ДИОФАНТ
АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
АРИФМЕТИКА
И
КНИГА
О
МНОГОУГОЛЬНЫХ
ЧИСЛАХ
Перевод с древнегреческого
И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО
Редакция и комментарии
И. Г. БАШМАКОВОЙ
Книга представляет собой первый перевод на русский язык
всех дошедших до нас произведений Диофанта Александрийского —
последнего великого математика античности.
«Арифметика» Диофанта положила начало новой алгебре;
в ней применялась буквенная символика и были введены отрица-
тельные числа. Вместе с тем «Арифметика» послужила отправным
пунктом и для теоретико-числовых исследований Нового времени:
там были развиты методы решения неопределенных уравнений, по-
лучившие новую жизнь в работах Ферма, Эйлера, Якоби и Пуанкаре.
Именно на полях «Арифметики» Диофанта написаны знаменитые за-
мечания Пьера Ферма (включая и его Великую теорему), послужив-
шие программой для исследования по теории чисел в течение двух
веков. Эти замечания впервые переведены на русский язык здесь.
Книга снабжена комментариями, в которых результаты и ме-
тоды Диофанта освещаются с современной точки зрения. Она будет
интересна и полезна как математикам — студентам, аспирантам,
преподавателям, так и историкам науки.
Предисловие
Диофант был последним великим математиком античности. Вмес-
те с тем он был одним из первых создателей новой алгебры, основы-
вающейся не на геометрии (как это было у Евклида, Архимеда и
Аполлония), а на арифметике. Именно Диофант ввел отрицательные
числа и пользовался буквенной символикой. Можно утверждать,
что его произведения оказали столь же определяющее влияние на
формирование буквенной алгебры, как и творчество Архимеда
на создание дифференциального и интегрального исчисления. Но
не одна только алгебра восходит к Диофанту. «Арифметика» Дио-
фанта послужила отправным пунктом для теоретико-числовых
исследований Ферма и Эйлера, особенно же для развития теории
неопределенных уравнений, которые получили в честь их создате-
ля имя диофантовых. Новое развитие алгебраической геометрии
и арифметики алгебраических кривых и многообразий высшего
числа измерений, которое идет, нарастая, с начала нынешнего
века, позволяет теперь с более общей точки зрения проанализи-
ровать и оценить методы Диофанта. То, что удалось нам сделать
в этом направлении, изложено во введении и комментариях.
Предлагаемая книга представляет первый перевод на русский
язык всех дошедших до нас сочинений Диофанта, т. е. шести книг
его «Арифметики», состоявшей из 13 книг, и отрывка из книги
«О многоугольных числах». Перевод выполнен И. И. Веселовским
с критического издания Поля Таннери Diophanti Alexandria! Opera
omnia cum graecis commentariis, Editit et latine interpretatus est
Paulus Tannery, Lipsiae, 1893—1895, 1—2 vol.
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
В комментариях, составленных II. Г. Башмаковой, помещены
переведенные ею замечания Ферма к «Арифметике» Диофанта (по
изданию П. Таннери в книге «Oeuvres de Fermat», t. I, Paris,
1841). Задачи, к которым имеются примечания Ферма, отмечены
звездочкой *.
В тексте «Арифметики» имеются фразы, которые были искаже-
ны при переписках, а затем восстановлены на основании критичес-
кого анализа текста и вошли в таком виде в издание Таннери. Та-
кие фразы мы заключаем в угловые скобки <>. В прямые скобки
[ ] мы заключаем слова или формулы, вставленные при переводе на
русский язык. В такие же скобки заключены куски текста, кото-
рые, по общепризнанному мнению, принадлежат позднейшим ком-
ментаторам, однако все такие места отмечены в специальных
сносках.
Несколько слов о символике, принятой в книге. Знаки Дио-
фанта для неизвестного и его первых шести положительных и от-
рицательных степеней мы передаем обычными для нас символами:
х, х2, ..., х6, аГ1, . . ., аГ6. Это же относится к знакам вычитания и
равенства. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет ря-
дом положительные члены, причем в каждом члене сначала запи-
сывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент,
так что члены достаточно четко отделены друг от друга (см. об
этом подробнее в комментариях). Отрицательные члены записы-
ваются рядом, а перед всей группой их ставится знак минус. Мы
для удобства читателя вводим привычный для нас знак +, что не
вносит принципиальных изменений в символику «Арифметики».
Для указания на задачу некоторой книги мы будем в дальней-
шем писать номер книги римскими цифрами, а рядом внизу —
номер или номера задач арабскими цифрами. Так, У2-з означает
задачи 2 и 3 книги V.
В заключение я приношу глубокую благодарность И. Р. Ша-
фаревичу за ту большую и многостороннюю помощь, которую он
оказал мне при работе над книгой. Я благодарю также А. Н. Пар-
шина и А. Н. Рудакова, советами и замечаниями которых я поль-
зовалась при составлении комментариев. Мне хочется особо отме-
тить самоотверженную работу А. Ф. Лапко, которая далеко вы-
ходит за рамки простого редактирования, и выразить ему горячую
благодарность.
И. Башмакова
ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
И ЕГО «АРИФМЕТИКА»
1. Диофант
Мы очень мало знаем о Диофанте. В одной из эпиграмм
Палатинской антологии говорится х):
«Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил»
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.»
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил
84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть «муд-
рым искусством его». Достаточно уметь решать уравнение
1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать
египетские писцы еще за восемнадцать веков до н. э.
Но когда же жил Диофант? Теон Александрийский
в своих комментариях к «Альмагесту» Птолемея привел
отрывок из сочинений Диофанта. Поскольку деятельность
Теона падает на вторую половину IV века н. э., очевид-
но, Диофант не мог жить позднее середины IV века.
0 Перевод С. П. Боброва.
5
Й. Г. БАШМАКОВА
Ь- .  :     .   —  -- -  ' .    -- .... _ _	. ...	. . , . .	-щ  ~ 
Этим определяется верхний предел промежутка возмож-
ного времени жизни Диофанта. С другой стороны, сам
Диофант в своей работе «О многоугольных числах» дваж-
ды упоминает Гипсикла, математика, жившего в Алек-
сандрии в середине II века до н. э. Итак, нижним пределом
является вторая половина II века до н. э. Таким об-
разом, получаем промежуток в 500 лет!
Сузить этот промежуток попытался П. Таннери, из-
вестный историк науки, издатель критически проанали-
зированного текста сочинений Диофанта, который теперь
принят в качестве канонического. В библиотеке Эскуриала
он нашел отрывок из письма Михаила Пселла, Визан-
тийского ученого XI века, текст которого был искажен
при переписках. После восстановления Таннери один
из отрывков письма может быть переведен так: «Что ка-
сается этого египетского метода, до Диофант рассмотрел
его более точно, и ученейший Анатолий, после того как
собрал наиболее важные части этой науки, посвятил
их своему другу Диофанту» х). Известно, что Анатолий
Александрийский составил «Введение в арифметику» в
десяти частях, фрагменты из которого дошли до нас в
передаче Ямблиха2) (IV век н. э.). Но Анатолий, познания
которого в арифметике, геометрии и астрономии превоз-
носит Евсевий, жил в Александрии в середине III века,
причем в 270 г. он покинул ее, став епископом Лаодикий-
ским (в Сирии)3). Таким образом, если Таннери правильно
прочел письмо Пселла, то Диофант жил в середине
III века н. э.
Это подтверждается еще и тем обстоятельством, что
сама «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дио-
нисию», который, как это видно из введения к первой
книге, интересовался наукой о числах и ее преподаванием.
Между тем с 231 по 247 г. во главе Александрийского
христианского училища для юношества стоял Дионисий,
ставший в 247 г. епископом Александрийским. По пред-
*) Diophanti Alexandria! Opera omnia cum graecis commentariis, ed. P. Tan-
nery, Lipsiae, 1893—1895, 1—2 vol., cm. t. 2, стр. 37—42. Поль Таннери
с ,	с
исправил в дошедшем до нас тексте слово етерос на етасрсо, после чего вся
фраза приобрела смысл.	ь
£) J a mb lich us Chalcidensis, Theologumena arithmeticae..., ed-
Fr. Ast, Lipsiae, 1817.
3) E в с e в и й, Церковная история, СПБ, 1848, стр. 457—463.
6
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
положению Таннери, именно ему и была посвящена
«Арифметика».
Поэтому обычно теперь считают, что Диофант жил
около 250 г.
Из сочинений Диофанта до нас дошло два: «Арифме-
тика» и «О многоугольных числах», однако оба они сохра-
нились не полностью. Из 13 книг «Арифметики», о которых
говорит Диофант во введении к этой работе, до нас дошло 6,
а конец второго сочинения утрачен. В «Арифметике»,
когда речь идет о теоретико-числовых предложениях,
Диофант обычно отсылает к своим «Поризмам». Неизвест-
но, была ли то отдельная книга, или доказательства
«поризмов» были включены в саму «Арифметику». Во
всяком случае, ни одного доказательства теоретико-
числового предложения от Диофанта не дошло.
2. Предшественники Диофанта
Появление таких произведений, как «Арифметика»
Диофанта, невозможно без долгих лет, а то и веков под-
готовительной работы многих ученых. Представим себе,
что все наши сведения о Ньютоне были бы утрачены и
дошли бы только его «Математические начала натуральной
философии». К какому веку мы бы отнесли жизнь их
автора? Вероятно, мы бы сразу отвергли время до XVI
века и более детальный анализ текста привел бы нас
к XVII или началу XVIII века. По тем же причинам
можно утверждать, что «Арифметика» не могла быть на-
писана до н. э. В это время еще слишком сильны были
традиции геометрической трактовки всех частей матема-
тики, включая и алгебру, и арифметику, а, с другой сто-
роны, новые направления, если они и были, еще не ус-
пели развиться и приобрести силу.
Поворот на путь арифметизации мы видим в работах
Герона (I век н. э.), где излагаются различные вычисли-
тельные алгоритмы (например, приближенного вычисле-
ния квадратных корней). В геометрии Герои интересует-
ся в основном метрическими свойствами фигур. Дроби
и иррациональности уже, по существу, трактуются как
числа. В «Геометрике» встречаются даже геометрические
задачи, сводящиеся к неопределенным уравнениям. Но
7
И. Г. БАШМАКОВА
именно на этих задачах видно, что велико еще различие
между творениями Герона и Диофанта.
Герои при изложении целиком следует вавилонской
традиции: после формулировки задачи (причем всегда
для конкретных числовых данных) он дает алгоритм для
ее решения в виде последовательности операций над задан-
ными числами. Пояснений почти нет. Неизвестных он
не вводит, так что об оперировании с неизвестными не
может быть и речи. Приведем для примера одну из его
задач, сводящуюся к системе неопределенных уравнений:
«Найти две [прямоугольные] области равного периметра,
площади которых находились бы в четырехкратном от-
ношении».
Соответствующую систему уравнений можно записать
так:
( X + Y == U + V,
( XY = aUV,
где а = 4. Для нахождения сторон одного из прямо-
угольников Герон делает следующие операции: 43 = 64,
64 — 1 = 63, 4 — 1 — 3, 63 — 3 = 60, тогда сторонами
будут 60 и 3. Далее, для нахождения сторон второго пря-
моугольника: 42 — 16, 16 — 1 = 15, 63 — 15 — 48. Сто-
ронами второго будут 15 и 48. Тогда первая площадь
будет 180, а вторая — 720. Все числа, с которыми он
оперирует,— именованные. В приведенной задаче они
выражают длины в футах. О том, как были получены фор-
мулы для решения, Герон не пишет.
Между тем в «Геометрике» приведена таблица сокра-
щений и обозначений, в которой уже имеется символ для
неизвестного числа g, тот самый, который потом встреча-
ется у Диофанта. Правда, этот символ записывается с
некоторыми дополнениями в зависимости от того, в каком
числе и падеже стоит слово «число»: сверху приписывает-
ся одна или две буквы соответствующего падежного окон-
чания (см. таблицу на стр. 325). Это свидетельствует о том,
что символика делает только первые шаги.
Отметим, что сам Герон в дошедших до нас произве-
дениях символа для неизвестного не употребляет. По-
видимому, во времена Герона этот символ только-только
начинал применяться. Но у нас есть свидетельство о том,
что после Герона им уже широко пользовались при реше-
8
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
нии задач. Ко II веку относится Мичиганский папирус
620, в котором при решении задач, эквивалентных системе
линейных уравнений, применяется тот же символ для не-
известного. Поскольку папирус представляет популярное
изложение того, что делалось в научной литературе, то
можно считать, что за 50—100 лет, протекших после
Герона, оперирование с неизвестными стало общепри-
нятым.
Итак, один из источников творчества Диофанта — это
то арифметико-алгебраическое направление, которое раз-
вивалось в александрийской математике в I—II веках н. э.
Второй источник творчества Диофанта естественно
искать в работах по исследованию неопределенных урав-
нений. ОДнако об этой традиции мы знаем очень мало.
Известно только, что еще в Древнем Вавилоне ставился
вопрос о рациональных решениях уравнения
(♦)	X2 + У2 = Z2.
Пифагору приписывают правило для нахождения цело-?
численных его решений, а именно:
7П3 — 1 тх	/у 7П2 + 1
X = —х----, Y === Ш, Z = —5Г-- ,
где т — нечетное число (Прокл, Комментарий к Евклиду).
При т = 3 получается треугольник со сторонами 3, 4, 5,
который также связывается с именем Пифагора. Общие
формулы для решения уравнения (♦) содержатся в «На-
чалах» Евклида (кн. X, предл. 29):
X = р2 — q2, Y = 2pq, Z = р2 + q2,
где р, q — целые числа. Этими формулами часто пользу-
ется Диофант.
Второе неопределенное уравнение, исследованное
древними, было
(**)	аХ2 + 1 = У2.
Оно получило впоследствии название уравнение Пелля
(без особых исторических оснований), а теперь его чаще
называют именем Ферма (что более обосновано историчес-
ки). Евклид показал, как находить все его решения, ис-
ходя из наименьшего («Начала», кн. II, предл. 9) для слу-
чая а = 2. Архимед поставил перед александрийскими
9
Й. Г. БАЙМАКОВА
математиками задачу о быках, которая приводится к
уравнению (**) для а = 4 729 494, наименьшее решение
которого записывается с помощью 206 545 десятичных
знаков. По-видимому, он специально подобрал такое
значение а, чтобы решение нельзя было найти путем про-
стого подбора. Его интересовало, владели ли александ-
рийцы общим методом нахождения наименьшего решения.
Интересно, что точно к такому же приему прибегнул
впоследствии Пьер Ферма: он также поставил перед
своими корреспондентами задачу решения уравнения (**)
для специально подобранных значений а, для которых
наименьшее решение было очень велико. Это и все, что
известно.
Поэтому внезапное появление такого обилия и раз-
нообразия задач, которое мы встречаем в «Арифметике»,
до сих пор остается загадкой.
Остается также совершенно неясным вопрос о связи
«Арифметики» с исследованиями конических сечений,
проведенными с такой полнотой Аполлонием, и кривых
высших порядков, которыми занимались последующие
математики. Многие задачи Диофанта эквивалентны на-
хождению рациональных точек на окружности или ги-
перболе, а подстановки, которые он делает, отвечают
проведению прямых через некоторую точку рассматривае-
мой кривой и нахождению второй точки пересечения с
кривой. Догадывался ли об этом Диофант? Пользовался
ли он геометрической интерпретацией? Его произведения
не позволяют нам ответить на этот вопрос, хотя, конечно,
маловероятно, чтобы он не усматривал связи неопределен-
ных уравнений с соответствующими алгебраическими
кривыми.
3. Числовая область и буквенная символика
Первой книге «Арифметики» предпослано введение, кото-
рое является первым известным нам изложением основ
алгебры. Здесь строится числовая область, вводятся
‘символы для неизвестного и его степеней, формулируют-
ся некоторые аксиомы, определяющие операцию умноже-
ния, правила действия с многочленами и уравнениями.
Диофант строит свою алгебру не на базе геометрии,
^как это имело место в классической греческой математике,
10
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
а на основе арифметики. Поэтому определение числовой
области, в которой было бы возможно производить все
четыре действия арифметики, приобретает первосте-
пенное значение. В определении (I) Диофант вводит
число как множество единиц, т. е. повторяет определение
2 книги VII «Начал» Евклида. Это определение восходит
еще к Платону и Аристотелю, а вероятно, и к пифаго-
рейцам; оно описывает натуральные числа, и в соответст-
вии с этим дроби не считались числами. В «Началах» нет
дробей, но есть учение об отношениях целых чисел, над
которыми, впрочем, определяется только одна опе-
рация — составление отношений, соответствующая умно-
жению; сложение для отношений чисел не было опре-
делено.
Совершенно иную трактовку мы встречаем у Диофанта.
Несмотря на повторение определения Евклида, Диофант на
протяжении всех своих книг называет числом (apt9|Lo<;)
неизвестное, либо состоящее из неопределенного числа
единиц, либо являющееся дробью. При решении задач
он не делает отличия между целыми и дробями, называя
и те и другие числами. Более того, он знает и об ирраци-
ональных числах, однако не включает их в ту область,
в которой он ищет решение. Так, в задаче IV9, получив
равенство
35я2 -= 5,
он пишет: «и х [т. е. неизвестное число.— И, Б.] не
рационально, так как отношение одного вида к другому
не будет отношением двух квадратов». Такие же обороты
встречаются и в других задачах.
Но и такое расширение являлось еще недостаточным
для построения алгебры. Диофанту нужна была область,
замкнутая относительно всех четырех действий ариф-
метики, т. е. поле. И вот в определении (IX) он вводит
отрицательные числа (отрицательное число он называет
словом kstcpts). Делает он это, по существу, аксиомати-
чески, а именно, он определяет чисто формально «правило
знаков» при умножении. Никакой интерпретации отри-
цательные числа у него не получают.
Разумеется, новые числа еще не имели равноправия
с положительными: так, решение задач ищется только
в полуполе Q+. Но такую ситуацию мы встречаем в истории
11
И. Г. БАШМАКОВА
науки очень часто. Здесь невольно напрашивается
аналогия между Диофантом и Бомбе лли (XVI век). И тот
и другой ввели новые числа: первый — отрицательные,
второй — мнимые. Сделали они это одним и тем же
способом — определив правило умножения новых чисел.
Оба они не дали для новых объектов никакой интерпре-
тации. Наконец, и тот и другой применяли новые числа
только в промежуточных выкладках, а окончательный
результат искали в старой числовой области.
Далее, Диофант вводит буквенную символику: он вво-
дит специальные знаки для неизвестного числа и его пер-
вых шести положительных и отрицательных степеней
(подробнее об этом см. в комментарии к книге I). Здесь
заметим только, что для названия степеней неизвестного
применяется еще геометрическая терминология: третья
степень называется кубом (как и у нас), корень квадрат-
ный из числа называется его стороной и т. д. Однако
Диофант свободно складывает квадраты и кубы между
собой и со сторонами, т. е. рассматривает все эти объекты
как числа. Более того, он вводит квадрато-квадраты и
кубо-кубы, не имея, конечно, в виду объекты пространств
четырех и шести измерений.
Присоединив к полю рациональных чисел Q1) неиз-
вестное, Диофант специально останавливается на прави-
лах умножения его степеней. Замечательно, что он явно
выделяет два чисто групповых свойства этой операции,
а именно:
1) х-х[ = 1;
2) хп-1 = хп.
Итак, алгебра Диофанта на первый взгляд есть ал-
гебра рациональных функций одного переменного. Но
в большинстве его задач вопрос ставится о нескольких
неизвестных (часто пяти, шести и больше). Как же он
оперирует с ними?
Для решения задачи Диофант выражает все искомые
числа как рациональные функции одного основного
неизвестного и параметров. Этим параметрам, правда,
придаются конкретные числовые значения. Но Диофант
при этом обычно (но не всегда) оговаривает, что они могли
бы быть и любыми другими. Параметры играют в «Ариф-
1) в дальнейшем буква Q будет всегда обозначать поле рациональных чисел.
12
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
метике» роль дополнительных неизвестных. При этом
Диофант часто берет в качестве параметров последова-
тельные числа 1, 2, 3 или 2, 3, 4, чем подчеркивается
несущественность приданных параметрам конкретных зна-
чений.
Если оказывается, что выбранные значения парамет-
ров не годятся, т. е. основное неизвестное получается ир-
рациональным или отрицательным, Диофант выясняет,
посредством каких операций оно было получено из пара-
метров. Пусть, например, при выбранных параметрах
а. р, у (а = 1, р = 2, у ~ 3) неизвестное х определя-
ется из уравнения
(***)	/ (х, 1, 2, 3) ~ О,
которое не имеет решений в Q+. Тогда Диофант восстанав-
ливает последовательность операций, с помощью которых
была образована функция / (х, 1, 2, 3), рассматривая
1, 2, 3 как произвольные символы, т. е. на самом деле нахо-
дит саму функцию f (х, а, р, у). После этого он ищет
условия, которым должны удовлетворять параметры, что-
бы (***) имело рациональные положительные решения
(см., например, задачи 1У8_ц).
Таким образом, обычный для арифметики Древнего
Востока «метод ложного положения» преобразуется у
Диофанта в настоящий алгебраический анализ.
В этом отношении очень интересны задачи 1111011: при
выбранных значениях параметров (4 и 5) обе они сводят-
ся к уравнениям, которые чисто случайно имеют рацио-
нальные решения. Однако если смотреть на 4 и 5 не как
на конкретные числа, но как на символы для обозначения
произвольных чисел, то видно, что эти уравнения раз-
решимы не всегда, а лишь при определенных условиях.
И вот Диофант, не обращая внимания на случайно полу-
ченные решения, ищет и здесь общие условия, которым
должны удовлетворять параметры для того, чтобы решение
существовало при любых допустимых значениях. (См.
комментарий к 1Пю-ц.)
Таким образом, символы для параметров несут в «Ариф-
метике» двойную функцию: во-первых, это конкретные
числа, а во-вторых, обозначения для произвольного чис-
ла. Только недостаток символики не позволил Диофанту
разделить эти функции.
13
И. Г. БАШМАКОВА
4. Неопределенные уравнения
Основным содержанием «Арифметики» является решение
в рациональных положительных числах неопределенных
уравнений
(1)
2>
или систем таких уравнений
(2)
/^1	* • ч *^п)	' О»
..................• • • •
. Ртп. {> ^2 ’ • • • >	~ О»
где F и — многочлены с рациональными коэффициен-
тами, а т п.
Но что означало для Диофанта решить такую систему?
Достаточно ли было отыскать какое-нибудь одно решение
или необходимо было найти их все?
В настоящее время эта задача ставится так: пусть
коэффициенты всех принадлежат некоторому полю К\
тогда требуется найти множество М (К) всех рацио-
нальных решений системы (2) и определить его алгебраи-
ческую структуру. При этом решение x%\ . . .,
называется рациональным, если все ЕЕ К.
Множество М (К), разумеется, зависит от поля К.
Одна и та же система может не иметь решения в некотором
поле Кг и иметь конечное число или бесконечно много
решений в другом поле К2. Так, например, уравнение
х2 Д- ?/2 = 3 не имеет решений в поле Q, а в поле
Q(/3) у него бесконечно много решений.
Наиболее простым является случай, когда неизвестные
можно выразить как рациональные функции с коэффи-
циентами из Q от одного или нескольких параметров.
Пусть, например, задано уравнение
(3)
/ у) = о,
где / (х, у) — многочлен, неприводимый над Q. Это урав-
нение представляет па плоскости XOY кривую Г. Если
можно выразить неизвестные в виде
(4)	ж = <р 0), у = (О,
14
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
где ср и гр — рациональные функции с
коэффициентами, так что
/ [ф (О, (01 = °i
рациональными
то кривая Г называется рациональной. Говорят также,
что уравнение (3) униформизируется в рациональных
функциях.
В конце XIX — начале XX веков Д. Гильберт и
А. Гурвиц1) и, независимо от них, А. Пуанкаре2) показали,
что всякая кривая рода 0, на которой лежит хотя бы одна
рациональная точка, будет рациональной. Мы покажем,
что Диофант доказал эту теорему для всех кривых второго
порядка.
Если же род кривой Г больше 0, то униформизации в
рациональных функциях не существует. Но если род в
точности равен 1, то множество М (Q) также имеет ал-
гебраическую структуру, а именно оно является абелевой
группой с конечным числом образующих. Первое из
этих утверждений А. Пуанкаре доказал с помощью ме-
тодов, которые применял уже Диофант, а второе он
высказал в виде гипотезы, которую доказал в 20-х годах
нынешнего века Л. Морделл 3).
Относительно кривых рода 2 окончательных ре-
зультатов до сих пор не существует. Неизвестно даже,
может ли кривая рода 2 иметь бесконечно много ра-
циональных точек.
Система (2) определяет, вообще говоря, аффинное
многообразие измерения г — п — т. Если би-
рационально изоморфно аффинному пространству Qr,
то оно называется рациональным. Оно называется уни-
рациональным, если Qr можно рационально отобразить
на него.
Перейдем теперь к постановке вопроса у Диофанта.
Среди историков науки до сих пор распространено
убеждение (вернее, заблуждение), согласно которому
х) D. Hilbert and А. Н u г w i t z, Uber die diophantische Gleichungen
vom Geschlecht Null, Acta Math. 14 (1890), 217—224.
’) H. p о i n с ar ё, Sur les ргорг1ё1ёб arithm6tiques des courbes algfcbriques,
J. Math., 5е serie, 7 (1901), 161—233.
*) L. j.Mor d ell, On the rational solutions of the indeterminate equations
of the third and fourth degress, Proc. Cambr. Philos. Soc. 21 (1922), 179—.
15
И. Г. БАШМАКОВА
Диофант довольствовался нахождением одного поло-
жительного рационального решения задачи (см., например,
Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука, М., Физмат-
гиз, 1959, стр. 375). Между тем это совершенно неверно!
Основная цель Диофанта состоит в том, чтобы выразить,
если это возможно, неизвестные уравнения (1) или сис-
темы (2) как рациональные функции от одного или не-
скольких параметров
Xi = фх (£х, • •	Хп — (рп (£х, . .
так, чтобы каждому набору рациональных значений
tk отвечало решение задачи. При этом, однако,
Диофант, по-видимому, не интересуется вопросом о том,
нашел ли он все решения задачи или только некоторую,
хотя бы и бесконечную, часть их. Так, например, система,
к которой сводится задача IIIб, определяет многооб-
разие Диофант приводит два ее решения, в первом
из которых неизвестные выражаются как функции от од-
ного параметра, а во втором — от трех.
Большинство кривых и многообразий, к которым
приводят задачи Диофанта, являются рациональными
(хотя встречаются и нерациональные многообразия). При
этом, как правило, Диофант получает выражения для
неизвестных через параметры, которым приданы кон-
кретные числовые значения, так что и само решение
получается в рациональных числах. Однако, как мы
уже говорили, вместо чисел, изображающих парамет-
ры, можно взять любые другие (произвольные или
удовлетворяющие некоторым условиям) и, таким обра-
зом, получить не одно, а бесконечно много решений. На
это обстоятельство неоднократно указывает Диофант.
Если, например, ему нужно сделать подстановку X =
= kt + 3, то он пишет примерно так: «положим искомое
число равным нескольким t, увеличенным на 3, пусть
2t + 3», или если он хочет представить три искомых
числа в виде Хх = (Р2 — 1)£, Х2 = (у2 — 1)£, Х3 = (62 —-!)£,
то он пишет, что их надо принять равными квад-
ратам без единицы и умножить на неизвестное число t:
«пусть 3t, 8t и 15£».
Однако в «Арифметике» имеются и такие" задачи, в
которых^Диофант требует найти решение «в неопределен-
ной форате», т. е. найти явно те рациональные функции,
16
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
которые униформизируют неопределенное уравнение (см.,
например, леммы к задачам IV34_36). Диофант поясняет,
что нужно найти такие выражения (или формулы), которые
удовлетворяли бы задаче, если вместо неизвестного х
подставить такое числовое значение, какое мы захотим.
Но не все задачи «Арифметики» сводятся к системам,
определяющим рациональные кривые и рациональные
многообразия. Особенно интересны задачи, которые приво-
дятся к определению рациональных точек эллиптической
кривой (т. е. кривой рода 1). Здесь Диофант применяет
новые замечательные методы, позволяющие, зная одно
или два рациональных решения соответствующего урав-
нения, найти новое его рациональное решение. Ниже мы
подробно рассмотрим эти методы, а теперь перейдем к
краткому обзору «Арифметики».
5. Шесть книг «Арифметики»
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего
189), каждая из которых снабжена решением (или
несколькими решениями, полученными разными спосо-
бами) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого
взгляда кажется, что она не является теоретическим про-
изведением. Однако при внимательном чтении видно, что
задачи тщательно подобраны и расположены так, что слу-
жат иллюстрацией вполне определенных общих методов.
Как это было принято в античной математике, методы не
формулируются общим образом, отдельно от задач, но
раскрываются в процессе решения. Напомним, что даже
знаменитый «метод исчерпывания» — первый вариант тео-
рии пределов — не был выделен в чистом виде ни его соз-
дателем Евдоксом из Книда, ни Архимедом. Только ма-
тематикам XVII века, на основании анализа «Начал»
Евклида и квадратур Архимеда, удалось его извлечь
и сформулировать общим образом. То же самое мы попы-
таемся делать при разборе задач Диофанта.
Все задачи книги I являются определенными. Если они
и ставятся как неопределенные, то доопределяются в про-
цессе решения. В этой же книге имеется несколько задач
(^2?^зо), которые приводятся к системам двух уравнений от
двух неизвестных, эквивалентным квадратному уравнению.
17
И. Г, БАШМАКОВА
лл“   -   '  	 -- 
Для того чтобы решения были рациональными, Диофант
требует, чтобы дискриминант уравнения был полным
квадратом. Делает он это без специальных пояснений, что
свидетельствует о том, что в его время формула решения
квадратного уравнения во всех ее вариантах была хорошо
известна.
Задачи книги II относятся уже к собственно неопреде-
ленному анализу. Первые десять задач эквивалентны урав-
нениям вида
(5)	F2 (X, У) = О,
где F2 (X, У) — многочлен второй степени с рацио-
нальными коэффициентами (т. е. соответствующая кривая
имеет род 0). На этих задачах Диофант показывает свой
метод и, по существу, доказывает частный случай теоремы
Гильберта — Гурвица — Пуанкаре, о которой мы гово-
рили выше, а именно:
«Если уравнение (5) имеет рациональное решение,
то оно имеет и бесконечно много рациональных
решений, причем неизвестные могут быть выражены
как рациональные функции одного параметра:
х = ф (0, у = ф (0-»
Мы расскажем подробно об этом методе Диофанта в
комментариях к книге II. Здесь же отметим следующее:
в книге II общий метод для выражения неизвестных в
виде рациональных функций параметра излагается всег-
да для конкретных значений параметра, и о числе решений
явно ничего не говорится. О бесконечности числа решений
можно заключить только из самого метода. В задаче Ш19,
применяя решение задачи П8, Диофант уже явно говорит
о том, что число ее решений бесконечно, а именно он пишет:
«Мы знаем, что разложение данного квадрата на два
квадрата можно производить бесконечным числом спосо-
бов». Очевидно, сам Диофант считал, что этот результат
достаточно ясно вытекает из его метода. Наконец, в книге
VI Диофант доказывает две леммы о том, что если урав-
нение аХ2 + b = Y2 имеет одно рациональное решение,
то оно имеет и бесконечно много других решений (леммы
к задачам Vl12 и VI16).
Остальные задачи книги II сводятся к системам урав-
нений, шждое из которых не выше второй степени.
18
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
В задачах Пн_13 Диофант излагает свой метод решения
«двойного равенства» простейшего вида, т. е. системы
[ ±а2Х + b = Yl
(±с2Х + d = Yl
(в задачах книги II а2 = с2 = 1).
В последующих задачах Диофант так выбирает вы-
ражения для неизвестных через основное неизвестное и
параметры, чтобы все уравнения системы, кроме одного,
обратить в тождества. Оставшееся уравнение дает ему
возможность выразить основное неизвестное (а значит,
и все искомые в задаче числа) как рациональную функцию
параметров.
В конце книги II и начале книги III появляются зада-
чи, которые представляют собою распространение уже ре-
шенных задач на большее число неизвестных. Во многих
случаях метод таков, что он проходит для аналогичных
задач, поставленных относительно любого числа неизвест-
ных (см., например, задачи II2o-2i и Щг-зз)-
Книга III по своему содержанию и методам непосред-
ственно продолжает предыдущую. Здесь рассматривают-
ся системы трех, четырех и большего числа уравнений,
каждое из которых имеет степень 2. Здесь встречаются
задачи, в которых Диофанту удается путем подстановок
обратить в тождества все условия, кроме двух, причем
эти оставшиеся условия образуют «двойное равенство».
В книге IV впервые рассматриваются неопределенные
уравнения третьей и четвертой степени, а также одно
уравнение шестой степени (IVifi). В первых 14 задачах
встречаются, однако, только такие уравнения, которые
униформизируются в рациональных функциях. Задачи
iv2< и IV26_28 сводятся к нахождению рациональных ре-
шений неопределенных уравнений третьей и четвертой)
степени, которые задают эллиптические кривые (т. е.
кривые рода 1). В этом случае, как мы уже говорили, не-
известные не могут быть выражены как рациональные
функции параметра.
Поясним методы, которые применял Диофант для
решения этих уравнений. При этом мы будем пользоваться
языком геометрии, интерпретируя неопределенное урав-
нение от двух неизвестных как кривую на плоскости,
19
И. Г. БАШМАКОВА
а рациональное его решение — как рациональную точку
этой кривой.
Итак, пусть задана кривая L*
(6)
Fs (X, Y) = О,
где F3 (X, Y) — неприводимый многочлен третьей сте-
пени. Для нахождения рациональных точек этой кривой
теперь применяются следующие два метода:
1) «Метод секущей». Пусть известны две рациональные
точки А (Х1Э Ух) и В (Х2, У2), лежащие на L. Тогда пря-
мая, проходящая через эти две точки, пересечет L еще
в одной точке С, координаты которой, как нетрудно видеть,
также будут рациональны. Эти координаты и дадут нам
новое рациональное решение.
2) «Метод касательной». Пусть известна только одна
рациональная точка А (Х1? Уг) кривой L. Тогда через
нее проводится касательная
dF3
Y - Ух = к (X - Х\), где к = -	(Х17 YJ,
которая пересечет кривую L еще в одной рациональной
точке D.
Мы покажем, что оба эти метода применял Диофант
(см. комментарии к задачам IV24 и IV2e-27), трактуя их,
однако, чисто алгебраически. При этом метод секущей он
применял только в случае, который при геометрической
интерпретации может быть охарактеризован тем, что одна
из данных рациональных точек является бесконечно уда-
ленной (задачи IV26-27)-
Книга V содержит наиболее трудные задачи. Может
быть, именно этим объясняется, что текст ее во многих
местах испорчен. Так, например, в задаче Ve Диофант
формулирует ограничение, которое нужно наложить на
некоторое число а для того, чтобы 2а + 1 представлялось
в виде суммы двух квадратов. Это ограничение, которое
свидетельствует о глубоких познаниях Диофанта в теории
чисел, было при переписках испорчено. Вследствие пол-
ногр непонимания вопроса никто из последующих ученых
вплоть до Ферма не смог его восстановить. Только Ферма,
который независимо пришел к аналогичной теореме, сумел
20
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
восполнить пробел. Имеются и другие пропуски (см.
комментарии к книге V). Поэтому над этой книгой рабо-
тало немало филологов и математиков, из которых назо-
вем Баше де Мезириака, Ферма, Якоби и Поля Таннери.
В книге V появляется новый тип задач (V9-14), в ко-
торых заданное целое число N требуется представить
суммою двух, трех или четырех рациональных квадратов,
каждый из которых удовлетворяет некоторым неравен-
ствам. Диофант применяет для их решения четкий алго-
ритм, который он называет «методом приближения»
(тгарюбтт/тос ауагру]). При этом он решает квадратные не-
равенства и рассматривает уравнение Ферма
«X2 + 1 — У2,
решение которого ищет в целых числах.
Последующие три задачи книги сводятся к отысканию
рациональных точек на кубических поверхностях. При-
мененные при их решении методы эквивалентны прове-
дению пучка плоскостей, каждая из которых проходит
через бесконечно удаленную прямую, лежащую на по-
верхности. Кривая, полученная в сечении, распадается
на две компоненты: прямую и коническое сечение. По-
добрав параметр так, чтобы на коническом сечении име-
лась рациональная точка, Диофант обычным способом
находит другие рациональные точки этой кривой. Заме-
тим, что каждая из плоскостей, проходящих через бес-
конечно удаленную прямую, будет касаться исследуемой
поверхности в двух точках. Это описание метода, разуме-
ется, является переводом решения Диофанта на язык
геометрии. Более подробно это рассмотрено в коммен-
тариях к соответствующим задачам.
Все задачи книги VI ставятся относительно прямо-
угольных треугольников с рациональными сторонами, т. е.
таких трех рациональных чисел, которые удовлетворяют
уравнению
X2 + У2 = Z2.
К этому условию, общему для всех задач, присоединяются
дополнительные условия относительно площади, длины
параметра, суммы площади и одной из сторон и т. д., т. е.
задается еще некоторая функция
/ (X, Y, Z) = 0.
21
И. Г. БАШМАКОВА
При решении этих задач Диофант особенно искусно
оперирует с конкретными числами, как с произвольными
параметрами (подробнее об этом в соответствующих
комментариях).
В этой книге содержатся две леммы, о которых мы упо-
минали выше, а именно к задачам VI12 и VI15, где доказы-
вается, что уравнение
аХ2 + Ъ = У2
имеет бесконечно много рациональных решений, если
у него есть хотя бы одно такое решение.
Книга VI интересна еще и тем, что в ней Диофант
применяет почти все методы, которые имелись в преды-
дущих книгах: тут применяется метод касательной для
нахождения рациональных точек эллиптической кривой
третьего порядка, решаются «двойные уравнения» раз-
личного вида и т. п.
Задачи VI книги послужили поводом для многих тео-
ретико-числовых предложений Пьера Ферма. Особенно
важно его замечание к задаче, добавленной к книге Баше
де Мезириаком, в которой требуется отыскать прямоуголь-
ный треугольник в рациональных числах, площадь ко-
торого была бы рациональной. Ферма заметил, что эта
площадь не может равняться квадрату. Эта задача сво-
дится к доказательству неразрешимости в целых числах
уравнения
X4 — У4 = Z2.
Отсюда в свою очередь следует Великая теорема Ферма
для случая п — 4. В своем замечании Ферма привел пол-
ное доказательство своего утверждения — это единствен-
ное дошедшее от него теоретико-числовое доказательство.
Он проводит его методом спуска. Именно из этого дока-
зательства мог заимствовать Эйлер этот метод. Мы при-
водим это замечание Ферма в конце комментариев к кни-
ге VI. Здесь уместно поставить вопрос о том, каковы были
познания самого Диофанта в теории чисел. Для ответа
на него соберем вместе все предложения по теории чисел,
которые Диофант формулирует явно или на которые он
опирается в своей «Арифметике».
1.	Всякое простое число вида 4тз + 1 представимо
в виде суммы двух квадратов (Ш19; V9).
22
Вступительная статья
2.	Целое число N можно представить в виде суммы
двух квадратов, если после выделения наибольшего ква-
драта оно не имеет простых делителей вида 4п — 1 (V9),
3.	Целое число N, являющееся произведением двух
различных простых чисел вида + 1, представимо в виде
суммы двух квадратов двумя различными способами.
Квадрат такого числа представим в виде суммы двух ква-
дратов четырьмя различными способами (П118).
4.	Любое целое число можно представить в виде суммы
четырех рациональных квадратов (IV29-3o; Vu).
5.	Никакое число вида 24п 4- 7 не может быть пред-
ставлено в виде суммы трех квадратов целых или дроб-
ных (Vu).
Из приведенной сводки видно, что Диофантом был
хорошо изучен вопрос о представлении чисел формой
X1 2 + Y2. Он знал о представимости чисел суммою четырех
квадратов и рассматривал вопрос о представлении числа
з
в виде • Мы ничего не знаем о том, как были дока-
i=i
заны эти результаты. Весьма убедительные реконструк-
ции этих доказательств предложены К. Якоби, к кото-
рым мы и отсылаем желающих с ними познакомиться г).
Попытаемся в заключение представить себе, каковы же
были сведения Диофанта в тех вопросах, которые мы те-
перь относим к алгебраической геометрии.
Сама последовательность книг показывает, что Дио-
фант классифицировал задачи по степеням уравнений,
к которым они сводятся. Так, в первых трех книгах поме-
щены задачи, которые сводятся либо к уравнению не
выше второй степени, либо к «двойному уравнению»,
каждое из которых имеет степень 2. В книге IV появляются
уравнения третьей, четвертой и даже шестой степени,
которые затем встречаются и в последующих книгах.
Но, помимо степеней, Диофант различал уравнения
и по другому, более глубокому признаку, а именно по
тому, униформизируются ли они в рациональных функ-
циях. Мы говорили уже выше, что эта проблема была пол-
ностью решена им для уравнения второй степени от двух
1) См. его статью «Ueber die Kentnisse des Diophantus von der Zusammenset-
zung der Zahlen», Berliner Monatsbericht, 1847, Gesammelte Werke, VHt
1891. 332—344.
23
И. Г. БАШМАКОВА
переменных. Далее, Диофант знал, что для некоторых
уравнений третьей и четвертой степени такая униформи-
зация также возможна, а для других нет. Уравнения,
определяющие кривые рода 1, встречаются в «Арифме-
тике» в шести задачах: IV24, IV26_27, IV28, VI10 и VIi8.
При этом рациональные точки этих кривых в задачах
IV24 и VI18 находятся методом касательной, в IV26-27 —
методом секущей и, наконец, в IV28 и У1ю — с помощью
проведения параболы. В задаче IV18 появляется уравне-
ние, определяющее гиперэллиптическую кривую рода 2:
Xе — 2а3Х3 + X ф а8 - У2,
у которой существуют рациональные точки (0; ±а3).
Диофант для случая а = т2 находит еще одну ее рацио-
нальную точку. Больше он не ставил задач этого рода,
видимо потому, что не мог найти для них общего метода
(который, кстати сказать, и до сих пор не найден).
Наконец, следует отметить, что при своих решениях
Диофант всегда принимал во внимание случаи, соответ-
ствующие наличию бесконечно удаленных рациональных
точек кривых или поверхностей (разумеется, не вводя этого
понятия).
6.	Диофант и математика нового времени
Эпоха Диофанта, как мы говорили, еще мало изучена.
Те отдельные факты, которые нам известны: «Арифме-
тика» Диофанта, арифметические исследования Анато-
лия Лаодикийского, решительные изменения во взгля-
дах на число, на соотношение между алгеброй, арифме-
тикой и геометрией, развитие учения о неопределенных
уравнениях — позволяют говорить о новом расцвете ан-
тичной науки. Однако, это был уже, по-видимому, по-
следний взлет. Дальнейшее продолжение идеи и методы
Диофанта нашли не в науке последних веков Римской
империи, а в трудах ученых Средневекового Востока и,
особенно, Европы.
«Арифметика» Диофанта оказала столь же фундамен-
тальное влияние на развитие алгебры и теории чисел,
как и труды Архимеда — на формирование исчисления
бесконечно малых. Только влияние Диофанта было более
24
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
многостепенным и не окончилось в XVII веке, как это
было с Архимедом, но продолжалось вплоть до начала
нынешнего столетия. Первое, что было воспринято,—
это алгебраический метод. Уже математики арабского
Востока пользовались наименованием степеней неизвест-
ного, предложенным Диофантом. В XV—XVI веках эти
методы встречаются уже в Европе, куда они могли попасть
как через Византию, так и перейти от арабов. Тогда же
начали оперировать с отрицательными числами. Решение
арифметических и геометрических задач старались свести
к уравнению. Что касается правил Диофанта для опе-
рирования с многочленами и уравнениями, то они повто-
рялись почти всеми, кто составлял руководства по ал-
гебре. Таким образом, в Европе сложилась несколько
парадоксальная ситуация: ученые пользовались алгебра-
ическими методами Диофанта, не будучи знакомы с его
пр оизведениями.
Но в «Арифметике», как мы видели, содержится и дру-
гой, гораздо более глубокий круг идей, связанный с тео-
рией чисел, с решением неопределенных уравнений и с
проблемами и фактами, относящимися, по существу,
к алгебраической геометрии. G этими вопросами ученые
Европы познакомились только в конце XVI века, когда
почти одновременно появился первый перевод «Арифме-
тики» на латынь (1575), сделанный Ксиландром (Виль-
гельмом Хольцманом), и в знаменитой «Алгебре» Рафаэля
Бомбе л ли были помещены 143 задачи Диофанта (1572).
В 1621 г. Баше де Мезириак впервые издал греческий текст
«Арифметики», снабдив его новым, более совершенным
переводом на латынь и комментариями. Это издание стало
знаменитым, так как на полях одного из его экземпляров
сделал свои теоретико-числовые замечания Пьер Ферма
(1601—1665).
Знакомство с текстом «Арифметики» было началом
новой жизни методов Диофанта. Наиболее глубоко мето-
дами великого ученого овладели Франсуа Виет (1540—
1603) и Пьер Ферма. Оба они свободно пользовались ими
для определения рациональных решений неопределен-
ного уравнения второй степени, а для уравнений третьей
степени — методами «касательной» и «секущей» однако
последний применялся только для того же случая, что
и у Диофанта (т, е. когда одна из заданных рациональных
25
И. Г. БАШМАКОВА
точек является конечной, а другая — бесконечно уда-
ленной). Ферма, кроме того, развил учение о решении
двойных и тройных равенств. Он же первый применил
метод бесконечного, или неопределенного, спуска, ко-
торый и до сих пор является одним из сильнейших при
исследовании проблем диофантова анализа.
После Ферма неопределенными уравнениями зани-
мался Ньютон, как это стало ясно из недавно опублико-
ванных его математических рукописей. Он первый дал
геометрическую интерпретацию методов Диофанта, при-
чем для нахождения рациональных точек кривой третьего
порядка он применил метод «секущей» для случая, когда
известны две конечные рациональные точки кривой (пе-
ревод соответствующего места мы приводим в коммента-
риях в книге IV).
Наконец, много и плодотворно работал в области не-
определенного анализа Леонард Эйлер (1707—1783). Он
сформулировал в общем виде, в чем состоит различие
между проблемами отыскания рациональных решений
неопределенных уравнений второй степени и уравнений
третьей степени. Для уравнения У2 — /3 (X) он нашел
условия, при которых неизвестные можно выразить как
рациональные функции параметра. Ему же принадлежит
и применение метода «секущей» в его алгебраическом ва-
рианте для случая, когда оба заданных рациональных
решения конечны. Но Эйлером были начаты изыскания и
в совершенно ином направлении, которые на первый
взгляд не имели ничего общего с неопределенным анали-
зом, однако в дальнейшем им суждено было пролить
неожиданный свет на проблемы Диофанта. Мы говорим
об исследовании эллиптических интегралов и установле-
нии теоремы их сложения.
Связь этих исследований Эйлера с решением неопре-
деленных уравнений третьей и четвертой степени впер-
вые установил К. Якоби (1835) х), а именно он показал,
что рациональные решения таких уравнений, если извест-
но одно или два таких решения, можно находить с по-
мощью теорем умножения и сложения эллиптических
интегралов. По существу, уже из его работ следовало, что
0 К. J acob 1, Be usu theoriae integralium elJipticorurn et integralium abe-
Uanorum in analysi Diophantea, Grelle J. 13 (1835), 5 3—55,
26
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
на множестве рациональных решений можно ввести опе-
рацию сложения, после чего это множество образует абе-
леву группу. Однако эта сторона дела не интересовала
Якоби. Зато он перенес свои результаты на случай реше-
ния уравнений У2 — /п (X), где /п (X) — полином степе-
ни п 4, применив для этого теорему сложения Абеля.
Он отметил, что здесь нельзя уже по известным рацио-
нальным решениям находить новые решения того же
рода. Но можно находить группы решений такие, что
любые симметрические функции от них будут рациональ-
ны. Такие группы точек впоследствии получили название
рациональных.
Работа Якоби не обратила на себя внимание совре-
менников и, по-видимому, была забыта. И только в конце
прошлого века Анри Пуанкаре пришел к тем же идеям,
когда начал строить арифметику алгебраических кривых.
В своем знаменитом мемуаре х) он установил уже совер-
шенно явно связь между методами «секущей» и «касатель-
ной» Диофанта (впрочем, не упоминая его имени) и тео-
ремами Эйлера. Он же первый поставил вопрос о структуре
множества М (Q) рациональных точек алгебраической
кривой и исследовал его для случая, когда кривая —
эллиптическая. Пуанкаре наметил в своем мемуаре
развернутую программу будущих исследований проблем
арифметики алгебраических кривых любого рода и над
любыми числовыми полями. Но это уже новая страница
в истории диофантова анализа и алгебраической геомет-
рии, и мы не будем ее перевертывать.
Итак, судьба работ Диофанта сложна и необычна.
Трижды они оказали определяющее влияние на форми-
рование науки нового времени: при создании буквенной
алгебры в математике Средневекового Востока и Европы,
при становлении теории чисел и учения о неопределенных
уравнениях в XVII—XVIII веках и, наконец, уже опо-
средствованно, методы Диофанта явились основой для
определения сложения точек эллиптических кривых и
построения их арифметики. Мы думаем, что этим значение
«Арифметики» не исчерпано и человечество еще не раз
обратится к этой замечательной книге.
9 Н. Poincare, Sur les propri£t6s arithm^tiques des courbes aigdbriques
J. Math., 5е serie, 7 (1901), 161—233.
«О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ»
ДИОФАНТА
Александрийская математика от Евклида и до Апол-
лония носит ярко выраженный геометрический характер:
«логистика», т. е. вычислительная математика, предо-
ставляется купцам. Но в конце III века до н. э. у Архи-
меда и Аполлония замечается довольно ясно выраженный
интерес к вычислительной математике, а во II веке до
н. э. геометрическая школа типа Аполлония и совсем
почти пропадает. Какие причины привели к вырождению
геометрических методов? Можно привести две. Во-пер-
вых, III век до н. э. был эпохой расцвета вавилонской вы-
числительной астрономии. Возникшая в VI веке до н. э.
в обстановке крушения сначала мелких, а потом и круп-
ных государств храмового типа и образования универ-
сальных монархий, она имела тесную связь с астрологией
и пыталась математическими методами предсказать буду-
щее, раскрыть волеизъявление фатума при помощи вы-
числения движений планет, получивших имена старых
вавилонских богов, которые, таким образом, из миро-
держателей стали простыми служителями, информато-
рами велений фатума. Пунические войны и их продолже-
ние в первой половине II века, связанные с установлением
гегемонии Рима в Средиземноморье, создали в последнем
такую же обстановку, как и в Передней Азии VI века
до н. э. В греческой философии это выразилось созданием
стоицизма, научные основы которого давала вавилон-
ская вычислительная астрономия, лучше сказать — астро-
28
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
логия; в математике же появляются исследования, свя-
занные с установлением новых систем счислений у Архи-
меда и Аполлония (достаточно указать на место, которое
занимает астрономия в «Псаммите» Архимеда). Во II
веке появляется сферическая и плоская тригонометрия,
принимается вавилонская шестидесятеричная система
счисления, градусное измерение углов. Введение послед-
него связано с именем греческого математика середины
II века Гипсикла, который в математических кругах из-
вестен как автор 14-й книги «Начал» Евклида, а также
не дошедшего до нас сочинения «О многоугольных чис-
лах», которое стало нам известно по носящему то же
название произведению Диофанта.
Треугольными числами в арифметике называются
суммы последовательных чисел натурального ряда, на-
чиная с единицы. Это будут = 1, а2 = 1 + 2 = 3, а3 =
= 1 + 2 + 3 = 6,. ..,ап = 1 + 2 + 3 + . .. + п = - (”2+.
Каждое треугольное число может быть изображено в виде
треугольника, число углов которого (3) одновременно дает
и «(количество) углов» соответствующего числа. Вместо
натурального ряда мы можем взять и более общий случай
арифметической прогрессии, у которой первый член и
разность отличаются от единицы. Наша задача состоит
в том, чтобы найти число, равное сумме членов соответ-
ствующего арифметического ряда. Эта задача в настоящее
время не представляет для нас большого интереса, но все
же стоит подумать, почему же ею занимались два антич-
ных математика, разделенных некоторым (даже не впол-
не определенным) временем. Кроме того, аналогичные
вопросы интересовали математиков индийских, средне-
азиатских (ал-Каши, XV век) и, наконец, ими занимался
также поклонник геометрических (не алгебраических)
методов знаменитый французский математик XVII века
Блэз Паскаль, арифметический треугольник которого из-
вестен ученикам средней школы.
Мы не будем заниматься арифметическим треугольни-
ком, но приведем из сочинений Паскаля цитату, которая
прольет некоторый свет на интересующий нас вопрос х):
’) Цитата приведена из книги «Паскаль» Е. М. Клауса и др. (изд. «Наука»,
1971), стр. 366—367.
29
Й. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
«Те, кто хотя бы в малой мере разбирается в уче-
нии о неделимых, не преминут усмотреть, что можно
извлечь из предыдущих результатов для определе-
ния криволинейных площадей. Эти результаты по-
зволяют немедленно квадрировать параболы всех
видов и бесконечно много других кривых.
Если мы распространим на непрерывные вели-
чины те результаты, которые найдены для чисел
по методу, изложенному выше, мы сможем высказать
следующие правила.
Правила, относящиеся к прогрессии натуральных
чисел, начинающейся с единицы.
Сумма некоторого числа линий относится к ква-
драту наибольшей линии, как 1 к 2.
Сумма квадратов тех же линий относится к кубу
наибольшей, как 1 к 3.
Сумма кубов относится к четвертой степени наи-
большей, как 1 к 4.
Общее правило, относящееся к прогрессии нату-
ральных чисел, начинающейся с единицы.
Сумма одинаковых степеней некоторого числа
линий относится к непосредственно следующей сте-
пени наибольшей из них, как единица к показателю
этой степени».
Поэтому я полагаю, что Гипсикл и Диофант пытались
найти алгебраическое выражение того метода суммиро-
вания, которое применялось Архимедом в его работах х).
Работа Гипсикла не дошла до нас, работа Диофанта
«О многоугольных числах» дошла не полностью. Нам
придется ограничиться рассмотрением того материала,
который дошел до нас, тем более что он представляет
*) Против этой гипотезы можно сделать следующие возражения: а) для квад-
а
рирования парабол (т. е. вычисления интегралов вида xndx) необходимо
о
было суммировать не арифметические прогрессии с различными разно-
N
стями, а находить суммы вида	п = 1, 2, 3, . . первые две из
/t—1
них умели находить задолго до Днофапта; б) многоугольные числа ин-
тересовали и продолжают интересовать математиков независимо от каких
бычго ни было проблем интегрального исчисления. (Прим, ред.)
30
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
интерес (может быть, даже более широкий, чем задача об
арифметическом треугольнике); он позволяет нам подой-
ти к выяснению причин, заставивших математиков отка-
заться от греческого геометрического метода и перейти
к египетскому алгебраическому. В следующих предло-
жениях книги Диофанта интересным является не столь-
ко что доказывается, а именно как доказывается.
В первом предложении даются три члена арифмети-
ческой прогрессии а, а — а, а — 2а и требуется доказать,
что 8а (а — а) + (а — 2а)2 = [а + 2 (а — а)]2. Выполняя
все обозначенные действия, мы получаем
8а2 — 8аа + а2 — 4аа + 4а2 = 9а2 — 12асс + 4а2.
Полученное тождество доказывает теорему. Все доказа-
тельство занимает две строчки. Так доказываем мы и мог
доказывать Диофант: весь необходимый алгебраический
аппарат у него имелся. Но его целью является дать
геометрическое доказательство. Поэтому на прямой линии
он откладывает отрезки АВ, ВГ и В А и ведет доказатель-
ство, которое занимает более страницы, как может убе-
диться читатель, обратившись к подлиннику.
Второе и третье предложения дают формулы для по-
следнего члена арифметической прогрессии, а также для
ее суммы. Четвертое предложение, являющееся основ-
ным, касается суммы п членов арифметической прогрес-
сии, начинающейся с единицы и имеющей разность а:
S = 1	(1 4- а) + (1 4- 2а) + - • • + (1 + (я — 1)а) =
а.
Требуется доказать, что сумма взятых п членов, умно-
женная на восьмикратную разность и сложенная с ква-
дратом разности, уменьшенной на двойку (не надо забы-
вать, что первый член прогрессии равен единице), дает
квадрат, сторона которого без двойки (Хстсооаа еЫ$а)
равна кратному разности, или разности, помноженной на
число (хата тг;а ар$р,6у), которое, приняв единицу
(с; тгроаХарму piovaSa), будет вдвое больше количества всех
взятых членов, считая и единицу (oov ttJ [xovaSt). Соот-
ветствующая формула будет
(1)	8aS + (a — 2)а = [(2п - 1)а -|- 2]2.
31
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
Подставляя вышеприведенное значение S (п членов),
получаем тождество
(2)	8а [п + —(-^1} а) + (а — 2)2 =
= 4 + 4 (2и — 1) а +(2п— 1)2а2.
Основная цель этой формулы заключается в том, чтобы
установить связь суммы арифметической прогрессии с не-
которым квадратом. В качестве примера положим а — 2,
т. е. рассматриваемая прогрессия представляет последова-
тельность нечетных чисел. Тогда 165 = (4п)2, или S = п2.
Любопытно отметить, что формула Диофанта остается
верной и при а = 1 (сумма чисел натурального ряда),
когда разность а — 2 становится отрицательной.
Доказательство, помещенное после формулировки
предложения IV, представляет не что иное, как подтвер-
ждение тождественности формул (1) и (2), выражающих
соответствующее положение. В этом доказательстве лю-
бопытны два момента. Во-первых, отрезками изображают-
ся не только отрезки — члены рассматриваемой прогрес-
сии, но и стоящие при них числовые коэффициенты.
Во-вторых, в процессе доказательства Диофанту при-
шлось рассмотреть произведение двух квадратов, которое
должно дать квадрат их среднего геометрического. Он
знает, что в классическом греческом анализе допустимы
только квадраты и кубы линейных отрезков; поэтому он
считает необходимым дать в качестве прибавления соот-
ветственное доказательство.
Мы указали, что одной из причин упадка классической
греческой геометрии было появление вычислительной
математики, связанной с принятием вавилонской астро-
номии. Теперь мы можем указать и вторую. Если в гре-
ческой математике величины изображались отрезками, то
это позволяло иметь дело только с квадратами или куба-
ми, но у Диофанта отрезками стали изображаться и числа,
а это позволило выйти за пределы второй и третьей сте-
пени. Кроме того, алгебраические методы позволяли дать
более простые и удобообозримые способы доказательства,
в чем легко может убедиться читатель, сравнивая гео-
метрические доказательства с помещенными у нас алге-
браическими. В этом отношении Диофант является про-
возвестником новой эпохи в математике.
32
В СТУПИТЕ ЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Последние теоремы имеют целью доказать определе-
ние, данное Гипсиклом. Пусть дана арифметическая про-
грессия
1 + (1 + а) + (1 + 2а) + . . . + [1 + (п - 1) а].
Сумма двух первых ее членов определяет число углов
получающегося многоугольника. Если а — 1, то 1 +
4-14-1—3 дает число углов первого треугольника
О АВ, а также и второго ОА1В1 и всех последующих. Если
а = 2, то мы получаем четырехугольники ОЛВС, ОА1В1С1
и т. д. Таким образом, получаются первые (основные)
многоугольные числа 3, 4 и т. д. Из самого способа их
образования мы получаем связь разности а прогрессии
с числом углов N: N — а 4- 2. Стороной любого много-
угольного числа мы называем сторону наибольшего полу-
чившегося многоугольника ОА 4- AAt и т. д. Если длину
каждого из получающихся отрезков положить равной
единице, то для любого многоугольника Z, получившего-
ся после суммирования п членов прогрессии, мы имеем
сторону = п — 1. Мы можем сделать сторону равной п,
если в качестве первого отрезка (единицы) возьмем и на-
чальную точку О; этим объясняется наличие выражений
«если принять первым отрезком единицу» или «увеличить
количество отрезков на единицу». В рассуждениях Гипси-
кла Диофант видит недостаток — отсутствие аналитичес-
кого доказательства. Его 1-я теорема позволяет написать
8 (а 4- а) а + (а — а)2 = [(а 4~ а) 4- 2а]2,
а 4-я
(1)	85а + (а - 2)2 - [2 + (2/г - 1) а]2,
наконец, 1-я, примененная к прогрессии (а — 2) 4- а 4-
4- (а 4“ 2),—
(3)	8 (а - 2) а + (а ~ 2)2 - [(а 4- 2) 4- 2а]2.
Если правую часть перепишем в виде
(2 + За)2 = [2 + (2-2 - 1) а]2,
то из сравнения (1) и (3), получим S — а 4~ 2, п — 2.
Пусть S есть сумма двух первых членов прогрессии, опре-
деляющих число углов N получаемого многоугольного
числа; тогда 5 — N и N - а ) 2. Сторона многоуголь-
ника определяется числом взятых членов прогрессии
33
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
или увеличенным на единицу числом отрезков, изобража-
ющих эту сторону; в нашем случае п = 2. Даже обидно,
что почти очевидные определения Гипсикла доказываются
при помощи двух лемм (1 и 4). Заметим, что их доказатель-
ство становится понятным, только если оно проведено
чисто алгебраически, и, кроме того, требует выхода за
пределы второго и третьего измерений. Кстати, мы знаем,
как эта теорема доказывается, но не знаем, как она могла
быть получена.
В приложениях основных теорем — нахождении мно-
гоугольного числа по заданной стороне и обратно —
чертежи уже полностью отсутствуют и изложение про-
цесса близко к современному алгебраическому.
После этого помещена задача, решение которой в до-
шедшем до нас тексте не доведено до конца Диофантом.
(Дошедший до нас текст обрывается.) Она читается так:
«Сколькими способами заданное число может быть
представлено в виде многоугольного числа?»
В современной постановке эта задача может быть сфор-
мулирована так:
«Сколькими способами заданное число S может быть
представлено в виде суммы арифметической прогрессии
с начальным членом единицей, числом членов п и раз-
ностью а?»
Это сводится к решению неопределенного уравнения
2S = 2п п (п — 1) а,
где S — любое целое число, равное или большее 3, п 2,
а а изменяется в пределах от 1 до S — 2. Задача имеет
тривиальное решение п ~ 2, а = S — 2. Кроме того,
для любого 5 > 3 можно найти конечное решение, давая
п значения, большие 2, или а — меныпие S — 2. Таким
образом, можно найти все решения для заданного S.
В общем случае их число определяется при помощи ре-
шения в целых числах неопределенного уравнения вто-
рой степени — задача, решение которой было получено
индийскими математиками первого тысячелетия нашей
эры и западноевропейскими в течение XVIII века.
Эта задача представляет естественный переход к «Ариф-
метике» Диофанта, в дошедших книгах которой реша-
ются в рациональных числах неопределенные уравнения
второй и третьей степеней.
ДИОФАНТА
АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
ШЕСТЬ
КНИГ
АРИФМЕТИКИ
И
КНИГА
МНОГОУГОЛЬНЫХ
ЧИСЛАХ

ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
«АРИФМЕТИКА»
КНИГА I
Достопочтеннейший Дионисий, зная что ты ревностно
хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я
попытался изложить природу их и могущество, начиная
с тех оснований, на которых покоится эта наука.
Может быть, этот предмет покажется тебе затрудни-
тельным, поскольку ты еще с ним незнаком, а начинаю-
щие не склонны надеяться на успех. Но он станет тебе
удобопонятным благодаря твоему усердию и моим пояс-
нениям, ибо страстная любовь к науке помогает быстро
воспринять учение.
(I)	Все числа, как ты знаешь, состоят из некоторого
количества единиц; ясно, что они продолжаются, увели-
чиваясь до бесконечности. Так вот среди них находятся:
квадраты, получающиеся от умножения некоторого
числа самого на себя; это же число называется стороной
квадрата;
затем кубы, получающиеся от умножения квадратов
на их сторону,
далее квадрато-квадраты от умножения квадратов
самих на себя,
далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения
квадрата на куб его стороны,
далее кубо-кубы от умножения кубов самих на себя.
Из них при помощи сложения, вычитания, умножения
или нахождения отношения между собой или каждого
с собственной стороной, составляются многочисленные
37
ДИОФАНТ
арифметические задачи; решение же их получается, если
ты пойдешь путем, который будет указан дальше.
(II)	Было принято, что каждое из этих чисел, получив-
шее более краткое наименование, становится начальным
элементом арифметической теории, так, квадрат назы-
вается «динамис» и обозначается знаком А с индексом
Г: Дг —
Куб обозначается знаком К с индексом Y: Кг — хбр©<;.
Квадрат, умноженный на себя,— квадрато-квадрат,
его знаком будут две дельты с индексом Г: ДГД—
<3 ovapi оо ovapug.
Квадрат, умноженный на куб собственной стороны,—
квадрато-куб, его знак ДК с индексом Y: ДКГ — Sovapiox6po<;.
Куб, умноженный на самого себя,— кубо-куб, его
знак — две каппы с индексом Y: КГК — хорохброс.
Не получившее никакого из этих названий, но состо-
ящее из неопределенного количества единиц называется
числом (aptfyjioc;), и его знаком будет g.
Другой знак для неизменного и определенного коли-
чества единиц (tj [xovd;) будет М с индексом о: М.
(III)	Подобно тому как для чисел одноименные части
получают названия, схожие с этими числами, например,
для трех будет треть, для четырех — четверть, так и
теперь для вышеназванных чисел подобноименные части
получают названия, соответствующие этим числам:
для числа [я]
для квадрата [я2]
для куба [я8]
для квадрат о-квадрата [х4]
для квадрато-куба [х5]
для кубо-куба [х6]
арифметичная
квадратичная ,
L Л J
Г 1 1
кубичная -тз- ,
квадрато-квадратичная
кубо-кубичная
квадрато-кубичная
каждая из них над знаком подобноименного числа
будет иметь знак х для различения вида.
(IV)	Указав тебе названия каждого из этих чисел,
перехожу к их умножению, это будет для тебя очевидным,
так как названия уже объяснены.
38
АРИФМЕТИКА КНИГА I
Число, умноженное	на	число.	производит квадрат,
	на	квадрат	— куб,
	на	куб	— квадрато-квадрат,
	на	квадрате-	— квадрато-куб, квадрат
	на	квадрато-куб	— кубо-куб.
Квадрат же	на	квадрат	— квадрато-квадрат,
	на	куб	— квадрато-куб,
	на	квадрате-	— кубо-куб. квадрат
Куб же	на	куб	— кубо-куб.
(V)	Всякое число, умноженное па одноименную ему
часть, производит единицу.
(VI)	Так как единица остается всегда неизменной, то
умноженный на нее вид остается тем же видом г).
(VII)	Подобноименные части, умноженные друг на
друга, образуют части, подобноименные перемноженным
числам.
Например, арифметическая часть, умноженная
на арифметичную,	производит	квадратичную,
на квадратичную,	—	кубичную,
на кубичную,	—	квадрато-квадратичную,
на квадрато-квадратичную,	—	квадрато-кубичную,
на квадрато-кубичную,	—	кубо-кубичную.
И так подобноименно.
(VIII)	Арифметичная часть, умноженная
на квадрат,	производит число,
на куб,	—	квадрат,
на	квадрато-квадрат,	— на	квадрато-куб,	— на	кубо-куб,	— Квадратичная, умноженная на	число,	производит на	куб,	— на квадрато-квадрат, — на	квадрато-куб,	— на	кубо-куб,	— *) Вид — то eifios. (Прим. ред.)	куо, квадрато-квадрат, квадрато-куб. арифметичную часть, число, квадрат, куб, квадрато-квадрат.
39
ДИОФАНТ
Кубичная часть, умноженная
на	число,	дает	квадратичную,
на	квадрат,	—-	арифметичную,
на	квадрато-квадрат,	—	число,
на	квадрато-куб	—	квадрат,
на	кубо-куб	—	куб. Квадрато-квадратичная же, умноженная		
на	число,	дает	кубичную,
на	квадрат,	—	квадратичную,
на	куб,	—	арифметичную,
на	квадрато-куб,	—	число,
на	кубо-куб, Квадрато-кубичная	—	квадрат. же, умноженная	
на	число,	дает	квадрато-квадратичную,
на	квадрат,	—	кубичную,
на	куб,	—- -	квадратичную,
на	квадрато-квадрат,	—	арифметичную,
на	кубо-куб, Кубо-кубичная же,	умноженная	число.
на	число,	дает	квадрато-кубичную,
на	квадрат,		квадрато-квадратичную,
на	куб,	—	кубичную,
на	квадрато-квадрат,	—	квадратичную,
на	квадрато-куб,	—	арифметичную.
(IX)	Недостаток, умноженный на недостаток, дает
наличие; недостаток же, умноженный на наличие, дает
недостаток; знак же для недостатка — ф (пси) укорочен-
ное и опрокинутое вниз:
(X)	После объяснения умножения становится ясным
и деление заданных видов; начинающим будет полезно
поупражняться в сложении, вычитании и умножении
этих видов: как неравные наличия и недостатки прибав-
ляются к тем же самым, или также к наличиям и недо-
статкам, и каким образом из наличных видов и других
недостатков вычитаются другие наличия или также нали-
чия и недостатки.
(XI)	После этого, если в какой-нибудь задаче полу-
чится равенство одних видов таким же, но в неравном
количестве, то в каждой из частей равенства нужно от-
нять подобные от подобных, пока один вид не станет
равен тоже одному виду. Если же в какой-нибудь части
40
АРИФМЕТИКА КНИГА 1
имеется наличие, а в обеих недостатки некоторых видов,
то к обеим частям надо прибавлять недостающие, пока
в каждой части не останутся только находящиеся в на-
личии виды, а затем отнимать подобные от подобных,
пока в каждой части не останется только по одному
виду.
Старайся применять это, если возможно, ив образова-
нии предложений так, чтобы получилось равенство од-
ного вида другому тоже одному; потом мы покажем
тебе, как получается решение, если один вид будет равен
двум оставшимся.
Теперь мы перейдем к задачам, в которых собрано
большое количество предложений относительно видов.
Поскольку они имеются в очень большом числе и требуют
много труда, то они медленно усваиваются и запоминаются
учащимися; я постарался распределить все содержащееся
так, чтобы в начале находились элементарные и от более
простых совершался переход к более трудным, как и по-
лагается. Так облегчится путь начинающим и запом-
нится его развитие, и все сочинение будет изложено в
тринадцати книгах.
1.	Заданное число разложить на два числа, имеющие
данную разность.
Пусть заданное число будет 100, а разность 40. Опре-
делить эти числа.
Положим, что меньшее число х, тогда большее число
будет х 4- 40; взятые вместе они дадут 2х + 40; заданное
же число 100. Следовательно, 100 равно 2х + 40. Из
подобных вычитаем подобные: из 100 вычитаем 40; в
остатке будет 2х, равное 60; тогда каждое х равно 30.
К подстановкам2). Наименьшее число будет 30, а
большее 70; доказательство очевидно.
2.	Заданное число требуется разложить на два числа
в заданном отношении.
Требуется разложить 60 па два числа в отношении 3.
» ч	С
*) еяс -гас илоатаоек. Диофант имеет в виду нахождение искомых чисел
задачи при помощи выражений через неизвестное (х), т. е. при помощи
подстановок. Этот термин применяется во всех задачах «Арифметики».
(Прим, ред.)
41
ДИОФАНТ
Положим меньшее число равным х, тогда большее
число будет Зх, т. е. большее число в три раза больше
меньшего. Остается, чтобы оба (вместе) равнялись 60,
и два сложенных числа дадут 4х. Значит,
4х — 60, и х будет 15.
Следовательно, меньшее число 15, а большее 45.
3.	Заданное число разложить на два так, чтобы 1-е
из них на заданное число превышало определенное от-
ношение от 2-го числа.
Пусть требуется разложить 80 на два числа так, чтобы
1-е превышало на 4 трижды взятое 2-е.
Положим, что меньшее число х, тогда большее будет
Зх и 4, большее будет в 3 раза больше меньшего и будет
иметь разность 4. Я желаю, чтобы оба вместе равнялись
80. Но оба сложенные будут 4х и 4. Значит,
4х + равно 80.
Из подобных вычитаю подобные, тогда 76 равно 4я;
и х получится равным 19.
К подстановкам. Меньшее число будет 19, а большее
61. [После прибавления 4 отнимаем их от 80, их отняли,
чтобы найти, скольким единицам будет равно каждое
число, затем к большему числу добавили 4, чтобы узнать,
сколько единиц будет в каждом.} *)
4.	Найти два числа в заданном отношении таких, что-
бы была заданного и их разность.
Зададим отношение большего числа к меньшему рав-
ным 5, и пусть разность их составляет 20.
Положим, что меньшее число будет х, тогда большее
будет 5х. Затем я желаю, чтобы разность 5х и х равнялась
20. Но разность между ними составляет 4гг, она же рав-
на 20.
Меньшее число равно 5, а большее 25. И большее бу-
дет в 5 раз больше меньшего, а разность станет равной 20.
5.	Предложенное число разложить на два таких числа,
чтобы заданные их неодинаковые части при сложении
образовали заданное число.
Фраза, поставленная в скобки, по мнению Таннери, принадлежит иовд*
нейшему комментатору. (Пром. ре9.)
42
АРИФМЕТИКА КНИГА I
Это заданное число должно быть таким, чтобы оно
занимало среднее место между двумя получающимися
числами, если от первоначального числа взять две задан-
ные неодинаковые части.
Пусть число 100 требуется разложить на два числа так,
чтобы г/3 1-го числа и х/5 2-го, сложенные вместе, дава-
ли 30.
Я положил, что 1/5 2-го числа есть х (тогда само оно
будет 5#); следовательно, V3 1-го числа будет 30 — х,
а само это число 90—Зх. Затем я хочу, чтобы два сложен-
ных числа давали 100. Но оба сложенных числа 90 — Зх
и 5х дают 100.
Отнимаем подобные от подобных, 2# = 10, следова-
тельно, х ~ 5.
К подстановкам. Я положил 1/б 2-го числа равной х,
тогда х — 5 и само 2-е число 25. Но V3 1-го числа 30 — х
будет 25, следовательно, само это число 75. И сумма трети
1-го и пятой части 2-го равна 30, они, сложенные вместе,
образуют первоначально заданное число.
6.	Предложенное число разложить на два числа так,
чтобы данная часть 1-го числа превышала данную часть
2-го на заданное число.
Необходимо, чтобы это заданное число было меньше
того числа, которое получается, если от предложенного чи-
сла взять данную часть, соответствующую уменьшаемому.
Поставим себе целью разложить 100 на два числа
так, чтобы четвертая часть 1-го превышала на 20 шестую
часть 2-го числа.
Я положил шестую часть 2-го числа х, следовательно,
само это число будет 6#, тогда 4-я часть 1-го числа будет
х + 20, а само это число 4# + 80. Затем хочу, чтобы оба
сложенных числа составили 100, т. е. 10# Д- 80 равня-
лись 100.
Теперь подобные от подобных. Остается 10# = 20,
и тогда # получится равным 2.
К подстановкам. Я положил # равным х/6 2-го числа,
оно будет 2, значит, само число 12, а четвертая часть 1-го
х -|- 20; получается 22, и, значит, само число 88; полу-
ченные будут сложены вместе и образуют заданное число.
7.	От одного и того же числа отнять два заданных числа
и сделать так, чтобы полученные остатки имели бы междз
собой заданное отношение.
43
ДИОФАНТ
Пусть от одного и того же числа задано отнять 100
и 20 и сделать, чтобы большее равнялось утроенному мень-
шему.
Положим, что искомое число будет х. Если я от него
отниму 100, то остаток будет х — 100, если же отниму 20,
то будет х — 20. И нужно, чтобы большее число равня-
лось утроенному меньшему, следовательно, три меньших
будут равны большему. Но три меньших дадут Зх — 300,
они будут равны х — 20. Прибавим к обеим частям
недостаток, получится Зх, равное х + 280.
Отнимем подобные от подобных. Остается 2х = 280,
и получится х = 140.
К подстановкам. Я положил искомое число равным
х\ следовательно, оно будет 140. Если я от него отниму
100, то останется 40, а если отнять 20, то останется 120.
И большее число будет в три раза больше меньшего.
8.	К двум данным числам прибавить одно и то же
такое число, чтобы получающиеся числа имели между
собой заданное отношение.
Необходимо, чтобы заданное отношение было меньше
того, которое большее из данных чисел имеет к меньшему.
Предположим, что к 100 и 20 было прибавлено одно
и то же число, и сделаем, чтобы большая сумма была
в 3 раза больше меньшей.
Возьмем в качестве х число, прибавляемое к каждому.
Если мы прибавим к 100, то получим 100 + я, а если к 20,
то будет 20 + И необходимо, чтобы отношение большей
суммы к меньшей было 3; следовательно, утроенная мень-
шая сумма будет равняться большей. Но утроенная мень-
шая сумма равна 60 + Зх\ это будет равно 100 + х.
От подобных подобные. В остатке будет 2х = 40; и
х окажется равным 20.
К подстановкам. Я положил прибавляемое число рав-
ным х\ оно будет 20. Если мы прибавим его к 100, то
получится 120, а если к 20, то получатся 40. И большее
будет равным утроенному меньшему.
