Математика на пальцах. Для тех, кто не нашел Х - Элькин Б.М.

Author: Элькин Б.М.

Tags: издания для определенного назначения математика

ISBN: 978-5-17-108152-2

Year: 2022

Similar

Математика. Увлекательная наука

За страницами учбеника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. Книга для учащихся 10—11 классов общеобразовательных учреждений

В царстве смекалки, или Арифметика для всех. Книга 1

Занимательная математика в рассказах для детей

Text

БОРИС ЭЛЬКИН

ИЗДАТЕЛЬСТВО АСТ
МОСКВА

УДК 087.5:51
ББК 22.1
Э53

Э53

Элькин, Борис Михайлович.
Математика на пальцах. Для тех, кто не нашел Х / Борис Элькин. — Москва : Издательство АСТ, 2022. — 352 с. :
ил. — (Наука для вундеркинда).
ISBN 978-5-17-108152-2
Школьные уроки по математике кажутся угрюмыми и занудными?
Родители не могут помочь с домашним заданием? Учитель объясняет слишком сложно? А знаешь ли ты, что математика — это одна из
самых необходимых наук на сегодняшний день? Без нее нельзя построить дом, создать новые технологии. Даже искусство нередко обращается к этой увлекательной науке. Стоит ли говорить, что без этих
знаний в современном мире будет сложно найти достойную работу?
Однако, как побороть скуку и понять, что на самом деле математика не такая уж занудная и сложная? С книгой Бориса Элькина «Математика на пальцах. Для тех, кто не нашел Х» ты узнаешь, что на
самом деле нет необходимости в особом складе ума, нудном заучивании и блуждании во множестве правил. Внутри ты найдешь ответы
на вопросы, которые раньше казались слишком сложными. Поверь,
ответы намного проще. Достаточно открыть эту книгу, и к концу ее
прочтения ты разберешься в том, что раньше было недоступным для
понимания!
Борис Элькин — преподаватель математики и руководитель дипломных проектов студентов МГУ, МЭИ и МГТУ им. Баумана. Неоднократно становился лауреатом конкурса «Грант Москвы». Автор книги
«Математика. Для тех, кто не открывал учебник».
УДК 087.5:51
ББК 22.1

ISBN 978-5-17-108152-2

Б. М., 2022
© Элькин
ООО «Издательство АСТ»,
© Оформление.
2022

Оглавление

Оглавление
Вместо предисловия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. ЯЗЫКИ ЭМОЦИОНАЛЬНОГО ВОСПРИЯТИЯ . . . . . . . . 10
Глава 2. О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ЯЗЫКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Глава 3. МАТЕМАТИКА: КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ. . . 21
Глава 4. Г. КАНТОР, Д. ГИЛЬБЕРТ, Г. ВЕЙЛЬ . . . . . . . . . . . . . . 25
Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАРКАС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Глава 6. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. МИРЫ ИЗ НИЧЕГО . . . . . . . . . . 41
Глава 7. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ . . . . . . . 51
Глава 8. ОБ АКСИОМАТИКЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. . . . . . . . . . . 64
Глава 9. ОТНОШЕНИЯ И СООТВЕТСТВИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Глава 10. ФУНКЦИИ. ОТОБРАЖЕНИЯ.
ВИДЫ ОТОБРАЖЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Глава 11. РЕНЕ ДЕКАРТ И ВИЗУАЛЬНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ. . . 85
Глава 12. ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ
И ДЕКАРТОВА ПЛОСКОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Глава 13. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Глава 14. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Глава 15. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Глава 16. СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Глава 17. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ . . . . . . . . . 126

4
Глава 18. ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Глава 19. ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Глава 20. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Глава 21. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Глава 22. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Глава 23. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Глава 24. О СРАВНЕНИИ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ . . . . . . 185
Глава 25. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Глава 26. КРИВЫЕ (ЛИНИИ) НА КООРДИНАТНОЙ
ПЛОСКОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Глава 27. СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
И ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМИ . . . . . . . . . . . . . 236
Глава 28. АЗБУКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . 240
Глава 29. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.
ЧИСЛО е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Глава 30. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ . . . . . . . . 287
Глава 31. МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . 310
Глава 32. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТЕКСТА
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Вместо
предисловия
Это случилось 21 мая 1972 года. В Соборе Святого Петра
в Риме состоялась праздничная литургия по случаю Дня
Святой Троицы. Как всегда в таких ситуациях, на богослужении присутствовало большое число служителей церкви,
прихожан и туристов, которым посчастливилось оказаться
на столь значимом событии. Часть посетителей пыталась
задержаться, чтобы сделать кино- или фотосъемку. Сейчас
изобилие совершенной техники не позволяет уследить за
туристами, и внутрицерковные службы практически махнули рукой на запреты съемки. Но в то время с этим было
строго. Тем не менее многие посетители старались украдкой запечатлеть внутреннее убранство собора: скульптуры,
барельефы и, конечно, главный алтарь, служить мессу за
которым может только Папа Римский. Для съемки в центральной части собора день был не слишком удачный. Но
подготовленный турист знал, что среди всего этого великолепия, в первой капелле бокового нефа хранится великое творение гениального Микеланджело — скульптурная
группа «Пьет» (милосердие, скорбь, оплакивание).
Микеланджело было лишь 24 года, когда он получил от
кардинала де Лагрола (Jean Bilheres de Lagraulas), который
служил послом французского короля при дворе Папы Римского, заказ на скульптурную композицию: Мария и Хри-

Микеланджело. Пьета.
Собор Святого Петра, Ватикан

стос. В это творение молодой скульптор вложил столько
любви и труда, что только на нем написал свое имя вдоль
пояса, стягивающего грудь Богоматери: «MICHAEL. ANGELUS.
BONAROTUS. FLORENT. FACIEBAT» (Микеланджело Буонаротти
из Флоренции создал это). Трудно поверить, но работа над
этим произведением длилась меньше двух лет! В договоре
сохранились слова поручителя молодого скульптора (римского банкира Якопо Галли), который гарантировал, «что это
будет наилучшее произведение из мрамора, существующее
в наши дни, и что ни один мастер в наши дни не сделает
его лучше». И результат превзошел все ожидания! «Пьет»
не только прославила Микеланджело на весь Рим, но вскоре
о его работе заговорила вся Италия и вся Франция…
В тот воскресный день, пораженные красотой скульптуры великого мастера, люди невольно задерживались перед чудом, что открывалось по левую руку от них. Нежнейшее лицо Марии, движение ее левой руки — отражение
скорби и какого-то недоумения… Тщательная проработка
деталей… Композиция «Пьет» безупречна, несмотря на
сложность соединения в одном изваянии двух столь круп-

Вместо предисловия

ных фигур. Все это приковывало внимание посетителей
и заставляло их останавливаться.
«Пьет» — одна из наиболее гениальных работ в истории мирового искусства. Но, к сожалению, известны случаи, когда подобные шедевры вызывают не только благоговение, но и ненависть безумцев. Именно такого рода
событие и случилось в тот день.
Когда высокий молодой человек неожиданно стал выкрикивать слова о восставшем из мертвых Христе, не все
поняли, что происходит. У большинства возникла естественная мысль, что его неуравновешенность и экзальтация —
это реакция психически нездорового человека на литургию
и проповедь. Но дальше произошло совершенно неожиданное. Безумец, взобравшись на основание статуи, нанес ей
пятнадцать ударов скальным молотком, отбив статуе Девы
Марии левую руку на уровне локтя, выщербив нос и левое
веко и причинив множество других мелких повреждений.
Свидетелями преступления стали сотни людей. Понадобилось несколько секунд, чтобы среагировать на происходящее, оттащить от статуи и скрутить сумасшедшего.
Большинство отбитых кусков мрамора было найдено и использовано для реставрации скульптурного шедевра. Для восстановления недостающих элементов использовали мрамор
с тыльной стороны скульптуры. Профессиональный подход
реставраторов позволил полностью восстановить скульптуру,
сделать максимально незаметными мраморные включения
из заднего плана скульптуры. Восстановительные работы
продолжались более 9 месяцев, и только в конце 1973 года
паломники вновь смогли наслаждаться мировым шедевром.
С тех пор скульптура Микеланджело уже много лет
находится под надежной защитой в главной церкви Ватикана. Но после трагических событий, произошедших
в 1972 году, рассмотреть ее можно только через пуленепробиваемое стекло…
У читателя естественным образом возникает вопрос:
ту ли книгу я раскрыл? На обложке — заголовок про ма-

8
тематику, а из предисловия следует, что она по искусству.
Хочу успокоить (или разочаровать) читателя: это книга по
математике.
На следующих страницах мы нередко будем обращаться к архитектуре, скульптуре, живописи, которые являются источником математических идей. Но сейчас скажем
о том, как математика (причем самым практическим образом) может помочь искусству.
Реставрация скульптурной композиции мирового уровня — сложное, ответственное дело, и занимаются этим
«крутые» профессионалы, получившие специальное образование. Но многих технических средств, облегчающих процесс реставрации тогда (50 лет назад) не было.
Не было ни планшетов, ни цифровой фотоаппаратуры, ни,
естественно, необходимого программного обеспечения.
Сейчас для оцифровки скульптур, элементов архитектуры, археологических находок применяют 3D-сканирование, и можно получить 3D-изображения объектов. Полученные данные используются для реставрации, восстановления утраченных фрагментов. Сканирование осуществляется дистанционно. Тем самым устраняется опасность
повреждения предмета исследования.
Появилась возможность переноса физических объектов в виртуальную реальность. Благодаря этому можно
прямо на уроке рассмотреть творения гениальных скульпторов во всех деталях.
С помощью 3D-сканера создается облако точек геометрических образов на поверхности объекта. Но процесс
сканирования — только первый этап работы, это просто
сбор «сырой» информации. Чтобы получить конечный результат, мы должны математически (с помощью формул)
по специально разработанным алгоритмам обработать
данные сканирования, чтобы воссоздать форму предмета
во всей ее полноте (процесс, называемый реконструкцией). Если были получены данные и о цвете, то цвет реконструированной поверхности также можно определить.

Вместо предисловия

Уже сегодня отсканированы десятки тысяч произведений искусства, а полученные данные сохранены и доступны для загрузки и экспорта с последующей 3D печатью.
Искусство и математика всегда были неразрывно связаны друг с другом. Но, по всей видимости, первичным
в этом союзе является искусство. Ведь искусство — это
неисчерпаемый источник человеческой фантазии, без которой работа математика невозможна.
Но также невозможно отрицать влияние математических идей и конструкций на искусство: золотое сечение,
законы перспективы в живописи, соотношения звуковых
частот, управляющих созвучиями в музыке, ритмический
порядок в поэзии… Про архитектуру я уже и не упоминаю:
здесь роль математики очевидна.
Без математики невозможно изучение законов природы и не возможен технологический прогресс человечества
(телефоны, компьютеры, космические аппараты, современная медицинская аппаратура…).
В этой книге я попытаюсь рассказать, как «устроена» математическая наука, какие методы рассуждений она использует, что такое «математическое моделирование». И это поможет Вам сформировать правильный взгляд на математику.
«Правильный взгляд на математику приводит не
просто к истине, а к совершенной красоте — холодной
и строгой, как скульптура; отстраненной от человеческих слабостей; лишенной вычурных уловок живописи
и музыки — величественной кристальности, являющей
совершенство высочайшего из искусств. Прикосновение
к ней — неописуемый восторг; экстаз, освобождающий
от бренной человеческой оболочки и сравнимый только
с поэзией».
Бртран Рссел,
английский математик,
философ и общественный деятель,
лауреат Нобелевской премии
по литературе за 1950 год

Глава 1

Языки
эмоционального
восприятия
Каждая сфера творческой деятельности человека
вырабатывает свой специфический язык общения.
На языке зрительных образов «разговаривают»
графика, живописные полотна, скульптурные изображения, архитектура.
Термин «графика» первоначально употреблялся применительно только к письму
и искусству каллиграфии.
Новое значение и понимание
она получила в конце XIX —
начале ХХ вв., когда графика
определилась как самостоятельный вид искусства. Язык
А. Дюрер.
графики, основные его «букРуки молящегося
вы», — это линии, штрихи,
(около 1508)
контуры, пятна, точки.
Основой языка живописи является цвет. И «букв»
столько, сколько цветов и оттенков. Глаз обычного
человека (по оценке специалистов) способен различить примерно 150 основных цветов. Глаз профессионального художника — до 10–15 тысяч цветов
и оттенков. Некоторые исследователи утверждают,

ГЛАВА 1. Языки эмоционального восприятия

что, теоретически, человеческий глаз способен (при определенных условиях) различить до 10 миллионов оттенков.
Точную оценку никто дать не может, тем более что способности цветового восприятия различных людей могут
многократно отличаться.

А. Иванов. Явление воскресшего
Христа Марии Магдалине (1835)

Искусствоведы утверждают, что скульптура «говорит»
на языке пластики и объемов. Скульптура реальна и предметна. Можно выбрать любое освещение и любую точку
для ее обозрения. К дополнительным языковым средствам
скульптуры можно отнести материал, из которого она сделана.
Это может быть дерево, глина,
гранит, мрамор, бронза. Некоторые специалисты считают,
что понимать язык скульптуры
труднее, чем язык живописи,
к которой мы больше привыкли
и которая более красочно отражает окружающий нас мир. При
этом они ссылаются на авторитет философа XVIII века Д. Дидро, который сказал, что скульДжованни Страцца.
птура — «это сильная муза, но
Дева Мария,
молчаливая и скрытная».
мрамор, (1850-е)

12
Основными элементами («буквами») архитектуры являются:
геометрические формы, линия,
план, объем. Такие дополнительные детали, как свет, тень,
цвет, текстура, обогащают и
дополняют язык архитектуры.
Архитектурное
сооружение
складывается из кусочков, как
мозаика. И компоновку, последовательность, в которой соединяются отдельные элементы,
можно рассматривать как грам- А. Гауди. Саграда Фамилия
(1882, начало строительства).
матику языка архитектуры.
Барселона
В отличие от любого иностранного, музыкальный язык понятен всем людям, знающим и понимающим музыку. Музыкальными «буквами» являются звуки, каждый из которых имеет свое собственное
(нотное) написание. Музыкальные мысли — это мелодии.
Писатель записывает мысли на страницах своего рассказа, повести или романа. Музыкант записывает последова-

Фрагмент нотной записи.
Л. ван Бетховен. Соната, Оп. 57

ГЛАВА 1. Языки эмоционального восприятия

тельность нот (звуков). Могут использоваться «сложные
буквы»: созвучия (аккорды) из двух, трех и более звуков.
У нотной записи — сложная грамматика: кроме нот указываются темп исполнения и ритмический рисунок. Здесь
перечислены далеко не все музыкально-языковые средства, и профессиональные музыканты могут прочитать не
одну лекцию по грамматике и синтаксису музыкального
языка.
Кроме искусств, связанных с созданием зрительных
и музыкальных образов, существует и творчество писателей, которые обращаются непосредственно к сознанию
и мыслям на языке художественной литературы. Это не
тот язык, на котором говорят люди «в жизни». Язык, на
котором написаны «Илиада» и Одиссея», не является разговорным ни в одной греческой области. Поэтический
язык вообще полярен по отношению к разговорному. Но,
при необходимости, художник слова свободно пользуется
формами бытового языка.
Мы выяснили, что у каждого из представителей гуманитарных профессий (архитекторов, правда, к ним можно
отнести весьма условно) есть свои выразительные средства, свой язык.
А как обстоит дело у представителей естественных
наук? На каком языке им выражать свои мысли и идеи?
Все школьники знают ответ на этот вопрос: таким языком
является язык математический.

О математическом
языке

Глава 2

Когда мы читаем роман, повесть или рассказ, то
наше сознание создает череду связанных с текстом образов. Но авторский текст не предполагает однозначного его отображения в создаваемые
в нашем мозге образы. Разные читатели видят героев художественного произведения по-разному.
Чтобы в этом убедиться достаточно посмотреть
иллюстрации разных художников к одному и тому
же произведению. Тем более, мы ничего не можем
утверждать об эмоциональном восприятии: одним
нравится «Гарри Поттер», а другим больше нравится
читать «Три мушкетера».
Это означает, что существует проблема однозначной трансформации литературного текста в зрительный образ.
Более того, известна проблема идентичного перевода прозаического текста с одного языка на другой, не говоря уже о стихотворном. Существуют, например, разные переводы того же «Гарри Поттера».
Читатель может выбирать тот перевод, который ему
нравится больше.
Аналогично обстоит дело с нотами (музыкальным
текстом). Не только профессионалы, но и «продвину-

ГЛАВА 2. О математическом языке

тые» любители музыки легко чувствуют разницу в исполнении
одного и того же произведения различными музыкантами.
У каждого из представителей гуманитарных профессий
свои выразительные средства, свой язык. Но результат
восприятия «текста» — различный.
Математический текст принципиально отличается от
текста художественного произведения. Он требует абсолютно однозначного его понимания разными читателями.
«Буквы» этого текста — математические знаки, которые
могут объединяться в математические «слова» (формулы)
и математические «предложения» (связанные между собой группы формул). Понимается этот текст совершенно
одинаково всеми математиками в мире вне зависимости
от места проживания и родного языка. «Грамматика» этого
языка вырабатывалась их совместными усилиями в течение длительного времени (нескольких сотен лет). Язык
математики — живой. Он периодически дополняется новыми символами и конструкциями, которые согласовываются всеми участниками математического сообщества.
Например, строку:
R

lim f ( x ) A : VR ( A) U E (a) ( f (U E (a)) VR ( A))

E x oa

все математики в мире поймут одинаково!
Лингвисты выделяют две категории языков: естественные и формальные. Естественные языки позволяют людям общаться между собой. Формальные языки требуют
точности, однозначности и должны быть безупречно логичны. К формальным языкам относится математический,
а также языки написания химических формул и программирования. Формулы и обозначения, применяемые в этих
науках, одинаково трактуются во всем мире.
Еще одно важное отличие заключается в том, что формальные языки, в отличие от естественных, существуют
только в письменном виде.

16
Так как математический язык предназначен для количественной обработки научных данных, то любые погрешности в логике его применения исказят физические характеристики явлений и процессов. В результате мы получим
ошибочные представления о законах окружающего нас
мира. В инженерной, технологической или строительной
практике любая неточность в математической теории или
в использовании математических методов может привести
к техногенным катастрофам или разрушению конструкций.
Поэтому требования к особой точности математического
языка абсолютно оправданы. Тем более что математический «эксперимент», не имея дела с реальными предметами, механизмами или конструкциями, позволяет зачастую
избежать огромных материальных затрат на сооружение
установок и лабораторий.
Преимуществом является и то, что математика предоставляет удобный аппарат для компактного и четкого описания явлений.
Кроме того, использование математической символики
позволяет сжимать запись информации, делать ее легко
обозримой и доступной для последующей обработки. Приведем пример словесной формулировки дистрибутивного
свойства умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число
сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого
произведения вычесть второе.
Выглядит громоздко и не совсем понятно. И как все
становится просто и ясно, если выразить то же самое
в виде равенства: (a – b)c ac – bc.

Элементы
математического языка
Создание и развитие языка математики облегчается использованием бинарной логики, то есть предполагается, что
высказывания могут быть только истинными или ложными.

ГЛАВА 2. О математическом языке

Для краткости и удобства записи используются различные математические знаки и обозначения. (Сравним, две
записи: a b c и a plus b equal c и представим себе, что
вторым образом надо записать хотя бы формулу решения
квадратного уравнения или решение еще более сложной
задачи).
«Следует заботиться о том, чтобы обозначения были
удобны для открытий. Это достигается в наибольшей
мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы
отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления».
Г. Лейбниц

Одним из важнейших элементов математического языка является «высказывание». Высказываниями мы будем
называть такие предложения, которые можно с уверенностью отнести либо к «истинным», либо к «ложным». Например, фразы «Ну, спасибо тебе, Айболит!» и «Только
где же вы живете? На горе или в болоте?» (К. Чуковский)
не являются высказываниями. Также нельзя отнести к высказываниям фразу «В школе многим ученикам нравятся
уроки математики», так как понятие «многим» нуждается
в уточнении. А вот фраза «В озере Лох-Несс живет многометровое чудовище» является высказыванием, но пока
точно не известно истинно ли оно или ложно. «Число 17
делится на два нацело» — ложное высказывание. «Простых чисел бесконечно много» — высказывание истинное. Логика использования такого рода высказываний
называется бинарной логикой.
Математический язык позволяет выстраивать логические цепочки из высказываний. Пусть у нас имеются два
высказывания A и B. Например:
• Целое число М делится на 6;
• Целое число М делится на 3.
Из двух высказываний A и B мы можем образовать новое высказывание, которое читается так: «если A, то B».

18
Оно называется импликацией и обозначается A B. В нашем примере импликация выглядит следующим образом:
A B — если число М делится на 6, то оно делится на
3. Это высказывание истинно.
Мы можем образовать и обратную импликацию: B A.
Если число М делится на 3, то оно делится на 6. Очевидно,
что это высказывание ложно.
Пусть импликация A B верна. Тогда B называется необходимым условием для A; в то же время A называется
достаточным условием для B.
Другими словами:
• Чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно
делилось на 3. Но это условие не является достаточным.
Например, число 33 делится на 3, но не делится на 6.
• Чтобы число делилось на 6, достаточно, чтобы оно
делилось на 12.
Но это условие не является необходимым. Например,
число 30 не делится на 12, но оно делится на 6.
• Чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно было четным и делилось на 3.
Приведем еще один простой пример.
Пусть iPhone стоит 100 000 рублей. Тогда:
• чтобы купить iPhone, необходимо 10 000 рублей
(но недостаточно!);
• чтобы купить iPhone, достаточно 200 000 рублей
(но не необходимо!);
• чтобы купить iPhone, необходимо и достаточно
100 000 рублей.
Вместо выражения «необходимо и достаточно» часто
говорят «тогда и только тогда, когда» или «в том и только
в том случае, если».
Приведем еще несколько примеров.
Пример: Чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны.
Приведенное условие необходимо, но недостаточно.
Действительно, если диагонали не перпендикулярны, то

ГЛАВА 2. О математическом языке

четырехугольник не квадрат, но, если диагонали перпендикулярны, это не означает еще, что четырехугольник квадрат.
Необходимое условие — это условие, без выполнения
которого данное утверждение не является верным.
Пример: Чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы его стороны были равны.
Это условие достаточное, но не является необходимым,
так как и без его выполнения (стороны не равны) четырехугольник может быть параллелограммом.
Достаточное условие — это условие, из которого следует, что данное утверждение верно.
Пример: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда
сумма цифр этого числа делится на 3. (Это признак делимости на 3).
В современном языке математики используются символы (буквы) из латинского, греческого, готического алфавитов, причем латинский и греческий используются
в полном составе, поскольку формирование математики
происходило в течение долгого времени преимущественно в Европе, и за основу были взяты именно эти языки.
Тем не менее искусственный язык математики имеет гораздо больше оригинальных, придуманных учеными символов.
Современные математические обозначения появились
лишь в XVI–XVII веках. Примерно в это время в математических работах начали использоваться хорошо известные
нам из младшей школы знаки:
Арифметические действия:
« » — знак сложения; « » — знак вычитания;
« » — знак умножения; « » — знак деления.
Знаки сравнения:
« » — знак равенства; « !» — знак «больше»;
« » — знак «меньше»;
«t» — знак «больше или равно»; «d» — знак «меньше или равно».

20
Знаки плюса и минуса впервые использованы в учебнике Йоханнеса Видмана «Быстрый и приятный счет для
всех торговцев», изданном в 1489 году. Знак плюс символизировал прибыль, знак минус — убытки. Оба символа
вскоре получили распространение в Европе.
Знак умножения в виде косого крестика ввел
в 1631 году англичанин Уильям Оутред. Позднее Готфрид
Лейбниц заменил крестик точкой, чтобы не путать его
с буквой x.
Знаки !и ввел в использование Томас Хэрриот (английский астроном, математик, этнограф и переводчик)
в своем сочинении, изданном посмертно в 1631 году.
Символы нестрогого сравнения первым предложил английский математик Джон Валлис в 1670 году.
Современный символ знака равенства предложил Роберт Рекорд (валлийский врач и математик) в 1557 году.
Многие из обозначений (но не все!) отражают свое
прямое значение. Например, символ « || » означает параллельность, « A» — перпендикулярность, « » — угол,
« » — следует (следовательно). Их смысл подсознательно угадывается. Но для других символов, не зная их,
нельзя подобрать значение. Современная математика насчитывает сотни символов.
Далее у нас будут появляться новые математические
знаки, и мы будем вводить их по мере необходимости.

Глава 3

Математика:
конструктивные
особенности
Для начальной организации «математического
мира» необходимы какие-то первичные понятия.
Также необходимы правила, по которым эти понятия
могут взаимодействовать между собой. Естественно,
что для описания понятий и правил нужен специальный язык математики, о котором мы упоминали
в предыдущем разделе.
Проведем некоторую аналогию с игрой в шахматы. Первичные понятия — это шахматные фигуры.
Первичные правила — это правила игры: как могут
перемещаться фигуры, как они могут друг с другом
взаимодействовать. Конечно, аналогия не может
быть полной. Например, у шахматной партии есть
конечная цель. Можем ли мы с такой же уверенностью сказать, что у математики, как определенной
сферы научной деятельности есть конечная цель?
Приведем еще один пример: конструктор ЛЕГО.
Есть определенный набор различных деталей. Есть
определенные способы соединения этих деталей
между собой. При наличии терпения и изобретательности можно создать много различных конструкций.
В отличие от шахмат здесь может и не быть конечной цели. Можно создавать целые ЛЕГО-миры, если

22
количество деталей не ограничено. Но и в этом случае нет
полной аналогии с процессом математического творчества.
Детали конструктора и правила их соединения (как и шахматные фигуры и правила) придуманы самими людьми.
Мы все изучали математику в школе. И, наверное, многие скажут, что математические объекты и правила тоже
придуманы людьми. Тем не менее все чувствуют фундаментальную разницу между интеллектуальными играми
и математическим творчеством. Математика каким-то непостижимым образом связана мириадами нитей с природой, и правила, по которым она изначально развивалась,
продиктованы наблюдением за явлениями окружающего
нас мира. Именно это и делает ее удивительно эффективным инструментом естественных наук.

Первичные понятия математики
Если мы хотим дать чему-то определение, то мы неизбежно
должны располагать какими-то первичными (неопределяемыми) понятиями, которые принимаются за основу.
Желательно, чтобы смысл первичных понятий был интуитивно очевиден.
Любая область человеческой деятельности связана не
только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью. Например, ботаника изучает не только отдельно
взятое растение, а совокупность всех растений.
Математика также изучает не только отдельные объекты, а их совокупность, сгруппированную по какому-то
признаку. Например, в геометрии изучают свойства, присущие любым треугольникам, а не отдельно взятому. Таким
образом, появляется первичное понятие «множество».
Приведем определение множества (точнее, пояснение
идеи множества), принадлежащее выдающемуся математику Г. Кантору (1845–1918):
«Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить, как единое,

ГЛАВА 3. Математика: конструктивные особенности

т. е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена
в одно целое».
Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.
С этим определением неразрывно связан неопределяемый термин «принадлежит». Синоним этого термина —
«является элементом». Могут быть и другие синонимы. При
необходимости их использования буду об этом напоминать.
Еще одним неопределяемым понятием, лежащим в основе всей математической науки, является «число».
Человек может ориентироваться во внешнем мире, опираясь исключительно на свои органы чувств. Люди накапливали опыт взаимодействия с предметами окружающего его
мира и развивали свою интуицию. Постепенно был найден
способ передачи накопленной информации в виде некоторых знаков — чисел, которые отражали количество предметов или их размеры. Таким образом, постепенно числа
превратились в важнейший элемент научного исследования.
О том, какие базовые понятия положить в основу геометрии, задумывался еще Евклид. Он считал, что это должны быть точка, прямая и поверхность. Более того, он попытался дать к ним некоторые пояснения. Так, он говорил,
что точка — это то, что не имеет частей, а линия — это
длина без ширины. Но строгими определениями эти остроумные пояснения, конечно, назвать нельзя.
Один из крупнейших математиков начала ХХ века
Д. Гильберт (1862–1943) в своей книге «Основания геометрии» предложил основными неопределяемыми понятиями геометрии считать:
• «точки»;
• «прямые»;
• «плоскости».
Кроме упомянутого выше отношения «принадлежит»
для связи между геометрическими объектами он добавил
еще два первичных отношения:

24
«между»;
«конгруэнтен» — это отношение, по которому можно судить об одинаковости двух фигур (дело в том, что
понятие равенства фигур оказывается не так просто определить).
Удивительно, но лишь этих понятий и аксиом (о них —
чуть позже) оказалось совершенно достаточно для построения непротиворечивой геометрии!
В школьных учебниках именно эта система понятий
и аксиом Д. Гильберта принята за основу.
Но нельзя сказать, что система Д. Гильберта единственно возможна. Так, широко известна система понятий и аксиом немецкого математика Г. Вейля (1885–1955). Основными объектами в ней являются:
• «точка»;
• «вектор».
Основные отношения:
• «сложение векторов»;
• «умножение вектора на число»;
• «скалярное умножение векторов»;
• «откладывание вектора от точки».
Немного о понятии «вектор». В школе это понятие
обычно появляется в 8, иногда в 9 классе (в зависимости
от учебника). Это понятие также непременно используется
в курсе физики. Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину и направление (например, сила
в физике). В геометрии под векторами понимают направленные отрезки.
Многие преподаватели не без основания считают, что
с методической точки зрения излагать курс геометрии при
использовании системы Вейля было бы проще. Тем более
что количество используемых в этой системе аксиом меньше, чем у Гильберта.
Думаю, что мы поступим правильно, если в следующем
разделе, хотя бы кратко, расскажем о каждом из трех упомянутых выдающихся математиков.
•
•

Г. Кантор,
Д. Гильберт,
Г. Вейль

Глава 4

В предыдущем разделе были названы математики,
во многом определившие развитие науки в начале ХХ века. В школьных учебниках практически нет
о них упоминаний, что совершенно неоправданно
и несправедливо. Восполним этот пробел краткой
биографической информацией об основных событиях их жизни.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (Georg
Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) родился 3 марта
1845 года в России, в Санкт-Петербурге.
Мать Георга Кантора, Мария Бем, происходила из
известной музыкальной семьи. Ее отец был капельмейстером Императорской оперы в Петербурге, брат
отца — профессором скрипичной музыки Венской
консерватории. Широко прославились в истории музыки и многие другие представители из рода Бемов.
Георг был старшим из шести детей. Мать дала Георгу отличное музыкальное образование. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей
значительные художественные и музыкальные таланты.
Его отец, Георг Вольдемар Кантор, владел фирмой
посреднических услуг, деятельность которой протекала весьма успешно, и был членом Петербургской

26
фондовой биржи. В дальнейшем
это позволило ему оставить семье
вполне внушительное состояние.
Он обладал блестящими знаниями
в области гуманитарных наук, был
глубоко религиозным человеком.
Когда Кантор был еще ребенком,
семья переехала из России в Германию, и именно там началось его
обучение математике. В 1868 году
он защитил диссертацию по теории
чисел в Берлинском университете,
и ему была присвоена степень доктора философии. Затем
он получил должность приват-доцента в университете города Галле.
В августе 1872 года Кантор познакомился со своей будущей супругой Валли Гуттман, и летом 1874 года состоялась их свадьба.
У Георга было четыре дочери и два сына. Никто из
детей не проявил особой математической одаренности.
Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор
был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание
благодаря полученному от отца наследству.
Основные значимые работы Кантора связаны с изучением расположения чисел на числовой оси. Дело в том,
что на числовой оси кроме целых положительных и отрицательных чисел и обыкновенных дробей расположены и точки, соответствующие десятичным бесконечным
непериодическим дробям. К таким числам относятся, например, 2 , 3 , S . И (в некотором смысле) такого рода
чисел больше, чем остальных. Так как речь идет о сравнении бесконечных множеств, то необходимо было найти
критерии, по которым можно классифицировать эти множества. И Кантор нашел строгий математический способ
для ранжирования бесконечных множеств. Это позволило
доказать целый ряд важных теорем и задать новое направ-

ГЛАВА 4. Г. Кантор, Д. Гильберт, Г. Вейль

ление в математических исследованиях. Более подробно
эту проблему мы обсудим в дальнейших разделах.
Математические открытия Кантора были настолько необычны, что главный редактор математического журнала
Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, отказался печатать его статью. У Кантора и Кронекера было серьезное различие во взглядах на
обоснование математики. Кантор понимал, что принятие
позиции Кронекера означало бы изгнание из математики
многих значительных результатов.
В 1884 году Кантор испытал приступ депрессии. Критика работ по теории множеств повергала его в уныние.
Эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по
ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать,
что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом
деле написал Френсис Бэкон.
Через несколько лет Кантор сумел восстановиться
и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей
теории. В 1899 году супруги Кантор отпраздновали в Граце
серебряную свадьбу, и 54-летний исследователь вновь со
всей энергией обратился к математическому творчеству.
В конце 1899-го Кантор был второй раз помещен в психиатрическую клинику. Вскоре после второй госпитализации
ученого внезапно умер его младший 13-летний сын Рудольф
(в 1903 году), и Георгу вновь потребовалась госпитализация.
Хотя Кантор не оставлял полностью занятия математикой, он
страдал от хронической депрессии всю оставшуюся жизнь
(и по этой причине был освобожден от преподавания).
По свидетельству современников, в человеческом отношении он был верным и отзывчивым другом своих слушателей-студентов. Дом его всегда был открыт для них, как
и для многих учащихся других специальностей, привлекая
их уютной атмосферой, музыкой и по-юношески свежей общительностью. Значительную роль в этом играла его госте-

28
приимная супруга. Даже в пожилом возрасте он не щадил
усилий, чтобы оказать помощь своим ученикам или просто
доставить им радость. К молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их
круге было известно, что каждый обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не столь важной, всегда найдет
в нем дружески расположенного слушателя и советчика.
Убеждение в величии и значительности своего труда не
сделало Кантора надменным, как это случалось со многими выдающимися исследователями. Так, даже в 1905, посылая по желанию редакции журнала свой портрет для
«Acta Mathematica», он пишет при этом: «Я предпочел бы,
чтобы Вы не печатали моего портрета, так как считаю
это для себя чрезмерной честью».
В 1900-е годы к Георгу Кантору пришло запоздалое, но
тем более желанное научное признание, а также и внешние почести, которым он от души радовался. Его избрали
в почетные члены Лондонского математического общества
(1901), а также в члены-корреспонденты Королевского венецианского института наук, литературы и искусств (1904).
Ему были присуждены степени доктора математики honoris
causa университетом Христиании (1902), медали Сильвестра британским Королевским обществом (1904), степени
почетного доктора университетом Сент-Эндрью (1911).
Однако состояние нервной системы неоднократно вынуждало его в эти годы прерывать чтение лекций. В 1905 он
был освобожден от служебных обязанностей, а в 1913 году
окончательно отказался от университетской должности.
Международное празднование его семидесятилетия было
намечено на 1915 год, но не могло состояться из-за войны.
Все же многие немецкие математики приехали в Галле воздать ему честь. Тогда же был заложен его мраморный бюст,
с 1928 года стоящий в вестибюле университета Галле. Его
золотой докторский юбилей не мог быть публично отмечен,
из-за состояния его здоровья. 6 января 1918 года Кантор
скончался в психиатрической клинике в Галле.

ГЛАВА 4. Г. Кантор, Д. Гильберт, Г. Вейль

Давид Гильберт (David Hilbert) —
один из значительнейших математиков XX века. Его работы в области
алгебры, геометрии, анализа, физики, логики и оснований математики
дают ему право называться математиком века.
Он родился в 1862 году в семье
судьи Отто Гильберта, в городке
Велау близ Кенигсберга в Пруссии
(после второй мировой войны — российский поселок Знаменск Калининградской области). В семье, кроме Давида,
была еще дочь.
В 1880 году закончил гимназию Вильгельма (Wilhelm
Gymnasium). Далее, в том же году, Гильберт поступил в Кенигсбергский университет.
В 1885-м Гильберт защитил диссертацию по теории
инвариантов, а в следующем году стал профессором математики в Кенигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов
выдвинули его в первые ряды европейских математиков.
В 1892-м он женился на Кэте Ерош. В следующем году
родился их единственный сын — Франц.
В 1895 году Гильберт переходит в Геттингенский университет. В нем он проработал более 40 лет, фактически
до конца жизни. Последнюю лекцию в Геттингене Гильберт
прочитал в 1933 году. Очень много выдающихся математиков считают себя учениками Гильберта.
В 1897-м выходит капитальная монография Гильберта
«Zahlbericht» («Отчет о числах») по теории алгебраических чисел.
В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешенных проблем математики, послуживший
направляющим указателем приложения усилий математиков на протяжении всего XX века.

30
С 1902 года Гильберт — редактор самого авторитетного
математического журнала «Mathematische Annalen».
В 1910-х Гильберт создает в современном виде функциональный анализ, введя понятие, получившее название
гильбертова пространства. Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырехмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для
Общей теории относительности.
В 1920-х годах Гильберт и его школа сосредоточили
усилия на построении аксиоматического обоснования
математики.
В 1930-м Гильберт ушел в отставку, хотя время от времени читал лекции студентам.
После прихода гитлеровцев к власти жил в Геттингене
в стороне от университетских дел. Многие его коллеги,
имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать. Известно, что на
вопрос нацистского министра образования: «Как теперь
математика в Геттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил:
«Математика в Геттингене? Ее больше нет».
Умер Гильберт 14 февраля в военном 1943 году в Геттингене. За его гробом шло всего около десятка человек.
Исследования Гильберта оказали большое влияние на
развитие многих разделов математики, а его деятельность
в Геттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Геттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической
мысли. Диссертации большого числа крупных математиков
(среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под его научным руководством.
Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта, изданное под
его наблюдением (1932–1935), кончается статьей «Познание

ГЛАВА 4. Г. Кантор, Д. Гильберт, Г. Вейль

природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать —
мы будем знать» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.).
Гильберт много времени и усилий посвятил разработке
математических методов решения физических задач. В физике он также был сторонником строгого аксиоматического
подхода и считал, что после аксиоматизации математики
необходимо будет проделать эту процедуру с физикой.
Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод уравнений Эйнштейна — основных уравнений
общей теории относительности, проведенный им в ноябре
1915 года практически одновременно с Эйнштейном.
Его глубокое понимание физики подтверждает также
следующий случай. В 1926 году после создания матричной квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг
решили проконсультироваться у Гильберта, существует ли
область математики, в которой применялся бы подобный
формализм. Гильберт ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существования
решений дифференциальных уравнений второго порядка
в частных производных. Физикам показалось, что математик
их не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос.
Менее чем через полгода Эрвин Шредингер создал волновую квантовую механику, основное уравнение которой —
уравнение Шредингера — является уравнением второго порядка в частных производных, и доказал эквивалентность
обоих подходов: старого матричного и нового волнового.
Сам Гильберт пошутил по этому поводу: «По всей видимости, развитие физической теории является слишком сложным для физиков. Лучше доверить это математикам».
Герман Вейль (Hermann Weyl) родился 9 ноября
1885 года в Германии, в небольшом местечке Эльмсхорн
вблизи Гамбурга. По окончании в 1904 году средней школы
он поступил в знаменитый Геттингенский университет, который бесспорно являлся в те годы центром мировой математической мысли. Непосредственным учителем Вейля был

32
Д. Гильберт: ведь причиной поступления Вейля в Геттингенский
университет явилось то случайное обстоятельство, что директор
средней школы, в которой учился
Вейль, был двоюродным братом
Гильберта. Он направил одаренного школьника к своему знаменитому кузену. И этой случайности Гильберт был обязан лучшим
из своих учеников, а Вейль, возможно, всей своей поразительной
научной карьерой!
В 1908-м Вейль окончил университет и в том же году
защитил диссертацию и получил степень доктора философии. С 1908 до 1913 приват-доцент Вейль читал лекции
в Геттингенском университете.
В 1913 году Вейль женился на Хелен Джозеф. У пары
было два сына, Иоахим и Михаил. В том же году Г. Вейль
покинул надолго Геттинген, приняв предложенное ему место профессора знаменитого Высшего технического училища в Цюрихе (Швейцария). Эйнштейн в это время также
находился в Цюрихе, что еще больше подстегнуло интерес
Вейля к физике. Именно в эти годы А. Эйнштейн был занят
разработкой основ общей теории относительности, и этот
круг идей сразу же захватил Г. Вейля. Статья Эйнштейна вышла в свет в 1916-м, а уже в 1917 году Вейль читал
в цюрихском политехникуме курс лекций по общей теории
относительности. Эти лекции составили содержание знаменитой книги Вейля, вышедшей в свет летом 1918 года
под названием «Пространство, время, материя».
При использовании понятия пространства обычно за основу брали систему аксиом Давида Гильберта. Вейль исходит
из совсем другой концепции, порожденной не геометрией,
а скорее алгеброй. Во главу угла он кладет понятие «вектора»: в его аксиоматике геометрии основными (неопределя-

ГЛАВА 4. Г. Кантор, Д. Гильберт, Г. Вейль

емыми) понятиями являются понятия «вектора» и «точки»,
а основными (неопределяемыми) отношениями — алгебраические операции векторной алгебры и операция откладывания вектора от точки. Такой подход к аксиоматике геометрии имеет высокие научные и методические достоинства.
Удивительна продуктивность Г. Вейля в его первые цюрихские годы! За период с 1913 по 1923 годы он опубликовал 5 книг и 40 статей, разрабатывающих самые различные разделы математики.
В 1930 году Д. Гильберту было предложено покинуть
маленький провинциальный Геттинген и перебраться
в Берлин. Он согласился на это при условии, что возглавляемая им кафедра в Геттингене будет передана Вейлю.
Кандидатура Вейля на замещение кафедры Гаусса для всех
математиков казалась весьма естественной. Однако в политической жизни Германии в то время произошел резкий
поворот. Начало 30-х годов — это годы прихода к власти
в Германии фашистов. Хотя Гитлер проиграл президентские
выборы в Германии в апреле 1932 года, настроение в стране
менялось, и ситуация в университете быстро ухудшалась.
Серьезное беспокойство вызывало и то, что жена Вейля,
Хелен, была еврейкой, а их сыновья считались германским
правительством евреями. К тому времени положение в Германии становилось все более тяжелым. К апрелю 1933 года
некогда выдающийся Математический институт в Геттингене
был практически ликвидирован. Приход к власти нацистов
ознаменовался массовым увольнением из Геттингенского
университета ученых еврейской национальности; вместе
с евреями покинул Геттинген и немец Г. Вейль.
В октябре 1933 года Вейль и его семья смогли добраться до Америки. Они приехали в маленький американский
городок Принстон, знаменитый своим Институтом высших
исследований — замечательным физико-математическим
научно-исследовательским институтом, в котором нашел
приют также Альберт Эйнштейн. В Принстоне Вейль проработал до 1951 года.

34
В 1951-м Г. Вейль покинул Соединенные Штаты и переехал обратно в Цюрих. Однако по-прежнему он наезжал
в Принстон и поддерживал тесные связи с принстонскими
математиками. Возвращение в любимый город, который он
оставил больше 20 лет тому назад, в город его молодости
и первых блестящих успехов, было радостью для Вейля
еще и потому, что он снова слышал на улицах немецкую
речь, к которой был страстно привязан, — ведь и в США
Вейль (как он сам говорил) чувствовал себя немцем.
Именно в Цюрихе Вейль скончался 8 декабря 1955 года.

Глава 5

Математический
каркас
Основные понятия и отношения составляют фундамент, на котором строится математическое здание.
Можно сказать, что его каркасом являются аксиомы.
То есть положения, принимаемые за истинные без
их доказательств.
Математика, если она хочет быть эталоном точности, должна заботиться не только о фундаменте,
но и прочности «каркаса и несущих конструкций»
огромного математического «здания».
До конца XIX века математики не слишком об
этом заботились. Их высокая квалификация была
достаточна, чтобы получаемые ими результаты были
непротиворечивы. Но наука развивалась так динамично, что возникла потребность в пересмотре самих основ математики.
Во-первых, стало ясно, что привычная геометрия Евклида не является единственно возможной.
Появились альтернативные геометрии Лобачевского
и Римана.
Во-вторых, после разработки Георгом Кантором
основ теории множеств в математике стали появляться объекты с необычными свойствами. Например, был предложен алгоритм, в соответствии с ко-

36
торым может быть построена кривая, проходящая через
все точки квадрата!
В-третьих, стали рассматриваться функции, имеющие
на любом, сколь угодно малом промежутке бесконечное
число точек разрыва.
Этот список можно было продолжать. Но и этого было
достаточно для того, чтобы математики всерьез забеспокоились и занялись пересмотром положений, лежащих
в основе науки.
Нельзя сказать, что основами математики совсем не
занимались до этого. Достаточно напомнить, что этому
вопросу пристальное внимание уделял еще Евклид. Он
понимал, что надо заложить логический фундамент математики. Уже у Евклида была система аксиом. В первую
очередь, она касалась геометрии. Приведем эти аксиомы.
1. От всякой точки до всякой точки можно провести
прямую.
(В школьных учебниках: «Через любые две точки проходит прямая и при том только одна»).
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует
внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух
прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где эти углы в сумме меньше
двух прямых углов.
(В школьных учебниках эта аксиома сформулирована
более просто: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и при том
только одна»).
Последнюю пятую аксиому долгое время считали теоремой и пытались доказать, используя первые четыре
аксиомы. Н. Лобачевскому удалось разобраться с этим

ГЛАВА 5. Математический каркас

вопросом и доказать, что это действительно аксиома, не
зависящая от первых четырех. Ее изменение приводит
к появлению другой геометрии. Независимо от Лобачевского к тем же результатам пришли венгерский математик
Я. Бойяи и великий Карл Гаусс.
C появлением канторовской теории множеств и проблем, связанных с развитием математического анализа
и новых разделов математики, возникла необходимость пересмотра первоначальных понятий и улучшения аксиоматики Евклида. Основной вклад в это внес Давид Гильберт.
Гильберт пересмотрел аксиоматику Евклида самым
серьезным образом. Он хотел доказать (и это ему удалось),
что всю геометрию можно вывести чисто логически из небольшого числа аксиом. Впервые он привел эти аксиомы
в первом издании «Оснований геометрии». Эта книга вышла в 1899 году. Мы не будем здесь приводить все аксиомы Гильберта (20 аксиом), которых оказалось намного
больше, чем у Евклида. Но для «каркаса» такого огромного
здания науки, как геометрия, это вполне приемлемо.
Все аксиомы Гильберт разбил на 5 групп:
1. Аксиомы принадлежности (8 аксиом).
2. Аксиомы порядка (4 аксиомы).
3. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).
4. Аксиомы непрерывности (2 аксиомы).
5. Аксиома о параллельных (1 аксиома).
Все теоремы и результаты в геометрии могут быть выведены только из приведенных выше понятий и аксиом.
Конечно, в полном виде систему аксиом Гильберта в школе не изучают. Попытки полностью формализовать обучение
геометрии в школе оказались обречены на провал. Очень
трудно убедить школьника, что ему, например, необходимо
при доказательстве теоремы использовать аксиому о том,
что «на каждой прямой лежат по крайней мере две точки». Настаивая на этом, можно лишь вызвать отвращение

38
к предмету. Поэтому полной строгости в школе не пытаются
достичь. Ищется определенный компромисс между строгостью и ясностью изложения предмета. И это разумно. Но для
геометрии как науки аксиоматика — необходимость.
Упомянутая ранее система аксиом Германа Вейля, использующая понятие вектора, содержит лишь 17 аксиом.
Но так как мы ничего не сказали о векторах и их свойствах, то не станем говорить и о том, как они группируются
и как используются.
Остается еще один важный вопрос. Можно ли в качестве аксиом принимать любые положения, или есть некоторые ограничения? Естественно, такие ограничения есть!
1. Непротиворечивость.
Система аксиом противоречива, если из нее логически
следует два утверждения, противоречащие друг другу.
Такая «аксиоматика» позволяет доказать все, что угодно.
В качестве иллюстрации можно привести историю, которая
произошла с известным английским математиком, специалистом по теории чисел, Г. Харди1.
«Когда однажды на обеде известный математик
Годфри Харди сделал подобное замечание >что тогда можно
доказать все, что угодно (Б. Э.)@, кто-то из присутствующих потребовал обосновать его: предложив, например,
что 2 2 5, доказать, что Мак-Таггарт >английский философ (Б. Э.)@ — папа римский. Харди ненадолго задумался и ответил: «Мы знаем также, что 2 2 4, значит 4 5. Вычитая 3, получаем 2 1. Мак-Таггарт и папа
римский — это два человека, следовательно, Мак-Таггарт
и папа римский — это один человек».
2. Независимость.
При рассмотрении системы аксиом может возникнуть
еще один вопрос: все ли аксиомы, входящие в систему,
являются необходимыми. Возможно ли, что какую-нибудь
1
Эта история приведена по книге Яна Стюарта «Концепции
современной математики». — Минск, Вышэйшая школа, 1980.

ГЛАВА 5. Математический каркас

из них можно доказать, как теорему, используя оставшиеся аксиомы? Если ни одна из аксиом не является следствием других, то такая система аксиом является независимой.
В отличие от непротиворечивости, требование независимости может безболезненно нарушаться. Например,
в школьном курсе геометрии можно ввести дополнительное (не являющееся необходимым) положение и назвать
его еще одной аксиомой. Это будет целесообразно, если
значительно облегчит понимание учебного материала.
3. Полнота.
Непротиворечивая система аксиом называется полной, если для любого утверждения, выраженного в рамках ее основных понятий, можно доказать его справедливость или его ложность. Например, если отбросить
теорему о параллельных прямых, то аксиоматика будет
неполной. Целый ряд теорем не удастся ни доказать, ни
опровергнуть.
Кроме того, любые сравнения отрезков, углов, площадей и объемов в геометрии связаны с понятием числа.
Таким образом, программа формализации всей математики, необходимость которой понимали математики,
и основным инициатором разработки которой был Давид
Гильберт, казалось, была завершена. Гильберт свел непротиворечивость евклидовой геометрии к непротиворечивости арифметики, что на тот момент было чем-то само собой
разумеющимся. Однако в 1931 году неожиданно была опубликована теорема австрийского математика Курта Геделя
о неполноте. Она показала, что программа Гильберта полностью неосуществима. Гедель доказал, что полнота любой
достаточно широкой формальной теории несовместима
с ее непротиворечивостью. Это означало следующее:
• Возможны теоремы, которые не удастся ни доказать,
ни опровергнуть в рамках существующей аксиоматики (назовем их «теоремы-призраки»);

40
• Мы не можем заранее определить, является ли изучаемая проблема теоремой-призраком (или просто не
сумели найти доказательство, но через некоторое время
доказательство все-таки будет найдено).
Эта проблема в художественной форме была блестяще
обыграна в романе греческого писателя Апостолоса Доксиадиса «Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха». Этот
роман переведен на десятки языков, в том числе и русский. Возможно, что именно гипотеза Гольдбаха о том,
что любое четное число, начиная с 4, можно представить
в виде суммы двух простых является теоремой-призраком.
До сих пор, во всяком случае, не предложено реальных
подходов к ее решению.

Теория множеств.
Миры из ничего

Глава 6

Множества.
Основные моменты
Вернемся к понятию множества. Оно задает «поле»,
на котором происходит математическая «игра». Так
как множество — одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее
разделах, то мы должны рассмотреть это понятие
более подробно. Необходимо уточнить:
• каким образом решаются вопросы принадлежности (или непринадлежности) множеству;
• какие объекты могут быть элементами множества;
• какими способами можно задавать множества
и как их обозначать;
• возможна ли классификация множеств по каким-либо признакам.

Принадлежность множеству
Множество полностью определяется входящими в него элементами. Если в отношении какого-нибудь элемента у нас нет полной ясности по
поводу его принадлежности, то мы не имеем права его в это множество включать. Оказывается,

42
не всегда легко определиться с принадлежностью множеству.
Например, мы хотим рассмотреть множество планет Солнечной системы. Включать ли в это множество Плутон? Первоначально его действительно считали планетой. Но сейчас
астрономы изменили свое мнение и называют его карликовой планетой, входящей в пояс Койпера, напоминающий
пояс астероидов, но находящийся за планетой Нептун.
Еще пример. В студенческой группе по результатам
экзаменов 5 отличников. Но есть шестой, который всегда
все экзамены сдавал на «отлично», включая последнюю
сессию. Но перед последним экзаменом он заболел. Включать ли его во множество «отличников группы»?
Если нет ясности с принадлежностью, то возможно
возникновение так называемых «парадоксов». Приведем
лишь один классический пример.
Командир приказал одному из воинов брить всех, кто
не бреется сам, и обещал казнить всех, кто не подчинится приказу. Воин сбрил бороды всем, кто сам не брился,
и после этого решил, что пора побриться самому. И в этот
момент он понял, что не выполнит приказ в любом случае:
• Если он побреется сам, то он нарушит приказ, так как
не имел права себя брить.
• Если он не побреется, то он должен себя брить (таков
приказ).
Получается, что в любом случае он должен быть казнен!
На самом деле это псевдо парадокс, так как в отношении несчастного воина не решена проблема принадлежности (его нельзя включать в исходное множество воинов).

Элементы множества
Элементами множества может быть все что угодно: числа, люди, насекомые, предметы одежды, геометрические
фигуры, дни недели, книги, картины, фильмы и т. д. Основное условие: должен быть задан четкий (недвусмыслен-

ГЛАВА 6. Теория множеств. Миры из ничего

ный) критерий принадлежности множеству. (Согласимся,
что не каждое творение человека можно отнести к произведению искусств).

Способы задания множества
Существуют различные способы задания множеств.
Дать полный список элементов.
Примеры:
а) список учеников данного класса;
б) перечень инструментов в коробке с инструментами;
в) перечень химических элементов в таблице Менделеева.
• Указать некоторое характеристическое свойство.
Примеры:
а) множество натуральных чисел;
б) множество праздничных дней в этом году;
в) множество правильных многоугольников;
г) множество букв в сказке К. Чуковского «Доктор Айболит».
Примечание. В последнем пункте необходимо уточнение года издания, так как правила орфографии менялись
за последние 100 лет неоднократно.
•

Обозначение множеств и их элементов
Множества обычно обозначаются заглавными буквами:
A, B, C…
а) A ^Петя, Саша, Миша` — перечисление элементов
множества.
б) B ^пн., вт., ср., чт., пт., сб., вс.` — перечисление
дней недели.
в) C ^S ,+, , d, k ,%,@,2,k` — перечисление букв,
цифр, символов.
Примечание. Порядок расположения элементов в списке не играет никакой роли.
г) D ^ x | x 2 2 x 0 ` — множество решений уравнения x 2 2 x 0.
Для тех, кто забыл, как решаются уравнения, это числа
x1 0 и x2 2.

