Author: Гусев И.Е.
Tags: издания для определенного назначения математика
ISBN: 978-5-17-100548-1
Year: 2017
Text
* 16 + _L л/ X / £
оо arctg » = 0 ху ±
V Уд - z х 3/4 £
УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ М
НАУКА
МАТЕМАТИКА
D = Ь2- 4ас
ДИСКРИПИНАНГ
И. Е. Гусев
УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ
НАУКА
МАТЕМАТИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ACT
УДК 087.5:51
ББК 22.1
Г96
Серия «Увлекательная наука» основана в 2016 году
Гусев, Игорь Евгеньевич.
Г96 Математика / И. Е. Гусев. — Москва : Издательство ACT, 2017.— 160 с.:
ил. — (Увлекательная наука).
ISBN 978-5-17-100548-1.
Вы уже много лет изучаете математику, но все еще пасуете перед многоэтажными
формулами и сложными теоремами? А может, вам, наоборот, нравится во всем
находить математические закономерности и пробовать свои силы в решении задач,
над которыми ломали головы лучшие математики мира? При любом из этих вариантов
наша книга создана именно для вас! Двигаясь от простого к сложному, от первых
идей Пифагора к математическому анализу, вы без труда разберетесь в правилах и
законах математики, узнаете, как известные ученые делали свои великие открытия,
а также научитесь решать необычные задачи, которые требуют не только знаний, но
и смекалки. А самое главное — эта книга написана просто и интересно. В отличие
от школьных учебников, здесь нет бесконечных формул и сухих научных теорий —
только понятные объяснения, аналогии, сравнения и красочные иллюстрации.
Для среднего школьного возраста.
УДК 087.5:51
ББК 22.1
ISBN 978-5-17-100548-1
© Оформление, обложка, иллюстрации
ООО «Интеджер», 2017.
© ООО «Издательство АСТ», 2017
© В оформлении использованы материалы,
предоставленные Фотобанком Shutterstock, Inc.,
Shutterstock.com, 2017
© В оформлении использованы материалы,
предоставленные Фотобанком Dreamstime, Inc.,
Dreamstime.com, 2017
Воображаемые узоры 3
ВООБРАЖАЕМЫЕ УЗОРЫ
Математик, как и художник и поэт, создает
узоры. И если его узоры долговечнее, то это
потому что они сотканы из идей.
Г. Харди, английский математик
Зта книга о царице наук — математике. Она
приводит в трепет некоторых своих «под-
данных», особенно в средней школе. Но
и щедро одаряет своими несметными богатства-
ми преданных ей. Или хотя бы почитающих ее.
Этого достаточно, чтобы понять то, о чем гово-
рится в данной книге. Ну, еще желательно пом-
нить хотя бы простейшие вещи из школьного
курса. Мы пойдем тропинками, ведущими от
него к самой современной математике: вектор-
ным пространствам, неевклидовой геометрии,
топологии, симметриям, группам и многому
другому. Попутно познакомимся с разделами
современной физики, в возникновении которых
математика сыграла решающую роль, напри-
мер общей теорией относительности, а также
некоторыми физическими терминами — квар-
ками, суперструнами.
y=cosx хЛ--.
Til J . 0 I > , X . J -
ЗНгт+1’ cx-Dihi’
; y=sin2x>x-T2x-o дАЬс
. >Jk-2x*+b ; S’*1-10x-3>X-2x4-3>0; x=5' 10 + (x.+|)ln5
—t~V । г~ I I ।
^у.,у^х>х=о/^;
А
22.х>-12
9
3 ^тг
|?х -цх-6>о ’
2
>2
‘ 7
;пХох+—к—-qosxA-'I+A
2. 2. 2 Ч 1 ь
9
2Ss
Т'ЗЖ1 3
11
(J I ' X О о
_ Г с£Л~
И vu v xcr-^4On;^42.TThl 6
~ГТ 1 "I"]-
4'4 oM_LAb, ь
6
к
4 Мера всех вещей
МЕРА ВСЕХ ВЕЩЕЙ
Господь сотворил целые
числа, а все остальное —
дело рук человека.
Л. Кронекер,
немецкий математик
Возникновение
математики
Математика, в широком
смысле слова понимае-
мая как всевозможное
использование чисел и геоме-
трических фигур, возникла не-
сколько тысячелетий назад. Она
создавалась усилиями многих
цивилизаций, ныне исчезнув-
ших. Наиболее значимыми сре-
ди них были Вавилон и Древний
Египет. Правда, там математика
так и не сформировалась в от-
дельную науку. Она не ставила
перед собой исследовательских
целей, а занималась решением
практических задач. Матема-
тика была своего рода инстру-
ментом, набором разрозненных
простых правил, позволявших
людям решать насущные про-
блемы: составлять календари,
определять сроки проведения
сельскохозяйственных работ, вес-
ти торговлю.
Все началось с греков
Математика как полноценная наука и средство позна-
ния природы — творение древних греков. Неизвест-
но, что заставило их прийти к новому пониманию
математики и ее роли, — не сохранилось описывающих этот
Афинская школа. Рафаэль Санти. 1511 г.
Мера всех вещей 5
процесс документов тех времен. Приходится
полагаться лишь на более или менее правдо-
подобные догадки историков.
Как бы то ни было, у греков начиная
с VI в. до н.э. сложилось о мире определен-
ное представление, в котором важная роль
отводилась математическим понятиям. Счи-
талось, что природа устроена разумно, все
события в ней протекают по точному и не-
изменному плану, который является матема-
тическим. Греки верили в силу разума, и по-
тому были убеждены, что если эту силу при-
ложить к изучению природы, то лежащий
в основе мироздания математический план
удастся разгадать.
«Команда»
Пифагора
Итак, план, по которому построена Все-
ленная, имеет математический характер.
Отсюда следует, что только математика
позволит человеку раскрыть этот план. Понят-
но, что вслед за рождением такой идеи стали
появляться варианты, или модели, устройства
мира.
Первой предложила свой вариант «мате-
матизированного плана» строения Вселенной
группа мудрецов, созданная Пифагором Са-
мосским (жил в 570 — около 490 гг. до н.э.). Эти
ученые, так называемые пифагорейцы, жили
на юге Италии в городе Кротон, хоть сами были
греками.
Пифагорейцев поразило, что весьма раз-
личные в качественном отношении явления
обладают одинаковыми математическими
свойствами. Значит, решили мудрецы, имен-
но математические свойства выражают сущ-
ность явлений. Если говорить более точно,
то пифагорейцы видели сущность явлений
в числе и числовых отношениях. В этих объ-
яснениях природы числу отводилась роль
начала начал. Пифагор находил таинствен-
ный смысл в числах и фигурах, говорил, что
«число составляет сущность вещей; сущность
предмета — число его».
Пифагорейцы считали, что все тела состо-
ят из фундаментальных частиц, «единиц бы-
Пифагор. Фрагмент фрески Рафаэля Санти
«Афинская школа». 1511 г.
тия», которые в тех или иных комбинациях
соответствуют различным геометрическим
фигурам. В сумме эти единицы представля-
ют собой материальный объект. Число счита-
лось материей и формой Вселенной. Отсюда
и основной тезис учения пифагорейцев: «Все
вещи суть числа». А поскольку число выража-
ло сущность всего, то объяснять явления сле-
довало только с помощью чисел.
Пифагорейцы представляли числа наглядно
в виде множеств точек (возможно, символизиро-
вавших частицы), расположенных в виде фигур,
которые могли представлять реальные объекты.
Например, множества и •
назывались соответственно треугольными
и квадратными числами и вполне могли обо-
значать (изображать) треугольные и квадрат-
ные объекты. Позже пифагорейцы развили
и усовершенствовали свое учение и начали во-
спринимать числа как абстрактные понятия,
а физические объекты — как их конкретные
реализации.
6
Мера всех вещей
ЧИСЛО И МУЗЫКА
Пифагорейцам принадлежит идея све-
дения музыкальных интервалов к про-
стым соотношениям между числами;
они пришли к этой мысли, совершив
два открытия. Первое — что высота зву-
ка, издаваемого колеблющейся струной,
зависит от ее длины, второе — что гар-
монические созвучия издают струны,
длины которых относятся между собой
как некоторые целые числа. Например,
гармоническое созвучие возникает, если
заставить колебаться две одинаково на-
тянутые струны, одна из которых вдвое
длиннее другой. Музыкальный интер-
вал между тонами, издаваемыми таки-
ми струнами, ныне называется октавой.
Другое гармоническое созвучие создают
две струны, длины которых относятся
как три к двум: в этом случае тон, издава-
емый более короткой струной, на квин-
ту выше тона более длинной. Длины лю-
бых двух струн, рождающих гармониче-
ское созвучие, действительно относятся
между собой как целые числа.
Пифагор изучает законы музыкальной
гармонии. Со средневековой гравюры.
Небесные тела
и математика
Движения планет пифагорейцы также свели
к числовым отношениям. Планеты не блужда-
ют хаотично среди звезд, как считалось ранее,
а перемещаются по устойчивым постоянным
путям — окружностям. Круговые движения не-
бесных тел свидетельствуют, что эти тела также
подчиняются законам математики. Кроме того,
пифагорейцы считали, что тела, двигаясь в про-
странстве, издают звуки. Им было известно, что
звуки — это результат движения, точнее, коле-
бания звучащего тела. Пифагореец по имени
Архит обнаружил, что высота тона (частота зву-
ка) прямо пропорциональна скорости движе-
ния тела и обратно пропорциональна его длине.
ЕСТЬ ТОЛЬКО ЧИСЛА...
Числа, по понятиям пифагорейцев, симво-
лизировали все на свете. Например, 1 обо-
значает точку, 2 — линию, 3 — геометри-
ческую фигуру, 4 — геометрическое тело,
5 — характеристики физических тел, в част-
ности цвет, 6 — жизнь, 7 — душу, 8 — любовь,
9 — справедливость, 10 — совершенство Все-
ленной.
Мера всех вещей
7
Пифагорейцы решили, что это открытие
является частным случаем общего правила
движения, которое распространяется не толь-
ко на звучащие, но и на видимые тела. По их
мнению, планеты движутся тем быстрее, чем
дальше они находятся от Земли. Звуки, изда-
ваемые планетами, изменяются в зависимости
от удаления от Земли и образуют гармони-
ческое созвучие. Эта «музыка сфер», подобно
всякой гармонии, сводится к числовым отно-
шениям, поэтому к ним же сводятся и движе-
ния планет.
о н
Плат
и его школа
Самой влиятельной после пифагорей-
цев группой мыслителей, расширившей
и распространившей учение о математи-
ческом плане, лежащем в основе природы, были
платоники, возглавляемые, как о том говорит
название школы, Платоном Афинским (427—
347 гг. до н.э.). Он был ведущей фигурой духов-
ной жизни Греции. Платон основал в Афинах
Академию — центр, который привлек к себе
многих интеллектуалов того времени и суще-
ствовал в течение девяти столетий.
Платон. Фрагмент фрески Рафаэля Санти
«Афинская школа». 1511 г. Этот образ художник
писал с Леонардо да Винчи.
Платон утверждал, что реальность и разумное
устройство физического мира могут быть постиг-
нуты только с помощью математики идеального
мира. То, что идеальный мир устроен на матема-
тических началах, не вызывало у мудреца сомне-
ний. Платон говорил: «Бог всегда является геоме-
тром». В математике геометром был сам ученый,
а потому о его математических достижениях мы
больше поговорим в главе, посвященной геоме-
трии.
Здесь же только упомянем о том, что мате-
матические законы платоники считали вечными
и неизменными, а не только сущностью реально-
сти. Кажется, в этом они были правы!
Академия Платона. Мозаика из города Помпеи.
8 Мера всех вещей
Есть начало
— нет конца
АЛЕКСАНДР И АЛЕКСАНДРИЯ
Памятник Александру Македонскому
на его родине — в Македонии.
В ходе своих грандиозных завоеваний Алек-
сандр Македонский (356—323 гг. до н.э.) ос-
новал в Египте новый город и назвал его
Александрией. Именно там Евклид напи-
сал свои «Начала». Ему также принадлежат
сочинения по механике, оптике и музыке,
в которых основная роль отведена матема-
тике. Последняя рассматривалась как иде-
альная основа реального мира. Ряд теорем
Евклида стали новым знанием о свойствах
геометрических фигур и целых чисел.
Первое известное нам логически после-
довательное изложение основ матема-
тики содержится в трудах знаменитого
Евклида. Он написал несколько сочинений. Из
дошедших до нас наиболее знамениты «Нача-
ла», состоящие из 15 книг (сам Евклид написал
13 книг «Начал», позже к ним прибавились еще
две, принадлежащие другим авторам). Все эти
сочинения построены по единой логической
схеме. Каждая из книг начинается определени-
ем понятий (точка, линия, плоскость, фигура
и т.д.), которые в ней используются, а затем на
основе небольшого числа основных положений
(5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без до-
казательств, строится вся система соответствую-
щих разделов математики.
Евклид. Фрагмент фрески Рафаэля Санти
«Афинская школа». 1511 г.
Фрагмент «Начал» Евклида, найденный
в древнеегипетском городе Оксиринх.
Евклид (365—300 гг. до н.э.) — древнегрече-
ский математик. Работал в Александрии в
IV в. до н.э., в эпоху царствования Птоле-
мея I. Однажды Птолемей решил изучить
геометрию. Но оказалось, что сделать это
не так-то просто. Тогда повелитель при-
звал Евклида и попросил указать ему лег-
кий путь к математике. «К геометрии нет
царской дороги»,— ответил ученый.
Евклид основал в Александрии матема-
тическую школу и написал в 325 г. до н.э.
главный свой труд по геометрии под об-
щим названием «Начала».
Мера всех вещей
9
VII, VIII и IX книги «Начал» Евклида содер-
жат сведения о числах. А точнее, они посвящены
теории целых и рациональных чисел. В одном
из этих томов автор приводит, например, такие
определения: »Единица есть то, через что ка-
ждое из существующих считается единым; число
же — это множество, составленное из единиц».
Древние греки ввели также отношения це-
лых чисел, которые позже получили название
дробей.
Натуральные
числа
Из всех видов чисел важнейшими Пифагор
считал натуральные. «Натуральные» бук-
вально означает «естественные». Для лю-
дей далекого прошлого такие числа были есте-
ственными, потому что использовались для сче-
та предметов, животных или, допустим, звезд.
Числа записывались в виде черточек-зарубок
на деревьях либо костях. Со временем начали
применять особые знаки — цифры — для запи-
си групп таких черточек. Например, в Древнем
Египте число 10 обозначалось иероглифом п.
Современные цифры — 0, 1, 2, ..., 8 и 9 —
были придуманы полторы тысячи лет назад
в Индии и завезены в Европу арабами. Поэто-
му их прозвали арабскими. С помощью цифр
можно записать любое натуральное число. Спо-
собы записи чисел в виде, удобном для прочте-
ния и выполнения арифметических операций,
называются системами счисления. В настоящее
время наиболее употребимой является пози-
ционная десятичная система счисления: для за-
писи любого числа используются 10 цифр — 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; при этом значение каждой
цифры определяется ее местом в записи числа.
Множество всех натуральных чисел часто
обозначается как N.
Операции
с натуральными числами
Какие «блюда» можно приготовить из та-
ких чисел? Прежде всего, построить в ряд
согласно величине каждого, как школьни-
ков на уроке физкультуры по росту. Получаем:
1,2, 3,4, ...,8,9,10,11, ...
(0 не считается натуральным числом). Эта по-
следовательность называется натуральным
рядом. Очевидно (это слово математики не
любят), что он не имеет конца. В самом деле,
как только мы доходим до некоторого чис-
ла и, вслед за ним сейчас же можно напи-
сать ближайшее к нему натуральное число
п + 1. В таком случае говорят, что этих чисел су-
ществует бесконечное множество.
ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
(х + у)2 = х2 + 2ху + у2
(х + у)3=х3+
+ 3ху2+у3
00 Натуральные числа
ООО
- оооо
Опорные
Q Q (Л О V (базисные)
О О ф ф 0 о чисм_
ОФФФФОО
0ОФФФФОО
О фффффоо
«Цветочный» узор 5x21x20 10x6x35
Узор (рисунок) «клюшка» 1+3+6+10+15+21 56
Существует любопытнейшая конструк-
ция из натуральных чисел — треуголь-
ник Паскаля. Он образован рядами чисел,
расположенных сверху вниз. Количество
чисел в каждом ряду на одно больше, чем
в вышележащем. Каждое число, кроме бо-
ковых, равно сумме двух над ним располо-
женных (3 = 2 +1,10 = 4 + 6).
10 Мера всех вещей
Пойдем дальше. Над натуральными числа-
ми можно проводить две основные операции:
сложение и умножение. Отметим, что эти опе-
рации применяются и ко многим другим мате-
матическим объектам. Правда, их смысл может
отличаться от привычного нам. Впрочем, к это-
му мы еще не раз обратимся в дальнейшем.
А пока вернемся к натуральным числам.
Итак, сложение. Если а и Ъ — два натураль-
ных числа, то их сумма обозначается как а + Ь.
Древние люди научились складывать числа
раньше, чем проводить с ними другие опера-
ции. Если вспомним, что первоначально они
определяли число количеством черточек, то
поймем, что порядок сложения не влияет на
сумму. Поэтому
а + b = b + а. (1)
Это свойство называется коммутативным
(переместительным) законом сложения.
Другое свойство этой операции
а + (Ь + с) — (а + Ь) + с (2)
именуется ассоциативным (сочетательным) за-
коном сложения.
Умножение люди освоили гораздо позже.
Оно означает сопоставление двум числам а и b
(называемым сомножителями) третьего числа с
(называемого произведением):
ab = с.
Иными словами, произведением натураль-
ных чисел а и b считается число с, равное сумме
b слагаемых, каждое из которых равно а. То есть
произведение определяется через сложение.
Результат умножения числа на самого себя
а ' а обозначается как а2 и называется квадратом
числа а. Произведение из к одинаковых сомно-
жителей а • а • а •...• а пишут в виде ак и назы-
9x2=79
9 X 2 = 18
9 х 3 = 27
9 X = 36
9 х 5 М5
9X6=5-?
9X7 = 63
9 X 8 = 72
9 X 9 = 82
9 х 10 = 90
вают к-й степенью числа а. Само натуральное
число к называется показателем степени.
ЗАДАНИЕ 1
Попробуйте найти все натуральные чис-
ла, которые больше своей последней циф-
ры в 5 раз.
Подсказка: подумайте, чему может быть
равна последняя цифра искомого числа.
Произведение также подчиняется опреде-
ленным правилам:
ab = Ьа, (3)
a(bc) = (ab)c. (4)
Первое называется коммутативным законом
умножения, второе — ассоциативным законом
умножения.
ЗАДАНИЕ 2
Упростите выражение
Наконец, последний — пятый — закон на-
туральных чисел устанавливает правила сочета-
ния первых двух операций:
а(Ь + с) = ab + Ьс. (5)
Он называется дистрибутивным (распре-
делительным) законом и говорит нам, что при
Мера всех вещей 11
умножении суммы на некоторое целое число
можно умножить на это число каждое слагаемое
и полученные произведения сложить.
ЗАДАНИЕ 3
Попытайтесь выразить число 1000 восе-
мью одинаковыми цифрами. Кроме цифр
разрешается пользоваться также знаками
действий.
Механический калькулятор 1950-х гг. Германия.
Зачем делить
числа на группы
В математике изучается большое количе-
ство объектов самой разной природы и
свойств: числа, функции, уравнения и
другие. Назовем группы объектов одной приро-
ды категориями (или классами). Натуральные
числа — простейшая из математических кате-
горий. Но уже для них устанавливаются опре-
деленные правила, с тем чтобы с ними можно
было работать. Так вот, любая категория, то есть
объекты одинаковой математической природы,
определяется через задание свойств операций,
которые над ее объектами производятся. Пока
это утверждение звучит туманно, но в дальней-
шем мы встретимся со многими как знакомы-
ми, так и «экзотическими» представителями
математического «зоопарка», и сказанное ста-
нет ясным.
Поясним. Есть такие любопытные штуки —
матрицы. Это таблички, имеющие строки и
столбцы. У них, как и у чисел, имеется операция
сложения. Однако уже на этом этапе возникают
ограничения. В отличие от чисел, складывать
друг с другом можно не любые две матрицы, а
лишь те, у которых равное количество строк и
равное количество столбцов. Матрицы также
можно перемножать по определенному прави-
лу. Но опять же выборочно, при условии, что
количество столбцов одной матрицы-сомно-
жителя равно количеству строк второй матри-
цы-сомножителя. Наконец, при соблюдении
этого условия для матриц А и В в общем случае
АВ * В А (хотя бывают и исключения). Вот такая
странная «арифметика».
Что еще можно
«выжать»
полезного из 1\1
Натуральные числа естественно сравнивать
между собой. Ведь мы постоянно сравни-
ваем то, что имеем, с тем, что есть у дру-
гих (то есть чего не имеем). Если у вас 10 рублей,
а у друга 12, то этот факт выражается в виде
10 < 12 или 12 > 10. Это — неравенства. В общем
случае пишут а < b (а меньше, чем Ь) и b > а (Ь
больше а). На основе последнего неравенства
вводится операция вычитания:
с = Ь — а.
Число с зовется разностью чисел Ьма.
Если допустить, что b = а, то с = 0. Это осо-
бое число: натуральные числа не считают его
своим, но обойтись без его символа не могут
(10, 30, 1000...). У него имеются две особенно-
12 Мера всех вещей
сти (даже три, но о третьей позже): для любого
натурального числа а
а + 0 = а;а 0 = 0.
Современный калькулятор.
Деление и делимость
Следующая операция над натуральными
числами — деление. Это нахождение од-
ного из сомножителей по произведению
и другому сомножителю. Исходное произве-
дение называется делимым, данный сомножи-
тель — делителем, результат — частным.
Деление можно записывать по-разному:
а
а : Ь, или — или alb.
b
Говорят, что целое число а делится на целое
Л # 0, если частное alb является целым, т.е. суще-
ствует такое целое число с, что а = Ьс. В таком слу-
чае число b называется делителем числа а, кото-
рое, в свою очередь, считается кратным числу Ь.
Например, 48 делится на 6, так как 48 = 6 8.
Поэтому 6 и 8 — делители числа 48, которое
кратно каждому из этих чисел (а также числам
1, 2, 3,4,12,16 и 24 и к тому же самому себе).
Возможность деления а на b можно выра-
зить по-разному:
• число а делится нацело на число Ь;
• число b является делителем числа а;
• число а кратно числу Ь, число а является
кратным числа Ь.
Если частное с = а : b не является натураль-
ным числом, то принято говорить, что а не де-
лится (нацело) на Ь. Натуральные числа, деля-
щиеся на 2, называются четными, все прочие —
нечетными.
Число 0 делится на любое число, отличное
от нуля.
ЗАДАНИЕ 4
Как разделить 7 яблок между 12 мальчи-
ками, если ни одно яблоко нельзя резать
больше, чем на пять частей?
Основные признаки делимости натураль-
ных чисел:
• в том случае если каждое слагаемое де-
лится на некоторое число, то и сумма делится
на это же число;
• когда в произведении хотя бы один из
множителей делится на некоторое число, то
и произведение делится на это число;
• натуральное число делится на 2 лишь
в том случае, когда последняя цифра делится на 2;
• натуральное число делится на 5 тогда,
когда его последняя цифра либо 0, либо 5;
• натуральное число делится на 10 в том
случае, если его последняя цифра 0;
• натуральное число, состоящее не менее
чем из трех цифр, делится на 4 только тогда, ког-
да делится на 4 двузначное число, образованное
последними двумя цифрами заданного числа;
• натуральное число делится на 3 только
тогда, когда сумма его цифр делится на 3;
• натуральное число делится на 9 только
тогда, когда сумма его цифр делится на 9;
• натуральное число делится на 11, если
разность между суммой цифр, стоящих на чет-
ных местах, и суммой цифр, стоящих на нечет-
ных местах, делится на 11 или равна нулю.
ЗАДАНИЕ 5
Напишите какое-нибудь девятизначное
число, в котором нет повторяющихся
цифр (все цифры разные) и которое де-
лится без остатка на 11.
Простые числа
Среди натуральных чисел особо выделяют
те, которые делятся только на себя и на 1.
Такие числа называются простыми. На-
пример: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37... Их бесконечно
много. Прочие натуральные числа называют со-
ставными. Между этими двумя группами чисел
есть связь: каждое составное число может быть
Мера всех вещей 13
разложено на простые множители: 12 = 2 2 3;
35 = 5- 7; 51 = 3-17. Два числа, не имеющие ника-
ких общих делителей кроме 1, называют взаим-
но простыми.
-.сП
Это все простые числа.
Таким образом, простые числа — это свое-
образные «кирпичики», или «атомы», из кото-
рых построены все натуральные числа. Сколько
существует атомов различных типов, можно
узнать из таблицы Менделеева. Очевидно, их
количество конечно, то есть ограничено. А вот
простых чисел существует бесконечное множе-
ство. Первое строгое доказательство этого факта
дал Евклид.
ЗАДАНИЕ 6
Известно, что р > 3 и р — простое число,
т.е. оно делится только на единицу и на
себя само. Как вы думаете: а) будут ли чет-
ными числа (р +1) и (р -1)? б) будет ли хотя
бы одно из них делиться на 3?
Подсказка: вспомните, что р — простое
число, т.е. не делится ни на что кроме еди-
ницы и самого себя.
Как ученые разлагают молекулы на атомы, так
и математики любят разлагать натуральные числа
на простые сомножители. В этом занятии им уда-
лось установить немало интересных законов.
Во-первых, каждое составное число может
быть представлено как произведение простых.
Его можно последовательно разлагать на мно-
жители до тех пор, пока все они не окажутся
простыми, например: 60 = 2 30 = 2 2 15 =
= 2 • 2 • 3 • 5.
Следующее утверждение относится к тем
самым великим математическим загадкам, ко-
торые просто формулируются, но очень трудно
доказываются (или не доказываются вообще).
ЗАДАНИЕ 7
Пусть р — простое число. Докажите, что
8р2 +1 — простое число только при р = 3.
Проблема Гольдбаха
Формулировка этого утверждения предельно
проста. В нем говорится, что каждое четное число
больше 2 можно представить как сумму двух про-
стых чисел. Впервые это утверждение выдвинул
немецкий математик Христиан Гольдбах в 1742 г.
Из него следует, что 10 можно записать в виде сум-
мы 3 + 7 или 5+5, где 3,5 и 7 — простые числа. Дру-
гая (менее известная) формулировка утверждения
Гольдбаха говорит о том, что любое нечетное
число, большее или равное 9, можно представить
в виде суммы трех простых чисел. Так, 13 = 3 + 3 + 7 =
= 3 + 5 + 5.
Первое утверждение называется сильной
проблемой Гольдбаха, а второе — слабой про-
блемой Гольдбаха.
Христиан Гольдбах.
14 Мера всех вещей
С тех пор как Гольдбах выдвинул эту гипоте-
зу, математики не сомневались, что она верна.
Тем не менее никто пока не сумел ее доказать.
ЗАДАНИЕ 8
Дело было в 1932 г. Внуку было тогда ров-
но столько лет, сколько выражают по-
следние две цифры года его рождения.
Когда внук рассказал об этом соотноше-
нии деду, тот заявил, что с его возрастом
выходит то же самое. Сколько же лет
было внуку и деду?
Поиск общей
формулы
Не одно столетие математики пытаются
найти несложные формулы, которые да-
вали бы только простые числа, хотя бы
без требования, чтобы они давали все простые
числа. Вот пример — простое и удобное выра-
жение, дающее много простых чисел:
f(n) = п2-п + 41,
где п — натуральное число.
При п = 1, 2, 3,..., 40 f(ri) есть простое число;
но уже при п = 41 У(41) = 412. То есть приведенная
формула работает при условии п < 40.
Еще больший набор простых чисел дает
формула
п2 - 79п + 1601
до п = 79 включительно; при п = 80 получается
составное число.
Честно говоря, поиски несложных формул,
дающих только простые числа, оказались без-
успешными. Еще хуже обстоит дело с нахожде-
нием такой формулы, которая давала бы только
простые числа, притом все их.
ТЕОРЕМА ТАО
В 2012 г. известный специалист по теории
чисел Терренс Тао показал, что всякое не-
четное число представимо как сумма не
более чем пяти простых чисел.
Сравнения по модулю
При рассмотрении делимости целых чисел
на некоторое определенное целое число
п удобно пользоваться так называемым
отношением сравнения, введенным немецким
математиком Гауссом.
Говорят, что два целых числа а и b сравнимы
по модулю натурального числа п, если при де-
лении на п они дают одинаковые остатки. Это
означает также, что разность а-b делится на п.
Так, 27 и 32 сравнимы по модулю 5, поскольку
их остаток при делении на это число равен 2.
27 : 5 = 5 (2 в остатке), 32 : 5 = 6 (2 в остатке). При
этом 32 - 27 = 5.
Утверждение о сравнимости чисел а и b по
модулю п записывают в виде: а = Z>(mod и).
Отношения сравнения обладают рядом
свойств.
Пусть а = b (mod п), c = d (mod п).
Тогда: а + с = b + d (mod п),
а-с = b-d (mod п),
ас = bd (mod п).
Таким образом, сравнения по одному и тому
же модулю можно складывать, вычитать и ум-
ножать.
Пусть ab = 0 (mod п) и числа а и п взаимно
просты. Тогда b = 0 (mod п).
Сложение и умножение
по модулю
Теперь поговорим подробнее о том, как
проводятся арифметические операции
с числами по модулю. Допустим, что име-
ется последовательность целых чисел от нуля
до п -1, где п — некоторое натуральное число:
{0,1,2,3, ..., и-2, и -1}. (6)
Например, если п = 12, то наша последователь-
ность совпадает с числами на циферблате часов.
Показания значений часа, отличающиеся на 12
(1 и 13, 2 и 14,..., 7 и 19 и т.д.), есть числа, сравни-
мые по модулю 12 (т.к. 13-1 = 14- 2= ... = 12).
Возвращаясь к случаю произвольного п, сло-
жим любые два числа из множества (6). Если сум-
ма будет больше п, то вычтем из нее это самое п
и получим в результате число из того же множе-
ства (6). Это и будет сложение по модулю п.
Мера всех вещей 15
ТЕОРЕМА ЧЕНА
Она утверждает, что всякое достаточно
большое четное число представимо либо
в виде суммы двух простых чисел, либо
в виде суммы простого и полупростого
(произведение двух простых) чисел.
Отметим, что на указанном множестве чи-
сел в операции сложения по модулю роль нуля
играет само число п. В самом деле, прибавление
его к любому из этих чисел приводит к тому же
самому (по модулю!) числу (для часов 17 = 5 + 12 =
= 5 mod (12)).
Любые два числа из после-
довательности (6) можно пе-
ремножить. Разумеется, про-
изведение может «улететь»
далеко за пределы этой по-
следовательности. Несмо-
тря на это, среди ее членов
всегда найдется число, ко-
торое отличается от по-
лученного произведения
на число, кратное п.
ЧИСЛА МЕРСЕННА
Так называются числа вида 2р -1, где р — про-
извольное целое число, называемое показа-
телем. Свое название такие числа получили
в честь французского монаха Марена Мер-
сенна, являвшегося по совместительству
математиком. Он наткнулся на эти числа в
поисках универсальной формулы, которая
позволяла бы перечислять все простые чис-
ла. В1648 г. монах высказал предположение,
что числа вида 2^-1 должны быть просты-
ми для показателей 2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 67,
127, 257 и составными для всех остальных
целых чисел, не превосходящих 257. В про-
шлом столетии математики выяснили, что
на самом деле список показателей, дающих
простые числа Мерсенна и не превосходя-
щих 257, выглядит следующим образом: 2,3,
5, 7,13,17,19, 31, 61, 89,107 и 127. Это первые
12 простых чисел Мерсенна.
В заключение этого раздела познакомим-
ся еще с одним понятием, встречающимся в
теории чисел. Пусть в выражении (6) п = р, где
р — натуральное простое число. Кроме того,
удалим из (6) число 0, тогда наше множество
будет состоять из р — 1 членов:
{1,2,3, ..., р-2, р-1}. (7)
На нем обычным образом вводятся опера-
ции сложения и умножения его членов друг
с другом по модулю р. Оно имеет специальное
название — конечное поле с р элементами. Та-
кие множества играют важную роль в матема-
тике (например, при решении сложных алге-
браических уравнений).
ЧИСЛО ДЛИННЕЕ
«ВОЙНЫ И МИРА»
В 2013 г. математик Кертис Купер обнару-
жил 48-е простое число Мерсенна. Деся-
тичная запись такого числа состоит из бо-
лее чем 17 млн знаков. Для сравнения:
в романе «Война и мир» Л. Н. Толстого
всего около 3,1 млн символов.
16 Мера всех вещей
Как сложить
много чисел
В математике часто приходится сумми-
ровать числа, связанные друг с другом
какой-либо зависимостью. Простейшей
задачей такого рода является следующая: найти
сумму первых п натуральных чисел:
S = 1 + 2 + 3 + ... + и. (8)
Запишем это выражение «задом наперед»:
5 = и + (и-1) + (и-2) + ... +3 + 2 + 1. (8а)
Теперь сложим (8) и (8а), объединяя первые,
вторые члены и т.д.:
2S = (п + 1) + (п + 1) + (п + 1) + ... + (п + 1) +
+ (п + 1) + (п + 1).
В правой части полученного равенства — п
одинаковых членов вида (п + 1). Поэтому
2S = п (п + 1),
откуда получаем искомый результат:
(9)
Следующая задача подобного типа состоит
в нахождении суммы квадратов п первых нату-
ральных чисел:
S = 1+4 + 9 +...+и2. (10)
К сожалению, простой метод, примененный
в предыдущем примере, не подходит. Чтобы не
утомлять читателя, мы не приводим здесь выво-
да искомой формулы, а лишь укажем итог:
s _ и (и + 1)(2и + 1) (11)
6
Для особо отважных, желающих вывести
эту формулу, дадим подсказку. Используйте
формулу куба суммы (п + I)3 = п3 + Зи2 + Зп + 1,
перенесите п3 в правую часть и распишите по-
лученное равенство для всех п = 1, 2, 3, ..., п. Да-
лее — простор для творчества.
ЗАДАНИЕ 9
Выведите из (9) формулу для суммы (п + 1)
первых членов любой арифметической
прогрессии:
Р = (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) + ... + (а + nd) =
= 1/2(и + 1)(2я + nd),
где d — разность прогрессии.
ЗАДАНИЕ 10
Найдите формулу для вычисления суммы
первых п нечетных чисел:
S = l + 3 + 5 + ... + 2п — 1.
+ lf/50# .f +-^600+- 9-S.flflo + у- О /- 6%.<ЮС ~ №
+ 6600 tefad /fy) Лм xb^io
Мера всех вещей 17
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
При умножении на 5 последняя цифра не
изменилась, значит, она была 0 или 5. Если бы
последняя цифра была 0, то все число было бы
О, а мы ищем натуральные числа. Значит, по-
следняя цифра была 5. А все число — 25.
Ответ: 25.
Задание 2
Используем свойства степеней: ах • ау = ах+у.
В числителе получим: а5 а3 а2 = а5~3+2= cd, а в зна-
менателе: cd ст4 ст1 = а3 ~4~1= сг2. В результате по-
лучим: аЧсг2 = а6.
Задание 3
888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.
Задание 4
Надо сначала разделить между мальчика-
ми 3 яблока (каждому достанется по четверти
яблока), а затем разделить между ними остав-
шиеся 4 яблока (каждому — по трети).
Задание 5
Чтобы решить эту задачу, надо знать при-
знак делимости на 11. Вот один пример —
352 049 786. Проверим его: 3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22,
5 + 0 + 9 + 8 = 22. Разность 22 - 22 = 0. Следова-
тельно, взятое число кратно 11.
Наибольшее из всех таких чисел —
987 652 413, наименьшее — 102 347 586.
Задание 6
Поскольку р — простое число, то среди де-
лящихся на 2 его не будет, а среди трех после-
довательных чисел (р -1), р, (р + 1), хотя бы одно
обязательно делится на 2, но это не р. Значит,
ответ задачи положительный.
Для 3 задача решается аналогично, ответ
положительный. Здесь мы пользуемся тем, что
простое число не может делиться на 2 или 3. Но
это не всегда так. Есть два простых числа 2 и 3,
для которых эти соображения неверны. Одна-
ко в условии указано, что р > 3, поэтому можно
пользоваться этим свойством.
Ответ: а) да; б) да.
Задание 7
При р = 3 8р2 + 1 = 73 — простое число. Мы
достигнем поставленной цели, если докажем,
что в случае р # 3 выражение 8р2+1 будет состав-
ным числом.
Очевидно, что из всех чисел, кратных трем,
только само 3 является простым. Пусть р # 3.
Тогда р = Зк ± 1. Получим: 8р2+ 1 = 8(3k ± 1)2+ 1 =
= 8(9k2±6k + l) + l = 72k2±48k + 9 = 3(24k2±16k + 3).
Отсюда видно, что если р = Зк ± 1, то есть
р # 3, то число 8р2+1 составное. А это и означает,
что только при р = 3 число 8р2+1 будет простым.
Что и требовалось доказать.
Задание 8
Ясно, что внук родился в XX в. Первые две
цифры года его рождения, следовательно, 19 —
таково число сотен. Число, выражаемое осталь-
ными цифрами, будучи сложено с самим собою,
должно составить 32. Значит, это число 16: год
рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX в.; первые две
цифры года его рождения — 18. Удвоенное чис-
ло, выражаемое остальными цифрами, должно
составить 132. Значит, само это число равно по-
ловине 132, т.е. 66. Дед родился в 1866 г., и ему
в 1932 г. было 66 лет.
Таким образом, и внуку, и деду в 1932 г. было
столько лет, сколько выражают последние две
цифры годов их рождения.
Задание 9
Р = а + (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) + ... + (а + nd) =
= а(п + 1) + 4(1 + 2 +... + п) = а(п + 1) + d- +
= ^-^-(2a + nd).
Задание 10
Сложим попарно крайние члены этой сум-
мы: первый с последним, второй с предпослед-
ним и т.д. Всего таких парных сумм будет п/2,
а искомая сумма выразится как
S = [1 + (2п -1)] + [3 + (2п - 3)] + ... = 2п-^=п2.
18 Действительные числа
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Отрицательные
числа
Вспомним операцию вычитания натураль-
ных чисел:
с = Ь-а,
где число с (разность чисел h ia а) также предпо-
лагается натуральным. Это возможно только при
условии b > а, в противном случае эта операция
не выполнима на множестве натуральных чисел.
А хотелось бы уметь вычитать во всех случаях.
Пусть а > Ь. Рассмотрим разность а - b =
= d > 0. Тогда b - a = -d. Назовем число -d отри-
цательным.
Физический смысл отрицательных чисел
легко увидеть, посмотрев на термометр.
Интерпретация положительных (слева)
и отрицательных (справа) чисел.
50
40
30
20
10
0
II ||||| 11|||| н||| I н||| Н||г l|l нн|| III ||||111|||1 н||| I н||| I
Действительные числа 19
Отрицательные температуры — это тем-
пературы, меньшие нуля градусов. Отрица-
тельные числа — это числа, меньшие нуля.
В результате получаем новое множество чи-
сел — множество всех целых чисел, как поло-
жительных (то есть натуральных), так и отри-
цательных.
По своему «физическому» смыслу отри-
цательное число означает уменьшение, убыль
имеющегося количества. Причем теперь это на-
чальное количество может и не быть положи-
тельным числом: складывая два отрицательных
числа, получаем новое отрицательное число,
равное по модулю сумме модулей слагаемых.
РОДОМ из ИНДИИ
Первым отрицательные числа ввел ин-
дус Брахмагупта в 628 г. Он сформулиро-
вал правила четырех арифметических
действий над отрицательными числа-
ми. Позже индийский же математик
XII в. Бхаскара обратил внимание на то,
что квадратный корень из положитель-
ного числа имеет два значения — поло-
жительное и отрицательное. Бхаскара
рассмотрел также вопрос о квадратном
корне из отрицательных чисел и при-
шел к выводу, что такой корень не су-
ществует, так как иначе его квадрат
должен быть отрицательным числом,
а отрицательное число не может быть
квадратом.
Задать множество объектов — значит опреде-
лить операции над ними. Проще это сделать, введя
понятие модуля любого числа х согласно правилу:
1x1 = х, если х > 0;
1x1 = -х, если х < 0.
Очевидно, что модуль любого числа есть
всегда число положительное. Для примера:
на предыдущем рисунке слева 1201= 20, спра-
ва 1-101 =10.
Операции
с отрицательными числами
Теперь множество известных нам чисел
выросло вдвое: оно включает как поло-
жительные, так и отрицательные числа.
На этом множестве, как и на множестве нату-
ральных чисел, можно проводить сложение,
вычитание и умножение. В определенных слу-
чаях возможно и деление.
А сумма двух чисел, имеющих разные зна-
ки, есть число, которое имеет тот же знак, что
и слагаемое с большим модулем; чтобы найти
модуль суммы, надо из большего модуля вы-
честь меньший.
Произведением двух целых чисел называ-
ется число, удовлетворяющее следующим ус-
ловиям:
1) произведение двух положительных чисел
есть число положительное и находится по пра-
вилам, определенным на множестве положи-
тельных чисел;
2) произведение двух отрицательных чисел
есть число положительное; произведение двух
чисел, имеющих разные знаки, есть число отри-
цательное. Чтобы найти модуль произведения,
надо перемножить модули этих чисел.
Вычитание и деление целых чисел опреде-
ляются как действия, обратные соответственно
сложению и умножению. Вычитание на множе-
стве целых чисел выполняется всегда. В отличие
от деления, которое на множестве целых чисел
возможно лишь тогда, когда частное само будет
целым числом (неважно, положительным или
отрицательным). При этом знак частного опре-
деляется по тому же правилу, что и при умно-
жении:
-48 48 48 о
---—---—----— —8.
6-6 6
20 Действительные числа
Наконец, для множества всех целых чисел
справедливы те же законы сложения и умноже-
ния, что и для чисел натуральных (коммутатив-
ный, ассоциативный и дистрибутивный).
ОТРИЦАЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
Счетная машина, изобретенная Паска-
лем в 1642 г. в возрасте 19 лет, могла скла-
дывать и вычитать числа.
Большинство математиков XVI—XVII вв.
не признавали отрицательные числа на-
стоящими корнями алгебраических урав-
нений. По поводу таких чисел среди них
бытовали самые нелепые предрассудки.
Французский математик Виет полностью
отвергал отрицательные числа. А Паскаль
считал, например, вычитание числа 4 из
0 операцией, лишенной всякого смысла.
Он утверждал: «Я знаю людей, которые
никак не могут понять, что если из нуля
вычесть четыре, то получится нуль».