9.	От двух заданных чисел отнять одно и то же число
и сделать так, чтобы остатки находились между собой
в заданном отношении.
Необходимо, чтобы заданное отношение было больше
того, которое большее из заданных чисел имеет к мень-
шему.
44
АРИФМЕТИКА КНИГА I
Пусть задано: от 20 и 100 отнять то же самое число и
сделать, чтобы большее число было шестикратным мень-
шего.
Положим, что х будет отнимаемое от каждого числа.
Когда оно отнимается от 100, то остается 100 — х, а когда
от 20, то остается 20 — х. И нужно, чтобы большее было
в 6 раз больше меньшего. Следовательно, меньшее, взя-
тое 6 раз, будет равно большему. Но ушестеренное мень-
шее будет 120 — 6я, это равно 100 — х.
Прибавим недостаток к обеим частям и отнимем по-
добные от подобных. В остатке будет 5х = 20; и х полу-
чается равным 4.
К подстановкам. Отнимаемое от каждого числа я взял
за х\ оно будет 4. Если мы отнимаем его от 100, то оста-
нется 96, а если от 20, останется 16. И большее будет равно
ушестеренному меньшему.
10.	Даны два числа, к меньшему из них надо приба-
вить, а от большего отнять то же самое число и сделать,
чтобы получающаяся сумма имела заданное отношение
к остатку.
Пусть предложено к 20 прибавить, а из 100 вычесть
одно и то же число и сделать, чтобы большее было в 4 раза
больше меньшего.
Положим, что прибавляемое и отнимаемое от каждого
числа будет х. Если мы прибавим его к 20, то получится
20 х, а если отнимаем от 100, то получится 100 — х.
И нужно, чтобы большее равнялось четырехкратному
меньшему. Следовательно, учетверенное меньшее равно
большему, но учетверенное меньшее будет 400 — 4я,
это же будет равно 20 + х.
Прибавим к обеим частям недостатки и отнимем от
подобных подобные. В остатке будет Ъх равно 380; и
х = 76.
К подстановкам. Я положил прибавляемое и отнима-
емое от каждого числа х, он будет равен 76. И если к 20
прибавить 76, то получается 96, а если 76 отнять от 100,
то останется 24. И действительно, большее будет в четыре
раза больше меньшего.
11.	Даны два числа, одно требуется прибавить,
а другое отнять от одного и того же числа и сделать так,
чтобы полученные числа находились между собой в за-
данном отношении.
45
ДИОФАНТ
Требуется 20 прибавить, а 100 отнять от одного и того
же числа и сделать так, чтобы большее число было в три
раза больше меньшего.
Пусть искомое будет х. Если прибавим к нему 20,
то получится 20 + х, а если от него отнять 100, то оста-
нется х — 100. И нужно, чтобы большее было в три раза
больше меньшего.
Следовательно, три меньших будут равны большему.
Но три меньших будут Зх — 300, значит, Зх — 300 рав-
но х + 20. Прибавим к обеим частям недостатки и от-
нимем подобные от подобных. Тогда 320 равно 2х; и по-
лучается х = 160.
К подстановкам. Большее будет 180, а меньшее 60.
И действительно, большее будет в три раза больше мень-
шего.
12.	Заданное число разложить на два числа + г/2]
и [z± + z2] двояко так, чтобы одно число [z/i] из первого
разложения имело заданное отношение [ш] к одному числу
[z2] из второго разложения, а оставшееся число [zj из
второго разложения к оставшемуся [i/2] от первого раз-
ложения тоже имело бы заданное отношение [и].
Пусть будет предложено разложить 100 на два числа
двояко так, чтобы большее число из первого разложения
[z/J было в 2 раза больше меньшего числа из второго раз-
ложения [z2], а большее из второго разложения [zj было
в 3 раза больше меньшего числа fz/2] из первого разло-
жения.
Обозначим меньшее число из второго разложения через
х, следовательно, большее число из первого разложения
[f/i] будет 2х‘, значит, меньшее число из первого разложе-
ния [?/2] будет 100 — 2х. И так как большее число из вто-
рого разложения I^] втрое больше [#2] — меньшего числа
из первого разложения, то оно будет 300 — 6х. После
этого числа [zx и z2] из второго разложения сложенные
дадут 100, но их сумма 300 — 6х и а?, равная 300 —Зх,
равна 100, и получается, что х = 40.
К подстановкам. Я обозначил [z/i] большее из чисел
первого разложения, как 2х, оно будет 80; меньшее же
число из того же разложения 100 — 2z, оно будет 20.
Большее же число [zj второго разложения 300 — Зх
будет 60, а меньшее из второго разложения х, оно будет
40. И доказательство очевидно.
46
АРИФМЕТИКА КНИГА I
13.	Предложенное число разложить на два числа тро-
яким образом так [yt 4- У 2 ~ zi + Ч ~ ui + u2 = а],
чтобы одно число из первого разложения [yj имело бы
заданное отношение к одному из чисел [z2] второго раз-
ложения, оставшееся же [zx] из второго разложения имело
бы заданное отношение к одному из чисел [м2] третьего
разложения, а оставшееся после третьего разложения
число [uj имело бы заданное отношение к числу fy2J,
оставшемуся после первого разложения.
Пусть будет предложено разложить 100 на два числа
трояким образом так, чтобы большее число из первого
разложения [z/jJ было втрое больше меньшего числа [z2]
из второго разложения, а большее число из второго раз-
ложения [z1] было бы вдвое больше меньшего [w2] числа
из третьего разложения, большее же число из третьего
разложения [uj было бы в четыре раза больше меньшего
числа из первого разложениях).
Положим меньшее число из третьего разложения [н2]
равным х; тогда большее число из второго разложения
[zj будет 2х. А так как раскладываемое число равно 100,
то, значит, меньшее число [z2] из второго разложения
будет 100 — 2х. И так как втрое больше его [z2] будет
большее число из первого разложения, то оно [ух] получится
как 300 — §х\ следовательно, меньшее из чисел |у2]
первого разложения будет §х — 200. А так как это число
[у2], взятое 4 раза, дает большее число из третьего
разложения, то оно будет 24# — 800. Наконец, сложенные
числа третьего разложения дадут 100. Но это сложение
дает 25л: — 800. Это равно 100; х оказывается равным 36.
К подстановкам. Меньшее из чисел третьего разложения
равно 36, а большее 64.
Меньшее число первого разложения 16, а большее 84.
Меньшее число второго разложения 28, а большее 72.
Ясно, что они удовлетворяют условию задачи.
14.	Найти два числа таких, чтобы их произведение
имело заданное отношение к их сумме.
Необходимо, чтобы предположенное количество еди-
ниц одного из чисел было больше подобноименного числа
единиц в заданном отношении.
Пусть отношение произведения к сумме будет тройным.
л) У1 == 3 (100 — zt), Zi = 2ut, 100 — u2 = 4 (100 — у^). (Прим» перев.)
47
ДИОФАНТ
Положим 1-е из этих чисел равным х. 2-е же согласно
предварительному условию должно быть большим 3,
пусть оно будет 12. Тогда произведение их будет 12а?,
а сумма х + 12. Далее, 12л: втрое больше, чем х + 12;
следовательно, утроенное меньшее число будет равно
большему; получится, что х = 4.
1-е из чисел равно 4, а 2-е 12. И они удовлетворяют
задаче.
15.	Найти два таких числа [(/ и z], чтобы каждое из
них, взяв от другого заданное число, находилось с остат-
ком в заданном отношении:
—— = т
z — а
z 4- Ъ
У — Ъ
= П
Положим, что 1-е число [z/], заимствуя от 2-го 30, ста-
новится в 2 раза больше остатка:
[у 4- 30 = 2 (z - 30)],
а 2-е [z], взяв от 1-го 50, становится в 3 раза больше
остатка:
lz + 50 = 3 (у — 50)].
Возьмем теперь 2-е число равным х + 30; тогда 1-е
число [z/] должно оказаться равным 2х — 30, чтобы после
получения от второго 30 оно стало вдвое больше остатка *).
Далее, 2-е число [z — х -j- 30], получив от 1-го 50,
должно стать втрое больше 2х — 80.
Но если 1-е отдает 50, то остаток будет 2х — 80; 2-е
же, приняв от 1-го 50, станет х + 80. Остается сделать,
чтобы х + 80 равнялось утроенному 2х — 80; следова-
тельно, утроенное меньшее равно большему:
[3 (2х - 80) - х + 80],
откуда х == 64. И 1-е число будет 98, а 2-е 94. И они ре-
шают задачу.
16.	Найти три таких числа, чтобы они, сложенные
попарно, равнялись данным числам 1 2).
Необходимо, чтобы полусумма трех данных чисел
была больше каждого из них.
1) Если отнимем 30 от 2-го и придадим к 1-му, то z — 30 = х, а у 4 30  2х
будет вдвое больше остатка. (Прим, перев.)
2) Частный случай Впантемы Тимарида. (Прим. П, Таннери.)
48
АРИФМЕТИКА КНИГА I
Итак, пусть 1-е число, сложенное со 2 м, даст 20,
2-е с 3-м — 30 и 3-е с 1-м — 40.
Положим, что все три вместе равны х. И так как 1-е
и 2-е дают 20, то, отняв 20 от х, получу 3-е х — 20, на
том же основании 1-е будет х — 30, а 2-е х — 40; остается
сумму всех трех чисел приравнять ж, но три сложенных
числа дают Зх — 90; это равно х\ и получается х ~ 45.
К подстановкам. 1-е будет 15, 2-е 5, и 3-е 25. И дока-
зательство очевидно.
17.	Найти четыре таких числа, чтобы они, сложенные
по три, давали заданные числа.
Необходимо, чтобы третья часть суммы всех четырех
[заданных] была больше каждого из них.
Пусть три последовательных числа, начиная с 1-го,
дают в сумме 20, три, начиная со 2-го, — 22, три, начиная
с 3-го, — 24, а три, начиная с 4-го,— 27.
Положим, что сумма всех четырех будет х. И следо-
вательно, если от х отниму первую тройку, т. е. 20, то
в остатке получу 4-е х — 20. На том же основании 1-е
будет х — 22, 2-е х — 24, а 3-е х — 27. Остается сложить
все четыре числа; их сумма будет равна х. Но эта же сум-
ма будет 4х — 93; это равно х, которое получается рав-
ным 31.
К подстановкам. 1-е будет 9, 2-е 7, 3-е 4 и 4-е 11. И они
удовлетворяют задаче.
18.	Найти три таких числа, чтобы сумма попарно двух
превышала бы оставшееся на заданное число.
Пусть сумма 1-го и 2-го чисел превышает 3-е на 20,
сумма 2-го и 3-го больше 1-го на 30, а сумма 3-го и 1-го
больше 2-го на 40.
Положим сумму всех трех равной 2х. Так как 1-е
и 2-е вместе больше 3-го на 20, то, прибавив к обеим частям
3-е, получим, что сумма всех трех будет равна удвоенному
3-му и 20. Значит, если от суммы трех, т. е. 2х, я отниму
20, то получу удвоенное 3-е, равное 2х — 20; следова-
тельно, один раз взятое 3-е будет равно х — 10.
На том же основании 1-е число будет равно х — 15,
а 2-е х — 20. Теперь все три вместе дадут 2х, но их сумма
составит Зх — 45, а это равно 2х. Отсюда х получается
равным 45.
К подстановкам. 1-е число будет 30, 2-е 25 и 3-е 35.
И все они удовлетворяют предложенному.
49
ДИОФАНТ
[Инач е.] х) Так как 1-е и 2-е (вместе) превышают
3-е на 20, то пусть 3-е будет х\ следовательно, вместе взя-
тые 1-е и 2-е равны х 4~ 20. Затем, поскольку 2-е и 3-е
превышают 1-е на 30, то я полагаю, что 2-е равно столь-
ким единицам, сколько будет в полусумме 20 и 30, т. е. 25.
И так как 1-е и 2-е вместе будут х + 20, а 2-е равно 25,
то, следовательно, остающееся 1-е будет х — 5. Затем
нужно, чтобы 3-е вместе с 1-м превышали 2-е на 40, но
1-е вместе с 3-м дают 2х — 5; значит, они равны 65 2).
Прибавим общий недостаток. Тогда 2х равно 70; и х
получается равным 35.
К подстановкам. Я положил 1-е равным х — 5; оно
будет 30, 2-е 25, а 3-е х, оно будет 35.
19.	Найти четыре числа таких, чтобы сумма трех из
них превосходила оставшееся на заданное число.
Необходимо, чтобы полусумма четырех избытков была
больше каждого из них.
Предположим, что сумма трех последовательных чи-
сел, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а сумма трех, на-
чиная со 2-го, больше 1-го на 30, аналогично сумма трех,
начиная с 3-го, больше 2-го на 40 и сумма трех последо-
вательных, начиная с 4-го, больше 3-го на 50 3).
Положим, что сумма всех четырех (чисел) будет 2х.
И так как три числа, начиная с 1-го, больше 4-го на 20,
а на сколько первые три числа больше 4-го, на столько
же все четыре больше удвоенного 4-го, четыре же числа
равны 2х, то, следовательно, 2х превышают удвоенное 4-е
число на 20: значит, удвоенное 4-е число равно 2х — 20,
а само 4-е число будет х — 10. На том же основании^1-е
число равно х — 15, 2-е х — 20 и 3-е х — 25. Кроме
того, сумма четырех будет 2х, но сумма четырех равна
4х — 70, это же равно 2х; и х оказывается равным 35.
К подстановкам. 1-е число будет 20, 2-е 15, 3-е 10 и
4-е 25; они удовлетворяют задаче.
Ч Второе решение, по мнению Таннери, является позднейшей вставкой^
(Прим, ред.)
г) хз + х, = х2 4- 40 = 25 4- 40,
хз 4- Лд = 2х — 5,
2х — 5 = 65.
(Прим, пере1.)
3) Xi 4-	4- х3 = х4 4- 20, хя 4- х» + х* = xt 4- 30,
х3 4" х4 4- хх = х2 4- 40, х4 -f- xt 4г Ха —	+ 50.
(Прим, персе.)
50
АРИФМЕТИКА КНИГА I
[И н а ч е.] х).' Так как три числа, начиная с 1-го,
превосходят 4-е на 20, то положим 4-е число равным х\
следовательно, первые три числа будут х + 20. Затем
три числа, начиная со 2-го, больше первого на 30 2).
Положим, что вместе взятые 2-е и 3-е числа содержат
столько единиц, сколько их будет в половине суммы двух
избытков (я говорю о 20 и 30), т. е. 25. И так как три числа,
начиная с 1-го, дают х + 20 и из них 2-е и 3-е равны 25,
то остающееся 1-е будет х — 5.
И так как три числа, начиная со 2-го, больше 1-го
на 30, а три, начиная с 3-го, больше 2-го на 40, то вместе
взятые 3-е и 4-е числа будут 35 3). Следовательно, оста-
ющееся 3-е будет 35 — х. Но 2-е и 3-е равны 25, и из них
3-е будет 35 — х\ следовательно, остающееся 2-е будет
х — 10. Наконец, три числа, [начиная] от 4-го, больше
3-го на 50; но сумма этих трех будет Зх — 15, а 3-е число
равно 35 — х. Необходимо же, чтобы Зх — 15 превосхо-
дило 35 — х на 50; таким образом, 85 — х равно Зх — 15;
и х получается равным 25.
К подстановкам. Я положил 1-е число х — 5; оно будет
20; точно так же 2-е будет 15, 3-е же 10, а 4-е 25.
20. Заданное число разложить на три таких числа,
чтобы каждое из крайних, сложенное со средним, имело
к оставшемуся крайнему заданное отношение.
Пусть предложено разложить 100 на три числа так,
чтобы сумма 1-го и 2-го была втрое больше 3-го, а 2-е
и 3-е вместе были в четыре раза больше 1-го.
Положим, что 3-е число будет х\ так как 1-е и 2-е
втрое больше 3-го, то положим, что оба вместе будут Зх.
Следовательно, все три числа будут ix, они же равны
100, и получается, что х — 25.
К подстановкам. Я положил 3-е х; оно будет 25; 1-е
же и 2-е вместе Зх, они равны 75.
*) См. сноску О на стр. 50.
8) Xi +	+ х8 = х + 20,
хг + х3 + х = Xj 4- 30,
ха 4- х3 = 1/2 (20 + 30) = 25.
(Прим, перев.)
8) х2 + х3 4“ х4 — Xi + 30,
х3 4~ я* 4~ Д4 — л^д + 40,
Х14- х4 = 1/2(30 4- 40) = 35.
(Прим, перев.)
(Прим, ред.)
51
ДИОФАНТ
Далее, поскольку 2-е и 3-е вместе вчетверо больше 1-го,
то возьмем 1-е за х, следовательно, 2-е и 3-е будут ^х\
значит, все три будут 5х, или 100; и х окажется рав-
ным 20.
Таким образом, 1-е будет 20; 2-е же и 3-е 80, из кото-
рых 3-е будет 25; значит остающееся 2-е будет 55. И
они удовлетворяют предложенному.
21.	Найти три таких числа, чтобы наибольшее пре-
вышало среднее на заданную часть наименьшего, среднее
же превосходило меньшее на заданную часть большего,
а наименьшее на данное число превосходило бы задан-
ную часть среднего.
Необходимо, чтобы среднее превосходило наименьшее
на такую часть наибольшего, чтобы одноименное с такой
же частью х) число, умноженное на разность среднего и
наименьшего, содержало количество 2) [неизвестных] чи-
сел большее, чем [содержит] среднее число.
Положим, что большее превышает среднее на третью
часть наименьшего, а среднее больше наименьшего на
третью часть большего, наименьшее же на 10 превышает
третью часть среднего.
Положим наименьшее равным х и 10, на которые
оно превышает третью часть среднего; тогда среднее будет
Зя, так как наименьшее равно третьей части среднего и 10.
Или так: положим среднее За;; и так как я хочу, чтобы
наименьшее превосходило на 10 третью часть этого сред-
него, то оно будет х + 10.
Остается, чтобы среднее превзошло наименьшее на
третью часть первого числа; но среднее больше наимень-
шего на 2х — 10, это же будет третьей частью наиболь-
шего; значит, само наибольшее будет 6х — 30.
Нужно, чтобы это наибольшее превышало среднее на
третью часть наименьшего; но наибольшее превосходит
среднее на Зх — 30; значит, это есть третья часть наимень-
шего; следовательно, наименьшее равно $х — 90; но най-
дено, что оно будет х + 10; и х оказывается равным 12J/2-
Таким образом, [наименьшее] число будет 221/2, сред-
нее 37х/2, наибольшее же 45, и удовлетворяют предложен-
ному.
О То есть знаменатель соответствующей дроби. (Пргш. персе.)
2) То есть коэффициент при неизвестном. (Прим, ред.)
52
АРИФМЕТИКА КНИГА I
—, ....	- —   <
[Иная е.]х) Найти и т. д.
Необходимо, чтобы даваемая часть наибольшего была
такой, чтобы после прибавления к наименьшему она со-
ставила бы с ним число меньшее того, которое в начале
было взято от среднего.
Положим опять наименьшее х и 10, на которое оно пре-
восходит третью часть среднего; следовательно, среднее
будет Зх, чтобы наименьшее число было на 10 больше 3-й
части среднего. Далее, так как я желаю, чтобы наиболь-
шее число превышало среднее на третью часть наимень-
шего, то, если я прибавлю к среднему 3-ю часть наимень-
шего, то получу наибольшее равным Зг!3х + З1/^. Оста-
ется чтобы среднее было равно наименьшему и 3-ей части
наибольшего, но наименьшее с третьей частью наиболь-
1	1
шего будет 2-х- х + 11-х- 2). Это же равно Зх.
У	У
1 1
Подобные от подобных. Тогда (1-----g) х = И-g-. По-
множим все на 9. Тогда Зх = 100. И получается х —
= 121/2. Доказательство то же самое, как и выше.
22.	Найти три таких числа, которые становятся рав-
ными друг другу, если каждое из них дает следующему
за ним указанную свою часть.
Пусть 1-е число дает 2-му свою треть, 2-е же 3-му
четверть, а 3-е 1-му свою пятую часть, так чтобы после
взаимного обмена все числа оказались равными.
Возьмем 1-е число так, чтобы оно имело третью часть,
ибо оно должно отдать треть; пусть оно будет Зх\ 2-е же
должно иметь четвертой частью сколько-то единиц, ибо
оно должно отдать четверть. Положим, что оно будет 4;
тогда 2-е, отдав и получив, станет х + 3.
Наконец, 1-е, отдав и получив, также должно быть
х + 3. Но оно дает от себя треть, т. е. я, и должно полу-
чить ^3 — х, чтобы стать х + 3. Следовательно, 3 — х
будет пятой частью 3-го числа, которое, значит, будет
15 — 5х.
Таким образом, 3-е число, дающее свою пятую часть
и получающее от 2-го четверть, т. е. 1, будет х + 3. Но
когда оно отдаст свою пятую часть, т. е. 3 — х, то оста-
*) См. примечание’) на стр. 50. (Прим, ред.)
2) (х + 10) + УзО’/зх 4- 3’/3) «= 2*/9х +IIV9. (Прим, перев,)
53
ДИОФАНТ
нется 12 — 4х. Когда же оно получит от 2-го числа чет-
верть, т. е. 1, то станет 13 — 4ж. Это будет равно х + 3;
тогда х окажется равным 2.
К подстановкам. 1-е будет 6, 2-е 4, а 3-е 5. И предло-
женное очевидно [выполняется].
23.	Найти четыре таких числа, чтобы после того, как
каждое отдало следующему указанную свою часть, от-
давшее и получившее стали бы равными.
Пусть 1-е число дает 2-му свою третью часть, 2-е же
3-му — четверть, 3-е же 4-му — свою пятую часть и,
наконец, 4-е дает 1-му шестую часть и после обмена они
станут равными.
Положим 1-е число нескольким х, имеющим третью
часть, так как оно отдает третью часть; пусть оно будет
Зх\ пусть четвертая часть 2-го числа содержит целое число
единиц, так как оно должно отдать четверть; пусть 2-е
будет 4. Таким образом, 2-е число, дающее свою чет-
верть — единицу и получающее х — 3-ю часть от 1-го,
станет х + 3.
Следовательно, 1-е число, отдающее свою треть х
и получающее от 4-го его шестую часть, должно стать рав-
ным х + 3. Но, отдавая х, оно будет иметь в остатке 2х.
Значит, принимая 6-ю часть 4-го, оно должно сделаться
х 3. Тогда 3 — х будет 6-й частью 4-го числа, а само
4-е число будет 18 — $х.
Остается, чтобы и 4-е число, отдав свою 6-ю часть и
получив от 3-го пятую часть, стало равным х + 3. Но
оно, отдав свою 6-ю часть 3 — х, будет иметь в остатке
15 — 5я. Следовательно, нужно, чтобы оно, получив 5-ю
часть 3-го числа, стало равным х + 3. Но оно станет
х + 3, только получив 6х — 12, так что 6х — 12 будет 5-й
частью 3-го числа, и, значит, последнее будет 30# — 60.
Тогда нужно, чтобы 3-е число, отдав свою 5-ю часть
и получив от 2-го его 4-ю, стало бы х + 3. Но если оно
отдаст свою 5-ю часть, т. е. Gx — 12, то будет иметь в
остатке 24# — 48, получив же от 2-го его 4-ю часть <т. е.
1 >, станет 24я — 47. Это будет равняться х + 3; и х
окажется равным 50/23.
К подстановкам. 1-е будет 150, 2-е 92, 3-е 120, 4-е
114 23-х частей х); избавимся от дробей, тогда числа будут:
1) Xi s= Зх, х2 = 4, хв — ЗОх — 60, х« = 18 — 6х; х = 50/23. (Прим. персе.)
54
АРИФМЕТИКА КНИГА I
1-е — 150, 2-е — 92, 3-е — 120, 4-е — 114. И они удов-
летворяют предложенному.
24.	Найти три таких числа, которые становятся рав-
ными после того, как каждое из них получает заданную
часть от суммы двух других.
Пусть 1-е число получает 3-ю часть от двух остальных
объединенных, 2-е от двух остальных объединенных полу-
чает 4-ю часть, а 3-е от двух остальных объединенных
получает 5-ю часть и все они становятся равными.
Положим, что 1-е будет х, а два остальных — сколько-
то единиц, имеющих для удобства 3-ю часть целой, так
как они дают третью часть; пусть это будут 3 единицы.
Следовательно, все три вместе будут х + 3, а 1-е, полу-
чившее от двух остальных 3-ю часть, становится х + 1-
Следовательно, нужно будет, чтобы 2-е, получив от
двух остальных объединенных 4-ю часть, стало бы х + 1.
Учетверим все, тогда учетверенное 2-е вместе с двумя
остальными будет равно утроенному 2-му вместе со всеми
тремя J); следовательно, утроенное 2-е вместе со всеми
тремя будет равно 4гс + 4; значит, если от этого отниму
все три числа, то полученные Зх + 1 будут равны утро-
енному 2-му числу; следовательно, само 2-е число будет
равно х + 1/3.
Тогда нужно, чтобы 3-е число, получив 5-ю часть от
объединенных двух остальных, стало х + 1. Так же как
и выше, упятерим все, и на основании таких же рассуж-
дений получится, что 3-е будет х + Vz-
Остается, чтобы сумма всех трех равнялась х + 3;
х получается равным 13/12; если мы отбросим дроби, то
1-е число будет равно 13, 2-е — 17, а 3-е — 19. И они
удовлетворяют предложенному.
25.	Найти четыре таких числа, чтобы они, получив
каждое от трех остальных объединенных заданную часть,
сделались равными.
Пусть 1-е получит от трех остальных объединенных
третью часть, а 2-е от остальных трех объединенных чет-
вертую часть, 3-е же также от трех пятую часть, а 4-е —
шестую. И они станут равными.
Положим, что 1-е будет х, а три остальных имеют сколь-
ко-то целых единиц в третьей части, так как они отдают
*) 4 [л* +	(*з + Xi)l = (xt -f- xJ* (Прим» перев»)
55
ДИОФАНТ
iTO'ii ДДЪ|
З-ю часть; пусть это будут 3 единицы; следовательно, [все
четыре вместе будут х + 3, а] 1-е, получив от остальных
объединенных третью часть, будет х + 1 х).
Тогда нужно, чтобы 2-е, получив от остальных объе-
диненных четвертую часть, стало бы равным х + 1 2).
Опять таким же образом учетверим все, получим, что 2-е
число будет х + х/з> 3-е — х +	4-е — х + 3/&-
Остается, чтобы сумма всех четырех оказалась равной
х + 3; отсюда получается, что х ~ 47 90-х частей.
Тогда будут: 1-е равняться 47, 2-е 77, 3-е 92 и 4-е 101
Они удовлетворяют предложенному.
26.	Для двух заданных чисел найти некоторое число,
которое, будучи умножено на каждое из этих чисел, в од-
ном произведении дает квадрат, а в другом — сторону
квадрата.
Пусть два данных числа будут 200 и 5, а искомое пусть
будет х.
Если оно будет помножено на 200, то произведет 200я,
а на 5 произведет 5х. Одно из них должно быть квадратом,
а другое — стороной его. Теперь, если я возведу в квадрат
5х, то получится 25ж2, которые будут равны 200я.
Разделим все на х; тогда 25ж равно 200; и х ~ 8 и
удовлетворит предложенному.
27.	Найти два таких числа, чтобы их сумма и произве-
дение равнялись заданным числам.
Нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался
от их произведения на квадрат. Это необходимое условие
формирования 3).
Пусть их сумма будет 20, а произведение 96.
Положим, что их разность будет 2х. Так как их сумма
равна 20, то, если я разделю ее пополам, каждая из полу-
ченных делением частей будет равна половине суммы, т. е.
10. И если половину разности, т. е. х, я прибавлю к одной
полученной от деления половине и вычту из другой, то
у меня опять получатся сумма 20 и разность 2х. Положим
теперь большее х + 10 (половине суммы); тогда меньшее
будет 10 — я. И всегда будут сумма 20 и разность 2х.
i) xt 4" х/а 4- х8 + х4) = х + 1. (Прим, перев.)
•) х2 + (хл 4- Xi 4- xt) х 4- 1. (Прим, перев.)
3) У Диофанта еатс 8е тоито лХаор-aTixov.
Текст не совсем ясен, по-видимому, имеется в виду формирование рад»
онального решения. (Jlpmt. ред.)
56
АРИФМЕТИКА КНИГА I
Остается, чтобы произведение их было 96. Но. их
произведение будет 100 — это же равно 96; и
х = 2.
Следовательно, большее будет 12, а меньшее 8. И
з а данное выполнено.
28.	Найти два таких числа, чтобы их сумма, а также
сумма их квадратов, равнялась заданным числам.
Нужно, чтобы удвоенная сумма их квадратов была
больше квадрата их суммы на некоторый квадрат. Это
необходимое условие формирования х).
Пусть сумма этих чисел равна 20, а сумма их квадра-
тов 208. Положим, что их разность равна 2х. И пусть
большее будет х + 10 (эта опять сумма их половин), а
меньшее 10 — х. И опять их сумма остается 20, а раз-
ность 2х.
Кроме того, сумма их квадратов дает 208; но сложение
их квадратов дает 2х2 + 200. Это будет равно 208; и х
оказывается равным 2.
К подстановкам. Большее будет 12, а меньшее 8. И
заданное выполнено.
29.	Найти два таких числа, чтобы их сумма и разность
их квадратов равнялись заданным числам.
Пусть их сумма составляет 20, а разность их квадра-
тов 80.
Положим их разность равной 2х. Тогда точно так же
большее число будет х + 10, а меньшее 10 — х, и опять
их сумма остается равной 20, а разность 2х.
Кроме того, разность их квадратов равна 80; но раз-
ность их квадратов будет 40я; это же равно 80.
И опять получается, что большее число 12, а меньшее
8. И опять задача выполнена.
30.	Найти два таких числа, чтобы их разность и про-
изведение представляли заданные числа.
Нужно, чтобы их учетверенное произведение вместе
с квадратом их разности давало квадрат. И это также
условие формирования.
Пусть их разность будет 4, а произведение 96.
Положим, что их сумма 2ж; имеем также и их разность
4. Тогда подобным же образом большее будет х + 2,
а меньшее х — 2, и сумма их остается 2х, а разность 4.
*) См. сноску») на стр, 56. (Прим, ред.)
57
ДИОФАНТ
Теперь остается, чтобы их произведение давало 96;
но их произведение будет я2 — 4; это же равно 96.
И опять большее получается 12, а меньшее 8. И задача
выполнена.
31.	Найти два числа, имеющие между собой заданное
отношение и такие, чтобы сумма их квадратов находилась
в заданном отношении к их сумме.
Пусть большее будет втрое больше меньшего, а сумма
их квадратов в 5 раз больше их суммы.
Положим, что меньшее х, тогда большее будет Зя.
Кроме того, сумма их квадратов в 5 раз больше их вместе
взятых; но сумма их квадратов составляет 10я2, а сумма
их самих 4я; таким образом, 10я2 будет в 5 раз боль-
ше 4я.
Следовательно, 20я будут равны 10я2; и х оказывается
равным 2.
Меньшее будет 2, а большее 6. И они удовлетворяют
предложенному.
32.	Найти два числа в заданном отношении и такие,
чтобы сумма их квадратов имела заданное отношение
к разности их самих.
Пусть большее будет в 3 раза больше меньшего, а
сумма их квадратов в 10 раз больше разности их самих.
Положим меньшее я, тогда большее будет Зя. Кроме
того, я хочу, чтобы сумма их квадратов была в 10 раз
больше разности их самих; но сумма квадратов их со-
ставляет 10я2, а разность их самих 2я. Следовательно,
10я2 равно 10, умноженному на 2я.
Разделим все на я. Следовательно, 10я будет равно 20;
и я оказывается равным 2.
И опять меньшее число будет 2, а большее 6. И они
удовлетворяют предложенному.
33.	Найти два числа в данном отношении и такие,
чтобы разность их квадратов имела заданное отношение
к сумме обоих чисел.
Пусть большее будет втрое больше меньшего, а раз-
ность их квадратов в 6 раз больше суммы их самих.
Примем меньшее за я, тогда большее будет Зя. Кроме
того, разность их квадратов равна 6 раз взятой их сумме,
но разность их квадратов будет 8я2, а сумма чисел 4я.
Следовательно, 8я2 в 6 раз больше 4я; значит, 24я равно
8я2; и я получается равным 3.
58
АРИФМЕТИКА КНЙТ'А I
И меньшее число будет 3, а большее 9; и они удовлет-
воряют задаче.
34.	Найти два числа в данном отношении и такие, что-
бы разность их квадратов имела заданное отношение
к разности их самих.
Пусть большее число будет втрое больше меныпего,
разность же их квадратов в 12 раз больше разности их
самих.
Возьмем опять меньшее за х\ тогда большее будет Зх.
Кроме того, разность их квадратов будет в 12 раз больше
разности их самих; но разность их квадратов будет 8ж2;
следовательно, она в 12 раз больше 2ж.
Значит, 24ж равно 8ж2; и опять х оказывается равным
3; а доказательство очевидно.
Следствие. Аналогично найдутся два числа,
имеющие между собой данное отношение, такие, что их про-
изведение имеет заданное отношение к их сумме;
и еще два числа, имеющие между собой заданное от-
ношение, такие, что их произведение имеет заданное от-
ношение к их разности.
35.	Найти два числа в данном отношении и такие,
чтобы квадрат меньшего имел к большему заданное от-
ношение.
Положим, что большее будет втрое больше меньшего,
а квадрат меньшего равен ушестеренному большему.
Возьмем опять меньшее за ж, тогда большее будет Зж.
Кроме того, квадрат меньшего равен ушестеренному боль-
шему; но квадрат меньшего будет ж2. Следовательно, ж2
будет ушестеренным Зж.
Таким образом, 18ж равно ж2; и ж получается рав-
ным 18.
Меньшее число будет 18, а большее 54. И они удовлет-
воряют задаче.
36.	Найти два числа в данном отношении и такие,
чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к мень-
шему.
Пусть большее число будет втрое больше меньшего,
а квадрат меньшего будет в 6 раз больше меньшего.
Возьмем точно так же большее за Зж, а меньшее ж,
и большее остается утроенным меньшим. Кроме того,
квадрат меньшего составляет 6 раз взятое меньшее.
Следовательно, ж2 будет в 6 раз больше ж.
59
ДЙОФАНТ
Таким образом, 6х равно ж2; и х получается равным 6.
Меньшее будет 6, а большее 18. И они удовлетворяют
задаче.
37.	Найти два числа в данном отношении и такие,
чтобы квадрат меньшего имел бы заданное отношение
к вместе взятым числам.
Пусть большее будет втрое больше меньшего, а квадрат
меньшего вдвое больше суммы обоих.
Точно так же возьмем большее за Зх, а меньшее х.
Кроме того, квадрат меньшего будет вдвое больше суммы
обоих чисел; но квадрат меньшего будет х2, а вместе взя-
тые 4х. Значит, х2 равно удвоенным ^х.
Следовательно, 8х равно х2; и х равно 8.
И меньшее число будет 8, а большее 24. И они удовлет-
воряют предложенному.
38.	Найти два числа в данном отношении и такие,
чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к их
разности.
Пусть большее равно утроенному меньшему, а квадрат
меньшего в 6 раз больше разности; значит, х2 будет в 6 раз
больше 2х.
Таким образом, 12я равны х2; значит, х будет 12.
Следовательно, меньшее будет 12, а большее 36. И они
удовлетворяют предложенному.
[Следствие]. Подобным образом найдутся:
два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат
большего имел заданное отношение к меньшему;
и также два числа в данном отношении такие, чтобы
квадрат большего имел заданное отношение к этому боль-
шему;
и подобно этому два числа в данном отношении такие,
чтобы квадрат большего имел заданное отношение к обоим
вместе взятым;
и еще два числа в данном отношении такие, чтобы
квадрат большего имел заданное отношение к их раз-
ности.
39.	Для двух данных чисел подобрать еще одно число
такое, чтобы из этих трех, складывая по два и умножая
на третье, получились три числа с одинаковыми разно-
стями.
Пусть два заданных числа будут одно 3, а другое 5,
и пусть будет нужно подобрать еще одно число так, чтобы,
60
АРИФМЕТИКА КНИГА I
складывая по два и умножая на оставшееся, можно было
получить три числа с одинаковыми разностями.
Пусть искомое будет х. Если мы сложим его с 5, то,
получится х + 5; если же мы помножим это на оставшееся,
то получится Зх + 15. Затем, если мы х сложим с 3, то
получится х + 3, умножив это на 5, получим 5х + 15.
И еще, если мы сложим 5 и 3 и полученное 8 умножим на х,
то получится 8х.
Ясно, что Зх + 15 никогда не будет наибольшим, так
как 5х + 15 больше его; следовательно, Зх + 15 будет
или средним, или наименьшим, а 5х + 15 — или наи-
большим, или средним, но 8х может оказаться и наиболь-
шим, и средним, и наименьшим, так как значение х
остается неизвестным.
Предположим сначала, что наибольшим будет 5х +
+ 15, наименьшим Зх + 15, а средним, конечно, 8х.
Если имеются три числа с одинаковой разностью, то
сложенные наибольшее и наименьшее будут равны удво-
енному среднему; и наибольшее сложенное с наименьшим
дает 8х + 30, это будет равно 16а;. И х окажется равным
15/4.
Таким будет искомое число, удовлетворяющее пред-
ложенному.
Но пусть наибольшим будет 5х + 15, средним Зх + 15,
а наименьшим 8а;.
Если имеются три числа с одинаковыми разностями, то
на сколько большее превышает среднее, на столько же
и среднее будет превышать наименьшее; но наибольшее
превышает среднее на 2а;, а среднее большее наименьшего
на 15 — 5х.
Таким образом, 15 — 5х равно 2х; и х окажется равным
15/7. Таковым будет искомое число, и оно удовлетворяет
задаче.
Но пусть теперь наибольшим будет 8а;, средним 5х + 15
и наименьшим Зх + 15.
Так как теперь опять наибольшее и наименьшее равны
удвоенному среднему и наибольшее вместе с наименьшим
дает Их + 15, то это вдвое больше среднего; среднее же
будет 5х + 15.
Следовательно, 10а; + 30 равно 11а; + 15; значит,
искомое число будет 15, и оно удовлетворяет предложен-
ному.
61
ДИОФАНТ
**>-
КНИГА II
1.	Найти два таких числа, чтобы их сумма имела
заданное отношение к сумме их квадратов.
Предположим, что их сумма является 10-й частью
суммы их квадратов. Пусть меньшее будет я, а большее
2я; их сумма получается равной Зя, а сумма их квадратов
5я2; следовательно, Зя должны быть 10-й частью от 5я2.
Следовательно, 30# должно равняться 5я2; и х ока-
зывается равным 6.
Таким образом, меньшее будет 6, а большее 12, и
задача сделана.
2.	Найти два таких числа, чтобы их разность имела
заданное отношение к разности их квадратов.
Предположим, что их разность составляет 6-ю часть
разности их квадратов.
Примем меньшее за х, а большее за 2х; разность их
оказывается равной х, разность же их квадратов Зя2.
Таким образом, х должен быть 6-й частью Зя2.
Значит, 6я равно Зя2; и х оказывается равным 2.
Меньшее число будет 2, а большее 4, и задача сделана.
3.	Найти два таких числа, чтобы их произведение
имело заданное отношение к сумме или разности.
Предположим сначала, что произведение будет в 6 раз
больше суммы.
Пусть искомые будут х и 2я, которые могут иметь
заданное отношение.
Тогда число, полученное их перемножением, будет
2я2, а их сумма Зя; значит, нужно, чтобы 2я2 было в 6 раз
больше Зя.
Тогда 18я равно 2я2; сократим все на я.
Значит, 18 равно 2я; и я получается равным 9.
Первое число будет 9, а второе 18, и задача сделана.
Если предположить, что произведение равно шести-
кратной разности, то произведение будет снова 2я2, а раз-
ность я.
Снова 6я будут равняться 2я2; и я окажется равным 3.
62
АРИФМЕТИКА КНИГА II
Первое число будет 3, а второе 6, и задача опять сде-
лана.
4.	Найти два таких числа, чтобы сумма их квадратов
имела заданное отношение к их разности.
Положим, что сумма их квадратов равна удесятерен-
ной разности. Пусть опять одно будет х, а другое 2х.
Следовательно, сумма их квадратов будет 5я2, а раз-
ность х. Тогда нужно, чтобы 5х2 было в 10 раз больше х.
Значит, 5х2 равно 10х; и х оказывается равным 2.
1-е число будет 2, а 2-е 4; и они решают задачу.
5.	Найти два таких числа, чтобы разность их квадра-
тов имела заданное отношение к их сумме.
Пусть разность их квадратов будет в 6 раз больше
суммы.
Опять возьмем искомые числа: одно х, другое 2х\ раз-
ность их квадратов будет Зя2, а сумма Зх; значит, нужно,
ттобы Зх2 было в 6 раз больше Зх.
Таким образом, Зх2 равно 18х; и х оказывается рав-
ным 6.
И доказательство очевидно.
6.	Найти два числа с данной разностью и таких, что-
бы разность их квадратов превосходила разность этих
чисел на заданное число.
Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше этой
разности, сложенной с заданной разностью между раз-
ностями квадратов чисел и самих чисел.
Положим, что разность этих чисел будет 2, а разность
их квадратов превосходит их разность на 20.
Возьмем за х меньшее число; тогда большее будет
х + 2. Их разность по-прежнему 2, а разность их ква-
дратов 4х + 4; значит, нужно, чтобы 4х + 4 превышало
2 на 20. Таким образом, 4х + 4 будет 22; и х оказывает-
ся 4у2.
Меньшее будет 4У2, а большее 6х/2, и они удовлетво-
ряют предложенному.
7.	Найти два таких числа, чтобы разность их квадра-
тов была на заданное число больше, чем их разность,
взятая в некотором отношении.
Пусть разность их квадратов будет превышать на 10
утроенную их разность.
Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше суммы
утроенной разности и заданных 10.
63
ДИОФАНТ
Пусть их разность будет 2, а меныпее число х\ тогда
большее будет х + 2; следовательно, нужно, чтобы 4.т +
+ 4 превышало на 10 утроенную двойку. Значит, трижды
2 и 10 будут равны 4я + 4. Но трижды 2 с 10 будут 16;
это равно + 4; и х получается 3.
Меньшее число будет 3, а большее 5, и задача решена х).
8*. Заданный квадрат разложить на два квадрата.
Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим,
что 1-й равен х2; тогда 2-й будет 16 — ж2; следовательно,
16 — х2 тоже равно кадрату.
Составляю квадрат из некоторого количества х минус
столько единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти;
пусть это будет 2х — 4. Тогда сам этот квадрат равен
4х2 + 16 — 16я; он должен равняться 16 — х2.
Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем
подобные из подобных. Тогда 5+ равно 16я; и х окажется
равным 16 пятым.
Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных
дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом.
Иначе. Пусть опять нужно квадрат 16 разложить
на два квадрата.
Возьмем опять за х сторону 1-го квадрата, а сторону
2-го за сколько-нибудь я-ов минус столько единиц, сколь-
ко их будет в стороне разделяемого квадрата; пусть это
будет 2х — 4.
Таким образом, будут два квадрата — один х\ а дру-
гой 4.т2 + 16 — 16я. Я хочу, чтобы два этих квадрата
после сложения дали 16.
Следовательно, 5я2 + 16 — 16я равно 16; и х окажется
16/5.
Сторона 1-го квадрата будет 16/5, а сам он 256/25.
Сторона же 2-го 12/5, а сам он 144/25; и доказатель-
ство очевидно.
9*. Данное число, которое складывается из двух квадра-
тов, подразделить на два другие квадрата.
Пусть число 13, составленное из квадратов 4 и 9,
надо подразделить на два другие квадрата.
Возьмем стороны 2 и 3 упомянутых квадратов и по-
ложим стороны искомых квадратов: одну равной х + 2,
О Таннери считает эти семь предложений неподлинными; в текст второй
книги они попали из древнего комментария к I-й книге. (Прим. ред.)
64
АРИФМЕТИКА КНИГА II
а другую нескольким я-ам минус столько единиц, сколь-
ко их будет в стороне другого квадрата: 3. Пусть она
будет 2х — 3. И получатся квадраты: один х2 + 4х + 4,
а другой 4+ + 9 — 12я.
Остается лишь сделать, чтобы два сложенных квад-
рата дали 13. Но два сложенных дают 5ж2 + 13 — 8х;
это равно 13; и х оказывается 8/5.
К подстановкам. Я положил сторону 1-го х + 2; она
будет 18/5.
Сторона же 2-го 2х — 3; она будет 1 [пятая]. А сами
квадраты будут: один 324/25, а другой одна двадцать
пятая. И оба сложенные дадут 325/25, что сводится к за-
данному 13.
10.	Найти два квадратных числа с заданной разно-
стью.
Положим, что их разность будет 60.
Пусть сторона одного будет х, а другого х и сколько
захочется единиц, только чтобы квадрат их не превы-
шал заданную разность [и не равнялся ей] х), однако так,
чтобы с обеих сторон остались один вид, равный одному
виду; так решится задача. Пусть она будет х + 3; сле-
довательно, сами квадраты будут х2 и х2 + 6х + 9, их
разность 6х + 9. Это равняется 60; и х получается 8х/2.
Сторона первого квадрата равна 81/2, а второго llVaJ
сами же квадраты будут: один 72х/4, а другой 132х/4,
и решение предложенного очевидно.
11.	К двум заданным числам прибавить одно и то же
число такое, чтобы каждое сделалось квадратом.
Пусть эти числа будут 2 и 3 и надо прибавить х. Тогда
х + 2 и х + 3 будут квадратами; такой вид называется
двойным равенством; приравниваются же они следую-
щим образом. Зная разность, ищи два таких числа, чтобы
их произведение давало эту разность; эти числа будут 4
и х/4. Тогда или половина разности этих чисел, умно-
женная на себя, будет равна меньшему, или половина
суммы, умноженная на себя, будет равна большему.
Но половина разности, умноженная на себя, будет
225/64; это равняется х + 2; их получается 97/64.
Половина же суммы, умноженная на себя, будет 289/64;
это равняется большему, т. е. х + 3; и х получается 97/64.
я) Эта фраза встречается только в одном из списков. (Прим, ред.)
65
ДИОФАНТ
Следовательно, прибавляемое число будет 97/64, и
предложенное очевидно.
Чтобы избежать решения двойного равенства, нужно
вести доказательство так: для 2 и 3 надо подыскать неко-
торое число, которое, будучи прибавленок2 икЗ, образо-
вало бы квадрат. Сначала ищу некоторое число, которое
вместе с 2 образует квадрат, или некоторое число, которое
вместе с 3 образует квадрат. От какого-нибудь из этих
квадратов отнимают заданные единицы; остаток и будет
искомым. Пусть это будет 2 единицы; вычтем их из х2;
остаток будет х2 — 2, и ясно, что если добавим 2, то полу-
чим квадрат. Теперь остается получить квадрат при-
бавлением 3 единиц; но если к re2 — 2 прибавить 3, то
получится х2 + 1; это должно равняться некоторому
квадрату. Образую квадрат на х минус такое число единиц,
чтобы значение х2 превзошло бы те единицы, которые были
ранее взяты вычитаемыми, как в рассматриваемом случае
2; тогда опять в каждой из частей останется по одному
виду. Пусть это квадрат на х — 4; он будет х2 + 16 — 8х;
это должно равняться х2 + 1. Придадим к обеим частям
недостающее и отнимем подобные от подобных; останутся
8# = 15, и получится х = 15/8.
К подстановкам. Добавляемое число будет 97/64.
12.	Из двух данных чисел вычесть одно и то же число
такое, чтобы в остатках получились квадраты.
Пусть задано отнять одно и то же число от 9 и 21 и
сделать каждый из остатков квадратом. От каждого
из этих чисел отниму какой-нибудь квадрат и возьму
остаток; он, будучи отнят, составит квадрат. Пусть х2
будет квадрат, отнимаемый от 9; остаток будет 9 — х2.
Нужно теперь отнять 9 — ж2 от 21 и получить квадрат.
Но если я от 21 отниму 9 — я2, то останется х2 + 12; это
будет равно некоторому квадрату.
Образую квадрат на х минус столько единиц, чтобы
их квадрат был больше 12; так опять с каждой из сторон
[равенства] останется по одному виду. Пусть этих еди-
ниц будет 4; тогда сам квадрат получится как х2 + 16 — 8х\
это равно х2 + 12; подобные от подобных; останется 8х,
равные 4; и х равен 4/8.
Но 9 единиц сводятся к 72/8, или 576/64, а вычитание
из них недостающего ж2, или 16/64, удовлетворяет зада-
нию.
66
АРИФМЕТИКА КНИГА П
13.	От одного и того же числа отнять два заданных
числа и сделать квадратом каждый из остатков.
Пусть задано от одного и того же числа отнять 6 и 7
и сделать каждый из остатков квадратом.
Возьмем за искомое х; если мы отнимем от него 6, то
остаток х — 6 = | |, а если 7, то остаток х — 7 = П;
и для них мы опять имеем двойное равенство.
Так как разность [7—6] является единицей и записы-
вается, как произведение 2 на х/2> то заключаем, что
х = 121/16, что и решает задачу.
Чтобы не заниматься двойным равенством, нужно
решать так. Сначала я ищу, от какого числа следует от-
нять 6, чтобы получить квадрат. К этому квадрату я, ко-
нечно, прикладываю 6, это и будет искомое. Пусть [ква-
драт] будет х2* тогда искомое получится как х2 + 6;
и ясно, что если от этого я отниму 6, то отстаток будет
квадратом. Следовательно, нужно будет отнять 7 от х2-)-
+ 6 и получить квадрат. Значит, х2 — 1 равно | |.
Образую квадрат на х — 2. Он будет х2 + 4 — 4ж.
Это равняется х2 — 1. И х будет 5/4.
Искомое будет 121/16, что и решает задачу.
14.	Данное число разложить на два числа и найти
квадрат, который, будучи приложен к каждой из частей,
образует квадрат.
Пусть 20 требуется разложить на два числа.
Возьмем два числа таких, чтобы сумма их квадратов
была меньше 20; пусть они будут 2 и 3; если прибавить
к каждому ж, то их квадраты будут: один х2 + 4х + 4,
а другой х2 +	+ 9.
Итак, если от каждого я отниму х2, т. е. квадрат, то
получим искомые, которые, естественно, после приба-
вления квадратов образуют квадраты. Но если я отниму
я2, то остатки будут + 4 и §х + 9. Тогда нужно будет,
чтобы их сумма, т. е. 10# + 13, равнялась 20; и х полу-
чается 7/10; 1-е будет 68/10, а 2-е 132/10, и они удовлет-
воряют задаче.
15.	Данное число разложить на два числа и найти
квадрат, который без каждого [из этих чисел] становится
квадратом.
Пусть опять будет задано разложить 20 на два числа.
Возьмем искомый квадрат на стороне х плюс столько
единиц, чтобы их квадрат не превосходил 20. Пусть это
67
ДИОФАНТ
будет х + 2. Тогда квадрат будет х2 + 4а; + 4; и ясно,
что после вычитания \х 4 останется квадрат» И также
после вычитания 2х + 3 остается квадрат х2 + 2х + 1.
На этом основании я полагаю одно число равным
4а: + 4, а другое 2х + 3, и искомый квадрат х2 + 4# + 4;
он по вычитании каждого из этих чисел образует квадрат.
Остается, чтобы два этих числа были равны подразде-
ленному. Но эти два числа дают 6х + 7 и должны быть
равны 20. Отнимаем подобные от подобных, и х получается
13/6.
1-е число 4а: + 4 будет 76/6, а 2-е 2а; + 3 = 44/6, а
квадрат 625/36, и выполнено предложенное.
16.	Найти два числа в заданном отношении такие,
чтобы каждое из них вместе с заранее данным квадратом
давало квадрат.
Пусть большее из этих чисел будет втрое больше мень-
шего и каждое из них вместе с 9 образует квадрат.
От некоторого квадрата, сторона которого есть коли-
чество а:-ов, сложенных с 3, отнимаю 9; остаток будет
одним из искомых. Пусть меньшее число будет х2 + 6х,
тогда большее будет Зя2 + 18ге.
Следовательно, нужно будет, чтобы последнее число,
сложенное с 9, было квадратом. Но оно вместе с 9 будет
За;2 + 18х + 9; это же равно квадрату.
Образую квадрат на 2х — 3; и х будет 30.
Меньшее число равно 1080, большее 3240; вместе с 9
они удовлетворяют предложенному.
17	х). Найти три таких числа, чтобы каждое давало
следующему за ним данную свою часть и, кроме того,
данное число единиц, так чтобы давшие и получившие
сделались равными.
Пусть 1-е [zj дает 2-му Ь2] 5-ю часть и еще 6, 2-е
[ж2] дает 3-му Irz;3] 6-ю часть и 7, а 3-е [а?3] 1-му [%] 7-ю
часть и 8.
Возьмем 1-е за Ьх и точно так же 2-е за 6х. И 2-е,
получив от 1-го х + 6, становится равным 1х 4- 6; 3-му
оно дает 6-ю часть (т. е. я) и 7и делается равным §х — 1.
Но 1-е, отдав свою 5-ю часть и еще 6, становится рав-
ным 4.т — 6. И оно должно получить от 3-го 7-ю часть
*) Задачи 17 и 18 Таннери не считает подлинными; по-видимому, они взяты
из древнего комментария к книге I. См. задачи и Ъ». (Пргш. персе.)
68
АРИФМЕТИКА КНИГА II
и 8 и стать равным 6х — 1. Но если 4.x — 6 получит 2х +
+ 5, то выйдет бх — 1. Следовательно, 2х + 5 будет 7-й
частью 3-го и еще 8.
Если от 2х + 5 отниму 8, то останется 2х — 3; остаток
2х — 3 будет 7-й частью 3-го, и, значит, само 3-е будет
14я — 21.
После этого нужно, чтобы оно [ж3], получив от сред-
него [х2] 6-ю часть и 7 и отдав 7-ю часть и 8, стало равным
бх — 1. Но когда оно отдаст 7-ю часть и 8, то в остатке
будет 12ж — 26, а получив от среднего 6-ю его часть и 7,
оно станет 13я —- 19; это равно бх — 1. И х окажется
равным 18/7.
Тогда 1-е число будет 90/7, 2-е 108/7, 3-е 105/7; и они
удовлетворяют предложению.
18. Данное число разложить на три таких числа, что-
бы каждое полученное от разложения число превышало
следующее за ним на заданную часть и еще на заданное
число и все давшие и получившие числа сделались бы
равными.
Пусть требуется 80 разложить на три таких числа,
чтобы 1-е давало 2-му свою 5-ю часть и еще 6, 2-е же 3-му —
6-ю часть и 7, а 3-е 1-му — 7-ю часть и 8 и, чтобы после
обмена все сделались равными...1)
[3 а д а ч а 17 иначе.]2) Положим 1-е число Зх, а
2-е 12. И 2-е число, получив от 1-го пятую часть, т. е.
ж, и 6, будет х + 18; когда же оно отдаст 3-му шестую часть
и еще 7, то будет х + 9; теперь остается, чтобы все осталь-
ные числа, отдав и получив, стали равными.
Но если 1-е дает свою 5-ю часть и 6, то остается 4х —
—6. Следовательно, нужно, чтобы оно, получив от 3-го его
7-ю часть и 8, стало равным х + 9. Но оно станет х + 9,
если примет 15— Зх. Значит, 15 — Зх равны 7-й части
3-го числа и еще 8. Тогда, если от 15 — Зх отнимем 8,
то получим г/7 3-го числа. Седьмую часть 3-го числа будем
иметь равной 7 — Зх, а само оно будет 49 — 21а;.
Теперь остается, чтобы это число, получив от среднего
его 6-ю часть и 7 и отдав 1-му 7-ю часть и 8, стало бы
х + 9. Но приняв и отдав, оно станет 43 — 18а;; это равно
х + 9. И х получается 34/19.
*) Решение задачи отсутствует. (Пргш. персе.)
2)	Текст, по-видимому, принадлежит одному из комментаторов. (Прим. pefl.j
69
ДИОФАНТ

Тогда 1-е будет 170/19, 2-е 228/19 и 3-е 217/19.
19.	Найти три таких квадрата, чтобы избыток наи-
большего над средним имел заданное отношение к избыт-
ку среднего над наименьшим.
Пусть одна разность будет втрое больше другой.
Возьмем меньшее число за я2, среднее же х2 + 2х + 1 —
очевидно, квадрат на стороне х + 1; тогда наибольшее
будет х2 + 8х + 4.
Следовательно, нужно, чтобы х2 + 8х + 4 — | |.
Образую квадрат на х (чтобы иметь х2) и еще стольких
единицах, чтобы образующие квадрат виды, т. е. х и эти
единицы, не превышали по количеству 8х и 4, но чтобы
один вид был больше, а другой меньше.
Пусть единиц будет 3; тогда этот квадрат будет х2 +
§х + 9; его приравняем х2 4- 8х + 4, и х окажется
равным 2г/2.
К подстановкам. Наибольший квадрат будет 301/4,
наименьший 6г/4, а средний 12х/4; и задача выполнена.
20.	Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из
них, сложенный с оставшимся, был квадратом.
Пусть 1-е будет х, а 2-е 1 + 2х, и квадрат на 1-м,
сложенный со 2-м, стал квадратом.
Остается, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, тоже
был квадратом. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, будет
4гс2 + 5х + 1; это должно равняться квадрату.
Образую квадрат на 2х — 2; он будет 4я2 + 4 — 8х,
[приравняв его 4я2 + 5х + получим х — 3/13.
1-е будет 3/13, а 2-е 19/13; и задача сделана.
21.	Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого
из них минус оставшееся число был квадратом.
Пусть меньшее число будет х и сколько-то единиц,
пусть 1; большее же возьмем как квадрат меньшего минус
х\ чтобы квадрат меньшего числа без большего стал
квадратом.
И так как квадрат меньшего есть х2 + 2х + 1, то боль-
шее будет тем, что следует за х\ т. е. 2х + 1. И квадрат
меньшего минус большее является квадратом. Теперь
нужно, чтобы и квадрат большего 4я2 + kx + 1 минус
меньшее был квадратом. Но квадрат большего минус
меньшее х + 1 будет 4я2 + Ъх\ приравниваем это
квадрату. Образуем квадрат на 8х\ тогда получится
х = 3/5.
70
АРИФМЕТИКА КНИГА II
Меньшее число будет 8/5, большее же 11/5, и они
удовлетворяют предложенному.
22.	Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого
из них вместе с суммой обоих составлял квадрат.
Примем, что меньшее будет ж, а большее х + 1; тогда
квадрат меньшего, т. е. ж2, сложенный с суммой обоих, т. е.
2ж + 1, образует квадрат.
Остается сделать, чтобы квадрат большего, сложенный
с суммой обоих, составлял квадрат. Но квадрат большего,
сложенный с суммой обоих, составляет х2 + kx + 2. И это
должно равняться П-
Образуем квадрат на х — 2; он будет ж2 + 4 — 4ж;
получаем х — 2/8.
Меньшее будет 2/8, а большее 10/8, и задача сде-
лана.
23.	Найти такие два числа, чтобы квадрат каждого
минус сумма обоих составлял квадрат.
Примем, что меньшее будет х, а большее х + 1, чтобы
таким же образом квадрат на большем, уменьшенный
на сумму обоих, был квадратом.
Теперь остается, чтобы квадрат на меньшем, умень-
шенный на сумму обоих, был тоже квадратом: он будет
ж2 — 2х — 1 и должен равняться [J. Образую квадрат
на стороне х — 3. Тогда ж2 + 9 — §х будет равняться
х2 — 2х — 1; и х получается 21/2. Меньшее число будет
2%, а большее 3%, и задача выполнена.
24.	Найти два таких числа, чтобы квадрат их суммы,
сложенный с каждым из них, был квадратом.
И так как ж2, если мы прибавим к нему Зж2 или 8ж2,
будет квадратом, то одно из искомых чисел я возьму Зж2,
а другое 8ж2, а квадрат их суммы положу ж2; и квадрат
их суммы с добавлением того или другого останется ква-
дратом. И поскольку сумма обоих 11ж2, то ре квадрат
будет 121 ж4, но он также будет и ж2.
Следовательно, 121Ж4 равняется ж2. А так как сторо-
на одного должна равняться стороне другого, то ж ра-
вен 11ж2.
[Сократим] все на ж, следовательно, 11ж равно 1; и
х будет 1/11.
К подстановкам. Одно число будет 3/121, а второе
8/121, квадрат же на сумме их 121/14641, и задача вы-
полнена.
71
ДИОФАНТ
25.	Найти такие два числа, чтобы квадрат их суммы
минус каждое из них составлял квадрат.
Беру сначала некоторый квадрат, вычитая из которого
два каких-нибудь числа получаю в остатке квадрат. Пусть
это будет 16. Действительно, если из него я вычту 12,
то останется квадрат, а если вычту 7, то опять получится
квадрат.
Затем опять кладу их в х2: одно 12х2, другое 7ха, а
квадрат суммы 16х2; тогда квадрат суммы минус каждое
из них будет квадратом.
Остается, чтобы квадрат суммы равнялся 16х2; и так
как сторона равна стороне, то 19х2 = 4х; и х получается
4/19.
1-е число будет 192/361, 2-е же 112/361, и задача вы-
полнена.
26.	Найти такие два числа, чтобы их произведение,
сложенное с каждым из них, было квадратом, а стороны
этих квадратов в сумме давали заданное число.
Пусть заданное число будет 6.
Если имеются два числа, большее из которых равно
учетверенному меньшему минус единица [хх = 4х2 — 1],
то их произведение, увеличенное на меньшее число, обра-
зует квадрат; поэтому полагают меньшее х, а большее
kx — 1; их произведение, к которому прибавлено мень-
шее число, дает квадрат.
Теперь остается, чтобы их произведение, сложенное
с большим числом, т. е. kx — 1, тоже было квадратом,
сторона которого будет 6 минус сторона 2х меньшего
[квадрата]; тогда, согласно условиям задачи, сложенные
стороны обоих [квадратов] дадут 6. Но это произведение,
сложенное с большим [числом], будет 4.x2 + Зх — 1,
а квадрат 6 — 2х дает 4х2 + 36 — 24х. Приравнивая их
между собой, получаем х = 37/27.
К подстановкам. Я положил меньшее равным х (оно
будет 37/27), а большее 4х — 1 будет 121/27, и предло-
женное установлено.
27.	Найти такие два числа, чтобы их произведение
минус каждое из них было квадратом; стороны этих ква-
дратов в сумме дают заданное число.
Пусть заданное число будет 5.
Если имеются два числа, из которых большее равно
учетверенному меньшему с 1, то их произведение минус
72
арифметика Книга и
меньшее число дает квадрат; возьму большее число 4# +
+ 1, а меньшее х\ их произведение минус меньшее дает
квадрат.
Остается, чтобы их произведение минус большее чис-
ло тоже было квадратом; стороны этих квадратов дают
в сумме 5. Но их произведение минус большее (число]
будет 4л:2 — Зх — 1; это равно квадрату на стороне 5 —
— 2х\ и х получается 26/17.
Меньшее число будет 26/17, а большее 121/17, и оба
удовлетворяют предложенному.
28.	Найти два таких квадратных числа, чтобы
их произведение вместе с каждым [числом] давало
квадрат.
Если один квадрат я положу л:2, а другой 1, то про-
изведение будет л2. Нужно, чтобы оно, сложенное с каж-
дым из квадратных чисел, было квадратом. Значит, дело
свелось к отысканию квадрата, который, будучи сложен
с единицей, дает квадрат.
Полагаю, что квадрат, который я хочу сделать про-
изведением этих чисел, будет х2.
Тогда, если к нему прибавить 1, то он будет х2 + 1.
Нужно, чтобы это равнялось квадрату. Этот квадрат
строю на стороне х — 2. Он, т. е. х2 + 4 — 4я, должен
равняться х2 + 1; и # получается равным 3/4.
Тогда один [квадрат] будет 9/16, а другой 16 [шестнад-
цатых]. Их произведение вместе с 1 дает квадрат.
Теперь нужно, чтобы их произведение вместе со вто-
рым [числом] давало квадрат. И так как это произведение
будет 9/16, то возьмем его в х2. Тогда 9я2/16 плюс
второе число 9/16 после умножения всего на 16 будет
9л2 + 9, что должно равняться квадрату.
Строю этот квадрат на стороне Зх — 4; он будет
9л2 -(- 16 — 24л, и получится х = 7/24.
1-е число 324/576, а 2-е 49/576. И задача решена.
29.	Найти два квадратных числа таких, чтобы их
произведение минус каждое было квадратом.
Если 1-е я положу х2, а 2-е 1, то произведение их будет
х2. Значит, нужно, чтобы и оно минус 1 было квадратом.
Но х2 есть квадрат; дело свелось к отысканию, какой
квадрат минус 1 будет квадратом. Но есть квадрат 25/16;
он действительно, после вычитания 16/16 дает квадрат
9/16.
73
ДИОФАНТ
- - - " •-  -   •—  - ---_  — - - -——
Положу теперь один квадрат х\ а другой 25/16, и их
произведение минус х2 дает квадрат. Теперь нужно, чтобы
их произведение минус 25/16 также было равно квадрату.
Но их произведение минус 25/16 будет ~ . Это при-
равниваем квадрату. Все [множим] на 16 (и берем 25-ю
часть >.
Строю квадрат на х — 4. Тогда он будет х2, + 16 —
— 8а:, приравниваем о;2 — 1; и получается х = 17/8.
1-е число будет 289/64, 2-е 100/64; и задача выполнена.
30.	Найти два таких числа, чтобы их произведение
после прибавления или вычитания суммы было квад-
ратом.
Так как сумма квадратов любых двух чисел после
прибавления или вычитания удвоенного их произведе-
ния дает квадрат х), то я взял два числа 2 и 3. Очевидно,
что сумма их квадратов вместе с удвоенным произведе-
нием, дающая 25, образует квадрат, и также сумма их
квадратов, уменьшенная на их удвоенное произведение,
дает квадрат — единицу. Я возьму их произведение рав-
ным 13а;2.
1-е из них я положу х, а 2-е 13а:, и произведение их
будет 13а:2. Теперь 13а:2, прибавить ли к нему 12а:2 или
вычесть, будет квадратом. Тогда нужно, чтобы 12а:2
равнялось их сумме. Но эта сумма равна 14а:. Значит,
12а;2 равно 14а;; и х будет 14/12, или 7/6.
Но 1-е равно х\ оно будет 7/6, а 2-е — 13а:: оно будет
91/6, и задача выполнена.
31.	Найти два числа, равные [вместе] квадрату, и
такие, чтобы их произведение плюс или минус их сумма
было квадратом.
Если имеются два числа, из которых одно вдвое больше
другого, то сложенные их квадраты после прибавления
или вычитания удвоенного их произведения дадут ква-
драт; возьмем 4 и 2.
Будем считать в квадратах2).
’) х2 4- у2 ± 2ху =» (х ± у)2. (Прим. перев.)
2) Квадрат 2х равен 4х2, а квадрат 4х равен 16х2; сумма 4 и 16 дает 20.
Если от 20х2 отнимем удвоенное произведение 2х и 4х, т. е. 16х2, то оста-
нется 4х2 — квадрат. Если же к 20х2 я прибавлю 1бх2, то получится 36х2 —
опять квадрат. Поэтому он считает произведение равным 20х2, чтобы
после прибавления или отнятия одного и того же числа все равно по-
лучался бы квадрат. (Комментарий Максима Плану ды.)
74
АРИФМЕТИКА КНИГА II
Возьмем произведение равным 20л?2, а сумму 16л;2.
Пусть 1-е число будет 2л?, а 2-е Юл?; их сумма равна 12л;,
но также 16л?2.
Значит, 16а;2 равняется 12л?; <и х получается равным
12/16 >, т. е. 3/4.
1-е число будет 6 [четвертых], а 2-е 30 [четвертых],
и задача решена.
32.	Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого
из них, сложенный со следующим, давал квадрат.
Положим, что 1-е будет х\ если одно число будет пре-
вышать удвоенное другое на единицу, то квадрат мень-
шего числа, сложенный с большим, образует квадрат.
Положим, что 2-е число равно удвоенному 1-му и 1;
оно, конечно, будет 2х + 1, а 3-е, на 1 превышающее
удвоенное 2-е, будет кх + 3. И получается, что квадрат
1-го, сложенный со 2-м, будет квадратом х2 + 2х + 1,
а также квадрат 2-го, сложенный с 3-м, даст квадрат 4л;2 4-
+ 8х -J- 4.
Теперь нужно, чтобы квадрат 3-го, сложенный с 1-м,
образовал квадрат. Но квадрат 3-го вместе с 1-м будет
16.т2 + 25л; + 9. Это должно быть равно квадрату.
Строю квадрат на стороне 4л; — 4; он будет 16л;2 4-
4-16 — 32л;, приравниваю его к 16л;2 4” 25л; 4- 9; и х
получается 7/57.
1-е число будет иметь 57-х частей 7, 2-е — 71, 3-е —
199; и задача выполнена.
33.	Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого
из них после вычитания следующего был квадратом.
Если одно число будет равно удвоенному другому
без единицы [а^ = 2л?2 — 1], то квадрат меньшего после
вычитания большего должен быть квадратом | |х); по-
этому беру 1-е число как х 4- 1» 2-е 2х + 1 и 3-е 4л; 4- 1.
И получается, что квадрат 1-го числа без 2-го будет Q и
также квадрат 2-го минус 3-е будет ГП- Остается лишь,
чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квадратом; но
квадрат 3-го минус 1-е будет 16л?2 4- 7л?, а это будет Г~|,
Строю квадрат на 5л:; следовательно,
25 л;2 = 16л?2 + 7 л:,
и получается, что л? будет 7/9.
1 «
Ч Д’. — Xi = х — 2ха + 1. (Прим, перев.)
75
ДИОФАНТ
1-е число будет иметь 16, 2-е 23, а 3-е 37 [девятых час-
тей], и предложенные условия выполнены.
34.	Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого
из них, сложенный с суммой трех этих чисел, давал ква-
драт.
Если число делится на какое-нибудь число и дает
в частном некоторое число, то, взяв делитель и частное,
из большего вычтем меньшее; тогда квадрат на половине
этой разности, сложенный с первоначальным числом,
будет квадратом х). Полагаю, что сумма трех этих чисел
равна z2, умноженному на число, имеющее три делите-
ля; пусть это будет 12 (.г2). Действительно, 12, разде-
ленное на 1, дает в частном 12, разделенное на 2 дает 6,
а на 3 дает в частном 4. И если я вычту делитель из част-
ного и возьму половину полученной разности, то этих
разностей будет три: 1-я 5х/2, 2-я 2 и 3-я х/2. Теперь оче-
видно, что квадрат каждой такой разности, сложенный
с 12, дает квадрат: 1-й 42х/4, 2-й 16 и 3-й 12х/4.
Теперь выражаю их в л:-ах: 1-й будет 5г/2х, 2-й 2х и
3-й г/2х. И сумма этих трех должна равняться 12а:2, сумма
же трех будет 8л;. Следовательно,
8х — 12л:2,
откуда х — 4/в.
Тогда 1-е число будет 22/6, 2-е 8/6, 3-е 2/6, и пред-
ложенное выполнено.
35.	Найти три таких числа, чтобы квадрат каждо-
го из них, уменьшенный на сумму этих трех, давал
квадрат.
Я беру точно так же некоторое число, которое имеет
три делителя; пусть оно опять будет 12. Прикладывая
делитель к частному и беря половину, полагаю три числа:
одно 6х/2^, другое 4л:, третье Зх/2л:. Показывается, что ква-
драт на каждом из них без 12 будет квадратом. Остается,
чтобы все три равнялись 12л:2. Но три сложенных дают
14л:.
Следовательно, 14л; равно 12л:2; и х будет 7/6.
1-е число будет 45х/2, 2-е 28 и 3-е 24х/2 [шестых частей].
И предложенное выполнено.
(а — Ъ\2
\ 2 /
4-аЪ »
/в -4- в \2
\ 2 7
. (Прим. перев.)
76
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
КНИГА III
1.	Найти три такие числа, чтобы квадрат каждого
из них, будучи вычтен из общей суммы всех трех, давал
квадрат.
Положи два квадрата на сторонах — один х, а другой
2х\ тогда сумма обоих квадратов будет 5я2.
Полагаю сумму всех трех чисел равной 5я2, а из иско-
мых чисел одно х, а другое 2х; и так два из назначенных
[условий] выполнены. И мы имеем 5, подразделеное на
два квадрата,— единицу и четверку; теперь надо под-
разделить 5 еще на два других квадрата, как это показано
выше (Н9), а именно 4/25 из 121/25.
3-е число я полагаю равным стороне одного из этих
квадратов; пусть оно будет у х\ тогда его квадрат, вы-
чтенный из суммы обоих, даст опять квадрат 121/25.
Остается, чтобы сумма всех трех равнялась 5я2; но эти
три будут 3— х. Следовательно, х получается 85/125.
1-е число будет 85, 2-е 170, 3-е 34 [сто двадцать пятых
частей], и предложенное выполнено.
2.	Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех
трех, сложенный с каждым из этих чисел, давал квадрат.
Положим, что квадрат суммы всех трех будет х*.
1-е я полагаю Зя2, 2-е 8я2, а 3-е 15я2, чтобы квадрат суммы
трех, т. е. я2, сложенный с каждым из них, давал бы соот-
ветственно квадрат, т. е. 4х2, (9я2> и 16я2.
И нужно, чтобы эти три сложенные оказались равными
стороне квадрата суммы всех трех, т. е. х. Но все три
сложенные равны 26я2; и х получается равным 1 (двад-
цать шестой >.
Следовательно, 1-е число будет 3/676, 2-е 8/676 и
3-е 15/676; и задача выполнена.
3.	Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех
трех минус каждое из этих чисел давал квадрат,
П
ДИОФАНТ
Положим, что сумма трех чисел будет 4л:, а ее квадрат
16л:2; если из него вычесть 7л:2, 12л;2 и 15л:2, то получатся
квадраты.
Тогда я беру 1-е число 7 л:2, 2-е 12л:2 и 3-е 15л:2. Остается,,
чтобы сумма полученных трех равнялась трем [первона-
чальным]. Но мы положили, что сумма трех начальных
4л:, а сумма трех полученных равна 34л:2; получается
х = 2/17, а х2 = 4/289.
1-е число будет 28, 2-е 48, 3-е 60 [двести восемьдесят
девятых]; и задача выполнена.
4.	Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех
трех, вычтенный из каждого числа, давал квадрат.
Положим сумму трех чисел равной х, а ее квадрат л:2,,
и пусть три числа будут 2л:2, 5л:2 и 10х2; тогда каждое
число, из которого вычтен квадрат суммы трех, т. е. х2„
должно быть квадратом.
И так как квадрат суммы трех чисел имеет, конечно,,
стороной сумму этих трех чисел, то эта сумма трех, рав-
ная л:, будет также равна 17л:2. И х получается равным
одной<17-й>, а х2 — одной <289-й >.
1-е число будет 2, 2-е 5, 3-е 10 [двести восемьдесят
девятых]; и предложенное выполнено1).
5.	Найти три числа, сумма которых равна квадрату,
и такие, чтобы два из них, взятые вместе, превышали
оставшееся третье на квадрат.
Положим, что три числа, взятые вместе, равны квадрату
на стороне х + 1, т. е. х2 + 2х + 1; пусть 1-е и 2-е вместе
превышают 3-е число на 1; тогда 3-е число будет г/2л:2 +
+ х, так как 1-е и 2-е вместе должны превышать 3-е на 1.
Далее, 2-е и 3-е должны превышать 1-е на квадрат; пусть
этот квадрат л:2; тогда 1-е точно так же будет х + т/2;
и как остаток получим х/2л:2 + х/2 — 2-е число. Остается,
чтобы 1-е вместе с 3-м превышали 2-е на квадрат. Но 1-е
вместе с 3-м превышают среднее на 2х — |
Пусть этот квадрат будет 16; их получается равным 8.
1-е число будет 2-е 321/2, 3-е 40; и предложенное
выполнено.
Иначе. Сначала я ищу три квадратных числа, сум-
ма которых была бы равна квадрату. Если я сложу два
I) Таинери подозревает, что задачи ПК-4 этой книги, очень похожие на
задачи Пз4 и II35 книги II, проскользнули в текст из древнего коммен-
тария.	пере$.)
78
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
квадратных числа, например 4 и 9, и поищу, какой квад-
рат, сложенный с 13, дает квадрат, то я найду 36. И эти
три квадрата (в сумме] равны одному Q.
Теперь дело свелось к отысканию трех чисел, чтобы
они, взятые попарно, превышали оставшееся третье на
заданное число: пусть 1-е вместе со 2-м будет больше 3-го
на 4, а 2-е вместе с 3-м больше 1-го на 9, а 3-е вместе с 1-м
больше 2-го на 36.
Это же показано выше т); и 1-е будет 20, 2-е же 6*/2
и 3-е 22т/2; и они выполняют предложенное.
6.	Найти три числа, равные в сумме квадрату, и
такие, чтобы они, взятые по два, давали квадрат.
Возьмем три [числа в сумме], равные f~[, [а именно]
х2 + 2х + 1; пусть 1-е вместе со 2-м [будет] х2; тогда 3-е
будет 2х + 1. Затем, так как мы ищем 2-е, которое вместе
с 3-м дает [~П, т0 пусть оно будет х2 + 1 — 2х на стороне
х — 1; но эти три числа в сумме дают х2 4~ 2х + 1; сле-
довательно, оставшееся 1-е число будет кх. Но 1-е вместе
со 2-м положено было ж2; значит, 2-е будет х2 — 4ж.
