если Нц и Hjfi принадлежат одному и тому же ^-классу;
(ii) множества U^jNaf^ | / ? i*, \i 6 X*}, где а 6 Нц и i* ( s/),
X*(sA) суть стороны подпрямоуголъника прямоугольника &,
являются р-классами из S, содержащими ненулевые элементы,
т. е. р совпадает с конгруэнцией [еР, N, {ег}, {/>,}].
Обратно, пусть & — допустимое разбиение прямоугольника Z
и пусть N (нормальный делитель из Нц), 1% 6 Hi}, и et EH и
выбраны так, что выполняется условие (i). Тогда эквивалентность
[<9\ N, {et}, {/л}] является конгруэнцией на S и N совпадает
с классом эквивалентности ее ограничения на Нц.
Если S — вполне 0-простая полугруппа и ?\0 является
подполугруппой, то 5\0 вполне проста. Обратно, присоединяя
0 к вполне простой полугруппе, мы получим вполне 0-простую
полугруппу. Следовательно, предыдущую теорему можно приме-
применить для получения аналогичного описания конгруэнции на впол-
вполне простой полугруппе.

270 Гл. 10. Конгруэнции
Мы рассмотрим частный случай таких конгруэнции. Ясно,
что если полугруппа ?\0 вполне проста, то любое разбиение
прямоугольника Z, индуцированное разбиениями множеств / и Л,
является допустимым. В частности, разбиение "И, единственным
классом которого является Z, допустимо. Факторполугрушш
по конгруэнциям Ш, N, {et}, {/^}] на S являются группами
с нулем. Рассмотрение этой ситуации включает в себя как легкий
частный случай рассмотрение групповых гомоморфных образов
вполне простых полугрупп. Мы выведем (теорема 10.51) резуль-
результат Столла [1951] о таких гомоморфизмах (ср. с упражнением 15
к § 10.2). Докажем сначала общий ^результат о сравнимости кон-
конгруэнции.
Теорема 10.49. Пусть р = [&>, М, {et}, {/„}] и а = [&, iV,
{gt}, {h^}] — две конгруэнции на вполне 0-простой полугруппе S-
Включение р?« выполняется тогда и только тогда, когда
(i) ® = fi;
(ii) M<=N;
(iii) для каждого ^-класса со сторонами i* и %* существуют,
такие at* и Ъ%* в Ни, что для / 6 i* и ц- 6 ^*
где nj, Пц ? N.
Доказательство. Предположим, что рди. Тогда,,
очевидно, аР S й и, рассматривая ограничения р и а на Нц,
получаем М s N.
Рассмотрим р-класс \J{ejMfv |/6 **, v 6 1*}, где i*, 1* яв-
являются сторонами аР-класса я, содержащего Нц. Так как рда,
этот р-класс содержится в а-классе \J{gjNai*hv | / 6Г»+» v? 1+},
где at* ? Нц и i+, 1+ являются сторонами (g-класса, который
содержит л. Так как {р^\; 1, 1) 6 Af» имеем e^/v 6 ejMfv. Следо-
Следовательно, в частности, e^/i 6 gjNat*hi и поэтому существует такое
к; ^ N, что ej/i = g)iijai*hi для / ? г*. Аналогично, существует
такое Ья,* 6 Яц, что erf^ = gin^hJi^ и Иц 6 iV, когда (J, 6 ^*-
Обратно, предположим, что для конгруэнции р и а выпол-
выполняются условия (i) — (iii). Пусть U {ejMaf^ \j?i*, ц 6 №} есть
р-класс. Так как ^=ё, существует такой Й-класс со сторо-
сторонами ?+, К+, что i* S i+, Я* ^ Я+. Следовательно, учитывая вклю-
включение М s iV, условие (iii) и то, что iV является нормальным
делителем в Нц, получаем
U {ejMafv \iei*, Ц 6 Я,*} ^{ejNaf» | / е г*, ц 6 ^*} =
= U {gjnja^hif^Nae^g^h^ | у 6 г*, И- 6 *•* } =
= и {*>ю*и l/e «*, ие
= и {г^<Ац I; 6 г+, ^ е

§ 10.7. Нонгруанции на вполне О-простых полугруппах 271
где с = a^hj-lae'lg^*, а последнее множество является а-клас-
сом. Следовательно, р Е о. Доказательство теоремы закончено.
Из теоремы 10.49 непосредственно вытекает условие равен-
равенства двух конгруэнции, представленных в виде [eJ\ M, {et},
{fx}]: для таких двух конгруэнции должны выполняться усло-
условия (i), (ii) и (Ш) и им симметричные. Более сильный результат
содержит
Следствие 10.50. Пусть
р = W, М, {ег}, {/,}]
ч
а = [Э>, М, {gt}t {К}].
Тогда если р ? a, mo p = а.
Доказательство. Если pstr, то ввиду условия (ш)
теоремы для аР-класса со сторонами i*, X* существуют такие
а{», Ь-А* 6 Нц и т}, nip ? М, что
«ifi =
где у 6 г* и (j, ^ Я,*. Следовательно,
gjh = ejfihi1
где mj f М и ct* = /lfe'ja^fei/j1 в силу того, что М — нормаль-
нормальный делитель в Нц. Аналогично,
j 'df
где т'ц 6 М и dx* 6 -й^и- На основании теоремы из этих двух
совокупностей равенств вытекает, что р = а.
Используем теперь предыдущую теорему для доказательства
теоремы Столла [1951], которую мы приводим здесь в следующей
формулировке (эквивалентной исходной).
Теорема 10.51. Пусть Т — вполне простая полугруппа. Тогда
среди всех конгруэнции р на Т, для которых Tip является группой^
существует наименьшая.
Доказательство. Будем рассматривать вполне 0-про-
стую полугруппу S, полученную присоединением нуля к Т,
и докажем эквивалентный результат, что существует наименьшая
конгруэнция в множестве всех конгруэнции р на S, для которых
S/p есть группа с нулем.
В наших предыдущих обозначениях такие конгруэнции сов-
совпадают с конгруэнциями [41, N, {е,}, {/*,}], где 41 — разбиение,
единственным классом которого является Z. Ввиду условия (i)

272 Гл. 10. Конгруэнции,
теоремы 10.48
для всех i 6 I, Л. 6 А. Таким образом, существуют такие элемен-
элементы пм ? N, что v
где g 6 Ни.
Тогда
так что einugfh = егх, где eiX — единица группы Я^. Тогда
= iV,
так как einngfi = eu 6 N [\eiNgfi.
Пусть теперь 5 есть нормальный делитель из Ян, порожден-
порожденный множеством {ец^и | i 6 /, X 6 Л}. Так как Ее^^вц = Е,
отношение ц = [41, Е, {ец}, {вц^}] является конгруэнцией на S.
Далее,
|i = Ш, N, {et}, {/x}].
В самом деле, мы уже видели, что Е = N, и равенств еа =
= einngfii eik — einugfbi которые выполняются для всех i и А,,
достаточно в силу теоремы 10.49 для доказательства этого вклю-
включения. Таким образом, ц есть искомая наименьшая конгруэнция
на 'S.
Используя следствие 10.50, нетрудно установить (мы оставля-
оставляем это читателю), что любые две конгруэнции [41, N, {<?{}, {/я,}]
и [41, N, {gt}, {h),}] на S, где полугруппа 5\0 вполне проста,
равны между собой. Кроме того, если N э Е, то [41, N, {ец},
{еи}] является конгруэнцией на S. Следовательно, существует
взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями на S,
факторполугруппы по которым являются группами, и нормаль-
нормальными делителями группы Нц, содержащими Е. Классами кон-
конгруэнции [41, N, {ец}, {eilt}] являются множества U{enNaelti | i 6
6 /, ^ 6 Л} и множество {0}. За исключением {0}, пересечение
каждого из этих множеств с Нц равно некоторому смежному клас-
классу по N, поэтому каждый ненулевой класс однозначно опреде-
определяет N. Следовательно, каждая из конгруэнции р на S, для кото-
которых 57р есть группа с нулем, однозначно определяется любым

§ 10.7. Конгруэнции на вполне О-простых полугруппах 273
из своих классов, отличных от {0}. Возвращаясь к случаю вполне
простых* полугрупп, мы получаем, что каждая из конгруэнции
р на вполне простой полугруппе Т, для которых Tip есть группа,
однозначно определяется любым из своих классов.
Рассмотрим снова классы эквивалентности U {enNae^^ | i 6 /.
А, 6 Л} ограничения на Т конгруэнции на S, соответствующей
нормальному делителю N из Нц. Классом эквивалентности,
содержащим все идемпотенты из Т, является класс
К о= U {enNeu I i 6 /, Я 6 Л}.
Тогда для а ? Нц мы имеем
КаК = \3ienNeiypejiNeib И, У 6 ^ *,. Ц € Л} =
= U {euNaeiX |г ? /, X ? Л},
так как eiv.a = а = аед (лемма 2.14). Таким образом, КаК есть
класс эквивалентности, содержащий а. Никакой особой роли
S6-класс Нп здесь не играет, так как все d>#-классы из Т являются
группами. Следовательно, для любого а ? Т множество КаК есть
класс эквивалентности, содержащий а. Заметим также, что К
является, очевидно, вполне простой подполугруппой из Г и пере-
пересечение К с произвольным (^-классом является нормальным
делителем этого (^-класса. В действительности, как мы видели,
пересечение К с любым ©^-классом однозначно определяет К,
и такое пересечение должно удовлетворять лишь условию, что
оно является нормальным делителем этого ^-класса и содержит
все произведения пар идемпотентов из Т, принадлежащие этому
(^-классу (для d^-класса Hit такими произведениями являются
элементы ец,ец (i 6 Д ^ б Л)). Таким образом, мы доказали
большую часть следующей теоремы (Шварц [1962]).
Теорема 10.52. Пусть Т — вполне простая полугруппа. Тогда
конгруэнции р на Т, для которых Tip есть группа, получаются
следующим образом.
Пусть К — вполне простая подполугруппа из Т, содержащая
все идемпотыты из Т,и Н есть SB-класс из Т. Предположим, что
К (]Н есть нормальный делитель в Н, который содержит все
произведения пар идемпотентов из Т, принадлежащие Н. Тогда
множества КаК (а б Т) являются классами эквивалентности
такой конгруэнции р, что Tip есть группа. При этом К является
единицей группы Tip.
Доказательство теоремы будет полностью завершено, когда
мы установим, что если К есть вполне простая подполугруппа из
Т, содержащая все идемпотенты из Т, то К (] Н однозначно опре-
определяет К. (Мы уже знаем это в случае, когда К является классом
эквивалентности такой конгруэнции р, что Tip есть группа.)
Используя наши предыдущие обозначения, предположим, что
18-100

274 Гл. 10. Нонгруанции
Н есть <$?-класс Ни и Hi% есть другой о^-класс. Пусть е^ снова
обозначаетидемпотент из HJVL (/ 6 -Л Н< 6. Л). Пусть Л^ = К[\Ег^.
Тогда в силу того, что каждое е^ принадлежит К, имеем etiNnei)ti s
Е iV"i>, и e^iNi%ieXi s iVu. Теперь по лемме 2.2 отображения
ж-»- ецхе^ (ж 6 #и) и у-*-еиуе%1 (у ? Н1г) являются взаимно
однозначными отображениями соответственно #ц на Нц и Я^
на #и. Следовательно, eaiViielfc = #;>, и еиЫцви = iVu; эта
доказывает то, что требовалось.
Интересное замечание о разложении на двойные смежные
классы вполне простой полугруппы содержится в следующем
результате Клиффорда [1963]-
Ткоркма 10.53. Пусть S — регулярная полугруппа и q>: S ->¦ G—
гомоморфизм S на группу G. Положим К = eqr1, где е — единица
группы G. Множества KsK являются ср о у~х-классами тогда.
и только тогда, когда К — простая полугруппа.
Доказательство. Предположим сначала, что К —
простая полугруппа. Пусть s, t 6 S и sq> = t(p. Пусть х инвер-
инверсен элементу t и у инверсен элементу s в S. Так как К содержит
все идемпотенты из S, имеем, в частности, ys, xt ? К. Следова-
Следовательно,
KsK-KxK э Ks-ys-xt-xK = KsxK = К,
так как sx 6 К и К — простая полугруппа. [Но [(KsK'KxK)q> =
= s(f>-x(f> = е, так как scp = ^ф. Следовательно,
KsK'KxK s К.
Таким образом, KsK-KxK = К. Аналогично, KxK-KsK = К.
В частности, при t — s получаем KxK-KtK = К. Отсюда в силу
того, что К2 = К, мы имеем
KsK = Ks(KxK-KtK) =
= (KsK-KxK) KtK =
= KHK = KtK.
Тогда, в частности, если ?ср = scp, то t ? KsK. Так как, обратно,
{KsK) ф = яф, отсюда вытекает равенство (щ) ф = KsK. Этим
доказана достаточность условия теоремы.
Необходимость очевидна. В самом деле, если к ? К и КкК
есть класс эквивалентности конгруэнции ф ° ф, то КкК = К.
Доказательство теоремы завершено.
Мы закончим этот параграф теоремой Мальцева [1957], опи-
описывающей конгруэнции на тех вполне 0-простых полугруппах,
которые возникают как главные факторы полной полугруппы
преобразований ЗГх-

§ 10.7..т Конгруэнции на вполне О-простых полугруппах 275
Напомним, что если а 6 Ух, то |Ха | есть ранг преобразова-
преобразования а (§ 2.2). Если а, р ? Ух, то
ранг (ар) <^ min (ранг а, ранг Р).
Следовательно, если г есть произвольное кардинальное число,
большее 1, то множество
/г = {а € Ух I ранг а < г}
является идеалом ъ ?Г х-
Следующая лемма обобщает на случай бесконечного множества
утверждение, высказанное на стр. 132 тома 1 для конечного X.
Лемма 10.54, Для любого множества X и любого такого поло-
положительного целого числа п, что 1 < п ^ | X |, полугруппа In+i/In
вполне 0-проста.
Доказательство. Пусть а, Р ? /n+i\/n. Тогда
| Ха | = | Хр | = п. Таким образом, мы можем написать
Ха = {«я, а2, . . ., а„},
Для каждого ? выберем некоторый элемент а| из а^а (i =
= 1, 2, . . ., п) и обозначим через y преобразование, которое
для каждого i переводит й^Р в а\. Через б обозначим пре-
преобразование, которое at переводит в bt и которое отображает
X\{ai, а2, • • •, ап} на bt. Тогда у и б принадлежат /п+1\/„
и 7аб = Р- Это показывает, что In+JIn является 0-простой полу-
полугруппой.
Осталось установить, что In+i/In содержит примитивный
идемпотент. Ясно, что In+i\In содержит идемпотенты. Пусть
т), 6 — два идемпотента из In+i\In, для которых *]6 = 6tj = 9.
Тогда XQ = Хвц s Хц, откуда в силу конечности числа | XQ | =
= | Хг\ | имеем XQ = Хг]. Следовательно, для любого х ? X
существует такой у ? X, что хч\ = г/Э. Тогда щ = yQ = j/6tj =
= ув2ц = (г/9) От) = жт)9т) = жб для любого а; 6 X. Таким обра-
образом, tj = 6, т. е. идемпотент tj примитивен. Доказательство лем-
леммы закончено.
Найдем теперь конгруэнции на In+i/In. Для этого мы должны
прежде всего описать <|#-классы полугруппы In+JIn, чему и пв-
священы следующие аналоги лемм 2.5 и 2.6.
Лемма 10.55. Если а, р ? In+i\Tn, то а%$ в In+JIn тогда
и только тогда, когда Ха = Хр.
Доказательство. Если aS?p, т. е. если а = р или
?а = р и т)р = а для некоторых |, ц 6 /n+i\^n> T0» очевидно,
18*

276 , Гл. 10. Конгруэнции
Ха = Хр. Обратно, если Ха = Хр, то обозначим через | преоб-
преобразование, которое для каждого у ? Хр переводит все элементы
множества г/Р в один и тот же элемент из уа'1. Тоща 1 6 /n+i\/n
и |а = р. Аналогично, существует такое ц ? In+i\In, что т)Р = а.
Следовательно, а^?р.
<5?-класс полугруппы /п+1//„, состоящий из всех таких а ? ^х»
что Ха = Y (где | У | = »), назовем i^-классом, соответствую-
соответствующим множеству Y.
Лемма 10.56. Если а, Р ? ^n+i\^n» »яо aj?p e In+Jln
и только тогда, когда а о а = р ° Р.
Доказательство. Пусть aJ?P, так что либо a = р,
либо существуют ?, tj ? /n+1\/n, для которых ai = р и Ptj = a
(на самом деле такие Ъ, и tj существуют д при a = р). В первом
случае, очевидно, a ° a = р ° Р. Во втором случае a ° a =
= (Ptj) о (Ptj) = р о (tj о т]) о Р э Р ° Р и, аналогично, р °
о Р э a ° а. Следовательно, a ° a = р о p-i, что и требо-
требовалось доказать.
Обратно, предположим, что а ° а = Р » Р. Определим пре-
преобразование 1 множества X, полагая z| = гр, если z = жа ? Ха,
иг^ = жор, если z ? Х\Ха, где х0 — некоторый фиксированный
элемент из X. В силу условия а ° а = р ° р равенство ха = уа.
выполняется тогда и только тогда, когда аф = г/Р. Следователь-
Следовательно, ограничение преобразования | на Ха является взаимно одно-
однозначным отображением Ха на Хр. Так как Xg s Xp, имеем
Х^ = Хр и поэтому % 6 In+i\In- Кроме того, а? = р. Аналогич-
Аналогично, существует такое tj ? In+i\Ini что Ptj = а. Таким образом,
aJ?P, что и требовалось доказать.
Jg-класс полугруппы Jn+i/In, состоящий из всех a 6 J*x> Для
которых а о а = я (где | Х/я | = и), назовем ^-классом, соот-
соответствующим разбиению я.
Из предыдущей леммы вытекает (ср. с теоремой 2.9 (vi)), что
©^-классы полугруппы /n+i//n, отличные от {0}, можно про-
проиндексировать упорядоченными парами (я, Y), где л; есть экви-
эквивалентность на X и Y есть такое подмножество из X, что | Х/я | =
= | Y | = п. А именно $8-классом, соответствующим паре (л, Y),
назовем пересечение ,^-класса, состоящего из всех а со свой-
свойствами а о а = я, и ^-класса, состоящего из всех а со свой-
свойством Xa = Y.
В следующей лемме мы используем аналог теоремы 2.10 (i):
SB-класс, соответствующий паре (я, У), является группой тогда
и только тогда, когда Y содержит в точности один элемент из
каждого п-класса.
Лемма 10.57. (i) Пусть щ и п% — различные эквивалентности
на X, причем \ X/nt \ = | Х/п2 | = п. Тогда существует подмно-

§ 10.7. Конгруэнции на вполне О-простых полугруппах 277
жество У из X, для которого в точности один из Se-классов, соот-
соответствующих (щ, У) и (я2, У), является группой.
(ii) Пусть У( « У2 - различные подмножества из X, причем
\Y\ | = | У2 | = п > 1. Тогда существует эквивалентность я
на У, для которой в точности один из $?-классов, соответствую-
соответствующих (я, Yi) и (я, У2), является группой.
Доказательство, (i) Так как л^ ф я2, существуют
такие а, Ъ ? X, что (я, Ь) 6 Щ, но (а, Ъ) (J я2. Пусть У — подмно-
подмножество из X, содержащее а, Ъ и пересекающееся с каждым
я2 классом в точности по одному элементу. Тогда | У | = п и 38-
класс, соответствующий (я2, У), является группой. Однако
(я, Ъ) ? я4, т. е. <$?-класс, соответствующий (я4, У), не является
группой.
(и) В силу конечности числа | Yi | = | У2 | = п и того, что
Yi Ф Y2, существуют я, Ъ 6 X, для которых а 6 Уь я (? У2, Ь ^
^ Yi, Ь 6 5^2- Так как » > 1, существует с Ф Ъ в У2. Пусть я —
произвольная эквивалентность на X, такая, что Yi пересекает-
пересекается с каждым я-классом в точности по одному элементу и элементы
Ъ и с попадают в один я-класс. Тогда <^?-класс, соответствующий
паре (я, Yi), является группой, а <$?-класс, соответствующий паре
(я, У2), не является группой. Доказательство леммы закончено.
Из леммы вытекает, что единственным допустимым разбиени-
разбиением прямоугольника ^-классов ненулевых элементов из In+JIn
является разбиение, соответствующее отношению равенства.
На основании теоремы 10.49 легко видеть, что конгруэнция
U, N, {^i}, {/л}1 (в обозначениях этой теоремы), где J есть
разбиение, соответствующее отношению равенства, однозначно
определяется нормальным делителем N и что в качестве et можно
выбрать произвольный элемент из Нц (i ? /), а в качестве f^ —
произвольный элемент из Нц. (К 6 Л); в самом деле, каждый
класс разбиения содержит лишь один d^-класс. Кроме того,
в качестве N можно выбрать произвольный нормальный делитель
группы Нц. Итак, мы доказали следующий результат Мальцева
[1952].
Теорема 10.58. Для любого целого числа п, такого, что 1 < и^
<^ | X \, полугруппа In+JIn вполне 0-проста и конгруэнции на
In+JIn, отличные от универсальной, находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с нормальными делителями произвольного
SS-класса из In+JIn, являющегося группой. Если N — такой нор-
нормальный делитель, то классами конгруэнции, соответствующей
N, являются множества aNb, где а, Ъ ? /n+i//n.
Сравнивая леммы 10.55 и 10.56 с леммами 2.5 и 2.6, мы видим,
что ненулевые J^-классы полугруппы 7п+1//„ совпадают с

278 Гл. 10. Конгруэнции
^-классами полугруппы ?ГХ, содержащимися в/п+1\/„ *). Таким
образом, из теоремы 2.10 (ii) вытекает, что групповые <0-классы
из In+i\In изоморфны симметрической группе "§п степени п.
Например, если п = 4, то существуют в точности две нетривиаль-
нетривиальные конгруэнции на In+JIn.
Дальнейшую информацию о структуре конгруэнции на вполне
0-простой полугруппе читатель может найти в статье Престона
[1965]. Там показано, что если в структуре конгруэнции на впол-
вполне 0-простой полугруппе между конгруэнциями р и а можно
провести максимальную цепь конечной длины, то любая макси-
максимальная цепь конгруэнции от р до сг конечна и имеет ту же длину 2).
Упражнения к § 10.7
- 1. Пусть S = <М° (G; I, Л; Р) — рисовская вполне 0-простая
полугруппа, для которой SB -класс Ни является группой, и р =
= [ffi, N, {et}, {/х}1 — конгруэнция на S. Пусть /* — множе-
множество сторон ^-классов, содержащихся в /, а Л* — множество
сторон ^-классов, содержащихся в Л. Положим G* = Нц/N
и- обозначим Л* X /*-матрицу (phi*), где p|*j* = Nf^ej для
/ ? i* и \i ? X*, через Р*. Тогда отображение полугруппы <S7p
в аМа (G*, /*, Л*; Р*), которое переводит 0 в 0 и каждый элемент
е^а/и в [Na; i*, К*], где ] ? i*, н-6^* иа? Нц, является изо-
изоморфизмом полугруппы <S7p на <Мй (G*; /*, Л*; Р*).
2. Пусть 0 — гомоморфизм вполне 0-простой полугруппы
S = э#° (G; /, Л; Р) на вполне 0-простую полугруппу S* =
= <М° (G*; /*, Л*; Р*). Предположим, что 0 задано, как в теоре-
теореме 10.47:
(я; i, Я.) 6 = [uj-(aou) v^; щ, Я,г|з].
Пусть хго> = и{. и уь<й = v^. Рассмотрим изоморфизм
a9: (a; i, к) -*- (xtay%; i, X)
полугруппы S на Sy = Ла (G; I, Л; У-фХ), где Г есть
диагональная Л X Л-матрица с yl1 на (к, %)-м месте и Z есть
диагональная / X /-матрица с xj1 на (г, г)-м месте (см. лемму 3.6).
Положим Q = У-*РХ-1 и S2 = <Л° (Gw; /, Л; Qca). Тогда
отображение
0Ш : (a; i, X) ->¦ (aw; i, к)
является гомоморфизмом полугруппы Si на S2.
1) Здесь имеется в виду, что ненулевые элементы из In+i/In, как обычно,
отождествляются с соответствующими элементами из In+i S STх<— Прим.
ред.
2) Развернутому изучению конгруэнции (главным образом исследованию
структуры конгруэнции) на вполне 0-простых полугруппах посвящена
книга Кэппа и Шнейнера [1969], содержащая целый ряд новых результа-
результатов.— Прим. ред.

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 279
Пусть S3 = аМ°. (Gto; /*, Л; Q3), где Q3 = (q^i*) есть Л х /*-
матрица, в которой д«* = pl^t i*. Тогда отображение
Q/. {Ъ; i, Я) -> (Ь; гФ, X)
является гомоморфизмом полугруппы S2 на .Ss.
Далее, отображение
6г: (Ь; 1*Л)^[Ь; г*
является гомоморфизмом полугруппы S3 на S*.
Наконец, мы имеем 9 = ae9m0r0j. (Глускин [19561.)
3. Пусть \ — произвольное кардинальное число, большее 1
и не превосходящее мощности множества X. Через %' обозна-
обозначим наименьшее кардинальное число, большее \. Тогда /g< //|
является 0-бипростой полугруппой (ср. с леммой 10.54).
4. Каждая конгруэнция р на вполне 0-простой полугруппе S
однозначно определяется множеством р-классов, содержащих
ненулевые идемпотенты из S.
§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе
преобразований
Структура конгруэнции на полной полугруппе преобразова-
преобразований $~х порождается конгруэнциями трех простых типов. Изло-
Изложению этого результата А. И. Мальцева [1952] посвящен данный
параграф. Теорема Мальцева разбита ниже на две части — теоре-
теоремы 10.68 и 10.72.
Первый из упомянутых типов — это конгруэнции Риса, соот-
соответствующие идеалам. Если / — идеал из ?ГXi T<> через /* будем
обозначать конгруэнцию на &'Xi определяющую факторполугруп-
пу Jx.ll (см. § 1.5).
В теореме 10.59, являющейся обобщением утверждения (ii)
теоремы 2.9, дается характеризация идеалов полугруппы Jх
(Мальцев [1952]). Мы будем использовать следующие обозначе-
обозначения. Для произвольного кардинального числа | положим
It = {a € Jx | ранг a < |},
fli = {«6Jxl ранг а = I}.
Нам будет удобно в данном параграфе обозначать через ?' наи-
наименьшее кардинальное число, превосходящее ?•. Таким образом,
Если 1 <; | <; | X |, то в силу утверждения (ii) теоремы 2.9
множество /g< является главным идеалом из У^' который порож-
порождается любым элементом ранга 1, а на основании утвержде-
утверждения (iii) теоремы 2.9 множество ZM есть ,25-класс полугруппы JХ'

280 Гл. 10, Конгруэнции
Ткорема 10.59. Пусть X — некоторое множество и | — такое
кардинальное число, что 1 < | <^ | X |'. Тогда Ц является идеалом
вЗх. Более того, каждый идеал из 3х совпадает с одним из идеа-
идеалов /| и соответствие между | и /6 является взаимно однозначным.
Доказательство. Так как для любых а, Р (Е 3х
ранг(а«Р) ^jnin {ранг а, ранг р}, каждое /| является, очевидно,
идеалом в 3х.
Обратно, пусть / — произвольный идеал из 3' х и I — наи-
наименьшее кардинальное число, превосходящее ранги всех элемен-
элементов из /. Тогда, конечно, / е /$. Обратно, если а 6 /|» то по
определению | существует такой элемент" р ? /, что ранг р ^
!> ранг а. На основании теоремы 2.9 (ii) а принадлежит глав-
главному идеалу из 3* х, порожденному элементом р. Следовательно,
а 6 /; этим установлено, что /5 s /• Таким образом, / = /5,
что и требовалось доказать.
Второй тип конгруэнции на 3"х определяется в следующей
теореме. Здесь, как и всюду в этом параграфе, символ i исполь-
используется для обозначения отношения равенства на полугруппе &Х'
Единица полугруппы ?Гх будет обозначаться через ъх.
Теорема 10.60. Пусть п — конечное кардинальное число, такое,
что 1 < и ^ | X |, и о — конгруэнция на In+JIn, отличная
от универсальной конгруэнции. Определим отношение at на 3х,
полагая
о* = i UI» П Шп х Dn)] и [/„ х /J.
Тогда о* является конгруэнцией на STх>
Доказательство. Непосредственно проверяется, что
at есть отношение эквивалентности, поэтому нам нужно лишь
установить, что это отношение стабильно.
Пусть (а, Р) 6 o-t и v 6 3~х- Если а = р или а, р 6 Ли то,
очевидно, (try. Pv) 6 o"t. Осталось рассмотреть случай, когда
(а, Р) 6 о- [\{Dn X Dn). В этом случае, если у 6 /n+i. то (ay, Pv) 6
? at, так как а является 0-ограниченной конгруэнцией на In+JIn.
Предположим теперь, что у 6 3x\In+i~ Как отмечено перед
теоремой 10.58, единственным допустимым разбиением прямо-
прямоугольника <$!?-классов ненулевых элементов из In+JIn является
разбиение, соответствующее отношению равенства. Следовательно,
(a, P) ? а влечет за собой (a, P) ? ¦&?• В частности, на основании
леммы 10.56 имеем Ха = Х$. Тогда Хсгу = Х$у, так что ранг
(«¦у) = ранг (Py). Если оба ранга меньше п, то (ay, Pv) 6 In X
X /„ s at. В противном случае Zay = Х$у = {си с2, . . ., сп}
для некоторых ct (i = 1, 2, . . ., и). Пусть Ха = Х$ =
= {«1, «2i • • •> о-п}- Можно считать, что aty = ct (i = 1, 2, . . .
. . ., и). Определим отображение б, полагая (Х\Ха) б = cj

§ 10.8. Конгруанции на полной полугруппе преобразований 281
и djfi = Ci (г = 1, 2, . . ., п). Тогда б ? /п+1\/п и поэтому
(аб, рб) ? а. Но аб = осу и |36 = $у. Следовательно, (ay, Pv) ?
ea(](Dn x Z>n)sat.
Это завершает доказательство того, что отношение at стабиль-
стабильно справа. Аналогичные рассуждения показывают, что at ста-
стабильно слева и поэтому является конгруэнцией на ?Г*•
Заметим, что рассмотренный второй тип конгруэнции полно-
полностью определяется конгруэнциями на полугруппах In+JIn, а эти
конгруэнции были описаны в теореме 10.58.
Третий тип конгруэнции на ff" x имеет смысл рассматривать
лишь в случае, когда X бесконечно. Для любых а, р из °Г х положим
Хо = Хо (а, Р) = {х е Х'\ ха ф xf>).
Если Хо = 0 (т. е. а = Р), то положим tj = 0; если Хо Ф0Г
то пусть т] =тах {| Хоа |, | Хор |}. Назовем tj рангом различия1)
пары (a, P) и будем писать T) = dr(a, P). Если | — бесконечное
кардинальное число или § = 1, то положим
А| = {(«, Р)?УхХ fx\ dr (а, Р) < I}.
Лемма 10.61. Для любого бесконечного кардинального числа ?
отношение А| является конгруэнцией на JTх.
Доказательство. Очевидно, отношение А| рефлексив-
рефлексивно и симметрично. Для доказательства транзитивности возьмем
(а, Р) и (Р, у) из А|. Положим М = Хо (а, Р) и N = Хо (Р, v)-
Тогда по предположению | Ма |, | Мр |, | ^р | и | Ny \ меньше |.
Положим Q = Хо (а, у). Тогда Q можно следующим образом
разбить на два подмножества:
Q = {х ? X \ ха ф х$ is. ха. ф ху}\}
U {х 6 X | ха' = жр ж ха Ф ху}.
Первое из указанных множеств обозначим через А, второе —
через В. Очевидно, A s M и В s N. Отсюда получаем, что
Аа ^ Ма и Ва = 5р Е ^р. Следовательно,
<?а = Аа[]Ва =
откуда
\Q\\\
последнее неравенство выполняется в силу того, что § бесконечно.
Аналогично, так как
Q = {х 6 X I жр ф ху и ха ф ху} [}
{]{х?Х UP = ху и хафху}
Difference rank.— Прим. перев.

282 Гл. 10. Конгруэнции
и первый из членов объединения содержится в N, а второй —
в М, мы выводим, что | Qy | < |. Таким образом, (а, у) 6 Ag,
т. е. мы установили, что А| является отношением эквивалентно-
эквивалентности на S~х-
Пусть (а, р) 6 А| и v 6 $~х- Положим М = Хо (а, р), R =
= Хо (уа, yP) и .5 = Хо (осу, Ру). Т-огда, очевидно, Лу = М.
Следовательно, | Rya | и | ityP I меньше ?, т. е. (уа, yP) 6 Ag.
Далее, 5 s M и поэтому Soty = May и Spy s AfPy. Так как
I May | ^ | Ма | и | М$у \ ^ | МР |, отсюда вытекает, что | Say |
и | S$y | меньше |, т. е. (ay, Py) ? Ag. Таким образом, мы пока-
показали, что отношение Ag стабильно. Лемма доказана.
Заметим, что если X конечно, то для любого бесконечного
кардинального числа | отношение Ag совпадает с универсальной
конгруэнцией на &х- Таким образом, конгруэнции Ag имеет
смысл рассматривать лишь для бесконечного X.
Чтобы потом не прерывать изложения, приведем сейчас две
необходимые для дальнейшего леммы, носящие технический
характер.
Лемма 10.62. (i) Если а и р —элементы различного ранга
из 3~х и ранг хотя бы, одного из них бесконечен, то
dr (а, р) = max {ранг а, ранг Р}.
(ii) Если | — бесконечное кардинальное число, то
Ц s Ag ?= I\ U 3).
Доказательство, (i) Пусть Я, = ранг а, |х =
= ранг р и X > (л. Положим Ха = {at \ i ? /} и Rt = {х 6 X \
ха = at). Для каждого индекса i 6 I выберем в Rt такой эле-
элемент rt, что п 6 Хо = Хо (а, р) в случае если Rt f) Xo ф 0. Пусть
/о = 0 6 / I г, 6 Хо} и h - /\/0. Тогда h = {i € / I г,а = rfp}.
Так как аг ? Хр для i ? /4, мы имеем I /i | ^ | Хр | = ц < Я,.
В силу того что по предположению А, бесконечно, получаем | /0 | =
= Я. Следовательно,
I *оа I = I К I i 6 М I = I /о I = Я,
откуда dr (а, Р) >¦ Я = max {ранг а, ранг Р}. Так как обрат-
обратное неравенство выполняется тривиально, утверждение (i) дока-
доказано.
(ii) Первое включение тривиально. Докажем второе. Пусть
{а, Р) 6 Ag\<25. По теореме 2.9 (Hi) ранг а'ф ранг р. Если оба
ранга конечны, то (а, Р) 6 /|, так как | бесконечно. В противном
«лучае max {ранг а, ранг р} < | ввиду (i), откуда (а, Р) 6 /|.
Лемма 10.63. (i) Пусть tj± и тJ — бесконечные кардинальные
числа, удовлетворяющие неравенству T)i^TJ' м а» Р — такие

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 283
элементы из $~х, что
ранг а = ранг р = ТJ, dr (а, Р) = \ < T)i.
Тогда существует такое у ? ЗГ х, что
ранг ау = ранг $у = r\l, dr (ay, $y) = g.
(ii) .Если | и т) —такие кардинальные числа, что Т) бесконечно
и I ^ т] ^ | X |, wio существуют а, р ? ^^> для которых
ранг a = ранг р = т], dr (a, Р) == ?.
Доказательство, (i) Пусть Хо = Хо (a, P) и С =
= Хоа U Хор. Очевидно, Ха \С = Х$ \ С. Так как доказывае-
доказываемое утверждение тривиально в случае T)i = Т)г (здесь в качестве
7 можно взять ix), мы можем предположить, что r\i <Т)г- Тогда
| С | < тJ = | Ха |, поэтому | Ха \ С | = тJ. Обозначим через
7 элемент из ЗГх, отображающий Xa \ Сна множество Y мощно-
мощности г]! и переводящий остальные элементы из X в себя. Тогда
|XaV I = IFU(CnXa) | = | У | = щ,
|XpV|= \Y{J(Cf\X® |= | У |=Л1.
Таким образом, ранги элементов ay и $у равны т^ и осталось
лишь доказать, что dr (ay, $y) = |.
Очевидно, Хо (ay, Ру) S Хо (а, Р) = Хо. Обратно, если х 6
¦6 Хо, то лх Ф х$; и так как у действует тождественно на С
и ха, х§ 6 С, мы имеем ту =? ^Ру. Следовательно, Хо (ay, Py) =
= Хо. Так как Хоау — Хоа и Х0Ру = Хор, мы заключаем, что
dr (ay, Pv) = I.
(ii) Пусть У — подмножество мощности \ из X и 8 — произ-
произвольная подстановка множества X, оставляющая на месте эле- .
менты из X \ У и передвигающая каждый элемент из У. Тогда
dr (ix, 8) = \. В силу утверждения (i) существует такое у 6 S~xi
что
ранг у = ранг 8у = Т), dr (у, Ьу) = ?.
Взяв a = у и Р = бу, получаем требуемое.
Теорема Мальцева, которую мы намерены доказать, утвержда-
утверждает, что любая конгруэнция на ЗГх выражается через конгруэнции
трех указанных выше типов. Доказательство этой теоремы доволь-
довольно длинное. Сначала мы установим несколько основных фактов
о конгруэнциях на &х.
Для любого а; 6 X через ?ж обозначим отображение, перево-
переводящее каждый элемент из X в х.
Лемма 10.64. Пусть р — конгруэнция на 3"х, отличная от
отношения равенства. Тогда все элементы из Di принадлежат
одному р-классу Кр и К9 является идеалом в ?Гх.

284 Гл. 10. Конгруэнции
Доказательство. По предположению существуют
такие а, Р 6 З''х, что а Ф Р и (а, р) 6 Р- Так как а Ф р, суще-
существует с 6 X, для которого са =#= ср. Пусть а, b ? X и у — про-
произвольное преобразование множества X, переводящее са в аг
ср в Ъ. Тогда Ъеау = Са и ?cPy = ?ь. Ввиду того что (а, Р) 6 Рг
имеет место включение (?а, Сь) € р-
Это показывает, что все элементы из Di принадлежат одному
р-классу; обозначим его через Кр. Так как Di является идеалом
в Ух, идеалом будет и Кр; в самом деле, любой класс конгруэн-
конгруэнции, содержащий идеал, сам является идеалом.
На основании теоремы 10.59 Кр = /п для некоторого т].
Будем ниже обозначать указанное число т) через т) (р). Положим
по определению т) (i) = 1.
Таким образом, (а, Р) ? Pi если ранги элементов аир меньше
г\ (р). Следующее утверждение дает частичное обращение только
что сформулированного: если (а, р) ? р и ранг а Ф ранг р, то
ранги элементов аир меньше т) (р).
Теорема 10.65. Пусть р — конгруэнция на °Гх, отличная
от отношения равенства. Тогда
Ч(р) SpE ./цф) U °^-
Доказательство. Из леммы 10.64 и определения
числа х\ (р) вытекает включение /JJ(p,s р. Пусть (а, Р) 6р и
Т) = ранг а > ранг р. Для доказательства включения р s /JJ<P) U
U 3) достаточно установить, что т] < Т) (р). Разобьем доказатель-
доказательство на два случая в зависимости от того, конечно или бесконеч-
бесконечно Т).
(i) Т) бесконечно. Так как | Ха | > | Хр |, имеем | Ха \ Хр | =
= | Ха |. Пусть у — произвольное преобразование множества
X, которое отображает Хр на некоторый элемент с, а Ха \ Хр —
на Ха. Тогда ранг (ау) = ранг а и Ру = ?с. Отсюда в силу того,
что (а, Р) 6 р. получаем (а^, ?с) 6 Р- Следовательно, а7 € Кр —
= /ткр)- Так как ранг (ау) = Т), этим установлено, что Т) < г] (р).
(И) Т) = г конечно. Пусть | хр | = s, так что s ¦< г. Если Ха П
Г)Хр = 0, то через у обозначим преобразование множества X,
которое отображает Хр на некоторый элемент с и отображает
X \ Хр тождественно на себя. Тогда ау — а и Ру = ?с, откуда
(а, ?с) € р, т. е. а 6 ЛГР = /ткр) и снова т) < т) (р).
Теперь предположим, что С1 = Xaf|Xp = {cit с2, . . ., ct},
где 0 ¦< t ^ s ¦< г. Пусть Yo отображает X \ Ха на с4 и оставляет
все другие элементы из X на месте. Тогда а^о = а и Хр^о = C^
Для i = 1, 2, . . ., t обозначим через yt преобразование, перево-
переводящее ci в с4 и оставляющее все другие элементы из X на месте.
Положим avoVi • • • ft = «i и PvoTi - - - V* = Р«- Тогда (а, Р) € р
влечет за собой (аг, рг) 6 р для любого i = 0, 1, 2, . . ., ?.

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 285
- Далее, р0 имеет ранг t, а0 — ранг г и для любого i = 1, 2, . . .
. . ., t элемент р{ имеет ранг t + 1 — i, a at — ранг г•+ 1 — i.
Таким образом, ранг p*t равен 1 и поэтому (cct, р() 6 р влечет
за собой at 6 Кр. Так как г > t, ранг а, = г + 1 — t >1. Сле-
Следовательно, т) (р) >2, откуда в силу того, что ранг рг_4 равен 2,
имеем p\_i ?Кр. Из (ott_j, P<_i) 6p вытекает at_i ?KP. После-
Последовательно мы выводим, что все элементы Р(_2, ot,t-z, Pt-з» • ••,«!
принадлежат Кр. Так как ранг at равен г, получаем г < т] (р).
Заметим здесь, что если р = Ag, то т) (р) = |. Это вытекает
непосредственно из леммы 10.62 (i) и определения числа т) (р).
Таким образом, утверждение (ii) леммы 10.62 является следстви-
следствием теоремы 10.65.
Рассуждения теперь разбиваются на два случая в зависимости
•от того, бесконечно или конечно т) (р). Если г\ (р) конечно, то
мы можем легко описать различные возможности для р; присту-
приступим к этому описанию.
Лемма 10.66. Пусть р — конгруэнция на ЗГх и Ц (р) конечно.
Если а — элемент конечного ранга, большего или равного г\ (р),
и (а, р) 6 р, то (а, р) б SB.
Доказательство." Если р = i, то a = Р и (a, P) 6 &&¦
Предположим, что р Ф I. На основании только что установлен-
установленной теоремы ранг р = ранг а; следовательно, | Хсс | = | ХР | =
= г. Так как т) (р) >1, имеем г > 1. Следовательно, если Ха ф
Ф Хр, то мы можем выбрать с 6 Хр \ Ха и определить преобразо-
преобразование у множества X, которое переводит с в Хр \ {с} и оставляет
все остальные элементы из X на месте. Тогда ccy = а, откуда
(a, Py) 6 Р- Но ранг а равен г, а ранг $у равен г — 1, поэтому
в силу теоремы 10.65 получаем г\ (р) > г. Это противоречит нашим
предположениям; следовательно, Ха = Хр.
Предположим, что а о а Ф р ° Р. Тогда существует (а, Ь) 6
€ a ° а~1ч\Р о р-1. Пусть В — множество, пересекающееся с каж-
каждым Р ° Р~х-классом в точности по одному элементу и такое, что
и, Ъ 6 В. Пусть у — отображение множества ХР = Ха на В,
переводящее каждый элемент из Хр в свой прообраз из В при
отображении р и оставляющее другие элементы из X на месте.
Тогда Хр^ = В и для х 6 В имеем х$у = х. Следовательно,
tPvJ = Р?- Мы имеем Хау — В, но X (ayJ с: В, поскольку
а, Ъ 6 В и аа = Ъа. Таким образом, ранг {ау)г'-<. ранг (а^).
Далее, ((ccyJ, (pvJ) = ((a^J, Pv) 6 Р, так как (а, р) € р. и в
силу того, что (а7J и $у имеют различные ранги, на основании
теоремы 10.65 мы получаем т} (р) >г = max {ранг (а^J, ранг
(Py)}. Пришли к противоречию; следовательно, а ° а = Р ° Р.
Теперь утверждение леммы непосредственно вытекает из лемм
2.6 и 2.7.

286 Гл. 10. Конгруэнции
Лемма 10.67. Пусть р — конгруэнция на ?Гх, "Ц (р) конечна
и а — элемент конечного ранга г^-г\ (р). Если существует такое
Р, что (а, Р) 6 р " а Ф р\ то г = т) (р).
Доказательство. В силу леммы 10.66 имеем (а, Р) 6
6<й?, откуда а ° а = р ° Р и Ха =-Х"р. Пусть Ми M2, ¦ ¦ -
. . ., МТ — классы эквивалентности по mod a ° а и М^а = аг
(i = 1, 2, . . ., г). Тогда М$ = aiCT (s = 1, 2, . . ., г), где а есть
подстановка на множестве {1,2, . . ., г]. Поскольку а ф Р, суще-
существует такое р, что р Ф ра, и, так как г > 1, существует отличное
от р число А? {1, 2, . . ., г}.
Определим теперь преобразование у множества X, полагая
Mk U Мр -* mk,
где j Ф к, р и tfi; ? Af j для г =#= р. Тогда
= {ala \ i Ф р).
Так как р фро, имеем Хуа ^= Хур. Следовательно, (усе, уР) 6 <1$?
и поэтому, в силу леммы 10.66 ранг г — 1 элемента уа меньше
г] (р). Отсюда непосредственно вытекает равенство г = г] (р).
Теорема 10.68. Пусть р — нетривиальная (т. е. не совпадаю-
совпадающая ни с отношением равенства, ни с универсальным отношением)
конгруэнция на &х и Л (р) конечно, г\ (р) = п. Тогда р = а*, где
о есть некоторая конгруэнция на 1п+1/1п и о* определяется так
ж?, как в теореме 10.60.
Доказательство. Если п = 1, то р является отноше-
отношением равенства, а если п = \ X |', то р является универсальной
конгруэнцией. Поэтому 1 < п < | X |', откуда следует, что /„
есть собственный идеал из S~х- В силу леммы 10.67 для любого-
элемента а конечного ранга, большего п, из включения (Р, а) 6 f>
вытекает р = а. Предположим, что а имеет бесконечный ранг
и (а, Р) 6 р- На основании теоремы 10.65 ранг а = ранг р. Пусть
а Ф р. Тогда существует такое с 6 X, что ах Ф ср. Мы можем
следующим образом определить преобразование у множества X.
Положим са = а и сР = Ъ, и пусть у отображает (X \ Ха) U {а, Ъ\
тождественно на себя и отображает Ха \ {а, Ь} на конечное мно-
множество, содержащее более п элементов. Тогда сау = а и с$у = Ъ,
откуда ау Ф $у. Кроме того, ранг (ау) конечен и больше п и
(ау, Ру) ? р. Это противоречит ранее полученному утверждению.
Следовательно, р индуцирует отношение равенства на множестве
всех элементов ранга больше п.

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 287
Ограничение конгруэнции р на In+i является конгруэнцией
на /n+i, и, так как /„ есть р-класс, р индуцирует конгруэнцию а
на In+i/In. Теперь ясно, что р совпадает с а*.
Доказанная теорема дает полное описание всех конгруэнции р-
на 5"х; Для которыхт} (р) конечно. В частности, если X конечно,.
то теорема дает описание всех конгруэнции на Ух- Используя
тот факт, что конгруэнции .на конечной симметрической группе
образуют цепь, легко установить, что структура конгруэнции
на ЗГх является цепью'.
Обратимся теперь к случаю, когда г\ (р) бесконечно. Ключевой
здесь является следующая
Теорема 10.69. Пусть р — конгруэнция на Ух- Предположим,
что существуют элементы а и р бесконечного ранга т), для которых
dr (а, Р) = I и (а, Р) 6 Р- Тогда
(i) если \ бесконечно, то
(Л|« X /Л')ПД?'?= р;
(и) если \ конечно и отлично от нуля, то
(Лг X /,¦ ) П Ахо ^ р.
Заметим, что включение, указанное в условии (i), выполняет-
выполняется и для конечного |; в этом случае условие (ii) является более
сильным, нежели (i).
Прежде чем приступить к длинному доказательству этой
теоремы, мы покажем, как из нее вытекает вторая часть теоремы
Мальцева.
Для каждого кардинального числа К, удовлетворяющего
неравенствам Т) (р) ^ Я, =SC | X |, через X* будем обозначать наи-
наименьшее кардинальное число, превосходящее каждое кардиналь-
кардинальное число \, для которого существуют такие а, р* 6 Ух> что
(а, Р) 6 р,
ранг а = ранг р = Я и dr (a, P) = \.
Лемма 10.70. Пусть % и ц — кардинальные числа из интервала
[т) (р), | X |]. Тогда (i) Я* ^ Т) (р) и (ii) К < ц влечет за собой
\i* < X*.
Доказательство, (i) Предположим, от противного,
что X* >Т)(р). По определению Я,* должна существовать пара
таких элементов а и Р ранга А, из ?Гxi чт<> (а. Р) € р и | = dr (а, Р) ;>
^- т) (р). На основании теоремы 10.69 конгруэнция р содержит
каждую пару из /*/ X !%¦, ранг различия которой ^|. Так как
ц (р) ^ 1, получаем, что каждая пара элементов из I r\(p)r при-
принадлежит р, что противоречит определению числа Т) (р).