щее нулю), указать единичный отрезок (соответ-
ствующий числу 1) и определить направление (то
есть порядок расположения чисел при их возрас-
тании). Такая прямая называется координатной,
или числовой, осью. Число, соответствующее кон-
кретной точке, называется ее координатой.
Не имеет значения, располагали ось горизон-
тально или вертикально. Выбор начала коорди-
нат также неважен — сгодится любая точка. По-
ложительные целые числа всегда располагаются
справа сверху от начала координат, отрицатель-
ные — слева снизу. у
- 2
.. 1
---1----1----1----1---1---"> .. п
-2-1 0 12 3
..-1
Действительные
числа
Конечно, целые числа красиво располо-
жились на координатной прямой. Одна-
ко между ними есть «пропасти» — точки
этой прямой между двумя любыми соседними
числами. Всякая прямая линия представляет
собой, как известно, бесконечное количество
точек, непрерывно располагающихся на ней.
Понятие непрерывности очень важно в матема-
тике. В случае координатной прямой это озна-
чает следующее. Во-первых, для любой данной
точки этой прямой существуют сколь угодно
близкие к ней точки той же прямой; во-вторых,
отрезок, соединяющий любые две точки, мож-
но разбить на сколь угодно много отрезков.
Числа
и числовая ось
Существует взаимно-однозначное соответ-
ствие между целыми числами и длинами
отрезков, отложенными на прямой. Что-
бы задать соответствие, необходимо сделать три
вещи: выбрать начало координат (соответствую-
ОТРЕЗКИ И ИНТЕРВАЛЫ
Возьмем две произвольные точки а и b
на числовой оси. Таких пар, понятно,
можно выбрать сколь угодно много. Ка-
ждая такая пара точек вместе со всеми
точками между ними называется сегмен-
том (или отрезком) и обозначается [а, Ь].
А множество одних только промежуточ-
ных точек — это интервал (или промежу-
ток), обозначаемый (а, Ь).
Действительные числа 21
Последовательное разбиение отрезка на части.
Рациональные
числа
Разделим расстояние между двумя соседни-
ми целыми числами на п равных отрезков
(например, п = 100 при делении метра на
сантиметры, п = 60 при делении часа на минуты).
Обозначим одну такую долю как — . Если ка-
кой-то отрезок состоит из т (целое число)
т
таких долей, то его длина выразится как —.
Такой символ называется дробью или отноше-
нием. Причем независимо от всякой привязки
к каким-либо измерениям. Для дробей важно
только, чтобы числа тип были целыми. Любое
число, допускающее запись в таком виде, назы-
вается рациональным.
Поскольку начало координат может быть
произвольно помещено в любую точку число-
вой оси, в том числе в находящуюся между точ-
ками с целыми числами, ясно, что все числа этой
оси равноправны. Каждая точка может иметь
целочисленную координату либо не иметь та-
ковой (т.е. соответствовать целому числу или не
соответствовать). Это зависит от выбора начала
координат, после которого и возникает разделе-
ние чисел на целые и все прочие.
Все прочие состоят из чисел двух видов: ра-
циональных и иррациональных. Таким образом,
на числовой оси «обитают» числа трех видов:
целые, рациональные и иррациональные. Все
вместе они образуют большой класс чисел, назы-
ваемых действительными. Их объединяет то, что
они возникли в связи с потребностью людей в
счете предметов (целые числа) и измерении раз-
личных величин (длины, веса и т.д.). Последние
могут быть разделены на очень маленькие ку-
сочки, даже сколь угодно малые. Отсюда следует
определенное соответствие между действитель-
ными числами и точками на прямой: каждая
точка числовой прямой имеет единственную ко-
ординату, и каждое действительное число — ко-
ордината единственной точки.
ЗАДАНИЕ 1
Найдите для каждой дроби слева соответ-
ствующую диаграмму справа.
Опять же, чтобы пользоваться рациональ-
ными числами, необходимо определить пра-
22 Действительные числа
вила сложения и умножения этих чисел. Они
известны из школьного курса:
а с ad + bc
- + —=------, (1)
b d bd
а с ас
----— —; если в последнем равенстве с = а,
b d bd
ас а
то — = —.
bd b
Примеры:
3 4 _ 3-7 + 4-5 _ 21 + 20 _ 41
5 + 7 “ 5^7 35 ~35‘
4 7 _ 4-7 _ 7
5 12 ” 5-3-4 ” 15’
Сложение дробей.
ЗАДАНИЕ 2
29 291
Какая из дробей больше: — или------?
Г 73 731
такого числа на другое было тоже целым чис-
лом. Если же это не так, то мы просто опреде-
лим частное как число, являющееся решением
уравнения ах = Ь, обозначим его как —, назовем
а b
дробью и подчиним требованию, чтобы а —=Ь.
Понятно, что теперь деление возможно всег-
да, кроме случая, когда а = 0. Иными словами,
деление на нуль исключается.
Поскольку целые числа также представимы
т ,
в виде — (хотя в этом случае п является делите-
п
лем т), то можно считать объединенное мно-
жество целых и дробных чисел системой всех
рациональных чисел. В ней упомянутые выше
операции — сложение, вычитание, умножение
и деление — выполнимы всегда (кроме деления
на нуль) и их результатом всегда являются так-
же рациональные числа.
ЗАДАНИЕ 3
Придумайте: а) три правильные несокра-
тимые дроби, сумма которых — целое
число, а если каждую из этих дробей «пе-
ревернуть» (то есть заменить на обрат-
ную), то сумма полученных дробей тоже
будет целым числом;
б) то же, но числители дробей — не рав-
ные друг другу натуральные числа.
Подсказки: а) подберите три дроби с чис-
лителями, равными 1;
б) найдите сначала три дроби с равными
знаменателями, дающие в сумме 1.
Используя правило (1), можно без труда
установить, что и в области рациональных чи-
сел сохраняются законы натуральных чисел (р, q
и г — рациональные числа):
• р + q = q + р — коммутативный закон сложе-
ния;
• (р + */) + г = р + 0/ + г) — ассоциативный закон
сложения;
• pq = qp — коммутативный закон умножения;
• (Р?)г = Р(^г) — ассоциативный закон умноже-
ния;
• (Р + ^)r = pr + qr — дистрибутивный закон.
Теперь о делении рациональных чисел. Как
мы знаем, возможности выполнения этой опе-
рации в области целых чисел ограничены тре-
бованием, чтобы частное от деления одного
Неизбежность
иррациональных
чисел
Итак, мы заполнили числовую прямую
всеми рациональными числами. Рацио-
нальные точки плотно расположены на
всей числовой прямой. Это означает, что вну-
три всякого промежутка данной прямой, как бы
он ни был мал, содержатся рациональные точ-
ки. Пусть такой промежуток есть (а, Ь). Рассмо-
трим другой интервал (о, —), где п — натураль-
Действительные числа 23
ное число. Взяв достаточно большое п, можно
сделать этот интервал меньше, чем (а, Ь). Тогда
хотя бы одна из точек вида — будет находиться
внутри (а, Ь). п
Более того, отсюда вытекает еще одно
утверждение: в любом интервале координат-
ной оси содержится бесконечно много раци-
ональных точек. Действительно, если бы в ка-
ком-нибудь интервале было конечное число
рациональных точек, то интервал между двумя
такими соседними точками не содержал бы ра-
циональных точек. А это противоречит дока-
занному выше.
Несмотря на то что множество всех рацио-
нальных чисел плотно расположено на число-
вой оси, они не покрывают всю ее. Это означает,
что на ней есть точки, соответствующие числам,
которые не могут быть представлены в виде от-
т т/г
ношения —. Их нельзя увидеть или отличить
п
от точек рациональных. Такие числа и называ-
ются иррациональными.
‘ I 1 I 1 I 1 I Ч I I1 I 1 I п
-3-2-1 0 1 2 3
К у ^2 е п
Числовая прямая с нанесенными на нее
некоторыми иррациональными числами.
Старая история
С проблемой чисел, не выражающихся в ви-
де отношения целых чисел, люди стал-
кивались еще в незапамятные времена.
В Древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо
знакомы с целыми числами, дробями и с ирра-
циональными числами типа д/2 или д/з. Для прак-
тических целей иррациональные числа аппрок-
симировали (выражали приблизительно) раци-
ональными.
ЗАДАНИЕ 4
Существует ли такое натуральное число
n > 1, что значение выражения
является натуральным числом?
Труднее было грекам. Пифагорейцы в V в.
до н.э. обожали целые числа и их отношения —
именно в них греческие ученые видели меру
всего. Но некоторые отношения, например от-
ношение гипотенузы равнобедренного прямо-
угольного треугольника к катету (д/2 ), как ока-
залось, непредставимы в виде отношения целых
т
чисел типа —. Это огорчало пифагорейцев.
п
Отношения, представимые в виде отношений
целых чисел, пифагорейцы назвали соизмери-
мыми, а отношения, не представимые в виде
отношений целых чисел, получили название
несоизмеримых. Соответствующие им числа
и называют иррациональными. Так, иррацио-
нальное число V2 может служить примером
несоизмеримого отношения.
СМЕРТЬ ЗА ИСТИНУ
Открытие несоизмеримых соотношений
легенда приписывает Гиппасу из Мета-
понта (V в. до н.э.). По преданию, в тот мо-
мент, когда Гиппас пришел к этому выво-
ду, пифагорейцы находились в открытом
море. Они выбросили Гиппаса за борт,
обвинив его в том, что он привнес в миро-
здание элемент, противоречивший пифа-
горейскому учению о сводимости всех яв-
лений природы к целым числам или к их
отношениям.
Как засеять поле
иррациональных
Число д/2— одно из бесчисленного множе-
ства иррациональных чисел специально-
го вида. Числа д/З, д/б = д/2 • д/з, д/2 + д/3
также относятся к иррациональным. Этот ряд
наводит на мысль, что произведение и сумма
двух иррациональных чисел также являются
числами иррациональными. И действительно,
этот факт имеет место.
Теорема. Пусть q — произвольное ирраци-
ональное число и г # 0 — любое рациональное
число. Тогда сложение, вычитание, умножение
24 Действительные числа
и деление, примененные к числам q иг, приво-
дят к иррациональным числам. Кроме того, ир-
рациональными будут числа -q и—.
<1
Поясним. Эта теорема утверждает, что чис-
r q 1
ла вида q + г, q - г, rq, — , — , а также -q и —
9 г q
являются иррациональными. Отсюда следует,
что, задав некоторое иррациональное число,
с помощью этой теоремы можно строить раз-
личные бесконечные множества новых ирраци-
ональных чисел (различные потому, что беско-
нечно множество рациональных чисел).
Для примера в качестве такой основы возь-
мем V2 и сконструируем с его помощью пару
чисел указанного вида. Скажем, 4 + ^2 и —-^2.
Теперь умножим одно на другое:
Согласно вышеприведенной теореме, полу-
ченное число иррациональное. Также без труда
можно проверить, что и остальные операции
с числами вида где к, I, т и п —
I п
рациональные числа, приводят к иррациональ-
ным числам такого же вида. Вообще, совокупность
к т
чисел типа —I—q, где q — произвольное ир-
рациональное число, называется числовым по-
лем, или системой счисления.
Полезность таких вещей оказывается важной
при рассмотрении алгебраических уравнений.
Число п = 3,14159... — самое известное
из иррациональных чисел.
Действительные (вещественные) числа.
Дроби всякие нужны
Поделим единичный отрезок числовой оси
сначала на 10, затем на 100,1000 и т.д. рав-
ных частей. Получающиеся при этом точ-
ки деления соответствуют десятичным дробям,
столь хорошо известным всякому школьнику.
Так, числу 0,13 соответствует точка, расположен-
ная в первом единичном интервале, во втором
«подынтервале» длины 10-1 и являющаяся началь-
ной точкой третьего «подынтервала» длины 10“2
(напомним, что 10“к= ^).
Действительные числа 25
Микрометр — прибор для измерения размеров — показывает результат в виде десятичной дроби.
Любая десятичная дробь, содержащая п зна-
ков после запятой, имеет вид:
d = с + аг •10’1 + а2 • 10’2 + а3 • 10 3 + ... + ап • 10’", (2)
где с — целое число, а коэффициенты ак — это
цифры 0, 1, 2, ..., 9, обозначающие число деся-
тых, сотых и т.д. Число d обычно записывает-
ся в десятичной системе в сокращенном виде
d = с, аг а2 а3... ап.
Из (2) следует, что десятичные дроби пред-
ставимы в виде обыкновенных дробей типа —.
дробь с конечным числом п десятичных знаков,
как бы ни было велико п. Действительно, если
. 1 ъ
бы выполнялось равенство — =----, то из него
3 10”
следовало бы 10й = ЗЬ. То есть число 3 есть дели-
тель числа 10 в какой-то степени, что неверно,
поскольку 3 не входит в разложение никакой
степени десятки. На этом примере мы видим,
что есть числа, которые не могут быть записаны
в виде конечной (то есть ограниченной) деся-
]_
3
1 3 7
Например, 2,137 = 2 ч-1----1----
10 100 1000
2137
1000’
тичной дроби.
— лишь одно из них. Таковы-
1 5 4
ми будут, например, —, —, — и другие.
6 1117
ЗАДАНИЕ 5
В десятичной записи числа у зачеркнули
2013-ю цифру после запятой (другие циф-
ры не меняли). Как изменилось число:
увеличилось или уменьшилось?
Однако есть дроби, которые не подходят к та-
кому определению десятичных дробей. Напри-
1
мер, — не может быть написана как десятичная
Вообще, любая несократимая дробь, у ко-
торой знаменатель не является делителем ка-
кой-либо степени 10, не может быть представ-
лена в виде десятичной дроби рассмотренного
выше типа (2). Вместе с тем она как отношение
двух целых чисел является числом рациональ-
ным. Также являются рациональными числами
.13 1
конечные десятичные дроби —, —, —:
2 5 80
1 = 0,5, - = 0,6, Т = о,О125. (3)
2 5 80
26 Действительные числа
Процент — сотая часть какого-либо количества. Соответ-
ственно, 10% — одна десятая часть общего количества, 20% —
одна пятая и т.д. 115 2
А вот дроби типа —, —, —, — и им подобные в десятичном
представлении бесконечны:
- = 0,3333..., — = 0,454545...,
3 11
2 (4)
— = 0,285714285...
7
Законным будет вопрос: ка-
кие рациональные дроби име-
ют конечные десятичные пред-
ставления? Возьмем несокра-
. т
тимую дробь — и разложим ее
п
знаменатель п на простые мно-
жители. Если среди них имеют-
ся только числа 2 и 5 (в любом
ТП
количестве), то — имеет конеч-
п
ное десятичное представление.
Иначе говоря, если п делится
на какое-нибудь простое число,
отличное от 2 и 5, то несократи-
мая дробь не имеет конечного
представления.
Посмотрим на соотноше-
ния (3) и (4). Можно сделать
вывод: всякое рациональное
число может быть представле-
но в виде десятичной дроби —
конечной или бесконечной пе-
риодической.
ЗАДАНИЕ 6
Представьте следующие ра-
циональные числа в виде
десятичных дробей:
а)1;б) — ;в)_к;г)1_.
7 7 14 17
Превратим
иррациональное число
в десятичную дробь!
Уже попадавшийся нам корень квадрат-
ный из двойки V2 , как и другие подоб-
ные выражения, не является рациональ-
ным числом. А потому не может быть выра-
жен десятичной дробью. Вновь обращаясь к
числовой оси, заметим, что точка М на ней, со-
ответствующая такому числу, не совпадает ни
с какой рациональной точкой, но может быть
представлена в виде бесконечной десятичной
дроби вида
с, аг а2 а3... ак...
После введения таких дробей вся числовая
ось оказывается заполненной всеми действи-
тельными числами. Точнее выражаясь, теперь
установлено соответствие между всеми точ-
ками числовой оси и всеми (конечными или
бесконечными) десятичными дробями. Тогда
определим любое число как конечную или
бесконечную десятичную дробь. Десятичное
разложение всякого рационального числа об-
ладает свойством периодичности: после неко-
торого числа десятичных знаков одна и та же
Действительные числа 27
группа десятичных знаков на-
чинает повторяться бесконеч-
ное число раз. Те бесконечные
десятичные дроби, которые
не относятся к рациональным
числам, называются ирраци-
ональными числами. Такие
дроби являются бесконечны-
ми непериодическими.
ЗАДАНИЕ 7
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби
можно так переставить цифры, что полученная дробь
станет рациональным числом.
Подсказка: рассмотрите отдельно те цифры, которые
встречаются конечное число раз, и те, которые встреча-
ются бесконечно много раз.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Задание 2
1_29_44
73 ” 73
291 29
Значит,
731 73
2Q1
Ответ:
731’
440 440 ^ 291
730 731 ” 731
Задание 3 । । ।
а) примеры: б) примеры:
2 3 6
2 3 6
11’ 11’ 11’
Задание 4
Возьмем для примера п = 28 = 256. Тогда в са-
мом деле
п будет натуральным числом.
При п = 28 значение данного выражения рав-
но 27= 128.
Задание 5
Разделив числитель на знаменатель, полу-
чим, что —= 0,(142857). Значит, период получив-
шейся дроби содержит 6 цифр. Так как число
2013 при делении на 6 дает остаток 3, то 2013-я
цифра после запятой в десятичной записи чис-
1 . .
ла — — это третья цифра периода, то есть циф-
ра 2. После ее зачеркивания на этом месте будет
стоять цифра 8. Следовательно, число увеличи-
лось.
Задание 6
а) 0,(142857); б) 0,(285714); в) 0,(714285);
г) 0,(0588235294117647).
Задание 7
Дробь выражает рациональное число только
в том случае, когда она периодическая, начиная
с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим
на два класса: в первый включим те цифры, ко-
торые встречаются в исходной дроби конечное
число раз, во второй — те, которые встречаются
в исходной дроби бесконечное число раз. Теперь
начнем выписывать периодическую дробь, кото-
рая может быть получена перестановкой цифр.
Вначале после нуля и запятой напишем в про-
извольном порядке все цифры из первого клас-
са — каждую столько раз, сколько она встречает-
ся в записи исходной дроби. Записанные цифры
первого класса будут являться предпериодом
дроби. Далее запишем в некотором порядке по
одному разу цифры из второго класса. Эту ком-
бинацию определим как период и будем повто-
рять ее бесконечное число раз. И таким образом
мы выпишем искомую периодическую дробь.
28 Комплексные числа
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Трудности растут
Как уже отмечалось, в Средние века ма-
тематики с трудом принимали отрица-
тельные и иррациональные числа. Им
стало еще хуже, когда ученые совершили новое
открытие, значение которого осознали далеко
не сразу, — комплексные числа. Новые числа
возникли, когда математики распространили
операцию извлечения квадратного корня на
любые числа, которые только могут встретить-
ся, например, при решении квадратных урав-
нений.
Вспомним, как появились некоторые типы
чисел. Дробные числа возникли из потребности
решения уравнений вида ах = Ь, которое выглядит
как х = —. Тогда требование, чтобы это уравнение
имело решение при любых целых b и а # 0 приве-
ло к необходимости введения дробных чисел.
Далее, число ^2 стало первым обнаружен-
ным образцом иррационального числа. Оно яв-
ляется одним из решений уравнения х2 = 2, не
имеющего решений в области рациональных
чисел (второе решение есть -д/2). Чтобы иметь
возможность решать подобные уравнения, при-
шлось расширить понятие чисел, ввести новый
их вид — иррациональные — и присоединить
к числам рациональным.
Новое следует искать на границе наших
представлений. Так, считается, что квадрат лю-
бого числа есть число положительное: х2 > 0. Но
не будем забывать, что в этом утверждении под-
разумевается, что х — действительное число.
А можно ли утверждать, что такими числами
исчерпывается все царство чисел?
Комплексные числа 29
МУКИ КАРДАНО
Итальянский математик Джероламо Кар-
дано в трактате «Великое искусство»
в 1539 г. поставил и решил следующую
задачу: разделить число 10 на две части,
произведение которых равно 40. Если х —
одна из частей, то по условиям задачи
х(10 - х) = 40 и мы получаем для х ква-
дратное уравнение. Решив его, Кар-
дано нашел корни 5 + V-15 и 5 - V-15.
По поводу полученного результата он
сказал, что эти «сложнейшие величины
бесполезны, хотя и весьма хитроумны».
Представим себе, что существуют некие ма-
тематические объекты, квадраты которых явля-
ются отрицательными действительными числа-
ми. Для простоты рассмотрим случай
х2 = -1. (1)
С точки зрения алгебры это уравнение, не
имеющее решений среди действительных чи-
сел. Тем не менее будем считать, что решения-
ми (1) будут выражения V—1 и -V—L поскольку
Хотя мы пока не знаем, что это за объекты,
давайте присоединим их к действительным
числам. Получим новое множество чисел, или,
как говорят математики, числовое поле, или
систему счисления (можно употреблять любой
термин). Его элементы (или числа) можно запи-
сать в общем виде:
г + sV-l,
где г и s — действительные числа. Числа такого
вида называются комплексными.
Законы
для комплексных
чисел
Теперь следует определить правила, или
операции, с помощью которых мож-
но обращаться с комплексными числа-
ми. Но сначала стоит сказать, что для выраже-
ния V—1 обычно используют символ z, введен-
ный великим Леонардом Эйлером в 1777 г.:
Тогда выражение общего вида для ком-
плексного числа станет таким:
г + is.
30 Комплексные числа
Например: 5i, 3 + 4/, 12 - 2/, 15/ и т.п. Часть
г называется действительной (иногда ее обозна-
чают как Re), as — мнимой частью (Im) ком-
плексного числа.
Теперь хотелось бы научиться складывать
и умножать наши новые числа так, чтобы они
подчинялись коммутативному, ассоциативно-
му и дистрибутивному законам. Это становится
возможным при условии, что в этих операциях
символ z ведет себя как обычное действительное
число, за исключением умножения на самого
себя. При этом z2 следует заменять на -1.
ВЕЛИКИЕ ТОЖЕ ОШИБАЮТСЯ
Термин «мнимое число» ввел в употре-
бление Рене Декарт. Несмотря на это,
он отвергал комплексные корни урав-
нений. В книге «Геометрия» Декарт
утверждал: «Ни истинные, ни ложные
[отрицательные] корни не бывают всег-
да вещественными, иногда они стано-
вятся мнимыми». Ученый считал, что
отрицательные корни можно сделать
заслуживающими внимания, преобра-
зовав данное уравнение в уравнение
с положительными корнями. Теперь из-
вестно, что комплексные корни превра-
тить в вещественные невозможно.
Тогда сложение и умножение комплексных
чисел осуществляется согласно формулам
(г + is) + (р + iq) = (г + р) + z(s + q),
(г + is)(p + iq) = (гр - sq) + i(rq + sp).
Если считать г = р, s = q, то
(г + is)(r - is) = r2 + s2.
Комплексные числа, отличающиеся друг от
друга только знаком перед мнимой единицей /,
называются комплексно сопряженными по от-
ношению друг к другу. Это обозначается с по-
мощью черточки над буквой или звездочки:
г + is = (г + /5)* = г - is.
Из последних двух формул следует, что
для любого комплексного числа z величина
Z'Z?=ZZ*
есть число действительное положительное, рав-
ное сумме квадратов действительной и мнимой
частей этого числа. Положительное число V^z*
называется модулем комплексного числа z. С его
помощью можно делить комплексные числа
друг на друга:
1 + 5/ _ (1 + 50(3 + 40 _ — 17 + 19/ _ 17 .19
3-4/“ (3-4/)(3 + 4/) “ 25 “ 25+Z25‘
То есть, чтобы поделить одно комплексное
число на другое, нужно умножить делитель
и делимое на комплексно сопряженное дели-
телю число и затем провести алгебраические
преобразования, чтобы получить частное стан-
дартного вида г + is.
ЗАДАНИЕ 1
Докажите равенства:
a) z + z* = 2Rez; б) z - z* = 2/Imz;
в) zz* = I z 12.
Здесь Rez , Imz — соответственно веще-
ственная и мнимая части комплексного
числа z.
Как сделать
комплексные числа
нагляднее
Нам проще понять что-либо, если придать
этому зрительный образ. Так и поступил
в 1673 г. английский математик Джон Вал-
лис, найдя простой способ представления ком-
плексных чисел. Он состоит в том, чтобы исполь-
зовать точки на плоскости. Мы уже встречались
с вещественной числовой (или координатной)
прямой — прямой линией, простирающейся до
бесконечности в обоих направлениях от нулевой
отметки. Каждое действительное число имеет
собственное место на числовой прямой.
Но где же отыскать уютное «гнездышко»
дляд/—I ? Места на прежней числовой прямой
для него нет. Это число ни положительно, ни
отрицательно, поэтому ему не место ни справа,
ни слева от точки 0. Валлис ввел вторую число-
вую прямую, чтобы разместить на ней мнимые
(т.е. кратные /) числа, и расположил ее под пря-
мым углом к вещественной числовой прямой.
Две числовые прямые, вещественная и мни-
мая, должны пересекаться в точке 0. Если чис-
ла вообще имеют смысл, то, по смыслу нуля,
если его умножить на любое число, даже на /,
Комплексные числа 31
то должен получиться 0. Поэтому начало отсче-
та на вещественной и мнимой прямых должно
быть одно и то же.
Портрет Джона Валлиса.
Готфрид Кнеллер. 1701 г.
Комплексное число состоит из двух ча-
стей — вещественной и мнимой. Чтобы указать
положение заданного числа на плоскости, Вал-
лис предложил отмерить действительную часть
вдоль горизонтальной (вещественной) прямой,
а затем проложить мнимую часть вдоль вер-
тикального направления, то есть параллельно
мнимой прямой.
Представление
комплексных
чисел в виде ___2/ 3 + 2i
точек на ’
плоскости. * k
---i
-3i
Таким образом, геометрическая интерпре-
тация комплексных чисел состоит в том, что
комплексному числу z = х + iy ставится в соответ-
ствие точка на плоскости с координатами (х, у).
х-координата представляет действительную
часть комплексного числа, у-координата — его
мнимую часть. Таким способом устанавлива-
ется взаимно-однозначное соответствие между
комплексными числами и точками плоскости,
которую по аналогии с числовой прямой мож-
но назвать числовой плоскостью.
ЖИВУЧИЕ ЗАБЛУЖДЕНИЯ
Один из величайших математиков пер-
вой половины XIX в. Коши отказывался
считать числами такие выражения, как
а + b V-1. В своем труде «Курс анализа»,
написанном в 1821 г., он назвал подобные
выражения «количествами, лишенными
всякого смысла».
32 Комплексные числа
Комплексные числа z и сопряженное ему z,
отличающиеся знаком мнимой части.
Математики решили, что комплексные чис-
ла можно использовать не только для представ-
ления векторов на плоскости, но и для выполне-
ния операций сложения, вычитания и умноже-
ния векторов.
Рис. 1. Представление комплексного
числа вектором.
Например, сложение двух векторов ОА и ОВ
(рис. 2) можно выполнить алгебраически, пред-
ставив вектор ОА комплексным числом 3 + 2z, а век-
тор ОВ — комплексным числом 2 + 4z. Сумма этих
комплексных чисел (комплексное число 5 + 6z) со-
ответствует результирующему вектору ОС.
Они еще и векторы!
Два с лишним столетия комплексные
числа для математиков представлялись
мистическими. Даже после открытия
Валлиса. Но оно помогло родиться следующе-
му открытию. Примерно в 1800 г. некоторые
математики поняли, что комплексным числам
можно сопоставить направленные отрезки на
плоскости (рис. 1). Такие отрезки называются
векторами. По сути, вектор — это очередное
расширение понятия числа. И в дальнейшем
мы с вами будем двигаться в этом направлении,
переходя к все более экзотическим «существам»
математической вселенной.
Так вот, вектор — это набор двух (в нашем
случае) чисел, каждому из которых соответству-
ет точка на одной из двух числовых осей, о кото-
рых речь шла выше. Аналогично и комплексное
число является таким же набором двух чисел,
откуда и следует прямое соответствие между
ним и вектором.
Рис. 2. Сложение комплексных чисел по правилу
параллелограмма.
Итог такого сложения соответствует геоме-
трическому способу сложения векторов, извест-
ному как правило параллелограмма и дающе-
му точно такой же результат.
Комплексные числа 33
ЗАДАНИЕ 2
Докажите, что для произвольных ком-
плексных чисел z и w выполняется ра-
венство Iz + w12 + \z - wl2 = 2(lzl2 + Iwl2).
Какой геометрический смысл оно имеет?
ПОСЛЕДНЕЕ СЛОВО ЗА КОРОЛЕМ!
Точку в сомнениях математиков по по-
воду «реальности» комплексных чисел
поставил в 1831 г. «король математики»
Гаусс. Он опубликовал несколько работ
по геометрическому представлению ком-
плексных чисел. В них Гаусс не только
предложил представлять число а + Ы точ-
кой на комплексной плоскости (что гораз-
до раньше сделал Валлис), но и дал геоме-
трическое толкование сложения и умно-
жения комплексных чисел.
Где углы, там
тригонометрия
Посмотрим вновь на рис. 1. Что-то чу-
дится родное каждому школьнику
на этой картинке. Ну да, это пря-
моугольный треугольник (катет b перпен-
дикулярен оси х). Обозначим греческой
буквой ср угол между гипотенузой этого
треугольника и осью х. Он называется ар-
гументом комплексного числа z = а + ib:
ср = Argz. Поскольку отрезок, соединяющий
начало координат с этой точкой, можно по-
вернуть на полный угол 360° или кратный
ему (п • 360°), не изменяя самого числа z, то
аргумент комплексного числа определяется
неоднозначно, с точностью до угла, кратного
полному. Здесь мы снова встречаемся со срав-
нением величин по модулю, в данном случае
углов по модулю 360.
Обозначим модуль числа z как р (греческая
буква «ро»): |z| = р.
Тогда из рис. 3 следует:
а = р • cos ф;
b = р • sin ф,
откуда получаем красивое выражение любого
комплексного числа через его модуль и аргумент:
z = а + ib = р (cos ф + i • sin ф). (2)
Рис. 3. Модуль и аргумент
комплексного числа.
Положим р = 1, тогда
z = cos ф + i • sin ф. (3)
Пусть ф = 0° , тогда z = 1 — действительная
единица на оси х; а если ф = 90°, то z = i — мни-
мая единица на оси у. Читатель может потре-
нироваться на формуле (2), взяв в качестве z
простейшие числа типа 1 + i, 1 - i и вычислив их
аргументы и модули.
ЗАДАНИЕ 3
Представьте в тригонометрической фор-
ме числа:
а) 1 + t;
б) 2 + V3 +
в) 1 + cos ср + i • sin ср.
Напомним, что тригонометрическая фор-
ма комплексного числа имеет вид
z = р (cos ср + i • sin ср).
34 Комплексные числа
Жемчужина
комплексного
«моря»
Интересно выяснить, каков будет резуль-
тат умножения двух комплексных чисел,
записанных в виде (2). Возьмем два таких
числа z = p(cos ср + i • sin ф) и q = r(cos а + i • sin а)
и перемножим их:
= pr {(cos ф • cos а - sin ф • sin а) +
+ z(cos ф • sin а + sin ф • cos а)}.
Используем теоремы сложения из тригоно-
метрии:
cos ф • cos а — sin ф • sin а = соз(ф + а),
cos ф sin а + sin ф cos а = зш(ф + а)
Тогда
zq = pr {cos (ф + а) + i • sin (ф + а)}. (4)
Правая часть полученного равенства пред-
ставляет собой комплексное число с модулем
рг и аргументом ф + а. Отсюда можем сделать
такой вывод: при умножении двух комплекс-
ных чисел их модули перемножаются, а аргу-
менты складываются.
Положим, q = z, тогда из (4) имеем
z2=p2(cos 2ф + i • sin 2ф).
Очевидно, что
zn= pn(cos tup + i • sin tup).
Допустим в этой формуле р = 1:
zn= cos tup + i • sin tup,
ИЛИ
(cos ф + i • sin ф)и = cos tup + i • sin иф. (5)
Эта формула — одна из жемчужин матема-
тики! Она носит имя французского математика,
ее нашедшего, — формула Муавра.
ЗАДАНИЕ 4
Найти выражение для натурального лога-
рифма произвольного комплексного чис-
ла z = х + iy.
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Леонард Эйлер в своей работе «Исследо-
вания о мнимых корнях уравнений», опу-
бликованной в 1751 г., показал глубокую
внутреннюю связь между тригонометри-
ческими функциями и показательной
функцией. Он исходил из формулы Му-
авра и исследовал ее предел при п-^ оо. Ре-
зультат, полученный Эйлером, выглядит
так:
cos ф + i • sin ф = е/ф,
где е = 2,718... — основание натуральных
логарифмов. Тогда всякое комплексное
число z = р (cos ф + i • sin ф) можно предста-
вить в виде z = pei(p.
ЗАДАНИЕ 5
Записать комплексное число д/1 - iy/l
в тригонометрической и показатель-
ной формах. Показательная форма
имеет вид
z = а + Ы = ре/ф,
/"1 71 a . b
гдер = д/л +л ,cos<p = —, sin<p = —.
Р Р
Комплексные числа 35
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Пусть z = х + iy = Rez + zlmz.
Тогда z* = х - iy = Rez - zlmz.
Складывая, вычитая и перемножая эти два
выражения, получим искомые выражения.
Задание 2
Посмотрим на рис. 2. В параллелограмме,
построенном на данных числах, сумма квадра-
тов диагоналей равна удвоенной сумме квадра-
тов смежных сторон. Одна из диагоналей есть
сумма двух комплексных чисел, вторая — их
разность. А модули этих чисел есть квадраты
смежных сторон. Именно этот факт и выражает
равенство lz + wl2 + lz-wl2 = 2(lzl2 + Iwl2).
Задание 3
+ zsin— .
12j
Задание 4
ln(x + iy) = Zrz(pez<p) = In p + z(cp + 2toz),
где n — произвольное целое число. Член 2тг
возникает в силу соотношения
ez<p= CQS ф + / . sin(p
и периодичности этих тригонометрических
функций с периодом 2тт.
Задание 5
У числа д/2 — i^2 имеем: а =^2, Ь = — л/2.
Отсюда: р - д/2 + 2 = 2,cos ср= —^,sin ср =-—.
Следовательно: <р =-.
Тригонометрическая форма:
7 я . . 7лА
z = 2\ cos— + zsin— .
I 4 4 J
,7л
Показательная форма: z = 2е 4 .
X Ф
в) 2cos—
2
Ф . • Ф
cos— + z sin— .
. 2 2)
36 Всё начинается с точки
ВСЁ НАЧИНАЕТСЯ С ТОЧКИ
Расширение Вселенной от рождения до наших дней.
13 млрд 700 млн лет назад Вселенная имела невообразимо малый размер: она была во столько же
раз меньше протона, во сколько протон меньше Луны. По какой-то причине произошел взрыв,
названный Большим взрывом, вследствие которого все содержимое «точки» приобрело скорость
и стало разлетаться в стороны.
Отец геометрии
В332 г. до н.э. Александр Македонский без
единой битвы покорил Египет. Чтобы
закрепить свою власть над этой страной,
Александр провозгласил себя фараоном. Заод-
но он решил построить там город, назвав его
собственным именем. Именно в Александрии
родился один из наиболее знаменитых матема-
тиков в истории — Евклид.
О жизни Евклида сохранилось мало сведе-
ний, куда больше мы знаем о его трудах. На про-
тяжении многих столетий слова «математика» и
«Евклид» воспринимались европейцами прак-
тически как синонимы. Не следует думать, что
Евклид сам открыл все математические истины,
которые встречаются на страницах его книг. На
самом деле он собрал воедино и упорядочил
значительную часть математических знаний
древних греков. Предшественники Евклида —
Фалес, Платон, Пифагор, Аристотель и другие —
много сделали для развития геометрии. Но все
это были отдельные фрагменты, а не единая ло-
гическая схема. Целью Евклида было построить
систему так, чтобы в ней не оставалось места для
неоправданных допущений, основанных на уга-
дывании, интуиции или приблизительности. То
есть он заимствовал результаты у предшествен-
ников, дополнил своими достижениями и оста-
вил все это богатство последователям.
Главная работа Евклида «Начала» в основ-
ном содержит изложение геометрии. Кроме
того, в ней рассмотрен ряд вопросов теории
чисел и некоторые разделы алгебры, которые,
правда, все изложены с геометрических пози-
ций. За время существования труда, вплоть
до XX в., было продано больше его экземпля-
ров, чем Библии.
Всё начинается с точки 37
Евклид. Фрагмент картины художника
Юстуса ван Гента. XV в.
Книга I «Начала» посвящена учению о тре-
угольниках, параллелограммах и многоуголь-
никах. В книге III рассматриваются окружности
и их свойства. В книге IV речь идет о много-
угольниках, вписанных в окружность или опи-
санных около нее. Книга VI содержит учение
о подобии треугольников и многоугольников.
Книги XI—XX отведены стереометрии. Во всех
этих книгах содержатся доказательства 465 те-
орем, исчерпывающих практически все геоме-
трическое знание того времени.
Евклид дал определения точке, линии (пря-
мой или искривленной), окружности, прямому
углу, плоскости и поверхности. Некоторые по-
нятия он определил довольно точно. «Парал-
лельные прямые, — писал он, — это прямые
линии, которые, находясь на одной плоскости,
продолженные до бесконечности в обоих на-
правлениях, ни в одном из этих направлений не
пересекаются».
Окружность по Евклиду есть «плоская фи-
гура, обозначенная одной линией (кривой)
так, что все прямые линии, пересекающие ее
и еще одну из точек внутри нее, называемую
центром, равны друг другу». О прямом угле
сказано так: «Когда прямая линия пересекает
другую прямую линию, а образующиеся со-
седние углы равны друг другу, любой из этих
углов прямой».
Портрет Луки Пачоли
с учеником.
Художник Якопо
де Барбари. XV в.
Лука Пачоли — известный
итальянский математик.
На столе перед ним
лежит доска, на торце
которой нанесена
надпись «EVCLIDES» —
Евклид. На доске мелом
нарисован равнобедренный
треугольник с медианой,
вписанный в окружность,
демонстрирующий одну из
теорем Евклида. На столе также
лежат кусок мела, циркуль,
угломер, чернильница, черный
пенал или губка, шкатулка
для книги, на которой лежит
модель додекаэдра. С потолка
свисает стеклянная модель
ромбокубоктаэдра.
38 Всё начинается с точки
ГЕОМЕТРИЯ И БИЗНЕС
Один из учеников Евклида спросил его,
какова будет его выгода от изучения гео-
метрии. Евклид позвал раба со словами:
«Дай этому человеку три обола, раз он
хочет извлекать прибыль из учебы».
(Обол — серебряная древнегреческая
монета.)
О чем еще
поведал Евклид
Евклид осуществил два великих нововведе-
ния. Первое — это идея доказательства.
Евклид не считал любое математическое
утверждение истинным, пока оно не установле-
но с помощью последовательности логических
шагов, позволяющих вывести данное утвержде-
ние из того, что уже известно.
Второе нововведение — это осознание того
факта, что процесс доказательства должен на-
чинаться с исходных утверждений, которые до-
казать нельзя. Евклид формулирует пять таких
фундаментальных предположений-постулатов,
на которых основываются все его дальнейшие
построения. Четыре из них просты и очевидны:
две точки можно соединить прямой линией;
любой конечный отрезок прямой можно про-
должить; можно провести окружность с любым
центром и любым радиусом; все прямые углы
равны между собой.
Но вот пятый постулат совсем другого
рода. Он длинный и сложный, а утвержда-
емое в нем вовсе не столь очевидно. Его ос-
новное следствие состоит в существовании
параллельных прямых — таких, которые ни-
когда не пересекаются, но продолжаются без
ограничения в одном и том же направлении,
при этом всегда находясь на одном и том же
расстоянии друг от друга. Как два рельса же-
лезной дороги.
В действительности Евклид определяет тре-
бование, чтобы при пересечении двух линий
третьей первые две пересекались с той сторо-
ны, где два образованных угла дают в сумме ве-
личину, меньшую суммы двух прямых углов.
Оказывается, что это предположение логиче-
ски эквивалентно существованию в точности
одной линии, параллельной заданной линии
и проходящей через заданную точку вне этой
линии.
Пятый постулат Евклида.
Следствия
из евклидовых
аксиом
На основе логических построений, опира-
ясь на свои аксиомы, Евклид получил ряд
важных результатов:
• квадрат гипотенузы прямоугольного тре-
угольника равен сумме квадратов двух других
его сторон (это утверждение мы знаем как тео-
рему Пифагора);
• любой угол можно точно разделить
на две равные части, используя только цир-
куль и линейку;
• можно построить правильные многоуголь-
ники с 3, 4, 5, 6, 8,10 и 12 сторонами, используя
только циркуль и линейку;
• имеется ровно пять правильных тел: те-
траэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Здесь эти теоремы, как называются любые
обладающие доказательством математические
утверждения, изложены на современном язы-
ке. Но язык Евклида сильно отличался: он не
работал непосредственно с числами. Все, что
мы интерпретируем как свойства чисел, фор-
мулируется у него в терминах длин, площадей
и объемов.
Всё начинается с точки 39
Теорема Пифагора
Она гласит, что самая
длинная сторона в пря-
моугольном треуголь-
нике находится в определен-
ной связи с двумя другими. Эту
связь люди подметили очень
давно. Есть данные, говорящие
о том, что равенство З2 + 42 = 52
было известно древним егип-
тянам уже около 2300 г. до н.э.,
во времена правления фараона
Аменемхета I. Примерно в те
же времена или немного позже
это знание появилось и у вави-
лонян.
Гарпедонапты, или натягиватели веревок. Древние египтяне
строили прямые углы при помощи веревочных прямоугольных
треугольников со сторонами 3,4 и 5.
Бюст Пифагора в Риме.
ЗАДАНИЕ 1
Угол треугольника равен сумме двух других его углов. До-
кажите, что треугольник прямоугольный.
Подсказка: воспользуйтесь теоремой о сумме углов тре-
угольника.
Так что самая знаменитая
теорема геометрии была от-
крыта не Пифагором. Зато,
возможно, именно он дал ее
первое убедительное доказа-
тельство. А быть может, это
сделал Евклид в своих «Нача-
лах». Точных сведений на этот
счет нет. Зато известно, что по
случаю доказательства (если
оно было) Пифагор велел при-
нести в жертву посетившим
его музам сотню быков. С по-
следующим пиршеством, раз-
умеется. Теорема того стоит.
ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ
С теоремой Пифагора связана арифметическая задача.