Следовательно, еще нужно, чтобы 1-е вместе с 3-м,
равные 6я + 1, равнялись квадрату; пусть этот квадрат
будет 121; тогда х получится равным 20.
1-е число б^дет 80, 2-е 320, 3-е 41; они удовлетворяют
заданию.
Иначе. Положим, что сумма трех чисел равна
х2 4- 2х + 1, и пусть 1-е вместе со 2-м дает х2\ тогда остав-
шееся 3-е будет 2х -J- 1. Пусть также 2-е вместе с 3-м
равно х2 4- 1 — 2х\ из них 3-е = 2х 4~ 1; тогда остав-
шееся 2-е будет х2 — кх. Но 1-е вместе со 2-м также будет
х2; из них 2-е равно х2 — 4х; следовательно, остающееся
1-е будет кх. И все три сложенные дают заданный выше
Q] = х2 + 2х 4- 1, и 1-е вместе со 2-м и 2-е вместе с 3-м
образуют Г"|.
Следовательно, нужно, чтобы и 3-е, сложенное с 1-м,
т. е. Qx + 1, равнялось Q; пусть он будет 36; и х полу-
чится 35/6.
1-е число будет 140/6, т. е. 840/36, 2-е 385/36 и 3-е
456/36; они выполняют заданное.
7.	Найти такие три числа с одинаковыми разностями,
чтобы, сложенные попарно, они давали квадрат.
!) Задача Ii8. (Прим, перев.)
п
ДИОФАНТ
Ищу сначала такие три квадратных числа, чтобы они
имели одинаковые разности, причем каждое число дол-
жно быть меньше полусуммы всех трех.
Возьму 1-е число как я2, а 2-е как х2 + 2х + 1; их
разность будет 2х + 1; если 2х + 1 я приложу ко 2-му
числу, то получится 3-е число х2 + кх + 2; это я делаю
равным квадрату на стороне х — 8; и х получается рав-
ным 62/20, или 31/10.
1-е число будет 961, 2-е 1681, 3-е 2401; они решают
искомую задачу, а именно; имеются три квадрата с оди-
наковыми разностями, и половина суммы трех чисел
больше каждого из них.
Теперь я перехожу к ранее поставленной задаче, а
именно: найти такие три числа с одинаковыми разностями,
чтобы они, взятые по два, давали в сумме квадраты. Сна-
чала ищу три квадратных числа с одинаковыми разно-
стями. Это уже сделано, и квадраты будут: 1-й 961, 2-й
1681, 3-й 2401.
Теперь нужно сделать так, чтобы
1-й + 2-й равнялись 961,
2-й + 3-й равнялись 2401
и, изменяя порядок в разности,
3-й + 1-й равнялись 1681.
Положим, что сумма трех будет х\ и так как эти три равны
х, то, отняв сумму 1-го и 2-го, равную 961, я получу 3-е
х — 961. И далее, если от х отниму сумму 2-го и 3-го,
равную 2401, то получу 1-е х — 2401. Наконец, если от х
отниму сумму 3-го и 1-го, равную 1681, то получу 2-е
X - 1681.
Остается, чтобы эти три числа сложенные дали бы х\
и х получается равным 25211/2.
И 1-е число будет 120V2, 2-е 840V2 и 3-е 1560V2; и пред-
ложенное получается.
8*. Дано некоторое число; подыскать такие три дру-
гих, чтобы суммы любых двух вместе с данным
числом образовали квадрат и, кроме того, сумма всех
трех вместе с заданным числом тоже образовала квадрат.
Пусть заданное число будет 3, а сумма двух первых
х2 + 4х + 1, чтобы вместе с 3 получался квадрат; сумма
80
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
же двух следующих х2 + &х + 6, а всех трех х2 4~ 8х +
4-13; каждая из этих сумм вместе с 3 даст квадрат.
И так как сумма трех х2 4- 8х + 13, а сумма двух
первых х2 4- кх + 1, то, значит, в остатке получится 3-е
число Ьх + 12.
Опять так как сумма трех х2 + 8я 4“ 13, а сумма 2-го
и 3-го х2 4~ 6# 4~ 6, то в остатке получится 1-е 2х + 7.
Но 1-е и 2-е вместе х2 4~ Ьх + 1; тогда остаток даст
2-е число х2 4“ 2# — 6.
Остается, чтобы сумма 1-го и 3-го вместе с 3 давала
квадрат. Но 1-е с 3-м плюс 3 будут &х 4- 22.
Это должно равняться квадрату; положим 100; тогда
х ~ 13.
1-е число будет 33, 2-е 189 и 3-е 64. И задача выпол-
нена.
9*. Задано некоторое число; найти такие три других,
чтобы сумма каких-нибудь двух минус заданное давала
квадрат и, кроме того, сумма всех трех минус заданное
тоже давала бы квадрат.
Пусть опять заданное число будет 3; а сумма двух
первых х2 4~ 3; после вычитания 3 получается квадрат;
сумма двух же следующих х2 4“ 2я 4- 4, а всех трех
х2 + 4х 4" 7; тогда и эти суммы минус 3 дадут квадрат.
И так как сумма всех трех чисел равна х2 4~ 4я 4“ 7,
где сумма 1-го и 2-го равна х2 + 3, то в остатке будет 3-е
число !±х + 4.
Опять так как 2-е и 3-е вместе дают я2 4“ 2# 4~ 4, где
3-е число 4х 4“ 4, то в остатке получится 2-е число х2—2х.
Но 1-е и 2-е числа вместе равны х2 4- 3, а 2-е будет
х2 — 2х, и в остатке получится 1-е 2х + 3.
Следовательно, нужно, чтобы 3-е вместе с 1-м минус 3
давали квадрат. Но 3-е вместе с 1-м минус 3 будет
§х 4- 4. Это должно равняться квадрату; пусть он будет
64; тогда х получается 10.
К подстановкам: 1-е число будет 23, 2-е 80, 3-е же 44;
они и выполняют предложенное.
10.	Найти такие три числа, чтобы произведение любых
двух из них, сложенное с заданным числом, образовало
квадрат.
Пусть заданное число будет 12.	г
Так как мы ищем, чтобы произведение 1-го и 2-го
чисел, взятое вместе с 12, давало квадрат, то если от
81
ДИОФАНТ
какого-нибудь квадрата я отниму 12, то получу произве-
дение 1-го на 2-е. Пусть этот квадрат будет 25; если отнять
от него 12, то в остатке получу произведение 1-го на 2-е,
именно 13. Тогда пусть 1-е будет 13, а 2-е 1; построим их
в я-ах, чтобы произведение их давало 13. И пусть 1-е
будет 13дг, а 2-е — арифметичная часть 1/х.
Если я отниму 12 от другого квадрата, то буду иметь
произведение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 16;
тогда остаток — произведение 2-го на 3-е — будет 4.
Построим опять в я-ах так, чтобы произведение их
давало 4; если 2-е есть 1/х, то остающееся 3-е будет 4х.
Требуется, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе
с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно
52а;2. Тогда нужно, чтобы 52а;2 вместе с 12 образовали
квадрат; если бы количество [а?-ов] 1-го числа равнялось
13, то уравнение получилось бы просто. Но это не так;
приходится найти два таких числа, чтобы их произведе-
ние было квадратом и еще чтобы каждое из них вме-
сте с 12 давало квадрат. Если вместо чисел взять ква-
драты, то произведение будет квадратом. Следовательно,
надо искать два квадрата, каждый из которых вместе с 12
давал бы квадрат. Это же легко, и, как мы уже сказали,
равенства решаются простох).
Пусть это будет 4 и каждое из них, сложенное с 12,
даст квадрат.
Найдя эти числа, я перехожу к первоначальному за-
данию и полагаю 1-е равным 4х, 2-е l/х и 3-е х/4а;. Нужно,
чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат.
Но произведение 1-го и 3-го равно х2. Тогда х2 вместе с 12
должен равняться квадрату. Я строю квадрат на стороне
х + 3; он будет х2 + 6а; + 9; приравняв это х2 + 12,
получаем х — х/2. И задание выполнено.
11.	Найти такие три числа, чтобы произведение любых
двух из них минус заданное число давало квадрат.
Пусть заданное число будет 10.
Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го
минус 10 давало квадрат, то я получу их произведение,
если к какому-нибудь квадрату приложу 10; пусть этот
квадрат равен 4. Тогда произведение 1-го на 2-е будет 14.
Если 1-е есть 14, то 2-е будет 1. Опять построим их в
См. задачу IIш. (Прим, перев.)
82
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
ar-ах, чтобы произведение давало 14; пусть 1-е будет
14л:, а 2-е Их.
Прибавив 10 к другому квадрату, я получу произве-
дение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 9; тогда про-
изведение 2-го на 3-е даст 19; если 2-е равно Их. то оста-
ющееся 3-е будет 19л:.
Теперь нужно, чтобы и произведение 3-го на 1-е минус
10 < дав ало квадрат. Но произведение 3-го и 1-го минус
10 > будет 266а;2 — 10; оно должно равняться квадрату.
И на основании сказанного в предшествующем дело све-
лось к нахождению двух квадратов, каждый из которых
после вычитания 10 давал бы квадрат; это же нетрудно.
[Ты найдешь рехпение, поискав, какой квадрат после
вычитания 10 останется квадратом. Действительно, если
к какому-нибудь числу прибавить 1, половину суммы воз-
вести в квадрат и из полученного квадрата отнять перво-
начальное число, то остаток опять будет квадратом;
поэтому, если к 10 я прибавлю 1, половину полученного,
т. е. 5х/2, возведу в квадрат и отниму 10 от получающихся
30х/4, то буду иметь квадрат 20х/4 на стороне 4х/2.
Теперь 1-е число я полагаю 30х/4, а 3-е л:2; нужно,
чтобы после вычитания 10 из л:2 остаток тоже был квадра-
том, следовательно, х2 — 10 тоже будет равен квадрату.
Строю этот квадрат на стороне х — 2; он будет х2 + 4 —
— 4х, и х получается Зх/2. Так как 3-е число я положил
х2. то оно будет 12х/4. А первое число уже есть 30х/4; оба
они без 10 будут квадратами.]х).
Возвращаюсь к первоначальному заданию и полагаю
1-е равным (30х/4) х, 2-е Их и 3-е (12х/4)л:; произведение
( 1 1 \
370 у «jgj х2; если из этого вычесть 10,
то должен получиться квадрат. Чтобы х2 было целым,
увеличиваю этот квадрат в 16 раз. Тогда 5929л;2 — 160
приравниваю квадрату на стороне Их — 2, т. е. 5929«г2 +
+ 4 — 308л:. И х получается 41/77.
Я положил 1-е число (30х/4)л:: оно будет , 2-е
Их будет 77/41, а 3-е (12х/4) х будет , и заданное
выполнено.
*) Весь текст, взятый в квадратные скобки, вероятно, является поздней-
шей вставкой. (Прим. ред.)	' — /
ЯЯ
ДИОФАНТ
12.	Найти такие три числа, чтобы произведение двух
любых из них, сложенное с оставшимся, давало квадрат.
Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го
чисел, сложенное с оставшимся, давало квадрат, то,
взявши какой-нибудь квадрат, некоторую часть его на-
зовем 3-м числом, а остаток — произведением 1-го на 2-е;
таким образом, мы удовлетворим одному из поставленных
условий. Построим квадрат на х + 3; он будет х2 + §х +
+ 9; положим, что 9 есть 3-е число; тогда остальное будет
произведением 1-го на 2-е х2 + &х. Положим, что 1-е
будет ж; тогда 2-е число дает (ж + 6. Теперь нужно, что-
бы произведение 2-го и 3-го чисел, сложенное с 1-м, т. е. >
10# + 54, было равно квадрату и, кроме того, произве-
дение 3-го и 1-го вместе со 2-м, равное Юж + 6, также
равнялось бы квадрату. И получается двойное равенство,
в котором разность Юж + 54 и Юж + 6 будет 48.
Следовательно, нужно найти два квадрата с разностью
48, это делается легко и бесконечным количеством спо-
собов. Пусть меньший квадрат будет 16, а больший 64;
какой бы из них я ни взял для сравнения, я получу под-
становку для ж. Если мы положим, что Юж 4- 54 должно
равняться 64, то ж получится равным 1, если же мы затем
скажем, что меньший 16 должен равняться Юж + 6,
получится ж = 1.
К подстановкам. 1-е число будет 1, 2-е 7 и 3-е 9; они
удовлетворяют поставленным условиям.
13.	Найти такие три числа, чтобы произведение двух
любых из них минус оставшееся давало квадрат.
Положим 1-е число ж, 2-е ж + 4; тогда их произведение
будет ж2 + 4ж. Теперь нужно, чтобы оно без 3-го числа
давало квадрат; если я возьму 3-е число 4ж, (то одно из
условий будет выполнено. Теперь нужно, чтобы произведе-
ние 2-го и 3-го без 1-го давало квадрат > и произведение 3-го
и 1-го без 2-го тоже давало квадрат. Но произведение 2-го
и 3-го без 1-го будет 4ж2 + 15ж, равное квадрату; произве-
дение же 3-го и 1-го без 2-го будет 4ж2 — (ж + 4), тоже
равное квадрату. Мы опять получаем двойное равенство.
Так как разность оказывается 16ж + 4, то я ищу два чис-
ла, произведение которых будет 16ж + 4; это 4 и 4ж + 1.
Далее, полусумма этих чисел, умноженная на себя,
должна равняться большему, а полуразность, умноженная
на себя, — меньшему; и ж получается 25/20.
84
АРИФМЕТИКА КНИГА III
1-е число будет 25, 2-е 105, 3-е 100 [двадцатых], и
предложенное верно.
14.	Найти такие три числа, чтобы произведение двух
любых из них, сложенное с квадратом оставшегося, да-
вало квадрат.
Возьмем 1-е х, 2-е 4# + 4, 3-е 1, чтобы были выполнены
два из назначенных условий.
Теперь остается, чтобы произведение 3-го и 1-го чисел
вместе с квадратом 2-го числа, равное 16а?2 4- ЗЗх + 16,
давало квадрат; пусть он будет на стороне ix — 5, т. е.
16я2 4- 25 — 40я; получается х = 9/73.
1-е число будет 9, 2-е 328 и 3-е 73.
15*. Найти три таких числа, чтобы произведения лю-
бых двух из них, сложенные с их суммой, давали квадрат.
У всех квадратов произведение двух последовательных
квадратов, сложенное с их суммой, будет квадратом.
Возьмем 1-е число 4, а 2-е 9; их произведение, именно
квадрат 36, сложенное с их суммой, дает квадрат. Оста-
ется, чтобы произведение 2-го на 3-е, сложенное с их
суммой, а также и произведение 3-го на 1-е, сложенное
с их суммой, давали квадраты.
Положим, что 3-е число будет тогда произведение
2-го на 3-е вместе с их суммой 10х 4~ 9 должно быть ква-
дратом, а также произведение 3-го на 1-е, сложенное с их
суммой 5х 4- 4, тоже должно быть квадратом; опять полу-
чается двойное равенство, и разность будет 5х 4" 5.
Теперь я ищу еще два числа, чье произведение равно
5х 4- 5. Это будут те, произведение которых равно
разности, одно х 4- 1, а другое 5. И точно так же, как
выше, их полусумма в квадрате будет равна большему,
а полуразность в квадрате — меньшему; получается
х — 28.
1-е число будет 4, 2-е 9 и 3-е 28. Они удовлетворяют
предложенному.
Иначе. Найти такие три числа, чтобы произведение
любых двух, сложенное с их суммой, давало квадрат.
Положим, что 1-е будет х, а 2-е 3; их произведение
вместе с суммой 4х 4- 3. Оно равно квадрату; пусть по-
следний будет 25, и я получится Тогда 1-е число будет
5х/2, а 2-е 3, и одно из условий удовлетворено; действи-
тельно, произведение этих чисел, сложенное с их суммой,
дает квадрат.
85
ДИОФАНТ
Теперь нужно, чтобы произведение 2-го и 3-го, а также
3-го и 1-го вместе с их суммами давали квадраты.
Положим, что 3-е будет х\ тогда произведение 2-го и
3-го вместе с их суммой будет опять 4# -р 3, а произве-
дение 3-го и 1-го (вместе с их суммой) (6х/2)# + 5т/2, и
каждое из них должно быть квадратом. Но так как ко-
личества #-ов и единиц одного равенства больше соот-
ветствующих количеств другого и, кроме того, не имеют
отношения квадрата к квадрату, то сделанная подстановка
не годится.
Таким образом, дело свелось к отысканию двух чисел,
произведение которых вместе с суммой давало бы квад-
рат и, кроме того, чтобы они, увеличенные на единицу,
находились между собой в отношении квадрата к
квадрату.
Если одно число превосходит четырехкратное другое
на 3, то они, увеличенные на 1, будут относиться, как
квадратное число к квадратному числу х); я полагаю
1-е число х, а 2-е 4х -J-3. После этого нужно, чтобы их
произведение вместе с суммой равнялось квадрату; но
их произведение вместе с суммой будет 4#2 4- 8х + 3;
это должно равняться квадрату.
Строю квадрат на стороне 2х — 3, получается квадрат
4#3 + 9 — 12#, и получаем х = 6/20, или 3/10. Тогда
1-е число будет 3/10, а 2-е 42/10, или 4х/5, и еще одно
условие выполнено.
Остается, чтобы произведение 2-го и 3-го вместе^с их
суммой давало квадрат. Полагаю, что 3-е будет #, 2-е
же равно 4V5. Их произведение вместе с суммой полу-
чается + 4V6; это должно равняться квадрату.
Умножаю (5V5)# 4- 4V5 на 25; получается 130# 4-
13	3
4-	105 = П; равным образом # 4- jg множу на 100;
получается 130# 4- 30, тоже равное | |.
Разность этих квадратов 75, мы опять имеем двойное
равенство, из которого получается # = 7/10.
3-е число будет 7/10, 1-е 3/10, а 2-е 42/10. Постав-
ленные условия удовлетворяются.
16.	Найти три таких числа, чтобы произведение каж-
дых двух минус их сумма было квадратом.
!) ?₽ + 1 и (4х + 3) +1 относятся, кан 1 к 4. (Прим, перев,) •
86
АРИФМЕТИКА КНИГА III
Если, подобно предыдущему, положим одно число
равным х, а другое какому-нибудь количеству единиц,
то попадем опять в безвыходное положение. Чтобы отно-
шение некоторого количества х к другому количеству х
равнялось отношению двух квадратных чисел, нужно
искать два таких числа, чтобы их произведение минус
их сумма равнялось квадрату <и также чтобы эти числа,
уменьшенные на 1, имели друг к другу отношение двух
квадратных чисел >.
Пусть одно число будет на 3 меньше четырехкратного
другого; тогда оба эти числа, уменьшенные на 1, имеют
друг к другу отношение, как одно квадратное число к дру-
гому; [действительно, если отнять от каждого числа по 1,
то уменьшенные будут 4 и 1; так же ясно, что если от
четырехкратного отношения отнять четырехкратное, то
получится тоже четырехкратное, т. е. отношение квадрата
к квадрату] х).
Полагаю 1-е число х +1, а 2-е ^х 4- 1; если я отниму
от их произведения сумму, то получится 4т2 — 1, равное
квадрату на стороне 2х — 2, т. е. 4#2 +4 — %х, и х =
= 5/8. Одно число будет 13/8, а другое 28/8, и первое
условие удовлетворено.
И так как 1-е число равно 13/8 и 2-е Зг/2, то 3-е я пола-
гаю х. Произведение 2-го на 3-е будет х\ после вы-
читания суммы обоих, т. е. х -{-З1^ получается (2х/2)^—Зх/2,
равное квадрату; <умножая это на 4, получим 10# — 14>.
Произведение же 3-го и 1-го будет -g х\ после вычи-
5	13
тания суммы обоих получается -$х —	, что равно квад-
рату. Это умножаю на 16, что дает 10# — 26.
Их разность 12 равна произведению 2 и 6; половина
суммы, умноженная на самое себя, дает 16, которое
приравниваем большему 10# — 14. И получается
х = 3.
3-е число будет 3 или 24/8; имеем 1-е равным 13/8, а
2-е Зх/2, т. е. 28/8. И задача решена.
17.	Найти такие два числа, чтобы их произведе-
ние, взятое вместе с суммой или же с каждым, давало
квадрат.
9 Фраза, по-видимому, вставлена одним из комментаторов. (Прим, ред.)
87
ДИОФАНТ
Полагаю 1-е число х, а 2-е 4^ — 1; если одно число в
четыре раза больше другого минус 1, то их произведение
вместе с меньшим дает квадрат.
Остается удовлетворить и два остальных условия:
чтобы произведение вместе со 2-м давало квадрат и еще
чтобы произведение вместе с суммой давало квадрат. Но
произведение вместе со 2-м будет 4х2 Зх — 1 = | |; про-
изведение вместе с суммой обоих будет 4х2 + 4# — 1 = | [.
Получается двойное равенство; разность будет х и оп-
ределяется произведением V4 и 4гг; х получается равным
65/224.
1-е число будет 65, а 2-е 36 [двести двадцать четвертых
долей]; задача решена.
18.	Найти такие два числа, чтобы их произведение
минус каждое из чисел или их сумма составляло квадрат.
Положу одно х + 1, а другое 4^; если одно число в че-
тыре раза без 4 больше другого г), то произведение их ми-
нус большее число дает квадрат.
Кроме того, нужно, чтобы их произведение минус
меньшее число, а также это произведение минус сумма
обоих давали квадрат. Но их произведение минус меньшее
будет 4^ Зх — 1, а минус сумма обоих 4#2 — х — 1, и
они должны быть равны квадратам. Разность их будет
4х; один множитель беру 4ж, а другой 1; и х получает-
ся I1/*.
Одно число будет 2V4, а другое 5. И доказательство
очевидно.
19*. Найти четыре таких числа, чтобы квадрат суммы
всех четырех чисел оставался квадратом, если к нему при-
бавить или из него вычесть каждое из этих чисел.
Так как во всяком прямоугольном треугольнике квад-
рат на гипотенузе остается квадратом, если к нему приба-
вить или от него отнять удвоенное произведение сторон,
прилегающих к прямому углу, то прежде всего я ищу че-
тыре прямоугольных треугольника, имеющих одинако-
вые гипотенузы; эта задача одинакова с задачей на разло-
жение какого-нибудь квадрата на два квадрата, и притом
четырьмя способами, а мы знаем, что разложение данного
квадрата на два квадрата можно производить бесконеч-
ным числом способов.
») 4 (х 4- О — 4 — 4х; полагается, что х> 1. {Прим, перев.)
88
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
Теперь возьмем два прямоугольных треугольника из
наименьших чисел, как, например, 3, 4, 5 и 5, 12, 13,
и помножим каждый из взятых на гипотенузу другого; тог-
да первый треугольник будет 39, 52, 65, а второй 25, 60,
65. Это будут прямоугольные треугольники, имеющие
одинаковые гипотенузы.
По своей природе число 65 разлагается на квадраты
двумя способами, а именно на 16 и 49, а также и на 64 и
1. Это происходит потому, что 65 получается от произве-
дения 13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на
два квадрата. Теперь для взятых 49 и 16 я нахожу сто-
роны, они будут 7 и 4, и образую прямоугольный треу-
гольник на двух числах 7 и 4; это будет 33, 56, 65.
Точно так же у 64 и 1 сторонами будут 8 и 1; я опять
образую на этих числах прямоугольный треугольник со
сторонами 16, 63, 65.
Таким образом, получаются четыре прямоугольных
треугольника с одинаковыми гипотенузами; возвраща-
ясь к первоначальной задаче, в качестве суммы нужных
четырех чисел я беру 65я, а каждое из этих чисел в ж2,
взятым число раз, равное учетверенной площади, именно:
1-е 4056л:2, 2-е ЗОООх2, 3-е 3696х2 и 4-е 2016а:2.
И сумма четырех чисел 12768а:2 будет равна 65а;, так
что х получается равным 65/12768.
К подстановкам.
12675000> таких же долей, 3-е 15615600 таких же долей,
четвертое 8517600, а знаменатель равен 163021824.
20. Данное число разложить на два числа и подобрать
для них такой квадрат, который по вычитании каждой
части оставался бы квадратом 1).
Пусть данное число будет 10.
Положим, что подыскиваемый квадрат будет х2 -f-
+ 2х + 1. Он остается квадратом, если из него вычесть
2х + 1, и также останется квадратом, если вычесть 4я.
Поэтому я полагаю, что 1-я часть будет 2х -f-1, а 2-я 4.т.
Оба этих числа после сложения должны произвести дан-
ное. Но сумма их будет 6х 1; это должно быть равно 10,
откуда х получается I1/
К подстановкам. 1-я часть будет 4, а 2-я 6, а квадрат
число будет 17136600, <2-е
2*
Ч Это другое решение задачи П18. (Прш<. перев.}
89
ДИОФАНТ
21. Данное число разложить на два числа и подобрать
для них квадрат, прибавление которого к каждой части
давало бы квадрат.
Пусть данное число будет 20.
Возьмем квадрат я2 -J- 2х 4- 1. Он останется квадратом,
если я прибавлю 2х 4- 3, а также если прибавлю 4# 4~
Тогда сумма обоих этих чисел будет &х 4- 11 х).
1-я часть будет 6, 2-я 14, а квадрат б1/*. Доказатель-
ство очевидно 2).
КНИГА IV
1. Данное число разложить на два куба, сумма сторон
которых задана.
Пусть требуется разложить число 370 на два куба,
сумма сторон которых 10.
Положим сторону 1-го куба х 4- 5, т. е. больше поло-
вины суммы сторон. Тогда сторона 2-го куба будет 5 — ж;
следовательно, сумма самих кубов будет ЗОя2 4" 250;
она равняется заданному числу 370; и х получается рав-
ным 2.
К подстановкам. Сторона 1-го куба 7, 2-го 3, а сами
кубы — 1-й 343, а 2-й 27.
2*. Найти такие два числа, чтобы была задана их раз-
ность, а также и разность их кубов.
Пусть разность этих чисел будет 6, а разность их кубов
504.Положим, что сторона большего куба будет х 4- 3,
а меньшего х — 3; тогда разность их сторон должна оста-
ваться равной 6. Кроме того, разность самих кубов равна
О Здесь имеется лакуна в тексте, которую можно восполнить так: f-я часть
2х 4- 3, 2-я 4х 4- 8. Приравняв их сумму бх 4- Н данному числу 20, на-
ходим х = 1>/«. (Прим, перев.)
) Это другое решение вадачи Пм. (Пргис. перев.)
90
АРИФМЕТИКА КНИТа IV
504.	Но разность обоих кубов будет 18я2	54, это же
равно 504; и х получается равным 5.
К подстановкам. Сторона большего куба будет 8, а
меньшего 2. Сами же кубы будут один 512, а другой 8, и
доказательство очевидно.
3.	Квадрат и его сторону помножить на одно и то же
число и сделать, чтобы эта сторона давала куб, а квад-
рат — сторону этого куба.
Положим, что квадрат будет я2 и, следовательно, его
сторона а множитель был бы какой-нибудь арифметич-
ной х) частью, взятой кубическое число раз; пусть он бу-
дет 8/z. Умножая это на х 2, получим 8.т, а умножая на х,
получим 8<
Мы же хотим, чтобы 8х было стороной этого куба,
следовательно, 8я должно равняться 2; и х получается
равным 2/8, а множитель — 32.
Если мы не хотим иметь дробных долей, то возьмем 8х
равным 2; и х будет Va 2).
К подстановкам. Квадрат будет Vie, сторона Va, мно-
житель 32. Если же х = */а, то арифметичная часть 1/я
будет 4. И доказательство очевидно.
4.	К квадрату и стороне прибавить одно и то же такое
число, чтобы получились опять квадрат и сторона.
Пусть квадрат будет я 2 и, следовательно, сторона х\
прибавляемое же число будет ж2, взятое столько раз, что-
бы вместе с х2, оно образовало квадрат. Пусть оно будет
Зх2; если мы приложим его к х 2, то получим квадрат
2,	а если к х, то Зх 2 + х\ но это должно равняться сто-
роне квадрата 4я2, т. е. 2х\ и х получается равным V3.
К подстановкам. Квадрат будет V9, сторона Vg, прибав-
ляемое же число 3/9.
5.	К квадрату и стороне приложить одно и то же такое
число, чтобы получилось то же самое, но в обратном поряд-
ке, т. е. сторона и квадрат.
Пусть квадрат будет ж2, значит, сторона будет х\ для
того же, чтобы сторона стала квадратом, прибавляемое
число примем х 2, взятое квадратное число раз, минус х —
сторона квадрата. Пусть оно будет 4а? — х. <Если мы при-
бавим его к Ху получим квадрат, а если к ж2, то 5х2 — х\)
’) То есть 1/х. (Прим. персе.)
*) Место не вполне ясно. Поводимому, текст искажен. (Прим, рей.)
91
ДИОФАНТ
последнее должно равняться 2х — стороне квадрата,
получаемого после прибавления, и х оказывается рав-
ным 3/5.
К подстановкам. Квадрат будет 9/25, сторона 3/5, а
прибавляемое число 21/25.
6.	К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой
квадрат, чтобы получилось то же самое, т. е. куб и
квадрат.
Пусть теперь будут куб х* и квадрат х\ взятый неко-
торое квадратичное число раз, например, 9я2.
И так как мы хотим, чтобы некоторый квадрат вместе
с 9я2 образовал тоже квадрат, то берем два числа, произ-
ведение которых равно 9; пусть это будут 1 и 9. Если от
9 я отниму единицу и половину остатка умножу на себя,
то я получу 16; прикладывая к нему 9, я образую квад-
рат *).
Теперь в качестве прибавляемого квадрата я беру
16г2; если я его прибавлю к 9я2, то получится квадрат;
если же я прибавлю его к ж3, то получится х? -р 16я2,
что должно быть равно кубу. Пусть этот куб будет в#3;
тогда получится, что х = 16/7.
К подстановкам. Куб будет 4096/343, квадрат 2304/49,
а прибавляемый к ним квадрат 4096/49.
7.	К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой
квадрат, чтобы получилось то же самое, но в обратном по-
рядке.
Пусть куб будет квадрат Х2, а прибавляемый к ним
квадрат Х3 2).
Так как я хочу, чтобы прибавляемый квадрат Х3 обра-
зовал вместе с некоторый куб, то пусть он образует куб
Xi. Таким образом, Хг превосходит Х2 на Х3, т. е. на квад-
рат, ибо Х3 есть квадрат. Если же я возьму два каких-
нибудь числа, то их квадраты, к которым прилагается или
из которых вычитается удвоенное их произведение, дадут
квадрат. Итак, я должен, взявши два числа, положить
сумму их квадратов равной Х19 так как Х± равен сумме
двух квадратов, именно искомого и прибавляемого: Х3
и Х21 а Х3 равен удвоенному их произведению. Но Х3 есть
__	,	„	, /IX — v \ 2	/11 -р V \2
О Используется пифагорейское соотношение jxv + (—----------) =(Е------1 » где
J1 = 9, v — 1. (Прим. перев.)
*) У Диофанта соответственно обозначено 1-е, 2-е и 3-е. (Прим. ред.)
92
АРИФМЕТИКА КНИГА 1V
квадрат; следовательно, их удвоенное произведение тоже
будет квадратом. Положим один из них равным х, а дру-
гой 2<г, чтобы их удвоенное произведение было квадра-
том. Теперь, взяв сумму их квадратов, полагаю — 5z2,
а удвоенное их произведение 4х2 беру как Х3. Следова-
тельно, разность Х2 =	— Х3 будет z2, ибо она вместе
с Х3 будет равна Хх, Теперь остается сделать Х± кубом.
Имеем, что 5х2 равно х3; и х получается равным 5.
К подстановкам. Куб Xt будет 125, квадрат Х2 равен
25, и прибавляемый квадрат Х3 = 100. И доказатель-
ство очевидно.
Иначе. Пусть будут куб Хх, квадрат Х2 и прибав-
ляемый квадрат Х3.
Так как я хочу, чтобы прибавляемый квадрат, будучи
приложен к Х2, т. е. квадрату, образовал куб, то пусть он
образует Xi. Затем, так как Хь складываемый с Х3, об-
разует квадрат, то у меня [все] свелось к нахождению двух
[вспомогательных] квадратов, сумма которых вместе с од-
ним из них дает квадрат, [вследствие того, что два квадра-
та: один, взятый дважды, и другой Х2 — образуют куб,
т. е. XJ *).
Возьмем два квадрата: первый х2, а второй 4. Их сумма
вместе с одним из них будет 2х2	4 и равна квадрату:
пусть последний будет построен на стороне 2х — 2; тогда
получится квадрат 4х2 -|- 4 — 8х; и х оказывается
равным 4.
К подстановке. Один квадрат будет 4, а другой 16.
Теперь прикладываемый к ним квадрат берут равным
16я2, а Х2 = Тогда Хх будет 20#2, ибо мы желаем,
чтобы он был равен их сумме. Остается сделать 20я2 рав-
ным х3; и получается х = 20.
К подстановкам. Хх будет 8000, Х2 = 1600 и прикла-
дываемый 6400. Доказано, что это можно сделать беско-
нечным числом способов.
8.	К кубу и стороне приложить одно и то же такое чис-
ло, чтобы получилось то же самое, [т. е. куб и его сторона].
Пусть прикладываемое число будет х, а сторона ку-
ба — сколько-нибудь раз взятый х\ пусть это будет 2й;
тогда куб будет 8ж3.
х) Фраза в скобках, вероятно, является позднейшим добавлением. (Прим,
реб.)
93
Диофант
Если я прибавить к 2#, то получится Зх, а если к 8#3,
то получится 8#3 4- х\ это равно 27#3. Вычтем 8#3, останет-
ся 19#3, равное х. Сократим на х; значит, 19#2 = 1.
Но единица является квадратом; если бы 19 — количе-
ство #2 — было бы квадратом, то уравнение решилось бы.
Но 19х2 получилось как разность между 27#3 и 8#3; и
27х3 есть куб на Зх, а 8#3 — куб на 2#. Таким образом,
19 получилось как разность между кубом на Зх и кубом на
2#. Но 2х взято по нашему предположению, а 3 всегда на
единицу больше количества взятых сторон#; таким образом,
я пришел к отысканию двух чисел, отличающихся между
собой на единицу и таких, чтобы разность построенных
на них кубов была бы квадратом.
Пусть одно из них будет х, а другое х 4- 1; и разность
построенных на них кубов З#2 4-3# 4~ 1 > пусть это равно
квадрату на стороне 1 — 2#; и # получается равным 7.
К подстановкам. Одно из них будет 7, а другое 8.
Теперь я возвращаюсь к первоначальной задаче и по-
лагаю прибавляемое равным # и сторону куба 7#; тогда
куб будет 343#3. Прибавляя # к каждому из них, получаем
8# и 343#3 4- #; мы хотим, чтобы они дали куб на сторо-
не 8#.
Следовательно, 512#3 — 343#3 4~ и х получается
равным одной тринадцатой.
К подстановкам. Куб будет 343/2197, сторона 7/13,
а прибавляемое одна тринадцатая.
9.	К кубу и стороне приложить одно и то же такое
число, чтобы получилось то же самое, но в обратном по-
рядке.
Пусть будет куб #3, взятый какое-нибудь кубическое
число раз; пусть оно будет 8, следовательно, сторона куба
будет 2#; (прибавляемое же число, чтобы сделать сторону
кубом, будет #3, взятый кубическое число раз, минус
2#>, т. е. минус количество кубических единиц в стороне
куба; пусть оно будет 27#3 — 2#.
Если мы прибавим это к 2#, то получим 27#3, и это бу-
дет куб на стороне 3#, а если прибавить к 8#3, то полу-
чится 35#3 — 2#.
Мы хотим, чтобы это было стороной куба для полу-
ченного 27#3, иными словами, 3#; следовательно, 35#3 —
—2# = 3#; получается, что 5# равняется 35#3; сократив на
#, находим, что 35#2 равно 5.
94
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
И х не рационально *), так как отношение одного вида
к другому не будет отношением двух квадратных чисел;
но 35, количество а?, представляет сумму двух кубов, 27 и 8,
а 5 получается из сложения их сторон; значит, мне
предстоит найти два куба, сумма которых к сумме их
сторон имеет отношение квадратного числа к квадрат-
ному числу.
Пусть сумма их сторон равняется некоторому числу
единиц, например 2. Положим, что сторона первого куба
будет х, тогда сторона второго куба получится 2 — х,
а сумма их кубов будет 6а? 4-8 — 12ж.
Теперь мы хотим, чтобы это к сумме их сторон, т. е. 2,
имело отношение квадратного числа к квадратному чис-
лу. Но 2 представляет удвоенный квадрат; следовательно,
и 6а? +8 — будет тоже удвоенным квадратом, и х/2
их будет равняться квадрату, т. е. За? + 4—бх = (“1;
пусть это будет квадратна 2—4а\ И х получается равным
10/13.
К подстановкам. Одна сторона будет 10/13, а другая
16/13. Устраняю 13-е доли и беру половины. Стороны са-
мих кубов будут одна 5, другая 8.
Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю сто-
рону куба равной 5х; тогда куб будет 125а;3 и прибавляе-
мое — куб [без стороны], т. е. 512а? — 5х. Если это при-
бавить к 5х, то получится куб, а если к 125а?, то 637а? —
—Ьх. Мы хотим, чтобы это было стороной куба для 512а?.
Таким образом, 8х равняется 637а? — Gx и х получает-
ся равным одной <седьмой>.
К подстановкам. Куб будет 125/343, сторона 5/7, а
прибавляемое число 267/343.
10.	Найти два куба, сумма которых равна сумме их
сторон.
Пусть выраженные в х стороны кубов будут: 1-я 2х,
2-я Зх\ тогда сумма кубов будет 35а?, что должно равнять-
ся сумме сторон 5а\ Сокращая на х, получаем 35а? = 5,
и х не рационально.
Но 35а? представляет сумму двух кубов, 8 и 27, а 5х —
сумму их сторон. Мне приходится искать два куба, кото-
рые, будучи сложены и разделены на сумму их сторон,
дают квадратное частное.
*) оо ptixot {Прим. рей.)
95
ДИОФАНТ
Это же было сделано выше [задача 9], и стороны кубов
будут: 1-я 8, 2-я 5. Теперь я возвращаюсь к первоначаль-
ной задаче и беру стороны кубов: 1-ю 8я, 2-ю 5т; сумма ку-
бов будет 637т3. Она должна быть равна [сумме] сторон,
т. е. 13т; и я получается равным одной (седьмой).
К подстановкам. Сторона 1-го куба 5/7, 2-го 8/7.
Сами же кубы — один 125/343, другой 512/343.
11*. Найти два куба, разность которых будет равна раз-
ности их сторон.
Пусть их стороны будут: 1-я 2т, 2-я Зт. Разность по-
строенных на них кубов равна 19т3, а разность сторон т.
Значит, я равен 19т3.
Опять я не рационально, так как один вид к другому
не находится в отношении квадрата к квадрату. Мне при-
ходится искать два куба таких, чтобы их разность к раз-
ности сторон имела отношение, как квадратное число к
квадратному числу.
Пусть стороны кубов будут: 1-я т, 2-я же т + 1, чтобы
их разность была квадратом, т. е. 1. Так как сторона 1-го
будет т, а 2-го 1 + т, то разность сторон будет 1, (а раз-
ность кубов Зя2 -\-Зх + 1>. Теперь мы хотим, чтобы
Зя2 4- Зх Ц- 1 к разности сторон 1 имело отношение, как
квадратное число к квадратному числу; тогда их произ-
ведение должно равняться квадрату. Но их произведение
Зя2 4~3я 4-1. Приравняем его квадрату со стороной
1—2я; и х получается равным 7.
К подстановкам. Стороны будут: 1-я 7, 2-я 8.
Теперь я возвращаюсь к первоначальной задаче и бе-
ру стороны кубов: 1-ю 7я, 2-ю 8я. Разность их будет х,
а разность построенных на них кубов 169я3.
Следовательно, 169я3 равно х; и х получается равным
одной (тринадцатой).
К подстановкам. Стороны кубов будут: у одного 7,
у другого 8 [тринадцатых].
12.	Найти два таких числа, чтобы куб большего числа
вместе с меньшим числом равнялся кубу меньшего, сло-
женному с большим числом.
Пусть одно будет 2х, а другое Зх. И куб большего числа
вместе с меньшим будет 27х3 4~ 2я, а куб меньшего числа
вместе с большим будет 8я2 4-Зя. Таким образом, 8я3 4" Зя
равняется 27я3 4" 2я. Сократив на я, получаем, что 19я2
равно единице, и я не рационально.
96
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Но l&c2 представляет разность двух кубов, al — раз-
ность их сторон. Я пришел к тому, чтобы найти два куба,
разность которых имела к разности сторон отношение,
как квадратное число к квадратному.
Но это уже показано [в задаче 11], и стороны кубов бу-
дут: одна 7, а другая 8. Возвращаюсь к первоначальной
задаче и беру одно число равным 7ху а другое 8я. И полу-
чается, что 343я3 + Зх равно 512я3 4“ 7ху и х получается
равным одной [тринадцатой].
К подстановкам. Одно число будет 7, а другое 8 [три-
надцатых]. И доказательство очевидно.
13.	Найти два таких числа, чтобы каждое из них, или
их сумма, или разность вместе с единицей составляли
квадрат.
Итак, если от какого-нибудь квадрата отниму 1, то по-
лучу Xiх); образую некоторый квадрат на скольких-
нибудь я-ах и 1, пусть это будет Зх 4- 1. Тогда этот квад-
рат будет 9я2 4-+1? если отниму 1, то получу Хг =
— 9х2 4~ 6я.
Далее, так как мы желаем, чтобы Хх и Х2 вместе с 1
образовали квадрат, а вместе взятые Хх и Х2 вместе с 1
будут <Х2 вместе с 1) и 9я2 4- 6х, то Х2 вместе с 1 будет
квадрат, и мне приходится искать, какой квадрат вместе
с 9гг2 4- Зх дает тоже квадрат.
Беру два числа, произведение которых 9,т2 4~	< =
= (9з 4- 6) х, половину их разности беру за сторону мень-
шего квадрата; она будет 4я + после ее умножения на
себя получаю 16ж2 4“ 24я 4- 9; отнимаю 1 и полагаю Х2
равным 16я2 4- 24я 4- 8. Но Xj будет 9х2 4~ 6я и каждый
из них вместе с 1 дает квадрат.
Остается теперь разность их вместе с 1 (она равна
7х? 4"	4“ 9) приравнять квадрату на стороне 3—Зх\
и х получается равным 18.
К подстановкам. Хх будет 3024, а Х2 = 5624, и доказа-
тельство очевидно.
14.	Найти три квадратных числа, сумма которых равна
сумме разностей между этими числами.
Так как сумма разностей наибольшего числа со сред-
ним, среднего с наименьшим и наибольшего числа с наи-
меньшим будет равна сумме трех квадратов, а [сумма]
*) У Диофанта соответственно 1-е и 2-е. (Прим, ред.)
97
ДИОФАНТ
трех разностей равна удвоенной разности между наиболь-
шим и наименьшим числами, то удвоенная разность меж-
ду наибольшим и наименьшим числами будет равна [сумме]
трех [квадратов].
Возьмем наименьший квадрат равным единице, а наи-
больший х2 + 2х 4-1, тогда удвоенная разность наи-
большего и наименьшего чисел равна 2х2 4“ 4х; она же
равна сумме трех квадратов, два из которых равны
х2 + 2х 4- 2; следовательно, остающийся средний будет
з? 4-2# — 2; значит, это должно равняться квадрату, по-
ложим, построенному на стороне х — 4; тогда х полу-
чается равным 9/5.
К подстановкам. Наибольший квадрат будет 196/25,
средний 121/25, а наименьший 1.
Умножим все на 25; наибольший будет 196, средний
121 и наименьший 25.
15.	Найти три таких числа, чтобы сумма любых двух,
умноженная на третье, равнялась заданному числу.
Предположим, что сумма 1-го и 2-го чисел, умножен-
ная на 3-е, дает 35. Затем сумма 2-го и 3-го, умноженная
на 1-е, дает 27. И, наконец, сумма 1-го и 3-го, умноженная
на 2-е, дает 32.
Пусть 3-е число будет х; тогда сумма остающихся 1-го
и 2-го будет 35/я;. Положим 1-е равным 10/я; тогда 2-е
будет 25/х.
Остаются еще два условия: сумма 2-го и 3-го, умножен-
ная на 1~е, дает 27, <а сумма 1-го и 3-го, умноженная на
2-е, дает 32>. Но сумма 2-го и 3-го, помноженная на 1-е,
<дает> 10 4- —т • Следовательно, 10 вместе с 250/ж2 равняют-
250
ся 27. 3-е же и 1-е, помноженное на 2-е, дают 25 + ~4" = 32,
250
а 10 4—5- — 27. И числа единиц разнятся на 5. Тогда, если
„	, 250 ,А . 250	с	-
бы 25 ----s- и 10 -|—j- разнились на 5, то разности были
•JC	Я/
бы одинаковы.
Но 25 единиц получаются из 2-го числа, а 10 из 1-го.
Теперь мы хотим, чтобы разность этих чисел тоже равня-
лась 5. Но 1-е и 2-е не являются произвольными числами:
их сумма должна равняться 35. Итак, мне пришлось раз-
ложить 35 на два числа так, чтобы разность этих чисел
равнялась 5 [IJ; они будут: одно 15, а другое 20.
98
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Теперь я полагаю 1-е равным 15Лг, а 2-е 2ОЛг. Сумма
2-го и 3-го, умноженная на 1-е, дает 15 +	= 27. Сумма
же 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 20 4-	= 32. И ес-
ли я 20 + приравняю 32, то ж получится равным 5.
К подстановкам. 1-е число будет 3, 2-е 4, а 3-е 5.
16*. Найти <три> числа, равных в сумме квадрату, та-
кие, чтобы квадрат на каждом из них, сложенный со сле-
дующим числом, давал квадрат.
Положим, что среднее число равняется скольким-то х\
пусть оно будет 4а:. Так как я желаю, чтобы квадрат на
1-м после прибавления 2-го числа давал квадрат, то мне
надо отыскать какой-то квадрат, который после прибав-
ления к 4а: будет тоже квадратом.
Прежде всего я буду отыскивать два числа, произве-
дение которых было бы 4а:; пусть это будут 2х и 2; если
1-е число я возьму как их полуразность, т. е. х — 1, то
у меня получится решение, так как квадрат 1-го, сложен-
ный со 2-м числом, будет квадратом 1).
Теперь нужно, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный
с 3-м числом, был тоже квадратом, т. е. 16а? 4- 3-е давало
квадрат.
Значит, если от некоторого квадрата я отниму 16а:2, то
буду иметь 3-е число; искомый квадрат я построю из сто-
роны 16а:2, именно 4а: 4-1. Этот квадрат будет 16а? 4-
4- 8а: 4-1. Если отнять 16а?, то остаток 8а: 4~ 1 будет 3-м
числом.
Далее, так как я хочу, чтобы сумма всех трех равня-
лась квадрату, а эта сумма будет 13а:, то она должна быть
квадратом. Пусть этот квадрат будет 169а?2 2), и х полу-
чится равным 13а?.
К подстановкам. 1-е число будет 13а? — 1, 2-е 52а?, а
3-е 104а? + • И у меня в неопределенной форме удовлет-
ворены три заданных условия.
Остается, чтобы и квадрат на 3-м числе, т. е. 10816а? 4-
4~ 208а? 4- 1, сложенный с 1-м числом 13а? — 1. был тоже
*) (х — I)2 4-	— (х + I)2. (Прим, перев.)
*) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим-
волом, что и старое. (Прим, реб.)
99
ДИОФАНТ
квадратом. Но он будет 10816х4 + 221я2 = | |. Сократив
на ж2, получим 10816а;2 4- 221 = П. Пусть этот квадрат
будет на стороне 104а? 4- 1; и х == 55/52.
К подстановкам. 1-е число будет 36621/2704, 2-е [число]
157300/2704, 3-е 317304/2704.
17*. Найти три числа, сумма которых равна квадрату,
такие, чтобы квадрат на каждом из них минус следующее
число был тоже квадратом.
Опять возьмем среднее число 4ж; так как я хочу, чтобы
квадрат 1-го числа после вычитания 2-го, т. е. 4я, был квад-
ратом, то я пришел к отысканию квадрата, который без
4# был бы тоже квадратом.
Прежде всего я ищу два числа, произведение которых
было бы 4гг. Но 4# имеют множителями 2 и 2х. Беру поло-
вину их суммы и полагаю первое число х 4- 1» одно из
условий у меня удовлетворено. Затем я хочу, чтобы квад-
рат 2-го числа, т. е. 16х2, после вычитания 3-го был квад-
ратом; следовательно, если из 16#2 отнимем некоторый
квадрат (пусть он будет на стороне 4ж — 1, т. е. 16 ж2 4“
4-1—8х, что я и вычитаю из 16#2), то остаток 8х — 1;
я и беру 3-е число равным 8х — 1, и второе условие вы-
полнено.
Затем я хочу, чтобы эти три числа давали в сумме
квадрат, т. е. чтобы 13.т равнялось квадрату; пусть пос-
ледний будет равен 169^4, а х равен 13#2 г).
К подстановкам. 1-е число будет 13я2 4- 1» 2-е 52я2 и
3-е Ю4я2 — 1. И снова у меня выполнены в неопределен-
ной форме три заданных условия.
Остается, чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квад-
ратом. Но квадрат 3-го числа минус 1-е число будет
10816 г4 — 221Ж2 = □
[Сокращаем] все на ж2:
10816.Т2 — 221 - □.
Пусть [этот квадрат будет] на стороне 104х — 1; тогда х
получается равным 111/104.
К подстановкам. 1-е число будет 170989/10816, 2-е
640692/10816, 3-е 1270568/10816.
Здесь Диофант, как и в IVie, вводит новое неизвестное, которое обозна-
чает тем же символом, что и первоначальное. (Прим, рев.)
100
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
18. Найти два таких числа, чтобы куб 1-го, будучи сло-
жен со 2-м, давал куб, а квадрат 2-го, будучи сложен с 1-м,
давал квадрат.
Положим, что 1-е число будет х, а 2-е будет кубическое
число [минус ж3], пусть 8 — аЛ И получится, что куб 1-го
числа, сложенный со 2-м числом, дает куб.
Остается сделать, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный
с 1-м, давал квадрат. Но квадрат 2-го числа, сложенный
с 1-м, будет л:6 -|~ х + 64 — 16л:3; (пусть это равно квад-
рату на стороне х3 + 8, т. е. х* -|-16я3 -|- 64>. Прибавив
к обеим частям недостающие члены и отбрасывая одина-
ковые, получаем в остатке
х — 32л:3,
а после сокращения на х
32а? = 1.
Но 1 есть квадрат; если бы 32л:2 было тоже квадратом,
то равенство дало бы решение. Но 32х3 получилось из
дважды 16л?, а 16л:3 есть дважды 8, помноженное на ж3.
Таким образом, 32л:2 получилось из четырежды 8. Мне нуж-
но найти куб, который, четырежды взятый, давал бы
квадрат.
Пусть искомый куб будет л^; он, четырежды взятый,
4ж3, должен равняться квадрату. Пусть этот квадрат будет
16л:2; тогда х получится равным 4.
К подстановкам. Куб будет 64.
Итак, кладу 2-е число равным 64 — л:3. Теперь остается
сделать, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, давал квад-
рат. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, дает
л:6 + 4096 + х - 128л:3 =
Пусть этот квадрат будет на стороне лг3 + 64; тогда квад-
рат равен
л:6 + 4096 + 128л:3.
Получается, что х = 256л:3. И, следовательно, х равен од-
ной (шестнадцатой).
К подстановкам. 1-е число будет 1/16, а 2-е [число]
262143/4096.
19*. Найти три числа в неопределенной форме такие,
чтобы произведение любых двух вместе с единицей дава-
ло квадрат.
101
ДИОФАНТ
Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе
с 1 давало квадрат, то, если отнять 1 от любого квадрата,
я получу произведение 1-го и 2-го чисел. Строю квадрат
из взятого какое-нибудь число раз х и 1; пусть это будет
х + 1. Тогда сам квадрат будет х2 + 2л: + 1- Если от-
нять 1, то остаток х2 + 2х будет произведением 1-го и 2-го
чисел.
Пусть 2-е число будет х; тогда 1-е будет х 4- 2.
Затем, если я хочу, чтобы произведение 2-го и 3-го
чисел образовало вместе с 1 квадрат, то подобным же обра-
зом, отняв 1 от какого-нибудь квадрата, я получу произ-
ведение 2-го и 3-го чисел. Построим квадрат на Зл: + 1:
он будет 9л:2 + §х + 1. Значит, если я отниму 1, то полу-
чится 9л:2 + 6л;; произведением 2-го и 3-го чисел должно
быть 9л;2 + 6л;; в него входит 2-е число х. Таким образом,
остающееся 3-е число будет 9л: + 6.
Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го и 3-го чисел
вместе с единицей было квадратом. Но произведение 1-го и
3-го чисел вместе с единицей будет 9л;2 + 24л; +13 = Г~].
Я имею л;2 взятым квадратное число раз; (если бы я имел и
квадратное число единиц), то удвоенное произведение чи-
сел при л;2 и 1 было бы равно числу при х, и три заданных
условия были бы выполнены в неопределенной форме.
Но 13 получилось из произведения 2 и 6 вместе с при-
бавленной 1; далее, 2 получилось из [1-го] удвоенного про-
изведения х и 1, а 6 — из 2-го удвоенного произведения Зл:
и 1. Я хочу получить квадрат из [1-го] удвоенного числа
при х, помноженного на [2-е] удвоенное число при л;, и с
[прибавленной] 1 [(2-1) -(2-3) 4- 1). Но [1-е] удвоенное
число при л;, умноженное на [2-е] удвоенное число при л;,
равняется учетверенному произведению обоих чисел при
х. Я хочу получить квадрат из учетверенного произведе-
ния этих чисел и единицы. Для всякой пары чисел учет-
веренное их произведение, сложенное с квадратом их раз-
ности, будет квадратом; поэтому, если мы построим квад-
рат их разности, то учетверенное произведение этих чи-
сел вместе с единицей будет квадратом.
Если квадрат разности равен 1, то и сама разность бу-
дет 1. Тогда нужно строить [квадраты] на л;, взятых после-
довательное число раз, вместе с прибавляемой единицей
(пусть это будут на х Ц- 1 и 2х + 1). И квадрат на х 4- 1
будет х2 + 2х + 1.
102
АРИФМЕТИКАМ КНИГА IV
Если я отниму единицу, то останется х2 4" 2х. Следо-
вательно, произведение 1-го и 2-го чисел будет х2 + 2х.
Если 2-е число будет х, то остающееся 1-е будет х + 2.
Далее, квадрат на 2х -f- 1 будет 4я2 4-	+ 1; если
я точно так же отниму 1, то остаток получится 4х2 4~ ^х\
тогда произведение 2-го и 3-го чисел будет 4ж2 + 4а:, в ко-
тором 2-е есть х\ следовательно, остающееся 3-е число
будет 4х -|- 4.
Итак, в неопределенной форме решена задача, как
сделать, чтобы произведение любых двух чисел [из трех]
вместе с единицей давало квадрат, и х будет таким, каким
мы захотим. Искать в неопределенной форме — это зна-
чит получить такую подстановку г), чтобы условия удов-
летворялись, если подставить такое х, какое мы захотим.
20*. Найти четыре таких числа, чтобы произведения
любых двух, сложенные с единицей, образовали квадрат.
Так как я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 2-е
вместе с 1 давало квадрат, то, отняв от какого-нибудь
квадрата 1, я буду иметь произведение 1-го числа на 2-е.
Образую квадрат на х 4- 1; он будет х2 4- %х 4" 1- Если
отнять 1, то остаток х2 4~ %х даст произведение 1-го на
2-е. Пусть 1-е число будет х, тогда (2-е будет х 4-> 2.
Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 3-е
с 1 давало квадрат; образую квадрат на 2х 4- 1, взяв х
на 1 большее число раз, согласно доказанному в пред-
шествующем; от взятого квадрата отниму 1; произведе-
ние 1-го числа на 3-е возьму равным 4я2 4~ 4а:. В этом [про-
изведении] содержится 1-е число х\ остающееся 3-е число
будет 4а: 4~ 4.
Еще я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 4-е
вместе с 1 давало квадрат; этот квадрат я строю на 3>х 4~ 1?
[увеличивая на 1 число ранее взятых а:]; взявши этот квад-
рат и отняв 1, буду иметь произведение 1-го числа на 4-е
9а:2 4~ 6а:; в этом произведении содержится 1-е число х\
тогда останется 4-е число 9а; 4" 6.
И так как получается, что произведение 3-го числа на
4-е вместе с 1 дает квадрат, а произведение 2-го числа на
4-е с 1 будет
9а:2 + 24а; 4- 13 — | |,
*) я илоатаосс. Здесь по смыслу следовало бы перевести «такую формулу».
(Прим. ред.)
103
ДИОФАНТ
то я приравниваю его квадрату на стороне Зх — 4, и по-
лучается х, равный одной (шестнадцатой).
К подстановкам. [Тогда в шестнадцатых долях] 1-е
число будет 1, 2-е 33, 3-е 68 и 4-е 105.
21. Найти такие три числа, составляющие пропорцию,
чтобы разность двух любых из них была квадратом.
Положим, что меньшее равно х, среднее х + 4, чтобы
их разность была квадратом, а большее число х + 13,
чтобы и разность этого числа и среднего тоже была квад-
ратом.
Если бы разность наибольшего и наименьшего числа
была квадратом, то получилось бы в неопределенной фор-
ме решение задачи, что разность двух любых чисел равна
квадрату.
Но наибольшее число превышает меньшее на 13, а 13
есть сумма квадратов — 4 и 9; следовательно, мне нужно
найти два квадрата, сумма которых была бы квадратом.
Это легко [сделать], используя прямоугольный тре-
угольник; они будут 9 и 16. Я полагаю наименьшее число
равным х, среднее х + 9, а большее х + 25, и разность
двух любых чисел будет квадратом.
Остается лишь, чтобы они были пропорциональны. Но
если три числа пропорциональны, то произведение край-
них равно квадрату на среднем. Но произведение наи-
большего и наименьшего, т. е. произведение крайних,
равно х2 + 25.г, квадрат же среднего х2 -{- 18# + 81 —
= х2 + 25ад и х получается равным 81/7.
К подстановкам. Меньшее будет 81, среднее 144, боль-
шее 256 седьмых.
22*. Найти такие три числа, чтобы составленное из них
тело х) после прибавления каждого из них представляло
квадрат.
Пусть составленное из трех тело будет х2 + 2х, а 1-е
число равно 1, чтобы тело из трех после прибавления 1-го
числа было квадратом.
Далее, я хочу, чтобы тело из трех вместе со 2-м было
квадратом; я ищу квадрат, по вычитании из которого
х2 + 2х буду иметь 2-е число. Строю квадрат на х + 3,
и этот | | — (х2 + 2я) дает 4гг —9. 2-е число я полагаю
равным ^х + 9.
’) отереос. (Прим. ред.)
104
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Но так как тело из трех х2 + 2х, а произведение 1-го и
2-го 4х + 9, то, разделив х2 + 2# на 4х + 9, я получу
3-е число.
Но это деление невозможно; для его возможности нуж-
но равенство отношений х2 к и 2х к 9, и перестановочно;
как#2 к 2Х] так и 4х к 9. Но количество х2 представляет
половину количества 2х. Если бы и ^х были по коли-
честву половиной 9, то деление было бы возможным. Но
4,т получились из разности, на которую больше 2х\
а — из удвоенного произведения 3 на х, т. е. из удво-
ения 3; а 9 есть квадрат 3; таким образом, мне нужно най-
ти некоторое число, вроде 3, которое после удвоения и
уменьшения на двойку было бы половиной своего квад-
рата.
Пусть искомое число будет х\ после удвоения и умень-
шения на двойку получится 2х — 2, а квадрат искомого
будет х2. Мы желаем, чтобы 2х — 2 было у х\
Следовательно, х2 = кх — 4; и х будет 2.
Я возвращаюсь к начальной задаче; 1-м числом я имел
1, а тело, составленное из трех, было х2 + 2х. Нужно,
чтобы тело из трех с добавлением 2-го числа составляло
квадрат. Таким образом, если от некоторого квадрата я
отниму х2 + 2х, то получу 2-е число. Строю квадрат на
х плюс столько единиц, чтобы эти единицы, удвоенные
и уменьшенные на двойку, были половиной своего квад-
рата; это уже было сделано, и это число есть 2.
Я строю квадрат на х + 2; он будет х2 + ^х + 4. Если
я вычту тело из трех, т. е. х2 + 2х, то остаток будет 2-е чис-
ло. Произведение 1-го и 2-го (2х + 4; если тело из трех,
т. е. х2 + 2х, я разделю на произведение 1-го и 2-го>,
т. е. на 2х + 4, то буду иметь 3-е число; полученное част-
ное будет х)2.
И остается, чтобы составленное из трех тело вместе
с 3-м числом было квадратом. Но это тело вместе с 3-м
будет х2 Ц- ТУ/ъх — | |, пусть 4я2, откуда х получается 5/6.
К подстановкам. В шестых долях 1-е будет 6, 2-е 34
и 3-е 21/2.
23.	Найти такие три числа, чтобы составленное из них
тело минус каждое из этих чисел давало квадрат.
Ч Количество то лХт]0о<;; мы сказали бы ©ковффициент», (Прим, перев.)
105
ДИОФАНТ
Возьмем х как 1-е число, а тело из трех х2 + х\ после
вычитания 1-го это дает квадрат. И так как тело из трех
х2 + х, а 1-е число х, то, значит, произведение 2-го и 3-го
чисел будет х + 1. Пусть 2-е число 1; тогда остающееся
3-е равно х + 1.
Теперь надо, чтобы составленное из трех тело после
вычитания 2-го и 3-го давало квадрат. Остатки будут:
один х2 + х — 1, равный квадрату, другой х2 — 1, тоже
равный квадрату.
Получилось двойное равенство; беру разность: она бу-
дет х\ составляю два числа, произведение которых было
бы [этим] х. Это х я разделю на 1/2; частное будет 2х, т. е.
удвоенной стороной квадрата х2\ это ты уже знаешь;
получается х равным 17 восьмым.
К подстановкам. 1-е число будет 17 [восьмых], 2-е чис-
ло 1, 3-е 25/8.
24.	Данное число разложить на два числа и сделать,
чтобы их произведение было кубом без стороны.
Пусть данное число будет 6.
Положим 1-е число х; тогда остаток 6 — х будет 2-м
числом. Остается, чтобы их произведение было кубом без
стороны. Но их произведение будет 6я — х2; это должно
равняться кубу без стороны. Образую куб на х, взятом
сколько-то раз минус 1, пусть на 2х— 1. Построенный
куб без стороны будет 8х3 +	— 12х2. Это должно рав-
няться fix — х2.
Если бы количества х в каждой стороне равенства были
равными, то остались бы для сравнения члены с х3 и х2,
и х получилось бы рациональным. Но ^х получается из
разности fix и 2х, т. е. из утроенного 2х\ и если из утроен-
ного 2х вычесть 2х, то получится дважды 2х. Но 6 является
произвольным согласно предположению. Таким образом,
я вынужден отыскивать число, как это 2х, которое, бу-
дучи взято 2 раза, давало бы 6. Это число есть 3.
Я ищу fix — х2, равное кубз^ без стороны. Теперь
сторону этого куба я беру Зх — 1; построенный на ней куб
без своей стороны будет
27х3 + &Е — 27х2 = fix — х2;
и х получается равным 26/27.
К подстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать
седьмых долей].
106
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
25.	Данное число разложить на такие три числа, чтобы
[построенное] на них тело было кубом, сторона которого
равнялась сумме разностей между этими числами.
Пусть данное число 4.
Так как составленное из трех чисел тело есть куб, то
пусть он будет &с3 и его сторона 2х. Но разность 2-го и
1-го чисел, затем 3-го и 2-го и, наконец, 3-го и 1-го чисел
[в сумме] дает удвоенную разность 3-го и 1-го чисел, т. е.
если три числа не равны, то сумма трех разностей будет
вдвое больше разности крайних чисел.
По предположению мы имеем сторону куба, равную
2х\ тогда 2х должно быть суммой всех трех разностей;
следовательно, 3-е больше 1-го на х. Пусть 1-е число
равно какому-нибудь количеству я-ов, положим 2х\ тогда
3-е число будет Зх. А так как составленный из трех объем
будет 8я3 и произведение 1-го и 3-го равно 6я2, то остаю-
щееся 2-е будет (12/3)^.
И если бы 2-е число было больше 1-го и меньше 3-го, то
задача была бы решена. Но 2-е число получилось из де-
ления 8 на произведение 1-го и 3-го. Но 1-е и 3-е не будут
любыми числами, но разнятся на 1; следовательно, я дол-
жен искать два числа, разнящиеся между собой на 1 и та-
кие, чтобы 8, разделенное на их произведение, давало
число, большее меньшего и меньшее большего.
Положим меньшее равным х, тогда большее будет
х + 1. Если я разделю 8 на их произведение, т. е. на
х2 + х, то получится среднее, равное
Мы хотим,
чтобы оно было больше х и меньше х + 1. И так как раз-
ность этих чисел есть 1, то разность между 1-м и 2-м мень-
ше 1 х), так что 2-е вместе с 1 будет больше 1-го. Но 2-е
вместе с 1, взятое в долях х2 + х, будет
8 + х2 + х
х2 х
и это больше, чедтя + 1. Умножим обе части неравенства
на знаменатели:
х2 + х + 8 больше х3 + 2х2 + х.
*) В этом месте под 1-м числом Диофант понимает наибольшее, ПОД 2-М —
среднее и под 3-м — наименьшее. (Прим. реб.)
107
ДИОФАНТ
После отбрасывания подобных получается:
8 больше х3 + х2.
Образую куб. который включал бы х3 + х2. Пусть
тогда сторона этого куба будет х + 1/3. И так как 8 боль-
ше, чем х3 + х2, и куб на х + х/3 также больше х3 + х2,
то я приравняю их стороны, т. е. положу 2 == х + х/3,
и х получится равным 5/3.
К подстановкам. 1-е число будет 8/3, 2-е 9/5, 3-е 5/3.
Множим все три на 15. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е
25. Так мы избавились от знаменателей и нашли три числа,
чтобы построенный на них объем был кубом, сторона ко-
торого равнялась бы сумме их разностей.
Теперь я полагаю 1-е число равным 40л:, 2-е 21х и 3-е
25х; образованный из них объем будет кубом, сторона
которого равна сумме их разностей. Остается лишь срав-
нить сумму трех этих чисел с заданным числом; дано же
было 4. Таким образом, 92л: равно 4; и х одна (двад-
цать третья).
К подстановкам. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е
25 [двадцать третьих].
26.	Найти такие два числа, чтобы их произведение,
сложенное с каждым из них, давало куб.
Составляю 1-е число из кубического количества я-ов *);
пусть оно будет 8х; 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удов-
летворено: их произведение, сложенное с 1-м числом,
дает куб.
Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м
числом давало куб. Но это произведение, сложенное со
2-м числом, будет
Эя3 + л:2 — 8х — 1,
оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне
2х — 1; и х будет 14/13.
К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169.
27.	Найти два числа, произведение которых минус
каждое дает куб.
Составляю, подобно предыдущему, 1-е число из куби-
ческого количества х, пусть 8х, а 2-е полагаю х2 + 1,
*) Мы сказали бы: «х с коэффициентом, равным кубическому числу». (Пргии.
перев.)
108
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
и их произведение минус (1-е будет кубом. Затем это про-
изведение минус) 2-е дает 4~ 8я — х2 — 1. Это должно
равняться кубу, что невозможно х).
Опять положу одно число равным кубическому коли-
честву плюс 1; пусть оно будет 8х + 1; другое же число
х2. Тогда их произведение минус 2-е будет кубом. Опять
их произведение без 1-го будет 8х3 4~ х2 — 8х — 1; это
приравняем кубу на стороне 2х — 1; и х получается рав-
ным 14/13.
К подстановкам. 1-е будет 125/13, а 2-е 196/169.
28.	Найти такие два числа, чтобы их произведение,
с прибавлением или вычитанием их суммы, было кубом.
Так как произведение чисел вместе с суммой образует
куб, то пусть этот куб будет 64. Затем, так как их про-
изведение без суммы образует (куб, то пусть этот куб бу-
дет) 8. Следовательно, удвоенная сумма [этих чисел],
равная разности [этих кубов], будет 56, т. е. сумма равна
28. Но произведение этих чисел вместе с их суммой равно
64; следовательно, их произведение будет остатком, рав-
ным 36. Теперь мне приходится найти два числа таких, что
бы их (сумма была) 28, а произведение 36, [задача 12?]•
Пусть большее число будет х + 14; тогда меньшее
14 — х. Остается их произведение 196 —* х2 приравнять
36, и получится х2 = 160.
Если бы 160 было квадратом, то моя задача была бы
решена. Но 160 представляет разность между 196 и 36.
А 196 есть квадрат 14, и 14 представляет половину 28. Та-
ким образом, 196 представляет произведение полови-
ны 28 на самое себя. Но 28 есть половина 56, так что 14
будет четвертью 56; а 56 есть разность двух кубов 64 и 8,
а 36 — это половина суммы этих кубов. Таким образом,
я пришел к тому, чтобы найти два куба, четверть разности
которых, будучи умножена на самое себя, без половины
суммы давала бы квадрат.
Пусть сторона большего куба будет х 4- 1, а меньшего
х — 1; и кубы будут: больший (я3) + Зя2 + Зх + 1,
а меньший х* 4- Зх — Зх2 — 1, и четверть их разности
Уравнение легко решается, если взять куб на стороне	) или
—	; этим методом Диофант воспользовался выше (IV24). (Прим.
П. Таннери.)
109
ДИОФАНТ
iFfc rtTi
1% x2 4- V2. Умножение ее на самое себя дает
21/<^4+11/2^+74.
Если из этого я вычту полусумму кубов, равную ж3 4“ 3#»
то в остатке получится
21/< х4 + 1х/а х2 4-1/4 — х2 — Зх ==
[Умножаем] все на знаменатель 4:
9а4 4- 6#2 4-1 — 4я3 — 12#,
Это равно квадрату, пусть на стороне Зя2 4~ 1 — 6х’; сам
он будет
№ 4- 42я2 + 1—36л:3 — 12х
и должен
равняться
9а4 4- 6х2 4“ 1—4гс3 — 12я.
Прибавим к обеим частям недостающие и отбросим подоб*
ные члены, остается
32^3 = 36^2,
и х получается равным 9/8.
К подстановкам. Я построил кубы на сторонах: один
на х 4- 1> а другой на х — 1, и стороны будут 17, а дру-
гая 1 [восьмых долей], а сами кубы — один 4913/512, а
другой 1/512.
Я возвращаюсь к начальной задаче и ищу, чтобы про-
изведение этих чисел вместе с суммой давало куб
4913/512, а без суммы куб 1/512. Так как произведение
вместе с суммой дает куб 4913/512, а произведение минус
сумма дает куб 1/512, то удвоенная сумма будет равна
разности того и другого 4912/512, так что сумма будет
2456/512. Но произведение их вместе с суммой равно
4913/512, где сумма 2456/512, значит, произведение равно
2457/512. Это уже было показано в первой книге, а теперь
будет показано ради самой задачи.
Положим 1-е число равным х плюс полусумма обоих,
т. е. 1228/512; тогда 2-е число будет 1228/512 — я, и сумма
равна 2456/512; произведение же равно
1507984	2 __ 2457
262144 Х ~ 512 •
110
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Умножим все на знаменатель, т. е. 262144, и из подобных
вычтем подобные; получится 262144#2 = 250000; и х
равен 500/512.
К подстановкам. 1-е число будет 1728/512, а 2-е 728/512,
и доказательство очевидно.
Иначе. Найти два числа таких, чтобы их произве-
дение после прибавления или вычитания их суммы было
кубом,
. В подобных задачах всякое квадратное число, разло-
женное на сторону и остаток, образует [два числа], про-
изведение которых, сложенное с суммой, будет кубом.
Действительно, возьмем квадрат х2 и разложим его на
[две части]: сторону и остаток. Они будут х и х2 — х, и их
произведение, сложенное с суммой, будет кубом.
Остается [сделать], чтобы их произведение минус сум-
ма давало куб. Но их произведение без суммы будет х3 —
—2х2; это будет равнятьсякубу, меньшему, чем'гг3. Я обра-
1 ®
зую -%х3 и множу все на 8. Получится
8я3 — 16а:2 =
и х получается равным 16/7.
К подстановкам. 1-е число будет 16/7, 2-е 144/49.
29*. Найти четыре <квадратных> числа, сумма которых,
сложенная с суммой из сторон, давала бы заданное число.
Пусть это число будет 12.
Всякий квадрат, сложенный с собственной стороной
и одной четвертью, дает квадрат, сторона которого минус
х/2 образует некоторое число, являющееся стороной пер-
воначального квадрата; следовательно, четыре [искомых]
числа, сложенные с собственными сторонами, равняются
12, ас прибавлением четырех четвертей образуют четыре
квадрата. Но 12, сложенное с четырьмя четвертями (т. е.
1), дают 13. Это 13 надо разделить на четыре квадрата:
если из стороны каждого я вычту х/2, то получу стороны
искомых четырех квадратов.
Разложим 13 на два квадрата 4 и 9, а затем каждый из
них разложим на два квадрата: один на 64/25 и 36/25,
а другой на 144/25 и 81/25. Взяв теперь стороны каждого
8/5, <6/5; 12/5>, 9/5, вычту из каждой по 1/2; это и будут
стороны искомых квадратов 11/10, 7/10, 19/10, 13/10,
а сами квадраты 121/100, 49/100, 361/100, 169/100.
Ш
ДИОФАНТ
30. Найти четыре квадрата, сумма которых минус
сумма их сторон давала бы заданное число.
Пусть это число будет 4.
Так как нужно, чтобы 1-й [квадрат] без своей стороны
и 2-й без своей стороны и 3-й и 4-й также без своих сторон,
[сложенные вместе], давали 4, а всякий квадрат без своей
стороны, но с добавлением х/4 дает квадрат, сторона кото-
рого с прибавкой V2 представляет сторону первоначаль-
ного квадрата, то все четыре искомых квадрата без своих
сторон, но с добавлением четырех четвертей, т. е. 1, об-
разуют сумму четырех квадратов. Но и сумма четырех
[искомых квадратов] без своих сторон равна 4, а если при-
бавить 1, то она обратится в 5. Итак, мне нужно разделить
5 на четыре квадрата. [Если к каждой стороне я прибав-
лю 1/2, то найду стороны искомых квадратов.] х)
Итак, 5 разделяется на четыре квадрата*. 9/25, 16/25,
64/25 и 36/25. Беру стороны этих квадратов: они будут 3/5,
4/5, 8/5 и 6/5. Прибавляю к каждой 1/2 и нахожу стороны:
11/10, 13/10, 21/10, 17/10. Следовательно, искомые квад-
раты будут: 121/100, 169/100, 441/100 и 289/100.
31. Единицу разложить на два числа и прибавить к
каждому по такому заданному числу, чтобы произведение
[сумм] было квадратом.
Пусть будет нужно разложить 1 на два числа и приба-
вить к одному 3, а к другому 5 и сделать произведение
квадратом.
Положим 1-е число х, а 2-е 1 — х; если к 1-му приба-
вить 3, то оно станет х + 3; если же ко 2-му прибавить 5,
то оно будет 6 — х\ их произведение Зх + 18 — х2 — | |.
Пусть это будет 4я2. Придадим к обеим частям недостаю-
щее, получим Зх + 18 — 5я2, и равенство не рационально.
Но 5 есть квадрат, сложенный с 1; надо, чтобы это ко-
личество, умноженное на 18 и сложенное с половиной от
Зх 2) в квадрате, т. е. с 2V4, составляло Г~]. Таким обра-
зом, нужно отыскать квадрат, который, сложенный
с 1, после увеличения в 18 раз и добавления 2х/4 давал
бы
Пусть будет х2', он вместе с 1, увеличенный в 18 раз
и с добавлением 21/4, дает 18х2 + 20х/4 — ! |. Все на 4,
*) Вероятно, эта фраза была вставлена комментаторами.(Пргш. ред.)
’) Мы бы сказали: от коэффициента нрн Зх. (Прим, ред.)
112
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
будет 72ж3 4~ 81 = П- Образуем этот Г] з
лучаем х = 18.
К подстановкам: Д будет 324.
Возвращаюсь к исходному равенству
Зж + 18 — ж2 =
Положим квадрат равным 324ж2; ж получается равным
78/325, или 6/25.
К подстановкам: 1-е число будет 6/25, а 2-е 19/25.
Иначе. Единицу разложить на два числа и приба-
вить к каждому по заданному числу, так чтобы произве-
дение сумм было квадратом.
Нужно 1 разложить на два числа; к одному прибавить
3, а к другому 5, и произведение сделать квадратом.
Полагаю 1-е ж минус 3, т. е. то число, которое надо при-
бавить. Тогда оставшееся 2-е число будет 4 — ж.
Если к 1-му прибавляется 3, то получается ж, а если ко
2-му 5, то будет 9 — ж. Их произведение будет 9ж — ж2,
что нужно приравнять к квадрату; пусть он будет 4ж2:
?