288 Гл. 10. Конгруэнции
(ii) Предположим, от противного, что Я ¦< |л и Я* < |Л*.
По определению ц,* существуют такие элементы а и р ранга ц
из Jх> чт0 («» Р) 6 р и Я* < | = dr (а, Р) < |Л*. Ввиду утверж-
утверждения (i) имеем ц* =sC т) (р), и поэтому ? -< т) (р) ^ Я ¦< ц. Приме-
Применяя лемму 10.63 (i) при T)t = Я и ТJ = ц, получаем, что суще-
существует y ?jf.x, для которого
ранг ссу = ранг Ру = Я и dr (ay, Pv) = ?.
Очевидно, (ay, P7) 6 р, откуда вытекает | < Я*, что противоре-
противоречит неравенству Я* ^ |.
Лемма 10.70 показывает, что Я -»- Я* есть монотонное невоз-
¦растающее отображение интервала [т] (р), | X |] в интервал
[1, т) (р)]. Так как кардинальные числа вполне упорядочены,
область значений этого отображения должна быть конечной.
В самом деле, в противном случае она должна содержать беско-
бесконечную возрастающую последовательность К* < Я? ¦< . . ., отку-
откуда вытекает существование бесконечной убывающей последова-
последовательности Я! > Я2 > . . . кардинальных чисел. Обозначим область
значений отображения Я ->¦ Я* через {|4, 1г, • • •, iu}i где ii >
>\г > • • • > 1ft- Для каждого i = 1, 2, . . ., к через Т)г обозна-
обозначим наименьшее кардинальное число с тем свойством, что Tjt = \i-
Для удобства будем считать, что r]ft+1 = | X \', где | X |' есть
наименьшее кардинальное число, превосходящее \Х |. Тогда
мы имеем
I* < ift-i < • • • < 1г < ii < Л (р) =
= ill < Цг < • • • < Т)а < T]ft.+i = I X |'.
Будем называть {\k, . . ., |ь гц, . . ., г]й} последовательностью
кардинальных чисел конгруэнции р. Заметим, что все %t бесконеч-
бесконечны, за исключением, быть может, %h, и если Zk конечно, то |А = 1.
В самом деле, если 1 < |г = г < so> то существуют два р-экви-
валентных элемента ранга т]г, ранг различия которых отличен
от нуля и равен г — 1. Тогда из теоремы 10.69 (ii) вытекает, что
любые два элемента ранга r)j с конечным рангом различия р-экви-
валентны. Это противоречит предположению о том, что 1г конечно.
Лемма 10.71. Для каждого Я из интервала [т) (р), | X |]
¦Следовательно, если т}г ^ т] < т)г+1 (l^i^/c), пго
X ЯО^р.
Доказательство. Пусть аир — элементы ранга Я
из ^х, причем \ — dr (a, P) -<Я*. По определению Я* существу-
существуют такие элементы у и 8 ранга Я из ?Гх-, что (v> S) 6 р и dr G, 8) ]j>
Z> |. В силу теоремы 10.69 имеем (а, Р) 6 Р-

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 289
По определению числа i\t
т|4 ^ r\ < r\t+t влечет за собой г\* = 1г A ^ г ^ к).
Теперь непосредственно из первого следует второе утвержде-
утверждение леммы.
Мы приходим теперь ко второй части теоремы Мальцева.
Теорема 10.72. Пусть X — бесконечное множество, к — нату-
'ралъное число и \t, Т)г (i = 1, 2, . . ., к) суть 2к кардинальных
чисел, удовлетворяющих условиям:
(i) 1ft < ift-i < •••<&< Л, < т|8 < • • • < r\k < | X |;
(ii) все \i и Т), бесконечны, за исключением, быть может, |д,
и если \ь конечно, то \h = 1.
Определим отношение х на &х, полагая
т - /*; U (Дь П /5.) U ... U (Agft_t П Я) U \-
Тогда х является конгруэнцией на ?Г'х и (i) есть ее последователь-
последовательность кардинальных чисел.
Обратно, если р — такая конгруэнция на S~xi отличная от
универсальной конгруэнции, что Т) (р) бесконечно, и если (i) есть
ее последовательность кардинальных чисел (где щ = г\ (р)), то р
совпадает с определенным выше отношением т.
Доказательство. Для удобства положим |0 = | X |'
и Tf\k+i — I X |'. Тогда Ag0 и /Jj являются универсальными
конгруэнциями на ?Гх и мы можем записать
Ясно, что г рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность.
Пусть (а, р) 6 т и (Р, у) € т. Тоща (а, р) 6-Д5| Л 1$м и (Р. V) 6
6 Ag, П ^п -+1 Для некоторых i и /. Мы можем предположить, что
Р pV t<;
#Р, pVv <;
Если ранги элементов а и Р неравны, то \i бесконечно, посколь-
поскольку лишь \h может быть конечным и в этом случае \k = 1 и А| = i.
Следовательно, если ранги элементов аир различны и оба конеч-
конечны, то в'силу утверждения (i) леммы 10.62 оба они меньше 1г.
Итак, в любо'м случае оба ранга меньше щ. Аналогично, если
ранги элементов р и у не равны, то оба они меньше T)i. В этом
случае мы имеем (а, у) 6 /JJ, S т. Такое же заключение, очевид-
очевидно, имеет место, если ранги элементов р и у равны, так как ранг
Р<гц.
Таким образом, мы можем предположить, что ранги элементов
а, р, у все равны т]. Следовательно, ранг у = ранг a<T)i+j,
поэтому (а, у) 6 ^щ+1- Из i ^ ; вытекает, что 1г ;> |^ и As s A6 .
19-100

290 Гл. 10. Конгруэнции
Отсюда (Р, у) 6 А|{. Поскольку Д^ является конгруэнцией
(лемма 10.61), имеем (а, у) ? А^. Следовательно, (а, у) 6 А|( П
П ^+1s т.
Этим установлено, что т есть отношение эквивалентности
на S'x- Но т является объединением стабильных отношений,
а именно конгруэнции Ag. |~| /Jj , и поэтому само стабильно.
Следовательно, т есть конгруэнция на ?Гх-
Так как /J|t = т, мы знаем, что т) (т) ]> t)i. Докажем, что
т]! = г\ (т). Пусть а 6 #т. Тогда (а, ?а) 6 т для некоторого ?а 6 #t
(а;?а = а для всех z ? X). Мы докажем, что г] = ранг а «С t]i.
Предположим, от противного, что г\ >¦ %. Тогда (а, ?а) ? Ag, П
П 1щ+1 для некоторого i A ^ г ^ к), и мы можем предположить,
что i выбрано таким образом, что т)г ^ tj < rji+i- Пусть Хо =
= Хо (a, la). Тогда | Хоа |< ij < Лг < Л» так что | Ха \ Хосс |=
= tj. Но у 6 ^« \ ^о« влечет за собой у = ха, где а; ^ Хо, поэто-
поэтому у = ха = xt,a = а, откуда х\ = 1, что противоречит нера-
неравенству т) ^ Tji и предположению о том, что rji бесконечно.
Докажем теперь, что' если t]j^t]<;tij+i {1^.1^. к), то
т)* = |{. Предположим, что (а, Р) ?т и ранг а = ранг р = т].
Тогда (а, Р) 6 /?jj 1 и по определению отношения т для некото-
некоторого / @^/^А;) имеем (а, РNА|уП^+1- Так как (а> Р) €
^ /^, А|, э А^ и Д.+1 s /^+, для i < /, мы получаем, что
(а, Р) б AijlWj- Таким образом, dr (а, р) < |г. Пусть | —
произвольное кардинальное число, меньшее |г. На основании
леммы 10.63 (ii) существуют такие у и б в $~х, что
ранг у — ранг б = tj, dr (у, б) = ?,
и поэтому G, 8) 6 AgjO^rii+i* Следовательно, lf есть наименьшее
кардинальное число, превосходящее dr (а, Р) для всех (а, Р) Е
бтПСОт, Xfl,), т. е. |,.= т|*.
Предыдущее также показывает, что т]г есть наименьшее из кар-
кардинальных чисел, для которых г\* = 1*, откуда вытекает, что (i)
является последовательностью кардинальных чисел конгруэн-
конгруэнции т.
Перейдем теперь к обратному утверждению. Пусть р — кон-
конгруэнция на & Х1 Для которой г)! = т) (р) бесконечно. Предполо-
Предположим, что р отлично от универсальной конгруэнции, так что Tji <Г
^ | X |. Пусть (i) есть последовательность кардинальных чисел
конгруэнции р. Положим снова т)А+1 = | X |'. Мы должны дока-
доказать, что р = т.
Покажем сначала, что р = т. Пусть (а, Р) б Р- В силу теоре-
теоремы 10.65 либо (а, Р) 6 Л\, ^ *» либо ранг а = ранг р = т), гд&
,г] ]> T]i- В последнем случае т^ =^ Т) < Т)г+1 для некоторого i

§ 10.8. Конгрувнции на полной полугруппе преобразований 291
A ^ i ^ к). По определению числа т]* имеем dr (а, р) < Т)*.
Но т)* = |{. Следовательно, (а, р) 6 А?г П^лг+1 S т.
Обратно, пусть (а, Р) 6 т. Если (а, Р) 6 I\t > то (а, Р) 6 𠦻
поскольку т)! = г] (р). В противном случае (а, Р) 6 А^ПЛ^
для некоторого i (I ^.i ^.к). Теперь ранги элементов а и р
не могут быть оба конечными, так как (а, р*) $ /?j, и tj4 бесконеч-
бесконечно. Предположим, что они не равны. Например, ранг а >ранг р.
В силу леммы 10.62 (i) имеем | = dr (a, P) = ранг а. Следова-
Следовательно, ранг a<i;^T)i, что невозможно. Итак, ранг сс =
= ранг р = т]. Мы можем считать, что i выбрано таким образом,
что Т)г < ti< T)-f+i. Но тогда (а, Р) 6 A? fK-^n X <25„) Sp по
лемме 10.71.
Это завершает доказательство того, что теорема 10.72 вытекает
из теоремы 10.69. Вернемся теперь к доказательству последней.
Метод Мальцева состоял в том, чтобы шаг за шагом свести задачу
к описанию нормальных делителей бесконечных симметрических
групп, полученному Шрейером и Уламом [1933] для счетного
случая и Бэром [1934] в общем случае. Первый шаг этого сведения
приведен в нашем доказательстве теоремы 10.69, которое следует
за леммой 10.76 ниже. Не найдя удовлетворяющего нас разверну-
развернутого изложения метода Мальцева для остальных шагов, мы заме-
заменили их другими выкладками, не сводящими задачу к результатам
Шрейера, Улама и Бэра. Наше доказательство распадается на ряд
лемм.
В первоначальном доказательстве авторов две части теоре-
теоремы 10.69 требовали последовательности из трех громоздких лемм.
Авторы признательны Бакдейлу, предложившему лемму, которая
привела к изложенному ниже доказательству леммы 10.73. Откры-
Открытие этого доказательства существенно сократило доказательство
утверждения теоремы 10.69. Соответствующее упрощение выкла-
выкладок, содержащихся в леммах .10.74, 10.75 и 10.76, относящихся
к утверждению (ii) теоремы 10.69, к сожалению, еще не найдено.
Лемма 10.73. Пусть X — бесконечное множество up — кон-
конгруэнция на Ух. Если р содержитпару (а, Р), для которой ранг
различия ^ бесконечен, то 1%- X /|- S р (т. е. \ < Т) (р)).
Доказательство. Пусть Хо = Х0-(а, Р). Тогда
dr (a, P) = шах {| Хоа |, | Хор 1} = \. Без ограничения общно-
общности можно предположить, что | Xo{3 | = \.
Пусть ер — семейство всех таких подмножеств Y из X, что
Усе П Yfi =0. Тогда <f не пусто; в самом деле, оно содержит
каждое множество {у}, где у 6 Хо- Пусть % — цепь, содержа-
содержащаяся в &¦", и Z = U {Y I Y ? 48}. Тогда легко проверить, что
•Z 6 JF, поэтому, применяя лемму Цорна, мы получаем, что ер
содержит максимальные элементы.
19*

292 Гл. 10. Конгруэнции
Пусть М — максимальный элемент из jf. Предположим, что
| Ма | или | Мр |, для определенности пусть | мр |, больше
или равно |. Пусть у — некоторый элемент из ЗГ х, отображающий
X на М, и б — элемент из ЗГ х, который отображает X \ Ма
тождественно на себя и любой элемент из Ма переводит в фик-
фиксированный элемент а ? X. Тогда уаб = ?„, где ?а есть отобра-
отображение, переводящее любой элемент из X в а. Так как Ма f)Mp =
= 0, имеем Ху$8 = Мрб = Мр, так что ранг (уРб) >¦ \- Далее,
(а, Р) 6 р влечет за собой (уаб, уЩ 6 р, т. е. (?а, у$) ? р. Следо-
Следовательно, элемент уР ранга >¦? принадлежит Кр (лемма 10.64),
откуда К г\ (р).
Если | Ма | и | Afp | оба меньше ?, то положим В = (МаU
(JMp) р (}Хо ж А =.Х0 \ В. Докажем, что А 6 & и | Af> | = |.
Мы можем тогда рассуждать для множества у! точно так же,
как и для М в предыдущем абзаце, откуда снова будет следовать,
что 1 < г] (р), и доказательство леммы будет завершено.
Заметим сначала, что если х 6 Хо, то либо ха ? Ма{]М$,
либо аф ? Ма [) МР; в самом деле, так как М является макси-
максимальным элементом в JF, если х (j М, то (Ма (J жа) fl (MP IJ ^Р) =#= 0 •
Следовательно, либо ха 6 Мр, либо х$ ^ Ма, поскольку
ха Ф х$. Таким образом, в силу того, что по определению А
из включения х 6 А вытекает соотношение zPfMaUMp, мы
имеем ^asMalJMp и ЛаП^Р=0. Следовательно, А 6^"-
Кроме того, 5Р = Ма U Мр и поэтому | Вр | = | Ма U Мр | < \
и ( Хор | = | (A UВ) р | = Мр U#p I = I- Таким образом,
| Лр | = | и доказательство леммы закончено.
Следующая последовательность лемм ведет к доказательству
утверждения (И) теоремы 10.69.
Лемма 10.74. Пусть X — множество мощности к0, р — кон-
конгруэнция на ЗГх и Р — такой элемент из ЗГх, что (\.х, Р) 6 р
и р Ф \.х, где ix есть единица полугруппы ЗГх. Предположим
даже, что $ передвигает лишь конечное число элементов из X.
Тогда р содержит каждую пару (ix, p'), где р' есть элемент
из ЗГх, который передвигает лишь конечное число элементов из X.
Доказательство. Мы можем предположить, что р
имеет бесконечный ранг, так как в противном случае на основа-
основании теоремы 10.65 кочгруэнция р является универсальной. Так
как Р перемещает лишь конечное число элементов из X, множе-
множество F неподвижных точек отображения р бесконечно. В силу
того что р Ф ух, существует х0 6 X, для которого жор ф х0.
Пусть теперь ^ и^ — произвольные различные элементы из
X и у — элемент из ЗГх, переводящий ух в х0 и отображающий
X \ у! взаимно однозначно на F \ жор. Определим следующим
образом элемент 6 из ЗГх- б действует да множестве {F \ жор) U х0

§ 10.8. Конерузнции на полной полугруппе преобразований 293
как элемент, обратный к у, и переводит все другие элементы
из X в г/2- Таким образом,
{ату, если x?F и хфх$,
"yi, если х = х0,
г/2 в остальных случаях.
Тогда уб = ix, г/1708 = жорб = г/2 и для х ? X \ #4 имеем ур
= губ = х, так как ату ? /? и 0 действует тождественно на F.
Следовательно, р содержит (ix, y{36), где урб переводит yt в у2
и оставляет остальные элементы из X на месте. Обозначим это
преобразование через
С1)-
Так как г/i и г/2 были произвольными различными элементами
из X, конгруэнция р содержит все (ix, т), где
т =
Множество S всех таких а ? S xi чт« Ajc> a) 6 Р> является
подполугруппой из ?Г х. Докажем, что S содержит каждый эле-
элемент из 2Гxi который передвигает лишь конечное число элемен-
элементов из X.
Заметим, что если а б S и Кц = ix> то Кац 6 S; в самом деле,
Aх» а) 6 Р влечет за собой (ix, Яац) = (Ял^ц,, Яац) 6 Р-
Пусть Xi, х2 — произвольные различные элементы из X. Дока-
Докажем, что S содержит транспозицию (xtx2). Пусть уи у2, у3, yt —
различные элементы из X, отличные от Ху и х2. Обозначим осталь-
остальные элементы из X через zlt z2, z3, . . . . Положим
I Х2 У1 У2 Уз У\ Z\ Z8 Z3.
L У2 zl z2l Z3 Z4 Z5 Z6 Z-j.
1 X2 У1 У% Уз У4 zl Z2 Z3 Z4 Z6 Ze Z7.
I Z2 Xi X2 X2 Xi yi у2 Уз У^ Zj Z2 Z3.
Тогда \\i = ix и
. (У1УЛ . .
Я = 1 I |л = (а;, ж2).
Так как S содержит
<У*\
она содержит также и (xi x2).

294 Гл. 10. Конгруэнции
Приступим к доказательству (по индукции) того, что S содер-
содержит каждый элемент а из 2Гх> который передвигает точно п эле-
элементов из STх (п — конечное число). Мы доказали справедливость
этого утверждения для п = 1. Предположим, что оно верно для
п — 1, и пусть
J,9 • ¦ • ^71
Здесь элементы xt в верхней строке различны и а оставляет
на месте все остальные элементы из X.
Предположим, что некоторый элемент из верхней строки,
например Xi, не встречается в нижней строке. Тогда
!х2...хп
гдеа=(ж, _
По предположению индукции а' ? S. Так как S содержит
она содержит также и а.
Предположим, что некоторый элемент из нижней строки,
например х[, не встречается в верхней строке. Тогда
\xj \xt... xi,
и снова по предположению индукции а ? S.
Следовательно, мы можем считать, что а индуцирует подста-
подстановку на множестве {xit x2, . . ., хп}. Так как любая подстановка
равна произведению транспозиций и все транспозиции содержат-
содержатся в S, мы снова получаем, что а 6 S. Доказательство леммы
закончено.
Лемма 10.75. Пусть | X \ — к0 и р — конгруэнция на S"х-
Предположим, что существует такая пара ^-эквивалентных эле-
элементов а, р ранга к0, что dr (a, f$) конечен и не равен 0. Тогда
АХо s р.
Доказательство. Так как а Ф р" и а и р имеют бес-
бесконечный ранг, на основании теоремы 10.68 т) (р) = к0. Следо-
Следовательно, для доказательства леммы достаточно рассмотреть
лишь элементы бесконечного ранга из 3~х-
Пусть аир удовлетворяют сформулированным условиям
и Ха = {а,- | i 6 /}. Положим Rt = ata~l. Пусть 1 — такой
индекс из /; что Ri содержит некоторый элемент г4 из Хо =
= Хо (а, Р). Зафиксируем и для каждого из остальных i ? /
элемент rt 6 Rt. Пусть у — взаимно однозначное отображение

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 295
множества X на {rt \ i ? /}. Обозначим через Xi элемент, пере-
переходящий в rt при отображении у. Через б обозначим отображе-
отображение, переводящее at в xt для каждого i ? I, & все остальные эле-
элементы из X (если таковые существуют) — в xz, где 2 есть индекс
из /, отличный от 1.
Тогда ZjYoc6 = rta8 = аг8 = xt, поэтому yab = ix. Присту-
Приступим к доказательству того, что у$Ь Ф ix. Мы имеем б
= г$Ь. Так как Гу ? Хо, получаем г4р =/= гха = а4. Если р
то r4p = at для некоторого i 6 / \ 1. Тогда г$Ь = агб = х1ф х^.
Если rtp ^ Ха, то г$Ь = х^фх^. В обоих случаях ^^Рб Ф хи
откуда уРб =^= ix.
Так как уаб = ix, из (а, Р) 6 Р вытекает (ix, урб) 6 Р- Если
у|б передвигает бесконечное число элементов из X, то, применяя
лемму 10.73 к паре (ix, y$8), мы заключаем, что р есть универ-
универсальная конгруэнция на ?Гх, и утверждение леммы становится
очевидным. Следовательно, можно предположить, что уРб пере-
передвигает лишь конечное число элементов из X. Но тогда, применяя
лемму 10.74 к паре (ix, vP6), мы получаем, что р содержит все
пары (ix, Я), где X есть произвольный элемент из ?Гх, передви-
передвигающий лишь конечное число элементов. Следовательно, р содер-
содержит все пары (X, ц), где Яиц, передвигают лишь конечное число
элементов из X.
Пусть теперь (а', Р') есть произвольная пара элементов бес-
бесконечного ранга из °Гх, для которых dr (a', P') конечен. Пока-
Покажем, что (а', р") 6 Pi чем полностью завершится доказательство
леммы.
Пусть Хо = Хо (а', р'). По предположению множество D¦ —
== Хоа' U^oP' конечно, в то время как С = Ха' \]Х$' беско-
бесконечно. Пусть D — {су, с2, . . ., с„}. Так как D Е С, мы можем
записать С = {q, с2, . . ., сп, сп+1, . . .}.
ПустьRtj — {х 6 X | ха' = с,-, х$' = с,}. Еслих ? /?,vni Ф j,
то zf Z0) поэтому жа' и #Р' принадлежат D, откуда i ^ и и
У <^ ге. Следовательно, /?г7- =0, если i Ф / и либо г > и, либо
/> и-
Из каждого непустого множества Rtj (г, j ^ /г) выберем
по одному представителю Гц. Через Q обозначим множество
всех таких"го-. Пусть Y = X \ (D \JQ). Так как множества D и Q
конечны, Y бесконечно. Обозначим элементы из Y следующим
образом: Y == {уп+и уп+2. • • •}• Определим теперь элементы
7', б', Я', fi' из Jх, полагая:
= yi (О в);

296 Гл. 10. Конгрувнции
ijA =Cj
V = x (x?X\Q);
[хц'^х (x?X\Q).
Тогда:
Rijy'%'8' = r^k'S' = Cj6' = сг = Rtft' (i, j ^ n),
itjjY Л о = угЛ о = ^го = Cj = лай (j > n);
Лг/у'|л'б' = rij\i'8r = c,-6' = Cj = 7?j^P' (i, /^ n),
Следовательно, 7'Я'б' = а' и у'|л'б' = Р'. Но Я' и ц' передвигают
лишь конечное число элементов из X и поэтому (к', ц') ? р. Так
как р есть конгруэнция на $"х, получаем (у"к'8\ у'ц'б') =
= (а , Р') g р. Доказательство леммы закончено.
В дальнейшем мы будем использовать обозначение
понимая под а элемент из 3~х* область значений которого равна
Ха = {at} и для которого Pt = aia~i. В целях экономии мы
не будем выписывать множество индексов, которое пробегает г.
Какое именно это множество, будет всегда ясно из контекста.
В разных случаях у нас будут фигурировать различные индекс-
индексные множества, но для обозначения переменных индексов мы
будем использовать одну и ту же букву, например i, что не при-
приведет к недоразумениям.
Лемма 10.76. Пусть X — бесконечное множество и р — кон-
конгруэнция на ?Гх- Предположим, что (а, Р) 6 р, ранг а = ранг Р =
= х0 и dr (a, P) конечен и не равен 0. Тогда
А Г\ (Т ш v T *\ t— п
и о л о
Доказательство. По теореме 10.68 ц (р) бесконечно,
поэтому для доказательства леммы достаточно установить, что
если ранг а' = ранг Р' = х0 и (а', р') ? ANj. то (а', Р') 6 Р>
Пусть а, Р удовлетворяют условиям леммы. Так как dr (a, Р) Ф
Ф 0, существует такой элемент х0 ? X, что хоа Ф ж0Р- Пусть
хоа = а и хор = Ь. Тогда х0 g Хо (а, Р) и о, Ъ ? С = Хоа U-^oP*
Пусть С = A \JB, где Л (]В =0 я. а ? A, b ? В. По предполо-
предположению С конечно, поэтому множество F — Ха \ С = Хр \ С
счетно и бесконечно. Мы можем записать F = {fj | / = 1, 2, . . .}.
Пусть б — преобразование множества X, которое переводит
А в /j, В в /2 и оставляет остальные элементы из X на месте. Тогда

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 297
хоаб = аб = /i и ?орб = Ь8 = /2. Таким образом, аб Ф рб. Оче-
Очевидно, dr (аб, рб) -< 2, и мы можем представить аб и рб в виде
(К{ К2 К3 ...'
\ /l /2 /З • • •
1 Z2 L3 ..
Так как хоаб = /i, имеем ж0 g ATt и, аналогично, х0 ? Lz. Воз-
Возможно, что К2 =0 или Zi =0 (например, оба множества
пусты, если Хо = {ж0}). Множества .ЙГ,- для / > 2 все не пусты.
Для каждого у Ф 2 выберем элемент kj ? Kj и, в частности,
положим Aj = ж0. Если К2 Ф0-, то возьмем также А;2 6 ЛГг-
Положим
где индекс /==2 опускается, если ЛГ2==0. Тогда уаб^аб и
К2 К3..
потому что /c1 = a:0?Z2. Здесь если К2ф0, то /г = 1 или 2; если
К2—0, то столбец
можно опустить.
Если ЛГ2 Ф01 то определим е как элемент из ?Гх-> который
переводит fj в kj для каждого /. Если К2 —0, то в качестве е
возьмем элемент из &х, который переводит fj в kj для ]ф2п пере-
переводит /2 в А3. В первом случае
:::)¦
fc4 fc2 k3
i K2 Ks ...'
• le h i '
'1 "л «Сз . . . /
в то время как в последнем случае
it k3 k, .../•
с3 k3 /с4 .
В обоих случаях уа8е и урбе являются р-эквивалентными эле-
элементами и их ранг различия конечен и не равен нулю.

298 Гл. 10. Конгруэнции
Пусть Y = {kj} (где к2 опускается, если К2 = 0). Обозначим
через Jf у подмножество из &х, состоящее из таких элементов
полугруппы ^Х1 которые индуцируют отображение множества
{Kj} (где К2 опускается, если К2 = 0) в Y. Тогда естественное
отображение
¦КЛ /ft/
(где а: / -> /а есть произвольное преобразование множества
{1, 2, 3, . . .} или множества {1, 3, 4, . . .} в случае, когда
К2 =0) является изоморфизмом 2Ty на ?TY-
Пусть ру — конгруэнция на ?Tyi соответствующая при этом
изоморфизме конгруэнции р [\ (S'f X ?Г$) на ?Г%- Образы эле-
элементов уабе и уРбе являются р-эквивалентными элементами. Они
оба имеют ранг | Y \ = х0, и их ранг различия конечен и отли-
отличен от нуля. Тогда в силу леммы 10.75 любые два элемента ранга
х0 из HTYi ранг различия которых конечен, р-эквивалентны.
Отсюда получаем, что любые два элемента ранга х0 из «^у, ранг
различия которых конечен, р-эквивалентны.
Для удобства запишем теперь Y = {yj \ j = 1, 2, . . .} и обо-
обозначим множество yfl~l через Yj. Это даст нам возможность рас-
рассматривать случаи, когда К2 =0 и К2 Ф0, одновременно.
Пусть а' и Р' — произвольные элементы ранга х0 из ?Г'Xi
для которых dr (a', P') конечно. Положим
Множество непустых пересечений Atf\Bj счетно, поэтому оно
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством Y.
Обозначим через ytj элемент уп из Y, соответствующий At f\Bj,
и пусть Ytj = Yn, если ytj = yn. Зафиксируем элемент di} в At f\Bj
и положим
Тогда
и, так как difd = Ti я. dtj$'=Sj, имеем
IA i Л Bj\
(
I
'ва'=(
=а'

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 299
Далее,
ва'=| "I и 00'=
имеют те же области определения, что и а' и р' соответственно,
т. е. имеют ранг х0 и конечный ранг различия, поскольку, вооб-
вообще говоря,
dr (9а', 9р') < dr (а', р').
Мы можем предположить, что | X | > я0, потому что в про-
противном случае лемма 10.76 сводится к лемме 10.75. Следователь-
Следовательно, существует подстановка я множества X, которая отображает
Ха' \JX$' на У. Тогда 0а'я и бр'я принадлежат ?Г\, имеют
ранг х0 и их ранг различия конечен, откуда (Эа'я, Эр'я) 6 р-
Умножая на 0' слева и на я справа, мы заключаем, что (а', Р') 6
? р. Это завершает доказательство леммы.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 10.69.
Доказательство теоремы 10.69. По предполо-
предположению существуют такие элементы аир бесконечного ранга tj,
что dr (a, P) = \ и (а, р) 6 р.
Пусть Хо = Хо (а, Р) и С = Хоа\}Х$. Тогда Ха\С =
= X$\C=D. Пусть С = {Ci}, D = {dj}, Mt = с,а-*, Nt =
= CjP и Rj = djct,'1 = djfi'1. Тогда мы можем записать, следуя
соглашению, введенному перед леммой 10.76:
(Mt Rj
<2)
В данном случае мы расширяем это соглашение, считая, что неко-
некоторые Мi и Ni могут быть пустыми (так как, например, некоторые
из ct не обязательно принадлежат Ха). Однако для любого задан-
заданного i по крайней мере одно из множеств Mi и Nt не пусто.
Для каждого / выберем элемент rj из Rj. Пусть у есть элемент
из ЗГxi который переводит d/в Г] для каждого / и оставляет осталь-
остальные элементы из X на месте. Тогда
)
и эти элементы имеют ранг ц и dr (ayi Pv) = I-

300 Гл. 10. Конгруэнции
Если С пересекается с множеством U Rj, то мы изменим наше
обозначение, добавляя к С такие элементы г/, что Rjf]C Ф0-
Если % бесконечно, то | С | остается равным f. Если | конечно,
то новое множество С остается конечным. Если С конечно, то мы
произведем дальнейшее изменение: присоединим к С таким обра-
образом х0 элементов rt, чтобы множество оставшихся гг, не присо-
присоединенных к С, имело мощность т). Если г] > х0, то последнее
условие выполняется автоматически. Для нового множества С
имеем | С | = и0- В этих обозначениях каждый элемент г,-, при-
присоединенный к С, становится одним из ct и ассоциированное -
с ним Rj становится соответственно одним из Mi в C) и одним из
Nt в D). Если окажется, что г,- ? С, скажем г} — сг, то мы заме-
заменим Mt на Mi \JRj и Nt на Nt \J Rj.
Мы имеем \}Mt = \jNt. Положим М — \JMt и R = \JRj.
Тогда ay и Py принадлежат
= {ф € ^х
Если ф g ^Jf, то ограничение ф | М отображения ф на М при-
принадлежит S"ld и ф -> ф | М есть изоморфизм jTjif на 3~м- Огра-
Ограничение конгруэнции р на S'u определяет при этом изоморфизме
конгруэнцию рм на ЗГм, для которой (ф | М, г|> | М) 6 Рм тогда
и только тогда, когда
(ф. t) ер поя* х зг*м).
Далее, <%y \ М и $у \ М являются рм-эквивалентными элемен-
элементами из ЗГmi которые, если? бесконечно, имеют ранги, равные 1,
и ранг различия их равен \, а если \ конечно, имеют ранги, рав-
равные х0, и конечный ранг различия. Таким образом, (i) если
| бесконечно, то в силу леммы 10.73 любые два элемента ранга <3
из ЗГм являются рм-эквивалентными, и (И) если % конечно, то в
силу леммы 10.76 любые элементы ранга к0 из ?ГМ, ранг разли-
различия которых конечен, р^-эквивалентны. Рассуждения для слу-
случаев (i) и (ii) проведем отдельно.
(i) Так как | М \ !> |, существует такой элемент \i g ?Гм, что
1М'Л
U)
где mi ? М\ для каждого i и где | {mi} \ = |. Этот элемент рм-экви-
валентен элементу
(МЛ
Возвращаясь от Ум к У&, получаем
IM\ Rj\ IM
mi rj j \mt
:;)•

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 301
Если | {г,} | < Л (что может иметь место лишь при \ = tj, так
как ранг ay = rj), то ранг одного из этих элементов равен tj>
а другого — меньше, чем tj. Утверждение (i) теоремы 10.69 теперь
непосредственно вытекает из теоремы 10.65. Остается рассмо-
рассмотреть случай, когда | { г/} | = т).
Пусть (а', Р') 6 (Л)' X 1п>)(]А?>. Применяя к а' и р' про-
процедуру, использованную ранее для представления аи р в виде
A) и B), мы можем представить а' и Р' в форме
(Рп SA
Qn.St
Ьп ti
Для каждого п по крайней мере одно из множеств Рп и ()п
не пусто. Заметим, что из наших обозначений не вытекает, что
а' и р' имеют один и тот же ранг.
Так как i бесконечно, | {Ьп} | <; |. Поскольку также | {ti} | <j;
^ т], существует элемент б 6 &хч который индуцирует взаимно
однозначные отображения
соответственно {bn} в {пгг} и {ti} в {rj}. Пусть е — элемент
из S~ху который индуцирует отображения, обратные к этим
отображениям.
Умножая E) слева на
и полагая P = [JPn, мы получаем
Р
Следовательно,
а' — а'бе р
Аналогично,
/ Р Si
р' = Р'бер
так как \JQn — \J Pn = P> Отсюда вытекает (а', Р')?Р. и это
завершает доказательство утверждения (i) теоремы 10.69.
(ii) \ конечно. Пусть

302 Гл. 10. Конгруанции
Применяя указанную выше процедуру, мы можем записать
а =
U и)'
Qn Sl\
где {Ьп} = {bu b2, . . ., 6ft}, | {ti} |<; т] и dr (a', P') <[ к. Мы
можем предположить, что dr (a', P') Ф 0. Как и раньше, Рп.
или Qn может быть пусто, но для каждого п одно из множеств Рп.
и Qn не пусто. *~
Теперь в силу леммы 10.76, как уже отмечалось, мы получаем,,
что любые два элемента ранга и0 из ?Гм, ранг различия которых
конечен, рм-эквивалентны. Следовательно, так как | М \ !> хо>-
•существуют рм-эквивалентные элементы
М\ М'а... M'k+i
Ш\ т2 .. . tfift+i
М\ М'а..
из J~M, где mt ? М\ для всех t ранга х0, которые, как показано,
имеют ранг различия к. Возвращаясь от S и к ¦S'b^ получаем, что
mi . .. mh+l
Ш,... M'h+l M'h+i+i R
\m1 ...m,! mh+i+i rj J
являются р-эквивалентными элементами из jTy. Напомним, что
при построении М в случае, когда | конечно, мы уславливались,
что | { г^ | = tj (которое по предположению ^> н0). Следователь-
Следовательно, существует элемент б из ?Гх^ который индуцирует взаимно-
взаимнооднозначные отображения
К^-тпп (п = 1, 2, . . ., к),
множества {Ьп} в {тпп} и {ti} в {rj} соответственно. Обозначим
через е элемент из 3~ х, который индуцирует обратные отображения
™п -*К (п = 1, -2, . . ., к),
множества {тпп | п = 1, 2, . . ., к) в {&„} и множества {rj } в {<г}.
Теперь мы можем закончить рассуждения, показав, что
(a', P') ? р, точно так же как это мы Сделали при доказательстве
утверждения (i).
Это завершает доказательство теоремы 10.69, а следовательно,
и теоремы 10.72.

§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 30S
Теоремы Мальцева 10.68 и 10.72 вместе показывают, что
структура конгруэнции на ?Г х порождается конгруэнциями типа
а* (в обозначениях теоремы 10.68), Д^ и /Jj. Мы уже отмечали,
что если X конечно, то структура конгруэнции на ?Гх является
цепью. Вообще говоря, как мы покажем в следующей теореме»
структура конгруэнции на 3"х является подструктурой струк-
структуры бинарных отношений на &х, т. е. структуры всех подмно-
подмножеств множества $"х X 3~ х- Насколько нам известно, этот
результат еще не отмечался в литературе.
Теорема 10.77. Структура конгруэнции на 3х является под-
подструктурой структуры всех бинарных отношений на 2Гх. В част-
частности, она является дистрибутивной структурой.
Доказательство. В структуре конгруэнции на любой
полугруппе операция пересечения совпадает с операцией теоре-
теоретико-множественного пересечения. Для доказательства теоремы
достаточно установить, что операция объединения в структуре
конгруэнции на 5"х совпадает с операцией теоретико-множе-
теоретико-множественного объединения.
Пусть р, т — две конгруэнции на &'х. Обозначим через V
операцию объединения в структуре конгруэнции на SF xi так
что р V т есть пересечение всех конгруэнции на У х, которые
содержат р и т. Мы должны установить, что р V т = р [} т. Дока-
Доказательство разобьем на несколько случаев.
(i) Если одно из отношений р и т является отношением равен-
равенства или универсальной конгруэнцией, то ясно, что р V т — р (J т.
(ii) Если ц (р) = п конечно (так что по теореме 10.68 р = а*,
где а есть конгруэнция на In+JIn) и г\ (т) бесконечно, то, посколь-
поскольку -Лп<х> Е т и потому рет, мы имеем pVT = T = PUT-
(ш) Если т) (р) = п и ц (т) = т и оба числа т и п конечны,
то р = о*, где а есть конгруэнция на In+i/In, и т = 0t, где 9
есть конгруэнция на Im+i/Im. Если в < т, то р s т и поэтому
р V т = рит = т. Если т = га; то в силу теорем 10.68 и 10.69
одно из отношений р, т содержится в другом, так как нормаль-
нормальные делители симметрической группы §п образуют цепь.
(iv) Если т] (р) и т] (т) оба бесконечны, то, представляя р и т
в виде, заданном в теореме 10.72, и применяя дистрибутивный
закон, мы можем записать р у т как пересечение отношений типа
/ф- Д| и 1% U Д|, где г] и 4 бесконечны. Если мы докажем, что
1% U А| всегда является конгруэнцией на 3~х, то отсюда будет
следовать, чторитесть конгруэнция на ?Гх, и этого достаточно,
чтобы установить равенство р V т = р U т.
Рассмотрим отношение 1^[}А^. Если r\ ^ ?, то ранг разли-
различия любых двух элементов из 1п меньше 1 и поэтому /^ s Д|.
Таким образом, I^[jA^ = Д|. Если ?<ть то этот результат
уже содержится в теореме 10.72 при к = 1.

Глава 11
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ
МНОЖЕСТВА
В гл. 5 мы изложили теорию представлений полугрупп линей-
линейными преобразованиями векторного пространства. Здесь мы рас-
рассматриваем представления преобразованиями множества, не наде-
наделенного какой-либо структурой (в смысле Бурбаки). Это является
расширением классической теории представлений групп подста-
подстановками множества. По этой теории мы рекомендуем книгу Цассен-
хауза [19371, тем более что она служила нам образцом.
Среди первых, кто рассматривал обобщение этой теории с групп
на полугруппы, были А. К. Сушкевич [1922, 1926], Столл [1944],
В. В. Вагнер [1956] и Е. С. Ляпин [1960b]. Материал настоящей
главы взят главным образом из работ Тулли [1960], Шайна [1961,
1962] и Хёнке [1963, 1966] *).
* Авторы обязаны Б. М. Шайну за указание на пионерские
работы А. К. Сушкевича. *
К упомянутому выше тесно примыкает рассмотрение пред-
представлений полугрупп частичными преобразованиями. Построению
теории представлений инверсных полугрупп взаимно однозначны-
однозначными частичными преобразованиями положили начало В. В. Вагнер
[1952] и Престон [1954с]. Эту теорию значительно расширил
Б. М/Шайн [19621. Детальное изложение последней работы было
дано в гл. 7. В § 11.4 мы излагаем теорию Шайна [1961] пред-
представлений произвольной полугруппы взаимно однозначными частич-
частичными преобразованиями. Как отмечено В. В. Вагнером [1956],
теорию частичных преобразований можно свести к теории полных
(т. е. обычных) преобразований. В настоящей главе мы большей
частью используем это сведение, хотя не всегда естественно
и удобно это делать. Нужно иметь в виду, что любой результат
о представлениях полными преобразованиями, имеющими задан-
заданное множество неподвижных точек, может быть интерпретирован
как результат о представлениях частичными преобразованиями,
если удалить одну или более неподвижных точек.
1) Заметим, что в цитированных работах В. В. Вагнера, Е. С. Ляпина
и Б. М. Шайна [1961] приводятся различные конструкции, описывающие
все представления произвольной полугруппы. Эти результаты из общей
теории представлений не отражены в настоящей главе.— Прим. ред.

§ 11.1. Основные определения 305
Другая тесно примыкающая к рассматриваемому кругу вопро-
вопросов тема — представления полугрупп мономиальными матрицами
над группой с нулем, которые изучались в гл. 3. В § 11.8 мы ука-
указываем связь этих представлений с обычными представлениями.
Как и в соответствующей теории для групп (Цассенхауз [1937],
гл. V, § 1), любое неприводимое представление ф полугруппы S
преобразованиями множества эквивалентно некоторому пред-
представлению этой полугруппы мономиальными по строкам матрицами
над группой с нулем 6?°, где G есть произвольная группа, которая
антиизоморфна некоторой подгруппе группы операторных авто-
автоморфизмов операнда, ассоциированного с ср. ,
Понятие операнда есть очевидный аналог понятия простран-
пространства представления из гл. 5, и имеется такая же тесная связь
между операндом и ассоциированным с ним представлением,
как и между аналогичными понятиями для матричных представ-
представлений. Любое понятие, например «неприводимость», определяемое
для одного из них, будет применяться к другому без пояснений.
§ 11.1. Основные определения
Представлением полугруппы S преобразованиями множества
М называется любой гомоморфизм ср полугруппы S в Ум, где
STи есть полная полугруппа преобразований на М (§ 1.3).
Правым операндом (или правой S-системой) М8 над полугруп-
полугруппой S мы называем множество М вместе с отображением (х, а) ->•
->• ха множества М X S в М, удовлетворяющим условию
х (аЪ) = (ха) Ъ (для всех х ? М; а, Ъ ? S).
Двойственно, левым операндом SM мы называем множество М,
на которое S действует слева:
(аЪ) х = а (Ьх) (для всех х 6 М; а, Ъ ? S).
Так как мы главным образом будем рассматривать правые опе-
операнды, термин «операнд» будет использоваться в смысле «правый
операнд».
Если задан операнд Ms над S, то мы получаем представление
Ф полугруппы S преобразованиями множества М, полагая
х (аф) = ха (для всех х ? М, а ? S).
Обратно, для заданного представления ф полугруппы S указан-
указанное равенство служит определением ха для всех х 6 М и а ? S,
посредством чего М превращается в правый операнд Ms над S.
Назовем ф представлением, ассоциированным с операндом Ms,
а Мs — операндом, ассоциированным с представлением ф.
20—100

306 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Если 8М есть левый операнд над S и если мы определим ото-
отображение ар: 51 —>- ЗГи, полагая
х (аяр) = ах (для всех х ? М, а ? S),
то
{ab) \р = (Ыр) (aty) (для всех a, b ? S).
Назовем о|э антипредставлением полугруппы S, ассоциированным
с 8М. Обратно, если г|э есть антипредставление полугруппы S
преобразованиями множества М, то равенство ах = х (ач|з) пре-
превращает М в левый операнд 8М над S.
Под ядром представления ф полугруппы S мы понимаем кон-
конгруэнцию и = <р° ф. Представление ф называется точным,
если и = isi где is есть отношение равенства на S. Любое пред-
представление ф индуцирует точное представление ф' факторполугруп-
пы Slv, (§ 1.5), определяемое равенством
(ак) ф' = аф (а ? 5).
Образ 5ф полугруппы S является подполугруппой из ЗГм•> кото-
которая изоморфна Sin; в самом деле, ф' есть изоморфизм полугруппы
Sly, на 5ф.
Под операторным гомоморфизмом (или S-гомоморфизмом)
0: M-g -v Ms Одного операнда Л/^над S в другой операнд Л/g мы
понимаем такое отображение в: М-*-М', что
(жа) 0 = (ж0) а (для всех ж ? М, а 6 5).
Если 8 есть взаимно однозначное отображение на, то мы называем
его операторным изоморфизмом (или S-изоморфизмом), а опе-
операнды М8, M's и ассоциированные с ними представления ф и ф'
полугруппы S называем эквивалентными.
Операторными эндоморфизмами (или S-эндоморфизмами) опе-
операнда М8 являются операторные гомоморфизмы М8 в себя;
операторным автоморфизмом (или S-автоморфизмом) операнда
Ms называется операторный изоморфизм М8 на себя. Множество-
Ш (М8) всех операторных эндоморфизмов операнда М8 является
подполугруппой из ИГм\ эт& подполугруппа совпадает с централи-
централизатором подполугруппы Sq> в ^м, т. е. с множеством всех эле-
элементов из ?ГМ, коммутирующих с каждым элементом из S<$. Мно-
Множество Л (М8). всех операторных автоморфизмов операнда Мs
совпадает с группой обратимых элементов (§ 1.7) из % (М8).
Если Т — произвольная подполугруппа полугруппы, двойствен-
двойственной к % (М8) (полугруппой, двойственной к полугруппе S, мы
называем полугруппу S (° ), элементами которой являются эле-
элементы из S и в которой бинарная операция ° определена следую-
следующим образом: а ° Ъ =Ьа для всех а, Ъ 6 S), то мы можем рассма-
рассматривать М8 как (Т, ?)-биоперанд ТМ8, записывая Ьх вместо хЭ
{х 6 М, 0g Т). Мы проделаем это в § 11.8 для подполугруппы Т,

§ 11.1. Основные определения 307
содержащейся в полугруппе, двойственной к А (М8). (Определе-
(Определение биоперанда см. на следующей странице.)
Отношение эквивалентности а на операнде Мs будем называть
операторной эквивалентностью, или S-эквивалентностъю, или
конгруэнцией, если хау (х, у ? М) влечет за собой хаауа для
всех а 6 S. Фактороперанд Mslo состоит по определению из всех
а-классов множества М, и произведение хо на любой элемент
а ? S задается равенством
(ха) а = {ха) а (х ? М, а ? S).
Это определение не зависит от выбора элемента х в а-классе ха;
в самом деле, если ха = уа, то хау, откуда хаауа и поэтому
(ха) о = (уа) а.
Если р и а — такие операторные эквивалентности на М8, что
р э а, то мы можем определить отношение р.' = р/а на М'в =
= Ms/o, полагая
р' = {(ха, уа) eM'sX M's\ (х, у) € р}.
Легко видеть, что р' является операторной эквивалентностью
на M's- Обратно, если р' есть операторная эквивалентность на Ms
и мы определим отношение р на Ms, полагая
р == {(х, у) ? Мд X М8 | (ха, уа) 6 р'},
то р будет операторной эквивалентностью на М8, р 2 (Т и р' =
= р/а.
Следующее утверждение аналогично утверждению (i) лем-
леммы 9.52.
Лемма 11.1. Если а есть операторная эквивалентность на опе-
операнде Мs над полугруппой S, то отображение р -> р/а является
изоморфизмом структуры всех операторных эквивалентностей р
на Ms, содержащих а, и структуры всех операторных эквивалент-
эквивалентностей на фактороперанде М8/а. Для любых х, у 6 М имеем
(ха, уа) 6 р/а тогда и только тогда, когда (х, у) 6 р-
Ряд результатов § 1.5 можно почти дословно перенести на эту
(более общую) ситуацию. Для удобства ссылок мы сформулируем
следующую теорему, объединяя аналог теоремы 1.5 (основной
: теоремы о гомоморфизмах) и аналог теоремы 1.6 (теоремы об инду-
индуцированном гомоморфизме).
Теорема 11.2. Пусть 9 — операторный гомоморфизм операнда
Ms над полугруппой S на операнд M's над S. Тогда 8 «в есть
операторная эквивалентность на Ms. Если а — такая произволь-
произвольная операторная эквивалентность на М8, что а ? в ° 8, то
равенство (ха) 6' = хЬ (я; б М) определяет операторный гомо-
гомоморфизм 9' фактороперанда Msla на M's, для которого a^Q' = 8.
Если а — в ° 8, то 8' является операторным изоморфизмом.
20*

308 Гл. П. Представления преобразованиями множества
Подмножество N Ф0 операнда М8 называется инвариант-
инвариантным, или подоперандом, или S-подсистемой, если NS ? N; дру-
другими словами, если из включений х 6 N и а 6 S вытекает, что
ха (j N. Множество N, конечно, также является операндом Ns
над S. Если N состоит из одного элемента z, то za = z для всех
а? S; такой элемент z мы называем инвариантным или неподвиж-
неподвижным элементом из М (см. § 6.1).
Инвариантное подмножество N из Ms определяет следующую
операторную эквивалентность v на М: xvy (x, у 6 М) тогда
и только тогда, когда х = у или х я у принадлежат N. Мы будем
писать Ms/N вместо Ms/v и будем называть этот фактороперанд
по аналогии с § 1.5 фактороперандом Риса операнда М по N.
Ясно, что в M8IN элемент N является инвариантным.
Под разложением операнда Ms мы понимаем разбиение мно-
множества М на семейство {Nt | i 6 /} попарно не пересекающихся
инвариантных подмножеств Nt- Говорят, что операнд Ms нераз-
неразложим, если он не обладает разложениями, для которых ) / | > 1.
Обратно, если {Nt | i 6 1} есть семейство попарно не пересекаю-
пересекающихся операндов над S, то их объединение М = \JNt можно
превратить в точности одним способом в такой операнд над S,
что каждое Nt будет подоперандом из М8.
Операнд М8 называется транзитивным (ср. § 6.1), если для
каждой пары элементов х, у ? М существует такой а 6 S, что
ха = у. Очевидно, операнд М8 транзитивен тогда и только тогда,
когда М не содержит собственных инвариантных подмножеств.
Транзитивный операнд, очевидно, неразложим.
Операнд Мs называется униталъным, если S имеет единицу 1
и xl = х для всех х 6 М. В унитальном операнде обратимые эле-
элементы из S (§ 1.7) представляются подстановками множества М.
Пусть S и Т — две полугруппы (не обязательно не пересекаю-
пересекающиеся). Под (S, Т)-биоперандом SMT мы понимаем множество М,
которое является левым операндом 8М над S и правым операн-
операндом Мт над Т, причем выполняется условие
(sx) t == s (xt) (для всех х 6 М, s ? S, t 6 Т).
Общее значение выражений (sx) t и s (xt) мы будем обозначать
через sxt. Подмножество N из М называется инвариантным слева
[справа], если N инвариантно, когда М рассматривается как левый
операнд 8М [правый операнд МТ\; подмножество называется
инвариантным, если оно инвариантно и слева, и справа. Отноше-
Отношение эквивалентности а на М называется левой [правой] оператор-
операторной эквивалентностью или левой [ правой] конгруэнцией на М,
если оно является операторной эквивалентностью на М, рас-
рассматриваемом как левый операнд 8М [правый операнд МТ]; и а
называется операторной эквивалентностью или конгруэнцией
на М, если оно является и левой, и правой конгруэнцией на М.