44
Множества бывают конечные
и бесконечные
Примеры:
а) множество рыб в океане — это конечное множество;
б) множество прямоугольных треугольников — бесконечное множество;
в) множество простых чисел — близнецов (это простые числа вида n и n 2). Например, 17 и 19, 29 и 31,
41 и 43… До сих пор неизвестно, есть ли последняя такая
пара в бесконечном множестве простых чисел или нет.
Пока эта математическая проблема не решена. И неизвестно, конечное это множество или нет!

Пустое множество
Множество, в котором нет элементов, называется пустым множеством.
Обозначается: .
Примеры:
а) Множество людей, имеющих рост 0 м.
б) Множество треугольников, сумма углов которых равна 37°.
в) Множество действительных корней уравнения
x2 1 0.
Иногда трудно сказать, является ли множество пустым.
Например, множество яванских тигров (последнего из них
видели на острове Ява в 1976 году).
По определению считают, что пустое множество является элементом любого множества.
Пустое множество только одно!
Если говорить образным языком, то, только усвоив понятие множества, мы можем увидеть поляну, на которой
происходит вся «математическая игра». Но нам важно понимать правила этой игры.
1) Какие действия мы можем производить с множествами?
2) Каких правил мы должны придерживаться при преобразованиях множеств?

ГЛАВА 6. Теория множеств. Миры из ничего

Подмножества
Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, мы
должны расширить словарный запас нашего математического языка и добавить еще несколько важных понятий.
Множество А называется подмножеством множества
В, если либо А , либо любой элемент множества А принадлежит множеству В.
Обозначение: — заменяет слово «принадлежит».
Если множество А является подмножеством множества
В, то пишут: A B, где знакназывается знаком включения.
Таким образом, у любого множества М есть, по крайней
мере, два подмножества: само М и пустое множество .
Очевидно, что для любого множества М справедливо:
М М.
Множество А называется собственным подмножеством множества В, если A B и A zB.
Если множество А является собственным подмножеством множества В, то пишут: A B.
Фундаментальную роль играет очевидное, непосредственно вытекающее из определений подмножества и равенства множеств, утверждение:
Множество А равно множеству В тогда и только тогда,
когда А — подмножество В и В — подмножество А.
То есть: A B A B и B A. (Это запись на языке математики).
Если A B и B С, то A С. Такое отношение между А,
В и С называется транзитивностью.
Аналогично можно записать, что если A B и B С, то
A С.
Пустое множество является собственным подмножеством любого непустого множества.
Примеры:
• У одноэлементного множества ^а` других (кроме )
собственных подмножеств нет.

46
• У двухэлементного множества ^а, b` уже три собственных подмножества: , ^а` и ^b`.
• Ничто из сказанного выше не запрещает, чтобы элементами множества были другие множества. Например,
M ^^1, 2`, ^3, 4, 5`` — двухэлементное множество, элементами которого являются, в свою очередь, два множества: ^1, 2` и ^3, 4, 5`.
Введем еще одно важное понятие.
Обычно все множества, которые рассматриваются в том
или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого фиксированного множества U. Это множество называется универсальным (универсумом).
Пример: Если универсальным множеством U является
множество всех учащихся данной школы, то можно рассматривать множества, состоящие только (!) из учащихся
данной школы.

Операции над множествами
Мы знаем, что с числами можно совершать арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
Универсальность методов созданной Г. Кантором теории множеств заключается в том, что в ней числовые
множества рассматриваются лишь как частный случай.
Методы теории множеств работают вне зависимости от
природы входящих в эти множества элементов. Более того,
они распространяются на бесконечные множества.
Рассмотрим, какие операции и каким образом можно
совершать с множествами.
Множества можно комбинировать между собой и получать другие множества. Среди бесчисленного количества
мыслимых способов комбинирования некоторые оказались полезными.
Дадим определения операций над множествами и продемонстрируем их смысл. Для этого воспользуемся попу-

ГЛАВА 6. Теория множеств. Миры из ничего

лярным детским стихотворением на английском языке
и его переводом С. Маршака.
«Pussy cat, pussy cat, where have you been?
I’ve been to London to visit the Queen.
Pussy cat, pussy cat, what did you do there?
I frightened a little mouse under her chair».
————
«Где ты была сегодня, киска?
У королевы у английской.
Что ты видала при дворе?
Видала мышку на ковре».
Пусть первое множество (множество A) состоит из букв,
входящих в английский вариант стихотворения, а второе
(множество B) — из букв, входящих в его перевод. Не
забываем при этом, что буква каждого типа берется в соответствующее множество лишь один раз.
Тогда, A ^a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v,
w, y`;
В ^а, б, в, г, д, е, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ч, ш, ы, я`.
Во множество А входит 22 буквы (из 26 букв латинского алфавита), во множество В вошли 22 буквы
(из 33 букв русского алфавита). То, что количество
элементов множеств А и В оказалось одинаковым —
случайность. В общем случае это совершенно не обязательно. Подчеркиванием выделены совпадающие по
начертанию буквы.
Отметим также, что универсумом в данном случае является совокупность всех букв как латинского, так и русского алфавитов. То есть универсум состоит из 26 33 59
элементов.
Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B.
Обозначение: C AB.

48
Напомним, что элементы, входящие в объединение
множеств, нужно учитывать только один раз, и что порядок перечисления элементов не имеет значения.
Для приведенных стихов это означает, что
C AUB
^a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, y, б, в,
г, д, й, к, л, м, н, ч, ш, ы, я`
Приведем еще два простых примера на объединение
множеств.
• A ^1; 2; 3`, B ^2; 3; 4; 5`, тогда C A B ^1; 2; 3;
4; 5`.
• Если А — множество студентов, не сдавших первый
экзамен, В — второй, то А В — множество студентов–
задолжников после двух экзаменов (возможно, кто-то не
сдал оба экзамена).
Аналогично определяется объединение любого количества множеств A1, A2, …, Aк, …
Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество C, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одновременно каждому из множеств
A и B.
Обозначение: C A B.
Для приведенных стихов это означает, что C A B ^а,
с, е, т, п, о, р, и, у`.
Приведем еще два простых примера на пересечение
множеств.
• Пусть A ^1; 2; 3`, B ^2; 3; 4; 5`, D ^10; 11`. Тогда
C A B ^2; 3`, A D .
Аналогично определяется пересечение для любого количества множеств A1, A2, …, Aк, …
• Студент, сдавший все экзамены на «отлично», получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех
экзаменов. Пусть A1, A2, A3, А4 — множество студентов,
сдавших соответственно 1, 2, 3 и 4 экзамены на «отлично». Тогда:

ГЛАВА 6. Теория множеств. Миры из ничего
• A1 A2 A3 А4 M — множество студентов, получающих повышенную стипендию.
Разностью множеств A и B называется множество C,
состоящее из элементов множества A, не входящих в B.
Обозначение: C A \ B.
Для приведенных стихов это означает, что C A \ B ^b,
d, f, g, h, i, l, q, r, s,t, v, w`.
Приведем еще два простых примера на разность множеств.
• А1 \ А2 — множество студентов, получивших «отлично» на первом экзамене, а на втором — другую оценку
(см. предыдущий пример).
• A ^1; 2; 3`, B ^2; 3; 4; 5`, тогда C A \ B ^1`.

Если B A, то множество C A \ B называется дополнением множества B до множества A.
Обозначение: B или B A .
Для иллюстрации этого понятия мы не можем воспользоваться стихотворными множествами А и В, так как множество В не является подмножеством множества А. Поэтому приведем другой, вполне наглядный пример.
• Пусть А — множество студентов в группе, В — множество студентов этой группы, сдавших первый экзамен.
Тогда: B — множество студентов, не сдавших первый экзамен (отрицание).
Симметрической разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов множества A, не
входящих в B и элементов множества В не входящих в А.
Обозначение: C A ' B.
Для приведенных стихов это означает, что C A ' B ^b,
d, f, g, h, i, l, q, r, s, t, v, w, б, в, г, д, й, к, л, м, н, ч, ш, ы, я`
(удалены подчеркнутые буквы).
Рассмотрим еще один важный вопрос. Пусть имеется
множество A, состоящее из n элементов. Сколько различных подмножеств можно составить из этих элементов,

50
включая пустое множество и само исходное множество?
Множество всех подмножеств множества A называют
булеаном множества A.
Обозначение булеана: 2A.
Если множество A ^a` состоит из одного элемента, то
2A , ^a` (2 элемента).
Если множество A ^a, b` состоит из двух элементов,
то 2A , ^a`, ^b`, ^a, b` (4 элемента).
Если множество A ^a, b, c` состоит из трех элементов,
то 2A , ^a`, ^b`, ^c`, ^a, b`, ^a, c` ^b, c` ^a, b, c` (8 элементов).
Не сложно доказать, что если множество A состоит из
n элементов, то 2A 2n.

Свойства
операций над
множествами
Рассмотрим некоторые наиболее важные свойства операций объединения, пересечения и разности множеств,
смысл которых был определен в предыдущей главе.
Пусть A, B, C являются подмножествами универсального множества U. Тогда справедливы следующие формулы:
A B B A (1)
A B B A (2)

Глава 7

Тождества (1) и (2) выражают коммутативность операций объединения и пересечения.
Справедливость этих тождеств очевидна.
Чтобы у читателя не сложилось представление,
что он читает очередной учебник, мы не будем его
утомлять формальными доказательствами остальных свойств. А для обоснования их справедливости
приведем доказательные рассуждения. Для этого
обратимся к множествам А, В и C соответственно
заглавных букв латинского, русского и греческого
алфавитов. Множество А состоит из 26, множество
В — из 33 и множество C — из 24 элементов. Воспользуемся таким статистическим параметром, как
частота использования букв в текстах.

52
Ниже приведены частоты букв, используемых в английском языке.
E
A
O
I
N
H
Буква
T
S
R
Частота (%) 12,7 9,06 8,17 7,51 6,97 6,75 6,33 6,09 5,99
D
L
C
M
F
G
Буква
U
W
Y
Частота (%) 4,25 4,03 2,78 2,76 2,41 2,36 2,23 2,02 1,97
P
B
K
J
Буква
V
X
Q
Z
Частота (%) 1,93 1,49 0,98 0,77 0,15 0,15 0,10 0,05

Аналогичная таблица для частот букв, используемых
в русском языке, имеет вид:
Буква
О
Е
A
И
Н
Т
С
Р
B
Частота (%) 10,97 8,45 8,01 7,35 6,70 6,26 5,47 4,73 4,54
Буква
Л
К
М
Д
П
Частота (%) 4,40 3,49 3,21 2,98 2,81
Буква
Ь
Частота (%) 1,74

У
2,62

Я
2,01

Ы
1,90

Г
З
Б
Ч
Й
Х
Ж
1,70 1,65 1,59 1,44 1,21 0,97 0,94

Буква
Ш
Ю
Ц
Щ
Э
Ф
Ъ
Ё
Частота (%) 0,73 0,64 0,48 0,36 0,32 0,26 0,04 0,04

Аналогичная таблица для частот букв, используемых
в греческом языке:
A
T
Буква
Частота (%) 10,75 7,89

E
7,37

O
7,15

I
6,70

Σ
6,67

N
6,17

P
4,12

Y
'
П
K
M
H
Λ
Г
Х
Буква
Частота (%) 3,95 3,66 3,55 3,25 2,94 2,54 1,62 1,55 1,26
ψ
Ω
Θ
В
Ф
Ξ
Z
Буква
Частота (%) 1,16 1,16 0,74 0,72 0,42 0,33 0,15

Ограничим объем каждого из множеств, оставив примерно треть (или чуть больше) букв каждого из множеств.

ГЛАВА 7. Свойства операций над множествами

Естественно, оставим наиболее часто встречающиеся буквы. Таким образом, получим:
A ^E, T, А, O, I, N, S, Н, R`,
B ^О, Е, А, И, Н, Т, С, Р, В, Л, К`,
С ^А, T, E, O, I, Σ, N, P, П, К`
Здесь:
• жирно выделены буквы, содержащиеся во всех трёх
множествах;
• буквы, входящие во множества А и С выделены двумя
чертами сверху;
• буквы, входящие во множества В и С подчеркнуты;
• буква Н, входящая во множества А и В выделена тремя точками сверху
С помощью сформированных множеств А, В и С проиллюстрируем справедливость остальных свойств операций
над множествами.
Тождества (3) и (4) выражают ассоциативность
операций объединения и пересечения:
(A B)C A (B C) (3)
(A B)C A (B C) (4)
Равенство (3) — очевидно выполняется, так как в любом случае мы берем все буквы, входящие хотя бы по одному разу во множества А, В и С:
(A B)C A (B C)
^E, T, A, O, I, N, S, Н, R, И, С, Р, В, Л, К, Σ, П`.
Равенство (4) — также очевидно выполняется, так как
в любом случае мы берем все буквы, входящие во все три
множества А, В и С одновременно:
(A B)C A (B C) ^A, T, E, O`.
Справедливость тождеств (5) и (6) не требует доказательств ввиду их очевидности.
A A A (5)
A A A (6)

54
Свойства (7) и (8) — это так называемые законы
дистрибутивности.
A (B C) (A B) (A C) (7)
A (B C) (A B) (A C) (8)
Рассмотрим равенство (7).
Левая часть равенства (7):
B C ^О, А, Е, Т, Р, К` A (B C)
^О, А, Е, Т, Р, К, I, N, S, H, R`.
Правая часть равенства (7):
A B ^Е, Т, А, О, I, N, S, H, R, И, С, Р, В, Л, К`,
A C ^Е, Т, А, О, I, N, S, H, R, Σ, Р, П, К`
(A B)(A С) ^Е, Т, А, О, I, N, S, H, R, Р, К`.
Левые и правые части равенства (7) оказались равны,
значит равенство (7) — верно.
Рассмотрим равенство (8).
Левая часть равенства (8):
B C ^О, Е, А, И, H, Т, C, P, B, Л, К, I, Σ, N, П`
A (B C) ^Е, Т, А, О, I, N, H`.
Правая часть равенства (8):
A B ^Е, Т, А, О, H` A C ^Е, Т, А, О, I, N`
(A B)(A С) ^Е, Т, А, О, H, I, N`.
Левые и правые части равенства (8) оказались равны,
значит равенство (8) — верно.
Свойства (9) и (10) — это так называемые тождества дe Моргана.
AB

A B (9)
A B A B (10)
Для обоснования справедливости тождеств (9) и (10)
нам нужны только два множества — А и В. В данном случае универсумом U является совокупность всех различных
по начертанию заглавных букв английского, русского ал-

ГЛАВА 7. Свойства операций над множествами

фавитов. Каждая буква множеств А и В берется по одному
разу:
U ^E, T, A, O, I, N, S, H, R, D, L, C, U, M, W, F, G, Y, P, B,
V, K, X, J, Q, Z, И, Л, Д, П, Я, Ы, Ь, Г, З, Б, Ч, Й, Ж, Ш, Ю, Ц,
Щ, Э, Ф, Ъ, Ё`.
Черта сверху в формулах (9) и (10) означает «противоположное высказывание». Например, запись A означает
все буквы универсума U, не входящие во множество A,
то есть
A U \ A {D, L, C, U, M, W, F, G, Y, P, B, V, K, X, J, Q, Z,
И, Л, Д, П, Я, Ы, Ь, Г, З, Б, Ч, Й, Ж, Ш, Ю, Ц, Щ, Э, Ф, Ъ, Ё`.
В левой части тождества (9): A B U \ ( A B) — все
элементы универсума, кроме тех которые содержатся во
множествах А и В. Но в правой части тождества A B рассматривается та же совокупность элементов универсума,
которые не принадлежат ни А, ни В. Это означает справедливость тождества (9).
Обратим внимание, что A B ^E, T, A, O, H`. Значит
A B U \ ( A B). Но именно этих пяти букв не хватает в совокупности во множестве A B. Это означает, что
выполняется тождество (10).
Для визуализации этих операций над множествами
используется их геометрическая интерпретация. Впервые
круги для иллюстрации логических связей между множествами применил Лейбниц. Затем этот способ использовали в своих работах английский логик и философ Венн
и великий Леонард Эйлер. В историю математики эти иллюстрации вошли как диаграммы Эйлера-Венна.
Использование кругов Эйлера-Венна и приведенных
свойств позволяет довольно легко решать многие задачи
логического характера. Приведем несколько примеров.

Пример:
Представители компании «С утра пораньше» опросили
200 человек. На вопрос, «Какой напиток Вы пьете утром»,
получили следующие ответы:

56
только кофе — 80 человек;
только чай — 20 человек;
• и кофе, и чай — 40 человек.
Сколько людей пьет чай по утрам? Сколько людей не
пьют ни чай, ни кофе?
•
•

Решение
Пусть заданы конечные множества A и B. Число их элементов обозначим n(A) и n(B). Число общих элементов обозначим
n(A B).
Общее число элементов универсума: n(U).
Найдем сколько элементов содержится в множестве
A B. Основная формула для нахождения числа элементов суммы двух множеств:
n(A B) n(A) n(B) – n(A B) (11)
Действительно, n(A B) — это сумма числа элементов
множеств A и B, но при подсчете элементы, принадлежащие A B, учитывались дважды.
В нашей задаче: A — множество людей, пьющих кофе
(весь первый круг);
B — множество людей, пьющих чай (весь второй круг);
A B — множество людей, пьющих и кофе и чай (и то
и другое);
A B — множество людей, пьющих или кофе, или чай,
или и то и другое.
U — множество людей, участвовавших в опросе.
U\(A B) — множество людей, не пьющих ни чай, ни
кофе.
Тогда: n(A) 80 40 120 — число людей, пьющих кофе.
n(B) 20 40 60 — число людей, пьющих чай.
n(A B) 40 — число людей, пьющих и кофе, и чай
(и то и другое).
n(A B) — число людей, пьющих или кофе, или чай,
или и то и другое.

ГЛАВА 7. Свойства операций над множествами

n(A B) n(A) n(B) n(A B) 120 60 40 140.
n(U) 200 — число людей, участвовавших в опросе.
n(U\(A B)) 200 140 60 — число людей, не пьющих ни чай, ни кофе.
С помощью формулы (11) можно получить формулы для определения числа элементов, входящих в сумму любого
числа множеств. Например, докажем,
что для числа элементов суммы трех
множеств справедлива формула:
n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B)
n(B C) n(A C) n(A B C) (12)

Доказательство 1
n(A B C) n(A(B C)) n(A) n(B C) – n(A(B C))
>по формуле (8), доказанной ранее:
A(B C) (A B)(A C)@
n(A)n(B)n(C)n(B C)n((A B)(A C))
n(A)n(B)n(C)n(B C)n(A B)n(A C)
n((A B)(A C))
n(A)n(B)n(C)n(B C)n(A B)n(A C)
n(A BC).
Или:
n(А BС) n(A)n(B)n(C)n(A B)n(B C)
n(A C)n(A BC), что и требовалось доказать.
Приведем еще одно доказательство формулы (12), которое, возможно, многим покажется более простым.

Доказательство 2
На рисунке буквами x, y, z, p, q, s,
r обозначены количества элементов,
входящих в каждую, ограниченную
сплошными линиями, область. В этом
случае:

58
n(А ВС) x y z p q r s (x p q s)(y p
r s)(z q r s)(p s)(q s)(r s)s n(A)
n(B)n(C)n(A B)n(B C)n(A C)n(A BC),
что и требовалось доказать.
Таким же образом можно доказать формулу (13) для
случая четырех множеств:
n(A BC D) n(A)n(B)n(C)n(D)n(A B)
n(A C)n(A D)n(B C)n(B D)
n(C D)n(A BC)n(A BD)n(A CD)
n(B CD)n(A BC D). (13)
Если внимательно посмотреть, как составлены формулы (11), (12) и (13), то становится понятным, как можно
выписать аналогичные формулы для случая пяти, шести
и так далее множеств.
Формулы (11) — (13) называются формулами включений и исключений.

Пример:
В университете изучают иностранные языки:
• 1232 студента изучают испанский язык;
• 879 студентов — французский язык;
• 114 студентов — русский язык.
Кроме того:
• 103 студента изучают испанский и французский языки;
• 23 студента — испанский и русский языки;
• 14 студентов — французский и русский языки.
Известно, что 2092 студента изучают по крайней мере
один язык (но, может быть, и больше).
Сколько студентов изучают все три языка?

Решение
Обозначим:
• n(S) — количество студентов, изучающих испанский
язык;

ГЛАВА 7. Свойства операций над множествами

n(F) — количество студентов, изучающих французский язык;
• n(R) — количество студентов, изучающих русский
язык.
Тогда:
• n(S F) — количество студентов, изучающих и испанский, и французский языки;
• n(S R) — количество студентов, изучающих и испанский, и русский языки;
• n(F R) — количество студентов, изучающих и французский, и русский языки;
• n(S F R) — количество студентов, изучающих по
крайней мере один язык (но, может быть, и больше);
• n(S F R) — количество студентов, изучающих все
три языка.
По условию задачи: n(S) 1232, n(F) 879, n(R) 114,
n(S F) 103, n(S R) 23, n(F R) 14, n(S F R) 2092.
По формуле включенийисключений (12):
n(S F R) n(S)n(F)n(R)n(S F)n(F R)
n(S R)n(S FR)
2092 12328791141031423n(S FR)
2092 2085n(S FR) n(S FR) 7
Ответ: n(S FR) 7.
•

Пример:
Дано множество натуральных чисел от 1 до 337. Определить, сколько из них не делится ни на 8, ни на 12, ни
на 20.

Решение
Приведем подробное решение задачи.
Введем следующие обозначения:
А8 — множество чисел, делящихся на 8;
А12 — множество чисел, делящихся на 12;
А20 — множество чисел, делящихся на 20.

60
Определим число элементов множества А8. Это 8, 16,
24… 328, 336.
336
42.
Всего таких элементов: n A8
8
Определим число элементов множества А12. Это 12, 24,
36… 324, 336.
336
28.
Всего таких элементов: n A12
12
Определим число элементов множества А20. Это 20, 40,
60… 300, 320.
320
16.
Всего таких элементов: n A20
20
Если мы сложим n(A8), n(A12) и n(A20), то мы дважды
сложим числа:
• которые делятся и на 8, и на 12. Это числа 24, 48, 72,
96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, 312, 336. Число
таких чисел n(A8A12) 14;
• которые делятся и на 8 и на 20. Это числа 40, 80, 120,
160, 200, 240, 280, 320. Число таких чисел n(A8A20) 8;
• которые делятся и на 12 и на 20. Это числа 60, 120,
180, 240, 300. Число таких чисел n(A12A20) 5.
Есть числа, которые в сумме n(A8)n(A12)n(A20) будут содержаться три раза. Это числа 120 и 240. Поэтому
n(A8A12A20) 2.
По формуле (12):
n(А8 А12 А20) n(A8)n(A12)n(A20)
n(A8A12)n(A8A20)n(A12A20)
n(A8A12A20) 42281614852 61.
n(А8 А12 А20) 61 — это количество чисел, которые
делятся либо на 8, либо на 12, либо на 20.
Так как по условию нас просят найти количество чисел,
которые не делятся ни на 8, ни на 12, ни на 20, то, очевидно, что их количество: 33761 276.
Ответ: 276.

ГЛАВА 7. Свойства операций над множествами

Отметим еще одно возможное применение кругов Эйлера-Венна. Их часто используют в гуманитарных и социальных науках для упорядочения
и классификации данных. Такого рода примером является
приведенная здесь диаграмма, демонстрирующая схожие
черты в написании заглавных букв английского, русского
и греческого алфавитов. Эта диаграмма была размещена
в Википедии в 2011 году математиком Тилманом Писком
и имеет статус «Public Doman». Буквы греческого алфавита представлены в левом верхнем круге, английского —
в правом верхнем, а русского — в нижнем. Из диаграммы
видно, что алфавиты имеют много общих букв. Конечно,
это не является случайным. Причины этого носят культурно-исторический характер.
Ранее мы упоминали о языке зрительных образов и музыкальном языке, а основной нашей темой является язык
математический. Поэтому будет не лишним воспользоваться поводом, чтобы кратко упомянуть о происхождении
алфавитов естественных языков: греческого, латиницы
и кириллицы.
Вот что по этому поводу говорят специалисты-языковеды.
Алфавит впервые появился у финикиян, когда они заняли дельту Нила и познакомились с египетским письмом
(за 2000 лет до н. э.). От финикиян переняли алфавит греки: они оставили без особых перемен форму финикийских
букв, сохранив их звуковое значение, их названия и порядок, в котором следуют одни за другими.
Теория финикийского происхождения греческого
письма остается у языковедов общепринятой. Примерно
на рубеже II–I тыс. до н. э. (возможно, и несколько ранее) финикийский алфавит из 22 букв был заимствован

62
греками, которые существенно преобразовали его, превратив древнегреческий алфавит в законченную систему.
Соответствие между буквами алфавита и фонемами стало
взаимно однозначным.
В I тысячелетии до н. э. Южная Италия была колонизирована греками. В результате этого с греческим письмом
познакомились разные народы Италии. Греческий алфавит
послужил моделью для создания латинского и древнеиталийских алфавитов.
Еще в V в. до н. э. латинский язык был одним из многих
италийских языков, распространенных в центральной части Италии. Латынь использовалась в области, известной
под названием Лаций (современное название — Лацио),
а Рим был одним из городов этой области. Самые ранние
надписи на латинском языке датируются VI в. до н. э.
и сделаны с использованием алфавита на основе этрусского письма. Постепенно влияние Рима распространилось на другие части Италии, а через них — на Европу.
Со временем Римская империя захватила Европу, Северную Африку и Средний Восток. Во всех уголках империи
латынь стали использовать в качестве языка закона и власти, а также повседневной жизни. Римлянам была присуща грамотность, и многие из них читали труды известных
латинских авторов.
Классический латинский язык, который использовался
в ранних произведениях латинской литературы, во многом отличался от разговорной, так называемой вульгарной
латыни. Тем не менее некоторые писатели, включая Цицерона и Петрония, использовали в своих трудах именно
вульгарную латынь. С течением времени разговорные варианты латинского языка все больше отдалялись от литературного стандарта и постепенно на их основе появились
италийские и романские языки.
Возникновение славянской письменности берет свое
начало в IX веке, именно в то время был составлен алфавит.

ГЛАВА 7. Свойства операций над множествами

История составления славянского алфавита такова: Моравский князь Ростислав попросил Византийского императора Михаила III перевести христианские богослужебные книги с греческого на славянский язык. Михаил III
поручил сие тяжкое задание греческим монахам Кириллу
и Мефодию. Именно они и составили первую славянскую
азбуку: сначала появилась глаголица, а потом — кириллица.
На основе кириллицы возникла не только русская письменность, но и письменность других славянских народов:
сербов и болгар. Кириллица была значительно проще глаголицы по написанию букв, и именно поэтому получила
более широкое распространение. Впоследствии кириллица полностью вытеснила глаголицу.
За свою деятельность Кирилл и Мефодий были причислены русской православной церковью к лику святых.
Создание славянского алфавита имело огромное значение
для культурного и научного развития нашего народа.
Эта историческая справка во многом объясняет удивительную схожесть написания многих приведенных на
диаграмме букв трех алфавитов.

Глава 8

Об аксиоматике
теории множеств
Когда мы формулировали операции над множествами, то говорили, что природа входящих во множества предметов нас не интересует. Главное, чтобы
мы умели отделять предметы, входящие в это множество от остальных.
Первую аксиоматизацию теории множеств опубликовал немецкий математик Эрнст Цермело
(1871–1953) в 1908 году. Затем, в 1922 году, она
была усовершенствована Абрахамом Френкелем
(1891–1965), который также родился и получил образование в Германии, но затем работал и преподавал
в университете Иерусалима. В настоящее время эта
система аксиом наиболее известна (хотя используются и другие системы). В этой системе (она часто
обозначается, для краткости ZFC) всего только 9 аксиом и единственное неопределяемое отношение
принадлежности .
Приведем эти аксиомы с их краткими комментариями.
ZF1 Аксиома объемности.
Два множества A и B равны тогда и только тогда,
когда они имеют одни и те же элементы.
ZF2 Аксиома существования.

ГЛАВА 8. Об аксиоматике теории множеств

Существует пустое множество.
ZF3 Аксиома неупорядоченных пар.
Для любых двух вещей x и y существует множество ^x, y`,
единственными элементами которого являются x и y.
В случае, когда x z y множество ^x, y`, существование
которого утверждается в этой аксиоме, называется неупорядоченной парой с элементами x и y или просто парой.
Такая пара называется неупорядоченной, потому что, согласно аксиоме ZF1, пара ^y, x` равна паре ^x, y`. В случае
же когда x y, в силу той же аксиомы ^x, x` ^x`, так что
из ZF3 вытекает, что для любого объекта x существует одноэлементное множество ^x`. Заметим, что в стандартной
теории множеств ни для одной вещи x одноэлементное
множество ^x` не может совпадать с x. То есть, надо понимать, что элемент и множество, состоящее лишь из этого
элемента, — это разные категории.
ZF4 Аксиома объединения.
Для любых множеств A и B существует их объединение
A B.
ZF5 Аксиома бесконечности.
Эта аксиома устанавливает существование бесконечных множеств как равноправных объектов математической
теории и является краеугольным камнем канторовской
теории множеств. Математики в этом случае говорят об
«актуальной бесконечности».
В окружающей нас действительности (тем более в человеческом опыте) нет, по-видимому, ничего реально бесконечного. Идея актуальной бесконечности представляет
собой свободное творение человеческого разума, причем,
как показывает вся история науки, совершенно не очевидное. Есть математики, не согласные с этой позицией. Вот,
например, что пишет по этому поводу известный чешский
математик Петр Вопенка (Petr Vopěnka) (1935–2015):
«В настоящее время существование актуально бесконечных множеств превратилось в догму, в которую верит
большинство математиков; более того, математики пы-

66
таются внушить веру в эту догму и другим людям. В то
же время мы не можем указать какое-либо актуально бесконечное множество в реальном мире — здесь мы имеем
дело с конструкцией, расширяющей реальный мир и качественно превосходящей пределы наших наблюдений».
Но большинство профессиональных математиков, хотя
и соглашаются с фактической стороной этого замечания,
видят в этом силу математики. Величие математики как
раз и заключается в том, что она использует придуманные ей конструкции, использующие бесконечность, и тем
самым, нетривиальным образом, расширяющие реальный
мир, чтобы с их помощью решать вопросы, по самой своей
сути относящиеся к конечному.
ZF6 Аксиома подстановки.
Эта аксиома была введена Абрахамом Френкелем.
Смысл аксиомы Френкеля состоит в следующем:
Если каждый элемент множества заменить некоторым
множеством, то в результате снова получится множество.
ZF7 Аксиома степени.
Для любого множества A существует множество Z такое,
что y Z в том и только том случае, когда y A. (То есть
для любого множества можно образовать множество всех
его подмножеств). Множество Z, существование которого утверждается этой аксиомой, обычно обозначается 2A
и называется булеаном множества A. По определению,
y 2A тогда и только тогда, когда y A. Обычно используют краткую запись: y 2Ay A. Про булеан мы уже
упоминали в предыдущем разделе.
ZF8 Аксиома выбора.
Для всякого семейства X непустых множеств существует функция ƒ, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция
ƒ называется функцией выбора для заданного семейства.
Если мы ограничимся рассмотрением только конечных
семейств множеств, то утверждение аксиомы выбора может быть доказано исходя из других аксиом теории мно-

ГЛАВА 8. Об аксиоматике теории множеств

жеств, и в этом случае она не
требуется в качестве отдельной
аксиомы. Однако в общем для
бесконечных множеств аксиома выбора не следует из других
аксиом и является независимым
утверждением.
Аксиома выбора влечет ряд
парадоксальных следствий. Например, из нее следует, что единичный шар в R3 можно разбить
на 5 конгруэнтных (одинаковых)
частей, а затем сложить из них
два шара такого же размера
(парадокс
Банаха-Тарского).
Аксиома выбора независима от
остальных аксиом Цермело-Френкеля: ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть в этой системе аксиом. Это доказал
американский математик Пол Коэн (1934–2007). То есть,
если система Цермело-Френкеля непротиворечива, то она
непротиворечива как в предположении, что аксиома выбора верна, так и в предположении, что аксиома выбора
неверна.
В большинстве разделов математики без аксиомы выбора можно обойтись, используя вместо аксиомы выбора
какую-то ослабленную версию, не влекущую парадоксов.
ZF9 Аксиома регулярности (аксиома фундируемости).
Эта аксиома запрещает существование бесконечных
цепочек, вложенных друг в друга множеств. Утверждается,
что каждая такая цепочка обрывается на конечном шаге.

Отношения
и соответствия

Глава 9

Отношения на множестве
Задать множество — значит каким-либо образом
указать составляющие его элементы. Они могут
быть заданы их перечислением (списком) или указанием некоторого характеристического свойства.
Сами входящие во множество элементы могут быть
связаны некоторыми отношениями друг с другом.
Понятие «отношение» является одним из фундаментальных понятий современной математики.
Основы теории отношений заложили в конце XIX —
начале XX столетий немецкий математик Э. Шредер
(1841–1902) и британские математики А. Уайтхед
(1861–1947) и Б. Рассел (1872–1970) при разработке
логического обоснования математики. В настоящее
время отношения — это мощный аппарат, имеющий
исключительное значение для современной математики и ее многочисленных приложений.
Не случайно это понятие также стало одним из
важнейших в информатике и используется в создании реляционных (от английского слова relation)
баз данных для учета персонала, ведения бухгалтерии, учета товаров на складе, поставщиков, партне-

ГЛАВА 9. Отношения и соответствия

ров, клиентов, ведения электронного документооборота.
Более того, эффективность использования любого языка
программирования или структур данных в процессе моделирования реальных ситуаций определяется в конечном
итоге тем, насколько легко могут быть реализованы те или
иные действия с отношениями.
Отношения могут быть самого разного свойства. Приведем несколько примеров, поясняющих сказанное.
Примеры:
• X ^a,b,c,d,e,f…` — множество стран. Страны могут
быть связаны отношением «x по площади не больше y»
для любых x, y X;
• X ^a,b,c,d,e,f …` — множество учеников. Ученики
могут быть связаны отношением «x учится не хуже, чем y»
для любых x, y X;
• X ^a,b,c,d,e,f…` — множество студентов в группе.
Студенты могут быть связаны отношением «x не старше,
чем y» для любых x, y X;
• X ^a,b,c,d,e,f…` — множество целых чисел. Числа
могут быть связаны отношением «x делится на 7» для любых x X;
• X ^a,b,c,d,e,f…` — множество прямых. Прямые могут
быть связаны отношением «x параллельна y» для любых
x, y X;
• X ^a,b,c,d,e,f…` — множество городов. Города могут быть связаны отношением «x не южнее y» для любых
x, y X.
Из приведенных примеров следует, что различных видов отношений может быть очень много.
Так же как у других математических понятий, у отношений существуют свои свойства.
Отношение R называется рефлексивным, если для
любого x X истинно xRx (каждый элемент x X находится в отношении R с самим собой).

70
Примеры:
1) Отношение равенства.
2) Отношение делимости для натуральных чисел.
3) Отношение подобия геометрических фигур.
Если условие рефлексивности не выполнено ни
для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.
Примеры:
1) Отношение неравенства.
2) Отношение перпендикулярности прямых.
Если условие рефлексивности выполнено не для
всех элементов множества X, говорят, что отношение R нерефлексивно.
Пример:
Отношение «быть симметричным относительно оси x»
не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным:
точка плоскости симметрична сама себе, если она лежит
на оси x и несимметрична сама себе в противном случае.
Отношение R называется симметричным, если для
любых x, y X из xRy следует yRx.
Примеры:
1) Отношение «прямая x параллельна прямой y».
2) Отношение «x учится в одной группе c y».
3) Отношение «x похож на y».
4) Отношение «x родственник c y».
Отношение R называется антисимметричным, если
для любых x, y X оба отношения xRy и yRx выполняются тогда и только тогда, когда x y.

ГЛАВА 9. Отношения и соответствия

Примеры:
1) Отношение «число x меньше или равно числу y».
2) Для натуральных чисел отношение «x делится на y»
(так как, если x делится на y и y делится на x, то x y).
Если условие симметричности выполнено не для
всех элементов множества X, говорят, что отношение R несимметрично.
Пример:
Отношение «x считает своим другом y».
Отношение R называется транзитивным, если для
любых трех элементов x, y, z X выполнение соотношений xRy и yRz влечет выполнение отношения xRz.
Примеры:
1) Отношение «равенство чисел» (если x y, y z, то
x z).
2) Отношение «учится в одной группе» (если x учится в
одной группе с y, а y учится в одной группе с z, то x учится
в одной группе с z).
3) Отношение «параллельности» (если прямая x параллельна прямой y, а прямая y параллельна прямой z, то
прямая x параллельна прямой z).
4) Отношение «включения подмножества» (если y —
подмножество x, а z — подмножество y, то z — подмножество x).
5) Отношение «делимости» для натуральных чисел
(если x делится на y, а y делится на z, то x делится на z).
Пример отсутствия транзитивности:
Отношение «являться сыном» (если y является сыном x,
а z является сыном y, то z не является сыном x).

72
Отношение является отношением эквивалентности,
если оно: рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примеры:
1) Отношение «x y» (на числах).
2) Отношение «x учится в одной группе с y».
3) Отношение «параллельности».
4) Отношение «подобия».

Отношения порядка
Отношение xRy является отношением нестрогого
порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично
и транзитивно.
Примеры:
1) Отношение «число x меньше или равно числу y».
2) Отношение «множество x включено в множество y».
Отношение xRy является отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Примеры:
1) Отношение «число x меньше числа y».
2) Отношение «сотрудник x подчиняется сотруднику y».
3) Отношение «x является предком y».

Упорядоченные множества
Множество называется упорядоченным, если на
нем задано отношение порядка xRy и для любых
различных элементов этого множества x и y либо
xRy, либо yRx.

ГЛАВА 9. Отношения и соответствия

Примеры:
1) Множество целых чисел упорядочено отношением
«меньше».
2) Множество букв алфавита упорядочено отношением
«буква x стоит перед буквой y по алфавиту».
3) Множество родственников не упорядочено отношением «x является предком y» (есть братья и сестры, которые не связаны этим отношением).

Соответствия между
множествами
Теми же способами задаются отношения между элементами различных множеств.
Пусть имеются два множества А и В. Элементы этих
множеств могут сопоставляться друг другу, образуя пары
(a, b). Если способ сопоставления определен, то говорят,
что между множествами A и B установлено соответствие.
При этом не обязательно, чтобы в соответствии участвовали все элементы множеств А и В.
Декартовым (или прямым) произведением AuB
называется множество всех упорядоченных пар,
таких, что первый элемент пары принадлежит A, а
второй — B.
Примеры:
1) Найти декартово произведение множеств A ^a,b`,
B ^k,h`.
Ответ: AuB ^(a,k),(a,h),(b,k),(b,h)` (по определению
декартового произведения).
BuA ^(k,a),(h,a),(k,b),(h,b)`
Примечание. AuBzBuA (коммутативный закон не выполняется).
2) Пусть M ^a,b`. Найти M1, M2, M3. Тогда:

74
а) M1 ^a,b`;
б) M2 MuM ^(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)`;
M3 M2uM ^(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),
(b,b,a),(b,b,b)`.
Соответствием между элементами множеств X и Y
называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
Примечание. Отношения рассматриваются между элементами исходного множества.
Соответствия рассматриваются между элементами различных множеств.
Если S — соответствие между элементами множеств A и B, то
SAuB.
Пример: A ^3,5,7,9`, B ^4,6`.
Соответствие S: «x больше y, где
x A, y B»
Тогда: S ^(5,4),(7,4),(9,4),(7,6),(9,6)`.
Пример (соответствие S–1, обратное рассмотренному в
предыдущем примере):
A ^3,5,7,9`, B ^4,6`.
Соответствие S–1: «y меньше x, где x A, y B».
Тогда: S–1 ^(4,5),(4,7),(4,9),(6,7),(6,9)`.
Пример:
A ^2,3,5,7`, B ^6,9,15,17`.
Соответствие S: «x делитель y, где x A, y B».
Тогда: S ^(2,6),(3,6),(3,9),(3,15),(5,15)`.
С понятием «соответствия» связан целый ряд важных
определений, которые не используются в обычном школь-

ГЛАВА 9. Отношения и соответствия

ном курсе математики, но важны при углубленном изучении современного курса алгебры, основанного на понятии
множества. Незнание этих определений затрудняет понимание учебного материала для школьников, пытающихся
получить дополнительные математические знания сверх
учебной программы. Именно поэтому читателю имеет
смысл терпеливо разобраться в лабиринте приведенных понятий и определений и постараться их запомнить.
Особенно это пригодится школьникам, предполагающим
профессионально заниматься математикой и программированием.
Приведем еще несколько важных определений и поясним их смысл на примерах.
Множество A часто называют множеством отправления соответствия, а множество B — множеством
прибытия соответствия.
Так, в предыдущем примере:
Множество отправления соответствия: A ^2,3,5,7`.
Множество прибытия соответствия: B ^6,9,15,17`.
В обозначении (x, y): x — первая компонента пары, y —
вторая компонента пары.
Множество всех первых компонент пар, входящих
в соответствие S, называется областью определения соответствия. (Обозначается D(S)).
Множество всех вторых компонент пар, входящих
в соответствие S, называется областью значений соответствия. (Обозначается E(S)).
В нашем последнем примере отношение равно:
S ^(2,6),(3,6),(3,9),(3,15),(5,15)`.
Область определения соответствия: D(S) ^2,3,5`.
(D(S) — подмножество множества A).

76
Область значения соответствия: E(S) ^6,9,15`. (E(S) —
подмножество множества B).
Часто для характеристики входящих в соответствие пар
(x, y) используют другую терминологию:
Если пара (x, y)S, то говорят, что:
• элемент y соответствует элементу x;
• y является образом элемента x;
• x является прообразом элемента y.
Так как S ^(2,6),(3,6),(3,9),(3,15),(5,15)`, то элементу 3
соответствует три элемента множества B — 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, согласно последнему
определению, называют образом элемента 3. Число 6 соответствует двум элементам множества A — числам 2 и 3.
Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным
прообразом элемента 6 из множества A. В общем виде:
полный прообраз элемента y B определяют как множество элементов x A, таких, что элементу x соответствует
элемент y. Соответствие между множествами A и B удобно
иллюстрировать приведенной ниже картинкой.

При использовании терминов «образ» и «прообраз»
множествам D (S) и E (S) можно дать другие определения:
Множество всех элементов из множества A, имеющих непустые образы, называется областью
определения соответствия S. (Обозначается D(S)).

ГЛАВА 9. Отношения и соответствия

Множество всех элементов из множества B, имеющих непустой полный прообраз, называется областью значений соответствия S. (Обозначается
E(S)).
Понятие соответствия между множествами относится
к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит
в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой
науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними.

Функции.
Отображения.
Виды
отображений
Функции

Глава 10

Соответствие, при котором некоторым из
элементов множества A сопоставляется
единственный элемент из множества B,
называется функцией (g) из множества A
в множество B.
Когда говорят о функции, то элементы x A часто
называют аргументами. Обратим внимание, что для
изображенной на рисунке 10.1 функции аргументам
x 3 и x 18 не сопоставлен никакой элемент множества B. Так может быть.
На рисунке 10.2 элементу m соответствует сразу
два элемента множества B: y 3 и y 2. Такое соот-

Рис. 10.1

ГЛАВА 10. Функции. Отображения. Виды отображений

Рис. 10.2

ветствие не является функцией. Это следует из приведенного выше определения.
Функция g из множества A в множество B ставит в однозначное соответствие элементам A элементы B, но однозначного соответствия элементам B элементов A может
и не задавать. Например, для функции из рис. 10.1 в букву
a переходит сразу два числа 8 и 17.
Если мы хотим отобразить все в обратную сторону, то
неясно, какое из этих чисел нужно поставить в соответствие букве a.
Для функциональных зависимостей множество A обычно обозначают буквой X, а множество B — буквой Y. В этом
случае функциональную связь множеств X и Y обозначают:
g:XoY или y g(x). Далее мы будем использовать второй тип обозначения.
Множество элементов x X, которым поставлены
в соответствия какие-нибудь элементы y Y, называется областью определения функции.
Область определения функции обозначается D(g).
Для функции, изображенной на рис. 10.1:
D(g) ^8,11,17,22`.
Множество элементов y Y, которые являются образами элементов x D(g), называется областью
значений функции.

80
Область значений функции обычно обозначается E(g).
Для функции, изображенной на рис. 10.1: E(g) ^a,c,d`.
Если какому-либо элементу x X соответствует
элемент y Y, то говорят, что элемент x входит
в область определения функции g, а этот самый
единственный элемент y, сопоставленный элементу
x, называют значением функции g на x.
Очень часто рассматривают всюду определенные
функции. В таком случае говорят об отображениях.
Всюду определенную функцию g:XoY называют
отображением множества X в множество Y.
Так говорят, когда нужно подчеркнуть, что функция
всюду определена. То есть когда речь идет о функции, мы
допускаем, что она не всюду определена; а вот отображение — частный случай понятия функции — считаем
всюду определенным.
Рассмотрим три важных частных случая отображений.

Инъекции, сюръекции и биекции
Отображение (функция) g:XoY называется инъективным (или инъекцией), если разным элементам
из множества X ставятся в соответствие разные
элементы множества Y.
На рис. 10.3 приведен пример инъективного отображения. Использованы все буквы, являющиеся элементами
множества X. Каждой из букв поставлено в соответствие
имя, начинающееся на соответствующую букву. Нет двух
(или более имен) на одну и ту же букву. То есть разным
буквам (элементам) множества X соответствуют разные

ГЛАВА 10. Функции. Отображения. Виды отображений

Рис. 10.3

имена (разные элементы из множества Y). У элемента
«Михаил» нет ни одного прообраза. Определение инъекции это позволяет.
Отображение, показанное на рис. 10.4, не является
инъективным.

Рис. 10.4

Отображение (функция) g:XoY называется сюръекцией, если его область значений совпадает со
всем множеством Y (то есть если для всякого элемента y Y найдется элемент x X, для которого
g(x) y).
На рис. 10.5 приведен пример сюръективного отображения. Использованы все элементы, множества X. Каждому имени поставлен в соответствие класс, в котором
учится школьник с таким именем.

Рис. 10.5

82
Нет элементов множества Y, для которых нет ни одного
прообраза (то есть нет классов, в которых не учатся ученики с этими именами). У одного из элементов множества
Y имеется три прообраза. Но это не противоречит приведенному выше определению сюръекции.
Отображение, показанное на рис. 10.6, не является
сюръективным, так как существует элемент множества Y
(5 «б»), у которого нет прообраза. Это противоречит определению сюръекции.

Рис. 10.6

Отображение (функция) g:XoY называется биекцией, если оно одновременно является инъекцией
и сюръекцией.
Другими словами, это определение означает, что в графическом изображении биекции из каждой точки слева
выходит ровно одна стрелка, и в каждую точку справа
ровно одна стрелка входит (см. рис. 10.7).
Биекции также называют взаимно однозначными соответствиями.

Рис. 10.7

ГЛАВА 10. Функции. Отображения. Виды отображений

Как мы видим, появляются новые определения, которые вводят дополнительные понятия, расширяющие
«словарный запас» математического языка. Тем самым,
математика приобретает дополнительные возможности
для своего дальнейшего развития.
Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией)
введено в обиход в трудах Никола Бурбаки и получило
всеобщее распространение практически во всех разделах
математики.
Удивительным является то, что в реальности такого
французского математика никогда не было, хотя под этим
именем выходили десятки книг и статей!
Некоторая аналогия прослеживается с автором сатирических стихов и афоризмов Козьмой Прутковым, под
маской которого скрывались поэт А. К. Толстой и писатели
братья Жемчужниковы. Но если в этом случае речь идет
о литературной мистификации, и известны и другие подобные примеры, то мистификация, в области математического творчества является случаем поистине уникальным.
Псевдоним Никола Бурбаки (Nicolas Bourbaki) примерно в 1935 году выбрала себе группа молодых французских
математиков. Состав этой группы остается доныне точно
неизвестным, но с некоторой долей уверенности можно
сказать, что в ее составе были такие выдающиеся математики, как Жан Дьедонне, Андре Вейль и Анри Картан.
Подобно Козьме Пруткову, для Николы Бурбаки была
придумана биография. Известно, что такую же фамилию
носил живший во французском городе Нанси генерал
Шарль-Дени-Сотэ Бурбаки. В 1862 году 46-летнему генералу предложили занять греческий престол и стать королем Греции. Он отказался от этой чести. По легенде, его
родственник, математик, также родился и некоторое время
жил в Нанси, а затем переехал в несуществующий город
Нанкаго (Нанси Чикаго).
Стиль изложения материала в трудах Никола Бурбаки
изначально сильно отличался от традиционного. В серии

84
выпускаемых книг, объединенных названием «Элементы
математики», была сделана попытка изложить всю современную математику с общих позиций и показать ее
глубинное единство вне зависимости от используемых
разделов и методов. Все изложение велось с абсолютной
строгостью и аккуратностью. Главная цель, которую хотели
достичь авторы, была весьма амбициозна — поставить на
прочный фундамент всю современную математику в целом
на основе теории множеств.
Сразу после Второй Мировой войны книги серии получили большой резонанс в математическом сообществе, за
которым пришел и издательский успех — вскоре трактат
начали переводить на основные языки мира. Никола в одночасье стал знаменитым.
Успешная мистификация продлилась примерно до
1968 года (в этот год произошли крупные студенческие волнения во Франции). Среди участников группы постепенно
стали возникать непримиримые разногласия, и она стала
распадаться. Книги серии стали выходить значительно
реже, но их качество по-прежнему оставалось высочайшим.
К настоящему времени группа вновь активизировалась.
Последним опубликованным выпуском являются 4 главы
«Алгебраической топологии», увидевшие свет в 2016 году.
В следующих разделах книги речь будет идти, как правило, о числовых множествах.

Глава 11

Рене Декарт
и визуальность
в математике
Под визуализацией литературного текста обычно
понимают иллюстрации, кино и театр. Но это, конечно, весьма условно. К этому можно, например,
добавить и экспозицию в литературном музее, посвященную роману писателя.
Страницы романа информационно объемнее. Они
вмещают в себя образы героев, какими рисует их
наше воображение. А поскольку у каждого оно свое,
то и результат у всех будет разный.
Способов визуализации математических данных
довольно много: таблицы, диаграммы, графики…
Нас в наибольшей степени будут интересовать графики. Они дают хорошее представление о геометрическом образе формульных выражений.
Наглядность стала возможной благодаря Рене
Декарту (1596–1650), который придумал очень хороший способ визуализации не только геометрических, но и алгебраических объектов.
О судьбе и творчестве знаменитого философа
и математика написано много. Только в русскоязычном сегменте Википедии указано более 20 источников. Но следует учитывать, что с того времени прошло
более 400 лет, и поэтому многие связанные с жизнью

86
этого безусловно выдающегося человека события обросли
легендами.
Напомним очень кратко об основных не подвергающихся сомнению фактах.
Рене Декарт родился 31 марта
1596 года во Франции в маленьком
городке Лаэ. Он происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода. Его мать умерла, когда ему
был только 1 год, и воспитанием маленького Рене занималась бабушка
по матери. Его отец был судьей в городе Ренн и приезжал редко.
Начальное образование Декарт
получил в иезуитском колледже.
Так как врачи считали, что у мальчика слабое здоровье,
то, несмотря на суровую дисциплину в колледже, ему разрешали свободное посещение занятий.
В 1612 году Рене закончил колледж и некоторое время изучал право в Пуатье, а затем уехал в Париж. Там он
впервые начал заниматься математическими исследованиями.
В 1617 году — поступил на военную службу сначала
в Голландии, затем в Германии и принимал участие в битве
за Прагу в ходе «Тридцатилетней войны» — первой всеевропейской и одной из самых жестоких, упорных и кровопролитных войн в истории Европы. В промежутках между
военными действиями Декарт успевал заниматься научной
работой в Париже. Затем — еще несколько лет участия
в войне, в том числе в осаде Ля-Рошели (1628).
Через год Декарт увольняется с военной службы и переезжает в Голландию, где продолжает свои исследования
в математике, физике и философии и ведет обширную переписку с лучшими учеными Европы. Наконец, в 1634 году
он заканчивает свою первую программную книгу под на-

ГЛАВА 11. Рене Декарт и визуальность в математике

званием «Мир», собирается ее напечатать. Но момент для
издания оказался неудачным, так как годом ранее инквизиция чуть не замучила Галилея. Известно письмо, которое
Декарт написал своему другу французскому математику
Мерсенну (1588–1648):
«Это меня так поразило, что я решил сжечь все свои
бумаги, по крайней мере никому их не показывать; ибо
я не в состоянии был вообразить себе, что он, итальянец, пользовавшийся расположением даже Папы, мог
быть осужден за то, без сомнения, что хотел доказать
движение Земли… Признаюсь, если движение Земли есть
ложь, то ложь и все основания моей философии, так как
они явно ведут к этому же заключению».
Но все-таки, несмотря на трения с церковью Декарт
относительно спокойно мог заниматься наукой, благодаря покровительству кардинала Ришелье и либерального
принца Оранского. Поэтому в 1637 году была издана книга
«Рассуждение о методе…». Можно считать, что в этом же
году появился и новый раздел математики: «Аналитическая геометрия».
К 50 годам Декарт достиг известности и стал всемирно
знаменитым ученым. Его жизнь стала спокойной и размеренной, но неожиданно в ней произошел еще один крутой
поворот: 19-летняя шведская королева Кристина решила
заполучить Декарта в качестве своего личного учителя.
Кристина прислала за ним на корабле адмирала Флеминга, и он убедил Декарта перебраться в Швецию. Встретили его в Стокгольме по-королевски, но режим его жизни
кардинально изменился. Он должен был начинать занятия
в 5 утра и участвовать в работе по организации Шведской
королевской Академии наук. Такой жесткий распорядок
дня и суровая зимняя погода Швеции отрицательно сказались на здоровье Декарта. Он заболел воспалением легких. Несмотря на старания присланных королевой докторов (антибиотиков в то время, к сожалению, еще не было),
11 февраля 1650 года знаменитый ученый ушел из жизни.