и ж получается 9/5.
К подстановкам. Не могу отнять 3 от ж.
Значит, нужно, чтобы ж был больше 3, но меньше 4.
Но ж найден делением 9 на 5, которое будет квадратом
плюс 1. Если же 9 после деления на некоторый квадрат
плюс 1 дает 3, то, следовательно, число, на которое мы
делим, будет 3; но частное от деления 9 на квадрат плюс
1 должно быть больше 3, так что квадрат с 1 (будет мень-
ше 3>, и если отнять 1, то квадрат будет (меньше) 2.
Далее, мы хотим разделить 9 на квадрат с 1 и получить
4. Тогда на что мы делим (будет 2*/4. На что же делится)
9 будет квадрат с 1, так что если частное должно быть
меньше 4, то квадрат с 1 будет больше, чем 2V4. Отнимем
1; квадрат будет больше 1х/4.
Но показано, что квадрат меньше 2; и мне приходится
искать некоторый квадрат, который больше 1т/4, но мень-
ше 2.
Разложу это на квадратичные доли, именно на 64-е;
они обратятся в 80 и в 128; теперь уже будет легко: квад-
рат будет 100/64, т. е. 25/16.
113
ДИОФАНТ
Теперь возвращаюсь к первоначальной задаче; я искал
$х — я2 — Г~|; по найденному этот квадрат pt#2; и х по-
лучается 144/41.
К подстановкам. 1-е число будет 21, а 2-е 20 [сорок
первых}.
32*. Данное число разложить на такие три части, что-
бы произведение 1-го на 2-е плюс или минус 3-е было
квадратом.
Пусть данное число будет 6.
Положу 3-е число х, а 2-е составлю из числа единиц,
меньшего чем 6; пусть их будет 2. Тогда 1-е число будет
4 — х. Остаются два условия относительно произведения
1-го на 2-е: если к нему прибавить или из него вычесть
3-е, то должен образоваться квадрат.
И получается двойное равенство:
8 — х = Д и 8—Зх — Q.
И рациональным оно не будет, так как отношение чисел
при х не является отношением между квадратными чис-
лами.
Но [число] при х на 1 меньше 2, а при Зя — на 1 боль-
ше 2. Мне приходится искать некоторое число, вместо
2, такое, чтобы после прибавления и вычитания 1 (полу-
ченные числа имели между собой отношение, как квадрат
к> квадрату.
Пусть искомое число будет я; если к нему прибавить
1, оно будет я + 1, а если отнять, то я — 1. Мы хотим,
чтобы эти количества имели между собой отношения
квадратных чисел. Пусть это отношение будет 4 к 1. Тог-
да я — 1, умноженное на 4, даст 4я — 4, а я + 1, умно-
женное на 1, (даст я + 1>. И эти полученные числа имеют
между собой отношение квадратных чисел. Теперь из ра-
венства 4я — 4 = я + 1 получается я равным 5/3.
Беру 2-е число равным 5/3, ибо 3-е будет я; тогда —
1-е число будет — я.
Остается условие, чтобы произведение 1-го на 2-е по-
сле прибавления или вычитания 3-го давало квадрат.
Но произведение 1-го и 2-го вместе с 3-м дает
65	2
I"! х
114
АРИФМЕТИКА КНИГА tV
а минус 3-е —
65	8
Умножая все на 9, получаем
65—6х =
, 65—24z =
Числа при х уравниваю, умножая на 4 большее ра-
венство; тогда будет
260—24я = □ и 65—24^ = □ •
Теперь беру разность этих выражений, она будет 195; и
полагаю два числа, произведение которых равно 195,
это будут 15 и 13. Их полу разность, умноженная на себя|
равна меньшему квадрату; и х получается 8/3.
К подстановкам. 1-е число будет 5/3, 2-е 5/3, а 3-е 8/3.
И доказательство очевидно.
33. Найти такие два числа, чтобы каждое из них, по-
лучив от другого одну и ту же часть, или части, имело за-
данное отношение к остатку от давшего числа.
Положим, что 1-е число, получая от 2-го некоторую
часть или части, будет втрое больше остатка, а 2-е, полу-
чая от 1-го такую же часть или части, будет в пять раз
больше остатка 1).
Положим, что 2-е равно х + 1, а его часть или части
будут 1, а 1-е Зя — 1. И 1-е, получив от 2-го такую же
часть или части, т. е. 1, сделается втрое больше остатка.
Мы хотим, чтобы и 2-е, получая от 1-го ту же часть или ча-
сти, было в пять раз больше остатка.
Но так как оба числа вместе будут кх и то, что 2-е
получает, то 1-е дает, и 2-е становится в 5 раз больше
остатка, то оба вместе, увеличивающиеся и остающиеся,
будут 4ж, и остаток получится, когда мы от 4я возьмем
6-ю часть, т. е. (2/3)х. Следовательно, если от Зх—1 отнимем
(2/3)я, то будем иметь часть или части от 1-го.
Когда же отнимем, то остаток сделается ~ х — 1 ; тогда
О
7
берущее число 2-е, или х Ц- 1, взявши от 1-го у х — 1, ста-
нет в 5 раз больше оставшегося от 1-го числа.
1Ч v । х2	х2 х „ , хА < Ххх (тг
х) X, --= з ( Х2 — ——•), Л2	:— -- 5 I -1 . (При.и. персе,}
115
ДИОФАНТ?
Теперь остается найти, будет ли 1 такой же частью от
7
х 4- 1, какой частью -у х — 1 является от Зх — 1.
Если ты хочешь найти это, то произведение
7
ух — 1 и х 4-1 должно быть равно Зх — 1, умноженному
на 1; обе дроби перемножаются накрест:
и х = 5/7.
К подстановкам. 1-е число 8/7, а 2-е 12/7.
1 была какой-то частью 2-го числа; посмотрим, какой
именно: 1, [деленная] на 2-е, будет 7/12. Оба числа умно-
жаю на семь. 1-е будет 8, 2-е 12, «части» же 7/12. Но так
как 1-е число не имеет 12-й части, то утрою все их, чтобы
избежать дробей; тогда 1-е число будет 24, 2-е 36, а «части»
их 7/12, и доказательство очевидно.
Лемма к нижеследующему. Найти два
неопределенных числа, чтобы их произведение вместе с
суммой образовало заданное число.
Пусть это число будет 8.
Положим первое х, а второе 3. И их произведение вме-
сте с суммой будет 4х + 3; это должно равняться 8. И х
будет 5/4.
К подстановкам. 1-е будет 5/4, а 2-е 3.
Теперь посмотрим, откуда получилось 5/4; из деления
5 на [количество х-ов, т. е. 4]. Но 5 получилось из разно-
сти 8 и 3; 4х будут на единицу больше 2-го числа.
Следовательно, если в качестве 2-го числа мы возьмем
сколько-то х-ов, отнимем их из 8, оставшееся разделим на
2-е число, увеличенное на единицу, то будем иметь 1-е
число.
Например, пусть 2-е будет х — 1; вычту его из 8;
останется 9 — х. Это я разделю на 2-е, увеличенное на еди-
9
ницу, т. е. нах. И получится — — 1; это будет 1-е число.
Так получается решение задачи в неопределенных чис-
лах, когда их произведение вместе с суммой составляет 8.
Это решение будет неопределенным, так как всегда, если
кто-нибудь, взявши вместе х сколько угодно единиц, сде-
лает подстановку, задача будет завершена.
116
АРИФМЕТИКА КНИГА 1V
Щ-	1	..
34.	Найти три таких числа, чтобы произведения лю-
бых двух из них, сложенные с их суммами, образовали
заданные числа. Заданные же числа должны быть квад-
ратами без единицы.
Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное
с их суммой, равняется 8, произведение 2-го и 3-го с их
суммой равняется 15, произведение 1-го и 3-го с их сум-
мой равняется 24.
Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе
с их суммой равнялось 8, то если я возьму 2-е равным чему-
нибудь, вычту его из 8 и разделю остаток на увеличенное
единицей 2-е число, то буду иметь 1-е число.
Возьму 2-е в виде х — 1; если вычту это из 8 и разделю
9
на увеличенное единицей 2-е число, то 1-е будет — — 1.
•С
Точно так же, если хочу, чтобы произведение 2-го и
3-го чисел вместе с их суммой давало 15, то, отняв <от
15> х — 1 и разделив остаток на 2-е число с единицей, т. е.
q	16 л
на гг, получу 3-е число-1.
•X
Теперь остается найти произведение 1-го и 3-го, сло-
U	144 t	съ Г
женное с их суммой; получится-^ — 1; приравняй это 24,
найдем х = 12/5.
К подстановкам. 1-е будет 33/12, 2-е 7/5 и 3-е 68/12.
Приведем все к одному знаменателю; получается: 1-е
165/60, 2-е 84/60, 3-е 340/60.
Лемма к нижеследующему. Найти такие
два неопределенных числа, чтобы их произведение минус
сумма равнялось заданному числу.
Пусть это число будет 8.
Положим 1-е х, 2-е 3; их произведение без суммы будет
2х — 3 = 8. И х получается равным 5V2.
К подстановкам. 1-е будет 5х/2, 2-е 3.
Опять посмотрю, откуда получился х = 5х/2; это от де-
ления 11 на 2; но И есть заданное число, сложенное со
2-м, а [количество а;-ов, т. е. 2], будет 2-м числом, умень-
шенным на 1. Если я возьму 2-е число как угодно, то,
сложив его с заданным и полученное разделив на 2-е чи-
сло без 1, найду 1-е.
Пусть 2-е х 1; это вместе с 8 даст х + 9. Разделю это
9
на уменьшенное единицей 2-е, т. е. на х, получится 1 -J- —•
117
ДИОФАНТ
Найдено в неопределенных числах решение задачи:
произведение двух чисел без их суммы сделать равным 8.
35.	Найти такие три числа, чтобы произведения лю-
бых двух из них минус их сумма равнялись заданным
числам. Заданные числа должны быть квадратами без
единицы.
Пусть задано, что произведение 1-го и 2-го без их суммы
равно 8, произведение 2-го и 3-го без суммы равно 15 и
произведение 3-го и 1-го без суммы равно 24.
Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го без их
суммы равнялось 8, то, взявши 2-е число каким угодно,
прибавим его к 8 и полученное разделим на 2-е, уменьшен-
ное на 1, и тогда получим 1-е на основании предшествую-
щей леммы.
Пусть 2-е число будет я -|- 1; прибавляю к нему 8; по-
лучается х + 9; это я делю на 2-е, уменьшенное единицей,
g
т. е. на х, и получаю 1	; это будет 1-е число.
16
Подобно этому найдется и 3-е 1 -|-, и два уело-
вия выполнены.
Остается найти произведение 1-го и 3-го без их суммы:
оно будет — 1 = 24; ; и х получится равным 12/5.
К подстановкам. 1-е будет 57/12, 2-е 17/5 и 3-е 92/12.
И если хочешь, чтобы у них были одинаковые доли, то
возьми все в шестидесятых; 1-е будет 285, 2-е 204 и
3-е 460.
Лемма к нижеследующему. Найти та-
кие два неопределенных числа чтобы их произведение
имело заданное отношение к их сумме.
Примем, что их произведение втрое больше суммы.
Положим 1-е х, 2-е 5. Их произведение будет 5х; мы хо-
тим, чтобы это равнялось утроенному х + 5. Тогда Зх 15
будет равно 5.г; и х получится равным
К подстановкам. 1-е будет 7V2, 2-е 5.
Теперь смотрю, откуда х получился 7*/2; из деления 15
на [количество я-ов, т. е.] 2. Но 15 — это 2-е число, умно-
женное на заданное отношение. А 2 получилось из разно-
сти, на которую 2-е число больше отношения.
Если мы положим 2-е число равным нескольким х,
например х, и умножим его на отношение, то получим Зж;
118
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
если разделим это на разность, на которую 2-е число пре-
восходит отношение, т. е. на х — 3, то первое число по-
3#
лучится как .
36.	Найти такие три числа, чтобы произведение любых
двух из них имело заданное отношение к их сумме.
Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел втрое боль-
ше их суммы, произведение 2-го и 3-го вчетверо больше
их суммы и произведение 1-го и 3-го в пять раз больше их
суммы.
Положим, что 2-е число будет х\ тогда вследствие лем-
4*7*	4-о4
мы 1-е число ----5 , а 3-е--7 .
х — 3 ’	х — 4
Остается сделать, чтобы произведение 1-го и 3-го было
в пять раз больше их суммы. Но произведение 1-го и 3-го
12#2
равно	, а сумма 1-го и 3-го чисел
ХА -4—	— IX
Но когда нужно складывать дроби, например
3#	4#
---q и ------7 »
х — 3 х — 4
7#2 — 24#
rr-сы числителей множатся накрест на знаменателей, как,
например, Зх на знаменателя другой дроби, т. е. х — 4, и
4х на знаменателя первой х — 3. Так сделано сложение
7х2 — 24# числителей, а в знаменателе <— произведение
знаменателей, т. е. х2 4- 12> — 7х.
Но мы имеем произведение 1-го и 3-го чисел
12#2
#2 + 12 — 7#
Следовательно,
12ж2
#2 4* 12 — 7#
в 5 раз больше суммы. Но пятикратная сумма будет
35х2 — 120а:
#2 4~ 12 — 7#
Умножим все на общий знаменатель, х2 4~ 12 — 7ж; по-
лучается
12х2 = 35х2 — 120^.
И х будет 120/23.
К подстановкам. Ты имел 1-е	, 2-е х, а 3-е	.
3? О	ОС 4
119
ДИОФАНТ
Было найдено, что х = 120/23. Если подставлять в 1-е
число, то Зх будет 360. Остается знаменатель: 120 [два-
дцать третьих] подставляем в х— 3, получаем 51. Окон-
чательно 1-е число будет 360/51; 2-е 120/23, так как оно не
имеет х в знаменателе; 3-е число, точно так же [подставля-
ем] 120/23 в 4х, получаем 480, и также [подставляем] в
знаменатель 120 [двадцать третьих], т. е. в х — 4, полу-
чаем 480/28, и доказательство очевидно.
37. Найти такие три числа, чтобы произведение лю-
бых двух из них имело заданное отношение к сумме всех
трех.
Примем, что произведение 1-го и 2-го втрое больше
суммы всех трех, произведение 2-го и 3-го вчетверо боль-
ше всех трех и произведение 3-го и 1-го в пять раз больше
всех трех.
Так как произведение двух любых чисел имеет задан-
ное отношение к сумме трех, то я буду сначала искать три
числа и еще одно произвольное, чтобы произведение двух
любых имело заданное отношение к этому произвольному
числу.
Пусть это произвольное число будет 5. И так как про-
изведение 1-го на 2-е втрое больше произвольного, т. е.
5, то, следовательно, произведение 1-го на 2-е будет 15.
Пусть 2-е будет х, тогда первое равно 15/х.
Затем, так как произведение 2-го и 3-го в четыре раза
больше 5, то, значит, произведение 2-го на 3-е будет 20.
Но 2-е есть х, тогда 3-е будет 20/х.
Остается, чтобы произведение 3-го и 1-го, т. е. 300/х2,
было в пять раз больше 5. Получается, что 300/х2 = 25.
И если бы отношение двух видов было отношением
квадрата к квадрату, то задача была бы у меня решена.
Но 300 — количество 1/я2 — будет произведением 15 на
20. А 15 втрое больше 5 и 20 в четыре раза больше. Мы хо-
тим, чтобы утроенное 5, умноженное на учетверенное 5,
имело к упятеренному 5 отношение квадрата к квадрату.
Но 5 — это произвольное число г). Итак, мне приходится
искать некоторое число, чтобы, оно, увеличенное в 3 ра-
за и умноженное на себя же, увеличенное в 4 раза,
имело к пятикратному себе же отношение, как квадрат
к квадрату.
с , _	,
*) о Ье е xuxgjv tcTiv. (Пргии. ред.)
120
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Пусть искомое число будет оно, увеличенное в 3 раза
и умноженное на четырехкратное себя же, будет 12#2;
теперь нужно, чтобы это имело к пятикратному х такое же
отношение, как квадрат к квадрату. Мы, значит, хотим,
чтобы 12х2 имело к 5х отношение, как квадратное число
к квадратному. Следовательно, их произведение будет и
само квадратом; итак, 60х3 = Это же легко: прирав-
ниваю 60х3 к 900х2; и х получается равным 15.
К подстановкам. Искомое будет 15.
[Вместо 5] полагаю произвольное число равным 15;
тогда произведение 1-го и 2-го будет 45. И 2-е число есть
х; следовательно, 1-е будет 45/х. Таким же образом 3-е
будет 60/х.
Остается, чтобы произведение 1~го и 3-го, т. е. 2700/х2,
было пятикратным 15:
2700
И х получается равным 6.
К подстановкам. 1-е число будет 7*/2, 2-е 6 и 3-е 10.
И если бы сумма трех чисел была 15, то искомое было
бы найдено. Полагаю, что сумма трех равна 15х2, а сами
три, выраженные в х, как мы нашли, будут: 1-е 7V2x, 2-е
бх, 3-е же Юж.
Остается лишь, чтобы сумма этих трех чисел равня-
лась 15х2, а сумма трех будет (23V2)x. Следовательно,
(23V2) х = 15^;
и х получается равным 47/30.
К подстановкам. 1-е будет 352V2, 2-е 282 и 3-е 470
тридцатых.
38. Найти такие три числа, чтобы сумма этих трех, ум-
ноженная на 1-е, давала треугольник *), умноженная на
2-е,— квадрат, а на 3-е, — куб.
Положим сумму трех чисел х2, 1-е же 1/х2, взятое тре-
угольное число раз, например 6, 2-е 4-1/х2, а 3-е 1/х2 ку-
бичное число раз, пусть 8.
*) Треугольное число есть сумма
8 /\ 4- 1 = О. (Прим ред.
1 + 2 + 8+...+n-l^±2)=A,
2
121
ДИОФАНТ
И х2, умноженное на 1-е число, дает 6 — треугольное
число, умноженное на 2-е, дает 4 — квадратное число, а
умноженное на 3-е — 8 — кубическое число.
Остается, чтобы сумма трех была ж2, но эта сумма рав-
на 18/ж2:
ж2 = 18 -2.
Множим все на ж2, получится ж4 = 18.
Теперь нужно, чтобы 18 было квадратным числом, сто-
рона которого тоже квадрат. Но 18 представляет сумму
треугольного, квадратного и кубического чисел. Мне при-
ходится искать, каким образом квадрат, сторона которого
есть квадрат, можно разделить на треугольник, квад-
рат и куб.
Пусть квадрат будет ж4 +1—2ж2. Тогда, если я от ж4
отниму ж4 4-1—2Ж2, то в остатке получится 2х2 — 1; это
опять нужно разделить на треугольник и куб. И пусть
куб будет 8; тогда останется треугольник 2ж2 — 9, кото-
рый нужно приравнять треугольнику.
Но всякий треугольник, взятый 8 раз и получивший
прибавок 1, становится квадратом. Следовательно, 16ж2—
— 71 = | |. Строю этот квадрат на стороне 4ж — 1. Квад-
рат будет 16ж2 -J- 1—’8ж; и ж будет равен 9.
К подстановкам. Треугольник будет 153, квадрат
6400 и куб. 8.
Возвращаясь к первоначальной задаче, я полагаю,
что сумма трех чисел будет квадрат ж2,1-е число 153	, так
как оно должно дать треугольник; 2-е 6400	, так как
•27
оно должно дать квадрат, и 3-е 8^, так как оно должно
дать куб; и ж2, будучи квадратом, на который множатся
эти числа, дает и треугольник, и квадрат, и куб.
Сумма трех этих чисел должна равняться ж2; она будет
6561	= ж2. Множим все на ж2, получается ж4 = 6561?
и ж будет 9.
К подстановкам. 1-е число будет 153/81, 2-е 6400/81
и 3-е 8/81; и доказательство очевидно.
39*. Найти такие три числа, чтобы разность наиболь-
шего и среднего имела заданное отношение к разности сред-
122
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
него и наименьшего и, кроме того, суммы двух любых чи-
сел давали квадрат.
Потребуем, чтобы разность наибольшего и среднего
была втрое больше разности среднего и наименьшего.
Так как сумма среднего и наименьшего должна быть
квадратом, то пусть этот квадрат будет 4. Тогда среднее
должно быть больше двойки; пусть оно будет х + 2;
следовательно, меньшее будет 2 — х.
И так как разность между наибольшим и средним втрое
больше разности между средним и наименьшим, а раз-
ность среднего и наименьшего равна 2я, то разность наи-
большего и среднего будет 8ху и, значит, большее будет
7х +2.
[Наибольшее 7х 4~ 2, среднее х 4- 2, наименьшее
2 — Остаются два условия: сумма (наибольшего и
наименьшего должна дать квадрат, и сумма наибольшего)
и среднего тоже должна дать квадрат. И получается двой-
ное равенство:
4 — и 6х 4~ 4 = |
И так как числа единиц являются квадратными, то ра-
венство решается легко.
Я образую два числа, чтобы их произведение равня-
лось 2я, как мы знаем для двойных равенств; пусть эти
числа будут Vs х и 4; тогда х получится 112. При переходе
к подстановкам я не могу от двух отнять х, т. е. 112; по-
этому я хочу иметь х меньшим 2, так чтобы 6х 4~ 4 были
меньше 16. Действительно, если двойка множится на 6ж
и прибавляется 4, то получается 16.
Так как я ищу [решения] 8.т + 4 = | | и 6х -|-4 = Q,
а квадрат двойки, т. е. 4, является квадратом, то у меня
получились три квадрата:
8х + 4, Qx + 4 и 4,
и разность наибольшего и среднего чисел является треть-
ей частью разности среднего и наименьшего. Итак, я при-
шел к необходимости найти такие три квадрата, чтобы
разность наибольшего и среднего была третьей частью
разности среднего и наименьшего, кроме того, чтобы наи-
меньший квадрат равнялся 4, а средний был меньше 16.
Возьмем наименьший квадрат 4, а сторону среднего
х 4- 2; тогда сам квадрат будет х2 + 4я + 4.
123
ДИОФАНТ
Так как разность наибольшего и среднего [квадратов]
является V3 разности среднего и наименьшего, а разность
среднего и наименьшего есть т2 4ж, так что разность
наибольшего и среднего будет х/ дх2 -|- 11/3ж, а среднее
число есть х2 -|- 4х -J- 4; тогда наибольший квадрат
будет
Р/з^2 + ЬЧ^х + 4 = [21-
Все на 9:
12х2 -|- 48х -|- 36 = ГТ
Берем четвертую часть:
Зя2 + 12х + 9 =
Еще я хочу, чтобы средний квадрат был меньше 16, а
сторона его, конечно, меньше 4. Но сторона среднего
х + 2. И это должно быть меньше 4. Отбросив общее 2,
получим, что х меньше 2.
Итак, мне нужно сделать Зя2 4~ 12х + 9 квадратом.
Образую [3 на стороне 3 минус некоторое [число] х.
Тогда х получится равным этому числу при ж, взятом
6 раз с прибавлением 12 (т. е. количества х в уравнении),
причем вся сумма разделена на разность, на которую квад-
рат на этом числе больше 3— количества х2 в уравнении х).
Итак, мне нужно отыскать какое-то число, взятое 6 раз
с прибавлением 12 и разделенное на разность, на которую
квадрат этого числа больше 3, [оно и] дает частное, мень-
шее 2.
Пусть искомое число будет х 2); оно, взятое 6 раз с до-
бавлением 12, дает бх + 12; квадрат же на нем минус 3
будет х2 — 3. Итак, я хочу разделить бх + 12 на х2 — 3
и сделать частное меньше 2. Но 2, разделенное на единицу,
дает частное 2. Значит, бх + 12 имеет к х2 — 3 отношение
меньшее, чем 2 к 1.
И одна площадь не равна другой; значит, произведе-
ние бх + 12 и 1 меньше произведения 2 на х2 — 3, т. е.
бх + 12 меньше 2х2 — 6. Добавив к обеим сторонам по
6, получим бх + 18 меньше 2х2.
О То есть если квадрат образован на 3 — kx, то х —	. (Прим. ред.)»
•) Диофант вводит здесь новое неизвестное, которое обозначает тем же сим-
волом, что  первоначальное. (Прим. рев.)
124
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Когда мы решаем такое уравнение, то множим поло-
вину [числа] при х на себя, получится 9, а также 2 при
х2 на 18, получится 36; прибавляем к 9, получится 45;
сторона [такой площади] не меньше 7.
Прибавь половину количества х, (получится не менее
10; раздели на число при я2>; будет не менее 5.
Теперь мне нужно Зж2 + 12ж + 9 приравнять квадра-
ту на стороне 3 — 5ж; и х получится 42/22, или 21/11.
Сторону среднего квадрата я полагаю х 4~ 2; сторона
квадрата будет 43/11, а сам квадрат 1849/121.
Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю
1849/121, являющееся квадратом, равным 6я + 4; множим
на 121; и х получается 1365/726, что будет менее двойки.
[Мы возвращаемся] к подстановкам первоначальной
задачи; мы полагали среднее число х -{- 2, наименьшее
2 —я, а наибольшее 1х + 2. Наибольшее будет 11007/726,
среднее 2817/726 и наименьшее (третье) 87/726. И так как
знаменатель 726 не является квадратом, но только его 6-й
частью, то, взявши 121, что будет квадратом, и разделив
все на 6, получим: 1-е число
1834V2 9 469V2
121 ’ Z'e 121
121 •
Если ты желаешь [получить] целые числа, то для
уничтожения 2/2 помножь на 4. Тогда будут: первое число
7338/484, второе 1878/484, третье 58/484. И доказатель-
ство очевидно.
40. Найти такие три числа, чтобы разность, на которую
квадрат наибольшего числа превышает квадрат среднего,
имела заданное отношение к разности среднего и наимень-
шего чисел; кроме того, суммы взятых попарно чисел
должны быть квадратами.
Пусть разность на которую квадрат наибольшего чис-
ла превышает квадрат среднего, будет втрое больше разно-
сти среднего и наименьшего чисел.
Так как наибольшее число вместе со средним образует
квадрат, то пусть он будет 16.т2. Следовательно, наиболь-
шее число будет больше 8х2; пусть оно будет 8я2 + 2.
И поскольку сумма наибольшего и среднего чисел
больше суммы наибольшего и наименьшего и” сумма1 наи-
большего и среднего равна 16а?2, то, следовательно, сумма
наибольшего и наименьшего будет меньше 16х2, но больше
8.т2. Пусть сумма наибольшего и наименьшего будет 9я2.
И сумма наибольшего и среднего равна 16х2, из которых
125
ДИОФАНТ
наибольшее берет 8я2 + 2. Тогда среднее число будет
8,т2 — 2, а наименьшее число х* — 2.
И я хочу, чтобы разность квадратов наибольшего и
среднего чисел была в 3 раза больше разности среднего
и наименьшего чисел, но разность квадратов наибольшего
и среднего чисел будет 64а;2, а разность среднего и наимень-
шего чисел равна 7а;2; мы желаем, чтобы 64а;2 было
втрое больше 7а;2, а 7а;2, взятое 3 раза, дает 21а;2. Но [ко-
личество] а;2 получилось [из произведения] 32 на 2.
И вот мне нужно найти некоторое число, которое, будучи
взято 32 раза, дало бы 21; оно будет 21/32.
21
Я полагаю наибольшее число равным 8а;2	, сред-
нее число 8а:2 — хк
а наименьшее а;2 —
21
32 *
Остается одно условие, чтобы сумма среднего и наимень-
шего числа была квадратом. Но среднее и наименьшее
число [вместе] дают 9а;2 —, что должно равняться ква-
драту, пусть на стороне За; — 6. Их получается равным
597/576.
К подстановкам. Наибольшее число будет равно
3069000/331776, среднее 2633544/331776 и наименьшее
138681/331776.
КНИГА V
1. Найти такие три числа в геометрической пропорции,
чтобы каждое из них минус данное число было квадратом.
Пусть (данное) число будет 12.
Геометрическая пропорция получается, когда произве-
дение крайних имеет среднее в качестве стороны.
Прежде всего ищу, какой (квадрат) после вычитания
12 (дает квадрат). Это не представляет трудностей [см.
задачу П10], и такое число будет 421/*.
126
АРИФМЕТИКА КНИГА V
<Теперь первое число из крайних полагаю равным
^2г/4>, второе же #2; тогда среднее будет (61/2)#-
Нужно, чтобы каждое из остальных чисел минус 12
образовало квадрат и было
#2 — 12 = Q и
- 12 = О.
Их разность равна х2 — (б1/®)#; деление на х дает частное
х — +/2. Половина разности, умноженная на себя, 169/16;
это приравниваем меньшему, т. е. (б1^)# — 12. И х будет
361/104.
тп	л	/о1/ о	2346+
п. подстановкам. 1-е число равно AZ1/^, 2-е	,
3-е 130321/10816.
2. Найти такие три числа в геометрической пропорции,
чтобы каждое из них после прибавления заданного числа
было квадратом.
Пусть заданное число 20.
Опять отыскиваю какой-нибудь квадрат, который после
прибавления 20 остается квадратом; это будет 16. Теперь
одно из крайних я беру равным 16, а другое х\ тогда
среднее будет 4#, и но предшествующей [задаче] остается
искать
4# + 20 =
и х2 + 20 ~
И их разность есть х2 — 4х. Деление: делитель #, частное
х — 4. Половина разности, умноженная на себя, дает 4,
которое надо приравнять меньшему 4х + 20; это же не-
возможно, ибо 4 должно быть не менее 20.
Но 4 является четвертой частью 16, а 16 не будет
каким угодно числом: это квадрат, который после приба-
вления 20 является квадратом; значит, мне предстоит
искать, какой квадрат имеет четвертую часть большую
20 и сложенный с 20 дает квадрат. Этот квадрат будет
больше 80.
Но 81 есть квадрат больший 80; следовательно, если
за сторону искомого квадрата возьмем х + 9, то тогда
сам квадрат будет х2 + 18# + 81; он вместе с 20 должен
сделаться квадратом; следовательно, х2 + 18# + 101 ра-
вно квадрату. Пусть он на стороне х — 11; тогда этот
квадрат будет х2 + 121 — 22#. Приравниваем его х2 +
+ 18# + 101. И х получается х/2. Сторона же искомого
квадрата была х + 9; значит, квадрат будет 903/4.
127
ДИОФАНТ
Теперь возвращаюсь к началу и полагаю одно из
крайних ЙО1/*, а третье х2. Тогда среднее будет 91/2 х; и мне
надо искать х2 + 20 ~ Q и (9г/2)а; + 20 Q. И разность
есть х2 —	делитель и частное будут х и х — 9х/2. Поло-
вина разности, умноженная на самое себя, будет 361/16,
которое надо приравнять меньшему, т. е. (й1^)# + 20; и
получится х = 41/152.
К подстановкам. 1-е число будет 90х/4, 2-е и 3-е
1681/23104.
3*. К данному числу подыскать такие три числа, чтобы
каждое, а также произведение любых двух из них, будучи
прибавлены к заданному числу, давали квадрат.
Пусть данное число 5.
И так как в «Поризмах» х) мы имеем:
«Если каждое из двух чисел и их произведение
вместе с заданным числом образует квадрат, то они
получились из двух последовательных квадратов»,
то я беру два последовательных квадрата, 1-й на
х + 3, 2-й же на х + 4. И получаются квадраты: 1-й
х2 + 6<с + 9, 2-й же х2 + 8х + 16. Вычитаю из каждого
по 5 и полагаю: 1-е х2 + 6х + 4, 2-е х2 + 8х + 11, а 3-е
беру равным их удвоенной сумме без 1, т. е.
4х-2 + 28х + 29.
Следовательно, остается, чтобы и это, сложенное с 5, да-
вало квадрат. Пусть 4х2 + 28я + 34 равно квадрату на
стороне 2х — 6. Это будет
4я2 + 36 — 24х — 4а>2 + 28я + 34,
и х получается 1/26.
♦) Этот поризм, но-видимом у, имеет отношение ко второму, также потерян-
ному, решению 10-й задачи книги III, где спрашивается, при каких ус*
ловиях удовлетворяются уравнения
XiX2 + а = □, х2х3 4* ° = □,	+ а = □,
или, если положить = 1,
зс, 4- а = □, х2 4- а — □, XiXz 4- а = О.
Если согласно поризму взять
Xi = х2 -— а,	х2 — (х 4- I)2 — а,
то XiXS = (х2 4- х — а)2 — а. Нужно, однако, замети», что его решение
не является общим. (Прим. П. Таннери.)
128
АРИФМЕТИКА КНИГА V
К подстановкам. 1-е число 2861/676, 2-е 7645/676 и
3-е 20336/676.
4.	Для данного числа подыскать такие три числа, что-
бы каждое из них или произведение двух любых минус
данное число было квадратом.
Пусть заданное число будет 6.
Опять таким же образом полагаю два последователь-
ных квадрата: 1-й х2, 2-й х2 + 2х + 1, прикладываю к
ним заданное число и беру: 1-е х2 + 6, 2-е х2 + 2х + 7,
а 3-е равным удвоенной их сумме без 1Г т. е. 4х2 + 4х <+
+ 25. Следовательно, остается, чтобы и это число минус
6 было квадратом. Тогда 4х2 + 4х + 19 должно равнять-
ся квадрату, положим на стороне 2х — 6. И этот квадрат
будет 4х2 + 36 — 24х, равный 4х2 + 4х> + 19. И х бу-
дет 17/28.
К подстановкам. 1-е число будет 4993/784, 2-е 6729/784,
3-е 22660/784.
5.	Найти такие три квадрата, чтобы произведение
двух любых, сложенное с их суммой или с оставшимся,
давало квадрат.
Мы опять имеем в «Поризмах» х):
«Для двух любых последовательных квадратных
чисел находится еще одно число, равное удвоенной
сумме обоих квадратов вместе с двойкой; оно обра-
зует число, большее из трех, таких, что произведе-
ние любых двух из них, сложенное или с их суммой,
или с оставшимся третьим, дает квадрат».
Положим эти три взятых квадрата: 1-й х2 + 2х + 1,
2-й х2 + кх + 4, а 3-й 4х2 + 12# + 12.
Теперь нужно построить это 3-е 4х2 + 12# + 12 так,
чтобы оно равнялось квадрату. Разделив на 4, будем иметь
х2 + Ъх + 3 = Г]. Этот квадрат я строю на х — 3; он
тогда будет
х2 + 9 — §х — х2 + Зх + 3;
и х будет равен 2/3.
К подстановкам. 1-е число будет 25/9, 2-е 64/9 и 3-е
196/9.
6.	Найти такие три числа, чтобы каждое из них минус
двойка давало квадрат и также чтобы произведение любых
О Этот потерянный поризм, по-видимому, относится к 15-й задаче книги
III. См. также Illje. (Прилс П. Таннери.}
ДИОФАНТ
двух чисел минус их сумма или остающееся число тоже
давало квадрат.
Если к каждому из найденных в предшествующем
чисел я прибавлю двойку, то полученные числа удовлетво-
рят заданному; и нужно сказать следующее.
Возьмем как 1-е из искомых чисел х2 + 2, 2-е х2 +
+ 2^+3, 3-е же 4я2 + 4# + 6; и задания выполняются.
Теперь остается приравнять квадрату 4,т2 + 4х + 4
или его четверть, т. е. х2 4~ х + 1. Если в качестве стороны
квадрата возьмем разность х — 2, то квадрат будет
х2 4- 4 — 4х — х2 + х + 1-
И х окажется равным 3/5.
К подстановкам. 1-е число будет 59/25, 2-е 114/25,
3-е 246/25, и доказательство очевидно.
[Первая] лемма к нижеследующему.
Найти такие два числа, чтобы их произведение вместе
с суммой их [квадратов] давало квадрат.
Пусть 1-е будет х, а 2-е сколько хочешь единиц, напри-
мер 1; их произведение будет х, а сумма квадратов х2 + 1;
вместе с х получится
j
пусть он будет на стороне х — 2, Тогда квадрат будет
х2 4- 4 — 4я — х2 4“ % 4- 1;
и х равен 3/5.
К подстановкам. 1-е будет 3/5, 2-е 5/5; если отбросить
знаменатели, то 1-е будет 3, а 2-е 5, и они удовлетворяют
предложенному, ибо [сумма] их квадратов вместе с их
произведением дает квадрат.
Если умножить 3 и 5 на какое хочешь число, то полу-
чающиеся числа тоже удовлетворят условиям.
[Вторая] лемма к нижеследующем у*.
Найти три прямоугольных треугольника, имеющих
одинаковые площади.
Прежде всего нужно найти такие два числа, чтобы их
квадраты вместе с произведением их давали (квадрат.
Это уже показано выше; искомые числа будут 3 и 5; их
квадраты вместе с произведением дают квадрат), имеющий
сторону 7.
130
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Теперь строю три прямоугольных треугольника на
двух числах: 7 и 3, затем 7 и 5 и, наконец, 7 и сумме
упомянутых чисел 3 и 5, т. е. 8, следовательно, 7 и 8.
Это будут треугольники
40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, ИЗ.
И эти треугольники имеют одинаковую площадь 840.
7*. Найти такие три числа, чтобы квадрат каждого
числа, увеличенный или уменьшенный на сумму этих
трех чисел, был квадратом.
И так как мы ищем квадрат 1-го числа, увеличенный
или уменьшенный на сумму трех и равный квадрату, а у
всякого прямоугольного треугольника квадрат гипоте-
нузы, увеличенный или уменьшенный на четырехкратную
площадь, дает квадрат, то, следовательно, [искомые] три
числа будут гипотенузами прямоугольного треугольника
и сумма этих трех будет учетверенной площадью треуголь-
ников, которым принадлежат гипотенузы. Мне нужно
найти три треугольника с одинаковыми площадями. Но
это уже сделано выше, и это будут треугольники (40,42, 58),
(24, 70, 74) и (15, 112, ИЗ).
Теперь, возвращаясь к первоначальной задаче, я строю
в #-ах три гипотенузы этих треугольников, и они будут:
1-я — 58я, 2-я — 74х и 3-я — 113я. Сумму трех я беру в
х, учетверенную площадь в ж2. Таким образом, ЗЗбОя2 ~
= 245я; и х получается 7/96.
К подстановкам. 1-е число будет 406/96, 2-е 518/96
и 3-е 791/96.
Лемма к нижеследующему. Для трех за-
данных квадратов можно найти такие три числа, чтобы
произведения двух любых давали заданные квадраты.
Действительно, если заданные квадраты будут 4, 9 и 16
и одно из искомых чисел х, то два остальных будут 4/ж
и 9/.г; остается лишь, чтобы произведение 2-го и 3-го
чисел давало 16. Но произведение 2-го и 3-го чисел будет
36 Д2 —
= 16;
и х получается равным Р/2.
К подстановкам. 1-е число Р/г, 2-е 21/г1/в и 3-е 6.
Чтобы все это было изложено методически, пишу
36/У2 равно 16 и умножаю все на получается 16#2 = 36,
131
ДИОФАНТ
и х2 будет 16-й частью 36; сторона этого квадрата будет 6/4.
Но 6 — произведение сторон [квадратов] 4 и 9, т. е. [ко-
личеств] 2 и 3, а знаменатель, т. е. 4, является стороной
квадрата, [равного] 16.
Если тебе предложат найти три числа таких, чтобы
произведения двух любых давали заданные квадраты,
например 4, 9 и 16, то образуй произведение сторон
[квадратов] 4 и 9 — получится 6; раздели это на сторону
16 (— квадрата); получится 1-е 6/4. Теперь опять 4 (— ква-
драт) раздели на 6/4; получится 16/6; затем 9 (— квадрат)
раздели на 6/4; получится 6.
Следовательно, числа будут: 1-е 6/4, 2-е 16/6, 3-е 6.
8. Найти такие три числа, чтобы произведние любых
двух из них, если прибавить к ним сумму всех трех или
вычесть ее, давало квадрат.
Опять отыщем сначала три треугольника, (имеющих
равные) площади, и, найдя их, возьмем квадраты гипоте-
нуз; это будут 3364, 5476 и 12769. Имея их, найдем, как
описано выше, три числа такие, чтобы произведения
любых двух из них образовывали заданные квадраты; пусть
это будут приведенные выше.
Мы получим их вследствие того, что каждый из этих
квадратов, если приложить к нему или вычесть 3360,
дает квадрат и 3360 есть учетверенная площадь каждого
из этих треугольников. Вследствие этого я полагаю в
я-ах:
4292
ИЗ
380132
4292
618788
4292
18421264
[484996]
И сумма трех будет [-^4996
Л,
взятые попарно их произведения образуют данные выше
квадраты.
Остается сумму этих трех приравнять 3360#2; для полу-
чения одинакового знаменателя превратим его в [484996]1).
т;г л	18421264	о Г42954916
И 1-е получится равным -77»—qqA1- я, 2-е
О Г699230441
°'е [ 484996 .
Умножив ее на [484996], получим
131299224г = [16295865601г2
_ 484996
1312992241 х = ззбод.2.
9 В тексте стояло неверное число 121249, что привело к необходимости ис-
править и дальнейшие выкладки. (Прим. ред.)
132
АРИФМЕТИКА КНИГА V
И
X - [131299224/1629586560].
Взявши общий делитель, получим х — [781543/9699920К
К	подстановкам. 1-е ...	*)
Г 781543	__	781543	__	781543"
Х1 ~ 255380 ’ Х* ~	109520 ’	Хз	~ 67280 I	’
9*. Разложить единицу на две дроби и прибавить к каж-
дой из них заданное число так, чтобы получился квадрат.
Данное число не должно быть нечетным, (и удвоенное
от него, увеличенное на единицу, не должно делиться на
простое число, которое, после прибавления единицы,
является кратным четырем^ 2).
Предположим, что к каждой дроби добавляется 6 и
получается квадрат.
Так как мы желаем разложить единицу, прибавить
к каждой части 6 и образовать квадрат, то, значит, сумма
квадратов должна равняться 13. Таким образом, нужно
разложить 13 на два квадрата, чтобы каждый из них был
больше 6.
Если я разложу 13 на два квадрата, разность которых
меньше единицы, то решу задачу. Беру половину 13;
получится 6х/2; и ищу, какую квадратичную дробь нужно
придать к 6г/2 для образования квадрата. Увеличим все
в 4 раза. Тогда я буду искать, какую квадратичную дробь
нужно приложить к 26, чтобы получился квадрат. Пусть
1 1
прибавляемая дробь будет — и 26 -р — =
Множу все на ж2; получается 26а2 + 1 = П- Пусть
будет на стороне 5х -J- 1; и получим х равным 10. Тогда
ж2 будет 100, а 1/ж2 будет 1/100. Таким образом, к 26 нуж-
но придать 1/100, а к 6х/2 — одну четырехсотую, что дает
квадрат на стороне 51/20.
Таким образом, 13 надо разложить на два квадрата
так, чтобы сторона каждого была возможна ближе к
51/20. И будем искать, что надо вычесть из 3 и прибавить
к 2, чтобы получить именно 51/20.
О Конец задачи в рукописи отсутствует. (Прим. реб.)
9 Текст задачи испорчен. Ограничение приведено по реконструкции П. Тан-
нери. (Прим. ред.)
133
ДИОФАНТ
Образую два квадрата: один на 11# + 2, а другой
на 3 — 9#. И сумма этих квадратов
202#2 + 13 - 10# - 13,
откуда получаем х = 5/101. Значит, сторона одного квад-
рата будет 257/101, а другого 258/101.
И если от каждого из этих квадратов отнимем 6, то
одна из долей единицы будет 5358/10201, а другая
4843/10201, и ясно, что каждая вместе с 6 единицами
образует квадрат.
10. Разложить единицу <на две дроби) и к каждой
прибавить по некоторому заданному числу так, чтобы
образовались квадраты.
Пусть предложено разложить единицу и прибавить
к одной [части] 2, а к другой 6 так, чтобы каждая стала
квадратом.
Построим единицу АВ, рассечем ее в Г, к АГ прило-
жим АА = 2, а к ГВ приложим BE = 6; каждый отре-
зок ГД, ГЕ будет квадратом.
О
А
О—О—О
А Г В
О
Е
И так как АВ = 1, а сумма АД и BE равна 8, то вся
ДЕ окажется равной 9, и ее нужно разделить на два квад-
рата ГД, ГЕ.
Но так как один квадрат будет больше АД, т. е. двой-
ки, и меньше ДВ, т. е. тройки, то я прихожу к тому, что
заданный квадрат, т. е. 9, нужно разделить на два квад-
рата ДГ и ГЕ так, чтобы один из них, ГД, находился
между двойкой и тройкой. Когда ГД будет найден, а
АД — двойка — является данным, то, значит, оставший-
ся АГ будет найден. Но АВ является единицей, и, значит,
оставшийся ВГ будет найден; тогда будет найдена и точка
Г, которая подразделяет единицу.
Порядок действия будет описан ниже. Пусть один из
квадратов, находящийся между 2 и 3, будет х2; следо-
вательно, остающийся будет 9 — х2, он равен квадрату*.
9 — х2
Приравнять это квадрату нетрудно, но должно най-
ти х2 между 2 и 3. Берем два квадрата: один больший 2,
134
АРИФМЕТИКА КНИГА v
а другой меньший 3. Они будут 289/144 и 361/144. Если
мы можем вставить х2 между двумя упомянутыми квадра-
тами, то задача будет решена.
Нужно, чтобы сторона х2, т. е. х, была больше 17/12
и меньше 19/12; таким образом, приравнивая 9 — х2
квадрату, надо найти х большим 17/12 и меньшим
19/12.
Чтобы сделать 9 — х2 равным квадрату, построим
сторону на 3 минус сколько-то т-ов; мы найдем х полу-
чающимся из некоторого числа, взятого 6 раз и разде-
ленного на квадрат этого числа, увеличенный на единицу.
Таким образом, приходится отыскивать некоторое чис-
ло, которое, увеличенное в 6 раз и разделенное на уве-
личенный единицей квадрат этого числа, дает частное
(лараРоХ^) большее 17/12 и меньшее 19/12.
Пусть искомое будет т1), и ищу согласно предыдуще-
му условию, чтобы было
17	6z	19
г» меньше 2	. меньше ру.
Но 17, деленное на 12, дает в частном 17/12, значит,
нужно, чтобы 2 -7 было больше 17/12. Таким образом,
37 —f— J-
произведение §х на 12, т. е. 72т, должно быть больше,
(чем произведение т2 1 на 17, т. е. 17т2 -р 17).
Половина количества х, умноженная на себя, дает
1296, вычти произведение количеств х? и единиц 2), т. е.
289; остаток будет 1007; возьми его сторону; она не боль-
ше 31; прибавь половину количества т-ов; она полу-
чится не больше 67 I = 31 -f- 36]; раздели на количество
х?\ тогда х получится (не больше) 67/17.
Подобно этому нужно, чтобы -7 было меньше
X 1
(19/12); мы найдем, что х будет не меньше 66/19, но не
больше 67/17. Пусть х будет З1^.
Образую сторону квадрата на 3—Зх/2 ж; квадрат будет
1241 т2 Ц- 9—21т; приравниваю это 9 — т2, откуда х =
= 84/53, а т2 = 7056/2809. Если из этого вычтем 2, то
*) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим-
волом, что и старое. {Прим. ред.)
2) То есть вычитается произведение коэффициента при № на свободный член,
{Прим, ред.)
135
ДИОФАНТ
получится один отрезок единицы 1438/2809, так что вто-
рой отрезок будет 1371/2809. И заданное выполнено.
И*. Разложить единицу на три числа, к каждому из
них прибавить одно и то же заданное число и сделать
каждое квадратом.
Нужно, однако, чтобы данное число не было двойкой,
а также и числом, полученным из двойки увеличением
на кратное восьмерки.
Пусть будет задано разложить единицу на три числа и
прибавить к каждому из них по 3 так, чтобы каждое из
них сделалось квадратом.
Нужно снова разложить 10 на три квадратных числа
таких, чтобы каждое из них было больше 3. Если опять
разложить 10 на три квадрата при помощи процесса при-
ближения (см. задачу V9), то каждый из них бу-
дет больше тройки, и мы сможем, вычитая из каждого из
них по 3, получить дроби, на которые подразделяется
единица.
Возьмем третью часть 10, т. е. Зх/3, и поищем, какую
квадратичную дробь нужно придать к З^з, чтобы полу-
чить квадрат. Увеличим все в 9 раз. Теперь к 30 нужно
придать некоторую квадратичную дробь и сделать це-
лое квадратом.
Пусть придаваемая дробь будет 1/х2; множим все на
я2. Тогда ЗОх2 4-1 равно квадрату; пусть он будет на
стороне 5я 4~ 1- Тогда этот квадрат будет 25Х2 + 10х 4-
+ 1 = ЗОх2 4~1-
Отсюда х — 2, х2 = 4 и 1/х2 = х/4.
Если к 30 прибавить то к 3 */3 придается 1/36 и
получится 121/36. Нужно разложить 10 на три квадрата
так, чтобы сторона каждого квадрата была возможно
ближе к 11/6.
Но 10 складывается из двух квадратов, а именно 9 и 1.
Разложим 1 на два квадрата: 9/25 и 16/25, так что 10 со-
ставится из трех квадратов: 9 +	25 * Нужно каждую
из сторон этих квадратов построить возможно ближе
к 11/6.
Но стороны этих квадратов будут 3 и 4/5 и 3/5. Умно-
жая все на 30, получим 90, 24 и 18. А 11/6 обратятся в
55; итак, нужно каждую из этих сторон построить (воз-
можно ближе) к 55.
136
АРЙФМЕТЙКА КНИГА V
Образуем одну сторону 3—35х, другую 31х + V5 и
последнюю 37я +3/5. Сумма квадратов на них будет
3555я2 +10-116я.
Приравниваем ее 10, откуда находим х ~ 116/3555.
К подстановкам. Даны стороны квадратов, значит,
и сами квадраты. Остальное очевидно.
12.	Разложить единицу на три числа и к каждому из
них прибавить по заданному числу так, чтобы каждое
стало квадратом.
Пусть заданы числа 2, 3 и 4. Опять приходим к раз-
ложению 10 на три квадрата таких, что первый больше
двойки, второй больше тройки и третий больше 4.
Если мы разделим единицу пополам, придадим к
каждому из данных чисел по V2, то надо будет искать
один квадрат большим двух, но меньшим 21/2» а второй
большим 3, но меньшим 3V2 и третий большим 4, но
меньшим 4х/2. И все это приводится к подразделению 10 —
суммы двух квадратов,— [каждый из которых] делится
на два новых квадрата так, чтобы один из них был боль-
ше двух, но меньше 21/2. Если мы из этого вычтем двой-
ку, то получим одну из частей единицы.
Затем, если другой из квадратов мы подразделим на
два других квадрата так, чтобы один из них был больше
3, но меньше 3*/2 и, если мы из него вычтем 3, то получим
один из искомых. Таким же образом найдем и третий.
13.	Заданное число разложить на три числа так, чтобы
сумма двух любых давала квадрат.
Пусть будет задано 10.
И так как среди трех искомых чисел большее и сред-
нее дают квадрат и также среднее вместе с меньшим и
меньшее вместе с большим, то, значит, три числа удвоен-
ные дадут три квадрата, из которых каждый будет мень-
ше 10. Но дважды взятые три [числа] дают 20; следова-
тельно, нужно 20 разложить на три квадрата, каждый
из которых был бы меньше 10.
Но 20 складывается из двух квадратов, именно 16 и
4; если один из искомых мы возьмем равным 4, то понадо-
бится 16 разложить на два квадрата так, чтобы каждый
из них был меньше 10. Но мы уже выучились, как задан-
ный квадрат разлагать на два квадрата так, чтобы один
из них был больше 6 и меньше 10.
137
ДИОФАНТ
Итак, пусть сумма обоих будет 16; нужно ее разло-
жить на два квадрата так, чтобы каждый из них был мень-
ше 10; и если каждый из них мы вычтем из 10, то найдем
и остальные квадраты, которые, сложенные по два, об-
разуют квадрат.
14.	Заданное число разложить на четыре числа, ко-
торые, взятые по три, [в сумме] давали бы квадрат.
Пусть заданное число будет 10.
Так как [сумма] (трех взятых) по очереди, начиная
с 1-го, дает квадрат и то же самое дают три взятые, на-
чиная со 2-го, а также три, начиная с 3-го, и три, начи-
ная с 4-го, то трижды взятые четыре числа дают в сумме
четыре квадрата. Но взятые трижды четыре числа дают
30; таким образом, нужно 30 разложить на четыре квад-
рата так, чтобы каждый был меньше 10; это же делается так.
Найти искомые можно при помощи процесса прибли-
жения [см. Vu] каждого из них к 7г/2 и последующего
вычитания из 10. Или иначе: я вижу, что 30 складывает-
ся из 16, 9, 4 и 1. Возьмем 4 и 9; так как каждое из них
меньше 10, то остается 17 разложить на два квадрата
так, чтобы каждый из них был меньше 10.
Если теперь, как мы выучились [см. Vlo] разложим
17 на два квадрата так, чтобы один из них был больше
8х/2, но меньше 10, то каждый из них будет меньше 10;
и если каждый из них мы отнимем от 10, то найдем
остальные из искомых [одно будет 6, а другое 1, так
что задача будет решена] 1).
15.	Найти такие три числа, чтобы куб суммы всех
грех чисел, к которому прибавляется каждое из этих
1исел, был кубом.
Положим, что сумма трех чисел будет х, а искомые
числа 7х\ 26ж3 и 63ж3; установлено, что куб суммы этих
трех с прибавлением каждого из них образует куб;
остается сумму трех приравнять х.
Но сумма этих трех чисел будет 96я3, так что 96ж3 = х.
Разделив все на х, получим 96.Т2 = 1.
И единица есть квадрат; если бы и 96х2 было квадра-
том, то задача была бы решена. Поэтому я ищу, откуда
появилось 96. Это сумма трех чисел, каждое из которых
Ч Слова, помещенные в квадратных скобках, Таннери считал интерполя-
цией. (Прим, ред.)
138
АРИФМЕТИКА КНИГА V
вместе с единицей образует куб. Таким образом, дело
приводится к отысканию трех таких чисел, чтобы каждое
из них вместе с единицей давало куб и, кроме того, сум-
ма трех была квадратом.
Положим сторону 1-го [куба] х 4-1, 2-го 2 — х, 3-го 2.
Кубы будут: 1-й а? 4~ За? 4~ За; 4~ 1> 2-й 6а;2 4" 3 —
— а? — 12ж и 3-й 8. От каждого отнимаю по единице и по-
лагаю 1-е х3 4“ За? 4" Зж, 2-е 6а? 4" 7 —	и 3-е 7.
Теперь остается, чтобы их сумма образовала квадрат:
9а? 4-14 — 9ж = р~|.
Пусть он будет на стороне За; — 4 и получится х = 2/15.
Искомые числа будут: 1538/3375, 18577/3375, 7.
Возвращаясь к первоначальной задаче, беру три числа:
л 1538 о о 18577 о о »
1-е	2-е	, 3-е 7 а:3.
3375 ’	3375
Опять положим сумму трех равной ж, и получится
43740 з
3375 Х ~ '
[Сократим] на 15 и [разделим] все на х\ получится
2916а;2 = 225. И х будет 15/54.
К подстановкам. Так и будет г).
16*. Найти такие три числа, чтобы куб суммы трех ми-
нус каждое число было кубом.
7
Положим опять сумму трех ж, а самые числа -g-a:3,
26 з 63 з ~
2?аг, жЛ. Опять сумму трех приравниваем х\ теперь
некоторое кубическое количество будет равно х.
[Разделим] все на ж; получим некоторое количество
квадратов, равное 1:
Г4877
1728
Но единица есть квадрат; значит, должно быть квад-
ратом и количество а?. Откуда же получилось это коли-
*) 1-е равно
3375
15 \3 1538	___ 18577
— ।	.— -s-e равно-------
54 )	157464	157464
3-е равно
23625
157464
(Прим, пермь)
139
ДИОФАНТ
чество я2? От тройки отнимаются три куба, каждый из
которых меньше 1; [итак, задача] приводится к нахожде-
нию трех кубов, каждый из которых меньше 1, а их сумма
отнятая от тройки, образует квадрат.
Будем искать каждый их этих кубов меньшим 1; если
мы построим сумму этих трех меньшей 1, то каждый из
кубов будет гораздо меньше единицы; таким образом,
оставшийся [после их вычитания] квадрат будет больше 2.
Построим остающийся квадрат большим 2; пусть он
будет 2VJ = 9/41. Тогда нужно разделить на <три> куба
3/4 или какие-нибудь его кратные, могущие быть разде-
ленными на три куба. Пусть это будет 216; тогда нам нуж-
но разделить 162 на три куба *).
Но 162 представляет сумму куба 125 и разности двух
кубов 64 и 27. Из «Поризмов» мы имеем: «Разность вся-
ких двух кубов равна сумме двух кубов» а).
Вернемся к первоначальной задаче и положим [числа
соответственно равными] ж3, умноженному на найденные
числа, а сумму всех трех полагаем х. Тогда получится,
что сумма трех кубов по вычитании каждого из них
дает куб.
Было предложено, что сумма всех трех ранялась х.
Но сумма этих трех будет 21/4£3; это же равно х; отсюда
х получается 2/3.
К подстановкам.
17.	Найти три таких числа, чтобы куб суммы трех,
будучи вычтен из каждого, давал куб.
Положим опять, что сумма трех будет х, а эти три числа
2#3, 9гг3, 2&г3. Остается сумму этих трех приравнять х.
Но сумма трех будет 39я3, так что 39а:3 = х. Разделим
на х\ 39х2 = 1.
*) 216 = 63 = 53 + 43 + з3;	“7- *(216) = 162 = 53 + 43 — З3. (HpuAt. И. Таннери.)
4
*) Этот утерянный поризм, по-видимому, относится к 1-й и 2-й задачам IV
книги. Если вместе с Баше положить
а=w з - sdh?(2а3 _ ьа)’
то а3 -г р3 = а3 — Ь3. У Диофанта а — 4, Ь = 3. Таким образом.
3 . 53 + 43 — З3 _ / J5_\3 , / 303 \3	/ 40 >3 _ /J5_\3 ।	’ ( 20 V3
4	63 ~k 6 J k 6-91 J \ 6-91 J ~~ V 6 J + \182 J n \ 273J *
(Прим. П. Таннери.)
140
АРИФМЕТИКА КНИГА V
И если бы 39#2 (было квадратом, то задача
была бы решена. Но 39) есть сумма трех кубов с 3;
следовательно, нужно найти три куба, сумма которых
с 3 была бы квадратом. Положим, что сторона 1-го куба
будет х, 2-го 3 — х, а 3-го сколько-нибудь единиц, по-
ложим 1. И сумма трех кубов будет 9#2 + 28 (—27#).
Взяв это вместе с 3, получим
9#2 -г 31 — 27# - □ = (3# — 7)2.
И х получается 6/5. (Сторона 1-го будет 6/5,) 2-го 9/5
и 3-го 1.
К кубу каждого из этих чисел я прибавляю 1 и воз-
врати, атось к начальной [задаче]. Беру каждый #3, взя-
тый число раз из найденных, полагая, что сумма трех
равна х. Остается сумму трех приравнять х\ но сумма
289 о	к/л^
трех равна -^х ; приравняв это #, получаем х = 5/17.
К подстановкам [1-е 341/4913, 2-е 854/4913, 3-е 250/4913.]
18.	Найти три числа, равные [в сумме] (квадрату),
такие, чтобы куб суммы трех, сложенный с каждым из
них, давал квадрат.
Обозначим сумму трех чисел, чтобы она была квадра-
том, через #2, а искомые: 1-е З#6, 2-е 8#6 и 3-е 15#6. Тогда
куб суммы всех трех, сложенный с каждым из них, ока-
жется квадратом.
Остается приравнять квадрату сумму трех чисел.
Но эти три числа вместе суть 26#6; они равны х2. Разделив
все на х2, получим 26#4 — 1.
Но 1 является квадратом, имеющим сторону квадрат-
ную, так что 26#4 должно быть квадратом, имеющим квад-
ратную сторону; упомянутую же количество #4 получи-
лось из некоторых трех чисел, каждое из которых вместе
с 1 дает квадрат. (Итак, дело свелось к отысканию таких
трех чисел, чтобы каждое из них вместе с 1 было квадра-
том) и еще чтобы сумма трех была квадратом со стороной
тоже квадратом.
Пусть 1-е из искомых будет #4 — 2#2, 2-е х2 + 2х
и 3-е х2 — 2х‘ и ясно что каждое из них вместе с 1 дает
квадрат и, наконец, три сложенные дают квадрат, (име-
ющий стороной квадрат). Задача решена для неопреде-
ленного х.
141
ДИОФАНТ
Положим, что х — 3; тогда 1-е из искомых будет 63,
2-е 15 и 3-е 3.
Возвращаемся к начальной задаче и опять положим
все три вместе равными х\ а искомые 63л;6, 15х6 и Зх6.
Остается приравнять эти три х2, и получится 81х6 — х2;
и х будет ^з-
Все остальное очевидно.
19.	Найти три числа, равных [в сумме] квадрату,
такие, чтобы куб суммы трех этих чисел по вычитании
каждого из них давал квадрат *)•
Опять нам нужно, как и раньше, разложить 2; куб
числа 2 есть 8. От 8 мы должны отнять каждое число
и получить квадрат. [Из утроенного 8 вычитаем 2; по-
лучается 22]. Теперь потребуется разделить 22 на три
квадрата, каждый из которых больше 6. Если мы каждый
из них вычтем из 8, то и получим искомые числа. Но
уже было показано [Vn], как нужно делить 22 на три квад-
рата, чтобы каждый из них был больше 6.
20.	Данную дробь разложить на три дроби так, чтобы
каждая из них минус куб суммы всех трех давала
квадрат.
Пусть данная дробь будет V4 и нужно V4 разложить
на три дроби, как указано.
Таким образом, нужно будет каждую из них минус
1/64 сделать квадратом. Следовательно, сумма трех минус
3/64 составляет сумму трех квадратов; и если к каждому
из квадратов прибавим 1/64, то получим каждый из
искомых.
Это же нетрудно
Л _ 13
.4	64 J 64
придется разложить на
три квадрата, что нетрудно.
*) Решение этой задачи в рукописи не сохранилось. Фрагмент решения, ко-
торый следует за ней, относится к другой задаче. Баше де Мезириак пред-
положил, что между задачами 19 и 20 книги V были еще три, последняя
из которых формулировалась примерно так: «Найти три числа, сумма ко-
торых дана, и куб суммы минус каждое из них образует квадрат». Сох-
ранившийся фрагмент является решением именно этой задачи, если дан-
ное число равно 2. Подробнее о гипотезе Баше см. в комментариях. Там
же приводится реконструкция решения задачи 19, принадлежащая Э. Ста-
матису. (Ярим, реб.)
142
АРИФМЕТИКА КНИГА V
21*. Найти три квадрата таких, чтобы тело, построен-
ное на трех, сложенное с каждым из них, давало квадрат.
Положим, это тело из трех будет я2; поищем три квад-
рата таких, чтобы каждый из них вместе с 1 был квадратом.
Это можно получить из каждого прямоугольного тре-
угольника1); я беру три прямоугольных треугольника и,
взявши квадрат одного катета, делю его на квадрат друго-
«	9 2 25 2 64 2
го катета; так найдутся квадраты	225 ’ и ясно»
что каждый из них вместе с х2 дает квадрат.
Предполагается, что тело из этих трех равняется х2;
14400 6 п	2
это тело будет аг. Приравняв это хл и разделив все
на аг, получаем
14400 .
518400^ ““
[Приравниваем] сторону к стороне, получается
120
720
Единица есть квадрат.
Г 120 ’
Если бы х~ было
I £AJ
квадратом,
то задача была бы решена. Но этого нет.
Тогда нужно искать три таких прямоугольных треуголь-
ника, чтобы тело из трех их катетов [а]а2а31, умноженное
на тело из их оснований [Ь^&з], давало квадрат.
Пусть его стороной будет произведение катетов
одного из прямоугольных треугольников. Если мы раз-
делил! все на произведение катетов упомянутого тре-
угольника, то получится произведение катетов одного
треугольника, помноженное на произведение катетов
другого треугольника.
И если один из треугольников мы возьмем (3, 4, 5),
то придется искать два прямоугольных треугольника
таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз
больше произведения катетов другого или чтобы площадь
одного была в 12 раз больше площади другого. Но если
в 12, то, [отбрасывая квадраты], можно и в три. Дальше
*) Если а2 — Ь’ + с», то — + 1 = — , т. е. квадрату. ДкофШИ бДОГТреуголь-
V-	Чх
ники (5, 4, 3), (13, 12, 5) и (17, 15, 8). (Прим. И. TdXHepU.)
143
ДИОФАНТ
будет легко. Один треугольник будет (9, 40, 41),
другой (8, 15, 17). Имея эти три прямоугольных
треугольника, возвращаемся к первоначальной задаче
9
и полагаем три искомых квадрата равными: 1-й я2, 2-й
225 2 о „ 81
64 х и 1600
я2. И если построенное на них тело
при-
равняем я2, то х получится рациональным.
™	Г 9	225	81 в 9	6561 л А
К подстановкам тё ' “ег •	= я , или х* = 1,
|_16	64	1600	’	65536	’
х2 = 256/81, х = 16/9. Искомые числа будут 16/9, 100/9
22*. Найти три таких квадрата, чтобы образованное
ими тело минус каждый из них было квадратом.
Положим, что образуемое ими тело будет х2, а иско-
мые три квадрата берем из прямоугольных треугольников:
1-й 16/25, 2-й 25/169 и 3-й 64/289. Полагаю их в я2; тогда
ж2, из которого вычитается каждый [из этих] квадратов,
остается квадратом.
Теперь нужно образованное этими тремя числами тело
приравнять х2. Это тело будет
25600 в
1221025 Х *
Приравниваем
это х2 и делим все на х2\ получается
25600 ~4 _
1221025 Х
Единица есть квадрат, имеющий стороной тоже квад-
рат; следовательно, 25600/1221025 тоже должно быть
квадратом, (имеющим стороной квадрат), и опять дело
приводится к отысканию трех прямоугольных треуголь-
ников, у которых тело, образуемое тремя катетами и по-
множенное на тело, образуемое тремя гипотенузами, было
бы квадратом. И если мы разделим [а1а2а3с1с2с3] на [произ-
ведение] гипотенузы и катета 1-го треугольника, то [про-
изведение] гипотенузы и катета 1-го треугольника должно
быть кратным произведения гипотенузы и катета [2-го
треугольника], причем множителем является произведе-
ние гипотенузы и катета [3-го] прямоугольного тре-
угольника: [а1с1’= а2с2*а3с3] ЛПусть [3-й] треугольник будет
(3, 4, 5).<’Дело сводится к нахождению двух прямо-
угольных треугольников таких, чтобы (произведение] ги-
потенузы и катета в 1-м треугольнике было в 20 раз боль-
144
арифметика книга v
те [произведения] гипотенузы и катета во 2-м треуголь-
нике: [а^ = 20а2с2]-
Если же в 20 раз, то [отношение площадей можно взять
равным] 5. Это нетрудно.
Больший треугольник будет 5, 12, 13, а меньший
3, 4, 5. Отправляясь от этих треугольников, нужно ис-
кать два других таких, чтобы [произведение] гипотенузы
и катета в одном треугольнике было 6, (а в другом 30}.
Тогда в большем треугольнике гипотенуза будет
б1^, а катет 60/13. В меньшем же треугольнике гипотенуза
будет 21/2, а сторона, прилежащая к прямому углу, 12/5..
И взяв наименьшие подобные [треугольники], вернемся
к первоначальной задаче: произведение трех квадратов;
полагаем я2, а сами квадраты будут
16 9	576 о 14400 9
М Ci	ZV» Л*	Ц
25 ’	625	’ 28561	*
Остается произведение трех приравнять х2. Разделив
все на х2 и взяв сторону от стороны, получаем х = 65/48-
К подстановкам.
23.	Найти три таких квадрата, чтобы образуемое ими
тело по вычитании из каждого из них давало квадрат.
Положим опять, что их тело равно х2, а сами они обра-
зуются из каких-нибудь трех прямоугольных треуголь-
ников; и здесь опять дело сведется к тому, что искалось
в предыдущем предложении.
Если и в этом предложении мы воспользуемся теми же
прямоугольными треугольниками и положим искомые
квадраты равными
25 о 625 2 28561 9
_ МА	МА	МА
16 ’ 576 ’14400	’
то опять тело, образованное этими тремя, по вычете из;
каждого будет образовывать квадрат.
Остается лишь тело этих трех приравнять х\ и полу-
чится, что х =; 48/65.
И все ясно.
24.	Найти три таких квадрата, чтобы [произведение]
любых двух из них, сложенное с 1, было квадратом.
И так как я ищу произведение 1-го на 2-й, вместе с 1
дающее квадрат, то все это, умноженное на 3-й, будет
квадратом. Таким образом, нужно, чтобы произведение
1-го на 2-й, (умноженное на 3-й>, т. е. тело на трех вмес-
145
ДИОФАНТ
те с третьим, давало квадрат, равно как и вместе с 1-м
и со 2-м. Но это мы уже показали выше [см. V21]. Таким
образом, те же самые числа удовлетворяют искомому.
25.	Найти три таких квадрата, чтобы произведение
любых двух без единицы давало квадрат.
[Умножим] все на 3-й; тогда произведение 1-го и 2-го
на 3-й, т. е. произведение трех, из которого вычтен 3-й,
будет квадратом. Также и произведение трех, из которого
вычтены 1-й или 2-й, будет квадратом. Но это уже показано
[см. V22]. Те же три числа удовлетворяют и этому.
26.	Найти три квадрата таких, чтобы произведение
любых двух, отнятое от единицы, было квадратом.
Опять в поисках произведения двух чисел, которые
нужно вычесть из единицы, чтобы получить квадрат,
умножив все на 3-й, можно свести все дело к отысканию
трех чисел таких, чтобы произведение их, вычтенное из
каждого числа, давало квадрат, а это мы уже сделали
[см. _V231 -
27*. Для заданного числа подобрать три квадрата так,
чтобы два любых из них, сложенные вместе с заданным
числом, давали квадрат.
Пусть заданное число будет 15.
И пусть одно из искомых будет 9. Нужно найти еще
два числа таких, чтобы каждое из них, сложенное с
24[ =9 + 15], давало квадрат и сумма обоих вместе с
15 тоже была квадратом.
Итак, нужно искать такие два квадрата, чтобы каждый
из них вместе с 24 давал квадрат. Возьмем какие-нибудь
делители 24, которые образуют катеты прямоугольного
треугольника.
(Пусть один будет 6я, а вторым, соответствующим ему
2
4/лг, их полусумма будет — + Зх, Пусть также) для 8х
соответствующим будет 3/х, а полусумма обоих -f- кх.
Пусть стороной одного квадрата будет разность
— З.г, <^а другого — разность — 4^> . Каждый из
квадратов на них с 24 дает квадрат.
Остается, чтобы сумма обоих квадратов с 15 давала
квадрат. Получаем
146
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Пусть этот квадрат будет 25х2. Тогда х = 5/6.
28*. Для данного числа подобрать три квадрата таких,
чтобы сумма двух любых без заданного числа была
квадратом.
Пусть заданное число 13.
Положим опять, что один из искомых квадратов будет
25. (Требуется найти два других таких), чтобы каждый
из них вместе с 12 давал квадрат, а сумма их обоих минус
13 тоже давала квадрат.
Опять возьмем делители Зх и 4/х. Сторона первого
квадрата получается как разность 1г/2 гг — —-, а сторона
второго — как разность 2х-----. И каждый квадрат вмес-
ОС
те с 12 будет давать квадрат.
Остается лишь, чтобы сумма обоих минус 13 давала
квадрат. Получается
^ + 61/4х2-25 = О.
ГТ	<	6Х/1	о
Пусть этот квадрат будет —, и х получается 2.
К подстановкам.
29*. Найти три таких квадрата, чтобы сумма квадратов
на этих квадратах была квадратом.
Положим, что искомые квадраты будут 1-й х2, 2-й 4
и 3-й 9 и сумма построенных на них квадратов будет
х* + 97. Сравняем ее с квадратом на х2 — 10; в остатке
получится 20а:2 = 3.
Если бы каждая часть была квадратом, то задача была
бы решена; а так она свелась к отысканию двух квадра-
тов и некоторого числа таких, чтобы квадрат этого числа
после вычитания квадратов на искомых давал некоторое
(число), которое к удвоенному начальному числу имело
отношение двух квадратных чисел1).
Положим, что искомые квадраты будут: 1-й х2, 2-й 4,
(а произвольное число х + 4); и квадрат этого числа
после вычитания квадратов на искомых дал бы в остатке
8я2. Мы хотим, чтобы это к удвоенному (х2 + 4), т. е.
к 2х2	8, имело отношение квадратного числа к квадрат-
*> Дело обстоит так; мы положили х4 + a* -Ь Ь4 (х9 — у)*. Нужно най-
ти а*, Ьг и у такие, чтобы было — а*—— =□• (Прим. И. Таннери.)
2у
147
ДИОФАНТ
ному числу. Возьмем от всех половину, тогда 4z2 к х2 +
+ 4 будет иметь отношение квадратного числа к квадрат-
ному числу.
Но 4.z2 является квадратом, так что х2 + 4 тоже рав-
но квадрату; пусть он будет на стороне х + 1; отсюда
х = 1х/2. Из искомых квадратов один будет 2^4, а другой
4, а произвольное число 6г/4. Помножим все на 4; полу-
чим 1-й квадрат — 9, 2-й = 16, а произвольное чис-
ло 25.
Возвращаемся к первоначальной задаче и полагаем
три квадрата: 1-й х2, 2-й 9, 3-й 16. И сумма квадратов
на них будет з? + 337. Это приравниваем квадрату
на стороне х2 — 25; отсюда х — 12/5.
Все остальное очевидно.
30. «Некто смешал вино в пять драхм и в восемь за конгий.
Спутникам чтобы своим в плаванье радостным быть.
Цену за все заплатил числом каким-то квадратным.
Если прибавить к нему заданный счет единиц,
То оно снова к тебе другим возратится квадратом;
Будет его стороной конгиев сколько купил.
Сколько во всем сочти восьмидрахмовых конгиев было,
Также и всех остальных, стоивших только пять драхм?»
Обозначаемое этой эпиграммой будет таким.
Некто купил вино двух сортов, 1-е стоило 8 драхм за
конгий, а 2-е 5 драхм, и заплатил за все цену, выражаемую
квадратным числом; это число, сложенное с 60, образует
квадрат, сторона которого равна количеству всех куплен-
ных конгиев. Скажи раздельно, сколько было восьми-
и пятидрахмовых конгиев.
Пусть количество конгиев будет х, так что цена станет
х2 — 60. Дальше нужно приравнять х2 — 60 некоторому
квадрату и сторону этого квадрата взять равной х минус
сколько-то единиц.
Но я2 — 60 складывается из двух чисел; цены восьми-
драхмовых конгиев и цены пятидрахмовых; <и пятая
часть цены пятидрахмовых конгиев) дает количество
пятидрахмовых, а восьмая часть цены восьмидрахмоЁых
дает количество восьмидрахмовых. И так как общее ко-
личество конгиев составляет х, то приходится некоторое
число, равное х2 — 60, разделить на два числа так, чтобы
х/8 одного и V5 другого составляли х.
148
АРИФМЕТИКА КНИГА V
И это я могу только сделать, если возьму х большим,
чем -а- (х2 — 60), и меньшим, чем (х2 — 60). Пусть
о	□
х2 — 60 больше, чем 5х, и меньше, чем 8х.
Так как х2 — 60 больше 5х, то придадим к обоим 60;
тогда х2 больше Ъх + 60. Таким образом, х2 равняется
5х и некоторому числу, большему 60, так что х необходимо
будет не меньше 11.
Затем, так как х2 — 60 меньше 8z, то придадим к обоим
60; тогда х2 равняется 8х и некоторому числу, меньшему
60; поэтому следует искать х не большим 12, но показано,
что и не меньше 11. Таким образом, нужно найти х
большим И, но меньше 12.
Если мы ищем х2 — 60 равным квадрату, то образуем
квадрат на стороне х минус какое-то число единиц; и
х получится из какого-то числа, помноженного на себя
и увеличенного на 60, а потом разделенного на себя удво-
енного. И дело сводится к отысканию некоторого числа
такого, чтобы его квадрат, увеличенный на 60 и разделенный
на себя удвоенного, давал бы в частном число, больше 11
и меньше 12.
[Обозначим искомое через х2\ тогда х2 + 60, разделен-
ное на 2х должно дать частное большим 11 и меньшим
12]х) ; х2 J- 60 должно быть больше 22х; и 22х будет равно
х2 и некоторому числу, меньшему 60. Значит, х не должно
быть меньше 19.
Далее, нужно, чтобы х2 + 60, разделенное на 2х,
давало частное, меньше 12, так что х2 + 60 должно быть
меньше 24я; тогда 24# будет равно х2 и некоторому числу,
большему 60, Значит, х должно быть меньше 21. Но оно
больше 19, пусть оно будет 20.
Таким образом, приравнивая х2 — 60 квадрату, мы
должны взять сторону последнего х— 20; отсюда полу-
чается, что х — IP/z, а ж2 = 132V4’
Отнимаю 60; останется 721/4. Итак, нужно разделить
72*/4 на два числа так, чтобы пятая часть 1-го и восьмая
2'Го давали вместе Н1^. Пусть пятая часть 1-го будет
х2}\ тогда восьмая часть 2-го будет И1/^ — х. Следователь-
’) Эта фраза повторяет сказанное и считается позднейшей вставной. (Прим,
реЭ.)
*) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим-
волом, что и первоначальное. (Прим. pedj
149
ДИОФАНТ
но, сами они будут: одно 5ж, а другое 92 — 8х. Оба вместе
равны 72Ч4; значит, х = 79/12.
Таким образом, пятидрахмового вина взято 6 конгиев
7 гемин1), а восьмидрахмового — 4 конгия 11 гемин.
Остальное очевидно.
КНИГА VI
1.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
гипотенуза минус каждая сторона, прилежащая к прямому
углу, давала куб.
Пусть искомый треугольник будет образован двумя
числами2), и пусть одно будет х, а другое 3.
Тогда гипотенуза будет х2 + 9, катет бх, а основание
х2 — 9.
Если из гипотенузы вычесть одну из сторон при пря-
мом угле, т. е. х2 — 9, то получится 18, что не является
кубом.
Откуда же 18? Это дважды взятый квадрат 3. Поэтому
нужно найти некоторое число такое, чтобы дважды взя-
тый квадрат его был кубом. Пусть искомое число будет
xf и приравняем 2х2 кубу. Пусть он будет х3; тогда х
равняется 2.
Опять построим треугольник на х, но уже не на 3, а
на 2. И гипотенуза получится равной х2 + 4, катет 4т,
а основание х2 — 4. Тогда ясно, что гипотенуза по вычете
основания, т. е. х2 — 4, будет кубом.
Нужно, чтобы это было и по вычитании 4х; тогда
х2 + 4 — 4х — кубу.
Но это будет квадрат на стороне х — 2. Поэтому, если при-
О 1 конгий равняется 12 геминам. (Пргш. ред.)
») Если эти числа суть ц и v, то должно иметь место тождество (р2 + v2)2 —
®=(2p,v)2 + (Ц* — V2)2. (Прил<. ред.)
150
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
равняем х — 2 кубу, то и решим задачу. Приравняем 8,
и получится х = 10.
Так образуется треугольник на 10 и 2; гипотенуза
будет 104, катет 40 и основание 96, и все ясно.
2.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
гипотенуза, сложенная с каждой стороной при прямом
угле, образовала куб.
Если образуем искомый [треугольник] на двух числах,
как в предыдущей задаче, то нужно искать, какой квад-
рат при удвоении будет кубом; это квадрат на стороне 2.
Образуем искомый [треугольник] на х и 2; тогда точно
так же получится гипотенуза х2 + 4, одна из сторон
при прямом угле 4л; и другая 4 (—л;2).
Нужно, чтобы гипотенуза, сложенная и с другой
из сторон при прямом угле, давала куб, но, переходя к
подстановкам, находим, что х2 меньше 4 и, следовательно,
х меньше 2. Приходится искать куб, который был бы
меньше 4 и больше 2; таким кубом является 27/8. Тогда
х + 2 = 27/8; и х получается 11/8.
Итак, гипотенуза будет 377/64, а стороны при прямом
угле — одна 135/64, а другая 51/2. Обратим в 64-е доли;
треугольник будет 377, 135, 352, и все ясно.
3*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь, сложенная с данным числом, была квадратом.
Пусть данное число 5.
Возьмем треугольник заданного вида Зх, ix, Зх\ его
площадь плюс 5 будет
6л;2 4" 5
Пусть этот квадрат будет 9л;2; отняв подобные от подоб-
ных, получим в остатке Зл;2 = 5. Нужно, чтобы один вид
относился к другому, как квадратное число к квадратному
числу. Все приводится к отысканию прямоугольного тре-
угольника и квадратного числа таких, чтобы квадратное
число без площади треугольника было 5- й частью квадрата,
так как заданное число 5.
Образуем (треугольник) на х (и х/л;), его площадь
я2 — ^2 ; пусть сторона квадрата равна сумме х и */х, взятой
в количестве, равном удвоенному заданному числу 10/лг,
I > 10\
т. е. х 4---.
151
ДИОФАНТ
И квадрат получается равным х2 -|-------^4- 20. Если
2	1
отсюда мы вычтем площадь, т. е. хл--------, то останется
37
101	505
— -f- 20. Умножим это на 5; получится — + 100 =
зс	у.
Умножим на х2; будет 100ж2 + 505 = Q. Пусть этот квад-
рат имеет сторону 10я + 5; найдем х = 24/5.
К подстановкам. Строим треугольник на 24/5 и 5/24;
сторона квадрата будет 413/60х). Возьмем треугольник
в х-а.х и его площадь, сложенную с 5, приравняем
170569 2.
3500 Х ’
и остальное станет очевидным.
4.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь минус заданное число была квадратом.
Пусть заданное число будет 6.
Возьмем треугольник данного вида (Зя, 4яг, 5а:>, и
согласно предложению 6#2 — 6 = Г~].
Пусть квадрат 4я2; опять задача сведется к нахождению
прямоугольного треугольника и квадратного числа та-
ких, чтобы по вычитании этого квадратного числа из
площади ушестеренный остаток был квадратом. Опять
образуем треугольник на х и 1/ж, а сторона квадрата
пусть будет х минус 1/х, взятое в количестве, равном по-
ловине заданного числа, т. е. 3/х; тогда
10
я2
[Умножив] на 6 [и на х21, получим 36я2 — 60 = | |. Пусть
этот квадрат будет на стороне 6х — 2, откуда получается
х = 8/3.
Итак, строим треугольник на 8/3 и 3/8, сторону же
квадрата возьмем ----g = 24 ‘ *1аидя треугольник, беру
1стороны] его в я-ах и, следуя предложенному, найду х
рациональным. И [предложенное] выполнено.
мх «	/ 24 \2	/ 5	331151	( 24
*) Стороны треугольника: 2, (—J ~	" 14400 * гипо?енуза
, / 5 \2 332401	_	331151	л *	/	. 10
l —\ ==---------1 площадь ------, и вспомогательный квадрат 1x4----
\ 24 )	14400	14400	\ X
/ 24 , 50 Х2	/413 \2 /тт
= I —— 4- — 1 = {----| . (Прим, пе рев.)
\ 5	24 )	\ Q0 )
152
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
5.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь, вычтенная из данного числа, давала квадрат.
Пусть данное число будет 10.
Опять возьмем треугольник Зя, 4я, 5я; получится
10 — 6я1 2 =
И если мы сделаем его я2, взятым квадратное число раз,
то опять все сведется к нахождению прямоугольного тре-
угольника и квадратного числа таких, чтобы квадрат,
сложенный с площадью, равнялся 10-й части квадрата.
Построим треугольник на х и 1/я, сторона квадрата
пусть будет----р5яи сумма с площадью 26я2 + 10. Уве-
27
личив это в 10 раз, получим 260я2 4" 100 — Q. Берем
одну четверть: 65я2 + 25 = Q; пусть он будет на стороне
5 + 8я, откуда находится х = 80.
К подстановкам. Найдем тем же способом, что и в
предшествующем предложении.
6*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
площадь, увеличенная на одну из сторон при прямом
угле, давала заданное число.
Пусть это число 7.
Возьмем опять треугольник, данного вида Зя, 4я, 5я;
тогда 6я2 + Зя = 7. И нужно, чтобы половина количества
я, умноженная на себя и приложенная к произведению
количества я2 (на количество единиц), образовывала
квадрат. Но он не получается; так что надо найти такой
прямоугольный треугольник, чтобы квадрат на половине
одной стороны при прямом угле вместе с семикратной
площадью образовывал квадрат.
Пусть одна сторона при прямом угле будет я, а другая
1; составляем сумму 7 •
чаем 14я + 1 = 0-
И чтобы прямоугольный треугольник оказался раци-
ональным,
Разность будет я2 — 14я; делители я и я — 14; поло-
вина их разности, умноженная на себя, даст 49. Прирав-
нивая это меньшему квадрату, получим я = 24/7.
1V	/
к- , множим все на 4 и полу-
нужно, чтобы и я2 + 1 было квадратом2).
1) Имеем 14х 4" 1 = О. + 1 » сумма квадратов катетов == П. Полу»
чается двойное равенство. {Прим, перев.)
ДИОФАНТ
К подстановкам. Полагаю одну сторону при прямом
угле треугольника равной 24/7, а другую 1. Умножая
все на 7, получаем 24 и 7, а гипотенуза 25. [Взявши их
в х-ах], получаем, что площадь вместе со стороной при
прямом угле будет1) 84х2 + 1х, Это приравниваем задан-
ному числу 7, откуда получается (х — 1/4. Следователь-
но, стороны треугольника) будут 7/4, 6, 25/4.
Предложенное выполнено.
7*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь без одной из сторон при прямом угле давала
заданное число.
Пусть заданное число 7.
Опять, если мы возьмем треугольник данного вида,
то все сведется к нахождению прямоугольного треуголь-
ника такого, чтобы половина одной перпендикулярной
стороны, умноженной на себя и увеличенной семикратной
площадью, равнялась квадрату. И стороны искомого
треугольника будут 7, 24, 25. Беру все в .г-ах, и площадь
после вычитания одной из перпендикулярных сторон будет
84я2 — 1х — 7, откуда х получается равным 1/3.
К подстановкам.
8.	Найти такой прямоугольный треугольник, чтобы
его площадь, увеличенная на сумму перпендикулярных
сторон, равнялась заданному числу.
Пусть заданное число будет 6.
Возьмем опять треугольник данного вида. Все сведет-
ся к нахождению прямоугольного треугольника, у ко-
торого квадрат полусуммы перпендикулярных сторон,
сложенный с ушестеренной площадью, давал бы квадрат.
Положим, что одна сторона будет х, а другая 1; надо,
чтобы
74^2 + з1/2^ + 1/4 = С
[Умножив] на 4, получаем
х2 4* 14х + 1 =
[Кроме того, сумма квадратов катетов тоже равна квад-
рату]:
154
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
[Имеем двойное равенство, в котором] разность 14г, де-
лители 2х и 7; половину их разности в квадрате [прирав-
ниваем х2 + 1]:
х2 4- 12V4 — 1х = х2 + 1,
откуда х — 45/28. Стороны [вспомогательного] треуголь-
ника будут 45/28, 1, 53/28, или по умножении на 28я:
45х, 28я, 53х.
Площадь с суммой перпендикулярных сторон будет
630л:2 + 73л* - 6,
и х получится рациональным [л = 1/18].
т?	Г 45 28 53 1
К подстановкам, jg,	.
9.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь минус сумма перпендикулярных сторон
равнялась заданному числу.
Пусть заданное число будет 6.
И опять, если мы возьмем искомый треугольник за-
данного вида, то придется искать прямоугольный тре-
угольник такой, чтобы полусумма перпендикулярных
сторон, умноженная на себя и увеличенная на шестикрат-
ную площадь, давала квадрат. Это уже было сделано, и
[стороны] будут 28, 45, 53.
Беру их в х-ах, и опять получится 630я2 — 73х = 6,
откуда находим х = 6/35.
270 168 318 ~
35 ’ 35 ’ 35 J
10*. Найти такой прямоугольный треугольник, чтобы
его площадь, увеличенная на сумму гипотенузы и одной
из перпендикулярных сторон, равнялась заданному
числу.
Пусть заданное число 4.
И опять возьмем треугольник данного вида; все сведет-
ся к отысканию такого прямоугольного треугольника,
чтобы полусумма гипотенузы и одной из перпендикуляр-
ных сторон, умноженная на себя <и увеличенная на учет-
веренную площадь, давала квадрат.
Образуем треугольник на 1 и х + 1; и произведение
полусуммы гипотенузы и одной из перпендикулярных
сторон на самое себя> будет
л4 + 4я3 4- 6л2 4- 4х 4- 1,
К подстановкам.
155
ДИОФАНТ
а учетверенная площадь 4#3 + 12#2 -|- 8#. Таким образом,
придется искать [я такой, что]
#4 4- 8л:3 4~ 18#2 + 12# + 1 = П,
пусть он будет на стороне 6# + 1 — #2; и х получается
равным 4/5.
Итак, образуется треугольник на <1 и> 9/5. Множим
все на 5; тогда треугольник нужно будет образовать на
9 и 5.
Беря наименьший из подобных, я полагаю в #-ах:
получаю 28#, 45#, 53#, а площадь, увеличенная на сум-
му гипотенузы с одной из перпендикулярных сторон:
К подстановкам.
630#2 + 81# = 4,
откуда # — 4/105.
112 180 212 '
105 ’ 105 ’ 105 \
11*. Найти такой прямоугольный треугольник, чтобы
его площадь минус сумма гипотенузы и одной из пер-
пендикулярных сторон, равнялась заданному числу.
Пусть заданное число 4.
И опять положим [треугольник] заданного вида. Все
сведется к отысканию прямоугольного треугольника та-
кого, чтобы его учетверенная площадь, увеличенная по-
множенной на себя полусуммой гипотенузы и одной из
перпендикулярных сторон, давала квадрат. Можно пока-
зать, что [треугольник] будет 28, 45, 53. Беру его в #-ах,
и получается
630#2 — 81# = 4,
откуда # = 1/в.
™	Г28 45 53 I
К подстановкам 1 , —, -у .
Лемма к нижеследующей задаче. Най-
ти прямоугольный треугольник такой, чтобы (разность
катетов была квадратом), а также и больший из катетов
был квадратом и, наконец, площадь, сложенная с мень-
шим катетом, образовывала квадрат.
Образуем треугольник из двух чисел и предположим,
что наименьший катет получается из удвоенного произ-
ведения этих [чисел]. Теперь нужно найти два числа
таких, чтобы их удвоенное произведение было квадратом,
а также разность, на которую удвоенное произведение
превышает разность их квадратов, тоже была квадратом.
156
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
Это же бывает и с двумя любыми числами, когда большее
число вдвое больше меньшего.
Остается сделать так, чтобы площадь треугольника,
сложенная с наименьшим катетом, образовывала квадрат.
Площадь треугольника в 6 раз больше биквадрата (мень-
шего) числа, и меньший катет равен утроенному квадрату
того же числа. Делим все на квадрат меньшего числа;
следовательно, будем искать такое число, чтобы его ше-
стикратный квадрат плюс 3 составлял квадрат.
Таковы единица и бесконечное множество других
чисел; поэтому искомый прямоугольный треугольник
строится на числа 1 и 2 г).
Другая [лемма], нужная для той же
задачи. Для двух данных чисел, сумма которых со-
ставляет квадрат, можно найти бесконечное число квадра-
тов, каждый из которых, умноженный на одно из данных
(и сложенный с другим числом), образует квадрат.
Пусть даны два числа 3 и 6.
Нужно найти квадрат, произведение которого на 3,
сложенное с 6, образует квадрат.
Пусть искомый квадрат х2 2х 4-1; получаем
Зге2 4~ 6# 4“ 9 — Qi
и это возможно сделать бесконечным числом способов
вследствие того, что число единиц является квадратным.
Пусть квадрат построен на стороне 3 — Зх и х равня-
ется 4; таким образом, сторона этого квадрата будет 5.
Можно найти и бесконечно много других квадратов.
12*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь, сложенная с любой стороной при прямом
угле, составляла квадрат.
Возьмем треугольник данного вида 5х, 12х, 13я;; по-
лучим ЗОх2 4“ 12ж = 0 [и ЗОх2 4- 5х = 0]. Пусть
ЗОх2 ± 12х равно 36х2; и х получается равным 2.
Итак, х = 2; но нужно, чтобы ЗОх2 4“ было квадра-
том; но оно не будет им. Теперь дело сводится к отысканию
некоторого квадрата, избыток которого над 30, деля 12,
давал бы в частном число, квадрат которого, взятый
*) Предполагается, что в тождестве (2pv)2 4“ (М-г — V2)2 = (р2 + v2)2 имеем
В — 2v. (Прим, перев.)
157
ДИОФАНТ
30 раз, после прибавления упятеренного найденного числа
образовывал квадратное число.
Пусть искомый квадрат будет ж2; <если я вычту 30
и на остаток разделю 12, то получится) число	квад-
X — oU
рат его будет	. Умножая на 30 и прикладывая
пятикратную сторону,
получаем
60т2 + 2520
х4 4“ 900 — 60х2
Знаменатель есть квадрат. Тогда нужно,
чтобы и
60я2 -j- 2520 было квадратом. Но х есть сторона некоторого
квадрата; (следовательно, нужно его найти); взяв х2
шестьдесят раз и прибавив к 2520, мы должны получить
квадрат. Таким образом, если, изменив треугольник,
построим числа 60 и 2520 так, чтобы они в сумме давали
квадрат, то задача будет решена. Но 60 [получилось]
из произведения сторон, прилежащих к прямому углу, а
2520 — из произведения большего катета, разности ка-
тетов и площади. [Задача] сводится к нахождению такого
прямоугольного треугольника, чтобы произведение сто-
рон при прямом угле, сложенное с произведением большего
катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат.
И если мы положим, что больший катет есть квадрат,
и разделим все на него, то нужно, чтобы меньший катет
вместе с произведением площади на разность катетов
образовывал квадрат.
Все сводится к нахождению двух чисел: (произведения)
площади на разность катетов (и меньшего катета) — и к
поискам некоторого квадрата, который, помноженный на
одно из данных и (сложенный с другим), давал бы квадрат.
Но имеются вышедоказанные леммы, и пусть треуголь-
ник будет 3, 4, 5. Полагаю его в я-ах; нужно сделать,
чтобы бх2 + 4# равнялось квадрату и 6я2 -|- Зх равнялось
квадрату *). Далее, если мы решим большее уравнение,
*) В вспомогательном треугольнике (3, 4, 5) площадь равна 6, а катеты
3 и 4. Таким образом,
бх8 + 4х== □ — Рх2, бх2 Зх = □.
Первое уравнение дает «число» х =.
4
Р - 6
. Подстановка во второе уравне-
нение по отбрасывании квадратов дает
12Р 4- 24 = □ = ЗР + 6.
Это — задача, решенная во второй лемме: t *= 5. Искомый х — — -- = —
(Прим. иерее.)
158
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
.а--2 ; (таким образом, 12а;2 4-) 24
— я.£Х
который, умноженный на меньшее
4 тл	16
то получится «число» ж2_6 . Квадрат его будет _ 12з?2 ’
Следовательно, ушестеренный квадрат вместе с утроенным
12а?2
«числом» будет —~
является квадратом,
из данных и сложенный с большим, образует квадрат.
Таким числом является 25, так что х2 = 25; и х ~ 5.
Следовательно, отыскивая решение равенства 6а;2 4-
4- 4а; = квадрату, приравняем 25а;2, и получается х~
= 4/19.
о	12 16 20
Значит, треугольник 75,
А <7
75 , tq , и предложенное выпол-
А <7 А «7
нено.
13*. Найти прямоугольный треугольник такой, что-
бы его площадь минус каждый из катетов была квад-
ратом.
Опять, если мы положим этот треугольник данного
вида, как в предшествующем предложении, то дело све-
дется к нахождению прямоугольного треугольника, по-
добного 3, 4, 5. Положим его в а;-ах; получится За;, 4а;,
5а; и 6а;2 — 4а; — I |.
Положим квадрат меньшим 6а;2; тогда х появится как
частное от деления 4 на избыток, который 6 имеет над
некоторым квадратом.
Если положить этот квадрат I? х), получим, что нужно
сделать
6а;2 — За; = | |.
Но
6а:2 =
и утроенная сторона
Зх -	12
6 — г*
96
t4 36 _ 12*2
72 — 12*2
i4 4- 36 — 12*2 ’
И если числитель вычтем из 96 с тем же знаменателем,
то в остатке получим
12^4-24
*4 + 36 — 12*2 •
О Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер-
вое. Во избежание путаницы мы вводим для него новую букву t. Диофант
принимает, что	— 1гх*. (Прим, ред.)
159
ДИОФАНТ
Но знаменатель является квадратом, так что и 12/2 4- 24
должно быть квадратом, и t = 1.
Теперь я полагаю 6т2 — 4ж = ж2, и ж получается 4/5.
Значит, стороны искомого прямоугольного треугольника
будут 12/5, 16/5, 4.
Если ты не хочешь пользоваться значением 1, то по-
ложим меньшее т + 1 х).
Тогда З/2 4- 6 равносильно Зт2 4“ 6т 4-9, которое
нетрудно приравнять квадрату. Значение т получится не
больше 13/9, значит, t будет не больше 22/9, и его квадрат,
вычтенный из 6, сделает х рациональным.
14*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь без гипотенузы или одной из сторон при пря-
мом угле была квадратом.
Пусть будет треугольник данного вида Зж, 4ж, 5ж,
и опять придется искать бж2 — 5ж = | | и 6ж2 — Зж = П»
Тогда х будет частным от деления 3 на 6 —	2).
Найдя таким образом ж, получаем
54
*4	36 — 12£2
И нужно от
^2 । зб__12£2 <отнять 5ж>,
90 — 15t2
«4 + зб __ 12J2 ’
это будет
и остаток приравнять квадрату. Но остаток будет
15t2 — 36
£4	36 — ш2
Знаменатель есть квадрат, так что должно быть квадра-
том и 15Z2 — 36.
Но это равенство невозможно вследствие того, что 15
не разделяется на два квадрата. Однако первоначальная
задача вообще не будет невозможной; таким образом,
нужно воспользоваться треугольником другого вида, т. е.
необходим диоризм. Действительно, 15f2 получилось из
некоторого квадрата, меньшего площади, умноженного на
произведение гипотенузы и одного из катетов, а вычита-
*) Здесь Диофант вводит новое, третье по счету, неизвестное, которое обо-
значает той же буквой, что и первые два. (Прим, ред.)
г) Дцофацт внодь цолагдет, что сторона квадрата равна	(Црим. рей.
160
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
емое 36 получилось из произведения площади, одного
катета и разности между гипотенузой и этим катетом.
И дело пришло к тому, чтобы сначала найти прямоуголь-
ный треугольник и квадратное число, меньшее площади
и такое, чтобы квадрат, умноженный на произведение
гипотенузы и одного из катетов, после вычета тела,
представляющего произведение площади, упомянутого
катета и разности, на которую гипотенуза превышает
(упомянутый катет, представлял бы квадрат.
И если мы образуем треугольник на двух числах, и
предположим), что упомянутый катет получился из уд-
военного произведения этих чисел, и разделим все на квад-
рат их разности, <т. е. разности между гипотенузой и
упомянутым катетом) *), и если числа, образующие пря-
моугольный треугольник, мы возьмем подобными площа-
дям [имеющим отношение квадрата к квадрату!, то решим
задачу.
Образуем треугольник из чисел 4 и 1. Чтобы сделать
квадрат меньшим площади, возьмем его равным 36.
Образовав треугольник, беру его в зс-ах: 8х, 15я, 17ж;
площадь его минус один из катетов будет 60.x2 — 8я;
приравняем ее Збя2; и х получается равным г/3.
К подстановкам. Треугольник будет 8/3, 15/3, 17/3,
и предложенное выполнено.
Лемма к нижеследующему. Даны два
числа; если некоторый квадрат, помноженный на одно
из них, после вычитания другого дает квадрат, то можно
найти и другой квадрат, больший упомянутого и произ-
водящий то же самое.
Пусть даны два числа 3 и 11 и некоторый квадрат,
например, на [стороне] 5, который, умноженный на 3,
минус 11 дает квадрат на стороне 8.
Ищем другой квадрат, больший 25, который произ-
водил бы то же.
Пусть сторона квадрата будет х 4- 5; квадрат будет
xz 4- 10# 4-25. Умножая это на 3 и вычтя 11, получаем
Зя2 4- 30# 4~ 64; пусть это равно квадрату на стороне
8 — 2х. И получается х = 62. Тогда сторона квадрата
2	2
’) Пусть эти два числа будут Xj иХ«. Гипотенуза будет	+ Х2. Вычитая
2	2
катет, равный 2Х^Х2, получаем (Xt — Х2)2. Другой катет будет — Х2>
(Прим, П. Таннери,)
161
ДИОФАНТ
будет 67, а сам квадрат 4489, и он удовлетворяет пред-
ложенному.
15*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь, сложенная с гипотенузой или с одной из
сторон при прямом угле, давала квадрат.
Если мы возьмем треугольник заданного вида, то нам
опять придется устроить диоризм и искать другой прямо-
угольный треугольник и квадратное число, большее пло-
щади, чтобы квадрат, помноженный на (произведение)
гипотенузы и одного из катетов искомого прямоугольного
треугольника минус тело, получившееся от произведения
площади, упомянутого катета и разности, на которую
гипотенуза превосходит этот катет, (аэта разность и сама
должна быть квадратом), образовал квадрат.
Образуем треугольник из 4 и 1, а квадрат возьмем
36; он не будет больше площади. Итак, мы имеем два
числа: одно — произведение гипотенузы и одного из ка-
тетов, т. е. 136, и другое телесное, образуемое площадью,
одним катетом и разностью гипотенузы с упомянутым
катетом и равное 4320. И так как некоторый квадрат,
именно 36, умноженный на 136 и уменьшенный на 4320,
образует квадрат, то будем искать другой квадрат, боль-
ший 36. Если мы положим его равным х2 + 12т -|~ 36
и будем следовать предшествующему доказательству,
то найдем бесконечное количество квадратов, удовлетво-
ряющих поставленной задаче; один из них будет 676.
Итак, возьмем прямоугольный треугольник 8т, 15т,
17т; получится
60т2 -|- 8т = 676т2,
"8	15 17
77 ’ 77 ’ 77
откуда х = 1/77.
К подстановкам.
16. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
при рассечении пополам одного из его острых углов
длина биссектрисы была рациональной.
Пусть биссектриса будет 5т, один из отрезков основа-
ния Зх* следовательно, другой катет будет 4х.
Положим, что первоначальное целое основание равня-
лось скольким-то единицам, кратным тройке; пусть их
число будет 3; тогда остающийся отрезок основания будет
3—Зх. Но так как угол разделен пополам и катет равен
162
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
4/3 прилежащего сегмента [основания], то гипотенуза
равна 4/3 оставшейся части основания; но оставшаяся
часть основания положена равной 3—Зх; следовательно,
гипотенуза будет 4—4х.
Теперь остается квадрат ее, т. е. 16а;2 4- 16 — 32 ж,
приравнять сумме квадратов катетов, т. е. 16ж2 + 9;
и х получается равным 7/32; остальное все очевидно.
Если я умножу все на 32, то получится: катет = 28,
основание = 96, гипотенуза — 100, биссектриса = 35
<и отрезки основания, равные 21 и 75).
17*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
площадь его вместе с гипотенузой давала квадрат, а пери-
метр его был кубом.
Положим его площадь х, а его гипотенузу — некото-
рому квадратному числу единиц минус х\ пусть она будет
16 — х.
Но так как мы предположили, что его площадь равна х,
то произведение его сторон, прилежащих к прямому углу,
получается равным 2х. Но 2х представляет произведение
2 и х. Следовательно, если одну из сторон положим
2, то другая будет х.
И периметр получается равным 18 и не является кубом.
Но 18 получилось из некоторого квадрата и 2; следова-
тельно, нужно будет найти квадрат, который после при-
бавления 2 становится кубом; следовательно, куб больше
квадрата на 2.
Возьмем теперь сторону квадрата за ж + 1 > а сторону
куба за х — 1. Тогда квадрат будет х2 4- 2х 4- 1, а куб
х3 + Зх — Зх2 — 1. Теперь я хочу, чтобы куб был на
двойку больше квадрата; значит, квадрат с двойкой, т. е.
ж2 + 2х 4-3, равняется <х3 4")3я — Зх2 — 1, откуда по-
лучается х = 4. Следовательно, сторона квадрата 5,
а куба 3, а сами они будут: квадрат 25, а куб 27.
Теперь переделаю треугольник; если я положил его
площадь х, то полагаю гипотенузу 25 — ж. Основание со-
храняется равным 2, а катет х.
Остается, чтобы квадрат гипотенузы равнялся квадра-
там сторон при прямом угле. Получается
х2 4- 625 — 50х = х2 4-4,
откуда х — 621/50.
К подстановкам. [Предложенное] выполнено.
163
ДИОФАНТ
18. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь, увеличенная на гипотенузу, образовала куб,
а периметр был квадратом.
Если, как в предыдущем, положим площадь ж, а ги-
потенузу — некоторому кубическому числу единиц минус
х, то приходим к отысканию куба, который вместе с 21)
давал бы квадрат.
Сторону куба полагаем х — 1; куб вместе с 2 будет
х3 4~ Зх + 1 — Зя;2 = Q; пусть Q строится на стороне
1 +П/2х- Получается х = 21/4. Тогда сторона куба
17/4, а сам куб 4913/64.
Опять беру площадь за х, гипотенузу — х. Также
имеем основание 2 и катет = х. Теперь, если квадрат
гипотенузы приравняем сумме квадратов сторон при
прямом угле, то получим х рациональным:
[х - 24121185/628864].
19. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
площадь с катетом давала квадрат, а периметр был кубом.
Построим прямоугольный треугольник на некотором
неопределенном нечетном числе; пусть оно 2х-|-1 2).
Тогда катет будет 2ж 4- 1, основание 2х2 4- 2х и гипоте-
нуза 2х2 + 2х +1. Остается, чтобы его периметр равнялся
кубу, а площадь вместе с одной из сторон при прямом
угле давала квадрат.
Периметр получается как
4х2 + 6х + 2 = кубу.
Это число будет составным, именно произведением 4х + 2
их 4-1. Тогда, если каждую сторону разделим на х 4-1»
то получим периметр [подобного] треугольника 4х + 2;
это должно быть кубом.
Остается, чтобы площадь вместе с одной из сторон
при прямом угле давала квадрат. Но площадь будет
О Если площадь х, то сумму катетов можно положить равной 2 4-х. (Прим,
перев.)
2) Такое образование прямоугольного треугольника на нечетном числе при-
яисывается Пифагору: X ~, У = n, Z =--------------J, где п нечетно.
2	2
(Прим, ред.)
164
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
2х3 + За2 + х	2х 4~ 1 т?
> х3"Т~2х 4^1 ’’ а °ДИН И3 катетов gj-"p ^сли пРивеДем ЭТИ Два
выражения к одному знаменателю, то сумма числителей
будет 2z3 4- 5х2 4-4^ 4-1. И общим знаменателем явля-
ется х2 + 2х +1. Таким образом, сумма обоих будет
2х 1. = | |. Кроме того, мы нашли, что 4х 4- 2 = кубу.
И дело сводится к отысканию куба, который был бы вдвое
больше квадрата; это же будут 8 и 4.
‘Пусть 4х 4~ 2 ~ 8; х получается I1/,,.
Следовательно, прямоугольный треугольник будет
8/5, 15/5, 17/5. И все установлено.
20.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его площадь, увеличенная на один из катетов, образовы-
вала куб, а его периметр был квадратом.
Опять, если мы воспользуемся тем же методом, что в
предшествующем, то все сведется к тому, чтобы сделать
4х 4- 2 равным квадрату, а 2х 4- 1 — равным кубу.
И нужно искать квадрат, вдвое больший куба. Это будут
16 и 8. Затем приравниваем 16 и 4ж 4-2, и получается
х = 3V2. Следовательно, прямоугольный треугольник
будет: 16/9, 63/9, 65/9.
21.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его периметр был квадратом, а после прибавления его
площади стал кубом.
Образуем прямоугольный треугольник из жи 1; одна
из перпендикулярных сторон будет 2х, другая х2 — 1,
и гипотенуза я2 4- 1- И нужно, чтобы 2х2 4- 2х = квадрату,
а х3 4- 2я2 4- х = кубу. Сделать 2х^ 4- квадратом не-
трудно; действительно, если разделить 2 на какой-нибудь
квадрат без двойки, то найдешь х. Но х нужно найти
таким, чтобы х? 4- 2я2 4- х было кубом.
Теперь х получается от деления двойки на t2 — 2 г);
куб получается от деления 8 на возведенное в куб выра-
жение t2 — 2. И тот же квадрат удвоенный получается от
деления 8 на возведенное в квадрат выражение I2 — 2,
а сам [х] равен . Приведем все к одному знаменателю;
сумма
будет
2f4
(fi—2)3
2); знаменатель будет кубическим;
О Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер-
воначальное неизвестное, он полагает 2х2 + 2х = /2х2. (Прим. ред.)
’) Диофант пишет: «ДДр ev gopiw тыяпо дАх/хмр хо0ю». (Прим, ред.)
L L	I
165
ДИОФАНТ
следовательно, пусть 2Z4 равно кубу. Разделим все на Z3;
получится 2t = кубу. Если мы приравняем кубическому
числу единиц, то мы получим, что t равняется половине
некоторого куба. Пусть этот куб будет 8; тогда половина
будет 4... 1), ия2 равняется 1/49; и отсюда нужно отнять 1,
так как один из катетов равен х2 — 1; и дело сводится
к отысканию куба такого, чтобы 1/& его квадрата была
больше 2 и меньше 4.
И если мы положим куб равным а;3, то будем искать, что-
бы 1/4ж6 было больше 2 и меньше 4; следовательно, xQ
больше 8 и меньше 16. Таким будет 729/64; следователь-
но, куб будет 27/8.
Теперь полагаю 2Z равным 27/8, и t получается равным
27/16, a t2 = 729/256. Если мы разделим 2 на это t2 без
двойки, то найдем х равным 512/217 и из этого квадрата
можем вычесть 1 2).
22.	Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
его периметр был кубом, а сложенный с площадью давал
квадрат.
Прежде всего нужно посмотреть, каким образом для
двух заданных чисел можно найти такой прямоугольный
треугольник, чтобы его периметр был равен одному из
данных чисел, а площадь его была равна другому.
Пусть эти два числа будут 12 и 7. Положим, что 12
будет его периметр, а 7 — площадь. Следовательно, про-
изведение сторон при прямом угле равно 14, и если один
катет мы возьмем —, то другой будет 14ж. Но пери-
метр треугольника равен 12; значит, гипотенуза будет
12-fl -|- 14лА .
\ X 1	[
1
Остается, чтобы ее квадрат, который будет “ + 196а;2 +
С24	\
------------h 336а: , равнялся сумме квадратов катетов,
т. е. -i- + 196а;2.
’) Таннери оставил лакуну незаполненной. В некоторы рукописях: «квад-
рат которого будет 16. Полагаю все в х2-ах, и получается: 16х2 равно 2х2 4-
4- 2х. И х получается 1/7». (Прим, ред.)
2) Стороны искомого прямоугольного треугольника будут:
1024 _ 222208	215055
217 — 4708У ’	47089 ’
309233
47089
(Прим, перев.)
166
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
Придадим к обеим сторонам недостающие и вычтем
подобные из подобных. Умножим все на х, получим
172я = 336 х2 +24.
Но х будет рациональным, только если половина ко-
личества х, умноженная на самое себя, без произведения
количеств х2 и единиц будет квадратом. И количество х
получается как сумма квадрата периметра и учетверенной
площади, а произведение количества х2 и единиц есть
восьмикратное произведение квадрата периметра на
площадь.
Пусть заданные числа будут такими; положим площадь
равной х, а периметр 64 — одновременно квадратом и
кубом. Для построения треугольника нужно из квадрата
половины суммы 64 в квадрате и 4х вычесть восьмикратное
произведение квадрата периметра на х, и, наконец, по-
смотреть, будет ли остаток равен квадрату. Получается
4z2 + 4194304 — 24576х; возьмем четверть
х2 + 1048576 - 6144# = Q
и, кроме того,
х + 64 = Q.
[Имеем двойное равенство]; делаем равными количест-
ва единиц, берем разность, разлагаем на множители,
и остальное ясно.
23. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
квадрат гипотенузы был также суммой некоторого квад-
рата и его стороны, а разделенный на один из катетов,
был равен сумме некоторого куба и его стороны.
Положим один из катетов равным ж, а другой х2.
И квадрат гипотенузы равен сумме квадратов сторон.
Остается, чтобы х* + х2 = Д. Разделим все на х2\
тогда х2 + 1 = | |, а именно на стороне х — 2. Отсюда
получается х, равный 3/4. Все остальное ясно.
24*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы
один из катетов был равен кубу, другой — кубу без
стороны, а гипотенуза — кубу со стороной.
Положим, что гипотенуза будет х? + ж, один из катетов
х3 — х; тогда другой будет 2х2.
Остается, чтобы 2,т2 равнялось кубу, пусть он будет
ж3; и х получается равным 2.
К подстановкам. Треугольник будет 6, 8, 10, и пред-
ложенное выполнено.
ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
«О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ»
Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная
с трех, является первым, начиная от единицы, многоуголь-
ником г) и имеет столько углов, сколько в нем содержится
единиц, стороной же его будет число, которое следует за
единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 — че-
тырехугольником, 5 — пятиугольником и т. д. [х] 2).
О квадратах хорошо известно, что они получаются от
умножения некоторого числа на самого себя; доказывает-
ся также, что каждый многоугольник, умноженный на
число, зависящее 3) от количества его углов, и сложенный
с квадратом некоторого числа, тоже зависящего от коли-
чества его углов, может быть представлен как некоторый
квадрат [2]. К этому мы придем, показав, как по данной
стороне находится многоугольник и как для данного мно-
гоугольника определяется сторона. Сначала докажем
все, что будет для этого необходимо.
I
Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь
раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложен-
*) То есть первым среди одноименных с ним многоугольников. (Прим, ред.)
2) Знаками [>], L2] и т. д. отмечены комментарии, помещенные в конце книги.
(Прим, ред.)
9) У Диофанта: «хата -cv.v a-vaZoyiav tod tzXy.-So ygmuv». (Прим, ped,)
10g
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
ное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона
которого равна сумме наибольшего и двух средних [3].
Действительно, пусть три числа АВ, В Г и В А имеют
одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ-ВГ1),
(сложенное с АВ2 2), образует квадрат, сторона которого
равна сумме АВ и 2ВГ.
о
Е
Ю
В
8АВ«ВГ разложим на 8ВГ2 и 8АГ«ВГ.) Затем каждое
из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ-ВГ,
4ВГ2 и 4АГ«ВГ [т. е. 4ВГ-ГА, ибо АГ равно ГА; вместе
же с АВ2 получится АВ2] 3).
Второе из произведений 4АГ«ГВ, сложенное с АВ2,
дает В А2. Теперь остается узнать, каким образом АВ2
вместе с 4АВ«ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы
положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ-ВГ преобразуется в
4ВА*АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 [или с 4АЕ2],
сделается равным 4ВЕ«ЕА4), а оно, сложенное с АВ2,
сделается равным квадрату на [сумме] BE и ЕА, как
одной прямой 5). Но [сумма] BE и ЕА равна [сумме] АВ и
2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать.
II
Если дано любое количество чисел с одинаковыми
разностями, то (разность) между наибольшим и наимень-
*) Произведение двух чисел мы будем обозначать точкой, поставленной между
<	с <
ними. Диофант пишет: «о ило АВ, ВГ». (Щим. ред.)
*) Для обозначения квадрата числа АВ Диофант ставит после АВ знак □.
Мы здесь будем придерживаться современных обозначений. (Прим, ред.)
*) Так как АВ = АГ 4- ГВ, то
8АВ-ВГ = 8АГВГ + 8ВГ2 = 4АВ-ВГ 4- 4АГ»ВГ 4ВГ2.
Поскольку АГ = ДГ,
4АГВГ = 4ВГГД.
По 8-му предложению книги II «Начал»
4ВГГА + ВД2 = 4 (ВА 4- ГА)ГА 4- ВА2 = 2ВА-2ГА + 4ГД* 4-
4- ВА2 = (ВД + 2ГД)2 = АВ2,
Всю Фразу в скобках Таннери считает позднейшей интерполяцией,
(Прим, ред.)
*) ВА-АЕ 4- АЕ2 — АЕ*(АЕ 4“ АВ) = ВЕ-ЕА. (Прим, перев.)
») 4ВЕ ЕА 4- АВ2 = (BE 4- ЕА)*. (Прим, перев.)
169
ДИОФАНТ
шим равняется разности [чисел], умноженной на умень-
шенное на единицу количество заданных чисел [4]
Пусть даны любые числа АВ, ВГ, BA, BE с одина-
ковыми разностями; нужно показать, что разность между
о
в
АВ и BE равна разности между АВ и ВГ, умноженной на
[количество] АВ, ВГ, BA, BE, уменьшенное на единицу.
Действительно, поскольку предполагается, что АВ,
ВГ, В А, BE имеют между собой одинаковые разности, то,
значит, АГ, ГА, АЕ будут между собой равными. Следо-
вательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество
АГ, ГА, АЕ; количество же АГ, ГА, АЕ будет на еди-
ницу меньше количества АВ, ВГ, BA, BE; таким образом,
ЕА кратно АГ в число раз, на единицу меньшее количества
АВ, ВГ, BA, BE. И АЕ представляет разность между
наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна
общая разность.
III
Если дано любое количество чисел с одинаковыми раз-
ностями, то сумма наибольшего и наименьшего из них,
умноженная на их количество, дает число, вдвое большее
суммы всех заданных чисел [5].
Пусть даны любые числа А, В, Г, А, Е, Z с одина-
ковыми разностями; требуется показать, что сумма
А и Z, умноженная на количество А, В, Г, А, Е, Z,
о—-—о—-—о—-—о-А. -о—L—о—£—о
н л м к	0
образует некоторое число, в два раза большее суммы всех
А, В, Г, А, Е, Z.
Количество А, В, Г, А, Е, Z будет или четным, или
нечетным.
Положим сначала его четным, и пусть количество за-
данных чисел будет равно количеству единиц в числе
Н0. Это НО будет четным. Разделим его пополам в К
и разделим НК в Л, М на содержащиеся в нем еди-
ницы.
170
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
И поскольку разность между Z и Д такая же, как между
Г и А, то сумма Z и А равна сумме Г и А. Но сумма Z и
А равна произведению суммы Z и А на НА; так же и сумма
Г и Д равна произведению суммы Z и А на AM. На том
же основании и сумма Е и В равна произведению суммы
Z и А на МК; таким образом, сумма А, В, Г, Д, Е, Z
равна произведению вместе взятых Z и А на НК. Но про-
изведение суммы Z и А на НК вдвое меньше произведе-
ния суммы Z и А на НЭ. Таким образом, сумма всех А,
В, Г, Д, Е, Z вдвое больше произведения вместе взятых
Z и А на НЭ, т. е. на количество А, В, Г, Д, Е, Z. Это
и требовалось доказать.
Пусть в тех же предположениях количество А, В, Г,
Д, Е будет нечетным, а в ZH будет столько единиц,
сколько имеется А, В, Г, Д, Е. Следовательно, ZH
будет нечетным, отложим на нем единицу Z9, разделим
ЭН пополам в К, а ЭК разделим в точке А на заключаю-
щиеся в нем единицы. И поскольку Е превосходит Г на
столько же, как и Г превосходит А, то вместе взятые Г,
А будут вдвое больше Г, т. е. произведения Г на АК;
на том же основании вместе взятые В, Д вдвое больше
произведения Г и АО; таким образом, А, Е, В, Д бу-
дут вдвое больше произведения Г на ЭК. Но ЭН вдвое
больше ЭК; тогда А, Е, В, Д равны произведению Г
на ОН; так же и Г равно произведению Г и 0Z. Таким
образом, сложенные вместе А, В, Г, Д, Е равны произ-
ведению Г-ZH. Но удвоенное произведение Г-ZH будет
равно произведению вместе взятых А, Е на ZH. Следова-
тельно, удвоенная сумма А, В, Г, Д, Е будет равна про-
изведению вместе взятых А, Е на ZH, т. е. на количество
заданных. Это и требовалось доказать.
IV
Если дано, начиная с единицы, любое количество чи-
сел с одинаковыми разностями, то сумма их всех, умно-
женная на восьмикратную разность и сложенная с квад-
ратом уменьшенной на двойку разности, образует квадрат,
171
ДИОФАНТ
сторона которого без двойки будет равна разности, ум-
ноженной на некоторое число, которое после сложения
с единицей будет вдвое больше количества всех взятых
чисел, считая и [начальную] единицу [в].
Пусть будет, начиная с единицы, несколько чисел
АВ, АГ и EZ с одинаковыми разностями. Я утверждаю,
что все сказанное будет иметь место.
Пусть Н0 содержит столько единиц, сколько взято
чисел, считая и единицу; так как разность, на которую
EZ превышает единицу, к разности, на которую АВ больше
(единицы), имеет отношение, равное числу единиц в
Н© без одной, то, если мы положим АК, ЕЛ, НМ еди-
ницами, будем иметь, что AZ равно КВ, взятому столько
раз, сколько единиц в МО: так что AZ равно произве-
дению КВ-МЭ1).
Положим KN = 2 и посмотрим, не будет ли сумма
всех [чисел], умноженная на 8 КВ (где КВ есть разность
чисел) и сложенная с квадратом NB (т. е. уменьшенной на
двойку разности)2), равна квадрату, сторона которого
без двойки образует некоторое число, равное разности,
т. е. КВ умноженной на сумму НЭ и ©М 3).
о
о
ОН
О
Л
о
А
О©
Сумма всех [чисел] равна половине произведения вмес-
те взятых EZ и ЕЛ на 0Н; (представим произведение
*) Так как АК — 1 и АВ — первое число после единицы, то КВ будет раз-
ностью d прогрессии. Далее, НО — п — числу взятых членов, AZ =
d (п— 1). (Прим. перев.)
*) То есть S*8d +> (d—2)*. (Прим, перев.)
•) То есть S 8d (d — 2)2 = [2 + d (2n — 1)1». (Прим, перев.)
172
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
вместе взятых ZE и ЕЛ на 0Н> как сумму AZ и Н0 и
2ЕЛ-НЭ, т. е. 2НЭ; тогда сумма всех членов будет
равна (половине > AZ«H0 и 2Н0. Но доказано, что
AZ равно КВ«М0, и, значит, AZ-H0 будет равно телу
КВ*М0*Н0, и, следовательно, с'7мма всех равна по-
ловине [суммы] тела KB-M0-H0 и 2Н0 х).
Тогда, если разделим Н0 пополам в Е, то получим,
что сумма всех равна телу KB-H0-0E вместе с Н0.
Посмотрим, не будет ли тело КВ«Н0«0Е вместе с 0Н,
помноженное на 8КВ и увеличенное на NB2, тоже квад-
ратом 2).
Но тело KB-H0-0E, помноженное на КВ, состав-
ляет произведение H0-0E на КВ2 3). Таким образом,
тело КВ-Н0‘0Е, умноженное на 8КВ, будет равно
Н0-6Е, умноженному! на 8КВ2, или же произведению
8Н0-0Е-КВ2, т. е. 4НЭ-ЭМ-КВ2.
Если прибавить к этому произведение Н0 на 8КВ
и NB2, то не получится ли квадрат? Но Н0, умноженное
на 8КВ, дает 8Н0-КВ; значит, не составит ли квадрат
4Н9-0М, умноженное на КВ2, сложенное с 8Н0*КВ
и NB2?
Но 8Н9 • КВ раскладывается на 4HN • КВ и учетверен-
ную сумму НЭ,9М (умноженную на КВ. Не составит
ли сумма произведения 4Н0-0М>, умноженного на КВ2,
4НМ-КВ и учетверенной суммы Н0, 0М, умноженной
на КВ, и и NB2 квадрата 4)?
Но 4НМ-КВ = 2NK-KB5). Увеличив это на NB2,
получим [сумму] КВ2 и KN2. Теперь, не образует ли квад-
рата [сумма] 40Н*0М, умноженного на КВ2, и 4 на
сумму Н0, 0М, умноженную на КВ, и ВК2 и KN2?
Но КВ2 равняется НМ2«КВ2 и после прибавления к
4Н0-0М, умноженного на КВ2, образует сумму Н0,
х) Замечательно, что здесь Диофант свободно складывает «тело» со стороной
2Н0. Такие действия в классической греческой математике считались
недопустимыми. Этой точки зрения придерживался еще Ф. Виет. Дио-
фант же трактует, очевидно, и тело и сторону как числа, мы бы теперь ска-
зали — как элементы одного и того же поля. (Прим, ред.)
2) (KBH0-0E 4- 0Н)-8КВ + NB2 в □ . (Прим, иерее.)
8) (КВ-Н0-0Е).КВ = H0-0Z-KB2. (Прим, перев.)
<) То есть 4не ем кн2 + 4НМ-КВ 4- 4(Нв Н- вМ)КВ +
(Прим, перев.)
•) НМ =1, NK =2. (Прим. перев.)
173
ДИОФАНТ
0М в квадрате, умноженную на КВ2 1). Теперь, не об-
разует ли квадрата сумма квадрата вместе взятых НЭ
и 0М, умноженного на КВ2, и учетверенной суммы Н0,
0М, умноженной на КВ, и KN2 2)?
Если положим произведение суммы НЭ и ЭМ на
КВ равным некоторому числу Ng, то и квадрат вместе
взятых Н6 и 0М, умноженный на КВ2, будет равен Ng2,
что мы докажем ниже. Следовательно, образует ли квадрат
сумма Ng2 и NK2 вместе с учетверенной суммой Н0 и 0М,
умноженной на КВ?
Но произведение 4 на (сумму) НЭ, 0М и на КВ
равно 4Ng, так как мы положили Ng равным произведе-
нию [суммы] НЭ, 0М на КВ, a 4Ng = 2Ng-NK, ибо
NK мы положили равным 2. Итак, не образует ли квад-
рата (сумма) Ng2 и NK2 вместе с 2Ng-NK?
Но она действительно будет квадратом, сторона кото-
рого равна Kg; если уменьшить ее на двойку NK, то она
даст некоторое число Ng, равное разности КВ, умножен-
ной на сумму Н0, 0М; если к последней прибавить
единицу НМ, то мы получим (удвоенное) число всех
взятых членов.
Доказать пропущенное [7].
Пусть вместе взятые Н0 и 0М равняются А, а КВ равно
В и произведение вместе взятых Н0, 0МЪа КВ равно Г.
Я утверждаю, что квадрат вместе взятых Н0, 0М
(т. е. квадрат на А), умноженный на квадрат КВ (т. е.
квадрат на В), равен квадрату на Г.
1) Так как ПМ = НО — 0М. (Прим. пер ев.).
8) То есть (В© + 0М)8-КВ8 + 4(Н0 + ©М)-КВ -Г KNZ«= о. (Прим,
перев.)
174
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
Отложим на прямой ДЕ, EZ, равное соответственно
А и В, построим на них два квадрата А®, ЕД и до-
полним параллелограмм ©Z.
Тогда ДЕ относится к EZ, как А® к параллелограмму
Z0; а как 0Е к ЕК, так и параллелограмм 0Z к ЕА;
следовательно, параллелограмм 0Z есть средняя пропор-
циональная между квадратами А® и KZ; значит, произ-
ведение квадратов A0«KZ равно квадрату параллело-
грамма 0Z х); и квадрат Д® равен квадрату вместе взятых
Н® и ®М, квадрат же ZK равен квадрату КВ, и паралле-
лограмм 0Z равен Ng. И следовательно, квадрат на вмес-
те взятых Н8, ®М, умноженный на квадрат КВ, равен
квадрату Ng.
После того, как все предшествующее изложено, мы
утверждаем, что если имеются числа, начиная с единицы в
любом количестве и с какой угодно разностью, то вся
их совокупность есть многоугольник; он имеет углы,
количество которых равно разности этих чисел, увели-
ченной на двойку, а стороной его будет количество этих
чисел, считая и единицу.
Действительно, мы доказали, что сумма всех имеющих-
ся чисел, умноженная на 8КВ и сложенная с NB2, дает
gK2; если мы возьмем другую единицу АО, то получим
КО = 2; одновременно KN также будет 2. Следовательно,
OB, ВК и BN будут иметь одинаковые разности; значит,
восьмикратное произведение большего [числа] ОВ на сред-
нее ВК, сложенное с BN2, будет равно квадрату, сторона
которого равняется сумме большего ОВ и удвоенного
среднего ВК. Таким образом, ОВ, умноженное на 8КВ
и сложенное с NB2, равняется квадрату на вместе взятых
ОВ и 2КВ; его сторона, уменьшенная на двойку ОК,
дает в остатке ЗКВ; это же будет КВ, умноженное на трой-
ку; тройка же, сложенная с единицей, представляет
удвоенную двойку.
’) Здесь уже Диофант оперирует с такими немыслимыми для классической
античной математики понятиями, как квадрат параллелограмма и произ-
ведение двух квадратов. Хотя доказательство проводится на геометриче-
ских объектах, но они служат скорее для наглядности, по существу же
площади и квадраты их понимаются нак числа. (Прим, ред.)
175
ДИОФАНТ
Таким образом, сумма всех взятых чисел вместе с
единицей решает ту же задачу, что и ОВ; но ОВ является
совершенно произвольным, и первым многоугольником
после единицы (так как единица есть АО, а второе число
АВ), и имеет стороной двойку. Итак, вся совокупность
взятых членов есть многоугольник, равноугольный с
ОВ, имеющий число углов, большее разности КВ на двой-
ку ОК; сторона же этого многоугольника будет Н0, что
представляет количество взятых членов, считая и еди-
ницу.
Таким образом, доказано то, что Гипсикл принял за
определение [8].
«Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с
единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их,
если разность единица, будет (треугольником, если
же двойка) , то четырехугольником, а если тройка —
пятиугольником. Количество углов определяется
разностью, увеличенной на двойку, а сторона —
количеством взятых чисел, считая и единицу».
Если разность равна единице, то получаются тре-
угольники, стороны которых равняются наибольшим из
предложенных [чисел], и произведение наибольшего из
предложенных на число, большее его на единицу, равно
удвоенному рассматриваемому треугольнику. И если
[многоугольное число] ОВ, имеющее столько углов, сколь-
ко в нем заключается единиц, множится на 8-кратное
числа, которое меньше его на двойку (т. е. на разность,
которая умножается на 8КВ), и увеличивается на квад-
рат числа, которое меньше его на четыре (это будет NB2),
то получается квадрат х).
Поэтому многоугольные числа имеют и такое опреде-
ление:
Всякий многоугольник, помноженный на восьмикрат-
ное числа, меньшего на два количества его углов, и сло-
женный с квадратом числа, меньшего количества его
углов на четыре, образует квадрат.
9 Если N — число углов рассматриваемого многоугольника, то разность
d = N — 2. Тогда формула, установленная в предложении IV, принимает
вид
S-8 (N — 2) + (N — 4)« == (2 + (2п — 1) (N — 2)1*. (Прим. Перес.)
176
о многоугольных Числах
После доказательства определения Гипсикла, а также
и нового определения многоугольников остается лить
показать, как по заданной стороне находится предло-
женный многоугольник.
В самом деле, имея заданной сторону Н0 некоторого
многоугольника, а также количество его углов, мы име-
ем данной и КВ. Но тогда данным будет и произведение
суммы Н0, 0М на КВ, а это равно N£; отсюда же мы
получаем данной и К£, так как NK равна двум. Тогда
данным будет и К£2, отнимая же отсюда уже данный
NB2, получим данным и остаток, который будет кратным
искомому многоугольнику, а именно по кратности 8КВ.
Таким образом, мы можем определить и искомое много-
угольное число *). Подобным же образом для заданного
многоугольного числа находим его сторону Н0; это и
требовалось показать.
Для желающих легко запомнить преподанное поучи-
тельнее будет привести следующий метод.
Взявши сторону многоугольника, будем всегда удваи-
вать ее и вычитать единицу; остаток множим на число
углов, уменьшенное на двойку; к полученному всегда
прибавляем двойку и сумму возводим в квадрат; отсюда
вычитаем квадрат числа углов без четверки и остающееся
делим на восемь раз взятое число углов без двойки;
таким образом получается искомый многоугольник.
Обратно, если дано само многоугольное число, то его
сторона находится следующим образом. Множим число
на восемь раз взятое число углов без двойки. К получен-
ному прибавим квадрат числа углов без четверки; если
заданное число было действительно многоугольным, то
должен получиться квадрат. От стороны этого квадрата
вычитаем всегда двойку и делим остаток на количество
углов, уменьшенное на два, к частному прибавляем еди-
ницу и от полученного берем половину; после этого по-
лучится искомая сторона многоугольника.
•) Зная сторону (число членов прогрессии) НО = п, а также число углов JV,
находим разность прогрессии КВ — d = N — 2. Далее, N£ =
= (Н0 4- 6М)-КВ = (n + п — 1) d; многоугольное число (т. е. сумма S про-
X	о [2 4- (2П — 1) dp — (d — 2;2
гресеии) получается но формуле	. (Пргш. перев.)
177
ДИОФАНТ
[Найти, сколькими способами данное число можно пред-
ставить в виде многоугольника [®].
Пусть дано число АВ, количество углов которого
равно ВГ, и возьмем на ВГ двойку ГЛ и четверку ГЕ.
Так как АВ является многоугольником, имеющим ВГ
углов, то 8АВ-ВД вместе с BE2 образуют квад ра.
оо-о-о-о-о----------о . .... о
А 0 В Е Д Г	Л	К
Н N м
Пусть стороной его будет ZH, тогда
ZH2 равняется [сумме] 8АВ-ВД и BE2.
Возьмем на АВ единицу А0 и разложим 8АВ-ВД на
4А0-ВД и учетверенную сумму АВ, В0, (умноженную
на ВД. Положим, что ДК равно учетверенной сумме АВ,
В0), и преобразуем учетверенную сумму АВ, В0, ум-
ноженную на ВД, в произведение КД-ДВ, а 4А0-ВД
в 2ВД-ДЕ (так как ЕД = 2). Значит,
ZH2 = КД-ДВ и 2ВД-ДЕ и BE2.
Но
Значит,
Но
значит,
2ВД-ДЕ и BE2 = ВД2 и ДЕ2.
ZH2 = КД-ДВ и ВД2 и ДЕ2.
КД-ДВ и ВД2 - КВ-ВД;
ZH2 - КВ-ВД и ДЕ2.
Теперь, так как ДК, равное учетверенной сумме
АВ, В0, больше, чем 4А0, т. е. четырех, а ДГ равно
двойке, то остаток ГК больше, чем 2ГД. Значит, точка,
делящая ДК пополам, упадет на ГК, пустьв Л. Преобразу-
ем КВ-ВД в разность ВЛ2 и АД2. Ведь ДК разде-
лен пополам в Л и к нему приложено ДВ. Тогда
КВ-ВД вместе с АД2 равно АВ2 1);
*) Евклид, кн. II, предл. 6. (Прим. ред.).
178
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
значит,
разность АВ2 и ЛД2 равна КВ*ВД.
Следовательно,
ZH2 равняется разности ВЛ2 и АД2 вместе с ДЕ2.
Прибавляем к обеим частям АД2, тогда
[сумма] ZH2 и ДА2 равна [сумме] ВЛ2 и ДЕ2.
Но если [сумма] двух чисел равна [сумме] других
двух чисел, то и [ соответствующие ]им разности будут
равны; значит,
разность АЛ2 и ДЕ2 равна разности АВ2 и ZH2.
И так как
ЕД - ДГ
и прибавляется Г А, то
ЕЛ* АГ вместе с ГД2 равно ДА2.
Значит, разность АД2 и ДЕ2, т. е. разность АД2 и ДГ2,
составляющая произведение ЕЛ* АГ, равна разности
АВ2 и ZH2.
Положим
ZM - ВЛ.
(Действительно, ВЛ больше ZH, так как доказано, что
[сумма] ZH2 и ДА2 равна [с^умме] ВЛ2 и ДЕ2,
наконец, ДА2 больше, чем ДГ2, т. е. больше ДЕ2, значит,
ВЛ2 больше ZH2. Значит, положим
ZM-BA.)
Тогда
разность ZM2 и ZH2 равна ЕЛ-АГ.
И так как ДК есть учетверенная сумма АВ, В0, а
ДК делится в точке Л пополам, то ДА является удво-
енной суммой АВ и В0. Но
ДГ = 2А0,
179
ДИОФАНТ
значит, остаток ЛГ является произведением 2 на 2В0 и
ЛГ == 4В0, так что В0 является четвертой частью от ЛГ.
Но единица А0 является четвертью ЕГ, т. е. четырех.
Значит, и целое АВ есть четвертая часть ЕЛ. Но было
доказано, что 0В является четвертой частью ЛГ; значит,
АВ-ВЭ = Хел-лг
16
и
ЕЛ-ЛГ = 16АВ-В0.
Но было доказано также, что
ЕЛ-ЛГ = разности MZ2 и ZH2;
значит,
16АВ-В0 = разности MZ2 и ZH2,
т. е.
МН2 и 2ZH-HM.
Значит,
16АВ-В0 - НМ2 и 2ZH-HM.
Следовательно, НМ четно. Разделим его пополам в N...]1)
<) На этом текст обрывается. Весь отрывок, взятый нами в скобки, П. Танне-
ри считает позднейшей вставкой. (Прим, ред.)
КОММЕНТАРИИ
К ШЕСТИ
КНИГАМ
АРИФМЕТИКИ
И
К КНИГЕ
МНОГОУГОЛЬНЫХ
ЧИСЛАХ
С ПРИЛОЖЕНИЕМ
ЗАМЕЧАНИЙ
ПЬЕРА ФЕРМА

КОММЕНТАРИИ
К ШЕСТИ КНИГАМ «АРИФМЕТИКИ»
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ I
Книга I распадается на две части:
1) введение, в котором строится числовая область, даются ос-
новные определения и вводятся буквенные символы;
2) и задачи с решениями (их 39).
В некоторых списках (например, в одном из списков Эскуриала)
первая книга разделена на две, и, таким образом, «Арифметика»
оказывается составленной из семи книг.
«Введение» Диофанта представляет, по существу, первое изло-
жение основ буквенной алгебры над полем рациональных чисел.
1.	Диофант приводит традиционное определение (I) числа как
множества единиц. Однако впоследствии числом (apvfrp.dc) он на-
зывает любое положительное рациональное число, как целое, так и
дробное.
2.	В определении (II) вводятся символы для шести первых
степеней неизвестного. Для обозначения неизвестного Диофант
применяет символ с, происхождение которого не вполне ясно.
По-видимому, это — концевая «сигма», которая не имела числового
значения (обычная «сигма» о обозначала число 200). Этот символ
употреблялся и до Диофанта. Так, его вариации встречаются в
«Геометрике» Герона (I век. н. э.) (см. Добавление И), а также в
Мичиганском папирусе 620 (II век н. э.).
Для обозначения второй и третьей степеней неизвестного Дио-
фант применяет первые буквы соответствующих названий, а после-
дующие степени образуются путем применения аддитивного прин-
ципа, так, пятая степень обозначается как «квадрато-куб», шес-
тая — «кубо-куб».
183
Комментарии
Почти одновременно с Диофантом во «Введении в арифметику»
Анатолия Александрийского (III век н. э.) появились обозначения
степеней неизвестного по мультипликативному принципу: «квад-
рато-куб» обозначал в этой системе шестую степень, а «кубо-куб» —
девятую. Зато пятая степень не могла быть образована из пре-
дыдущих; она называлась «первой невыразимой» (аЛо^ос терсЬто*;),
седьмая степень — «второй невыразимой» (aZo^ot; Евбтвро^) и т. д.
К сожалению, этот неудобный способ обозначения был воспринят
математиками Индии и частью ученых Средневекового Востока и
Европы. В частности, по такому принципу образовывали степени
неизвестного коссисты.
В Европе аддитивный принцип образования степеней был впер-
вые применен Леонардом Пизанским (XIII век).
В этом же определении (II) Диофант вводит символ для еди-
о
ницы М. В дальнейшем он всегда пишет этот знак перед кон*
стантами.
В наших комментариях мы будем обозначать искомые числа
буквами X, У, Z с соответствующими индексами, а неизвестное Дио-
фанта g через х или степени же его через л2, х3, . .	Z2, /3, . . .
Таким образом, запись Х2 — х означает, что второе искомое число
задачи принято за основное неизвестное х.
3.	Отрицательные степени неизвестного (определение (III)) вво-
1
дятся как величины, обратные положительным: х п-(п = 1,...
х
. . ., 6). Для их обозначения Диофант применяет косой крест X,
который ставится справа сверху вслед за индексом. Например, х2
обозначался как Дт, а х~2 — как А
4.	Особенно интересны определения (V) и (VI). После поясне-
ния умножения положительных степеней неизвестного Диофант
формулирует два общих утверждения относительно видов (el'bog),
т. е. степеней неизвестного, взятых с некоторым числовым коэф-
фициентом:
1) любое число, умноженное на одноименную с ним дробь
(т. е. на обратный элемент), дает единицу:
х* х~г = 1;
1Г,1:г.н
2) любой вид при умножении на единицу остается неиз-
менным:
ахп* 1 = ахп>
Таким образом/ здесь Диофант впервые выделяет дМ чисто
групповых свойства операции умножения. Приходится только
184
АРИФМЕТИКА КНИГА 1
удивляться глубине его проникновения в алгебраическую суть
вопроса.
5.	В определении (IX) вводятся отрицательные числа. Каждое
такое число Диофант называет «ХвТфк». Это слово является спе-
циальным термином, в обычных словарях оно отсутствует. Поэто-
му перевод его вызывает большие трудности. Само слово произве-
дено от глагола «ХеТл<о», одним из значений которого является «не-
доставать», «не хватать», поэтому в настоящем издании слово
«ХеТфьс» переведено как «недостаток», что согласуется и с назва-
нием отрицательных чисел в математической литературе средних
веков. В соответствии с этим производные слова от этого глагола,
например характеризующие группы отрицательных членов, пере-
ведены как «недостаточные члены», «недостающие» и т. д.
Положительное число во «Введении» называется словом
«итиар^к;» (далее это слово нигде не встречается), которое обозна-
чает «существование», «бытие», а во множественном числе — «иму-
щество». Здесь оно переведено как «наличие».
Для сравнения приведем переводы соответствующих терминов
на латинский язык в классическом издании «Арифметики» Диофанта
Поля Таннери: ХеШс; — minus, икарус — plus.
Вводятся отрицательные числа, по существу, аксиоматически*,
Диофант формулирует для них «правило знаков»:
(-)•(-) = (+),
(-)•(+) = (-)
При этом, однако, правила знаков при сложении и вычитании
(которое обозначается с помощью слов, производных от глагола
«а^аьресо» — отнимать) не дается. По-видимому, Диофант считал,
что они уже хорошо известны.
Отметим, что в случаях, когда надо вычесть из обеих частей
уравнения отрицательные члены, Диофант говорит о «прибавлении
недостатков», т. е. терминология у него здесь отлична от нашей.
Для характеристики отрицательного числа вводится символ Д,
отвечающий нашему минусу.
На протяжении всех шести книг Диофант широко пользуется
отрицательными числами, применяя их в промежуточных выклад-
ках и в качестве промежуточных результатов. Так, например, в за-
дачах 1112, П1з, 1120, П23, The, П29 и П32 стороны квадратов, кото-
рым должны быть равны левые части уравнений, при выбранных
числовых параметрах получаются отрицательными. Это не сму-
щает Диофанта, потому что окончательный результат (т. е. сами
квадраты) будет положительным.
185
КОММЕНТАРИИ
Итак, Диофант расширяет область чисел до поля рациональ-
ных чисел Q — минимального бесконечного поля, над которым
можно развивать обычную алгебру.
Однако он еще не рассматривает отрицательные числа как рав-
ноправные положительным. Решения обязательно должны быть
положительными. Эту точку зрения восприняли Виет, Ферма и
другие математики XVI — XVII веков.
6.	Для обозначения операций сложения и умножения у Дио-
фанта нет специальных символов. Все члены многочлена, которые
должны быть сложены, просто приписываются друг к другу, после
чего ставится знак минус и записываются все отрицательные члены.
При этом сначала записывается степень неизвестного, а затем чис-
ловой коэффициент. Свободный член (т. е. х°) характеризуется
о
символом М — это первые две буквы слова «рю vac;» — единица.
Например, многочлен
202я2 + 13—10z
записывается так:
Д? (ТР М- гу Д £i-
ЗдесьаР = 202, гр =13, i = 10.
Кроме перечисленных символов Диофант применяет еще знак 0
для неопределенного квадрата и знак Га (первые буквы слова
«’о ос;» — равно) для знака равенства.
Отсутствие символов для второго неизвестного и его степеней,
а также для произвольного постоянного (параметра) создает боль-
шие трудности, и приходится только изумляться виртуозной
изобретательности Диофанта, который выбирает неизвестное так,
что все искомые величины удобно и просто через него выражаются.
Правда, ему иногда приходится на протяжении решения одной
задачи обозначать символом g последовательно два или три иско-
мых числа.
Произвольным постоянным Диофант обычно придает конкрет-
ные числовые значения. Каждую задачу он сначала формулирует в
общем виде, а затем повторяет еще раз уже для конкретных значе-
ний параметров. Далее, при подстановках он всегда оговаривает,
какой из коэффициентов может быть взят произвольным, а какой
фиксирован. Например, если подстановка должна иметь вид
у = кх — 3, то Диофант пишет, что в качестве искомого числа
«возьмем несколько х минус 3; пусть 2,г — 3». Ясно, что
здесь число 3 фиксировано, а число 2 является одним из возмож*
186
АРИФМЕТИКА КНИГА I
ных значений параметра, вместо которого можно взять любое
другое произвольное значение. В дальнейшем, при пояснении хода
решения Диофанта, мы будем ставить буквенный коэффициент
лишь в тех случаях, когда сам Диофант указывает на возможность
произвольного выбора параметра.
Заметим еще, что если параметрам, входящим в условие задачи
или в подстановку, надо придать числовые значения, причем ника-
ких дополнительных специальных условий на них не накладывает-
ся, то Диофант, как правило, выбирает последовательные натураль-
ные числа, например 2, 3, 4, что при греческой нумерации выглядит
как р, у, б, т. е. параметры обозначаются последовательными бук-
вами алфавита, что подчеркивает их произвольность (об этом см.
подробнее в статье Е. И. Славутина «Об арифметике Диофанта»,
Проблемы истории математики, МГУ, 1972).
В наших комментариях мы будем обозначать параметры бук-
вами, выражающими в алфавитной нумерации те числовые значе-
ния, которые дает им Диофант. Мы будем отступать от этого пра-
вила только в тех случаях, когда это может привести к недоразу-
мениям (например, если двум различным параметрам Диофант
придает значение р = 2, то один из параметров мы будем обозна-
чать р, а другой — какой-нибудь другой буквой греческого ал-
фавита) .
7.	В определении (XI) приведены правила действий с много-
членами и уравнениями. В частности, формулируется правило при-
ведения подобных
ахп + Ьхп — (а + Ь)хп
и правило прибавления к обеим частям уравнения одного и того
же числа или вида. Оба эти правила получили впоследствии из-
вестность под арабизированными названиями «алджебр» и «аль-
мукабалы».
В «Арифметике» слово «тсЛт^ос;» играет ту же роль, что и наше
слово «коэффициент». В переводе, однако, применяется слово «ко-
личество», поэтому оборот «eibyj 6р,07иХ7]{Ц» в определении (XI),
т. е. «виды с различными коэффициентами», переведен как «виды,
взятые в неодинаковых количествах».
8.	О задачах книги I.
В книге I собраны задачи, эквивалентные одному линейному
уравнению от одного неизвестного или системам т уравнений от п
неизвестных, т п (п — 2, 3, 4), каждое из которых не выше
второй степени.
187
комментарий
Только пять задач, а именно 114, 122, 1гз» I24 и ^25» являются
по своей постановке неопределенными, однако в ходе решения Дио-
фант доопределяет их всякий раз так, чтобы задачи стали опреде-
ленными. Например, условие задачи I14 эквивалентно уравнению
XY = к (X + У).
Диофант замечает, что одно из чисел можно задать произвольно,
лишь бы только оно было больше значения к. После этого он берет
к — 3, X = 12, тогда второе искомое число получается из линей-
ного уравнения. Интересно отметить, что ту же задачу Диофант
решает в П3, но там он фиксирует только 7с, а оба искомых числа
выражает через неизвестное:
X = 7,

(₽ = 2),
в результате чего оба искомых числа выражаются как рациональ-
ные функции от р.
Аналогично этому в задаче 122, которая сводится к двум линей-
ным уравнениям от трех неизвестных, Диофант фиксирует одно
из неизвестных, положив его равным 4.
Задачи Ii — 125 и 1зе эквивалентны системам линейных урав-
нений (см. Добавление I); Диофант приводит в некоторых из них
ограничения на заданные постоянные для того, чтобы решения
были положительными.
Задачи he — Ise сводятся к системам, эквивалентным квадрат-
ному уравнению. При этом задачи Ы и I31 — 138 приводятся к квад-
ратным уравнениям типа
Ах2 = Вх,
а задачи I27 — 13о эквивалентны
системам
I29
I27
r X + У = а,
Х2~У2 = М
l30Uy = b.
Для того чтобы решения были рациональны, Диофант приводит
к задачам Ь?, Тае и 130 следующие ограничительные условия:
к I27*
К 128 :
К 130 :
188
АРИФМЕТИКА КНИГА II
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ II
1. Начиная с книги II, Диофант ставит и решает задачи, экви-
валентные неопределенным уравнениям и системам таких уравне-
ний, причем в книге II рассматриваются неопределенные уравнения
второй степени и системы неопределенных уравнений от п неиз-
вестных (п = 2, 3, 4, 5, 6), каждое из которых имеет степень <1 2.
Исключение представляют задачи Иге» 1Ы, в которых, однако,
тоже каждое из уравнений имеет вторую степень относительно квад-
ратов неизвестных.
Все многообразия, определяемые в задачах этой книги, явля-
ются рациональными. Так, в переводе на язык геометрии, в зада-
чах рассматриваются рациональные кривые второго поряд-
ка, в задачах Hlr_13, IIi6 и Н2в_27 — рациональные пространствен-
ные кривые, в задачах Им, Hie, П19_25 и П28_31 — рациональные
поверхности, наконец, в задачах, П32, П33 и П34, П35 — рацио-
нальные многообразия размерности 3 в 6-мерном пространстве.
Задачи 11х7 и Hie сводятся к системам линейных уравнений, пер-
вая — к двум уравнениям с тремя неизвестными, вторая — к трем
уравнениям с тремя неизвестными, так что она не является неопре-
деленной. Эти задачи аналогичны задачам 122 и 123 и, по мнению
большинства исследователей, представляют позднейшую вставку.
Во всяком случае, в книге II они являются чужеродным телом.
2. Для решения неопределенного уравнения второй степени с
двумя неизвестными
(1)	Л (X, У) = О,
где F2 (X, У) — неприводимый над полем Q рациональных чисел
многочлен второй степени с рациональными коэффициентами, Дио-
фант применяет следующие два метода.
М е т о д А. Пусть уравнение (1) имеет рациональное решение
Хо, Уо« Тогда, чтобы найти новое рациональное решение, Диофант
делает подстановку
(X - Хо + t,
(2)	1у — Уо kt,
189
КОММЕНТАРИИ
где к рационально. После подстановки (1) преобразуется в квадрат
ное уравнение относительно £, свободный член которого будет
^2 С^о> Уо) = 0» Таким образом, получим: h — 0, a t2 рационально.
Этому методу легко придать простую геометрическую интер-
претацию. Уравнение (1) задает на плоскости XOY кривую вто-
рого порядка; при этом решению Х^, Уо отвечает рациональная
точка М (Xo, Уо) этой кривой. Подстановка (2) представляет урав-
Рис. 1.
нение прямой, проходящей через
точку М и имеющей угловой
коэффициент к. Эта прямая пере-
сечет кривую (1) еще в одной и
только одной точке Mi, которая,
как нетрудно видеть, тоже будет
рациональна. При этом между
рациональными точками кривой
(1) и рациональными значениями
параметра к устанавливается вза-
имно однозначное соответствие
(см. рис. 1), так что, придавая к
всевозможные рациональные зна-
чения, мы получим все рациональ-
ные точки кривой (1). Проделав соответствующие выкладки, мы
получим
t = г(к),
где г — рациональная функция к, а значит,
X = <p(fc),
У= ф (к),
где ф и ф также рациональны.
Мы будем и в дальнейшем для пояснения приемов Диофанта
прибегать к геометрической^ интерпретации, хотя сам Диофант
этого не делал. Однако геометрический язык стал в настоящее вре-
мя столь неотъемлемой частью математического мышления, что
многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.
В частном случае, когда уравнение (1) имеет вид
(Г)	Y2 = аХ2 + ЬХ + с2,
подстановки Диофанта особенно просты. Действительно, (!') имеет
рациональные, решения Хо = О, YQ ~ ± с, поэтому подстановка
(2) обратится в X = Y = kt ± с,
М е т о д В. Другой метод является некоторым видоизменением
предыдущего. Если уравнение (1) имеет вид
(1")	У2 - а2Х2 + ЬХ + с,
190
АРИФМЕТИКА КНИГА II
то Диофант делает подстановку
после чего X и Y выражаются как рациональные функции от к.
Поясним геометрический смысл подстановки (3). Для этого
запишем уравнение (Г') в однородных координатах, положив
U
W ’
V
W
(4)
V2 = a2U2 + bUW + сЖ2.
Соответствующая кривая будет иметь рациональную бесконечно
удаленную точку
(2')
Uo = 1, Vo = a, Wo - 0.
Уравнение прямой, проходящей через эту точку, имеет вид
aU — V + kW = 0.
Переходя к обычным координатам, получим уравнение (3).
Таким образом, подстановка (3) эквивалентна проведению пря-
мой через рациональную бесконечно удаленную точку кривой (2')«
Заметим, что подстановки Диофанта по методам А и В совпа-
дают с так называемыми подстановками Эйлера, применяемыми при
интегрировании дифференциалов вида
dX
VaX2 + bX + c
Разница состоит лишь в том, что Диофант проводит все выклад-
ки над полем Q рациональных чисел, тогда как подстановки Эйлера
можно применять и тогда, когда а или с не являются квадратами,
т. е. У а или У с иррациональны.