$ 11.1. Основные определения . \ . 309
Если sM't — некоторый второй биоперанд, то отображение
6: М -*-М' называется операторным гомоморфизмом, если (sx) 0 =
= s (xQ) для всех s 6 S и х ? М и (xt) 6 = (xQ) t для всех t € Т
и а; 6 Л/. Биоперанд SMT называется транзитивным, если для
любых х, у 6 М существуют такие s 6 5 и t 6 Т, что
satf = у. Биоперанд sMy называется униталъным, если полугруп-
полугруппы S и Т имеют единицы ls и 1Г, причем 1вж = а; = ж1г для
М
(S, Г)-биоперанд SMT определяет следующим образом пра-
, вый операнд МР над прямым произведением Р = S* х Т полу-
полугруппы S*, двойственной к S, и полугруппы Т:
х (s, t) — sxt (для всех х? М, s ? S, t?T).
Назовем МР правым операндом, ассоциированным с 8Л/т- Если
S и Т обладают единицами, то существует взаимно однозначное
соответствие между унитальными (S, Г)-биоперандами и униталь-
ными правыми операндами над Р — S* X Т (упражнение 4
к настоящему параграфу). В этом важном случае понятия инва-
инвариантного подмножества, операторной эквивалентности, опера-
операторного гомоморфизма и транзитивности, определенные в-преды-
в-предыдущем абзаце для (S, Г)-биоперандов, легко видеть, эквивалент-
эквивалентны соответствующим понятиям для ассоциированных с ними
правых операндов. По этой причине мы не будем формулировать
аналогов леммы 11.1 и теоремы 11.2 для биоперандов.
Полугруппа S относительно правого регулярного представле-
представления (§ 1.3) сама является операндом Ss. Аналогично, относитель-
относительно левого регулярного антипредставления S является левым опе-
операндом SS. Понятия, определенные выше для произвольного
операнда М8, сводятся в случае Ss ISS] к следующим понятиям;
операторная эквивалентность -*¦ правая [левая] конгруэнция,
инвариантное подмножество -*¦ правый [левый] идеал,
транзитивный операнд -> простая справа [слева] полугруппа*
•
Мы можем также рассматривать 5 как (S, ?)-биоперанд SS&-
Тогда три указанных понятия сводятся соответственно к поня
тиям конгруэнции, идеала и простой полугруппы.
Под центрированным операндом Ms над полугруппой S мы
понимаем операнд, содержащий единственный инвариантный эле-
элемент 0м. Если операнд М8 центрирован и S имеет нуль 0g, то
хО8 = 0м для каждого х 6 М. В самом деле, ясно, что xOs являет-
является инвариантным элементом из М.
Если М8 — центрированный операнд над полугруппой S
с нулем, то каждое инвариантное подмножество N из Ms содержит
0м и Ns также является центрированным операндом. Под 0-разло-

310 Гл. 11." Представления преобразованиями множества
жением операнда М8 мы понимаем представление множества М
в виде объединения U {Nt | i 6 1} инвариантных подмножеств Nt,
попарно пересекающихся по 0м. Под 0-неразложимым операн-
операндом Мs мы понимаем операнд, не имеющий нетривиальных О-раз-
ложений. Мы называем О-транзитивным такой операнд М8,
что для каждой пары элементов х, у ? М \ 0м существует элемент
а 6 S, для которого ха = у.
Операнд Ms называется тривиальным *), если ха — х для
всех х ? М и а ? S; мы будем говорить также, что S действует
тождественно (или тривиально) на М. Центрированный операнд
называется нулевым, если ха = 0м для всех х ? М и а 6 S.
Под частичным преобразованием множества М мы понимаем
такое бинарное отношение а на М, что для каждого х 6 М суще-
существует не более одного элемента у 6 М, для которого хау. Если
а и р — частичные преобразования множества М, то их компо-
композиция а о р также является частичным преобразованием (§ 1.4)
и, следовательно, множество &3~м всех частичных преобразова-
преобразований множества М есть подполугруппа полугруппы J?'м всех
бинарных отношений на М. Область определения D (а) частич-
частичного преобразования а есть множество всех таких х 6 М, что
хау для некоторого у 6 М; мы пишем у = ха. Мы можем рассма-
рассматривать а как отображение множества D (а) в М или на его
область значений Ma = D (а) а. Мы будем также обозначать
D (а) через Ма'1. Множество D (а ° Р) состоит из всех таких
х ? D (а), что ш ? D (Р); для таких а; мы имеем ж (а ° Р) = (т) р.
Частичное преобразование а называется взаимно однозначным,
если а € &ЛГм\ мы можем тогда рассматривать а как взаимно
однозначное отображение множества D (а) на Ма и а как
обратное отображение.
Теория частичных преобразований множества М может быть
включена в теорию (обычных) преобразований множества М° =
= М[]0м, состоящего из М и одного дополнительного элемента
0м, посредством следующей процедуры (Вагнер [1956]). Для любо-
любого а ^ Ф^м определим преобразование а0 множества М°, полагая
если x?D (a),
если x?M°\D(a).
Тогда а0 принадлежит подполугруппе °$''м полугруппы ^"м°,
состоящей из всех преобразований множества М°, которые остав-
оставляют 0м на месте. Обратно, если р ? °,fM, то его ограничение
на М
Р \М = РП(М X М)
1) В оригинале наряду с этим термином употребляется также термин
«неподвижный» (fixed).— Прим. пер ев.

§ 11.1. Основные определения 311
является частичным преобразованием множества М. Область
определения частичного преобразования р | М есть множество
всех х ? М, для которых х$ Ф 0м¦ Ясно, что отображения
<х -> а0 и р -> р \ М являются взаимно обратными изоморфизмами
полугрупп ®?Г м и ° J м друг на друга.
Под представлением полугруппы S частичными преобразова-
преобразованиями множества М мы понимаем гомоморфизм ср полугруппы S
в IPS' м- Если мы положим
ха = х (аф) (х 6 М, а 6 S),
когда х (аф) определено, то М превратится в частичный операнд
над S, в том смысле, что х (ab) определено (х 6 М, а 6 S) тогда
и только тогда, когда определены ха и (ха) Ь, и в этом случае
х (ab) = (ха) Ъ.
Обратно, если М есть частичный операнд над S, то равенство
х (аф) = ха определяет для каждого а ? S такое частичное пре-
преобразование аф множества М, что отображение ф полугруппы S
в &У м является гомоморфизмом.
Теория представлений полугруппы S частичными преобразо-
преобразованиями может быть включена в теорию представлений полугруп-
полугруппы S обычными преобразованиями посредством упомянутой выше
процедуры Вагнера. Это достигается вложением частичного опе-
операнда М в обычный операнд М° = М (J Ом» Для которого мы опре-
определяем ха = 0м, если ха не определено в М (х ? М, а ? S),
и 0ма = 0м для всех а ? S. Обратно, если М° есть операнд над S
с неподвижным элементом 0м (не обязательно единственным),
то М = М° \ 0м является частичным операндом над S.
В этой главе мы будем рассматривать почти исключительно
центрированные операнды Ms над полугруппой S с нулем. Для
полугрупп S с нулем это не ограничивает общности, так как
каждый операнд над S однозначно разложим на центрированные
операнды (см. упражнение 2 к настоящему параграфу). Если S —
полугруппа без нуля, то мы можем его присоединить (§ 1.1);
обозначим нуль через 0s и положим S0 = S (J 0s. Если Ms —
центрированный операнд над S, то мы можем превратить М
в центрированный операнд М& над 5°, полагая хО8 = 0м для
всех х 6 М. Если М — произвольный операнд над S, то поло-
положим М° = М U 0м и определим xOs = 0ма = 0M0s = 0м для
всех х 6 М, а 6 S. Тогда М° становится центрированным операн-
операндом М%" над S0, который отличается от М8 тривиальным образом.
Заметим, в частности, что Ms» является О-транзитивным операн-
операндом тогда и только тогда, когда М транзитивен, и что существует
взаимно однозначное соответствие между 0-разложениями опе-
операнда M°s« и разложениями операнда М8.

312 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Упражнения к § 11.1
1. Существует взаимно однозначное соответствие между раз-
разложениями операнда М8 над полугруппой S и такими оператор-
операторными эквивалентностями а на М, что хаха для всех х 6 М и а ? S.
2. Каждый операнд М8 над полугруппой S с нулем 0s одно-
однозначно разложим на центрированные операнды. Операторная
эквивалентность а на М, задающая это разложение, определяется
так:
о = {(х, У) € М X М | хО8 = yOs}.
Операнд Ms над полугруппой S называется раздуванием
операнда N8, если N есть собственное инвариантное подмноже-
подмножество из М, обладающее следующим свойством. Каждому элемен-
элементу х 6 N ставится в соответствие подмножество Nx из М, такое,
что (i) Nxf]N = {x}, (ii) M = U {Nx \ х 6 N} и (ш) ха = уа
для всех х € N, у ? Nx и а 6 S. Ясно, что для заданного Ns мы
можем построить все раздувания М8 тривиальным образом: для
каждого х ? N выберем такое множество Nx, что все Nx попарно
не пересекаются и а; 6 -^К5 через М обозначим объединение всех
Nx и условием (Ш) определим действие полугруппы S на М.
Следующее упражнение взято из работы Тулли [1960]. Этот
результат также приведен в книге Ляпина [1960а, стр. 32].
3. (а) Пусть Ms — операнд над полугруппой S и а — {(х, у) 6
6 М X М \ ха = уа для всех а 6 S}. Выберем такие представи-
представители г (А) из каждого а-класса А, что г (A) G MS, если A [}MS Ф
Ф0. Пусть Р —множество всех таких представителей г (А)
и N = Р U MS. Каждому х ? N поставим в соответствие множе-
множество Nx, полагая Nx = {х} \J {ха \MS}, если х ?Р, ж Nx = {х}г
если х\ Р. Тогда либо N = М, либо Ms есть раздувание операн-
операнда Ns и Ns не является раздуванием никакого собственного под-
операнда.
(Ь) Операнд Ms есть раздувание собственного подоперанда
тогда и только тогда, когда в обозначениях пункта (а) либо (i)
существуют такие х ? М\ MS и у 6 MS, что хау, либо (ii) суще-
существует такой а-класс А, содержащий более одного элемента,
что А П MS = 0.
4. Если S и Т — полугруппы с единицами и Р = S* х Г,
где S* есть полугруппа, двойственная к S, то каждый униталь-
ный правый операнд Мр^над Р является операндом, ассоцииро-
ассоциированным с некоторым унитальным биоперандом 8Мт-
5. Пусть S — подполугруппа полной полугруппы преобразо-
преобразований ЗГм на множестве М. Будем рассматривать М как (точный)
операнд Мs над S. Для каждой операторной эквивалентности к
на М определим
АД = {(а> р) ? s х S | а-1 о р с= X).

§ 11.2. Разложение операнда 313
Тогда Af является конгруэнцией на S; а именно А* есть ядро
представления полугруппы S, соответствующего фактороперан-
ду М1%. Если р — конгруэнция на S, то мы определим р+ как
пересечение всех таких операторных эквивалентностей А на М,
что р ? А*. Тогда
(i) А ? (а влечет за собой A* ? цД;
(ii) p ? а влечет за собой р* ? а+;
(ш) V* ? A; (iv) p = р^;
(v) p+ ? А тогда и только тогда, когда р ? №.
Назовем операторную эквивалентность Х[р] замкнутой, если
АД* = A- [p*f = p]. Тогда (f) является изоморфизмом структуры
всех замкнутых операторных эквивалентностей операнда М
на структуру всех замкнутых конгруэнции полугруппы S и от-
отображение (+) .обратно к отображению (*). (Терстон [1952].)
§ 11.2. Разложение операнда; вполне приводимые
операнды и полугруппы
В этом параграфе мы приводим теоретико-полугрупповой ана-
аналог классической теоремы о том, что каждое представление груп--
пы подстановками некоторого множества разложимо на транзи-
транзитивные представления, и находим класс полугрупп, для которого
выполняется эта классическая теорема (в подходящей формулиров-
формулировке). Как отмечено в конце предыдущего параграфа, мы рассма-
рассматриваем только центрированные операнды над полугруппой
с нулем.
Пусть Ms — центрированный операнд над полугруппой S
с нулем 0s. Если N есть произвольное инвариантное подмноже-
подмножество из М, то будем писать N~ вместо N \ 0м.
Определим бинарное отношение т на М~, полагая
т = {(х, у) 6 М~ X М~ | х -= у или ха = у
для некоторого а ? S).
Назовем т отношением транзитивности на М~. Под отношением
связности т* на М~ мы понимаем наименьшее отношение экви-
эквивалентности на М~, содержащее т. Очевидно, у\*ъ (у, ъ 6 М"}
тогда и только тогда, когда у = ъ или существует такая конечная
последовательность элементов ж4, х2, ¦ . ¦, хп 6 М~, что х^ — у,
хп = z и (хг, xi+i) 6 TUf1 для i = 1, 2, . . ., п — 1.
Для каждого х 6 М~ и каждого а 6 S либо ха = 0м, либо
хах*х. Отсюда вытекает, что xi*\jOM является инвариантным
подмножеством из М и
М= U {*T*UOM \х?М-} A)

314 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
есть О-разложение операнда М на инвариантные подмножества.
Доказательство следующей теоремы покажет, что это О-разло-
О-разложение является единственным О-разложением операнда М на
О-неразложимые подоперанды. То утверждение теоремы, которое
игнорирует слова в квадратных скобках (оно получается из дру-
другого утверждения, если присоединить 0м, как описано в конце
предыдущего параграфа), было впервые доказано Столлом [1944]
для конечных операндов.
Теорема 11.3. Каждый [центрированный] операнд над полу-
полугруппой [с нулем] однозначно разложим [0-разложим] на нераз-
неразложимые [О-неразложимые] подоперанды.
Доказательство. Скажем, что подмножество N цен-
центрированного операнда Мs над полугруппой S с нулем является
коинвариантным, если одновременно N и М\ N~ — инвариант-
инвариантные подмножества. Это эквивалентно тому, что N "есть член неко-
некоторого О-разложения операнда М на инвариантные подмножества
и, следовательно, каждое хх* [) 0м (х 6 М~) коинвариантно.
Докажем, что если N коинвариантно и у 6 N~, то ут* {J 0M S N.
Предположим противное, а именно, пусть существует z ? М \
\ N~, для которого yx*z. Очевидно, у Ф z, поэтому существует
такая конечная последовательность элементов Xi, х2, . . ., хп ?
€ М~, что xi = у, хп = z и (xt, xi+i) € т U т-1 для i = 1, 2, . . .
. . ., п — 1. Каждое xt принадлежит либо N~, либо M~\N~
и, так как xi 6 N~ и хп ? M~\N~, должно существовать такое i,
что xt б iV~ и xi+i 6 M~\N~.
Но (xt, xi+i) 6 т влечет за собой xi+i 6 N~, так как N инва-
инвариантно И1!+, Ф 0м. Аналогично, (xt, xi+i) 6 т влечет за собой
xt 6 М~ \ N~, следовательно, мы пришли к противоречию.
Предыдущее показывает, что если N есть коинвариантное
подмножество из М, то
l)OM\yeN-}. B)
Следовательно, либо N сводится к одному множеству г/т* U 0м,
либо операнд iVs является О-разложимым. Таким образом, A)
есть О-разложение операнда М на О-неразложимые подоперанды
и в силу только что сделанного замечания такое О-разложение
единственно.
Выражение B) показывает также| что произвольное О-разло-
О-разложение операнда М можно получить, объединяя некоторые члены
0-разложения (I).
[Центрированный] операнд Ms называется вполне приводимым
Ю-приводимым], если он разложим [0-разложим] на транзитивные
[О-транзитивные] подоперанды. Это, очевидно, эквивалентно тому,
что неразложимые [О-неразложимые] конституенты операнда Ms
являются транзитивными [О-транзитивными]. Полугруппа S назы-

§ 11.2. Разложение операнда 315
вается вполне приводимой справа, если ее регулярный правый
операнд Ss вполне приводим (ср. Вагнер [1957] и Шайн [1963]).
Следующий аналог Основной теоремы о представлениях полу-
трупповых алгебр (§ 5.1) принадлежит по существу Хёнке [1965].
Заметим, что из условия (А) теоремы вытекает, что каждый опе-
операнд Мs над S, для которого MS = М, вполне приводим [0-при-
водим]. Но последним условием нельзя было бы ограничиться,
характеризуя 'полную приводимость [О-приводимость] полугруп-
полугруппы S, так как оно не выполняется для произвольной нильпотент-
яой полугруппы. Условие (С) теоремы эквивалентно тому, что S
совпадает со своим правым цоколем 2Г (§ 6.3) и не содержит вырож-
вырожденных О-минимальных правых идеалов (§ 6.1).
Тео.ема 11.4. Для любой полугруппы S [с нулем] следующие
утверждения эквивалентны:
(A) Если Ms — произвольный [центрированный] операнд над
¦S, то (MS)S вполне приводим [0-приводим].
(B) S вполне приводима [О-приводима] справа;
(C) S равна объединению своих минимальных [невырожденных
^-минимальных] правых идеалов.
Если для полугруппы S выполняется одно из этих трех экви-
эквивалентных условий, то каждый транзитивный [О-транзитивный]
операнд над S есть операторный гомоморфный образ некоторого
минимального [О-минималъного] правого идеала из S.
Доказательство. Мы докажем лишь утверждения,
учитывающие слова в квадратных скобках; утверждения, игнори-
игнорирующие эти слова, получаются из указанных, если присоединить
0м (см. конец § 11.1).
Предположим, что справедливо утверждение (А). Пусть Ms —
расширенный регулярный правый операнд («S'1)/g полугруппы S
(см. § 1.3). Тогда (MS)S совпадает с регулярным правым операн-
операндом Ss полугруппы S. Следовательно, (А) влечет за собой (В).
Из (В) вытекает, что S есть объединение своих О-минимальных
правых идеалов. Никакой О-минимальный правый идеал R из S
не может быть вырожденным; в самом деле, это означало бы,
что R = {0, а} и aS = 0, т. е. Rs был бы не О-транзитивен. Таким
образом, (В) влечет за собой (С).
Предположим, что выполняется (С). Пусть Ms — произволь-
произвольный центрированный операнд над S и {Rt \ i ? 1} — совокуп-
совокупность О-минимальных правых идеалов из S. Ввиду (С) полугруппа
»S равна объединению Rt (i 6 I) и каждый Rt не вырожден. Если
х 6 М\0м, то либо xRt = 0м, либо xRt есть 0-транзитивное
инвариантное подмножество из М. В самом деле, если ха бя /?г\ 0м
(а 6 Л(), то aS = Rt, так как Rt невырожден, и поэтому (ха) S =
= xRt. Поскольку
М S = U {xRt \x?M, i?I},

316 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
мы получаем, после удаления повторяющихся членов, 0-разложе-
ние операнда MS на О-транзитивные инвариантные подмножества.
Это доказывает утверждение (А).
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть S удовле-
удовлетворяет условию (С) и Мв есть О-транзитивный операнд над S.
Тогда М = xS для некоторого х 6 М. Ввиду условия (С) должен
существовать такой О-минимальный правый идеал R из S, что-
xR Ф 0м, и поэтому xR = М. Отображение г -> хг является,
очевидно, операторным гомоморфизмом R8 на Ms.
Упражнения к § 11.2
1. Пусть S — полугруппа левых нулей, М — некоторое мно-
множество и F — произвольное подмножество из М. Для каждого
о 6 S через аф обозначим произвольную проекцию множества М
на Fх). Тогда ф есть представление полугруппы S и каждое
представление этой полугруппы может быть получено таким
Способом.
2. Пусть S = {а, Ъ) — полугруппа левых нулей ,{аф Ъ),
М — множество неотрицательных целых чисел. Положим
:—1, если х нечетно,
ха=\
х, если х четно;
(х -fl
={
[ х,
х -fl, если х нечетно,
xb={
[ х если х четно.
Получившийся операнд Ms неразложим и не является раздува-
раздуванием никакого собственного подоперанда (см. упражнение 3 (Ь)
к § 11.1). (Тулли [I960].)
3. Расширенное регулярное правое представление (§ 1.3) про-
произвольной полугруппы неразложимо.
4. Для полугруппы S с единицей [и нулем] каждый [центри-
[центрированный] унитальный операнд над S вполне приводим [0-приво-
дим] тогда и только тогда, когда S является группой [с нулем].
5. Каждый подоперанд и каждый операторный гомоморфный
образ вполне приводимого операнда вполне приводим. (Хёнке
[1965].)
6. Пусть ф — представление полугруппы S частичными пре-
преобразованиями множества М и Ms — соответствующий частичный
операнд над S. Пусть М% = Afs(jOM, как определено в § 11.1.
Мы скажем, что ф (и Ms) вполне приводимо, если Ms вполне
0-приводимо. Представление ф вполне приводимо тогда и только
х) То есть F есть множество неподвижных точек преобразования eq>.—
Прим. пер ее.

§ 11.3. Строго циклические операнды 317
тогда, когда отношение транзитивности т (на (М°)~ = М) симме-
симметрично. (Вагнер [1957].)
7. Пусть {фг | i ? /} — произвольное семейство представле-
представлений полугруппы S частичными преобразованиями. Тогда суще-
существует такая полугруппа Т с нулем 0, содержащая S в качестве
подполугруппы, что для каждого i ? / существует правый идеал
Ri из Т, для которого фг эквивалентно представлению полугруп-
полугруппы S, ассоциированному с частичным операндом Rt\Q над S.
Любую такую полугруппу Т можно построить следующим
образом. Пусть Мг — частичный операнд над S, ассоциированный
с фг. Выберем Мг так, чтобы они не пересекались друг с другом
и с S. Пусть 0 — символ, не принадлежащий ни S, ни любому
из Mt. Положим Т = LJ {М( | i 6 /}U *^ (J 0 и определим следую-
следующим образом произведение в Т (где а, Ъ ? S; zt ? Mi); (i) ab имеет
то же значение, что zbS; (ii) xta имеет то же значение, что и в
частичном операнде Mi, если оно там определено, и xta = О
в противном случае; (ш) все остальные произведения положим
равными 0. (Ляпин [1960b].)
§ 11.3. Строго циклические операнды и модулярные
правые конгруэнции
Операнд М8 над полугруппой S называется [строго] цикли-
циклическим, если существует х 6 М, для которого М = xS \] х [М =
= xS]. Такой элемент х называется [строго] порождающим эле-
элементом операнда М8.
Каждый транзитивный или 0-транзитивный операнд М8 яв-
является строго циклическим, причем любой элемент из М \ 0м
строго порождает М8. Если Ms — строго циклический операнд,
то любой порождающий элемент является строго порождающим.
Если М8 — циклический, но не строго циклический операнд,
скажем М = х (J xS, где х $ zS, то х является единственным
порождающим элементом операнда М.
Для любого циклического операнда М8 множество / (М)
не порождающих элементов из М либо пусто, либо инвариантно.
Следующая лемма очевидна.
Лемма 11.5. Пусть М8 — циклический операнд над полугруп-
полугруппой S. Если Мs — не строго циклический операнд, скажем М =
= х U xS, где х $ xS, то I (M) — xS и Mil (M) есть нулевой
операнд порядка 2. Предположим, что М8 есть строго цикличе-
циклический операнд. Если 1(М)=0, то операнд М8 транзитивен.
Если I (М) Ф0, то операнд МП (М) Ь-транзитивен.
Если М8 — произвольный операнд над S и х 6 М,' то Сх =
= х U xS является циклическим подоперандом из М. Таким обра-
образом, как отмечалось Столлом [1944], каждый операнд является

318 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
объединением циклических операндов (см. также упражнение 2
к настоящему параграфу). Главными факторами операнда М&
назовем операнды CJI (Сх), считая, что Сх/0=Сх. Предыду-
Предыдущая лемма показывает, что каждый главный фактор является
транзитивным операндом, 0-транзитивным операндом или нулевым
операндом порядка 2. Важным является случай, когда Ms = Ss.
Здесь Са = R (а) = a (J aS (а 6 S) и Са \ I (Са) совпадает с М-
классом Ra, содержащим а. Мы вернемся к этому случаю в § 11.8.
Правая конгруэнция р на полугруппе S называется модуляр-
модулярной, если существует такой элемент е ? S, что еара для всех
a ? S; этот элемент е называется левой единицей полугруппы S"
по mod p. Напомним, что фактороперанд Ss/p, обозначение кото-
которого мы будем сокращать до S/p, состоит из множества р-классов
ар полугруппы S (а 6 S), причем умножение элемента ар на эле-
элемент Ъ 6 S задается равенством (ар) Ь = (ab) р. Конечно, если S
имеет левую единицу, то каждая правая конгруэнция на S моду-
лярна.
Следующая теорема, принадлежащая Тулли [1960, 1961],
является естественным обобщением на полугруппы классической
теоремы о том, что каждое транзитивное представление группы G
подстановками эквивалентно представлению, полученному дей-
действием на множество правых смежных классов {На \ а 6 G}
по некоторой подгруппе Н из G. Эта теорема была независимо-
доказана также Шайном [1961].
Теорема 11.6. Пусть М8 — строго циклический операнд над'
полугруппой S и х — его строго порождающий элемент. Положим,
р = {(а, Ъ) 6 S X S | ха = хЬ).
Тогда р является модулярной правой конгруэнцией на S и операнд*
Sip эквивалентен М8. Если хе = х, то е есть левая единица полу-
полугруппы S no mod p.
Обратно, если р — модулярная правая конгруэнция на Sr
то S/p является строго циклическим операндом. Если е — левая
единица S no mod р, то ер строго порождает S/p. Множество-
левых единиц S no mod p есть унитарная слева подполугруппа
из S, насыщенная по р {т. е. являющаяся объединением некоторых-
р-классов).
Доказательство. Ясно, что р есть правая конгруэн-
конгруэнция на S. Так как х 6 М = xS, существует такой элемент е 6 S+
что хе = х. Если хе = х, то хеа = ха для всех а 6 S, откуда
еара для всех а ? S. Таким образом, е есть левая единица S no-
mod р и правая конгруэнция р модулярна.
Определим отображение 0: S -> М, полагая аб — ха. Это
отображение является операторным гомоморфизмом Ss на Мs .
с ядром боб = р. На основании теоремы 11.2 отображение

§ 11.3. Строго циклические операнды 3191
Q':S/p —>- М, заданное равенством (ар) 9' =а9 (а 6 S), есть опера-
операторный изоморфизм. Следовательно, S/p и М8 эквивалентны.
Обратно, пусть р — модулярная правая конгруэнция на S
и е — левая единица S по mod р. Тогда (ер) а = (еа) р = ар для
любого а ? S. Следовательно, ер строго порождает S/p и <SVp
является строго циклическим операндом. Пусть U — множество-
левых единиц S по mod p. Если ей/ принадлежат U, то efapfapa
для всех a (i S, поэтому ef 6 S. Если е ? U, s ? S и es € U, то
sapesapa для всех а ? S, поэтому s ? U. Таким образом, U —
унитарная слева подполугруппа. Если е 6 U, s ? S и eps, то
eapsa для всех a 6 S, откуда sapeapa. Таким образом, s ? U; это
показывает, что U насыщена по р.
Пусть р — правая конгруэнция на полугруппе S. Элемент
с 6 S будем называть обратимым справа по mod p, если для
каждого a 6 S существует такой элемент s ? S, что cspa. В част-
частности, любая левая единица S по mod p есть обратимый справа
элемент по mod p. Очевидно, с является обратимым справа эле-
элементом из S по mod p тогда и только тогда, когда ер строго поро-
порождает S/p.
Теперь мы можем сформулировать следующий результат
(Шайн [1963].)
Следствие 11.7. Все транзитивные представления полугруппы
S получаются из операндов вида S/p, где р есть модулярная правая
конгруэнция на S, для которой каждый элемент из S является
обратимым справа элементом по mod p. Все О-транзитшные
представления полугруппы S получаются из операндов вида S/p,
где р есть модулярная правая конгруэнция на S, один из классов
эквивалентности W которой является правым идеалом в S и каж-.
дый элемент из S\W есть обратимый справа элемент по mod p.
Если р — модулярная правая конгруэнция на S, то ядро
Ф о ф представления ф полугруппы S, ассоциированного с опе-
операндом S/p, совпадает с отношением pL, введенным в § 10.1:
pL = {(а, Ъ) 6 S х S | sapsb для всех $ 6 S1}.
В самом деле, (sp) (аф) = (sa) p и поэтому аф = Ьф тогда и только
тогда, когда (sa) p = (sb) p для всех s 6 *• Взяв в качестве *
любую левую единицу S по mod p, мы заключаем, что ар = Ър,
т. е. S можно заменить на S1. В силу леммы 10.3 (или непосред-
непосредственно) мы видим, что pL есть наибольшая конгруэнция (а так-
также наибольшая левая конгруэнция) на S, содержащаяся в р.
В частности, Sip является точным операндом тогда и толькв
тогда, когда р не содержит [левых] конгруэнции, отличных от i.
Назовем pL ядром модулярной правой конгруэнции р. Если
S — группа ир — правая конгруэнция по подгруппе Н из S,

320 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
то pL есть конгруэнция по наибольшей инвариантной подгруппе
из S, содержащейся в Н (равной пересечению всех подгрупп,
сопряженных с Н).
Обращаясь к задаче нахождения полного семейства неэкви-
неэквивалентных строго циклических (в частности, транзитивных и
О-транзитивных) представлений полугруппы S и учитывая теоре-
теорему 11.6, поставим следующий естественный вопрос: когда двум
модулярным правым конгруэнциям на S соответствуют эквива-
эквивалентные операнды? Один из ответов на этот вопрос дается ниже
теоремой 11.10. Результаты оставшейся части параграфа являют-
являются новыми.
Если р — правая конгруэнция на S и с 6 S, то
рс = {(s, t)?S х S | (cs, ct) e p}
также является правой конгруэнцией на S1). Если с — обрати-
обратимый справа элемент из S по mod p, то мы называем р° правой
конгруэнцией, сопряженной с р. Заметим, что (p°)d = pcd (с, d 6
6 S) и из cpd следует, что рс = pd.
Лемма 11.8. Пусть р — модулярная правая конгруэнция на
полугруппе Sue — обратимый справа элемент из S no mod p.
Тогда р° также является модулярной правой конгруэнцией на S
и отображение 0; S/pc -> <SVp, заданное равенством (sp°) 0 =
= (cs) p, есть операторный изоморфизм.
Отношение сопряженности есть отношение эквивалентности
на множестве модулярных правых конгруэнции на S.
Доказательство. Так как с есть обратимый справа
элемент из S по mod р, мы можем найти / 6 S, для которого с/рс.
Тогда cfapca для любого а ? S, поэтому fapca. Следовательно,
/ есть левая единица из S по mod pc, т. е. рс модулярна.
Докажем, что в — взаимно однозначное отображение. В самом
деле, заметим, что равенства spc = tp° и (cs) p = (ct) p эквивалент-
эквивалентны, так как первое равносильно тому, что spct, а последнее —
тому, что cspct. Для заданного а ? S мы можем найти такой s 6 S,
что cspa, т. е. (sp°) 0 = ар. Следовательно, 0 есть отображение на.
Если a, s ? S, то
((spc) а) 0 = ((sa) р°) 6 = (csa)p = ((cs) p) a = ((spc) 0) а,
т. е. 0 является операторным изоморфизмом.
Пусть р — модулярная правая конгруэнция на S и е — левая
единица из S по mod p. Тогда еара для всех а ? S, поэтому арб
эквивалентно eapeb. Следовательно, р" = р. Так как е является
х) Авторы называют эту правую конгруэнцию трансляцией (translate)
конгруэнции р при помощи с, но далее этим термином нигде не пользуются.—
Прим. перев.

$ 11.3. Строго циклические операнды 321
обратимым справа элементом по mod p, это показывает, что р
сопряжена с самой собой.
Пусть р° — правая конгруэнция, сопряженная с р, и (pc)d —
правая конгруэнция, сопряженная с рс, где с [d\ есть обратимый
справа элемент из S по mod p [рс]. Так как (pc)d = pcd, транзи-
транзитивность будет установлена, если мы докажем, что cd является
также обратимым справа элементом по mod p. Пусть а 6 S. Най-
Найдем такое t 6 S, что ctpa, а затем найдем такое s 6 S, что dspct.
Тогда cdspctpa, так что s удовлетворяет соотношению (cd) spa.
Наконец, докажем симметричность. Пусть рс — правая кон-
конгруэнция, сопряженная с р. Найдем d, для которого cdpe, где
е есть некоторая левая единица из S по mod p. Тогда (pc)d = pe =
= р. Для завершения доказательства достаточно установить,
что конгруэнция р сопряжена с рс. Мы должны показать, что d
есть обратимый справа элемент по mod рс. Пусть а ? S и s = са.
Тогда cdspesps — са, так что dspca.
Лемма 11.9. Если р и а — такие модулярные правые конгру-
конгруэнции на полугруппе S, что S/p ?ё S/a, то р и а сопряжены.
Доказательство. Пусть в — операторный изомор-
изоморфизм полугруппы S/a на S/p же — левая единица из S по mod а.
Выберем такой элемент с ? (ео) 8, что (еа) 0 = ср. Тогда для
любого s 6 S имеем
(so) 8 = ((es) a)Q = ((еа) s) 8 = ((еа) 0) s = (ер) s = (cs) p.
Так как 0 взаимно однозначен, so = to (s, t 6 S) эквивалентно
(cs) p (ct). Это показывает, что а = p°. Так как в есть отображе-
отображение на, для заданного а 6 S существует такое s ? S, что (so) 8 =
= ар, откуда cspa. Следовательно, с является обратимым справа
элементом по mod р, т. е. а = р° сопряжено с р.
Из теоремы 11.6 и лемм 11.8 и 11.9 непосредственно вытекает
Теорема 11.10. Каждый строго циклический операнд над S
эквивалентен S/p для некоторой модулярной правой конгруэнции
р на S. Для модулярных правых конгруэнции р и о на S операнды
S/p и S/a эквивалентны тогда и только тогда, когда р и а сопря-
сопряжены.
Упражнения к § 11.3
1. Пусть S — полугруппа {в, Ь, 0}, где а2 == а, Ъа = Ъ и все
остальные произведения по определению равны 0. Пусть р [а] —
правая конгруэнция на S, заданная разбиением S = А\}В
[S = C[}Z\, где
А = {а}, В = {Ь, 0}, С = {а, 6}, Z = {0}.
21-100

322 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Тогда iS/p и Sla являются эквивалентными операндами, хотя
конгруэнция р модулярна, а а не модулярна.
2. Пусть Мs — частичный операнд над полугруппой S я х —
отношение транзитивности на М (§ 11.2). Подмножество N из М
называется плотным1), если Nr — M. Весом частичного операнда
Ms называется такое наименьшее кардинальное число w, что
существует плотное подмножество из М мощности w.
(a) Мs является циклическим операндом тогда и только.
тогда, когда его вес равен 1.
(b) Любой частичный операнд веса w есть объединение ш
подоперандов веса 1. (См. Вагнер [1956].)
3. Строго циклический операнд над вполне простой полугруп-
полугруппой транзитивен. (См. Столл [1944].)
§ 11.4. Представления взаимно однозначными
частичными преобразованиями
Под представлением полугруппы 6" взаимно однозначными
частичными преобразованиями множества М мы понимаем любой
гомоморфизм ф полугруппы б" в симметрическую инверсную
полугруппу Ом всех взаимно однозначных частичных преоб-
преобразований множества М. В § 7.2 и 7.3 мы привели результаты
Шайна [1962] о таких представлениях инверсной полугруппы 5.
Теперь мы изложим его теорию [1961] для произвольной полугруп-
полугруппы S. Так как на основании теоремы 1.20 каждая инверсная
полугруппа Т может быть вложена в JT, полугруппа 6" может
быть вложена в инверсную полугруппу тогда и только тогда,
когда она допускает точное представление взаимно однозначными
частичными преобразованиями некоторого множества М.
В § 11.1 мы привели указанный Вагнером прием превращения
частичного преобразования а множества М в полное преобразо-
преобразование а0 множества М° •= M(JOM, оставляющее 0м на месте.
Легко видеть, что а будет взаимно однозначно тогда и только
тогда, когда а0 обладает свойством
ха° — уа° ф 0м (х, у 6 М0} влечет за собой х — у.
Преобразование а0 множества Ж0, оставляющее 0м на месте
и обладающее указанным свойством, будем называть частично
взаимно однозначным. Множество всех таких преобразований
является подполугруппой °JM из °ЗГМ, причем соответствие
а -¦-»- а0 устанавливает изоморфизм между JM и °JM-
Таким образом, нет существенной разницы между теорией
представлений полугруппы 6" взаимно однозначными частичными
преобразованиями множества М и теорией представлений полу-
полугруппы S частично взаимно однозначными преобразованиями
х) Dense.— Прим. перев.

§ 11.4. Представления частичными преобразованиями 323
множества М°. В этом параграфе мы будем вести изложение
на языке второй теории, хотя результаты можно формулировать
в любой из эквивалентных форм.
Частичный операнд Ms над полугруппой S называется операн-
операндом с сокращением, если ха = уа (х, у 6 М; а 6 S) влечет за
собой х = у. Очевидно, представление ф полугруппы S, ассо-
ассоциированное с Ms, является представлением взаимно однознач-
однозначными преобразованиями множества М тогда и только тогда,
когда Ms — операнд с сокращением. В силу теоремы 11.3 каж-
каждый частичный операнд Ms над S однозначно разложим на нераз-
неразложимые частичные подоперанды, и, очевидно, Ms является
операндом с сокращением тогда и только тогда, когда это верно
для каждой его неразложимой конституэнты. Следовательно,
мы можем ограничить свое внимание неразложимыми частичными
операндами с сокращением.
Заметим сначала, что неразложимый частичный операнд с со-
сокращением Ms над iS при | М | >• 1 не может содержать непод-
неподвижного элемента. В самом деле, предположим, что z — неподвиж-
неподвижный элемент из М, т. е. za = z для всех а ? S. Если z — хЬ для
некоторого х 6 М и некоторого Ъ 6 S, то zb = xb, откуда х = z.
Таким образом, М= {z} (J (М \ z) является разложением для Ms.
Следовательно, если мы присоединим нулевую точку 0м к М,
то 0м будет единственным неподвижным элементом в множестве
М° = M(J 0м, так что М% есть центрированный операнд. Конечно,
операнд М% является О-неразложимым.
Центрированный операнд М% = Ms (J 0M называется операн-
операндом с О-сокращением, если ха — уа Ф 0м (х, у 6 М; а ? S) влечет
за собой х — у. Очевидно, М% является операндом с О-сокраще-
О-сокращением тогда и только тогда, когда частичный операнд Ms = Ms\ 0M
с сокращением.
Правую конгруэнцию р на полугруппе S будем называть цен-
центрированной, если в точности один р-класс Wp является правым
идеалом в S. Ясно, что это имеет место тогда и только тогда,
когда 5/р есть центрированный операнд с нулевой точкой Wp.
Мы скажем, что р является центрированной правой конгруэнцией
с правым О-сокращением, если
acpbc (J Wp (a, b, с ? S) влечет за собой apb.
Ясно, что р будет конгруэнцией с правым О-сокращением тогда
и только тогда, когда S/p есть операнд с О-сокращением.
Пусть р — правая конгруэнция на полугруппе S. Будем
говорить, что р — с правым сокращением, если acpbc (a,
Ь, с ? S) влечет за собой apb. Это, конечно, эквивалентно тому,
что S/p есть операнд с сокращением. В целях единообразия
мы считаем правую конгруэнцию р на S центрированной,
если ни один р-класс не является правым идеалом в S. В этом
21*

324 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
случае мы полагаем Wp = 0 и считаем Wp нулевой точкой,
присоединенной к S/p. При таком соглашении правая конгруэн-
конгруэнция р будет с правым сокращением тогда и только тогда,
когда она с правым О-сокращением. Но иногда, как, например,
в следствии 11.11, мы будем все же выделять в рассмотрениях
случай Wp — 0.
Во второй части следствия 11.7, очевидно, W есть единствен-
единственный р-класс, который является правым идеалом, поэтому р цен-
центрирована с нулевой точкой Wp = W. Из следствия 11.7 непо-
непосредственно вытекает
Следствие 11.11. О-транзитивные представления полугруппы S
частично взаимно однозначными преобразованиями (следовательно,
все транзитивные представления полугруппы S взаимно 'однознач-
'однозначными частичными преобразованиями) получаются из операндов
вида S/p, где р есть центрированная модулярная правая конгру-
конгруэнция с правымО-сокращением, для которой все элементы из S \ Wp
являются обратимыми справа по mod p.
Все транзитивные представления полугруппы 3 взаимно одно-
однозначными преобразованиями получаются из операндов вида S/p,
где р есть модулярная правая конгруэнция с правым сокращением,
для которой каждый элемент из S является обратимым справа
по mod p.
В работе Дюбрея [1941] изложен метод построения всех таких
правых конгруэнции р на полугруппе S. Пусть Н — сильная
унитарная подполугруппа из S (§ 10.2), Мц — главная правая
конгруэнция Дюбрея на S и WH — правый вычет для Н (§ 10.2).
На основании теоремы 10.22 р = Мл обладает всеми свойствами,
сформулированными для р в следствии 11.11, и Wp = WH. Обрат-
Обратно, каждое такое р совпадает с Мн для некоторой сильной унитар-
унитарной подполугруппы Н из S. Кроме того, Н есть множество всех
левых единиц из S по mod J?H и является ^?н-классом. В частно-
частности, соответствие Н ¦*-*• Мн взаимно однозначно. Сопоставляя
полученное со следствием 11.11, мы можем сформулировать сле-
следующий результат.
Теорема 11.12. Пусть Н — сильная унитарная подполугруппа
полугруппы S, Ми — главная правая эквивалентность Дюбрея
и WH — правый вычет для Н. Если \?ц— 0, то SlfflH есть
транзитивный операнду сокращением. Если \УНФ 0, то SIMH
есть О-транзитивный операнд с О-сокращением, нулевой точкой
которого является WH. Обратно, каждый транзитивный [О-тран-
[О-транзитивный] операнд с сокращением [О-сокращением] над S эквива-
эквивалентен S/MH для некоторой сильной унитарной подполугруппы
Н из S.
Таким образом, мы получим все транзитивные представления
полугруппы S взаимно однозначными преобразованиями множе-

§ 11.4. Представления частичными преобразованиями 325
ства, исходя из сильных унитарных подполугрупп Н из S, для
которых WH = 0, и все 0-транзитивные представления полу-
полугруппы S частично взаимно однозначными преобразованиями,
следовательно, все транзитивные представления полугруппы S
взаимно однозначными частичными преобразованиями, исходя
из сильных унитарных подполугрупп Н из S, для которых WH ф
ф 0. Возникает естественный вопрос; когда две сильные унитар-
унитарные подполугруппы из S приводят к эквивалентным представ-
представлениям?
Для частного случая инверсной полугруппы S этот вопрос
был решен в теореме 7.27. Подполугруппа инверсной полугруппы
унитарна тогда и только тогда, когда она является замкнутой
инверсной подполугруппой (упражнение 3 к § 7.3) и любая такая
подполугруппа обязательно является сильной (упражнение 4
к § 7.2). Теперь мы дадим обобщение упомянутой теоремы на слу-
случай произвольной полугруппы S. Результат (теорема 11.13)
является новым.
Две сильные унитарные подполугруппы Н и К полугруппы S
называются сопряженными, если существуют такие элементы
с, d 6 S, что
cd 6 Я, dee К, cKd = Н, dHc = К. . A)
Если Н и К — замкнутые инверсные подполугруппы, т. е.
сильные унитарные подполугруппы инверсной полугруппы S,
то из A) вытекают включения сКс1 s Н и с~хНс s К, так что
на основании теоремы 7.27 подполугруппы Н и К сопряжены
в смысле определения из § 7.3. В самом деле, если к 6 К, то
(скс'1) (cd) = (ckd) (cd)'1 (cd) 6 H, откуда скс1 6 Н; следователь-
следовательно, ckc~l s H и, аналогично, с~хНс <=, К. Обратная импликация
очевидна.
Теорема 11.13. Пусть Н и К — сильные унитарные подполу-
подполугруппы полугруппы S. Операнды БШН и SIMK эквивалентны
тогда и только тогда, когда Н и К сопряжены.
Доказательство. В силу теоремы 11.10 нам необходимо
лишь установить, что Мн и 31 к сопряжены тогда и только тогда,
когда сопряжены Н и К.
Предположим сначала, что подполугруппы Н и К сопряжены.
Тогда существуют такие с, d 6 S, что выполняется условие A).
Будем доказывать, что ^?к = М'к- Так как cd 6 Н и каждый
элемент из Н является левой единицей по mod J?H, элемент
с является обратимым справа элементом по mod MH- Таким
образом, из равенства МК = &% будет следовать, что Як
и Мн сопряжены.
Пусть a<fi%b (а, Ь 6 S)- Это означает, что саЛнсЬ. Пусть
as в К (s?S). Тогда (са) {sd) € cKd s H ввиду A) и ca&Hcb

326 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
влечет за собой (cb) (sd) 6 Н. Следовательно, {dc) (bs) (dc) 6 dHc s
E К. Так как dc ? К л полугруппа К унитарна, мы заключаем,
что bs 6 К. Аналогично, мы можем показать, что bs ? К влечет
за собой as ? К. Следовательно, afflKb.
Пусть a<ft,Kb (a, b ? S). Приступим к доказательству того,
что caJ%Hcb, т. е. afflcnb. Отсюда будет следовать №к = Мсн-
Пусть (са) s ? Н (s 6 S). Тогда (dc) (asc) 6 dHc s К и поэтому
asc 6 К, так как К унитарна. Из а& КЬ мы заключаем, что bsc ? К
и, следовательно, (cbs) (cd) 6 cKd s H. Так как cd 6 Н и Н уни-
унитарна, мы получаем (cb) s ? Н. Аналогично, мы можем доказать,
что (cb) s 6 Н влечет за собой (са) s 6 Н. Таким образом, ca&Hcb.
Обратно, предположим, что Мн и Мк сопряжены. Тогда
существует такой обратимый справа по mod Мн элемент с, что
Мк = &н- По определению обратимого справа элемента по
mod Мл существует d ? S, для которого cd 6 Н.
Заметим сначала, что са&нс влечет за собой а 6 К. В самом
деле, пусть к — произвольный элемент из К. Тогда сак&нск,
откуда акМйцк или ак&Кк. Но это влечет за собой ак 6 К и поэто-
поэтому а ? К.
Далее, cd 6 Н и каждый элемент из Н есть левая единица
по mod J?H. Следовательно, cdcM^c, откуда в силу предыдущего
замечания вытекает dc 6 К. Пусть h ? Н. Тогда cdh ^дЯ.
Следовательно, как и выше, cdhc&Hc, и мы заключаем, что dhc 6
6 К. Это показывает, что dHc s К.
Прежде чем доказать, что cKd s H, мы заметим, что из dbc 6
6 К следует Ъ 6 Н. В самом деле, так как if есть сильная под-
подполугруппа, из включений dbc 6 К и dc ? К вытекает db&Kd.
Но это влечет за собой в свою очередь cdbfflHcd. Так как cd ? Н
и подполугруппа Н унитарна, мы выводим, что b ? Н.
Пусть теперь к ? К и Ъ = сЫ. Тогда й&с = (dc) к (dc) 6 К,
и мы заключаем в силу предыдущего замечания, что Ъ 6 Н. Таким
образом, cKd S Н и мы установили, что Н и. К сопряжены.
Доказательство теоремы закончено.
Пусть Мs — центрированный операнд с О-сокращением над
полугруппой S с единицей 1. Для каждого х ? М имеем (xl) 1 =
= xl и поэтому xl равно либо х, либо 0м. Положим
Жо = {х 6 М | х\ = 0M}, Mt = {х 6 М | xl = х).
Тогда М = Мо (J Л/\ есть О-разложение операнда Мs на нуле-
нулевой операнд Мо и унитальный операнд Af4.
Если полугруппа 6" не имеет единицы, то любой центрирован-
центрированный унитальный операнд с О-сокращением над S1 является цен-
центрированным операндом с О-сокращением над S. Обратно, если Мв
есть центрированный операнд с О-сокращением над S, то, опре-
определяя xl = х для всех х 6 М, мы превратим Ms в центрирован-
центрированный унитальный операнд с О-сокращением над S1.