Имеются такие тройки натуральных (т.е. целых положи-
тельных) чисел х, у, z, что
х2 + у1 = z2. (1)
Их называют пифагоровыми тройками. Например, годят-
ся числа х = 3, у = 4, z = 5: 9 +16 = 25. Это пример. А можно ли
указать все пифагоровы тройки (х, у, z)? Иными словами,
можно ли найти все решения уравнения х2 + у2 = z2 в на-
туральных числах? (В данном случае решение — это не
одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение
можно представить в виде
х = 1(т2- и2), у = 2lmn, z = Z(m2+ и2), (2)
где 1,т,п — натуральные числа, причем т > п, или в анало-
гичном виде, в котором х и у меняются местами. Можно
чуть короче сказать, что х, yf z из (2) со всевозможными
натуральными I и т > п суть все возможные решения (1)
с точностью до перестановки х и у. Например, тройка (3,
4,5) получается при I = 1, т = 2, п = 1.
40 Всё начинается с точки
ЗАДАНИЕ 2
Найдите диагональ прямоугольника со
сторонами 5 и 12.
ЗАДАНИЕ 2а
Какую часть прямоугольника занимает
этот треугольник?
О чем речь? Теорема утверждает, что если
построить квадраты на сторонах прямоуголь-
ного треугольника, то сумма площадей двух
меньших квадратов будет равна площади боль-
шего из них. Известное древним соотношение
З2 + 42 = 52 — частный случай при а = 3, b = 4, с = 5.
Существует немало доказательств этой тео-
ремы, более поздних, чем те, что нашли древ-
ние. Самое простое и изящное принадлежит
Альберту Эйнштейну, которое он нашел еще
в детстве. Вот оно представлено на рисунке.
Доказательство
теоремы Пифагора
Эйнштейном.
Самое простое
и красивое
Теорема Пифагора сообщает определенную
информацию о геометрическом объекте,
но дает ее через числовые отношения. Вы-
ходит, числами можно описывать форму и разме-
ры геометрических фигур, а значит, и предметов
физического мира. Это имеет огромное значение
как для математики, так и для физики.
Доказательство Эйнштейном теоремы
Пифагора.
Всё начинается с точки 41
Исходный треугольник подобен двум, на ко-
торые он разбит высотой h (у них всех равны три
угла). Их площади пропорциональны квадра-
там соответствующих сторон, то есть а2, Ь2, с2. Но
поскольку два меньших треугольника составля-
ют треугольник большой, то соответствующие
площади суммируются, и в итоге получаем
а2 + Ь2 = с2.
Что и требовалось доказать.
ЗАДАНИЕ 3
Углы треугольника относятся как 2:3:4.
Найдите отношение внешних углов треу-
гольника.
Применения и обобщения
теоремы
Пифагора
Надо сказать, что прямоугольный тре-
угольник и теорема Пифагора — вещи
на редкость плодовитые. Из них «вы-
росли» многие разделы математики и физи-
ки. В дальнейшем у нас будет много поводов
убедиться в этом. А пока — несколько приме-
ров.
Смотрим на рис. 1. Наш простой треуголь-
ник позволяет определить основные тригоно-
метрические функции: синус, косинус и тан-
генс. Далее, используя теорему Пифагора,
Рис. 1. Связь теоремы Пифагора
с тригонометрическими функциями.
можно получить основное тригонометрическое
тождество:
sin2 А + cos2 А = 1. (3)
ЗАДАНИЕ 4
Докажите тождество (3), используя теоре-
му Пифагора.
Рис. 2. Теоремы косинусов и синусов.
Эта же славная теорема поможет получить
еще один важный результат тригонометрии —
теорему косинусов. Она сообщает нам, что в про-
извольном треугольнике квадрат любой стороны
равен сумме квадратов двух других сторон за вы-
четом удвоенного произведения этих сторон на
косинус угла между ними. Например, для сторо-
ны а треугольника справа на рис. 2 получается:
а2 = Ъ2 + с2- 2bc cos |3. (4)
Здесь |3 — угол между сторонами b и с. Ана-
логичные соотношения справедливы и для сто-
рон бис.
ЗАДАНИЕ 5
Докажите теорему косинусов (4).
Подсказка: опустите высоту на сторону
с и используйте теорему Пифагора.
И последний шедевр школьной тригономе-
трии — теорема синусов. Она утверждает, что
в произвольном треугольнике стороны пропор-
циональны синусам противолежащих углов.
Для правого треугольника на рис. 2 эта теорема
с b а
имеет вид: ----=----=-----. (5)
sin a sin у sin 0
42 Всё начинается с точки
Используя формулы (3), (4) и (5), а также не-
хитрые построения, можно получить все или
почти все соотношения тригонометрии, кото-
рые изучаются в школе. Рис. 3 предлагает на-
сладиться ее богатством, просто рассматривая
несметные россыпи формул.
ЗАДАНИЕ 6
Докажите, что если стороны а,Ьи проти-
волежащие им углы а и р треугольника
связаны соотношением
а _ b
cos a cos р 9
то треугольник равнобедренный.
Подсказка: примените теорему синусов.
Рис. 3. «Созвездие» тригонометрических
формул.
Многоугольники
Помимо треугольника на плоскости «во-
дится» еще много разного рода фигур.
Это главным образом многоугольники,
а также окружность. Многоугольник — это зам-
кнутая фигура, образованная отрезками прямых
линий. Треугольники, квадраты, прямоугольни-
ки, ромбы — это все многоугольники. Окруж-
ность к ним не относится, потому что ее «сторо-
на» представляет собой кривую, а не некоторое
число отрезков.
Многоугольники, как и люди, бывают хоро-
шо сложенными, а чаще не очень. Куда прият-
нее для глаза и изучения первые, называемые
правильными. Многоугольник является пра-
вильным, если все его стороны имеют одну и ту
же длину, а каждая пара соседних сторон пере-
секается под одним и тем же углом. На рисунке
приведены правильные многоугольники с чис-
лом сторон 3,4, 5, 6, 7 и 8.
Иногда пишут: 3-угольник, 4-угольник, 5-уголь-
ник, 6-угольник, 7-угольник и 8-угольник. Вообще,
эту последовательность можно продолжать сколь
угодно долго: для каждого натурального числа, на-
чиная с 3, существует правильный многоугольник
с соответствующим числом сторон (и равным ему
числом вершин). В пределе, когда число сторон
стремится к бесконечности, такой многоугольник
становится окружностью.
ЗАДАНИЕ 7
Докажите, что выпуклый и-угольник яв-
ляется правильным тогда и только тогда,
когда он переходит в себя при повороте
на угол вокруг некоторой точки.
Всё начинается с точки 43
Правильные
многоугольники
в природе
и архитектуре
Правильные многоугольники встречаются
повсюду. Их используют и люди, и при-
рода. Вот несколько примеров.
Повсеместно можно встретить квадрат. Шах-
матно-шашечная доска в форме квадрата разде-
лена на 64 квадрата двух цветов.
Победа
близка...
А вот самый известный правильный пяти-
угольник — здание Пентагона, Министерства
обороны США. В переводе с греческого «Пента-
гон» и означает «пятиугольник».
Дорожные знаки в форме правильных
треугольников.
Здание Ми-
нистерства
обороны
США Пента-
гона в форме
правильного
пятиуголь-
ника.
Два перевернутых по отношению друг к дру-
гу правильных треугольника образуют древний
священный символ иудеев — звезду Давида.
Давид — царь Израиля, правивший этим го-
сударством 3000 лет назад.
Структура графена —
обычного графита, но
состоящего всего из
одного слоя толщи-
ной в атом. Шарики
на картинке — атомы
углерода. Каждый из
них химически связан
с тремя ближайшими
соседями, находясь в
центре правильного
треугольника. В резуль-
тате получается краси-
вый узор из правиль-
ных шестиугольников.
ЗАДАНИЕ 8
Докажите, что середины сторон правиль-
ного многоугольника образуют правиль-
ный многоугольник.
44 Всё начинается с точки
Правильные
многоугольники
И симметрия
Конечно, есть множество красивых формул
для вычисления разных характеристик
правильных (и неправильных) много-
угольников. Их легко можно найти в любом спра-
вочнике по математике. Однако куда интереснее
те свойства многоугольников, которые роднят их
с объектами иной математической природы. На-
пример, с числами, многочленами или алгебраи-
ческими уравнениями. И даже с элементарными
частицами! Слово это магическое — «симметрия».
Возьмем сначала правильный треугольник.
Как вы, наверное, знаете, у такого треуголь-
ника все три его замечательные линии — высо-
та, биссектриса и медиана — совпадают между
собой. Кроме того, они пересекаются в одной
точке, являющейся центрами вписанной и опи-
санной окружностей, а по совместительству —
и физическим центром масс (центром тяжести)
этой фигуры (точка О на рис. 4).
ЗАДАНИЕ 9
Радиус окружности равен 13, хорда равна
10. Найдите расстояние до нее от центра.
Подсказка: диаметр, перпендикулярный
хорде, делит ее пополам.
ЗАДАНИЕ 10
Найдите периметр правильного треуголь-
ника, вписанного в окружность, если из-
вестно, что хорда этой окружности, рав-
ная 2, удалена от центра на расстояние,
равное 3.
Подсказка: зная радиус описанной окруж-
ности, найдите сторону равностороннего
треугольника: а = 2R sin 60°.
ЗАДАНИЕ 10а
Докажите, что треугольник с вершиной
на окружности и ее диаметром в каче-
стве противоположной стороны всегда
прямоугольный, где бы ни находилась эта
вершина.
Очевидно, что такой треугольник — весьма
«правильная» фигура. В чем заключается эта
«правильность»? Во-первых, его можно повер-
нуть вокруг любой из упомянутых линий (вы-
соты, медианы) на 180° или кратное ему число и
получить тот же самый треугольник. Такое вра-
щение выводит его за пределы плоскости, а мы
пока занимаемся только планиметрией, то есть
геометрией на плоскости. Поэтому поищем та-
кие манипуляции, которые оставляют плоские
фигуры на плоскости.
Посмотрите на рис. 4. У правильного тре-
угольника есть одна точка, которая расположе-
на одинаково по отношению ко всем его верши-
нам, — точка О. Если повернуть фигуру вокруг
этой точки, например, на 120° против часовой
стрелки в плоскости, то вершина Л совпадет с
Всё начинается с точки 45
прежним положением вершины С, С — с В, а
В — с А В результате получится тот же самый
треугольник в той же самой позиции. Такого не
произойдет, если угол поворота будет произ-
вольным, не кратным 120°.
Итак, три поворота — на 120°, 240° и 360° —
переводят правильный треугольник в поло-
жение, не отличимое от первоначального. Та-
кие преобразования в математике называют
симметриями. Другими словами, симметри-
ей считается любое преобразование, сохраня-
ющее объект.
Таких преобразований в нашем случае
три — это повороты вокруг точки О. Значит,
у правильного треугольника три симметрии.
Чтобы лучше освоиться с этим важным поняти-
ем, возьмем еще одну фигуру и исследуем ее на
предмет симметрий.
ЗАДАНИЕ 11
На листе прозрачной бумаги нарисован
угол, вершина которого недоступна (на-
ходится вне чертежа). Как без всяких ин-
струментов построить биссектрису этого
угла?
Подсказка: биссектриса угла является его
осью симметрии.
Квадрат
как зеркало
математической
Рис. 5. Углы поворота, соответствующие
симметриям разных правильных
многоугольников.
гармонии
Вот квадратный стол. Центр, вокруг кото-
рого можно вращать столешницу-ква-
драт, находится в точке пересечения его
диагоналей. При повороте вокруг этой точки
в плоскости столешницы на угол 90° и крат-
ные ему углы (рис. 5) стол сохраняет прежние
вид и ориентацию. Следовательно, у квадрата
четыре симметрии: повороты на 90, 180, 270
и 360°.
Последний элемент этого набора — враще-
ние на 360°, или полный оборот, — равносилен
ЗАДАНИЕ 12
Определите, симметриям каких правиль-
ных многоугольников соответствуют углы
на рис. 5.
вращению на 0°, то есть отсутствию вращения.
Потому что стол при полном обороте перехо-
дит точно в первоначальное положение, как
если бы и не поворачивался. Такое преобразо-
вание объекта, при котором его состояние не
меняется, называется тождественной симме-
трией.
46 Всё начинается с точки
Нетрудно увидеть, что можно производить
два последовательных поворота, скажем, снача-
ла на 90°, а потом еще на 90° или 180°:
90° + 90° = 180°; 90° + 180° = 270°
и т.д. Это означает, что симметрии можно скла-
дывать. Более того, в результате также получа-
ются симметрии из той же совокупности сим-
метрий квадрата, то есть повороты на 90, 180,
270 и 360°.
Возникает вопрос: а что если сумма двух
вращений будет больше 360°? Например, 180° и
270°. Поскольку 450 = 360 + 90, а поворот на 360°
равносилен отсутствию вращения, то вращение
на 450° эквивалентно вращению на 90°. Поэто-
му, если в результате сложения (еще говорят —
композиции) двух вращений сумма превосхо-
дит 360°, из нее вычитаем эти ненужные 360°.
Так, в нашем примере
180°+ 270° = 90°.
В главе «Мера всех вещей» такая процедура
была названа сложением по модулю.
Наконец, введем еще одну полезную опе-
рацию. Повернув наш стол на какой-то угол а,
можно вернуть его в первоначальное положе-
ние, совершив еще один поворот на угол 360° - а
в том же направлении. Так, 90° + 270° = 360° = 0°.
То есть мы получили тождественную симме-
трию. В этом случае вращение на 270° называ-
ется обратной симметрией, или инверсией, для
вращения на 90°. И так для любой симметрии
всякой плоской фигуры.
Симметрии
как члены группы
Поглядим внимательнее на все эти ма-
нипуляции с квадратом. Набор, или
множество, его поворотов, в результате
которых он полностью совмещается с самим
собой, имеет любопытные свойства. Хотя этих,
как мы их назвали, симметрий всего четыре, они
связаны определенным образом друг с другом.
Прежде всего, любые две симметрии можно
суммировать. Результатом будет другая симме-
трия из того же набора. Далее, имеется особая
симметрия — тождественная, равная в данном
примере 0°. Суммирование с ней любой другой
симметрии не меняет эту симметрию. И на-
конец, для каждой симметрии имеется обрат-
ная — такая, что сумма этих двух равна тожде-
ственной симметрии.
Совокупность всех вращений, удовлетворяю-
щих этим трем правилам, в математике называ-
ется группой. Это понятие играет огромную роль
в математике и физике. Подчеркнем его харак-
терные особенности, присущие всем группам не-
зависимо от объекта (в нашем случае квадратного
стола), симметрии которого рассматриваются.
Во-первых, элементами групп являются пре-
образования — операции, производимые над
объектом, которые сохраняют сам объект и его
свойства в неизменном виде. Во-вторых, «забыв»
этот объект (в нашем примере квадрат), данные
преобразования (симметрии, которых четыре в
случае квадрата) начинают вести самостоятель-
ное существование. И не какое-нибудь бестолко-
вое, а подчиняющееся вполне четким правилам:
сложение двух элементов группы дает элемент
той же группы; существует тождественный эле-
мент; для каждого элемента группы существует
обратный, опять принадлежащий этой группе.
Совокупность этих условий, называемых
групповыми аксиомами, обычно дополняют
еще одним важным свойством — ассоциатив-
ностью: суммирование трех поворотов (симме-
трий) подряд можно проводить в любой их по-
парной комбинации, не меняя порядка:
(30° + 60°) + 145° = 30° + (60° + 145°) = 235°.
В дальнейшем мы еще вернемся к группам
и сделаем их привычными, как теорему Пифа-
гора.
Всё начинается с точки 47
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Пусть а, |3 и а + |3 — углы треугольника. Тог-
да а + |3 + (а + |3) = 180°, откуда а + |3 = 90°.
Задание 2
13.
Задание 2а
Разрежем прямоугольник на две части по
пунктирной линии. Тогда увидим, что стороны
треугольника рассекают каждую из частей точ-
но пополам. Значит, вне треугольника такая же
часть прямоугольника, что и внутри. Следова-
тельно, площадь треугольника в точности равна
половине площади прямоугольника.
Отсюда следует известная истина: площадь
треугольника равна половине произведения его
основания на высоту.
Задание 3
Поскольку внешний угол равен сумме двух
внутренних, то внешние углы относятся как
(2 + 3): (2 + 4): (3 + 4) = 5 : 6 : 7.
Задание 4
Из рис. 1 следует, что а2 + b2 = h2. Но а = h sin Л,
b = h cos А. Подставляя эти выражения в первую
формулу, получим искомое выражение sin2 А +
+ cos2 Л = 1.
Задание 5
Обозначим через h высоту треугольника,
опущенную на сторону с, а через х — отрезок
стороны с, лежащий между основанием этой
высоты и стороной Ь. Тогда второй отрезок сто-
роны с равен с — х. Очевидно, что треугольник со
сторонами h, с - х и а прямоугольный, причем
а — гипотенуза. По теореме Пифагора
а2 = h2 + (с - х)2 = h2 + с2 - 2хс + х2.
Теперь обратимся к прямоугольному тре-
угольнику со сторонами Н,хмЬ. Угол между ги-
потенузой b и катетом х равен |3. Тогда
h = b sin р, х = b cos р.
Подставим эти выражения в вышеприведен-
ную формулу для а2, приведем подобные члены
и используем тождество sin2 р + cos2 Р = 1. В ре-
зультате получим формулу, выражающую тео-
рему косинусов:
а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos р.
Задание 6
Разделим почленно данное равенство на ра-
венство, вытекающее из теоремы синусов:
а b
cos a sin Р ’
Получим равенство tg а = tg |3. Поскольку
каждый из углов аир меньше 180°, то а = |3.
Следовательно, данный треугольник равнобе-
дренный.
Задание 7
Правильный и-угольник переходит в себя
при повороте на вокруг центра описанной
т-г п
окружности. Пусть теперь известно, что выпу-
клый и-угольник переходит в себя при повороте
360° ~
вокруг точки О на угол---. Эта точка не лежит
п
хотя бы на одной стороне, поэтому эта сторона
360°
при последовательных поворотах на----зани-
п
мает п различных положений. Значит, она после-
довательно совпадет со всеми остальными сторо-
нами, то есть все стороны и-угольника равны. Ана-
логично доказывается равенство его углов.
Задание 8
Правильный и-угольник переходит в себя
360°
при повороте на угол ---- вокруг его центра.
п
При этом и-угольник с вершинами в серединах
сторон данного многоугольника также перехо-
дит в себя. Следовательно, он правильный.
48 Всё начинается с точки
Задание 9
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит
ее пополам. Поэтому искомое расстояние равно
V132 -52 =12.
Задание 10
Опустим перпендикуляр на хорду, равную 2,
и соединим конец этой хорды с центром окруж-
ности. Из полученного треугольника найдем
радиус окружности:
R = л/9+Т = 710.
Зная радиус описанной окружности, найдем
сторону равностороннего треугольника:
/о
а = 2R sin 60° = 2д/10 • — = д/зО.
2
Отсюда искомый периметр Р = 3 д/30.
Задание 11
Нужно перегнуть лист пополам так, чтобы
стороны угла совместились. Тогда линия сгиба
и будет искомой биссектрисой, поскольку ли-
ния сгиба — ось симметрии угла, т.е. его бис-
сектриса.
Задание 12
Углы, соответствующие симметриям правиль-
ного и-угольника, определяются соотношением
360° 360°
= Ф„, откуда п =-.
п-----------------------Фи
Подставляя в последнюю формулу указан-
ные на рис. 5 углы 30, 60, 90 и 120°, получаем
следующие искомые правильные многоуголь-
ники:
п = 12 (12-угольник), п = 6 (6-угольник),
п = 4 (квадрат), п = 3 (треугольник).
Задание 10а
Повернем треугольник вокруг центра круга
на 180°. Получится четырехугольник, вписан-
ный в круг. Поскольку мы перевернули тре-
угольник, противоположные стороны четы-
рехугольника равны, т.е. это параллелограмм.
Но он не может быть наклонным, потому что
его обе диагонали — диаметры круга и, следо-
вательно, равны. Значит, это прямоугольник, и
все его углы прямые. Теперь ясно, что угол тре-
угольника всегда прямой.
Стереометрия 49
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Аналогии
в геометрии
До сих пор мы говорили о геометрических
фигурах на плоскости. То есть о плани-
метрии. Это такая Флатландия — «стра-
на», представляющая собой плоскость, «засе-
ленную» плоскими фигурами.
«Одноглазые флатландцы».
Мы живем не на плоскости, а в пространстве,
объекты которого имеют не только площадь, но и
объем. Это пространственные фигуры. Раздел гео-
метрии, их изучающий, как известно, называется
стереометрией. Часть этого слова, «стерео», про-
исходит от древнегреческого «стереос», означа-
ющего «пространственный», «объемный».
Все понятия планиметрии сохраняются
и в стереометрии, но здесь они обретают как бы
подчиненное положение, становясь составными
элементами фигур более высокого «ранга» —
замкнутых пространственных тел.
ЗАДАНИЕ 1
Представьте, что объем в 1 км3 разреза-
ли на кубические метры и выложили их
в одну линию. Какой длины она будет?
Пространственные тела.
Особое положение среди пространственных
фигур занимают многогранники, поверхность
которых состоит из некоторого числа плоских
многоугольников. Более того, можно провести
аналогию между плоскими фигурами и много-
гранниками.
50 Стереометрия
Рассмотрим прямолинейный отрезок на пло-
скости и точку А вне его на той же плоскости. Со-
единив крайние точки отрезка с А, получим тре-
угольник. Теперь соединим все точки полученно-
го треугольника с точкой В, лежащей над плоско-
стью нашего треугольника. Что получим? Пра-
вильно, тетраэдр — многогранник, поверхность
которого составлена из треугольников.
Тетраэдр.
Такую процедуру можно проделать с лю-
бым многоугольником и получить пирами-
ду — многогранник с треугольниками в каче-
стве боковых граней и выбранным многоуголь-
ником в качестве основания.
Знаменитые египетские пирамиды. Самая
высокая из них — пирамида Хеопса (в центре)
имеет высоту 139 м и квадратное основание
со стороной 230 м.
Получается, что треугольник на плоскости
аналогичен тетраэдру либо пирамиде в про-
странстве. Можно провести и другие анало-
гии между плоскими и пространственными
фигурами. Если в плоскости перемещать от-
резок прямой параллельно самому себе, то он
опишет параллелограмм. А если перемещать
многоугольник параллельно самому себе вдоль
прямой, пересекающей содержащую его пло-
скость, то он опишет призму.
Прямые призмы, у которых боковые ребра
перпендикулярны основанию.
Призмы — многогранники, основаниями
которых являются равные многоугольники,
а боковыми гранями — параллелограммы.
ЗАДАНИЕ 2
Найдите сумму всех плоских углов тре-
угольной пирамиды.
Таким образом, между «народами» плоско-
сти и пространства можно провести различные
аналогии. Это помогает получить ряд результа-
тов стереометрии, опираясь на знание плани-
метрии.
Квадрат Треугольник Пятиугольник
Окружность
Стереометрия 51
Пространственные фигуры и их плоские
аналоги: тор и сфера — окружность; куб —
квадрат; пирамида и октаэдр — треугольник;
додэкаэдр — правильный пятиугольник.
Теорема
Пифагора
в пространстве
Вот первый пример полезности аналогии
между плоскими и пространственны-
ми фигурами. Имеется прямоугольный
параллелепипед — прямая призма, все грани
которой являются прямоугольниками (рис. 1).
Нужно найти его диагональ d, если известны
длина а, ширина b и высота с.
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед.
верхней грани. Отбросив одну из частей, полу-
чим фигуру, изображенную на рис. 2.
Рис. 2. Тетраэдр с прямым трехгранным углом
(при вершине D).
ПИФАГОР И ДЕРЕВО
Предлагаем в качестве самостоятельного
упражнения доказать, что
d2 = fl2 + Z>2 + c2. (1)
Формула очень похожа на обычную теорему
Пифагора для прямоугольных треугольников.
Но она справедлива для весьма специфического
вида многогранников. А как насчет других?
Прямоугольный треугольник получается,
если в прямоугольнике провести диагональ
и отбросить один из получившихся треуголь-
ников. Точно таким же образом в прямом па-
раллелепипеде на рис. 1 можно провести пло-
скость, проходящую через одну из диагоналей
основания и противолежащую ей вершину
Деревья, как известно, состоят из ствола и
ветвей. Ветви — две и более — отходят от
ствола или более толстых ветвей. Как ока-
зывается, они тоже знакомы с теоремой
Пифагора. Пусть ствол или ветвь разделя-
ется, например, на ряд ветвей. Тогда «дре-
весная» теорема Пифагора утверждает,
что площадь сечения ствола равна сумме
площадей сечений отходящих от него ве-
ток. Или считая эти сечения приблизи-
тельно кругами: квадрат радиуса ствола
равен сумме квадратов радиусов ветвей,
на которые он разделяется.
52 Стереометрия
В вершине D сходятся три ребра тетраэдра,
каждое из которых перпендикулярно к двум
другим. Поэтому трехгранный угол при этой
вершине является прямым. Он соответствует
прямому углу в прямоугольном треугольнике,
а сам тетраэдр — такому треугольнику. Роль ги-
потенузы мы отдадим грани АВС, а прочие гра-
ни будут довольствоваться ролью катетов. Тогда
можно доказать, что квадрат площади грани
прямоугольного тетраэдра, лежащей против
вершины с прямыми плоскими углами, равен
сумме квадратов площадей остальных граней
этого тетраэдра: S2ACB = S2ADC + SADB + S%DB.
Очевидно, что этот результат совершенно
аналогичен обычной, «плоской», теореме Пи-
фагора.
Закон Эйлера
для многогранников
Как отмечалось выше, многогранники
в пространстве аналогичны многоуголь-
никам на плоскости. Потому что пред-
ставляют собой замкнутую часть пространства,
ограниченную плоскостями. Заменив в этом
предложении слово «пространство» на «пло-
скость», а «плоскости» — на «отрезки», полу-
чим определение многоугольников.
Рис. 3. Выпуклые многогранники.
Элементами многоугольников считаются углы
и стороны. У многогранников — двугранные
углы у ребер, образованные гранями, сходящи-
мися вдоль этих ребер, сами ребра и вершины,
в которых сходятся три или более ребер. Кроме
того, каждая грань является многоугольником
с внутренними плоскими углами.
Известно, что сумма углов плоского и-уголы in-
ка равна 7т(и - 2). Можно подумать, что и в случае
многогранников найдется какая-нибудь формула
для суммы двугранных углов. Однако оказывается,
что такие суммы не только отличаются для разных
многогранников, но и зависят от формы много-
гранника того или иного вида.
Несмотря на это печальное обстоятельство,
у нас еще остаются «в запасе» грани, верши-
ны и ребра. Посмотрим на рис. 3. Обозначим:
Г — число граней, В — число вершин, Р — число
ребер в любом из них.
ЗАДАНИЕ 3
Сосчитайте число граней, вершин и ребер
фигур, изображенных на рис. 3, и сведите
полученные результаты в таблицу.
Например, у куба Г = 6, В = 8, Р = 12; у пя-
тиугольной пирамиды Г = 6, В = 6, Р = 10; у ше-
стигранной призмы Г = 8, В = 12, Р = 18. У этих,
а также остальных фигур на рис. 3 выполняется
одно и то же соотношение:
Г+В = Р + 2. (2)
Оказывается, и это показал Леонард Эйлер,
что вообще в любом выпуклом многограннике
сумма числа граней и числа вершин равна чис-
лу ребер, увеличенному на два.
В частности, для и-угольной пирамиды
Г = и + 1, В = п + 1, Р = 2п; для и-угольной призмы
Г = п + 2, В = 2п, Р = Зи.
И последнее замечание. Каждая грань мно-
гогранника есть многоугольник, имеющий соб-
ственные углы, как и положено плоской фигуре.
Их можно сложить для каждой грани, а затем
просуммировать по всем граням. Обозначим
через Sep эту сумму всех плоских углов много-
гранника. Как установил все тот же Эйлер, она
связана с числом граней, вершин и ребер про-
стым соотношением:
Sep = 2я(В - 2) = 2я(Р - Г). (3)
Формулы (2) и (3) — истинные жемчужины
стереометрии!
Стереометрия 53
ЗАДАНИЕ 4
Грани некоторого многогранника раскра-
шены в два цвета так, что соседние грани
имеют разные цвета. Известно, что все гра-
ни, кроме одной, имеют число ребер, крат-
ное 3. Докажите, что и эта одна грань име-
ет кратное 3 число ребер.
Портрет Леонарда Эйлера.
Художник Эмануэль Хандманн. 1756 г.
Пять
платоновых тел
В планиметрии наиболее симпатичными
могут показаться правильные много-
угольники. В том числе и потому, что зада-
чи с ними вроде полегче из-за симметричности
этих тел. Опустил перпендикуляр из центра на
сторону — вот тебе и радиус вписанной окруж-
ности; соединил центр с вершиной — получил
тоже радиус, но уже описанной окружности. А
дальше — по обстоятельствам. Красота!
Красота — великая сила. Но весьма требова-
тельная. Сами судите. Аналогами правильных
многоугольников в пространстве будут правиль-
ные многогранники. По определению это объ-
емные тела, все грани которых являются одина-
ковыми правильными многоугольниками, оди-
наково соединяющимися в каждой вершине.
В плоскости допустимы правильные много-
угольники с любым числом сторон. А вот в про-
странстве, оказывается, возможно существование
только пяти правильных фигур. Всего лишь пять!
додекаэдр
икосаэдр
Правильные многогранники.
Эти многогранники иногда называют Плато-
новыми телами по имени греческого мудреца
Платона, который придавал им особое значе-
ние в устройстве мироздания. Но об этом чуть
позже. Пока познакомимся с этими замечатель-
ными «персонажами».
Тетраэдр. У него четыре треугольные грани
и четыре вершины, в каждой из которых схо-
дится по три ребра.
Октаэдр. Составлен из двух четырехуголь-
ных пирамид, соединенных своими основания-
ми. Имеет восемь треугольных граней и шесть
вершин, в которых сходятся по четыре ребра.
Куб. Имеет шесть квадратных граней и во-
семь вершин, в каждой из которых сходятся три
ребра.
54 Стереометрия
ЗАДАНИЕ 5
На трех гранях куба провели диагонали
так, что получился треугольник. Найдите
углы этого треугольника.
ЗАДАНИЕ 6
Найдите ребро куба, вписанного в сферу
радиуса R.
Додекаэдр. У него 20 пятиугольных граней,
столько же вершин с тремя сходящимися ре-
брами в каждой.
Икосаэдр. Имеет 20 треугольных граней
и 12 вершин, в каждой их которых встречаются
по пять ребер.
КЕПЛЕР И ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА
Пять правильных многогранников приго-
дились немецкому астроному Кеплеру для
создания модели Солнечной системы. Он
решил, что радиусы орбит шести планет
совпадают с радиусами сфер, связанных
с пятью правильными телами следующим
образом. Самый большой радиус имеет
сфера Сатурна. В нее вписан куб. В этот
куб вписана сфера, радиус которой есть
радиус сферы Юпитера. В сферу Юпитера
вписан тетраэдр, а в тетраэдр, в свою оче-
редь, вписана сфера, радиус которой есть
радиус сферы Марса, — и так для всех пяти
правильных тел. В результате такого по-
строения Кеплер получил шесть сфер —
по числу известных тогда планет.
Модель Солнечной системы по Кеплеру.
Почему же их так мало?!
Построение выпуклого многогранника воз-
можно, если только сходящиеся в одной верши-
не правильные многоугольники не лежат в одной
плоскости. Так, у тетраэдра, октаэдра и икосаэ-
дра в вершинах сходятся по три, четыре и пять
треугольников соответственно. Попробуем соеди-
нить в одной вершине больше — шесть правиль-
ных треугольников. Чтобы все шесть были плотно
«пристыкованы» сторонами, их придется распо-
ложить в плоскости. Иначе (в разных плоскостях)
не получится (рис. 4)!
Кстати, из того же рисунка можно увидеть,
что в каждой точке плоскости (вершине вообра-
жаемого многогранника) сходятся три правиль-
ных шестиугольника. Это означает, что невоз-
можно соорудить и правильный многогранник
с тремя сходящимися в одной вершине шести-
угольными гранями. Ну разве что скрутить эту
плоскость в трубочку.
Рис. 4. Плоскость, составленная из правильных
треугольников, соединенных по шесть
в каждой вершине.
Стереометрия 55
пятиугольниками. И представьте, такие много-
гранники существуют в природе.
Рис. 5. Трехмерная модель фуллерена.
Свернутый лист графена позволяет полу-
чить так называемую нанотрубку.
Но это будет уже совсем другая фигура!
ЗАДАНИЕ 7
Представьте, что куб стоит на столе на од-
ной своей вершине (так, что верхняя вер-
шина расположена точно над нижней)
и освещен прямо сверху. Какая в этом слу-
чае получается тень от куба?
На рис. 5 показана молекула фуллерена С60—
особой формы углерода. Эти молекулы имеют
форму выпуклого полуправильного многогран-
ника с 12 пятиугольными и 20 шестиугольными
гранями. В 60 вершинах расположены атомы
углерода (шарики на рис. 5). Соединяющие
их 90 ребер символизируют химические связи
каждого атома с тремя ближайшими соседями.
Вот такая красота получается. Этот принцип
используют и в градостроительстве.
Полуправильные
многогранники
Возможности в таком конструировании
резко возрастут, если в определении
правильного многогранника допустить,
чтобы его гранями могли быть различные пра-
вильные многоугольники. Тогда получается но-
вый класс многогранников, которые называют-
ся полуправильными. Более строго выражаясь,
полуправильным многогранником называется
выпуклый многогранник, гранями которого яв-
ляются правильные многоугольники (возмож-
но, с разным числом сторон) и все многогран-
ные углы равны.
Тогда оказывается возможным построить
многогранник, весьма похожий по структуре
на изображенную на рис. 4 схему, но в которой
часть шестиугольников замещена правильными
Ромбокубооктаэдр.
Ромбокубооктаэдр — полуправильный мно-
гогранник, поверхность которого состоит из гра-
ней куба и октаэдра, к которым добавлены еще
12 квадратов. Всего у него 8 треугольных и 18 ква-
дратных граней, а в 24 вершинах сходятся (по
четыре в каждой) всего 48 ребер. В форме этого
многогранника построено главное здание На-
56 Стереометрия
циональной библиотеки Беларуси в ее столице
Минске.
Здание Национальной библиотеки Беларуси
в форме ромбокубооктаэдра.
вещей помимо огня, земли и воды считались ме-
талл и дерево. Эту пятерку назвали пятью пер-
востихиями, или пятью первоэлементами, что,
согласитесь, вполне подходяще.
Так вот, именно Платон в своем труде «Ти-
мей» изложил теорию первоэлементов, осно-
ванную на многогранниках. По его представле-
ниям, каждый элемент состоит из атомов опре-
деленного вида. При этом атомы имеют форму
правильных многогранников. Атомы огня —
это тетраэдры, воды — икосаэдры, воздуха —
октаэдры, а земли — кубы. Значит, остается не-
задействованным додекаэдр. Будем считать, что
атомы дерева имеют форму именно этого мно-
гогранника. Однако сам Платон отвел додека-
эдру особое место в своей теории. У него это не
какой-то атом, а наглядная модель Вселенной.
То есть додекаэдр, как ребенок своих родите-
лей, повторяет форму Вселенной в целом.
А при чем здесь
Платон
Древние греки полагали, что все в нашем
мире состоит из четырех элементов: огня,
воды, воздуха и земли. Китайцы, как всег-
да, пошли дальше: у них основой материальных
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Примерно в 350 г. до н.э. греческий мате-
матик Менехм открыл особые плоские
кривые, названные коническими сечени-
ями. Они называются так потому, что их
можно получить, пересекая конус пло-
скостью. Это окружность, эллипс, парабо-
ла и гипербола. Через 18 столетий Кеплер
доказал, что именно по коническим сече-
ниям движутся вокруг Солнца планеты.
Пять первоэлементов китайской традиции.
Стереометрия 57
Поскольку все правильные многогранники
являются симметричными фигурами, можно
сказать, что при построении своей картины
мира Платон руководствовался идеей о том,
что природа построена на математических
принципах симметрии. Иными словами, в
основе природы лежит симметрия. Конечно,
такое представление о строении материи и об
атомах неверно. Например, атомы не имеют
форму платоновых многогранников и тем бо-
лее не являются твердыми телами. Но оказа-
лась бессмертной идея о том, что симметрия
определяет структуру, т.е. строение, материи.
Вся современная наука, прежде всего физика
элементарных частиц, основана на этой идее.
Кстати, она тесно связана с понятием группы,
о котором мы говорили в предыдущем разде-
ле. Но об этом немного позже.
ЗАДАНИЕ 8
Высота конуса равна h, а образующая рав-
на I. Найдите радиус основания и пло-
щадь осевого сечения.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
В 1 км3 - 1 млрд м3 (1000 х Ю00 х Ю00 = 109).
Выложив это количество метров в линию, полу-
чим прямую длиной 109 м = 106 км = 1 млн км.
Задание 2
Эта сумма равна сумме углов четырех тре-
угольников (граней пирамиды), т.е. 180° х 4 = 720°.
Задание 3
Число граней, вершин и ребер фигур, пока-
занных на рис. 3, следующее.
Верхний ряд слева направо:
6, 8,12; 7, 7,12; 7,10,15; 5, 5, 8.
Нижний ряд слева направо:
8,12,18; 6, 8,12; 6, 6,10; 5, 6, 9.
Задание 4
Общее число ребер многогранника равно
общему числу ребер белых граней и общему
числу ребер черных граней. Одна из этих сумм
(а значит, и вторая) кратна 3. Во второй все сла-
гаемые, кроме одного, кратны 3. Значит, и это
слагаемое кратно 3.
Задание 5
Получили равносторонний треугольник,
следовательно, его углы по 60°.
Задание 6
Поскольку центр сферы, описанной око-
ло куба, лежит на прямой, проходящей через
центр грани и перпендикулярной ей, центры
сферы и куба совпадают. Значит, диагональ
куба является диаметром описанной сферы.
Пусть ребро равно х. Тогда диагональ куба рав-
Задание 7
Правильный шестиугольник.
Задание 8
г = д//2 -h2 , s = hyll2 — h2.
58 Аналитическая геометрия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Рене Декарт. Гравюра У. Холла. 1833 г.
МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Декарта нельзя причислять только к ма-
тематикам. Это был человек многих даро-
ваний. Сам он считал себя прежде всего
философом, во вторую очередь — космо-
логом, в третью — физиком, далее — био-
логом и лишь на пятом месте среди его
интересов значилась математика. Как ма-
тематик он, конечно, был одним из силь-
нейших в свое время. Судите сами. Декарт
стал первым обозначать известные ве-
личины буквами а2, Ь3, с? и т.д., неизвест-
ные — последними буквами латинского
алфавита х, у, z и др. Он упростил обозна-
чение степеней: a2, x3,z5 и т.п. Ему принад-
лежит формулировка основной теоремы
алгебры: алгебраическое уравнение и-й
степени имеет ровно п корней. Декарт
ввел современное обозначение радикала
и стал говорить о комплексных чис-
лах, которые называл воображаемыми.
Он имел достижения и в геометрии: оты-
скал связь между числом граней, вершин
и ребер многогранников, которую позже
обобщил и доказал Эйлер: Г + В = Р + 2.
Это было давно...
Почти 400 лет назад, в 1637 г., в голландском
городе Лейдене вышло в свет сочине-
ние французского ученого Рене Декарта.
Один из его разделов назывался «Геометрия».
В ней был совершен революционный прорыв
в математике. Две области этой науки раскрыли
друг другу братские объятия. Декарт показал,
что геометрические фигуры можно описывать
с помощью алгебраических уравнений. Напри-
мер, прямая на плоскости задается уравнением
ах + by + с = 0, где х и у — переменные величины;
а, Ь, с — числа. «Пусть алгебра работает на гео-
метрию», — говорил Декарт.
С другой стороны, алгебра тоже получила
большую выгоду от такого союза. В те времена
(и еще долго) она занималась изучением опе-
раций над числами. Обратим внимание на то,
что числа в главе 1 задавались с помощью точек
на числовой, или координатной, оси. На ней
выбирались начало отсчета и единичный от-
резок. После этого алгебраические операции
(сложение, умножение на число и т.д.) своди-
лись к операциям над отрезками: их можно
складывать, перемножать, делить, извлекать
корни и т.п.
Таким образом, было найдено соответствие
между числами и фигурами. Метод, с помощью
которого Декарт соединил геометрию и алге-
Аналитическая геометрия 59
бру, назвали методом координат. Он является
обобщением понятия числовой прямой на пло-
скости.
Декартова
система
координат
Основная идея метода Декарта заключает-
ся в использовании координат — чисел,
связанных с данной геометрической фи-
гурой и полностью ее характеризующих. Чаще
всего используются прямоугольные, или декар-
товы, координаты, с помощью которых фик-
сируется положение точек на плоскости либо
в пространстве. Для этого берутся две (на пло-
скости) или три (в пространстве) взаимно пер-
пендикулярные прямые линии, пересекающие-
ся в одной точке — начале координат.
По традиции оси обозначают буквами х, у
и z. Однако это необязательно — обозначения
можно выбирать в соответствии с поставленной
задачей или по желанию.
Декартова система координат на плоскости.
Координатами точки Р на плоскости в де-
картовой системе называют взятые с определен-
ным знаком расстояния (выраженные в едини-
цах масштаба) от этой точки до осей координат.
Если ввести радиус-вектор г точки Р, то коорди-
натами этой точки будут служить проекции г
на координатные оси.
Декартова система координат
в пространстве.
Координаты точек плоскости
в декартовой системе.
Это определение легко обобщается на про-
странство. А именно, координатами любой
точки в пространстве называются взятые с опре-
деленным знаком расстояния (выраженные
в единицах масштаба) от этой точки до коорди-
натных плоскостей (или проекции радиус-век-
тора этой точки на координатные оси).
60 Аналитическая геометрия
Рис. 1. Координаты точек пространства
в декартовой системе.
углом 0 между радиус-вектором и осью z, а так-
же углом ср между проекцией радиус-вектора
на плоскость хОу и осью абцисс, т.е. осью Ох.
Другие системы
координат
ЗАДАНИЕ 1
Найдите связь между декартовыми и сфе-
рическими координатами точки. Иными
словами, выразите х, у и z через р, 0 и <р.
Помимо декартовой системы в математике
часто используются и другие системы ко-
ординат, которые порой бывают удобнее
при решении конкретных задач. На плоскости
это полярная система, в которой положение
точки задается двумя числами: длиной ради-
ус-вектора этой точки и углом между ним и за-
данной прямой (рис. 2).
Наконец, есть еще одна удобная система
координат в пространстве — цилиндрическая
(рис. 4). Здесь точки пространства маркируются
несколько иными числами: длиной z проекции
радиус-вектора на ось 0z, длиной р проекции
его же на плоскость хОу и углом ср между этой
последней проекцией и осью Ох.
Р(р; ф)
Рис. 2. Полярная система координат
на плоскости.