88
Существует также гипотеза об отравлении Декарта,
поскольку симптомы его болезни напоминали отравление
мышьяком. Якобы католическая церковь опасалась, что
общение с ученым-вольнодумцем помешает обращению
королевы Кристины в католичество. Это действительно
случилось вскоре после смерти Декарта в 1654 году. Но
большинство специалистов с недоверием относятся к этой
гипотезе.
Рассмотрим, в чем заключался метод Декарта на конкретном примере.
Идея Декарта состояла в следующем:
• Проведем две взаимно перпендикулярные, пересекающиеся в точке О линии (оси), как показано на рис. 11.1.
Они разобьют всю плоскость на 4 части, которые именно в указанном порядке называют 1, 2, 3 и 4 четвертями.
Горизонтальную ось назовем осью абсцисс (или осью оx),
вертикальную ось — осью ординат (или осью оy).
• Точку О называют началом координат. На каждой из
осей выберем масштаб (желательно одинаковый). Полученный рисунок называется системой координат, а плоскость, которую образуют оси называется координатной
плоскостью.
• Теперь любая точка на координатной плоскости может
быть задана двумя числами, которые называются координата4

2 четверть

1 четверть
А(3;2)

-4

-2

3 четверть

4 четверть
-4

Рис. 11.1

ГЛАВА 11. Рене Декарт и визуальность в математике

ми точки. Обозначим их x0 и y0. Например, на рис. 11.1 точка
А имеет координаты (x0 3, y0 2). Это записывается: А(3;2).
Пусть теперь мы имеем следующее (не самое простое)
алгебраическое выражение:
1
1
y
x , где x !0, y !0 (11.1)
y
x
Для наглядного анализа этого равенства нам целесообразно получить его геометрический образ.
В формуле (11.1) x и y — некоторые произвольные
числа, удовлетворяющие условиям x !0, y !0. Рассмотрим
конкретную пару чисел (x0, y0). Эта пара чисел может либо
обращать выражение (11.1) в верное равенство, либо не
обращать.
1
1
Например, пара чисел (2; ) (то есть x0 2, y0
) об2
2
ращает (11.1) в верное равенство, а пара (2; 3) — нет.
Каждой паре чисел в системе координат соответствует некоторая точка. Отмечая в системе координат точками только пары (точки), которые удовлетворяют уравнению (11.1),
получим множество точек, отображающих это уравнение.
На рис. 11.2 показано это множество точек.
Правда возникает разумный вопрос: как найти все
пары чисел, нужные для построения рисунка? Для ответа
на этот вопрос придется немного позаниматься простыми
алгебраическими преобразованиями:
§1 1·
1
x y x ¨ ¸ 0
x
© y x¹
§ xy·
1
y x ¨
¸ 0 y x · y x
xy
© xy ¹
y

1
y

§
1 ·
y x ·¨ 1 ¸ 0.
xy ¹
©

90
3
3

-5

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (а второй — не теряет смысла).
Поэтому:
y–x 0, то есть y x ;
1

1
xy

0 или

1
xy

1 или y

1
.
x

1
Но y x — это уравнение прямой линии, y
—
x
гипербола.
С учетом условия x !0, y !0 получаем изображенную на
рис. 11.2 картинку.
Посмотрим, как одним простым математическим значком можно изменить полученную картинку. Запишем:
y

1
y

1
(11.2)
x

Две вертикальные черты справа и слева от x означают
«знак модуля». Модуль любого числа положителен, модуль нуля равен нулю, то есть 73 73, 2,73 2,73, 0 0.
Так как в формуле (11.2) теперь ничего не меняется от
замены x на х, то слева от оси ОУ добавляется картинка
симметричная той, которая находится справа от оси ОУ.
Результат мы видим на рис. 11.3.
Теперь уже понятно, что произойдет, если дополнительно добавить знак модуля у переменной y, то есть по-

ГЛАВА 11. Рене Декарт и визуальность в математике
5

-5

Рис. 11.4

-5

Рис. 11.5

строить множество точек, соответствующих уравнению
1
1
y
x
(11.3).
y
x
Результат построения множества точек, соответствующих уравнению (11.3), показан на рис. 11.4.
Представьте себе, что эти преобразования надо описать словесно. А здесь — всего лишь добавление двух
черточек к переменным. Очевидно, что слов понадобится
довольно много. Оцените краткость и точность математического языка!
А вот и еще два простых примера связи алгебры и геометрии.
¾
Выражение x y 4 — это квадрат с указанием
своих точных размеров! (Рис. 11.5)
¾ Если построить множество точек, соответствующее
уравнению x 2 y 4 , то получится ромб. (Рис. 11.6)
Чтобы в этом убедиться, достаточно сначала построить
рисунки лишь в 1 четверти, где x !0 и y !0.
¾Для квадрата: x y 4 или y x 4 — прямая.
Строится лишь участок этой прямой в первой четверти.
Затем он отражается симметрично относительно оси ox,
и полученное изображение отражается относительно
оси ОУ.

92
4
2

-44

-2

-2
-4

Рис. 11.6

1
x 2 — прямая.
2
Аналогично, строится лишь участок этой прямой в первой
четверти. Затем он отражается симметрично относительно
оси ox, и полученное изображение отражается относительно оси oy.
Из школьного курса геометрии известно, что очень
простые алгебраические формулы являются прообразами
окружности радиуса R:
2
2
2
¾x y R — окружность, центр которой находится в начале координат;
¾( x x0 )2 ( y y0 )2 R2 — окружность, центр которой находится в точке A с координатами x0 и y0.
¾
Для ромба: x 2y 4 или y

Числовые
промежутки
и декартова
плоскость

Глава 12

Элементами множества могут быть не только числа,
знаки, предметы, люди (то есть дискретные объекты), но и числовые промежутки.
Приведем определения и обозначения множеств,
которые в математике имеют общее название числовых промежутков.
Название
промежутка

Определение

Обозначение

Отрезок от a до b
(замкнутое множество)

a dx db

>a; b@

Интервал от a до b
(открытое множество)

a x b

(a; b)

Открытый слева промежуток от a до b
(полуинтервал)

a x db

(a; b@

Открытый справа промежуток от a до b
(полуинтервал)

a dx b

>a; b)

Закрытый числовой луч
от a до f

x ta

>a; f)

94
Название
промежутка

Определение

Обозначение

Открытый числовой луч
от a до f

x !a

(a; f)

Закрытый числовой луч
от f до a

x da

(f; a@

Открытый числовой луч
от f до a

x a

(f; a)

Числовая прямая

f x f

Пусть имеются множества A >2;5@ и B >3;4@ — числовые промежутки соответственно на осях OX и OY. Тогда
множество AuB отображается заштрихованным прямоугольником на координатной плоскости, так как любому
числу x >2;5@ можно поставить в соответствие любое
число y >3;4@. На рис. 12.1 показан прямоугольник. Это
и есть множество точек декартова произведения AuB.
Обратим внимание, что декартово произведение BuA
(то есть теперь x >3;4@, а y >2;5@) отображается на плоскости другим прямоугольником (рис. 12.2).
6

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Натуральные
числа

Глава 13

Как мы знаем из начальной школы, натуральные
числа возникают естественным образом при счете
предметов. Это числа 1, 2, 3 … и т. д.
Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n
найдется еще большее, если к нему прибавить хотя
бы число 1.
Обозначение множества натуральных чисел: N.
Если к множеству натуральных чисел добавляют
число 0, то полученное в результате множество 0,
1, 2, 3, 4 … называется расширенным множеством
натуральных чисел.
Обозначение расширенного множества натуральных чисел: N0.
Строго говоря, выше мы привели лишь пояснения
того, что такое натуральные числа, и сказать, что мы
это понятие определили, было бы неверно. Поэтому
математикам хотелось найти формальное определение множества натуральных чисел. Впервые такое
определение дал выдающийся итальянский матема-

96
тик Джузеппе Пеано (1858–1932). Он же является автором
так называемой аксиоматики Пеано натуральных чисел.
Пеано определил натуральный ряд как множество, удовлетворяющее пяти сформулированным им аксиомам.
Приведем эти аксиомы в чуть измененной форме.
1 есть натуральное число.
• Следующее за натуральным числом есть натуральное
число.
• 1 не следует ни за каким натуральным числом.
• Всякое натуральное число следует только за одним
натуральным числом.
• Аксиома полной индукции.
•

Следует учитывать, что в перечисленных аксиомах содержится неопределяемое отношение «следовать за…».
Поясним смысл последней аксиомы. Для этого начнем
с простого примера. Допустим, что нам предложили доказать, что число число P(n) 7n–1 делится (нацело) на 6 при
любом значении n N.
• При n 1: P(1) 711 6 — делится на 6;
• При n 2: P(2) 721 48 — делится на 6;
• При n 3: P(3) 731 342 — делится на 6;
• При n 4: P(4) 741 2400 — делится на 6;
Создается впечатление, что предположение о делимости P(n) на 6 верно при любом значении n N. Проверим,
например, при n 11: P(11) 7111 1977326742 — делится на 6, в чем легко убедиться «делением углом» или
с помощью калькулятора. Но полной уверенности в справедливости предположения все же нет. Известны примеры
(и позже они будут приведены), когда свойство выполняется на нескольких десятках шагах подряд, но затем
перестает выполняться. Чтобы убедиться в абсолютной
правильности предположения и используется логически
непротиворечивая аксиома полной индукции.

ГЛАВА 13. Натуральные числа

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P(1),
P(2) … P(n), P(n 1) …
Допустим, что:
1. Установлено, что P(1) — верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
2. Для любого n доказано, что если верно P(n), то
верно P(n 1).
Тогда все утверждения нашей последовательности
верны.
Доказательство, основанное на основе аксиомы полной индукции, называют доказательством по индукции
или доказательством методом математической индукции.
Завершим доказательство того, что P(n) 7n1 делится
(нацело) на 6 при любом значении n N по методу математической индукции. Ранее доказали, что P(1) — верно.
Предположим, что свойство делимости числа 7n1 на
6 верно на n-ом шаге, то есть, что 7n1 делится на 6. Докажем, что из этого следует справедливость утверждения
на n 1ом шаге:
P(n 1) 7n + 11 77n1 (77n7)6 7(7n1)6 .
Первое слагаемое последней суммы делится на 6 по
предположению. Второе слагаемое также делится на 6.
Значит, P(n 1) делится на 6. Отсюда по аксиоме индукции
следует, что P(n) 7n1 делится на 6 при любом значении
n N, что и требовалось доказать.
В одном из следующих разделов будут приведены дополнительные примеры, показывающие эффективность
метода математической индукции при доказательстве
различных равенств и неравенств. Его часто математики
используют в своей работе.
Аксиомы Пеано оказались проще, чем аксиомы геометрии. Просто поразительно, что на такой, казалось бы,

98
довольно скудной на первый взгляд основе стало возможным построить всю арифметику. А именно: определить
арифметические действия над натуральными числами,
ввести отрицательные, рациональные и иррациональные
числа и основные правила действий с ними. Короче, будет
справедливым сказать, что в аксиоматике Пеано содержится вся арифметика.
Хотя аксиомы и не сложные по смыслу, но тем не менее
аксиоматическое построение теории натуральных чисел не
рассматривается ни в начальной, ни в средней школе.
Те, кого эта тема заинтересовала, могут более глубоко
познакомиться с аксиомами Пеано и следствиями из них,
например, в книге «Теоретическая арифметика», автором
которой является И. В. Арнольд.
Настало время добавить некоторые математические
обозначения (часть из них мы уже начали использовать).
Это позволит нам вести запись математического текста более компактно. Итак:
• f — бесконечность;
• — обозначение понятия «любой». (Читается как:
«для любого», «для всех», «для каждого»);
• — обозначение понятия «существует». (Читается
как: «найдется», «существует», «существуют»);
• e — знак отрицания существования, т. е. «не существует»;
• ! — обозначение понятия «существует единственный». (Читается как: «найдется ровно один», «существует
один и только один», «существует единственный»…);
• — знак принадлежности к множеству. (Читается:
«принадлежит…»);
• — знак не принадлежности к множеству. (Читается: «не принадлежит…»);
• — знак следования, «отсюда следует».
Далее у нас будут появляться новые математические
знаки, и мы будем вводить их по мере необходимости.

ГЛАВА 13. Натуральные числа

С натуральных чисел начинается обучение математике.
Одним этим создается ощущение их простоты. Это просто
последовательный счет. Ну какие тут могут быть загадки?
Но это ощущение обманчиво. В одном из сложнейших разделов математики — теории чисел — изучаются свойства
натуральных (и целых) чисел и закономерности (иногда
удивительные!), которые скрыты за их внешней простотой. Многих это удивляет, но методы теории чисел широко
применяются в криптографии, вычислительной математике, информатике.
Некоторым нерешенным до сих пор проблемам теории
чисел уже не одна сотня лет. Приведем еще лишь три таких проблемы с очень простыми формулировками.
• Гипотеза Гольдбаха: «Любое четное число можно
представить, как сумму двух простых чисел». (Напомним, что простые числа — это натуральные числа (начиная с двух), которые делятся только на единицу и на само
себя).
• Гипотеза Лежандра: «Для любого натурального n
между n2 и (n 1)2 найдется хотя бы одно простое число».
• Проблема «совершенного кубоида» — прямоугольного параллелепипеда, у которого все семь основных величин (три ребра, диагонали его граней и диагональ самого параллелепипеда) являются натуральными числами. До
сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед.
Компьютерный перебор не нашел ни одного совершенного
кубоида с ребрами до 3 1012.
И подобных проблем — великое множество.
Далее мы в этом разделе говорим только о натуральных числах.
Для удобства изучения натуральные числа разбивают
на группы, определяемые свойствами этих чисел. Например:
• Четные и нечетные числа.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии.

100
Простые и составные числа.
Совершенные числа.
• Дружественные числа.
• Фигурные числа.
• Числа Фибоначчи.
Нам понадобится несколько новых понятий. Хотя они
известны со школы, но, на всякий случай, напомним.
•
•

Делителем натурального числа a называется натуральное число b, на которое a делится нацело.
Этому определению делителя часто дают иную формулировку:
Натуральное число b называется делителем целого
числа a, если существует такое натуральное число
q, что справедливо равенство a b q.
Также отметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
Это означает, что при сложении или умножении натуральных чисел обязательно снова получается натуральное
число.

Четные и нечетные числа
Четное число — натуральное число, которое делится без
остатка на 2.
Нечетное число — натуральное число, которое не делится без остатка на 2.
В расширенном множестве натуральных чисел нуль является четным числом.
Четное число n можно представить в виде n 2k, где
k N0.
Нечетное число n можно представить в виде n 2k 1,
где k N0.

ГЛАВА 13. Натуральные числа

101

Сумма двух четных чисел — число четное.
Сумма двух нечетных чисел — число четное.
Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.
Произведение четного числа на четное — число четное.
Произведение четного числа на нечетное — число четное.
Произведение нечетного числа на нечетное — число
нечетное.

Арифметическая
и геометрическая
прогрессии
В дальнейшем нам понадобятся понятия арифметической и геометрической прогрессий и связанные
с ними формулы.

Глава 14

Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется
числовая последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Это число d называется разностью арифметической прогрессии.
Если d !0 то прогрессия называется возрастающей.
Если d 0, то прогрессия называется убывающей.
Если d 0, то все члены прогрессии равны a1.

Пример:
Дана последовательность 1, 3, 5, 7... Здесь
a1 1, a2 3, a3 5, a4 7 …; d 2.

ГЛАВА 14. Арифметическая и геометрическая прогрессии

103

Найти: a27.

Решение
a2 a1d 12 3,
a3 a2d (a1d)d a12d 122 5,
a4 a3d (a12d)d a13d 132 7,
a5 a4d (a13d)d a14d 142 9.
…………………………..
Для того чтобы выписать общую формулу, по которой,
зная a1 и d, можно сразу выписать an, нужно обратить внимание на последовательность:
a2 a11d
a3 a12d
a4 a13d
a5 a14d
…………..
Легко подметить закономерность и записать:
an a1(n1)d, где n N. (14.1)
В данном примере при n 27:
a27 a1(27–1)d 1262 53.
Ответ: a27 53
Строго доказать формулу (14.1) можно, например, по
методу математической индукции.
Часто возникает необходимость найти сумму членов
арифметической прогрессии.
Для вывода нужной для этого формулы используем
предыдущий пример.

Пример:
Дана последовательность 1, 3, 5, 7… Здесь
a1 1, a2 3, a3 5, a4 7 … d 2.
Найти: a1a2a3…a26a27.

Решение
Обозначим S(27) a1a2a3… a26a27. Запишем сумму S(27) двумя способами:

104
S(27) 1 357 9…4547495153
S(27) 5351494745…97531
————————————————————
Сложим эти две строки. Получим:
2S(27) (153)(351)(549)(747)…(47
7)(495)(513)(153).
Сумма в каждой скобке одна и та же и равна 54. Число
скобок равно числу слагаемых, то есть в данном случае
равно 27-ми. Поэтому 2S(27) (153)27, откуда
(1 53)
S(27)
27 729.
2
Ответ: S(27) 729.
В рассмотренном случае a1 1, a27 53, n 27. Можем
последнюю формулу записать в общем виде:
(a1 an )
S(n)
n (14.2)
2
Полученная формула сохраняет свой вид для любой
арифметической прогрессии.
Эта формула не сложно доказывается строго, в том числе и методом математической индукции.

Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему
члену, умноженному на одно и то же число q z 0,
которое называется знаменателем геометрической
прогрессии.
Геометрическая прогрессия является возрастающей,
если b1 !0, q !1.
Геометрическая прогрессия является убывающей, если
b1 !0, 0 q 1.

ГЛАВА 14. Арифметическая и геометрическая прогрессии

105

Пример:
Дана последовательность 1, 3, 9, 27, 81… Здесь b1 1,
b2 3, b3 9, b4 27, b5 81 …; q 3. Это — возрастающая
прогрессия.
Найти: b17.

Решение
b2 b1q 13 3,
b3 b2q (b1q)q b1q2 132 9
b4 b3q (b1q2 )q b1q3 133 27
b5 b4q (b1q3 )q b1q4 134 81
…………………………
Для того чтобы выписать общую формулу, по которой,
зная b1 и q, можно сразу выписать bn, нужно обратить внимание на последовательность:
b2 b1q1
b3 b1q2
b4 b1q3
b5 b1q4
…………..
Легко подметить закономерность и записать:
bn b1qn − 1, где n N. (14.3)
В данном примере при n 17: b17 b1 q17–1 1317–1 316
Ответ: b17 316
Строго доказать формулу (14.3) можно, например, по
методу математической индукции.
Часто возникает необходимость найти сумму членов
геометрической прогрессии.
Для вывода нужной для этого формулы используем
предыдущий пример.

Пример:
Дана последовательность 1, 3, 9, 27, 81... Здесь
b1 1, b2 3, b3 9, b4 27, b5 81 …; q 3.
Найти: b1b2b3… b9b10.

106
Решение
Обозначим S(10) b1b2b3 … b9b10. Тогда:
S(10) b1b1q b1q2b1q3b1q4…b1q8b1q9.
Вынесем общий множитель b1 за скобку:
S(10) b1(1q q2q3q4…q8q9).
Сумму в скобках найти легко. Дело в том, что справедливы следующие равенства, которые легко проверить простым перемножением скобок:
(q 1)(q1) q21;
(q2q 1)(q1) q3 1;
(q3q2q 1)(q1) q41;
(q4q3q2q 1)(q1) q51;
………………..
(qn − 1qn − 2qn − 3…q3q2q 1)(q1) qn1.
Поэтому (1q q2q3q4…q8q9)(q1) q101.
Отсюда следует, что
q 10 1
1 q q 2 q 3 q 4 } q 8 q 9
q 1
и S 10

b1 q 10 1

1 310 1

q 1

29524.

Ответ: S(10) 29524.
В рассмотренном случае b1 1, q 3, n 10. Можем последнюю формулу записать в общем виде:
b (q n 1)
(14.4)
S(n) 1
q 1
Полученная формула сохраняет свой вид для любой
геометрической прогрессии.
Эта формула не сложно доказывается строго, в том числе и методом математической индукции.
Разберем пример, который любят приводить в пособиях и занимательных книгах по математике, так как он хорошо иллюстрирует преимущество использования формулы
(14.4) в практических расчетах.

ГЛАВА 14. Арифметическая и геометрическая прогрессии

107

Считается, что шахматы были изобретены примерно
в V веке н.э. в Индии. Игра оказалась настолько удачной,
что быстро распространилась по всему миру, хотя окончательно ее правила были сформулированы примерно
в XV веке. По легенде, когда шахматы были показаны индийскому радже, тому настолько понравилась игра, что он
решил щедро наградить ее создателя и предложил ему самому выбрать себе награду. За свое изобретение изобретатель шахмат попросил у раджи незначительную, на первый
взгляд, награду: столько пшеничных зерен, сколько окажется на шахматной доске, если на первую клетку положить
одно зерно, на вторую клетку 2 зерна, на третью 4, на четвертую — 8, на пятую — 16, на шестую — 32 и так далее.
Услышав такую просьбу, раджа был раздосадован и сказал,
что такая скромная просьба недостойна его щедрости.
«Прося такую ничтожную награду, — сказал раджа, —
ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Иди,
и сейчас тебе вынесут пару мешков с зерном». Раджа дал
указание своим слугам, чтобы они выдали награду изобретателю. Придворные жрецы приступили к расчетам
и к утру сказали радже, что награда слишком велика. Раджа не мог в это поверить и сказал, что даже если мешков
должно быть очень много, их все равно надо отдать, и что
его огромные житницы от этого не оскудеют.

Рис. 11.6

108
Произведем подсчеты самостоятельно с ипользованием
формулы (14.4). В данном случае имеем геометрическую
прогрессию, в которой b1 1, q 2, n 64. Поэтому:
1·(264 1) 64
S(64)
2 –1 18 446 744 073 709 551 615.
21
Всезнающая Википедия говорит нам, что средняя масса
одного зернышка пшеницы примерно равна 0,065 грамм,
хотя это и зависит от сорта пшеницы и условий ее выращивания. Общая масса пшеницы в тоннах будет равна
M

18 446 744 073 709 551 615 0.065
| 1200000000000 тонн.
1000 1000

В 2018/2019 году мировой урожай пшеницы составлял
721 000 000 (721 млн) тонн. Получается, что при сохранении нынешней урожайности для сбора необходимого для
выплаты долга объема пшеницы потребуется собрать все
1200000000000
ее урожаи за t
| 1664 года.
721000000

Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Приведем пример убывающей геометрической прогрес1
1 1 1 1
сии: 1, , , , ... Здесь q
.
2
2 4 8 16
Попробуем найти ее сумму. Результаты представлены
в таблице:
1

S(n)

3
2

7
4

15
8

31
16

63
32

127
64

255
128

511
256

2 – S(n)

1
2

1
4

1
8

1
16

1
32

1
64

1
128

1
256

Из результатов, представленных в таблице, следует, что
по мере увеличения числа слагаемых, сумма S(n) все ме-

ГЛАВА 14. Арифметическая и геометрическая прогрессии

109

нее отличается от числа 2. Попытаемся понять, почему это
происходит. Для этого преобразуем формулу (14.4).
S(n)

b1 (q n 1)
q 1

b1
b
qn 1
q 1
q 1

b1
b
qn 1 .
q 1
1q

Так как 0q1, то qn o0 (стремится к нулю) при увеличении n. Например,
2

§3·
¨ ¸
©4¹

§3·
0,5675, ¨ ¸
©4¹

§3·
0, 05631} ¨ ¸ 0, 0000005663}
©4¹
b
Поэтому величина 1 q n o 0 при росте значения n.
q 1
b
Значение второго слагаемого 1 при этом не меняется.
1q
Ясно, что при увеличении n все более точной становится
b1
. Поэтому при n o f справедлива
формула S n
1q
формула
b1
S(f)
(14.5)
1q
1 1 1 1
В нашем примере 1, , , , ... b1
2 4 8 16

1, q

1
, поэтому
2

1 1 1 1
1
S(f) 1 }
2.
1
2 4 8 16
1
2
Полученный результат можно проиллюстрировать геометрически, что
сделано на рис. 14.1. На этом рисунке
предполагается, что площадь самого
большого прямоугольника равна 1.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может использоРис. 14.1
ваться для представления бесконечных периодических дробей в виде обыкновенных дробей.
Как это делается, разберем на конкретном примере.

110
Пример:
Преобразуем в обыкновенную дробь число
1,238383838… 1,2 (38).

Решение
1,238383838… 1,20,0380,000380,0000038}
1,2S(f), где S(f) 0,0380,000380,0000038} —
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
с b1 0,038, q

0, 00038
0, 038

0, 01.

Поэтому
S(f)

b1
1q

0, 038
1 0, 01

0, 038
0,99

38
990

6 19

5 495

594 19

495 495

19
.
495

Значит,
1,2(38) 1,2

19
495

Ответ: 1,2(38)

613
118
1
.
495
495

Рассмотрим еще один пример, связанный с геометрией.

Пример:
Рассмотрим многоугольную спираль, показанную на рисунке. Предположим, что длины составляющих
1 1 1
ее отрезков равны 1, , 2 , 3 }
m m m
причем эта последовательность бесконечна. При m !1 эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Общая длина L спирали равна:
L(f) 1

1 1
1
2 3 } Здесь b1 1 q
m m m

1
.
m

ГЛАВА 14. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Поэтому: L(f)

b1
1q

1
1
1
m

111

m
. Например, если
m 1

b1 1 метр, а коэффициент m 1,1, то L(f)

1,1
11 ме1,1 1

1, 01
101 метр. При стрем1, 01 1
лении коэффициента m к единице длина спирали L(f)
стремится к бесконечности!
тров, а при m 1,01 L(f)

Простые числа

Глава 15

Простое число — это натуральное число,
имеющее ровно два различных натуральных
делителя — единицу и самого себя.
Все остальные натуральные числа называются
составными.
Простые числа — это часть натуральных чисел.
Последовательность, в которой они расположены,
имеет сложный характер. Выписать годную для
реального использования формулу, с помощью которой можно будет найти простое число по его порядковому номеру, по всей видимости, невозможно.
Простые числа изучаются в каждом учебнике теории чисел, но при этом математики вынуждены обходиться сравнительно немногими теоремами. Эти
теоремы часто просты по своей формулировке, но
обычно сложно доказываются. Многие проблемы,
связанные со свойствами простых чисел, еще ожидают своего решения.
Мы приведем лишь несколько простых теорем.
Но наряду с этим сообщим о некоторых интересных
результатах из этой области математики.

ГЛАВА 15. Простые числа

113

Каждое натуральное число n однозначно (если не
учитывать порядок сомножителей), представимо
в виде произведения простых чисел:
n p1m1 · p2m2 ·}· pkmk , где p1p2...pk, mi t1, 1di dk
Раскроем смысл теоремы на примерах.
Пример 1: 468 22 32 131
Пример 2: 1224 23 32 171
Пример 3: 56487 31 191 9911
Пример 4: 42017326344 23 38 72 171 312
Простых чисел бесконечно много.
Этот факт был приведен уже в «Началах» Евклида. Его
доказательство проведем методом от противного.
Примечание. Возможность использования такого типа
доказательства отрицается определенной группой математического сообщества, которых называют интуиционистами. Дело в том, что доказательство от противного не
показывает непосредственный способ вычисления нового простого числа. Интуиционисты полагают, что любое
утверждение о числе n имеет смысл лишь в том случае,
если оно содержит фактическое предписание для вычисления этого числа. Среди сторонников интуиционистов не
так много математиков, но среди них такие величайшие
математики как Кронекер, Пуанкаре, Брауэр и Вейль.

Доказательство
Пусть нам дан список из n простых чисел p1, p2, ..., pn.
Покажем, что есть простые числа, которые не входят в этот
список. Для этого составим новое число:
N p1 · p2 · ... · pn 1.
Это число не делится ни на одно из чисел p1, p2, ..., pn
(так как остаток 1 при делении на любое из этих чисел).
Это означает, что в разложение числа N на простые мно-

114
жители должны входить простые числа, отсутствующие в
первоначальном списке, что и требовалось доказать.
Пример 1: N 23571 211 — это простое число.
Но возможна ситуация (доказательство этого не запрещает), что само число N не будет простым. В этом случае
оно разлагается на множители, среди которых все равно будут простые числа, не входящие в первоначальный
спиcок.
Пример 2: N 23571113171 510511. В исходный
список входят числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17. Разложим число
510511 на простые множители: 519511 1919712771. Простые числа 19, 97 и 277 не входят в первоначальный список!
Таблицы простых чисел имеются в интернете. Кроме
того, в интернете существуют сайты, с помощью которых
можно разложить исходное натуральное число на множители online.
Простые числа расположены среди натуральных чисел
неравномерно. Проиллюстрируем это с помощью таблицы.
x

S(x)

10
102
103
104
105
106
107
108
109
1010

4
25
168
1 229
9 592
78 498
664 579
5 761 455
50 847 534
455 052 511

S( x )
x
40%
25%
16,8%
12,3%
9,59%
7,85%
6,65%
5,76%
5,08%
4,55%

В таблице:
• x — количество чисел натурального ряда, начиная
с 1;
• S(x) — количество простых чисел в заданном промежутке;

ГЛАВА 15. Простые числа

115

S( x )
— относительное количество простых чисел
x
в заданном промежутке (в процентах).
Из таблицы следует, что по мере увеличения x простые
числа появляются все реже и реже. Более того, не сложно
доказать следующую теорему:
•

Существуют любые, сколь угодно длинные отрезки
натурального ряда, в которых нет ни одного простого числа.
(И это притом, что число простых чисел — бесконечно!) Приведем доказательство этого факта.

Доказательство
Введем обозначение: n! — факториал натурального
числа:
n! 1234…(n 1)n.
Например, 5! 12345 120.
(По определению: 1! 1, 0! 1). Очевидно, что для любого n t2 число n! — четное.
Рассмотрим для примера промежуток, возникающий
при n 5:
5!2, 5!3, 5!4, 5!5 или, что то же самое,
123452, 123453,
123454, 123455.
Первое число делится на 2, второе число делится на 3,
третье число делится на 4, четвертое число делится на 5.
Рассуждая совершенно аналогично, выберем некоторое
натуральное число n и рассмотрим следующие друг за
другом числа
n!2, n!3, n!4, …, n!(n1), n!n.
Первое число делится на 2, второе число делится на
3, третье число делится на 4, …, (n1)-ое число (этим
числом будет число n!n) делится на n.

116
Таким образом, мы можем выбирать сколь угодно большие n и получать сколь угодно большие промежутки без
простых чисел. Теорема доказана.
Следующая теорема связана с возможностью представления любого простого числа в виде разности квадратов
двух натуральных чисел.
Каждое простое число p t3 представимо в виде
разности двух квадратов натуральных чисел и притом только одним способом.

Доказательство
Предположим, что простое число p разлагается на
разность двух квадратов натуральных чисел: p n2 m2.
Естественно, что n !m. Отсюда p (nm)(n m), и значит, n m и n m — натуральные числа. Значит, каждое из
них — делитель числа p. При этом nmn m. Но так как
число p — простое, то его делителями могут быть только 1 и
p. Поэтому необходимо, чтобы одновременно выполнялись
равенства n m p и nm 1. В этом случае говорят о реn m p,
шении симтемы уравнений n m 1. Сложим левые части
уравнений и правые части. Получим (n m)(nm) p 1,
p 1
откуда n
. Теперь также вычтем из верхнего
2
уравнения нижнее. Получим (n m)(nm) p1, откуда

p 1
. В этом случае мы
2
2
2
§ p 1 · § p 1 ·

имеем единственное разложение p ¨
¸ ¨
¸ .
2
2
©
¹
©
¹
Теорема доказана.
Как исторически, так и с точки зрения теории чисел
интересными оказываются так называемые числа Ферма.
Пьер Ферма (1601–1665) — французский математик-любитель. По профессии он был юрист, но успешно
решил целый ряд важных для развития математики задач.
m

p 1
. Поэтому n
2

p 1
,m
2

117

ГЛАВА 15. Простые числа

Он считается также одним из основателей (наряду с Блезом Паскалем) теории вероятностей. Его имя особенно
известно в связи с формулировкой Великой теоремы Ферма. Эта теорема утверждает, что для любого натурального
n !2 уравнение an bn cn не имеет решений в целых ненулевых числах. Окончательное доказательство теоремы
было получено английским математиком Эндрю Уайлсом
лишь совсем недавно, в 1996 году.
k

Числами Ферма называются числа вида Fk 22 1,
где k 0, 1, 2…
k

Примечание. Запись 22 понимается в математике как
(2k )
2 .
Пьер Ферма предполагал, что все такие числа являются простыми. Это справедливо для k 0,1,2,3,4. Но Эйлер
5
в 1732 году обнаружил, что F5 22 1 4294967297 является составным: оно делится на 641. Для всех последующих исследованных значений k числа Ферма оказываются
составными. Большинство математиков склонны полагать,
что других простых чисел Ферма нет.
Оказалось, что числа Ферма тесно связаны с геометрией. Карл Гаусс доказал, что если n — простое число Ферма, то правильный n-угольник можно построить циркулем
и линейкой (то есть он доказал достаточное условие).
А в 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал, что с помощью этих же инструментов невозможно построить правильный многоугольник, число сторон которого не удовлетворяет условию n 2kp1p2…pm, k t0, где
p1, p2, …, pm — различные простые числа Ферма (то есть
он доказал, что условие Гаусса является необходимым).
Таким образом, правильный n-угольник можно построить
циркулем и линейкой при n 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17…,
тогда как при n 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23 … n-угольник построить нельзя.

118
Наибольшие простые числа удается получить, используя числа Мерсенна. (Мерсенн — французский математик,
физик и философ).
Числами Мерсенна называют числа вида Mn 2n1,
где n 1,2,3…
M2 3, M3 7, M5 31, M7 127 — это простые числа.
Вообще говоря, Mn — простое, только если n — простое число. Но этого условия не достаточно. Например,
M11 2047 2389. Всего на декабрь 2018 года известно
51 число Мерсенна.
Изучение свойств простых чисел и (теперь уже компьютерный) поиск огромных по величине простых чисел
имеет теоретическое и научное значение. Но есть и другая, более практическая причина. С развитием интернета
и электронных средств связи появилась необходимость
шифрования. Необходимо защитить мобильную связь,
банковские операции, кредитные карты специальными
секретными кодами. Свойства простых чисел помогают
это надежно сделать.
Основная идея связана с тем, что сравнительно легко
перемножить два огромных (имеющих сотни цифр) простых
числа. Но нет эффективных алгоритмов с помощью которых
можно найти за приемлемое время обратное разложение на
множители полученного после умножения числа.
На сайте The Largest Known Primes — A Summary
(http://primes.utm.edu/largest.html) можно найти дополнительные сведения о самых больших на данный момент
найденных простых числах. Этот сайт постоянно пополняется новыми данным. В 2018 (2018–12–07) году было
найдено простое число 282589933–1, число знаков в котором
равно 24862048. Это 51-ое число Мерсенна. Математики
твердо верят в бесконечность множества простых чисел
Мерсенна, хотя этот факт до сих пор не доказан.

ГЛАВА 15. Простые числа

119

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18 5

3 12 29

40 19 6

2 11 28

41 20 7

9 10 27

42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49...

Очень непростым оказался вопрос о визуализации
расположения простых чисел на числовой оси. Простые
числа расположены на ней весьма прихотливо. Одна из
удачных находок в этом отношении принадлежит польскому и американскому математику Станиславу Уламу.
По рассказу самого Улама, однажды ему пришлось быть
на одном скучном докладе. И чтобы развлечься, он стал
нумеровать клетки тетрадного листка. Делал он это, как
показано на рисунке. При этом он стал отмечать простые
числа. Оказалось, что простые числа выстраивались вдоль
диагональных прямых. Исследования были продолжены
на компьютере. Полученая картина, названная скатерть
Улама, не вносит полной ясности, но какая-то регулярность их расположения все-таки прослеживается. Обнаружение связей между простыми числами представляет как
научный, так и практический интерес. Делаются попытки
рисовать подобные картины в других системах координат
или даже на других поверхностях (например, на поверхности конуса).
Было бы неправильным не упомянуть здесь об одной
любопытной проблеме, связанной с простыми числами. Это так называемая проблема чисел-близнецов. Так
называют простые числа, расстояние между которыми
равно двум: (3;5), (5;7), (11;13), (17;19), (29;31) и т. д.
С помощью компьютеров в настоящее время найдены
огромные по величине числа-близнецы. Но до сих пор
у математиков нет ответа на вопрос, есть ли последняя

120
такая пара чисел. Делались различные попытки решения этой задачи. Например, рассматривались суммы вида
1 1 1 1 1 1 1 1 1
..., где в знамена3 5 7 11 13 17 19 29 31
теле — числа-близнецы. Эту сумму называют константой
Бруна и обозначают B2. Ее точное значение неизвестно.
B2|1,902160583104.
Может быть, это число удастся выразить через какие-нибудь известные математические константы (например, S или e)? Ведь Эйлеру удалось доказать, что:
1 1 1 1
S2

}
22 32 42 52
6
1 1 1 1
S4
1 4 4 4 4 }
2 3 4 5
90
1

1 1 1 1
S6

}
26 36 46 56
945
Кстати, получить подобные результаты для нечетных
степеней до сих пор никому также не удалось.
Простые числа используются в различных областях
математики, и поэтому любые продвижения в понимании
связанных с простыми числами свойств являются очень
важными в математической науке.
1

Совершенные
числа

Глава 16

Совершенным называют натуральное число,
равное сумме всех своих положительных делителей, включая единицу, но исключая само
число.
Наименьшим совершенным числом является 6:
6 123.
Следующее совершенное число — 28: 28 12
4 7 14.
По мере того как натуральные числа возрастают,
совершенные числа (также, как и простые) встречаются все реже. До Евклида были известны только
эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел может быть.
Евклиду удалось доказать теорему (и это примерно 2300 лет назад!):
Число n является совершенным тогда и только тогда, когда оно может быть представлено
в виде n 2k–1 (2k1), где 2k 1 — простое
число.

122
Примечание. Напомним смысл словосочетания «тогда
и только тогда», которое в математике выражает необходимое и достаточное условия. Для пояснения приведем пример:
• Чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы оно
было четным (но недостаточно!).
• Чтобы число делилось на 4, достаточно, чтобы оно
оканчивалось двумя нулями (но это не является необходимым!).
• Чтобы число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, составленное из последних двух цифр
исходного, делилось на 4.
(Другими словами: число делится на 4, тогда и только
тогда, когда число, составленное из последних двух цифр
исходного, делится на 4.)
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Его
можно посмотреть, например, в хорошей книге: А. А. Гусак
и др. «В мире чисел».
Воспользуемся теоремой Евклида о совершенных числах.
При k 2 2k1 3 — простое n 2k–1(2k1) 23 6
При k 3 2k1 7 — простое
n 2k–1(2k1) 47 28
С помощью этой теоремы Евклиду удалось найти еще
два совершенных числа: 496 и 8128.
При k 5 2k1 31 — простое
n 2k–1(2k 1) 1631 496
При k 7 2k1 127 — простое
n 2k–1(2k1) 64127 8128
За последующие 1500 лет математики не сумели добавить к уже известным четырем числам ни одного числа. Нашедшему пятое совершенное число Святая церковь
обещала спасение души и уготованное ему вечное блаженство. Тем не менее только в XV веке такое число было
обнаружено. Ему соответствовало значение k 13. Это
число 33 550 336.
Во всех случаях число делителей совершенного числа
(не считая само число) равно 2k 1.

ГЛАВА 16. Совершенные числа

123

По формуле Евклида числа можно легко вычислить, но
для доказательства их «совершенства» было необходимо
доказывать простоту числа 2k1. А вот с этим были большие проблемы.
Только в XVII веке Леонард Эйлер доказал, что числа,
соответствующие k 17, 19, совершенные. Но осталось
загадкой, каким образом шестое и седьмое совершенные
числа были найдены еще за 250 лет до Эйлера (и даже за
100 лет до Мерсенна) профессором математики из Флоренции Катальди. Числа были обнаружены в его записках.
Итак, 8 589 869 056 — шестое число, 137 438 691 328 —
седьмое число.
Восьмое число, доказательство «совершенства» которого принадлежит исключительно Эйлеру:
2 305 843 008 139 952 128.
Девятое совершенное число было вычислено только
в 1883 году. В нем оказалось 37 значащих цифр. Вычислительных машин тогда не было. И можно только удивляться
каким образом его смог найти сельский священник из-под
Перми Иван Михеевич Первушин.
Естественно, что с появлением в начале XX века механических счетных устройств, а затем компьютеров дела
пошли быстрее. К настоящему времени найдено 51 совершенное число. Все они четные.
Приведем два красивых свойства совершенных чисел.
1. Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, равна двум. Например,
1 1 1 1 1
1 1 1
2,
1
2, 1
2 4 7 14 28
2 3 6
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1

2.
2 4 8 16 31 62 124 248 496
Подобное свойство выполняется для всех совершенных чисел. Это прямое следствие их определения,
в чем легко убедиться, умножив обе части каждого из

124
приведенных равенств на соответствующее совершенное число.
2. Справедлива следующая красивая теорема:
Любое четное совершенное число (кроме числа 6)
является суммой третьих степеней последовательных нечетных натуральных чисел.
Например, 28 1333; 496 13335373;
8128 1333537393113133153.

Доказательство
Воспользуемся формулой
133353…(2n3)3(2n1)3 n2(2n21).
(Ее можно доказать по методу индукции.)
2

Если в выражении n (2n 1) положить n 2
2

n2 2n2 1

§ k 21 ·
¨2 ¸
©
¹

2k 1 · 2·2k 1 1

k 1
2

, тогда:

§ § k 1 ·
·
·¨ 2·¨ 2 2 ¸ 1 ¸
¨ ©
¸
¹
©
¹
2k 1 · 2k 1 .

Но именно такой вид и имеют совершенные числа при
условии, что 2k1 — простое число. Теорема доказана.
До сих пор остаются нерешенные проблемы. Вот только
две из них:
• Бесконечно ли количество совершенных чисел?
• Существуют ли нечетные совершенные числа? (Пока
не найдено ни одного!)
Совершенные числа имеют необычную геометрическую
интерпретацию: они могут быть представлены в виде составленных в виде равностороннего треугольника точек.
Причем количество точек в треугольнике равно данному
совершенному числу. Например, совершенному числу 6
соответствует треугольник:

. Для следующего совер-

ГЛАВА 16. Совершенные числа

125

шенного числа 28 треугольник имеет вид:
. Если мы
рассмотрим равносторонний треугольник, построенный
аналогично приведенным, но в основании которого будет
31 точка, то общее число точек, составляющих данный треугольник будет 496 (следующее совершенное число). Оказывается, что каждому совершенному числу соответствует
его правильный треугольник.

Глава 17

Метод
математической
индукции
Одно из основных отличий математики от других наук
заключается в том, что в ней допускается понятие
бесконечности. Рассматривая натуральные числа, мы
можем указать порядок, в котором они расположены:
знаем, какие числа больше или меньше других. Мы
также знаем, что существует наименьшее натуральное число — единица, и что за каждым натуральным
числом расположено следующее, отличающееся от
него на 1. Остается сделать одно интуитивно оправданное умозаключение: какое бы большое натуральное число мы не взяли, при добавлении к нему хотя
бы единицы, мы получаем еще большее натуральное число. Вывод: множество натуральных чисел не
ограничено сверху (но ограничено снизу числом 1).
«Последнего >натурального — Б.Э.@ числа не существует (Numbers go on). Эта интуиция возможности
«всегда увеличить на единицу» — открытой … бесконечности — лежит в основе всей математики».
Герман Вейль

Таким образом, мы чисто мыслительно выходим
за пределы окружающего нас материального мира
и вводим понятие бесконечности.

ГЛАВА 17. Метод математической индукции

127

С использованием примерно такого способа рассуждения (но на строго логической основе) строится рассмотренный нами ранее набор аксиом итальянского математика Пеано, которые вводят натуральные числа.
Еще одной отличительной чертой математики является ее
дедуктивное построение. Это означает, что все утверждения выводятся только из нескольких основных положений
(аксиом). После того, как аксиомы сформулированы, все
остальные понятия и теоремы должны строиться только на
их основе с использованием логики (т.е. дедуктивно).
Однако дедукция не является единственным методом
математического мышления.
Приведем несколько примеров, основанных на наблюдениях за математическими соотношениями.

Пример:
1 12,
13 22,
135 32,
1357 42,
13579 52.
Возникает подозрение, что сумма нечетных натуральных чисел равна квадрату количества слагаемых. Проверим следующую сумму: 1357911 62. Но все-таки
нет уверенности, что приведенное правило будет выполняться всегда. Даже если данное правило будет выполняться для следующих 100 строк, с математической точки
зрения это не будет считаться доказательством правильности того, что для любых нечетных натуральных чисел 2n1,
n 1,2,3,4… будет выполняться правило:
1357…(2n3)(2n1) n2.

Пример (Эйлера):
f(n) n2n 41.
f(1) 41 — простое число. f(2) 43 — простое число.
f(3) 47 — простое число. f(4) 53 — простое число.
f(5) 61 — простое число.

128
f(6) 71 —простое число. f(7) 83 — простое число.
f(8) 97 — простое число.
……………………………………………………………
f(23) 547 — простое число. f(24) 593 — простое
число. f(25) 641 — простое число.
……………………………………………………………
f(33) 1097 — простое число. f(34) 1163 — простое
число. f(35) 1231 — простое число.
С помощью таблицы простых чисел можно убедиться,
что для всех натуральных n от 1 до 40 приведенная формула дает простые числа! Но, очевидно, что при n 41 число
f(41) 4124141 делится на 41, то есть простым не
является.

Пример:
Если бы кто-нибудь сформулировал гипотезу: число
991n21 никогда не является точным квадратом, то для
опровержения этого утверждения ему пришлось бы перебрать огромное количество чисел. Дело в том, что первое
значение n, при котором число 991n21 является точным
квадратом, насчитывает 29 десятичных знаков!
Последние два примера убеждают, что даже большое
число рассмотренных случаев не дает основания быть
уверенным в правильности выдвинутого предположения.
Тем не менее существует метод, который дает возможность установить окончательную справедливость выдвинутой гипотезы! Это метод математической индукции. Мы
о нем уже упоминали в главе 13.
Исторически принято делить все умозаключения на два
типа: индукцию и дедукцию. В индукции порядок доказательства — от частного к общему — противоположен
порядку дедуктивного доказательства — от общего к частному.
Термин «индукция» был упомянут еще Сократом. Практическое использование метода индукции впервые находят в книге жившего во Франции еврейского ученого Леви

ГЛАВА 17. Метод математической индукции

129

бен Гиршона (1321 г.). В своем трактате «Дело вычислителя» он первым в Европе вывел и доказал с помощью индукции основные комбинаторные формулы для подсчета
числа сочетаний, перестановок и размещений. (Об этих
формулах мы будем говорить в главе 21.)
Окончательное математическое оформление этого метода обычно связывают с именем Блеза Паскаля. В 1654 году
Паскаль опубликовал одну из самых популярных своих
работ «Трактат об арифметическом треугольнике». В этой
книге впервые принцип индукции формулируется в привычной для нас форме.
Понятие «математическая индукция» было введено шотландским профессором математики Августом де
Морганом в начале XIX века. В одной из своих статей
в 1838 году он ввел термин математическая индукция,
который затем получил широкое распространение благодаря учебнику алгебры английского математика Исаака Тодгентера. В конце XIX века этот учебник был издан
в России.
Напомним, в чем смысл метода индукции.
Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P(1),
P(2), …, P(n), P(n 1)…
Допустим, что:
1. Установлено, что что P(1) — верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
2. Для любого n доказано, что если верно P(n), то
верно P(n 1).
Тогда все утверждения нашей последовательности
верны.
Покажем, как работает метод индукции при доказательстве тождеств и неравенств.

130
Пример:
Доказать, что
Sn 1 2 3 4 } n 2 n 1 n
при всех n t1. (17.1)

n n1
2

Доказательство
А) Базис индукции. При n 1 утверждение имеет вид:
1 1 1

1, S1 1 — верно.
2
(Если сумма из одного члена кажется странной, можно
проверить и случай n 2, тогда
2 2 1
3, S2 3 — верно).
2
Шаг индукции. Предположим, что на k-ом шаге формуk k 1
ла Sk
верна.
2
Тогда на следующем (k 1)-ом шаге, если формула верна, то она должна иметь вид:
Sk 1

k 1 k 2
2

(*).

Проверим это:
Sk+ 1
(1234…(k2)(k1)k)(k 1) Sk (k 1)
k(k 1)
§k ·
(k 1) (k 1) ¨ 1 ¸
2
©2 ¹

(k 1)(k 2)
.
2

Получили ожидаемый результат (*). Значит исходная
формула верна при любом значении n N
Прежде чем перейти к следующему примеру сделаем два
важных примечания по поводу доказанной формулы (17.1).
Примечание 1. Известна легенда о семилетнем Гауссе.
Учитель на уроке хотел освободить себе немного времени,
пока ученики будут складывать натуральные числа от 1 до

ГЛАВА 17. Метод математической индукции

131

100. Он был очень удивлен, когда маленький Карл сразу положил грифельную доску учителю на стол и сказал: «Готово». Учитель был убежден, что ответ неверен. Он дождался,
пока остальные ученики завершили работу и сложили свои
доски на доску Гаусса. В конце урока, посмотрев на результат, учитель был изумлен. Он увидел только одну запись:
5050. Посмотрев на приведенное ниже доказательство результата, Вы поймете, как это число нашел Гаусс.
• S1 (100) 123…9899100
• S1 (100) 1009998…321.
Мальчик догадался сложить эти две строчки, группируя
слагаемые, как показано. Получилось:
2S1 (100) (1100)(299)(398)…(983)
(992)(1001).
В каждой скобке число 101 и количество таких скобок
равно 100. Поэтому 2S1 (100) 101100.
Откуда и следует, что S1 (100) 5050. Только юный Гаусс
все это проделал в уме!
Именно так мы поступали в разделе 14 при обосновании формулы суммы арифметической прогрессии (14.2).
Примечание 2. Так как в сумме Sn 1234…
(n2)(n1)n мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой a1 1, an n, и число слагаемых также равно n, то можно воспользоваться формулой (14.2):
(a1 an )
S n
· n. Сразу получаем доказанную выше по
2
n n1
индукции формулу (17.1): Sn
.
2
Естественно, и саму формулу (14.2) можно также строго доказать по индукции. Предлагаем проделать это самостоятельно.

Пример:
Доказать, что для любого натурального числа n сумма
первых нечетных натуральных чисел равна n2:
Sn 135…(2n1) n2 (Здесь n слагаемых.)

132
Доказательство
При n 1: S1 12 1 — верно.
Предположим, что на k-ом шаге формула верна, т. е.
Sk 135…(2k1) k2.
(Здесь k слагаемых). Если формула верна на (к1)-ом
шаге, то должно получиться:
Sk+ 1 135…(2k1)(2k 1) (k 1)2 .
Проверим: Sk+ 1 Sk (2k 1) k2(2k 1) (k 1)2 —
верно.
Получили ожидаемый результат. Значит, исходная формула верна при любом значении n `.

Пример:
(Методом математической индукции можно доказывать
и неравенства.)
Доказать, что для любого x t1 и любого натурального
числа n справедливо неравенство:
(1x)n t1nx.
Доказательство
При n 1: 1x t1x — верно.
Предположим, что на k-ом шаге формула верна, т.е. что
(1x)k t1kx (*) — верно.
Если неравенство верно на (k1)-ом шаге, то должно
получиться: (1x)k + 1t1(k 1)x. (**)
Проверим выполнение (**), использовав наше предположение (*):
(*)
P
k 1
k
1 x
1 x 1 x t 1 kx 1 x
1 k 1 x k x2 t 1 k 1 x
Получили неравенство (**), т. е. исходное неравенство
доказано при любом значении n `.

ГЛАВА 17. Метод математической индукции

133

Пример:
Доказать, что для любого натурального числа n верно
равенство:
n n 1 2n 1
Sn 12 22 32 } n2
.
6
Доказательство
1 1 1 2 1 1
1 — верно.
При n 1: S1
6
Предположим, что на k-ом шаге формула верна, т. е.
k k 1 2k 1
Sk
.
6
(Здесь k слагаемых). Если формула верна на (k 1)-ом
шаге, то должно получиться:
k 1 k 2 2k 3
Sk 1
. (*)
6
Проверим:
k k 1 2k 1
2
2
Sk 1 Sk k 1
k 1
k 1
6
§ k 2k 1
·
1
¨
k 1 ¸ k 1 2 k 2 7k 6
6
6
©
¹
1
k 1 k 2 2k 3 — верно (см. (*)).
6
Получили ожидаемый результат. Значит, исходная формула верна при любом значении n `.

Пример:
Задача ал-Караджи (Иран, XI в.)
Доказать, что для любого натурального числа n верно
равенство:
1 2
2
2
Sn 13 23 33 } n3 1 2 3 }n
n n 1 .
4
Доказательство
2
12 1 1
При n 1: S1
1 — верно.
4

134
Предположим, что на k-ом шаге формула верна, т. е.
2
k2 k 1
Sk
.
4
(Здесь k слагаемых). Если формула верна на (k 1)-ом
шаге, то должно получиться:
2
2
k 1 k 2
(*)
Sk 1
4
Проверим это:
Sk 1

Sk k 1
2

k2 k 1
4

k 1

§k
· k 1 k 2
k 1 ¨ k 1¸
.
4
©4
¹
Получили ожидаемый результат. Значит, исходная формула верна при любом значении n `.
Примечание. Мы ранее (в разделе 16) использовали эту формулу при доказательстве одного из красивых
свойств совершенных чисел.
2

Пример:
Доказать, что любое целое число рублей, большее 7,
можно уплатить без сдачи денежными купюрами достоинством в 3 и 5 рублей.
Доказательство
1) Для 8 рублей утверждение справедливо: 8 35;
2) Пусть утверждение верно для k рублей, где k — целое число, большее или равное 8.
Возможны лишь два случая:
• k рублей уплачивается одними трехрублевыми купюрами;
В этом случае трехрублевых билетов должно быть не
менее трех, так как k !8. Для того, чтобы уплатить k 1
рубль, достаточно заменить три трехрублевых купюры двумя пятирублевыми;

ГЛАВА 17. Метод математической индукции

135

• k рублей уплачивается денежными купюрами, среди
которых есть хотя бы одна купюра пятирублевого достоинства.
В этом случае для уплаты k 1 рубля достаточно заменить одну пятирублевую купюру двумя трехрублевыми.

Таким образом доказали, что любое целое число рублей, большее 7, можно уплатить без сдачи денежными купюрами достоинством в 3 и 5 рублей.
Метод математической индукции может с успехом применяться для доказательств теорем в геометрии.