§ 11.4. Представления частичными преобразованиями 327
Эти рассуждения.показывают, что без ограничения общности
мы можем сосредоточить свое внимание на центрированных уни-
тальных операндах с О-сокращением над полугруппой с единицей.
Мы поступим так в оставшейся части данного параграфа и будем
также рассматривать унитальный операнд с сокращением Ms
как центрированный унитальный операнд с О-сокращением, пото-
потому что операнд Ms = Ms U 0м обладает этим свойством.
Если Н — произвольное сильное подмножество полугруппы S
с единицей (не обязательно унитарная подполугруппа из S), то
Sl3iH есть унитальный операнд с О-сокращением над S. Будем
считать в случае WH =. 0, что WH присоединено к SIMh b каче-
качестве нулевой точки. Пусть фн — представление полугруппы S,
ассоциированное с операндом SlfflH. Ядро сЯн представления фн
является главной двусторонней эквивалентностью Круазо (§ 10.4),
соответствующей подмножеству Н (см. лемму 7.23):
&н — {(а> Ъ) 6 S X S | sat 6 Н тогда и только тогда,
когда sbt 6 Н (s,tES)}. B)
В самом деле, как определено в § 11.3,
&н = &hL = {(«. Ь) 6 S X S | (sa, sb) 6 Мн для всех s 6 S1}
и здесь по предположению S1 = S. Первым этот факт отметил,
вероятно, Шютценберже [1955/6]; имея в виду приложения к тео-
теории кодирования, он назвал оРн «синтаксической эквивалент-
эквивалентностью».
Пусть {Ее, | б ? А} — совокупность всех сильных подмно-
подмножеств из 5 и Me, = SIMh*, где мы считаем Мец и Me>i не пере-
пересекающимися, если б4 Ф. б2. (Мы можем, например, взять в каче-
качестве элементов из М6 пары (X, б), где X 6 SIMHb-) Очевидным
образом объединение М всех Me, превращается в операнд над S
и множество W всех нулевых точек We, = WH (б 6 А) есть
инвариантное подмножество из М. Рисовский фактор М = MIW
является тогда центрированным унитальным операндом с О-сокра-
О-сокращением над S.
Пусть ф — представление полугруппы S, ассоциированное
с операндом Ms, и к — его ядро. Так как Ms 0-разложим на
операнды, эквивалентные Me, (в действительности каждый из них
совпадает с М(, с точностью до нулевой точки We, из Me,, которая
заменена на нулевую точку из М), очевидно, что
6 I б € А}.
Пересечение произвольного семейства сильных подмножеств
из iS, если оно не пусто, также является сильным подмножеством
в S. Для каждого а 6 S через а обозначим пересечение всех силь

328 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
ных подмножеств из S, содержащих а (среди них находится
само S). Определим следующим образом эквивалентность е на S:
е= {(a, b)?S X S |а = Ъ}. C)
Приступим к доказательству того, что е является конгруэн-
конгруэнцией на S. Заметим сначала, что если Н есть сильное подмноже-
подмножество и с 6 S, то подмножество
ЯсГ-Ч = {х 6 S | хс 6 #}
на основании следствия 10.13 также является сильным.
Предположим теперь, что агЬ и с ? S. В силу соображений
симметрии для того, чтобы установить, что acebc, достаточно
доказать, что если Н есть сильное подмножество из S, содержащее
ас, то Н содержит также и be. Но ас 6 Н влечет за собой а 6
Так как агЬ и ЯсС-Ч есть сильное подмножество, имеем Ъ 6
и поэтому be 6 Н. Аналогично, мы можем показать, что сагсЬ.
Теперь мы можем сформулировать основной результат
Шайна [1961].
Теорема 11.14. Если S — произвольная полугруппа с единицей
иг — конгруэнция на S, заданная равенством C), то фактор-
полугруппа S/e допускает точное представление частично взаимно
однозначными (или взаимно однозначными частичными) преобразо-
преобразованиями. Если ф — произвольное представление (не обязательно
точное) полугруппы S частично взаимно однозначными преобразо-
преобразованиями, то ядро представления <р содержит г и поэтому <р инду-
индуцирует представление т|> полугруппы S/e, для которого ф = e^i|>.
Доказательство. Мы докажем первое утверждение
теоремы, если установим, что е совпадает с ядром % представле-
представления ф полугруппы б", построенного выше исходя из совокупности
{Нь I 6 6 А} всех сильных подмножеств из 6". В самом деле,
на основании теоремы 11.2 представление ф индуцирует такое
точное представление if полугруппы S/к, что ф = »c*ij>.
Докажем сначала, что х s г. Пусть av.b (а, Ъ 6 S). Тогда
aiF'H h для каждого б 6 А> следовательно, sat 6 #в тогда и только
тогда, когда sbt 6 Н(,. Положив s = t = 1, мы заключаем, что
а 6 Нв тогда и только тогда, когда b 6 #6 (для всех б 6 А). Это
эквивалентно тому, что aeb.
Обратное включение 8= х есть частный случай второго
утверждения теоремы (е s ф о ф для любого представления ф
полугруппы S частично взаимно однозначными преобразования-
преобразованиями), и поэтому достаточно доказать последнее утверждение.

§ 11.4. Представления частичными преобразованиями 32&
Пусть М8 — центрированный операнд с О-сокращением над S,
ассоциированный с ф. Для каждой пары элементов х, у ? Ма\0Мг
такой, что (х, у) ? т, где т есть отношение транзитивности для фг
положим
Hx>v ={aeS\xa = y).
Тогда HXiV является сильным подмножеством. В самом делег
оно не пусто, и если а^, aib2, a2bi ? Нх>у, то xa^bi = у = xajb^.
Так как у Ф Ом и Мд — операнд с О-сокращением, это дает
хаг = хах. Следовательно, xa2b2 = хаф2 — У и а2&2 6 Нху.
Пусть теперь агЪ и х ? М. Если ха Ф 0^, то также х Ф 0м
и а ? Нх>ха. Так как Нх<ха есть сильное подмножество и аеЬ,.
мы заключаем, что & 6 Нх.ха* откуда хб = жа. Аналогично, если
^Ь ^= 0м, то ха¦= хЪ. Осталась лишь возможность ха — 0м = хЪ,
следовательно, ха — хЪ в любом случае. Таким образом, аф = &<р
или (а, Ь) 6 ф ° ф» что доказывает включение е^фо ф.
Последнее утверждение теоремы непосредственно вытекает из тео-
теоремы 11.2.
Следствие 11.15. Полугруппа S с единицей может быть вло-
вложена в инверсную полугруппу тогда и только тогда, когда для
любых ее различных элементов существует сильное подмножество-
в S, содержащее один из этих элементов, но не содержащее другой.
Доказательство. Как указывалось в начале парагра-
параграфа, S может быть вложена в инверсную полугруппу тогда и толь-
только тогда, когда она допускает точное представление взаимно одно-
однозначными преобразованиями множества. В силу теоремы 11.14
это имеет место тогда и только тогда, когда е есть тождественное-
отношение на 6", но (о, Ъ) $ е, очевидно, эквивалентно тому,.
что существует сильное подмножество из S, для которого а ? Н
Упражнения к § 11.4
1. Пусть М8 — центрированный О-транзитивный операнд с О-
сокращением над полугруппой S. Для каждого х ? Мs \ 0м
положим Нх = {а ? S | ха — х).
(a) Нх является сильной унитарной подполугруппой из S
и Ms ss S/&Hx, где Мнх есть главная правая конгруэнция Дюб-
рея, соответствующая Нх.
(b) Если К — сильная унитарная подполугруппа из 6", то К
сопряжена с Нх тогда и только тогда, когда К = Ну для некото-
некоторого уе М\0м-
2. Пусть Н — сильная унитарная подполугруппа полугруппы
S и WH — ее правый вычет. Тогда каждый идемпотент из S при-
принадлежит Н U WH.

330 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
§ 11Л. Неприводимые и транзитивные операнды
и полугруппы
Обозначим через FM множество неподвижных (или инвари-
инвариантных) элементов операнда Ms над полугруппой S. Следуя
Хёнке [1966], мы будем говорить, что операнд Ms неприводим,
если MS c? FM и единственным инвариантным подмножеством
из М, содержащим более одного элемента, является само М. Мы
будем применять этот же термин к представлению полугруппы S,
ассоциированному с Ms. В лемме 11.16 ниже мы покажем, что
операнд Ms неприводим тогда и только тогда, когда он либо
транзитивен, либо О-транзитивен (§ 11.1).
Следуя Тулли [1960, 1961], назовем полугруппу S транзитив-
транзитивной [0-транзитивной] справа, если она обладает точным транзи-
транзитивным [О-транзитивным] операндом (или представлением). Хёнке
называет полугруппу S «примитивной», если она обладает точным
неприводимым представлением. Следовательно, на основании лем-
леммы 11.16 полугруппа S примитивна в этом смысле тогда и только
тогда, когда она транзитивна справа или 0-транзитивна справа
в смысле Тулли. Мы будем называть такие полугруппы неприво-
неприводимыми справа. Полугруппа S называется транзитивной
[0-транзитивной] слева, если она обладает точным транзитивным
,[0-транзитивным] левым операндом (или антипредставлением).
Полугруппа S транзитивна [0-транзитивна] слева тогда и только
тогда, когда двойственная к ней полугруппа S* транзитивна
[0-транзитивна] справа.
Ряд примеров полугрупп, транзитивных с одной стороны,
но не транзитивных с другой, а также полугрупп, транзитив-
транзитивных с обеих сторон, приведен в упражнениях. Остальные резуль-
результаты этого параграфа, все принадлежащие Тулли [1960, 1961],
описывают ряд менее тривиальных классов транзитивных полу-
полугрупп. Особенно интересен тот факт (теорема 11.20), что, за одним
исключением, любое свободное произведение транзитивно и поэто-
поэтому (следствие 11.21) любая свободная полугруппа более чем
¦с одним порождающим элементом транзитивна.
Лемма 11.16. (А) Пусть Ms — операнд над полугруппой S,
для которого единственным инвариантным подмножеством, содер-
содержащим более одного элемента, является само М. Тогда Мs непри-
неприводим или | М | = 2 и Мs либо нулевой, либо тривиальный операнд.
(В) Операнд Ms над полугруппой S неприводим тогда и только
тогда, когда он либо транзитивен, либо О-транзитивен.
Доказательство. (А) Если FM= 0, то Ms непри-
неприводим по определению. Следовательно, мы можем предположить,
¦что FM=?0. Так как FM является инвариантным подмноже-

/ § 11.5. Неприводимые и транзитивные операнды 331
-ством из М, мы должны иметь либо FM = М, либо | FM | = 1.
Если FM = М, то М есть тривиальный операнд, а так как каж-
каждое подмножество из М инвариантно, мы получаем | М \ = 2.
Если | FM | = 1, то FM.= {0м}. Если Ms не является тривиаль-
тривиальным операндом, то MS s FM, т. е. MS — 0м. Таким образом,
Мs есть нулевой операнд и, так как каждое подмножество из М,
содержащее Ом» инвариантно, мы снова получаем | М | = 2.
(В) Пусть операнд Ms неприводим. Возможность FM = М
исключена условием MS c|= FM, и, следовательно, FM = 0
или | FM | = 1. Предположим последнее, и пусть снова FM =
= {Ом}- Для любого х ? М\ 0м подмножество xS инвариантно
я поэтому либо | xS | = 1, либо xS = М. Тот факт, что М
¦есть О-транзитивный операнд, будет установлен, если мы пока-
покажем невозможность условия | xS \ — 1. Если xS = {у}, то у 6 -^^f,
откуда г/ = 0м. Тоща {ж, 0м} есть инвариантное подмножество
из М и, следовательно, оно равно М. Но тогда MS = {0м}, что
противоречит условию MS gjr FM.
Если FM = 0, то мы можем аналогично доказать, что опе-
операнд Мs транзитивен.
Обратно, пусть Ms есть О-транзитивный операнд. Если N —
инвариантное подмножество из М и | N \ > 1, то N содержит
элемент х ? М \ 0м. Тогда М = xS s N, поэтому N = М. Оче-
Очевидно, FM — {0м}, и если х ? М \ 0м, то жо = х для некоторого
л ? 5, так что М5 ^ i^Af. Следовательно, Ms неприводим.
Аналогично, если Мв — транзитивный операнд, то FM = 0
и Ж есть единственное инвариантное подмножество из М, так
что Мs неприводим.
Теорема 11.17. Пусть S — полугруппа, содержащая невырож-
невырожденный минимальный [О-минималъный] правый идеал R. Полугруп-
Полугруппа S транзитивна [О-транзитивна] справа тогда и только тогда,
когда га = гЪ (о, Ъ 6 S) для всех г ? R влечет за собой а = Ъ.
Доказательство. Мы докажем лишь утверждение,
учитывающее слова в квадратных скобках; доказательство другого
утверждения аналогично.
Если выполняется сформулированное условие, то Rs, очевид-
очевидно, является точным операндом над S. Если г ? R \ 0, то в силу
леммы 6.1 R = rS и поэтому Rs есть О-транзитивный операнд.
Обратно, предположим, что Ms есть точный О-транзитивный
операнд над S. В силу точности операнда Мs имеем MR Ф 0м
и, следовательно, существует такой х 6 М \ 0м, что xR Ф 0м.
Так как xR есть инвариантное подмножество фОм из М и Ms
неприводим в силу леммы 11.16, мы заключаем, что xR = М.
Отображение г -*¦ хг является операторным гомоморфизмом опе-
операнда Rs на Мs. Пусть ажЪ — такие элементы из S, что га = гЪ
для всех г ? R. Если у ? М, то у = хг для некоторого г ? R

332 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
и, следовательно, уа = хга = хгЪ = уЪ. Так как операнд Мs
точен, мы получаем а = Ь.
Взаимосвязь между 0-транзитивными представлениями и моно-
миальными представлениями будет указана в § 11.8. Следующее-
утверждение перекликается с упражнением 2 к § 3.6.
СледствиЕ 11.18. Регулярная рисовская полугруппа S —
= оМ° (G; I, A; Р) является О-транзитивной справа тогда и толь-
только тогда, когда любые два различных столбца сэндвич-матрицы
Р не пропорциональны.
Доказательство. Пусть г 6 / и Rt — множество всех
таких элементов (с; г, Я) ? S, что с ? G и X ? А. В силу леммы 3.2
множество Щ = Ri[]Q является О-минимальным правым идеа-
идеалом в б".
Пусть (a; j, ц) и (b; k, v) — ненулевые элементы из 6". Если
(с; i, X) (a; j, ц) = (с; i, X) (Ъ; к, v)
для всех (с; i, Я) ? i??, то, осуществляя перемножение, получаем
{ср^а; i,\i) = (срьъЬ; i, v)
для всех с ? G и Я 6 Л. Это в свою очередь эквивалентно тому,
что ц = v и
(для всех Я ? Л).
Последнее условие и означает то, что мы называем пропорциональ-
пропорциональностью /-го и ft-ro столбцов из Р (а, & 6 G\Q).
Следовательно, в этом случае условие теоремы 11.17 эквива-
эквивалентно тому, что любые два различных столбца из Р не пропор-
пропорциональны.
Следующий результат был получен также Шайном [1963]
Лемма 11.19. Полугруппа S транзитивна справа тогда и толь-
только тогда, когда транзитивна справа полугруппа S1.
Доказательство. Если S имеет единицу, то S = S*
и утверждение леммы тривиально, поэтому мы можем предполо-
предположить, что S — полугруппа без единицы.
Пусть S транзитивна справа. Тогда существует точный тран-
транзитивный операнд Ms над S. Превратим М в операнд Ms^ над 51,
полагая xl = х для всех х 6 М. Очевидно, операнд Msi транзи-
тивен. Докажем, что он точен. Предположим, что xl = ха для
всех х 6 М и для некоторого элемента а ? S. Тогда для каждого
s? S имеем xas = x\s = xs и xsa = xsl = xs. Так как Ms точен,
мы заключаем, что as = s = sa для s 6 S, но это противоречит
предположению о том, что S не имеет единицы.

§ 11.5. Неприводимые и транзитивные операнды. 333
Обратно, пусть полугруппа б транзитивна справа и M8i —
•точный транзитивный операнд над S1. Операнд Msi является
унитальным; в самом деле, если х 6 М, то ха = х для некоторого
а ? Sx и поэтому xl = xal = ха = х. Очевидно, М является
также точным операндом Ms над S. Если х, у ? М, то существует
такой а ? iS1, что ха = j/. Если х Ф у, то а ? S, так как ж1 = х.
Если | М | = 1, то, очевидно, операнд Ms транзитивен. Предпо-
Предположим, что | М | > 1 и ж, I/ 6 -М\ где х Ф у. Тогда ха = у я yb =
= а; для некоторых a, b ? S я поэтому хаЬ — х. Это показывает,
что xS = М для любого а; 6 М и, следовательно, операнд Ms
транзитивен.
Теорема 11.20. Пусть Р — свободное произведение двух полу-
зрупп S и Т. Тогда полугруппа Р транзитивна с обеих сторон,
яа исключением случая, когда \ S \ = \ Т \ = 1.
Доказательство. Мы можем предположить, что | S | >
> 1. (Об исключенном случае см. в упражнении 6 ниже.) В силу
¦соображений симметрии нам нужно установить лишь, что Р тран-
транзитивна справа. Учитывая лемму 11.19, мы будем доказывать
это для Р1.
Приступим к построению множества, которое по аналогии
¦с процедурой Круазо из § 9.5 можно было бы назвать множеством
канонических форм правой конгруэнции на Pi. Как и в приложе-
приложении теоремы 9.54 в § 9.5, мы начнем ^построения вспомогательного
преобразования Е.
Пусть а — фиксированный элемент из S
Каждый элемент из Р однозначно представим в виде произве-
произведения элементов, взятых поочередно из 6" и Т. Пусть р ? Р. Тогда
рЕ определяется следующим образом:
A) если р начинается с элемента t ? Т, то отбросим t\
B) если р начинается с st (s 6 S \a, t 6 Т), то отбросим st;
C) если р начинается с множителя вида
(ati) {ah) . . . (atn)
где tt, t'i ? Т; st ? S (i = 1, . . ., n) и st Ф а, то отбросим этот
множитель;
D) Если ни один из случаев A) — C) не выполняется, то
положим рЕ = р.
Последняя возможность рЕ = р имеет место тогда и только
тогда, когда либо р = 1, либо р ? S, либо
р = (ati) (at2) . . (atn) q,
где q есть элемент из Р1, длина которого меньше In. Назовем
указанные элементы каноническими формами относительно Е.
Преобразование Е может перевести р в 1, например в случае
р — st. Мы считаем также, что IE — 1. Заметим, что Е есть

334 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
преобразование множества Р1. В силу того что либо рЕ = рг
либо длина элемента рЕ меньше длины элемента р, должно суще-
существовать положительное целое число к, для которого р = рЕ^
является канонической формой. Назовем ее канонической формой:
элемента р.
Заметим, что
pq = pq (для всех р, q^P1).
Это тривиально в случае, когда р = р. В других случаях это*
равенство легко устанавливается индукцией по наименьшему
целому числу к, для которого р = рЕь, с использованием того-
факта, что если рЕ Ф р, то (pq) Е = (рЕ) q. Следовательно,
отношение эквивалентности ст на Р1, состоящее из тех и только»
тех пар {р, q), для которых р = q, является правой конгруэнцией.,
В самом деле, если paq и г ? Р1, то
pr = pr=qr= qr,
откуда praqr. Докажем, что PVct есть точный транзитивный
операнд.
Транзитивность будет установлена, если мы покажем, что для
заданного р Е Р1 существует такое q ? Р1. что pqal. В самом деле,,
тогда (рст) qr = га для произвольного г ? Р1. В качестве q доста-
достаточно взять элемент (Ы)п, где b ? S\a, t 6 Т и п равно длине-
слова р.
Докажем, что операнд PVcr является точным. Мы должны
для этого установить, что если р Ф q в Р1, то существует г ? P1,
для которого (rp, rq) (? ст. Из определения Р легко видеть, что-
либо ар ф aq, либо tp Ф tq. Таким образом, если мы положим
Г (at)n, если ap = aq (и поэтому tpфtq),
г== 1
l(a?)na, если арФщ,
то rp =j? rq. Если мы возьмем в качестве п число, большее чем
длина р и <?, то гр = гр и rq = rq, откуда (rp, rq) $ a.
Следствие 11.21. Свободная полугруппа более чем с одним обра-
образующим транзитивна с обеих сторон..
Теорема 11.22. Каждая полугруппа Бэра — Леей транзитив-
транзитивна с обеих сторон.
Доказательство. Пусть S — полугруппа Бэра — Ле-
ви типа (р, q). По определению (§ 8.1) S состоит из всех таких
взаимно однозначных преобразований а некоторого множества М
бесконечной мощности р, что | М \ Ma \ = q. Очевидно, так как
полугруппа S проста справа, тождественное отображение на S

§ U.S. Неприводимые и транзитивные операнды 335
является транзитивным представлением полугруппы S, поэтому
нам осталось лишь доказать, что S транзитивна слева.
Вполне упорядочим М по типу первого порядкового числа,
имеющего мощность р. Тогда каждое подмножество N из М вполне
упорядочено ограничением на N введенного порядка. Если | N | =
= р, то порядковый тип множества N не больше порядкового
типа множества М и, поскольку мощность его равна р, он должен
быть равен порядковому типу множества М. Следовательно,
существует (единственное) сохраняющее порядок взаимно одно-
однозначное отображение nN множества N на М. Тогда для каждого,
а ? S преобразование алМа является подстановкой на М.
Для а, Р 6 S положим астр тогда и только тогда, когда
аяма = Рямр. Ясно, что сг есть отношение эквивалентности
на б". Докажем, что астр равносильно тому, что
ха < уа тогда и только тогда, когда #р < у$ (х, у ? М). A)
Отсюда непосредственно вытекает, что астр влечет за собой у<хау$
для всех у ? S, т. е. ст есть левая конгруэнция на S.
Так как nN сохраняет порядок, условие A) равносильно тому,
что
хапМа<. уапма тогда и только тогда, когда хРямр < y$nMfi. B)
Если астр, то условие B) выполняется тривиально и поэтому
выполняется условие A). Но из условия B) вытекает, что аар.
В самом деле, если мы положим ф = <хпМа и чр = pnMg и если
х < у, то (ахр) ф < d/ф) ф. так что B) влечет за собой Жф^ <
<Z г/ф^. Следовательно, ф^ есть подстановка, сохраняющая
порядок вполне упорядоченного множества М. Так как этим
свойством обладает только тождественная подстановка, мы заклю-
заключаем, что ф = -ф, откуда астр.
Докажем, что любой операнд s(S/a) транзитивен. Пусть
а, р ? S. Мы должны установить, что существует у 6 S, для
которого уастр. Выберем такое произвольное подмножество Р
из Ма, что \ Р | = р и | Ма, \Р | = q, и положим б = РямрЯрЧ
Так как б есть взаимно однозначное отображение М на Р и
| М \ Р | = | М \ Ма | + | Ма \ Р | = q + q = q,
мы получаем б 6 6". Для х ? М имеем х8 ? Р s Ma и существует
такой единственный j/ ^ М, что х8 = i/a. Положим ху = у. Тогда
хб = уа = агра для всех х ? М, поэтому б = 7а. Так как б взаим-
взаимно однозначно, то у также взаимно однозначно. Кроме того,
My = {» € М | »a б Мб} = Pa-1,
= |M\Pa-J I = |Ma\P | = q,

336 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
откуда у ? б". То, что бар, ясно ввиду равенства Р = Мб и опре-
определения б.
Докажем, что левый операнд S/a является точным. Пусть а
и р — различные элементы из S. Мы должны установить, что
существует у ? S, для которого а (уа) Ф р (у8), т. е. (ау, $у) $ а.
Предположим сначала, что (а, Р) $ ст. Тогда ввиду условия A)
существуют такие х, у ? М, что аи < уо и if > i/p. Очевидно,
существует элемент у ? 5, оставляющий на месте каждый из эле-
элементов жа, аф, i/а, #р. Тогда my < i/ay и #Py > г/р-у» так что
в силу A) имеем (ay, Py) $ a.
Пусть теперь (a, Р) 6 о\ Так как а Ф р, существует такой
л; g Л/, что жа Ф х$, и мы можем считать, что ха < жр. Выберем
элемент i/ ^= а; в М и положим
«1 = ха, vt = ya, и2 = жр, у2 — I/P»
Тогда «! < и2- Так как а взаимно однозначно, щ Ф vu Если
"i < fi) то и2 < у2; верно и обратное, так как астр. Следователь-
Следовательно, возможны два случая:
(i) щ < vu щ < и2 < у2;
(ii) u2 >¦ у2, и2 > щ > Vf
В случае (i) через у обозначим элемент из S, который переставляет
«2 и у2, оставляет на месте щ и оставляет на месте vu если vt Ф uz
и. Vi Ф у2- Очевидно, в S такой элемент у существует. Тогда vty ?
€ {^ь > ^г}. так что щу < yt7. Но неравенство игу > y2j/ пока-
показывает, что (ay, Pv) $ о. В случае (ii) мы приходим к такому же
заключению, выбирая в качестве у элемент из S, который пере-
переставляет щ и vt, оставляет и2 на месте и оставляет на месте у2,
если vгфщ и у2 Ф vr.
"Упражнения к § 11.5
1. Неодноэлементная транзитивная справа полугруппа не
может иметь левых нулей.
2. Полная полугруппа преобразований STм на множестве М,
где \ М | > 1, транзитивна справа, но не транзитивна слева.
(Хёнке [1966].)
3. (а) Транзитивная справа полугруппа редуктивна слева
<§ 1.3).
(b) Простая справа и редуктивная слева полугруппа транзи-
транзитивна справа; в частности, правая группа транзитивна справа.
(c) Если правая группа транзитивна слева, то она является
группой. (Тулли [1960].)
4. Коммутативная полугруппа 6" транзитивна [0-транзитивна]
тогда и только тогда, когда она является группой [с нулем].
(Тулли [1960] и Шайн [19631.)

§ 11.6. Различные радикалы, полугруппы 337
5. Бициклическая полугруппа транзитивна с обеих сторон.
(Тулли [1960, 19611.)
6. Пусть S = {е} и Т = {/} — одноэлементные полугруппы
ni* — их свободное произведение. Произвольный транзитивный
операнд над Р должен быть конечным и поэтому не может быть
точным. Таким образом, Р не является транзитивной полугруппой
(см. теорему 11.20).
7'-. Любая] 0-бипростая инверсная полугруппа 0-транзитивна
с обеих сторон (см. упражнение 5 (е) к § 7.3).
§ 11 6. Различные радикалы полугруппы
Понятия ^-радикала полугруппы и производного типа *<?'
для типа %, а также первые две теоремы данного параграфа при-
принадлежат Тулли (неопубликовано). После рассмотрения общего
случая мы переходим к случаю % = J, где J — класс непри-
неприводимых справа полугрупп (§ 11.5), и устанавливаем открытую
Зайделем интересную связь между J-радикалом и нильрадика-
нильрадикалом полугруппы *).
Не считая изложения неопубликованных ранее результатов
Тулли, единственной нашей претензией на новизну в данном
параграфе является теорема 11.25. В этой теореме используется
понятие максимального гомоморфного образа типа <6V). Нам
понадобится несколько более ограничительное определение этого
понятия, нежели то, которое дано в предложении 1.7 из § 1.5.
Под типом полугрупп мы понимаем класс % полугрупп (вооб-
(вообще говоря не множество), для которого (i) если S ? ^ и ? изоморф-
изоморфно S', то S' 6 "*»» (") любая одноэлементная полугруппа принад-
принадлежит <в.
Если S — произвольная полугруппа и % — произвольный
тип полутрупп, то полугруппа S* называется максимальным гомо-
гомоморфным образом типа Ч полугруппы S, если S* ? % и суще-
существует гомоморфизм т) полугруппы S на S* с факторизационным
свойством: для любого гомоморфизма ф полугруппы S на полу-
полугруппу Т типа % существует такой гомоморфизм 9 полугруппы
S* на Т, что т)9 = ф.
1)»Укажем на работу Клиффорда 11970], которую автор считает продол-
продолжением настоящего параграфа.— Прим. ред.
а) И понятие максимального гомоморфного образа типа %, и понятие
g-радикала (под разными названиями) принадлежат к сравнительно давно
освоенным понятиям общей алгебры и относятся'*'к любым алгебраическим
системам. Первое из них называют также g-репликой (см., например, книгу
А. И. Мальцева [1970]). Второе в случае групп, когда % есть многообразие,
по существу совпадает с понятием вербальной подгруппы. Теоремы 11.23—
11.25, как и упражнение 2 ниже, также относятся к любым алгебраический
системам и выражают хорошо известные свойства.— Прим. ред.
22—100

338 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Факторизационное свойство гомоморфизма ц было опущено
в упомянутом выше определении. Для данного усиленного опре-
определения легко показать, что если существует максимальный гомо-
гомоморфный образ типа % полугруппы S, то он единствен с точно-
точностью до изоморфизма. Но это утверждение не верно для слабого
варианта определения, так как две неизоморфные полугруппы
(в частности, группы) могут быть гомоморфными образами друг
друга.
Предложение 1.7 остается справедливым, если понятие мак-
максимального гомоморфного образа типа % толковать в его новом
смысле. В самом деле, предположим, что пересечение р всех
конгруэнции а на S, имеющих тип 98 (т. е. S/a ? Щ, также имеет
тип %. Тогда 5/р является максимальным гомоморфным образом
типа % полугруппы S в сильном смысле, где в качестве т) берется
естественный гомоморфизм р^ полугруппы S на 5/р. В самом
деле, пусть <р — гомоморфизм S на полугруппу Т типа %. Тогда
а = ф о ф-* есть конгруэнция типа % на S, так как S/a ^ Т
и Т ? Чо. Отсюда S/a ?% ъ силу условия (i) иэ определения
типа. Следовательно, р s о по определению р. Так как р =
= р^ о (р^), по теореме 1.6 существует такой (единственный)
гомоморфизм Э полугруппы S/p на Т, что р^Э = ф.
Заметим в связи с этим, что нам неизвестно, остается ли спра-
справедливым упражнение 16 к § 2.7, если соответствующие понятия
трактовать по-новому. Оно остается справедливым в предполо-
предположении, что Не есть «гомоморфный ретракт» полугруппы S, т. е.
существует гомоморфизм 6" на Не, оставляющий на месте все
элементы из Не.
• На этот вопрос — будет ли максимальная подгруппа Не
вполне простого ядра полугруппы ? максимальным групповым
гомоморфным образом полугруппы S (в новом смысле), если она
является гомоморфным образом S,— отрицательный ответ дан
Племмонсом [1970].*
Пусть S — полугруппа, % — некоторый тип и Чё8 — множе-
множество всех конгруэнции типа % на S. Множество %s не пусто,
так как оно содержит в силу условия (ii) из определения типа
универсальную конгруэнцию o)s на S. Определим чв-радикал
полугруппы S, полагая
¦if-rad S жш п {а | сг 6 ^s}-
Очевидно, он является конгруэнцией на S. Производным типом
Ч&' к типу % является класс всех таких полугрупп S, что
$-rad S = is, где is есть отношение равенства на S *). Если
? 6 ^>'« то мы скажем, что S есть полугруппа без ^-радикала.
Очевидно, ^ = %'; в самом деле, если S ?48, то is 6 $s-
х) В терминологии книги А. И. Мальцева [1970] %' есть не что иное, как
реплично полный класс, порожденный классом %.— Прим. ред.

§ 11.6. Различные радикалы полугруппы . 339
Теорема 11.23. Если S — произвольная полугруппа и % —
произвольный тип полугрупп, то <S/$-rad S имеет тип Ч&''.
Доказательство. Пусть р = 'if-rad S и. S' = ?7р.
Мы должны установить, что "ё-rad S'= is>.
Если а — конгруэнция на S, содержащая р, то ст индуцирует
конгруэнцию ст' = ст/р на S', которая задается следующим образом:
(ар) а' (Ьр) тогда и только тогда, когда ааЪ (а, Ь 6 S).
Отображение Я: ст -> а' есть изоморфизм структуры всех кон-
конгруэнции полугруппы S, содержащих р, на структуру всех кон-
конгруэнции полугруппы S'. Кроме того,
57а' = E/р)/(<т/р) s& S/o.
Следовательно, а' 6 ^s' тогда и только тогда, когда о 6 ^s-
Так как Я сохраняет пересечения,
рЯ = (п {а | а 6 «я» *< = П К I *' 6 ^s-} = «-rad 6".
Но рЯ == р/р =iS'. откуда So-rad 5'= is» и 6" 6 ^'>
Теорема 11.24. Для любого типа % полугрупп имеет место
%" = %'. Для любой полугруппы S выполняется равенство
«'-rad S = «-rad S.
Доказательство. Докажем сначала первое утверж-
утверждение.
Пусть р 6 %'s и 5' = 5/р. Тогда 5" ? Ъ' и поэтому
П К I о' € «я'} = la--
Пусть Я: сг -> ст' = ст/р есть отображение, введенное в доказатель-
доказательстве теоремы 10.23. Тогда
(П {а | а € «я. о" э р}) Я = п {»' I ^ € «в'} = ie..
Так как рЯ = р/р = is- и J, взаимно однозначно, мы заключаем,
что
П {<* I а € ^s, о = р} = р.
Другими словами, каждая конгруэнция р типа %' на 5 есть
пересечение всех конгруэнции о типа %, содержащих р.
Мы заключаем, что
«'-rad 5 = п {р I Р € %} = П {р I P € «s} = ^-rad S.
Из этого равенства вытекает первое утверждение теоремы.
В самом деле, если S ? Чо", то is = So'-rad 5 = 'e-rad S, откуда
S ? Ч&'\ обратное включение тривиально.
Теорема 11.25. (А) Полугруппа S имеет максимальный гомо-
гомоморфный образ S* типа % тогда и только тогда, когда «S/'e-rad 5
имеет тип Ч,ив этом случае мы можем считать S* = S/^-r&d S.
22*

340 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
(B) Каждая полугруппа S имеет максимальный гомоморфный
образ типа %', а именно <S/"i?-rad S.
(C) Тип Чо тогда и только тогда обладает тем свойством,
что каждая полугруппа S имеет максимальный гомоморфный
образ типа %, когда Чо' = %.
Доказательство. (А) Достаточность условия совпада-
совпадает с доказанным выше новым вариантом предложения 1.7. Обрат-
Обратно, пусть ц — гомоморфизм S на S* с факторизационным свой-
свойством. Тогда р = ц ° тр1 имеет тип сё. Равенство р = $-rad S
будет доказано, если мы установим, что для любой конгруэнции
сг типа % на S выполняется включение р s ст.
Так как а% есть гомоморфизм полугруппы S на полугруппу
S/a типа *<?, на основании факторизационного свойства гомомор-
гомоморфизма т) существует гомоморфизм 8 полугруппы S* на S/a, для
которого т]Э = ст^. Если а и Ъ — такие элементы из S, что арЬ,
то ац = Ьц (так как р = т|» tj) и поэтому аст^ = ат)9 = br\Q —
= Ъа^. Но это показывает, что aab, i, e. p e ст.
(B) В силу теоремы 11.23 SAf-rad S имеет тип %'. На осно-
основании теоремы 11.24 "if-rad 6" = 'if'-rad S, следовательно, S/Чё'-
rad S имеет тип %'. Отсюда ввиду (А) получаем заключение
теоремы.
(C) Достаточность условия вытекает непосредственно из (В).
Обратно, предположим, что каждая полугруппа имеет максималь^
ный гомоморфный образ типа %. Нам нужно лишь установить,
что %' s *<?, так как обратное включение тривиально. Пусть
S ? %'. На основании (А) и нашего предположения мы получаем,
что 5/So-rad S принадлежит %. Но по определению %' выпол-
выполняется равенство $-rad iS = is, следовательно, <S|= Sl\s^_%.
Другую характеризацию типов % полугрупп, для которых
%'=.%, см. в упражнении 2 (Ь) к настоящему параграфу.
Обратимся теперь к классу J неприводимых справа полу-
полугрупп, т. е. примитивных в смысле Хёнке, а именно полугрупп,
допускающих точное неприводимое представление. В § 11.5 мы
рассмотрели различные подклассы из J. Будем писать rad S
вместо J-rad S. Начнем с характеризации rad*5, принадлежа-
принадлежащей Зайделю [1965].
Для любого элемента а полугруппы S положим
ц (а) = {(&, с) 6 S X S | апЬ = апс
для некоторых неотрицательных чисел т, п}.
Здесь под а0 мы понимаем элемент 1 6 S1. Очевидно, (д, (а) есть
правая конгруэнция на S; кроме того, она модулярна, так как
а является левой единицей из S по mod p (§ 11.3).
Теорема 11.26. Для любой полугруппы S
rad S = {(a, b)?S X S \ (а, Ъ) ? р (as) (] ц (bs) для всех s

§ 11.6. Различные радикалы полугруппы 341
Доказательство. Пусть (a, b) (J rad 6". Тогда суще-
существует такой неприводимый операнд Мs над 6" и элемент х ? М,
что ха Ф хЪ. Элементы ха и хЪ не могут быть одновременно равны
0м (если такой существует), и мы можем предположить, что
ха Ф 0м. Тогда xaS = М. Пусть s — такой элемент из S, что
xas = х. Докажем, что (а, Ь) $ ц (as). В самом деле, если это
не так, то (as)m a = (as)n Ъ для некоторых т, в^-Ои мы заклю-
заключаем, что
ха = х (as)m а — х (as)n Ъ = хЪ.
Обратно, предположим, что (а, Ъ) (J \x, (as) f) И- (Щ для неко-
некоторого s 6 Si. Тогда мы можем считать, что (а, Ъ) $ ц (as). Пусть
а = ц (as). В силу теоремы 11.6 Mg = Sla есть такой строго
циклический операнд над S со строго порождающим элементом
(as) a, что аа Ф Ъа. На основании леммы 11.5 операнд МП (М) =
= M's транзитивен или О-транзитивен и, следовательно, непри-
неприводим по лемме 11.16. Так как as есть левая единица из S по
mod а, мы имеем
((as) а) а =¦ аа фЪа = ((as) а) Ь.
Таким образом, аф Ф Ьф, где ф есть представление полугруппы S,
ассоциированное с M's. Так как ?7ф о ф-1 изоморфна неприводи-
неприводимой полугруппе ?ф преобразований на М', конгруэнция ф о ф-1
на S имеет тип J. Ввиду того что (a, b) (J ф о ф и rad S есть
пересечение всех конгруэнции типа J на S, мы получаем (а, Ь) $
$ rad S.
Для полугруппы S с нулем 0 Хёнке [1963] определяет rad0 S
как (rad б^-класс, содержащий 0. Напомним (упражнение 13
к § 6.6), что нильрадикал N (S) полугруппы S есть по определению
объединение всех нильидеалов из 6", где под нилъидеалом из S
понимается идеал, каждый элемент которого нильпотентен').
Следующий результат принадлежит Зайделю [1965].
Следствие 11.27. rad0 S = N (S).
Доказательство. Пусть а ? N (S) и Ms — произволь-
произвольный неприводимый операнд над 6". В силу леммы 11.16 Ms
транзитивен или О-транзитивен. Очевидно, должно выполняться
последнее, так как S имеет нуль. Если Ма Ф 0м, то существует
такой х ? М, что ха Ф QM, и поэтому xaS = М. Следовательно,
xas = х для некоторого s 6 S. Но as ? N (S) и поэтому (as)n = 0
для некоторого п, откуда х = х (as)n = хО = 0м. Последнее
противоречит неравенству ха Ф 0м, и мы заключаем, что Ма =
= 0м. Так как это выполняется для любого неприводимого опе-
операнда М8 над б", мы имеем (а, 0) 6 rad S, т. е. а 6 rad0 6".
х) Нильрадикал называют также радикалом Клиффорда. О соотноше-
соотношениях между этим радикалом и другими радикалами, определяемыми в терми-
терминах тех или иных идеалов, см. работу Босака [1968].— Прим. ред.

342 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Обратно, пусть а ? rad° S, т. е. (а, 0) 6 rad S. Очевидно,
ц @) = <»g, и на основании теоремы 11.26 мы заключаем, что
(а, 0) ? [A (as) для всех s? Sl. Но это означает, что существуют
неотрицательные целые числа тип, для которых
(as)m a = (as)n 0.
Следовательно, (as)m+i = 0 и а принадлежит нильидеалу aS1 =
s N (S).
Упражнения к § 11.6
1. Пусть & — класс всех групп и W — производный класс.
Любая бесконечная циклическая полугруппа принадлежит "§'.
Следовательно, 3 Ф "§'•
* Шайном [19651 доказано, что любая коммутативная полу-
полугруппа с сокращениями принадлежит ^'. •
2. (а) Пусть % — произвольный тип полугрупп и %' —
производный тип. Произвольная полугруппа тогда и только тогда
принадлежит %', когда она изоморфна подпрямому произведению
полугрупп типа %. (По теореме Биркгофа (см. его книгу [1952] 4))
существует взаимно однозначно соответствие между представле-
представлениями полугруппы S в виде подпрямого произведения полугрупп
St (i ? /) и такими множествами {0г | i ? /} конгруэнции на S,
что п {9. I i 6 /} = is- Здесь St s 5/ег.)
(b) Пусть 'ё — некоторый тип полугрупп. Каждая полугруп-
полугруппа тогда и только тогда обладает максимальным гомоморфным
образом типа 9S, когда % замкнуто относительно взятия под-
прямых произведений, т. е. когда произвольное подпрямое про-
произведение полугрупп типа % также имеет тип 18.
§ 11.7. Нормализатор правой конгруэнции р
и эндоморфизмы операнда 8/р
Пусть Ms — операнд над полугруппой S и <р — ассоцииро-
ассоциированное с ним представление этой полугруппы преобразованиями
множества М. Множество % (Ms) операторных эндоморфизмов
операнда М8 является полугруппой относительно суперпозиции;
оно совпадает с централизатором полугруппы Sq> в Ум- Един-
Единственная теорема этобо небольшого параграфа, принадлежащая
Тулли [1960] и Хёнке [1966], показывает,, как можно построить
Ш (Ms), когда Ms есть строго циклический операнд. В силу
теоремы 11.6 это эквивалентно построению полугруппы % (S/p),
где р есть модулярная правая конгруэнция на S.
г) См. также цитированную выше книгу А. И. Мальцева и книгу
А. Г. Куроша [1962].— Прим. ред.

§ 11.7. Нормализатор правой конгруэнции 343
Определим следующим образом нормализатор JT (р) правой
конгруэнции р на S:
JT (р) = {а ? S \spt (s, t ? S) влечет за собой^ aspat}.
Очевидно, jfT (p) является подполугруппой из S. Кроме того,
JJT (р) есть объединение некоторого множества р-классов. В самом
деле, если а ? jfT (р) и apb, то aspbs и atpbt для любых s, t ? S.
Следовательно, если spt, то aspat, откуда ввиду транзитивности р
получаем bspbt. Очевидно, что р' = р f) (JT (р) X JT (р)) является
(двусторонней) конгруэнцией на jfT (p). Факторполугруппа
JT (р)/р' состоит из всех р-классов ар полугруппы S, для которых
а ? JT (р); мы будем обозначать ее через JT (р)/р.
Для каждого элемента а ? JT (р) определим преобразование
Яа множества ?7р, полагая
(sp) Яв = (as) р (для всех s ? S).
Преобразование %а взаимно однозначно, так как а ? jjT (p). Кроме
того, оно является операторным эндоморфизмом операнда Sip.
В самом деле, если s, t ? S, то
((sp) t) К = ((st) p) К = (ast) p = ((as) p) t = ((sp) Xa) t.
Очевидно, ЯаЯь = Я&а для всех а, 6 ? ,#* (р). Если арб (а, Ь 6
€ .#* (р)), то aspbs для всех s ? S и, следовательно,
(sp) Яв = (as) р = Fs) р = (sp) Яь
и Ка = Хъ. Мы заключаем, что К: ар -> Ка есть антигомоморфизм
полугруппы JT (р)/р в полугруппу g (Sip) операторных эндо-
эндоморфизмов операнда Sip.
Предположим теперь, что р модулярна и е — левая единица
из S по mod р. Тогда е g JT (р). В самом деле, если sp?, то espsptpet.
Если а ^ jV (р), то (ер) (ар) = (еа) р = ар, так что ер есть левая
единица из JT (р)/р- Положим
^Ге (р) = {а € Л" (р) I aepa}.
Ясно, что JTе (р) есть левый идеал в JT (р), являющийся объеди-
объединением некоторого множества р-классов. Факторполугруппа
jjTe (p)/p совпадает с главным левым идеалом из JT (р)/р, порож-
порожденным идемпотентом ер.
Теорема 11.28. Пусть р — модулярная правая конгруэнция
на полугруппе S, е — левая единица из S no mod p, JT (р) — нор-
нормализатор р, %е (р)—левый идеал из JT (р), определенный выше,
и Я: ар -> Яа есть определенный выше антигомоморфизм полугруп-
полугруппы JT (р)/р в полугруппу % (Sip) операторных эндоморфизмов опе-
операнда 67р. Тогда ограничение к наЖе (р)/р является антигомомор-
антигомоморфизмом полугруппы JTe (рУр на % (Sip).