Аналогом полярной системы в простран-
стве является сферическая система координат
(рис. 3). В ней положение точки определяется
тремя числами: длиной ее радиус-вектора р,
Аналитическая геометрия 61
И сколько, и куда
В предыдущем разделе мы говорили о ради-
ус-векторе точек пространства. Это отрезок
прямой, направленный от одной точки
пространства (в данном случае — начала коорди-
нат) к другой. Он имеет величину — расстояние
между начальной и конечной точками — и на-
правление, т.е. определенную ориентацию в про-
странстве относительно координатных осей.
До сих пор мы имели дело с двумя матема-
тическими объектами — числами и фигурами.
Теперь нам встретился новый объект, сочетаю-
щий и числа, и пространственные характери-
стики, — вектор. Числа же принято называть
скалярами. Например, скаляром является тем-
пература — она характеризуется одним числом,
скажем, 36,5°. Да, скаляры любят имена — «гра-
дус», «грамм», «вольт».
Векторы определяются двумя либо тремя
числами — своими проекциями, или компо-
нентами, в той или иной системе координат.
Если выбрать другую систему, ориентирован-
ную в пространстве иначе, проекции изменят-
ся, и вектор будет определяться другой тройкой
чисел. Однако сам вектор не изменится — он не
зависит от того, какую систему координат мы
используем.
Примеры векторов у нас перед глазами: ско-
рость движения тел, магнитное поле, вес пред-
метов и т.д.
Таким образом, с точки зрения геометрии
вектор — это направленный отрезок, который
может перемещаться параллельно самому себе,
ничуть не меняясь. Поэтому два вектора, име-
ющие одинаковые длину и направление, счи-
таются равными, т.е. одним и тем же вектором.
Векторы в текстах обычно обозначают жир-
ными буквами или буквами со стрелками над
ними: a, F,a,?vL т.п.
Примеры векторов: mg — вес тела,
? — уравновешивающая сила.
Координаты векторов в выбранной декартовой
системе обозначаются индексами внизу: ах, Fz.
Векторная
алгебра
Векторы бывают всякими и могут находить-
ся между собой в различных «отношени-
ях». Так, каждому вектору может быть
сопоставлен равный ему по длине, но направ-
ленный в противоположную сторону. Его так и
называют — противоположным — и обозначают
той же буквой, но со знаком минус: -а,
Векторы можно складывать: суммой двух век-
торов АВ и ВС называется вектор АС = АВ + ВС
с началом в точке Л и концом в точке С (рис. 5).
62 Аналитическая геометрия
Произведением вектора а и действительно-
го числа а считается вектор, длина которого
в а раз больше (или меньше), а направление то
же (при а > 0) или противоположно (при а < 0)
направлению вектора а (рис. 6).
£
Рис. 7. Два способа графического сложения
векторов: а — как на рис. 5;
б — по правилу параллелограмма.
Используя соотношения (1) и (2), легко убе-
диться, что
а +Ь =Ь + а ,
а для любых трех векторов а, b и с выполняет-
ся векторное равенство
а + (Ь + с) = (а + b ) + с.
Иными словами, векторы можно складывать
в любом порядке, что означает справедливость
коммутативного и ассоциативного законов для
векторов (вспоминаем главу 1).
ЗАДАНИЕ 2
Даны векторы а = (2; 3; -1), b = (0; 1; 8), с = (-1;
2; 4) в некотором базисе. Найдите коорди-
наты вектора d = 2а - 36 + с в этом базисе.
Вычитание векторов осуществляется ана-
логично сложению с той лишь разницей, что
вычитаемый вектор вместе с приобретени-
ем минуса меняет свое направление на прямо
противоположное (как если бы вычитаемый
вектор умножили на -1). Соответственно, что-
бы найти координаты вектора-разности с,
нужно к уменьшаемому вектору а прибавить
вектор, противоположный вычитаемому век-
тору Ь. При этом эти векторы нельзя менять
местами при проведении расчетов, поскольку
а- b^b - а.
Рис. 8. Разность двух векторов.
КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ
Операции с векторами приобретают бо-
лее ясный смысл, если использовать их ко-
ординаты на плоскости или в простран-
стве. Допустим, что в некоторой выбран-
ной нами декартовой системе векторы
заданы своими проекциями на коорди-
натные оси:
а = (а: а ; а), b = (b: bib). (1)
х х у z'' ' х у z' х '
Тогда сумма с = а+Ь является вектором
с координатами
? = Ч + + (2)
От векторов —
к скалярам
Вернемся к рис. 5 и вспомним теорему Пи-
фагора для прямоугольного параллеле-
пипеда: d1 = а1 + Ь1 + с2, где d — его диаго-
наль; а, b и с — длины ребер. Нетрудно видеть,
что для радиус-вектора г выполняется анало-
гичное соотношение:
Г2 = X2 + у2 + Z2,
где х, у и z — составляющие г в декартовой системе.
Величина г = ^х1 +у2 +z2 называется длиной,
или модулем, или нормой, радиус-вектора
Как-то незаметно мы сумели из вектора из-
влечь скаляр, то есть число. Посмотрим на этот
результат внимательнее.
Запишем г2 в виде:
г г = х х + у y + z z.
Что мы видим? Компоненты вектора (его
проекции на координатные оси) умножаются
сами на себя. В результате получается число —
квадрат длины вектора, — не зависящее от вы-
бора системы координат. Такие величины назы-
вают инвариантами, или скалярами. Исходя из
вида последнего равенства, его можно назвать
произведением вектора самого на себя. Если те-
перь попробовать определить по аналогии про-
изведение двух разных векторов как
a b = a b + a b + a b = a b + a b + а b, (3)
XX у у Z Z XX у у
Аналитическая геометрия 63
то окажется, что эта величина также является
числом и инвариантом, т.е. не зависит от того,
в какой системе вычисляется. Эту замечатель-
ную операцию назвали скалярным произведе-
нием двух векторов. Оно имеет много полезных
применений в математике и физике.
Выберем систему координат так, чтобы ось
х была направлена вдоль вектора а , а вектор b
лежал в плоскости хОу. Тогда
а = (а, 0, 0), l> = (bx= b cos ср, by = b sin ср, bz = 0),
a b = ab cos <р. (За)
Рис. 9.
В последней формуле а = |я|, b = | b| — мо-
дули перемножаемых векторов. Поскольку ска-
лярное произведение — это число, то его зна-
чение не зависит от выбора системы координат.
Значит, последняя формула верна в любой ко-
ординатной системе.
ЗАДАНИЕ 3
Покажите, что для скалярного произведе-
ния выполняется дистрибутивный (рас-
пределительный) закон:
a(b+c)=ab + ас.
Скалярное
произведение —
в жизнь!
Где используется скалярное произведение?
Как говорил известный литературный
персонаж, «ближе к телу». Физическое
тело с массой т, движущееся со скоростью v,
имеет энергию движения, называющуюся ки-
нетической. Обозначим ее через Ек. Это скаляр,
но тем не менее выражающийся через скорость:
Е = -^-mv2= v)= -^-m(v2 + г?2+г?2).
k 2 2 } 2 x у z
Здесь vx, vz — компоненты вектора скоро-
сти в декартовой системе координат.
Другим примером скалярного произведе-
ния может служить работа, производимая си-
лой при перемещении тела на какое-либо рас-
стояние. Сила, как мы знаем, это вектор. Обо-
значим его как Пусть под ее воздействием
какое-нибудь тело переместилось из точки М1
пространства с радиус-вектором в другую
точку М2 с радиус-вектором R? Тогда вектор Alt,
соединяющий начальное и конечное положе-
ния тела, называется перемещением (рис. 10).
Не следует путать его с путем. Если ученик вы-
шел из школы, погулял с друзьями и пришел
в конце концов домой, то его перемещение есть
направленный отрезок, соединяющий школу
и дом. Ну а путь, возможно, будет довольно за-
путанной кривой произвольной длины.
ЗАДАНИЕ 4
Вычислить проекцию вектора а = (1, 0, -2)
на направление вектора b = (2, -1,3).
Рис. 10. Траектория и перемещение
материальной точки.
Сила, как известно из физики, способна со-
вершать работу. Эта работа зависит от величи-
ны силы, перемещения тела под ее действием
и угла между этими векторами. Обозначим ра-
боту через А. Тогда А = ? Alt
Или, что то же самое,
А = |^| AR cos ср,
где ф — угол между векторами ? и АЙ.
64 Аналитическая геометрия
Орты
Вспомним числовую прямую, используе-
мую в теории чисел. На ней обязательно
был отрезок единичной длины для нане-
сения на эту прямую целых чисел. При исполь-
зовании в пространстве систем координат часто
вводятся единичные векторы вдоль каждой из
координатных осей. Единичными они называ-
ются потому, что их скалярное произведение на
самих себя равно 1. Поясним.
Пусть i — такой единичный вектор. Тогда
i • i =1. Скалярное произведение любого вектора
на единичный равно а • i = a cos ср, где ср — угол
между векторами а и i. То есть такое произведе-
ние равно проекции вектора на единичный.
Возьмем какую-нибудь декартову систему
координат в пространстве Oxyz. Введем в ней
три вектора: i — единичный вектор вдоль оси
Ох,/ — единичный вектор вдоль оси Оу, к —еди-
ничный вектор вдоль оси Oz. Эти три вектора
взаимно перпендикулярны, т.е. угол между лю-
быми двумя из них равен 90°. А поскольку cos 0°
= 1, cos90° = 0,тоf = 0, £ = 0,7 ’7 = 1/7’^ =
0,£-£ = 1.
Рис. 11. Единичные векторы (орты) в декартовой
системе координат.
Такой набор единичных векторов, направ-
ленных вдоль координатных осей, называется
ортонормированным базисом данной системы
координат. «Орто» — потому что единичные
векторы взаимно перпендикулярны, а «нор-
мированный» базис, потому что длина (норма)
этих векторов равна 1. В таком базисе всякий
вектор а можно записать в виде (рис. 12)
а = а • i + а • / + а • к. (4)
х у J Z ' '
Числа а , а , а называюся компонентами век-
тора а в данном базисе (г;/ ; к).
Рис. 12. Разложение вектора по базисным
векторам.
ЗАДАНИЕ 5
Используя разложение (4), покажите, что
скалярное произведение двух векторов
равно
ab =а b + а b + а b =ab + ab + ab.
хх У У z z хх у у z z
ЗАДАНИЕ 6
Найти прямоугольные декартовы коор-
динаты вектора а, если углы между ним
и осями равны:
Ла, Т) = 120°, Ла,/) = 60°,
Ла, £) =45°, |«| = 6.
Аналитическая геометрия 65
Линейная
зависимость
векторов
Итак, если выбран базис (i; j ;к), то всякий
вектор можно представить в виде комби-
нации базисных векторов:
а = а • i + а • ; + а * к.
х у J Z
Выражение такого вида называется линейной
комбинацией векторов i, j и. к. Но не только: для
любых трех векторов F, Н, S выражение вида
сгР + с2Н + c3S,
где cv с2, с3 — постоянные величины (числа), так-
же именуется линейной комбинацией этих век-
торов. Если
qF + с2Н + c3S = О
тогда и только тогда, когда все с. = 0 (i = 1,2,3), то
—> —> —>
векторы F, Н, S называются линейно зависимы-
ми. Это всего лишь означает, что один вектор
может быть выражен через остальные.
Посмотрим, как это выглядит для двух век-
торов а х и аг Пусть с^ах + с^2= 0.
Отсюда следует, что
— _ q _ _ _
С С1
где с = —--число.
С2 _
Это значит, как векторы а х и а 2 лежат на од-
ной прямой (либо на параллельных прямых).
Следовательно, два линейно зависимых вектора
коллинеарны: ах\\аг
Вернемся из плоскости в пространство, и пусть
С1^1 + С2^2+ = 0’
причем q# 0. Тогда
—► Ci —► Со —► —► —►
а3 =—-ах —-а2 =тах + па2,
сз сз
Ci с2
где т = —1лп =—- — числа.
с3 с3
Отсюда следует, что вектор а 3 лежит в одной
плоскости с векторами а х и а2. Это означает, что
три линейно зависимых вектора компланарны.
Изменение
системы
координат
Выбор системы координат, т.е. набора ба-
зисных ортов, может быть различным.
В разных системах векторы остаются сами
собой, поскольку они от этих систем не зависят.
Однако составляющие векторов меняются при
переходе от одной системы к другой. Такой пе-
реход называется преобразованием декартовых
координат. Он может производиться на плоско-
сти и в пространстве.
у А
Рис. 13. Две декартовы системы координат
на плоскости с различной ориентацией.
Для простоты рассмотрим преобразование
на плоскости, состоящее в повороте осей одной
системы координат относительно другой на не-
который фиксированный угол ср (фактически
поворот в плоскости хОу вокруг оси 0z).
Рис. 14. Координаты
66 Аналитическая геометрия
Некоторая точка Р плоскости имеет коор-
динаты (%; у) в одной системе и (%’; у’) в другой.
Из рис. 14 можно найти связь между ними:
х' = х cos ср + у sin ср,
у' = у cos ср - х sin ф, (5)
z' = z.
Последнее равенство означает, что при дан-
ном преобразовании декартовых систем третья
координата точек плоскости не изменяется.
Как было отмечено ранее, в декартовых си-
стемах векторы, как и точки (плоскости, про-
странства) характеризуются двумя или тремя
числами — своими составляющими, или ком-
понентами. Поэтому при переходе от одной
декартовой системы к другой эти числа преоб-
разуются по тем же формулам (5), что и коор-
динаты точки (рис. 15):
F , =F cos ф + F sin ф,
F, = Fv cos ср - Fx sin ср, (5a)
Рис. 15. Компоненты произвольного вектора
в двух системах координат.
Знакомимся
с матрицами
апишем F в виде вертикального столбца:
А коэффициенты преобразований (5) и
(5а) — в форме особой таблицы:
cos <р
R = - sin ф
. О
sin ф (Г
cos ф О
О b
В таких обозначениях система (5а) примет
вид: F' = RF.
Или
' COS ф
-sin ф
< О
sin ф
cos ф
О
(6)
Соотношение (6) называется матричной фор-
мой записи закона преобразования декартовых
координат. А таблица R — матрицей поворота
(ведь наше преобразование представляло собой
поворот осей координат). Или в более общем слу-
чае (не обязательно поворота) преобразования от
одной координатной системы к другой — матри-
цей перехода. Представление F в виде столбиков
называется вектор-столбцом.
Чтобы получить из соотношения (6) урав-
нения (5а), нужно строки матрицы R, каждую
по отдельности, умножить на вектор-столбец
F по правилу: первый элемент первой строки
умножить на верхний элемент вектор-столбца,
второй элемент этой же строки — на средний
элемент вектор-столбца, наконец, третий эле-
мент первой строки — на нижний элемент, за-
тем сложить эти произведения; и так же посту-
пить со второй и третьей строками. Результаты
представим в виде строк нового столбца:
COS ф sin ф О' Fx
-sin ф COS ф 0 Fy
0 0 b
созф • Fx + зтф • Fy + 0 • Fz
-sin(p-Fx + со8ф^ + 0-Fz
0^+0-F/l^
rFx cos ф + Fy sin ф^
Fy С08ф-^8Шф
F,
F,
Приравняв каждый элемент этого столбца со-
ответствующему элементу вектор-столбца F , по-
лучим уравнения (5а).
Аналитическая геометрия 67
Особенности
и виды матриц
Матрица, с которой мы познакомились, —
это частный пример из обширного клас-
са математических объектов, также име-
нуемых матрицами. У матрицы R — три столбца
и три строки. Это — матрица 3 х 3. В самом общем
виде матрицы представляют собой прямолиней-
ные таблицы с m строками и п столбцами:
Если матрица состоит из одной строки, она
называется матрицей-строкой, а если из одного
столбца, то матрицей-столбцом (как вектор F
в предыдущем разделе).
Следует упомянуть, что в математике широ-
ко используются векторы, все или часть компо-
нент которых могут быть не действительными,
а комплексными числами.
Что можно
ап ап...
a2i ^22 •” а2,п-1 а2п
А =
О'm2 @m,n-l ^тп j
Члены этой таблицы алл, алп, апл, а л, а
11' 12' 21' ' ml' тп
называются элементами матрицы. Ими могут
быть числа, функции или алгебраические вы-
ражения. Их обозначают как а.., тде i — номер
строки, в которой расположен этот элемент,
a j — номер его столбца. То есть этот элемент
стоит на пересечении z-й строки и /-го столбца.
Матрицы с т = п называют квадратными.
Элементы таких матриц, имеющие одинаковые
индексы, т.е. ап, а22, а33, апп, идут слева напра-
во и сверху вниз, подобно диагонали квадрата.
Они образуют главную диагональ матрицы.
Если все элементы, кроме диагональных, равны
нулю, то и матрица называется диагональной.
Если все диагональные элементы равны едини-
це, а остальные — нулю, матрица называется
единичной. Наконец, есть еще нулевая матри-
ца, у которой вообще все элементы — это нули.
делать
с матрицей
Матрицы устроены сложнее, чем числа,
а потому у них гораздо больше свойств.
Прежде всего, их можно умножать
на числа. Чтобы умножить матрицу А на чис-
ло к, нужно каждый ее элемент умножить на
это число. Например, если А =
4 0 4/|
4х2 12 40 Г
а к = 4, то кА =
1 0 у"
х2 3 ЮГ
Матрицы одного размера можно склады-
вать. Суммой будет матрица того же размера,
элементами которой служат суммы соответ-
ствующих элементов матриц-слагаемых. Ины-
ми словами, если С = А + В, то с.. = а.. + Ь.. для лю-
бых г и
Операция сложения обладает свойствами
Ш-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Соответственно «большим» матрицам мож-
но ввести понятие вектора в и-мерном про-
странстве для произвольного п. А именно,
назовем таким вектором совокупность п чи-
сел, идущих в определенном порядке. Эти
числа называются составляющими (компо-
нентами) этого вектора: х(хг, х2,..., хи).
Совокупность всех таких векторов обра-
зует и-мерное векторное пространство,
обозначаемое как Rn.
коммутативности и ассоциативности:
А + В = В + А;
А + (В + С) = (А+В) + С.
Наконец, матрицы можно умножать друг
на друга. Делается это путем перемножения
строк первой матрицы на столбцы второй ма-
трицы и последующего суммирования полу-
ченных произведений. Из этого следует, что
матрицы можно умножать лишь тогда, когда
число столбцов первой матрицы в произведе-
нии равно числу строк второй.
Примеры:
/2 1
1)(х 31
= (х • 2 + 3 • у
x-l + 3-z) =
= (2х + Зу х + 3z);
68 Аналитическая геометрия
2)
1
х
zR 3
2-Х + 1-3 2х + 3 |
^у-х + х-З) ^ху + Зх)
3)
2
гД-5
У
4
2х2-5
х2у - 5z
2^-4
у1 + 4z
4)
х
-5
4А>>
1
Z
2х2+/
ч-10+4у
2
х + yz
-5 + 4z
(7)
(8)
ЗАДАНИЕ 7
Посмотрите на равенства (7) и (8). Какое
свойство матриц они выражают?
Выводим общее правило
Если внимательнее присмотреться к рассмо-
тренным примерам, можно понять правило
умножения матриц А • В = С. Допустим, матри-
цы А и В имеют размер 2x2.
Чтобы получить первый элемент первой
строки матрицы С, нужно умножить первый
элемент первой строки матрицы А на первый
элемент первого столбца матрицы В, второй
элемент первой строки А на второй элемент
первого столбца В и эти два произведения сло-
жить:
сн - аи^и + ап^2Г (9)
Чтобы получить второй элемент первой строки
матрицы С, нужно умножить на первый эле-
мент первой строки матрицы А на первый эле-
мент второго столбца матрицы В, второй эле-
мент первой строки А на второй элемент второ-
го столбца В и эти два произведения сложить:
ci2 ” лп^12+ а1^2Г 0-0)
Аналогичным образом элементы второй
строки матрицы С получаются путем перемно-
жения второй строки А на столбцы В и последу-
ющего суммирования:
С21 ” ^21^11 + а22^21' (11)
С22 ~ а21^12 + а22^22* (12)
Нетрудно заметить общее правило пере-
множения матриц:
2
Су = ааЬч = ai2b2j = ainbnJ. (13)
п=1
Здесь знак X означает суммирование по ин-
дексу п в пределах от 1 до 2, как видно из выра-
жений (9) —(12).
ЗАДАНИЕ 8
Запишите правило перемножения двух
матриц А размера т х п и В размера п х к
в виде, аналогичном (13).
Аналитическая геометрия 69
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Из рис. 3 находим:
х = р sin 0 cos ср, у = р sin 0 sin ср, z = р cos 0.
Задание 2
Координаты вектора а найдем, используя
правила действий над векторами в координат-
ной форме (см. формулы (1) и (2)),
Я = 2 • (2; 3; -1) - 3 • (0; 1; 8) + (-1; 2; 4) =
= (4; 6; -2) - (0; 3; 24) + (-1; 2; 4) = (4 - 0 -1; 6 -
-3 + 2;-2-24 + 4) = (3;5;-22).
Задание 3
Используем соотношение (3):
6Z ’ (Z) + С ) ^x(J^X "I" Сх) "I" Д/(Д/ "I" ^у) "I" @z(bz —
= (axbx + ауЬу + azbz) + (ахсх + ауСу + azcz) = а • b + а -с.
Что и требовалось доказать.
Задание 4
Используем формулы (3) и (За):
и • b = + (tyby + azbz/
a-b = |fl||Z>|cos(p = flJZ>|,
где ab = |я |cos ср — направление вектора а. Из этих
соотношений находим:
a-b _ 1-2 + 0-(~1) + (~2)-3 _ 2-6 ______4
b ft + (-1)2 +32 л/14 714'
Задание 5
а • b =(а • i +а • j +а • k}(b i + b • i +Ь • к).
При перемножении этих скобок произве-
дения, содержащие различные единичные век-
торы (ах by ау bz и т.п.), обращаются в нуль, по-
скольку i -j=O,i-k = 0,j - к = 0. Остаются лишь
члены с одинаковыми индексами. Поскольку
i • i = 1,у -j = 1, к • к = 1, то в результате остается
искомое соотношение
а • b = а • b + а • b + а • b = ab + a b + ab.
XX У у Z Z XX у у Z Z
Задание 6
Пусть вектор а имеет координаты (х; у; z).
По определению координат вектора, используя
результат предыдущей задачи, имеем:
x = at= |а| cos(Z(a, 0) = 6 cos 120° = 6 • = -3.
у = а}- = |а| cos(Z(a, 0) = 6 cos 60° = 6 • = 3.
z = ax= |а| cos(Z(a, к)) = 6 cos 45° = 6 • = Зд/2.
В итоге получаем: а = (-3; 3; Зл/2).
Задание 7
Некоммутитавность матриц:
<2 ЧР
Д-5
4J*l“5 W z)
Задание 8
Результирующая матрица будет иметь т
строк и к столбцов, а ее элементы вычисляются
следующим образом:
п
ctj=anbXj +ai2b2j+... + ainbnj =^ahbsj,
5=1
причем i = 1,2,т; j = 1, 2,к.
70 Пространства чисел, звуков и цветов
ПРОСТРАНСТВА
ЧИСЕЛ, ЗВУКОВ И ЦВЕТОВ
От стрелки —
к абстрактному
вектору
В предыдущей главе мы говорили о векто-
рах, рассматривая их как направленные
отрезки. Они определялись своими свой-
ствами, главными из которых являются опера-
ции сложения и умножения на число. В мате-
матике и физике часто встречаются объекты
другой природы, которые тоже можно умно-
жать на числа и складывать между собой. Тако-
вы, например, комплексные числа, о которых
шла речь в третьем разделе, а также алгебра-
ические функции, определенные на одном от-
резке значений аргумента. Они не являются на-
правленными отрезками, но обладают такими
же свойствами по отношению к упомянутым
операциям. Поэтому подобные объекты в мате-
матике принято также называть векторами.
Здесь мы встречаемся с одним из харак-
терных качеств математики — ее универсаль-
ностью. Это означает, что одно и то же поня-
тие — в данном случае «вектор» — описывает
множество разнообразных объектов. Как оно
это делает? Путем указания общих для всех них
свойств. Эти свойства выражены в законах опе-
раций, производимых над векторами.
Таким образом, отбрасывая конкретную
природу векторов, можно найти общие законо-
мерности, присущие любому множеству объек-
тов, для которых определены операции сложе-
ния и умножения на число. Более того, не суще-
ственно, являются ли эти операции обычными
умножением и сложением. Важно лишь то, что
они должны удовлетворять нескольким услови-
ям. (Будем теперь обозначать векторы просто
жирными буквами без стрелок над ними.)
1. Сложение.
Для любых векторов аиЬ
а + Ъ = Ъ + а
(коммутативность сложения);
(а + Ь) + с = а + (Ь + с)
(ассоциативность сложения);
существует такой вектор 0, что х + 0 = х; вектор
0 называется нулевым; для любого вектора х су-
ществует вектор у, такой, что х + у = 0. Этот век-
тор называется противоположным х.
Пространства чисел, звуков и цветов 71
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Магнитное поле, как и электрическое,
имеет векторный характер. Это значит,
что в каждой точке пространства, где есть
поле, задан вектор, характеризующий
его напряженность. Поля от нескольких
источников складываются по правилу
сложения векторов.
А вот сейчас внимание! Даем определение
важнейшего математического понятия.
Множество объектов (называемых векторами),
для которых введены операции сложения и умно-
жения и которые удовлетворяют утверждениям
1 и 2, называются линейным векторным простран-
ством (или просто линейным пространством).
Сами утверждения 1 и 2 называются аксио-
мами линейного пространства.
Примеры
1. Обычное пространство типа того, в ко-
тором мы живем и которое изучается в стерео-
метрии. Его элементами являются обычные векто-
ры-стрелочки, о которых шла речь в предыдущем
разделе. Там же для них показана справедливость
аксиом линейного пространства.
2. Непрерывные функции/(х) переменной х,
определенные на отрезке хг < х < х2, образуют ли-
нейное пространство. Сумма двух таких функций
будет непрерывной функцией с той же областью
определения. То же самое относится и к произве-
дению таких функций на числа.
Указанные на рисунке функции образуют
линейное векторное пространство на интерва-
лах -оо<х<0и0<х<°°.
S
5
2. Умножение
Если х и у — векторы, а т и п — числа, то:
1 • х = х;
т • (пх) = (тп) • х
(умножение на числа ассоциативно);
(т + п)(х + у) = т(х + у) + п(х + у) =
= тх + ту + пх + пу.
(дистрибутивность умножения на числа и сло-
жения векторов).
4. Множество комплексных чисел а + Ы (где
аиЬ — действительные числа, i =^[-1), как легко
проверить, также образуют линейное вектор-
ное пространство.
ЗАДАНИЕ 1
Покажите, что комплексные числа удов-
летворяют всем аксиомам линейного про-
странства.
72 Пространства чисел, звуков и цветов
Базис
В предыдущей главе были введены понятия
линейной комбинации и линейной неза-
висимости геометрических векторов. Эти
понятия естественным образом обобщаются на
любые векторные пространства. Пусть в некото-
ром линейном пространстве R есть п векторов
x1z х9, xv х _., х и пусть cl, cl, cl, a _., а —
числа. Векторы х1Л х2, х3, хп1, хп называются
линейно независимыми, если для их линейной
комбинации равенство
«Л + а2х2 + а3х3 +... + а^х^ + апхп = £ asxs = О
5=1
выполняется только в том случае, когда все чис-
ла равны нулю. Если это не так (т.е. это равен-
ство справедливо, когда некоторые из коэффи-
циентов as отличны от нуля), то векторы х1Л х2,
х3, хп1, хп называются линейно зависимыми.
В этом случае хотя бы один из них может быть
выражен через остальные — их линейную ком-
бинацию. Так, в обычном пространстве любые
три некомпланарных (т.е. не лежащих в одной
плоскости) вектора линейно независимы.
Помните, как в обычном пространстве, в ко-
тором имеется фиксированная декартова систе-
ма координат, вводились единичные векторы
i, j, к вдоль координатных осей? Благодаря им
любой вектор можно выразить линейной ком-
бинацией его проекций на координатные оси:
—> —> —>
v=v i +v j + vk.
X yl z
Из-за этой способности тройка i, j, к полу-
чила название базиса обычного пространства.
Эти векторы, как мы должны помнить, являют-
ся линейно независимыми.
Сказанное можно обобщить на произволь-
ное линейное пространство. А именно, базисом
некоторого линейного пространства R называ-
ется такая система линейно независимых векто-
ров е1Л е2,еп1, еп, что каждый вектор из R мож-
но представить в виде линейной комбинации
этих векторов: п
х = У х_е_.
s S
5=1
Коэффициенты разложения в этом равен-
стве называют координатами, или компонента-
ми, вектора х в базисе (е1Л е2, еп1, е^. А само
равенство — разложением данного вектора по
данному базису. Любой вектор пространства
однозначно представляется набором своих ком-
понент. Поэтому нередко говорят, что вектор
есть упорядоченный набор чисел.
Такие наборы принято записывать в виде
столбцов или строчек, о которых шла речь
в предыдущей главе для случая п = 2. Действия
над векторами (сложение и умножение на чис-
ло) производятся как над матрицами.
МАТРИЧНЫЕ ЕДИНИЧНЫЕ
ВЕКТОРЫ
Если базисные векторы взять в таком виде:
е, = (1,0,0,0,0), е2 = (0,1,0,0,0),
е3 = (0,0,1,0,0),
е„_1 = (0,0, 0,1,0), еп = (0,0, 0,1),
то любую вектор-строку можно предста-
вить в виде
х = (х1Г х^хп) = х1е1 + х2е2 +... + хпеп. (1)
Отметим, что вектор-строка и вектор-
столбец — равнозначные объекты. Исполь-
зование того или другого — дело удобства.
Что такое размерность
линейного
пространства
Муравей по проволоке может ползти
только в одном направлении, а на пло-
скости — в двух: вдоль любой прямой и
по перпендикулярной к ней. Куда больше воз-
можностей у муравья, если ему встретится тра-
винка: по ней он сможет двигаться еще и вверх.
Возможное направление движения — это то,
что называется в математике измерением.
Вспомним координатные системы: чис-
ловую ось, декартовы системы на плоскости
и в пространстве. Для чего они нужны? Для ука-
зания положения точек. На прямой достаточно
одного числа, на плоскости — двух, в простран-
стве — трех.
Поскольку мы уже знаем, что эти числа
можно рассматривать как координаты векто-
ров в соответствующих пространствах, то коли-
Пространства чисел, звуков и цветов 73
но, если в линейном пространстве существуют
только п линейно независимых векторов, но не
больше, то пространство называется и-мерным,
а п — размерностью этого пространства.
В и-мерном пространстве непременно су-
ществует базис из п линейно независимых век-
торов. Таковым, например, является базис, ис-
пользованный в равенстве (1).
Всегда ли
пространство
«пространственно»
чество этих координат произвольного вектора
также свидетельствует о пространстве, которо-
му он принадлежит. Таким образом, приведен-
ное выше равенство (1) характеризует простран-
ство с п координатами.
Количество координат пространства, в ко-
тором введена система координат, называется
размерностью этого пространства. Каждую из
этих координат называют измерением. Значит,
линия или прямая имеет одно измерение и яв-
ляется одномерным пространством, плоскость
или поверхность (например, шара) — двумер-
ное пространство, а пространство, в котором
мы живем, имеет три измерения (х, ywzjvL, ста-
ло быть, трехмерно.
Векторное пространство характеризуется
количеством линейно независимых векторов,
которые имеются в нем. Размерность такого
пространства прямо связана с ними. А имен-
Говоря о векторных пространствах, так или
иначе представляешь себе некий «объем»,
который заполнен всякими предметами
вроде стрелок, параллелограммов, кубов и про-
чих геометрических фигур, а также нас с вами.
На самом деле измерения таких пространств
вовсе не обязаны иметь геометрическую при-
роду. Стоит вспомнить смысл координат, или
измерений, чтобы понять это.
Координаты — это переменные, исполь-
зующиеся для описания геометрических фи-
гур. Зная их, мы знаем о таких фигурах все. То
есть имеем полную информацию о них. Но это
только геометрия. Чтобы получить необходи-
мую информацию об объектах иной природы,
требуются иные переменные.
74 Пространства чисел, звуков и цветов
Например, если речь идет о погоде, то по-
мимо географических координат местности не-
лишне будет указать температуру воздуха там.
Это еще одна переменная, еще одна «коорди-
ната» и еще одно измерение. Неплохо также
знать, каковы давление воздуха и скорость ве-
тра. Это еще 1 +(1 + 1 + 1) = 4 измерения. Итого
получается: 2 (географические координаты —
широта и долгота) + 1 (температура воздуха) +
+1 (атмосферное давление) + 3 (три компоненты
скорости ветра) = 7.
Стало быть, наше «погодное» пространство
семимерно! Лихо. Но ясно, что и эти «измере-
ния» еще не все. Есть, например, еще влажность
воздуха. К тому все эти параметры-измерения
погоды меняются со временем. Так что возника-
ет довольно сложная картина.
Символическое изображение
пространства-времени.
относительности, являясь «сценой» физических
процессов, происходящих с очень высокими
скоростями.
ЦВЕТОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
Наш мир многокрасочный. Его палитра
включает семь цветов и всевозможные
их комбинации, отличающиеся пропор-
циями основных и их интенсивностью.
Научными исследованиями еще в XIX в.
было установлено, что для получения
любых возможных цветов вместе со все-
ми мыслимыми оттенками достаточно
взять всего три цвета из семи основных!
Эта тройка может быть выбрана по-раз-
ному. Например, красный, желтый и си-
ний цвета. Или красный, зеленый и си-
ний, которые используются в телевиде-
нии. Они играют роль базисных цветов
в пространстве цветов, которое, следо-
вательно, является трехмерным.
Упростим ее. Представим все имеющееся
в обычном трехмерном пространстве точками
в нем (т.е. координатами), а все случающееся
еще и временем t, когда это происходит. Таким
образом, в координаты любого события вклю-
чается помимо пространственных переменных
также временная координата. Возникающая в
результате этой процедуры конструкция тоже
будет векторным пространством. Оно имеет
специальное название — пространство-вре-
мя — и используется в так называемой теории
Пространства чисел, звуков и цветов 75
Что такое
многомерные
пространства
Таким образом, координаты в линейных
пространствах можно представить как те
или иные свойства, или качества, изучае-
мых объектов, а сами пространства — как про-
странства свойств. От этого они не перестают
быть векторными, поскольку в них выполняют-
ся аксиомы линейных пространств.
Выше говорилось о том, что размерность
пространств выражается натуральным числом,
причем это число может быть, вообще говоря,
любым. На число п в определении векторных
пространств не накладываются никакие ограни-
чения. Как представить себе пространства?
Мориц Эшер. «Относительность». 1953 г.
МНОГОМЕРИЕ НЕ НОВОСТЬ
Идея о возможности существования в про-
странстве не трех, а четырех измерений
возникла в математике очень давно. Пер-
вые смутные соображения на сей счет по-
явились во времена Диофанта, в 250 г. до
н.э. В более отчетливой форме ее выска-
зал средневековый математик Абуль-Ва-
фа Мухаммад ибн Мухаммад аль-Бузджа-
ни, живший в X в. в Багдаде. У него немало
научных достижений: он изобрел триго-
нометрические функции тангенс и котан-
генс и построил их таблицы, а также вы-
вел формулу для синуса суммы двух углов.
Одно-, двух- и трехмерное пространства
привычны нам — линия, плоскость, объем.
А как быть, скажем, с четырехмерным про-
странством?
Мы с вами трехмерные существа. А наша
тень, отбрасываемая на пол, двумерна. Конечно,
это не мы, но тем не менее, тень несет кое-какую
информацию о нас. Если у вас большой жи-
вот, у тени тоже будет некая выпуклость. Тень,
76 Пространства чисел, звуков и цветов
по сути, это плоская, т.е. двумерная, проекция
трехмерного объекта (нашего тела). Точно так
же можно попытаться представить четырех-
мерные тела, рассматривая их трехмерные про-
екции.
Пусть наше четырехмерное пространство —
это упоминавшееся выше пространство-время.
Это значит, что четвертым измерением в нем
является время. Остановить время означает
оставить только три измерения. Это как раз и
делает фотография. Правда, трехмерный объ-
ект на фото проецируется в конечном счете на
плоскость — фотография-то плоская. Благода-
ря этому получается трехмерное пространство
с двумя пространственными и одной времен-
ной координатами.
Существуют различные способы предста-
вить себе многомерные объекты в образах, по-
нятных нашим чувствам. Тем не менее в полной
мере мы не в состоянии вообразить даже четы-
рехмерное пространство. Да в этом и нет особой
необходимости! Математика предоставляет все
необходимое для конструирования таких про-
странств и изучения их свойств. А наглядные
картинки — лишь подсобные средства для того,
чтобы почувствовать себя там немного уверен-
нее. Поэтому вернемся снова к многомерным
пространствам и посмотрим, что бы такое там
«соорудить», опираясь на уже знакомую геоме-
трию.
ТЕССЕРАКТ, ИЛИ
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ КУБ
Обычный куб является трехмерным ана-
логом квадрата. Его аналогом в простран-
стве четырех измерений будет так назы-
ваемый гиперкуб — замкнутая выпуклая
фигура, состоящая из групп параллель-
ных линий, расположенных на противо-
положных краях фигуры и соединенных
друг с другом под прямым углом. Эту фи-
гуру также назвают тессерактом. Тессе-
ракт относится к кубу, как куб относится
к квадрату. Он может быть описан как
правильный выпуклый четырехмерный
многогранник, чья граница состоит из
восьми кубических ячеек.
Возьмем проволочный обычный куб
и поглядим на него со стороны грани од-
ним глазом. То, что мы увидим, показано на
рисунке слева — два квадрата на плоскости
(ближняя и дальняя грани), соединенные
четырьмя линиями — боковыми ребрами.
Аналогичным образом тессеракт в трех-
мерном пространстве будет выглядеть как
два кубических «ящика», вставленных друг
в друга и соединенных восемью ребрами.
При этом сами «ящики» — трехмерные
грани — будут проецироваться на «наше»
пространство, а линии, их соединяющие,
протянутся в четвертом измерении. Всего
эта четырехмерная фигура имеет 32 ребра,
16 вершин, 24 двумерные квадратные грани
и 8 трехмерных граней-кубов, называемых
ячейками.
Пространства чисел, звуков и цветов 77
СКОЛЬКО ПРАВИЛЬНЫХ
ФИГУР В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Выше мы говорили о тессеракте — правиль-
ной фигуре в четырехмерном простран-
стве. Это выпуклый многогранник — зам-
кнутая фигура в данном пространстве.
Сколько правильных многогранников там
может существовать? На плоскости (двух-
мерное пространство) — бесконечно мно-
го. В трехмерном пространстве — всего
только пять (тетраэдр, куб, октаэдр, ико-
саэдр и додекаэдр). Правильность много-
гранника в четырехмерии означает, что
все его границы — ячейки, (трехмерные),
плоские грани — являются правильными
фигурами. Так вот, в четырехмерном про-
странстве возможны шесть правильных
многогранников.
И здесь тоже
Пифагор!
В предыдущей главе в разговоре о векто-
рах было введено число, характеризую-
щее их «взаимоотношения» — скалярное
произведение двух векторов. Оно выражается
через их компоненты в декартовой системе ко-
ординат:
а * b = ах* bx + ау- by + az* bz = axbx + ciyby + ajbz. (2)
Если представить, что a = b, то a • a = al + a*+az>
тде pl = ^al+al+al — длина, или норма,
вектора а, число действительное неотрицатель-
ное. Если а • b = 0, то говорят, что эти векторы
взаимно перпендикулярны, или ортогональны.
В трехмерном линейном пространстве для лю-
бых трех взаимно перпендикулярных векторов
а, b и с выполняется равенство
\а + b + cl = |а| +|б| +|с|
(3)
Эта формула выражает теорему Пифагора
для трехмерного пространства.
ЗАДАНИЕ 2
Докажите формулу (3).
Подсказка: умножьте скалярно вектор
а + b + с на самого себя и учтите их попар-
ную перпендикулярность.
Расстояние между двумя точками в трехмер-
ном пространстве определяется как длина век-
тора с = а- Ь разности двух векторов с концами
в этих точках и началом в начале системы коор-
динат.
Такой вектор имеет следующие составля-
ющие (компоненты) по координатным осям:
(ах - b* а - by, az - bz). Его длина определяется
через скалярное произведение на самого себя:
с • с = {а -Ь)2 + (а -Ь)2 + (а -Ь).
Отсюда получаем выражение для длины
вектора с или. расстояния s между двумя точка-
ми трехмерного пространства с координатами
К а) и (b, bz).
s = fi/c = y[(ax ^brf+(ay ^b^+(az -Z>z)2.
В математике множество элементов любой
природы, для каждой пары которых введено по-
нятие расстояния между ними, именуется ме-
трическим пространством. А способ, каким это
расстояние определено, называется метрикой.
А если метрика введена через скалярное произ-
ведение так, как это только что сделано, то такое
пространство получило название в честь самого
великого геометра всех времен — евклидово.
Другая формула скалярного произведения
выражает его через угол между векторами:
а • b = ab cos ср. (4)
Сравнение равенств (2) и (4) позволяет нам
получить замечательную формулу, выража-
ющую угол между векторами через их компо-
ненты в любой декартовой системе:
78 Пространства чисел, звуков и цветов
Инструменты нашего метрического
пространства.
ЕВКЛИД И ЕГО ПРОСТРАНСТВО
Евклидова геометрия изложена математи-
ком в его труде «Начала». Она описывает
свойства пространства, которое называ-
ют теперь евклидовым. Это пространство
является сценой, на которой разворачи-
ваются физические явления классиче-
ской физики. Той, основы которой были
построены Галилеем и Ньютоном. Это
пространство трехмерное, пустое, безгра-
ничное, одинаковое во всех направлени-
ях (изотропное). Евклид придал матема-
тическую форму идее древних греков об
атомах как наименьших «строительных»
элементах материи. Атомы, как счита-
лось, движутся в пустом пространстве.
У Евклида простейшим геометрическим
объектом является точка, которую он
определяет как то, что не имеет частей.
Другими словами, точка у Евклида — это
неделимый атом пространства.
К большим
размерностям
Поскольку мы уже немного освоились
с многомерными пространствами, по-
пробуем распространить и на них глав-
ные понятия трехмерной геометрии — длины,
угла и скалярного произведения. Итак, мы от-
правляемся в и-мерное пространство (конечно,
линейное векторное), или пространство п > 3
измерений. Хоть там и трудновато ориенти-
роваться, но идти-то куда-нибудь надо. То есть
проходить расстояния-длины. Раз уж раньше
мы использовали скалярное произведение для
этих целей, попытаемся определить его и здесь.
Поскольку измерений много, расписывать мно-
жество компонент векторов неудобно. А посему
используются специальные символы для ска-
лярного произведения и суммирования.