На то, что подстановки Диофанта совпадают с постановками
Эйлера, обратил внимание еще Г. Г. Цейтен (История математики
в древности и в средние века, М.— Л., ГТТИ, 1932, стр. 171).
Однако на самом деле Диофант применяет свои подстановки не
только в случаях, отмеченных Цейтеном, но и в самом общем слу-
чае, когда известно произвольное рациональное решение уравне-
ния (1) (см., например, задачу II©).
Основной результат Диофанта, полученный в книге II, может
быть сформулирован так:
191
КОММЕНТАРИИ
если неопределенное уравнение (1) имеет хотя бы одно рацио-
нальное решение, то оно имеет бесконечно много таких решений,
причем все они представимы в виде
(5)
Х = ФЙ, У =
где (риф — рациональные функции с рациональными коэффици
ентами.
Хотя в книге II Диофант всякий раз находит только одно ре-
шение, отвечающее некоторому определенному значению параметра
к, однако метод его не оставляет сомнений в том, что решений бес-
конечно много и что все они получаются с помощью одних и тех же
операций, которые мы теперь записываем в виде формул (5) при
различных значениях параметра к.
Диофант прекрасно понимал это, что видно не только из
метода решения задач, но и из его замечаний в книге III (об
этом см. подробнее в комментарии к IIg) и лемм к задачам VI12
и VI15.
3. Поясняя методы Диофанта, мы все время прибегали к гео-
метрической интерпретации. Между тем ее не только не было у
Диофанта, но она отсутствовала и у Виета, Ферма и Эйлера. Ско-
лем полагает1), что впервые такая интерпретация была дана во
второй половине XIX века. Интересно отметить, что первая гео-
метрическая интерпретация метода А встречается в недавно опубли-
кованных Д. Т. Уайтсайдом математических бумагах Ньютона.
Приведем перевод этого отрывка озаглавленного: «О решении чи-
словых проблем»2):
«Прежде всего искомые числа должны быть приведены
к уравнению, отвечающему условиям вопроса; затем они
должны быть представлены как основание и ордината кри-
вой линии, которую определяет это уравнение. Пусть эта
кривая будет DC, а числа — АВ, В С (см.. рис. 2), кривая же бу-
дет такой, что число ВС, приставленное как ордината к числу
АВ под данным углом АВС, всегда оканчивается на ней.
Затем нужно отыскать точки кривой, для которых числа
АВ, ВС рациональны. Я открыл следующие случаи, когда
это может быть сделано.
1. Если числа в уравнении не превышают второй сте-
пени, так что кривая будет коническим сечением, и если
х) Т. Н. S к о 1 em, Diophantische Gleichungen, Berlin, 1938.
*) The mathematical papers of Isaac Newton, v. IV, ed. D, T, Whiteside,
Qambrige, 1971, стр. 110.
192
АРИФМЕТИКА КНИГА II
задана точка F на кривой, для которой Л Я, HF рациональны,
то из этого единственного примера может быть получено
общее правило. Возьми на ЛЯ <отрезок> НЕ некоторой ра-
циональной длины, проведи EF, которая пересечет кривую
в б?, и опусти GK параллельно СВ, тогда числа А К, KG будут
Рис. 2.
рациональными. Если точка F, находящаяся на АН, FH,
будет нулевой, тогда возьми HN любой рациональной дли-
ны, восстанови NE параллельно ВС и также какой-нибудь
рациональной длины. Проведи НЕ, встречающую кривую в
G, тогда АК, GK будут рациональными».
Далее Ньютон останавливается на различных частных спосо-
бах, с помощью которых можно отыскать на кривой второго поряд-
ка по крайней мере одну рациональную точку. Второй случай, от-
меченный Ньютоном, относится к кривым третьего порядка, и мы
поместим соответствующий отрывок в комментариях к книге IV.
4.	Опишем теперь некоторые другие методы, применяемые
Диофантом в книге II.
а)	Метод решения «двойного равенства», т. е. системы вида
ах + Р = Я2,
уя + 6 = V2;
Диофант рассматривает случай а = у (задачи Нп_13), но его метод,
как он сам впоследствии (см. книгу III) говорит об этом, проходит
и для случая а : у = т2. Диофант вычитает одно уравнение из
другого (если а : у = т2, то нужно предварительно уравнять коэф-
фициенты при х) и получает
Я2 — V2 = р — д.
Разность р — 6 он произвольным образом раскладывает на множи-
тели: р — д = Хц. Приравнивая Я + Р = X, (7 — V = ц, полу-
тт А + и у/ X — ц - X2 + u2 Р4-д
чим и ~ -С , V — Л-----L- и найдем х = —.
2	’	2	4а 2а
193
КОММЕНТАРИИ
Диофант не исследует в общем виде, при каких значениях а,
Р, у и б система будет иметь решения. Этим вопросом, насколько
нам известно, впервые занялся Баше де Мезириак, а окончательное
решение он получил в работах Эйлера, Лагража и Лежандра.
б)	Если задача сводится к системе двух или трех уравнений
(систем с числом уравнений, большим 3, в книге II нет), то Дио-
фант стремится найти такие рациональные выражения для всех
неизвестных через одно основное неизвестное и параметры, чтобы
все уравнения, кроме одного, обращались в тождества. Оставше-
еся уравнение дает возможность выразить это основное неизвестное
как рациональную функцию параметров.
Для обращения одного или двух уравнений в тождества Дио-
фант, если это возможно, выражает неизвестные как линейные
функции от одного основного неизвестного и одного параметра (гео-
метрически такие подстановки описывают систему прямолинейных
образующих поверхности). Такой прием мы будем в дальнейшем
для краткости называть методом образующих.
В других случаях Диофант пользуется алгебраическими тож-
дествами, причем в книге II встречаются только простейшие из
них, а именно:
а2 + b2 ± 2аЪ — (а ± Ь)2,
5.	Задачи Ilj.g очень интересны. На первый взгляд кажется,
что они просто повторяют задачи I8i, I34, I14, 1зз и 133. На этом
основании П. Таннери считал их последующей вставкой. Нам ка-
жется, что дело обстоит иначе. Первые задачи книги II принци-
пиально отличаются от соответствующих задач книги I, а именно
они сводятся к неопределенным уравнениям, т. е. представляют
первые задачи собственно диофантова анализа.
Рассмотрим для примера задачу Ш. Она эквивалентна урав-
нению X2 + У2 = а (X + У). Для ее решения Диофант полагает
X = х, У = р#, причем берет 3 = 2, после этого рациональное
решение находится точно таким же способом, как и в задаче 1з].
Однако в задаче I3i отношение У/Х задано, поэтому мы полу-
чаем только одно решение и задача является определенной, а в
задаче 1Ь это отношение не задано, мы можем давать Р любые ра-
циональные значения, причем каждому такому значению будет
отвечать одно и только одно рациональное решение. Диофант, ве-
роятно, и поместил схожие по формулировке задачи в книге I и на-
194
АРИФМЕТИКА КНИГА II
чале книги II, чтобы ярче показать специфику неопределенного
анализа.
Все пять первых задач решаются методом А: поскольку все
рассматриваемые там уравнения имеют рациональное решение
(О, 0) *), то Диофант делает подстановку X = х, Y = ря, прини-
мая во всех случаях р — 2, и получает выражение неизвестных в
виде рациональных функций от р.
Так, задача II] эквивалентна уравнению
А2 + У2 = а (X + У);
положив X — х, Y = fix (и взяв а = 20, р = 2), Диофант делает
подстановку и получает
х2 (1 + Р2) == ах (1 + р)
Как нетрудно видеть, подстановка Диофанта эквивалентна прове-
дению прямой через точку (0, 0), лежащую на окружности (*).
Каждому рациональному значению углового коэффициента р будет
отвечать рациональная точка этой окружности. И обратно, если
мы соединим рациональную точку окружности (*) с началом коор-
динат, то получим прямую Y — Рх, где р рационально.
Задача П2 приводится к уравнению, являющемуся уравнением
гиперболы, проходящей через начало координат; остальные три
задачи также эквивалентны задачам на нахождение рациональных
точек окружности (задача П4) и двух гипербол (задачи Ц3 и П6).
Заметим, что Диофант не мог записать произвольное уравнение
второй степени (поскольку он не имел обозначений для второго
неизвестного и его степеней); поэтому, вероятно, он и начал с того,
что продемонстрировал свой общий метод на различных уравнениях
второй степени простейшего вида.
6.	Задача Иб является определенной, но по своей постановке
близка к следующей, уже неопределенной задаче. Быть может,
она была включена в книгу II для подготовки к решению зада-
чи П7.
7.	В задаче Н7 требуется найти такие два числа X и У, что
X2 — Y2 = а + b (X — Y).
х) Это решение не входят в Q+, т. е. оно не является допустимым. Но, отправ-
ляясь от него, Диофант находит решение, принадлежащее Q+.
195
КОММЕНТАРЙЙ
Диофант принимает а = 10, b - 3 и полагает X — Y — ₽ (fl = 2)
или X = х + fl, Y = х (т. е. применяет метод В), и уравнение
принимает вид
(х + fl)2 — х2 — а + 6р.
Окончательно Диофант получает
= Z + 3 = ° + ЬР.+ Р2 [=5], У = i = a_+J)P ~£ [ 31.
н	эд i 1>	20	1 J
Тот же метод Диофант применяет в задаче Пю.
8.	Задача Па эквивалентна уравнению
X2 + Y2 = а2,
в котором Диофант принимает а2 = 16. Рациональными его реше-
ниями будут, например, (0, а) и (0, —а). Чтобы найти другие ре»
шения, Диофант делает подстановку
X = х,
Y = кх — а
(т. е. применяет метод А). Действительно, он пишет: «Составляю
квадрат (т. е. Y2) из некоторого количества z-ов минус столько еди-
ниц, сколько их найдется в стороне 16-ти, пусть это будет 2х — 4»,
Здесь число 2 берется как одно из возможных, а число 4 фикси-
руется, поэтому адекватной буквенной записью подстановки Дио-
фанта будет X = х, Y = кх — а, где а фиксировано.
После подстановки получим
(кх — а)2 == а2 — х2,
откуда
2аАг
к2 — 1
а-----------
/с2 + 1 ’
т. е. X и Y выражаются через рациональные функции параметра.
Знал ли Диофант о том, что задача допускает бесконечно много
решений? Здесь он об этом ничего не пишет, и только из его метода
можно извлечь, что каждому рациональному к отвечает рациональ-
ное решение X, Y. Однако в задаче III19 Диофант пишет: «Мы знаем,
что разложение данного квадрата на два квадрата можно производить
бесконечным числом способов».
Заметим, что, применяя метод Диофанта к уравнению (*)
(*)	X2+Y2 = Z2,
196
АРИФМЕТИКА КНИГА II
или
/Х\з . IY V ,
\zj + (z) ’
получим
Х_ 2к У_/с2-1
Z к2 + 1 ’ Z к2 + 1 ’
Чтобы получить решение в целых числах, положим' & = p/q,
(р, 9) = тогДа
X = Zpq	Y = р2 — д2
Z р2 + q2	%	р2 q2 ’
откуда получим формулы для целочисленных решений
X = 2pq, Y = p2-q2, Z - p2 + q2.
К задаче II8 Ферма сделал свое знаменитое замечание (№ II),
известное как Большая или Великая теорема Ферма:
«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба,
ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень,
большую квадрата, на две степени с тем же показателем.
Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти
поля для него слишком малы».
9. Задача П9 особенно интересна для уяснения метода Дио-
фанта. Она сводится к уравнению
X2 + У2 = /V,
где 2V = 13. Диофант представляет число 13 в виде двух квадратов:
4 + 9, т. е. находит одно рациональное решение X = 2, У =— 3,
после чего полагает
ГХ = х + 2,
(У == Р х — 3
(Р = 2). Подставляя в исходное уравнение, получим
Р2+1 ’
и, таким образом, X и Y выражаются как рациональные функции
от р. Решение Диофанта отвечает р = 2, но в задаче оговорено,
что следует взять «несколько я-ов», например 2.
В этой задаче метод А применен в наиболее общем случае,
когда исходное уравнение не имеет вида У2 = аХ2 + ЪХ + с2.
Диофант показывает, что если известно одно рациональное реше-
ние (в данном случае 2, —3) уравнения второй степени F2(X, У) = О,
197
КОММЕНТАРИИ
то X и Y можно представить как рациональные функции одного
параметра и, таким образом, найти бесконечно много других ре-
шений.
Замечание Ферма к задаче П9 (№ III):
«Может ли также и число, являющееся суммой двух
кубов, быть разделено на два других куба? Это трудный воп-
рос, решение которого, конечно, было неизвестно Баше и
Виету, а может быть, и самому Диофанту; я решил его даль-
ше, в моих замечаниях к задаче IV2».
10. В задаче Пи мы впервые встречаемся с «двойным равенст-
вом» (oitcXoiqottjg), т. е. с системой вида
X + а = U\
‘ х + Ъ = V2.
Решение этой системы эквивалентно нахождению рациональных
точек пространственной кривой Г. Диофант вычитает из первого
уравнения второе (т. е. рассматривает проекцию кривой Г на пло-
скость (U, V)). Он получает
а _ ь = U2 — V2 = (17 — V) (U + Р).
Разность а — & он раскладывает на множители:
7 j а — b
а — о — к*----- .
к ’
и приравнивает
U + V = к, Z7 — У =
к ’
откуда
ц___к2 а — b у ________ к2 — а b
2к ’	2к
после чего X находится из первого или второго уравнения:
X = U2 — а =
Решение Диофанта соответствует к — 4, а = 3, Ъ ~ 2.
И. Второе решение задачи Пи также основано на исключении
X из заданных уравнений (т. е. на проектировании), однако ре-
зультирующее уравнение Диофант представляет в несколько ином
виде:
U2 — а + b ~ F2,
и решает методой В
198
АРИФМЕТИКА КНИГА II
12.	Задачи Пи_13 составляют единое целое. Они отличаются
по постановке потому, что Диофант ищет только положительные
решения. Во всех трех задачах применяется один и тот же способ,
описанный нами в п. 9.
13.	Задачи Пи и IIi5 эквивалентны системам
В обеих задачах Диофант полагает а = 20 и для решения за
дачи Пи делает подстановки:
Х3 = х, Ух — х + р, тогда Xi = 2рх + Р2	(Р = 2);
У2 = х + у, тогда Х2 == 2ух + у2	(у = 3),
после чего два последних уравнения тождественно удовлетворяются,
а из первого он получает
г_«-(32 + т2)
2(3 + т) •
Чтобы решения были положительными, Диофант вводит ограни-
чение
Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациональны.
Действительно, р = Ух — Х3, у — У2 — Х3.
Решению Диофанта можно придать простую геометрическую
интерпретацию. Уравнение
Х32 + Xi = Ух2
определяет поверхность второго порядка в пространстве (Хх, Ух, Х3),
а уравнения
— систему прямолинейных образующих этой поверхности. Анало-
гично определяется система образующих и на второй поверхности,
задаваемой последним уравнением первоначальной системы.
Наконец, Диофант находит в Q5 пересечение обеих этих систем
образующих с гиперплоскостью Xi + Х2 — а. Размерность пере-
сечения всех трех многообразий будет равна 0.
Задача Пх5 решается аналогично. Подстановки здесь таковы:
Х3 - х + ₽, Хх - 2ря + Р2, Ух - х, Х2 = 2 (Р - у)х + (Р2 - У2),
У2 = х + у.
I) Здесь 18 •= х,.
199
КОММЕНТАРИИ
14.	Задача Пи приводится к системе
( X + а2 = У?,
' ЪХ + а2 = У 2
где а = 3, b = 3. Здесь уже коэффициенты при X не относятся
друг к другу, как квадратные числа, зато свободные члены являются
квадратами.
Диофант полагает Yi = ах 4- а (а = 1) и получает из пер-
вого уравнения X — а2х2 + 2аах. Тогда первое уравнение тож-
дественно удовлетворяется, а второе дает
ba2x2 + 2abax 4~ «2 = У22.
Это уравнение имеет рациональное решение х = О, У2 = — а, по-
этому Диофант делает подстановку У2 — pz — а (р = 2), т. е.
применяет метод А. Окончательно он получает
х — 2а
р + Ьа
р2 — Ьо2 ’
и X, Ух, У2 выражаются через рациональные функции двух пара-
метров аир.
Можно показать, что на самом деле координаты точек кривой
X, Ух, У2 зависят от отношения этих параметров, т. е. являются,
по существу, функциями от одного параметра. В этом легко убе-
диться, подставляя х в выражения
X — а2х2 4- 2аах,
У1 = ах + а,
У2 — P# — а.
Так, например,
У1 = ах + а = 2а
ар 4- &а2
Р2 —Та2
а = а
Диофант, видимо, хорошо понимал это. Во всяком случае, он при"
ня л а = 1. В свою очередь p/а рационально выражается через X,
У1 и У2, действительно:
Р  Уг 4“ а
а	У1 — а *
Таким образом, и здесь преобразования Диофанта бирациональны,
15. Задачи Hi? и Ills представляются чужеродным телом в
системе задач книги II. Задача Пн сводится к двум линейным
20Q
арифметика КНИГА If
уравнениям с тремя неизвестными, а задача Hie является опреде-
ленной.
16.	Задача Ию эквивалентна уравнению
Х32 - Х22 - а (Х22 - Xi2) (а = 3),
которое определяет поверхность в трехмерном пространстве Xif
X Х3. При помощи подстановки
Х± = х,
Х2 = х + а (а = 1)
Диофант сводит задачу к уравнению
х2 + 2а (а + 1)х + а2 (а + 1) = Х^
которое он решает методом В, полагая Х3 = х + у (у — 3).
Окончательно получается
т. е. и здесь Диофант выражает неизвестные Хл, Хз как раци-
ональные функции от двух параметров а и у. Для того чтобы реше-
ния были положительны, он вводит ограничение
2у <£ 2а (а + 1), (а + 1)а2 < у2.
Легко проверить, что и здесь все преобразования бирациона льны.
17.	Задачи П20 и П21 эквивалентны системам
Х2 i у _____ v2
1 X -^2 —	1 ’
каждая из которых определяет поверхность А2 в Q4.
Здесь Диофант, как и в задачах П15, выбирает линейные
подстановки. В задаче Иго он полагает
(*) xt = х, Х2 = 2ах + а2, Уг == х + а
(а = 1),
которые обращают первое уравнение в тождество. Геометрический
смысл уравнений (*) такой же, как и там. Диофант подставляет (*)
во второе уравнение и получает
4а2я2 + (4а3 + \.)х + а4 = У2.
К этому уравнению он применяет метод В, полагая
У2 = 2ая - ₽	(₽ = 2),
откуда
Р2 —ot4
4а8 + 4ар + 1
А]
201
КОММЕНТАРИИ
А2, Ух, К2 выражаются как рациональные функции от двух
параметров аир.
Легко видеть, что при выбранных значениях параметров
У2 = 2.
т. е. имеет отрицательное значение. Диофан-
та это не смущает, так как окончательно в задаче фигурирует У|,
т. е. положительная величина. Аналогично решается задача I I2i*
Здесь Диофант делает подстановки
X} = х 4- сх,
Х2 = 2ах + сх2
(а = 1),
У1 = х.
Применяемые преобразования бирациональны.
18.	Задачи П22 и П23 эквивалентны системам
каждая из которых определяет А2 в Q4. В задаче П22 Диофант
полагает Xr = х, Х2 = х 4~ 1, тогда Ух = х 4" '!• Первое уравне-
ние тождественно удовлетворяется, а второе принимает вид
х2 4- 4х 4- 2 = У2
Для его рационализации Диофант применяет метод В, полагая
У2 = х — 2.
Заметим, что подстановки Диофанта можно несколько обобщить,
если взять
Хх х, Х2 = (2а — 1)х 4- а2;
тогда Ух == х + а. Из второго уравнения, положив
У2 = (2а —	— р,
получим
а» =______З2 — а2 — а4____
2 (а2 4- р) (2а — 1) + 2а *
При выбранных Диофантом значениях параметров У2 получается
отрицательным: У2 = — 7/4.
Все примененные здесь преобразования бирациональны. Легко
видеть, что и тут применяется метод образующих, о котором мы
говорили выше (см. комментарии к задачам П14, ПХ5 и П20, П2Х.)
19. Задачи П24 и П25 эквивалентны системам
202
АРИФМЕТИКА КНИГА II
каждая из которых определяет поверхность в четырехмерном
пространстве. Диофант в задаче П24 полагает
= (Р2 - 1)я2, Х2 = (у2 - I)*2, Xi + Х2 = х,
где р2 = 4, у2 = 9. Тогда оба уравнения тождественно удовлетво-
ряются, если х определяется из условия
Xi + Х2 = х, или (Р2 — 1)х2 + (у2 — 1)ж2 = х,
т. е. поверхность рациональна. Все примененные подстановки бира
циональны.
Задача П25 решается аналогично.
20.	Задачи Пае и II27 эквивалентны системам
где (для задачи Иге) а = 6. Каждая из систем определяет простран-
ственную кривую четвертого порядка. Диофант здесь снова при-
меняет метод образующих, а именно для обращения второго уравне-
ния в тождество он делает линейные подстановки
При этом первое уравнение принимает вид
PV + (Р2 — 1)ж — 1 = У^
Полагая Yr = а — рх, он находит
„ _ а2 +1
32+ 2ар — 1
Задача П27 решается аналогично.
21.	Задачи П28 и Ц2й сводятся соответстввВюй* системам
каждая из которых определяет Л2 в Q4.
Поскольку (в задаче Il2«) Xf (Х^+ 1) == У?, то Х? + 1 = Г* .
а	X	а
Диофант полагает сторону этого квадрата равной х — Р (Р =- 2),
а Х2 = х, т. е. применяет метод В. Тогда
а значит,
yt-.(«-»Xiw-E+lxi- Г-.
2р L 4 J
203
КОММЕНТАРИИ
Второе уравнение дает
/£2-1Р^2	/[32--1V у2
\ 23 /	1	\ 2р )	2’
Для его решения Диофант вновь применяет метод В.
Задача II29 решается аналогично. Все преобразования
циональны.
22.	Задача Пзо эквивалентна системе
хгх2 + (х, + Х2) = Y*,
' Х1Х2 - (Хх + Х2) = YI,
которая определяет А2 в Q4.
Для решения Диофант пользуется тождеством
а2 + Ь2 + 2аЪ ~ (а + Ь)2.
Он полагает
ХгХ2 = (₽2 + у2)х2, Xt + Х2= 2₽yr2, Xi = х, Х2 = (Р2 + у2)я;
тогда оба уравнения тождественно удовлетворяются и х получается
из условия Хт + Х2 = 2руя2, т. е.
(Р2 + У2 + 1)* = 2Руя2 (Р = 2, у = 3).
Окончательно получаем
х —
Xi =
2₽Т
Хг = (Р2 + т2)
Обратно,
т. е. преобразования бирациональны.
23.	Задача П31 эквивалентна системе
которая определяет Л2 в Q5. При ее решении Диофант пользуется
методом предыдущей задачи, только полагает в используемом
тождестве Ъ = 2а. Это он делает для того, чтобы сумма Xi + Х2
была полным квадратом.
24.	Задачи П32 и П33 приводятся соответственно к системам
204
АРИФМЕТИКА КНИГА II
каждая из которых определяет Л3 в Q8. Эти задачи являются соответ-
ственно обобщениями задач П20 и П21 этой же книги со случая двух
неизвестных на случай трех.
Здесь также применяется метод образующих. Подстановки
Диофанта для задачи II32 таковы:
== х, Х2 = 2ах + a2,	= х + а (а = 1),
Х3 = 2fХ2 + р2 = 2Р(2ах + а2) + р2, У2 = 2ая + а2 + р
(Р = 1).
Тогда два первых уравнения обращаются в тождества, а третье
уравнение дает
[2Р(2ая + а2) + р2]2 + х = У2.
Полагая У3 = 4а fix — б (б = 4), получаем
х _ б2 — 4cc4ps — Р4 — 4а2₽3
Юа’р2 + 8ар3 + 1 + 8арб '
Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациональны.
25.	Задачи П34 и П35 сводятся к системам
XI ± (X! + Х2 + Х3) - У?
G = 1,2, 3),
каждая из которых определяет А3 в Q6.
Эти задачи являются обобщением на случай трех неизвестных
задач П22 и П23, однако метод решения здесь иной. Для того чтобы
удовлетворить всем трем уравнениям. Диофант пользуется томе*
деством
Далее, он выбирает число N, которое можно разложить на множи-
тели тремя различными способами (очевидно; здесь речь идет о
целых’числах):
7V = а1а2 = ₽!р2 —
(у Диофанта N = 12), и полагает (в случае задачи II34)
Х1 =	02х, Х9 = &~&х, Х3 = TL=T*x.
2	2	2
Т<гда все три уравнения тождественно удовлетворяются при уело-
вии, что Х1 4- X2+Xs = т. е.	х^
Nx2 и	"h Plzh, . Таким образом, неиз-
205
КОММЕНТАРИИ
вестные выражаются как рациональные функции семи параметров,
которые связаны тремя соотношениями, т. е. получаем четыре сво-
бодных параметра. Но Диофант полагает cz2 = 1. И действительно,
как нетрудно проверить, функции, через которые выражаются не-
известные, зависят от отношения параметров к одному из них, на-
пример к а2, т. е. эти функции, по существу, зависят от трех пара-
метров.
Нетрудно также проверить, что параметры в свою очередь вы-
ражаются рационально через Xj, Х2, Х3, У1, У2, Уз, т- е* преобра-
зования бирациона льны. Так, например,
«!=%! + УЪ
ос2 = У1 — Xi.
Задача П35 решается аналогично, только тут Диофант ЭДДО»
гает
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ III
По своему содержанию и методам книга III тесно примыкает к
книге II, являясь ее непосредственным продолжением. Это особен-
но относится к задачам 1Пг первая из них дополняет х) задачи
II34 и П35, а вторая и третья представляют распространение задач
II24 и П25 на случай большего числа неизвестных, задача же Т1Т4
дополняет задачи II12 и П13 в том же смысле, в каком Illi допол-
няет задачи Пз4 и 1Т35. Это дало повод П. Таннери считать, что
первые четыре задачи попали в третью книгу из старинного ком-
ментария. Мы полагаем, что нет достаточных оснований для такого
мнения. Скорее всего, эти задачи’либо включались первоначально
в книгу II, либо книга.Ш цачиналась с задач Пи и Т135, которые
2	°
*) Задачи"1 11ЯГ и Пяв эквивалентны системам X; + (X, 4- X г4- Х8) =
	2 _	2
(i= 1,2, 3), а задача ЧП/ сводится” к системе Хх И- Xt 4- X — Xj =
(i-Ч, 2, 3).
206
АРИФМЕТИКА КНИГА Щ
сами представляют обобщение задач 1122 и П23 па случай большего
числа неизвестных.
Дальнейшие задачи книги III эквивалентны системам п урав-
нений с т неизвестными (п = 3, 4, . . ., 8; т — 5, 6, . . ., 12), каж-
дое из которых не превышает второй степени. Как и в книге II,
Диофант подбирает рациональные выражения для неизвестных
через одно неизвестное и параметры так, чтобы все условия, кроме
одного, были удовлетворены, а последнее условие позволило бы
выразить неизвестное в виде рациональной функции параметров.
Если это сделать не удается, то Диофант обращает в тождества все
уравнения, кроме двух, так, чтобы эти последние условия своди-
лись к «двойному равенству», которое решается методами, изло-
женными в книге II.
Несколько выпадает из общего стиля книги задача ПК©, ко-
торая сводится к нахождению целого числа, которое можно пред-
ставить в виде суммы двух квадратов четырьмя различными спо-
собами. Эта задача вскрывает большие познания Диофанта в тео-
рии чисел. Опа послужила отправным пунктом для теоретико-чи-
словых изысканий Ферма (см. комментарии к задаче IIIi9).
В этой книге Диофант неоднократно проводит сначала анализ
задачи, чтобы установить, какие условия надо наложить на пара-
метры, а потом решает ее. Трудность понимания этих мест состоит
в том, что ход решения Диофанта чисто алгебраический, но опери-
рует он при этом не с буквами, а с параметрами, выраженными
конкретными числами. Решение задач ПЬ и II 1ц показывает, что
Диофант действительно смотрит на параметры как на произволь-
ные величины. В обеих задачах значение параметров случайно выб-
рано так, что решение существует. Диофант не удовлетворяется
этим и ищет, каким общим условиям должны удовлетворять эти
параметры для того, чтобы уравнения были разрешимы. Для нас
ход его мыслей становится более понятным, если сразу же обозна-
чить произвольные параметры буквами, что мы и сделаем в наших
комментариях.
Поскольку обычный метод порождения системы уравнений со-
стоит в том, что условие, записанное в первом уравнении, видо-
изменено в последующих1 путем циклической перестановки неизве-
стных, то мы будем в дальнейшем применять сокращенные обозна-
чения. Например, если система имеет вид
207
КОММЕНТАРИИ
то мы будем ее записывать так:
Y.Y. 4- Y. — Y2
лЧлг+1 ‘ лг+2 1 г
(i 1, 2, 3; i,
£ + 1,
i 4“ 2 СЕ Z3),
где Z3 — поле вычетов по mod 3, причем в качестве представителей
классов несравнимых между собой чисел выбраны числа 1, 2, 3.
Помимо тождеств, применяемых в книге II, Диофант поль-
зуется здесь и следующим:
д2(л + I)2 + а2 + (а + I)2 = (а2 + а + I)2.
1.	Задача Illi, эквивалентная системе
(Xi + Х2 + Х3) - X? = У|
= 1,2, 3),
как бы дополняет задачи II34 и П35. Эта система также определяет
многообразие Л3 в пространстве Q6.
Поскольку Xi + Х2 + Х3 ~ X2 + У2 — X2 + У2, то Дио-
фант полагает Xi + Х2 + Х3 — (а2 + P2)z2, Xi — ах, У1 = pz,
Х2 = рх, У2 = ах (а — 1, р = 2), и первые два условия удовлет-
ворены. Этим он вводит дополнительное условие Xi — У2, которое
влечет за собой Х2 = У1. После этого система определяет уже не
Л3, а Л2.
Чтобы обратить и третье уравнение в тождество, Диофант,
пользуясь методом задачи П9, представляет сс2 + Р2 в виде суммы
двух других квадратов у2 + б2, где
_ ctk2 + 2р/с — а б _ ₽/с2 __ 2а/с — £
1	1 + А:2	1 + А'2
(У Диофанта к = 2, поэтому у = 11/5 и б = 2/5). Тогда, полагая
Х3 = ух, У3 = бх, он обращает и третье уравнение в тождество.
Остается условие
Х1 + Х2 + Х3 - (а + р + y)z - (а2 + P2)z2,
откуда
„а+З+Т
а2 + 32 ’
Нетрудно проверить, что все неизвестные выражаются рационально
через отношение p/а и к, т. е. являются функциями двух пара-
метров.
2.	Задачи ПТ2 и III3 эквивалентны системам
каждая из которых определяет Л3 в Qe. 0ти задачи представляют
обо&дение на случай шести неизвестных соответственно задач П24
208
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
и П25, которые приводились к аналогичным системам от четырех
неизвестных. Диофант применяет здесь те же самые методы, пока-
зывая тем самым, что они пригодны для аналогичных систем п
уравнений от 2п неизвестных.
3.	Задача Ш4 дополняет две предыдущие; она приводится к
системе
Xi - (X. + х2 + Х3)2 = У?
(i = 1, 2, 3),
которая
дующие:
определяет А3 в Q6. Подстановки
Диофанта здесь еле-
* Л1 -Х2 "4“ л3 —
Х1 = (а2 + 1)я2,
Х2 = (₽2 + 1)Л
= (Т2 + I)*2,
X,
У1 = ах
Y2 = fix
У3 = ух
Тогда все три уравнения обращаются в тождества, если выпол-
нено условие
Х1 + Х2 + Х3 - (а2 + Р2 + у2 + 3)z2 - х,
откуда
а2 + ра + Т2 + 3
Таким образом, неизвестные выражаются как рациональные функ-
ции трех параметров.
4. Задача 1П5 эквивалентна системе
х —
Х1 + х2 + Х3 = Z2,
+ Xi+1 - Х1+2 = Y*
(i= 1,2,3; i+ 1, i + 2ez3),
которая определяет А3 в Q7. Диофант дает сначала более частное
решение, при котором неизвестные выражаются как функции од-
ного г) параметра, а потом — чрезвычайно изящное общее реше-
ние. Оно основано, по-видимому, на следующем соображении: если
сложить левые части трех последних уравнений, то получится ле-
вая часть первого; отсюда получается условие для правых частей
Поэтому Диофант выбирает такие три квадрата, сумма которых
является квадратом:
Р2 + т2 + б2 - е2 (Р - 2, у = 3, S = 6, е = 7).
>) Впрочем, это решение легко обобщить так, чтобы неизвестные выреши-
лись рациональными функциями от двух параметров.
209
КОММЕНТАРИИ
Это он мог сделать методом задачи Ию, а именно найти два таких
квадрата Z2 и У|, что
7? -	= ₽2 + у2.
R2 I . v2__gi2
Полагая, например, Z — Y3 = а, У3 = х, получим х —	,
и при а = 1 будет Z = 7, У3 = 6. После этого он приравнивает
Х1 + х2 - х3 = ₽2,
Х2 + Х3 Xi = у2,
х3 + Х1 - Х2 = б2.
Получается определенная система трех линейных уравнений
трех неизвестных, которую можно решить по способу задачи Ii$.
Окончательно получаем
и все четыре условия удовлетворены. При этом неизвестные вцра-
жены как рациональные функции трех параметров.
5.	Задача Шв сводится к системе
ГХ1 + Х2 + Хз = %г*
[Xi + X^^Yl s_ (i =
1, 2, 3, i9 i ”|“ 1	Z3)^
которая определяет А3 в Q7. Можно предположить, что ход мыслей
Диофанта здесь тот же, что и в предыдущей задаче. Если сложить
левые части трех последних уравнений, то получим удвоенную ле-
вую часть первого, поэтому
Полагая У1 = я, У2 = х — a, Z = х + (3 (у Диофанта а = 0	1),
получим
у2 = (4р 4- 2cc)z + 2р2 — а2.
Пусть У3 = у (у — 11), тогда
„._Тг-232 + а2
2а + 4₽
6.	Задача III? эквивалентна системе
(Х2 _ Х1 = х3 - х2,
[Xi + xi+1 = У? (i = 1, 2, 3; i, i + 1 e z3),
которая определяет А2 в Qe. Ход решения таков: 1) поскольку
Х2 — Xi = уз — Уд, а Х3 — Х2 ~ У3 — то Диофант ищет
сначала три квадрата, имеющие одинаковые разности
ру2   у 2 — |Z2   IJ2
210
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
(эта задача является частным случаем задачи IIi9 и решается ана-
логичным способом), 2) затем он полагает Yi ~ U, Уа = ТУ,
У3 = V и находит из последних трех уравнений
V2 | 1У2  [J2
где сами Z7, V, W являются рациональными функциями двух пара-
метров.
7.	Задачи Ills и III9 эквивалентны системам
каждая из которых определяет А3 в Q7. Диофант берет а == 3 и в
случае задачи Ills, поскольку
он делает подстановки
Ух - х + р
(Р = 2),
(Т = 3),
(б = 4).
Кроме того, он принимает У3 — X (X = 10) и получает
X2 + £2 + Т2 __ 262 _ а
2(26-3-Т)
Неизвестные Xi, Х2, Х3 после этого легко определяются из пер-
воначальной системы, которая после подстановки выражений для
У1, У2, У3, У4 обращается в определенную совместную линейную
систему.
Задача Шд решается аналогично.
К задачам Ills и Шэ Ферма сделал следующие замечания:
К задаче Ills (№ IV):
«Я указал в моем примечании к задаче V30 [в нашем
издании V27 — И. Б.], как найти четыре такие числа, чтобы
сумма любых двух из них, увеличенная на заданное число,
давала бы квадрат».
К задаче 1ПР (№ V):
«Мое примечание к V3i[y нас V2» — Я. показывает,
как можно найти четыре такие числа, чтобы сумма любых
двух из них, уменьшенная на заданное число, была бы квад-
ратом».
211
КОММЕНТАРИИ
8.	Задачи Шю и Ши эквивалентны системам
~4~ а =	(i = 1, 2, 3j i, i -f-
каждая из которых определяет As в Q®. Диофант полагает в пер-
вом случае а = 12, во втором а ~ 10 и в обоих случаях проводит
предварительный анализ.
При решении задачи Шю он полагает сначала У1 = 8
(б = 5), тогда XiX2 = е2 — а, и он принимает Xi = (б2 — а)х,
Х2 — 1/я. Тогда первое уравнение обращается в тождество. Пере-
ходя ко второму уравнению, он полагает У2 = б (б = 4), тогда
Х2Х3 = (б2 — а), и поскольку Х2 — то Х3 = (б2 — а)«. Под-
ставляя полученные значения для неизвестных в третье уравнение,
найдем
(е2 -
а)(б2 — а)х2 + ~ У|«
Хотя при выбранных Диофантом значениях параметров бив
последнее уравнение принимает вид
52я2 + 12 = У®,
т. е. является разрешимым (у него имеется рациональное решение
х = 1, У3 — 8), однако Диофант как будто не замечает этого.
Почему? Мы полагаем, что здесь дело в том, что Диофант смотрел
на Б и б как на буквенные коэффициенты и искал условия, которые
нужно наложить на них, чтобы уравнение (*) было разрешимо не
только при некотором случайном выборе Б и б, но для всех значе-
ний их, принадлежащих некоторому классу, определенному этими
условиями. Дальнейшие усилия Диофанта и направлены для на-
хождения этих общих условий. Он замечает, что полученное урав-
нение будет иметь рациональные решения при условии, что
(Б2 — а)(б2 — а) =
А для его выполнения достаточно положить
Б2 — а — 0, б2 — а = 0.
Таким образом, Диофант оперирует с уравнением (*) так, как
если бы оно имело буквенные коэффициенты, т. е. не арифметически,
а чисто алгебраически. Проведенный анализ показывает, что для
решения задачи достаточно выбрать такие два числа U и 7, чтобы
UV = □,
Диофант замечает, что легче всего удовлетворить этим требованиям,
если взять U □, V <=
212
АРИФМЕТИКА КНИГА III
Для нахождения U и V Диофант пользуется тождеством
1 = 2), принимает
и, представив, а —
.к=“.1(к = 3,
т. е. искомыми условиями для 8 и б будут
После этого он возвращается к исходной задаче и полагаем
Х1==(—Г’	Хз=2Г)х-
Тогда
а У3 определяется из третьего уравнения
Положив
получим
Задача П1ц решается аналогично.
В обеих задачах особый интерес представляет проводимый
Диофантом анализ.
9.	Задачи III12, III13 эквивалентны] системам
= У* (i — 1, 2, 3; i, i -J- 1, i 4" 2 € Z3),
каждая из которых определяет А3 в Qe. В этих задачах вопрос
впервые сводится к «двойному равенству». Проанализируем реше-
ние задачи III12. Диофант выбирает в качестве У* произвольный
213
КОММЕНТАРИИ
квадрат (х + у)2 (у = 3) и полагает XiX2 — х2 4~ 2ух, Х3 = у2,
затем он берет Xi = х, Х2 = х + 2у. Тогда первое уравнение
обращается в тождество, а второе и третье уравнения дают
(У2 + 1)^ + 2у3 - У2,
(У2 + 1)* + 2у = У|.
Получаем первый тип «двойного равенства», которое Диофант ре*
шает тем же способом, что и в задачах Иц — Пхз.
Задача Шхз решается аналогично, однако здесь Диофант
приходит к «двойному равенству» нового вида. А именно, полагая
Xi = х, Х2 = х + Р2, Х3 = Р2х, Ух = х (р = 2),
он обращает первое уравнение в тождество, а второе и третье
уравнения дают
Р2х2 -J- р4х — х = У2,
Р2х2 _ я — р* = У2.
Вычитая одно уравнение из другого и полагая
У2 + уз = Т (₽2* + !)>
получим
p2+T2 (р2^+1)
у2 =
2Т
Чтобы после подстановки в уравнение уничтожался член с х\
примем
4₽2т2 = т434, т. е. т2 = А .
Р2
В результате получим
(4 + Р4)2
8Р2 (р4 — 6)
т. е. решение будет зависеть только от одного параметра. Таким
образом, из многообразия А3 выделяется рациональная кривая.
10.	Метод решения задачи IIТы, которая определяет Л3 в Qfi,
можно обобщить, если положить
"Тогда
Xi = ах,
Ух = Р2 + 2ах,
Х2 = 4ах 4- 4Р2,
У2 = ах + 2Р2,
Хз = ₽2.
У3 =
/с2 — 16р4
33а3« + 8а/с ‘
214
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
11.	Задачи Ш15 и Illie эквивалентны системам
ад+1
± (Xi + Xi+1) = У?
(i = 1 2, 3;
Ц i + 1 G Zs),
каждая из которых определяет А3 в Q6.
В первом решении задачи IIIi5 Диофант пользуется тождеством
а2(а + I)2 + ос2 + (а + I)2 = (а2 + а + I)2.
Он полагает Xi = 02, Х2 = (0 + I)2, Х3 = х (0 = 2); тогда
У1 = (Р2 + Р + 1) и первое уравнение удовлетворяется, а два
последних дают «двойное равенство», которое решается обычным
способом. Диофант получает х — 4 (р2 4~ р + 1), т. е. неизвестные
выражаются как рациональные функции от одного параметра.
Диофант, усмотрев, вероятно, что первое решение носит част-
ный характер, приводит второе, более общее решение: он полагает
Xi = х, Х2 = Y (у ~ 3), У1 = е (е — 5); тогда из первого урав-
нения
Обозначим Х3 = t (у Диофанта Х3 обозначается тем же символом,
что и первое неизвестное); тогда второе и третье уравнения, после
соответствующих подстановок, дают «двойное равенство»
(Т + 1)« + Т = У|,
Для разрешимости этой системы в рациональных числах Диофант
требует, чтобы коэффициенты при неизвестном относились друг
к другу, как квадраты (это условие будет достаточным), т. е.
Итак, нужно найти такие два числа Xi, Х2, произведшие которых
вместе их су^рй давало бы квадрат, и такие, чтобы
(*)
Xi +1
Х2 + 1
Поэтому Дц^ант.доиагает Xi = х, Х2 = Р2«<£- (02 Д) (0 = 2).
Тогда уеломе (*) випоаяяется, а из первого уравнения, положив
215
КОММЕНТАРИЙ
Yi = fz — у (у = 3), получим
x = T2-32 + l
W + т) ‘
После подстановки новых значений неизвестных во второе и тре-
тье уравнения получим «двойное равенство», которое разрешается
методами задач Пн — II13. В результате неизвестные выражаются
через рациональные функции трех параметров.
Задачу 16 Диофант решает тем же способом, который был при-
менен при втором решении задачи Ши.
Замечание Ферма к задаче III15 (№ VI):
«У Диофанта имеется другая задача, V6, посвященная
тому же вопросу. Но неизвестно, опустил ли он, хотя и
знал ее, следующую задачу или, что более вероятно, дал
ее решение в одной из своих тринадцати книг.
Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых
двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, было
бы квадратом.
Мы можем дать бесконечно много решений этого вопро-
са. Вот, например, одно из них: три квадрата
3504384	2019241	4
203401 ’	203401 ’
удовлетворяют предложенному условию.
Но можно пойти дальше и распространить вопрос Дио-
фанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и
можем дать бесконечное число ее решений:
Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых
двух из них, увеличенное на сумму этих же чисел, давало
квадрат.
Сначала найдем, согласно V6, такие три квадрата, что
произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих
же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три
квадрата, найденные Диофантом:
25	64	196
9 *	9 ’	9 ’
Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел на-
шей задачи; пусть сбудет четвертым; образуя его произведе-
ния с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих
множителей, получим
34 , 25 п 73 . 64
— х 4- — =	+ — ==
9	9	9	9
216
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш
Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в при-
мечании к задаче VI24» [в нашем издании VI22.— И. Б.].
12. Задачи IIIi7 и IIIi8 сводятся к системам
XlX2 ± Xi = У2,
• Х1Х2 ± Х2 = Y*,
XiX2 ±(Xi+ Х2) = У2,
каждая из которых определяет А2 в Q6. Полагая в первом случае
Xi = х, Х2 = ₽2х — 1, Ут =	(Р = 2),
Диофант обращает первое уравнение в тождество, а два последних
после соответствующих подстановок образуют «двойное равенство»
Р2г2 + (Р2 — 1)х — 1 = У2,
P2z2 + р2г — 1 = У2
О
Решая его, найдем
х=	1 Г 65П
8р2(2р* — 1) L 224. ’
Таким образом, на поверхности А2 Диофант отыскивает рацио-
нальную кривую.
13.	Задача IIIi9 резко выделяется на фоне остальных задач
книги III. В ней требуется найти такие четыре числа, чтобы
(Х1 + х2 + х3 + Х4)2 ± Xi = □
(i= 1,2, 3, 4).
При решении этой задачи Диофант впервые прибегает к прямо-
угольным треугольникам, стороны которых рациональны, точнее,
он опирается на общее решение неопределенного уравнения
X2 + У2 = Z2
в целых числах, а именно:
Z = а2 + Р2,
У = 2сср, X = а2 — р2.
Диофант не приводит этих формул, но говорит как о чем-то хоро-
шо известном об «образовании прямоугольного треугольника из
двух чисел» и пользуется ими, когда составляет треугольники из
чисел 7 и 4 и из чисел 8 и 1.
Заметив, что если а, Ь, с — стороны прямоугольного треуголь-
ника, гипотенуза которого равна с, то с2 ± 2аЬ = Диофант
ищет такое целое число ТУ, которое можно представить суммой двух
квадратов четырьмя различными способами. Для этого он берет два
прямоугольных треугольника «в наименьших числах» (т. е. стороны
которых целые и не имеют общего делителя): (3, 4, 5) и (5, 12, 13) —
и утверждает, что произведение их гипотенуз, т. е. 65, будет
217
КОММЕНТАРИИ
представляться суммой двух квадратов двумя различными спосо-
бами1). Последнее утверждение вытекает из тождества
(а2 + 62)(с2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad — be)2 = (ad + be)2 + (ас — bd)2,
которое является первым известным в истории математики приме-
ром композиции квадратичных форм. Вероятно, Диофант знал эту
формулу. Это можно заключить из его слов, что число 65, «по своей
природе», допускает представление в виде суммы двух квадратов
«двумя способами», потому что «65 получается от произведения
13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата».
Он знал также, что 65 является гипотенузой четырех прямо-
угольных треугольников с целочисленными сторонами, иначе го-
воря, что квадрат числа, представимого суммой двух квадратов
двумя различными способами, сам представим в таком же виде
четырьмя различными способами.
Но знал ли Диофант, что каждое простое число вида 4л + 1
представимо суммой двух квадратов и притом единственным спо-
собом? Мы вернемся к этому вопросу при разборе задачи V9, пока
же скажем только, что именно задача Шц навела Баше, а вслед за
ним и Ферма на мысль об исследовании представимости целых
чисел и, в частности, простых в виде суммы двух квадратов. Свои
результаты Ферма изложил в примечании к комментарию Баше,
относящемуся к этой задаче, в котором ставился вопрос о том,
сколькими различными способами можно представить заданное
целое число суммою двух квадратов.
Вот это примечание Ферма (№ VII):
«Простое число, которое превосходит на единицу кратное
четырех, только один раз является гипотенузой прямоуголь-
ного треугольника, его квадрат — два раза, его куб — три
раза, его биквадрат — четыре и т. д. до бесконечности.
Это же простое число и его квадрат только одним спо-
собом представляются суммой двух квадратов; его куб и его
биквадрат — двумя, его квадрато-куб и кубо-куб — четы-
рьмя и т. д. до бесконечности.
Если простое число, представимое суммой двух квад-
ратов, умножается на другое простое, также представимое
суммой двух квадратов, то их произведение дважды пред-
') Хотя Диофант не оговаривает этого, дело идет о представимости цело
численными квадратами. Ведь Диофанту было хорошо известно, что если
число представимо суммой двух рациональных квадратов, то оно пред-
ставимо в таком же виде бесконечным числом способпя (см. задачу IIt),
218
АРИФМЕТИКА КНИГА 111
ставимо суммой двух квадратов; если множителем будет
квадрат второго простого числа, то произведение будет триж-
ды представимо суммой двух квадратов; если множителем
будет куб второго простого числа, то произведение будет
представимо суммой двух квадратов четырьмя способами и
т. д. до бесконечности.
Из этого легко определить, сколькими способами задан-
ное число представляется гипотенузой прямоугольного тре-
угольника.
Надо взять все простые числа, превосходящие на еди-
ницу кратное четырех, содержащиеся в данном числе, нап-
ример 5, 13, 17. Если данное число содержит степени этих
простых множителей, то надо взять эти степени вместо про-
стых множителей: пусть, например, данное число содержит
5 в 'кубе, 13 в квадрате и 17 как простую сторону.
Тогда надо взять показатели всех множителей, а имен-
но для числа 5 показатель 3, присущий кубу, для числа 13
показатель 2, присущий квадрату, а для числа 17 просто
единицу.
Надо упорядочить как угодно показатели, о которых
шла речь, например, пусть порядок таков: 3, 2, 1.
Надо умножить первый на второй, удвоить и прибавить
сумму первого и второго, будет 17. Затем умножить 17 на
третий показатель, удвоить и сложить с суммой 17 и треть-
его, будет 52. Тогда данное число будет гипотенузой 52 раз-
личных прямоугольных треугольников. Метод останется
неизменным, каково бы ни было число множителей и их
степени.
Другие простые числа, которые не превосходят кратное
четырех на единицу, так же как их степени, ничего не до*
бавляют к искомому числу и ничего от него не убавляют.
Найти число, которое будет гипотенузой столько раз,
сколько это желательно.
Пусть надо найти число, которое представлялось бы
гипотенузой семью различными способами.
Данное число 7 удваиваем, будет 14. Прибавляем еди-
ницу, будет 15. Берем все простые делители 15, будет 3 и 5.
Вычитаем из каждого единицу и берем половину остатков,
получим 1 и 2. Возьмем теперь столько различных простых
множителей, сколько имеется чисел, а именно два, и перем-
ножим между собой эти простые множители, придав им по
казатзли 1 и 2, именно один на квадрат другого; так получим
219
КОММЕНТАРИИ
число, удовлетворяющее условию, лишь бы только простые
числа на единицу превосходили кратное четырех.
На основании этого легко найти наименьшее число, ко-
торое представлялось бы гипотенузой столькими способами,
сколько это желательно.
Найти число, которое представлялось бы суммою двух
квадратов столькими способами, сколько это желательно.
Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20,
берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из
каждого по единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять
три простых числа, каждое из которых превосходит на еди-
ницу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17;
взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4),
умножим на остальные два и получим, таким образом, ис-
комое число.
На основании этого легко найти наименьшее число, ко-
торое представимо суммой двух квадратов столько раз, сколь-
ко это желательно.
С другой стороны, вот метод, чтобы узнать, сколькими
способами заданное число может быть составлено из двух
квадратов’.
Пусть дано число 325. Его простыми делителями, кото-
рые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13,
последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем по-
казатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5,
прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит,
столькими способами данное число составляется из двух
квадратов.
Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то
процедура будет такова. Произведение двух первых, сло-
женное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибав-
ляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, нако-
нец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столь-
кими способами предложенное число будет составляться из
двух квадратов.
Если последнее число, от которого нужно взять поло-
вину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и
взять половину остатка.
Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое
число, сумма которого с заданным числом будет квадратом и
которое, с другой стороны, будет гипотенузой стольких
прямоугольных треугольников, сколько это желательно.
220
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
i	----------------------------------------- .
Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти
число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении
2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется
и бесконечно много других, как 3362 и т. д.».
Утверждение Ферма о том, что каждое простое число вида
4n + 1 представимо суммою двух квадратов и притом единственным
образом, было впервые доказано Л. Эйлером (Novi Commenta-
rii, 1754—1755). Эта теорема играет большую роль в теории
чисел. Она получила название первого дополнения к закону вза-
имности.
14.	Задачи Ш20 и III21 совпадают соответственно с задачами
П15 и Иц. Решения, предложенные в книге Несущественно не от-
личаются от предыдущих.
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ IV
В этой книге появляются уравнения третьей и более высоких
степеней, как определенные, так и неопределенные. Кривые, по-
верхности и многообразия размерности 3, которые встречаются
здесь, уже, вообще говоря, не рациональны, неизвестные уже
не могут быть выражены как рациональные функции от соответству-
ющего числа параметров. Поэтому Диофант для нахождения рацио-
нальных решений применяет здесь существенно новые методы.
Задачи 1\\ 2, IV15 и IV34_36 являются определенными. Задачи
IV3_14 и IV26 эквивалентны системам уравнений, задающих рацио-
нальные многообразия. Задачи IV24, 1^26 .28 сводятся к нахожде-
нию рациональных точек на эллиптической кривой (т. е. кривой
рода 1). В них Диофант впервые применяет методы касательной
(IV24) и секущей (IV26_27). Задача IVie сводится к рассмотрению
гиперэллиптической кривой рода 2 (см. комментарий к задаче 1Vi8).
В последующих задачах книги уже не встречается кривых рода
Некоторые из задач помещены, по-видимому, для закрепле-
ния материала предыдущих книг, другие представляют самостоя-
тельный интерес. Так, например, в задачах IV29 и IVS0 Диофант
пользуется тем, что каждое целое число можно представить в виде
221
комментарии
суммы четырех квадратов, из чего можно заключить, что он знал
доказательство этого предложения (недоказанными предложе-
ниями греческие математики никогда не пользовались). Инте-
ресны также леммы этой книги (их две) и задача IV19, в кото-
рых решение требуется найти «в общем виде», т. е. найти общие
формулы для решений.
1.	Задачи IVb2 определенные. Они сводятся к квадратным
уравнениям, причем коэффициенты подобраны так, что корни ра-
циональны.
В своем издании «Арифметики» Диофанта Баше де Мезириак
присоединил к этим задачам еще пять задач, первые три из которых
были рассмотрены Ф. Виетом (Зететика, IV18_90). Эти задачи экви-
валентны следующим неопределенным уравнениям:
1.	АГ3 + У3 = а3 — а > Ъ,
2.	X3 — У3 = а3 + Ь\
3.	X3 — У3 = а3 — Ь3, а> Ь.
Во всех трех случаях для нахождения рациональных решений
Баше применяет «метод касательной», который у Диофанта встре-
чается впервые в задаче IV24. Так, например, для решения первой
из задач Баше делает подстановку
X — t — Ъ, У = а — kt.
Тогда
/2(1 — к3) (ак2 — Ь) + 3 (Ъ2 — а2к) ~ 0.
Положив к = Ъ2/а2 (подробнее об этом методе см. в комментарии КР
1V24), он находит
„	¥ - Л 2а3 63	V — а*~ 2Ь*
t ~ а3 + Ь3' Л ° а? + Ь3 ' 1 ~ а а3 + Ь3 '
Для того чтобы решения были положительными, Баше вводит ог-
раничение к задаче 1: 2Ь3 < а3, к задаче 3: 263 > а3.
Ферма делает к задаче 1 Баше следующее замечание (№ VIII):
«Повторяя операцию, легко можно избавиться от усло-
вия [т. е. от ограничения.— И. Б.] и решить общим образом
как этот вопрос, так и следующие, чего не смогли сделать ни
Баше, ни сам Виет.
Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два дру-
гих куба, сумма которых была бы равна разности данных.
Найдем методом, данным Баше при решении зада-
чи 3 (на следующей странице) два других куба, раз-
ность которых будет равна разности двух заданных. Баше
нашел их, это 15252992/250047 и 125/250047. По построению
222
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
разность их равна разности двух данных кубов; но, после
того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоен-
ный меныпий не превосходит большего, их можно взять в
качестве данных задачи 1.
Таким образом, мы получим два данных куба и будем
искать два других, сумма которых равна разности данных;
так как условие, указанное для задачи 1, выполнено, то
решение можно получить без затруднений. Но разность ку-
бов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух
первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не
мешает построить два куба, сумма которых равна разности
данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше.
Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя
это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов,
удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно,
после того как мы нашли два куба, сумма которых равна
разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два
других, разность которых равна сумме наших двух кубов,
т. е. разности первоначально данных; от разности мы перей-
дем к сумме и так до бесконечности».
Относительно задач 2 и 3 Баше де Мезириака Ферма замеча-
ет (№ IX):
«Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы
покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.
Более того, на основании вышеизложенного мы благо-
получно решим задачу, неизвестную Баше:
Данное число, составленное из двух кубов, разложить
на два других куба,
и это бесконечным числом способов, путем непрерывного
повторения операций, как это было указано выше.
Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме
других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем
два куба, разность которых равна сумме данных; они будут
8000/343 и 4913/343.
Так как удвоенный меньший превосходит больший, то
дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и
получим решение.
Если мы хотим получить второе решение, то возвра-
щаемся к задаче 2 и т. д.
Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3.
незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба,
разность которых равна разности данных.
223
КОММЕНТАРИИ
Баше объявил бы, конечно, что задача невозможна; од-
нако нашим методом найдены два куба, разность которых
равна 7, т. е. разности 8 и 1. Эти два куба таковы,
2024284625/6128487 и 1981385216/6128487, а их стороны
равны 1265/183 и 1256/183».
2.	Задачи IV3_5 сводятся к системам, каждая из которых опре-
деляет рациональную пространственную кривую.
3.	Задача IV6 эквивалентна системе
Диофант делает подстановки Х± = х, Х% = у2л2 (у2 = 9),
х
х, где pg = у2 (р = 9, g — 1). Тогда У2 =
и второе уравнение обращается в тождество.
Первое уравнение после соответствующих подстановок при-
нимает вид
2
Это уравнение определяет рациональную кривую третьего порядка,
Диофант полагает Yt ~ fix (£ = 2) и получает
Xi = х =
1 (р—д)2
4 р3 — 1
Г 16“
L
Легко проверить, что р, д, (3 в свою очередь рационально выража-
ются через JTlf Х2, Х3, У15 У2. Таким образом, установлено, что
рассматриваемое многообразие рационально.
4.	Задача IV? по своей постановке эквивалентна системе
Однако в ходе решения Диофант добавляет к ней еще одно уело
вие: У2 = Хр
Из второго уравнения — Xf = Х% + Х^ а из первого
(Х| 4- X*) + X* =
-2
Г
Чтобы обратить левую часть в квадрат, Диофант полагает
= 2Х2Х8. Он берет Х2 = х, Х3 = 2х, тогда X® = бх2. Ос-
тается определить х так, чтобы 5х2 было кубом. Для этого Диофант
224
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
берет Хг = [Зя (Р — 2) и получает
Решение может быть получено в виде функции от двух пара'
метров, если положить
Х2 = ах, Х2 = 2ах.
При втором решении Диофант исключает из обоих уравнений
У2 = и получает
Он берет Х2 = х, Х2 = £ (0 == 2) и Уг = кх — 0 (к = 2),
тогда
2&Р
/с2 — 2 ’
После этого он полагает Хз = t Х2 = pt, Уа = t и из второго
уравнения находит
2 /с3 + 4
(/с2 — 2)2
[-20].
Таким образом, неизвестные выражаются в виде рациональных
функций от двух параметров.
5.	В задаче IV8, которая эквивалентна системе
и определяет пространственную кривую, Диофант полагает Х2 = х,
Xi = pz (Р = 2), тогда У = (р + 1)я и второе уравнение удов-
летворяется, а из первого получаем
(3+1)3-рз •
Поскольку у Диофанта р = 2, то я2 = 1/19, т. е. х будет иррацио-
нальным. Диофант замечает, что уравнение будет иметь решение,
если
(Р + I)8 -
Р’ = С.
Он берет р в качестве нового неизвестого р = t (он обозначает это
новое неизвестное той же буквой, что и первое) и получает
3t2 + 3t + 1 = □-
225
КОММЕНТАРИИ
Применяя метод А, он полагает сторону неизвестного квад-
рата равной 1 — kt = 2). Тогда
.	3 + 2Х	X2 — 3
t = ---!--- и X = -----------------
X2 — 3	_|_ зх + з •
Таким образом, неизвестные выражаются в виде рацион&£ь£Йх
функций параметра.
6.	Задача IVg сводится к системе
ГХз + Х2 = У,
1 1 2
Ui + л = п
которая определяет пространственную кривую. Диофант полагает
== рж (Р = 2), У — уж (у — 3)ч тогда Х2 — у3ж3 — рж и второе
уравнение обращается в тождество. Из первого получаем
Диофант отмечает, что при выбранных значениях р и у неиз-
вестное, т. е. неизвестное число (aptS-^dj;), «не рационально». Это
замечание показывает, что Диофант знал об иррациональных
числах.
Диофант приходит к повой задаче: найти такие два числа иг
и U2i чтобы
Ui + и2 = п
Положив Ur + U2 = pt Ui= t (Диофант обозначает это новое
неизвестное тем же символом, что и первое), он приходит к урав-
нению
3i2 — 3pt + р2 = □,
которое решает методом А, т. е. принимает сторону неизвестного
квадрата равной р — (р = 2, б = 4).
Определив С\ и U2> Диофант возвращается к первоначальной
задаче и находит Xlt Х2, У как рациональные функции одного пара-
метра.
7.	Решение задачи IV10, которая эквивалентна уравнению
Xs + У3 = X + У,
сводится к решению предыдущей задачи.
Баше в своем издании «Арифметики» присоединил к этой за-
даче следующую: «Найти два куба, сумма которых находится в за-
данном отношении к сумме их квадратов». Баше предполагает при
этом, что отношение будет вида р3 или 1/з р2.
226
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
По этому поводу Ферма замечает (№ X):
«Это условие должно быть дополнено, как это мы сделали
в следующем замечании. Не приходится удивляться, что Баше
не увидел общего метода, который действительно труден; но
он должен был, по крайней мере, предупредить читателя, что
метод, который он дает, не является общим».
8.	Задача IVn эквивалентна уравнению
X* _ уз == х _ у,
которое определяет плоскую кривую. Диофант полагает X —
= yt (у — 3), Y = |3? (|3 = 2) и получает
t» = Т-Р 1'
Т3 — З3 L 19.
Он ввговь отмечает, что t будет не рациональным и ищет такие два
числа Ux и чтобы
Положив £72 = я, Ux — U2 = а (а — 1), он приходит к уравне-
нию второго порядка, свободный член которого является квад-
ратом. Решив его по методу А, Диофант возвращается к перво-
начальной задаче и находит неизвестные как функции одного
параметра.
К задаче IVn Ферма сделал следующее замечание (№ XI):
«Если требуется найти два квадрато-квадрата, разность
которых равна разности их сторон, то вопрос может быть ре-
шен с помощью нашего метода.
Действительно, пусть нужно найти два квадрато-квадра-
та, разность которых равна кубу, а разность их сторон 1.
9	13
Применяя первую операцию, найдем стороны — и ~22 '
Но поскольку первое из этих чисел отмечено знаком —, то
следует повторить операцию, следуя нашему методу, прирав-
няв первую сторону х —
9	13
и,
таким об-
разом мы получим положительные числа, удовлетворяющие
задаче».
Баше присоединил к этой задаче следующую: «Найти два куба,
сумма которых имела бы заданное отношение к сумме их сторон».
При этом он ввел ограничение: заданное отношение должно иметь
вид р* или 3/з р2.
КОММЕНТАРИИ
Ферма заметил по этому поводу (№ XII):
«Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно до-
бавить: „или быть произведением (квадрата) на простое чис-
ло, которое превосходит на единицу кратное трех, или на
число, составленное из таких простых чисел", как 7, 13,
19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение
получаются из нашего метода».
9.	Решение задачи IV12, эквивалентной уравнению
X3 + У = У3 + X, X>Y,
сводится к решению задачи IVn.
10.	Задача IV13 эквивалентна системе
Диофант полагает Ух = ух 4- 1 (у = 3), тогда = у2#2 + 2ух.
Первое уравнение удовлетворено, и он переходит к третьему. Чтобы
обратить его в тождество, он использует соотношение
а — Ь\2
и кладет
Х2-
тогда
Теперь удовлетворены все уравнения, кроме последнего. После
соответствующих подстановок оно принимает вид
Ах2 + Вх + С = У*,
где С = у2. Его униформизацию Диофант производит методом А,
после чего все неизвестные выражаются как рациональные функ-
ции от двух параметров.
И. Задача IVu эквивалентна уравнению
X3 + У2 + Z2 = 2 (Z2 — X2), Z > У > X.
Диофант полагает X = a, Z — t а (а = 1) и, подставляя
в уравнение, получает
У2 = t3 + 2at — 2а2.
228
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Далее, по методу В, он принимает У = $ — 6 (6 = 4) и получает
2 а2 4 б2 Г 91
2 (а 4 б) L 5J ’
после чего все неизвестные оказываются выраженными как рацио-
нальные функции от двух параметров.
12.	Задача IV15 является определенной.
13.	Задача IV16 эквивалентна системе
I ЛГ? + xi+1 = У? (i = 1, 2, 3; i, t + 1 е ?,),
4 х3 = у*.
Первое условие Диофант удовлетворяет, полагая
Х2 = 4ях (я = 1), Xi =	= ах — 1,
тогда
Ух = ая + 1.
Второе условие дает
16сАс2 + Х3 = У*.
Взяв У2 = 4схх 4 1, он получает Х3 = Sax 4 1 (метод В). После
этого он переходит к последнему уравнению:
Xi 4 -Х2 4 -ЗГд — 13аж — У^.
Диофант принимает этот квадрат равным 169a2J2, где t — новое не-
известное. Диофант обозначает его тем же символом, что и старое,
отчего могут произойти недоразумения. Если иметь в виду, что t —*
новое переменное, то получим х — 13af2 и
Zi = 13a2Z2 — 1, Х2 = 52a2i2, Х3 = 104а2/2 4 1.
Остается третье условие:
XI 4 Х± = (104а2;2 4 I)2 4 13сА2 — 1 == У|
или
10816a2Z2 4 221 = П.
Диофант полагает сторону квадрата равной 104а£ 4 т (т = 1)
и получает
221 — т2 Г 55'
208ат [ 52
Задача IVi? решается аналогичным образом. В обоих случаях
решение не будет общим.
Ферма сделал к этим двум задачам следующие замечания
(№ XIII и Ks XIV):
229
КОММЕНТАРИИ
К первой из них:
«Эта задача допускает, пожалуй, более изящное реше-
ние. Положим первое число х, второе 2х + 1, так что, прибав-
ленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего
выберем произвольно коэффициент при х и свободный член,
с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квад
рат; например, пусть оно будет 4#	3.
Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще,
чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с пер-
вым составляли квадраты.
Но сумма трех есть 4 + 7^?, сумма же квадрата третьего
и первого 9 -|- 25х 4- 16а;2
Получаем двойное равенство, в котором свободные члены
являются квадратами; поэтому решить его легко, сделав эти
члены равными одному и тому же квадрату.
Тем же методом можно распространить задачу на четыре
числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы
свободные члены в выражениях для отдельных чисел были
квадратами, а это очень легко».
Ко второй:
«Способ рассуждения, который мы применили к преды-
дущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на
произвольное число чисел».
14.	Задача IVig эквивалентна системе
В этой задаче появляется в процессе решения неопределенное урав-
нение шестой степени. Диофант полагает = я, = р, Х2”
= р3 — х5 (Р = 2). Первое уравнение удовлетворено, а второе дает
(Р3 — а;8;2 -{- х = Y%.
Это уравнение определяет гиперэллиптическую кривую рода 2.
Для таких кривых и до сих пор неизвестен общий метод нахождения
рациональных точек. Диофант делает подстановку Y2 = р3 х3 и
получает х = 4Р3.г3, или х2 — 1/(4р3). Чтобы х было рационально,
Диофант требует: 4р3 — Это можно осуществить, полагая р == б2;
тогда Xi = х = 1/(2б3) и Yi = б2, Х2 — б6 — JL , У2 =	,
оО	оО
Таким образом, на рассматриваемой поверхности выделяется ра-
циональная кривая.
230
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
15.	В задаче IVi9 требуется найти «общие выражения» для чи-
сел таких, что
у. у. 1 4 = у3
г -н-1 ‘ 1 л г
(I — 1, 2, 3;
i, i “И 6 Z3).
Диофант полагает YT = ах -|~ 1 (а — 1), тогда Х±Х2 = а2х* +
+ 2ах, он берет Х2 = я, = а2х + 2а.
Затем, переходя ко второму уравнению, он полагает У2 = ух 4-
4-1 (у == 3), тогда JT3 = у2х + 2у. Остается последнее уравнение:
а2у3я2 4- 2ау (а Ц- у) х 4- 4ау + 1 = У|.
Поскольку коэффициент при х2, является полным квадратом, то его
можно было бы решить, положив У3 = аух |3. В этом случае
все неизвестные были бы выражены как рациональные функции
трех параметров, т. е. мы бы получили общее решение. Однако Дио-
фант избирает иной путь. Он ищет частное решение, а именно он
подбирает второй параметр так, чтобы левая часть третьего уравне-
ния обратилась в полный квадрат. Это можно сделать, если поло-
жить 4ау + 1 — а это будет иметь место, если 1 = (а — у)2,
так как 4тп + (w — n)2 ~ (т w)2. Поэтому Диофант полагает
у — а = 1, т. е. у = а + 1. Тогда все три условия задачи выпол-
нены, и мы получим
Х± = а2х
2а,
Х3 = (а + 1)2я + 2 (а + 1),
У^ — ах 4~
У2 — (а 4~ 1) + Л
У3 = а (а 4- 1) х 4- (2а 4- 1).
К этой задаче Ферма сделал следующее замечание (№ XV):
«Пусть предложено найти три числа, произведение лю-
бых двух из которых, увеличенное на единицу, будет квадра-
том, и, кроме того, каждое из этих чисел, увеличенное на еди-
ницу, дает квадрат.
Мы присоединим решение этого вопроса к уже рассмот-
ренному [см. задачу V3.— И. Б]. Пусть взято неопределен-
ное решение данной задачи Диофанта так, что свободные чле-
ны для Хг и Х21 увеличенные на единицу, являются квадра-
тами. Пусть, например, три неопределенных числа будут:
169	, 13	7225 , 85
перв°е 5^ + ^, второе ж, третье
Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопреде-
ленным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих
231
КОММЕНТАРИЙ
чисел, увеличенное на единицу, давало квадрат, т. е. возни-
кает тройное равенство, которое легко решить нашим мето-
дом, так как свободный член каждого из выражений, после
прибавления единицы, становится квадратом».
16.	Результат предыдущей задачи применяется в качестве лем-
мы при решении задачи IV20, которая сводится к системе
X{Xj 4" ~ О (h ] ” 1» 2, 3, 4; i у).
Чтобы удовлетворить уравнениям XiXj + 1 =□ (/ = 2, 3, 4), Дио^
фант полагает Xi — х, Х2 = а3^ + 2а, Хз = (л + l)2z + 2 (а +1),
Xi = (а + 2)2х + 2 (а + 2) (у Диофанта а = 1). При этом автома-
тически удовлетворяются и уравнения ХзХ& + 1 = □, Х2Х3 + 1 = □
(о выполнении последнего у Диофанта нет указания). Остается
удовлетворить уравнению + l —□, что и делает Диофант.
Диофант, по существу, показывает, что его методом можно решить
аналогичную задачу для любого числа переменных.
К этой задаче Ферма сделал следующее замечание (№ XVI):
«Следует найти три числа такие, что их произведение
по два, увеличенное на единицу, образует квадрат; пусть,
например, это числа 3, 1, 8.
Теперь следует искать четвертое такое, что его произве
дение на каждое из трех найденных будет квадратом после
увеличения на единицу. Пусть это число будет х, тогда
Зх 4* 1, х -(г 1, 8х 4” 1
равны квадратам, и возникает тройное равенство, которое
решается найденным нами методом. Смотри мое замечание
к задаче Vbi» [в нашем издании VI22«— И. Б.].
17.	Задача IV21 эквивалентна системе
Диофант полагает
Xt = х 4> а2,
X* = х ф а2 4~ Р2*
При этом аир должны быть выбраны так, чтобы а + Р2 = С»
Такие числа можно выбрать, если воспользоваться формулами для
катетов прямоугольного треугольника, стороны которого рацио-
нальны, т. е. положить а = |2 — т]2, р = 2£т] (у Диофанта 5 = 2,
232
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
т] *= 1). Тогда все уравнения, кроме первого, удовлетворены, а пер-
вое уравнение дает
(х + а1 2)2 — х (х + а2 + Р2),
откуда
х = «1— _ _ £2~П2)4
Р2 — а2 (2£п)2 — (£2 — П2)2 ’
18.	Задачи IV22 и IV2S эквивалентны системам
адт3 ± Xi = Y* (l = 1, 2, 3).
В первой из задач Диофант полагает
У1 — х 4* « (« — 1),	Х± — а2, тогда XrXzX3 = х2 + 2ax,
Уа = X + р (Р = 2), тогда ЛГ2 = 2 (Р — а) х + Р2,
откуда
Y __ Х1Х$Хз___ х2 + 2о(х
3 ХИГ ~ 2ос2 (р -aj^ + a2^2’ ‘
Диофант требует, чтобы
1
2а2( 3 — а)
2ос
а2^2
т. е. (р — 2а)2 = 0, р =
= 2а; тогда Хз = £-
2а3
и первые два уравнения удовлетворяются,
а третье дает
Диофант полагает Y3 = hx и находит
1	4a4 + 1
2? *
(где к = 2).
К этой задаче Ферма делает следующее замечание (№ XVII):
«Задача может быть решена не только без леммы Дио-
фанта г), но и без двойного равенства2). Положим:
тело из трех чисел.....................х2	— 2х,
первое число .................. 1,
второе число...................2х.
И два условия задачи будут удовлетворены.
Чтобы найти третье, разделим тело из трех, х2 — 2 я, на
прямоугольник на первом и втором, 2х\ из этого деления
1) Под леммой Диофанта Ферма понимает условие, при котором х2 4- 2ах
нацело делится на 2a* (р — а) х 4* а2р2.
») Двойное равенство было применено Диофантом при решении следующей
задачи (IVм). Но Баше указал, что и задача IV„ может быть сведена н
двойному равенству.
233
КОММЕНТАРИИ
получится третье
трех, дает х2 —
— х — 1, которое, сложенное с телом из
— 1, что должно равняться квадрату.
Кроме того, в силу сделанных предположений нужно,
чтобы значение х превосходило 2; поэтому приравняем квад-
рату, сторона которого равна х минус произвольное число,
большее двух. Остальное известно».
Решение задачи IV23 Диофант приводит к двойному равенству.
Он полагает Х±Х2Х3 = х2 ах (а = 1), Х± — ах, Ух — хиХ2Х3 =
=	1, и берет Х2 = 1, Х3 — _ Д- 1. Первое уравнение удовлет-
а	а
воряется, а второе и третье дают двойное равенство
х2 +	— 1
Решая его обычным способом, Диофант получает
х =-	1 +
8а (2а2 — 1) ’
т. е.
Xi=«z, ЙГ2 = 1,	Х8==—+ 1,
а
и на рассматриваемом многообразии выделяется рациональная
кривая.
19.	Задача IV24 эквивалентна системе
(^1 + -3-2 " а1
I Х,Х2 = У3 - У,
которая определяет пространственную эллиптическую кривую L.
Диофант полагает а = 6, Хг — х, исключает Х2 и получает
х (а — х) — У3 — У.
Две рациональные точки этой кривой L' можно найти сразу. Это
Мг (0, 1) и М2 (0, —1). Диофант делает подстановку
Тогда
03я3 — (30* — 1) х2 4- (20 — а) х = 0.
Чтобы это уравнение имело рациональное решение, Диофант пола-
гает 20 — а = 0, т. е. он устанавливает, что число 0 не может быть
234
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
выбрано произвольно. Это не переменный параметр, как в преды-
дущих задачах, а вполне определенная величина, равная а/2. Это-
му значению р отвечает рациональная точка кривой
3(а/2)2 —1 у~ах-1
(а/2)3	2
Геометрический смысл подстановки У = ~ х — 1 нетрудно ус-
мотреть. Это прямая, проходящая через точку Л/2 и касательная
к кривой При этом Диофант находит угловой коэффициент ка-
сательной к чисто алгебраически. Метод его совершенно общий.
Действительно, если F3 (X, У) = О — уравнение кривой третьего
порядка, на которой лежит точка М (Хо, Уо), и X — XQ -р t, Y =
= Yq kt — уравнение прямой, проходящей через Л/, то, решая
совместно эти два уравнения, получим
Г3 (Хо + f, Уо + kfy= Жо, Yq) + М(Х0, Уо) + ktB(X0, Уо)+
х 1?С(Х0, Уо, к) + Я)(Х
О’ Yо) — 0.
Но F3 (2Г0, У0) = 0; чтобы t было рациональным, приравниваем
нулю коэффициент при t:
Л(Х0, У0) + kB(XGl У0) = 0,
откуда
dF3
к = — — (М) = — -^г(М)
В	дгз 4 '
dY
Таким образом, способ Диофанта дает алгебраический метод вы-
числения производной, только он применяет свой способ не в общем
виде, а для конкретных кривых.