344 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Доказательство. Пусть ц ? % (Sip) и (ер) ц = ср.
Для любого s 6 S имеем
ц = ((es) p) ц = ((ep) s) ц = ((ер) ц) s = (cp) s = (cs) p.
Отсюда для spt получаем
(cs) p = (sp) [X = (tp) [X = (Ct) p,
откуда cspct, т. е. с ? ^f* (p). Следовательно, по определению
преобразования Яс равенство A) превращается в равенство
(sp) \i = (sp) Яс, откуда [х = Яс. Если s = е, то в силу равенства A)
и определения элемента с имеем ср = (ер) р, = (се) р. Следова-
Следовательно, сере и с ? Же (р)- Таким образом, каждый элемент [х
из % (Sip) имеет вид Яс, где с ?,#*,, (р). Это показывает, что огра-
ограничение отображения Я на Же (р)/р есть отображение на % (Sip).
Докажем, что такое ограничение отображения А, взаимно
однозначно. Пусть а и b — такие элементы из Же (р), что %а =
= Хь. Тогда
ар = (ае) р = (ер) 1а = (ер) 1Ь = (be) p = Ър,
так что а и Ъ определяют один и тот же элемент из Жв (рУр-
Упражнение к § 11.7
1. Выбор, левой единицы е из S no mod p в теореме 11.28 несу-
несуществен в следующем смысле. Если / — любой другой такой
элемент и а 6 Же (<?), то а/ € Ж/ (р) и %af — Ха.
§ 11.8. Представления мономиалъными матрицами
Напомним (§ 3.1), что матрица А над группой с нулем G
называется мономиалъной по строкам, если каждая строка из А
содержит не более одного ненулевого элемента из G0. Любое пред-
представление ф полугруппы S преобразованиями множества М мож-
можно рассматривать как представление мономиальными по строкам
М х Af-матрицами над двухэлементной группой с нулем Е° =
= {0, 1}; для каждого элемента а ? S положим N (а) =
= (пху («)) (*. У 6 М), где
1, если х(аср)=>у,
в остальных случаях. * '
(См. упражнение 4 к § 3.5.) Легко проверяется, что N (ab) =
= N (а) N (Ь) для всех а, Ъ ? S.
Пусть V — множество мономиальных М-векторов над Е°.
Для каждого х ? М через хв обозначим элемент из V, имеющий
1 на х-м месте и нули на остальных местах. Превратим V в one-

§ 11.8. Представления мономиальными матрицами 345
ранд Vs над S, полагая (ж0) а = (ж0) N (а). Тогда 0 является
операторным изоморфизмом Мs на Fs.
В некоторых случаях, особенно когда заданное представле-
представление ф неприводимо, мы можем превратить ф в представление моно-
мономиальными по строкам матрицами над нетривиальной группой
с нулем. Это хорошо известно для представлений групп подста-
подстановками (см., например, § 1 гл. V книги Цассенхауза [1937])
и было впервые обобщено на полугруппы Тулли [I960], а также,
независимо, Хёнке [1963] *). В данном параграфе нас будет инте-
интересовать возможность такой замены.
В качестве важного частного случая мы докажем, что для
представления полугруппы S, индуцированного в главном пра-
правом идеале из S регулярным правым представлением полугруп-
полугруппы S, такая замена приводит к представлению Шютценберже
(§ 3.5). Эта связь впервые была отмечена Тулли [1960].
Результаты данного параграфа можно очевидным образом
превратить в двойственные к ним утверждения о замене анти-
антипредставлений преобразованиями на антипредставления моно-
мономиальными по столбцам матрицами. Мы будем рассматривать
лишь О-транзитивные представления. Из полученных утвержде-
утверждений легко выводятся результаты для транзитивных представле-
представлений. Заметим, что они приводят к представлениям строго моно-
мономиальными по строкам матрицами, т. е. матрицами, которые имеют
в каждой строке в точности один отличный от нуля элемент.
Пусть Мg есть 0-транзитивный операнд над полугруппой S
и 0м — ег<> нулевая точка. Обозначим через Л — Л (Ms) груп-
группу операторных автоморфизмов операнда Ms. Она, конечно,
совпадает с группой обратимых элементов полугруппы % (Ms),
рассмотренной в предыдущем параграфе. Пусть G — произволь-
произвольная подгруппа из группы Л*, двойственной к Л. Тогда мъГможем
превратить М в (G, <?)-биоперанд, полагая gx'— ху, где х ? М,
g (z G я у есть элемент из Л, соответствующий элементу g ? Л*.
Заметим, что GM является точным унитальным "левым операн-
операндом над G и М \ 0м инвариантно относительно G.
По теореме, двойственной к теореме 11.3, М \ 0м разла-
разлагается в объединение попарно не пересекающихся транзитивных
левых операндов Nt (i ? Г) над G- Кроме того, каждый Nt просто
транзитивен, т. е. для любых двух элементов и, v ? Nt суще-
существует такой единственный элемент g 6 G, что gu = v. Так как
Ni транзитивен, нам нужно доказать лишь, что gu = hu (g, h ?
€ G) влечет за собой g = h. Пусть х С М. В силу 0-транзитивно-
сти операнда Ms и того, что и Ф 0м, существует а ? S, для кото-
которого иа = х. Следовательно, gx = gua = hua — hx. Так как это
х) Для вполне 0-простых полугрупп .такие представления рассматрива-
рассматривались Л. М. Глускиным [1959с].— Прим. ред.

346 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
выполняется для каждого х 6 М и левый операнд $М точен, мы
заключаем, что g = h.
Из каждого Ni выберем элемент ut. Так как Nt просто тран-
зитивен над G, любой элемент из М \ 0м однозначно предста-
представим в виде gu^ где i ? I и g ?G.
Пусть V — множество мономиальных /-векторов над <г°. Эле-
Элемент v ? F есть отображение множества / в G0, имеющее ненуле-
ненулевое значение не более чем для одного элемента из /. Если iv =
— g 6 G и jv — О для всех j Ф i, мы пишем v = (g)t. Нулевой
вектор будем обозначать по-разному: то через 0v, то через @)*
для любого i 6 !• Определим отображение 0: М -> V, полагая
0м9 = @)i и (^ui) 9 = (s)t- Очевидно, 0 есть взаимно однозначное
отображение М на V. Превратим V в операнд Vs над S, эквива-
эквивалентный М8, полагая (ж0) а = (яа) 0 для каждого х ? М, а ? S.
Для каждого элемента а ? S определим следующим образом
/ X /-матрицу F (а) = (fu (а)) над <?°:
ГА, если uia*huj,
in (в) = 10 если м.а ^ N. (=Gw^ B)
Так как либо uta = 0, либо uta ? Nj в точности для одного j ? Л
матрица F (а) мономиальна по строкам. Докажем, что va =
= vF (а) для каждого v 6 F, где г;/1 (а) есть обычное произведение
матриц.
Мы имеем v = xQ для некоторого а; ? Af. Если а; = 0м, то
г;а и vF (a) равны 0г, поэтому мы можем предположить, что х Ф
Ф 0м. Тогда х = gut для некоторого g 6 G и г 6 /• откуда у =
= ж9 = (gu,) 0 = (g)i. Предположим сначала, что ща Ф 0м.
Тогда uia = huh для некоторого h ? G, к ? I и B) дает
, если j = k,
, если
Следовательно, г-я строка A)^ (а) из F (а) равна вектору
из F. Таким образом, мы имеем
va = (жб) а = (ха) 9 = (gUja) 0 = (ghiib) 9 = (gh)b,
vF (a) = (g)f F(a)=g A), *• (a) =
Если uta = 0M, то ш = (guta) 0 = 0M9 = 0v. Также ввиду B)
i-я строка A)г F (a) из F (а) равна 0v и поэтому vF (a) = gOv = 0v.
Если a, b ? S и z; ^ F, мы имеем
vF (ab) = у (a&) = (ш) 6 = (vF (a)) F (b) = v (F (a) F F))
и, так как это выполняется для любого v ? F,
F (ab) = F (a) F (b).

§ 11.8. Представления мономиалъными матрицами 347
Таким образом, а -> F (а) есть представление полугруппы S
мономиальными по строкам / X /-матрицами над G°.
Теорема 11.29. Пусть Ms есть О-транзитивный операнд над
полугруппой S, G — произвольная подгруппа группы, двойственной
к группе операторных автоморфизмов операнда Ms. Превратим
Ms в биоперанд qMs. Тогда существует такое подмножество
{ut \ i ? 1} из М \ 0м, что каждый элемент из М \ 0м одно-
однозначно представим в виде gui, где g ? G, i ? I. Каждому а ? S
поставим в соответствие I х I-матрицу F (а) над G°, опреде-
определенную условием B). Тогда F (а) мономиалъна по строкам и F (ab) =
= F (a) F (Ь) для всех a,b?S.
Это представление эквивалентно исходному в следующем смысле.
Пусть V — множество мономиалъных I-векторов (g)t над G0,
рассматриваемое как биоперанд gVz, где 2 есть полугруппа всех
мономиалъных по строкам I x 1-матриц над G0. Превратим
V в операнд над S, полагая va = vF (а) для каждого v ? V и а ? S.
Тогда отображение в, заданное равенствами {gui) 0 = (g)i, OM0 =
= Ov, является операторным изоморфизмом Ms на V8.
Свяжем предыдущее с (правосторонним) представлением
Шютценберже A) из § 3.5.
Пусть R есть ^2-класс полугруппы S и а ? R. Мы будем
исключать тривиальный случай, когда \ R | = 1. Следовательно,
а 6 aS, так как в противном случае R = {а}. Таким образом,
aS является строго циклическим операндом над S. В силу лем-
леммы 11.5 фактороперанд R° = aS/I(aS) является О-транзитивным
операндом для I(aS)=?0. Обозначая, через 0д нулевую точку
операнда R0, мы имеем R° = R [}0R. Если / (aS) = 0, то опе-
операнд Д сам является транзитивным. В целях единообразия при-
присоединим в этом случае нулевую точку 0н к R.
Пусть Н есть ©#-класс полугруппы S, содержащий R.
В § 2.4 мы определили
Г (Н) = {м 6 51 | и# с= н).
Обозначим через Яи левый внутренний сдвиг s -> us полугруп-
полугруппы 51 и положим Vu = Ki I H.
Пусть и 6 Т' (Н)яп?Н. Тогда uh$gh и поэтому uhXh. В силу
леммы, двойственной к лемме Грина 2.2, Ху, \ Rh есть взаимно
однозначное отображение Rk на RUh, сохраняющее ,5?-классы.
Здесь Rh — RUh = -й) и поэтому v« = ku \ R есть подстановка
на R, сохраняющая ^-классы. Следовательно, Г" = {у"и \ и 6
€ Т'} — группа. Так как Г" действует транзитивно на Н, кото-
которое может быть любым <г(?-классом из S, содержащимся в R, ясно,
что ^-классы из S, содержащиеся в R, являются классами тран-
транзитивности на R относительно Г". Очевидно, Yu->- 7« (= Уи I Ю

348 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
есть изоморфизм Г" на двойственную группу Шютценберже
Г' (Н), определение которой приведено в § 2.4.
Так как для каждого и ? Т' левый внутренний сдвиг Яи ком-
коммутирует с каждым преобразованием на R°, индуцированным
некоторым правым внутренним сдвигом полугруппы S, это же
верно и для каждого Yu- Тогда Г" есть подгруппа группы Jh (R°)
операторных автоморфизмов. (Если R регулярно, то Г" = Л> (й°);
см. упражнение 2 к настоящему параграфу.) Возьмем в каче-
качестве G группу, двойственную к Г".
По теореме 2.24 группа G изоморфна (правой) группе Шютцен-
Шютценберже Г (Н). Для того чтобы применить B) с формулой A) из
§ 3.5 к (правому) представлению Шютценберже MD (s) = (/raj,w (s))
полугруппы S, мы должны установить некоторый изоморфизм
между G и Г, или, что то же самое, некоторый антиизоморфиаь;
между Г" и Г. То, что мы делаем, опирается на доказательство
теоремы 2.24. Выберем и зафиксируем элемент hi ? Н. Если
у" ? Г", то hiy" ? Н и поэтому h^y" = h^ для единственного
7 6 Г. Положим у = y"<P- Ясно, что ф есть антиизоморфизм
Г" на Г.
Пусть {Н^ | % ? Л} есть множество ^-классов из R. Для
каждого Я, ? Л выберем элемент hy ? Н^. При этом Н = Н\ и hi
есть ранее выбранный элемент из Н. Тогда представление F,
заданное условием B), принимает вид
(»)9. если Л4а =
0,
Другими словами, /j.^ (а) равно 0, если не имеет место включе-
включение h^a^Hn', в последнем случае существует такое и ? Т', что
hxa = иЬ,^ и соответствующий элемент у" (и) ? Г" однозначно
определен, так как щЬ.^ = и2^ц влечет за собой у" (щ) = у" (и2).
Возьмем тогда в качестве f%v. (а) соответствующий элемент
у" (и) ф из Г, который в данном случае принадлежит G.
Как и в § 3.5, существуют такие элементы q^ и q'% из S, что
hx = hiq^ и ^ — h,jq{. Соотношение hxa =\ик^ мы можем теперь
переписать в виде
или
(и).
Следовательно, у" (и) ф = у (q^q'n). и C) записывается в виде
если
(а) = \
7я.ц \ ) — | q в Пр0ТИВН0М случае. ^ '
Замечая, что hxa ^ Н^ влечет за собой Н^а = #w, мы видим,
что условие D) совпадает с условием A) из § 3.5.

§ 11.9. Другие шипи представлений 349
Упражнения к § 11.8
1. В представлении а -> F (а), заданном условием B), строки
матрицы F (а) могут быть заполнены произвольным образом
в том смысле, что для фиксированных i, j ? I n g ? G существует
такое а 6 S, что ftJ (a) = g. (Тулли [I960].)
2. Пусть R — регулярный 3?-класс полугруппы S. Тогда
(левая) группа Шютценберже для R (действие которой расшире-
расширено на все R, как в тексте) совпадает с группой A (R0) оператор-
операторных автоморфизмов операнда Д|- (Это не известно для ирре-
иррегулярного R.)
§ 11.9. Другие типы представлений
Цель этого заключительного параграфа — обратить внимание
на некоторые типы операндов (или представлений), которые
более специальны, нежели неприводимые операнды. Мы не углуб-
углубляемся в их теорию, которая находится еще в зачаточном состоя-
состоянии, и отсылаем читателя за деталями к работам Тулли [I960,
1961] и Хёнке [1963, 1966].
Операнд М8 над полугруппой S называется примитивным,
если единственными операторными эквивалентностями на М
являются отношение равенства iM и универсальное отношение
<ом. Это условие эквивалентно следующему: если 9 есть опера-
операторный гомоморфизм Мs на некоторый операнд M's над S, то
либо | М' | = 1, либо 0 является изоморфизмом. Следовательно,
полугруппа эндоморфизмов % (Ms) примитивного операнда Ма
есть группа или группа с нулем.
Пусть FM — множество неподвижных точек операнда Ms.
Операнд Ms называется вполне неприводимым (Хёнке), если он
примитивен и MS dp FM. Очевидно, операнд примитивен тогда
и только тогда, когда он либо вполне неприводим, либо состоит
не более чем из двух элементов и является тривиальным или
нулевым. Примитивный операнд не может иметь собственного
инвариантного подмножества более чем из одного элемента; сле-
следовательно, по лемме 11.16 он либо неприводим, либо имеет
мощность не больше двух и является нулевым или тривиальным.
Таким образом, вполне неприводимый операнд неприводим.
Назовем правую конгруэнцию р на полугруппе S максималь-
максимальной, если для любой правой конгруэнции а на 5 из р s a g <о8
следует а — р или а = <й8 (возможность р = <»s допускается).
Если р и а — правые конгруэнции на S, p s о* и р модулярна,
то а модулярна; следовательно, при использовании термина
«максимальная модулярная правая конгруэнция» путаницы не
возникнет. Следующий результат принадлежит Тулли [1960]
и Хёнке [1966].

350 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Лемма 11.30. (i) Если операнд М8 над полугруппой S вполне
неприводим, то существует максимальная модулярная конгруэн-
конгруэнция р на S, для которой Ма эквивалентен S/p.
(ii) Если р — правая конгруэнция на полугруппе S, то S/p
примитивен тогда и только тогда, когда р максимальна. Операнд
S/p вполне неприводим тогда и только тогда, когда р максимальна
и выполняются условия: (С1) существует не более одного р-класса,
который является правым идеалом из S, и (G2) если R есть р-классг
являющийся правым идеалом из S, то S2 c? R.
Доказательство, (i) Если Мs вполне неприводим,
то он неприводим, как отмечено выше, и в силу леммы 11.16
является строго циклическим. На основании теоремы 11.6 суще-
существует такая модулярная правая конгруэнция р на S, что Ms
эквивалентен ?Ур. Если р не максимальна, то существует правая
конгруэнция а на S, для которой рсас в>8. По лемме 11.1
существует операторная эквивалентность на S/p, которая не
является ни отношением равенства, ни универсальным отноше-
отношением, и, так как S/p эквивалентен Ms, это противоречит нашим
предположениям.
(ii) Пусть р — конгруэнция на S. Так как по лемме 11.1
существует изоморфизм между структурой операторных экви-
эквивалентностей на S/p и структурой операторных эквивалентностей
(т. е. правых конгруэнции) на S, содержащих р, ясно, что операнд
S/p примитивен тогда и только тогда, когда конгруэнция р макси-
максимальна. Предположим, что S/p примитивен. Тогда (С1) утверж-
утверждает, что S/p не является тривиальным операндом, если он имеег
больше одного элемента, и (С2) утверждает, что S/p не является
нулевым, и если он тривиален, то S/p имеет больше одного
элемента.
Хёнке называет полугруппу вполне примитивной, если она
¦допускает точное вполне неприводимое представление. Он иссле-
исследовал ^-радикал полугруппы S для класса'% вполне примитив-
примитивных полугрупп [1966]. Группа вполне примитивна тогда и только
тогда, когда она примитивна в классическом смысле; это имеег
место тогда и только тогда, когда она содержит максимальную
подгруппу Н, пересечение всех сопряженных с которой равно еди-
единичной подгруппе.
Тулли [1960] называет операнд Ms над полугруппой
S дизъюнктивным, если отношение равенства \,м на М есть един-
единственная операторная эквивалентность на М, имеющая одно-
одноэлементный класс эквивалентности. Он доказал следующее
утверждение.
Лемма 11.31. (i) Если М8 — дизъюнктивный операнд над полу-
полугруппой S, то М не содержит собственных инвариантных под-

§ 11.9. Другие типы представлений 351
множеств мощности более единицы и поэтому будет одного из
следующих типов: транзитивный', О-транзитивный; нулевой,
содержащий не более двух элементов; тривиальный, содержащий
не более двух элементов.
(И) Каждый примитивный операнд дизъюнктивен. Каждый,
дизъюнктивный операнд, содержащий инвариантный элемент,,
примитивен.
Доказательство, (i) Предположим, что N есть соб-
собственное инвариантное подмножество из М и \N | >1. Если
v есть соответствующая эквивалентность Риса на М, то v Ф \м,
так как | N | >1, в то время как каждый элемент из М \ N
(Ф 0) образует одноэлементный v-класс. Тогда Мs не дизъюнк-
дизъюнктивен. Второе утверждение из (i) является непосредственным след-
следствием леммы 11.16.
(ii) Из определений сразу же следует, что каждый примитив-
примитивный операнд дизъюнктивен. Пусть Ms — дизъюнктивный опе-
операнд, содержащий инвариантный элемент z и о* — произвольная
операторная эквивалентность на М. Тогда (za) a = (za) a = za
для всех а 6 S. Следовательно, N = za есть инвариантное под-
подмножество из М. Ввиду (i) имеем N = М или | N | = 1. Если
N — М, то а = (вм. Если | N \ = 1, то а = iM, так как Ms-.
дизъюнктивен. Следовательно, <лм и iM — единственные опера-
операторные эквивалентности на М, т. е. Ms примитивен.
Следующая лемма, принадлежащая Тулли [1960], дает одну
из характеризаций дизъюнктивных операндов.
Лемма 11.32. Операнд Ms над полугруппой S дизъюнктивен-
тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему усло-
условию: если х, у, z — произвольные различные элементы из М, то-
существует такой элемент а ? S, что либо ха — z и уаф z,.
либо ха Ф z и уа = z.
Если \ М \ не больше двух, то это условие выполняется три-
тривиально и, следовательно, М дизъюнктивен, что, впрочем, здесь,
и так ясно.
Доказательство. Для каждого элемента z ? М опре-
делим следующим образом отношение т2 на М:
У)? (M\z)x(M\z)\xs = z
тогда и только тогда, когда ys = z (s ? S)}.
Это отношение есть аналог главной регулярной правой эквива-
эквивалентности Дюбрея, соответствующей множеству {z}. Ясно, что
т2 есть операторная эквивалентность на М, один из классов
которой есть {z}, и хгф fi>Mi за исключением случая, когда

352 Гл. 11. Представления преобразованиями множества
Легко видеть, что условие леммы равносильно тому, что хг =
= iM для каждого z ? М. Ясно, что это так, если операнд М3
дизъюнктивен.
Предположим, что Ms не дизъюнктивен. Тогда существует
такая операторная эквивалентность а на М, имеющая одноэле-
одноэлементный cr-класс {z}, что а Ф ъм. Имеем а = хг. В самом деле,
если (х, у) 6 о*, то (xs, ys) ? а для каждого s ? S, так что xs = z
[или х = г]{тогда и только тогда, когда ys — z [или у = z]. Сле-
Следовательно, хг Ф у.ш и условие леммы не выполняется.
Операнд Ms называется дважды транзитивным, если для
любых элементов и, v, х, у 6 М, где и Ф v, существует такой
а 6 S, что иа = х и va = у.
Любой дважды транзитивный операнд примитивен. В самом
деле, предположим, что а есть операторная эквивалентность на М
и а Ф iM. Тогда существует и Ф v в М, для которых uav. Пусть
х, у 6 М. Тогда существует такой а ? S, что иа = х in va = у.
Но иау влечет за собой uaava. Следовательно, хау, т. е. а = <ом.
Пусть Мв — операнд без неподвижных точек. Тогда мы
имеем следующие импликации; fдважды транзитивность влечет
за собой примитивность влечет за собой дизъюнктивность влечет
за собой транзитивность. Примеры, приведенные в упражнениях,
показывают, что не выполняется ни одна из импликаций, обрат-
обратных к данным.
Упражнения к § 11.9
1. Пусть G — циклическая группа простого порядка. Тогда
GG есть примитивный операнд над G, который не дважды тран-
зитивен.
2. Пусть G — абелева группа, порядок которой'не является
простым числом. Тогда GG есть дизъюнктивный операнд над G,
который не примитивен.
3. Пусть S состоит из константных преобразований множе-
множества М и \ М | >2. Тогда операнд Ms, определенный очевидным
¦образом, транзитивен, но не дизъюнктивен.

Глава 12
ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУППЫ В ГРУППУ
В теореме 1.23 было установлено, что реверсивная справа
полугруппа с сокращениями может быть вложена в группу. Здесь
мы рассмотрим общую задачу вложения полугруппы в группу.
То, что не всякая полугруппа с сокращениями вложима в группу,
впервые было доказано А. И. Мальцевым [1937]. В § 12.4 мы
указываем на его контрпример *). Необходимые и достаточные
условия вложимости полугруппы в группу были найдены
А. И. Мальцевым в статье [1939]. Каждое из условий Мальцева
состоит в том, что из выполнимости в данной полугруппе конеч-
конечного набора равенств определенного типа вытекает выполнимость
в ней некоторого другого равенства. Множество этих условий
счетно и никакого его конечного подмножества уже не достаточно
для возможности вложения полугруппы в группу. Эти резуль-
результаты А. И. Мальцева мы излагаем в § 12.6 и 12.8. Аналогичный
набор квазитождеств был найден Ламбеком [1951]. В § 12.5 мы
приводим результаты Ламбека, а в § 12.7 устанавливаем соот-
соотношение между условиями Ламбека и условиями Мальцева.
Характерная черта доказательств Ламбека состоит в исполь-
использовании понятия частных, которые являются обобщением соот-
соответствующих понятий, применяемых в частном случае реверсив-
реверсивных справа полугрупп (теорема 1.23). В § 12.4 вводится одно
принадлежащее Мальцеву условие, которому обязательно удо-
удовлетворяет полугруппа, вложимая в группу, и показывается,
что для полугруппы, удовлетворяющей этому условию, всегда
можно построить группу частных. Полугруппа вложима в группу
тогда и только тогда, когда она естественным образом вклады-
вкладывается в свою группу частных.
В § 12.1 и 12.2 вводится понятие свободной группы на полу-
полугруппе. Это понятие играет основную роль в рассматриваемом
вопросе. В качестве следствия устанавливается, что полугруппа
может быть вложена в группу тогда и только тогда, когда в группу
может быть вложена каждая ее конечно порожденная подполугруп-
подполугруппа. Из того факта, что полугруппа может быть вложена в группу
1) См. стр. 365.— Прим. перев.
23-100

354 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
тогда и только тогда, когда она может быть вложена в свободную
группу на ней, мы выводим в § 12.3 необходимые и достаточные
условия вложимости, принадлежащие Птаку [1949].
§ 12.1. Свободная группа на полугруппе
В теореме 9.4 доказано, что если М — некоторое множество
и р.: М -> S — взаимно однозначное отображение множества М
в полугруппу S, то S является свободной полугруппой на M\i
тогда и только тогда, когда для любой полугруппы Т и любого
отображения v: М -> Т существует такой гомоморфизм ср: S -> Т,
что р,ф = v. Мы будем называть такую свободную полугруппу
свободной полугруппой (S, |х) и, допуская вольность речи, назовем
ее свободной полугруппой на М.
Аналог теоремы 9.4 выполняется для свободных групп. Пусть
М — множество и v: М -> G — взаимно однозначное отображе-
отображение множества М в группу G. (G, v) является свободной группой
на М (точнее, на Mv) тогда и только тогда, когда для любой
группы Н и любого отображения б; М -> Н существует такой
гомоморфизм 0: G-> Н, что v0 = б. Эту характеризацию можно,
получить, используя определение свободной группы на множестве
(§ 1.12) точно так же, как получается соответствующая характе-
ризация для полугрупп в доказательстве теоремы 9.4.
Если S и S' — полугруппы, р, и р/ — отображения множе-
множества М соответственно в S и <S", то говорят, что (S, \i) и (S', ц')
эквивалентны, если существует изоморфизм о* полугруппы S
на S', такой, что \io — ц' и, следовательно, р'о'1 = ц. Если
(S, р.) — свободная полугруппа на If и полугруппа E", ц')
эквивалентна (S, р.), то легко видеть, что (iS", p.') также является
свободной полугруппой на М. Аналогично, если (G, v) — сво-
свободная группа на ? и группа (G, v) эквивалентна (G', v'), то
последняя является свободной группой на М. В каждом из этих
случаев справедливы обратные утверждения, т. е. имеет место
Лемма 12.1. (а) Если (S, \i) — свободная полугруппа на множе-
множестве М, то (iS", p,') является свободной полугруппой на М, где
р,': М -*¦ S', тогда и только тогда, когда (S', р,') эквивалентна
(S, |i).
(Ь) Если (G, v) — свободная группа на множестве М, то (G', v')
является свободной группой на М, где х': М—>¦ G', тогда и только
тогда, когда {G', v') эквивалентна (G, v).
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) доказываются
аналогично, поэтому мы докажем лишь первое из них.
Как уже было отмечено, достаточность справедлива. Пред-
Предположим теперь, что (S, ц) и E", |х') — свободные полугруппы
на М. Тогда на основании теоремы 9.4 существуют гомоморфиз-

§ 12.1. Свободная группа на полугруппе 355
мы ф; S -> S' и ф': S' ->¦ S, для которых \мр = ц' и |х'ф' = р,.
Следовательно, р-фф' = р, и р/ф'ф = ц'- Таким образом, фф'
и ф'ф индуцируют тождественные преобразования соответственно
на множествах M\i и M\i'. В силу этого фф' должно быть тожде-
тождественным преобразованием всей полугруппы S, поскольку M\i
есть ее порождающее множество; аналогично, ф'ф является
тождественным преобразованием всей полугруппы S'. Следова-
Следовательно, ф есть изоморфизм полугруппы S на <S", а ф' — обратный
к нему изоморфизм. Из равенства цф = ц' теперь вытекает, что
(S, ц) и (S', \i') эквивалентны. Это доказывает необходимость
условия и завершает доказательство леммы.
Пусть А — подмножество группы G. Пересечение всех под-
подгрупп из G, содержащих А, является подгруппой. Эту подгруппу
будем обозначать через [.Л] и будем говорить, что она порождается
множеством А. Множество А называется множеством групповых
образующих подгруппы [А]. Термин «групповые образующие»
дает возможность подчеркнуть различие между полугруппой (А),
Порожденной множеством А, и группой [А], порожденной множе-
множеством А. Вообще говоря, (А) не равно [А]. Например, если
(G, v) — свободная группа на М, то [М\] — G, в то время как
((Mv), v) является свободной полугруппой на М.
Пару {Н, у\) будем называть группой на полугруппе S или
просто S-группой, если Н — группа и т] — гомоморфизм полу-
полугруппы S в Н, такой, что <SV| является множеством групповых
образующих группы Н. Пару (G, у) будем называть свободной
группой на полугруппе S или свободной S-группой, если (G, у)
является iS-группой и если для любой iS'-rpynribi (H, г\) существует
такой гомоморфизм 9 группы G в Н, что yQ — ч\ (т. е. следующая
диаграмма коммутативна).
Если ограничения двух гомоморфизмов аир полугруппы
[группы] S в полугруппу Т совпадают на некотором множестве
образующих [групповых образующих] полугруппы [группы] S,
то а = р. Следовательно, гомоморфизм 9 группы G в Н одно-
однозначно определяется условием уд — т], поскольку Sy есть множе-
множество групповых образующих группы Н.
Как и в случае свободных полугрупп и свободных групп, мы
будем говорить, что две iS-rpynnu {Н, т]) и (Н', г\') эквивалентны,
если существует такой изоморфизм т группы Н на Н', что т]Т == г\'
и (следовательно) ц'х'1 = г\. Доказательство следующей леммы
проводится точно так же, как доказательство леммы 12.1.
23*

356 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
Лемма 12.2. Если (G, у) — свободная группа на полугруппе S,
то S-группа (G',y') является свободной группой на полугруппеS
тогда и только тогда, когда она эквивалентна (G, у).
Теперь мы покажем, опираясь на следующую конструкцию,
что для любой полугруппы S существует свободная группа на S.
Приводимая конструкция более сложна, чем это требуется для
теоремы существования. Общность этой конструкции окажется
удобной в дальнейшем.
Конструкция 12.3. Пусть S — полугруппа и Т — ее порож-
порождающее множество. Пусть М — произвольное множество той же
мощности, что и Г, а а — взаимно однозначное отображение
множества М на Г. Обозначим через (Т, т) свободную полугруппу
на М и через (F, ф) свободную группу на М.
Пусть а — гомоморфизм полугруппы Т в F, такой, что та =
= ф, и р — гомоморфизм полугруппы Те S, такой, что тр = о*.
Обозначим через р отношение р = а ° $ ° $~г ° а на F и через
р4 — конгруэнцию на F, порожденную р. Тогда (G, у) является
свободной группой на S, где G = F/pi и у — гомоморфизм полу-
полугруппы S в G, такой, что ау =
э- F
Проверка. На основании теоремы 9.4 указанные гомо-
гомоморфизмы аир полугруппы Т существуют. Кроме того, аи Р
являются единственными отображениями с требуемыми свой-
свойствами (действительно, (Ма) — S и [Мер] = F). Таким образом,
отношение р (а поэтому и р4) на группе F определяется одно-
значно.
Далее, отображение Ма в G, переводящее произвольный
элемент та (т € М) в /перр^, единственным образом продолжается
до гомоморфизма у полугруппы S в G. В самом деле, пусть
у — такой гомоморфизм, что ау = фр*, и s?S. Тогда, так как
по предположению Ма порождает S, мы имеем s = т^атга . . .
. . . тпа для некоторых тг 6 М и поэтому должны иметь
*у = mtaym2ay . . . тпау = m^pfn^pf п^пфр^7- С дру-
другой стороны, используя последнее выражение, мы можем одно-

§ 12.2, Общая задача вложения полугруппы в группу 357
значно определить sy. В самом деле, предположим, что s =
— т[а . . . т'рО при т] 6 М. Положим и = т^т2х . . . тпх
и и' = т[х . . . т'рХ. Тогда и0 = s — w'P, поскольку тр = а.
Следовательно, (иа, и'а) 6 а ° Р ° Р ° а. Таким образом,
иар? = u'apf. Используя равенство та = <р, мы получаем отсю-
отсюда m^plji . .' . тп(рр$ = т[(рр$ . . . т'р<рр$, откуда в свою оче-
очередь вытекает т&утъоу . . . тпау = т[ау . . . т'рау.
Теперь непосредственно видно, что заданное отображение
является гомоморфизмом. В самом деле, если s = т^а . . . тпа
и t = т[а . . . т'рв, то st = т^о . . . тпот[о . . . т'ра. Следова-
Следовательно, (sf) у = тгау . . . тпоут[оу . . . m'vay = (sy) (?y).
Далее, Мц> является множеством групповых образующих
группы F, и поэтому М(рр? является множеством групповых
образующих группы G = Flpi. Поскольку Af<ppf = May ^\Sy,
отсюда вытекает, что Sy есть множество групповых образующих
группы G. Итак, мы установили, что {G, у) является ^-группой.
. Пусть (Я, ti) — произвольная «S-rpynna. Тогда аг\ есть ото-
отображение множества М в Н. Так как (F, <р) — свободная груп-
группа на М, существует такой гомоморфизм Я группы F в Н, что
оц = фЯ. Докажем, что р s Я ° К'1. Возьмем (w, w') 6 р. Тогда
существуют такие и, и' 6 Т, что иа = w, и'а = w' и мр = м'р\
Пусть и = т4т . . . mnx и и' — пг[х . . . пг'рх (тпи т\ 6 М)- Тогда
. . . тпц>) К =
. . . тпа) т\ =
= («Р) Л
и, аналогично, w'X = (w'P) r\.
Следовательно, поскольку up = u'fi, мы имеем wk = w'K,
т. е. (w, w') 6 Я о Я. Итак, р = Я ° Я и поэтому р4 s Я ° Я.
Из леммы 1.6 вытекает теперь существование такого гомомор-
гомоморфизма G группы G в Н, что рг^0 = Я. Мы имеем а (ув) — (ву) 0 =
= ф (р^9) = фЯ = ог\. Таким образом, ограничения отображе-
отображений. г| и уд на Ма совпадают. Поскольку Ма порождает S, отсюда
вытекает tj = 76-
Построение гомоморфизма 9, удовлетворяющего этому равен-
равенству, завершает проверку конструкции и показывает, что (G, у)
является свободной группой на S.
§ 12.2. Общая задача вложения полугруппы в группу
Следующая теорема показывает важность свободной группы
на полугруппе для рассматриваемой задачи.
Теорема 12.4. Пусть (G, у) — свободная группа на полугруп-
полугруппе S. Полугруппа S может быть вложена в группу тогда и толь-

358 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
ко тогда, когда отображение у является вложением полугруп-
полугруппы S в G.
Доказательство. В доказательстве нуждается лишь
необходимость. Предположим, что S может быть вложена в груп-
группу, так что существует изоморфизм г\ полугруппы S в группу Н.
Очевидно, мы можем считать, что Sv\ является множеством груп-
групповых образующих группы Н. Таким образом, (Н, ц) является
.S-группой и поэтому, так как (G, у) есть свободная /S-rpynna,
существует гомоморфизм 0: G-+ Н, такой, что ув = г\. Отсюда
в силу взаимной однозначности отображения т] следует взаимная
однозначность отображения у. Итак, у вкладывает S в G.
Мы скажем, что группа Н является группой, порожденной
полугруппойl) S, если существует такой изоморфизм ф полугруп-
полугруппы S в Н, что Scp является множеством групповых образующих
группы Н. Из доказательства теоремы 12.4 следует, что если
S может быть вложена в группу, то свободная группа G на S
является наибольшей из групп, порожденных полугруппой S,
в том смысле, что любая группа, порожденная полугруппой S,
есть гомоморфный образ группы G. Упражнение 1 к настоящему
параграфу показывает, что существуют и минимальные группы,
порожденные полугруппой S, а упражнение 2 — что могут суще-
существовать две минимальные порожденные полугруппой S группы Hi
и Н^, такие, что не существует изоморфизма над S группы Hi
на Я2.
Возможность вложения полугруппы в группу зависит только
от ее конечно порожденных подполугрупп. Мы используем кон-
конструкцию 12.3 для вывода этого результата из теоремы 12.4.
Нам понадобится одна fвспомогательная лемма (доказательство
которой непосредственно вытекает из соответствующих опре-
Лемма 12.5. (а) Пусть (S, \i) — свободная полугруппа на М
и М' — непустое подмножество из М. Положим |х'. = р. | М'
и S' = (M'\ir). Тогда (S', ц') является свободной полугруппой
на М'.
. (Ь) Пусть (G, у) — свободная группа на М и М' — непустое
подмножество из М. Положим у' = у \ М' и G' = Ш'у']. Тогда
(G', у') является свободной группой на М'.
Теорема 12.6. Полугруппа вложима в группу тогда и только
тогда, когда этим свойством обладает каждая ее конечно порож-
порожденная подполугруппа.
Доказательство. В доказательстве нуждается лишь
достаточность условия. Предположим, что каждая конечно порож-
1) В оригинале receiving group.— Прим. перев.

§ 12.2. Общая задача вложения полугруппы в группу 359
денная подполугруппа S может быть вложена в группу, а
сама полугруппа S не вложима в группу. Отсюда, в частности,
вытекает, что если (G,,y) — произвольная свободная группа
на S, то у не является взаимно однозначным отображе-
отображением.
В качестве (G, у) возьмем свободную группу на S, указанную
в конструкции 12.3, а в качестве порождающего множества Ма
полугруппы S возьмем саму S. Поскольку у не взаимно однознач-
однозначно, существуют такие т, т ? М, что may — т'ау, но та Ф т'о.
Так как ay = cppf, из may = т'ау вытекает (тер, т'у) 6 Pi-
В силу того что pt есть конгруэнция, порожденная отношением р,
существуют такие элементы w0 = ту, Wi, . . ., wn = т'у из F,
что ii>;_! ->¦ Wi (i = 1, 2, . . ., п) есть элементарный р-переход,
т. е. wi_l = aiyibi й wt = агхгЬг, где (yh xt) 6 pLJP^U i*
и at, bi?F (i = 1, 2, . . ., n).
Так как Мц> является множеством групповых образующих
группы F, каждый из элементов at, bt, xt, yt есть произведение
конечного числа элементов из JWcpLK-^p)"- Для каждого из
а?, hi, Xi, ух выберем произвольное (но фиксированное) выраже-
выражение в виде такого произведения и через N обозначим множество
всех элементов т из М, для которых тц> или (ту)-1 входит в каче-
качестве сомножителя в одно из указанных выражений для at, b-L, xt,
у>. Тогда N является конечным множеством.
Пусть S' — подполугруппа из S, порожденная множеством
No, и М' = S'o'1. Обозначим через F' подгруппу из F, порож-
порожденную множеством М'<р, и положим <р' = ф | М'. Тогда (F', ср')
есть свободная группа на М' (лемма 12.5 (Ь)). Пусть 7" — под-
подполугруппа из Т, порожденная множеством М'х, и т' = т | М'.
Тогда (Т'', т') является свободной полугруппой на М' (лем-
(лемма 12.5 (а)). Далее, если а' = а\Т' и 0' = 0 | Г, то т'а' = ср'
и т'р' = а'.
Положим р' = р П(^' X F') =i(a')~1 ° Р' ¦= (Р') ° «'¦ Тогда
на основании конструкции 12.3 (F'/p[, у') (где pj есть конгруэн-
конгруэнция на F'', порожденная отношением р', и у' = у IS') является
свободной группой на S'. Так как S' порождается конечным
множеством No, в силу наших предположений <S" может быть
вложена в группу. Применяя теперь теорему 12.4, мы выводим,
что у' является изоморфизмом. Пришли к противоречию. В самом
деле, группа F' была построена так, что переход от тц> = w0
к пг'ф = wn посредством элементарных р-переходов u?i_t -*• wt
(i = 1, 2, . . ., п) осуществляется на самом деле внутри F'.
Следовательно, (ту, т'у) ? pi и поэтому ту' (р[)^ =т'у (pi)*,
т. е. та'у' = та'у'. Но то' = та и т'а' = т'а являются по
предположению различными элементами из S и принадлежат <S".
Таким образом, отображение у.' в действительности не является
взаимно однозначным. Это завершает доказательство теоремы.

360 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
Упражнения к § 12.2
1. Пусть S — полугруппа, вложимая в группу, и (G, <р) —
свободная группа на S. Обозначим через Р множество всех кон-
конгруэнции р на G с тем свойством, что фр^ вкладывает S в Glp.
Тогда каждая конгруэнция из Р содержится в максимальной
конгруэнции из Р.
Пусть pi, р2 — две различные максимальные конгруэнции
из Р. Тогда группа G/pi не изоморфна над S группе G/pz, т. е. не
существует такого изоморфизма р, группы G/pi на G/p2, что
вфр^р, = s<pp% для всех s ? S. (Мальцев [1939].)
2. Пусть S — свободная полугруппа на двухэлементном мно-
множестве {а, Ь} и (G, ф) — свободная группа на S. Обозначим
через р4 конгруэнцию на G, порожденную отношением {((ац>) (бф),
Fф) (аф))}, а через р2 — конгруэнцию на G, порожденную
отношением {((аср) (Ьср)~х (аф) (by)'1, (bcp) (аср)'1)}. Тогда в обо-
обозначениях упражнения 1 р4, р2 6 Р и группа G/pi не изоморфна
над S группе G/p2. (Мальцев [1939].)
3. Пусть S — полугруппа и рг (? ? I) — такие конгруэнции
на S, что <S7p, являются группами. Положим р = П {р< М € -О-
Тогда полугруппа Sip может быть вложена в группу, а именно
в прямое произведение групп ?7рг. Следовательно, Sip есть под-
прямое произведение групп Slpt (см. упражнение 2 к § 11.6).
§ 12.3, Условия Итака
В этом параграфе мы рассматриваем необходимые и достаточ-
достаточные условия вложимости полугруппы в группу, принадлежащие
Птаку [1949]. В первой части параграфа мы считаем более удоб-
удобным работать с конгруэнциями, нежели с нормальными делителя-
делителями. Основной результат Птака мы выведем как следствие 12.8
теоремы 12.7. В следствии и теореме сформулированы эквива-
эквивалентные результаты, один выражен в терминах подгрупп, дру-
другой — в терминах конгруэнции. Используя следствие, мы выво-
выводим интересное достаточное условие вложимости, также при-
принадлежащее Птаку.
Теорема 12.7. Полугруппа S тогда и только тогда может
быть вложена в группу, когда
В ° Р = а ° pi ° а'1.
(Обозначения см. в конструкции 12.3.)
Доказательство. Мы будем продолжать использо-
использовать без особых ссылок обозначения, введенные в конструк-
конструкции 12.3.