Итак. Любым двум векторам линейного
и-мерного пространства
X = (xv х2,хп)иу = (y1Z у2,уп)
поставим в соответствие число, называемое их
скалярным произведением, обозначаемое как
(х, у) и равное следующей сумме:
(x,y) = x1y1 + x2y2+...+x„y„ = jjxfyf.
1=п
Два вектора называют взаимно перпендику-
лярными или ортогональными, если их скаляр-
ное произведение равно нулю:
(х, у) = 0.
Скалярное произведение в любом вектор-
ном линейном пространстве должно удовлетво-
рять следующим условиям, или аксиомам:
1- (х, у) = (1/, х).
Иными словами, от перемены мест сомно-
жителей скалярное произведение не меняется.
2) (кх, у) = к(х, у),
тде к — число. Это означает, что если один из
сомножителей увеличить или уменьшить в к
раз, то во столько же раз изменится и скалярное
произведение.
3. (х + у, Z) = (х, z) + (у, z), (х, у + Z) = (х, у) + (х, Z).
Это распределительный закон, который
справедлив для любого числа слагаемых.
4. (х, х) > 0, причем (х, х) = 0 только при х = 0,
где 0 = (0, 0,..., 0) — нулевой вектор.
Последнее условие позволяет ввести длину,
или норму, каждого вектора в и-мерном линей-
ном пространстве. Поскольку согласно (6)
Пространства чисел, звуков и цветов 79
то длина вектора х определяется как корень
квадратный из его скалярного произведения
на себя:
|х| = = А Е Xi • (6а)
V Z=1
Теперь можно определить и угол между
двумя векторами в и-мерном пространстве. Это
угол, косинус которого равен отношению
Ш' (6б)
ЗАДАНИЕ 3
Покажите, что для векторов обычного
пространства последнее выражение совпа-
дает с (5).
После того как мы научились определять
длины векторов, можно ввести и метрику
в и-мерном пространстве: определить расстоя-
ние между его точками как длину разности век-
торов, имеющих концы в этих точках.
Линейное и-мерное пространство, в котором
определено скалярное произведение векторов,
называется евклидовым.
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРЫ
Часто бывает удобно пользоваться векто-
рами единичной длины. Такие векторы
называют нормированными. Любой не-
нулевой вектор можно превратить в нор-
мированный, поделив его на собственную
длину:
“ \х\
Говорят, что векторы е1Л е2, ..., еп образу-
ют ортогональный ортонормирован-
ный (или ортонормированный) базис
в и-мерном евклидовом пространстве,
если они взаимно ортогональны и длина
каждого из них равна единице, т.е. если
z . I 1, если i =;;
Ц, е) =4
1 0, если г*].
Последнее соотношение часто записыва-
ют в изящном виде:
где 5.. — так называемый символ Кронеке-
ра, определяемый условием
Г1, если i = j;
I 0, ecAui^j.
О понятии
размерности
пространства
Если посмотреть на водяной шланг издалека, он будет вы-
глядеть как линия, т.е. будет казаться одномерным. Но при
ближайшем рассмотрении становится ясно, что шланг в
действительности трехмерен и имеет маленькие круглые сечения.
Эта скрытая структура нового измерения объясняет кое-что из
того, что можно наблюдать с большого расстояния, а именно то,
как шлангу удается подавать воду. Для этого сечения должны быть
соответствующей формы, с полостью посередине. Теперь пред-
80 Пространства чисел, звуков и цветов
ставим себе, что толщина шланга меньше,
чем размер атома. Чтобы заметить дополни-
тельные размерности, в этом случае потре-
бовалось бы разглядывать шланг необычай-
но скрупулезно. Такой невероятно тонкий
шланг не смог бы подавать воду, но достаточ-
но маленькие объекты все же смогли бы по
нему путешествовать.
Многомерие
внутри нас
НЕ МАТЕМАТИКОЙ ЕДИНОЙ
Пифагор еще в начале VI в. до н.э. утверж-
дал, что Земля шарообразна и висит в
пространстве без всякой поддержки. Он
считал лунный свет отражением солнеч-
ного сияния, указал причину лунных фаз,
которые объяснял большей или меньшей
степенью освещенности Луны. Пифагор
обратил внимание на кривизну границы
между освещенной и неосвещенной частя-
ми Луны, из чего сделал вывод о том, что
Луна шарообразна, а не является плоской.
По аналогии с Луной Пифагор заключил,
что и Земля есть шар.
Можно задать законный вопрос: имеют
ли какое-нибудь отношение к «реаль-
ному» миру все эти многомерные про-
странства? Нам и в трех измерениях неплохо.
Ну, пусть в четырех — ведь есть еще время. Куда
от него денешься. Но 5,6 и больше измерений...
Мир в представлении древних индийцев.
Когда-то люди были убеждены в том, что
Земля плоская. И в том, что вокруг нее кружит-
ся Солнце. И верили в это очень-очень долго.
Потом оказалось, что все не так. Правда, не ис-
ключено, что некоторые до сих пор считают
нашу планету плоской. Но это их проблема,
а не науки, которая шагнула далеко за горизонт
обыденных человеческих представлений.
Музыка сердца
материи
Вобщем-то, древние греки были правы в том,
что материя построена из атомов. Атомы —
это такие крохотные сгустки, состоящие из
плотных ядер, окруженных электронами, еще
более мелкими частичками. Считалось, что элек-
троны не имеют никакого строения, т.е. у них нет
составных частей. «Лего-электрон» состоит всего
из одной детали.
Пространства чисел, звуков и цветов 81
Ядро, напротив, имеет структуру. Физики выяснили, что оно состоит из нуклонов — про- тонов и нейтронов. Потом они прозондирова- ли протон и нейтрон и открыли, что те состоят из кварков, казалось бы, по-настоящему точеч- ных частиц. С точки зрения математики у них нет внутренней геометрии, следовательно, это нульмерные объекты. Современная физика как раз и основана на кварках и электронах в каче- стве точечных элементарных частиц. Если бы у нас был фантастический микро- скоп, позволяющий рассматривать объекты, в 10 000 000 000 000 000 000 000 000 (десять милли- онов миллиардов миллиардов) раз меньшие, чем атомы, то вместо точечных частиц мы увидели бы в них протяженные отрезки линий — струны. Раздел науки, изучающий такие объекты, назвали очень просто — теорией струн. На самом деле это суперсовременный и довольно сложный «кок- тейль» из математики с физикой.
МАТЕРИЯ Молекулы Струны 4 Строение материи г в представлении современной \. науки. МОЛЕКУЛА J Атомы X АТОМ . Ядро . Нейтрон Протон Электрон НЕЙТРОНЫ Кварки
ГИТАРНАЯ СТРУНА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Представьте себе струну гитары, которую
дернули или щипнули. В зависимости от
того, с какой силой вы ее дернули или щип-
нули, и от того, как натянута эта струна, она
издаст разный звук. Можно сказать, что эти
звуки представляют собой возбужденные
моды гитарной струны, находящейся под
натяжением. Аналогично струнной теории
элементарные частицы представляются не-
кими музыкальными нотами, или возбуж-
денными модами элементарных струн.
82 Пространства чисел, звуков и цветов
Теория струн утверждает, что элементарные
частицы не являются точечными, а представляют
собой крошечные одномерные нити, подобные
бесконечно тонким, непрерывно вибрирующим
резиновым лентам-струнам. Эти струны лежат
очень глубоко, в самом сердце материи. Именно
они представляют собой ультрамикроскопические
компоненты, из которых состоят частицы, образу-
ющие атомы. А в конечном счете и мы с вами —
только из струн и ни из чего больше.
Каждая струна является двумерным объек-
том — таким, у которого есть только одно про-
странственное и одно временное направления.
Все атомные частицы в теории струн
представляют собой различные типы
колебаний ультрамикроскопических струн.
При этом пространственное направление
имеет совсем крохотные размеры. Струны мо-
гут быть открытыми или замкнутыми в петлю.
Главная идея теории струн состоит в том, что
их колебания создают все известные элементар-
ные частицы и силы, действующие между ними.
Различные колебания — с разным числом длин
волн вдоль пространственного направления —
отвечают разным сортам известных частиц. Это
означает, что наблюдаемые физиками частицы
суть просто различные гармоники, или моды,
колебаний струн. Струна может вибрировать
бесконечным числом образов, и каждая из мод
ее вибрации представляется нам на большом
удалении какой-то точечной частицей.
Оказалось также, что среди возбуждений
струны есть такие, которые не встречаются
в физике. Быть может, их откроют в будущем.
Однако из теории струн следует, что струны
полноценно существуют только в десятимер-
ном пространстве-времени. Наш знакомый мир
состоит из большой четырехмерной части (того
пространства, в котором мы живем) и малень-
кой шестимерной. (Это можно представлять
наглядно таким образом, что каждая точка на-
шего пространства при «пристальном» взгляде
имеет внутреннее шестимерное строение.)
Все характеристики элементарных частиц,
например их заряды и массы, приобретают
здесь геометрический смысл. Некоторые из них
возникают как размеры различных частей ма-
ленького шестимерного пространства. Таким
образом, теория струн является наукой на стыке
физики, геометрии и алгебры.
А ТУТ ЕЩЕ И МЕМБРАНЫ
Недавно теория струн получила дальней-
шее развитие в виде теории многомер-
ных мембран, или бран. В сущности, это
те же струны, но плоские. Один из авто-
ров идеи мембран пошутил, что они от-
личаются от струн примерно так же, как
лапша отличается от вермишели.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Непосредственной подставкой комплекс-
ных чисел z, w, q легко доказывается, что
z + w = w + z, (z + w) + q = z + (w + q), m(nz) = (mn)z
ИТ.Д.
Задание 2
\a + I) + c\2 = (a + I) + c) • (a + I) + c).
Учитывая, что векторы a, b и с взаимно
перпендикулярны: а - b = а c= b с = О, по-
лучим:
\а+Ь +с\2 = а'а+Ь • b + с- с = |<7|2+ |Z>|2 + |с*|2.
Задание 3
Чтобы доказать соотношение
cos <р =
нужно воспользоваться выражениями (6) и (6а)
при п = 3 и подставить их в соотношение (66).
Неевклидова геометрия 83
НЕЕВКЛИДОВА
ГЕОМЕТРИЯ
Плоскость
и плоское
пространство
Вспомним декартову систему координат.
Каковы ее особенности? Это две (на пло-
скости) или три (в пространстве) коор-
динатные оси, перпендикулярные друг другу.
И бесконечные, поэтому пригодны для опре-
деления координат любых точек, в том числе
сколь угодно удаленных от начала. Когда име-
ется возможность использования единой ко-
ординатной системы для всей плоскости или
пространства, такие плоскость и пространство
называют плоскими.
Особенностью плоского пространства явля-
ется возможность перемещения начала выбран-
ной системы координат в любую другую точку.
При этом координаты точек пространства в но-
вой системе изменяются, но расстояние между
любыми двумя из них сохраняется. Например,
параллельные линии остаются параллельны-
ми, т.е. они нигде не пересекаются. По той же
причине сохраняются углы между прямыми.
Вулканы
и геодезические
Плоскость — двумерная поверхность. Но
ведь существуют и другие двумерные
поверхности. Посмотрите на планету
Маленького принца из повести Сент-Экзюпе-
ри. Мало того что она шарообразна, так на ее
поверхности имеются всякие неровности вроде
вулканов. Их было три: два действующих и один
потухший. Представим, что Маленький принц
захотел бы соединить прямыми линиями эти
три вулкана. Эти линии, конечно, пришлось бы
84 Неевклидова геометрия
вести по поверхности планеты. Поэтому пря-
мыми в обычном смысле они не являются. Ка-
ковы будут эти линии?
Маленький принц
на своей планете-астероиде Б-612.
Две точки можно соединить линиями раз-
личной длины. Среди них одна будет особен-
ной — та, длина которой наименьшая. Такие
линии называются геодезическими. На плоско-
сти это, естественно, прямые, соединяющие две
точки. На поверхности шара — дуги больших
окружностей с центром, совпадающим с цен-
тром шара. На картах Земли эти окружности
именуются меридианами.
Какую форму имеют геодезические, или
кратчайшие, пути, на такой поверхности, как
поверхность планеты Б-612? Ясно, что они изме-
няются в зависимости от формы поверхности
и при переходе от одной области к другой.
Отрезками геодезических Маленький принц
может соединить свои три вулкана и получить
простейшую геометрическую фигуру — тре-
угольник. Затем установить его свойства. На-
пример, на плоскости сумма углов треуголь-
ника равна сумме двух прямых углов. А для
прямоугольных треугольников справедлива
теорема Пифагора. Останутся ли верными эти
утверждения на сфере? А если она с «горбами»
вроде вулканов? Или если нужно будет выде-
лить квадратный участок на этой планете — как
проводить его параллельные стороны?
Эти и подобные вопросы встали перед мате-
матиками 200 лет назад. И началось все опять с
Евклида.
Камень
преткновения —
пятый постулат
Вто время евклидова геометрия счита-
лась наиболее надежным и уважаемым
разделом математики. Это был образец
построения математических теорий. Не менее
важным было то, что ее теоремы полностью
укладывались в результаты физической науки.
Например, законы Ньютона действуют в трех-
мерном евклидовом пространстве.
Несмотря на все почтение к древнему гре-
ку, кое-что в его геометрии беспокоило мате-
матиков. А именно — формулировка пятого
постулата. Его часто называют также аксиомой
о параллельных. Евклид сформулировал пятый
постулат следующим образом: «Если прямая,
падающая на две прямые (рис. 1), образует вну-
тренние и по одну сторону углы, меньшие двух
прямых, то продолженные эти две прямые нео-
граниченно встретятся с той стороны, где углы
меньше двух прямых».
Рис. 1. Пятый постулат Евклида.
Это означает, что если углы 1 и 2 в сумме
меньше 180°, то прямые а и Ь, продолженные
достаточно далеко, пересекутся.
Если бы во времена Евклида существовал
железнодорожный транспорт, он бы, наверное,
не сомневался в том, что могут существовать
бесконечные непересекающиеся прямые.
Почему Евклид сформулировал аксиому
о параллельных именно так, а не иначе? Он мог
бы утверждать, например, что если сумма углов
1 и 2 равна 180°, то прямыеамЬ параллельны.
Так нам говорили и в школе. Дело в том, что
Евклид боялся предположить, что могут суще-
Неевклидова геометрия 85
ствовать бесконечные прямые, которые никог-
да не пересекаются. Утверждение о бесконеч-
ных прямых не соответствовало человеческому
опыту. А по мнению древних, аксиомы должны
быть истинами о физическом мире. Тем не ме-
нее, опираясь на свою аксиому о параллельных
и другие аксиомы, Евклид доказал существова-
ние параллельных прямых.
Свержение пятого
постулата
Тот факт, что аксиома параллельности не
допускает проверки опытом, выдвигает на пер-
вый план вопрос о том, является ли она неза-
висимой от прочих аксиом. Если бы она была
неизбежным логическим следствием других
постулатов, то тогда нужно было бы просто не
считать ее аксиомой, а доказывать как теорему
с помощью остальных евклидовых аксиом. И
много столетий математики потратили, пыта-
ясь найти такое доказательство.
Попытки доказать евклидову аксиому о па-
раллельных или вывести ее из девяти остальных
аксиом Евклида оказались безуспешны. Выхо-
дило, что этот постулат на самом деле незави-
сим от других. Тогда что же означает независи-
мость аксиомы параллельности? Только то, что
возможно свободное от внутренних противоре-
чий построение «геометрических» предложе-
ний о точках, прямых и т.д. исходя из системы
аксиом, в которой аксиома параллельности за-
менена противоположной. Построенная таким
путем геометрия называется неевклидовой.
В результате появились новые геометрии
с иным пятым постулатом, которые сосущество-
вали с евклидовой геометрией. Вполне мирно
и опираясь на взаимопомощь. Они позволяли
получать логичные результаты и не имели вну-
тренних противоречий.
Физика и жизнь
Со временем жизненно важной стала про-
блема, которой придавал большое значе-
ние еще Евклид: существуют ли в физиче-
ском пространстве бесконечные прямые?
Постепенно люди осознали, что положения
геометрии, описывающие свойства физического
пространства, можно и нужно проверять
на опыте.
Согласно Евклиду, бесконечные прямые су-
ществуют: если бы прямые были конечными,
то их нельзя было бы продолжать сколь угод-
но далеко. Можно вообразить себе две линии,
которые никогда не пересекаются и всегда нахо-
дятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
Однако это нельзя доказать экспериментально.
Евклидова геометрия содержит основные
понятия любой геометрии, такие как точки,
прямые и плоскости. Но эти понятия в новых
геометриях требовалось пересмотреть. Теперь
86 Неевклидова геометрия
прямой линией стала называться любая линия,
которая является кратчайшим расстоянием
между двумя точками, а плоскостью считается
такая поверхность, которая обладает следую-
щим свойством: если две точки на прямой при-
надлежат этой поверхности, то все другие точ-
ки на этой прямой также будут принадлежать
этой поверхности.
Эти идеи действительны во всех геометри-
ях и характеризуют новый подход к восприя-
тию форм. Неевклидовы прямые линии могут
оказаться искривленными, а в так называемой
сферической геометрии, к которой относится
и геометрия Маленького принца, сфера счита-
ется плоскостью и большие окружности на ее
поверхности являются прямыми линиями. Обе
геометрии имеют общую терминологию, по-
тому что и там, и там прямая линия является
самой простой линией, а плоскость — самой
простой поверхностью.
Король всегда
вый
п
Первые важные результаты в новой гео-
метрии получил «король математики»
Карл Гаусс. Сначала он называл ее анти-
евклидовой, позже — астральной (звездной —
считая, что она может быть справедливой на да-
леких звездах) и, в конце концов, неевклидовой
геометрией.
Гаусс исходил из упомянутой выше идеи
о возможности нового типа геометрии, кото-
рая удовлетворяла бы всем евклидовым аксио-
мам, кроме аксиомы о параллельных прямых.
Он убедился, что логически непротиворечивые
неевклидовы геометрии возможны. Но, считая
полученные им результаты слишком револю-
ционными, Гаусс не решился публиковать их.
Важнейшим из них стала его идея о том, что
не только объекты, находящиеся в пространстве,
но и пространство само по себе также может
быть искривлено. Гаусс ввел понятие внутрен-
ней геометрии — идею, согласно которой объ-
ект или поверхность имеет свою собственную
кривизну (так называемую гауссову кривизну),
которая не зависит от того, как этот объект рас-
полагается в окружающем его пространстве.
ИЗНУТРИ И ИЗВНЕ
Тот факт, что наша Земля шарообразная,
можно обнаружить из внешнего, окружа-
ющего нашу поверхность пространства.
То есть из третьего измерения. Поэтому
ее кривизна так и называется — внешней.
Она характеризуется знакомым нам со
школы радиусом, который в данном слу-
чае зовется радиусом кривизны.
Вид Земли из космоса.
А как быть, если у нас нет никакой инфор-
мации о внешнем пространстве? Даже если
нам известно, что наша поверхность сфе-
рическая, мы не можем просто заявить, что
у нее определенный радиус, поскольку не
знаем его. Необходимо выразить степень ее
кривизны с помощью измерений на самой
поверхности. Их результаты будут опреде-
ляться именно ее внутренними свойства-
ми. Получаемая таким образом характери-
стика называется внутренней кривизной.
Неевклидова геометрия 87
Кроме того, Гаусс считал, что саму по себе
поверхность можно считать пространством. На-
пример, пространством является поверхность
Земли или яйца.
Математик писал об этом так: «Если мы изу-
чаем поверхности как независимые пространства,
то соответствующие этим пространствам двумер-
ные геометрии могут оказаться весьма причуд-
ливыми в зависимости от формы поверхностей».
Так, эллипсоидальная поверхность, имеющая
форму мяча для регби, имеет иную геометрию,
нежели сферическая поверхность.
Такие поверхности называются многооб-
разиями.
Портрет Карла Фридриха Гаусса.
Художник Г. Бирман. 1887 г.
Гауссова
кривизна
Возьмем обычный лист бумаги. Можно
ожидать, что его кривизна равна нулю
(ведь он же ровный). Так оно и есть. За-
тем свернем этот лист в цилиндр. Двумерная
поверхность цилиндра, согласно Гауссу, имеет
две главные кривизны, проходящие в направ-
лениях, перпендикулярных друг другу: первая
кривизна относится к окружности и имеет ве-
личину 1/г, где г — это радиус основания ци-
линдра. Если г = 1, то эта кривизна также равна
единице. Вторая кривизна проходит вдоль об-
разующей цилиндра, которая представляет со-
бой прямую линию. Кривизна прямой линии,
очевидно, равна нулю, поскольку прямая не яв-
ляется кривой.
КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Касательное пространство ТхМ к много-
образию М в точке х и касательный век-
тор в той же точке, направленный вдоль
кривой y(t), проходящей через точку
х (t — одномерная координата вдоль
этой кривой). Угол между двумя про-
ходящими через одну точку х кривыми
определяется как угол между касатель-
ными векторами к кривым в точке х.
ТМ
88 Неевклидова геометрия
КАК ГЕОМЕТРЫ ХАРАКТЕРИЗУЮТ
КРИВИЗНУ ИСКРИВЛЕННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ В ОКРЕСТНОСТЯХ
ИЗБРАННОЙ ТОЧКИ
Сначала они строят плоскость, касатель-
ную к поверхности в исследуемой точке,
и восстанавливают перпендикуляр. За-
тем проводят через перпендикуляр мно-
жество секущих плоскостей. Каждая из
них пересекает поверхность по какой-то
кривой, которую вблизи точки М можно
считать частью окружности большего
или меньшего радиуса. И вот оказывается,
что окружности самого большого и само-
го маленького радиусов лежат всегда во
взаимно перпендикулярных плоскостях
сечения. Геометры берут величины, об-
ратные этим радиусам (их называют глав-
ными радиусами кривизны), и перемно-
жают:
l/Rmax-l/Rmin = K.
Полученная величина называется пол-
ной, или гауссовой, кривизной.
Цилиндр — это свернутая в трубочку плоскость.
ЗАДАНИЕ 1
Есть кран с водой и цилиндрическая ка-
стрюля. Как налить в кастрюлю воды ров-
но до половины?
Гауссова кривизна цилиндра, как любого дру-
гого двумерного объекта, равна произведению
одной кривизны на вторую, которое в нашем
случае равно 1 0 = 0. Таким образом, в понятиях
собственной кривизны цилиндр представляет со-
бой то же самое, что и лист бумаги, из которого
он свернут, — он совершенно плоский. Нулевая
собственная кривизна цилиндра обусловлена тем,
что цилиндр можно сделать из листа бумаги, не
деформируя его. Измерения расстояний между
любыми двумя точками на поверхности листа вне
зависимости от того, лежит ли лист на столе или
свернут в трубочку, дадут одинаковые результаты.
Это значит, что геометрия и, следовательно, соб-
ственная кривизна листа бумаги остаются неиз-
менными вне зависимости от того, плоский этот
лист или свернутый.
ДВЕ ГЕОМЕТРИИ
Внутренняя и внешняя геометрии могут
сильно отличаться друг от друга. Возьмем,
например, три геометрические фигуры:
плоскость, цилиндр и сферу. Внешне вы-
глядят они совсем по-разному. А какова
внутренняя их суть? У плоского листа бу-
маги оба радиуса кривизны, и г2, имеют
бесконечно большое значение. Следова-
тельно, произведение их обратных вели-
чин даст нуль. Но нуль можно получить,
имея и один радиус бесконечным. Зна-
чит, и цилиндр, и конус будут обладать
внутренней геометрией, неотличимой от
евклидовой на плоскости.
А теперь попытаемся превратить
плоский лист бумаги в сферу. Мы бы-
стро убедимся, что этого нельзя про-
делать, не сминая лист или не разры-
вая его поверхности. Очевидно, что
сфера — поверхность совсем другого
характера, чем плоскость, и потому
ее внутренняя геометрия не такая,
как у плоскости. И кривизна ее имеет
положительное значение, а не равна
нулю.
Неевклидова геометрия 89
ЗАДАНИЕ 2
Радиус основания и высота цилиндра рав-
ны соответственно г и h. Найдите длину
кратчайшего пути по боковой поверхно-
сти цилиндра между диаметрально про-
тивоположными точками разных основа-
ний.
А вот сфера сильно отличается от цилиндра.
Рассмотрим сферу радиуса г. В этом случае кри-
визна одинакова по всей поверхности сферы,
и ее можно определить как 1/г2. На поверхности
сферы все направления эквивалентны, что явно
неверно в случае цилиндра. Именно по этой
причине не важно, как ориентирована сфера в
трехмерном пространстве. Маленький жучок,
живущий на ее поверхности, вряд ли замеча-
ет пространственную ориентацию сферы. Ему
интересна только геометрия двумерного мира
вблизи него самого. А далеко ли многие из нас
ушли от этих жучков?
Если раздувать воздушный шарик, то радиус
кривизны г будет увеличиваться, а сама
кривизна, равная 1/г2, — уменьшаться.
При приближении г к бесконечности кривизна
будет стремиться к нулю, а геометрия
поверхности шара — к евклидовой.
П ро д о л жате л и
Следующий решительный шаг в создании не-
евклидовых геометрий сделали два других
математика: венгр Янош Бойяи и русский
Николай Лобачевский. Они первыми опублико-
вали изложения своих новых систем, и потому
именно их принято считать создателями таких ге-
ометрий.
Со временем математики более подробно из-
учили эти новые геометрии и стали интерпрети-
ровать их как геометрии геодезических — крат-
чайших путей на искривленных поверхностях.
Критерием различения геометрий стало понятие
кривизны. Если поверхность имеет постоянную
положительную кривизну, как сфера, то геоме-
трия называется эллиптической. Если кривизна
постоянна и отрицательна (поверхность в каждой
своей точке по форме напоминает седло), то это
гиперболическая геометрия. Евклидова геоме-
трия соответствует нулевой кривизне — плоскому
пространству. Эти геометрии можно охарактери-
зовать их метрикой — формулой для расстояния
между двумя точками. С ней мы уже встречались
в предыдущей главе. Кроме того, кривизна не обя-
зательно должна быть постоянной: она может из-
меняться от точки к точке.
Портрет Николая Ивановича Лобачевского.
Художник Л. Д. Крюков. 1830-е гг.
90 Неевклидова геометрия
Особенности
неевклидовых
геометрий
Геометрия и тригонометрия в простран-
ствах Лобачевского и Бойяи сильно отли-
чаются от знакомых нам со школы. Так,
сумма углов треугольника меньше 180°, причем
не все треугольники имеют одинаковую сумму
углов. Она зависит от площади фигуры. Чем
больше эта площадь, тем меньше сумма углов.
Отсюда вытекает, что не существует подобных
треугольников, т.е. не существует треугольни-
ков одинаковой формы, но разного размера.
Далее, если два треугольника имеют одинако-
вые углы (как говорят, конгруэнтные углы), то
и сами треугольники равны, то есть совпадают
при наложении друг на друга.
Треугольник на сфере, или сферический
треугольник.
Теперь представим прямоугольник в таком
пространстве и проведем в нем прямую из од-
ного угла в другой, т.е. диагональ. Сумма углов
двух образовавшихся треугольников меньше
180°. А потому сумма углов прямоугольника
меньше 360°. Следовательно, в неевклидовой
геометрии нет и прямоугольников в обычном,
евклидовом, смысле.
Но особо важное значение новых математи-
ческих открытий состояло в том, что неевклидо-
ва геометрия оказалась пригодной для описа-
ния свойств физического пространства ничуть
не в меньшей мере, чем евклидова геометрия.
Риманова
геометрия
Вопрос о том, какая геометрия лучше всего
соответствует физическому пространству,
способствовал появлению еще одной но-
вой геометрии, окончательно убедившей матема-
тиков в том, что структура физического простран-
ства может быть неевклидовой. Создателем новой
геометрии стал Георг Фридрих Бернхард Риман
(1826—1866), ученик Гаусса.
Географические координаты
на поверхности Земли.
Риман дал свою интерпретацию понятий «точ-
ка», «прямая» и «плоскость». В качестве плоскости
он выбрал поверхность сферы. Точки на ней име-
ют собственное местоположение, характеризу-
емое криволинейными координатами — парой
чисел, для сферы называющихся иногда широтой
и долготой. Линиями Римана служили большие
круги — геодезические сферы.
Неевклидова геометрия 91
Бернхард Риман.
Обобщение
Затем Риман перенес эти идеи с поверхно-
сти, или, иначе, с пространства двух измерений,
на пространства трех и более измерений. Он
считал, что если могут существовать разные по-
верхности, т.е. двумерные пространства — пло-
ские, сферические или такие поверхности, как
плоскость Лобачевского, то так же могут суще-
ствовать и трехмерные и еще более высоких раз-
мерностей пространства, а в них — поверхно-
сти. Поверхности в многомерных пространствах
он назвал многообразиями.
В результате этих обобщений оказалось, что
геометрия Евклида и геометрия Лобачевского,
так же как и геометрия пространств типа сферы,
которую теперь называют геометрией Римана,
являются лишь частными случаями. Рассматри-
вая вопрос о пространстве положительной кри-
визны, Риман распространил на него все свойства
сферической поверхности. Так же как на сфере
«прямые» линии не могут продолжаться беско-
нечно, потому что замкнуты сами на себя, в сфе-
рическом пространстве с числом измерений п > 2
«прямая» линия должна быть замкнутой.
Это значит, что сферическое пространство
любой размерности должно быть конечно
и безгранично, как конечна и безгранична по-
верхность любого шара.
ИМЕНЕМ РИМАНА
Римановой геометрией называют много-
мерное обобщение геометрии на поверх-
ности, представляющее собой теорию
римановых пространств (или многооб-
разий), т.е. таких пространств, где в ма-
лых областях приближенно имеет место
евклидова геометрия. В целом эта геоме-
трия не является евклидовой. Простей-
шим примером риманова пространства
служит любая гладкая поверхность.
Риманова
метрика
Поскольку речь идет об искривленных
многомерных пространствах, неплохо
бы найти способ измерения расстояний
между парами их точек.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Возможность метрики меняться от точ-
ки к точке привела Римана к исследо-
ванию геометрических свойств про-
странств в малых областях, или, как
говорят математики, локального пове-
дения пространства. Такой подход полу-
чил название дифференциальной геоме-
трии, в отличие от геометрии простран-
ства в целом, которой занимался Евклид,
а в неевклидовой геометрии — Гаусс,
Бойяи и Лобачевский.
Поскольку свойства пространств в неевкли-
довых геометриях меняются от точки к точке,
Риман решил определить расстояния между
двумя точками, координаты которых отличают-
ся на очень малые величины. Расстояние между
такими бесконечно близкими точками Риман
обозначил как ds (это и есть то, что называют
метрикой пространства). Он предположил, что
квадрат этого расстояния в трехмерном про-
странстве (в действительности Риман рассма-
92 Неевклидова геометрия
тривал общий случай и-мерного пространства)
можно представить в виде
ds2 = gudx* + g12dx1dx2 + g13dx1dx3 + g21dx1dx2 +
+ S22dX2 + Z23dX2dX3 + gl3dXldX3 + g32dX2dX3 + g33dX3'
где g (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) — некоторые функции
координат xv x2 и %3; при этом g = g и правая
часть положительна при всех значениях g .
Выражение для ds представляет собой обоб-
щение формулы Пифагора для трехмерного ев-
клидова пространства, с которой мы уже встре-
чались: ds2 = dx2 + dx2 + dx2.
Допуская зависимость коэффициентов g
от координат, Риман тем самым учитывал,
что природа пространства может изменяться
от точки к точке (это значит, что метрика явля-
ется функцией координат).
Расстояние между двумя близкими точками
пространства называется метрикой.
Таким образом, новый подход к измерению,
несмотря на всю важность нововведений Рима-
на, по-прежнему основан на теореме Пифагора,
только переформулированной для неевклидова
пространства. Без Пифагора никак!
Пространство, наделенное римановой ме-
трикой, носит название риманова многообра-
зия. Зная метрику, можно измерить длину лю-
бой кривой, принадлежащей многообразию
произвольной размерности. Таким же спосо-
бом возможно измерять и площади поверхно-
стей в подобных пространствах, причем поня-
тие «поверхность» в этом случае не ограничено
привычными нам двумя измерениями.
Сравнение
трех геометрий
Гауссова кривизна полностью характеризу-
ет поверхность в конкретной точке. Если
измерения дали величину гауссовой кри-
визны К = 0, то следует пользоваться евклидовой
геометрией. Двумерное пространство нулевой
кривизны — плоскость. Та же нулевая величи-
на кривизны определяет и евклидово простран-
ство, отличающееся от плоскости только нали-
чием еще одного измерения.
Если же число К > 0 на всей поверхности,
ряд постулатов Евклида теряет смысл и нуж-
но применять законы другой, так называемой
сферической геометрии. В ней сумма углов тре-
угольника больше 180°, а через точку вне дан-
ной «прямой» нельзя провести ни одной «пря-
мой», не пересекающейся с данной.
Двумерное пространство отрицательной
кривизны — плоскость Лобачевского. Та же от-
рицательная величина кривизны определяет
и неевклидово пространство Лобачевского, от-
личающееся от плоскости Лобачевского лишь
наличием еще одного измерения. Представить
себе его наглядно трудно, но математически
оно описывается безукоризненно. Кривизну
пространства можно измерить опытным путем.
И тогда в пространстве отрицательной кривиз-
ны сумма углов треугольника будет зависеть от
величины его сторон и составлять меньше 180°.
Через точку, лежащую вне «прямой», можно
будет провести не одну, а целый пучок «пря-
мых», не пересекающихся с данной, и т.д.
Неевклидова геометрия 93
6^62 + 63 >180°.
Положительная
кривизна.
Сферическая
геометрия.
е1 + е2 + е3 = 180°.
Нулевая
кривизна.
Евклидова
геометрия.
6^62 + 63 <180°.
Отрицательная
кривизна. Ги-
перболическая
геометрия.
На поверхности с положительной кривиз-
ной (такой как сфера) сумма углов треугольни-
ка больше 180° и линии, кажущиеся параллель-
ными, обязательно пересекаются (как мериди-
аны на Северном и Южном полюсах земного
шара). На плоской поверхности (с нулевой кри-
визной), которая является основой евклидовой
геометрии, сумма углов треугольника равна
180° и параллельные линии не пересекаются.
На поверхности с отрицательной кривизной,
например имеющей форму седла, сумма углов
треугольника меньше 180°, а линии, кажущиеся
параллельными, на самом деле расходятся.
Физическое
пространство
Мысль о том, что пространство может
искривляться само по себе, а не во что-
то еще, позднее оказалась востребо-
ванной в общей теории относительности (ОТО)
Эйнштейна.
Все знают, что есть геометрия, и есть физи-
ка. Причем не только в школе. Физика «живет»
в пространстве (в нем происходят физические
процессы), но пространство, описываемое геоме-
трией, существует само по себе, т.е. не зависит от
того, что в нем происходит. Это просто фон или
сцена, на которой разыгрываются события в ми-
роздании. Например, считалось, что гравитация
создается материальными телами и существует
в нашем обычном — трехмерном евклидовом —
пространстве, ничуть не влияя на него.
Любое событие (движение и столкновения
тел, распад атомов, взрывы звезд — в общем,
все-все-все) может быть помечено четырьмя
числами — местом в пространстве (тремя про-
странственными координатами), где оно прои-
зошло, и моментом времени, когда это событие
случилось. В классической физике, в том числе
в ньютоновской теории тяготения, простран-
ственные и временная координаты существуют
независимо друг от друга. Ну, это как разные
этикетки на одном товаре, сообщающие нам
о его различных достоинствах.
Нерушимый союз
пространства
и времени
В теории относительности к трем основ-
ным измерениям пространства добавля-
ется еще одно — время. В результате по-
лучается единое геометрическое пространство,
названное пространством-временем. В нем все
координаты равноправны и имеют одинаковую
природу. В отличие от обычного трехмерного
пространства, где мы обитаем, новое простран-
ство является четырехмерным.
94 Неевклидова геометрия
Эйнштейн в ОТО объединил геометриче-
ские свойства такого пространства с физиче-
ской природой гравитации. Иными словами,
он на математическом языке геометрических
пространств сумел описать физическую реаль-
ность — гравитацию. Правда, геометрия эта,
как и описываемые ею пространства, не евкли-
дова, а риманова. Каждое событие, которое слу-
чается во Вселенной, представляет собой собы-
тие, происходящее в четырехмерном мире про-
странства-времени.
Событие в физике и астрономии помечается
местом, где оно случилось, и временем,
когда произошло.
Значит, Вселенную следует рассматривать
как четырехмерный пространственно-времен-
ной мир. Но каким образом гравитация удер-
живает различные тела на поверхности Земли
и планеты на их орбитах?
Не силы,
но кривизна!
Главная идея, с помощью которой Эйн-
штейн объяснил притяжение тел друг
к другу, очень проста. Гравитация не
обычная сила, а следствие того, что простран-
ство-время не является плоским, как принято
было думать раньше. В ОТО пространство-вре-
мя изогнуто, или искривлено, помещенными
в него массами и энергией (любой). Тела, по-
добные Земле, движутся по искривленным
орбитам не под действием силы, именуемой
гравитацией, а по геодезическим, т.е. по крат-
чайшим путям.
А риманово пространство в ОТО является
обобщением подобной геометрии поверхности
с двух измерений на четыре. Представить его
наглядно в виде какого-то образа никак невоз-
можно.
Когда гравитация слаба и не играет никакой
роли (например, на уровне атомных явлений), это
четырехмерное пространство неискривленное,
плоское, евклидово. Но в космических масштабах
оно наделяется кривизной, определяющей дви-
жение материальных объектов. Гравитационные
поля в ОТО выражаются через кривизну четырех-
мерного пространства-времени.
Пространство-время особенно искривляется
в присутствии тел с большой массой, таких как
Солнце. Чем ближе к нему, тем больше кривиз-
на. Иными словами, геометрия пространства-вре-
мени в окрестности больших материальных тел
становится неевклидовой. Это искривление и
есть поле тяготения. Планета, движущаяся вокруг
Солнца, перемещается по эллипсу не потому, что
Солнце притягивает ее, а благодаря особым свой-
ствам искривленного пространства-времени.
Искривление пространства-времени
вблизи Солнца и Земли.
Неевклидова геометрия 95
ПРОСТО ИЛЛЮЗИЯ!
Представление геометрии пространства-
времени, зависящей от находящегося в нем
вещества, кажется фантастическим.
Между тем, основная идея ОТО Эйнштей-
на состоит в том, что геометрия про-
странства-времени учитывает наличие
материи и ее расположение в простран-
стве. А гравитация в ней — своеобразная
иллюзия, вызываемая искривлением про-
странства-времени. То есть результат,
следствие этого искривления. Не будет
ошибкой даже просто сказать, что грави-
тация — это геометрия.
ЕСТЬ ТОЛЬКО ГЕОМЕТРИЯ!
Представим, что два человека вышли из раз-
ных точек на экваторе и движутся с одина-
ковыми скоростями в направлении Север-
ного полюса вдоль меридианов. С течени-
ем времени они становятся все ближе друг
к другу. Заметив это, путешественники мо-
гут подумать, что находятся под действи-
ем какой-то неизвестной силы, заставля-
ющей их сближаться. Но мы-то понимаем,
что воображаемая сила является иллюзи-
ей, обусловленной геометрией Земли, а не
настоящей физической силой. В этом и со-
стоит смысл утверждения, что гравитация
есть геометрия.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Наберите сначала полную кастрюлю, а по-
том отлейте лишнее, наклоняя кастрюлю до тех
пор, пока не покажется дно.
Задание 2
Пусть прямоугольник ABCD — разверт-
ка боковой поверхности цилиндра, причем
АВ = h, AD = 2ттг. Искомый путь равен кратчай-
шему пути между точкой А и серединой М сто-
роны ВС, т.е. длине отрезка AM. По теореме Пи-
фагора из прямоугольного треугольника АВМ
находим, что
AM = /аВ^ТЁм2 =
96 Топология
ТОПОЛОГИЯ
ЛИСТ МЕБИУСА
Лента Мебиуса — трехмерная поверх-
ность, имеющая только одну сторону
и одну границу. Она была открыта не-
зависимо и почти одновременно двумя
немецкими математиками Августом Мё-
биусом и Иоганном Листингом. Модель
ленты Мёбиуса можно легко изготовить
из прямоугольной полоски бумаги, по-
вернув один из ее концов вполоборота
и склеив его с другим концом в замкну-
тую фигуру. Если рисовать карандашом
линию на поверхности ленты, то линия
уйдет вглубь фигуры и пройдет под на-
чальной точкой линии, как бы переме-
стившись на «другую сторону» ленты.
Если продолжать линию, то она вернет-
ся в начальную точку. При этом длина
нарисованной линии будет вдвое боль-
ше длины полоски бумаги. Этот пример
показывает, что у ленты Мёбиуса лишь
одна сторона и одна граница.
%- be /и<
Портрет Августа Мёбиуса. Художник А. Нейман.
Великий геометр XIX в. А. Мёбиус (1790—1868)
большую часть жизни занимал должность
астронома в одной из небольших немецких
обсерваторий. В возрасте 68 лет он открыл
существование односторонних поверхностей.
Одну из них впоследствии назвали его именем.
Идеи Мёбиуса положили начало новой области
геометрии — топологии.
Топология 97
Чем интересуется
топология
Топология занимается геометрическими
свойствами, которые остаются неизмен-
ными, когда фигура подвергается изги-
бам, скручиванию, сдавливанию, сплющива-
нию, в общем, всякого рода деформациям, при
условии, что она остается непрерывной — за-
прещается делать разрывы, разрезы и склейки.
Топологию можно рассматривать как разно-
видность геометрии.
Топология является одной из наиболее мощ-
ных областей в современной математике и име-
ет множество применений в физике. Она ис-
следует свойства не только двух- и трехмерных
пространств, но и многомерных, важных в кос-
мологии и физике элементарных частиц. В кос-
мологии важно знать форму пространства-вре-
мени на максимально больших расстояниях,
т.е. в масштабах всей Вселенной. В физике, как
уже говорилось, на первое место вышла теория
струн — чрезвычайно малых объектов, колебания
которых порождают все известные элементарные
частицы. Здесь все большее значение принимает
проблема поведения пространства и времени на
очень малых масштабах, в миллиарды раз мень-
ших размера атомов.
ТЯНИ, НО НЕ РВИ
Представим, что у нас есть пластилиновые
фигурки. Мы можем растягивать пласти-
лин, сжимать, но при этом нам запрещено
склеивать разные точки и разрывать мате-
риал этих фигурок. Фигуры, которые пере-
водятся друг в друга непрерывными дефор-
мациями, называются гомеоморфными.
ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ —
В ЧЕМ РАЗНИЦА
В геометрии главную роль играет рассто-
яние. При изучении двух точек на од-
ном острове важно понимать, сколько
времени потребуется, чтобы дойти из
одной точки в другую, каково рассто-
яние между точками, каков характер
пути — можно ли дойти по равнине или
надо подниматься в гору, а затем спу-
скаться. А с точки зрения топологии
главным вопросом является, можно ли
вообще дойти от одной точки до другой,
расположены ли эти две точки на одном
острове или они лежат на разных остро-
вах. Можно ли доплыть из одного озера
до другого по протокам или этих прото-
ков нет, и два озера друг от друга отде-
лены? То есть вопросы топологии — это
вопросы гораздо более простые и, тем
самым, лежащие в основе всего того, что
мы используем для описания окружаю-
щего нас пространства.
Отображения
Деформации фигур, о которых говорит
топология, имеют более точное выра-
жение в определенных математиче-
ских терминах. Фигуры рассматриваются как
и-мерные пространства, о которых говори-
лось в предыдущих разделах. Точка в таком
пространстве представляет собой последова-
тельность из п действительных чисел (ху х2,
х3, ..., хи). Простейшими из них будут такие:
одномерное пространство — линия и окруж-
ность; двумерное — плоскость или любая
поверхность в обычном пространстве; трех-
мерное — любой замкнутый объем в таком
пространстве. С помощью таких фигур ма-
лых измерений можно наглядно представлять
принципы топологии, справедливые и для
пространств больших размерностей.
Пространства любой размерности предпо-
лагаются непрерывными. Это очень важное их
свойство означает, что для любой точки про-
странства существуют сколь угодно близкие
к ней точки того же пространства.
98 Топология
Отображение/из пространства А
в пространство В и обратное
отображение/-1 из В в А.
Деформация в топологии
означает преобразование фи-
гуры из одного состояния в не-
которое другое, конечное, от-
личное от начального. То есть
в некоторую, вообще говоря,
другую фигуру. На математи-
ческом языке такое преобразо-
вание называется отображени-
ем. Более строго, отображение
/из пространства А в простран-
ство В (не забудьте, что фигу-
ры и тела мы договорились
называть пространствами) —
это правило, сопоставляющее
всякому элементу % из А неко-
торый единственный элемент
fix) из В. Это обозначается как
х —> fix). Чтобы быть тополо-
гическим, отображение долж-
но удовлетворять нескольким
требованиям.
Область
определения
функции (%)
Область
значений
функции (у)
Пример отображения
одномерного пространства
X в одномерное же
пространство Y: это знакомая
нам со школы обычная
функция одной переменной
у =f(x) = 2х +1.
Что такое
топологические
преобразования
Топологическое преобразование одной ге-
ометрической фигуры А в другую В опре-
деляется как произвольное соответствие
р <-> р' между точками р фигуры А и точками р'
фигуры В, обладающее следующими свойствами:
1) взаимной однозначностью. Это значит,
что каждой точке р фигуры А сопоставлена одна
и только одна точка р' фигуры В, и наоборот;
2) взаимной непрерывностью. Это значит,
что если мы возьмем две точки (р, q) фигуры А
и станем двигать р так, чтобы расстояние между
р и q неограниченно уменьшалось, то расстоя-
ние между соответствующими точками р' и q'
фигуры В также будет неограниченно умень-
шаться, и наоборот.
Всякое свойство геометрической фигуры А,
которое сохраняется также и для той фигуры
В, в которую А переходит при топологическом
преобразовании, называется топологическим
свойством (или топологическим инвариантом)
фигуры А. А топология — это та отрасль геоме-
трии, которая рассматривает исключительно
топологические свойства фигур.
В топологии понятие геометрической фигу-
ры обобщается. Делается это посредством от-
влечения от таких свойств, как размеры и точное
положение частей фигуры в пространстве. Важ-
ным остается только взаимное расположение ее
частей и закон их отображения друг в друга. Та-
кое пространство называется топологическим.
Наиболее наглядными примерами тополо-
гических преобразований могут служить де-
формации. Вообразите, что фигура вроде сфе-
ры или треугольника сделана из тонкого слоя
резины (либо нарисована на таковом), и затем
растягивайте и крутите резину самыми разно-
образными способами, лишь бы не рвать ее и не
приводить двух различных точек в состояние
физического совпадения.
Топологические преобразования.
Топология 99
Фигура в окончательном ее положении —
после указанных операций — будет находить-
ся в топологическом соответствии с фигурой
в ее первоначальном положении. Треугольник
можно деформировать в другой треугольник,
или окружность, или эллипс, и потому назван-
ные фигуры обладают совершенно одинако-
выми топологическими свойствами. Но никак
нельзя деформировать круг в отрезок прямой
либо поверхность сферы в боковую поверхность
цилиндра.
Так можно представить себе многосвязную
область.
ЗАДАНИЕ 1
По поверхности планеты, имеющей фор-
му бублика, проползли, оставляя за собой
следы, две улитки: одна — по внешнему
экватору, а другая — по винтовой линии
(см. рис.). На сколько частей разделили
поверхность планеты следы улиток?
Что такое
связность
Любое множество элементов и-мерного
пространства, содержащее по крайней
мере одну точку, называется областью.
Наглядно это можно представить как разные
области одной страны. Область, в которой лю-
бую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную
окружности) кривую можно стянуть в точку,
оставаясь все время в этой области, называется
односвязной, а соответствующее свойство об-
ласти — односвязностью. Если же некоторую
замкнутую простую кривую этой области нель-
зя стянуть в точку, оставаясь все время в этой
области, то область называется многосвязной,
а соответствующее свойство области — много-
связностью.
Представьте себе две круговые области, или
диски: одну без дыр, а другую с дырами. Первая
область односвязна, вторая — многосвязна. Одно-
связность и многосвязность — топологические
свойства. Область с дырами не может перейти
при гомеоморфизме в область без дыр. Но если
в многосвязной области провести по разрезу от
каждой из дыр до края области, то она станет
односвязной.
Центральное
понятие
топологии
Отображение/фигуры А на всю фигуру В
называется гомеоморфизмом (от грече-
ских слов homoios — «подобный», «оди-
наковый» и morphe — «вид», «форма»), если
оно происходит без разрывов и без склеиваний,
т.е. не только отображение/ но и обратное ото-
бражение /^являются непрерывными.
Например, буквы Г, А, М, П, С (если они изо-
бражены тонкими линиями без «хвостиков»)
гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т, Ч,
Ш, Ц, Э также гомеоморфны между собой, но
не гомеоморфны буквам предыдущей группы.
А вот буква О не гомеоморфна никакой другой
букве русского алфавита.
Сравним понятия гомеоморфизма и ра-
венства фигур. В геометрии рассматриваются
отображения, сохраняющие расстояние между
точками, — сдвиги и вращения в пространстве.
Они называются движениями. В результате дви-
100 Топология
жений каждая фигура перемещается на новое
место как твердое целое, без изменения рас-
стояний между ее точками. Две фигуры, кото-
рые переводятся одна в другую (совмещаются)
с помощью движения, называются равными
и рассматриваются как одинаковые, не отлича-
ющиеся (с геометрической точки зрения) друг
от друга.
В топологии рассматриваются отображе-
ния более общие, чем движения, а именно
гомеоморфные отображения. Две гомеомор-
фные между собой фигуры рассматриваются
(с топологической точки зрения) как одинако-
вые, не отличающиеся друг от друга. Те свой-
ства фигур, которые сохраняются при гомео-
морфных отображениях, называются, как уже
было сказано, топологическими свойствами
фигур. Именно такие свойства изучаются в то-
пологии.
Топология
вумерных
поверхностей
Двумерные пространства можно разде-
лить на два фундаментальных типа: это
либо сферы, либо бублики. Точнее го-
воря, речь идет о поверхностях этих тел. Они
являются двумерными, потому что положение
точки на них определяется двумя числами, на-
пример широтой и долготой на сфере.
Топология рассматривает любую двумер-
ную поверхность как сферу в том случае, если
в ней нет дырок, при этом включая в эту ка-
тегорию знакомые нам геометрические тела:
кубы, призмы, пирамиды и даже похожие на
дыни объекты, которые носят название эллип-
соидов.
ЗАДАНИЕ 2
Бублик разрезали на сектора, сделав 10 раз-
резов. Сколько получилось кусков?
Подсказка: первым разрезом бублик пре-
вращается в цилиндр.
В топологии куб, конус, тетраэдр, сфера,
цилиндр и призма рассматриваются как экви-
валентные, поскольку они могут быть получены
друг из друга путем растяжения или сжатия без
разрывов и разрезов.
С точки зрения топологического строения
поверхности бывают замкнутые и открытые,
ориентируемые и неориентируемые. Замкну-
тые поверхности не имеют края, который есть
у открытых поверхностей.
Поверхности, являющиеся ориентируемы-
ми, подобно мячу, имеют две стороны, а не
одну, как лента Мёбиуса, которая является при-
мером неориентируемой поверхности.
Двумерные поверхности, которые являют-
ся одновременно компактными (замкнутыми
и ограниченными в пространстве) и ориенти-
руемыми (подобные поверхности называют
римановыми), можно классифицировать по
числу дырок в них, или по роду. Сфера имеет
род 0, т.к. в ней нет дырок. А бублик, имеющий
одну дырку, относится к роду 1. И это различие
принципиально: невозможно превратить сфе-
ру в бублик, не проделав в ней дыру.
Бублик с одной дыркой называется тором,
но бубликоподобные поверхности могут иметь
любое число дыр. Объекты, имеющие различ-
ный вид в двух измерениях, считаются тополо-
гически идентичными, если они относятся к од-
ному и тому же роду.
Топология 101
Классификация поверхностей по родам.
ЗАДАНИЕ 3
Идентичны ди эти объекты и какого они
рода?
Кротовые норы
Из формул ОТО следует, что в космосе
должны существовать особые «коридоры»
в пространстве и времени, названные кро-
товыми норами.
О том, что все эти бублики с дырками — не
детские забавы математиков, а нечто имеющее
отношение к нашему миру, свидетельствует
физика. Оказывается, «обычное» пространство
(а точнее, пространство-время), в котором оби-
таем мы, а также движутся планеты, звезды и
галактики, имеет собственную непростую топо-
логию.
В предыдущей главе упоминалось о том, что,
согласно ОТО, мы живем в четырехмерном про-
странстве-времени. Оно искривлено, а гравита-
ция, знакомая всем нам, является проявлением
этого свойства. Материя искривляет, «прогиба-
ет» пространство вокруг себя, и тем больше, чем
она плотнее.
Если пространство-время способно изги-
баться, то возможно предположить, что оно
могло бы принять, например, форму трубы,
соединяющей области, которые разделены
огромными расстояниями. А быть может, даже
эпохи, далекие друг от друга. Тогда в этих обла-
стях возникнет по дыре.
Кротовая нора, или мост Эйнштейна—Розена.
102 Топология
В 1935 г. А. Эйнштейн и его сотрудник ма-
тематик Н. Розен доказали, что ОТО допускает
образование особых топологических структур,
которые они назвали мостами. Позднее эти
структуры стали именоваться кротовыми нора-
ми, что является довольно вольным переводом с
английского языка слова wormhole. Более близ-
кий его перевод — «червоточина» (в космосе).
Впервые кротовые норы встречаются в сказке
английского математика и писателя Льюиса
Кэрролла «Алиса в Стране чудес», написанной
в 1865 г. Кроличья нора, падая через которую
Алиса попадает в волшебный мир, и есть
кротовая нора, соединяющая город Оксфорд со
Страной чудес.
Свойства
кротовых нор
Мост — это тонкая трубка простран-
ства-времени, соединяющая два почти
плоских и одинаковых пространства-вре-
мени, т.е. две неискривленные области простран-
ства. Место соединения и называется кротовой
норой, а его центральный участок — горловиной
кротовой норы. Пространство вблизи горловины
кротовой норы достаточно сильно искривлено.
Кротовая нора может соединять либо две
разные Вселенные, либо одну и ту же Вселен-
ную в разных частях. В последнем случае рас-
стояние через кротовую нору (между входами
в нее) может оказаться короче, чем расстояние
между входами, измеренное снаружи (хотя это
вовсе и не обязательно).
Кротовые норы, через которые свет и мате-
рия могут проходить в обе стороны, называют-
ся проходимыми кротовыми норами. Суще-
ствуют и непроходимые кротовые норы. Это
такие объекты, которые внешне (на каждом
из входов) являются как бы черной дырой, но
внутри такой черной дыры нет сингулярности
Наглядный трехмерный образ
кротовой норы. Но надо
понимать, что подобную форму
может иметь четырехмерное
пространство-время, а не само
по себе обычное трехмерное
пространство.
Топология 103
(сингулярностью в физике на-
зывают бесконечную плотность
материи, которая разрывает
и уничтожает любую другую
материю, попадающую в нее).
Материя может попасть
внутрь непроходимой крото-
вой норы, но выйти из нее уже
не может (что очень похоже на
свойство черной дыры). То есть,
если кротовая нора является не-
проходимой, то внешне ее прак-
тически невозможно отличить
от черной дыры.
Вход в кротовую нору внешне неотличим
от черной дыры.
Влияние черной дыры
на попадающие в зону
ее воздействия тела.
Космический корабль, который
приближается к границе черной
дыры, как будто застывает
навеки. Все реже и реже доходят
сигналы от него... Напротив,
по часам на корабле граница
черной дыры (называемая ее
горизонтом) достигается за
вполне конечное время. Когда
корабль минует его, он вскоре
упрется в сингулярность. Так
называют место, где кривизна
и гравитация становятся
бесконечными. В сингулярности
(точнее еще на подходе к ней)
протяженное тело неизбежно
будет разорвано и раздавлено.
КАК ОПИСЫВАЮТСЯ КРОТОВЫЕ
НОРЫ
Четырехмерные кротовые норы в космо-
се, через которые можно было бы пройти,
описываются с помощью метрики. Той са-
мой, о которой говорилось в предыдущей
главе. Метрика — это набор величин, ис-
пользуя который можно вычислить четы-
рехмерные интервалы, существующие меж-
ду точками-событиями. Этот набор величин
полностью характеризует и поле тяготения,
и геометрию пространства-времени. Геоме-
трически проходимые кротовые норы в кос-
мосе проще по строению, чем черные дыры.
В них нет горизонта, за которым останавли-
вается время, а с телами происходят всякие
нехорошие вещи. В различных точках норы
время может идти в разном темпе, однако
оно при этом не замирает в полной недви-
жимости.
104 Топология
Норы как
машины времени
Вокруг кротовой норы образуется сильное
гравитационное поле, в котором объекты
достигают скоростей, близких к скорости
света. Внутри самой норы время и пространство
перестают функционировать и меняются места-
ми, в результате чего путешествие в простран-
стве становится перемещением во времени. По-
этому многие астрофизики полагают, что чер-
ные дыры являются коридорами времени.
Уравнения Эйнштейна допускают суще-
ствование множества разных типов машины
времени. В частности, один из них предусма-
тривает использование проходимых кротовых
нор, соединяющих две разделенные во вре-
мени точки. Это пространственно-временной
туннель, дыры в пространстве-времени, через
которые можно свободно перемещаться впе-
ред и назад во времени.
В частности, по мнению некоторых ученых,
в космосе есть кротовые норы, образовавшиеся
при зарождении нашей Вселенной, через кото-
рые можно переместиться в другие Вселенные
или совершить путешествие во времени.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
На три части.
Задание 2
После превращения в бревно каждый по-
следующий разрез добавляет один кусок: по-
сле второго разреза получилось 2 куска, после
третьего — 3 и т.д., после десятого — 10.
Задание 3
И диск от штанги, и гиря имеют по одной
дыре, следовательно, их поверхности относятся
к первому роду.
Всё о функции 105
ВСЁ О ФУНКЦИИ
Что такое функция
В мире, где мы живем, все тесно взаимо-
связано. Иными словами, взаимозави-
симо: каждое «что-то» определяется
«чем-то» другим. Скажем, рост ребенка зави-
сит от его возраста, т.е. от одного фактора —
времени. А его успеваемость — от усердия и
способностей, т.е. уже от двух факторов. И
если эти два фактора нельзя выразить с по-
мощью чисел (ну, может быть, через IQ — ко-
эффициент интеллектуальности), то время
имеет числовое выражение. Поэтому рост,
который меняется со временем, называют
функцией времени.
В более общем случае говорят, что величина
у является функцией некоторой другой величи-
ны х, если каждое значение х определяет неко-
торое значение у. Это записывают как у = /(х).
Само х, как известно, именуется независимой
переменной или аргументом.
Примеры:
а) давление воздуха t в атмосфере зависит от
высоты h над поверхностью Земли:
t=f(h);
б) количество простых чисел, даваемое при-
веденной в первой главе формулой
f(n) = п1 - п + 41,
где п — натуральное число, есть функция этого
числа;
в) объем газа V, заключенного в цилиндр,
есть функция температуры Т и давления р, ока-
зываемого на поршень:
V = tfT,p),
таким образом, объем является функцией
не одной, а двух переменных;
106 Всё о функции
г) площадь треугольника является функци-
д) положение малого физического тела (мате-
риальной точки) в пространстве определяется чис-
ловыми значениями трех его координат и, следо-
вательно, будет функцией трех переменных (х, у, z).
Таким образом, функция может зависеть как
от одной переменной, так и от нескольких.
Определение
функций
Опираясь на знание векторных про-
странств и отображений, которое мы
получили в предыдущих главах, можно
привести более строгое определение функций
как одной, так и многих переменных. Перемен-
ные (ху х2, ..., хи), как мы знаем, образуют век-
торное, или евклидово, и-мерное пространство
(п = 1, 2, 3,...). Его обычно обозначают символом
Rn. А функция — это число, точка на числовой
оси, то есть в одномерном пространстве R1 = R.
Значит, функция представляет собой отображе-
ние Rn —> R. Иными словами можно сказать, что
функция п переменных — это правило, кото-
рое каждой точке х = (ху х2, ..., хи) пространства
Rn ставит в соответствие действительное число
g. Функцию п переменных записывают в виде:
В дальнейшем мы сосредоточимся в основном
на функциях одной переменной, специально ого-
варивая случаи большего числа переменных.
Интервал
и окрестность
В приведенных раньше примерах вели-
чины имеют тот или иной физический
смысл — время, расстояние, температура
и т.п. Но в математике отвлекаются от конкрет-
ного физического смысла величин и считают
переменную величину (или просто перемен-
ную) заданной, если известно множество всех
численных значений, которые она может при-
нимать.
Численные значения переменной величины
образуют некоторое множество действитель-
ных чисел. Ему соответствует множество точек
на числовой оси. Оба эти множества могут быть
самыми различными (в зависимости от рас-
сматриваемой переменной). Чаще приходится
иметь дело с множествами чисел, которые на-
зываются интервалом и сегментом.
Интервалом называется множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, а сег-
ментом — множество чисел а < х < Ь, в обоих
случаях awb —действительные числа.
Окрестностью точки х = а радиуса £ называ-
ется множество точек числовой прямой, рас-
стояние от которых до а меньше е. Говорят, что
некоторое множество А точек этой прямой от-
крыто, если каждая точка х из А имеет окрест-
ность, целиком содержащуюся в А. Примером
открытого множества является интервал. А вот
множество точек х, для которых а < х < Ь, не от-
крыто, потому что точка х = а не имеет окрест-
ности, целиком содержащейся в этом множе-
стве: часть точек любой окрестности точки х = а
меньше, чем а, и поэтому они выходят за преде-
лы этого множества.
Рис. 1. Е — окрестность точки а.
Для функций двух переменных открытой
окрестностью точки р(х, у) будет внутренность
круга с центром в этой точке. Окружность, огра-
ничивающая этот круг, не является частью дан-
ной окрестности.
Всё о функции 107
«Открытое множество».
НЕ ВСЕ ТО ЧИСЛО, ЧТО
ПЕРЕМЕННОЕ
Область изменения переменной х не обя-
зательно должна быть множеством чисел.
Например, это может быть множество
многогранников; тогда переменная х бу-
дет обозначать любой конкретный мно-
гогранник. Как видим, не является также
необходимым, чтобы область изменения
переменной содержала бесконечное чис-
ло элементов.
ИНТЕРВАЛЫ В R"
Определение окрестности точки на чис-
ловой оси может быть обобщено на слу-
чай функций многих переменных, т.е.
пространств Rn, п > 1. А именно, окрестно-
стью радиуса г в х = (х2, х2,..., xj в Rn называ-
ется множество точек, расстояние от ко-
торых до х меньше г. Определенная таким
образом окрестность точки представляет
собой открытый и-мерный шар с центром
в этой точке.
Рис. 2. Открытая окрестность точки на плоскости.
Графики
Множество всех возможных значений
аргумента называют областью опреде-
ления функции. А то множество зна-
чений функции, которые она принимает, когда
аргумент «пробегает» всю область определения,
именуется областью ее значений.
Графиком функции называется множество
всех точек на координатной плоскости, абсцис-
сы которых равны значениям аргумента, а орди-
наты — соответствующим значениям функции.
Если некоторому значению х = хк соответствуют
несколько значений (а не одно) у, то такое со-
ответствие не является функцией. Для того что-
бы множество точек координатной плоскости
108 Всё о функции
являлось графиком некоторой функции, необ-
ходимо и достаточно, чтобы любая прямая, па-
раллельная оси Оу, пересекалась с графиком не
более чем в одной точке.
Для каждого х функция имеет единствен-
ное значение f(x), но совсем не обязательно,
чтобы каждому f(x) отвечало единственное х.
Простейший тому пример — функция у = х2,
каждому значению которой, кроме у = 0, отве-
чают два значения аргумента.
Рис. 3. График функции у = х2.
ФУНКЦИЯ КАК ОТОБРАЖЕНИЕ
Образ и прообраз.
Как сказано ранее, функции можно назы-
вать также отображениями и обозначать
это как/* X —> Y. А значения х, принадлежа-
щие области определения D функции, —
элементами множества D. Тогда значение,
которое функция принимает на элемен-
те х, принадлежащем D (обозначается
как х g D), называют образом элемента х.
А само х — прообразом значения функции
на этом элементе. А если речь идет не об
одном элементе, а о некотором их множе-
стве М из области определения (обознача-
ется как М cz D), то образом М при отобра-
жении X —> Y называют множество тех
всех f(M) элементов Y, которые являются
образами элементов множества М.
Обратная
функция
Пусть дана некоторая известная функция
у = f(x). Рассматривая это соотношение
как уравнение, допустим, что его можно
решить относительно х и выразить через у как
функцию:
X = g(y).
В таком случае функция g(y) называется об-
ратной относительно функции f(x). Описанная
процедура дает однозначный результат только
в том случае, если функция у = f(x) определяет
взаимно однозначное отображение области ее
определения на область ее значений. Это озна-
чает, что из неравенства х} ф х2 для любых двух
значений переменной х всегда будет следовать
неравенство f(x}) ф f(x2). Лишь при этом усло-
вии каждому значению у будет соответствовать
единственное значение х.
Примером однозначного отображения мо-
жет служить функция у = х3. Ее областью опре-
деления служит вся числовая ось, и каждому
значению х соответствует единственное зна-
чение функции. Соответственно, однозначно
определена и обратная функция
х = 3у[у.
Всё о функции 109
Рис. 4. Графики функций у = х2 и у = х3.
Сложные
функции
ассмотрим функцию у =f(z), аргумент кото-
рой является функцией переменной х:
Z = ср(х).
Тогда переменная у также будет функцией
х. Эта функция называется сложной функцией
и обозначается как
у=/[ср(х)].
Переменная z называется промежуточным
аргументом сложной функции.
Пример: если у = 3z2, a z = 2sin х, то у = 12sin2 х
есть сложная функция х.
А вот функция у = х2 не имеет однозначно
определенной обратной. Причина, очевидно,
в том, что для любого х имеем
у = х2= (-%)2,
т.е. каждому (положительному) значению функ-
ции (образу) соответствуют два разных значения
аргумента (прообраза). Правда, если оговорить,
что под корнем квадратным д/у понимается толь-
ко положительное число, то за обратную функ-
цию можно принять Х=д/у при условии
х > 0, у > 0.
Существование обратной функции нетруд-
но установить с помощью графика данной
функции. Обратная функция существует, опре-
деляясь однозначно, в том случае, если каждо-
му значению у = /(х) соответствует только одно
значение х. Геометрически это означает, что
нет такой прямой, параллельной оси х, которая
пересекала бы график более чем в одной точке.
Это имеет место в том случае, если функция
У = /(х) монотонная, т.е. при возрастании х она
все время возрастает или, наоборот, все время
убывает. Например, если функция у =f(x) всюду
возрастающая, то при х2> х} всегда выполняется
неравенство у2 =/(х2) > уг =/(х1). Тогда для данно-
го значения у существует не более одного такого
значения х, что у =f(x), и обратная функция бу-
дет определяться однозначно. График обратной
функции х = g(y) получается из данного графика
просто зеркальным отражением относительно
прямой у = х.
Элементарные
функции
Злементарной функцией называется функ-
ция, которую можно задать одним ана-
литическим выражением, составленным
из основных элементарных функций с помощью
четырех арифметических действий (сложения,
вычитания, умножения и деления) и операций
взятия функции от функции, последовательно
примененных конечное число раз.
Основными элементарными функциями счи-
таются: многочлен, рациональная функция, ко-
110 Всё о функции
торая представляет собой отношение двух мно-
гочленов, степенная функция, показательная
функция, логарифмическая функция, тригоно-
метрические функции и обратные тригономе-
трические функции.
Наиболее простым типом математической
функции одной независимой переменной явля-
ются многочлены (полиномы), имеющие вид
Pn=f(x) = aQ+ агх + я2х2+ ... + апхп.
В этом выражении ау ..., ап — постоянные
коэффициенты (числа).
К элементарным относятся также рацио-
нальные функции, являющиеся отношениями
многочленов, например
1 1 Зх-7
У = ~> У = ~л-2"’ 5 и 3 п 7-
х 1 + х х +4х -2х + 1
Добавив к ним тригонометрические функ-
sinx
ции cos х, sin х и tg х =-f получим почти все
cosx
основные элементарные функции. Ну, за ис-
ключением показательной и логарифмической,
о которых поговорим чуть позже.
ЗАДАНИЕ 1
„ . я
Решите уравнение sin Зх = —.
Композиция
функций
Понятие сложной функции можно сфор-
мулировать, используя понятие отобра-
жения одного множества в другое. Напом-
ним: тот факт, что/отображает MbN
означает, что/переводит данный элемент х из М
в элемент у из N. Это записывают как/ х —> у и
говорят, что f(x) есть образ точки х.
Возьмем теперь два отображения/и g, при-
чем/ М N, g: N —> Р. Это означает, что отобра-
жение g как функция определена на множестве
значений функции /. Соорудим из них третье
отображение, которое отображает М в Р, обо-
значив его как g °/ Тогда
g °f: М^Р.
Это отображение, рассматриваемое как
функция, имеет значения на множестве М,
определяемые формулой
(g°/)(x)=gf/(x)J.
Построенная нами конструкция является
сложной функцией и называется композицией
/ng (отображений, функций). Причем здесь ва-
жен порядок расположения функций, посколь-
ку, вообще говоря, g °/*/° g.
Например, функцию /г(х) = cos (х2) можно
считать композицией функций
y=/(x)=X2Hg(y) = COSl/.
ЗАДАНИЕ 2 i
Решите уравнение cos 2х = —.
Важное понятие
непрерывности
Введенное ранее определение открытого
множества точек в области значений неза-
висимой переменной (интервала на чис-
ловой прямой) позволяет дать полезное и корот-
кое определение важного понятия непрерывной
функции, или, что то же, непрерывного отобра-
жения.
Отображение /: М —> N непрерывно в точке
х из М, если любое открытое множество в N, со-
Всё о функции 111
держащее f(x), содержит образ некоторого от-
крытого множества из М, содержащего точку х.
Отображение/непрерывно на М (или просто не-
прерывно), если оно непрерывно во всех точках М.
Для функций одной переменной опреде-
ление непрерывности обычно дается несколь-
ко иначе. Пусть f(x) — функция одной пере-
менной. Это означает, что f отображает R в
R (то есть /: R -> К), переводя число х в число
f(x). Функция f непрерывна в некоторой точ-
ке а, если для любого положительного числа £
существует такое положительное число 5, что
\f(x) -f(a)\ < е для всех х, удовлетворяющих нера-
венству |х - а\ < 5 (рис. 6).
Эти неравенства определяют интервалы, то
есть открытые множества. Само же определе-
ние непрерывности в терминах е - 5 означает,
что функция f непрерывна в точке а, если ка-
ждая окрестность f(a) содержит образ некото-
рой окрестности точки а.
Это вполне совпадает с первым определе-
нием непрерывности в терминах отображений
Рис. 6. Непрерывная функция в точке а.
Функция/ переводит окрестность точки а
радиуса 5 в окрестность точки A =f(a) радиуса Е.
В графическом представлении непрерывная
функция изображается плавной, без разрывов,
линией.
Функции cos х, sin х непрерывны на всей
числовой оси.
Предел функции
Попробуем более наглядно представить не-
прерывность функций в точке на число-
вой прямой. Вернемся к рис. 1 и предста-
вим, что нам надо выяснить, является ли задан-
ная функция у = /(х) непрерывной в некоторой
точке х = а. Пусть аргумент пробегает значения,
приближающиеся к а слева и справа. При этом
значения функции /(х) будут меняться. Будут
ли они стремиться к значению функции в точ-
ке х = а? Не обязательно. Но если окажется, что
значения /(х) неограниченно приближаются
к/(я) (говорят «/стремится к пределу/(я)»), при-
том независимо от того, приближается ли х к а
слева или справа, то говорят, что функция/(х)
непрерывна в точке а.
Для обозначения предела функции/(х) при
х —> а используется символическое выражение
lim/(x) = /(a)
х^а
или запись вида
/(х) ~^f(a) при х —> а.
Аналогичным образом формулируется по-
нятие предела функции при х —> оо.
Далеко не всегда значения функции при
стремлении х к а справа и слева совпадают. Поэто-
му существует понятие одностороннего предела,
отражающее такие случаи. А именно, пусть х —> а,
причем х> а, и при этом/(х) —> (это некоторое
число). Тогда число называют пределом спра-
ва (или правосторонним пределом) функции fix)
и обозначают одним из следующих выражений:
112 Всё о функции
lim f(x) = Fx или lim f(x)-Fv
х—>а+0 х—>а+
слева). В этом случае fix) —> F2 при стремлении
х —> я со стороны меньших значений аргумента:
ЗАДАНИЕ 3
Представьте в виде многочлена выражение
(х2-л/5)2.
lim f(x) = F2 или lim f(x) = F2.
x->a-0 х->а-
Для существования обычного (двусторонне-
го) предела функции в точке х = а необходимо
и достаточно, чтобы пределы справа и слева
были равны:
lim f(x)= lim f(x) = F,
x—>a+0 x—>g-0
Рис. 8. График функции у = |х|, имеющей равные
пределы при %->0 + их->0-
Аналогичным образом можно определить
понятие левостороннего предела (или предела
Точки разрыва
Если же непрерывность функции наруша-
ется в некоторой точке, т.е.
lim /(x)^lim /(х),
X—>G+0 X—>G—О
то такая точка называется точкой разрыва. Точ-
ки разрыва можно классифицировать по вели-
чине модуля разности между односторонними
пределами
I lim /(х) - lim Дх)|,
| X-»G+0 X—>G—О
который называют скачком функции при пере-
ходе через точку а. Если этот скачок равен нулю,
Всё о функции 113
но функция fix) не определена в точке а, то такая
точка называется точкой устранимого разрыва.
Например, функция
ч sinx
/(*) =----
X
не определена в нуле, однако ее предел в этой
точке существует и равен 1 (здесь х выражается
в радианном измерении). Поэтому для устра-
нения разрыва достаточно доопределить функ-
цию fix) при х = 0, исходя из соображений не-
прерывности, следующим образом:
sinx
Ях)= — к°гда **»•
1, когда х = 0.
В случае произвольной функции fix), для ко-
торой точка а является точкой устранимого раз-
рыва, нужно расширить область определения
функции, включив в нее также точку а и полагая
fia) = lim f (х).
х—>а
разрыв второго рода в точке х = 3.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Существует функция, имеющая особый
предел при стремлении ее аргумента
к нулю, а именно:
1
Иш(1 + х)х = е.
х->0
Здесь е = 2,71828182... — иррациональное
число, называемое числом Эйлера. Оно
играет большую роль во многих разделах
науки и техники. Показательная функция
с основанием е называется экспонентой:
fix) = е*. Ее можно представить в другом
виде, если вместо х принять за новую пе-
ременную
Рис. 10. График
экспоненциальной функции у = ех.
114 Всё о функции
Если скачок функции в точке а имеет конеч-
ное значение, то эту точку называют точкой раз-
рыва первого рода. Скачок функции в точке а
равен бесконечности, если какой-либо односто-
ронний предел равен бесконечности. В этом
случае говорят о точке разрыва второго рода.
Функция, непрерывная в каждой точке ин-
тервала (а, Ь), называется непрерывной в (а, Ь).
График такой функции на этом интервале явля-
ется сплошной кривой.
Я 3,14159265356979323846264338327950288419716939937511...
в 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369996...
ф' 1, 61803398874989484820458683436563811772030917980576...
«Звезды» мира иррациональных чисел: п, ср и е.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Поскольку — > 15 a |sin а| < 1, указанное урав-
нение не имеет решений.
Отсюда получаем ответ:
, л
х = ±— + ИЛ.
6
Задание 2
Используем метод решения простейших
тригонометрических уравнений:
Задание 3
Используем формулу квадрата разницы:
(х* 2 * + V5)2 = (х2)2 -2х2 л/5 + 5 = х4 -2д/5х2 +5.
1
/> . 1 Л —
2x = ±arccos — + 2ли = ±— + 2 ли.
Ш з
В поисках неизвестного 115
В ПОИСКАХ
НЕИЗВЕСТНОГО
Это было
очень давно...
Как известно, Вавилон был одним из цен-
тров математической мысли Древнего
мира. Одним из достижений математи-
ков тех лет стало то, что они первыми поняли
важность уравнений и необходимость искать
методы их решения. А что такое эти уравнения?
Уравнения представляют собой способ, при по-
мощи которого находятся значения какой-ли-
бо неизвестной величины (но которая кому-то
очень нужна) исходя из некоторых данных.
Вавилонские математики открыли некое
правило — определенную стандартную про-
цедуру — для решения таких уравнений. Они
умели решать квадратные уравнения, и такой
метод, хотя и в измененном виде, люди исполь-
зуют до сих пор.
116 в поисках неизвестного
АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ ПЕРИОД
В III в. до н.э. Александр Македонский по-
корил всю Грецию, захватил государства
Малой Азии, Палестину, Египет, Персию
и другие страны, создав огромную импе-
рию. После его смерти она распалась на
три государства. В них усложнилась хо-
зяйственная и политическая жизнь. Бы-
стрее начали развиваться производства,
более современной стала техника. Воз-
никла потребность в естественнонаучных
знаниях, из которых начали выделяться
отдельные науки. Их развитие в те време-
на в значительной степени связано с го-
родом Александрией, основанным Маке-
донским. Поэтому этот период называют
александрийским.
Статуя Александра Македонского.
III в. до н.э. Стамбульский Археологический
музей.
В александрийский период алгебра достигла
своего наивысшего расцвета в трудах Диофанта.
До него греки свои алгебраические труды из-
лагали в описательной манере, не прибегая ни
к какой символике. Не приводили математики
и доказательств правильности используемых
приемов. Большой заслугой Диофанта явля-
ется введение в алгебру некоторой символики.
В своем главном труде «Арифметика» он ввел
символы, соответствующие нашим обозначени-
ям х, степеням неизвестного х вплоть до х6 и
Появление такой символики замечательно само
по себе, но еще больший интерес представляет
введение степеней выше третьей.
Кт ч Д Дт IF Ьг К
♦ К
XVuOjM.OKvCotf nr’ ww la/
5^* 6 C* itVt-r
Один из листов книги Диофанта «Арифметика».
В верхней строке записано
уравнение х3 • 8 — х2 • 16 = х3 в обозначениях
и порядке, использовавшихся автором.
РАЦИОНАЛЬНЫЙ ГРЕК
Диофант признавал только положитель-
ные рациональные корни и отбрасывал все
остальные. Даже при решении квадратно-
го уравнения с одним неизвестным, имею-
щего два положительных рациональных
корня, Диофант приводил только один
(больший). Если же уравнение имело два
отрицательных корня, иррациональные
или комплексные, то Диофант отвергал та-
кое уравнение, считая его неразрешимым.
Если уравнение имело иррациональные
корни, то Диофант шаг за шагом, от конца
к началу, прослеживал полученное реше-
ние и показывал, как изменить исходное
уравнение, чтобы новое уравнение имело
рациональные корни.
В поисках неизвестного 117
ЗАДАНИЕ 1
Найдите все значения х и у, удовлетворя-
ющие равенству ху +1 = х + у.
Арабские
корни алгебры
Алгебра, как принято считать, возникла в
830 г., когда математический центр пере-
местился из греческого мира в арабский.
В тот год астроном и математик Мухаммад ибн
Муса аль-Хорезми написал книгу, озаглавлен-
ную «Китаб Аль-Джабр в’аль Мукабала», что
переводится примерно как «восстановление
и упрощение». В ней излагались стандартные
способы приведения уравнений к виду, удобно-
му для их решения. От «аль-джабр» происхо-
дит современное слово «алгебра». В трудах уче-
ных Ближнего Востока и Средней Азии алгебра
оформилась в самостоятельную ветвь матема-
тики, занимающуюся решением уравнений —
первой степени (линейных) и квадратных.
ил
jb* 4ac Gjj U £1*1
J1*’jL-MK
ATjiye Uj JiWj
UU J^*> VfcbjJ JL* VJj
r” C5 d' Чг»JW
ybj Xя*"* JX* AJyfi £l*tf
*?***• JA jIaJ Ц-»>
ttr* «и •A® ц/ U*Lc j6j
4^1^^ ^Сл-г
JU JVi UU >1;A- uAi
-Axe1 >• g ^JL* J A LaU */д^Л Ja»>
А*з*? ц—S *» * I- IJ~L* J V
Фрагмент трактата
«Китаб Аль-Джабр в’аль Мукабала».
Рубаи
и уравнения
Знаменитый персидский поэт XI в., про-
изведения которого и сейчас издаются
огромными тиражами, в свободное от со-
чинения стихов (называющихся рубаи) время
занимался также алгеброй. Славу Хайяму как
математику принесла теория геометрических
решений алгебраических уравнений. В заслугу
поэту стоит поставить решение им кубических
уравнений, выполненное методами греческой
геометрии, т.е. с использованием циркуля и
линейки. Но ему пришлось по необходимости
выйти за рамки геометрии Евклида. Хайям впер-
вые высказал мысль о том, что уравнения тре-
тьей степени не решаются с помощью «свойств
круга» (т.е. с помощью циркуля и линейки). Он
утверждал, что их можно решить только с при-
влечением конических сечений. Так называют
специальные кривые, которые можно постро-
ить, пересекая конус плоскостью,— параболу,
гиперболу, окружность и эллипс.
Омар Хайям. Художник Аделаида Хансон. 1905 г.
Пользуясь коническими сечениями, Хайям
разработал геометрические решения для всех ку-
бических уравнений и разъяснил их в своей книге
«Алгебра», законченной в 1079 г. Поскольку отри-
цательные числа в то время еще не получили пра-
118 В поисках неизвестного
ва на существование, уравнения приходилось каж-
дый раз преобразовывать так, чтобы все слагаемые
оказывались положительными.
Хайям дал полную классификацию куби-
ческих уравнений, имеющих положительные
корни. Он выделил 19 классов; из них 5 сводят-
ся к линейным и квадратным. Для остальных
14 классов ученый указал метод решения с по-
мощью конических сечений.
РУБАИ ОМАРА ХАЙЯМА
Даже самые светлые в мире умы
Не смогли разогнать окружающей тьмы,
Рассказали нам несколько сказочек на ночь —
И отправились, мудрые, спать, как и мы.
Об уравнениях
и их характере
Омар Хайям дал первое дошедшее до нас
определение алгебры как науки. Он на-
звал алгебру наукой об отыскании неиз-
вестных величин, состоящих в некоторых отно-
шениях с величинами известными. Определе-
ние неизвестных осуществляется с помощью
составления и решения уравнений.
Как выразился один известный современный
математик С. Иэн, «после знакомства с ними
уравнения оказываются довольно дружелюб-
ными созданиями — ясными, четкими, иногда
даже прекрасными. Тайная истина об уравне-
ниях состоит в том, что они представляют собой
простой, ясный язык для описания целого ряда
"рецептов" по вычислению разных вещей».
В уравнениях используются три типа обо-
значений. Одно из них — знакомый нам еще с
начальных классов х, т.е. неизвестное. Оно обо-
значает число, которое мы еще не знаем, но зна-
чение которого почему-то желаем найти.
Обозначения второго типа — это степени
икса. Так, х2 означает х • х , а х3 = х • х • х. Чи-
таются такие выражения, как «квадрат», «куб»,
«четвертая степень» и т.д.
А третий тип обозначений в алгебраических
уравнениях — a, b, с, р, q и т.п.— «маркирует»
данные, или известные, величины, т.е. числа, ко-
торые мы знаем.
ЗАДАНИЕ 2
Решите уравнение
2х2
= 2012.
О ТЕРМИНАХ
Алгебраическое выражение вида 2Х4 - 7х3 -
- 4х2 + 9 называется полиномиальным вы-
ражением или, иначе говоря, многочле-
ном. Такие выражения образованы путем
сложения друг с другом различных степе-
ней неизвестного. Числа 2, -7, -4 и 9, на ко-
торые умножаются эти степени, называ-
ются коэффициентами. Старшая степень,
в которой неизвестное входит в много-
член, называется степенью этого много-
члена, так что приведенный выше мно-
гочлен имеет степень 4. Имеются специ-
альные названия для многочленов млад-
ших степеней (от 1 до 3 включительно):
линейный, квадратичный и кубический.
Решения соответствующего уравнения
2Х4 - 7х3 - 4х2 + 9 = 0 называются корнями
многочлена.
Уравнения
и золотое сечение
Речь пойдет об уравнениях второй степени.
Задачи, приводящие к ним, рассматривают-
ся во многих древних математических руко-
писях и трактатах. Такие уравнения умели решать
еще в Вавилоне во II тыс. до н.э. Древние греки
решали квадратные уравнения геометрически.
Например, Евклид использовал деление отрезка
в среднем и крайнем отношениях.