Пример:
Доказать, что сумма Sn внутренних углов любого выпуклого многоугольника равна Sn (n – 2)S где n — число
сторон этого многоугольника.

Доказательство
Это утверждение имеет смысл не для всех натуральных
п, а лишь для п t3.
1) При п 3 наше утверждение принимает вид: S3 S.
Но сумма внутренних углов любого треугольника действительно равна S. Поэтому при п 3 формула верна.
2) Пусть эта формула верна при
n k, то есть Sk (k2)S, где k t3.
Докажем, что в таком случае имеет
место и формула Sk + 1 (k1) S.
3) Пусть A1A2 … AkAk+1 — произвольный выпуклый (k1)-угольник.
Соединив точки A1 и Ak, мы получим выпуклый
k-угольник A1A2 … Ak–1Ak. Очевидно, что сумма углов
(k 1)-угольника A1A2 … AkAk +1 равна сумме углов k-угольника A1A2 … Ak и углов треугольника A1AkAk+1. Но сумма
углов k-угольника A1A2 … Ak по предположению равна

136
(k 2) S, а сумма углов треугольника A1AkAk +1 равна S. Поэтому Sk+1 Sk S (k 2)S S (k 1)S.
Получили ожидаемый результат. Значит, исходная формула верна при любом значении n `, n t3.
Большое количество полезных примеров использования метода математической индукции можно найти в замечательной книге И. С. Соминского «Метод математической индукции», М., Наука, 1965 г.

Глава 18

Дружественные
числа
Два натуральных числа называются дружественными, если сумма всех собственных делителей первого
числа равна второму числу и наоборот, сумма всех
собственных делителей второго числа равна первому числу.
Такое свойство подметили в античные времена
у чисел 220 и 284.
284 1245101120224455
110 — делители числа 220.
220 12471142 — делители числа 284.
Других подобных чисел в те времена не знали.
И не было способа их нахождения.
Один из способов нахождения дружественных
чисел указал еще в IX веке арабский математик
Сабит ибн Корра. Сабит был врачом и астрономом и в то же время одним из самых выдающихся мусульманских математиков. Он жил с 836-го
по 901 год, последнюю часть жизни — в Багдаде,
где был доверенным лицом и советником халифа
аль-Мутадида. Найденный Сабитом способ получения дружественных чисел позволил получить еще
две пары дружественных чисел: (17 296, 18 416)
и (9 363 584, 9 437 056).

138
В XVIII веке Эйлер нашел достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было
уже 90 пар.
В ХХ веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения
всех таких пар нет до сих пор.
Любопытно, что одну из пар дружественных чисел
(1184 и 1210) обнаружил в 1866 г. итальянский школьник
Никколо Паганини (полный тезка великого скрипача). Эту
пару «проглядели» все великие математики!
С дружественными числами связано большое количество открытых проблем. Вот только некоторые из них:
• Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар
дружественных чисел.
• Все найденные до сих пор дружественные числа
(их на апрель 2016 года было известно более 1 000 000 000)
состоят из чисел одинаковой четности.
• Неизвестно, существует ли четно-нечетная пара дружественных чисел.
• Неизвестно, существуют ли взаимно простые (то есть
не имеющие общих делителей) дружественные числа.

Фигурные числа

Глава 19

В Древней Греции (в особенности в школе Пифагора) обратили внимание, что свойства чисел можно
изучать, представляя эти числа в виде геометрических фигур. Так появилось понятие фигурных чисел. Это довольно любопытный объект, связывающий алгебру (числовые последовательности) с геометрией. Рассмотрим его подробней и постараемся
выявить некоторые возникающие при изучении этих
объектов закономерности.
• Треугольные числа (рис. 19.1)
1

Обозначим число точек n-го треугольника T3(n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек треугольников (см. рис. 19.1).
T3(1) 1, T3(2) 3, T3(3) 6, T3(4) 10, T3(5) 15,
T3(6) 21…
Обратим внимание, что
T3(1) 1, T3(2) 12, T3(3) 123, T3(4) 12
34, …
Это означает, что по формуле для суммы арифметической прогрессии

140
T3 n

1 2 3 4 } n 1 n T3 n

n n1

(19.1)
2
Отметим интересное свойство треугольных чисел:
Сумма двух последовательных треугольных чисел
дает полный квадрат.
Доказательство
T3 n T3 n 1

n n1

n1 n2

2
2
n 1 ·2· n 1

n1
2
· n n2
n 1 ,
2
2
что и требовалось доказать.
• Четырехугольные числа (рис. 19.2)
Обозначим число точек n-го квадрата T4(n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество
точек квадратов (рис. 19.2).

T4(4) 1, T4(2) 4, T4(3) 9,
T4(4) 16, T4(5) 25, T4(6) 36,…
Это означает, что: T4(n) n2 (19.2)
• Пятиугольные числа (рис. 19.3)
Обозначим число точек n-го пятиугольника T5 (n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек пятиугольников (см. рис. 19.3)
T5 (1) 1, T5(2) 5, T5(3) 12,
T5(4) 22, T5(5) 35, T5(6) 51,
T5(7) 70, …
Рис. 19.3
Обратим внимание, что
T5(1) 1, T5(2) 14, T5(3) 147, T5(4) 14710, …

ГЛАВА 19. Фигурные числа

141

Это означает, что:
T5 (n) 14710…(3n5)(3n2) .
По формуле суммы членов арифметической прогресa1 an ·n
сии: S n
.
2
1 3n 2
3n2 n
(19.3)
Поэтому: T5 n
·n
2
2
• Шестиугольные числа (рис. 19.4)
Обозначим число точек n-го шестиугольника T6 (n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество
точек шестиугольников (рис. 19.4).

Рис. 19.4

T6(1) 1, T6(2) 6, T6(3) 15, T6(4) 28,
T6(5) 45, T6(6) 66, T6(7) 91, …
Обратим внимание, что:
T6(1) 1, T6(2) 15, T6(3) 159, T6(4) 15913, …
Это означает, что:
T6 (n) 1591317…(4n7)(4n3).
По формуле суммы членов арифметической прогресa1 an ·n
.
сии: S n
2
1 4n 3
4n2 2n
·n
Поэтому: T6 n
(19.4)
2
2
(Мы намеренно не сокращаем последнюю дробь. Чуть
позже будет ясно почему.)
• Семиугольные числа
Сделаем еще один шаг, чтобы выявить закономерность
образования фигурных чисел. Это позволит нам в результате записать общую формулу, справедливую для любого
фигурного числа. Обозначим число точек n-го семиуголь-

142
ника T7 (n). Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек семиугольников
T7(1) 1, T7(2) 7, T7(3) 18, T7(4) 34,
T7(5) 55, T7(6) 81, T7(7) 112, …
Обратим внимание, что:
T7(1) 1, T7(2) 16, T7(3) 1611,
T7(4) 161116, …
Это означает, что:
T7 (n) 16111621…(5n9)(5n4) .
По формуле суммы членов арифметической прогресa1 an ·n
.
сии: S n
2
1 5n 4
5n2 3n
·n
Поэтому: T7 n
(19.5)
2
2
Чтобы увидеть закономерность составим таблицу:
Тип
2T3(n) 2T4(n) 2T5(n) 2T6(n) 2T7(n) 2T8(n)
числа
Форn2n 2n20n 3n2n 4n22n 5n23n 6n24n
мула

Теперь нетрудно догадаться, как написать общую формулу Tk (n) для произвольного фигурного числа:
1
· k 2 ·n2 4 k n (19.6)
Tk n
2
Оказывается, множество совершенных чисел является
частью треугольных!
Все четные совершенные числа являются треугольными.
Доказательство
Ранее получено, что четные совершенные числа имеют
вид:
A 2k–1(2k1), где 2k1 — простое число Мерсенна.
1
A ·2k · 2k 1 .
2

ГЛАВА 19. Фигурные числа

143

Обозначим n 2k1. Тогда 2k n 1.
1
1 2
То есть A · n 1 ·n
· n n T3 n , что и требо2
2
валось доказать.
В Древней Греции рассматривали не только плоские
фигурные числа, но и пространственные: кубические
и пирамидальные.

Эти числа также описываются очень интересными и полезными числовыми последовательностями, для анализа
свойств которых понадобится отдельная книжка.

Глава 20

Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи были известны еще в Индии в трудах математиков VIII–XII веков. Но свое название
последовательность чисел получила по имени итальянского математика Леонардо Пизанского (около
1175–1250). Он был сыном Боначчи (фи Боначчи)
и поэтому его привыкли называть Леонардо Фибоначчи. Леонардо был торговым уполномоченным города
Пизы, и ему пришлось объездить Сирию, Грецию, Египет, Сицилию, Францию. В этих поездках он не терял
время и расширял свои математические познания.
В начале XIII века появилась написанная им
книга «Liber abacci», в которой он познакомил европейского читателя с десятичной системой счисления
и методами решения задач с помощью составления
уравнений.
Сообщаемый в книге материал поясняется на
большом числе задач, одна из которых — знаменитая задача о кроликах.
«Некто поместил пару кроликов в некотором
месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы
узнать, сколько пар кроликов родится при этом
в течение года, если природа кроликов такова, что
через месяц пара кроликов производит на свет дру-

145

ГЛАВА 20. Числа Фибоначчи

гую пару, а рождают кролики со второго месяца после
своего рождения».
Получается последовательность следующего вида: 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 … Каждое из чисел (начиная с третьего) получается, как сумма двух предыдущих. Если перед первым членом последовательности
мы напишем еще одно число, равное 1, то этим самым мы
не изменим закона составления этой последовательности.
Окончательно получаем ряд чисел:
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16

F17

F18

F19

F20

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… (*)
Последовательность чисел Фибоначчи Fn задается соотношением: Fn+ 2 Fn+ 1Fn, где F1 1, F2 1,
n 1,2,3,4 …
Формула, выражающая каждый следующий член
последовательности через предыдущий (или несколько предыдущих), называется рекуррентной.
Рекуррентная формула Fn + 2 Fn + 1Fn выражает следующий член последовательности через два предыдущих.
Поэтому в этом случае говорят, что это рекуррентное соотношение второго порядка. Например, в последовательности (*) 89 5534 или F11 F10F9.
Последовательность чисел Фибоначчи обладает целым
рядом интересных, важных и удивительных свойств. Но
иногда в ней начинают неоправданно находить и некоторые мистические свойства. Например, говорят, что «основополагающую роль в законах, по которым развивается
природа, играют числа Фибоначчи и золотое сечение».
В качестве обоснования такой слишком далеко идущей
точки зрения обычно приводятся красивые картинки, типа
приведенных ниже, в основе которых лежит изображен-

146

Рис. 20.1

Рис. 20.3

Рис. 20.2

Рис. 20.4

ная на рис. 20.1 спираль. Сторона каждого изображенного
на рис. 20.1 квадратика равна соответствующему числу
Фибоначчи. Эту спираль начинают находить везде: от
спиральных галактик (рис. 20.2) до раковин моллюсков
(рис. 20.3) и соцветий растений (рис. 20.4). Но семейство
различных спиралей очень велико. Есть еще логарифмические спирали, «архимедова спираль» и т. д.
Поскольку природа имеет много закономерностей во
времени и пространстве, то при желании можно подобрать
различные математические шаблоны соответствия. А затем
можно утверждать, что природа выбрала именно тот вариант, который «исследователь» выдает за единственно правильный. Поэтому ко всем подобным утверждениям всегда
стоит относиться критически и не принимать их на веру.

Глава 21

Комбинаторные
задачи
Комбинаторика — целая ветвь серьезной современной математики, в которой значительное количество важных результатов получается при использовании только натуральных чисел. Так происходит
при решении задач подсчета количества вариантов.
При этом сами эти задачи очень часто носят практический характер. Приведем примеры таких задач.
• Варианты составления учебного расписания на
неделю.
• Варианты проезда из одной части города в другую.
• Варианты распределения ресурсов между потребителями.
• Варианты распределения студентов по учебным
группам.
• Варианты организации грузоперевозок между
городами.
• Варианты составления меню в кафе и ресторанах.
• Варианты организации транспортной сети в городе.
• Варианты распределения связей между атомами и молекулами.

148
Можно еще долго продолжать этот перечень. При этом
следует учитывать, что зачастую важно не только подсчитать число вариантов, но и найти способы их оптимизации
для экономии времени решения задачи или необходимых
ресурсов.
Удивительным является то, что для решения этих задач
часто достаточно одного умения считать и делать простые
рисунки. Результаты решения часто получаются удивительными и неожиданными. Но не редко встречаются
простые по формулировке задачи, которые очень трудно
(а иногда и невозможно) решить.
Средства решения комбинаторных задач непрерывно
совершенствуются. Причем это происходит не только из-за
появления новых методов и доказательства новых теорем
профессиональными математиками, но и в значительной
степени за счет стремительного развития вычислительных
средств. Использование компьютеров дает возможность
простого перебора значительного количества вариантов
и помогает решению многих (но далеко не всех) задач.
Для того чтобы убедить в этом используем простой и удачный пример, приведенный в замечательной книге Н. Я. Виленкина «Комбинаторика».
Существует примитивный прием, который заключается
в том, что текст шифруется перестановкой букв. Его использовали, когда не хотели, чтобы информацию узнали определенные люди или до некоторого срока. Известно, что
когда астроном Христиан Гюйгенс открыл кольцо Сатурна,
то составил анаграмму, в которой были указаны входящие
в нее буквы и их количество. Таким образом он зашифровал следующий текст: «Annulo cingitur tenui, plano, nusquam
cohaerente, ad eclipticam inclnato». В переводе с латыни это
означало: «Окружен кольцом тонким, плоским, нигде не
подвешенным, наклонным к эклиптике». Число возможных
перестановок этих букв определяется выражением:
61!
m
.
7! 5! 1! 5! 1! 1! 7! 3! 2! 9! 4! 2! 1! 2! 1! 5! 5!

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

149

Напомним, что знак факториала n! («эн — факториал»)
означает n! 1234…(n1)n. Например,
5! 12345 120.
Как получена эта формула будет объяснено дальше. Но
сейчас важно отметить, что само это число огромно! Оно
примерно равно m|2,3051059. (В книге Виленкина это
число приведено с меньшей точностью, но она написана
до появления персональных компьютеров.) Современный
суперкомпьютер имеет производительность примерно 1018
FLOPS (это международная единица, используемая для
измерения производительности компьютеров, показывающая, сколько операций с плавающей запятой в секунду
выполняет данная вычислительная система). Для перебора всех этих перестановок ему понадобится примерно
7,311033 лет. Учитывая, что время существования Вселенной оценивается примерно в 1,41010 лет, безнадежность
«тупого» перебора очевидна. В то же время известно, что
когда Гюйгенс разослал эту анаграмму своим коллегам, то
по крайней мере один из них (английский математик Джон
Валлис) быстро разгадал этот зашифрованный текст.
Но некоторые комбинаторные задачи решаются перебором хорошо.

Пример (Леонард Эйлер):
Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару
свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Невнимательный швейцар раздал шляпы случайным образом.
Сколько существует вариантов, при которых каждый гость
получил чужую шляпу?

Решение
Занумеруем гостей цифрами 1, 2, 3, 4 и так же занумеруем их шляпы. Считаем, что шляпа с данным номером принадлежит гостю с этим же номером (то есть, например, шляпа 2
принадлежит гостю 2). Тогда каждый вариант получения
шляп обозначается четырехзначным числом, составленным

150
из цифр 1, 2, 3 и 4, в котором номер позиции цифры есть
номер гостя, а сама цифра есть номер полученной им шляпы
(номера позиций будем считать слева направо). Например,
комбинация 4132 означает, что первый гость получил четвертую шляпу, второй — первую, третий — третью, а четвертый — вторую. Такой вариант не годится по условию,
поскольку третий получил свою шляпу. Теперь понятно, что
нужно сделать — выписать по возрастанию
1 2 3 4
все четырехзначные числа, содержащие по
2 1 4 3
одной цифре 1, 2, 3 и 4, такие, что никакая
2 3 4 1
цифра не стоит на позиции со своим номером.
2 4 1 3
Эти числа выписаны ниже под чертой. Цифры
3 1 4 2
над чертой — номер позиции (номер гостя),
3 4 1 2
с которым не должна совпадать цифра в соот3 4 2 1
ветствующем столбце (номер шляпы).
4 1 2 3
Как видим, всего имеется 9 вариантов
4 3 1 2
нужной раздачи шляп.
4 3 2 1
Ответ: 9 вариантов
Первоначально подавляющее большинство задач, использующих комбинаторику, касались в основном азартных игр (кости, карты). Одним из первых (XVI в.) занялся
подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости
итальянский математик Тарталья (1499–1557). Позднее,
в работах французского математика, философа и физика
Паскаля (1623–1662) и упомянутого ранее Ферма (который
не был профессиональным математиком!), были решены
целый ряд важных и довольно трудных отдельных комбинаторных задач и задач по теории вероятностей. Следует
учитывать, что теория вероятностей не может развиваться
без комбинаторики. Однако как самостоятельный раздел
математики комбинаторика оформилась в Европе лишь
в XVIII веке в связи с развитием теории вероятностей.
В некотором смысле к комбинаторным задачам можно отнести и построение формул, связанных с рассмотренными
ранее фигурными числами.

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

151

Комбинаторику можно рассматривать как часть теории
множеств — любую комбинаторную задачу можно выразить, используя понятие конечного множества.

Основные комбинаторные
принципы

Правило сложения
Правило суммы — один из простейших, конкретных
способов подсчета. Это правило совершенно очевидно
и выделено, главным образом, для того, чтобы чуть позже
его можно было сопоставить с правилом умножения.

Пример:
Если на одной полке книжного шкафа стоит 20 различных книг, а на другой — 15 различных книг (и нет таких,
как на первой полке), то сколькими способами можно выбрать одну книгу из стоящих на этих полках?

Решение
Выбранная книга будет или с первой, или со второй
полки. Всего книг, т. к. там нет одинаковых, 20 15 35.
Поэтому выбрать одну книгу из стоящих на этих полках
можно 35 способами.
Ответ: 35 способов.
В основе решения этого примера лежит очевидная теорема, сформулированная на языке множеств:
Пусть X1, X2, X3, …, Xn — попарно непересекающиеся (то есть не имеющие общих элементов)
множества. И пусть n1, n2, n3, …, nn — количество
содержащихся в них элементов. Тогда количество
вариантов выбора из X1 или X2, или X3, или …, или
Xn равно n1n2n3…nn.

152
Правило умножения
Пример:
В розыгрыше первенства страны по хоккею принимает
участие 15 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?

Решение
Золотую медаль может получить одна из 15 команд.
После того как определен владелец золотой медали, серебряную медаль может иметь одна из 14 команд. Следовательно, общее число способов, которыми могут
быть распределены золотая и серебряная медали равно
1514 210.
Ответ: 210.
В основе решения этого примера лежит другая очевидная теорема, также сформулированная на языке множеств:
Пусть задана последовательность событий E1, E2,
E3, …, Em таких, что событие E1 осуществляется
n1 способами и, если предыдущие Ek–1 событий
осуществились, то следующее событие Ek может
осуществляться nk способами. Тогда существует
n1n2n3…nm способов осуществления всей последовательности событий.
k-выборка из некоторого множества представляет
собой комбинацию из k элементов этого множества. Выборки, в которых все элементы различны, называют выборками без повторений, в отличие от выборок с повторениями, в которые могут входить одинаковые элементы.

Выборки без повторений
Перестановки (без повторений)
Рассмотрим задачи, в которых приходится подсчитывать число способов, с помощью которых n различных

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

153

предметов можно расположить на n местах. Такие расположения называют перестановками.
Число перестановок различных элементов обозначим Pn.

Пример:
Сколькими способами можно расставить на пятиместной полке пять различных книг?

Решение
На первое место можно поставить любую из пяти книг,
на второе место — любую из четырех оставшихся, на третье — любую из трех оставшихся и т. д. В данном случае
работает правило умножения. Поэтому, всего получается
5 4 3 2 1 120 способов.
Ответ: 120.
Для случая n различных предметов получаем общую
формулу для числа перестановок:
Pn n! (21.1)

Пример:
Шесть рыцарей A, B, C, D, E, и F рассаживаются на шести стульях за круглым столом. Сколькими способами они
могут это сделать?

Решение
Если бы рыцари садились в один ряд (как в театре), то
получилось бы Pn 6! перестановок. Но так как они сидят
за круглым столом, то могут, не меняя взаимного положения (рис. 21.1), перемещаться на одну или несколько
позиций по или против часовой стрелки. И справа и слева
от каждого остаются те же самые рыцари. В этом смысле
все 6 рассадок, показанные на рис. 21.1, одинаковы.
Таким образом, общее число различных рассадок
уменьшается в 6 раз. Поэтому при посадке за круглым
столом общее число вариантов равно:

154
A

c
F

Рис. 21.1

6!
6

5! 6
5! 1 2 3 4 5 120.
6

Ответ: 120.
В общем случае: когда число рыцарей равно n, число
перестановок равно Pn (n1)!.
Примечание. Слегка изменим условие задачи. Пусть на
кольцо надето 6 разных по цвету бусин. Какое количество
различных ожерелий можно получить?
Так как ожерелье можно не только поворачивать, но
и перевернуть, то количество вариантов станет еще в 2
раза меньше.
120
То есть Pn
60. (Для иллюстрации на рис. 21.2
2
показаны две «различные» перестановки, которые можно
получить друг из друга переворотом (осевой симметрией).
В общем случае, если число бусин различных цветов
n 1 !
равно n, то число ожерелий: Pn
2
a
A

Рис. 21.2

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

155

Размещения без повторений
Пусть имеется некоторое множество A, в котором есть
n элементов. Само это множество будем считать неупорядоченным. Это означает, что порядок расположения его
элементов не имеет значения. Из него можно выбирать
упорядоченные подмножества. Часто возникает вопрос
о подсчете числа способов, которыми можно выбрать
упорядоченное подмножество из k элементов данного
множества A.
Упорядоченные k-элементные подмножества множества из n элементов называются размещениями
из n-элементов по k.
Обозначение: Ank .
Для иллюстрации этого определения сформулируем задачу, похожую на одну из ранее рассмотренных.

Пример:
В розыгрыше первенства страны по хоккею принимает участие 18 команд. Сколькими способами могут быть
распределены золотая, серебряная и бронзовая медали?

Решение
В этой задаче мы должны найти варианты «размещения» трех различных медалей (k 3) между 18 различными командами (n 18). Ясно, что одна команда не может
получить две или три медали.
Золотую медаль можно «разместить» 18-ю способами.
Для «размещения» серебряной медали остается 17 команд
(то есть 17 способов). Для «размещения» бронзовой медали остается 16 команд (то есть 16 способов). Общее
количество способов «размещения» медали по правилу
умножения равно A183 18 17 16 4896.
Ответ: 4896.

156
Представим, что число спортсменов равно n, а число
различных медалей равно k. Рассуждая аналогично, получим общую формулу:
Ank

n n 1 n 2 } n k 1 .

Обычно эту формулу записывают в другом виде. Для
этого правую часть формулы домножают и делят на одно
и то же выражение. Чтобы было более понятно, как это
делается, сначала продемонстрируем это на числовом выражении:
A183 18 17 16
18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
.
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
18!
18!
То есть получаем A183
. Так как n 18 ,
15! 18 3 !
k 3, то по аналогии можем записать общую формулу для
числа размещений:
Ank

n!
(21.2)
nk !

Приведем еще один пример.

Пример:
Студенту надо сдать 5 зачетов в течение 11 дней. Сколькими способами он может это сделать, если в течение одного дня можно сдать только один зачет?

Решение
Студенту надо распределить зачеты по дням, в которые
он собирается их сдавать. В данном случае n 11, k 5.
Число способов размещения зачетов по дням равно:
11!
11! 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5
A11
11 5 ! 6!
6 5 4 321
11 10 9 8 7 55440.
Ответ: 55440.

157

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

Сочетания без повторений
Рассмотрим следующую задачу.
Для класса, в котором учится 20 учеников, выделили
по одному билету в театр на 4 разных спектакля. Принято
решение, что больше одного билета в одни руки давать
нельзя. Сколько вариантов распределения билетов среди
учеников класса?
Эта задача ничем не отличается от предыдущей. Для
ее решения необходимо воспользоваться формулой числа
размещений:
A204

20!
20 4 !

20!
20 19 18 17 116280.
16!

Слегка изменим условие задачи. Допустим, что это равноценные билеты на один спектакль. Это означает, что
нужно просто выбрать 4-х учеников из класса. Тем самым,
все перестановки убираются. После выбора четырех человек не надо учитывать варианты распределения билетов
между ними. Так как перестановок в данном случае 4!, то
общее число простого выбора четырех человек из двадцати будет
20!
4! 20 4 !

116280
1 2 3 4

116280
24

4845.

Используя те же рассуждения при выборе k-объектов
из n без учета порядка, получаем следующую теорему:
Количество способов выбора k-объектов из n без учета
порядка равно
n!
(21.3)
C nk
k ! n k !
n!
называется чисk ! n k !
лом сочетаний без повторений из n объектов по k.
Для 0dkdn число C nk

158
Пример:
Рассмотрим прямоугольную
сетку кварталов и дорог (см.
рис.), то есть прямоугольник, состоящий их m n прямоугольных
кварталов, разделенных n1
горизонтальными и m1 вертикальными улицами. Каково число различных кратчайших путей
на этой сетке, ведущих из точки
A в точку B?

4
3
2
1

W(3;4)

Решение
Каждый кратчайший путь из точки A в точку B состоит из m n отрезков, причем среди них обязательно есть
m-горизонтальных и n-вертикальных отрезков. Разные
пути отличаются лишь порядком чередования горизонтальных и вертикальных отрезков.
Поэтому общее число путей равно числу способов, которыми из m n отрезков можно выбрать n-вертикальных
отрезков. На рисунке m 6, n 5. Поэтому общее число
кратчайших путей равно
C nn m

C556

5
C11

11!
5! 11 5 !

11!
462.
5! 6!

Ответ: общее число путей равно C nn m . В данном случае — 462.
Докажем полезную формулу: C nn m C nm m .
C nn m

nm !

n ! n m n !

n ! m !

nm !
m ! n m m !
что и требовалось доказать.

C nm m ,

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

159

Выборки с повторениями
Перестановки (с повторениями)
Пусть множество A состоит из n элементов, где
n n1n2 …nk. Здесь n1 — количество одинаковых (неразличимых) элементов первого типа, n2 — количество
одинаковых элементов второго типа и т. д. Тогда число перестановок Pn из n элементов равно
n!
(21.4)
n1 ! n2 !} nk !
Все перестановки одинаковых элементов n1 множества
А неразличимы. Аналогично обстоит дело для элементов
n2, …, nk. Это объясняет наличие знаменателя в формуле
(21.4)
Pn n1 , n2 }nk

Пример:
Предположим, что 15 книг, включающих в себя 3 одинаковых учебника по математике, 4 одинаковых учебника
по русскому языку, 6 одинаковых учебников по истории
и 2 одинаковых учебника по физике следует расставить
на полке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение
Введем обозначения:
• М — учебники по математике;
• Р — учебники по русскому языку;
• И — учебники по истории;
• Ф — учебники по физике.
Приведем одну из возможных расстановок: ФИИРРМИФИИРМИРМ.
Используя формулу (21.4) имеем:
P15 3, 4,6,2

3 4 62 !
3! 4! 6! 2!

Ответ: 6306300.

15!
6306300.
3! 4! 6! 2!

160
Рассмотрим текст приведенной выше анаграммы Гюйгенса: «Annulo cingitur tenui, plano, nusquam cohaerente, ad
eclipticam inclnato». Теперь легко объяснить, каким образом была получена формула
61!
m
.
7! 5! 1! 5! 1! 1! 7! 3! 2! 9! 4! 2! 1! 2! 1! 5! 5!
Для этого достаточно найти численность каждой из букв
в анаграмме. Общее количество букв в ней равно 61.
Снова обратим внимание на задачу с определением числа маршрутов из точки A в точку B. Оказывается, решить
эту задачу можно и с использованием формулы (21.4).
Обозначим движение вправо n
B
буквой П, а движение вверх — 5
W
буквой В. Тогда маршрут, при4
веденный на рисунке будет
3
выглядеть следующим образом:
2
ПВВПВПВППВП.
Количество
1
«слов», которое можно соста5
6 m
2
4
1
A
3
вить перестановкой этих букв
W(3;4)
и есть количество маршрутов из
точки A в точку B. Так как «слово» состоит из 11 букв, то по формуле (21.4) получаем:
11! 7 8 9 10 11
P11 6,5
462.
6! 5!
1 2 3 4 5
Естественно, получили другим способом тот же самый
результат, что и ранее.

Размещения (с повторениями)
Пример:
Пусть имеется кодовый замок на 4 регистра (I, II, III, IV)
В первом регистре можно установить любую цифру от 0
до 9 (10 возможных вариантов). Во втором регистре опять
можно установить любую цифру от 0 до 9 (10 возможных
вариантов). И так далее. Общее число возможных вари-

161

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

антов установки кодового замка
по правилу произведения равно
10101010 104 10000.
Ответ: 10000.
В общем случае, если m —
число регистров, а n — число
возможных вариантов установки
«диска» данного регистра, то общее число возможных вариантов
установки кодового замка равно:
Anm nm (21.5)

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

II
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

III
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

IV
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

В комбинаторике число Anm в формуле (21.5) называется размещением с повторениями.

Пример:
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов»
используя любые буквы русского алфавита?

Решение
В русском алфавите 33 буквы. Поэтому на первое место
можно поставить любую из 33 букв, на второе место опять
можно поставить любую из 33 букв и так далее. В данном
случае n 33, m 4. Поэтому общее число слов равно
Anm nm 334 1185921.
Ответ: 1185921.

Пример:
Сколько делителей у числа 5556600?

Решение
Разложим число 5556600 на простые множители.
5556600 23345273. Следовательно, всякий делитель
числа 5556600 должен иметь вид 2a 3b 5c 7d, где
a ^0,1,2,3`, b ^0,1,2,3,4`, c ^0,1,2`, d ^0,1,2,3`.

162
Каждому делителю соответствует единственная упорядоченная четверка ^a, b, c, d`. И наоборот, каждой упорядоченной четверке ^a, b, c, d` с элементами из данных множеств отвечает единственный делитель числа 5556600. Это
означает, что множество ^a, b, c, d` однозначно определяет
весь набор делителей данного числа. Число a можно выбрать 4 способами, число b — 5 способами, число c — 3 способами и число d — 4 способами. Значит, упорядоченную
четверку ^a, b, c, d` можно выбрать 4 5 3 4 240 способами. Таким образом, у числа 5556600 имеется 240 делителей.
Ответ: 240.
Решение последней задачи можно обобщить и найти
количество делителей произвольного натурального числа,
представленного своим разложением на простые множители.

Пример:
Пусть p1, p2, …, pn — различные простые числа; k1, k2, …,
kn — целые неотрицательные числа. Сколько делителей у
числа a ( p1 )k1 ( p2 )k2 } ( pn )kn ?

Решение
Каждый делитель числа a имеет вид
a ( p1 )m1 ( p2 )m2 } ( pn )mn ,
где целые числа m1, m2, …, mn удовлетворяют условиям:
0dm1dk1, 0dm2dk2, …, 0 dmndkn. Поэтому элемент m1
можно выбрать k11 способами, элемент m2 можно выбрать k21 способами … элемент mn можно выбрать kn 1
способами. Значит, всего имеется
(k11)(k21)…(kn 1) делителей числа a.
Ответ: (k11)(k21)…(kn 1).

Пример:
В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая
численность населения государства, если наибольшее число зубов равно 32?

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

163

Решение
Уточним условие задачи. Одинаковый набор зубов подразумевает не только их одинаковое количество, но и их
одинаковое расположение.
Рассмотрим двоичное слово из 32 разрядов: 10110001
101101101101101110011000.
32 разряда — это 32 места возможного расположения
зубов. Единица означает наличие зуба, 0 — его отсутствие. Численность населения государства — это количество различных двоичных 32-х разрядных слов. По аналогии с кодовым замком мы можем считать, что имеется
32 регистра и в каждом регистре диск на 2 позиции. То
есть для определения количества вариантов необходимо
применить формулу Anm nm , где в данном случае n 2,
m 32. Поэтому Anm nm 232 4294967296. Примерно
половина населения всей Земли!
Ответ: 4294967296.

Сочетания (с повторениями)
Рассмотрим следующую задачу.

Пример:
Сколькими способами могут 6 пиратов поделить 12
одинаковых монет?

Решение
На рисунке показан один из вариантов распределения
монет между пиратами. В соответствии с рисунком, 1-й
пират получит 2 монеты, 2-й — три монеты, 3-й — четыре
монеты, 4-й, 5-й и 6-й — по одной монете каждый. Добавим еще одно условие дележа: каждый пират получает
хотя бы одну монету! В соответствии с правилами дележа, перегородки должны находиться в промежутках между монетами, но не должны находиться слева или справа

164
от всех монет. Кроме того, в каждом промежутке должно
быть не более одной перегородки. Итак, речь идет о выборе пяти мест из одиннадцати. Получили, что общее число
способов расположения перегородок равно
5
C11

11!
5! 11 5 !

11!
462.
5! 6!

Ответ: 462.
При данном принципе дележа n монет между m пираm 1
тами количество способов дележа равно C n 1 .
Рассмотрим эту задачу под несколько другим углом
зрения. Рисунок можно истолковать как представление
числа 12 в виде суммы: 234111 12. Очевидно,
что число способов размещения пяти перегородок — это
число способов записи числа 12 в виде суммы шести
ненулевых слагаемых. Это означает, что число решений
в натуральных числах уравнения x1x2…xm n равно
C nm11 . Дополнительно рассмотрим случай «отмороженных»
пиратов, которые готовы отнять друг у друга даже все монеты. В этом случае возможны и варианты дележа монет,
показанные на следующем приведенном рисунке.

Это означает, что 1-й пират не получил ничего, 2-й —
три монеты, 3-й — четыре монеты, 4-й пират не получил
ничего, 5-й пират получил пять монет, а 6-й — ни одной.
Теперь нам надо сообразить, сколько у нас имеется мест
для размещения пяти перегородок. Обозначим перегородки буквой П, а монеты буквой О. Каждое «слово» (например, ПОООПООООППОООООП) получается перестановкой
букв. В данном случае число перестановок в соответствии
с формулой (21.4) равно выражает количество способов
дележа монет:
P17 5,12

17!
C126161
5! 12!

13 14 15 16 17
6188.
12 3 4 5

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

165

Обратим внимание, что Pn m 1 m 1, n C nmm11 .
Одно из важнейших преимуществ математического языка — возможность описывать различные природные явления и события реальной жизни одинаковыми уравнениями
и, соответственно, использовать одинаковые алгоритмы
решения для разных задач. Приведем пример.
Задача 1:
Из города A в город B ведут две дороги: грунтовая —
260 км и шоссейная — 500 км. Автомобиль ехал из города
A в город B по грунтовой дороге, а возвращался — по шоссейной. Скорость по шоссейной дороге на 35 км/час больше, чем по грунтовой. На весь путь было затрачено 9 часов.
Определить скорости автомобиля на пути из A в B и обратно.
Задача 2:
Рабочему было необходимо изготовить две партии деталей: более сложных — 260 штук, более простых — 500
штук. Более простых деталей он изготавливал на 35 штук
в день больше, чем сложных. На всю работу у него ушло 9
дней. Определить его производительность (количество деталей в день) при производстве каждого из типов деталей.
Решение задач 1 и 2 приводит к одному и тому же урав260 500
нению:

9.
x
x 35
Точно также мы могли рассмотреть вместо распределения монет между пиратами распределение одинаковых
шаров по различным (разноцветным или перенумерованным) ящикам. Математическая модель «шары-ящики» для
различных случаев (шары, ящики, различные, одинаковые)
является классической и часто используется в комбинаторике и теории вероятностей и в физике.
Распределение одинаковых шаров по различным ящикам — это пример сочетаний с повторениями.
Обозначение: C nm (так же, как число сочетаний без повторения, но с чертой наверху).
Ранее получили формулу: C nm C nmm11 (21.6)

166
Пример:
Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение x1x2…xm n?
Эта задача — просто иная формулировка задачи о распределении одинаковых шаров по различным ящикам. Поэтому число решений равно C nmm11 .

Пример:
Восемь ящиков занумерованы числами от 1 до 8.
Сколькими способами можно разложить по этим ящикам
25 одинаковых шаров
а) так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
б) так, что некоторые ящики могут оказаться пустыми?

Решение
Обозначим m — число ящиков, n — число шаров.
7
346104;
а) C nm11 C258 11 C24
б) C nmm11

1
C 8825
1

7
C 32

3365856.

Ответ: а) 346104; б) 3365856.

Пример:
Сколько решений имеет уравнение x1 x2 x3 x4 500
а) в натуральных числах;
б) в целых неотрицательных числах?

Решение
Задача совершенно эквивалентна предыдущей: m 4,
n 500.
4 1
3
C 499
20584249;
а) C nm11 C500
1
4 1
3
б) C nmm11 C500
C503
21084251.
4 1
Ответ: а) 20584249; б) 21084251.

Пример:
Сколькими способами можно разложить 5 белых
и 6 черных шаров по 7 различным ячейкам?

167

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

Решение
Сначала найдем отдельно число способов N1 разложить
5 белых шаров по 7 различным ящикам и число N2 способов разложить 6 черных шаров по 7 различным ящикам.
При этом шары одного цвета считаем одинаковыми. Обозначим m — число ящиков, n1 — число белых шаров и
n2 — число черных шаров.
Для белых шаров:
11!
11!
462.
N1 C nm1 1m 1 C57711 C116
6! 11 6 ! 6! 5!
Для черных шаров:
12!
12!
924.
N2 C nm2 1m 1 C67711 C126
6! 12 6 ! 6! 6!
Разложения белых и черных шаров по ящикам независимы. Следовательно, по правилу произведения число
способов разложить 5 белых и 6 черных шаров по 7 различным ячейкам равно N1N2 462924 426888.
Ответ: 426888.
Сведем основные формулы комбинаторики в таблицу.
Перестановки
без повторения
Pn n!
Перестановки
с повторениями

Размещения
без повторения

Ank

n!
nk !

Размещения
с повторениями

Сочетания
без повторения

C nk

n!
k ! n k !

Сочетания
с повторениями

Pn n1 , n2 , } , nk
n!
n1 ! n2 !} nk !

Anm

C nm

C nmm11

Приведем несколько примеров, чтобы показать, как
комбинаторика помогает решать задачи по определению
вероятности событий. До сих пор нам не было необходимости использовать какие-либо числа, кроме натуральных.

168
Здесь, кроме них, нам понадобятся числа рациональные
(обыкновенные и десятичные периодические дроби).
Если мы заговорили о вероятности события, то в соответствии с правилами математического языка мы должны
дать этому новому понятию определение. Вообще говоря,
существует несколько определений вероятности, и этому
есть веские причины. Здесь будет дано определение, которое называется классическим.
Вероятностью события называется отношение числа
элементарных исходов, благоприятствующих данному
событию, к числу всех равновозможных исходов опыта,
в котором может появиться это событие.
Приведем пример. Если мы бросаем кубик, то возможно 6 различных элементарных исходов. Допустим, что мы
хотим узнать вероятность выпадения четного числа очков
(это событие A). Таких исходов три: 2, 4, 6. Вероятность
m
события A определяется формулой P A
, где m —
n
число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n — число всех возможных элементарных исходов
испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы единственно возможны и вероятности каждого из них одинаковы. В нашем примере с кубиком m 3, n 6. Поэтому вероятность события А (выпадение четного числа очков) равна
m 3 1
P A
.
n 6 2
Из определения вероятности вытекают следующие ее
свойства:
• Вероятность достоверного события (т. е. того, которое произойдет обязательно) равна единице. Например,
равна единице вероятность того, что при бросании кубика
выпадет либо четное, либо нечетное количество очков.
• Вероятность невозможного события равна нулю. Например, равна нулю вероятность того, что при бросании
кубика выпадет 7 очков.

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

169

• Для вероятности любого случайного события P(A)
справедливо неравенство 0dP(A)d1.
Теперь мы готовы к тому, чтобы подробно рассмотреть
обещанные примеры.

Пример:
Класс, в котором учится 10 девочек и 10 мальчиков,
случайным образом делится на две равные группы для занятий английским языком. Какова вероятность того, что
мальчиков и девочек в них окажется поровну?

Решение
Из 20 учеников в классе надо выбрать 10. Так как порядок выбора не играет роли, то мы имеем дело с сочетаниями без повторений. То есть
n!
C nk
>n 20, m 10@
k ! n k !
20!
10! 20 10 !

20!
184756.
10! 10!

Это общее число способов разделения класса пополам. Подсчитаем количество благоприятных (требуемых для решения задачи) способов. Нам надо выбрать
5 любых мальчиков из 10, причем в любом порядке. Это
10!
10!
5
C10
252. Аналогично нам надо вы5! 10 5 ! 5! 5!
брать 5 любых девочек из 10, причем в любом порядке.
5
Это опять C10 252. Общее число благоприятных выборов
мальчиков и девочек можно найти по правилу умножения
(так как выбор мальчиков и девочек проводится независимо друг от друга). Искомая вероятность равна
P

252 252
| 0.3437 (или примерно 34,4%).
184756

Ответ: 0,3437.

170
Пример:
В классе учится 10 девочек и 10 мальчиков. Их случайным образом рассадили за 10 парт. Какова вероятность
того, что за каждой партой оказались мальчик и девочка?

Решение
20 человек можно посадить на 20 мест 20!-ю способами. Это число перестановок без повторений. То есть общее
число возможных элементарных событий равно:
20! 2432902008176640000.
Найдем количество благоприятных исходов. При благоприятном исходе за каждой из 10 парт сидит ровно
1 мальчик. Эти 10 мест для мальчиков (по одному за каждой партой) можно выбрать 210 способами (2 варианта за
первой партой, 2 — за второй и т. д.). После выбора этих
мест можно рассадить мальчиков на выбранные места 10!
способами. На оставшиеся места можно рассадит девочек
также 10! способами. Общее число благоприятных элементарных событий равно (по правилу умножения)
21010!10! 13484225986560000.
Искомая вероятность равна
13484225986560000
P
| 0.005542
2432902008176640000
(или примерно 0,55%).
Ответ: 0.005542.
Следующий, наиболее сложный пример, взят из знаменитой двухтомной книги В. Феллера «Введение в теорию
вероятностей».

Пример:
Найти вероятность того, что из 50 студентов, присутствующих на лекции, хотя бы двое имеют одну и ту же
дату рождения.

Решение
Известно, что не все годы имеют одинаковую длину
(бывают високосные годы). Кроме того, рождаемость в те-

ГЛАВА 21. Комбинаторные задачи

171

чение года не вполне постоянна. Однако в первом приближении можно считать, что случайный выбор людей приводит к случайному выбору дней рождения. Будем считать,
что в году 365 дней. Рассмотрим m случайно выбранных
людей.
• 1-й из них равновероятно родился в любой из 365
дней (365 вариантов).
• 2-й из них равновероятно родился в любой из 365
дней (365 вариантов).
• m-ый из них равновероятно родился в любой из 365
дней (365 вариантов).
Полная аналогия с задачей о кодовом замке. В данном
случае речь идет о размещении с повторением, где n 365.
m
m
365m — это обПоэтому общее число вариантов An n
щее число элементарных событий. По условию m 50.
Далее подсчитаем число вариантов, при которых дни
рождения не совпадают.
• Возьмем наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. У него 365 вариантов «выбора»
дня рождения.
• Возьмем наугад второго человека из группы и запомним его день рождения. У него 364 вариантов «выбора»
дня рождения.
• Возьмем наугад третьего человека из группы и запомним его день рождения. У него 363 варианта «выбора»
дня рождения.
• Возьмем наугад m-го человека из группы и запомним
его день рождения.
У него 365 (m 1) вариантов «выбора» дня рождения;
Общая ситуация здесь полностью аналогична ситуацией с раздачей медалей спортсменам в рассмотренной ранее задаче. То есть речь идет о размещении без повтореn!
ний. «Работает» формула (21.2): Ank
. В данном
nk !
случае n 365, k m. Поэтому:
m
A365

365!
.
365 m !

172
В условии нашей задачи m 50. Найдем вероятность
Pн того, что ни у одного из студентов не совпадают дни
рождения:
365!
m
365 m !
A365
365!
.
m
m
m
365
365 365 m !
A365
Вероятность искомого противоположного события Pc
(хоты бы у одной пары студентов дни рождения совпадают):
365!
Pc 1
(21.7)
m
365 365 m !
В таблице приведены результаты расчетов по формуле
(21.7).

m
2
3
5
10
20
23
30
40
50
0.27
0.82
2.71
11.69
41.14
50.73
70.63
89.12
97.04
Pc%

Интересно отметить, что размер класса, где с вероятностью 50% найдутся по крайней мере два человека с совпадающими днями рождения, не столь уж велик: m 23
человека.

Целые числа

Глава 22

Отрицательные
и целые числа
Множество натуральных чисел N, как говорят в математике, не замкнуто относительно вычитания (т. е.,
например, число (57) N). Это послужило поводом
для введения отрицательных чисел. С их использованием операция вычитания становится выполнимой
во всех случаях. Наглядным образом отрицательные
и положительные числа представляются с помощью
понятий прибылей и убытков. Но, с логической точки зрения, более правильно было бы осознать, что
введение отрицательных чисел позволяет сложение
и вычитание «слить» в одну операцию. Вычитание можно рассматривать, как сложение с отрицательным числом, что позволяет трактовать запись
10 – 26 –16, как упрощение записи 10 (–26) –16.
Введение отрицательных чисел позволяет избавиться от вычитания, как самостоятельной операции.
Отрицательные числа впервые стали использовать в Китае и Индии для подсчета долгов и упрощения при решении уравнений. Но так как этим числам не удавалось приписать никакой материальной
сущности, то относились к ним с осторожностью

174
и недоверием. Эта осторожность сохранялась практически до XVII века.
Целые числа — это числовое множество, получаемое
объединением множества натуральных чисел, отрицательных чисел и нуля.
В этом случае, все свойства операций с целыми числами
остаются такими же, как и для натуральных. По сути дела,
эти свойства являются аксиомами множества целых чисел.
• a b b a — коммутативность сложения; (1)
• a b b a — коммутативность умножения; (2)
• (a b)c a (b c) — ассоциативность сложения; (3)
• (a b)c a (b c) — ассоциативность умножения; (4)
• a(b c) ab ac — дистрибутивность умножения относительно сложения. (5)
К перечисленным свойствам для целых чисел добавляются еще три:
• a 0 a — свойство нуля; (6)
• a (a) 0 — свойство противоположного элемента. (7)
• a ] 1]: a 1 a (для любого целого числа a
существует такое целое число 1, что a 1 a). (8)
Из этих аксиом чисто формально (строго) может быть
доказана, например, единственность нуля, единицы и противоположного элемента. Чтобы пояснить «язык» подобных доказательств, приведем несколько примеров. (Заодно начинаем привыкать к краткой записи математических
доказательств.) ฿ — начало доказательства. — конец
доказательства.
Пример 1: a ] a 0 0. (Для любого целого числа
произведение этого числа на ноль равно нулю.)

฿ a 0 N a 0 a a N a 0 a a
(6),(7)

(2),(8)

(3)

a 0 1 a a N a 0 1 a
(5)

N a 1 a N a a N 0

(1),(6)

(8)

(7)

(2),(8)

(1),(6)

175

ГЛАВА 22. Целые числа

Под равенствами приведены номера используемых аксиом.
Пример 2: a ] a (1)a (То есть надо доказать,
что (1)a — это элемент, противоположный с a. Таким
элементом является a.)
฿ a 1 a N 1 a 1 a N 1 1 a N 0 a N 0,
(2),(8)

(5)

(7)

(2),(Пр .1)

откуда следует, что (1)a является обратным элементом
для a.
В силу единственности обратного элемента равенство a (1)a доказано.
Пример 3: a ] (1)(a) a . (То есть надо доказать, что (1)(a) — это элемент, противоположный с
(a). Таким элементом является a.)
฿ (a) 1 a

N 1 a 1 a N

(2),(8)

(5)

N 1 1 a N 0 a

(5)

(7)

(2),(Пр .1)

откуда следует, что (1)(a) является обратным элементом для (a). В силу единственности обратного элемента
равенство (1)(a) a доказано.
Пример 4: : a ] (a)(a) a a
฿ a a N

(Пр .2)

1 a a N a 1 a N

N a 1 a

(4)

(2)

(4)

N a a

(Пр .3)

В частности, из примера 4 следует, что (1)(1) 1 — это
вызывающее у многих недоумение равенство — просто
следствие из аксиом!
Вот такие — с одной стороны вполне понятные, с другой стороны довольно скучные — формальные доказательства. Но в математике, где все должно быть строго
обосновано, они совершенно необходимы!

Рациональные
числа

Глава 23

Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения. Множество целых чисел
замкнуто относительно сложения, умножения и вычитания. Но оба этих множества не являются замкнутыми относительно деления. Деление целых чисел может приводить к дробям, например: 1 , 5 , 9
2 7 11
и так далее.
Рациональное число есть такое число, котоa
рое можно представить в виде , где a ],
b
b N.
Множество рациональных чисел обозначается
буквой _.
a
Примечание. Если b 1, то
a , причем a в этом
1
случае — целое число. В этом смысле множество
целых чисел является подмножеством множества
рациональных чисел. Соответствующая диаграмма
Эйлера приведена на рис. 23.1
a
Рациональные числа, представленные в виде ,
b
называются обыкновенными дробями.

ГЛАВА 23. Рациональные числа

177

Имеется иное представление рационального числа, отличное от обыкновенных дробей. Это десятичные дроби.
Например:
1
1
6
7
0.25,
0.1,
0.24,
0.109375.
4
10
25
64
Такие дроби называются конечными.
Но представления некоторых десятичных дробей могут иметь бесконечный вид:
1
7
0.33333} ,
0.63636363}
Рис. 23.1
3
11
Десятичные дроби можно получить из обыкновенных,
деля числитель на знаменатель.
Таким образом, обыкновенные дроби могут быть представлены:
• конечными десятичными дробями,
• бесконечными периодическими десятичными дробями.
Это означает, что при делении числителя на знаменатель обязательно получится либо конечная десятичная
дробь, либо бесконечная периодическая десятичная
дробь.
При записи бесконечной десятичной
дроби ее периодическую часть обычно
заключают в скобки:
0.(3), 0.(63), 2.73(103) и т.д.
Объясним, почему дробь получается
периодической. Для этого рассмотрим
пример. Переведем обыкновенную дробь
18 в десятичную.
7
В процессе деления на 7 после вычитания могут появиться только цифры 0, 1,
2, 3, 4, 5 и 6. Появление нуля означает

178
окончание деления, то есть результатом деления будет
конечная десятичная дробь. Допустим, что после вычитания появляются все время различные цифры. Но, в данном
случае, их только шесть, и неизбежно процесс продолжения деления «пойдет по кругу». При делении на 7 число
цифр в периоде в нашем примере оказалось шесть.
Вопрос с длиной периода совсем не прост! Рассмотрим
дроби вида 1 , где р — простое число.
p
Обозначим m длину периода. Составим таблицу1:
p 3 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
m 1 6 2 6 16 18 22 28 15 3 5 21 46 13 58 60 33 35 8 13 41 44 96
p 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193
m 4 34 53 108 112 42 130 8 46 148 75 78 81 166 43 178 180 95 192

Подобная таблица была составлена для простых знаменателей до 1370471 включительно. Это позволило выявить
некоторые закономерности в длине периода. Изучение периодов дробей вида 1 показывает, что все такие дроби
p
можно подразделить на три категории:
• Длина периода на 1 меньше, чем р.
• Длина периода является нечетной.
• Длина периода является четной.
Было обнаружено необъяснимое до сих пор достаточно устойчивое соотношение численностей перечисленных
групп: 9:8:7.
Вообще, с периодическими дробями связано немало
загадок, многие из которых не разгаданы до сих пор.
Десятичные периоды заинтересовали в свое время молодого Карла Гаусса. Он составил таблицы десятичных
периодов для всех простых знаменателей и их степеней,
меньших 1000. Это была непростая работа, учитывая от1
Таблица взята из книги Ейтс С. «Репьюниты и десятичные периоды», пер. с англ. — М., Мир, 1992.

ГЛАВА 23. Рациональные числа

179

сутствие в то время технических средств для вычислений. С помощью этой таблицы он доказал малую теорему
Ферма:
Если р — простое число, и a — целое число, не
делящееся на р, то apa делится на p.
Доказательство
Для доказательства этой важной теоремы воспользуемся ее геометрической интерпретацией.
Рассмотрим правильный многоугольник, у которого —
р вершин. Пусть имеются краски a различных цветов. Зададимся таким вопросом: сколько существует способов
раскрасить вершины правильного р-угольника в a цветов? При этом будем считать, что раскраски, которые можно совместить поворотом, одинаковые.
Для того чтобы прояснить ситуацию рассмотрим конкретный случай: p 5, a 2.

180

Пятиугольники 1 и 32 не изменяются при повороте вокруг центра симметрии.
Пятиугольники (2–6), (7–11), (12–16), (17–21), (22–26),
(27–31) тождественны при повороте вокруг центра симметрии. То есть общее число различных раскрасок равно:
ap a
25 2
a
2
8.
p
5
Рассмотрим общий случай.
Если у нас, например, 7 красок и 11 вершин, то каждую
вершину можно раскрасить семью способами, и, следовательно, 11 вершин 77777777777 711 способами. Соответственно, если не принимать во внимание повороты, то p вершин можно раскрасить ap способами. Среди
этих раскрасок есть a одноцветных. Каждая из оставшихся
совмещается при повороте с p раскрасками (также, как
на рисунке пятиугольники (2–6), (7–11), (12–16), (17–21),
(22–26), (27–31)). Поэтому различных не одноцветных
ap a
раскрасок в p раз меньше, то есть их a
. Но так как
p
ap a
число раскрасок — целое, то и отношение
— целое
p
число. Теорема доказана.
Примечание. Здесь важна простота числа p. Если p не
будет простым, то такого «красивого эффекта» с поворотами вокруг центра симметрии не получается. В этом

181

ГЛАВА 23. Рациональные числа

легко убедиться, взяв квадрат вместо правильного пятиугольника.
Гаусс выразил свое отношение к этой теореме следующими словами: «Эта теорема …!заслуживает величайшего внимания как вследствие ее изящества, так и ввиду
ее выдающейся пользы».
С помощью доказанной теоремы легко решаются некоторые трудные задачи.
Пример: Найти остаток от деления 3102 на 101.