§ 12.3. Условия Птака 361
Предположим, что полугруппа S вложима в группу. Тогда
по теореме 12.4 отображение у взаимно однозначно. Следователь-
Следовательно, у ° 7 = is- Мы имеем р ° Р = Р ° у ° у1 ° Р = (Py) °
° (Pv)'1. Но ау = ФРх7» и поэтому в силу равенств тр = а и та = q>
мы получаем, что tPy = тар^. Таким образом, ограничения
отображений Py и apf7 на порождающем множестве Мх полугруп-
полугруппы Т совпадают, следовательно, Py = ap^. Тогда аР= (Py) °
° (Py) = (aP^) ° («Pi7) = a ° Pi ° a-1- Итак, мы установили,
что если полугруппа S вложима в группу, то Р ° Р = a ° p( ° a.
Обратно, предположим, что PoP~1 = aopi0 a. Тогда
Р ° Р = а о р
= (Py)
Отсюда непосредственно вытекает, что отображение у взаимно
однозначно. В самом деле, возьмем (s, s') € Y ° Y- Так как Р есть
отображение на S, существуют t, t' 6 Т, для которых ф = s,
f'P = s'. Тогда пара (t, t'), принадлежащая по построению
Р о (у о-у) ° Р, принадлежит также р ° Р. Таким образом,
s = s', т. е. отображение у взаимно однозначно. Это завершает
доказательство теоремы.
Следствие 12.8. Обозначим через А подмножество
{ab-1 \a,b?Ta и (а, Ь) € р}
из F, а через А* — нормальный делитель группы F, порожденный
множеством А. Полугруппа S тогда и только тогда вложима
в группу, когда для любых а, Ъ ? Та из аЪ'1 6 А* вытекает, что
ab-^A.
(Обозначения снова см. в конструкции 12.3.)
Доказательство. Следствие является лишь перефор-
переформулировкой теоремы. В самом деле, А* совпадает с р^классом,
содержащим единицу. Следовательно, аЪ~г 6 А* тогда и только
тогда, когда (а, Ъ) 6 Pi- Отсюда вытекает, что для а, Ъ ? Та
импликация «ab 6 А* влечет аЪ~х ? А» справедлива тогда и толь-
только тогда, когда р4 [\(Та X Та) = р, т. е. когда pt fl(^a X Та) =
= а о р о p-i 0 а. Но а о [Pl f| (Та X Га)] ° а = а ° pt ° а
и а ° а'1 = iT- Таким образом, требуемая импликация справедли-
справедлива тогда и только тогда, когда РОР"Х = a°p1° a. Теперь для
завершения доказательства следствия достаточно сослаться на
теорему.
Достаточное условие вложимости (Птак [1949]) опирается
на тот факт, что если S есть полугруппа с сокращениями, то
всегда справедливо (снова в обозначениях конструкции 12.3)
равенство р ° Р = a ° jR (p) ° a, где через R (р) обозначена
правая конгруэнция на F, порожденная отношением р. Теперь

362 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
будет удобней вести изложение в терминах подгрупп, и мы пере-
переформулируем этот результат в следующей лемме.
Сделаем сначала одно замечание о свободных группах. Каждый
элемент из F является произведением элементов из M(p\J(M(f)~1.
Говорят, что элемент из F, представленный как произведение
элементов из M(f\J(M<p)~1, представлен редуцированным словом,
если это произведение не содержит сомножителей вида (пгф) (пгф-1),
где т 6 М. Каждый элемент из F, отличный от единицы, одно-
однозначно представим в виде редуцированного слова (см., например,
М. Холл [1959], гл. 7).
Лемма 12.9. Пусть S — полугруппа с сокращениями. Для
а, Ъ 6 Та тогда и только тогда имеет место аЪ~х 6 [А], когда
ab~x 6 А. (Обозначения см. в конструкции 12.3 и следствии 12.8.)
Доказательство. Из определения отношения р ясно,
что р = р. Таким образом, аЬ 6 А выполняется тогда и только
тогда, когда Ьа'1 = (ab'1)'1 ?А. Следовательно, А = А'1, где
через А обозначено множество всех элементов, обратных к эле-
элементам из А. Отсюда получаем
[А] = U {Ап | и есть целое положительное число},
где, как обычно, через Ап обозначено множество всех произве-
произведений, содержащих п сомножителей из А. Индукцией по п дока-
докажем, что для любых а, Ъ ? Та из включения аЪ'1 ? Ап вытекает,
что ab'1 6 А.
Рассмотрим сначала случаи п = 1 и п = 2. Для п = 1 утверж-
утверждение тривиально. Предположим, что а, Ъ, с, d, f, g — элементы
из Та, cd~x 6 A, fg'1 ? А и ab'1 = cd~xfg~x. Так как S является
полугруппой с сокращениями и а ° а = i.r, легко получить,
что ограничение р на Та есть конгруэнция с сокращениями. Сле-
Следовательно, мы можем предположить, что ab~x, cd'1 и fg-1 пред-
представлены редуцированными словами. При таком предположении
равенство ab'1 = cd~xfg~x может выполняться только в случаях,
когда либо A) / = dr, либо B) d = /г, где в каждом из случаев
г 6 Та или г равно единице группы F. В случае A) мы имеем
cd~xfg~r = erg'1. Если г 6 Та, то элемент erg'1, очевидно, пред-
представлен редуцированным словом и мы должны иметь а = сг
и b = g. Следовательно, а = crpdr = fpg = b, так что apb,
т. е. ab~x б А. Если / = d, то (с, d) 6 р и (d, g) 6 р, откуда в силу
транзитивности отношения р на Та получаем (с, g) 6 Р- Следова-
Следовательно, ab'1 = eg'1 6 А. Случай B) рассматривается аналогично;
это завершает доказательство нашего утверждения при п — 2.
Предположим по индукции для п >2, что из ab'1 6 -43 следует
ab~x 6 А для всех jf = 1, ...,» — 1 (а, Ъ 6 Та).
Пусть
аб = аф^аф-1 ... апЬпг,

§ 12.3. Условия Птака 363
где ajbj1 ? A (i = 1, 2, . . ., п). Мы можем считать, что каждый
¦dibi1, а также аЪ~х представлены редуцированным словом. Пусть
к — наибольшее целое число, для которого
Т
а.
Поскольку ai ? Га, такое целое число к существует. Рассмотрим
три случая.
(a) к = п. Пусть g = аф'1 . .. ап-ф?_г- Тогда gan равно некото-
некоторому элементу с из Га. Следовательно, g = са^1, и по пред-
предположению индукции (с, ап) ? р. Так как alт1 = cafanbn1,
в силу нашего индуктивного предположения мы имеем аЪ~х ? А.
(b) 1 < к <с п. Так же как в случае (а), положим а^1 . . .
. . . ah_ibkLiak = с, где с 6 Та. Тогда по предположению индукции
cbl1 ? А (так как к •< п). Следовательно, аЪ~х = cb^uk+ibu+i ¦ . .
. . . anbn1 6 An~h+1 s А; здесь мы снова воспользовались индук-
индуктивным предположением, поскольку п — к + 1 < п.
(c) к = 1. Так как аЬ и каждый а^ЬГ1 представлены редуци-
редуцированными словами и так как а^!1 . . . Ъ^~\ак (? Га для каждого
к > 1, мы имеем а = at. Чтобы доказать это, рассмотрим сначала
aib^az- Этот элемент не лежит в Га. Следовательно, редуциро-
редуцированное слово для элемента b\1a2 должно иметь вид с1Ы2, где
Ci 6 Та. Таким образом, поскольку аф^ представлен редуци-
редуцированным словом, так же представлен и элемент djb^1, откуда
следует, что а^Ыфъ1 является редуцированным словом для
элемента a1b71a2b21- Применяя аналогичные рассуждения для
каждого к, мы, наконец, получим, что редуцированное слово
для элемента .a1b71a2b21 • • • а-пК1 имеет вид aj/I1 . . ., где Д 6 Та.
Итак, как и утверждалось, а = aj.
Теперь
1 11
т. е. bib является произведением п — 1 элементов из А.
По предположению индукции для / = п — 1 мы получаем
bib 6 А. Наконец, ab'1 = ab^bib'1, т. е. ab'1 есть произведе-
произведение двух элементов из А, поэтому ab'1 6 А.
Это завершает доказательство леммы.
Из леммы и следствия 12.8 непосредственно вытекает теорема
Птака. Мы снова используем обозначения, введенные в конструк-
конструкции 12.3 и в следствии 12.8.
Теорема 12.10. Полугруппа S с сокращениями вложима в груп-
группу, если подгруппа из F, порожденная множеством А, является
нормальным делителем в F.
Птак [1949], используя этот результат, дал другое доказа-
доказательство теоремы Оре (теорема 1.23), установив, что если S являет-

364 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
ся реверсивной справа полугруппой (Sa fl Sb Ф 0 для всех
а, Ъ 6 S) с сокращениями, то подгруппа из F, порожденная мно-
множеством А\ является нормальным делителем в F.
§ 12.4. Построение группы, частных
Если полугруппа 5 вложима в группу, то она может быть
вложена в группу, для которой S есть множество групповых обра-
образующих. Каждый элемент такой группы будет произведением
конечного числа элементов из S и обратных к ним элементов.
В этом параграфе мы рассматриваем одно условие, необходимое
для вложимости полугруппы в группу. Для полугруппы S,
удовлетворяющей этому условию, мы строим группу правых
[левых] частных и показываем, что эта группа, вместе с подходя-
подходящим отображением, образует свободную группу на S. Мы при-
приводим другое доказательство теоремы Оре (теорема 1.23), кото-
которое ближе к первоначальному доказательству Оре аналогичного
утверждения для колец. В следующем параграфе мы применяем
понятие группы правых частных для получения необходимых
и достаточных условий Ламбека вложимости полугруппы
в группу.
Будем говорить, что полугруппа S удовлетворяет условию
равенства частных, если для любых а, Ъ, с, d, х, у, и, v ? S из трех
равенств
ха —
— уЪ Л
= yd >
= vb J
ua
вытекает равенство
ис = vd. (z)
Это условие в работе А. И. Мальцева [1937] называлось усло-
условием Z.
Заметим, что условие равенства частных симметрично себе.
Действительно, импликация «из ах = by, сх — dy и аи = bv
вытекает си = dm с точностью до переобозначения символов
совпадает с импликацией «из (Z) следует (z)».
Предположим, что полугруппа S может быть вложена в груп-
группу G (без ограничения общности будем.считать S подполугруппой
из G). Пусть в S выполняются равенства (Z). Тогда в G мы имеем
ис = их'1 (хс) = их'1 (yd) = их'1 (yb) b~xd =
= их-1 (ха) Ъ~Ч = (иа) Ъ~Ч = (vb) Ъ~Ч =
= vd.
Таким образом, в полугруппе S выполняется также равенство (z).
Нами доказана

§ 12.4. Построение группы, частных 365
Лемма 12.11. Если полугруппа может быть вложена в группу,
то она удовлетворяет условию равенства частных.
Этот результат был использован А. И. Мальцевым [1937] для
решения в то время еще открытого вопроса о том, всякая ли полу-
полугруппа с сокращениями может быть вложена в группу. Контр-
Контрпримером Мальцева является частный случай (при п = 1) полу-
полугрупп Sn, построенных в § 12.8.
Пусть S — полугруппа с сокращениями, удовлетворяющая
условию равенства частных. Для элементов а, Ъ ? S, таких, что
SaflSb Ф 0, определим правое частное alb, полагая
alb = {(х, у) \ха — уЪ).
Если Saf}Sb = 0, то alb не определено.
Аналогично, в случае, когда aS [\bS Ф 0, мы определяем
левое частное а\Ь, полагая
а\Ь = {(х, у) \ах = by}.
Лемма 12.12. Пусть S — полугруппа с сокращениями, удовле-
удовлетворяющая условию равенства частных, и а, Ь, с, d 6 S. Тогда
(i) alb = eld тогда и только тогда, когда alb f| eld Ф 0.
(ii) a\b = c\d тогда и только тогда, когда a\b(]c\d Ф 0.
Д оказательство. Докажем утверждение (i). Если
alb — eld, то оба частных определены и поэтому alb[\cld =
= alb ф 0.
Обратно, возьмем (х, у) 6 о.1Ь [\ eld. Тогда ха = yb и хс = yd.
Пусть (и, v) 6 о>1Ъ, так что иа = vb. Тогда условие равенства
частных непосредственно дает ис — vd, т. е. (u, v) ? eld. Следова-
Следовательно, alb E eld. Аналогично, eld E alb. Итак, alb = eld.
Справедливость утверждения (ii) обеспечивается симметрич-
симметричностью условия равенства частных.
Конструкция 12.13. Пусть S — полугруппа с сокращениями,
удовлетворяющая условию равенства частных. Обозначим через Q
множество всех правых частных пар элементов из S:
Q = {alb \a,b?S, 8а{\8Ьф0),
а через % — взаимно однозначное отображение а -*¦ (ах)/х полу-
полугруппы S в О. Пусть (Т, т) — свободная полугруппа на Q {без
ограничения общности мы будем отождествлять alb с (alb) т).
Определим отношение р на Т, полагая-
Р = {(яу. z) | х = alb, у = Ыс, z = ale
для некоторых alb, Ыс, ale 6 Q}.

366 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
Пусть pi — конгруэнция на Т, порожденная р, G = T/pi и у —
отображение хр$ (= хтр^) полугруппы S в G. Тогда (G, у) является
свободной группой на S,
Пару (G, у) будем называть группой правых частных полу-
полугруппы S.
Про в е р к а. Доказательство высказанных утверждений про-
проводится стандартными рассуждениями. Установим сначала, что-
х есть взаимно однозначное отображение полугруппы S в Q.
В самом деле, во-первых, (ахIх всегда определено и не зависит
от х из S, поскольку (а, а2) ? (ах)/х для любого х (лемма 12.12).
Во-вторых, (ах)/х = {ЪуIу влечет за собой аЪу = а2у, так как
в этом случае (а, а2) ? (Ъу)/у. Следовательно, в силу закона сокра-
сокращения получаем а — Ъ. .
Покажем, далее, что T/pi является группой. Очевидно, для
каждого а ? S правое частное а/а определено, так как оно содер-
содержит (х, х) при любом х 6 S. Следовательно, по лемме 12.12 а/а =
= ЫЪ для всех a, b ? S. Обозначим а/а через Е. Для любого
частного а/Ъ ? Q, очевидно, (а/Ь-Е, а/Ь) = (а/Ъ-ЫЪ, а/Ъ) принадле-
принадлежит р. Следовательно, Е есть правая единица полугруппы T/pi.
Заметим теперь, что а/Ъ существует тогда и только тогда,
когда существует Ыа; действительно, (х, у) ? а/Ъ тогда и только
тогда, когда (у, х) ? Ыа. Возьмем произвольный элемент t =
= (ai/bi) . . . (an/bn) из Т. Тогда t* = (bn/an) . . . {bja^ также
является элементом из Т. Далее, (tt*, Е) 6 pi- В самом деле, для
любого а/Ь 6 Q ясно, что (a/b-b/a, E) 6 р- Таким образом, после-
последовательностью из 2п — 1 элементарных р-переходов tt* можно
свести к Е. Следовательно, каждый элемент из T/pi имеет правый
обратный относительно Е. Это доказывает, что TVpi является
группой.
Для любых a, b ? S мы можем записать ах = {аЪх)/(Ъх),
Ьк = (Ьх)/х и (ab) к = (abx)/x. Замечая, что ((abx)/(bx) (bx)lxr
(abx)lx) 6 р, мы выводим акр^-Ькр^ = (ab)xp%, т. е. (ay) (by) =
— (ab)y, т.е. у — гомоморфизм полугруппы S в G.
Легко видеть, что (а/Ь) р? = (ay) (by)'1 для любого а/Ь 6 Q-
Поэтому Sy есть множество групповых образующих группы G.
Это показывает, что (G, у) является группой на полугруппе S.
Осталось установить, что (G, у) является свободной ^-группой.

§ 12.4. Построение группы частных
367
Пусть (Н, г|) — произвольная 5-группа. Определим отобра-
отображение %: Q-+H, полагая {alb) % = (аг|) (Ьц)-1. Легко проверить,
что х определено корректно. Так как Т является свободной полу-
полугруппой на множестве Q, существует такой гомоморфизм Э полу-
полугруппы Т в Н, что т8 = %¦ Легко проверить, что р, а поэтому и[р4
содержатся в 6 ° в. В силу теоремы об индуцированном гомомор-
гомоморфизме (теорема 1.6) существует гомоморфизм Мр группы G = T/pt
в Н, для которого p!?ty = 9.
Наконец, мы имеем уф = т|. В самом деле, щ = г\, поскольку
ах% = ((ах)/х) % = (ах) г\ (хг\) ~х = аг\. Отсюда мы получаем ат\ =
= ая% = аитЭ = а (хтр?) я|) = ауф, что доказывает требуемое.
Итак, (G, у) — свободная группа на S. Проверка завершена.
В качестве непосредственного следствия, используя теоре-
теорему 12.4, мы получаем такое утверждение.
Лемма 12.14. Пусть S — полугруппа с сокращениями, удовле-
удовлетворяющая условию равенства частных. Полугруппа S может
быть вложена в группу тогда и только тогда, когда она может
быть вложена в свою группу правых частных.
Рассмотрим снова условие Оре для вложимости полугрупп.
Напомним, что полугруппа S называется реверсивной слева, если
aS fl bS Ф 0 для любых a, b ? S.
Лемма 12.15. Реверсивная слева полугруппа с сокращениями
удовлетворяет условию равенства частных.
f Доказательство. Пусть S — реверсивная слева полу-
полугруппа с сокращениями и для а, Ъ, с, d, x, у, и, v 6 S выполняются
равенства
Мы должны доказать, что выполняется равенство
ис = vd.
B)

368 . Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
Так как полугруппа S реверсивна слева, существуют такие
р, q (z S, что ар = cq. Следовательно, хар = xcq, откуда в силу
(Z) ybp = ydq. Сокращая на у, получаем Ър = dq. Таким обра-
образом, ucq = иар = vbp = vdq, т. е. ' ucq = vdq. Сокращая на q,
получаем требуемое равенство ис = vd.
Опираясь на эту лемму, применим конструкцию 12.13 к ревер-
реверсивной слева полугруппе с сокращениями и покажем, что такая
полугруппа вкладывается при помощи этой конструкции в свою
группу правых частных. Обозначения, введенные в конструк-
конструкции 12.13, используются нами без особых ссылок. Вычисления
разобьем на ряд шагов. Через S будем обозначать реверсивную
слева полугруппу с сокращениями.
(a) Пусть bt, a2, bz, а3, Ь3, . . ., bm_t, am принадлежат S.
Тогда существуют такие хи х2, . . ., хт ? S, что biXt = ai+ixi+i
(i = 1, 2, . . ., т- 1).
Действительно, в силу реверсивности слева мы можем выбрать
такие элементы щ, у2; и2, у3, ¦ • •; wm-i> Ут из ?> что Ь±щ = агу2;
Ь2у2и2 = а3уэ; Ь3у3и3 = а^; . . .; Ьт_1ут.1ит.1 = атут. Пола-
Полагая Xj = щи2 . . . um_i, х2 = у2иг . . . ит_!, . . ., xm_j =
= Ут-1ит-11 хт — Ут' получаем требуемый набор элементов xt.
(b) Если alb, b/clzQ, то (a/b-b/c, (ax)lx-xl(cx)) g pt.
Мы имеем {(ax)lx-xl\bx), alb) бри ((bx)lx-xl(cx), blc) 6 p. Сле-
Следовательно,
alb ¦ blc -> (ax) Ix ¦ xl( bx) ¦ blc -v
-v (ax)/x-x/(bx)¦ (bx)lx-xl(cx) -*¦
-*• (ax)/x • x/x • x/(cx) -*¦
-*¦ (ax)lx-xl(cx)
является последовательностью элементарных р-переходов.
Заметим, что из существования элементов alb и Ыс не следует
еще существование элемента а/с.
(c) Если alb, blc, . . ., gle, elf существуют, то alb-Ыс- . . .
. . . -gle-e/f pi (ax)fx-xf(fx).
Это утверждение является лишь распространением утвержде-
утверждения (Ь) на произвольное число множителей.
(d) Каждый элемент из Т ^^эквивалентен элементу
(ах)/х-х/(Ьх) для некоторых a, b ? S.
Пусть ajbx-a2lb2-. . .-am/bm — произвольный элемент из Т.
В силу утверждения (а) существуют такие xit xz, . . ., хт ? S,
что btXi = ai+lxi+i (i = 1, 2, . . ., m — 1). Следовательно,
ajbi-a2lb2- . . . -am/bm = a/q-Cj/сг- . . . -cm-jb, где atXi = a,
biXi = a2x2 = cu bzx2 = a3x3 = c2, . . ., bmxm = b. Применяя
утверждение (с), мы получаем требуемое.
(e) Пусть t = avlara?}a3- . . . -ат.11ат^ Т и t-*-t' — неко-
некоторый элементарный р-переход. Тогда t' = (a1x)/bz-b2/b3' . . .
. . . •bhl{amx) для некоторых bz, b3, . . ., bh 6 S.

§ 12.4. Построение группы, частных 369
Возможны два случая. Во-первых, р-переход может заменять
ai_1/araj/ai+1 на alb. В этом случае аг^1а% = ale и a(/a{+i = c/b
для некоторого с 6 S. Так как полугруппа S реверсивна слева,
существуют такие х, у ? S, что аг^х = ау. Тогда аьх = су
и ai+1x = by. В самом деле, возьмем (и, v) ? аг_1/аг = а/с.
Мы имеем иаг_г = уаг ишг = vc, поэтому vatx = uat_tx = uay =
= vcy. Следовательно, vatx = vcy. Сокращая на у, получаем
atx = су. Аналогично, аг+^х = by. Следовательно,
t' =
что и требовалось доказать.
Во-вторых, р-переход может заменить а;/аг+1 на a/b-b/c.
В этом случае ailai+i = ale. Выберем такие х, у, что -аьх = ау.
Тогда, как и в первом случае, ai+ix = су, и мы можем записать
t' в требуемом виде.
Рассмотрим теперь произвольное частное alb 6 Т. Если эле-
элемент i эквивалентен по mod pt элементу alb, то, поскольку t можно
получить из alb последовательностью элементарных р-переходов,
на основании утверждения (е) имеем
t = (ax)/brbi/bz . . . bh/(bx)
для некоторых х, bt б S. Следовательно, если t само является
частным, to t = (ax)/(bx)' для некоторого х ? S. Но (ах)/(Ьх) =
= alb. Таким образом, единственным частным, р4-эквивалент-
ным alb, является само alb. Отсюда, в частности, непосредственно
следует, что отображение у = %р? взаимно однозначно, т. е.
у вкладывает S в G.
Далее, в силу утверждения (d) каждый элемент из G может
быть записан в виде ay (by) для некоторых a, b 6 S.
Обратно, предположим, что у: S ->- Н вкладывает S в Н
и каждый элемент из Н может быть записан в виде ay (by)'1 при
некоторых a, b ? S. Тогда, в частности, для данных a, b 6 S
должны существовать такие х, у ? S, что (ау)~г by = ху (уу),
т. е. (by) у = (ах) у. Отсюда в силу взаимной однозначности
отображения у вытекает by — ах. Таким образом, aS f\bS =? 0
для заданных a, b ? S, т. е. полугруппа S реверсивна слева.
Итак, мы завершили новое доказательство теорем Оре (теоре-
(теорема 1.23) и Дюбрея (теорема 1.24): полугруппа с сокращениями
тогда и только тогда может быть вложена в свою группу правых
частных х), когда она реверсивна слева.
1) Термин «группа правых частных» используется здесь в его старом
смысле, т. 1, стр. 59.
24-100

370 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
Упражнения к § 12.4
1. Пусть R — реверсивная слева полугруппа с сокращениями,
содержащая единицу, и ф — эндоморфизм полугруппы R на соб-
собственную унитарную слева подполугруппу Д<р из R. Обозначим
через Z аддитивную полугруппу неотрицательных целых чисел.
Положим^ = Z х R и определим следующим образом произведе-
произведение в S: (т, а) (п, Ъ) = (т + п, афпЬ), где т, п ? Z, а, Ъ 6 R
(под ф° понимается тождественное отображение). Тогда S — ревер-
реверсивная слева полугруппа с левым сокращением, обладающая еди-
единицей, но S не реверсивна справа. Если эндоморфизм ф взаимно»
однозначен, то S есть полугруппа с сокращениями.
2. Пусть S — полугруппа, содержащая обратимые элементы.
Так как произведение двух сократимых элементов снова является
сократимым элементом, подмножество С всех сократимых эле-
элементов из S образует подполугруппу. Пусть М — некоторая под-
подполугруппа из С. Тогда говорят, что полугруппа G является
полугруппой правых частных для S относительно М, если
A) S E G, B) G содержит единицу 1, C) для т 6 М существует
такой g 6 G, что mg — gm = 1, и D) для g ? G существует такой
т 6 М, что gm ? S.
Полугруппу S будем называть М-реверсивной слева, если.
sM (]mS Ф 0 для всех т g M s 6 S-
Пусть полугруппа S М-реверсивна слева.
(i) Если для $i, $z 6 S и mi, mz 6 М существуют такие х, у ? Sr
что $ix = $zy и mtx — m2y 6 М, то для любых х', у' 6 S из т&' =
= тгу' следует, что S&' = s2y'.
(ii) Определим отношение р на S х М следующим образом:
(Si, /rej) p (s2, m2) имеет место тогда и только тогда, когда сущест-
существуют х, у 6 S, для которых $ix = s2y и mtx = т^у 6 М. Тогда р-
является отношением эквивалентности на S х М.
(ш) Равенство («i, mO p-(s2, пг2) р = (s^, тгт3) р, где ^з =
= mis3, задает произведение на множестве (S X М)/р, превра-
превращая это множество в полугруппу.
(iv) Отображение s -> (sm, m) p вкладывает S в полугруппу
(S х М)/р, и если отождествить S с ее образом при этом отображе-
отображении, то (S X Л/)/Р превращается в полугруппу правых частных
для S относительно М.
(v) Полугруппа правых частных для S относительно М опре-
определяется однозначно с точностью до изоморфизма.
Обратно, предположим, что существует полугруппа правых
частных для S относительно М. Тогда S является Af-реверсивной
слева полугруппой. (Мурата [1950]; ср. также Асано [1949}
и Шифердеккер [1955].)
3. Пусть S — Af-реверсивная слева (в терминологии предыду-
предыдущего упражнения) полугруппа с левым сокращением. Тогда полу-

§ 12.5. Условия Ламбека 371
группа правых частных для S относительно М является полугруп-
полугруппой с левым сокращением. Если в ? выполняется также закон
правого сокращения, то полугруппа правых частных для S отно-
относительно М является полугруппой с сокращениями.
4. Элемент т полугруппы S называется реверсивным слева,
если aS f\mS Ф 0 для всех а 6 S. Обозначим через N множество
всех реверсивных слева элементов из S. Тогда N, если оно не
пусто, является плотной слева по'дполугруппой из S (т. е.- из
ху 6 N вытекает х 6 N). Если S — полугруппа с левым сокраще-
сокращением, то N является плотной полугруппой. Говорят, что S квази-
реверсивна слева, если N не пусто и если для а, Ъ 6 ? из соотно-
соотношения aS fl bS Ф 0 следует либо aN f| bS Ф0, либо aS f| bN Ф
Ф 0 . Если S — квазиреверсивная слева полугруппа с левым
сокращением, то S является iV-реверсивной слева (в смысле
упражнения 2). (Досс [1948].)
5. Пусть w, w' — элементы свободной полугруппы F. Тогда
говорят, что полугруппа S удовлетворяет тождеству w = w',
если ыяр = u/ф для любого гомоморфизма <р: F ->¦ S. Если w
aw' — различные элементы из F, <го тождество w = w' назы-
называется нетривиальным.
Пусть S — полугруппа с сокращениями, удовлетворяющая
нетривиальному тождеству. Тогда S реверсивна слева и поэтому
может быть вложена в группу. (Мальцев [1953].)
§ 12 5 Условия Ламбека
В этом параграфе мы приводим принадлежащие Ламбеку
[1951] «геометрические условия» вложимости полугруппы в груп-
группу. Эти условия сформулированы в терминах эйлерова много-
многогранника, т. е. многогранника, для которого V + F — Е + 2,
где V — число вершин, F — число граней и Е—число ребер,
и который гомеоморфен двумерной сфере в трехмерном евклидо-
евклидовом пространстве. На протяжении этого параграфа под много-
многогранником мы будем понимать именно такой многогранник. Для
наших целей будет достаточно наглядного представления о таких
многогранниках, и в доказательствах мы иногда будем обращать-
обращаться к рисункам. Чисто алгебраическую трактовку см. у Буша
[1963].
Каждое ребро многогранника принадлежит двум граням.
Мы будем говорить, что ребро имеет две стороны, по одной на
каждой грани. Каждое ребро имеет две вершины — это концы
ребра. В каждой вершине ребро имеет два угла< по одному на
каждой стороне ребра. Например, на диаграмме, приведенной
ниже, ребро, проведенное через две вершины, имеет стороны, по-
помеченные символами хну, углы одной из вершин — символами
а и Ь, углы другой вершины — символами с и d. Углы, помеченные
24*

372 Гл. 12. Вложение полугруппа в группу
буквами а и с, находятся на стороне х, а углы Ь и d — на сторо-
стороне у.
У d
Будем говорить, что ребро состоит из двух полуребер, каждое
из которых соответствует одной из вершин. Каждое полуребро *
имеет две стороны, а именно — стороны ребра, которому оно
принадлежит, и два угла в его вершине, по одному на каждой
из сторон. На следующей диаграмме мы пометили буквами сто-
стороны ребра и углы полуребра этого ребра. При таких обозначе-
обозначениях равенствоха = уЪ будем называть полуреберным равенством,
соответствующим этому полуребру.
Диаграмма 1.
Пусть S — произвольная полугруппа. Будем говорить, что
S удовлетворяет условию Ламбека1), если для любого много-
многогранника, все стороны и углы которого помечены элементами
из S, каждое полуреберное равенство является следствием всех
других полуреберных равенств.
Теперь мы можем сформулировать теорему Ламбека.
Теорема 12.16. Полугруппа может быть вложена в группу
тогда и только тогда, когда она A) — полугруппа с сокращениями
и B) удовлетворяет условию Ламбека.
Остальная часть параграфа посвящена доказательству этой
теоремы. Сначала мы установим необходимость условий. Оче-
Очевидно, что S обязательно является полугруппой с сокращениями.
Докажем по индукции необходимость условий Ламбека.
Пусть Р — произвольный многогранник, помеченный элемен-
элементами из S (т. е. его стороны и углы помечены элементами из S).
Триангулируем Р. Для этого выберем точку (которую назовем
центром) внутри каждой грани и проведем линии из центра до
каждой вершины этой грани и из некоторой внутренней точки
1) В оригинале полиэдральному (polyhedral) условию,— Прим, пер ев.

§ 12.5. Условия Ламбека 373
(которую назовем средней точкой) каждого ребра данной грани
до ее центра. Ориентируем такую триангуляцию, установив
положительное направление A) от центра до вершины, B) от
средней точки ребра до центра и C) от средней точки до вершины.
Заданная пометка многогранника Р элементами из S определяет
следующим образом пометку триангулированного многогранни-
многогранника. Предположим, что полуребра многогранника Р помечены,
как в диаграмме 1. Тогда мы пометим буквой х линию от средней
точки ребра до центра, лежащую со стороны х, буквой а — линию
от этого центра до вершины полуребра. Само полуребро мы поме-
пометим буквой р, где р = ха. Ебли имеет место полуреберное равен-
равенство, то, поступая так же с у и Ь, мы припишем полуребру ту
же самую букву р, поскольку уЬ = ха = р. Полученная пометка
изображена на диаграмме 2.
Диаграмма 2.
Предположим теперь, что в S выполняются все полуреберные
равенства, за исключением, быть может, одного. Тогда указанная
выше процедура приписывает последовательно каждому ребру
триангуляции единственную букву, за исключением, быть может,
одного полуребра, а именно того, для которого мы не предпола-
предполагаем выполнения полуреберного равенства. Если предположить,
что именно это полуребро изображено на диаграмме 1, то про-
процедура пометки триангулированного многогранника припишет
буквы а, х, Ъ, у ребрам триангуляции, как на диаграмме 2, но
не припишет никакой буквы полуребру, помеченному буквой р
на диаграмме 2.
Мы хотим установить, что если S может быть вложена в груп-
группу, то ха = уЬ. Предположим, что уЪ = р, и припишем этот
элемент р оставшемуся непомеченным полуребру. Теперь доста-
достаточно доказать, что ха = р.
Предположим без ограничения общности, что S содержится
в группе G с единицей 1. Каждый треугольник триангуляции,
за исключением, быть может, одного, соответствует равенству
вида уЬ = р. Это равенство может быть также записано в любой
из следующих шести форм: уЬр~х — 1, Ьр~гу = 1, р~гуЬ = 1,
y-ipb-1 = 1, Ъ'^у^р = 1 и pb'iy-1 = 1. Эти шесть равенств
соответствуют при данной ориентации ребер шести способам

374 ¦ Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
обхода ребер треугольника. Каждый из обходов треугольника
начинается на любом из ребер и происходит в любом из направ-
направлений. Более точно, левая часть каждого из указанных равенств
получается следующей процедурой, относящейся к более обще-
общему случаю.
Рассмотрим произвольный путь С, состоящий из ребер три-
триангуляции. Пусть Е\, Е%, . . ., Еп — последовательные ребра
этого пути. Пусть xt — буква, приписанная ребру Et. Тогда
этот путь, вместе с ориентацией ребер, определяет произведение
Со. — х\1х5* . . . х«", где е? равно +1, если ребро Et проходится
в положительном направлении, и равно —1, если ребро Ег про-
проходится в отрицательном направлении.
Мы видели, что простой х) замкнутый путь, соответствующий
одному треугольнику, для которого выполняется «треугольное»
равенство, определяет произведение, равное 1. Предположим
теперь по индукции, что это верно для всех простых замкнутых
путей, состоящих из ребер триангуляции и образующих границу
для связного множества менее чем к треугольников, для каж-
каждого из которых справедливо «треугольное» равенство. Пусть
С — простой замкнутый путь, являющийся границей связного
множества к треугольников, для каждого из которых выполняется
«треугольное» равенство. Тогда существует такой путь В, ребра
которого выбраны из ребер к треугольников, ограниченных путем
С, что конечные точки пути В делят С на два пути С± и С2, причем
A) путь, составленный из В и Си является простым путем, для
которого выполняется наше индуктивное предположение,
и B) путь, составленный из В'1 и С2 (где В'1 получается из В
прохождением его в обратном направлении), тоже является про-
простым путем, для которого выполняется наше индуктивное пред-
предположение.
Следовательно, мы имеем (BCi) а = (Вое) (С^а) = 1 и
{В-1С? а = (В^а) (С,в) = 1. Отсюда " Со. = (Cta) (C2a) =
= (Ва)-1(В-1а)-1 = 1, так как, очевидно, (Ясс) (В^а) = (ЯВ) а = 1.
Итак, по индукции Со. = 1 для любого простого замкнутого
пути С, являющегося границей произвольного связного множе-
множества треугольников, для которых выполняются «треугольные»
равенства.
1) То есть без повторяющихся ребер.— Прим. ред.

§ 12.5. Условия Ламбека 375
Пусть теперь С — путь, ограничивающий все треугольники
триангулированного многогранника, за исключением треуголь-
треугольника, для которого мы должны вывести соответствующее ему
равенство. Тогда Са = 1. Легко видеть, что С совпадает с одним
из шести путей обхода исключенного треугольника. Следователь-
Следовательно, из равенства Са = 1 вытекает ха = р.
Это завершает доказательство необходимости условия Лам-
Ламбека.
Докажем теперь достаточность. Пусть S — полугруппа
с сокращениями, удовлетворяющая условию Ламбека. Тогда
S удовлетворяет условию равенства частных (§ 12.4). В самом
деле, рассмотрим помеченный многогранник, заданный диаграм-
с
Диаграмма 3. .
мой 3. Предположим, что в S выполняются равенства ха = yb,
хс = yd и иа = vb. Тогда, глядя на диаграмму 3 и используя
условия Ламбека, мы заключаем, что ис = vd. Таким образом,
S удовлетворяет условию равенства частных. Следовательно,
мы установим, что S может быть вложена в группу, если пока-
покажем, что отображение у из конструкции 12.13 есть изоморфизм.
Для этого достаточно доказать, что два элемента из Q (мы исполь-
используем теперь терминологию конструкции 12.13) р^эквивалентны
тогда и только тогда, когда они равны. Последнее является непо-
непосредственным следствием условия Ламбека, если подходящим
образом построить многогранники. Процедура, которую мы соби-
собираемся описать, рассмотрена ниже на специальном примере,
иллюстрацией к которому служит диаграмма 5.
Пусть alb, eld принадлежат Q и эти элементы ргэквивалентны.
Тогда существуют такие элементы w0 (= alb), Wi, w2, . ¦ ., wn
(= eld) из Т, что Wi_i -»- wt является элементарным р-переходом
для i = 1, 2, . . ., п. Пусть длина wt как слова в алфавите Q
{= Q%) равна щ (см. § 9.1) (i = 0, 1, 2, . . ., п). Тогда каждое
слово wi определяет множество из щ целочисленных точек (/, i),
где j = 1, 2, ...,«{. Мы используем множество всех таких
точек (/, i), где / = 1, 2, . . ., nt и i — 0, 1, 2, . . ., п, для

376
Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
построения многогранника. Предположим прежде всего, что
(;, i) соответствует /-й (слева) букве слова wi. Точка (/, i) будет
определять вершину многогранника, если либо (а) jf-я буква
слова wt получается в результате замены /-й и (/ + 1)-й букв
слова u?j_i при р-переходе u>{_i -»- u?i, либо (Ь) /-я буква слова wf
заменяется на /-ю и (/ + 1)-ю букву слова wt+i при р-переходе
+
Предположим, что если /-я буква слова ы?г получается после
«склеивания» /-й и (/ + 1)-й букв слова uvii то эта буква не
заменяется на две буквы в слове wi+i при переходе wt-*- wi+1.
Это предположение не ограничивает общности; действительно,
если у нас появится такая последовательность ц^ -> wt -»- wl+u
то мы ее можем заменить на последовательность u?j_t -> wt ->-
-> wt -> wi+i, полученную повторением слова wt. В этом случае
можно считать wt -> wt р-переходом, что не приведет к недора-
недоразумениям.
Построим, далее, ребра многогранника, проводя линии сле-
следующим образом. Если буйвы не меняются при переходе u?j_i -> wit
то соответствующие точки соединим прямыми линиями. Если две
соседние буквы слова и?г_4 заменяются в w{ на одну букву, то
две соответствующие точки соединим прямой линией с соответ-
соответствующей вершиной. Если одна буква заменяется на две соседние
буквы, то соответствующую вершину соединим прямой линией
с двумя соответствующими точками. Наконец, соединим точ-
точки A, 0) и A, п) произвольной простой кривой, пересекающей
другие ребра лишь в ее концевых точках.
Так построенный многогранник имеет три ребра и поэтому
три угла в каждой вершине. Пометим эти углы следующим обра-
образом. Предположим, что p/q в i0j_! заменяется на p/r-r/q. Тогда
углы вершины, соответствующей p/q, пометим буквами р, г, q
по ходу движения часовой стрелки, причем г припишем углу,
расположенному между ребрами, идущими вверх от вершины
(см. диаграмму 4).
г
Диаграмма 4.

§ 12.5. Условия Ламбека
37Г
Аналогично, если p/r-r/q в Wi^ заменяется на plq в w^ то-
углы вершины, соответствующей plq, пометим буквами р, г, q
против хода движения часовой стрелки, причем г припишем
углу, расположенному между ребрами, идущими вниз от вершины.
Описанная процедура проиллюстрирована для частного слу-
случая диаграммой 5, на которой вершинами являются точки, обве-
обведенные кружочками.
На этой диаграмме изображен многогранник, соответствую-
соответствующий такой последовательности р-переходов:
w0 = alb-*- u>i = a/z-z/b = x/y-z/b
-> w2 = xlv-vly-zlb = xlv-slt-tlu
->¦ w3 = xlv-slu =-xlv-qlr
-> wt = xlv-qlp-plr = l/m-m/n-pfr
-> wb = lln-plr = dh-hld
-> we = eld.
Заметим, что для нашей процедуры здесь необходимо повторение^
слова w3. Равенства обозначают равенства в свободной полугруп-
полугруппе Т на множестве Q.
*-х
Диаграмма 5.
Рассмотрим произвольное ребро многогранника, исключая
ребро, соединяющее вершины A, 0) и A, п). Пометка углов про-
произведена таким образом, что частные
(буква, приписанная углу,
соответствующему стороне 1)/
(буква, приписанная углу, соответствующему стороне 2)
совпадают для двух полуребер каждого такого ребра. Следова-
Следовательно, существует пара элементов из S, которыми можно поме-

378 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
тить стороны ребра так, чтобы для этого ребра выполнялись
полуреберные равенства. Припишем таким образом элементы
из S сторонам каждого ребра многогранника, исключая ребро,
соединяющее вершины A, 0) и A, п). Для последнего ребра посту-
поступим следующим образом. Существуют такие х, у ? S, что ха — уЪ.
Припишем буквы х, у сторонам этого ребра так, чтобы в верши-
вершине A, 0) выполнялось полуреберное равенство. Тогда в силу
условия Ламбека хс = yd. Таким образом, alb {\cld =/=-<Z> и поэто-
поэтому, наконец, alb = eld.
Это завершает доказательство теоремы Ламбека.
§ 12.6. Условия Мальцева
В этом параграфе мы приводим исторически первое решение
задачи о вложимости полугруппы в группу. В работе [1939]
А. И. Мальцев нашел необходимые и достаточные условия вложи-
мости полугруппы в группу в форме бесконечного набора импли-
импликаций, аналогичные условиям Ламбека, рассмотренным в' пре-
предыдущем параграфе.
Система Ламбека, как и система Мальцева, по определению
•состоит из четного числа q равенств вида хгу} = хкуг от 2д пере-
переменных xit xz, . . ., xq; yt, уz, . . ., yq («иксы» всегда находятся
•слева, а «игреки»— справа), причем каждая переменная встре-
встречается в точности два раза. Заданная полугруппа S с сокраще-
сокращениями может быть вложена в группу тогда и только тогда, когда
для каждой системы Ламбека при любой замене переменных эле-
элементами из S из того, что выполняются произвольные q — 1
равенств системы, следует, что выполняется также оставшееся
равенство. Мы увидим, что такое же утверждение справедливо
для систем Мальцева, за тем исключением, что в данном случае
«дно вполне определенное равенство является следствием осталь-
остальных q — 1 равенств. В связи с этим системой Мальцева мы будем
называть упомянутые q — 1 равенств, а равенство, вытекающее
из них, будем называть замыкающим, равенством системы.
- В § 12.7 доказано, что система Ламбека является системой
Мальцева тогда и только тогда, когда она строится по двухвер-
двухвершинному многограннику. В частности, условие равенства частных
¦соответствует некоторой системе Мальцева. Было бы интересно
найти общее описание систем указанного выше вида, служащих
для определения условий, при которых полугруппа вложима
в группу.
А. И. Мальцев [1940] показал также, что никакое конечное
лодмножество его условий не достаточно для вложимости. Этому
результату посвящен последний параграф данной главы (§ 12.8).
JB настоящем параграфе, как и в § 12.8, мы следуем А. И. Маль-
Мальцеву.

§ 12.6. Условия Мальцева
379
Опишем сначала, как составляется система Мальцева. Начнем
с введения 2к -\- 2р символов:
Li,
Ri,
i,
• , Lt',
Rp; R*,
Последовательность Мальцева (длины q = 2k + 2p) есть после-
последовательность из этих q символов, в которой каждый символ
содержится в точности один раз и в которой
(i) символы Lt и Rj расположены в их естественном порядке;
(ii) Lt (I ^ i ^Щ всегда стоит после Lt, и если Lj нахо-
находится между Lt и Lt, то Lf также находится между ними; анало-
аналогичные условия выполняются для R*.
Например (при к = 3, р = 2), такая последовательность
является последовательностью Мальцева:
Легко видеть (хотя это нам и не понадобится в дальнейшем),
что существует взаимно однозначное соответствие между последо-
последовательностями Мальцева и такими последовательностями
{ц, . . ., iq) целых чисел, что
(i) каждое ir равно +1, —1, +2 или —2,
(ii) для каждого п, где 1 ^ п ^ q,
причем равенство выполняется для п — q. Мы просто заменяем
каждое Lt на +1, каждое L* на —1, каждое Rt на +2 и каждое
R* на —2. Таким образом, для указанной выше последовательно-
последовательности мы получаем {1, 1, 2, —1, 2, 1, —2, —1, —1, —2}. Легко
видеть, как можно обратить эту процедуру, хотя соответствующие
формулировки громоздки.
Теперь мы покажем, как получается система Мальцева а (/),
соответствующая заданной последовательности Мальцева /. Если
длина / равна q, то q — 1 пар соседних символов из / определяют
q — 1 равенств из а (I) при помощи следующей таблицы:
Таблица 1
diui
ciai
cibi
dibi
щ
AiDi
Aid
T>*
Щ
Bid
BiDi

380 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
Мы имеем здесь восемь последовательностей переменных:
аи Ъь си dt, At, Ви Си Dt (i = 1, 2, . . .)•
Если, например, парой соседних символов является LtRj, то
равенством будет сфг = AjCj. Левая [правая] часть равенства
строится по первому [второму] члену пары, и она совпадает
с выражением, стоящим в первой [второй] строке таблицы, причем
индекс выбирается тот же самый, что и у символа, по .которому
находится это выражение. Замыкающее равенство системы полу-
получается таким же образом с использованием последнего и первого
членов последовательности /.
Например, последовательность Мальцева
приводит к системе
\ = dzbz
— c3a3
d3a3 = B2JD2
?p2 = dsbs
c3b3 = dibi
= BJ)i,
замыкающим равенством которой служит
Теперь мы можем сформулировать теорему А. И. Мальцева.
Теорема 12.17. Полугруппа S с единицей может быть вложена
в группу тогда и только тогда, когда для любой последовательно-
последовательности Мальцева I из выполнимости в S системы равенств а (/) выте-
вытекает выполнимость в S ее замыкающего равенства.
Для доказательства теоремы Мальцева мы должны привести
сначала еще одну конструкцию свободной группы на полугруппе.
Во избежание некоторых незначительных затруднений мы огра-
ограничим наши рассмотрения, как это было сделано в формулировке
теоремы, полугруппами с единицей.
Конструкция 12.18. Пусть S — полугруппа с единицей, Г —
некоторое ее порождающее множество и М — произвольное множе-
множество той же мощности, что и Т. Пусть ML и Мя — не пересе-
пересекающиеся между собой и с М множества, причем \ ML \ = | MR | =
= | М |. Обозначим через а некоторое взаимно однозначное ото-

§ 12.6. Условия Мальцева
381
брожение множества М на Г, а через
т
т
(т
некоторые взаимно однозначные отображения множества М соот-
соответственно на ML и на MR.
Пусть (А — каноническое вложение множества М в М[]ML[)
U МR х), (К, %) — свободная полугруппа с единицей на множестве М
и (Г, т) — свободная полугруппа с единицей на множестве
M[)ML\JMR. Пусть, далее, а: К->• Т — гомоморфизм, такой,
что иос = [ir, и р: К -> S — гомоморфизм, такой, что и|3 = ст.
Положим Я! = а о р о р-1 ° а и я2 = {(w, l)}[) {(I, w)}, где
w пробегает все слова из Т вида mmR или вида тЧп (т ? М = М\\, =
= Мцт) и где символом 1 обозначена единица из Т. Наконец,
положим р = Л! U я2 и обозначим через pi конгруэнцию на Т,
порожденную отношением р. Пусть у — такой гомоморфизм полу-
полугруппы S в Tlpi, что ay = \mp?. Тогда (G, у), где G = Г/pi, являет-
является свободной группой на полугруппе S.
G=T/Pt
Проверка утверждений конструкции проводится стандартными
рассуждениями, аналогичными соответствующим рассуждениям
для других конструкций этой главы. Без ограничения общности
мы можем считать \и, т, я и а каноническими вложениями. Эле-
Элементы из К являются тогда словами в алфавите М, элементы из
Т — словами в алфавите М [} Мь U MR и в качестве единицы
полугрупп К и Т можно взять пустое слово.
Так как (G, у) является свободной группой на полугруппе S,
полугруппа S может быть вложена в группу тогда и только
тогда, когда у взаимно однозначно (теорема 12.4). Заметим, что,
поскольку «р = ст, ха = цт и My, есть порождающее множество
для К, равенство ау = (Атр|? равносильно равенству фу = apf.
J) То есть отображение, переводящее каждый элемент из М в себя.
В оригинале используется термин «inclusion mapping».— Прим. пер ев.

382 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
Таким образом, у о y-i = p-i о а о р1 о а <> р. Отсюда легко выве-
вывести, что отображение у тогда и только тогда взаимно однозначно
(т. е. у ° у~1 есть отношение равенства на S), когда отношение,
индуцированное р4 на Ка, совпадает с щ. Другими словами,
полугруппа S может быть вложена в группу тогда и только тогда,
когда для любых w, w' 6 К (= Ка) из включения (w, w') 6 Pi
вытекает, что (w, w') ? jtj, т. е. в 5 выполняется равенство
шр = ц/0.
Перейдем теперь к доказательству того, что (w, w') 6 Pi для
w, w' ? К тогда и только тогда, когда в S выполняется опреде-
определенный набор равенств.
Предположим, что w, w' ? К и {w, w') 6 Pi- Тогда существует
последовательность X = (н;0, и>\, . . ., wn) элементов из Т, для
которой w = w0, w' — wn и Wi -*¦ wi+i является элементарным
р-переходом при i. = 0, 1, . . ., п — 1. Будем говорить, что
любая другая последовательность элементов из Т, которая выво-
выводит w' из w элементарными р-переходами, эквивалентна последо-
последовательности X. Такие последовательности будем называть р-цепя-
ми (в Т) от w до w'.
Будем называть р-цепь X от w до w' нормальной, если wy
w' 6 К и не существует р-перехода wt -> wi+i из X, который
действует правее (в очевидном смысле) какого-либо элемента mR
или левее какого-либо элемента mL из w{ (ту.х = т 6 М).
Следующая лемма является основной.
Лемма 12.19. Любая р-цепь в Т между двумя элементами
из К эквивалентна некоторой нормальной р-цепи.
Доказательство. Пусть X = (и70) и>1» . . ., wn) есть
р-цепь, причем w0, wn ? К. Тогда w0 и wn являются словами в алфа-
алфавите М и поэтому не содержат элементов из ML и Мв. По ходу
цепи X элементы из ML и Мв будут вводиться, но в конечном
счете они будут удалены. Будем обозначать элементы из MLr
вводимые в X, через d\, d\, ... в том порядке, в каком они вво-
вводятся, а через DR, DR, . . ¦— соответствующие элементы из Мв+
где di, d2, • ¦ •, Di, D2, ¦ • ¦ принадлежат М. Элементы вида d^
(и Df) не обязательно различны, но такое обозначение позволит
нам отличать друг от друга разные вхождения одного и того же
элемента из ML (и MR). Таким образом, символ d% появляется
в определенный момент в цепи X, находится там некоторое время,
затем исчезает и никогда вновь не появляется.
Предположим, что к соответствующих переходов Tt: wt -*¦ wi+t
являются я2-переходами, которые вводят элементы из Mh,
и р переходов Tt являются я2-переходами, которые вводят эле-
элементы из MR.
Предположим, далее, что ; — 1 есть число вводимых элемен-
элементов из ML A -< У <^ к + 1), для которых нет р-преобразований.

12.6. Условия Мальцева 383
происходящих левее их при каком-либо переходе Tt. Тогда при
/ <С к + 1 найдется некоторый элемент d% из ML, не удовлетво-
удовлетворяющий этому условию. Следовательно, для некоторых i, I
wt = ab -
где a, b, ay, bi — элементы из Т.
Поскольку d% может принять участие только в р-переходах,
указанных в выписанной последовательности (т. е. в Г/ и Ti_i)t
р-переходы, преобразующие а в ait не зависят от р-переходов,
преобразующих dsb в dsb\. Следовательно, мы можем изменить
порядок расположения р-переходов (сохраняя его для р-пере-
р-переходов от а до % и от dsb до debi) для того, чтобы получить после-
последовательность
wt — ab -*¦ . . . -> uib -у
Вставляя эту последовательность между wt и wt, мы получим
новую последовательность, эквивалентную последовательности X.
В новой последовательности имеется j вводимых элементов из ML,
для которых не существует р-переходов, происходящих левее их.
Рассмотрим это детальней. Пусть исходная р-цепь имеет сле-
следующий ряд шагов преобразований:
шаг 1: ab -*¦ ad^d3b,
шаг 2: ad\dsb
шаг 3: aid^dsbi -> a^;
новая р-цепь имеет шаги:
шаг 1': ab->...-> atb,
шаг 2': atb
шаг 3':
шаг 4':
Теперь ясно, что новая р-цепь построена таким образом, что
левее вводимого элемента df не происходит никаких р-переходов.
Докажем, что" это свойство сохраняется для других / — 1 вво-
вводимых элементов из ML, которые по предположению обладали
им в первой цепи. В самом деле, пусть d% — один из этих эле-
элементов. Так как на любом из шагов 1, 2 и 3 никакой р-переход
не может происходить левее d%, никакой р-переход не может
произойти левее d^ на шаге 1' (от а до а4) или на шаге 3' (от dsb
до dsbt). Далее, так как преобразование на шаге 1 происходит
левее Ь, элемент d^ не входит в слово Ь, поэтому преобразование
на шаге 2' не происходит левее Ь. Наконец, поскольку преобразо-
преобразование на шаге 3 происходит левее blt мы получаем, очевидно, что
преобразование на шаге 4' не происходит левее d?.