Со времен Древнего Египта и Вавилона
и вплоть до появления работы Виета математи-
ки решали уравнения первой степени, квадрат-
ные, кубические и уравнения четвертой степени,
ограничиваясь всякий раз лишь какими-либо
В поисках неизвестного 119
конкретными числовыми значениями коэф-
фициентов. При подобном подходе уравнения
Зх2 + 5х + 6 = 0 и 4х2 + 7х + 8 = 0 считались раз-
личными, хотя было ясно, что оба решаются
одним и тем же методом. Кроме того, матема-
тики стремились избежать отрицательных чи-
сел; поэтому такое, например, уравнение, как
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Деление отрезка в среднем и крайнем от-
ношениях — это такое деление целого на
две неравные части, при котором целое
так относится к большей части, как боль-
шая к меньшей. Другое название этой
операции — золотое сечение (рис. 1).
х2 - 7х + 8 = 0, принято было записывать в виде
х2 + 8 = 7х. Возникало множество типов уравне-
ний одной и той же степени, каждый из кото-
рых приходилось рассматривать в отдельности.
Как животные
используют
а
а-х х
Рис. 1. Деление отрезка в среднем
и крайнем отношениях.
Пусть длина некоторого отрезка равна
л, длина его большей части равна х, тогда
а-х — длина меньшей части отрезка. Со-
ставим отношение согласно указанному
а х
выше определению: — =-----такое деле-
х а-х
ние отрезка и называется со времен древ-
них греков делением отрезка в крайнем
и среднем отношениях. В пропорции, да
будет вам известно, произведение край-
них членов равно произведению средних.
От полученной пропорции перейдем
к равенству а(а - х) = х2. Отсюда получаем
квадратное уравнение х2 + ах - а2 = 0. Дли-
на отрезка х выражается положительным
числом, поэтому из двух корней следует
выбрать положительный:
-а + л]5а2 V5-1
х =-----------=--------а.
2 2
Число обозначается буквой ср в честь
древнегреческого скульптора Фидия, в тво-
рениях которого часто встречается это
число. Число ср иррациональное, с вось-
мью первыми десятичными знаками оно
Известный всем
школьникам Виет
Главный вклад француза Виета в развитие
алгебры состоял во введении буквенных ко-
эффициентов. Отдельные математики ис-
пользовали буквенные обозначения и до Вие-
та, но делали это лишь от случая к случаю. Виет
был первым, кто продуманно ввел буквенные
обозначения и систематически их использовал.
Основное новшество состояло в том, что бук-
вами обозначались не только неизвестные или
степени неизвестных, но и коэффициенты урав-
нений. Такой подход позволял единообразно
рассматривать все квадратные уравнения, за-
писав их (в современных обозначениях) в виде
ах2 + Ьх + с = 0, где буквенные коэффициенты а, b
и с могут означать любые числа, ах — неизвест-
ную величину, значения которой требуется найти.
Французский
математик
Франсуа Виет.
120 В поисках неизвестного
По образованию и роду занятий Виет был
юристом. А математикой он занимался в сво-
бодное время, печатая и рассылая свои работы
за собственный счет.
К квадратным уравнениям сводятся многие
уравнения путем замены переменной. Напри-
мер, биквадратное уравнение
ах4 + Ьх2 + с = 0
сводится к квадратному заменой переменной
X2 =w.
ЗАДАНИЕ 3
Решите уравнение (х2 + х)2 + д/х2 -1 = 0.
ФОРМУЛА КАРДАНО
Так называют формулы, выражающие
решения кубического уравнения. Пусть
х3 + ах = Ь. Тогда решения этого уравнения
даются формулой
1а*_
V27+ 4
[а[ 62
V27 + 4 '
КАРДАННАЯ ПЕРЕДАЧА
Карданная передача — механизм, пере-
дающий крутящий момент между ва-
лами, пересекающимися в центре кар-
данной передачи и имеющими возмож-
ность взаимного углового перемещения.
Названа именем математика Джероламо
Кардано, который описал ее в XVI в.,
хотя и не изобретал. В автомобиле кар-
данный вал служит для передачи крутя-
щего момента от коробки передач к ве-
дущим мостам.
Данная формула есть не просто решение
одного типа кубических уравнений. Это —
полное решение всех типов кубических
уравнений с точностью до простых алге-
браических преобразований. Если кубиче-
ский член есть, скажем, 5л3, а не л3, то мож-
но просто разделить все уравнение на 5.
А если в уравнение входит квадрат неиз-
вестного, от него всегда можно избавить-
ся: надо заменить х на х плюс специальным
образом подобранная постоянная; и если
все сделать правильно, то слагаемое с ква-
дратом просто исчезает.
ЗАДАНИЕ 4
Решите уравнение х3 + х2 + х =
1
3’
ЗАДАНИЕ 5
Докажите, что произвольное уравнение
третьей степени z3 + Az2 + Bz + С = 0 при
помощи линейной замены переменной
z = х + р можно привести к виду х3 + рх +
+ q = 0.
ЗАДАНИЕ 6
X3 2
Решите уравнение . + х —4 = 0.
д/4-х2
Повышая степень
В течение XVI в. было установлено, что ал-
гебраические уравнения третьей и чет-
вертой степеней решаются посредством
той же процедуры, что и квадратные. Эта про-
цедура может быть охарактеризована следую-
щим образом: решения, или корни, уравнения
представляются в виде выражений, составлен-
ных из коэффициентов уравнения и содержа-
щих операции, из которых каждая является
или рациональной (сложение, вычитание, ум-
ножение, деление) или же извлечением корня
(квадратного, кубического или четвертой сте-
пени). По-другому говорят, что алгебраическое
уравнение не выше четвертой степени «реша-
ется в радикалах» (слово «радикал» — radix —
по-латыни означает «корень»).
В поисках неизвестного 121
Казалось как нельзя более естественным пы-
таться обобщить эту процедуру на уравнения
пятой и более высоких степеней, пользуясь,
конечно, и радикалами соответствующих сте-
пеней. Но ни одна из попыток не увенчалась
успехом. В XVIII в. были случаи, когда даже вы-
дающиеся математики впадали в заблуждение,
предполагая, что решение ими найдено.
Лишь в начале XIX в. у итальянца Паоло
Руффини (1765-1822) и норвежского матема-
тика Нильса Абеля (1802-1829) возникла рево-
люционная для того времени идея — доказать
невозможность решения в радикалах общего
алгебраического уравнения степени п.
Нужно четко понимать, что речь не идет
о решении алгебраического уравнения степени
п: существование решений было строго доказа-
но Гауссом в 1799 г. Поэтому уже не было ника-
ких сомнений в том, что каждое алгебраическое
уравнение действительно имеет корни, в осо-
бенности после того, как были разработаны
приближенные методы их вычисления с какой
угодно степенью точности.
Абелем и Руффини проблема была постав-
лена совсем иначе: может ли быть найдено ре-
шение с помощью одних только рациональ-
Итальянский математик Паоло Руффини.
ных операций и операций извлечения корней?
Именно стремление добиться полной ясности
в этом вопросе послужило толчком для мощно-
го развития современной алгебры.
ЗАДАНИЕ 7
Решите уравнение х8 + 4л4 + х2 +1 = 0.
Радикалы
и алгебраические
уравнения
Стремясь найти решения алгебраических
уравнений разных степеней, математики
во второй половине XVIII в. обнаружили
связь между радикалами и комплексными чис-
лами. О последних мы говорили в третьем раз-
деле. Ключом к новому подходу стала формула
Муавра (равенство (5) в упомянутом разделе)
и понятие корня и-й степени из единицы.
ЗАДАНИЕ 8
Докажите, что если х + iy = (s + it)n,
то х2 + у2 = (s2 + t2)n.
Подсказка: домножьте равенство на со-
пряженное.
Согласно общему определению, корнем
п-й степени из числа а считается каждое число
b — такое, что Ьп = а. Например, единица име-
ет два квадратных корня: 1 и -1, потому что I2 =
= (-1)2= 1. Корней четвертой степени оказы-
вается четыре: 1 и -1 (действительные корни),
i и -i (предлагаем читателю проверить это).
Несколько сложнее дело обстоит с кубиче-
ским корнем из 1: один корень очевиден —
это 1, а каковы остальные, сразу не скажешь.
Но по аналогии с двумя предыдущими слу-
чаями можно предположить, что должны
существовать еще два корня кубических из 1,
вероятно, мнимых (а всего, стало быть, их бу-
дет три). Корней пятой степени из 1 должно
быть пять. И так далее — для более высоких
значений корня из 1.
122 В поисках неизвестного
Корни
л-й степени
Найдем третий корень кубический из 1. Он
получается из (1) при к = 2:
, 2я • 2 . . 2я • 2 4я . . 4я
о? = cos--+ z-sin----= cos— + z-sin— =
2 3 3 3 3
= cos 240° + z • sin 240°.
Итак, искомые корни п-й степени из 1
должны находится из соотношения bn = 1.
Представим b в виде
b = cos ср + i • sin ср.
Тогда bn= cos иср + i • sin и<р согласно форму-
ле Муавра
(cos ср + i • sin ер)п = cos nep + i • sin nep.
Из условия bn= 1 имеем:
cos nep + i • sin nep = 1 = 1 + i 0.
Два комплексных числа равны тогда и толь-
ко тогда, когда равны их действительные и мни-
мые части:
cos и<р = 1; sin иср = 0.
Оба эти равенства выполняются при усло-
вии, что аргумент обеих функций кратен 360°,
потому что cos 2пк = 1, sin 2пк = 0, где к — це-
лое число или нуль. Из этого условия имеем:
и<р = 2пк, откуда
2пк
<Р =---.
п
Это соотношение определяет набор корней
п-й степени из единицы для к = 0, 1, 2, ..., п-1
(при к = 0 и к = п корни совпадают), т.к.
2 я • п
cos 0 = cos--= cos 2я = 1.
п
Значения корней будут находиться из формулы
, . . 2л& . . 2л&
p = cos<p + z-sincp = cos-+ z-sm---. (1)
п п
Рассмотрим для примера корень кубиче-
ский из 1: п = 3. Для к = 0 имеем уже знакомый
нам корень bQ = 1. Для к = 1 получаем из (1):
2я 2я
h - cos— + i sin—- cos 120° + i sin 120°.
1 3 3
1 V3
Ho cos 120° = —, sin 120° = —
2 2
Поэтому второй кубический корень из еди-
ницы равен
(2)
Поскольку cos 240° = , sin 240° = —
получаем
Сравним выражения для второго и третьего
корней. Очевидно, они отличаются знаками пе-
ред мнимыми частями. Это означает, что дан-
ные корни являются комплексно сопряженны-
ми, то есть Ь*=Ьг, b*=b2.
Звездочка означает комплексное сопряже-
ние — замену знака перед мнимой частью
на противоположный.
ЗАДАНИЕ 9
Вычислите следующие выражения:
а) (1 + г)п;
б)(1+1Ч/з)й;
в) (1 + cos ср + sin <р)и;
г) (7з + ой.
Подсказка: представьте каждое из чисел
в тригонометрической форме.
Геометрическая картина
Вспомним приведенную в третьем разделе
геометрическую интерпретацию комплексных
чисел. Она состоит в том, что комплексному
числу z = х + iy ставится в соответствие точка на
плоскости с координатами (х, у), х-координата
представляет действительную часть комплекс-
ного числа, у-координата — его мнимую часть.
Пользуясь этим приемом, можно выраже-
ния для кубических корней из 1 нанести на пло-
скость. Картина будет выглядеть так, как пока-
зано на рис. 2. Точки, соответствующие корням,
лежат на окружности единичного радиуса (по-
чему?). Соединяющие их прямые образуют пра-
вильный треугольник, вписанный в эту окруж-
ность.
В поисках неизвестного 123
Рис. 3. Изображение корней пятой степени
из 1 в комплексной плоскости (слева) и корней
пятой степени из 2 (справа).
Обобщим
Полученные нами результаты можно обоб-
щить для больших значений п. Существует
ровно п корней степени п из единицы. На ком-
плексной плоскости эти корни изображаются
вершинами правильного и-угольника, вписан-
ного в окружность единичного радиуса и имею-
щего в качестве одной из вершин точку с коор-
динатами (1, 0). На рис. 3 сверху показано рас-
положение корней пятой степени из 1.
Если дан любой конкретный корень пятой
степени не из 1, а из некоторого числа, то мож-
но получить еще четыре, умножая его на (/, q2, q3
л 360° . . 360°
и q4, где q = cos-+ zsin-,
п п
где п = 5. Эти числа также располагаются по
окружности с центром в 0. Например, корни
пятой степени из 2 показаны на рис. 3.
Из приведенных примеров можно увидеть
следующее. Корни пятой степени из 2 можно
рассматривать как решения уравнения х5 = 2.
Это уравнение пятой степени, и у него пять ре-
шений (одно вещественное и четыре комплекс-
ных). Уравнение х4 = 2 имеет четыре решения
(все корни четвертой степени из 2). А скажем,
уравнение на корни 17-й степени из 2 имеет
17 решений. Общее правило таково: число ре-
шений равно степени уравнения.
Оказывается, оно выполняется не только для
уравнений на корни и-й степени, но и вообще
для любого алгебраического уравнения.
Первое строгое доказательство этой фунда-
ментальной теоремы в алгебре на исходе XVIII в.
дал Гаусс.
ЗАДАНИЕ 10
Найдите все значения корней:
a) y[i;
б) О;
в) 7- 8<;
г) V1-/;
д) О.
124 В поисках неизвестного
Основная
теорема алгебры
Алгебраическим уравнением с одним не-
известным называется уравнение вида:
f(x) = aQxn + агх2 +... + ап1х + ап = 0. (4)
Постоянные ау а2, ап1, ап могут быть
действительными или комплексными числами.
Говоря о решении этого уравнения, имеют
в виду отыскание формул, выражающих корни
уравнения через его коэффициенты при помо-
щи сложения, умножения, вычитания, деления
и извлечения корней (решение в радикалах). Ре-
шением уравнения (4) называется всякое число
и, действительное или комплексное, такое, что
при подстановке его вместо х в это уравнение
имеет место тождество
f(u) = 0.
То, что сделал Гаусс, состояло в доказатель-
стве существования решений уравнения (4) при
любом п. До этого было неизвестно, существуют
ли вообще решения для п. Правда, обобщить
на случай степеней п > 5 классические форму-
лы, позволяющие находить корни с помощью
рациональных операций и извлечения корней,
не удалось.
Из теоремы Гаусса вытекает другая теорема,
названная основной теоремой алгебры: если
уравнение (4) имеет п различных корней
Wy ^2/ .../ Z/^,
то многочлен, стоящий в его левой части, может
быть представлен как произведение п сомножи-
телей вида
f(x) = а0(х - иг)(х - и2)... (х - ип1)(х - ип) = 0. (5)
То, что числа иг, и2, ип1, ип являются кор-
нями уравнения, ясно из самого вида (5), по-
скольку при х, равном одному из и., один из
множителей в (5) обращается в нуль.
Возьмем многочлен f(x) = х4 - 1. Вспомним,
что х4 - 1 = 0 (что равносильно равенству х4 = 1).
Корнями уравнения являются числа 1, i, -1, -i.
Значит, этот многочлен разлагается на множи-
тели так:
f(x) = (х - 1)(х - z)(x + 1)(х + z).
ЗАДАНИЕ 11
Пусть х1Л х2, хп — корни уравнения
ахп + ... + агх + aQ = 0. Какие корни будут у
уравнений
а) aQxn +... + ап1х + ап = 0;
б) апх1п+... + ajc1 + aQ = 0?
Подсказка: по смыслу задачи aQ * 0, поэто-
му все корни отличны от нуля. Заменами
а) х = f-1, б) х2 = t соответственно эти урав-
нения приводятся к исходному виду antn +
+ ... + art + aQ = 0.
ЗАДАНИЕ 12
Перепишите формулы Муавра, исполь-
зуя вместо тригонометрических функций
комплексную экспоненту.
ЗАДАНИЕ 13
Выразите функции sin ср и cos ср через ком-
плексную экспоненту.
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Данное равенство можно записать в виде
(х - 1)(у -1) = 0. Поэтому решением будет всякая
пара чисел вида (1, к) или (к, 1), где к — произ-
вольное число.
Задание 2
Выражение, стоящее в левой части уравне-
ния, имеет смысл только при х < 0. Поэтому его
можно переписать в виде:
^^ = 2012.
2х2
Отсюда получаем: х =
Задание 3
Так как числа (х2 + х)2 и д/х2 -1 неотрицатель-
ны, а их сумма равна нулю, то оба эти числа рав-
ны нулю. С другой стороны, если оба эти числа
равны нулю, то их сумма равна нулю. Следова-
тельно, исходное уравнение равносильно следу-
ющей системе:
(х2 + х)2 = 0,
д/х2-1 = 0,
х2 + х = 0,
х2-1 = 0.
х(х +1) = 0,
(х + 1)(х -1) = 0.
В поисках неизвестного 125
Теперь очевидно, что оба равенства верны
только при значении х = -1, которое и будет ис-
комым решением.
Задание 4
Преобразуем данное уравнение:
Зх3 + Зх2 + Зх + 1 = 0. Отсюда 2х3 = -(х + I)3,
или х^2 = —х -1. Решая это равенство относи-
тельно неизвестной, получаем:
х = -
Задание 9
mt . . илЛ
a)22 cos— + z-sin— ;
k 4 4 )
6)2 cos— + z-sin— ;
I 3 3 /
в)-512(1 + Л/З); 2n cos" cpfcos— + z-sin—
k 2 2
r) 2 cos— + zsin— .
I 6 6 )
Задание 5
При замене z = х + |3 коэффициент при х2
в полученном многочлене равен 3(3 + А. Он об-
ратится в ноль при |3 = -Л/3.
Задание 10
Задание 6
Из данного уравнения следует, что
X3 =(4-х2)-д/4-х2 = (4-х2)3.
Возводя обе части в квадрат и извлекая ку-
бический корень, получаем: 4 - х2 = х2, откуда
х2 = 2 и х = ±л/2 . Проверка показывает, что от-
рицательный корень посторонний. Поэтому
х = д/2 — корень данного уравнения.
в) ±2(1-0;
Г71 2лЛЛ . . (Tt Ink
r)V2 cos — +---- -z-sm— +------
Ц2 3 ) <12 3
где к = 0,1, 2,...
л 2пк
ч ( Ti 2Tik] . . ( л 2тгк]
д)соя — +------ -z-sm — +-------L
112 6 J 112 6 )
12 6
где к = 1, 2, 3, 4, 5.
Задание 7
Так как степени неизвестного во всех сла-
гаемых четные, то выражение слева всегда не
меньше 1 и, следовательно, не равно нулю. От-
сюда следует, что данное уравнение не имеет
решений.
Задание 8
х + zy = (s + it)n , x-iy = (s - if)n.
Умножим попарно левые и правые части
этих равенств:
(х + iy)(x - iy) = (s + it)n (s - it)n,
или
x2 + у2 = (s + it)n (s - it)n.
Представим правую часть в виде
(s + it) (s + it)...(s + it) • (s - it) (s - it)...(s - it).
Каждый из этих двух сомножителей по-
вторяется п раз. Произведение каждой из пар
(s + it) (s - it) повторяется также п раз, при этом
(s + it) (s - it) = s2 + t2. Отсюда следует, что
x2 + у2 = (s2 + Z2)”.
Задание 11
а) б)± Jx^, +Jx^,..., + Jx^.
Xl х2 хп
Задание 12
i((p+2nk)
(reiv)n =rneinv; =п4^е ~п .
Задание 13
е‘ч> + е’‘'ч> ei(f-e~i(f
costp =----------; sm<p =-------------
2 2i
126 Симметрии и группы
СИММЕТРИИ
И ГРУППЫ
Как решить
алгебраическое
уравнение
Каким должен быть метод решения алге-
браического уравнения п-й степени с од-
ним неизвестным для произвольного,
т.е. любого, и? То, что такое уравнение имеет
решение (корни), доказал Гаусс. Но математи-
кам начала XIX в. нужна была формула! Ведь к
ней сводились решения уравнений от первой
до четвертой степени. Эти решения выража-
лись через коэффициенты уравнения, причем
при помощи только четырех элементарных
операций — сложения, вычитания, умножения
и деления — и включали операцию извлечения
корня. В таких случаях говорят, что уравнение
разрешимо в радикалах.
Поэтому предполагалось, что и алгебраи-
ческие уравнения степеней п > 4 должны быть
разрешимы в радикалах. Первым объектом
«атаки» математиков стало уравнение пятой
степени. В течение почти трех столетий продол-
жались безуспешные попытки найти формулы
для его корней. И только в 1824 г. норвежский
математик Нильс Абель доказал, что алгебра-
ические уравнения степеней выше 4 в общем
случае не разрешимы в радикалах. Конечно,
Симметрии и группы 127
в частных случаях, например для уравнения
х7 — 3 = О, можно найти решение в радикалах
(одно из решений — это V3).
Получается, что одни (как только что приве-
денное, да и ряд других, более сложных) алге-
браические уравнения высоких степеней имеют
корни (разрешимы в радикалах), а другие —
нет. Что же отличает уравнения одного типа от
другого? Какие уравнения вообще можно ре-
шить в радикалах, а какие — нет?
Ответ на этот вопрос изменил развитие ма-
тематики и со временем дал в руки физиков
мощные средства исследования материи.
Портрет Нильса Хендрика Абеля.
Художник Йохан Горбиц. XIX в.
Бессмертие
на пороге смерти
Зтот ответ дал человек, чье имя стало в ма-
тематике символом гениальности. Звали
его Эварист Галуа. Ему было всего 20 лет,
когда он погиб. В ночь перед дуэлью этот юно-
ша при свечах лихорадочно писал, стараясь
завершить свою рукопись, содержащую идеи
симметрии чисел и новой ветви математики,
названной теорией групп. Сделав это, Галуа от-
правил работу своему другу и попросил помо-
щи в ее опубликовании. Однако его идеи были
настолько необычны, что их поначалу никто
из математиков не понял. Лишь 14 лет спустя
рукописи Галуа опубликовал французский ма-
тематик Жозеф Лиувилль.
Ранним утром, закончив писать, Галуа по-
кинул свою комнату и направился к находив-
шемуся поблизости пруду, где ему предстояла
дуэль. Обстоятельства дуэли не выяснены, но
известно, что соперника Галуа звали Пеше д’Эр-
бенвиль.
Противники стреляли друг в друга из писто-
летов на расстоянии нескольких метров. Пуля
попала Галуа в живот. Он был брошен на месте
дуэли. Несколько часов спустя один из местных
жителей случайно наткнулся на раненого и от-
вез его в больницу. В 10 часов утра 31 мая 1832 г.
Эварист Галуа скончался.
Эварист Галуа в 15 лет.
128 Симметрии и группы
Что же он сделал
Занимаясь теорией алгебраических уравне-
ний, Галуа нашел необходимое и достаточ-
ное условие для того, чтобы корни уравне-
ния допускали выражение через радикалы. Но
наиболее ценным был даже не этот результат,
а те методы, с помощью которых Галуа удалось
его получить. Он заложил основы современной
алгебры, ввел новые фундаментальные понятия,
такие как группа и поле (эти поля носят название
полей Галуа, а их симметрии образуют группу,
названную группой Галуа).
Надо сказать, что понятие группы вовсе не
новое для нас с вами. С ним мы познакомились
в четвертом разделе. Там рассматривались гео-
метрические фигуры — правильный треуголь-
ник и квадрат — и преобразования (повороты
вокруг центра этих фигур), которые переводят
треугольник и квадрат в положения, неотличи-
мые от первоначального.
Такие преобразования в математике на-
зывают операциями симметрии или просто
симметриями. Иначе выражаясь, симметри-
ей считается любое преобразование, сохраня-
ющее объект. Затем оказалось, что совокуп-
ность всех таких вращений (т.е. симметрий)
для каждой из фигур удовлетворяет трем
определенным правилам и потому называет-
ся группой.
Группы в математике имеют общие для всех
них характерные особенности. Их мы и изучим
далее.
Дворец Тадж-Махал в Индии — образец
проявления симметрии в архитектуре.
Симметрии
Симметрия некоторого ма-
тематического объекта —
это преобразование, ко-
торое сохраняет структуру
объекта. Это значит, что сим-
метрия представляет собой
процесс, а не сам объект.
В определении симметрии
внимание следует сконцентри-
ровать на трех ключевых словах:
«преобразование», «структура»
и «сохраняет». Обратимся сно-
ва к примеру равносторон-
него треугольника. У такого
треугольника по определе-
нию все три стороны имеют
одинаковую длину, а все три
угла — одну и ту же величи-
ну, а именно 60°. Из-за этих
свойств трудно отличить одну
Симметрии и группы 129
сторону от другой; углы также
неразличимы. Невозможность
отличить одну сторону от дру-
гой или один угол от другого
является следствием геометри-
ческой симметрии равносто-
роннего треугольника. А ею
определяются его симметрии
как определенные операции
над ним.
Разберем упомянутые три
понятия по отдельности.
Преобразование. Оно гово-
рит, что мы можем совершить
некое действие над нашим
треугольником. Например, со-
гнуть его, растянуть, как если
бы он был сделан из резины,
покрасить в какой-нибудь цвет
или повернуть на некоторый
угол. Мы выбрали последний
вариант.
Структура. Структура (стро-
ение) треугольника представ-
ляет собой набор из математи-
ческих свойств, которые полагаются существенными. Это три сто-
роны, составленные из трех отрезков прямой, соотношение длин
этих сторон и т.д.
Сохраняет. Структура преобразованного объекта должна
соответствовать структуре начального. Преобразованный тре-
угольник должен также иметь три стороны, поэтому растягива-
ние или сминание его исключается. Стороны должны оставать-
ся прямыми и иметь прежнюю длину. И положение фигуры на
плоскости должно быть тем же самым, так что сдвиг в сторону не
дозволяется.
Абстрагируемся
Свойства, справедливые для комбинаций
поворотов треугольника, присущи лю-
бому множеству операций симметрии
над любой системой элементов. Они называ-
ются групповыми свойствами. Эти элементы
не обязательно должны быть вращениями
геометрической фигуры, такой, как треуголь-
ник. Например, рассмотренные ранее алге-
браические уравнения также имеют особые
симметрии, которые можно описать так на-
зываемыми групповыми аксиомами. Эти ак-
сиомы и дают полное описание математиче-
ской группы. Итак.
Совокупность (множество) элементов G = (gv
g2,...) вместе с правилом комбинирования («умно-
жения») любых двух из них в «произведение» на-
зывается группой, если выполняются следующие
четыре условия (аксиомы):
1. Произведение gg. любых двух элементов
из G также является элементом этого множества.
Иначе говоря, gg. = gk£ G(gk принадлежит G).
2. Умножение элементов ассоциативно:
3. Имеется элемент gr = I, называемый еди-
ничным элементом, такой, что для всех g. в G вы-
полняется соотношение Igt = g.I = g..
4. Каждый элемент из G имеет единствен-
ный обратный. Это означает, что для каждого g.
имеется единственный элемент g:1 из G, такой,
что выполнено равенство g.g:1 = gfg^ I.
(Следует помнить, что g?1 — это не отрица-
тельная степень g., а обратный к нему элемент.)
130 Симметрии и группы
Какие бывают
группы
Если количество элементов в группе ограни-
ченно (3 в группе правильного треугольника,
4 в группе симметрий квадратного стола),
то она называется конечной группой. Число эле-
ментов в конечной группе называется ее поряд-
ком. Другой отряд образуют бесконечные группы:
примером может служить группа целых чисел: 1,
2,...,-1,-2,...
ЗАДАНИЕ 1
Докажите, что множество целых чисел
образует группу в соответствии с требо-
ваниями групповых аксиом.
круг можно повернуть на любой угол, и он оста-
нется все тем же кругом. То есть угол вращения
может меняться непрерывно — от 0° до 360°.
Эти повороты, или симметрии, представляют
непрерывный ряд и также образуют группу.
В этом и подобных случаях говорят, что имеет
место непрерывная симметрия объекта либо
что этот объект допускает непрерывную группу
преобразований симметрии.
Во второй половине XIX в. такие группы
глубоко изучал норвежский математик Софус
Ли. В его честь эти группы симметрий были
названы группами Ли. Поскольку параметры
таких групп (например, углы вращений) об-
разуют непрерывный ряд, подобно числам на
координатной оси, Ли использовал методы
дифференциального и интегрального исчис-
ления (см. последнюю главу).
Группы Ли находят широкое применение
в современной квантовой физике.
Групповое умножение не всегда комму-
тативно, т.е. в общем случае gg. ф ggr Если
gg. = gjg. для любой пары элементов группы, то
она называется коммутативной, или абелевой,
группой.
Иногда бывает так, что часть элементов ка-
кой-либо группы G сама образует группу отно-
сительно той же операции умножения. Тогда
эту меньшую совокупность элементов называ-
ют подгруппой группы G. Понятно, что любая
подгруппа обязана содержать единичный эле-
мент группы.
Для рассмотренных ранее примеров рав-
ностороннего треугольника и квадрата харак-
терно то, что эти фигуры совпадали с самими
собой при поворотах на углы, кратные некото-
рым минимальным (120° в первом случае и 90°
во втором). Это — дискретная симметрия. А вот
Симметрия бабочки — пример зеркальной
геометрической симметрии. Такая симметрия
встречается не только в живой природе, но и,
например, в мире элементарных частиц.
Перестановки
Пусть у нас есть п каких-нибудь элемен-
тов, расположенных в определенном
порядке. Например, это могут быть
книги на полке, которые переставляются,
фигуры на шахматной доске, переходящие с
клетки на клетку, и т.п. Будем переставлять
эти элементы всевозможными способами,
меняя их порядок, но оставляя неизменным
их число. Каждая из получающихся таким
образом комбинаций (в том числе и пер-
воначальная) называется перестановкой. В
элементарной математике доказывается, что
общее число перестановок Рп из п элементов
равно произведению всех целых чисел от 1 до
п включительно:
Рп = 1 • 2 • 3 ... • (п - 1) • п = nl. (1)
Симметрии и группы 131
Символ п! (читается: «эн факториал»)
представляет собой сокращенную запись
произведения 1 • 2 • 3 •... • (п -1) • п.
ЗАДАНИЕ 2
Докажите, что произведение к последова-
тельных целых чисел делится на
к! = 1 2 3 ... (к-1) к.
Найдем число перестановок из трех элемен-
тов а, Ь, с. Из (1) имеем: Р3 = 1 • 2 3 = 6.
Выпишем эти комбинации:
abc; acb; bac; bca; cab; cba. (2)
Перестановка, в которой элементы идут
в естественном (здесь алфавитном) порядке,
называется основной перестановкой. Буквой а
в ней обозначен первый элемент, буквой b —
второй, буквой с — третий.
ЗАДАНИЕ 3
В футбольной команде (11 человек) нуж-
но выбрать капитана и его заместителя.
Сколькими способами это можно сде-
лать?
Софус Ли.
Группа
перестановок
Переход от основной перестановки к ка-
кой-либо другой комбинации, например
Ьса, осуществляется путем замены а на Ь,
b — на с и с — на а. Эта операция называется пе-
рестановкой и означает определенный рецепт,
по которому получаются различные комбина-
ции из (2). Будем обозначать такие операции
цифрами, заключенными в скобки.
С учетом сказанного перепишем (2) в виде
(123); (132); (213); (231); (312); (321). (3)
Возьмем первую перестановку (123) и пред-
ставим, что она действует на какую-то одну из
комбинаций (2), скажем, вторую: (123) acb. Эта
запись советует нам поместить в результиру-
ющей комбинации на первое место первый
элемент acb, т.е. а, на второе место — второй ее
элемент, то есть с, а на третье — третий элемент,
т.е. Ь. В результате получаем acb — исходную ком-
бинацию. Это означает, что перестановка (123) не
меняет порядок элементов в комбинации — как
в рассмотренной, так и в любой другой.
Теперь возьмем любую другую перестанов-
ку, допустим (213). Как она действует? А так,
например: (213) cba = Ьса. Эта запись говорит
следующее: поставьте второй элемент cba на
первое место, первый — на второе, а третий —
на третье. Так же следует понимать и остальные
четыре перестановки из (3).
Посмотрим, что получится, если совершить
две перестановки подряд:
(213)(312) abc = (213) cab = acb = (132) abc.
Следовательно, (213)(312) = (132).
Видим, что умножение двух элементов из (3)
дает также элемент из этого множества. При-
чем эта процедура осуществляется посредством
перестановки сначала справа, а затем слева.
132 Симметрии и группы
Подобным образом можно убедиться, что
все перестановки из трех элементов образуют
группу. Роль единичного элемента выполняет
(123). Аналогично, множество перестановок п
элементов любой природы составляют груп-
пу, которая называется симметрической. Ее
порядок, т.е. количество элементов в ней, рав-
но п\ Такая группа имеет специальное обозна-
чение — Sn. Для группы из пяти элементов, S5,
порядок равен 5! = 1- 2- 3- 4- 5 = 120.
Важно понимать, что элементами этих
групп являются не буквы, а действия, или опе-
рации, в результате которых получаются раз-
личные комбинации объектов.
ЗАДАНИЕ 4
В пассажирском поезде 17 вагонов.
Сколькими способами можно распре-
делить по вагонам 17 проводников, если
за каждым вагоном закрепляется один
проводник?
Перестановки
и Галуа
Симметрии Галуа являются перестанов-
ками корней уравнения. Перестановка,
как мы поняли, — это способ переупо-
рядочить (изменить) некоторый упорядочен-
ный список. В теории уравнений перестановки
возникают потому, что корни данного много-
члена можно рассматривать как список ((ху х2)
в случае квадратного уравнения). Некоторые
важные свойства уравнений непосредственно
связаны с эффектом перетасовки этого списка.
Например, уравнение не должно «знать», в ка-
ком порядке мы выписываем его корни, так что
перестановка корней не должна приводить ни
к каким серьезным различиям. В частности,
коэффициенты уравнения должны быть пол-
ностью симметричными выражениями от кор-
ней — такими, которые не меняются, когда кор-
ни переставляют.
Так вот, симметрии полиномиальных урав-
нений любого порядка образуют группу, на-
званную в честь Галуа. Именно он установил,
что решения таких уравнений в радикалах су-
ществуют тогда и только тогда, когда соответ-
ствующая группа Галуа имеет определенную
структуру и является так называемой разреши-
мой группой. Оказывается, квадратные, куби-
ческие и биквадратные уравнения имеют раз-
решимые группы Галуа. Именно поэтому ре-
шения этих уравнений можно записать в виде
формул. А вот группа Галуа уравнения пятого
порядка (или выше) в общем случае не является
разрешимой. А потому не существует формул
в радикалах для решений таких уравнений.
Представления
групп
Давайте вспомним преобразования век-
торов, происходящие при поворотах
[декартовых систем координат вокруг
Симметрии и группы 133
начала. Об этом шла речь в главе «Аналитиче-
ская геометрия». Эти преобразования задавались
матрицей поворота:
' coscp sincp (Р
Яф = -sincp
cos ср 0 .
О О I)
Здесь ср — угол поворота одной координатной
системы относительно другой вокруг оси Oz.
Поскольку при таких поворотах 2-коорди-
наты векторов не меняются, матрица (4) равно-
сильна матрице поворота на угол ср в плоскости
хОу вокруг начала координат:
cos ср sin ф
ч-8Шф СО8ф
(4а)
Если произвести два последовательных по-
ворота на углы cpt и ср2, используя правило ум-
ножения матриц и формулы синуса и косинуса
суммы, то получим:
^ф^ф2 ^Ф1+ф2’ (5)
ЗАДАНИЕ 5
Докажите формулу (5).
Терракотовая армия. Это захоронение
8099 статуй китайских воинов, выполненных
из глины.
Все фигуры сделаны в полный человеческий
рост. Глиняные воины с конницей были
погребены в 210-209 гг. до н.э. вместе
с императором Цинь Шихуанди.
Иными словами, композиция двух вра-
щений на углы cpt и ср2 дает вращение на угол
((рг + ср2). Если ср2 = -<piz то результирующий угол
поворота равен нулю.
Итак, что у нас получилось? Мы вращали
одну систему декартовых координат относи-
тельно другой. Такое вращение можно рас-
сматривать не как преобразование координат
в неизменном пространстве (в данном случае
плоскости), а как вращение пространства при
неизменности координатных осей. Такие вра-
щения сами по себе образуют группу, как мы
только что показали. Элементами этой груп-
пы являются повороты на углы ср, причем
каждому углу соответствует один элемент
группы. Сама она имеет специальное обозна-
чение — SO(2).
Матрицы, реализующие в конкретной фор-
ме эти вращения, называются представлением
этой группы. В более общей формулировке:
представлением некоторой группы G называ-
ется система квадратных матриц Му М2, по
одной матрице для каждого элемента g, при-
чем равенство gg. = gk означает ММ. = Мк. Ины-
ми словами, представление группы — это сово-
купность матриц, которые умножаются друг на
друга так же, как и элементы группы, и по этой
причине сами образуют группу.
Если матрицы имеют размер п х п, то это
и-мерное представление группы. Например,
равенство (4) дает трехмерное представление
группы SO(2), а (4а) — двумерное.
Давайте
углубимся
Можно немного пойти дальше, обобщив
полученные результаты. Во-первых,
пространства любой размерности мо-
гут быть комплексными. Это означает, что век-
тор в таких пространствах имеет п компонент,
являющихся вещественными или комплексны-
ми числами. Простейший пример — комплекс-
ная плоскость хОу с одной вещественной и од-
ной мнимой осями (см. раздел «Комплексные
числа»).
Интуитивно ясно, что вращения обычной
плоскости, рассмотренные выше, эквивалент-
134 Симметрии и группы
ны преобразованиям в комплексной плоско-
сти. А именно переходу от точки, характеризу-
ющейся одним комплексным числом, к другой,
в которую перешла эта точка в результате вра-
щения плоскости и которая соответствует ново-
му комплексному числу.
Эти преобразования образуют группу сим-
метрии, очень похожую на S0(2). Математик
скажет, что эти две группы изоморфны. Это
значит, что между элементами групп имеется
взаимно однозначное соответствие. Обозначает-
ся эта группа как И(1) и называется унитарной
группой преобразований с единственной ком-
плексной переменной.
Соответствующая группа в и-мерном ком-
плексном пространстве также называется уни-
тарной и обозначается U(ri). Ее можно рассма-
тривать как своего рода симметрии, соответству-
ющие вращениям в комплексном пространстве,
подобно тому как группа SO(2) связана с враще-
ниями плоскости.
Обычно из U(n) выделяют подгруппу с опре-
делителем, равным 1. Что такое определитель,
вы должны помнить из школьного курса, где
он встречался в связи с системами уравнений.
Определитель похож по виду на матрицу, име-
ет те же самые строки и столбцы. Однако счи-
тается числом, которое вычисляется по опреде-
ленным правилам.
Физики любят матрицы с единичным
определителем, обозначая соответствующие
группы как SU(ri). Они находят самое обшир-
ное применение в физике. Например, атом-
ные ядра, как вы знаете, составлены из двух
весьма похожих частиц — протона и нейтро-
на. Эта парочка описывается группой SU(2).
Но куда интереснее история ее «старшей се-
стры» SU(3), к краткому рассказу о которой
мы сейчас переходим.
«Три поросенка», или Сказочка
о том, как физики ловили кварки
Группы SU(ri), как и всякие другие, име-
ют представления. У SU(3) есть несколь-
ко представлений разных размерностей:
восьмимерные (октет), десятимерные (деку-
плет) и два трехмерных (триплет). Оказалось,
что они чудесно описывают имеющиеся эле-
ментарные частицы. Не все, но самые глав-
ные — протоны, нейтроны и многие близ-
кие им по свойствам, называемые адронами.
Часть из них, вписывающаяся в октетное
представление, показана на рис. 1.
Но самыми важными оказались два трех-
мерных представления группы SU(3) (три-
плеты). Из них строятся октет и декуплет ча-
стиц. Авторы этих идей — физики Гелл-Ман
и Цвейг — сопоставили эти два представ-
ления с двумя семействами «самых-самых»
элементарных частиц, которые они назвали
кварками.
Поначалу кварков было три: «верхний»,
«нижний» и «странный» — и, d и s (от англий-
ских слов up, down и strange). Не следует бук-
вально понимать эти слова. Просто ими обо-
значаются определенные свойства этих частиц,
отличающие одну от другой.
Элементарные частицы, а точнее адроны, со-
стоят либо из трех кварков, либо из кварка и анти-
кварка. Со временем понадобились и другие виды
кварков, и они были найдены в экспериментах. Те-
перь их шесть: и, d и s, а также с, t и Ь.
Симметрии и группы 135
Рис. 1. Диаграмма октета элементарных частиц (Q — электрический заряд
в единицах заряда электрона, S — особая характеристика частиц, называемая
странностью).
Кварковое строение частиц атомных ядер — протона и нейтрона.
Глюоны — частицы, благодаря которым кварки удерживаются вместе.
136 Симметрии и группы
ПОРОСЯТА-КВАРКИ
Три кварка в составе, например, протона,
имеют три разные особые характеристики,
названные цветом. Ничего общего с обыч-
ными цветами это не имеет. Эту особен-
ность правильнее было бы называть цвето-
вым зарядом по аналогии с электрическим
зарядом, потому что он отвечает за удер-
жание кварков вместе. Эти цвета условно
называют красным, синим и зеленым. Пере-
носятся они от кварка к кварку особыми ча-
стицами — глюонами. Всего имеется восемь
Три «кварка» — красный, зеленый и синий.
Кварки, как и глюоны, не существуют в
виде отдельных свободных частиц. Как бы
физики ни пытались на своих ускорителях
выбить их из ядра или протона, все попыт-
ки оказались провальными. Некая неодо-
лимая сила удерживает кварки и глюоны
внутри других частиц. Похоже, что ученые
уже смирились с этим и назвали явление
конфайнментом (удержанием).
Одиночные кварки в свободном состоянии, увы, не встречаются,
как ни старайся разрушить их «убежище» — атом.
Симметрии и группы 137
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Групповой операцией на множестве целых
чисел Z будет обычное сложение. Пусть а е Z,
b g Z. Тогда:
1) сумма двух целых чисел, очевидно, явля-
ется целым числом:
а + b = с g Z;
2) сложение целых чисел ассоциативно:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с);
3) поскольку для любого числа а выполня-
ется равенство « + 0 = ди0е Z, то ноль играет
роль единичного элемента;
4) так как для любого числа а справедливо
соотношение а-а=а+ (-а) = 0, а 0 является еди-
ничным элементом, то число (-а) является об-
ратным к а элементом.
Таким образом, все групповые аксиомы вы-
полняются, а потому множество целых чисел
Z образует группу. Что и требовалось доказать.
Задание 2
Указанная последовательность к целых чисел,
начиная с произвольного числа п = (0, 1, 2, ...),
имеет такой вид:
(и + 1) (п + 2)... (п + к).