Решение
Число 101 — простое. Согласно малой теореме Ферма
31013 делится нацело на 101. То есть
3101 3
101

k ` 3101 3 101k 3101

101k 3.

Умножим обе части последнего уравнения на число 3. Тогда 3102 101k 9. Следовательно, искомый остаток равен 9.
Ответ: 9.

О взаимообращении
обыкновенных
и десятичных дробей
Между обыкновенными и десятичными (конечными и бесконечными периодическими) дробями существует взаимно
однозначное соответствие (биекция). Это означает, что
каждой обыкновенной дроби соответствует единственная
десятичная. Справедливо и обратное: каждой десятичной
дроби (конечной или бесконечной периодической) соответствует единственная обыкновенная дробь.

Примечания.
• Любая конечная дробь может быть записана в виде
бесконечной периодической дроби добавлением нулевого
периода. Например, 6,25 6,25(0). (Вообще говоря, в фи-

182
зике и инженерной практике добавление «лишних» нулей
имеет смысл, связанный с указанием точности производимых измерений. Указание массы m 2,370 кг говорит о том,
что масса измерялась с точностью до грамма).
1
0, 333333} Умножим обе
• Рассмотрим равенство
3
части равенства на 3. Получим довольно странный, на
первый взгляд, результат: 1 0,999999… Этот результат
понимается как верное равенство (два способа записи
единицы). Аналогично, верными равенствами являются:
0,1 0,0999999…, 0,01 0,00999999…, 0,38 0,37999999…
и так далее.
В принципе, такой прием позволяет любую обыкновенную дробь записать как бесконечную периодическую.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную осуществляется делением углом числителя на знаменатель дроби
либо до нулевого остатка (тогда дробь конечная), либо до
выделения периодической части.
Чуть сложнее осуществляется обратный перевод. Рассмотрим на примерах, как это делается.
Примеры (перевод конечной десятичной дроби):
244
244
61
37
37
• 37,244 37
1000
1000
250
84
21
243
• 243, 84 243
100
25
Для перевода бесконечной периодической десятичной
дроби в обыкновенную удобно воспользоваться формулой для определения суммы геометрической прогрессии.
b1 · q n 1
Напомним ее: Sn
. Здесь b1 — первый член
q 1
геометрической прогрессии, q — ее знаменатель. Преобb1 · q n 1

b1 ·q n
b
1 (*). Нас
q 1
q 1 q 1
далее будет интересовать случай, когда |q|1. Как легко
разуем эту формулу: Sn

183

ГЛАВА 23. Рациональные числа

убедиться, в этом случае первое слагаемое формулы (*)
уменьшается при увеличении n. Если nof, то второе слагаемое все более доминирует, и в результате (как говорят
b1
.
в математике «в пределе») можно записать: Sf
1q
Полученную формулу называют формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Именно
эта формула нам и понадобится для перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.
Примеры (перевод бесконечной периодической десятичной дроби):
• 36,(678) 36(0,6780,0006780,000000678…).
Сложим указанную в скобках сумму. Для этого воспольb1
.
зуемся формулой Sf
1q
0, 000678
В данном случае b1 0,678, q
0, 001. От0,678
сюда следует:
Sf

b1
1q

Поэтому 36, 678
•

58, 00 63

0,678
1 0, 001
36

678
999

226
.
333

0, 0063 0, 000063 0, 00000063 }
58

1
· 0,63 0, 0063 } .
100

Сложим указанную в скобках сумму.
0, 0063
В данном случае b1 0,63, q
0, 01.
0,63
b1
0,63
63 7
Поэтому Sf
.
1 q 1 0, 01 99 11
1 7
7
Поэтому 58, 00 63 58
·
58
.
100 11
1100

184
Остается вопрос: являются ли полностью тождественными множества обыкновенных и десятичных
дробей? Ответ на этот вопрос прост и бескомпромиссен: конечно нет! Дело в том, что десятичные дроби, кроме рассмотренных, могут быть и бесконечными непериодическими. Приведем лишь один пример:
0.101001000100001000001000000100000001… (количество нулей перед каждой следующей единицей увеличивается на один). Ясно, что эта дробь не будет периодической. С одной стороны, в ее периоде обязательно должны
присутствовать и нули, и единицы (хотя бы одна). С другой
стороны, какой бы длины ни был период этой дроби, двигаясь вдоль ее записи можно найти промежуток, состоящий из одних нулей, такой, что его длина будет превышать
любую заранее нами выбранную длину предполагаемого
периода. Что делать с таким (и подобными ему) числами?
Такое число не является рациональным!
Надо ли их вообще рассматривать? Об этом — в следующем разделе.

Глава 24

О сравнении
бесконечных
множеств
Нет ничего проще, чем сравнивать конечные множества. Их сравнивают по количеству содержащихся в них элементов. Но, когда элементов слишком
много, даже это может оказаться сложной задачей.
Например, как оценить количество людей в кинозале перед началом сеанса, если они все время перемещаются? Самый простой способ — попросить всех
занять свои места. Если все зрители сели и остались
пустые кресла, то множество кресел больше, чем
множество зрителей. Если зрителей в зале больше,
чем кресел, то либо проданы лишние билеты, либо
часть зрителей прошла без билета. Третья возможная ситуация: все зрители заняли все кресла, то
есть множества равны. На языке математики это
означает, что установлено взаимно однозначное
соответствие (биекция) между множествами кресел и зрителей.
Более сложный вопрос — сравнение бесконечных множеств. Ясно, что в этом случае нельзя
сравнивать их по количеству. Поэтому при количественной оценке в этом случае говорят о мощности
множеств. Одинаковы ли «по запасу» множества `,
] и _? Обратим внимание на то, что `]_. По-

186
ставленный вопрос и ответ на него не оказываются простыми.
Г. Кантор построил естественную и изящную математическую теорию, которая содержит ответ на поставленный
вопрос и на другие подобные.

Счетные множества
Если между элементами двух множеств можно
установить взаимно однозначное соответствие, то
говорят, что эти множества равномощны.
Два конечных множества равномощны тогда и только
тогда, когда они имеют одно и то же количество элементов.
Понятие равномощности применимо к множествам,
не являющимся конечными. В этом случае, однако, могут
иметь место факты, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными. Так, множество всех натуральных чисел
равномощно множеству всех четных положительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств можно установить, например сопоставив
каждому натуральному числу вдвое большее положительное число.

Мы имеем здесь, следовательно, пример бесконечного
множества, равномощного некоторой своей части.
Не существует ни одного конечного множества, равномощного какой-либо своей части.
Множества, равномощные множеству всех натуральных чисел, называют счетными. Остальные
бесконечные множества называют несчетными.

ГЛАВА 24. О сравнении бесконечных множеств

187

Следовательно, счетное множество — это такое бесконечное множество, все элементы которого можно перенумеровать с помощью натуральных чисел таким образом,
чтобы каждому элементу множества соответствовал определенный номер, и чтобы каждый номер соответствовал
определенному и единственному элементу множества.
Другими словами, элементы счетного множества можно расположить в виде бесконечной последовательности
a1, a2, a3… по порядковым номерам (индексам). Обратно, множество всех членов любой данной бесконечной
последовательности (с различными членами) является
счетным.
Очевидно, что часть счетного множества, если она
не является конечным множеством, будет счетным множеством. Это следует из того, что элементы любой части
множества можно расположить в виде последовательности в порядке возрастания индексов. Например, множества всех нечетных чисел, всех простых чисел, всех чисел,
являющихся квадратами натуральных чисел, — счетны.
Приведем примеры счетных множеств.
Пример 1:
Любое подмножество счетного множества конечно или
счетно.
(Это означает, что не может существовать бесконечное
множество, мощность которого была бы меньше мощности
счетного множества).
Пример 2:
Объединение конечного или счетного числа счетных
множеств счетно.
12 11 10 25
13
Пример 3:
9 24
Если плоскость разбить на при- 14 3
2
легающие один к другому квадра8 23
15 4
1
ты, то множество этих квадратов
будет счетно. Перенумеровать все 16 5
7 22
6
эти квадраты можно следующим
17 18 19 20 21
образом (см. рис.).

188
Пример 4:
Можно также доказать, что, разбив трехмерное пространство на равные кубы, мы получим счетное множество
этих кубов. И в этом случае можно поочередно обходить
кубы по ломаной, соединяющей центры смежных кубов.
Пример 5:
Множество натуральных чисел равномощно множеству
нечетных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему
правилу:
1
Ú
1

2
Ú
3

3
Ú
5

…
…

n
Ú
2n1

…
…

Пример 6:
Множество всех целых чисел счетно. Это становится очевидным, если применить следующую процедуру нумерации:
0
Ú
1

-1
Ú
2

1
Ú
3

-2
Ú
4

2
Ú
5

-3
Ú
6

3
Ú
7

…
Ú
…

Пример 7:
Множество положительных рациональных чисел _+
счетно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его
в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано
на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счетно.

ГЛАВА 24. О сравнении бесконечных множеств

189

(«Выбрасываются» все сократимые дроби.)
Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто
поставив в соответствие каждому рациональному числу
противоположное ему. Таким образом, множество отрицательных рациональных чисел _ – тоже счетно, а значит,
счетно и все множество рациональных чисел _.
Кроме конечных и счетных множеств существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше,
чем мощность счетных множеств. Так, множество всех точек отрезка >0; 1@ не равномощно множеству натуральных
чисел `. Но речь об этом пойдет в следующем разделе,
в котором мы будем рассматривать действительные числа.

Действительные
числа
Выйти за пределы рациональных чисел нас заставляет
геометрия. Представим себе квадрат со стороной 1.
По теореме Пифагора

Глава 25

AC 2

AD2 CD2

12 12

Но 2 — это всего лишь обозначение числа,
квадрат которого равен 2. Мы понимаем (как и древние греки), что дробь — это отношение двух целых
чисел. Поэтому было бы естественно попытаться
выразить число 2 в знакомой нам форме (то есть
p
2), и найти
в виде дроби
C
B
q
эту дробь. Попробуем это сделать. При этом было бы естеa
1
ственно считать, что дробь
p — не сократимая. В противA
D
q
1
ном случае мы можем ее заранее сократить.
Проделаем небольшие преобразования:
p
q

§ p·
2 ¨ ¸
©q¹

p2
q2

2 p2

2·q 2 . (*)

ГЛАВА 25. Действительные числа

191

Так как в произведении появился множитель 2, то число p2 p p — четное. Но только четное число, умноженное
на себя, дает четное. Поэтому число p — также четное.
В любом четном числе можно выделить множитель 2, то
есть представить число p в виде p 2m, где m N. Равенство (*) в этом случае примет вид:
p2 2q2(2m)2 2q22q2 4m2q2 2m2.
Аналогичное рассуждение приводит к тому, что q —
также четное. Получается, что дробь p/q — сократима, не
смотря на наше исходное предположение о ее несократимости. Полученное противоречие является основанием
для вывода о том, что 2 _.
Числа, которые не являются рациональными, то
есть не могут быть представлены в виде обыкноm
венной дроби
, где m ], n `, называются
n
иррациональными.
Множество иррациональных чисел обозначается .
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби.
Вообще говоря, справедлива следующая теорема:
Если число a `, то a либо натуральное число,
либо иррациональное.

Доказательство
С логической точки зрения у нас есть три возможных
ситуации:
1) a `; 2) a _; 3) a .
• Первая ситуация соответствует извлечению квадратного корня нацело (в этом случае говорят, что «корень
извлекся»). Например: 196 14 `.

192
m
, где
n
m `, n `, nz1, причем m и n — взаимно простые, то
есть дробь не сокращается. (При этом не забываем, что
m2
m2
`. Но m2
по условию a `). Тогда a
то
есть
,
n2
n2
и n2 — взаимно простые, поскольку числа m и n не имеют
m2
общих делителей и n2z1. Значит, 2 `. Пришли к проn
тиворечию.
•

Вторая ситуация соответствует тому, что

Это означает, что возможно лишь две ситуации: a `
или a . Теорема доказана.
Множество, являющееся объединением числовых множеств _ и называется множеством действительных чисел.
Обозначение: _ \.
Схематически структура числовых множеств показана
на рисунке.

Пример: Докажем, что

2 3 .

Доказательство
Проведем доказательство методом от противного.
Предположим, что 2 3 . Обозначим исходное
число буквой r. Тогда:
2 3

5 2 2· 3

2 3

r 2 2 6

r2
r 2 5.

r2 5
r2 5
. Но
_ , а 6 . Следователь2
2
но, предположение не верно и 2 3 z r .
Или

193

ГЛАВА 25. Действительные числа

То есть
доказать.

2 3 _ 2 3 , что и требовалось

Приближенное извлечение
квадратного корня
Существуют и различные способы извлечения корня
«вручную». Один из самых эффективных — итерационный аналитический алгоритм. Он основан на использо1§
a·
вании функции y
·¨ x ¸ , где a — число, из которого
2©
x¹
извлекается корень. Например, для случая a 7 график
изображен на рисунке. Подсчет ведется по формуле
1§
7 ·
¨ x n 1
¸.
2©
x n 1 ¹
1§
7·
• Пусть n 1 x1
¨ x0 ¸ .
2©
x0 ¹
x0 — «прикидочное» значение, которое мы предполагаем в качестве результата извлечения корня. Чем мы лучше его угадаем, тем быстрее найдем результат. Мы в качестве исходного приближения возьмем очевидно «плохое»
значение x0 7 (точка B на графике рис. 25.1).
xn

E
F

Рис. 25.1

194
И покажем, что даже в этом случае процесс подсчета
довольно быстро приблизится к истинному значению чис1§ 7·
ла 7. x1
¨ 7 ¸ 4 (точка C на рис. 25.1).
2© 7¹
1§
7 · 1§
7 · 23
• Пусть n 2 x2
(точка
¨ x1 ¸
¨4 ¸
2©
x1 ¹ 2 ©
4¹ 8
Е на рис. 25.1).
1§
7 · 1 § 23
23 ·
• Пусть n 3 x3
¨ x2 ¸
¨ 7: ¸
2©
x2 ¹ 2 © 8
8¹
1 § 23 56 · 977
2,654891}
¨ ¸
2 © 8 23 ¹ 368
1§
7 · 1 § 977
977 ·
• Пусть n 4 x 4
7:
¨ x3 ¸
¨
¸
2©
x3 ¹ 2 © 368
368 ¹
1 § 977 2576 · 1902497
2,6457670}

¨
¸
2 © 368 977 ¹ 719072
Истинное значение: 7 2,6457513} Погрешность:
0,0000157, то есть менее 0,00059%
Очевидно, что это очень хороший результат! Кроме того,
такая процедура позволяет получать приближенные значения корней в виде рациональных дробей.

Числовая прямая
Для геометрического изображения чисел служит числовая
прямая.
Числовая прямая — это прямая, имеющая направление, начало отсчета и единицу масштаба.
• Натуральные числа (как и целые положительные)
изображаются точками на числовой прямой, отстоящими
вправо от начала отсчета на целое число единиц масштаба.

ГЛАВА 25. Действительные числа

195

• Целые отрицательные числа изображаются точками
на числовой прямой, отстоящими влево от начала отсчета
на целое число единиц масштаба.
m изображаются следую• Рациональные числа вида
n
щим образом: отрезок >0;1@ делится на n частей, и берут
m таких частей.
• Множество рациональных чисел обладает следующим
очень важным свойством:

Между любыми двумя рациональными числами a и
b всегда найдется третье.

Доказательство
Пусть даны два произвольных рациональных числа a и
b. Для определенности примем, что ab (то есть на числовой оси число a находится левее, чем число b). В этом
случае ab0 и ba !0. Соединим эти два неравенства
в одно двойное: ab0ba. Прибавим к каждой части
этого неравенства число a b. Получим (ab)(a b)0
ab
b.
(a b)(ba)(a b) или 2aa b2b или a
2
ab
c. Тогда acb. Теорема доказана.
Обозначим
2
Из доказанной теоремы после повторного ее применения следует, что между любыми рациональными числами a
и b всегда заключено бесконечное количество рациональных чисел. Это свойство называется в математике свойством плотности множества рациональных чисел (то есть
это множество всюду плотно).
• Тем не менее множество рациональных чисел не заполняет всю числовую прямую. Например, есть такие числа, как 2 или 0,101001000100001000001…(то есть числа
иррациональные).

196
Так как 2 _ , то соответствующая этому числу точка
разбивает все множество точек на числовой прямой на
два множества (класса) A 2 и B ! 2, причем каждое
число класса A меньше каждого числа класса B.
Всякое разбиение множества действительных чисел \ на два непустых класса A и B, таких, что каждое число класса A меньше каждого числа класса
B, называется сечением множества \.
Сечения множества \ мы можем строить самыми различными способами. Так, относя к классу A все рациональные числа ad3, а к классу В — все рациональные числа
b !3, мы также получим некоторое определенное сечение
множества \. Если обычным образом изображать числа
точками на прямой линии, то всякое сечение изобразится
некоторым разбиением рациональных точек прямой на
два множества, из которых первое (A) целиком расположено влево от второго (B). Число 3 в этом случае является
наибольшим значением множества A.
В примере с числом 2 у множества A отсутствует
наибольшее значение, а у множества B отсутствует наименьшее значение. В этом случае 2 называется точной
верхней гранью множества A и точной нижней гранью
множества B.
В общем случае точные грани могут как принадлежать
одному из множеств (A или B), так и не принадлежать ни
одному из них. Это следует из приведенных примеров.
Пример с числом 2 наглядно показывает, что на
числовой прямой находится точка, которой никакое рациональное число не соответствует. Но от мысли о существовании этой точки мы отказаться не можем. Без нее
наша прямая утратила бы свою непрерывность. Учитывая, что иррациональных точек очень много (на самом
деле — бесконечное количество), принимая за существу-

ГЛАВА 25. Действительные числа

197

ющие только рациональные точки, при движении вдоль
прямой нам бы приходилось все время «перепрыгивать»
через пустоты. Чтобы этого не произошло необходимо
разместить все множество иррациональных точек на числовой оси.
Каждое иррациональное число занимает свое место
на числовой прямой, так как их можно упорядочить в зависимости от их величины. Сравнение иррациональных
чисел легко осуществляется по их десятичной записи.
Например:
a 54,237893567… и b 54,237893581… Для сравнения расположим эти числа одно под другим следующим
образом:
a 54,237893567…
b 54,237893581…
Сравнение соответствующих разрядов десятичной записи всегда помогает установить правильное соотношение
между числами по величине. В данном случае ab.
Между любыми двумя иррациональными числами
a и b всегда найдется рациональное число.

Доказательство
Пусть даны два произвольных иррациональных числа
a и b. Запишем их соответствующие разряды следующим
образом (ab):
a 1 a2 a3 a4 …
b 1 b2 b3 b4 …
Здесь ai и bi — десятичные цифры. Так как ab, то
найдется такое n, что anbn. Возьмем рациональное чисa1a2a3a4 }an b1b2b3b4 }bn
. В этом случае acb.
ло c
2
Теорема доказана.

198
Итак, мы убедились, что между любыми двумя иррациональными числами найдется рациональное число, а значит, и бесчисленное множество рациональных чисел.
Между любыми двумя иррациональными числами
a и b всегда найдется иррациональное число.
Это следует из того, что существуют сколь угодно ма2
лые иррациональные числа. Например, числа вида
,
n
где n `. Из этого следует, что никакой отрезок прямой не может целиком состоять только из рациональных
чисел.
Очевидно, что множества иррациональных чисел и действительных чисел также являются всюду плотными.
В итоге можем сказать, что между точками числовой
прямой и действительными числами имеется взаимно однозначное соответствие (биекция).
По сути дела, мы установили, что точки на числовой
прямой расположены непрерывно.
Одним из основателей современного понятия непрерывности является
Рихард Дедекинд. Его имя непременно
присутствует в толстых университетских учебниках по математическому
анализу.
Он родился 5 октября 1831 года
в Брауншвейге, родном городе Гаусса.
Его отец был профессором права и администратором колледжа Collegium Carolinum, который
окончил и Гаусс. Мать Дедекинда — внучка императорского почтмейстера.
Рихард был младшим из четырех детей. С 7 до 16 лет
Дедекинд учился в гимназии, увлекаясь химией и физикой,

ГЛАВА 25. Действительные числа

199

но потом его интересы сместились к математике. С 1848 по
1850 год он обучался в Collegium Carolinum, изучая аналитическую геометрию, алгебру, механику и анализ.
В 1850 году он поступил в Геттингенский университет, где подружился с Риманом. В зимнем семестре
1850/1851 года Дедекинд посещал лекции Гаусса и впоследствии оставил очень интересные воспоминания об
этом. В 1859 году он вместе с Риманом совершил поездку в Берлин, где встречался с Вейерштрассом и Куммером.
В 1862 году в его родном Брауншвейге Collegium
Carolinum был преобразован в технический университет.
Дедекинд вернулся туда и преподавал в нем до 1894 года.
Был избран членом Берлинской, Римской и Французской
Академий наук.
Он был очень скромным и молчаливым человеком (как
сейчас бы сказали — интровертом). Известен любопытный факт его жизни. В 1904 году «Математический календарь» опубликовал сообщение о смерти Дедекинда, якобы
случившейся 4 сентября 1899 года. В письме к редактору
Дедекинд с юмором писал: «По моим собственным наблюдениям я в тот день был вполне здоров и вел оживленный
разговор о теории множеств с моим гостем и уважаемым
другом Георгом Кантором…»
Люди, знавшие Рихарда, отмечали, что в течение жизни
его отличала большая научная порядочность и деликатность. Например, исследования Дедекинда по алгебраическим структурам (кольцам, идеалам и модулям) были
изданы в виде приложения к «Теории чисел» Дирихле.
Биограф Дедекинда Эдвардс полагает, что эта книга, изданная после смерти Дирихле, в действительности написана Дедекиндом.
Развитие оснований высшей алгебры во многом обязано открытиям Дедекинда.

200
Континуум
Теорема Кантора: Множество действительных чисел отрезка >0, 1@ несчетно.

Доказательство
(Доказательство от противного). Предположим, что
имеется только счетное множество действительных чисел
чисел a1, a2, …, an, лежащих на отрезке >0; 1@:
a1 0,a11 a12 a13…a1n…,
a2 0,a21 a22 a23…a2n…,
a3 0,a31 a32 a33…a3n…,
…………………………….
an 0,an1 an2 an3…ann…,
…………………………….
Здесь: aij — j-ая десятичная цифра числа Di. Построим
дробь:
β 0,β1 β2 β3…βn…,
с помощью так называемой диагональной процедуры
Кантора, а именно: за β1 примем число 2, если a11 1, и
примем β1 равным 1, если a11z1. Аналогично, за β2 примем
число 2, если a22 1, и примем β2 равным 1, если a22 z1 и
т.д. Вообще, за βn примем число 2, если ann 1 и примем
βn равным 1, если ann z1. Полученная десятичная дробь не
может совпасть ни с одной дробью из исходного перечня.
Действительно, от a1 дробь β отличается, по крайней мере,
первой цифрой, от a2 — второй цифрой и т.д. Вообще, т.к.
βn zann для всех n, то дробь β отлична от любой из дробей
ai, входящих в исходный перечень. Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих
на отрезке >0; 1@ не исчерпывает этого отрезка. Теорема
доказана.
Итак, отрезок >0; 1@ дает пример несчетного множества.

ГЛАВА 25. Действительные числа

201

Мощность множества всех действительных чисел
(или, что то же самое, множества всех точек отрезка >0;1@) обозначается символом c и называется
«континуум».
Приведем некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку >0; 1@.
Пример 1:
Отрезок >0; 1@ равномощен любому отрезку >a; b@. Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула y (b a) x a, где x >0;1@, y >a; b@.
Здесь при x 0, y a; При x 1, y b; При x, принадлежащих отрезку >0;1@, y «пробегает» все значения от a до b.
Пример 2:
Интервал (0; 1) равномощен множеству всех точек на
прямой.
Пример 3: Множество бесконечных последовательностей, состоящих из цифр 0 и 1, имеет мощность континуума.
(Доказывается использованием диагональной процедуры Кантора).
Множество точек квадрата со стороной 1 равномощно множеству точек отрезка >0;1@.
Г. Кантор также доказал, что не только множество точек квадрата со стороной 1 равномощно множеству точек
отрезка >0;1@, но и множество точек куба.

Континуум гипотеза
Мы познакомились пока что с двумя типами бесконечных
множеств. Одни из них имеют столько же элементов, сколько и множество натуральных чисел, а другие — столько
же, сколько и множество точек на прямой. Оказалось, что
во втором множестве больше элементов. Естественно,

202
возникает вопрос, а нет ли «промежуточного» множества,
которое имело бы больше элементов, чем множество натуральных чисел, и меньше, чем множество точек на прямой?
Этот вопрос получил название проблемы континуума.
Над ним думали многие выдающиеся математики, начиная
с самого Георга Кантора, но до самого последнего времени
проблема оставалась нерешенной.
«В течение долгих лет думал над проблемой континуума один из крупнейших математиков, основатель отечественной научной школы теории функций действительного
переменного, академик Н. Н. Лузин. Но решение ускользало, как мираж в пустыне (правда, в ходе размышлений над
этой проблемой Н. Н. Лузин решил целый ряд труднейших
задач теории множеств и создал целый отдел математики — дескриптивную теорию множеств).
Однажды к Н. Н. Лузину привели пятнадцатилетнего
мальчика Льва Шнирельмана, обладавшего исключительными математическими способностями (впоследствии он
стал одним из виднейших советских математиков, членом-корреспондентом АН СССР). Чтобы проверить способности юного математика, Н. Н. Лузин предложил ему
тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он знал,
а одной была… проблема континуума. Через неделю молодой математик пришел к Н. Н. Лузину и грустно сказал:
«Одна задача почему-то не выходит».
Неудачи попыток решить проблему континуума не были
случайными. Положение дел здесь напоминает историю
постулата о параллельных прямых. Этот постулат пытались
на протяжении двух тысячелетий вывести из остальных аксиом геометрии. После работ Н. И. Лобачевского, К. Гаусса
и венгерского математика Я. Бойяи выяснилось, что он не
противоречит остальным аксиомам, но и не может быть
выведен из них.
Точно так же оказалось, что в аксиоматике теории
множеств утверждение о существовании промежуточной
мощности не противоречит остальным аксиомам (резуль-

ГЛАВА 25. Действительные числа

203

тат немецкого математика К. Геделя), но и не выводимо из
них (это почти одновременно и независимо друг от друга
доказали американец П. Д. Коэн и чех П. Вопенка)»1.

Существует ли множество самой
большой мощности?
Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем,
является мощность множества точек на прямой, то есть
мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни
множество точек куба не имеют большей мощности. Не
является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой
большой мощности!
Множества, между которыми можно установить
взаимно однозначное соответствие, называются
эквивалентными.
Если два множества A и B, конечные или бесконечные, эквивалентны, мы скажем, что им соответствует одно и то же кардинальное число (или
мощность).
В случае конечных множеств кардинальное число сводится к обыкновенному натуральному числу, но понятие
кардинального числа носит более общий характер.
Пусть X — некоторое множество и пусть Z — множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества X. Тогда Z имеет
мощность большую, чем мощность исходного множества X.
1

Н. Я. Виленкин «Рассказы о множествах». — М., МЦНМО, 2005.

204
Доказательство
Предположим, что существует взаимно однозначное
соответствие между множествами X и Z, то есть каждому
элементу x X взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество A(x)Z этого множества. При этом
элемент x может принадлежать подмножеству A(x) или ему
не принадлежать. Элементы первого типа назовем «хорошими» (xh), а элементы второго типа назовем «плохими»
(xp). Соберем все плохие элементы, и пусть множество P
означает совокупность элементов xp. В силу взаимно однозначного соответствия между x и A(x) любому подмножеству P (которое само является одним из подмножеств
множества всех A(x)) соответствует некоторый элемент
xhp (это то ли xh, то ли xp). Исследуем две возможности:
элемент xhp xh (является хорошим) или элемент xhp xp
(является плохим).
Если xhp xh, то он принадлежит подмножеству, которое
ему соответствует, то есть xhp xh P. Но подмножество P
состоит только из плохих элементов. Тем самым первая
возможность исключается.
Если xhp xp, то он не принадлежит соответствующему
ему подмножеству, то есть элемент xhp xpP. Но подмножество P по построению содержит все плохие элементы.
Поэтому исключается и вторая возможность.
Мы получили, что элемент xhp не может быть ни хорошим, ни плохим элементом.
Это означает, что такого элемента вообще не существует, и что наше исходное предположение, что существует
взаимно-однозначное соответствие между множеством X
и множеством Z всех подмножеств X, неверно. Другими
словами, множества X и Z не эквивалентны. Далее, так как
мощность множества Z не может быть меньше мощности
множества X (множество X всегда является подмножеством Z), то мощность множества Z будет больше мощности
множества X.
Теорема доказана.

ГЛАВА 25. Действительные числа

205

Итак, для любого множества A можно построить множество B большей мощности. Поэтому множества самой
большой мощности не существует.
Кантор назвал алеф-нулем кардинальное число множества натуральных чисел | `| 0, а кардинальное число
множества действительных чисел R он обозначил термином «континуум» и символом С. Сделал он так потому,
что действительные числа полностью заполняют числовую прямую, а так как эта прямая представляет собой непрерывную последовательность чисел (в ней отсутствуют
промежутки), ее можно обозначить словом «континуум»
(от лат. continuum — «непрерывное»). В соответствии

с этим | \ | C 2 0 .
Однако числа алеф образуют возрастающую последовательность:
0123…

Числа алгебраические
и трансцендентные
Рассмотрим уравнения вида an xn an–1xn–1…a1x
a0 0, где anz0, причем все его коэффициенты — целые числа. Разделим все действительные числа на две
группы:
• Числа, которые могут быть корнями такого уравнения. Ясно, что это все рациональные числа и многие (но,
оказывается, не все!) иррациональные.
• Остальные иррациональные числа.
Числа, являющиеся корнями уравнения вида
an xn an–1xn–1…a1x a0 0,
где anz0, и все его коэффициенты — целые числа, называются алгебраическими. Все остальные
действительные числа называются трансцендентными.

206
Справедлива следующая удивительная теорема:
Множество алгебраических чисел — счетно.

Доказательство
Прежде чем нумеровать алгебраические числа, надо
перенумеровать сами алгебраические уравнения. А тогда
задача будет уже решена. Ведь каждое алгебраическое
уравнение n-й степени имеет не более n действительных
корней.
Итак, займемся нумерацией множества алгебраических
уравнений с целыми коэффициентами. Один из возможных способов состоит в том, что каждому уравнению
an xn an–1xn–1…a1x a0 0
ставится в соответствие его «высота», а именно число
h n |a0| |a1| ... |an|.
Например, высота уравнения 2x4 3x 5 0 равна
42 3 5 14.
Ясно, что число уравнений заданной высоты конечно.
Например:
• Уравнений высоты 1 нет вообще.
• Высоту 2 имеют два уравнения: x 0 и x 0.
• Высоту 3 имеют шесть уравнений:
x2 0, x2 0, x 1 0, x1 0, x 1 0 и x1 0.
• Высоту 4 имеют четырнадцать уравнений:
x3 0, x3 0, x21 0, x21 0, 2x2 0, 2x2 0,
2x 1 0, 2x 1 0, 2x1 0, 2x1 0,
x 2 0, x 2 0, x2 0, x2 0 и так далее.
А теперь будем нумеровать уравнения так: сначала перенумеруем все уравнения высоты 2, потом все уравнения
высоты 3, затем все уравнения высоты 4 и так далее.
В результате все уравнения окажутся занумерованными, а тогда, как уже говорилось, нетрудно занумеровать
и все алгебраические числа. Теорема доказана.

ГЛАВА 25. Действительные числа

207

Доказательство Кантора замечательно тем, что оно не
конструктивно. То есть не предъявляется в явном виде ни
одного трансцендентного числа. Вместе с тем, из теоремы
не только следует их наличие, но и тот факт, что мощность
множества трансцендентных чисел превосходит мощность
чисел алгебраических.
Если множество трансцендентных чисел столь необъятно, то возникает вопрос, где же они «обитают»? Более
ста лет математикам не удавалось найти хоть какое-нибудь
трансцендентное число. Наконец, в 1844 году французскому математику Жозефу Лиувиллю удалось построить примеры таких чисел. Одно из чисел, построенных Лиувиллем,
имело следующий вид:
1
1
1
D
2! 3! } ,
1!
10
10
10
где n! 1234…(n1)n. В 1873 году французский
математик Шарль Эрмит доказал трансцендентность замечательной константы
1 1 1
1
e 1 } }
1! 2! 3!
n!
В 1882 году немецкий математик Карл Линдеман доказал
трансцендентность числа S.

Глава 26

Кривые (линии)
на координатной
плоскости
Если мы выбрали на плоскости систему координат,
то с ее помощью устанавливается взаимно однозначное соответствие (биекция) между парами
действительных чисел и точками координатной плоскости. Это позволяет для каждой кривой разделить
все точки плоскости на две категории: те, которые
принадлежат данной кривой, и те, которые ей не
принадлежат.
Вместе с тем следует учитывать, что мы до сих
пор не давали никакого определения понятия «кривой (линии)», что с математической точки зрения
некорректно. Первая достаточно серьезная попытка
определить понятие кривой была предпринята Декартом. Это определение использует понятие алгебраической плоской кривой. Внутри обширного
семейства алгебраических кривых они, в свою очередь, подразделяются на кривые n-ого порядка.
Алгебраической кривой n-ого порядка называется кривая, уравнение которой записывается в декартовой системе координат
в виде:

209

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

a0xn a1xn–1y a2xn–2y2…an–1x1yn–1
an yn b0xn–1b1xn–2y b2xn–3y2…
bn–2x1yn–2bn–1yn–1c0xn–2c1xn–3y
c2xn–4y2…cn–3x1yn–3cn–2yn–2
…………………………………
q0x q1y M 0,
где хотя бы один из коэффициентов aiz0.
Примечание. Мы исключаем из рассмотрения случай,
когда уравнение не имеет действительных решений.
Расшифруем «страшную» формулу в приведенном выше
определении. Для этого рассмотрим примеры.

Пример:
2y 3x 4 0 — алгебраическая
кривая 1-го порядка.
Это прямая линия.

2y+3x+4=0

-5

Пример:
7x 2 6xy 10y 2 17x21y
31 0 — алгебраическая кривая
2-го порядка.
Это эллипс.

-5
y
4

7x +6xy+10y -17x-21y-31=0

Пример:
x65x4y2y66x56xy410y4
25x45 0 — алгебраическая
кривая 6-го порядка.
¾ Алгебраические линии первого порядка — это прямые (горизонтальные, наклонные, вертикальные).
¾ Алгебраические линии второго порядка — это окружность, эллипс, парабола, гипербола (и еще

-2

4 x

-2
y
x 6-5x4y2-y6-6x5+6xy 4+10y 4+25x-45=0

-5

210
линии, распадающиеся на две прямые). Эти кривые, получающиеся
при пересечении прямого кругового конуса плоскостями под разными
наклонами, были хорошо известны
математикам в Древней Греции.
Дело в том, что греческие математики интересовались построениями только с циркулем
и линейкой. При этом предполагалось, что речь идет об
идеальных инструментах, то есть:
• Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины.
• Циркуль может иметь какой угодно большой или малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).
Используя эти инструменты, они научились выполнять
чисто геометрически все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Кроме того, они
нашли чисто геометрическую процедуру для извлечения
квадратного корня.
Но были три задачи (об удвоении куба, квадратуре круга и трисекции угла), которые не удавалось решить никакими хитроумными способами.
• Первая задача предполагала возможность построения ребра куба, объем которого вдвое больше объема
заданного куба. Это знаменитая Делосская задача. Свое
название она получила от острова Делос в Эгейском море.
По легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул
повелел удвоить алтарь, имеющий форму куба.
Пусть a — ребро исходного куба, тогда его объем V a3.
Пусть x — длина стороны вдвое большего куба. Тогда получаем соотношение x3 2a3. Это кубическое уравнение.
Только в 1837 году французский математик П. Ванцель доказал, что найти решение этого уравнения геометрическим
построением невозможно.

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

211

• Квадратура круга — задача построения квадрата,
равного по площади данному кругу.
Пусть R — радиус круга. Тогда его площадь: SR2. Площадь квадрата со стороной x равна x2, поэтому получаем
SR. Греки были искусными
равенство x2 SR2. Отсюда x
математиками. Но точное построение числа S оказалось
невозможным. Это было доказано в 1882 году немецким
математиком Карлом Линдеманом.
• Трисекция угла — это задача построения лучей, делящих произвольный заданный угол на три равные части. Уже упомянутый нами П. Ванцель доказал, что трисекция угла D разрешима только тогда, когда уравнение
x33x2cosD 0 разрешимо с использованием квадратных корней.
Примечание. cosD (косинус угла D) — это отношение
AC
в прямоугольном треугольнике ABC.
AB

D
C

Античным математикам стало ясно, что получить решение этих трех задач построением прямых и окружностей
не удастся. Тогда они попробовали добиться успеха, определяя точки пересечения кривых. И выбор пал на конические сечения (парабола, гипербола и эллипс). Свойства
этих кривых изучали многие ученые, в числе которых были
Архимед и Евклид. Однако наиболее важные результаты
получил Аполлоний Пергский в III веке до н. э. Он же ввел
их современные названия.
Читателям, заинтересовавшимся этими задачами и желающим узнать больше, можно порекомендовать книгу
Прасолова В. В. «Три классические задачи на построение»,
М., Наука, 1992 г.

212
Об оптических свойствах
параболы и эллипса

Ось

Кроме того, греческих математиков заинтересовали физические свойства, присущие параболе и эллипсу. Им было
известно, что угол, под которым световой луч падает на зеркальную поверхность равен углу, под которым он от нее
отражается. Следствием этого является то, что лучи, падающие на внутреннюю поверхность параболы параллельно ее
оси, собираются в одной точке — фокусе параболы. В результате этого температура в фокусе резко повышается.
До нашего времени дошла легенда о том, что в 212 году
до н. э. во время штурма римлянами Сиракуз Архимед придумал, как сжечь римские корабли. Согласно этой легенде,
Архимед распорядился отполировать до зеркального блеска щиты, и велел воинам со щитами распределиться по
дуге в форме параболы. День был солнечный и световые
лучи сфокусировались на одном из кораблей, который находился на расстоянии 300 локтей (то есть 150 метров).
И корабль удалось поджечь!
В 2005 году группа исследователей из Массачусетского технологического института попробовали на практике
проверить, возможно ли это. И им удалось с помощью
большого количества расположенных по параболе зеркал поджечь небольшую модель корабля на расстоянии 50
метров. Вместе с тем, были повторы эксперимента в 2006
и в 2010 годах, которые закончились неудачно. Поэтому
большинство исследователей считают, что если греки и предпринимали
такую попытку, то эффект был скорее ослепляющим.
Если вращать параболу вокруг
оси, то получится тело, которое называется параболоидом. Каждое
его сечение, параллельное оси вращения, является параболой.
фокус

213

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

Параболические зеркала используют для зажигания
олимпийского факела, причем для этого требуется всего
несколько секунд. На том же принципе (концентрации сигнала) устроены параболические антенны и рефлекторы.

Форму параболоида также принимает жидкость в стакане после того, как ее «раскрутили» ложкой.
Если поместить источник света в фокусе параболы, то
получится «эффект наоборот». Лучи
от источника после отражения от параболы будут распространяться параллельно ее оси. Именно так устроены мощные прожектора.
Оптические свойства эллипса естественным образом связаны с математическим определением этой кривой.
Эллипсом называется множество всех точек на
плоскости, для которых сумма расстояний до двух
фиксированных точек F1 и F2 есть заданная постоянная величина.
Определение эллипса дает
следующий способ его построения. Фиксируем на плоскости
две точки F1 и F2. Пусть расстояние между ними равно 2c. Представим себе нерастяжимую нить
длиной 2a, так что a !c. Путь эта
нить закреплена в точках F1 и F2,

y
n

-5

F2 5

214
например, с помощью двух гвоздей. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом. Ясно,
что a !c !0.
Фиксированные точки F1 и F2 называются фокусами, расстояние 2c между ними — фокальным расстоянием.
Для любой точки М и касательной, проведенной к эллипсу в точке M углы между F1 M и касательной и F2 M и
касательной равны.
Это свойство имеет наглядный физический смысл.
Если в фокусе F1 расположить источник света, то луч,
выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса
пойдет по прямой F2 M и пройдет через фокус F2. (То есть,
если поместить в точку F1 лампу, то будет полная иллюзия, что такая же лампа находится и в точке F2). Часто это
свойство называют фокальным свойством.
Фокальное свойство лежит в основе акустического
эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму. Если находиться в одном из фокусов, то
речь человека, стоящего далеко в другом фокусе, слышна
так хорошо, как будто он находится рядом. Это свойство
используют архитекторы для создания звуковых эффектов
(«мистического» шепота).
Фигура, получаемая при вращении эллипса в пространстве относительно одной из его главных осей, называется
эллипсоидом вращения.

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

215

Еще в конце XVII века было установлено, что Земля не
имеет точной сферической формы и скорее напоминает
эллипсоид вращения (сплюснута у полюсов из-за центробежной силы). Сложность реальной формы Земли приходится учитывать при точном позиционировании объектов
на ее поверхности системами GPS и ГЛОНАСС.
Эллипсоид вращения с успехом используется в строительстве (стальной купол над стадионом в Сан-Пауло (Бразилия), спортзал в г. Атланта (США), огромный эллиптический купол храма св. Девы Марии в Викофорте, недалеко
от Турина (Италия).
Невозможно не сказать еще об одном физическом
свойстве эллипса. В соответствии с первым законом Кеплера все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.
¾ Первая полная классификация кривых третьего порядка была выполнена Ньютоном в 1704 году. После этого стало возможным систематическое исследование этих
кривых.
Некоторые, наиболее известные специальные виды
кривых третьего порядка.
Циссоида Диокла
Диокл (около 240 г. до н. э. — около 180 г. до н. э.)
родился на греческом острове Каристос. О его жизни мало
что известно. Сохранились лишь фрагменты его математических работ. Считается, что Диокл первым доказал фокусное свойство параболы. Но наиболее часто его имя связывают с геометрической кривой, называемой циссоидой
Диокла. Он пытался использовать эту кривую для решения
задачи удвоения куба.
Поясним, как строится циссоида Диокла.
Построим окружность диаметром 2a (см. рисунок).
OP PT a. Построим вертикальную прямую, проходящую
через точку Т. Построим некоторый отрезок ОM. Он пересекает окружность в точке B. Отложим на ОM от точки
•

216
О отрезок ОA BM. Полученная таким образом точка A принадлежит
циссоиде. Аналогично строятся
и другие точки циссоиды.
P
В прямоугольной декартовой
системе координат уравнение циссоиды Диокла имеет вид:
(x2y2)x 2ay2,
где 2а — диаметр окружности.
Древние рассматривали только часть циссоиды, заключенную внутри окружности; эта часть ее вместе с дугой окружности напоминает лист плюща. По-гречески
χισσοιδεζ от χισσος — плющ, ειδος — вид, форма.
Примерно в 1640 году французский математик Роберваль заметил, что циссоида неограниченно продолжается
и за пределы окружности.
Интересно, что площадь между циссоидой и касательной к окружности, проходящей через точку Т равна трем
площадям круга радиуса ОР.
10

-5

Строфоида
Поясним, как строится строфоида.
Выбирается некоторое положительное значение постоянной а. На
рисунке a OA 4. Из точки A проm
D
C
водится луч m, который пересекает
B
ось ординат в точке C. На этом луче
A
по обе стороны от точки C откладываются отрезки CB и CD, равные CО
(расстоянию от точки C до начала
координат). Точки B и D принадлежат строфоиде. Аналогично строятся и другие точки строфоиды. В прямоугольной декартовой системе координат уравнение строфоиды имеет вид:
y2(xa)x2(x a) 0, где а — расстояние AО.
•

-5

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

217

Вертикальная линия, к которой приближаются уходящие вверх и вниз ветви строфоиды, находится на расстоянии ОA от начала координат.
Интересно, что площадь петли строфоиды слева от оси
§ S·
ординат равна a2 ¨ 2 ¸ , а площадь между строфоидой
2¹
©
и вертикальной линией (асимптотой) справа от оси орди§ S·
нат равна a2 ¨ 2 ¸ .
2¹
©
Строфоиду впервые в 1645 году изучал уже упомянутый
нами французский математик Роберваль. На самом деле
эта фамилия — его псевдоним, взятый им по названию
деревни, в которой он родился. Его настоящая фамилия —
Персонье. Интересно, что у него не было систематического
образования, и все математические знания он приобрел
самостоятельными занятиями. В его трудах эта линия называлась птероида от греческого Sτερον — «крыло». Современное название этой линии, строфоида, происходит
от греческого слова στροMη — «поворот», а предложил его
другой французский математик — Миди — в 1849 году.
Роберваль был не только математиком, но и искусным
механиком. Он изобрел чашечные весы, которые уравновешивались равными весами грузов вне зависимости от
смещения грузов по площади чашек. Такие весы еще сравнительно недавно можно было увидеть на всех рынках.
Роберваль жил в одно время с Декартом, но известно,
что они расходились в оценках используемых научных методов и часто критиковали друг друга.
Примечание. Упомянутый выше математик Е. Миди
(E. Midy) доказал в 1836 году любопытную теорему. Окаa
зывается, что если в десятичной записи дроби , (где
p
р — простое число) длина записи периода дроби состоит
из четного количества цифр, то сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей
цифры во второй половине равна 9. Приведем пример:

218
1
23
0.04347826086956521739130434782608695652173913…
= 0,(0434782608695652173913)
В периоде — 22 цифры. Первые 11 цифр: 04347826086.
Вторые 11 цифр: 95652173913.
04347826086
95652173913
__________________
Сумма: 99999999999
Трисектриса.
В 1742 году шотландский математик Колин Маклорен
исследовал кривую, известную теперь как трисектриса
Маклорена. С помощью этой кривой он пытался решить
одну из геометрических проблем древности: трисекцию
произвольного угла. Математики Древней Греции искали
способ, с помощью которого можно циркулем и линейкой
(без делений) разделить любой угол на три равные части.
Только в 1835 году Ванцель доказал, что это невозможно.
Трисектриса помогает это сделать, но, к сожалению, ее
саму нельзя построить циркулем и линейкой.
В прямоугольной декартовой системе координат уравнение трисектрисы имеет вид:
2x (x2y2 ) a (3x22y2), где а — расстояние AО.
3
a.
На рисунке a AO 4. OB
2
10
Вертикальная прямая, показанная
a
5
пунктиром (асимптота): x .
2
C
Трисектриса обладает следуA 5 B
-10
-5
0
10
ющим замечательным свойством.
Соединим точку C на этой кривой
-5
отрезками с точками A и О. Тогда
•

M
3

если CAB M, то COB

M
3

-10

219

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

Колин Маклорен родился в Шотландии в 1698 году.
К тому времени, когда ему исполнилось десять лет, оба его
родителя умерли, и его воспитанием занялся дядя Дэниел
Маклорен. Колин отличался выдающимися способностями
и поступил в университет Глазго в возрасте 11 лет. Уже
в 14 лет он был удостоен степени магистра. В 1717 году
(в 19 лет!) занял по конкурсу кафедру профессора математики в Абердине. В 1719 году он познакомился с Исааком Ньютоном, благодаря влиянию которого получил кафедру математики в Эдинбурге.
C
Примечание. Любопытное
E E E
свойство трисектрис углов треугольника в 1904 году неожиX
Z
данно обнаружил английский
математик Фрэнк Морли. Он доJ
D
Y
J
D
J
D
казал, что в любом треугольниA
B
ке точки пересечения смежных
трисектрис углов произвольного треугольника являются
вершинами равностороннего (правильного) треугольника.
(На рисунке треугольник XZY — равносторонний).
Верзиера (локон Аньези).
Эта плоская кривая линия
10
(ее уравнение в прямоугольA
m
ной системе координат имеет
3
a
B
) является геовид y
2
2
a x
-10
0
10
метрическим местом точек, построенных следующим образом.
Строится окружность диаме-10
a
§
·
тра а с центром в точке ¨ 0; ¸ .
2
©
¹
Проведем секущую OС, где точка С принадлежит окружности. Пусть L — это точка пересечения секущей с прямой
m, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку
A (0; a), а B — точка пересечения прямой, проходящей
•

220
через точку C параллельно оси OX, с осью ординат. Если
M — это точка пересечения прямой BC с прямой, проходящей через точку L параллельно оси OY (см. рисунок),
то локон Аньези — это геометрическое место всех точек
M, построенных таким образом. Локон Аньези бесконечно
простирается вдоль оси OX.
Именно этот способ построения этой кривой указала
итальянский математик Мария Аньези. Ее судьба была довольно необычной для женщин того времени.
Мария родилась в Милане в очень обеспеченной семье в 1718 году. Ее отец был профессором математики
в университете Болоньи. Благодаря ему преподаватели
университета обеспечили талантливой девочке хорошее
домашнее образование. Кроме родного итальянского она
свободно могла говорить на французском, немецком и испанском языках, читала на греческом и иврите. В доме ее
отца часто собирались сливки миланского культурного общества того времени: поэты, писатели, музыканты, философы и ученые. Проводились импровизированные концерты,
обсуждались новости культурной и общественной жизни.
Мария принимала активное участие в деятельности этого
своеобразного культурного салона.
Через некоторое время интерес Марии к светской жизни стал угасать, и она серьезно занялась математическими
исследованиями. В 1748 была издана объемная книга ее
исследований по алгебре и математическому анализу (два
тома более 1000 страниц). Она писала по-итальянски, а не
по-латыни, чтобы молодые люди могли понять ее объяснения. Второй том был переведен на французский язык
в 1749 году, а вся книга — на английский в 1801 году.
Папа Римский Бенедикт XIV поздравил Аньези с ее книгой, прислав золотую медаль и золотой венок, а позже
назначил Марию на кафедру математики и естественной
философии в Болонье. Аньези никогда не преподавала
там, но занимала эту должность в течение двух лет. Мария

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

221

была первой европейской женщиной, которая официально
считалась математиком.
Когда в 1752 году умер ее отец, Аньези сосредоточилась на образовании и воспитании своих многочисленных
братьев и сестер. Когда ее братья и сестры закончили учебу, она стала настоятелем дома престарелых и занялась
религиоведением и общественной работой. До своей кончины в 1799 году она патронировала работу Миланского
дома престарелых.
¾ Общая теория кривых четвертого порядка и вопросы
их классификации слабо развиты по сравнению с теорией
кривых 3-го порядка.
Одна из ранних попыток классификации этих кривых
связывается с именем английского математика Варинга
(1792), который разделил их на 12 классов, объединяющих
84551 кривых частного вида.
Рассмотрим лишь некоторые наиболее известные кривые.
Кардиоида.
Впервые эта кривая встре4
чается в трудах французского ученого Луи Карре еще
2
в 1705 году. Но современное
имя для кривой, форма кото- -6
-4
4
-2
0
2
рой похожа на схематическое
изображение сердца, впервые
-2
2
было дано итальянским математиком и астрономом Иоганном Кастильоном. Он был выходец из старинной дворянской семьи. В 1741 году он опубликовал две математические работы, написанные на латыни, в философских трудах Лондонского Королевского общества. В первой из них
он исследовал кардиоидную кривую. Известно также, что
он редактировал три тома работ Ньютона, которые были
впервые опубликованы в Лозанне и Женеве в 1744 году.
•

222
4 y
В декартовой системе координат уравнение кардиоиды
2
имеет вид:
(x2y22ax)2 4a2(x2y2).
На приведенном рисунке
x
-a
a
-2
2
0
2
a 1. Площадь кардиоиды рав- -44
на 6Sa2.
-2
2
Геометрически кардиоиду
можно определить, как след
точки на окружности, которая катится вокруг неподвижного круга такого же радиуса без скольжения. На рисунках центр неподвижного круга единичного радиуса имеет
координаты (1;0).
Длина кардиоиды равна 16a, что было доказано еще
одним французским математиком Ла Хиром в 1708 году
(на много раньше Кастильона). И поэтому он также имеет
основания считаться первооткрывателем этой кривой.