¦384 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
Будем повторять этот процесс до тех пор, пока не получим
цепь, эквивалентную цепи X, такую, что в ней нет р-переходов,
происходящих левее какого-либо из к элементов множества ML.
Аналогично, мы могли бы начать с элементов из MR и полу-
получить р-цепь с требуемым свойством для этих элементов. Пред-
положим, что мы начали с элементов из Мп и получили р-цепь,
эквивалентную X, в которой не существует р-перехода, действую-
действующего правее какого-либо элемента из Мв. Повторим теперь пре-
предыдущие рассуждения для символов из ML. Докажем, что замена
шагов 1—3 на шаги 1'—4' не вводит преобразования, действую-
действующего правее какого-либо элемента Df-
В самом деле, пусть D? — элемент из Мв, встречающийся
в качестве сомножителя в некотором слове цепи. Поскольку
р-переход на шаге 1 действует правее а, символ Df не входит
в слово а. Аналогично, рассмотрев шаг 3, мы видим, что Df не
входит в слово at. Следовательно, если Df вводится на шаге 2
левее df, то на этом же шаге он должен удаляться. Таким образом,
«ели Df вводится на шаге 1', то на этом же шаге он удаляется,
причем на шаге 1' никакой р-переход не может действовать пра-
правее Df. Ясно, что на шаге 2' р-переход действует правее слова,
в которое не входит Df. На шаге 3' в преобразованиях от dsb
до dsbi никакой р-переход не может действовать правее Df, так
как в противном случае он действовал бы правее Df на шаге 2.
Наконец, на шаге 4' р-переход действует правее слова, в которое
ле входит, как отмечалось выше, символ Df.
Это доказывает наше утверждение. Процесс преобразования
цепи X заканчивается получением нормальной цепи от w0 до wn.
Это завершает доказательство леммы.
Если w — произвольное слово нормальной цепи, то ясно, что
каждый его сомножитель, принадлежащий ML, предшествует
каждому его сомножителю, принадлежащему Мп. Сердцевиной
слова w мы называем часть слова w, лежащую между последним
сомножителем из ML и первым сомножителем из MR. Например,
если в w не входят символы из МL \J MR, то w совпадаем со своей
сердцевиной.
Пусть X = (ы?0, и>1, . . ., wn) — нормальная цепь. Цепь X
называется собственной, если
A) п нечетно (будем считать, что п = 2q -f 1);
B) T2J: wZj^-w2j+i (/ = 0, 1, . . ., q) является nj-nepexo-
дом;
C) Tzj+i' f u>zj+i -> w2j+2 {j = 0, 1, . . ., q — 1) является
я2-переходом.
Теперь мы можем усилить предыдущую лемму.

12.6. Условия Мальцева385
Лемма 12.20. Любая нормальная р-цепъ эквивалентна собствен-
собственной нормальной р-цепи.
Доказательство. Для доказательства леммы доста-
достаточно сделать два замечания. Во-первых, так как пара A, 1)
принадлежит я4, между любыми двумя последовательными л2-
переходами можно вставить тривиальный я^переход. Во-вторых,
нормальную цепь последовательных я^переходов можно заме-
заменить одним л^-переходом, поскольку такую цепь можно рассма-
рассматривать как цепь jti-переходов на сердцевинах слов, я4 есть
конгруэнция на К и сердцевины всех слов в нормальной цепи
принадлежат К. Оба типа рассмотренных замен преобразуют
нормальную цепь в нормальную цепь. Ясно, что, используя ука-
указанные замены, мы можем преобразовать нормальную цепь в экви-
эквивалентную ей собственную нормальную цепь.
Лемма доказана.
Пусть X = (w0, Wi, . . ., wZq+i) — собственная нормальная
цепь. Тогда X определяет следующую последовательность Маль-
Мальцева / = (Xi, Х2, ¦ ¦ ., Xq) длины q: Xj совпадает с Lu L*, Rt
или В.* в зависимости от того, вставляет ли пару d^dt, удаляет
ли пару dfdt, вставляет ли пару DtDf или удаляет пару DiD?
переход T2j^. (Как и выше, через d\, d\, . . ., d\ LDf, Df, . . .
. . ., Dk\ мы будем обозначать элементы из ML [МЩ в порядке
их появления в р-цепи.) Ясно, что построенная таким образом
последовательность / удовлетворяет условиям (i) и (ii) для после-
последовательности Мальцева.
Предположим, что Т2}-± вставляет пару d\di в слово w^j-i-
Так как X — нормальная цепь, должны существовать такие
с;, at ? К, что c^i является сердцевиной слова w2j-i и w2j =
= . . . Ctdfdiui .... Тогда сердцевина слова w2j равна dtai.
Заметим также, что ввиду нормальности цепи X слово ct, нахо-
находящееся левее d\, не будет затрагиваться р-переходами до тех
пор, пока не будет удален символ df- Аналогично, если T2j-i
вставляет пару DtD? в w2i_u то сердцевину слова w2j^ мы будем
записывать в виде АгСг, где w2j = AtDiDfCt... . Тогда сердцеви-
сердцевина слова w2j равна AiDt и Ct не будет затрагиваться р-переходами
до тех пор, пока не будет удален символ Df. Если T2j_y удаляет
пару d\di из слова и>2.ы> то сердцевину слова и>2.м мы условимся
записывать в виде dtbi. Это возможно, поскольку в силу нормаль-
нормальности цепи пару d%dt можно удалить из u>2./-i только в случае,
когда dt является первым сомножителем в сердцевине слова
^2/-i' Учитывая замечание, сделанное выше об элементе ct, мы
можем сказать, что wZj~i = . . . Cid^dibi ... и что сгЪ{ является
25—100

386
Гл. 12. Вложение полугруппа в группу
сердцевиной слова w2j. Аналогично, если T2j-i удаляет пару
DiDf из w2j-i, то мы можем записать сердцевину слова u^-i
в виде BtDi. Тогда сердцевина слова w2j равна BiCt.
Описанный процесс определяет форму записи сердцевины
всех элементов из X, за исключением w0 и wZq+i. Результаты
сведем в следующую таблицу:
Таблица 2
Вставляет d\di
Удаляет d\di
Вставляет D(Df
Удаляет DiDf
Сердцевина
слова
ciai
d{bi
Aid .
BiDi
Сердцевина
слова W2j
dtat
AiDi
BiCi
Теперь ясно, как цепь X определяет систему Мальцева а (/)
и ее замыкающее равенство. Действительно, из таблицы 2 при
соответствующей интерпретации получается таблица 1 этого пара-
параграфа. Равенства из а (/) определяют преобразования сердцевин
(и определяются этими преобразованиями), индуцированные пере-
переходами T2j (j = 0, 1, . . ., q — 1). Например, предположим,
что TZj_t вставляет cftdi, a"jT2j+i удаляет DkDk- Тогда сердцевина
слова w2j равна d^i, а сердцевина слова ivZj+i равна BkDк. Таким
образом, TZj- при своем действии заменяет йгаг на BhDh. Пара
2" Т
Т
р
2}+1 определяет пару LtR* в последовательности Маль-
Мальб 1
^ }+ р р
цева /, и из таблицы 1 видно, что соответствующим равенством
из ст (/) будет diui = BhDh. Это равенство в точности совпадает
с равенством, определяемым переходом T2j. Равенство <2гаг =
= BkDk, вообще говоря, не выполняется в Т. Однако, так как
nt есть конгруэнция на К (еГ), мы имеем йхп^^ВkDh, и поэтому
(йгр) (агр) = (Вftp) (Z)ftP) есть равенство, выполняющееся в S.
Замыкающее равенство для а (I) определяется аналогично сердце-
сердцевинами СЛОВ W2q И Wi. ПОСКОЛЬКУ (lP2q, W2q+i) 6 ^1 и (^0> ^l) 6 %i
включение (w0, wZq+i) 6 Щ имеет место тогда и только тогда,
когда (w2q, Wi) 6 зт±, т. е. когда wZq p = И74р. В качестве примера
укажем собственную нормальную цепь, которая приводит к систе-
системе Мальцева, использованной выше в качестве примера. Сердце-

§ 12.6. Условия Мальцева 387
вины слов подчеркнуты. Слова, объединенные фигурными скоб-
скобками, дают равенства системы.
( ctdL czd% d2a2
\ c^ c2d% Afii
\ c^d\ c?\ d2b2 DfCj
( Cjdf; c2b2 DfCj
\ с$\А?гЩСх
fcjo, D*C2 D*Ct
Гcxd\ cad% BzCz P?Ct
<
i < i _з_з
BA
Мы установили, что любая собственная нормальная цепь X
определяет: A) последовательность Мальцева / = 1Х, B) набор
элементов из Jtj, которые задают равенства а (Г), и C) элемент
из Лц который задает замыкающее равенство системы а (/).
Обратно, предположим, что нам дана последовательность Маль-
Мальцева / вместе с множеством равенств а (/). Подставим тогда
вместо переменных at, Ь,-, с{, dt, At, Bit Ct, Pt, где dif Pt 6 M,
25*

388 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
элементы из К таким образом, чтобы обе части каждого равен-
равенства из ст (/) составляли компоненты пары из щ. Тогда легко
видеть, что мы можем использовать указанные элементы из щ
в качестве сердцевин элементов некоторой собственной нормаль-
нормальной цепи, которая в свою очередь только что описанной процеду-
процедурой будет определять исходную последовательность / и множество
элементов из я1( которые были получены из а (/). Так построен-
построенная собственная нормальная цепь единственна с точностью до
добавления %-эквивалентных элементов на каждо i из концов.
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 12.17.
Предположим сначала, что S может быть вложена в группу.
Пусть / — произвольная последовательность Мальцева и символы
аг, bt, . . ., Dt имеют такие значения в S, что выполняются
равенства а (/). Выберем порождающее множество Г из S таким
образом, чтобы все di, Dj принадлежали Г, т. е. чтобы в М суще-
существовали элементы, которые переводятся в элементы dt и Dj
при отображении а (а поэтому и при отображении Р). При таком
выборе множества М мы можем выбрать значения для символов
at, bt, . . ., Dt в К так, чтобы образами этих значений при ото-
отображении р были соответственно значения этих символов в S
и чтобы значения символов dt, Dj принадлежали М. При таком
выборе левая и правая части каждого равенства из а (Г) опре-
определяют элемент из щ. Эти элементы из я4 определяют указанной
выше процедурой некоторую собственную нормальную цепь X
от w до w'. Мы имеем w, w' ? К и (w, w') ? р^ Следовательно,
(w, w') 6 Jij, так как S вложима в группу. Принимая во внимание
замечания, сделанные выше о построении по цепи X замыкающего
равенства, и используя отображение р, мы легко получаем., что
замыкающее равенство системы а (/) выполняется в S.
Обратно, предположим, что для любой последовательности
Мальцева / выполнимость в S всех равенств из а (I) влечет за
собой выполнимость в S замыкающего равенства системы а (/).
Пусть w, w' ? К и {w,.w') ? pi. Тогда, как мы уже видели, суще-
существует некоторая собственная нормальная р-цепь X, преобразую-
преобразующая w в ц/, которая определяет последовательность Мальцева 1Х
и множество элементов из я4, задающих с учетом отображения р
систему истинных в S равенств а {1х)- Отсюда в силу нашего
предположения следует, что в S выполняется также замыкающее
равенство системы a tfx)- Это равносильно тому, что (wv w[) ? я4,
где w —*~ Wi есть первый переход, a w[ -> w есть второй переход
цепи X. Оба указанных перехода являются я^переходами. Сле-
Следовательно, (w, w') 6 Jti, откуда непосредственно вытекает, что
полугруппа S может быть вложена в группу.
Это завершает доказательство теоремы Мальцева.
Заметим в заключение, что приведенное выше доказательство
достаточности дает более сильный результат, нежели сформулиро-

§ 12.7. Сравнение систем Мальцева и Ламбека 389
ванный в теореме. В качестве М можно выбрать произвольное
множество, для которого Ма = Г является порождающим множе-
множеством полугруппы S. Для вложимости полугруппы S в группу
достаточно, чтобы из выполнимости в S системы равенств а (/),
для которой dt, Dj ? Г, вытекала выполнимость в S замыкающего
равенства этой системы. Мы используем указанное замечание
в § 12.8.
Упражнения к § 12.6
1. Пусть / — последовательность Мальцева. Если XY — пара
соседних символов из /, то XY определяет с учетом таблицы 1
некоторое равенство из а (I). Назовем левой частью этого равен-
равенства ту из частей, которая отыскивается в таблице 1 по симво-
символу X. Образуем равенство, которое будем обозначать через (а).
Для этого перемножим все левые части равенств из а (/) и при-
приравняем полученное выражение произведению всех правых частей
(равенства можно брать в любом порядке).
Пусть S — коммутативная полугруппа с сокращениями. Пред-
Предположим, что в S выполняются равенства о" (/). Тоща (а) также
выполняется в S, и, сокращая в равенстве (а), получаем, что
в S выполняется замыкающее равенство системы а (/). Следова-
Следовательно, 5 может быть вложена в группу.
2. Пусть S — квазиреверсивная слева полугруппа с сокра-
сокращениями (см. упражнение 4 к § 12.4). Тогда S вложима в группу.
(Досс [1948] *)•)
3. Полугруппа с единицей тогда и только тогда будет полу-
полугруппой с сокращениями, когда для каждой последовательности
Мальцева / длины 2 из выполнимости в S системы а (Г) вытекает
выполнимость в S замыкающего равенства этой системы.
§ 12.7. Сравнение систем Мальцева и Ламбека
В этом параграфе мы покажем, что системы Мальцева, обра-
образующие вместе с их замыкающими равенствами системы Ламбека
в смысле, разъясненном ниже,— это в точности те системы Лам-
Ламбека, которые возникают из двухвершинных многогранников.
*) Укажем также на работу С. И. Адяна [1960] {подробное изложение
см. в [1966]), где найдено одно достаточное условие вложимости в группу
конечно определенной полугруппы, из которого вытекает, в частности, что
полугруппа с сокращениями, заданная одним определяющим соотноше-
соотношением, вложима в группу. С другой стороны, существуют полугруппы с сокра-
сокращениями, заданные двумя определяющими соотношениями, которые не вло-
жимы в группу; в цитированных работах приведены такие примеры, при-
принадлежащие П. С. Новикову и С. И. Адяну (в построенном А. И. Мальцевым
исторически первом примере полугруппы с сокращениями, не вложимой
в группу, полугруппа была задана тремя определяющими соотношениями).—
Прим. ред.

390 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
Соотношение между системами Мальцева и Ламбека рассматри-
рассматривалось также Бушем [1963]. Мы продолжаем использовать обо-
обозначения предыдущего параграфа.
Под системой Ламбека мы понимаем систему полуреберных
равенств, которые возникают при пометке буквами всех сторон
и углов эйлерова многогранника способом, описанным в § 12.5.
Кроме того, в целях сравнения с системами Мальцева мы будем
предполагать, что никакая буква не используется дважды в помет-
пометке многогранника. Это соответствует нашему соглашению отно-
относительно систем Мальцева, когда при построении последователь-
последовательности Мальцева из цепи элементарных переходов мы присваивали
новые имена каждому * новому вхождению буквы.
Теорема 12.21. Система Мальцева равенств а (Г) вместе с ее
замыкающим равенством образует систему Ламбека тогда и только
тогда, когда последовательность I имеет вид
причем п + m > 0. В этом случае система Ламбека возникает
из двухвершинного многогранника с п + т + 1 ребрами.
Обратно, пусть Р — двухвершинный многогранник и of (P) —
система Ламбека равенств, соответствующих Р. Выберем из
& (Р) произвольное равенство Р. Тогда существует система
Мальцева I, для которой Р является замыкающим равенством
и JP(P)\P = a (/).
Прежде всего нам понадобятся две леммы. Мы будем исполь-
использовать следующую терминологию. Будем говорить, что равенство,
считываемое по паре символов XY в таблице 1 (§ 12.6), откры-
открывается символом X и закрывается символом Y. Далее, если / —
последовательность Мальцева, то мы предполагаем, что соответ-
соответствующие равенства а (Г) вместе с замыкающим равенством упоря-
упорядочены в порядке их считывания из таблицы 1, причем считывание
мы начинаем с первого символа цепи /, движемся последовательно
вдоль / и завершаем полный цикл первым символом цепи /, так
что последним равенством будет замыкающее равенство систе-
системы а (Г).
Два полуреберных равенства, соответствующих одному ребру
многогранника, имеют вид ха = уЪ и хс = yd, где х, у, а, Ъ, с, d
различны в силу нашего соглашения. Эти два равенства имеют
в точности две общие буквы, а именно х и у, причем х и у являются
левыми сомножителями членов этих равенств. Мы будем гово-
говорить, что эти два равенства имеют два общих левых сомножителя.
О системе Ламбека можно сказать, что она состоит из такого набо-
набора пар равенств, что два равенства каждой пары имеют два общих
левых сомножителя. Этот факт является исходным пунктом
нашего доказательства теоремы.

§ 12.7. Сравнение систем Мальцева и Ламбека 391
Лемма 12.22. Если два последовательных равенства системы
Мальцева имеют два общих левых сомножителя, то они соответ-
соответствуют одной из следующих троек в последовательности Маль-
Мальцева: LtRjL*, ЬгЩЦ, LfRfLi или L*RjLt (последние два случая
выполняются лишь тогда, когда вся цепь имеет вид Lt . . . L*R*.
или RjLt . . . L* соответственно).
Доказательство. Буквы at, bt, Ct и Dt встречаются
только в качестве правых сомножителей в системе Мальцева,
поэтому мы можем ограничить свое внимание буквами At, Ви
ct, dt. Буква ct встречается только в равенстве, открывающемся
символом L*, и в равенстве, закрывающемся символом Lt. Следо-
Следовательно, если С( является общим левым сомножителем двух
последовательных равенств, то соответствующая тройка в после-
последовательности Мальцева должна иметь вид L%XLi или L^X*Lt.
Используя таблицу 1, легко проверить, что X — Rj является
единственной возможностью, которая дает второй общий левый
сомножитель. Однако в последовательности Мальцева L* должно
встречаться после Li. Кроме того, последовательность Мальцева
должна начинаться с символа без звездочки и должна заканчи-
заканчиваться символом со звездочкой. Следовательно, указанные воз-
возможности осуществляются лишь тогда, когда вся последователь-
последовательность имеет вид RjLi . . . Lf или Lt . . . L*R*.
Буква di встречается лишь в равенствах, открываемых симво-
символом Li, и в равенствах, закрываемых символом Lf. Аналогичный
перебор возможностей показывает, что два общих левых сомно-
сомножителя, один из которых есть dt, появляются только для троек
LjRjL* и LiRJL*. Каждая из букв At и Вг может быть общим
левым сомножителем только в рассмотренных нами случаях;
действительно, At [Bt\ является общим левым сомножителем
тогда и только тогда, когда средним символом тройки является
Ri urn.
Лемма 12.23. Если два не соседних равенства системы Маль-
Мальцева имеют два общих левых сомножителя, то соответствующие
пары соседних символов в последовательности Мальцева должны
быть одного из следующих типов: LtLi+l и Lf+iLf; L\Lj и LfLt
(последняя возможность осуществляется лишь в случае, когда
еся последовательность имеет вид Lt . . . L*Lj . . . Lf).
Доказательство. Каждая из букв At и Bt может
встречаться в качестве общего левого сомножителя лишь для
соседних равенств. Следовательно, общими левыми буквами двух
равенств, не являющихся последовательными равенствами, могут
быть только буквы Cj и dj. Буква ct встречается в равенстве, откры-
открываемом символом L*, и в равенстве, закрываемом символом Lf,
а буква dt встречается в равенстве, открываемом символом Lt,

392 Гл. 12. Вложение полугруппа в группу
и в равенстве, закрываемом символом Lf. Следовательно, все
возможности для пар исчерпываются следующими: (i) L*Lj
и L*Lt, (ii) LiLj и LJLf. Используя определение последователь-
последовательности Мальцева, в случае (ii) получаем / = i + 1. Что касается
случая (i), то снова по определению последовательности Мальцева
обе пары L*Lj и L*L-t не могут быть расположены в таком порядке
в исходной последовательности, поэтому одна из них, например
L*Lt, соответствует замыкающему равенству системы. Отсюда
следует, что L,- является первым членом, a LJ — вторым членом
последовательности. Это завершает доказательство леммы.
Перейдем теперь к доказательству первого утверждения тео-
теоремы. Предположим сначала, что в последовательности Мальце-
Мальцева / не встречаются символы Rj, так что / состоит исключительно
из символов Lt и соответствующих им символов Lf. Если Lj —
последний символ такого типа в последовательности /, то по
определению последовательности Мальцева следующим символом
в / будет Lf. Пара LjLJ определяет равенство djuj = djbj. Это
равенство не может принадлежать системе Ламбека, поскольку
в силу нашего соглашения все стороны и углы помечены различ-
различными буквами. Следовательно, последовательности / принадлежит
некоторый из символов Rj, скажем Д4.
На основании лемм 12.22 и 12.23 последовательность /, содер-
жащая символ Ri, должна иметь вид . . . LnRiL* • ¦ • или
RiLi . . . L*. В первом случае перед символом Ln могут находить-
находиться только символы вида Lj и L*;- но тогда рассуждениями, ана-
аналогичными приведенным, можно показать, что перед Ln символы
типа L% не встречаются. Следовательно, в этом случае, снова
учитывая лемму 12.22, мы видим, что последовательность / начи-
начинается следующим образом:
L^ ... LnRxLt ... L* ... .
В силу леммы 12.22 последовательность может теперь закон-
закончиться символом R* (случай т = 0 теоремы) или, поскольку пара
L*R2 не может возникнуть в силу наших лемм, последовательность
продолжается . . . Ln+i .... Снова применяя леммы, мы легко
получаем, что последовательность / должна иметь вид, указан-
указанный в теореме. Аналогичные рассуждения проводятся в остав-
оставшемся случае (случай п = 0 теоремы).
Мы должны теперь показать, что наши системы Ламбека —
это системы, возникающие из двухвершинных многогранников;
сделаем это, обращаясь к рисункам подходящим образом поме-
помеченных многогранников для случаев п — 0, т = 0 и тп ^ 0.
Из наших рассуждений будет видно, что выполняется также
и обратное утверждение теоремы. В каждом случае через Р будем
обозначать равенство, произвольным образом выбранное из
системы Ламбека ё1 (Р), соответствующей многограннику Р.

§ 12.7. Сравнение систем Мальцева и Ламбека
393
На каждой из диаграмм в качестве нижней верпганы будем брать
ту из вершин, в которой полуребро определяет равенство Р.
Случай п — 0. Правая сторона ребра, полуребро которого
определяет Р, помечена символом At, а его левая сторона —
символом с±. Соседнее справа ребро или, если правее нет ребер,
крайнее слева ребро помечено с левой стороны символом Bi7
а с правой стороны — символом dm. Оставшиеся т — 1 левых
сторон ребер помечаются последовательно символами с2, . . ., ст,
при этом, начиная с ребра, определяющего Р, мы движемся влево
до крайнего левого ребра и затем, начиная с правого края
диаграммы, мы снова движемся влево. Правую сторону ребра,
левая сторона которого помечена символом сг, пометим сим-
символом dt.i (i = 2, 3, . . ., т).
Теперь пометим следующим образом углы. В нижней вершине,
начиная с угла, расположенного левее полуребра, определяю-
определяющего Р, и двигаясь против хода часовой стрелки, пометим после-
последовательно углы символами Ь4, . . ,, Ът, С4. В верхней вершине,
начиная с угла, расположенного левее ребра, нижнее полуребро
которого определяет Р, и двигаясь по ходу часовой с/Грелки, поме-
пометим последовательно углы символами а1( a2,...i^m,Z)i.Диаграм-
a2,...i^m,Z)i.Диаграмма иллюстрирует случай т = 4.
Случай п = 0, т = 4.

394
Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
Такая система Ламбека является системой Мальцева, равен-
равенства которой (включая замыкающее равенство с^Ъ^ = А±С\) соот-
соответствуют последовательности Мальцева
RiLi . . . LmRfLm . . . L*.
Случай т = 0. Чтобы получить диаграмму для этого случая,
мы просто возьмем диаграмму предыдущего случая п = 0, поме-
поменяем в ней местами А^ и Bt, Ci и Di, заменим п на т и после этого
перевернем ее. Замыкающим равенством здесь будет В^Су = с^.
Случай тп Ф 0. Здесь нам понадобится подходящая комбина-
комбинация двух только что описанных рисунков. Пометим прежде всего
символом Ci правую сторону ребра, полуребро которого опреде-
определяет Р, и символом сп+1 левую сторону этого ребра. Осталось
пометить п + т ребер. Пометим левые стороны оставшихся
ребер последовательно символами сп+2, . . ., сп+т, В±, dn,
dn^t, . . ., di, двигаясь влево от уже помеченного ребра до край-
крайнего слева ребра и затем снова двигаясь влево от правого края
диаграммы. Пометим правые стороны оставшихся п -{- т ребер
в том же порядке символами dn+i, . . ., dn+m, Ai,-cn, cn_j, . . ., c2.
Случай n = 2, m == 3.
Далее, пометим следующим образом углы. В нижней вершине,
начиная с угла, расположенного на стороне В±, и двигаясь по

? 12.8. Конечные множества квазитождеств 395
ходу часовой стрелки, пометим последовательно углы символами
Ci, bn+m, . . ., bn+i, ait . . ., пп. В верхней вершине, начиная
с угла, расположенного на стороне А\, и двигаясь против хода
часовой стрелки, пометим последовательно углы символами
Du On+mi • • • > Лп+i. Ьи . . ., Ьп. Диаграмма иллюстрирует слу-
случай п = 2 и т = 3.
Получающаяся система Ламбека является системой Мальцева
равенств (вместе с замыкающим равенством с^а^ = cn+lbn+i),
соответствующих последовательности Мальцева
Lx . . . LnRiLn . . . L*Ln+i . . . Ln+mR*Ln+m . . • Х»Я+и
где п > 0 и т > 0. Доказательство теоремы закончено.
§ 12.8. Конечные множества квазитождеств
Множество всех последовательностей Мальцева счетно. Следо-
Следовательно, и множество необходимых и достаточных условий для
возможности вложения полугруппы в группу, указанных в теоре-
теореме 12.17, счетно. В этом параграфе мы докажем еще один резуль-
результат А. И. Мальцева [1940] о том, что никакое конечное подмноже-
подмножество этих условий не достаточно для возможности вложения.
На самом деле мы докажем более общий результат, также
принадлежащий А. И. Мальцеву [1940]. Квазитождеством *) назы-
называется условие, состоящее в том, что выполнение одного конеч-
конечного набора равенств влечет за собой выполнение другого конеч-
конечного набора равенств 2). Поясним сказанное. Каждое равенство
можно записать формально в виде w = wr, где w и w' — слова
из некоторой свободной полугруппы JF- Подчеркнем, что, говоря
о «равенстве», мы не имеем в виду равенство слов в свободной
полугруппе. Пусть юг = w\ (i — 1, 2, . . ., п) — одна конеч-
конечная система равенств и vj = v] (j = 1, 2, . . ., т) — другая
конечная система равенств. Будем говорить, что в полугруппе S
система равенств wt = w\ влечет за собой равенства vj = v'j, если
для любого гомоморфизма ф: ер -> S из того, что и?гф = wly
(i = 1, 2, . . ., п), следует, что у/р = vfa (/ = 1, 2, . . ., т).
Мы докажем, что никакое конечное множество квазитождеств
не является достаточным для возможности вложения полугруппы
в группу. Как и к системам Мальцева, эта теорема применима
к системам Ламбека. Таким образом, не существует такого конеч-
конечного набора многогранников, что выполнимость соответствующих
1) В оригинале эквациональной импликацией (equational implication).
В русской литературе применяется также термин «условное тождество».—
Прим. перев.
s) Чаще в определении квазитождества этот второй набор считают состоя-
состоящим из одного равенства. Разумеется, данное отличие в определениях не суще-
существенно.— Прим. ред.

396 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
им квазитождеств является достаточным условием вложимости
полугруппы в группу.
Следующая лемма является основной. Мы используем поня-
понятия, введенные в конструкции 12.18. Кроме того, мы продолжаем
считать а каноническим вложением и поэтому будем его опускать.
Отображения к, \i и т также будем считать каноническими вложе^-
ниями всюду, где это не приводит к недоразумениям. Таким
образом, мы, например, будем писать Jtj = р" о p-i.
Лемма 12.24. Пусть М — P[]Q, где Р и Q — непересекаю-
непересекающиеся множества. Предположим, что р" о p-i порождается (как
конгруэнция на К) множеством пар вида (pq, p'q'), где р, р' ? Р
и q, q' ? О. Обозначим через I (w) длину элемента w ? К, рассма-
рассматриваемого как слово в алфавите М. Пусть (w, w) 6 Pi ( )
Тогда
w =
w' = а[а'2 . . . а'п,
где для i = 1, 2, . . ., п
(i) а„ а\ 6 К;
(И) (а,, а-) 6 Pi;
(Hi) l (а,) = Z (oj);
(iv) либо (a) Z (at) = 1, если а% и а\ принадлежат одновременно
P или Q, либо (b) Z (at) = 2, если at = pq, a\ = p'q' для некоторых
p,p'eP и q,q'e Q.
Доказательство. По лемме 12.20 существует собствен-
собственная нормальная цепь от w до w'. Из множества всех таких соб-
собственных нормальных цепей, выберем цепь X, которая содержит
наименьшее число Яг-переходов, использующих символы из
PL\jPR. Здесь PL = {mL | mL e ML, m 6 Р}, Рв = {т* | т* 6
6 MR, т в Р}-
Нам понадобится несколько определений. Обозначим через я
множество пар (pq, p'q'), которые по предположению порождают
конгруэнцию Jti на К. Тогда любой л^переход эквивалентен
конечной последовательности я-переходов. При каждом я-пере-
ходе, а поэтому при каждом л^-переходе элемент из Р [О] либо
не меняется, либо заменяется на элемент из Р [Q]. Предположим,
например, что р [q\ заменяется на элемент р' [q], который
в свою очередь заменяется на р" [q"\, и т. д. Тогда р, р', р", . . .
[q, q', q", . . .] будем называть консеквентами элемента р [q].
Мы не включаем в число консеквентов элемента р консеквенты
любого другого вхождения этого элемента.
Рассмотрим теперь л2"пеРех°Д цепи X, который вводит эле-
элемент из PL\jPR. Пусть, например, этот переход вводит пару ppR.

§ 12.8. Конечные множества квазитождеств 397
Тогда pR удаляется на более позднем этапе при вычеркивании
пары ppR. Будем говорить, что элемент рв моногамен, если то
вхождение элемента р, с которым он удаляется, является кон-
секвентом элемента р, с которым он вводится. Если элемент рв
не является моногамным, то будем говорить, что он полигамен.
Аналогично мы определяем моногамные и полигамные элементы
из PL.
Покажем, что все элементы из PL\jPR, вводимые переходами
цепи X, являются моногамными.
Предположим противное. Пусть pL — последний полигамный
элемент из PL\jPR, который вводится в цепи X (pL?PL).
Тогда элемент pL не может быть удален в цепи X раньше консек-
вентов элемента р, с которым он вводился. В самом деле, во-пер-
во-первых, рь не может быть удален вместе с элементом, лежащим
левее его (так как pL ? ML), и, во-вторых, до тех пор, пока в цепи
имеются консеквенты элемента р, элемент pL не может быть удален
вместе с каким-либо элементом, лежащим правее такого консек-
вента. Таким образом, если элемент рь удаляется раньше этих
консеквентов, то он должен быть удален с некоторым элементом,
вводимым после pL. Но это, легко видеть, противоречит пред-
предположению о том, что рь является последним полигамным эле-
элементом, вводимым в цепи X.
Следовательно, некоторый консеквент р' элемента р должен
быть удален в цепи X раньше pL. Кроме того, р' должен быть
удален с некоторым элементом из PR; действительно, любой
элемент из PL, с которым можно было бы удалить р', должен
вводиться после pL, но по предположению такие элементы моно-
моногамны. По этой же причине элемент из PR, с которым удаляется
р', должен вводиться раньше элемента рь. Таким образом, X
содержит подцепь (|) следующего вида:
A) B) C)
UN —»- Up'p'RN-> ... -> KAp'RN —v
D) E)
-> KpLpAp'RN ->...-*¦ KpLBp'p'RN —> (I)
-*¦ KpLBN ->...-> KpLpV -Л- KV.
Здесь p'R вводится на шаге A) и удаляется на шаге E) вместе
с консеквентом р' элемента р. Договоримся использовать заглав-
заглавные буквы для обозначения элементов из Т, сохраняя строчные
буквы для обозначения элементов из М [) ML [) Мв.
Шаг D) состоит из последовательности переходов, которая
преобразует рА в Вр', где р' является консеквентом элемента р.
Поскольку элементы из Р встречаются лишь в качестве левых
¦сомножителей элементов пар из я, ни элемент р, ни любой из его
консеквентов не может участвовать в переходе, затрагивающем

398 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
элемент, лежащий слева от него. Таким образом, переходы на
шаге D) можно расщепить на две независимые последователь-
последовательности, а именно: последовательность, преобразующую рА в р',
и последовательность, преобразующую пустое слово в В. Учиты-
Учитывая, что цепь X нормальна, мы получаем, что преобразование рА
в р' должно осуществляться последовательностью (г\) следую-
следующего вида:
Ш A2) D3)
рА-+ ...-+pA A4
D4)
>"
(Ч2г) (Чаги)
*¦ РАгт-iAr ->-... -*¦ Рт = Р-
Здесь т]2, т]4, • • ., т]2г являются я-переходами, в то время как
rJj+i еств последовательность переходов, не затрагивающих pt
(мы полагаем р = р0).
Обозначим через (?) следующую последовательность перехо-
переходов, преобразующую р в некоторое слово р'С:
р -»- pqqB -*¦ Pi?i?fi -*¦ Piqa?QiqR "> РДДйЧД* -»¦ • • •
??r -2?2г-з. .-gig* = р'С. (О
Цепи (г)) и (?) могут быть использованы для замены (|) следующей
эквивалентной ей последовательностью (%):
(Чз)
. ..
(Ч2Г+О
> • • • -*¦ kv.
Здесь через D') обозначена последовательность переходов, содер-
содержащаяся в последовательности D) и преобразующая пустое
слово в В. Последовательность (у) является, очевидно, нормаль-
нормальной, и поэтому нормальна последовательность Y, полученная
из X заменой подпоследовательности (!) на (%). Тривиальным
образом последовательность Y можно превратить в собственную
нормальную последовательность.
В последовательности (у) никакой я2-переход не затрагивает
элементов из PL{jPB, которые не встречаются в X. Более того,

§ 12.8. Конечные множества квазитождеств 399-
в (%) яа-переходов, затрагивающих элементы из PL\jPB, на
два меньше, чем в (|); действительно, элементы p'R и pL вводятся
в (|), но не вводятся в (у). Таким образом, Y эквивалентна X
и содержит меньше я2-переходов, затрагивающих элементы из-
PL\JPR, чем X. Это противоречит выбору цепи X. Аналогичные-
рассуждения приводят к противоречию, когда последний поли-
полигамный элемент из PL\jPB, вводимый в X, принадлежит PR.
Отсюда следует, что каждый элемент из PL\jPR, вводимый в X,
является моногамным.
Теперь мы можем легко завершить доказательство леммы.
Поскольку в цепи X от w до w' каждый вводимый элемент иа
PL U PR является моногамным, консеквенты каждого элемента
из Р, присутствующего в и?, не могут быть удалены преобразова-
преобразованиями из цепи X. Следовательно, каждый элемент из Р, присут-
присутствующий в w, имеет консеквент в»'. В силу соображений симме-
симметрии каждый элемент из Р, присутствующий в w', является кон-
секвентом некоторого элемента из Р, присутствующего в w.
Аналогично можно установить, что сомножители слова w', при-
принадлежащие Q, являются консеквентами сомножителей слова wy
принадлежащих Q, и каждый такой элемент из w имеет консек-
консеквент в w'.
Далее, элемент из Р [Q] и его консеквенты не^огут участво-
участвовать в переходах, действующих на соседний слева [справа] эле-
элемент (за исключением случая, когда удаляется этот элемент или
его консеквент). Это утверждение справедливо в силу предположе-
предположений относительно множества я. Таким образом, если w распа-
распадается на два слова w = WiW2, причем Wi оканчивается элемен-
элементом q или w2 начинается с элемента р (р ? Р, q ? Q), то в пре-
преобразовании от w до w' слова w^ и w2 преобразуются независимо-
в соответствующие им подслова из w'. Применяя это замечание-
к словам iplt wz и т. д., мы, наконец, получаем, что w распадается
на подслова трех типов, каждое из которых преобразуется незави-
независимо: (а) элемент из Р, (Ь) элемент из Q и (с) слово pq, где р ? Р
и q 6 Q- Эти замечания завершают доказательство леммы.
Построим теперь бесконечную серию полугрупп Sn (п = lr
2, . . .), не вложимых в группы, обладающую следующим заме-
замечательным свойством: каждая конечная система квазитождеств,
выполняющаяся во всех группах, выполняется в Sn для любого-
достаточно большого п. Приводимая конструкция и результат
принадлежат А. И. Мальцеву [1940].
Пусть 1п — последовательность Мальцева
In = LlRi...RnLtR*n...R*.
Обозначим через пп множество пар, считываемых в таблице 1
(§ 12.6), которое определяет систему Мальцева а (/„) и которое,.

400
Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
для использования в дальнейшем, мы выписываем в виде сле-
следующей таблицы:
Afi)
Группа I
IА Г) А С \
(A2D2, A3C3)
An-J)n-i, AnCn)
(AnDn, dibi)
(cjbj, BnDn)
(BnCn, Bn^D^)
(В,С„ B2D2)
Группа II
Парой, «замыкающей» я", будет {BiCi, с±а±). Положим
Рп = {Ai, А2, . . ., Ап, Bif В2, . . ., Вп, ci, di},
Qn = {att bi, Ci, C2, ¦ • •, Cn, Di, D2, • • .. Dn}.
Тогда все элементы из я" имеют вид (pqt p'q'), где р, р' ? Рп
и q', q 6<?n-
Заметим теперь, что я (= яп), Р (= Рп) и Q {= Qn) обладают
следующими свойствами:
A) Каждый элемент из Р [Q] является сомножителем не
менее чем в одном и не более чем в двух словах, встречающихся
в качестве компонент пар из я.
B) Число элементов из Р [Q], встречающихся в точности
один раз в качестве такого сомножителя, не более двух.
Пусть я' — некоторое непустое подмножество из я. Обозначим
через Р' [Q'] подмножество из Р [Q\, состоящее из тех эле-
элементов множества Р [Q\, которые встречаются в качестве сомно-
сомножителей слов из пар, образующих п'.
Лемма 12.25. Свойства A) и B) выполняются для п', Р' и Q'
тогда и только тогда, когда либо я = я', либо я' состоит из
одного элемента множества я-
Доказательство. Достаточность условий очевидна.
Для доказательства необходимости предположим, что я' Ф п,
п' Ф 0 и что свойства A) и B) выполняются для я', Р' vl.Q'.
Теперь достаточно установить, что я' будет одноэлементным
множеством.
Заметим, что члены множества я из группы I связывают
половину членов множества Р в один цикл:
dt — At — А2 — . . . — Ап — du

§ 12.8. Конечные множества квазитождеств 401
в то время как члены множества я из группы II связывают остав-
оставшиеся члены множества Р в одну цепь:
Ci — Вп — fin_i — ... — Bi.
(Эта цепь также была бы циклом, если бы мы включили замыкаю-
замыкающую пару.)
Рассмотрим элементы из я', попадающие в группу II, упоря-
упорядоченную, как указано (сверху вниз). Первый и последний будут
содержать по непарному члену из Р'. Каждый разрыв после-
последовательности дает непарные члены из Р', и, поскольку в силу
предположения таких членов не больше двух, мы заключаем, что
множество элементов из я', содержащихся в группе II, должно
быть либо пустым, либо последовательностью без разрывов.
Случай (i). Множество элементов нз я', содержащихся в груп-
группе II, пусто. Заметим, что каждый член из Q встречается в груп-
группе I в точности один раз. Поскольку я' содержится в группе I
и только два непарных члена из Q' могут встретиться в я', мы
заключаем, что | я' | = 1.
Случай (ii). Множество элементов из я', содержащихся в груп-
группе II, состоит из непустой последовательности без разрывов.
В данном случае имеются в точности два непарных члена в Р',
которые появляются в первом и последнем членах последова-
последовательности. (Эти члены совпадают, если длина последовательности
равна 1.) Следовательно, в группе I не могут появиться непарные
члены из Р'. Отсюда вытекает, что множество элементов из я',
попадающих в группу I, либо пусто, либо совпадает со всей груп-
группой I. В первом случае, поскольку элементы из Q, встречающиеся
в группе II, встречаются в ней в точности по одному разу
и поскольку теперь я' содержится в группе II, я' может содержать
только один элемент. Во втором случае группа I содержится
в я' и ai, Ci являются непарными членами из Q', поэтому в Q'
нет других непарных членов. Отсюда вытекает, что я' содержит
всю группу II и поэтому я' = я, что противоречит предположению.
Для дальнейшего нам нужен аналог леммы 9.11, относящийся
к группам. Мы хотим доказать, что если к образующим и опреде-
определяющим соотношениям группы добавить еще один образующий
вместе с соотношением, выражающим его через другие образую-
образующие, то новая группа будет изоморфна исходной группе. В этом
случае некоторые элементы группы получат лишь новые имена.
Теперь нам будет удобно использовать часть обозначений
конструкции 12.18. Заметим, что Tin*, где я? есть конгруэнция
на Т, порожденная отношением я2, является свободной группой
на М. Пусть ? — бинарное отношение на К и \ — конгруэнция
на Т, порожденная отношением ?ия2- Возьмем Т1\ в качестве
исходной группы, заданной образующими и определяющими соот-
V» 26-100

402 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
ношениями. Через п обозначим новый образующий, а через nLr
nR — два новых элемента. Пусть 7" — свободная полугруппа,
имеющая M\]ML \jMR (J {n, nL, nR) в качестве множества своих
свободных образующих, так что Т s T. Обозначим через К'
свободную полугруппу, имеющую М \] {п} в качестве множества
своих свободных образующих, так что К S К'. В качестве нового
определяющего соотношения возьмем (wu w2), где и>4 ? К'
и и>2 6 К, причем и?! содержит п в виде сомножителя в точности
один раз. Обозначим через х конгруэнцию на 7", порожденную
отношением
\ ия2 U {A. nLn), A, ппЯ)} U {{wlr w2)}.
Лемма 12.26. Отображение х\ -*¦ х% (х ? Т) является изомор-
изоморфизмом группы Т1\ на группу Т'1%.
Доказательство. Мы три раза применим лемму 9.11.
По предположению Wi = unv, где и, v ? К. Если w = т{т2 . . .
. . . mk, где тг 6 М, то через wL будем обозначать слово
Mk ¦ ¦ ¦ т\т{, а через mR — слово т% . . . mRm^. Тогда суще-
существует последовательность, состоящая из я2-переходов и сле-
следующего за ними (и>!, и>2)-перехода, которая преобразует п в u4v2vR.
Обратно, поскольку mmL и mRm при т ? М можно получить
Яг-переходами из пустого слова, существует последовательность,
состоящая из (п, иьн?2Уй)-перехода и следующих за ним я2-пере-
ходов, которая преобразует Wi в w2. Отсюда вытекает, что кон-
конгруэнция, порожденная отношением ? U {(wi, w2)}, совпадает с кон-
конгруэнцией, порожденной отношением | (J {(n, uLw2vR)}.
Слово uLw2vR принадлежит Т, поэтому мы можем применить
лемму 9.11. В самом деле, обозначим через 7^ подполугруппу
из 7", порожденную множеством Т[]{п), а через |4 — конгруэн-
конгруэнцию на Ti, порожденную отношением | [} {(п, uLw2vR)}. Тогда
по лемме 9.11 отображение х\ -> х\^ (х g T) является изоморфиз-
изоморфизмом группы Т1\ на TJ\i.
Обозначим через Т2 подполугруппу из 7", порожденную множе-
множеством Ti U {nL}, а через |2 — конгруэнцию на Т2, порожденную
отношением ?4 (J {(nL, vw?u)}. Тогда по лемме 9.11 отображение
г\^ ->- х\2 (х б Ti) является изоморфизмом группы TJ\i на Т21\2-
Наконец, обозначим через ?3 конгруэнцию на 7", порожден-
порожденную отношением |2 U {(nR- nV)}- Тогда, снова по лемме 9.11,
отображение х\2 -> х\3 (х 6 Т2) является изоморфизмом груп-
группы Т21\2 на Г/U.
Итак, отображение х\ ->¦ х%3 (х 6 Т) является изоморфизмом
группы Т1\ на 7"/|3- Легко проверить, что \3 = %. Это завершает
доказательство леммы.
Вернемся теперь к обозначениям леммы 12.24 и к тому, что
было установлено перед леммой 12.25. Пусть т) — непустое под-

§ J2.8. Конечные множества квазитождеств 403
множество из я (= я"). Выберем из г\ некоторую пару (ptgi,
для которой один из элементов pl: qi, р[, q'v пусть это будет
не встречается в качестве сомножителя ни в одном из элементов
оставшихся пар из г\. Пусть 7\ — подполугруппа из Т, порож-
порожденная множеством (M[]ML\jMR) \ {р4, р];, pf}. Обозначим
через ? конгруэнцию на Т\, порожденную отношением
<Ч \ {(Pi?i. P'd't))) U(^2 \ {A, PiPf), O»iPf, 1). A, P^i), (pfru !)})•
Тогда в силу леммы 12.26 отображение х% -*- х% (х 6 7\) являет-
является изоморфизмом группы TJ% на Т/%, где % есть конгруэнция на
Т, порожденная отношением т]|_|Я2- Мы получаем
Следствие 12.27. Если w, w' ? Ti, mo (w, w') 6 X тогда и толь-
только тогда, когда (w, w') g |*, где g* есть конгруэнция на Т, порож-
порожденная отношением |.
Доказательство. Поскольку g = %, мы имеем |* S х-
По лемме 9.9 %(](Tt X ГО = g. Следовательно, I* 0(^1 X rt) =
= g. Таким образом, (w, w') ^ g* тогда и только тогда, когда
{w, w') ^ g; отсюда, поскольку отображение х\ -*• х% (х ? Г()
взаимно однозначно, вытекает утверждение следствия.
Следующие две леммы необходимы для доказательства нашей
теоремы.
Лемма 12.28. Пусть я' — непустое подмножество из я, при-
причем п' Ф- я, и р[ — конгруэнция на Т, порожденная отношением
я' 1_1я2. Возьмем р, р' ? Р и q, q' ? (). Включение (pq, p'q') ? р[
имеет место тогда и только тогда, когда либо р = р' и q = q',
либо (pq, p'q') 6 я'.
Доказательство. Обозначим через я" подмножество
из я', для которого я' \ я" строится следующим образом. Пред-
Предположим, что из я' \ я" выбрано уже некоторое, возможно,
пустое подмножество а. Тогда элементом множества я' \ я"
мы считаем такой элемент (w, w') ? я' \ а, что либо м;, либо w'
имеет сомножитель из Р \j Q, который не является снова сомножи-
сомножителем какого-либо слова, входящего в другой элемент из {я' \ a} U
U {(РЯ, P'q')}- Построение будет завершено, когда мы не сможем
найти новых элементов. Множество я" является собственным под-
подмножеством из я. Далее, если через Р" [Q"\ обозначить под-
подмножество элементов из Р [Q], участвующих в формировании
слов, которые входят в элементы из я", то по построению либо
я" пусто, либо я", Р", Q" обладают свойствами A) и B), указан-
указанными в лемме 12.25. Следовательно, по этой лемме либо я" пусто,
либо я" есть одноэлементное множество.
Следствие 12.27 сформулировано так, что оно применимо
к каждому шагу приведенного выше построения множества я".
26*

404 Гл. 12. Вложение полугруппы, в группу
Применяя его каждый раз, мы, наконец, заключаем, что
(Р?> Р'я') 6 pi тогда и только тогда, когда (pq, p'q') 6 pi, где
Pj есть конгруэнция на Т, порожденная отношением я2 U я".
Заключение данной леммы очевидно при я" = 0. В самом
деле, тогда Т1р[ является свободной группой на Р (J Q. Осталось
доказать лемму для случая, когда л' является одноэлементным
множеством; будем считать, что я' — {(pi?t> р[я[)}.
Прежде всего мы можем считать, что {р4, qi, p[, q[} ?
S {p, q, p', q'}; действительно, в противном случае, используя
указанное выше построение, мы можем заменить я' на я" = 0.
Поскольку я' есть подмножество из я, мы знаем, что pt Ф- р\
и ?i Ф- Яг- Следовательно, мы должны иметь {Р\, р[} = {р,р'}
и {?i» ?i) = {?> ?'}• Без ограничения общности можно считать,
что Pi = р и р\ = р'. Если ?i = q, то выполняется заключение
леммы. Предположим, что q% = q', так что q[ = g. Покажем, что
это невозможно.
Мы докажем, что если я' — {(pq', p'q)}, то (pg, p'?') не может
принадлежать р^. Пусть ф — произвольный гомоморфизм полу-
полугруппы Т на циклическую группу (а) пятого порядка, который
переводит р, q, р' и q' соответственно в а, а3, а2 и а4 и для кото-
которого mLq> = тпнф = (пир)-1 при m ? М. Тогда я' [)л2 S ф ° ф
и поэтому р[сф» ф. Но (pq) ф = аа3 = а* и (р'?') ф = о2а4 =
= о. Следовательно, (pq, p'q') § ф ° ф и, a fortiori, (pq, p'q') $
$ pj. Это завершает доказательство леммы.
Лемма 12.29. Если р, р' 6 Р f?, q' € ^1, mo (p, p') 6 Pi
1(?> ?') € Pil /погба и только тогда, когда р = р' [q = q'].
Доказательство. Пусть ф — гомоморфизм полугруп-
полугруппы Т в циклическую группу (а), заданный следующим отображе-
отображением образующих М U ML (J MR полугруппы Т
ах -> о8 bi ->• о5п+2
t
Сг -> а3^» Dt -> a3i+2
7ПЬф = 7ПВф = (/Пф) (ТП 6 ЛО-
Легко проверить, что я (J я2 ^ ф ° Ф- Следовательно, pj S
S ф ° ф. Далее, если порядок группы (а) не меньше 5и + 2,
то при отображении ф образы любых двух различных элементов
из Р [Q] различны. Отсюда непосредственно вытекает утвер-
утверждение леммы.
Определим теперь серию полугрупп Sn (га = 1, 2, . . .), пола-
полагая Sn = KJtfl, где Кп (= К) есть свободная полугруппа на
Мп = PnUQn (Mn = M, Pn = P, Qn = Q) и я? (= я») есть
конгруэнция на Кп, порожденная отношением яп (= я).