Этим методом Виет, Баше и Ферма решали задачу о предстаг-
лении суммы или разности двух кубов суммой или разностью двух
других кубов (см. примечания к задаче IV2). По-видимому, и сам
Диофант решил таким образом уравнение X3 — У9 = а3 4- Ь3, на
которое он ссылается в задаче Vi6. Он применил этот же метод и в
задаче VI20.
Эйлер первый сформулировал, в чем состоит различие меж; у
проблемами отыскания рациональных решений неопределенных
уравнений второй и третьей степеней. В своей «Алгебре» он писал:
«Мы должны заметить заранее, что здесь [т. е. для урав-
нений третьей степени.— И. Б.] нельзя найти общего ре-
шения, как это было в предыдущих случаях, и метод, упот-
235
Комментарии
ребляемый ниже, приводит не к бесконечному множеству
решений одновременно, но теперь каждая операция позво-
лит нам узнать только одно значение х» (L. Euler, Ё1ё-
mens d’algebre, trad, d’allemand, 1796, т. II, § 112).
И далее:
«Мы только что говорили, что для того, чтобы формула
У2 = а Ъх + сХ2 + dX*
могла быть преобразована в квадрат, необходимо предпо-
ложить предварительно, что существует случай, когда такое
преобразование возможно. Но такой случай виден яснее
всего, когда первый член сам является квадратом и формула
имеет вид У2 = /2 4- ЪХ 4- cJf2 + dJ^3, так как она, оче-
видно, становится квадратом, если X = 0» (там же, стр. 137,
§ 114).
В этом случае новое решение следует, согласно Эйлеру, искать
в виде
У = / + рХ,
«где f есть квадратный корень из первого члена, а р взято
таким образом, чтобы второй член уничтожился, так что
р2Х2 оставалось бы сравнить только с третьим и четвертым
членами формулы, а именно сХ2 + так как это последнее
уравнение, которое можно разделить на X2, дает новое зна-
чение X, которое будет X =	—» (там же, § 117).
а
20.	Задача IV26 эквивалентна системе
1-^1 4~ Х^2 4^ ^3 ~ а>
I	= [2 (Х3 - xjp,
х± < Х2 < Х31
которая определяет пространственную кривую. Диофант берет
а = 4 и полагает Х3 — Хг = xt Хг — рх (Р = 2), тогда Х3 —
== (Р 4* 1) х. Но ХГХ2Х3 = 8х°, значит,
у	8
Х% == ——-----х.
3(34-1)
Если мы подставим полученные значения неизвестных в первое
уравнение, то получим
а
х =---------------------- у
₽+—^—+ (Р+1)
Р^₽(Р + 1)Т*НТ
и кривая рационализируется.
236
АРИФМЕТИКА КНИГА tV
Однако Диофанту нужно учесть еще арифметическое условие
хг < х2 < х8,
т. е. решить неравенство
г*’<тет17*<Ф+1'1'
которое определяет интервал возможных значений параметра
Диофант решает его так: поскольку

___----+ !>₽ + !, то 8>В3
Г(Р +1)	‘	н
После этого он ищет куб, который был бы больше р9 + Ра и Два пеР"
/	1 \ з
вых члена которого совпадали бы с р9 + ₽а- Диофант берет I р + -х-)
= 8, откуда
/ 1 \ 8
и приравнивает р 4- -г-)
о 5 v 5
8
9
5
и х находится из первого уравнения.
Издатель Диофанта А. Чвалина подсчитал, что р должно ле-
жать в интервале (1,428; 1,716). Для каждого рационального зна-
чения р из этого интервала получим свое решение. Диофант выбрал
р = 5/3 = 1,66..., т. е. одно из значений, принадлежащих интер-
валу возможных значений параметра.
21.	Задача 1Угв эквивалентна системе
(ВД + X} = уз,
\Ыг + Ха = Y*.
Диофант делает подстановку
Хг = р9х, Х2 = ха - 1,	= ря (Р = 2),
которая обращает первое уравнение в тождество, а второе Прими*
мает вид
При фиксированном р это уравнение представляет эллиптическую
кривую L на плоскости (я, У2). Диофант полагает
У2 = Р^ — 1
и получает
т- е. новую рациональную точку кривой L.
237
КоммёнФарий
<*г~т
Нетрудно усмотреть геометрический смысл подстановки Дио-
фанта. Для этого запишем уравнение кривой L в однородных коор-
динатах (ЛГ, У, (7):
P3J£3 4, X2U — ряХ U2 — Б3 = У?.
Эта кривая имеет две рациональные точки: конечную (0, —1, 1) и
бесконечно удаленную (1, (3, 0). Прямая, проходящая через эти
две точки, будет иметь уравнение
— U =
или, возвращаясь к аффинным координатам, ря — 1 = Уг.
Итак, здесь применен «метод секущей», но для случая, когда
одна из рациональных точек является бесконечно удаленной.
Пьер Ферма применял ме-
6
г
Рис. 3.
тод секущей только в тех же
ситуациях, что и Диофант, т. е.
когда одна из точек была бес-
конечно удаленной. То же име-
ло место и в ранних работах
Эйлера. Только в поздних ра-
ботах Эйлер рассмотрел слу-
чай, когда известны две конеч-
ные рациональные точки куби-
ческой кривой.
До недавнего времени по-
лагали, что методы касатель-
ной и секущей получили гео-
метрическую интерпретацию
только в XIX веке. Однако не-
давно Д. Т. Уайтсайд обнару-
жил такую интерпретацию в бумагах Ньютона. Мы приводим здесь
соответствующий отрывок:
«Если уравнение достигает трех измерений и существуют
три рациональных случая [т. е. имеются три рациональные
точки.— И. Б.], не составляющие арифметической прогрес-
сии [т. е. не лежащие на одной прямой.— И, Б.], то может
быть найдено бесконечно много других.
Пусть Р, Q, R будут точками кривой, отвечающими
этим случаям. Соедини PR, RQ, PQ, тогда точки 5, Т, У, в ко-
торых PR, RQ, PQ пересекают кривую, дадут другие три
числа. Затем соедини QS, и точка X, в которой QS пересе-
кает кривую, даст другое число. И так до бесконечности»
238
АРИФМЕТИКА. КНИГА IV
(см. рис. 3) (The Mathematical Papers of Isaac Newten, ed.
D. T. Whiteside, t. IV, Cambridge, 1971, s. 112—114).
22.	Задача IV27 эквивалентна системе
1Л2
Диофант пытается решить ее тем же методом, что и задачу IV26. Он
полагает
= рзя (Р = 2), Х2 = х2 4- 1, тогда Yy = Р*,
первое уравнение обращается в тождество, а второе принимает вид
(*)
рЗд.Я __ х2 рЗд. — | = уЗ.
Диофант утверждает, что левую часть уравнения (*) невозможно
преобразовать в куб. При этом он имеет в виду «невозможно методом
предыдущей задачи». Действительно, если мы положим У2 = рх —
— 1, то получим
О 3-Р2
х~ р зр2 —1 ’
которое будет положительным при 1/3 < р2 < 3. При р = 2 х =
= — 2/11, т. е. решения с точки зрения Диофанта нет.
В своем издании «Арифметики» П. Таннери указывает, что
уравнение (*) можно было бы преобразовать в куб при р = 2 с по-
1	8
мощью подстановки У2 = 2х— или подстановки У2 =	х — 1.
Но обе эти подстановки отвечают совершенно иному методу — ме-
тоду касательной, который был применен Диофантом в задаче IV24.
Желая воспользоваться методом задачи 1¥гд, т. е. методом секущей,
Диофант меняет первоначальную подстановку. А именно он по-
лагает Ху = р3я 1, Х2 = я2, тогда У2 == ря, после чего второе
уравнение удовлетворяется, а первое принимает вид
Р3х3 х2 — р3х — 1 = Ур
Теперь подстановка Ух = $х — 1 приводит к цели:
23.	Задача IV28 эквивалентна системе
-^1^2 + Рч + -^2) —
ХуХ2 - {Ху + Х2) =
КОММЕНТАРИИ
Вычитая второе уравнение из первого, Диофант находит
Складывая эти уравнения, он получает
Итак, Диофант приходит к системе вида
ГХх + х2 = л,
I хгх2 = в.
Чтобы корни были рациональны, необходимо и достаточно выпол-
нение условия
Полагая Y1= х 4* 1» Y2—x — 1, Диофант получает
(*)	9х4 —	4- 6х2 — 12х 4~ 1 = □,
т. е., как и в предыдущих трех задачах, приходит к эллиптической
кривой, координаты точек которой нельзя выразить как рацио-
нальные функции параметра. На этой кривой лежит рациональная
точка, а именно (0; 1), поэтому можно найти еще одну рациональную
точку. Для этого Диофант применяет новую подстановку, он по-
лагает сторону неизвестного квадрата равной Зж2 — 6я 4~ 1 и по-
лучает х — 9/8.
Мы вернемся еще к этому новому методу Диофанта, а сейчас
заметим только, что подстановку Диофанта, с помощью которой
он свел задачу к уравнению (*), можно обобщить, положив
Y1 = х 4- а, У2 = х — а.
Тогда мы получим, как и в предыдущих задачах, эллиптическую
кривую, коэффициенты которой зависят от параметра (или, если
угодно, пучок эллиптических кривых):
9а2х4 — 4 Xs 4~ 6а4х2 — 12а2х а6 = z2*
Следуя Диофанту, положим z — Зал:2 — —х 4- а3, где коэф-
ft
фициенты подобрали так, чтобы в результирующем уравнении унич-
тожались члены с х4, х и свободный член. Тогда х = 9/(8а2).
Метод Диофанта, заключающийся в том, что через рациональ*
ную точку эллиптической кривой четвертого порядка проводится не
240
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
прямая, а парабола, на которую наложены те или иные условия,
также был замечен Ферма и подробно описан де Бильи в его «Новом
искусстве» («Inventum novum»; этот трактат, а также его перевод на
французский язык помещены в Собрании сочинений Ферма, из-
данном П. Таннери).
В своей «Алгебре» Эйлер также рассматривает неопределенное
уравнение вида
(**)	У2 = /2 + ЪХ + сХ2 + dX* + g2X*
и описывает два метода его решения.
«При первом предполагают корень = / + рХ + gX2
и р определяют так, чтобы вторые члены уничтожились,
т. е. .. . полагают b = 2/р или р =
b	*
—- и так как этим способом
как первые, так и вторые члены, а также последние унич-
тожаются, то остальные можно будет разделить на JF2 и по-
лучить уравнение
с + dX = 2fg + р2 + 2gpX,
откуда определяем
(цит. соч., т. II, § 134),
Требование р =
как нетрудно видеть, означает, что пара-
бола У = / + рХ 4- gX2 касается в точке (0; /) кривой (**),
«Но имеется, как мы уже говорили, еще и другой способ
решения этой формулы: он состоит в том, что сначала пред-
полагают, как и раньше, что корень равен / + рХ + gX2t
и затем определяют р таким образом, что уничтожаются чет-
вертые члены; это можно сделать, полагая в основном урав-
нении d — 2gp или р = -9—“
так как, кроме того, первые и
последние члены также уничтожаются, то остальные члены
можно будет разделить на Xt и получим уравнение
b + еХ = 2/р 4- 2fgX р2Х,
которое дает
b — 2fp
X ~ 2fg+p*-c *
(там же, § 135).
241
КОММЕНТАРИИ
24.	Второе решение задачи IV28 состоит в том, что путем под-
становки Хг ~ х2 — х, Х2 — х первое уравнение обращается в тож-
дество, а второе принимает вид xs — 2х2 = Y^. Полагая У2 =
2р3
получает х =	__q  и, следовательно,
V 9РЗ JLLL. V _
Л1 —	_ ^2 » -АГ2— рз___ ।	(р—
т. е. на исследуемой поверхности выделяется рациональная кривая.
25.	Задачи IV29 и IV30 эквивалентны соответственно уравнениям
4	4
г-1
Диофант полагает в первом случае а = 12, а во втором а = 4 и в
обоих случаях дополняет левые части до суммы четырех квадра-
тов, после чего правые части, которые примут вид а -|- 1» он пред-
ставляет в виде суммы четырех рациональных квадратов.
Диофант не налагает никаких дополнительных условий на чи-
сло с, откуда можно заключить, что он знал о том, что любое целое
число представимо в виде четырех рациональных квадратов. Однако
в обоих слз^чаях а выбрано так, что а + 1 является простым числом
вида 4п 4- 1. Диофант представляет его в виде суммы двух квадра-
тов, каждый из которых он вновь раскладывает на сумму двух ра-
циональных квадратов.
Баше заметил, что всякое число является либо квадратом, либо
суммой двух, трех или четырех целочисленных квадратов. По-ви-
димому, он пришел к этому предложению чисто эмпирически, ни-
каких попыток доказать его он не сделал.
Ферма добавил к этому замечанию Баше следующее (№ XVIII):
«Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наи-
более общее предложение, а именно: каждое число является
либо треугольным, либо суммою двух или трех треугольных;
либо квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квад-
ратов; либо пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех
или пяти пятиугольных, и так далее до бесконечности, для
шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных
чисел; это чудесное и общее предложение может быть выска-
зано, очевидно, для любого числа углов.
Здесь невозможно дать его доказательства, которое за-
висит от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о
числах; мы намерены посвятить этому предмету целую
34?
АРИФМЕТИКА ЙНИТА IV
книгу и продвинуть удивительным образом эту часть Ариф-
метики за пределы, известные в древности».
Теоремой, высказанной Баше, занимался впоследствии Л. Эй-
лер, полное доказательство ее получил Ж. Лагранж в 1770 г. Дока-
зательство теоремы Ферма о представимости любого целого числа
суммою не более п n-угольных чисел предложил О. Коши (публи-
кации 1813—1815 гг.).
26.	Задача IV31 эквивалентна системе
+ а) (Х2 + Ъ) - У2,
которая определяет пространственную кривую L, Диофант пред-
лагает два ее решения. Он полагает а = 3, Ъ — 5 и при первом ре-
шении делает подстановку Хх — х, Х2 — 1 — аг, У = ргг (р — 2),
после чего получает полное квадратное уравнение
a (b + 1) -|- (b -|- 1 — а) х ~ (р2 -f- 1) ж2,
которое при выбранных Диофантом значениях параметров не имеет
рациональных корней. Поэтому Диофант рассматривает параметр
Р как новое переменное и приравнивает дискриминант квадрату,
что дает
(b + а + I)2 + 4а (b + 1) р2 = □.
Поскольку свободный член в этом неопределенном уравнении яв-
ляется полным квадратом, то дальнейшее решение проводится по
методу А.
При втором решении Диофант полагает
Хх = х — а, Х2 = 1 + а — х, Y = fix , (Р ~ 2),
после чего второе уравнение принимает вид
х (а -1- b -1- 1 — х) — р2#2
a -J- b + 1
= Р2 4-1 “
Параметризация неизвестных получена, однако остается еще учесть
арифметическое условие: а < х < а + 1 (так как > 0, Х2 > 0)
или
а
а + Ь + 1
“P2 + f“
< а + 1,
откуда
243
КОММЕНТАРИЙ
У Диофанта 5/4 < £2	2; это неравенство он переписывает в виде
80/64 < ₽2 < 128/64
и выбирает квадрат, лежащий между этими двумя: р2 = 100/64 =
= 25/16; тогда х = 144/41,	= х — 3 = 21/41, Х2 = 4 — х =
= 20/41. Аналогично получается рациональное решение для каж-
дого рационального квадрата, заключенного между 80/64 и 128/64.
27.	Задача IV32 эквивалентна системе
Xj + Х2 Х3 = at
xtx2 + х3 = у2,
( хгх2 - Х3 = У2.
Диофант берет а = 6 и полагает Х3 — х, Х2 = Р (3 = 2); тогда
= а — р — х, а два последних уравнения дают «двойное равен-
ство»
₽ (а - Р) - (Р - 1) х = YJ,
'₽ (а-₽)-(₽+1) а; = у»,
для разрешимости которого Диофант требует, чтобы
3 +1 8. о п 1+68
р — 1 — 6 ’ т« е- 3 — б2 _ !
(62 = 4).
Поэтому Диофант полагает Х3 =	и приходит к тому типу
«двойного равенства», которое было рассмотрено в 11ц — П13.
Решая его обычным способом, Диофант находит для неизвестных
рациональные выражения через параметр б.
Ферма сделал к этой задаче следующее замечание (№ Х1Х)‘
«Это можно сделать более легким способом. Разложим
произвольным образом данное число 6 на две части, например
на 5 и 1. Произведение их, из которого вычтена единица, т. е.
4, поделим на данное число 6, получится 2/3. Это частное
вычтем как из 5, так и из 1; тогда оба остатка 13/3 и V3 можно
взять в качестве двух первых частей числа, которое должно
быть разложено; тогда третья будет 4/3».
28.	Задача IV33 сводится к двум уравнениям от трех неизве-
стных X, У и /с, а именно:
X + kY = а (У — kY),
Y 4- кХ = b (X — кХ).
Диофант задает а = 3, Ь = 5 и полагает kY — ос (а = 1). Чтобы
удовлетворить первому уравнению, он берет
X = at а, У = t 4“ а.
244
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Тогда второе уравнение примет вид
a	t
* + а + ~+'д (“г — а) = Ь (at — а)'-
откуда
2 + (а X Ь)
* = а ab — 1	’
(а -|- 1	а + Ь + а& + 1
2==а а6_! , у = «	i
, аЬ — 1
при этом к — ~"_p~fr“qp	— это именно то значение, которое
обращает определитель заданной сестемы в 0. Благодаря этому
исходная однородная линейная система имеет бесконечно много ре-
шений. Их-то и находит Диофант.
29,	Задаче IV34 предшествует лемма, в которой требуется «най-
ти два неопределенных числа», для которых
ХхХ2 +	+ Х2 == а.
Диофант решает сначала задачу, принимая одно из искомых чисел
за неизвестное х, а другому придавая конкретное числовое значе-
ние. После этого он проводит анализ задачи и дает общее ее реше-
ние, которое мы бы теперь представили в виде
a — Xi
1 4-Х1
Он поясняет, что значит решить задачу в общем виде, или
«в неопределенных числах». По существу, это означает дать формулу
(тас (жоатасбк), из которой получается числовое решение при
подстановке конкретных значений для неизвестного и параметров.
30.	Задача IV34 эквивалентна системе трех уравнений от трех
неизвестных:
(^2 + (*1 + *2) =
- х2х3 + (х2 + Х3) == д,
Х3Хх + (Х3 + XJ = с.
Это — определенная задача. Для того чтобы она имела рациональ-
ные решения, Диофант накладывает следующие ограничения:
а=С-1, д =
- 1, с = □ - 1.
Он принимает а — 8, Ъ = 15, с — 24. Затем он применяет преды-
дущую лемму, полагая Х2 — х — 1; тогда
Хз = —1—
х
245
комментарий
и из последнего уравнения получаем
(a + 1) (b + 1) = (с Ч- 1)
причем х будет рациональным, так как а + 1, b + 1 и с 4- 1 являют-
ся квадратами.
Ограничение Диофанта достаточно для существования рацио-
нального решения, однако оно не является необходимым.
31.	Лемма к задаче IV35 аналогична лемме к задаче IV31. Реше-
ние задачи IVss, которая также является определенной, проводится
по той же схеме, что и решение задачи IV34.
32.	В лемме к задаче IV зв требуется найти такие два неопре-
деленные. числа, чтобы
AiA2
Xi + Xg =/с>
Решение Диофанта следует обычному пути: сначала он придает чис
ловое значение параметру к и одному из неизвестных, тогда второе
неизвестное получает определенное числовое значение. Анализируя,
с помощью каких арифметических операций это значение было
получено, Диофант находит общую формулу, эквивалентную
кХх
Хх — к
>
которую он формулирует словесно.
Эту лемму он применяет при решении задачи IVse, которая
эквивалентна следующей определенной системе уравнений:
Ход решения аналогичен тому, который был применен в IV34.
33.	Задача IV37, как и предыдущая, является определенной.
Диофант решает ее путем остроумного введения дополнительного
неизвестного, что позволяет ему провести алгебраический анализ
задачи.
34.	Задача IV33 эквивалентна системе
(А 1 4~ А2р A3) X1 —	2
+	А3) А2 = Г2,
ХА14- Аа4- Аз) Аз -F3.
246
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Диофант принимает
= 6, U2 = 4, V3 — 8 и полагает
2я2
U2
X2
X2
При этом все три уравнения удовлетворяются при условии, что
У(У + 1) ( U2	Р3
2ж3	a?2	х2	х '
или
У(У + 1)
—Ь—Г—L ^и2 + У* = х\
ла
У(У + 1)
где ----2----— треугольное число, т. е. по самому определению
такого числа должно быть целым. Однако при выбранных Диофан-
У(У-Н)
том значениях для --------, U2 и V3 сумма их равняется 18, т. е.
не является биквадратом. Поэтому задача свелась к нахождению
такого треугольного числа, квадрата и куба, сумма которых равна
биквадрату.
Для решения этой последней задачи Диофант полагает U"2 =
4,402	У(У+1)	„ . ,	т/8 „ й У(^+1) ,
= х4 + 1—2а:2, тогда----%----= 2z2 — 1 — У3. Но 8---------+
+ 1=0, поэтому
16л:2 — 8V3 — 7 =- □.
Диофант полагает сторону этого квадрата равной 4а: — а (а = 1)
и получает
а2 + 87з	7
(*)	Х	J
или, поскольку а = 1, х — F3 + 1. Итак, получаем
= 2V6 + ЗГ 3 + 1,
U = V3 (Г3 + 2),
или, если принять вместе с Диофантом V3 = 8, то--g----— 153,
a U2 = 6400.
Баше де Мезириак считал, что х, определенный формулой (♦),
может быть целым только при ос — 1.
Ферма заметил по этому поводу (№ XX):
«Сделанные Баше попытки недостаточно точны* Дей-
ствительно, возьмем в качестве V3 произвольный куб, Сторона
347
КОММЕНТАРИИ
которого превосходит кратное трех на единицу. Например,
2а:2 — 344 нужно приравнять треугольнику т);
значит,
16а:2 — 2751 будет равно квадрату,
в качестве корня которого можно взять, если угодно, 4а: — 3’
и т. д.
На самом деле ничто не мешает обобщить метод и взять
вместо 3 другое произвольное нечетное число, только надо
выбрать соответствующий куб».
35.	Задача IV39 эквивалентна системе
' %! -	= X (Хг - Х3),	Х1>Х3>Х3,
Ui + Xi+1 = У? (i = 1, 2, 3; i, i 4- 1 e z3).
Диофант берет X = 3 и делает сначала подстановку У2 ~ 2, Х2 =
— 2 + х, Х3 — 2 — х, тогда = 7х + 2 и первое и третье условия
выполняются, а второе и четвертое дают
8а: + 4 = У2,
‘ 6х + 4 = У|.
о
Решая это «двойное равенство» обычным способом, Диофант полу-
чает х = 122. Но тогда Х3 — 2 — х получается отрицательным.
Для того чтобы решение было положительным, Диофант требует,
чтобы х < 2, т. е. 6а: + 4	16.
Так как 8х + 4 и 6а: + 4 должны быть квадратами, то числа
8а: + 4, 6а: + 4 и 4 составляют три квадрата, причем
(8а: + 4) - (6а: + 4) - Vs (6а: + 4-4).
Итак, Диофант приходит к задаче: отыскать три квадрата Ж2, Vs
и U2 такие, что
(Ж2 — Г2) = — (V2 — Z72), Г72 = 4, Р2<16.
Заметим, что Ж2 = У2, V2 = У|, U2 = У2, поэтому
W» уз =	_ Хз = -у- (Х1 — Х2) =	{V» — С/2).
«> Ферма принимает ¥ > 7, тогда 2х2 — 1 — Vя « 2х*— д 1вэр*
_ 8УЯ —7- ЭТМ,
24S
АРИФМЕТИКА КНИГА IV
Для отыскания нужных квадратов Диофант полагает V — t +
4 о 16	, ,
+ 2 (так как V < 4, то t < 2), тогда W2 — -g- t2 +- 3 * +• или,
умножая на 9 и деля на 4, получаем
3f2 + 12i + 9 = [П.
Диофант берет сторону этого квадрата равной 8 — kt и получает
__ 124-6Л
t= Л2 —3 ’
причем он явно формулирует, чему будет равно неизвестное, беря
к произвольным, т. е. не придавая ему, как обычно, некоторого чис-
лового значения.
Далее, Диофант учитывает арифметическое условие: t < 2,
12 | 6Л
т. е. —---Q- < 2, или (2к — 3)2> 45. Поскольку 62 < 45 < 72,
то достаточно взять 2к — 3	7, или к^, 5. Полагая к = 5, он
получает t = 21/11, откуда V == t + 2 = 43/11 и х = 1365/726, т. е.
число, меньшее двух. В качестве значения параметра к можно взять
любое рациональное, большее 5, и каждому такому значению будет
отвечать решение.
В замечании к этой задаче Баше исследует «двойное равенство»
ах + Ь = Д,
агх + 6$ = □
в случае, когда а и а± различны и не имеют между собой отношения,
как квадрат к квадрату, а свободные члены являются неравными
числами.
Баше показал, что решение возможно также в случаях:
abi — bai	z
1)	если а____Д1—является квадратом (а > aj,
016 — 610
2)	если ----------является квадратом (а > ах).
1*1
Ферма пишет по этому поводу (замечание № XXI):
«Но пусть будет предложено, например, двойное равен-
ство: 2х + 5 и 6ж + 3 равны квадрату:
2х + 5 можно взять равным 16,
6# + 3 можно взять равным 36,
и можно найти бесконечно много других, удовлетворяющих
задаче. К тому же нетрудно дать общее правило для решения
задач этого рода, так что ограничения, данные Баше, едва
249
КОММЕНТАРИИ
ли достойны такого мужа, потому что можно легко распро-
странить то, что он нашел для двух случаев, на бесконечное
число случаев, более того, на все возможные случаи».
36.	Задача IV40 эквивалентна системе
( X* - Х* = 1 (Х2 - Х3), хх > х2 > ха,
(Xi + xi+1 = У? (i = 1, 2, 3; i, i + 1 e z3).
Диофант берет X = 3. Ход его решения таков: он принимает
Xi + Х2 = 62z2	(5-4),
х-1 = -у-^ + 3, X2 = -y-*8-3	(3 = 2).
Поскольку
6а
Диофант выбирает квадрат у2 (у = 3), который лежит между 62/2 и
и 62, и полагает
Хх + Х3 = уЫ.
Тогда Хз =
получим
я?2 — р. Из условия X2 — X2 = X (Х2 — Хз)
62 —у2
Р —X 2fi2
Остается удовлетворить условию
Х2 + Х3 - □,
что нетрудно сделать, так как Х2 + Х3 = у1#2 — 20, т. в. рацио
нализацию можно провести с помощью метода В.
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ V
Эта книга содержит наиболее сложные задачи. Вместе с тем
в ней имеются пробелы и некоторые места текста испорчены. Так,
после формулировки задачи 19 идет отрывок решения другой за-
дачи, условие которой отсутствует. Баше де Мезириак на основании
250
АРИФМЕТИКА КНИГА V
отрывка решения восстановил текст условия и, кроме того, вставил
между этой восстановленной задачей и задачей V19 еще две кроме*
жуточные: V191 и V192.
В задаче V9 испэркн текст диоризма, в котором должна была
быть сформулирована чрезвычайно важная теорема теории чисел,
а именно условие, при котором целое число 7V может быть представ-
лено в виде суммы двух квадратов. Это ограничение было восстанов-
лено Пьером Ферма, который вновь открыл эту теорему. Фило-
логический анализ текста был впоследствии проведен К. Якоби
и II. Таннери. В нашем переводе дан восстановленный текст, при-
веденный в издании П. Таннери.
Далее, в леммах, предшествующих задаче V?, показывается,
как построить три прямоугольных треугольника, имеющих одина-
ковую площадь. А в задачах V22_2g без всякого объяснения выби-
р потея два треугольника, площади которых имеют заданное отно-
шение. По видимому, этим задачам также предшествовали леммы,
в которых пояснялся способ построения таких треугольников.
Задачи Vg_u составляют замкнутый цикл. Они новы по своей
постановке, в них требуется разложить данное целое число N в сум-
му двух, трех или четырех квадратов, каждый из которых удовлет-
воряет некоторому неравенству.
Диофант находит рациональные числа, которым приближенно
должны быть равны стороны этих квадратов, а затем и сами числа,
удовлетворяющие условию задачи. Метод решения задач этого типа
Диофант называет особым термином «гсарюбт^тос адшдт]», что мож-
но перевести словами «метод приближения». В процессе решения
этих задач дважды появляется уравнение Ферма
ах2 + 1 — у2
для а ™ 26 и 30. формулируются ограничения, связанные с тем,
что не всякое целое можно представить суммою двух или трех це-
лых или рациональных квадратов. Эти ограничения, или диоризмы,
показывают, насколько глубоки были знания Диофанта в теории
чисел. Подробнее об этих задачах рассказано в соответствующих
комментариях.
В задачах Vis^8 рассматриваются системы уравнений, которые
Диофант сводит к одному уравнению третьей или четвертой степени
от трех пли более неизвестных. О методах решения этих задач бу-
дет рассказано подробнее в комментариях к ним.
В последующих задачах этой книги применяются методы ре-
шения задач V9_i4, а также привлекаются к рассмотрению пифа-
горейские треугольники (задачи V7, V21-26).
251
КОММЕНТАРИИ
Условие последней задачи облечено в стихотворную форму.
Кроме того, это единственная задача, в формулировке которой
фигурируют конкретные числа. Это обстоятельство сближает ее с
задачами и эпиграммами, встречающимися в греческой логистике.
Однако при ее решении Диофант дважды рассматривает и решает
квадратные неравенства, так что, но существу, эта задача гораздо
сложнее тех, которые дошли до нас в различных сборниках и анто-
логиях.
1.	Задачи Vj и V2 эквивалентны системам
В первой задаче (отвечающей системе с верхним знаком) Диофант
берет а — 12, во второй он полагает а = 20. Сначала, в первом
случае, он находит такой квадрат t21 что
/2 — а == [П = и2.
Положив и — t — а, получим
а + а2
2а
При а = 12, а = 1 Диофант получает t = 13/2. Затем он полагает
/ а 4~ а2 \2
\ 2а /
Xi = /2 =
Хз = я2,
тогда
а + а2
= 2а х
и первые два условия выполнены, а последние два дают «двойное
равенство» того же типа, которое встречалось в 1П13:
Решая, его, найдем
2а Г/ а + а2 \2
х а + а2 \ 4а ) +а
(у Диофанта х = 361/104).
Вторая задача решается аналогично, однако произвольно вы-
бранное значение квадрата t2 такого, что t2 + а — □, приводит
к отрицательному решению. Анализируя задачу, Диофант при-
водит к условию t2 > 4а, в связи с которым и видоизменяет
252
АРИФМЕТИКА КНИГА V
подстановку для t, полагая t — Ъ + ж, где
(Ъ — I)2 <Z 4а <С Ь2.
2.	Задачи Vg и V4 сводятся к системам
± в = У?,
' /,Х{+1 ± а = zf
(i — 1, 2, 3; i, i -J- 1 G Z3).
В первом случае Диофант полагает а ~ 5, во втором — а — 6.
Решение задачи V3 основано на применении следующего пориз
ма: если + а — р2, t2 + а — (р + I)2» то + а = Q. Нетруд-
но посчитать, что этот последний квадрат будет = [/?(/>+ 1) — а]2.
Задача V4 решается аналогично.
К задаче V3 Ферма сделал замечание (№ XXII):
«Из этого предложения легко выводится решение сле-
дующего вопроса:
Найти четыре числа при условии, что произведение лю-
бых двух из них, сложенное с данным числом, дает квадрат.
Возьмем три числа, удовлетворяющих задаче, так что
каждое из них, сложенное с данным числом, составит квад-
рат, как это и было предложено. Пусть четвертым искомым
будет х + 1. Получим тройное равенство, решение которого
легко находится с помощью нашего метода. Смотри замеча-
ние к задаче VI24 [в настоящем издании к VI22.— И. Б.}.
Этим решается и вопрос, предложенный Баше к задаче
Ш12 [у нас Ш10.— И. Б.], и помимо того, что метод более
общий, он имеет еще то преимущество перед методом Баше,
что при нашем решении три первых числа, сложенные с дан-
ным, составляют квадрат.
Однако мне до сих пор неизвестно, можно ли решить за-
дачу при условии, что и четвертое число, сложенное с данным,
составляет квадрат. Это надо будет еще исследовать».
3.	Решение задачи Vб, сводящейся к системе
/г, / = 1,2, 3:
\ 7 i 4“ 1
i , * + 1 6: Z3,
основано на применении следующего поризма: числа />2, (р + I)2 и
2 [р2 + (р + I)2] + 2 таковы, что произведение любых двух из
них, сложенное с их суммой или с третьим числом, образует
квадрат.
253
КОММЕНТАРИИ
4.	Задача V6 эквивалентна системе
Л-2 = у?.
7,i — 1,2,3; i =/= /; i 4-1 =/= 7,
i, i 4‘ 1 ££ Z3
Диофант решает ее с помощью того же поризма, что и предыдущую
задачу, т. е. полагает
5. Задача V7 эквивалентна системе
(i= 1,2, 3).
Диофант замечает, что для ее решения достаточно найти три прямо-
угольных треугольника в рациональных числах с одинаковой пло-
щадью. Тогда
с2 ± 45 = □,
где с — гипотенуза, а 5 — площадь треугольника.
Для нахождения трех прямоугольных треугольников с одина-
ковой площадью служат две леммы, с помощью которых решение
получается чрезвычайно изящно.
В лемме 1 требуется найти такие два числа, чтобы
*1 +	+ *1*2 = *2-
Решая это неопределенное уравнение обычным способом, Диофант
принимает Х1 = х, Х2 = <х (ос = 1), Y — х — 0 (0 = 2)и получает
Р3 — а3 Г 3 -
Х ~ а + 2₽ L= 5 . •
Он полагает
Xi = Р2 - а2 [= 3],
Х2 *= а (ос + 20) [= 5].
В лемме 2 требуется построить такие три прямоугольных тре-
угольника, площадь которых одинакова. Показывается, что такими
свойствами будут обладать треугольники, построенные на числах
Xj, У; Х2, У и У, X} + Х2. (См. комментарий к IIhe.)
Заметим, что от леммы 2 к лемме 1 Диофант мог прийти сле-
дующим образом. Пусть надо построить два прямоугольных тре-
угольника с одинаковой площадью. Будем строить их на числах Хд,
У и Х2, У, т. е. предположим, что одно из образующих чисел у них
254
АРИФМЕТИКА КНИГА V
общее. Тогда из равенства площадей получим
или
Если образовать третий треугольник из чисел У, Х± + то
получим
YXt (Y2 - X*) = (Хх + U) Y [(Хх + С/)2 - У2]
или
У2 = Х[ + XxU + U2, т. е. U = Х2.
Ферма сделал следующее замечание (№ XXIII) к лемме 2:
«Но можно ли найти четыре или даже большее число, ра-
стущее до бесконечности, треугольников равной площади!
Ничто как будто не препятствует тому, чтобы эта задача была
возможной; поэтому ее надо глубже исследовать.
Мы разрешили задачу, более того, если дана площадь
произвольного треугольника, мы построим бесконечно много
других, имеющих ту же площадь: пусть, например, дана
площадь 6 треугольника 3, 4, 5, то другим треугольником
той же площади будет
7/10, 120/7, 1201/70,
или, если желательно иметь один и тот же знаменатель,
49/70, 1200/70, 1201/70.
Общий и всегда применимый метод таков. Пусть дан
произвольный треугольник с гипотенузой Z, основанием В
и высотой Р. Из него можно вывести другой треугольник, не
подобный ему, но одной с ним площади; образуем его из
квадрата % и удвоенного В на D и плоскоплоскостные стороны
разделим на удвоенное Z на В квадрат — удвоенное Z на D
квадрат1). Такой новый треугольник будет иметь площадь,
равную площади предыдущего.
Отправляясь от этого второго, таким же методом образу-
ем третий, из третьего четвертый, из четвертого пятый и по-
лучим бесконечно много неподобных треугольников одина-
ковой площади.
*) То есть жя «яслях Z* и 2B-D. Полученные стороны делятся на 2Z‘BZ*-*
255
КОММЕНТАРИИ
Чтобы не было сомнения в возможности построить более
трех треугольников, к найденным Диофантом
40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113
прибавим четвертый, не подобный им и имеющий ту же
площадь:
1412881
гипотенуза —П89-"
основание
1412 880
1189
1681
высота -fjgg* •
Если привести эти числа к одному знаменателю, то по-
лучим четыре треугольника в целых числах, которые отве-
чают одной и той же площади:
Первый	47560,	49938,	68962,
Второй	28536,	83230,	87986,
Третий	17835,	133168,	134357,
Четвертый	1681,	1412880,	1412881.
Можно найти тем же методом бесконечно много треуголь-
ников одинаковой площади и тем самым распространить за-
дачу Диофанта за пределы, которые он наметил.
Вот еще треугольник, полученный другим методом, пло-
щадь которого составляет ушестеренный квадрат, как и у 3,
4, 5, а именно:
2896804,	7216803,	7776485».
Замечания Ферма к задаче V7 (№ XXIV):
«Из сказанного выше явствует, что мы можем решить
более общую задачу:
Найти сколько угодно чисел таких, чтобы квадрат каж-
дого из них, увеличенный или уменьшенный на сумму всех
этих чисел, составлял бы квадрат.
Баше, вероятно, не знал решения этой задачи; иначе
он обобщил бы вопрос Диофанта, как он это сделал для
IV31 и других».
6. Задача V8 эквивалентна системе
1ВД+1
+ (%! + Х2 + Х3) = У?,
- (Хх + Х2 + Хз) = 2% (i= 1, 2, 3;
i> i + 1 6 Zs).
При ее решении Диофант применяет изящную лемму, в которой
решение системы
Х,Х1+1 = с* (i = 1, 2, 3; i, i + 1 e z3)
256
АРИФМЕТИКА КНИГА V
находится в виде
с.с
г Сг+2
Он берет три прямоугольных треугольника с одинаковой пло-
щадью 5 и гипотенузами с1} с2, с3 и полагает
СЗ
„ C2C3
А 2 —------х
С1
СЗС1
Хз~ С2 Х'
a + Х2 + Х3 = 45. Тогда все уравнения удовлетворяются
при условии, что
(С1С2	С2С3 С3С1 \
----+-------------1 х — 46ж2,
Сз С1 * С2 /	’
откуда
(С1С2)2 Ч~ (С2Сз)2 + (СзС1)2
37	4»SciC2C3
7. Задача V* эквивалентна системе
U1 + Х2 - 1,
J %! + а - У^
| Х2 + а = У®’
из которой легко следует, что 2а + 1 = У * + У^.
Поскольку не любое целое представимо суммою двух квадратов,
целых или дробных, Диофант накладывает ограничение на число а.
Однако текст рукописи испорчен и первые переводчики «Арифме-
тики» Ксиландр и Баше де Мезириак не сумели его восстановить.
Так, Ксиландр полагал, что заданное число а должно быть уд-
военным простым. Возражая ему, Баше заметил, что если взять
а == 5, то 2а + 1 = 21, которое не является квадратом и не может
быть разложено на сумму двух целых квадратов. Он полагал, что
21 нельзя представить и в виде суммы двух дробных квадратов, од-
нако не мог это доказать.
Ферма написал по этому поводу следующее замечание (№ XXV);
«Число 21 не может быть разложено на сумму двух
дробных квадратов. Мы можем это легко доказать. И вообще,
никакое число, третья часть которого не имеет трети, не
может быть разложено на два квадрата ни целых, ни дроб-
ных».
К этому месту Ферма сделал еще одно замечание (№ XXVI):
«Вот истинное условие, действительно общее и исклю-
чающее все непригодные числа:
257
КОММЕНТАРИИ
необходимо, чтобы данное число не было нечетным и чтобы
двукратное этого числа, увеличенное на единицу, после деле-
ния на наибольший измеряющий его квадрат, не могло быть
разделено на простое число, которое на единицу меньше
кратного четырех».
Таким образом, после Диофанта только Пьеру Ферма удалось
найти нужное ограничение. К. Якоби провел филологический ана-
лиз текста и предложил свою реконструкцию условия Диофанта.
Более того, он реконструировал доказательства этого условия ме-
тодами, которыми вполне мог пользоваться Диофант (см. его статью,
указанную в сноске на стр. 23). Окончательная реконструкция тек-
ста, перевод которого мы приводим, принадлежит П. Таннери. Для
того чтобы ограничение было достаточным, его следует сформули-
ровать так: число 2а + 1 после выделения из него полного квадрата
не должно делиться ни на одно простое число вида 4п — 1. Выде
ленного курсивом условия Диофант не оговорил, как он это не делал
и в других случаях (см., например, наши замечания к Vn), так что
можно предположить, что он считал его само собой разумеющимся.
Диофант выбирает а = 6, так что 2а + 1 = 13.
Заметим, что постановка вопроса в рассматриваемой задаче
совершенно новая: число N = 2а + 1 требуется представить сум-
мою таких двух квадратов, каждый из которых больше а (поскольку
Для решения этой и подобной ей задач Диофант применяет
следующий четкий алгоритм:
1) Сначала ищется дробь 1Лг2 такая, что
2а + 1	1
2 + = С-
Умножая на 4, заменяя х на 2у и умножая на у2, он получает
2 (2а + 1) у2 + 1 - □.
Это — уравнение Ферма, которое при данном значении а имеет вид
26у2 + 1 =
Диофант решает его, полагая сторону неизвестного квадрата рав-
ной 5у -|- 1, и получает у = 10, х ~ 20. Тогда
13	1	2601
□ = 2 + 400 = 400
и сторона Квадрата, большего 6, будет 51/20.
Заметим, что метод Диофанта для решения уравнения Ферма
?.г2 + 1 = у2
258
АРИФМЕТИКА КНИГА V
применим, если р имеет вид т2 + к, где к = + 1, + 2, 4-?п. Дей-
ствительно, полагая у ~ тх + 1, получим х ~ +2/n/fe, и при от-
меченных значениях к решение будет целым положительным.
2) Но и = v — 51/20 не удовлетворяет условиям задачи, так как
Чтобы найти К1И У2, Диофант раскладывает 13 на сумму двух
квадратов: 13 = 22 + З2 и полагает = 2 + lit, Y2 — 3—9t;
тогда
(2 + lit)3 + (3 — 9i)2 = 13
и t = 5/101, после чего по соот-
ветствующим формулам определи-
ются Ух, У2, Х1? Х2.
В чем же состоит метод Дио-	/ \
фанта? Для уяснения этого перей-	/	\
дем к геометрической интерпрета-	/	\
ции. Согласно условию, на ок-	/	\
ружности С: и2 + г2 == 13 требу-	/	1
ется найти такую точку (а; (3),	/	I
чтобы: 1) она была рациональ-
на, 2) ее координаты удовлетво-	Рис. 4.
ряли условиям а2 > 6, р2 > 6.
_	Г-	/51	51 \
Сначала находим рациональную точку А ; -эд-1 , котора
лежит вне окружности и близка к ней. ДалеО выбираем некоторую
рациональную точку на окружности, а именно В (2; 3) (см. рис. 4).
Если теперь провести прямую через точки А нВ, то получим
v — 3 и — 2
51	51
20 — 3	20 ~ 2
или, в параметрической форме,
V = — 9t + 3,
и lit 2,
т. е. придем к подстановке Диофанта. Решая совместно уравнение
прямой и окружности С, получим точку Р, близкую к Л и удовлет
воряющую условиям задачи.
Приведенное нами рассуждение есть дословный перевод реше-
ния Диофанта на язык геометрии. Разумеется, сам он мог и не поль-
зоваться этим языком и прийти к подстановке (*) чисто арифмети-
259
КОММЕНТАРИЙ
чески, однако, как мы думаем, для нас метод его становится яснее
при его геометрической интерпретации.
Заметим, что сам Диофант, говоря в задаче Vn о примененном
в задаче V9 методе, называет его «методом приближения» («apujorq-
tog ауютЛ)*
Можно было бы сказать и «неограниченного приближения», так
как способом Диофанта можно получать квадраты Х^, У*, сколь
угодно близкие к 6V2. Действительно, для отыскания таких квадра-
тов Диофант решает уравнение
26z/2 + 1 — z2.
2к
Если положить z — ку + 1, то получим у = 26 ~	’ Беря к рацио-
нальным и как угодно близким к У' 26, получим сколь угодно боль-
шие значения для х ~ 2у. Им будут соответствовать квадраты
и такие, что Х^ — будет как угодно мала (при этом, как у Дио-
фанта, мы берем У£ = Х^).
Суть метода Диофанта можно уяснить и не прибегая к геомет-
рической интерпретации, если проделать все выкладки Диофанта
более подробно х).
При решении задачи V9 (и аналогичных ей) Диофант поступает
так. Две части, на которые надо разложить единицу, обозначает
1111 -
~2~ + п ^2” “JT (так что 2 < ж2, т. е. 1^2 < ж), при этом
должны выполняться условия (а — данное число, у Диофанта
а = 6)
(1)
отсюда получаем, что
*) Приведенная реконструкция метода (до примечания 8) принадлежит
А. Ф. Лапко.
260
Арифметика Книга V
Чтобы удовлетворить первому из уравнений (1), Диофант пола-
гает
ку + 1 к 1
(5)	х »= 2у, и = 2)/ = у -I 
1
Здесь у > и > 0 (иначе (4) не будет выполняться).
Тогда из первого из уравнений (1) Диофант получает
/6)	1 _ 4а + 2 — /с2
(	У 2к
Учитывая неравенства (4), отсюда мы получаем
2/Т+Т —	/2,
причем если у положительно, то
(7) 2/а 4- 1 — /2 < к < /4а + 2 (у
Диофанта 3,8773
< й< 5,0990).
При любом рациональном к из интервала (2}Л a-j-1 —1^2,	4а + 2),
получается рациональные значения х и и:
(8)
4к
4а -f- 2 — к2
4а -р 2 + /с2
4к
Значение v, вообще говоря, при этом получается не рацио-
нальным.
Далее Диофант применяет метод приближения: он принимает
в первом приближении
(9)
IZ! = V1 =
4а -к 2 + к2
4к
Заметим, что если бы к = У^4а + 2 был рациональным, то

были бы рациональными основаниями квадра-
тов, удовлетворяющими условиям задачи. Таким образом,
и* + v* (2а + 1) = 2 (4а + 2 +
1 1	1 V 1	'	4 ft 7.2
— (2а + 1) = (4a + ,2.~	0.
Из этого неравенства видно, что приближение (9) будет тем
точнее, чем ближе будет выбрано к к правому концу неравенства
(7). Кроме того, применяемая далее Диофантом методика нахож-
дения точного решения системы (1) при условиях (3) и (4) наклады-
вает на выбор к дополнительные ограничения. Не приводя здесь
соответствующих выкладок, отметим, что любое рациональное к,
261
Комментарий
,-8Г|ЖТЬ
взятое из отрезка
(при а = 6 имеем 4,9102 к 5,0990), позволяет, следуя методу
Диофанта, найти рациональное решение системы (1) при услови-
ях (3) и (4).
Предположим, что нам известно два таких рациональных
числа и0 г?0 (у Диофанта и0 = 3, v0 = 2), что
(П)	М*4-^ = 2а+1.
Наличие известных чисел и0 и vQ позволяет расширить допустимые
значения к, а именно:
(12)
2мо У а — 2го У а + 1
У а — У а + 1 + и0 — vq
(при а — 6, ий = 3, Vq = 2 имеем 4,6724 к 5,0990).
Диофант этих неравенств не выписывает, но он указывает, что
будет искать два квадрата и2 и г>2 возможно ближе друг к другу, а
для этого к надо взять возможно ближе к правому концу отрезка
допустимых значений к (Диофант полагает к = 5). Далее Диофант
предполагает искать два других числа и и v таких, чтобы
(13)
и2 + V2 =
используя подстановки
(14)
(w — Uq — kit)
= v0 + k2t,
где ki и k2— любые. Тогда
U2 + V2 — Uq + ^0
— 2 (kiuQ - &2г>0) t + (kf + A:2) t2;
приравнивая это выражение (13), получим
(15)
2 (Ariu0 — /с2г0)
262
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Следовательно,
2Ai (Ашо —
и —	----
'о — ^?) WQ
4	±
(16)
24’2 (А] «о — foro) ___ 2Ai/c2Wo + (А
% — /ф г0
%
2
В задаче, которую мы сейчас рассматриваем, Ад и к2 выбирать про-
извольно нельзя, так как новые два числа и и г? не только должны
удовлетворять условию (13), но должны быть близки между собою
и близки к найденному первому приближению (9).
Следовательно, должны выполняться приближенные равенства
4я -|- 2 -|- /с2
2/с
и — v О,
т. е., учитывая (14),
Г
ио + го — kit 4~	535
4а-1-2 +к2
2к
9
.ио — Vo — kit — k%t О,
откуда
(17)
4к
k^t
4к
— го.
Итак, чтобы решить поставленную задачу, в формулах (14) ki и /с2
надо выбрать так, чтобы выполнялись приближенные равенства (17).
Для этого положим
и — wo —
-
Г — Го —
и = Wo - hk4
v — Го — hk.
где X 1, h = uQ — wi, Z2 — г0 — ri (если X = 1, то и — wi и
г — п). Значения и и г из (18)Диофант подставляет в (13) и находит
(19)
8 (4а + 2) к2 — 4к (4а 4' 2 + к2) (ио 4- го)
4 (4а 4- 2) к2 — 4к (4а -Ь 2 Ц- к2) (ио 4~ го) 4" (/ш + 2 4- к2)2
Подставляя это значение X в формулы (18), мы найдем рациональ-
ные и и г такие, что и2 4" ъ2 + rjj == 2а + 1, и, кроме того,
263
КОММЕНТАРИИ
— — — = г;2 — а.
2 х2
будет иметь и щ, v гч; все условия задачи будут выполнены
Остается из соотношений (1) найти
(20)	1- + А = и2 — а и
В случае, рассматриваемом у
4а + 2 4^2	о	51	9
I/O - --'----- ~ О - -- ,
4Л	20	20	’
4д4-2+^2	о	51	11
4/с	20	20
и формулы (18) принимают вид
□	9 л
и = 3 — — Л,
20 '
V = 2 +—
20
Формула (19) дает тогда X = 100/101, и, следовательно,
„ _ q 45 _ 258	, _ 9 । 55 _ 257
101	101	101	101 '
Отсюда
1	, 1	/258\2__6_	5358	1	_ 1	_ 4843
2	х2	\101 ]	10201	’ 2 х2 10201	’
Итак, схема решения аналогичных
щая. Решается первое из уравнений (1),
ное на х2 = 4?/2:
(21)	2(2а + 1)у2 + 1 =
задач Диофантом следую-
предварительно умножен-
(2уи)2,
где за сторону квадрата, стоящего справа, принимается ку + 1.
Коэффициент к выбирается рациональным и возможно близким к
1^4а + 2. После этого из уравнения (21) Диофант находит у, а сле-
довательно, и и. Затем в качестве первого приближенного решения
принимает щ - и и равное найденному значению и. Затем Дио-
фант на основании известного решения u0, vQ уравнения (2) находит
и полагает
h = uQ — и±, l2= v0 — v1
It --- IZ.Q ---- У ------------	•
Подставляя эти значения и и v в (13), Диофант находит Л, а тем са-
мым и и г/, удовлетворяющие условиям задачи. Затем по формулам
(20) находит те части, на которые требуется по условию разложить
единицу.
264
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Если проделать все выкладки, приняв а = 6, и0 — 3, г?0 = 2,
к ~ 4,7, что допустимо согласно неравенству (12), то получим
2358198	2205317
	 v =---,
895481----------------895481
и, следовательно, для решения задачи единицу надо подразделить
на части
749780479038 f 52105742323
801886221361 П 801886221361 ’
8. Задача Vlo эквивалентна системе
При решении этой задачи Диофант впервые прибегает к геомет-
рической интерпретации искомых чисел в виде отрезков прямой.
Интерпретация выдержана в духе «Начал» Евклида. Впрочем, пос-
ле этого он быстро переходит к обычной алгебраической трактовке.
Положив а — 2, b = 6, он приходит к задаче разложить число
а + & + 1 [=9] в сумму двух квадратов Y* + У*, из которых
один, например У*, удовлетворяет неравенству
2 <	< 3.
Пусть Уг = х, тогда У| = 9 — я2, причем
У 2 < х< /3.
В качестве приближенных значений для этих радикалов Диофант
берет 17/12 и 19/12. Первое из них получается по методу «боковых
и диагональных чисел» пифагорейцев, который был обоснован в
«Началах» Евклида (кн. II, предл. 9).
Согласно этому методу каждое следующее приближение цп/£п
для Y2 получается из предыдущего	по формулам
лучим последовательные приближения —
fen ^In-l > fen-l’
Если в качестве первого приближения выбрать ~ тц =? 1, то по
7	17	41
5 ’ 12 ’ 29” '
которые, как нетрудно видеть, совпадают с теми, которые по-
лучаются при разложении У"2 в непрерывную дробь.
265
КОММЕНТАРИИ
Аналогично, для У 3 последовательные приближения можно
получить по формулам %п =	+ gn_r т]п = т]п_х + З^
(о том, что пифагорейцы действительно пользовались такими фор-
мулами для приближенного вычисления У 3, см. в статье М. Е. П а-
е в а «О приближенном вычислении квадратных корней в Древ-
ней Греции», Историко-матем. исследов., вып. XVI, М., Наука,
1965, стр. 219—234). Получим последовательность приближений
2	5	14	_ 7	19	52 __ 26
1	’	3	’	8	4	’ 11	’ 30	15
Диофант выбирает в обоих рядах четвертое приближение, только
«подправляет» дробь 19/11, беря меньшее значение 19/12. Далее,
он полагает 9 — ж2 = (3 — /се)2, где к— новое переменное, которому
Диофант, против обыкновения, не придает конкретного числового
6/с
значения. Тогда х =---------, и Диофант требует, чтобы
/с2 4- 1
17^ 6/с < 19
12 Л’ + 1	12
откуда
3,504 . . . < к < 3,984 . . .
и Диофант выбирает к — 3,5г). Ясно, что в качестве к можно выбрать
и любое другое рациональное число из заданного интервала. Каж-
дому такому числу будет отвечать рациональное решение задачи.
Заметим, что в этой задаче Диофант не накладывает специаль-
ных условий на числа а и Ь, но выбирает их так, чтобы
а 4- b+ 1 - П,
а ему известно, что каждый квадрат можно разложить на сумму
двух квадратов бесконечным числом способов.
1 Выбранное Диофантом значение к = 3,5 лежит вне полученного интервала;
однако, если исходить из более точного условия V*2 <
6fc
/f24-1
то
для к получим более широкий интервал возможных значений 3,146.. . <
< к < 3,992. . ., и выбранное Диофантом значение лежит внутри этого интер-
вала. Заметим, что к можно было бы взять и из другого интервала 0,2509. . .<
< к < 0,2853 . . . (или более широкого интервала 0,2504 . . . < fc < 0,3178. . .,
если исходить из б;олее точного условия), Диофант обычно рассматривал
лишь один интервал.
266
АРИФМЕТИКА КНИГА V
9. Задача Vu эквивалентна системе
из которой легко следует, что
У*+ У*+ У* = За + 1.
Поскольку не каждое целое число N представимо в виде суммы трех
квадратов, целых или дробных, то Диофант накладывает ограниче-
ние на число а: оно не должно иметь вид 8п + 2, т. е. число N =/=
=/= 24к + 7. Еще Ферма заметил, что это ограничение недостаточно,
так как суммою трех квадратов непредставимы все числа вида
4™ (8к + 7). Весьма вероятно, что Диофант не рассмотрел чисел
этого последнего вида, так как предполагал, как и в случае задачи
Ve, что представляемые суммой трех квадратов числа уже свободны
от квадратных делителей. Ход решения этой задачи тот же, что и
у Уэ. Диофант полагает а = 3, тогда За + 1 = 10 и задача сводится
к представлению числа 10 в виде суммы таких трех квадратов,
каждый из которых больше 3: У? 4- У? + У? = 10, У? > 3.
Опять Диофант сначала отыскивает такую дробь 1/я2, чтобы
10
3
или, умножая все на 9, заменяя х на Зу и умножая на р2,
ЗОр2 1 = z2.
Поскольку 30 = 25 4~ 5, т. е. имеет вид тп2 + т, то уравнение ре-
шается подстановкой (см. комментарий к V») z — by + 1, откуда
у — 2 и 1/ж2 = 1/36, т. е. каждый из квадратов должен быть
121	10	1
близок к —— = — + — , а стороны их, т. е. близки к 11/6.
36	3	36
Затем Диофант выбирает некоторое представление числа 10
16
9
25
суммою трех квадратов: 10=9 +1=9 + — +
25
где р = 3, q = 3/5, г = 4/5. Нужно выбрать новые три квадрата,
стороны которых близки к 11/6.
В первом приближении Диофант полагает Y1~Yi~Y^~ 11/6,
/11\2	363	1
но ЗЛ^) = -gg- = Ю удТогда, так же как и в задаче
267
КОММЕНТАРИИ
V», Диофант находит
. о Н_7_35 ,3	11 _	37	. _4	11 __	31
1	6	6	30 ’ 2	5	6	30 ’	8	5	6	30’
Диофант умножает все на 30 и полагает
У1 = 3 — 35/,
(.)	Г.=|+37<.
Y.-I+31.,
где t должно получиться близким к 1/30. Подставляя эти значения
в равенство У® + У^ + У| = 10, он находит t = 116/3555.
Для уяснения смысла подстановки (♦) можно прибегнуть и к
геометрической интерпретации. Уравнение
м2 _|_ ^2 _|_ ^2 ~ 10
представляет сферу. Точка А (3; 3/5; 4/5) лежит на ней, а точка
1
В (11/6; 11/6; 11/6) — вне сферы, так как 3- (11/6)2 = 10-ту . Прове-
дем прямую через точки Л и В, Уравнение ее будет
или, в параметрической форме,
w = 3 — 35t, v = —4-374, u>=-£ 4-314.
5	5
Точка пересечения этой прямой со сферой и даст новое рациональное
решение, удовлетворяющее условиям задачи: соответствующая ра-
циональная точка будет лежать на сфере, и координаты ее будут
близки к координатам точки В.
К этой задаче П. Ферма сделал следующее замечание
(№ XXVII):
«Условия, наложенные Баше х), недостаточны: более
того, он не провел свои исследования с нужной аккуратно-
стью, так, например, число 37 не исключается этими усло-
виями, но оно не может быть взято.
*) Баше сформулировал следующие условия: данное число а не должно быть
вида 32п 4- 9. Он утверждал, что проверил все числа до 325 в не нашел
ни одного исключения.
268
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Вот каковы должны быть условия:
Возьмем две геометрические прогрессии со знаменателем
4 и имеющие первые члены 1 и 8 и напишем их одну под дру-
гой следующим образом:
1,	4,	16,	64,	256,	1024,	4096 и т. д„
8,	32,	128,	| 512,	2048,	8192,	32768 и т. д„
и рассматриваем сначала первый член второй прогрессии,
т. е. 8; нужно, чтобы данное число не равнялось удвоенной
единице, т. е. члену, стоящему над 8, и не превосходило на
удвоенную единицу кратное от 8.
Затем рассматриваем второй член второй прогрессии,
который равен 32, берем и удваиваем верхнее число, т. е. 4,
что даст 8, и прибавляем к нему сумму всех предшествующих
членов той же прогрессии (в данном случае эта сумма сводит-
ся к единице), что даст 9.
Возьмем число 32 и 9; тогда нужно, чтобы данное число
не равнялось 9 и не превосходило 9 на кратное от 32.
Теперь рассмотрим третий член второй прогрессии, т. е.
128, удвоим стоящее выше число, т. е. 16, получим 32; приба-
вим сумму предшествующих членов той же верхней прогрес-
сии, т. е. 1 и 4, получим 37. Итак, возьмем два числа 128
и 37; нужно, чтобы данное число не равнялось 37 и не пре-
восходило 37 на кратное от 128.
Рассмотрим теперь четвертый член второй прогрессии,
тем же методом получим числа 512 и 149. Итак, нужно, чтобы
данное число не равнялось 149 и не превосходило 149 на крат-
ное от 512.
Это и есть единообразный метод, который можно про-
должать до бесконечности. Он не был указан в общем виде
Диофантом и не был известен самому Баше; исследования это-
го последнего были ошибочны не только для числа 37, как
я это уже указал, но и для 149 и других, которые также по-
падают в границы исследованных им чисел».
10.	Задача V12 эквивалентна системе
pi + Х2 + Х3 = 1,
Xi + а = У®,
х2 + Ь = Y*,
Xs + с = У*
т. е. представляет распространение задачи Vi0 на случай трех И0-
известных. Диофант принимает а = 2, Ь = 3, с = 4 и приходе*^
269
КОММЕНТАРИИ
необходимости разложить число а + b + с + 1 = 10 на сумму трех
квадратов Y2 + У^ + У2, которые удовлетворяют условиям
Диофант не приводит полного решения задачи, намечая только его
план: сначала он предлагает представить 10 в виде
(♦*)
10 = у2 + V2,
где 2 < У^ < 2 */2, & затем v2 разбить на сумму двух квадратов,
удовлетворяющих вторым двум неравенствам (*). Реконструкция
решения Диофанта была проведена его переводчиками и коммен-
таторами Г. Вертгеймом, А. Чвалина, Вер-Экке и Э. Стаматисом.
Мы здесь поясним ход решения. Итак, пусть сначала число 10
надо представить в виде (**), причем 2 < У* < 24г, а 7х/а < v2 <С 8.
Найдем такие дроби 1/ж2 и 1/z2, чтобы
2'/-3 + 2. = р2 и 71/2 + — = а2.
X2	Z2
Методом Диофанта без труда найдем р = 19/12, q — 11/4 — 33/12.
Точка В (19/12; 33/12) лежит вне окружности и2 4~	= Ю. Прове-
дем прямую через точки В и Л (1; 3), лежащую на окружности. Урав-
нение ее будет
и — 1 _ v — 3
1937 “33^ ’
12	12
или, в параметрической форме,
и = lx -|- 1, v — 3—Зж.
Решая совместно с уравнением окружности, получим
х = 2/29, Ух = и = 43/29, v = 81/29.
Следующий шаг состоит в разложении и2 па сумму двух квадратов,
1
один из которых лежит между 3 и З-гу. Это можно сделать методом
задачи Vlo.
11.	Задача V13 эквивалентна системе
4- Х2 4- х3 - а,
= Y'l (i = 1, 2, 3;
i, i + 1 е z3).
270
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Следовательно, У^ + У« + Y% = 2а. Диофант берет а — 10
и, таким образом, приходит к задаче: разложить число 20 на сумму
трех квадратов, каждый из которых < 10 (поскольку У® = Х^ +
+ Xi+1 < Хг + Х2 + Х3 - 10).
Диофант разлагает: 20 = 4 + 16, и поскольку первый из
квадратов уже меньше 10, то остается разложить 16 на два квадрата,
каждый из которых меньше 10 или, еще, один из которых > 6 и < 10.
Диофант предлагает сделать это методом, который уже нам изве-
стен. Очевидно, он имеет в виду метод решения задачи Vlo.
12.	Задача V14 эквивалентна системе
Диофант, как и в предыдущей задаче, берет а — 10. Он не на-
кладывает никаких условий на выбор числа а. По-видимому, ему
было известно, что каждое целое можно представить в виде суммы
четырех квадратов, целых или дробных (см. также задачи IV29_30).
Диофант намечает два пути для решения этой задачи. Первый
из них состоит в применении «метода приближения»: делим сначала
30 на четыре квадрата, каждый из которых <10. Можно принять,
что каждый из этих квадратов примерно равен 7х/2, и, по методу
Диофанта, найти такую дробь 1/я2, что
= С = и2
или
ЗОу2 + 1 = □ = Z2,
где х = 2у.
15	1	121
Положив z — 5у + 1, получим у — 2, х = 4 и и2 —	4- —7 —	,
2	16	1о
т. е. каждая из сторон искомых квадратов дожна быть примерно
равна 11/4 и, кроме того, сумма этих квадратов равна 30:
(*)
30 ~ р2 q2 + г2 + s2.
271
КОММЕНТАРИИ
Но 30 можно представить в виде 30 — 1 + 4 + 9 + 16, т. е. одно
рациональное решение у уравнения (*) уже есть — это (1; 2; 3; 4).
Тогда, как и в задаче V9, находим
, л 11	7
Z2 —2 —
И = _ _3
4	4
11 1
11
4
Умножая все эти значения на 4, получаем
(**)
q = 2 + 3Z, г = 3 — t,
р = 1 + It,
s = 4 — 5t
(t должно получиться близким к 1/4). Подставляя эти выражения
в (*), получим t = 5/21, откуда
Уг = р = 56/21, У2 == q = 57/21, У3 = г - 58/21, У4 = $ = 59/21.
После этого неизвестные найдутся как разности между 10 и квад-
ратами соответствующих значений У$.
Второй способ состоит в том, что число 30 представляется в вп: е
30 = 1 + 4 4- 9 + 16.
Диофант замечает, что квадраты 4 и 9 уже удовлетворяют условию.
Остается разложить число 17 = 1 + 16 на сумму двух других квад-
ратов, каждый из которых < 10. Диофант предлагает сделать это
так, чтобы один из искомых квадратов был > 8*/2 и < 10. Это
можно осуществить методом задачи Ую.
Интересно отметить, что здесь, как и в других местах, единица
не считается полноправным решением задачи; Диофант старается
заменить решение, содержащее единицу, другим рациональным
решением.
13.	Задача V15_17 образуют новый цикл. Соответствующие им
системы имеют вид
(Хг + х2 + Х3)3 ± Xi = У?
(i = 1, 2, 3),
причем верхний знак отвечает задаче Vls, а нижний — задаче 16
и
Xi - (%! + х2 + Х3)3 - У?
G = 1, 2, 3)
для задачи V17. По своей постановке они аналогичны задачам
П34_35 и	только в предшествующих задачах неизвестные
272
АРИФМЕТИКА КНИГА V
входят в степенях 2, теперь же задача ставится и для неизвест-
ных в третьей степени.
Диофант в задаче V15 полагает
%! + Х2 + Х3 = X,
Х1 = (рз - 1) Xs, Х2 = (у3 - I)*8, Х3 = (6s - 1)х®,
тогда
?i = Рх, Y3 = yx, У3=бх (Р = 2,	у~3,	6 = 4).
Таким образом, все три уравнения удовлетворяются при условии,
что
(рз _|_ уз 6з __ 3)^3 = х
или
рз + 7з + 63 _ 3 •
Для существования рациональных решений достаточно потре-
бовать, чтобы
(1)	р3 + у3 + 63 - 3 = □ = и2.
Последнее уравнение определяет кубическую гиперповерхность
в четырехмерном пространстве. Для ее рационализации Диофант
закрепляет один из кубов, полагая 6 = т (он берет щ = 2), а два
других неизвестных выражает как линейные функции параметра:
Р = at -р 6,
у = ct -|- d.
Коэффициенты он подбирает так, чтобы
1) при подстановке в уравнение (1) уничтожились члены третье-
го порядка,
2) коэффициент при t2 был бы полным квадратом.
Для выполнения первого требования достаточно положить
а = — с — 1, что и делает Диофант. Тогда коэффициентом при
t2 будет 3 (6 + d), т. е. надо потребовать, чтобы Ь -]- d = ЗА’2.
Диофант выбирает А2 = 1, 6=1, d ~ 2, тогда уравнение (1) при-
нимает вид
9/2 „ 9/ тз 6 =
Если положить сторону неизвестного квадратараздой I
(I = 4), то получим
Z2 _ т3 _ 6 Г 2“
6/ — 9	_ 15
после чего найдем рациональные значения р, у и 6.
273
КОММЕНТАРИИ
Заметим, что решению Диофанта можно придать простую гео-
метрическую интерпретацию. Условие д = т равносильно пересе-
чению гиперповерхности (1) пучком гиперплоскостей. В сечении
с каждой из этих гиперплоскостей получается кубическая поверх-
ность в пространстве (р, у, z). Перейдем теперь к проективным ко-
ординатам. Тогда уравнение поверхности (1) примет вид
(Г)
где
и3 + г3 + (т3 — 3) т3 = пгт,
Подстановка Диофанта эквивалентна проведению пучка плоскостей
(2)
и v — (6 4- d) т — Zt,
каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую
(3)
л/ -J- v = Zt,
т = О,
лежащую на поверхности (Г). Неопределенным при этом остается
параметр Z.
Всякая плоскость пересекает поверхность (Г) по кривой третье-
го порядка, а каждая плоскость пучка (3) — но кривой, которая
распадается на две компоненты: прямую (3) и кривую второго
порядка:
(4)	3Zu2 — 3Z2tu + (m3 + I3 — 3) т2 = w2.
При этом каждая из плоскостей (2) будет касаться поверхности
(Г) в двух точках: А (1; — 1; 1^31; 0) и В (1; — 1; — T^3Z; 0),
которые будут точками пересечения прямой (3) с кривой (4). Теперь
остается только подобрать параметр I так, чтобы точки А и В были
рациональными. Для этого достаточно положить, следуя Диофан-
ту, I = 3/с2.
Интересно отметить, что по схожему пути следуют и современ-
ные исследования арифметики кубических поверхностей. Для отыс-
кания рациональных точек таких поверхностей проводят через
известную рациональную точку М поверхности касательную пло-
скость. Эта плоскость пересечет поверхность по кривой третьего
порядка, для которой М будет двойной точкой. Поэтому получен-
ная кривая будет рода 0 и ее можно униформизпровать в рациональ-
ных функциях над полем рациональных числе Q. У Диофанта кар-
тина получается несколько иной, так как плоскость (2) проходит
через прямую, лежащую па поверхности, т. е. кривая, полученная
в сечении, оказывается приводимой.
274
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Задача V17 решается тем же методом.
При решении задачи Vie Диофант полагает
1 ~ 75? I
Лл 4" ^2 4” %3 ~
\	о3/
тогда все три уравнения удовлетворяются при условии, что
причем
Диофант накладывает па искомые кубы еще одно условие, а именно:
Тогда z2 > 2. Диофант выбирает 22 = 9/4 и получает
рз  ^3 ‘ $3	4 
Далее, Диофант домножает числитель и знаменатель 3/4 на 54,
тогда знаменатель будет 216 = 63, а числитель 162. Он представляет
его в виде 162 = 125 4~ 64 — 27, не объясняя, как было получено
это разложение.
П. Таннери предположил, что разложение Диофанта было
получено следующим образом:
216 = 63 = 53 4- 43 4- З3,
или
i = m3+f-V+-
\ в /	\6 /	8 
1 1
Вычитая из обеих частей равенства 2- — = — , подучим
8	4
3 = / 5_\3 . / £\з __ / _з \з
4	\ 6 J + \ 6 j \ 6/ ’
или
А -216 = 162 = 53 + 48 — 3».
4
Знал ли Диофант, что всякое целое или рациональное число
можно представить в виде суммы трех рациональных кубов?
275
КОММЕНТАРИИ
Предложение это, как видно из замечания Ферма, которое мы
приводим ниже, не было известно ни ему, ни тем более Баше и Виету.
О нем не знал и Эйлер, Доказано оно было только в XIX веке (см.
L. Е. Dikson, History of the theory of numbers, t. II, New York,
1966, s. 726).
Диофант не ссылается на то, что оно было установлено им в ка-
ком-либо из не дошедших до нас произведений, с другой стороны,
он не накладывает никаких ограничений на разлагаемые числа.
Скорее всего, он нашел это предложение чисто эмпирически, но не
мог обосновать его.
Далее, Диофант утверждает, что разность двух кубов всегда
можно представить в виде суммы двух других кубов. При этом он
ссылается на предложение, доказанное им в не дошедших до нас
«Поризмах». Об этом предложении, которое с помощью методов
Диофанта доказали Р. Бомбелли, Ф. Виет, Баше и П. Ферма, см. в
комментариях к IV1-2.
Пусть
тогда, возвращаясь к первоначальной задаче, положим
что и даст решение задачи.
Замечание Ферма к задаче Vie (№ XXVIII):
«Либо греческий текст испорчен, либо Диофант не из-
ложил способа решения. Баше полагал, что Диофанту помог
случай, однако мы не можем этого допустить, так как мы
думаем, что метод Диофанта нетрудно отыскать.
Требуется найти квадрат, больший двух и меньший трех,
такой, что по вычитании его из трех получается число, кото-
рое представляется суммой трех кубов.
Возьмем в качестве стороны искомого квадрата некоторое
число X минус 1, например X — 1. Если отнять от трех
квадрат этого, то останется
2 — X2 + 2Х,
которое нужно представить в виде суммы трех кубов так,
чтобы получилось равенство между двумя членами, имею-
щими последующие степени.
Это можно сделать бесконечным числом способов: пусть
сторона одного из кубов будет 1 — У8Х, другого же 1 + X
276
АРИФМЕТИКА КНИГА V
(чтобы в сумме этих двух кубов член первого порядка был
бы 2Х)\ сторона третьего куба должна состоять из одного
члена, содержащего X, который к тому же надо снабдить
знаком минус, чтобы значение X оставалось в намеченных
пределах; нетрудно выбрать коэффициент этого члена, со-
держащего X, так, чтобы решение действительно лежало
внутри пределов, о которых шла речь.
После того, как это сделано, ясно, что наш первый куб
будет меньше единицы, как это было желательно; напротив
того, второй больше, а третий снабжен знаком минус; нужно
найти два куба, сумма которых равнялась бы разности вто-
рого и третьего; мы придем, таким образом, каки Диофант,
ко второй операции.
„Из «Поризмов» мы имеем,— говорит он,— что раз-
ность всяких двух кубов равна сумме двух кубов“.
Здесь Баше вновь находится в затруднении, и, поскольку
«Поризмов» Диофанта у него нет, он считает, что задача воз-
можна только при некоторых ограничениях; он учит, как
разложить на два куба разность двух кубов, но только при
условии, что больший из заданных кубов превосходит уд-
военный меньший. Он откровенно признается, что не знает,
как можно в общем случае разложить на два куба разность
двух произвольных кубов. Мы изложили выше по поводу
задачи IV2 общее решение этого вопроса, а также других,
относящихся к тому же предмету».
14.	Задача V18 эквивалентна системе
f	Xi + Х2 + Х3 = и2,
ИХ, + Х2 + Х3)3 + Xi = Y* (i = 1, 2, 3).
Если положить
Xi + Х2 + Х3 = х2,
Xi = (₽2 - 1) х*, Х2 = (у2 - 1) х®, Х3 = (б2 - 1) хв
(Р = 2, у = 3, б = 4),
то
Yi~ Ря3, Y2 = ух3, У3 = бх3
и все четыре уравнения системы обращаются в тождества при уело*
вии, что
(Р2 + у2 + б2 — 3) х6 = х2,
т. е.
02	Д2 _ 3 =
277
КОММЕНТАРИИ
Замечательно, что Диофант решает эту последнюю задачу
в общем виде. Он полагает Р2 — 1 равным i4 — 2f2 (для неизвестно-
го он применяет тот же символ, который был уже употреблен
в первой части задачи), у2 — 1 = t2 + 2t и б2 — 1 = t2 — 2t.
Тогда (Р2 —- 1) + (у2 — 1) + (б2 — 1) = /4.
Возвращаясь к первоначальной задаче, Диофант полагает
t = 3. Он вынужден был сделать это, так как располагал только
одним символом для обозначения неизвестного. На самом деле,
следуя ходу его мыслей, надо положить
(t4 - 2t2) я6,
Х2 = (i2 + 2t) х\
Х3 = (t2 — 2t) хе.
Тогда все уравнения удовлетворяются, если + Х% + Х3 ~ х2
откуда х = 1/f и неизвестные выразятся как рациональные функции
одного параметра:
v J2 —2 v t+2 v t — 2
15.	Задача Ую эквивалентна системе
Решение этой задачи утеряно. Фрагмент, помещенный в тексте
непосредственно после условия, представляет решение другой
задачи. Баше предположил, что между задачами Vi8 и V20 были
вставлены еще три задачи, а именно:
Фрагмент решения относится к последней из вставленных
задач, причем предполагается, что а = 2.
Реконструкции решения задачи 193, основанные на дошедшем
фрагменте, приведены в комментариях к «Арифметике» Г. Вертгей-
ма, Вер-Экке и Э. Стаматиса (см. соответствующие издания «Арифме-
тики» Диофанта).
Э.	Стаматис предложил также реконструкции решений задач
Vi®, Vi9t и Vi9j, из которых мы приведем здесь решение задачи Vw:
278
АРИФМЕТИКА КНИГА V
«Положим опять сумму трех искомых равной х\ а каж-
3	8	15
дое из них — одно — Xе, другое — х6 и третье х6. По-
4	9	16
лучается, что куб суммы всех трех по вычитании каждого из
них дает квадрат.
Остается приравнять сумму этих трех квадрату. Но их
371
сумма будет —~ х6, приравниваем ее х2. После разделения
144
371
на х2 получится, что -----х4 = 1.
144
Но 1 есть квадрат, имеющий стороной тоже квадрат;
371
следовательно, — х4 тоже должно быть квадратом, имеющим
144
стороной квадрат. Если бы 371/144 было квадратом со сто-
роной квадратом, то задача была бы решена. Откуда же полу-
чилось количество х4? Оно получилось после вычитания из
3 трех квадратов, каждой из которых был меньше 1; дело
приводится к отысканию трех квадратов, каждый из которых
меньше 1, а их сумма, вычтенная из 3, была бы квадратом
с квадратной стороной.