Лемниската Бернулли и овал Кассини.
В 1694 году швейцарский
4
математик Якоб Бернулли опубликовал статью, посвященную
2
теории приливов и отливов.
В этой статье он использовал
-2
0
2
4
в качестве вспомогательного -44
средства линию, которая зада-2
ется уравнением
(x2y2 )22c2 (x2y2 ) 0.
-4
Он отмечал сходство этой
линии с цифрой 8 и ленточной повязкой, которую он назвал латинским словом lemniscus («подвесная лента»).
Якоб Бернулли не знал, что кривая, которую он описывал,
была частным случаем овала Кассини, который был описан итальянским инженером и астрономом Кассини еще
в 1680 году и выражался более сложным уравнением:
(x2y2 )22c2 (x2y2 ) a4c4.
•

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

223

c
1 правая часть уравнения в прямоугольных
a
координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.
Не стоит удивляться неосведомленности Якоба. В то
время еще не существовали периодические научные журналы, а книги были малодоступны: издавались редко и малыми тиражами. Новыми результатами в основном обменивались в переписке.
Линии Кассини с геометрической точки зрения представляют собой геометрическое место точек M, для которых произведение MF1MF2 расстояний от концов данного
отрезка F1 F2 2c равно квадрату данного отрезка a, то есть
справедливо равенство MF1MF2 a2.
Поясним сказанное рисунком.
При

c=1
M

a = 1.5

a = 1.3

a = 1.1

0.8

-1

0.8

F2
1

-1

F1 и F2 — фокусы. Они неподвижны при заданном
значении с. В данном примере с 1, координаты фокусов F1(1;0) и F2(1;0). Для разных значений a равенство
MF1MF2 a2 дает разное геометрическое место точек ГМТ
(разные кривые на рисунке). При a !c ГМТ — это замкнутые кривые линии. При очень больших значениях a кривая
похожа на окружность радиуса a. Затем, при уменьшении
a, кривая сжимается и становится похожей на эллипс (например, a 1.5). При дальнейшем уменьшении значений
a кривая еще более сжимается (см. рис.) и при а с 1
превращается в подобие знака бесконечности. При даль-

224
нейшем уменьшении значений (ac) кривая распадается
на два овала, размеры которых постепенно уменьшаются.
Кассини полагал, что линия, носящая теперь его имя,
может точнее представить орбиту Земли, чем эллипс. Хотя
гипотеза Кассини и не оправдалась, но введенная им линия стала предметом многочисленных исследований.
Удивительно то, что тождественность (при а с) «восьмерки» Кассини и лемнискаты Бернулли была установлена
лишь в 1806 году. Лемниската обладает многими интересными математическими свойствами. Но мы лишь добавим,
что наиболее удаленные от начала координат точки лемнискаты имеют координаты c 2;0 и c 2;0 , а площадь
каждой петли лемнискаты равна c2.
¾ Кривые шестого и высших порядков исследованы
лишь по их отдельным представителям. Теорем общего
характера о таких кривых почти нет, и равным образом
не существует сколько-нибудь законченной их классификации. Приведем примеры некоторых алгебраических
кривых 6-го порядка.
Астроида.
Астроида — плоская кривая, являющаяся траекторией
точки, лежащей на окружности радиуса r, катящейся без
трения изнутри по неподвижной окружности радиуса R 4r
(см. рис.).
Уравнение астроиды в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:
(x2y2R2 )327R2 x2 y2 0.
Длина астроиды равна 6R; площадь S плоской фигу3 2
ры, ограниченной астроидой, равна S
SR (кв. ед.).
8
На рисунке R 4.
•

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

225

Целое семейство кривых,
включающее и астроиду, было
открыто датским астрономом
Ремером примерно в 1674 году.
К этому открытию его привел
поиск наилучшей формы зубьев
зубчатых колес. Кстати Ремер
был первым, кто сумел с помощью астрономических наблюдений измерить скорость света. Это было в 1676 году.
По его вычислениям, скорость света оказалась равна
230 000 км/с, что на 23,3% ниже современного значения
(c | 300 000 км/с).
По-гречески Dστρου — звезда, ειδοζ — вид, форма;
поэтому астроида — звездообразная. Такое название этой
кривой было предложено австрийским астрономом и математиком Йозефом фон Литровым в 1838 г. Его судьба
была длительное время связана с Россией. Он был директором Краковской обсерватории в 1809 году, когда Краков
был сначала занят русскими войсками, а потом присоединен к Варшавскому герцогству. В августе 1809 года Литров
в письме к главнокомандующему князю Голицыну выразил
желание перебраться в Российскую империю. В итоге он
был приглашен в недавно открытый Казанский университет и основал там обсерваторию, которая была в то время
самой восточной в Европе.
Математические свойства астроиды были впервые подробно исследованы Иоганном Бернулли в 1691–1692 годах. Ранее мы упомянули швейцарского математика Якоба
Бернулли. Иоганн — его брат. Он был десятым ребенком
Николая и Маргареты Бернулли и был моложе Якоба на
12 лет.
Родители Иоганна пытались уговорить его принять участие в семейном бизнесе — торговле пряностями. Иоганн
проработал в торговле примерно год (ему было тогда 15
лет). Но затем отцу Иоганна пришлось уступить желанию

226
сына и разрешить ему продолжить образование. Иоганн
поступил в Базельский университет.
В университете Иоганн изучал медицину, но одновременно изучал и математику под руководством своего брата
Якоба. В то время Якоб читал лекции по экспериментальной физике в Базельском университете. После двух лет
упорной учебы талантливый Иоганн практически догнал
своего брата в умении решать математические задачи.
• Розы Гранди и полярная система координат
Впервые исследованием этих красивых фигур занимался итальянский геометр Гвидо Гранди (1671–1742). Полная
теория этих кривых была изложена им в сочинении «Flores
geometrici ex rhodanearum et claelarum deskriptione
resultants», изданном в 1728 году. Об этом математике
мало упоминаний в литературе на русском языке. Слегка
восполним этот пробел.
Родителями Гвидо Гранди были Пьетро Гранди, золотых
дел мастер, и Катерина Легати. В семье Гвидо было много
выдающихся людей, возможно, самыми значительными
из которых были Лоренцо, дядя по материнской линии,
который был врачом и профессором греческого языка
в Болонском университете, а также писатель XVII века
Доменико Легати.
Гранди получил сначала домашнее образование, а затем продолжил обучение в иезуитском колледже в Кремоне. Там он изучал риторику, латынь и стихосложение.
Поэзии, особенно латинской, Гранди посвящал свободное
время на протяжении всей своей жизни. В курсах, которые изучал Гранди, не было математики. Позднее Гранди
учился в монастыре Сант-Аполлинаре где, будучи послушником, изучал философию, а также литературу и историю.
Он также изучал каноническое право в Риме.
Став преподавателем философии и теологии в монастыре Санта-Мария-дельи-Анджели во Флоренции, заинтересовался математикой. Он самостоятельно изучил труды
Евклида, Аполлония, Паппа и Архимеда. Во Флоренции он

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

227

встретился с Винченцо Вивиани1 и узнал от него об основных методах, используемых в классической геометрии.
Между 1699 и 1700 годами Гранди начал искать приложения математики к оптике, механике, астрономии. В эти
же годы, он начал преподавать математику.
Гранди предложили кафедру математики в Риме, но
великий герцог Козимо не хотел терять ставшего к тому
времени уже известным математика, и в мае 1700 года
он предложил Гранди должность профессора философии
в Пизе. Гранди предпочел поехать в Пизу, а не в Рим.
В Пизе он опубликовал работу, в которой он исследовал
свойство логарифмической кривой, предложенной Гюйгенсом.
В 1707 году он стал математиком Великого герцога Тосканы Козимо III де Медичи. Интересно, что в мае
1708 года Гранди послал работу по теории музыки Исааку
Ньютону, который опубликовал ее в трудах Лондонского
Королевского общества.
В 1709 году Гранди по предложению Ньютона был избран членом Королевского общества.
Гвидо, по-видимому, отличался бурным и сварливым
нравом, и почти всегда вовлекался в споры на различные
темы: геометрические, теологические, метафизические
или филологические.
Гранди много путешествовал, занимаясь практической
работой по гидравлике, и периодически бывал в Риме, где
консультировал папу Климента XII по вопросам календарной реформы. Он также занимался проектами, связанными
с написанием биографий религиозных деятелей.
1

Итальянский физик и математик, ученик Галилея и Торричелли,
составитель первой биографии Галилея. Исследовал кривую, впоследствии названную его именем. Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение
кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру
цилиндра.

228
Известно, что примерно с 1737 года он начал страдать
от потери памяти и понимая, что ему осталось не так уж
много времени, поспешил выпустить свои последние публикации. В мае 1742 года его физическое здоровье также
стало серьезной проблемой, и 26 июня он упал в обморок
в церкви, пристроенной к монастырю, в котором он жил.
Он умер примерно через неделю и был похоронен в монастырской церкви в гробнице с мраморным бюстом работы
скульптора Джованни Баратты и с надписью отца Форцони,
который был одним из учеников Гранди.
Одним из результатов, благодаря которому Гранди наиболее известен сегодня, является его определение кривой
родонеи. Родонея — это латинское название розы, и Гранди впервые определил эти кривые в декабре 1713 года
в письме, которое он написал Лейбницу. Он обнародовал
свои результаты по этим кривым только через десять лет
после этого, когда опубликовал статью «Горсть или букет
геометрических роз» в философских трудах Лондонского
Королевского общества.
Наиболее просто общее уравнение для роз Гранди записывается в полярных координатах в виде r a sinkM
(или r a coskM), где a и k — положительные числа.

О полярной системе координат
Кроме теперь уже привычной для нас прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются
и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего для этого применяются
полярные координаты.
В полярной системе координат положение любой точки
определяется радиусом r и углом M, образуемым радиусом
с горизонтальной осью. То есть, полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости
пару чисел (r; M). Точка О (см. рисунок) называется точкой
отсчета.

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

229

A(r; M)
r

M
Полярная ось

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение y k x определяет прямую линию, то это
же выражение, переписанное в форме r k M, уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах
образуются как след, оставляемый на плоскости точкой
A, перемещающейся при изменении r и M. Длина полярного радиуса может зависеть от величины угла, который
в данный момент времени он образует с полярной осью.
Координата M берется со знаком « », если угол от оси до
отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком
«–» в противоположном случае.
Зададим в уравнении r a sinkM некоторую фиксированную пару чисел a и k. Затем будем задавать различные
значения угла M и будем вычислять соответствующие значения радиуса r(M). Множество полученных в полярной
системе координат точек A(r; M) даст изображение одной
из многочисленных «роз Гранди». Например, при a 5 и
k 7 получается роза, изображенная на рисунке.

2π/3
π/

5 π/2

π/3
π

5π/6

π/6

7π/6
6

11π/6
1
4π/3

3π/2
5 3π

5π/3

230
Уравнения роз Гранди могут быть записаны и в декартовой системе координат. Но тогда формулы принимают
«устрашающий» вид. Приведем несколько примеров.
• Четырехлепестковая роза. В общем виде она записывается в виде: (x2y2 )3 4a2 x2 y2.
2

-2

r 5sin2M
(в полярной системе
координат)

(x2y2 )3 36 x2y2

Построение такой розы можно осуществить следующим
способом. Пусть отрезок длины 2a движется так, что его
концы все время находятся на координатных осях. Пусть
точка М — основание перпендикуляра, опущенного на этот
отрезок. Тогда траектория точки М как раз и описывает лепесток розы.
Для изображенной на рисунке розы a 3.
• Трех и пяти лепестковые розы Гранди.
Приведем их уравнения в декартовой системе координат:
(x2y2)3 3(3y(x2y2)4y3) и
(x2y2)3 3(5y(x2y2)220y3(x2y2 )16y5)
Отметим, что во всех случаях «цветок» располагается
внутри окружности радиуса a.
1
2

-1

1
-2

-1

-2

231

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

• Если роза задана приведенным ранее уравнением
r a sinkM, то при k ` число k определяет количество
лепестков. А именно:
– если k 1,3,5,7… то число лепестков равно значению k;
– если k 2,4,6,8… то число лепестков равно 2k.
m
! 1, где m и n взаимно
• Для дробного k вида k
n
простые, количество лепестков розы равно m, если оба
числа нечетные, и 2m, если хотя бы одно из них четно.

2π/3

2 π/2

π/3

5π/6

2π
2π/3
π//3
3
π/6

π
2

7π/6

4π/3

2 3π/2

π/6
/6
6

11π/6

π/3
/3

5π/6
5
5π
π
0

2 π/2

7π/6

5π/3

/2
2 3π/2

11π/6

1
4π/3
4π/
π/

§2 ·
2 sin ¨ M ¸ r
©5 ¹

5π/3
5π/
π/

§3 ·
2 sin ¨ M ¸
©5 ¹

• При иррациональном k !1 лепестков бесконечно
много.

2π/3

2 π/2

π/3

5π/6

π/6

2
7π/6

11π/6
4π/3

2 3π/2

5π/3

r 2sin(√3 M)
• С помощью подбора композиций функций вида
r a sinkM и r a coskM можно смоделировать форму ли-

232
стьев и цветков многих растений. В 1896 году немецкий
геометр Бодо Хабенихт (Habenicht) в своем сочинении
«Die analitische Form der Blätter» опубликовал результаты такой работы. Он привел целый ряд уравнений, которые с некоторым приближением аналитически выражают
очертания листьев и плодов многих растений: кувшинки,
трилистника, плюща, клена, настурции… Очертания листьев, выраженные в алгебраической форме, как правило,
представляют собой уравнения, порядок которых выше,
чем 6.
Трилистник
r 4(1cos3M)4sin23M

2π/3

5 π/2

π/3

5π/6

π/6

7π/6

11π/6
4π/3

5 3π/2

5π/3

Листья настурции
1
r 1 · cos M cos5M
8
2π/3

1 π/2

π/3

5π/6

π/6

1
7π/6

11π/6
4π/3

1 3π/2

5π/3

233

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

Для примера приведем уравнения, моделирующие формы листьев трилистника и настурции соответственно:
x2 y2

4· x 3 3 xy 2

· x2 y2

16· x 6 12 x 4 y 2 3 x 2 y 4 2 y 6
16· x 2 y 2

4· x 2 y 2

x 5 4 x 3 y 2 3 xy 4

Сравнивая записи уравнений в полярных и декартовых
координатах, нельзя не согласиться, что в данном случае
уравнения в полярных координатах выглядят компактнее
и красивее.
Отметим еще один любопытный факт, связанный
с научным творчеством Гвидо Гранди. Поскольку он жил
в одно время с Ньютоном и Лейбницем, то он также заинтересовался бесконечными суммами. В то время даже
столь выдающиеся математики, применявшие бесконечные ряды для решения практических задач, совершали
множество ошибок, предлагали неверные доказательства и приходили к неверным заключениям. Иногда они
в обоснование своих результатов приводили рассуждения, которые сейчас выглядят довольно забавно. Приведем один из таких результатов из небольшого сочинения
Гранди «Quadratura circuli et hyperbolae» («Квадратура
окружностей и гипербол») 1703 г. В этом сочинении рассматривался ряд вида:
1
1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 } (*)
1 x
Чтобы убедиться в справедливости приведенного равенства достаточно рассмотреть произведение:
(1x)(1x x2x3x4x5x6…)
(1x x2x3x4x5x6…)
(xx2x3x4x5x6…).

234
Очевидно, что после раскрытия скобок в правой части
уравнения будут уничтожаться все слагаемые, кроме единицы.
Для того чтобы получить точное значение величины
1
в правой части равенства (*) необходимо взять
1 x
бесконечное количество слагаемых, что, естественно, невозможно. Можно убедиться, что для x (1;1) значение
алгебраической суммы стремится (или, как часто говорят
1
в математике, «сходится») к точному значению
по
1 x
мере увеличения числа слагаемых. Правда, чем ближе мы
приближаемся к краям интервала (1;1), тем большее количество слагаемых надо взять, чтобы получить приемлемую точность. Приведенная ниже таблица иллюстрирует
справедливость этого, предполагая, что мы хотим получить
результат суммирования с точностью 1%. В таблицах n —
это число слагаемых.
x

0,25

0,5

0,75

0,95

1
1 x

4
5

2
3

4
7

20
39

–0,25

–0,5

–0,75

–0,95

1
1 x

4
3

При x 1 равенство (*) принимает вид:
1
1 1 1 1 1 1 1 }
11
Вопрос о том, чему равна сумма этого ряда, во времена
Ньютона и Лейбница порождал бесконечные споры. Если
этот ряд записать в виде (11)(11)(11)(11)
…, то становится ясно, что его сумма должна быть равна

ГЛАВА 26. Кривые (линии) на координатной плоскости

235

нулю. Но если этот же ряд записать как 1(11)(1
1)(11)(11)…, то столь же ясно, что сумма ряда
должна равняться единице. Гвидо Гранди в своем сочинении утверждал, что так как при x 1 левая часть уравнения
1
1
1
(*)
, то и сумма 1 1 1 1 1 1 1 }
. Но
2
1 x 2
одновременно он заявлял, что сумма того же ряда равна
1
нулю. По мнению Гранди, полученное равенство 0
до2
казывало божественное происхождение мира. То есть то,
что мир мог быть создан из ничего!
Такие парадоксы мучили математиков на протяжении
десятков лет, пока наконец в XIX веке не были введены
правила обращения с бесконечными суммами. В 1854 году
немецкий математик Бернхард Риман доказал, что некоторые бесконечные суммы не обладают коммутативностью.
То есть результат суммирования может меняться при перестановке слагаемых. Например, в ряде
§ 1· 1 § 1 · 1 § 1· 1
1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ } ,
© 2¹ 3 © 4 ¹ 5 © 6¹ 7
сумма которого равна 0,6931471…, слагаемые могут быть переставлены так, чтобы получился любой
желаемый результат. Именно поэтому выражение
1111111… не имеет никакого результата.
Другими словами, эта сумма на самом деле не существует.

Степени
с рациональным
и иррациональным
показателями

Глава 27

Nec plus ultra — дальше
некуда, крайняя степень.

Не случайно понятия корня n-ой степени и степеней
с рациональным и иррациональным показателями
изучаются обычно в 10 классе. Сложность связана
с нюансами понятия степени числа. Но нам необходимо в этом разобраться для полноценного понимания «Азбуки элементарных функций» (следующая
глава 28).
Сначала определим понятие корня n-ой степени
(n 2, 3, 4, 5, 6, 7…). (Ранее мы рассматривали лишь
квадратный корень, то есть случай n 2).
Корнем n-ой степени из числа a называется
такое число b, что bn a.
Обозначение: b n a . Если n 2, то записывается b
a — квадратный корень.
Примеры:
3
8 2, так как 23 8.
•

ГЛАВА 27. Степени с рациональным и ирр-ным показателями 237
5

243 3, так как (3)5 243.
• По определению, при n 2, 4, 6, 8 … и a t0 считают,
что n a t 0.
Это означает, что для четных показателей корня считают верным только 4 16 2, несмотря на то, что не только
24 16, но и (2)4 16
1 n
n
1 § n ·
n
Так как a
a u ¨ a ¸ a1 , то естественно считать,
1
© ¹
что n a a n .
Отсюда становится понятным, почему принято следующее определение рациональной степени числа:
•

a n n a m , где n 2, 3, 4 … При этом:
если a t0, то m ], m z0;
если a !0, то m ]
(математическая операция 00 и возведение нуля
в отрицательную степень не допускаются).
Объясним, почему в любом случае при рассмотрении
m

формулы a n n a m , исключаются значения a 0.
Мы помним, что, например, выражение 3 a определено
1

и для отрицательных чисел. Рассмотрим запись 3 a a 3 .
В случае, если a t 0 никаких проблем не возникает. Но
3

1
3

1. В то же время, если мы хотим пользо1 2
ваться тем, что
, то желательно, чтобы результаты
3 6 1
2
возведения в степень
и
были одинаковыми. Но, по
3
6
определению, 1

2
6

1. Таким образом, ради

того, чтобы иметь возможность возводить отрицательные
числа в степени с нечетными знаменателями, пришлось бы

238
отказаться от возможности сокращать дробь в показателе
степени!
1
Итак, выражения n a и a n при n 3, 5, 7… существенно различны:
n
a — определено для любых действительных зна•
чений числа a (при n 3, 5, 7…);
1

a n — определено лишь для любых a t 0.
В разделе 25 был приведен алгоритм извлечения квадратного корня. Аналогичный алгоритм существует и для
извлечения корня n-ой степени из числа A. В этом случае
порядок действий следующий:
• сделать начальное предположение a0;
•

1§
A ·
·¨ n 1 ·ak n 1 ¸ ; (*)
n©
ak ¹
• повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пример: Вычислить 5 17 с точностью до 0,01. (Ответ:
1,7623403478…)
• Пусть a0 2. Тогда, по формуле (*):
•

находить ak 1

•

1§
17 ·
·¨ 5 1 ·2 51 ¸
5©
2 ¹

1§
17 ·
·¨ 4·2 4 ¸
5©
2 ¹

29
1.8125;
16

§
·
§
1¨
29
17 ¸ 1 ¨ 29
17
a2
·¨ 5 1 ·
·¨ 4·
¸
5¨
16 (29 )51 ¸ 5 ¨ 16 (29 )4
16
16
©
¹
©
§
·
1 ¨ 29
17 ¸ 24967591
·¨
1,7650}
¸
5 ¨ 4 (29 )4 ¸ 14145620
16 ¹
©

·
¸
¸
¸
¹

Вычисление всего за два шага дает погрешность примерно 0,15%.

ГЛАВА 27. Степени с рациональным и ирр-ным показателями 239

Осталось разобраться со степенью с иррациональным
показателем степени.
На практике, когда приходится иметь дело, например, с
числом a 3 , то 3 заменяют близким к нему по значению
рациональным числом, отличающимся от 3 столь мало,
что замена 3 на это рациональное число не повлияет на
решение исходной практической задачи. Например, считаем, что 3 примерно 1,7320508075 — по недостатку и
1,7320508076 — по избытку. И процесс уточнения можно
продолжать сколь угодно. В пределе этот процесс поиска
значения a 3 сводится к поиску некоторого числа, которому соответствует единственная точка на числовой прямой. Это число и является значением степени с заданным
иррациональным показателем.
Нуль в положительной иррациональной степени D равен нулю: 0+ D 0.
Нуль в отрицательной иррациональной степени D не
определен.
Единица в любой иррациональной степени равна единице: 1D 1.

Азбука
элементарных
функций
В данном разделе и во всех последующих мы будем
говорить только о числовых функциях.
Напомним некоторые важные определения.
Соответствие, при котором некоторым из
элементов множества X сопоставляется единственный элемент из множества Y, называется
функцией (g) из множества X в множество Y.

Глава 28

Примечание. Обычно, для обозначения функции
используется запись y ƒ(x). Но вместо g могут использоваться и другие буквы.
Множество элементов x X, которым поставлены в соответствия какие-нибудь элементы
y Y, называется областью определения
функции.
Область определения функции обозначается D(g).
Множество элементов y Y, которые являются образами элементов x D(ƒ) называется
областью значений функции.

241

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

Область значений функции обозначается E(g).
Напомним также, что множество D(g) не обязательно
совпадает с множеством X, а может быть и его подмножеством. Аналогично, множество E(g) не обязательно
совпадает с множеством Y, а может быть и его подмножеством.
По сути дела, функцию g можно представить себе как
некий «черный ящик», который определенным образом
(не любым!) «перерабатывает» множество X (или его
часть) во множество Y (или его часть).

Способы задания функций
Следующий вопрос, на который мы должны ответить, каким
образом может быть задана функция g. Приведем основные
способы ее задания, а также соответствующие примеры.
¾ Табличный способ.

Пример:
x
y

1
3

2
1

3
4

4
1

5
5

6
9

7
2

8
6

9
5

10
3

Здесь x — порядковый номер цифры в записи числа S,
y — цифра, соответствующая данному порядковому номеру. S 3,14159265358979323846… Поскольку закон, по
которому можно определить каждую последующую цифру
числа S неизвестен, то никакого другого способа, кроме
табличного, предложить невозможно.
¾ Графический способ.
Функцию можно задать графически, отобразив множество точек ее графика на плоскости. Это могут быть показания, снятые с прибора, например с осциллографа.

242
Такое задание, как правило, не бывает точным, но во
многих случаях оно вполне приемлемо.
y = x sin(1/x)
0.05

-0.05
0 5

0.05
0
5

-0.05

¾ Аналитический способ.
В этом случае функция задается какой-нибудь формулой или совокупностью нескольких формул.
6 x x2
Пример: y
x2 3x 4
Пример: y

8 x 6 2 , если xd 6,
°° 2
® x 6 x 8 , если6x5,
°
3, если x t 5.
°̄

¾ Рекурсивный способ.
В этом случае одни значения функции определяются
через другие ее значения.
У нас уже был пример задания такой функции. Это
числа Фибоначчи. Последовательность этих чисел можно
рассматривать как функцию, определенную в нуле и на
множестве натуральных чисел. В общепринятых обозначениях:
F0 0, F1 1, Fn Fn–1Fn–2, n t2, n `
Еще один пример.
1
Пусть f x
. (Эта запись тождественна записи
1 x
y ƒ(x)). Надо записать функцию ƒ(ƒ(ƒ(x))).

243

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

Решение
f x

1
f f x
1 x

1
1 f x
1

f f f x
1

1
1 f x

1
1
1 x
1
1
1
1
1
1 x

x=2

x=-2

¾ Словесный способ.
Как ни удивительным это может показаться, но этот
способ тоже используется в математике. Приведем несколько примеров.
Пример: y — целая часть от x;
Пример: y — дробная часть от x;
Пример: y — порядковый номер простого числа x.
Все приведенные в предыдущем разделе алгебраические кривые (кроме прямой
5
линии и локона Аньези) не являются функциями, так как наруA
2
шается условие единственности
y для каждого x из области опре2
-2
0
5
деления. Например, для приве-2
B
денной на рисунке трисектрисы
значению абсциссы x 2 соот-5
ветствуют сразу два значения
ординаты: y 2 и y 2.
Перечислим функции, которые принято считать «основными элементарными».
¾ Линейная функция.
¾ Корень n-ой степени.
¾ Степенные функции.
¾ Показательные функции.
¾ Логарифмические функции.
¾ Тригонометрические функции.
¾ Обратные тригонометрические функции.

244
Если продолжать рассматривать математику как некоторый специфический язык, то элементарные функции можно отождествить со словами этого языка (или с элементами
конструктора ЛЕГО). Из таких функций пользуясь набором
математически обоснованных правил, можно как будто из
кубиков, создавать формульные «фразы» и «предложения», то есть конструкции, позволяющие находить решения
различных естественно-научных, экономических и многих
других задач. Причем за каждым таким словом и предложением стоит определенный геометрический образ.
Кроме написанных выше к элементарным функциям относятся и любые другие, которые можно получить из перечисленных с помощью конечного числа арифметических
действий (сложения, вычитания, умножения и деления).
При построении новых элементарных функций разрешается также использовать их композицию. (Оказываются, бывают не только музыкальные композиции, но и математические). В математике композиция функций — это
применение одной функции к результату другой.
Пусть имеется две функции: g(x) и f(x).
Для получения выражения композиции функций
надо подставить в выражение функции g(x) вместо
x выражение функции f(x).
Обозначение композиции: gDf.
Чтобы пояснить смысл сформулированного правила,
рассмотрим пример.

Пример:
Пусть даны функции f(x) x22x 3, g x

1
.
x 2

Для нахождения их композиции заменим в выражении
1
переменную x на x22x 3. В результате мы получаx 2
1
1
.
ем, что g D f x
2
2
( x 2 x 3) 2 x 2 x 5

245

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

Примечание. Следует заметить, что композиции gDf
и fDg — это совершенно разные вещи. В приведенном
2

§ 1 ·
§ 1 ·
примере: fDg ¨
¸ 2¨
¸ 3.
© x 2 ¹
© x 2 ¹
Рассмотрим отдельно свойства и графики каждой из
перечисленных элементарных функций.

Линейная функция
Это функция вида y kx b. Её гра5
фик — любая прямая линия на
y 2,7
плоскости (кроме вертикальной).
При k 0, получаем постоянную
0
5
функцию.
y 4,2
Постоянная функция — это
-5
функция вида y 0x b. Ее обычно
записывают в упрощенном виде:
y b. Область определения D(f) R (то есть x — любое
число). Здесь b — любое действительное число. Графиком этой функции является горизонтальная прямая. На
рисунке приведены две таких прямых: y 2.7 и y 4.2.

Корень n-ой степени
Графики имеют различный вид
в зависимости от четности натурального числа n.
• n 2, 4, 6, 8…
На рисунке приведены графики
функций
y
x , y 4 x , y 8 x.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени
при других значениях показателя.
Область определения:
D(f) >0;f).

2
x

4
8

246
Область значений:

E(f) >0;f).

n 3, 5, 7, 9 …
На рисунке приведены графики
функций
y 3 x , y 5 x , y 7 x.
Аналогичный вид имеют графики функций корень нечетной степени при других значениях показателя. D(f) (f;f), E(f) (f;f).
•

-2
7

x
7

5
7

-2

Степенная функция
К степенным функциям относятся функции вида y xD, где
D — любое действительное число, а область определения
D(f) и вид графика в значительной степени зависят от D.
Поэтому приходится рассматривать большое количество
частных случаев.
y
• При D 0 степенная функция
приобретает вид y x0 1. Так как
1
выражение 00 не определено, то
0,5
0
,5
областью определения в этом случае являются любые действитель--1
1 -0,5
-0
0,5
5 0
0,5
0
5 1 x
ные числа, кроме нуля. Это можно
кратко записать:
D(f) R\^0` или D(f) (f;0)(0;f). E(f) 1
Графиком такой функции является прямая y 1 с «выколотой» точкой (0;1).
• При D 1, 3, 5, 7… (целые положительные нечетные
значения). Как выглядят подобные графики показано на
рисунке.
y x — линейная функция, графиком которой является
прямая, проходящая через начало координат;
y x3 — кубическая парабола.

247

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

x
x
У всех этих функций:
D(f) (f;f) и E(f) (f;f).
• При D 2, 4 ,6 ,8 … (целые поx x
ложительные четные значения).
x
x
На рисунке показано, как выглядят подобные графики.
График функции y x2 — называx
x
ется параболой.
x x x
Ветви графиков симметричны x x x
относительно оси ординат.
У
всех
этих
функций:
D(f) >0;f) и E(f) >0;f).
• При D 1, 3, 5, 7… (цеx x
x
x
x
лые отрицательные нечетные значения).
Вид графиков при таких показателях степени показан на рисунке.
1
x
Функция вида y x−1 или y
x
x
x
называется обратной пропорциx
ональностью, график этой функ- x
x
ции — гипербола.
D(g) (f;0)(0;f),
E(g) (f;0)(0;f).
• При D 2, 4, 6, 8 … (цеx
x
x x
лые отрицательные четные значеx
ния).
Ветви графиков симметричны
x
относительно оси ординат.
x
x
x
D(g) (f;0)(0;f),
x
x
E(g) (0;f).
• 0D1
Рассмотрим степенную функцию y xD с рациональным
или иррациональным показателем D для случая 0D1.
5

-2

-1

-2

-1

x–5

–1

–5

–1

x–3

–5

-2

x–3

–1

-2

x–5

–6

–2

–6

–2

–4

–2

–6

-2

-1

–6

248
На рисунке приведены графики
9
2
1
2
,D
,D
,D
.
при D
10
3
7
5
D(g) >0;f), E(g) >0;f).
• D!1
На следующем рисунке приведены графики степенных функций,
7
5
,D
,
заданных формулами D
6
3
7
D
, D 2S.
3
При других значениях показате-

x 10
2

1
5

2
x7

x 5

x 10
0

x2S

5
x3

x2S

ля степени D!1 графики функции
y xD будут иметь схожий вид.
D(g) >0;f), E(g) >0;f).
• 1D0
x
Приведем примеры графиков
степенных функций:
0

7
8

1
2

1
6

x , y x , y x 1/ 10 , y x .
D(g) (0; f), E(g) (0; f).

5
3

25
8

x ,y x ,y x ,y x
.
D(g) (0; f), E(g) (0; f).

x 2

1
10

x 2 1
x 6

D1
Приведем примеры графиков
степенных функций:

7
8

x 8

•

7
6

x 6

x 37

x 3

x 8
1

x 6

x 8

x 37
0

Показательная функция
Показательной функцией называется функция
вида y ax, где a !0, az1, x R.

x 3

249

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

График показательной функции принимает различный
вид в зависимости от значения основания a.
1. Рассмотрим случай, когда основание показательной функции
принимает значение от нуля до единицы, то есть 0a1. Для примера
приведем графики показательной
1
2
,a
.
функции при a
2
3
D(g) (f; f), E(g) (0; f).
Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала
0a1.
2. Рассмотрим случай, когда осe
нование показательной функции
принимает значение от нуля до
единицы, то есть a !1.
Для примера приведем графики
e
показательных функций:
§2·
¨ ¸
© 3¹

§ 1·
¨ ¸
©2¹

§2·
¨ ¸
© 3¹

-5

§ 1·
¨ ¸
©2¹

§ 3·
¨ ¸
©2¹

§3·
y ¨ ¸ и y ex, где e |2,72
©2¹
D(g) (f; f), E(g) (0; f).
При других значениях основания, больших единицы,
графики показательной функции будут иметь схожий
вид.

Логарифмическая функция
Мы рассмотрели показательную функцию y ax. При вычислении ее значений мы задавали значение переменной
x и вычисляли значение y. Но очень часто на практике
нужно решать обратную задачу: по известному значению y
находить значение x. Для этой цели и приходится вводить
понятие логарифма.

250
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a !0, az1, называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы
получить число b.
Мы не будем здесь приводить все формулы преобразований с логарифмами. Они есть в любом учебнике.
Просто рассмотрим некоторые примеры, показывающие
полезность этого понятия.
Логарифм — это число, которое иногда найти очень легко, а иногда совсем непросто. Рассмотрим пример: 2x 32.
1
. Легко сообра81
зить, что в этом случае x 4. Здесь значения логарифма —
целые числа. Теперь рассмотрим уравнение 2x 7. С одной
стороны, не возникает сомнений, что такой показатель степени, который обеспечивает верное равенство, существует.
Достаточно представить пересекающиеся в некоторой точке x непрерывные графики функций y 2x и y 7. В данном
случае x — действительное число. Но как же его записать?
Подобная ситуация уже была с квадратными уравнениями.
Например, корнями уравнения x2 3 являются иррациональные числа 3 и – 3 (приходится использовать знак
квадратного корня). Для записи решения уравнения 2x 7
также приходится использовать новый вид записи: x log27.
Записанное таким образом число и является решением. Так
же как и в случае корня существуют алгоритмы вычисления
любого количества знаков этого числа.
Теперь, имея эту запись и определение логарифма,
можно записать основное логарифмическое тождество:
aloga b b. Число a называется основанием логарифма.
Основание логарифмов может быть любым положительным числом не равным 1. Но некоторые числа в основании
логарифма являются (и этому есть причины) «любимыми»:
у физиков, химиков, биологов — число е, у программистов
Очевидно, что x 5. Второй пример: 3x

251

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

(в информатике) — число 2, у инженеров — число е |2,72
(подробнее об этом числе мы расскажем в следующем разделе) и число 10. У логарифмов по основаниям е и 10 —
собственное обозначение и собственное название:
loge x lnx — натуральный логарифм;
log10x lgx — десятичный логарифм
На рисунках приведены графики логарифмических
функций y loga x, которые принимают различный вид
в зависимости от значения основания а.
• На данном рисунке: 0 a 1.

-5

1
,
2
a 0,7. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут
иметь схожий вид.
D(g) (0;f), E(g) (f;f).
В качестве примера приведены графики при a

•

На нижнем рисунке: a !1.
5

252
В качестве примера приведены графики при a 1,7,
a e. При других значениях основания, превосходящих
единицу, графики логарифмической функции будут иметь
схожий вид.
D(g) (0;f), E(g) (f;f).
Графики показательных и логарифмических функций
отличаются перестановкой переменных x и y. Именно это
приводит к тому, что они обладают осевой симметрией,
причем осью симметрии служит прямая y x.

Тригонометрические функции
Как только речь заходит о любых колебательных процессах в технике или научных исследованиях возникает необходимость в использовании тригонометрических функций.
Со школьной скамьи мы знаем, что к таким функциям
относятся функции y sin(x), y cos(x), y tg(x) и y ctg(x).
Несколько ранее (лет 50–60 назад) наряду с этими функциями рассматривались y sec(x) и y cosec(x), но сейчас
они уже «вышли из моды» и в школьных учебниках отсутствуют.
Особенность тригонометрии в том, что введение в математику всего нескольких определений и понятий дало
возможность эффективно изучать и рассчитывать так присущие окружающему нас миру колебательные движения.
y
B

R=
C

A
x

0
III

IV
D

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

253

Прежде всего вводится понятие тригонометрической
(или единичной) окружности. Радиус этой окружности равен единице. Оси координат разбивают ее на 4 четверти
(их часто называют квадрантами). Их очередность показана на рисунке.
При перемещении точки по окружности радиус, проведенный в эту точку, образует определенный угол с положительным направлением оси ОХ. Договорились, что положительные углы отсчитываются против часовой стрелки,
а отрицательные — по часовой стрелке.
Углы измеряются либо в градусах, либо в радианах.
При градусном измерении вся окружность делится на
1
360 равных частей, и угол, соответствующий
части
360
окружности, называется углом в 1 градус (1q).
1
часть градуса называется угловой минутой.
60
1
часть угловой минуты называется угловой секундой.
60
При измерении углов в радианах окружность делится не на некоторое произвольно выбранное число частей
(например, 360), а выбран критерий, непосредственно
следующий из свойств самой окружности. Известно, что
связь длины окружности С и радиуса окружности R задаC
2S , то есть,
ется формулой C 2SR. Отсюда следует
R
если «откладывать» радиус окружности по ее дуге, то он
«уложится» 2S раз. Причем указанное свойство будет выполняться для окружности любого радиуса.
Установим связь между двумя единицами измерения:
градусами и радианами. Естественно, что 360q 2S радиан. Приведем рисунок окружности с указанием на ней
углов в градусах и радианах.

254

У любой точки A на единичной окружности имеются
координаты (Ax; Ay).
Число Ay называется синусом угла D.
Число Ax называется косинусом угла D.
A
Число, равное отношению y , называется тангенAx
сом угла D.
A
Число, равное отношению x , называется котанAy
генсом угла D.
Обозначения: sin(a), cos(a), tg(a), ctg(a).
Из понятия тригонометрического круга и приведенных
определений следуют многочисленные следствия и формулы. Например, знаки тригонометрических функций по
координатным четвертям, пределы изменения и т. д. Мы не
будем здесь приводить все эти формулы. Они есть в учебниках и справочниках.

255

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

Зависимость между углами и значениями тригонометрических функций носит периодический характер. Именно эта особенность и делает их удобными при описании
колебательных процессов.

Графики тригонометрических
функций
На рисунках приведены графики функций
y sin(x), y cos(x), y tg(x), y ctg(x).
y = cos(x)

y = sin(x)
1

-225

225

450

--225

D(g) (f;f), E(g) >1;1@.

D(g) (f;f), E(g) >1;1@.
y = ctg(x)

y = tg(x)
1

450
0

-1

-225

225

450

-1

D(g) \\^9001800n`, где n ],
E(g) (f;f).

--225

225

450
0

--1

D(g) \\^1800 n`, где n ],
E(g) (f;f).

256
Примечания.
• Нельзя забывать, что функция y tg(x) определена во
всех точках, кроме точек, где cos(x) 0.
• Нельзя забывать, что функция y ctg(x) определена
во всех точках, кроме точек, где sin(x) 0.
На графиках по оси абсцисс отложены градусы.
Периодичность T синуса и косинуса: T 360q (или 2S).
Периодичность T тангенса и котангенса: T 1800 (или S).
Естественно возникает проблема подсчета значений
тригонометрических функций для разных значений углов.
Углы 0q, 30q, 45q, 60q, 90q называются основными. Ниже
приведена таблица значений тригонометрических функций
для этих углов. Процесс заполнения таблицы очень прост.
• При нулевом угле Ax
cos x 1; Ay sin x 0;
D

град.

0°

рад.

sin (D)

cos (α)

tg (α)

ctg (α)

–

30°
S
6

45°
S
4

60°
S
3

90°
S
2

1
2

2
2

3
2

3
2
3
3

2
2

1
2

–

3
3

sin x

cos x

tg x

Ax cos x
ctg x — не существует, т. к. деление на
Ay sin x
ноль запрещено.
• При угле 90q Ax
cos x 0; Ay sin x 1;

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

sin x

Ax cos x
ноль запрещено.

257

tg x — не существует, т. к. деление на

Ax
Ay

cos x
sin x

ctg x

В качестве примера, объясняющего заполнение остальных ячеек таблицы, найдем, например, sin 600 . Пусть угол
D в треугольнике MNO на рисунке равен 600 . OM 1 , так
как круг единичного радиуса. Угол MNO прямой, то есть
равен 900 . Значит, угол OMN 300 . Катет, лежащий напротив угла в 300 , равен половине гипотенузы. То есть
1
1
1
ON
·OM
·1
. По теореме Пифагора:
2
2
2
2
1 3
§1·
OM2 ON2 MN2 MN2 OM2 ON2 12 ¨ ¸ 1
.
2
4
4
© ¹
3
Поэтому MN M y sin 600
.
2
Для вычисления значений тригонометрических функций углов 1200, 1350, 1500, 1800, 2100, 2250, 2400, 2700, 3000,
3150 и 3300 достаточно внимательно следить за периодичностью функций и за изменением их знаков по четвертям.
В результате таблица примет вид:

258

Значения тригонометрических функций остальных
углов вычисляются либо с помощью тригонометрических
формул, либо численно (с помощью разложения в ряд).
При этом точные выражения могут оказаться весьма сложными. Например:
5 5
0
0
0
• cos18
5 2 5
sin 720
, tg 36 ctg54
2 2
0
sin690
• cos21
2·

3 1 ·

5 1 2·

3 1 · 5 5

16
•

2·

tg30

ctg 870

5 2 3·

5 3 2 3 ·

3·

5 1 2 · 5 2 5

Но, к сожалению, не для всех углов можно получить такие, хоть и громоздкие, но точные выражения. Например,
для угла 20q это сделать невозможно.
Кроме того, существуют таблицы Брадиса, где с точностью до четырех знаков после десятичной запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а
также четыре цифры приближенных значений тангенсов
и котангенсов острых углов, содержащих целое число гра-

259

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

дусов и целое число минут. Правда ими сейчас пользуются
мало, так как есть множество удобных для расчетов калькуляторов.

Обратные
тригонометрические функции
Прежде чем перейти к обратным тригонометрическим
функциям, рассмотрим очень важное понятие обратной
функции.

Пример 1.

1
x 1. Эта формула устанав2
ливает соответствие, по которому каждому значению x
сопоставляется некоторое значение y. Будем устанавливать соответствие в обратном порядке, то есть каждому y
будем устанавливать некоторое x. Для этого в уравнении
1
1
y
x 1 выразим x через y. Тогда: y
x 1 или
2
2
2 y x 2 или x 2 y 2 . Заменим обозначения: x на y
и y на x. В результате получим новую функцию y 2 x 2.
Функция y 2 x 2 является обратной по отношению к
1
x 1. Если по такому же принциисходной функции y
2
Пусть задана функция y

2x
-2

x+1
0,5

-2

260
пу построить обратную функцию к y 2 x 2, то получит1
1
x 1. Поэтому функции y
x 1 и
ся функция y
2
2
y 2 x 2 называются взаимно обратными.

Пример 2.
Пусть задана функция y x 2 . Попробуем (аналогично
примеру 1) установить обратное соответствие. Но для данной функции возникает проблема: каждому значению y0
(кроме y 0) соответствует сразу два значения на оси
абсцисс: x1 и x2 (см. рисунок).

Это означает, что построить обратную функцию можно
не для любой функции.
Если для функции y f x каждому значению
y E(g) соответствует единственное значение
x D(g), то для такой функции построить обратную
можно.
В противном случае обратное соответствие можно установить лишь для отдельных участков функции, на которых существует взаимно однозначное соответствие между
множествами x и y.

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

261

Ограничим область определения функции y x 2 . Пусть
D f >0; f . В этом случае построить обратную функцию возможно: y x 2 x 2 y x
yy
x.
2
То есть, при x >0; f функции y x и y
x взаимно обратны.

Отметим два важных свойства:
• Области D f и E f
взаимно обратных функций
меняются местами.
• Графики взаимно обратных функций симметричны
относительно прямой y x .
То есть все общие точки графиков взаимно обратных
функций лежат на прямой y x .
В качестве примера на рисунке приведены графики
взаимно обратных функций y 3 x и y x 3 .

262
Теперь понятно, что построение графика функции, обратной y sin x невозможно на всей ее области определения D f
f; f . Ведь каждому значению
y E f > 1;1@ соответствует бесконечное количество
значений углов x. То есть, необходимо выбрать часть графика y sin x , где существует взаимно однозначное
соответствие между множествами x и y. По общему соглашению в качестве промежутка для построения обратной
функции выбран промежуток x ª¬ 900 ; 900 º¼ или в раª S Sº
дианах x « ; » .
¬ 2 2¼
Функция, обратная к y sin x , называется арксинусом и обозначается y arcsin x .

Здесь x — теперь значения синуса и x > 1;1@ , y —
значения углов (в градусах или в радианах)
ª S Sº
и y ª¬ 900 ; 900 º¼ или y « ; » .
¬ 2 2¼
ª¬ 900 ; 900 º¼ .
D f > 1;1@ , E f

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

263

Для построения графика функции, обратной к y cos x
по общему соглашению выбран промежуток x ª¬00 ;1800 º¼
или в радианах x >0; S @ , где существует взаимно однозначное соответствие между множествами x и y.
Функция, обратная к y cos x , называется арккoсинусом и обозначается y arccos x .

Здесь x — теперь значения косинуса и x > 1;1@ , y —
значения углов (в градусах или в радианах) и y ª¬00 ;1800 º¼
или y >0; S@. D f

> 1;1@ ,

E f

0
0
¬ª0 ;180 º¼ .

Для построения графика функции, обратной к y tg x
по общему соглашению выбран промежуток
§ S S·
x 900 ; 900 или в радианах x ¨ ; ¸ ,
© 2 2¹
где существует взаимно однозначное соответствие между
множествами x и y.

264
Функция, обратная к y tg x , называется арктангенсом и обозначается y arctg x .

Здесь x — теперь значения тангенса и x f; f ,
y — значения углов (в градусах или в радианах) и
§ S S·
f; f ,
y 900 ; 900 или y ¨ ; ¸ . D f
© 2 2¹
0
0
E f
90 ; 90 .
Для построения графика функции, обратной к
y ctg x , по общему соглашению выбран промежуток
x (00 ;1800 ) или в радианах x (0; S), где существует взаимно однозначное соответствие между множествами x и y.
Функция, обратная к y ctg x , называется арккoтангенсом и обозначается y arcctg x .

265

ГЛАВА 28. Азбука элементарных функций

Здесь x — теперь значения котангенса и x f; f ,
y — значения углов (в градусах или в радианах) и
y 00 ;1800 или y 0; S .
D f
f; f , E f 00 ;1800 .
Как уже говорилось, из указанного выше набора элементарных функций с помощью арифметических операций
и композиций можно, как из кубиков, построить бесконечное количество других функций.
Пример:
«Сконструируем» функцию y
Решение
Введем обозначения:
f1 x 2 , f2 sin x , f3

x 4 , f4

x 2 sin 5 x 3

x4 1

3, f5

1, f6

f7 x , f8 x .
Тогда с помощью арифметических операций можно
«сконструировать» функцию
f9 f6 f8 f4 5 x 3 .
Затем с помощью композиций функций можно «сконструировать» функцию
f10 f7 D f2 D f9 .
3

И, наконец, опять же с помощью арифметических операций можем «построить» требуемую функцию:
3
2
f1 f10 x sin 5 x 3
.
f3 f5
x4 1
При желании можно записать требуемую функцию и
без промежуточных этапов:
3
f1 f7 D f2 D f6 f8 f4
x 2 sin 5 x 3
y
.
f3 f5
x4 1

266
1.5

0.5

-1

-0.5

0.5

--0.5

-1

На рисунке приведен график этой функции.
Кроме простоты и краткости математического языка,
важнейшим его преимуществом является универсальность. На это в начале ХХ века обращал внимание великий
французский математик Анри Пуанкаре, который в одной
из своих работ по психологии математического творчества
писал, что «математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Например, такие различные явления, как разряд конденсатора, радиоактивный
распад, понижение атмосферного давления с подъемом
над уровнем моря и многие другие описываются одинаковыми по характеру дифференциальными уравнениями.
Умение решать такие уравнения позволяет создать единую
математическую модель всех этих процессов. То же самое
можно сказать и о математическом описании колебательных процессов самого различного характера: маятника,
колебательного контура в электро- и радиотехнике, звуковых колебаний и т.д.

Использование
элементарных
функций. Число е
Использование показательных
и логарифмических функций

Глава 29

Приведем несколько задач, при решении которых
возникает потребность в использовании показательной функции.
История хранит легенду о двух торговцах (A и B),
заключивших соглашение. Первый торговец предложил каждый день в течение месяца давать второму
$10000 при условии, что второй (B) будет возвращать первому (A) в первый день 1 цент, во второй —
2 цента, в третий — 4 цента, в четвертый — 8 центов
и т.д.
Торговцу B такая сделка показалась чрезвычайно
выгодной, и он с радостью подписал этот контракт.
Рассмотрим результат такой сделки.
Доход (D) торговца (B):
D 10000·n , где n — количество дней.
Расход (R) торговца (B) за n дней:
R 0, 01 0, 02 0, 04 0, 08 } 0.01·2 n 1
0, 01· 1 2 4 8 } 2n 2 2n 1

268
Рассмотрим сумму лишь двух последних слагаемых при
n 25 :
R ! 0, 01·(2n 2 2n 1 ) 0,01∙ (223 224 ) | 251658
С другой стороны через 25 дней
D 10000·n 10000·25 250000.
На рисунке приведены графики роста доходов D и расходов R второго торговца. Из рисунка следует, что примерно через 25 дней его доходы и расходы уравняются.

200000

D 10 000 n

100000

R 0,01 (2n 1)
0

10
10

Ясно, что до конца месяца второй торговец будет полностью разорен.
Второй пример использования показательной функции — сложные проценты.
Когда проценты периодически добавляются к основной
сумме, а новая сумма используется как основная для следующего временного периода (капитализация процентов),
говорят о начислении сложных процентов.
Допустим, мы положили в банк Р0 рублей под j% годовых. Тогда:
Через 1 год мы можем снять со своего вклада
j%
j% ·
§
P1 P0 P0 ·
P0 ·¨ 1
¸ руб.
100
100
©
¹

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

269

Через 2 года мы можем снять со своего вклада
2
j% ·
j% ·
§
§
P2 P1 ·¨ 1
P
·
1

¸ 0¨
¸ руб.
© 100 ¹
© 100 ¹
………………………………………………………
Через n лет мы можем снять со своего вклада
n
j% ·
j% ·
§
§
Pn Pn 1 ·¨ 1
P
·
1

называется

В таком виде она может быть использована, если наращение процентов (капитализация) происходит 1 раз в год.
Если наращение процентов происходит m раз в год, то
формула сложных процентов принимает вид:
Pn

m· n

. (*)

Пример:
Рассчитать сумму погашения кредита, если выдана ссуда в размере 100000 руб. на срок 3 года при начислении
сложных процентов по ставке 12% годовых.
Решение
n
3
j% ·
12 ·
§
§
Pn P0 ·¨ 1

P
100000·
1

при расчетах в естественных, экономических и социологических науках. Именно поэтому оно представляет особый интерес.

Число e
Рассмотрим случай k 1. Составим таблицу значений выm
1·
§
ражения ¨ 1 ¸ при различных натуральных значе© m¹
ниях m.
m
1·
§
¨1 ¸
© m¹

1,0000

2,2500

2,4414

2,5658

2,6379

2,6770

128

256

512

1024

2,6973

2,7077

2,7130

2,7156

2,7170

Во второй строке указаны результаты с точностью до
0,0001.
Приведем соответствующий график. Число, к которому
стремится значение выражения при m o f называется
m
1·
§
число е. Записывается это так: e lim ¨ 1 ¸ .
m of
© m¹
Число е (так же как и число S) является трансцендентным. e 2,718281828459}
Так же как и число S, оно играет фундаментальную
роль не только в математике, но и в естественных, экономических и социальных науках.

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

271

y=e

e равен пре-

делу числового ряда
1 1 1
1
1
e 1 }
}
1! 2! 3!
n 1 ! n!
x
при n o f , а для e справедливо:
x x2 x 3
x n 1
xn
e x 1 }
}
n 1 ! n!
1! 2! 3!
Отсюда следует, что при малых значениях величины x
справедливо приближенное равенство e x | 1 x , где x
может быть любым действительным числом.
Приведем пример применения этого приближенного
равенства.
Пример: В курсе физики доказывается формула для
определения атмосферного давления на различных высотах над уровнем Земли. Эта формула (показательная функция) имеет вид: p h

p0 ·e

U0 · g · h
p0

. Здесь:

p0 — атмосферное давление на поверхности Земли;
U0 — плотность воздуха на уровне моря;
g — ускорение свободного падения.
После подстановки численных значений исходная формула приобретает вид: p h p0 ·e 0,12· h .

272
На поверхности Земли p0 = 1 (1 атмосфера). Поэтому
давление p h в атмосферах: p h e 0,12·h .
1

p(h) e 0,12h

0.5

Составим таблицу и построим соответствующий график.
x
P(h)

0
1,000

x
P(h)

6
0,487

1
0,887
7
0,432

2
0,787
8
0,383

3
0,698

9
0,340

10
0,301

4
0,619
11
0,267

5
0,549
12
0,237

Воспользуемся приближенной формулой e x | 1 x .
С ее учетом формула p h e 0,12·h приобретает вид:
p h | 1 0,12·h .
По этой формуле:
x
P(h)
%

0
1,000
0%

1
0,880
0,8%

2
0,760
3,5%

3
0,640
8,3%

4
0,520
16,0%

Очевидно, что приближенная формула при небольших
высотах дает очень хорошие результаты. На высотах, меньших 1,1 км, погрешность не превышает 1%.
Приведем еще один пример, иллюстрирующий использование показательной функции.

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

273

Пример:
Пусть в сосуде находится кусок радиоактивного вещества массой 60 грамм. Период полураспада 6 часов. Найти
график изменения массы вещества в течение 18 часов.
Решение

m(t ) 60 2

t
6

Приведем формулу, в соответствии с которой происходит изменение массы радиоактивного вещества:
m t

m0 ·2

t
T

60·2 6 .
t
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18

m(t)
60,00
47,62
37,80
30,00
23,81
18,90
15,00
11,91
9,45
7,50

Пример:
Вода в озере содержит примеси, которые уменьшают
проходимость света в воде. Эксперименты показали, что
при прохождении каждых 50 см воды интенсивность света

274
уменьшается на 5%. Измерительный прибор, фиксирующий количество света через каждые 50 см, начали опускать на дно озера. На какой глубине h прибор впервые
покажет отсутствие света, если он способен обнаруживать
0,12% дневного света.
Решение
Найдем интенсивность света E k в процентах на глубине h 50·k (см), k 1, 2, 3, 4 …
На глубине h 50 1 интенсивность света составляет
E 1 0,95·E 0 .
На глубине h 50·2 интенсивность света составляет
2
E 2 0,95·E 1
0,95 ·E 0 .
На глубине h 50·3 интенсивность света составляет
3
E 3 0,95·E 2
0,95 ·E 0 .
………………………………………………………
На глубине h 50· k 1 интенсивность света составk 1
ляет E k 1 0,95·E k 2
0,95 ·E 0 .
На глубине h 50· k интенсивность света составляет
k
E k 0,95·E k 1
0,95 ·E 0 .
Считая E 0

100% , получаем: E k

Так как по условию E k
или 0,95

0,95 · 100%.

0,12% , то 100· 0,95

0,12

0, 0012 .

Найти значение k можно, конечно, подбором с помощью калькулятора. Но мы воспользуемся логарифмами:
ln 0, 0012
k log0,95 0, 0012
131,12 . Следовательно, при
ln 0,95
k 131 прибор еще покажет наличие света, а при
k 132 — уже нет. Это значение k соответствует глубине
h 50·132 6600 см. Итак, искомая глубина равна 66 м.
Ответ: 66 м.