§ 12.8. Конечные множества квазитождеств 405
Рассмотрим квазитождество: из набора равенств wt = w'i
(i = 1, 2, . . ., к) вытекает одно равенство w = w'. Предполо-
Предположим, что это квазитождество выполняется в любой группе. Пусть
п — натуральное число, которое не меньше, чем сумма длин
всех слов wt, w'i (i = 1, 2, . . ., к). В частности, эти слова
можно считать элементами полугруппы Кп. Мы докажем, что
если ф: Кп -у Sn есть произвольный гомоморфизм, для кото-
которого м>гчр = и>*ф (i = 1, 2, . . ., к), то и>ф = м/ф.
Начнем с определения нормальной формы слов из К. Эле-
Элементы множества я, выписанного ранее в виде таблицы, имеют
первую и вторую компоненты. Нормальная форма любого слова
получается заменой в нем всех двухэлементных подслов, являю-
являющихся вторыми компонентами элементов из я, на соответствую-
соответствующие им первые компоненты. Очевидно, для каждого слова нор-
нормальная форма находится однозначно. Поскольку нормальная
форма слова получается применением последовательности я-пере-
ходов, слово и его нормальная форма неэквивалентны. Докажем,
что каждый ягкласс содержит в точности одно слово в нормаль-
нормальной форме.
Чтобы установить это, заметим прежде всего, что если и —
слово, то двухэлементные подслова из и, которые являются ком-
компонентами элементов из я, образуют однозначно определенное
множество не накладывающихся друг на друга подслов из щ
действительно, элемент из Р U Q не может и начинать и заканчи-
заканчивать компоненты некоторых слов из я. Каждый я-переход, при-
примененный к и, лишь заменяет эти подслова на другие компоненты
элементов из я, которым они принадлежат. Отсюда непосред-
непосредственно вытекает, что неэквивалентные слова имеют одну и ту
же нормальную форму.
Пусть равенства
wt = xtar2 ... xh w\ = х\х'г ... х'т
задают слова wt и w'i через образующие полугруппы К. Обозна-
Обозначим через Uj [u'j\ единственное слово в нормальной форме,
^-эквивалентное слову я;-ф [xfo]. Положим
.. щ, w'olp = и[и2... и'т.
Теперь г^ф = и?'гц> влечет за собой (и>$, wty) ? я4. Но это означает,
что два слова wtty и wty из К имеют одну и ту же нормальную
форму. Поскольку слова u,- [u'j] уже находятся в нормальной
форме, для приведения слова ц;гг|> [и&р] к нормальной форме
требуется не более чем I — 1 [т — 1] я-переходов. Следова-
Следовательно, н?гг|з можно преобразовать в wty менее чем за I + m я-пе-
я-переходов. Таким образом, общее число я-переходов, необходимых
для преобразования wtty в wty при i = 1, 2, . . ., А;, может быть
взято в силу выбора п меньше чем п. Следовательно, существует

406 Гл. 12. Вложение полугруппы в группу
такое собственное подмножество я' из я, что лишь я'-переходов
достаточно для преобразования w$ в w\ty при i = 1, 2, . . ., к.
Тогда (м$, wty) 6 п[ (i = 1, 2, . . ., к), где через п[ обозна-
обозначена конгруэнция на К, порожденная отношением я'.
Рассмотрим теперь конгруэнцию р[ на Т, порожденную отно-
отношением 71[{]п2- Так как (w^, wty) 6 pi и Т/р[ есть группа, по
предположению мы имеем {wty, w'ty) 6 pi- Тогда в силу леммы 12.24
мы получаем
wty = aia2 ... as и w'ty = а\а'г . . . a's,
где (i) aj, a] ? K,.(ii) (о,-, а)) 6 р^, (Ш) Z (а;-) = I {а)) и (iv) либо
(а) I (а,) = 1, когда а,- и а^ оба принадлежат Р или принадлежат (),
либо (b) I (a,j) = 2, когда а} = pq и aj = p'gr' для некоторых
р, р' 6 Р и q, q' 6 <?• Поскольку я' ? я и я' ф я, по лемме 12.29
в случае (iv) (а) мы имеем а'} = а] и по лемме 12.28 в случае (iv) (b)
мы имеем {а}, a'j) б я/. Следовательно, (imp, w'ty) 6 п,[ и, a fortiori,
(мд|), »'г|)) б п4. Это завершает доказательство того, что для всех
достаточно больших п в Sn из равенств wt = и>\ (i = 1, 2, . . .
. .-., /с) вытекает равенство м; = w'.
Очевидно, мы можем распространить наши рассуждения на
произвольное конечное число таких квазитождеств.
Заметим, наконец, что ни одна из полугрупп Sn не может
быть вложена в группу. В самом деле, если бы Sn была вложима
в группу, то в Sn выполнялось бы замыкающее равенство систе-
системы я. Однако слово В{С± (первая компонента замыкающей пары)
не допускает никаких я-переходов. Следовательно, она я^экви-
валентна только самой себе. Итак, мы доказали следующее
утверждение.
Теорема 12.30. Серия полугрупп Sn (п = 1, 2, . . .) состоит
из полугрупп, каждая из которых не может быть вложена в груп-
группу, причем если какой-нибудь конечный набор квазитождеств
выполняется в любой группе, то он выполняется в Sn для всех
достаточно больших п.
Вспоминая определение полугрупп Sn,. мы непосредственно
получаем сформулированное ниже следствие. Аналогичное утверж-
утверждение справедливо для систем Ламбека, поскольку Бушем [1963]
установлено, что каждая система Мальцева получается из неко-
некоторой системы Ламбека (как; впрочем, и обратно).
Следствие 12.31. Любое квазитождество, которое выполняется
в каждой группе (в частности, которое выполняется в, каждой
полугруппе, вложимой в группу), получается из некоторой системы
Мальцева, а именно некоторой системы а Aп), где 1п есть после-
последовательность Мальцева LiRi . . . RnL*R* ¦ ¦ • Rf.

Библиография*)
А д я н СИ.
[I960)* О вложимости полугрупп в группы, ДАН СССР, 133, № 2, 255—
257.
{1966]* Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для
групп и полугрупп, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стек лова, 85.
Александров П. С.
[1948]* Введение в общую теорию множеств я функций, Гостехиздат.
Андерсен (Andersen О.)
[1952] Ein Bericht iiber die Struktur abstrakter Halbgruppen, Диссертация,
Hamburg.
Асано (Asano K.)
[1949] Ober die Quotientenbildung von Schiefringen, /. Math. Soc. Japan,
1,73-78.
Бахман (Bachmann H.)
[1955] Transfinite Zahlen, Ergebnisse der Mathematik, Heft 1 (N.F.),
Springer, Berlin.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1948] Lattice theory, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Vol. 25, New York,
Baltimore, (Русский перевод: Биркгоф Г., Теория структур,
ИЛ, 1952.)
Б о к у т ь Л. А.
[1963]* Некоторые теоремы вложения для колец и полугрупп, I, Сиб.
матем. ж., 4, 500—518.
Босак (Bosak J.)
[1968]* On radicals of semigroups, Mat. Casopis, 18, 204—212.
Брак (В ru ck R. H.)
[1958] A survey of binary systems, Ergebnisse der Math. Heft 20, Springer,
Berlin.
Б у рн (В our n e S. G.)
[1949] Ideal theory in a commutative semigroup, Диссертация, Baltimore.
Буш (Bush G. C.)
[1963] The embedding theorems of Malcev and Lambek, Canad. J. Math.,
15, 49—58.
*) Значком ° отмечены работы, добавленные авторами к готовящемуся
в США второму изданию тома 2, а значком * — добавленные при переводе.—
Црим. ред.

408 Библиография
Б эр (В aer R.)
[1934] Die Kompositionsreihe der Gruppe aller eineindeutigen Abbildun-
gen einer unendlichen Menge вш sich, Studta Math., 5, 15—17.
Б э р, Л е в в (В aer R., Lev i F.)
[1932] Vollstandige irreduzibele Systeme'von Gruppenaxiomen (Beitrage
zur Algebra № 18), Sttzber. Heidelberger Akad. Wiss., Abh. 2,1—12.
Вагнер В. В.
[1952] Обобщенные группы, ДАН СССР, 84, 1119—1122.
[1953] Теория обобщенных груд и обобщенных групп, Машем, сб., 32,
545-632.
[1956] Представление упорядоченных полугрупп, Машем, сб., 38,
203—240.
[1957] Полугруппы частичных преобразований с симметричным отноше-
отношением транзитивности, Изв. вузов, Математика, 1 A957), 81—88.
Венкатесан (Venkatesan P. S.)
[1962] On a class of inverse semigroups, Amer. J. Math., 84, 578—582.
[1963] The algebraic theory of semigroups, Диссертация, Madrace, 1963.
[1966] On decomposition of semigroups with zero, Math. Z., 92, 164—174.
Глускин Л. М.
[1956] Вполне простые полугруппы, Уч. аап. Харьковского пед. инст.,
18, 41-55.
[1959а] Полугруппы и кольца линейных преобразований, ДА Н СССР, 127,
1151-1154.
[1959b] Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств,
И АН СССР, сер. матем., 23, 841—870.
[1959с]*Идеалы полугрупп преобразований, Матем сб., 47, 111—130.
Г о л д и ( G о 1 d i e A. W.)
[1950] The Jordan—Holder Theorem for general abstract algebras, Proc.
bond. Math. Soc, B) 52, 107—131.
Грин (Green J. A.)
[1951] On the structure of semigroups, Ann. of Math. B), 54, 163—172.
Диксон (Dickson L. E.)
[1913]° Finiteness of the odd perf ect and primitive abundant numbers with n
distinct prime factors, A mer. J. Math., 35, 413—422.
Д о с с (D о s s R.) -
[1948] Sur l'immersion d'un semi-groupe dans un groupe, Bull. Sci. Math.,
B) 72, 139-150.
Дьедонне (Dieudonne J_.)
[1942] Sur le socle d'un anneau et les anneaux simples infinis, Bull. Soc.
Math. France, 70, 46—75.
ДюбрейфиЬгеПР.)
. [1941] Contribution a la theorie des demi-groupes, Mem. Acad. Sci. Inst.
France, B) 63, n«3.
[1954] Algebre, Tome I, Equivalences, operations, groupes, anneaux,
corps. 2 erne ed. Cahiers Scientifiques, Fasc. XX, Gauthier-Villars,
Paris.
Дюбрей, Дюбре й-Ж акотэн (Dubreil P., Dubreil-
J а с о t i n M.-L.)
[1939] Theorie algebrique des relations d'equivalence, J. Math., (9) 18,
63—95.
[1940] Equivalences et operations, Ann. Univ. Lyon., Sect. A C), 3,7—23.

Библиография 409
Дюбрей-Жакотэн (Dubreil-Jacotin M.-L.)
[1947] Sur l'immersion d'un semi-groupe dans un groupe, C. R. Acad. Sci.
Paris, 225, 787—788.
Житомирский Г. И.
[1965]° О решетке отношений конгруэнтности в обобщенной груде, Язе.
вузов, Математика, 1 D4), 56—61.
Зейдель (Seidel H.)
[1965] t)ber das Radikal einer Halbgruppe, Math. Nachr., 29,
255-263.
Кимура (Kimura N.)
[1957] On semigroups. Диссертация, The Tulane Univ. of Louisiana.
Кларк (Clark W. E.)
[1965] Remarks on the kernel of a matrix semigroup, Czechoslovak Math.
J., 15, 305—310.
Клиффорд (Clifford A. H.)
[1948] Semigroups containing minimal ideals, Amer. J. Math., 70,
521-526.
[1949] Semigroups without nilpotent ideals, Amer. J. Math., 71,
833-844.
[1953] A class of d-simple semigroups, Amer. J. Math., 75, 547—556.
[1963] Note on a double coset decomposition of semigroups due to Stefan
Schwarz, Mat.-Fyz. Casopis Sloven Akad. Vied., 13, 55—57.
[1970]* Radicals in semigroups, Semigroup Forum, 1, 103—127.
Кон (C ohn P. M.)
[1956a] Embeddings in semigroups with one-sided division, /. bond. Math.
Soc, 31, 169—181.
[1956b] Embeddings in sesquilateral division semigroups, /. bond. Math.
Soc, 31, 181—191.
[1962]* On subsemigroups of free semigroups, Proc. Amer. Math. Soc, 13,
N 3, 347-351.
[1965] Universal Algebra, Harper and Row, New York. (Русский
перевод: Кон П., Универсальная алгебра, «Мир», М., 1968.)
К о х, У о л л е с (Koch R. J., W a 11 а с е A. D.)
[1957] Stability in semigroups, Duke Math. J., 24, 193—195.
К о ч ин Б. П.
[1968]* Строение инверсных идеально простых to-полугрупп, Вестник
ЛГУ, сер. матем., мех., астр., 7, 41—50.
Круазо (Croisot R.)
[1952] Proprietes des complexes forts et symetriques des demi-groupes,
Bull. Soc Math. France, 80, 217—223.
[1953] Demi-groupes inversifs et demi-groupes reunions de demi-groupes
simples, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., C) 70, 361—379.
[1954a] Demi-groups simples inversifs a gauche, C.R. Acad. Sci. Paris, 239.
845-847.
[1954b] Automorphismes interieures d'un semi-groupe, Bull. Soc. Math,
France, 82, 161-194.
[1957] Equivalences principales bilateres definies dans un demi-groupe,
/. Math. Pures Appl., (9) 36, 373—417.
К у р о ш А. Г.
[1962]* Лекции по общей алгебре, Физматгиз, М.
Кэпп, Шнейдер (Карр К. М., S с h n e i d е г Н.)
[1969]* Completely 0-simple, semigroups, New York, Amsterdam.
27-0100

410 Библиография
Л а й о ш (L a j о s S.)
[1961] Generalized ideals in semigroups, Ada. Sci. Math. Szeged, 22,
217-222.
Л а л л е м a h (Lallement G.)
[1966]° Congruences et equivalences de Green sur un demigroupe regulier,
C.R. Aead. Sci. Paris, 262, A613—A616.
Ламбек (Lambek J.)
[1951] The immersibility of a semigroup into a group, Canad. J. Math., 3,
34—43.
Ландау (Landau Б.)
[1927] Vorlesungen iiber Zahlentheorie, Vol. 3, Hirzel, Leipzig.
Л е в и (L e v i F. W.)
[1944] On semigroups, Bull. Calcutta Math. Soc, 36, 141—146.
[1946] On semigroups., II. Bull. Calcutta Math. Soc, 38, 123—124.
Лефевр (Lefebvre P.)
[1962] Sur certaines conditions minimales en theorie des demi-groupes,
Ann. Mat. Рига Appl., 59, 77—163.
Л и б е р А. Е.
[1954] К теории обобщенных групп, ДАН СССР, 97, 25—28.
Луг (Luh J.)
[1960] On the concepts of radical of semigroup having kernel, Portugal.
Math., 19, 189—198.
Л япи н E. C. "
[1950] Нормальные комплексы ассоциативных систем, ИАН СССР, 14,
179-192.
[1960а] Полугруппы, «Наука», М., 1960.
[1960b] О представлениях полугрупп частичными преобразованиями,
Машем, сб., 52, 589—596.
Макалистер (McAlister D. В.)
[1968] Characters on commutative semigroups, Quart. J. Math. Oxford.,
19, 141—157.
Маклейн (Mac Lane S.)
[1965] Categorical algebra, Bull. Amer. Math. Soc, 71, 40—106.
Мальцев А. И.
[1937] On the immersion of an algebraic ring into a field, Math. A nn., 113,
686-691.
[1939] О включении ассоциативных систем в группы, Матем. сб., 6,
331—336.
[1940] О включении ассоциативных систем в группы, II, Матем. сб., 8,
251-264.
[19521 Симметрические группоиды, Матем. сб., 31, 136—151.
[1953] Нильпотентные полугруппы, Уч. зап. Ивановского пед. инст., А,
107—111.
[1970]* Алгебраические системы, «Наука», М., 1970.
М анн (Munn' W. D.)
[1955] On semigroup algebras, Pr'oc, Cambridge Philos. Soc, 51, 1—15.
[1957] Semigroups satisfying minimal conditions, Proc. Glasgow Math.
Assoc, 3. 145—152. ¦
[1961] A class of irreducible matrix representations of an arbitrary inverse
. - semigroup, i^roc. Glasgow Math, Assdc, 5, 41-—48. . . . '.-•¦,

Библиография 411
[1964а] Brandt congruences on inverse semigroups, Proc. Land. Math. Soc,
C) 14, 154—164.
[1964b] Matrix representations of inverse semigroups, Proc. bond. Math.
Soc, C) 14, 165-181.
[1964c]° A certain sublattice of the lattice of congruences on a semigroup,
Proc. Cambridge Phil. Soc, 60, 385—391.
[1969]* Some recent results on the structure of inverse semigroups, Proc. of
a symp. on semigroups held at Wayne State Univ., Detroit A968),
Acad. Press.
Мурата (Murata K.)
[1950] On the quotient semi-group of a noncommutative semi-group, Osaka
Math. J., 2, 1—5.
Нейыанн (Neumann В. Н.)
[1960] Embedding theorems for semigroups, J. Lond. Math. Soc, 35, 184—¦
192.
Пирс (Pierce H.S.)
[1954] Homomorphisms of semigroups, Ann. of Math., B) 59, 287—291.
Племмонс (Plemmons R. J.)
[1970]° On a conjecture concerning semigroup homomorphisms, Canad. J.
Math., 22, 641-644.
Понизовский И. С.
[1964]° О представлениях инверсных полугрупп частичными взаимно
однозначными преобразованиями, И АН СССР, сер. матем., 28, 5,
989-1002.
Престон (Preston G. В.)
[1954а] Inverse semigroups, /. Lond. Math. Soc, 29 A954), 396—403.
[1954b] Inverse semigroups with minimal right ideals, /. Lond. Math. Soc,
29, 404—411.
[1954c] Representations of inverse semigroups, /. Lond. Math. Soc, 29,
411-419.
[1956] The structure of normal inverse semigroups, Proc Glasgow Math.
Assoc, 3, 1—9.
[1958] Matrix representations of semigroups, Quart. J. Math. Oxford Ser.,
B) 9, 169—176.
[1959] Embedding any semigroup in a ^-simple semigroup, Trans. Amer.
Math. Soc, 93, 351—355.
[1961] Congruences on completely 0-simple semigroups, Proc. Lond. Math.
Soc, C), 11, 557-576.
[1962] A characterization of inaccessible cardinals, Proc Glasgow Math.
Assoc, 5, 153—157.
[1965] Chains of congruences on a completely 0-simple semigroup, /.
Australian Math. Soc, 5.
[1969] Matrix representations of inverse semigroups, /. Australian Math.
Soc, 9, 29—61.
П т а к (P t a k V.)
[1949] Immersibility of semigroups, Ada Fac. Nat. Univ. Carol. Prague,
no. 192.
P e д е и (R ё d e i L.)
[1952] Die Veraligemeinerung der Schreierschen Erweiterungstheorie",
Acta Sci. Math. Szeged, 14, 252—273.
[1963] Theorie der endlich erzeugbaren kommutativea Halbgruppea,
Hamburger mathematische Einzelschriften, Heft 41, Physica-
Verlag, Wurzburg. -'.' -- . . ,
27*

412 Библиография
Рейли (Reilly N.;R.)
[1965] Contributions to the theory of inverse semigroups, Диссертация.
[1966] Bisimple «-semigroups, Proc. Glasgow Math. Assoc, 7, 160—167.
Рис (R e e s D.)
[1940] On semi-groups, Proc. Cambridge Philos. Soc, 36, 387—400.
Рич (Rich R. P.)
[1949] Completely simple ideals of a semigroup, Amer. J. Math., 71, 883—
885.
С а й т о (Saito T.)
[1968]° Note on the minimal conditions for prineipal ideals in a semi-
semigroup, Math. Japon, 13, 95—104.
С а й т o, X о р и (Saito Т., Н о г i S.)
[1958] On semigroups with minimal left ideals and without minimal right
ideals,- /. Math. Soc. Japan, 10, 64—70.
Сто л л (S toll R. R.)
[1944] Representations of finite simple semigroups, Duke Math. J., 11,
251-256.
[1951] Homomorphisms of a semigroup onto a group, Amer. J. Math.,
73, 475—481.
СушкевичА. К.
[1922]° Теория действия как общая теория групп, Диссертация, Воронеж.
[1926]° tjber die Darstellung der eindeutig nicht umkehrlaren Gruppen
mittels der verallgemeinerten Substitutionen, Матем. сб., 33
371-371.
Тамура (Tamura Т.)
[1960] Decompositions of a completely simple semigroup, Osaka Math.
J., 12, 269—275.
Тамур а, Грэхем (Tamura Т., Graham N.)
[1964] Certain embedding problems of semigroups, Proc. Japan Acad., 40,
8-13.
Тессье (Teissier Marianne)
[1951] Sur les equivalences regulieres dans les demi-groupes, C. R. Acad.
Sci. Paris, 232, 1987—1989.
[1953a] Sur les demi-groupes admettant l'existence du quotient d"un cote,
C. R. Acad. Sci. Paris, 236, 1120—1122.
[1953b] Sur les demi-groupes ne contenant pas d'element idempotent,
C. R. Acad. Sci. Paris, 237, 1375—1377.
Терстон (Thurston H. A.)
[1952] Equivalences and mappings, Proc. bond. Math. Soc, C) 2, 175^-182.
T улли (Tully E. J., Jr.)
[1960] Representation of a semigroup by transformations of a set, Диссер-
Диссертация, The Tulane Univ. of Louisiana.
A961] Representation of a semigroup by transformations acting transiti-
transitively on a set, Amer. J. Math., 83, 533—541.
Тьеррен (Thierrin G.)
[1953] Sur la caracterisation des equivalences regulieres dans les demi-
groupes, Acad. Roy. Belg. Bull. CU Sci., E) 39, 942—947.
У орн (Warne R. J.)
[19641 Homomorphisms of d-simple inverse semigroups with identity,
Pacific J. Math., 14, 1111—1122.

Библиография 413
[1965] A characterization of certain regular d-classes in semigroups. 111.
/. Math., 9, 304—306.
[1966a] Regular D-classes whose idempotents obey certain conditions,
Duke Math. J'., 33, 187—195.
[1966b] A class of bisimple inverse semigroups, Pacific J. Math., 18,
563—577.
Франклин, Линдсей (Franklin S. P., Lindsay J. W.)
[1960/61] Straddles on semigroups, Math. Mag., 34, 269—270.
Ф p e й д (F г е у d P.)
[1968]° Redei's finiteness theorem for commutative semigroups, Proc.
Amer. Math. Soc, 19, 1003.
Ф у л п (F u 1 p R. O.)
[1967] On extending semigroup characters, Proc. Edinburgh Math. Soc,
15, 199—202.
Хауи (Howie J. M.)
[1962] Embedding theorems with amalgamation for semigroups, Proc. Land.
Math. Soc, C) 12, 511—534.
[1963a] An embedding theorem with amalgamation for cancellative semi-
semigroups, Proc Glasgow Math. Assoc, 6, 19—26.
[1963b] Subsemigroups of amalgamated free products of semigroups, Proc
London Math. Soc, C) 13, 672—686.
[1963c] Embedding theorems for semigroups, Quart. J. Math. Oxford Ser.
B), 14, 254—258.
[1964a] Subsemigroups of amalgamated free products of semigroups, II,
Proc. Lond. Math. Soc, C) 14, 537—544.
{1964b] The maximum idempotent-separating congruence on an inverse
semigroup, Proc. Edinburgh Math. Soc, B) 14, 71—79.
[1964c] The embedding of semigroup amalgams, Quart. J. Math. Oxford,
. Ser., B) 15, 55—68.
Хауи, Шайн (Howie J.M.,Schein В. М.)
[1969]° Anti-uniform semilattices, Bull. Australian Math. Soc, 1, 263—268.
Хёнке (Hoehnke H.-J.)
[1962
[1963
[1966]
Zur Theorie der Gruppoide, I., Math. Nachr., 24, 137—168.
Zur Strukturtheorie der Halbgruppen, Math. Nachr., 26, 1—13.
Structure of semigroups, Canad. J. Math., 18, 449—491.
Холл M. (H all M.)
[1959] The theory of groups, The Macmillan Co., New York. (Русский
перевод: Холл М., Теория групп, ИЛ, М., 1962.)
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
[1949] The theory of groups, Chelsea, New York.
Чодхури (Chaudhuri N. P.)
[1959] ,Sur les complexes unitaires dans un demi-groupe, C. R. Acad. Sci.
Paris, 248, 1750—1752.
Ill а й ы Б. М.
[1961] Вмещение полугрупп в обобщенные группы, Матем. сб., 55 (97),
379—400.
[1962] Представления обобщенных групп, Изв. вузов, Математика, 3 B8),
164—176.
[1963] О транзитивных представлениях полугрупп, Успехи матем. наук,
18, 3 A11), 215—222.
[1964]° Generalized groups with the well-ordered set of idempotents, Mat,-
Fyz. Casopis Sloven. Akad. Vied., 14, 259—262.

414 Библиография
[1965]° A classof commutative semigroup,Publ. Math.Dubrecen, 12, 87—88.
[1966]° Hornomorphisms and subdirect decompositions of semigroups,
Pacific J. Math., 17, 529—547.
Шварц (Schwarz S.)
[1943] Zur Theorie der Halbgruppen, Sbornik prdc Prirodovedekej Fak. Slo-
Sloven. Univ. v Bratislave, № 6, 1—64.
[1951] On semigroups having a kernel, Czechoslovak Math. J., 1 G6),
229-264.
[1960] Dual semigroups, Czechoslovak Math. J., 10, 201—230.
[1962] Homomorphisms of a completely simple semigroup onto a group,
Mat.-Fyz. Casopis Sloven. Acad. Vied., 12, 293—300.
[1971]* On the structure of dual semigroups, Czechoslovak. Маш. J., 21 (96),
461-483.
Шеврин Л. Н.
[I960]* О подполугруппах свободных полугрупп, ДАН СССР, 133, № 3,
537-539.
Шифердеккер (Schieferdecker Б.)
[1955] Zur Einbettung metrischer Halbgruppen in ihre Quotientenhalb-
gruppen, Math. Z., 62, 443—468.
IIIpefiep(SchreierJ.)
[1937] Cber Abbildungen einer abstrakten Menge auf ihre Teilmengen,
Fund. Math., 28, 261—264.
Шрейер.Улам (Schreier J., Ulam S.)
[1933] Ober die Permutationsgruppe der naturlichen Zahlenfolge, Stadia
Math., 4, 134—141.
Штейнф«льд (Steinfeld О.)
[1966] On semigroups which are unions of completely 0-simple semigroups,
Czechoslovak Math. J., 16 (91), 63—69.
Ш у то в Э. Г.
[1963]° Погружения полугрупп в простые и полные полугруппы, Машем,
сб., 62, 496—511.
[1964]* Погружение полугрупп в простые полугруппы с односторонним
делением, Изв. вузов, Математика, 5 D2), 143—:148.
[1965]* О некоторых погружениях полугрупп с сокращением, Матем, сб.,
67, 167—180.
Шютценберже (Schutzenberger M. Р.)
[1955/56]Une theorie algebrique du codage, A) Sem. Dubreil-Pisot 1955/56,
expose no. 15, Fac. Sci. Paris, B) С R. Acad. Sci, Paris, 242,
862-864.
[1957] ^-representation des demi-groupes, С R. Acad. Sci. Raris, 244,
1994—1996.
Э в а н с (Evans T.)
[1952] Embedding theorems for multiplicative systems and projective
geometries, Proc. Amer. Math. Soc, 3, 614—620.,

Указатель обозначений
р*? — естественное отображение а -> ар полугруппы S на Sip.
L (а) — главный левый идеал Sxa полугруппы S.
R (а) — главный правый идеал aS1. полугруппы S.
J (а) — главный двусторонний идеал S^S1 полугруппы S.
X — отношение {(а, Ь) ? S X S \ L (а) = L (Ь)}.
& — отношение {(а, Ъ} ? S X S \ R (а) = R (Ь)}.
f — отношение {(а, Ъ) ? S X S | / (а) = / (Ь)}.
SB — отношение X П М.
3 — отношение X ° М = М " Х-
La, Ra, Ja, Ha, Da — соответственно ,2-класс, jf-класс, ^-класс,
с^?-класс, ,25-класс,содержащий элемент а. (§ 2.1)
I (а) — множество J(a)\Ja (которое либо пусто, либо идеал
полугруппы S).
J (а)/1 (а) — главный фактор полугруппы S, соответствующий
элементу а. (§ 2.6)
Sх —полная полугруппа преобразований множества X. (§. 1.1)
3^3~х — полугруппа всех частичных преобразований множества
X. (§ 11.1)
^Sх — полугруппа всех преобразований множества Х°= X U 0х>
оставляющих на месте Ох- (§ И-4)
"§х — группа всех подстановок на множестве X. (§ 1.1)
Jx—симметрическая инверсная полугруппа на множестве X,
т. е. полугруппа всех взаимно однозначных частичных пре-
преобразований множества X. (§ 1.9)
°J х —'полугруппа всех частичных взаимно однозначных пре-
преобразований множества Х° = X [] 0х, оставляющих
на месте 0х- (§ И-4)
38 х — полугруппа всех бинарных отношений на множестве X.
(§ 1-12)
— свободная полугруппа на множестве X. (§ 1.12)
х — свободная группа на множестве X. (§ 1.12)
*ё — бициклическая полугруппа. (§ 1.12)
М° (G, I, Л; Р) — рисовская полугруппа над группой с нулем
G0 с сэндвич-матрицей Р. (§ 3.1)
М (G; /, Л, Р) — рисовская полугруппа над группой G с сэндвич-
матрицей Р. (§ 3.1)

416 Указатель обозначений
ML\ Mr, Mj — условие минимальности соответственно для мно-
множества главных левых, правых, двусторонних идеалов
полугруппы. (§ 5.3, 5.4)
Ml [MrI — условие, состоящее в том, что для каждого ^-класса
/ полугруппы выполняется условие минимальности в мно-
множестве главных правых [левых] идеалов, порожденных
элементами из /. (§ 6.6)
Ас = Ас (S) \СА = СА (S)] — главный правый [левый] аннуля-
тор подмножества С полугруппы S = S0. (§ 6.1)
САС = САС (S) =4cfl сЛ-
2Г = 2Г (S) [2г = 2г (S)] — правый [левый] цоколь полугруппы
S, т. е. объединение 0 и всех О-минимальных правых идеа-
идеалов из S. (§ 6.3)
д[-1] Н = {х ? S | ах е Я}, ЯоГ-1]_= {X?S \хае Н}. (§ 7.2)
Мн\н$\ — главная правая [левая] конгруэнция {(а, Ь) ? S X
X S\al-^ Н = fet-1] Н), соответствующая подмножеству Н полу-
полугруппы S. (§ 7.2, 10.2)
№\i\HM*\—главная частичная правая [левая] конгруэнция
{(а, Ь) ? S X S | al-^H = Ы~1Ш ф 0}, соответствую-
соответствующая подмножеству Н полугруппы S. (§ 7.2, 10.2)
WH = {х ? S | xl-ПН = 0), HW = {х ? S | #а*-1] = 0} (§ 7.2)
тн — отношение транзитивности на множестве X, соответствую-
соответствующее инверсной подполугруппе Н из of х. (§ 7.3)
P^f — конгруэнция на инверсной полугруппе, соответствующая
нормальной ядерной системе Jb. (§ 7.4)
С (X) — централизатор подмножества X в полугруппе S. (§ 7.6)
СТ (А, Ш, р, q) — полурруппа Круазо — Тессье. (§ 8.2)
'ё (S) — простая полугруппа Брака, содержащая полугруппу S.
(§ 8.5)
[Si; U] и [St; U; фг1 — сокращенные обозначения полугрупповой
амальгамы [{S,-; i 6 I}\ U; {фг; i б /}]. (§ 9.4)
J]* 5г и \\* {Si} — сокращенные обозначения свободного произ-
произведения П*{St \i € /}• (§ 9.4)
\]ySi = Пи{^г \i ? 1} — свободное произведение амальгамы
lSt; U; Ф,1. (§ 9.4)
2 5j — прямая сумма полугрупп 5г (i ?.1). (§ 9.4)
Su Si — прямая сумма амальгамы [St; U; ф4]. (§ 9.4)
Пусть р — отношение на полугруппе S.
pD — отношение {(х, у) ? S X S | (a;s, г/s) ^ р для некоторого
р(? — отношение, двойственное к pD. (§ 9.5)
pi? — отношение {(х, у) ? S X S \ (xs, ys) ? р для всех s
pL — отношение, двойственное к рЛ. (§ 10.1)
pR*— отношение {(us, vs) | (и, v) ? р, s ? S1}.
pL*— отношение, двойственное к pi?*. (§ 10.1)

Указатель обозначений 417
рС — отношение {(х, у) ? S X S | (sxt, syt) ? р для всех s, t g S1}.
(§ 9.5)
рС*— отношение {(su?, syf) | {u, v) ? p, si ? 51.}. (§ 9.5)
pT — транзитивное замыкание отношения р. (§ 10.1)
pc — конгруэнция с сокращениями, порожденная отношением р.
(§ 9.5)
a (j?) [p (<А)\ — минимальное [максимальное] отношение эквива-
эквивалентности на полугруппе S, допускающее семейство Jb по-
попарно непересекающихся подмножеств из S. (§ 10.1)
Р н I нР1 — правая [левая] конгруэнция {(а, Ь) ? S X S | иа =
= vb для некоторых и, v ? Н, соответствующая реверсив-
реверсивной справа [слева] подполугруппе Н из S. (§ 10.3)
Н.. а — отношение {(х, у) ? S X S \ хау ? Я}.
с^н — главная конгруэнция {(а, Ь) ? S X S \ Н..а = Н..Ь}.
(§ Ю.4)
[аГ>, iV, {ег}, {/jj] — конгруэнция на вполне 0-простой полугруп-
полугруппе, соответствующая (i) допустимому разбиению Ф прямо-
прямоугольника ненулевых J^-классов Htx, (ii) нормаль-
нормальной подгруппе N из Нц и (III) элементам et ^ Нн, f% ^ Hi%,
таким, что Nfx^i = Nf^ej, если Нц, и HiVL принадлежат
одному и тому же ^-классу. (§ 10.7).
Ms isM] — правый [левый] операнд над полугруппой S. (§11.1)
SMT — биоперанд над полугруппами S и Т. (§ 11.1)
Щ (Ms) — полугруппа операторных эндоморфизмов операнда Мs-
(§ И.1, И.7)
А (Мs) — группа операторных автоморфизмов операнда Ms.
(§ 11.1, 11.8)
FM — множество неподвижных элементов операнда Ms- (§ И-5)
*e-rad S — пересечение всех таких конгруэнции а на S, что
S/o есть полугруппа типа %. (§ 11.6)
rad S — J-rad 5, где J есть тип неприводимых справа полу-
полугрупп. rad°iS — (rad 5)-класс, содержащий 0; он совпа-
совпадает с нильрадикалом N (S) полугруппы S.(§ 6.6, 11.6)

Предметный указатель
Амальгама полугрупповая 174
— собственная 176
Аннулятор двусторонний 12
— правый 12
Бивычет 246
Биоперанд 308
— транзитивный 309
— унитальный 309
Бисильное подмножество 246
Бисовершенное подмножество 247
Верхний радикал 52
Вполне разделенное семейство 112
Вычет правый 226
Главная двусторонняя эквивалент-
эквивалентность Круазо 327
Главные факторы операнда 318
Глобально центральное подмножест-
подмножество 242
Гомоморфизм 0-ограниченный 96
Группа на полугруппе 355
— порожденная полугруппой 358
— правых частных 366
— свободная 354
Допустимое множество подмножеств
78
— справа множество подмножеств 78
Единица категорийная 102
— — правая 102
Естественное продолжение конгру-
конгруэнции 100
Естественный частичный порядок
на инверсной полугруппе 55
Идеал вполне 0-простой 27
— вырожденный 12
— — правый 8
— категорийный 100
— М-нильпотентный 52
— примитивный 94
Инвариантное подмножество
Инверсная оболочка 109
Инвертируемый элемент 102
11
Каноническая р*- проекция 211
— рс-проекция 211
Канонические формы конгруэнции
211
Категория малая с нулем 102
Квазитождество 395
Класс разбиения вполне простой
266
—¦ ¦— с нулевым умножением 266
Классы транзитивности 66
Коинвариантное подмножество 314
Конгруэнция главная 246
правая 63, 226
— допускающая множество подмно-
подмножеств 78
— модулярная правая 318
— 0-ограниченная 96
— правая с частичным правым со-
сокращением относительно вычета
231
— — центрированная 323
— — — с правым 0-сокращением
323
— примитивная 100
— разделяющая идемпотенты 90
— с сокращениями 205
¦— частичная правая 60
главная 62, 226
Конгруэнц-пара 162
Замкнутое подмножество 59
Замыкающее равенство 378
Максимальный гомоморфный образ
данного типа 337

Предметный указатель
419
Матрица, мономиальная по строкам
Af-радикал 52
Нильидеал 53, 341
Нильрадикал 341
О-мишшалышй комплекс 26
О-ограниченный гомоморфный образ
О-плотное справа подмножество 35
0-прямое объединение 22
О-радикал 24
0-разложение операнда 309
0-чистое справа подмножество 26
Норма идеала 168
— конгруэнции 168
Нормализатор правой конгруэнции
343
Нормальная ^-последовательность
9CQ
— ядерная система 79
групповая 87
Нормальное множество подмножеств
78
— справа множество подмножеств 78
Нулевая точка операнда 323
Образующие групповые 355
Операнд, ассоциированный с пред-
представлением 305
— вполне неприводимый 349
— — 0-приводимый 314
— — приводимый 314
— дважды транзитивный 352
— дизъюнктивный 350
— неприводимый 330
— неразложимый 308
— 0-неразложимый 310
— 0-транзитивный 310
— нулевой 310
— правый 305
— — ассоциированный с биолеран-
дом 309
— примитивный 349
— просто транзитивный 345
— с 0-сокращением 323
— с сокращением 323
— строго циклический 317
— транзитивный 308
— тривиальный 310
— унитальный 308
— циклический 317
— центрированный 309
— частичный 311
Операторная эквивалентность 307
Операторный автоморфизм 306
— гомоморфизм 306
— изоморфизм 306
— эндоморфизм 306
Отношение связности 313
—транзитивности 313
Плотное подмножество 176
— справа подмножество 38, 232
Подмножество бисильное 246
— бисовершенное 247
— глобально центральное 242
— замкнутое 59
— инвариантное 11
— коинвариантное 314
— плотное 176
справа 38, 232
— 0-плотное справа 35
— полное 236
— почти унитарное 181
— рефлексивное 234
— сильное 64, 227
— симметричное 234
— совершенное справа 229
— 0-транзитивное 11
— z-транзитивное 11
— унитарное 74, 181
— — справа 74, 181
— чистое справа 236
— 0-чистое справа 26
Подоперанд 308
Подполугруппа глобально централь-
центральная 242
— нормальная 236
— самосопряженная 73
— центральная 197
Подпрямое произведение 202
Подпрямоугольник вполне простой
266
— конгруэнции 266
— с нулевым умножением 266
Полное подмножество 236
Полугруппа без нильпотентных идеа-
идеалов 24
— без g-радикала 338
— би-0-наслоенная 35
— Бэра-Леви 106
— вполне полупростая 46
— — приводимая справа 315
— — примитивная 350
— двойственная к полугруппе 306
— дизъюнктивная 252
— дуальная 42
— категорийная в нуле 96
— квазиреверсивная справа 371
— конечно определенная 155

420
Предметный указатель
Полугруппа Круазо-Тессье 113
— Af-реверсивная справа 370
— наслоенная справа 38
— неприводимая справа 330
— 0-наслоенная справа 35
— О-транзитивная справа 330
— правых частных 370
— примитивная регулярная 40
— реверсивная 240
справа 240, 367
— свободная 354
— с полуторалатеральным левым де-
делением НО
— строгая 236
— транзитивная справа 330
— устойчивая 45
— — справа 45
— элементарная 45
— — справа 45
Полуреберное равенство 372
Поперечное сечение правого цоколя
26 '
Последовательность кардинальных
чисел конгруэнции 288
— Мальцева 379
Почти унитарное подмножество 181
Правые со-классы 61
Представление, ассоциированное с
операндом 305
— вполне приводимое 20
— на правых со-классах 71
— точное 306
— транзитивное 9
— эффективное 66
Прямая сумма 196
— — амальгамы 196
— — представлений 66
Прямое произведение 202
Радикал 337
(а)-радикал 52
g-радикал 338
Разбиение прямоугольника допу-
допустимое 266
Раздувание операнда 312
Разложение операнда 308
Ранг различия преобразований 281
Реверсивная справа эквивалентность
240
Реверсивный справа элемент 371
Регулярное кардинальное число 144
Редуцированное слово 362
Рефлексивное подмножество 234
Свободная группа 354
— полугруппа 354
Свободное произведение 177
— — амальгамы 179
Сердцевина конгруэнции 167
Сильное подмножество 64, 227
Симметричное подмножество 234
Система Мальцева 378
Слабо перестановочные конгруэн-
конгруэнции 257
Совершенное справа подмножество
229
Совместимое множество 165
Сопряженные подмножества 72, 325
Сплетение 154
Строго порождающий элемент 317
Унитарное подмножество 74, 181
— справа подмножество 74, 181
Уплотнение последовательности 259
— Цассенхауза 259
Условие Ламбека 372
— равенства частных 364
Фактороперанд 307
— Риса 308
Централизатор подмножества 86
Цоколь правый 21
Частичная эквивалентность 60
Частное правое 365
Чистое справа подмножество 236
Эквивалентность Глускина 126
— Круазо главная двусторонняя
327
— реверсивная справа 240
— частичная 60
Эквивалентные операнды 306
— представления 66
Элемент инвертируемый 102
— реверсивный справа 371
— строго порождающий 317
Ядро представления 306

Оглавление
Предисловие к тому 2 5
Глава 6. Минимальные идеалы и условия минимальности 7
§ 6.1. О-минимальные идеалы с нулевым умножением 7
§ 6.2. Двусторонний идеал, порожденный О-мишшальным пра-
правым идеалом 16
§ 6.3. Правый цоколь полугруппы 21
§ 6.4. Объединенная теория левого и правого цоколей полугруп-
полугруппы 26
§ 6.5. 0-прямые объединения О-простых полугрупп 35
§ 6.6. Mr, Ml и аналогичные условия минимальности .... 43
Глава 7. Инверсные полугруппы 54
§ 7.1. Естественный частичный порядок на инверсной полугруппе 55
§ 7.2. Частичные правые конгруэнции на инверсной полугруппе 58
§ 7.3. Представления взаимно однозначными частичными преоб-
преобразованиями .... 64
§ 7.4. Гомоморфизмы инверсных полугрупп ' . . . . 76
§ 7.5. Полуструктуры инверсных полугрупп 84
§ 7.6. Гомоморфизмы, разделяющие идемлотенты 86
§ 7.7. Гомоморфизмы на примитивные инверсные полугруппы 93
Глава 8. Простые полугруппы . 105
§ 8.1. Полугруппы Бэра — Леви 106
§ 8.2. Полугруппы Круазо — Тессье 111
§ 8.3. 0-простые полугруппы, содержащие минимальные одно-
односторонние идеалы; эквивалентности Глускина 123
§ 8.4. Бшгростые инверсные полугруппы 131
§ 8.5. Любая полугруппа может быть вложена в простую полу-
полугруппу 139
§ 8.6. Любая полугруппа может быть вложена в бипростую
полугруппу с единицей 143
Глава 9. Конечно определенные полутруппы и свободные произве-
произведения с амальгамой 147
§ 9.1. Свободные полугруппы 148
§ 9.2. Конечно определенные полугруппы 155
§ 9.3. Конечно порожденные коммутативные полугруппы яв-
являются конечно определенными 159
§ 9.4. Вложение полугрупповых амальгам; свободные произве-
произведения с амальгамами 174
§ 9.5. Построение конгруэнции с сокращениями 204

422 Оглавление
Глава 10. Конгруэнции 216
§ 10.1. Допустимые и нормальные множества 218
§ 10.2. Главные эквивалентности Дюбрея . 225
§ 10.3. Реверсивные эквивалентности Дюбрея 240
§ 10.4. Главные конгруэнции 245
§ 10.5. Теоремы о гомоморфизмах для подполугрупп 253-
| 10.6. Слабо перестановочные отношения и теорема Жордана —
Гёльдера 257
| 10.7. Конгруэнции на вполне 0-простых полугруппах .... 264
§ 10.8. Конгруэнции на полной полугруппе преобразований 279
Глава И. Представления преобразованиями множества 304
§ 11.1. Основные определения .... 305
§ 11.2. Разложение операнда; вполне приводимые операнды и
полугруппы '. . . 313-
§ 11.3. Строго циклические операнды и модулярные правые кон-
конгруэнции 317
§ 11.4. Представления взаимно однозначными частичными пре-
преобразованиями 322
§ 11.5. Неприводимые и транзитивные операнды и полугруппы ЗЗО1
| 11.6. Различные радикалы полугруппы 337
§ 11.7. Нормализатор правой конгруэнции р и эндоморфизмы
операнда S/p 342
§ 11.8. Представления мономиальными матрицами 344
| 11.9. Другие типы представлений 349
Глава 12. Вложение полугруппы в группу 353
§ 12.1. Свободная группа на полугруппе 354
§ 12.2. Общая задача вложения полугруппы в группу 357
| 12.3. Условия Птака 36»
§ 12.4. Построение группы частных 364
§ 12.5. Условия Ламбека 371
§ 12.6. Условия Мальцева 378
§ 12.7. Сравнение систем Мальцева и Ламбека 389
| 12.8. Конечные множества. квазитождеств 395
Библиография 407
Указатель обозначений : 415
Предметный указатель 418

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., я- 2,
издательство «Мир».