Ищем теперь каждый из этих квадратов, меньших 1.
Если мы возьмем три числа, сумма которых меньше 1, то
каждое из них в отдельности будет гораздо меньше 1; таким
образом, остающийся после вычитания квадрат с квадратной
стороной должен быть больше 2; пусть он будет 1296/625.
Теперь нужно 579/625 разложить на три квадрата; один из
них будет 529/625, другой 49/625, третий 1/625.
Теперь возвращаемся к первоначальной задаче и опять
Qfi
полагаем сумму трех чисел х2, а из искомых одно .— х6,
625
576 й	624 п тт
другое ----хв и третье ------х6 . И получается, что куб
62b	62о
суммы трех чисел после вычитания каждого дает квадрат.
Остается сумму трех приравнять х2, сумма же трех будет
1296	1296
х6 ; разделив обе части на х3, получаем._х4 = 1. Их
625	625
равняется 5/6.
К подстановкам».
16.	Задача V20 эквивалентна системе
Х1 + Х2 + Х3 = р/д,
lxi-(x1 + x2 + x3)3 = У?
(1 = 1, 2. 3).
279
КОММЕНТАРИИ
Диофант берет p/q — V4, тогда
и дело сводится к представлению 13/64 суммою трех квадратов, что
сделать нетрудно, так как 13 = 4 + 9 и любой из этих квадратов
(Диофант выбирает 9) можно представить в виде суммы двух рацио*
нальных квадратов (см. задачу П8).
17.	Задача V 21 эквивалентна системе
X*X*X* + X? = У? (i = 1, 2, 3).
Диофант ищет три квадрата р2, q2, г2, которые удовлетворяю»
уравнению
(*)	и2 + 1 = □.
Если такие квадраты будут найдены, то положим
2у2у2 _
1Л2Л3 '	’
Х2 = дх,
Xs — гх.
Хх = рх,
Тогда все уравнения системы обратятся в тождества при условии,
что p2q2rV = х2. Для решения (*) Диофант замечает, что во вся-
fl2 , , _ с2
ком прямоугольном треугольнике (а, 6, с):	1 ~	> поэтому
можно положить р = — , q ~	,
bi	Ьз
!ауаъаЛ2^ _	т е Qifl2fl3 = 1
\b1b2b3/	’	ЬгЬ^Ьз ж2
г = — Но тогда
Ьз
ИЛИ <^1^2 «3^1 ^2^3 — } | •
Диофант принимает сторону неизвестного квадрата равной произ-
ведению катетов одного из треугольников, пусть это будет с3Ь3,
а катеты другого треугольника, пусть и Ь15 принимает равными
3 и 4, тогда 12а2Ь2 = fl3b3.
Обе части равенства можно разделить на 4 — наибольший квад-
рат, содержащийся в 12 (или, если угодно, можно считать, что сто-
рона неизвестного квадрата равна не а3Ь3, а 2а363); тогда
а3 b3 — 3 д2 b2 •
Итак, мы приходим к задаче: найти два прямоугольных треуголь-
ника, площади которых имеют отношение 3:1. Диофант приводит
два треугольника, обладающих нужным свойством, а именно
(9, 40, 41) и (15, 8, 17), не объясняя, как они были найдены.
Формулы для нахождения прямоугольных треугольников в ра-
циональных числах, площади которых имели бы заданное отношение,
280
АРИФМЕТИКА КНИГА V
приводит в своем замечании Ферма, однако и он не говорит, как он
нашел эти формулы.
Замечание Ферма (№ XXIX):
«Вот как я восстанавливаю и объясняю метод Диофанта,
который Баше не понял.
Взяв в качестве первого треугольника (3, 4, 5), для
которого произведение сторон, содержащих прямой угол,
есть 12, Диофант говорит: „Придется искать два прямоуголь-
ных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного
было в 12 раз больше произведения катетов другого".
Основа этого заключается в том, что если перемножить
между собой эти два произведения, то получится плоское
число, подобное 12, и, значит, умножая это последнее число
на 12, получим квадрат, что и требуется в задаче.
Диофант продолжает: „или чтобы площадь одного была
в 12 раз больше площади другого",— что ясно само по себе.
Далее: „Но если в 12, то можно и в три**; действительно,
разделив 12 на квадратное число 4, получим 3; и перемно -
жение всех оснований и высот даст квадрат, так как деление
квадрата на квадрат дает квадрат.
Продолжение текста Диофанта не доставляет решения
задачи, но мы восстанавливаем его так:
В данном случае образуем один из треугольников из
чисел 7 и 2, а другой — из 5 и 2. Первый треугольник будет
иметь площадь, в три раза большую, чем второй, и оба они
удовлетворяют задаче.
Вот общее правило для нахождения прямоугольных тре-
угольников, площади которых находятся в заданном отно-
шении.
Пусть заданное отношение будет R к S и R больше 5.
Больший треугольник образуем из
меньший — из
2R + S и R — S,
R + 2S и R — S.
Иначе1).
Первый треугольник образуем из 27? — S и 7? + S,
второй треугольник образуем из 2S — R и 7? + Л’.
|) Треугольники, которые выбрал Диофант, найдены именно этим вторым
способом. Они отвечают значениям R = 3, S — 1, причем второй треуголь-
ник должен быть образован из чисел R — 2S, R 4- 8. (Прим, ред.)
281
КОММЕНТАРИИ
И и а ч е.
Образуем первый треугольник из 6/? и 2R — S,
образуем второй треугольник из 42? + S и — 2S.
Иначе.
Образуем первый треугольник из R + 461 и 2R — 4А,
образуем второй треугольник из 62? и R — 2S.
Из предыдущего можно извлечь метод нахождения трех
прямоугольных треугольников, площади которых пропорцио-
нальны трем данным числам, лишь бы сумма двух из этих
чисел равнялась учетверенному, оставшемуся.
Пусть даны, например, три числа R, S, Т, и пусть R, S
вместе составляют учетверенное Т. Тогда три треугольника
образуем следующим образом:
первый из R + 46* и 22? — 4£,
второй из 62? и 2? — 2S,
третий из 4*V + Т и 461 — 2Т.
Мы предполагаем здесь, что 2? больше Т.
Равным образом можно отсюда извлечь метод нахождения
трех прямоугольных треугольников в числах, площади кото-
рых образуют прямоугольный треугольник.
Вопрос можно свести к нахождению треугольника, у кото
рого основание и гипотенуза равны учетверенной высоте.
Эта задача нетрудная, и искомый треугольник будет подобен
следующему: 17, 15, 8.
А эти три треугольника образуются [числами]:
первый 49 и 2, второй 47 и 2, третий 48 и 1.
Равным образом можно извлечь метод нахождения трех
треугольников, площади которых пропорциональны трем
данным квадратам, если только два будут равны учетверен-
ному оставшемуся',таким же путем можно найти три тре-
угольника с одинаковой площадью, мало того, можно беско-
нечным числом способов построить два прямоугольных тре-
угольника, площади которых находятся в заданном отноше-
нии, умножая один из членов отношения или оба на заданный
квадрат, и т. д.».
18.	Задача V22 эквивалентна системе
А1Х2Лз — xi = Yi (« =	2, 3).
План решения тот же, что и в предыдущей задаче.
282
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Диофант берет три прямоугольных треугольника (а1ч gJ,
(«2, Ь2, С2) и (я3, Ь3, с3), поскольку
л Ь2 I а \2
1“с-= У ’
он полагает
= Xt = hx, Х2 = Ь.х, Хз = ^я.
1 z d	Cl	C2	Сз
Тогда все уравнения системы удовлетворяются при условии, что
(Ь1Ы)з\2 * _ 2
I 	 I «Л/	-— Лу *
\C1C2C3 /
или
&1&2&3C1C2C3 =
Диофант принимает bi = 4, ci = 5, а сторону неизвестного квад-
рата — равной Ь3с3, тогда
20fc2c2 ~
или, как и в предыдущем случае, сокращая на 4, получим
“ ^3С3'
Для решения этой задачи Диофант берет сначала два треуголь-
ника, площади которых относятся, как 1:5. Он выбирает треуголь-
ники (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Исходя из них, он ищет два других тре-
угольника, в одном из которых произведение катета на гипотену-
зу равно 6, а в другом — 30. Диофант не говорит о том, как он на-
шел эти треугольники. Он мог для этого воспользоваться тем, что
числа
ab _______ а2 — Ь2
Тс
составляют прямоугольный треугольник, где (а, Ь, с) — некоторый
прямоугольный треугольник в рациональных числах.
Действительно, исходя из двух выбранных им треугольников,
найдем
Hi = 12/5, By = 7/10, Су = 5/2;
А2 = 60/13, В2 = 119/26, С2 = 13/2.
Диофант выбирает подобные им треугольники, а именно
(7, 24, 25) и (119, 120, 169). Эти треугольники вместе с треугольником
(3, 4, 5) и дадут катеты и гипотенузы, нужные для решения задачи.
Поскольку Диофант не изложил метода нахождения треуголь-
ников, обладающих нужным ему свойством, Ферма решил воспол-
нить этот пробел. Приводим его решение.
283
КОММЕНТАРИИ
Замечание Ферма (№ XXX):
«При рассмотрении вопроса 25 [у нас задача V22. —
И. Б.] Баше, как и в предыдущем случае, оставил в стороге
метод Диофанта, который нужно еще выявить и объяснить.
Нужно найти два прямоугольных треугольника таких, чтобы
произведение катета и гипотенузы одного из них имело задан-
ное отношение к произведению катета и гипотенузы другого.
Этот вопрос долго нас мучил, и тот, кто попробует его
решить, сможет убедиться, что он действительно труден,
но наконец был открыт метод общего его решения.
Пусть требуется найти два треугольника таких, что про-
изведение катета и гипотенузы одного из них вдвое больше
произведения гипотенузы и катета другого.
Пусть один из треугольников образован из чисел Л и В,
а другой — из чисел А и Л. Для первого треугольника
произведение катета на гипотенузу будет
2ВЛ3 + 2В3Л,
а для второго — произведение катета на гипотенузу будет
2ZL43 + 2D3А.
Требуется, чтобы 2ВЛ3 + 2В3Л было вдвое больше про-
изведения 2DA32D3A; следовательно,
BA3 + В3А = 2DA3 4- 2В3А;
деля все на А, получим
ВА2 + В3 = 2DA2 + 2D3,
или, переставляя члены,
2D3 — В3 = BA2 — 2DA2.
Это значит, если частное от деления 2D3 — Б3 на Б — 2D
будет квадратом, то задача будет иметь решение.
Значит, нужно найти два числа, В nD, удовлетворяющие
условию, что удвоенный куб одного минус куб другого, разде-
ленный или умноженный (что приводит к тому же) на удво-
енное второе минус первое, будет квадратом.
Положим первое X + 1, второе же 1. Удвоенный куб
первого минус куб второго даст 1 + 6Х + 6Х2 + 2Х3. Уд-
военное же второе минус первое 1 — X.
Итак, произведение 1 — X на 1 + ОХ + 6Х2 + 2Х3 долж-
но дать квадрат. Но их произведение равно 1 + 5Х — 4Х3 —
—2Х4, которое можно приравнять квадрату на 1 -}-
5 y 25 j/g
4-	’ Остальное не составит труда.
284
АРИФМЕТИКА КНИГА V
Чтобы распространить этот метод на случай произволь-
ного отношения, достаточно взять в качестве одного из иско-
мых чисел X плюс избыток большого члена отношения над
меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток,
что мы и сделали для отношения 2 к 1. Действительно, при
этом свободный член в окончательном произведении будет
квадратом, и уравнение будет решаться без труда. Этим спо-
собом придем к двум числам, которые мы обозначили В и D,
а затем вернемся к первоначальному вопросу.
Просматривая еще раз то, что было написано по поводу
задачи 25 Диофанта, я хотел было все стереть, так как на
самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение кото-
рого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении од-
ного вопроса к другому, тем не менее этот последний был ре-
шен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно
помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его
написали на полях.
Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследо-
ванию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец
общее решение; однако мы приведем только один пример,
сами числа которого покажут, что они были найдены не слу-
чайно, но с помощью регулярного метода.
В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных
треугольника при условии, что произведение гипотенузы
и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета
другого отношение, как 5 к 11.
Вот два таких треугольника:
первый треугольник имеет
гипотенузу 48543669109,
основание 36083779309,
высоту 32472275580,
второй треугольник имеет	гипотенузу
основание
высоту
19.	Задачи V23, V24 сводятся соответственно к
Задачи V25 и V26 — к задачам V22 и V23.
20.	Задачи V27 и V28 эквивалентны системам
42636752938,
41990695480,
7394200038».
задачам V22,
285
КОММЕНТАРИИ
В первом случае Диофант берет а ~ 15, во втором а = 13. Мы
приведем здесь ход решения для первого случая. Диофант закреп-
ляет одно из неизвестных, полагая — у (у — 3), тогда первое
и третье уравнения примут вид
+ (т2 + Л) = Y{,
А| + (у2 + а) У2.
Число у2 + а Диофант разлагает на два множителя двумя раз-
личными способами:
Л о . г2 -4- а Т2 + & Л
у 2	а _. J—। . рХ — j ! . дх,
рх	дх
так чтобы р2 + <72 = г2 (/? — 6, q ~ 8), и принимает
тогда
и первое и третье уравнения удовлетворены, а второе дает
или
Если подобрать произвольные множители р и q так, чтобы р2 +
+ q2 = г2 (что, как мы видели, и делает Диофант), то все три члена
левой части последнего уравнения будут полными квадратами.
Диофант полагает У2 == гх/2, тогда
(У2 4- а)2 . г2 =
4	p2q2&
и
__ 1 У2 + а г
2 у рд ’
После этого неизвестные определяются как рациональные функции
параметров у, р, д, причем последние два параметра связаны соот-
ношением	= г2.
Заметим, что при выбранных Диофантом значениях параметров
неизвестные Х2 и Х3 получаются отрицательными ( — 1/10 и
— 23/15), однако Диофант принимает эти решения, так как он ищет
квадраты неизвестных, которые, разумеется, получаются положи-
286
АРИФМЕТИКА КНИГА V
тельными. Таким образом, его нисколько не смущает, что проме-
жуточные значения отрицательны.
Ферма сделал замечания к обеим этим задачам.
Замечание к задаче V27 (№ XXXI):
«Благодаря этой задаче мы получаем решение вопроса,
который без этого казался очень трудным:
Дано число, найти четыре числа, сумма любых двух
из которых при прибавлении данного числа образует квадрат.
Пусть дано число 15; сначала найдем по методу этой за-
дачи три числа, сумма любых двух из которых вместе с задан-
ным числом образует квадрат. Пусть эти три квадрата будут
9, 1/100, 529/225.
Положим первое из искомых четырех чисел равным
№ — 15, второе 6Х + 9 (где 9 является одним из найденных
квадратов, а 6 — коэффициент при X — удвоенная его сто-
рона) ; по тем же соображениям третье положим X 4-
_________ ________46 v . 529
100
и, наконец, четвертое ~ X 4-
15
225 •
Благодаря этому три из условий удовлетворяются, так
как если взять сумму первого числа и какого-нибудь из
оставшихся и если прибавить 15, то будет квадрат.
Нужно еще, чтобы получились квадраты, если прибавить
15 либо к сумме второго и третьего, либо к сумме третьего
и четвертого, либо к сумме второго и четвертого. Получится
тройное равенство, решение которого очевидно, так как
конструкцией, метод которой мы заимствуем из данпой зада-
чи, можно в каждом из выражений, которые мы приравниваем
квадратам, сделать свободный член квадратом. Смотри по
этому поводу сказанное нами относительно задачи VI24»
[в настоящем издании к VI22.— И, Б.).
Замечание Ферма к задаче Уг8 (№ XXXII):
«Способом, аналогичным примененному к предыдущему
вопросу о нахождении четырех чисел, сумма любых двух
из которых, увеличенная на данное число, образует квадрат,
можно решить и этот вопрос о нахождении четырех чисел,
сумма любых двух из которых, уменьшенная на данное число,
образует квадрат.
Л именно положим: первое число равным X2 + данное
число, второе число — сумме первого квадрата, найденного
в этой задаче, и удвоенной его стороны, умноженной на X,
и т. д. Остальное очевидно».
287
КОММЕНТАРИИ
21.	Задача V29 эквивалентна уравнению
X4 + У4 + Z4 =
V2.
Схема решения Диофанта такова. Чтобы уничтожить члены четвер-
той степени, он делает подстановку
V = X2 — (У2 + Z2),
причем первое число он выбирает в качестве основного неизвест-
ного, а двум другим придает произвольные числовые значения „
Тогда
Поскольку последняя дробь должна
бует, чтобы
быть квадратом, Диофант тре-
т. е. У и Z должны быть катетами прямоугольного треугольника
в рациональных числах; значит,
У = Р2 — а2,
Z = 2ра,
третье искомое число X будет
у = 23а (Р2 - а2)
,В2“+ а2 ' '
Таким образом, неизвестные выражаются как рациональные функ-
ции двух параметров. Решение Диофанта отвечает значениям а = 1,
₽= 2.
Замечание Ферма (№ XXXIII):
«Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых
была бы квадратом! Конечно, потому, что эта задача невоз-
можна, как это с несомненностью показывает наш метод
доказательства».
22.	Задача Узо, завершающая книгу, формулируется в виде
эпиграммы. Текст ее испорчен. Над его восстановлением работали
историки науки и филологи, начиная от Баше и кончая Таннери.
Отметим, что все остальные задачи Диофанта формулируются аб-
страктно, задача V30 — единственная, условию которой придана
псевдо практическая формулировка.
С алгебраической точки зрения задача сводится к системе
8Хг + 5Х2 = У2,
(Xi + Х2)2 = У2 + а-
288
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
Диофант принимает а = 60 и выбирает в качестве основного неиз-
вестного сумму + Х2 ~ х. Тогда
_ 60 = У2.
п X	TZ	1	№ + 60 ту
Диофант принимает Y = х — к и получает х — —2---------. Послед-
нее равенство он формулирует словесно. Далее, он учитывает, что по
условию задачи
5х х2 — 60	8х,
Решая два квадратных неравенства
х2 > 5х + 60 и х2 < 8х + 60,
Диофант получает
11 х 12,
или
что приводит к новым двум квадратным неравенствам, которые дают
19 < к < 21;
2,84 < к < 3,18.
Диофант выбирает к — 20. На самом деле можно взять в качестве
параметра к любое другое рациональное значение, заключенное
в найденных промежутках.
При к = 20 имеем х — 23/2 и Х± и Х2 определяются уже
без труда.
КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ VI
Все задачи этой книги ставятся относительно прямоугольных
треугольников с рациональными сторонами, т. е. таких рациональ-
ных чисел X, У, Z, что
(1)
или, еще, таких, что
X = £2 - ц2, У = 2gT|,
z - g2 + ц2.
Стороны прямоугольного треугольника будем на протздкдодочмв*/
книги обозначать буквами X, У, Z, а неизвестное Д
ми х, С . . .
ValO Диофант
289
КОММЕНТАРИИ
Постановка задач относительно прямоугольных треугольников
позволяет Диофанту вводить в рассмотрение различные функции
неизвестного и параметров как площадь треугольника, его пери-
метр, сумму площади и одного из катетов и т. д.
Таким образом, к общему условию (1) присоединяется еще не-
которая функция
(2)	/ (X, Y, Z) - 0.
Для решения задач этого рода Диофант обычно полагает
X = За:, Y = 4х, Z = 5z,
т. е. предполагает, что искомый треугольник подобен наименьшему
треугольнику в целых числах (3, 4, 5). Далее он оперирует так,
как если бы 3, 4, 5 были произвольными рациональными числами,
удовлетворяющими уравнению (1). Поэтому мы лучше всего пере-
дадим ход его мыслей, если примем, что
(3)	X = pxt Y = qxt Z = rx.
где pyq,r — одно из решений уравнения (1). Подставляя значения
(3) в условие (2), Диофант получает некоторое уравнение относитель-
но /?, д, г их. Из него он находит, какому условию должны удовлет-
ворять р, q, г для того чтобы х было положительным и рацио-
нальным. Таким образом, он приходит к треугольнику (р,^, г),
которому должен быть подобен искомый, а затем находит и коэф-
фициент подобия х.
Только в задаче VI12 Диофант предполагает, что стороны иско-
мого треугольника имеют вид 5я, 12х, 13х. При этом после анализа
задачи оказывается, что следует взять Зх, кх и Зх. Почему же в том
единственном случае, когда искомый треугольник подобен треуголь-
нику (3, 4, 5), Диофант взял в качестве предполагаемого другой?
Очевидно, он это сделал потому, что треугольник (3, 4, 5) сразу же
привел бы к решению и не позволил бы провести анализа. Таким
образом, в качестве произвольных параметров он мог брать любые
рациональные числа, кроме конечного числа таких, которые удов-
летворяют условиям задачи.
Многие теоретико-числовые предложения Ферма были выска-
заны в замечаниях к этой книге. Так, например, Ферма утверждает,
что уравнение
X2 + 2 = Г*
(замечание к VIi?) имеет единственное решение в целых числах,
а именно 5, 3. В замечании к задаче VI23 он развивает теорию трой-
ного равенства. Наконец, в конце наших комментариев мы прнво-
290
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
дим его знаменитое доказательство предложения: не существует
треугольника в рациональных числах, площадь которого была бы
квадратом, из которого следует неразрешимость в целых (а значит,
и в рациональных) числах уравнения
X4 + У4 = Z4.
1.	Задачи Vlx и Vl2 эквивалентны соответственно системам
Z + X = н3,
Z + Y = г'3,
Обе задачи решаются аналогично. Для решения первой из них
Диофант принимает, что X, Y, Z образованы из чисел х и у (у = 3),
т. е.
X = х2 — у2, Y — 2ух, Z = х2 + У2.
Тогда
2у2 — и3, (х — у)2 = v3.
Диофант принимает и = у и получает, что параметр у должен рав-
няться 2. Таким образом, и здесь конкретное число 3 играет роль
произвольного параметра.
Можно несколько обобщить прием Диофанта, положив и = осу,
тогда получим
у = 2/а3.
Второе уравнение дает
/	2\* о
| X — --	— V.
\ ОС8/
Значит, и
ж-2=₽», т. е.	2
а3	а3
Окончательно получим
Решение Диофанта отвечает значениям а = 1, Р == 2,
Во второй задаче Диофанту для обеспечения положительности
решения приходится еще решать линейное неравенство.
2.	Задачи VI3 и VI4 сводятся соответственно к уравнениям
J- XY±m = n,
2
291
КОММЕНТАРИИ
где т— заданное число. В задаче VI3 Диофант берет т = 5, а в зада-
че VI4 — т = 6.
В обоих случаях он ищет треугольник в виде (Зх, 4х, 5х),
причем числа 3, 4, 5 играют роль произвольных рациональных чисел,
удовлетворяющих уравнению X2 + У2 = Z2, истинные значения
которых еще должны быть найдены из условия задачи. Поэтому
примем, что искомые числа X, У, Z равны X — рх, У — qx, Z = гх
(где р2 + д2 == г2). Тогда условие задачи VI3 запишется так:
Положив и ~ кх, получим
**—4"pq
или
(1)
Таким образом, задача приводится к следующей: найти такой пря-
моугольный треугольник (р, q, г) и такой квадрат /с2, чтобы
имело место условие (1). Для решения этой последеней задачи Дио-
фант образует треугольник из чисел t и 1//, т. е. полагает
р = Р — £, 5=^=2, г = t2 + £
г	1	•
Тогда £ = £2 — А . Параметр к Диофант принимает равным t +
и получает
4тЛ2 + т (4тп2 -j- 1) =
Если положить
получим
сторону этого квадрата □ равной 2mt + 19 то
т (4?п2 +1) — I2
4ml
При т » 5, I — 5 получим t = 24/5:
= /24\2 __ I 5 \2 _ 331151
Р [5J	\24/	14400 ’
9 = 2,
. = /24\ 3 । / 5 \2 _ 332401
\5/ Ф\24/	14400 •
292
АРИФМЕТИКА КНИ1А Vi
Далее, к — 112 ,
60 ’
Искомый треугольник 6у-
дет найден:
331151
31800 ’
— qx =
48
53’
332401
“31800 ’
Задача Vl4 решается аналогично.
Замечание Ферма к задаче VI3 (№ XXXIV):
«Ошибка Виета г), без сомнения, имеет такое происхож-
дение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух
биквадратов X4 — 1, чтобы при прибавлении упятеренного
квадрата получился квадрат.
Поскольку заданное число 5 является суммой двух квад-
ратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, умень-
шенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квад-
рата, который нужно упятерить, равной X -J- 1, причем
вместо +1 при X можно взять любое другое число. Упяте-
ренный квадрат от этого будет
5Х2 + 10Х + 5,
он после прибавления площади X4 — 1 даст
X4 + 5Х2 + 10Х + 4,
что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так
как число единиц является квадратом вследствие предполо-
жения, присоединенного в качестве условия.
Но Виет не заметил, что вопрос так же хорошо решается,
если в качестве площади вместо X4 — 1 взять 1 — X4, так
как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное
число 5, 6 или любое другое, умноженное на квадрат, сделать
квадратом после прибавления единицы, что всегда легко
решить, поскольку единица является квадратом.
Мы решили эту и две последующие задачи особым мето-
дом, который позволяет, например, отыскать треугольник,
площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат:
а именно такой треугольник в минимальных числах есть
(9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает
квадрат 25.
О При своем решении Виет предполагал, что заданное число является сум-
мою двух квадратов (как. например, число 5). Такое предположение, как
показывает Ферма, излишне.
КОММЕНТАРИИ
Но здесь не место для развития принципа и применения
этого метода; для этого недостаточны размеры полей, так
как нам надо много сказать по этому поводу».
3.	Задача VI5 эквивалентна уравнению
«-1лгу=а,
решается тем же методом, что и задачи VI3 и VI4.
4.	Задачи VI8 и VI7, эквивалентны соответственно уравнениям
В обеих задачах Диофант берет т ~ 7.
Ход решения таков: Диофант ищет треугольник, удовлетворяю-
щий условиям задачи, в виде X = рх, Y — qx , Z == rx (p = 3,
q — 4, r = 5), тогда
(1)
для существования рациональных решений необходимо и достаточ-
но, чтобы
Р \	1 ™ г~
%) +_mpq=c,
или
р2 + 2mpq — Q.
Кроме того,
р2 4- q2 =
Разделив оба равенства на р2 и обозначив q!p = i, получим
2mt + 1 “ u2,
t2 + 1 == ^’2*
Диофант делает, по существу, то же самое, полагая р = 1.
q = t (это новое неизвестное он, разумеется, обозначает той же бук-
вой, что и первое неизвестное). Решая полученное двойное равен-
ство обычным способом, найдем
ш2 — 1
2т
Диофант берет р, q, г в виде
пг2 — 1
р = иг, q^= —-—
Тогда
294
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
Наконец, решая уравнение (1), получим
2 Г И
37 —*	_ ~—z  
т + 1	4 _
и стороны искомого треугольника будут 7/4, 6, 25/4.
Задача VI? решается аналогично.
Замечание Ферма к задаче VI6 (№ XXXV):
«Это предложение и следующие за ним могут быть реше-
ны иначе: в этом предложении образуем треугольник из за-
данного числа и единицы и разделим все стороны на сумму
данного числа и единицы, получим искомый треугольник» х).
Замечание Ферма к задаче VI? (№ XXXVI):
«Образуем треугольник из заданного числа и единицы
и разделим стороны его на разность данного числа и единицы.
Этот вопрос допускает бесконечно много решений, которые
можно получить тем же методом, что и для двойных уравне-
ний этого типа; мы коснемся этого метода и объясним его
ниже в замечании к вопросу 24 [в нашем издании VI22.—
И.
Более того, четыре следующие задачи также имеют бес-
конечно много решений, чего не заметили ни Диофант, ни
Баше. Но почему ни Диофант, ни Баше не прибавили сле-
дующего вопроса?
Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы один из
его катетов уменьшенный на площадь, составлял данное число.
Кажется, они не знали решения, так как оно не дается
непосредственно двойным равенством; но его можно легко
найти с помощью нашего метода.
Этот третий случай может быть добавлен к последую-
щим вопросам».
5.	Задачи Vie и VI9 эквивалентны соответственно уравне-
ниям
4 ху ±(х + У) = ™,
где, как и прежде, X2 + У2 = Z2. Диофант берет т = 6 и полагает
стороны искомого треугольника равными рх, qx, гх (где р = 3,
q = 4, г = 5), тогда условие первой из задач примет вид
*) Как заметил еще П. Таннери, решение Ферма в точности совпадает с тем,
которое дал Диофант.
295
КОММЕНТАРИЙ
Для того чтобы корни этого уравнения были рациональными, не-
обходимо и достаточно, чтобы
Таким образом, эта задача, как и предыдущие три, сводится к двой-
ному равенству
(р + tf)2 + 2mpq = □,
Р2 + Я2 =
Оба уравнения можно поделить на д2, тогда они будут уравнениями
относительно t = plq. Это, по существу, и делает Диофант, полагая,
р — t, q — 1. Решая двойное равенство
Z2 + 2 (т + 1) t + 1 = и2,
получим
/2 + 1 — г?2»
Диофант берет р = (т + I)2 — 4, q — 4 (т + 1), ? — (т + I)2 +
4- 4 (т. е. треугольник образуется из чисел т + 1 и 2), и искомый
треугольник должен иметь вид
X = [(т + I)2 — 4] я, Y = 4 (т + 1) х, Z = [(m + I)2 + 4]ж,
где х определяется из уравнения (1). Поскольку дискриминант
этого уравнения является полным квадратом, то х получается ра-
циональным.
Задача VI9 решается аналогично.
Замечание Ферма (№ XXXVII) к задачам VI8 и VT0:
«Благодаря нашему методу можно прибавить следующую
задачу:
Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма
сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составля-
ла данное число».
6.	Задачи VI10 и VIU эквивалентны соответственно уравнениям
1
*2“ ХУ J- (X + Z) = т.
Диофант берет т - 4 и рассматривает прямоугольный тре-
угольник (рх, qx, гх) (р = 3, q — 4, г = 5). Тогда условие задачи
Vl10 принимает вид
296
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
Для существования рационального решения у этого уравнения
необходимо и достаточно, чтобы
Чтобы найти треугольник, удовлетворяющий этому последнему
условию, Диофант составляет его из чисел 1 и t + 1; тогда
р = t2 + 2t, q = 2 (t + 1), г = t2 + 2t + 2
и уравнение (1) примет вид
+ (4 + т) t3 + (6 + Зтп) t2 + (4 + 2т) t + 1 =
Сторону неизвестного квадрата Диофант ищет в видеЛ/2 + Bt + 1,
причем подбирает коэффициенты А и В так, чтобы в результирую-
щем уравнении (после приведения подобных) остались только чле-
ны, содержащие t2 и t3. Таким образом, находится рациональное
значение для t. Подробнее об этом методе см. задачу IV28 и коммен-
тарии к ней.
Задача VIn решается аналогично.
Замечание Ферма к задачам VI10 и VIU (№ XXXVIII):
«Благодаря нашему методу можно добавить следующую
задачу:
Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма
гипотенузы и одной из сторон при прямом угле, уменьшенная
на площадь, составляла данное число.
Можно также к комментарию Баше добавить следующую:
Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипо-
тенуза, уменьшенная на площадь, составляла данное число» -1)»
7. Задаче VI12 предшествуют две леммы, которые, по всей веро-
ятности, были переставлены местами, так как первая лемма опира-
ется на результат, доказанный во второй. Поэтому мы начнем со
второй леммы. Она содержит следующее утверждение:
Уравнение
аХ2 + Ь = У2
имеет бесконечно много решений, если а + Ъ = т2. Иначе говоря,
если это уравнение имеет одно рациональное решение (1, т), то оно
имеет бесконечно много рациональных решений.
Диофант проводит доказательство для конкретных значений
коэффициентов а и Ъ (он берет а ~ 3, Ъ ~ 6), однако его метод впол-
не общий.
*) Баше в своем комментарии к VItl рассмотрел задачу: «Найти прямоуголь-
ный треугольник такой, что его площадь, увеличенная (уменьшенная)
на гипотенузу, составляет заданное число».
297
КОММЕНТАРИЙ
Сначала он делает подстановку X ~ х + 1, У ~ У, тогда урав-
нение приобретает вид
ал2 + 2ах + т2 = У2.
Поскольку свободный член является квадратом, то это последнее
уравнение решается с помощью метода А (см. комментарий к
книге II):
У = кх — т.
Тогда
х — 2
а + кт
Л» — а
и X, У выражаются как рациональные функции параметра Л.
Каждому рациональному значению этого параметра отвечает одно
и только одно рациональное решение задачи.
Любопытно отметить, что точно такой же прием применил
впоследствии Эйлер: если уравнение У2 = АХ2 + ВX + С имеет
рациональное решение (Хо, Уо), то, чтобы найти новое решение,
он делает предварительно подстановку X = Хо + У == У,
с помощью которой получает уравнение того же вида, свободный
член которого равен У2, после чего Эйлер применяет обычные под-
становки Диофанта (L. Euler, Siemens d’algebre, t. II, §§ 59, 60,
1796).
В первой лемме требуется найти такой прямоугольный тре-
угольник (X, У, Z), для которого

Если треугольник образован при помощи чисел %, т|, то усховкя
обратятся в
2£п - £2 + т]2 = □,
25П = □,
£т)(&а - П2) + I2 - П2 =
Диофант замечает, что если положить £ = 2т), то два первых
условия будут выполнены, а последнее примет вид
6т)2 + 3 = □ = тп2.
Оно имеет решение т)=1,тп = 3, ав силу второй леммы — и бес-
конечно много других рациональных решений.
Итак, лемме будет удовлетворять треугольник (3, 4, 5), отве-
чающий т] = 1, а также бесконечно много других треугольников
вида (Зт|а, 4ц2, 5rj2), где т] — решение уравнения 6т)а + 3 == □.
298
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
8.	Задача VI12 эквивалентна системе
Искомый треугольник Диофант снова берет в виде (рх, qx, гх).
Однако здесь он полагает р = 5, g = 12, г = 13. Делает он это
потому, что треугольник (Зх, 4х, 5х) сразу бы привел к решению
и, таким образом, Диофант не смог бы провести анализ задачи.
При сделанных предположениях Диофант получает
2
2
Пусть v = кх, тогда из второго уравнения
х —______-----,
— у РЧ
Подставляя это значение в первое уравнение, получим
рч&+-1. № (ч — р)
—,-------------—----= и2.
/	1	\ 2
I*2 —
значит,
Р9*2 + 4- РЧ* (ч — Р) =
А
Согласно второй лемме для существования рационального решения
достаточно потребовать, чтобы
РЧ + 4 Р9*(Ч— />) = □•
Диофант принимает, что q = m2 > р, и делит полученное уравне-
ние на q = тп2, тогда оно приобретает вид
р -\-~рч(ч — р) =
Чтобы удовлетворить этому условию, Диофант ищет тако! треуголь-
ник, для которого
□ , fl — р =* СЪ р +
К- pj — □.
299
КОММЕНТАРИИ
Согласно первой из лемм этим условиям удовлетворяет треугольник
(3, 4, 5). Поэтому Диофант ищет решение в виде (Зх, 4я, Зх), тогда
/с2 — 6 ’
где к определяется из уравнения 12/с2 + 24 = 0, или Зк2 + 6 =
= □ = ы/2. Значение к = 1 не подходит, так как ему соответствует
х < 0. Поэтому ищем другое решение, полагая
к — t 1, w == It — 3.
Тогда
и при I — 3 получаем t = 4, а к — 5. Это и есть решение Диофанта.
4	4	4	4
Соответствующий треугольник есть 3 • jg , 4 • jg , ’ 19 ’ г^е х = 19 ’
Замечание Ферма к задаче VI12 (№ XXXIX):
«Диофант дает только один вид треугольников, удовлет-
воряющих задаче; однако наш метод доставляет бесконечно
много треугольников различных видов, которые могут быть
выведены последовательно из решения Диофанта.
Итак, пусть уже найден треугольник (3, 4, 5), который
удовлетворяет условию, „чтобы произведение сторон при
прямом угле, сложенное с произведением большего катета,
разности этих катетов и площади, давало квадрат4*. Из него
надо вывести другой треугольник, обладающий тем же
свойством.
Пусть наибольшая из сторон при прямом угле искомого
треугольника будет 4, а наименьшая 3 + X. Произведение
сторон при прямом угле, к которому прибавленно произведе-
ние наибольшей стороны при прямом угле на разность этих
сторон и площадь треугольника, составит 36 — 12Х — 8Х2,
что надо приравнять квадрату. Кроме того, стороны 4 и
и 3 + X, будучи сторонами при прямом угле прямоугольного
треугольника, должны давать сумму квадратов, равную квад-
рату; но сумма их квадратов составляет 25 + 6Х 4" X2,
что также надо приравнять квадрату. И получается двой-
ное равенство, именно:
36 — 12Х — 8Х2 и 25 + 6Х + X2
должны равняться квадратам. Решение его найти легко»*
300
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
9.	Задача VI13 эквивалентна системе
Диофант решает ее тем же методом, что и предыдущую.
Замечание Ферма (№ XL):
«Нашим методом решается следующий вопрос, который
иначе был бы очень труден:
Найти прямоугольный треугольник, у которого каждая
из двух сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь,
составляет квадрат».
10.	Задача VI14 эквивалентна системе
Диофант полагает сначала, что искомый треугольник имеет вид
(рх, qx, гх), где — 3, g = 4, и г = 5. Тогда условие задачи сво-
дится к системе
pqx2 — гх — V2,
pqx2 — рх = и2.
Приравнивая, как и в двух предыдущих задачах, и ~ кх, Диофант
получает из второго уравнения
Р	1
х	где G = -.pq.
<5 — к2	2
Подставляя это значение в первое уравнение, найдем
/?2с — грз 4- грк2
(б — /Г2)2
значит,
грк2 — $р (г — р) = Q].
При выбранных значениях р, q, г получим
15/с2 — 36 = □,
или 15 = а2 + Ъ2, что невозможно. Здесь Диофант снова пользу-
ется предложением: если число, после выделения всех квадратных
301
КОММЕНТАРИИ
делителей, делится на простое число вида 4п — 1, то оно не представ
ляется суммою двух квадратов (см. задачу V9 и комментарий к ней).
Итак, требуется найти прямоугольный треугольник, для кота
рого
тркг — ар (г — р) =
Диофант образует искомый треугольник из двух чисел т].
Тогда написанное выше уравнение приобретает вид
2Ь1(£2 + П2) *2 - 2g2n2 (g2 - ц2) (g - 4)2 = □,
при этом в качестве вычитаемого катета Диофант выбирает q ~ 2£ц.
Деля обе части равенства на (£ — ц)2 и обозначая
получим
(1)
2£т| (£2 + ц2) t2 -	(g2 - т]2) =
Диофант замечает, что уравнение удовлетворяется, если и т]
будут подобными числами, т. е. = [И. Заметим, что если поло-
жить t2 = £т], то уравнение (1) выполняется.
Диофант принимает | = t2 (=4), т] ~ 1, тогда образованный
ими треугольник будет t* — 1, 2г2, г4 + 1 (у Диофанта 15, 8, 17),
и если искать решение в виде X ~ (г4 — 1) г, Y ^2t2T, Z =
= (г4 + 1) т, то получим
(,4 _ 1) Т2 _ 2f2 Т = □,
Берем сторону этого квадрата равной Хт (у Диофанта 1 = 6) и полу-
чаем
т-	______
Р (t« — 1) _ X2 ’
откуда находим X, У, Z как рациональные функции двух пара-
метров.
И. Задаче VI15предшествует лемма, которая носит еще более
общий характер, чем вторая лемма к задаче VI12 (см. комментарий
8 к этой книге). В ней устанавливается, что если уравнение
аХ2 - b = У2
имеет некоторое рациональное решение р, д, то можно найти бес
конечно много других рациональных решений pn, gn, причем
Р < Pi
Рп
Диофант проводит доказательство для случая а = 3, Ъ ~ 11,
однако и здесь метод его доказательства вполне общий. Он делает
подстановку X — ж + р, У = У, тогда
ах2 + 2арх + д2 = У2.
302
АРИФМЕТИКА КИИРА VI
-a—	-. - -~-	•- -	. 	-
Полагая теперь Y = q — кх, получим х = 2	, При к2 > а
к2 — а
будет £>0 и pi—# + /?>•/>. При этом каждому рациональ-
ному значению к (к2 > а) будет отвечать одно и только одно ра-
циональное решение уравнения.
12.	Задача VT15 эквивалентна системе
Р/2ХУ + 2 = а,
1л/2ЛГ Y	X == ( I ,
которая решается тем же методом, что и задача VI14. Лемма
применяется для того, чтобы для уравнения
qrk2 — qs(r — q) = Q — u2,
где q = 8, r = 17, a ~ typq = 60, и
решение (6, 24), найти другое ре-
шение, для которого к2 > 60.
Замечание Ферма к задачам VI14
и VI16 (№ XLI):
«Благодаря нашему мето-
ду можно попробовать разре-
шить следующий вопрос, ко-
торый без этого был бы очень
труден:
Найти такой прямоуголь-
ный треугольник, что при вы-
читании площади из гипоте-
нузы или одной из сторон при
прямом угле получается ква-
которое имеет рациональное
др ат».
13.	При решении задачи VI^ Диофант^пользуется теоремой
Евклида о том, что биссектриса делит противолежащую сторону на
части, пропорциональные двум другим сторонам («Начала», кн. VI,
предл. 3). Пусть стороны искомого треугольника X, Y, Z, а биссек-
триса делит противолежащую сторону X на части и X —
(см. рис. 5). Обозначим длину биссектрисы AD через U, тогда зада-
ча сведется к системе
Y _ Xi
Z X —
• X* + Y2 = Z2,
х* 4- У3 = и1.
300
КОММЕНТАРИИ
Диофант полагает A'i = рх, Y ~ qx, U = гх (р — 3, q = 4, г ~ 5)
и X ~ р, тогда из первого уравнения получим Z = q (1 — х),
а2 — р2 /	7
а из второго х = 2---±_ = —
F	2q2 \	32
U — г Ч. Или, умножив все, следуя Диофанту, на 2g2, оконча-
2g2
тельно найдем X = 2pq2, Y — g (g2 — р2), Z = q (g2 + p2),
U^r(q2~ p2).
14.	Задача Vh7 эквивалентна системе
. Значит, X = p, Y = ? - —
где, как и всюду в этой книге, X2 + У2 = Z2. Диофант полагает
V2XY = х, Z = 62 — х (б2 = 16). Тогда первое уравнение удов-
летворяется. Далее, он берет X = х, Y = 2, и второе уравнение
принимает вид
(1)	2 + б2 = v3.
Для того чтобы найти его решение, Диофант делает подстановки
б = А: + 1,
v = к — 1,
и (1) обращается в определенное кубическое уравнение
&3 _ 4/с2 к _ 4
= о,
или
(к2 +1) (к — 4) = О,
откуда к = 4, д = 5, v ~ 3. Возвращаясь к первоначальной задаче,
полагаем Z = 25 — t, X — t, Y ~ 2 и из условия Z2 = X2 + У2
найдем t ~ 621/50.
Замечание Ферма к этой задаче (№ XLII):
«Можно ли отыскать среди целых чисел другой квадрат,
кроме 25, который при прибавлении двух становился бы ку-
бом? Конечно, с первого взгляда это кажется трудно иссле-
довать. Однако мы можем доказать совершенно строго, что
никакой целый квадрат, кроме 25, при прибавлении двух
не дает куба. Для дробных чисел методом Баше можно найти
бесконечно много таких квадратов, но наука о целых числах,
которая, без сомнения, является прекраснейшей и наиболее
304
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
изящной, не была до сих пор известна ни Баше, ни кому-
либо другому, чьи труды дошли до меня» х).
15.	Задача Vljg эквивалентна системе
Диофант, как и в предыдущей задаче, полагает х/2 XY —
X — х, Y = 2, Z = р3 — х, где р3 — произвольный куб. Тогда
первое уравнение обращается в тождество, а второе уравнение дает
р3 + 2 = г?2.
Диофант полагает р = t — 1 и получает
(1)	t3 — 3Z2 + 3t + 1 = г?2.
Решение этого уравнения он находит с помощью подстановки
V = 3/2 t 1.
Нетрудно понять, как была получена эта подстановка. Уравне-
ние (1) представляет эллиптическую кривую, которая имеет рацио-
нальные решения t ~ 0, v = ± 1. Поэтому следует положить
(по методу касательной, см. IV24) v = kt + 1 и подобрать к так,
чтобы в результирующем уравнении отсутствовал член с первой
степенью i. Получим к = 3/2, t = 21/4, р = 17/4 и v ~ 71/8.
Таким образом, решением первоначальной задачи будет
/17\3
Х = х. Y = 2, Z = — — ж.
\ 4 /
16.	Задача Vb9 эквивалентна системе
Р/2 ХУ 4- У = н2,
|Х + У + Z = гз.
Диофант образует прямоугольный треугольник с помощью
нечетного числа р = 2х + 1, т. е. полагает
X =	= 2ж2 + 2ж
2
У = р = 2х + 1,
р2 +1
2
= 2х3 4- 2х 4-1 -
*) Заметим, что уравнение Xй + 2 = У® имеет бесконечно много рациональ-
ных решений, которые могут быть найдены методом касательной Дио-
фанта (см. комментарий к IV2J. Теорема, сформулированная Ферма
относительно целочисленных решений этого уравнения, была впервые до-
казана Эйлером (Elemens d’algfcbre, t. II, § 192, 1796).
305
КОММЕНТАРИИ
Из второго уравнения получаем
(х + 1) (4ж + 2) =
Если мы разделим каждую из сторон X, У, Z на х + 1» то периметр
будет 4я + 2 и второе уравнение примет вид
кх + 2 — vs.
Из первого уравнения имеем
Сравнивая полученные уравнения, найдем
(*)
v3 — 2и2.
Диофант берет одно из решений этого последнего уравнения:
и — 2, D = 2 и получает х ~ 3/2, X — 15/5, У = 8/5, Z ~ 17/5.
Заметим, что уравнение (♦) встречалось уже в задачах VI1_2,
Общее его решение можно найти с помощью подстановки v = аи,
2	2	14_____oft
тогда и ——, v —— их =— •--------------, а значит, и X, У, Z
а3 а2	2 а6
выразятся как рациональные функции от а.
17.	Задача VI20 эквивалентна системе
' V2 ХУ + У = и3,
.Х + У+ Z = Л
где, как всегда, X2 + У2 = Z2. Воспользовавшись решением пре-
дыдущей задачи, получим
2х + 1 = и3,
4я 2 = г?2,
т. е. v2 = 2и3. В качестве решений Диофант берет и = 2, v — 4
и находит х = 7/2, X = 63/9, У = 16/9, Z — 65/9.
И здесь можно найти бесконечно много других решений, если
искать решения уравнения v2 = 2 и3 в виде v — кщ что приведет
к параметрическому выражению для неизвестных.
18.	Задача VI21 эквивалентна системе
X 4- У + Z = и2,
IX + У + Z -Ь 72 ХУ = г?3.
Прямоугольный треугольник (X, У, Z) Диофант образует из
чисел х и 1, т. е, полагает X — х2 — 1, У = 2х, Z — х2 + 1.
306
АРИФМЕТИКА КВИТА VI
Тогда уравнения системы принимают вид
2х2 + 2х = и2,
х3 + 2х2 + х = v3.
Первое из них легко обратить в квадрат, пользуясь методом Дио-
2
фанта. Достаточно положить и = кх, тогда х —---------. Подставляя
к2 — 2
это значение во второе из уравнений, Диофант получает
2к* з.
---------~ я3;
(к2 — 2)3
значит, 2&4 = v3, или 2к — w3, к = о?3/2.
Остается позаботиться, чтобы стороны искомого треугольника
получились положительными. Если взять w3 — 8, т. е. к — 4,
то х = 1/7 и X = я2 — 1 < 0. Поэтому Диофант решает неравен-
ство х2 —-----_----*> 1 т. е. к2 < 4 и к2 > 2, или 23 < и?6 < 24.
(/с2 — 2)2
Диофант выбирает в качестве w число 3/2, тогда к == 27/16
и х = 512/217. На самом деле каждому рациональному числу,
шестая степень которого лежит в промежутке (23, 24), отвечает
решение задачи.
19.	В задаче VI22 требуется отыскать прямоугольный треуголь-
ник (X, У, Z), для которого
Диофант сначала исследует задачу об определении прямоуголь-
ного треугольника, если заданы его периметр и площадь. Пусть
X + У + Z == р,
Щ XY = q
л
(р = 12, д = 7). Диофант полагает X = __ , тогда У = 2qx,
х
4
Z = р — — — 2qx. При этом должно выполняться условие X2 ~h
X
+ У2 = Z2, т. е.
kpqx2 + 2р — (р2	4g) х.
Для существования рациональных корней необходимо и достаточно,
чтобы дискриминант этого уравнения был квадратом:
307
КОММЕНТАРИИ
Диофант выбирает q в качестве нового неизвестного, а р берет та-
ким, чтобы оно было одновременно и квадратом и кубом. Он выби-
рает р — 26 ~ 64. Тогда последнее уравнение приобретает вид
q2 _ 3.2*1 q + 220 = □.
Кроме этого, по условию задачи имеем
q _|_ р — q 64 — v2.
Это уравнение вместе с предыдущим составляет двойное равенство,
которое, как замечает Диофант, можно решить обычным способом.
Замечание Ферма к задаче VI22 и к комментарию Баше к этой
задаче, который посвящен двойным равенствам (№ XLIII):
«Там, где двойные равенства, или В1теЛоьа6тт]те<;, не-
достаточны, следует прибегать к тройным равенствам, или
TpiitXoiadTTjTSG, которые открыты нами и которые ведут
к решению множества прекрасных задач.
Пусть, например, надо приравнять квадратам
X + 4, 2Х + 4, 5Х + 4,
получаем тройное равенство, которое легко решить с помощью
двойного равенства.
Если положить вместо X некоторое число, которое вместе
с 4 дает квадрат, например X2 + 4Х, то первое число, кото-
рое нужно приравнять квадрату, есть X2 + 4Х + 4, второе
2Х2 + 8Х + 4, третье 5Х2 + 20Х + 4.
Первое число является квадратом по построению, зна-
чит, нужно приравнять квадратам
2Х2 + 8Х + 4 и 5Х2 + 20Х + 4,
и получаем двойное равенство, из которого найдем, правда,
только одно решение, но из него можно вывести новое реше-
ние, а из второго выведем третье и так до бесконечности.
Чтобы сделать это, надо, если найдено некоторое значе-
ние для X, положить вместо X в уравнении Х+ первоначаль-
но найденное значение для X. Таким путем получим беско-
нечно много решений, каждое из которых выводится из пре-
дыдущего и присоединяется к уже полученным.
Благодаря этому открытию мы можем получить беско-
нечно много треугольников с одинаковой площадью, чего,
как кажется, не знал Диофант, как это явствует из задачи
V31), в которой он ищет только три треугольника с одина-
*) В нашем издании это вторая лемма к задаче V7.
308
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
ковой площадью, чтобы решить последующую задачу отно-
сительно трех чисел, но эта задача, благодаря впервые
сделанному нами открытию, может быть распространена
на любое количество чисел до бесконечности».
Другое замечание Ферма к тому же (№XLIV):
«К этому исследованию о двойных равенствах мы
можем многое добавить, что не было открыто ни древними,
ни современными авторами. Однако для того, чтобы удосто-
вериться в важности нашего метода и показать, как его при-
менять, достаточно решить следующий очень трудный вопрос:
Найти прямоугольный треугольник в числах, гипотену-
за которого была бы квадратом, а также и сумма сторон при
прямом угле.
Искомый треугольник представлен следующими тремя
числами:
4687298610289,	4565486027761,	1061652293520,
и он образован двумя числами: 2150905 и 246792.
С помощью другого метода мы открыли решение следую-
щего вопроса:
Найти прямоугольный треугольник в числах при условии,
что квадрат разности сторон при прямом угле минус удвоен-
ный квадрат меньшей из этих сторон составляет квадрат.
Один из треугольников, который удовлетворяет вопросу,
будет следующим: 1525, 1517, 156, образованный числами
39 и 2.
Добавлю с уверенностью, что два треугольника, которые
были приведены как решения двух предложенных задач,
являются наименьшими в целых числах, которые удовлет-
воряют вопросам.
Наш метод таков. Ищут решение предложенного вопроса
обычным методом. Если после окончания вычислений не до-
биваются успеха, потому что значение неизвестного числа
получается со знаком недостатка и должно быть рассмотрено
как меньшее нуля, то мы с уверенностью заявляем, что не
следует падать духом (и стоять разиня рот, как говорит
Виет и как делал и он сам и древние аналисты), но надо вновь
вернуться к вопросу и подставить вместо неизвестного X
число, найденное при первом вычислении и имеющее знак
недостатка. Таким образом получится новое уравнение,
которое приведет к решению в настоящих числах [т. е. поло-
жительных рациональных.— И. Б.].
309
КОММЕНТАРИИ
Этим путем мы решили оба вышеприведенных вопроса,
которые иначе были бы очень трудны; мы доказали также,
что число, являющееся суммою двух кубов, может быть раз-
ложено на два другие куба, и дали их построение, которое;
может потребовать повторения всей операции до трех раз
а именно часто случается, что поиски истины вынуждают
самого искусного и усердного аналиста к многократному
повторению вычислений, как это легко обнаружить на опыте».
20.	Задача VI23 эквивалентна системе
Z2 — к2 и 1
Z2 3 I
— — г?з v,
где, как всегда, X2 4~ Y2 = 22. Диофант полагает X — х, Y = х2,
Z2
тогда Z2 = х4 + х2 и — = х8 4- я. Остается потребовать, чтобы
х44~ аг2 = □ или 1 + к2 = |П. Положив его сторону равной
х — р (Р — 2), получим
Нетрудно видеть, что Диофант решает частный случай перво
Начально поставленной задачи.
21.	Задача VI24 эквивалентна системе
X = и8 — и,
Y = Vs,
Z = w3 + w,
X2+Y2 = Z2.
Диофант, по существу, вводит дополнительное условие, пола-
гая и = w = х. Тогда X = х3 — х, Z = х3 4~я и Y = 2х2. Остается
потребовать, чтобы 2х2 = г?3. Полагая v ~ ах, получим
2 у = Л Х= — — A Z=A
а3 * а6 * ав а3 ’ а®
Замечания Ферма к задаче 20 Баше, которую последний при-
соединил к задаче VI24 (№ XLV).
Баше присоединил к задаче VI24 ряд новых задач, из которых
задача 20 гласила: «Найти прямоугольный треугольник, площадь
которого равна заданному числу». Ферма сделал к этому замечание,
в котором содержится доказательство того, что уравнение X4 —
— У4 — Z2 не имеет решений в целых числах. Как нетрудно видеть,
310
АРИФМЕТИКА КНИГА VI
это — частный случай Великой теоремы Ферма, а именно для
п = 4. Мы приведем это доказательство:
«Площадь прямоугольного треугольника в числах не
может быть квадратом.
Мы дадим доказательство этой найденной нами теоремы,
которую мы открыли после мучительных и долгих раздумий,
но этот род доказательства приведет к чудесным успехам
в Арифметике.
Если бы площадь треугольника была квадратом, то были
бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы
квадратом, откуда следует, что были бы даны два квадрата,
сумма и разность которых были бы квадратами: значит, име-
лось бы квадратное число, равное квадрату и удвоенному
квадрату при условии, что квадраты, которые его составляют,
в сумме дают квадрат. Но если квадратное число составлено
из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона
подобным же образом составляется из квадрата и удвоенного
квадрата, что мы можем легко доказать, откуда заключаем,
что эта сторона является суммой сторон при прямом угле
прямоугольного треугольника, и один из этих составляющих
квадратов будет основанием, а удвоенный второй — высотой.
Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен
из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут
квадратами. Можно доказать, что эти два квадрата меньше,
чем первоначальные квадраты, относительно которых было
предположено, что их сумма и разность образуют квадраты.
Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых
образуют квадраты, то даны в целых числах два квадрата,
имеющих то же свойство, но сумма которых меньше первой*
Таким же рассуждением получим затем другую сумму,
меньшую той, которая была выведена из первой, и так до
бесконечности будем находить целые числа, постоянно убы-
вающие. Но это невозможно, так как если дано целое число,
то не можеть иметься бесконечности целых чисел, меньших
его *).
Полное доказательство с развернутыми пояснениями не
может быть помещено на полях из-за их узости.
Тем же рассуждением мы нашли и доказали, что никакое
треугольное число, кроме единицы, не равно квадр а то-ква д-
рату».
•) Цмеются в виду положительные целые числа,
КОММЕНТАРИИ
К КНИГЕ «О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ»
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
Р] n-угольными числами называются последовательные суммы
арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью п — 2.
Так, треугольными числами будут последовательные суммы прогрес-
сии 1 + 2 + 3 + 4+ ...+ т + . . ., т. е. числа 1, 3, 6, 10, . .
т	’* • * ’ кваДРатными — последовательные суммы прогрессии
1 + 3 + 5 + 7 + , . . ., т. е. числа 1, 4, 9, 16, . . тп2, . . .
Вероятно, еще пифагорейцы изображали многоугольные числа
(или просто многоугольники) в виде точек, располагающихся
о	о о о о	°
о о
о О	О О О О	о	о
о
ООО	оооо	о о о
оооо	ОООО	ООО
а)	б)	В)
Рис. 6. а) Треугольное число, б) квадратное число, в) пятиугольное число
в вершинах соответствующего правильного многоугольника. На
прилагаемом рисунке мы даем схему образования тг-угольных
чисел для п == 3, 4, 5.
[2]	Если 6* является тг-угольным числом, т. е. суммой т членов
арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью
312
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
d = п — 2, то, как здесь утверждает Диофант,
85 (л — 2) + (п — 4)2 =
Он устанавливает это в предложении IV.
[3]	Если а — d, а, а + d — три последовательных члена ариф-
метической прогрессии, то, согласно Диофанту,
8а (а + d) + (а — d)2 = [За + d]2.
[4]	В предложении II выводится формула для определения
771-го члена арифметической прогрессии, а именно:
ат — ai ~ d (т — 1),
где d — разность, — первый член прогрессии.
[5]	В предложении III выводится формула суммы т членов
любой арифметической прогрессии.
[6]	В предложении IV устанавливается, что
8Sd + (d — 2)2 - [2 + d (2т - I)]2,
где
5 = 1 + (1 + d) + ... + [1 + (т — 1) d].
[7]	\ Об этом доказательстве см. в вводной статье «О многоуголь-
ных числах».
[8] Гипсикл — александрийский математик и астроном II века
до н. э. Ему принадлежит так называемая «четырнадцатая книга
„Начал", которую он добавили 13 книгам Евклида. В этой книге
сравниваются объемы додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну
и ту же сферу. Известна также его астрономическая работа «Ана-
форик» (см. о нем подробнее в книге: Б. Ван-дер-В арден,
Пробуждающаяся наука, Москва, 1959).
[9] В основу решения этого вопроса положена формула
85 (п — 2) + (п — 4)2 = □.
Однако конца решения не сохранилось. П. Таннери считает, что
весь отрывок принадлежит не Диофанту, а одному из позднейших
комментаторов.
Баше показал, что решение вопроса можно получить, если ис-
ходить из формулы
25 ~ 2т + т (т — 1)(п — 2),
313
КОММЕНТАРИИ
где d = п —2. Отсюда он вывел, что
4 -4- пт — п — 2т=—, л = 2 + 2	~
т	т(т— 1) ’
а значит,
/ \	2ЛГ 2 (S — т)	л _
(*)	— и — -------1 должны быть целыми.
т т(т — 1)
Так как п^-3, то ? У ~~~~	1 что приводит к условию
т (т — 1)
(**	)	m<Z±±jCL±^.
Число т, для которого выполняются условия (*) и (♦*), и дает
решение.
ДОБАВЛЕНИЕ 1
СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
КНИГА I
XY
14. X	ограничение:
л ~\-а	Y 4- b
15.-у-* - = к, -у-—» = I.
Y — а 1 А — о
Xi + Х2 = а,
16.
х% 4* Хз = ь,
Хз 4~ Xi ~ с,
ограничение:
а + b + с
315
ДОБАВЛЕНИЕ I
*1 + -X2 4" *3 == л,
X 2 4“ з 4~ * 4= ,
X3 4- X4 4~ *1= c,
X4 4- Xi4-X2=d,
ограничение:
a + b + c 4- d
0	bf d.
23. X — aJX4-6tf =
= У —[3Y4-aJr =
= Z —TZ4-pY =
= U— SU + yZ.
24. X 4- a (Y 4- Z) -
= ¥4-0(24-*) =
= Z4-T(*4-¥).
Xi 4~ *2 — *3 — a?
18.  X24-X3 — Xi^b.
Х’з + Xi — X%=c.
19.
X] 4“ *2 4” *3 — *4 —
X2 4- X3 4- X* — Xi = b,
X3 + Xi + Xi — X2 = c,
ограничение:
a 4- b + c 4“ d
2
25. X 4- a (Y 4- 2 +U) =
= У 4~ 0 (2 4~ bl 4~ *)==:
= Z4-T(tf+ *4-¥) =
= j7 + 6(% + ¥ + Z).
316
СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
39. Найти такое X, чтобы числа
(а + Ъ) X, (Ъ + X) а, (х + а) Ъ
имели одинаковые разности.
КНИГА II
X*~Y*
°- X + Y "°"
с ( X*-Y* = b + (X-Y),
ь. {
(X —У = а
7.	X2 — У2 = b (X — У) + а.
8.	X2 + У2 = а*.
9.	X2 + У2 = а2 + Ь2.
10.	X2 —У2 = а.
ХН-а = у2,
11.	I
Х2 + а = у2.
Xi -р Хз = а,

16,
Xi + а2 = У«,
bXi + а2 = У®.
17. Xi — (kiXi + ai) +
4~ (ТгзХз 4~ аз) = Х2 —
— (/с2Х24-а2) -J- (kiXi -{- ai) =
= Х3 — (7гзХз ^з) -Ь
"Ь (^2X2 -f" л2).
Xi 4~ Х2 4~ Хз == а,
13.
12.
18. <
Xi - а = у2,
Xi - Ъ = Yl
А
Xi — (&iXi -|- ai) 4“
+ (ТсзХз 4“ а») =
= Х2 — (&зХ2 4~ я2) 4"
4~ (&1Х14- fli) = Хз —
— (ТсзХз 4- аз) 4- (7ь'2Х24-л>).
19. Х2,-Х1 = а(Х1-ХЬ.
О	в	Л	Аг
317
зте
1л = (sx + zx + lx) - lx
‘1л = («х + zx + ly) -
se
'1л = lx + Ixlx
‘1л = lx + Ixlx
‘U = (*x + zx + Tx) -- lx
•о = гЛ + TA
‘1л = ZX — zXlX 
‘1л = Tx — zxlx
'LZ
•» = «Л + rA
'1л = гх+гх1х 
‘1л = тх + БХ’Х
'92
Z£
1л = ZX — z(zX + 1х) ‘1л = lX — s(8X + гх) J	S2
'1л = ZX -Ь г(гХ + *Х)	
‘гА = 1Х + г(гХ + ТХ) J	
•*A = (EX + xX) — ZX'X
‘1л ~ (ZX + TX) + ZX'X
'1л = (sx + Xx) — 8xTx
‘1л = (5х + lx) + zxlx
•2 у —	—r—
&A	Z^	Z^ Z^
T " V ----- T-^ V
zA	gA	zA gA
те
’62
I яинякагяоа
'1л = (ZX + Tx) — lx
‘1л = (zx + тх) — lx
'1л = (8Х + ТХ) + 1х
‘вА = (ZX + lX) + 1х
'1л^гх-1х
‘1л =^zx~lx
0Z
г-'
СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
КНИГА III
’ Xi 4“ X2 4~ X3 4” л “ Y*,
Xi + X2 + a == У|,
Xi + Xs + a =
Xs 4~ Xi 4" ® ” Y2.
Xi + Xs + Хз —a = Y?,
X1+X2 — a = r;,
X2 4- Xs — a = Y2
Xs + Xi - a = Y2
10.
Xi - (Х1 + Х2 + *з)2 = У*.
Хз - (Xi4- Х2 + Хз)2 =
XiXs + a = Y2,
XsXs + a = Y2,
X3X1 + a = Y*.
. Хз — (Xi + Хъ + Хз)2 = У2
11.
Хз 4~ Xi — Х2 = Y
2.
4
12.
XiX2 —a = Y2,
XaXs — a = Yf,
X3X1 - a = Y2.
XiX24-Xs = Y2,
X2Xs + Xi = Y2,
XsXi + X2 == Y2
X1X2 — Xs = Y2,
Xi + Хг -J- Х3 = Yp
Xi + Х2 = Y|,
Хъ + X3 - Y|,
Хз + Xi = Y|.
I
Xi — X2 = X2 — Хз,
13.
14.
X2XS - Xi = Y|,
X3X1 — x2 = y2.
X1X2 4- X2 = Y?,
О	J-
X2Xs 4- X2 = Y2,
X3X14- X2 = Y|.
X1X2 4- Xi 4- X2 = Y2,
Х2Хз 4- X2 4- Xs — Y^,
X3X1 4- Xs 4- Xi = Y2.
319
ДОБАВЛЕНИЕ I
16.
Х1Х2 - (Xj + Хз) = У«,
X2X3 - (Х2 + Хз) = У®,
Х3Х1 - (Хз + Xi) = У®.
17.
XiX2 + Xi + Х2 = У®,
XiX2 + Xi	= У«,
XiX2 + Х2	= У?.
((Xi4-X2+X3+X4)2+Xi=y?,
19- { (Х1+Х2+Хз+Х4)2-Х{= Z^
I 1 = 1,2, 3,4.
а = Х4-У,
20.  U2 — X = Z2,
[ U2_Y=.V\
(Другое решение задачи His.)
18.
XiX2 — (Х\ + Х2) = У®,
ХхХ2 — Xi
Х1Х2 — х2
(Другое решение задачи Ии-)
КНИГА IV
13.
X + 1=Z2,
у+ 1
X + У + 1 =
X — У + 1 = У2.
14. X2 + У2 + Z2 = (Z2 — У2) +
4- (У2 _ Х2) _р (22 — JT2).
(X 4-y).z = fl,
15.
(Y + Z)-X = b,
(Z + X).y = c.
Xi + X2 + X3 = У®,
( X3 + У2 = уз,
( Z2 + У2 = СГ2.
Xi -|~ X% -|~ Хз =
10. X3 + У3 = X + У.
И. хз„уз = х — У.
12. X3-{~Y = Y3 + X.
Xl-Xi = Y^.
18.
X3 + У = U3,
Y2 X F2.
320
СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
XiX2 + 1 = У®,
19. Х2Х3 + 1 = Y*
&
20.
22.
24.
25.
26.
X3Xi + 1 = УI.
О
XiX2 4-1 = У®,
XiXs + 1 = У|,
ХгХь 4-1 = У®,
О
Х2Х3 + 1 = У®,
Х2Х4 + 1 = Yl,
Х3Х4 4-1 = 4-
XiX3=X®
Xs_X2 = ys,
Хз — Xi = Y2,
X3-Xi = Y|.
’ XiX2X34" Xi = Yy
X1X3X3 4“ X2 = Yj,
, X1X2X3 4*	= Y^-
 X1X2X3 — Xi = У®,
X1X2X3 — Хз = у|,
( ХхХгХз — Хз = У1.
V	о
ХУ = U3 — U.
 х 4-У4-г = а,
XYZ = ((2-У)4-
4-(У - X) 4-(Z - Х)]3,
I X<y<Z.
хУ4-х= и»,
ХУ 4- У = V3.
ХУ — X = U3,
ХУ —У= У8.
ХУ 4- (X 4- У) = U3,
ХУ — (X 4- У) = V3.
28.
+ Хз + Хз + Xt = a.
30. Х®4- Х®4- Х®4- Х®-Х1-
А	40	О 1	•*
— Х2 — Хз — Х^ = а.
X + Y = l,
(X + a)(Y + b) = Z2.
31.
X У -|- Z = л,
XY 4 Z = Z72,
XY — Z = V2.
X + аУ = к (Y — аУ) ,
У + аХ I (X — аХ),
/Лемма\ XY + X + У = а.
\ к 34 J
Г ХУ + (Х + У)= а2 - 1,
34. j YZ +(У + Z) = &2 - 1,
[ ZX + (Z + X) = с2 — 1.
/Лемма\ XY - (X + У) = а.
\ к 35. }
Г XY — (Х+У) = а2 — 1,
35. 1 УИ— (У + Z) =&2 —1,
[ ZX — (Z + X) = с2 — 1.
/ЛеммаХ XY = т (X + У).
\ к 36. )
XY = т (X + У).
36.
$1.
YZ =n(Y + Z}.
ZX =p(Z+ X).
XY = m(X +Y 4-Z),
YZ = n (X + У + Z),
ZX = p (X + У + Z).
1a (a +1)
(X + Y + Z)X=
(X4-K4-Z)y = U3,
(X 4- У 4- Z) Z = Vs.
27.
321
Добавление 1
40.	+ У = U\
Y + Z = P,
I Z + X=W2.
X + Y = U\
Y + Z=V^,
z + X
t
iA = X*
Х\ л — У^,
Xi - a = Yl,
Хз — a — Yl.
О
i
КНИГА V
’ X*X* + (X* + X*) = У®,
^2X3 +	+ *3) =
ЭД + Из2 + ^?) = ^.
5- X*Xl + X* = Yl,
у 2 у2 । y2__V2
Л2^3 <	*5»
x*x*+xl = У®.

2»
Xi-2 = yj,
X3-2 = Yl
X3-2 = Yl,
XiXi - (Xi + Х3) = Z®,
e< jr2X3 — (X2 + X,) = Z®,
XsXi — (X» + Xi) = Z®,

8®
5’
Xt-a = Y*
A
Xi —a
3’
XiXi — a = Y%,
X2XS — a = Y‘,
X3Xi — a = Yi.
О
X1X2 — X„ = y®,
XiXi - Xi = Vl,
XsXi — X« = F®.
( Лемма
\ к 7.
( Лемма
\ к 7.
1
= “2* a^t
ai + 61 = cv
4 + =c’.
«з + ьз2 =
СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
X* + (*1 + Хз, + Хз) = У?,
7. X? - (Х1 + Х2 + X») = Z?,
4 = 1, 2, 3.
( Лемма \
\ к 8. ) XiXi = а2,
^2^8 «= Ъ\
Х3Хг = с2.
13.
XiX2 4- (Xi+^+Xs) « Y*,
ХзХ3 4- (X1+XS+XS) = Y*,
X3X1 -f" (Х1-["^2~|“-^з) = Уд,
X1X2 - (Х1+ХЯ-Х3) = Z®,
X2X3 — (Х14~-'^24“-Уз) = ^2*
X3X1 —- (Х1+Х3+Х3) = Zg.
X + Y = l,
w. X4-a = Z2,
Y 4- b = V2.
’ X4- Y4-Z = l,
X + a^Vl,
Y + a = Vl,
Z + a=V*
l	о
f X4-y + Z = l,
X4-a = V?,
Y + [b-V*,
X 4- Y -|- Z = a,
y j v______F2
У4-г = 7®,
z 4- x = v|.
Xi 4" X2 4- X3 4- X4 = л,
Xi 4-x2 4-Хз = У®,
Хз 4- Хз 4- Xi = ^2-
Хз 4- Xi 4- Ху == У|,
Х« 4- Xi 4- Хз = Yl
(Xi+X2+Xaf+Xi = У?,
4 = 1,2, 3.
(Xi+Xi+Xtf-Xt = У?,
4 = 1, 2, 3.
Х4-(Х14-Хз4-Хз)3 = У|,
4 = 1, 2, 3.
Х1 4- Хз 4- Хз = иг,
(Xi4-^24_^s)®4_ Xi= У|,
4 = 1,2,3.
Х14-Хз4-^з = U\
(Х14-Хз4-^з)8—Xi = Yf,
i = 1,2,3.
Xi 4- Хз 4- Хз = U\
Х{-(Х14-Хз4-^з)» = У-,
i = 1,2,3.
Xi 4~ X2 4~ Хз = л,
a8 4- Xi = У|,
4 = 1,2,3.
Xi 4~ Xi 4" X» = я»
19з.
а» 4- X{ = У?,
4 = 1 ,’2,[3.
a ’o
323
ДОБАВЛЕНИЕ I
Xi 4- X2 + Xs =
'	1 ттГ
20.	-
21.	।
22.	|
23.
24.
Xi- (Xi+Хз+Хз^ = Y?,
I
i = 1, 2, 3.
y2 y2 y2
А1Л2А3
X?X* -1 = Y*
X *	1
X*X* -1 = Y?,
£л О	a
X2 у2 _ 1 = y|.
0 ±	О
1 - X*X* = y2,
29. X4 + У4 + Z4 = U2.
30.
8Xi + 5Xi = У2,
(Xi + X2)2 = У2 + 60.
КНИГА VI
В этой книге всюду положено S = ~2 ХУ, X2 -|- У2 — Z2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
f z — х = и3,
( Z — У = Vs.
j Z + X = t/a,
| z + y = y8.
5 + т = Uz.
m — S = U\
S + X = m.
6’ + (Х + У) = т.
5 —(Х+У) = т.
10. iS’ + (X + Z) = m.
11. 5 — (X + Z) = m.
y^X= u\
У = 72,
S + X =
Лемма
к 12.
5 + Х=
5 + У =-V\
Лемма
к 12.
Если а + Ъ — ?72,
то существует бес-
конечно много
' квадратов X2, У2
таких, что аХа +
ь+&=Уа.
324
СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
13.
5 — X = U2,
S — Y = V2.
18.
( S — Z=U2,	19. <
14.	{
( 8 — X = V2.
/ЛеммаХ Если aU* — то 20-
\к 15. )	и и
существуют U> Uo,
V>Vo такие, что
8 + Z = CZ3,
X + У + Z = V2.
S + У = V2,
X + У + Z = U3.
S + Y=U9,
X + У + Z = V2.
X +У + Z = P,
X + Y + Z + S =U\
x + У + z = /7®,
Х + У + 7 + £ = У2.
Z® = U2 + U.
Z2
X = V3+V-
X=us—U,
Y = V3,
z==w3-\w.
aU2 — b = V2.
22.
ДОБАВЛЕНИЕ II
ОБОЗНАЧЕНИЯ ГЕРОНА
уе<и[детр£а$;
	г	4? fcou	M 14	4cmv	^9
tolc		lUpoi;	Д	£ni	
ouGtv	Q	istw-rifc		Ypa^C	rt
xe£rai	•A	^xoj;	M-	втпфдоеде	C=l< A-
	6Л*	&4тг«Во£	a	Герата	w* -w я
уоМа	•* r	£u@eia	&*	ЗЬгго|х4у7]с	
				ДЭД^Хоц	
	*1	xXiatb	74	t£(Avsi	
uKOTsivouca		тдодо		TUpifTCTCvovaai	ТГ" 
^ux&cXiov	О a^	tfcrrt)		iq^VK	
£й@6урадоос		«ута&иоа.	1	MdfcG(iTO^)	•»
6p&)	л	ixatipft		g«8»t)V	4
хаХсьткь	Ih			eX^'Wov	Я*
6£eta	• fe	Haaoov 6p6$fc	2*	w	c"
Tiv4?	Iff	хбхХо^	“b	npoaxinTOUff*	♦
x^vrpov	w-	^lipieTpo^		^YI*4v>)	H«
(n«pt)^4p€l«	9 • •	api6|i6c	s*	apt6p.ou	^9
ipiGp.ol	$	api0p.a>v			
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	3
Диофант Александрийский и его «Арифметика»
(И, Г» Башмакова)	5
«О многоугольных числах» Диофанта
(И. Н. Веселовский)	28
Диофанта Александрийского шесть книг «Ариф-
метики» и книга «О	многоугольных	числах» 35
Диофанта Александрийского	«Арифметика»	37
Книга I	37
Книга II	62
Книга III	77
Книга IV	90
Книга V	126
Книга VI	150
Диофант Александрийский «О многоугольных
числах»	168
Комментарии к шести книгам «Арифметики»
и к книге «О многоугольных числах» с прило-
жением замечаний Пьера Ферма	181
Комментарии к шести книгам «Арифметики»
Диофанта Александрийского	183
Комментарии к книге I	183
Комментарии	к	книге	II	189
Комментарии	к	книге	III	206
Комментарии к книге IV	221
Комментарии	к	книге	V	250
Комментарии	к	книге	VI	289
Комментарии к книге «О многоугольных
числах» Диофанта Александрийского	312
Добавление I. Сводка задач Диофанта	315
Добавление II. Обозначения Герона	326
Диофант Александрийский
АРИФМЕТИКА И КНИГА
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
М., 1974 г., 328 стр. с илл.
Редактор А. Ф. Лапко
Художник С. С. Верховский
Художественный редактор Т. Н. Нольченко
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т- С. Плетнева, В. П. Сорокина
Сдано в набор 1/XI 1973 г. Подписано к печати
4/П 1974 г. Бумага 84xl08y32- Физ. печ. л. 10,25*
Условн. печ. л. 17,22. Уч.-изд. л. 17,49.
Тираж 17500 экз. Т-01159. Цена книги 1 р. 25 к.
Заказ № 3135
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
Москва, Шубинский пер., 10