Разделим это выражение на к!, одновремен-
но умножив числитель и знаменатель на 1 • 2 •
• 3 • ... • п = п!
kl п\
\-2-...-п-(п + \)(п + 2)...(п + к) _ (п + к)\ _ к
~кШ~~ п+к'
Выражение Ск+к в особом разделе математи-
ки — комбинаторике — называется сочетанием
из п + к элементов по к. Это количество групп
из к элементов, выбранных из данных п + к раз-
личных элементов, причем порядок располо-
жения этих элементов в группе не важен. Ясно,
что Ск+к — целое число, а потому (п +1) • (п + 2) •
... • (п + к) делится на к! Что и требовалось дока-
зать.
Задание 3
Капитаном может стать любой из 11 фут-
болистов. После выбора капитана на роль его
заместителя могут претендовать 10 оставшихся
человек. Таким образом, всего есть 11 • 10 = ПО
разных вариантов. Значит, есть ПО вариантов
выбора.
Задание 4
Искомое число равно количеству перестано-
вок 17 элементов (проводников): существует 17!
способов.
Задание 5
Выписав матрицы вида (4а) для ср = ср1
и ср = ср2, перемножив их по правилу умножения
матриц и используя формулы синуса и косину-
са суммы двух углов, докажем требуемое равен-
ство (5).
138 От геометрии к интегралу
ОТ ГЕОМЕТРИИ
К ИНТЕГРАЛУ
Время рождения —
III в. до нашей эры
Та дисциплина, с которой студенты-пер-
вокурсники начинают знакомство с со-
временной математикой, — математиче-
ский анализ — на самом деле зародилась очень
давно. Архимед, больше известный почтенной
публике своим законом плавания тел, изобрел
метод, из которого выросло интегральное ис-
числение. Древние греки любили вычислять
площади и объемы разных фигур и тел. Напри-
мер, Демокрит нашел объем конуса, проводя
его поперечные сечения и исследуя их измене-
ния в зависимости от расстояния до основания.
Оказалось, что этот объем равен одной трети
объема цилиндра с тем же основанием и такой
же высотой.
Однако до Архимеда не существовало об-
щего метода вычисления площадей и объе-
мов. В своей работе «Послание к Эратосфену
о методе» (другое название — «Метод механи-
ческих теорем») он использовал бесконечно
малые величины. В этом методе важную роль
играет механический принцип рычага. Как пи-
сал Архимед, он «исследовал несколько мате-
матических задач средствами механики». Эти
идеи со временем легли в основу математиче-
ского анализа.
От геометрии к интегралу 139
Что сделал
Архимед
Для примера рассмотрим, как Архимед
вычислил объем шара. При этом, не вда-
ваясь в детали, обсудим суть его метода.
Шар может быть образован вращением окруж-
ности вокруг одного из ее диаметров. Затем Ар-
химед построил еще два тела вращения — конус
и цилиндр, геометрически связанные с шаром.
Разбивая эти три тела — шар, конус и цилиндр —
поперечными сечениями на тонкие диски пере-
менных радиусов, он рассматривал их как физи-
ческие тела, подвешенные на некоторых расстоя-
ниях от точки подвеса, или точки опоры.
Расстояние от физического тела до точки
опоры, как мы знаем из механики, называется
плечом рычага, а произведение веса этого тела
на плечо — моментом.
РЫЧАГ
ЗАДАНИЕ 1
Определите вид тела, полученного в ре-
зультате вращения квадрата вокруг его
диагонали.
Архимед. Художник Доменико Фетти. 1620 г.
Условие равновесия рычага, открытое
Архимедом.
В схеме Архимеда оказалось, что моменты
двух дисков-сечений равны моменту третьего
диска. Переходя затем от бесконечно тонких
дисков трех упомянутых тел вращения к самим
телам, грек получил равенство Уш + Ук= Уц/ где
V — объем шара, V — объем конуса, V — объ-
ем цилиндра.
Поскольку формулы объемов цилиндра
и конуса к тому времени уже знали, Архимед
без труда нашел искомый объем шара (можете
освежить свои школьные знания, вспомнив его
формулу).
Главное, что следует уяснить, это революци-
онный шаг — переход от поперечных сечений
тела ко всему телу. Или, на современном языке,
переход от бесконечно малой части к целой ве-
личине, от дифференциала к интегралу.
Как поссорились
Ньютон
и Лейбниц
В XVII в. математиков занимали две главные
проблемы. Во-первых, проблема касатель-
ной: определить касательную к данной кри-
вой. Это стало основной задачей дифференциаль-
ного исчисления. Во-вторых, проблема квадрату-
ры; так называлась задача определения площади,
140 От геометрии к интегралу
связанной с заданной кривой на плоскости. Она
превратилась в основную задачу интегрального
исчисления.
Портрет Готфрида Вильгельма Лейбница.
Художник Кристоф Франке. 1700 г.
КАК ПОНИМАЛИ БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Развивая свой вариант дифференциального
и интегрального исчисления, Лейбниц ввел
величины, названные им инфинитезималь-
ными или бесконечно малыми. Бесконечно
малая, по Лейбницу, отлична от нуля, но
меньше 0,1, 0,01, 0,001 и любого другого по-
ложительного числа. Он говорил, что с бес-
конечно малыми величинами надлежит об-
ращаться так же, как с обычными числами.
Бесконечно малые величины, по мнению
ученого, были идеальными элементами,
фикциями, однако приносили вполне ощу-
тимую реальную пользу. Отношение двух
бесконечно малых определяло производ-
ную — одно из основных понятий матема-
тического анализа. И с бесконечно больши-
ми величинами Лейбниц обращался так же,
как с обычными числами.
К счастью, в те времена нашлись два чело-
века, которые обнаружили внутреннюю связь
между этими двумя проблемами. Это были
Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц.
Современную форму математический ана-
лиз приобрел в первую очередь благодаря сим-
волическим обозначениям, придуманным Лейб-
ницем. Это был блестящий юрист, дипломат
и философ, один из самых выдающихся и раз-
носторонних умов своего века. Он изучил новей-
шую математику в невероятно короткое время
у знаменитого физика Гюйгенса во время своего
пребывания в Париже в дипломатической мис-
сии. Вскоре после этого Лейбниц опубликовал
результаты, которые содержали в себе ядро со-
временного интегрального и дифференциально-
го исчисления.
Арифмометр Лейбница. Лейбниц изобрел
арифмометр (калькулятор), с помощью
которого можно было выполнять умножение,
деление, извлечение квадратных и кубических
корней, а также возведение в степень.
Конструкция этого устройства стала основой
всех последующих арифмометров вплоть
до начала XX в.
От геометрии к интегралу 141
Ньютон то же самое открытие сделал гораз-
до раньше, но не напечатал его. Такое вот было
время в науке. Зато его почитатели вступили в
жестокую схватку с друзьями Лейбница из-за
приоритета, обвиняя ученого в плагиате (т.е.
в том, что он попросту «содрал» у Ньютона его
идеи). Что было полной чепухой, так как не
было из чего «сдирать». Работы Ньютона тогда
еще лежали в его столе.
Интеграл
Первым основным понятием математиче-
ского анализа является интеграл. Обыч-
но он трактуется как площадь под кри-
вой, выраженная с помощью предела. Пусть
дана непрерывная положительная функция
у =f(x), например у = х2. Рассмотрим часть пло-
скости под кривой, ограниченную отрезком оси
Ох между точками а и b и двумя перпендику-
лярами к данной оси в этих точках (рис. 1).
Хотелось бы вычислить площадь S этой
области. Ясно, что сделать это с помощью
скудных школьных знаний невозможно. Но
вспомним, что когда-то в той же школе длина
окружности определялась как предел пери-
метров вписанных в нее правильных много-
угольников. Почему бы не воспользоваться
той же идеей?
Будем осторожно приближаться к заветной
площади с помощью «встроенных» в нее прямо-
угольников. А именно: разделим сегмент а < х < b
на множество маленьких промежутков, восста-
новим перпендикуляры в каждой точке деления;
каждую полоску области под кривой заменим
прямоугольником. Высотой последнего будем
считать значение/(£.) функции в точке £., в кото-
рой ее график пересекает прямоугольник.
Сумма S площадей этих прямоугольников
даст приближенное значение истинной пло-
щади под данной кривой. Точность этого при-
ближения будет тем лучше, чем больше чис-
ло прямоугольников и чем меньше ширина
каждой отдельной полоски (рис. 2). Поэтому
можно принять такое определение интересу-
ющей нас площади: если мы построим после-
довательность Sv S2, S3, ... приближений пря-
моугольниками площади под кривой, причем
основание самого широкого прямоугольника
в сумме Sn стремится к нулю, когда п возрас-
тает, то упомянутая последовательность стре-
мится к пределу S:
lim S = S.
п
п^<х>
142 От геометрии к интегралу
Рис. 2. Площадь как предел последовательности
сумм площадей прямоугольников.
Этот предел S, представляющий собой пло-
щадь под данной кривой, не зависит от того,
каким именно образом выбрана последователь-
ность Sv S2, S3, ..., при условии, что основания
прямоугольников неограниченно уменьшаются.
Площадь S данной области, полученную этим
предельным переходом, называют интегралом
от функции /(х) в пределах от а до b (рис. 3).
Для него Лейбниц ввел специальное обозначе-
ние J ydx. А точнее:
Рис. 3. Определение интеграла от функции
как площади под ее графиком.
Несколько
замечаний
В нашем определении интеграла счита-
лось, что функция f(x) положительна
(точнее, неотрицательна) в промежутке
а < х < Ь. Это значит, что никакая часть ее гра-
фика не лежит под осью абцисс. Но это условие
ничуть не мешает определению интеграла как
предела сумм вида/(^.) Ах, даже если на отдель-
ных участках оси Ох функция f(x) < 0. В таких
случаях геометрически интеграл от fix) будет
алгебраической суммой площадей, ограничен-
ных графиком и осью Ох, причем площади, ле-
жащие над этой осью, считаются положитель-
ными, а остальные — отрицательными (рис. 4).
Иногда случается, что нижний предел ин-
тегрирования больше верхнего, т.е. Ь<а. Тогда
в определении интеграла члены типа /(£.) Ах
будут отрицательными, когда /(£.) > 0, Ах < 0
и т.д. Но выражение
-/(^Ах=/^.Х-Ах)>05
причем в последнем случае отсчет приращений
х идет в направлении возрастания этой пере-
менной. Из последнего равенства видно, что
Ь а
а b
Рис. 4. Интегрирование в случае
знакопеременной функции.
От геометрии к интегралу 143
Техника
интегрирования
1 Пусть fix) = const на промежутке {а, Ь). На-
пример, еслиДх) = 4, то интеграл как пло-
Н щадьр^вен ь
J 4dx = 4^dx = 4(b - а),
а а
На самом деле это выражение представляет
собой площадь прямоугольника со сторонами
4 и b - а.
2. Пусть f(x) = х. Интеграл от этой функции
является площадью трапеции, основаниями
которой будут перпендикуляры, опущенные
из точек (а, а) и (Ь, Ь) на ось абцисс. Вспоминая
формулу для площади этой фигуры (полупро-
изведение суммы оснований на высоту), полу-
чим:
f , 1 ,, ч b2 а2
J xdx =—(b + a)(b-a) = -^-
3. Несколько более сложное рассмотрение
интеграла от квадратичной функции f(x) = х2
показывает, что
ь
5 3
а
4. Последние две формулы наводят на до-
гадку, что при любом натуральном п интеграл
от степенной функции f(x) = хп равен
ь
/(х) = j xndx =
а
in+1 п+1
Ь —а
п + \
Это действительно так, причем формула спра-
ведлива не только для натуральных п, но и для
любых рациональных чисел, исключая -1.
Правила
интегрирования
уществует несколько общих правил ин-
тегрирования, которые нередко облегча-
ют поставленные задачи, сводя их к более
простым и легко решаемым. Эти правила могут
быть получены из определения интеграла как
предела частичных сумм и из геометрической
интерпретации интеграла как площади.
1. Интеграл от суммы двух функций равен
сумме интегралов от этих двух функций. Инте-
грал от произведения функции на постоянную
с равен произведению интеграла от функции
на эту постоянную. Эти два правила выразим
одной формулой:
b b ь
j \kf (х) + mg(x)\dx = k^f (x)dx + т j g(x)dx.
a a a
2. Следующее правило достаточно оче-
видно вытекает из определения интеграла как
площади:
Ь с с
а
ь
а
Положив в этой формуле с = а, получим ра-
нее приведенную формулу
а b
b а
3. Значение интеграла не зависит от того,
как мы обозначаем независимую переменную
интегрируемой функции:
ь ь ь
J f(x)dx = J f(z)dz = J f(t)dt.
a a a
Английский физик Поль Дирак, открывший
антиматерию и придумавший дельта-функцию.
144 От геометрии к интегралу
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
Интегралов с самыми разнообразными по-
дынтегральными функциями и различны-
ми пределами интегрирования существует
столь же много, как и насекомых. И среди
функций также попадаются очень экзоти-
ческие. С одной из таких мы сейчас познако-
мимся. Придумал ее английский физик Поль
Дирак, бывший также прекрасным матема-
тиком. Он обозначил свою функцию симво-
лом &(х). Она задается не формулой, а про-
стыми и вместе с тем «странными» условия-
ми. Вот они: &(х) = 0 при любом х ф 0 и &(х) =
= оо при х = 0.
При этом имеется дополнительное условие:
j 5(х)<7х = 1.
-00
Наглядно дельта-функцию можно пред-
ставить как предел последовательности
графиков функций, становящихся все уже
и выше при х —> 0 (см. рис.). Она имеет широ-
кое применение в физике, где используется
для описания точечных (т.е. имеющих ни-
чтожно малые размеры) источников физи-
ческих полей: массы, тепла, электрического
заряда и др.
Поднимаемся
медленно в гору...
Когда мы поднимаемся в гору или спускаем-
ся с нее, то ощущаем степень ее крутизны.
Со слишком крутого склона можно ска-
титься и сильно травмироваться. Мерой крутиз-
ны горы является ее наклон в данной точке. Что
это? Вроде всем ясно, но это только физиологиче-
ски. Однако математики — народ дотошный. Лю-
бят всему давать безупречно четкие определения.
Придется последовать их примеру.
Наклон проще всего определить на приме-
ре кривой линии на плоскости (рис. 5). Допу-
стим, что эта линия является графиком, притом
гладким, какой-нибудь функции f(x). Наметим
на ней произвольную точку А с координатами
(х^ у0 = Дх0Д Проведем теперь через эту точ-
ку прямую, которая пересечется с графиком
в некоторой точке В. Тогда наклоном прямой
АВ принято считать тангенс угла а между нею
и положительным направлением оси х.
Ситуация схожа с секущей окружности,
о чем нам поведали школьные учителя. Поми-
мо секущей, они говорили, насколько помнит-
ся, о касательной к окружности как пределе се-
кущей, когда точки ее пересечения с окружно-
Рис. 5. Секущая и касательная к графику
функции у =f(x) в точке А.
Так вот, касательная может быть проведена
и к графику функции в произвольной точке. Не
во всякой, конечно. Иногда функции ведут себя
кое-где не очень хорошо (рис. 6). Такие функ-
ции нам не нужны. А под наклоном «хорошей»
кривой будем понимать наклон ее касательной
в этой точке.
От геометрии к интегралу 145
АВС
Рис. 6. График такой функции в точках А, В и С
не имеет определенного наклона.
Задача наша теперь будет заключаться в том,
чтобы найти способ вычисления наклона гра-
фика заданной функции f(x).
Производная
Вернемся к рис. 5. Пусть точка В расположена
неподалеку от точки А и имеет координаты
(х0 + Лх, f(xQ + Лх)). Прямая, проходящая че-
рез точки А и В, является секущей нашей кривой
у =f(x), образуя угол а с осью абсцисс.
Представим теперь, что точка В, подобно
крошечному жучку, скользит вдоль кривой,
приближаясь к точке А. Может, там лежит
что-то вкусное. При этом координаты В бу-
дут стремиться к координатам А: х() + Лх х(),
f(xQ+Ax) ~^f(xQ). Ну а Лх0 —> 0, естественно. Секу-
щая же будет приближаться к некоторому пре-
дельному положению, которое и является каса-
тельной к кривой в точке А.
Таким образом, получаем следующий ре-
зультат: касательная есть предел секущей, а угол
наклона касательной есть предел наклона секу-
щей при рассмотренном предельном переходе.
Из рис. 5 видно, что наклон секущей дается
отношением
tQn_/(%o+Ax)-/(xo)
(х0 + Лх) - х0
Обозначив разность значений функции
в точках х0 + Ах и х0 символом А, будем иметь:
tga =
ДЛХ) = Ду
Лх Лх
Это равенство говорит о том, что наклон се-
кущей равен отношению разности значений
функции Лу к разности значений независимой
переменной Лх.
В пределе при Лх —> 0 секущая сливается
с касательной в точке х0, а наклон этой касатель-
ной получается предельным переходом:
1- Ду
tg a0 = lim —
Лх^° Лх
где через а0 обозначен угол наклона касательной
к оси Ох в точке х0.
Поскольку этот наклон, вообще говоря, ме-
няется от точки к точке, т.е. зависит от х, то он
является некоторой функцией этой перемен-
ной, отличной от fix). Он называется произ-
водной от функции fix) и обозначается как/'(х).
А предельный процесс, с помощью которого
она получается, именуется дифференцирова-
нием функции fix).
Дифференцирование представляет собой
некоторую операцию, которая по определенно-
му правилу сопоставляет данной функции fix)
некоторую другую функцию g(x) =f(x).
Другим обозначением производной служат
символы, придуманные Лейбницем:
dy = df(x)
dx dx
ПРЕДЕЛ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Швейцарский математик Симон Аюилье
впервые в печатном тексте ввел для обо-
значения предела символ lim. Производ-
dP , * г ДР
ную — Люилье обозначал lim-.
dx Лх
Символ dx называют дифференциалом или
бесконечно малой величиной от х.
146 От геометрии к интегралу
Как исследовать поведение функции
С помощью производной от функции мож-
но определить поведение самой функции
на отдельных участках оси абцисс. Будем
считать, что мы движемся по ее графику в на-
правлении возрастающих значений х. Тогда
на основании сказанного выше можно сделать
следующие выводы. Если производная в неко-
торой точке положительна, f(x) > 0, то кривая
в этой точке поднимается (значения у возраста-
ют). А если/'(х) < 0, то кривая падает (значения
у убывают). Наконец, если/'(х) = 0, то это обо-
значает горизонтальное направление касатель-
ной к кривой для соответствующего значения х.
В точках максимума и минимума наклон дол-
жен быть равен нулю (рис. 7). Таким образом,
решая уравнение/'(х) = 0 относительно х, мож-
но определить положение экстремумов функ-
ции (т.е. ее максимумов и минимумов).
Как это делается
Надо сказать, что изучающие математиче-
ский анализ больше любят дифференциро-
вать, чем интегрировать. Наверное, потому,
что дифференцирование — более механическая
процедура, а интегрирование требует некоторой
сообразительности. Существует множество пра-
вил и формул для дифференцирования различ-
ных функций, которые нетрудно запомнить, хотя
бы основные. Да и это необязательно — ведь есть
справочники и таблицы. Главное — понимать
смысл используемых приемов и формул, а не
применять их механически.
Для разминки сделаем пару простейших
упражнений.
Отыщем производную функции у = f(x) = х2
(как называется ее график?). Из определения
производной имеем (хг — переменная точка,
стремящаяся к х):
Ay _ f (хх - х) _ х2 - х2 _ (хх - х)(хх + х) _
Ах хх -х хх -х (хх — х)
= х1 +х.
Переходя к пределу хг —> х, получаем для
f(x) = х2
f(x) = 2х.
Аналогичным образом можно показать, что
производная функции f(x) = х3 будет «рангом»
пониже: f'(x) = Зх2.
ЗАДАНИЕ 2
Найдите:
а) производную функции/(х) = с,
где с = const;
б) производную функции/(х) =х.
Подсказка*, используйте определение про-
изводной и графики этих функций.
От геометрии к интегралу 147
ЗАДАНИЕ 3
Докажите формулу производной кубиче-
ской функции.
ЗАДАНИЕ 4
Найти производную функции
/(x) = Vx.
СКОРОСТЬ —
ЭТО ТОЖЕ ПРОИЗВОДНАЯ
Пусть тело — материальная точка — дви-
жется по прямой с переменной скоро-
стью вдоль некой оси s. Это значит, что
его положение, т.е. координата, меняется
со временем и, таким образом, является
функцией времени: s = s(t). Как опреде-
лить скорость тела в любой момент вре-
мени, зная эту функцию? Легко видеть,
что эта задача аналогична определению
наклона касательной к графику функции
у =fix). Только надо заменить независимую
переменную х на время t, а функцию у —
As ds
на путь s. Тогда предел v = lim — = —
определяет всем известную физическую
величину — скорость тела в некоторый
момент времени (так называемую мгно-
венную скорость).
Производная от синуса.
Оказывается, что для функции вида/(х) = хп,
где п — целое положительное число, произво-
дная имеет вид
f(x) = пхп~\
Более того, эта формула остается справедли-
вой вообще при любом рациональном — хоть
положительном, хоть отрицательном — пока-
зателе степени п.
Методы
дифференцирования
МИ ля быстрого и удобного вычисления
производных от самых разнообразных
функций математики придумали ряд
оощих эффективных методов. Они позволяют
почти автоматически находить производные
в любых случаях. Вот некоторые из этих правил.
1. Производная линейной комбинации двух
дифференцируемых функций
fix) = mg(x) + nh(x),
гдеmwn — постоянные, вычисляется по формуле
f'(x) = mg'(x) + nh'(x).
Формула остается справедливой при любом
числе слагаемых.
2. Если данная функция представляет собой
произведение двух функций
fix) = g(x) h(x),
то ее производная находится согласно формуле
f(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x).
148 От геометрии к интегралу
Производная от полиномиальной функции.
3. Нередко функция представляет собой от-
ношение двух функций:
п(х)
В этом случае
/z(x)g'(x)-g(x)A'(x)
[A(x)f
ЗАДАНИЕ 6
Найдите производную от функции у = tg х,
используя правило дифференцирования
частного.
ЗАДАНИЕ 7
Найдите производную функции
Г(Х) = М
ЗАДАНИЕ 5
Найдите производную функции
/(х) = x3sin х.
у= и (у)
Производная от логарифмической функции
по натуральному основанию е.
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПРОИЗВОДНОЙ
Скорость движения тела, как утверждает
физика, может изменяться со временем.
Быстрота ее изменения характеризуется
другой, не менее важной величиной, —
ускорением. Иными словами, ускорение
а тела при его движении по прямой есть
производная от скорости:
dv
а = —.
dt ds
Поскольку, как мы уже знаем, г = —, то
dt
d (ds\ d2s
a =— — =—
dt\dt) dt2
Полученное выражение называется вто-
рой производной от функции s(t). Она,
как видим, получается в результате диф-
ференцирования первой производной
от той же функции. Часто встречается
другое ее обозначение:
От геометрии к интегралу 149
Стартующая с Земли ракета движется
с большим ускорением, пока не выйдет
на заданную орбиту.
ЗАДАНИЕ 8
Найдите вторые производные от функ-
ций sin х и cos х.
Основная теорема
математического анализа
Интеграл и производная — тесно связан-
ные между собой понятия. Более того,
они являются взаимно обратными опе-
рациями, подобно умножению и делению.
Именно эту связь обнаружили в свое время
Ньютон и Лейбниц. Они открыли основную
теорему математического анализа, названную
позже их именами. С ней мы сейчас и позна-
комимся.
Будем считать в нашем определении инте-
грала верхний предел переменной величиной:
Ъ = х # const. Чтобы не путаться с именами пе-
150 От геометрии к интегралу
ременных, аргумент функции обозначим как и.
Тогда искомый интеграл можно записать в виде
х
F(x) = J f(u)du. (1)
Рис. 8. Интеграл с переменным
верхним пределом.
Этот интеграл зависит от переменного верх-
него предела и, таким образом, является функ-
цией х. Как и определенный интеграл с посто-
янными пределами, F(x) геометрически являет-
ся площадью под кривой в пределах от точки
и = а до и = х. Из-за этого F(x) называют также
неопределенным интегралом.
Теперь сформулируем основную теорему ма-
тематического анализа.
Производная неопределенного интеграла
(1) по его верхнему пределу равна значению по-
дынтегральной функции в точке и = х:
ах
(2)
Смысл этой теоремы состоит в том, что ин-
тегрирование функции, в результате которого
из f(x) получается F(x), противоположно диф-
ференцированию, ведущему от F(x) к/(х):
дифференцирование ->
<— интегрирование
Первообразные
Обратим внимание на то, что функция F(x)
при данной функции f(x) в (2) определя-
ется неоднозначно: всякая функция вида
G(x) = F(x) + С, где С — постоянная, также бу-
дет удовлетворять этому равенству, поскольку
G' = F' =f(x) (производная от постоянной, как мы
знаем, равна нулю). Всякая функция, произво-
дная от которой равна f(x), называется первооб-
разной функцией от функции f(x).
ЗАДАНИЕ 9
Найти неопределенный интеграл
г sinxrfx
J 4 + 3cosx
Из этой формулировки следует, что
у функции может быть сколько угодно много
первообразных, и все они отличаются одна от
другой на постоянную величину. Этот важ-
От геометрии к интегралу 151
ный факт поможет нам обнаружить ценное
правило вычисления определенных интегра-
лов — при условии, что нам известна хотя бы
одна из первообразных интерируемой функ-
ции f(x).
Первообразная степенной функции.
Действительно, пусть G(x) — одна из таких
первообразных. Как утверждает основная тео-
рема, выражение
F(x) = J/ (u)du
а
также является одной из первообразных от f(x).
Две первообразные, как мы только что выясни-
ли, отличаются друг от друга на постоянную:
F(x) = G(x) + С. Отсюда имеем:
jf(u)du = G(x) + C. <3)
а
Положим в этом равенстве х = а. Так как
а
J f(x)dx = О,
а
то 0 = G(a) + С, откуда С = -G(a). Подставив это
значение С в (3), получим желанную формулу:
F(x) = j f(u)du = G(x) - G(d).
a
Конечно, чтобы пользоваться этой замеча-
тельной формулой, лучше заменить верхний
предел на нечто более определенное; положим
х = Ъ. Тогда имеем окончательно:
ъ
J f(u)du = G(b)-G{a).
а
Или, поскольку мы больше привыкли поль-
зоваться иксом, а значение интеграла не зависит
от обозначения независимой переменной,
ь
а
(4)
Таким образом, чтобы вычислить опреде-
ленный интеграл функции, следует найти какую-
нибудь ее первообразную, а затем вычислить
разность значений этой первообразной на верх-
нем и нижнем пределах интегрирования.
Пример.
ь
Найти J cos xdx; Так как cos х = (sin х)', то
а b
J cos xdx = sin b - sin a.
2
J cos xdx =
0
71
Если b = —9 a = 09 to
2
. 71 . м л
sm-----sm 0 = 1.
2
Этот результат геометрически дает площадь
под графиком функции у = cos х в интервале
(О, тт/2) (или (0, 90°)) (рис. 9). Если же а = 0, b = л,
то л
jcosxdx = 0.
о
Это вполне ожидаемый результат, если
вспомнить рис. 4: площади, расположенные над
и под осью абцисс, берутся с противополож-
ными знаками. А на рис. 9 сумма положитель-
ных площадей в интервалах площади (0, тт/2)
и (Зтт/2, тт) равна по величине отрицательной
площади в интервале (тт/2, Зтт/2).
ЗАДАНИЕ 10
ь
Вычислить интеграл Г sin xdx.
152 От геометрии к интегралу
ПУТЬ КАК ИНТЕГРАЛ
Скорость, как мы уже знаем, есть произ-
водная от пути как функции времени.
В свете только что сказанного о связи про-
изводной и интеграла сразу становится
ясно, что пройденный путь можно запи-
сать в виде интеграла по времени от ско-
рости:
s(t) = J
О
Производные
от векторных
функций
В главе «Аналитическая геометрия» мы
разбирали понятие вектора. В частности,
положение точки в пространстве (трех-
мерном) задавалось радиус-вектором г, проек-
ции которого на координатные оси (или компо-
ненты) обозначались как (х, у, z). Эти величины
можно рассматривать как координаты движу-
щегося в пространстве малого тела. В таком слу-
чае его координаты, как и сам радиус-вектор,
будут изменяться с течением времени (рис. 10).
Рис. 10. Движение малого тела в декартовой
системе координат.
Это можно представить в виде
Г = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (5)
где i, j, к— единичные векторы (орты) коорди-
натных осей х, у, z соответственно.
Пусть за малое время Af = t2 - наше тело пе-
реместится из точки 1 в точку 2. Его радиус-век-
тор будет теперь
г2 = гх + Дг.
Дг
Величина, равная отношению —, есть век-
тор средней скорости.
Устремив интервал времени к нулю, получим:
_ .. Дг dr
v = hm— = —.
А'->° Д£ dt
От геометрии к интегралу 153
Это соотношение является определением
вектора скорости (мгновенной). Дифференци-
руя (5), обнаружим, что компоненты этого век-
dx dy dz
тора равны vx=-;v,=-;vz=-.
Значит, дифференцирование любого векто-
ра по его аргументу (в нашем случае — време-
ни) дает какой-то новый вектор.
Закон Ньютона
как пример
дифференциального
уравнения
Аналогичным способом определяется уско-
рение:
_ z ч dv d(dr\ d2r
— ^Х ’ ^az) - J ~ — , 2 *
у dt dt\dt) dt2
Отсюда, вспоминая, что
г = r(t) = x(t)i + у (Z) j + z(t)k,
имеем определение компонент ускорения:
_ d2x _ d2y _ d2z
ах~1ё,ау~1ё,аг~1ё~
Давайте теперь вспомним, что такое второй
закон Ньютона. Он сообщает нам, что ускоре-
ние физического тела пропорционально дей-
ствующей на него силе и выглядит так:
та =F,
где буквой т обозначена масса тела. С учетом
вышеприведенного определения ускорения за-
кон принимает вид:
Уравнения подобного вида, в которых неиз-
вестная функция входит не только сама по себе,
но и со своими производными, называются
дифференциальными уравнениями.
Портрет Исаака Ньютона.
Художник Томас Барлоу. 1863 г.
154 От геометрии к интегралу
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Дифференциальные уравнения играют огром-
ную роль в математике и физике. Они опи-
сывают различные природные процессы.
Примером могут служить колебания. Про-
стейшая система, способная совершать ко-
лебания, — это грузик на пружине. Если его
отклонить от равновесного положения и от-
пустить, он начнет колебаться вверх и вниз
вдоль вертикали. Сила, действующая на гру-
зик, равна -кх, где х — отклонение от поло-
жения равновесия (в вертикальном направ-
лении), к — постоянная (закон Гука). Так как
движение происходит только вдоль оси х,
уравнение (6) имеет вид
т
= -кх. (6а)
dt
Груз на пружине как модель гармонического осциллятора.
На рисунке показаны положения груза в разные моменты времени.
ЗАДАНИЕ 11
Найдите какое-нибудь решение уравнения (6а), а лучше все его реше-
ния. Для простоты можно считать т = к = 1.
Подсказка: ищите среди рассмотренных выше производных элемен-
тарных функций.
От геометрии к интегралу 155
РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1
Два одинаковых конуса, совмещенных осно-
ваниями диаметров, равных длине диагонали
квадрата.
Задание 2
а)(с)' = 0;
б) х' = 1.
Задание 3
Ду = /(л -*) = (л3-*3) =
Ах х1 -х х1 -х
(х -х)(х?+х х + х2) 2 2
= —-----—-----1= X]+ х1 X + X .
х1 — х
Выражение в числителе было преобразова-
но с использованием выражения для разности
кубов двух величин. Переходя к пределу хг —> х,
получим
(х3)' = 3х2.
Задание 4
Следует использовать формулу/'(х) = их”-1
с п = —. Получим:
3 f
Задание 5
Применим формулу дифференцирования
произведения двух функций:
f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x).
Для функции F(x) = x3sin x получим:
f'(x) = 3x2 sin x + x3 cos x.
Задание 6
,z 4 (sinx^ cosxcosx-sinx(-sinx)
tg (x) = -- =----------------------L =
^COSX J COS X
_ cos2 x + sin2 x _ 1
2 — 2 *
cos x cos X
Задание 7
Применим формулу дифференцирования
частного:
fl-xY _ (-l)-(l + x)-(l-x)4 _ -2
u + xj “ (1 + x)2 — (1 + x)2"
Задание 8
(sin х)" = (cos х)' = - sin х,
(7)
(cos х)" = (- sin х)' = - cos х.
Задание 9
_ d(cosx) . . J J
Так как —------ = -sinx,то smxdx = -а • cosx.
dx
Подставим правую часть этого равенства вместо
знаменателя в подынтегральное выражение:
х - — t/(4 + 3cosx)
r-d(cosx)_ з v 7
J 4 + 3cosx J 4 + 3cosx
Введем новую переменную s = 4 + 3 cos x, тог-
да наш интеграл примет вид
Ч
1 с dt
. t 3-1 t ’
Это табличный интеграл:
где In 111 — натуральный логарифм (по основа-
нию е = 2,718...).
Окончательно получаем:
sinxt/x 1, 11 _ l,z. „ 4 „
---------= —Ink + C = —ln(4 + 3cosx) + C.
4 + 3cosx 3 11 3
156 От геометрии к интегралу
А_ I у ;
Первообразная функции -.
Задание 10
Вновь используем соотношение sin xdx =
= -d cos %, а также формулу Ньютона—Лейбница:
ь ь
j sin xdx = ~jd(cos x) = -(cos b - cos d) = cos a - cos b.
а а л
Пусть a = 0; тогда при b = — и b = тт получим:
Tl/2 71
J sin xdx = 1; J sin xdx = 2.
о 0
Задание 11
Для простоты будем считать, что в уравнении
d2x ,
т—- = -кх
dt2
к л ,
отношение — = 1. Физическии смысл уравнения
т
от такого допущения не изменится, зато проще
будет его решить. Тогда получим:
d2x
dt2
= -х.
(8)
Обратимся к заданию 8. Видим, что обе глав-
ные тригонометрические функции в результате
двукратного дифференцирования переходят
сами в себя, правда, с обратным знаком. То же
самое происходит и с функцией х = x(t). Значит,
если в уравнение подставить х = sin t или х = cos t,
то эти функции удовлетворят ему. Более того,
всякая линейная комбинация этих функций
также удовлетворяет этому уравнению. Следо-
вательно, общее решение уравнения (8) выгля-
дит так:
x(t) = A sin t + B cos t,
где А, В — постоянные.
Уравнения типа (8) описывают гармони-
ческие колебания, которые часто встречаются
в физике.
Например, колебания механического маят-
ника, колебания тока в электрических цепях,
электромагнитные волны и др.
СОДЕРЖАНИЕ
Воображаемые узоры.................3
> -> *<
МЕРА ВСЕХ ВЕЩЕЙ....................4
Возникновение математики.........4
Всё началось с греков............4
«Команда» Пифагора...............5
Платон и его школа...............7
Есть начало — нет конца..........8
Натуральные числа................9
Операции с натуральными числами..9
Зачем делить числа на группы....11
Что еще можно «выжать»
полезного из N ...............11
Деление и делимость.............12
Простые числа...................12
Поиск общей формулы.............14
Сравнения по модулю.............14
Сложение и умножение по модулю....14
Как сложить много чисел.........16
Решения заданий.................17
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.....................18
Отрицательные числа...................18
Операции с отрицательными числами.....19
Числа и числовая ось..................20
Действительные числа..................20
Рациональные числа....................21
Неизбежность иррациональных чисел.....22
Старая история........................23
Как засеять поле иррациональных чисел.23
Дроби всякие нужны....................24
Превратим иррациональное число
в десятичную дробь!.............26
Решения заданий....................27
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА..................28
Трудности растут................28
Законы для комплексных чисел....29
Как сделать комплексные числа
нагляднее......................30
Они еще и векторы!..............32
Где углы, там тригонометрия.....33
Жемчужина комплексного «моря»...34
Решения заданий.................35
ВСЁ НАЧИНАЕТСЯ С ТОЧКИ..............36
Отец геометрии...................36
О чем еще поведал Евклид.........38
Следствия из евклидовых аксиом...38
Теорема Пифагора.................39
Доказательство теоремы Пифагора
Эйнштейном. Самое простое
и красивое.....................40
Применения и обобщения
теоремы Пифагора...............41
Многоугольники...................42
Правильные многоугольники
в природе и архитектуре........43
Правильные многоугольники
и симметрия....................44
Квадрат как зеркало
математической гармонии........45
Симметрии как члены группы.......46
Решения заданий..................47
СТЕРЕОМЕТРИЯ.......................49
Аналогии в геометрии............49
Теорема Пифагора в пространстве.51
Закон Эйлера для многогранников...52
Пять платоновых тел...............53
Полуправильные многогранники......55
А причем здесь Платон.............56
Решения заданий...................57
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ...........58
Это было давно....................58
Декартова система координат.......59
Другие системы координат..........60
И сколько, и куда.................61
Векторная алгебра.................61
От векторов — к скалярам..........62
Скалярное произведение — в жизнь!..63
Орты..............................64
Линейная зависимость векторов.....65
Изменение системы координат.......65
Знакомимся с матрицами............66
Особенности и виды матриц.........67
Что можно делать с матрицей.......67
Решения заданий...................69
Физика и жизнь.....................85
Король всегда первый...............86
Гауссова кривизна..................87
Продолжатели.......................89
Особенности неевклидовых геометрий..90
Риманова геометрия.................90
Риманова метрика...................91
Сравнение трех геометрий...........92
Физическое пространство............93
Нерушимый союз пространства
и времени........................93
Не силы, но кривизна!..............94
Решения заданий....................95
ТОПОЛОГИЯ..................96
ПРОСТРАНСТВА ЧИСЕЛ, ЗВУКОВ
И ЦВЕТОВ..............................70
От стрелки — к абстрактному вектору.70
Базис...............................72
Что такое размерность линейного
пространства...................72
Всегда ли пространство
«пространственно»..............73
Что такое многомерные пространства.75
И здесь тоже Пифагор!..............77
К большим размерностям.............78
О понятии размерности пространства.79
Многомерие внутри нас..............80
Музыка сердца материи..............80
Решения заданий....................82
НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.................83
Плоскость и плоское пространство...83
Вулканы и геодезические............83
Камень преткновения —
пятый постулат.................84
Чем интересуется топология..........97
Отображения.........................97
Что такое топологические
преобразования.
98
40%
Что такое связность.................99
Центральное понятие топологии.......99
Топология двумерных поверхностей...100
Кротовые норы......................101
Свойства кротовых нор..............102
Норы как машины времени............104
Решения заданий....................104
ВСЁ О ФУНКЦИИ......................105
Что такое функция...............105
Определение функций............106
Интервал и окрестность.........106
Графики........................107
Обратная функция...............108
Сложные функции................109
Элементарные функции...........109
Композиция функций..............НО
Важное понятие непрерывности....НО
Предел функции.................111
Точки разрыва..................112
Решения заданий................114
В ПОИСКАХ НЕИЗВЕСТНОГО............115
Это было очень давно...........115
Арабские корни алгебры.........117
Рубаи и уравнения..............117
Об уравнениях и их характере...118
Уравнения и золотое сечение....118
Известный всем школьникам Виет.119
Повышая степень................120
Радикалы и алгебраические уравнения.121
Корни и-й степени..................122
Основная теорема алгебры...........124
Решения заданий....................124
СИММЕТРИИ И ГРУППЫ..................126
Как решить алгебраическое уравнение....126
Бессмертие на пороге смерти......127
Что же он сделал.................128
Симметрии........................128
Абстрагируемся...................129
Какие бывают группы..............130
Перестановки.....................130
Группа перестановок..............131
Перестановки и Галуа.............132
Представления групп..............132
Давайте углубимся................133
«Три поросенка», или Сказочка о том,
как физики ловили кварки........134
Решения заданий..................137
ОТ ГЕОМЕТРИИ К ИНТЕГРАЛУ.............138
Время рождения —
III в. до нашей эры............138
Что сделал Архимед................139
Как поссорились Ньютон и Лейбниц..139
Интеграл..........................141
Несколько замечаний...............142
Техника интегрирования............143
Правила интегрирования............143
Поднимаемся медленно в гору.......144
Производная.......................145
Как исследовать поведение функции.146
Как это делается..................146
Методы дифференцирования..........147
Основная теорема
математического анализа........149
Первообразные.....................150
Производные от векторных функций.152
Закон Ньютона как пример
дифференциального уравнения....153
Решения заданий...................155
ЕН[
Научно-популярное издание
ГУСЕВ Игорь Евгеньевич
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СРЕДНЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА
Ответственный за выпуск И. В. Резъко
Подписано в печать 16.01.2017.
Формат 60x84%. Бумага офсетная.
Уел. печ. л. 18,6. Тираж экз. Заказ
ООО «Издательство АСТ».
129085, г. Москва, Звездный бульвар, д. 21, стр. 3, комната 5
www.ast.ru
«Баспа Аста» деген ООО
129085, г. Мэскеу, жулдызды гулзар, д. 21, 3 курылым, 5 болме
Б1здщ электрондык мекенжайымыз: www.ast.ru
Казахстан Республикасында дистрибьютор
жэне ешм бойынша арыз-талаптарды хабылдаушыныц
oxini «РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы к., Домбровский кош., 3«а», литер Б, офис 1.
Тел.: 8(727) 2 51 59 89,90,91,92
факс: 8 (727) 251 58 12 вн. 107; E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz
Ошмнщ жарамдылыц мерз!м! шектелмеген.
Ощцрген мемлекет: Ресей
Сертификация харастырылган
Мы в социальных сетях. Присоединяйтесь!
https://vk.com/AST_planetadetstva
https://www.instagram.com/AST_planetadetstva
https://www.facebook.com/ASTplanetadetstva
9 Z % - ® Ф
tg % У 0 °° +
± x tg j_ A cos
Знаете ли вы, что даже самые серьезные предметы из школьной
программы бывают весьма занимательными? Не верите? Тогда
загляните в книги серии, которая так и называется: «Увлекательная
наука». Она создана для тех школьников, которые стремятся знать
много больше, чем изучается в школе.
Благодаря этой книге вы с головой окунетесь в волшебный мир
математики и увидите, что она не зря названа царицей наук —
по математическим правилам и законам живет вся Вселенная,
а длинные формулы не так уж и сложны, если в них как следует
разобраться. Вы попробуете свои силы в решении нестандартных
задач и узнаете об открытиях величайших математиков в истории.
А еще удивите учителей и друзей своей эрудицией! Текст книги
написан простым языком, все законы, факты и формулы объясняются
с использованием аналогий, сравнений, иллюстраций и схем.
Вперед — к новым знаниям! Откройте мир заново, изучив законы
математики и увидев скрытые закономерности!
16 sin
-7 ху
ху %
arctg 00
lilЕП[
9 78517V 005481
% const О Z
tg -18 cos A
% ctg x Ф
c2 = a2 + b2
± xyz x 7/e
Z + = о
158 % -1 /