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

275

Примечание. Для преобразования
ln 0, 0012
log0,95 0, 0012
ln 0,95
мы воспользовались формулой перехода к новому осlogc b
. (Здесь мы не привонованию логарифма: loga b
logc a
дим доказательства этой формулы). В нашей задаче необходимо вычислить натуральные логарифмы. С этим
легко справляется любой калькулятор, но полезно ознакомиться с алгоритмом вычисления натурального логарифма. Мы приводили формулу для удобного вычисления
выражения ex:
x x2 x 3
x n 1
xn
e x 1 }
}
n 1 ! n!
1! 2! 3!
Аналогичное выражение (в виде суммы ряда) существует и для натурального логарифма:
x2 x 3 x 4
ln 1 x x }. (*)
2 3 4
С помощью этой формулы не сложно вычислить, например, ln0,95 :
ln(0,95) ln 1 0, 05 ln 1 0, 05
0, 05

0, 05
2

0, 05
3

0, 05
4

} | 0, 05129

(на компьютере: 0,05129329…).
Но подсчитывать ln 0, 0012 по этой формуле неудобно: ряд (как говорят в математике) слишком медленно
сходится: ln 0, 0012 ln 1 0,9988 . В этом легко убедиться, выписав несколько слагаемых ряда. Для вычисления натурального логарифма в таких случаях существуют
другие, несколько более сложные, но эффективные алгоритмы.

276
При x 1 формула (*) дает красивый, но малополезный результат:
1 1 1 1 1
ln 2 1 }
2 3 4 5 6
Вообще говоря, с числом е и натуральным логарифмом
связано большое количество математических фактов, которые не только важны теории чисел, но и используются
при расчетах в естественных науках. Приведем лишь некоторые из них.
1
Рассмотрим гиперболу y
. Ее положительная ветвь
x
представлена на рисунке.

S=1
0

e 3

Если мы на оси 0x отметим отрезок [1; e], то площадь
1
в точности равна 1.
S между осью 0x и кривой
x
Второй пример связан с понятием гармонического
ряда. Гармоническим рядом называется ряд вида
1 1 1
1
H 1; ; ; ;}; ;}
2 3 4
n
Члены гармонического ряда убывают и стремятся к
нулю. Однако удивительным образом частичные суммы членов ряда неограниченно(!) возрастают. Существует много

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

277

различных доказательств этого факта, но здесь приводится
то, которое обычно связывают с именем средневекового
французского философа и математика Николая Орема. Под
частичными суммами мы будем понимать суммы вида
1 3
1 11
S1 1, S2 S1
, S3 S2
и так далее.
2 2
3 6

Доказательство
Для доказательства неограниченности суммы членов
гармонического ряда сгруппируем слагаемые следующим
образом:
§1· §1 1 · §1 1 1 1·
Sf 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸
©2¹ ©3 4 ¹ ©5 6 7 8¹
§1 1 1 1 1 1 1 1 ·
¨ ¸ } !
© 9 10 11 12 13 14 15 16 ¹
§1· § 1 1 · §1 1 1 1·
!1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸
©2¹ © 4 4 ¹ ©8 8 8 8¹
§ 1 1 1 1 1 1 1 1 ·
¨ ¸ }
© 16 16 16 16 16 16 16 16 ¹
1 1 1 1
1 }
2 2 2 2
Последняя сумма, очевидно, не ограничена. В таком
случае, как говорят в математике, гармонический ряд расходится, что и требовалось доказать.
Мы доказали, что частичные суммы неограниченно возрастают. Однако этот рост происходит удивительно медленно. Например, S1000 | 7, 48, a S1000000 | 14, 39.
Леонарду Эйлеру пришла в голову мысль сравнить возрастание этого расходящегося ряда с ln n . Если провести
вычитание Sn ln n шаг за шагом, то мы получим результаты, приведенные в таблице:

278
n
Sn

ln n

1,5

1,8333 2,0833 2,2833 2,4500 2,5929 2,7179 2,8290

0 0,6931 1,0986 1,3863 1,6094 1,7918 1,9459 2,0794 2,1972

Sn ln n 1 0,8069 0,7347 0,6970 0,6739 0,6582 0,6470 0,6385 0,6318

Эта разность стабилизируется и в пределе дает постоянную величину: J — постоянная Эйлера. То есть
lim(Sn ln n ) J .
n of

J | 0,5772 . Сам Эйлер вычислил 19 знаков этого числа.
Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году
сумел найти 32 ее знака.
О константе J до сих пор мало что известно. Мы даже
не знаем, рациональное это число или иррациональное.
Нам известно только, что если оно окажется рациональным (что маловероятно), то его знаменатель будет состоять не менее, чем из 244 663 цифр десятичной системы
исчисления.
Константа Эйлера используется в математическом анализе, в квантовой механике и электродинамике.
Третий пример использования натурального логарифма связан с распределением простых чисел на числовой
прямой. Они по мере увеличения встречаются все реже
и реже.
Но закон, по которому они распределены, долгое время
оставался неизвестен. Среди первых 10 чисел — 4 простых, среди первых ста — 25, среди первой тысячи —168.
Видно, что доля простых чисел убывает. Это, в общем-то,
естественно: ведь чем больше число, тем больше у него
потенциальных делителей и тем меньше у него шансов
оказаться простым. Но с какой скоростью убывает эта
доля? Ответ на этот вопрос был получен в конце XIX в.
Значительный вклад в решение этой проблемы сделал
французский математик Адриен Мари Лежандр. Двухтомная «Теория чисел» Лежандра представляла собой самое
полное изложение теории чисел в свое время.

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

279

Обозначим через S(n) — число простых чисел, не превосходящих n. По всей видимости, Лежандр анализировал
S n
таблицу, подобную приведенной ниже. Отношение
n
назовем плотностью распределения простых чисел.
n
S(n)

S n
n

10
4

102
25

0,4 0,25

103 104
105
106
107
108
109
168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534
0,17 0,123 0,096 0,078

0,066

0,058

0,051

На основании табличных данных Лежандр подбирал
S n
функцию, мало отличающуюся от
. Такой функцией
n
1
оказалась функция
. Отсюда
ln n 1, 08366
n
.
ln n 1, 08366
Российский математик Пафнутий Чебышев нашел еще
одну уточняющую формулу. Он доказал, что при достаточно больших значениях n выполняются неравенства:
S n
0.92129
·ln n 1,10555 .
n
Позднее удалось несколько сузить это диапазон.
S n |

Наверно, будет интересно узнать, что существует еще
одна функция, дающая хорошее приближение к значению
S(n). Эта функция использует так называемый сдвинутый
интегральный логарифм Li(n). Интегральный логарифм
не относят к элементарным функциям. Его относят к другой группе, называемой специальные функции.
S(n) | Li(n). Для простых чисел, вычисленных до начала XX века, было известно, что функция Li(n) слегка превышает значения S(n). Математики тогда предполагали,
что так будет всегда. Однако в 1914 году английский мате-

280
матик Джон Литлвуд доказал, что, начиная с некоторого
огромного, числа Li(n) становятся слегка меньше, чем
S(n). В 1933 году Стенли Скьюз доказал, что это точно слу1034

чится при достижении n 1010 . Долгое время это число
(его до сих пор принято называть числом Скьюза) было
наибольшим числом, когда-либо используемым в серьезном математическом доказательстве. С тех пор исследования позволили уменьшить значение этого пограничного
числа до 10316.
В словаре «The Penguin Dictionary of Curious and
Interesting Numbers» Дэвид Уэллс рассказывает, об одном
способе, с помощью которого математику Харди удалось
осмыслить размер числа Скьюза:
«Харди думал, что это „самое большое число, когда-либо служившее математике”, и предположил, что
если играть в шахматы всеми частицами Вселенной как
фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами
двух частиц, то число всех возможных партий было бы
примерно равно числу Скьюза».

Использование
тригонометрических функций
Наиболее часто необходимость использования тригонометрических функций возникает при решении задач,
связанных с исследованиями периодических колебаний.
Например, в физике это могут быть механические колебания (маятники, звуковые колебания) или электромагнитные колебания.
Представим себе раскачивающуюся строго в вертикальной плоскости (подобно маятнику) воронку с проделанным в ее вершине отверстием, через которое тонкой
струйкой высыпается песок (см. рисунок). Пусть лента под
воронкой перемещается равномерно (то есть с постоянной скоростью). В этом случае мы увидим, что высыпаю-

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

281

амплитуда

100

120

140

160

180

-2

-4

-6

щийся песок «рисует» на ленте кривую линию, уравнение
которой соответствует функции «синус» (или «косинус»).
Такие колебания в физике называются гармоническими.
Обычно в физике их описывают уравнением
x t A sin Z t M0 . (*)
Чтобы лучше разобраться с обозначениями, принятыми
в уравнении (*), рассмотрим изображенный на следующем
рисунке график функции y 5 sin 3 x 300 . На графике
по оси 0x откладываются углы в градусах. Величина наибольшего отклонения кривой синуса от горизонтальной
оси называется амплитудой (A). Расстояние между соседними вершинами синусоиды называется периодом (Т).
В данном случае A 5, T 1200 . Угол M0 называется начальной фазой. Так как в физике все процессы протекают
во времени, то значение отклонения от положения равновесия (x) зависит от времени (t). При t 0 из уравнения (*) находим: x 0 A sin M0 — это величина отклонения от равновесия в нулевой момент времени (то есть в
тот момент времени, который мы выбрали за точку отсчета). Теперь выясним смысл числа Z . Для этого определим
два последовательных момента времени (t1 и t2), в которые
происходит наибольшее (максимальное) отклонение x маятника от положения равновесия. x t A , если синус
равен единице. В предыдущем разделе мы видели, что
sin 900 1, и далее это значение достигается через каж-

282
дые 3600. Так как в физике вместо градусов используют
радианы, то можно записать:
§S ·
§S
·
sin ¨ ¸ sin ¨ 2S n ¸ 1 .
2
2
© ¹
©
¹
Это означает, что в качестве двух последовательных
моментов времени t1 и t2 достижения максимального отS
и
клонения необходимо выбрать условия Z t1 M0
2
S
S M0
S 2S M0
Z t2 M0
2S. Отсюда t1
, t2
.
2
2Z Z
2Z Z Z
Так как расстояние между соседними вершинами синусоиды равно Т, то:
§ S 2S M0 · § S M0 · 2S
t2 t1 T ¨
¸¨
¸
.
© 2Z Z Z ¹ © 2Z Z ¹ Z
2S
2S
, откуда Z
. В физике Z — это угловая
Z
T
скорость. В международной системе единиц СИ ее размерТо есть T

ность

Если использовать операцию умножения показательной и тригонометрической функции, то можно получить
математическую модель затухающих колебаний. В качестве такого примера рассмотрим уравнение вида
x t A e D t sin Z t M0 .
S
Пусть, как и в предыдущем примере, A 5, Z 3, M0
6
(или 300). Коэффициент D
называется декрементом затухания.
Пусть D 0,25 . В этом
конкретном случае уравнение принимает вид
S·
§
x t 5 e 0,25t sin ¨ 3 t ¸ .
6¹
©
10
8
6
4
2
0

-2
2
--4
4
-6
-8

10
0

12
2

14
4

283

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

График соответствующего процесса приведен на рисунке на стр. 282.
Интересно, что при увеличении коэффициента, начиная
с некоторого значения D, процесс затухания перестает быть
колебательным и приобретает
(как говорят) асимптотический характер. Например, график процесса при D 3, 0
приобретает вид, показанный
на следующем рисунке справа.
3

-1

-2

Приведем разложения тригонометрических функций в
ряд. Согласитесь, что они весьма красивы.
sin x

x 3 x 5 x 7 x 9 x 11

}
3! 5! 7! 9! 11!

cos x 1
tgx

x 2 x 4 x 6 x 8 x 10

}
2! 4! 6! 8! 10!

1
2
17 7
62 9
x x 3 x5
x
x }
3
15
315
2835
ctgx

1 x x 3 2x5
x7

}
x 3 45 945 4725

Если в формулах для синуса и косинуса изменение
коэффициентов очевидно, то в формулах для тангенса и
котангенса коэффициенты меняются более сложным образом с использованием так называемых чисел Бернулли
и чисел Эйлера.
Используем приведенные формулы для вычисления
синуса угла в 1 радиан.
1800
| 57018'
1рад

284
В приведенных числовых рядах считается, что угол измеряется в радианах.
Чтобы оценить точность вычислений по формуле приведем значение sin1 с точностью до 0,00001: sin1 0, 84147}
sin1 | 1

x3
3!

13
1
1
1·2·3
6

5
| 0, 83333;
6

13
15
x 3 x5
1

3! 5!
1·2·3 1·2·3·4·5
1 1
101
1
| 0, 84167;
6 120 120

sin1 | 1

x 3 x5 x7
13
15
17

1
3! 5! 7!
1·2·3 1·2·3·4·5 1·2·3·4·5·6·7
1 1
1
4241

| 0, 84147.
1
6 120 5040 5040

Мы видим, что при взятии даже трех первых слагаемых результат получается довольно точный (погрешность
менее 0, 03%). Необходимая нам очень высокая точность
обеспечивается при взятии четырех первых слагаемых.
Естественно, точность вычисления при данном числе
слагаемых зависит от величины угла. С возрастанием углов
погрешность растет. Но даже для такого большого угла
(1 рад | 57018' ) , как мы видим, можно простыми средствами добиться очень хорошего результата. А для малых углов
приближенно справедливо выражение sin x | x , где угол
x выражен в радианах.
Рассмотрим практический пример использования тригонометрических функций.

Пример:
Космический аппарат вдоль прямой AС пролетает мимо
астероида вытянутой эллипсообразной формы (см. рис.).
На аппарате установлена камера для фотосъемки поверхности астероида. Угол, под которым камера «видит»

ГЛАВА 29. Использование элементарных функций. Число е

285

астероид, равен α. Он меняется по мере приближения
аппарата к астероиду и в некоторый момент времени достигает наибольшего значения, то есть D Dmax . Найдем
Dmax , если размер MN астероида равен 9 км, а расстояние
MС, на котором пролетает аппарат мимо астероида, равно
16 км.
Решение
Введем обозначения:
Угол NAC E, угол MAC J, NM H, MC h, AC x.
MC h
NM MC H h
Тогда tg E
. tg J
. Одна
AC x
AC
x
из формул тригонометрии имеет вид:
tg E tg J
.
tg E J
1 tg E ·tg J
Поэтому, так как D

E J , то

Hh h
H

x
x
x
tg D
Hh h
H h ·h
1
·
1
x x
x2
H
H
H
k
H h ·h
§ x
k
x
x
·
k

H h ·h .

·
¸
¹

k·
¸
x ¸
¹

x
2·
k

x
·
k

x
k

k
k

x
x

x
k

t 2.
x
k

k·
¸ t 0 , то
x ¸
¹

x
k

2 t 0 или
x
k

Равенство достигается лишь при
§ x
k·

x
k

k
x

1 . Итак,

При этом tg D
ного значения.

H
§ x
k·
k ·¨

¸
x ¹
© k

Получили, что tg D

H
2· k

max

достигает максималь-

H
2·

H h ·h

Пусть H 9 км, h 16 км. Тогда
tg D

9
max

9
2·5·4

9
.
40

2· 9 16 ·16
По таблицам или на калькуляторе можно определить,
что это соответствует Dmax | 120 41'.
Определим, на каком расстоянии угол будет равен
максимуму:
k
x

9 16 16 20 км.

Трансцендентные
плоские кривые

Глава 30

Уже во времена Декарта были известны плоские
кривые, которые нельзя было задать никаким алгебраическим уравнением.
Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин
и т.п.
Простейшими примерами трансцендентных кривых служат графики рассмотренных ранее функций:
логарифмической, показательной и тригонометрической.
Рассмотрим несколько других замечательных
представителей из бесконечного множества трансцендентных функций.

Циклоида
Свойства этой замечательной кривой были изучены
лишь в середине XVII века. Это тем более удивительно, что движение по такой траектории люди могли наблюдать более 5000 лет. То есть с тех времен,
когда было изобретено колесо. Если вбить гвоздь

288
в обод колеса и наблюдать за его перемещением при движении колеса по горизонтальной поверхности, то перемещение гвоздя в вертикальной плоскости будет происходить по траектории, показанной на рисунке.
Определение:
Циклоида — траектория точки, лежащей на окружности
круга, который без скольжения катится по прямой.
Пусть круг имеет радиус r.
Предположим, что в исходном 20
положении наблюдаемая точка находилась в начале коор- 10
динат. После того как круг поc
2r
вернулся на угол MCN (обозна10
20
30
чим его t), наблюдаемая точка 0 S
переместилась в точку M.
Выведем формулы, описы- -10
вающие циклоиду. Положение
наблюдаемой нами точки зависит от угла t поворота колеса. При этом удобно угол t измерять в радианах. Ранее мы
узнали, что полный оборот равен 3600 2S радиан и длина окружности C 2S r . Поэтому длину дуги MР можно
вычислить по формуле MP t ·r . Но длина дуги MР равна
расстоянию, на которое переместилась ось колеса (то есть
точка С). Поэтому:
OP PM t ·r . Теперь мы можем найти координаты точки M, то есть x OS и y MS .
x OS OP SP , y MS CP CN , OP длине
дуги
MP r ·t . Из прямоугольного треугольника CNM:
SP MN r ·sin t , CP r , CN r ·cos t . Поэтому уравнения циклоиды запишутся в виде:
M

° x r ·t r ·sin t ,
®
°̄ y r r ·cos t .
Такой вид уравнений в математике называется параметрическим.

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

289

Одним из первых, кто серьезно задумался о циклоиде
и дал современное название этой кривой («циклоида» —
от греческого слова, означающего кругообразный), был
Галилей. Он же сумел экспериментально доказать, что площадь под аркой циклоиды втрое больше площади порождающего ее круга, то есть равна 3S r 2 . В 1658 году английский математик и архитектор Кристофер Рен (автор проекта и руководитель строительства купола собора Святого
Петра в Лондоне) сумел определить длину арки циклоиды.
Она оказалась равной 8r.
Одно из замечательных свойств циклоиды связано с
решением задачи о наискорейшем спуске. То есть задача
о том, какую форму надо придать желобу, соединяющему
две точки в вертикальной плоскости, чтобы идеальный шарик скатился вниз от одной точки к другой за минимальное время (при этом считается, что трение равно нулю).
В июне 1696 года Иоганн Бернулли предложил известным математикам того времени найти математическое решение этой задачи и сформулировал ее в журнале Acta
Eruditorum следующим образом:
«Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим
математикам в мире. Ничто не является более привлекательным для умных людей, чем честная, сложная задача,
решение которой, возможно, дарует славу и останется
вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и
т.д., я надеюсь получить благодарность всего научного
сообщества, указывая лучшим математикам нашего времени проблему, на которой они смогут проверить свои
методы и силу своего интеллекта. Если кто-то представит мне решение предлагаемой задачи, я публично
объявлю его достойным похвалы».
Отдельным письмом условие задачи было прислано
Ньютону.
Современного читателя может удивить такой задиристый
тон послания. Однако его стиль был вполне в духе того времени, тем более что сам автор уже знал правильный ответ.

290
Справедливости ради стоит упомянуть, что впервые решение задачи получил не Иоганн, а его старший брат, Якоб.
Иоганну так понравилось решение задачи, что он решил
присвоить его себе. Правда, обман не удался, так как о решении задачи Якобом было уже известно Лейбницу.
Решения задач присылались в Базель, где жили братья Бернулли. После проверки пять правильных решений
были направлены в Лейпциг и были напечатаны в математическом журнале.
Интересно, что автор одной из статей не был указан.
Но, увидев красивое решение этой задачи, Иоганн Бернулли сразу угадал, что его прислал Ньютон: «Tanquam ex
ungue leonem» — «Узнаю льва по его когтям».
Об участии Исаака Ньютона (он в то время возглавлял Тауэрский монетный двор) в решении этой задачи
есть свидетельство его биографа, Кондуитта: «…В разгар
спешной большой перечеканки (монет) он не приходил домой из Тауэра до четырех часов (дня), очень устал, но не
лег спать, пока не решил задачу, что произошло в четыре
часа утра». Также Кондуитт отмечал, что эпизод с присланной задачей не понравился Ньютону и что он выказал
недовольство по этому поводу, сказав: «Не люблю, когда
иностранцы пристают ко мне с вещами, относящимися
к математике».
Примерно через 50 лет для решения задач, подобных
задаче о траектории наискорейшего спуска, Эйлером были
разработаны специальные математические методы, и появился новый раздел математики — вариационное исчисление.
Еще одно неожиданное и полезное свойство циклоиды обнаружил нидерландский механик, физик, математик,
астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс.
Христиан родился в Гааге в 1629 году. Его отец, Константин Гюйгенс, тайный советник принцев Оранских, был
замечательным литератором, получившим также хорошее

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

291

научное образование. Константин
был другом Декарта, и его философия оказала большое влияние не
только на отца, но и на молодого
Христиана Гюйгенса.
Гюйгенсу впервые удалось установить точные законы колебаний
математического маятника.
В физике под математическим
маятником понимают механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити, другой
конец которой закреплен (неподвижен). Впервые свойствами колебаний такого маятника заинтересовался Галилей. Одна из легенд гласит, что
он открыл регулярное движение маятника, наблюдая за
колебаниями большого светильника в Пизанском соборе. Проведя серию опытов, Галилей установил, что время,
за которое маятник совершает одно полное колебание в
обоих направлениях (т.е. период колебания Т), не зависит
от массы груза и пропорционально корню квадратному из
длины подвеса. Особенно важным оказалось то, что период Т не зависел также и от амплитуды — максимального отклонения маятника от положения равновесия. Это
означало, что все маятники одинаковой длины в любой
точке Земли будут колебаться с одинаковым периодом.
Это давало возможность использовать маятник для отсчета времени.
Исследования Гюйгенса показали, что выводы Галилея
правильны лишь для малых амплитуд колебаний маятника.
Он установил, что в этом случае период колебаний можно
L
вычислить по формуле: T 2S ·
, где L — длина подвеg
са, а g — ускорение свободного падения. Он также сумел

292
установить, что для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен. Но точность приведенной формулы вполне приемлема: при амплитуде колебаний до 23q погрешность
остается в пределах 1%. Тем не менее, для высокоточного
измерения времени этого было недостаточно. Гюйгенс попытался определить такую траекторию движения конца
маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Высокоточные часы (хронометры) были совершенно необходимы для определения долготы корабля во
время морских путешествий. Идея метода состояла в том,
что часы «запоминают» время в порту отплытия, а разность этого времени с местным временем на корабле пересчитывается в разность долгот. Важно было, чтобы часы
долго сохраняли правильный ход в условиях морской качки. Гюйгенс понимал, что для сохранения неизменности
периода колебаний при увеличении амплитуды необходимо уменьшать длину подвеса. Для этого гениальный изобретатель придумал корректирующие пластинки, форму
которых ему удалось рассчитать. Оказалось, что они должны иметь форму циклоиды!

Цепная линия
В 1634–1636 годах Галилео Галилей написал свой главный
труд по механике — «Беседы и математические доказательства двух новых наук». В этом труде, в частности, есть
такие строки: «Вобьем в стену два гвоздя на одинаковой
высоте над горизонтом и … между одним и другим гвоздем подвесим тонкую цепочку… Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы». Научный авторитет Галилея
был столь велик, что в течение длительного времени никто не подвергал это высказывание сомнению. Некоторое
сходство эта кривая имеет и с «опрокинутой» циклоидой,

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

293

которую поэтому тоже часто путали с цепной линией. Лишь в
1691 году, когда уже были разработаны основы математического анализа, три выдающихся
математика и физика Готфрид
Лейбниц, Христиан Гюйгенс и
Иоганн Бернулли практически
одновременно и независимо
друг от друга решили задачу «о цепной линии» и нашли
уравнение однородной цепи, подвешенной в двух точках,
расположенных на одинаковой высоте, и провисающей
благодаря силе тяжести. Эта функция оказалась не параболой. Цепная линия практически совпадает с параболой
вблизи своего минимума, но на больших расстояниях от
минимума она заметно от нее отличается.
Оказалось, что уравнение цепной линии, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая
нить или цепь с закрепленными концами имеет вид:
x
·
a § ax
a
y
·¨ e e ¸ (*)
2©
¹
Характер уравнения говорит о том, что это плоская
трансцендентная кривая. На рисунке приведен соответствующий график. График цепной линии симметричен относительно оси ординат. Это следует из того, что при замене в формуле (*) x на x вид ее правой части не
меняется. (В таком случае в маy
тематике принято говорить, что
8
b
b
A
B
исходная функция является чет6
ной). При x 0 ордината y a .
Если A и B — точки подвеса, то h
d
4
величина d называется стрелой
провисания, а величина 2b —
2
a
шириной пролета. Используя
формулу (*), Лейбниц, Гюйгенс и -4
-2
0
2
4 x

294
Бернулли нашли выражение для определения длины дуги
цепной линии L от ее вершины до точки подвеса. Оказалось, что оно имеет простой вид:
L

h2 a2

d a a2 . (**)

L2 d 2
.
2d
Отметим также, что при небольших провисаниях d для
приближенного расчета вместо формулы (*) можно ис§
x2 ·
пользовать параболу y a·¨ 1 2 ¸ .
© 2a ¹
Отсюда легко получить, что a

Сейчас формулы (*) и (**) могут вывести изучающие
математический анализ студенты университета. Но больше чем 300 лет назад это было сделано впервые. А быть
первым — всегда непросто!
Вопрос, связанный с близостью форм цепной линии
и параболы, неожиданно возник в одной из задач…ЕГЭ!
В задаче рассматривался изображенный на рисунке мост.
Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами, а мост — вантовым. В условии
задачи форма цепи задается уравнением параболы. У некоторых школьников математических классов возникло
сомнение в правильности постановки задачи. Ведь им на
уроках рассказывали о цепной линии и выписывали ее
уравнение. Но тем не менее авторы задачи были правы.
При учете веса подвешенной платформы цепь действительно практически точно принимает форму параболы!

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

295

Интересно, что через 50 с лишним лет после вывода уравнения (*),
в 1744 году, цепная линия возникла
в задаче, которую рассматривал Эйлер. Он искал проходящую через
две точки кривую, которая при вращении относительно оси ОХ образует
поверхность, имеющую наименьшую
площадь по сравнению с площадями
поверхностей вращения всех иных
кривых, проходящих через эти две
точки. Решение задачи неожиданно
показало, что искомой кривой является цепная линия! Получаемая поверхность была названа
катеноидом. Это слово образовано от латинского слова
catena (цепь) и греческого — éidos (вид).
Форму катеноида принимает мыльная пленка, натянутая
на две близкие проволочные окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
Цепная линия обладает еще одним любопытным свойством. Пусть имеется поверхность из перевернутых одинаковых фрагментов этой кривой (см. рис.). Представим
себе квадрат длина стороны которого равна длине фрагмента цепной линии. В этом случае при перекатывании
без скольжения квадрата по кривой его центр будет все
время находиться на одной и той же высоте. То есть он
будет перемещаться вдоль прямой ab. Другими словами,
если бы профиль шоссе представлял собой перевернутые
арки цепной линии, то по нему можно было бы ездить

296
на квадратных колесах без тряски в том случае, если сторона квадрата колеса равна длине арки!
На возможную ценность цепной линии для архитектуры обратили внимание очень давно. Сооружения арочного
типа настолько долговечны, что многие из них пережили
столетия и стоят со времен древнего Рима. Однако вопрос
о том, какой формы должна быть идеальная арка с математической точки зрения, был поставлен лишь в 1675 году.
Один из ведущих физиков того времени, Роберт Гук, дал
свой ответ на этот вопрос в виде анаграммы латинской
фразы: «Ut pendet continuum ﬂexile, sic stabit contiguum
rigidum inversum», или «Как висит гибкая линия, так и
перевернутая будет стоять жесткая дуга». То есть наиболее устойчивая отдельно стоящая арка должна иметь
форму перевернутой цепной линии. Вскоре после этого
архитекторы начали использовать цепные линии в работе.
Так по совету Гука его современник знаменитый английский архитектор Кристофер Рен спроектировал купол собора Святого Павла таким образом, что его центральное
сечение математически можно описать уравнением цепной линии. Было также обнаружено, что сводчатая крыша и контрфорсы капеллы Кингс-Колледжа в Кембридже
соответствуют формуле цепной линии.
Но было бы несправедливым не сказать, что еще задолго до этого, в XV веке, гениальный итальянский архитектор
и скульптор Филиппо Брунеллески спроектировал остроконечный восьмиугольный готический купол Флорентийского собора по принципу цепной линии.
Уже почти в наше время (в 1947 году) архитектор Ээро
Сааринен спроектировал известную под именем «Врата на
запад» (Gateway Arch) арку, которая ныне является визитной карточкой города Сент-Луиса в штате Миссури, в США.
Строительство этого необычного монумента в форме
цепной линии было начато в 1963 году и завершено через
два с половиной года. Ее высота в самой высокой точке —
192 метра, ширина ее основания также 192 метра. Внутри

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

297

арки сделан уникальный, единственный в своем роде, лифт, с
помощью которого посетители
мемориала могут подняться на
вершину арки.
Для относительно небольшой арки равномерная толщина
была бы вполне разумной, но для монументальной конструкции, предложенной Саариненом, это было бы почти
немыслимо как с эстетической, так и с конструктивной
точки зрения. Поэтому сооружение было рассчитано так,
чтобы поперечное сечение арки было наименьшим вблизи
вершины. И наоборот, самые близкие к земле части свода имеют наибольший вес для поддержки и, естественно,
имеют самый большой размер поперечного сечения.

Спиралевидные фигуры
В природе мы очень часто сталкиваемся с кривыми,
имеющими форму спирали. Под спиралью на плоскости
мы понимаем кривую, которая огибает фиксированную
центральную точку на постоянно увеличивающемся или
уменьшающемся расстоянии от этой точки.

298
Такое определение спирали, естественно, нельзя назвать математически строгим. Но оно помогает представить себе геометрический образ этой кривой.
Присутствие спиральных форм в окружающем нас мире
вполне привычно. Это и панцирь моллюска, и распределение лепестков в цветке… Многие галактики имеют спиральную форму. С другой стороны, если опуститься в микромир, то можно увидеть, что основа жизни — молекула
ДНК — тоже закручена в двойную спираль. Не случайно
Гете назвал спираль «кривой жизни».
Спиральные формы давно используются в искусстве,
дизайне, архитектуре. Их часто можно видеть в украшениях или при декоративном оформлении помещений, улиц,
витрин и различных предметов. Подтверждающий это значительный по объему иллюстративный материал можно
найти, например, в книге Н.Н. Александрова1.
Термин «спиральная композиция» используется и в
литературоведении. Например, таким образом В. Набоков определял временню последовательность, в которой
разворачиваются события в романе М. Лермонтова «Герой
нашего времени».
Далее, естественно, речь пойдет о спиралях как математических объектах, причем мы будем рассматривать только
спирали на плоскости. Мы остановимся на свойствах лишь
некоторых представителей семейства спиралей.

Архимедова спираль
Спираль Архимеда представляет собой траекторию точки,
равномерно движущейся по лучу n, который в то же время
равномерно вращается вокруг неподвижной точки О. Так
как точка из центра О движется равномерно, то
1

Н.Н. Александров. «Спиральные формы в искусстве, дизайне
и архитектуре» // Академия Тринитаризма. — М., Эл № 776567,
публ.17547, 22.06.2012.

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

299

AB BC CD DE. За время каждого полного оборота луча n (то
есть на 360q или 2Sрадиан)точка, движущаяся по лучу, проходит расстояние равное r a·2S ,
где a — коэффициент пропорциональности. Соответственно,
если текущий угол равен M радиан, то уравнение спирали Архимеда приобретает вид:
r a·M . Это уравнение в полярных координатах.
Построение кривой в полярных координатах осуществляется следующим образом:
Луч n с заданным шагом (например, 5q) поворачивается от начального (нулевого) положения против часовой
стрелки, и каждый раз на луче отмечается точка на расстоянии ri a·Mi , где Mi — текущий угол в радианах,
i 1,2, 3} — порядковые номера точек.
Все отложенные точки соединяются плавной линией.
На приведенном выше рисунке изображена спираль
Архимеда r 2·M .
При данном положении луча n расстояние вдоль этого
луча между точками на соседних витках (например, между
точками A и B) называется шагом спирали.
Отметим интересные свойства спирали Архимеда.
• Для любой спирали площадь заштрихованной фигуры
на рисунке составляет в точности 1/3 часть от площади
всего круга.
• Спираль состоит из бесконечного количества витков,
и чем дальше от центра, тем более витки спирали по форме приближаются к окружности.
Спираль Архимеда нашла практическое применение в технике. Вот
лишь некоторые примеры.
Распространенным техническим
устройством является винт Архиме-

300
да — механизм, исторически использовавшийся для передачи воды из низколежащих водоемов в оросительные
каналы. Он был одним из нескольких изобретений и открытий, традиционно приписываемых Архимеду.

Архимедов винт стал прообразом шнека («улитки») —
устройства, широко используемого в различных машинах
для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных
материалов.
По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка.
В некоторых механизмах (в частности, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно. Обеспечить это
можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда.
Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют
форму спирали Архимеда.

Логарифмическая спираль
Впервые описание этой кривой встречается у Декарта.
Известно о письме, которое он в 1638 году написал монаху Мерсенну о результатах своих исследований. Декарт
искал возрастающую кривую, обладающую следующим
свойством: касательная в любой точке этой кривой должна образовывать с проведенным в эту точку радиус-вектором один и тот же угол. Приведенный рисунок поясняет
сказанное: угол между радиус-вектором OP и касательной
PT равен углу между радиус-вектором OQ и касательной QТ.

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

301

Для большей наглядности представим, что точка
движется вдоль минутной
стрелки часов в направлении
от центра не с постоянной
(как в архимедовой спирали) скоростью, а с возрастающей. Причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов. Тогда
траектория движения точки будет задавать траекторию
логарифмической спирали.
Изучением свойств этой спирали занимался также
итальянский физик и математик, ученик Галилея, Эванджелста Торричелли. Но наиболее подробно ее изучил Якоб
Бернулли. Он установил и вид уравнения, описывающего
спираль, и обнаружил некоторые свойства кривой, которые остались незамеченными Декартом и Торричелли.
Оказалось, что она описывается уравнением: r a·e b·M .
Здесь a и b — некоторые положительные числа, а число
e — основание натуральных логарифмов. Параметр b
определяет угол T между радиус-вектором и касательной,
причем можно доказать, что b ctgT. Расстояние между
витками спирали растет с увеличением угла, т. е. радиусвектор увеличивается с увеличением угла поворота. Точки,
принадлежащие спирали неограниченно удаляются от ее
исходного полюса, при этом витки спирали закручиваются
против часовой стрелки. Точка начала координат спирали
не принадлежит.
Исключительно важную роль
логарифмическая спираль играет в морской навигации. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее
расстояние между двумя точками дает дуга проходящей через
центр Земли окружности. Но

302
чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный
курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. В этом
случае курс корабля оставался постоянным. Траектории
такого вида образуют на земной поверхности кривые,
которые называются локсодромами. Однако моряки не
работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы
на плоскость преобразует локсодрому на ней в логарифмическую спираль.
Показанная на рисунке ниже картографическая проекция была предложена голландским картографом Герардом Крамером (Меркатором) в 1569 г. В честь ее создателя
проекция получила название меркаторской. Поскольку
проекция Меркатора искажает масштаб на разных участках, то она не сохраняет площади. Наибольшие искажения
размеров объектов происходят в высоких широтах (у полюсов). Это хорошо заметно на картах в этой проекции:
на них, например, Гренландия кажется в 2–3 раза больше
Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В
реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз
меньше Южной Америки. Но зато локсодромы на такой
карте выглядели как прямые линии, и курс корабля было
легко прокладывать.
Было бы неправильным обойти вниманием знаменитую
разновидность логарифмической спирали — золотую
спираль. Так традиционно называют кривую, описывае2

мую уравнением r

r0 · Ф S , где M — полярный угол,

5 1
— золотое сечение (число Фидия). Название
2
этой спирали проистекает из ее связи с последовательностью вложенных друг в друга «золотых прямоугольников» с отношением сторон равным числу Фидия (Ф). Золотая спираль очень близка к спирали Фибоначчи
аФ

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

303

(см. главу 20, рис. 20.1), основой для построения которой
является соответствующий ряд чисел. Воспроизведем этот
рисунок еще раз. Длина стороны каждого квадратика на
рисунке равна числу Фибоначчи. Напомним первые числа
ряда: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Спираль состоит из
плавно переходящих друг в друга дуг четвертей окружностей, радиусы которых равны числам Фибоначчи.
На значительном расстоянии от начальной точки золотая спираль и спираль Фибоначчи становятся практически
неотличимымыми. То есть, как говорят в математике, спираль Фибоначчи асимптотически приближается к золотой
спирали. Подтвердим это геометрическими вычислениями

304
2

и вычислениями по формуле r r0 · Ф S , r0 1 . Будем
считать, что «*» — начальная точка, и что углы отсчитываются против часовой стрелки от оси Х. Вычисления будем
проводить до 3 знака после запятой. Учитываем, что для
вычисления радиус-вектора (rФ) для спирали Фибоначчи
достаточно использовать теорему Пифагора.
Номер
точки

Угол (q)

45q

Угол
(рад)

0 | 0,7845

Спираль
Фибонач- 1
чи (rФ)

135q
225q
315q
405q
arctg(1/2) arctg(1/4) arctg(1/6) arctg(2/9)
| 2,8209

| 4,1711

| 5,6220

| 7,2864

5|
| 2,236

17 |
| 4,123

37 |
| 6, 083

85 |
| 9,220

Золотая
спираль
(rz)

| 1,272

| 2,372

| 3,588

| 5,596

9,317

Отличие
(%)

21,4%

5,7%

14,9%

8,7%

1,0%

Номер
точки

495q
arctg(4/15)

585q
arctg(6/25)

675q
arctg(9/42)

765q
arctg(23/64)

Угол
(рад)

| 8, 8991

| 10, 4448

| 11,9912

| 13,6959

Спираль
Фибоначчи (rФ)

241 |
| 14,629

661 |
| 25,710

4625 |
| 68, 007

Золотая
спираль
(rz)

| 15,270

| 25,516

| 39, 370

| 66, 364

Отличие
( %)

4,2%

0,8%

4,1%

2,5%

Угол (0)

Формы, подобные логарифмической спирали, очень
распространены в природе. По логарифмическим спира-

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

305

лям закручены многие галактики, в частности Галактика,
которой принадлежит Солнечная система. Штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей. По логарифмической спирали формируется тело
циклона.
Очертания, выраженные этой спиралью, имеют раковины улиток и моллюсков. Зоологи объясняют это тем,
что раковины этих животных могут расти лишь в одном
направлении, и чтобы не слишком вытягиваться в длину,
им приходится скручиваться, причем каждый следующий
виток подобен предыдущему. Они также утверждают, что
хищные птицы кружат над добычей по логарифмической
спирали и что траектории насекомых, летящих на свет, также описывают логарифмическую спираль.
В технике часто используется свойство логарифмической спирали пересекать свои радиус-векторы под
постоянным углом. Например, при изготовлении вращающихся ножей. Дело в том, что сила, с которой ножи давят
на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е.
угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания
сохранял постоянное значение,
а это будет в том случае, если
лезвия ножей очерчены по дуге
логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от
обрабатываемого материала.
Совсем недавно математики обнаружили, что спираль
может использоваться для решения задач бизнеса. При
ее помощи анализируются ценовые данные по акциям и
товарам и определяется поведение цены в определенное
время. При этом, правда, остается проблема правильного
местонахождения центра спирали и ее параметра в показателе степени.

306
Видимо, логарифмическая спираль так восхитила Якоба Бернулли, что не случайно он просил изобразить ее на
своей могиле на кладбище в Базеле с надписью «Eadem
mutata resurgo» («Измененная, я вновь воскресаю»).

Спираль Корню
(клотоида, спираль Эйлера)
У этой спирали — сразу три названия, причем они употребляются почти одинаково часто. Для описания этой кривой и ее свойств нам понадобится понятие «кривизна».
Это количественная характеристика линии, определяющая
меру изогнутости. Под кривизной К понимают ее отклонение от прямой линии. Для прямой кривизна в любой ее
точке равна нулю, то есть K 0. Величина обратная кри1
визне К, то есть r
называется радиусом кривизны.
K
Очевидно, что радиус r окружности равен радиусу ее кривизны, то есть кривизна любого (сколь угодно малого)
1
. Для
участка дуги окружности постоянна и равна K
r
произвольной плоской кривой в каждой ее точке кривизна может меняться.
Математически кривизну определяют, как отношение
угла поворота касательной 'M к длине пройденной дуги
'M
'S = MM1. Такое отношение
называется средней кри'S
визной дуги кривой. Если при приближении точки M1
'M
к точке M, отношение
стре'S
мится к некоторому числу, то это
число называется кривизной в
данной точке M. Записывается
'M
это так: K M lim
. Словами
M1o M 'S

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

307

это читается так: число K M это предел, к которому стре'M
при M1 стремящемся к M. Радиус
мится отношение
'S
1
кривизны в точке M в этом случае равен rM
.
KM
Обычно, вычисление значений кривизны K M для разных кривых производится с помощью понятия производной и методов математического анализа, которые изучаются в 10–11 классах школы, а затем на более высоком
уровне — в университетах. Поэтому здесь мы в этом практиковаться не будем. Но сказанного выше уже достаточно,
чтобы сделать вывод, что радиусы кривизны спирали Архимеда и логарифмической спирали увеличиваются при
удалении от их начальной точки.
Спираль Корню определяется как «кривая, кривизна
которой прямо пропорциональна длине дуги». Пусть S —
длина дуги, а K — ее кривизна. Тогда из определения следует, что для этой спирали выполняется условие K a·S ,
где a — коэффициент пропорциональности. Или, так как
1
1
1
, то r ·S
или r ·S b , где b
.
K
r
a
a
Представленная на рисунке элегантная двойная спираль и есть спираль Корню.
Изображенная на рисунке кривая касается горизонтальной оси в начале координат, имея при этом кривизну,
равную нулю. При возрастании
длины дуги кривизна спирали
пропорционально возрастает, и
она закручивается, делая бесконечное количество оборотов
вокруг точки A, координаты ко§ S·b
S·b ·
;
торой A ¨¨
¸ . Симме2 ¸¹
© 2
тричная ей точка В имеет коор-

308
§
S ·b
S ·b ·
;
динаты B ¨¨
¸ . Эти точки называются фоку2
2 ¸¹
©
сами (или полюсами) спирали Корню.
По-видимому, первым изучать спираль Корню начал все
тот же швейцарский математик Якоб Бернулли в 1694 году.
Но достаточно подробно изучить ее свойства удалось лишь
значительно позже (примерно в 1744 году) Леонарду Эйлеру.
Как нередко было во взаимоотношениях между математикой, физикой и инженерными науками, сначала необычная спираль заинтересовала только математиков. Но
в 1818 году французский физик Огюстен Жан Френель,
пытаясь математически описать явление дифракции света, построил функции, которые записываются в виде интегралов и не относятся к элементарным функциям. А в
1874 году французский физик Мари Альфред Корню использовал эти функции, чтобы точно построить кривую.
Удивительным образом, это оказалась та самая спираль,
которую до этого рассмотрел Эйлер!
Для практического построения спирали в декартовой
системе координат можно использовать параметрические
уравнения:
t5
t9
t 13
t 17
x t t* * * * *
}
10 216 9360 685440
t*3 t*7
t 11
t 13
t*17
y t
* *
}
3 42 1320 75600 6894720

S ·t 2

. Числовые коэффициенты
2
знаменателей подсчитываются по формулам:
4n 1 · 2n ! — для x(t) и 4n 3 · 2n 1 ! — для y(t).
В этих формулах t*

Но эта спираль приподнесла сюрприз не только физикам.
В конце XIX века в Европе, США, России началось активное строительство железных и шоссейных дорог. Пер-

ГЛАВА 30. Трансцендентные плоские кривые

309

вые автомобильные и железные дороги имели вид прямолинейных участков, соединенных дугами окружностей.
Но когда автомобили и поезда начали двигаться на более
высоких скоростях, при въезде на криволинейные участки возникал опасный толчок. В 1890 году американский
инженер Артур Талбот пытался рассчитать такой профиль
дороги, чтобы можно было преодолевать поворот плавно,
равномерно поворачивая руль. Оказалось, что спираль
Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного или шоссейного пути. Такой изгиб дороги позволяет проходить поворот без существенного снижения скорости.

Математика
и информация

Глава 31

Кто владеет информацией,
тот владеет миром.
Натан Ротшильд

Удивительно, но на данный момент не существует
точного научного определения понятия «информация». Обычно так случается с основными понятиями
философии и физики, лежащими в основе мироздания, в основе понимания мира. К таким понятиям
относятся, например, материя, время, энергия. Когда Блаженного Августина спросили, что такое время,
он ответил: «Пока меня не спрашивают, я это знаю.
Будучи же спрошен, не знаю ответа».
«Информация» также относится к основным фундаментальным понятиям. В широком смысле — это
абстрактное понятие, имеющее множество значений в
зависимости от контекста. Если рассматривать объекты
материального мира, то любой их них обладает некоторой структурой. Как сама эта структура, так и любое ее
изменение несут определенную информацию.
Далее мы будем говорить лишь о структурной
информации, то есть той, которая связана с материальными объектами. Для нас — это сведения (сообщения) о структуре объектов материального мира

ГЛАВА 31. Математика и информация

311

вне зависимости от формы представления этих сведений.
В этом смысле мы говорим, например, о генетической информации, то есть о строении белков, закодированных с
помощью последовательности нуклеотидов (генетического кода) в генах (особых функциональных участков молекул ДНК или РНК). Мы также можем рассматривать литературный или нотный текст, как последовательность знаков.
Заранее должны оговориться, что мы вынуждены
далее говорить об информации в узком смысле
слова. Мы не можем говорить об эстетической информации, заключенной в произведениях искусства или в музыке. Также мы не вправе говорить
об эмоциональной информации, проявляющейся
в наших чувствах и переживаниях. Такая информация останется за пределами нашего внимания,
поскольку с научной точки зрения это «плохо осязаемая субстанция» и мы пока не понимаем, как ее
формализовать.
Отметим еще один важный момент. Мы воспринимаем информацию об окружающем мире нашими органами
чувств. В зависимости от этого можно подразделить информацию на визуальную, аудиальную, тактильную, органолептическую (вкус, запах, цвет).
¾
Наиболее значимой для нас является зрительная
информация. Она, в свою очередь, может быть графической, текстовой, формульно-числовой, в формате видео.
• Первобытные люди начали записывать сведения о своей жизни на стенах пещер в виде изображений мамонтов,
охотников и загадочных существ. Художник рисует картину и
сохраняет образы на холсте. Любые фотографии, блок-схемы, чертежи — все это графический вид информации.
• При использовании текстовой информации сведения
кодируются при помощи символов — букв. Разные народы используют разные языки и буквы, поэтому для взаи-

312
мопонимания требуется осуществлять перевод из одного
набора символов в другой без потери смысла.
• Часто требуется числовая кодировка передаваемых
сведений. В этом случае применяются цифры, а не буквы. Например, в учебниках по физике и математике более
удобно передавать информацию в виде чисел и формул.
• Изобретение кино в начале ХХ века привело к появлению видеоинформации. «Живые картинки» гораздо более
информативны. Сейчас мы не только смотрим кинофильмы,
но и имеем возможность снимать видео на камеру телефона и смотреть ролики в интернете (например, на YouTube).
¾
На втором месте по значимости — акустическая информация. Мир вокруг наполнен звуками. Мы разговариваем
друг с другом, включаем радио и слышим новости и прогноз
погоды. Шум транспорта на улице и в метро, гудки и сигналы
предупреждают нас об опасности на улице. Треск веток или
шипение змеи предупреждают нас об опасности в лесу.
¾
Тактильная информация оберегает нас от касания
горячего чайника и предупреждает нас об опасности купания в ледяной воде.
¾
Органолептическая информация наиболее сложна
для кодировки. К сожалению, до сих пор не найдены способы ее кодировки и передачи. Мы не можем ни текстом,
ни акустически передать, например, вкус соленых огурцов
или запах сирени.
В большинстве случаев структурную информацию можно закодировать в виде некоторого числового сообщения,
которое можно переслать по заданному адресу. Именно в
этот момент математика становится языком передачи любой такой информации, то есть становится универсальным
инфоязыком!

Математические высказывания
Фундамент логической структуры математики составляют
высказывания.

ГЛАВА 31. Математика и информация

313

Под высказыванием понимается такое утверждение, о котором точно можно сказать, истинно оно
или ложно.
Приведем примеры истинных высказываний.
Париж — столица Франции.
• Воробей не рыба.
• Число 16 не делится нацело на 9.
• Кошки не летают.
В последнем случае мы, естественно, не рассматриваем
случай падения кошки с дерева.
Приведем примеры ложных высказываний.
• Дважды два — пять.
• Орбита Земли квадратная.
• Щ, Ц и Я — буквы латинского алфавита.
Разумеется, не любое предложение является высказыванием. Высказыванием не могут являться вопросительные или побудительные предложения такие, как:
«Скажи-ка, хорошо на мне сидит мундир?», (М.Ю. Лермонтов);
«Не оставь меня, кум милый!», (И.А. Крылов).
К высказываниям нельзя также отнести предложения,
в отношении истинности или ложности которых мы не можем дать точного ответа. Например:
« 16 d n d 47 » не является высказыванием, если из предыдущего контекста нам не ясно, о каких числах n у нас
идет речь.
«На спутнике Юпитера Европе в океане подо льдом
есть живые существа» не является высказыванием, так
как есть ли там жизнь или нет, науке пока не известно.
Одним из основополагающих принципов классической
математики является «закон исключенного третьего»,
согласно которому два взаимно противоречащих высказывания не могут быть истинными. Впервые этот закон
в явном виде сформулировал Аристотель. В своей книге «Метафизика» он утверждал, что «…ничего не может
•

314
быть посредине между двумя противоречивыми суждениями об одном…». Это утверждение более известно по
его распространенному аналогу: «tertium non datur», что
в переводе означает: «третьего не дано».
Смысл закона поясним на нескольких простых примерах:
• Натуральное число может быть либо четным, либо
нечетным.
• 1 октября либо вторник, либо не вторник.
• Подброшенная монета выпадает либо «орлом», либо
«решкой».
В последнем примере мы, конечно, говорим об идеальном «опыте». То есть монета не может встать на ребро или
исчезнуть неизвестно куда.
Некоторым (хотя и весьма условным) литературным
аналогом закона исключенного третьего, является антитеза, представляющая противопоставление контрастных
понятий или образов.
Например, у А.С. Пушкина:
Ты богат, я очень беден;
Ты прозаик, я поэт;
Ты румян, как маков цвет,
Я, как смерть, и тощ и бледен.
На приеме антитезы также строится все стихотворение
М.И. Цветаевой:
Полюбил богатый — бедную,
Полюбил ученый — глупую,
Полюбил румяный — бледную,
Полюбил хороший — вредную:
Золотой — полушку медную.

Квант информации
по имени «Бит»
Объем передаваемой информации можно попытаться
измерять с помощью значимых слов, несущих в данном
контексте особый смысл. Например, в повести А.С. Пуш-

315

ГЛАВА 31. Математика и информация

кина «Пиковая дама» Германн стремится получить информацию о трех выигрышных картах. Значимыми словами
для него были «тройка», «семерка», «туз». Но в другой
ситуации эти слова могут иметь другой смысл, и значит,
нести другую информацию. Напомним, что мы не говорим
о передачи эмоционально-экспрессивной информации,
которая, как правило, является основной в художественной литературе.
Понятно, что ни анализ состава слов в предложении, ни
анализ количества и порядка чередования букв в словах
не позволит оценить объем информации.
Долгое время не удавалось «ухватить» разумный способ измерения информации. Пока в начале ХХ века не
появилась идея трактовать увеличение информации как
уменьшение неопределенности. Приведем поясняющий
эту мысль пример.
Предположим, что Вам надо угадать натуральное число от 1 до 32, задавая собеседнику вопросы, на которые
он имеет право отвечать лишь да или нет. При этом Вы
хотите, чтобы количество вопросов было минимальным.
Наилучшая стратегия будет следующей:
• «Это число от 1 до 16?» — «Нет»;
• «Это число от 17 до 24?» — «Да»;
• «Это число от 17 до 20?» — «Нет»;
• «Это число от 21 до 22?» — «Нет»;
• «Это число 23?» — «Да».
Если ответ на последний вопрос будет «Нет», то значит
загадано число 24.
Нам понадобилось пять вопросов, чтобы найти число.
Мы можем условиться, что исходная неопределенность
равна 5. Или, другими словами, что объем информации,
заключенный в исходной задаче равен 5. Изобразим процесс поиска числа в виде таблицы.
№ вопроса
Ответ

1
0

2
1

3
0

4
0

5
1

316
В таблице ответ «Нет» закодирован цифрой 0, ответ
«Да» — цифрой 1. Каждый ответ увеличивает нашу информацию на единицу до тех пор, пока она не станет
полной, то есть равной 5. Единицу информации принято
называть битом. Итак:
Бит — это такая информации, которая соответствует однозначному ответу на один поставленный вопрос.
Название «бит» происходит от «binary digit» — двоичное число (этому названию удачно соответствует игра слов:
по-английски bit — кусочек, частица). Использовать этот
термин предложил в 1948 году выдающийся математик (и
инженер! — редкое сочетание) Клод Шеннон (1916–2001),
которого часто называют «отцом теории информации».
Клод Шеннон родился в одном
из маленьких городков штата Мичиган (США). Его отец был адвокатом,
нотариусом, затем 11 лет работал
судьей. Мать преподавала иностранный язык. Она была одной из
немногих женщин штата Мичиган,
получивших высшее образование.
Известно также, что она обладала красивым контральто и
даже исполняла главные партии в местном оперном театре.
Клод был поздним ребенком: он родился, когда его
отцу было уже 55 лет. Сестра Клода, Кэтрин, была старше
его на 6 лет. Она с отличием окончила школу, в совершенстве владела игрой на фортепьяно и придумывала для
своего брата математические задачки.
Еще во время учебы в школе Клод увлекся конструированием механических и автоматических устройств. Он собирал модели самолетов, создал радиоуправляемую лодку
и телеграфную систему между домом друга и своим до-

ГЛАВА 31. Математика и информация

317

мом. Любовь к науке и изобретательству передалась Клоду, по-видимому, от дедушки, который приходился дальним
родственником знаменитому изобретателю Томасу Эдисону.
Интересно, что кроме создания полезной техники для работ на своей ферме, дедушка Шеннона получил патент на
ряд усовершенствований для стиральной машины.
В 16 лет Клод окончил среднюю школу с отличными оценками по математике, естествознанию и латыни и отправил
свой аттестат в Мичиганский университет, который окончил
в 1936 году, получив степень бакалавра сразу по двум специальностям (математик и электротехник). Талантливого математика и инженера приняли в знаменитый MIT — Массачусетский технологический институт, успешно работая в котором
он к 1938 году защитил магистерскую диссертацию, в которой
показал, как можно реализовать даже очень сложные математические вычисления, используя для этого определенным
образом организованные операции, состоящие лишь из нулей
и единиц (булеву алгебру). Ноль символизирует ложное высказывание, а единица — истинное. Его докторская диссертация была посвящена популяционной генетике.
В 1941 году Шеннон в качестве математика-исследователя перешел на работу в AT&T Bell Telephones в Нью-Джерси. Это крупнейшая в мире телекоммуникационная компания. С 1925 года в составе компании появился исследовательский центр под названием Bell Telephone Laboratories,
которую в США называли «фабрикой идей». Перечислим
лишь часть общеизвестных изобретений Bell Labs:
• Факс.
• Тональный набор номера.
• Солнечную батарею.
• Синхронизацию звука и картинки в кино.
• Радар (радиотехническая система для обнаружения
воздушных, морских и наземных объектов, а также для
определения их дальности, скорости и геометрических
параметров).
• Транзистор.

318
В этом центре Шеннон проработал до 1972 года.
По воспоминаниям коллег, Клод держался особняком:
«В основном он работал за закрытой дверью. Но если вы
войдете, он будет очень терпеливым и поможет вам. Он
мог схватить проблему за нулевое время …!Если работал по ночам, то ездил по залам лаборатории на одноколесном велосипеде…» Все отмечали его доброжелательность и деликатность, а некоторые странности (он,
например, построил несколько жонглирующих машин,
калькулятор, работающий с числами в римской системе,
«черепашек», ползающих по полу и обходящих препятствия…) оправдывали его гениальностью, которая была
для всех очевидна.
В 1940 году Шеннон на один академический год стал
научным сотрудником в Институте перспективных исследований в Принстоне. Там он работал под руководством
Германа Вейля, а также имел возможность обсудить свои
идеи с другим математическим гением — Джоном фон
Нейманом. В Принстоне он встречался с Альбертом Эйнштейном и Куртом Геделем.
В 1948 году в Bell System Technical Journal Шеннон опубликовал фундаментальную статью под названием «Математическая теория коммуникации», благодаря которой
произошел переворот в теории связи. Очевидная сегодня
идея, что можно передавать изображения, слова, звуки, например, из Лондона в Нью-Йорк, отправляя поток из 1 и 0
была в то время совершенно новой. Работавший с Клодом
известный американский специалист по теории информации Роберт Галлагер в своих воспоминаниях писал:
«Шеннон был человеком, который увидел, что двоичная цифра является фундаментальным элементом во
всем общении. Это было действительно его открытие,
и из него произошла вся коммуникационная революция».
В этой статье впервые было введено слово «бит». В ней
же Шеннон доказал, что добавление дополнительных битов к сигналу позволяет исправлять ошибки передачи. На

ГЛАВА 31. Математика и информация

319

сегодняшний день все системы цифровой связи проектируются на основе фундаментальных принципов и законов
передачи информации, разработанных Шенноном.
Во время Второй Мировой войны Клод участвовал в
разработках принципов криптографии, которые увеличили
надежность телекоммуникаций. В частности, его разработки позволяли установить безопасную телефонную связь
между Рузвельтом и Черчиллем.
В более поздних работах Шеннона рассматривались
идеи искусственного интеллекта. В 1950 году он опубликовал статью о компьютерных шахматах под названием
«Программирование компьютера для игры в шахматы». С
этой стороной творчества связан интересный факт его
биографии. В 1965 году Шеннон был приглашен в Россию
на инженерную конференцию. Там он имел возможность
встретиться с многократным чемпионом мира по шахматам
Михаилом Ботвинником, также инженером-электротехником, интересующимся проблемой алгоритмизации шахматной игры. После продолжительной дискуссии Клод попросил гроссмейстера сыграть с ним в шахматы. Нет ничего
удивительного в том, что на 42-м ходу Шеннон проиграл.
Вообще, в Советском Союзе в 50-х годах ХХ века к работам Шеннона относились настороженно. Его работы относились к разделам кибернетики, которая в те времена
считалась лженаукой, и поэтому почти не печатались. Но
известно, что А.Н. Колмогоров был знаком с его статьями
и даже в 1954 году сумел организовать специальный семинар, посвященный его работам.
В предисловии к русскому переводу работ Шеннона
А. Н. Колмогоров, в частности, писал: «Значение работ
Шеннона для чистой математики не сразу было достаточно оценено …!специалисты по теории вероятностей считали мой интерес к работам Шеннона несколько
преувеличенным, так как это более техника, чем математика. Сейчас такие мнения вряд ли нуждаются в опровержении. Правда, строгое математическое «обоснование»

320
своих идей Шеннон в сколько-нибудь трудных случаях
предоставил своим продолжателям. Однако, его математическая интуиция изумительно точна…»
В 1993 году вышел итоговый сборник статей Клода
Шеннона, куда вошли 127 его научных работ.
Клод был женат дважды. Его первое супружество с
Нормой Левор продлилось лишь год. Интересно, что позже она работала журналистом и написала сценарии для
нескольких фильмов.
Второй женой Шеннона стала Мэри Элизабет Мур, с
которой он познакомился в Лаборатории Белла. У них
родились сыновья Роберт Джеймс и Андрю Мур и дочь
Маргарита Катерина.
Последние годы жизни Клод провел в Массачусетском
доме-интернате из-за болезни Альцгеймера. Здесь, по
заверению его жены Мэри Элизабет, Клод участвовал в
исследованиях по изучению способов ее лечения.

Измерение количества (объема)
информации
Один бит — очень маленькая единица информации. Она
соответствует единичному выбору: «Да» — «Нет» или
«Включено» — «Выключено». Естественно, в битах измерять информацию неудобно, поэтому они переводятся в
более крупные единицы — байты. Байт (byte) — это
23 8 битов. Название «байт» было впервые использовано в июне 1956 года инженером фирмы IBM Вернером
Бухгольцем.
По всеобщей договоренности принята следующая градация более крупных объемов информации:
1
Бит
Биты
Байты

1
Байт

1 Кило- 1 Мебайт
габайт

1 Гигабайт

1 Терабайт

1 Петабайт

213

223

233

243

253

210

220

230

240

250

ГЛАВА 31. Математика и информация

321

Представим себе, что в уравнении a 2x , где всегда
a ! 0, нам требуется находить необходимое для выполнения этого равенства число x. В случае, когда a 8 , легко
увидеть, что x 3. Но если, например, a 7 , то найти соответствующее значение x можно лишь с помощью калькулятора. Причем это будет лишь приближенное значение
(хотя существуют процедуры для его вычисления с любой
наперед заданной точностью). Для того чтобы обозначить
точное значение x, используют запись: x log2 7 (логарифм по основанию 2 от числа 7). Приближенное значение: log2 7 2.80735492206} В разобранном ранее примере нам было необходимо не менее 5 вопросов, чтобы
узнать загаданное в промежутке от 1 до 32 целое число.
Так как 25 32 , то объем информации I, заключенный в
исходной задаче равен 5. Можем записать I log2 32 5 .
Именно поэтому американский ученый-электронщик
Ральф Хартли в 1928 году предложил рассчитывать объем
информации при наличии N равновероятных ситуаций по
формуле: I log2 N .

Примеры:
а) Пусть на всех гранях кубика изображено число 1.
Так как перед бросанием кубика мы заранее уверены в
результате, то «информационная емкость» такого эксперимента равна нулю. Так как в этом случае N 1 , то
I log2 1 0 . Аналогично, если три грани кубика покрашены в красный цвет, а три другие — в зеленый, то
I log2 2 1 . Если две грани кубика покрашены в красный
цвет, две — в зеленый и две — в желтый, то
I log2 3 1,58496250072}
б) Пусть мы имеем две колоды карт по 32 карты в каждой. Пусть заранее загаданы две карты — по одной в каждой колоде. Как мы видели раньше информация I 1 , связанная с угадыванием карты в одной из колод равна 5 (так
как 25 32 ). Аналогично и для второй колоды I 2 5 .
С другой стороны, общее количество вариантов выбора

322
двух карт равно 32·32 1024 210 , то есть I 10 . Поэтому справедливым будет считать, что общая информация
I I 1 I 2 5 5 10 .
в) Рассмотренные два случая позволяют сделать вывод, что если имеется n колод карт, число карт в каждой
из которых равно N, то информация по угадыванию n карт
(по одной из каждой колоды) может быть подсчитана по
формуле: I n·log2 N (формула Хартли).
г) Представим себе, что Ваш знакомый живет в N-этажном доме, но Вы не знаете на каком этаже. Если любой
1
он может
этаж равновероятен, то с вероятностью P
N
жить на любом из этажей. В этом случае формула Хартли
§1·
запишется в виде I log2 ¨ ¸ или, используя одно из
©P¹
свойств логарифма, I log2 P .
д) Представим себе, что Вы следите за ходом теннисного матча, в котором участвуют теннисисты A и Б. Если
они равны по мастерству, то заключенная в этом событии
информация I 1 (также, как при однократном бросании
монеты). Но очевидно, что при более вероятной победе
одного из них информация должна быть меньше единицы.
Например, если мы уверены, что победит теннисист А, то
I 0 . Для задач такого рода Клод Шеннон в 1948 году
предложил другую формулу определения количества информации, учитывающую возможную неодинаковую вероятность событий.
Формула Шеннона:
I p1 ·log2 p1 p2 ·log2 p2 . . . pN ·log2 pN ,
где pi — вероятность i-ого сообщения в наборе из N сообщений.
Если вероятности p1, ..., pN равны между собой, то каж1
дая из них равна , и формула Шеннона превращается в
N
формулу Хартли.

ГЛАВА 31. Математика и информация

323

Любое ограничение, любое дополнительное условие, накладываемое на свободу выбора, ведет
к уменьшению информации.
е) Пусть имеется некоторый биологический процесс,
который может развиваться по одному из трех путей. Вероятность перехода из начальной точки О в точку A равна
1
1
1
, в точку В — , в точку С — . В этом случае, заклю2
3
6
ченную в этом процессе информацию можно подсчитать
по формуле Шеннона:
§1
§1· 1
§1· 1
§ 1 ··
I — ¨ ·log2 ¨ ¸ ·log2 ¨ ¸ ·log2 ¨ ¸ ¸ | 1, 46 .
©2¹ 3
©3¹ 6
© 6 ¹¹
©2

Вербальная информация
Под вербальной информацией мы далее будем понимать
словесную информацию, передаваемую с помощью речи,
текста или письма.
Предположим, что нам предложена следующая игра:
берется некоторое предложение (допустим из 100 букв,
считая пробелы) и участнику, не знающему этого предложения, предлагается угадывать буквы, начиная с первой.
Пробелы между словами будем считать еще одной (дополнительно придуманной) буквой. После каждой попытки
дается ответ «да» или «нет», и игра продолжается. Представим себе также, что угадывающий выбирает наилучшую
стратегию. Для простоты предположим, что в нашем предложении отсутствуют буквы Ё и Ъ. Тогда с учетом знака
пробела у нас остается 25 32 буквы. Если считать, что
все буквы равновероятны, то информация I 0 , заключенная в поиске каждой буквы равна 5. Общее количество информации I во всем предложении равно
I 100· I 0 500 бит. Но относительные частоты появления букв в тексте различны. Их реальные частоты (то есть

324
средние вероятности появления в тексте) приведены в
таблицах в главе 7. Поэтому на самом деле суммарное количество информации будет намного меньше.
Результаты подобного эксперимента был опубликованы
Шенноном. Реальный объем информации оказался равным 198 битам. То есть на одну букву приходилось не 5
бит, а 1,98 бит. И хотя в английском языке лишь 28 знаков
(с учетом пробела), очевидно, что в аналогичном эксперименте с русскими буквами мы получим близкий результат.
Конечно, частоты букв могут зависеть от текста. Приведем, например, отрывок из стихотворения (и песни) В. Высоцкого «Заповедник»:
Сколько их в рощах,
Сколько их в чащах —
Ревом ревущих,
Рыком рычащих!
Сколько ползущих
Сколько бегущих,
Сколько летящих,
И сколько плывущих!
Буква
С
К
О
Л
Ь
И
Х
В
Р
Щ
А
В текс5,41 11,71 14,41 8,11 5,41 8,11 9,01 4,51 4,51 7,21 3,60
те (%)
Стат-ка
5,47 3,49 10,97 4,40 1,74 7,35 0,97 4,54 4,73 0,36 8,01
(%)
Буква
Ч
Ё
Е
М
У
Ы
П
З
Б
Я
В тексте
1,80 0,90 2,70 1,80 3,60 2,70 1,80 0,90 0,90 0,90
(%)
Стат-ка (%) 1,44 0,04 8,45 3,21 2,62 1,90 2,81 1,65 1,59 2,01

Здесь автор намеренно использует фонетический прием — аномальное использование звуков Х и Щ (в заповеднике уничтожаются ХИЩники!), который является составным элементом структуры поэтического текста. Окончательно в этом убеждает полный текст стихотворения.

ГЛАВА 31. Математика и информация

325

Но даже если мы будем учитывать реальную частоту
букв, подсчитанный объем информации все равно окажется завышенным. Это объясняется тем, что на самом деле
последовательные буквы русского языка вовсе не независимы друг от друга. Например, если мы знаем, что в слове
подряд идут две согласные, то значительно вырастает вероятность появления на следующем месте гласной буквы;
слово не может начинаться с мягкого знака; за буквой Щ
не может появиться буква Ю. По оценкам лингвистов выбор следующей буквы осмысленного текста более, чем на
50% определяется самой структурой языка. То есть он случаен в сравнительно небольшой степени. Примерно также
обстоят дела и с текстом на английском языке.
Использовав имеющиеся данные о частотах появления
различных слогов и слов в русском языке, А.Н. Колмогоров пришел к выводу, что реальный объем информации,
приходящейся на одну букву приблизительно равен 1,4
бит. Сходные результаты были получены для английского,
немецкого, французского, итальянского, шведского и ряда
других языков. Все приведенные выше данные относятся
к литературному языку.

Объем информации и ее ценность
Во избежание недоразумений еще раз подчеркнем, что
мы рассматриваем понятие информации в узком (статистическом) смысле. То есть как возможность кодирования
и передачи данных. Кодирование обычно осуществляется с помощью обращения текстовой записи в цифровую
форму. Кодировать можно также нотную запись, запись
химических уравнений, устную речь, фото- и видеоинформацию. При этом также не сложно оценить объем передаваемой информации в битах и байтах. В более широком
смысле статистической информацией обладает любая упорядоченная структура: кристаллы, молекулы, листья расте-

326
ний… Объем информации, полностью описывающей геном
человека, по оценкам специалистов составляет не менее
200 гигабайт.
Мы совершенно не касались вопроса оценки ценности
информации для человека.
В любой последовательности знаков мы лишь определяем количество битов и байтов, необходимое для ее
«упаковки», но не ищем смысл в информации и не оцениваем ее практическое значение. Ясно, что одна и та же
статья в журнале может содержать ценную информацию
для одних читателей и нулевую для других. Мы не смешиваем понятия «информации» и «знания». Статистическое
определение информации основано исключительно на
редкости. Если ситуация встречается редко, то она содержит информацию.

Математика и проблемы
сжатия информации
С другой стороны, ни в коем случае нельзя отрицать важность упаковки и кодировки информации. Кодировка не
только сокращает ее объем, но и устраняет проблему потери информации. Так, после прочтения книги, вероятность
пересказать книгу без потерь информации стремится к
нулю. Веб-страница, формула, уравнение, текстовый файл,
цифровое изображение, оцифрованная музыка, видеоизображение — это все яркие примеры кодировок. Хотя
возможности нашего мозга по приему, хранению и обработке поступающей информации чрезвычайно велики, все
же существуют естественные биологические ограничения.
Ведь каждому из нас ежедневно приходится анализировать данные, непрерывным потоком поступающие из окружающего мира.
Математика позволяет «обмануть» биологию и в значительной степени решить проблему лавинообразного роста
объема информации с помощью создания математических

ГЛАВА 31. Математика и информация

327

моделей. Это тем более удивительно, что и наш язык, и
наше мышление вообще не являются математическими.
В качестве иллюстрации рассмотрим две простенькие задачки.
1) Один аквариум в два раза больше по объему, чем
другой. Вместе они вмещают 60 литров воды. Сколько литров воды вмещает каждый?
2) Турист прошел в первый день расстояние в два раза
больше, чем во второй. А всего за два дня он прошел расстояние в 60 км. Сколько километров он прошел за каждый из двух дней?
В этих задачах речь идет о совсем разных объектах и
ситуациях. Но решаются они совершенно одинаково! Формальным подтверждением тождественности этих задач
является то, что для них можно легко построить одну и ту
же модель. Такой моделью служит уравнение 2 x x 60.
Математические модели часто обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные
физические, химические, биологические, экономические
и многие другие явления могут описываться одной и той
же математической моделью. Так, уравнение гармонических колебаний описывает не только поведение груза на
пружине, но и другие колебательные процессы, имеющие
совершенно иную природу: малые колебания маятника,
изменение силы тока в колебательном контуре, колебания
цен на фондовом рынке… Таким образом, изучая одну
математическую модель, мы изучаем сразу целый класс
описываемых ею явлений.
Математика предлагает еще
один мощный метод сжатия информации — фрактальные структуры.
Фрактал — это самоподобное множество. Множество очень красивых фрактальных картин Вы легко
найдете на просторах Интернета.
По всей видимости, именно такой

328
способ кодировки предлагает сама Природа. Оказывается,
сложные естественные формы могут быть закодированы
с помощью простых математических правил. Взгляните на
изображение ветки папоротника Барнсли. Трудно себе
представить, но это не фотография. Это изображение,
построенное по простым математическим правилам! Папоротник Барнсли — фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли. Он впервые описан
в его книге «Фракталы повсюду» («Fractals Everywhere»).
Полагаю, что читателю будет небезынтересно узнать, что
Майкл — потомок английского писателя Генри Филдинга,
автора знаменитого романа «История Тома Джонса, найденыша».
Для построения папоротника достаточно использовать
две простые формулы
xn 1 0.85· xn 0.04· yn
yn 1 0.04 · xn 0.85· yn 1.6
и многократно повторять вычисления по ним.
Здесь x и y — это координаты на осях, а n — это номер
итерации. В качестве начальных условий можно выбрать
x0 0 и y0 1 .
Приведенный рисунок является подтверждением, что
Природа, по всей видимости, фрактальна и с помощью подобных простых алгоритмов «выстраивает» деревья, листья, кровеносную систему, цветы, кристаллы, береговые
линии, снежинки и многое другое.
Не исключено, что в фундаменте природы заложены
простые математические принципы сжатия информации,
с помощью которых воспроизводится столь удивительное
многообразие окружающего нас мира.

Глава 32

Особенности
математического
текста
и математического
мышления
Едут в поезде по Швейцарии астроном, физик и математик.
В окне проносится пастбище, на котором астроном замечает пасущуюся
овцу и говорит:
— О… В этой стране водятся белые
овцы!
Физик поправляет:
— Нет, в этой стране есть по крайней мере одна белая овца.
Математик снисходительно:
— В этой стране есть по крайней
мере одна овца, не меньше, чем с одним
белым боком.
Старый анекдот

Научный подход к изучению явлений окружающего
нас мира подразумевает, что все может быть выражено в числах и переведено на язык математики.
Но математический язык не является языком устного (словесного) общения. Он существует лишь в
виде системы общепринятых знаков, связывающих
между собой числовые и символьные выражения по
особым правилам, слегка подобным правилам грам-

330
матики, используемым в естественных языках. Этот язык
очень специфичен. Мы все, хотя и с разной степенью удовольствия, изучаем его в школе.
Можно ли в научных исследованиях обойтись без математического языка? К сожалению, нет, так как «не пользующаяся математическими символами человеческая логика
зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы — и вскрыть
эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного
труда и бесконечных, часто бесплодных споров». Эти
слова (очень точно выражающие суть дела) принадлежат
Владимиру Федоровичу Арнольду — русскому экономисту
и статистику. (И кстати, деду выдающегося советского и
российского математика Владимира Игоревича Арнольда).
Попробуем разобраться, в чем заключается специфика
математического текста, и какие в связи с этим возникают
проблемы.
Когда мы читаем увлекательный роман, то не требуем
от автора документального подтверждения описываемых
им событий. Мы верим на слово, что молодой 18-летний
д’Артаньян был гасконцем и в первый же свой день в Париже ухитрился вызвать на дуэль трех королевских мушкетеров. Более того, мы даже понимаем, что реальные события происходили как-то не так. Но нас это совершенно не
смущает, и мы заранее готовы простить Александру Дюма
все исторические неточности. Мы не останавливаемся на
каждом слове. Глаза без остановки бегут по строчкам, и
последняя страница переворачивается всего через несколько часов.
Легко представить себе студента, читающего толстый
том по математическому анализу. Его лицо выражает
скорбь человека, ожидающего скорой пытки на экзамене.
В руке его карандаш, которым он делает пометки в книге. Перед ним — исписанный формулами лист бумаги. Он
внимательно прочитывает абзац, затем его вновь перечитывает. Иногда возвращается к предыдущим страницам.

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

331

Текст перемежается формулами — строчками с условными значками и символами, напоминающими египетский
ребус. Чтение формул — особое искусство, которому нас
пытаются научить в школе. Иногда читателю кажется, что
он понял доказательство теоремы, но при некотором размышлении понимает, что это только иллюзия. После нескольких таких попыток несчастный начинает осознавать
смысл выражения «сизифов труд».
Возникает естественный вопрос. Что лежит в основе
такой поразительной разницы между чтением литературного и математического текстов?
Чтобы лучше понять суть проблемы, рассмотрим разницу в восприятии художественного полотна обычным
посетителем выставки и специалистом (например, реставратором). Первый «схватывает» картину целиком.
Его интересует сюжет, а не отдельные мазки на картине.
Изображенные персонажи становятся для него реальными
людьми. Даже если он не замечает некоторых деталей, то
общий замысел для него становится ясен. Хорошая картина дает зрителю пищу для размышлений.
Другое дело — специалист. Само художественное полотно ему давно знакомо. Он многое знает об авторе и
истории создания картины. Гораздо больше его теперь
интересует техника, в которой выполнена картина. Своим взглядом он как бы разъединяет картину на отдельные
мелкие фрагменты, содержащие иногда почти незаметные,
но важные и говорящие ему очень многое детали. Его понимание картины гораздо более глубоко.
Пользуясь приведенной выше аналогией, мы можем
сказать, что математический текст не доступен любому
«посетителю». Если вы хотите лучше его понимать, то
надо, хотя бы отчасти, становиться специалистом. Чтение
математических статей весьма специфично и поэтому требует усилий!

332
Об особенностях использования
математической лексики
Представим, что мы впервые берем в руки роман Ф.М. Достоевского «Идиот», в котором отсутствуют первые
77 страниц, и начинаем его читать сразу со страницы 78.
Сюжет нам мало понятен. Мы не знаем, кто такие Настасья Филипповна и князь Мышкин, и как развивались их
отношения на предыдущих страницах. Прочитав страницы 78 и 79, мы уже не захотим останавливаться, дочитаем
книгу до конца, и даже, вполне вероятно, сумеем домыслить события утерянной части романа.
Совершенно иначе обстоит дело с восприятием математического текста.
Продемонстрируем возникающие трудности на конкретном примере. Откроем определение перестановки
(Виленкин Н.Я. «Алгебра», учебник для 9 класса с углубленным изучением математики):
Размещения из n элементов по n называются перестановками.
Вроде бы все используемые в коротеньком определении слова по отдельности понятны. Тем не менее, приведенный текст сходу вызывает целый ряд вопросов у неподготовленного читателя:
• О каких элементах идет речь?
• Есть ли среди элементов неразличимые или они все
различны?
• Что подразумевается под размещением элементов?
Каким образом оно происходит?
• Существуют ли какие-то правила, ограничивающие
размещение одних элементов среди других?
• Где происходит размещение этих элементов: дома, на
шахматной доске, в зоопарке или, может быть, в Солнечной системе?

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

333

Чтение последующего текста учебника мало что проясняет, а порой еще больше запутывает. Единственная
надежда остается на иллюстративные примеры, рассмотрение которых действительно может внести некоторую
ясность.
Удивительным образом, именно ничем не ограниченный свободный полет воображения гуманитарного читателя — основная причина его «обиды» и отказа от дальнейших попыток разбираться «в этом безобразии».
Математический язык очень краток и максимально точен. Каждому понятию предварительно дается строгое
определение. В этом заключается главная особенность
текста, воспринимаемая как недостаток условным гуманитарием и как преимущество условным технарем.
В математике также используется незначительное количество своеобразных грамматических правил, позволяющих создавать застрахованные от ошибок математические предложения.
Приведем еще один короткий фрагмент математического текста:
«Простейшим примером идеала может служить
подкольцо четных чисел в кольце целых чисел».
И в этот раз набор вполне обычных слов оставляет
в недоумении:
«А это Вы, вообще, о чем?!» Читателю могут вспомниться строки Валерия Брюсова:
«Я плакал безумно, ища идеал,
Я струны у лиры в тоске оборвал…»
Или что-то прочитанное ранее об идеальном мире Платона. Тем более он знает об обручальных кольцах и кольцах Сатурна. Но это совершенно не помогает ему понять
смысл приведенного выше текста.

334
Основная причина этого в том, что хотя математики
обычно придумывают свои собственные термины для обозначения новых понятий, но иногда они используют уже
известные слова, придавая им иной, не совпадающий с
общеупотребительным, смысл.
Например, одним из основополагающих понятий математики является множество. Но это слово несет здесь
ограниченный по сравнению с обычным смысл. Вот как
определял понятие множества основоположник теории
множеств Георг Кантор: «Под множеством мы понимаем
любое соединение M определенных попарно различных
объектов нашего умозрения или нашей мысли (которые
будут называться элементами M) в единое целое». Если
вдуматься в смысл этого определения, то станет ясно, что
математики не изучают множество мыслей или множество идей, так как мы не представляем, как разбить наши
мысли или идеи на отдельные попарно различимые элементы. Также математики не могут изучать множество
лысеющих людей, пока не будет дано строгое определение, дающее возможность однозначно отделять таких
людей от остальных.
Смешение математических и литературных понятий не
будет казаться удивительным, если мы вспомним, что существуют одинаковые по написанию слова, которые могут
приобретать различные значения, в зависимости от контекста. Такие слова филологи называют омонимами.
Обратимся к приведенному выше примеру идеала.
В нем используется понятие кольца. Кольцами в математике называют числовые системы, в которых установлены
только три действия: сложение, вычитание и умножение.
Например, множество целых чисел ] образует кольцо,
содержащее бесконечное количество элементов. Указанные выше математические операции всегда выполняются
на этом множестве. А, например, операция деления — не
всегда: так, результат деления 37 на 6 уже не является целым числом. Совокупность натуральных чисел не является

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

335

кольцом, так как разность двух натуральных чисел может
и не быть натуральным числом.
Кроме числовых систем с тремя действиями, можно
рассматривать системы, в которых выполняются все четыре арифметических действия. Такие системы называются
«полями». К ним относится множество рациональных чисел _(то есть множество обыкновенных дробей). Также
полем является и множество действительных чисел \.
Множество \ представляет собой объединение рациональных и иррациональных чисел. Математики это записывают кратко следующим образом: \ _. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби, например, 2, 3 7,S . При рассмотрении полей следует
помнить, что деление на ноль запрещено (так же, как и в
обычной арифметике).
Кроме колец и полей часто рассматривают числовые
(и не только числовые) системы (группы), в которых осуществима только одна операция:
• Алгебраическое сложение (то есть сложение с положительными и отрицательными числами). Это так называемые аддитивные группы.
• Умножение. Это так называемые мультипликативные
группы.
При этом на свойства любых элементов, образующих
группу, накладываются определенные дополнительные
условия, которые мы здесь не приводим.
Идеал у математиков — это одно из важных понятий
общей алгебры. Определение этого понятия уже не является столь простым. Заметим только, что оно связано
с разложением целых чисел на простые множители. Название ведет происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком
Э. Куммером.

336
Мы убедились, что слова «множество», «кольцо»,
«поле», «группа», «идеал» — имеют в математике совсем
другой смысл. Стоит ли удивляться, что неподготовленный
читатель не понимает математический текст. Ясно, что читать математическую литературу, не понимая смысла употребляемых понятий, совершенно невозможно.

О скорости чтения
математического текста и пользе
оригинальных источников
Чтение даже нескольких строчек доказательства скромной теоремы требует детального и неторопливого анализа.
Мы забываем, что в одном абзаце может быть сконцентрирован итог работы профессионала. Бывает, что автор
теоремы длительное время блуждает в темноте, пытаясь
найти решение проблемы. Мы ничего не знаем о трудностях, которые ему пришлось преодолеть. Мы видим лишь
конечный и кратко изложенный результат. Приведем простой пример.
В книге приведено доказательство несчетности множества действительных чисел на отрезке [0;1]. Студенты математических специальностей могут столкнуться с этой теоремой в первом же семестре1. Она не считается сложной
и ее доказательство занимает меньше, чем полстраницы.
Но когда эта теорема впервые была доказана Г. Кантором,
она (как и вся теория множеств) вызвала ожесточенные
споры. Дело в том, что во второй половине XIX века возникла проблема строгого обоснования математики. В то
время в математике сложилась ситуация, подобная той, что
была в классической физике. Сформировалось мнение,
что в физике решены все основные проблемы и специалистам, работающим в этой науке, осталось лишь уточнить
1
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, «Элементы теории функций
и функционального анализа». — М., Наука, 2004.

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

337

некоторые детали. Но затем последовали драматические
события, результатом которых стало появление теории относительности и квантовой механики. Математика также
вступила в период острого кризиса, вызванного возникновением серии неразрешимых математических и логических парадоксов, поставивших под сомнение основания
классической математики. Это повергло в уныние многих
ученых, и отголоски этих событий ощущаются в математическом мире до сих пор.
Студентам, как правило, не рассказывают об этом, и для
них многое остается «за кадром». Поэтому часть студентов воспринимает доказательство этой теоремы Г. Кантора
легко, но формально, а часть — остается с ощущением
неполного понимания именно потому, что задумываются
очень глубоко. К сожалению, так обстоит дело со многими
математическими фактами и конструкциями, и это также
стоит иметь в виду при чтении учебной и научной литературы.
Было бы неправильно относиться к истории развития
математики лишь как к малополезному набору занимательных фактов. Если математик впервые дает определение
новому понятию, то он вынужден сопровождать свою статью подробным и развернутым комментарием. Приведем
несколько примеров.
В 1933 году была издана на немецком языке книга
А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей». В 1936 году она была переиздана на русском и
английском языках. В этой книге впервые приведено аксиоматическое обоснование теории вероятностей, причем
текст книги (по крайней мере первые три ее главы) написан столь ясно, что доступен школьнику.
Нет сомнений, что Леонард Эйлер — самый продуктивный математик в истории. Он писал свои статьи на латыни,
как это было принято в то время. Причем делал это также
легко и непринужденно, как опытный литератор пишет
письма друзьям. Первое издание его книги «Введение в

338
анализ бесконечных» на русском языке появилось почти
через 200 лет после ее написания Эйлером. Многие теоремы и их доказательства в книге воспринимаются легче,
чем в учебниках по математическому анализу. Все формульные преобразования приведены настолько подробно,
что виден ход мышления автора. Поэтому заинтересованному школьнику или студенту книга дает много материала
для размышления и применения. Очень многое в ней покажется близким и знакомым, так как значительный объем
материала в учебниках взят из книги Эйлера без ссылок.
Кто-то заметил, что «заимствование — самый лестный вид
оценки». Но в этом случае лучше все-таки познакомиться
с оригиналом и оценить все его достоинства.
Для читателей, сомневающихся, что текст, написанный
более 250 лет назад, может конкурировать с текстом современного учебника, приведем мнение кораблестроителя,
механика и математика — академика А.Н. Крылова, который в своих воспоминаниях обращал внимание на разницу в оформлении своих работ Гауссом и Эйлером:
«Гаусс прежде чем опубликовать какой бы то ни было
труд, подвергал свое изложение самой тщательной обработке, прилагая крайнюю заботливость о краткости
изложения, изяществе методов и языка, не оставляя при
этом следов той черновой работы, которой он до этих
методов достиг. Он говаривал, что когда здание построено, то не оставляют тех лесов, которые для постройки
служили; поэтому он не только не торопился с опубликованием своих работ, но оставлял их вылеживаться не
то что годами, а десятками лет, часто к этой работе
по временам возвращаясь, чтобы довести ее до совершенства.
Эйлер поступал как раз обратно Гауссу. Он не только
не разбирал лесов вокруг своего здания, но иногда даже
как бы загромождал его ими. Зато у него видны все подробности самого способа его работы, что у Гаусса так

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

339

тщательно скрыто. За отделкой Эйлер не гнался, работал сразу вчистую и публиковал в том виде, как работа
получилась; но он далеко опередил печатные средства
Академии, так что сам сказал, что академическим изданиям хватит его работ на 40 лет после его смерти; но
здесь он ошибся — их хватило больше чем на 80 лет».
Недаром математик и астроном маркиз де Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера — он учитель
всех нас!»
Как мы уже видели ранее, натуральный ряд — это удивительное царство, полное тайн, волшебства и загадок.
Поэтому в математическом мире общепризнанно, что «Теория чисел» является фундаментом для всей математики.
И тем более удивительно (и большинство математиков с
этим согласны), что источником многих идей этого раздела
математики послужила книга, написанная еще в III веке
нашей эры Диофантом Александрийским.
К сожалению, в школе о Диофанте упоминают лишь
один раз, когда приводят задачу-эпиграмму:
«Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень.
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей».

Решением этой задачи является число 84. Таким образом, Диофант прожил 84 года. Увы, о его жизни мы больше
почти ничего не знаем.
Так вот, Диофант написал знаменитое произведение
«Арифметика», которое сыграло особую роль в развитии
теории чисел. «Арифметика» состояла из 13 книг, из ко-

340
торых до нас дошло лишь 6. Большая часть труда — это
сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189).
В X веке «Арифметика» была переведена на арабский
язык, после чего математики стран ислама продолжили
некоторые исследования Диофанта.
В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как
итальянский математик и инженер Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и в 1572
году опубликовал 143 задачи из него в своей «Алгебре».
В 1621 году французский дворянин Баше де Мезириак
не только заново перевел «Арифметику», но и снабдил
перевод обширными комментариями. Он отлично справился с этой сложной работой благодаря своему прекрасному
образованию. Ведь он был не только математиком, но и
писал стихи на французском, итальянском и латыни! Перевод был настолько удачным, что стал настольной книгой
и источником новых открытий для Пьера Ферма и других
выдающихся математиков XVII века. Именно на полях этой
книги Ферма записал формулировку своей знаменитой
Великой теоремы, утверждающей, что уравнение
x n y n z n , при натуральных n t 3 , не имеет решений в
целых ненулевых числах.
Доказательство этой теоремы безуспешно искали многие математики более трехсот лет. И найдено оно было
лишь недавно (в 1994 году) английским и американским
математиком Эндрю Уайлсом и его коллегами.
Знаменитая «Арифметика» Диофанта переведена и на
русский язык1. В книгу добавлены комментарии, в которых
результаты и методы Диофанта освещаются с современной
точки зрения. С этим первоисточником теории чисел, безусловно, будет интересно познакомиться неравнодушным
1

Диофант Александрийский. «Арифметика и книга о многоугольных числах». Перевод с древнегреческого И.Н. Веселовского.
Редакция и комментарии И.Г. Башмаковой. — М., Наука, 1974.

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

341

к математике школьникам, студентам и всем любителям
этой науки.
Для первоначального изучения теории чисел есть и не
столь древний источник, как «Арифметика» Диофанта, но
не менее значимый. К лучшим классическим книгам также
относят «Лекции по теории чисел» немецкого математика
Густава Лежена Дирихле1. С 1855 года Дирихле, будучи профессором Геттингенского университета, прочел цикл лекций,
которые остались в виде необработанных записей в тетради.
Эти записи и послужили основой для изданной в 1863 году
вышеупомянутой книги. Она была подготовлена к изданию
Рихардом Дедекиндом, который сделал к ней добавления
значительных размеров. По общему мнению специалистов,
все желающие получить серьезную математическую подготовку не могут пройти мимо этой замечательной книги.
Добавим только, что уже младших школьников знакомят с принципом Дирихле, который был сформулирован
им в 1834 году. Наиболее распространена следующая
формулировка этого принципа: «Если кролики рассажены
в клетки, причем число кроликов больше числа клеток,
то хотя бы в одной из клеток находится более одного
кролика».
Несмотря на очевидную спредливость принципа Дирихле, обращение к нему позволяет, в некоторых случаях,
решать весьма нетривиальные задачи.
Упомянем один любопытный факт из жизни этого
математика. В 1831 году Дирихле женился на Ребекке
Мендельсон-Бартольди, сестре знаменитого композитора Феликса Мендельсона-Бартольди, написавшего марш,
без которого у нас не обходится ни одно торжественное
бракосочетание. Впервые марш Мендельсона прозвучал
14 октября 1843 года в Потсдаме на премьере спектакля
«Сон в летнюю ночь» по одноименной пьесе Шекспира.
1
П.Г. Дирихле. «Лекции по теории чисел». — М., Книга по требованию, 2014.

342
О взгляде на математику
«со стороны»
Математика как наука вполне самодостаточна. Это означает,
что она может черпать идеи для своего развития «внутри
себя». В результате полотно математических знаний неограниченно растет, ее отдельные разделы становятся все
менее взаимосвязанными. Они разбегаются, как галактики,
и специалисты, работающие в разных математических «галактиках», все менее понимают друг друга. Но, к счастью,
математический язык используется в других науках. Это
дает возможность посмотреть на предмет «со стороны».
Пожалуй, самому сильному влиянию математика подвергается со стороны физики, критерием истины в которой
является опыт. Физики имеют собственное представление
о математике. В свое время Ньютон выразил свое отношение достаточно определенно: «Математики, которые все
открывают, исследуют и доказывают, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих…»
Правда, современные физики-теоретики от столь резкой
оценки открещиваются, так как сами постоянно в своей работе используют весьма сложные математические конструкции и не могут без них описывать физическую реальность.
С математической точки зрения пространство-время
являются непрерывными, то есть допускают неограниченный процесс деления. Однако физики утверждают, что
дискретность пространства-времени должна проявиться в
масштабах планковской длины s 1034 метра и планковского времени W 1044 секунды. Это кардинально меняет
взгляд студента-физика на стандартный курс математического анализа, значительная часть которого построена на
понятии предельного перехода и использовании связанных с этим понятием теорем. Но математики на отказ от
принципа непрерывности и возможности бесконечного
деления реагируют крайне болезненно. Ведь именно эта
концепция и лежит в основе математического здания. До-

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

343

статочно вспомнить действительные числа «сплошь» заполняющие числовую прямую.
Ярким подтверждением сказанного является реакция
математиков на выход книги «Высшая математика для начинающих»1, написанной выдающимся физиком-теоретиком
Я.Б. Зельдовичем. В этой книге Яков Борисович рассмотрел
целый ряд физических задач, в решении которых результаты были получены без предельного перехода, намного
проще, чем обычно. Математическую «не строгость» автор
оправдывал тем, что реальная физическая задача опирается
на результаты опытов, в которых измерение необходимых
параметров производится лишь с ограниченной точностью. У Зельдовича строгие доказательства на основе теории пределов и связанного с этим формализма заменены
«правдоподобными рассуждениями» и алгебраическими
преобразованиями. Но в большинстве простых и важных
для практики случаев так можно поступать, и результаты
строгого и «алгебраического» подхода совпадают.
Эта книга в свое время вызвала резкую критику. Вопросу о нецелесообразности переиздания этой книги было
посвящено открытое расширенное заседание Ученого совета Математического института Академии наук (МИАН).
И лишь благодаря научному авторитету Я.Б. Зельдовича
переиздание книги удалось отстоять.
Какой же вывод из сказанного следует сделать? При
изучении математики можно придерживаться разных
стратегий. Например, начинать с изучения теоретического материала и лишь после переходить к разбору задач.
Но можно и наоборот: после разбора нескольких простых
и показательных примеров переходить к формулировке
обобщающих теорем. Заинтересованному читателю стоит
учитывать существование обеих возможностей и выбирать
себе путь «по вкусу».
1
Зельдович Я.Б. «Высшая математика для начинающих и ее
приложение к физике», 6-е изд., ФИЗМАТЛИТ, 2010.

344
Об использовании
и чтении формул
Текст, который мы пишем на бумаге или набираем на
компьютере, — это в узком смысле информация, предназначенная другим людям. Но если текст имеет художественную ценность, то особое значение приобретает
любая написанная фраза и даже каждое авторское слово. Поэтому, например, никто не рассматривает исторический роман Р. Джованьоли «Спартак» в качестве пособия по истории Древнего Рима. Для этого существуют
учебники.
Художественное произведение «втягивает» читателя в
ткань повествования и делает его сопричастным происходящим событиям. Но один и тот же текст воспринимается
разными читателями по-разному в зависимости от их жизненного опыта, эмоционального настроя и литературного
вкуса. Следствием этого может быть широкий спектр мнений о происходящих в романе событиях.
Цель математического текста совершенно иная. Необходимо обеспечить совершенно одинаковое его понимание у любого квалифицированного читателя. Поэтому в
математике существует свой специфический весьма жесткий способ передачи информации.
Математический текст состоит из цепочки утверждений,
каждое из которых сопровождается доказательным рассуждением. Типичное математическое утверждение имеет
вид A B , где A — посылка, а B — заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки A C1 C2 } C n B следствий, каждый элемент
которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным ранее утверждением. Сами утверждения оформляются в виде формул, составленных из букв, чисел и
специальных математических знаков, смысл каждого из
которых общепринят всем математическим сообществом.

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

345

Таким образом достигается понимание текста любым математиком, в какой бы стране он не работал вне зависимости от его родного языка. Приведем пример такой математической записи:
(lim xn A) : H ! 0 NH ` : n ! NH (| xn A | H ) (*)
n of

Словесная «расшифровка» этой записи:
«Число A называется пределом последовательности
^ xn ` , если для любого положительного числа H существует номер NH , зависящий от H, такой, что для любых n,
больших NH , модуль разности между членом последовательности { xn } и A меньше числа H». То, что в данной
записи xn — числовая последовательность обычно следует из контекста.
Математики используют символьную запись (*) не
только потому, что она короче. Дело в том, что замена или
пропуск всего лишь одного слова (или даже простая их
перестановка) в словесной формулировке может затруднить ее понимание, а порой и вовсе сделать ее неверной.
Например, так бы и случилось, если бы мы пропустили слово «положительного». Символьная запись всегда однозначно выражает мысль автора, в то время как естественный язык громоздкий и двусмысленный. Впрочем, язык
математики не сводится к символьным записям и утверждениям. В любой математической статье используются
слова и обороты речи, позаимствованные из естественных
языков: «предположим, что...», «будем исходить из следующих аксиом» и т.п.

О тривиальном
и очевидном в математике
Один из студентов физического факультета МГУ рассказывал, что преподаватель с кафедры биофизики наткнулся в
своей же презентации на вывод формулы с комментарием

346
«очевидно». Он задумался на несколько минут и сказал:
«А два года назад мне это казалось очевидным».
Рассказывают, что похожая история произошла и
с крупнейшим специалистом по теории чисел Готфридом
Харди, который, по-видимому, произнес злополучные
слова «это очевидно», а затем сразу же понял, что это
не совсем так. Он посмотрел на доску, затем повернулся
и, не говоря ни слова, вышел из аудитории под удивленный шепот студентов. Спустя пять минут Харди вернулся
и произнес: «Действительно, это тривиально», после
чего повернулся к доске и продолжил лекцию. Правда
другие утверждают, что эта история произошла с Гильбертом.
Это довольно обычная история. Дело в том, что при записи статей или лекций по математике или физике авторы
нередко пропускают промежуточные шаги рассуждений,
чтобы уменьшить их объем. Заполнение этих пропусков
может, в некоторых случаях, стать заметной работой, особенно для читателей, которые не являются специалистами
в данном разделе математики. Нет точных определений
понятий «тривиально» и «очевидно». Обычно это означает, что читателю понадобится немного времени, чтобы
уяснить смысл написанного.
Нередкой бывает и другая ситуация. Автор псевдонаучной статьи хочет скрыть свою некомпетентность и
неоправданно насыщает ее научной терминологией. Дополнительно он может, например, умышленно удалить
значительную часть математических выкладок, скрыв их
за словосочетанием «после очевидных преобразований
получаем…». Таким образом он надеется достичь сразу
двух целей: помешать читателю разобраться в содержании и (в качестве дополнительного бонуса) привить ему
комплекс неполноценности.
Читатель математических статей должен вырабатывать
в себе стрессоустойчивость и быть готовым к любой из
приведенных ситуаций. В общем, это все нормально.

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

347

Об особенностях
математического мышления
Попытаемся выделить характерные черты, свойственные
именно математическому мышлению.
• Большинство математических теорий в той или иной
форме связаны с допущением бесконечности. Например,
Гильберт называл математический анализ, основы которого изучаются уже в школе, «единой симфонией бесконечного». Именно активное использование математиками
понятий «бесконечно большого» и «бесконечно малого» во многом определяет своеобразие математического
мышления. Поэтому многие математические рассуждения
обладают глубоким философским подтекстом, который
ощущается даже при внимательном прочтении аксиом,
лежащих в самой основе теории множеств.
Любой реальный физический объект имеет некоторые
(пусть и очень малые) размеры: протоны, нейтроны, электроны… Любой рассматриваемый промежуток времени,
сколь бы ни был он мал, конечен. Число песчинок на морском побережье очень велико, но конечно. Число атомов
во Вселенной огромно, но все же, конечно!
Математическая точка не имеет размеров. Математическая прямая не имеет ширины. Число точек даже на
отрезке от 0 до 1 бесконечно.
Можно (хотя бы в своем воображении) представить проверку некоторого условия для конечного количества объектов: для объекта № 1, для объекта № 2 и т.д. Но как проводить проверку, если количество объектов бесконечно? Например, если таким объектом являются натуральные числа?
При переходе к бесконечным множествам не удается
сохранить законы, выведенные из рассмотрения конечных
множеств, к примеру, закон о том, что «часть меньше целого».
Поиск способов сравнения бесконечных множеств, заставил
математиков выйти за рамки традиционного мышления. Основатель теории множеств Г. Кантор считал, что «сущность

348
математики заключается именно в ее свободе». Для него
это означало, что для законного введения нового понятия
достаточно, чтобы оно было непротиворечивым и были
определены его связи с уже существующими математическими конструкциями. В то же время одна из особенностей
математического мышления — научная интуиция, которая
является естественным ограничителем абсолютной свободы
выбора. Замечательный французский математик А. Пуанкаре в своей работе «Ценность науки» следующим образом
характеризует интуицию: «Чистый анализ представляет
в наше распоряжение много приемов, гарантируя нам их
непогрешимость; он открывает нам тысячу различных
путей, которым мы смело можем вверяться; мы уверены,
что не встретим там препятствий, но какой из всех этих
путей скорее всего приведет нас к цели? Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта
способность есть интуиция…» Разумное сочетание полной
свободы творчества и научной (рациональной) интуиции —
неотъемлемые признаки математического мышления.
• Еще одной отличительной чертой математического
мышления является дедуктивно-аксиоматический метод.
Смысл этого метода в том, что между базовыми положениями (аксиомами) и всеми остальными высказываниями
теории устанавливается отношение логической выводимости всех производных высказываний из основных, и в конечном счете — только из них.
• Есть черта, сближающая математику с естественными
науками. Может показаться странным, но многие математики находят закономерности в процессе наблюдения и
экспериментирования. В главе 17 мы наблюдали за изменением суммы нечетных чисел и установили, что
1 3 5 7 } 2n 3 2n 1 n2 . Такой экспериментальный способ установления закономерности математики
используют очень часто. И после этого приступают к строгому доказательству факта, в котором внутренне они уже
совершенно уверены.

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

349

Отметим еще три дополнительные особенности математического мышления, которые носят уже, скорее, психологический характер.
• В отличие от профессионалов, работающих исключительно с текстом, математики не склонны доверять словам.
Особенно это проявляется при решении сложных вопросов. В этом случае слова играют роль этикеток, фиксирующих возникающие идеи. Но почти повсеместный отказ от
использования слов не только не мешает, но и дает больший простор воображению и позволяет сосредоточиться
на формировании конструктивных идей. Ограничением
служат лишь законы логики, которые, впрочем, также могут быть обсуждаемы.
Литераторы «жестко привязаны» к словам. Обычно это
дает им преимущество, которым, однако, не всегда они
пользуются благоразумно:
«Бессодержательную речь
Всегда легко в слова облечь».1
Известно, что художественная речь реализуется в двух
основных формах: стихотворной и прозаической. Профессиональные литераторы выбирают (иногда не сразу)
в какой из этих форм они предпочитают специализироваться. Лишь некоторым из них удается успешно работать
и в прозе, и в поэзии.
Интересно, что некоторое подобие специализации наблюдается и у математиков. Часть из них преимущественно используют алгебраические методы, другие тяготеют
в своем творчестве к геометрии. Про первых говорят, что
они аналитики, и они ими остаются, даже решая задачи
геометрического содержания. Вторые остаются геометрами, даже когда занимаются чистым анализом. Но и те, и
другие признаются, что во многих случаях кроме логики
1
Гете И.Ф. «Фауст», перевод Б.Л. Пастернака. — Художественная литература, 1960.

350
используют интуицию, которая приходит на помощь при
решении особенно трудных задач. Такое различие «в природе ума» между людьми, успешно работающими в математике, вызывает интерес у психологов.
Несмотря на разницу психологического восприятия,
математики вполне соглашаются с физиком и врачом Германом фон Гельмгольцом, который определил характер
научного труда следующим образом:
«Я могу сравнить себя с путником, который предпринял восхождение на гору, не зная дороги; долго и с трудом взбирается он, часто вынужден возвращаться назад,
ибо дальше нет прохода. То размышление, то случай открывают ему новые тропинки, они ведут его несколько
далее, и, наконец, когда цель достигнута, он, к своему
стыду, находит широкую дорогу, по которой мог бы подняться, если бы умел верно отыскать начало».
Большинство математиков считают, что лаконичность
формул наделяет их своеобразной эстетической привлекательностью. Для подтверждения этого, на первый
взгляд, спорного утверждения, приведем всего три формулы:
x2 x 3 x 4 x5 x6 x7
e x 1 x }
2! 3! 4! 5! 6! 7!
eS i

1
1
1
1

}
1·3 1·3·5 1·3·5·7 1·3·5·7·9
1
e·S

1
2
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1 }

ГЛАВА 32. Особенности математического текста

351

Первая формула — разложение в ряд функции y e x .
Вторая — знаменитая формула Эйлера, в которой i — знак
мнимой единицы ( i
1) . Третья — формула, связывающая числа S и e, найдена индийским математиком С. Рамануджаном.
Взглянув на эти формулы, многие люди, не имеющие
никакого отношения к математике, согласятся с этим
утверждением. Красота геометрических образов и сравнительно недавно открытых математиками фракталов не
нуждается в доказательстве. Подтверждение этого каждый
из вас легко найдет на просторах интернета.
В младших классах, мы удивляемся красоте симметричных геометрических фигур: правильных многоугольников,
различных звездочек, снежинок, а в старших — говорим,
что у теоремы «красивое доказательство». И такое словосочетание ни у кого не вызывает недоумения. Любой профессиональный математик не сомневается в эстетической
привлекательности этой науки.
В одной из очень редких книг — «Руководство к измерению» Альбрехта Дюрера — изображен геометр, окруженный рабочими инструментами: линейками, циркулями,
оптическими приборами, картами полушарий… При изучении свойств геометрических фигур математики зачастую,
сами того не замечая, переходят таинственную границу
между научным исследованием и художественным творчеством. Это доказывает, что математика и искусство во многих случаях могут иметь области взаимопроникновения.
«Математика — это деятельность, управляемая
теми же правилами, что и симфонии Бетховена, картины
да Винчи и поэзия Гомера».
Эдвард Каснер, Джеймс Ньюмен в книге
«Математика и воображение»1.
1
Edward Kasner and James Newman «Mathematics and
Imagination», DOVER PUBLICATION, INC. Mineola, New York, 2001.

Учебное издание
СЕРИЯ «НАУКА ДЛЯ ВУНДЕРКИНДА»

Элькин Борис Михайлович
МАТЕМАТИКА НА ПАЛЬЦАХ
ДЛЯ ТЕХ, КТО НЕ НАШЕЛ Х
Шеф-редактор С.В. Якубова
Зав. редакцией Е.В. Ларина
Руководитель направления Е.В. Толкачева
Ведущий редактор В.Е. Каламина
Литературный редактор А.А. Шапошникова
Компьютерная верстка М.А. Лазуткиной
Технический редактор О.А. Лёвкин
Дата изготовления / Подписано в печать 07.09.2022. Формат 84x108 1/32.
Гарнитура «OfficinaSansITC». Печать офсетная. Усл. печ. л. 18,48.
Тираж 2000 экз. Заказ
.
Общероссийский классификатор продукции
ОК-034-2014 (КПЕС 2008); 58.11.1 — книги, брошюры печатные
Произведено в Российской Федерации
Изготовлено в 2022 г.
Изготовитель: ООО «Издательство АСТ»
ООО «Издательство АСТ»
129085 Российская Федерация, г. Москва,
Звездный бульвар, дом 21, строение 1, комната 705, пом. I, 7 этаж.
Наш электронный адрес: www.ast.ru
E-mail: ask@ast.ru
ВКонтакте: vk.com/ast_neoclassic
«АСТ баспасы» ЖШ(
129085 г. МKскеу, ЖMлдызды гNлзар, д. 21, 1 PMрылым, 705 бQлме, I жай, 7-Pабат.
БіздіV электрондыP мекенжайымыз: www.ast.ru
E-mail: ask@ast.ru
Интернет-магазин : www.book24.kz
Интернет-д2кен : www.book24.kz
Импортёр в Республику Казахстан ТОО «РДЦ-Алматы».
ZазаPстан Республикасында[ы импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС.
Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию,
в Республике Казахстан: ТОО «РДЦ-Алматы»
ZазаPстан Республикасында дистрибьютор
жKне Qнім бойынша арыз-талаптарды PабылдаушыныV
Qкілі «РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы P., Домбровский кQш., 3«а», литер Б, офис 1.
Тел.: 8(727) 2 51 59 89,90,91,92
Факс: 8 (727) 251 58 12 вн. 107; E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz
Тауар белгісі: «АСТ». Tндірілген жылы: 2022
`німніV жарамдылыP мерзімі шектелмеген.
`ндiрген мемлекет: Ресей. Сертификация Pарастырылма[ан